/
Текст
Princeton Mathematical Series, 33
Etale
Cohomology
J.S. Milne
Princeton University Press
Princeton, New Jersey
1980
Дж.МИЛН
ЭГАЛЬНЫЕ
КОГОМОЛОГИИ
Перевод с английского
О. 11. Введенского,
Ю. Г. Зархнна,
В. В. Шокурова
под редакцией
П. Р. Шафаревпча
Москва «Мир» 1983
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предположи; редактора перевода 5
Предисловие 7 ,
Терминология и соглашения 11
Глава I. Этальные морфиэмы ... . . . 12
§ 1. Конечные и квазиконечные морфизмы 13
§ 2. Плоские морфизмы 17
§ 3. Этальные морфизмы 32
§ 4. Геизелепы кольца 46 j
§ 5. Фундаментальная группа: накрытия Галуа 54
Библиографические замечания 62
Глава II. Теория пучков ... 63
§ I. Предпучки и пучки 63 I
§ 2. Категория пучков 75
§ 3. Прямые и обратные образы пучков 89
Библиографические замечания 105 ,
Глава III. Когомологии . . . . . 106 |
§ I. Когомологии 106
§ 2. Когомологии Чеха 121
§ 3. Сравнение топологий 139
§ 4. Главные однородные пространства 151
Библиографические замечания 169
Глава IV. Группа Брауэра ..... 170
§ I. Группа Брауэра локального кольца 170
§ 2. Группа Брауэра схемы 175
Библиографические замечания 192
Глава V. Когомологии кривых и поверхностей ... . . 193
§ 1. Конструктивные пучки: спаривания 193
§ 2. Когомологии кривых 216
§ 3. Когомологии поверхностей 243
Библиографические замечания 269
Глава VI. Основные теоремы 270
§ 1. Когомологическая размерность 271
§ 2. Собственная замена базы и теоремы конечности 273
§ 3. Высшие прямые образы с компактным носителем 279'
§ 4. Теорема о гладкой замене базы 282
§ 5. Чистота 296
§ 6. Фундаментальный класс ... 302
§ 7. Слабая теорема Лефшена 309
§ 8. Формула Кюпиета 314
$ 9. Отображение циклов 329
§ 10. Классы Чженя 332
§ П. Теорема двойственности Пуанкаре 338
(> 12. Рациональность дзета-функцнн 350
§ 13. Рациональность L-рядов 354
Приложение А. Пределы . 371
Приложение В. Спектральные последовательности ... . 374
Приложение С. Гинеркогомологии . . . . . 378
Список литературы .... .... . . 382
Предметный указатель 388
|>|>К 22.11
м но
УДК 5l3.fi + 5I3.8
Милн Дж.
Л1 С>0 Эталыше когомологип: Пер. с англ. — М.: Мир, 1983,
М2 с, ил.
П'ЛЫТПС
пестпых m.itc^
геометрии. Эт
М.1Т0МЛ ] IIKII —
американского
рахчглу гпг
Для v.
С1ПС1 п[|.
in.iMiux кпгпчологнЛ Сит ' шндемо в оригинальных работах m
.пиков Л. Гротендикп и М. Артина, поевпщеннмх алгсОрапчсско"!
рягюты нашли ммогочиг.имшме применения в различных разделам
■ni^nn 'пич'л. теории пр(>Л1.1 лплспнП групп и др. Данная книга
м.т'млтикл нпллею' ni|-bnfl моногр.чфиеЛ. носвищсппоЛ этому
•imkm'i m:1ti^i:i l llhil
iiiiKtMi р.-плпчмых ciKMiiin.ii.ппстом. аеппрлнтон n стуленюи уинвор-
„ 1702040000-459 ББК 22.14
M 041(01)-8.1 l8~81' "■ ' .4 7.1
P(()(\':;tiiH литературы по математическим наукам
ЛжеЛмс Мнл>|
ЭТЛ.'|1.1И,|Г.
lliiyniMlt родлкгпр Г. \\. Цчк.'рмам. Мл. иаушыП редактор II. П. [YpacilMona
NyiHi/i^iiin; П. ti. li''HiiMuii. Ху.чожсстпсннчп рс,ыктор Н. И. Шаповалов
Технически!! редэклир II. II. Манохина. Корректоры 11. И. Киселева, Л. Я. Шехтер
И Б № 3087
Гдлцо n iiaCt)|i КМ.К. Подписано к печати 30.П6.НЭ. Формат 60X90'/,,. Объем 12,25 15. л.
Rywiiia типографская Л: I. Гаршпл-па литературная. Почать оисокая. Усл. печ. л 24 50
Ус.1. кр.-отт. 21..Ч1. Уч.-Н |Д. л.:!.!. И. 11ц. Л» 1/1812. Тираж .1.100 экз. Зак. 421. Цена 3 р. 80 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МНР» и»8.»0, Москва. 11-11'\ ГСП, 1-й Рижский пер., 2.
Ленингрлдская тип.->, рлрпя V» 2 готэпное предприятие ордена Трулопого Красного
Знамени Ленинградского о,з(.едмиеннп «Техническап книга» им. Евгении СоколоэоЛ Соютпо-
лчгрлфпрома при Госудзрсгиеипом комитете СССР in Д'\1эч издательств, полиграфии
и книжной торгопли. 193")").'. г. Лепннгрэ!. .'l-">2. I IjMaft ппскнИ проспект. 29.
@ Prinrclon Universily Press 1980
(С1 Перепел из русский язык, «Мир», 1983
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Теория этичных когомологпп возникла как попьмка попят;, ,1.1-
гебраiiMCCKin'i смысл топологических свойств комплексных пли-
бранческнх многообразии. Такая постановка nonpoci ими;
большую историю. Emc Рпмгш, исследуя поверхности, нпемни".
теперь его имя, выяснил, что аналитические функции па ии\
связаны алгебраическим соотношением п, в частности, c;r-.m рп-
манопа поверхность может быть чисто алгебраически oiiiic.ii: i
как множество точек (с комплексными коордпил i;imii) ллгп'р.-п:
ческой кривом Цг, ;х')=0. Koi;ia доказательства Римппл, м<--
пользовавшие принцип Дирихле, не обоснованный еше м ■!■■
время, были подвергнуты критике Bciiepm трастом, последово-
тел и Рпмапа — главным образом Клебш и сю
ученики--поставили себе целью получить основные результаты Рпмапа чпс"
алгебраически, исходя из уравнения алгебраической кривом
/(г, £■) = 0. Они показали, в частности, что род рпмаповоп
поверхности, являющийся ее единственным топологическим ni!i;,i-
рнаптом, может быть определен чисто алгебраически. В рука•<
Дедекппд;) эгн исследования сложились в законченную
«алгебраическую теорию алгебраических функции», особенно
интересную тем, что она применима к уравнениям /(г, о.с) = 0, ки и!ь
фнниепты которых являются не комплексными числами, а
принадлежат полям более общего типа. В работах Лртппа и N;ica-
теория быд.1 усовершенствована настолько, что могла о.хпаты
вать и поля конечной характеристики, в частности конечные, чп<
привело к очень интересным теоретико-числовым применениям.
Развнпая дальше набросанные здесь идеи, Л. Веп.и> выскл-
зал предположение, что для алгебраических многообразии ii.ii
произвольным полем существует «теория когомолопп"г\ п кою-
poii имеют место все фундаментальные результаты топологич-. •
скоп теории когомологпй. Подтверждением этого предположен!':!
и было построение теории этальных когомологпп Грогоп.шкг>■:.
Оно основывается на красивом понятии «toiio.ioi пи ■>.
отличающейся от топологического пространства тем, что «открытие
множества» не содержатся все в одном множестве, но обладают
основными свойствами, дающими возможность построить
удовлетворительную теорию когомологиГ:.
Теория этальных когомологин имеет ряд приложении. Прежде
всего, она дает возможность для многообразий, определенных
над произвольным полем, получить при помощи свойств
когомологпй те результаты, которые над полем комплексных чнее i
доказываются топологически. Например, имеет место аналег
Предисловие редактора перевода
.! Лсфшеца для подсчета числа неподвижных точек
отображении. Пользуясь атим, можно доказать таи называемые гм-
иогс.чы Веп.тя о дзета функциях и L-рядах алгебраических мно-
тобра.шп над конечным полем. Высшим достижением этого
направления имплпа» доказательство Делписм аналога гипотезы
1'ммлпа для д.Ч1 лн-фупкцпп а.'псбраических многообразий над
конечным полем. Отсюда, п частности, следуют очень сильные
оценки тригонометрических сумм, имеющие многочисленные
приложения в теории чисел.
По и I) том случае, когда алгебраическое многообразие
определено над полем характеристики 0 и когда (вложив это поле
п поле комплексных чисел] можно было бы пользоваться
топологической теорией когомологпп, лальпые когомологип дают
больше. Именно, пппду пх алгебраического определения на них
действует группа Галуа алгебраического замыкания поля
определения. Эю приводит к постановке сопершенпо новых
вопросов— п частости, к так называемым гипотезам Тента об
алгебраических циклах.
Совершенно неожиданным оказалось применение этальпых
Koi омо.тгпп и топологии -- к док;м.'1 гельству гипотез Лдамса
о векторных расслоениях.
Наконец, идеи, лежащие и основе теории этальиы.ч
когомологпп, I'lii.Mjvinpona.'iii построение других когомологических тео-
piiii— ii.-iuCKii.x п кристаллических когомологпн, —
приспособленных к п :\че1ппо вопросом алгебраической геометрии над полями
конечно!') .характеристики п нашедших уже ряд интересных
приложении.
Предлагаемая мппмаппк) чптат(\тя книга A\ii.ina является
нерпой монографией по теории -лпльпых когомологпи — до сих
пор ее приходилось поучать по запискам семинаров и
журнальным статьям. Кинга полагает чту теорию с самого начала.
Изложение и основном замкнутое —• лишь в нескольких местах,
подробное изложение которых слишком увеличило бы объем
книги, читатель отсылается к друтм источникам. Написана
книга довольно сжато, по четко. Кроме общих свойств этальпых
когомологпй, она содержит много приложении — геометрических,
к геометрии алгебраических кривых п поверхностей, и
арифметических, к теории дзета-фупкннп и I.-рядов.
Перевод § 1 н _' гл. V, ^j I — 7 и II -115 гл. VI и приложении
titЛИО.-1 ttoit 6. П. Введенским, $ 'Л гл. V п $ 8—10 гл. VI —
К). I". Зархпш.щ п гл. I—IV В. В. Шокуровым.
Когда перевод уже был закопчен, все работавшие над ним
с глубочлшппм прискорбием узнали, что трагически погиб его
инициатор и одни 11,3 переводчиков О. Н. Введенский.
//. Р. Шафаревич
ПРЕДИСЛОВИЕ
La тег elait Male. mals le reflux comnwn^ii'l it
se ftiire setUir.
Hugo fLes trai'ailleurs dc la m,:i )
Цель этом книги — дать широкое цветение а круг вопросов, i ,i
еакнцпхея эталыюй топологии, теории пучков к когомолш пи
Когда алгебраическое многообразие определено над полем
комплексных чисел, то с помощью комплексном топологии можн<>
определить группы когомологпй, гораздо точнее отражающие
структуру данного многообразия, чем, например, группы коп>-
мологмп, отвечающие топологии Зарнсского. На произвольном
с.\''\:е мет комплексной топологии, однако прм помошп чмем)
алгебраических методов па пен можно внести этальпую ниш-
логию, которую можно рассматривать как замену комплекс-
нон. Для этой топологии имеются теория пучков п теории
KorriMO.'ioniii, обладающие рядом свойств, очень близких к enniic i-
вам этих теорий в комплексной топологии. Когда обе ни тип-
логин заданы на алгебраическом многообразии, определенно-:
над полем комплексных чисел, группы эталышх п комплексных
когомологпй тесно связаны друг с другом. С другой стороны,
когда в качестве схемы берется спектр поля, имеющий лишь
одну точку, этальпая топология далеко не тривиальна и эта.и.-
ные когомо.чогни данной схемы эквивалентны в точности кот-
мологиям Галуа данного поля. Этальные когомологнп столь же
успешно используются при изучении схем, как комплексные
когомологни при изучении геометрии комплексных
многообразий, а когомологни Галуа —при изучении арифметики по.ки.
Понятие эталыюп топологии первоначально было введено
Л. Гротендиком и развито им совместно с М. Лртипом и
Ж..-Л. Всрдье для обоснования идеи Венли [131], которая
состоит в том, что для полиномиальной, сне темы уравнений с
целыми коэффициентами имеется глубокая спяль между
комплексной топологией множества комплексных решении данной
системы н числом решений данной системы по модулю простого
числа. Здесь этальная топология добилась блестящих успехов.
Мы приведем набросок этого обоснования. Нужно
предположить, что рассматриваемые уравнения задают собствеппум
гладкую схему над некоторым кольцом целых алгебраически
') Море было спокойно, но отлип уже дапа/i сгс'ш чупстпоюп, (TV
Труженики моря. Собр. соч., т. 8. —М.: Прапда, \972, с. 309).— Прпч.
Предисловие
ч I tec-, i. Комплексная iomo.'ioi ия на комплексных точках данном
г.и-мы пир! -и'. 11: i • г ipyiini.i комплексных когомологпп. Теорема
rp;i;;;i-- -:\„ \ I !'i ;>,KДar I, Mil" Jill ipyilHIJ HO СуЩСсПП" L'Oll II :i ;(.il !()T
с ip\nii.i4ii /iii.n.iii.iN Kni umo.uii ih'i -jioil схемы, рассматриваемой
как v.iMi i) -up:! !iu- над молем комплексных чисел. Ho no
теоремам о rnuci неппоп и гладкой ::амсие базы последние группы
K.iiioini'hcKii и -.пморфиы группам лальных когомологпм данной
lAc'.iu, p.iiv ма i i)!i;-;K'Mi)i'i как mhoi ообратме над алгебраическим
i.iM!.!K,i;!ii'. м i.ihk-41101 o i!Ci im нычеюи. I'u'iKiiMH схемы с коордп-
naiaMii и >чi>j11->iмi>чi no.'ii1 яв.чяклея пепчдннжные точки
отображения Фр.;('к.-||!|\ч-а, .чепешующего на множестве точек данном
схемы, е Kiinp.iiiiia 1 амп и алгебраическим замыкании этого
конечного пи.гл. Теш pi, по формуле Лефтеца число точек схемы с
координатами в конечном поле можно вычислить при помощи
следа денстня Фробеннуса па группах этальных когомологмй,
которые по существу совпадают с первоначальными группами
KOMiiieKciii.ix мл омо.-югпм. Большую часть настоящей книги
можно рассматривать как погшерждеппс этого наброска.
Чтобы лап, читателю некоторое представление об
ожидаемых с\мдстиа\ и различиях между этальпой и комплексной
теориями, мы рассмотрим случай пеособоп проективной кривой А'
рода # над алгебраически замкнутым полем к. Если к является
молем комплексных чисел, то А' можно рассматривать как
одномерное компактное комплексное многообразие Л'(-Г), п его
фундаментальная [руина Л|(Л', х) имеет '2ц образующих с
единственным хороню и «местным соотношением. Здесь наиболее
интересна групп:» //'. Для любого постоянного пучка абелепых групп
А имеется отождествление /Л(Л(С), Л) = Пот(Л| (А', х), А),
например //' (А'( Г;), . .) = У,2''. Гели поле к произвольно, то
можно чисто алгебраическими методами определить
фундаментальную группу л,'и;(А, .v), которая п случае поля к
характеристики пуль с()|1патает с прокопечпым пополнением обычной
фундаментальной группы ni(A\ д-). Этальиая группа когомологпп
//'(А\.|. А) раппа Пот (л,11" (J, .v), Л) для любого постоянного
пучка a6e.TCiti.ix групп А. по теперь Пот обозначает
непрерывные гомоморфизмы. Поэтому IP(-Vpi, А) равна Л2'*', если Л
конечен или cooiTieicTiui'i аддптпмиоп группе целых /-адичеекпх
чисел .'.'/. Однако //'(A',t, ) = 0. ибо Т наделена дискретной
inii().Toriieii, л обра;) любою непрерывного отображения
nj1'1-' (Л', .V) >." конечен. Стедовательно, этальные когомологпп
сонма.чают с комплексными и мерных двух случаях н совершенно
иные в последнем.
Может показаться, что ута.тьиая топология будет излишнем,
когда /.' есть поле комплексных чисел, однако это не так;
этальные группы KoioMo.TOniii имеют одно важное преимущество пе-
П редисловие
рсд ipyniia.Mii комплексных когомологнп, заключающееся \\ юм.
что если многообразие определено над подполом Av i; ; /. i"
любой автоморфизм поля k/k0 действует на //'(A'u.|, \).
Первая глаиа настоящем книги касается свопстм -калмкм
морфпзмов, гепзелсвых колец и алгебраической фундам-.-ч! vn.-
iioii группы. Первоначально я собирался изложин, эти |чч\ п,
татм бел доказательств, однако это было бы не coitnwi у u-iii".
поскольку одно нз существенных отличии этальпом теории п\ч
коп от обычной состоит в том, что тривиальные факты in
теоретико-множественной топологии приходится часто заменять по.-к-г
тонкими фактами нз алгебраической геометрии. С другим
стропы, полное изложение данного материала потребон.чло бм
само по себе целой книги. Пришлось пойти на компромисс: i:.--;ii
все, что относится к этальным морфпзмам и гепзелевым i.n.;;,-
цам, доказано, но о фундаментальной группе не доказано ночи;
ничего. Для чтения этой главы требуется, чтобы чт.чтел:,
хорошо знал основы коммутативной алгебры, например и oi'i.i- :;>
[16], и был знаком с языком теории схем.
В следующих двух главах лаются основы теории -лап.;:! •;
пучков и элементы теории этальны.х когомологпй. Для чтп\
глав необходимо владение основами гомологической алгебры и
когомологпй Галуа.
В четвертой главе исследуются алгебры Лдзуман n;ri i-\e-
мамн и группы Брауэра схем. Здесь предполагается, чт(> muni
тсль зппком с соотвстствующ|1мп объектами » случае iio.Kii. »iy
главу можно пропустить.
Пятая глава содержит подробный анализ этальных кшомп-
логмн в случае кривых п поверхностен. Параграф о крпных
предполагает знание теории представлении конечных групп, а
параграф о поверхностях — более глубокое знание алгебрамчг-
ской геометрии, чем в предыдущей части данной книги.
В шестой главе доказываются основные теоремы об эгп.п.пых
•когомологиях н демонстрируется их прнмсисг'пс при доклчп ic.ii,-
стве ранпо11ллы[ост1г очень общего класса д.чгта-фупкты и
L-рядов.
В прп.можеипях приведены определения и рочульташ. hi
носящиеся к пределам, спектральным пое/'едгщшслитоiим и ш
1К'ркогомо.10П1ям, которые могут оказаться пи iciiimmii 41:1 к w iui.
Самое замечательное приложение этпи>пык когохюломм"!
доказательство Делния гипотезы Рпмапа - Вейля--н н.-иму
книгу не включено, однако тот, кто прочитает кишу, бел пспиы\-
усилт'1 прочтет статью Дслння. По существу сдинстнеиимп не
иключеммым сюда результат, которым нспольз\ег Делпмь. i:,i-
састся пучков Лсфшсца с нечетиомериымм слоями. Однако мм
псслсдусм пучки Лефшеца с одномерным слоем, а обншп с.iyi;ni
очень похож на этот и не намного сложнее.
Предчс.юпиг
I кк'ки.'П-ы) rm no {.можно, я питался придерживаться более
копкретшлх попятим. В кишу м du.iio'iii.'i лмпп» самое
необходимое д,1я исследования эталыюго п других подобных ему епту-
еоп, t;ikh\, кпк плоский ентус п ептус Зармсского. В частности,
(•.•юно «топое» нигде не появляется. Производные категории
также не используются, хотя их дух присутствует кое-где в по-
ivie.nneii m;ictii гл. VI.
О причинах возникновения теории этальпых когомологпй п се
речультаюх до середины 1900-х годов можно прочесть в докладе
Артнпа на Л'юждумародном математическом конгрессе в Москве
и IМП году |7]; «популярный» очерк истории гипотез Веиля
(которою неразрывно связаны с историей когомолопш) п дока-
.чате.'И.'.-тва Дслпня имеются в статье Катил [73], а обзор
основных идем и резу.'Н.татов теории лальпы.х когомологпй п их сня-
:кч'| с к. 1.|ггнческ||мп аналогами можно найти в лекциях Делнпя,
прочитанных на конференции в Лркате [55]. Лучшее введение
1; магерпа.1 id а.пеб|)апчсс|<оГ| геометрии, необходимый для
чтения -)i()ii киши, дне гея в [G1].
Я б.-инодарш М. Лртпиа за обиянкппс ряда моментов, Р. Хуб-
.■ie|ia за замечания к гл. IV, а также Институт перспективных
пеглсдованнп п Институт высших научных неелсдовании, где
пыла написана часть книги.
о
ТЕРМИНОЛОГИЯ И СОГЛАШЕНИЯ
Все кольца предполагаются петеровымп, а схемы — локально
петсроиымп. Под (алгебраическим) многообразием иолр.тп \и-
вается геометрически приведенная неприводимая схема muh-i-
ного типа над некоторым полем. Кривой и поверхностью n;i.i.'-
и.'иотси многообразия размерности одни и два соотвекчвешт.
Пусть к — некоторое поле. Через ks или ksep обозначается се-
иараПелыюс алгебраическое замыкание поля k, а через /<\,i — ei и
алгебраическое замыкание. Если К—расширение Гал\а mvi>'
k, то Gal (K/k), или G{K/k), — обозначение соответствующей
группы Галуа; дк — сокращение для Gal (£>■/&).
Как обычно, Л* обозначает группу единиц кольца Л, a Д-(г)
поле частных факторкольца /1/р кольца А по его прех-тму
идеалу р.
Пусть X — некоторая схема. Кольцо рациональных функции
на X обозначается через R{X); А,-—множество точек v корпч-
мерностн 1 (т. е. таких, что dimC.v, х = i), а А'' — мнпжчсти
точек ,v размерности i (т. е. таких, что размерность {.v} p;iiiiui
i). Геометрической точкой схемы А' называется отображение
г-*-Х, где z — спектр сепарабслыю замкнутого поля.
Sets—категория множеств, АЬ — категория абелсвых i рун п.
Gp—категория групп, G-sets—категория конечных мпом-л-пм v
(левым непрерывным) действием группы G, G-mod — к.-ттрп-!
(дискретных) G-модулеп, Sch/A"—категория схем над схемой
X, FEt/A — категория конечных этальных схем над схемой А,
LET/A — категория схем локально конечного тина над схемой
A, Fun (С. А.)—категория функторов из категории С в
категорию А.
Символы М, Z, Q, JR, С, Fq обозначают соответственно
множество натуральных чисел, кольцо целых чисел, поле раннонп.и.-
пых чисел, поле вещественных чисел, поле комплексных чисел и
конечное поле из q элементов.
Символы да.,,, /ил, <Gm, Gn обозначают определенные грунноньн-
схемы (II. 2.18).
Знак с=-> употребляется для Н1п>екцнп. —f — Д-тя сюр некими,
л; —дли изоморфизма, ~-—для киазпн.юморфтма (\\:\\\ i>)
мотопнп), = — для канонического изоморфизма. Запись X 1= У
означает, что А по определению совпадает с У или ч\о X \\<>
определению равно У.
Ядро п коядро умножения на п, М—> М, обозначаются черп
Мп и М("' соответственно.
Символ 0 обозначает одновременно пустое множество п
пустую схему.
Запись b ^> а означает, что b значительно больше а.
Глава I
ЭТЛЛЬНЫЕ МОРФИЗМЫ
Плоским ми|)(|)||-{\1 является л.iil<">рпмчсским аналогом
отображения, c.'ioii которого образуют непрерывное семейство. Так,
например, сюръекгпвпып морфизм гладких многообразий является
плоским тогда и только тогд:1, ■•rw,п'' нее его слон имеют одпна-
kouuo размерность. Конечнаi'i мор1|)н.чм в приведенную схему
будет плоским пи да и тлько тогда, когда все слои над каждой из
снизпььх компонент имеют одпнаковпе 'шело точек (с учетом
п.\ кратности). Обра:) плоского морфшчи конечного тина всегда
открыт, Нети же плоский морфнзм сюръектпвеп, то он
представляет coooii лтморфпзм в очень строгом смысле.
Этальпып морфизм есть плоский квазпкопечпып морфизм
Y-*-X, не имеющий точек ветвления. Тогда схема Y локально
определяется уравнением вида T':l -f a]T'"-] -f ... + am = 0, где
t»i, ..., а,„ — функции на некотором открытом множестве 0 из
X и в каждой и.) точек множества U все корни этого уравнения
прост i.i. Эгал|>пып морфплм индуцирует изоморфизм
касательных прост ранети, поэтому можно было бы ожидать, что он
является локальным изоморфизмом. Это верно над полем
комплексных чисел, если локальность понимается в смысле
комплексной топологии, топология же Зарпсского слишком груба,
чтобы -ло выполнялось алгебраически. Однако этальпый мор-
фпзм индуцирует изоморфизм пополнешш локальных колец в
ючкпх с алгебраически замкнутым полем вычетов. Более того,
он обладает всеми свойствами однозначности локального
изоморфизма.
Локальная схема является геизелепоп, если каждое сечение
чамкп\им о слоя любой эталытн схемы над пси продолжается
до некоторою сечения над всей схемой. Она строго гепзелсва,
п.тп cipoio локально, если любая '-лальнаи к строго плоская
схема 11;i i nei'i имеет сечение. Строго локальные кольца играют
для эгалыюп топологии ту же роль, что локальные кольца для
топологии Зарпсского.
Фундаментальная группа схемы классифицирует ее конечные
этальпые накрытия. В случае гладких многообразий над полем
комплексных чисел алгебраическая фундаментальная группа
совпадает с прокопечпым пополнением топологической
фундаментальной группы. Существуют а.'п ебрапчеекпе аналоги
многих результатов о топологической фундаментальной группе.
I. Конечные и квазпконс
тыс M.-n.;-(i:ixi.i
§ 1. Конечные и квазиконечные морфнзмы
Напомним, что морфизм схем /: У'-*-А называется аффинным.
если обратным образ каждого открытого аффинного иодмпилч-
ства U пз X является открытым а(|1ф|цтым подмножеством и }
Пели, кроме того, Г(/"-'(6'), О)) — конечная алк-прл n.i.i
V(U, Ох) Для каждого такого U, то морфп.чм / на млнгп i.-ч
конечным. ЭТИ УСЛОВИЯ ДОСТаТОЧНО ИрОВСрЯТЬ ДЛЯ ВГС.Х МНОЖ0С1В I.'
некоторого аффинного покрытия схемы Л' (см. [9.4, III. I, iipui
ложенне 5]).
Существует большое количество примеров конечных .\ii)p(|)ii i-
мов. Пусть А' — целая схема с полем рациональных функции
R(X), a L — конечное расширение поля /?(.V). Нормализацией
схемы .V в поле /. называется пара (А', /), состоящая ii.i не.ioii
схемы А" с полем функции /?(А") = L и такого аффинного мор-
фпзма /: А'->-А, что для каждого открытого аффинного
множества U ил А кольцо Г (/""'(£/), СХ') есть целое ллмыклипс кои.-ы
V(U, Ох) в L.
Прпдложепнг. 1.1. Пусть X — нормальная схема, а /: .V -->■ .V
ее нормализация в некотором конечном сепарабельном ;:т ши-
рении поля R(X). Тогда [—конечный морфизм.
Доказательство. Достаточно установить конечность лл-
refipu V(f~UU), Ох) над V(U, Ox) для каждого открытого а<|>-
фпнного множества 0 в А, что вытекает из [IG, 5.I7J.
Замечание 1.2. Предыдущее предложение верно для многих
схем без требования сепарабельности. Например, оно верно для
приведенных превосходных схем, а значит, и для мпогооПразпп
([52, 7.8) и [26, V. 3.2J). (Поле всегда превосходно. Дсдекнм-
дова область Л превосходна, если пополнение R ее поля
частных А' по любому максимальному идеалу пз А есть сспарабель-
иое расширение поля К. Любая схема конечного типа над
превосходном схемой превосходна.)
Предложение 1.3. (а) Замкнутое вложение конечно.
(b) Композиция двух конечных морфизмов конечна.
(c) Любая замена базы конечного морфилма приводит к
конечному морфизму, т. е. если морфизм f; Y ->- А конечен, то
конечен и морфизм fw\: Y{x-,-+X' при любом морфизмс A'-v.Y.
Доказательство легко выводится пз соответепп юшпх
очевидных утверждений о кольцах.
Теорема Коэна — Запденберга «о подъеме» имеет следуют.чо
геометрическую интерпретацию.
Предложение 1.4. Любой конечный морфизм ]. К-»-А япл.ч-
ется собственным, т. е. он отделим, имеет конечный тип и
универсально замкнут.
II Га. I. Этальные мпрфнэмы
Доказательство. Для любого аффинного покрытия (£/,-)
схемы .Y ограничение f"'(c7,)->- U, морфпзма f отделимо при всех
/ п, значит, ( отделим (см. [G1, II. 4.6]). Чтобы установить упп-
иерсальпую замкнутость конечных морфнзмов, по 1.3(с) доста-
■10Ч1Ю показать, что они замкнуты, а по 1.3(а), (Ь) для этого
достаточно показать, что они отображают все пространство на
замкнутое подмножество. Итак, пади показать, что множество
/(У) замкнуто. Это легко сводится к аффинному случаю, когда
/ = "g Д-тя конечном алгебры g: Л -»- В. Пусть 3 = ker(g). Тогда
/' разлагается в композицию spec R-*■ spec А/3 -*■ spec А. Первое
отображение сюръектпвно ([16, 5.10]), а второе является
замкнутым пложенном.
