Когомологии групп и алгебр Ли - Фукс Д.Б., Фейгин Б.Л.

Автор: Фукс Д.Б. Фейгин Б.Л.
Теги: алгебра математика топология монография
Год: 1988
Похожие
Методы гомологической Алгебры Т.1. Введение в теорию космологий и производные категории
Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля Т.4
Топология транзитивных групп преобразований
Лекции по методу орбит. Университетская серия, том 10
Текст
                    133. —, Some remarks on discontinuous groups. Ann. Math., 1945, 46, № 4,
708—718
134. Smith P The fundamental group of a group manifold. Proc. Nat. Acad.
Sci US A" 1934, 20, № 11, 577—578
135. Thurston W Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic
geometry. Bull. Amer. Math. Soc, 1982, 6, № 3, 357—381
136. Tits I Classification of algebraic semisimple groups. Proc. Symp. Pure
Math, v. 9, Providence 1966, 33—62
137 — Buildings of spherical type and finite B-N pairs. Lect. Notes Math.,
1974, 386, 299 p.
138. Wang H.-C. Discrete subgroups of solvable Lie groups. Ann. Math., 1956,
69, № 1, 1—19
139. —, On the deformations of lattices in a Lie group. Amer. J. Math., 1963,
85, № 2, 189—212
140. —, On a maximality property of discrete subgroups with fundamental
domain of finite measure. Amer. J. Math., 1967, 89, № l, 124—132
141. —, Topics on totally discontinuous groups. In: Symmetric spaces. New
York, Marcel Dekker, 1972, 490 p.; 460—485
142. Wang S. P., The dual space of semisimple Lie groups. Amer. J. Math.,
1969, 91, № 4, 921—937
143. —, Homogeneous spaces with finite invariant measure. Amer. J. Math.,
1976, 98, № 2, 311—324
144. —, On density properties of certain subgroups of locally compact groups.
Duke Math. J., 1976, 43, № 3, 561—578
145. Weil A., Discrete subgroups of Lie groups. I. Ann. Math., 1960, 72, № 2,
369—384 (Пер. на рус. яз.: Вейль А., Дискретные подгруппы групп Ли.
I. Математика. Период, сб. перев. ин. статей, 1963, 7, № 1, 3—18)
146. —, Discrete subgroups of Lie groups. II. Ann. Math., 1962, 75, № 3,
578—602. (Пер. на рус. яз.: Вейль А., Дискретные подгруппы групп Ли.
II. Математика. Период, сб. перев. ин. статей, 1963, 7, № 1, 19—42)
147. —, Remarks on the cohomology of groups. Ann. Math., 1964, 80, № 1,
149—157
148. —, Adeles and algebraic groups. Basel, Birkhauser, 1982, 138 p.
149. Wolf J. Spaces of constant curvature. Berkley, Univ. of California, 1972,
408 p. (Пер. иа рус. яз.: Вольф Дж., Пространства постоянной кривизны.
М.: Наука, 1982, 480 с.)
150. Wu Т., Discrete uniform subgroups of Lie groups. Topology, 1970 9, M"» 2,
137—140
151. Yamaguchi S., On some classes of nilpotent Lie algebras and their auto-
automorphism groups. Mem. Fac. Sci. Kyushu Univ., 1981, 35, № 2, 341—351.
152. Zimmer R., Ergodic theory and semisimple groups. Basel, Birkhauser, 1984,
311 p.
153. Zucker S., Satake compactifications. Comment. mathv helv., 1983, 58, № 2,
312—343 / . . . .
УДК 512.664.3; 512.664.4
II. КОГОМОЛОГИИ ГРУПП И АЛГЕБР ЛИ
Б. Л. Фейгин, Д. Б. Фукс
СОДЕРЖАНИЕ
Глава 1. Общая теория 123
§ 1. Основные определения 123
1.1. Гомологии и когомологии дискретных групп 123
1.2. Включение топологии 129
. 1.3. Когомологии и гомологии алгебр Ли 131
1.4. Обобщение: когомологии полусимплициальных пучков и снга-
ловские когомологии 138
§ 2. Простейшие общие свойства 140
2.1. Индуцированные гомоморфизмы н коэффициентные последо-
последовательности 140
2.2. Двойственность Пуанкаре 141
2.3. Тривиальность действия групп и алгебр Ли в их когомологиях 143
§ 3. Взаимосвязи между различными гомологиями и когомологиями 144
3.1. Топологические когомологии группы Ли и когомологии соот-
соответствующей алгебры Ли 144
3.2. Спектральная последовательность Хохшильда — Мостова . 146
3.3. Когомологии групп Ли и их дискретных подгрупп . . . 147
3.4. Когомологии классифицирующего пространства группы Ли и
ее разрывные когомологии . 148
§ 4. Основные вычислительные средства 149
4.1. Спектральная последовательность Серра — Хохшильда . . 149
4.2. Связь с индуцированием и коиндуцированием модулей . . 151
4.3. Внутренние градуировки 152
Глава 2. Интерпретация когомологии и гомологии малых размерно-
размерностей 153
§ 1. Нульмерные и одномерные когомологии и гомологии . . . 153
1.1. Нульмерные когомологии и гомологии 153
1.2. Одномерные когомологии и гомологии 154
§ 2. Расширения 157
2.1. Расширения групп и когомологии 157
2.2. Расширения алгебр Ли и когомологии 158
2.3. Расширения топологических групп и когомологии . . . 160
§ 3. Деформации 163
3.1. Деформации алгебры Ли д и #2(д; й) 164
3.2. Версальные деформации алгебр Ли и других алгебраических
структур |67
Глава 3. Вычисления *'?
§ 1. Конечномерные алгебры Ли 173
1.1. Случай тривиальных коэффициентов 173
1.2. Случай нетривиальных коэффициентов 174
1.3. Теорема Ботта — Костанта 17о
§ 2. Алгебры Ли векторных полей 17о
121

2.1. Полная алгебра Ля формальных векторных полей » . . 17-5
2.2. Случай я=1 • 183
2.3. Другие классические алгебры Лн векторных полей . . . 185
2.4. Алгебры Ли гладких векторных полей на многообразиях . . 188
2.5. Когомология групп диффеоморфизмов 191
§ 3. Алгебры токов 192.
3.1. Алгебры и группы токов и калибровочные группы . . .192
Ъ.2. Когомологии алгебр токов 193
з!з. Когомологии алгебры Ли группы Н(Е) 196
§ 4. Алгебры Ли бесконечных матриц 196
4.1. Введение 196
4.2. Определение алгебры Ли бесконечных матриц . . . . 197
4.3. Алгебры Ли L(End V) и L(End/ V) 198
4.4. Алгебра Ли обобщенно якобиевых матриц и близкие к ней
алгебры Ли 199
4.5. Обобщение
4.6. Алгебры Ли дифференциальных операторов
§ 5. Полубесконечные гомологии . ......
5.1. Определение . . .........
5.2. Вычисления для алгебр Вирасоро и Каца — Муди
§ 6. Явные формулы для коциклов групп . . . . .
6.1. Конструкция Гишарде — Вигнера
6.2. Конструкция Ботта
Комментарий к литературе
200
201
202
202
203
204
204
205
... .... 206
Литература . . . 206
Настоящая статья содержит определения классических,
ван-эстовских и сигаловоких когомологии групп и (непрерыв-
(непрерывных) когомологии алгебр Ли; перечень основных алгебраиче-
алгебраических интерпретаций когомологии размерности 0, 1, 2, 3; опи-
описание способов вычисления перечисленных когомологии; важ-
важнейшие результаты этих вычислений. Последние охватывают
конечномерные группы и алгебры Ли, алгебры Ли векторных
полей и группы диффеоморфизмов, группы и алгебры Ли токов
и алгебры Ли бесконечных матриц.
Мы отказались от написания первоначально запланирован-
запланированной главы «Применения». Эта глава должна была содержать,
среди прочего, разнообразные применения к характеристиче-
характеристическим классам (в том числе слоений) и когомологический вы-
вывод тождеств Макдональда. Мы надеемся, что эти сюжеты бу-
будут отражены в других разделах «Фундаментальных направ-
направлений», в частности, в одном из топологических томов запла-
запланирована статья «Характеристические классы». Оба назван-
названных предмета изложены в книге [34].
Мы отказались также от систематического изложения ко-
когомологии супер алгебр Ли. Интересующийся этим предметом
читатель может обратиться к книгам [13] и [34] и много-
многочисленным статьям (например, [38], [52]). Впрочем, мы не
смогли избежать контактов с когомологиями супер алгебр Ли,
и они появляются у нас, с надлежащими определениями, в
разделе, посвященном деформациям алгебр Ли (см. п. 3.2 гла-
главы 2).
122
Глава 1
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
§ 1. Основные определения
1.1. Гомологии и когомологии дискретных групп.
A. Топологическое определение. Пусть G— дискретная
группа. Из топологии известно, что существует единственное с
точностью до слабой гомотопической эквивалентности связное
пространство, у которого фундаментальная группа есть G, а
старшие гомотопические группы тривиальны. Это пространство
обозначается символом .К F,1-)- Гомологии и когомологии это-
этого пространства с коэффициентами в абелевой группе М по
определению считаются гомологиями и когомологиями
группы G с коэффициентами в М. Это определение распро-
распространяется на ситуацию, в которой абелева группа М является
G-модулем, т. е. G действует в М посредством групповых ав-
автоморфизмов. В этом случае над К(G, 1) возникает локально
постоянный пучок со слоем М (локальная система групп, изо-
изоморфных М), и гомологии и когомологии пространства
К(G, 1) с коэффициентами в этом пучке по определению счи-
считаются гомологиями и когомологиями-группы G с коэффи-
коэффициентами в G-модуле М.
B. Отступление: конструкция K(G, 1). Известно, что
K(G, 1) есть не что иное, как классифицирующее пространство
BG главных G-расслоений; это, в точности, означает, что BG
есть база главного G-расслоения EG-+-BG с асферическим про-
пространством EG. Имеется классическая конструкция Милнора
такого расслоения. В. этой конструкции EG есть реализация
полусимплициального множества
:G X
X G X
в котором ?-й оператор грани Gn-+Gn~l действует по формуле
<?i. •••.?я)"-(?г. ••• gi'-^gn)- Группа G свободно действует
в EG (посредством левых сдвигов в каждом сомножителе
каждого GX-.-X^), н база возникающего G-расслоения
есть BG.
Множество гс-мерных симплексов пространства BG полу-
получается из множества Gn+l «-мерных симплексов пространства
EG посредством отождествления
(gi, ¦¦-,
(ggu • • •. ggn+i).
Мы отождествляем фактормножество с Gn, считая, что
(gi, ¦ ¦ ¦ ,gn) есть совокупность элементов
(g, ggu ggigi, ...,ggi---gnNGn+1,
123

2.1. Полная алгебра Ля формальных векторных полей . . . 175
2.2. Случай я=1 - 183
2.3. Другие классические алгебры Ли векторных полей . . . 185
2.4. Алгебры Ли гладких векторных полей на многообразиях . . 188
2.5. Когомологии групп диффеоморфизмов 191
§ 3. Алгебры токов 192.
3.1. Алгебры н группы токов и калибровочные группы . . . -192
3.2! Когомологии алгебр токов 193
з!з. Когомологии алгебры Ли группы Н(Е) 196
§ 4. Алгебры Ли бесконечных матриц . . 196
4.1. Введение 196
4.2. Определение алгебры Ли бесконечных матриц . . . . 197
4.3. Алгебры Ли L(End V) ' к L(End/ V) 198
4.4. Алгебра Ли обобщенно якобиевых матриц и близкие к ией
алгебры Ли 199
4.5. Обобщение 1 » . » i 200
4.6. Алгебры Ли дифференциальных операторов 201
§ 5. Полубескоиечные гомологии . 202
5.1. Определение . . . . . . . „. . . . . . 202
5.2. Вычисления для алгебр Вирасоро и Каца — Муди . . . 203
§ 6. Явные формулы для коциклов групп ....... 204
6.1. Конструкция Гйшарде — Вигнера . . ...... 204
6.2. Конструкция Ботта 205
Комментарий к литературе 206
, Литература 206
Настоящая статья содержит определения классических,
ван-эстовских и сигаловоких когомологии групп и (непрерыв-
(непрерывных) когомологии алгебр Ли; перечень основных алгебраиче-
алгебраических интерпретаций когомологии размерности 0, 1, 2, 3; опи-
описание способов вычисления перечисленных когомологии; важ-
важнейшие результаты этих вычислений. Последние охватывают
конечномерные группы и алгебры Ли, алгебры Ли векторных
полей и группы диффеоморфизмов, группы и алгебры Ли токов
и алгебры Ли бесконечных матриц.
Мы отказались от написания первоначально запланирован-
запланированной главы «Применения». Эта глава должна была содержать,
среди прочего, разнообразные применения к характеристиче-
характеристическим классам (в том числе слоений) и когомологический вы-
вывод тождеств Макдональда. Мы надеемся, что эти сюжеты бу-
будут отражены в других разделах «Фундаментальных направ-
направлений», в частности, в одном из топологических томов запла-
запланирована статья «Характеристические классы». Оба назван-
названных предмета изложены в книге [34].
Мы отказались также от систематического изложения ко-
когомологии супералгебр Ли. Интересующийся этим предметом
читатель может обратиться к книгам [13] и [34] и много-
многочисленным статьям (например, {38], [52]). Впрочем, мы не
смогли избежать контактов с когомологиями супералгебр Ли,
и они появляются у нас, с надлежащими определениями, в
разделе, посвященном деформациям алгебр Ли (см. п. 3.2 гла-
главы 2).
122
Глава 1
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
§ 1. Основные определения
1.1. Гомологии и когомологии дискретных групп.
A. Топологическое определение. Пусть G — дискретная
группа. Из топологии известно, что существует единственное с
точностью до слабой гомотопической эквивалентности связное
пространство, у которого фундаментальная группа есть G, а
старшие гомотопические группы тривиальны. Это пространство
обозначается символом./С(&,1.). Гомологии и когомологии это-
этого пространства с коэффициентами в абелевой группе М по
определению считаются гомологиями и когомологиями
группы G с коэффициентами в М. Это определение распро-
распространяется на ситуацию, в которой абелева группа М является
G-модулем, т. е. G действует в М посредством групповых ав-
автоморфизмов. В этом случае над K(G, 1) возникает локально
постоянный пучок со слоем М (локальная система групп, изо-
изоморфных М), и гомологии и когомологии пространства
К(G, 1) с коэффициентами в этом пучке по определению счи-
считаются гомологиями и когомологиями-группы G с коэффи-
коэффициентами в G-модуле М.
B. Отступление: конструкция K(G,l). Известно, что
K(G, 1) есть не что иное, как классифицирующее пространство
BG главных G-расслоений; это, в точности, означает, что BG
есть база главного G-расслоения EG-+-BG с асферическим про-
пространством EG. Имеется классическая конструкция Милнора
такого расслоения. В этой конструкции EG есть реализация
полусимплициального множества
X
X G X
в котором i-й оператор грани Gn-^-Qn~1 действует по формуле
¦<?i. ••¦>gn)t-*(gu ... gi--->gn)- Группа О свободно действует
в EG (посредством левых сдвигов в каждом сомножителе
каждого GX---XG), и база возникающего G-расслоения
есть BG.
Множество «-мерных симплексов пространства BG полу-
получается из множества Gn+1 «-мерных симплексов пространства
EG посредством отождествления
(gl, • - • . gn+l) ~ (ggl, • • • , ggn+l) ¦
Мы отождествляем фактормножество с Gn, считая, что
(gi, ¦ ¦ •. gn) есть совокупность элементов
(g, ggu ggig* ¦¦-,ggi---gnNGn+1, gGG.
123

Легко вычислить фактороператоры граней Gn-*-Gn-1. Полу-
ледующий результат. Пространство BG есть реализа-
симплициального множества
чается следующий результат. Прост
ция лолусимплициального множества
в котором п+1 операторов граней
формулам
действуют по
(gi, • •.,
(gig* #3. • • • . gn)>
(gl> g2g3> g4, • • •.
(gl> ••'¦> gn-2, gn-lgrd>
(gl, -.., gn-2> gn-l)-
С Прямое описание когомологий группы. Эти описания
пространств EG и BG позволяют дать два разных описания
комплексов для вычисления гомологии группы G с коэффициен-
коэффициентами в G-модуле М: можно взять инвариантные цепи (коцепи)
пространства EG или цепи (коцепи) пространства BG с надле-
надлежащим образом подкрученными коэффициентами. В первом
варианте ^-мерные коцепи группы G с коэффициентами в М—
это функции ф:бХ---ХО^Д удовлетворяющие условию
Ф (ggo> • • •. ggq) = ёФ (go, -••¦> gq) (в правой части подразумевается
действие группы G в М). Группа ^-мерных коцепей группы G с
коэффициентами в М обозначается через С" (G; М), дифферен-
дифференциал &:C{G; M)-*~Cq+l(G; M) действует по формуле
9+1
6ф(?о. • • •. g>+i)=2 ( — 1)'ф(^о' ..-§¦«..., gV+i)-
i = l
Во втором варианте ^-мерные коцепи — это произвольные функ-
функции ^:Gj><^o<G->-М, дифференциал S:С9(G; М)-*Cq+l(G; Щ
я
действует по формуле
=giV (ffa. • • •.
2
+ 2 (- JL (ffi. • • • •
Отождествление двух сортов коцепей (оправдывающее совпаде-
совпадение обозначений) производится по формулам
ф -
ф feo. • • • .
124
Соответствующие когомологий
(П-Mi—
; M)]
[в:С,_1(а.
и являются когомологиями группы G с коэффициентами в М;
вышеизложенное описание групп Cv(G;M) и дифференциалов
б доставляет независимое (от K(G, 1)) определение этих ко-
когомологий.
D. Прямое описание гомологии групп. Аналогичное (под-
(подсказываемое той же. моделью пространства K(G, 1)) описание
имеют гомологии группы G с коэффициентами в М, только М
удобно считать при этом правым G-модулем (в принципе,
между левыми и правыми модулями разницы нет, одни прев-
превращаются в другие при" помощи формулы gm=tng-1). Группа
цепей Cq{G;M) имеет два равносильных описания: как фак-
факторгруппа группы формальных линейных комбинаций
UtTliigoi, ¦ ¦ ->gqi)> ГПг&М, gjfiG,
по подгруппе, порожденной разностями вида
mg\g0,..., gq)—m(gg0,..., ggq),
или как группа линейных комбинаций S/n([gn,.. ., gqi] (скоб-
(скобки разного вида должны исключить смешение разных описа-
описаний); отождествление производится по формулам
m(g0, ...t g9)^mg0[g-'gu g-*g2, ..., g-lg,],
"Ь \gu • • • ' gq\-*m A, gu gXg2, ..., glg2 ¦ • • gq)-
Дифференциал d:C9(G; M)^-Cq_i(G; M) действует по формулам
q
d(m(g0, ..., ^
q—l
i—1
d(m[gu ...,gq]) =
1)'m\Si> ---'
E. Когомологий и гомологии аугментированной ассоци-
ассоциативной алгебры. Определение когомологий и гомологии групп
вмещается в рамки более общего определения, которое важно
для нас еще и потому, что ниже мы столкнемся и с другими
его специальными случаями. Пусть А — ассоциативная ал-
алгебра с единицей над полем (или кольцом с единицей) k, на-
наделенная аугментацией — мультипликативным ^-линейным
эпиморфизмом е : A-*-k; аугментация позволяет рассматри-
рассматривать k как (двусторонний) Л-модуль: ап=па=е(а)п, абЛ, nGk.
Зафиксируем для этого модуля свободную резольвенту, т. е.
точную последовательность левых Л-модулей
125

в которой все Fi свободны (достаточно было бы потребовать,
чтобы они были проективными, см. т. 11). С произвольным
левым Л-модулем М ассоциируется комплекс
Hoiru (Fo, ЛГ)-^Нопи (Fu M)^ ... ,
а с произвольным правым Л-модулем М ассоциируется ком-
ПЛ6КС
В гомологической алгебре доказывается, что гомологии этих
комплексов не зависят от выбора свободной (проективной)
резольвенты в сильном смысле: замена резольвенты приводит
к замене гомологии обоих комплексов канонически изоморф-
изоморфными. Это позволяет назвать гомологии двух построенных ком-
комплексов соответственно когомологиями и гомологиями ал-
алгебры. А с коэффициентами в М; обозначения: Hq(A; M) и
Это определение имеет следующее обобщение. Можно не
требовать, чтобы алгебра А была аугментирована, и заменить
k произвольным (левым) Л-модулем L. Для L фиксируется
свободная или проективная резольвента
и гомологии комплексов
(Fo, M)-+ Ношд (Fx, M) ->...,
М<В>AF0 ч- М® л/7! -е-...
обозначаются соответственно через Ext^ (L, М) и ТогА (М, L).
Таким образом, Hq (А? М) = Е±РА (k, M) и Н„(А;М) =
= Тог? (М, k).
Факт существования свободной резольвенты модуля k (илн
любого другого модуля) совершенно очевиден: в качестве Fo
можно взять А, в качестве е — аугментацию е. Далее мы выби-
выбираем систему образующих Л-модуля Кег есгЛ и определяем Fj
как свободный Л-модуль, (свободные) образующие которого
находятся во взаимно однозначном соответствии с образующи-
образующими Л-модуля Кег е. Это соответствие рпределяет отображение
Fi-*-K&r eczA—Fo, которое мы принимаем за д\. Затем мы
делаем то же с Л-модулем Кег d\CzF\ и получаем свободный
модуль Fi с отображением /V-^-Ker d\CzFu которое мы прини-
принимаем за <?2- И так далее. Существует, однако, каноническая
свободная резульвента Л-модуля k, которая называется бар-
резольвентой. В ней Fq=A®ji.. .®ьА (q+l сомножитель),
отображение dq : Fq-^Fq-l действует по формуле
дя (а0®... ®а9) = е (а0)
126
Для нас наибольшее значение имеет тот факт, что когомо-
логии и гомологии аугментированных ассоциативных алгебр в
естественном смысле представляют собой обобщение когомоло-
гий и гомологии групп. Именно, с группой G естественно свя-
связана групповая алгебра Z[G] (над Z), составленная из фор-
формальных (конечных) линейных комбинаций Hkigi, &(GZ, gt&G.
Умножение в Z[G] определяется формулой Bfe«g*) (Е/Д3-) =
= '2u(kilj) (gihj), аугментация Z[G]-*-Z — формулой 'Zkigi"''Zki.
Ясно, что G-модули — это то же самое, что ZfGJ-модули. Легко
понять, далее, что если М есть G-модуль (Z[G]-модуль), то
Hi(G;M)=H<i{Z[G];M),
Hg(G;M)=Hq(Z{G];M);
чтобы убедиться в этом, достаточно сопоставить описание ле-
левых частей равенств, данное в пп. С, D, и описание правых
частей равенств через бар-резольвенту Z над Z[G].
F. Умножение. Как известно, когомологии топологического
пространства с коэффициентами в коммутативном кольце сами
обладают кольцевой структурой. Поскольку когомологии груп-
группы G определены нами как когомологии пространства K(G,l),
они обладают умножением, если таковым обладает область
коэффициентов. Именно, если G-модуль М обладает G-струк-
турой коммутативного кольца, т. е. структурой коммутативного
кольца с дополнительным условием {gnij) (gm2) =^(mim2), TO
возникает билинейное умножение
обладающее свойствами ассоциативности и «косой коммутатив-
коммутативности» -сф=(—1)Р«-рсь, a&HP(G;M), рбЯ«(С;М). Иногда вме-
вместо ар пишут аи^ и, в соответствии с этим, называют указан-
указанное умножение ^-умножением. Это умножение можно
построить и не обращаясь к топологии: оно индуцируется
умножением на коцепном уровне, задаваемым формулой (мы
пользуемся вторым описанием коцепей группы — см. п. С)
¦=ф (gl, ¦¦¦ >gp) 'gl • • • gp'ty (gp + U • • • » gp+q) ¦
(В когомологиях и гомологиях групп существуют и многие
другие умножения; читатель может познакомиться с ними по
главе V книги Брауна [43].)
Внедрение умножения в когомологии аугментированных ал-
алгебр встречает трудности. Именно, если Л', А" — две аугменти-
рованные алгебры над одним полем (кольцом с единицей) k,
то свободные (проективные) резольвенты
127

e' ,"l , 
e" /1 /2
0 ¦«- k ¦<— Fo ¦*- Fi 4- ...
можно «тензорно перемножить» и получить свободную или
проективную резольвенту k над алгеброй А'®А" (с умноже-
умножением (а'®а") (Ъ'®Ъ")=а'Ъ'%а"Ь").
в которой тензорные произведения Fa ®F$ наделяются естест-
естественными структурами (свободных или проективных) А'®А"-иоду-
А'®А"-иодулей, гомоморфизмы е и дт определяются формулами
Для Л'-модуля М' и Л"-модуля УИ" возникают естественные
отображения
При переходе к гомологиям эти отображения приводят к умно-
умножениям
Нр (А'; М')®Н« (А"; М")-+Нр+« {А'® А"; М'®М"),
НР(А'; M')®Hq(A"\ М^^Нр+^А'ЯА"; М'®М").
Для гомологии мы этим и ограничимся, а для когомологий су-
существенное добавление может быть сделано в случае так на-
называемых алгебр Хопфа. Так называется алгебра А над полем
(кольцом с единицей) k, наделенная, в дополнение к умноже-
умножению \i: A<giA—>-A, коумножением или диагональю А : А-^*-А®А,
причем в дополнение к требованию ассоциативности умноже-
умножения, которое выражается коммутативностью диаграммы
А®А®А
А®А—й
in
А
должны вьшолняться требования коассоциашивносша коумно-
жения, выражающиеся коммутативностью диаграммы
А®А
-А,
128
а также согласованностью умножения и коумножения, которое
состоит- в том, что А есть мультипликативное отображение ал-
алгебры А в алгебру А®А (или, что эквивалентно, ц есть ко-
мультипликативное отображение коалгебры А®А в шэалгеб-
ру Л). Если А есть алгебра Хопфа, то коумножение А:А~*-
->Л<8>Л индуц-ирует отображение #*(Л<8>Л; М)-*~Н*(А; М), и,
комбинируя это отображение с построенным выше умноже-
умножением (с А'—А"=А), мы получаем умножение
Нр (Л; М') ®№ (Л; М")->-Яр+9(Л; М'®М").
Если же М'—М''=М и М обладает Л-структурой коммутатив-
коммутативного кольца (читателю представляется самому расшифровать
этот термин), то в дополнение к этому возникает отображение
Hp+Q(A; M<2)M)^>-Hp+i(A; M), которое позволяет придать на-
нашему умножению окончательный вид:
Нр (Л; Af) ®#«(i4;
(Л; М).
Последнее умножение обладает обычными свойствами когомо-
когомологического умножения (см. выше).
Связь этой конструкции с предыдущей осуществляется
посредством следующего замечания: групповая алгебра всегда
обладает естественной структурой алгебры Хопфа. Именно,
коумножение
А :
действует по формуле g1-* 1<8>я+Я(8>1 Для любого g&G. Убе-
Убедиться в том, что изложенная выше частная конструкция умно-
умножения в когомологиях групп согласуется с предыдущей общей
конструкцией умножения в когомологиях алгебры Хопфа, мы
предоставляем читателю.
(В заключение заметим, что наличие структуры алгебры
Хопфа в групповой алгебре не должно, вызывать удивления.
Дело в том, что наличие этой структуры в алгебре А более или
менее равносильно существованию естественной конструкции,
наделяющей структурой Л-модуля тензорное произведение
двух Л-модулей; для модулей над групповой алгеброй или,
что то же, для модулей над группой такая конструкция, ко-
конечно, имеется.)
1.2. Включение топологии. В этой статье главное внимание
уделяется случаю, когда G — топологическая группа (и даже
группа Ли). Имеется два способа внедрить топологию в изло-
изложенную выше теорию.
А. Когомологий и гомологии пространства BG. Первый спо-
способ состоит в замене пространства K(G, 1) классифицирующим
пространством BG группы G, т. е. базой главного G-расслоения
EG-+-BG с асферическим пространством EG. Хорошо известно,
что этим своим свойством пространство BG определяется с точ-
точностью до слабой гомотопической эквивалентности.
9—1370
28
129

Таким образом одним из возможных топологических ана-
аналогов когомологии' и гомологии группы G являются когомоло-
когомологии и гомологии пространства BG. При этом в качестве обла-
области коэффициентов может выступать произвольная локальная
система абелевых групп на BG. Эти системы находятся в со-
соответствии с модулями над фундаментальной группой ni(BG),
которая не отличается от группы Jt(G) компонент группы G.
Другими словами, при рассмотрении когомологии и гомологии
пространства BG приходится ограничиваться только теми
G-модулями, сужение которых на компоненту Go единицы
группы G тривиально.
Пространства EG и BG строятся в топологическом случае
как реализации тех же симплициальных схем, что и в диокрет-
ном случае (см. п. 1.В), но рассматриваемых не как полусим-
плициальные множества, а как полусимплициальные топологи-
топологические пространства. (В топологии эту конструкцию про-
пространств EG и BG называют милноровской.) Таким образом,
EG и BG получаются при надлежащем отождествлении из то-
топологических сумм
n<<L
л>0
... XG)XT",
я+1
я>0
где Тп есть «-мерный стандартный симплекс.
Заметим, что эта конструкция не дает ни клеточного раз-
разбиения пространства BG, ни обозримого описания его сингу-
сингулярного комплекса; поэтому прямо применить эту конструкцию
к вычислению 'когомолбгий и гомологии пространства BG не
удается. Все же из нее можно извлечь некоторое обобщение
вычисления когомологии дискретной группы при помощи
стандартного «оцепного комплекса; этим обобщением является
спектральная последовательность Эйленберга — Мура [47].
Опишем свойства этой спектральной последовательности,
ограничившись, для простоты, случаем тривиального моду-
модуля М.
Теорема 1. Для любой топологической группы G и любой
абелевой группы М существует спектральная последователь-
последовательность, предельный член которой присоединен к Н* (BG; M) и
у которой
i=0
где dt обозначает отображение Gp+1->Gp, определяемое форму-
формулами
== (ffl» • • • » gigi+Ъ • • • i ,
130
Эта спектральная последовательность ассоциирована с есте-
естественной полусимплициальной фильтрацией пространства ВО:
Если группа О дискретна, то Ei'" = 0 при <?>0, а Е?'° и df'°
представляют собой не что иное как Ср (G; М) и д:Ср (G; М)-+
-*-Cp+1(G; М), где М рассматривается как модуль с тривиальным
действием группы G.
В. Непрерывные или ван-эстовские когомологии группы G.
Другой способ топологизировать когомологии (но не гомоло-
гомологии) группы G состоит в том, чтобы сделать это на более
позднем, чем в п. А, этапе. Именно, мы вносим в определение
стандартного коцепного комплекса группы, данное в п. 1.1.С,
следующее изменение. Группу G мы считаем топологической
группой, М считаем топологическим G-модулем (т. е. М есть
топологическая абелева группа и отображение GX.M-+-M,
вносящее в М структуру G-модуля, непрерывно). Далее,
Cp(G;M) описывается двумя эквивалентными способами: либо
как пространство непрерывных G-инвариантных функций
Gi+l—*-M, либо как пространство всех непрерывных функций
Gi^f-M; отождествление двух сортов коцепей и дифференциал
б : Ci(G; 7Vf)-vC«+1(G; M) описываются теми же формулами,
что в п. 1,1.С (моментальная проверка показывает, что это оп-
определение корректно). Полученные когамологии называются
непрерывными или ван-эстовскими когомологиями группы G с
коэффициентами в М и обозначаются через /fce(G;M).
(Заметим, что описание когомологии через резольвенты про-
произвольного вида по-прежнему возможно, но требуется внести
изменения в определение проективного модуля и точной после-
последовательности; в частности, последовательность F^-G-^H точна,,
если существует согласованный с <р и ^ гомеоморфизм G за
Ск1:)
ф)
Если М обладает (непрерывной) G-структурой коммутатив-
коммутативного кольца, то определение, данное в п. 1.1. F, наделяет
когомологии Н* (G; М) умножением.
Если G — (вещественная или комплексная) группа Ли и М
есть G-модуль класса С°°, то у нас появляется возможность
ограничиваться С°°-коцепями. Как оказывается, в важнейших
случаях (например, в случае dim G<oo, сНтЛГ<;оо) эта
замена не оказывается на когомологиях (см. [54] или [67]).
Мы не будем заниматься выяснением подробностей, но примем
следующее соглашение. Если G есть группа Ли и М есть G-мо-
G-модуль класса С", то обозначения и названия, введенные в этом е
пункте, мы будем без всяких оговорок относить к С^-жоцепям
и соответствующим когомологиям.
1.3. Когомологии и гомологии алгебр Ли.
А. Комплекс оо-струй коцепей группы Ли. В этом пункте мы
считаем ^-мерные коцепи группы G функциями на G«.
Очевидная лемма. Пусть с: G*-*-М есть ^-мерная ко-
9*
131

