Cohomologie des groupes
topologiques
et des algebres de Lie
A. Guichardet
Cedic/Fernand Nathan
Paris 1980

А.Гишарде
Когомологии
топологических
групп
и алгебр Ли
Перевод с французского
Г.С. Шмелёва
под редакцией
АЛ. Кириллова
Москва «Мир» 1984

ЬЬК 22.14
Г51
УДК 513.836
Гишарде А.
Г 51 Когомологии топологических групп и алгебр Ли. Пер.
с франц. — М.: Мир, 1984. —258 с, ил.
Монография французского математика, посвященная актуальным вопросам
современного функционального анализа и алгебры. Автор ставит целью сделать
когомологические методы доступными специалистам из смежных разделов
математики и математической физики. Изложение подробное, сопровождается
многочисленными примерами.
Для математиков различных специальностей, физиков-теоретиков,
аспирантов и студентов.
„ 1702030000-418 1Л ол ББК 22.14
1 041(01)—84 ' Ч' 1 617.3
Редакция литературы по математическим наукам
© Перевод на русский язык, «Мио» 19Я4
© CEDIC, Paris, 1980 Р ' *
© Nathan, Paris, 1980

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Название этой книги еще несколько лет тому назад
показалось бы сугубо специальным, интересующим лишь узкий
круг алгебраистов и непонятным для «широкой публики».
В последние годы положение резко изменилось. Современная
теоретическая физика все больше «математизируется», а воз*
никшая в результате этого процесса новая математическая
физика стала весьма популярным направлением,
привлекающим многих первоклассных специалистов. Взаимодействие
с физикой оказало заметное обратное влияние и на «чистую»
математику.
Алгебраическая топология, дифференциальная геометрия,
некоммутативный гармонический анализ и многие другие
абстрактные теории стали прикладными дисциплинами.
Вместо чисто теоретических построений и выявления
абстрактных соотношений между введенными понятиями на первый
план стало выдвигаться «доведение до явной формулы»,
а иногда и «до числа».
В предлагаемой вниманию читателей книге А. Гишарде
не только определяется, что такое когомологии группы или
алгебры Ли, но и показывается, как явно вычислить эти
объекты в практически важных случаях. Попутно читатель
может ознакомиться с вычислительными аспектами
гомологической алгебры и теории категорий, применимыми и в
других ситуациях.
Я не сомневаюсь, что книга окажется полезной весьма
широкому кругу читателей, как математиков, так и физиков.
А. Кириллов

ВВЕДЕНИЕ
Целью этой работы является главным образом изложение
теории расширений (группы Ext") конечномерных и
бесконечномерных представлений локально компактных групп и,
в частности, их когомологий; основной в этом смысле можно
считать гл. III (Когомологий топологических групп). В ней
мы постарались собрать наиболее употребительные методы
вычислений; именно поэтому большая часть места и усилий
посвящена здесь явным формулам и примерам в ущерб так
называемой чистой теории. Глава I (Когомологий
дискретных групп) может рассматриваться в основном как
расширенное введение в гл. III, в том смысле, что она содержит
все необходимые сведения, касающиеся комплексов и
когомологий, инъективных и проективных модулей и резольвент
и т. д., а с другой стороны, большое количество подробных
формул, которые не повторяются в гл. III. Глава II
(Когомологий вещественных алгебр Ли) может рассматриваться
как обзор методов вычислений в задачах, касающихся групп
Ли, поскольку, как это хорошо известно, алгебры Ли
являются более простыми объектами, чем группы Ли; это
также является причиной того, что гл. II содержит особенно
большое количество примеров, касающихся, как правило,
полупростых алгебр Ли.
Читатель, конечно, уже понял, что эта книга не является
трактатом по гомологической алгебре и даже не
основывается достаточно прочно на этой теории; в каждой из трех
глав обращение к категориям и производным функторам
только намечено и отодвинуто далеко в конец главы. Но это
вовсе не значит, что мы определяем группы tf"(G, £), исходя
непосредственно из комплексов обычных коцепей C*(G,E)
без всяких предварительных знаний о комплексах, так как
в этом случае мы лишаемся могучего орудия, которым
является «лемма о сравнении резольвент». Мы выбрали некий
средний путь, при котором сначала определяются сильные
относительно инъективные резольвенты, а затем уже группы
H*(G,E) как когомологий комплекса G-инвариантных
элементов какой-нибудь сильной относительно инъективной
резольвенты модуля Е.
Для чтения книги требуется в принципе только
элементарное знание алгебры (группы, кольца, линейная и поли-

Введение 7
линейная алгебра); тем не менее часто используются гораздо
более развитые теории: топологические векторные
пространства, дифференцируемые многообразия, топологические
группы и их представления, группы и алгебры Ли,
алгебраическая топология; в каждом таком случае либо даны точные
ссылки на специальные работы, либо необходимые
результаты приводятся в приложениях, помещенных в конце книги;
их чтение и чтение этих специальных работ может, конечно,
потребовать достаточно серьезной работы.
Что касается места этой книги среди других работ по этой
теме, то по сравнению с ними наше изложение когомологии
дискретных групп и алгебр Ли является, более элементарным
и более полным, поскольку содержит больше иг общих
свойств, и примеров, причем в более явной форме; но при
этом мы не обсуждаем приложений в алгебре и арифметике
(структура конечных групп, когомологии Галуа и поля
классов), по поводу которых можно обратиться к работам
Грюнберга [45], Хилтона и Стамбаха [56], Ленга [79], Серра
[117] и Вейса [136]; мы также никак не касаемся ни теорем
Кюннета и теорем об универсальных коэффициентах
(см. Хилтон и Стамбах [56]), ни структуры алгебр #*(G, Z)
и tf*(g, R) (см. Маклейн [86] или Картан — Эйленберг
[15]). В том, что касается когомологии конечномерных
представлений топологических групп и алгебр Ли, единственной
известной нам книгой является книга Бореля и Валлаха [7],
которая гораздо менее элементарна, чем наша, и содержит
приложения к весьма трудной теории дискретных подгрупп
полупростых групп и их однородных пространств; из нее мы
заимствовали как многочисленные идеи, так и глубокие
и трудные результаты, которые мы часто даем без
доказательств.
Среди вопросов, близких к рассматриваемым здесь, но
оставленных в той или иной степени в стороне, перечислим
следующие: борелевские когомологии, зависимость между
2-когомологиями и расширениями топологических групп,
когомологии р-адических групп Ли, когомологии алгебр Ли
векторных полей и т. д. и т. п.
Я не могу закончить это введение без того, чтобы не
выразить своей горячей благодарности моим коллегам из
Математического центра Политехнической школы и в особенности
П. Бланку, К. Шампетье, П. Дагу, П. Далорму, М. Дема-
зюру, Ф. Дюклу, М. Дюфло, Ж. Пиша, Д. Вогану, Д. Виг-
неру, чья поддержка, а зачастую и глубокие знания в
различных областях математики помогали мне в моей работе;
я также благодарю Д. Конча, которая обеспечила быструю
и превосходную перепечатку многочисленных
предварительных вариантов этой книги.

СОДЕРЖАНИЕ КНИГИ;
Тлава 1. ТКогомсогогии дигскретных трупп
§ 1. Общие 'Сведения, [касающиеся модулей над кольцами
и над группами; сильные морфизмы модулей (т. е., грубо
говоря, морфизмы, обратимые как Z-морфизмы), комплексы
модулей, их морфизмы и гомотопии между этими морфиз-
:мами; наконец, стандартные резольвенты G-модулей.
§ 2. Общие сведения о сильных относительно инъектив-
•ных резольвентах; лемма о сравнении резольвент.
§ 3. Определение групп Hn(G,E) как групп когомологий
подкомплекса G-инвариантных элементов в какой-либо
сильно относительно инъективной- резольвенте модуля Е\
вычисление этих групп с помощью стандартной резольвенты:
коцепи, коциклы и кограницы, однородные и неоднородные,
нормализованные и ненормализованные; случай конечных
групп; нормализация коцепей относительно конечной
подгруппы; явные формулы для этих нормализации.
§ 4. Когомологий прямых сумм и прямых произведений
G-модулей; точная последовательность когомологий, явная
конструкция связывающих морфизмов, приложение к теории
редукции когомологий; когомологий проективных пределов.
§ 5. Когомологий индуцированных G-модулей: лемма
Шапиро и явная конструкция изоморфизма, существование
которого она утверждает.
§ 6. Приложение 2-когомологий к изучению расширений
групп абелевыми группами; пример вычислений когомологий:
вычисление H2(Zn, Л), где А — тривиальный /"-модуль.
§ 7. Тривиальность действия G на tf"(G, £), где G
действует на себе внутренними автоморфизмами: зануление
группы Hn(G,E) в случае, когда существует такой элемент
из центра кольца Z(G), что 2/i(g)= 1 и элекент Zh(g)-g —
— id обратим в EndE.
§ 8. Когомологий расширений групп (без спектральных
последовательностей): точная последовательность Серра —
Хохшилда для пяти членов (явная конструкция); случай,
когда равенство нулю когомологий нормальной подгруппы
влечет равенство нулю когомологий самой группы.
§ 9. Когомологий расширений групп: спектральная
последовательность Линдона — Серра — Хохшилда; применения:

Содержание книги
9
{вычисление #*(G, Z), где G— нильпотентная группа размер-
юности 3 над Z, аналогичная группе Гейзенберга.
§ 10. Исчисление n-расширений «по Ионеде» двух G-mo-
дулей: мультипликативность, прямой и обратный образы.
§ 11. Определение групп Ех1:о(Л, В)\ их изоморфизм с
группами Hn(G, Нот(Л, В)); отображение множества
&п(А, В) сильных n-расширений на Exta(A, В); частичное
изучение отношения эквивалентности на &fn{A, В),
определенного этим отображением; более детальное изучение
случая п=1; возврат к индуцированным G-модулям:
изоморфизм между группами ExtS(A, Ind//£) и Ext/НЛ, £);
отображение Ext£(£, F) в ExtS(Ind£, IndF).
§ 12. Общие сведения о тензорных произведениях абеле-
1вых групп; сильные относительно проективные резольвенты;
^вычисление ExtSM, В) при помощи сильной относительно
проективной резольвенты модуля Л; группы Тог„(Л, В)\ го*
мологии; двойственность между гомологиями и когомоло*
гиями.
§ 13. Язык категорий: интерпретация Ext" и Тог„ как
производных функторов в некоторой относительной категории;
другие аналогичные понятия, как относительные, так и
абсолютные; когомологические функторы.
§ 14. Связь между сингулярными гомологиями и когомо-
логиями топологических пространств: сильная относительно
проективная резольвента для сингулярных комплексов
стягиваемого топологического пространства X, на котором G
действует подходящим образом; изоморфизмы между
гомологиями и когомологиями группы G и гомологиями и кого-
мологиями пространства X/G.
Глава И. Когомологии вещественных алгебр Ли
В этой главе мы с самого начала рассматриваем
когомологии g-модулей относительно некоторой подалгебры $ в g,
в то время как в гл, I мы рассматривали относительные
когомологии только в конце главы; основная причина этого
заключена в том, что теорема ван Эста связывает когомологии
группы Ли с относительными когомологиями ее алгебры Ли.
С другой стороны, с самого начала предполагается, что 1)
редуктивна в g; это предположение позволяет показать, что
обычные резольвенты являются сильными; если же не
предполагать редуктивности $ в g, то тем не менее можно
развивать теорию когомологии, перейдя к ассоциативным алгеб*
рам и полагая, например,
ExtJ,(E, F) = ExtbW,um(E, F),

10
Содержание книги
где правая часть определена в приложении С; но при этом
необходимо доказывать, что полученные когомологии
совпадают с когомологиями обычного комплекса Ногщ(Л*(д/1&),
Нот (£, F)).
§ 1. Общие сведения о ^-сильных, !)-инъективных
резольвентах, где |) — подалгебра Ли, предполагаемая редуктивной
в д; единственное отличие от гл. I заключается в введении
(д, |))-модулей и (д, К) -модулей; определение групп Extg, ^ (E,
F)9 Я" (в. *, Я), Extlк(Е, F), Я" (в. К, £), Ext*(£, F),
Яя(д,£).
§ 2. Построение стандартной резольвенты.
§ 3. Вычисление #"(д, 5, £) с помощью обычных коцепей;
когомологии прямых сумм и прямых произведений;
тривиальность действия g A #rt(g, Я); использование ^-инвариантного
дополнения к $ в д; изоморфизм между Extg, $ (£, F) и
Нп (д, |), Нот (£, F)); некоторые свойства когомологии в
случае (д, |))-модулей и (д,/С)-модулей; конечномерность,
двойственность и т. д.; спектральная последовательность,
связывающая Extg. § и Ext^.
§ 4. Применение 2-когомологий к изучению расширений
алгебр Ли при помощи коммутативного ядра; когомологии
|)-сильных расширений g-модулей (точная последовательность
когомологии), зануление Extg, $(£, F), когда Е и F имеют
различные инфинитезимальные характеры.
§ 5. Изоморфизм между #л(д, f, E) и Homf(A", £) в
случае, когда g полупроста, д = |фр — разложение Картана,
а Я — унитарный д-модуль, в котором оператор Казимира
действует тривиально.
§ 6. Когомологии расширений алгебр Ли: спектральная
последовательность и точная последовательность (с явной
конструкцией) Серра — Хохшилда; применение к нильпотент-
ным алгебрам Ли.
§ 7. Когомологии коиндуцированных g-модулей: лемма
Шапиро, изоморфизм между Extg(y4, Coindjjf) и Ех^(Л, Е).
§ 8. Отображение множества |)-сильных n-расширений на
ExtU(E9F).
§ 9. |)-сильные, |)-проективные резольвенты; определение
относительных групп Тог„ и Нп\ язык категорий, в частности,
категорий (д, I))-модулей и (д, К) -модулей.
§ 10. Изучение примера: алгебра Ли группы изометрий
плоскости, сохраняющих ориентацию; явное описание Extg, к
и Extg для (д, К) -модулей, получающихся из унитарных
неприводимых представлений группы G,

Содержание книга
И
§11. Случай полупростых алгебр Ли: зануление Extg, 9 и
Extg для конечномерных g-модулей; в случае произвольной
размерности приведены без доказательства некоторые
недавние результаты, касающиеся Extg, д для простых
(д,/С)-модулей (зануление Extg, к^,/7), если Е и F — унитарные
квадратично интегрируемые представления, или если одно из них
унитарно, а другое конечномерно, и п строго меньше
вещественного ранга G и т. д.); формулируются" некоторые
предположения, связывающие Extg, к (£, F)n основную серию,
содержащую Е и F как подфакторы.
§ 12. Явное вычисление Extg, к и Ех^для простых (д, К)-
модулей, когда G = SL(2, R).
§ 13—15. Частичные результаты, касающиеся Extg,к для
простых (д, К)-модулей, когда G = SL(2,£L), SO0(n, 1),
SU(2,1).
Глава III. Когомологии топологических групп
§ ]. Общие сведения о сильных относительно инъектив-
ных резольвентах; примеры таких резольвент для коцепей —
непрерывных класса С°° (для групп Ли), класса Lfoc;
регуляризация коцепей; изоморфизм между ExtS(£, F) и Hn{G,
Нот(Е, F)).
§ 2. Обращение в нуль Exto (£, F), когда G компактна;
коцепи, нормализованные относительно некоторой
компактной подгруппы; условия отделимости Hn(G,E)\ когомологии
гильбертовых интегралов унитарных представлений;
когомологии расширений G-модулей (точная последовательность
когомологии); тривиальность ограниченных 1-коциклов и
аменабельность G; обращение в нуль Hl(G,E) для любого
унитарного (j-модуля Е, если тривиальное представление
является изолированной точкой в (3.
§ 3. Обращение в нуль Hn(G,E), если существует такая
мера [х с компактным носителем, лежащая в центре алгебры
MC(G), что ji(l)= 1 и U{\x) — I обратим в Hom(£, F);
применение к представлениям группы Rn в пространствах
сечений векторных расслоений над подмногообразиями в
дуальном пространстве; использование носителей равномерно
непрерывных представлений абелевых локально компактных
групп.
§ 4. Когомологии G-модулей, индуцированных в
непрерывном смысле, в смысле С°° (для групп Ли), в смысле Lfoc
или в смысле /Л
§ 5. Когомологии расширений групп: спектральная после-"
довательность и точная последовательность Серра — Хох-

12
Содержание книги
шилда; применения к группам, имеющим нормальную
подгруппу вида R".
§ 6. Связь между сильными м-расширениями и ExtS; язык
Категорий; совпадение Ext'2, вычисленных в категории
непрерывных G-модулей и в категории G-модулей типа С°°.
§ 7. Зависимости между когомологиями групп Ли и
алгебр Ли: изоморфизм ван Эста между Hn(G,E) и #"(д, /С, £),
где К — максимальная компактная подгруппа в G;
изоморфизм между Hn(G} С) и #£>Р (Gw/7(), где Gu — компактная
форма группы G; точное описание изоморфизма ван Эста
с помощью операций дифференцирования и интегрирования
на G/K\ явная конструкция вещественных 2-коциклов на
простых группах Ли; спектральная последовательность ван
Эста для немаксимальной компактной подгруппы /С;
зависимости между H*(G, Е) и #*(д, Е)\ случай, когда #?op(G)
равны 0.
§ 8. Результаты, связанные с группами Ли: зануление
№(G, £), когда G — разрешимая типа (R) (соответственно
нильпотентная), а Е — унитарный неприводимый G-модуль
бесконечной размерности (соответственно унитарный,
неприводимый, нетривиальный); зануление Я1 (G, £), если G —
простая, причем ее алгебра Ли отлична от so(я, 1) или
su(m, 1), а Е — унитарный; описание простых G-модулей
с ненулевой группой Я1 в случае, когда G полупроста;
вычисление Hl(G, L2{G)) для простой G.
§ 9. Различные дополнения: использование С°°-функций
на общих локально компактных группах; зависимости между
когомологиями унитарных неприводимых представлений и
топологией на 0.
Приложение А. Спектральные последовательности. Общие
свойства; точные последовательности, которые можно ввести
в некоторых случаях; спектральные последовательности,
ассоциированные с фильтрованными комплексами и биком-
плексами.
Приложение В. g-модули, (д, I))-модули, основная серия.
Для произвольных вещественных алгебр Ли: общие сведения
о g-модулях, (д, I))-модулях и (д, К) -модулях; для
полупростых алгебр Ли: зависимости между (д, К)-модулями и G-mo-
дулями, основная серия, описание основной серии и простых
(д, Я)-модулей для групп SL(2,R), SL(2, С), SO0(n, l),
SU(2, 1). Заметим, что в качестве примеров g-модулей можно
было также выбрать g-модули категории О Бернштейна —
Гельфанда — Гельфанда, тесно связанные с модулями Верма,
изучение которых достаточно продвинуто; мы предпочли
выбрать (д, К) -модули, поскольку они непосредственно связаны
с G-модулями.

Исторические замечания
13
Приложение С. Гомологии и когомологии ассоциативных
алгебр (обозначения: А— ассоциативная алгебра над
кольцом К\ В — подалгебра в А). Группы ExtX, в и Тог£'в для
двух Л-модулей; группы Нп(А,В, •) и Нп{АуВ, •) для Л-би-
модуля; изоморфизм между ExtJ, в(Е, F) и Hn(AyBf
Hom(£, F)): действие элементов центра алгебры Л и
обращение в нуль Нп\ гомологии и когомологии индуцированных
и продуцированных модулей; случай дискретных групп и
алгебр Ли. Это приложение является частью относительной
гомологической алгебры.
Приложение D. Топологические векторные пространства;
G-модули. Комплексы локально выпуклых пространств и их
когомологии; пространства Hom(£, F), снабженные
топологией равномерной сходимости на компактах; пространства
V(X, Е), С°°{Х, Е), LfocCX, Е); G-модули, примеры (Hom(£,f),
W{G, £), C°°{G, £), Lf0C(G, £)); С°°-векторы и С°°-мо-
дули — общие сведения и случай перечисленных выше
примеров; представления группы R" в пространствах сечений
векторных расслоений над подмногообразиями в
двойственном пространстве; носители равномерно непрерывных
представлений абелевых групп.
Приложение Е. Многообразия, группы Ли. Векторные
поля, дифференциальные формы со значениями в векторном
топологическом пространстве; топологические свойства
комплекса таких форм; случай пространств, однородных
относительно групп Ли.
Приложение F. Пространства Фока. Определение;
представления Uа, В И 1-КОЦИКЛЫ.
Исторические замечания
Истоки теории когомологии групп очень подробно
изложены Маклейном в [87]. Эта теория была введена и развита
в 40-х годах различными авторами 1) (Эйленберг — Маклейн
в 1943 и 1947 гг., Хопф в 1944 г., Экман в 1945 для
уточнения некоторых зависимостей, открытых Хопфом, между
первой гомотопической группой jii {X) топологического
пространства и его второй группой целочисленных когомологии
Hto^X, Z), например, если п2(Х) = 0, то (на современном
языке) #?ор(Х, Z)~ H2(n{(X), Z) (в гл. I, § 14 мы приводим
результаты такого же типа). Эта теория сразу же позволяет
описать связь #*(G, Z) ~ #toP(BG, Z), где BG
—классифицирующее пространство группы G; кроме того она оказалась
Х) Независимо от упомянутых авторов теория когомологии групп была
построена Д. К Фаддеевым в серии работ 1947—1955 гг. — Прим. ред*

14
Исторические замечания
также связанной с самого момента создания с проблемой
расширения групп и позволила интерпретировать как 2-ко-
циклы, т. н. «мультипликаторы», которые использовал Шур
в начале века в теории проективных представлений конечных
групп. Определение H*(GyE) с помощью свободной
резольвенты и «леммы о сравнении резольвент» было впервые
приведено в докладе А. Картана на Семинаре Картана
в 1950/51 г.; добавим, что резольвенты модулей
использовались уже Гильбертом в 1890 г. в его теории сизигий.
Зависимость между когомологиями группы и ее нормальной
подгруппы была открыта Р. Линдоном в 1946 г., а затем
переформулирована в 1953 г. Серром и Хохшилдом на языке
спектральных последовательностей, введенных Картаном и
Лере в 1947 г.
Теория когомологий ассоциативных алгебр была создана
примерно в то же время (Хохшилд, 1945—46 г.) в связи
с проблемами расширений алгебр и их представлений;
примерно тогда же были введены и относительные когомологий
алгебр Ли (Шеваллё — Эйленберг, 1948 г., которые не только
позволили дать новые доказательства лемм Уайтхеда и
теоремы Леви — Мальцева, но имели также и геометрическую
мотивировку, например вычисление чисто алгебраическими
методами когомологий однородных пространств компактных
групп Ли через изоморфизм #toP (G//C, R) ~ Я* (g, J, R)
(см. гл. III, п. 7.2).
Три предыдущие когомологические теории (групп,
ассоциативных алгебр, алгебр Ли) были вытеснены более
широкой гомологической алгеброй (категории, производные
функторы и т. д.) Картана и Эйленберга в 1956 г., а затем
относительной гомологической алгеброй Хохшилда в 1956 г.
Отметим вкратце приложения когомологий групп в алгебре
и в арифметике [когомологий Галуа и поля классов
(Хохшилд, 1950 г., Тейт, 1952 г.)].
Что касается когомологий топологических групп, то
В. Т. ван Эст в 1953 и 1955 гг. определил когомологий
#diff(G, E) группы Ли G с коэффициентами в векторном
G-модуле с помощью дифференциальных коцепей и
установил зависимости между этими когомологиями и
когомологиями алгебры Ли q группы G, например изоморфизм
#*(G, E) ~ #*(g, f, £), а также так называемую
спектральную последовательность ван Эста (см. часть III, § 7).
Г. Д. Мостов в 1961 г. определил когомологий H*COnt(G, E
локально компактной группы G с коэффициентами в
топологическом векторном G-модуле с помощью непрерывных
коцепей, используя при этом сильные относительно инъективные
резольвенты; он показал, между прочим, что эти когомологий
совпадают с когомологиями ван Эста, когда G — группа Ли,

Исторические замечания
15
а Е дифференцируемо. Когомологии #£or(G, E)>
определенные с помощью борелевских коцепей, с коэффициентами
в абелевом, но не обязательно векторном G-модуле, были
введены Дж. Макки (1957 г.) в связи с проблемой
расширения топологических групп, а затем систематически развиты
К. Муром (1964, 1976 гг.) и Д. Вигнером (1973 г.), который
доказал изоморфизм #ьог (G, E) ~ #cont (G, £), если Е —
G-модуль Фреше и G— конечномерная локально компактная
группа.
Проблема зависимости между когомологиями групп и
когомологиями топологических пространств разрабатывалась
во многих направлениях; приведем результат Д. Вигнера
(1973 г.): #bor(G, Z) ~ #top(BG, Z), где BG —
классифицирующее пространство топологической группы G в
предположении ее локальной компактности и конечномерности;
отметим также работы Рагунатана (1966 г.), Мацусимы (1967 г.),
Бореля и Валлаха (1977 г.) о когомологиях однородных
пространств T\G/K> где G — вещественная полупростая группа
Ли, К — максимальная компактная подгруппа в G и Г —
дискретная подгруппа в G.
Начиная с 1970 г. намечается новая тенденция:
систематическое изучение, сопровождаемое также по возможности
явными описаниями, групп когомологии и групп Ext" для
бесконечномерных представлений групп и алгебр Ли. Эта
тенденция впервые обнаружилась в 1970 г. в мемуаре Араки
о представлениях групп токов, чье изучение было
продолжено и дополнено Вершиком — Гельфандом — Граевым в
1974 г. и П. Делормом в 1978 г. (см. приложение F); далее
она была развита в работах А. Гишарде (1971 г. и т. д.):
использование нормальных абелевых подгрупп;
1-когомологии гильбертовых интегралов унитарных представлений:
явные результаты, касающиеся группы Пуанкаре; расширения
индуцированных представлений полупрямых произведений;
зависимости между когомологиями унитарных представлений
и топологией на (5); Пинчона и Симона (1974 и т. д.: лемма
Шапиро для 1-когомологий, регуляризация 1-коциклов,
вычисление Ext1 для унитарных представлений SL(2, R); Ридо
(1973 г. и т. д.): явное вычисление групп Н\ Н2 и Ext1 для
группы Пуанкаре); П. Делорма (1977 г. и т. д.): вычисление
1-когомологий унитарных представлений полупростых или
разрешимых групп Ли, частичное вычисление /г-когомологий
унитарных представлений полупростых комплексных групп
Ли, зависимости между когомологиями унитарных
представлений и топологией на G)\ П. Бланка (1979 г. и т. д.:
когомологии Lfoc» лемма Шапиро для индуцированных в смысле
Д>с представлений, совпадение непрерывных когомологии

16
Исторические замечания
с дифференцируемыми и класса Lf0c, n-когомологии
гильбертовых интегралов унитарных представлений); Бореля — Вал-
лаха (1977 г.: вычисление для полупростой группы Ли G
1-когомологий неприводимых не обязательно унитарных
представлений, вычисление Ext" для унитарного квадратично
интегрируемого и конечномерного представления и т. п.
и т. п.); Энрайта (полное вычисление n-когомологий
унитарных представлений полупростых комплексных групп Ли);
Д. Вогана (многочисленные свойства Ext" для неприводимых
не обязательно унитарных представлений вещественных
полупростых групп Ли, связь с их положением в основной
серии и т, д.).

Глава I. КОГОМОЛОГИИ ДИСКРЕТНЫХ ГРУПП
§ 1. А-модули, G-модули, комплексы, гомотопии
1.1. А-модули, G-модули
Обозначим через Л кольцо с единицей и будем называть
А-модулем левый унитарный Л-модуль1*; позднее мы
должны будем рассмотреть также правые Л-модули. Множество
Л-морфизмов между Л-модулями Е и F обозначим через
Ногпд (£, F); когда Л = Z, часто будем писать Нот
вместо Нот 2-
Рассмотрим теперь группу G; обозначим через 1 ее
нейтральный элемент и через Z(G) ее групповую алгебру над
Z; Z(G) есть множество отображений f группы G в Z с
конечным носителем, т. е. удовлетворяющих условию: /(g) = О
везде, кроме конечного числа значений g; умножение (или
свертка) в Z(G) определяется по формуле
(/. * h) (S) = S fi (h) h (h~ lg) = £ /, (gh-') h (A);
fce=G he-Q
для каждого gG G обозначим через eg элемент из Zg,
определенный по формуле
Г 1, - если . h = gt
g (0 в противном случае;
имеем eg * ел = egh-
Назовем G-модулем Z(G)-модуль, или, иначе говоря,
абелеву группу Е, на которой G действует слева с помощью
автоморфизмов; т. е. " g(ex + е2) = gex + ge2\ {g\g2)e =
= &i(g2e). Z-модули есть не что иное, как абелевы группы.
Обозначим через Е° подгруппу в G-модуле Е,
образованную G-инвариантными элементами; через HomG(£, F)
обозначим множество G-морфизмов между G-модулями Е и F\
если существует G-изоморфизм, будем говорить, что Е и F
изоморфны или что действия G в Е и F эквивалентны.
Определение 1.1. Инъективный Л-морфизм между
Л-модулями называется сильным, если он допускает левый
обратный Z-морфизм; произвольный Л-морфизм и: E->F
называется сильным, если инъективные морфизмы Кети->Е
1) То есть абелеву группу М с заданным действием А на М и
условием, что единица кольца А действует на М как тождественное
преобразование.

18
Гл. 1. Когомологии дискретных групп
и £/Ker u->F сильные; легко выводится, что если и —
сильный Л-морфизм, то Л-морфизм £->£/Кег иу \mu-+F, F->
-+F/lmu также сильные; с другой стороны, непосредственно
проверяется, что сюръективный Л-морфизм сильный тогда
и только тогда, когда он допускает правый обратный
Z-морфизм.
Примеры G-модулей
Пусть Е — абелева группа; для каждого целого п>0
обозначим через &~{GnyE) абелеву группу, образованную
всеми отображениями Gn в Е\ это — G-модуль относительно
левого регулярного действия, определенного по формуле
(gf)(gu ...» gn) = f(g~lgu ..., g~lgn); (1.1)
это действие эквивалентно правому регулярному действию
(gf)(gu ..., gn) = f(g\g, ..., gng), (1.2)
причем эквивалентность задается автоморфизмом
/e-»f, где f(gv ..., gn) = f(gTl> ..., g^1).
Предположим теперь, что Е — G-модуль; автоморфизм г,
определенный по формуле
(rf)(gu ..., gn) = grf(gu ..., gn),
переводит действие (1.1) в следующее:
(gf)(gu ..., gn) = g-f{g~lgu .... g~lgn). (1.3)
Рассмотрим, в частности, &~(GyE) с действием (1.3) и
определим отображение е из Е в 2Г(G, Е):
e(*)(g) —в Для любого е££; (1.4)
тогда е является сильным инъективным G-морфизмом, так
как оно допускает левый обратный Z-морфизм s,
определенный по формуле 5 (/) = /( 1).
1.2. Комплексы, гомотопии
Определение 1.2. Комплексом (подразумевается
комплексом коцепей или коцепным комплексом) Л-модулей
называется последовательность
К: 0-+К0 —>К1—>...,
где Кп являются Л-модулями, a dn — Л-морфизмами,
удовлетворяющими условиям drt+1 о dn == 0, т. е. Im dn с: Ker dn+l
для любого п ^ 0; dn называется дифференциалом или
оператором кограницы комплекса К- Если есть два комплекса

§ 1. А-модули, G-модули, комплексы, гомотопии 19
К\ и /(г, то морфизмом комплекса К\ в Кг называется
последовательность/ (ип) Л-морфизмов ип: К\-*К2,
удовлетворяющая условию
^odj1"1 = d2~l <>un~x для любого n^l.
Комплекс К называется сильным, если каждый dn сильный;
точным (или ацикличным), если Imdn = Kerdn+l для
каждого /i^Oh Kerd° = 0; легко видеть, что любой комплекс
полупростых Л-модулей сильный и что комплекс является
сильным и точным тогда и только тогда, когда он допускает
стягивающую гомотопию, т. е. такую последовательность
Z-морфизмов 5": Кп-*Кп~1 для /г^1, что 5l e~d° = id^o,
rfn-l oSn _j_ sn+l oCln = jj для ЛЮбОГО П ^5 1.
Полезная лемма, связанная со стягивающими гомото-
пиями:
Лемма 1.1. Если комплекс А-модулей
допускает стягивающую гомотопию (sn), то он допускает
и другую (s/n), такую, что s'"os"I+l =0.
Доказательство. Положим s'n = sndn~ V; это —
стягивающая гомотопия, поскольку dn~ls,n + s,n+ldn = dn~isndn~lsn +
+ sn+1dnsn+ldn = dn-l(l - dn-2sn-1)sn + sn+l(l-sn+2dn+l)dn=
= dn-lsn + sn+ldn = I.
тому же 55 =s a s s as =s a s s —
— sndn~l (/ — dn~2sn~l)snsn+l = 0, что и требовалось доказать.
Определение 1.3. п-расширением (где п^\) Л-модуля Е
с помощью' Л-модуля F называется точная
последовательность
O-^F-^Et-* ... -+Еп-*Е-*0,
образованная Л-модулями и Л-морфизмами; расширение
называется сильным, если точная последовательность сильная.
Вместо «1-расширение» будем также говорить «расширение».
Определение 1.4. Рассмотрим два комплекса К\, /Сг и два
морфизма (ип), (vn) из К\ в /С2; эти морфизмы называются
гомотопными, если существует гомотопия между (ип) и (vn),
т. е. такая последовательность Z-морфизмов 5*: К\->К21~,
ft> 1, что
и — v =5 od\\
U —V =d2 05+5^0^! для /Z>l.

U0 Гл. L Когомологии дискретных групп
Видно, что стягивающая гомотопия комплекса К является
не чем иным, как гомотопией между id/c и О*.
Будем говорить, что К\ и /С2 гомотопически эквивалентны,
если существуют два таких морфизма (ап): /Ci~^/C2 и {Ьп):
К2-*К\, что морфизмы (ап°Ьп) и Ьп о ап) гомотопны /.
Определение 1.5. (Когомологии комплекса К.) Для
комплекса К положим
Сп(К) = Кп', название элементов — ^-коцепи
Zn (К) = Ker dn\ название элементов — /г-коциклы
( 0, если я = 0,
ВЧК) = \ ,
к \md , если я> 1;
название элементов — п-кограницы или тривиальные п-ко-
циклы
H«(K) = Z»(K)/B»(K).
Два коцикла называются эквивалентными, если их
разность— тривиальный коцикл. Группы Нп(К) называются
группами когомологии К\ они в действительности являются
71-модулями и равны нулю, если и только если комплекс
К точный.
Любой морфизм и: К\-+К2 определяет, в частности,
последовательность морфизмов и*п: Нп(К\)^>~//"(/C2); при этом
непосредственно проверяется, что два гомотопных морфизма
и vi v определяют одни и те же морфизмы и*п и v*n. В
частности, два гомотопически эквивалентных комплекса имеют
изоморфные когомологии. Класс когомологии коцикла а
будем обозначать через [а].
Определение 1.6. Резольвентой (подразумевается
коцепей) Л-модуля Е называется точный комплекс Л-модулей
0->£->£°—+ЕХ — ...;
резольвента называется сильной, если комплекс сильный.
Примеры резольвент для G-модулей
Пусть Е — G-модуль; рассмотрим последовательность
O-^E-^TiG, E)^>T(G\ E)^ ..., (1.5)
где &~(Gn+\ E) снабжена действием (1.3) и где
*(e)(go) = e, (1.6)
(dnf)(go, ..., ff„+i) = Z(-l)'/teo A.-.. *i»+i) (1.7)

§ 2. Относительно инъективные модули
21
(знак Л означает, что соответствующая переменная
пропущена). /
Предложение 1.1. Последовательность (1.5) является
сильной резольвентой модуля Е со стягивающей гомотопией (sn),
определенной формулой:
(snf)(go, ..., ff«-i) = /(l, go, ..., g*-i). (1.8)
Проверяется непосредственно.
Определение 1.7. Резольвента (1.5) называется
стандартной резольвентой модуля Е.
Обозначим теперь через °&~(Gn+\ E) G-подмодуль в
@~(Gn+l}E) таких отображений /, что /(go, ..., gn) = 0, если
gi = gi+l для некоторого / = 0, ..., п—\\ в частности,
°£T(G, E) = @~{Gt £). Немедленно получаем
Предложение 1.2. Последовательность
0->£-^°#-(G, £)-^>o^(G2, £)^> ..., (1.9}
где г и dn определены через (1.6) и (1.7), является сильной
резольвентой для Е с теми же sn, что и в предложении 1.1.
Определение 1.8. Резольвента (1.9) называется
стандартной нормализованной резольвентой для Е.
Историческое замечание. Стандартная резольвента (1.5}
G-модуля Е введена Эйленбергом и Маклейном [34] по>
крайней мере под видом Нот (/(*,£), где К* является В-ре-
зольвентой тривиального G-модуля Z (ср. п. 12.2).
§ 2. Относительно инъективные модули,
относительно инъективные резольвенты
Определение 2.1. G-модуль Е называется относительно
инъективным, если для любых G-модулей А и В, любого
сильного инъективного морфизма и: А-+В и любого мор-
физма v: A-+E существует такой G-морфизм w: В->Е, что
wou = v. Выражение «относительно инъективный» будет
обосновано в дальнейшем (см. § 13). Резольвенту модуля Е
назовем относительно инъективной, если модули £°, Ех
(см. определение 1.6) — относительно инъективные.
Предложение 2.1.
(i) Для любой абелевой группы Е и любого п ^ О
G-модуль 3T(Gn+l9E) относительно ин'ъективен. Более точно,
возьмем действие (1.1); определим Л, В, и, v так же, как и выше

22
Гл. I. Когомологии дискретных групп
с левым обратным Z-морфизмом для и\ для w можно полю-
жить
о>(*)(£о> •••> 8n) = (VaS'8Zl'b)(l, gZlg{, ..., golgn)- (2Л)
(ii) Если Е есть G-модуль, то в случае действия (1.3)
можно заменить (2.1) на
w(b)(gQ, ..., gn) = (v-gQ-s-gb{-b)(gQ) ..., gn). (2.2)
(iii) Аналогичные результаты верны для 0ST(Gn+l,E).
Доказательство: непосредственная проверка.
Следствие 2.1. Для любого G-модуля Е стандартная
резольвента и нормализованная стандартная резольвента
являются сильными и относительно инъективными.
Фундаментальное свойство сильных относительно инъек-
тивных резольвент.
Предложение 2.2. (Лемма о сравнении резольвент.)
Рассмотрим два G-модуля Е и F, сильную резольвенту для Е
0^Е*=±Е°?=*Е1*=± ... (2.3)
s° sl х '
и комплекс G-модулей
п п б° .б1
0-+F-^+F°—+Fl —► ..., (2.4)
где F°, F\ ... относительно инъективны.
(i) Для любого G-морфизма и из Е в F существует
G-морфизм (ип) комплекса (2.3) в комплекс (2.4), начинающийся
с и} или, иначе говоря, G-морфизм комплекса
0->£0^£i_^ (2.5)
в комплекс
О-*/*>—>Я—>..., (2.6)
продолжающий и.
(ii) Любой G-морфизм из (2.5) в (2.6), продолжающий
нулевой морфизм, гомотопен нулю с гомотопией,
образованной G-морфизмами.
Доказательство.
(i) Так как F0 относительно инъективен, то существует
такой G-морфизм и0 из £° в Z70, что и0 °е = цои. Рассуждая
по индукции, предположим, что уже построены такие G-мор-
физмы и1: £'->f для / = 0, ..., п— 1, что и1 °дМ = б''-1 о;
о и*-1. Тогда имеем
б"-1 о ип~х.° dn~2 — б72-1 о б"-2 о и72-2 = О

§ 2. Относительно инъективные модули
23
и, следовательно, бп~{ <>ип-1 равно нулю на lmdn~2 = Kerd*-1,
т.' е. может быть пропущено через некоторый G-морфизм
г: lmdn-l-*Fn. Представим каноническое разложение для
dn~l как последовательность
En-l-^lmdn~lJ->En.
Положим
t = posn: En-+lmdn-1;
тогда имеем
/ о j о р = р о Sn о j о р = р о Sn о Л""1 = р о(/ - dn~2 о Sn-1) = р
и, следовательно, /о/ = /, т. е. / является сильным инъек-
тивным морфизмом. Так как Fn относительно инъективен, то
существует такой G-морфизм ип: En^Fn, что un°j = г; тогда
ип 0 dn-\ — ип 0 у 0 р _ г 0 р — g/i-1 0 цл-1в
(И) Пусть морфизм (ип) имеет означенные свойства;
ttoog = o, следовательно, и0 пропускается через морфизм
Imd°->F°, который продолжается до такого морфизма tl:
El-^F0, что u°=tlod° и т. д. Доказательство окончено.
Предположим теперь, что Е = F, и = id, и будем писать
£ь 6i, d\9 su El e2, d£ вместо Е\ е, d«, s", Fn, т|, б".
Следствие 2.2. Предположим, что комплекс (2.4)
совпадает с комплексом (1.5) шш (1.9); вычисляя ип, получим,
используя (2.2),
»0(x)(g0) = go-sPi-gZl-x9
»n(x)(g0, ..., gn)={dn2~x • a*"1 • g0 • tf • go"1 • *)(er0,.. .,ffj|). (2J)
Следствие 2.З. Пусть выполнены условия следствия 2.2
в предположении s^os"*1 = 0 (ср. с леишой 1.1); тогда
(2.7) переходит в
un(x){go>..., gn^Sn-sfl-g-^g^-sl'g^...
-•- -go's,i-go{-x- (2-8)
Определение 2.2. Для g0i ..., gn^G обозначим через
6g0 ® ... ® 6g/i Z-морфизмиз У (бя+1, £) в £, определенный
по формуле
(в«0® ...®e,„)(f) = f(ff0. •••• *«)•
Следствие 2.4. Пусть комплексы (2.3) и (2.4) совпадают
с комплексами (1.5). Определим s? через (1.8), гог^а ыл,
полученные с помощью (2.2), бг/д#г ижегб следующий вид:
»п (/) (ffo, ...,§«) = (6*0 ® (6^ - б^о) ® ... (6,л - 6^)) (/).
(2.9)
(Отметим, что ип отображает ^{Gn+\ E) в V(Grt+1? Е).)

24 Гл. I. Когомологии дискретных групп
Следствие 2.5. Рассмотрим две сильные относительно инъ*
ективные резольвенты G-модуля Е:
0->£-*£?-*£|-> ..., (2.10)
0->£->£°-*£*-* .... (2.11)
(i) Комплексы Kt: 0->(£°)G->(£|.)G-> ..., /=1, 2, го-
мотопно эквивалентны и, следовательно, имеют изоморфные
когомологии.
(ii) Морфизм Н*(К\)-+ Н* (К2), ассоциированный с мор-
физмом К\ ->■ /(г, который является ограничением морфизма
и: (2.10)-^(2.11), продолжающего icU, е£гб изоморфизм, не
зависящий от и.
Доказательство.
(i) Согласно предложению (2.2) (i), существуют мор-
физмы комплексов и: (2.10)-^(2.11) и v.- (2.11)-*(2.10),
начинающиеся с icU; отсюда следуют морфизмы
и{: /Ci->/C2> v{: /C2 —^ ^Ci>
«;: ^(^-//'(/Q, . v\: Я* (К2)-*#•(*,).
Предложение (2.2) (ii) показывает, что u<>v и v<>u
гомотопны тождественным морфизмам с гомотопиями,
образованными G-морфизмами; вследствие этого u\<>v\ и v\oU\
гомотопны тождественному морфизму.
(ii) Доказательство аналогично.
Следствие 2.6. Пусть снова выполнены условия
следствия 2.5 в предположении, что (2.11) — подкомплекс в (2.10).
Тогда каждый коцикл в К\ эквивалентен в К\ коциклу из /С2,
и каждый коцикл в /С2, тривиальный в Ки тривиален и в /С2.
Доказательство. Обозначим через in каноническое
вложение {E$)G-+(E\)g. Предложение 2.2 влечет за собой
существование морфизма комплексов (ип): /G-^/G, а также
существование гомотопии (/Г) между (in о ип) и id/ct и гомото-
пии (/*) между (unoin) и id/c2. Если a^Zn(K\)> то имеем
in(un(a)) — a = di-l(t\(aj)~0 в Ки Если теперь Ь е= гп(К2)
и 1п(Ь) = с1Г1(с), где се=Сп-1(Кх), то ип(Г (Ь)) - Ь =*dS~x X
Х(Ч(Ь)), т. е. b = un0n(b))-dn2-l(tn2(b)) = un(drl(c))-
-dS-l(t2(b)) = d$-lun-l(c)--ti(bj)~0 в К2.
Следствие 2.7. Рассмотрим сильную относительную инъек-
тивную резольвенту 0->Е->• Е°->Е1 "-+•... ы автоморфизм
этого комплекса (образованный О-автоморфизмами G-моду-
лей Еп), начинающийся q id^. Гогда соответствующий авто-

§ $. Когомологии групп
25
морфизм в Я* (К), где К —комплекс вида 0->-(£0)°->
_>(£i) ° -> ..., является тождественным.
Историческое замечание. Понятие сильной относительно
инъективной резольвенты было введено Хохшилдом [62], но
по существу оно уже содержалось в лемме о сравнении в
докладе А. Картана на Семинаре Картана в 1950/51 гг.
§ 3. Когомологии групп: определение
и основные свойства
3.1. Определение и первый метод вычисления
Определение 3.1. Пусть Е — некоторый G-модуль; будем
обозначать, через Hn(G,E) и называть п-й группой когомо*
логий группы G со значениями (или с коэффициентами)
в Е п-ю группу когомологии комплекса
где О-^Я-^Я0-^/;1-*-... — сильная относительно инъектив-
ная резольвента модуля Е\ эти когомологии не зависят от
выбора резольвенты (следствие 2.5).
Предложение 3.1. Если Е относительно инъективен, то
Hn{G, Е) = 0 для всех л > 1.
В самом деле, можно взять сильную относительно инъек-
тивную резольвенту вида
0->£-^£->0.
Следствие 3.1. Для любой' абелевой группы Е имеем
Н"(0,9г(От+\Е)) = Одля п^ 1, /и>0.
.ч Первый метод вычисления H*(GyE)
Легко видеть, взяв стандартную резольвенту, что
H*(G,E) являются когомологиями комплекса
0->^(G, E)gJ^F{G\ E)gJL> .. .; (3.1)
элементами множества ST(Gn+\ E)G являются такие
отображения f: Gn+]->Ey что
fto, ..., ggn) = g-f{go, ..., gn) (3.2)
для любых g, go, ..., gnG G; элемент / назовем однородной
коцепью, а если / е Ker dn9 то однородным коциклом;
напомним, что dn определяется формулой
п+\
(dnf)(go, ..., £«+i)=So(-l)f/(go, ..., 6t, ..., gn+x). (3.3)

26
Гл. Л Когомологии дискретных групп
Видно, что если Е — векторный G-модуль над полем /?,
то Hn(GtE) также являются векторными пространствами
над k.
3.2. Второй метод вычисления
Определим биекцию &-(Gn+l, E)G еэ/^-v F^^{Gn,E) no
формуле
F(gu ..., g*) = /(l, gu g\g2, ..., g\ ... gn), (3.4)
/(«Го» •••> en)==zSo'F(golSp grl8v •••■ £*-&)• (3.5)
Положим Cn{G, E) = !F (Gn, E); оператор кограницы
переходит в dn: Cn{G, E)->Cn+l(G, £), где
+ (-i)ll+1/7(ffh.... ^). (з.б)
Положим Zn{G, E) = Kerd", B"(G, £) = Imd"-1, так что
Hn(G,E) = Zn(G,E)/Bn(GyE). Элементы из Cn{G,E)
назовем неоднородными п-коцепями\ элементы из Zn(G, E)-—
неоднородными п-коциклами.
Случай п = 0: для любого хе£ имеем
(d°x)(g) = gx-xy (3.7)
откуда #°(G,£) = £G.
Случай п = 1: для F е С1 (G, £) имеем
(^)(gbg2) = gi^(g2)-/7(gig2) + ^(gi); (3.8)
неоднородные 1-коциклы, также называемые скрещенными
морфизмами из G в £, являются, следовательно, такими
отображениями из G в Е, что
fteiftj^fteo + ffrfto). (3.9)
Если G действует на Н тривиально, то
Д1 (G, £) = 0, Я1 (G, Е) = Z1 (G, £) = Нот (G, £).
Функториальность H*(G,E) относительно G и Е
Для любых двух G-модулей Е и F G-морфизм и: Е\-*Е2
естественно определяет морфизм комплексов Cn(G> E[)-+-
->Crt(G, £2), где Fb~>u<>F, и, следовательно, морфизмы
H"(GtEl)+H"{GfE2).
Предположим теперь, что имеется G-модуль £, группа Н
и морфизм v из Н в G: тогда Е естественно становится

§ 3. Когомологии групп 27
Я-модулем и определен морфизм комплексов vn: Cn(G,E)-+
-+Сп(НуЕ), где (vnF)(fiu ..., hn)=F(v(hl)i ..., v(hn)),
что индуцирует морфизмы Hn(G, E)-+Hn{H, E).
Замечание 3.1. Можно уточнить следствие 3.1 для т = О,
предъявив явную стягивающую гомотопию комплекса
С0 (G, T (G, Е)) -^ С1 (G, ^ (G, £)) -^> ... (без нуля
слева), а именно:
(snf) (gu • • •, вГ-i) (g) = /(ЯГ!, *,..., g„-i) (1). (3.10)
В частности, если / является n-коциклом, то / есть кограница
(п— 1) -коцепи:
Ф(£ь ..., gn-i)(g) = f(g-\ gu ..., g«-i)(l). (3.11)
3.3. Другие методы вычислений
Третий и четвертый методы вычислений групп H*(G>E)
Если в первом методе исходить из нормализованной
стандартной резольвенты, то получим комплекс Q->08T(G, E)G->
-^^(G2, E)G->-..., однородные нормализованные цепи
и т. д.
Во втором методе также можно заменить Cn(G,E) на его
подмножество, образованное неоднородными
нормализованными коцепями, т. е. удовлетворяющими условию f(gu ...
..., g-rt) = 0, если одна из переменных равна 1. Следствие 2.6
позволяет утверждать, что каждый коцикл эквивалентен
нормализованному коциклу и что любой нормализованный
коцикл, который является кограницей, будет кограницей
некоторой нормализованной коцепи. Формула (2.9) дает морфизм
комплекса пространств &"(Gn+\ Е) в °У (Gn+l, Е) \ это дает
некоторую -процедуру нормализации коциклов; заметим, что
un(f)=f, если f уже нормализовано и что любой 1-коцикл
автоматически нормализован.
Другие сильные относительно инъективные резольвенты,
ассоциированные с конечной подгруппой в случае векторных
G-модулей
Начнем с одного результата, который будет весьма
полезен в дальнейшем.
Предложение 3.2. Если G конечна, а Е — векторный G-mo-
дуль над полем характеристики 0, то Hn(G,E) = 0 для всех
л> 1.
Доказательство. Стандартная резольвента для Е
допускает стягивающую гомотопию, образованную G-морфизмами

28
Гл. I. Когомологии дискретных групп
sn (для п ^ 1), а именно:
(snf)(gb> ,.., £*-i) = (card Gr1 £/(g, go, .••> £«-i)
или в неоднородных коцепях
(snF)(gu ...,gn-i) = (<*riGylZg'F(g-lfgl9..., gn„{)9
g
что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь произвольную группу G, ее конечную
подгруппу К, векторный G-модуль над полем
характеристики 0 и его стандартную резольвенту (1.5). Обозначим через
@~K(Gn+\ Е) векторное подпространство в &~(Gn+\ £),
образованное такими /, что
f(8o> •••> g"«) = 0' если gtl8t+i^K Для некоторого
/ = 0, 1, ..., п-1, (3.12)
/(во*о. •••> gA) = /(go> •••> гя) Д™ любых &0> •••• К^К,
go, ..., g«^G. (3.13)
Легко видеть, что $Гк {Gn+ , Е) является G-подмодулем
в Г (Gn+\ E), а также 4Toe(E)cz^K(Gt Е), dn(PK(Gn+\Е))а
czFK(Gn+\ E\ sn(&-K(Gn+\ E))d^K(Gnt £); более того,
модуль @~K(Gn+\E) относительно инъективен, как
показывает формула (2.2), измененная следующим образом:
w(b)(gQ, ..., ffn) = (card/cruZ (*-&-*-*-А~1-яГ1-&)Х
X(gb> • •> «я).
Следовательно, имеется сильная относительная инъективная
резольвента для Е вида
0->£-^<rK(G, £)-^><TK(G2, £)->.... (3.14)
Определим морфизм (ип) комплекса (1.5) в комплекс
(3.14), положив
""(/)(&. .... gn) = (card КГ1-п S (б^0®
Определение 3.2. Элементы из SFK(Gn+\ E)G назовем
однородными К-нормализованными п-коцепями. Заметим, что
<?"{!}&=: °ЗГ. Таким образом, мы доказали
Предложение 3.3. Для любого векторного G-модуля Е
над полем характеристики 0 комплекс (3.14) является
сильной относительно инъективной резольвентой для Е\ следо*

§ 3. Когомологии групп
29
вательно, можно вычислять H*(G,E). используя однородные
{{-нормализованные коцепи. Отображения ип, определенные
в (3.15), ассоциируют с щждым п-коциклом эквивалентный
{{-нормализованный п-коцикл. Наконец, неоднородными
{{-нормализованными коцепями являются такие f e Cn{G, E)f
что
f(gu •••> ёГя) = 0, если gi^K для некоторого /=1, ..., п,
(3.16)
f(k0g{kv k;{g2k2i..., ^-,«A) = V(£i» •.., gn). (3.17)
Замечание 3.2. Иногда пространства @~K(Gn+\E)
определяют несколько другим образом: сначала определяют
автоморфизм векторного пространства &~(Gn+\ E): f+-+F, где
F(go> • • •» gn) = f (go, gogu • • • > go' • • • ' gn)>
f(Bo> •••> 8n) = F(8o> So'gp • > BnliSn)'
и пишут f[go(gu ..., gn)] вместо F(g0y ..., gn)\ тогда
действия G и оператора кограницы даются формулами
(gf)[g*(gl> ...» gn)]=g-f[g~lgo(g\> ...» gn)],
(dnf)lgo(g\> .... gn+i)] = /-[gogi(g2> ..-, g«+i)] +
n
+ (-i)B+,f[fifotei, .... ff«)];
наконец, элементы ^(Gw+1,£) определяются через
/ [go(gi, • • •» gn) ] = 0» если gi e /С для некоторого / = 1, ..., n;
f[goko(kol8A> •••> *«-i«fA)] = /[*o(firit •••> £*)]•
Замечание 3.3. (Вычисление #*(G, £) с помощью
ациклической резольвенты.) Рассмотрим G-модуль Е и точную
последовательность
О-^Я-^0-^1-^..., (3.18)
где Еп являются ацикличными G-модулями (т. е. HP(G,En) =
= 0 для любых р^1, п^О). Определим бикомплекс К
(ср. § А.5) следующим образом:
KPtq = r(Gp+\Eq)Q9
p+i
W7)teo. ...» ffP+i)=Zo(-i)'/teo....» gn ..., £p+i).
(^7)(go, .... gp) = (-l)P"'(/(go, ..., gp)).

30
Гл. I. Когомологии дискретных групп
{Eq)G, если р = 0,
-{
Имеем
Н'*я(К) = Нр{]3%Ея) = \ п
4 ( 0 в противном случае;
"ЕЪ ° ~ Н"пН'°(К) ~ Hn((E*f),
где £* — комплекс О-*/?0-*/:1-*
Далее Н"р'q (K) = &'(Gp+\ Hq(E*))G =
0"(GP+1, £)g, если ? = 0,
О в противном случае;
если q = 0,
в противном случае,
откуда, наконец, Hn(G, E) ~ Hn ((E*)G).
Это замечание применяется, в частности, когда Еп
относительно инъективны, но резольвента (3.18) не является
сильной.
3.4. Пример: случай группы Z
Предложение 3.4. Пусть Е — некоторый G-модуль, где
Q = Z\ обозначим через Т автоморфизм Е, определенный
элементом 1 из Z, а через Е' — множество элементов из Е
вида Т (у) — у у где у&Е.
Тогда
{Е° для я = 0,
Е/Е' для п=1,
0 для п>2.
Доказательство. Все рассматриваемые коцепи
предполагаются нормализованными. Ясно, что H°(G, E) = EG.
Положим теперь л=1; пусть / — некоторый 1-коцикл. Положим
х = /(1); легко видеть, что
£/*(*) Для £>1,
0 для g = 0, (3.19)
-1
Z Tk(x) для g<-l.
k-g
И наоборот, для каждого ^б£ приведенные выше формулы
определяют 1-коцикл; наконец, /—кограница, тогда и только
тогда, когда х е Е\
Возьмем, наконец, п ^ 2. Заметим сначала, что если
я-коцикл / таков, что f(gu .,., gn) = 0> когда gi = 1, то
/(*) =
— l

§ 4. Когомологии расширений G-модулей
31
/ = 0; в самом деле, будем иметь T(f(g2, ..., gn+i)) — /О +,
+ #2, ё"з, • ••> gn+\)=0, и утверждение теперь следует
индукцией по g2. Исходя из этого, возьмем какой-нибудь /г-ко-
цикл f и определим (/г — 1)-коцепь F, полагая
F(gu •••>g/i-i) =
- Z ^-'(/(l, *. &. •••> вГя-1» Для g{>2,
{ 0 для g"i = 0, 1,
Z Г""*-1^!,*, ft> ...f g„-i)) Для ft<-l.
*- (3.20)
Без труда проверяется, что (dF — f)(gu ..., g-n) = 0, если
g-i == 1, и предыдущее замечание показывает, что dF = /.
Историческое замечание. Группы Hn{G,E) были введены
более или менее одновременно и независимо многими
авторами (Эйленберг — Маклейн [34], Хопф [66], Экман [33]).
Мемуары Эйленберга — Маклейна [35] содержат, за
небольшим исключением, почти все результаты этого параграфа,
а также § 4 и 6. Формула (2.9) нормализации коциклов была
дана П. Бланком в [6], а также позднее многими другими
авторами.
§ 4. Когомологии расширений G-модулей
4.1. Случай прямых произведений и прямых сумм
Напомним, что прямое произведение некоторого семейства
(Ei) Ш1 G-модулей является абелевой группой П £/,
снабженной действием G по формуле g(e«) = (£•£/); прямая
сумма есть G-модуль ©£/, состоящий из таких наборов (е,-), что
et = 0, за исключением, быть может, конечного множества
индексов L Легко проверяется, что Hn(G, UEi) = ПЯл(б,£/).
Напротив, в общем случае неверно, что Hn(G,@Ei) =
= (BHn(G,Ei)> в частности, если #n(G,£,) = 0 для всех i,
то для Hn(Gy(BEi) это не обязательно. Можно сказать
только, что каждый коцикл является предельным для кограниц
в том смысле, что для любого f^Zn(G, (BEi) и любых g\, ...
..., gn^ G существует такое ф е Cn~l (G, ©£,), что dcp(gi, ...
--•>gn) = f(gu ...,Ы-
4.2. Случай произвольных расширений
Определение 4.1. Будем говорить, что G-модуль А'
является расширением G-модуля А" с помощью G-модуля Л, если

32
Гл. I. Когомолозии дискретных групп
существует (или если дана) точная последовательность
Q->AJL»A'JL+A"-+0,
где и и v являются G-морфизмами (ср. с определением 1.3),
Мы увидим, что в общем случае когомологии модулей
Л, Л', А" связаны в бесконечную точную последовательность.
Обозначим через s произвольное сечение для v, т. е. такое
отображение А" в Л', что v os = id^". Морфизмы и и v
определяют морфизмы абелевых групп ип: Hn(Gy Л)->Hn(G, Ar)\
vn: Hn(GiA/)-^Hn(GJA//) (см. § 3. Функториальность
H*(G,E) ...).
Лемма 4.1. Имеет место равенство lmun= Keru".
Доказательство. Непосредственно видно, что Im un a
cz Ker vn\ докажем обратное включение.
Пусть / — такой элемент из Zn(GiA/)i что [/]еКегил;
существует такое ge Cn~l(G, А"), что v<>f = dn~lg. Тогда
v о (/ — dn-x (s о g)) = dn~]g — dn~l (v о s о g) — 0.
Следовательно, коцикл f — dn"1 (s о g) % эквивалентный f, принимает
значения в Л, что и требовалось доказать.
Построим теперь морфизмы абелевых групп wn:
H«(G,A")^Hn+l(G,A). Пусть /€=Z"(G, Л"); тогда so/e
^CniG,Af) и yod"(sof)=^(yo5of)= d"/ = 0, и, значит,
существует такой элемент gEZ"+1(G^), что uog =
= dn(sof). Легко видеть, что [g] не зависит от выбора s;
с другой стороны, [g] аддитивно зависит от /, так как если
gu ёГг, gz построены по fu /2 и /3 = /i+/2, то uo(gz — gx —
— g2) = dn(sof3 — sofx — s o/2), a S0/3 —so/! — sof2
принимает значения в а (Л). Более того, верна следующая
Лемма 4.2. Элемент [g] не зависит от выбора f в [/].
Доказательство. Поскольку [g] аддитивно зависит от /,
достаточно доказать, что g — кограница, если / является
таковой; предположим, что / = dn~lhf где h <= Cn~x (G, А");
имеем tiofso dn~xh — dn~l (s о К)) = dn~lh — dn~l (voSoh) = 0.
Следовательно, существует такое /е Cn(G, Л), что
и о / = s о d"-1/* — d"-1 (s о h).
Наконец, и ° d"/ = dn(uo i) = dn (s о d»-1 A) = dn(s of)= u<>gt
откуда d"/ = g. Можно, следовательно, определить wnf
положив шя ([/]) = [g].
Предложение 4.1. Последовательность
0->#°(G, Л)-*Я°(0, i4')-*tf°(G, Л")->
-> Я1 (G, Л) -► Я1 (G, Л') -* ... (4.2)

§ 4. Когомологии расширений G-модулей
33
Доказательство. Нужно показать, что
Im vn cz Ker wn.
Действительно, если / = уо/'» где f^Zn(GtA'), то имеем
и о g = dn (s о v о f — f) и s о и о f — /' <= Cn (G, Im и),
поскольку у о (s о i; о /х — р) == и о /' — в о /' = 0.
Кег шл cz Im уп; действительно, положим g = dnjt где / е
eCw(G, Л); имеем dn(sof)=u°g = uodnj = dn(u°j); so
of — uojt=Zn(G9A'), f = Vo(sof — Uoj).
Im до" cz Ker w"+1 — следует немедленно.
Ker un+x cz Im wn: пусть aGZ"+1(G,i4), такое, что иоя —
кограница какого-то элемента b^Cn(GiA/). Положим / =
= v°b<=Cn(G, Л"); имеем dnf = dn(v <>b) = v odnb.= v о и о
og = 0, следовательно, f^Zn(G, А"). Далее, t)°(so|-6) =
==/ — у о & = 0, и, следовательно, существует такое с е
eC"(G,/l), что u°c = sof — Ь\ тогда и<> (а-\~ dnc) = dnb+
-f- dn(uoc) = dn(sof), что показывает, что а эквивалентно
коциклу типа g из доказательства леммы 4.1.
Следствие 4.1. Пусть a^(A")G\ тогда а является обра-
зом при отображении v некоторого элемента из (А')° тогда
и только тогда, когда класс 1-когомологий w°(a) равен нулю.
Этот класс представляет, следовательно, "топологическое
препятствие к поднятию а в (A')G."
Определение 4.2. Точная последовательность {4.2)
называется точной последовательностью когомологии,
ассоциированной с точной последовательностью (4.1), а морфиз-
мы wn — связующими морфизмами. Точная
последовательность когомологии используется для получения сведений
о tf*(G, Л'), если известны H*(G,A) и Я*(б, А").
Случай векторных G-модулей
Если А, А' и А" — векторные G-модули, а и и v линейны,
то морфизмы точной последовательности (4.2) также
линейны, поскольку отображение s всегда можно выбрать
линейным.
Применение точной последовательности когомологии
Выведем из этой точной последовательности свойство
редукции (или сдвига) для когомологии; в самом деле,
рассмотрим G-модуль А и G-модуль ff~{GyA)y снабженный
действием (1.1); определим инъективный G-морфизм и из А
в #~(G, Л), положив u(a)(g) = g~la\ возникает точная
последовательность
0->Л-^У(G, А)-^Г(09 Л)/Л-+0.
2 Зяк. 7В

34 Гл. 1. Когомологии дискретных групп
Так как Hn(G, ^(G, A)) = О для всех п ^ 1 (следствие 3.1),
то имеем
Предложение 4.2. #"(G, ^(G, A)/A) ~ ЯЛ+1(б, Л) Зля
всея п^\.
Это часто позволяет доказывать свойства п-когомологий
индукцией по п (см. к примеру следствие 6.1 и
предложение 8.1).
Замечание 4.1. Пусть s — Z-морфизм из ST(G,A) в Л,
определенный по формуле 5(f) = /(1); тогда soH = icU
и можно отождествить !F(G,A)/A с Кег 5 как абелевы
группы; действие G в (F(G, А)'/А, перенесенное в Кег s,
переходит в (g,f)*->g±f9 где {g±f)(g') = f(g-lg')-8'-lf(g-1)-
Можно также преобразовать это действие с помощью
автоморфизма /»—>?, определенного в § 1; получим (g%f)\—>
ь->#Т/, где (gTf)(g')=f(g'g) — g'f(g)\ именно это
действие было рассмотрено в [35].
4.3. Случай проективных пределов
Лемма 4.3. Пусть Е и F — dea G-модуля, а и — сюръек-
тивный G-морфизм из Е на F\ предположим, что для
некоторого целого п^ 1 верно Hn{G,E)= Hn(G, F)=Hn~l(G, F) =
= 0. Пусть уе=гп(0,Е)у ty<=Cn-l(G, F), причем dn~1^ =
= и о ф; тогда существует такое со е Cn~l (G, Е), что dn-x® =
= фиа°со = г|).
Доказательство. Обозначим через s произвольное сечение
для и\ так как Hn(G, E) = 0, то существует такое 8е
^Cn-l(G,E), что dn-lQ = q>\ тогда г|) — и об является
коциклом и, следовательно, равно dn~2a для некоторого а е
^Cn~2(G,F)\ достаточно теперь положить co = 8+dn-2(s ©а).
Предложение 4.3. Пусть G-модуль Е является
проективным пределом последовательности G-модулей Е\9 Е2, ...
с сюръективными морфизмдми иц\ Ej-^Ei для i^j. Если
Hn(G,Ei) = 0 для всех п ^ 0 и всех /^1, то Hn(G,E)=0
для всех п^О.
Доказательство. Для п = 0 доказательство очевидно;
пусть п > 0. Обозначим через щ канонический морфизм из
Е на Еь Пусть /e=Z"(G, £); так как Hn{G,Ei)=Q, то
существует такое ф1 <= Cn~l(G, Е\), что dn~lq>i = u\ of.. Согласно
лемме 4.3, существует такое ф2 е C"-1(G, £2), что d*~42 =
= u2of и а1|2°ф2 = фь Таким образом, будем постепенно
строить ф/, которые определяют элемент из Cn~l{G,E), для
которого / является кограницей.