Для морфнзмов вида А'-> spec ft, где ft— некоторое ноле,
имеется топологическая характерпзацня конечности.
Предложение 1.5. Пусть k — некоторое поле, a f: A'-»-spec ft —
морфизм конечного типа. Следующие утверждения равносильны:
(a) схема X аффанна, а Г(Х, (Ух)—артиново кольцо;
(b) схема X конечна и дискретна {как топологическое
пространство) ;
(c) схема X дискретна;
(d) морфизм I конечен.
Доказательство. См. [16, гл. 8, особенно упражнения
2,3,4].
Морфизм /": )'->-Л' называется квазиконечным, если он
является морфпзмом конечного типа и имеет конечные слон, т. е.
множество {~'{х) дискретно (а значит, и конечно) для всех
.vel Аналогично /1-алгебра В называется квазиконечной, если
она является алгеброй конечного типа и ft(p)-a.irc6pa /?<8>ift(p)
конечна для несх простых идеалов рсЛ.
Упражнения l.fi. (а) Пусть А — кольцо дискретного
нормирования. Покажите, что Л-алгебра А\Т]/(Р(Т)) квазнкопечна
тогда it только тогда, когда одни из коэффициентов многочлена
Р(Т) является единицей1), и эта алгебра конечна тогда п только
тогда, когда старшин коэффициент в Р{Т) является единицей.
(Ь) Пусть А — дедекппдова область с полем частных Л'.
Покажите, что морфизм spec К-*- spec А никогда не бывает
конечным, что он квазнконечен, если имеет конечный тпп, и имеет
конечный тип тогда и только тогда, когда А имеет лишь
конечное число простых идеалов.
') То есть обратимым элементом.— /7рим. ред.
§ I. Конечные и кваэиконечные морфизмы
Предложенне 1.7. (а) Любое вложение квизиконечнп.
(b) Композиция двух квазиконечных мпрфизмов кви.<°!\п-
нсчна.
(c) Любая замена базы квазиконечного морфтма приводи!
к квазиконечному морфизму.
Доказательство, (а) Пусть/: У-»-Л'—некоторое плолс-
it не. Очевидно, что f имеет конечные слон. Поэтому острей я
показать, что этот морфнзм имеет конечный тип, а для этого
достаточно показать, что множество 1~Ц11) кваликомпактно л.iя
любого открытого аффинного множества U и.) Л'. По U - - пГ-11--
рово топологическое пространство (напомним, что нес с.ммы
предполагаются локально истеровымн), а /~|(^;')=: i-'(]Y-
подмножество в U.
(b) Очевидно.
(c) Пусть /: Y-*■ X—квазпкопечиып, а Л''-»-Лг — любом мор-
фпзм. Пусть х'у—>х при Х'-*-Х. Тогда слон
дискретен.
Если /: Y-*-X—конечным морфнзм, а V—некоторая
открыта.'! подсхема в У, то по предыдущему мпрфплм U-> X кнаш-
копечеп. Замечательно, что практически всяким квалнконечпып
морфнлм получается таким способом.
Тг-.оремл 1.8 (основная теорема Яярпсского). Пели Л' — .vhj-
зикомпактная схема, то любой отделимый квазиконечный мор-
физм j: Y->X разлагается в композицию Y-—*)" — »Х, ale
Y — открытое вложение, a g—конечный морфизм.
Доказательство. Наиболее элементарное дока.киг.п.-
ство имеется в [104, гл. IV]. Мы дадим набросок мыпод.ч
теоремы 1.8 из следующей ее аффинной формы, доказанной п
[101, сгр. 42]: пусть В — квазиконечная Л-алгебра, а Л'—ucim
замыкание Л в В; тогда отображение spec В-«-spec Л' япляется
открьмым вложением.
Пусть А' — некоторая схема. Любой ква.шкогерептпып пуччк
C.v-алгебр А определяет пару (A'', g), состоящую пз схемы .V и
аффинного морфпзма g: Х'-+Х с g.Ox1 = Л (J6I, И, упр. 5.17]
н [49, 9.1.4]). Принято писать A'' = spec/1. Задать А'-морфнзм
У-»-А' для произвольной Х-схемы У —> X—это то же самое,
что задать гомоморфизм ^-алгебр A-^-f^Ov-
Предположим теперь, что морфнзм f: Y-*-X отделим п нме-от
конечный тип. Тогда пучок \*Oy является квазпкогерентноп
(Ух-алгеброн ([49,6.7.1]) и квазпкогерептна также О'д-а.нчпра
А', у кото|)ом V(U, А') есть целое замыкание кочьиа !'((', С..)
/'.;. /. Эгяльпые
н \'(U, \,P'\) для каждого открытого аффинного множества
U с Л (|50, (J.3.4J). Соответствующая А'-схсма Л' = spec/1'
называется нормализацией схемы Л' в схеме У.
Предположим дополнительно, что морфпзм / квазпкоиечеп.
П.ч приведенного выше аффинного утверждения легко вынести,
•по морфпзм Y-y\', индуцированный включением Л'аЦУг,
есть открытое вложение. Пусть (А,) обозначает семейстио всех
когерентных О'л-подалгсбр в Л', Нетрудно пронерпть, что
морфпзм У-> spec Л,, индуцированным включением А,с\,Оуу есть
открытое вложение для всех достаточно больших подалгебр Л,-
(при этом используется тот факт, что Л' = U Л,; сравните с
доказательством из [104, стр. 42, следствие 2(2)]). Поскольку
схема sped, конечна над Л', это доказывает 1.8.
Замечание 1.9. Точнее говоря, основная теорема Злрнсского—
это основная теорема работы Яарпсского [134]. И иен он
исследовал поведение особенности нормального многообразия при бп-
рацпопалыюм отображении. Первоначальное утверждение, но
существу. м\\\.помается в том, чго если /: У~->- V--бпрацпопаль-
iibiii морфпзм многообразии и локальное кольцо Ох. у ислозамк-
нуто, то либо / '(л) состоит из одной точки н обратный морфпзм
/'"' определен и некоторой окреетносш точки .v, либо все
компоненты слоя /""'(л') имеют размерность ^ 1. Чтобы гоноставнть
■■/и) с i рмгендикопекпм варнаиюм, заметим, что если в
теореме 1.8 .V и )' являются многообразиями,/—бпрлциопальпым
морфтмом. а .V - - нормальным многообразием, го
g—изоморфизм. Гш.тее подробное обсуждение этой теоремы имеется и
|93, III.!)].
Слпдствпп 1.10. Любой епбепи'ннии квазиконечный морф и ям
/: }->- .V конечен.
Доказательство. Пусть / = gf есть разложение из
1.8. Так как морфпзм g огде.тммьп"!, а / собственны!'!, то морфпзм
/' также собепкчшып. (11епол1)Чуптс разложение
/' --/„., о iy У *V--XY'->Y'.)
11 <■■ чом\" /' !■• I')/!<(иIи■ с .4.-1 мкп\ ) I iM образом, т. 1\ замкнутое
\- iii/Kciiii'.1. Miia'iiiT, /' п .<f конечны.
<>iivt'4ifi:ie 1.1 I. От.те.тнмосП| i:ooi'\o щма в обоих
предыдущих р1чульг;гга.\, ибо или X сегь аффинная прямая с
«удвоенным началом координат» ((61, II. 2..Ч.')]), а /: Л'->А'
—естественная проекции, то морфпзм / универсально замкнут и квазп-
копечеп, по не конечен. (Он даже плоский и этальный; см. два
следующих параграфа.)
Упражнение 1.12. Пусть /: У->Л' — отделимым морфпзм
конечного типа, где схема А' пепрпводпма. Покажите, что если его
2. Плоские морфизмы I"
слом над общем точкой ц конечен, то в Л сущеегнуст такая oi-
крытая окрестность U точки i), для которой морфпзм / *{L)->- U
конечен.
§ 2. Плоские морфизмы
Гомоморфизм колец /; Л -»- В называется плоским, если В
плоско как Д-модуль относительно /. Итак, гомоморфизм ипляетен
плоским тогда к только тогда, когда функтор — ®Л В из
категории Л-модулей в категорию fi-модулем точен. В частости,
если 3 — произвольный идеал в Л, a f — плоский гомоморфизм,
то гомоморфизм 3 ®,1 В -*■ А ® i В = В ниьсктнвеи. Обратное
утверждение также верно.
Прилложпнии 2.1. Гомоморфизм f: Л -> В .ч/и.'И'тс.ч п.юа.ч/м.
ес.-ш отображения (а 0 b>—>f(a)b): 3 Э' Н~* Н инъекпнши! <).)•;
Jucex идеалов 3 из А.
_ Д о к а з а т е л ь с т и о. Пусть g: М'— у М -- пи i^'Kiimiioe ти-
^бражоинс Л-модулси, при этом, согласно [1П, 2.1!)), можно п[цд-
> полагать, что модуль М конечно порожден.
Случай {а). Модуль М свободен. /Iokci.i;iu\ii>ctbo ъгого случая
пронодптся [Ц[дукцисч"| по рангу г модуля М. Глмп г— \, io ,\f
можно отождествить с Л, а М' — с некоторым идеалом и .1;
тогда то, что необходимо доказать, совпадает с нашим
предположением, [icjifi /■> 1, то М = М, ф М2, где М\ н Mj — сиооод-
аые модули ранга < г. Рассмотрим точную комму1ашнную
диаграмму
■- П
J
L > М р— > V/
После тен.чорною умножения па В иер.хняя строка тчаегся
томной, а гомоморфизмы pi и gt — миъектпнпими. Отсн'.чп иьпс-
каст пш.сктнвпость g® 1.
С.и/чоп (I)). Л^ — произвольный (конечно нприжлгмним) \т
ду.и.. Пусть .V] .V, — образующие модуля М. a /W rif.
on.iiii.ii'i Л-модуль с образующими х\, ..., л',. Рассмотрим юч-
и\ю коммутативную диаграмму
О —> ^ —■'"..> м* ■---* ■•->■ Af > О
О > /V > h'tgiM1) > М' > О.
По случаю (а) гомоморфизм i ® I нпъсктппеп, откуда следует
тгьсктшиюсть g ® I.
Гл. I. Эта.шшс морфизмы
Г1|ч д.тожгппг; 2.2. Паи /: А-у В — плоский гомоморфизм, то
для любых мультипликативных систем S с Л и Т cz В с f(S)ci T
гомоморфизм S- vl -+T~4i также является плоским. Обратно,
если Ол.ч всех максимальных идеалов п из В гомоморфизмы
-', 'г.-,' > Вп и UjCKue, то А —г- Г> -плоский гомоморфизм.
Д о к а .1 л г е л ь с т в о. Гомоморфизм S~*A-+S~]B является
плоским по |10, 2.20), a S]B ->-T~[B является плоским по
[10, 3.0). Чтобы доказать обратное утверждение, рассмотрим
шп.ектмннии гомоморфизм Л-модул ем М'-*-М. Необходимо
установить ппъектппность отображения В ®.| М'-+■ В ®л М, а для
этого достаточно показать, что отображение.
Вл ®п (В ®., \Г) >В„ <S>b(B <? А\1)
при весл п. Но это следует пл плоскости
гомоморфизма Ау->ВП с V = /"'(") " существования канонического
нзоморф|има Вп ®в (В ®л ,V) -- Ип ^-ц{А^ ®,\N) дли любого
/1-модуля Л'.
Замечание 2.3. Пели элемент а <= А не является делителем
пуля, а /: Л -+В-— плоским юмо.морфнзм, то /"(«)— не делитель
пуля и В, потому что из ппъек П1Ш1ОС1Н отображения (х>—=»я.\'):
А-->■ A lu.iicKiici' шп.ектпглюсть шобрпжеппм (-V—»f(a)x):
Н-^Н--А®)Н. В члетпосin, ci'.tii /1—область цеюстпостп и
В ^= 0, то / щгьектшн'п. Обратно, любой ннъектпвпмп
гомоморфизм /: А -> В дедекпидовом области А в область целостности В
яиляется плоским. Для доказательства эту ситуацию можно ло-
калпюнап. п предполагать, что Л — область главных идеалов.
Согласно 2.1, достаточно установить пнъектнвиость отображения
Л ®, Н * И для любого идеала 3 ф 0 из Л. По 3®л В —
свободный Л-модуль ранга 1 п по предположению каждая образующая
идеала 3 отображается в пепу.-icnoii элемент кольца В.
Морфпщ схем /: Y-+X насыпается плоским, если каждая
точка // пч У индуцирует плоский гомоморфизм Ох,ц,у)->-О)\и.
Эк111П!а.'1сп i no / n.'iocKini, сс.чн для любой пары открытых
аффинных мпюжесгн Г из V п U пч .V. тлкмх, что /(V')ct/,
гомоморфизм колец Г(('. О',\) ->■ Г( 1', С\) ямлястся плоским. II.I 2.2
следует, что мерное условие пуж 1;нчея п проверке лишь для
замкну i их ючек и Hi Y.
Прг-дложгиш: 2.1. (а) Открытое вложение является плоским
морфизмпм.
(I)) Композиция двух плоских мпрфизмов является плоским
морфпэмом.
(с) Любая замена базы плоского морфизма приводит к
плоскому мпрфи;\му.
§ 2. Плоские морфпзмы ''
Доказательство. Пункты (а) и (Ь) очевидны.
(с) Если f: A-+B — плоский, а А-^Л'—произвольным гомп-
морфпзмы колец, то А'-*-В ®а А'— плоским гомоморфизм, что слс-
д\тг in существования канонического изоморфизма {В <£-' \ Л')'/■
®л- М ~ В ®АМ для любого Л'-модул я М.
Чтоб!.! указать менее тривиальные примеры плоских ммрфм!-
мои, нам понадобится следующие результат.
Пргдложкпне 2.5. Пусть В — плоская А-алгсбра. а бей.
Если образ элемента b в В/тВ не есть делитель нуля дл.ч
любого максимального идеала m из А, то В/(Ь) является плоской
А-алгеброй.
Доказательство. Согласно 2.2, можно предположить, чт
А—*■ В— локальны)! гомоморфизм локальных колец. По yc.iounio
если сg fl II fee = 0, то сешЗ. Покажем, используя индукцию,
что в действительности cgi'B для всех г^ 1, а значит,
с£П»1гВсПиг = (0), где п — максимальный идеал в В.
Предположим, что CGl'fl. Тогда с — ^а,-/;,-, где- а, образуют
минимальное семейство, порождающее пГ. Но 0 = йс = Хя,ЛА
i
откуда по одному из стандартных свойств плоскости
(докатываемому ниже в 2.10) существуют такие представления b,b ==■
=Yicirb'j с Ь'^В п я/;. еУ1, что Т. а1а1; = 0для всех /. По
выбору образующих а, все а,/ лежат в т. Следова ic.'ii.iio, Ь,Ь<=тП,
а так как Ъ не является делителем нуля в В/тВ, то Ь,^тВ.
Значит, c£inr"S, что завершает индукцию. Итак, мы показали,
что b не является делителем нуля в В. Заменяя Л на /1/3, а
В — па В/ЗВ, можно показать тем же способом, что b не
является делителем нуля в факторкольце В/ЗВ для любого идеала 3
из Л.
Возьмем некоторый такой идеал гг рассмотрим точную
коммутативную диаграмму
0 0
1» Ь.
О ► В ■ Ь > В ► В\Н) .0
2®В
B/CfS —► В/ЗВ , (ВЩ)г'З(ВШ) ► О
I J Г
'0 0 О
Гл I. Jnu/ww," морфизмы
в котором 6 II I К1 b над с г|ic. ikoi'i обозначают умножение на 5
и 1 ® 6 соответственно Из ломим о змее следует ппъектпвпость
гомоморфизма 3 ® В/(Ь)->- И/(Ь), значит, по 2.1 факторкольцо
/?/(/;) плоско над Л.
Замечания 2.6. (а) Дли лпн'пго кольца Л кольцо многочленов ,
Л [ Y, А',,| является свободным 1-Mo.iy.ievi, а потому A'i —
плоская см1 мы над А. Пусть Z — никоторая гиперповерхность в
Ад.т.е. схемл нпда spec (Л [.V , Хп]/{Р)), Р ф 0. Тогда по 2.5
7. ее п. плоская схема над spec Л ■*=> Z (8>лА:(ш) ф Апк1т1 для
любого максимального идеала m п.ч А ■<=> идеал, порожденные!
коэффпцетамп многочлена Р, ранен А (в предположении
связности схем in spec Л). Лиало! ii'iiine утнерждеппе справедливо для
шперпокерхпостеп из \''л-
(1)) Последнее утперждеипе пз (а) можно сформулировать
иначе: гиперповерхность Z иплистся плоском над spec Л тогда
и io.ii)Ko ;oi;ui. когда исс ее замкнутые слон над spec Л имеют
одинаковую ргпмерпость. Существует обобщение этого фанта.
Во-иор'1Ы\, если /: Y-*• X — н.юскщ! морфпзм, то
dim {Оух. ,j) = dim (Су ,) - dim {Ox. x).
i дс \• = /'(■(/). В случае многообразии это зпа'ип, чт dim (VA-) ==
— dim(K) — (liin(A') для любом .замкнутой точки д- пз X с
непустым слоем Кл. Доказптсльсгно достаточно элементарно, его
можно iiaiini u [52, G.I] млн и |(П, II 1.9.5]. Во-вторых, если А'
и Y — регулярные схемы, а /: )'->А' — такой морфпзм, что для
любой замкнутой точки у из Y
dim [Oyx, у) = dim (Оу, у) — dim {Ox. х),
где x = f(y), то /—плоский морфпзм. Опять доказательство
можно iKiiini u [52, 6.1]. (См. также [61, III. упр. 10.9].)
(c) Имеется citie одно очень полезное достаточное условие
плоскости. Легко построить примеры Z —*■ Y —> X, в которых g
н gf плоские, а / — не плоский морфпзм. Однако если известно,
чю отображения слоев [х: Zx-*-Yx плоские для всех замкнутых
точек д е А', то морфпзм /' обязательно плоский (153, IV. 5.9]
пли [26, II 1.5.4, предложения 2, 3|).
(d) Пуоь В — плоская Л-алгсбра, а Ь\, ..., Ь„ —
последовательность элементов пз В, образ которой регулярен в В/тВ для
любого максимального идеала m пз Л, т. е. Ь, не является
делителем нуля » Я/m+ (/>|, />2, ••■, hi-О нн прн каком {. Тогда
В/{Ь Ь„) — плоская Л-алгебра. Это выводится по
индукции пз 2.5.
§ 2. Плоские морфиэмы
(е) Последнее утверждение из (а) имеет еще одно оГюГчис-
ime. Пусть А' — целая схема, a Z — замкнутая подсхема а \'[[.
Для каждой точки j;eX обозначим через pteQ|T] многочлен
Гильберта слоя Z.xc=Pjf,.t|. Тогда Z является h.-iocko/i схемпп
над ,Y п том и только том случае, когда многочлен рх не записиi
от х ((01, III. 9.9J).
Плоский гомоморфизм f: A-*■ В называет си строго плоским,
если /}©.|Л/ отлично от нуля для любого ненулевого /1-модуля
М. Беря в качестве М главный идеал в Л, можно }Г>едп 1ы.н, чп>
таком гомоморфизм всегда пиъектнвеп.
Предложение 2.7. Пусть j: А-*-В — плоский гомоморфизм и
Л фО. Следующие утверждения равносильны:
(a) / — строго плоский гомоморфизм;
(b) последовательность А-модулей ЛГ -> Л1 -*■ ЛГ' точна
всякий раз, когда точна последовательность В ® i ЛГ -*- В ® i .\I ->-
(c) морфазм "[: spec S-v spec /1 сюръективен;
(d) ((т)ВфВ для любого максимального идеала m i/.v /1.
/i частности, плоский локальный гомоморфизм .\пка.н>но1х килец
является автоматически строго плоским.
Доказательство, (а) =*■(!)). Предположим, чго тоншрное
умножение на В прсиратлет нослодонатолмюип! .W-■■ ► М - ► М"
в точную. Тогда 1111(^2^1)= 0, потому что
> потому что
n
(l))=f-(a). Последовательность М—*М-->0 точна тогда м
только тогда, когда М = 0.
(а)=;-(с). Так как В ®,, к(у)Ф0 для любого простою идеала
у из А, то aj~] (р) = spec (В ®л £(у)) непусто.
(с) =>■ (d). Очевидно.
(d)=*-(a). Пусть х е М и л: ^= 0. Поскольку f—плоским
гомоморфизм, то достаточно показать, что В 0 , Л' # 0, где Л'=
= Ах аМ. Но N ж /1/3 для некоторого идеала 3 из Л. значит.
S ® /V л; В/ЗВ. Если m — максимальный идеал h.i Л, соде|1>ка-
uuiii 3. то ЗВ<=/(1П)В#В. Поэтому
Следствие 2.8. Пусть {: X-*-Y — плоский морфизм, у <= )'. а
х' е .V — такая точка, что х =j(y) лежит в замыкании {.v'i
одноэлементного множества (х'}. Тогда существует точка t/е~- )'.
для которой у е {{/'} и ( (у') = л'.
/';. /. Эталыше
Д о к a :i a tc.'i ьст но. Миожггмт точек .v'e.V, для которых
.V е {л'}, совпадает с образом канонического отображения
spec О1 л■-*■ X. Данное следствие нитгкаст из того факта, что
отображение цч*сО'у-> spec Ох, и м. i>■ пирона и нос морфпзмом /",
сюрьектпшю.
Морфп)М схем /: Л'->-У пазывасюи строго плоским, если он
инляется плоским м сюръектннным. По 2.7(е) это определение
согласован" с предыдущим определением для колеи.
Рассмслрнм теперь некоторые вопросы, связанные с
плоскостью конечных морфпзмон. Следующая теорема показьшаст,
что для таких морфнзмов /: )'->.V плоскость имеет .очень янпую
интерпретацию в терминах спинеiи пучка f*Oy как пучка
(У х- модулей.
Тгорцмл 2.9. Пусть М — конечно порожденный А-модуль. Сле-
Пукицис утвер >ic<)chii.<i pueitoi ч.и>ны:
(а) Л1 — плоский Л-мпдуль\
(1)) Л/,„ — свободный Ащ-модц.и> дли любого максимального
идеала m ;;;) /1;
(c) Д1 — локально сво6()дн1'1п пучок на spec/1;
(d) M ■-- проективный А-модп.Чк
палее того, если Л - область целостности, эти утверждения рав-
ноенльни следующему.
(с) размерность dim,., (Л/ Ф., HV)) одинакова для всех
простых идеалов р из Л.
Д о к а :) а тел ьст no. (<l)=s-(;i). Для доказатсльстпа этой
импликации пс нужна конечная порождеиносп.- модуля М. Так
как тен.юрние умножение коммутирует с разложением в прямую
сумму, то любом свободным модуль является плоским, а прямое
слагаемое плоского модуля пплиетси плоским.
(Ь)=>(с). Пусть in — максимальным идеал из А, а х\, ..., хг —
элементы мл Д1, образы которых составляют базис модуля /Vfn,
над .Г,;. Тогда го.моморфп.чм
К: ЛГ->ЛГ, я(«| яг) = Ея^(.
индуцирует 1мп\|орфп.чм Aa—>Mj для некоторого аЕ/1, а ^ т,
потому ч\ч ядро п коядро гомоморфизма g равны пулю в m п,
будучи конечно порожденными, сосредоточены на замкнутом
подмножестве и spec Л.
(с)=>(п). Рассмотрим такие ;/1емсмты аь ..., о, пз А, что
идеал (di а,) совпадает е А и Ла.-модули ДГП/ свободны
для любого /. Пусть /? = J7.1,,.. Тогда В строго плоско над Л,
а В ®л М — ]Т Ма., очевидно, плоским В-модуль. Отсюда
следует, что М— плоский Л-модуль (по 2.7b).
§ 2. Плоские морфиэмы
Для доказательства оставшихся импликации (а) --> (ill.
(;))=>■ (Ь), (с)=^(с), (с)=*-(с) нам понадобится
Лг.ммл 2.10. Пусть 0 -> /V -> F— >- ЛI - - > 0 — точная
последовательность А-модулой, а N — подмодуль в F.
(а) Если М и F — плоские модули над Л, то Л;Г)3/"' = 3.\"
для любого идеала 3 из Л.
(I)) Пусть М — плоский, a F—свободный модули с 'нписм
(//,) над Л. Тогда если n = YjaiUi <= 'V, то существуют п, е Л',
такие, ЧТО П = 2^, ii
(W) Пусть М — произвольный плоский Л-модуль. Пели
'YJaixi = 0, где а,^А, х{-е М, то существуют такие предано-
l
Ленин .V. = £я;Д' с х'. <=М, atj^A, что Xrt/fti/^^0 для
любого \.
(с) Пусть М — плоский, a F—свободный А-модули. Тогда
для любого конечного множества {п\, ..., п.) элементов ir.\ X
существует А-линейнос отображение /: F-*-X с f(n,)--n, i-
= \, ...\ г.
Доказательство, (а) Заданная точная поелсдопак-.'п.-
иость индуцирует точные последоиптсльпостп
S ® ^V -^ 5 ® F -> S ® Л/ -> 0.
Так как /VI и У7 — плоские модули, то 3 ® -^ и 3 ® AI можно
отождествить с 3F it З'П, при этом образ модуля 3 ® Л" и 3 ® У7 —
= 3F отождествляется с ЗЛ^. Но из первой послсдоватсмыпн-ти
мы видмм, что этот образ равен также \!(]3F.
(b) Пусть 3—идеал, порожденный коэффициентами а, /ш-
nc-i'iпоп комбинации га = ^]я<!/<- Значит, п ее Л' П 3f -= 3.V, ;i
потому существуют такие », & Л', что n — X^i''.--
(I)') Представим модуль М в виде фактормод\мя своподп'пи
МОДУ 1Я, К;1К В П. (Ь). ПусТЬ О\Х\-\- ... +"Л'г---0. ,\\i > Ч\. 11. /'
можно выбран, так, чтобы он имел ба.чне (у.) с !>(ц )--■ ■ .\.,
i-- I г. Тогда и-= X "».'/< —Л'- Поэтому /7--=X«i".- -'1л>|
некоторых n,G£i\'. По п 1=1/1 — 2^я/..'// для некоторых (/ •■. Toc.i.i
/г = £ а(п; = /г — Z Z («,«//) .'/у
откуда Zjf'ja,-/ = 0 при каждом /. Кроме того, .v,- = X «цЦ U'j\
поэтому в качестве х'. можно взять g(y,).
I'.i. I. Я/а \i,niic морфилми
(с) Используем индукцию по т. Предположим сначала, что
г----- 1. Паппшем разложение
и базисе (if,) модуля /■". Тшда
для некотрых n'j'Ji .V п 11 k.i'k-i me / .можно взять гомоморфизм,
для которого /(/.', )"=-"у HI111 / - I *" I' /(.'/|)^0 в
противном смучлг. Предположим тпи-рь, что г> 1 и существуют такие
гомоморфизмы /ь /г: F-+N, что M'i|)~-"i и
/', (л, — /, (»/)) — », - /, (»,-). ' = 2, .... г.
[: /-^.V, Hy)----UUj) + hUj)-hU(y)
oo.i;i.t;i(.4 нужными свойствам и.
Закончим теперь доказательство чсорими 2.9.
(rt)=*-(d|. Включим Л1 в точную последовательность
О-> Л'->/■'-♦ Л/ >0,
I .'и- /■'■—снооолнып модуль п Л' п /'---оба конечно порожденные
модули. Согласно 2.10(с), -лл носледователыюсть
расщепляется п. ■.мачнг. Л1 црооктннен.
(a)--f-(b). Можно нредн'1'iai arii, ч го М- конечно
порожденный плоский модуль над локальным кольцом А. Возьмем элс-
меты Л|, ..., хг(ГгМ, обра.чы которых в М/тМ образуют его
бачис над полем А/т. Включим модуль М в точную поелсдо-
на H-.'iuiocib
и ы1|О]1иГ| /■' - 1-Ц(1Оодн1.и"| модуль с базисом {//|. ..., ///}, а
,':(//.) v. Тик как .Verm/", ю ш.\' -— Л/ [)(т [•')■-■= N и Л' ■- пуле-
iioi'i моду и, по .'К'мме II;ii:;i4mii
(г) --■> (е). Очевидно.
(с) =>• (с). '1>нксирусм простои идеал р из А п пыберем для
некоторого (I г/г у v.'ieMeiiiiii л'|, v, в Ма так, чтобы их образы
и М $5., kiv) составлялп базис. По лемме Накаямы отображение
определяет эпиморфизм /1(,—*■ Л/^. Изменив а, можно
предполагать, чго само отображение /; сюрьектпвно. Тогда для любого
2. Плоские морфизмы
простого идеала q нз Аа отображение £(q)r—> Л1 ®..| k(<\) сюрьек-
тнвио, а потому — изоморфизм, так как dim (Л1 ®,i ft(ii)) — г.
Итак, !<ег(й)с=ф4а для любого q, откуда следует трпшкмыюсть
этого яд|)а, поскольку пнль-радпкал кольца Л„ ранен нулю.
Поэтому модуль Ма свободен.
Замечание 2.11. Пусть/: У —*Х — конечный плоским морфнлм.
Утверждается, что тогда он открыт. По 2.9 можно считать, мы
Х = speed, У = spec В н В х А' как Л-модуль. Пусп. 7"' -}-
-f- (i]Tr-] -f- ... + a, — характеристический многочлен с
коэффициентами n A iickoto|)oio элемента fte/l. npoi'ioii идеал v
из Л лежит в образе морфмзма spec (Вь)-»-spec (Л) и т очное i>i
тогда, когда кольцо Bi,/f/3,, петрппналыю. По li,./vth, л
л; (В/уВ)г. Поэтому это кольцо ненулевое в точности тогда,
когда элемент Б не является нпльпотентным в В/уВ или,
эквивалентно, когда один из коэффициентов многочлена Т' -\-
+ а|Гг~'+ ... + а, не равен пулю в Л/р. Значит, обра.)