¦цепь класса С°° (ве1Ыественн°й или комплексной) группы Ли G
со значениями в <7-модуле М класса С00. Тогда оо-струя в точке
(I,--., l)GGq+1 коцепи 8с зависит только от оо-струи в точке
(l,...,'l)eG« коцепи с.
Эта лемма позволяет рассматривать комплекс оо-струй ко-
коцепей группы G.
С°(ОВ) (О;
(О;
где Cfoo) (G; М) обозначает пространство оо -струй G9 -+М
в точке A, ..., 1N0'. Когомологий этого комплекса мы будем
обозначать через //*<*,) (С?; М). Поскольку комплекс оо-струй
л*вляется факторкомплексом коцепного комплекса группы О,
возникает естественное отображение
Поскольку комплекс оо-струй зависит только от инфинитези-
мальной окрестности единицы группы G, не удивительно, что
он допускает чисто алгебраическое описание в терминах соот-
соответствующей алгебры Ли. Это описание требует следующего
общего определения.
В. Определение когомологий и гомологии алгебры Ли. Пусть
g—алгебра Ли (над полем k), U(%)—ее универсальная обер-
обертывающая алгебра (т. е. ассоциативная алгебра с единицей,
содержащая д в качестве линейного подпространства и порож-
порождаемая д с определяющей системой соотношений gh—hg =
— [g,h], g,h%, где квадратные скобки обозначают операцию в
д; аугментация переводит 1 в 1 и все д в 0). По определению,
?/(д)-модули считаются д-модулями (другими словами, д-модуль
есть линейное пространство М над k, в котором всякий элемент
g алгебры д определяет эндоморфизм Тё: М-*-М, линейно за-
зависящий от g и такой, что Tlg,hj = Tg°Th—ThoTg для любых
?, h%; вместо Tgm обычно пишут gm).
Основное определение. Когомологии и гомологии
алгебры ?/(д) с коэффициентами в g-модуле М по определению
считаются когомологиями и гомологиями алгебры. Ли д с коэф-
коэффициентами в М, и для них употребляются обозначения
НМ) Н(М)
В этом определении д — абстрактная алгебра Ли, не связан-
связанная ни с какой группой Ли. Посмотрим, что это определение
дает для алгебр Ли группового происхождения.
Как известно, касательное пространство ТХО в единице 1
группы Ли G обладает естественной структурой алгебры Ли.
Если д —алгебра Ли, соответствующая группе Ли О, то про-,
извольный гладкий G-модуль М (последнее означает, что М
есть векторное пространство над основным полем—R или С —
и структурное отображение <Эу^М-*-М гладко) обладает есте-
132
ственной структурой д-модуля: если 4&8 = TiG и твМ, то>
аГ &еГП) 1'=°' где gtGG, t?R, —гладкая кривая на G
Теорема 2. Пусть С? —группа Ли, g—- соответствующая
алгебра Ли, М—произвольный G-модуль класса С°°. Тогда
H*(oo)(G;M)=H*(q;M).
Действительно, сопоставление с элементом алгебры Ли 9
правоинвариантного векторного поля на G продолжается до
отображения . U(q)->D (G), где D (G) есть кольцо дифферен-
дифференциальных операторов в С°° (G). Если с есть оо -струя коцепю
группы G с коэффициентами в М и c.G^-^-M—представляющая,
ее С°°-коцепь, то мы можем поставить в соответствие набору
(аъ ..., а^ви ($)" элемент (а, X ... X«,)c](i \)GM, где at—
дифференциальный оператор, соответствующий at. Ясно, что=
возникающая коцепь из С (U ($); М) взаимно однозначно опре-
определяет с, так что мы получаем изоморфизм
Проверка показывает, что этот изоморфизм перестановочен с
дифференциалами, и это завершает доказательство теоремы.
В частности, конструкция предыдущего пункта дает канони-
каноническое отображение
H:(G;M)^H*«i;M).
Мы обследуем это отображение подробнее в § 3.
С. Стандартный коцепной комплекс алгебры Ли. Исполь-
Используя специфику алгебры ?/(д), можно построить для f/(g)-моду-
f/(g)-модуля k каноническую резольвенту, значительно менее громозд-
громоздкую, чем бар-резольвента. Именно, положим
, (g)g 0)
(Лч обозначает q-ю внешнюю степень, которая, как и тензор-
тензорное произведение, берется над k); по отношению к левому дей-
действию ?/(д) (не затрагивающему Л«д) это — свободный f/(g)-
модуль. Определим, далее, отображение dq : Cq-^-Cq-i формулой.
• • • Ag9))
2 (~-
Лемма. Последовательность
точна.
133

Набросок доказательства. Утверждение леммы в
точности означает, что комплекс {Cq, dq} ацикличен, т. е. у не-
него нетривиальны только 0-мерные гомологии, которые равны
к. Алгебра U(s) имеет естественную фильтрацию: FmU($) ли-
линейно порождается произведениями gx . .. gt, l^m. Эта фильт-
фильтрация индуциРУет фильтрацию в нашем комплексе, и при пе-
переходе от нашего комплекса к начальному члену соответствую-
соответствующей спектральной последовательности происходит следующее
изменение: место ?/(g) занимает пространство симметрических
форм 5*д, а дифференциал dq заменяется дифференциалом
g
{ •••
Достаточно проверить ацикличность последнего комплекса,
она вытекает из существования нуль-гомотопии:
g\--- k
Заменяя бар-резольвенту модуля k над U($) построенной
резольвентой, мы получаем следующие комплексы для вычис-
вычисления когомологий и гомологии алгебры Ли g с коэффициента-
коэффициентами в модуле М:
С (в; М) = Нош* <Л*в. -М). Cq (g; М) = М®йЛ«д,
дифференциалы б:С?(д; Л1)^С*+1(д; М) и d:C?(g; M) ->¦
-*Ct_i (g; M) действуют по формулам
(—
л
u=l
¦¦¦Agq-
_ \ • • • gu • .
iyGC9 (q; M), gx, . ..,g"ff+i68> rn?.M). Эти комплексы называются,
соответственно, стандартными коцепным и цепным комплек-
комплексами алгебры Ли g с коэффициентами в М.
Заметим, что
(8;
134
и предыдущая лемма показывает, что
-{
Заметим еще, что если М есть тривиальный g-модуль, т. е. если
gm — Q для любых gQQ, mGM, то вторые слагаемые в правых час-
частях формул для д я д пропадают. Если, кроме того, M = k, то
обозначения НЦ&М), Hq{$\M) сокращаются до Я«(д), #<z(g),
D. Условие непрерывности. Бесконечномерные алгебры Ли,
как правило, бывают топологическими, т. е. обладающими то-
топологией, по отношению к которой все операции непрерывны.
Соответствующему условию непрерывности удовлетворяют и
наиболее естественные. модули над этими алгебрами. Напри-
Например, алгебра Ли векторных полей класса С°° на С~-многообра-
зии является топологической алгеброй Ли по отношению к С°°-
топологии, и модуль С°°-функций (также с С°°-топологией)
удовлетворяет условию непрерывности.
В этой ситуации в коцепном комплексе {Сч (g; M), 6} естест-
естественно выделяется подкомплекс, образованный непрерывными
коцепями A^g-wVf. В дальнейшем, говоря о коцепях и когомо-
логиях топологической алгебры Ли, мы будем автоматически
считать, что речь идет о непрерывных коцепях и когомологиях.
Заметим, что гомоморфизм Н*с (G; М)-±Н* (g; M), определен-
определенный в п. В, в бесконечномерной топологической ситуации
естественно рассматривать как гомоморфизм в непрерывные
когомологий алгебры Ли д. Действительно, этот гомоморфизм
можно эквивалентным образом определить посредством отобра-
отображения С?(О; M)->O(g; M), относящего коцепи c:GqJrl-+ M из
С? (G; М) коцепь
gu •
2i c
где ехр — экспоненциальное отображение g->-G. Ясно, что по-
последняя коцепь непрерывна.
Е. Коцепной комплекс алгебры Ли и формула Э. Картана.
Формулу для дифференциала б из п. С часто кладут в основу
определения когомологий алгебры Ли (как мы, по существу, и
сделали в п. D), и тогда она кажется громоздкой и неестест-
неестественной. Между тем она хорошо известна в геометрии и анали-
анализе, поскольку по виду она ничем не отличается от формулы
Картана для дифференциала дифференциальной формы. Чтобы
она превратилась в формулу Картана, достаточно заменить
букву б буквой d и считать y внешней дифференциальной фор-
формой степени q в евклидовом пространстве или на гладком мно-
многообразии, a gi,..-,gq+i — векторными полями; левая и правая
части формулы станут при этом гладкими функциями. По-дру-
По-другому это можно выразить так. Дифференциальная форма сте-
135

пени q на многообразии является <7-меРнои коцепью алгебры
Ли векторных полей на этом многообразии с коэффициентами
в модуле гладких функций на нем. Утверждение состоит в том,
¦что комплекс Де Рама многообразия X вкладывается в комп-
комплекс (непрерывных) коцепей алгебры Ли векторных полей .на
X с коэффициентами в модуле функций на X. Заметим, что это
вложение не эпиморфно: дифференциальная форма определяет
Отображение внешней степени алгебры Ли векторных полей в
пространство функций, линейное над кольцом функций, а ко-
цепной комплекс состоит из отображений, линейных над основ-
основным полем (R или С). Значит, последний можно рассматривать
как расширение дерамовского комплекса. Как это расширение
сказывается на гомологиях, мы увидим ниже (в главе 3).
F. Коцепной комплекс алгебры Ли и дерамовский комплекс
группы Ли. Другим оправданием громоздкой формулы для б,
правда, без второго слагаемого в правой части—для тривиаль-
тривиального модуля коэффициентов — служит вложение коцепного комп-
комплекса алгебры Ли в дерамовский комплекс соответствующей
группы Ли (если таковая имеется). Обозначим через Qfr)G про-
пространство дифференциальных форм степени q на группе Ли О,
инвариантных относительно правых сдвигов. Такая форма опре-
определяется своими значениями на системах q векторов, касающихся
группы Q в единице; другими словами, такая форма определяет-
определяется кососимметрической ^-линейной формой на касательном про-
пространстве к С? в единице, т. е. на алгебре Ли g группы G.
Возникает изоморфизм Q^GsC^g) и, как показывает проверка,
дифференциал б оказывается при этом простым сужением внеш-
внешнего дифференциала d: Q.qG -у Qg+1G.
Заметим, что построенное вложение коцепного комплекса
алгебры Ли g в дерамовский комплекс группы Q индуцирует
каноническое отображение
ниже мы изучим это отображение подробнее (см. § 3).
G. Умножение. Как и, групповая алгебра группы, обертыва-
обертывающая алгебра f/(g) алгебры Ли g является алгеброй Хопфа:
коумножение Д : ?/(g) ^U(g)®?/(g) определяется формулой
(Иначе говоря, каноническая структура g-модуля в тензорном
произведении M®N двух g-модулей вводится формулой
, m€jVf, n&N.)
Эта структура позволяет ввести умножение в когомологии ал-
алгебры Ли g с коэффициентами в модуле М, в котором задано
согласованное с g-структурой умножение М®М—*-М (согласо-
(согласованность с д-структурой выражается формулой Лейбница
136
= (gml)m!r\-mi(gme))-
Укажем конструкцию этого умножения на коцепном уровне:
X Yafei, • • •
gi
Последняя формула- позволяет ввести умножение и в непрерыв-
непрерывные когомологин алгебры Ли g с коэффициентами в М.
Заметим, что построенные выше гомоморфизмы Н*(О; М)-+
->//* (д; УИ) и Н* (д) -»- H*DR (Q) являются мультипликативными.
Ниже мы встретимся с некоторыми другими мультипликатив-
мультипликативными структурами в когомологиях алгебры Ли.
Н. Относительные когомологии и гомологии. Пусть Ь—
подалгебра алгебры Ли д, Ж—модуль над д. Обозначим через
С (д, \>; М) подпространство пространства С (д; Щ, составленное
из таких коцепей у, что у (gu .. .,g?)=0 при gi6b и
&У 0» г> • • •'&¦?) = О ПРИ gi&- Эквивалентное определение:
С?(д, ^; М) = Иот^(Ад (Qlb), Щ- Когомологии комплекса
{Cq (д,!); М), 6} называются относительными когомологаями
алгебры Ли д /го модулю 1> с коэффициентами в М я обо-
обозначаются через Hi (д, |); М). Если {> есть идеал в д, то Лг(д/1>)
есть тривиальный ^-модуль и
5
где inv^M есть пространство ^-инвариантов модуля М, т. е.
таких т(<М, что Лда = О при h&)', таким образом, в этом случае
Н"(я, \;М)
Это определение имеет обобщение: если % есть алгебра Ли
группы Ли Н и действия алгебры 1> в g и М являются диффе-
дифференциалами некоторых представлений группы Н (причем пред-
представление Н в g является продолжением присоединенного пред-
представления Н в Ь), то мы полагаем
С« (д, Н;М)= Нотн (А« (д/5) ;М)
и выделяем в коцепном комплексе алгебры Ли g еще один под-
подкомплекс, когомологии которого обозначаются через
Hi(q,H;M). Если группа Н связна, то Hq{q, H\M) =
Я(^М)
Я9(д^;М).
Все эти относительные когомологии мультипликативны в
случае мультипликативных коэффициентов.
Аналогичным образом определяются относительные гомоло-
гомологии алгебры Ли:
137

если Ь — идеал в й, то Hq (а, Ъ; М) =Яд (g/$; М/Щ).
1-4. Обобщение: когомологии полусимплициальных пучков и
сигаловские когомологии.
А. Когомологии с коэффициентами в полусимплициальном
пучке. Выше (в пп. 1.1.В и 1.2) мы рассматривали полусим-
плициальное топологическое пространство
* 5=GjEG X G|=G X G X G ...,
где G — произвольная топологическая группа, а п. +1 стрелок
Qn^Qn-\ действуют по формулам
0f2> • • •. gnh
(glg2> g3» • • •. ffn).
(gfl. •-.»g"n) ¦"*¦
(ffb » g"n_2» gn-lga)>
(gl, • • •, g^n-l)-
Предположим, что на нашем полусимплициальном пространстве
задан полусимплициальный пучок ST = {#""„}, т. е. на каждом
пространстве Gn (п=0, 1,...) задан пучок абелевых групп #"„,
и эти пучки связаны морфизмами
накрывающими предыдущие отображения Gn-^Gn~1. Обычным
образом определяются когомологии нашего полусимплициаль-
ного пространства с коэффициентами в ST. (Они определяются
как тотальные когомологии бикомплекса Cp'q — Cq(Gj,; ЗГР);
дифференциалы этого бикомплекса—обычный коцепной диф-
дифференциал С« (Gp; &~p)->-Ci+l (Gp; #~р) и «комбинаторный диф-
дифференциал» Cq(Gp; ^~p)-^Cq(Gp+l; &~p+i), представляющий со-
собой альтернированную сумму гомоморфизмов, индуцированных
структурными морфизмами полусимплициального пучка Эг).
Эти когомологии называются когомологиями группы G с коэф-
коэффициентами в полусимплициальном пучке ЗГ и обозначаются
символом Я* (G; &~).
Обычным образом строится спектральная последовательность
(одна из двух стандартных спектральных последовательностей,
ассоциированных с бикомплексом), у которой El'9=H" (G", &~р)
и которая сходится к Н* (G; У).
Во всех рассматриваемых ниже примерах пучок ЗГп будет
тем или иным подфакторпучком пучка ростков функций на
Gn со значениями в фиксированной (для данного ЗГ) абелевой
группе А, в которой задано (левое) групповое действие группы
G, a /Zpf-l морфизмов S^n-i-^-S^n устроены так: ростку f(gu • ¦ ¦
138
• ¦¦,gn-i) функции на Gn~l отвечают ростки функций на Gn,
заданные формулами
glf (g2. • • • , gj>
f (ffl?2. gz> •-•¦> g"ra)»
0)
f (gu • • > . gn-2. gn-\gn)>
Мы увидим, что даже при этом ограничении рассматривае-
рассматриваемое определение покрывает все предыдущие определения и
дает новые, содержательные когомологии.
В. Четыре примера. Во всех рассматриваемых примерах А
будет абелевой группой,- в которой задано левое групповое
действие группы G.
1°. Пусть 8Гп — пучок ростков всех (необязательно непре-
непрерывных) функций на Gn со значениями в Л и отображения
9гп-\-+&~п заданы формулами A). Тогда
(здесь G рассматривается как дискретная группа). Действи-
Действительно, в этом случае
MaP<Gp' Л)«С (О; А) при <7=0,
о при ?>0,
и в спектральной последовательности п. А остаются нетривиачь-
ными только дифференциалы
dPf: Cp (G; А) -* С^1 (О; А),
которые, очевидно, совпадают с дифференциалами стандартно-
стандартного коцепиого комплекса группы G с коэффициентами в А.
2°. Пусть группа А является топологической и стягиваемой,
действие группы G в А непрерывно и ?Гп — пучок ростков не-
непрерывных функций Gn-Vi4. (Отображения &гп-\-*-&'п задают-
задаются прежними формулами.) Тогда
H*{G;P) = hUG;A).
Доказательство аналогично предыдущему (стягиваемость груп-
группы А необходима для тривиальности старших когомологии Gp
с коэффициентами в &~Р).
Если (ЗиЛ — группы Ли, то в качестве &~п можно взять
пучок ростков С~-функций Gn-^-A с тем же конечным резуль-
результатом (ср. замечание в конце п. 1.2.В).
3°. Пусть группа А дискретна, действие группы G в А
суживается до тривиального действия компоненты Go единицы
16G и &~п — пучок ростков локально постоянных функций
GA. Тогда
139

где {А} обозначает локальную систему абелевых групп на BG,
определяемую заданным действием m(BG)=G/G0 в А. (Этот
факт совершенно очевиден.) Спектральная последовательность
п. А становится в этой ситуации спектральной последователь-
последовательностью Эйленберга— Мура (см. п. 1.2.А).
4°. Пусть G — группа Ли, Л —векторное пространство (ве-
(вещественное или комплексное), в котором G гладко действует
посредством линейных операторов (т. е. задано представление
группы G), и ЗГп — пучок на Gn, сосредоточенный в точке
A,...,1), слоем которого в этой точке является пространство
оо-струй отображений Gn-*A. Тогда
Я* (<?;#-)= Я*.fa; Л),
где g — алгебра Ли группы G и А наделено производной струк-
структурой g-модуля.
С. Сигаловские когомологии. Пусть А—топологическая абе-
лева группа, в которой непрерывно действует группа О, и пусть
&п — пучок ростков непрерывных функций <7Я->Л, отображения
P'n-i-^&'n заданы формулами A). Когомологии //„.(<7;^Г)
называются сигаловскими когомологаями группы G с коэффи-
коэффициентами в Л и обозначаются через Н$ (G; А). (Эти когомологии
впервые рассматривались Сигалом, см. [70] и [22].) Если группа
Л стягиваема, то Hs (G; А) = Н\ (G; А) (см. пример 2° п. В),
если группа Л дискретна, то Hs(G; А) = Н* (BG; А) (см. при-
пример 3° п. В). В остальных случаях сигаловские когомологии не
сводятся к рассматривавшимся ранее. Возьмем, например»
в качестве группы С? окружность S1. Короткая точная последо-
последовательность
индуцирует сигаловскую когомологическую последовательность
... ^ //? (G; Z),^ Щ (G; R) -* Н§ (G; S1) _* //f+1 (G; Z) -> ...
(подробности см. в п. 2.1), которая, в силу сказанного, имеет вид
...->//<? (BG; Z) -> Hi (G; R) -* Hi (G; S1) -> H«+l (BG; Z) ->....
Таким образом, сигаловские когомологии группы G с коэффи-
коэффициентами в «S1 представляют собой «смесь» целочисленных ко-
когомологии пространства BG и непрерывных вещественных ко-
когомологии группы G.
§ 2. Простейшие общие свойства
2.1. Индуцированные гомоморфизмы и коэффициентные по-
последовательности.
А. Гомоморфизм /: G-+H группы G в группу Я индуцирует
при всех q гомоморфизмы
140
U- Hq{G; M)-+Hq(H; M),f*: НЦН; М)^НЦ0; М),
где М есть Я-модуль, в который / вносит структуру G-модуля.
В мультипликативном случае гомоморфизм /* мультипликати-
мультипликативен. В топологической ситуации аналогичное верно для ван-
эстовских и сигаловских когомологии. Кроме того, непрерывный
гомоморфизм f : G-^H индуцирует отображение Bf : BG-+BH
и соответствующие гомоморфизмы гомологии и когомологии.
Морфизм ф : Mi-*-M2 одного G-модуля в другой индуцирует
при всех q гомоморфизмы
Ф *: Hq(G; Mx)^Hq{G; M2), ^: №(G; A*,)-*tf«(G;Ai2)
и аналогичные гомоморфизмы для ван-эстовских и сигаловских
когомологии; если М\ и •№% обладают мультипликативными
структурами и морфизм ф с этими структурами согласован, то
когомологические гомоморфизмы ф * мультипликативны.
Аналогичные гомоморфизмы /*, f* и ф* имеются для алгебр
Ли.
В. Короткая точная последовательность
модулей над (дискретной или топологической) группой G или
алгеброй Ли g обычным образом индуцирует длинные последо-
последовательности
...-*Яв@; Mx)-+Hq{G; M2)-+Hq(G; М3)->Яд_, (G; M,)->...,
...-W/9(G; M^-^m^G; M2)->H<i(G; Мъ)-+Ня+1 (G; Mx)-+... ,
или
...^Hq (g; M 0 -> Hq (g; M2) -»- Hq (g; Щ -»- //,_, (g; Mx) ->...,
...-+H* (g; MJ -+ Hi (g; M2) 7+ ^q (в; ^з) -•¦ Ня+1 (в; М,)^..,.
Вторая из этих четырех последовательностей может состоять
из ван-эстовских или сигаловских когомологии. При этом моду-
модули коэффициентов должны быть топологическими, а последова-
последовательность 0—>-Mi-*-Mz-*-M3-*-0 должна быть гомеоморфна в ван-
эстовском случае последовательности (y-^Mi-^-MiXMs-^-Ms-^-O,
а в сигаловском случае — локально тривиальному расслоению.
Некоторые из построенных в этом пункте гомоморфизмов и
последовательностей явно или неявно уже рассматривались вы-
выше (см., например, п. 1.4.С).
2.2. Двойственость Пуанкаре.
А. Пусть алгебра Ли g (над полем k) конечномерна и
dimg = n. Тогда dimCn(g) = l и для любого ненулевого feCn(g)
формула a,b+-+ib(f) определяет невырожденное спаривание
C<4fl)xO-3(g)-v? . B)
и с ним изоморфизм
СЧд) = (С"-Ч9))' = Сл_(?(д). C)
Чтобы этот изоморфизм был согласован с дифференциалами б
и д, нужно, чтобы алгебра Ли g была унитарной. Последнее
141

означает, что Hnia)^0' т- е- что f~цикл- №ля алгебРы Ли 3»
заданной с помошью структурных констант с<Д условие уни-
тарностя записывается формулой Sic1JJ=0 (t=ll,..., л)). При-
Пример амя унитарных алгебр Ли служат полупростые и нильпо-
тентяые алгебры Ли. Примером неунитарной алгебры Ли.слу-
Ли.служит алгебра Ли группы Ли аффинных преобразований пря-
прямой. Если алгебра Ли g унитарна, то для C^
l()](n(La(8b)](f),
ввиду чего спаривание B) и изоморфизм C) определяют соот-
соответственно невырожденное спаривание
Я()Х#
Яв(
и изоморфизм
я« (a) s (#"-«(«) )'=•#»-* (а)-
Последние называются двойственностью Пуанкаре и изомор-
изоморфизмом Пуанкаре. Добавим, что для любого конечномерного
модуля М над унитарной алгеброй Ли g аналогичная кон-
конструкция доставляет невырожденное спаривание
H(M
и изоморфизм
В. Двойственность Пуанкаре в (целочисленных) гомоло-
гиях и когомологиях дискретной группы G возникает, если
пространство K(G, 1) может быть реализовано как замкнутое
ориентированное многообразие. Например, классифицирующи-
классифицирующими пространствами для своих фундаментальных групп явля-
являются всевозможные косые произведения окружностей, сферы с
ручками и многие классические трехмерные многообразия. Су-
Существуют чисто алгебраические условия, гарантирующие на-
наличие в гомологиях и «огомологнях данной группы аналога
двойственности Пуанкаре. Отсылая читателя за подробностями
к § 10 гл. VIII книги Брауна [43], мы приведем следующую
характерную формулировку.
Теорема 1. Пусть G— такая дискретная группа, что Z
имеет над Z[G] конечную проективную резольвенту (это свой-
свойство группы G имеет стандартное обозначение FP), и пусть л —
натуральное число. Следующие утверждения эквивалентны.
(a) #'('G;Z[G])-=0 при гФп, группа tf"(G;Z[G]) не
имеет кручения.
(ib) Существует такой (/-модуль D, что
Н*(G; M)s*Hn-i(G; D®M)
для любого i и любого G-модуля М, причем этот изоморфизм
может быть сделан естественным по М.
142
Что касается ван-эстовских когомологий, то, как мы уви-
увидим в § 3, в важнейших случаях они совпадают с когомоло-
гиями некоторого однородного пространства (для тривиальных
коэффициентов R или С). Поэтому они тоже обладают в этих
случаях двойственностью Пуанкаре.
2.3. Тривиальность действия групп и алгебр Ли в их когомо-
когомологиях.
А. Пусть G — группа (дискретная или топологическая) и М
есть G-модуль. Внутренний автоморфизм hl-*ghg-1 группы G,
производимый ее элементом g, наделяет М новой структурой
G-модуля, и новый G-модуль канонически изоморфен старому:
изоморфизм устанавливается формулой m1-* gm в случае ле-
левого G-модуля и m1^- mg в случае правого G-модуля. Ввиду
этого возникают зависящие от g преобразования №(G; M)-*-
-^Hi(G;rM), Hg(G; M)->-Hq(G; M) и такие преобразования со-
составляют (соответственно левое или правое) действие группы G
в №{G;M), Hq{G;M).
Теорема 2. Эти действия всегда тривиальны (т. е. всяко-
всякому элементу группы G отвечает тождественное преобразова-
преобразование).
Более содержательным оказывается следующее обобщение
этого действия. Пусть И — нормальная подгруппа группы G и
М — произвольный G-модуль. Поскольку внутренние автомор-
автоморфизмы группы G переводят Н в Н, предыдущая конструкция
задает действия группы G в Нч(Н;М) и Hq(H;M). Сужение
этих действий на Н тривиально в силу предыдущей теоремы,
ввиду чего эти действия определяют (левое и правое) действия
факторгруппы G/H в Hi (Я; М) и Hq (Н; М); эти последние
действия будут важны для нас ниже (в частности, в п. 4.1).
Для удобства дальнейшего использования выпишем форму-
формулы, определяющие все названные действия на цепном и коцеп-
ном уровне:
c(gog~l,..., gqg~l),
, ¦ • •. gqg)
(gc) {go, ...,
(m(g0,...,
при первом из двух наших описаний цепного и коцепного ком-
комплекса и
(gc) (ffi. .-.,gq) =?-' (c(ggig-\ • • •, ggqg'1)),
u ..., gq])=mg[g-lgig,..., g
— при втором описании (см. пп. 1.1 С и D).
Все сказанное применимо к ван-эстовским когомологиям.
В. Аналогичные факты имеют место для гомологии и кого-
когомологий алгебр Ли. Именно, пространства коцепей (в том чис-
числе, непрерывных) и цепей алгебры Ли g с коэффициентами в
произвольном g-модуле М представляют собой д-модули:
143

tug®(giA • • •
m
Дифференциалы цепного и коцепного комплексов согласованы
с этими структурами, ввиду чего g-модулями оказываются ко-
когомологии #я(д; М) и когомологни #д(д; M).
Теорема 3. Эти д-модули тривиальны (т. е. любой эле-
элемент алгебры Ли g определяет в них нулевые эндоморфизмы).
Аналогично групповому случаю, в #*(?, М) и Ня($; М), где
Jj— идеал алгебры Ли g и М — произвольный g-модуль, возни-
возникают, вообще говоря, нетривиальные структуры (д/^)-модулей.
§ 3. Взаимосвязи между различными гомологиями
и когомологиями
Для краткости, мы ограничиваемся в этом параграфе кого-
когомологиями. В тех случаях, когда прямые гомологические ана-
аналоги приводимых утверждений имеют смысл, они верны; де-
детализацию этого высказывания мы оставляем читателю.
3.1. Топологические когомологии группы Ли и когомологии
соответствующей алгебры Ли.
A. Пусть G — группа Ли над полем yfe=R или С, g— соот-
соответствующая алгебра Ли. В п. 1.3. F был построен изомор-
изоморфизм между стандартным коцепным комплексом алгебры Ли g
(с тривильными коэффициентами k) и подкомплексом дерамов-
ского комплекса группы G, составленного из правоинвариант-
ных форм. В частности, имеется канонический мультипликатив-
мультипликативный гомоморфизм
//*(д)^//ГоР(О;?), D)
где символ top показывает, что мы рассматриваем когомологин
группы G как топологического пространства. Заметим, что, хо-
хотя в п. 1.3. F группа G неявно предполагалась конечномерной,
построенный канонический гомоморфизм имеется и для беско-
бесконечномерных групп Ли, таких, как группы диффеоморфизмов
или группы токов.
B. Теорема 1. Если &=R и группа G компактна, то
гомоморфизм D) является изоморфизмом.
Эта теорема означает, что дерамовский комплекс компакт-
компактной группы Ли G гомотопически эквивалентен своему под-
подкомплексу, составленному из правоинвариантных форм. Она
без труда доказывается при помощи оператора усреднения.
144
Как мы увидим ниже, для некомпактных групп гомомор-
гомоморфизм D), как правило, не является изоморфизмом (см.
пп. С и 3.3). Все же он оказывается изоморфизмом для неко-
некоторых некомпактных групп. Мы не знаем общей формулировки,
охватывающей все такие случаи, но укажем два важных клас-
класса групп и алгебр Ли, обладающих этим свойством.
Теорема 2. Если G есть комплексная полупростая группа
Ли, то гомоморфизм D) с k=C является изоморфизмом.
Теорема 3. Пусть К есть компактная группа Ли, k — со-
соответствующая алгебра Ли, G=Map (S1, К) и д=МарE1, k),
где Map обозначает множество С°°-отображений, — соответ-
соответствующие группа токов и алгебра токов. Тогда гомоморфизм
D) с k=R является изоморфизмом.
С. Пусть д — вещественная редуктивная алгебра Ли, соот-
соответствующая группе Ли Q. Из классической теории групп и
алгебр Ли известно, что существует компактная группа Ли Q,
алгебра Ли д которой имеет общую с д комплексификацию:
алгебры Ли д®С и д®С изоморфны. В . этом случае говорят,
что G есть компактная форма группы G, а д есть компактная
форма алгебры Ли д. Например, ксшплексификация
д1(п, С) алгебры Ли gl(ra, R) вещественных гаХ^-матриц яв-
является также комплексификацией (вещественной) алгебры Ли
и (я) с:д1 (га, С) косоэрмитовых матриц. Так как и(га) есть ал-
алгебра Ли группы унитарных матриц U(n), то u(n) есть ком-
компактная форма алгебры Ли %l(n, R), a U(ra) есть компактная
форма группы Ли GL(ra, R).
Ясно, далее, что для любой алгебры Ли д имеет место изо-
изоморфизм
#*(д; R)<g>C = tf*(g<g>C; С);
следовательно, когомологии алгебр Ли g и g имеют одинако-
одинаковые комплексификации, а значит, и сами они изоморфны. Со-
Сопоставляя это с теоремой 1, мы приходим к следующему ре-
результату.
Теорема 4. Имеет место мультипликативный изоморфизм
Например, Н* (gl (n, R))ssH*op (U (га); R). Более систематически
подобные изоморфизмы мы обследуем в § 1 гл. 3.
D. Гомоморфизм D) имеет относительный вариант: если
g — алгебра Ли группы Ли G, Н — замкнутая подгруппа груп-
группы G и Ь — соответствующая подалгебра алгебры Ли д, то
возникают гомоморфизмы
Я*(в, D)-+H*(G!H; R), Я*(в, H)^H*(G/H; R),
являющиеся изоморфизмами в случае, если группа G
п
пактна.
10—1370
ком-
ком145