§ 5. Когомологии индуцированных G-модулей
35
§ 5. Когомологии индуцированных G-модулей
В этом параграфе рассматриваются группа G и подгруппа
Я. Положим X = G/H, х0 = Яе Х\ обозначим через р
каноническое отображение G на Х\ выберем такое сечение s для
р, что s(^o)=l, так что s(x)x0 = x для всех хб! Для
ge=G, xtEiX положим r(g) = g-s{p{g-1))^ Я, K(gfx) =
= s(x)~l-g-s(g-lx)e=H; тогда h(g,x0)=r(g)9 l{gg/ix) =
= Mg»x) '^(g', g~lx). Начнем с результата, обобщающего
предложение 2.1:
Лемма 5.1. Пусть Е — некоторый Н-модуль и п — целое
положительное или нуль] снабдим группу sr(Gn+l,E\
структурой Н-модуля, положив (hf) (g0, ..., gn) = h-f(h-lg0i ...
.. •, h~xgn). Этот Н-модуль относительно инъективен. Такой
же результат верен и для °#~(G"+1, £).
Доказательство. Такое же, как в предложении 2.1 с
заменой (2.2) на
w(b)(go, ..., gn) = (v-r(g0)-s-r(go)-]b)(goy ..., gn). (5.1).
Замечание 5.1. Из этого можно вывести, что любой
относительно инъективный G-модуль является также
относительно инъективным Я-модулем (так как он есть прямое
слагаемое в &~(GtE)).
Определение индуцированных G-модулей
Пусть снова Е — некоторый Я-модуль; обозначим через
1пйнЕ или просто через Ind£ G-модуль, образованный
такими f ^ST(G, E), что
/(#>л) = h-l-f(g) для любых geG, h^H. .(5.2)
Снабдим IndE действием (g-f) (g') = f(g~lg').
Можно определить изоморфизм абелевых групп Ind£
и ЗГ(Х,Е) (множество отображений из X в Е), положив
F{x) = f(s{x)), f(g)= r(g~l)-F(p(g))\ действие G
переходит в
(g-F)(x)=fk(gix).F(g-*x). (5.3)
Установим теперь изоморфизм между Н*(Н,Е) и
H*(G, Ind£). Рассмотрим комплексы
0->£-><F(G, E)-+F{G\ E)-> ..., (5.4)
0->£->#~(Я, Е)^>&-{Н\ £)-> ..., (5.5)
0->#~(G, E)H-+T{G\ E)H->0 ..., (5.6)
0->#~(Я, Е)Н~>Т{Н\ Е)И-> ..., (5.7)
О->F(G, IndE)G->&(G2, IndEf-> .... (5.8)
2*

36 Гл. I. Когомологии дискретных групп
Комплексы (5.4) и (5.5) являются сильными относительно
инъективными резольвентами для Е (лемма 5.1 и следствие
2.1); определим морфизмы комплексов Я-модулей: ип\ (5.4)->
->(5.5); (vn): (5.5)->(5.4) по формулам
{unf){h0f ..., An) = /(A0, ..., Ал),
(i>"cp)(go, ..., g/i) = <p(r(g0), ...» r{gn))9
откуда следуют морфизмы комплексов (ип): (5.6)-> (5.7),
(vn): (5.7)->(5.6), которые не являются взаимно обратными,
но дают изоморфизмы в когомологиях (следствие 2.5). С
другой стороны, определим взаимно обратные морфизмы
комплексов (и/п): (5.8)->(5.6), {v'n): (5.6)->(5.8) по формулам
(Wn1?(g0, ..., gn) = ^(g0, ..., gn){l)'(v'nf)(go, ..., gn)(g)=>
= /(§""1g'o, ..., fiT1, gn). Рассматривая ип<>и'п и v'n°vn,
получим
Предложение 5.1 (лемма Шапиро).
(i) Существуют такие морфизмы комплексов (не
обязательно взаимно обратные):
F(Gn+\ ШЕ)°^^уеЕ&~(Нп+\ £)я,
Ф(Ло. ...> Лл) = *(Ло, ..., Ая)(1), (5.9)
^(go> ..- gn)(g) = v(r(g-lg0), ..., r(g~lgn))9 (5.10)
которые определяют взаимно обратные изоморфизмы между
H*(G,lndE) uH*(H,E).
(И) В неоднородных коцепях (5.9) и (5.10) переходят в
Ф(А„ ..., A») = Y(Alf ..., AJ(l), (5.11)
v(ert..... Ы(г)=г(г1)-ф(г(г1г1'г(г1^
rig^giV^ig^g^),..., rte^g,.... -g^r'rte-1^.... .gn)).
(5.12)
(iii) £сли отождествить IndE и ^(Х}Е) с действием
(5.3), то (5.11) а (5.12) переходят в
<D(Ai. ..., АЯ) = ^(А1> ..., AJUo), (5.13)
^(^р •••> £„)(*)=ф(Чгр 4 4^2* яг1*)- •••
•••> 4ft».ffnV ••• -ЙГГ^)> (5-14)
Замечание 5.2. Лемму Шапиро можно также доказать
следующим образом:
а) заметим, что (Ind£)G изоморфно Ен при отображении
/ь-^"константа, равная f(g)";

§ 6. 2-когомологии и расширения групп
37
b) докажем, что если Е относительно инъективен, то это
же верно для Ind£; пусть задана диаграмма
и
S
Ind£
определим у0еНотя(Д£) по формуле v0(a) = v(a) (l),
продолжим его до wo ^ Нот (BfE) и определим w&
е HomG(5, IndE) по формуле w(b) (g) = w0(g~lb);
c) рассмотрим стандартную резольвенту для Е:
0->Е-^ЗГ(Н9 Е)^Г{Н\ £)-^> ...
и индуцируем ее на G:
0-+lndE-^Ind(T(Ht Е))-^Ш(Т(Н2, Я))-^>...,
где е и йп определены по формулам
ё (/) {§) = е (/ (g)), dn (f) (g) = dn (f (g));
осталось проверить, что мы получили сильную
относительную инъективную резольвенту для IndE и применить а).
Историческое замечание. По-видимому, «лемма Шапиро»
никогда не была опубликована самим автором; она была
изложена и доказана во многих работах по когомологиям
групп, но не в явной форме, исключая мемуар Кассельмана
и Вигнера [18], где дана формула, аналогичная (5.10),
§ 6. 2-когомологии и расширения групп
Определение 6.1. Пусть G — группа и А — абелева группа;
будем говорить, что Я есть расширение G при помощи Л,
если существует (или, более точно, если дана) точная
последовательность
O-^-^tf-^G-M, (6.1)
где и и v — морфизмы групп. Скажем, что два расширения
(6.1) и
0->A^H'-^G-*l
эквивалентны, если существует такой изоморфизм w группы Я
на Я', что wou = u', v'°w = v. Скажем, что расширение (6.1)
несущественно или что Я есть полупрямое произведение А
на G, если v допускает мультипликативное сечение или,
иначе, А имеет дополнительную подгруппу в Я,

38
Гл. I. Когомологии дискретных групп
Каждому расширению (6.1) сопоставим действие G на Л,
а затем 2-коцикл (с точностью до эквивалентности) для этого
действия. Для этого заставим Н действовать на Л
внутренними автоморфизмами. (Л, а)ь->hahrx\ так как сама А
действует тривиально, то возникает действие G, которое мы
обозначим (g, а)к—>g-a. Выберем теперь произвольное
сечение s для v и положим f0(gug2) = s(g\) -s(g2) -s(g\g2)~l для
всех gu g2GG; тогда y(/0(gi, g2)) = 1 и, следовательно,
существует такое отображение /из GXG в Л, что «o[ = f0;
легко видеть, что / является 2-коциклом и его класс в
H2(G,A) зависит только от класса эквивалентности
расширения (6.1).
Наоборот, пусть дано действие G в Л и нормализованный
2-коцикл /^Z2(G, Л). Положим H = AXG со следующим
законом умножения: (a,g) (a',g') = (a + g-a'+f(g,g')9gg')\
легко проверяется, что Н есть группа. Последовательность
(6.1) с и и у, определенными по формулам и{а) = (а, 1),
v(a> §) = ё> является точной. Действие G в Л, определенное
этим расширением, совпадает с исходным; это расширение
несущественно тогда и только тогда, когда / — кограница;
наконец, два полученных отображения
класс расширений^ класс 2-коциклов
взаимно обратны. Можно, следовательно, сформулировать
Предложение 6.1. Для данного G-модуля А существует
биективное соответствие между H2(G,A) и множеством
таких классов расширений G с помощью Л, что действие G
в Л, которое они определяют, совпадает с данным. Элемент
0еЯ2(б,Л) соответствует классу несущественных
расширений.
Следствие 6.1. Если G — свободная группа, то Hn(G,A) =
= 0 для всех п ^ 2 и любого G-модуля А.
Доказательство. Пусть (gi) ie=i— система независимых
образующих в G. Рассмотрим расширение (6.1); для каждого
ie/ выберем такой элемент hi^Hy что v{hi) = gi\
существует единственный такой морфизм s: G->#, что s(gi) = hi,
и, как следствие, расширение несущественно. Это показывает,
что #2(G, Л) = 0; далее достаточно применить
предложение 4.2.
Замечание 6.1. Когомологии появляются также в
проблемах поднятия морфизмов групп. Более точно, рассмотрим три
группы G, Я, /С, сюръективный морфизм р: #->/(, ядро
которого Л предполагается абелевым, и морфизм и из G в /С.
Выберем произвольное поднятие v для и, т. е. такое отобра-

§ в. 2-косомологии и расширения групп
39
жение v из О в Я, что р о v = и\ для gu g2 e G положим
f(gug2)= v(gi)-v(g2)-v(gig2)-1. Тогда
(i) f^Z2(G,A) (для очевидного действия G на А),
причем класс [/] не Зависит от выбора у;
(ii) поднятие v, являющееся морфизмом, существует, если
и только если [/] = 0;
(Ш) если [/] = 0, то существует биекция между
множеством поднятий v, являющихся морфизмами, и Zl(G,A).
Пример вычислений когомологий
Предложение 6.2. Предположим, что G « Zn, а А
является тривиальным G-модулем и не содержит элементов
порядка 2. Тогда H2(G,A) изоморфно группе биаддитивных
антисимметричных отображений из G X G в Л; более точно,
каждое такое отображение является 2-коциклом и каждый
класс 2-коциклов содержит ровно одно такое отображение.
Доказательство, а) Непосредственно проверяется, что
каждое такое биаддитивное отображение является
2-коциклом; если оно к тому же антисимметрично, то 2-коцикл
нетривиален, так как любая 2-когранида является
симметричным отображением, а отображение, одновременно
симметричное и антисимметричное, равно нулю, так как А не
содержит элементов порядка 2.
b) Непосредственно проверяется, что если / есть 2-коцикл,
то 2-коцепи fs и /а, определенные по формулам Ы&ь ft) =
= /(ft, ft) +/(ft, ft), f{a){gl,g2)=f(gug2) — f(g2,g\),
ЯВЛЯЮТСЯ 2-коциклами,
c) Покажем, что каждый симметричный 2-коцикл /
является кограницей. Пусть
расширение, ассоциированное с f, где Н = AXG, а закон
умножения имеет вид {еи g2) (е2, ft) = (е\ + е2 + f(gi, ft),
ft+ft); тогда Н абелева. Пусть хи ..., хп — независимые
образующие в G; при этом v допускает сечение s,
определенное формулой s(xi) = (0, xi), которое является морфизмом
групп; следовательно, j — кограница.
d) Покажем, наконец, что каждый антисимметричный
2-коцикл биаддитивен. Пусть а, Ь, с^ G, имеем
f(b, c)-f(a + b, c) + f(a, b + c)-f(a, b) = 0, (6.2)
f(c9 a)-f(b + c, a) + f(b, c + a)-f(b, c) = 0, (6.3)
/(a, b)~f(c + a, b) + f(c9 a + b)-f(c, a) = 0. (6.4)
Складывая эти три равенства, получим
2/(a + btc) + 2f(b + ct a) +2f(c + M) = 0. (6.6)

40 Гл. I. Когомологии дискретных групп
Складывая (6.2) и (6.3), получим, используя (6.5),
f(atb + c)-f(a9b)-f(a,c) = 0.
Замечание 6.2. В дальнейшем мы увидим (см. § 14,
пример 1), что для G = Zn и А = Z с тривиальным действием
G, №(G, Z) изоморфно группе антисимметричных р-адди-
f ивных отображений из Gp в А; т. е. Нр (G, Z) ~ TS^K
§ 7. Действие G на //* (G,£),
Использование центра
Пусть Е— некоторый G-модуль, а Г —группа,
действующая на G автоморфизмами и на £ таким образом, что
y{ge) = (yg) (уе). Определим для каждого -у автоморфизм
абелевой группы Cn{GtE) по формуле
{yf){gu ..., gn) = yf{y-lgu ...> Y"1^)*
Легко видеть, что это действие коммутирует с оператором
кограницы, т. е. каждое у определяет автоморфизм комплекса
C*(Gt Е), откуда следует действие Г в Я* (G, Е).
Мы будем здесь изучать частный случай, когда Г
совпадает с G, действующей на себе внутренними
автоморфизмами, а на Е — согласно структуре G-модуля. Для каждого
g^G имеется, следовательно, отображение из Cn(GtE)
в себя, которое мы обозначим через и£.
(ungf)(Bi> •••> £„) = £•/(rtiSS ■••> g~lg„g)- (7Л)
Мы покажем, что соответствующее действие G в H*(G,E)
тривиально и выведем отсюда несколько интересных
следствий. *
Рассмотрим стандартную резольвенту для Е:
0->£^#-(G, £)=*=* У (G2, £),=*.... (7.2)
Определим для каждого g e G автоморфизм vng группы
ST(Gn+\E) по формуле
(VV) (^ • • • > gn) = f (gog> • • • > gng)>
v" коммутирует с действием G и с оператором кограницы
и, следовательно, является автоморфизмом комплекса, так
как оно начинается с icU, то, согласно следствию 2.7, оно
гомотопно тождественному отображению и, значит,
определяет тривиальный автоморфизм на #*(G, £). Наконец,
непосредственно видно, что переход от однородных коиепей к не-

§ 7. Действие G на H*(G,E)
41
однородным переводит vng в ung. Рассуждения из § 2
позволяют построить гомотопию между vn и тождественным мор-
физмом, а именно: Srt=£ (— 1)^ь гДе отображение S":
#"(Gn+1, E)->&~(Gn, E), определяется по формуле
(S"f)(g0, •••» gn-i) — f(Bo> ft» •••» ft» ftft ft+ift •••> fti-iff).
(7.3)
Отсюда следует
Предложение 7.1. Пусть Е — некоторый G-модуль.
Определим для каждого g e G автоморфизм ung комплекса
Cn(G,E) no формуле (7.1); последовательность (ип\
является автоморфизмом комплекса неоднородных коцепей,
который гомотопен тождественному со следующей гомотопией;
Sn= £ (-l)'s?: Cn(G, E)->Cn~l(G, Я),
где
(S?f)(gi> ..-> ftz-i) =
= /(ft» .-> ft» ft g~lgi+\g, ...» g-lgn-\g)- (7.4)
Соответствующей формулой для однородных коцепей
является (7.3). В частности, соответствующее действие G на.
Я*(G, £) тривиально.
Следствие 7.1. Если f — неоднородный коцикл, то п-ко-
цикл {gu ..., gn)^->g-f{g~lgig, ..., g-lgng) — f{gu ..., gn),
является кограницей для функции Fs, определенной по
формуле
п-\
Fg(gu ■ ■-, ftz-i)=S(--l)'/(ft> •••> ft» gt g~lgi+\g> ...
.... ST1*»-*). (7.5)
Следствие 7.2. Предположим, что существует такой эле-
мент g из центра в G, что эндоморфизм g — id обратим
в Е. Тогда Hn(GfE)= О для всех . я^О и всякий
п-коцикл f является кограницей для (п— I)-коцепи (g — id)""1
(Ео (-l)'/(ft> ...» ft» ft ft+i» ...» ftt-i)J-
Все предыдущее может быть обобщено следующим
образом.
Предложение 7.2. Предположим, что существует такой
центральный элемент AeZ(C) (г. е. h(gg') = h{g'g) для

42
Гл. I. Когомологии дискретных групп
любых ft g'^Gy что ZMg")=l u автоморфизм (/==
g
=^2 h(e)' g ■— id обратим в Е. Определим эндоморфизм
g
стандартной резольвенты для Е> положив (vnf) (ft, ..., gn) =
— 2 ^(g") • f (gft> • • •» ggj» a затем гомотопию между vn
8
и id, положив
(Snf)(g0, ..., gn-i) =
n-\
= £(—!)'• YaHg)f{gb ...» ft, £ft + l> ..., ffff»-l)-
В частности, если /, G-инвариантно, то Sn+ldnf -f dn~lSnf =
= Uof, и, следовательно, (U~loSn) является стягивающей
гомотопией комплекса Q->!F(Gf E)°-*&~(G2, E)G-+... a
#«(G, £) = О для всех ai ^ 0.
Для неоднородных коцепей Sn имеет вид
(SnF)(gl>..., gn_,) =
= D (-1)1' llfi(g)F {gu..., ^, §, ft+1,..., gn_x).
Доказательство. Методом прямой проверки.
Замечание 7.1. Предложение 7.2 применяется, в частности,
в следующей ситуации: Е есть гильбертово пространство, где
G действует при помощи нетривиального унитарного
неприводимого представления U\ кроме того, предположим, что
каждый класс сопряженности группы G конечен; тогда
Hn(G9 Е) = 0 для всех я >0.
Доказательство. Для каждого класса сопряженности С
в G обозначим через hc центральный элемент в Z(G),
определенный по формуле
h (a)z=[ (cardCT1> если g^C>
v 0 в противном случае.
Так как hc центральный, то оператор U(hc) = Z hc{g) • U(g)
ge=C
скалярный. Согласно предложению 7.2 достаточно
обнаружить такой класс С, что U(hc) отличен от id. Предположим,
что U(hc) = id для всех С; для каждого xg£ будем иметь
(card С)"1 • X Ugx = U {hc){x) = xy так как Ug унитарны, от-
ge С
сюда следует, что Ugx = х для всех g — противоречие.
Историческое замечание. Предложение 7.1 явно
сформулировано в мемуаре Хохшйлда и Серра [64], ч. II, § 3.

§ 8. Когомологии расширений групп
43
§ 8. Когомологии расширений групп
(без спектральных последовательностей)
8.1. Точная последовательность Серра — Хохшилда
Пусть даны группа G, ее нормальная подгруппа Я и G-
модуль Е\ рассмотрим ЕИ как Х-модуль, где X = G/H, и
будем искать зависимость между H*(GyE)y Н*(НУЕ) и
Н*(Х,ЕИ). Обозначим через р каноническое отображение G
на X и будем также писать g = р {g).
Составляя композиции коциклов из Zn(XtEH) ср,получим
отображение, называемое инфляцией — inf: Hn(G/HyEH)-+
-*Hn(G, E). Ограничивая коциклы из Zn(G,E) на-//,
получим отображение, называемое ограничением — res: Hn(G,E)-+
->- Нп(Ну £); предложение 7.1 показывает, что его образ
содержится в Нп (Я, Е)G — подпространстве элементов из
Нп(Н,Е), инвариантных относительно действия группы G,
определенного по формуле {g-f){hu ..., hn) = g-f(g'lh{gy ...
• .., g~~lhng), где f^Zn{HyE). С другой стороны, очевидно,
что Iminf с Kerres, но равенство в общем случае не имеет
места.
Прежде всего детально изучим случай /i=l и построим
точную последовательность, называемую последовательностью
Линдона — Серра — Хохшилда: 0 -* Я1 (X, ЕИ) -^ Я1 (G, Е) —►
-^ЯЧЯ, E)Q-Z+H2(X, E»)^H2(G9 E).
Точность в члене Hl(G,E)
Пусть f^Zl{GyE), такое, что f\H=^dHey где ее£ (здесь
через с1а мы обозначаем оператор кограницы относительно
группы А). Коцикл /'= /— doe равен 0 на Я, и,
следовательно, /'(gh) = Г{g) = Г{gg~]hg) = у{hg) = h-f'(g)\ это
показывает, что /' задает элемент из Zl(G/Hf EH).
Определение С
Все коцепи предполагаются нормализованными. Выберем
для р такое сечение s, что 5(1)= 1. Для х, у^Х положим
о)(л:, у) = s(x) -s{y) -s(xy)~l (ср. с определением f0> § 6).
Пусть fe=Zl(HyE)y такое, что [/] е= Я1 (Я, £)G. Для
каждого хеХ выберем такое г)(х)^Е, что s(x)-/—/ = йя(т](л;)),
т. е. s(x) -f(s(x)^lhs(x)) — f(h) = /1-т](л;)-—г](х) для любого
/igWh, кроме того, г| (1) = 0. Для каждого ^eG положим
6(ff)=f(er'S(^)-1) + g-s(i)-iA(^). (8-1)
Очевидно, что g-f — f = dH{l(g))f l{s(x)) = i\(x), £(ft)=*
= /(Л)и
6(*,A)=6(*) + *-fW. (8.2)

44 Гл. I. Когомологии дискретных групп
Определим %^Z2(XyE) по формуле
%(x,y) = y\{x) + s{x)-r\(y) — <u(x9y)-i\(xy) — f{(u(x9y)). (8.3)
Тогда %(х,у)^ЕИ] наконец, положим С([/]) = [%]е
ей2(Х,£я), что корректно определено, поскольку, как
легко проверяется, [%] не зависит от выбора / в [/] и от
выбора 5 и г].
Отображение С называется трансгрессией.
Точность в члене Hl(H,E)G
Если / является ограничением на Я коцикла F ^Zl(Gy Е)у
то, положив y\(x) = F {s (х))у получим l(g)—F(g)t%(x9 у)=0.
Наоборот, пусть С([Д) = 0, т .е. % является кограницей для
некоторого элемента 1>^СХ(ХУ Ен). Тогда f является
ограничением на Я коцикла F на G, определенного по формуле
F = l — £ор,т. е.
F(g) = f(g-s(g)->) + g-s(g)-i^g)~l(g)- (8.4)
Точность в члене Н2(ХУЕН)
Пусть %^Z2(X9 Ен). Если % имеет вид (8.3), то х°Р==
= dg. Наоборот, если % о р является кограницей элемента
%^Cl(GyE)y то положим f = Цн ^Zl(H, E)t тогда g-f =
— f = d>H{k(g)) для всех g. Если теперь положить ri(x) =
= h(s{x))y то будем иметь (8.3).
Частные случаи
(i) Если Я действует на Е тривиально, то Я1 (Я, £)° =
t= HomG (Я, Е) и для всех / е HomG (Я, £) можно взять
г| = 0. Тогда l(g) = s(g)-f(s(g)-lg); при этом (8.3) перехо-
дит в х(х, у) = f(s(x, y)s(y)-ls(x)~l).
(ii) Пусть G — полупрямое произведение Н АХ; будем
изображать его элементы в виде g = (h9 х) с умножением
(Л, х) • (Л', л:7) = (h- (x-h')y хх'). Положим p(hyx) = xy s(x) =
= (\9х). Выберем такое сечение а для отображения dH: £->
-*-В{(НуЕ)9 что сг(0) = 0. Пусть у\(х) = o(x-f — /); так как
о)=1, то (8.3) сводится к %(х9 у) = o(x-f — f) + x-o(y-f —
-f)-o(xyf-f).
Иначе говоря, отобразим [/] в [%]=С[/], применив два
раза точную последовательность когомологии (или, точнее, ее
связывающие морфизмы): в первцй раз — из точной
последовательности для Х-модулей 0-+В1(Н9 £,)-^Z1(Я, £)->
->НХ(НУ Е) для перехода от элемента [/]е Я1 (//,£)* к 1-ко-
циклу xt->x-f — /, лежащему к Z1 (Ху В1 (Я, £)); а во второй
раз — из точной последовательности Х-модулей 0 -> ЕИ ->

§ 8. Когомологии расширений групп
45
-*Е-+В1{Н9Е)-+0 для перехода от 1-коцикла к 2-коциклу
(iii) Если выполнены условия (i) и (и), то С = О и
получаем точную последовательность
Q-*H4X9E)->Hl(G9E)^HomQ{H9E)-+0. (8.5)
Замечание 8.1 (к определению С[/]).
Пусть Е AG — полупрямое произведение с законом
-умножения (e,g)- (е'9 g') = (e + g-e'y gg'). Пусть О — его
подгруппа, образованная такими элементами (e,g), что g-f —
— f == dHef а Г — нормальная подгруппа в б, образованная
элементами (/(Л), Л), где h^H. Имеем точную
последовательность 0-+Ен —► G —► G -> 1, где а (е) = (е9 1), $\е, g) =
= g. Определим сечение а для р, положив o(g) = {1(g) g).
Пусть р и q — канонические отображения G на X и б на
б/Г соответственно. Согласно (8.2), cr(g/i) = (£(g) + gX
Xf(h)ygh)=o{g)-G(h)9 q{o{gh)) = q{o{g))9 следовательно,
q о о может быть пропущено через отображение т из X в б/Г;
где т является сечением для отображения б из точной после-
довательности 0-*£я —► G/Г —► Z-> 1, y = qoa. Можно
написать коммутативную диаграмму:
1 1
i • i
0_>£«-i*G=e^G->l
«j: J-
Г I
1 1
Наконец, имеем y(%{x,y)) = i{x)-z{y)"z{xy)-l\ это
доказывает, что C([f]) является когомологическим классом,
ассоциированным с расширением
8.2. Случай равенства нулю
Предложение 8.1. Предположим, что Нп(Н9 £) = 0 для
п~ 1, ..., т9 где т^ 1; гог(За Hm(G9E)~ Hm(X9EH).
Доказательство. Применим индукцию по пг\ для m = 1
это следует из точной последовательности Линдона — Сер-
ра —Хохшилда. Пусть предложение доказано для /и—1

46
Тл. I. Когомологии дискретных групп
и любого триплета G, Я, Е\ докажем его для т. Имеем,
следовательно, Hn(Gy Е) = 0 для Ai=l, ..., т. Точная
последовательность когомологии дает точную последовательность
H^(Hi3r(GyE))->H«-i{Hy3T(GyE)/E)-+H»(H)E) для /г =
= 2, ..., tn\ последний член равен нулю по предположению,
а первый согласно лемме 5.1 и предложению 3.1.
Следовательно, НП(НУЗГ(СЕ)/Е) = 0 для п=\у ..., т— 1.
Согласно предположению индукции, отсюда следует H'm~l(G,
3r{G,E)/E)~ Я™-1 (*,^~(G, £)/£)").
Точная последовательность когомологии дает точную
последовательность 0 -> Ен -+ ЗГ (G, £)" ->- (^ (G, £) /£)н ->
-»Н](НУЕ)У так как Я1(Я,£) = 0, то {$~{Gy E)/Е)н ~
~@~(GyE)H/EH. Предложение4.2 показывает,что Hm(GyE) ~
-//^-i(G, ^(G, Е)/Е)~ Н^{ХУ &-(Gy Е)/Е)" ~ Нт-*(Х,
3r[G)E)H/EH). Применим еще раз точную
последовательность когомологии:
Hm-](Xyg~(GyE)H)-+H«l-l(XyF'{GtE)H/EH)-+
-^Я™ (X, Е")-> Н™(ХУ &~(G, £)").
Лемма 8.1 (см. ниже) показывает, что 9^(GyE)H является
относительно инъективным Х-модулем; следовательно,
крайние члены этой последовательности равны нулю и Hm(G, E) ~
~Нт(ХуЕн).
Лемма 8.1. Если Е — относительно инъективный G-модуль,
то ЕИ — относительно инъективный Х-модуль.
Доказательство. Пусть и: А-+В — сильный инъективный
Аморфизм Х-модулей, a v — некоторый Х-морфйзм А->ЕН.
Рассматривая и как сильный G-морфизм из А в В и v как
G-морфизм из А в Еу видим, что существует такой
G-морфизм w из В в Еу что w о и = v\ так как Я действует на В
тривиально, то w отображает В в Ен.
Следствие 8.1. Если Нп(НуЕ) = 0 для п = 0, 1, ..., m,
то Hn(Gy Е) = О для тех же значений п.
Замечание 8.2. Можно доказать следующий результат,
более сильный, чем предложение 8.1. Если Нп(Ну £) = 0 для
"=1, ..., т—1, то отображение inf: Нп(Ху EH)->Hn(Gy E)
является изоморфизмом для я = 1, ..., m—1 и выполнена
точная последовательность 0 ->- Ят (Ху Ен)->Hm(G, E)-+
-+H"(<H,E)G->H>"+l{XyE")-+H«l+](GyE). Это выводится из
спектральной последовательности Линдона — Серра — Хох-
шилда, которая является в действительности наиболее
правильным объектом, связывающим H*(Gt Е), Н* (X, Ен) и
Я*{Н9Е) (см. §9).

§ 9. Спектральная последовательность Линдона — Серра — Хохшилда 47
Историческое замечание. Точная последовательность
Серра— Хохшилда введена в [64], но как следствие
спектральной последовательности и без явного описания морфизма С.
Наше доказательство предложения 8.1 заимствовано у Серра
[118], ч. VII, предложение 5.
§ 9. Спектральная последовательность
Линдона — Серра — Хохшилда
В этом параграфе рассматриваются группа G,
нормальная подгруппа Я, G-модуль Е\ положим X = G/H.
Возьмем снова комплекс
0->£-^(G,£)-+^(G2, £)-*;.., (9.1)
уже рассматривавшийся в (5.4), а также стандартную
резольвенту для Е как Я-модуля:
0->Е-*$~{Н,Е)^&'{Н2,Е)^... . (9.2)
Для каждого g&G обозначим через аё обычное действие
g на 3T(Gn+\E)y а именно (agf) (go, ..., gn) = g-f{g~lgo, ...
• • • > S~lgn); через pg обозначим следующее действие той же
группы
Ш) (#Ь • • • , gn) = g-f(g~]g0g, . . . , g'lgng)
и, наконец, следующее действие уё на ЗГ(Нп+1у Е):
(Ygf) ((Ао, • • • > hn) = g-f (g-lh0g, ..., g-lhng);
эти три действия определяют автоморфизмы
соответствующих комплексов.
Рассмотрим теперь комплексы
L: 0->#~(G, E)H->T{G\ E)H-> ....,
М: О-*0~(#, Е)Н->Т{Н\ Е)н-> ...,
где верхний индекс Я обозначает множество элементов,
инвариантных относительно обычного действия Я, так что
H«(L)~ Нп{НуЕ) (см. § 5), Нп(М)~ Нп(НуЕ) (см. § 3).
Действие а определяет при переходе к фактору действие
группы X на &~(Gn+ly Е)И> а значит, и действие X на группе
Hn(L), которая становится, таким образом, Х-модулем.
Действие у сохраняет @~(Нп+\Е)н (непосредственная проверка),
откуда следует действие G на Нп(М)\ легко видеть, переходя
к неоднородным коцепям, что это действие совпадает с
рассмотренным в начале § 8; предложение 7.1 показывает, что Я
при этом действует тривиально, так что Нп(М) и Нп(Н,Е)
становятся Х-модулями.

48
Гл. I. Когомологии дискретных группх
Лемма 9.1. Группы Hn(L) и Нп(Н,Е) изоморфны как
Х-модули.
Доказательство. Рассмотрим Я-морфизм из комплекса
(9.1) в комплекс (9.2), определенный по формуле un{f) =
= t\Hn+v Известно (следствие 2.5), что он индуцирует
изоморфизм из Hn(L) в Нп(М). С другой стороны, он переводит
действие р в у\ так как р сохраняет ff~(Gn+\ Е)н„ то р и v
определяют тем самым эквивалентные действия G на Нп(Ь)
и НЯ(М).
Теперь достаточно увидеть, что аир определяют одно
и то же действие на Hn(L). Действительно, (Pgaj7)(g0> •••
-> gn) = f(8og> •••> 8п§У> это показывает, что $ga~l
является ограничением на L Я-автоморфизма комплекса (9.1),
начинающегося с ids. Согласно следствию 2.7, р аг1
определяют тривиальный автоморфизм на Hn(L), что и требовалось
доказать. ~~
Построим теперь некоторый бикомплекс. Для р, q e N
снабдим абелеву группу ST(Xp+x,g^(Gq+\E)H) структурой
Х-модуля, положив (xf) (хо, ..., хр) = x-f(x-lxo, ..., х~1Хр),
где действие X на !F(Gg+ltE)H определено выше, исходя из
а. Положим Kp'q = {Sr{XP+l,F'{G('+l,EH))xu Определим d'\
Кр,<!^Кр+\,я и d"\ ftp, q-* ftp, я+\ положив
(d'f)(xo> •••> xp+u gQ, ..., gq) =
p+1
(d"f)(xo> •••> xp9 go, ..., g,+i) =
<7+l
= Z (-l)7/^, ..., v g0) ..-> £/, •.., ^+i).
Тогда d'd" + d"d' = 0, так что (Кр>q, d\ d") есть бикомплекс.
Используя обозначения § А.5 и леммы 9.1, имеем Я"'Р>? =
= F{X?+\ H*(L))f ~ &-(Хр+\ Н«{НУ £))*, откуда 'Е** ~\
~ Нр(Х, Н«{Н, Е)). Далее Я'?'* = №(Х, $~f (G^1, £)");
лемма 8.1 показывает, что &~(GQ+\ Е)И есть относительно
инъективный Х-модуль и, следовательно, Я'» р** = 0, если
р>1, Я'0'*-^^*1, £)G, откуда "££• ° ~ Яр (Tot /С) ~
~ЯР(С Я).
Из следствия А.6 вытекает следующий результат.
Предложение 9.1. Для G, Я, Я, определенных как в
начале параграфа, существует такая спектральная
последовательность Ep>q, называемая последовательностью Линдона —
Серра — Хохшилда, что Е$ q ~ Я р {рШ, Hq(H, E))=^

§ 9. Спектральная последовательность Линдона — Серра — Хохшилда 49
=>H*{G, £)/ В частности, для каждого п ^ 0 сумма © £& q
изоморфна градуированному модулю, ассоциированному с
некоторой фильтрацией в Hn(GyE). Если Е — векторный
G-модулЬу то существует (неканонический) изоморфизм
между Hn(G, E) и 0 EZ>q.
p+q=n
Следствие 9.1. Если Hf>(G/H, Н^(Н9 Е)) = О для любого
pS?lt то H«{Gy Е) ~ Н«(НУ E)G'H для любого q ^ О.
Это следствие применяется, в частности, когда G/H
конечна, а Е — векторный G-модуль над телом
характеристики О.
Следствие 9.2. Существует точная последовательность
0-+Hl{X, EH)-+HX(G, E)->Hl{H, E)G->H2{Xf EH)->
->Я2(С, £)!-> Н1(Х9 Я1 (Я, £))->Я3(Х, EH)-+H3(G, Е),
где Н2(ОуЕ)х — ядро морфизма H2(Gt E)-+H2{H, E)G.
Замечание 9.1. Можно доказать, что морфизмы Hn(G/Hy
EH)->Hn{GyE) и Hn(GyE)-+Hn(HyE)G'Hy возникающие из
морфизмов границы (см. § А.2), являются соответственно
морфизмами inf и res (см. [86], ч. XI, § 10).
Пример. Возьмем в качестве G множество Z3,
снабженное следующим умножением: (а, ft, с) • (а', ft', с') = (а' + а,
ft' + b, с + с' + оЬ' — а'Ь); а в качестве Я — множество
элементов (0,0, с). Тогда Я — центр G, изоморфный Z; при
этом X = G/Я изоморфна Z2. Наконец, в качестве Е
возьмем тривиальный G-модуль Z.
Вычисление Hl(G,E)
Пусть /еЯ1(С,£) = Нот(0,£); положим а = /(1,0,0),
Р = /(0, 1,0), v =/(0,0, 1). Заметив, что (a, ft, с) = (а, 0, 0)Х
X(0, ft, 0) • (0, 0, с — ab), получим f(a, ft, с) = о-а + &-Р +,
t+(c— aft)-v; расписав f(gg*) = f{g) + f(g), получим, что
V = 0, а а и р произвольные. Имеем, следовательно,
H\(G, Е) ~ Hom(G, £) - Нот (G/Я, Е) ~ Z2.
Вычисление H2(G,E)
Покажем сначала, что отображение inf из Н2(ХУЕ)
в H2(GtE) равно нулю. Пусть т]еЯ2(Х,£); согласно
предложению 6.2, г) содержит антисимметричное биаддитивное
отображение /, т. е. отображение вида /((a, ft), (а', ft7)) =
= k\abf—a'ft), где ^eZ. Теперь легко видеть, что
соответствующий 2-коцивд на G есть кограница 1-коцепц

50 Гл. I. Когомологии дискретных групп
(a,byc)v->k-c и, следовательно, образ ц в H2(GyE) равен
нулю.
Так как (следствие 6.1 и замечание 6.2) Я2 (Я, Е) и
Н3(Х,Е) равны нулю, то, согласно следствию 9.2, возникает
точная последовательность 0-+H2(G, E)->Hom(X, Нот (Я,
£) )-+0, откуда H2{G, E) ~ Z2.
Вычисление Hn(G, E) для п^Ъ
Согласно замечанию 6.2, член Е\% q спектральной
последовательности не равен нулю, только если р = 0, 1, 2 и
9 = 0,1; в частности, Е% х ~ Z. Отсюда следует, что E%>q = 0
только для р = 0, 1, 2 и q = 0, 1 и, в частности, Е^ ~ Z-
Формула (А.14) показывает тогда, что #3(G, E) ~ Z и
Hn{G,E)=0 при п^4.
Историческое замечание. Зависимость между когомоло-
гиями группы и ее нормальной подгруппы была открыта
Р. Линдоном [84], а затем переформулирована Серром
и Хохшилдом [64] на языке спектральных
последовательностей, введенных Картаном и Лере (см. в п. 14.2 спектральную
последовательность, которая носит их имя).
§ 10. Некоторые свойства сильных я-расширений
Для данных G-модулей А к В будем изучать в этом
параграфе множество 9>п{А,В) ^-расширений А при помощи В
и подмножество ^п (Л, В), образованное сильными п-расши-
рениями (см. определение 1.3); в следующем параграфе
устанавливается зависимость между последним множеством
и Hn(G, Нот(Л, В)). Некоторое n-расширение А при помощи
В может быть записано в общем случае в виде
S: O-^B-^Ej-V... -^£„-^Л->0. (10.1)
Обозначая Е0 = В, Еп+\ = Д напомним, что S сильное, если
оно допускает стягивающую гомотопию, т. е. такую
последовательность гомоморфизмов s^. £t-->£/_i, /=1, ..., я+1,
что Si ouQ — idBf
Ui-i°St + si_ioul = idEi, i=U ..., n\ un°Sn+i = idA-
Лемма 10.1. Если S есть {-расширение, то следующие
условия эквивалентны:
(i) S сильное,
(И) uq допускает левый обратный Z-морфизм,
h\\) u\ допускает правый обратный Х-морфизм.

§ 10. Некоторые свойства сильных п-расширений 51
Доказательство. Непосредственная проверка.
Определение 10.1 (перемножение ^-расширений). Пусть
даны ^-расширение А с помощью В и m-расширение В с
помощью С:
vo vi vm
Т: O-^C-^F^ ...~>Рт-^В->0,
обозначим через TS и назовем произведением Т на S
следующее (п + т)-расширение А с помощью С:
vQ о, и01> и{ и
0 —С-^>Л -^ ... -+Fm ^Е, -^ ... ->Еп-^ Л->0.
Наоборот, всегда можно разорвать последовательность вида
(10.1) в какой-нибудь точке:
где F = Im Up = Ker up+\.
Лемма 10.2. Расширение TS сильное тогда и только тогда,
когда Т и S сильные.
Доказательство. Пусть Т и S сильные с Z-морфизмами
tj и Si\ определим стягивающую гомотопию для TS, положив
//: Fj->Fj-i для /=1, ..., m, tm+iS\: E{-*Fmy sn Eit->Ei-\
для i = 2, ..., n+ 1.
Наоборот, допустим, что TS сильное с морфизмами
tj\ Fj-+Fj-i для /= 1, ..., m, r: E{-+Fmt sn Е[-^Е^{ для
i = 2, ..., п+1; определим стягивающие гомотопии для Т
и S, положив tj\ Fj-+Fj-\ для /=1, ..., m, r«o: B-+Fm,
vmr\ E\ -> В, 5/: В/ ->- ff-! для i — 2, ..., п + 1.
Прямой образ
Рассмотрим ^-расширение (10.1) и' G-морфизм Х из В
в G-модуль В7; построим элемент XS е ^„(Л, В7) и морфизм
комплексов
S: 0-*В —^—^Еа-*►... -+Еп-^А->0
4 4 idi idi idi
Я5:0->В7^В;^>£2^... ^£л_>Л->0
"о "i и2
следующим образом: положим E'l=(B'®El)/{(k(b), — и0(&))|
6 е В} и пусть р — канонический морфизм из В7 ф В на
£;, u'Q{b')sssp(b'f о), |i(ei) = p(0f ^)f <(/>(&', el)) = ui(el).

52 Гл. /. Когомологии дискретных групп
Лемма 10.3. Если S сильное, то %S тоже. Более точно,
если S допускает стягивающую гомотопию, образованную
Z-морфизмами si, то XS допускает такую стягивающую
гомотопию {s^}, что следующая диаграмма коммутативна:
Sl S2
В ■* Ei •* Е2 ■*-
XJ 4 ,dJ
В'^-Е[^-Е2<-
Sl S2
idJ ''
., E ч
S2 Sn+1
Доказательство. Достаточно положитьs[{p(b',.e^} =b' -f*
+ 45i(*i))' 4(е2) = Р(°> s2(e2)), s'i=si для />3.
Обратный образ
Рассмотрим n-расширение (10.1) и G-морфизм К из G-мо-
дуля А' в А; построим элемент SA,e^(A/, В) и морфизм
комплексов
"о "(
5: 0-^В-2»-£,-**►.
Id j Idt
5Я: 0->5—>£,—-►
"о "i
_+Е !^Е_^Л_0
idj iij aj
rt-1 /J
следующим образом: положим Е'п = {(e^, а')^Еп ф Л71 un(e^=s
= А (а')}, < (ея, а') = а', р {е^Г)=еп% <_, (*я_ 1)=("а-1 (V i), 0).
Лемма 10.4. Если S сильное, то и SX тоже. Более того,
если S допускает стягивающую гомотопию (si), то SX
допускает другую стягивающую гомотопию (s'^, так что
следующая диаграмма коммутативна:
S. S,
idj idt
B^—Ei^-..
S'l S2
Idj n[ Jlf
.ч-£п .*—E'*—A'
S . S
Л-1 П
Доказательство. Достаточно положите sn+1 (ar) =
= (sn+l(l(a')), a'), <(*„, a') = sn(en), s', = st для /<n-l.
Историческое замечание. Результаты этого параграфа,
как и § 11, в том, что касается умножения Л, принадлежит
Ионеде [138], который установил их в рамках теории абеле-

$ П. Группы Ext" (A, B)
53
вых категорий, включающих не только модули над группами,
но также и модули над алгебрами Ли и над ассоциативными
алгебрами.
§ П. Группы Ext* (Л, В). Зависимость между
Hn(G, Нот(Л, В)) и &£{А, В)
11.1. Группы Ext" (Л, В)
Определение 11.1. Для двух G-модулей Л и В обозначим
через ExtoG4, В) или, проще, через Ext" (Л, В) n-ю группу
когомологий комплекса ^
0-*Ното(Л, В°)->Нот0(Л, В1)--* •••> О1-1)
где
О^В^В0-^1-* ... (11.2)
— какая-нибудь сильная относительно инъективная
резольвента для В. Эти когомологий не зависят от выбора
резольвенты (11.2) (доказательство то же, что в следствии 2.5).
В частности, Ext0 (Л, В) = HomG (Л, В).
Предложение 11.1. Если В относительно инъективно, то
Ext" (Л, В) — 0 для всех п ^ 1.
Доказательство. Аналогично доказательству
предложения 3.1.
Определение 11.2. Снабдим абелеву группу Нот (Л, В)
структурой G-модуля, положив g-u = gouog~l для любого
иЕНот(ДВ), Тогда Нот0(Л, В)= Нот (Л, B)G.
Вычисление Ext" (Л, В)
Взяв стандартную резольвенту для В, построим сначала
комплекс
0->Нот(Л, В)—* Нот (Л, T(G, В))—*
*\
->Нот(Л, F{G\ В))—>..., (11.3)
где d\ получаются композицией с Нот оператора dn
стандартной резольвенты; затем перейдем к комплексу
A d\
О -► Иот0 (Л, F (G, В)) —> HomG (Л, #~ (G2B)) —*..., (11.4)
когомологий которого совпадают с Ext* (Л, В).

54 Гл. I. Когомологии дискретных групп
Рассмотрим теперь стандартную резольвенту для
Нот (Л, 5)
О -► Нот (Л, S)->^-(G, Horn (Л, В))—►
->#-(02Нот(Л, В))-^..., (11.5)
а затем комплекс
«2 4
0->&-(G, Horn (Л, B))G—>^"(G2, Horn (Л, B)f —*..., (11.6)
когомологии которого совпадают с Н* (G, Нот (Л, В)).
Зададим изоморфизм из (11.3) в (11.5), сопоставляющий
каждому f^Hom(A,^'(Gn+1,B)) элемент ~f<=&-{Gn+l,
Horn (Л, В)) по формуле
l(go,...,gn)(a) = f(a)(g0, ...,gn). (П.7)
Следовательно, можно сформулировать
Предложение 11.2. Формула (11.7) определяет
изоморфизм между Ext" (Л, В) и Hn{Gy Horn (Л, В)).
Следствие 11.1. Для каждой сильной точной
последовательности G-модулей 0-> В-> В'-> В"->0 существует
бесконечная точная последовательность 0->Ех1;0(Л, В)->
-*Ext°(4,B')->Ext0 (Л, В")-*Ext1 (Д В)-*... .
Доказательство. Последовательность 0-> Нот (Л, В)~>
->Нот(Л, В')->Нот(Л, В")->(> точна, и достаточно взять
ассоциированную с ней точную последовательность
когомологии.
Аналогичный результат верен для сильной точной
последовательности G-модулей 0-> А-*А'-+ Л"-^0.
11.2. Зависимость между ^{(А, В) и Ext"(Л, В)
Рассмотрим сильное я-расширение S типа (10.1) с такой
стягивающей гомотопией (si), что s,-os,+1 = 0 (см. лемму 1.1).
Из следствия 2.3 вытекает существование морфизма
комплекса S в стандартную резольвенту дАя В, начинающегося
с ids и образованного морфизмами а*: Ец.\->У(Оп+19 В),
определенными по формуле аД£)(#0, ..., ^) = (—1)£(1+1)/2 X
Х^^^^Г1' ••• -ffA+iffr^' B четности,
(П.8)

§ 11. Группы Extn(A,B)
55
Более того, если Еп+ч = 0, то dn°an = 0, т. е. d" (аЛ) = 0, где
d" — оператор в (11.4); иначе говоря, ап является
коциклом в (11.4). Предложение 2.2 (ii) показывает, что его класс
когомологий не зависит от выбора стягивающей гомотопии.
Следовательно, доказано
Предложение 11.3. Формула (11.8) определяет
отображение из 9>Ъ(А, В) в Ext"(Л, В).
Обозначим через Л это отображение и через П
отображение из 9>Ъ(А, В) в Hn(Gy Нот(Л, В)), которое вытекает из
(11.7); U(S) есть, следовательно, класс однородного
нормализованного п-коцикла
(*, ••'•• §п)^(-1)п1п+тёо*&1 ■■•gnsn+ig;1 (п.9)
или неоднородного нормализованного п:коцикла
(8i> •••> 8n)^*(-^)ain+l)l2slgls3igi...sHg^ll+lg-ig-il ... gf1-
(11.10)
Будем говорить, что A(S) есть элемент из Ext"(Л, В),
представляющий S.
Предложение 11.4. Отображение А сюръективно.
Доказательство. Пусть ф — нормализованный однородный
п-коцикл, фе°^(Ол+1, Нот(Л, B))G, а г|э — соответствующий
элемент в HomG(A,0&'(Gn+l9B)); тогда drto\f» = 0, т. е. фе
е HomG (Л, Kerd").
Рассмотрим сильную точную последовательность
Т: 0->В-^°$~{О, B)-^...~>V(C\ В)*^1т(Г-1-»0
и обратный образ, ассоциированный с г|),
Id{ id| idl 4 4
Г: 0 -> 5 -> V (G, В) _> ... -► V (G""1, Б) —> V (G", В) —> Im с/"-1 ->
где £„_! = {(/, а)€= V(C, В) ф Л \dn-{(f)= Ц>(а)},
a»-i(/. а) = а, [х(/, а) = /, ^2(g) = (d^2(g), о).
Возьмем для Т обычную стягивающую гомотопию (1.8),
а для S —гомотопию, определенную в лемме 10.4; она тоже
удовлетворяет соотношению s%s^+1 = 0. При этом, как
легко видеть, соответствующий ей коцикл совпадает с (р.

56
Гл. I. Когомологии дискретных групп
11.3. Некоторые свойства отображения П
Определение 11.3 (^-произведение). Пусть даны тр^
G-модуля Л, В, С и такое отображение и из ЛХВ в С, чт<|
u(ga,gb)= g-u(a,b) и и биаддитивно, т. е. аддитивно <щ
дельно по а и по Ъ. Для любого ф e#"(Gm+1, Л) и г|) е|
^^"(G^.S) определим элемент <р \j г|) е^"(От+я+!э С) п<|
формуле
(ф^ФКЯо. ..., gm+*) = "Mgo> .-•> gm)> * («firn •••• ffm+я)).
(11.11)
Очевидно, что g- (ф \у г|)) = g-ф v^ g-if> и dOT+/l(q) kj г|э) =
= (йтф)^ г|) + (—1)тфи (d"\|)). Следовательно, равенстве
(11.11) определяет при ограничении и переходе к факторам би
аддитивное отображение tfm(G, A)XHn(G, S)->tfm+*(G, С),
которое также будем обозначать через ^ и называть
^-произведением (или чашечным произведением),
ассоциированным с и. В неоднородных коцепях вместо (11.11) получим
(ф^Ф)(£1. •••> gm+J^uiviSu •••> ёт)>
8Г ••• -gm^igm+U •••! ?«+»)). (И.12)
Мы будем использовать это определение в ситуации, когда
Л, В и С заменены на Нот (В, С), Нот (Л, В) и Нот (Л, С),
а и есть композиция морфизмов; при этом возникает отобра*
жение H"(G, Hom(S, C))X#"(G, Нот(Л, B))->H™+n{G,
Нот (Л, С)), определенное на однородных цепях по формуле
(ф \J \|)) (go, . . . , gm+n) = ф(^о, • • • , gm) "ty(gm gm+n) И На
неоднородных цепях по формуле
(<p^*)fei. • ••> йгт+п) = ф(йг1» • •.> г«)Х
Отсюда немедленно следует
Предложение 11.5. Для S^9,fm(Ay В) иТ ^ 9>п [В, С) имеем
П (Г5) == П (Г) ^ П (S) • (-l)m*.
Определение 11.4. Пусть Л, В, Л', В'— четыре G-модуля*
Ф — элемент из 2T(Gn+xy Horn (Л, В)), а — некоторый G-мор-
физм из Л' в Л; р— некоторый G-морфизм из В в В'.
Определим элементы фа e^"(G,,+1, Нот(Л/, 5)) и pcpe^G**1,
Нот (Л, В')) по формулам (фа) (go, ...,^) = Ф (go, ..., gn) °;
°а, (Рф)(£о, ..., Ы=Р°ф(&о, ..*, gn). Отображения фь->
|—>фа и ф»—>Рф определяют при ограничении и переходе к
факторам отображения #я (G, Нот (Л, B))->Hn(G, Нот (Л', В)),
fln(G, Нот (Л, В -^//"(G. Horn (Л, В')), koto ые мы будем

§ 11. Группы Ext" (А, В) 57
обозначать так же. Непосредственно проверяется
соотношение
ф^.рф = г|)р wcp. (11.13)
Отсюда сразу следует
Предложение 11.6. Для любого Se^(i4, В), любого
а <= HomG (А', А) и любого р е HomG (В, В') имеет место
равенство
U(Sa) = {US)a и II(pS) = p(IIS).
11.4. Изучение отношения эквивалентности
на «^{(Л, В), определенного отображением Л --
~*
Определение 11.5. Два сильных я-расширения модуля А
с помощью В назовем эквивалентными, если они имеют один
и тот же образ при отображении Л. Сильное я-расширение
называется тривиальным, если его образ при Л равен 0.
Опишем подробно это отношение эквивалентности в
случае /1=1, а затем дадим несколько его свойств в общем
случае. Для п = 1 будем также говорить «расширение»
вместо «1-расширение». Введем второе отношение
эквивалентности для расширений (не обязательно сильных).
Определение 11.6. Два расширения
0->В'^->Е'-^А'->0
назовем эквивалентными, если существует такой (7-морфизм
(обязательно биективный) w: Е-*Е', что wou = u' и и'о
Расширение-называется тривиальным, если оно
эквивалентно в этом последнем смысле прямой сумме Е = А © В
G-модулей. Мы скоро увидим, что для сильных расширений
эти два понятия эквивалентности совпадают; во всяком
случае, ясно, что второе включает первое. Заметим, что
неоднородный 1-коцикл ф, ассоциированный при помощи (11.10) с
сильным расширением
0->В-^£^Л-->0 (11.4)
с сечением s, удовлетворяет равенству u<^(g) = s — gsg~l\
на самом деле будет интересно рассматривать скорее г|э =
= —ф, чем ф.
Предложение 11.7. Для сильных расширений два
определения эквивалентности, 11.5 и 11.6, совпадают. Более тогог

58
Гл. I. Когомологии дискретных групп
всякое сильное расширение типа (11.14) эквивалентно
следующему:
О-*В-^>В0Л ~^Л->0, (11.15)
где u'(b) = (btQ)> v'(b, a)= а и действие GeBQA задается
формулой
g'(b,a) = (gb + \p(g)-gaiga). (11.16)
Наконец, расширение S тривиально тогда и только тогда,
когда A(S) = 0.
Доказательство. Покажем сначала эквивалентность (11.14)
и (11.15) в смысле определения 11.6, положив w — w{u(b)-{-
[-fs(a)) = (6, а). Обозначим теперь через S^ расширение,
ассоциированное с 1-коциклом г|э по формуле (11.16);
достаточно проверить, что если гр и гр^ эквивалентны, т. е. \|/(g) =
= if (g) + grg~{ — г, где г<= Нот (Д В), то S$ и Sy
эквивалентны в смысле определения 11.6; для этого возьмем
автоморфизм на В© Д определенный по формуле (6, a)i—>(& +]
+ г{а),а).
Случай произвольного п
В [13] bis, гл. X, § 7, теорема 1, приведены необходимые
и достаточные условия того, что два сильных я-расширения
эквивалентны. Мы ограничимся здесь только достаточными
условиями.
Предложение 11.8. Рассмотрим два сильных п-расширения
"о и\ ип
S: 0->В-^Е{-± ...~>Еп—>Л->0,
"о и\ и'
S': 0-*В'-+Е[—>...-£;-Дл'->0
« предположим, что существует морфизм из S в S', т. е. мор-
физмы а: А->А', $:В->В\ Л,: £,-*•££. Тогда р5 = S'a.
До/сазагелбсгво.
а) Предположим сначала, что /г=1. Введем для
простоты следующие обозначения:
S: 0->В -^ С -^ А ->0,
ej *J a|
S': 0-*В'-^С -Z+ A' ->0.
Напомним, что
pS: 0->B'-^ Z) —>• A-+0,
S'a: (j-*B' -^ E -1* Л->0,

§11, Группы Extn(A,B)
59
где D = (B'©C)/{(P(6),— u{b))\bs=B), p — каноническое
отображение: B'®C-+D\ x(b') = p{bf, 0), y{p(b',c))= v(c)9
E = {{с', а)еС/0Л|и,(с,) = а(а)}, г(Ь') = (и'(Ь'), 0),
t(c\ a)= a.
Эквивалентность pS и S'a следует теперь из морфизма (i,
определенного по формуле \i(p(b', с)) = (и'{Ь') + K{c),v{c)).
Ь) Перейдем к общему случаю. Положим А = Еп+и В =
= Ео, а = Ля+ь Р = Л0, ^ = Im щ = Ker ui+\Ei+\ и
аналогично для Еп+\> £о> ^. Так как K(Ft-i)^F'i-u T0
следующие диаграммы коммутативны:
S(: 0 -> Fi_{-+Ei
/J, t|
где Xj = A,,|F|_lf Я; = р, Я'Л+1=а.
Согласно части а) доказательства, имеем AjSj ~ SjA,j+1>
откуда, используя (11.13), получаем PS= p5x •...• £„ ~
~ S^A>2 ' «^2 " * * * * л ^ 12 " <J * 3 * * * * " п /^/ * * * ^^^1 * • • *
S'n-a = S'a.
Следствие 11.2. Пусть S и S' — два элемента из 9>*п{А, В).
Если существует морфизм из S в S', индуцирующий
тождественные морфизмы на А и В, то S и S' эквивалентны.
Следствие 11.3. Рассмотрим сильное п-расширение
S: 0 -> В -> Ех -> ... -> Еп -> А -> 0;
предположим, что существует морфизм этого комплекса,
образованный 6-автоморфизма,ми а г. £*->£; для i = 0, ...
..., п + 1, и что а0 = id5, ап+\ = 0а {или наоборот). Тогда S
тривиально.
Следствие 11.4. Рассмотрим два G-модуля А и В и
подгруппу Я, лежащую в центре G. Предположим, что
существуют „такие два морфизма и и v из Я в Z, что h-a =
= u(h)-a для любого а^А и h-b = v(h) -b для любого
b е В, а также такой элемент h0 е Я, что и {ho) = V, v{ho) =0.
Тогда любое сильное п-расширение модуля А при помощи В
тривиально; в других терминах Hn{G, Нот(Д В)) = 0 для
всех п ^ 1 {впрочем, эта группа равна нулю также и при
п = 0).
Доказательство. Достаточно применить предыдущее
следствие, взяв в качестве щ действие Л0 в £*.

60
Гл. I. Когомологии дискретных групп
Замечание 11.1. Когда Л и Я— комплексные векторные
G-модули, можно предполагать, что и и v принимают
значения в Т вместо Z. Отсюда выводится, что если Л и Я—
гильбертовы пространства, на которые G действует по
неприводимому унитарному представлению, имея при этом
различные центральные характеры, то Hn(G, Нот(Л, В)) = 0
для всех п.
11.5. Группы Ext" и операция индуцирования
Рассмотрим в этом пункте подгруппу Я в G и будем
использовать обозначения из § 5.
Предложение 11.9. Пусть Е — некоторый Н-модуль, А —
некоторый G-модуль, Ан — модуль Л, рассматриваемый как
Н - моду лъ\ тогда Ех^(Л, Ind Я) ~ Ех^(Ля, Я) для всех
л>0.
Доказательство. G-модули Нот(Л, Ind E) и lnd(Hom(AH,E))
изоморфно переходят друг в друга при отображении,
которое каждому элементу ф из первого модуля сопоставляет
элемент г|) из второго, определенный по формуле \f>(g)(a) =
= ф (ga) (g); следовательно, ExtS (A, Ind E)~Hn (G, Нот (Л,
lndE))~Hn(G,lnd(Hom(AH, E)))~Hn{H, Нот(Ля, Е)) (лемма
Шапиро) ~ЕхЙ(Ля> Я).
Следствие 11.5. Положив п=0, получим HomG{A, Ind£) =
= Нотя(Ля,Я).
Этот результат составляет содержание теоремы
двойственности Фробениуса. Уточним, что этот изоморфизм может
быть определен следующим образом: Ното(Д Ind£)^ if> ч->
^wg Нотя(Ля, Я), о)(а) = ф(а) (1) = <p(g, a) (g);
Замечание 11.2. Зависимость междуЕх!я(Л, В) и ExtS X
,X(Ind^, Ind Я). Рассмотрим дваЯ-модуля А и Я и определим
G-морфизм Г: Ind (Нот (Л, Я) )->- Нот (Ind Л, Ind Я), положив
(ТМ) (f) {х) = М(х) (f(x)), для любого М е= Ind (Horn (Л, Я)),
f^lndA (мы отождествляем Ind Л, Ind Я и Ind (Нот (Л, Я)),
&*{Х,А) с &(Х, Я), Р{Х, Нот (Л, Я))). Для любого л этот
морфизм индуцирует Z-морфизм Hn(G> Ind(Hom(Л, В)))->
~^Hn(G> Hom(Ind Л, Ind Я)), а^ затем, благодаря лемме
Шапиро, Z-морфизм Un: Я"(я/Нот(Л, Я)) = Ех^(Л, Я)->
-> Hn(G, Horn (Ind Л, Ind B))=ExtS (Ind Л, Ind Я), определенный
по ^формуле (Un Ф) (gu ..., gn) {f) (x) = Ф (Я fox), ..., Я (g„,
g„ li • ... • gi '*)) • (/(*)) для любого ipEZ" (Я, Нот (Л, Я))
и любого f e Ind Л.

§ 11. Группы Ех[п(А,В)
61
Легко проверяется, что если [ф] соответствует сильной
/г-резольвенте
н„
sl s/l+l
то Un([q)]) соответствует сильной п-резольвенте
О >IndB ^=± ШЕХ^=± ... ^=fe Ind£n *=^± In<M'-*Of
где й/ и Si определяются по формулам (uif) (х) = tii(f(x)),
В этом контексте можно уточнить понятие системы
импримитивности. Всякий индуцированный G-модуль Ind£
является также модулем над Z -алгеброй % = £Г(Х)
(множество отображений из X в Z) со следующим действием:
(ф-/) (*) = ф(х) -/(х) для любого фЕЙ, /elnd£; при этом
gMg""1 •/)) = (£•<?)•/> где (г-ф)(*)=ф(йГ1*); это и
означает, что действия G и % в Ind £ образуют систему
импримитивности.
Отсюда легко следует, что
(i) элемент из Ext2(Ind^, Ind Б) принадлежит образу
Un тогда и только тогда, когда он соответствует сильной
резольвенте
0->IndS -^ Л-* ... -*Fn -^ А->0,
где Fi являются системами импримитивности, a Vi — мор-
физмами таких систем;
(и) в случае п = 1 две такие резольвенты
0-*IndB -^> F —* 1п<М-»0,
О-^IndB -Л F' -Л 1п<М-*0
происходят из одного и того же элемента в ExtxH{A, В)
тогда и только тогда, когда существует такой изоморфизм
систем импримитивности w: F-*F'f чтоw© vQ — v'Q и v[°w=vu
Историческое замечание. Группы Ext3(£, F) были
введены в то же время (по крайней мере явно), что и Hn(GtE)
(см. историческое замечание к § 1),

62
Гл. 1. Когомологии дискретных групп
§ 12. Сильные относительно проективные
резольвенты. Группы ТогЛ. Гомологии
12.1. Тензорные произведения. Группы &*о(Х, А)
Определение 12.1. Для любого множества X обозначим
через ^о(Х), или же через &~Q(X/Z), абелеву группу,
образованную функциями / из X в Z с конечным носителем, т. е.
таких, что f(x) = 0 для всех х, кроме конечного числа. Для
любого х^Х через гх обозначим функцию, равную 1 на х
и 0 на остальных элементах; тогда /= £ f(x)-ex для
хе=Х
любого [e^offl. ,
Определение 12.2. Пусть А и В —две абелевы группы;
обозначим через А ® zB> или проще через А® Ву фактор
группы &~0(АУ(В) по подгруппе, порожденной элементами
ВИДа ««+«', Ь ~ 6а, Ь ~ га'Ь И 6а, Ь+Ь' ~ 8а, Ь ~ Еа, Ь'> ЧеРе3 й®Ь
обозначим канонический образ га, ъ в А® В. Отображение
(а, 6)«—>а®Ь биаддитивно и обладает следующим
универсальным свойством: для любой абелевой группы С
соответствие, переводящее морфизм ср: А® 5->- С в отображение
(а, Ь)г->ср(а ® Ь)у задает биекцию между морфизмами
А®В-^-С и биаддитивными отображениями AY^B^C.
Если А и В являются G-морфизмами, то А® В — также
G-модуль со следующим- действием G: g(a® b) = ga® gb.
Примеры. Тензорное произведение А ® Z совпадает с А
при соответствии Лэа->а®1еЛ®7. Если X и У —два
множества, то существует единственный изоморфизм из
ЗГ^ХУ^У) в &~q(X)®&~o(Y), переводящий гх,у в ех®гу для
всех (х, у) е X X У.
Определение 12.3. Для каждого множества X и каждой
абелевой группы А обозначим через #"0(Х, А) абелеву группу,
образованную функциями из X в А с конечным носителем.
При этом существует единственный изоморфизм из &~о{Х, А)
на &~о{Х)® Л, переводящий всякий элемент / из @~о{Х, А)
в 2 е*~®/0*0- Следовательно, можно обозначить через
xezX
гх®а для xeI, а^А функцию, принимающую значение а
на х и 0 на остальных элементах таким образом, /= £ ех®
хе=Х
® f (х) для любого / е #"о {X, А).
Возьмем, наконец, X = Gn+l. Обозначим через е ® ...
... ® eff ®а функцию, принимающую значение а на на-
боре (go, ..., g*) и 0 на остальных наборах; тогда

§ 12. Сильные относительно проективные резольвенты 63
/ = Z Ч0 ® • • • ® Ч„ ® /(go> • • •, gn) Для любого
fe=&~o{G"+\A).
Предположим теперь, что А — некоторый G-модуль. Тогда
&~o{Gn+\ А) также G-модуль с действием {g-f) {go, ..., gn) =•
= g'f(g~~l8o> ••> ё~1ёп) и, следовательно, g • (egQ ® ..,
... ® egn ® a) = eggQ ® ... ® eM/i ® ga.
Определение 12.4. Для данного G-модуля E обозначим
через GE фактор модуля Е по подгруппе, порожденной
элементами вида ge — е. Для двух данных G-модулей А и В
положим А ® GB = G{А ® В). В частности, A® GZ = GAt где
Z —тривиальный G-модуль.
12.2. Сильные относительно проективные резольвенты
Определение 12.5. G-модуль Е называется относительно
проективным, если для любого сюръективного G-морфизма
и: А-+В и любого G-морфизма v: E-+B существует такой
G-морфизм w: Е->А9 что и о w = v.
Мы рассмотрим теперь комплексы вида ...-^/С2 — /Ci->
->/Со-^0, которые будем называть комплексами цепей для
их отличия от комплексов из § 1, называемых комплексами
коцепей. Их морфизмы, гомотопии, гомологии и т. п., так же
как и сильные комплексы, определяются очевидным
образом; мы будем рассматривать резольвенты вида ...-^Ех-*
->£0-^£-^0 для G-модуля Е.
Лемма 12.1. Для каждого G-модуля Е G-модуль
&~o(Gn+\ E) относительно проективен.
Доказательства. Пусть дана диаграмма
А
T0(Gn+i, В) ^- В,
где 5 — обратный правый Z-морфизм для и. Определим wt
положив w{f)= £ g0 - svgo1 * %0® •••
®/(#o> .-.,£*)•
Предложение 12.1. Рассмотрим G-модуль E и определим
G-морфизмы dn\ &~o{Gn+2,E)-+&~Q(Gn+\E) no формуле
n+\
(dnf){g0, ..., gj=£ (—1)' Z f(go> ..., £*-i> g, go ...,ff»)
(12.1)
«V

64 Гл I. Когомологии дискретных групп
и G-морфизм ц: 8r0(GtE)-+E по формуле ц(/) = £ /(g).
8
Последовательность
-^ TU{G\ Е) -± <Г„(С, Е) -^ ° (12-2)
является сильным комплексом и допускает стягивающую го-
мотопию On, где
, f ( f(g\, .-•> gn), если g0=l,
\°п I) (go> ..., gn) — | о в противном случае.
Можно написать также dn (egQ ® ... ® egn+l ® £) =»
гг+1
*= .2 (~1)1%0 ® • • • ® %* ® • • • ® е*я+1 ® *; *" (8*о ® • • •
• • • ® е^.! ® е) = е1 ® *g0 ® • • • ®8^-.! ® £'
Следствие 12.1. Последовательность (12.2) является
сильной относительно проективной резольвентой для Е.
Замечание 12.1. Пусть Е — тривиальный G-модуль Z;
тогда &~0{Gn+\E) = &~0(Gn+l). Введем следующее
классическое обозначение: g0 [g{ | ... \gn] = еёо ® еад ® ... ® ego... g|j;
действие G и операторы rfrt и оп переходят тогда в
g-(go[gi\ ••• \gn]) = ggo[gi\---\gnl
dn-\(go[gi\ ••• \gn\) = gog\[g2\ ••• Ift»] +
+ E (-l)'>oteil... Iftft+,I... 1г«] + (-ir^oteiI... IsrJ;
Mgoteil ••• l«r«-i])=l -Ы... Ign-il;
определенная таким образом резольвента G-модуля Z
называется В-резольвентой (см. [86], ч. IV, § 5).
Другой способ вычисления Ext" (Л, В).
Рассмотрим комплекс
0->Нот(Л, Б) -^ Hom(^0(G, А)В -^
->Hom(#~0(G2, Л), В) —■> ..., (12.3)
пгде ч' и d^ получаются из композиции к\о и dn с Нот;
а также комплекс
a' H'Q
0->-Нот(Л, В) —> Нот (Л, #*(G, В)) —*
->Нот(Л, &-{G2, В)) -^ .... (12.4)

§ 12. Сильные относительно проективные резольвенты 65
уже рассмотренный в (11.3). Определим G-изоморфизм из
(12.3) на (12.4) следующим образом:
Hom(^0(Grt+l, Л), В)=эФ^г|)е=Нот(Л, 0-(Gn+1, В)),
♦ (a)teo. • ••> гл) = ф(в*о® ••• ®8^®а).
Отсюда следует, что комплексы
0->Нот0(#~о(0,Л),В)-^ HomG(^0(G2, Л), В) -^> ... (12.5)
и
О -* HomG (Л, S^ (G, В)) -^ HomG (Л, Г (G2, В)) ^ ... (12.6)
имеют одни и те же когомологии; поскольку когомологии
второго комплекса есть Ext*(Л, В), то тем самым доказано
Предложение 12.2. Группа Ех\п(А, В) является п-й
группой когомологии комплекса (12.5).
Заметим, что при построении комплекса (12.3) можно
заменить (12.2) на любую сильную^ относительно проективную
резольвенту (можно доказать, так же как для следствия 2.5,
что когомологии комплекса (12.3) при этом не изменятся);
отсюда вытекает
Следствие 12.2. Если А относительно проективен, то
Ext" (Л, В) = О для всех п > 1.
12.3. Группу Тог„ (А, В) и Hn(G, E)
Определение 12.6. Для двух данных G-модулей Л и В
обозначим через Тог„(Л, В) п-ю группу когомологии комплекса
... -+Al®GB-*A0®QB-+Ot (12.7)
где
... Л!->Ло->Л->0 (12.8)
— некоторая сильная относительно проективная резольвента
для Л. То, что эти когомологии не зависят от выбора (12.8),
доказывается так же, как следствие 2.5.
Следовательно, группа Тог„(Л, В) является, в частности,
п-й группой когомологии комплекса
... -+F0(G2, Л)®яВ-*<Г0(О, Л)®оВ->0, (12.9)
а также комплекса
... -+A®GF0(G2, B)-+A®GF0(G, B)->0, (12.10)
поскольку можно определить G-изоморфизм из (12.9)
в (12.10), положив 8go® ... ®е^®а®Ь «-*a®eg0 ® ... ®
®е^®6.
Таким образом, получаем следующее
3 Зак. 76

66
Гл. 1. Когомологии дискретных групп
Предложение 12.3. Группа Тог„(Л, В) является п-й
группой гомологии комплекса 12.7 или комплекса ...-+ A® GBi-+-
->Л®оВ0-^0, где ...-+ В\-+В0-+B-+Q какая-нибудь
сильная, относительно проективная резольвента для В. В
частности, Тог0(Л, В) = А ® GB.
Следствие 12.3. Тог„(Л, В) = 0 при п^ 1, если А или Е
относительно проективны.
Доказательство. Такое же, как и у предложения 3.3.
Определение 12.7 (гомологии групп). Для каждого G-mo-
дуля Е положим Hn{G, E) = Torrt(Z, £), где Z—тривиальный
G-модуль. В частности, H0(GyE) = GE и Hn(G, £) —0 для
всех п ^ 1, если Е относительно проективен.
Предложение 12.4. Для любых двух G-модулей А и В
имеем Тог„(Л, В) = Hn{G,A® В) при п^О.
Доказательство. Комплекс модулей fFo(Gn+\ А)® В
изоморфен также комплексу модулей 3To(Gn+xy А® В).
Вычисление групп Hn(G,E)
По определению Hn(G,E) есть п-я группа гомологии
комплекса
... Л G(^0(G2, E)) A G(&~0(G, £))->0, (12.11)
где d'n получаются из dn (определенных в 12.1) переходом
к факторам. Определим Z-морфизм Т: &~0(Gn+\ £)->
-+&~o(GnyE) по формуле(Tf){gu ..., gn) = £ g~l. f(g,ggl9 ...
g
•••> 8g\ ••• gn) или иначе
77e ® ... ®г ®е) = г , ® ... ®е , «g"1*;
V g0 ёп J g0 g\ gn-\gn
легко видеть, что Г сюръективно и его ядро порождается
в fFo{Gn+\ E) элементами вида gf—/ (доказывается
индукцией по п с использованием отождествления ST0(Gn+l,E) ~
~ #"o(G, #"(G", Е)) по формуле е ® ... ®е ®е«-*е ®
8Q gn go
®(га ®г*а-1<, ® - • -®&g a-\ a ®eV Можно, следовательно,
V g\ g0gl g2 0^/2-Р/г /
отождествить 0(#"o(Gn+1» £)) с &~o(Gn, E); эту последнюю
группу обозначим через Cn(G, Е) и назовем группой я-цепей
для G с коэффициентами в Е. Комплекс (12.11) переходит при
©том в комплекс
... -^ CUG, Е) -^> С0(О, Е) -^ £-->0, (12.12)

§ 12. Сильные относительно проективные резольвенты 67
где оператор dn дается формулой
(dnf)(git ..., gn)=li [g~l 'f(g> gu .-•> gn)+ .
g
n
+ Z(—i)'/tei. •••. gi-u gg~lgi, gi+i, • ••> gn) +
+ (-l)n+lf(8l,--;gn,g)\ (12ЛЗ)
или иначе
djeg ® ... <8>eg ®<?\ = eg <g> ... ®eg/t+1®gf'e +
\ 1 /Z-f-1 / a
+ S(-l)'effl® ^.. ®%.^+i® ... ®e^+i®e +
+ (-l)"+1egi® ... ®e^®e. (12.14)
Этот оператор назовем оператором границы; обозначим
через Zn{G, Е) и Bn{G, E) соответственно ядро и образ
оператора dn\ их элементы назовем соответственно
циклами и границами. В частности, для п = 0 имеем d0f =
= Z(g'4(g)-f(g))-
g
В результате получаем
Предложение 12.5. Группа Hn{G,E) является п-й группой
гомологии комплекса (12.12), т. е.
Hn(GtE) = Zn(GtE)/Bn(G,E).
12.4. Двойственность между гомологиями и когомологиями
Определение 12.8. Будем говорить, что две абелевы группы
А к В двойственны, если задано такое биаддитивное
отображение (спаривание) (а, 6)н-> (а, Ь} из ЛХ# в Z, что
<а, 6) = 0 для фиксированного а и всех b ^ В тогда и только
тогда, когда а = О, и <а, 6> = 0 для фиксированного 6 и всех
а ^ А тогда и только тогда, когда 6 = 0. Для каждой
подгруппы Е в А определим обычным образом ортогональную
подгруппу Е1 в В и наоборот; тогда группы Е и B/Z?1
двойственны.
Если есть также две другие абелевы двойственные группы
А\ В\ то два морфизма и: А-* А' и v: В'-* В называются
двойственными, если (и(а), b'} = (a, v(b')y для всех аеЛ,
Ь' е В'\ тогда Кег и = (Im v)1 и Кег у = (Im u)1.
Пусть теперь А и В — G-модули, и спаривание (а,Ь)у—>
ь-><а,6> таково, что (ga,b} = (a, g~lb}. Тогда определим
3*

68
Гл. 1. Когомологии дискретных групп
спаривание на пространствах Cn{G,A) и Cn(G,B) по
формуле
<Ф. ^> = S <ф(£о> ••> gn)> Ф(5о» •••» ffj>; (12-15)
при этом морфизмы dn: Cn{Gy A)-+Cn+l{Gy А) и dn\ C+i (G, Я)-*
->Cn{G, В) двойственны. В результате получаем, что
гп± = в£\ z£ = Bn±±. (12.16)
Замечание 12.2. Соотношения (12.16) не представляют,
возможно, большого интереса с точки зрения алгебры; в то
же время в рамках теории гомологии и когомологии
векторных топологических G-модулей они дают благодаря
теореме Хана — Банаха полезный критерий для описания
коциклов, предельных для кограниц, через тот факт, что они
ортогональны циклам и наоборот (см. гл. III, лемма 2.2).
В том же круге идей легко доказывается
Предложение 12.6. Рассмотрим векторный G-модуль Е
над телом k и будем обозначать через V* пространство,
двойственное к векторному пространству V. Тогда Hn(G, £*)* =
= #„(G,£)*.
Историческое замечание. Группы Hn(G,E) были введены
в то же время, что и группы Hn(G,E) (см. историческое
замечание к § 1).
§ 13. Использование языка категорий
13.1. Группы Ext" и Тогл как производные функторы
в относительных категориях
Пусть А — фиксированный G-модуль; с ним можно
связать три функтора из категории G-модулей в категорию
абелевых групп: F\ = HomG(A •)> ^2 = HomG(-, Л), F$ =
= Л®0, т. е. F\(B) = HomG(A В) и т. д.; затем три
бесконечные последовательности функторов: F[n) = Ext" (Л, •), М?^
= Ext"(-, Л), F^ = Тотп(А, •). Они имеют следующие
свойства:
О) F? = Fu
(ii) F\n)(B) — Q для любого n^l, если В относительно
инъективен; F^ {В) = F$n) (В) = 0 для любого п ^ 1, если В
относительно проективен.
(iii) для любой точной последовательности G-модулей
0-+В1-+В2-+Въ-+<1 (13.1)

§ 13. Использование языка категорий
69
следующие последовательности также точны:
0^Fl(Bl)^Fl(B2)->Fl(B3)9
0->F2(B3)->F2(B2)^F2(B{)9
F3(B{)->F3(B2)->F3(B3)->0; .
(iv) если точная последовательность (13.1) сильная, то
существуют бесконечные точные последовательности,
«исправляющие» неточность предыдущих последовательностей:
0^Fl(Bi)-+Fi(B2)-»Fi(B3)-+F\(B{)-+...9
О->F2(B3)->F2(B2)-*F2(Bl)->Fl(B3)->...,
... -> Fl (Вз) -> ^з (Si) -> F3 {B2) -> F3 (Вз) -> О
(по поводу первых двух см. следствие 11.1; третья строится
подобным же образом).
Выразим эти четыре свойства, сказав, что F\ и F2 точны
слева, a F3 — справа и что F[n) и F[n) являются правыми
производными функторами для F\ и F2f a F3 —- левым
производным функтором для F3. При этом мы находимся в
относительной категории, определяемой функтором, который
каждому G-модулю сопоставляет его же, рассматриваемого как
Z-модуль. Понятие относительной категории и здесь весьма
кстати, поскольку мы рассматриваем сильные точные
последовательности, т. е. такие, которые расщепляются как точные
последовательности Z-модулей. Будем писать в обобщенном
смысле Extz(G), z и Тогл(С)' вместо Extc и Тог£.
Наметим очень коротко и приблизительно, как определять
производные функторы в относительных категориях.
Рассмотрим три абелевы категории зФ, $у «g7, функтор Н из зФ в $
и функтор F из зФ в Ч?> которые мы, для определенности,
будем считать ковариантными и точными слева. Точную
последовательность в зФ назовем сильной, если ее образ в $
расщепим. Определим естественным способом относительно
инъективный объект в зФ и сильную относительно инъектив-
ную резольвенту какого-либо объекта из зФ. Определим,
наконец, п-й производный функтор Яя) (или FlZltf) для F
следующим образом: для А^зФ объект Fn(A) есть п-я группа
когомологий комплекса Q-+F(A0)-+F{Al)-+F{A2)->-...y где
О-^Л-^Ло^Л1-*^-*... (13.2)
есть некоторая сильная относительно инъективная
резольвента для Л. .