открытого множества specBb в spec Л совпадает с (J spec Ло , а это
снова открытое множество. Имеется более общее утверждение:
Теорема 2.12. Любой плоский морфизм локально конечного
типа открыт.
Лнммл 2.13. Пусть f: Y-*■ X — морфизм конечного типа. Тогда
для .побои пары (Z, U), состоящей из замкнутого нсприапди-
мого подмножества Z и открытого подмножества U из У г
U П Z ф 0, существует открытое подмножество V в Л', дли
которого j(Uf]Z)zD Vf]J{Z)^0. (Через JJY) обозначено
замыкание множества f(Z).)
Доказательство. Прежде всего отметим следующее:
(a) Лемма справедлива для замкнутых вложении.
(b) Лемма верпа для /, если она верна для
'red' ' red ~y Xге(|.
(c) Лемма верпа для композиции морфпзмов g[, если (>n;i
нерпа для / п g в отдельности.
Действительно, если V — открытое множество,
удовлетворяющее заключению леммы для пары (f{Z), V) и отображения
g, то оно также будет удовлетворять заключению леммы для
нары (Z, U) н отображения gf.
(d) Лемму достаточно проверять локально но Y и Л'.
(e) При проверке, леммы при заданном Z схему Л' можно i,-i
меппть на /(Z) н поэтому можно предполагать, что она понрн
водима.
?(> Гл. I. .?".:::.'■:? ^орфизмы
.1уя (а), (с) II (d), сведем доказательство к случаю,
котла / ее 1 ь проекция Л"ХА'->-\' и Л' — аффинная схема. По
(I)) к (с) доказательство ciif>,iii 1 *.-я к случаю, когдл A' = spcc/1
и /1—облапь целоешостп. II наконец, снопа используй (с), мы
сводим доказательство к случаю, к*>гдя / — проекция А'Х^-^Х.
Пусть Z — замкнутое неприводимое подмножество в Ах, т. с.
7. = spec И, где В - ■-• Л [Т\ /<\ для некоторого простого идеала q.
Можно считать, тю цфО, в пропшном случае утверждение
очемпдио. По (е) можно также предполагать, чго qf|,4.-=(0),
т. с. что /(Z) = .Y. Пусть Л.'--ноле частных кольца А, а (=
= 7"(mod it)- Поскольку i) содержит непостоянные многочлены,
то элемент / алгебрапчеп над /\ н существует некоторое аеЛ,
аф(), такое, что ut цело над Л. Тогда алгебра Вп конечна над
Л,,, а потому отображение spec /:(„->-spec И„ сюръектпвно [16,
5.10]. Значит, нам осталось показать, что of>pa:i непустого от-
крытого мпожоепк! U из spec/?,, содержит непустое открытое
множество п.) spec/1. По если II содержит (spec /?,,)<, ir Ъ
удовлетворяет 11о.тппом11с1Л1|П1)му ураппеппю Т"1 -\- а\Т"'-] ■(- ... -]-«,„ —-
г= 0 с а. <- Л,„ то / (U) =) U I4VC • \„\,г
Д о к а т а т е л i, с т к о теоремы 2Л2. (Ср. с [(31, III.
упр. П.1(.) Пусть/: )'-»-.Y—ii.ioeicnii морфнзм локально
конечного типа. Достаючно пока.чап,, что множестг.о f(Y) открьпо.
Можно предполагать, что схема X квазпкомпактна. Пусть 1Г'=
■■■-.V -f(Y) п Z], ..., Z.., — испрпнодпмыс компоненты
замыкания iF. Обозначим через г,- общую точку подмножества Z,. Если
г, г=/(К), т. с. Zi = f(t/), то лемма 2.13. примененная к парс
(((/}, У), показывает, что гицествует открытое множество U
и А', для которого f{Y)zD U(]Z,zd {r,}. Но тогда
и так как U п (X — U 7. Л - ■ оч крытые множества, то г, 9= IT,
V i-f=\ )
чк) противоречит предположениям. Поэтому г,• еЕ IV и по 2.8
все специализации точки z, принадлежат И'. Значит, W z.~> Zh
U7 ~j U Zj — \V и множество /(У') оi крыто.
Замечание 2.14. Если f: V'-v A - конечный н плоский мор-
фмчм. то пи одновременно открыт п замкнут. Следоиателыю.
если А' спя.ню, ю / --- еюрьектшинл"! и потому строго плоский
морфпзм (когда Y Ф 0).
Упражнение 2.15. Данте пример, показывающий, что 2.12 не
верно бел предположения о к.-и чпосгн типа, даже если
предположить, что морфнэм / сюрч.сктмнен. (Начните с примера из
I-'"'(!>)■)
$ 2. Плоские морфизмы
Если j: Y-*■ X— конечным морфилм и для некотором точки
i;el' алгебра О,, свободна как О'/ч-м-модуль, то, очевидно,
алгебра V(j~](U), Or) свободна над {'{I1, O\) для подходишси)
огкрытго аффинного подмножества U ii:i А, содержащею /(//К
(См. доказательство (Ь) =?- (с) iij 2.0.) Поэтому множество ю-
чск i/е= У, и которых алгебра О\, плоска нуд Ох, открыто и У и
даже непусто, когда .V —целая слема м j(Y) = X. Снопа нмесчея
более общее утверждение:
Теорема 2.16. Пусть {: Y—*~ X — морфизм локально конечного
типа. Тогда множество точек yeF, в которых 0У есть плоска:/
О[(У)-алгебра, является открытым в Y и непусто, когда А — целая
схема.
Доказательство, не опирающееся па другие результаты,
можно наптп в [85, гл. VIII]. См. также [52, 11.1.1].
Напомним, что п любой категории с расслоенными прон ии--
дспиямп морфизм У—»-Л' называется строгим
если точна последовательность
т. с. точна последовательность множеств
I lorn (X, Z) -> Нот (У, Z) ~1 Нот (У X У, Z)
для любого объекта Z, т. с. если мерная стрелка отображает
Пот (A", Z) биективно па подмножество в Нот (У, Z), на котором
отображения р\ и р\ совпадают.
Очевидно, что пз сюръектпвностм морфнзма схем не оби i.i-
телыю следует его (строгая) эппморфность (рассмотрите,
например, морфизм spec ft -> spec А, где А—локальное артшижо
кольцо с полем вычетов k), но это (почти) так для плоских
морфмзмоп.
Ti:opi:ma 2.17. ЛюГюи строго плоский морфизм [: У — V ло-
исчиого типа "ал.чется строгим .эпиморфизмом.
Доказательство удобно начать со следующего
результата.
Предложение 2.18. Пели j: A -*- В ■-- строго плоский гпмом<>р-
физм, то точна последовательность
2Я Гл. 1. Яталмые морфизмы
в которой
(г раз),
Л о к л з а т е л ь с т в о. Обычные рассуждения показывают, что
d'd'-[ = П. Предположим сначала, что f допускает сечение1),
т. е. существует гомоморфизм g. В->Л с gf = \t ц построим
стягивающую гомотопню kr: В''г """ -»■ ВЯг и. Положим
Легко примерить, что k,^\drl1 \-<f■!;, = ], г^?—\, откуда m.i-
тскяст требуемая точность.
IIvcti. теперь А' — некоторая Л-алгебра, В' = А'®л В и {' =,
= \®f: Л'-+В'. Послелопате.чыюсть, отвечающая /', получается
из сошвегстпуюшеп послслоиатснлюспг для / тензорным
умножением на Л' (потому что И'^Г<%)АА —С8"). Поэтому если
Л' — строго плоская /4-алгсбрл, го теорему достаточно доказать
для /'. Boti)MCM /Г = 5; тоглл гомоморфизм (' ■= (Ь^—* b ® 1):
В ~-Н <3 ■ П нмеег сечение, л именно g(b ® b') = bb', н данная
иоекмопл 1сЛ1>1Н)си> точна.
2.1П. Подобными же методами можно показать,
что если /: А-*■ В — строго плоским гомоморфизм колец п М —
некоторый Л-модуль, то последопаиммюсл)
0-+М -+М ®,, В—-> \\ ®л !Г'-> ...
точна. Действительно, сновп можно предполагать, что / имеет
ссчсппс, п построить, как н выше, стягивающую гомотопшо.
Доказательство теоремы 2.17. Нужно показать, что
для любой схемы Z и любого морфпзма h: Y-> Z с hp\ — 1\р2
с\ шествуй единственным морфтм g. X-+Z, для которого gf=h.
Случай (а). Схемы Л'=?рсс.1. У = spec В, Z = spec С аф-
фмнны. Тогда теорема следует из точности последовательности
О -> /1 -> В -^—^+ В®АВ
(так как аег, = р2. аС\ = Р\)-
Случаи (Ь). Л'=^ spec Л и У = spec В аффшшы, а схема Z
произвольна. Установим сначала единственность морфпзма g.
'i Имеется п пилу, чю этому гомоморфизму соотпетстпует сечеппе п ка-
то11• i• 1111 i)i|i(|>iiniiL.ix схем. диомствсиноП к категории колец —Прим. ред.
2. П.юсте люрфчзмы
Если для морфмзмов gb #2'- X-*■ Z выполняется равенство £,/ —
= S2n т0 Я\ " £г должны совпадать на топологическом
пространстве схемы X, потому что f сюръектпвеп. Пусть .f g .V it
U — открытая аффинная окрестность точки g\{x) (=£г(*)) п.*
Z, а элемент a ge А таков, что igI, и g, (A'u) = ^(-Vj) с: L'.
Обозначим через ft образ а в В. Тогда В>,— ciporo илискаи
алгебра над Аа и из случая (а) вытекает, что g, \ X., = ц2\ X...
Пусть теперь для h. )'-*■ Z выполняется ряиснетвп /i/>i == hp2
В силу установленной единственности g достаточно опрсд^.ииь
его локально. Пусть шА'.уе /-' (х), a U — открытая аффинная
окрестность точки h (у) из Z. Тогда fifr'iU))—открытое мио-
жестно в /Y (2.12) н существует элемент ае/1, для которою
хе Х„ cz f (/г~' {U)). Утверждается, что f~l{X.,) содержится »
h~](U). Действительно, если f(y]) = f(ij2), то существует и'^:-
el'Xl'c P\(y') = У\ " Р2(у') = У2\ если у2 е h ](U), то
/ip, (у') = hp, (if) = Л f ,/L.) s f/,
что и доказывает утверждение. Если теперь обозначить чс-pet />
образ элемента а в В, то Л (Yb) = /i(/~' (Л'„)) cr U и алгебра IU
строго плоска над Л„, что сводит вопрос к случаю (it).
Случай (с). Общин случай. Его легко свести к случаю, кш.и
А'—аффинная схема. Поскольку морфизм [ квампкомпакгеп. Г
нредаамлясгся в виде конечного объединения Y — )'][} ... I )'.,
открытых аффинных множеств. Пусть )'*-- нссиячпос оГгы \\\-
испис У, II ... И У п. Тогда Y* аффпнпо, а отображение )' -.V,
очевидно, строго плоско. В коммутатпвпо|"| диаграмме
Нот (X, Z) ► Нот (Г, Z) \ Нот (К х У, Z)
Нот (X, Z) v Нот (У*, Z) 1 Нот (У* х У*, Z)
нижняя строка точна в силу случая (Ь), а средняя
вертикальная стрелка, как легко убедиться, обозначает инъектмпмын
морфизм. Теперь дпагрампым поиском иросю показать, чтп
верхняя строка точна.
Упражнение 2.20. Покажите, что отображение speefcj/")-—
-•*spec&[7"3, Г5] является эпиморфизмом, но не строгим.
Замечание 2.21. Пусть f: A -+■ В — строго плоский
гомоморфизм, а М — некоторый /4-модуль. Обозначим через ЛГ мод\ль
f,M = В®АМ над В. Модуль ео*М' = (В ®., В)®л ЛГ можно
отождествить с модулем В®,М', иа котором В®, В депст»^ i
по формуле (6, ®62)(&® m) = ftift ® ft..»i. a t>u.\f можно шо;'-.-
дестппть с М' ®Л В, па котором В®, В действует по фпр.
муле (ft, ® b2) (/» ® ft) = b,m ® ЛгЛ- Существует кгиюипчи. кип
Га. 1. Этальиыр морфиэмы
изоморфизм q>. t'uAf'-v c,itM', no.шикающий из последователь-
нос! и отождествлении
в Янном форме он запнсывапся т,ч:<:
Кроме Toiо, сам моду.'П) М можно восстановить по парс (ЛГ, ц),
потому что
Л1 = {/н^ ЛГ| I ®//* = ф(ш® I)}
по 2.10.
Обратно, каждая такая пара (ЛГ, ср), удовлетворяющая
определенным условиям, строп ich этим способом по некоторому
-1-моду.1К). .'{^данным иломор(|)п.!.м «р: ЛГ ® .\В-> В ® ЛМ' опрс-
де.1Я(.'1 пзиморфп 1MI.I
•Г,: Л ®.., Л/' ®л/? «-/i®,, В®лЛГ,
q,: М' ®.., /i »., Л > /? ® д В ® , Л/',
тензорным \ множенном ч 11;i id,: и первой, шорон и третьей
позиции C'iorHCTCTiieiiiio. Тона пара (.1Г, <f) отвечает некоторому
Л-моду.мо Л/, как и инше, в том и только том случае, когда
'I j г—'I i'l J- Необходимость примеряется без труда. 1-1тобы уста-
ношш, достаточность, положим Л1— {те?М'\ I ® т~-<\<(п\ ® I)}.
('.ymei-inyer каноническим гомоморфизм (b®m\—-bm): В®
(& |Л[--»-Л[', и достаючпо показать, что это м юморфпзм (и что
определяемый по Л/ канонический изоморфизм совпадает с ((■).
Рассмоiрпм диаграмму
л В :.. "\'-.; В®лМ'®лВ
Т,|
и коюроп гк.(т)=\®т и |i(//i) = ф(ш ®')• Поскольку
диаграммы с верхними пли нижними горизонтальными
отображениями соответственно коммутатпины (для нижних отображепш"!
нспот|..|уетси соотношение r| j = rpicpa), ф индуцирует
отображения ядер. Но но определению модуля М ядро пары (а®1,
|-> ® I) совпадает с Л1®|В, а по 2.19 ядро пары (ео®1, ei® 1)
совпадает с ЛГ. Зго, по существу, и есть доказательство.
Дальнейшие подробности по этому поводу п доказательств
следующим ;\\\\\ результатом можно наГпп » [95, гл. VII] и
[75.'гл. П|.
§ 2. Плоские морфпэмы
Предложение 2.22. Пусть f: Y-*■ X— строго плоский квазл-
компактный морфиэм. Задание квазикогерентного пучка 6V""-
дулей М эквивалентно заданию квазикогерентного пучка О\-м<>-
дулей М' и изоморфизма qp: р*ЛГ->/>*/U', удовлетворяющего
соотношению
(Здесь через ра обозначены проекции УХ Y';■' )' -■- }'Х Y. i
Р,Луи </=. Уз) = {у„ [/.). / >'•)
Доказательство. Если Y п Л' — аффинные схемы.
ссп> переформулировка замечания 2.21.
Испол|>зуя связь между схемами, аффинными над
cxcMoii, и книзпкогерснтными пучками алгебр [(>1, II, упр. 5.17],
из теоремы 2.22 можно вывести следующий результат.
Тг.ш'кмл 2.23. Пусть f: Y-*■ X — строго idocku/'i K(in:uii<n.vihiKi
Hhti'i морфкзм. Задание схемы Z, аффинной над X. чкни
заданию схемы Z', аффинной над Y, а юомпрфа <w</ i\: />'/'
-> p'.'/J t удовлетворяющего соотношению
Замечание 2.24. Предыдущее есть набросок части теории
спуска. Друтя часть описывает, какие своГпиа морфпчмии
сохраняются при спуске. Рассмотрим декарюп кплдраг
У «-- — У
X «-- ._ А"
со строго плоским квазпкомнактпым морфпзмом .V —>■ Л'. Гс.ш
/' — квазикомнактпып морфнзм (соответемвенпо отделимый,
конечного тина, собственный, аффинный, конечный, кннчпкши'Ч-
iiuii, плоским, гладкий, эта.чьпып морфтм или огкрмюс
вложение), то таков же н / [52, 2.6, 2.7]. Чптате.и, м(;жет нрппе-
piiTii, что H.I этого утверждения вытекает точно такое же ущерж-
деннс д.1я строго плоских морфизмов Л''-»-Л', имеющих локалыш
конечный тип. (Пспольчуптс теорему 2.12.)
1йце один результат в том же стиле: если /': У-»Д'- -строг"
плоский морфнзм, а У — целая (соответстиетю норма.1Ы1ая.
Регулярная) схема, то такова же н схема А' (см. |Г)2, 17..'5..Ч|).
В зак.иоченпе упомянем один резу.'и>тат, предстгшляютнп со-
бпп сильное обобщение теоремы Гильберта о нулях. Со схемной
точки зрения теорема Гильберта о нулях утверждает, что любим
■V.1 l.i. I .');и ■ i ■::.ir .\>орф{ПМ1Л
Mi)|n|)iij.\i конечною niiKi /': X -* spec k, i.ie Ar — искотрое моле,
нмеег кв<1зисечеиие, т. e. существует /г-.мирфшм g: spec /c' ->- X,
где A'' -конечное p:»c-in 111"»».-11111- im mi /,■.
П|м:.ч.11ож1"1!111-: 2.L!~>. Пусть .Y квазикомпактная схема, a f:
)'--- .V --- строго плоский мпт/шзм локально конечного типа.
Тогда существуют аффпниач схема X', строго плоский квазико-
нечнын мпрфизм It: Л'--►Л' и Х-хчрфихи if: Л' --> Y.
.4 и к .1.! а ie.ii, с i но. ll\,i;n<i моказгт., что .'юка.и.но еутест-
ityei иск.ir.i-inaif.!!.носи, \п-\у.чярных функши"), удчи/илнорню-
тая ус Ю1ШЯМ Hi 2.li((l), длины, ргпшом отностсн.иом pa:tvi-p-
iiociii c\c\ii,i )'/.V. (.Чета.in см. к |Г>2, l7.Iii.L!|.)
§ 3. Эиип.пью морфизмы
Пусть к — некоторое по.че, а к — его алгебраическое замыкание.
Л.пепра А над к называется гепарабельноа, если радикал Дже-
кпПсона а.чгебры А = A fy i /." равен пулю, т. с. максимальные
мдеа.||>1 в Д имеют ну.'ювоп пересечемте.
Пргдложпнн: .4.1. fltjcrt. .1 --- конечная алгеПра пив полем 1г.
Следующие утверждения равносильны:
(а) Л — сспарапе.мнан алгебра над к:
(I)) ал<'<'<'>ра А пчпмпрфпа конечном// произведению
экземплярам поля к;
(c) алгепра А изоморфна конечному произведению сепара-
бел!>ных расширений поля к;
(d) дискриминант люоого базиса в А над к не равен нулю
{т. с. спаривание АУ,А — к, определяемое при помощи следа,
Д о к а л а т е л i» с 1 по. (а) •>(!>). По 1.5 алгебра Л имеет
конечное число простых идеалом и все они максимальны. По (а)
означает, что их пересечение рампо пулю. Поэтому (Ь) следует
пч китайском теоремы о Г) т. гаткпх (см. [Hi, l.I0|).
(Ь)=Мс). По китайской теореме об остатках А/1Г, где \,—
радикал Джскобеома алгебры .1, изоморфна конечному промл-
педемми' || kt конечных piicini:j'riiin"i ноля к. Ilycu. |/\':А']ч обп-
имамаег семарабсльиую степень расширения полем К/к. Тогда
множество 1 Ionn-...л,. (.'I, п) имеет £[£,-:&], ■элементов. Но
A..ll(!(/1, к) - Потг.а1в (Л, к),
м по (li) ло мпожестио состоит мз [Л: к\ элементов. Значит,
| Л : Аг| - £ [*< = *К < Z ['ч ■ *] = [. 1 / /г : Л] < [Л : *].
Так как всегда [•■Т:А;| — |.1:/'|, ю (с) пымолтчю.
3. Этальные морфизмы
(c)=^(d). Если A = _[_[ kit где ft,— сс-марлбельпьи1 р;i.■ mч|■( •
пня ноля к, то disc (Л) = IT disc (/г,) не ранен пу.ио но ст.чпч.чр!-
пому крнlepino сепарабельности.
(d)=^(a). Алгебры Л и Л имеют одшшконые .ик/крпмии.т i ы.
Пусть л- — элемент радикала алгебры Л. Тогд.-i хч пплммогоп i l-ii
при любом и е .4. Поэтому Тг-..(ха) = О для всех и. Следим;!-
тельно, х = 0.
Морфизм f: Y-*-X локально конечного типа называется пераз-
ветвленным в точке у е Y, если Су, у/т%(Уу, у является конечным
сепарабельным расширением поля k(x), где ,v = /(y). На я.уыкс
теории колец это означает, что гомоморфизм конечного riiii;i
/: А -у В неразветвлен в простом идеале q e spec В тогда л
только тогда, когда )) = /"'(<)) порождает максимальным идеал и В,
п k((\) есть конечное сепарабельнос расширение поля k(v). Итак,
эта терминология согласована с используем о ii и теории чис.м
Морфизм /: Y-*-X называется неразветв.и'нным, если он пе-
разветвлеи в каждой точке jeF.
Предложение 3.2. Пусть /': Y-*-X — морфизм локально
конечного типа. Следующие утверждения равносильны:
(a) морфизм f неразветвлен;
(b) для любой точки ,(ёХ слой Yx->- spec k{x) неразветвлен
над х\
(c) все геометрические слои морфизма f неразветплены (т. <:
для любого морфизма spec/fe-->-A', где k — сспарабельно
замкнутое ноле, морфизм YX* speck k неразветвлен);
(d) для всех ,veI слой Y* имеет открытое покрытие
спектрами конечных сепарабельных k{x)-алгебр;
(e) для любого х е X слой Yx есть несвязное объединение
XI spec fe, где ki — конечные сепарабельные расширения пол.ч
k(x).
(Если f — морфизм конечного типа, то о (d) сам У, есть
спектр конечной сепарабельной k(x)-алгебры, а и (с) обьсОипс-
ние для Yx конечно; в частности, f тогда квазикпнечнп,)
Доказательство. (а)-<=>-(Ь). Это следует ил нзоморфи.шп
Су, y/mx0y. „ » Oyx. у.
(b)=»-(d). Пусть U — открытое аффинное мпожрстпо и V'.. и
q — простой идеал в В = Г(£/, Оух). Согласно (Ь). В, явлжмгч
сепарабельным расширением поля k(x). Кроме того.
Поэтому B/q также поле. Значит <| — максимальным идеал,
В — артнново кольцо [16, 8.5] и В = JJ В.,, где q пробегает
конечное множество spec В. Это доказывает (d).
2 Зак.
Га. I. Этальные морфизмы
Псиийпые же рассуждения показывают, что (c)=^(d), a
(d> =*- (е) =^ (с) и (il)=^(b) легко вывести из 3.1.
Заметим, что по определению любое замкнутое вложение не-
раиветвлсио. Поскольку это не согласуется с нашим
интуитивным представлением о нерачиетлеппом накрытии, например в
случае рпмаиовых поверхностен, нам необходимо более жесткое
пони [ не. Морфнзм схем (или колец) называется этальным, если
он является плоским п неразветвлеппым (и, следовательно,
1акже морфизмом локально конечного типа).
Предложение 3.3. (а) ЛюСюг открытое вложение этально.
(b) Композиция двух эта.и>ных морфиэмов этальна.
(c) Любая замена базы :уги.-и,ного морфиэма приводит к
лальному морфизму.
Доказательство. По 2.4 осталось проверить, что три
данных утверждения справедливы при замене этальностн на не-
разветвленность. Пункты (а) п (I)) очевидны (любое вложение
перазветвлсио). Также очевидно п (с) в силу 3.1, если замена
базы имеет вид k-*-k', где k и k' — поля, но по 3.2 этого
достаточно.
Пример 3.4. Пусть k — некоторое поле, а Р{Т)—многочлен со
старшим коэффициентом 1 над k. Тогда алгебра k[T]/(P) с
одной образующей сепарабельна (нли перазветвлена, пли эталь-
на) в том п только том случае, когда многочлен Р сепарабелеи,
т. е. не имеет кратных корней в к.
Это обобщается на кольца. Многочлен Р(7")еЛ[Г] со
старшим коэффициентом 1 называется сепарабельным, если
(Я, Р') = А[Т\, т. е. если Р'(Т) является единицей в Л[Т]/(Р),
где Р'(Т) обозначает формальную производную многочлена
Р(Т). Довольно очевидно, что Р сепарабелеи тогда и только
тогда, когда сепарабслен его образ в k(f) \T] для любого
простого идеала f из А.
Рассмотрим кольцо В = Л[Т]/(Р), где Р— многочлен со
старшим коэффициентом I в Л [Г]. Как Л-модуль В есть
свободный модуль конечного ранга, равного степени многочлена Р.
Кроме того, В ®А k())= k{y)[T]/(P), где Я —образ многочлена
Р в /г(р) |7"]. Из 3.2(Ь) вытекает, что кольцо В неразветвлеио, а
значит, и этально над А тогда и только тогда, когда многочлен
Р сепарабелен. Более того, для любого deB кольцо Вь этально
над А тогда п только тогда, когда Р' является единицей в Вь.
Так, например, кольцо /? = Л|7"]/(7"Г — а) этально над А
тогда и только тогда, когда элемент га обратим в А (ибо
гяе/1ф <=>■ гоЕ/г(1()ф для всех р-<=>• многочлен V—а из
[T] сепарабелеи для любого р).
§ 3. Этальные морфизмы 3">
Для алгебр, порожденных более чем одним элементом,
имеется следующий якобпев критерий: пусть С = Д[Ти ..., Г„].
Р, Р„ёС, а В = С/(Р\, ..., Р„). Тогда кольцо В этальпо
над /1 в том и только том случае, когда образ определителя
dc\(OPi/dTj) в В является единицей. Тот факт, что В неразвет-
влено над /1 тогда и только тогда, когда выполнено данное
условие, следует непосредственно из 3.5(Ь) ниже. (В-модуль Qn \
имеет образующие dTu ..., dTn и соотношения £ „(dPJdT,)" dT) =
= 0.) Плоскость В над Л устанавливается повторным
использованием предложения 2.5. (Подробности см. в [93, III, § 10,
теорем л 3'].)
Отметим, что, если бы У = spec В и ,Y = spec/l были ппалн-
тнческимн многообразиям!!, этот критерии означал бы, что
отображение, индуцированное на касательных пространствах, нн-
лястся изоморфизмом, а потому по теореме об обратной
функции отображение Y-уХ было бы локальным изоморфизмом п
каждой точке из У. Но, очевидно, это не так в алгебро-гсометрп-
ческом случае, т. е. этальньш морфнзм может п не быть
локальным изоморфизмом (если только не понимать локальность п
смысле этальной топологии, рассматриваемой ниже). Таков,
например, морфнзм spec Z [Т] /(Т2 — 2)-»-spec Z, этальный на
дополнении к множеству {(2)}.
Предложение 3.5. Пусть f: Y-*~X— морфнзм локально
конечного типа. Следующие утверждения равносильны:
(a) / неразветвлен;
(b) Q> v — нулевой пучок;
(c) диагональный морфиэм &.у/х: К-»-УХ* У является
открытым вложением.
Доказательство. (а)=^(Ь). Так как пучок Ц,/л ведет
себя достаточно .хорошо по отношению к замене базы, то
доказательство сводится к случаю, когда У = spec Б н Л' = spec/1 —
аффинные схемы. Затем оно сводится к случаю, когда А -*■ В —
локальный гомоморфизм локальных колец, и при помощи леммы
Накаямы — к случаю, когда А и В — поля. Тогда В является
сепарабельным расширением поля А и Qr:Л = 0, согласно
стандартным фактам о дифференцированиях полей.
00=*-(с). Поскольку диагональ предполагается всегда по
крайней мере локально замкнутой, то можно выбрать такую
открытую подсхему U в УХ* У. что \у/х'- Y—* U является
замкнутым вложением, и рассматривать У как подсхему в U.
Обозначим через / пучок идеалов подсхемы У на U. Тогда фактор-
пучок ///2, рассматриваемый как пучок на У, изоморфен Q[.;Y,
а потому равен нулю. Тогда по лемме Накаямы 1У = 0 для всех
36 Гл. I. Эта.и.ные морфиэны
i/еУ, oiKy.'i-i вытекает, что / = 0 на некотором открытом
подмножестве Г пз U, содержащем У. Значит, (У, Cy) = {V, Cv) —
очкрьиая подсхема в УХ* Y.
(е)=Ма). Переходя 1ч геометрическим слоям над точками
схемы Л', MI.I можем свести задачу к случаю морфизма /: У-»-
->ьрссА', где к — алгебраически замкнутое поле. Пусть у —
замкнутая точка схемы У. В силу алгебраическом замкнутости
поля к существует сечение g: spc-c/г-^-У, образ которого
совпадает с {у}. Следующий киадрат декартов:
Y —Л -» У ХХ Y
{■у} - <•■-> У
Так как Л открытое вложение, то множество {у} открыто в У.
Кроме того, морфизм specC«= (;/}->-specft тоже обладает тем
ciioiicTHOM, что spec Oy —- spec (Oy <2>j Оу) есть открытое вл<>
жение. По С, — локальное артнноио кольцо с полем вычетов к.