3.2. Спектральная последовательность Хохшильда—Мос-
Хохшильда—Мостова.
А. Теорема 5. Пусть G — связная вещественная группа
Ли, g—соответствующая алгебра Ли. Существует мультиплика-
мультипликативная спектральная последовательность {ЕР'9, dP'q:E?'9^>-¦
-*-?0+г-'?-г+1}, у которой
(i) Ep2l9-Hpc @)®Я?р (G; R);
(ii) член Еж присоединен относительно некоторой фильтрации
кЯ*(в); о
(iii) стандартные отображения Еао->Е^*-^Е2'*, EV -»¦
-*¦ EtZ,0-*¦ Еж индуцируются каноническими отображениями Я*(д)->-
-*//toP(O;R) (см. п.ЗЛ.А) и Я*(С)^Я*(д) (см. п. 1.3.В).
Эта спектральная последовательность называется спектраль-
спектральной последовательностью Хохшильда—Мостова. Она строится
как спектральная последовательность двойного комплекса
{С'" = Сс (G; Q? (G))}, где uq (G) — пространство внешних диф-
дифференциальных форм степени q на G, действие в котором
группы G индуцируется действием группы G в себе посредством
правых сдвигов. Доказательство теоремы 5 основано на равенстве
ГО при р>0,
\С*(9) при /7=0;
последнее равенство, ввиду G-изоморфизма ?2«(E)^С'(д)®
<8>Q°(G), достаточно доказать при q=0, а в этом случае оно
близко к лемме из п. 1.З.С. Подробности см. в § 3.4 книги [34].
В. Укажем на важное обобщение теоремы 5.
Теорема 6. Пусть Я —компактная подгруппа группы Ли
G. Существует мультипликативная спектральная последователь-
последовательность {EP'q, dpr-q:Ep-9^Ep+r-q~r+1}, у которой
(i) EP'q = Hp {G)®H" (О/Я; R),
(ii) член Еоо присоединен к Я* (д, Я).
Следствие. Если группа G обладает такой компактной
подгруппой К, что пространство G//C стягиваемо, то H'ziG) =
= Я* (д, К).
Особенно приятную форму можно придать последнему ут-
утверждению в случае, когда группа G обладает компактной
формой G (см. п. 3.1.С). В этом случае максимальная компакт-
компактная подгруппа К группы G естественно вкладывается в G, и мы
приходим к равенству
(G;
Это равенство решает проблему вычисления ван-эстовских
когомологий с тривиальными коэффициентами для важнейших
конечномерных групп Ли. Например,
146
Hi (GL (n, R)) = Я* (U (и)/О (a); R)
и т. п.
Заметим, что при наличии G спектральная последовательность
Хохшильда — Мостова может быть отождествлена со спектраль-
спектральной последовательностью расслоения G~-+(TlK.
С. Наконец, если группа G компактна, то, полагая в след-
следствии из п. В К = G, мы приходим к следующему важному
результату.
Теорема 7. Если группа' G компактна, то Я,?(C)=0 при
q>0.
Эта теорема позволяет сказать, что когомологий H*C(G) пред-
представляют собой «меру некомпактности» группы G. Аналогично,
утверждение (iii) теоремы 5 позволяет сказать, что H*z (G) есть
«мера неизоморфности» гомоморфизма D).
3.3. Когомологий групп Ли и их дискретных подгрупп.
Пусть G —группа Ли, Г —ее дискретная подгруппа. Как мы
увидим в следующем параграфе, имеет место канонический изо-
изоморфизм Я?(Г; R)sW?(G; М), где М есть G-модуль непрерыв-
непрерывных (или гладких) вещественных функций на G/Г. Если про-
пространство GJT обладает G-инвариантной мерой и имеет по
отношению к этой мере конечный объем (эквивалентно, Г имеет
конечный кообъем), то определено отображение
J :H9(G;M)^HUG;R),
о/г
которое составляет с предыдущим отображением гомоморфизм
H"(T;R)^Hq(G;-R). E)
В то же время, включение Г-^-G индуцирует гомоморфизм
HUG;R)^Hi(T; R). F)
Предложение 1. Композиция Hi (G; R) -»¦ Hi (G; R) этих
гомоморфизмов всегда тождественна.
(Это предложение можно рассматривать как обобщение
недавней теоремы 7.)
Предложение 2 (см. [60]). Если G — нильпотентная
группа Ли и Г — ее дискретная подгруппа конечного кообъема
(это означает в данном случае, что факторпространство G/Г
компактно), то гомоморфизмы E), F) являются взаимно об-
обратными изоморфизмами, так что
H9(G;R)^Hi(T;R).
На ненильпотентные группы этот факт не обобщается. Од-
Однако, он справедлив для когомологий малой размерности:
Теорема 8 (Борель, [39]). Пусть G — редуктивная группа
ранга / и Г — ее арифметическая подгруппа (см. § 7 гл. 1 ст. I).
Тогда гомоморфизмы E), F) являются взаимно обратными
изоморфизмами при q<Zl/4.
10* 14Г

3.4. Когомологии классифицирующего пространства груп-
группы Ли и ее разрывные когомологии. Для группы Ли G обозна-
обозначим через G6 дискретную группу, алгебраически изоморфную G.
Рассмотрим отображение
K(G\1)=BG*->BG, G)
-Индуцированное тождественным отображением Ge—*-G (которое
является непрерывным гомоморфизмом!). Следующее утверж-
утверждение известно под названием гипотезы Милнора.
Гипотеза. Отображение G) индуцирует изоморфизм в
, когомологиях с коэффициентами в произвольной конечной абе-
левой группе.
В статье Милнора [66] доказывается, что гипотеза справед-
справедлива, если компонента связности группы G разрешима, а также,
что гомоморфизм, индуцированный отображением G) в гомо-
логиях с коэффициентами в произвольной абелевой группе, об-
обладает правым обратным, т. е. является эпиморфизмом, ядром
которого служит прямое слагаемое. А. А. Суслин []72] доказал,
что гипотеза Милнора справедлива для групп <j = GL(oo, R),
GL(oo, С).
Приведем переформулировку гипотезы Милнора, позволяю-
позволяющую лучше понять ее смысл. В топологии имеется хорошо из-
известная конструкция, позволяющая заменить непрерывное ото-
отображение f гомотопически ему эквивалентным расслоением
Серра /*; слой расслоения f* называется гомотопическим сло-
слоем отображения f; гомотопический слой определяется отобра-
отображением с точностью до слабой гомотопической эквивалентно-
эквивалентности. Обозначим через XG гомотопический слой отображения
G) — это определенное с точностью до слабой гомотопической
эквивалентности пространство, функториально зависящее от G.
Гипотеза Милнора имеет следующую эквивалентную формули-
формулировку.
Гипотеза. Для любой конечной абелевой группы М
№(XG; J\(I)=0
при дХЗ.
Пространство XG, несмотря на свою грандиозность, устрое-
устроено довольно интересно. Напомним, что если Н есть замкнутая
подгруппа группы G, то гомотопическим слоем естественного
отображения BH-^-BG служит факторпространство G/H. Это
позволяет говорить о пространстве XG как о «факторпростран-
стве G/G6», представляя себе при этом G8 как очень плотную
дискретную подгруппу группы G. Последнему высказыванию
можно придать точный смысл:
Предложение 3. Если У — клеточное пространство, на-
наделенное правым вполне разрывным свободным действием груп-
группы G8, и F : Y-+G— гомотопическая эквивалентность, являю-
являющаяся б6-отображением (по отношению к действию б8 в G
148
правыми сдвигами), то факторпространство Y/G6 гомотопические
эквивалентно XG. (Этот факт более или менее очевиден.)
Найти такое пространство Y ничего не стоит: годится, на-
например, геометрическая реализация сингулярного комплекса
группы G; можно ограничиться частью сингулярного комплек-
комплекса, составленной из сингулярных симплексов класса С™, что
мы и сделаем.
Итак, пространство Y (мы обозначим его через YG) устрое-
устроено так. Его нульмерные клетки—это просто точки группы G.
Одномерные клетки соответствуют С°°-путям, соединяющим
эти точки, двумерные — отображениям треугольника в G, к
т. д. Заметим, что Ge действует в YG клеточным образом, так
что пространство XG = YGJGb также получает клеточную струк-
структуру. Вычисляя когомологии пространства XG при помощи
клеточного комплекса, мы приходим к следующему результату.
Предложение 4. Когомологии Н*(XG;M) пространства
XG с коэффициентами в произвольной абелевой группе М сов-
совпадают с когомологиями подкомплекса сингулярного коцепного
комплекса группы G, составленного из правоинвариантных ко-
коцепей.
Пусть, например (в противоположность ситуации гипотезы
Милнора), M — R. Очевидно, всякая правоинвариантная ^-фор-
^-форма <о на G определяет правоинвариантную сингулярную коцепь
а *•*• \ а*со
(а : A*-»-G — сингулярный ^-симплекс класса С°°). Таким обра-
образом, комплекс правоинвариантных дифференциальных форм
группы G, т. е. стандартный коцепной комплекс алгебры Ли g
группы G, вкладывается в комплекс из предложения 2. Его об-
образ можно описать как комплекс правоинвариантных сингу-
сингулярных коцепей, гладко зависящих от сингулярных симплексов
(и обращающихся в 0 на вырожденных симплексах). Отсюда
можно сделать два вывода, один — точный и один — эвристиче-
эвристический. Точный состоит в том, что имеется каноническое отобра-
отображение
H*(S)-+H*(XG;R).
Эвристический же вывод заключается в том, что когомологии
пространства XG соотносятся с когомологиями алгебры Ли G
так же, как обычные когомологии группы G соотносятся с ее
непрерывными когомологиями.
§ 4. Основные вычислительные средства
4.1. Спектральная последовательность Серра — Хохшильда-
А. Случай алгебр Ли. Пусть g — алгебра Ли (над произ-
произвольным полем k), $ — ее подалгебра, М — модуль над д.
143-

Теорема 1. Существует спектральная последовательность
\рг 1 аг ¦С г -> Сг /
со следующими свойствами:
(I) ?f ¦«=*//« (to Нот (Л" fe/W, Щ);
00 ?-f°—//"(в.»;Д0;
(ш) если J —идеал, то Ер2'я = Н" (Ц\,; Н<&; Щ;
(iv) член Еоо присоединен к Н* (g; А1); при этом естественные
гомоморфизмы Н" (в; Ж)-> //« (&; Л0, #" (fl, I); Л*)
представляются как сквозные отображения
, to M)=
b; M)
(стрелки имеют очевидный смысл);
(v) если М есть коммутативная ассоциативная g-алгебра, то
спектральная последовательность мультипликативна; в этом
случае мультипликативны изоморфизмы (i) — (iii) и присоеди-
ненность (iv).
(Пространство Нот (Л? (дД), М) является ^-модулем, по-
поскольку таковым является g/to если \) — идеал, то №())¦, М)
есть д/5-модуль в силу сказанного в п. 2.З.В.)
Эта спектральная последовательность строится по фильтра-
фильтрации
М) = {сбО>+*(д; M)\\c{gl,..., gP+q) = 0
ПрИ gu . . .,}
в коцепном комплексе алгебры Ли д. Она построена Серром и
Хохшильдом [62] и носит их имя — спектральная последова-
последовательность Серра — Хохшильда.
Спектральная последовательность Серра — Хохшильда име-
имеет очевидные относительные и гомологические варианты.
В. Случай группы. В когомологической теории групп спект-
спектральная последовательность Серра — Хохшильда имеется толь-
только в ситуации, когда в группе выделена нормальная подгруппа.
Теорема 2. Пусть Н—нормальная подгруппа группы G,
и пусть М есть (/-модуль. Тогда имеется спектральная последо-
последовательность
Eg-" = HP(G/H; Нч(Н; М)) =>//*"+« (О; М),
которая мультипликативна в мультипликативном случае. Ана-
Аналогичное утверждение справедливо для ван-эстовских и сига-
ловских когомологий и для гомологии.
150
Эта спектральная последовательность также придумана
Серром и Хохшильдом ['61] и также носит их имя.
С. В случае, когда имеются естественные изоморфизмы ко-
когомологий групп и алгебр Ли топологическим когомологиям
групп Ли и однородных пространств (см. § 3), спектральные
последовательности Серра — Хохшильда превращаются в
спектральные последовательности различных естественных рас-
расслоений; точные формулировки мы оставляем читателю.
4.2. Связь с индуцированием и коиндуцированием модулей.
А. Индуцирование и коиндуцирование. В теории представ-
представлений хорошо известна конструкция, ставящая в соответствие
представлению М замкнутой подгруппы Н группы G (Я-моду-
лю) представление группы G. Последнее определено в простран-
пространстве функций на G со значениями в М, удовлетворяющих усло-
условию f{hg)=hf(g), g&G, h&H, и задается формулой (gf) (gi) =
=/(gig""'1). g,gi&G. Говорят, что это представление группы G
индуцировано исходным представлением группы Н. Если G —
топологическая группа или группа Ли, то в качестве простран-
пространства индуцированного представления обычно берут простран-
пространство непрерывных или гладких (или аналитических или алгеб-
алгебраических) функций. По-другому, пространство индуцирован-
индуцированного представления можно описать как пространство (непре-
(непрерывных гладких, ...) сечений расслоения над G/H со слоем
М, ассоциированного с каноническим главным //-расслоением
G-+G/H.
Эта конструкция может быть описана чисто алгебраическим
образом. Точнее говоря, в алгебре имеются две конструкции,
близкие к упомянутой конструкции из теории представлений и
называемые, соответственно, индуцированием и коиндуцирова-
коиндуцированием.
Пусть G — группа, Н — ее подгруппа, М — произвольный
G-модуль. По-другому, М есть 2[//]-модуль. Положим
Coinc&M==HomZItf] (Z [О], М).
В первой формуле считается, что М есть правый //-модуль,
a?Z [G] рассматривается как левый Z [//]-модуль и правый Z [G]-
модуль; последняя структура сообщает Iodg-AI структуру пра-
правого G-модуля. Во второй формуле считается, что М есть левый
//-модуль, Z [G] наделяется теми же структурами, что и в пре-
предыдущем случае; Coind^A/ есть левый G-модуль.
Аналогичные конструкции имеются в теории алгебр Ли: если
— алгебра Ли, Ь—ее подалгебра, М — (левый или правый)
то, по определению,
151

t M).
В. Лемма Шапиро. Так называется следующее хорошо из-
известное в алгебре утверждение.
Теорема 3. Для любых G, H, M, q имеют место канони-
канонические изоморфизмы
НЯ(Н; M) = Hq{G; Ш%М),
НЦН; M) = Hq (G;
См. [43, § 5 гл. III].
Точный аналог этой теоремы справедлив для ван-эстовских
когомологий и операции индуцирования, описанной в начале
п. А. В частности,
где М — модуль непрерывных или гладких функций на G/H.
(Мы уже успели воспользоваться этим утверждением в п. 3.3.)
Аналогичное верно для алгебр Ли:
Теорема 4. Для любых алгебры Ли g, ее подалгебры $, %-
модуля М и числа q имеют место канонические изоморфизмы
Н"
= Н" (fo
4.3. Внутренние градуировки. Этот пункт относится исключи-
исключительно к когомологиям и гомологиям алгебр Ли (для крат-
краткости мы ограничиваемся когомологическими формулиров-
формулировками).
Предположим, что в алгебре Ли g имеется такой элемент
go, что g обладает (топологическим) базисом, составленным из
собственных векторов оператора g>-~>[go,g]. Тогда в алгебре Ли
0 возникает естественная градуировка с однородными состав-
составляющими
- Такие градуировки назы-
ричем очевидно, что [д^, &(
аются внутренними.
Обозначим через С(\) (д) подпространство пространства С*(д),
составленное из коцепей с, удовлетворяющих условию: если
?Ti€8(A..)« •••'g?6g(y и Хг+ ...+kq^X, то с (gu . .., g9) «=0.
Ясно, что пространства С^> (fl) составляют при каждом А под-
подкомплекс комплекса С*(й); обозначим этот подкомплекс через
См fe)* Ясно также, что комплекс С* (д) разлагается в (попол-
(пополненную) прямую сумму комплексов С(к) (д).
152
Теорема 5. Включение С<о> (д)->¦ С* (д) индуцирует кого-
когомологический изоморфизм. (Другими словами, комплексы С\х) (S\
с "К ф 0 имеют тривиальные когомологий.)
Укажем на два обобщения этой теоремы. Первое: если
g-модуль М обладает топологическим базисом, составленным из
собственных векторов преобразования mt-^-gom (go —тот ж^, что
и выше), то, полагая
Afw={meM|gom=;
мы градуируем модуль М, что приводит, аналогично предыду-
предыдущему, к градуировке комплекса С* (g; M).
Теорема 5'. Включение С*о> (д; М)-+ С* (д; М) индуцирует
когомологический изоморфизм.
Второе обобщение: пусть gu ...,gr6g—попарно коммутирую-
коммутирующие элементы такие, что g обладает топологическим базисом,
составленным из векторов, собственных для всех операторов
?¦¦"•"[&' §]• Предположим, далее, что М есть g-модуль, обладающий
топологическим базисом, составленным из векторов, собственных
для всех операторов m*-*-gim. Тогда комплекс С* (g; M) полу-
получает естественную полиградуировку (С^,,...,^) (д; Щ}-
Теорема 5". Включение С*о о>(д; М)^*-С* (д; М) индуци-
индуцирует когомологический изоморфизм.
Глава 2
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОГОМОЛОГИЙ
И ГОМОЛОГИИ МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ
§ 1. Нульмерные и одномерные когомологий и гомологии
1.1. Нульмерные когомологий и гомологии.
A. Очевидное вычисление показывает, что нульмерные ко-
когомологий группы G с коэффициентами в модуле М совпадают
с группой G-инвариантов в М:
Ha(G; M)\=ln\GM={m&M\gm=m при всех g?G).
Аналогичное верно для ван-эстовских и сигаловских когомоло-
когомологий.
Нульмерные гомологии группы G с коэффициентами в М
совпадают с группой «коинвариантов», т. е. с факторгруппой
группы М по подгруппе, порожденной элементами вида т—gm,
тШ, g?G.
B. Нульмерные «огомологии и гомологии алгебры Ли
устроены аналогичным образом, только инварианты в модуле
над алгеброй Ли — это те его элементы, которые любым зле-
153

, M).
В. Лемма Шапиро. Так называется следующее хорошо из-
известное в алгебре утверждение.
Теорема 3. Для любых G, H, M, q имеют место канони-
канонические изоморфизмы
Hq(H; M) = Hg(Q; Ш%М),
Н9(Н) M) = W {О;
См. [43, § 5 гл. III].
Точный аналог этой теоремы справедлив для ван-эстовских
когомологии и операции индуцирования, описанной в начале
п. А. В частности,
НЦН-, R) = //C?(G; М),
где М — модуль непрерывных или гладких функций на G/H.
(Мы уже успели воспользоваться этим утверждением в п. 3.3.)
Аналогичное верно для алгебр Ли:
Теорема 4. Для любых алгебры Ли д, ее подалгебры J), 1)-
модуля М и числа q имеют место канонические изоморфизмы
Нд<$; М) =//? (g;
Н"
(I);
4.3. Внутренние градуировки. Этот пункт относится исключи-
исключительно к когомологиям и гомологиям алгебр Ли (для крат-
краткости мы ограничиваемся когомологическими формулиров-
формулировками).
Предположим, что в алгебре Ли g имеется такой элемент
go, что g обладает (топологическим) базисом, составленным из
собственных векторов оператора g>-*\?go,g]. Тогда в алгебре Ли
g возникает естественная градуировка с однородными состав-
составляющими
ричем очевидно, что [$(*.), 8(и)]сйа+ц)- Такие градуировки назы-
аются внутренними.
Обозначим через Cfx) (8) подпространство пространства С($),
составленное из коцепей с, удовлетворяющих условию: если
gi€8(A.,)> •••. g?€8(V и Ai+ ...+ХЯ=?Х, то с (gu ..., g?)=0.
Ясно, что пространства С^> (8) составляют при каждом А под-
подкомплекс комплекса С*(д); обозначим этот подкомплекс через
С(д,)(д). Ясно также, что комплекс С* (д) разлагается в (попол-
(пополненную) прямую сумму комплексов С*(Х) (й)«
152
Теорема 5. Включение С<о> (8)->¦ С* (9) индуцирует кого-
когомологический изоморфизм. (Другими словами, комплексы С(я>(8У
с \=?0 имеют тривиальные когомологии.)
Укажем на два обобщения этой теоремы. Первое: если
д-модуль М обладает топологическим базисом, составленным из
собственных векторов преобразования m*+gom (go — тот же, что
и выше), то, полагая
Щ\) ={твМ\ gom=
мы градуируем модуль М, что приводит, аналогично предыду-
предыдущему, к градуировке комплекса С* (д; М).
Теорема 5'. Включение С*о> (д; М)->С* (д; М) индуцирует
когомологический изоморфизм.
Второе обобщение: пусть gu ...,grGi—попарно коммутирую-
коммутирующие элементы такие, что д обладает топологическим базисом*
составленным из векторов, собственных для всех операторов
g>-~[gt, g]. Предположим, далее, что М есть д-модуль, обладающий
топологическим базисом, составленным из векторов, собственных
для всех операторов mt-^gim. Тогда комплекс С* (д; М) полу-
получает естественную полиградуировку {Сц1д...,лг) (& Щ)-
Теорема 5". Включение С*о о>(д; М)^-С* (д; М) индуци-
индуцирует когомологический изоморфизм.
Глава 2
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОГОМОЛОГИИ
И ГОМОЛОГИИ МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ
§ 1. Нульмерные и одномерные когомологии и гомологии
1.1. Нульмерные когомологии и гомологии.
A. Очевидное вычисление показывает, что нульмерные ко-
когомологии группы G с коэффициентами в модуле М совпадают
с группой G-инвариантов в М:
Ha(G; M)\=lnvGM—{m&M\gm=m при всех g?G}.
Аналогичное верно для ван-эстовских и сигаловских когомоло-
когомологии.
Нульмерные гомологии группы G с коэффициентами в М
совпадают с группой «коинвариантов», т. е. с факторгруппой
группы М по подгруппе, порожденной элементами вида т—gm,
тем, gGG.
B. Нульмерные когомологии и гомологии алгебры Ли
устроены аналогичным образом, только инварианты в модуле
над алгеброй Ли — это те его элементы, которые любым эле-
153

ментом алгебры Ли переводятся в 0, и аналогичным образом
определяются коинварианты:
//о(8;
при всех
1.2. Одномерные когомологии и гомологии.
А. Для одномерных гомологии групп и алгебр Ли с триви-
тривиальными коэффициентами очевидны следующие равенства:
(9) =йД8. g].
здесь [G, G] обозначает коммутант группы G, т. е. ее (нормаль-
(нормальную) подгруппу, порожденную мономами вида gig^fff lg^'1> а
[д, д] обозначает коммутант алгебры Ли д, т. е. линейную обо-
оболочку множества всех коммутаторов [gx, g2].
В. Пусть д—алгебра Ли. Пространство Я'(д;д) (где моду-
модулем коэффициентов служит сама алгебра Ли д, наделенная
«присоединенным действием» gi(g2) =lgug2]) интерпрети-
интерпретируется как пространство «внешних дифференцирований» ал-
алгебры Ли д. Напомним, что гомоморфизм <р : д-э-д называется
дифференцированием, если <р ([g, h]) = [<p (g), h]+ [g, ц> (h) ];
примерами служат «внутренние дифференцирования»
g "*[go, g], где go&e — фиксированный элемент. Внешними
дифференцированиями называются элементы факторпростран-
ства пространства всех дифференцирований по подпростран-
подпространству внутренних дифференцирований. (Коцепи из С'(д;д)—это
просто линейные отображения д—>-д; коцепь является коциклом
тогда и только тогда, когда это отображение является диффе-
дифференцированием, и принадлежит образу дифференциала тогда и
только тогда, когда это дифференцирование является внутрен-
внутренним.)
С. Другая интерпретация пространства Я'(д;д) заклю-
заключается в том, что—это множество классов одномерных правых
расширений алгебры Ли д, т. е. точных последовательностей
алгебр Ли и их гомоморфизмов (k есть основное поле, которое
рассматривается как одномерная алгебра Ли с тривиальным
коммутатором). Эквивалентность правых расширений опреде-
определяется очевидным образом.
Когомологическому классу коцикла сбСг(д;д) отвечает
класс расширения
где структура алгебры Ли в дФА определяется формулой
154
, 0).
Тождество Якоби для этого коммутатора равносильно утверж-
утверждению, что с — коцикл. (Нулю пространства Я'^д)^ отвечает
класс тривиального расширения, т. е. расщепляющейся после-
последовательности.)
Пример. Пусть д — алгебра Ли гамильтоновых векторных
полей в 26-мерном пространстве (т. е. векторных полей, произ-
производная Ли вдоль которых 2-формы dxi/\dxk+i+ ¦ ¦ ¦ +dA
/\dx2h равна 0). Формула
определяет одномерный коцикл алгебры Ли д с коэффициента-
коэффициентами в д (в действительности, пространство Я1 (д; д) одномерно
и порождается когомологическим классом этого коцикла). Со-
Соответствующая расширенная алгебра Ли есть алгебра Ли век-
векторных полей, производная Ли вдоль которых указанной выше
2-формы отличается от этой формы на постоянный множитель.
D. Пусть теперь А я В — произвольные д-модули. Простран-
Пространство Я'(д; Нот (Л, В)) интерпретируется как множество клас-
классов точных последовательностей
д-модулей (по отношению к очевидным образом определяемой
эквивалентности). Когомологическому классу коцикла с : д->-
-vHom (В, А) отвечает класс последовательности
где структура д-модуля в А®В определяется формулой
g{a,bY={ga+[c{g)\(b), gb).
Что это действительно есть структура д-модуля, равносильно
тому, что с — коцикл. Нулю пространства Я1 (д; Нот (Л, В))
отвечает класс расщепляющейся последовательности.
Заметим, что по-другому рассматриваемое множество может
¦быть описано как Exty(a>(A, ?) (см. п. 1.1.Е гл. 1), так что
(Л, 5) = //1(9; Нот (Л, В)).
Е. Сказанное в п. D переносится на модули над группами:
для данных G-модулей Л, В множество классов точных после-
последовательностей G-модулей
интерпретируется как Hl(G; Нот(Л, 5)). Подобное верно для
представлений групп Ли в векторных пространствах и ван-
эстовоких когомологии. Аналогичный факт для сигаловских
155