70 Гл. I. Когомологии дискретных групп
13.2. Абсолютный вариант тех же понятий
Можно, разумеется, рассматривать неотносительные кате
гории, что означает, что каждая точная последов ательност
рассматривается как сильная; тогда (13.2) заменяется н
инъективную резольвенту. Например, для неотносительно
категории G-модулей можно ввести функторы Extz«3>
Tor« {G) как производные для HomG и ®G; в случае Extz(<
нужно снова вернуться к тому, чтобы заменить 5?£ на 9
(см. §10).
Отметим, что если рассматривать Z как тривиальны
G-модуль, то ExtSl0)(Z, E) = Extz(o, z(Z, E) = Hn(G, E
Tor?(G)(Z, £) = TorfG)'z(Z, E) = Hn(G, E). Это следует и
того; что резольвента (12.2) для Е='£ также являете
проективной. В самом деле, если есть сюръективный G-moj
физм и: А-+В и G-морфизм v: &~o(Gn+l)-+В, то можн
определить G-морфизм w: ^(G"*1)-*- Д удовлетворяющи
соотношению и ° w = v> по формуле
w(b ® ... ®е \ = g -а .1 _ -i ,
где ag{ gfi является для любых ji j„gG каким-ли^
прообразом в А элемента v(Bx®egl ® ... ®е#л).
Вместе с тем отметим, что построение абсолютных резол
вент представляет гораздо большую трудность, чем постро
ние относительных резольвент.
13.3. Другие примеры производных функторов
в относительных категориях
Рассмотрим какую-нибудь подгруппу К в G и возьме
в качестве функтора Я: s&-+$ функтор, сопоставляющ!
каждому G-модулю его самого как /(-модуль; тогда мы пр
дем к понятиям /(-сильных /(-морфизмов и /(-сильных /(-с
носительно инъективных резольвент ((3.14) является прим
ром такой резольвенты), а затем к группам Extz(G), z
(Ау В). В частности, группа Extz(G), Z(w(Zf E) обозначает
Hn(G, К, Е) и называется «я-й группой когомологии груш
G (с коэффициентами в Е) относительно группы /(»; лег
видеть, что
ExtimZiK)(A9 B) = Hn(G,K, Horn (Л, В)).
Для К= {1}, очевидно, имеем
Extz(G), zm»G4, B) = Extzu?),z04, В).

§ 14. Соотношения между гомологиями и когомологиями групп 71
С другой стороны, из предложения 3.3 следует, что если
К конечна, и Л и В— векторные G-модули над телом
характеристики 0, то
Extz(o).Z(Jo(i4, B) = Extz(G),z04, В).
Отметим также следующее: если К — нормальная
подгруппа в G, то &-K{Gn+\E)° = 0&*{Х»+19Е«)Х, где X=G/K,
так что. ЯЯ(С /С, E)=Hn(Q/K, Е«).
13.4. Когомологические функторы
Сопоставим каждому G-модулю А семейство H*(G, A)
и каждой точной последовательности G-модулей 0-^Л->
-»- А'->- А"->0 семейство w* Z-морфизмов wn: Hn(Gy Л")->
-*Hn+l(G, Л), определенное в § 4. Можно рассматривать эту
операцию как функтор из одной категории в другую,
удовлетворяющий следующим свойствам:
(i) #°(С,Л)=Л*;
(ii) последовательность (4.2) точна (точная
последовательность когомологий);
(iii) если А относительно инъективно, то Hn(G, A)=0
для всех п ^ 1.
Такой функтор называется когомологическим функтором,
причем, как легко видеть, свойства (i), (ii), (iii) определяют
его с точностью до изоморфизма. Впрочем, можно заменить
(iii) на (iii)': если А изоморфно &~{G,E)y то Hn(G, Л) = О
для любого п ^ 1.
Разумеется, можно дать аналогичное описание для
гомологических функторов и, в более общем случае, для любых
производных функторов.
Историческое замечание. Категории и функторы были
введены Эйленбер!юм и Маклейном [34]; производные
функторы— Картаном и Эйленбергом [15]. Алгебра
относительных гомологии, представленная более систематически в
приложении С, была разработана Хохшилдом [62].
§ 14. Соотношения между гомологиями
и когомологиями групп и алгебраическая топология
14.1. Экскурс в алгебраическую топологию
По поводу деталей можно обратиться к [135], § 5.31.
Для каждого целого п ^ О обозначим через А"
стандартный n-симплекс, т. е. множество таких элементов (аи ..., ап)
из Rnt что а, ^ 0 и 2]я;^1; при этом А0 превращается

72 Гл. I. Когомологии дискретных групп
в точку, обозначаемую 0. Определим отображения kni из А"
в Дп+ / = 0, ..., п + 1 следующим образом: &о(0)=1, k\ (0)==
= 0, ko(a\, ..., ал) = (1 — ai—...— a«, ab ..., an), kl(a\, ...
..., a„) = (ai, ..., ai-u 0» #ь • • • > cm) для любого * = 1, ...
Пусть теперь X — топологическое пространство;
сингулярным л-симплексом в X называется непрерывное отображение
а из А" в X; обозначим через Rn(X) множество таких
отображений и через Sn = ^"о (Rn (X)) — свободную абелеву
группу, порожденную множеством Rn(X)\ в частности,
R0(X) = X, So(X) = #"о(X); элементы из S„ называются
сингулярными «-цепями. Гранями сингулярного n-симплекса a
являются отображения а'= а о ft?"1, /—0, .♦., я; граница
симплекса а есть элемент 6rt_! =* X! (—1)' <*' ^ S«-i (X).
Это позволяет построить комплекс (цепей) абелевых
ГРУПП
... -V S,(*) -^ So(JT) -^ Z->0, (14.1)
где л (f) = Z / (*) Для любого f e S0 (X).
Пусть, наконец, А — абелева группа; применяя функторы
<8> и Нот (14.1), получим
_ J^SX(X)9AJ^ S0(X)®A-+0, (14.2)
0->Hom(S0(X), Л) -^ Hom(S1(X)f A) -^ .... (14.3)
Обозначим через Я«ор(Х, Л) и ЯГор(^, А) соответственно
гомологии и когомологии этих комплексов. Заметим, что
(14.3) можно также записать в виде
0->F(R0(Xy A) -1* РШХ, А) -^ ..., (14.4)
где(^/)(а) = П2Н1)^/(аг
14.2. Соотношения между гомологиями и когомологиями групп
Рассмотрим группу G, действующую в топологическом
пространстве Х\ обозначим через У пространство G\X орбит
G в X, снабженное фактортопологией, а через я —
каноническое отображение из X в У. Определим действие G в /?л(^)
по формуле (g-o)(t) = g(o(t)) для ?e=An, o^Rn(X), а
затем продолжим это действие на Sn(X) по линейности; тогда
Sn(X) становится G-модулем, а (14.1) —комплексом G-mo-
дулей.

§ 14. Соотношения между гомологиями и когомологиями групп 73
Лемма 14,1. Если X стягиваемо, то комплекс (14.1)
является сильным и точным.
Доказательство. Пусть хо— точка в X, а (усо)> где t^
е[0, 1], — семейство таких гомеоморфизмов пространства Х>
непрерывно зависящих от t, что у{(х) = х, lim yt(x) = x0 для
любого xg! Определим стягивающую гомотопию (sn)
в (14.1), положив
(sna)(ai9 ..., ап) = уа(о(а2/а, ..,, ап/а)),
где а = ai + ... + а„.
Лемма 14.2. Предположим, что п — расслоение и G
действует на X свободно (г. е. для любого g^G из gx = х,
где хбХ, следует g=l). Тогда G-модуль Sn{X)
относительно проективен и, во-вторых, GSn(X) = Sn(Y).
Доказательство. Покажем, что в действительности Sn(X)
является свободным Z(G)-модулем, откуда будет следовать
первое утверждение (см. замечание С.1).
a) Поскольку А" односвязен, то каждый элемент а из
Rn{Y) поднимается в элемент в' из Rn(X), откуда следует,
что Z-морфизм я: аь->яоа из Sn(X) в Sn(Y) является сюръ-
ективным.
b) Рассмотрим теперь такие два элемента о\ и сгг из
Rn(X), что яо01 = яоаг. Пусть t° — точка в А"; существует
такое g^G, что a2(t°) = g(o\(t0)); 02 и g<>o{ являются
двумя непрерывными отображениями, имеющими одинаковую
проекцию в У и совпадающими в некоторой точке;
следовательно, a2 = g° o\.
c) Покажем, что ядро отображения я* совпадает с ядром
канонического морфизма из Sn{X) в GSn(X), т. е. с
подгруппой Г в Sn(X), порожденной элементами вида go a — а, где
р
g^G, a^Rn(X). Пусть, следовательно, |= X ki°i — такой
элемент из Sn{X), что я*(|) = 0; собирая вместе а/, имеющие
одну и ту же проекцию, можно предположить, не теряя
общности, что jtoai= ... =яоар; тогда k\ -f ... + kp = 0
р
и можно написать g = X &/ • (ai — ^1); согласно Ь), суще-
*=2
р
ствует такое git что a/ = g, о аь откуда |= X h ' (g* ° <*i —
i«2
d) Покажем, наконец, что элементы а', где а пробегает
Rn(Y), образуют базис Z(G)-модуля Sn(X). Прежде всего
| они независимы, так как если предцоложить, что существует

74
Гл. L Когомологии дискретных групп
р
соотношение 2 а.в' = 0, где at суть элементы из Z (G) и а/ —
попарно различные элементы из Rn(Y), то это означает, что
t ЕМ*)-ЙГ"< = 0, (14.5)
i-lgeQ
но поскольку G действует на X свободно, то элементы go or,
попарно различны.и, значит, из (14.5) следует, что a*(g) = 0
для всех i и всех g.
Далее, элементы а' порождают весь Z(G)-модуль Sn(X),
так как, согласно Ь), для любого xsi?«(X) существует такое
g" e G, что т = g о (я о т)'.
Предложение 14.1. Предположим, что X стягиваемо, что п
является расслоением и что G действует на X свободно;
тогда Hn(G, Л) = #*„ор(У, Л), Нп(09 Л) = #Гор(У, А), где А
рассматривается как тривиальный G-Модуль.
Доказательство. Согласно двум предыдущим леммам,
(14.1) является сильной относительно проективной
резольвентой тривиального G-модуля Z; согласно п. 12.2 и 12.3
группы #*(G, А) и #*(G, А) являются соответственно
гомологиями и когомологиями комплексов (Sn{X)® GA)
и HomG(Sn(X), А)); лемма 14.2 показывает, что
Sn(X)®GA ~ (Sn(X)®GZ)® A ~ (GSn{X)) ® A ~ Sn{Y) ® А;
HomG(Sn{X), A)~Hom(Sn(X)®oZt А) ~ Hom{Sn{Y, A)).
14.3. Примеры
Пусть G — связная группа Ли, К— максимальная
компактная подгруппа, Г — замкнутая дискретная подгруппа без
кручения. Определим действие Г на G/K по формуле y{gK) =
= (yg)K\ тогда выполнены условия предложения 14.1 (ср.
[81], § 111,3) и Нп(Т9 А)~н]г°»(Т\С/К, Л), Нп(Т, А)~
~#?ор(Г\0//С,,Л).
Пример 1. G = Rn, r = Z", tf = {0}; тогда Y = Jn и из-
вестно, что #fop(TP, Z) ~ /#P(TT, Z) ~ Zw\ отсюда следует,
что HP(Z\ Z)^Hp(Zn, Z)~Z©.
Пример 2. Возьмем в качестве G пространство R3,
снабженное следующим умножением: (а, Ь, с) (а', &', с') = (а+а'
6 + Ь\ с + с( + об' — л'6); в качестве /С возьмем тривиаль
ную подгруппу, в качестве Г — подгруппу Z3; тогда T\G/K—
достаточно сложное топологическое пространство, но Н* (Г, Z]
было вычислено в § 9, пример 1,

§ 14. Соотношения между гомологиями и когомологиями групп 75
Пример 3. Возьмем G^=SL(2, R), /( = SO(2); X
совпадает с полуплоскостью Пуанкаре Р со следующим действием
azJ~d Предложение 14.1 неприменимо для
подгруппы SL(2, Z), поскольку она имеет кручение; но пусть
Г (2)—«арифметическая конгруэнц-подгруппа», т. е. множе-
к::)-
с:)
ство таких матриц! JeSL(2, Z), что and нечетны,
а Ь и с четны; обозначим через PSL(2, R) фактор группы
SL(2, R) по подгруппе {1,—1} и через р — каноническое
отображение из SL(2, R) на PSL(2, R); положим, наконец, Г =
= р(Г(2)). Тогда Г является свободной группой, порожден-
/Г2Г /1 0\
ной элементами р I . I и pi 9 .1 (см. [81], VII, 6); она
не имеет, следовательно, кручения и предложение 14.1
применимо к Г и Р\ Г\Р является некомпактной поверхностью
Римана, описанной в [81], XI, 3. Наконец, следствие 6.1
показывает, что
//Гор (Г \ Р, Z)~Hn(T9 Z).
Нот (Г, Z)~Z2 при /г=1,
0 при /г^2.
Замечание 14.1. Можно показать (см. [31]), что для
любой группы G существует топологическое пространство X
и действие G на X, удовлетворяющее условиям
предложения 14.1; при этом У — только одно с точностью до
гомотопической эквивалентности; оно называется
классифицирующим пространством для G и обозначается Ва, в то время
как X обозначается Еа.
Замечание 14.2. Пусть снова выполнены условия
предложения 14.1, кроме «X стягиваемо». Рассматривая бикомплекс
Кр*я = gr(GP+{,ff~(Rq(X)y A))Gy можно легко построить
спектральную последовательность (называемую спектральной
последовательностью Картана — Лере), удовлетворяющую
соотношениям EP2q~Hp(G, Н?ор(Х, A))=>H*(Y, А).
Историческое замечание. Идея предложения 14.1 восходит
к самому раннему времени теории когомологий групп (см.
исторический обзор в начале книги).

Глава II. КОГОМОЛОГИИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ
АЛГЕБР ЛИ
§ 1. Общие понятия
По поводу общих понятий, касающихся алгебр Ли и д-мо-
дулей, мы отсылаем к § В. 1; по поводу комплексов и их
морфизмов — к гл. I, § 1. Ниже везде рассматривается
вещественная алгебра Ли g и ее подалгебра $, которая
предполагается редуктивной в g l).
Определение 1.1. Инъективный (соответственно сюръек-
тивный) g-морфизм называется ^-сильным, если он допускает
левый (соответственно правый) обратный Аморфизм. Отсюда
получаются, так же как и в гл. I, § 1, понятия
(произвольного) ^-сильного g-морфизма и ^-сильного комплекса д-моду-
лей; в частности, комплекс является ^-сильным и точным,
тогда и только тогда, когда он допускает стягивающую гомо-
топию, образованную Аморфизмами.
Определение 1.2. g-модуль Е называется \-инъективным,
если для любых g-модулей А и В любого ^-сильного инъек-
тивного g-морфизма и: А-*В и любого д-морфизма v: A-+E
существует такой д-морфизм w: В-*Е, что w ° и = v.
Эти понятия ведут к результатам, аналогичным
предложению 2.2 и следствию 2.5, гл. I.
Предложение 1.1. Рассмотрим ^-модуль £, его ^-сильную
d°i d\
резольвенту: О->'£->£? —► Е\ —► ... и комплекс Q-моду-
О "2 , 4
лей О -> Е -> £*2 —> Ег —► ..., где все модули £2 \-инъек-
тивны. Тогда
(i) Существует Q-морфизм комплекса О -+Е°\ ->Е\ -> ... в
комплекс 0->£,2->£,2-> ..., продолжающий id£.
(ii) Любой Q-морфизм этих комплексов, продолжающий
Оя, гомотопен нулю с гомотопией, образованной
аморфизмами.
1) То есть пространство g является полупростым д-модулем.

§ 2. Примеры %-сильных %-инъективных резольвент 77
Следствие 1.1. Рассмотрим два ^-модуля Е и F и две
^-сильные \-инъективные резольвенты
0->F->F?->f!-> ..., (1.1)
0->F->F°2->F{2-+ ... . (1.2)
Тогда
(i) Комплексы Ki:0-> Hqmg (F, F?) -> Homg (F, F}) -> ...
гомотопически эквивалентны и имеют, следовательно,
изоморфные когомологии.
(и) Сопоставим каждому морфизму и: (1.1)->(1.2),
продолжающему idf, морфизм комплексов К\-*К2 и
ассоциированный с ним морфизм H*(Ki)-*H*(K2). Тогда последний
является изоморфизмом, не зависящим от и.
N. В. Если Е и F — вещественные (соответственно
комплексное) векторные пространства, то Hom(F, F) обозначает
пространство R- (соответственно С г) линейных отображений
из Е в F; если Е и F — g-модули, то Homg (F, F) обозначает
пространство таких С-линейных отображений и, что Хои =
= и о X для всех Xgj.
Определение 1.3. Для двух данных g-модулей Е и F
обозначим через Ext£ $ (F, F) п-ю группу когомологии
комплекса 0->Homg(F, F°)->Homg(F, F1)-* ....полученного из
какой-нибудь ty-сильной |)-инъективной резольвенты для F
(существование таких резольвент будет показано в § 2). Для
g-модуля Е положим #л(д, $, F) = ExtJ, $ (С, F), где С
рассматривается как тривиальный д-модуль.
Отсюда видно, что Ext", § (F, F) = 0 для всех F и всех
/г^1, если F |)-инъективно.
Предложение 1.2. Любой комплекс, образованный (д, ty)-
модулями (см. § В.2), является ^-сильным.
Следует из того, что каждый такой модуль полупрост
как ^-модуль.
Предложение 1.3. Любой комплекс, образованный (д, К)-
модулями и (д, К)-морфизмами (см. § В.З), является К-силь-
ным, т. е. канонические отображения Кег dn-*En и F*/Ker dn-+
-+En+l допускают левые обратные К-морфизмы.
Следует из леммы В.7.
§ 2. Примеры 5-сильных О-инъективных резольвент
Рассмотрим снова подалгебру ty, редуктивную в д, и будем
писать для простоты V = U($), V = U(f)).

78 Гл. II. Когомологии вещественных алгебр Ли
2.1. Конструкция цепной резольвенты
для тривиального модуля
Положим для каждого целого п ^ 0 Fn = U ® Лл(дД)
и определим представления я и р алгебр g и ty в Fn по
формулам
Jtffi'(^№A ... ЛХп)) = Хи®(Х{Л ... ЛХп), (2.1)
р(Г)-(и® &Л ... ЛХ„)) = -иУ®№Л... Л*„) +
+ I и® № Л ... Л [У, i<] Л ... Л Ха). (2.2)
Тогда
п(Х)-р(Г) = р(Г)-п(Х) (2.3)
для любых Xgj, Уе&.
Обозначим через Gn векторное подпространство в Fn,
порожденное элементами вида р(У)-а, где Уе^, a^Fn;
положим Fn = Fn/Gn = £/® уЛЛ(д/|)) и обозначим через ft
представление 8 в Fn, индуцированное представлением я. Легко
видеть, что формула
4("®№Л ... ЛХ„+1)) =
i = l
+ Е(-1)'+-"®([£Гл:/]лх1л... л1,...л*/...л*„+1)
(2.4)
имеет смысл и определяет линейное отображение из Fn+\
в Fn, которое является g-морфизмом для действия ft.
Рассмотрим последовательность
... ^А^Л^о-^С-^О, (2.5)
где г| — аугментация алгебры U (т. е. такое отображение из
U в U, которое рарно 1 на 1 и 0 на всяком произведении
gi ... gn, где#ь ...,g„E=g).
Лемма 2.1. Имеем: ц о do = dn-\ °dn = 0; иначе говоря,
(2.5) является комплексом ^-модулей.
Доказательство. Можно проверить непосредственно, но
есть и более элегантные доказательства (см. [56], VII, 4),
Лемма 2.2. Комплекс (2.5) точен.
Доказательство. Определим фильтрацию в Рп, обозначив
через Fn векторное подпространство в Fn, порожденное
элементами вида uv®(X\ ... ЛХп), где we(/p.n(j) (обозначе-

§ 2. Примеры ^-сильных ^-инъективных резольвент 79
ния из [28], § 2.3, где Up-n(Q) означает подпространство в U>
порожденное всеми произведениями вида gr ... -gp-n, где
g[, ..., Jp-nEj) и v^V. Очевидно, что dn отображает
Fn+\ в Fnl поэтому возникает факторкомплекс; но, согласно
[28], 2.3.6, ВДГ1 ~Sp-nm ®уЛяШ-
Следовательно, возникает комплекс
... ^sp-n-\m®v^lm^sp-nm®vAnm->...;
(2.6)
оператор границы задается формулой
а®(Х,Л ... a4i)^H(-1)'+i^®№A...
... л xt... л хп+1).
Выберем базис (е;) в д/& и определим стягивающую гомото-
пию в а в (2.6), положив для
| (-1)4, .•• %_, ®
Ч". •••%»(•/. л-л»/г))- «(•/.*••• л«/,л<д,
если /г < /^
О, если . jq < /г.
Отсюда следует, что компл^кс^ (2.6) точен; используя
сечения для отображений Fn->Fn/Fn~ , легко получаем
отсюда, что комплекс (2.5) также точен (более подробно
см. в [62]).
Замечание 2.0 (устное сообщение М. Дюфло и Д. Виг-
нера). В случае когда \) = б, можно дать явную формулу
для стягивающей гомотопии комплекса (2.5), а именно
s: Fn->Fn+us(Xr®(X{A ... Л*„)) =
= г! Z Cq, нх hn-Xq®(XA ЫХр . Zl Л ... Л ЫХ)н*Хп);
ЗДеСЬ 9 + ftl + ft2+ ... + /** = Г— 1,
1
С,, Al нп = (91ЛП ... hn\yx $ ^fiAl (0 ... Вл„(0 . Л,
где Bh является полиномом (типа полинома Бернулли),
определенным соотношениями В0(/) = /, Bh(t)=* £) тл для
любого f = 1, 2, ... .
Лемма 2.3. %-модуль Fn {с действием й) является (д, ^)-
люд*/л еж,

80
Гл. II. Когомологии вещественных алгебр Ли
Доказательство. Благодаря (2.3), можно определить
представление а алгебры ty в Fn по формуле о(У) = я(У) +р(У).
Используя свойства (g, ty)-модулей, приведенные в § В.2,
и условие, что \> редуктивна в д, легко получаем, что д, ®пд,
д/|), Лп(д/$) являются (д, |))-модулями для присоединенного
действия; следовательно, Fn— (g, ty)-модуль для
представления а; при этом Gn инвариантно относительно а и,
следовательно, Fn есть (g, f)) -модуль для а = л; + р, причем р = 0.
Лемма 2.4. Комплекс (2.5) является ^-сильным и точным.
Это следует из лемм 2.2, 2.3 и предложения 1.2.
2.2. Конструкция f)-сильной ^-инъективной резольвенты
для Q-модуля Е
Положим £o=Hom(Fnf Е) = Нот (U ® v Л" (д/$), е)\ £о
является, следовательно, множеством таких отображений
(и, Х\, ..., Xn)*->f(uy Xu ..., Хп)^Е, которые полилинейны,
антисимметричны по Xi и удовлетворяют условию
f (uY, Хи ..., Хп) = Z / (и, *„ ..., [Oi], ..., in) (2.7)
для любого У е ^.
Определим представление g в £о, используя
представление я в F„, а именно:
— ЛГ-/(а, *! Xn)-f(Xu9il9 ..., *я), (2.8)
а затем последовательность
0->£ —>Ео—*£i-* ..., (2.9)
применив функтор Нот к последовательности (2.5), т. е.
(е0 • е)(и) = t](и) • е для любых ие[/, е^Е, (2.10)
(do/)("» A'i, ..., *n+i) =
= Zj (—1) f(uXi> Х\> •••» ^/» •••> ^n+i) +
+ E(-i)'+'/(«. [ад],х„..., 1 i, jB+l).(2.П)
i<f
Лемма 2.5. Комплекс (2.9) является усильной
резольвентой для Е.

§ 2 Примеры ^-сильных ^-инъективных резольвент 81
Доказательство. Это следует из элементарных свойств
функтора Нот; в частности, определим стягивающую гомо-
топию (sn), положив snf = f osn.
Заменим теперь комплекс (2.9) на другой, изоморфный
ему, но более удобный.
Обозначим через Еп пространство таких отображений
{и, Х\, ..., Хп)*—>f(u9 Х\9 ..., Хп)^Е, которые полилинейны,
антисимметричны по Xi и удовлетворяют условию
Y-f(u9Xu...9 Xn)-f(Yu, Xl9 ..., Хп)-
-Zf(u9Xl9...9 [О*]. .... Xn) = 0 (2.12)
i
для любого Уб|; определим представление g в Еп по
формуле
(X-f)(u9Xl9 ..., Xn) = f(uX9 Xl9 ..., Хп)' (2.13)
рассмотрим последовательность
0->Е-^Е°-^Е1-^Е2-> ..., (2.14)
где
(ее)(и) = и-е9 (2.15)
(dnf)(u9X[9...9Xn+l) =
= Z(-i)i+lxrf(u9xi9...9 xl9...9 хп+д +
i
+ Z(-l)if(Xiu9X{9 ..., Xi9 ..., Z„+1) +
+ 2 ("— i) • /(M> l^*» л/], xl9..., Zj«, ..., X/,..., xn+i).
(2.16)
Лемма 2.6. Последовательность (2.14) является
комплексом, изоморфным (2.9), и9 следовательно, есть ^-сильная
резольвента для Е.
Доказательство. Обозначим через С: U-*U®U копроиз-
ведение на V и через иь->ит главный антиавтоморфизм на
U (см. [281, 2.2 и 2.7)1). Для каждого элемента / из
Нот ((У® Л"(д/1)), Е) определим элемент Л/ из Нот (£7®
®U® Ап(q/Ъ),Е) по формуле: Af (и{ ® и29 Хи ..., Хп) = щХ
Xf(ul9 X{9 ..., кп); для f&E$ и g^En положим
(Bf)(u, Хи ..., Xn)=Af(C(u)9 Хи ..., Хп)9 (B'g)(u9 Хи ,,.
-..,Xn) = Ag{C(u), Xu ...,Хп).
1) На элементах X&qczU этот антиавтоморфизм имеет видЯг=?—X

82 Гл. II. Когомологии вещественных алгебр Ли
Без труда проверяется, что В к В' отображают £о в Еп
и наоборот и что они коммутируют с действием g и
операторами кограницы; наконец, можно показать, что В о В/ = id (и то
же самое, В'о В = id), т. е. (BB'g)(u9 Xu ..., Хп) =
= g(u} Xu ..., Хп), воспользовавшись индукцией по степени
относительно обычной фильтрации в V.
Лемма 2.7. ^-модуль Еп \-сюръективен.
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
а
ч '
Е\
где А я В являются g-модулями, а а и р — g-морфизмы; s —
такой Аморфизм, что soa = id^. Определим такой д-морфизм
у: В-+Еп, что у<>а = р, положив (yb) (и, Х\, ..., Хп) =
= (Р-5-М-6)(1,^ь...,^я).
В результате получаем
Предложение 2.1. Пусть I) — редуктивная в g подалгебра,
Е — ^-модуль. Последовательность (2.14), где Еп, е, dn
определены, в (2.12), (2.13), (2.15), (2.16) является ^сильной
\}-инъективной резольвентой для Е. Эта резольвента
называется стандартной.
Замечание 2.1. (Случай (д, I))-модулей.) Предположим,
что Е — (д, I)) -модуль и i редуктивна в д; леммы 2.3 и В.2
показывают, что модуль (Ео\ = Hom(Fni Е)^) (обозначения
см. в § В. 1) является (д, I))-модулем и, как следует из
изоморфизма между Еп и £о, модуль Cft» — также (д, I))-модуль.
Рассмотрим в (2.14) следующий подкомплекс:
0->£->4)->£(\)-> ..., (2.17)
используя стягивающую гомотопию в (2.14), образованную
Аморфизмами, сразу получаем, что (2.17) точна. Более того,
легко видеть, что модули £[\) являются инъективными
объектами в категории (д, I))-модулей. Это показывает, что
каждый (д, I)) -модуль допускает инъективную резольвенту в
категории (д, I)) -модулей (по поводу этой категории см.
также §9).
Замечание 2.2. (Случай (д, К) -модулей.) Предположим,
что Е является (д, К) -модулем (см. § В.З); группа К
действует в U и в A/*(g/t) по присоединенному представлению
Ad, а значит, и в Нот(£7 ® A"(g/f), E) по формуле (k-f)X
Х{и, Хи ••, Хп) = Н(МНтх-щ Ad^.Zj, ..., Adk~l-Xn);

§ 3. Вычисление Нп(& $, Е) и Ext$% ъ (Е, F) 83
при этом Еп инвариантно относительно /С, оператор dn
является морфизмом (д, К) -модулей, множество Е^}
/(-конечных векторов в Еп — также (д, К) -модуль; заменим
стягивающую гомотопию из (2.14) другой, образованной /С-мор-
физмами (см. предложение 1.3); ясно, что последователь-
иость 0->£-> £■(/()—> Е(ю—*... является точным
комплексом. Более того, легко проверяется, что модули Е"ю являются
инъективными объектами в категории (д, К) -модулей.
Это показывает, что каждый (д, К) -модуль допускает
инъективную резольвенту в категории (д, К) -модулей.
§ 3. Вычисление //л(б, %Е) и Ext^ (E, F)
3.1. Вычисление Я* (в, I), Б)
Согласно предложению 2.1, #"(g, I), E) является п-й
группой когомологий комплекса 0 ->(E°f ->(Elf -> Элементом
из (Enf является отображение /, удовлетворяющее условию
(2.12), а также условию f(uu\ Xu ..., Хп) = ц(и') -}(и, Хи ...
..., Хп)\ положив ф(Хь ..., Xn)) = f{\, Xu ..., Хп), видим,
что (Enf отождествляется с множеством Hom^A^g/ty), e)
таких элементов ср из Нот (Ап (дД), Е), что
£ф(*„ .... [О*],..., *,)=»/• Ф(*, хп) (зл)
для любого KgJ и любых J?i, ..., Xn^Q/Ъ] оператор
кограницы переходит в
(d\)(ku ..., xn+l)= Z (-i)'+1 х, • ф№, ... Д,...,хп+1)+
+ Z (-1)г+/ф([0/1, *i h, ..-, */, .... *„+,), (3.2)
*</
что корректно определено благодаря (3.1). Итак, имеем
Предложение 3.1. Группа #"(g, I), E) есть п-я группа
когомологий комплекса (С*(д, I), £), d*), где С*(д, $, Я) =
==Ногщ(Л,*(д/*)), £) I/ где dn даются формулой (3.2).
Положим, как обычно, Zn = Кет dny Вп = In\dn~\ В0 = О,
так что Нп = Zn/Bn\ элементы из О, Z", В" называются
соответственно коцепями, коциклами и кограницами.
Замечание 3.1. Если два g-модуля Е и F изоморфны как
вещественные модули, то #n(g, I), Е) и #"(д, I), F) R-изо-
морфны и, следовательно, имеют одну и ту же размерность.

84 Гл. II. Когомологии вещественных алгебр Ли
Частные случаи
Для /2 = 0 имеем: С°(д,!), Е)=Е\ (d°e)(X)=Xey Z°(g, $, £)=
= Я°(д, *, £) = £9.
Для /г=1 имеем: С1 (9, 5, £) = Нот$ (дД>, £), (dlf)(Xu Х2)=
= X{-f(X2)-X2.f(X,)-f([x7x2]).
Для л> dim g/^ имеем: Я"(д, $, £) = СЛ(д, I), £) = 0.
Когомологии прямой суммы и прямого произведения.
Предложение 3.2. Для любого семейства Q-модулей (Ei)
имеем Я*(д, J, ®£,)=®Я*(в, I), Я/), #"(й> I), ГЩ) =
= ШУ(вЛЯ/).
Доказательство. Второе утверждение очевидно; первое
следует из того, что поскольку размерность фактора дД
конечна, то каждая коцепь может принимать значения только
в конечном числе ненулевых компонент (ср. с п. 4.1, гл. I).
3.2. Случай, когда Ь = 0
Будем писать тогда С (в, Е), Z"(g, Е), Bn(q, E), Я*(д, Е)
вместо С"(д, 5, £) и т. д., так что C"(g, E) = Hom(A% E);
(dnf)(X{, ..., XJ=£(-1)W *,■/(*,, .... Xi9 ..., *Л+1) +
*</
Для каждого Хе=д определим линейные отображения
Lz: C*(g, £)->C"(g, В), /*: С (в, E)-+Cn~l{qy E), где
М№ ^-^/№ W-f№, ;... № Xtl ...
...,*«); (<V)№> ..., **-i)=/(X, *ь ...,**-i). Легко ви-
;тптц что Lx = ix о d -{- d о iXm
Отображение L является представлением g в Cn(g,£),
которое коммутирует с оператором кограницы и,
следовательно, определяет представление в Яг(д, Е).
Предложение 3.3. Описанное выше представление g в
Я"(д, Е) тривиально.
Это следует из (3.3).
Замечание 3.2. Пространство C"(g, I), E) естественно
отождествляется с подпространством в С"(д, £), образованном
такими /, что f(Xh ..., Хп) = 0 и dnf{Xu ..., X„+i) = 0, если
какое-то X/ принадлежит I), т. е., иначе говоря, ixf = Lxf = 0
для любого XgJ.

§ 3. Вычисление Нп($, Ъ, Е) и Ext*t ^ (E, F) 85
Предложение 3.4. Пространство Н1($, I), Е) вложено в
Н1 (д, Е) и совпадает с ним, если Н] (I), E) = 0.
Доказательство. Первое утверждение: если коцикл / е
е Z1 (j, ^, £) является кограницей какого-то элемента е из £,
то е ^-инвариантен и, следовательно, [ g В1 (g, |, cf.
Второе утверждение: пусть feZ^j.f); так как
#*(!), £) = 0, то существует такой еб£, что f(Y)= Y-e для
любого У^1); коцикл X->f(X)—Х-е эквивалентен / и равен
нулю на У el), а следовательно, лежит в Z*(g, 1), £).
Замечание 3.3. Если I)—идеал в д, то он действует
тривиально на g/J и, следовательно,
C(g, &^== Нот (ЛЛ («/*), ^
и
Яя(в, *,£)== Я"(«/*.£*)•
3.3. Свойства, использующие ^-инвариантное
дополнение к !) в 9
Предложение 3.5.
(i) Пусть V — ^-инвариантное подпространство в д,
дополнительное к I); гогда Сп(д, I), £) совпадает с Hom^ (AnV, Е).
(и) Если [I)', I)'] лежит в I), то оператор кограницы
переходит в
{dnf)(xu .... хл+1) = Х (-1)'+,хг f№,.... U..... *,+i).
(3.4)
(111) Если к тому же Е — тривиальный g-модуль, то
оператор кограницы равен нулю и #"(g, I), Е) = Нот$ (ЛЛУ,£).
Доказательство очевидно.
Пример. Это применяется, в частности, когда g
полупроста, а в качестве | и У берут соответственно
подмножества f и р из разложения Картана g = 1©р. Например, для
g = si (2, R) и тривиального g-модуля [С] получаем
„, Л л f 1, если Ai = 0, 2,
I 0 в остальных случаях.
Следствие 3.1. Если g — абелева и Е — тривиальный д-лю-
дуль, то Н» (д, !>, Е) = Нот (Л» (дД), £).
3.4. Вычисление групп ExtJ, $ (E> F)
Напомним, что для двух g-модулей Е и F через Нот(£, F)
обозначается пространство С-линейных отображений из Е

86 Гл. //. Когомологии вещественных алгебр Ли
в £, снабженное структурой g-модуля по формуле Х-и =
= X о и — и° X.
Предложение 3.6. Группа Ext£ $ (£, F) изоморфна группе
#»(g,D, Horn(£,£)).
Доказательство. Определим Fn, исходя из £, так же как
были определены Еп в предложении 2.1, исходя из Е\
Extg, $(£, F) являются когомологиями комплекса Hoirig (£, £*),
иначе говоря, Нот9(£, Fn) отождествляется с С"(д, $,
Hom(£, F)) при сопоставлении каждому / е Homg(£, Fn)
элемента ф, определенного по формуле ф(Хь ..., хп)(е) =
= f(e){l,Xu...,Xn).
Следствие 3.2. Extg, ^ (£, F) = Нот8 (£, F).
3.5. Случай (в, ^-модулей
Предложение 3.7.
(i) для любого ^-модуля Е имеем #n(g, *>, £) = #"(g, J),
£($>)•
(ii) Если Е — допустимый (д, I)) -модуль (определение
см. в § В.2), го #л(д, 5, Е)— конечномерно.
Доказательство.
(i) Если f e Сл(д, I), £), то его образ в £ состоит из 1)-ко-
нечных элементов, так как Лп(д/|)) имеет конечную
размерность, откуда и следует утверждение.
(ii) Обозначим через 6i, ..., бг элементы из % входящие
в разложение пространства Л*(д/|)). Пусть £ = ©£б, где £б
являются изотипической компонентой в £, имеющей, согласно
условию, конечную размерность; тогда C(g, §, £) = Нот$Х
XlA^Cg/^), ®£^ ) и правая часть имеет конечную
размерность.
Предложение 3.8. Если Е и F — допустимые (д, I)) -модули,
то Extg, ь (£, F) = Extg, * (£, £) (здесь £ = £ft>).
Это следует из предложений 3.6, 3.7 и леммы В.З.
Замечание 3.4. Можно показать, что Extg, 9 (£, F)
конечномерно, если £ является g-модулем конечного типа
(рассматриваемым как t/(g) -модуль) и если F — допустимый (g, J))-
модуль (см. [7], 1.2.8 и замечание 9.1 ниже).
Вместе с тем можно показать, что если g унимодулярна
и £ и F — допустимые (д, I))-модули, из которых по крайней
мере один конечномерен, то Extg, $ (£, F) канонически
двойственно к Ext^V(£, £), где m == dim(g/f)) («двойственность
Пуанкаре», см. [7], 1.2.9). Наоборот, это неверно, если

§ 3. Вычисление Нп(& J, E) и Extn^ $ (E,F) 87
dim£ == dim/7 =+00 (см. п. 10.4 и 10.5). В частности, если
Е унитарно, то dim#"(g, I), Е) = diintf™-"^, 1), Е) (см. лемму
В.1 и замечание 3.1).
3.6. (fl, К)-когомологии
Рассмотрим теперь группу Ли G, компактную подгруппу
/С, их алгебры Ли g и f. Для каждого (д, К) -модуля Е
определим Н* (g, f, Е) как когомологии комплекса С*(д, /С, £) =
= Нотк(Л*(д/{),£)) с кограницей (3.2), где К действует
на Лл(д/!) по присоединенному представлению. Если Е и F —
два (д, К) -модуля, то определим Ext£, /<(£, F) = Hn($, /C>
Uom(E}F){K)). Hom(£, F){K) является (g, К)-модулем, соглас-
но лемме В.5.
Заметим, что если К связна, ToHom^^Homf и,
следовательно, #»(д, К, Е) = Я»(в, f, E), Ext?. *(£, F) ~ Extg% (£, F).
Если Е и F — два допустимых (д, К) -модуля, то Ext^X
X{E,F)~Extlt(F9E).
Замечание 3.5. Пусть теперь Е — некоторый G-модуль
класса С°° (см. § D.4); тогда можно рассмотреть комплекс
С"(д,/(,£) = Нот*(Л"(g/f)£) и обозначить через Нп{&К,Е)
его когомологии; определим, наконец, для двух G-модулей Е
и F класса С°° группы Ех^,к(£, F) по формуле Ext£/c(£,
F) = Hn($, К у Нот(Еу F))f поскольку Hom(£, F) является
G-модулем класса С°° (см. лемму D.14). Так как A"(g/f)
конечномерно, то всякий элемент из C*(g, К E) принимает
значения в Ет (который является (д, К) -модулем, см. § В.4)
и, следовательно, #"(д, tf, £) = //*(g, /С, Ет), Ех$лК(Е9 F) =
= Hn(q, /С, Hom(£, F){K).
Если, наконец, К связна, то Нот^ == Нот* и,
следовательно, Нп (д, /С, Е) = Нп(д, f, Е{К)), Ext?, к {Е, F) = Нп (д, f, Horn (Е9
FU)).
3.7. Соотношения между ExtJ $ и Ext£
Мы ограничимся формулировкой некоторых результатов
без доказательств.
Рассмотрим два (д, $)-модуля Е и F и положим G =
= Hom(EfF).
(i) Обозначим через C?(g, G) множество я-коцепей, ко-
п
торые 1)-инвариантны, т. е. £ f №> • • • > [^» Я*] • • • Хп) = У X
Х/№> ...,^л)для любых К el), Xieg. Тогда каноническое
вложение С$(8> G)->C"(g, G) индуцирует изоморфизм
космологии (см. [29]),

88
Гл. II. Когомологии вещественных алгебр Ли
(и) Из (i) следует, чтоЕх$(Е, F) = #*(g, G) = Hn{^ G(W).
(iii) Существует такая спектральная последовательность,
что Ер2 q = Hq ($, С) ® Яр (9, ф, Я) =ф- Я* (9, Я), где С,
рассматривается как тривиальный g-модуль (см. [65]; там
предполагается, что dim£< оо, но доказательство остается верным
для произвольного (д, 1))-модуля).
(iv) Из (ii), (iii) и леммы В.2 следует, что существует
такая спектральная последовательность, что
El' q = Hq (*>, С) ® Ext8p, * {E, F) =* Ext; (£, F).
Если, в частности, ( полупроста, то Я1 (1),С) = #2(I), j£) = О
(см. предложения 11.2 и 11.3 ниже); из следствия А.4 тогда
следует, что Ext£(£, F) = Ext£*(£, F) для дг= 1, 2.
(v) Если |) имеет дополнительный идеал в д, то
спектральная последовательность из (iv) упрощается и дает
изоморфизмы Ext*(£, F)~ © Я'О), С)® Ext£*(E, F) (см. [29]);
более точно, определим линейное отображение
Т: © С*ft, C)®Cp(g, *, 0)^Ся(й, G)
по формуле
Г(ср®*)(^1. ..., *«)=■
= Z е5 • Ф{Xsо) • • • XS(p)) • ^(Xs(p+i)... XS(n));
SGan
тогда Т индуцирует изоморфизм в когомологиях.
Замечание 3.6. Из свойства (iii) и замечания 3.4 следует^
что Extg (£, F) конечномерно, если Е является g-модулем
конечного типа, a F — подходящий (д, I)) -модуль.
Историческое замечание. Относительные когомологии
алгебр Ли введены Шевалле и Эйленбергом [19] с помощью
комплекса C*(g, I), E), а затем определены в рамках сильных
относительно инъективных резольвент Картаном —
Эйленбергом [15] и Хохшилдом [62]. Соотношения между
абсолютными и относительными когомологиями были исследованы
Серром — Хохшилдом [65] и Дюклу [29].
§ 4. Различные свойства групп Ext£$(Z:, F)
4.1. 2-когомологии и расширения алгебр Ли
Ситуация полностью аналогична той, которая изучалась
в гл. I, § 6. Расширением алгебры Ли g с помощью абелевой
алгебры Ли # называется точная последовательность
O-*a-^$-^0-»Of (4.1)

§ 4. Различные свойства групп Ext*t $ (£, F) 89'
где и и v являются морфизмами алгебр Ли; затем
определяется естественное отношение эквивалентности между та"
кими расширениями. Будем исходить из расширения (4.1);
на а, являющемся абелевым идеалом в f), алгебра 1) действует
присоединенным представлением и поскольку действие а на
себе тривиально, то мы получаем действие алгебры g в а;
определим 2-коцикл /, т. е. элемент из Z2(g, а),
соответствующий этому действию, выбрав для этого линейное сечение s
для отображения v и положив
f(Xu X2)=»№), s(X2)]-s([Xb X2]). (4.2)
С другой стороны, если имеется g-модуль а и некоторый
2-коцикл feZ2(g, а), то построим расширение вида, (4.1),
положив I) = а © д, со скобкой
[(У„ *,)(У2, X2)] = (Xl.Y2-X2.Yl + f(X{9 X2)t \Xlf *J). (4.3)
Предложение 4.1. Формулы (4.2) и (4.3) определяют
взаимно обратные биекции между #2(д, а) и множеством классов
таких расширений g с помощью а, что соответствующее
действие $ в а совпадает с данным.
Доказательство очевидно, см. также [115], вып. 5S
В частности, нулевой элемент из #2(д, а) соответствует
полупрямому произведению алгебры а на д, определенному
по формуле
[(У„ Хх)9 (У2, Х2)] - С-ЯГж -Г2-Х*-Уи [Хи Х2]). (4.4)
4.2. Когомологии ^сильного расширения д-модулей
Ситуация здесь полностью аналогична ситуации гл. I,. § 4,
за исключением того, что расширения g-модулей 0->Л—>
—> А' —> А" -* 0, рассматриваемые здесь, предполагаются
^-сильными, т. е. что v допускает сечение, которое является
Аморфизмом; это условие нужно для того, чтобы элемент
sof принадлежал Сл(д, I), Л'), При этом можно, так же как
в гл. 1, § 4, построить точную последовательность когомоло-
гий 0-+№(%, 5, Л)->#°(д, $, Л')-#°(д, *>, А")-»Н1(& $,
Л)-> ... .
Отсюда можно также вывести свойство редукции для
когомологии, но модули 9r(GyA)/A при этом заменяются на
малоудобные модули, которые читатель без труда построит
сам.
4.3. Использование центра
Предложение 4.2. Пусть Е и F — два ^-модуля;
предположим, что существует такой элемент v из Z(gc) (центр
обертывающей алгебры для комплексификации алгебры д),

90 Гл. II. Когомологии вещественных алгебр Ли
что его действие на Е и F является умножением на два
различных скаляра X и \х. Тогда Extg, $(£, F)==0 для всех п^О.
Доказательство. Определим пространства Fn, исходя из
F, так же как Еп были определены, исходя из Е, в
предложении 2.1, а затем g-эндоморфизм гп в Fn по формуле
(/"/Ни, Хи ..., Xn) = f(vu% Хи ..., Xn)~v-f(uy Xu ..., *„).
Последовательность (0, г0, г1, ...) задает эндоморфизм
комплекса 0-^F -*F°-+Fl ->...; согласно предложению 1.1,
этот эндоморфизм гомотопен 0, т. е. существуют такие д-мор-
физмы sn: Fn-+Fn-\ что rn = dn~x о sn + sn+l ° dn (мы
полагаем s° = 0). Таким образом, отображения dny rn, sn
определяют такие морфизмы dn: Homg(£, Fn)->Hom^(Ey Fn+])y rn'-
Нот8(£, Fn)-+Homi(E, F% sn: Нот8(£, F*)->Hom9(£,
F )y ЧТО Г =d о S -f- S о d .
Если отождествлять Homg(£, Fn) с C*(g, $, Hom(£, F))f
как показано в предложении 3.6, то гп переходит в гл =
= (К — jut) • id, следовательно, если ср есть дг-коцикл, то он
является кограницей для (X—|л)-15"ф.
Замечание 4.1. Если v — элемент Казимира, то можно
построить явную гомотопию (sn) (см. лемму 5.1).
Следствие 4.1. Если Е и F квазипросты и имеют разные
инфинитезимальные характеры или если Е и F допускают
различные центральные характеры {см. определения из
§ В.1), то ExtJ,*(E, F) = 0dAH всех n^O.
Следствие 4.2. Если Е квазипрост и имеет нетривиальный
инфинитезимальный характер или если Е допускает
нетривиальный центральный характеру то Нп (д, 1), Е) = О для всех
п^О.
Следствие 4.3. Предположим, что g— полупростая
алгебра Лиу g = ! © р — разложение Картана и что Е —
квазипростой унитарный ^-модуль, содержащий l-инвариантный, но не
^-инвариантный вектор во. Тогда #"(д, Ъ, £) = 0 для всех
п^О.
Доказательство. Обозначим через В форму Киллинга в д,
а через Х\, ..., Хр и Уь ..., Yq— такие базисы в I и р, что
B{Xiy Xj) = —б//, В (У/, У/) = 6;/; обозначим через С элемент
Казимира X У? — £^?^ Z (g). Имеем Хгео = 0 для всех
Xi\ так как е0 не g-инвариантен, то существует такое У/, что
Yi-eo ф 0. С другой стороны, для каждого /имеем: (У, • в0|е0) =
= — (Y. • е01 Yj • е0) < 0, откуда следует, что (Се0, е0) < 0
и, следовательно, инфинитезимальный характер на Е
нетривиален.

§ 5. Использование скалярных произведений 91
Приведем теперь результат, аналогичный
предложению 4.1, но использующий центры групп Ли.
Предложение 4.3. Пусть Е и F — два (д, К) -модуля]
предположим, что существует элемент g e К г\\центр G), который
действует на Е и F умножением на X и \х, причем к ф |л;
тогда Ext£ к (Еу F) = 0 для всех п^О.
Доказательство. Действие g в Лл(д/1) тривиально; его
действие в Нот (E,F) есть умножение на Х~1\х Ф 1;
следовательно, Hom(A"(g/f), Hom(£, F)) = 0.
Историческое замечание. Следствие 4.1. впервые доказано
Д. Вигнером (не опубликовано).
§ 5. Использование скалярных произведений
Лемма 5.1. Пусть В — билинейная симметричная
невырожденная ^-инвариантная форма на д, а (еа) и (£а), а=1,
2, ..., dim д— такие базисы на д, что В (еа, е$) = дар; положим
С = X ea.efa e Z (д). Пусть Е — некоторый ^-модуль] для
а
каждого п определим линейное отображение дп из С"(д, Е)
в Сп~1 (д, Е) по формуле (д\) (Хи ..., Хп_х) = £ еа • Ф(е£,
а
Zh ..., Хп_{). Тогда
dn'xd\ + dn^d\{dn^d\ + dn^d\){Xu ..., Хп)=*
- С (Ф №,..., *„)). (5.1)
Доказательство. Простое вычисление показывает, что
(^-'d^ + d^VflOtf,,.... ^)=с(ф№ хп)) +
+ Z (-1)' {К Ъ] • фК, *i xt. • • •, *«) +
a, t
+ ea-<f([e'a, Xt]9 Xu ..., *„ ..., Хп)}>
и достаточно показать, что Ц{...} = 0; для этого в каче-
а
стве Xt можно взять e'at. Положим [е'а, eji] = £ СХ, р^"» легко
проверить, используя g-инвариантность В, что \еа, е'Л =
= 2c3,y^y> доказательство теперь легко завершается.
Y
Лемма 5.2. Пусть I) — подалгебра Ли в д; отображение дп,
определенное в лемме 5.1, переводит Сл(д, I), E) в Сп~] (д, I), £).
Доказательство. Используем замечание 3.2; пусть ф е
еСп(й,|),£); ясно, что (<Э"ф) (Хь .,,, Xn_i) = 0, когда какой-

92 Гл. II. Когомологии вещественных алгебр Ли
либо Xt лежит в 5; то же верно, как следует из (5.1), и для
(d»-ld»cp) (Хи ...,**).
Предложение 5.1. Пусть g— полупростая алгебра Ли,
g = f ф р — разложение Картана и Е — такой унитарный $-мо-
дуль, что элемент Казимира C^Z(g) действует на Е
тривиально. Тогда оператор кограницы комплекса С* (g, |), E)
равен нулю и Нп (g, f, £) = Homf (Лпр, £) = НотДЛпрс, Е)
(первый Homf обозначает R-линейные отображения,
второй — ^-линейные).
Доказательство, а) Напомним, что Cn(g, f, Е)
отождествляется' с Homf (Лпр, Е) с оператором кограницы вида
(3.4). Обозначим через В форму Киллинга на д, через (ea)t
а = 1, ..., dimр — базис ври через (еа), а = dimp+ 1, ,«,
..., dim g — базис в f, причем
{6ар при а, р ^ dim р,
— 6ар при а, р > dim р,
О при a<dimp, р > dimp.
Положим
( £а при a<dimj),
е — s
а I — еа при а > dim});
тогда C = £eaea совпадает с элементом Казимира и из (5.1)
a
следует, что
d о д + д о d = 0 (6.2)
(для простоты индекс п опущен).
Ь) Скалярные произведения на р (форма Киллинга) и на
Е определяют скалярные произведения на рс, затем' на AnpQ
и, наконец, на Hom(A"pc, Е): (ф|Ч>)= Z (ф(^а, ... еа \\
<*1 ап
| "Ф (еа{ ... еап)) (в этой формуле и во всех последующих
индексы at строго возрастают, принимая значения в
интервале от 0 до dim p). Покажем, что
(Лр|Ф)=-(ф|д1>) (5.3)
для ф <= Нот (Лп"^с, £*), ф е= Нот (Л>с, Е). Имеем (йФ | \|)) =
= I 1(-1)ж(Ч. -■ <Ч> — *OI*(«V — <Ч)) =
... £а£, ..., Чг)) = Z Е(ф (*(*., •••> **«-i)l*a'*(*«>
* ПУ/ a1<...<aft-l а ч ч l n Wl ч

§ 6. Когомологии расширений алгебр Ли 93
с) Пусть ф е Homf (Лпрс, £); из (5.2) и (5.3) следует
(d<p | dtp) + (д<р | дф) = 0, откуда dcp = 0.
Замечание 5.1. Доказательство, приведенное выше,
является на самом деле частью «теории Ходжа для векторных
пространств»; эта теория приведена в [7], ч. II, где
показывается также, что предложение 5.1 остается верным, когда
Е = Eq ® Ей где Eq квазипросто конечной размерности, а Е\
квазипросто и унитарно с тем же значением оператора
Казимира на нем, что и на Е0 (это выполнено, например, если Е\
имеет тот же инфинитезимальный характер, что Eq или £5).
Пример. Возьмем g = sl(2, R) и используем обозначения
из § В.7; тогда простыми унитарными (д, К) -модулями
с тривиальным инфинитезимальным характером будут:
Ей Et, ET, £о\ Eq. Далее, f-модуль рс изоморфен D2®D~2;
при ограничении на I модули £о* и Eq изоморфны
прямой сумме модулей Dm с нечетным т и, следовательно,
#n(g, f, £*) = Horrij, (Ллрс, £*) = 0 для всех п. Для других
модулей имеем
dim#*(M, £?) = { J'
если /г = 0, 2,
в остальных случаях,
если /г=1,
если пФ\.
В § 12 будут даны гораздо более полные результаты,
касающиеся si(2, R).
Историческое замечание. Предложение 5.1 было независимо
доказано Борелем и Валлахом в [7] и Делормом и Вигнером
(не опубликовано).
. ч
§ 6. Когомологии расширений алгебр Ли
6.1. Предварительные результаты
Лемма 6.1. Пусть Е — векторное пространство, I) —
подалгебра Ли в д; снабдим Нот ([/(g)® Ang, E) структурой
^-модуля аналогично (2.13), а именно:
{vf){u,Xu...9Xn)r=f(u-v9Xu...,Xn)
^ для любого i/s£/(5). (6.1)
Этот ^-модуль инъективен.
Доказательство. Выберем в g подпространство $',
дополнительное к ф, и базисы (У/) и (Xt) в | и |;; для каждого

94 Гл. //. Когомологии вещественных алгебр Ли
мультииндекса X = (ки ..., К) > ГДО Р ^ N*, М < ... ^ Кр,
положим ех = ХК^ ... • Хкр е С/ (д); положим также е == 1.
Определим линейные отображения /*х из £/(д) в £/(|)) по
формулам: гх{еК • У/, ;.. r/<?) = Yh • ... • У/д, гя(^ • Г,, ... К/<?)=
=0, если А' =т^= Я. Имеем: и = ][] ея • гя (а) для любого mg £/ (g);
r^(u-v) = rx(u)- v для любых «E(/(g), уе(/(|).
Рассмотрим теперь диаграмму
а
'I '
Hom(f/(g)®A"g, E),
где Л и В являются ^-модулями, аир являются
Аморфизмами, a s — такое линейное отображение, что soa = id>i.
Определим морфизм у из В в Hom(t/(g)®A"g, £) по формуле
Ш (и, Хх Хп) = I (р • s • гх («) • Ь) (ек, Хь ..., >ХЯ)\
К
легко проверяется, что у является Аморфизмом, причем
у о a = р.
Следствие 6.1. Рассмотрим комплекс •
0-*£-^>Hom(£/(g), £)-^ Horn (f/(g) ® g, £)-^..., (6.2)
где г и dn определены так же> как в (2.15) и (2.16).
Когомологии комплекса
0 -* Нот (U (g), В)' -^ Нот (С/ (д) ® д, Я)* -^ ... (6.3)
изоморфны #*($, E).
С этого места мы предполагаем, что 1) является идеалом
в д, и отождествляем £/(g/f)) с фактором алгебры U(q) по
левому (правому) идеалу /, порожденному алгеброй {
(см. [28], 2.2.14).
Лемма 6.2. Комплекс (6.3) изоморфен комплексу
0 -> Horn (U (g/f>), Я) -^ Нот (С/ (дД>) ® д, Е) -^> .'.. (6.4
с аналогичным оператором кограницы.
Доказательство. Нот([/(д) ®Ллд, £) * есть множество такю
элементов / из Нот([/(д)® Л"д, £), что f(uY, Х\ Хп) = (
для любых ме(/(й) Хи ..., Хя eg, У el).
Лемма 6.3. Рассмотрим комплекс
Q-+E-*Нота £)-> Нот(Л2&, £).->..., (6.5;

# 6. Когомологии расширений алгебр Ли 95
когомологии которого изоморфны Я*(0, £), согласно
предложению 3.1; определим морфизмы Тп: Нот(£/(д/1))®Ллд, £)->
->• Нот (Лл1), £) по формуле
{T"f){Xu ..., Xn) = f(lfXlf ..., Хп).
Отображения Тп задают морфизм из (6.4) в (6.5), /еого-
рый индуцирует изоморфизм когомологии.
Доказательство. Применим следствие 1.1 к резольвентам
(6.2) и
0->£->Hom(t/, ($)£)->Hom(t/($)®£,£)->... . (6.6)
Лемма 6.4. Рассмотрим^ действие g на (6.2), определенное
формулой (2.13); оно влечет действие g на (6.3), а затем на
Н* (|), Е). Рассмотрим, с другой стороны, следующее
действие g на (6.5):
(*./)(*„..., *„) =
= Z. /№,..., *я)-£ /№,..., [X9Xt]...Xn)9 (6.7)
ояо определяет второе действие алгебры g яа Я* (|), £). Яри
этом эти два действия g на Я*(|), £) совпадают и, более того,
тривиальны при ограничении на I).
Доказательство. При изоморфном отображении р из (6.3)
в (6.4) действие g переходит в следующее:
(P*f)(tt, ХЬ ...,X„)=f(a, X, XU ..., Хя).
Определим действие а алгебры g на (6.2) по формуле
(axf)(u, Xu...9 Xn) = X-f(u, X» ..., Хп)-
-f{Xu, Х{1 ..„ Xn)-Zf("> Хх, ..., [Х9ХЦ9 ..., Хп); (6.8)
i
прямым вычислением проверяется, что ах коммутирует с
действием (6.1) алгебры 1) и с кограницей d", а также, что ах
задает эндоморфизм комплекса (6.2), который начинается
с 0£; согласно предложению 1.1, ах индуцирует нулевой
эндоморфизм в когомологиях комплекса (6.3),т. е. в Я*(|),Е)\
эндоморфизм ах комплекса (6.4) получается теперь из (6.8),
если положить и^ f/(g)//. Для того чтобы получить
действие (6.7), достаточно теперь рассмотреть ах + Р*.
Наконец, последнее утверждение предложения уже было
доказано (см. предложение 3.3).
Лемма 6.5. Если q-модуль Е инъективенуто ^-модуль Е^
также инъективен.
Доказывается так же, как лемма 8.1 из гл. I.

96 ч Гл. //. Когомолбгш вещественных алгебр Ли
-{
6.2. Конструкция бикомплекса К
Рассмотрим снова g-модуль Е и идеал I) в д. Снабдим
Horn ([/(g)® Л*д, E) структурой g-модуля, определенной
формулой (2.13), а затем Horn[U(g)®Л^д, £)*> соответствующей
структурой дД-модуля; наконец, аналогичным образом
снабдим Horn (U (g/0) ® Лр (д/1))), Нот (U (д) ® Л^д, Ef структурой
в/5-модуля:
(vf)(ut Xu ...,Xp)=f{uv,Xu ...9XP).
Положим
К* q = Horn (£/ Ш ® Лр (g/$), Horn (£/ (g) ® Л'д, Ef )m
с такими же операторами кограницы d' и d", как в (2.16)
(см. обозначения в § А.5). Имеем
Н'Р'«(К) = НР(Ф, Нот(£/(д)®Л'д, £)* =
Нот (U (д) ® Л*д, Я)9), если р = О,
О, если рфО\
поскольку д/|)-модуль Нот (£/ (g) ® Л^д, £)^ инъективен
согласно лемме 6.5 и лемме 2.7 (при 1) = 0). Имеем,
следовательно,
"£* ° = н"рн'° (К) = Нр (д, Е), #"'р' « (К) = Horn (f/ («/*) ®
®Лр(д/$), Ня% Е)У* (следствие 6.1), #'• pH"q(К) = НР' (вЛ,
Я^(^, Я)); следствие А.6 и лемма 6.4 показывают, что
Предложение 6.1. Существует такая спектральная
последовательность (называемая последовательностью Линдона —
Серра — Хохшилда), что Е% q ~ Нр(ф, Hq % £))=^#*(g, £),
где структура $/$-модуля на H"($,E) определена
формулой (6.7).
Замечание. Мы ограничиваемся здесь абсолютными кого-
мологиями только для простоты; в действительности можно
доказать следующий результат (см. [7], гл. I. § 6): пусть
t — редуктивная подалгебра в д, и Е — (д,!) -модуль, тогда
существует такая спектральная последовательность, что
ЕР'ц~Нр(ф, У(Г^«, #*(М^, Я))->/Пв. 1. В).
6.3. Точная последовательность Серра — Хохшилда
Эта последовательность пишется следующим образом:
0-*ЯЧвЛ, Е*)^Н*(ъ E)^W(h E)*-^>
^Я2(9/^^)-^Я2(д, Е). (6.9)

§ 6. Когомологии расширений алгебр Ли
97
Действие g на Я1 (|), Е) получается из действия g на
Z](l), E), определяемого формулой
(X-f)(Y) = X-f(Y)-f([X9 Г]) для любых leg, Ге=$. (6.10)
Отображения inf и res определяются так же, как в гл. I,
§ 8; наконец, С определяется следующим образом.
Выберем линейные сечения s и а для канонических
отображений р: 0->бА и dy. E->Bl (I), E); для каждого U
и Ve=fl/J положим ©(I/,V)=s([UJ])-[s([/),s(V)]eJ.
Пусть / — элемент из Z*(I), £), чей класс в Z1^, E) д-инва-
риантен; для каждого X^q элемент X-f лежит в Bl(t)y E)
и можно рассмотреть о (X-f). Для [/и l/eg/f) положим
%(U9 V) = s(U)-o{s(V)-fr-s(V)-o(s(U)-f)-
-°(s[U, У) •/)+/(©(£/, К)). (6.11)
Легко проверить, что %ор является кограницей для 1-ко-
цепи X->f(X — s(p(X)) + o(s(p(X)) -f), причем % является
2-коциклом на g/I) со значениями в Е^\ его класс [%] зависит
только от [f] и можно положить С([/])== [%].
Последовательность (6.9) точна в члене Я10), £)9,
поскольку
— если / является ограничением на fy коцикла ty е
gZ1^, £), то х является кограницей для 1-коцикла £/->
-a(s(£/).f)-r(s(£/));
— если х является кограницей некоторого отображения
беС^й/^» &), то / является ограничением на I) коцикла
X^f(X-s(p(X))) + o{s{p(X)).f)-6{p{X)).
Она точна в члене Я2(д/§, £*), поскольку
Im С очевидным образом лежит в Кег inf;
наоборот, пусть x^Z2(g/fj, E*) таково, что х°Р является
кограницей некоторой 1-коцепи феС1^, Е)\ положим
f = f\^ gZ1 (f), '£); класс эквивалентности для / является
g-ицвариантным и, следовательно, f определяет коцикл
%'е 12(фу Е*)\ (%'— %)°р является кограницей для 1к>
*->y(XJ=o(s{p(X))-f) — <p(s(p(X))). При этом \|)(Х)
зависит только от р(Х) и лежит в £^; следовательно, [% — %'] = 0
*l%] = c[f).
Частные случаи
(i) Если \> действует на Е тривиально, то a = 0 и (6.11)
переходит в
%(U,V)=f(<»(U,V)). (6.12)
(ii) Предположим, что g — полупрямое произведение 1)
и д/1); тогда можно записать (см. п. 4.1) g как !)®g/l) со
скобкой [(HuUi), (H2iU2)] = ([UuH2]-[U2yHl] + [HuH2],
4 Зак. 76

98 Гл. II. Когомологии вещественных алгебр Ли
[UUU2]) и положить p(H,U)=Ut s{U) — (09U)\ тогда
со = 0 и (6.11) переходит в
%(Uy V)=U-o{V-f)- V-o(U-f)-o([U, V] •/). (6.13)
Иначе говоря, [/] переходит в [%] путем двукратного
применения точной последовательности когомологии: первый раз
из точной последовательности дД-модулей: 0->5* (I), E)-*
-+Z1 (I), £,)->Я1(^, £)->0 для перехода от [f] к 1-коциклу:
Ui—>U-f\ второй раз из точной последовательности д/|)-моду-
лей 0-±ЕЪ->Е->В1 (§, £)->0 для перехода от 1-коцикла
к 2-коциклу х-
(iii) Если условия (i) и (ii) выполнены одновременно, то
С = О и мы имеем точную последовательность
0-»Я!(в/*. E*)->Hl{%, £)->Homeft, £)->0. (6.14)
6.4. Приложение к нильпотентным алгебрам Ли
Предложение 6.2. Если g— нильпотентна, а Е —
нетривиальный простой ^-модуль, то #"(д, £)=0 для всех п ^ 0.
Доказательство индукцией по dim д. Пусть 1) — центр
алгебры д; если действие I). в Е нетривиально, то применимо
следствие 4.2. Предположим теперь, что действие | в £
тривиально. Поскольку |) абелева, то следствие 3.1 показывает,
что #?(!), Е) ~ Нот(Л^, Е) ~ (Л^)* ® Е со следующим
действием алгебры д/{): Х-(а® е)= а® Х-е для любых fl£
е(Л^)*, еб£, т. е. Hq(i)yE) как д/|)-модуль есть сумма
модулей, изоморфных модулю £, который является простым
и нетривиальным, как дД-модуль; по предположению
индукции имеем Hq ($/$), №(0, Е))=0 для всех p,q^0\ теперь
достаточно применить спектральную последовательность.
Историческое замечание. Предложение 6.1 было
доказано Хохшилдом и Серром в [65].
§ 7. Когомологии коиндуцированных модулей
В этом параграфе рассматривается подалгебра Ли %
и ^-модуль Е. Напомним, что g-модулем, коиндуцированным
с Е (обозначается Coind^ или Coindlf1)1), называется
множество Homa(^(f/(g), E) таких линейных отображений f из
f/(g) в Еу что Y-f(u) = f{Y-u) для всех Уе|), и<= Ufa)
действие алгебры в Coind£ имеет вид {X-f) (и) = f(u-X).
Рассмотрим последовательность д-модулей
0 -> Coind Е -> Нот (U (g), Coind£)->
-^Hom(£/(g)®g, CoindE)-> ..., (7.1)
1) Эти модули называются иногда «продуцированными».—Прим. ред.

§ 7. Когомологии коиндуцированных модулей
99
где действие для g и оператор кограницы определены по
формулам, аналогичным (2.8), (2.10) и (2.11). Рассмотрим
затем последовательности ^-модулей
0-*£-*Hom(£/(fl), £)->Hom(t/(g)®g, £)-> ..., (7.2)
()-►£-► Нот (£/($), £)->Нот(£/(§)®^, £)-> ... (7.3)
с аналогичными операторами кограницы; (7.1) является инъ-
ективной резольвентой для g-модуля Coind £ (лемма 2.6
и предложение 2.1); (7.3) является по тем же причинам
инъективной резольвентой для ^-модуля Е\ наконец, (7.2)
также является ^-резольвентой для Е в силу лемм 2.6 и 6.1;
следовательно, #*(g, Coind £) является когомологиями
комплекса
0 -* Нот (U (g), Coind Ef -> Нот (U (g) ® g, Coind £)9 -* ...' (7.4)
и #*(&,£)— когомологии комплексов
0 -> Нот (U (д) Е)* -> Нот (U (д) ® д, £)* -> ..., (7.5)
0^ Нот (С/($)£)*-> Нот (С/($)®$, £)*-► ..., (7.6)
причем последний изоморфен
0->£->Нот($,£)->Нот(Л2$,£)->... . (7.7)
Зададим изоморфизм между (7.4) и (7.5), сопоставив
каждому элементу / из Horn (U (g) ® A\ Coind Ef элемент "ф
из Нот (U (д) ® Л*д, Ef по формуле
г|)(и, Zb ..., Хя)=/(и, Хи...ьХп)(1),
следовательно, Яп(д, Coind £) ~ #"(!), £). Более того,
используя морфизм из (7.5) в (7.7), определенный по формуле
фк->ф, где ф(Уь ..., Уп) = \|)(1, Уь ..., Yn), получаем
изоморфизм №(g, Coind Е)-+Нп($, Е), сопоставляющий каждой
коцепи / е Cn(g, Coind E) коцепь ф е Сл(1), £), определенную
по формуле
Ф(УЬ ..., Yn) = f(Yu ..., УЛ)(1). (7.8)
Итак, получаем
Предложение 7.1 (лемма Шапиро), Отображение из
Сп (g, Coind E) в Сп(\),Е)у определенное в (7.8), задает, при
переходе к факторам, изоморфизм между Нп (a, Coind E)
*Н*%Е).
Предложение 7.2. Для любых %-модуля А и ^-модуля Е
имеем
Extg(,4, Coind E)~ Ext* (Ah £),
еде Л§ обозначает А как 1)-модуль.
4*

100 Гл. II. Когомологии вещественных алгебр Ли
Доказательство, Построим взаимно обратные изоморфиз-
т
мы g-модулей: Нот (Л, Coind £) :*=* Coind (Нот (Л^, £)). Для
этого воспользуемся обозначениями U, С и ит леммы 2.6;
для каждого /е Нот (Л, Coind E) и каждого ge Coind-
•(Нот (Л, Е)) определим Л/ e Нот (Л, Hom(U®U, £)),
Bg^ Нот(£/® U, Нот (Л, £)), положив Af{a)(u{ ®*/2) =
= f(w[a)(a2), В (их <8> u^{a) = g{u^(u;p), а затем положив
(Г/) (г/) -(а) = Af(a) (С(а)), (S«) (а) (а) = B8{S(u))(a).
Легко проверяется, что Т и S переводят Нот (Л, Coind E)
в Coind (Horn (Л$ £)), и наоборот, и являются д-морфизмами;
наконец, так же как в лемме 2.6, проверяется, что Т и S
взаимно обратны. Следовательно, Ext^ (Л, Coind E)~ //" X
Х(в. Нот (Л, Coind £)) ~ Я* (g, Coind (Нот (Л&, Е)))~НпХ
Х(Ь Нот (Л 5, £))~Ext?G4*, £).
Следствие 7.1 (теорема взаимности Фробениуса). Имеет
место отношение: Нотд(Л, Coind E) ~ Нот$ (Л, £).
В действительности можно получить изоморфизм первого
пространства на второе, сопоставляя каждому / отображение
a->f(a)(l).
Замечание 7.1. Мы ограничиваемся абсолютными когомо-
логиями только для простоты; в действительности можно
доказать следующий результат: пусть I) и f — две такие
подалгебры Ли в 8, что g = 1) + f и I редуктивна в д; тогда для
любого ^-модуля Е имеем
Нп(д,!, CoindE) ~ Н"($, }л!,В).
§ 8. Группы Ext£ $ и ^-сильные
и-расширения
Определение 8.1. Для двух данных g-модулей Е и F п-рас-
ширением модуля Е с помощью F называется точная
последовательность g-модулей
S: 0->F-^G,-^... ->G„-^£->0, (8.1)
которая называется ^-сильной, если она допускает
стягивающую гомотопию, образованную Аморфизмами sn: Gn->Gn-\
(мы полагаем G0 = F, Gn+i = £). Обозначим через &\(Et F)
множество ^-сильных п-расширений.
Лемма 8.1. (i) Если S ^-сильное, то оно допускает стяги-
вающую гомотопию1 образованную такими Аморфизмами,
Sn> ЧТО Sn ° Sn+l = 0.