Поэтому п spec О,, '<$kOy имеется лишь одна точка и
отображение О'„ .-jk-O4-*-О,, является изоморфизмом. Простым подсчетом
размерностей над к легко уПедшься, что Oy = k. Отсюда мы
получаем (а) но 3.1 и 3.2.
Сл|дстипк 3.6. Пусть f: X-+S и g: У-*■ X — морфизмы схем.
Если морфизм fg эталон, a f нсри:\ветвлен, то морфизм g этален.
Доказательство. Запишем g = p2VK, где Yg: У-*~УУ(
X*. X — график морфизма g. n />2: УХяХ-*Х — проекция на
втором сомножитель. 1'<г яиляется поднятием открытого
вложения Лл;.ч: Л—i-A'Xs.V относительно gXl: У X s X—>■ X Xs X, a
рч янляечея поднятием этп.п.иого отображения fg: Y'-*■ S
относительно f: X-+S. Значит, g этальным морфпзм по 3.3.
'laMftoHiit' 3.7. Пусть f: Y-* X - ■■ морфизм локально конечного
типа. Липулятор ЬУ7.Т пучка у[..д. (пучок идеалов в О,,)
называется <)ифферснтпй схемы У над .V. Доказательство
согласованности ^i.-1:!•) определения с теоретико-числовым имеется в
[117, III.71.
Замкнутая подсхема в У, определяемая пучком идеалов Ьу/ц,
пашвается подсхемой ветвления схемы У над X. Открытое
множество, дополнительное к подсхеме ветвления, есть в точности
множество, на котором пу/х = (), т. е. на котором морфизм
f: У-»-Л' неразветвлен. Теорема чистоты подсхемы ветвления
утверждает, что подсхема ветвления (если она непуста) имеет
чистую коразмерность один в У в каждом из следующих слу-
§ 3. Этальныс морфюмы
чаев: (а) / — строго плоски» конечный морфнчм па Л'; (1>) /-
квазпкоиечнып доминирующий морфпзм. У--регулярная. ;i
X — нормальная схемы. (См. [2, VI.6.8J, ]5,'i, X.3.I] п
[53, Х.3.4].)
Предложение 3.8. Пусть /: К—»-А' — морфиэм локильно
конечного типа. Тогда множество точек у из У, в которых О).,. плоско
над Ох.Цу) « Qyix. у = 0, открыто в У. Поэтому в У имеет см
единственное наибольшее открытое подмножество U, на кот-
ром j этален.
Доказательство непосредственно следует н.ч 2.Hi.
Упражнение 3.9. Предположим, что /: У-»-А— конечный
плоский морфпзм в связную схему А'. Тогда \*0\—локально
свободный пучок постоянного ранга г. Покажите, что ни А су-
шествует пучок идеалов £>х/у, называемый дискриминанта
схемы У над X, обладающий следующим свойством: если Г
такое аффинное открытое подмножество и А, что И —
= r(f~'(^). <^>>') есть свободный модуль с базисом {Ь\ Ь,}
над А = Г(^, Ох), то V(U, $)г/х) совпадает с сланным пдел.юм.
порожденным элементом АеЦТгв/л (Ь;Ь/)). Покажите, что мор-
физм f перазветвлен, а потому п этален в каждой точке у <=.
e/-'(.v) тогда и только тогда, когда ($)\/х)х = Ох. -г
(используйте 3.1 (d)). Используя этот факт, покажите, что гели /
иеразпетвлеп во всех точках у е /-' (х) над HCKOTopoii точкоп
.vel, то существует открытое подмножество U d X,
содержащее а-, на котором морфпзм f: f-l(U)-+U этален. Пусть В =
= А[Т]/{Р(Т)), где Р—многочлен со старшим
коэффициентом 1. Покажите, что тогда 2)В/а = (0{Р)), где D(P) —
дискриминант многочлена Р, т. е. результант res(P, P') многочленом
Р п Р'. Докажите также, что дифферента ЬП/* равна (Р'(/)).
где /= 7(modP). (См. [117, Ш. § 6].)
Следующее предложение и его следствия пока.чыпают. чтп
этальныс морфнзмы обладают рядом свойств однозначности
локальных изоморфизмов.
Прр.лложкннк 3.10. Любое замкнутое вложение /": )'--А, кп-
торос к тому же плоское (а значит, и стальное), егтл открппп,-
вложение.
Доказательство. По 2.12 образ f(Y) открыт в А. ни-
чтому, заменяя А' на /(У), мы можем предполагать, чти мор-
фнзм / сюръективен. Поскольку /' конечен, пучок f,O\ локально
свободен как пучок C.v-модулей (2.9). Но / — замкнутое
вложение. Поэтому Ox ~ f*Oy, т. е. /— иаоморфн.чм.
Замечание 3.11. Используя основную теорему Зарпсскп: и.
можно доказать более сильный результат, я имении: любом
38 Гл. I. Этальные морфизмы
этальпып универсально нпьектпппый отделимый морфизм
/: Y-*-X всегда является открытым вложением. (Универсальная
ни7)сктивность эквивалентна инъек твности самого морфизма и
pudtiKa.ihHocTii всех отображении k(j {y))->k(y) ([49, 3.7.1]).)
В самом деле, поступая, как и нише, мы сводим доказательство
к случат, когда морфизм / универсально биективен, значит, но
2.12 являемся гомеоморфизмом, а потому собственным и по 1.10
конечным ыорфпзмом. Но ил эталыюстн п радикальности /
вытекает, что [,<7> —локально свободный пучок ранга одни.
С л г. дет ит: 3.12. Пусть X — связная схема, a /: У->Х— эталь-
нып (соответственно этальн<ип и отделимый) морфизм. Тогда
любое сечение s морфизма / является открытым вложением
(соответственно изоморфизмом на открытую связную
компоненту) . Поэтому имеется взаимно однозначное соответствие
между множеством таких сечении и множеством открытых (со-
птпеитпеннп открытых и замкнутых) подмножеств У,- из У, на
кочорых / индуцирует изоморфизм У,—*-А\ В частности, когда
морфизм / отделим, сечение определяется своим значением в
однпн точке.
Доказательство. Достаточно установить первое
утверждение. Предположим сначала, что морфизм / отделим. Тогда
s — замкнутое вложение, потому что fs = 1—замкнутое
вложение, л морфпзм /отделим (ср. с доказательством следствия 3.(3).
Но по 3.(i морфпзм s эталон, л значит, представляет собой
открытое сложение. Итак, s—изоморфизм на свой образ, который
одновременно открыт п замкнут в У. Если / предполагать только
эгальпым, то, выбирая подходящие окрестности точек у и
х =/((/), пл которых / отделим, п используя предыдущее рас-
суждгнпе, можно убедиться, что s — локальный изоморфизм в х.
Слг.дстипк 3.13. Пусть У — связная Х-схема, У — этальная
отделимая схема над X, а /, g: Yr-*■ Y — два Х-морфиэма. Если
существует шкап точка у' <= У", что f(y')=g(y') = y и
отображении k(//)-*■ k(у'), индуцированные морфиэмами f и g,
совпадают, то / = g.
До к л л л тел ьст по. Графики Г), Ye: Y'-> Y'Xx Y морфнз-
мов /" н g являются сечеипямп проекции pt: У'Хг Y-*■ Y'. По
условию I"; н Гя имеют общую точку. Тогда Г) совпадает с Гг
по 3.12. Следовательно, / = ргУ; = p-iVg = g-
Как мы уже видели в 3.4, многочлен Р(Т) над А со старшим
коэффициентом 1 задаст этальпыи морфизм spec С-*■ spec A,
где С — В,., В = Л \Т]/(Р), a b — такой элемент, что Р'(Т)
является единицей в /?/,. Назовем такой этальнып морфпзм
стандартным. Очен!) интересен тот факт, что локально каждый эталь-
иый морфизм У-^-Л стандартен. Геометрически это значит, что
§ 3. Этальные морфпзмы -'"'
в некоторой окрестности любой точки Л' е А' существует и.м'.пр
регулярных функции а\, ..., аг, такой, что У локально за.ки.-кя
уравнением Р -f- а\Тг~] -f- ... -f- а, = 0, вес кор it ti которого про-
сты (и каждой геометрической точке).
Теорема 3.14. Предположим, что морфизм /: У-»-А' эпиен и
некоторой открытой окрестности точки i/еУ, Тогда сущс< юию)
открытые аффинные окрестности V и U точек у и /(//) cum net-
ственно, такие, что f\V: V->-U — стандартный этальный
морфизм.
Доказательство. Очевидно, можно предполагать, что
Y — spec С и X = spec Л аффннны. Кроме тою, но основном
теореме Зарисского 1.8 можно считать, что С — конечная Л-ал-
гебра. Пусть q— простой идеал в С, соответствующий точке ;/.
Мы должны установить существование стандартной эталыюн
Л-алгебры Вь, такой, что Bb ~ Сс для некоторого сф<\. Легко
понять (поскольку все конечно над А), что достаточно
рассмотреть Лр вместо А, где р= /~'(ч"). т. е. можно предполагать,
что Л—локальное кольцо, a q — простой идеал над
максимальным идеалом р нз А.
В|>|берем элемент 1еС, образ I которого в С/рС порожд.-ч-г
поле k(q) над k(y), т. е. *(р) [/] = fe(q)c= С/рС дтя такою i.
Такой элемент существует, потому что С/рС разлагается и
произведение it(q)XC' н расширение ft(q)/Ar(p) сспарабелыю. Им м.
q' = qn^UI- Утверждается, что Л[/|, —>СЛ — пзоморфп ш.
Прежде всего заметим, что q — единственный простои идеал it С,
лежащий над q' (для проверки этого достаточно умножить
рассматриваемый гомоморфизм тензорно па k(y)). Значит, по.ту-
-чокалыюе кольцо С ® мм AS'\- в действительности локально и
совпадает с d. Так как гомоморфизм A[t\-+C ипъектипсн п
конечен, то ннъектнвен и конечен и гомоморфизм
По лемме Накаямы он сюръективен, поскольку сюръектпппо
отображение k(q')-+k(q).
Кольцо Л [/] конечно над А (оно является подмодулем нёте-
рова Л-модуля), а изоморфизм А [(],■-+С, продолжается до
изоморфизма Л [t\c,—*■ Се для некоторых сф<\, c'^q'. Поэтому С
можно заменить на Л [г], т. е. можно предполагать, что /
порождает С над Л.
Пусть n = [k(q): &(?)), так что элементы 1, '(, ..., Г-'
порождают fe(q) как векторное пространство над Аг(р). Тогда
элементы 1, (, .... <"-' порождают C = A[t] над Л (но лемме Il.i-
каямы), поэтому существует сюрьективное отображении h />' -
=aA[T]/(P)-*-C, где Р(Т)—многочлен степени п со старшим
40 Гл. 1. Этальные морфиз,»^
коэффициентом 1. Очевидно, Р(Т) является характеристическим
многочленом элемента I из k{<\) над /г(р), а значит, сепарабелен.
Следовательно, Вь будет стандартной этальной Л-алгеброй для
некоторого 5^/t~'(q). При подходящем выборе Ь и с алгебры
Bi, и С, этальпы над Л, а отображение h': Bh-+Cc — сюръекцпя.
По 3.0 /;' эталыю, п ah'\ spec C<->- spec Bb—замкнутое
вложение. Значит, по 3.10 морфмям а1\' есть открытое вложение, что
завершает доказательство.
Замечание 3.15. Тот факт, что морфизм / плоский, использо-
вален только в последнем шаге доказательства. Поэтому
предыдущие рассуждения также показывают, что любом нсраивет-
нлемным морфизм разлагается в композицию замкнутого
вложения и стандартного этального морфизма.
Следствии 3.16. Морфизм [: Y-+X этален тогда и только
тогда, к<>гг)а для любой точки }еУ существуют открытые
аффинные окрестности V = spec С точки у и U = spec А точки
х~ /(.'/), такие, что
с=-Л[тх, ..., т„\цр рп)
и (\v[(<)f'i/()Ti) — единица в С.
Доказательство. В силу -3.4 нам нужно доказать лишь
необходимость. По предыдущем теореме можно предполагать,
что У—»-Л' — стандартный этальным морфизм, т. е. A' = spec/4,
У = spec С, С = Вь, В=А\Т]/(Р). Но тогда СъА[Т,и]/(Р(Т),
bU — I) и соответствующим определитель равен Р'{Т)Ь. Так
как образ Р'(Т)Ь является единицей в С, следствие доказано.
Кроме того, нами получена дополнительная информация, что л
можно брать равным двум.
Эта структурная теорема позволяет относительно просто
докапать, что Y наследует многие хорошие свойства X, когда
У---»- X — этальпый морфизм. (О наследовании в обратную
сторону см. 2.24.)
Предложение 3.17. Пусть /': Y-*■ X — этальный морфизм.
(a) Для всех у е У A\m{OY. и) = <Ит((Ух, г(У>).
(b) Если схема X нормальна, то и У нормальна.
(c) Если схема X регулярна, то и У регулярна.
Доказательство, (а) Можно предполагать, что X =
= spec Л. где А(=ОХ) — локальное кольцо, a y = specfl. До-
клзательетпо использует только предположение о квазиконечно-
стп и плоскости В над А. Пу^'ь ч — простой идеал в В, соответ-
стнующпп точке у (так что с\ лежит над максимальным идеалом
\> lit А). Тогда морфизм spec Я,-> spec Л сюръектнвен (2.7), по-
dim (/?,) ^ dim (Л). С другой стороны, можно предпола-
§ 3. Этальные морфизмы 41
гать, что В = В'ь, где В' — конечная алгебра над Л (1.8).
Значит, dim (Л) > dim (В') (> dim Ba) [16, 5.9].
(b) Можно предполагать, что А'= spec Л, где А — локальное
(а следовательно, нормальное) кольцо, а У = spec С, где С =
= Вь — стандартная этальпая Л-алгебра с В = А \Т] /(Р(Т)).
Пусть /( — поле частных для Л, L = С® , К = К[Т]/(Р{Т)), а
А' — целое замыкание кольца А в L. Заметим, что L является
произведением сепарабельных расширении поля К. Тогда
справедливы включения
С с A'bcL
и и
Л с: В с: Л'
Положим / = 7"(mod P(T)). Пусть а^А'. Нужно показать, что
a/bs или, что эквивалентно, само а лежит в С.
Обозначим через К алгебраическое замыкание поля К, а
через ф|, ..., фг — гомоморфизмы L-+K над К, такие, что
q>\(t), .... фг(/) образуют систему корней многочлена Р(Т)
(поэтому г = степень Р). Пусть
я = аотЯ|'т ••• т аг-\' > Я/= л-
Тогда мы имеем г равенств
где /, = ф,(/). Пусть D — определитель этой системы,
рассматриваемой как линейная система уравнений от неизвестных
а,. Но D = ± Ц (/,—tj), т. е. D2 — дискриминант многочлена
Р(Т), равным $>я/а (ср. с 3.9). Так как ф (а) и /|. — элементы.
целые над Л, то по правилу Крамера Da, при /= I г t;ik-
же целы над Л, а так как Оа*^К и А нормально, они
принадлежат Л, откуда следует, что DA e В cz С. Поскольку D
является единицей в С, мы получаем, что а^С.
(c) Пусть i/еУ. Тогда dim (Or. у) = dim (Ох, /<«)) н т„ =>
= мхОг,у порождается dim(Ox, к и)) элементами.
Замечание 3.18. Рассуждениями, подобными рассуждениям из
(Ь), можно показать, что если схема А' приведена, то У также
приведена [104, стр. 74].
Определим теперь структуру этального морфнзма Y-»-X,
когда А' — нормальная схема.
Предложение 3.19. Пусть {: У-»-А' — этальный морфизм в
нормальную схему X. Тогда { локально представляется в виде
стандартного морфиэма spec С-*- spec А, где А — область целост-
42 Гл. I. ЭтальтАе морфизмы
поста. С = В„, В = А[Т]/(Р(Т)), а Р{Т)—многочлен,
неприводимый над полем частных кольца А.
Доказательство. Единственным новым фактом в этом
предложении является то, что многочлен Р(Т) можно выбрать
неприводимым над полем частных Л' кольца А. Очевидно, задача
сводится к случаю, когда X = spec А, где А —локальное кольцо,
а У = spec С, где С—стандартная этальная Л-алгебра, скажем
С = Вь, В = Л [Т]/(Р(Т)) н Р(Т) — многочлен, возможно
приводимый. Фиксируем в С простой идеал q, для которого у =
= q П Л — максимальный идеал в Л.
Заметим, что д.чя любого многочлена Р(Т) коэффициенты его
сомножителя Q{T) из К\Т\ со старшим коэффициентом 1
лежат в Л. (Пусть К'—поле разложения многочлена Q(T); корни
Q(T) 'п Л"' являются также корнями многочлена Р(Т), а
потому целы ппд Л; отсюда гштекает, что все коэффициенты
многочлена Q(T) целы над Л, так как выражаются через эти
корпи.) Выберем для многочлена Р(Т) неприводимый сомножитель
Р\(Т) со старшим коэффициентом I, образ которого в k{<\) ра-
пеп пулю, и запишем, что Р(Т)= P[(T)Q(T). где Ри Q&A\T\.
Образы Р] и Q многочленов Р\ и Q в £(q) [Г] взаимно просты,
тлк как многочлен Р(Т) сепарабелен, а значит, не имеет крат-
пых корней. Следовательно, (Ри Q) = A\T] (ср. с. 4.1а ниже)
п И « .1 |7"]/(Р|)Х Л \Т] /(Q) по китайской теореме об
остатках. Обозначим через 6t образ элемента b п В, = Л \Т\/(Р\).
Очсшшю. что С|=(Д|)Ь п есть искомая стандартная Л-алгсбра.
Тг.орр.мл 3.20. Пусть X — нормальная схема, a j: Y-*-X — не-
реппетвленний морфизм. Морфизм f этален тогда и только
тогПа, когда отображение Ox t(у)-*•(?? у инъективно для любого
Доказательство. Нслн f — плоский морфиэм, то по 2.3
отображение Оц,,)-*■ О,, ипъектпвно. Чтобы установить обратное,
заметим, что / локально разлагается в композицию У —*■ Y'—*■ X
замкнутого пложення f н эта.и.ного морфнзма g (.Я. 1Г>).
Положим А — С\.к,,)- Из 3.19 вытекает, что Оу, r<u) = Cq, где С =
= А\Т\/(Р(Т)), а Р(Т)—многочлен, неприводимый над полем
частных К кольца А. При тензорном умножении на К
композиция Л->■ С-vСу, „ переходит в К-+С, 8>А К -+0У. и <Р)А К- Так
к.-iK А-ь-Оу.,, ннъективио, то и К—*(Уу.и®лК инъективно.
Отсюда вытекает, что С. <Р) л К -> Оу „ ® л К — ненулевое
отображение. Но С, (Ял К = К \Т\1(Р) является полем, поэтому послед-
псе отображение нпъектнвпо. Значит, шгъектнппо отображение
Cj-^Oy, v, про которое мы уже знаем, что оно сюръективпо, по-
§ 3. Этальные морфизмы 43
тому что /' — замкнутое вложение. Следовательно, CY и — ^
плоско нал А.
Теорема 3.21. Пусть X— связная нормальная схема, а К —
= R(X)—ее поле рациональных функций. Пусть L— конечное
сепарабельное расширение поля К, X'—нормализация схемы Л
в L, a U — произвольная открытая подсхема в А', не имеющиа
общих точек с носителем пучка QX'/x- Тогда морфизм U—«-Л
этален и, обратно, любой отделимый этальный морфизм У ->- X
конечного типа имеет вид Y = Ц U, —*■ X, где U,—*■ X — этальные
морфизмы описанного вида.
Доказательство. Quix = &х-/х \ U = 0; значит, морфпзм
U'-у X неразветвлен по 3.5. Его этальность вытекает toivki iij
3.20.
Обратно, пусть У-*- X — отделимый этальный морфизм
конечного типа. Связные компоненты Yt схемы Y неприводнмы
(потому что неприводимые компоненты схемы Y, проходящие черел
точку г/, находятся во взаимно однозначном соотпетстппп г
минимальными простыми идеалами локального ko.ii.iui О\■. м
схемп У нормальна). Пусть spec/-,-->- spec К — общим слон мор-
фнлма У, -»■ А', а X,- — нормализация /V в £.,-. Тогда м.ч ocnonimii
теоремы Зарпсского следует, что индуцпропаши^п vinpii''1 :м
Yi-*-X, является открытым вложением (см. 1.8, в огоПептлш
доказательство).
Замечание 3.22. В [52, 17] вводятся следующие фупкторнлль-
пые понятия. Пусть X — некоторая схема, а Г — контравпрнапг-
иып функтор Sch/A"—► Sets. Функтор F называется форма.и^нп
гладким (соответственно формально неразветвленным,
формально этальным), если для любой аффинной А'-схемы А'' и люГюП
ее подсхемы А"', заданной ннльпотентиым идеалом 3,
отображение F (х') -у F {Хп) сюръективно (соответственно шп.ектнпио,
биективно).
Схема У над X называется формально гладкой, форма.и,но
неразветвленной или формально этальнон, если функтор /ь —
= Но1Пх(—, У) обладает соответствующим свойством. Пп.ич-
того, если схема У локально конечно предстапнма над А', то
говорят просто, что У—гладкая, перазветвлепнля или эгпльпля
схема над X.
Покажем, что морфизм f: Y-*-X, этальный п первоначальном
смысле, также этален в последнем смысле. (Обратное, более
трудное утверждение, можно найти, например, в [13. 1.1.11 )
Итак, надо установить для любого Х-морфнзма ц„: X,,—*-Y гу-
ществование и единственность поднимающего его А'-морфп o.in
44 Гл. I. Ятальные морфизмы
g: X'-Y
/! (■■ ■
i ч
Л"» A'
В силу единственности достаточно рассмотреть локальную
ситуацию. Итак, предположим, что / — стандартный морфнэм,
Лг= speed, Y = spec С, C=Bh и В = А[Т]/(Р). Пусть X'=
=spec Я, *', = spectf0 и Ru =/?/> Тогда задан Д-гомомор-
физм go: C-+Rn, а требуется плмтн гомоморфизм g: C->R,
поднимающим сю.
и установить его единственность. Используя индукцию по длине
идеала 3, мы сводим данным вопрос к случаю, когда З2 = 0.
Пусть re/? таково, что go(O = r(mod3). Нужно найти г'еЛ,
для которого г'= г (mod 3) и /э(г')=0. Возьмем г' = г + Л, где
ЛеЗ. Тогда Л удовлетворяет уравнению Р(г + Л) = 0. Но
P(r + h)= P(r) + hP'(r), где />(r)G3, а Я'(г) —единица (так
как Р'(/)еС'=>- ^(ОеОД, поэтому Л существует и
единственно.
Имеется другое доказательство, применяющее 3.12 к УХ
Хл Х'/Х'.
Тр.оргма 3.23 (топологическая инвариантность этального мор-
физма). Пусть Хо — замкнутая подсхема в X, заданная нильпо-
тентным пучком идеалов. Тогда функтор Y>—^Y0 = КХДс
устанавливает эквивалентность категорий этальных Х-схем и эталь-
ных Х0-схем.
Доказательство. Задать Х-морфизм 7->Z этальных
Х-схем — это то же самое, что задать его график, т. е. сечение
проекции Yy^xZ-yY. Но по 3.12 такие сечения находятся во
взаимно однозначном соответствии с открытыми подсхемами
схемы Yy(xZ, которые изоморфно отображаются на Y.
Поскольку то же самое верно для Хо-морфизмов Ya-+Z0, наш
функтор строго полон, как легко понять из 3.10 или 3.11.
Поэтому осталось установить существенную сюръектнвность этого
функтора па объектах. В силу доказанной однозначности для
морфизмон достаточно иметь локальный подъем этальной
Хо-схемы Ко до некоторой этальной Х-схемы У. Но тогда мор-
jji 3. Этальные морфизмы
фнзм Yq-*-Xo можно предполагать стандартным, что .uvkici
утверждение очевидным.
Для полноты приведем некоторые условия, г-жппмалип ньм-
гладкости.
Предложение 3.24. Пусть f: Y-*-X—морфизм локально .•.••
печного типа. Следующие утверждения равносильны:
(a) f — гладкий морфизм (в смысле замечания 3.22);
(b) для любой точки уеУ найдутся такие открытые
аффинные окрестности V точки у и U точки {(у), что ограничение f\ Г
разлагается в композицию V-*■ V->■ U <=^~ X, где V-*■ V— >/».//,
ный морфизм, а V' — аффинное п-пространстао над U;
(c) для любой точки y^Y найдутся такие открытые •1ффи:'
ные окрестности V = spec С точки у и t/=spcc/l точки x----i(u),
что
С = А[Ти .... Тп]/(Р , Р1П), w<«,
а идеал, порожденный всеми (mX.ni) -минорами митрпц/и
(dPi/dTj), совпадает с С;
(d) / — плоский морфизм, и для любой алгебраически
замкнутой геометрической точки х схемы X слой Yx—+x гладок;
(e) f — плоский морфизм, и для любой алгебраически зам':-
нутой геометрической точки ieX слой У? регулярен;
(f) f — плоский морфизм, и Q'nx — локально свободный
пучок ранга, равного относительной размерности схемы Y/X.
Доказательство. См. [53, II] или [37, I. § 4.4].
Замечания 3.25. (а) В том случае когда f—морфизм
конечного типа, утверждения (d) и (е) можно перефразировать, ci\;i-
зав, что Y—плоское семейство неособых многообразии над X.
(Ь) По (Ь) этальность морфизма конечного тина
эквивалентна гладкости и квазиконечности.
В заключение укажем один аналог предложения 2.25 для
гладких морфизмов.
Предложение 3.26. Пусть f: Y-*■ X — гладкий р
морфизм на квазикомпактную схему X. Тогда существует
аффинная схема X', сюръективный этальный морфизм h: Л" -> X
и Х-морфизм g: X'-+Y.
Доказательство. См. [52, IV. 17.16.3].
Упражнение 3.27 (Хочстер). Пусть А—локализация кольни
А (Г2, 7"3] по максимальному идеалу (Г2, Р) (т. с. /1 —
локальное кольцо каспидальной точки некоторой кривой). R —
— А [5]/(537"2 -f 5 -f Т2), а С — целое замыкание кольца /1 и
Гл. I. Этп.]ьные морфизмы
В. Покажите, что В лалыю нал А. а С не плоско над А.
(Указание: проверьте, что элементы TS п T2S лежат в С; значит,
75 е(Р :Р)С- Если С плоско над А, то
(Р:Т\ = (Г-:Г)АС = (Т2, Р);
но нз включения 7S6E(P, 7'3) следует, что Se С.)
Упражнение 3.28. Пусть У и А' — два гладких многообразия
над полем k\ покажите, что морфизм Y-*■ X этален тогда и
только тогда, когда он индуцирует изоморфизм на касательном
пространстве к любой замкнутой точке из Y.
Упражнение 3.29. Выполните упр. 10.6 гл. III нз [61].
§ 4. Гензелепы кольца
Всюду в плпоятем параграфе А обозначает локальное кольцо
с максимальным идеалом m и полом вычетов к. Гомоморфизмы
А->к н Л [7]-v ft |7") будем .иннкывать в виде сопоставлении
(а^а) п Ц>-*!).
Дна многочлена f(T) и g(T) с коэффициентами в кольце В
называются строго взаимно простыми, если взаимно просты
идеалы (/) п (g) в В\Т], т. с. если (f, g)= B\T\. Например,
многочлены f(T) м Т — а взаимно просты тогда и только тогда,
когда 1(а)Ф0, а строго взаимно просты тогда и только тогда,
когда f(a) -единица в В.
Пусть А — полное кольцо дискретного нормирования. Лемма
Гепзеля (нз теории чисел) утверждает следующее: если f —
многочлен с коэффициентами в Л и старшим коэффициентом 1.
таком, что J ■■= go/in, где go и Лп — взаимно простые многочлены
со старшими коэффициентами I, то сам f разлагается в
произведение (= gh, где g ii h — многочлены со старшими
коэффициентами 1, для которых £ = #„, /7 = h0. В обшем случае кольца,
для которых справедлива лемма Гензеля, называются гензе-
левыми.
Замечания 4.1. (а) Многочлены g и h из предыдущего
разложения строго взаимно просты. Гймее общим образом, если f, g (в
е/1[7| таковы, что f, g взаимно просты в k\T], а старшин
коэффициент у f равен 1, то f п ц строго взаимно просты в А [7].
Действительно, пусть М = Л \Т] /(7. g). Поскольку старший
коэффициент v f равен I. Л-модуль М конечно порожден, а так как
(I g)=k\T], (f, g)+mA[T]=:A\T] и тМ = М, то по лемме
Нпкаямы М = 0.
(h) Указанное выше разложение f = g!i етпи^твепно, ибо
есл1Г f = gh = g'h', где g. h. g'. h'—многочлены со гтарптм
коэффициентом 1 и g = g'. H— К', a g н R взаимно просты, то
§ 4. Гензелевы кольца
g и /Г строго взаимно просты в <4 |Г]. Поэтому существуют r,se
е А \Т\, для которых gr + h's = I. Но
ff' = #V + S>h's = ff'gr + gfts,
значит, g делит g'. Так как у обоих этих многочленов старший
коэффициент равен I м их степени равны, то они совпадают.
Теорема 4.2. Пусть х — замкнутая точка схемы Х = spec/1.