когомологий верен, если рассматривать точные последователь-
последовательности топологических бнмодулей, которые в топологическом
смысле являются локально тривиальными расслоениями.
F. В заключение этого параграфа мы приведем несколько
выходящую за рамки его названия интерпретацию одномерных
и двумерных гомологии градуированной нильпотентной алгеб-
алгебры Ли в терминах образующих и соотношений этой алгебры.
оо
Пусть 8 = Я®18Я — градуированная алгебра Ли с [8т, в„1с-вт+п
и dim8п<°°- У такой алгебры Ли можно построить минималь-
минимальные системы однородных образующих и однородных соотноше-
соотношений. Система образующих строится так. Положим Gi=gi; если
подпространства Сга^ с i<in уже выбраны, то обозначим
через Нп подпространство пространства д„, составленное из
всех коммутаторных многочленов от элементов пространств
G\,..., Gn-i, и возьмем в качестве Gn любое подпространство
пространства дта, дополнительное к Нп. Совокупность базлсов
пространств Gu G2, ¦ ¦ ¦ составляет систему образующих ал-
алгебры Ли д. минимальную в том смысле, что никакая система
однородных образующих алгебры Ли 8 не может содержать
элементов из 8« меньше, чем dim Gn- Минимальная система
однородных соотношений строится аналогичным образом.
Зафиксируем базисы в пространствах 7/i(n)(8) и #2<fl)(fl)
(числа в -скобках соответствуют естественной градуировке го-
гомологии градуированной алгебры Ли). Выберем, далее, циклы,
представляющие элементы этих базисов:
Утверждение заключается в том, что {gr(ra) | i = 1, ....гл
п =1,2, ...} есть минимальная система однородных образующих
алгебры Ли 8. а {2[^1/Л 8%)]я°. У = 1, .... sB; я=-1, 2, ...
есть минимальная определяющая система однородных соотноше-
соотношений (в соотношениях подразумевается, что стоящие в квадрат-
квадратных скобках элементы алгебр л Ли 8 представлены как комму-
коммутаторные многочлены минимальной возможной степени от
образуюпщх g\tt)). Таким образом, минимальная система одно-
однородных образующих алгебры Ли g содержит dim///** (8) обра-
образующих степени п., а минимальная система однородных соотно-
соотношений содержит dim Н^п) (%) соотношений степени п.
156
§ 2. Расширения
2.1. Расширения групп и когомологий.
А. Проективные представления групп. В теории представ-
представлений часто приходится иметь дело с ситуацией, когда набор
операторов Tg, g?G, действующих в некотором линейном про-
пространстве V, не является в точности представлением группы G,
но удовлетворяет условию: для любых g, h&G операторы TgTh
и Tgh различаются на ненулевой скалярный множитель:
TgTh=a(g, h)Tgh,
где a,(g,h) принадлежит основному полю k. Такой набор на-
называется проективным представлением группы G. Примерами
могут служить: представление абелевой группы С2 в простран-
пространстве гладких функций от одной переменной, определяемое фор-
формулой T{a,^f(x)=eaxf (х+Р); представление Вейля симплекти-
ческой группы (см. [77]).
Если проективное представление эффективно (оператор Тg
не является скалярным ни при каком ?=^=1), то его можно
описать как представление некоторого центрального расширения
группы G. Именно, рассмотрим совокупность G всех операторов
вида aTg, где ggG и а — ненулевой скаляр. Очевидно, G есть
группа, скаляры составляют ее центральную подгруппу Cszk*
и G/C = G, другими словами, G есть центральное расширение
группы G; и в самом определении группы G заключено описание
ее представления в пространстве V.
Ассоциативность умножения в G и в группе линейных пре-
преобразований пространства V делает функцию <t(g, h) не впол-
вполне произвольной:
Te(ThTh)=a(K k)T8Thh=<i{h, k)a,(g, hk)Tghk,
(TgTh) Гй=а (g, h) T8hTk=a(g, h)a(gh, k) Tghk,
и, значит,
a (ft, k)a(gh, k)~'a(g, hk)*(g, Л) —»— 1.
что в точности означает, что а. есть 2-коцикл группы G со
значениями в мультипликативной группе поля k.
С другой стороны, можно воздействовать на функцию а,
умножив на скаляр каждый оператор Tg : Tg'=$(g)Tg.
Функция a.(g, h) заменяется при этом функцией
что в точности означает, что коцикл а, заменяется когомологич-
ньш коциклом. !
Таким образом, проективное представление группы G опре-
определяет элемент группы H2(G; k*), и проективное представление
тогда и только тогда может быть превращено в обычное пред-
представление посредством умножения его операторов на скаляры,
157

когда этот элемент равен 0. Последнее в точности означает,
что G есть «тривиальное центральное расширение*: G===GX&*-
В. Центральные расширения групп и когомологии. Если
применить предыдущее рассуждение к чисто алгебраической,
ситуации, мы придем к следующему утверждению.
Пусть' G — произвольная группа и С — абелева группа;
говорят, что G есть центральное расширение группы G
при помощи С, если заданы вложение С в G в качестве цент-
центральной подгруппы и изоморфизм G/C sG. Очевидным образом
определяется изоморфизм центральных расширений.
Теорема 1. Классы изоморфных центральных расширений
группы G при помощи абелевой группы С находятся во взаим-
взаимно однозначном соответствии с элементами группы H2(G; С),
где С рассматривается как тривиальный G-модуль. Нулю
группы H2(G; С) отвечает тривиальное расширение G^Gy^C.
С. Обобщение на нецентральные расширения. Пусть по-
прежнему G — произвольная группа и С — абелева группа, и
пусть задано произвольное расширение G при помощи С, т. е.
точная последовательность
Формула gc = a~1(ga(c)g~1), где ggp~i(g), корректно определяет
в С структуру левого G-модуля (тривиальную, если расшире-
расширение центрально). Говорят, что рассматриваемое расширение
согласовано с этой структурой.
Теорема V. Пусть G — произвольная группа и С — про-
произвольный левый G-модуль. Множество классов расширений
группы G при помощи С, согласованных с заданной структурой
G-модуля в С, находится во взаимно однозначном соответствии
с элементами группы H2{G; С). Нулю этой группы отвечает
класс расщепимого расширения [в котором G есть произведе-
произведение GXC с групповой структурой (gu Ci){g2, c2) = (?igs,
(Дальнейшие обобщения, в частности обобщения на расши-
расширения с неабелевым ядром, см. в [43, гл. IV].)
2.2. Расширения алгебр Ли и когомологии. Пусть g — ал-
алгебра Ли над полем k. Ее одномерное центральное расширение
определяется как точная последовательность
в которой k рассматривается как одномерн ая абелева алгебра Ли
и образ гомоморфизма &->-д содержится в центре алгебры Ли д.
Теорема 2. Классы одномерных центральных расширений
алгебры Ли g находятся во взаимно однозначном соответствии
с элементами пространства //2(д). Нулю этого пространства от-
отвечает тривиальное расширение gi=^
158
Это утверждение можно переформулировать так: суще-
существует универсальное центральное расширение
в которое отображаются все центральные расширения алгебры
Ли g (детализацию этого утверждения мы предоставляем чита-
читателю).
Если алгебра Ли g представлена в виде факторалгебры g/f>,
где I) — (вообще говоря, не центральный) абелев идеал в д, т. е.
если задана точная последовательность алгебр Ли
где f) — абелева алгебра Ли, то I) приобретает структуру g-мо-
g-модуля: g(h) = [g, h], где g — произвольный прообраз g в д; гово-
говорят, что д получается из д посредством расширения при помо-
помощи f), согласованного с этой структурой д-модуля.
Теорема 2'. Классы расширений алгебры Ли д при помо-
помощи f), согласованные с данной структурой g-модуля в
f), находятся во взаимно однозначном соответствии с элемента-
элементами пространства Н2 ($;!)). Нулю этого пространства отвечает
расширение, в котором д=дФ1),
Шп hi), (g2, h2)}=4.gug2l gi{h2)—g2(hi)),
Теоремы 2 и 2' без изменений переносятся на случай, когда
рассматриваемые алгебры Ли и модули являются топологиче-
топологическими, а рассматриваемые когомологии непрерывны.
Примеры. 1°. Пусть g = CVectS' — комплексификация ал-
алгебры Ли гладких векторных полей на окружности. Элементы,
этой алгебры Ли — выражения вида f(9) d/dQ, где 66R/2rc Z —
угловой параметр на окружности. Формула
2я
' (e)-/'
F) ^, g(e) ^-
определяет 2-коцикл этой алгебры Ли со значениями в С. Этот
2-коцикл не когомологичен нулю (в действительности, его кого-
когомологический класс порождает Я2(С Vect S1; С)^С — см. § 2
гл. 3) и определяет нетривиальное одномерное центральное
расширение алгебры Ли С Vect S1. Аналогичное центральное
расширение имеет вещественная алгебра Ли Vect S1.
Алгебра Ли С Vect S1 имеет плотную подалгебру, называе-
называемую алгеброй Витта. Алгебра Витта линейно порождается век-
векторными полями ек=ехр ikQ/dQ, коммутатор в ней задается фор-
формулой [eh, ei] = (/—k)ek+i, сужение на нее вышеуказанного ко-
коцикла обычно заменяют коциклом, представляющим пропорци-
пропорциональный класс когомологии:
1?Э

(ek, et)
ТУ Vе —
j-k,i
Соответствующая этому коциклу расширенная алгебра Ли на-
называется алгеброй Вирасоро. Базис в ней составляют элементы
?k, к&Ъ и z, коммутатор действует по формулам
[е*. 2] = О,
2°. Пусть g — конечномерная простая алгебра Ли над С и
< , > — форма Киллинга на ней. Рассмотрим алгебру токов —
алгебру Ли MapEJ, g) с поточечным коммутатором [ср, ф] @) =
= [фF). ^(9)]; формула
определяет на ней 2-коцикл со значениями в С, не когомологич-
ный 0 (в действительности, когомологический класс этого ко-
коцикла порождает #2(Map(S', g); C)^C — см. § 3 гл. 3).
Обычно суживают алгебру токов До алгебры Ли отображе-
отображений S'-^g координатные функции которых являются тригоно-
тригонометрическими полиномами. Сужение предыдущего 2-коцикла
на эту алгебру Ли по-прежнему нетривиально, и соответствую-
соответствующая расширенная алгебра Ли называется аффинной алгеброй
Ксща—Муди, (По поводу общей теории алгебр Каца — Муди
см. [63].)
2.3. Расширения топологических групп и когомологии. А. То-
Топологически тривиальные расширения и ван-эстовские когомо-
когомологии. Пусть G — топологическая группа, С — абелева тополо-
топологическая группа. Говорят, что топологическая группа G яв-
является топологически тривиальным расширением группы G при
помощи С, если задана точная последовательность топологичес-
топологических групп и непрерывных гомоморфизмов
1_>C-^G->G->1,
которая как последовательность топологических пространств
представляет собой тривиальное расслоение (т. е. группа G го-
меоморфна GxC и отображение G—^G совпадает с проекцией
прямого произведения). Точно так же, как в п. 2.1, определяет-
определяется действие группы G в С, причем в рассматриваемой ситуации
это действие является непрерывным. Это действие является
тривиальным тогда и только тогда, когда расширение цент-
центрально.
Теорема 3. Классы топологически тривиальных расширений
топологической группы G при помощи абелевой топологической
группы С, согласованных с данной структурой топологического
160
G-модуля в С, находятся во взаимно однозначном соответствии
с элементами группы H\{G; С); в частности, классы топологи-
топологически тривиальных центральных расширений при помощи С
находятся во взаимно однозначном соответствии с Н\ (О; С),
где С рассматривается как тривиальный G-модуль. Соответ-
Соответствие между когомологиями и расширениями устанавливается
точно так же, как в п. 2.1.
Если G — группа Ли, g — соответствующая алгебра Ли и
М — представление группы G в векторном пространстве над
основным полем, то естественный гомоморфизм (см п. 1.3.В
гл. 1)
A)
имеет простой смысл: расширению
группы G отвечает расширение
алгебры Ли д, где g — алгебра Ли, отвечающая группе Ли G-
Посмотрим, как устроены расширения, отвечающие элемен-
элементам ядра гомоморфизма A), ограничившись случаем, когда М
есть тривиальный одномерный модуль fe=C или R. Спектраль-
Спектральная последовательность Хохшильда—Мостова (см. п. 3.2
гл. 1) дает точную последовательность
Ю (g) ->//toP (G; kp>Hl (G; kp-H* (g),
в которой правая стрелка обозначает гомоморфизм из п. 1.3.В
гл. 1. Замкнутая 1-форма со на G определяет плоскую связ-
связность в тривиальном расслоении G = Gx.k->-G, и при помощи
этой связности в G~ определяется структура группы Ли: она вос-
восстанавливается из условия, что ядро проекции есть стандартная
группа k, и если {gt}, {gt} — горизонтальные пути, что {gtgt}
также есть горизонтальный путь. Полученное расширение груп-
группы G как раз и отвечает я?2-°бразу когомологического класса
формы со.
Эта конструкция особенно прозрачна в случае, когда рас-
рассматриваемый элемент группы Htop{G; k) фактически лежит
в //top (G; Z). Тогда этот элемент определяет бесконечное
циклическое накрытие G-+G, С?—группа Ли и мы можем
положить G = GXzR- Явное описание такой группы G для
случая G==SLB, R) содержится в книге [12].
11—1370 5 161

В. Топологически локально тривиальные расширения и
сигаловские когомологии. Пусть по-прежнему С? —топологи-
—топологическая группа, С —абелева топологическая группа. Говорят, что
топологическая группа G является топологически локально
тривиальным расширением, группы С? при помощи С, если
задана точная последовательность топологических групп и не-
непрерывных гомоморфизмов
1_*C-^G-^G->1,
представляющая собой в топологическом смысле локально три-
тривиальное расслоение. Как выше, С наделяется структурой
G-мокуля.
Теорема 4. Классы топологически локально тривиальных
расширений топологической группы G при помощи абелевой то-
топологической группы С, согласованных с данной структурой то-
топологического G-модуля в С, находится во взаимно однознач-
однозначном соответствии с сигаловскими когомологиями Hs2(G; С).
Рассмотрим случай, когда G есть вещественная группа. Ли,
a C=S' = R/Z с тривиальной структурой G-модуля. Имеет мес-
место точная последовательность
НЦВО; Ъ)-*Н\ (G; R)-+//|(G; S^^H^BG; Z)-+Hl(Q\ R)
(см. п. 1.4.С гл. 1). Если группа G односвязна, то Н2 (BG; Z) = О
и Н3 (BG; Z)=//tOp(G; Z) отождествляется с множеством классов
главных S '-расслоений с базой G. Ядро третьего отображения
этой последовательности состоит из классов топологически три-
тривиальных расширений, которые находятся в соответствии с рас-
расширениями при помощи R. Эта ситуация (//top (G; Z) = 0,
//?ор (G; Z) ф 0) не реализуется для конечномерных групп Ли;
наиболее содержательное ее применение доставляют группы
токов.
Пусть G — односвязная простая компактная группа Ли
(например, G = SU(iV)), G = Map(S!, G) — соответствующая груп-
группа токов, g и g = MapEx, g) — алгебры Ли, отвечающие группам
G и G. Как уже говорилось (см. пример 2° п. 2.2), алгебра Ли
g обладает одномерным центральным расширением, и расширен-
расширенная алгебра (точнее, ее полиномиальная часть) называется
аффинной алгеброй Каца — Муди. С другой стороны, можно
показать (см. гл. 3), что Gc(G; R) = 0 при всех <?>0; из этого
следует, что у группы G нет нетривиальных центральных 51-
расширений. Оказывается, однако, что алгебра Каца —Муди
все же является алгеброй Ли для некоторой группы Каца—
Муди; последняя определяется посредством топологически
локально тривиального, но не тривиального центрального расши-
расширения группы G при помощи 51. Действительно, легко понять,
162
что H*oP(G; Z) = //t30p(G; Z) = Z, и из рассматривавшейся выше
точной последовательности видно, что отображение Н% (G; S1) ->¦
-»-//top(G; Z) является изоморфизмом. Мы доказали следующее-
утверждение.
Теорема 5. Классы топологически локально тривиальных
центральных расширений группы токов Map (S^G) при помощи,
группы S1 совпадают с классами главных S1-расслоений над
МарE', G) (которые, в свою очередь, параметризуются одним-
целым числом). Другими словами, для всякого главного S1-
расслоения р : ?—>-Map(S', G) в Е существует единственная с
точностью до послойного изоморфизма групповая структура,,
согласованная с правым действием группы S1 в Е и такая, что
проекция р является групТповым гомоморфизмом.
Вот явное описание расширенной группы токов, соответст-
соответствующей lGZ = //?op(G; Z). (Это описание принадлежит
М. М. Концевичу; другие описания имеются в статье Реймана —
Семенова - Тян-Шанского — Фаддеева [18] и в книге Прессли —
Сигала [69].) Фиксируем на G двусторонне инвариантную 3-фор-
му со, интеграл которой по трехмерному циклу группы G, пред-
представляющему образующую группы //3(G) = Z, равен 1. Прост-
Пространство Е мы опишем как множество классов эквивалентности
отображений D2-*~K, где отображения q>]t q>2:D2-+K считаются
эквивалентными, если <рх |s> = Ф2 W- и для любого отображения
ф:/K->/С, совпадающего на верхней полусфере сферы S2cD^
с Фх и на нижней полусфере с ф2, интеграл j ф*со есть целое
D3
число. (Равенство Ф1 |s> = Ф2 U1 гарантирует существование
отображения Ф, с указанным свойством, поскольку rc2(G) = 0;
для разных отображений Фх, ф2 разность
\ ФГ со — J Ф2*
СО
есть целое число, поскольку эта разность равна интегралу
формы со по некоторому циклу группы G.) Проекция ?"->G и
умножение ЕХЕ-^Е определяются формулами Ф^ФЬ1 и
§ 3. Деформации
Этот параграф посвящен почти исключительно проблеме
классификации деформаций структуры алгебры Ли на данном
векторном пространстве. В двух пунктах этого параграфа из-
излагаются два разных подхода к данной проблеме. В первом
пункте излагается более или менее стандартная теория, связы-
связывающая деформации с двумерными когомологиями алгебры Ли
с коэффициентами в присоединенном представлении. Во втором -
11*
1.63

пункте предлагается некоторое описание локального кольца
функций на базе версальной деформации структуры алгебры
Ли (а также структуры коммутативной или суперкоммутатив-
суперкоммутативной алгебры); это описание предполагает определенное знаком-
знакомство с супералгебрами Ли и их когомологиями. К сожалению,
мы не имели возможности включить эти понятия в основной
текст статья, но, чтобы сделать изложение замкнутым, мы при-
приведем сводку необходимых определений и фактов в начале вто-
второго пункта.
3.1. Деформации алгебры Ли g и #2(g; д).
А. Деформации и инфинитезимальные деформации. Однопа-
раметрическая деформация алгебры Ли g — это гладкое отобра-
отображение
такое, что h(gu g2,0) = [g1, g2] и при каждом f€R операция
gu g2~[gu g2]t = h(gug2,t)
определяет в g структуру алгебры Ли. Деформации h, hx назы-
называются эквивалентными, если существует гладкое отображение
такое, что при каждом ?GR отображение g'~*4(g,t) линейно,
@)
hi(gug2,t)=h(u(gut), u(g2,t),t).
Если h — деформация, то отображение
4:gXg-*g, r\(gu g2)= -gjЛ(&, &,О1«
удовлетворяет, очевидно, соотношениям
Ы (gu gi), g3] +Th (g2, gz), gi] + [t] (gz, gi), gabH B)
,+*l ([gu g2], gi) +n (l[^2, gz], gi)\+4 ([gz, gi], g3) =0
(второе получится, если продифференцировать по t при t = 0
тождество Якоби для [ , ](); если деформации h, /и эквива-
эквивалентны и u:gxR->-g — отображение, осуществляющее эквива-
эквивалентность, то соответствующие h и hx отображения г\ и тц свя-
связаны соотношением
4i(^i.ft)=4tei.ft).-Htei.6(&)l+[i(gi).&], (з)
где | определяется формулой l(g)=JLu{g, t)\t-o. В соответст-
соответствии с этим билинейное отображение л:0Хд->? называется
инфинитезимальной деформацией алгебры Ли g, если оно
удовлетворяет соотношениям B), и инфинитезимальные дефор-
деформации т), т]х называются эквивалентными, если для некоторого
линейного отображения |: fi->fl выполнено соотношение C).
164
При таком определении непосредственно видно, что инфините-
инфинитезимальные деформации — это коциклы из С2(д; д), а эквива-
эквивалентные деформации — это когомологичные коциклы, так что
множество классов эквивалентных инфинитезимальных дефор-
деформаций есть Я2 (8; д).
В. Специфическая мультипликативная структура в Я*(д;д).
Пусть a6CP(g;g), &eC<J(g;g). Определим коцепь аЬ&С^>+^1 (й; д>
формулой
где суммирование распространяется на разбиения {1,...
+ <7—1} = {ib • • • , tp}U{il, • • • , jq-l} (»1< • • • <ipr /l< ¦ • . <.}q-\)y
и положим [a,b]=ab—ba. Очевидно, для любых ae?>(g;g), b&
C(O)
d [a, b] = [da, b] + (— I)' [a, db].
Последнее из этих равенств показывает, что если а и b — ко-
циклы.-то [Ja, b]—коцикл, когомологический класс которого-
определяется когомологическими классами коциклов а и Ь..
Поэтому возникает когомологическое умножение
; в) <8>№ (в; ъ)-*Нр^ (в; д),
для которого выполнены первые два из предыдущих равенств.-
(По-другому, можно сказать, что это умножение наделяет
Н* {%', 9) структурой градуированной супералгебры Ли; неко-
некоторые подробности см. в п. 3.2.)
В соответствии с общей теорией когомологических умноже-
умножений это умножение порождает цепочку частичных умножений^
Масса (см., например, [19]). Первое из них определено на
тройках aG#p(fl;g), йе#<г(д;й), сеЯг(д;д), таких, что [а, й]=0„
[Ь, с]—0, и принимает значения в факторпространстве
?])
С. Продолжение инфинитезимальной деформации. Пусть
абЯ2(д;й). Мы укажем сейчас последовательность необходимых
условий для того, чтобы инфинитезимальная деформация, отве-
отвечающая а, была производной по параметру некоторой настоя-
настоящей деформации алгебры Ли д.
Пусть г\ — коцикл, представляющий а. Предположим,^ что-
инфинитезимальная деформация tj соответствует настоящей де-
деформации /i :8XgXR->-fi, и разложим h в ряд Тейлора по t:
165

Далее, запишем для коммутатора [gug2]t = h(gu g2,t) тож-
тождество Якоби и приравняем нулю коэффициенты ряда Тейлора
его левой части:
\Llgug2],gzl+ ... =0,
[l)(gLg2),g3l+T)([gug2],g3)l+ ¦ . . = 0,
g2), ?з) +S ([gu gi], gz) + ¦ ¦ ¦ =0,
Многоточия в первых трех строчках обозначают слагаемые, по-
получающиеся из написанных слагаемых циклическими переста-
перестановками аргументов gu g2, gz. Первое из этих равенств — это
тождество Якоби для алгебры Ли д, второе равносильно тому,
что г\ — коцикл. Третье же равенство показывает, что трехмер-
трехмерный коцикл
¦gu g2, gz-+r\D(gu Ы> ёз)гг----
когомрлогичен нулю: равен дифференциалу коцепи gi, g2^
*~*?(gug2)- Когомологический класс этого коцикла рассмат-
рассматривался в п. В, где он обозначался через [а, а]. Таким обра-
образом, для существования деформации h необходимо, чтобы квад-
квадрат [;а, а] класса те равнялся 0. Следующим препятствием к
существованию деформации является, как показывает следую-
следующее из рассматриваемой цепочки равенств, когомологический
класс коцикла
gug2, ?з-*т] (S(guЫ,g3)+t, (л (gu g2),gs) + - - •,
который есть не что иное, как «куб Масси» класса а. Продол-
Продолжая эти рассмотрения, мы получим, что для существования де-
деформации необходимо, чтобы у класса а равнялись 0 все сте-
степени Масси; эти степени — определенные с нарастающей неод-
неоднозначностью элементы пространства Нъ (g; д), причем каждый
определен, только если равны 0 все предыдущие. Если все они
равны 0, то существует формальная (по параметру) деформа- •
ция алгебры Ли g, продолжающая нашу инфинитезимальную
деформацию, и остается вопрос о сходимости ряда.
D. Пример. Пусть Р — полиномиальная алгебра Пуассона
на плоскости, т. е. комплексная алгебра Ли, элементами которой
служат многочлены от двух переменных х, у, а коммутатор
действует по формуле [f,g] = f'xg'y — fyg'x- Формула
J ' 6'""*-' XxSyy J уу&ХХ
определяет 2-коцикл алгебры Ли Р с коэффициентами в Р.
Этот коцикл не когомологичен 0 (в действительности, его кого-
когомологический класс порождает Я2(Р;Р)^С). Соответствующая
ему инфинитезимальная деформация отвечает настоящей де-
деформации алгебры Ли Р, которую мы сейчас опишем. Опреде-
Определим для t&R—0 изоморфизм qt между Р и пространством
166
C[z, d/dz] полиномиальных дифференциальных операторов на
прямой формуле
Обычное коммутирование дифференциальных операторов пере-
переносится посредством этого изоморфизма qt в Р и определяет
там некоторую операцию [|, ]<. Полагая в дополнение к этому
[> ]о=[, ], мы получаем, как легко проверить, деформацию ал-
алгебры Пуассона. Неформально говоря, эта деформация превра-
превращает алгебру Пуассона в алгебру Ли полиномиальных диф-
дифференциальных операторов на прямой с операцией коммутиро-
коммутирования. Легко понять, что инфинитезимальная деформация,
отвечающая этой деформации, совпадает с указанным выше ко-
коциклом.
Е. Пусть д, \—алгебры Ли, f : fl-Ц) — гомоморфизм. Пусть,
далее, леС2(8;б). ?eC2(f); I))—инфинитезимальные деформации
алгебр Ли j, | и а, р — когомологические классы коциклов л. ?-
Вопрос: существует ли инфинитезимальная деформация гомо-
гомоморфизма f, продолжающая инфинитезимальные деформации
Л, ?, и сколько существует таких инфинитезимальных дефор-
деформаций? Ответ: деформация существует в том и только в том
случае, если классы а, ? имеют одинаковые образы при гомо-
гомоморфизмах #2(g;g)-*-#2(g;$), #2(f); Ъ)-+Н2($; f)), индуцируемых
/. Если инфинитезимальная деформация гомоморфизма / су-
существует, то фиксация одной такой деформации порождает ес-
естественное взаимно однозначное соответствие между множест-
множеством всех таких деформаций и W (g; I)).
(Проблема продолжения инфинитезимальной деформации
алгебры Ли g до инфинитезимальной деформации g-модульной
структуры в некотором g-модуле А сводится к предыдущей
проблеме, потому что g-модульная структура в А — это просто
гомоморфизм алгебры Ли g в алгебру Ли End A.)
3.2. Версальные деформации алгебр Ли и других алгебраи-
алгебраических структур.
А. Введение. Для теории деформаций наиболее удобен язык
некоммутативной гомологической алгебры. А именно, деформи-
деформируемый объект (скажем, алгебру или супералгебру Ли) удобно
заменить резольвентой — свободным 22-градуированным объек-
объектом с дифференциалом, гомологии которого есть наш объект.
Вместо деформации объекта мы рассматриваем деформацию
резольвенты. Свободный объект не деформируется, и поэтому
все сводится к деформации дифференциала. Язык гомологичес-
гомологической алгебры позволяет установить подобие двойственности
между гомотопическими категориями суперкоммутативных диф-
дифференциальных супералгебр и дифференциальных супералгебр
Ли. Поэтому теории деформаций супер коммутативных и лиевых
супералгебр — это более или менее одно и то же. В заклю-
167

чение укажем следующий общий (неформальный) принцип тео-
теории деформаций. Пусть А — деформируемый объект и R — его
резольвента. Рассмотрим супергруппу или супералгебру Ли G
преобразования (дифференцирований) R. Тогда когомологии
G — это кольцо функций на базе (мини)версальной деформа-
деформации нашего объекта А.
Отметим, что близкие конструкции используются в теории
Деформаций комплексных пространств, см. ст. III т. 10.
В. Супералгебры и супералгебры Ли. Суперпространство —
это гг-градуированное пространство V=Va@Vl. Супералгебра —
это гг-градуированная алгебра А=А0ФАи AiAjCAi+j (индексы
считаются вычетами mod 2). Супералгебра называется супер-
суперкоммутативной, если ab={—\)Ща при a&Aiy b&Aj. Пример:
А — когомологии топологического пространства или группы или
алгебры Ли, Ао — четномерная часть, А\ — нечетномерная
часть.
Однородный элемент х суперпространства End Л эндомор-
эндоморфизмов А-*~А называется супердифференцированием, если
Пространство D(А) всех супердифференцирований замкнуто
относительно операции суперкоммутирования х, у^х, у] —
= ху—(—^tesxdegyyx^ эта операция удовлетворяет соотноше-
соотношениям
[х, [у, z}]=i[l[x,у], z]+ (—l)deg x deg ЧУ, [*, zj\.
Этот факт мотивирует абстрактное определение: алгебра с опе-
операцией [, ], удовлетворяющей указанным тождествам, назы-
называется супералгеброй Ли. С примером супералгебры Ли мы
сталкивались в п. 3.1.В.
Тензорное произведение k [хи ..., xn]®Ah* (|ь • • -. tm), где
k—основное поле, является суперкоммутативной супералгеб-
супералгеброй (в ней degXi = 0, deg^ = l), — это так называемая свобод-
свободная суперкоммутативная супералгебра, порожденная суперпро-
суперпространством V=Vo(BVi, где Vq есть /г-мерное пространство с ба-
базисом хи...,хп, a V\ есть /n-мерное пространство с базисом
1ь • • ¦, tm- Супердифференцирования этой суперлагебры назы-
называются векторными полями на V, они составляют супералгебру
Ли Vect V
Яругой пример супералгебры Ли, связанной с суперпро-
суперпространством V, — это свободная супералгебра Ли L(V), порож-
порожденная V.
С каждой супералгеброй Ли связана ее обертывающая су-
супералгебра. Когомологии и гомологии обертывающей суперал-
супералгебры называются когомологиями и гомологиями самой супер-
супералгебры Ли. Теория когомологии и гомологии супералгебр Ли
параллельна теории когомологии и гомологии алгебр Ли.В ча-
168
стности, их можно вычислять при помощи стандартных коцеп-
ных и цепных комплексов. Например, <7'меРная к°Депь супер-
супералгебры Ли g=go®8i с коэффициентами в модуле М — это го-
гомоморфизм
)~+M.
Обертывающей алгеброй супералгебры Ли L(V) служит сво-
свободная ассоциативная алгебра, порожденная V. Из этого легко
вывести, что
V при ^=1'
0 при q>u
С. Дифференциальные супералгебры и супералгебры Ли.
Суп ер коммутативная супералгебра R с заданным нечетным
супердифференцированием d таким, что d2=0, называется диф-
дифференциальной супералгеброй, сокращенно d-алгеброй. У нас,
как правило, rf-алгебры будут градуированы неположительны-
неположительными целыми числами, R^=®i^oRi, и дифференциал d будет иметь
степень +1. В таких случаях мы будем говорить просто о гра-
градуированной d-алгебре. Очевидным образом определяются го-
гомоморфизмы (градуированных) d-алгебр; flt-алгебры Ri и /?2
называются гомотопически эквивалентными, если существует
d-алгебра Q и гомоморфизмы Ri-^-Q, Rz~*-Q, устанавливающие
изоморфизм гомологии.
Аналогичным образом определяются дифференциальные су-
пералгебры Ли (сокращенно d-алгебры Ли): это — супералгеб-
супералгебры Ли, наделенные нечетным супердифференцированием d с
d2 = 0. Говоря о градуированных d-алгебрах Ли, мы подразу-
подразумеваем, что они градуированы неотрицательными целыми чис-
числами и дифференциал имеет степень —1.
Пусть А — суперкоммутативная супералгебра. Ее резольвен-
резольвента Тюриной (резольвента Тэйта) определяется как свободная
суперкоммутативная градуированная d- алгебра /?=/?оФ
Ф/?_1®..., заданная вместе с гомоморфизмом Ro-*~A таким, что
точна последовательность
2
Сама супералгебра А может рассматриваться как градуирован-
градуированная d-алгебра (с нулевым дифференциалом), и отображение
Rir^-A определяет гомоморфизм d-алгебр R-+-A. Очевидно, этот
гомоморфизм является гомотопической эквивалентностью.
Совершенно так же определяется резольвента для суперал-
супералгебры Ли (это—свободная градуированная i-алгебра Ли).
Теперь определим когомологии а?-алгебры Ли д. Стандартный
коцепной комплекс (с тривиальными коэффициентами) С* (8) есть
градуированная суперкоммутативная супералгебра. Дифференциал
d: й ->¦ й порождает супердифференцирование d: С * (й) -> С* (й)
с d2 = 0, связанное с обычным коцепным дифференциалом б
169