§ 8. Группы Ext*t ^ и ^-сильные п-расширения 101
(ii) Если Ь = 0, то любое п-расширение является
сильным, т. е. допускает стягивающую гомотопию, образованную
линейными отображениями.
Доказательство, (i). Доказывается так же, как в лемме
1.1 гл. I.
(ii) Доказывается непосредственно.
Построим теперь отображение из ^{Е, F) в группу
Ext^, ъ(Е, F) аналогично отображению из гл. I, § 11.
Рассмотрим, с одной стороны, ^-сильное д-расширение (8.1) и, с
другой стороны, |)-сильную 1)-инъективную резольвенту для F:
0->F-+F°-^F1-^ ..., (8.2)
где Fn определены по F так же, как Еп по £ в
предложении 2.1. Выберем sn как в лемме 8.1 (i); определим
отображение at из Gi+\ в F1 по формуле (аД)(и, Xv ..., Хп) =
= (-lp('+1)J £ es-srXs{{) ... s^*,.*^(сумма бе-
рется по всем элементам группы перестановок а). Легко
проверить, что afe принадлежит Fl; at является д-морфизмом
и отображения а, определяют морфизм комплекса (8.1)
в (8.2), продолжающий id/?. В частности, ап лежит в
Нот8 (£, Fn) и ап1 является коциклом для каждого £е£;
более того, легко видеть, что класс коцикла ап в Ext£ $ (£, F)
зависит только от S, а не от sn. Итак, получаем
Предложение 8.1. Формула
(апе){и, Хь ..., Хп) =
= 2 es*5i*ZS(i)# ... • sn- XS{n)- Sn+i' и- е (8.3)
sea
/г
определяет отображение Л из £„(£, F) б Ext*, $(£, F).
Элемент из Z"(g, |), Hom(£, F)), соответствующий ап, имеет
вид
(Х{, ..., Хп, е) ь-> X 8* • s\ • ZS(i) • ... • sn • XS(n) • 5«+1 • в (8.4)
Определение 8.2. Будем говорить, что д-расширение S
представляет элемент A(S) из ExtJ, $(£, F).
Предложение 8.2, Отображение Л сюръективно.
Доказательство такое же, как для предложения 11.5
из гл. I.
Можно развить далее теорию, полностью аналогичную
теории из § 11 гл. I. Приведем только результаты,
касающиеся 1-расширений (называемых просто «расширениями»).

102 Гл. II. Когомологии вещественных алгебр Ли
Определение 8.3. Два ty-сильных расширения
будем называть эквивалентными, если существует д-изомор-
физм из G на G', дополняющий эти строчки до
коммутативной диаграммы.
Предложение 8.3. (i) Элемент из #*((!> I), Hom(£, F)), со-
ответствующий ^-сильному расширению
является классом 1 -коцикла X ь-> s о X — X о s.
(ii) Любой l-коцикл ф е Z1 (д, 5, Нот (£, Т7)) представ-
ляется расширением G = E(BF с действием X-(f, e) =
(iii) Два fy-сильных расширения эквивалентны, если и
только если они имеют один и тот же образ при Л.
Доказывается непосредственной проверкой.
Замечание 8.1. Без труда проверяется, что расширения,
представляющие два коцикла cpi и ф2, изоморфны как д-мо-
дули, если и только если классы cpi и ф2 оба равны нулю
или оба не равны нулю и пропорциональны.
Произведения п-расширений и чашечные произведения
Определим произведения я-расширений так же, как в гл. I,
§ 10. С другой стороны, определим чашечные произведения
(cup-product) следующим образом: если даны три g-модуля Е,
F, G и два коцикла ф eZm(g, $, Hom(F, G)), \|)eZ*(g, %,
Hom(£', F)), то фи\|) есть элемент из Zm+/l(g, J), Hom(£, G))s
определенный по формуле
(ф^ФК*!, ..., Хт+п) =
= (mln!) Zj £5-ф(Х5(1), •••> Xs{m)) • ty(Xs(m+\)> •.., Xs(m+n)) =
seEam+n
= Zj £5-ф(Х5(1), ---э XS(m)) • \|)(Xs(m+l), •♦., ^5(m+rt))i
где / является сечением для канонического отображения из
от+п в ее фактор по от X tf/i-
Отсюда непосредственно следует
Предложение 8.4. Имеем A(ST) = A(S)w Л(7).

§ 9. Проективные резольвенты
103
Случай (д, Ь) -модулей
Рассмотрим ^-расширение вида (8.1), где £, F и Gi
являются (g, i)) -модулями; любое такое расширение
автоматически является ^-сильным (см. предложение 1.2), и,
следовательно, формула (8.3) сопоставляет ему элемент из
Ext£ ^ (£, F). С другой стороны, можно показать, так же как
в предложении 8.2 с использованием замечания 2.1, что
любой элемент из Ext£ ^ (£, F) представим n-расширением,
образованным (д, 1)) -модулями. Следовательно, доказано
Предложение 8.5. Если Е и F являются (д, Ю-модулями,
то формула (8.3) определяет сюръективное отображение Л
из множества п-расширений (8.1), образованных (д, $)
-модулями, на Extg, ) (£, F).
Случай (д, К) -модулей
Рассмотрим п-расширение вида (8.1), где £, f и Gi
являются (д, К) -модулями; любое такое расширение
автоматически является /(-сильным (см. предложение 1.3); можно,
следовательно, воспользоваться формулой (8.4), которая
определяет, как легко проверить, элемент из #"(д, /С, Нот-
• (£, F){K)). С другой стороны, можно доказать так же как
в предложении 8.2 с использованием замечания 2.2, что
любой элемент из Extg, к (Я, F) представляется я-расширением,
образованным (д, К) -модулями. Имеем, следовательно,
Предложение 8.6. Если Е и F являются (д, К) -модулями,
то формула (8.4) определяет сюръективное отображение из
множества п-расширений (8.1), образованных (д, К)
-модулями, на Ext£tyK{E, F).
Историческое замечание. См. замечание к гл. I, § 10.
§ 9. Проективные резольвенты. Группы ТогЛ.
Язык категорий
9.1. Гомологии и группы ТогЛ
Определение 9.1. Для любой подалгебры Ли fy, редуктив-
ной в д, д-модуль Е называется ^-проективным, если для
любых g-модулей А и В любого сюръективного g-морфизма а
из А на В, допускающего правый обратный Аморфизм s,
и любого g-морфизма р из Е в В существует такой д-морфизм
V из Е в А, что а о у = р.

104 Гл. //. Когомологии вещественных алгебр Ли
Определим обычным образом ^-сильные ^-проективные
резольвенты, для которых верны результаты, аналогичные
предложению 1.1 и его следствию, с заменой Homg на ®U{^r
Можно, следовательно, дать такое
Определение 9.2. Для двух g-модулей Е и F
обозначим через Тог£ *(£, F) п-ю группу гомологии комплекса
... -+Ei®u^F~>E0®u^F->0,rjxe ...^E1^E0^E^0 —
некоторая ^-сильная ^-проективная резольвента для Е.
Положим также #„(g, Ъ, £) = Тог^' * (С, £), где jCj
рассматривается как тривиальный g-модуль (группы относительных
гомологии).
(Через En®U{Q)F мы обозначаем фактор пространства
Еп® F по векторному подпространству, порожденному
элементами вида uT(l)®f — l&uf, где и е £/((}), £е£я, /ef
и и*->ит обозначает главный автоморфизм алгебры £/((}).)
Пример ^-сильной ^-проективной резольвенты ^-модуля Е
Возьмем снова комплекс (2.5) и положим Еп = Fn® E —
s= U ® vA.n (g/I)) ® £; g действует в £„ как в тензорном
произведении: Х-(и®(ХхЛ ... АХп) ®е) = Хи® (Х{А ...
..? 1/\Хп)®е-\-и®(Х\/\ ,., ЛХл)®Хе определим
последовательность
... ->Е2-^Е1-^Е0-^Е-+09 (9.1)
применяя функтор ® к последовательности (2.5), т. е.
а{и®е)*=к\(и) •£, (9.2)
Й„И№Л... Л^Й^^И^Л... Л *й)))®*. (9.3)
Предложение 9.1. Последовательность (9.1) является
^-сильной ^-проективной резольвентой для Е (она называется
стандартной).
Доказательство. Последовательность (9.1) является
^-сильной. В силу элементарных свойств функтора ®
докажем, что Еп является ^-проективным: пользуясь
обозначениями определения 9.1, достаточно определить 7 по формуле
у{и®(Х1А ... AXn)®e)=u-s-§(\® (Ях/\ ... *&Хп)®е).
Следствие 9.1. Относительные гомологии #*(fl, |), £)
являются гомологиями комплекса
...-»СМгЕ)-+С0(&Ъ,Е)-+09 (9.4)

G 9. проективные резольвенты 105
где Сл(9, $, Я) = Л*(0) ®£/ш£> а оператор границы равен
<U(*iA ... ЛХп+1)®е) =
~E(-l)'+1(*iA ••• АХ*А ••• AW®^ +
+ £ (-1)/+/ ([xTxf] л *i л ... л 1*... iy л... л *я+1) ® е.
'<' (9.5)
(Мы обозначаем «юр# Ля (в/$) ® „ (WE ^а/сгор пространства
Лп($/Ъ)®Е по векторному подпространству, порожденному
элементами вида ^(XiA ... Л*я)®* — (*i Л ... ДХ„)<8>
Доказательство. Отождествим [/(g) ®^(^Ля(й/Й ®t/(8)£ с
Л'Чв/ЭДв^Я с помощью отображения и®(^Л ..♦
... л Хп) ® е н-> (Xi Л • • ■ А *я) ® иге.
Следствие 9.2. Ял*^ Тог«- * (Я, F) - tf„(g, $, £ ® F).
Следствие 9.3. ExtJ. & (£» ^) являются когомологиями
комплекса
0-> Homg №>, F) -> Homg (£i, F) -> .. ,, (9,6)
где ...-+Ei-+E0-+E-*Q является ^-сильной ^-проективной
резольвентой для Е.
Доказательство. Легко доказать, аналогично
предложению 1.1, что когомол0гии комплекса (9.6) не зависят от
выбора резольвенты; в т° же время ясно, что если взять
стандартную резольвенту, т0 мы получим ExtJ, ъ(Е> Л-
Замечание 9.1. Отсюда можно вывести, что dim Ext", ^ (Я,
F) < оо, если Е является (gj)-модулем конечного типа
и F — допустимый (gj)-модуль (см. [7], 1.2.8).
9.2. Использование языка категорий
Предположим, что Ь редуктивна в д; так же как в гл. I,
§ 13, можно сказать, ч™ функторы Ext* $ (£, .). Ext*, $(•, E)
и ТоГп^(Е, •) явЛяются производными для функторов
Homg (£, •)> Hom(-f E) и Е ®с/(в) соответственно, если
перейти к относительней категории, определяемой функтором,
который каждому д- модулю сопоставляет его же как 1)-мо-
дуль. Это означает (^пример, ДЛя Ext", $(£, •)), что
(i) Ext^(£, F)^Home(£, F),
(ii) Ext", $(£, F)=^=0 Для любого п^ 1, если F 1)-инъек- ■
тивен.

106 Гл. II. Когомологии вещественных алгебр Ли
(iii) каждая ^-сильная точная последовательность
порождает длинную точную последовательность
0-Ext» ,(£, ^-ExtJ, ((fi, F2)->Ext^(E, F,)-
-ExtJ,,(Я.Л)-* ••••
9.3. Точка зрения категории (g, ^-модулей
Эта точка зрения была основной в [7]; обозначим через
С категорию (д, |))-модулей; для Е, F&C определим
Extc(£, F) как когомологии следующего комплекса:
О -> Homg (£, F°) -> Hom8 (£, Я) ->
или комплекса
0->Hom8 (£0, F)-*Homg (El9F)->...,
где О-^/7-^/70-^1-^... и .. .~^£'i->£,o~^£,~^0 являются
соответственно инъективной резольвентой для F и
проективной резольвентой для Е в С. Определим точно так же
Тог£ (£, F). В действительности верно следующее:
Ext£(£, F)~ExtJU(E, Z7), (9.7)
Tor£(£, F)~Tor%-4E9 F), (9.8)
так как ^-сильная ^-проективная резольвента (9.1) является
также проективной резольвентой в С. В самом деле, Еп =
z=Fn®E (обозначение Fn см. в § 2) является (д, ДО -модулем
(см. лемму 2.3 и § В.2); более того, Еп проективен в д,
поскольку он ^-проективен и каждая точная
последовательность (д, ^-модулей является ^-сильной (предложение 1.2).
Равенство (9.7) можно доказать также, используя
замечание 2.1.
Случай (д, К) -модулей
Можно показать точно так же, используя замечание 2.2,
что если Е и F являются (д, К) -модулями, то группа
Extg,к(Е, F) изоморфна группе Ех\п{Е, F), вычисленной
в категории (д, К) -модулей.
Замечание 9.2. Ситуация существенно изменится, если
ограничиться категорией допустимых (д, $) -модулей, так,.как
g-модули из (9.1) не являются, вообще говоря, допустимыми.
Более того, можно доказать, что если g полупроста и |~
подалгебра в алгебре f, входящей в разложение Картана
g = f©p, то категория допустимых (g,U)-модулей не
содержит ни инъективных, ни проективных объектов (см. [24]).
Напротив, категория О Бернштейна —Гельфанда — Гель-
фанда содержит такие объекты, и для Ext в этой категории
получены некоторые результаты,

§ 10. Примеры: группа движений плоскости 107
Историческое замечание. Группы Нп($,Е) и Tor^E, F)
были введены Картаном и Эйленбергом в [15]; группы
Яд(9, % Е) и Тог^' *(£> /Ч-Хохшилдом в [62].
§ 10, Примеры: группа движений плоскости
10.1. Обозначения
Группа G есть множество пар (Ь,а) (где Ь — любое
комплексное число, а а — комплексное, |а|=1) с законом
умножения (ft, а) • (Ь\ а') = (Ь + аУ, аа'); ее алгебра Ли g
имеет базис Хо, ^ь Х2 ср скобками [Х0, ^i] = ^2, [^б> ^2] =
= —Хи [X\t Х2] = 0, причем exp tX0 = (0, eif), exp tX\ =
= (M),exPa2 = («, 1).
Для в = ± положим Xe = Xl— eiX2 e дс; тогда [Х0, Хе] =
«= eiXe> [X+> Х_] = 0.
Положим С = Х+Х_ sZ(8c), t = RXQ9 Я = ехр|, р==
= RX10RX2; при этом PC = CX+®CZ_.
10.2. Описание некоторых (g,/С)-модулей
Опишем сначала неприводимые унитарные представления
группы G; они строятся методом Макки, по поводу которого
см., например, [83]. Эти представления имеют следующий
вид:
(i) представления размерности 1: (ft, а)ь->ап, где rceZ;
(ii) представления яг, г > 0, бесконечной размерности,
действующие в пространстве L2(U(l)) по следующей
формуле: (яг (ft, а) • /) (е'*) = eir <Re b*cos *-Im b sln *> / (aeix).
Взяв в этих модулях /(-финитные векторы, получим
следующие модули:
(i) FPi peZ, размерности 1 со следующим действием:
pp(X0)=ipt рр(Хг) = 0,
в частности, рР(С) = 0,
(ii) £V, г>0, причем можно так выбрать базис (/т),
/neZ, чтобы действие имело вид
M*o)-fm = 'Wm, (ЮЛ)
*r(*e)-fm = fr/«+.l (Ю.2)
(/m есть функция е'т*), при этом яг(С) = —г2.
Все эти (д,/С)-модули являются простыми и унитарными.
Ниже мы явно вычислим группы Ext*, к и Extg для
модулей Fp и Ег\ заметим, что они все равны нулю для пар
(FPiEr), {Er,Fp)t (Er,Er,) при г Ф г\ поскольку С
принимает на этих модулях разные значения (см. предложение 4.2).

108 Рл. П. Когомолоёии вещественных алгебр Ли
10.3. Вычисление групп ExtJ t(Fp, Fq)
Так как g-модуль Horn (FPi Fq) изоморфен Fq-P, то
достаточно вычислить группы Яя(в, f,Fp). При этом f-модуль рс
изоморфен f-модулю F\ Ф F-\, a f-модуль А2рс тривиален.
Следовательно, положив Сп = Homf(Anpct Fp)t будем иметь
dim С0 = dim С2
dim С1
-К
если р = 0,
если рфОу
если р = ± 1,
в остальных случаях.
a) Пусть р = 0; так как С1 = 0, то #° = С0 = Я2 =
_ £2 _ Q(>
b) Пусть /? = ±1; так как С0 = С2 = 0, то Нх = Сх = С.
10.4. Вычисление групп Ext£ t(Er, Er)
Так как результат не зависит от г, то можно положить
г=1. Положим Я = Hom(£V, £г); элементы Г из Я пред-
ставимы как матрицы (tn,m), определенные по формуле
Tfm = Y*tn, mfn c дополнительным условием, что для лю-
п
бого m числа tn,m равно 0 для всех я, кроме конечного числа.
Действие дс на Я описывается формулами (X0T)n,m =
s= I (tt — m) tn, m, (^e -T)n,m = i (tn-el, m — Ut m+el) . ПОЛОЖИМ
Crt = Hom^(A% Я).
Описание С°
С0 является множеством диагональных матриц: tn, m =
== О/г, т^т^
Описание С1
Элемент Ф из С1 —это пара (Ф+, Ф-), где Ф8 = Ф(Яе),
удовлетворяющая условию: е/Фе = Хо-Фе> т. е. в матричной
форме (я —m —el)-ф8,Л, m = 0; положив <хе> m = фе, т+8>, т»
мы видим, что любой элемент Ф может быть представлен
для некоторых ае,me = ±, neZ, в виде ф(АГ8)-/т =
== 0&е, т/т+еЬ
Описание С2
Элемент *F из С2 определяется элементом W(X+i. X_)&
е Я*, т. е. диагональной матрицей: я|)«, m = Srt> /лфт.

§ 10. Примеры: группа движений плоскости 109
Описание d°: C°-+Cl
Если Г = (/т)еС°, то а8, т, соответствующие d°T, даются
формулой
а8, m = l(tm— Wei). (Ю-3)
Описание dl: Cl-+C2
Если ае, m — коэффициенты, определенные выше поФе С1,
то V = dlQ) дается формулой
i|)m = ;(а_, m — а- m+i — а+||и'+'а+, «-О- О0-4)
Описание Н1 .
Элемент ФбС1 является коциклом тогда и только тогда,
когда соответствующие а8) m таковы, что а_ m — а-, m+i —
— а+, m + а+, m-i = 0 и Ф является кограницей тогда и только
тогда, когда существуют tm> удовлетворяющие условию (10.3).
Следовательно, Z1 отождествляется с множеством пар
((а., 0), (а+, m)m<=z)> и> как легко видеть, группа В1
соответствуют такие пары, что а-,о = —а+,-Г» отсюда следует, что
сЛтЯ1 = 1; нетривиальным является, например, следующий
коцикл: ае, m = ir для любого е и любого /л, т. е.
ф(Уе) = яг(Хе). (10.5)
Описание Н2
Элемент 4х е С2 всегда является коциклом (поскольку
С3 = 0, а также кограницей, так как всегда существуют
такие ае>т, что выполнено (10.4). Следовательно, Н2 = 0. Итак,
имеем
Г 1, если д = 0, 1,
dim Ext, . (ЕГу £V) = i л
*rw> ^ 0 в остальных случаях,
причем (10.5) дает пример нетривиального 1-коцикла.
10.5. Вычисление групп £xt"
Используя результат (v) из п. 3.7, сразу получаем, что
{1, если п — 0у 2,
2, если /i=l,
0 в остальных случаях.
Пример 1-коцикла, чей класс не пропорционален классу
1-коцикла из (10.3): Ф'(Х0) = 1,Ф'(ХЪ) = 0.
Пример нетривиального 2-коцикла: Ч^Хо, Хе) = пг(Хе)9
Т(Х+,Х-) = 0.

110 Гл. II. Когомологии вещественных алгебр Ли
Кроме того, оказывается, что
для р = 0
,1, если /i=l, 2, 3,
dim.*""'
.#"(g, />„) = {
0 в остальных случаях,
дляр = ±1
( 1, если /1=1, 2,
dim Я" (g, Fp) = < п
* (0 в остальных случаях,
для рфО, 1, 1 имеем: Я"(д, /7Р) = 0, для всех д.
§ 11. Случай полупростых алгебр Ли
В этом параграфе через g обозначается полупростая
алгебра Ли и через I)— подалгебра Ли, редуктивная в д.
11.1. Случай g-модулей конечной размерности
Предложение 11.1. Если Е и F — простые конечномерные
неизоморфные ^-модули, то Ext£ 9 (£, F) = 0 для любого
п^О.
Доказательство. Известно, что Е и F имеют различные
инфинитезимальные характеры (см. § В.5); следовательно,
утверждение вытекает из следствия 4.1.
Следствие 11.1. Если Е — простой конечномерный
нетривиальный ^-модуль, то Я"(д, |), Е)= 0 для любого п^О.
Предложение 11.2. Для любого конечномерного ^-модуля
Е имеем: Я1 (д, $, Е) = 0.
Доказательство. Так как Я1 (д, |), £) с Я1 (д, £) (см.
предложение 3.4), то достаточно доказать, что Я*(д, Е)—0.
Проведем индукцию по dimf; если Е — прост, то, как вытекает
из следствия 11.1, утверждение верно, если Е нетривиален;
если же он тривиален, то Я1 (д, Е) = Нот (д/[д, д, Е) = 0.
Предположим теперь, что Е не прост; пусть F — собственный
подмодуль в Е. Обозначим через и каноническое отображение
из Е на E/F, и пусть cpeZ^g, E); согласно предположению
индукции, существует такое е <= £, что и(у(Х)) = Х-и(е) =
= и(Х-е) для любого Zeg. Положим ф' = ф-—d°e; тогда,
согласно предположению индукции, существует такое fef,
что q/ = d°f, и, следовательно, ф = d°(e + /).
Следствие 11.2. Для любых конечномерных ^-модулей Е и
F имеет место: Exta% $ (£, F) = 0.

§ 11. Случай полупростых алгебр Ли
111
Предложение 11.3. Для любого конечномерного ^-модуля
Е имеем: Н2($,Е) = 0.
Доказательство. Согласно следствию 11.2, модуль Е
является прямой суммой простых модулей; поэтому, согласно
предложению 3.2, можно предполагать, что Е простой;
согласно следствию 11.1, можно Предполагать, что он
тривиальный размерности 1. Рассмотрим комплексификацию gj.
пространства д*, дуального к д, как д-модуль относительно ко-
присоединенного представления; определим линейное инъек-
тивное отображение Т из С2(д, С) в С!(д, д£) по формуле
(Tf(X)(Y) = f(X,Y). Легко видеть, что Т переводит Z2 в Z1
и что / является кограницей, если таковой является Г-/;
следовательно, Я2(д, С) содержится в Я1 (д, д£), которая равна 0
согласно предложению 11.2.
Следствие 11.3. Для любых конечномерных ^-модулей Е
и F имеем Extg (£, F) = 0.
Замечание 11.1. Предложение 11.3 становится неверным,
если заменить #2(д, Е) на #2(д, |), Е) (см. случай алгебры
Ли si (2, R) пример из п. 3.3). С другой стороны, Я3 (д, С) Ф 0,
так как она всегда содержит 3-коцикл (X, У, Z)b-> В ([Х9 Y],Z),
где В — форма Киллинга, и этот коцикл нетривиален, так
как g полупроста (см. [19], р. ИЗ).
Предложения 11.2 (для |) = 0) и 11.3 составляют
содержание лемм Уайтхеда.
Случай редуктивных алгебр Ли
Предложение 11.4. Если g редуктивна и если Е — простой
конечномерный нетривиальный ^-модуль, то Нп($уЕ) = 0 для
всех п ^ 0.
Доказательство. Обозначим через I) центр в д; если он
действует в Е нетривиально, то утверждение вытекает из
следствия 4.2. Предположим теперь, что I) действует в Е
тривиально; так же как в предложении 6.2, имеем #?({), Е) ~
~ (Л«!))*<8>£, откуда № (дД Н* (!), Е)) = 0 для любых /?,
q ^ 0 в силу следствия 11.1 и того факта, что g/f) полупроста;
теперь достаточно использовать спектральную
последовательность Серра — Хохшилда.
11.2. Случай fl-модулей произвольной размерности
В этом разделе мы приведем без доказательства несколько
результатов и сформулируем несколько гипотез. Введем
сначала несколько определений; G обозначает связную

112 Гл. 11. Когомологии вещественных алгебр Ли
полупростую группу Ли с конечным центром, К — ее
максимальную компактную подгруппу, g и f— их алгебры Ли.
Определение 11.1. Пусть Е и F — два (д, К) -модуля,
являющиеся подфакторами одного и того же модуля Еа, v из
основной серии; пусть S: 0-+F-+H-+E-+Q — нетривиальное
расширение, где Я также (д, К) -модуль. Будем говорить, что
5 содержится в Еа, v, если Я также является подфактором
в £а, v, т. е. существуют такие (д, К) -подмодули OczH\Ci
cz Я2 cz Я3 cz Е0, v, что Я ~ Яз/Яь F ~ Н2/Ни Е ~ Нг/Н2.
Если Г1 = Л(5) — элемент из Extg, к(Е, F),
ассоциированный с 5, то любое другое такое расширение S', что A(S')
пропорционально ц, также продолжается в Еа, v (см.
замечание 8.1).
Определение 11.2. Два простых (д, К) -модуля будем
называть связанными с G (определение G см. в § В.4), если
они являются подфакторами одного и того же модуля из
основной серии. Два простых унитарных (д, К) -модуля Е и F
будем называть связанными с (3, если они неотделимы в
обычной топологии в (3, т. е. если существует
последовательность элементов в (3, сходящихся сразу и к £, и к F (об
определении топологии на G см. [27], § 18). Два простых
(соответственно простых и унитарных) (д, К) -модуля Е и F
будем называть я-связанными в б (соответственно в (?), если
существуют такие Н\, ..., Нп-\^ G (соответственно (?), что
пары (Е,Н\), (Н\УН2)У ..., (Hn-uF) связаны в G
(соответственно в б).
Замечание 11.2. а) Два простых унитарных (д, К) -модуля,
связанные в С, также связаны и в G (неопубликованный
результат X. Кралевича).
Ь) Если два простых унитарных (д, К) -модуля Е и F
являются подфакторами одного и того же модуля £fl(V из
основной серии и если существует такая последовательность (v/),
сходящаяся к v, что модули Еа, vf простые и унитарные, то
Еа, V/ сходятся к Е и F в б, так что Е и F связаны в G
(отождествим для наглядности модули Еа, v и Е0, vt с одним
и тем же пространством функций на К\ рассмотрим простой
/(-подмодуль V в Е. Скалярные произведения Ф\ и Ф2,
индуцированные на V со скалярных произведений на Еа, vt и £,
пропорциональны; нормализуем скалярное произведение на
Еа, vt. так, чтобы (Pi = Ф2. Выберем, наконец, какой-нибудь
элемент / <= V; легко видеть, что коэффициент (т. е.
положительно определенная функция), соответствующий Ев, v, и /,

jf //. Случай полупростых алгебр Ли
113
сходится к коэффициенту, соответствующему Е и /, откуда
следует, что Еа^.->Е. Точно так же Ea.v^F).
с) можно снабдить G такой естественной топологией,
чтобы высказывание «связанные в G» было эквивалентно
высказыванию «неотделимые относительно этой топологии».
Несколько результатов
Предложение 11.5. Если Е и F принадлежат Ga
(дискретная серия представлений группы G), то Extg, #(£, F) = 0 для
любого п ^ 1.
Для случая п= 1 см. [91], теорему 3 и [113]; общий
случай является неопубликованным результатом Цукермана.
Предложение 11.6. П$сть Е —простой унитарный (д, /()-
модуль, а V — простой конечномерный (д, К) -модуль.
(i) Имеем Extg, к (У, Е) = Ext", K(E, V) = 0 для любого
п < г<з, где г<? — вещественный ранг группы G.
(и) Если ядро представления G в Е компактно (в
частности, если G — простая с конечным центром, а Е —
нетривиальный), то те же соотношения верны при n>dimp — rG.
(iii) Если Е интегрируемо с квадратом и имеет тот же
инфинитезимальный характер, что и V, то
1, если я = -2-dim)),
О, если п ф-z- dim p
dim Extg, к (V, E) = dimlK{E, V)=i
I П an тто п —A
См. [7], гл. V, следствие 3.4 и гл. II, теорема 5.4.
Предложение 11.7. Пусть V и Е — два простых (д, К)-мо-
дуля, причем снова dim V < оо. Тогда
О) dimExtUO'. £)<1;
(ii) Extg, K{V> E) ~ Honig (Ely, vvE), где Бак, vv — ядро мор-
физма Eov,vv-*V, описанного в § В.6 (xi)\
(iii) если Extg, ^(V, Е)Ф0,то V и Е являются, очевидно,
подфакторами в Еау, vv ti, более того, каждое нетривиальное
расширение V при помощи Е содержится в Е0у, Vy.
См. [119] по поводу (i) и (iii), [7] по поводу (и).
Следствие 11.4. Я1 (д, /С, Е) Ф 0 (и, следовательно, имеет
размерность 1), если и только если Е — подфактор в й|9,
где О обозначает тривиальное представление группы М.
Следствие 11.5. Имеем dimExtg, к(Е, V)^.l; в случае
равенства модули V и Е — подфакторы одного и того же модуля
Ec.v из основной серии и каждое нетривиальное расширение
Е при помощи V содержится в Е0} v.

114 / Гл. П. Когрмологии вещественных алгебр Ли
Это следует из различных свойств двойственности:
леммы В.8, изоморфизма Ext£ K{E, F) ~ Ext?, *(F, E) (см. 3.6),
изоморфизма Еа. v ~ Ео*, -v (см. § В.6).
Случай комплексных полупростых групп
Будем предполагать, что G — комплексная полупростая
группа; тогда ш = /а и можно определить на ш линейную
форму р' (X) = р (iX). Пусть Р = MpApNp — стандартная
комплексная параболическая подгруппа (см. § В.6); заметим,
что МР = SpTp, где Sp полупроста, а ТР — тор, лежащий в М\
обозначим через $Р, ХР, up алгебры Ли групп Sp, Tp, Ар\
положим f)P = tp®tp Jp = dimcnp; пусть ЕР — некоторый (д, К)-
модуль, образованный /(-финитными векторами G-модуля,
индуцированного в смысле С°° с представления группы Р: stan-*
Предложение 11.8. (g, К) -модуль Ер —простой и
унитарный; кроме того, Нп (д, К, Ер) ~ ф Нр (apf С) ®с Л* (К).
P+q=n-lp ч ' ч '
В частности, Я/р(д, Л\ fpJ^O. Обратно, каждый такой
простой унитарный ($, К)-модуль, что #*(д, К, Е)Ф О, может
быть получен таким образом.
Первое утверждение доказано в [22], второе —в [36].
Пример. Положим G = SL (2, С); тогда Р = MAN, SP = {1},
гр=м = т, лр = л = 1?;, np = c, ^Р = с, Ep=E2t0 и
f 1, если п = 1, 2,
dimtfft(g, К, ЕР) = \ п
^ ( 0 в остальных случаях.
Замечание 11.3. В [7], гл. III, § 3, приведена формула того
же типа для ExtjJ, # (1/, Ер, о, v)> где V — простой,
конечномерный (д, К) -модуль, a EPi 0) v определен в § В.6.
Несколько гипотез
(С1) Если Е, Ft=7}n если Ext", *(£, F) Ф О, то £ и £
я-связаны в G.
(С2) Если Е, FgeG и если Ext?, к (Я, F)¥=0, то £ и F
n-связаны в G.
(СЗ) Пусть Е и i7 — простые неизоморфные подфакторы
одного и того же модуля Ea,v. Причем Rev принадлежит
открытой положительной камере Вейля С; тогда каждое
нетривиальное расширение (если оно существует) модули Е с
помощью F содержится в E0)V и то же справедливо для рас^
щирений F с помощью Е,

§ 12. Результаты, касающиеся SL(2, R)
115
(С4) При тех же предположениях, что и в (С1), каждый
элемент из Ext", к(£\ F) представляется n-расширением,
образованным (д, К) -модулями, и является произведением
1-расширений, крайние члены которых являются простыми
(д, К) -модулями.
(С5) Пусть Е и F — два простых неизоморфных подфак-
тора в Еа> v; тогда существует такое целое /2>0и такие
простые (д, К) -модули £0, ..., Еп, что Е0 = Е, Еп = F и
Extg, /с (Е(Е1+1)Ф0 при < = 0, ..., п— 1.
Гипотезы (С1) и (С5) частично доказаны Д. Воганом
([129], [130]), а именно:
Предложение 11.9. Если два простых (д, К) -модуля -Е и F
имеют регулярные инфьГнитезималъные характеры и если
Ext£ к (£, F) Ф 0, то существует такое п)\ что Е и F
п'-связаны в G\ если п = 1, то можно взять п' = 1.
Предложение 11.10. Гипотеза (С5) верна, если E0,v имеет
регулярный инфинитезимальный характер.
В следующих далее § 12—15 будет изучаться случай групп
SL(2, R), SL(2,C), SO0(tt, 1), SU(2, 1) и будут частично
проверены гипотезы, сформулированные выше.
Историческое замечание. Леммы Уайтхеда в приведенной
здесь форме, так же, как и следствие 11.1 для J) = 0, были
получены Шевалле — Эйленбергом [19]; другие результаты
этого параграфа весьма недавние и принадлежат тем
авторам, на которых мы ссылаемся в тексте.
§ 12. Результаты, касающиеся SL (2, R)
Мы опишем явно группы Extg, #(£, F) и Extg(£, F), где
Е и F — два (д, К) -модуля; будут использоваться
обозначения и результаты из § В.7 и, в частности, список простых
(д, К) -модулей, данный в В.7.3: £о. v, £i, v> E°Vi E$, £v-
12.1. Описание групп Ext£ ^ Ш, F)
Заметим сначала, что /(-модуль рс изоморфен D2 ф D~2 и
что А2рс — тривиальный /(-модуль. С другой стороны,
/(-модуль E0i v (где а = 0, 1) есть сумма модулей Dm, где m имеет
ту же четность что и а. Следовательно, Ext", к {Ео, v,£i,v)=
==Сп(§, f, Hom(£o, v> E\tV)) = 0 для любого п.
С другой стороны, следствие 4.1 показывает, что
Exta" % (Е9 F) = 0, для любого п, если параметры, соответ-

116 Г л 11. Когомологии вещественных алгебр Ли
ствующие Е и F, не совпадают. В результате нужно
рассмотреть только следующие случаи:
(I) E = E0)V = F, где о = 0, Rev>0, v# l, 3, 5, ...,
или Re v = 0, Im v ^ 0 или о = 1, Re v > 0, v ф 2, 4, 6, ...,
или Re v = 0, Im v > 0;
(II) E = E°V = F где v = l, 2, 3, ...;
(III) £ = £* = £, где v = 0, 1, 2, ...;
(IV) £ = £°v, F = £*, где v = l, 2, 3, ...;
(V) £ = £±, F = £v, где v=l, 2, 3, ...;
(VI) £ = £*, F = £v, где v = 0, 1, 2, ....
Вычисления аналогичны вычислениям для группы
движений плоскости (см. п. 10.4), однако с двумя дополнительными
усложнениями: формула (В.4), дающая действие Хг, более
сложная, чем (10.2); Е и F имеют базисы, пронумерованные
различными подмножествами в Z. Поэтому мы
удовлетворимся перечислением результатов.
Случай (I)
( 1, если я = 0, 1,
dimtf'Mg, f, Hom(£, F)) = < n
D " I 0 в остальных случаях.
Пример нетривиального 1-коцикла:
ф(Х±) = п{Хт)-\ (12.1);
где л обозначает представление g в Е.
Случай (И)
если я = 0, 2,
в остальных случаях.
Пример нетривиального 1-коцикла:
У(ХъХ-) = 1. (12.2)
Случай (III)
( 1, если л = 0,
dim#*(g, f, Нот (£,£)) = < п _^п
( 0, если пфО.
Случай (IV) и (V)
( 1, если п=19
dim Я* (g, f, Нот (£, F)) = < п , ,
VD " ( 0, если я=тМ.
Каждое нетривиальное расширение содержится в том
представлении основной серии, подфакторами которого
являются Е и F.
dim#*(g, f, Horn (£,£)) = { J'

§ 12. Результаты, касающиеся SL(2,lR)
117
Случай (VI)
{1, если п= 1, v = 0,
О в остальных случаях.
Пример нетривиального 1-коцикла
Ф(Х+) = 0,
{/ 1Э если пг= 1,
(12-3>
О если тф\.
Заключение. Гипотезы (С1), (СЗ) и (С5) выполнены.
Можно показать, что (С4) также верна. Построим для этого
2-расширение-, представляющее класс 2-коцикла Ч^е
eZ2(g,f,C): У¥С{Х^ГУ Х_)=с-/, где с — комплексное число,
не равное нулю. Рассмотрим для простоты случай
Нот(£4, £?)• Возьмем два 1-расширения
S,: 0^4-i=C^£ofi©£f-i-^(Eo.-i©£it-i)/fioi-i->Of
S2: Ъ-*Е1\-*Еъ,х1Е1х->ЕъЛ1(Е1х®ЕъЛ) = С-*Ъ
и определим g-морфизм Nc\ Я?1->(Яо, -i © £(f-i)/£o, -i no
формуле Nc(fm) = -£^fm для любого т = 2, 4, ... .
Обозначим через Oi и Ф2 1-коциклы, естественно
ассоциированные с Si и S2; можно проверить, что 2-коцикл, равный
Ф\\у Nc° Ф2, эквивалентен Ч^.
12.2. Описание групп Ext? (JB, F)
Используем результат (iv) из п. 3.7; при этом имеем
если р = 0, 1,
в других случаях.
Случай (I). Имеем
если (p,q) = (0,0), (0, 1), (1, 0) (1, 1),
dim Hp(t, C) = { q
I 0,
dim Ep9
' " если нет
и, следовательно, d2 = 0 и fi& * = £§■*, Ext J (£, F) ~ Ф £2A *,
p+<7=ft
!2, если я=1,
1, если /?=0, 2,
0, если Лт£0, 1, 2.
Случай (II). Так как dim£'<oo и dimg = 3, то
если я = 0, 3,
если /г=^=0, 3.
dim ExtJ (£, Е) - dim Hn \g, С) = | J'

118 Гл. II. Когомологии вещественных алгебр Ли
Случай (III). Находим, так же как в случае (1), что
1, если я = 0, 1,
dimExta у*-, л j— t Л /п 1
если /г ФО, 1.
Случай (IV) и (V). Находим, так же как в случае (1),
что
1, если я= 1, 2,
dimEx№, Л = < - ™ „^t о
если пф I, 2*.
Случай (VI). Находим, так же как в случае (1), что
если л = 1, 2 и v = 0,
В [29] приведены примеры соответствующих коциклов.
dimExtJ
в других случаях.
§ 13. Результаты, касающиеся SL (2,(D)
Мы будем использовать обозначения и результаты из
§ В.9 и, в частности, список простых (д, К) -модулей, данный
в п. 9.3: E0t v, £ff, v Рассмотрение инфинитезимальных
характеров показывает, что нужно изучить только следующие
случаи:
(I) Е = E0,v = F, где E0tV предполагается простым,
(II) E = Eiv = F,
(III) Е = Еа, v> F = Ziv, а = £а, v>
Ц V) £ :=;= £}v, а ==:: £а, v> * === -С а, v>
(V) Е = E0)V, F = £v, о, где а и v — целые,
положительные или нуль и разной четности.
Напомним, что D/ = D/ и Di{ ® D/2 = 0 Dy, где / = I /i — /21,
l/i—AI+ 1. •••» /i + /2.
/(-модули рс, Д2рс и Л3рс изоморфны соответственно Du
Dx и Do.
Случай (V). Имеем: Е \к = © D/t, где /, €= у а + N, F \к =
= Ф Dj2 где /2 е -j v + N; следовательно, простыми
компонентами в Hom(£, F) I /с будутD/, где / не целое; таким образом
Ext?, * (Б, F) = Homt (Anpc, Hom(£, F)) = 0 для любого п.
Случай (III). Имеем: £ I* = 0 D7l, где ]х = у а, 1 а + 1,...
..., yv — 1; F|K = 0D/2, где /2 = -o-v, Tv+1, ... и, следо-

§ 14. Результаты, касающиеся SOo(nt /)
119
{1, если /г = 1, 2,
О, если пф\,2\
откуда Extg,, (£, F) = 0 при п = 0, 3, dim Ext J,, (£, F)< 1
при az=1, 2; так как £а, v является нетривиальным
расширением модуля Е% v при помощи Eo4v> то dim Extg, f(E, F)= 1;
наконец, используя замечание 3.4, получаем, что
dimExtl f(E,F)=l.
Случай (IV). Результат аналогичен.
Случай (II). Имеем
( 1, если я = 0, 3,
dim Ext?., (Е, F) = dim Нот, (Л«*с. С) = { ^ ^ ^ Q> 3<
Случай (I) не изучен, но предыдущего достаточно, чтобы
утверждать, что гипотезы (С1), (С2), (СЗ) и (С5)
выполнены.
§ 14. Результаты, касающиеся SO0 (я, 1)
14.1. Случай, когда п нечетно, п = 2k + 1
Рассмотрим модули Е0(к)у ..., £/(А,) из В.10.4; точные
последовательности (В.6) нетривиальны в силу § В.6,
свойство (viii); следовательно, Extg, ((£/ (Я); £/±1 (А,)) Ф 0.
При этом существование и нетривиальность
последовательностей (В.7) остаются неизвестными.
Мы покажем, что Extg, ((£/ (А,), Ет (к)) = 0, если \1 -— т | > г.
Для г = 0, 1, ..., ft имеем: Arpc~ Л2А5+1~% ~ D0- 01 - »
с г единицами и (ft — г) нулями заметим, что ограничение
модуля Агрс на SO (я — г) содержит тривиальный модуль;
следовательно, если #r(g, f,Нот(Ei(к), Ет(к)))Ф0, то
ограничения Е и F на SO (я — г) не должны различаться; отсюда
легко получить, используя п. В. 10.2, что тогда |/ — m|^r,
откуда и следует наше утверждение. Это показывает, что
гипотеза (С1) верна. Более того, модули Ei(K) . унитарны,
Е0(к) = Ео0,о принадлежит унитарному представлению
основной серии, Е0[, i для любого / ^ 1 лежит в дополнительной
серии, и, как легко видеть, гипотеза (С2) также верна.
Наконец, (СЗ) и (С5) проверяются тривиально.
Вычисление групп #r(g, I, E)
Используя предложение 5.1 и список простыл (д,
/(^модулей, имеющих тривиальный инфинМезимальный характер
(они все унитарны, см. ц. В.10.4), мы видим, что единстзец-

120 ^ Гл. II. Когомологии вещественных алгебр Ли
ные группы Нг Ф0 — это следующие (они имеют
размерность 1): Я0 и H2k+{ для El... о, *; Я1 и H2k для £о... о, i, *-i;...
* + +; Л и Я для £i... ю-
14.2. Случай четного я = 2ft
В этом случае имеем: Лгрс = Л2й"г})с = Д0,-°!-•! с г
единицами и (ft — г) нулями, если г = 0, ..., £ — 1, и Л рс =
e=£>i........o0£)-1.i....>
С другой стороны, точные последовательности (В.8)
показывают, что Ext1 Ф 0 для следующих пар: (Я0(Я), Я* (Л)Л
(е£(Х), EQ{kj), (Ei(X), El±i(k)).
Далее, легко показать, как в п. 14.1, что
ExtJ,, (Ei (A,), Em (X)) = 0, если | / — m | > г,
Extgr., (£0* (Л), £, (Л)) = ExtJ,, {Et (Я), £о= (Я)) = 0, если / > г.
Все предыдущее, объединенное с предложением 11.5,
показывает, что гипотезы (С1), (С2), (СЗ) и (С5) также
выполнены.
Вычисление Яг(д, f,£)
Единственными Нгф0 являются: Я0 и H2k для Е i;
о... о k--^
Я и Я для £о...о, 1, а-з/2, ...;
Я*"1 И Я*+1 ДЛЯ Я?... 1,1/21
Я* для £+ j_ (размерность всех когомологии равна 1).
Замечание 14.1. а) Для п = 2ft + 1 пространство £?... о, *+i
является комплексификацией канонического представления
в Rn+1 с доминантным весом (0 ... 0, 1); для v = ft, ft + 1,...
пространство £о о, v имеет доминантный вес (0...0,
v — ft); кроме того, модуль Я?..., о, v = ^o о, v-fe+i, fc-i
унитарен (граница дополнительной серии); следовательно,
Extg> Д£о о, v» £о о, v) Ф 0.
Напротив, согласно [7], V. 6.1, модули Ео о, v> v^-ft>
являются единственными простыми конечномерными (д, К)
-модулями, имеющими ненулевой Ext1 с некоторым простым уни-!
тарным (д, К) -модулем.
Ь) Для п = 2ft модуль Е° i является комплекси-
7 J 0 0, k+j
фикацией канонического представления в Rn+l с
доминантным весом (0 ... 0,1); для v = ft — -j, ft + тг> ••• модуль

§ 15. Результаты, касающиеся SV (2,1) 121
£о о, v имеет доминантный вес f 0 .. * 0, v — k + у J ;
кроме того, модуль £(£..., о, v> изоморфный модулю
Fo,.... о, v-fe+3/2, л-з/2, является унитарным (граница дополни-
тельной серии); далее то же, что и в п. а).
с) В [7], V. 6.1, аналогичные результаты доказываются
также для SU(/z, 1).
§ 15. Результаты, касающиеся SU(2,1 )
Несколько свойств /(-модулей.
a) /(-модуль рс имеет размерность 4, и рс ~ Л3рс ^Z)1»0©
0D0'"1; А^-^^фВ^Иев^ео4-1.
b) Если Hom(Drtl' \ Dni,n2) содержит одну из простых
компонент какой-либо внешней степени модуля рс, то пх +
• f п2 — п[ — П2 е Z.
c) Если Нот (/А "*, Дя{,я5) содержит D1*0, то л, + п2 -
— A2i — /Z2 = — 1, ПрИЧеМ ИЛИ П[ ^ П2^ПХ~-П2, П2^П1^П\9.
ИЛИ AXi — ft^^i — П2, П2^П2^.ПХ.
d) Если Нот (Dnif 4 /У1^ я0 содержит D0'"1, то имеем:
соотношения из (с), с перестановкой (пь п2) и (n\t n'2).
Замечание 15.1. Используя двойственность и предложение
3.8; можно утверждать, что Ext", t (£, F) ~ Ext", t (F, Е)\
поэтому часто можно ограничиться изучением только одной из
этих двух групп.
Список изучаемых случаев
Мы будем изучать Ext"f(£\ F) в предположении, что Е
и F — простые неизоморфные модули, имеющие одинаковые
инфинитезимальные характеры; согласно п. В. 11.5, мы имеем
следующие случаи:
(I) E,F = E° (X), Е1 (X), Е2 (X), где X е= <В' - (А [) А{ [} А2),
(II) Е, F = E°(X)9 Е{(Х), E2(X)t где ЛеЛ„
(III) E, F = E° {X), Е1 (Я), Е2 {X), где X е= Л2,
(IV) Е, Е==£°°(Л), £»(*)■ £22W, где Ле=Л.
Случай (I). Е к F имеют вид Efff v и E0\v' и,
следовательно, £ \к = 0 Dfti"2 при /г2<а<я1, F |* = © Д"1''"* при
пг < a < я{; отсюда следует: m + М2 — я( — я£ е 2 (а — or7) + Z.
Свойство а) (см. выше) показывает, что если Hom(£, F)
содержит одну из простых компонент некоторой внешней
степени модуля рс, то a-a'G-Z. С другой стороны, как а,

122 Гл. //. Когомологии вещественных алгебр Ли
, Г ЗХ"-У -ЗА,"-Л/
так и а имеют вид -у, g , g ; так как А,
лежит в <& — (А [}А\ IM2), то, как легко видеть; о —о' не
может лежать в yZ; как следствие, имеем Ext£*(£, /7) =
= Нотк(Л^с, Нот(£, F)) = 0 для любого п.
Случай (II). Свойство (viii) из § В.6 показывает, что
ExtJ, к(-Б1 (Я), £2(А,))=^0; свойства с) и d) (см. выше)
показывают, что Extg, к(Е°(Х), Е2{Х))фО кроме того, можно
показать, что Extg, д (£° (Л), Е1(К)) + 0; (устное сообщение Д. Во-
гана).
Случай (III). Точно так же получаем, что Extg, к(£°(Л),
Е1(Ъ))Ф09 Ext\,к(Е\х), Е2(Х)) = 0.
Случай (IV). Рассуждая точно так же, можем показать,
что ExtJ. к (я" (Л), £*'• г (X)) ^0<=>|*-Л + 1/-Л=1.
а также, что Ext2 равен 0 для пар ((0,0), (1, 2)); ((0,0),
(2,2)); ((0,1), (2,2)); это верно и для пар ((0,0), (1,1)) и
((1,1), (2,2)) согласно предложению 11.5.
Вывод: гипотезы С1 и С2 выполнены при п=\.
Вычисление групп Я"(д, I, £)
Положим X = (3.1); используя предложение 5.1 и тот
факт, что все (д, К) -модули с тривиальным
инфинитезимальным характером унитарны, мы видим, что единственными
нетривиальными Нп: Я0 и Я4 для Е°>2(Х)) Я1 и' Я3 для
Е*>1{Х) и El.*(k)\ Я2 для £°>2(Я), £°.,0(Х), Е1>1(К), Е2.2(Х) (все
размерности равны 1).
Замечание 15.2. В случае G = SU(l,n) можно доказать
следующий результат (ср. [78], а также другие
неопубликованные работы того же автора): простые (д, К)-модули с
тривиальным инфинитезимальным характером все унитарны и
могут быть занумерованы в виде Е1>', где 0 ^ i ^ / ^ п\ при
этом Е°> п — тривиальный модуль; El>' интегрируем с
квадратом, тогда и только тогда когда i = /; наконец,
!1, если р = п + 1 + / — /,
Я + /-/ + 2,..., n + j-i,
0 в противном случае.
В частности, Я1 (д, /С, £'» ') ф 0, если и только если (/,/) =
= (0, п—1) или (1,/г). Наконец, Е°* п~1 и Е1» л —подфакторы
в £о, р.

Глава III. КОГОМОЛОГИИ
ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП
§ 1. Общие сведения
1.1. Сильные относительно инъективные резольвенты
По поводу общих сведений, касающихся G-модулей и
G-морфизмов, см. § D.3.
Определение 1.1. G-морфизм и между G-модулями Е и F
назовем сильным, если линейное непрерывное отображение
является сильным в смысле определения D. 1; аналогично
определим сильный G-морфизм комплексов G-модулей.
Определение 1.2. G-модулъЕ назовем относительно инъек-
тивным, если для любых G-модулей А и В, любого инъектив-
ного G-морфизма и из А в В и любого G-морфизма v из А
в Е существует G-морфизм w из В в Е, такой, что wu = v.
Предложение 1.1. Рассмотрим два G-модуля Е и F,
сильную резольвенту модуля Е:
е п d° f dl
Q->E-+E°-+El—+ ... (1.1)
и комплекс G-модулей
о^Л^ЛяЛ,,,, (1.2)
где F°, F1, ... относительно инъективны.
(i) Для любого G-морфизма и из Е в F существует
G-морфизм (ип) комплекса (1.1) в комплекс (1.2),
начинающийся с и\ иначе говоря, существует G-морфизм из комплекса
0-+£0^£1_^ ### (13)
в комплекс
0->Я>.+ Я-+ ..., (1.4)
продолжающий и.
(и) Любой G-морфизм из (1.3) в (1.4), продолжающий
нуль, может быть при помощи гомотопии, состоящей из
G-морфизмов, приведен к нулю.
Доказательство проводится так же, как в предложении 2.2
из гл. I.
Следствие 1.1. Рассмотрим два G-модуля Е и F и две
сильные относительно инъективные резольвенты модуля F:
0->F->F?->Fl-> ..., (1.5)
0->F-+F°2->Fl-+ .... (1.6)

124
Гл. III. Когомологии топологических групп
(i) Комплексы
Kt: 0-*Ното(£, F?)->Hom<j(£, Fj)-> ...
гомотопически эквивалентны и, следовательно, имеют
топологически изоморфные когомологии.
(ii) Для всякого морфизма из (1.5) в (1.6), начинающе-
гося с id/?, соответствующий морфизм Н*(К\)-^Н*(К2)
является топологическим изоморфизмом.
Определение 1.3. Для любых двух G-модулей Е и F
обозначим через ExtS(£, F), или просто Ext"(£, F), п-ю группу
когомологии комплекса
0->HomG(£,P)->HomG(£,Fl)-+ ...,
где О-^/7-*/70-^1-* ... — какая-нибудь сильная
относительно инъективная резольвента модуля F (существование
такой резольвенты будет показано в п. 1.2). Положим
Hn(G, E) = ExtS(C, E),
где С рассматривается как тривиальный G-модуль; Exto X
Х(£> F) и Hn(G, E) являются, таким образом, ЛВП, но не
обязательно отделимы; обозначим через Extg (£, F) и //"(G, E)
отделимые пространства, ассоциированные с Extc (E, F) и
Hn(G,E) соответственно. Можно показать так же, как в
предложении 11.1 гл. I, что ExtS(£, F) = 0 для всех п ^ 1,
если F относительно инъективно.
1.2. Примеры сильных относительно инъективных резольвент
Определение 1.4. Для любого ОЛВП Е и любого целого
п^О обозначим через ^{Gn^l,E) пространство
непрерывных отображений из Gn+l в Е, снабженное топологией
равномерной сходимости на компактах (см. D.1.3), и через
(yS>(Gn+\E)—его подмножество, образованное такими отобра^
жениями /, что
/(go, ..., gn) = 0, если gi = gi+\ для некоторого
/ = (),..., /г—1.
Когда G — группа Ли, определим таким же образом
.пространства C°°(Gn+l,E) k°C°°(G»+\E).
Предложение 1.2. Снабдим ^(G^^E), где Е — некоторый
G-модуль, действием (g-f)(go> .,., gn) — g-f{g~lgo> ...
..., g~lgn). Полученный так G-модуль относительно инъекти-
вен, и последовательность
q^E^V{G% £)-^«?(G2, E)^...t (1.8)

§ 1. Общие сведения
125
еде
в (*)(*) = *, (1.9)
я+1
(dnf)(g0,.... e«+i)=Z-(-i)'fteo,.... Л..... ef»+i) (i.io)
является сильной относительно инъективнои резольвентой
для Е.
Аналогичный результат получается при замене W(Gn+l9E)
Ha0<&(Gn+lfE).
Доказательство. Первый шаг: рассмотрим диаграмму вида
S
'I
V(Gn+\ E),
где А и В — G-модули, и и v — G-морфизмы, и 5 — некоторое
непрерывное линейное отображение, такое, что s<>H = icU.
Определим w: B~>(g7(G'z+1, £), положив
w(b)(g0, •••> §n) = (v'So's'gol'b)(S0, ..., gn). (1.П)
Второй шаг: для (1.8) определим понижающую гомото-
пию, положив
(snf) (go, .... gn-i) = f.(l, go, ..., g»-i). (1.12)
Предложение 1.3. Пусть G — группа Ли и Е квазиполно;
снабдим C°°(Gn+\E) действием G так же, как в
предложении 1.2. Полученный G-модуль относительно инъективен и
последовательность
0->£-^C°°(G, £)-^>C°°(G2, £)-^>..., (1.13)
где г и dn определены в (1.9) и (1.10), является сильной
относительно инъективнои резольвентой для Е. То же верно
при замене С°° на 0С°°.
Доказательство проводится так же, как для
предложения 1.2, если предварительно заменить (1.11) на выражение
w(b){g0, ..., gn)=\%(golg)(o • g • * ' S~l' *)feo. •••> gn)dg9
(1.И)
которое имеет следующий смысл:
X — функция из С°° с компактным носителем, интеграл
которой по G равен 1; для каждого относительно компактного
подмножества U в Gn+l отображение g н->х( • ~lg) • (v • g • s -
'8~~l'l>)\u непрерывно, принимает значения в С°°(£/, Е\ и

126
Гл. III. Когомологии топологических групп
имеет компактный носитель в G; его интеграл по G—
элемент в С°°([/, £); для любого покрытия {£Л} на G эти
элементы согласованы на пересечениях Ui П tlf и определяют
элемент из C°°(Gn+\ £).
Предложение 1.4. Пусть Е полно, и пусть фиксировано
ре[1,-}-оо[; снабдим L[0C(Gn+\ E) действием G так же, как
в предложении 1.2 (см. D.3.2).
Полученный G-модуль относительно инъективен и
последовательность
0->£_i>Lfoc(G, £)-^>Lfoc(G2, £)-^>..., (1.15)
где г и dn определены в (1.9) и (1.10), является сильной
относительно инъективной резольвентой для Е.
Доказательство. Заметим прежде всего, что из свойств (v)
и (vii), D.2.2, следует, что е и dn корректно определены.
Проведем первый шаг. Определим w так же, как в (1.14),
считая теперь % непрерывным с компактным носителем, а (/ —
компактом в Gn+l. Для проверки равенства w<>u = v
заметим, что w {и (а)) = \cogt> (a) dg, где со е L1 (G, !£с(^я+1))>
шв(г<>' •••> ^) = X(^1g); отсюда и из (Hi), D.2.2, следует
w {и (a)) =\togdg-v(a) = v (a).
Проведем второй шаг: определим понижающую гомотО"
пию, положив
(snf)(go, ..., gn-\)=\%(g)f(g> ffo» •••» gn-\)dg,
где интеграл имеет следующий смысл: согласно (vii), D.2.2,
можно определить элемент F e Lfoc (G, Lfoc (С\ £))> такой,
что F(g)(go, ..., g*-i) = /(g", go, •-., gV-i), а затем взять
интеграл отбражения g*->%(g)F(g) (свойств (v), D.2.2).
1.3. Вычисление Hn(G,E)
Из 1.2 и гл. I, § 3, непосредственно следует
Предложение 1.5. Пусть Е— G-модуль.
(i) Hn(G, E) является п-й группой когомологии комплекса
0->C°(G, E)-^Cl(G, Е)-^ ...или комплекса 0->°C°(G, E)-^>
->°Cl(G, £)-^>..., где Cn(G,E) = W{G\E)\ <>Cn(G,Ey=
= {/е Cn(G,E), где f{gu ..., gn) = 0,ec/m какое-то gi = 1};
(dnf)(gu •••> fir«+i) = gi/(ft. • > ffn+i) +
n
+ Z (- I)' / (ffl. .... gigi+U • • •» £»+l) + (~ 1)"+1 f (Ml, •••> &•)•

§ 1. Общие сведения
127
(И) Если G —группа Ли и Е квазиполно, то можно
заменить Cn(GtE) ucCn(G,E) на пространства C3iff(G, E) и
°Cdiff (G, Е)> определяемые очевидным образом.
(in) Если Е полно, можно заменить Cn(G,E) на
Спр (G, Е)у определяемое очевидным образом. (Иногда бу-
Lloc
дем писать Ccont(G, E) вместо Cn(G, E).)
Следствие 1.2. tf°(G, Е) = EG.
Следствие 1.3. Если Е — пространство Фреше и Hn(GyE)
отделимо, то Hn(G,E) также пространство Фреше.
Формулы перехода от однородных коцепей к
неоднородным и наоборот для Сп n^Cdiff такие же, как формулы (3.4)
и (3.5) в гл. I; для коцепей Lfoc нужно заменить (3.4) на
следующее определение: пусть f e LiQC(Gn+\ Е); согласно
(viii), D.2.2, можно определить qp^ Lf0C(Grt+1, £"), положив:
ф(£о> • • •> en) = ?olf(ev ёо§1> • • •> г0 • • • 8п)> затем>
согласно (vii), определить я|) <= Xfoc (G, Lfoc (C\ Е), положив
${go)(gu ..., gn) = q>(go, ... gn); если теперь f G-инва-
риантна, то <ф G-инвариантна для левого регулярного
представления в Lf0C(G, L\oc(Gn, £)) и, следовательно (лемма D.9),
г|) является в этом пространстве образом некоторой
постоянной функции; соответствующий элемент в L\0C(Gn, Е) мы и
обозначим через F.
Элементы из Сп (соответственно °Сп, соответственно С"щ
и т. д.) будем называть непрерывными (соответственно
нормализованными непрерывными, соответственно С°° и т. д.)
неоднородными коцепями; определим обычным способом Zn,
в у Zdiff и т. д.
Функториальные свойства H*(GyE)
Очевидно, что любой G-морфизм E-+F определяет
непрерывные линейные отображения H*(G,E)-+H*(G9F)9 а
любой непрерывный морфизм групп G'—G — непрерывные
линейные отображения H*(GyE)-+H*(G'yE).
Предложение 1.6. Если G — группа Ли и Е квазиполно,
то каноническое отображение Н*(G, E°°)-+ H*(G, Е) является
топологическим изоморфизмом.
Доказательство. Достаточно показать, что непрерывная
инъекция из C°°(Gn+\ E°°)G в C°°(Gn+\E)G биективна и
обратное отображение непрерывно; пусть, следовательно, / —

128 Гл. III. Когомологии топологических групп
элемент из C°°(Gn+l, E)G\ положим ^(х, g) = f (g, x) для
любого g e G, x g= G"+J, Ф (a:) (g) = ф (x, g).
Очевидно, что \|) лежит в C°°(Gn+1XG,£) и непрерывно
зависит от /; следовательно, согласно D.1.3, ф лежит в
C°°(Gn+1, C°°(G, E)) и непрерывно зависит от f; поскольку
f(x)(g)= gf(x) = f(gx) = <P(*)(g)> то предложение
доказано.
Регуляризация коцепей
Можно уточнить предложение 1.5 в том, что касается мор-
физмов комплексов (1.8)->(1.13) и (1.15)->(1.8); во-первых,
можно положить
(unf)(g„ ..., gn) =
= \%(goX) • • • г{ё~пхК)■ f(h0 ha)dh0... dhn, (1.16)
где x — функция из С°° с компактным носителем, интеграл
которой по G равен 1; во-вторых, используем ту же формулу
(которая имеет смысл в силу (v), D.2.2) с непрерывным %.
Отсюда следует (в неоднородной записи):
Предложение 1.7. (i) Если G — группа Ли, а Е
квазиполно, то отображения vn: Cn(G, E) -> Cdiff (G, Е), заданные фор-
мулой
(vnn(g{,.-.,gn) =
= \ Х(Л0)Х(£Г Vi) •; • %(gnl • • • ВТ\ • • • К) X
Xh0F(h{, ..., hn)dho ... dhn, (1.17)
определяют топологические изоморфизмы когомологии.
(и) Если Е полно, то отображения wn- CnrP (G,E)->Cn (G,E),
определенные по той же формуле, также задают
топологические изоморфизмы когомологии.
Замечание 1.1. В [6] приведена гомотопия,
непосредственно демонстрирующая, что vn задают изоморфизм
когомологии.
Замечание 1.2. В случае, когда п=1 и F—1-коцикл, то
WP)(g) = F[g) + (g-I)-\%(h)F(h)dh
и аналогично для w{, откуда следует, что каждый 1-коцикл
из Lfoc на самом деле непрерывен.
Замечание 1.3. Известно, что Hn(G,(S'(G, £)) = 0 для всех
п^1, а также аналогичный результат для C°°[G, Е), если Е

§ 2. Некоторые свойства
129
квазиполно, и для L\0C(G> Е), если Е полно, поскольку
рассматриваемый G-модуль относительно инъективен. (Здесь Е
является ЛВОП, а пространства W(G,E) и т.д. снабжены
левым регулярным действием G.) Сделаем уточнения
относительно понижающей гомотопии в комплексах Cn(GtW(G9E))
и т.д.:
(snF)(g{, ..., gn-i)(g)=F(g-1, gu .... fo-i) (1Л8)
для W и С°°, и
(snF)(gu ..., fif^i)(g)=5x(Y)-/7(Y)(^fifb..., ffn-i)(Y)-dY
для L{J)C.
1.4. Вычисление Extg(!?, F)
Предложение 1.8. £сли Е бочечно, то ExtS(£> Z7)
топологически изоморфно Hn(G,Hom(E,F)).
Доказательство. Согласно следствию D.1, в этом случае
проходит то же рассуждение, что и для предложения 11.2
в гл. I.
Следствие 1.4. Ext°G(E, F) = HomG(E, F).
Историческое замечание. Когомологии #сш (G, E)
комплекса Cdiff(G, Е) были введены В. Т. ван Эстом [124];
когомологии //cont(G, Е) комплекса Ccont(G, E) и понятие сильной
относительно инъективной резольвенты были введены
Г. Д. Мостовом [98], который доказал изоморфизм
#cont== #3iff, когда б — группа Ли и Е — бесконечно гладкий
G-модуль. Когомологии, определенные с помощью коцепей
Lfoc, систематически изучались П. Бланком [6], который
доказал совпадение всех групп когомологии и дал точные
формулы регуляризации коцепей (ср. предложение 1.7). Ранее
автор использовал коцепи L\oc и цепи Ll для доказательства
предложения 2.6 в случае п. = 1.
§ 2. Некоторые свойства: компактность,
усредняемость, отделимость, непрерывные суммы
(гильбертовы интегралы)
2.1. Случай компактных групп
Предложение 2.1. Если G компактна, то для любого
сильного точного комплекса, образованного квазиполными
G-модулями, существует понижающая гомотопия, образованная
G-морфизмами.
5 Зак 75

130 Гл. IIL Когомологии топологических групп
Доказательство. Если ($£) — некоторая понижающая го-
мотопия, то положим 5^=1 gs^g"1 dg, где dg —
нормированная мера Хаара на G. Тогда (sn) — понижающая гомотопия,
образованная G-морфизмами.
Предложение 2.2. Если G компактна, a F квазиполно, то
ExtS(£\ F) = 0 для всех п^\.
Доказательство. Предыдущее предложение показывает,
что стандартная резольвента O-^F-^F0-^- ... допускает
стягивающую гомотопию, образованную G-морфизмами,
следовательно, комплекс 0->HomG(£, F°)-*HomG(E, F1)-^-также
допускает такую гомотопию.
(Можно также заметить, что каждый квазиполный G-mo-
дуль относительно инъективен.)
Следствие 2Л. Если Е квазиполно, то Hn(G,E)=0 для
всех п ^ 1.
2.2. Резольвенты, ассоциированные
с компактными подгруппами
Предложение 2.3. Пусть К —компактная подгруппа в G,
а Е — квазиполный G-модуль. Обозначим через &(Gn+l,E)
множество таких f е & (Gn+l, Е), что f{goko, ..., gnkn) =
= /(go, • • • > gn) для любых gi e G, ki e К. Рассмотрим
следующий подкомплекс в комплексе (1.8):
0-+E-+V(GyE)K-*<Z?(G2,E)K-+ ... . (2.1)
Этот комплекс является сильной относительно
проективной резольвентой для Е. Аналогичный результат верен при
замене & на С°°, если G — группа Ли.
Доказательство. Сразу видим, что (2Л) — сильный
точный подкомплекс в (1.8); с другой стороны, модуль
<&'(Gn+l,E)K относительно проективен (доказывается
аналогично предложению 1.2 с заменой (1.11) на
w(b)(gQ, •••>gn)=\K(v-eo'k's'k~'1- So1 • b)(g0,. ..,gn)dK.
Следствие 2.2. Группы H*(G,E) являются когомологиями
d° d{
комплекса 0->C°(G, Е)К—>Cl(Q, E)K—> ..., где dn
определено так же, как в предложении 1.5, и где Cn(G,E)K есть
множество таких F e Cn(G,E), что foF(k^gxkx, ..., kn-\gk^)=*
= F {g0, ..., gn) для любых kt e /C, gi e G.
Аналогичный результат верен для CSiff (G, E)K, если G —
группа Ли.