Следующие утверждения равносильны:
(a) А —гензвлево кольцо;
(b) любая конечная А-алгебра В есть прямое произведение
локальных колец, В = Ц Pt (кольца В,- всегда изоморфны
кольцам В„,., где ш,—максимальные идеалы в В);
(c) если f: Y->- X — квазиконечный и отделимый морфиэм, то
К = У, ЦК|Ц ... Y,n где Y/—конечные над X схемы,
являющиеся спектрами локальных колец при i^l, a f{Yo) не
содержит точку х,
(<1) если морфиэм /: У-»- X этален и существует точка y^Y
с f(y) = v и ft(r/)= k(x), то f имеет сечение s: X ->- У;
((Г) пусть ft, .... f,,^A\Tu ..., Тп\; если существует а =
= (а\ а„)е£\ для которого ^,(а)=0 при i = I, ..., п и
det ((д'\, /dTj) (а)) Ф 0, то существует be А", для которого б = а
и fi(b) = 0 при ( = 1, ..., п;
(е) Hi/tTft f (Г) е /I [Г]; если / разлагается в произведение
J = £n/if,. «?f9<? go — многочлен со старшим коэффициентом I и
ро » /'» взаимно просты, то f разлагается в произведение f = gh,
где g—многочлен со старшим коэффициентом 1 и g = g0 и
h = Л„.
Доказательство. (a)=J-(b). По теореме о поднятии
любой максимальный идеал из В лежит над т. Следовательно, В
локально тогда и только тогда, когда локально В/тВ.
Предположим сначала, что В имеет вид В = A\T]/(f), где
f(T) — многочлен со старшим коэффициентом 1. Если ] равен
степени неприводимого многочлена, то B/mB = k\T]/(J)
является локальным кольцом, а значит, и В локально. В противном
случае по (а) имеем / = gh, где g н h — строго взаимно
простые многочлены со старшим коэффициентом 1 степени ^ I.
Поэтому В ж A\T]/(g)XA\T]/{h) [16, 1.10]. Продолжая этот
процесс, мы получим требуемое разложение.
Пусть теперь В—произвольная конечная Л-алгебра. Если В
не локально, то существует b e В, для которого Ъ —
нетривиальный пдемпотент п В/тВ. Пусть f — многочлен со старшим
коэффициентом 1 и /(6)=0. Положим С = A\T]/(f) и обозначим
через ф: С-> В гомоморфизм, переводяшпи Т в Ь. Поскольку С
имеет одну образующую как Л-алгебра, то из доказанного выше
4Я Гл. !. Этальныс .«орфизмы
вытекаем сутестиоплипе пдсмпогепта се С с <р(с)=Ь. Но
тогда ч (f)■"—<■' — нетривиальным пдсмпотент п В и И = 5<?Х
Xfl(l -с) — нетривиальное разложение. Этот процесс можно
продолжить.
(I)) •■=> (о). Coivic'inm 1.8. ; разлагается в композицию
Y—>■ Y' -->■ X открытого вложения ]' и конечного морфизма g.
По (Ь) К' = Ц spec (Оу\ ц), где // пробегает (конечное)
множество замкнутых точек схемы )' Пусть Yt = II spec (Or1. y),
где у пробегает множество замкнутых точек из У, лежащих в Y.
Тогдп К* содержится в У, являясь одновременно открытым н
замкнутым подмножеством в У, потому что оно открыто и
замкнуто и У". Пусть Y = Y,JJ Yn. Тогда, очевидно, f{Y0) не
содержит .V.
(с) =>-(il). При помощи (с) попрос сводится к случаю
конечного чта.чыюго локального гомоморфизма A—vB с k(m) — k(n),
где и обозначает максимальный идеал а В. По 2.9(Ь) В —
свободный Л-модуль, а так как к(п) = В <8>ц k(m)= lt(m), он имеет
ранг 1. т. с. Am В.
(d)^(d'). Пусть
В=--А[Ти .... Tn\liU, .... fn) = A[tt /„],
а У(Г|, .... 7",,)^ (\o\(Of,/dT,-). Из условий следует
существование такого простого идеала q и В, лежащего над т, что
/(/i, /.,1 — единица в /?,. Поэтому J{t\ /„) —единица
n Hi, для некоторого b e fl, b ф <\, а такое Вь этально над А (ср. с
3.4; чтобы превратить Вь в алгебру рассматриваемого там вида,
можно псин.Hi miian> прием из доказательства следствия 3.16).
Теперь, применяя (d), мы пи,1пп.»;ом наше решение из к" в Ап.
(d')=*-(c). Панпшем
... +а0
ассмотрим систему ypauiieiinii
XnYn = an,
где г --=■■■ (k'Cf/т,)), a s = п — г. Очевидно, {b0 br-\\ с0, ..., cs)
янлястся решением этой еппс-мы тогда и только тогда, когда
/ (Г) =--- {Г + йг_,Г -' + ... + bo) {csT*
§ 4. Генэелевы кольца
Но якобиан этой системы равен
det
Ys\
1
= res (g, /i) (результант
многочленов g и /г),
где g = Г + Xr-iP-1 + • • • +Xo,ah=Y,Ts+ ... + Yo. Чтобы
доказать (е), осталось проверить, что res(go> Ло)=з£О. По
res (go, Ло) равно нулю только тогда, когда одновременно
deg(go)< r " deg(/io)<s или go и h0 имеют нетривиальный
общий сомножитель, что при наших предположениях невозможно.
(е)=^(а). Очевидно.
Следствие 4.3. Если А — гензелево кольцо, то гензелсаа
всякая конечная локальная А-алгебра В и любое фактпркольцп
А/3.
Доказательство. Очевидно, В удовлетворяет п. (Ь)
предыдущей теоремы, а факторкольцо А/3 гензелево
непосредственно по определению.
Предложение 4.4. Пусть А —гензелево кольцо. Тогда функтор
B>—>B®,\k задает эквивалентность категории конечных эталь-
ных А-алгебр и категории конечных зтальных k-алгебр.
Доказательство. По 4.2(Ь) достаточно рассмотреть
локальные Л-алгебры В. Тогда каноническое отображение
Нот,, (В, В') -> Нога* (В ® k, B'®k)
ипъективно по 3.13. Чтобы убедиться в его сюръективности,
заметим, что й-гомоморфизм B®k-+B'®k дает /Ч-гомоморфплм
g: В-+В'®лк в композиции с В — В® к, а значит, и Л-гомо-
морфнэм
В' ®АВ^В' ®лк.
Применяя 4.2(d) к отображению spec (В' ® В)-> spec (/?'), мы
получаем Л-гомоморфнзм В'®лВ->-В', индуцирующий
требуемое отображение В-*~В'. Итак, данный функтор вполне упнпа-
лентен. Доказательство завершает следующее наблюдение.
Любая локальная этальная ft-алгебра к' представляется п ннде
k\T]/(fo(T)), где /о(Г) —неприводимый многочлен со старшим
коэффициентом 1, а тогда В = A \T]/(f(T)). где J(Т) — fo(T) и
старший коэффициент / равен 1, обладает тем свойством, что
B®Ak = к'.
Г)П Гл I. Эталыплс .^орфизмы
До сих пор мы, iii) существу, не имели примеров гензелевых
колец. Следующее утверждение обобщает лемму Гензеля из
теории чисел.
Предложглпп; 4.5. Любое полное локальное кольцо А генэе-
лсво.
Доказательство. Пусть В— этальная Л-алгебра, и
предположим существование сечения sn: B->k. Достаточно
установить 4.2 ((I), т. е. подняться до сечения 5: В-у А. Положим
А, = Л/пГ+|; сс.ш мы установим существование совместного
набора ссчеппп .sv B-+A,, то по этим отображениям мы найдем
.■;: В -> Iim Ar = /1. При г = 0 сечение s, задано. При г > 0
существование s, пытекпет из существования sr_i в силу
известного сноистпа функтора, определяемого этальным морфпзмом
(3.22). " •."■'.
Замечания 4 (i. (а) Два последних предложения показывают,
что функтор В>—>/} 8>, Л задаст -жннпалентиость категорий
конечных эга/п-пых алгебр нал /1 и над его пополнением, когда
А — гсчпелеио кольцо. П|т определенных условиях, а именно
когда А' — схема, собственная над геизелевым кольцом Л, этот
результат распространяется на категории схем, конечных и
этальпых над А' и над А" = А' ®,1 Л. См. [6] и [9].
(b) Результат ил 4.4 обобщается следующим образом. Пусть
А" — схема, собо венная над геизелепым локальным кольцом А,
а Хо — замкнутый слон в X. Тогда функтор V>—>Y~XxXo
индуцирует экиппа.К'Пгпость категории схем Y, конечных и этальных
над X, п категории схем, конечных и чтальных над Хо.
Дока.чгггельстио этого факта для полного кольца А имеется в
[13, VII.II.7I п (95, 8.1.3]. Общий гепзелев случаи выводится
пз пего на основании аппроксимлцпоппой теоремы из [13, II]
(см. также |9, теорема 3.1]).
(c) Утверждение (с) из 4.2 также имеет обобщение. Пусть
f: Y-> X — отделимый морфпзм конечного типа на A' = spec/4,
где А — гстелсво локальное кольцо. Если у — некоторая
изолированная точка в замкнутом слое Yn относительно f, а значит,
(теорстпко-гхемпо) У„ = {//} JT У*, то Y = Y" Ц У. где Y"—
схема, конечная над X, п схемы Y" и У" имеют замкнутые слои
{у} и Уп соответственно. Доказательство см. в [13, 1.1.10].
(d) Пусть X — аналитическое многообразие нал С. Тогда
локальное кольцо и любой точке v из X гензелепо. t (Об этом
и других аналогичных примерах см. [104, VII. 4].)
Замечание ■!.?. Пусть /: Y-*-X — зтальныи морфизм, и для
некоторой точки и е= Y пусть U(х) = k(у), где v = f(i/). Тогда
соответствующее отображение Ох,г->~(Уу,у пополнений этально,
§ 4. Гензелевы кольца "I
и по 4.5 н 4.2 оно имеет сечеине, а значит, является
изоморфизмом Ох. к—* бу, у в силу следствия 3.12. (Обратное
утверждение си. в [61, III. упр. 10.4].)
Это позволяет построить пример шп-сктпнного пералпетп.к-н-
ного отображения колец, которое не эталыю. Мус и» Л'--
некоторая кривая над полем с обыкновенной днойпоп точкой .v0. a
/: Y-*■ X — нормализация кривой X в k(X). Очсипдпо. это
отображение перазветвлепо над х0 и отображения С'х. ;,тс^- Су.„
ннъектпвиы при любом у, по если у лежит над л0, то
отображение Ох. х„-*Оу.у не может быть изоморфизмом, потому ччо
Ох, х,. пс есть область целостности. (Оно nuiei дна
минимальных простых идеала; см. [61, 1.5.6.3].)
Кольцо /1 является подкольцом своего пополнения Л (так как
мы предполагаем все кольца Нестеровыми). Итак, любое
локальное кольцо А является подкольцом гензелева колит.
Наименьшее на таких колец мы будем называть гепзелпзацпеп кольца .1.
Точнее, пусть /: A->Ah — локальный гомоморфизм локальных
колец; кольцо Ah называется гензелизациеи кольца .1, сс.чн оно
гепзелево и любой другой локальный гомоморфизм пз .1 и
некоторое гепзелево кольцо едпнстиепным образом пропускается
через I. Очевидно, пара (Л11, <) единственна с точностью до
изоморфизма, если она существует.
Прежде чем доказывать существование гепзелнзацнп А'\ нее-
дем понятие этальной окрестности локального кольца А. Это
пара (В, q), состоящая пз этальпой Л-алгебры В п простою
идеала q из В, лежащего над ш, для которых индуцированное
отображение ft —>-ft(q) является изоморфизмом.
Лемма 4.8. (а) Пусть (B,q) и {В',$') —две этальные
окрестности кольца А и spec В' связен. Тогда существует не более
одного А-гомоморфизма f: В-*-В', такого, что f~l (q') = с\.
(b) Пусть (В, q) и (В', q') — две этальные окрестности кольцо
А. Тогда существуют этальнан окрестность (В", а") кольца \
со связным spec В" и А-гомоморфизмы f: В -► В"'. f: В'-* В",
для которых f~l (q") = q, /'-' (q") --= q'.
Доказательство, (а) следует пеносредствеппо in 1.13.
(I)) Рассмотрим кольцо С = В ® t В''. Отображения В -*■
-+-k{<\)—k н B'-^-^(q')=^ индуцируют отображение C--k.
Обозначим через q" ядро последнего отображения. Тома
(В", ц"В"), где В" = Сг для некоторого с <£. о", такого, что
spec В" связен, есть требуемая этальпая окрестность.
Из леммы следует, что этальпые окрестности кольца .-1 со
связным спектром образуют прямую фильтрованную nicreuv
Определим (Л\ mh) как прямой предел утоп системы, i. с.
52 /'.). /. Эга.и/ '■•'' м<1р1',ч!'\мы
(Л'1, in1') = Imi (11, <\). Легко промерить, что Л'1---локальная
Л-алгебра с максимальным идеалом ш", что /lh/mh = /г п Л" есть
требуемая i сп к-лнзлцпя кольца Л. Кроме того, очгнпдмо также,
что Л11 плоска над Л. (Чуть менее i рнипальна пёк-ропость Л1',
которая мам необходима, чтобы не пынтп за рамки пашен
категории. Ее доказательство можно найти в [5, Ш.4.2].)
Упражнение 4.9. К Л" можно подойти не только снизу, но п
снерху. Обозначим через Л пересечение всех локальных гепзеле-
вых подколец // в А, содержащих Л и таких, что m (] И = Ш//.
Покажите, что (A, i), где i: Л<=~Л — иключемпе, есть гепзелп-
зацпя кольца А. (Указание: покажите, что А удоилетпорнет
определению гепзелепа кольца: заменим, что разложение / =
= golii) поднимается до разложения (= gh над любым //;
используя единственность такого разложения, покажите, что
коэффициенты g н li лежат и Г\ Н = А.)
Примеры 4Л0. (а) Пусть Л — нормальное кольцо, К — поле
частных Ko.Ti.ua Л, a /Cs- — сепарабслыюе замыкание поля К.
Группа Галуа G поля К* над К действует на целом замыкании
В кольца Л к Л\. Обозначим через п некоторый максимальный
идеал пз S, лежащий над т, а через D a G — группу разложения
идеала п, т. е. Л = {а е G\a(n) = nj. Пусть Ah есть
локализация в п° целого замыкания В° кольца А в /Cf. (Здесь
BD = {b(^D\a{b) = b при всех а е D}
и т. д.). Утверждается, что кольцо Лh представляет собой гензе-
лизацню кольца Л.
Действительно, если бы Аь не было гензелевым, то
существовал бы многочлен f(T) со старшим коэффициентом 1,
неприводимый над Л\ редукция f(T) которого раскладывается па два
взаимно простых сомножителя. По по такому f можно построить
конечное расширение Галуа L ноля Ks , такое, что целое
замыкание А' кольца Аи в L не локально. Мы пришли к
противоречию, поскольку группа Галуа расширения L над /С"1
переставляет все простые идеалы из Л', лежащие над nD, а потому она
не может быть факторгруппой группы D. Чтобы убедиться, что
Лh является именно гензелизацпей, остается показать только,
что это кольцо есть объединение этальпых окрестностей кольца
Л, но это нетрудно вывести из 3.21.
(Ь) Пусть k — произвольное поле, а А — локализация кольца
£[^1, ••■> Тп\ в (Г|, ..., Т„). Гснзелизация кольца А совпадает
с множеством степенных рядов Ре£[[Т| Тп\\,
алгебраических над Л. (Вопрос о том. почему это должно быть так,
подробно обсуждается в [12J, а доказательство см. в [13,11.2.9].)
4. Гензелевы кольца
(с) Гепзелпзацня кольца А/3 совпадает с Л"/ЗЛ'\ Это вы-
текает прямо из определения гензслизацнп п следствия 4.3.
Всякое кольцо есть факторколыю некоторого нормального
кольца, поэтому было бы достаточно построить .1' для
нормальных колец Л. Этот подход использован в J9G].
Замечание 4Л 1. Как мы уже знаем, кольцо Л1' нормально, если
нормально А. Верно также, что если А приведено или регулярно,
то Аь приведено ил» регулярно и dim Ah = dim А. Эти
утверждения следуют из ЗЛ8 и 3.17.
Пусть -V — схема, a .v е А'. Этальной окрестностью точки х
называется пара (У, у), состоящая из эталыкж Л'-схемы У п
такой точки ;/ нз У, отображающейся в .v, что k{x) = k(y). Сии t-
иые этальпыо окрестности точки х образуют фильтрованную
систему п. очевидно, Iim Г (У, Су) — О\ к.
Гензелевость кольца А (почти но определению) означает
отсутствие конечных этальпых расширении с тривиальными
расширениями поля вычетов (4.2(d)), кроме расширении вида
А-уАг. Поэтому если поле вычетоп кольца А сепарабсльпо
замкнуто, то А не имеет конечных этальных расширении вообще.
Такие гепзелевы кольца называются строго гсн:ч:чсвыми или
строго локальными. Большую часть предыдущее! теории можно
переписать для строго гензелевых колец. В частности, мара
(Ash,i) называется строгой гензелизациеи кольца А, если Л^'1 —
строго гемзелево кольцо, а /: Л->-Л5Ь — локальный гомоморфизм,
такой, что любой другой локальный гомоморфизм f: А -*■ Н и
строго гензелево кольцо И продолжается до локального
гомоморфизма ]'■ Ash-+H; кроме того, f определяется однозначно,
если задано индуцированное отображение полей вычетов
-4sh/msh->-tf/mw.
Фиксируем сепарабельное замыкание ks поля k. Тогда Ash =
= Iim /?, где предел берется по всем коммутативным
диаграммам вида
■В—->*,
с этальным морфизмом А -> В. Если А = k — поле, то в качестве
АъЬ можно взять любое сепарабельное замыкание поля k\ если
А —-нормальное кольцо, то <4stl строится точно так же, как и Л",
за тем исключением, что вместо группы разложения надо брать
группу инерции; если А нормально п гензелево, то Л"1 есть
54 Гл. I. Этальные морфиэмы
MaKCiiMii.it,пое псразпствленнос расширение кольца А в смысле
теории чисел. II наконец, (Л/Л)4" = .1"УЗЛ511.
Пусть А'— некоторая схема, a л *-.Y - ее геометрическая
точка. .''ia.iыюй окрестностью точки л называется
коммутативная диаграмма
где U->■ X— этальпый морфием. Очевидно, С\-\х = lim Г (U, Си),
где продел берегся по всем эталышм окрестностям точки х.
Этот предел будет обозначаться через О\\ х пли, проще, через
О\.\. Как мы только что убедились, О\,х для уталыюп
топологии аналогично локальному кольцу и топологии Зарпсского,
т. е. это локальное кольцо при полое сильном понятии
локализации. Напомним, что эти определения формально совпадают,
ибо Ох, х = Iini V(U, Ov), где предел берется по всем
(открытым) окрестностям точки х и тополомш Зарпсского.
Упра?кнение 4.12. Изучите ciioiiciua кольца /lt|h = limS, где
предел берется по всем дпаграмч.-'ч
В
А —-» к
в которых spec/i связен, a spec /?-■»■ spec Л — конечный этальпый
морфнзм или открытое вложение, или композиции тачнх мор-
фнзмов.
Упражнение 4.13. Пусть А'—-гладкая схема над spec Л, где
Л — гензелено кольцо с полем вычетов k. Покажите, что
отображение А'(Л)-> X(k) сюръектншю. (Используйте 3.24(Ь).)
§ 5. Фундаментальная группа: накрытия Галуа
В этом параграфе дастся об.чор некоторых основных спопств
фундамента.ibiioii группы схемы. Доказательств можно найти
в "[05].
Фундаментальную группу Л|(Л\ х0) линейно связного локально
связного п локально односвязиого топологического пространства
с базисной точкой л-(. можно определять двумя способами: или
как факторгруппу группы замкнутых мутен через точку Хо по
§ 5. Фундаментальная группа: накрытия Галуа
модулю гомотопической эквивалентности, или как группу
автоморфизмов универсального накрывающего пространств для Л".
Первое определение не имеет хорошего обобщения дли схем,
поскольку на них слишком мало замкнутых алгебраических
путей, зато второе имеет. Итак, важнейшее, определяющее
свойство фундаментальной группы схемы пространства состоит н
том, что она естественно классифицирует этальпые накрытия
пространства X, так как этальнып морфпзм есть наиболее
естественный аналог локального гомеоморфизма.
Пусть -V — связная схема, а х-*-Х — ее геометрическая точка.
Определим функтор F: FEt/A1 —»-Sets, где FE1/A' — категория
А-схем. конечных и этальных над А', положив F(Y) = HomA (х. У).
Итак, задать элемент множества F{Y)—это значит задать точку
1/еУ, лежащую над х, и &(л')-гомоморфпзм k(ii)-*-k(x). Для
этого функтора можно установить строгую пропредставпмость,
т. е. доказать существование направленного множества /,
проективной системы (X,, ф(/), е/ в FEt/A, морфизмы перехода
ф,,-: Xj-*-Xi (i ^ /) которой являются эпиморфизмами, и таких
элементов f,eF(^,), что
(a) h = tf,7«/,- и
(b) естественное отображение IimHom(A,, Z)->-F(Z),
индуцированное элементами /,-, является изоморфизмом для любого
Z из FEt/A'.
Проективная система X = (А,, ф,у) будет играть роль
универсального накрывающего пространства, а поэтому мы хотим
определить л, как rpvnny ее автоморфизмов.
Для А'-схемы Y обозначим через Ant*(У) группу ее А'-авто-
морфнзмов с правым действием. Для любой схемы У е FEt/A
группа АиМУ) действует (справа) на F(Y), и если Y связно, то
это действие строго эффективно, т. е. для любого g^ F(Y)
отображение o*—>o°g- AutA (У)-> F{Y) ннъектнвно (это следует
из 3.13). Если схема Y связна, а группа Autv(K) действует трап-
зитивно па F(Y), так что предыдущее отображение Aut,v(K)->-
-*-F(Y) есть биекция, то схема Y называется накрытием Галиа
над X. Для любой схемы VeFEt/A' найдется накрытие Гтуа
K'eFF.t/.Y с А-морфизмом Y'-*-Y (см. ниже 5.4). Поэтому
можно предполагать, что все объекты X, в X являются
накрытиями Галуа нал X. Тогда для заданных / ^ i можно определить
гомоморфизм групп $;/: AuU (X,)-у Antv (X,). потребовав, чтпби
\\>ii(n)f .=([■■■! «п «!i. По определению nt(X. х) есть прокопечнап
группа lim Autv (A',-).
Замечания 5.1. (а) Если х1 — любая другая геометрическая
точка схемы А', то л, (А, у') изоморфна л, (X. х) и -jtot
изоморфизм канонически определен с точностью до внутреннего
автоморфизма группы Л[(А', х).
лб Гл I. Эта.чьныс морфизмы
(b) Печи предыдущую процедуру производить над некоторым
линейно связным локально связным к локально односвязным
топологическим пространством Л' с точкой х на нем в категории
накрывающих пространств над Л", то можно показать не только
иронредстанпмость функтора F, а п ею представимость
универсальным накрывающим пространством .V над Л'. Тогда л\ {X, х)
можно определить прямо как группу автоморфизмов
пространства Я цад X.
(c) Пусть X — гладкое проектниипс многообразие над полем
комплексных чисел С, а А'ап — ассоциированное с ним
аналитическое многообразие. Теорема Рпмаиа о существовании
означает, что функтор, ставящий п соотпетствме каждому конечному
эта.чыюму мпрфнзму У —*- Л" локальный изоморфизм
аналитических многообразий Уап->-А'ап, есть эквивалентность категорий.
Поэтому этал|>пая фундаментальная группа П](Х) и
аналитическая фундаментальная группа Л|(Л'ап) имеют одинаковые
конечные факторгруппы. Следоиа iLvibnu, их пополнения в
топологии, заданной подгруппами конечного индекса, совпадают. Но
группа Я](Х) полна по определению. Поэтому Л| (X) ж (я\(Хап))~.
Причина, но которой может но существовать алгебраически
определенной фундаментальной группы, равной Я|(Хап),
заключается в том, что накрывающее пространство не всегда является
алгебраическим (тем более элементом из PEt/X).
(d) По теореме Грауэрта и Реммерта замечание (с) также
справедливо для нспросктивпых алгебраических многообразий.
Этот факт лежит в основе доказательства теоремы сравнения
этальиых н комплексных когомо.нм нп. (См. III. 3.)
Примеры 5.2. (а) Пусть .Y=spcc/e для некоторого поля к.
В качестве А', можно брать спектры конечных расширений Га-
луа /\, ноли It, содержащиеся и k(x). Поэтому щ(Х, х)
совпадает с группой Галуа над полем k сепарабельиого замыкания
поля fe(.v) в k(x). Следовательно, изменению точки х
соответствует выбор другого сеиарабельного алгебраического
замыкания.
(b) Пусть X — нормальная схема, ,v — общая точка схемы X,
п х = spec /e(.v)sep. Тогда в качестве А',- можно брать
нормализации схемы X в поле /0, где К, пробегает конечные расширения
Галуа поля /г(х), содержащиеся в £(х) и такие, что
нормализация схемы Д' в Л', неразветвлена. Поэтому ni(-V, x) есть группа
Галуа поля /г{х)„п над k(x), где к (х)ип= \J Ki-
(c) Пусть Y--spee/l, где Л строго геп.челево локальное
кольцо. Toi.ia ,tti(.V, .v)={l}, поскольку единственными
объектами в FEt/Д ЯВЛИЮЮ1 прямые суммы экземпляров
схемы А'.
Фундаментальная группа, чакрылия Г
(Если А — некоторая схема, а х — ее геометрическая точка,
то speed?*,* является алгебраическим аналогом достаточно
малой шаровом окрестности точки ,v топологического
многообразия; таким образом, равенство Л| = {1} согласуетеи со
стягиваемостью шара.)
(d) Пусть Л'= spec/I, где А — гензелево кольцо. Рассмотрим
геометрическую точку х над замкнутой точкой .v из Л'. Эквппа-
лентность категорий FEt/A -<->- FEt/spec k(x) (4.4) индуцирует
изоморфизм Я| (X, х) zz ni(specfc(*), х).
(e) Пусть X = spec К, где К — поле частных строго гензелсва
кольца дискретного нормирования А. Тогда Л' представляет
собой алгебраический аналог проколотого диска на плоскости (ср.
с (с) выше); поэтому можно ожидать, что Л|(Л', х) ~ - . Это
так, если поле вычетов А/т имеет характеристику пуль, потому
что |П7, IV, предложение 8] конечными расширениями Галун
ноля К являются лишь куммеровьг расширения /<",,/Л', глс Л',, =
= /([/""] с уииформпзирующим параметром /. Отображение
(а^а(/1/п)/Лп): Gal (
задает изоморфизм между данной группой Галуа и rpynnoii
корней п-п степени из 1. Следовательно,
я, (X, х) = Пт Gal {KJK) = Ит ща (К) « 2.
Если поле вычетов имеет характеристику р, это уже не верно
из-за дикого ветвления. Однако каждое конечное расширение
Галуа поля К с ручным ветвлением все еще куммерово [117, IV],
и ручная фундаментальная группа равна
п\(Х, x) = Mm/pB(/0« limZ/rtZ.
Р -Г п Р t «
(В общем случае пусть А — кольцо дискретного
нормирования, а К — его поле частных. Конечное сепарабелыюе
расширение L поля К называется расширением с ручным ветвлением
относительно А, если для каждого кольца нормирования В поля
L, лежащего паи А, расширение полей вычетов й/п=эЛ/ш сепа-
рабельно, а соответствующий индекс ветвления кочьца В/А не
делится па р (характеристику поля А/т). Пусть .V — снятая
нормальная схема, D — конечное объединение, D = (J ^;- "е-
приводимых дивизоров на X, а лс,- — общая точка лпинзора D,.
Тогда говорят, что отображение /: Y-*-X есть накрытие с
ручным ветвлением, если оно конечно п эталыю нал А' — D, Y
связно и нормально, a R(Y)/R(X)— расширение с ручным ноч-
вленпем относительно колец (Ух,хг Ручная фундаментальная
группа п\ определяется так, чтобы классифнппромать такие пя-
крытня. (См. |59].) Основная теорема ЛГм.япкарп обоГчнасг
!">8 Гл. 1. Этальные мпрфиэмы
) гвсрждепне из предыдущего примера о том, что все накрытия
с ручным botu.icmiiil-.vi куммеровы. Она утверждает (см. 159,2.3]),
что если исе дивизоры D, пересекаются нормально, то для
любою накрытии /: Y-*■ X с ручным ветвлением существует эталь-
ное сюрьскi ивпое отображение Х'-*-Х, для которого Y X* X' —»
-*■ X'— куммероио накрытие.)
(О Пусть Х = ?к, где к — сепарабслыю замкнутое поле. Если
k=C, то А топологически эквивалентно сфере, поэтому
Л|(АГ, х) = {1}. Чтобы показать это в общем случае, необходимо
установить тривиальность категории Ftt/X. Точнее, нужно
установить, что любой конечный этальпын морфнзм Y-*■ X для
связной схемы У является изоморфизмом. Пусть со есть
дифференциал dt па '. Тогда ы имеет двукратный полюс па
бесконечности и не имеет других нулем и полюсов. Следовательно,
/*(со) имеет дивизор полюсоп степени 2п, где п — степень
отображения /, и тривиальным диин.ш,/ пулен. Но тогда —2п =
=■ 2g— Ч^—2, где g — род кривой Y. Поэтому п = I и f —
изоморфизм.
(Тс же соображения показывают, что не существует
нетривиального отображения У-»-':'"1, этального над А'с i ' н
имеющего ручное ветвление над бесконечностью. В этом случае /*(со)
имеет днннзор полюсов степени ^ 2п — (я—l)=/i-j-l и три-
ниальиып дивизор нулей. Поэтому —(n-\-\)^2g — 2^—2 и
п=1, как и выше.)