соотношением d8-\-Sd = 0. Из этого соотношения видно, что
d-j-S—тоже дифференциал. Комплекс С*(д) с дифференциалом
flf + б называется стандартным коцепным комплексом ^-алгебры
«Ли д, а его когомологии называются когомологиями ^-алгебры
Ли g.
Аналогичным образом определяются гомологии cf-алгебры
Ли д. Определяются также когомологии и гомологии rf-алгебры
Ли с нетривиальными коэффициентами, причем область коэф-
коэффициентов должна быть «дифференциальным модулем»; детали
читатель восстановит самостоятельно.
Легко видеть, что когомологии (с тривиальными коэффици-
коэффициентами) супералгебры Ли совпадают с когомологиями резоль-
резольвенты этой супералгебры Ли, рассматриваемой как с?-алгеб-
ра Ли.
Предположим теперь, что д — градуированная cf-алгебра Ли,
fl = ®i>o8i- Тогда С*(д) и С. (б) приобретают структуру двойных
комплексов, и с ними ассоциируются стандартные спектраль-
спектральные последовательности. В частности, возникает спектральная
последовательность, начальный член которой — это когомоло-
когомологии супералгебры Ли g без учета дифференциала d (наделен-
(наделенные дополнительной градуировкой за счет градуировки в д).
Если R есть резольвента супералгебры Ли g, то начальный член
гомологической версии нашей спектральной последовательности
есть R/[R, R] (таковы гомологии свободной супералгебры Ли)
и все дифференциалы, кроме первого, тривиальны. Следова-
Следовательно, гомологии супералгебры Ли g совпадают с гомология-
ми комплекса R/1'Д, R] с дифференциалом, индуцированным
дифференциалом в R.
D. Алгебры дифференцирований коцепного комплекса супер-
супералгебры Ли и ее резольвенты. Пусть g — супералгебра Ли,
D($) — супералгебра всех супердифференцирований ее коцеп-
коцепного комплекса С*(д). В частности, коцепной дифференциал б
принадлежит D(q). Превратим ?(д) в cf-алгебру Ли, положив
6(а) = [6, а]. Нетрудно показать, что комплекс D (д) изомор-
изоморфен коцепному комплексу супералгебры Ли д с коэффициента-
коэффициентами в присоединенном представлении. Структура супералгебры
Ли в ?>(д) индуцирует структуру супералгебры Ли на про-
пространстве //*(д;д), с которой мы уже сталкивались (для обык-
обыкновенных алгебр Ли) в п. 3.1.В.
Пусть теперь R-*& — резольвента супералгебры Ли g и
D(R)—супералгебра Ли всех супердифференцирований R-+R.
Операция коммутирования с d&D(R) определяет на D(R)
структуру d-алгебры Ли. Алгебра D(R) действует посредством
супердифференцирований на комплексе С*(д). Нетрудно пока-
показать, что гомологии комплекса D(R) —это снова #*(g;g); более
того, d-алгебры Ли D(R) и ?>(g) гомотопически эквивалентны.
Е. Эквивалентность гомотопических категорий суперкомму-
170
тативных и лиевых с?-алгебр. Пусть Л=®1ч;<Иг — градуирован-
градуированная d-алгебра с Ло=&. На пространстве Я*(Л) =ExtA(?,k)
имеется структура 22-градуированной алгебры Хопфа: коумно-
жение в Н*{А) индуцируется умножением А®А~*-А (которое
является кольцевым гомоморфизмом ввиду суперкоммутатив-
суперкоммутативности А). Супервариант известной теоремы Хопфа утверждает,
что всякая 22-градуированная алгебра Хопфа является оберты-
обертывающей алгеброй некоторой супералгебры Ли; значит, это вер-
верно для Н*{А).
Предложение. Гомотопическая категория si-\ градуиро-
градуированных с?-алгебр гомотопически эквивалентна гомотопической
категории si-2 градуированных rf-алгебр Ли.
Функтор <p:s&-2-+ s4-x относит градуированной cf-алгебре Ли ее
стандартный коцепной комплекс. Функтор ^>:s^l-^-^2 строится
так. Пусть Л есть градуированная d-алгебра. Образуем свобод-
свободную супералгебру Ли L(nA'), где штрих обозначает переход
к сопряженному пространству, а я есть функтор изменения
четности: (яЛ'L = A\—t. Дифференциал d:A-*-A индуцирует диф-
дифференциал d:L(л.А')-+L (л.А'), превращающий L(nA') в ^-алгебру
Ли. Определим на L (п.А') еще один дифференциал, dx. Умноже-
Умножение в А есть отображение S2A-+A, где S2 понимается в супер-
суперсмысле: S2A = S2Ao®(Ao®Ai)'®A2Al; сопряженный оператор
A'-+S2A' продолжается до супердифференцирования в /.(яЛ') =
= A'®S2A'®..., последнее и есть d\. Легко проверить, что
\d, d1l==0, ввиду чего d-\-d\ тоже есть дифференциал. Функтор
ij) относит cf-алгебре А ^-алгебру Ли L (лА') с дифференциалом
d-\-di. Можно проверить, что функторы Ф и ф гомотопически
взаимно обратны.
F. Деформации суперкоммутативных супералгебр. Пусть
А, В — суперкоммутативные супералгебры над полем k, 9 : В-*-
-*-k — аугментация. Деформацией алгебры А с базой Spec В мы
будем называть структуру суперкоммутативной супералгебры
на тензорном произведении A®B = S такую, что отображения
В-+А®В, 6и*1®6, и А®В-*-А, a®b^y aQ(b), являются мульти-
мультипликативными гомоморфизмами; другими словами, 5 есть су-
суперкоммутативная 5-алгебра.
Наша задача состоит в построении миниверсальной дефор-
деформации алгебры Л. Напомним, что деформация называется вер-
сальной, если всякая деформация алгебры А в нее отображает-
отображается (отображение одной деформации в другую определяется оче-
очевидным образом), и называется миниверсальной, если в допол-
дополнение к этому размерность ее базы является минимальной воз-
возможной размерностью базы версальной деформации.
Мы ограничимся, для простоты, случаем, когда алгебра А
не имеет дифференцирований: D{A) =0.
Пусть /?={... -»-/?_1->-#<г-»-Л->-0} — резольвента Тюриной
171

алгебры A, D(R)—супералгебра Ли дифференцирований R.
Коммутирование с дифференциалом dGD{R) резольвенты R
определяет диффеРенЦиал на &(Ю> делающий D(RY d-алгеб-
рой Ли. Легко показать, что H°(D(R); R)=A®H°(D(R)) (это
равенство однако, неверно без предположения D(A) =0), и'
мультипликативная структура в R наделяет мультипликативной
структурой H°(D(R);R). Более того, можно проверить, что
эта структура задает деформацию алгебры А с базой
Spec H4D(R)).
Теорема 1. Эта деформация является миниверсальной.
Мы ограничимся тем, что приведем конструкцию отображе-
отображения базы произвольной Деформации алгебры А в базу этой де-
деформации. Пусть задана деформация с базой Spec В. Алгебра
S=A®B обладает, как можно показать, резольвентой
.. .-*-R-i®B-*-R0®B-i~S->Q, дифференциал d(B) которой яв-
является S-гомоморфизмом. Это означает, что d(B) определяется
своим сужением на R=R®lczR®B, т. е. отображением R-+
^->-/?<8>?. Это отображение можно рассматривать как отображе-
отображение В'-^-Епй R, и можно показать, что образ последнего отобра-
отображения содержится в D(R). Далее, построенное отображение
B'-*-D(R) продолжается до гомоморфизма fif-алгебр L(nB')-*-
—>~D(R), индуцирующего при переходе к когомологиям отобра-
отображение H°(D(R))->~B.
G. Деформации супералгебр Ли. Деформация супералгебры
Ли g с базой Spec В, где В — суперкоммутативная супералгебра
с аугментацией 9 : В—>-&, определяется как структура 5-супер-
алгебры Ли в тензорном произведении %®В = § такая, что ото-
отображение fl—>-$, g<2>bh+gQ(b), есть гомоморфизм супералгебр Ли.
Наша задача — построить миниверсальную деформацию супер-
супералгебры Ли g в предположении, что сама супералгебра g не
имеет дифференцирований.
К построению миниверсальной деформации имеются два
подхода. "Одно построение в точности повторяет предыдущее:
мы строим для g резольвенту R и определяем rf-алгебру Ли
D(R) супердифференцирований R; многообразие SpecH°(D(R))
служит базой миниверсальной деформации. Другое построение
использует супералгебру Ли ?>(g) супер дифференцирований
стандартного коцепного комплекса С*(д); как мы уже знаем,
cf-алгебры Ли D(q) и D(R) гомотопически эквивалентны (см.
п. D). Поэтому в качестве базы версальной деформации можно
взять Spec № (D (g)). Отображение #° (Z> (g))-*-? по деформа-
деформации супералгебры g с базой Spec .8 легко построить прямо:
структура fi-супералгебры Ли в q<2>B определяется отображе-
отображением Л?%-+%®В, которое задает отображение .б'-^Нот (д', Л2д') •
Отображения g'—>-Л2д', лежащие в образе построенного отобра-
отображения, продолжаются, как можно показать, до дифференциро-
дифференцирований стандартного коцепного комплекса супералгебры д, и это
определяет отображение B'-^D(q). Продолжая это отображе-
172
ние до гомоморфизма d-алгебр Ли L(je.B/)-*-D(8), получаем
нужное отображение Я°(?>(д))-кВ, переходя к когомологиям.
В заключение укажем на связь этой теории деформаций су-
супералгебр Ли с теорией п. 3.1. Как уже говорилось в п. D,
rf-алгебра Ли Z>(g) как комплекс совпадает с C*(g;fl). Поэтому
к когомологиям Z)(g) сходится спектральная последователь-
последовательность, второй член которой совпадает с когомологиями супер-
супералгебры Ли Я*(д;д). Коцепи этой супералгебры представляют
собой тензорное произведение пространства полиномиальных
функций на Яетеп(д;д) и пространства внешних форм на
Нойй{в;в)- Легко понять, что вклад в нульмерные когомологии
H°(D($)) делают в точности полиномиальные функции на
•^2(й;8)- Дифференциалы ^спектральной последовательности осу-
осуществляют факторизацию пространства этих функций по неко-
некоторому идеалу, и это позволяет реализовать базу нашей вер-
версальной деформации как алгебраическое многообразие в
Я2 (в; в).
Глава 3
ВЫЧИСЛЕНИЯ
В этом параграфе основное внимание уделяется когомоло-
гияад алгебр Ли. Спектральная последовательность Хохшиль-
да—Мостова (см. п. 3.2 гл. 1) позволяет перерабатывать ре-
результаты о когомологиях алгебр Ли в информацию о ван-
эстовских когомологиях соответствующих групп Ли. Мы при-
приводим получающиеся таким образом результаты лишь в
исключительных случаях. Единственная проблема, специфиче-
специфически относящаяся к когомологиям групп и не сводящаяся к ска-
сказанному, ¦— проблема явного построения коциклов, представ-
представляющих когомологические классы групп. То немногое, что
мы можем об этом сказать, содержится в заключительном § 6.
§ 1. Конечномерные алгебры Ли
1.1. Случай тривиальных коэффициентов. С простой конеч-
конечномерной комплексной алгеброй Ли ранга / связан набор из /
натуральных чисел d\,..., di, называемых показателями. Это—
уменьшенные на 1 степени однородных многочленов на карта-
новской подалгебре, инвариантных относительно группы Вейля
и составляющих минимальную систему образующих в кольце
таких многочленов. Приведем таблицу показателей простых
конечномерных алгебр Ли (во втором столбце указаны класси-
классические компактные группы, отвечающие вещественным ва-
вариантам рассматриваемых алгебр Ли).
173

алгебры A, D (R) — супералгебра Ли дифференцирований R.
Коммутирование с дифференциалом deD(R) резольвенты R
определяет дифференциал на ?*(#). делающий D(RY d-алгеб-
Рой Ли. ЛегкоГ показать, что H°(D(R);R) =A<S>H°(D(R)) (это
равенство однако, неверно без предположения D(A)=Q), и'
мультипликативная структура в R наделяет мультипликативной
структурой №(D(R);R). Более того, можно проверить, что
эта структура задает деформацию алгебры А с базой
Spec Н°(D(R)).
Теорема 1. Эта деформация является миниверсальной.
Мы ограничимся тем, что приведем конструкцию отображе-
отображения базы произвольной деформации алгебры А в базу этой де-
деформации. Пусть задана деформация с базой Spec В. Алгебра
S—A®B обладает, как можно показать, резольвентой
...—>-i?_i<8>?—*-R0®B-*-S-*-Q, дифференциал d(B) которой яв-
является S-гомоморфизмом. Это означает, что d(B) определяется
своим сужением на R=R®lczR<2>B, т. е. отображением /?-»-
^-R®B. Это отображение можно рассматривать как отображе-
отображение B'—>-End R, и можно показать, что образ последнего отобра-
отображения содержится в D(R). Далее, построенное отображение
B'-*-D(R) продолжается до гомоморфизма fif-алгебр ЦлВ')-*-
-*-D(R), индуцирующего при переходе к когомологиям отобра-
отображение H°(D(R))-*-B.
G. Деформации супералгебр Ли. Деформация супералгебры
Ли g с базой Spec В, где В — суперкоммутативная супералгебра
с аугментацией 9: B-*-k, определяется как структура В-супер-
алгебры Ли в тензорном произведении g<S>.S = g такая, что ото-
отображение g—>-$, g®bt-*-gQ{b), есть гомоморфизм супералгебр Ли.
Наша задача — построить миниверсальную деформацию супер-
супералгебры Ли g в предположении, что сама супералгебра g не
имеет дифференцирований.
К построению миниверсальной деформации имеются два
подхода. "Одно построение в точности повторяет предыдущее:
мы строим для g резольвенту R и определяем rf-алгебру Ли
D(R) супердифференцирований R; многообразие Spec H°(D(R))
служит базой миниверсальной деформации. Другое построение
использует супералгебру Ли ?>(g) супердифференцирований
стандартного коцепного комплекса С* (g); как мы уже знаем,
d-алгебры Ли ?>(g) и D(R) гомотопически эквивалентны (см.
п. D), Поэтому в качестве базы версальной деформации можно
взять Spec H°(D(q)). Отображение H°(D(q))->~B по деформа-
деформации супералгебры g с базой Spec .6 легко построить прямо:
структура S-супералгебры Ли в %®В определяется отображе-
отображением A2g->g®S, которое задает отображение В'-^-Иот (д', Л2д').
Отображения д'—>-Л2д', лежащие в образе построенного отобра-
отображения, продолжаются, как можно показать, до дифференциро-
дифференцирований стандартного коцепного комплекса супералгебры д, и это
определяет отображение B'—*-D($). Продолжая это отображе-
172
ние до гомоморфизма rf-алгебр Ли L{nB')-^-D{Q), получаем
нужное отображение H0(D($))-*-B, переходя к когомологиям.
В заключение укажем на связь этой теории деформаций су-
супералгебр Ли с теорией п. 3.1. Как уже говорилось в п. D,
rf-алгебра Ли ?>(д) как комплекс совпадает с C*(g; g).. Поэтому
к когомологиям Л(д) сходится спектральная последователь-
последовательность, второй член «оторой совпадает с когомологиями супер-
супералгебры Ли //*(g;g). Коцепи этой супералгебры представляют
собой тензорное произведение пространства полиномиальных
функций на #even(g;g) и пространства внешних форм на
#odd (g; g). Легко понять, что вклад в нульмерные когомологии
#°(?>(д)) делают в точности полиномиальные функции на
•^2@;8)- Дифференциалы ^спектральной последовательности осу-
осуществляют факторизацию пространства этих функций по неко-
некоторому идеалу, и это позволяет реализовать базу нашей вер-
версальной деформации как алгебраическое многообразие в
^2()
Глава 3
ВЫЧИСЛЕНИЯ
В этом параграфе основное внимание уделяется когомоло-
гия1м алгебр Ли. Спектральная последовательность Хохшиль-
да—Мостова (см. п. 3.2 гл. 1) позволяет перерабатывать ре-
результаты о когомологиях алгебр Ли в информацию о ван-
эстовских когомологиях соответствующих групп Ли. Мы при-
приводим получающиеся таким образом результаты лишь в
исключительных случаях. Единственная проблема, специфиче-
специфически относящаяся к когомологиям групп и не сводящаяся к ска-
сказанному, ¦— проблема явного построения коциклов, представ-
представляющих когомологические классы групп. То немногое, что
мы можем об этом сказать, содержится в заключительном § 6.
§ 1. Конечномерные алгебры Ли
1.1. Случай тривиальных коэффициентов. С простой конеч-
конечномерной комплексной алгеброй Ли ранга / связан набор из /
натуральных чисел d\,..., di, называемых показателями. Это—
уменьшенные на 1 степени однородных многочленов на жарта-
новской подалгебре, инвариантных относительно группы Вейля
и составляющих минимальную систему образующих в кольце
таких многочленов. Приведем таблицу показателей простых
конечномерных алгебр Ли (во втором столбце указаны класси-
классические компактные группы, отвечающие вещественным ва-
вариантам рассматриваемых алгебр Ли).
173

в
At
Bt
Ci
Di
a
SU(/+O
SOB/—1)
SPBO
SOB/)
<*i dt
1, .... /
1,3 21—\
1, 3 21—\
1, 3, ...,2/-3, /-1
в
G2
P*
E*
E-,
Ee
dl,...,dl
1,5
1, 5r 7, 11
1, 4, 5, 7, 8, 11 '
1, 5, 7, 9, 11, 13, 17
1,7, 11,13, 17, 19,23,29-
Теорема 1. Пусть g— простая конечномерная комплек-
комплексная алгебра Ли, d\,...,dv—ее показатели. Кольцо Я*(д)
представляет собой внешнюю алгебру с / образующими раз-
размерностей 2di+l,..., 2di+\.
При помощи этой теоремы можно вычислить когомологии с
тривиальными коэффициентами произвольной редуктивной ал-
алгебры Ли: достаточно добавить к сказанному, что
№(С;. С) = С при q = 0, 1 и Я«(С; С)=0 при q=?0, 1, а также
что Я* (в1ев2) = Я* (8i) ®H* (fe).
Выбор коциклов, представляющих когомологические клас-
классы простых алгебр Ли может быть осуществлен при помощи
следующего утверждения.
Теорема 2. Пусть g обозначает то же, что в теореме 1.
Всякий класс из Н* (д) представляется единственным д-инва-
риантным коциклом. Более того, всякая g-инвариантная коцепь
является коциклом.
Теоремы теории инвариантов (см. [76]) позволяют явно
вычислить инвариантные коцепи из С* (д) =Л*д' для всех клас-
классических простых алгебр Ли д. Приведем результат для д=
:=91(П,С).
Теорема 3. Для г матриц с нулевым следом А\,..., Лгб
Ggl(w, С) положим
2
ngSymm(r)
Коцепи фз, ф5,.. •, ф2п-1^С* (з1(пу С)) являются коциклами, ко-
когомологические классы которых свободно порождают внешнюю
алгебру Я*(з1(«, С)).
1.2. Случай нетривиальных коэффициентов.
Теорема 4. Пусть М — конечномерный неприводимый мо-
модуль над простой конечномерной комплексной или веществен-
вещественной алгеброй Ли а. Если модуль М нетривиален, то
Я*(д;М)=0.
Доказательство см. в [74].
Обобщением этой теоремы служит следующий факт.
Теорема 5. Пусть М — конечномерный модуль над ком-
комплексной или вещественной редуктивной алгеброй Ли д, обла-
обладающий следующим свойством: преобразование, производимое
174
в М произвольным элементом центра алгебры Ли д, представ-
представляется в некотором базисе диагональной матрицей. Тогда
Н* (8; М) = Н* (в; lnvaM) ^ Н* (в)® InVgM.
Например, если д — конечномерная простая комплексная
или вещественная алгебра Ли, то теорема 4 показывает, что
Н* (й;й)=О> а теорема 1 (применяемая к д или к д<8>С) пока-
показывает, что Я2(д)=0. Следовательно, в силу результатов гла-
главы 2, алгебра Ли д не имеет нетривиальных внешних диффе-
дифференцирований, центральных ' расширений и деформаций.
1.3. Теорема Ботта—Костанта (см. [40], [64]). В этом
пункте мы сформулируем теорему Ботта — Костанта о
когомологиях максимальных нильпотентных подалгебр полу-
полупростых алгебр Ли. Введем сначала необходимые обозначе-
обозначения. Пусть д — комплексная конечномерная полупростая ал-
алгебра Ли, п — максимальная нильпотентная подалгебра ал-
алгебры Ли д, W — группа Вейля алгебры д, Г — система кор-
корней д, Г+, Г- — соответственно множества положительных и
отрицательных корней. Каждому корню у?Т мы отнесем нену-
ненулевой вектор ?тбд в соответствующем корневом пространстве.
Множество векторов Ет, у&Т+,— базис в п. Пусть М — конеч-
конечномерный неприводимый модуль над д и v — старший вектор
в М, т. е. определенный с точностью до пропорциональности
ненулевой элемент из М такой, что ?ти=0 при убГ+. Группа W
действует в М; векторы wv, w&W, называются крайними. Обо-
Обозначим символом Гш пересечение (шГ-)ПГ+, w&W. Число
элементов в Tw называется длиной элемента w и обозначается
через l(w).
Обозначим через tw цепь из стандартного цепного ком-
комплекса алгебры Ли п. с коэффициентами в М, определяемую
формулой
Легко проверить, что tu, — цикл.
Теорема 6. Размерность пространства //,(n;7W) равна
числу элементов длины i в группе W, причем гомологические
классы циклов tw составляют базис в Я;(а; М).
Эта теорема имеет обобщение на случай максимальных
нильпотентных подалгебр алгебр Каца—Муди (см. [53]).
§ 2. Алгебры Ли векторных полей
В пп. 2.1—2.3 этого параграфа основное поле мы считаем
полем С комплексных чисел. В большинстве формулировок оно
может быть заменено произвольным полем характеристики 0.
2.1. Полная алгебра Ли формальных векторных полей. Ал-
Алгебра Ли всех формальных векторных полей в С™, наделенная
175

стандартной топологией проективного предела, обозначается
через Wn.
А. Случай тривиальных коэффициентов. Обозначим через
Хп полный прообраз 2п-го остова sk2n5U(n) пространства
BU(n) = CG(°°>n) (по отношению к шубертовскому клеточно-
клеточному разбиению, см. [35]) в стандартном универсальном U(n)-
расслоении.
Теорема 1 (И. М. Гельфанд, Д. Б. Фукс [8]). #*(№Ле*
^Я*(^п;С); умножение в кольце H*(>Wn) тривиально: про-
произведение любых двух элементов положительной размерности
равно 0.
Когомологии пространства Хп могут быть без труда вы-
вычислены при помощи стандартных методов алгебраической
топологии. В частности, умножение в Н*(Хп', С) тривиально,
так что изоморфизм теоремы 1 мультипликативен. Приведем
еще несколько следствий этого вычисления.
\ — Р Прй ^г==0> 3'
W{) — jo ^0 з
B при q = 5, 8,
2°. dim И" (W2)= 1 при ? = 0, 7,
10 при яфО, 5, 7, 8.
3°. #?(W,,) = 0 при 0<?<2га+1 и при q>n{ti-{-2);
(Wn) = p (n +1) — 1,
где р обозначает число (неупорядоченных) разбиений в сумму
натуральных слагаемых.
Стандартное доказательство теоремы 1 состоит в рассмот-
рассмотрении спектральной последовательности Серра—Хохшильда
пары (Wn, gl(n, С)), где алгебра матриц gl(ft, С) вложена в
Wn в качестве подалгебры линейных векторных полей, т. е. век-
векторных полей вида ^пцХ^д/дх,. Начальный член этой спектраль-
спектральной последовательности ?iP«=#3(<jI(n, С); AP(Wn/Ql(n, С)))
находится при помощи теорем 1, 5 из § 1 и основ-
основных теорем теории инвариантов 1классичеоких алгебр Ли.
A posteriori оказывается, что, начиная со второго члена,
спектральная последовательность Серра—Хохшильда не отли-
отличается от когомологической спектральной последовательности
расслоения Xn-*-sk2nBU (п).
Тем же способом вычисляются следующие относительные
когомологии:
H*(Wn,o(n))=H*(Xn/SO(n); С),
Я* (Wn, О («)) =Я* (Хп/О (п); С),
H*(Wn,sl(n,C))-H*(sk2nBU(n);C).
176
(Алгебра Ли о (л) кососимметрических матриц вкладывается в
Wn в качестве подалгебры алгебры Ли з1(я, С); все перечислен-
перечисленные изоморфизмы мультипликативны.)
В. Связь с усеченной алгеброй Вейля. Пусть g — конечно-
конечномерная алгебра Ли над полем &=R или С. Рассмотрим ал-
алгебру W7(g) = (A*g(g)S*g)/ и определим в ней градуировку,
фильтрацию и дифференциал. Градуировка определяется фор-
формулой
фильтрация — формулой
(так что \^(g) = /=W(g)^/71VF(g) = /:2\r(9)^/\F(g) = F
Дифференциал d: W (д) -*¦ W (д) определяется формулой
А, ... *,
j... h
+ 2 (-
j. ff/l Affi A.. • gt ... gj ... Agr®ht ... A,).
Очевидно, умножение, градуировка, фильтрация и дифферен-
дифференциал в W(q) надлежащим образом между собой согласованы;
в частности, дифференциал имеет по отношению к градуировке
степень+1. Заметим еще, что комплекс W($)/FlW(&) совпа-
совпадает с С*(д). Алгебра W(q) с перечисленными структурами
называется алгеброй Вейля алгебры Ли д.
Укажем на три свойства алгебр Вейля.
Г. Комплекс W(q) ацикличен (т. е. Я°(№(д))=& и
Hv(W($))=Q при q>0). Действительно, формула
определяет в W(&) нуль-гомотопию.
2°. У спектральной последовательности, ассоциированной с
построенной выше фильтрацией комплекса W(q),
Fp,q [0, если р нечетно,
?2 ~~\Hq&; 5P/V). если р четно,
12—1370
17Г

а предельный член тривиален. Если k=R и алгебра Ли g отве-
отвечает груяяе Ли О, обладающей компактной формой G, то эта
спектральная последовательность, начиная со второго члена,
совпадает с когомологической спектральной последователь-
последовательностью универсального расслоения группы G.
3°. Пусть С—{Сч, б« : Cz—>-Cv+l}—мультипликативный ком-
комплекс над k и со.: g'—»-С— произвольный линейный оператор.
Тогда существует единственный однородный мультипликатив-
мультипликативный гомоморфизм Q : W(q)^>-C, сужение которого на A1g'=fl/c=
сгТРЧз) совпадает с ш. Построение очевидно: сужение filS'g
переводит <pGS1g/=g/ в разность Л^со.(й?ф) —б1ш(ф), где dq>&
бЛ2й/==С2(д) есть дифференциал коцепи фбд'—С*(#) в комплек-
комплексе С* (в).
Например, если в главном G-расслоении Е-*-Х задана связ-
связность слШ1(Е;$) (G — группа Ли, д — ее алгебра Ли), то от-
относя функционалу <р%' форму ^°ca6?2'?, мы получаем линей-
линейное отображение q'-*QlE, которое, в силу оказанного, канони-
канонически продолжается до гомоморфизма W(q)—>-Q*E, являюще-
являющегося важным инвариантом связности; через его посредство
можно, в частности, определить характеристические классы
расслоения.
Для нас утверждение 3° важно по другой причине. Линей-
Линейное отображение Wn-+Ql(ti, С), определяемое формулой
2( д
dXi
а
¦1}
определяет отображение д1(я, k)f-*-Wn/=C1(Wn), которое, в
силу 3°, канонически продолжается до гомоморфизма
W(?l(n, С))->-С*(:№„). Простые соображения показывают, что
сужение этого гомоморфизма на F2n+lW($1(п, С)) тривиально
(см. '[34, п. 2.2.3.С]), ввиду чего возникает гомоморфизм
r(fll(n, C)Jn = W($t(n, C))/F2n^W,(9l(n, C))^C*(Wn) A)
(Алгебра W($l(n, C)J» называется усеченной алгеброй Вей-
ля.) Имеет место
Теорема V. Гомоморфизм A) индуцирует когомологиче-
когомологический изоморфизм.
Более или менее очевидно, что когомологии комплекса
W(gl(n, C)Jn совпадают с когомологиями пространства Хп'-
это получается из усеченного варианта спектральной последо-
последовательности 2°. Таким образом, теорема 1 является следствием
теоремы 1'. Другим следствием теоремы 1' является тот факт,
что все когомологические классы алгебры Ли Wn представ-
представляются коциклами, лежащими в образе гомоморфизма A).
Этот образ можно без труда явно описать; мы ограничимся
следующим извлечением из этого описания.
¦Следствие. Всякий когомологический класс алгебры Ли
Wn представляется коциклом с: AiWn—>-C таким, что
178
c('ii lq) определяется 2-струями формальных векторных
полей |ь ..., |9.
Пример: ненулевой элемент пространства H3(Wi) пред-
ставляется коциклом
% Ьг
С. Подалгебры Lk(n). Алгебра Ли Wn имеет классическую
фильтрацию
где Lh(n) есть множествр формальных векторных полей с три-
тривиальной ?-струей. Очевидно, L0(n) имеет в Wn коразмер-
коразмерность п, Lft(n) есть идеал в Li(n) при O^t<ck, и факторалгеб-
ра L0(n)/Li(n) изоморфна gl(n, С).
Теорема 2. Проекция L0(n)-»-gI(n, С) индуцирует когомо-
когомологический изоморфизм
Заметим, что над алгеброй Ли L0(n) имеется большое ко-
количество конечномерных модулей: достаточно взять любой ко-
конечномерный gl(n, С)-модуль М и превратить его в Lo (n) -мо-
-модуль при помощи проекции L0(n)-»-gI(n, С). Коиндуцированный
Wn-модуль Ж состоит из формальных сечений расслоений со
слоем типа М; другими словами, если М — пространство ли-
линейных тензоров некоторого типа, то Ж — пространство фор-
формальных тензорных полей такого же типа. Скажем, если М —
тривиальный gl(n, С)-модуль С, то Ж есть ^„-модуль «фор-
«формальных функций» С[[лгь ..., Хп]]; если M=V есть Сп со
стандартным действием gl(n, С), то Ж есть Wn с присоединен-
присоединенным действием; если M=A.hV' — пространство кососимметриче-
ских ^-линейных форм в С", то Jk—Qh — пространство фор-
формальных внешних дифференциальных форм степени k; и т. д.
Напомним, что в силу леммы Шапиро (см. п. 4.2.В гл. 1)
в частности, из теоремы 2 следует, что
Я* Wn, СИ*,,.. ., хп]]) =Я* (91 (п, С)).
Этот изоморфизм будет обобщен в п. D.
В случае &;>0 о когомологиях алгебры Ли Lk(n) имеется
лишь частичная информация (см. пп. F, G и 2.2). Эти когомо-
когомологии особенно важны в случае k=\, поскольку они тесно свя-
связаны с когомологиями алгебры Ли Lo(n) с коэффициентами в
конечномерных gl(n, С)-модулях и, значит, с когомологиями
алгебры Ли Wn с коэффициентами в модулях формальных
тензорных полей. Эту связь осуществляет следующее утвержде-
утверждение.
12*
179