§ 2. Некоторые свойства
131
Замечание 2.1. На элементы / из <e>(Gn+\E)K можно
наложить также следующее дополнительное условие:
/(go, ..., gn) = 09 если g-{gi+l^K для некоторого 1 =
= О, ..., п—1; для элементов F e Cn(G,E)K оно
эквивалентно условию F(g\, ..., gn) = 0y если gi^K для
некоторого j = 1, ..., п (ср. глава I, предложение 3.3).
2.3. Условия, при которых Hn(G, E) отделимо
По поводу топологии на H*(G,E) см. § D.I.
Предложение 2.4. Если Е — пространство Фреше и если
dim Hn(G, E) < оо, то Hn(G, E) отделимо.
Доказательство сразу {следует из леммы D.I.
Предложение 2.5. Предположим, что Е — пространство
Фреше и EG = 0. Пространство Hl(G,E) неотделимо тогда
и только тогда, когда отображение d° из Е в ^(G, E) не
является бинепрерывным, г. е. существует такая
последовательность элементов еп в Е, не сходящаяся к О, что g-en — еп
сходится к О равномерно на каждом компакте G.
(Линейное отображение ср: E-+F называется бинепре-
рывным, если образ каждого открытого в Е подмножества
открыт в F.)
Доказательство следует из теоремы Банаха, приведенной
в D.l.l.
Следствие 2.3. Если Е — унитарный G-модуль и Е° = 0, то
H{(G,E) неотделимо, если и только если Е слабо содержит
тривиальное представление.
Доказательство. Согласно предложению 2.5, пространство
Hl(G,E) неотделимо, если и только если существуют такие
еп^Е, что ||Ы1= 1 и \\g-en — en\\ стремится к 0 равномерно
на каждом компакте; с другой стороны, согласно [27], 18.1.5,
Е слабо содержит тривиальное представление, если и только
если существуют такие еп^Е, что ||вл||= 1 и (g-en\en)
стремится к 1 равномерно на каждом компакте.
Наконец, \\g-en — en\\2 = 2 — 2 Re(g-en\en), (g-en\en) —
= {g-en — en\en)+ 1.
Следствие 2.4. Предположим, что G некомпактна, и
снабдим E = L2(G) структурой левого регулярного действия G.
Тогда Hl(G,E) неотделимо, если и только если G амена-
бельна. Есл\х G — группа Ли, это означает также, что ее по-
лупростая часть компактна.
Замечание 2.2. По поводу аменабельных групп см. [37]
или [41]; отметим только, что G называется аменабельной,
5*

132 Гл. III. Когомологии топологических групп
если существует такая линейная форма [х на пространстве
Wb(G) комплексных непрерывных ограниченных функций на
G, которая инвариантна относительно левого действия на G,
и ц(1)= 1, |я(/)^0 для f ^ 0; такую форму называют
инвариантным средним. Согласно [27], § 2.6, это равносильно
тому, что на ^b(G) существует непрерывная линейная
форма, инвариантная относительно левого действия группы G.
2.4. Когомологии непрерывной суммы унитарных
представлений
Определение 2.1. Пусть X — локально компактное сг-ком-
пактное пространство с положительной мерой ^, а Е—
гильбертово пространство; обозначим через L2C{X, Е) пространство
классов, интегрируемых с квадратом отображений из X в Е
с компактным носителем; оно является индуктивным
пределом пространств L2 (/(,£), где К пробегает множество
компактов в X. Топологию в этом пространстве мы пока
определять не будем.
Лемма 2.1. Пространство, двойственное к L?0C(X, Я),
отождествляется алгебраически с LciX, E') по формуле
(Ф, i|)> = jj (ф (х), г|> (*)> d\x (x).
Доказательство. Согласно [112], ч. IV, 4.4,
Lioc {X, Е)' = lim L2 (/(, Е)' = lim L2 (К, Е').
Двойственность между гомологиями и когомологиями
Здесь мы не будем производить систематического изучения
гомологии, а приведем только то, что будет использовано для
доказательства предложения 2.6. Пусть Е — унитарный G-mo-
дуль; рассмотрим комплекс, который дает когомологии для Е
с помощью коцепей из L\oc: 0->C (G, Е)—>С (G, #)->..•,
где Cn(G, E) обозначает L?0c(G", Б), а допределен так же, как
в предложении 1.5. По двойственности получаем комплекс
...Лс,(0, Е') АС0(G, Е')->0, гдеCn(G, Е') = D(Gn;E')и
(<*«♦) (ffb •••» 8n)=\Q{g~l-$(g, gb •••> gn) +
n
+ £](—1)'-Ф(£и •••» St-u 8' ё~Хё{> •••» Sn) +
+ (-l)"+4teb ...,gn, §)}dg

§ 2. Некоторые свойства 133
Положим Z^= Кег dn, Вп = Imdn~\ Zn = Ker dn-\\
обозначим через Вп замыкание Вп в Zn.
Лемма 2.2. Элемент -ф из Сп лежит в Вп, если и только
если <ф\|)> = 0 для любого ф е Zn.
Доказательство непосредственно следует из теоремы
Хана — Банаха.
Предложение 2.6. Пусть (T,v) — стандартное борелевское
г®
пространство с мерой, а Е = \ Etdv(t) — унитарный G-mo-
дуль, являющийся непрерывной суммой (гильбертовым
интегралом) семейства унитарных G-модулей Et (no поводу
обозначений см., например, [27]). Предположим, что
Hn(G,Et) = 0 для некоторого я ^ 1 и почти всех Et. Тогда
Hn(G,E) = 0.
Доказательство. Согласно предыдущей лемме, достаточно
показать, что <Ф, "ф> = 0 для любого фeZл(G, £) и любого
\f>eZrt(G, E'). При этом можно ограничиться случаем, когда
Et отождествляется с одним и тем же гильбертовым
пространством F, а Е = L2(T, F). Так как функция «ф равна 0 вне
некоторого компакта К в Gn, то -ф е L2 (К, Е)i; нужно
показать, что
SK$r<<Ptei» ••" 8n)(t)> *(ffi, •••> gn)(t)>dtdgl ... dgn) = 0.
Используя свойство (vii) из D.2.2, можно отождертвить ф
и -ф с элементамиф и \j) из L?oc (Т, L\0C(Gn, F)) и Z,2(jT, L2 X
X (/С, F')); нужно, таким образом, показать, что
JrJ <Ф(0(ЯГ1» •••> ёп)> 4>(0(ffi. •••> гя)>^й .**dgndt*=0
или что для почти всех £
$к<ф(0(£ь •••> £*)> *(0(«ь ••> &i)>dtfi ••• dgn = 09
или, наконец (лемма 2.2), что для почти всех t имеем
<f(0€=B"(G, F) = Ln(G, F), $(t) = Zn(G, F').
Докажем, например, что ф(*)е Z"(G, T7). Достаточно
показать для этого, что для любого <р ^ Cn(G,E) имеем:
dy(t) = d(q>(t)) для почти всех L Обозначим через U и Ut
представления G в Е и £*;имеем:Жр(*)(£1, ..., gn+i)=d<p(ft,...,
..чЫЙ-(1'Ы'ф(г2,..мЫ)(н|и'ф(й
•••I §iei+i> •••• *»+i)(0 + (—1)л+,ф(Яь •••» ЯлНФ Для

134
Гл. III. Когомологии топологических групп
почти всех (gu ..., gn+u 0 последний член равен
Ф (0 (gu • • ♦, gn) в силу свойства (ix) из D.2.2, примененного
при X=Gn+l, Y=Gn, u(gu ..., gn+l) = (gu ..., g„); член
перед (—1)' равен ф(0(#ь ..., gigi+u ..., £n+i) в силу того
же свойства (ix), примененного при u(gu ..., g«+i) =
= (gu • • • > g/gH-ь • • • > gn+\); наконец, первый член равен
^'(gi) "Ф(0 (#2, ..., gn+i) в силу того же свойства и того
факта, что U разлагается по представлениям Ut.
Предложение доказано.
2.5. Когомологии расширения G-модулей
Рассмотрим два G-модуля Е u F я сюръективный G-мор-
физм и: E-+F, допускающий непрерывное, не обязательно
линейное сечение (это всегда выполнено в случае, когда Е и
F — пространства Фреше, см. D.1.1). Повторяя рассуждения
из гл. I, § 4, построим точную последовательность
когомологии 0-^Я0(С H)-+HQ{G, E)-+H*(Gy F)-+H](Gy Я) ->
-»■ Я1 (G, £■)->• ..., где Я = Кег и и где стрелки являются
непрерывными линейными отображениями. Это применимо, в
частности, для каждой сильной точной последовательности
G-модулей 0->Л~>5-^С-^0; если, кроме того, Е —
некоторый G-модуль, то последовательности 0-^Нот(£", Л)->-
-+ Нот(£, 5)-^Нот(£, С)-* 0 и 0->Нот(С, Е) ->
^Нот(Д£)->Нот(Лэ£)->0— точные и сильные, что
позволяет легко написать длинные точные последовательности
с группами Ext".
Наконец, так как точная последовательность 0->-£'->
-+<&(GtE)-+<&(G,E)/E-+0 является сильной, то Hn(G,E)~
[~ Hn-l(Gi<&(Gi Е)/Е) для любого п ^ 2 (алгебраический
изоморфизм).
2.6. Ограниченные 1-коциклы
Предложение 2.7. Пусть Е — такой рефлексивный равно-
мерно непрерывный G-модуль, что дуальное пространство —
бочечное. Тогда каждый ограниченный непрерывный 1-коцикл
является кограницей.
Доказательство. Напомним сначала теорему Рыль-Нард-
зевского о неподвижной точке (см. [2], [100]). Пусть F —
ЛВОП, Г — группа линейных операторов в F, действие
которой на F равномерно непрерывно и имеет ограниченные
орбиты. Тогда каждое выпуклое *-слабо компактное Г-инва-
риантное подмножество в F имеет Г-инвариантный элемент.
Пусть теперь ф — непрерывный ограниченный 1-коцикл из G
в Е\ пусть G действует на F = £®С по формуле g-(e, t)=

§ 2. Декоторые свойства
135
= (#•£ + Mg)> 0» можно применить теорему к этой группе
и подмножеству К, являющемуся выпуклой замкнутой
оболочкой (в ^-слабой топологии) множества /С0 = G• (0, 1) =
= {(ф(£)> 1)|&е G]. Поскольку Е рефлексивно, то ^-слабая
топология есть не что иное, как слабая топология на
двойственном пространстве Е\ так как /Со, а значит, и /С,
ограничены относительно этой топологии (см. 111, III. 2,
предложение 2), то К компактно (там же, IV.2, теорема 1);
следовательно, К содержит G-инвариантный элемент е0 и ф является
кограницей для
—Последствие 2.5. Каждый ограниченный непрерывный коцикл
со значениями в унитарном G-модуле является кограницей.
Предложение 2.8. Следующие условия эквивалентны:
(i) G аменабельна,
(и) для любого банахова равномерно непрерывного
модуля Е каждый ограниченный слабо непрерывный коцикл из
G в Ег является кограницей.
Доказательство. (i)=^(ii). Пусть \л — инвариантное
среднее на ^b{G) (см. замечание 2.2), а/ — ограниченный слабо
непрерывный коцикл из G в Ег. Для каждого ^е£ определим
элемент сре из ^(G) по формуле фЛ#) = </(&)> £>*> тогда /
является кограницей для элемента и из Е'9 определенного по
формуле (и, е} = —|я(фе).
(ii)=^(i). Положим X = ^(G), Е = X/C-U Е' есть
множество таких [я е Х\ что (я(1) = 0. Пусть ^еГ — такое,
что |jti (1) = 1; определим ограниченный слабо непрерывный
1-коцикл из G в Е\ положив f(g) = g-iii — (Ль Согласно
условию, f(g) = g-\io — Мю для некоторого |л0 ^ Е'\ тогда
линейная форма [х = (jti — (Хо инвариантна относительно G,
причем [л(1)= 1, т. е. G аменабельна.
Предложение 2.9. Если тривиальное представление
является изолированной точкой в G (будем говорить, что тогда
для G выполнено свойство (Т) Каждана), то Hl(G,E)=0
для любого унитарного G-модуля Е.
Доказательство. Напомним сначала, что тривиальное
представление является изолированной точкой в (?, если и
только если каждое унитарное представление, содержащее
его в слабом смысле содержит его также и в обычном смысле.
Пусть теперь / — элемент из Zl(G,E)\ для каждого az^N*
функция g-+yn{g) = я-ехр(—IIf(g)II2/п) является
положительно определенной (см. лемму F.1); кроме того, cpn(g) —
— фп(1) сходится к —II/(g) И2 равномерно на каждом
компакте. Существуют такое унитарное представление Un
группы G в гильбертовом пространстве Нп и такой циклический

136
Гл. ///. Когомологии топологических групп
вектор Хп^Нп, что (pn(g) = (Un(g) -xn\xn). Обозначим через
Рп ортогональный проектор на Нп и положим Qn = I — Рп,
Kn = Qn(Hn). Пусть, затем, q>n(g) = (Un(g)-QnXn\Qn-xn);
легко видеть, что tyn(g) — $n(l) = <Pn(g)— фя(1)- Покажем,
что последовательность (фп(1)) ограничена. Предположим,
что, наоборот, существует подпоследовательность tyn (1),
стремящаяся к +°°- Тогда, так как a|)n (g) — фЛ (1)
сходится к —ll/(g)ll2 равномерно на каждом компакте, то
*лА (г)/фЯл П) ~*(*Ял (8) ~ *„л 0)Л1>^ (1) + 1 -> 1 равномерно
на каждом компакте; представление в гильбертовой сумме
модулей Кп слабо содержит тривиальное представление, а
значит, содержит его и в обычном смысле — противоречие.
Так как последовательность (фл(1)) ограничена, то она
содержит подпоследовательность (мы снова обозначим ее
через г|эл (1)), сходящуюся к некоторому пределу /. Тогда tyn (g)
равномерно сходится на каждом компакте к /—llf(g)ll2. Эта
последняя функция положительно определена и,
следовательно, ограничена; значит, и / ограничена. Теперь достаточно
применить следствие 2.5.
Историческое замечание. Комплексы /(-инвариантных
коцепей были введены ван Эстом [125]; предложение 2.4
принадлежит Борелю и Валлаху [7],предложение 2.6 —П.
Бланку [6], предложения 2.7 и 2.8 —Б. Е. Джонсону [71],
предложение 2.9 —П. Делорму [21].
§ 3. Использование центров.
Случай абелевых групп
3.1. Использование центров
Так же как в гл. I, § 7, на Cn(G,E) определяется
действие G (по формуле: (g-f)(gu ..., gn) = g • f(g~lg\g> .•>
..., g~lgng))> индуцирующее действие на когомологиях; затем
доказывается следующий результат:
Предложение 3.1. Обозначим через U представление Q в
Q-модуле Е.
(i) Если существует такой элемент z из центра Z(Q), что
U(z)—I обратим в Hom(£,E) то Hn(G,E) = 0 для всех
(ii) Если Е квазиполно и если существует такой элемент
[х из центра алгебры MC = (G), что \i(l) — 1 и (/(fx)—/
обратим в Нот(£,£), то Hn(Gt Е) = 0 для всех п ^ 0.

§ 3. Использование центров
137
Действительно, комплекс непрерывных однородных
коцепей допускает следующую стягивающую гомотопию:
(5я/)(go, ..., ft,-i) =
= (C/(n)-^/r'-2]<-l)'$/(go, ••., gi, ggt,--',ggn-i)'dn(g)
<=° (3.1)
и аналогично для неоднородных коцепей:
(SnF)(gu ..., £„_,)= (£/(ц)-/Г'Х
X Z*-1)"1 \ p(8i *«-i. 8. gi, • • -, gn-i) • ^(ff).'' (3-2)
/ = 1
Следствие 3.1. Если действие Z(G) на Е задается
нетривиальным характером, то Hn(G, E) = 0 для всех п^О.
Следствие 3.2. Пусть Е и F — два таких G-модуля, что
действие Z(G) в них задается различными характерами;
тогда ExtS (Е, F) = О для всех п^О.
Следствие 3.3. Предположим, что все классы
сопряженности в G относительно компактны; тогда для любого
неприводимого унитарного нетривиального G-модуля Е имеем:
Hn{G,E)=0 для всех п ^ 0.
Доказательство. Согласно [82], для каждого класса
сопряженности С существует положительный элемент [х из
центра алгебры MC(G) с носителем в С; далее рассуждаем
так же, как в замечании 7.1 гл. I.
v 3.2. Случай абелевых групп
Предложение 3.2. Пусть G = Rm; определим G-модули
T(&i) и Г(<2?2) так же, как в D.5.I. Если множества Ai(Xi) и
Л2№) не пересекаются, то Ext5(r(£Ti), Г (<^2)) = 0 для всех
п>0.
Следует из предложения 3.1 и следствия D4.
Следствие 3.4. Определим G-модуль Т(<£) так же, как в
D5.1. Если А(Х) не содержит 0, то Hn(G,T(&)) — 0 для всех
п^О.
Замечание 3.1. Когда Ai(Xi) = Л2(Х2), то в некоторых
случаях можно достаточно явно описать группу ExtS(r (ffi),
Г(йГ2)) Для л = 0 или 1 (см. [51]). Более точно, обозначим
через X многообразие, вложенное в G; пусть <£\ и <£ъ — два
£°°-гладких локально тривиальных векторных расслоения над

138 Гл. III. Когомологии топологических групп
X конечного ранга, а Нот (^ь^)—расслоение, слоем
которого над х является Нот (<*?!, *, <^2, *); через ® (соответственно
©*) обозначим тривиальное расслоение с базой X и слоем G
(соответственно G*); через t—касательное расслоение к Х\
положим Et = Г(^Г/).
a) Определим отображение А из Г(Нот(<2?ь*?2)) в
пространство Я = Нот (Г (<^i), Г (<2?2)) следующим образом:
Л(Ф) (/) (х) = Ф(*) (/(#))*> тогда А — топологический
изоморфизм из Г(Нот(аГьгг2)) на Я0 = Exto (Яь Е2).
b) Согласно a), Hl(G, HG)= Hom(G, H°)
отождествляется с Hom(G, Г(Нот(<Гь<Г2))), а затем с Г(Нот(@, Нот(#ь
£Г2))) = Г(®*® Нот(^!^Г2)); последнее пространство
содержит r(t® Нот(<Уь<§Г2)). Таким образом, естественное
отображение из Hl(G,HG) в Hl(G,H) (индуцированное
включением HG в Я) является сюръективным с ядром T(t®
® Нот (^ь <?Г2)) и определяет топологический изоморфизм
между Г(3*ДеНот(агь £2)) и Я1 (G, Я) = Ех^(£ь £2),
в частности, последнее пространство отделимо.
c) Канонические отображения H->-Bl(G, H) и Zl(G,H)^>-
~>Hl(G,H) допускают непрерывные линейные сечения.
Предложение 3.3. Предположим теперь, что G абелева и
рассмотрим G-модуль Е, который является квазиполным
непрерывным или имеет вид Нот(£'ь £2), где Е{ и Е2—
квазиполные равномерно непрерывные. Если носитель модуля Е не
содержит единицы е из G, то Hn(G, E) = О для всех п^О.
Доказательство следует из предложения 3.1 и леммы D18.
Следствие 3.5. Если Е и F — два квазиполных равномерно
непрерывных G-модуля, причем Е — бочечное и г не лежит
в замыкании supp/7 — supp£, то ExIg (Е, F) — 0 для всех
п^О.
Доказательство следует из предложения 3.3 и леммы D.20.
В случае унитарных представлений ситуация сильно
отличается от той, которая была в предложении 3.2.
Предложение 3.4. Предположим, что G абелева, Е
унитарно, Е° = 0, и обозначим через X носитель Е. Тогда
(i) каждый непрерывный п-коцикл является пределом
кограниц,
(и) если X содержит е, то Hl(G,E) бесконечномерно и
неотделимо.
Доказательство, (i) Для каждой окрестности V элемента
8 в О обозначим через Pv спектральный проектор,
ассоциированный с GW; пусть f — непрерывный n-коцикл; тогда
Pv о f является кограницей согласно предложению 3.3;
наконец, Pv°f стремится к f по фильтру окрестностей для е,

§ 4. Когомологии индуцированных G-мод у лей 139
(и) Е слабо содержит тривиальное представление;
следовательно, Hl(G,E)=0 неотделимо (следствие 2.3);
следовательно, оно имеет бесконечную размерность
(предложение 2.4).
Историческое замечание. Предложение 3.1 является
простой переделкой аналогичного результата для дискретных
групп; по-видимому, оно вместе с многочисленными
следствиями (предложения 3.2, 3.3, 3.4) принадлежит автору этих
записок.
§ 4. Когомологии индуцированных G-модулей
Обозначения. Обозначим через Я замкнутую подгруппу
в G; X = G/H, jc0 = Яе Х\ через р обозначим каноническое
отображение из G в X (мы будем писать также g вместо
Р (£))*> через а обозначим борелевское, локально
ограниченное сечение для р, т. е., в частности, а отображает каждое
компактное множество в X в локально компактное
множество в G см. [134], 5.1.1). Выберем левые меры Хаара dg и
dh на G и Я. Для каждого g^G положим r(g) =
= go(p(g~1))^ Я; при этом г является борелевским локально
ограниченным отображением из G в Я; наконец для §gGh
х^Х положим X(g,x) = o(x)-l-g-o(g-lx).
Через Е обозначим некоторый Я-модуль; наша цель —
доказать различные варианты «леммы Шапиро».
Случай непрерывно индуцированных G-модулей
Определение 4.1. Будем обозначать через Indc#£, или
проще через Indc£, и называть непрерывно индуцированным
G-модулем с модуля Е пространство таких непрерывных
отображений / из G в £, что f(gh) = h-l-f(g). Снабдим его
следующим действием группы G: (g0- f)(g) = f(golg).
Лемма 4.1. Пусть Е квазиполно] тогда пространство
^(G^1,/?) с действием Я, определенном по формуле
(h-f) (x) = {h-f{h-l)x), является относительно инъективным
Н-модулем.
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
S
•\
^(g"+1, е),
где А и В являются Я-модулями, а и и v — Я-морфизмами;
5—-такое линейное непрерывное отображение, что s°w==

140 Гл. 111. Когомологии топологических групп
= 1<3л- Пусть хе^c{G) — такова, что \%dg=l, и пусть
JsB, а К — компакт в Gn+K Определим отображения со из
G в V (К) и ф из G в V (К9Е) по формулам со (g) (g0, ..., gn)=*
= %(golg); q>(g)(g0> ..., gn) = (v • r(g) - s - r(g)~l - b)(go, ...,
...» gn)> где со непрерывна и ее носитель L компактен;
Ф — борелевское и переводит каждый компакт в относительно
компактное множество; соф борелевское, с компактным
носителем и принимающее значения в некотором компакте.
Следовательно, можно рассмотреть (согласно D.1.4) элемент
/к — \ <* (g) • Ф (g) dg&V (К, Е)\ причем fK (g0, ..., gn) =
" \ Ъ(8о18) • (о • г (г) • 5 • г (gVl • b) (gQ, ..., gn) dg, и, кроме
того (здесь P^t q, q e Q (E) — полунормы в V (/С, Е) — см.
D.1.3, a m — мера Хаара на G):
Рк. я (h) < m (L) sup PK, q (со (g). ф (g)) <
<m(Z,)-sup|co(g)|. sup «((o-rteJ.s-rfe)"1*)^...,^)).
*sL (*o *n)s*
Это показывает, что отображение &->/* непрерывно.
Различные /я определяют элемент из &(Gn+l, E), который обозначим
через w(b)\ имеем, следовательно,
о>(6)(£о» •••» Sn) =
- J X(ffo !ЯГ) ' (° ' г<вГ> • 5 ' '<*>"' • 6)(£о> • • -. *„)<** (4.1)
и ш является линейным непрерывным отображением из В
в V(Gn^rl9E)\ наконец, легко проверить, что w<>u = v и что
w является G-морфизмом. Доказательство окончено.
Рассмотрим комплексы
0->f->^(G, £)->?? (G2, £)-> ..., (4,2)
0->£->«Ч#, Я)->^(Я2, £)-> ...,- (4.3)
0->«?(G, E)H-><&{G2y Е)И-> ..., (4.4)
0->?(#, E)H->W(H2, Я)я-> ..., (4.5)
0->^(G, 1пс1с£)0->^(02, Indc£)G-> .... (4.6)
Комплекс (4.3) является сильной относительно инъектив-
ной резольвентой для Е (предложение 1.2) и то же самое
верно для (4.2), согласно лемме 4.1; определим морфизмы
комплексов Я-модулей (ип): (4.2)->(4.3), (vn): (4.3)->(4.2)
по формулам (unf){hot ..., hn) = f{h0, ..., hn), (vn(p)(g0, ...,
•••-«я)а-$0»+1зс(во"4)---зс(г;4)ф(г(хо> •••> r(xn))dxo---

§ 4. Когомологии индуцированных G-модулей 141
... dxn, откуда получаем морфизмы комплексов (ип):
(4.4)-^(4.5), (vn): (4.5)->(4.4), которые не являются взаимно
обратными, но определяют изоморфизмы когомологии
(следствие 1.1). С другой стороны, можно определить следующие
взаимно обратные изоморфизмы комплексов: и"1: (4.6)-> (4.4),
(О: (4.4) -> (4.6); (и'>) («го; ..., gn)=* (ft, ..., gn)(\y; {v'nf) X
X(g0, •••» 8n)(g):=f(g lgo> ••> g~lgn)* Рассматривая ипоu'n
и v'n о о", получаем
Предложение 4.1. Пусть Е квазиполно; тогда
(i) Существуют морфизмы комплексов (не взаимно
обратные): WiG"*1, Indc £)G ЕЭ^^фег^7(Я"*1, £)я,
определенные по формулам
Ф(йо, •••> *я) = *(Ао. ••> Ля)(1), (4.7)
♦ (go. ••> £«)(£) =
= \Gn+a(golgxo) • • • X(^^)9(r(x0), ..., r(xn))dx, (4.8)
где % непрерывная функция на G с компактным носителем,
интеграл от которой равен 1; эти морфизмы определяют
взаимно обратные топологические изоморфизмы между
tf*(G, ШсЕ) иН*(Н,Е).
(ii) В неоднородных коцепях формулы (4.7) и (4.8) пере-
х.пдят й
0(hu ..., Ая)-¥(Л„..., Ля)(1), (4.9)
Vtoi, .... *»)(*)-
= \0n+a(gxo) -x(gilgxi) ■ • • • ■ х^1 • • • «тЧ) х
Хг(х0)-Ф(г(х0Г1г(а:1), ..., r(*n_0~M*n)V*o.-.d*n. (4.10)
Следствие 4.1. Пусть Е — квазиполный Н-модуль, а А —
бочечный G-модуль; тогда Exto(At lndcE)~H,xtH(AH, E)
для любого п больше 0.
Доказательство. Так же как для предложения 11.9 гл. I,
с использованием следствия D.I.
4.2. Случай, когда р допускает локальное
непрерывное сечение
Под этим подразумевается, что в X существует
окрестность 0 точки хо, допускающая непрерывное сечение а
относительно р. Это всегда имеет место, если, например, G сепа-
рабельна, метризуема и имеет конечную размерность. Мы
покажем, что тогда Indc E можно реализовать как пространство
непрерывных сечений некоторого векторного расслоения
над X.

142
Гл. 111. Когомологии топологических групп
Для каждого g^G отображение яь->g-o(g~{x) является
непрерывным сечением для р над g-U; следовательно,
существует
открытое локально конечное покрытие (£/*)*<==/ на X, для
каждого i— непрерывное сечение а для р;
над Ui непрерывное разбиение единицы (а*-),
подчиненное (£/,).
Положим ri(g) = g-Oi(p(g-1)) для любого gGp-1^)"1;
falj{g,x)=Oi(x)-l-g-ar(g-]x) для любых geC, xe
Обозначим через g фактор множества G X Е по
следующему отношению эквивалентности: (g, e) ~ (g\ ё) тогда и
только тогда, когда существует такое /i e #, что g' = g/i,
е' = /Не; через CL(g, e) обозначим класс элемента (g9 e)
в йГ, а через я — отображение из <§* в X, положив я (CL (g, в)) =
= p(g). При этом J? есть векторное расслоение над X со
слоем £, на котором G действует по формуле g'-CL(g, e) =
= CL(g'g, е)\ оно локально тривиально, поскольку nr](Ui)
отождествляется с (Л X £ по формуле я_1((//)эС1(^е)ч->
++{x,f)eUiXE; (x,f) = (p(g), n{g-l)-l9e)\ CL(g,x) =
= CL(a,(x),f).
Обозначим через Y(&) пространство непрерывных
сечений расслоения <§Г, снабженное топологией равномерной
сходимости на компактах; определим изоморфизм Л из \х\АсЕ
на Т(&) по формуле: Щ) (х) = CL(g, f (g)) для любого
gGp-1^). Если отождествить я-1(£Л) с Ui X Еу то (Л/) (х)
совпадает с (х, Ft(х)), где Fi(x)= f{oi(x)). Изоморфизм Л-1
дается формулой f(g)= n(g-1)-Fi(p, (g)) для любого
g^p-l(Ui). Действие G переходит в (g-F) (x) = g-F(g~l)
для любого FgT^) или, иначе, (g-F)i(x)=U, i{g9x)>
• Fj(g~lx) Для любого xg Ui[]g-Uf.
Лемма 4.2. Ясли р допускает локальное непрерывное
сечение, то лемма 4.1 верна без предположения о том, что Е
квазиполно.
Доказательство. Заменим (4.1) на
w (Ь) (go, ..., gn) =
-Еа^Р^^Ч^^Ы'^^^оГ1^)^, .... gn). (4.П)
Следовательно, можно определить другой морфизм (vn)
из (4.5) в (4.4) по формуле (A>)(g0 £„)= Е a, X
x(P(ft-')- ••• •0«>(«,)Мч(*о). •••■ ^(4>"'л
Таким образом, получаем

§ 4. Когомологии индуцированных G-модулей 143
Предложение 4.2. Предположим, что р допускает
локальное непрерывное сечение\ тогда
(i) существуют морфизмы комплексов (не обязательно
взаимно обратные)
<&(Gn+\ ЫвВ)°э^феУ(Яя+1> Е)н,
Ф(йо, ..- A„) = *(Ao. ..- Ая)(1), (4.12)
Ф(&» •••> Sn)(g) =
ХФ(^(г'г») ^(гУ);, (4.13)
эти морфизмы определяют топологические взаимно обратные
изоморфизмы между H*(G, Indc Е) и Я*(Я, Е).
(и) В неоднородных коцепях (4.12) и (4.13) переходят в
Ф(Й1, .... Л.) = ^(Л1..., Ля)(1), (4.14)
*(*„..., gn)(g) =
= iQZ^iQ(p(g))^ii(p(g^g))^ ... •а,/г(р(^1...ёГГ1Ю)Х
(4.15)
(iii) Яри применении изоморфизма lndcЕ~Т(&') (4.14)
и (4.15) переходят в
Ф(Л1, ..., й«) = Чг(Л1, ..., Ая)(х0), (4.16)
vfc!,..., *„).(*) =
хф(Ч ^(^'4 V.^»^1*)' •••' V.. «я (£»•*»-!... «гг1*).
(4.17)
(Мб* отождествили я-1 (*о) с £.)
4.3. Случай гладкого индуцированного G-модуля
Определение 4.2. Предположим теперь, что G — группа Ли.
Обозначим через IndooZ; пространство О-отображений из G
в Е, удовлетворяющих тому же соотношению, что и в
определении 4.1, и снабженных тем же действием группы G.
Назовем этот модуль индуцированным с £ в смысле С°°,

144
Гл. III. Когомологии топологических групп
Предложение 4.3. G-модуль Indoo£ является модулем
класса С°° и совпадает как с (lndcE)°°y так и с IndooZ:00.
Доказательство. Согласно результатам из D.4.1, поскольку
модуль lndcE является замкнутым G-модулем в ^(G, £), то
(IndcE)00 равен \ndc E{\(&(G, E)°° с топологией,
индуцированной с ^(G, £)°°, т. е. (лемма D.ll) (lndcE)°° равен
Indoof. Последнее утверждение теперь легко следует из того
факта, что для /eIndoo£ имеем f(g)(h) — h-f(g) = f(gh-1).
Доказательство окончено.
Известно ([13], § 6.2), что в случае групп Ли р допускает
локальное сечение класса С°°. Можно, следовательно,
повторив рассуждения из 4.2 для сечений а класса С°°,
реализовать Indoo£ как пространство сечений класса С°° некоторого
векторного расслоения и получить таким образом результат,
аналогичный предложению 4.2.
Предложение 4.4. Пусть Е квазиполно; тогда
H*(G, IndooE) и Н*(Н,Е) топологически изоморфны, причем
имеют место формулы, аналогичные формулам (4.12) — (4.17).
Предположение «Е квазиполно» нужно для того, чтобы
можно было вычислить H*(G, IndooE) и Н*(Н,Е) с помощью
коцепей класса С"30.
4.4. Случай G-модулей, индуцированных
в смысле Lfoc
Определение 4.3. Пусть Е — полный Я-модуль. Действуя
так же, как в D.3.2, определим действия G и Я на
Lbc(Gn+\ Е), которые продолжают действия на ^(G"*1,E),
определенные выше.
В частности, обозначим через lndpE множество Я-инва-
риантных элементов из Lf0c(G, £), которое назовем G-моду-
лем, индуцированным с Е в смысле Lf0c.
Лемма 4.3. Н-модуль L?0c(Gn+\ E) относительно инъек-
тивен.
Доказывается так же, как лемма 4.1, используя
интегрирование в Lf0c(Grt+1, E) вместо <&(Gn+\ Е).
Рассмотрим далее комплексы, аналогичные комплексам
(4.2) ... (4.6), и определим морфизмы (ип), (vn), (u'n), (v'n)
следующим образом: (wrtf)(/i0, ..., й^=^х(й0~^о)---х(Л~УХ
Xf(go, ^^gn)dgo^'dgn;(v\)(g,,...fgn)^\Q(r(g0ylh0)^..
,.. -e(r(gnyX hn)' ф(Ло> •••> hn)-dhb ... dhv где х^^Л°)>

§ 4. Когомологии индуцированных G-модулей 145
%dg = l, 8g^c(^)» \9dA=l; интегралы имеют смысл
благодаря свойству (v) из D.2.2.
Отображение и'п определяется почти так же, как
отображение L?oc(G'l+1, E)g -> Lfoc (fin, E) из 1.3; наконец, v'n легко
определяется с помощью свойства (viii) из D.2.2.
Предложение 4.5. Если Е полно, то H*(G, lndpE) и
Н*(Н,Е) топологически изоморфны.
Замечание 4.1. Когда G— группа Ли, то (lndpEco) =
= IndooE. Доказывается так же, как предложение 4.3, с
использованием леммы D.12.
Замечание 4.2. МожнсТ' показать, что lndpE изоморфно
L\oC(X, \х, Е) (где \х — положительная квазиинвариантная
мера на X), где изоморфизм дается формулами,
аналогичными формулам из гл. I, § 5.
4.5. Случай G-модулей, индуцированных
в смысле Lp
Обозначим через |3 вещественный характер на Я,
определенный по формуле Р(Л) = бо(Л)/бя(Л), где бо и 8н
обозначают модулярные функции на С и Я. Определим строго
положительную функцию р на G по формуле p(g)= $(r(g-{)),
где г было определено в начале параграфа; р есть р-функ-
ция в смысле [134], добавление 1. При этом на X существует
такая положительная квазиинвариантная мера \х, что
\ <p(g)p(£)^£= \ y{x)d\i(x) для любого q)E^c(G), где
Ф (g) — \ff ф (gh) dh, причем d\x(g-]x)/d\x(x) = a{g, x) =
= $0*(ё>х))=*у^-х£)/р(£), если g' = x. Известно, что на
X существует инвариантная мера тогда и только тогда,
когда р = 1.
Рассмотрим, с другой стороны, банахов Я-модуль £, в
котором Н действует с помощью изометрических операторов
Uh. Обозначим через Е то же самое пространство £,
снабженное представлением h\—>Oh = ${h)l/p'Uh. Определим
далее G-модуль &р,индуцированный с £ в смысле LP (см. [134],
5.1.1), а именно: каждому f e lndpE сопоставим такую
положительную меру \xf на Ху что \if(qp)= \ \\f(g)\\p-y(g)-dg для
J G
любого фб.?с(С). Через &р обозначим векторное
подпространство в \ndpE таких f, что ||f ||,P = (if (l)1/p < оо. Наконец,
определим действие G на &р с помощью левых сдвигов;
через °Up обозначим полученное таким образом представление
(отметим, что оно изометрично).

146
Гл. 111. Когомологии топологических групп
Представление°UP можно реализовать также в LP(X, ji, E)
следующим образом: заметим, что если /elndp£, то |if =
= G)fH, где «)f(g)= p(g)-l-\\f(g)\\p, откуда следует
изометрический изоморфизм r3/^FGLp(I, ц, Е): F (x)=f(a (*)),
f(g) = p(gy/p-Ur{g-i)-F(g). При переходе в Lp(X, |i, E)
представление °Up переходит в {°U9 (g) • F (x) = a (g, Jt)l/pX
Х^к**)-^-1*).
Если теперь X компактно, то &р = lndpE, и,
следовательно, мы имеем
Предложение 4.6. Если X компактно, то Hn(G>&p)~
~ Нп{Н, Е) для любого п^О.
Отметим, что для р = 2 представление <82 является
индуцированным в унитарном смысле, если V предполагается
унитарным.
Изучим теперь случай, когда р=\ и Е — тривиальный
Я-модуль С. Тогда °1Р действует в L1 (X, |i) по формуле
(g-f)(x) = *(g>x)-f(g~lx)> и> следовательно, [i(g-f) = \i{f).
Положим & = Ll(X, |i), <§f0 ={f e^T||i(f) = 0}; при этом <§Г0
является G-подмодулем в <g. Начиная с этого места, будем
предполагать, что не существует никакой ограниченной
инвариантной ненулевой меры на Х\ тогда <э° = О, так как если
/ е &G, то f-\x является инвариантной ограниченной мерой.
Для каждого со из <£ отображение
£^->фсо(£) = £-о) — со (4.18)
является непрерывным 1-коциклом из G в <§Г0) т. е.
Фсо^ lx{G,<§b)> Легко видеть, что при этом ср© является
кограницей тогда и только тогда, когда юейГо. Мы получаем,
следовательно, инъекцию из С в Hl(G,ffo)9 которая, впрочем,
следует также из точной последовательности когомологии,
ассоциированной с точной последовательностью
0-*аг0-*#-*С-*0. (4.19)
Таким образом, мы получаем
Предложение 4.7. Если на X не существует никакой
инвариантной ненулевой ограниченной меры, то формула (4.18)
определяет инъекцию из С в Hx(G,<£q), и мы имеем точную
последовательность 0-> С -> Я1 (G, &0)->Hl(G,&)-+H{{G, С).
Если к тому же X компактно, то Я1 (С?, <g) ~ Я^/^Ср),
где Ср обозначает Н-моду ль С, снабженный
представлением р.
Замечание 4.3. Рассмотренный выше G-морфизм
Ll(X, n)^->C может быть обобщен следующим образом.
Рассмотрим банахов G-модуль Е, снабженный эквинепрерывным
представлением (/, и Я-подмодуль Е°. Реализуем G-модуль,

§ 5. Когомологии расширений групп
147
индуцированный с Е° в смысле L1 как пространство
U (X, [х, Е°), снабженное следующим действием группы
G: (£*^) (*) = <*(#>*) -t/^g, jc-ffe-1*). Определим линейное
непрерывное отображение Т из L1 (X, ji, £°) в £ по формуле
Т (F) = \ £/<j (Л1 • F (л:) • d\i (х). Легко проверяется, что Т
является G-морфизмом. Эта конструкция была использована
слегка в иной форме в § В.6, свойство (xi).
Замечание 4.4. Предложение 4.6 неверно, если X
некомпактно. Возьмем, к примеру, # = {1} и р = 2; тогда
S2 = L2{G) со структурой правого регулярного
представления, если G аменабельна, то Hl{G,<g2) не отделимо и,
следовательно, бесконечномерно (см. предложение 2.4
и"**следствие 2.4). Вместе с тем для SL(2, R) пространство
HX(G,&2) отделимо и не равно 0 (см. предложение 8.5).
Историческое замечание. Различные варианты «леммы
Шапиро» были доказаны несколькими авторами: Пинчоном и
Симоном [103] для случая, когда G —группа Ли, Н
компактна и рассматриваются 1-когомологии индуцированных
унитарных представлений; Кассельманом и Вигнером [18],
когда G произвольна, Н допускает локальное непрерывное
сечение и рассматриваются л-когомологии представлений,
индуцированных в непрерывном смысле; Ж. Пишо [101], когда
G произвольна, Н компактна, и рассматриваются 1-когомо-
логии индуцированных унитарных представлений; П.
Бланком, [6], когда G и Н произвольны, и рассматриваются л-ко-
гомологии представлений, индуцированных в смысле L?0c;
Ж. Пишо [102], когда G и Н произвольные и
рассматриваются л-когомологии представлений, индуцированных в
непрерывном смысле или в смысле С°°.
§ 5. Когомологии расширений групп
5.1. Спектральная последовательность
Линдона — Серра — Хохшилда
Пытаясь обобщить рассуждения гл. I, § 9, мы
сталкиваемся всего с двумя трудностями:
1) Hq{H,E) может быть рассматриваема как G/Я-мо-
дуль, только если она отделима — что мы и будем всегда
предполагать.
2) Для того, чтобы показать, что Н"р> q = <&(Xp+\ Hq(L))\
где L — комплекс вида 0->^ (G, Е)н -?-> ^ (G2, Е)н -^ ...,
нужно показать, что //*(«?(#>+1, L) ~ <&(Хр+\ H«(L)). Это
будет верно, в силу леммы D.7, если Е —- пространство Фреше

148
Гл. III. Когомологии топологических групп
или если L сильный, или, наконец, если какой-нибудь из
комплексов, гомотопически эквивалентных комплексу
С*(Н,Е): 0-+С°(Н,Е)-+О(Н,Е)-+ ...,
является сильным.
Предложение 5.1. Пусть Н — замкнутая, нормальная
подгруппа в G, а Е — некоторый G-модуль. Предположим, что Е
квазиполно и что каноническое отображение G-+G/H
допускает локальное непрерывное сечение (см. леммы 4.1 и 4.2).
Предположим также, что выполнено одно из следующих
условий:
(i) E — пространство Фреше и Нп(Н,Е) отделимо для
каждого п\
(И) какой-нибудь из комплексов, гомотопически
эквивалентных комплексу С*(Н, Е), является сильным.
Снабдим Нп(Н,Е) структурой G/H-модуля, положив
(g-f)(hu ..., hn) = g-f(g-lh{g, ..., g-lhng) для любого
f^Zn(H,E). Тогда существует такая спектральная
последовательность, что Щ' q ~ Нр (G/H, Hq (Я, Е)) =^ Я* (G, Е).
Наконец, приведенное выше условие (и) выполнено в
каждом из следующих случаев:
a) Я изоморфно Z и действует в Е тривиально.
b) Я является группой Ли, имеющей конечное число
компонент связности, и Е является как Н-модуль тензорным
произведением конечномерного Н-модуля на полный
тривиальный Н-модуль.
Доказательство. Осталось только проверить что из а) или
Ь) следует (И). Для а) мы получаем это из формулы (3.20)
гл. I, а для Ь) из следствия 7.4, приведенного ниже.
Следствие 5.1. Если Е — пространство Фреше и
Нп{Н, Е) = 0 для любого п > 0, то Hn(G, E) = 0 для любого
л>0.
Следствие 5.2. Если Е — пространство Фреше и если
Hp(G/H, Н"(Н,Е)) = 0 для р ^ 1, q^O, (и, в частности,
если G/H компактно), то Hn(G,E) ~ Hn(H,E)G для любого
/г>0.
Следствие 5.3. Если комплекс L сильный и точный, то
Hn(G, E) = Нп(Н, Е) = 0 для любого п ^ 0. Это, в частности,
выполнено, если Е квазиполный и существует такое \х из
центра алгебры МС(Н), что jm (1) ===== 1 и U([i) — 1 обратимо в
Нот(£, Е) (через U обозначено представление в Е).

§ 5. Когомологии расширений jpynn
149
Доказательство последнего утверждения. Достаточно
заменить формулу (3.1) на следующую:
(Snf)(go, .... sr«-i) =
= (U(v)-I)~l-%(-!)* \f(go. ...» ft. Aft. •••> /*£„__,) ф (Л).
£=0
Следствие 5.4. £с./ш Я компактно, а Е квазиполно, то
Hn(Gy Е) ~ Hn(G/H, Ен) для любого п ^ 0.
Доказательство. Следствие 2.1 показывает, что
( Ен, если ? = 0,
Я* (Я, Е) = \ п Ч . t
' *• ( 0, если ? > 1.
С другой стороны, предложение 2.1 показывает, что комплекс
0 ->£->- У (G, £')-><g7(G2, £")-> ... допускает стягивающую
гомотопию, образованную Я-морфизмами, и, следовательно,
L сильный. Результат теперь следует из предложения 5.1.
Замечание 5.1. Если Е топологически неприводимо, то Ен%
будучи замкнутым G-инвариантным векторным
подпространством в Еу равно 0 или Е. Это показывает, что когомологии
связной группы Ли с коэффициентами в топологически
неприводимом модуле не изменятся, если заменить группу на ее
конечное накрытие.
5.2. Точная последовательность Серра — Хохшилда
Она пишется точно так же, как в гл. I, § 8, за тем
исключением, что
Е предполагается полным;
выбирается борелевское локальное ограниченное сечение s
(см. начало в'§ 4) для отображения G-+G/H и
произвольное сечение г для отображения Zl(H, £')->Я1(Я, £);
предполагается, что существует такое векторное
подпространство У в В1 (Я, Е) и такое линейное непрерывное
отображение а из V в £, что s(x)-r(i;)—г(т)е V для любого
т£№(Я,£)с; (1н°o = idvt где йн обозначает кограницу
относительно Я;
элемент х\ определяется по формуле х\(х) = a(s(x) -г(т) —
-г(т));
полученный 2-коцикл является борелевским и локально
ограниченным, и его нужно регуляризовать так, как показано
в предложении 1.7, чтобы получить непрерывный 2-коцикл.
Если Я действует на Е тривиально, то предположения о V
и а не нужны и можно просто положить: %(x,y) = f(s(xy)X,
Xs(y)->.s(x)-i).

150 Гл. III. Когомологии топологических групп
Заметим, с другой стороны, что без всяких
дополнительных предположений мы имеем следующую точную
последовательность: 0-* Я1 (G/H, Ен)-+ Я1 (G, £)-> Я1 (Я, Е)G, откуда
мы получаем следующие результаты:
Предложение 5.2. Если W{H,E)G = 0, то Hl(G,E)
алгебраически изоморфно Hl(G/H, ЕИ) и, в частности, равно 0,
если Я0 (Я, Е) = Я1 (Я, Е) = 0.
Следствие 5.5. Предположим, что Е неприводимо и
нетривиально, а Я лежит в центре группы G и действует на Е
тривиально. Тогда H{(G, E) алгебраически изоморфно
W(G/HtE).
В самом деле, Я1 (Я, Е)G = HomG (Я, Е) = 0.
Замечание 5.2. Из предположения 5.2 можно вывести, что
если G — локально компактная нильпотентная группа (т. е.
в ней есть такие замкнутые нормальные подгруппы G =
= Gn+\ => Gn => ... =>G0={1}, что Gi+i/Gt лежит в центре
группы G/Gi), то Hl(G, Е) = 0 для каждого унитарного
неприводимого нетривиального G-модуля Е (см. [47], II).
5.3. Примеры
В этом пункте мы предполагаем, что G является
полупрямым произведением нормальной подгруппы В, изоморфной
Rd, на подгруппу Л; через В* обозначим векторное
пространство, двойственное к В.
а) Случай унитарных представлений
Напомним сначала конструкцию неприводимых унитарных
представлений, индуцированных по Макки (см., например,
[83], гл. III). Выберем орбиту X группы А в В*, точку х0 на
X, чей стабилизатор в А обозначим через 5, и неприводимое
унитарное представление о для S. Через р обозначим
представление группы BS, определенное по формуле p(bs) =
= exp(i < b,Xo >) -o(s). Тогда представление я группы G,
индуцированное с р в унитарном смысле, зависит только от А'
и а и, наоборот, полностью их определяет. Если к тому же
действие А в В* регулярно в том смысле, что все орбиты
локально замкнуты, то таким образом мы получаем все
неприводимые унитарные представления для G.
Из лемм D.18 и D.20 и следствия 5.3 сразу следует
Предложение 5.3. Если Ех и Е2 — два неприводимых
унитарных G-модуля, соответствующих двум орбитам,
расстояние между которыми строго положительно, то ExtS (Е\, £2) = 0
для любого п ^ 0.

§ 5. Когомологии расширений групп
151
Следствие 5.6. Если Е — неприводимый унитарный G-mo-
дуль, соответствующий орбите, чье замыкание не содержит О,
то Hn(G,E) = 0 для любого п^О.
Замечание 5.3. Случай орбиты, содержащей в своем
замыкании 0, является более тонким: можно показать (см. [48]),
что если А — простая связная группа Ли, а В не содержит
никакого ненулевого Л-инвариантного элемента, то
Hl(G, £) = 0 для каждого неприводимого унитарного
представления, нетривиального на В. Это применимо, в частности,
в случае группы Пуанкаре и конической орбиты; в этом
случае также tf2(G, E) = 0( [108]).
Ь) Случай представлений, индуцированных в смысле С°°.
Нужно повторить конструкцию пункта а) со следующими
модификациями: пусть Л — группа Ли; через Х{ и Х2
обозначим две орбиты группы Л в В, через х[ — точку на Xiy
через Si — ее стабилизатор в Л, через а — представление
группы Si в некотором полном ЛВОП Vt9 через р,—
соответствующее представление группы BSt, через щ— представление
группы G, индуцированное с р, в смысле С°°; группа
действует в пространстве Еь = Т(${) сечений локально
тривиального векторного расслоения Si с базой Xi (см. 4.3;
фактически, Xi является фактормногообразием Л/5/, погруженным
в В*). Следствия D.4. и 5.3 немедленно показывают, что
Предложение 5.4. Вела Х{ и Х2 различны, то Exto(£i, i?2)=0
для любого ^0. Аналогичный результат верен при замене
T(8i) наГс{&г).
Замечание 5.4. (по поводу деталей см. [51].) В случае
когда Х\ = Х2 (мы их обозначим тогда через X),
замечание 3.1, точная последовательность Серра — Хохшилда и
лемма Шапиро дают следующую точную последовательность:
0->Ехй(Уь ^2)->Extk(£i, £2)->(B7to®Hom(Kb V2)f-+
Exts(Vi, SV2) (через t0 обозначено касательное
подпространство kXb.vo),b частности:
(i) пусть G — группа аффинных преобразований прямой
R; при этом B=R, A = R+, X = R\ или RL, S = {1}; тогда
ExtG(EuE2) = 0)
(ii) пусть G — группа движений пространства R"; при
этом В = R", A = SO(n), X — сфера положительного
радиуса, S = SO(n—1); тогда dimExto(Ei, £2) равно 0, если
С\ "Г о2 и равно 1, если о\ ~ а2, причем нетривиальным
1-коцикл определяется по формуле (Ф(6, а) •/) (я) = <&, x}-f(x);
(Hi) пусть G — группа Пуанкаре; тогда B = R4, Л =
= SL(2,C); если X — орбита, не совпадающая с 0 и не
коническая, то результат такой же, как в (ii); пусть теперь X —

152 Гл. III. Когомологии топологических групп
конус будущего, тогда S — двулистное накрытие группы
движений пространства R2; обозначим ее неприводимые
конечномерные представления через a/, /eZ; тогда
i ^ ч 1 м если /, = /2 = 0 или /j ■— /2 = ± 2,
dimExtbl^i, £2) = { Л'
(О во всех остальных случаях,
и коциклы могут быть выписаны явно (по поводу этой
последней группы см. также [110]).
Ф. Дюклу показал в [29], что член Е%* д спектральной
последовательности Серра-Хохшилда дается формулой Epi q =
= HP(S, Л*(я7*о)®Нот(Кь 1Л>)). Он также указал случаи,
когда все операторы dr этой спектральной
последовательности равны 0.
Историческое замечание. Спектральная
последовательность Линдона — Серра — Хохшилда для топологических
групп была установлена многими авторами: Кассельманом и
Вигнером [18], Борелем и Валлахом [7] при приведенных
выше предположениях плюс существование локального
непрерывного сечения, П. Бланком [6] при единственном
предположении, что Е— пространство Фреше. Некоторые из
следствий (предложения 5,3 и 5.4, замечание 5.4) принадлежат
автору этих строк.
§ 6. Сильные /г-расширения; язык категорий
6.1. Сильные n-расширения и группы Ext"
Ситуация здесь такая же, как в § 11 гл. I, за тем исклю*
чением, что рассматриваемые здесь /г-расширения
5: 0->B-*£i ... ->£я->Л->0
считаются сильными, только если-они допускают
стягивающую гомотопию, образованную непрерывными линейными
отображениями; при этом здесь также можно предполагать, что
SioSi+i = 0. Формула (11.8) снова определяет сюръективное
отображение из &п(А, В) на ExtSCA, B)\ единственная
разница заключается в том, что мы можем отождествить
Ех1:о(Л, В) с Hn(G, Horn (Л, В)) не всегда, а только при
некоторых предположениях, например,, что А — бочечное (см.
предложение 1.8). С другой стороны, используя резольвенту
для В, образованную G-модулями C°°(Gn+\B), видим, что
если А и В класса Сто и В квазиполно, то каждый элемент
из Ех^(Л, В) представляется сильным я-расширением,
образованным модулями класса С°°.

§ 6. Сильные п-расширения
153
6.2. Использование языка категорий
Обозначим через CG категорию G-модулей и G-морфиз-
мов, через & — категорию ЛВП (не обязательно отделимых),
а через F и Fn, где п ^ 0, — функторы из CG в ЙГ, определен
ные по формулам:/7, (E) = EGt Яп>(£) = Hn(G,E). Эти
функторы обладают следующими свойствами:
(i) F^ = F,
(ii) F(n)(E) = 0 для любого п ^ 1, если Е относительно
инъективен,
(Ш) для каждой точной сильной последовательности
G-модулей 0 -> Е\ ->- £2 -> £з -*■ 0 существует бесконечная
точная последовательность 0 -> Т7 (£i) ->- Т7 (£2) -»- Z7 (£з) ->-
-^Я^О^Я1^)-* ....
Так же, как в гл. I, § К5, назовем Яя) правыми
производными функторами для F, считая при этом, что мы находимся
в относительной категории, которая определена с помощью
функтора, сопоставляющего каждому G-модулю его самого
как ЛВП.
Предположим теперь, что G — группа Ли; будем писать
HcG вместо Нп. Можно определить таким же образом
функторы Я^оо, заменив категорию Со на категорию Cg G-моду-
CG
лей класса С°°. При этом нужно изменить также понятие
относительно инъективного G-модуля, предполагая теперь в
определении 1.2, что модули £, А и В класса С00; группы #с°°
определяются затем для каждого модуля E^Cg как кого-
мологии комплекса 0-+{Е°)о-+(Е1)°-> ...9 где 0->JE?->
->- £°->... — какая-нибудь сильная относительно инъектив-
ная резольвента для Е в Cg. Отсюда получаем
Предложение 6.1. Если Е — квазиполный G-модуль
класса С°°, то Hc<*>(Gt E) ~ HcAGy Е). Аналогичный результат
верен для Ext n.
Доказательство. Последовательность Q-+E-+ C°°(G, £)->■
->■ C°°(G2t £)->■ ... является сильной относительно инъектив-
ной резольвентой как в CG (предложение 1.3), так и в Со
(следствие D.2).
Следствие 6.1. Если 0-*£->£<0)->- ... — сильная
относительно инъективная резольвента в Cg для G-модуля Е класса
С°°, то H*(G,E) изоморфны когомологиям комплекса
0-+(E0)G-+(El)G-+ ... .
Замечание 6.1. (другое доказательство предложения 1.6.)
Возьмем какую-нибудь сильную относительно инъективную

164
Гл. III. Когомологии топологических групп
резольвенту для Е в Cg:
0^£^£0^£1^ . (6.1)
так что H*(G,E) являются когомологиями комплекса
0_>(£0)G_^(£1)G_^ umu u (62)
Применяя к (6.1) функтор Е*—>Е°° (см. D.4.1), получим
комплекс 0-^Еоо-^(Е0)00 -^(Е1)00-*- .... Этот комплекс
является сильным со следующей стягивающей гомотопией:
ап (е) = \ х (g) • g • sn • g~l • e • dg, где % — функция класса С°°
на G с компактным носителем, интеграл от которой равен 1.
Он также относительно инъективен в Cq> потому что, как
непосредственно видно, если Е — относительно инъективный
G-модуль в CG, то Е°° относительно инъективен в С!з.
Следовательно, Н*с°° (G, Е°°) являются когомологиями комплекса
0-+((E°)°°)G -+((E{)°°)G -> .... Но этот комплекс изоморфен
комплексу (6.2), так как для любого G-модуля Е имеем:
EG = (E°°)G (см. D.4.1).
Историческое замечание. Предложение 6.1 доказал
Г. Д. Мостов [98].
§ 7. Соотношения между когомологиями групп Ли
и алгебр Ли
В этом параграфе через G будем обозначать группу Ли,
имеющую конечное число компонент связности, через К —
замкнутую подгруппу (которая часто будет компактной и
даже максимально компактной), через g и f — их алгебры Ли,
через М — однородное пространство G/K, через 0 — класс
элемента 1 в М, через Е — квазиполный G-модуль класса С°°;
мы будем использовать также обозначения из § Е.4.
7.1. Один результат о G-модулях Qp (M, Е)
Предложение 7.1. Обозначим через Ер К-модуль
Нот(Лр(й/1, Е) (здесь К действует на g/f с помощью Ad).
Тогда G-модуль, индуцированный Ер в смысле С00,
изоморфен модулю Qp (М, Е), снабженному действием,
определенным в § Е.З.
Доказательство. Сопоставим каждому f^lr\dooEp
дифференциальную р-форму со, определенную по формуле co^ = g-o
°/ (ё")°(ЛрП)~1 оЛрЯ -1 • обратное отображение дается
формулой f(g) = g~l o&goApkgo АРП. Утверждение теперь легко
проверяется с помощью формул из § Е.З и Е.4.

§ 7. Соотношения между когомологиями групп Ли и алгебр Ли 155
7.2. Резольвента для Е из G-модулей QP(M, Е)
Лемма 7.1. Если К компактна, то G-модули QP(M,E)
относительно инъективны в категории ^g-
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
А±=+в
&р (М, Е),
где А и В—G-модули класса С°°; и и, v — G-морфизмы, а
S — такое линейное непрерывное отображение, что sou = \dA.
В силу предложения 2.1 мяжно предполагать, что 5 является
/С-морфизмом; определим w: B-+Qp(M, E) по формуле:
(v{b))g = (v-g-s-g~l -Ь)ё.
Предложение 7.2. Если К — максимальная компактная
подгруппа, то последовательность
0->E-^Q°(M, E)-^Ql(M, £)-^ ..., (7.1)
где г(е) (т)= е, а бр — внешний дифференциал, является
сильной относительно инъективной резольвентой для Е в
категории ^g.
Доказательство. Так как М диффеоморфно пространству
Rn, то, как показывает лемма ЕЛ, комплекс (7.1)—сильный
и точный.
Следствие 7.1. H*(G,E) являются когомологиями
комплекса
О -> Q° (М, E)Q -^ Q1 (АГ, Е)°-^> .... (7.2)
Следует последствия 6.1.
Следствие 7.2. (теорема ван Эста). Когомологии H*(G,E)
изоморфны когомологиям H*(q,K,E) (определенным в
замечании 3.5 гл. II) и, следовательно, когомологиям #*(g,!, Е),
если К связна.
Доказательство. Легко видеть, что изоморфизм (Е.17)
между QP(M,E)G и Нотк(АР(g/l), Е) коммутирует с
операторами кограницы.
Следствие 7.3. Если Е конечномерно, то Hn(G,E) также
конечномерно.
Следствие 7.4. Пусть Е — конечномерный G-модуль, а
F — полное ЛВОП с тривиальным действием G. Тогда
Hn(G, E<8> F) топологически изоморфно Hn(G, E) ® F.

156 Гл. III. Когомологии топологических групп
Доказательство. H*(G,E® F) являются когомологиями
комплекса 0 -> Q° (М, Е ® F)G -> Q1 (М, Е <8> F)G ->... при этом
Qp(M,E®F)g ~ (АР{ф)* ® E®F)K ~ (A^(g/f)* ® £)« ®
<8> F ~ Qp (М, £) ° <8> Т7, и, как легко видеть, этот изоморфизм
бинепрерывен. Кроме того, комплекс Qp(MiE)G сильный, так
как он состоит из конечномерных пространств. Теперь
достаточно применить лемму D.3.
Следствие 7.5. Если Е — полный G-модуль (не
обязательно класса О), го Hn(GyE) ~ Ял(д, К, Е°°)|~
~ Я" (fl, Я, £(*>).
Доказательство. Мы имеем: Hn(G,E) ~ Hn(G,E°°)
(предложение 1.6), Нп (g, К, Е°°) ~ Нп (в, /С, £(*)) (замечание 3.5,
гл. II).
Следствие 7.6. Если Е и F — два G-модуля Фреше, то
Extg(£, F)~Hn($, К, Hom(£, F\K}).
В самом деле, Нот (Я, F) — полное пространство (см.
§ D.1), и, с другой стороны, ExtS(£, F)~Hn(G, Hom(£, F))
(предложение 1.8).
Замечание 7.1. Выше мы использовали изоморфизм между
Я*(д, /С, Е) и когомологиями комплекса модулей QP(My E)G,
из которого можно получить и другие интересные следствия.
Именно, обозначим через G компактную связную группу Ли,
через К — связную замкнутую подгруппу, а через С —
тривиальный G-модуль. Через i обозначим каноническую
инъекцию из Qp(G/K)G в Qp(G/K), а через / — обратное
отображение, определенное по формуле: / (со) = \ g • со • dg\ при
. этом i о j == Ш9 a j © i гомотопно id, согласно Е.2;
следовательно, Я* (Q (G/K)G) ~ Я?оР (G, К), откуда Я* (fl, f, С) - Я?ор X
X(G/K).
Обозначим теперь через G полупростую связную группу
Ли, через К — ее максимальную компактную подгруппу,
через g = I ф у — разложение Картана, через g и —
вещественную форму 1Ф/р алгебры g, а через Gu — такую группу Ли
с алгеброй Ли gu, у которой подгруппа с алгеброй Ли f
совпадает с К. Непосредственно проверяется, что при этом
Я*(йДС)~Я*(йи,!,П), откуда Я* (С О-Я* (8, (, Q-
Пример. G = SO0(m, 1), К = SO(n), Gu = SO(n+ 1);
тогда Gu/K является сферой Sn, откуда следует, что
( 1, если р = 0 или д;
^ 0 в противном случае.

§ 7. Соотношения между когомологиями групп Ли и алгебр Ли 157
7.3. Явное описание изоморфизма ван Эста
В этом пункте через К будем обозначать максимальную
компактную подгруппу в G. Напомним, что (предложение 2.3)
для G-модуля Е имеет место сильная относительно инъектив-
ная резольвента
0->£_>c~(G, E)K->C"(G\ Е)к-+ ..., (7.3)
которую можно записать так же, как j
0->£-^С°°(АГ, E)-^C°°(M2, E)-^ ..., (7.4)
гдее(£?)(т) = е, (dpf)(m0,..., шр+1)= 2 (—1)'/(^о» •••> &>и •••
..., mp+l).
Мы построим морфизмы комплексов G-модулей:
{*>): (7.4)^(7.1), {&): (7.1)->(7.4).
Построение (ир)
Положим ifl = id, и пусть р^1. Каждому элементу
(/о, ..., fP,e) из С°°(М)Х ... ХС°°(М)Х^ сопоставим
элемент со = /о • (б/i Л ... |Л. б/р © в е= Qp (M, £). Полученное
так отображение является полилинейным и непрерывным.
Далее, С»(Мр+19Е)~С0О(М)® ... ®С°°(М)®Е, и существует
также непрерывное отображение ир, что
ир(/о® ... ®fp®e) = /0-(6/iA ... Л6/р)®*. (7.5)
Значение wp(/), где /еС00(ЛИ-1,Е), можно вычислить
также по формуле
<"'(/)«; Ь.....6Р>-
= Е V&*<i)(mi)e ••• 'h{p)(mp)mf(m* mv •••» mP). (7-6)
5eap
где £i, ..., |реГт(Л[) и где символ ls(i){mi) обозначает,
что мы применяем производную вдоль gS(o к переменной пц.
Непосредственно проверяется, что ир являются G-морфиз-
мами и образуют морфизм комплексов, так как
»P+l(dp(fQ® ... ®/р®е)) =
= ир+1(Ео(-1/-/о® ... ®f*_i®l®f*® ... ®/р®*) =
= (6/оЛ6/1Л ... Л 6/р)®* = 6Р(""(/<>® ... ®/р®в)).

158 Гл. III. Когомологии топологических групп
Морфизмы ир индуцируют морфизмы ир: CSiff(G, E)K->
-*С*(д, К, Е), где
(fi'F) (*,,..., Хр) =
= Z е* dh ... dt |0 ^(ехр/Ащ, •••• ехр/Д,ф)) (7.7)
se=ap
(через % обозначен класс элемента X из g в g/f).
Построение vp
Положим у0 = id, и пусть р ^ 1. Так как М диффеоморф-
но R", то существует такое семейство диффеоморфизмов yt
многообразия М, гладко зависящих от t е [0,1 [, что 70 = idM>
и когда t стремится к 1, то yt(m)-+Oi {Dyt) m->0 для любого m.
Заменив, если нужно, yt(m) на \ k - yt- k~l(m)dk, можно
J/c
считать, что k-yt = yt-k для любого k ^ К.
Для каждого (go, ..., g*p)eAfp+ мы построим гладкий
сингулярный р-симплекс , а (£0, ..., gp) (обозначения см. в
14.1). Для этого положим а(g0, ..., gp)(tQ, ..., tp_x) = g0X
XYso • go1 ' Si • YSj • gf1 • • • «p-i' Ър_, ' ffJ-i' *p' где so = '0,
Sj=*i/(1—*o)' •••> Vi^WO-'o- ••• — /р_2).Этир-сим-
плексы имеют следующие свойства: а) o(ggo, ..., gg"p) =
= ^ •a (S"o, ...» fifp); б) грани симплекса о (go, ..., gp)
описываются формулами o(go> ..., gp)°(*o, ..., ^--2) =
= а(£0 >•••> g"p-i)(l— *o— ... —tp-2, U, ..., tp-г), o(go, ...
••> Jpl'^O, ..., ^p-2)=Or(g'0, ..., £/-1, •••» gp)(t0, ...
..., ^p-2), i=l, ...,р;в) вершины симплекса o(go, ..., g>J
даются формулами о (go, ..., gp) (0, ..., 0) = gp, о (go, ./.
• ••» gp) (0, •••> 1» •••> 0) = g"t~i, если 1 стоит на i-ы месте.
Учитывая это, определим vp следующим образом:
*рН(£о. ..-. gP) = (-l)P\ ©. (7.8)
Отображение ир является G-морфизмом в силу
свойства а), приведенного выше и соотношения (Е.13); оно
является морфизмом комплексов в силу свойства б) и формулы
Стокса (Е.6).
Из vp получаем отображения ^р: Ср(д, К, F)->Cp\m(G, Е)к,
причем
6Р(Ф)(^, ЯР) = (-1)"\ «>. (7.9)
Ja (0. 0 г.. ... *еЛ
Jo(0,gv...,gr....gp)
где со —дифференциальная р-форма, соответствующая при
изоморфизме (Е.17),

§ 7. Соотношения между когомологиями групп Ли и алгебр Ли 159
Таким образом, можно следующим образом уточнить
следствие 7.2:
Предложение 7.3. Формулы (7.5) (или (7.6)) и (7.8)
определяют G-морфизмы из (7.4) в (7.1) и обратно, которые дают
в когомологиях взаимно обратные изоморфизмы между
Hp(G,E) и #р(й, К,Е). Соответствующие морфизмы между
C5iff(G, Е)к и Ср(д, К, Е) даются формулами (7.7) и (7.9).
Замечание 7.2. (случай полупростых групп Ли.) Пусть
G — связная полупростая группа Ли с конечным центром;
обозначим через й = f © р разложение Картана.
Экспоненциальное отображение индуцирует изоморфизм из р на J3 =
= ехрр. Более того, отображение PXK-+G, определённое
по формуле (p,k)t—>pk, является диффеоморфизмом, и
kPk~{ = Р для любого k^ К (см. [132], § 7.2). Можно,
следовательно, отождествить р с М = G/K по формуле
Х*->ехрХ\ принтом действие К на М переходит в
присоединенное действие и в качестве yt можно взять отображения:
yt(X) = (\-t)X.
7.4. Случай 1-коциклов
Мы будем везде обозначать через К максимальную
компактную подгруппу в G.
Лемма 7.2. Отображения и1 и vl индуцируют взаимно
обратные биекции между Ker dl а С°° (М2, Е) и Кег б1 а
cQl(M9E).
Доказательство. Если / е Ker d\ то существует такое
феС°° (М, Е), что / = d\ и vlulf = vluxd\ = vlb\ =
= d\ = /, причем ulvl(u = со для каждого со е Кег б1, что и
требовалось доказать.
Отсюда следует, что отображение Zdiff(G, £)кэ^ь>Фе
€Е Z1 (g, /С, £), определенное по формуле:
ф{Х)=^г\ F{exptX) для любого leg (7.10)
dt
lo
биективно; мы вычислим обратное отображение.
Пусть Ф е Z1 (ц, /С, Е) соответствующий элемент со из
Ql(M,E) дается формулой (см. (Е. 16) ):<©$, %) = g • <Ф, ТГ1Х
X fa1 (£))) Для любого ^gT gM, и, следовательно, F (g) =
Ja(0,£)
Пусть g = exp X, где X e g; так как со замкнута, то можно
заменить 1-симплекс g(0, g) на 1-симплекс т: /*->expfX

160
Гл. III. Когомологии топологических групп
и изменить знак; тогда получим: F (ехр X) = \ со =
т
1 1
- $ (©' «>, %' (0) • Л = J ехр /X • (Ф, П"' (Л«!р tx (т' (*)))> • Л, от-
0 0
1
куда, согласно (Е.20): F(expX) = J exp/X • (ф, й'1(^(0))) • dt9
о
1
F(exp*) = $ехр/Х-(Ф, X)-dt. (7.11)
о
Обозначая через U представление g в Е, это можно также
переписать в виде:
FiexpX)^6"™-1 -Ф(Х). (7.12)
В результате получаем
Предложение 7.4. Формулы (7.10) w' (7.11) (или (7.12))
определяют взаимно обратные изоморфизмы между
I-коциклами на G класса С°°, равными нулю на /С, с одной стороны,
и элементами из Z1 (д, /С, Е) — с другой.
7.5. Описание #2(Gt С) для полупростой G
В этом пункте мы предполагаем, что G связная
полупростая группа с конечным центром. Через К мы обозначаем
максимальную компактную подгруппу, через С —
тривиальный G-модуль, через g = IФ р—разложение Картана.
Предложение 7.5. H2(G>C) изоморфно Н1(1,С), что равно
HomLIe (!, С) = Нот (!/ [I, I ], С).
„Доказательство. Согласно следствию 7.2, Я2(б,С) ~
~ Я2(й,f,С). С другой стороны, из спектральной
последовательности в гл. II, 3.7, (Hi), получаем, используя
предложение А.6, следующую точную последовательность:
0->Я°& С)®Д!«Ь*. С)— Я1 (в, Q->W(t, С)®Я°(д, £, С)->
- Я° ft С) ® Я2 (9, I, С) -> Я2 (9, С).
При этом Я1 (й, I, С) = Я* (й, £.) = Я2(в, С) - 0.
Согласно гл. II, предложения 11.2 и 11.3, отсюда и
следует утверждение.
Начиная отсюда, мы предполагаем, что G проста. Мь
примем без доказательства следующие результаты:
а) следующие условия эквивалентны:
(i) Я2(О,С)#0;

§ 7. Соотношения между когомологиями групп Ли и йлгебр Ли 161
(ii) на р есть f-инвариантная комплексная структура;
(iii) на G/K есть G-инвариантная комплексная структура
(т. е. G/K — эрмитово симметрическое пространство).
Ь) Если условия пункта а) выполнены, то Нот? (Л2р, С)
имеет размерность 1 и изоморфно HomL1e(f,C) при
отображении HomLie(f, C)3¥<->0eHomf(A2t}, С); Ф(Х, Y) =
= W([XfY}).
Группами, удовлетворяющими условию а), являются
следующие (с точностью до конечного накрытия, что, согласно
замечанию 5.1, не влияет на когомологии): SU(p, q), p, q^\\
SO0(2, q)9q= 1 или q ^ 3; Sp(n, R), n^ 1; SO*(2n), n ^ 2;
а также по одной вещественной форме для простых групп
типов £б и Е7.
Предполагая теперь, что условия пункта а) выполнены,
мы дадим примеры 2-коциклов на G, используя методы из 7.3.
Отправляясь от нетривиального морфизма и из К в Т,
определим элемент U из HomLie (f, R) по формуле U = -~- (Du)x,
а затем элемент Ф из Homf(A2p, R) по формуле Ф(ХУУ) =
= U([X, Y]). С помощью метода из 7.3 сопоставим элементу
Ф дифференциальную G-инвариантную 2-форму на G//C, а
затем 2-коциклы /^Cdiff(G, R)^- Определим, с другой стороны,
функцию v из G в Т по формуле v(g)=u{k), если g = k-p,
где feG/(, р е Р. Можно доказать, что (см. [32]) ехр (2ш"Х
Xf(g\,g2))= v(gi)'v{g2)'V(gug2)-1 для любых gu g2e=G.
Иначе говоря, / является такой непрерывной ветвью для
функции (2m)-4og(v{gi) -v(g2) ^(gi^)"1), что /(1, 1) = О
(ее существование a priori не очевидно). Это, к сожалению,
не слишком полезно для точных вычислений, так как
вычисление разложения Картана g = k-p для произвольного
элемента g весьма не просто. Тем не менее можно заметить, что
если имеется тадая функция v' e C°°(G,C*), что: 1) v'\k = v,
2) i/|P>0, 3) v'(k-p)=u(k)-v'{p) для любых k e К,
р <= Р, то v* {g) 11 v' (g) | = v (g). При этом строить такие
функции v' довольно просто, и мы имеем, например, следующий,
результат.
Предложение 7.6. Обозначим через gc, fc, pc комплекси-
фикации пространств д,!, р. Пусть J — комплексная !-
инвариантная структура на р, a pjt и р~ — две 1-неприводимыв
компоненты в рс (р^ является множеством элементов вида
X ± UX, где Хер). Обозначим через П проектор из дс на р£
параллельно ?с©/?5> а неРез Tg для каждого g e G — С-ли-
нейный оператор По Ad g | + . Тогда функция v': g н-> detc T(g)
удовлетворяет условиям 1), 2), 3), и, как следствие, имеет
6 Зак. 75

162
Гл. III. Когомологии топологических групп
смысл функция
Mffi,ff2)-(*w) log^o'OfOI-lo'toJI-o'teuftjJ' (7.13)
определяющая 2-коцикл /eZdiff(G, R)#, класс в tf2(G, С)
которого соответствует классу элемента Ф в #2(д,!, С) лри
изоморфизме ван Эста {через Ф лш обозначаем элемент,
соответствующий, как объяснено выше, морфизму и1 = v'\k из
К в Т). Более того, имеем
d2 I
-щ^ |0> 0 {/ (ехр /^1э exp t2X2) - / (exp ^ Х>, ехр /2Х0} = Ф (*i> X2)
для любых Хи Х2 е р.
Примеры. Обозначим через G = SU(p, <у) множество та-
Р(ёи ёп\ . . .
матриц g = I I, что g/g =/, и detg=l, где
9 ^ S21 #22 /
/ = ( _/ #» тогАа ^ является множеством матриц k =
/kn О \
\0 k22)'
где k\\ e I/(p), k22^U(g), det.%n-det*22= l.
Применяя предложение 7.6, получаем функции v'(g) =
= (det firn)^(dit^p, и'(й) = (det ft„)p+«.
Но эти функции можно выбрать более простыми, а
именно: v"(g)= detail, u"(k) = detk\\. В частности, для
G = SU(1, 1) (изоморфной SL(2,'R)) мы получаем
следующий 2-коцикл:
*/ / //ч /о -4-1 1 (\1+8\282\/&и8п\\
f(g > 8 ) = (2ш) -log! ' / /Л / //' I;
^ 1+£12£21/£п£п /
в этом случае выражение под знаком «log» является
вещественным, больше 0, и «log» обозначает основную ветвь
логарифма.
7.6. Случай произвольной компактной подгруппы
Через К мы обозначаем здесь произвольную компактную
подгруппу и полагаем М = G/K. Определим бикомплекс Ж
(см. § А.5) по формуле №>я = C°°{Gp+19 №(MfE))G,
P+i
{d'f){g0, ..., ftM-i)=E(-l)'/te<h .-.,&,..., gp+i)>
(rf"/)(ffo gP) = (-l)P-6p(/(g0, .... gP)).

§ 7. Соотношения между когомологиями групп Ли и алгебр Ли 163
где 8q— внешний дифференциал на дифференциальных
формах. Так как Qq(M, Е)—относительно инъективный G-mo-
дуль (лемма 7.1), то
п / п ч Г QQ Ш, £)°> если р = О,
I 0 в противном случае,
откуда "Е?° = Н"пН/0(Ж)~Нп($, К, Е).
С другой стороны, я"р' * (Ж) = С°° (Gp+\ Я?0Р (М, E))G (это
доказывается так же, как предложение 5.1, с использованием
леммы Е.1 и того факта, доказанного в [92], § 4.13, что М
является произведением компактного ориентируемого
многообразия на R"). Отсюда 'Е% q ~ Нр (G, Я?ор (Af, £)).
Но, согласно § ЕЛ, ЕЛ Я?ор(М, Е) изоморфно Я&Р(М)®£
и действие G .на Н?ор(М) тривиально; следовательно,
Hp(Gt HUM, E))~Hqt0»(M)®Hp(G, E).
Таким образом, можно сформулировать следующее
Предложение 7.7. Существует такая спектральная
последовательность (называемая последовательностью ван Эста),
что £(М~Я£>Р(М)®Яр(0, Е)=^Я*(3, К у Е). Напомним, что
dim Я&Р < °°.
Если К максимальна, то мы снова получаем изоморфизм
из следствия 7.2, так как, поскольку М ~ Rn, то Н?0р(М)=
= 0 при <7>1, и Я?оР(М) = С.
Следствие 7.7. Положив /( = {1}, получим следующую
спектральную последовательность: Е% q~ Hqop (G) ® Яр (G, £)=>-
=>Н*(ь9Е).
Следствие 7.8. Если Hqop(G) = 0 при q = 1, ..., m, где
m — целое, то H?(G,E) ~ Я^(д, £) при р = 1, ..., т.
Следует из предложения А.7.
7.7. Соотношения между Н* (G, Е) и Н* (fl, Е)
В этом пункте мы предполагаем, что G связна. Через U
мы обозначаем представление G или g в £. Рассмотрим, с
одной стороны, сильную, относительно инъективную
резольвенту
0->£->C°°(G,£)->O(G2,£)-> ..., (7.14)
а с другой стороны, комплекс
0-*£-*Q°(Gf E)-^+Ql(G, £)-^> ... . (7.15)
Так же как и в 7.3, можно определить морфизм (ир) из
(7.14) в (7.15) по формулам, аналогичным формулам (7.5)

164 Гл. III. Когомологии топологических групп
или (7.6). Так как QP(G,E)° ~ Нот(ЛРд, Е)= C(q,E), to
отсюда получаем морфизмы йр: Zpum (G, £)-*-Zp(g, E),
u":Hp(G, Я)-*#'(«, Е), где (upf)(Xl Хр =
= Z е» dt dt I f(exp/i*«(i), ..., ехр/рЯ.о,)).
se=ap
Мы изучим инъективность и сюръективность этих
отображений.
Случай р = 1
Рассмотрим элемент /eZdiff(G, Е) и положим ф = и1 (/),
т. е. Ф(Х) = ^|о/(ехр/Х).
Предложение 7.8. Имеем: f (ехр X) = —щ^ Ф № (зго
обозначение было определено в формуле (7.12)). Кроме того,
и1 и и1 инъективны.
Доказательство. Положим г|)(0 = /(ехр/Х); тогда г|)(/ + и) =
et-U(X) _j
= —Tj^T ф (X), откуда следует первое утверждение.
Второе следует из того, что поскольку G порождается любой
окрестностью единицы, то любые два 1-коцикла,
совпадающие на элементах вида ехр X, идентичны.
Предложение 7.9. Если #t0p(G, E) = 0 и, в частности, если
G односвязна, то и1 и й1 биективны.
Доказательство. Достаточно показать, что й1 сюръектив-
но. Итак, пусть ф — элемент из Z*(g, E), а ю —
соответствующая замкнутая G-инвариантная дифференциальная 1-форма
на G; тогда со является дифференциалом некоторой
функции а, равной 0 в 1, и для любого g e G имеем: 8(g-a— a] =
= g-(D — со = 0, это показывает, что g-a — а является
константой, которую мы обозначим через —f{g), так что —f(g) —
= g,a(lf~1g/)--a(g'/) Аля любого g'^G. Следовательно,
f==a и f является 1-коциклом, и, наконец, для любого Igj
имеем: (и7) (*) = ^|0 '/(ехр**) = <*, f> = <*, a) = <©lf X) =
Случай произвольного р
Предложение 7.10. Если #fop(G) = 0 для р = 1, ...,т, то
йР биективно для р = 1, ..., т.