(g) Пусть X — собственная схема над гензелевым локальным
кольцом Л с геометрически связным замкнутым слоем Хо. Тогда
из 4.G(b) вытекает, что группа Л|(Д', х) канонически изоморфна
группе ni(A'o, Хо), если х представляется в виде композиции
х{1-> Хп<=^~ X.
(h) Пусть U — открытая подсхема регулярной схемы X,
дополнение Z = А — U которой имесч коразмерность ^2. Из
теоремы чистоты подсхемы ветвления (.17) и описания
фундаментальной группы нормальной схемы, данного выше в п. (Ь),
непосредственно следует, что n\{U, х)&я\{Х, х) для любой
геометрической точки х из U.
Оггюдл нытекс1ет бпрацнональпая минарнантность
фундаментальной i-руппы в классе полных регулярных многообразий над
полем k (потому что любое доминирующее рациональное
отображение гаки.х многообразий определено на дополнении к
замкнутому подмножеству кора-.мерности ^2; см. [G1, V. 5.1J).
(i) Пусть X — собственная гладкая схема над spec А, где Л—
полное кольцо дискретного нормирования с алгебраически
замкнутым полем вычетов характеристики р. Предположим, что об-
1пm"i геометрическим слои Хк (где К — алгебраическое
замыкание поля частных кольца Л) и специальный слои схемы X
§ 5. Фундаментальная группа: накрытия Галца 59
связны. Тогда для любой геометрической точки „v схемы Л,-
ядро сюрьектпнпого гомоморфизма л, (Х^. *)-> я, (Jf, .i)
содержится в ядре каждого гомоморфизма группы л,(^, х) и
конечную группу порядка, взаимно простого с р (см. [5',i, Л] или
[951).
(j) Пусть Ао — гладкая проективная кривая рода g над
алгебраически замкнутым полем k характеристики р. Тогда
существуют полное кольцо дискретного нормирования А с полем
вычетов k п гладкая проективная кривая Л' над А, такие, что Л'о =
= Х®лк. (Препятствия к подъему гладкого проективного
многообразия лежат во второй группе когомолопгп (в топологии
Зарисского), п потому они равны нулю для кривой 153, III. 7J.)
По предшествующему п. (g) ni(A"o, .*)«Л|(А\ х), а по (i)
имеется сюръекция л, (А^, *)->л, (X, х) с малым ядром.
Теорема сравнения 5.1 (с) показывает, что л, (Х^, х) есть прокопечнос
пополнение топологической фундаментальной группы крпноп
рода g над полем С, которая хорошо известна. Собирая псе это
воедино, мы находим, что ni(A'o, Хо)(г) ~ О1г\ где G — епободп.чя
группа с 1g образующими ut, у, (« = 1, .... g) и едппеттчннлм
соотношением
а верхний индекс СР) для группы Н означает, что II надо
заменить па Inn//,- с Hi, пробегающими все конечные факторгруппы
группы И порядка, взаимно простого с р.
Это вычисление взаимно простои с р части фундаментальной
группы кривой в характеристике р было одним пз первых
значительных успехов гротендиковского подхода к алгебраической
геометрии.
После того как группа Л\{Х, х) построена, важно показать, что
она действительно классифицирует конечные этальные
отображения У-^А'.
Тпорпмл 5.3. Пцсть х — геометрическая точка связной схемы
X. Функтор Г задает эквивалентность категории FEt/.Y и
категории Л|(А', ,t)-sets конечных множеств с (левым) непрерывным
действием группы Л|(А', х).
Доказательство. См. |95].
Замечание 5.4. Напомним, что если Y-+X—конечный эталь-
ный морфнзм связных схем Y и А', то У называется накрытием
Галуа над X, если число элементов группы Aut^(V) ранно
60 Гл. 1. Этальныс морфюпы
степени схемы Y над Л". Сейчас мы несколько расширим это
понятие.
Пусть G— конечная группа. Обозначим через G.\ (для любой
схемы Л) схему \] Х„ с А'о = X при каждом а. Заметим, что
гт ^ 'а
па О.х определено естественное (правое) дейстипе группы G,
такое, что гт| Л'г ее i ь тождественное отображение Л'т-*-Л'та.
Предположим, что группа G депсшует па схеме Y над X.
Тогда морфпзм К-»-А называется накрытием Галуа е группой
Га.гуа G, сечи ом строго плоским и соответствующее
отображение
Ч-: GY-»YXY, ф | Ya ■---- = (// у-* (у, ус)),
является изоморфизмом. Эквивалентно, Y—*-X — накрытие Га-
луа с группой Галуа G, если сутостпуст строго плоский
морфпзм U-*- X локально копечпо1(1 мша, для которого Yv
изоморфна (как G-схсма) Go- В терминах теории колец кольцо
В zd А с левым действием группы (7 над А называется
расширением Галуа кольца А с группой Галуа G, если В — конечная
эта.пьпаи Л-алгсбра, а колыю Fnd.i(/i) как левый В-модуль
имеет базис {alrreG} с таблицей умножения
(bo) (ст) = bo (с) ох, /), с <= В, о, х е G.
Мы оставляем читателю проперку эквивалентности всех этих
подходоп, а также проперку того, что замена базы YiX'\^*-X'
относительно любого морфнзма ,Y'~*-.V является накрытием
Галуа с rpynnoii Галуа G, если сам морфпзм Y-*■ X таков. Кроме
того, читатель может проверит!,, что любой конечный этальный
морфпзм Y-^-X пк.чадывастся и шмчоторое расширение Галуа,
т. с. существует ипкрытме Га.чуа )''->- А', пропускающееся через
Y—*-Х. (Если А'—нормальная схема, это — очевидное следствие
теории Галуа для полей; общий случаи не на много сложнее;
см.. например, [95,4.4.1.8].)
Пусть .V — снятая схема с геометрической точкой х. Согласно
теореме Г)..4. лпдаппе л-пунктпрон.-шпого морфнзма Галуа У->-Л'
е заданным действием группы G на схеме У над Л' эквивалентно
заданию непрерывного гомоморфизма Л|(А', x)—*-G. Иногда мы
будем использовать обозначение л1 (,Y. x\ G) = HomCnnis(ni (A', .v).
G) ~ (множество х-пунктпроваппых накрытий Галуа схемы
А' с группой Галуа G (с точностью до изоморфизма)). В
качестве одного пз приложений теории этальных когомолопш
будет показано, как вычислить л1 (А*, х; G) для некоторых схем А",
когда группа G коммутативна. Заметим, что и этом случае для
и а к р iii I nit Галуа не обязательно фиксировать л\
§ 5. Фундаментальная группа: накрытия Гплип
Замечание 5.5. Пусть А— кольцо, не имеющее ндемиои-птов,
отличных от 0 и 1, т. е. такое, что Х = spec/1 связно, а .Y =
= (Xi, ф//)— универсальная накрывающая ироехсма
(рассмотренная выше) относительно некоторой геометрической точки х
схемы А'. Каждый объект X, является аффинной схемой sped,.
и кольцо Л = Iim Л,- обладает следующими свойствами: spcc/T =-
= [im,\',; не существует нетривиальных конечных этальных
гомоморфизмов Л->5; п\(Х, х) = Аи\А(А). Поэтому Л вполне ра-
зумио назвать этальным замыканием кольца А. Если А имеет
лишь конечное число пдемпотентов, то Л = Д^/
(произведение конечно), Л" = Ц X, (X, = spec Л,) н FEt/A'«= П FEt/.Y/.
Если Л содержит бесконечно много пдемпотентов, го А = U ,-1,,
где каждое Л, имеет лишь конечное число пдемпотентов, А —
= limA'/, a FEt/A'= „lim" FEt/A"/ [52, IV. 17]. Итак, если схема
X аффнпна, изучение категории FEt/A', по существу, сводится к
случаю, когда X связна.
Замечание 5.6. Как мы уже знаем, группа Л|(А\ х) пропред-
ставляет функтор, сопоставляющий конечной группе N
множество классов изоморфных ^-пунктированных накрытии Галуа
схемы А' с группой Галуа N. Очевидно, это свойство однозначно
определяет группу я, (А, а"), а так как категория конечных групп
артннова, то по одной из стандартных теорем [47]
существование л\(Х, х) эквивалентно левой точности данного
функтора.
Возникает естественный вопрос: существует ли большая
фундаментальная группа, которая в дополнение к этому
классифицирует накрытия, имеющие в качестве структурной группы
конечную групповую схему. Точнее, пусть X—многообразие над
полем /г; фиксируем spec(ftai)"T04Ky x на X и рассмотрим
функтор, сопоставляющий конечной групповой схеме Л'" над полем k
множество классов изоморфных пар (У, у), где У — главное
однородное пространство групповой схемы N над X (III. 4), а п
есть spec(ftai) -точка па У над х. Пока многообразие А не полип.
а ноле k не алгебраически замкнуто, данный функтор не оби.иш
быть точным слева, в чем можно убедиться, обратившись к
когомологической последовательности, отвечающей короткой
точной последовательности коммутативных конечных групповых
схем. Однако, если эти условия выполняются, данный функтор
точен слева и представим прокоиечион групповой схемой
"((А'м, х) [98]. Фундаментальная группа п\(Х, х) является мпк-
сималыюй нроэтальноп факторгруппой этой настоящей фуп ■[;>-
ментальной группы Я|(А'ц, х). См. также |Г)3, стр. 271, 2WK
309].
62 Гл. I. Этальныс морфнлмы
Библиографические замечания
Основным источником большей части материала этой главы
послужил доклад Грптеидмка [47] мл семинаре Бурбакп и [53],
другой важным мпочник— гл. IV из EGA [52]. Часть этого
материала имеется и [104] н [71J для аффинного случая и в
заметках [2\. Псриая глава из [13| также содержит элегантное,
хотя и краткое, положение cnoiicru этальных отображений и
гензелевых колец. См., кроме тело. [78]. Наиболее
распространенным ипедспнем в теорию этильных фундаменталыгых групп
являются лекции [95]. Теория высших этальных
гомотопических групп ра:шнта в [14].
Глава II
ТЕОРИЯ ПУЧКОВ
Чтобы получить достаточно тонкую топологию па схеме X,
нужно отказаться от требования, чтобы мокры щи состояли из
подмножеств схемы А'. Поэтому в качестве покрытп в эталыюп
топологии берутся сюръектпвпые семейства этальпых морфнз-
мов (U,->-X). Большинство определений п результатов из
теории пучков достаточно легко переносится па эту новую
ситуацию. Например, можно определить пучок, ассоциированный с
предпучком, слой пучка в геометрическом точке, а также
прямые и обратные образы пучков относительно морфизма схем.
Первым указанием на то, что получаемая при этом теория .ilmi-
ствигельно интересна, служит доказательство эквивалентна и
категории пучков над спектром некоторого поля и категории
дискретных модулей над группои Галуа этого поли. Каждая
групповая схема или квазикогерентньи1. пучок модулем
определяет пучок в этальнон топологии. Существует мною примером
последовательностей пучков, которые не точны и гомологии За-
рисского, но становятся точными при переходе к более топкой
этальнон топологии. Иногда, в частности, когда
рассматриваются пучки с р-кручением в характеристике р, возникает
необходимость во введении еще более топкой топологии, чем эталь-
ная, например плоской топологии.
§ I. Предпучки и пучки
Мы будем работать с классами Ь морфпзмов схем,
удовлетворяющими следующим требованиям:
(d) все изоморфизмы лежат в Е;
(е2) композиция двух морфпзмов из Е принадлежит Е;
(сз) любая замена базы морфнзма из Е приводит к морфпзму
из Е.
Морфпзм из такого класса £ будет называться Е-морфизмом.
Полная подкатегория в категории /Y-схем Scli/Л, структурные
морфнзмы которой являются £-морфизмамм. будет обозначаться
через Е/Х.
Следующие примеры таких классов особенно нажпы для
дальнейшего:
fi-1 Га. II. Теория пичкпв
(л) к.race /: -- (Zar) псех открьпых пложонпп;
(I)) класс /: = (et) всех этальпых морфпзмов коночного типа;
(с) класс /: = (fl) всех плоских морфтмов локально! и
комичного П1ПЛ.
В каждом 1м этих примеров псе /j'-морфпзмы открыты (1.2.12)
it всякие открытое вложение сем. /:'-морфиз.м. Так же обстоит
дело почти ио всех известных примерах. £-морфнзмы должны
играть роль открытых подмножеств в /--топологии.
Фиксируем теперь некоторую багшсную схему А', класс Е
определенного выше вида н полную подкатегорию С/А в Sch/X,
замкнутую относительно расслоенных произведений и такую,
что для любого морфпзма Y-*-X из С/А' и любого £-морфнзма
U->Y композиция U-*■ X принадлежит С/А. Е-покрытивм
объекта У из С/А' называется семейство С-морфизмов Wi^" Y)i sl,
для которого У = U gi (Ui). K.incc всех таких покрытии для
всех таких объектов называется У;-топологней па С/А..
Категория С/А вместе с /Г-топологпон называется П-снгусом над X и
обозначается через (C/A)t- или короче Xt. Малым Е-ситусом
па А называется (Е/Х)[:, а в случ.че, когда все £-морфпзмы
локально имеют конечный тип, большим Е-ситусом па А
называется (LFT/A)f, где LFT/A — полная подкатегория категории
Sch/A, состоящая из всех А-схсм с локально конечными
структурными морфпзмами. Под ситусом Зарисского AZ:,r па X всегда
понимается малый (Zar)-ciiTyc ((Znr)/A)Zar; под этальным си-
тусом Aet всегда понимается малый (61)-ситус ((et)/A)e], а под
плоским ситусом А'п — большой (М)-сптус (LFT/A')n. Отметим,
что в первых двух из этих примеров, но не в третьем любой мор-
фнзм hi С/Ал является £-морфпзмом (в эталыюм с.чучае см.
1..Ч.6).
Малый ентус следует мыслить как аналог топологического
пространства в обычном смысле, л большой ептус — как
категорию всех топологических пространств и их непрерывных
отображений над заданным топологическим пространством.
Отметим, что (Zar)-топология на схеме в предыдущем смысле
совпадает с toiio.'ioim-ii Зарнгского в обычном смысле с точностью
до отождествлении каждого открытою вложения с его образом.
Замечание II. Категория C/.Y с семейством £-покрытий
обладает следующими свойствами:
1. Каждый изоморфизм ц■: 11-> U из С/А является
покрытием.
2. Если (U:-*-U)i—покрытие и (V,,->£/,•),■—покрытие для
каждого /, то (V,, -^>- (,/),.,-— покрыт не.
',}. Ec.ui {Ui-*- U) — покрытие, то для любого морфпзма V->U
из С/А семейство (U, X vV-*■ V) является покрытием.
§ 1. Предпучки и пучки
Поэтому C/.V с данным семейством £-покрытпп есть
Гротендкка в смысле [5].
Прсдпучком Р па ентусе (С/Х)Е называется котрр
пын функтор (С/Л')°->-Ab. Итак, Р сопоставляет каждом}- (.'
из С/Л абелеву группу P{U), которая пчогда будет
обозначаться через V(U,P) и элементы которой будут называться
сечениями предпучка Р над U. Каждому морфнзму /: U'—^U из
С/Х функтор Р ставит в соответствие гомоморфизм /■'(/): Р(1')-+
-*-Р(0'). Гомоморфизм P(f) соответствует отображению
ограничения функции на открытое подмножество, поэтому иногда мы
обозначаем его через resf, или reSy,_и, пли (s>—*s\U').
Отметим, однако, одно неудобство в этих последних обозначениях:
в отличие от случая топологических пространств здесь в общем
случае может существовать много отображении L" —» U и их
морфпзмы ограничения не обязаны совпадать.
По определению морфиэм qp: Р-*-Р' предпучков на (C/.V)..
есть просто морфпзм функторов Р-*-Р'. Итак, (р сопоставляет
каждому объекту U из С/Х гомоморфизм ip(U): P(U)-+ P'(V).
и эти гомоморфизмы коммутируют с отображениями
ограничения. Все предпучки п морфпзмы предпучков над (С/Л),
образуют категорию Р(ХГ.) = Р( (С/Х) f), которая наследует
основные свойства категории АЬ. Пусть Р п Р'—два предпучк;! па
ХЕ. Тогда предпучок Q с Q(U) = P(U)Q P'(U) \,'Q(f) =
= P{f)a$P'{\) является прямой суммой Р и Р' в Р(А'Л).
Поэтому Р(А'/-) — аддитивная категория. Ядро (соответственно
коядро) морфпзм а ф: Р->Р' есть предпучок Q с Q (t/) = kcr(<p (f.-''))
(соответственно сокег (rfi (t/))) для любого U п очевидными
отображениями ограничения. Прямая сумма (соответственно
произведение) семейства предпучков (Я;)(е/ есть предпучок Q с
Q(U)=:(BPi(U) (соответственно J[Pi(U)). Аналогичные
утверждения справедливы для прямых п обратных пределов
предпучков; последовательность предпучков Р -• ► Р —♦ Р"
точна тогда п только тогда, когда точна каждая ил последпп;!-
телыюстеп Р'(U) *-P(U)——*-Р" (U). Резюмируя чш очеинл-
пые замечания, мы убеждаемся, что Р(Л'г) — абсченп к;ггего|)ия,
обладающая свойствами ЛВ5 п АВ4* (приложение Л).
Примеры 1.2. (а) Для любой абелегсой группы М определен
постоянный предпучок Рм на Xs: Pm(U) = M для нсе.х V и
^м(/)= 1,м для всех f, кроме случая пустой схемы 0, для
которой положим Р,м(0) = О.
(Ь) Предпучок G(1 с G(l(U) = Г(С, О\-) для всех U, расемп-
триваемой как аддитивная группа; гомоморфизм G>a(f) для
3 Зак. 421
6Г) Гл. И. Теория ni/чков
любого морфпзма /: U-+L" совпадает с отображением Г (U'',0w)-*
■ *V(U, Си), индуцированным /.
(c) Прсдпучок -3,,, с iim{L>')— '■'(-'. У и)* Для всех U и естест-
1!(;циым11 отображениями ограничения.
(d) Пусть F— пучок Ох-модулем в обычном смысле для то-
иолопш Зарисского. Определим предпучок W{F) с W (F)(U) =
= Г (£У, /•- ®r,'v С*и) для всех U и eciccTucHHbiMii отображениями
ограничения. Так, например, W{Ox) = 6а. Пусть X — схема над
S н /-" = £.2av.s- Тогда W (lix/s) "с следует путать с предпучком
и<—> Г (U, Q[i ,s). Существует каноническое отображение из
№ {Qx/s) в этот второй предпучок, однако оно является
изоморфизмом только для малого эталыюго (или более грубого) сп-
i уса.
Предложение 1.3. W (Qxis){V) = T (U. ®u/s) для любой эталь-
ной схемы U/X.
Доказательство. Для любой последовательности мор-
фнзмов U^>-X-*-S определено шпбражение (g ® df к-> f>df):
C*u®(-lx;s-*-l\j!s- В том случае когда S = specfl, A'= spec И,
£7 = spec С и О-*- X — стандартный этальный морфизм (1.3.14),
это отображение является изоморфизмом, потому что любое
У?-дифференцирование D: А -*- М п С-модуль М однозначно про-
должается до /?-дпффсренциропання [>': С—>М. Мо так как
любом эталы1ым морфизм локально имеет этот вид (1.3.14), мы
получаем изоморфизм пучков Ои ®Qx;s =* Qu/s "a U (в
обычном смысле), откуда
Г (У, Ou®Q\,s)~-~V{U. Qu,s).
Обычное уел он но, ныделяющге пучки среди предпучков, имеет
очевидный перенпд в терминах iiriuini ситуации, если догадаться
заменить пересечение двух открыипх подмножеств расслоенным
произведением двух объектов t) Sch/.V. Действительно,
пересечение дпу.х открытых подмножеств топологического пространства
япляется их расслоенным произведением над этим
пространством и категории топологических пространств.
Пучком ii;i Xi называется преднучок Р на Хе,
удовлетворяющим следующим требованиям:
(Si) Если sgP((/')., a (U,->- U)h5, — такое покрытие схемы
U, что reS[/., у (.■;) = 0 для всех /, ios = 0.
(S,) Если (Uj ->f/),.n:, — покрытие, a (s()/e/ —такое семейство
сечении s, e P(U,), что
§ 1. П'рсдпучки и пучки
для всех / и /, то существует сечение s e P{U) с resy., и (s) —■ v,
для всех L
Иначе говоря, Р есть пучок, если каждое его сечение
определяется своим ограничением на любое покрытие, а сонмссир'с
семейство сечении на покрытии всегда происходит in
некоторого глобального сечения. Иначе говоря, прсдпучок Р яплятя
пучком, если для всякого покрытия (U.-+U) точна
последовательность
(
1.1
Прсдпучок Р, удовлетворяющий (S|), называется отделимым
предпучком. Заметим, что пустая схема 0 имеет пустое
покрытие, т. е. пустое множество морфизмон является покрытием для
0. Так как произведение абелевых групп по пустому множеству
индексов тривиально, то Р(0) = 0 для любого отделимого иред-
пучка. (Те, кто находит данное объяснение слишком вычурным,
могут включить это свойство в определения отделимого пред-
пучка и пучка.)
Пусть класс Е содержит все открытые вложения. Тогда
открытое покрытие U = U U, в смысле обычной топологии Зарнс-
ского есть открытое покрытие в смысле f-топологии. а потому
пучок F на ХЕ при ограничении определяет пучки в обычном
смысле на всех схемах U из С/Х. Условие (S) для покрытия
открытыми подмножествами есть в точности обычное условие,
определяющее пучок. Чтобы понять смысл (S) для других
покрытий, рассмотрим накрытие Галуа.
Предложение 1.4. Пусть Y — накрытие Га.иш над X с
группой Галуа G, а Р — предпучок в этальноа или более тонкой
топологии на X, который переводит несвязные суммы схем в
прямые произведения групп. Тогда G депстоиет (слева) на Р(У) и
последовательность (S) для покрытия (У—>-Л') отождеств.шсгс.ч
канонически с последовательностью
(I, i 1)
P(X)-*P(Y). j P(Y)n, где 0 = {(т, <х„}.
Ci °п)
Значит, Р удовлетворяет (S) для покрытия (У-»-Л) тогда и
только тогда, когда гомоморфизм Р(Х)-*- Р(У) отпжсЬ'сги.ипт
Р(Х) с подмножеством Р{У)° = (деР()')|о(и) = (1 для псех
o<=G} из Р(У).
Доказательство. По определению 1.5.4 ппкрытни I";i.tv.-i
Y ~X,XY ~ GY = JJ_^or Отождествляя У X, Y при помощи этою
отображения с XI Yor мы переходим от диаграммы
68 Гл. 11. Тсирил пучков
к диаграмме
п, i I)
ц к., : у.
с, %)
Применяя Р, мы получаем
(1 |)
P(Y)\ I P(Y)n,
Cr •••• °«)
что дает требуемое утверждение.
Чтобы превратить класс пучков ну (С/Х)е в категорию
S( (С/Лг) е) = S(Ar/i), будем считать по определению морфнзмом
пучков их морфнзм как иредпучков. Итак, S(A£)— полная
подкатегория в P(A'f). В следующем параграфе мы покажем, что
S(A/£) наследует большинство (хотя к не все) хороших свойств
категории Р(А'/г).
Прежде чем переходить к рассмотрению некоторых примеров
пучков, докажем один результат, упрощающий проверку того,
что предпучок является пучком.
Предложеник 1.5. Пусть Р— предпучок для этального или
плоского ситуса на X. Тогда Р является пучком в том и только
том случае, когда выполнены следующие два условия:
(a) для любой схемы U из С/Х ограничение предпучка Р на
U является пучком в обычной топологии Зарисского;
(b) для любого покрытия (U'-*U) с аффинными схемами U
и U' последовательность P(U)-+P(U')ZX p(U'XuU') точна.
Доказательство. Необходимость обоих условий очепнд-
П.1. Достаточность мм докажем в случае плоского ситуса,
оставив читателю небольшую доработку, требуемую в эта.чыюм
случае.
Из (;i) иьпгкает, что если схема V есть прямая сумма
1/ = ЦК( подсхем Vi, то Р (1'Ь= ]] Р (V,). Значит, последова-
iiviiiiiocTb (S) для покрытия (U,-*'U)i изоморфна последова-
гельностп (S), отиечающеп одноч.чемситному покрытию (U'-+U)
с U' — \J U(, потому что
[49, 4.2.4]. Поэтому из (Ь) вытекает точность (S) для
покрытии (LIi -*-U)l <=,, у которых множество индексов / конечно, а
каждое из £/,■ афф|гнно, ибо тогда сумма JJ Ut также аффннна.
Обозначим через /: U'-> U морфнзм J]_il'i ->(У, где (u',-yU)i
— некоторое покрытие. Преда .ншм U в виде объединения
открытых аффинных множеств: U=\JUt. Представим затем
§ I. П редпучки и пучки
j-l(U,) и нпде объединении открытых аффинных
f~] (Ui) = U UIk- Каждое множество / (U'ik) открыто и L', по
1.2.12, а само Ui квазпкомпактпо. Поэтому существует конечное
множество /С, индексов k, такое, что {u'j ,,-> L'i)ke. K —
покрытие. Эта процедура позволяет после дооаилепии, если iiy;-:<im,
бесконечного множества лишних членов в объединение U = (J (.',-
записать U = \J Ut п U =\jUik как объединения открытых
аффинных множеств, такие, что (и'ц, -+Ut)k ^ к есть конечное
покрытие схемы Lr, для каждого i. Рассмотрим диаграмму
P(U) ► P(U') ! P[U' xv V)
I 1 I
П ПЩ ► Л П пи*) =гп П Пи* yv u;,)
II 11
П P{vt n Uj) —► п П rw* n и»
По (а) два левых столбца точны, а по отмеченному выше
обобщению п. (Ь) средняя строка является произведением точных
последовательностей, а потому также точна. Отсюда кыгекает
ннъектнвность гомоморфизма P(U)-+ P(U'), а значит, и
отделимость Р. Следовательно, нижняя стрелка пнъектпнпа.
Простои диаграммный поиск показывает точность верхней строк;!.
Следстпми 1.6. Для любого квазикогерентнпгп пучка О\-лю-
di/.ici'i F ирсдпучак W(F) является пучком на Л'п и л fortiori
на Хе{.
Д о к а з а т е л ьс т в о. Свойство (а) для \\"(F) очевидно. СноП-
ство (Ь) пытекает из 1.2.19.
В частности, нредпучок G,, является пучком и н.юскон и --лл.п.-
iiofi топологиях. Сейчас мь! длдпм другое Док,]затол1>е1мо ггого
факта. Обозначим через G(, v схему A' Xe|ll.c- spec ГТ [У]. Для
.побои схемы U над X
Homx(U, Ge..Y)=Homspec(Zl(fy, spccZ[r]) =
= Hom(Z[H V(U, Си)) = Г{и, Си).
Следонателыю, &n{U)= Hom.r(U. €:„.х). По тогда пз I.2.J7 шл-
текает пыиолнеипе условия (о) пз 1.5.
70 Гл. II. Tvupun ппчкоя
Аналогично Ga, ( U) = Нот.» (V, Gm. Л), где «,„.*=/Y g z
® :"Л\Т, У'~'|,п это описание групп G,,,(U) показывает, как и в
случае Ga, что оба условия из l.f> ныполиспы. Значит, Gm — пу-
чпк дли плоского плм чталыюго ептуса ii:i любой схеме А".
Как Gn, так и '-hn представляют собой примеры пучкои,
определяемых но к().ммут;пiiuiiofi группоноп схеме. Напомним, что
Л'-ехсма 'J называется коммутативной групповой схемой, если
задано разложение функтора точек данной схемы
Sch/X ■ »АЬ
Sets
в котором f — стирающим функтор. Это просто означает, что
д,-|ц люГ)оп схемы У над /V на G{Y) нпедспа структура абелевоп
группы к что морфнзмы G(Y)-*~ G(У), соответствующие
Аморфизмам Y'-*-Y, являются гомоморфизмами этих групп. Иначе
пжори, G — коммутативная группа и категории Sch/A. Из
последнего определения легко попить, как можно схему
Gx = Ц А",,. Хо = X,
■=--= п
iiTii в групповую схему, где О' -произвольная коммута-
тпвпая группа (» самом деле, Gx X Gx = Ц (Хо Хх Хг) и
A',,X.vA'r«A' (канонически), поэтому групповом зако!Г
умножения GxX.Gx-*-(jx можно задать при помощи отображения,
которое на А'аХл-А', совпадает с тождестнемпым Х„У(ХХХ—*■ Хоху
Очеиндно. кяждая коммутативная групповая схема задает пред-
пучок для любою емтуса па X.
С:п-:дстпцр. 1.7. Нрсдпучок, заданный коммутативной
групповой схемой над X. является пучком для плоского и этального
сип/сов, а также для ептуса Зарпескогп на X.
Л о к ;i :i а т с л ь с т п о. Услопне 1.5(1») вытекает n;i I.2.17, а
1.5(а) легко проверяется.
Если G — коммутативная групнпнпя схема над А7 (пли spec .''),
то через G мы будем обозначай, к.чк саму данную групповую
схему, так и определяемый ею (пли групповой схемой O'(.v))
пучок.
Следующий пример чрезвычайно пажен. Он показывает, что
.чаданис эталыюго пучка над спектром поля эквивалентно
заданию дискретного модуля над группой Галуа сспарабслыюго
замыкания данного поля.
§ 1. Предпучки и пучки 71
Фиксируем поле К н рассмотрим этальнып сптус на А"
= spec А". Напомним (1.3), что всякая схема U, этальпая п
конечного типа над А', является конечном над А' л нредставпма и
виде несвязного объединения f7 = Ц ^/ спектров конечных се-
парабельиых расширений поля Л'. Фиксируем некоторое сепара-
белыюе чамыкаипе А% поля А' п положим G = Gal (A'.v/A), т. е.