Теорема 3 (М. В. Лосик [17]). Для любого конечномер-
конечномерного gl(«, С)-модуля М
здесь структура Ql(n, С)-модуля в H*(Li(n)) определяется как
в п. 2.3.В гл. 1 (с помощью ра:венства gl(n, С) =L0(n)/Li(n)).
Эта теорема доказывается при помощи спектральной после-
последовательности Серра—Хохшильда пары (L0(n), Z.i(n)) с ис-
использованием теоремы 5 п. 1.2. Ее доказательство можно
несколько упростить, привлекая естественную градуировку ал-
алгебры Ли L\ (n). Именно, эта алгебра Ли обладает градуиров-
градуировкой
где пространство L[s) (п.) натянуто на векторные поля вида
xtl ... Xis+id/dxj (аналогичная градуировка имеется у алгебры
Ли Wa и у алгебр Ли Lk(ti) с k=?\). Очевидно, что L[s)(n) = 0
лри 5<;0. Возникает градуировка в когомологиях
Теорема 3'. Предположим, что единичная матрица
l(#. С) определяет в М умножение на абС. Тогда
H*(L0(n); Ж) =
«, C))®Invflt(«,c)
в частности, H*(L0(n); М)=0, если а не есть неположительное
целое число.
Последнее утверждение показывает, среди прочего, что три-
тривиальны когомологии алгебры Ли Wn с коэффициентами в мо-
модулях формальных тензорных полей, у которых «число верх-
верхних индексов» превосходит «число нижних индексов». Напри-
Например, H*(Wn; №п)=0.
D. Когомологии с коэффициентами в модулях внешних
дифференциальных форм. Результаты п. С показывают, что
вычисление когомологии алгебры Ли Wn с коэффициентами в
модулях формальных тензорных полей сводится к вычислению
когомологии H*(L\{n)) как gl(n, С)-модуля. Однако, послед-
последнее вычисление полностью проделано к настоящему времени
только при л=1. Все же, в одном случае вычисление когомо-
когомологии алгебры Ли Wn с коэффициентами в тензорных полях
удалось довести до конца — в случае, когда коэффициентами
служат формальные дифференциальные формы. Пусть й№« —
пространство внешних дифференциальных форм степени а
в Сп.
180
Теорема4 (И. М. Гельфанд, Д. Б. Фукс [9]). Биградуи-
рованная алгебра Н* (Wn; Q*) порождается образующими
2 i
() [] y?{ ,];
эти образующие связаны соотношениями косой коммутативности
XtXj= — XjXi, Xtiij = yijXi, |хг^ = {Ху|хг и соотношением y.Ji
... 1^ = 0 при y"i+...+/,>ге.
Замечания. Г. В частности, Н* (Wn; Q°) = A(Xb ...,А,„)=
==//* (д!(м, С)); это утверждение нам уже известно—см. п. С.
2°. Мы не станем описывать коциклы, представляющие классы
Kt и jxy; ограничимся двумя простыми формулами: Ai представ-
представляется коциклом li-*-div |, ^ — коциклом l*-*-d div 1.
Е. Стабильные когомологии с коэффициентами в тензорных
полях. Комологии алгебры Ли Wn с коэффициентами в тензор-
тензорных полях произвольного вида известны в настоящее время в
размерностях, не превосходящих п/2 (Д. Б. Фукс [33];.
Б. Л. Фейгин — Д. Б. Фукс [30]). Техническую основу вычисле-
вычисления этих когомологии составляет следующая
Теорема 5. Если и>2г, то Н\т) (Li («)) = 0 при гфгп.
Когомологии Н\Г) (Z-! («)) могут быть найдены без болыпого-
труда, так что теорема 5, вместе с теоремой 3, полностью ре-
решает проблему вычисления стабильных когомологии . алгебры
Ли Wn с коэффициентами в модулях формальных тензорных
полей. Именно, справедливо следующее утверждение.
Теорема 6. Пусть М — подмодуль д!(п, С)-модуля Tq&
тензоров типа (p,q), Ж — модуль (над Wn) формальных тен-
тензорных полей соответствующего типа. Тогда
0 при г<<7—р,
Н
(L0(n);
я, С)) ®
® Inv (//?fp> (ii in)) ® M)
при r><7 — p.
Приведем несколько более конкретных формулировок. Для
M=Tpq положим JC = srpg\ ддя M=S"V'czT0 (пространство
симметрических ^-линейных форм в V) обозначим Ж через 9;
положим также 0~°Я=Т.„, ®ч>оТя=Т^, ®„>osq = 9>*; очевидно^
3~ч и 9>ч — градуированные алгебры.
Теорема 7. Если «>2г, то
Hr (Wn; Tq)=H>~<i (gl (п., С)) ® Inv (®* (gl (л, С))),
//' (Wn; 9>q)^H*-« (gl («,. С)) ® Н« (gl (л, С))
(изоморфизмы мультипликативны).
Это утверждение, а также стабильная часть теоремы 4>
порождают следующую, пока не доказанную гипотезу. Пусть
А — нелроводимая компонента модуля Г°(?<я), отвечающая
181

некоторой дяаграмме Юнга, и пусть А — компснеута^ отвечаю-
отвечающая симметричной диаграмме Юнга. Модулям А, А отвечают
функторы а, а на категории линейных пространств такие, что
A=a{V), А^а<У').
(Например, если A = S«V, то А=*А?У, a^S", а~=Л«.)
Гипотеза. Если и>2г, то
Hr (Wn; Щss//*-» (jgl (я, С)) ® Inv (a (gl (я, С))).
В заключение приведем еще одну, чисто аддитивную форму-
формулировку.
Теорема 8. Если п>2г и р<<7, то
dim /У «-*
2
где суммирование распространяется на все (упорядоченные)
наборы {qu ...,qp} целых положительных чисел с <7i +...
...-\-qp = q. (Ввиду теоремы 6 это утверждение позволяет
найти Hr(Wn; ZTpq) для любых р, q и любого г<Я/2.)
F. Применение: образующие и соотношения алгебры Ли
Lx (п). В силу результатов п. 1.2. F гл. 2, одномерные и дву-
двумерные гомологии нильпотентной градуированной алгебры Ли
могут быть интерпретированы в терминах минимальных систем
образующих и соотношений этой алгебры Ли. Поскольку кого-
мологии с тривиальными коэффициентами алгебры Ли Lx (я)
сопряжены с гомологиями алгебры Ли Ь\оХ (га) полиномиальных
векторных полей в С" с тривиальной 1-струей, теорема 5 может
быть применена к образующим и соотношениям алгебры Ли
L\° (n). Минимальная система образующих этой алебры Ли
должна содержать базис пространства Ь\х) (п) — например, век-
векторные поля XiXjd/dx/i, 1</, j,k<~n, i<.j. Определяющая
система соотношений должна содержать базис ядра гомоморфизма
WPV)
Теорема 9. При я>3 указанные образующие и указанные
соотношения составляют полные системы образующих и соотно-
соотношений в алгебре Ли Цы (л).
Это утверждение равносильно тому, что если «>3, то
Н\т) (А («)) = 0 при т ф 1, Н\т) (Z, («)) = 0 при т ф2. Для
л>4 это прямо следует из теоремы 5, при й = 3 это устанав-
устанавливается при помощи прямого вычисления. При га = 1 и 2 подоб-
подобное утверждение неверно. Именно, алгебра Л# L\ol{\) порож-
порождается векторными полями хЫIdx&.\l) (\) и x^d/dxeL^ A),
которые связаны двумя соотношениями степеней 5 и 7. Систему
182
образующих алгебры Ли Цо1B) составляет базис 6-мерного
пространства L\l) B), а определяющая система соотношений
состоит из 25 соотношений: 7 соотношений вышеуказанного
вида (степени 2) и 18 соотношений степени 3.
О. Н* (Wn; Wn'). Вычисление этих когомологий было проде-
проделано И. М. Гельфандом, Б. Л. Фейгиным и Д. Б. Фуксом [3].
Оно не укладывается в рамки изложенной выше теории, ио
полезно для характеристических классов слоений (см. [34, § 3.1]),
и мы приведем его результат.
Теорема 10.
Н" (Wn; W'n) s //2«+1 We//«"» (fll (n, Q);
естественная структура .Н* (НТ^-модуля в Н* (Wn;W'n) три-
тривиальна.
2.2. Слз'чай п=1. Алгебра Ли Wx топологически порождает-
порождается векторными полями ei=^=xi+1d/dx, i= — 1, 0, 1, .... Ее
подалгебра Lk{\) порождается et с i>k. Описанная выше
(в п. 2.1.С) градуировка в Wx и Lk{\) задается тем, что degej==j.
А. Теорема Гончаровой. Следующая теорема доказана в
1972 г. Л. В. Гончаровой [11]. Впоследствии оиа передоказыва-
передоказывалась многими авторами (см. [4], [20], [48]), а недавно ее до-
довольно простое доказательство нашел Ф. В. Вайнштейн [2].
Теорема 11. A) dim№(?» UH^ft
в частности,
dim//«(Ml)) =2 при q>l,
T1) +{" V^
(ii) Размерность пространства Hfm) (Lk A)) равна числу пред-
представлений числа т в виде суммы т,\-\- ... -\-тд, где /гег —
целые числа, удовлетворяющие условиям m^k, 3
. . ., nig^ fflq_i-\-3 И
— 4 при m1 = k,
— 3 при k
в частности,
dim
1, если tn =
2 ± q
.(mdh;; —-—
[О в остальных случаях;
Jl, если 3i!+?<OT<3(i±^-A±iIi
[о в остальных случаях.
В. Действия et в Н* (Lk A)). Поскольку Lk A) есть идеал
в Ьй A), факторалгебра io(l)/?ft(l) действует в H*(Lk(\)) (см.
183

п. 2.3.В гл.1); иначе говоря, в Н*(Lk(\)) действуют eo,elt...
• • •><?*_!. Действие е0 очевидно: в Н(т) (Lk A)) — это умножение
на т. Другие операторы известны при ?<3. Приведем форму-
формулировки (доказательства см. в [50]).
Теорема 12. Как модуль над С[еи е2]
где
(
/2
Следствие.
EgEj при нечетном q,
~ при четном q,
при нечетном q,
Ei при четном q,
H" (L, A)) =
q, q — 2, q—A, ..., 1 или 0,
B(<7+1), если a=6r2, r =
t^+l при остальных а.
С. Когомологии алгебры Ли Wi с нетривиальными коэффи-
коэффициентами. Обозначим через F*. ^-'модуль формальных выра-
выражений вида f(x)dxr\ где ХбС, f — формальный степенной ряд.
Модуль Fi. топологически порождается своими элементами fj—
=x'dxr\ алгебра Ли W\ действует по формуле
Модуль FK коиндуцирован, как легко видеть, одномерным
?0A)-модулем, и когомологии H*(Wi;Fk) могут быть найдены
по схеме п. 2.1.С при помощи теоремы 11 (ii). Получается
следующий результат.
Теорема 13.
l. если A--^
0 в остальных случаях.
Известны также когомологии алгебры Ли Wx с коэффици-
коэффициентами в модулях вида FX®F№ (см. [28]) и с некоторыми дру-
другими коэффициентами (см. [48], [50]).
D. Мультипликативные структуры. Из теоремы 11 видно
что умножение в кольце #*(Lft(l)) тривиально при всех k.
Однако в когомологиях tf*(Lfe(l)) может быть нетривиальным
умножение Масси (упоминавшееся в п. 3.1 В гл 2) Известен
следующий факт.
Теорема 14. Когомологии H*(Li(l)) порождаются, по от-
отношению к умножениям Масси, своими одномерными и дву-
двумерными образующими.
184
Доказательство и более детальную формулировку см. в
[50].
2.3. Другие классические алгебры Ли векторных полей.
А. Список классических алгебр Ли векторных полей. К числу
классических алгебр Ли векторных полей обычно относят
4 серии Картона бесконечномерных комплексных алгебр Ли.
Первые составляют уже известные нам алгебры Ли Wn, три
остальные — алгебры Ли 5„, Нп, Кп, где Sn — алгебра Ли
бездивергентных векторных полей в О, Нп — алгебра Ли га-
мильтоновых векторных полей в С2п (эта алгебра Ли уже упо-
упоминалась в п. 1.2.С гл. 2), Кп — алгебра Ли контактных век-
векторных полей в C2n+1. Имеют место равенства S2=#i, Кб— Wi',
в остальном эти алгебры Ли различны.
Иногда к числу классических алгебр Ли векторных полей
относят также алгебру Ли Sn векторных полей с постоянной
дивергенцией в С" и алгебру Ли Нп векторных полей, производ-
производная Ли вдоль которых стандартной гамильтоновой структуры
пропорциональна этой структуре (см. п. 1.2. С гл. 2).
B. Общая теорема конечномерности.
Теорема 15 (И. М. Гельфанд, Д. Б. Фукс, [10]). Если
алгебра Ли §cWn содержит векторное поле 1tlc{Xid/dXi с поло-
положительными вещественными сь . . -, сп, то для любого конеч-
конечномерного Цлмодуля А пространство Я* (8; -А) =ФдЯз(д; Л) ко-
конечномерно.
Эта теорема доказывается средствами п. 4.3 гл. 1.
Из перечисленных классических алгебр Ли векторных полей
теорема 15 применима к Wn, К„, Sn, Hn; следовательно, полные
когомологии этих алгебр Ли с тривиальными коэффициентами
конечномерны. Эта теорема применима также к пересечениям
указанных алгебр Ли с Lo, так что конечномерны когомологии
этих пересечений с конечномерными коэффициентами и, ввиду
этого и леммы Шапиро, когомологии алгебр Ли Wn, Кп, $п, Нп
с коэффициентами в соответствующих коиндуцированных модулях.
Напротив, к Sn и Нп эта теорема не применима, и, по всей
видимости, когомологии этих алгебр Ли бесконечномерны (неко-
(некоторые подробности см. в п. D). То же можно сказать о пере-
пересечениях классических алгебр Ли векторных полей с Lk. k~>\-
C. Алгебры Ли Нп, Зп, Кп. Хотя когомологии этих алгебр
Ли (с тривиальными коэффициентами) конечномерны, их вычисле-
вычисление встречает трудности. Когомологии алгебры Ли Нп не извест-
известны до сих пор, хотя об их устройстве имеются правдоподобные
гипотезы (см. [34, п. 2.2.7]). Вычисление когомологии алгебры
Ли Sn было независимо проделано Шнайдером [71] и Б. И. Розен-
фельдом [21].
Теорема 16. Кольцо H*(Sn) изоморфно кольцу Я*EХХ
185

У^Уп; С) где Y есть прообраз 2п-го остова базы в стандарт-
стандартном универсальном SU(л)-расслоении.
Эта теорема доказывается по образцу теоремы 1. Вычисле-
Вычисление когомологий алгебры Ли Кп потребовало привлечения но-
новых методов. °н0 проведено Б. Л. Фейгиным [24]. Результат
по форме близок к теоремам 1 и 16.
Теорема 17. Кольцо Я* (Кп) изоморфно кольцу когомо-
когомологий прообраза Dгс+2)-го остова базы в стандартном уни-
универсальном (S'XSpfn)) -расслоении.
D. Алгебра Ли HX=S2. О когомологиях алгебр Ли Нп с
п>1 и Sn с п>2 не известно почти ничего (см., впрочем, [33]
и п. Е).
Алгебру Ли #=#i=S2 проще всего описывать через ее
центральное расширение — алгебру Пуассона Р. Элементами
последней являются степенные ряды от двух переменных, х и у;
топологический базис в ней составляют мономы etj—xi+lyi+1
\i~^—1, /^—1); коммутатор действует /По формуле
, ekl\ = I j + j t j_ j I e,+k,J+l.
Элемент e_i,_1 = l порождает {одномерный) центр алгебры Ли Р,
и факторалгебра P/Ce-u-i есть Н. Алгебры Ли Я и Я имеют
естественную BФ2)-градуировку: degeif = (i, j). Благодаря
этому, градуировку получают когомологий: Н"{Р) =
= &.,//&./> (Р), H«(H) = ®i,jH?i,j)(H).
Применение результатов п. 4.3 гл. 1 дает следующее
Предложение. Если i=f=j, то //(*,-,/) (Р) = //**,;) (//) = 0.
Таким образом, вычислению подлежат когомологий //^,г)(Р)
и //*,-,;)(//). Различие между этими когомологиями незначительно
(Н*(Р) есть факторкольцо кольца Н*(Н) по идеалу, порожден-
порожденному двумерным классом, — см. теорему 18), и мы ограничимся
информацией об Ну](Н) = Н*аг1)(Н); очевидно, Н\п(Н) = О при
*< —1.
Начнем с формулировки результатов прямого вычисления на
ЭВМ, [5].
Теорема 18. (i) Hl(H) = O.
(ii) //з (Я) = //?-п(Я) = С.
(vi)
(Н) = 0 при i = 1, 2, 3, 5.
186
Эта теорема отчасти проясняется следующим фактом, дока-
доказываемым при помощи спектральной последовательности Серра —
Хохшильда.
Предложение. При i =f= О
Н\п{Н) = Н*т (Н, s»IB, С))®Я*(йB, С))
(з1B, С) вкладывается в // как подалгебра, натянутая на
?-ы> ^o.oi ei,_i); другими словами, при всех ^ и при 1фО
Щп (H) = Hfi] (H, 51B, С))Ф//[273(Я, 51B, С)).
Эта теорема объясняет, почему нетривиальные когомологий
алгебры Ли Н появляются «парами», в которых размерности
разнятся на 3.
Следующий шаг к вычислению Н* (Н) сделал Перчик [68].
Чтобы сформулировать его результат, положим
Л = 2 (—1)*<ИшЯ^(Я, 01B, С)).
Я>0
Теорема 19. В бесконечном произведении
П " A— fix*)
—КоКоо,
ftaamo(i2.
—a— 2<8«x+2,
(р)?@0)
коэффициент при л;2<(=^°лг2') равен 2Л4.
Пользуясь своей теоремой, Перчик вычислил (тоже при
помощи ЭВМ) значения А( при i^28. В частности, A~i=\,
Ло=2, Л4=—1, А7=\, Лп=—1, Л1=Л2=Л3=Лб=Лв=
=Л8=Л9=Лю=0 (ср. теорему 18). При небольших i, как это
видно, числа А( часто обращаются в 0, с возрастанием i они
делаются, как правило, отличными от 0 и даже принимают до-
довольно большие значения (в таблице Перчика до 10). Сумма
модулей всех вычисленных Перчиком чисел At равна 57, и это
показывает, что
.dim Я* (Я, 51 B, С))>57.
Ввиду сформулированного после теоремы 18 предложения (а
также равенства Ло=2 и утверждения (iv) теоремы 18), это
показывает, что
dim Я* (Я) > 112.
Нет никаких причин, по которым последовательность Л4 была
бы финитной, и это означает, что почти наверняка простран-
пространство Н*(Н) бесконечномерно. (Доказательство этого факта
требует прямого комбинаторного обследования бесконечного
произведения из теоремы 19, но это обследование наталки-
наталкивается на существенные трудности.)
Наконец, в статье Д. Б. Фукса [36] доказана следующая
Теорема 20. Пространство Нч(Н) конечномерно при лю-
любом q.
187

Доказательство использует значительную информацию о
когомологяях алгебры Ли Li(l) с различными коэффициента-
коэффициентами. Работа [36] содержит также доказательство конечномерно-
конечномерности когомологий алгебры Н с некоторыми нетривиальными ко-
коэффициентами и когомологий некоторых подалгебр алгебры Я.
Е. Стабильные результаты. К сказанному следует добавить,
что вычисление когомологий алгебр Ли Sn, Hnt Sn, Hn, Кп (и,
конечно, Wn) значительно облегчится, если ограничиться не
очень высокими («стабильными») размерностями. Технической
причиной этого облегчения служит тот факт, что соотношения
между инвариантами, доставляемые основными теоремами тео-
теории инвариантов, появляются только в пространствах тензоров
достаточно высокого ранга.
Т е о р е м а 21 (Гийемин, Шнайдер [57]).
1 = 0 при 0<q<n;
при нечетных <7<я,
при четных
= 0 при 0<
1 при <7=0, 1,
0 при 2<<7<я;
= 0 при 0<<7<«.
Заметим, что аналогом этого утверждения для Wn служит
равенство H^(Wn)=Q при 0<q^n; фактически же Hi(Wn)—0
при 0<Zq^2n (см. теорему 1). Теоремы 16 и 17 позволяют
столь же значительно улучшить утверждения теоремы 21 для
Sn и Кп- Складывается впечатление, что все утверждения
теоремы 21 останутся верными, если заменить в них неравен-
неравенства <Zn, ^.п неравенствами <2п, =S^2n. Пока это удалось
сделать, кроме алгебр, для которых когомологий вычислены
полностью, только для Нп (см. [71]).
2.4. Алгебры Ли гладких векторных полей на многообра-
многообразиях. А. Тривиальные коэффициенты. Пусть М — гладкое (т. е.
С"-) п^мерное многообразие, VectTkf — алгебра Ли гладких
векторных полей на М. Пусть, далее, Хп — пространство из
теоремы 1; по построению Хп, в нем действует U(n) и, значит,
действует О(п). Образуем расслоение х(М)=*{Х(М)—>~М} с
базой М и слоем Хп, ассоциированное с касательным рассло-
расслоением многообразия М.
Следующая теорема независимо доказана Хефлигером
[58], [59] и Bottom и Сигалом [42].
Теорема 22.
где Sec обозначает пространство гладких сечений.
188
Следствие. Hi(VectM)=0 при 0<<7<«; если многооб-
многообразие М связно и замкнуто, то Hn+l(VectM)=H2n+1{Wn) (см.
3° п. 2.1.А).
Справедливо также аналогичное утверждение, в котором
векторные поля и сечения финитны.
(Из более ранних результатов упомянем теорему
И. М. Гельфанда и Д. Б. Фукса [7], в которой впервые дока-
доказана конечномерность пространств Hi (VectM) при всех q.)
В. Нетривиальные коэффициенты. Для произвольного
fll(ra, R)-модуля А обозначим через s?(M) пространство глад-
гладких сечений векторного расслоения со стандартным слоем А,
ассоциированного с касательным расслоением многообразия М.
Другими словами, если А есть пространство линейных тензоров
некоторого типа в R", то s?(M) есть пространство тензорных
полей этого типа на М. Например, если А — тривиальный
одномерный модуль, то s?(M)—пространство C~(Af) гладких
функций на М.
Теорема 23 (Цудзисита [75]). (i) Кольцо Н*(VectM;
С°°(М)) изоморфно кольцу вещественных когомологий про-
пространства
Y(M) = {(y,s)GMxSecx(M) \s(y)eU(M)},
где U(M)—пространство подрасслоения расслоения х(М) со
слоем U(n)crXn.
(ii) Для произвольного тензорного gl(n, R) -модуля А
в1(„>К) (Н* Aг (га))® А).
Н* (VectM;
(Y (М);
С. Диагональные когомологий. Начнем со случая тривиаль-
тривиальных коэффициентов. Коцепь tp:A*VectiW->-R называется диаго-
диагональной, если ф (|i, ...,!<,) — 0 для любых векторных полей
Sn • • ч 1?> носители которых не пересекаются в совокупности:
П3ирр|; = 0. Диагональные коцепи составляют подкомплекс
(Сд (VectЖ), 6} (не мультипликативный) стандартного коцепного
комплекса алгебры Ли VectTW; для когомологий этого комплекса
употребляется обозначение //A(Vect7W), они называются диаго-
диагональными когомологиями.
Теорема 24 (М. В. Лосик [15], [16]; Гийемин [56]). При
<7>0
Hi (Vect M) si Hi+" (X (М); R).
Связь между теоремами 22 и 24 ссушествляет следующая
Теорема 25. Имеет место коммутативная диаграмма
Hi (Vect M) -> Hi*1 (X (М); R)
Н" (Vect M)-+H9 (Sec x(M); R),
189

в которой горизонтальные стрелки обозначают изоморфизмы из
теорем 24 и 22, левая вертикальная стрелка индуцирована
включением диагонального комплекса в полный коцепной комп-
комплекс алгебры Ли Vect.M, и правая вертикальная стрелка пред-
представляет собой композицию
ffq+n(x(M); R)-+H<i+n(Secx(M) ХМ; R)^Hi(Secx(M);R)
гомоморфизма, индуцированного отображением Secx(Tkf) XM->~
-*~Х(М), (s,y)^s(y), и интегрирования по М.
Теперь обратимся к случаю коэффициентов в модулях ви-
вида s?(M) (см. п. В). Коцепь A«VectM-*-s?(M) называется
диагональной (или локальной), если росток тензорного поля
фAь ¦¦•.!?) в точке т?М определяется ростками векторных
полей |ь ..., lg в точке т. (Без ущерба для формулируемых
ниже результатов слово «росток» можно заменить в этом оп-
определении словом «оо-струя» или даже «r-струя» с г^2.)
Теорема 26. (М. В. Лосик |14]; И. М. Гельфанд,
Д. Б. Фукс [9]). При любых р, г<д
Hi (Vect M; & (М)) as #*-' (U (М); R) ®H*r (BU («); R),
где U(M) — тотальное пространство главного GL(n, С) -рас-
-расслоения, ассоциированного с комплексификацией касательного
расслоения многообразия М; указанные изоморфизмы состав-
составляют мультипликативный изоморфизм
Н*А(Vect^f; Q? (M))^H* (U(vW); R)®//* (sk2nBU(n); R).
Теорема 27 (M. В. Лосик [17].)
#1 (VectЖ;
H* (V(M); R)®Invsl(n R) (//* (L, (n))®A).
Теорема 28. (i) Гомоморфизм включения
Hi (Vect M; C°° (Щ ->H* (Vect M; С °° (М))
совпадает с гомоморфизмом
Я* (U(M); R)->//* (Г (М); R),
индуцированным отображением (y,s)*+s(y) пространства Y(М)
в U(M).
(ii) Гомоморфизм включения
->Н* (Vect M; s& (M)) = H*(V(M); R)<2>lnv (H* (Z, (п))® А)
есть тензорное произведение предыдущего гомоморфизма на
id Inv(#*(Z,i(n))®A).
D. Случай окружности. В случае M—S1 результатам этого
пункта можно придать вполне конкретную форму, с явными
формулами для коциклов, представляющих когомологические
классы. Следующая теорема была доказана задолго до дока-
доказательства теоремы 21.
190
Теорема 29 (И. М. Гельфанд, Д. Б. Фукс, [|6]). Кольцо
Я* (Vect S1) есть тензорное произведение алгебры многочленов
от двумерной образующей и внешней алгебры от трехмерной
образующей. Образующие представляются коциклами
Обозначим через C°°(S1)d(p8 модуль тензорных плотностей на
окружности, вида /(ф)оф8. Положим, далее, Y=SlXSlXQS3,
где Q обозначает пространство петель; таким образом, Н* (Y, R)
есть тензорное произведение алгебры многочленов от одной
двумерной образующей и внешней алгебры от двух одномер-
одномерных образующих.
Теорема 30.
/ Зг'±г\
Н" {Vect 51; С°° E1) dq> 2 ) = Н"~г (Г; R),
= 0 при 5^0,1,2,5,7,...,
В частности, H^VectS1; C00^1))^//* (V; П). Последний изо-
изоморфизм мультипликативен; образующие кольца Нч (VtS1
С°° (S1)) представляются коциклами
Другой пример: //* (VectS1; Q1^1)) есть свободный
H*<y&ctS1; C°° Eх))-модуль с одной одномерной образующей,
представляющейся коциклом
2.5. Когомологии групп диффеоморфизмов. Как уже говори-
говорилось, когомологии групп Ли, в принципе, можно найти при
помощи спектральной последовательности Хохшильда — Мосто-
ва, зная когомологии соответствующей алгебры Ли и когомоло-
когомологии данной группы как топологического пространства. В слу-
случае групп диффеоморфизмов эта программа трудно реализуема,
поскольку отсутствует достаточная информация о топологичес-
191