§ 8. Несколько результатов, касающихся групп Ли 165
Доказательство. Согласно лемме ЕЛ, инъективный G-мор-
физм из Zp в Qp является сильным для любого р; для р=1, ...
..., m имеем Z? = Вр и, следовательно, инъекция из Вр в Qp
является сильной. Теперь достаточно повторить
доказательство предложения 2.2 из главы I.
Следствие 7.9. Если G односвязна, то #'(G, Е) изоморфно
#'(8> Е) при i=lt 2 и, в частности, равно О, если G полу-
проста и Е конечномерно.
Доказательство. Первое утверждение следует из того, что
для любой группы Ли G имеем jt2(G) = 0 (см. [42], т. II,
гл. II, задача 35),откуда при данных условиях #(op(G) = 0
для £ = 1, 2. Второе yfвepждeниe следует из
предложений 11.2 и 11.3 гл. II.
Историческое замечание. Два основных результата этого
параграфа (следствие 7.2, предложение 7.7) были доказаны
ван Эстом [125]; замечание 7.1 было доказано Шевалле —
Эйленбергом [19] и сыграло в свое время очень важную роль
(см. исторический обзор, помещенный в начале книги).
Явное описание изоморфизма ван Эста, данное в 7.3, было
предложено более или менее полно и более или менее независимо
Дюпоном ([31], § 9), Гишарде и Вигнером [52], Шульманом
и Тишлером (J. Diff. Geom., 11, 1976, 535—545). Конструкция
вещественных 2-коциклов на простых группах Ли,
приведенная в 7.5, была дана Гишарде и Вигнером [52].
Предложения 7.8 и 7.9 доказаны Пинчоном и Симоном [104]. Отметим
также введение локальных когомологий #n(G, E) и их
изоморфизм с Я* (д, Е) (ван Эст [126], Сверчковски [121],
Уар [67], Ху [68].
§ 8. Несколько результатов, касающихся
групп Ли
8.1. Случай групп Ли типа (/?)
Напомним, что группа Ли G называется группой типа (/?),
если для любого g&G собственные значения оператора Adg
равны по модулю 1; тогда группа G/rad G компактна.
Предложение 8.1. Пусть G — связная разрешимая группа
Ли типа (/?). Тогда имеется лишь конечное число таких
унитарных неприводимых G-модулей Еу что Н*(вуЕ)Ф0,
причем для них dimE = 1.
Доказательство, а) Обозначим через XG множество таких
£^G, что Я*(б, Е)Ф0, и проведем индукцию по dim G,

166 Гл. 111. Когомологии топологических групп
При dim G = 1 предложение очевидно. Пусть dim G > 1:
тогда в G есть замкнутая подгруппа Я вида Rd или ТТЛ
b) Пусть E^XG. Покажем, что Я действует на Е
тривиально. Допустим обратное; если Н = Td, то Я"(Я, £) = 0
для любого я > 0; таким образом (следствие 5.1), Hn(G, E) = 0
для любого п ^ 0. Противоречие. Предположим теперь, что
Я = Rd; так как £ неприводимо, то носитель 5 Я-модуля Е
является замыканием некоторой G-орбиты в Я, причем эта
орбита не совпадает с 0. Но G действует на Я с помощью
операторов, все собственные числа которых равны по модулю
единице. Согласно [93], отсюда следует, что действие G в Й
отделено от нуля и, в частности, что 5 не содержит 0; тогда
из леммы D.18 и следствия 5.3 вытекает, что Hn(G, E) = 0
для любого п ^ 0. Получили противоречие.
c) Модуль Е, рассматриваемый как G/Я-модуль, будем
обозначать через Ё. Если Я = Td, то спектральная
последовательность Линдона —-Серра —Хохшилда показывает, что
H*(G/H, Е)Ф 0, т. е. E^Xg/h, и мы можем применить
предположение индукции.
Предположим теперь, что Я = Rd; согласно следствиям 7.2
и 7.4, Нп(Н, Е) отделимо и топологически изоморфно
(АпН)* ®r£; спектральная последовательность Линдона —
Хохшилда — Серра показывает, что существует такое /г, что
Я* (G/H, {АпНсу ®с£) ф 0. При этом G/Я-модуль А =
= (Лл#с)* допускает такую фильтрацию: Л=Лг+1=эЛГ1э ...
... =э А\ => А) = 0, что G-модули, Bi = Ai+\/Ai унитарны и
одномерны. Из нее получаем фильтрацию: А ®сЕ =э Ar <8>cEid
=> ... =>Л1®сЯ:э0, причем (Ai+\ <8>cE)/(Ai ®с£)~б; <8>сЁ.
Должно существовать такое *, что H*(G/H> В((^сЕ)ф0 (в
противном случае, используя точную последовательность ко-
гомологий, мы получили бы H*(G/H, A2 ®с£) = 0,
H*(G/H, A3 ®с£) и т. д.). Следовательно, Bt <8>qE ^Xq/h>
и можно использовать предложение индукции.
Предложение 8.2. Если G — связная, нильпотентная группа
Ли, то Hn(Gy E) = 0 для любого п^Ои любого
нетривиального неприводимого унитарного G-модуля Е.
Доказательство такое же (модули В/ здесь являются
тривиальными G-модулями).
Замечание 8.1. В случае разрешимых групп Ли не
типа (/?) ситуация совершенно другая и более трудная.
Известно только, что если G — связная разрешимая группа, то
имеется лишь конечное число неприводимых унитарных
G-модулей, у которых Bl(G, E) не всюду плотно в Z^(G,E),
причем все они одномерны (см. [21], теорема V. 6); кроме

§ 8. Несколько результатов, касающихся групп Ли 167
того, Hl(G> Е) не обязательно отделимо, так как Е может
слабо содержать тривиальное представление, как показывает
уже случай аффинной группы пространства R.
Замечание 8.2. Все утверждения предложения 8.1 и
замечания 8.1, касающиеся неприводимых унитарных G-модулей,
остаются в силе и для унитарных
фактор-представлений ([21]).
Замечание 8.3. Пусть G — связная группа Ли, Е — простой
нетривиальный одномерный G-модуль. Тогда Hl(G, Е)Ф0
тогда и только тогда, когда Е является фактором
пространства [gc, gc], снабженного присоединенным представлением.
Для доказательства этого,, вернемся сначала к случаю^ одно-
связной группы Ли G и используем замечание 5.1. Затем
используем тот факт, что Hl(G, £)~#1(g, Е)
(предложение 7.9), а также, что действие алгебры 1> = [g, g] на £
тривиально, и, наконец, точную последовательность 0->-
->ЯЧв/$, Е)->№(%, £)-*Homg($, Е)-*Н2(ф, Я), где
крайние члены равны 0 в силу следствия 4.2 из гл. II.
Замечание 8.4. Те же рассуждения, что и при
доказательстве предложения 8.1, показывают, что
(i) если G типа (R), но не обязательно разрешима, то'
существует лишь конечное число таких унитарных
неприводимых G-модулей Е, что Hl(G, Е)фО, причем все они
конечномерны (см. [50]);
(п) если G — полупрямое произведение группы Rn на
компактную группу, то существует лишь конечное число таких
неприводимых унитарных G-модулей £, что H*(G, Е)Ф0,
причем все они конечномерны.
8.2. Случай полупростых групп Ли
В этом пункте G предполагается полупростой, связной,
с конечным центром.
Предложение 8.3. Если G проста, а алгебра Ли g отлична
от so (n, 1) или su (п, 1), то Hl(G, E) = 0 для любого
унитарного G-модуля Е.
Доказательство. Согласно предложению 2.8, достаточно
доказать, что тривиальное представление является
изолированной точкой в 0. Для групп ранга больше или равного 2,
это доказано в [72], и [133], а для групп ранпа 1 с алгеброй
Ли, отличной от so (п, 1) или su (я, 1) — в [75] (см.
также [21]).
Конструкция G-модулей, удовлетворяющих условию
Я1 (О, Е)Ф0.

168 Гл. III. Когомологии топологических групп
Мы дополним следствие 11.4 гл. II в изучении группы
Я (д, /(, Еъ, р). Обозначим'через Н = MAN подгруппу Бо-
реля (см. обозначения из § В.5). При этом X=G/H
естественно отождествляется с К/М и имеет, следовательно
(единственную), положительную /(-инвариантную меру,
интеграл от которой равен 1. Эту меру мы обозначим через \i.
Определим (3, &, &0 так же, как в 4.5; согласно [132],
§ 7.6.6, р дается формулой p(man)==a2P, где р — полусумма
положительных корней. При этом & = Ll (X, \i) и,
следовательно, G-модули & и #0, р = L2(X, [i) (где через a = 0
обозначено тривиальное представление для М) имеют
совпадающие пространства векторов класса С°°, а именно IndooP, и,
значит, совпадающие пространства /(-конечных векторов, а
именно £"о/р. Следствие 7.5 показывает тигда, что Hn(Gy <S) ~
~ Hn(G, Я0, р) ~ Я"(д, /(, £"о, р)- Точная последовательность
из предложения 4.7 переписывается здесь в виде: 0->С->
-* Я1 (G, #о)-> Я1 (Afi4N, Ср)-> 0, поскольку Я1 (G, С) = 0.
Мы вычислим последний член этой последовательности. Так
как М компактна, то следствие 5.2 показывает, что
Hl(MAN, C&)~Hl(AN, С$)м.
Рассмотрим точную последовательность Серра — Хох-
шилда
0-+НЦА, Cfi)->Hl(ANy Ср)-*Нотл(ЛГ, Ср)-*Я2(Л, Ср).
Так как (3 — нетривиальный характер абелевой группы Л, то
крайние члены равны 0, и, следовательно, Hl(AN,C$)~
~ HomA(N, Ср).
Напомним, что Л-модуль N является прямой суммой
характеров, соответствующих положительным корням. Так как
Р есть сумма этих корней, то Horru (N, Ср) = 0, если и только
если dimW = l, т. е. g = sl(2, R). В этом случае М лежит
в центре G, следовательно, действует на AN тривиально,
откуда
Я1 (MAN, Ср) - Я1 (AN, Ср) ~ Нотл (N, Ср) - С.
Следовательно, доказано
* Предложение 8.4. Группа Я1 (G, £T0) =/У1 ($, /(, £о, р)
имеет размерность 2, если g = sl(2, R), и 1 во всех остальных
случаях.
Примеры.
G = SL(2, R). Известно (см. гл. II, § 5, пример, и § 12),
что существует ровно два простых (д, К) -модуля, у которых
Я1 Ф 0, причем они квадратично интегрируемы и &0
является их прямой суммой.
G = SO0(/i, 1), п^З. Известно (см. гл. II, § 14), что
существует ровно один простой (д, К) -модуль, у которого

§ 8. Несколько результатов, касающихся групп Ли 169
Я1 Ф 0; он унитарен и совпадает с ЙГо, но не является
квадратично интегрируемым.
G = SU(2, 1). Известно (см. главу II, § 15), что
существует ровно два простых (д, К) -модуля, у которых Н1Ф0;
они унитарны, но не являются квадратично интегрируемыми;
их прямая сумма является фактором модуля &§ (см. В.11.2,
пятый случай с а = 0, v = 2).
G = SU(n, 1), п ^ 3. Тот же ответ, что и для п — 2
(см. замечание 15.2).
Замечание 8.5. Из доказательства предложения 8.4 видно,
что Hl(G, #o, p) = 0, если g=^sl(2, R). Тот же метод,
позволяет показать, что *
f HomMл (n/[n, n], F), если v + p Ф 0,
Я1 (G, Яа, v) ~ { 4> если v + P = 0, а = 0,
I 0, если v + p = 0, оф0
(через F обозначено МЛ-представление: ma b->av+p-cy(m))\
Предложение 8.5. Пусть G проста; снабдим L2(G)
структурой левого регулярного представления. Тогда Hl(Gf L2(G))
имеет бесконечную размерность, если g = si (2, R) и 0 во всех
остальных случаях.
Доказательство. Можно считать, что G некомпактна.
Обозначим через L2 (G) = \ Яя • d\i (я) ф ( © КЛ разложение
модуля L2(G) на неприводимые модули, где \i—мера План-
шереля на 0 и Ki — неприводимые квадратично
интегрируемые модули. Так как множество неприводимых модулей с
Н{Ф0 конечно, то H{(G, ЯЯ) = 0 для почти всех я, и, сле-
довательно, дли G-модуля А = V Нлс1\х(п) группа Я1^, А)
равна 0 (предложение 2.6). Далее, так как тривиальное
представление не содержится слабо в L2(G) (следствие 2.4),
то и H{(G, Л) = 0 (следствие 2.3). Исследуем теперь
Hl(G, <g)/G). Эта группа равна 0, если g = so(n, 1), su(n, 1)
(предложение 8.3); если же g = so(/t, 1) или g = su(n, 1),
но отлична от si(2, R), то можно, согласно замечанию 5.1,
считать, что G = SOo(n, 1) или SU(n, 1), и все
предшествующее показывает, что Hl(G,(g) /G) = 0. Наконец, если G =
= SL(2, R), то Hl(G, Ki) имеет размерность 1 для двух
индексов i и 0 для всех остальных.
Историческое замечание. Предложение 8.1 является
новым, предложение 8.2 принадлежит П. Бланку [6];
предложение 8.3, опубликованное, по-видимому, многими авторами,
было впервые высказано П. Делормом [21],

170 Гл. III. Когомологии топологических групп
§ 9. Различные дополнения
9.1. Использование функций класса С°° на локально
компактных группах (более детальное изложение
можно найти в [14], [101] и [102])
Напомним сначала, как определяются пространства
С°° (G) и СТ (G) в случае, когда G — локально компактная
сепарабельная группа, но не обязательно группа Ли.
Каждая такая группа содержит открытую подгруппу G{ и
вложенную последовательность k0i k\, ... компактных подгрупп,
нормальных в Gi, причем (]kn= {1}. При этом для любого п
фактор G\/kn является группой Ли и, следовательно, гладким
многообразием. Определим СГ (G) как индуктивный предел
пространств CTiG/kn), а затем C°°(G) как множество таких
непрерывных на G функций /, что г|)/ е СГ (G) для любого
ty^C? (G). Снабдим это пространство топологией,
индуцированной отображениями /«~»\fi/. Точно так же для любого
полного ЛВОП Е положим Cc(G, £) = limCc (C/kn, E),
С°°(G, £) = {/e«? (G, Е) |Ф/ е Сс (G, Я), для любого <ре=
s Cc (G)} с топологией, индуцированной отображениями
/«—>ф/.Тогда имеем непрерывную инъекцию: lim C°° (G/&rt, £)->
->C°°(G, С), которая, вообще говоря, не является
изоморфизмом.
Пусть теперь Е — некоторый G-модуль; элемент е из Е
назовем элементом класса С00, если отображение ё: g*—>g-e
принадлежит C°°(G, E). Легко показать, что множество Е°°
таких элементов является объединением
(теоретико-множественным) пространств (Е rt)°°, где (Ekn)°° обозначает
пространство С°° векторов в Gl/^-мoдyлe£,fert. Снабдим Е°°
индуктивной топологией как предел топологий на \Ekn) .
Примеры. Пусть Е — полное ЛВОП. Снабдим C°°(G, £),
<& (G, Е) и Luc (G, Е) структурой левого регулярного
представления. Можно доказать, что пространства С°° векторов
этих трех G-модулей топологически изоморфны
пространству lim C°°(G/Kn, E).
Затем можно получить результаты, аналогичные
результатам из § 1, 4, например:
(i) для любого полного G-модуля Е последовательность
0->£->C°°(G, £)->C~(G2, £)-> ...

§ 9. Различные дополнения
171
является сильной относительно инъективной резольвентой
для Еу так что H*(G, Е) являются когомологиями комплекса
0->C°°(G, E)G—>C°°{G2, E)G-+ ...
и, более того, #*(G, Е) топологически изоморфны H*(G,E°°).
(п) Если Я— замкнутая подгруппа в G и Е—некоторый
Я-модуль, то можно определить G-модуль Indoo E,
индуцированный с £ в смысле С00. При этом (Indoo E)00=(lndcE)00=
= (Indp£)°° = lim(C°°(G/ft„, E)(]F), где F — множество
таких отображений / из G в £, что f(gh) = h-l*f(g). Отсюда
следует лемма Шапиро для Indoo E.
9.2. Связь когоадологий с топологией на G
Обозначим через G локально компактную сепарабельную
группу и через Sg— ее тривиальное представление
размерности I. Первая поразительная связь между когомологиями и
топологией на 0 состоит в том, что #l(G, £) = 0 для любого,
унитарного G-модуля, тогда и только тогда, когда ес является
изолированной точкой в 0 (первая часть утверждения была
доказана в предположении 2.9; обратно, если ее не является
изолированной точкой в (3, то существует унитарный
G-модуль £, который слабо содержит тривиальное представление,
но не содержит его в обычном смысле; тогда #*(G, E)
неотделимо и, следовательно, не равно 0).
Будем говорить, как в гл. II, 11.2, что два элемента- Е\
и Е2 из G связаны (или неотделимы), если существует
последовательность элементов Fn из (3, сходящаяся как к Еи так
и к £У, и что Е\ и Е2 п-связаны, если существуют такие
Fu ..., F„-i G б, что пары (EuF{)t (FuF2)t ..., (Fn-\,E2)
связаны. Существует предположение, что если Extg (Eu Е2) ф
Ф 0, то Е\ и £2 я-связаны. Приведем несколько результатов
в поддержку этого предположения (в добавление к
приведенным в гл. II, § 11, 15). Будем говорить для краткости, что
G обладает свойством (Р) (соответственно (Р)),если из
условий E^G, Hl(Gy Е)Ф0 (соответственно Hl(G9 Е)ф0;
обозначение Я* см. в 1.1) следует, что Е и So связаны; ясно,
что из (Р) следует (Р).
1) Пусть G — унимодулярная группа, содержащая такую
компактную подгруппу /С, что алгебра Ll(K\G/K),
умножением в которой является свертка, коммутативна; тогда G
обладает свойством (Р) (см. [21], теорема V. 3); это
применимо, в частности, к полупростым связным группам, если
в качестве К взять максимальную компактную подгруппу.
2) Если G связна, а Е—неприводимый унитарный
конечномерный G-модуль, и Hl(G, Е)Ф 0, то £ и бс связаны

172
Гл. 1IL Когомологии топологических групп
(см. [50]); отсюда и из замечаний 8.1 и 8.4 следует, что
связные разрешимые группы Ли обладают свойством (Р),
а связные группы Ли типа (R) (не обязательно разрешимые)
обладают свойством (Р).
3) Каждое полупрямое произведение группы Rn на
простую компактную группу обладает свойством (Р) (см. [48]).
9.3. Свойства Extn в случае
нильпотентных групп
Пусть G — односвязная нильпотентная группа Ли, g — ее.
алгебра Ли, f — линейная форма на g, a G(f)—ее
стабилизатор в G; пусть Е—G-модуль, образованный С°°-векторами
в неприводимом унитарном представлении, ассоциированном
с f по методу Кириллова. Тогда имеет место изоморфизм:
ExtJHf, E)~ Hn{G{f), С) если орбита G-/ плоская (что
эквивалентно тому, что д(/)—идеал) или если / является
регулярной в смысле Габриэля (J. Algebra, t. 6, 1967, 77—99).
Историческое замечание. Результаты из 9.1 были
доказаны Ж. Пишо [102] !>, результаты из 9.2 принадлежат
тем же авторам, что и ссылки в тексте, результаты из 9.3
принадлежат Ф. Дюклу (см. [29], bis, а также еще не
опубликованные работы).
1) Пространства основных и обобщенных функций для общих
локально компактных групп было независимо определено Г. И. Кацем в 1960 г.
в связи с задачей разложения унитарных представлений (см. Труды НМО,
т. 10, 1961, 3 — 40). — Прим. ред.

Приложение А. СПЕКТРАЛЬНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Цель этого приложения — разъяснить понятия
спектральной последовательности и, в частности, объяснить, как из
спектральной последовательности получать некоторые точные
последовательности. Часть результатов мы примем без
доказательства, читатель может найти их, например, в [40], гл.1,
§ 4. Все модули, рассматриваемые ниже, являются модулями
над фиксированным кольцам.
§ АЛ. Определение и первые свойства
спектральных последовательностей
Определение АЛ. Спектральной последовательностью
называется последовательность (Er, dr)r=o. 1,..., где Ег —
некоторый модуль, a dr — эндоморфизм модуля Ег> квадрат
которого равен 0. Модуль Ет разлагается в прямую сумму
Ег= 0 Epr q, причем EPr q = 0, если р или q строго отрица-
тельны ^
dr(E?«)cE?+r,*~r+1,
ЕМ~Кег£#71т^Гг>*+г~\
где dPr q = dr \ep> я.
\ Другой способ определения
спектральной последовательности
I Последнее из свойств, приведенных выше, означает, что
Er+i является пространством когомологий для (Er,dr)\
следовательно, EP'+i — подфактор в ЕР' я; мы увидим, что Е9, q
является подфактором и в Ер' ч-
Положим Z? " = Ker d? ", Вр/ " = Im dS~Ti^r'\ Тр/ " -
канонический морфизм Zpr q-*Zp/ q/Bp/ «~EM; Zpx^=(tp' qY\Zfq),
bp „ = (jp ?)-i (bp.4j т^гда 0 с bp, 9(_bp, ,cZp 4(^zp. ч ^ep, 4>
Ep2 " ~ Zf "/Bf " ~ Zf-J/Bf q. Обо_значим_ через П' q -
канонический морфизм Zf q->EP2 q. Zp2 q = (Tf- «)"' № *). Bp2 q =
l) Это условие в действительности определяет так называемые
спектральные последовательности «первого квадранта». Для простоты
изложения мы рассматриваем только такие последовательности; впрочем,
этого нам в последующем будет достаточно.

174 Приложение А. Спектральные последовательности
= (П q)~1 (Вр2 % тогда 0 с: ВРо' «<= В?' « с= Bp2' q <= Z2
■ со ,
"Р. <7 ,
7Р. <7^
:Z5'*.
E$q~ZP2qlB$q~Z%qlBb
р, я
и так далее. Двигаясь шаг за шагом, мы получим в Во'q
подмодули ВРг ЧЙ'Ч сюръекции
Tprq: ZPr'q-+ZPrq/Bp;q~E№
Определение А.2. Положим Z&* = {] Zp;q% Bp/q = {] Bp'q,
Epoiq = ZpoiЯ/Вы q'. Тогда имеем последовательность 0 с: Во
Р, о
^р. </,
7?» ?
Вр =
JP' Я
с ВГ * с ... <= В£ « с Z£ q <= ... с Zp *<= Zf
Предложение АЛ. Написанная выше последовательность
конечна для каждого (р, </); более точно,
3^, = ...=££«, (АЛ)
/(/+"1 =^<7+2= • •• =Zoi , (A.2)
Доказательство, Для г>#+2 имеем,; Яг+Г' *~г+ =0, d?' 7=0,
Zp;q = Ep;q, откуда ^'^(Г^ГЧ^'О^^. Точно так же
для г>р+1_имеем £Гг'*+/"-1 = 0, В?,<7 = 0, откуда В?''=
Следствие АЛ. Имеем
Etq ~ZP'£/Bp'q, (A.3)
Etq~Zpr qJBPr q ~ Ep\\ для любого г > max (q + 1, p).
В частности, В!
о, о
любого г ^ 2, В|
о, i
В/ ^лл любого r^2, Bci -
.1,0
<3ля
71, 0
(Эля любого г ^ 3
Графическая интерпретация
Часто пространства В?' ^ изображают с помощью точек
первого квадранта плоскости, например, для г = 2:

Приложение А. Спектральные последовательности 175
§ А.2. Некоторые точные последовательности,
ассоциированные со спектральной
последовательностью
Рассмотрим сначала_пару вида (р, 0); тогда Z?* Z% =...
... = Z£ °; £,p» ~ Zf' °/flp' °- Существуют, следовательно,
следующие сюръективные морфизмы (называемые морфизмами
границы):
Eg-°-££•<>- ... -Е£0-Е£+01г=££° (А.4)
и следующая точная последовательность:
d0fp~\
£o.p-i _Z_^ ^°^££°->o. (A.5)
Рассмотрим теперь jiapy вида (0, q); тогда Во q = B°i'q =
= ... =В^; Е°жд ~ Z°g+i/Bo q. Существуют, следовательно,
следующие инъективные морфизмы (также называемые
морфизмами границы):
jCoo = Cq+2—* Eq+\—> ••• —> -С l \A.OJ
и следующая точная последовательность:
и->£оо ->c^i >■ rJ^+i , (A.7)
Предложение А.2. Для каждого р ^ 1 существует точная
последовательность:
0->Е°»р-1->ЕЧ;р-1 -^ £?°->fiU°^0 (A.8)
и, в частности, точная последовательность:
0->£\^ ->£2 —► £V ->£~ ->0. (А.9)
Доказательство. Достаточно соединить
последовательности (А.5) и (А.7) при^ = р—1.
Вырожденные случаи
Предложение А.З. Предположим, что E2*q = 0 для
q = 1, ..., m — 1, где m — целое и m ^ 1. Тогда
(i) Ep/q = EV = 0 при г>2, q=l, ..., m-1;
(ii) £?• ° ~ ££ ° яри г > 2, р = 0, ..., т;
(iii) ЕР>0~ЕР2:0 при 2<г<т+1, р>т+1;
(iv) £?'т-£г,тпрт2^г<т+1,

176 Приложение А. Спектральные последовательности
Доказательство, (i) следует из того, что Е?' q и £& q —-
подфакторы в Е$я; (ii) и (iii) следуют из того, что
Bpr>0 = lmdpr~r'r~l=0 при г^р+1 или г = 2, ..., m;
ZP'° = EP' ° при г ^ 2. Наконец, (iv) следует из того, что
В?«т = 0 при г>1, Zr°'m = 0 при г = 2, ..., т.
Следствие А.2. Предположим, что Ер' q = 0 при всех
q ^5 1. Тогда
(i) E%>q = 0 /гри всея #^1,
(ii) £?'° = ££° /гры r>2, р>0.
Мы оставляем читателю доказательство следующего
предложения:
Предложение А.4. Предположим, что Ер2 q = 0 при всех
р ^ 1. Гогда
(i) E^q = 0 при всех р^1,
(ii) E*>q~E^q при r>2, </>0.
Спектральные последовательности, удовлетворяющие
условиям предложения А.4 или следствия А.2, называются
вырожденными.
§ А.З. Спектральные последовательности,
ассоциированные с фильтрованным комплексом
Определение А.З. Комплекс модулей
А: 0->Л°-^> А1 -^ А2-> ... (АЛО)
называется фильтрованным, если для каждого р даны такие
подмодули Ар:
Ap = A%zdA\zd ... iDApZDAp+, = 0t (АЛ1)
что dpAp<= Apq+l; такая последовательность называется
фильтрацией комплекса А (можно рассматривать фильтрации без
условия Apq = 0 (соответственно Apq — Ap) при q>p
(соответственно при <7<0), но их свойства менее интересны; см.,
например, [40], теорема 4.5Л).
Для каждого q имеем комплекс
/\ql U > /\q /\q • • •
и Aq+i является подкомплексом в Aq\ кроме того, Л0 = Л.

Приложение А. Спектральные последовательности 177
Обозначим через Н*(А) когомологии комплекса А, а через
H*(Aq) — когомологии комплекса Aq; имеем, следовательно,
HP(A) = ZP/BP и Hp(Aq) = Zp/Bp, где Zp, Вр, Zj, В?
определяются очевидным образом. Через Нр(A)q обозначим
канонический образ группы Нр (Aq) в Нр (А), т.е. Hp(A)q =
= (Zp-\-Bp)/Bp. Следовательно, мы имеем фильтрацию на
НР{А):
Hp(A)=Hp(A),zdHp(A){zd...zdHp(A)pzdHp(A)^{=Q. (A.12)
Теперь мы построим спектральную последовательность.
Положим для re=Z, p,?eN; Zp/q=Ap+qn(dp+qy\APXqr+l)7
Bp/q = App+q(]dp+q-1 (Л^?;1); при этом ZPrq содержит"SM и
Z?+iW"!; положим £?^ = Z?V(bM+Z?+i1^"1)- Оператор dp+«
отображает Z?q в z?+r^'r+1 и Bp-'+Zpl'*-1 в В?1Г^г+1 +
+ Zp-\+ ,q~r и, следовательно, определяет при переходе
к частным морфизм dp,q: Е°'q->E?+r,q~r+l. Можно показать,
что тогда при г^О мы получаем спектральную
последовательность, т. е. что £r+?~Kerd?' Q/lmdp~r' q+r~\ В частности,
Zp-V''-l = ApPtl BWcA'Xl, Zpoq = Ap+q, откуда
Ep0>q = Ap+q/APtl (A.13)
С другой стороны, можно показать, что
Ей' ~ Яр+'(Л)р/Яр+'(Л)р+1. (А.14)
Итак, получаем
Предложение А.5. Рассмотрим комплекс (АЛО),
снабженный фильтрацией (АЛ), и соответствующую фильтрацию
(А. 12) на Нр(А). Тогда существует такая спектральная
последовательность {Ep,q)y что Ер' q и Epdq даются формулами
(А.13) и (А.14) соответственно.
Будем выражать это с помощью следующих формул:
Epo>q=>Hp+q(A), Efrq=>H*(A), или, иначе, если Eg'q доста-
р
точно просто вычисляется, то Е% q=>Hp*q(A)y E2,q=^H*(A).
р
Следствие А.З. Для каждого п^О сумма ф E%>q изо-
P+q=n
п
морфна® Нп(А)р/Нп(А)р+и т. е. градуированному модулю,
р=0
ассоциированному с фильтрацией (А.12) на Нп(А).
Следствие А.4. Если рассматриваемые модули являются
векторными пространствами, то существует (неканонический)
изоморфизм между © E%>q и Нп(А).
P+q=n

178 Приложение А. Спектральные последовательности
§ А.4. Некоторые точные последовательности
в случае фильтрованных комплексов
Мы сохраняем обозначения предыдущего параграфа.
Фильтрации на Я0(Л), Я1 (Л), Я2(Л) имеют следующий вид:
ЯО(Л)=Я°(Л)о=эЯ0(Л)1 = 0; Я1 (Л) = Я1 (Л)0 =э Я1(Л0 zd
=эЯ1(Л)2=0; Я2(Л) = Я2(Л)о^Я2(Л)1=эЯ2(Л)2=эЯ2(Л)3-
= 0 и имеем
£^°~Я°(Л), (А.15)
Е^-Я1^, EV ~ Нх {А)1 Нх {А)ь (АЛ6)
£*°~ Я2(Л)2, Я^1 - H2(A)jH2(A)2, Е°оо2~Н2(А)/Н2(А){ (АЛ7)
Следствие АЛ показывает, что (АЛ5) может быть
переписано в виде
Е02°~Н°(А). (АЛ8)
Из (АЛ6) следует точная последовательность 0->Eoi ->
->Я1 (Л)—*/:!!;1 ->0 или, иначе, используя следствие АЛ:
О -> Е12 ° -> Я1 (Л) -> £« -> 0. Соединяя эту последовательность
с (А.9), получим точную последовательность
0-+Е12-0-*Н>(А)-+ЕГ ^еГ-*е1°->0. (A.19)
Из (АЛ 7) следует
0->Н2(А){->Н2(А)->е12-+0, (А.20)
0 -+ El° -> Н2 (А){-> Е1^1 ->0, (А.21)
и, соединяя* с одной стороны, (АЛ9) и (А.21), а с другой
стороны, (А.20) и (А.6), получим следующие точные
последовательности:
0-»Е12*->Н1(А)->ЕУ -^ Е2'°->Н2(А){->Е^->0, (A.22)
0, -> Я2 (Л)! -> Я2 (Л) -> £°22. (А.23)
Рассуждения из § АЛ показывают, что имеет место точ-
ная последовательность U->£oo ->£2 —* £2 ->£оо ->0, и>
кроме того, Е3ы°с= Я (Л). Объединяя это с (А.22), получим
Предложение А.6. Существует точная последовательность
0-*Е120->Н1(А)^ЕГ -^ £f"-^(Л),-^
-*££•' -^Й0-* Я8 (Л), (А.24)
2 0 2
где Я2(Л)j является ядром морфизма Н (Л)->£У ,

Приложение А. Спектральные последовательности 179
Замечание АЛ. В случае, когда EPt q = 0 при q=£0y 1,
имеем: Н2(А)\ = Н2(А)\ можно показать, что точная
последовательность (А.24) продолжается при этом до бесконечной
точной последовательности
0-£t°-> ...->Нп(А)->ЕГ1'1->Е2+{'1->Нп+1(А)->... .
(А.25)
Точно так же, если Е$% q = 0 при q Ф 0, т, где m — целое,
m > О, можно показать, что имеет место бесконечная точная
последовательность
(А.26)
Случаи вырождения
Предложение А.7. Предположим, что Ер,д — О при
q=\> ...., m—1, где m — целое, m^l, Тогда существует
точная последовательность О -> Е?9 ° -> Hm (A) -> El' т —^
-*► Е2+1°->Нт+1{А). В частности, Нр {А) ~ Ер/ при всех
р = 1, — , гп — 1.
Доказательство. Так как £,^<7 = 0 при всех q= 1, ...
..., m—1, то из (А.14) следует, что фильтрация на Нт(А)
имеет следующий вид: ЯШ(Л) = Ят(Л0)=э Нт(А){ = ...
... = Я™(Л)т=>Я'«(Л)т+1 = 0, и, кроме того, £™'°~Ят (Л)ь
£^m ~ Ят (А)/Нт {А)и откуда следует точная
последовательность 0->££,0->Ят(Л)->£^т-*0. Соединяя ее с
точной последовательностью (А.8), получим точную последова-
тельность 0->^2 ->Я (Л)->£т+1 >• £m+i ->£оо ->и-
Согласно предложению А.З, четвертый и пятый члены можно
заменить на £2°,т и £2т+1'°. Наконец, £™+1'°~ Нт+{ (Л)т+1с:
с: Ят+1 (Л).
Следствие А.5. Если Е2' * = 0 яри вгел; <7>1> го НР(А)~
~Е$'° при всех р^О.
Доказательство. Это следует из предложения А.7 при
Р ^ 1 и из (А.18) при р = 0.
Точно так же доказывается
Предложение А.8. Если Е%,я = 0 при всех р^1, то
HQ(A)~E°2Q при всех q^O.

180 Приложение Л. Спектральные последовательности
§ А.5. Спектральные последовательности,
ассоциированные с бикомплексами
Определение А.4. Бикомплексом называется двойная
последовательность модулей K — (Kp*q), где р, q e N, с двумя
операторами кограницы d'\ Kp>q-+Kp+l>q, d"\ /С"-*->/Cp'«+1,
причем d'd" + d"d' = 0. Бикомплексу можно сопоставить
ассоциированный с ним обычный комплекс X = Tot /С,
положив Хп= ф Кр,р а оператором кограницы d = d' + d".
p+q~n f
Определим первую фильтрацию на X, положив Хпт =
= ф **« и *«.«-»$ tf«+i-»-«-i0 ... фГ'°,откуда еле-
p+q=n
р>т
дует (предложение А.5) первая спектральная
последовательность: fElq~'xp+q/'XpPtq=>H*{TotK). Через 'd0 обозначим
оператор кограницы на Ео:
'd°: 'EE'q-»'Epo>q+l
Имеет место очевидный изоморфизм
'£?'* ~/Г «' - (А.27)
Определим также вторую фильтрацию на X, положив
'Х= ф Kp'q = Kn-mtm®Kn~m-Um+i@ ... ®К{°'п\
откуда следует вторая спектральная последовательность:
"E$(l<»"xFqrx>i1*>Hm(TotK). Через "d0 обозначим
оператор кограницы на "Ео. Имеет место очевидный изоморфизм
"fi?q ~ Kq' p. (A.28)
Можно показать, что при изоморфизме (А.27) оператор
'do отождествляется с d"\ следовательно, Ер\ q являются ко-
гомологиями для К относительно d : Ep%q~H p' q(K) =
= (Kerd" (1 Kp[q)/d"(Kp q~~l). Далее, можно показать, что
Ep,q являются когомологиями для Н"(К) относительно d'\
'EP2q~H'pH"q{K).
Точно так же< доказывается, что при (А.28) оператор
"do отождествляется с d', и "Ер\ q ~ н'я% р {К) =
= (Кег d' П Kq' p)ld' (Kq~ u p), "E\>q ~ H"pH'q (K).

Приложение А. Спектральные последовательности 181
В результате получаем
Предложение А.9. Рассмотрим бикомплекс (Kp>q, d't d")\
положим я"р* *(#) = (Кег d" П Кр' q)ld"(Kp* q~x\ н'р' q (K) =
«(Kerd' (]КР ц)1й'(КГ1'щ).
Обозначим через Н'рН"ч(К) и Н"<*Н'р(К) когомологии
комплексов 0~>Я"°. *(/()-*Я"1. «(/()-* ... , 0-+Н'р>°(К)-+
-> Н'Р> 1 (/()-> .... Гогда существуют две такие
спектральные последовательности
('#') « Г£Г), «го 'EP'q~H'pH"q{K)^
=* Я* (Tot /С), "£?* * - //"РЯ'* (К) =► Я* (Tot /С).
Отметим, что в двух последних формулах участвуют две,
вообще говоря, различные фильтрации на Tot К. Часто этот
результат используют в следующей ситуации:
Следствие А.6. Пусть Я'р> ?(/()= О при всех р ^ 1. Тогда
*ЕР2 q ~ Н pff а (/С) =>- "Ei °> В частности, прямая сумма
ф E%>q изоморфна градуированному модулю,
ассоциированному с некоторой фильтрацией на Е% • Если
рассматриваемые модули являются векторными пространствами, то
существует {неканонический) изоморфизм между ф 'E!Lq и
Р+Я=п
П,Еп% °.
Доказательство. Действительно, Ер' q = 0 для всех q ^ 1
и, следовательно, (следствие А.5) Hp(TotK)~ '£~° для всех
р^О.

Приложение В. й-модули, (в, 1>)-модули,
(в, /О-модули, основная серия
§ В.1. 9-модули
Везде ниже, если не оговорено противное, будут
рассматриваться вещественные алгебры Ли g и комплексные д-мо-
дули; мы будем пользоваться терминологией из [28]; причем
будем говорить как «простой», так и «неприводимый»
g-модуль, а также как «изоморфные», так и «эквивалентные»
д-модули.
Через £8 будем обозначать множество д-инвариантных
элементов в д-модуле Е, т. е. таких элементов ее£, что
Хе = О для всех X е д; будем говорить, что Е — унитарный
g-модуль, если на Е задана эрмитова положительная д-инва-
риантная форма (|) (т. е. (Хв\ \е2} + (е\ |Хе2} = О для
любых е\9 ^EfjGj).
Будем говорить, что g-модуль Е квазипростой, если для
любого со е Z (gc) (центр обертывающей алгебры комплекси-
фикации Ijc алгебры д) его действие на Е имеет вид
умножения на скаляр %(со); при этом % будем называть инфини-
тезимальным характером модуля Е\ назовем % тривиальным,
если он является характером тривиального g-модуля.
Напомним, что каждый простой модуль полупрост ([28], 2.6.8).
Будем говорить, что g-модуль Е допускает ^-центральный
характер х, если каждый элемент X из центра алгебры g
действует на Е умножением на скаляр %{Х).
Через ц обозначим аугментацию алгебры U(g), т. е.
такой морфизм из [/(g) в R, который сопоставляет каждому
элементу его свободный член.
§ В.2. (8,&)-модули
Пусть теперь в g фиксирована подалгебра I). Обозначим
через f множество классов эквивалентности простых конечно-
мерных ^-модулей. Для каждого g-модуля Е и каждого б е 1)
обозначим через Е6 изотипическую компоненту |)-модуля
класса б в £, т. е. сумму всех простых ^-подмодулей, изоморфных
б. Тогда Еь есть также прямая сумма некоторого числа
^-подмодулей, изоморфных б. Сумма модулей Е6 является прямой
суммой; обозначим ее через EjL. Это полупростой &-подмо-

Приложение В. ^-модули, (д, К)-модули 183
дуль, являющийся суммой всех простых конечномерных 1)-под-
модулей, а также суммой всех полупростых конечномерных
^-подмодулей в Е. Через Е^} обозначим сумму всех
конечномерных ^-подмодулей; его элементы называются ^-конечными
и характеризуются тем, что dim [/(b) -е <С оо. При этом Е{^
является g-подмодулем; в самом деле, пусть F —
конечномерный ^-подмодуль; тогда $-F также конечномерно и тоже
является ^-подмодулем, так как если fef, X eg, У el), то
YXf = XYf + [Y,X]feE$F. При этом всегда E^)C^E{b)i
причем равенство достигается, только если каждый
конечномерный ^-подмодуль в Е является полупростым.
Определение В.1. Назс^ем g-модуль Е локально
^конечным, если Е = Е^у назовем его (д, $)-модулем, если Е =E^)t
т. е. Е является прямой суммой простых конечномерных
^-подмодулей. Назовем (д, |))-модуль допустимым, если для
каждого б е I) кратность б в £ конечна (в [28] такие (g,l))-
модули названы «модулями Хариш-Чандры относительно I)»).
Если Е — произвольный g-модуль, то Е{^ — локально
|)-конечный g-модуль. Если каждый конечномерный |)-модуль
в Е полупрост, то £(9) === Е(°} и Е°{^ является (д, |))-модулем.
Конечномерный g-модуль является (д, $) -модулем, тогда и
только тогда, когда он |)-полупрост.
Свойства (д, D) -модулей
Класс (д, |))-модулей стабилен относительно операций
взятия подмодуля, фактормодуля, конечного тензорного
произведения ([28], 1.7.8), произвольной прямой суммы. Вопрос
о переходе к сопряженному модулю и взятии Нот более
деликатен (напомним, что если Е и F — два g-модуля, то через
Hom(£, F) обозначают пространство С-линейных
отображений из Е в F, в котором структура g-модуля дается
формулой: (X, и)->-Хои — и°Х). Ясно, что если Е и F — два
(g, 5)-модуля, и Е конечномерно, то Е* и Hom(£, F) = E*® F
тоже (д, I))-модули.
Лемма В.1. Пусть Е= ® £б — допустимый (д, %)-мо-
дуль\ отождествим Е*6 с ^-подмодулем в Е*, образованным
всеми элементами, равными нулю на всех Е^, г\ Ф б.
(i) E*{f)) является прямой суммой модулей Е*6 и является
допустимым (д, |)) -модулем; обозначим его через Е.
(и) Е канонически изоморфно Е.
(iii) если Е унитарно, то Ё антилинейно изоморфно
модулю Е.

184
Приложение В. $-моду ли, (g, К)-модули
Доказательство, а) Покажем, что каждый
конечномерный ^-подмодуль Л в Е* содержится в ©£^. Множество Л'
элементов из Е, аннулируемых всеми элементами из £*,
является ^-подмодулем коразмерности dim Л. Так как Е |)-полу-
прост, то А/ допускает конечномерное |)-инвариантное
дополнение В, лежащее, следовательно, в подпространстве вида
£ej©... ©Ебя. Если 6 ^=б1э ..., бл, то E6czA;
следовательно, Л cz Е1{ + • • • + Eln.
b) Пункт а) показывает, что EfaaQEl. С другой
стороны, так как Е6 конечномерно, то El также конечномерно
и полупросто и, следовательно, лежит в £*$). Отсюда £*$) =
= Е*н = ©£«, что доказывает (i). Остальные утверждения
следуют отсюда немедленно.
Лемма В.2. Если Е и F — два (д, $)-модуля, то Нот (£, F)^
также (д, |)) -модуль.
Доказательство. Достаточно показать, что каждый
конечномерный ^-подмодуль Л в Hom(£, F) полупростой. Итак,
пусть Е — прямая сумма простых конечномерных ^-модулей
£/, i g /; индукцией по dim Л доказывается, что существует
такое конечное подмножество / в /, что отображение
Л э аь->{ограничение а на Ф£/} является инъекцией. Тогда
Л изоморфно ^-подмодулю в Hom(©£/, F), который
полупрост. ^
Лемма В.З. Если Е и F — допустимые {%\)-модулиу то
(д,!)) -модули Hom(£, F)^} и Hom(F, E){^ изоморфны.
Доказательство. Отображение транспозиции Г: Hom(£, F)->
->Нот(/7*, £*) является д-морфизмом, который отображает
Hom(£, F){])) в Hom(F, E)w Точно так же определяется и
7": Hom(F, £)ш->Нот(я, f)w Нот(£, F)m, и легко видеть,
что Ги Г взаимно обратны.
§ В.З. (9,К)-модули (см. [7[ и [1311)
Здесь рассматривается группа Ли G, ее компактная
подгруппа К и их алгебры Ли g и I; для каждого 5е^и
каждого k^K положим иь {k) = (dim б) • Тг б (k).
Определение В.2. Назовем (д, К) -модулем векторное
комплексное (не топологическое) пространство £, снабженное
структурой д-модуля и /(-модуля, причем
(i) (Adk-X) -е = kX~lk-e для любых k e К, Хед,
eG£;
(и) для любого cg£ множество К-е ^порождает
конечномерное векторное подпространство F\ представление К

Приложение В. ^-модули, (Q, К)-модули
135
в F непрерывно и X • е = ~jj (exp tX) • е \ыо для любого IgA.
При этих условиях оператор Р6 = \ u6(k) • k • dfe является
для любого б ^ К проектором на изотипическую компоненту
Е6 класса С°°, и Е = ©£б. Разлагая затем каждое £6 на изо-
гипические компоненты относительно максимальной связной
подгруппы в К, содержащей единицу, мы видим, что каждый
(д, К) -модуль является (д, I)-модулем.
Определим очевидным образом допустимые (д, К) -модули,
(д, К) -морфизмы, (д, К) -подмодули, (д, К) -фактормодули,
тензорные произведения, прямые суммы. Можно доказать так
же, как в § В.2, следующие результаты:
Лемма В.4. Пусть Е—^допустимый (д, К) -модуль. Tveda g
и К естественно действуют в Е*. Обозначим через Е = Е*ю
подпространство К-конечных векторов в Е*. Тогда Е—
допустимый (д, К) -модуль, прямая сумма компонент El- Более
того, Е канонически изоморфно Е.
Лемма В.5. Пусть Е и F—два (д, К) -модуля. Определим
действие д и К в Hom(£,F) по формулам (X, и)^->Хои —
— иоХ, (k,u)b—>kouok-1. Множество Нот(£, F){K)
К-конечных элементов из Нот(£, F) является (д, К) -модулем.
Лемма В.6. Если Е и F — допустимые (д, К) -модули, то
(д, К) -модули Нот(£, F)w и Нот (F,E)(K) изоморфны.
Лемма В.7. Каждый (д, К) -модуль Е является
полупростым К-модулем.
Доказательство. Пусть F /С-подмодуль в Е. Выберем
линейный проектор и из Е в F. Для каждого ее £ можно
рассмотреть элемент v (е) = \ k • и • k~l • е • dk, и v является
J к
/(-инвариантным линейным проектором.
Лемма В.8. Пусть Е — допустимый (д, К) -модуль.
(i) Если Е простой, то Е также простой.
(и) Если F — некоторый ^-подмодуль в Е, то E/F ~
~ EftF1^ ~ E/iEOF1).
(iii) Если F — подфактор в Е, то F — подфактор в Е.
Непосредственная проверка. *
§ В.4. Связь (9, К)-модулей
с G-модулями
Более детальное изложение можно найти в [131].
Начнем с одного простого результата.
Пусть G — группа Ли, К — ее компактная подгруппа, g и
f—их алгебры Ли, Е — некоторый G-модуль класса С°° (см.

186
Приложение В. ^-модули, (д, К)-моду ли
§ D.4). Через Е{К) обозначим множество К-конечных
элементов в Е, т. е. таких элементов е, что векторное
подпространство, порожденное множеством К-е, конечномерно.
Непосредственно видно, что Е(К) является (д, К) -модулем. Если теперь
Е — произвольный G-модуль, то положим Е{к) = (Е°°){К).
Теперь мы приведем более точные результаты в
предположении, что G линейная, полупростая, связная группа с ко
нечным центром, а К максимальная компактная подгруппа.
Пусть (Я, я) — гильбертов G-модуль (Я —гильбертово
пространство, я— представление G в Я, которое не предполагается
унитарным). Для каждого 6е^ определим Рб как в § В.З
и положим Я6 = Р6(Н). Тогда Я является гильбертовой
суммой модулей Яб, и мы назовем Я допустимым, если сИтЯ6<
< оо для каждого 6е^. При этом Н{к) является прямой
суммой пространств Р6(Н°°), причем (д, К)-модуль Н{К) допустим,
если и только если Я допустим, и Н{К) простой, тогда и только
тогда, когда Я неприводим. Будем говорить, что два
гильбертовых G-модуля инфинитезимально эквивалентны, если
соответствующие (д, К) -модули изоморфны. Для унитарных G-mo-
дулей это равносильно унитарному изоморфизму
представлений. Будем говорить, что Я квазипросто, если Н{К) таково.
При этом верны следующие результаты:
(i) каждый гильбертов квазипростой неприводимый
G-модуль допустим (Хариш-Чандра);
(п) каждый унитарный неприводимый G-модуль квази-
прост (Хариш-Чандра);
(ili) каждый допустимый (д, К) -модуль Е конечного типа
(рассматриваемый как [/(g)-модуль) имеет вид Н{К) для
некоторого допустимого гильбертового Я. Если к тому же Е
унитарный, то и Я можно выбрать унитарным (Кассельман,
Пришепионок).
Обозначим:
через G множество классов инфинитезимальной
эквивалентности гильбертовых квазипростых неприводимых
представлений, т. е., иначе говоря, множество классов
эквивалентности простых (д, К) -модулей;
через G подмножество в G, образованное классами
унитарной эквивалентности унитарных неприводимых
представлений, т. е., иначе говоря, множество классов эквивалентности
простых унитарных (д, К) -модулей;
через Gd подмножество в (5, образованное классами
квадратно интегрируемых представлений (Gd называется
дискретной серией группы G).
п Можно доказать, что гильбертово представление квази-
вполне неприводимо (см. определение D.8).

Приложение В. ^-модули, (д, К)-модули 187
§ В.5. Обозначения, связанные
с полупростыми группами
Более детально см. в [132].
g = ! Ф р — разложение Картана; 0 — соответствующая
инволюция;
а — максимальное абелево векторное подпространство в р;
m — централизатор пространства а в f;
Л — множество (ненулевых) корней пары (д, а);
А± — множество положительных (соответственно
отрицательных) корней с некоторым порядком;
р — полусумма положительных корней;
п = п+= ®дх, X е= Л+, п~ = ©дх, А, е= Л~;
Б = т 0 а 0 п;
М — централизатор пространства а в /С;
М' — нормализатор пространства а в /С;
А = ехр а, N = ехр п, В = MAN;
W = М'/М — группа Вейля пары (G,v4);
С — положительная открытая в а* камера Вейля
(соответствующая Л+).
Через log обозначим отображение, обратное к ехр:а->Л;
для ае А и v e а*с (комплексификация пространства а*)
положим av = ev(loga). Модулярной функцией на В назовем
отображение тап*—>а2Р\
|) — некоторая подалгебра Картана в ш;
1) = $ © a — подалгебра Картана в д; дс, тс, |с, $с —
комплексификации алгебр д, ш, |), |);
А — множество (ненулевых) корней пары (ntc, §с)
А*—множество положительных (соответственно
отрицательных) корней с некоторым порядком
рт — полусумма положительных корней;
#=Д©Л — множество корней пары(9с» ^с);
р =р ©р — полусумма положительных корней;
Вс —форма Киллинга на дс;
На^Ъу Вс(НаН) — -^а(Н) • £с(#(х, #<*) ДЛЯ Любых
Wc — группа Вейля пары (дс, §с).

188
Приложение В. ^-модули, (д, К)-модули
меют место
разложения
тс =
9с =
«fc =
тС
= пГс
= Tt*c
;®^c®«ic.
®%®Кс>
фи*.
Изоморфизм Хариш-Чандры (см. [28], 7.4.6)
Из приведенного выше разложения для дс следует
разложение U (gc) = U (п-с ф Ъс) @U (gc) • U+ (п+с) (здесь
Обозначим через Ф' соответствующий проектор из С/(йс)
на U (п- ф IjcY Для каждого со е Z (дс) имеем: Ф' (со) е (/ (*)с).
Можно, следовательно, рассмотреть Ф'(со) как полином на lfc.
Положим Ф (со) (Я) = Ф' (со) (X — р \ для любого Я е ^.
Тогда Ф является изоморфизмом (Хариш-Чандры) алгебры
Z(gc) на алгебру S(g^) полиномов на $£, инвариантных
относительно Wc-
Каждому Ag1c сопоставим характер %к на Z(gc) по
формуле 5СЯ (со) = Ф (со) (Я). Отображение Яь->хЛ является
биекцией из $*C/WC на Hom(Z(gc, С); в частности, %0
является тривиальным характером.
Будем говорить, что %ь регулярен, если для w^Wc из
того, что w{%) = Я следует, что w = 1. В частности, инфини-
тезимальный характер простого конечномерного д-модуля
всегда регулярен.
Пусть Е— некоторый g-модуль, содержащий такой элемент
е, что Н-е = %(Н)-е для любого Яе|с, j.e = 0 для
любого 1бП+ U (q)- е = Е, где Я —некоторый элемент из $£
(«старший вес» модуля £). Тогда £ квазипростой с инфини-
тезимальным характером %л+р . Это выполнено, в
частности, если Е — простой конечномерный модуль со старшим
весом Я; и, таким образом, два простых конечномерных
модуля, имеющие одинаковые инфинитезимальные характеры,
изоморфны. Напомним, что доминантные веса (-старшие веса)
простых конечномерных модулей выделяются среди
элементов из $*с условием: Х(На)^Н для любого аЕ^+,
§ В.6. Основная серия
Более детальное изложение можно найти в [80], [128],
[131], [132]; мы сохраняем обозначения из § В.5.

Приложение В. Q-модули, ($, К)-модули
189
Пусть v — элемент из а£; через а обозначим унитарное
неприводимое представление (компактной) группы М в
пространстве Жа, через || || — норму на Ж& ассоциированную
с инвариантным скалярным произведением; через \х
единственную /С-инвариантную нормированную положительную "
меру на X = К/М = G/MAN, а через #0,v — гильбертово
пространство, образованное такими измеримыми
отображениями / из G в Ж0, что
/(gman) = a~°~v • a (m)"1 • f (g), (B.l)
\x\\f(k)\\2-dii(k)<oo '- (B.2)
(й обозначает канонический образ элемента fee К в К/М).
Определим представление Ua, v группы G в Яа, v по формуле
(Uo.v(gH))(g')=f(e-{gl.
Это представление является, следовательно,
индуцированным с представления группы В: matn—>aP+v-o(m). Оно
унитарно, тогда и только тогда, когда v — чисто мнимое. Оно
является допустимым, так как, согласно теореме взаимности
Фробениуса для компактных групп, mult (б, C/a) v) = multX
Х(б, Ind*6)=mult(cr, 6 |м)для любого a e R. Подпространство
#~v> образованное С°°-векторами, есть множество С°°-функ-
ций из 3@0 в G, удовлетворяющих условию (В.1).
Через Е0, v обозначим (д, К) -модуль, образованный
/(-конечными элементами из Я0, v. Можно доказать следующие
результаты:
(i) обозначая через Я* G-модуль, дуальный к G-модулю
Я, мы можем написать: #SfV = Яа*.-v
(ii) Ea,v является допустимым (g,/С)-модулем, имеющим
конечный ряд Жордана — Гельдера.
(iii) £a, v ==£о*,-v*
(iv) Сопоставим каждому fsff"v линейное
отображение Tf из [/(g) в Ж0> определенное следующим образом:
будем рассматривать элементы и из [/(g) как распределения на
G с носителем {1}; тогда (Tf) (u) = u(f). Следовательно, Т
индуцирует g-изоморфизм из Еа, v в (Coind®/7)^), где F
является b-модулем, соответствующим В-модулю Ж& Этот
морфизм инъективен, так как элементы из E0t v являются
аналитическими функциями. Кроме того, если М связно, то этот
морфизм сюръективен, как видно из сравнения 1-кратностей
этих модулей (см. [28], 9.3.3).
(v) Группа Вейля W действует на М и на а, и,
следовательно, на М и ас. При этом модули Eso%sy и £a,v (гле

190
Приложение В. ^-модули, ($, К)~модули
sGf) имеют один и тот же набор простых подфакторов с
одними и теми же кратностями (так как USo, sv и U0, v имеют
совпадающие глобальные характеры); в частности, если один
из них — простой, то второй также простой и изоморфен
первому.
(vi) Пусть v чисто мнимое. Тогда Е0, v — простой в
каждом из следующих случаев: а тривиально; все подгруппы
Картана в G сопряжены (это имеет место, если G
комплексная); стабилизатор пары (a, v) в W тривиален.
(vii) Модуль £0, v квазипростой. Его инфинитезимальный
характер равен хь где X =(© + р )©v, а со — старший вес
в ограничении а на компоненту связности единицы в М
(можно показать, что это ограничение кратно некоторому
неприводимому представлению). В частности, ^ тривиален, если а
тривиально, a v = р.
(viii) Пусть v таково, что Rev принадлежит
положительной открытой камере Вейля С. Тогда Еа, v имеет
единственный максимальный подмодуль и, следовательно,
единственный простой фактор; более того, этот простой фактор
полностью определяется парой (a, v). Отсюда вытекает
следующее: обозначим через V = ECt V/V единственный простой
фактор, а через V"— такой подмодуль в V > что фактор V'IV"
простой. Тогда расширение E/V" модуля V с помощью
модуля V' IV" нетривиально.
(ix) Утверждения пункта (viii) остаются верными для
Еа, v, ReveC, если выполнен один из трех случаев,
перечисленных в (vi).
(х) Каждый простой (д, К) -модуль является подмодулем
в некотором модуле Е0, v и, следовательно, допустим (теорема
Кассельмана о подмодулях).
(xi) Для каждого Простого конечномерного (д, К) -модуля
V существует такая пара (ov, Vy)> что V является фактором
модуля Е0у, vK, причем Rev^eC. Пару (ov, vv) и морфизм
Т: £а V„->V можно построить следующим образом:
обозначим через я действие G в V\ согласно [132], 8.5.3,
пространство VN является простым МЛ-модулем, и,
следовательно, М и А действуют в VN соответственно по
неприводимому представлению а и умножением на комплексный
характер вида а>—>аУ. Положим теперь ov — a, v^ = v + p,'58ff =
= VN. Выберем борелевское сечение s для канонического
отображения К на К/М и определим Т по формуле:
Т (/) = \х п (s (*)) • / (s (х)) • rf|i (x) для любого / е Нау% уу.
При этом Т является G-морфизмом, так как, взяв geG и
положив man = s(x)-]-g-s(g-{x)&MAN, получим (согласно

Приложение В. ^-модули, (д, К)-модули
191
[132]; 7.6.6): d\k(g-xx) = а2Ы\л{х), откуда
Т (g • f)=\n(s(x)) .f(g~i .S(x)) • d|i (x) =
= J я (s (*)). a (m) • av+2'° • / (s (g~lx)) • d|i (x) =
= *(g) • J «Иг1*» • /и*-1*)) • d|A(fif"^) = nte) • T(f)
(по этому поводу см. также гл. Ill, замечание 4.3). В
частности, тривиальный (д,/С)-модуль С является фактором
модуля Ео, р, где через 0 обозначено тривиальное представление
группы М.
Классификация Ленглендса
Стандартной параболической группой в G назовем любую
подгруппу Р (возможно, совпадающую с G), содержащую
подгруппу В = MAN. Каждая такая подгруппа допускает
разложение Ленглендса: Р = MpApNp, где МР редуктивна,
АР абелева, а NP нильпотентна. Назовем Р каспидальной,
если МР имеет дискретную серию представлений. Каждой
паре (a, v) ё МР(аР)*с сопоставим (g, К) -модуль ЕР) 0, v точно
так же, как выше, Е0, v был построен по В. Назовем (д, К)-
модулем модуль умеренного роста, если он является простой
компонентой (очевидно, унитарной) модуля EP>0,v> где Р —
каспидальная, а квадратично интегрируемо, а v чисто мнимое.
Возьмем теперь какую-нибудь стандартную
параболическую подгруппу Р и пару (a, v), где a — ЛЬ-модуль,
умеренного роста а v таково, что Rev лежит в открытой
положительной камере Вейля, определенной разложением MPAPNP.
Тогда ЕР) 0j v имеет единственный простой фактор и каждый
простой (д, К) -модуль может быть так получен, причем ровно
одним способом. (См., например, [7], гл. VI.)
§ В.7. Простые (в, К)-модули для SL (2, R)
В.7.1. Обозначения
/ cos/ sin/
К — множество матриц вида kt = I . J
v т \ — sin / cos /
A — множество матриц вида I -i I » где а
вещественное, а > 0;
>

192
Приложение В. ^-модули, (g, К)-мод у ли
/1 Ь\
N — множество матриц вида I п i 1. где b вещественное;
М = {1, -/}; ш=?=0;
flc = sl(2, С), $с=«=ас.
Группа № имеет единственный нетривиальный элемент; он
действует на М тривиально, а на Л — по формуле g*-^g~l\ Wz
действует точно так же.
Для каждого meZ через Dm обозначим характер на
К: Dm(kt) = eimt. Отождествим а с R, а^.с С, тогда р= 1,
re-p(S-*)=*-
т.
Центр Z(gc) обертывающей алгебры порождается
элементом Казимира:
/1 о V (о 1V / о 1 \2
Мы будем использовать следующий базис в дс'- Х0 =
= (-1 о)* *e = (ei—l)' ГДе 8 = ±- ПРИ этом
[Хо, Хв]=2ыХЛ9 [X+> X-] =-Ш0.
В.7.2. Основная серия
Отождествим Й с {0, 1}, где 0 —тривиальный элемент.
Формула (В.1) переходит в /(g(n _t J J = signaa X
Xl^rv_1 • f (g)> где signaa = (sign a)a. Можно отождествить
#a'v с L2 [R, —(1 + #2)Revdxj со следующим действием:
(UoAg) •/)(*) =: signed- bx)-\d-bx\-*-*-f ((ax- c)/(d-
(a b\
— bx))y где g=[ , )• Тогда Н0, v имеет ортогональный
базис, образованный функциями /m, mG2Z + a,
собственными относительно /С, ПрИЧеМ fm{x) = (l + #2)(-v-l)/2£fmArctgx и
Uo.v(bt)-fm*=Jmt-fmi
dUo„(X0)'fm = imfm; (B.3)
Я/о. v (*е) • fm = (v + 1 + em). /wf28; (B.4)
dt/a.v(C) = v2-l. (В.5)
При этом (й, К) -модуль fa, v является векторным
подпространством, алгебраически порожденным векторами fm> а

Приложение В. %-модули, (& К)-модули
193
Еа,\ отождествляется с Ea,-v с помощью спаривания:
</m, fn> = Sm, -я, ГДе /т <= £а, v, /я ^ Еа, _v. ПрИ ЭТОМ £0>v | К=
= 0Dm, где mE2Z+a.
Разложение модуля Ea,v
Используя (В.З) и (В.4), легко получаем, что
(i) если v ф 2Z + a + 1, то Еа, v простои;
(и) если ve2Z + a+l, v ^ 0, то подпространства,
порожденные соответственно векторами /v+i, /v+з, ... и /-v-i,
/Lv~3> ..., инвариантны и неприводимы. Обозначим их через
£a!v и Ео, v Фактор модуля £a>v no £jv©£a, v неприво-
дим; обозначим его через^ Е°а, v« Он имеет конечную
размерность, равную v, и, следовательно, равен 0 при v = 0;
(Hi) если ve2Z+a+l, v ^ 0, то подпространство
Еа, v» порожденное векторами f-v+i, ..., /v-ь инвариантно и
неприводимо. Фактор по нему является прямой суммой двух
неприводимых подпространств, обозначаемых через £jv и
(iv) единственные изоморфизмы между
вышеперечисленными простыми модулями — это следующие: Еа, v ~ Ea> _v при
В.7.3. Список простых (в,К)-модулей для
SL(2, R)
Мы берем здесь только такие v, что Rev^O. Когда
vs2Z + a+l, то а однозначно определяется по v, и мы
будем писать Ev вместо £a,v и Е* вместо E*v. Тогда по*
лучим следующий список:
£0tV, где Rev> 0, v Ф 1, 3, 5, ... или Rev = 0, lmv>0;
Еи v, где Re v > 0, v Ф 2, 4, 6, ... или Re v = 0, Im v > 0;
£v, где v s N*;
£*, £v, где vsN,
Для каждого из этих модулей значение оператора
Казимира равно v2 — 1. Конечномерными являются модули EVf
и их размерность равна v.
Действие g в этих модулях
Е0>v имеет базис (fm), где me2Z;
£i,v имеет базис (fm), где me 2Z + 1;
Еу, имеет базис (/т), где т=—v+1, —v+3, ..., v — 1;
Et имеет базис (fm), где т = v + 1, v + 3, ... ;
£v имеет базис (/m), где т = — у— 1, — v —3, ,«. ♦
7 Зак. 75 '

194
Приложение В. %-модули, (g, К)-модулй
Действия ХоУ Х+, Х- даются формулами (В.З) и (В.4),
причем в случае Е^ нужно отождествить /_v_i и /v+i с О-
Соотношения двойственности между модулями
Eo, v ^ Eg, v> ^v /N"/ Ey> £*v /N,/ E<
Простыв унитарные (g, К) -модули
Можно показать (см., например, [38], том 5, гл. 7), что
ими являются следующие модули: £? (тривиальный модуль),
о \ г
Рис. 2. Схема дл* G.
£0,v, где Rev = 0, Imv^O, и £и, где Rev = 0, lmv>0
(основная унитарная серия), 27* (крайняя точка основной
унитарной серии), E0tVi где ve]0, 1[ (дополнительная
серия) , Е*, где veN* (дискретная серия).
Классификация Ленглендса
Группа G имеет две стандартные параболические
подгруппы (обе они каспидальны):
р = G, MP = Gy Ap = NP — l; {MP)d состоит из модулей
Е$9 vsN';
P = MAN, (7Йр)^={0,1}.
Умеренными (g, /С) -модулями являются:
для P — G: модули £*, vsN*;
для P = MAN: £0,0, £* и £a,v, где Rev=*0, lmv>0.
Простыми (g, 2C) -модулями являются:
для Р = G: умеренные (д, К) -модули;
для P — MAN: модули Е°У} где veN*,n £a,v, где Rev>0,
v^2Z + o+b

Приложение В. Q-модули, (g, К)-модули
195
§ В.8. Простые (9, *)-модули для s| (2, R)
В.8.1. Обозначения
Мы используем обозначения предыдущего параграфа в
том, что касается Х0, X+i Х_, С.
Пусть аЕ[0,2[ и veC; обозначим через Ea>v (g, ?)
-модуль с базисом (fm), m E 2Z -(- о и следующим действием
алгебры g: X0-fm = im fm> Хг • /m = (v + 1 + em) • /m+2e; при
этом C = v2— 1.
B.8.2. Разложение модулей E a, v
-«■
(i) £a,v простой тогда и только тогда, когда v^±(2Z-f
+ a+l).
(ii) Если a = 0 или 1, то см. § В.7.
(Hi) Если а фО или 1 и ve2Z + a+l, то
подпространство Ga>v> порожденное векторами /v+i, /v+з, ... , инвариантно
и неприводимо; фактор F0,v также неприводим.
(iv) Если а Ф О или 1 и v ф — (2Z + a + 1), то
подпространство G0lv> порожденное векторами /-v-i, /-v-з
инвариантно и неприводимо; фактор F0yV также неприводим.
(v) Список изоморфизмов между этими простыми
модулями тот же, что в § В.7, и, кроме того, Ea,v~EGi-.Vy G0>v~
~ F0t -v.
Мы положим для Re v ^ 0 .
!£atV, если этот модуль простой;
£v(cm.§B.7), если a = О, 1, vq(2Z + ct + 1), v Ф О,
уже определенный модуль, Fa, v при а Ф О, 1
!£*, если veN;
Ga, v, если v ф. N; через а обозначен единственный
элемент из (2Z±v+l)f)[0, 2[.
В.8.3. Список простых (g, 1)-модулей
F0)v, где ae=[0,2[, Rev>0, v^±(2Z+a+l);
или Rev = 0, lmv>0;
или а ф 1, v =* О (Л, о не существует); £*, где vs[0, +
+ оо[.
Без труда проверяется, что других простых (g,f) -модулей
нет.
7*

196
Приложение В. §-мод у ли, (& К)-мод у ли
Унитарные модули (см. [106])
Fa,v, где Rev = 0, ImvX) или в ф\, v = 0 (основная
унитарная серия).
Fa,v> где ve]0, \a—1|[ (дополнительная серия).
Fo, 0-1 ,0^1 (предельная точка дополнительной серии).
а
шШшШк
W\
V
\ь
i
[\Н
/
А
^
^
fsT"
\
/
/*
Рис. 3. Схема для G. Крестики обозначают некоторые из модулей Ff (a =
= 0, 1/4, 1, 7/4), заштрихованная часть обозначает основную унитарную
и дополнительную серии.
F? (предельная точка основной унитарной серии).
F*, где vg]0, oo[ (представления, квадратично
интегрируемые по модулю центра).
В.8.4. Связь с односвязной накрывающей
группы G = SL(2, R)
Определим К, М, Л, N так же, как в § В.7. Через О
обозначим односвязную накрывающую над G, через К, А, N —
подгруппы в б с алгебрами Ли f, а, п, через № —
централизатор алгебры а в Я, а через F—канонический морфизм из
G на G. Отображение ty—>rt = exptX0 является биекцией из
! на R. Группа М является центром в G и совпадает с
множеством таких ги что *ejtZ. Подгруппа Кег/7 есть множество
таких ги что tfe2jtZ. Наконец, F задает изоморфизм
группы Aft на AN.
Пусть ае[0,2[ и vsC; определим характер р группы
filAft по формуле: р(гяр-а-п)= eirtpa-av+l, a затем G-модуль
(Нб, v, Ua, v), полученный из р так же, как в В.7.2. Можно
показать, что £0, v изоморфно д-модулю f-конечных векторов
ИЗ На, v

Приложение В. Q-модули, (& К)-модули
197
§ В.9. Простые (в, /Q-модули для SL(2, С)
(см. [99], [38])
В.9.1. Обозначения
К = SU(2); Л — то же, что и для SL(2, R);
/16 4
N — множество матриц I п i Ь где Ь комплексное.
fa О ч
М — множество матриц ( п л_, ), где а комплексное,
W имеет единственный нетривиальный элемент; он
действует на М и А по формуле: g*-*>g~l.
Ш-
(ix О \
\j— множество матриц I п __ • 1» где* вещественно.
(х 0\
\ — множество матриц I n __ I. которые мы будем
отождествлять с х (х комплексное).
Ъ/*с отождествляется с С2 при помощи отображения,
которое каждой паре (а,р)еС2 сопоставляет линейную форму:
х = у + tet—> ay + /рг.
Wq имеет три нетривиальных элемента; они переводят
пару (а, р) в (Р, а), (—а, — р), (—р, — а). Следовательно,
изоморфизм Хариш-Чандры отображает Z(gc) в множество
полиномов от двух комплексных переменных аир, которые
инвариантны относительно приведенных выше замен. Мы
используем это далее при а = v, P = а.
Для каждого /syN обозначим через D\ единственный
простой /(-модуль размерности 2/ + 1.
В.9.2. Основная серия
Отождествим ^ с С, а М с Z; при этом числу cgZ
(а О \
соответствует характер на М: 1 _2 1н->аа.
Условие (В.1) переходит в М g • ( Q , П = дгаХ
Xlarv-2.ffc).
Можно отождествить tfa, v с L2 f С, -±- (1 + х2 + #2)Re v X
Xdxdyj со следующим действием группы: (U0tV(g) - f){e) —

198 Приложение В. ^-модули, (& К)-модули
= (d-bz)-a.\d-bzry--f((az-c)/(d-bz)), где g.
о
Модули Z?a,v и £a', v' имеют одинаковые инфинитезималь-
ные характеры, тогда и только тогда, когда выполнено одно
из следующих четырех условий:
а к о', v = v',
о*жз — о\ v = — v',
__ , _ , J здесь предполагается, что v и V целые.
л
Двойственность: Еа% v ~ #-о, -v.
Ограничение на К: I/o,v|/c = ®£/, где/еу|а| + М;
обозначим через Яа, Vl/ подпространство, соответствующее £>/.
Разложение модуля Ea>v
Используя [99], гл. III, § 16, где Ua,v обозначено через
aw> р с m = —a, p = /v, мы видим, что
(i) Если v§£ ±(|a| + 2N*), то Ea,v простой.
(И) Если ve|a| + 2N*, то подпространство Ea,v =
«= Я i © Я 1 © ... инвариантно- и неприводимо;
a, v,-jv a.v^v+l
фактор Еа, v также неприводим.
(iif) Если ve—(|a| + 2N*), то подпространство Е% v=*
1= Я i;, , Ф Я 1, ш0...фЯ 1 , , t
инвариантов v. у1 М4^ о, v, j |a|+1 ^ ^ a,v,-jlvl-1 r
но и неприводимо; фактор £<j~ v неприводим.
(iv) Единственными изоморфизмами между
перечисленными простыми модулями являются Еа, v ~ £-о, -v.» Eo,v~
~ fi-a, ~v» Eat v ~ £-a, -v> £a, v ~ ^v, a»
B.9.3. Список простых (дД)-модулей для SL(2, С)
£a,v, где Rev>0, v^|a| + 2N*;
или Rev=*0, Imv> 0}
или v = 0, ст^О;
£a,v, где aeZ, ve=|a| + 2N*.
Конечномерными модулями являются E°a,v, причем
dim E°G, v=(v2 - a2)/4. Модуль fg, 2тривиален. Если обозначить,
через Dt,k конечномерное представление в S2in®S2kn, где

Приложение В. $-моду ли, (g, К)-мод у ли
199
л — каноническое представление в С2, а у, Л.е-i-N, то E0t v~
~ ^(v+a-2)/4, (V-a-2)/4 •
Соотношения двойственности между простыми модулями:
Eg, v ~ Ео, v> £a. v ~ £a, v
Множества (не состоящие из одного элемента) простых
модулей, имеющих одинаковые инфинитезимальные
характеры:
E0tV и fiv, a, где а и v — целые положительные или О,
разной четности.
Еа, v и £Vt a, где a e Z, v е | or| + 2 + 2N*.
Модули, имеющие тривиальный характер: £о, 2 и Яг/о*
Унитарные простые модули
E0>Vi aeZ, Rev = 0, Imv > 0, или ae N, v = 0
(основная унитарная серия);
£o,v,vg]0,2[ (дополнительная серия):
Eot2 (тривиальный модуль).
a = 3 -
ff«0 -
-#
-#
Рис. 4. Схема для б.
§ В.10. Простые (в, #)-модули для SO0(n, 1)
В.ЮЛ. Обозначения
Некоторые сведения о SO (я) (см. [25] и [69])
Случай четного п == 2k. Неприводимые представления
Группы SO(2&) будем обозначать через D™1 m*f где гп\ е Z,
т2> ..
т*<
и |mi|
т2:
sg: пгк. Контрагредиент*

200
Приложение В. ^-модули, (д, К)-мод у ли
ным представлением будет то же самое представление, если
k четно, и D"Wl* m2 m*, если k нечетно.
Случай нечетного n — 2k+l. Неприводимые
представления группы S0(2& + 1) будем обозначать через D™1 "Ч
где mi, ..., /nfteN и m\ ^ тг ^ ... ^ т*. Это
представление контрагредиентно самому себе.
Ограничения на $0(п—1)
Если n = 2k, то Z)w' "Чо(*-п= ©Я*1 Ч~1> где
| тх | ^ nt ^ га2 ^ я2 ^ ... ^ n^^i ^ mk\
если л = 2* + 1, то £Л "Чо о»-1>e ® Д"1 ^ ™е
I ^1 I ^ Щ ^ ^2 ^ ^2 ^ • • • ^ пк ^ ^»
Некоторые сведения о SO0 (я, 1)
G = SO0(ft, 1) является множеством таких вещественных
матриц g = (ёГг-, /), 0 ^ i, j ^ n, что g/'g = /, где
/-1 0 \
/ = 1 0/ 1, detg = 1, goo>0. При этом
U Ху • • • X
р есть множество матриц
х{ 0 ... 0
хй0 ... 0
й есть множество приведенных выше матриц, где х2 = .. *
... «^«О;
/10 4
/( есть множество матриц I Q .. I, где £/ <= SO (я);
/1004
М есть множество матриц [010 I, где U e SO (я — 1).
\0 0 [//
Мы отождествляем а^ с С. Все необходимые сведения
можно найти также в [57], [58], [70], [74].
В Л 0.2. Основная серия при п = 2k + 1
Элемент о из М определяется такими целыми числами
Mi, ..., rtk, что |ni|^n2^ ... ^ tik\ мы положим tik+i =
= +оо. Группа Вейля № имеет единственный нетривиальный
элемент; он переводит о*=г{пи ..., nk) в — о = (—пь п2, ...
... 9 я*) и v переводит в —v. Изоморфизм Хариш-Чандры
отображает Z(gc) на множество полиномов на Сл+1, которые
инвариантны относительно следующих преобразований: пере*
становка координат, замена некоторого четного числа коорди*

Приложение В. §-мод у ли, (& К)-модули 201
нат на противоположные.
Имеем Еа, v \K = 0 Dm> w*, где
I n\ I ^ mi ^ n2 ^ m2 ^ ... ^ tik <! т*.
Инфинитезимальным характером для £а> v является %&, где
Я = (/1ЬЛ2+ 1, Лз + 2, ..., nk + k— l,v).'
Разложение для Е0} v. Модуль £а, v простой тогда и только
тогда, когда v^ Z или когда v = ±(0, 1,2, ..., |ni|, n2+ 1,
/23 + 2, ..., /i* + ft—1). В противном случае в нем есть два
простых подфактора, обозначаемых через El, v и Ео, v« Их
ограничения на К имеют следующий вид: если v= ±(|ft/J + /,
М + /+1, ..., tt/+i + /—1), где /=1, ...,&, To--fia.v|jc
описывается наборами Tfti|^mi^I ... ^|/i/l^m/^|v|—
— У ^ Щ+\ ^ W/+1 ^ ... ^ tik ^ т*, а £j v U "-" наборами
|^i|^mi^ ... ^\щ\ <|v| — •/' + 1 ^ т\ ^ П/+1 ^ m/+i ^
^ ... ^ tik ^ /я*. При этом Е°а, v является подмодулем в
Еа> v, если v < 0, и фактормодулем, если v > 0.
Положим
( Еа, v, если этот модуль неприводим,
I E0t v в противном случае.
Единственными изоморфизмами между этими простыми
модулями являются Ea,v~ E-a,-v> Ео, v ~Е-о, -v» ЕX v ~
— £-a,-v> ££ v ~ Ео'. vS Где V = ±(K| + /, ..., Я/+1 + /— l),
/lj = /lp ..., ^1 = nbl,^ = |v| —/ + 1,П^+1 = П/+1, ..., AZ^=
*=/**, v, = (az/ + /— 1)-sign v.
B.10.3. Список простых (fl, К)-модулей для л = 2й+1
f 0> v = £0 v, где Re v > 0, или Re v = 0, Im v > 0, или
v = o, щ ^s 0Г
Fo,v = E0,v, где v = |/ii|+ 1, ..., П2, n2 + 2, ..., n3 + 1,
n3 + 2, Яз + 4, ..., п* + & —2, nk + k, nk + k + l
Модуль Ео, v конечномерен, тогда и только тогда, когда
v = nk + k> tik + k + l, ..., и тривиален при а = (0, ..., 0),
Унитарные модули
Fa> v = E0t v для чисто мнимого v (основная унитарная
серия);
Fо, v = ^a, v для 0 = /ii = ... =nf< nj+i, / = 1, ..., ft,
ve]0,/[ (дополнительная серия);
F0t j = E0t j при тех же условиях (предельные точки
дополнительной серии).