выберем геометрическую точку х-*■ X схемы А' и введем ofionia-
ченнс 6' = Л|(А, х). Отметим, что G действует на А5 слепа, а
на spec(A's) = .v справа.
Пус1ь Р—предпучок на А'е|. Если К' — конечное сепарабель-
ное расширение поля К, то мы пишем Р(К') rmccto /J(spcc Av).
Пусть Мр = Iim P{K'), где предел берется по всем подполям А
в Ks, конечным над К. Группа G действует слева на Р(А'). что
индуцировано ее действием на А', когда К'/К — расширение
Галуа. Поэтому на пределе Мр также дейстнует С Очевидно,
Мр= U Мр* гле Н пробегает все открытые подгруппы в G, .чип-
чпт, МР — дискретный G-модуль (в смысле [118, 1.2]).
Обратно, для заданного дискретного О-модуля М можно
определить такой предпучок FM, что
(a) FM(K')=M«, где Н = Gal (Ks/K')\
(b) ^
Достаточно положить
где F — функтор FEt/A"-*■ G-sets, определенный по прапплу
F(U)=Homx(x, U) (ср. с 1.5.3), п заметить, что (а) 1~(К') =
= G/H; (b) (U) E
Лемма 1.8. FM — пучок.
Доказательство. Достаточно проверить условия (а) п
(Ь) из 1.5. Из спопства (Ь) предпучка FM вытекает условие (а)
предложения 1.5. Как видно из доказательства предложения 1.5,
при проверке условия (b) W и U можно б'рал> «сколь угодно
малыми в топологии Зарисского» аффинными открытыми
множествами, т. е. можно считать их совпадающими с spec// и
spec L соответственно, где U =э L — конечные ттрабе.м.пые
расширения ноля А. Пусть L" — конечное расширение Галуа
поля L, содержащее U'. Рассмотрим диаграмму
72 Гл. II. Теория /'■■■■-.on
Нижняя строка точна и силу 1.1, так как по определению
/•,„(/.) = /-\(///)Gal(Z-"/4 Отображения ГМ{Ц -+ Fm(L') п
Fm(L')-*- F,w[L") ниъектпины. Отсюда диаграммным поиском
.четко вывести точность верхнем строки.
Ti:oi'ilma I.9. Соответствия F --*■ Mr и. М -«-»- Fm устанавливают
.чК(П1иалс'нтш)(ТЬ категории S(AC() и категории дискретных 0-мо-
Oi/.ieu G-mod.
Доказательство. Очевидно, (./-гомоморфизм М —*■ ЛГ пп-
дуцпрует морфпчм пучком F.u -* I'm. Обратно, пусть Н —
открытая нормальная подгруппа п G, а Л'=-Л'.''. Ес.чп г|: Л-»-/•■'—
морфп.чм пучков, то по функторпалыюстп (р гомоморфизм ф(Л"):
F'(Л'')-*- F'{K') коммутирует с дсисгипем группы G. Слсдона-
телмю, предел Iimr|'(A'') является О'-гомоморфпзмом Mp-^Mf.
.'Iciko проперт ii, что Hoinfi (М. Н') -»• Нот (FM, FM-) —
изоморфизм, а также что каноническое оюорлженпе F -*■ Fmf сети
изоморфизм. Эюго достаточно, чтобы установить эквниалепт-
iioctii двух данных 1<атсго|1мп.
Аамечиние 1.10. Вся предыдущая теория (п часть
последующем) годится с очевидными изменениями также для предпуч-
кон и пучком множеств, ipyim, колеи п модулей над пучком
колец. Для любыл /;. X п С па ептусе (С/Х)е имеется
канонический предпучок Ui-^ V(U, Ос). Этот преднучок колец будет
обозначаться через С\Г пли просто через Ох- Отметим, что (У.\е1 и
C*x,i "а самом деле являются пучками колец п что любом ква-
.чпкогерептпыП пучок Cv-MO.T.\vieii /• (в обычном смысле)
определяет пучок моду чей \\"(F) на А'е( и А'п.
Замечание 1.11. I In самом деле доказательство теоремы 1.9
устанавливает По.п.те. чем утверждалось. Пусть G —
произвольная прокопечная группа, а 6-sets --категория конечных
множеств с непрерывным лсиым б'-деиетвпем. Назовем покрытием
С?-мпожесгва Л' всякое сюръсктиииое семейство морфизмоп
(.V, —>-5). Тогда при несколько более общем понимании ептуса
учи покрытия зад.чют структуру ептуса ня категории G-sets. По-
чтому на G-sets можно определи п. преднучкм и пучки. То же
докачате.и.ство, что и для 1.9, устапапливает эквивалентность
категории чти:; пучков и категории G-inod относительно
функтора, иеренодятего пучок F м G-модуль WmF(G/H), где предел
—►
Перстся но системе всех огкрыплх подгрупп Я в G.
В контексте теоремы 1.9 функтор U^-^F(U) = Homx(.x, U)
задает эквивалентность категории (et) /A'--G-sets (G=--n\ (X, х)),
при котором покрытия соответствуют покрытиям. Поэтому
имеют место эквивалентности категории {пучки па G-sets}«
§ 1. Предпучки и пучки 73
«{пучки на Хе\} ~ {G-модулп}. Каждая прокопечппя ipynn:i
представнма в виде группы Галуа некоторого поля (|39|; см.
также [129]), а потому теория модулем над прокопечпымп i рун-
памп эквивалентна теории этальпых пучков над спектрами
полем.
Замечание 1.12. По следствию 1.7 .iiodoii предмучок на эталь-
ном iuii плоском cirTycc, представпмып группоноп схемой,
является пучком. Более того, темп же рассуждениями можно
показать, что любом предпучок множеств па чтальном плп плоским
емтусс, представпмый схемой, является пучком множеств.
ААожмо показать, что на любой категории существует сим л я
тонкая топология, в которой все предстанммыс предпучки
множеств являются пучками. Такая топология насыпается
канонической [5, гл. I]. Предыдущее утверждение означает, что
эсальная п плоская топологии грубее канонической. В том случае
когда £-тоиолоп1я па С/Х грубее канонической, категория С/А
вкладывается как полная подкатегория в категорию пучков
множеств па (С/Л')г,
Случайно может оказаться, что все пучки представим!,! пли
пидмредставнмы. Это так, например, для этальных пучков
(множеств пли групп) над полем К. Пусть F — таком пучок
множеств, a S = Iim F(Ki), где К; пробегает псе конечные
расширения поля /С, содержащиеся в Ks. Тогда S — непрерывное
G-мпожсство, и оно предсгавимо в виде объединения S = XI ■">;,
где каждое из S,- конечно п S, л; G/Hi для некоторой открытом
подгруппы Hi в G. Значит, F представляется схемой U = Ц £,',.,
где Ut = spec Kt, К( — К"'- Так как U = Iim (JJ UЛ, где предел
берется по всем конечным подмножествам У из /, то U можно
рассматривать как ппдобъект из (6t)/spec(ft).
Замечание 1.13. Если E = (Zar), (£t) или LFT, то в Е/Х
существуют конечные обратные пределы, т. е. по всех
перечисленных категориях, которые мы назвали ситусом Зарнсского.
ътильным ситусом и плоским ептусом соответственно, сушествукп
конечные обратные пределы. Чтобы доказать это, достатмчпо
установить существование конечных произведении п
существование ядра любой пары морфпзмов (приложение А6),
Произведением семейства Uu U2 U,, из Е/Х является U] Хл ...
... Хл- И„. Существование ядра пары морфпзмов в (Znr)/.V
очевидно. В случае Е = (Н) напомним прежде всего, что любом
морфнзм f: V ->■ U из (ct)/X эталеп (1.3.6). Поэтому ">талси
морфнзм 1>: V->- U' X v U (он даже является отк|)ытым иложе-
ннел (I..3.5)). По в Sch/A' ядро пары [,, /2: U'~iU есть морфм i.\i
Гл. 11. Теория пучков
/: Uo-*-U', дли которого квадрат
Uo f » V
декартов. Нужное утверждение Tciicpi. следует из I..1..T
Доказательство и случае /;' = LFT аиа.-югпчно.
Замечание 1.14. Пусть С — произвольная категория. Решетом
в С называется такая полная подкатегория, что если В — объект
данного решета и существует морфмзм нч А в В, то Л—также
обьект этого решета. Пусть теперь (С/А')Е—некоторый ситус.
С каждым покрытием Щ — (Uj-*- U) данного ептуса можно
ассоциировать решето s{4l) в C/L' ( = (C/X)/U), объекты
которого есть все такие £У-ехомы Y-*■ И n.i C/.V, что Y-*■ U
пропускается через некоторый мс>рфм.<м Ui-*-U. Например, для
<и = {и—+и) имеем () /
Пусть Р — предпучок па (С/А')/г. Условие (S) для покрытия
^2/ из определения пучка эквивалентно тому, что естественное
отображение P(U) -*■ Iim P {Ui) задает изоморфизм (приложение
А5). Очевидно,
Им, Р (Ui) = Iim Iim P {V) = Iim P (V),
■V I/ С/У, si,U)
а потому условие, чтобы Р был пучком, переписывается в виде
PiU)-1* IimP(K)
tut)
для любого (/ и любого решета s(i/,), ассоциированного с его
покрытием.
В [54] ентус определяется как категория с выделенным
семейством решет, а не покрытии. То. что мы назвали топологией,
там называется нредтопо.чогнен. Ik-ходя из ситуса (С/А')£ в
нашем понимании, можно иеремтп к ептусу в смысле [54J
следующим способом: и качестве категории берется С/А';
выделенными решетами в C/U считаются псе решета, содержащие
некоторое решего инда 5(7/), i де ?/-■-покрытие схемы U. Так
как понятие предпучка н пучка па ентусе (в нашем смысле)
§ 2. Категория пучков 75
приводит к эквивалентным понятиям предпучка и пучки па
указанном снтусс (в смысле |5'1]), эта разница и определении «.-11-
туса несущественна [54, II. 1].
§ 2. Категория пучков
Рассмотрим ентусы (С'Д')Г и (С/Х)И. Морфнзм схем л: Л'--Л'
определяет морфнзм ситусов {С'/Х')Е.-+(С/Х)Е, если
(a) для любой схемы У из С/Х схема К( v-i принадлежит
С/Л";
(b) для любого £-морфнзма U-+Y из С/Х морфмзм
(J(.x') —*■ Vi.V) является £'-морфпзмом.
Так как upir замене базы сюръектнвное семейство морфнчмов
переходит в сюръектнвное, то такой морфмзм л определяет
функтор
л* = (Y -> К,г>): С/Х-*С'/Х'.
исрсиодя inn и покрытия и покрытия. Для простоты мы част i о-
ворпм. что д есть непрерывный морфизм п: Х'Е,—>ХЕ.
Примеры 2.1. (а) Тождественное отображение схемы X
определяет морфпзм ситусов (С/Х)Е, —> (C/X)F в том н только ип
случае, когда /Г'-топологпя па X тоньше £-топологии.
(b) Тождественное отображение па X определяет
непрерывные МОрфПЗМЫ А'[|-^Хе|->-XZar.
(c) Любой морфнзм я: X'-*■ X определяет непрерывный
морфизм я: Х'(..-+Хг, если он определен па соответствующих
категориях.
Пусть л: Х'Г.->Х1: —непрерывный морфнзм. Каждому прс i-
пучку Р' па Х'г, .можно сопоставить предпучок ля(Р')=/'' т
на Хц. Итак. л„(Р') есть такой предпучок на .\'с, что Г (U, я„(Л')) =
= Г (f/,.vi. ly)- Предпучок п„(Р') называется прямым обритом
предпучка Р'■
Очевидно, л..; определяет функтор Р (Xrf,,) -*■ Р (^я).
Определим функтор обратного образа лр: Р (XF) -> Р (Х',,Л как лепмй
сопряженный к л,,, т. е. пр — такой функтор, что
Нотр(Г)(л"Р, Р') ~ HomP(V|(P, npP').
Существование л" вытекает из стандартного результата теории
категорий.
Предложении 2.2. Пусть С и С — дне малые категории, ар —
некоторый функтор С-+С. Пусть А — категория с прямыми
пределами, a Fun (С, А) и Fun (С', А) — категории функторов С—-А
7'i Гл. //. Теория пучков
и С'-»-А. Тогда функтор
(/>-*/ о /;): Fun (С, A) -Fun (С, А)
имеет левый сопряженный.
Д о к а з а т с л ь с т и о. См., например, [ii3, стр. 321].
Применим это к С = С/Л', С = С/А'', А = АЬ п /) = л.
Условие малости категорий С и С не вызывает вопросов, когда
каждая из них является подкатегорией категории схем конечною
типа над некоторой схемой А', пбо такая категория имеет малую
подкатегорию, содержащую по крайнем мере одни объект в
каждом классе изоморфных объектов. (Покройте Л" открытыми
аффинными множествами U, = .spec,1, и рассмотрите исс
схемы, которые получаются конечной склепкой схем вида spec В,
где В — некоторое факторкольцо кольца Л,[Х|, Х2, ■■■]■) li
каждом частном случае такие тсорстпко-миожествсиные вопросы
не вызывают специфических трудностей, однако, чтобы
рассуждения пыли одновременно строгими п достаточно общими,
следует нспользова ть упнверсы [54. I. приложение] плп
следующий метод Уотерхауза. Как подсказывает интуиция, во всех
необходимых нам построениях участвуют лишь иредпучкн п
пучки, определяемые небольшим количеством информации, и
что оберегает пас от трудностей, даже когда мы рассматриваем
функторы па категории Scti/A1. По Уотерхаузу [130] предпучок Р
называется ограниченным, если существует такое кардинальное
число ш, что Р (spec Л)= limP(spec В) для всех аффинных схем
spec А/Л", где предел берется по всем подкольцам В с А
мощности ^ т. Рассматривая только ограниченные предпучкп и
пучки, мы (мо-впдпмому) обходим все теоретико-множественные
проблемы, потому что во всех частных конструкциях, по
существу, используются лишь схемы, построенные по кольцам,
которые как множества лежат в некотором множестве мощности
in. To, что эти проблемы не совсем тривиальны, показывает
приме]) пл [130] неограниченного предпучка, не имеющего
ассоциированного пучка. (Второе доказательство теоремы 2.11,
приводимое ниже, не проходит для этого примера, потому что там
встречается предел limf/n(9/. P,) но классу, который в случае
неограниченного предпучка Р нельзя заменить пределом по
множеству)
Нам понадобится явное описание предпучка обратного оПраза
я"Р, для этого мы дадим набросок доказательства
предложения 2.2 в этом частной ситуации.
Грубо говоря. r(U', ярР) есть объединение групп сечений
предпучка Р по всем открытым подмножествам, содержащим
образ множества V. Точное определение таково: (л"Р) ([/') =
§ 2. Категория пучкоь 77
= WmP{U), где предел берется по всем коммутативным
квадратам
(g, V) = V -Г-> V
с U->■ X из C//V. Морфпзмом из одного такого квадрата (g. L)
в другой (gu U[) считается Х-морфнзм h: U->L'\ с hg = srt.
Если Л': V"-* С-'' — некоторый морфнзм в С/Л', то определено
естественное отображение ограничения V(U', nnP)->-Y{Vf, л"Р),
поскольку первая группа является прямым пределом но меньшей
категории, чем вторая. Следовательно, л"Я—нредпучок.
Задать морфнзм Р-+прР'— это то же самое, что задать
отображения Р (U) -►P' (U(X')) для всех U нз С/Л', совместимые с
ограничениями. А задать морфнзм л"Р->-Р'—это то же самое,
что задать отображения P(U)->- P'(U') для всех коммутативных
квадратов
Х- >Х
совместимые с ограничениями. Но каждый такой морфпим
(У' — U однозначно разлагается в композицию V —-U(X')-*U.
Поэтому при заданном отображении Р (U) -*■ Р' (С(Л-,) мы
автоматически получаем отображения P(U)-+ P'(U'). Итак, мор-
фп.-iM Р-^-ПрР' определяет морфпзм п"Р-*-Рг, и обратно.
Предложение 2.3. Предел, определяющий V(U\ л"Р), кофиль-
трован, если в категории С/Х существуют конечные обратные
пределы.
Доказательство. Достаточно взять подходящее
расслоенное произведение или уравниватель, чтобы показать выполнение
условии, двойственных к (/|) п (f2), а также связность
(приложение Л).
Заметим, что предложение 2.3 применимо к ептугу Зарпсгкот,
эталыюму п плоскому ентусам (1.13). Когда все предел и к<>-
фн.||)Т|1Ованы, можно предложить чуть более явное описание
групп V(U', n"P). Каждое сечение предпучка ярР над V
представляется некоторой парой (s, g), где g: U' -*- U -- мор-
физм над л, a s^P(U); две такие пары, (.?,, gt) и (s2. g2).
78 Г /. /Л Теория r\iriKon
представляют один и тот же элемент в V{U', прР), если имеет
место коммутативная диаграмма
такая, что resy, у, (.<;,) = res», t-. (<;_,). Элемент» (s, g) из V(U',
л"Р) ограничивается до элемента (s.gli) пз Г(У',прР) для
V A U'.
Примеры 2.4. (а) Если Р — постоянным предпучок, то п''Р —
постоянный нре.чнучок, определенным тон же самой группой.
(Ь) Пусть л: *'"->-А'—морфпзм lit C/.V, а С'/Х' ='(СД)/А".
Тогда в категории, по которой берется предел, существует
начальным объект, а именно
U' -id-> V
X' -*->Х
Следовательно, Г((/\ п"Р)= l'(U', /'), а потому л" просто
ограничивает функтор Р па категорию С'/Х'. В этом случае мы
часто пишем Р\Х' вместо л"Р.
(с) Если л. Л'->-Лг — тождественное отображение, то ярлр(Р) =
= Р для всех предиучкои Р па XF (предполагается, что С'/Х =5
r>C/.Y).
Упражнение 2.Г). Рассмотрите л'1, когда л есть тождественное
соображение А'ц-^-.Yei млн A'ei ->- А'/;|Г; верно ли, например, что
1Т|ч:длож1 nun. 2.O. Функтор лг точа1, а ля tovpw справа. Кроме
того, функтор л" го'ген слева в каждом из двух следующих
случаен:
(:]) (I C/.V а/ществуют конечные обратные пределы
(например, при С/А' = LFT/'.V, (et)/.Y im» (Zar/A) (1.13));
(I.) л —объект иэ С/А' » С'/Х' —(СД)Д'.
Л о к <ч 1 а т е л ь с т в о. Точность лг очевидна по определению,
а л" точен справа, потому что любом прямой предел точен справа
в ЛЬ. Точность л" слева вытекает из 2.3 и того факта, что филь-
§ 2. Категория пучксо 79
троваппыс прямые пределы точны в АЬ (приложение ЛЗ), и
случае (а) и очевидна по 2.4 (Ь) в случае (Ь).
Предложение 2.7. Если F — пучок, то л-F—пучок.
Доказательство. Пусть л—морфнзм (С'/Л")£ ->-(С/Л')/..
Для любого U из С/Х положим W = UXxX'. Если (U,->*U) -
покрытие, то (t/|->■£/')— также покрытие, а потому
последовательность
F (</') - П> W) =5 /П. F (и[Хи. V])
точна. Но И\ X ии\ » (^< X iP\)'■> значит, эта
последовательность изоморфна последовательности
(n,F) (U) -> П npF (Ut) =i П npF (Ut Xu U,),
i ■ i. I
откуда вытекает, что npF — пучок.
Замечание 2.8. В общем случае не верно, что nnF — пучок, если
F — пучок. Однако в примере из 2.4(Ь) это, очевидно, так.
Понятие слоя пучка или предпучка в точке ентуса можно
определить, как только решено, что считать точкой. Хотя и
имеется подходящая теория точек и слоев почти для любого си-
туса, мы изложим ее только для этального ептуса, потому что в
этом случае точки описываются очень явно.
Важнейшее свойство точки топологического пространства, в
обычной теории пучков состоит в том, что задать пучок на
одноточечном пространстве — это значит задать просто множество
(или абелеву группу). Это уже не верно для этальных пучкон
на одноточечной схеме, если только эта схема но есть спектр
сепарабельно замкнутого поля. Поэтому в качестве точки п
эталыюй топологии на X следует брать геометрическую точку.
Пусть х — точка (топологического пространства) схемм А'.
Через х мы всегда обозначаем спектр некоторого сспарабельпо
замкнутого поля k{x), содержащего k(x), а через м.г: ,v-»-A'
обозначается отображение, индуцированное включением h(x) n
k(x). По 1.9 функтор F>—>F{x) задаст эквивалентность клтею-
piii'i S (xei) и Ab.
Пусть Р — предпучок на A%t. Слой Р* предпучка Р в точке v
есть абелева группа (и"хР) (х). В более явной форме Рх —
= Iim P(U), где предел берется по всем коммутативным тре-
•ч() Г.\. II. Теория пцчкол
угольникам
1/и
X л
со схемой U, этп.чыюп над Л', т. с. по псом этальным
окрестностям точки .V п.ч Л'. Очевидно, Рх не ланпепт от выбора поля k(x).
Замечания 2.9. (а) Функтор (Р>—~РЛ): P(A-et)->-Ab точен в
силу точности и1' (2.(j).
(b) На абелсвон группе Рх действует группа Галуа
Ga\(k(x)svp/k(x)). В самом деле, морфпзм их разлагается в
л ',
композицию х—>х—*■ X и Рх является абелевон группой
Gal (k(x)*ef/k(x) )-модуля, ассоциированного с предпучком ix(P)
на spec k(x).
(c) Пусть U—> X — этальпып морфпзм, образ которого
содержит х. В общем случае х-точку схемы U, т. е. структуру эталь-
ном окрестности, можно выбрать многими способами; поэтому
не существует канонического отображения Р (U) -*■ Рх. Однако,
когда для О уже .чадапа некоторая х-точка, такое каноническое
отображение P(U)-"Px определено, п мы его часто обозначаем
через s i—*■ .s'v.
(d) Пусть Y — схема локально конечного типа над X. Если
{Ui)—фильтрованная обратная системм аффинных А'-схсм U,-,
го легко убедиться, что каноническое отображение K(limt/()->
<—
-*\hnY(Ui) есть изоморфизм (см. 3.3 ниже). Следовательно,
если Р — пучок, чмданпип групповой схемой G локально
конечного типа пал -V, то
/\ -= liin G (U) =- G (lim U) = G {Сх, -х)) (I. 4).
Так, например, (Ga)v- = Ох. я п (Gm)- = C"Xt ^
2.10. Пусть F — пучок на Хе\. Если sGr"(6')-
ненулевое сечение, то существуют х (= X и х-точка схемы U, для
которой s.i отлично от нуля.
Д о к ;i з :i 1 с.ч i)с т в о. Предположим, что s переходит при всех
таких отображениях F(U)->FX в пуль. Очевидно, любая точка
и s U является образом некотором .r-точкн схемы U, где х —
образ точки и па А", Следовательно, по определению Fx для
любой точки и €= U существует схема V,,, этальная над t/, образ
которой содержит и п для котором s\ Vu = 0. Семейство
{Vu->-U)lll-u есть покрытие схемы U, значит, по (Si) s = 0.
§ 2.'Категория пучков 81
Следующая теорема показывает, что каждый предмучок имеет
ассоциированный пучок.
Tkopi-мл 12-1 I. Для любого предпучка Р на Л7 существует
пучок иР ни Si: и мпрфизм гр: Р-*-иР, такие, что любой другой
морфкзм гр' «з Р в пучок F однозначно определяет диаграмму
Р—*-> aP
Доказательство. Мы дадим одно доказательство для
этального ентуса п ентуса Зарнсского н набросок другого,
которое годится в общем случае.
Лемма 2.12. Пусть ХЕ—некоторый ситус.
(a) Произведение пучков на Xt является пучком.
(b) Если {Fi)i<=t — семейство подпучков пучка F, то П /'/
(где (П Fi) (V) = П (Fi (V)) — также пучок.
(c) Если ф: F->F' — морфизм пучков и Fo — подпучок в F',
то cp~'F0 (где ((p-'Fo) (U) = ф""1 (F()(U)))—также пучок: в
частности, 1<ег(ф) — пучок.
Доказательство легко устанавливается
непосредственной проверкой. Другим способом этп свойства выводится ил
переформулированного в замечании 1.14 условия (S) m
определения пучка и факта коммутирования обратных пределов между
собой.
Теперь мы переходим к доказательству теоремы 2.11 в случае
эталыюго ептуса (случай ентуса Зарнсского рассматривается
аналогично). Заметим прежде всего, что если X есть спектр
сепарабсльио замкнутого поля, то любая схема U, этальная и
конечного типа над А', однозначно разлагается в конечное
несвязное объединение U = Ц Х{ с А,- = А'. В этом случае пучок
аР, ассоциированный с предпучком Р, задается по правилу
а ф(^) есть отображение Р (U) ->Ц Р (Xt), определяемое
ограничениями.
Рассмотрим теперь произвольную схему А'. Для каждой точки
ie.\' выберем некоторую точку х н положим Р* =а(и"Р) с
только что определенным а. Пусть Р* — пучок JJ и Р' а
х "<= X Р Х
82 I а. II. Теория пучков
(f — отображение Р-—Р*, индуцированное отображениями Р -*■
> tixp(ti'xP) - *И\р(,1)х),г№ первое пмбражепне соответствует
(относительно сопряжения) тождественному отображению
прР -*ttpP, а второе шиуциропано отображением ихр -*а (м?Р) =
= /',. Положим пучок аР равным пересечению всех подпучков
пз Р*, содержащих f|(P). Пусть ф': P — F— морфием из Р в
некоторый другой пучок F. Рассмотрим диаграмму
Р—?--> аР с — , р*
F с > Т*
где i|i индуцировано отображениями ф',: P'i->Fi. Инъектпп-
ность мор(|шзмя F-*■ F* представ.шег собой переформулировку
предложения 2.10. Диаграмма коммутативна в силу фуикторп-
ал[)Ностп отображении Р *ихрР\ Гак как ф~' (F) янляется
подпучком в Р*, содержащим <\{Р), а значит, и аР, то г))
индуцирует морфием i|-n: иР->■!•', такой, что 1|-,,(р = ср'. Если i|it: aP->F—
in'opoii такой морфнзм, то кег(фо—ii) есть подпучок в Р*, со-
держащнн $(Р), а значит, п иР, т. с. '|"o = i|"i. Это завершает
первое доказательство.
В случае произвольного ентусл (С/А'),: теорема может быть
доказана следующим способом. Для любого U из С/Х
определи.^ Ро (6') как множество, содержащее все сечения s^P{U),
такие, что res?;, и(s) = 0 для любого £А пз некоторого покрытия
схемы U. Легко убедиться, что Ро — поднредпучок в Р и что со-
огпстствукнцпп факторнредпучок р] = Р/Р0 (с P,(t/) =
= P(U)/Pu(U)) удовлетворяет (S,).
1 Icno.'iьчуя обозначение нз § II 1.2 ниже, определим теперь
(aP)[U) — Mm f[°(■'?/, Р|), где проле.t берется по всем покрытиям
-- ►
°U схемы U. Итак, сечение 5 е(аР) (U) представляется парой
семспеги ((.•>,), ((',)), где (С, ->{/) — покрытие схемы U, a s,<=
е Л (£/,). 'фи этом
rcsi'i х и,, г/,- (s>) = res[/(. х Г/, ^ (5/)
для всех i', /. Два таких семеГк'пм ((s^, (^,)) и ((5/). (^/))
представляют одни и тот же элемент в (aP)(U), если покрытия
(t/,) и (С/;') имеют общее измельчение (V*), Для которого
семейства (/*), /(еР|(1//,), полученные ограничением пз (s,) и
(*'). совпадают.
Ограничение определяется следующим способом: если V->U—
морфнзм пз С/Х, а сечение s ^(aP) (U) представлено парой
§ 2. Категория пучков 84
((si), (Ui)), то rcsi', u(s) представляется парой
Очевидно, это превращает аР в предпучок.
Кроме того, любом морфпзм <р': Р—>-F из Р » некоторый
пучок однозначно пропускается через каноническим морфнзм
(р: Р-+аР. Действительно, по (St) (р'(/эи) = 0. а потому (р'
однозначно пропускается через естественный морфпзм P-*Pt. Далее
no (S2) любой морфпзм Pt->F продолжается до морфнзмя
aP^-F (Я0 (2/, —) —функтор на предпучках н /7° (2/, F) =
= F(U)), a no (Si) это продолжение единственно.
Единственным трудным местом при этом подходе является
доказательство того, что аР — пучок. Доказательство этого
читатель найдет в [5, II.1.4(ii)]. (Условие ( + ) там — это паше
(Si), a P? мы обозначили через аР.)
Упражнение 2.13. Задайте явно отображение Р(U)—*■ P*(L!)
из первого доказательства, где U — этальная схема мал .V.
Замечания 2.14. (а) Предыдущую теорему можно
переформулировать так: функтор естественного включения S(A'£)-<- Р(.УГ)
имеет левый сопряженный функтор а: Р (А'£)->- S (ХГ).
(b) Пусть л: Х'Е, —*■ XЕ—такой непрерывный морфпзм. что
л" переводит пучки в пучкп. Тогда для любого предпучка Р па
ХЕ н пучка F на ХЕ-
Homs- (л"аР, F) « Homs (аР, npF) » HomP(P, пр!:) »
~ Ногпр-(лрР, F) ~ HomS'(on''P, F),
откуда вытекает существование канонического изоморфизма
л"аР х an"Р.
(c) Используя тот факт, что предпучок Р^Р(хе\) является
пучком тогда п только тогда, когда он переводит конечные
прямые суммы схем п произведения абелсвых групп, можно \Т>с-
дпться, что ирх переводит пучки в пучкп. Следовательно, ипха ~
« аи», п каноническое отображение
есть изоморфизм, т. с. Р и аР имеют одинаковые слон.