ких когомологиях этих групп. Можно, впрочем, сформулировать
следующее общее предложение.
Теорема 31. Кольцо Hc*(DiiiM) совпадает с кольцом
(топологических) когомологий гомотопического факторпрост-
ранства пространства Secx(M) по естественному действию
группы Diff-M> T- е- тотального пространства естественного рас-
расслоения с базой В Diff M и слоем Secx(M).
В случае M=Sl вычисление можно довести до явного отве-
ответа (ср. п. 2.4.D):
Теорема 32. Кольцо //^(DiffS1) порождается двумя обра-
образующими a, pg//c(Diff S1), связанными единственным соотноше-
соотношением р2=0. Канонический гомоморфизм #*(Diff Sl)-+H* (VectS1)
[см. п. 1.3. В гл. 1J переводит |3 в 0 и а — не в 0.
§ 3. Алгебры токов
3.1. Алгебры и группы токов и калибровочные группы. Если
g — алгебра Ли и Л — коммутативная ассоциативная алгебра,
то тензорное произведение д<8>Л обладает естественной структу-
структурой алгебры Ли: [?i®ab g2®a2] = [gu g2]®aia2- Если А — ал-
алгебра гладких функций на некотором гладком многообразии
М, то д®Л состоит из гладких функций на М со значениями в
8, а коммутатор двух таких функций вычисляется поточечно.
Эта алгебра Ли называется алгеброй токов (на М со значения-
значениями в б) и обозначается через %м. На дм имеется С°°-топология,
превращающая QM в топологическую алгебру Ли. Алгебре Ли
gM соответствует группа токов GM—группа С°°-отображений
многообразия М в группу G, соответствующую алгебре Ли д.
Пусть Е-*-М—главное G-расслоение над М. На многобразии
Е естественно действует справа группа GM (послойно). Пусть
qm.e — группа тождественных по базе послойных отображений
q: Е-*-Е таких, что q<> s — so q для любого s&GM. Таким образом,
на Е справа действует группа GM, а слева — группа GM-E.
Группа GM-E называется калибровочной группой расслоения
Е-+М.
Элементы группы G4'E отождествляются с сечениями рас-
расслоения Е-+-М со слоем G, ассоциированным с главным рас-
расслоением Е-+-М по отношению к действию G в G посредством
внутренних автоморфизмов. Слои этого расслоения обладают
естественной групповой структурой, и умножение в GMiE опре-
определяется как послойное перемножение сечений. Если главное
расслоение Е-+-М тривиально, или если группа G коммутатив-
коммутативна, то Е-*~М есть тривиальное расслоение и группа GM-E изо-
изоморфна GM. В общем случае группа токов GM и калибровочная
группа GM-E не изоморфны.
В дополнение к названным группам мы будем рассматри-
192
вать группу Н{Е) всех гладких послойных автоморфизмов
?¦-*-?¦ (не обязательно тождественных по базе). Очевидно, груп-
группа Н(Е) содержит GMtE в качестве нормальной подгруппы, и
факторгруппа H(E)/GM-E есть не что иное, как группа Diff М
диффеоморфизмов многообразия М.
3.2. Когомологий алгебр токов. А. Построение когомологи-
когомологических классов. Пусть д — полупростая или редуктивная комп-
комплексная алгебра Ли (или алгебра Ли gl(oo, С)), М — гладкое
многообразие. Мы фиксируем инвариантный многочлен Р&
GHomfl(SJg,C) и построим по нему систему гомоморфизмов
Построение заключается в следующем. Рассмотрим супер-
алгебру Ли [см. п. 3.2.В гл. 2] g®C[|] =fl<g)i3, где С[?] — грасс-
манова алгебра с одной образующей |, и обозначим через К
стандартный коцепной комплекс этой супералгебры. Поставим в
соответствие коцепи аЩ^К, a6Afeg'» peS*(ig)', (?+/) -коцепь ал-
алгебры Ли дм со значениями в (тривиальном) модуле Ql(M)
дифференциальных /-форм на М:
/ь •.., /Wi~ Alt [a (h,.. -, h) p* (dfh+1,..., dfk+l) ],
где Alt обозначает альтернирование по всем индексам 1,...
..., k-\~l. Получается гомоморфизм
Дифференцирование д/дЬ,, действуя в g®C[|], действует и в К
и превращает К в бикомплекс; С*(д; Q*(M)) тоже есть биком-
плекс, ввиду наличия внешнего дифференциала в Q* (М). Оче-
Очевидно, отображение б согласовано с этими структурами биком-
плексов. Далее, полный комплекс, отвечающий бикомплексу К*
ацикличен, поскольку он не отличается от алгебры Вейля ал-
алгебры Ли g (см. п. 2.1.В). Рассмотрим теперь PGHom9 (S*g, C)c=
cSttfczK. Легко показать, что Р аннулируется обоими диффе-
дифференциалами, действующими в К; следовательно, Р есть образ
относительно полного дифференциала &-\-д/д% некоторого эле-
элемента Q&K. Запишем
(Q)9();+9t(n++q(), Mjfe; ())
и поставим в соответствие функционалу ав[?2"(М)/Qs 1(M)\'
коцепь a.q>s(P)^C2i~1~s(sM). Проверка показывает, что: (i) эта
коцепь является коциклом; (И) при s«O'—-1 когомологический
класс этого коцикла определяется сужением функционала а на
H'(M)c:Q*(M)/dQe~1(M). В результате получается в точности
обещанная последовательность гомоморфизмов B).
13—1370
19а-

Упомянем другой способ (частичного) построения системы
{2). Пусть PeS'fl' — одна из мультипликативных образующих
кольца Нот (S*fl, С). Тогда многочлену Р можно поставить в
соответствие Bt—l)-мерную образующую кольца Я* (в) (см.
п. 1.1). Фиксируем точку т многообразия М; возникает гомр-
морфизм ам-+Я и, значит, Я21~1(й)->//24~1(йл*). Этот гомомор-
гомоморфизм (при i>l) зависит только от компоненты связности мно-
многообразия М, содержащей т, так что мы получаем отображение
Если точки ть т2 лежат в одной компоненте многообразия М,
то когомология между соответствующими коциклами алгебры
Ли gM явно строится по пути, соединяющему nti и т2. Замкну-
Замкнутому же пути на М отвечает Bi—2)-коцикл алгебры Ли flM,
причем когомологический класс этого коцикла определяется го-
гомологическим классом пути (если i>2). Получается отобра-
отображение
Это построение продолжается и дальше, вплоть до гомомор-
гомоморфизма
на следующем же шаге оказывается, что функция, относящаяся
(t—1)-мерному циклу (потоку) элемент из Н*(%м) уже не яв-
является гомологически инвариантной. Это позволяет построить
отображение
и дальше построение не продолжается.
(Эквивалентность этой конструкции и предыдущей более
или менее очевидна.)
В заключение мы приведем простое построение сужения на
(Qi-l(M)/KeTd)/cn(Qi-l(M)/dQi-!t(M)) первого из гомоморфиз-
гомоморфизмов B). (Это построение известно давно, и оно стимулировало
приведенные выше общие конструкции.) Группа GM действует
в многообразии связностей в тривиальном G-расслоении с ба-
базой М. Зафиксируем одну из этих связностей ю и поставим в
соответствие элементу y группы GM разность ^т—о»; последняя
принадлежит пространству Q'(Af;g) 1-форм на М со значе-
значениями в д. Пусть ф :gM-»-Q1(Af;g)—дифференциал построенно-
построенного отображения GM-^-Q1 (M; д). Зафиксируем инвариантный
многочлен РбНот а E*д, С) и определим i-коцепь алгебры Ли
Йм со значениями в t-формах на М формулой
Yi. .... "Yi'
(t)
194
где li,...,|i — касательные векторы многообразия М, прило-
приложенные в одной точке. Проверка показывает, что эта коцепь-
принимает значения в пространстве точных i-форм на М, или
что эквивалентно, в Q* (Af)/Ker d. Произвольный функционал
на Q» (Af)/Ker d превращает эту коцепь в коцепь из С4(дм).
Последняя является коциклом, и, заменяя этот коцикл его ко-
когомологическим классом, мы получаем отображение
(Qr1 (M)/Ker d)'-+№ (sM).
Это и есть наш гомоморфизм.
В. Теоремы и гипотезы о когомологиях алгебр токов*
Проблема вычисления когомологий алгебры Ли д^ полностью
решена в случае д=д1(оо , С). В этом случае кольцо Homfl E*д, С}
инвариантных многочленов порождается многочленами Рг6
еНоша E'д, С), Pi (AXl ..., ^4) = SymmТг (Л, ... At). Каждый:
из этих многочленов задает свою цепочку гомоморфизмов B),.
в результате чего при каждом q получается отображение
Теорема 1. Все гомоморфизмы щ, являются мономорфиз-
мономорфизмами, и их образы порождают Я*(д1(оо, С)м) как свободную»
косокоммутативную алгебру.
Эта теорема доказана Б. Л. Фейгиным и Б. Л. ЦыганоыЕ
[31], [|32] и Конном [44]. В ней переход от R" к произвольно-
произвольному многообразию может быть осуществлен примерно так же,,
как переход от Wn к алгебре Ли векторных полей на многооб-
многообразии. Подробности см. в :[|25].
Если д — произвольная полупростая или редуктивная алгеб-
алгебра Ли, то в Я*(дм) направлены гомоморфизмы B), отвечаю-
отвечающие образующим кольца Homfl E*д, С); напомним, что это
кольцо представляет собой кольцо многочленов от однородных
элементов Рх,...,Ри J = rankg, степени которых равны показа-
показателям алгебры Ли д (см. п. 1.1), увеличенным на 1. Существу-
Существует правдоподобная гипотеза, что образы этих гомоморфизмов;
B) мультипликативно порождают Н*(%м). Однако, они заве-
заведомо не составляют свободной системы образующих. Вычисле-
Вычисление показывает, например, что соотношения возникают в слу-
случае fl=slB, С), Af = R2. Тогда построенная система гомоморфиз-
гомоморфизмов сводится к одному гомоморфизму
[OP (R2)/dQl (R2)]' ^ Я * (й B,
Этот гомоморфизм является изоморфизмом, но определяемое им:
отображение
> Я4 (si B, C)R')
уже имеет ядро.
13»
195

С. Случай окружности. Другой случай, когда вычисление
удается довести до конца, — это случай M=S1 и g— нолупрос^
тая комплексная или вещественная алгебра Ли. Начнем с комп-
комплексного случая. Каждому базисному инвариантному многочлену
•РбНоШд(.S'g, С) (напомним, что обязательно i>2) соответствуют
отображения
С = {Я1E1;С) или [Q^
С = Я0 (S1; С) -
и можно доказать, что образы этих гомоморфизмов свободно
порождают Н* (д5'). Соответствующий результат удобнее сфор-
сформулировать немного по-другому. Пусть G — комплексная группа
Jla, соответствующая алгебре Ли д. '
Теорема 2. Кольцо Н*(<д?1) изоморфно кольцу когомоло-
тий топологического пространства G-.
Точно такое же утверждение верно, если g—(веществен-
g—(вещественная) алгебра Ли полупростой компактной группы Ли/ Испольг
зуя спектральную последовательность Хохшильда—Мостова,
мы получаем, что ван-эстовские когомологии группы Gs\ где
G — компактная вещественная группа Ли, тривиальны в поло-
положительных размерностях. :
{Все эти результаты уже упоминались в п. 3.1.В гл. 1 и,
частично, в п. 2.2 гл. 2, где была выписана.явная формула для
коцикла, представляющего ненулевой элемент из Я2(д5').)
3.3. Когомологии алгебры Ли группы Н(Е). Мы не знаем
когомологии алгебры Ли калибровочной группы, но можем
привести вычисление когомологии полупрямого произведения
этой алгебры на алгебру Ли векторных полей на базе рассло-
расслоения.
Пусть М — гладкое многообразие, Е-*~М— главное
GL(oo, С)-расслоение, Н(Е) — группа автоморфизмов рас-
расслоения Е—*~М, определенная в п. 3.1, $(Е)—соответствующая
алгебра Ли. Обозначим через Угп прообраз 2п-го остова базы
в стандартном универсальном U(oo) хЩп)-расслоении. Пусть
S-+M — расслоение с базой М и слоем Y2n, ассоциированное с
суммой расслоения Е-+М и касательного расслоения многооб-
многообразия М.
Теорема 3. Когомологии алгебры Ли $(Е) с тривиальны-
тривиальными коэффициентами изоморфны когомологиям топологического
пространства сечений расслоения S-*~M.
§ 4. Алгебры Ли бесконечных матриц
4.1. Введение. Имеется много конкурирующих возможностей
определить аналог алгебры Ли gl(n, С) для случая л=оо.
Можно, например, взять алгебру Ли gl (оо, С) всех финитных
(т. е. имеющих конечное число ненулевых элементов) матриц
196 ;
бесконечного порядка. Другая возможность состоит в том, что-
чтобы рассмотреть алгебру Ли End C°° всех линейных эндомор-
эндоморфизмов бесконечномерного пространства. Существуют проме-
промежуточные возможности: например, алгебра Ли fil.r(oo, С)
обобщенно якобиевых матриц, т. е. матриц, имеющих конечное
число ненулевых диагоналей. При этом оказывается, что раз-
различные алгебры Ли бесконечных матриц имеют неодинаковые
когомологии. Например, #*(gl(oo, С)) есть внешняя алгебра от
бесконечного числа образующих, по одной в каждой нечетной,
размерности; Я*(д1/(оо, С)) есть алгебра многочленов от
бесконечного числа образующих, по одной в каждой четной
размерности; #'(End С~)=0 при ?>0.
Эти и некоторые другие результаты составляют содержание
этого параграфа. Мы начнем с точного описания круга алгебр
Ли, с которыми нам придется иметь дело, и приведем для
некоторых из них полное описание когомологии (с тривиаль-
тривиальными коэффициентами), для других•—описание некоторых ко-
когомологических классов и гипотезы о строении когомологии.
Добавим, что об устройстве когомологии некоторых важных
.алгебр Ли бесконечных матриц не известно более или менее
ничего — это относится, например, к алгебре Ли дифференци-
дифференциальных операторов в пространстве многочленов или многочле-
яов Лорана от одной или нескольких переменных (см. п. 6 это-
этого параграфа).
4.2. Определение алгебры Ли бесконечных матриц. Пусть
А— ассоциативная алгебра (возможно, без единицы); через
L(A) мы обозначаем соответствующую алгебру Ли, т. е. эту
же алгебру с операцией \а,Ь\—аЬ—Ъа. Например, если А —
алгебра End V всех эндоморфизмов п-мерного векторного про-
пространства V, то L(A)^$l(n, С). Пусть теперь V — бесконечно-
бесконечномерное комплексное пространство, и пусть Лс=Егк1 V. Мы на-
назовем А алгеброй бесконечных матриц, если выполнены два
условия: (i) Мп®А^А, где Мп — алгебра пХ«-матриц, п —
любое; (М) V есть неприводимый Л-модуль. (Если бы простран-
пространство V было конечномерно, то первое условие было бы невы-
невыполнимо, а второе, в силу леммы Шура, выполнялось бы толь-
только при A=End V.)
Примеры: A^=End V; A = EndtV—алгебра эндоморфиз-
эндоморфизмов с конечномерным образом; А=М„ — алгебра эндоморфиз-
эндоморфизмов с ядром конечной, коразмерности и конечномерным образом
(М*. — алгебра финитных бесконечных матриц).
Пусть А обладает указанными свойствами. Тогда формула
{ах,
I а )
гомоморфизм А® А-±М2®
и,
значит, гомоморфизм L(A)®L(A)-*-L(A). Этот гомоморфизм оп-
определяет структуру коалгебры в H*(L(A)), и можно проверить,
что Н*{Ь(А)) делается в результате этого алгеброй Хопфа.
В силу теоремы Хопфа (ср. п. 3.2.Е гл. 2) из этого следует, что
197

H*(L(A)) есть свободная косокоммутативная алгебра. Про-
Пространство, линейно порожденное свободными образующими этой
алгебры, обозначается через К+* (А).
Замечания. 1°. Можно определить К+*(А) инвариантным
образом как пространство примитивных элементов алгебры
фаЯ(())
2°. функтор К+* называется аддитивным К-функтором или
циклическими гомологиями (см. [37], [44]). Обычно off опреде-
определяется через посредство так называемых гомологии Хохшильда.
4.3. Алгебры Ли L(End V) и L(EndtV).
A. Теорема 1. К+*(End V) =0 при всех i;
/С при нечетном i;
^@ п?и четном t.
irl 1ъ„а\пъ а 1/ч~/с ПРИ четном i;
ЛГ+ (End VIЕпф V) =-|0 п^и нечетном L
Таким образом, //'(/-(End V))—О при i>0, Я*A(Л1.))^
^H*(L(EndtV)) есть внешняя алгебра с образующими в раз-
размерностях 1, 3, 5,... (по одной), Н*(L(End V/EndtV)) есть ал-
алгебра многочленов с образующими в размерностях 2, 4, 6,...
(по одной).
Часть теоремы, относящаяся к End V, доказывается без
большого труда, часть, относящаяся к Мт и EndrF, близка к
результатам п. 1.1, а переход к End V/End* V осуществляется
при помощи спектральной последовательности Серра—Хохшиль-
Серра—Хохшильда, ассоциированной с парой L(End V), L(Efldf V).
B. Укажем «дифференциально-геометрический» способ по-
построения коциклов, представляющих образующие кольца
Н* (;L (End V/Endf V)). Зафиксируем проекцию ел : End V-»-
-*-EndfF (это — линейный оператор, а не гомоморфизм алгебр
Ли). Эту проекцию можно рассматривать как коцепь из
С1 (L (End V); L(EndfF)) — аналог связности. (Здесь
L(EndfV) рассматривается как тривиальный L(End V)-модуль.)
Соответствующая «кривизна» ®GC2(L(End V); L(EndrV)) опре-
определяется формулой Ф=ба>-т-2"[<», <»]» где б—коцепной дифферен-
дифференциал в C*(L(EndV); L(EndrV)), а коммутатор берется по от-
отношению к структуре алгебры Ли в BndfV. Имеется оператор
tr : L(EndfV0-»-C, и с его помощью мы определяем последова-
последовательность коцепей tr(<Bh)GC2h(L(End V)). Прямая проверка по-
показывает, что:
(i) эти коцепи являются коциклами;
(М) сужение каждого из этих коциклов на L(EndtV) триви-
тривиально, более того, они лежат в C2h(L(End F/EmdfV)).
Когомологические классы скЫРк{L(End V/EndtV)), k=
= 1, 2,.... этих коциклов и составляют систему образующих
кольца #*(L(End V/EndtV)). Заметим, что центральное рас-
расширение алгебры Ли L(End V/EndtV), соответствующее клас-
198
су Cie#2(L(End F/EndfV)), устроено очень просто: расширен-
расширенная алгебра есть L(End У/SEndf V), где SEndfV состоит из
эндоморфизмов с нулевым следом.
4.4. Алгебра Ли обобщенно якобиевых матриц и близкие к
ней алгебры Ли.
А. Пусть V—бесконечномерное пространство, разложенное в
сумму двух бесконечномерных пространств: У=У+Ф^— Обозна-
Обозначим через End(V; V+) совокупность эндоморфизмов простран-
пространства V, отображающих V+ в V+, определим аналогичным обра-
образом End(V; V-) и положим
V,
End{V; V+, V-),=-(End(V; V+)VlEn4(V; V-))+EndtVczEnd V.
Предположим, далее, что в V выделен базис vu iGZ, причем
и4еу+ при i^sO, vfeV- при ?<:0. В этом случае мы обозначим
через Endj+V, соответственно EndjV, совокупность эндоморфиз-
эндоморфизмов, матрицы HaijH которых удовлетворяют условию аи=0 при
t—i^N, соответственно |/—i\<,N (где N — некоторое число,
зависящее от эндоморфизма).
Далее в этом пункте А обозначает одну из алгебр
EndP(V; V+), End(F; V+, V-), Endj+V, EndjF. Эти алгебры мож-
можно наглядно представлять себе как состоящие из 'Матриц следу-
следующего вида:
В. Пусть я : F-»-V+ — проекция на прямое слагаемое. Опре-
Определим отображение ф : Л-^-End У+ формулой <p{a)=n°a\v+-
(Отображение q> можно наглядно представлять себе как отно-
относящее матрице правую нижнюю четверть этой матрицы.) Это
«почти мультипликативный» гомоморфизм в том смысле, что для
любых а, Ь разность -ф(а, 6)=<р(аЬ)— ф(а)ф(Ь) принадлежит
EndfF. В частности, композиция
• пр.
Фо: А-> End F+-* End Vy End, V+
является мультипликативным гомоморфизмом.
Теорема 2 (см. [31], [32]). Гомоморфизм фЭ индуцирует
изоморфизм
#*(L(End F+/EndfF+))s;tf*(L(Л)).
Таким образом, Н*\ЦА)) есть алгебра многочленов от образу-
образующих степеней 2, 4, 6,....
Изложенная в п. 4.3.В конструкция коциклов алгебры Ли
L(End V+/EndfF+) без труда превращается в конструкцию ко-
199

циклов.алгебры Ли L(A). Именно, образующая ch^H2k(L(А))
представляется коциклом
¦<»*>¦
В случае k=l эта формула давно известна (см. [73], [1], [45]).
С. Пусть 3? — алгебра Витта, т. е. алгебра Ли полиномиаль-
полиномиальных комплексных векторных полей на окружности (см. при-
пример 1° п. 2.2 гл. 2.). Напомним, что эта алгебра Ли обладает
С-базисом {ef, t'6Z}, коммутатор действует по формуле [et, e^\ —
= (/—i) ei+j. Обозначим через Ф~х модуль над этой алгеброй Ли с
С-базисом {fh /6Z} и действием алгебры Ли Э?; определяемым
формулой e,fj= (/—A,(t+l))/i+i (аналогичный модуль над
Wicz3? рассматривался в п. 2.2.С гл. 3). Таким образом, мы
имеем (зависящий от А.) гомоморфизм 3?-*-L (End V), и ясно,
что образ этого гомоморфизма лежит в любой из четырех ал-
алгебр А, рассматривавшихся в п. А.
Теорема 3 (см. [49]). Индуцированный гомоморфизм
HZ(L{A))-^H2B') переводит С\ в образующую .группы Н2{3?)
(см. п. 2.2 гл. 2), умноженную на 6Я2+6Я+1-
Аналогичньш образом в алгебру Ли L(A) погружается ал-
алгебра Ли полиномиальных токов на окружности со значениями
в конечномерной полупростой алгебре Ли д: в качестве V мож-
можно взять пространство полиномиальных отображений Sl-*-M,
где М — какой-нибудь конечномерный g-модуль. Гомоморфизм
H2(L(A))-+H2($S1) при надлежащем М тоже нетривиален (и
без труда вычисляется).
4.5. Обобщение.
А. Пусть В — алгебра, /i=D/2r3... =э/й — цепочка ее идеалов.
Зафиксируем проекции
и обозначим через я, составную проекцию
Проекция Я1 : B-^Ji может рассматриваться
В-»-/я, s=l k.
как коцепь <s>iG
f>O{L{B); /.(/,))-. ПоложимФ^бал^^Ш!, Ю!]бС2AE); L(/,)).
Пространство C*(L(B); I(/,j)—iL(/,J®C*(I('B)) обладает
структурой супералгебры Ли: [«i®Oi, ih®v2\={uu u2]®Oiu2.
Формула D(\K)=6\+[(OuK] определяет оператор D:C*{L(B);
L(Ji))—>-C*(L(B); L(Ji)) (повышающий степень на 1); очевид-
очевидно, Z>2 (К) =[Ф„ К]. Положим
Если задан гомоморфизм tr : Jx/[h, Д]-»-С, то; как нетрудно по-
показать,
(L (В/А)),
200
и при этом 8и{ф{фь) = 0. Пусть
— когомологический класс коцикла tr (ф(Ф*). (Эта конструкция
обобщает конструкцию п. 4.3.В: последней соответствует случай
A = l, B = EndV, y1=EndfVr.)
B. Пусть V — пространство с базисом vt,,...,i/c; /S6N, и пусть
Dk — алгебра преобразований a:V->~V, для которых существует
(зависящее от а) число iV такое, что a(vti ( ) есть линейная
комбинация векторов v]l,...,jk с js — is<N. Обозначим через
Dk(l) идеал в D*, составленный из преобразований а, для кото-
которых существует М такое", что a(vt, tk) есть линейная комби-
комбинация векторов оу, jk с JS<M при s</. Ясно, что ?>*3
dZ)jA)d. . .Z3Dk(k) и Dk(k) есть алгебра финитных матриц.
Мы попадаем в ситуацию п. A (tr — обычный след) й получаем
классы c,,keH*+w(L(Dk/Dk(l))).
Гипотеза. H*{L(DkIDk(\))) свободно порождается классами
Ci.k, 1 = 0, 1,2, ... (ср. п. 4.З.В.)
C. Пусть теперь W—пространство многочленов Лорана
\ 1] W C [\ ^]W И
[zu
-\
zk.
р
и W_ =
[z~\
р
Имеется
[ ] [ ]
естествегшая проекция n:W->W_ [n{z\i ... zlkk)=Q, если хотя
бы одно из чисел iu ...,ik положительно). Обозначим через Dk
алгебру операторов a:W^-W, удовлетворяющих условию
a(P)/uPQC [Zi, ...,z/,], где Р—произвольный моном, и — (зави-
(зависящий от а) фиксированный моном z^ '... zakk. Алгебра Dk из
п. В вкладывается в EndW_ (мы отождествляем vtl <ft
с z~li ... z~lfc. Ясно, что для любого aQDb оператор n°a\w--
:W_-*-W_ принадлежит Dk, и композиция возникающего отобра-
отображения Dk^-Dk с проекцией Dk-^DklDk(\) есть гомоморфизм
алгебр.
Гипотеза. Индуцированный гомоморфизм H*(L(DklPk(\))^-
-*-Н* (L(Db)) является изоморфизмом.
4.6. Алгебры Ли дифференциальных операторов. Пусть М —
аффинное алгебраическое многообразие над С и | — тривиаль-
тривиальное n-мерное расслоение над М. Обозначим символом D(M,n)
алгебру дифференциальных операторов |-»-|.
Теорема 4 (Брылинский—Гетцлер). Н*(L(D(M,oo)))
есть свободная косокоммутативная алгебра, и K+i(D(M,ao)') =
^H2n-i+i(M; С).
При конечных п о когомологиях алгебры Ли L{D(M, я))
почти ничего не известно. В заметке Б. Л. Фейгина [27] пока-
показано, что Н<(Ь(П(С, 1)))=0 при t>0. Весьма вероятно, что
*12)()=0 при
14—1370
5
201

§ 5. Полу бесконечные гомологии
Теория полубесконечных гомологии алгебр Вирасоро и Ка-
ца—Муди была построена Б. Л. Фейгиным [26] и получила из-
известность благодаря своим применениям в теории дуальных мо-
моделей [51].
5.1. Определение. Пусть L=@iez Lt — градуированная ал-
алгебра Ли с dimLi-^oo, порожденная L< с i?*0 (например, ал-
алгебра Вирасоро или алгебра Каца—Муди). Положим N=Li®
©L2® • • • и B=Lo®L-i® ... . Градуированный L-модуль М на-
называется БГГ-модулем (модулем И. Н. Бернштейна —•
И. М. Гельфанда—С. И. Гельфанда), если любой элемент этого
модуля порождает конечномерный подмодуль над N.
А. Первая конструкция. Выберем в L однородный базис
{фл, A6Z} такой, что если фое^(. фй€^; и а<Ь, то i<y. Про-
Пространством полубесконечных форм (ср. [29]) мы называем про-
пространство S с базисом {ф^ЛФа.Л • • •}' где ax<ia2< ¦ ¦., причем
as+i = as+\ для s, больших некоторого s0.
Пусть V есть БГГ-модуль над L. Определим на пространстве
S&V действие алгебры Ли L, положив при фоб?,, 0
(если в каком-нибудь слагаемом в правой части этой формулы
присутствуют два ф с одинаковыми индексами, то это слагаемое
считается равным 0; если в каком-нибудь слагаемом сомножите-
сомножители ф идут не по порядку, их нужно переставить, изменив при
этом надлежащим образом знак). Легко понять, что условие
1Ф0 обеспечивает конечность числа ненулевых слагаемых в
правой части формулы. (Если бы i равнялось 0, это число могло
бы (быть бесконечным.) Так как алгебра L порождается Lt с
?=^0, мы можем представить <pa&Lo в виде 2аь?фь, Фг]> где
фь, фг$?о; после этого мы определяем действие фа в S<8>V, поль-
пользуясь тем, что действия ф& и ф/ уже определены. Можно прове-
проверить, что действие фо этим определяется корректно с точностью
до прибавления скалярного оператора; более того, описанные
нами действия фа в S<8>V составляют проективное представление
алгебры Ли L. Если H2(L)=0 (что выполняется для алгебр
Вирасоро и Каца—Муди), то мы можем (единственным спосо-
способом) подправить действия всех <ра на скалярные операторы и
получить настоящее представление алгебры Ли L в S®V.
Определим теперь дифференциал в S®V формулой
Легко показать, что cf2=0. Гомологии (Z-градуированные) по-
полученного комплекса S®V называются полубесконечными гомо-
логияти алгебры Ли L с коэффициента^ми в V.
202
B. Вторая конструкция. Положим !*=©?* и выберем в L*
базис {ф*^ двойственный к базису Ф*.. Тогда L* = N1-®BS-.
Пусть С —алгебра Клиффорда с образующими ф„ ф* (и 1) и
соотношениями Ф^ф/ + ф;Фг = О, ф*ф*-т- ф*.ф* = 0, ФгФу + Ч)*Фг = бгу»
Зададим в С градуировку: де2Ф, = 1, с1е§ф*Ч !• Пусть
W—неприводимый С-модуль, содержащий такой вектор w0, что
Ф,1У0 = 0, если ф,6Л^, и <р*яюо = О, если Ф*6-^-Ч Пусть degt»0=0;
тогда W получает очевидную градуировку.
Пусть S есть /.-модуль из предыдущей конструкции. Рас-
Рассмотрим формальный ряд Ф = 2:фгф*ф*:с^, где cljk — структурные
константы алгебры Ли L, а :: обозначает виковское нормальное
упорядочение. Это значит, что в каждом произведении нужно
так переставить члены, чтобы сначала (справа) стояли элементы
из N®NL, а затем —из В&В1. Легко видеть, что Ф есть кор-
корректно определенный оператор в W, поскольку все члены суммы,
кроме конечного числа, примененные к произвольному элементу
из W, дают 0. Определим теперь оператор T:S®W->S®W
формулой Т (/7®'ПУ)=г=/7®Ф('ау)-4-2ф? (/?)®ф*(w), где p(*S, w(*W.
Нетрудно показать, что Г2= 1®2йг;ф*фу, где bi}—некоторые
константы. Выражение 2й?/Ф*Ф*. определяет 2-форму со на L, и
оказывается, что со—коцикл. Если //2(Z,)=0, то co = 8v, где
v = 2r^*. Заметим, что v6/-o. и определим оператор d:S<8>W-*-
-+-S®w', положив d--=T — 2ггф*. Непосредственно проверяется,
что с?2 = 0. Мы получаем комплекс {S®W, d}, гомологии кото-
которого мы назовем полубесконечными когомологиями алгебры Ли L
с коэффициентами в W.
C. Предложение. Изложенные две конструкции экви-
эквивалентны.
Для доказательства достаточно ввести в V структуру
С-модуля: оператор фг есть умножение на фг, а ф* есть д/ду^
Обозначение для полубесконечных гомологии: Mi (L; V).
Еще обозначение: для БГГ-модулей А, В мы полагаем
tor,(Л, B) = 3St(L; А®В). Нетрудно определить относительные
вполубесконечные гомологии; мы полагаем tor°(.A, ?)==
= 3&i{L, Lo; А®В).
Замечание. Вторая конструкция может быть использова-
использована для определения полубесконечных гомологии супералгебр
Ли (Каца —Муди, Района, Неве — Шварца и др.), а также
обобщена на (супер) алгебры Ли с бесконечномерными Ц.
5.2. Вычисления для алгебр Вирасоро и Каца—Муди.
А. Пусть L — алгебра Вирасоро. Напомним, что в L можно
выбрать базис {z, е1л igl) такой, что [z, ег]=0, [е{, е,] =
= (/_i)e _j__La (У3—j)z. Известно, что H2(L) = 0. Обо-
14*
203