202 Приложение В. ^-модули, (g, К)-модули
В.10.4. Множества (неодноэлементные) простых унитарных
(g, /С)-модулей, имеющих совпадающие инфинитезимальные
характеры
(Мы ограничиваемся унитарными модулями только для
простоты.)
Выберем целое /= 1, ..., k и такие целые П/+ь ..., я*,
что 2 ^ fi/+i ^ ... ^ я*. Для каждого / = 0, ..., / положим
ог/ = (0 ... 0,1 ... 1,л/+ь ..., л*) с / нулями и (/ —/)
единицами. Если I = 0, то Яа/,/ простой; если / > 0, то он
приводим, причем
, ^/-,.*-« ПРИ /:> !>
(Я0
'°Vl~ 1/7
_! ПрИ /=1.
Все эти простые модули имеют совпадающие
инфинитезимальные характеры %%. Обратно, таким образом получаются
все требуемые множества.
Положим Е0(Х) = Е^0, El(X) = Elil при / = 1, ..., /.
Тогда имеем следующие точные последовательности:
0 -> Я0 (Я) -> Bffli 1 -> Е, (Я) -> 0,
| (В.6)
0^ £,_,(*)->£«,,.,-*£,(*)-*<)
откуда композицией получаем длинные точные
последовательности
Ъ-+Ег(Х)-»Еам,1+х-+ ... ->Я*т,т->Ят(Л)->0 (B.7)
для 1 ^ / < т ^ /.
Среди модулей Ei {%) подфакторами одного и того же
модуля из основной серии являются пары (Et(А,), Я/+1(А,)).
По двойственности получаем также последовательности
с обращенными стрелками.
Тривиальный инфинитезимальный характер имеют модули
*ч 1,о» ^о. 1,... 1, 1» • • "> ^о о, 1, fe-p ^o...o, fe* "ce простые
(д, /() -модули, имеющие тривиальный инфинитезимальный
характер, являются унитарными.
В.10.5. Основная серия для п = 2k
Здесь а имеет вид: а = (пи ..., rik-\) с 0^/ii^ ...
... ^ rik-u причем мы положим nk = +°°- Группа Вейля W
имеет% единственный нетривиальный элемент, который
отображает а в себя, а v в —v. Изоморфизм Хариш-Чандры
отображает Z (gc) на множество таких полиномов на С*,
которые инвариантны относительно следующих преобразований;

Приложение В. ^-модули, (д, К)-модули
203
перестановка координат, замена некоторого числа координат
на противоположные.
При этом £а,v|к = 0D™1 ky где |mi|< nx < m2 <
^дг2^ ... ^rik-i^mk.
Инфинитезимальный характер модуля Еа, v равен %ь, где
*=(rti*+4"' "2+T' •'•» Л*-1 + *"" Т' v)-
Разложение модуля E0tV. Модуль £0, v - простой тогда и
ТОЛЬКО ТОГДа, КОГДа VGy+Z ИЛИ
(1 3 3 \ '"
в противном случае он имеет два или три простых подфак-
тора, которые мы обозначим через EQt v, £"£ v, если их два, и
Еа, v» Ео, v» Ea, v» ^СЛИ ИХ ТрИ.
Эти модули имеют следующие ограничения на К:
a) если \ = ±(-£> -j» •••» л1~~ у) (мы предполагаем
aii>0), то наборы ть ..., т*, входящие в разложение
Еа, v и E$t v, имеют соответственно вид:
I Щ I ^ I V I ~~ "К ^ п\ ^ Ш2 ^ ^2 ^ • • • Ц; Я*-1 ^ mfc ИЛИ
I v | + -g" < i m! < azj < m2 < л2 < ... <nk^{ < mk.
b) Если v = ± («/ + / + Yf ••••Я/+1 + / — у)-/ rAe
/= 1, ..., ft—1, то наборы mi, ..., tnk для разложения
модулей Ea, vhEJv имеют вид; | т{ \ ^.п\ ^т2 <!... ^ n^mj+{ ^
<| v| — / — -2-^л/+1< • •• <я^или |mt КАг!<т2^ ... <П/
<I v | — / + y <m/4i ^п}+{< ... <mk соответственно. При
этом Еа, v является подмодулем в Еа, v, если v < 0, и фактор-
модулем, если v > 0. Положим
( EGt v, если этот модуль простой,
I Ea, v в противном случае.
Единственными изоморфизмами между этими простыми
модулями являются: Еа, v ~ E0t -v> Ea, v ~ Ea, -v, где а = 0, +,
—, X; ££v~£2'.v, где v = ±(ai/ + / + Y' •••»'*/+i + /—
— у)' ^Р = «Р ДЛЯ Р=5^/, AZy — I -V | — / + у, v'=*n/ + /—-у.

£04 Приложение В. ^-модули, (q, К)~модули
В.10.6. Список простых (fl, К)-модулей при п = 2k
Е<з.v— Ео.v» Rev>0 или Rev = 0, lmv>0;
к» с0 — * * _i_ 3 л_ *
• ••» **-i + * — -у. tik^ + k — -~, nk_{ + k +у, ...;
£* v, v = j, ..., пх — y при «! > 0.
Конечномерными модулями являются Е% v при v^/i*_1 +
+ Л —-j-j этот модуль тривиален при <х = (0, ..., 0), v =
Унитарные модули
fd,v = £0|V при чисто мнимом v (основная унитарная
серия);
/^ v = EG, v При 0 = Alt е= ... 2= fl.j < П;, / = 1, . . ., k, V Q
1 1 Г
e 0, / —у (дополнительная серия);
F j =£° j при тех же условиях (предельные точки
*. /-т о, /-т
дополнительной серии);
£*v при v = -j, ..•, лгх — у, П!>0 (дискретная серия).
В.10,7. Множества (неодноэлементные) простых унитарных
(в» К)«модулей, имеющих совпадающие инфинитезимальные
характеры
(Мы ограничиваемся унитарными модулями только для
простоты.)
Возьмем целое / «= 1, ..., k и такие целые nj, ..., nk-u
что 2 <; щ ^ ... ^ AZ/-1. Для каждого / = 0, ...,/— 1
положим О/ из (0 ... 01 ... 1, AZ/, ..., Alfc_i) С / НУЛЯМИ И
(/ — /—1) единицами. Модуль Е i никогда не бывает
Простым и имеет следующие подфакторы: Е \, Е~ i, Ё~ \
"0* 2 0» 2 0' 2
t, - ., если / "> 0
если /«0, и Й° 1, Ех 1 ,если / > 0. При / > 0 имеем:
2?Х , ~£° ё !.
Все эти простые модули имеют один и тот же инфините-
зимальный характер %%\ обратно, каждое (неодноэлементное)
подмножество в (3, образованное модулями с одним и тем же

Приложение В. ^-модули, (Q, К)-модули
205
инфинитезимальным характером, есть либо одно из
вышеперечисленных множеств, либо пара (i?£ v» £a, v)-
Положим £0±(Я) = £± 1, £0(Я)=-£° 1,£/(Я) = £° i
, /—1. При этом имеют место точные после-
для / =
1
довательности:
О-^Ео^А)-
0-+Е0(Х)-
Е i /Ет 1 ->Е0(Я)->0,
Go, -тг/ а0, -к-
0->£/_2(А)^Е
*/-!• '~Т
Е,(Л)->0,
(В.8)
откуда, применяя композицию, получаем длинные точные
последовательности
0-►Яо* (*)-►£ 1 /Я 1 ■
ао« Т' ао' Т
£ 1
0->£/(*)-*£
иж
з ■
1+Т
anv m+T
->£/(Я)-
(Я)->0.
-о,
(В.9)
Среди модулей ^(Я) и £/(Я) подфакторами одного и
того же представления основной серии являются тройки
£о~(Я), Ео (Я), £о(Я) и пары £/(Я), £/+1(Я). По
двойственности получаем также точные последовательности с
обращенными стрелками.
Схема пространства G для SO0(4,1).
if
3
к-
Рис. 5.
5
If
Тривиальный инфинитезимальный характер имеют модули
? 1, Е~
■4'
-.•••?
о, i...i.v
...o.ft-T
Все простые (g, /С) -модули, имеющие тривиальный
инфинитезимальный характер, являются унитарными.

206
Приложение В. ^-модули, (д, К)-модули
§ В.И. Простые (й, К)-модули для SU (2,1)
(См. [70], [74] и особенно [77] и [78].)
В.11.1. Обозначения
Q = SU(2, 1) — множество таких матриц geSL(3,С),
что gjg* = 7, где / = I I,
(U 0 \
/С — множество матриц вида I п , . ..-i J, где
t/ef/(2);
/v2 0 0\
М — множество матриц вида mv — I 0 v 0 I, где |с|=1;
\ 0 0 v'
/21 0
& = т; базисом является матрица 10—/
\0 0
/0 0 0^
а порождена матрицей 10 0 1
\0 i О,
п — множество матриц вида
(О а + lb — а — /6
— a + ib ic
— a + ib ic — /с
где а, 6, с — вещественные; при этом N\t о, о, N0, i, о и No, о. i
имеют веса соответственно 1, 1 и 2; следовательно, р = 2;
gc = sl(3, С);
(2х? 0 0
О — х'
О —хГ
х', х" s С. Алгебра $с переходит в обычную подалгебру Кар-
тана (образованную обычными диагональными матрицами),
если применить сопряжение с помощью элемента
10 0ч
О 2~"т 2™ I £= SL (3, С). Отсюда, следует, что в Wq
.0 — 2~т 2™ '
есть ровно 5 нетривиальных элементов, которые переводят
пару (х', х") (отождествляемую с Нх\х») соответственно в
■ а — ib \
-ic I.
— ic /

Приложение В. ^-модули, (д, К)-модули
207
(*', - х"), ~ (*" - *', хГ + Зх'), 1 (х- - *', - х" - ЗлгО,
^ (_ *' — *", з*' — *")> ~ (— х'—х", х"—Зх'). Отождествим *ГС
с С2, сопоставив каждому А, = (А/Д")е С2 линейную форму
Нх\ х« ь-> Х'х' + A/V. Положительными корнями пары
(9с &с) Т0ГЛа будут (0,2) (—3, 1), (3, 1). При этом 5
нетривиальных элементов из Wc переводят (А/, К") соответственно
в (ЯЛ - Я"), ~ (ЗГ - А'> А' + А") ■ у(ЗЯ" "" Я'' "" Я' ~" Я"> '
у (- Л' - ЗЛ", Г - Л/), ~ (- Л' - 3Г, Я/ - V).
Группа W имеет единственный нетривиальный элемент,
который на М действует ^тривиально, а на А — по формуле
Представления групп М и К
Отождествим А? с х/ъ Z; сопоставляя каждому ae-rZ
представление mt,b->a3<J. С другой стороны, рассматривая
U(2) как образ группы £/(l)XSU(2) при отображении
(k,U)t—i>kU, легко получаем, что R отождествляется с
множеством пар (пь п2) е -g- Z X у Z, гДе п\ — п2^ N, что мы
будем записывать через п2 <С ль
Через D*1 Пг обозначим представление, соответствующее
паре (ль Яг). Его доминантный вес дается формулой
х 0 0 \
0 у 0 I н-> (2^! + п2) х + (лг! + 2л2) #. Контрагредиент-
0 0 -х — у)
ным к D*1' "2 будет модуль D~"2' "П|; ограничение модуля
Dnu П2 на М имеет вид я2 © п2 + 1 © ... 0 пх.
Тензорные произведения
Z)V20DV2 =
V*2
D l 2 2 1 , если п, — az2 > я, — я';
^Г7 D 2 l * 2 , если пх — я2 < щ — я2.
fe=0
В.11.2. Основная серия
Имеем £а. vbc= ©D*1"2, где п2 < ст < п{\ EQ% v = E-0, -v.
Нетривиальный элемент из W переводит (a, v) в (а, —v).
Инфинитезимальный характер для Еа, v равен хь гДе
К — (За, v), так как ш = 3 а (см. § В. 6, (vii)).

208
Приложение В. ^-модули, (g, К)-модули
Разложение для E0tV
Модуль £0, v простой тогда и только тогда, когда а = 0,
vg2Z*, или а=И=0, ve3(T + 2Z. Мы будем писать все
разложения в предположении, что v ^ 0.
Первый случай.
1 / Во, v * 1
: —N*, v==3a. Тогда Ea, v —I 2 I (здесь и
\ 0 h a, v /
далее
мы будем рассматривать Е^ v и т. д. и как модули, и как
представления; * обозначает ненулевые операторы).
Имеем Ea, V\K: ai2< — 2(T<a<m
-a, v I*•
2(т+ 1</12<ст <m.
l
Второй случай. ae-jN*, v = — Зет. Тогда
/ £a, v * Л
***"Ч 0 £<> J'
fii. v |*: "2 <C a < — 2a < щ,
^ftvlx* «2<a<«i< —2a—1.
о
Третий случай. ae-y№, v = 0. Тогда
£J <j, v =::: «-* a, v viy ^ a, v>
Ba, v |/(: n2 < (T < — j О < All,
El,v\K: n2<o<ni<— yor— 1.
о
Четвертый случай: asjN', v = 0. Тогда
== £ a, v Ш *■* a, v>
• a + 1< яг < о < щ,
E2
v|JC
£ a, v — £ a, v Ш *■* a, v>
2
1
?a v|jc: "2 < — "J" a < a < nu
Пятый случай» as-jZ, ve 31 or | +
Тогда
Ea, V =
'<y, v *
0 £a%
0
0
0
0
0
:<r, v
0
r,02
£g. v J

Приложение В. ц-модули, (д, К)-модули
209
£a!v|K: n2<-±(v + o)<£±(v-o)<z:nu
Elo.v\K- -4(v + of)+1<"2<a<-l(v-(r)<rtl,
Eo,v\K: «2<-j(v + (T)<<T<n1<i-(v-(T)-l>
E°o.v\k' - y(v + or) - 1< n2 < a < n, < i(v - a) - 1.
Шестой случай, ae= 1 + i-N, veN'fl(3a-2N)*. Тогда
£<y. v —
fiftvU: /te<-4-(v + a)<e<«,,
F11
^a, v
0
0
0
F22
0
*
*
E12
Eo. vlK:
£*vl«: y(v-ar)+l«/i2<<r«rti,
- ^ (v + °) + * < "2 < T(v ~ a) "^ CT < nu
Седьмой случай. сг<
Тогда
1 — 4-N. ve=N'n(-3a-2N*).
Ea. v =
e«v о
0 Ea, v *
.о о e°;,
fiSM*: tt2<a<n, <- -i-(v + cr)-l,
,£a! v |K: "2 < о < l(v - a) < щ,
£5!vL: n2<a<-i(v + aXAi,<l(v-a)-l.
В.П.З. Семейства модулей основной серии,
имеющих одинаковые инфинитезимальные характеры;
изоморфные подфакторы
Напомним, что элементы из $*с обозначаются (А/,Я,"), где
А/Д"еС. Положим
<Г2 = {Я е= ^ | ЗЯ" - Я' е= 2Z},
#? = {Я г ^ IЗЯ" + Я' <= 2Z|,

210
Приложение В. q-модули, (g, К)-модули
^ = {Яе=^|Я', 1'eR, 0<Я"<Я'},
«Р —{ле=У|*'«зМ, V'eJN, Я'-Я"е=|м}.
Л = {Яб=«"|Я'€=3 + ГМ, ГеГ, Я'- Я" е= 2ЛГ},
Л, = {Яе=#'|А/ = Я"е=1М*},
Л2 = {Я <= #' | Я' е= 2N*. Я" = 0}.
В приведенном рисунке сегмент, равный одной восьмой
плоскости, изображает &, отрезки с наклоном + оо, —,
О О
изображают соответственно V(]&\9 *8[\<$% ^П^з; кружки
^***^
^^
^"""""^-Л
^^7
и*,
^v
и-
К
2. Ъ
Рис. 6.
5 X'
изображают <&'— (Аг \JA2\JA)\ крестики при Л/ = V
изображают А\\ крестики при %" — 0 изображают Л2; остальные
крестики изображают Л.
При этом <g?/ = <g?n^in^2 = «7n^in^3=<??n^2n^3 =
Множество <& является сечением для действия группы Wc
в R2 (и даже камерой Вейля). Элемент Ag^ является ин-
финитезимальным характером для хотя бы одного модуля Еа, v
из основной серии тогда и только тогда, когда Яе^О^гШ^з.
(Qfatt fat fa' л. fa" \
—6—; —■£—);
если \G02» то можно взять (or, v) = I g , —-z J;
Qfatt fat fat fa ft ч
6 • 2 J'
Если два модуля из основной серии имеют одинаковые ин-
финитезимальные характеры, то они оба простые или оба
приводимые,

Приложение В. ^-модули, (д, К)-модула 211
Предположим, что 1g^ является инфинитезимальным
характером для двух модулей основной серии, не
сопряженных относительно малой группы Вейля W. Тогда Я' и Я"
вещественны и можно предполагать, что Я е 9. Элементы из ^,
имеющие это свойство, — это в точности элементы из W\
причем они являются инфинитезимальными характерами трех
модулей основной серии, попарно не сопряженных
относительно W.
Пусть ^е?; — (AIM1IM2). Тогда модули основной
серии, для которых Я является инфинитезимальным
характером, простые, причем среди них есть ровно три
неизоморфных, которые мы обозначил! через £° (Я) = Е у > Ё* (Я) =
= £зу'-у v+r > Е2 (X) = Е-w-v у-v •
6 ' 2 6 ' 2
Пусть теперь ЯеЛи^иЛг. Тогда модули основной
серии, для которых Я является инфинитезимальным
характером, приводимые. Более точно:
(i) Когда Я пробегает Аи то Е у и Е -гу пробе*
Т* х "~Т"~' °
гают соответственно модули из первого и из третьего случая
в В. 11.2 и имеют один и тот же инфинитезимальный характер
%я. Кроме того, их подфакторы с верхним индексом 1
изоморфны. Положим £,°(Я) = £,° 2 , Е1{Х) = Е{_2 = Е\. ,
-Tv. о — v.o Tv
Я2(Я) = Я\, .
~к
(И) Когда Я пробегает Л2, то £-у _у_ и Яу_ пробе-
6 ' 2 3 ' °
гают соответственно модули из второго и четвертого случаев
и имеют одинаковые инфинитезимальные характеры %%. Кроме
того, их подфакторы с верхним индексом 1 изоморфны.
Положим £°(Я) = Я^, х„ ЕЧЬ)=£*_к. Х,«Я1Х, ,E*(X)=E\, .
— Т —• Т "Г* ° "Г- °
(Ш) Когда Я пробегает Л, то модули
£ -y+av у+у , Еу_ , Е -у-зу у-у
6 ' 2 3 6 ' 2
пробегают модули соответственно пятого, шестого и седьмого
случаев и имеют одинаковые инфинитезимальные характеры
%у Кроме того, их подфакторы с одним и тем же верхним
индексом изоморфны. Мы получаем, таким образом, 6
простых модулей, которые обозначим через Я00(Я), Я01 (Я),
£02(Я), Ell{X)f £12(Я), £22(Я). Инфинитезимальный характер
тривиален при Я = (3,1).
Мы получили также все семейства модулей Е0> v, имеющих
одинаковый инфинитезимальный характер, и все изоморфизмы

212
Приложение В. %-модули, (д, К)-модули
между простыми модулями. Для Rev ^ 0 положим
( Еа, v. если этот модуль простой,
Е2а v в первом случае п. В 11.2.,
£°_ v во втором случае,
Е02^ в пятом случае,
Е1* в шестом случае,
£°JV в седьмом случае.
Fo,v =
В. 11.4. Список простых (в, К)-модулей
F0.v = Ea,v, где ae-i-Z*, Rev > 0, v£3a + 2Z,
или Rev = 0, lmv>0,
или as|-(2Z+l), v = 0,
или ст = 0, Rev>0, v<£2N*,
или Rev = 0, Imv^O.
/7a.o==^.v = ^2(3(T, 3a), где ae-i-N*. v = 3<r, т. е. E2(X),
где ^е4
Fa^ = ^,v = E°(-6a,0), где a
E°(X), где ЯеЛ2;
Fa,v=Ef,v = E<>2(±-(3v-3o),±(3o + v)), где <r®iZ,
ve=3|o-| + 2N*, т. е. £02(Л), где ЯеЛ;
^.v = ^2v = ^12(3^ v), где trel+JN, veN*П(3o-2N'),
т. e. El2(X), где ЯеЛ;
^.v^^v^^01 (4(3v~3a), {(-3a-v))lWeae-l-
J* П (-3ff-2N*), т. e. E0l{X), где Ле=Л.
^o=^o(-4a'-4a)-]
■Т1>Г. v.
s — 3a, т. e.
-TIN. V
^o-s'O-l".-h).
и £' (Л), где К <= Л,;
£'i0 = E43a, 0),
ГДе ffG-iN',T. e. fi°(M
,„-£«(За,0),}гдеаеТ^т.е.^(Х)н^), где
£2,
Я s Л2;
£00(A, £и(Я), E22{%), гдвЛЕЛ

Приложение В. ^-модули, {$, К)-модули
213
Модулями конечной размерности являются EfV9
тривиальный модуль — £°22 = Я02 (3, 1),
Унитарные модули
F<5tV = EG,v, aejZ*, Rev=0, lmv>0, или a€==~(2Z+l),
v = 0, или a = 0, Rev = 0, Imv^O (основная серия);
FGtV = Ec,v, asj(2Z+l), ve]0, 1[, или a=0, ve=]0,2[
(дополнительная серия);
F{ = £2 = £2(1, 1);
F l =£°! -B°(2f 6);
- Г l -T l
^0,2 (тривиальный модуль);
Fa> 1 = ^21=Я12(3<т, 1), где aGl+yN*;
Pa. i=Eo)i=E°l (т(3 -3a)t ±(-3a-l)), гдеае-l -|-N*;
£°(Л) и £!(Л), где KsAx;
Е1(Х) и Я2 (Л), где ЯеЛ2;
Я00(Л), £"(*). £22(Я), где Лее Л (дискретная серия).
Модули, контрагредиентные к простым модулям
Для Я е Л U Л! U А2 положим *К=±(К' + ЗЛ", Л' - О;
отображение h*->f% инволютивно и отображает А на Л, а Л1
на Лг.
Имеем £~v~£.av, Я^Г-Я'О)* £2(Л)~~£°(^)>
Еп(ХГ~Еп(*1), Е^&Г-Е02^), £%Г~£22Сл),
£°ЧлГ~£12(<?0-
В.11.5. Семейства (не сводящиеся к одному элементу)
простых (а, К)-модулей, имеющих одинаковые
инфинитезимальные характеры
Эти семейства — следующие: £°(Х), El(%), E2(k) для
Хе=У' —(Л U Л! иЛ2); Е°(Х), £'(М> ЕЦК) для еЛ^Ла;
£00(Л), £01(А), £02(Ь), £»(Я,), £12(Я), Е22(К) для ХеЛ. При
этом имеются следующие точные последовательности:
(i) для ХеЛ1
0-*Е1(Х)-+*-+Е2(Х)->0\ (В.10)
(ii) для А,<=Л2

214
Приложение В. Q-модули, (д, К)-модули
(Ш) для ^еЛ
О ->- £01 (X) -*- * -v £02 (Я) -»- О,
0->Е12(Х)->*~»Е02(Х)-+0
0-*Еи(Х)->*-*Е12(Х)->0,
0->En(l)->*->E0i(l)->0,
0-+Е22(Х)->*->Е12Щ->0,
О -* £°° (Я) -v * ->- Я01 (Я) ->- О.
(В.12)
По двойственности получаем также точные
последовательности с обращенными стрелками.
3 '
-i
Схема пространства G
-#
У~
■#-
-#
—Ф
-Ф-
Рис. 7.
Кружки изображают, квадратично интегрируемые
унитарные представления; крестики — другие унитарные
представления, Не вошедшие в основную или дополнительную серии.

Приложение С.
гомологии и когомологии
АССОЦИАТИВНЫХ АЛГЕБР
§ С.1. Общие сведения
Цель этого приложения — показать (весьма коротко), что
теории относительные гомологии и когомологии дискретных
групп и алгебр Ли являются частными случаями одной и той
же теории, связанной с ассоциативными алгебрами.
Пусть даны унитарное1) коммутативное кольцо /С,
унитарная /(-алгебра Л и ее подалгебра В, содержащая 1. Будем
рассматривать левые Л-модули (и называть их просто Л-мо-
дулями), правые Л-модули и Л-бимодули, которые все будут
предполагаться унитарными. Будем писать Нот и ® вместо
Нот/с и ®/с- Если Е и F — два /(-модуля, то обозначим через
Homrt(£, F) множество /г-линейных над К отображений из Еп
в F. Напомним, что если Е и F — соответственно правый и
левый Л-модули, то через E®AF обозначается /(-модуль,
равный фактору пространства Е ® F по подмодулю,
порожденному элементами вида еа® f — е® а/. Образ элемента
е ® f в Е®а F будем обозначать через е ®А f или более просто
е®}\ например, Л ®в ... ®вА (с п сомножителями)
является фактором модуля А ® ... ® А по /(-подмодулю,
порожденному элементами вида а{® ... ® atb ® ai+x ® ... ® ап —
- а ® ... ® at ® bai+, ® ... ®ап.
§ С.2. Функторы Ext" и Тогя
(относительно подалгебры) для Д-модулей
Понятия (правых или левых) Л-модулей, инъективных
или проективных относительно подалгебры В, а также
комплексов, сильных резольвент и т. д. определяются так же, как
в гл. II и III.
Определение С.1. Для двух левых Л-модулей Е и F
обозначим через Ext^ B(E, F) когомологии комплекса
0-^Нотл(£, /^-^Ногщ^, Я)-*..,, где 0-^F-^F0-^
->Л->... — какая-нибудь сильная относительно инъектив-
ная резольвента для F. Для правого Л-модуля Е и левого
х) Термин унитарный — в применении к кольцу или алгебре здесь
означает «содержащий единицу», в применении к модулю он означает, что
единица кольца действует тождественным преобразованием^

216 Приложение С. Гомологии и когомологии ассоциативных алгебр
Л-модуля F через Torf B (E, F) обозначим гомологии
комплекса ... -+ Е ®А F{^E ®A F0^0, где ... -+Fi-+Fo-+F-+
->0— какая-нибудь сильная относительно проективная
резольвента для F. Когда В = К, будем писать Ext^ и Тог£#
Лемма С.1. Для каждого п^О А-модуль А®в ... ®вА
(с п+ 1 сомножителями), снабженный действием а- (а0® ...
... ® ап) = аа0 ® ... ® ап, является относительно
проективным.
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
U -
i\s
Ак&в • • • ®вЛ р> г >
где U и V —два Л-модуля, а и р —два Л-морфизма, a s —
такой В-морфизм, что a°s = idv. Определим у: А®в...
... ®BA-*U по формуле у(а0® ... ® ал)= a0-s-p(l ®
® ai ® ... ® ап).
Замечание С.1. Каждый свободный Л-модуль Е
относительно проективен, и даже проективен, в том смысле, что
существование Л-морфизма у можно доказать без
предположения существования сечения s, а именно: выберем базис
(^).s/ в Л-модуле Е, а затем такие элементы щ е U> что
а (щ) — (J (в/); наконец, определим -у по формуле Y Г Z в^ 1 =»,
Лемма С.2. Для каждого Л-модуля Е и каждого /г^О1
Л-жо5уль Еп = А®в ... ®5 Л ®я В, снабженный действием
а-(а0® ... ®a„®e)=aa0® ... ®a«®e, (C.l)
относительно проективен.
Доказывается точно так же; уточним, что для определен
ния модуля Еп нужно снабдить Л ®в ... ®вА структурой
правого В-модуля по формуле (а0® ... ® an)-b = a0® ..
... ® а„6.
Лемма С.З. Пусть снова Е — некоторый А-модуль w/jeN
Обозначим через Еп = Ношв(А®в ... ®вАу Е) множестве
таких элементов f из Нот^+ЧЛ, В), что /(6а0, аи ..., а„)=~
= Ь • f(a0, ..., ап), /(а0, ..., аьЬ, аш, ..., an) = f(a0, ..., aif
bai+l, ..., а„).
Снабдим Еп структурой А-модуля по формуле
(а-/)(а0, ..., an) = f(ao, ..., a„-b апа). (С.2)
Определенный так А-модуль относительно инъективен.

Приложение С. Гомологии и когомологии ассоциативных алгебр 217
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
Еп
и определим у по формуле y(v)(a0y ..., ап) = (P-s-a„-u)X
X(a0, ..., Ял-ь 1).
Предложение С.1. Для каждого А-модуля Е
последовательность
... ^flj-^Eo-^Я-^О. (С.З)
где г) (а0 ® е) = е0е, d„ (а0 ® • • • ® ая+1 ® е) — Z (— 1)' ао ® • • •
... ® ад+i® ... ®аЛ+1®е + (— l)rt+1a0® ... ®art®art+1e,
является сильной относительно проективной резольвентой для
Е, допускающей стягивающую гомотопию, образованную
следующими В-морфизмами sn: sn(a0® ... ®art_i®e) =
= 1 ® а0 ® ... ® a„-i ® е.
Доказательство очевидно.
Предложение С.2. Для каждого А-модуля Е
последовательность
0-v£ —► £0 —> El —> ..-, (C.4)
аде e (e) (a0) = a0e, (d"/) («о» • • •» e«+i) = ao • f (#i> • • • > fl«+i) +
/г
+ X) (—-l)*+1f (^o> •••» aiai+\> •••> ^n+i)> является сильной от-
носительно инъективной резольвентой для Е, допускающей
стягивающую гомотопию, образованную следующими
В-морфизмами sn:
(snf){a0, ..., an_l) = (—l)nf(a0t ..., a„_b 1).
Доказательство очевидно.
Вычисление Ext*A B(£, F)
Обозначим через Сп(АуВу Нот(E,F) множество л-линей«
ных отображений из Ап в Hom(£, F), удовлетворяющих
следующим условиям:
Ф(Ьаи а2, ..., ап{е) = Ь • Ф(а1э ..•, ая)(е),
Ф (аь ..., а,6, ai+lf ..., ап) (е) — Ф (аи ..., ah Ьаш, ...,аа) (е),
Ф(а19 ..., алМ, апЬ)(е) = Ф{аи ♦ .., аяМ, ап)(Ье).

218 Приложение С. Гомологии и когомологии ассоциативных алгебр
- Имеет место изоморфизм Нотл(£, Р)Эф ч-* Фе
е С" (Л, В, Нот (В,/?)); ф(ах ап) (е)= Ф(е) (аи .,., ая>1),
отсюда следует
Предложение С.З. ЕхГд в (В, F) являются когомологиями
комплексаО->С°(Ау В, Нот (В, F))-^> Cl(Ay В,Нот(В, F)-^>
—>..-, где (dnO)(au ..., art+1)(e) = arO(a2, ..., an+1)(e) +
n
+ Е(~1)'Ф(«1, ..., ад+1,..„ a„+1)(e)44-l)rt+1<I>(ai, ...
... an)(an+le).
В частности, при п == О
С°(Л, В, Нот (В, F)) = HomB(B, В),
4°Ф(а)(е)=а-Ф(е) —Ф(ае),
Ext°BB(B, F) = HomA(E, F).
Следствие С.1. Ext*A B(E, F) являются также когомоло*
еиями комплекса 0->Ногпл(В0, F)-+HomA(Ei, В)->...,
где ... -> Bi -> Во ->- В -> О — некоторая сильная относительно
проективная резольвента для Е.
§ С.З. Гомологии и когомологии бимодулей
Бимодули Е над Л можно отождествить с левыми моду*
лями над алгеброй- Ае = Л ® Л°р, где Лор — алгебра,
противоположная к Л (т. е. совпадающая с Л как множество, но с
законом умножения a°b=ba). Мы будем записывать ее дей*
ствие в виде (а®а')-е, или а-е-а' для a, a'^A, eefi.
В частности, Л —бимодуль над собой. Если Е и F — два
Л-модуля, то Horn (В, В) является Л-бимодулем для следую*
щего действия: (а-и-а')1(e) = а-и(а'-е).
Определение С.2. Для каждого Л-бимодуля Е положим
#„04, В, B) = Torf' ве(А, В), Я* (Л, В, E) = ExfAetBe(A, В).
Предложение С.4. Для каждого п^О положим Un =*
= Л®б ... ®вА (с п + 2 сомножителями) и снабдим, Un
следующей структурой А-бимодуля: а-(а0® ... ®ап+\)-а' =*
а=аа0® ... ^a/i+ia7. Тогда £/л является Ае-модулем>
проективным относительно Ве. Далее, последовательность
... Д£/Л(/0Дл-^0, (C.5J
еде Ti(a0®a1)==aoa1, d^(a0® ... ®ал+2)= Z'(— 0' ' ао® ;•«
♦ .. ®<зд+1® ... ®an+2,

Приложение С. Гомологии и когомологии ассоциативных алгебр 219
является сильной относительно проективной резольвентой для
Ае-модуля А со следующей стягивающей гомотопией:
sn(cio® ... ®ап)=1®а0® ... ®ап.
Доказательство очевидно.
Следствие С.2. Н*(А,В,Е) является когомологией
комплекса
0-*С°(Л, В, Е)-^С1(А, В, Е)-^> ..., (C.6)
где Сп(А,В,Е) является множеством таких п-линейных
отображений из Ап в Et что
Ф(Ьаи а2, ..., an-b')— Ь-Ф{аи ..., ап)-Ь\
Ф {аи • <., а/6, аи-ь ..., ап)=Ф (аь ..., ait bai+u ..., ая)
игде(йпФ){аи ..., а/г+1) = а1Ф(а2, ...,ая+1+ £ (—l)'0(ab .. .
..., ад+1, ..., ад.!) + (—1)я+1-Ф(а1э ..., ап) • ая+1.
В частности, С°(Л, 5, В) = {в е В| бе = еб для любого
6 s В}, (d°e)(a)=a-e — е-а, Н°{А,В>Е) = {е<=Е\а-е =
= е-а для любого а е Л}.
Следствие С.З. Для любых А-модулей Е и F имеем
Ext% в(Е, В) = #Л(Л, В, Нот (В, В)), где Нот (В, F) снабжен
так жеу как в начале параграфа, структурой бимодуля.
Аналогично, Тотп'в{Е, F) = Hn(A, В, В®/7).
Случай аугментированных алгебр
Определение С.З. Будем говорить, что алгебра А аугмен-
тирована, если задана некоторая аугментация алгебры Л,
т. е. морфизм со:чЛ->-/(, являющийся морфизмом /(-алгебр1).
Таким образом, К снабжается структурой Л-бимодуля:
a-k-a' = ы(аа') -k. Обозначим через К.% (или через Kt)
соответствующий левый (правый) Л-модуль. Для каждого
левого Л-модуля В положим #£ (Л, В, В) = Ext£, в (К®, В),
#2 (Л, В, В) = Tor^B(/Ci В).
Предложение С.5. Ялшш: #£(Л, В, Е)^Нп(А> В, £«>),
где В©обозначает В со структурой бимодуля: а-е-а' = со(а') •
•а-е.
Доказательство сразу вытекает из следствия С.З.
Аналогичный результат верен и для гомологии.
1} Иногда говорят также «пополненная алгебра» и «пополняющий
гомоморфизм».

220 Приложение С. Гомологии и когомологии ассоциативных алгебр
§ С.4. Использование центров
Рассмотрим Л-бимодуль Е и элемент с из центра алгебры
А. Определим Л-эндоморфизм комплекса (С.5), равный 0 на
Л и ап на Un, где ап(а0® ... ® ап+\)= са0® а\® ...
... ®ап+\ — а0® ... ® ап® сап+\.
Определим далее гомотопию между (а,г) и 0,
образованную Л-морфизмами Sn следующего вида:
п-\
Sn(a0® ... ®aj= Yj (— l)l^o® • • • ®0*®c®a*+i® ... ®art.
Переходя к комплексу (С.6), получим: (а,пФ)(аи ..., an)=s
= с-Ф(а!, ..., ап)— Ф(аи ..., ая) • с, (SnO)(au ..., а^О —
п-\
Предложение С.6. Если эндоморфизм Т модуля £,
определенный по формуле Т-е = с-е — е • с, обратим, то
Нп(А, В,Е) = 0 для любого п ^ 0.
Действительно, (С.6) допускает тогда стягивающую
гомотопию (PoSn).
Следствие С.4. Пусть Е и F — два левых А-модуля, ас —
элемент из центра алгебры Л, действующий в Е и F
умножением на скаляры (т. е. на элементы из К), разность которых
обратима в /С. Тогда Exti в (Е, F) = 0 для всех п ^ 0.
§ С.5. Гомологии и когомологии индуцированных
и коиндуцированных модулей
Мы ограничиваемся здесь абсолютными гомологиями и ко-
гомологиями, т. е. рассматриваем Ехй и Тогл вместо Extl в
иТог^Л
Определение С.4. Пусть В — подалгебра в Л,
содержащая 1, и Е — левый В-модуль. Через 1п<1вЕ, или Ind£,
обозначим /(-модуль А®ВЕ, являющийся фактором модуля
А®Е по /(-подмодулю, порожденному элементами "вида
аЬ®е — a® be. Через CoindB£, или Coind£, обозначим
/(-модуль Нот5(Л,£), являющийся множеством таких
/ еНош(Л,£), что f(ba)= b-f(a). Снабдим Ind£ и CoindB
структурой Л-модулей по формулам: а'* (а ® е) = а'а ® е,
(a'-f)(a)=f(aa').
Будем рассматривать Ind и Coind как функторы из
категории В-модулей в категорию Л-модулей, сопоставляющие

Приложение С. Гомологии и когомологии ассоциативных алгебр 221
каждому В-морфизму и: E->F Л-морфизмы и'\ Ind£->IndF
и и"\ Coind В-> Coind В, определенные по формулам
и'(а®e)=a®u(e)t и"'(f) (а) = u(f(a)).
Лемма С.4. (i) Если Е — левый В-модуль, a F — левый
А-модуль, то
Нотл (Ind В, F) = Нотв (В, В), (C.7)
Нотл (В, Coind Е) = Нотв (В, E). (C.8)
(И) Если Е — левый В-модуль, a F — правый А-модульуто
F®AlndE ~ F®BE. (C.9)
Доказательство. (С.7).* Для ср <= Нотл (Ind В, F)
определим г|) е Нотв(Е, В), положив г|)(е) = ф(1 ® е).
(С.8). Для ф е Нотл(/7, Coind В) определим ф€
е Нот5 (В, В), положив tf> (/) = <р (/) (1).
(С.9). Отображение F®a lndE-+F®BE дается
формулой / ®А (а ®в е)*-> fa ®в е.
Лемма С.5. Пусть Е — левый В-модуль. Рассмотрим В-мо-
дули Еп = В® ... ® В® Е (с п+\ сомножителями В) и
Еп Ф Hom"+1 (В, Е) с действием, аналогичным действию из
(С.1) и (С2). Тогда А-модули lndEn и Coind En являются
соответственно относительно проективными и инъективными.
Доказательство. Для IndBrt рассмотрим диаграмму
X
4-
Ind Е„ —> Y
V
и определим t^v по формуле w(a®B(b0® ... ®Ьп®е)) =
= a-b0-s-v(\®B(\®bi® ... ®bn®e)).
Для Coind En рассмотрим диаграмму
X^Y
Coind En
и определим w по формуле w (у) (а) (60, ...> Мя
= (t/-s-&„-a-y)(l)(&o, ..., 6я-ь 1).
Лемма Сб. Рассмотрим сильные относительно
проективную и относительно инъективную резольвенты ... —+ Ех —V
—+ Во—*В->~0 и 0-^£—► В0—>ЕХ—*..., аналогичные

222 Приложение С. Гомологии и когомологии ассоциативных алгебр
резольвентам (С.З) и (СА), а затем последовательности
... A Ind^A Ind£o-^Ind£->0, (СЮ)
0->Coind£ —>Coind£° —^CoindE1 —> ..., (СП)
где символы ' и " имеют смысл, объясненный в начале
параграфа,
(i) Если А свободна как правый В-модуль, то (СЮ) —
сильная относительно проективная резольвента.
(ii) Если А свободна как левый В-модуль, то (СП) —
сильная относительно проективная резольвента.
Доказательство, (i) Пусть (е^)/е/— базис в правом
В-модуле А, т. е. для каждого а, а^А, существует
единственное разложение а = X) в/• rt (а), где п(а)£В.
Определим стягивающую гомотопию для (СЮ),положив 5п(а®вХ
Х(&о® ... ®6rt-.i®e)) = ^8i®B(l®r/(a)-&o® ... ®&„-i®
®е).
(ii) Для a =■ 2] г* (я)' е/ положим (s0/) (a) = £ г, (a) • / (е,) (1),
(вя/)(а)(»0. •••> i.i)-(-irSf(ei)(fto. «... С* ft»-iri(a)f 1)
i
при дг^ 1.
Собирая предыдущие результаты, получим
Предложение С.7. Пусть Е^ В-модуль, а F — A-модуль
(эти модули левые или правые в зависимости от случая).
(i) Если А свободна как правый В-модуль, то
Tor£(F, Ind£)~Tor* (FB, Я), Ext5(Ind£, F)~ExtnB(Et FB).
(ii) Если А свободна как левый В-модуль, то Ехй(Л
CoindE)^ Ехй(^в, Е) (через FB обозначен F как В-модуль).
§ Сб. Случай дискретных групп
Рассмотрим группу G и подгруппу Н. Положим /C=Z,
A = Z(G)y B — Z(H). Тогда Л-модули и Л-морфизмы
являются G-модулями и G-морфизмами, комплексы Л-модулей,
сильные относительно В, являются комплексами G-модулей,
сильными относительно Н. Следовательно, группы Ехй, в и
Tor„'В совпадают с теми, что были рассмотрены в 13.3 гл. Г.
Заметим также, что резольвента (С.З) совпадает с
резольвентой (12.2) из гл. I; в частности, при # = {1} она совпадает
с резольвентой, рассматривавшейся на протяжении всей гл. I:
Заметим также, что резольвента (С.З) совпадает с резоль*

Приложение С. Гомологии и когомологии ассоциативных алгебр 223
вентой (12.2) из гл. I, на которой действует автоморфизм а,
определенный по формуле
an(ego® ... ®в,я®е) = вяо®в,Л®... ®*g0...gn®go... gne.
Алгебра Л допускает естественную аугментацию (о(а) =
= 2 а (g), и, согласно предложению С.5,
g
Hn(G, Е) = НЖ Я), Hn{G, Е) = Н«(А, Е).
Различие между правыми и левыми Л-модулями здесь
исчезает благодаря антиавтоморфизму а»—»#, где a(g)=*
= a(g~l). Если Е и F — #ва Л-модуля, то таковыми же
являются E&F и Hom(£, F), благодаря копроизведению
С: А-* А® А, определенному по формуле С(а) = £а (g) • eg ®
8
Пусть Я — подгруппа в G и £ — некоторый Я-модуль.
Положим снова ^4 = Z (G), В = Z (Я). Модуль, обозначавшийся
в § С.4 через Coind £, отождествляется с модулем,
обозначавшимся в гл. I, § 5, через Ind£", посредством автоморфизма
/b-*.f. Легко проверяется, что Л свободна как левый или
правый В-модуль. Наконец, когда рассматриваются векторные
G-модули над телом &, то в действительности заменяют К на
АиЛ на k(G).
§ С.7. Случай алгебр Ли
Рассмотрим вещественную алгебру Ли g и ее подалгебру
Ли &. Положим К = R, Л = £/(д), В = U(f)). При этом Л-мо-
дули и Л-морфизмы являются g-модулями и д-морфизмами;
комплексы Л-а*одулей, сильные относительно В, являются
комплексами g-модулей, сильными относительно i.
Следовательно, группы Ext%B и Тог л'в совпадают с группами
Extg, $ и Torj» \ определенными в гл. II. Легко проверить
при этом, что в случае \ = О резольвента (2.5) гл. II для
тривиального g-модуля является подкомплексом резольвенты
(С.З) Л-модуля/Са» где со — каноническая аугментация на
[/(g). Следовательно, мы имеем также Я"(д, lj, Е) = Н^(А9 В,
Б), Я„(9, $, £) = Я*(Л, В, Б).
Совершенно так же, как в случае групп, Л допускает
антиавтоморфизм (называемый главным) и копроизведение.
Понятие продуцированного модуля, введенное в гл. II,
§ 7, совпадает с рассмотренным здесь. Наконец, Л свободна,
как левый и правый В-модуль (это следует из теоремы
Пуанкаре — Биркгофа — Витта).

Приложение D.
ВЕКТОРНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ
ПРОСТРАНСТВА, G-МОДУЛИ
§ D.I. Векторные топологические пространства
D.11. Общие сведения. Комплексы векторных
топологических пространств
Мы будем рассматривать исключительно векторные
топологические локально выпуклые пространства (ЛВП), вообще
говоря, отделимые (ЛВОП) над полем комплексных чисел.
Если Е— такое пространство, то через Q{E) обозначим
множество непрерывных полунорм на £. Для каждого q^Q(E)
через Eq обозначим банахово отделимое пополнение
пространства Е по полунорме q (т. е. нужно сначала перейти от
Е к его отделимому фактору £', а затем Е' пополнить), а
через ад — каноническое отображение из Е в Ед. Для q\ ^ qi
через ади ^обозначим каноническое отображение из Едг в EQl\
мы получим тогда проективную систему. Если Е полное, то
оно совпадает с проективным пределом этой системы, т. е.
E~limEq (см. [112], II. 5.4). Обратно, каждый
проективный предел полных (соответственно квазиполных) ЛВОП
является полным (соответственно квазиполным) (там же,
II. 5.3).
Каждое пространство (3?8Г), т. е. отделимый
проективный предел последовательности пространств Фреше, является
бочечным и борнологическим (там же, II. 7.2, II. 8.2).
Если Е и F — два пространства Фреше, то каждое
непрерывное линейное биективное отображение из Е на F является
бинепрерывным (теорема Банаха, там же, III. 2.1). Каждое
непрерывное линейное сюръективное отображение из Е на F
допускает непрерывное сечение (не обязательно линейное)
(теорема Михаэля, см. [5], И, предложение 7.1). Каждый
фактор пространства Фреше по замкнутому подпространству
является пространством Фреше (см. [44], I, предложение 6).
Через Е §> F будем обозначать тензорное проективное
пополненное произведение Е и F.
Комплексы, состоящие из ЛВОП
Определение D.I. Комплексом (коцепей), состоящим из
ЛВОП, называется последовательность
d° , d>
Е: 0->£°—># —>...,
где все Еп являются ЛВОП, a dn — такие линейные
непрерывные отображения, что dn+K° dn = 0. Снабдим Zn = Ker dn и

Приложение D. векторные топологические пространства 225
Вп = Im dn~l топологией, индуцированной с Еп, а затем Нп —
фактортопологией, которая является отделимой тогда и
только тогда, когда Вп замкнуто в Еп.
Аналогично, гл. I, § 1, будем говорить, что линейное
непрерывное инъективное отображение и: E-+F является
сильным, если оно допускает левое обратное непрерывное
линейное отображение, и что произвольное линейное непрерывное
отображением является сильным, если отображения Кеги-^Е
и £/Kera->F сильные. Отсюда легко следует, что Im и
замкнуто в F, что Кег и (соответственно Im и) допускает
топологическое дополнение в Е (соответственно в F) и,
наконец, что отображение /j/Kerw-^Imw бинепрерывно. С
другой стороны, непосредственно видно, что непрерывное
линейное сюръективное отображение является сильным тогда и
только тогда, когда оно допускает правое обратное
непрерывное линейное отображение. Будем говорить, что комплекс
типа Е* — сильный, если все dn сильные; комплекс является
сильным и точным, если и только если он допускает
стягивающую гомотопию, образованную непрерывными линейными
отображениями. Морфизмы комплексов всегда
предполагаются линейными непрерывными, и, как следствие, определяют
непрерывные линейные отображения на когомологиях. То же
относится к гомотопиям; в частности, два гомотопно
эквивалентных комплекса имеют топологически изоморфные кого-
мологии.
Лемма D.I. Пространства Нп, ассоциированные с
комплексом Е, отделимы в каждом из следующих случаев:
(i) комплекс является сильным;
(И) пространства Еп являются пространствами Фреше, а
пространства Нп имеют конечную размерность.
Доказательство, (i) проверяется непосредственно;
докажем (ii). Пусть X— подпространство в Zn, дополнительное
к Вп. Тогда X конечномерно и, следовательно, замкнуто.
Пространство Вп, снабженное топологией фактора пространства
Еп"\ является пространством Фреше. Естественное
отображение из Вп ® X в Zn является линейным, непрерывным и
биективным, следовательно, бинепрерывным, и Вп замкнуто
в Z".
Лемма D.2. Рассмотрим два комплекса из ЛВОП и два
таких морфизма этих комплексов
d° , dl
0~>£°—>Е1 —>...,
XL 8 Зак. 76

226 Приложение D. Векторные топологические пространства
что (ип о vn) гомотопно тождественному морфизму. Если
первый комплекс сильный, то второй также сильный.
Доказательство. Пусть (ап)—гомотопия между (unovn) и
/. Отображения оп: Fn->Fn~l линейные непрерывные, причем
ип о vn — I = б"-1 о ап + on+l ° 8". Обозначим через рп: Еп-+
->En/Ker dn, яп; Fn-+ Fn/Kev б" канонические отображения, а
через dn\ En/Kerdn-*En+l,bn:Fn/Ker8n-*Ftl+\ йп: En/Ker dn-+
->• Fn/Ker б" — такие отображения, что dn о рп = dn, Ьпопп =
= б", йп о рп = лп о ип. Согласно условию, существуют такие
линейные непрерывные отображения ап: Еп ->- Ker dn, bn:
En+l-+En/Kerdn, что an\^vdn = I, bnodn=I. Нам нужно
построить отображения ап и рп, имеющие аналогичные свойства
относительно Fn и б". Достаточно положить ап = ип oan°vn —
— б"-1 о б", ря = ип о Ьп о vn+l — лп о а'И-1.
Лемма D.3. Рассмотрим ЛВОП Е и сильный комплекс
F*: о->Я-*Я-> ...,
где Fn полные. Тогда комплекс
К*: 0->Е ®F°-^E ®Е{-^> ...,
где 6п = I ® dn, является сильным. Кроме того, Нп(К*)
топологически изоморфно Е®Нп (F*).
Проверка очевидна.
D.I.2. Пространства Нот (£, F)
Определение D.2. Для двух данных ЛВОП Е и F
обозначим через Нот(£, Р) ЛВОП, образованное линейными
непрерывными отображениями из Е в F, снабженное топологией
равномерной сходимости на компактах в Е.
Если Е бочечное, a F квазиполно, то Hom(£, F)
квазиполно, если Е борнологическое, a F полное (соответственно
квазиполное), то Hom(£, F) полное (соответственно
квазиполное) (см. [112]; III. 4.4). Каждое эквинепрерывное
подмножество в Нот (E,F) ограничено. Если Е — бочечное, то
каждое ограниченное подмножество в Hom(£, F) (и даже
каждое слабо ограниченное подмножество) является эквйне-
прерывным (там же, III. 4).
Лемма D.4. Положим Н = Horn (Е, F). Билинейное ото-
бражение Ф из Н X Е в F, определенное по формуле Ф (и, е) =
= и(е), непрерывно отдельно по каждому аргументу; кроме
того,
(i) если С — компактное подмножество в Е, то сужение Ф
на Я X С непрерывно;

Приложение D. Векторные топологические пространства 227
(и) если А — эквинепрерывное подмножество в Я, то
сужение Ф на Л X £ непрерывно.
Доказательство. Пусть* ш-*и и е{-+е — две произвольные
сходящиеся последовательности в Я и Е. В случае (i) имеем
Ui(ei) — u(e) = (ui — и) (ei) + u{ei — е)\ и в случае (и) имеем
ш (ei) —и(е)= щ {et — е) + (ш — и) (е).
Лемма D.5. Трилинейное отображение *Р из Нот(£,£)Х
X Я X Нот (F, F) в Я, определенное по формуле ^¥(и, у, о;) =
= w о и о и, непрерывно отдельно по каждому аргументу.
Кроме того, если А —- компактное подмножество в Нот(£, Е),
а В —- эквинепрерывное подмножество в Hom(F, F)t то
ограничение W на Л X Я X # непрерывно.
Доказательство. Если н/, vi, wi сходятся соответственно
к и, v, w в Л, Я, В, го (wivm— wvu)e = Wi(vi — v)uie-\-
+ aw (ш — u) e + (a>/ — w) uwe.
D.1.3. Пространства непрерывных или дифференцируемых
функций
Определение D.3. Рассмотрим топологическое локально
компактное a-компактное пространство X и ЛВОП Е;
обозначим через <&{Х,Е) ЛВОП непрерывных отображений из X в
Е, снабженных топологией равномерной сходимости на
компактах.
Обозначим через К(Х) множество компактов в X;
топология на ^(Х^Е) определяется полунормами f\—>pKq(f) =
= sup q(f (x)), K^K(X)9 q^Q(E). Это пространство полно
(соответственно квазиполно, соответственно пространство
Фреше), если Е обладает тем же свойством. Подмножество
сё'{Х)®Е линейных комбинаций функций вида х\—>ср(х) -е,
где ф (*) е %? (X), всюду плотно в &(Х,Е) (см. [44], I,
теорема 4).
Если X и У —два локально компактных пространства, то
естественное отображение из ^(ХХУ, Е) в ^(Х, ^(У, Е))
является топологическим изоморфизмом (там же, 1.9).
Лемма D.6. Пусть X —такое же, как и выше, а Е и F —
два ЛВОП; каждому /<= Нот(£, Ф(Х, F)) сопоставим
отображение^ из X в Hom(E, F), определенное по формуле
g(х) (е) = f(е) (х). Тогда g e#(X, Hom(£, F)) и
отображение fy—>g является топологическим изоморфизмом между
Hom(E)<ff(Xf F)) и подмножеством в ^(Х,Нот(£, F)),
образованном функциями g, переводящими каждый компакт из X
в эквинепрерывное подмножество,
Очевидная проверка,
i/o 8*

228 Приложение D. Векторные топологические пространства
Следствие D.I. Если Е — бочечное, то Hom(Et<ff(XiF))
топологически изоморфно 9 (X, Нот (£, F)).
Определение D.4. Пусть X — многообразие
(подразумевается: вещественное, класса С°° и а-компактное), а Е—
ЛВОП. Обозначим через С°°(Х, Е) ЛВОП, образованное
отображениями класса С°° из X в Е и снабженное обычной
С°°-топологией, или топологией равномерной сходимости на
компактах функций вместе со всеми их производными.
Это пространство полно (соответственно квазиполно,
пространство Фреше), если Е того же типа. Оно содержит
С°°(Х)®Е как всюду плотное подпространство. Оно
топологически изоморфно С°°(Х)®Е, если Е полно (см. [43], II. 3
или [112], ч. 51).
Если X и У — два многообразия, то естественное
отображение из C°°(XXY, E) в С°°(Х, С°°(У, £)) является
топологическим изоморфизмом ( ([112], ч. 51).
Если Е квазиполно, то отображение / из X в Е класса С°°
тогда и только тогда, когда оно скалярно класса С°°, т. е.
u°f — класса С°° для каждого и^Е' (см. [44], III.8,
следствие 2).
Лемма D.7. а) Рассмотрим комплекс £*, как в D.1.1,
локально компактное пространство X и комплекс F*,
образованный пространствами Fn = Ф(Х, Еп). Естественное
отображение из Hn(F*) в ^(Х, Нп(Е*)) является топологическим
изоморфизмов в каждом из следующих случаев:
(i) E сильный,
(и) Еп являются пространствами Фреше и Нп(Е*)
отделимы.
b) Рассмотрим другой комплекс Е\9 гомотопически
эквивалентной комплексу £*, и соответствующий комплекс F\.
Если естественное отображение из Hn(F*) в Ф(Х, Нп (£*))
является топологическим изоморфизмом, то таково же и
естественное отображение из Нп {F\) в 92 (X, Нп (Е*)).
c) Предполагая, что X — многообразие, и заменяя & на
С°°, получим результаты, аналогичные пунктам a) (i) и Ь).
Очевидная проверка с использованием для а) (и) свойств
пространств Фреше (см. конец пункта D. 1.1).
D.I.4. Векторное интегрирование
Пусть X — топологическое локально компактное
пространство, |х — положительная мера Радона на Xt a f — такое
^-измеримое отображение из X в ЛВОП Е, что f(X) содержится
в некотором выпуклом уравновешенном ограниченном
множестве В в Е. Тогда существует единственный такой элемент
е из Е, обозначаемый через \ / (л:) • d\x (я), что (и, е) =

Приложение D. Векторные топологические пространства 229
= \ (u> f (x)) • d[i (х) для любого и е £', и кроме того, е е
^|ш(л:)-В (см. [10], VI, 1, предложение 8).
Эти условия, в частности, выполнены, если / |х-измерима
и ограничена и если Е квазиполно. Тогда имеем
?($/(*)•<*!* (*)) < П.(X) • ^sup 7 (f (*)) (D. 1)
для любого q^Q(E).
§ D.2. Пространства
D.2.1. Общие сведения
Определение D.5. Пусть X — топологическое локально
компактное сг-компактное пространство, \х — положительная мера
Радона на X, a F — банахово пространство; пусть р е] 1, +оо [
через 9?foe(X, \if E)t или более просто через j?ioc (X, F)
обозначим множество таких отображений /из X в F> что для каждого
К^К(Х) (где К(Х)—множество компактных подмножеств
в X) имеем: /J*e 2?P(K, F). Снабдим это множество
топологией, определяемой полунормами Рк (f) = (\ \\f (x) ||РХ
yid\x(x)j . Через Lj?c (X, F) обозначим соответствующее
отделимое пополненное пространство; оно является ЛВОП и
может быть получено как проективный предел банаховых
пространств LP(K, F); следовательно, оно полно.
Пусть теперь Е — полное ЛВОП. Обозначим через
L\0C(X, Е) проективный предел пространств L\0C(X, Ep), где
q^Q(E) (см. обозначения п. D.1.1); элемент / из L\0C(X, E)
является, следовательно, семейством элементов fq^Lp0c(X>
Eq), причем ctqhq2°fq2 = fqi Для всех q\ ^ q2. Пространство
LP0C(X, E) является, следовательно, ЛВОП и полно; его
топология определяется полунормами PKfQ(f)=PK(fq)y где
KeK(X)9geQ(E).
Если Е — пространство Фреше, то его топология может
быть задана с помощью семейства полунорм, и элементы из
Lfoc {X, Е) можно представлять с помощью классов
отображений, различающихся только на множестве меры нуль; кроме
того, LP\0Z{X, E) также пространство Фреше.
D.2.2. Свойства пространств
(i) $(Х,Е) включается в L\0C(X, E) как всюду плотное
подпространство, причем собственная топология на ^(Х, Е)
более сильная, чем топология, индуцированная с L\0C(X, E\

230 Приложение D. Векторные топологические пространства
Действительно, каждому h^^iX.E) можно сопоставить
семейство (ад о Ц); пусть теперь / е L\oc (X, £), К^К (X), q <=
^Q(£), е>0; нужно построить такое /ig?(I, £), что
Р/с (aqoh — fq) < 6, т. е.
(5ЛИаЛА(*))-/Л*)Цв/^(*))1/Р <е> (D.2)
Так как <&{K,Eq) плотно в LP(K,Eq) и У(/С)®а^(£)
плотно в ф(К,Ед), то существуют такие neN, фь ..., фпЕ
е <& (К), ei, ..., еп<=Е, что
( У £ Ф*W' а< ^ "" ^ W • <*И (*) ) < е. (D.3)
Согласно теореме Урысона, существуют такие г|)Ь ..., tyn е
е#(Х), что \|)/|/( = ф/; определим /ie<g7(X, £) по формуле
А (*) — £ "Ф* W ' ^; тогда D.2 следует из D. 3.
(ii)-Lfoc(^» E) включается в L\0C(X, E) с более сильной
топологией.
(in) Пусть f = (fq)&L¥oc(X,E), феСЩ; для каждого К
и каждого q имеем: qfq\K^Lp(X% Eq) и
<
sup ess |Ф (*)(•(? IIM*)I6 ^W)I/p:
семейство (ф-/?) определяет элемент из Lfoc (Я, £),
обозначаемый через ф-f, и отображение (ф, /)•—>ф-f является
билинейным непрерывным отображением из LZc (X) X Lfoc (X, Е) в
ЬЦХ, Е).
(iv) Для каждого К^К(Х) обозначим через L\0c(X, E)K
множество таких f e L\oc (X, Е)> что для каждого q функция
fq равна нулю на Х\К. Пусть / — такой элемент; для
каждого q можно рассмотреть eq—\ fq(x) • d\x(x)& Eq\ семей-
ство (eq) определяет элемент из £, который мы обозначим
через \ f • d\i; мы имеем, таким образом, непрерывное ли-
нейное отображение из L\0q(X, Е)к в Е.
(v) Для каждого К обозначим через L£c (X, Е) множество
элементов из LZc(X), равных нулю на Х\К\ используя (Hi)
и (iv), мы видим, что билинейное отображение (ф, /)ь->
ь-> [ Ф • / • d\x из Lbc {Х)к X £(ос(Я> Е) в Е непрерывно. Кроме

Приложение D Векторные топологические пространства 231
того, если \<p-f-d[i = 0 для всех (ре?с(Х) (соответственно
СГ (X), если X — многообразие), то / = 0.
(vi) Пусть Е и F — два ЛВОП, а и — непрерывное
линейное отображение из Е в F. По каждому q^Q(F)
определим элемент q' = q °w ^ Q{E) и непрерывное линейное
отображение uq: Eq<->Fq. Пусть f^L\0Q{X, E)\ семейство
(uqofq) определяет элемент из Lfoc(^, F), обозначаемый
через и of, и отображение ft—>uof является непрерывным.
(vii) Пусть (X, \х) и (У, у) — два локально компактных
пространства с мерой, а Е — ЛВОП. Изоморфизм
<&(ХХУ,Е) ~ 9(Х99(У, El) из пункта D.1.3 бинепрерывен
в топологии Lfoc и, следовательно, продолжается до
изоморфизма
Lfoc (X XY,E)~ LL U, Lfoc (У, E)).
(viii) (Замена переменных в пространствах Lfoc.)
Рассмотрим два локально компактных пространства с мерой
(X, (я), (У, v) и борелевское отображение и из X в У,
удовлетворяющее следующим условиям:
a) w —локально ограничено, т. е. переводит каждый
компакт в относительно компактное множество;
b) для каждого множества У0 в У, нулевой меры
относительно v, множество u~1(Yq) имеет нулевую меру
относительно |i;
c) для каждого компакта KczX функция а на и(К),
определенная по формуле u{\i\k) = a,'v\(u)K> ограничена.
Пусть / е Lfoc (У, Е)\ благодаря условию a), fqoU имеет
смысл для каждого q, и семейство (fq о и) определяет элемент
из L\0C(Xy E), обозначаемый через /©и; кроме того, Рк,я(!°
о«)< sup а(*л)1/р • Р-^щт (/), так что отображение/•—>/оц
у е=и(К)
из Lfoc (У> £") в Lfoc (^\ L") линейно и непрерывно.
(ix) При условиях из (viii) будем также предполагать,
что и непрерывна. Пусть дано третье локально компактное
пространство с мерой (Г, т); рассмотрим диаграмму
LL (Г, LL (У, Е)) -^ Lfoc (Г, Lf0C(X, E))
Л J.
Lfoc (У, Lfoc (Г, £))-^Lf0C(*, LL (Г, Ej),
где 7 и 6 — изоморфизмы, определенные в (vii); p определен
в (viii); а определена в (viii) и (vi). Тогда эта диаграмма
коммутативна (легко проверяется, что P(v(/)) = 6(cx(/)) для
любой /е^(Г, ^(У, £)); согласно свойству (i), этого
достаточно).

232 Приложение D. Векторные топологические пространства
§ D.3. G-модули
D.3.I. Общие сведения
Везде через О обозначена локально компактная сепара-
бельная и, следовательно, а-компактная группа.
Определение D.6. G-модулем называется ЛВОП Е,
снабженное непрерывным представлением группы G, т. е. таким
морфизмом U из G в группу GL(£) бинепрерывных
автоморфизмов на Е, что отображение (g, e) Vqe непрерывно; часто
пишут g-e вместо Uge. Будем говорить, что U эквинепре-
рывно (или что Е эквинепрерывно), если множество
операторов Ug, g e G, эквинепрерывно.
Лемма D.8. Пусть U — некоторый морфизм из G в
GL(£). Рассмотрим следующие условия:
(i) U — непрерывное представление;
(и) для каждого компакта KczG множество Ug, ge/(,
является эквинепрерывным, и в Е существует такое
тотальное подмножество А, что отображение g*—>Uga непрерывно
для каждого а е А;
(iii) U — непрерывное представление группы G в
Hom(£, E), снабженное, как всегда, топологией равномерной
сходимости на компактах;
(iv) U — раздельно непрерывно, т. е. отображение
g-t—> Uge непрерывно для каждого е^Е.
Тогда (i)^=^(ii)=^(iii)=^(iv); если Е бочечное, то все
условия эквивалентны.
Доказательство, (i) и (и) эквивалентны ([10], VIII. 2.1);
из (i) + (ii) следует (iii), так как если gi стремится к g, то
можно предполагать, что gi остаются в некотором компакте,
следовательно, Ugi эквинепрерывны, и их простая
сходимость следует из их равномерной сходимости на каждом
компакте ([12], Х.3,7). Далее, из (iii) очевидным образом
следует (iv); наконец, если Е бочечное, то из (iv) следует (i)
([10], VIII.2.1).
Определение D.7. Будем говорить, что Е неприводимо (или
топологически неприводимо) или, иначе, что 0 неприводимо
(или топологически неприводимо), если единственными замк*
нутыми G-инвариантными подпространствами в Е являются
{0} и Е. Если Е и F — два G-модуля, то G-морфизмом из Е
в F называется линейное непрерывное отображение,
сплетающее представления. Множество G-морфизмов обозначается
через HomG(E, F). Будем говорить, что Е и F изоморфны
или что представления эквивалентны, если существует G-
изоморфизм.

Приложение D. Векторные топологические пространства 233
Множество G-инвариантных элементов в G-модуле Е бу- -
дем обозначать через Е°.
Действие мер
Обозначим через Ml(G) множество ограниченных мер на
G, снабженное топологией нормы; через MC(G) — множество
мер с компактным носителем, снабженное обычной
топологией индуктивного предела. Для каждого квазиполного G-mo-
дуля Е и каждой меры \i^Mc{G) можно определить опера-
тор U(\x)^ Hom(£, Е) по формуле £/(ц) • е = \ Ug • е • d\x(g)
для любого ^g£, и мы получаем непрерывный морфизм из
MC(G) в Нот(£,£) (см.*[10], VIII. 2.6). Отсюда видно
также, используя D.1.4, что если U эквинепрерывно, то можно
определить U(ix) для каждой [i^Ml(G) и получить таким
образом непрерывный морфизм из Ml(G) в Hom(£,E).
Определение D.8. Будем говорить, что Е (или U)
топологически вполне неприводимо (ТВН), если U(MC{G)) всюду
плотно в Hom(£, E) в топологии простой сходимости. В этом
случае каждый элемент из Нот (£,£), перестановочный
с V(G)y есть умножение на скаляр ([134], 4.2.2.3). В случае
унитарных представлений это определение эквивалентно
обычной неприводимости.
D.3.2. Примеры G-модулей
Модули Hom(£, F)
Определение D.9. Для двух данных G-модулей Е и F
определим действие G в Hom(£, F) по формуле g-u = g ° и og~l\
пространство Hom(£, F) становится при этом G-модулем
в силу лемм D.& и D.8.
Замечание D.I. Предположим, что Е и F эквинепрерывны
и F квазиполно; при этом Hom(£, F) не обязательно
эквинепрерывно, но можно определить в нем действие Ml(G),
положив {U (\х) • и) {е) = \ gug~le • d\i (g) для любых и е
еНот(£, F), ее£; интеграл имеет смысл, поскольку
отображение g*->gug-le непрерывно и ограничено.
Модули <e?{GnyE)
Определение D. 10. Для каждого G-модуля Е определим
действие G в ^(GnfE) по формуле (g-f) (х) — g-f{g~lx)\
тогда <ff(GniE) становится G-модулем (доказательство такое
же, как в случае Hom(£, F), использующее равномерную не-
9 Зак. 75

234 Приложение D. Векторные топологические пространства
прерывность функции / на каждом компакте). Так же как
в гл. I, § 1, можно определить другие эквивалентные
действия (g-f)(x) = f(g-lx), (g-f) (x) = f{xg), ... .
Модули C:x>(Gn,E). Предполагая, что G — группа Ли,
легко видеть, что C°°(Gn, E) также является G-модулем
относительно вышеприведенных (вообще говоря, неэквивалентных)
действий.
Модули Lfoc(C\ E). Зафиксируем на Gn п-ю степень
левой меры Хаара. Пусть Е — полный G-модуль; для /е
€=#(G",£), gGG, Ke=K(G»), q<=Q(E) имеем: PKtQ(g-f)=
==f \ (<] (g ' f(g~lx)n -dx\ ; возьмем g из некоторого
компакта С в G. Тогда существует такое q' ^ Q(E), что q(g-e)^
^q'(e) для любых g e С, е^Е, откуда Pit.qig ' f)*^
<(Sr(9/(fW)P-^)1/p = ^Y(f), где Г = С"Ч. Операторы
f |—^g" • f B ^(Gn9 E) продолжаются до непрерывных линейных
операторов в L\oc(Gn, E), также обозначаемых через /ь-^g-f,
которые эквинепрерывны при g e С. Так как, кроме того,
отображение g*—>g-f непрерывно при f ^(e,(Gn,E) и
&(G»,E) всюду плотно в Lf0C(Grt, Е) (D. 2.2), то LL(Gn, £)
является G-модулем.
Л^мма D.9. Предположим, что п = 1 и что действие G
в Е тривиально; тогда каждый G-инвариантный элемент
f = (fq) из L\0C(G, Е) является образом в L\0C{G, E)
некоторого постоянного отображения.
Доказательство. Пусть фЕ?с(С); для каждого q^ Q(E)
и каждого g е G имеем: <xq ( \ gq> • / • d# J = \ g-ф • /^ • dx =
= J Ф (g"1*) • fq (x) • dx =J Ф W * f* (?*)' rf* = J Ф * fq ' dx=aqX
X (\ Ф • f * d*J. откуда \ йф • / • d# = \ ф • f • dx. Для каждого
и ^ Е' отображение ^(G) э ф н-> /u, \ ф • f • dxS является
непрерывной линейной формой (D.2.2, свойство (v)),
инвариантной относительно левого действия, и, следовательно,
имеет вид ku • \ ф • dx, где ku — некоторый скаляр. В
частности, из \y-dx = 0 следует \ф • f • dx = 0. Возьмем такое ф0,
что \<po-d*=l, и положим е= \ ф0 • / • dx^E. Для
каждых ф и и имеем (и, \ Ф • (/ — е) • dx\ = ku • \ ф • dx — («, е)Х
X \ ф • d* = 0, откуда f = e.

Приложение D. Векторные топологические пространства 235
Тензорное произведение двух G-модулей
Если Е и F — два G-модуля, то их проективное полное
тензорное произведение £.® F является G-модулем для
действия g-(e®f) = g-e®g-f (см. [134], 4.1.2.4).
§ D.4. Векторы и модули класса С°°
D.4.I. Общие сведения
Мы предполагаем здесь, что G— группа Ли, и
обозначаем через g ее алгебру Ли; по поводу деталей см. [17] и
[134], 4.4.
Пусть Е—G-модуль; элемент е из £ называется класса
С°°, или дифференцируемом, если отображение ё из G в £,
определенное по формуле e(g) = g-e, есть отображение
класса С°°. Через Е°° обозначим множество (G-инвариантное
векторное подпространство) векторов класса С°°; оно всюду
плотно в £ и содержит элементы \%(g)-ge- dg, где ее£
иХеСГ(£).
Отображение е*—>ё является инъективным G-инвариант-
ным отображением из Е°° в C°°(G, £), снабженное правым
регулярным действием. Снабдим Е°° топологией,
индуцированной с этого пространства, так что Е°° изоморфно
замкнутому G-подмодулю в C°°(G,E) и значит полно
(соответственно квазиполно, пространство Фреше), если Е обладает
тем же свойством. Кроме того, инъекция из Е°° в Е непрерывна.
Определим на Е°° структуру g-модуля (индуцированную
с аналогичной структурой на C°°(G, £)):
Х-е = lim H(exp tXe — е) для любого Я^д;
*->о
в результате получим представление алгебры [/(g)
с помощью линейных непрерывных операторов в Е™.
Это представление называется дифференциалом
представления U группы G в Е и обозначается через
U°°. Для каждого и^ £/(д) мы имеем также и-е = (Аё) (1),
где А обозначает правоинвариантный дифференциальный
оператор, ассоциированный с и. Далее, (E°°)G = EG с той же
топологией; если F — замкнутый G-подмодуль в Е, то F°° =
= F П £°° и топология на F00 индуцирована с топологии на
Е°°. Если и — некоторый G-морфйзм E-+F, то он индуцирует
G-морфизм из Е°° в F°°, причем и(е)=иоё для всех е^Е°°;
можно, следовательно, говорить о функторе Е-^Е°°.
Будем говорить, что Е является G-модулем класса С°°
(или дифференцируемым), если инъекция из Е°° в Е является
топологическим изоморфизмом. Ясно, что каждый замкнутый
подмодуль модуля класса С°° сам является модулем класса
9*

236 Приложение D. Векторные топологические пространства
С°°. Если В класса С°°, то соответствующий морфизм из G
в Нот (Е,Е) также имеет класс С°° (см. [134], замечания
после 4.4.1.7); если Е и F класса С°°, то Е® F также класса
С°° (там же, 4.4.1.10).
D.4.2. G-модули С°°(С\ Е)
Лемма D.10. Пусть Е—G-модуль. Снабдим C°°(Gn,E)
действием (g-f) {x) = g-f(g~lx). Каноническая инъекция из
Ccc(Gn,E00) в C°°(Gn,E) является топологическим
изоморфизмом первого пространства на C°°(Gn, E)°°.
Доказательство. Положим Gn = X и рассмотрим
отображения
С°°(Х, £)Л^(ХХС E)-^V(X, <V{G, E)).
н
V(XXGy E)-^V(G, V(X,E)),
где (Af) (x, g) = g-f (x), (Вф) (x) (g) = Ф (x, g), (Сф) (х, g) =
= 9(g~lx, ff). (D+)(g)(*) = $(*, g).
При этом А инъективно, 5, С, D биективны; для /е
еС°°(Х,Е) имеем f(x) = (BAf)(x) для любого х^Х, f(g) =
= (DCAf) (g) для любого g e G. Следовательно, / е
eC^X.^^A-lfeC00^, C°°(G,£)), /е=С°°(Х, £)~ч=>
-<=^DC4/e=C°°(G, С00 (*,£)), и топология в С~(Х,£°°)
(соответственно в С°°(Х, £)°°) индуцирована с топологии на
С°°(Х, C°°(G9E)) (соответственно на C°°(G, C°°(X9E))).
Лемма следует теперь из того, что В, С и D индуцируют
топологические изоморфизмы на подпространствах,
образованных функциями класса С°° (см. D.1.3).
Следствие D.2. Если Е — G-модуль класса С00, то то же
верно и для C°°(G, £). В частности, для каждого ЛВОП Е
пространство C°°(G,E), снабженное левым или правым
регулярным представлением, является G-модулем класса С°°.
Следствие D.3. Для каждого G-модуля Е G-модуль £°°
имеет класс С°°.
D.4.3. G-модули <В (G, Е) и f£>c(G, E)
Лемма D.11. Пусть Е — ЛВОП. Снабдим ^(G^E) левым
или правым регулярным представлением. Тогда каноническое
отображение и из C°°(G,E) в ^(G^E) является
топологическим изоморфизмом из C°°(Gf E) HaW(G, E)°°.

Приложение D. Векторные топологические пространства 237
Доказательство. Так как С°°(0,Е) имеет класс С°°, то и
является непрерывным линейным отображением из C°°(G,E)
в ^(G.E)00. Пусть теперь f <=<&{G, Е)°°, тогда fjg)(x) =
= /(g'~1#) и, следовательно, f (g) = f (g~l) (1), что
показывает, что f^C°°(G,E) и что полученное отображение из
^(G, E)°° в C°°(G,E) является непрерывным.
Лемма D.12. Пусть Е — полное ЛВОП. Снабдим Lfoc(G, E)
правым {или левым) регулярным представлением. Тогда
каноническое отображение и из С°°{С,Е) в Lf0c(G, E) является
топологическим изоморфизмом из C0O{GiE) на L\oc(G, E)°°.
Доказательство.
a) Обозначим через V отображение из Lfoc(G, E) в 2)'Х
X(G, Е) = Нот (СГ (G), £")> определенное по формуле(Vf, q>)=
= \ Ф • f • dg- для любых ф е СГ (G), f e Lk)C (G, Я), где
интеграл понимается в смысле D.2.2. Для каждого
дифференциального оператора А на G и каждого T^3)'(G,E)
определим AT^S)'(G,E) по формуле <ЛГ, ф> = <Г, Лф>.
b) Пусть f^L\0C(Gy Е)°°, а Л — инвариантный
относительно правого действия дифференциальный оператор на G,
ассоциированный с элементом U из £/(д). Покажем, что
У([/г-/) = A {Vf)y где [/ь~>[/г — главный антиавтоморфизм
на f/(g). Индукцией по степени элемента U все можно свести
к случаю [/ = Ieg. Тогда для феСГ(G) имеем
(Лф) (г) = -^- • ф (exp (- tX) • g) |^о
W-/), Ф) = $ф.*7-^ =
= - U • limГ1 (ехр/Х •/-/). dg =
(где предел понимается в смысле Lfoc(G, E))
= - lim Гl U • (exptX-f — f)dg = (см. D.2.2, (v))
*->о J
= — lim/""1 ^ (exp(- tX) • <р - ф) - f - dg =
= 5лФ./.^=(л(тФ).
c) Нужно показать, что если f e Lp\oc (G, Е)°°, то / <=
eC°°(G, £),и что если обобщенная последовательность (fi)
стремится к 0 в Li0C(Gy £)°°, то f,- стремится к 0 в C°°(G, £).
Так как эти свойства локальны, то можно заменить G на
куб С = [0, 1]п и достаточно показать, что

238 Приложение D. Векторные топологические пространства
1) если распределение / со значениями в Е лежит вместе
со всеми своими производными в Ll(C,E), то f^C°°(G}E)\
2) если Dafi-*0 в Ll(CyE) для каждого а, то ft-*Q
в С°°(С,Е).
Это легко сделать с помощью обычного метода,
использующего ряд Фурье для f.
D.4.4. G-модули Нот (£, F)
Лемма D.13. Пусть X — открытое множество в Rm, E и
F — два ЛВОП, Ф — отображение, определенное в лемме
D.4, А и В — элементы соответственно из C°°(X,Hom(Et F))
и С°°(Х,Е). Тогда Ф о (Л, Я)е= С°°{Х, F)
и
Яа(Фо(Л, В))= S Oo(D4Z)YB) (D.4)
для каждого мулътииндекса а.
Доказательство. Воспользовавшись индукцией, сводим
доказательство к тому, чтобы показать, что каждая
производная первого порядка /),(Фо(Л,В)) непрерывна и равна
Ф о (DiA, B) + Ф ° (A,DiB). Можно, следовательно, положить
гп= 1, и доказательство легко проводится с помощью
леммы D.4.
Лемма D.14. Пусть Е и F — два G-модуля класса С°°.
Модуль # = Hom(£, F) имеет класс С°° и Х-и = X о и — UoX
для любых X eg, a <= H.
Доказательство. Обозначим через я и р представления
группы G в Е и F\ через Hs обозначим пространство Я,
снабженное топологией простой сходимости.
a) Покажем, что для любого «Gff имеем й<= C°°(G, #s)
(обозначение и см. в D.4.1). Пусть ее£, определим
отображения Л и В из G соответственно в Hom(£, F) и F по
формулам A{g)=p(g), B(g) = u(n(g)-le). Ясно, что 5 е=
<=C°°(G, Е)\ с другой стороны, Л е C°°(G, Horn (F, F)),
согласно [134], замечание после 4.4.1.7. Согласно лемме D.13,
отображение /: g*—>{g-u) {е)= Ф(Л (g), B(g)) класса С°° и
(Dau)(g)(e) = (Daf)(g)= Z Ф((ЯРЛ)(£), (&(B)(g)) (DA)
P+Y=a
(производная Dau берется в Hs).
b) из [134] снова следует, что для того, чтобы доказать,
что tteC°°(G,#), достаточно показать, что Dau^<e?(G1 H)
для каждого а. Предположим, следовательно, что gi~+g, и
обозначим через С компакт в Е. Нужно показать, что
(Dau) (gi) (e)-^(Dau) (g) (e) равномерно по ее С или что

Приложение D. Векторные топологические пространства 239
(лемма D.4) (ВЫ) (gi) + (D*A) (g) и (йЩ (gt)-+(DyB)(g)
равномерно внутри каждого компакта — что очевидно.
c) Осталось, таким образом, показать, что Н°° = Н.
Покажем, что если щ стремится к 0 в Я, то оно стремится к О
и в Я°°, т. е. что Daui стремится к 0 в C°°(G,#). Пусть К и
С — компакты в G и Е. Нужно показать, что (Daui) (g) (e)
стремится к 0 равномерно по g g i( и е G С, или, иначе
(положив n~l(g) = n(g~1)), что tii((Dvjt-1) (g) (e)) стремится к О
равномерно noge/СиееС (что очевидно), и что
операторы (£pp)(g), g^K, эквинепрерывны; последнее следует
из того, что p(g-) эквинепрерывны и что р — представление.
d) Последнее утверждение следует из (D.5).
Лемма D.15. Пусть Е и F — два G-модуля.
(i) Каждый элемент и из Hom(£, F)°° непрерывно
отображает Е°° в F_°°.
(ii) Отображение uv->u\E<x> является непрерывным инъ-
ективным G-морфизмом из Нот(£, F)°° в Нот(£°°, F°°).
(iii) Для и<= Нот(£,F)00, leg, е^Е имеем {Х-и) (е) =
= Х-и{е) — и{Х.е).
Доказательство. Имеем и(е) {g) = g(u(e)) = (g-u) - (g-e) =
= Q)(u(g), e(g))> т. е. и{е)= Ф о (и, е), откуда (лемма
D.13) а(7) е= C°°(G, F) и Dau{e) = £ Ф о (орй, Z)Ye).
P+Y=a
Покажем, что если в/ стремится к 0 в £°°, то */(е*)
стремится к 0 в F°°, т. е. что для каждого а и каждого компакта
KaG элемент (Dau(ei)) (g) стремится к 0 равномерно по
ge /С. Множество {(D$u) (g) \g <= /(} эквинепрерывно; это
следует, из того, что множество {u(g)} эквинепрерывно и что
я и р — представления; (D^) (g) равномерно стремится к 0;
утверждение.^) следует теперь из леммы D.4. Утверждение
(ii) доказывается также, а (iii) следует из леммы D.14.
Замечание D.2. Вообще говоря, не верно, что Нот (EyF)°° =
= Нот(£,°°, F°°): возьмем Е = Ф(й) с левым регулярным
представлением, F = С с тривиальным представлением. Тогда
£оо = c<»{G) и Hom(£, F)°° с Нот(£, F) = Mc{G)aC°°{G)' =
= Нот(£°°, F°°).
D.5. Модули над абелевыми группами
D.5.I. Определение некоторых модулей над группами G = Rm
Обозначим через G* векторное пространство, дуальное к G,
а через (g, %> — спаривание между g e G и % е G*. Для
каждой |х е Afc (G) положим м- (х) = \ &{8, %) • djx (#)•

240 Приложение D. Векторные топологические пространства
Пусть даны также многообразие X, векторное расслоение
8 с базой Ху предполагаемое класса С°° и локально
тривиальное, со слоем, являющимся полным пространством
конечной или бесконечной размерности, и отображение Л из X
в G* класса С°°. Снабдим пространство Г(^) С°°-сечений
расслоения структурой G-модуля по формуле (g • f)(x) = e'<£« Л**Х
Xf(x).
Лемма D.16. Определенный так G-модуль имеет класс С°°.
Дифференциал представления дается формулой (lj-f)(x) =
= (Ax)ff(x), где (£ь ..., lm)~некоторый базис в g = Rw,
а (Ах)и ..., (Ах)щ —координаты вектора Ах в двойствен-
ном базисе.
Аналогичный результат верен при замене Т(&) на
пространство непрерывных сечений векторного топологического
расслоения (X тогда предполагается локально компактным
пространством), или на пространство L\0C(X, ц, Е0) или на
пространство Тс(<%) сечений с компактным носителем, или,
наконец, на пространство L? (X, ц, Е0).
Очевидная проверка.
Возьмем теперь два векторных расслоения &\, <§2 с
базами Хи Х2 и два отображения класса С°° — А\ и Л2 из Х\
и!2в G*. Снабдим Н = Нот(Т(&,\),Г(ё,2)) как всегда
топологией равномерной сходимости на компактах и
структурой G-модуля, определенной в D.3.2.
Лемма D.17. Пусть ГеЯ, сое C°°(Xi ХХ2); для каждого
Х2^Х2 обозначим через (оХ2 функцию хц—>co(*i,х2). Для
каждого |Gr№) отображение x2^—>T((oX2-f)(x2) является
элементом из Г(^2). Если обозначить его через (U(d-7,)(f),
то U&-T оказывается элементом из Я, который, таким обра-
зом, снабжен структурой C°°(Xi XX2)-модуля. Наконец, для
каждой ix^Mc(0) имеем n(\i) = U^, где п обозначает
представление в Н и где (о^(х\, х2) =(i(A2x2 — Ai*i).
Аналогичный результат верен при замене T(&i) на
Tc(8i).
Доказательство. Возьмем сначала со в виде ®(х\,х2) =
= coi(xi)-со2(^2). Легко видеть, что (д2-Т(щ-1) принадлежит
Т(<£2), а отображение /»—>со2-7,(с°г/!) принадлежит Н и
зависит билинейно и непрерывно от пары (coi,co2). Используя
то, что C°°(JiX^2) изоморфно C°°(Xi)® C°°(X2), выводим
отсюда существование для [/©. Последнее утверждение теперь
проверяется немедленно.
Следствие D.4. Если А\(Х{) и А2(Х2) не пересекаются, то
существует такая ^gMc(G), что \i(\)= 1 и n(\i) — I обра-

Приложение D. Векторные топологические пространства 241
тимо в Нот (Я, Я). Аналогичный результат верен при замене
Y{$i) наГс(&1).
Доказательство. Достаточно выбрать такое jx, чтобы (х
было равно 1 в 0 и отлично от 1 во всех остальных точках;
например, можно взять характеристическую функцию куба
\gt\ ^ 1, i = 1, ..., m, умноженную на 2~т.
D.5.2. Носители эквинепрерывных G-модулей
Мы предполагаем здесь, что G абелева, и обозначаем
через G дуальную группу, действие в которой обозначается
аддитивно; через е обозначен нейтральный элемент в G\
A = Ll(G), A = L1(G) + C6, где б мера Дирака в 1. Для
каждой \х^ М{ (G) и каждого х е G положим \х (х)=\ (х, g)X
Xdfx(g"). Через Л0 обозначим множество таких [еЛ, что
/ имеет компактный носитель.
Напомним некоторые классические свойства (см. [111],
§ 2.6):
(i) Существует такое семейство (ср,) элементов из ^(G),
что \ l<pj(g)|-rfg^ 1 и для каждой \x^Ml(G) свертка
ц*ф, слабо стремится к \х.
(ii) Существует семейство (ф/) элементов из Л0 с тем же
свойством.
(iii) Для каждого компакта KczG и каждого замкнутого
множества F cz G, не пересекающегося с /С, существует
такое f е А, что f равно 1 на К и 0 на F.
(iv) Для каждого компакта KczG и каждого конечного
открытого в G покрытия Qi, ... у Q,i на /С существуют такие
fu ..., fn<= Лч, что supp fidQi и X ft = 1 на /С.
Рассмотрим теперь G-модуль Е, который либо квазиполон
и эквинепрерывен, либо имеет вид Нош(Еи £2), где Е\ и Е2
эквинепрерывны, а Е2 квазиполный. Представление в Е
обозначим через [/; как мы видели в D.3.1 и D.3.2 (замечание
D.1), можно рассмотреть U(\x) для ix^M[(G).
Определение D.11. Открытое множество Q в G назовем
Е-пренебрежимым, если из/^Л0, supp fa Q следует [/(/) = 0.
Вышеприведенное свойство (ii) показывает, что если Q
^-пренебрежимо, то из ix^Ml(G), suppficzQ следует
U(\i) = 0. Далее, свойство (iv) показывает, что любое
объединение £-пренебрежимых открытых множеств также £-пре-
небрежимо. Можно, таким образом, определить носитель
модуля Е, обозначаемый через suppf, как дополнение до
наибольшего открытого £-пренебрежимого множества.

24а Приложение D. Вектор^ .-; топологические пространства
Это понятие, введенное В. Арвесоном [3] в его работе по
группам автоморфизмов алгебр операторов, было детально
изучено в [116], где носитель называется «спектральным
носителем» и обозначается sp U.
Примеры, а) Если модуль Е унитарный, то supp£
является не чем иным, как носителем его спектральной меры.
Ь) Определим £, как в лемме D.16. При \i^Ml(G)
оператор U([i) является оператором умножения на функцию
Xh->(i(Ax), и легко видеть, что suppf есть замыкание
множества А(Х).
D.5.3. Свойства носителя
Лемма D.18. Если supp£ не содержит е, то существует
такая /^^(G), что [f-dg=l, и U(f) — I обратимо в
Нот (Е,Е).
Доказательство. Так как ^(G) всюду плотно в Л, то из
свойства (iii), приведенного выше, следует, что существует
/^^(G), удовлетворяющая условиям /(e) = 1, \f(x)\< -г-
для любого х'е supp E.
Положим Q{ = \x^G
Q2 = <х е G
17(*)|<т}-
Существует такое ОеЛ, что |9(*)|^1 для всех x^G,
8(л:) = 0 для всех хбб\й2, в(х)= 1 для всех xgQj, Так
как 6/—1 не равно нулю на 0 ни в какой точке, то 6*/ — б
обратимо в Л и, значит, /7(6*/) — / обратимо в Нот (Е,Е).
Но поскольку supp (6—l)f cz <3\supp £, to [/(9*/— /) = 0,
откуда U(f)—I= U(Q*f) — I.
Лемма D.19. Пусть Н — другая абелева локально
компактная группа, Т — непрерывный морфизм из Н в G, V —
представление VоТ группы Н в £, F — полученный так Н-мо-
дуль, Т* — морфизм из 0 в Я, двойственный к Т. Тогда
supp/7 содержится в r*(supp£).
Доказательство. Нужно показать, что из ср е L1 (#),
supp фс: #\r*(supp£) следует V(<p) = 0. Определим
(л & М1 (G) по формуле \х (f) = \ / (ГА) • ф (Л) dh. Легко видеть,
что У(ф)= f/(jut) и, с другой стороны, Д = ф о Г*, откуда
следует, что supp \x cz <3\supp £ и (У (jx) = 0.

Приложение D. Векторные топологические пространства 243
Лемма D.20. Пусть F— другой квазиполный эквинепре-
рывный G-модуль, V — соответствующее представление, W —
обычное представление в Нот (£, F). Тогда supp (Нот (£, F)cz
cz supp F — suppf.
Доказательство. Обозначим через W представление
GXG в Hom(E,F), определенное по формуле W(g,h) -Т =
= V (h) о Т о U (g) для любых g, /igC, Tg Нот (£, F), а
через Л —морфизм из G_b GXG, определенный по формуле
A(g) = (g~\ g). Тогда WoA=W и, согласно предыдущей
лемме, достаточно показать, что supp W cz supp U X supp V,
т. е. что (<5\supp U)X G и (5 X(<5\supp К) ir-пренебре-
жимы. Докажем, к примеру, первое утверждение. Пусть
9eL](GXG) таково, что suppcp компактен и содержится в
(0\supp (У)Х G\ тогда suppcp содержится в компакте вида
К XL, где К с <3\supp (У. Пусть а, р е Л0 таковы, что
ot = 1 на К, supp а с G\supp U, р = 1 на L. Функция <р
является пределом линейных комбинаций £ ifo ® со,-, где ifo,
со, е Л; таким образом,
ф = ф * (а ® р) = lim X) (ifo * а) ® (со, * р),
№(ф)-Г = Нт Е КК*р)оГо£/(Ф/*сх)
и второй член равен нулю, поскольку supp (-ф,- * a) c<3\"supp £/.
Следствие D.5. Если г не лежит в замыкании множества
supp F — supp£, то существует такая f^<S'c(G), что\ f • tfg =
= 1 a W(f) — I обратимо в
4 Hom(Hom(£, F), Hom(£, f)).

Приложение Е.
МНОГООБРАЗИЯ, ГРУППЫ ЛИ
§ ЕЛ. Обозначения, общие сведения
Мы будем использовать результаты, а также, вообще
говоря, и обозначения из [135]. Многообразием всегда будет
называться вещественное конечномерное многообразие,
дифференцируемое класса С°° и а-компактное.
Пусть М — многообразие, а Е — ЛВОП. Через С°°(М, Е)
обозначим пространство С°°-отображений из М в Е с
обычной С°°-топологией, или топологией равномерной сходимости
на компактах функций вместе со всеми их производными.
Положим С°°(М)= С°°(Л1,С).
Для каждого элемента т ^ М через ТтМ обозначим
касательное пространство в т, а через Т*т М — двойственное
пространство. Для каждого 1^ТтМ и каждой f^C°°(M,E)
через <|, f> обозначим значение, принимаемое £ на /. Через
U(M) обозначим множество С°°-векторных полей на М. Для
X^U(M) и т^М через Хт обозначим значение поля X
в/п. Для /еС°°(М, Е) через <Х, f > обозначим функцию
mf->a,/>(m)=am,f>.
Через [X, Y] обозначим скобку Ли двух векторных полей
X и У. Для каждого целого р^О через ОР(МуЕ) обозначим
пространство дифференциальных р-форм класса С°° на М со
значениями в Е. В случае Е = С будем писать Qp(M). Если
Е полно, то Qp(M9E)=QP(M)&E (см. [43], П.З.З). Для
каждой (о е ЙР(М, £) и каждого «gM обозначим через
com е Нот (АРТтМ, Е) значение (о в т. Для любых Хи ...
..., А^е U(M) через <(о; Хь ..., Хр) обозначим функцию
т »—> <со; Хь ..., ХрУ(т) = <сот; (Х^т, ..., (Хр)т> е Я.
Внешний дифференциал, обозначаемый через d или dP и
действующий из ОР{М,Е) в Й^+^М,^), определяется по
формуле
<dco, xu ..., xp+1)=Z (-i)'+1<x„<©;*lf ...,x£...zp+1»+
+ £(-i)'+'<©;[*«,*/]. *i. .... й, .... x;>...,zp+1). (E.i)
Для каждой /е C°°(Af, £) и каждого ХеУ(М) имеем

Приложение Е. Многообразия, группы Ли
245
Если даны два многообразия Mi, M2 и С°°-отображение и
из Mi в М2> то обозначим через (Du)m дифференциал
отображения и в точке т: (Du)т<= Нот(ТтМи ТтМ2), {(Du)m{l),
fy = (lfoU) для любых Ъ*вТтМи f ее С°° (М2).
• Пусть у— С°°-отображение из интервала ]а, Ь[ в М;
обозначим через y'{t) его производную в /; тогда y'(t)=(Dy)t(l)&
= TyKt)(M), (y'(t), /> = ^H0f(Y(' + *)) Для любой/geC~(M).
Группа DiffM С°°-диффеоморфизмов на М действует на
С°°(М,Е) по формуле (g-f) (т) = /(g_1m), а также на U(M)
по формуле (g • Х)т = {Dg)g-im {Xg-im) и, наконец, на
Qp(M,E) по формуле (g^)m = ®g-im °Ap(Dg-im). .
Имеют место следующие соотношения:
(g-X, f) = g(X, g~lf) для любых
XeU(M), f^C°°(M, E); (E.2)
(gr.co; Хь .... Xp> = g-<<o;g-%, ..., £-%,>,
для любых (ogQp(M, Е), Хи ..., ^е£/(А1); (Е.З)
[g-X, g-У] =§•[*, К[ для любых X, Ге1/(А1); (Е.4)
d (g • со) = g • (dco) для любой шейр(Л1, £). (Е.5)
Предположим теперь, что Е квазиполно. Можно
определить интеграл \ ссо элемента со из ОР(М, Е) по цепи с
сингулярных дифференцируемых р-симплексов (см. [135], гл. 1,
§ 4 и гл. 4). Напомним кстати, что через Ар обозначается
множество таких элементов (аь ..., ap)e'Rp, что щ ^ О,
£а;^:1, а сингулярным дифференцируемым р-симплексом
называется С°°-отображение некоторой окрестности
множества ЬР в М. Наконец, цепью таких симплексов называется
формальная линейная комбинация таких симплексов с
вещественными коэффициентами. Имеет место формула Стокса
\ ю=С d®. (E.6)
А также
V g.(D=\ со для любого ge DiffM. (E.7)
J с 8 с
Каждому Xg(/(M) соответствуют отображения ix:
Qp(M,E)-+Qp-1(M,E), Lx: №(М, E)-+Qp(M, E), называемые
соответственно внутренним умножением и производной Ли и
определяемые по формулам
(ix®; *!,..., XjD_1) = (co; X, Х{, ..., Хр_{)\ (Lx<o; Xlf ..., Хр> =
= <*, (со; *lf ..., Хр))- t <©; *!,..., [X, X,], ..., *р). (E.8)

246 Приложение Е. Многообразия, группы Ли
При этом
d-ix + ix-d = Lx.
Наконец, если даны два многообразия М\ и М2 и
^-отображение и из М\ в М2} то можно определить отображение
и* из Qp(MuE) в Qp(Af2, £) по формуле w*(co)m = ©и(т) °
oAP((Dw)ffl).
§ Е. 2. Топологические когомологии
Определение ЕЛ. Если даны многообразие М и ЛВОП £,
то обозначим через Н?ор(М, Е)р-ю группу когомологии
комплекса из ЛВОП
Q*(Af, Е): 0->Q°(M,E)-^Ql(My E)^+Q2(M, E)-> ....
Когда Е = С, будем писать #fop(M) вместо #f0p(#, С).
Группа Ht0p(M) алгебраически изоморфна группе Н?ор(М, С),
определенной в главе I, § 14 (см. [135], гл. 5).
Лемма ЕЛ. Предположим, что Е полно и что М является
произведением ориентируемого компактного многообразия М{
на многообразие М2, диффеоморфное пространству Rn. Тогда
(i) Htop (M) конечномерно;
(и) комплекс Й*(М, Е) сильный (см, определение D.1);
(iii) Htop(M, E) топдлогически изоморфно #fop(M) ® E
Доказательство. Обозначим через 0 точку в М2, через
Л — отображение mi«—»(mi,0) из М{ в М, через П
—отображение (mum2)i—>m\ из М в Ми через Л* и П* —
соответствующие отображения из Q*(M, E) в £1*(МиЕ) и наоборот.
Тогда A*on* = id, а П*оЛ* гомотопно id, согласно [42],
том I, глава V, предложение 1. Положив £ = С, получаем
отсюда, что Htop(M) изоморфно Н?ор{М\)9 которая
конечномерна, согласно [135], следствие из теоремы 6.11; это
доказывает (i). Для доказательства (И) в силу лемм D.2 и D.3
показать, что комплекс Q*(M\)—сильный, что следует из
теоремы Ходжа о разложении (см. [135] § 6.8).
Действительно, имеем, выбрав некоторую риманову структуру на М\\
qp (Mx)=d (№~l (Af О) ® б (QP+1 (Af 0) ® № (Af 0 (прямая
топологическая сумма), где б сопряженный к d, а ЖР(М\) —
множество гармонических р-форм. Кроме того, d равно нулю
на первом и третьем пространствах и его ограничение на
второе биективно и бинепрерывно.
Наконец, (iii) следует из леммы D.3.

Приложение Е. Многообразия, группы Ли
247
§ Е.З. Действие группы Ли на многообразии
Мы будем рассматривать здесь вещественную группу Ли
G, действующую слева на многообразии М при помощи
диффеоморфизмов (g, m)i—>g-m. Через Xg,m обозначим
дифференциал отображения m\—>g-m в точке т\ kg,m^.
<=Нот(Тт(М)9 Tm(M)), <Я*,т(Б), /> = <£,/(£•)> Для любых
£ge7VW, f€=C~(M).
Имеем
Л^й, т = 'kg, hm ° hft, т ДЛЯ ЛЮбыХ g, h S G, m G M.
Пусть, с другой стороны, дан G-модуль £ класса С°°.
Тогда G действует на *С°°(Л!, £) по формуле (g-f)(m) =
= g-f(g~lm), и на Q"(Af,£)no формуле (g • co)m = g- °cog-im о
oApL-i m, и, наконец, на U(M) так же, как в § ЕЛ. При
этом
(g- X, f) = g- (X, g"lf) для любых
X€=U(M)9 feC°°(M, Е); (ЕЛО)
<g.(o; Zt, ..., Xp) = g-(®\ g~lXu ..., £""%) для любых
(ogQp(M, Я), JTlf ..., IpGf/(M); (ЕЛ1)
d(g"-(o)= g- (d(o) для любой о)еЙ^(М, £), (ЕЛ2)
но (Е.7) переходит в
\ g'<» = g- \ _, ©. (ЕЛЗ)
Можно проверить, что при этом Qp(M, E) становится
G-модулем класса С°°, изоморфным йр (М) ® £. Для
каждой точки т обозначим через ®т дифференциал в 1
(нейтральный элемент в G) отображения g<t—>g-m.
Следовательно, вт е Нот (9, Тт (М)), (&т (X), /) = -iL |о. / (exp tX . m).
Отсюда получаем отображение 9 из § в ЩМ), определенное
по формуле @(Х)т = &т{Х). Пусть Х^д и теЛ1;
рассмотрим кривую y(t) = exp tX-m, тогда ^/(0) = ®т(Х), expt/XX
Xy(0 = y(' + «0.
Лехр и*. Y(*>(y'(0) = y'(' + ")■ (ЕЛ 4)
Лемма Е.2. £с./ш G связна, то ее действие на Н\0${М)
(полученное из приведенного выше действия на Qp(M))
тривиально.
Это следует из того, что два гомотопных преобразования
на М индуцируют гомотопные эндоморфизмы на комплексе
Й*(М) (см. [42], т. I, гл. V, предложение 1).

248
Приложение Е. Многообразия, группы Ли
§ Е.4. Случай, когда М — однородное
пространство G/H
Обозначим через Н замкнутую подгруппу в G, а через
Ь — ее алгебру Ли; через n(g) или g обозначим
канонический образ элемента g из G в М, причем через 0 — образ
элемента 1. Определим действие G на М по формуле g-y = gy.
Положим П = во^ Нот(д, Т0(М)).- Отсюда получаем
изоморфизм П: д. )/$«—> Т0(М). Положим Кё = Xg,о е Нот(Т0М,
TgM) для любого g^G, |лл = Я,Ае Hom(7VW, Т0М) для
любого йеЯ. Из (Е.9) следует, что
hgh = kg°\lh, (Е. 15)
в частности, [х является представлением группы Н в Г0М, а П
(соответственно П) сплетает представление Ad группы Я в j
(соответственно в g/fy) и представление \х.
Множество U(M)G G-инвариантных векторных полей
отождествляется с Т0(М)Н с помощью отображения £*—>go-
Обратное отображение дается формулой lg = ks(lo)-
Аналогично, Qp(M,E)g отождествляется с HomH(Ap(T0M), Е) с
помощью отображения соь-хоо. Обратное отображение дается
формулой
®g = ё °°°о° Л%Гl, g = go(o0oЛРЛ*\ (Е. 16)
откуда получаем изоморфизм
W(M, Е)<*^Нотн(АРШ, Я), (Е.17)
СО *—► ф,
где
Ф<*1 Хр) = (щ; U(Xi), .... ЩХР)), (Е.18)
0)й = ^офоЛрП_1оЛ%-.,ё = §офоЛрП_1оЛрХг1. (Е.19)
Отметим также, что для leg и y(t) = exptX имеем
' Y'(0 = WY'(0)). (E.20)

Приложение F.
ГИЛЬБЕРТОВЫ СИММЕТРИЧЕСКИЕ
ПРОСТРАНСТВА (ПРОСТРАНСТВА ФОКА)
Более детальное изложение можно найти в [46].
Пусть Я отделимое вещественное предгильбертово
пространство; для каждого целого строго положительного^
обозначим через ®пН пополненную /2-ю тензорную степень
пространства Я, являющуюся, следовательно, гильбертовым
пространством, а через SnH — подпространство, образованное
симметрическими тензорами. Через SH обозначим
гильбертову сумму пространств SnH, n ^ 0, где S°H = R. Наконец,
обозначим через SHC комплексификацию пространства SH.
Для каждого х^Н обозначим через ЕХРя элемент из
SHC, компонентами которого являются: 1 в S°Ht x в SlH>
_±
(п\) 2 в SnH; тогда (EXPjc, EXPy)=ei*iv\ и, кроме того,
можно показать, что элементы ЕХР# линейно независимы и
тотальны в SHC.
Обозначим через О(Я) группу ортогональных
преобразований пространства Я. Для каждого ДеО(Я) и каждого
(>еЯ существует единственный такой унитарный оператор
UA.b* SHC9 что UA,b(EXPx) = exp(-\\b\\2/2-(Ax\b))X
X ЕХР (Ах + Ь) для любого х е Я; при этом Ua, lUa\ v =
= UAA',b+Ab'-
Рассмотрим теперь топологическую группу G, ее
непрерывное представление А с помощью ортогональных
операторов в Я и непрерывный 1-коцикл b^Zl(G,H). Отображение
g*—>UA(g),b(g) является непрерывным унитарным
представлением группы G в 5ЯС, в частности, (UA(g),b(g)' EXPO | EXPO) =
= ехр(—||6(g-)||2/2), откуда получаем
Лемма F.I. Если Е— унитарный G-модуль, и f —
непрерывный 1-коцикл для £, то функция gt—>exp(—ll/(g)ll2/2)
положительно определена.
(Нужно рассмотреть Е как вещественное гильбертово
пространство со скалярным произведением (х, у)ь—> Re(x|у)).
С другой стороны, представления типа Ua, ь играют
фундаментальную роль в построении унитарных неприводимых
представлений некоторых бесконечномерных групп.
Приведем, например, следующий результат (см. [21] и [23]).

250 Приложение F. Гильбертовы симметрические пространства
Предложение F.I. Пусть G — локально компактная сепа-
рабельная группа, (X, \i)—борелевское пространство с
конечной стандартной мерой, не сосредоточенной на точках, А —
нетривиальное ортогональное представление группы G в
вещественном гильбертовом пространстве Н, Ь — непрерывный
1-коцикл для А. Обозначим через £ группу ^-измеримых
отображений из X в G, принимающих только конечное число
различных значений. Определим представление А группы £ в
пространстве Я = L2 (Xt \i, Н) по формуле (А (/) • <р) (л:) =
= A(f(x)) -(p(x) и далее 1-коцикл В для А по формуле
5(f) (х) = b(f(x)). Тогда представления U^i-) В(-) гРУппы 5
в SRC неприводимы, если и только если [-коцикл b не
является кограницей.
Первоначально приведенная выше конструкция была
введена в [127] для групп SO0(n, 1) и SU(n, 1). Отметим, что,
согласно предложению 8.3 из гл. III, эти группы являются
с точностью до локального изоморфизма единственными
связными простыми группами Ли, для которых эта конструкция
дает неприводимое представление.
ЛИТЕРАТУРА
1. Araki H. Factorizable Representations of Current Algebra. Publ. R. I.
M. S. Kyoto Univ., t. 5, 1970, p. 361—422.
2. Aribaud F. Sur le theoreme de Alaoglu — Birkhoff. Seminaire Choquet
Initiation a l'Analyse), 1970/71, n 15.
3. Arveson W. On groups of automorphisms of operator algebras. J. Funct.
Anal., t. 15, 1974, p. 217—243.
4. Бернштейн И. Н., Гельфанд И. М., Гельфанд С. И. Об одной категории
g-модулей. Функциональный анализ и его приложения, т. 10, № 2,
1976, с. 1—8.
5. Bessaga С, Pelczynski A. Seleected Topics in Infinite-dimensional
topology. Monografie Matematyczne, t. 58, 1975.
6. Blanc P. Sur la cohomologie continue des groupes localement compacts.
Ann. Sci. Ec. Norm. Sup., t. 12, 1979, p. 137—168.
7. Borel A, Wallach N. Continuous cohomology, discrete subgroups and
representations of reductive groups. Ann. Math. Studies, n 94, 1980.
8. Bott R. On the Chern —Weil Homomorphism and the Continuous
Cohomology of Lie Groups. Adv. in Math., t. 11, 1973, p. 289—303.
9. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Пер. с франц. — М.: Мир, 1972
(гл. I—III), 1972 (гл. IV—VI), 1978 (гл. VII—VIII).
10. Бурбаки Н. Интегрирование. Векторное интегрирование. Меры Хаара.
Свертка и представления. Пер. с франц. — М.: Наука, 1979.
11. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства Пер. с франц.—
М.: ИЛ, 1959.
12. Бурбаки Н. Общая топология. М.: Наука, 1958 (гл. I—III), 1969
(гл. III—VIII), 1975 (гл. IX—X).
13. Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Пер.
с франц. — М.: Мир, 1975.
13. bis. Бурбаки Н. Алгебра. Пер. с франц.—М.: Физматгиз, 1962.
14. Bruhat F. Distributions sur un groupe localement compact. Bull. Soc.
Math. France, t. 89, 1967, p. 43—75.

Литература
251
15. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. — Пер. с англ.—
М.: ИЛ, 1960.
16. Cartan H., Leray J. Relations entre anneaux d'homologie et groupe de
Poincare. Colloque de Topologie Algebrique, Paiis, 1947, p. 83—85.
17. Cartier P. Vecteurs differentiables dans les representations unitaires des
groupes de Lie. Seminaire Bourbaki, № 454, 1974/75.
48. Casselman W., Wigner D. Continuous Cohomology and a Conjecture
of Serres. Invent. Math., t. 25, 1974, p. 199—211.
19. Chevalley C, Eilenberg S. Cohomology Theory of Lie Groups and Lie
Algebras. Trans. Amer Math. Soc, t. 63, 1948, p. 85—124.
20. Delaroche C, Kirillov A. Sur les relations entre l'espace dual d'un
groupe et la structure de ses sous-grotipes fermes. Seminaire Bourbaki,
№ 343, 1967/68.
21. Delorme P. 1-cohomologie des representations unitaires des groupes de
Lie semisimples et resolubles. Bull. Soc. Math. France, t. 105, 1977,
p. 281—336.
22. Delorme P. Sur la cohomologie continue des representations unitaires
irreducibles des groupes de Lie semi-simples complexes. Lecture Notes
in Math., № 739.
23. Delorme P. Irreducibilite de certaines representations de G(X). J. Funct.
Anal., t. 30, 1978, p. 36—47.
24. Delorme P., Kraljevic H. Article a paraitre.
25. Dieudonne J. Elements d'Analyse, tome 5, Gauthier-Villars, 1975.
26. Dixmier J. Les algebres d'operateurs dans l'espace hilbertien.
Gauthier-Villars, 1969.
27. Диксмье Ж- С*-алгебры и их представления. — Пер. с франц. — М.:
Наука, 1974.
28. Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры. Пер. с франц. —
М.: Мир, 1978.
29. Ducloux F. Sur les n-extensions des representations induites des pro-
duits semidirects. These Univ. Paris — Sud, 1980.
29. bis. Ducloux F. Sur une conjecture de Guichardet. C. R. Acad. Sci.,
t. 292, 1981, p. 983-986.
30. Dupont J. L. Simplicial DeRham Cohomology and Characteristic
Classes of Flat Bundles. Topology, t. 15, 1976, p. 233—245.
31. Dupont J. L. Curvature and Characteristic Classes. Lecture Notes in
Math, № 640.
32. Dupont J. L., Guichardet A. A propos de Tarticle «Sur la cohomologie
reelle des groupes de Lie simples reels». Ann. Sci. Ec. Norm. Sup.,
t. 11, 1978, p. 393—296.
33. Eckmann B. Der Cohomologie —Ring einer beliebigen Gruppe.
Comment. Math. Helv., t. 18, 1945/46, p. 232—282.
34. Eilenberg S., Mac Lane S. Relations between homologv and homotopy
groups. Proc. Nat. Acad. Sci., t. 29, 1943, p. 155—158.
35. Eilenberg S., Mac Lane S. Cohomology Theory in Abstract Groups, I,
II. Ann. Math., t. 48, 1947, p. 51—78, 326—341.
36. Enright T. J. Relative Lie Algebra Cohomology and Unitary
Representations of Complex Lie Groups. В печати.
37. Eymard P. Moyennes invariantes et representations unitaires. Lecture
Notes in Math., n 300.
38. Гельфанд И. М., Граев М. И., Виленкин Н. Я. Обобщенные функции,
т. 5. — М.: Физматгиз, 1962.
39. Гельфанд И. М, Граев М. И., Пономарев В. А. Классификация
линейных представлений группы SL(2, С). ДАН СССР, т. 194, № 5, 1970,
с. 1002—1005.
40. Годеман Р. Алгебраическая топология и теория пучков. Пер. с
франц. — М.: ИЛ, 1964.
41. Greenleaf F. P. Invariant Means on Topological Groups. Van Nostrand,
1969.

252
Литература
42. Greub W., Halperin S., Vanstone R. Connections, curvature and
cohomology. Acad. Press, 1972.
43. Grothendick A. Produits tensoriels topologiques et epaces nucleases.
Mem. Amer. Math. Soc, n. 16, 1955.
44. Grothendick A. Espaces vectoriels topologiques Soc. Math. Sao Paolo
1958.
45. Gruenberg K. W. Cohomological Topics in Group Theory. Lecture
Notes in Math., n 143.
46. Guichardet A. Symmetric Hilbert Spaces and Related Topics, Lecture
Notes in Math., n 261.
47. Guichardet A. Sur la cohomologie des groupes topologiques, I, II, III.
Bull. Sc. Math., t. 95, 1971, p. 161 — 176; t. 96, 1972, p. 305—332; t. 98,
1974, p. 201—208.
48. Guichardet A. Etude de la I-cohomologie et de la topologie du dual
pour les groupes de Lie a radical abelien. Math. Ann., t. 228, 1977,
p. 215—232.
49. Guichardet A. 1-gohomologie des groupes resolubles de type (R) et pro-
priete (P). C. R. Acad. Sci., t. 280, 1975, p. 101—103.
50. Guichardet A. Sur la 1-cohomologie de certains groupes localement
compacts. С R. Acad. Sc, t. 282, 1976, p. 571—573.
51. Guichardet A. Extensions des representations induites des produits
semi-directs. J. fur reine angew. Math.
52. Guichardet A., Wigner D. Sur la cohomologie reelle des groupes de Lie
simples reels. Ann. Sci. He Norm. Sup., t. 11, 1978, p. 277—292.
53. Haefliger A. Differentiable Cohomology. Cours С I. M. E., 1976.
54. Hattori A. On 1-cohomology groups of infinite dimensional
representations of semi-simple Lie algebras. J. Math. Soc. Japan., t. 16, 1964,
p. 226—229.
55. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические
пространства. Пер. с англ. — М.: Мир, 1964.
56. Hilton P., Stammbach U. A Course in Homological Algebra. Graduate
Textes in Math.
57. Hirai T. On irreducible representations of the Lorentz group of n-th
order. Proc. Jap. Acad., t. 38, 1962, p. 258—262.
58. Hirai T. The characters of irreducible representations of the Lorentz
group of м-th order. Proc. Jap. Acad., t. 41, 1965, p. 526—531.
r\/. 59. Hochschild G. On the cohomology groups of an associative algebra.
/ Ann. Math., t. 46, 1945, p. 58—67.
i 60. Hochschild G. On the cohomology theory for associative algebras. Ann.
Math., t. 47, 1946, p. 568-579.
61. Hochschild G. Local class field theory. Ann. Math., t. 51, 1950, p. 331—
347.
62. Hochschild G. Relative homological algebra. Trans. Amer. Math. Soc,
t. 82, 1956, p. 246—269.
63. Hochschild G., Mos'tow G. D. Cohomology of Lie groups. Illinois J.
Math., t. 6, 1962, p. 367—401.
64. Hochschild G., Serre J. P. Cohomology of group extensions. Trans.
Amer. Math. Soc, 74, 1953, p. 110—134.
65. Hochschild G., Seerre J. P. Cohomology of Lie algebras. Ann. Math.,
t. 57, 1953, p. 591—603.
66. Hopf. H. Uber die Bettischen Gruppen, die zu einer beliegen Gruppe
gehoren. Comment. Math. Helv., t. 17, 1944/45, p. 39—79.
67. Houard J. С Une representation integrate des cocycles des groupes de
Lie. С R. Acad. Sci., t. 290, 1980, p. 61—64. См. также J. Math. Phys.,
t. 18, 1977, 502—516.
68. Hu S. Cohomology theory in topological groups. Mich. Math. J., t. 1,
1952, p 11—59.
69. Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления. — М.э
Наука, 1970.

Литература
253
70. Желобенко Д. П. Описание квазипростых неприводимых
представлений групп U(n, 1), Spin (n. 1). Изв. АН СССР, сер. матем., т. 41, № 1,
1977, с. 34—53.
71. Johnson В. Е. Cohomology in Banach Algebras. Mem Amer. Math. Soc,
n 127, 1972. - -
72. Каждан Д. А. О связи дуального пространства группы со строением
ее замкнутых подгрупп. Функ. анализ и его прилож., т. 1, № 1, 1967,
с. 71—74.
73. Хелёмский А. Я. Локально компактная абелева группа с
тривиальными двумерными банаховыми когомологиями компактна. ДАН
СССР, т. 203, № 5, 1972, с. 1004—1007.
74. Климык А. У., Гаврилик А. М. Представления групп U(n, 1) и SO0
(п, 1). Инст. теор. физ. АН УССР, 1976.
75. Kostant В. On the existence and irreducibility of certain series of
representations. В «Lie Groups and Their Representations», A. Hilger,
1975.
76. Koszul J. L. Homologie et cohomologie des algebres de Lie. Bull. Soc.
Math. France, t. 78, I960, p. 65—127.
77. Kraljevic H. The dual space of the group SU(2, 1) and its universal
covering group. Glasnik Mat., t. 7, 1972, p. 173—187.
78. Kraljevic H. On representations of the group SU(n, 1). Trans. Amer.
Math. Soc, t. 221, 1976, p. 433—448.
79. Lang S. Rapport sur la cohomologie des groupes. Benjamin, 1966.
80. Langlands R. P. On the classification of irreducible representations of
real algebraic groups. I. A. S. Princeton, 1973.
81. Lehner J. Discontinuous groups and automorphic functions. Math.
Surveys, n 8, 1964.
82. Leptin H. Zur harmonischen Analyse klassenkompaklen Gruppen. Invent.
Math., t. 5, 1968, p. 249—254.
83. Lipsman R. Group Representations. Lecture Notes in Math., n 388.
84. Lyndon R. С The cohomology theory of group extentions. Harvard
Univ., 1946.
85. Mackey G. W. Les ensembles boreliens et les extensions de groupes. J.
Math, pures et al., t. 36, 1957, p. 171—178.
86. Маклейн С. Гомология. Пер. с англ. — М.: Мир, 1966.
87. Mac Lane S. Origins of the cohomology of groups. Monographies Ens.
Math., n 26, p. 191—221.
88. Mac Lane S. Topology and Logic as a source of Algebra. Bull. Amer.
Math. Soc, t. 8£ 1976, p. 1—40.
89. Matsushima Y. A formula for the Betti numbers of compact locally
symmetric Riemannian manifolds. J. Diff. Geom., t. 1, 1967, p. 99—109.
90. Michel L. Sur les extensions centrales du groupe de Lorentz inhomo-
geneconnexe. Nuclear Physics, t. 57, 1964, p. 356—385.
91. Milicic D. Asymptotic behaviour of matrix coefficients of discrete
series. Duke Math. J., t. 44, 1977, p. 59—88.
92. Montgomery D., Zippin L. Topological transformatin groups, Inter-
science, 1955.
93. Moore С. С. Distal affine transformation groups. Amer. J. Math., t. 90,
1968, p. 733—751.
94. Moore С. С. Extensions and low dimensional cohomology theory of
locally compact groups, I, II. Trans. Amer. Math. Soc, t. 113, 1964, p. 40—
63; 64—86.
95. Moore С. С. Group extensions and cohomology and locally compact
groups, III, IV. Trans. Amer. Math. Soc, t. 121, 1976, p. 1—33; 35—57.
96. Moran W. Some results in cohomology of topological groups. Proc.
Royal Irish Acad., t. 76, 1976, p. 305—316.
97. Mostert P. Local cross sections in locally compact groups. Proc. Amer.
Math. Soc, t. 4, 1953, p. 645—649.

254
Литература
98. Mostow G. D. Cohomology onf topological groups and solvmanifolds.
Ann. Math., t. 73, 1961, p. 20—48.
99. Наймарк М. А. Линейные представления группы Лоренца. — М.: Физ-
матгиз, 1958.
100. Namioka I., Asplund E. A geometric proof of Ryll-Nardzewski's fixed
point theorem. Bull. Amer. Math. Soc, t. 73, 1967, p. 443—445.
101. Pichaud J. 1-cohomologie de representations induites. J. Math, pures et
appl., t. 56, 1977, p. 339—366.
102. Pichaud J. Cohomologie des representations induites L\oc, continues,
differentiables. В печати.
103. Pinchon G., Simon J. Sur'la 1-cohomologie des groupes de Lie semi-
simples. С R. Acad. Sci., t. 279, 1974, p. 455—458.
104. Pinchon G., Simon J. On the 1-cohomology of Lie groups. Letters Math.
Phys., t. 1, 1975, p. 83—91.
105. Pinchon G., Simon J. Extensions of representations and cohomology.
Reports Math. Phys.
106. Pukanszkv L. The Plancherel formula for the universal covering group
of SL(2, R). Math. Ann., t. 156, 1964, p. 96—143.
107. Ragunathan M. S. Vanishing theorems for cohomology groups
associated to discrete subgroups of semi-simple Lie groups. Osaka J. Math.,
t. 3, 1966, p. 243—256.
108: Rideau G. Gauge group and extensions of Poincare group. Physica
Scripta, t. 9, 1974, p. 163—172.
109. Rideau G. Non completely reducible representations of the Poincare
group associated with the generalized Lorentz gauges. J. Math. Phys.,
t. 19, 1978, p. 7.
110. Rideau G. On extensions of mass-zero representations of Poincare group.
Reports in Math. Physics.
111. Rudin W. Fourier Analysis on Groups. Interscience, 1962.
112. Schaefer H. H. Topological Vector Spaces. Graduate Textes in Math.,
1970.
113. Schmid W. Some properties of square-integrable representations of
semi-simple Lie groups. Ann. Math., t. 102, 1975, p. 535—564.
114. Seminaire Nancy-Strasbourg. Lecture Notes in Math., n 739.
115. Теория алгебр Ли, топология групп Ли. Семинар «Софус Ли». Пер.
с франц. —М.: ИЛ, 1956.
116. Seminaire d'Orleans. Soc. Math. France, Asterisque n 55.
117. Cepp Ж.-П. Когомологии Галуа. Пер. с франц. — М.: Мир, 1968.
118. Serre J. P. Corps locaux. Hermann, 1962.
119. Speh B. Indecomposable representations of semi-simple Lie Groups.
В печати.
120. Stasheff J. D. Continuous cohomology of groups and classifying
spaces. Bull. Amer. Math. Soc, t. 84, 1978, p. 513—530.
121. Sweirczkowski S. Cohomology of group germs and Lie algebras. Рас.
J. Math., t. 39, 1971, p. 471—482.
122. Tate J. The higher dimensional cohomology groups of class field theory.
Ann. Math., t. 56, 1952, p. 294—297.
123. Treves F. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Acad.
Press, 1967.
124. van Est W. T. Group cohomology and Lie algebra cohomology in Lie
groups. I, II. Indagationes Mathematicae, t. 15, 1953, p. 484—492; 493—
504.
125. van Est W. T. On algebraic cohomology concepts in Lie Groups. I, II.
Indagationes Mathematices, t. 17, 1955.
126 van Est W. T. Local and global groups. Indagationes Mathematicae,
t. 24, 1962, p. 391—408; 409—425.
127. Вершик А. М., Гельфанд И. М., Граев М. И. Представления группы
G(X) и когомологии. Функц. анализ и его приложения, т. 8, № 2, 1974,
с. 67—69.

Литература
255
128. Vogan D. The algebraic structure of representations of semi-simples
Lie groups. J. Ann. Math., t. 109, 1979, p. 1—60.
129. Vogan D. Irreducible characters of semi-simple Lie groups. I. Duke.
Math. J., t. 46, 1979, p. 61 — 108.
130. Vogan D. Irreducible characters of semi-simple Lie groups, II. В
печати.
131. Wallach N. R. Representations of semi-simple Lie groups and Lie
algebras. Queen's Papers in Pure and Applied Math., n 48, 1978, p. 154—
246.
132. Wallach N. R. Harmonic Analysis on Homogeneous Spaces. M. Dekker,
1973.
133. Wang S. P. The dual of semi-simple Lie groups. Amer. J. Math., t. 91,
1969, p. 921—937.
134. Warner G. Harmonic Analysis on Semi-Simple Lie Groups. Springer,
1972.
135. Warner F. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups.
Scott, Foresman and Co, 197lT
136. Weiss E. Cohomology of Groups. Acad. Press, 1969.
137. Wigner D. Algebraic cohomology of topological groups. Trans. Amer.
Math. Soc, t. 178, 1973, p. 83—93.
138 Yoneda N. On the homology theory of modules. J. Fac. Sci. Tokyo, t. 7,
1954, p. 193—227.
139. Yoneda N. On Ext and exact sequences. J. Fac. Sci. Tokyo, t. 8, 1960,
p. 507—526.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИИ
Вп(К)20
Вп (G, Е) 66
Сп (К) 20
C°°(Gn+\ Я) 125
0C°°(Grt+1, £)l25
Сп (G, Е) 126
°C*(G, Е) 126
C3in (G, £) 127
QCndiU (О, Е) 127
Сяр (G, £) 127
1ос
Cnconi (G, Я) 127
CG153
С£153
C°°(G)170
C°°(G, £*) 170
С~ (G) 170
С~ (G, Е) 170
C°°(Z, £)228
CoindJ E 98
Coind £ 98
<&(Gn + l,'E)\2b
°<&(Gn+\ £)125
tf (X, E) 227
<*?' « 173
Art71
E <§> F 224
E®U(t)F 104
% 183
°£(D 183
Я?' * 173
££* 174
GEM*
Ext£ (Д В) 53
Ext" (Л, В) 53
Extg%(£, F)77
Г153
Г о (X) 62
Fo № Z) 62
G 186
6 186
Gd186
#" (G, Я) 25
#*op(X, Л) 72
Hn (&, 5. ^) 77
#„ (G, £) 66
#*„ор (X, Л) 72
Нп (9, 5, Е) 104
#*diff(G, £)127
^cont(G, £)127
Нот (£, Z7) 226
HomG (£, F) 232
Нотл (£, F) 17
Нот 17
Ял (Я) 20
/х245
Indg £ 35
Ind£ 35
Ind& E 139
Indc£ 139
IndooB 143, 171
Jndp£ 144
inf 43
Lfoc (X, F) 229
tfocC0" Ф*4
L^ 245
^foc№ 1*. £>229
^foc (X, E) 229
Л 55
Л (5) 101
Ml (G) 233
Mc (G) 233
П55
Q (£) 224
Rn(X)7\
res 43
^n (Д В) 50
0rf(i4, 5)50
Torrt (A B) 65
Tor*- * (£, £) Ю4
Tot К180
tf (g) 182
t/°°235
Zn (K) 20
Zn(G, £)66
Z (gc) 182
QP (M, E) 244
®д21б
v56

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аугментация 78, 182
Бикомплекс 180
Внутреннее умножение формы на
вектор 245
Гомотопия 20
— стягивающая 18
Граница 67
Группа аменабельная 131
Группа когомологий комплекса 20
группы со значениями в
модуле 25
бимодуля 218
— Ли типа (R) 165
— относительных когомологий
алгебры Ли 77
левое регулярное действие 18
правое регулярное действие
18
— л-цепей 66 >v
Группы абелевы, двойственные 67
Двойственность 67
Дискретная серия группы 186
Дифференциал 18
Дифференциал представления 235
Изоморфизм G-модудей 17, 232
— Хариш-Чандры 188
Инвариантное среднее 132
Инфляция когомологий 43
Категория относительная 69
Классификация Леглендса 191
Кограницы 20
Кольцо унитарное 215
Комплекс модулей фильтрованный
176
— Л-модулей 18
ацикличный 19
сильный 19
точный 19
— 0-модулей ^-сильный 76
— состоящий из ЛВОП 224
сильный 224
— цепей 63
Комплексы гомотопно
эквивалентные 20
Коцепи 20
— неоднородные 26
— однородные 25
/("-нормализованные 28
Коциклы 20
— неоднородные 26
— однородные 2
— тривиальные 20
ЛВОП 224
ЛВП 224
Многообразие 228, 244
Л-модуль 17
G-модуль 17, 232
— гильбертов 186
— дифференцируемый 235
— индуцированный 35
— в смысле Lfoc 144
Lp 145
С°° 143
— класса С°° 235, 236
— непрерывно индуцированный 139
— неприводимый 232
— относительно инъективный 21,
123
проективный 63
— простой 3

258
Предметный указатель
— топологически вполне
неприводимый 232
неприводимый 232
g-модуль 1^-инъгктивный 76
— квазипростой 182
— коиндуцированный 98
— локально I)-конечный 183
— продуцированный 98
— I)-проективный 103
— унитарный 182
(д, щ -модуль 183
— допустимый 183
(д, К) -модуль 184
— допустимый 186
— квазипростой 186
G-модули гильбертовы, инфините-
зимально эквивалентные 186
— эквивалентные 232
(д, К) -модули, связанные в 5* 112
8 112
— л-связанные в С 112
в 112
•— скрещенный 27
Морфизм ЛВОП сильный 225
— скрещенный 27
Л-морфизм Л-модулей сильный 17
G-морфизм 232
— сильный 123
/(-морфизм /(-сильный 70
g-морфизм ^-сильный 76
Морфизмы двойственные 67
— комплексов 19
гомотопные 19
Носитель G-модуля 241
Обратный образ расширения 52
Ограничение когомологий 43
Оператор границы 67
—- кограницы 18
Подалгебра Ли редуктивная 76
Подгруппа Ли параболическая
стандартная 191
каспидальная 191
Последовательность Линдона —Сер-
ра — Хохшилда спектральная
96, 147
— д-модулей fj-сильная точная 100
— когомологий точная 33
— Серра-Хохшилда точная 96, 149
— спектральная 172
Представление группы в ЛВОП
непрерывное 232
неприводимое 232
равномерно
непрерывное 232
топологически вполне
неприводимое 232
топологически
неприводимое 232
Пренебрежимое множество в
группе 241
Произведение абелевых групп
тензорное 62
— G-модулей прямое 31
тензорное 235
— полупрямое группы на абелеву
группу 37
— расширений 51
— чашечное 56
ку-произведение 56
Производная Ли 245
Прямая сумма G-модулей 31
Прямой образ расширения 51
Разложение Ленглендса 191
Расширения группы при помощи
абелевой группы 37
несущественные
37
эквивалентные 37
— алгебры Ли с помощью
абелевой алгебры Ли 88
я-расширения G-модулей 31
сильные 152
— д-модулей 100
I)-сильные 102
эквивалентные 102
Редукция когомологий 33
Резольвента коцепей Л-модуля 20
сильная 20
— G-модуля стандартная 21
нормализованная 21
относительно инъективная 21
/(-сильная /(-относительно
инъективная 70
— д-модуля ^-сильная ^-проектив-
ная 104
В-резольвента 64
Свойство (Р) 171
— (Р) 171
л-связные элементы в О 171
Сдвиг когомологий 33
n-симплекс сингулярный 71
— стандартный 71

Предметный указатель
259
Система импримитивности 61
Старший вес 188
Трансгрессия 44
тривиальный 182
g-центральный 182
— регулярный 188
Фильтрация бикомплекса вторая
180
первая 180
Формула Стокса 245
Характер g-модуля
инфинитезималчный 182
Цепи 66
— сингулярные 71
Циклы 66
Элемент из ЛВОП класса С°° 235
дифференцируемый 235
— ^-конечный 173
— /(-конечный 186

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Введение 6
Содержание книги 8
Исторические замечания 13
Глава I. Когомологии дискретных групп 17
§ 1. Л-модули, G-модули, комплексы, гомотопии 17
§ 2. Относительно инъективные модули, относительно инъектив-
ные резольвенты 21
§ 3. Когомологии групп: определение и основные свойства ... 25
§ 4. Когомологии расширений G-модулей 31
§ 5. Когомологии индуцированных С-модулей 35
§ 6. 2-когомологии и расширения групп 37
§ 7. Действие G на H*(G, Е). Использование центра .... 40
§ 8. Когомологии расширений групп (без спектральных
последовательностей) ч 43
§ 9. Спектральная последовательность Линдона — Серра — Хох-
шилда 47
§ 10. Некоторые свойства сильных я-расширений . 50
§ 11. Группы Extn(A, В). Зависимость между Hn(G, Нот(Л, В))
и ?fn(At В) ! 53
§ 12. Сильные относительно проективные резольвенты. Группы
Тогя. Гомологии 62
§ 13 Использование языка категорий 68
§ 14. Соотношения между гомологиями и когомологиями групп и
алгебраическая топология 71
Глава II. Когомологии вещественных алгебр Ли 76
§ 1. Общие понятия 76
§ 2. Примеры ^сильных ^-инъективных резольвент 77
§ 3. Вычисление Нп (g, $, E) и Ext* $ (£, F) 83
§ 4. Различны свойства групп Ext" ^ (£, F) ..88
§ 5. Использование скалярных произведений 91
§ 6. Когомологии расширений алгебр Ли 93
§ 7. Когомологии коиндуцированных модулей 98
§ 8. Группы Ext^ ^ и ^-сильные я-расширения 100
§ 9. Проективные резольвенты. Группы Тог*. Язык категорий . . ЮЗ
§ 10. Примеры: группа движений плоскости 107
§ И. Случай полупростых алгебр Ли ПО
§ 12. Результаты, касающиеся SL(2, R) 115
§ 13. Результаты, касающиеся SL(2, С ) 118

Оглавление 261
§ 14. Результаты, касаюшиеся SO0(n, 1) И9
§ 15. Результаты, касающиеся SU(2, 1) 121
Глава III. Когомологии топологических групп 123
§ 1. Общие сведения 123
§ 2. Некоторые свойства: компактность, усредняемость,
отделимость, непрерывные суммы (гильбертовы интегралы) .... 129
§ 3. Использование центров. Случай абелевых групп 136
§ 4. Когомологии индуцированных G-модулей 139
§ 5. Когомологии расширений групп 147
§ 6. Сильные n-расширения; язык категорий 152
§ 7. Соотношения между когомологнями групп Ли и алгебр Ли . 154
§ 8. Несколько результатов, касающихся групп Ли 165
§ 9. Различные дополнения 170
Приложение А. Спектральные последовательности 173
- § АЛ. Определение и первые свойства спектральных
последовательностей 173
§ А.2. Некоторые точные последовательности, ассоциированные со
спектральной последовательностью 175
§ А.З. Спектральные последовательности, ассоциированные
фильтрованным комплексом 176
§ А.4. Некоторые точные последовательности в случае
фильтрованных комплексов 178
§ А.5. Спектральные последовательности, ассоциированные с би-
комплексами 180
Приложение В. g-модули, (g, 1))-модули, (g, К)-модули, основная серия 182
§ В.1. д-модули 182
§ В.2 (д, I)) -модули (см. также [7]) .... 182
§ В.З. (в, К) -модули (см. [7] и [131]) 183
§ В.4. Связь (д, К) -модулей с й-модулями
§ В.5. Обозначения, связанные с полупростыми группами . . .187
§ В.6. Основная серия 188
§ В.7. Простые (д, К) -модули для SL(2, R) 191
§ В.8. Простые (д, f)-модули для si (2, R) 195
§ В,9. Простые (д, К)-модули для SL(2, С) (см. [99], [38]) . . 197
§ В.10. Простые (д, К)-модули для SO0(n, 1) 199
§ В.11. Простые (д, К) -модули для SU(2, 1) 206
Приложение С. Гомологии и когомологии ассоциативных алгебр . . . 215
§ С.1. Общие сведения 215
§ С.2. Функторы Ext" и Тог„ (относительно подалгебры) для А~
модулей 215
§ С.З. Гомологии и когомологии бимодулей 218
§ С.4. Использование центров 220
§ C.5w Гомологии и когомологии индуцированных и коиндуциро-
ванных модулей \ 220
§ Сб. Случай дискретных групп 222
§ С.7. Случай алгебр Ли - . . 223
Приложение D. Векторные топологические пространства, G-модули . . 224
§ D.I. Векторные топологические пространства 224
§ D.2. Пространства 229

262
Оглавление
§ D.3. G-модули .232
§ D.4. Векторы и модули класса С°° 235
§ D.5. Модули над абелевыми группами 239
Приложение Е. Многообразия, группы Ли 244
§ ЕЛ. Обозначения, общие сведения 244
§ Е.2. Топологические когомологии 246
§ Е.З. Действие группы Ли на многообразии 246
§ Е.4. Случай, когда М — однородное пространство G/H .... 243
Приложение F. Гильбертовы симметрические пространства
(Пространства Фока) 249
Литература 260
Список обозначений 256
Предметный указатель 257

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении,
качестве перевода и другие просим присылать по адресу:
129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2,
издательство «Мир».

Ален Гишарде
, КОГОМОЛОГИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП
К АЛГЕБРЫ Ли
Ст. научн. ред. А. А, Бряндинская
Мл. ред. Э. И. Качулина
Художник А. Я- Коршунов
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Т. А. Максимова
Корректор С. А. Денисова
ИБ № 3787
Сдано в набор 26.01.84. Подписано к печати 21.08.84. Формат 60X907i«.
Дхмага типографская № 2. —8,25 бум. л Гарнитура литературная*
Пе тать высокая. Усл. печ. л. 16,50. Усл.-кр» отт. 16,76. Уч.-изд. л. 14,89.
Изд. К* 1/2717. Тираж 4000 экз. Зак. № 75. Цена 2 р. 30 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
129820, Москва, И-110. ГСП, 1-й Рижский пер., 2.
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена
Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения
«Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при
Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский пр., 29.