значим через М% модуль Верма, т. е. модуль, индуцированный
характером % алгебры Lo с базисом {z, е0, еи ...}, действующим
ш формуле х(е0)=А, %(?<)= О при г>0, %(z) = c. Модуль N%
.(«неприводимый модуль со старшим весом %») есть, по опреде-
определению, фактормодуль модуля М% по максимальному собственному
подмодулю; Мх есть модуль, контраградиентный Мх (т. е. он
получается из Мх переходом к сопряженному модулю и после-
последующей заменой оператора et оператором —е^). Если % = (h, с),
то положим х = A—-А, 26 —с). Наконец, через с (%и fo) обозначим
кратность вхождения модуля NXl в композиционный ряд
модуля МХг.
Теорема 1. (i) Пусть Ми М2 — БГГ-модули, причем z
действует в Mt умножением на константу с,. Если 4^
то \оТг(Мъ М2) = 0.
(И) toi?(A*x., AfXi)-{?'
в остальных случаях.
) (%и Х2) (Х2. Xi)
Заметим, что часть (Ш) этой теоремы следует из явного
вычисления чисел с (%i, %2), проделанного в [49].
В. Если L — алгебра Каца —Муди, то справедлив аналог
утверждения (И) предыдущей теоремы, в котором модуль Верма
Мг определяется как индуцированный характером борелевской
подалгебры, а % есть —р—% (определение р см. в [46]). Если L
есть центральное расширение алгебры токов %s\ где д —комп-
—комплексная полупростая алгебра Ли, то справедлив аналог утверж-
утверждения (i), в котором число 26 заменяется дуальным числом
Кокстера алгебры Ли д.
§ 6. Явные формулы для коциклов групп
Результаты п. 3.2 гл. 1 и §§ 1—3 доставляют вычисление
ван-эстовских когомологий многих классических групп. Одна-
Однако, даже в простейших, казалось бы, случаях задача явного
лостроения коциклов, представляющих когомологические клас-
классы, оказывается трудно разрешимой. В этом параграфе изла-
излагается то немногое, чего удалось достичь в этом направлении.
6.1. Конструкция Гишарде—Вигнера. (См. [55].) Это —кон-
—конструкция коцикла, представляющего двумерный класс когомологий
группы Ли G, возникающий в ситуации, когда канонический
гомоморфизм //1(a)->//t1bp(C?; С) имеет нетривиальное коядро.
Теорема 1. Пусть абЯ/ор(О; С) — класс, не лежащий в образе
гомоморфизма Я1 (8)-*-Я/ор(C; С), и пусть /: Q -> S1 — такое не-
непрерывное отображение, что f* : Я'E'; RJ-vtf^G; R) переводит
в а каноническую образующую группы Я1^1;!?). Тогда много-
многозначная функция на GxG
(g,h)~Aig(f(gh)—f(h)—flg)) C)
204
имеет однозначную ветвь, принимающую в точке A,1) значение
0, и эта однозначная ветвь является двумерным коциклом
группы G (в смысле второго описания коцепного комплекса
группы), представляющим ненулевой элемент группы H02(G)r
Последний является образом а при трансгрессии в спектраль-
спектральной последовательности Хохшильда — Мостова.
Доказательство заключается в явном вычислении трансгрес-
трансгрессии. (Подробности см. в [34, п. 3,4 гл. 3].)
В некоторых случаях удачный выбор отображения / позво-
позволяет придать формуле C) более или менее приятный вид. На-
Например, если G = SLB, R) и f действует по формуле
fa b\ ci + d
\с d)"* | ci + d | '
то коцикл (З) относит элементам g, h группы G ориентирован-
ориентированную площадь треугольника плоскости Лобачевского, вершина-
вершинами которого служат произвольная точка А и точки gA, hgA.
6.2. Конструкция Ботта. Согласно теореме 32 п. 2.5, кольц°"
//'(DittS1) порождено двумя образующими: а, ($б//с (Diff S1)-
Коцикл, представляющий класс а, доставляет предыдущая кон-
конструкция. Ботт [;41] нашел эффективную формулу для коцик-
коцикла, представляющего р. Именно, определим для диффеомор-
диффеоморфизма / : S'-v5' функцию jx/ на 51 формулой
где <в — стандартная форма объема на S1.
Теорема 2. Формула
if и /a) —J
определяет непрерывный коцикл из C^DiffS1), когомологичес-
когомологический класс которого отличен от 0 и имеет ненулевой образ в
tf^VS1)
^)
Доказательство сводится к очевидной проверке.
Ботт заметил также, что аналогичный коцикл можно по-
построить, взяв вместо окружности произвольное многообразие
М : формула
С/ь .... /n+i)^I1ogM1oglxfio/i...rflogIJ,/io...o/n+i,
м
где n = d\mM, a \if определяется прежней формулой с произ-
произвольной формой объема <в на М, задает непрерывный коцикл из-
Cn+I(Diff M), когомологический класс которого нетривиален и
имеет ненулевой образ в Hn+l(VectM). Если заменить форму
объема со другой формой объема, когомологический класс по-
построенного коцикла заменится пропорциональным, так что эта
конструкция не исчерпывает группы Hn+1 (Diff M).
2QS

Если на многообразии М действует группа О, то возникают
гомоморфизмы О-> Diff Л* и H"+l (Diff Ж)-^Я"+1 (G). В неко-
некоторых случаях это позволяет явно представить коциклами не-
нетривиальные когомологические классы групп Ли. Например,
труппа SL B, С) действует в CP^S2, и образ коцикла Ботта
лри гомоморфизме Н\ (Diff S2)-> Hi (SL B, С)) (этот образ легко
описать явной формулой) представляет ненулевой элемент
в //C3(SLB, С)).
Некоторые другие формулы для коциклов групп содержатся
в цитированной статье Ботта, а также в работах [23], [165].
КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРЕ
Общей теории когомологий и гомологии групп посвящена книга Брауна
143]. Теория непрерывных когомологий топологических групп и групп Ли
изложена в книгах Гишарде [54] и Фукса [34], а также в дополнении к рус-
русскому переводу книги [43]. Теория когомологнй алгебр Ли излагается в трудах
семинара «Софус Ли» [74] и в книге [34]. Сигаловские когомологий введены
в статьях [22] и [70]. Универсальным источником информации к супералгебре
и суперанализу может служить книга Д. А. Лейтеса [13]; см. также [34].
Подробности, связанные с интерпретациями когомологий малых размерно-)
стей, можно найти в книгах [34] и [43]. По поводу вычисления когомологий
конечномерных алгебр Ли см. [74] и [34], по поводу теоремы Ботта—Костаи-
та—[40] и [64]. Вычисление когомологий алгебр Ли векторных полей н алгебр
токов излагается в книге [34] и многочисленных статьях, когомологий алгебр
Ли бесконечных матриц — в статьях [31], [32], [44] и [45], теория полубеско-
полубесконечных когомологий изложена в статьях [26] и [51].
ЛИТЕРАТУРА
1. Бейлинсон А. А., Вычеты и адели. Функц. анализ и его прил., 1980, 14,
№ 1, 44—45
2. Вайнштейн Ф. В., Фильтрующие базисы, когомологий бесконечномерных
алгебр Ли и операторы Лапласа. Функц. анализ и его прил., 1985, 19,
№4, 11—22
3. Гельфанд И. М., Калинин Д. И., Фукс Д. Б., О когомологиях алгебры Ли
гамильтоновых формальных векторных полей. Функц. анализ н его прил.,
1972, 6, № 3, 25—29
—, Фейгин Б. Л., Фукс Д. Б., Когомологий алгебры Ли формальных век-
векторных полей с коэффициентами в сопряженном с ией пространстве и ва-
вариации характеристических классов слоений. Функц. анализ и его прил.,
1974, 8, № 2, 13—29
—, —, —, Когомологий бесконечномерных алгебр Ли и операторы Лап-
Лапласа. Функц. анализ н его прил., 1978, 12, № 4, 1—5
6- —, Фукс Д. Б., Когомологий алгебры Ли векторных полей на окружности.
Функц. анализ и его прил., 1968, 2, № 4, 92—93
7. —, —, Когомологий алгебры Ли касательных векторных полей гладкого
многообразия. Функц. анализ н его прил., 1969, 3, № 3, 32—52
8. —', —, Когомологий алгебры Ли формальных векторных полей. Изв.
АН СССР. Сер. мат., 1970, 34, № 2, 322—337
4.
5.
206
9- —. —, Когомологий алгебр Ли векторных полей с нетривиальными коэф-
коэффициентами. Функц. анализ и его прил., 1970, 4, № 3, 10—25
Ю. —, —, Оценки сверху для когомологий бесконечномерных алгебр Ли.
Функц. анализ и его прил., 1970, 4, № 4, 70—71
11. Гончарова Л. В., Когомологий алгебр Ли формальных векторных полей
на прямой. Функц. анализ и его прил., 1973, 7, № 2, 6—14
12. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия.
Методы и приложения. М.: Наука, 1979, 760 с.
13. Лейтес Д. А., Теория супермногообразий. Петрозаводск. Карельский фи-
филиал АН СССР, 1983, 199 с.
14. Лосик М. В., О когомологиях бесконечномерных алгебр Ли векторных
полей. Функц. анализ и его прил., 1970, 4, № 2, 43—53
15. —, О когомологиях алгебры Ли векторных полей с коэффициентами в
тривиальном единичном представлении. Функц. анализ и его прил., 1972,
б, № 1, 24—36
16. —, Топологическая интерпретация гомологии диагонального комплекса
алгебры Ли векторных полей с коэффициентами в тривиальном единичном
представлении. Функц. анализ и его прил., 1972, 6, № 3, 79—80
17. —, О когомологиях алгебры Ли векторных полей с нетривиальными
коэффициентами. Функц. анализ и его прил"., 1972, 6, № 4, 44—46
18. Рейман А. Г., Семенов-!'ян-Шанский М. А., Фаддеев Л. Д., Квантовые ано-
аномалии коциклов на калибровочных группах. Функц. анализ и его прил.,
1984, 18, № 4, 64—72
19. Ретах В. С., Операции Масси в супералгебрах. Ли и деформации комп-
комплексно-аналитических алгебр. Функц. анализ и его прил., 1977, 11, № 4,
88—89
20. —, Фейгин Б. Л., О когомологиях некоторых алгебр и супералгебр Ли
векторных полей. Успехи мат. наук, 1982, 37, № 2, 233—234
21. Розенфельд Б. И., Когомологий некоторых бесконечномерных алгебр Лн.
Функц. анализ и его прил., 1971, 5, № 4, 84—85
22. Сигал Г. Б., Классифицирующее пространство топологической группы в
смысле Гельфанда—Фукса. Функц. анализ и его прил., 1975, 9, № 2,
48—50
23. Тураев В. Г. Коцикл для симплектического первого класса Чериа и ин-
индексы Маслова. Функц. анализ и его прил., 1984, 18, № 1, 43—48
24. Фейгин Б. Л., Когомологий контактных алгебр Ли. Докл. Болг. АН., 1982,
35, № 10, 1294—1296
25. —, Когомологий групп и алгебр токов. Дисс. на соиск. уч. степ. каид.
физ.-мат. наук, Ленинград: ЛОМИ АН СССР, 1983, 95 с.
26. —, Полубесконечные гомологии алгебр Ли Каца—Муди и Вирасоро. Успе-
Успехи мат. наук, 1984, 39, № 2, 195—196
27. —, Алгебры Ли gi(A.) и когомологий алгебр Ли дифференциальных опе-
операторов. Успехи мат. наук, 1988, 43, № 2, 157—158
28. —, Фукс Д. Б., Гомологии алгебры Ли векторных полей на прямой.
Функц. анализ и его прнл., 1980, 14, № 3, 45—60
29. —, —, Кососнмметрнческие дифференциальные операторы на прямой и
модули Верма над алгеброй Вирасоро. Фуикц. анализ и его прил., 1982,
16, № 2, 47—63
30. —, ¦—, Стабильные когомологии алгебры Wn и соотношения в алгебре L\.
Функц. анализ и его прил., 1984, 18, № 3, 94—95
31. —, Цыган Б. Л., Когомологии алгебр Ли обобщенно-якобиевых матриц.
Функц. анализ и его прил., 1983, 17, № 2, 86—87
32. —, —, Аддитивная /(-теория и кристальные когомологии. Функц. анализ
и его прил., 1985, 19, № 2, 52—62
33. Фукс Д. Б., Стабильные когомологнй алгебры Ли формальных векторных
полей с тензорными коэффициентами. Функц. анализ и его прил., 1983,
17, № 4, 62—69
34. —, Когомологии бесконечномерных алгебр Ли. М.: Наука, 1984, 272 с.
35. —, Классические многообразия. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Соврем,
пробл. мат. Фундам. напр., 1986, 12. 253—314
207

36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51
52.
53,
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
208
—, Конечномерность гомологии алгебры Ли гамильтонсвых векторных
полей иа плоскости. Функц. анализ и его прил., 1985, 19, № 4, 68—73
Цыган Б. Л. Гомологии матричных алгебр Ли над кольцами и гомологии
Хохшильда. Успехи мат. наук, 1983, 38, № 2, 225—226
—, О гомологиях некоторых матричных супералгебр Ли. Функц. анализ
и его прил., 1986, 20, № 2, 91—92
Boret A Stable real cohomology of arithmetic groups. Ann. sci. Ecole
norm, super., 1974, 4, № 4, 235—272
Bott R-, Homogeneous vector bundles. Ann. Math., 1957, 66, № 2, 72—144
— On the characteristic classes of groups of diffeomorphisms. Enseign.
Math., 1977, 23, № 3—4, 209—220
—, Segal G., The cohomology of the vector fields on a manifold. Topology,
1977, 16, № 4, 285—298
Brown K. S., Cohomology of groups. New York—Heidelberg—Berlin, Sprin-
Springer, 1982, 308 pp. (Пер. на рус. яз.: Браун К- С., Когомологни групп. М.:
Наука, 1987, 383 с.)
Connes A., Non-commutative differential geometry. Publ. math. Inst. hautes
etud. sci., 1985, № 62, 41—144
Date E., limbo M., Kashiwara M., Miwa Т., Transformation groups for soli-
ton equations. Publ. Res. Inst Math. Sci, 1982, 18, № 3, 1077—1119
Deodhar V. V., Gaber O., Kac V., Structure of some categories of represen-
representations of infinite dimensional Lie algebras. Adv. Math., 1982, 45, № 1,
92—116
Eilenberg S., Moore J. C, Homology and fibrations, I. Coalgebras, cotensor
product and its derived functors. Comment, math, helv., 1966, 40, № 3,
199—236
Feigin B. L., Fuchs D. В., Verma modules over the Virasoro algebra. Lec-
Lecture Notes Math., 1984, 1060, 230—245
—, —, Representations of the Virasoro algebra. In: «Representations of
infinite dimensional Lie groups and Lie algebras», Gordon and Breach, 1988,
в печати
, —, —, Retakh V. S., Massey operations in the cohomology of the infinite
dimensional Lie algebra L\. Lect. Notes Math., 1988, в печати
Frenkel I. В., Garland #., Zuckerman G. J., Semi-infinite cohomology and
string theory. Proc. Nat. Acad. Sci. USA., 1986, 83, Nov., 8442—«446
Fuchs D. В., Leites D. A., Cohomology of Lie superalgebras. Докл. Болг.
АН, 1984, 37, № 12, 1595—1596
Garland H., Lepowsky J., Lie algebra homology and the Macdonald—Kac
formulas. Invent, math., 1976, 34, № 1, 37—76
Guichardet A., Cohomologie des groupes topologiques et des algebres de
Lie. Paris, Nathan, 1980, 394 p. (Пер. на рус. яз.: Гишарде А., Когомоло-
гии топологических групп и алгебр Ли. М.: Мир, 1984, 262 с.)
—, Wigner D., Sur la cohomologie reelle des groupes de Lie simples reels.
Ann. sci. Ecole norm, super., 1978, 11, № 2, 277—292
Guillemin V., Cohomology of vector fields on a manifold. Adv. Math., 1973,
10, № 2, 192—220
—, Shnider S. D., Some stable results on the cohomology of classical in-
infinite dimensional Lie algebras. Trans. Amer. Math. Soc, 1973, 179,
275—280
Haefliger A., Sur la cohomologie de Gelfand—Fuchs. Lect. Notes Math.,
1975, 484, 121—152
—, Sur la cohomologie de l'algebre de Lie des champs de vecteurs. Ann.
sci. Ecole norm, super., 1976, 9, 503—532
—, The cohomology of nilpotent Lie groups made discrete. Asterisque, 1984,
№ 113—114, 206—211
Hochschild G., Serre J.-P., Cohomology of group extensions. Trans. Amer.
Math. Soc, 1953, 74, Ni> 1, 110—134
—, —, Gohomology of Lie algebras. Ann. Math., 1953, 57, № 3, 591—603
Kac V. G., Infinite dimensional Lie algebras. Boston e. a., Birkhauser, 1983,
245 pp.
64. Kostant В., Lie algebra cohomologv and generalized Schubert cells. Ann,
Math., 1963, 77, 72—144
65. McDuff D., Some canonical cohomology classes on groups of volume pre-
preserving diffeomorphisms. Trans. Amer. Math. Soc, 1983, 275, № l, 345—356^
66. Milnor J., On the homology of Lie groups made discrete. Comment, math,
helv., 1983, 58, № 1, 72—85
67. Mostow M. A., Continuous cohomology of spaces with two topologies.
Mem. Amer. Math. Soc, 1976, 175, 142 pp.
68. Perchik J., Cohomology of Hamiltonian and related formal vector fields Lie
algebras. Topology, 1976, 15, № 4, 895—404
69. Pressley A., Segal G., Loop groups. Oxford. Claderon Press, 1986, 318 pp.
70. Segal G., The cohomology of topological groups. Symp. Math., 4. London—
New York, 1973, 377—383
71. Shnider S. D., Invariant theory and the cohomology of infinite Lie algebras.
Thesis, Harvard,. 1972
72. Suslin A., On the K-theory of algebraically closed fields. Invent, math.,
1983, 73, N° 2, 241—245
73. Tate J. Residues of differentials on curves. Ann. Sci. Ecole norm, super.,
1968, № 1, /, 149—159
74. Theorie des algebres de Lie. Topologie des groupes de Lie. Seminaire «Sor
phus Lie>. Paris, Secretariat Math., 1955, 200 pp. (Пер. иа рус. яз.: Теория
алгебр Ли. Топология групп Ли. Семинар «Софус Ли». М.: ИЛ, 1962,-
305 с.)
75. Tsujishita Т., On the continuous cohomology of the Lie algebra of vector
fields. Proc Jap. Acad., 1977, A53, № 4, 134—138
76. Weyl H., The classical groups, their invariants and representations. Prin-
Princeton, New Jersey, Princeton Univ. Press, 1939, 302 pp. (Пер. на рус. яз.:
Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления. М.: ИЛ,
1947, 408 с.)
77. —, Theorie der Darstellung kontinuierlicher halbefnfacher Gruppen durch
lineare Transformationen. Math. Z., 1925, 23, 271—309; 1926, 24, 328—39S
(Пер. на рус. яз.: Вейль Г., Избранные труды. М.: Наука, 1984, 100—197)

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ауслендер (Auslander L.) 7, 8, 55,
62
Бейли (Baily W.) 85
Бернштейн И. Н. 202
Бетти (Betti E.) 22
БиберЛах (Bieberbach L.) 101, 103,
104, 105
Бокштейн М. Ф. 104
Бонне "(Bonnet О.) 100
Борель (Borel A.) 7, 36, 39, 85, 91,
1418
Ботт (Bott R.) 175, 188, 205—206
Браун (Brown К. S.) 127, 142
Брылински (Brylinski J.-L.) 201
Вейль A. (Weil A.) 7, IS, 30, 31, 98
Вейль Г. (Weyl H.) 7, 177, 178
Венков Б. А. 7, 35
Вигнер (Wigner D.) 204
Вивберг Э. Б. 39, 96
Вирасоро (Virasoro M. А.) 160, 202,
203
Витт (Witt E.) 159, 200
Гарланд (Garland H.) 98, 100
Гаусс (Gauss С. F.) 7, 8, 40
Гельфанд И. М. 176, 181, 185, 189,
191, 2021
Гельфанд С. И. 202
Гетцлер ,(Getzler A.) 201
Гийемин (Guillemin V.) 188, 189
Гильберт (Hilbert D.) 8
Гишарде (Guichardet A.) 204
Годеман (Godement R.) 36
Грам (Gram J. Р.) 70
Громов М. Л. 96
Дедекинд (Dedekind R.) 8
Делинь (Deligne P.) 96
Дирихле (Dirichlet P. G. L.) 19
Кнллинг (Killing W.) 160
Клейн (Klein F.) 7, 8, 53
Конн (Connes А.)-195
Концевич М. М. 163
Коркин А. Н. 7, 69—73
Костант (Kostant В.) 175
Кронекер (Kronecker L.) 41
Кэмлбелл (Campbell J. E.) 45
Лагранж ((Lagrange J. L.) 7, 8
Леви (Levi E. E.) 108
Лейбниц (Leibniz G.) 136
Лобачевский Н. И. 83
Лосик М. В. 180, 189, 190
Макаров В. С. 96
Малер (Mahler K-) 27, 28, 72
Мальцев А. И. 7, 37, 43, 45, 5В, 81
Маргулис Г. А. 8, 80, 83, 86, 95, 96
Масси (Massey W. S.) 165, 166, 184
Милнор (Milnor J.) 123, 130, 148
Минковский (Minkowski H.) 7, 27, 34
Мостов (Mostow G. D.) 7, 8, 52, 83,
86, 96, 108, 113, 146, 147, 161, 173
Муди (Moody R. V.) 160, 162, 175.
202, 204
Мур Дж. (Moore J. С.) 130, 140
Мур К. (Мооге С. С.) 49
Неве (Neveau G.) 203
Пелль (Pell J.) 76
Перчик (Perchik J.) 187
Платонов В. П. 91
Прасад (Prasad G.) 83
Пресслн (Pressley A.) 163
Пуанкаре (Poincare H.) 8, 141—143
Пуассон (Poisson S. D.) 166, 186
Пятецкий-Шапиро И. И. 86, 96
Жордаи (Jordan С.) 35
Зарисский (Zariski О.) 9
Зигель (Siegel С. L.) 7, 8, 15, 73
Золотарев Е. И. 7, 69—73
Каждаи Д. А. 80
Картан. (Cartan E.) 135, 185
Касселс (Cassels J. W. S.) 74'
Кац В. Г. 160, 162, 175, 202, 204
210
Рагунатан (Raghunathan M. S.) 8, 83,
98, 100
де Рам (Rham G. de) 136, 144
Рамон (Ramond P.) 203
Рейман А. Г. 163
Розенфельд Б. И. 185
Рольфе (Rohlfs J.) 91
Сатаке (Satake I.) 83
Сельберг (Selberg A.) 7, 20, 38, 86
Семенов-Тян-Шанский М. А. 163
Серр (Serre J.-P.) 148, 149—151,
Сигал' (Sgal G.) 140, 141, 162, 163, Хохши_лй ^ (Hochshild ?.)_ ,46, 147.
Суслии А. А. 148 196
Титс (Tits J.) 86
Тэйт (Tate J.) 169
Тюрина Г. Н. 169
Уайтхед (Whitehead J. H. С.) 100
Фаддеев Л. Д. 163
Федоров Е. С. 8, 104
Фейгии Б. Л. 181, 186, 195, 202
Фукс Д. Б. 176, 181, 185, 189, 191
Фукс Л. (Fuchs L.) 8
Хариш-Чандра (Harish-Chandra) 7,
36 37
Хаусдорф (Hausdorff F.) 45
Хефлигер (Haefliger A.) 188
Холл (Hall Ph.) 62
Хопф (Hopf H.) 18, 128, 129, 136,
Цудзисита (Tsujishita Toru) 189
Цыган Б. Л. 195
Шаботи (Chabauty С.) 26
Шапиро (Shapiro A.) 152, 179
Шварц (Schwarz J. H.) 203
Шёнфлис (Schoenflies A.) 8, 104
Шнайдер (Shnider S.) 185, 188
Шур (Schur I.) 197
Эйленберг (Eilenberg S.) 130, I4Q
Эйлер (Euler L.) Ill
Эрмит (Hermite Ch.) 7, 8
Эст ваи (Est W. Т. van) 131, 141,
143, 160
Юнг (Young A.) 182
Якоби (Jacobi С.) 8, 40, 41, 155

предметный указатель
Аддитивный К-функтор 198
Алгебра бесконечных матриц 197
— Вейля 177
— Вирасоро 160
— Витта 159
— Каца —Муди 160
аффинная 160
— Ли вполне разрешимая 65
типа (Е) 66
(I) 65
(#) 65
унитарная 141
экспоненциальная 66
— Пуассона 166
— токов 145, 192
— универсальная обертывающая 132
— Хопфа 128
Алгебры Ли векторных полей класси
ческие 185
Базис Зигеля 73
Бар-резольвенты 126
БГГ-модули 202
Гипотеза Милнора 148
Голоморф 62
Гомологии алгебры 126
Лн 132
— ¦ относительные 137
— группы 123
— полубесконечные 202
— Хохшильда 198
— циклические 198
Группа Вана 53
— калибровочная 192
— Каца — Муди 162
— компактно порожденная 22
— кристаллографическая 101
— Ли вполне разрешимая 65
общего вида 101
расщепимая 54
типа (Е) 66
(I) 65
(R) 65
— — экспоненциальная 66
— полупростая 114
— почти нильпотеитиая 65
— предделимая 58
— преобразований дискретная 14
— со свойством (Т) 21
— соизмеримости 13
— типа (FL) ПО
(VFL) ПО
— токов 145, 192
— унимодулярная 10
— фуксова 15
Двойственность Пуанкаре 142
Деформация алгебры Ли 164
инфииитезимальиая 164
212
— супералгебры Ли 171
¦— версальная 171
миниверсальная 171
Дифференцирование внешнее. 154
Изоморфизм Пуанкаре 142
Картановские серии
бесконечномерных комплексных ал-
алгебр Ли 185
Классифицирующее пространство 123,
129
Когомологии алгебры 126
Ли 132
относительные 137
— группы 123
— — ван-эстовские 131
непрерывные 131
сигаловские 140
— диагональные 189
— стабильные 1.81
— супералгебры Ли 168
Компактификация Сатаке 83, 84
Комплекс <х>-струй 132
Компонента граничная 85
Конструкция Милнора 123, 130
Коумножение (диагональ) 128
Коцепи алгебры Ли 134
— группы 124
Коцепной комплекс алгебры Ли стан-
стандартный 134
Коэффициентные последовательности
140
Лемма Шапиро 152
Модуль индуцированный 151
— коиндуцированный 151
Область Дирихле 19
— Зигеля 73, 77
— фундаментальная 18
Обобщенно якобневы матрицы 197,
199
Подгруппа арифметическая 32, 37
— дискретная 10
— допустимая 112
— жесткая 29
— обильная 64
— решеточная 49
— с хорошей наследственностью 24
— со свойством (S) 38
— Г-замкиутая 22
Подмножество отделенное от нули 27[
— Г-покрывающее 18
Полусимплициальиый пучок 138
Представление допустимое 84
— проективное 157
Приводимость по Коркину — Золота-
Золотареву 70
Произнедение почти прямое 14
Пространство K(G, 1) 123
Разложение Леви — Мостова 108
Размерность группы когомологичес-
когомологическая ПО
виртуальная ПО
Расширение 158
— правое 154
— топологически локально тривиаль-
тривиальное 162
тривиальное 160
— центральное 158
Расщепление алгебраическое 59
— Вана 57 . •,
абстрактное 57
— Мальцева 54
— полупростое 54
Резольвента Тэйта 169 - ¦. ¦
— Тюриной 169
Решетка неприводимая 14
— равномерная 11
Свойство сильной жесткости 81
Соизмеримость подгрупп 13
Солвмногообразие 50
Спектральная последовательность
Серра'—Хохшильда 151
Хохшильда—Мостова 146
Эйленберга — Мура 130
Супералгебра 168
— дифференциальная 169
— Ли 165, 169
дифференциальная 169
— суперкоммутативная 168
свободная 168
Суперпространство 168
Теорема Бореля 148
— Ботта — Костанта 175
— Мостова структурная 52
Топология Шаботи 26
Умножения Масси 165
Формула Э. Картана 135
Функтор ограничения поля 87
Характеристика эйлерова группы 111
Центр области Дирихле 19
Цепи алгебры Ли 134
— группы 124
Цепной комплекс алгебры Ли стан?
дартный 134
Эквивалентные группы Ли 113
d-алгебра 169
— градуированная 169
— Ли 169
— — градуированная 169
Ext 126
Tor 126
v.;-умножение 127, 136 .;

ОГЛАВЛЕНИЕ
I. Дискретные подгруппы групп Ля (Э. Б. Винбере, В. В. Гор-
бацевич, О. В. Шварцман) ..'...» 5
II. Когомологии групп я алгебр Ли (Б. Л. Фейгин, Д. Б. Фукс) . 121
Именной указатель 210
Предметный указатель 212
УДК 512.743.3; 512.817
Э. Б. Вииберг, В. В. Горбацевич, о. В. Шварцман,
Дискретные подгруппы групп Лн. «Современные проблемы математики.
Фундаментальные направления. Т. 21 (Итоги наукн и техн. ВИНИТИ
АН СССР)». (М.. 1988, Ъ—120
Снстематнзнрованы все основные результаты по теории дискретных
подгрупп групп Ли. Б частности, отдельно изложены результаты, отно-
относящиеся к дискретным подгруппам полупростых н разрешимых групп
Ли, а также групп Ли общего вида. Обсуждаются вопросы, связанные с
арифметическими дискретными подгруппами. Большей частью статья
ыоснт обзорный характер,, но в тех случаях, когда имеются короткие
доказательства (н, в особенности, когда этн доказательства не опубли-
опубликованы), мы их приводнм. Библ. 153.
УДК 512.664.3; 512.664.4
Б. Л. Ф е й г н и, д. Б. Фукс, Когоиологии групп и алгебр Лн.
«Современные проблемы математикн. Фундаментальные направления.
Т. 21 (Итоги науки н техн. ВИНИТИ АН СССР). IM.. 1988, 121—20»
Статья содержит определения классических, ван-эстовских и сига-
ловских когомологии групп и (непрерывных) когомологнй алгебр Ли;
перечень основных алгебраических интерпретаций когомологии; важней-
важнейшие результаты этих вычислений. Последние охватывают конечномерные
группы и алгебры Лн, алгебры Ли векторных полей и группы диффео-
диффеоморфизмов, группы и алгебры Ли токов и алгебры Ли бесконечных
матриц. Библ. 77.
Технический редактор Н. И. Костюнина
Корректор В. Ф. Басонова
Сдано в набор 29.02.88 Подписано в печать 31.08.88
Формат бумаги бОХЭО'/ie. Бум. тип. № 2 Литературная гарнитура.
Высокая печать Усл. печ. л. 13,5 Усл. кр.-отг. 13,5 Уч.-изд;. л. 13,65
Тираж 1200 экз. Заказ 1370 Цена 1 р. 80 к.
Адрес редакции: 125219, Москва, А-219, Балтийская уж.. 14. Тел. 155-42-41
Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ
140010, Люберцы, 10, Московской обл.. Октябрьский просп., 403
Индекс 56859
ISSN 0233—6723. ИНТ Современные проблемы математики. Фундаменталь-
Фундаментальные направления, т. 21, 1988, 1—216