Теорема 2.15. (а) Функтор включения S(.V,.-)-»- Р(Д» точен
слева и сохраняет обратные пределы; функтор а: Р (Xг.)-*■ S (Xс)
точен и сохраняет прямые пределы.
(Ь) Следующие утверждения равносильны:
последовательность 0 -> F' -> F-> F" точна в S(,Y£); последовательность
81 Гл. //. Теория
О-+F'->- /'-"/■'" точна в Р(А',:); последовательности O-»F'(U)->-
->- F(U)->- F"(U) гочна для любого I.' и:< С/А'. В зтальной
топологии это также эквивалентно точности последовательности
О -> К -> F, ► F"
для всех геометрических точек х.
(с) Морфизм ф: Г-+F' сюръективен в S{XE) тогда а только
тогда, когда для любого s^i'(V) существуют покрытие
(Ui-*-U) схемы U и элементы s, e?. F(U,), такие, что ф(5,-) =
= rest; и (s) при всех i. R этальнои топологии это эквивалентно
сюръективности отображения Fx —*■ F'- дл.ч всех геометрических
точек х.
((I) Чтобы найти некоторый обратный предел (например,
ядро или произведение) о S(.Vr), ним но найти соответствующий
обратный предел в Р(Л'/:); тогда результирующий предпучок
есть пучок и является обратным пределом в S(XF). Чтобы найти
некоторый прямой предел (например, коядро или сумму) в
S(.Yf), нужно най-щ соответствующий прямой предел в Р(Л'£);
тогда ассоциированный с ним пучок и есть искомый прямой
предел в S (Л',:).
(е) S(.V/) — абелева категория, обладающая свойствами АВ5
и ЛВЗ* (но а общем случае не ЛВ4*).
Доказательство. Заметим, что S(AV;)—полная
подкатегория абеленой категории, поэтому она, в частности, аддитивна.
(а) Все утверждения этого пункта, кроме точности слева для
а, являются форм;пы1ымп следствиями свойств пары
сопряженных функтором (при.можемше Л). Доказательство точности слева
для а нсполь.чуст явную конструкцию пучка аР.
Рассмотрим сначала этальнын ентуг. Если Р->Р'—ниъек-
тмииый морфизм, то и обозначениях доказательства теоремы
2.11 морфпим Р*-*-Р'* шп.ектнвен (так как функтор mJ точен),
а аР и аР' — подпучки п Р* п Р'*. Поэтому морфнзм аР-+аР'
нп-ьектмвеп и P(A'rt)- Околпачим через Г ядро морфпзмя аР-*■
-^■пР' п S(A'C(). Toi-да F = 0, потому что функтор включения
S(A'ei)-»-P(A\.i) точен слепи.
Рассмотрим теперь произиольнып ептус. Пусть Р-^-Р' — ннъ-
ектнвиып морфнзм. Покажем сначала, что морфнзм Pt—*-P't
также ннъектнпен. Предположим, что s^P(U) отображается
is .9' е P'0(U); тогда существует такое покрытие (С,-) схемы U,
что rest/,. (/($') = 0 при всех i. Из мпъективиостп отображений
- P'(Ui) вытекает, что resy.. и (s) = 0 при всех i\ значит,
U
Коммутативная диаграмма
для любого покрытия 41 схемы U показывает тгьсктмвпость
отображения Нй (Ш, Р{)-* Н° (11, Р\). Переходя к пределу по
всем покрытиям 41 схемы U, мы получаем пнъектпнпость
aP(U)-+aPr(U). Доказательство завершает то же рассуждение,
что п иышс.
(I)) Равносильность диух первых утверждении вытекает и*
(а); равносильность двух следующих уже отмечалась: чотнортое
утверждение есть очевидное следствие третьего. Чтобы
убедиться п том, что ил четвертого утверждения следует третье,
возьмем сечение s'eF'(U) с нулевым образом и F(i'). Дли
любом .v-точкм схемы U сечение s'£ при отображении F\ - ► t\
переходит в пуль, значит, оно равно нулю и силу ппъективпостн
этого отображения, откуда •>' = 0 (2.10). Пусть теперь s <=
gF(L;) — сечение с нулевым образом в F"(U). Тогда s.e лежит
в подгруппе У7', из Fi для всех *-точск схемы U. Следовательно,
для любой точки u^U существует эталыюе отображение
Vu->- U, образ которого содержит и, такое, что ограничение .ч| I'..
лежит в подгруппе F'(VU) из F(VU). Поскольку F' — пучок, л
(V,,)—покрытие схемы С, то это показывает, что s^F'(U).
(с) Пусть F-> F' — морфпзм пучков, а Р — его коядро и
P(.V£). Последовательность F-> F'-> aP ->- 0 точна в силу
точности функтора а. Поэтому морфпзм F-*-Fr сюръектшнчг
■<=>■ аР = 0 <=>■ Р = Ро (в обозначениях доказательства теоремы
2.11) <=>■ справедливо утверждение (с). Для этальпого cinya
аР = 0 тогда п только тогда, когда (аРх) = 0 для всех .v нч А".
т. е. тогда н только тогда, когда для всех х сюръектпппо
отображение F.—f-F'^.
(cl) Оба утверждения следуют непосредственно из (а). (Сч
приложение А4.)
(е) Чтобы показать, что S(A'i)—абелсва категория, осталгил.
доказать, что для любого морфизма ср: F-*■ F' из S
индуцированный морфпзм ф: coim(tp)->-im(ф) является изоморфизмом.
Но Р(А'/:)—абелева кате1ория, функтор а переводит нзоморфмч-
мы в изоморфизмы, а морфпзм fp: coim(ff)->- iin((|) из S
получается применением а к тому же морфизму в P(A't).
Я(| Г.1. //. Теория пучков
Тог факт, что S(\i) удовлетворяет ЛИГ) и ЛВЗ*, следует п.ч
(а) II (<1). (Для AIJ5 достаточно iочноеiи слова прямых
пределов.)
Упражнги'. 2.\(\. Пусть (M,)i,-i-- <ч мейство дискретных
Л'-.модулем, i.ii- (7-иекоторая прокопечпая группа. Пусть
■^.-=11 Л',-и обычном смысле, a ,VJ— подмодуль \JAVJ в Д1,, где
объединение берется по псом открытым подгруппам Н из G.
Покажите, что М есть произведение модулей М, в категории
дискретных G'-модулеп. Выведите отсюда, что произведения
неточны, т. е. что ,\В4* не имеет mccni в категории дискретных
0-модуле|"|, если группа G бесконечна. Иыпеднтс анало!ичпып
результат для S(A'e(j R случае, когда А' — спектр поля, не
являющегося сепарабсльпо замкнутым. Исследуйте этот вопрос в
S(A'zar) Д.чя /нобоП схемы А'.
Замечании 2.17. (л) Пусть (I7,)-— псеидофильтровапная
прямая система пучков на некотором стусе, a F—прямой предел
этом системы и категории предпучкоп. Тогда F для каждого
конечного покрытия (Ui-*-U) удовлепшрчег условию (S) из
определения пучка. Действительно, кажчаи ил последовательностей
/ л ft
точна. Так как нее встречающиеся здесь произведения конечны,
их можно заменить па прямые суммы. Так как прямые пределы
коммутируют с прямыми суммами, то, пергчодя к прямому
пределу, мы получаем точную последоваи-лытеть
Для некоторых ептусов, а именно для мёгеровых ентусов, этого
достаточно, чтобы /•" был пучком (111..Ч).
(li) Пели А'--схема Джекобсопа, то в предложении 2.10, к
доказательстве теоремы 2.11, и теореме 2.15 к вообще везде в
подобных ситуациях достаточно рассматривать только
геометрические точки .v, лежащие над замкнутыми точками схемы .V.
(Напомним \\9, 1.П.4]. что схема А" н.-пымаотся схемой
Джекобсопа, сети каждое замкнутое подмножегпю в А' совпадает с
замыканием множества снои.ч замкнутых точек; spec Z п спектр
любо1'о поля — схемы Джекобсопа: любая схема, являющаяся
схемой локально конечного типа над схемой Джекобсопа,
будет схемой Джекобсома.) Волос того, достаточно любого
множества геометрических точек S, та ко: о. что {х|^е5} всюду
плошо п А'.
(с) Из теоремы 2.15 вытекает, чю функторы (У7"--»/7,):
S(A'ei)->-АЬ, х<=Х, образуют уннпя -ими нос консервативное се-
$ 2. Категория пучков
мепство: дна морфнзма ф, ф' совпадают, сеч» совпадают па
слоях соответствующие отображения фо ф' при исех .v e .V, и <[■
ЯИЛЯСТСЯ ПЗОМОрфПЗМОМ, eC'.III <[ х— ИЗОМОрфИЧМ lipil BCC.X Л'f= А".
Кроме того, последовательность пучков F' ->- F'-*■ F" точи;) toi.i.i
и только тогда, кона точна последовательность 1''£ - > /v - > /'/
для всех х.
Примеры 2.18. (а) Постоянный пучок па X, определяемы!4! аб<-
левой группой М, есть пучок F» = а(Р.ц). Утверждайся, чти и
топологии Зарисского, этллыюн, плоской, ... топающих F\<
является пучком, заданным постоянной групповой схемой Мх (ср.
с 1.7). Достаточно установить их совпадение ид кпа.чпкомпакт-
пы.\ схемах, поэтому до конца этого абзаца все схемы
предполагаются квазпкомпактпымп. Пусть ло: Sch—»-Sets--функтор,
сопоставляющий квазикомпактнои схеме множество се связныч
компонент. Тогда л0 сопряжен слева к функтору Sets-»-Sch,
переводящему множество Т в схему 7",S|K.C z) = Ц (spec™), (nc-
t^ г
связное объединение экземпляров spccZ). Следовптелыю,
Homx(Y, Mx) = Uomspecz(Y, ЛГ(5рес Zi) = Нот (я„ (}'), М).
Отображения Л1->-Ыот(л0(У), М), переводящие in e M в
постоянную функцию со значением т, задают морфп.чм нреднучка
Р,и и пучок, заданный Му, и, как легко проверить, он обладает
нужным свойством универсальности. Заметим, что Fu (Y) = Мг,
если У имеет г компонент связности.
В остальных примерах в качестве ситуса всегда берется спт\с
Зарисского или этальнын либо плоский ситус.
(I)) Определим подпучок ifin в Gm, положив im,,(U) = (группа
корнем п-п степени из 1 в Г{11, Ос)). Это пучок; в
действительности оп является пучком, определяемым гругмтиоп exevnii
№„ = spec '.' [Т]/(Т"— 1). Рассмотрим кцммерову unc.ioOnou-
ti
тельность 0— * ifin->Gm—>■ Gm —> 0, где п обозначает
отображение (w—*и"): Gm(U)-*~tJ,,,(U). Очевидно, последовательность
О -+- 0,,-*- !Sm—*■ Gm точна в Р(А'Г), а значит, п в S(A',.). Однако
отображение G,,,—>■ Gm редко бывает эпиморфизмом n P(AV).
ибо пи для какой схемы U не характерно, чтобы псе сечения m
V(b\ Or)* были п-п степенью. Более того, оно, как правило, не
эпиморфизм и в S(.Y2ar), ибо это означало бы, что каждый
элемент из V(U, Ои)* локально есть «-я степень в тонн.кипи 'Л:\-
рнсского. С другой стороны, если /1 — строго локальное кольцо,
такое, что п — единица в Л, то по лемме Гемзеля
последовательное! ь
0-*щп{Л)-*А'-^* Л' >0
8Н Г.i. II Теория ццч>\ив
томна (потому чп> kd.ii,но .-1 17']/('/"'■ и) этально над Л при
любом a pp. А* (1.3.))). Отсюда по 2.15(с) вытекает, что после-
доплте.тьиос 11.
<> >№1Ц >С,„—>С..„ >()
точна в S(,V,.i) и предположении, что характеристика поля k(\)
не делит п пи дли какой точки .v е= Л.
Tci же последопате.тыюет!. точна и S(.\'n) без каких-либо
ограничении на характеристики полей нычетон. Пусть U—*■ X—мор-
фн:)м из LFT/.V, а и <^ V(L', Ои)*. 11усть (С,) — покрытие схемы
U открытыми аффинными мпожесгнамп, a U'i—>Ui —
отображение, отвечающее гомоморфизму .1, --»■ А, [Т] /(Т" — (/,), где
Ai^=Vi[Uit ('и,-), •'! "i есть ограничение и на Ui. Тогда
(U[-*U) — плоское покрытие схемы U и ограничение сечения
(/ на U'i лежит и оПра^е отображения Gm (11'Л—*■ Gm (11\\ при
любом i. С.ледчмателыю, по 2.15(с) G,,,—*-Gm—эпиморфизм
о S(.V,,).
(с) Пусп, ( //) )х —- iioerofiiniiiiii пучок, определяемый абе-
лсиоп i-pymioii //) ", где Л' — схема характеристики р (т. е.
схема, каноническое отображение Л'—*-specZ которой пропу-
р -I
скается чере i spec fr). Так как Т" — Т = Y1 С — О (в характе-
1=0
рнстике /;), то имеется изоморфизм колен
(F, [Т]/(Т" - Г)) - fa Г„,
i ' О
откуда
(spec (Fp [Т\/(Г - Т)))х ~ С/р2)х.
Поэтому
С7/>")Л- f^-'i --= {« ^ г (С/. (VI"" — « = о}-
Рассмотрим последовательность А/ична — Шрейсра для нуч-
KOI)
где F обозначает отображение а >—:■• и . Эта последовательность
редко точна и топологии Зарисского, потому что для локального
кольца А отображение F—I: А->■ А редко бывает еюръектпв-
пым. Однако если А строго локально, то F—1: А-*-А сюръек-
тнвпо (потому что А [Т]/(Т>' — Т) этальпо над А), а потому
данная последовательность точна и эта.тыти (а значит, и в
плоской) топологии.
§ 3. Прямые и опратные образы пучкчи 8(.»
(el) Пусть А' — схема характеристики р, а за,. — подпучок и
6„ с
ю,([/) = {аеГ([/, Ои)\а" = 0}.
(Если Л' не является схемой характеристики р. ъю по. группа.)
Тогда ос.р представляет собой пучок, заданный групповой схемой
¥р[Т]/(Т"). Последовательность
где Г есть отображение я>—=• а", точна л плоском топологии, но
как правило, не точна в эталиюн топологии п топологии 'Л;\
рнсского.
Упражнение 2.19. Пусть ц: G —»■ G" — морфпзм коммутгпин
пых групповых схем над схемой Л. Предположим, что С п d
локально конечного тина и плоские над Л'. Рассмотрим следую
тис утверждения:
(;i) (р — этяльпын морфпзм;
(а') ф — плоским морфпзм;
(b) кег(ф)—этальная группоная схема;
(I)') кег(ф)—плоская групповая схема;
(c) ф определяет сюръектпвное отображение пучков на A'et;
(с') гр определяет сюръектпвное отображение пучков па А'ц
Покажите, что (a)<=>(b) =>■ (с) п пз (с) не следует (I)); (а')^=>
-<=£-(Ь') => (с') и пз (с') не следует (Ь'). Здесь кег(ср)
обозначает ядро морфизма ф в категории групповых схем над .V, т. с.
ker (9) = G ха„ X — >Х
а —^-> g"
§ 3. Прямые и обратные образы пучков
Предположим, что морфпзм л; X'-*■ X определяет морфпчм ги-
тусов (С'/Х')Е. -+(С/Х)Е. Тогда прямой образ пучка Р па X't..
определяется как л»/7' = nPF\ а обратный образ пучка F па
Доопределяется как n*F=a(n»P). Напомним (2.7), что
щГ'—пучок. Существуют канонические изоморфизмы
{F, я,/7') ~ Homp/V/ s(n"F, F') « Homs/Y/ y.(n*
откуда вытекает, что л» и л* являются сопряженными
функторами S (Х'ЕА+^ S (ХЕ)- Поэтому функтор л» точен слева и ком-
00 Г.i. II. Тсорчч пучков
мутирует с прямыми пределами. Когда л" точен (2.6), функтор
.V-S(.Vlf)c=.PC.YE)-*Pir..)-^S(^)
точен слепа, л не голько cnp.uia.
Замечании 3.1. (а) Пусть л: Л"-»-Л' — морфизм из С/Л'. Тогда
я*: S((C/X)E)->S((C/X')E)
есть просто функтор ограничения, и мы обычно записываем его
гак: F<—*F\X'. (Иногда а го обозначение также используется для
л*/7, когда д не имеет этого вида.)
(b) Если l.czE\ С'/Л"с С/А', а л: X-*• X— тождественное
отображение, то сонссм не обязательно, чтобы л.л*(/г)= F.
Однако это нерпо для тождественною отображения Хц-vA'et (ср.
с 111.3.11(1))).
(c) Заметим, что л* зависит также от категории, на которой
ладан ептуе, а не to.ti.ko от топологии. Пусть, например,
л: spec k —*■ spec к— морфием, cooriuicii:\ юшнн включению поля
к и его алгебраическое замыкание /.•. Пели теперь мы возьмем
для spec к п spec Г; их большие этальиые ситусы, то л* есть
просто функтор ограничения, а потому он коммутирует с
любыми произведениями пучков. Однако читатель может
убедиться, и мы оставляем что в качестве упражнения, что, когда
для spec к и spec Л; берутся п.\ малые угальные ентусы, функтор
л* пс обязан коммутировал) с произведениями (используйте
2.16).
(d) Пусть .т. X'-*■ X — некоторый морфизм, a G — групповая
схема над А'. Предположим, что Е-топологпя грубее, чем
каноническая, так что G задает пучки Gx и GK. па ХЕ и Х'Е.
Отображение л''СУу -»• Gx,, которое переноднт элемент из Y(U', G),
представленным парой (s, g) с g: U'-*~U и seTfli, G), в
элемент
sr <= С, (Ur) = Gr (C) -= Г (V, Gx),
однозначно пропускается через :i*OV Итак, имеется
каноническое отображение ф^: n'Gx -> GX'-
Это отображение не обязано быть изоморфизмом. Пусть,
например, A' = spec&, где к — поле характеристики р, A" = spec/1,
где А—алгебра над k с большим числом инльпотеитных
элементов, и G = т.р. Рассмотрим морфизм л: Х'е1-*Хе[. Тогда
(оа„) х = 0, а потому л* (оар) х = 0, по пучок (оар)^' может быть
отличен от нулевого. Значит, гр0 в этом случае инъектнвно, но не
обязательно сюръективно. В качестве другого примера рассмот-
$ 3. Прямые и обратные образы ги.ч-j'H 'JI
рим вложение л: X'el<=— XrU где Л'' = spec If',,, а Л' -■■■ spec . /(р2).
Пме-ет место точная последовательность 0-»■ О(1 ~> л*Зт> <Y—>-
— » С,,,. Л -> 0, поэтому данное ere сюръектпвпо, но не нпъектпвно.
Имеются две важные ситуации, когда чп является п.юморфт-
мом. п именно когда л* есть отображение ограничения (т. е.
А'' —■ Л" лежит в С/Л') н когда G лежит в C/.V. Чтобы убеди и,ся
в последнем, заметим, что по определению л„ Г(6'у, /■') =»
~ l'(G,v, л,/7) для любого пучка F па А^.. Так как при этом
изоморфизме гомоморфизмы переходят в гомоморфизмы, то
Horns i.i'j (Gx-, F) ~ HomSf.Y)(Gv, ntF). Это показыпаст, что Gr ~
« л*Оу в силу единственности сопряженного функтора.
(е) Пусть я: spec К'-*■ spec К — морфпзм, соответствующий
включению полей Kt=-~Kr- Существует неканоническая
коммутативная диаграмма
КС < з К,
Пусть ty: GK'—>-GK — гомоморфизм групп Галуа, пндуннропап-
пый ограничением действия GK> па подполе А\ и /С.,.
Отождествим S(spec(/()ci) м S(spec(/(')e() с GKn\od и GK-mod. При атом
отождествлении функторы я* п я. переходят в следующие
функторы: для любого N е= G/(-mod модуль п*М имеет ту же группу,
что п N, a Gk'-действие на нем определяется по правилу аи =
= 1р(а)л, а €= Gk.', n^N; для любого Л'sО'/с-mod л4,У=
=,Иа(/<0А:')(Л'кег(*)). где Л^«имеет тот же смысл, что и и [ I 18, I. 2.5].
Легко убедиться, что это правильное описание л* и что данная
пара функторов сопряжена, откуда вытекает правильность
описания для л».
(О Рассмотрим непрерывные морфпзмы А'"•- -*■ Х'ц- --► А',-.
Очевидно, (л'л), = л'я> н л*л" сопряжен к л'л,, чпачнт, я"л"--
= (л'л)".
В оставшейся части этого параграфа схемы предполагаются
снабженными этальиой тополотпей, если не оговорено
противное. Изучим прежде всего влияние функторов л» и л* на слон.
Теорема 3.2. Пусть я: A''-»-.Y — некоторый морфизм.
(а) Для любого пучка F на A'et и любой точк\1 х' <= А"' имеется
изоморфизм (я*/7)^, «* ^Vuy т- е- сло& пучка л*/7 а точке х' изо-
Га. II. Теория iiwr '4i
морфен слою пучка F в точке л (л'). И частности, если л veto
канонический морфием л: >рие6>г.\ - ► А', /о
1\ --=-- (л*7;)ч = I" (spec ('' i..,, n"F).
(I)) Предположим, что морфием л К1<<ччи;о.\1пактен. Пусть дге.-Y,
.V =■• spec Л(д:)м.р, У—канонический мпрфизм A^ = specCV v~^ A',
,, у' ■ - v'v А'-
I
7t In
Тогда (я,/7).. = Г (А"', Г) для любого пучка F на X' и его
ограничения F — /'*/' па А".
Доказательство, (а) Положим х = л{х'). Возьмем
х = х'. Тогда коммутативна диаграмма
- х - х
откуда
(nF)x, = (ux,nF) (x') = (,i;xF) (x) = Fr
Последнее рапенспю в (а) вытекает п.ч того факта, что если
X-+U-+X — этальмая окресгност1> точки х-+Х, то морфнзм
x-+U пропускается через х -> spec C'x,я (однозначно, когда
схема U спячиа). (См. § 1.4.)
(I)) По определению If* F)(X') = \im F (U'), где предел бе-
регся по иссм коммутатишилм диагрпммпм
V
с этальнымн морфизмами U'—>-X'. С другой стороны, по
определению я» и слоев мы видим, что (л,^)х- = Пт F {U'), где предел
берется но всем диаграммам, которые получаются заменой базы
§ 3. Прямые и обратные образы пучков 93
из коммутативных диаграмм
U
с этальнымп морфнзмами U-+X. Чтобы установить изоморфном
этих двух пределов, достаточно установить кофпнальпость вто-
рого множества диаграмм в первом, т. с. показать, ччо каждый
морфпзм .?'->■ L/' пропускается через X'—>-£/и-, для некоторого
этального морфпзма U->X. Но X есть предел X = \\mU, в
котором каждое U аффнпно и эталыю над Л'. Поскольку обратные
пределы коммутируют с расслоенными произведениями (а
любой категории), а морфизм л квазпкомпактел, то X' есть предел
X' = X' X (lim U) = lim U(X'i, в котором каждое U\x-, квазпком-
пактпо, а морфпзмы перехода аффнпны. Так как U' имеет
конечный тип над Аг/, то 3?'—*-U' пропускается через некоторое
U(x') в силу следующей леммы.
Лемма 3.3. Пусть X — схема, a Y = lim )',, где (Y.) —
фильтрованная обратная система Х-схем, все морфызмы переходи
Yi -<— Yj в которой аффинны. Предположим, что все Y, квазпком-
пактны, a Z—некоторая схема локально конечного типа нас) X.
Тогда любой Х-морфизм Y-+Z пропускается через Y-+Y, О.п
некоторого /. Более того, Hom-V (К, Z) = lim Homv (К,-, Z).
Доказательство. В аффинном случае, когда A' = spec.-1,
Y,• = spec В,, a Z = specC, лемма очевгдпа п, по сутестпу,
утверждает, что если В = lim Bt, а С — конечно порожденная
—>■
алгебра над Л, то любой Л-гомоморфил.м С—*■ В пропускается
через некоторое В,. Склепкой из этого выводится общим случаи
([52,8.13.1]).
Замечание 3.4. Если F—пучок па .y'(, ладгшпыП групп;)пгм"|
схемой G локально конечного типа над Л'', то (/"'*/'') {Х')= G(R').
Это следствие леммы 3.3 п того факта, что К' — lim U', где про-
дел берется по всем коммутативным дпагрпммам n.i нача.та
доказательства утверждения 3.2(Ь).
Следствие 3.5. (а) Пусть i: Z-+X — замкнутое вложение, а
F — пучок на Zei. Возьмем точку х <= Л'. Тосда
)i = /?i.. если х=
VI-1 Гл. П. Теория пцчкоа
(I)) Пусть /': U-> X— открытое а.южепие, a F—пучок на UQi.
Нс.ш х(= j(U), х = /(л-п), 7г> (//J^/■', . {Однако (/,./■> не
обязан putiitntься нулю при х ф. j(U).)
(с) Пусть я: X' -*■ X — конечный морфизм, a F— пучок на
Л'и- //-/л любой точки х е-?. X имеет место равенство (я,/•')* =
= 11 /"'л'М', "'^с п/ьнгшеОенпс берется по всем х' с я(л'') = л", а
i/(.v') — сепарабелиная степень поля k(x') над ft(.v). /? частности,
если л — .пильный морфизм постоянной степени d, то (я./7)д.=
— ^'а'. ^f?i' Л"' — произвольная точка в Л" с л(х') = .v.
Доказательство. (;i) В обозначениях предыдущем
теоремы 2 пусто, ест x^HZ), и Z = spec (C^.v. t/o^v.v, i-) = spec (7л. ?,
если /(г) = х.
(b) Очевидно.
(c) Так как X' конечна над jf = spccC.Y. а, а Ох. г гензелсво,
то сиязныс компоненты схемы К' находятся во взаимно
однозначном соответствии со связными компонентами слоя n~'(.v)
(I.4.2(b)). Поэтому
Х'= Ц spec(t^'Vj.
откуда ^(Г) = П^'и')-
Следствии Я.О. Если л — конечный морфизм, например
замкнутое вложение, то функтор л» точен (г? этальной топологии).
Доказательство. Это непт ^^ .зеппое следствие
замечания 2.17 (с) и следствия 3.5.
Упражнение 3.7. Пусть А' — целая с\ема с общей точкой
g: ц-уХ. Покажите, что если схема X нормальна, то g,Mn = Мх
для любого постоянного пучка Л1„ на \\. Покажите, что если X —
кривая с обыкновенной двойной точкой i: zcz*X, то имеет место
точная последовательность
Что происходит п общем случае? (Указание: разложите g в
композицию 1) -*■ Х'-+Х, |де Л" — нормализация схемы X.)
Замечание 3.8. Для собственного морфнзма л: X'-*■ X имеется
более тонкий ре.чу.:1ьтат, чем 3.2 (Ь), а именно (n.F)x ^ ^ (-^г,
/-" | Х'х), где F—пучок па А", а А"^. ^- X' — геометрический слой
схемы А'' над х "=* А'. Следовательно, слои пучка n#F можно
вычислить на геометрическом слое схемы Х'/Х.
По 3.2(Ь) достаточно доказать это, когда X — строго
локальная схема с замкнутой точкой л' = х. Тогда слон (л,/7)* пучка
§ Я. Прямые и обратные образы пччкоп 95
л*/7 равен Г(Л. л«/7)=Г(А'/, F). Поэтому для доказательств.!
предыдущего утверждения достаточно проверить, что если
л: X'-*■ X— собственный морфизм, а Л' — строго локальная
схема, то Г (А", Г)-^-Г(Х'х, F\X'X) для любого пучка Г па .V (где
Хх обозначает замкнутый слон схемы Х'/Х).
Последнее утверждение есть часть теоремы о собственной
замене базы п будет рассмотрено в § VI. 2, а здесь мы приведем
лишь некоторые замечания. Во-первых, если морфизм л: А"—*■ X
конечен, то оно доказывается так же, как и 3.5(с) выше. Во-птп-
рых, если оно верно для двух морфизмов, то онп верно и для
их композиции. И наконец, когда F — постоянный пучок /Г = .И\- ,
это утверждение вытекает из существовании разложения Штеп-
па. Напомним ([51, III.4.3.1] нлп [61, 1II.1I.5|), что
[разложением Штейна собственного морфизма л: Х'-*-Х называется
последовательность X'—*Y—^-X, в которой лг—конечный
морфизм (Y = specn,(7Y), а Л|—собственный морфизм со связными
слоями. Поэтому в данном случае достаточно рассмотреть
случай строго локальной схемы А' в предположении связности Х'х
(и А"). Но тогда Г(Х'х, М) = М = Г(Х', М).
Пример 3.9. Пусть А' — целая квазнкомпактиая схема.
Обозначим через g: ъресК<=~Х включение обшей точки, а через
<3т, к — пучок, заданный пучком Gm на spec Л'. По определению
пучка g.Gm, к для любого этальиого морфизма U-*-X
Г (U, g.Gm. к) = Г (U Хх spec К, Gm) = R (U)\
где R(U) — кольцо рациональных функций на U. Имеется
каноническое включение ср: Gm, x -*gtGm Л-, которое на каждом U
есть просто V(U, O'u)t=* R(U)* Коядро этого отображения
называется пучком дивизоров Картье на A'ei и обозначается ^vpv.i
Div*.
В том случае когда схема X регулярна, дннн.юры Картье
можно интерпретировать как дивизоры Вепля. Пусть А',
обозначает множество точек к на А' коразмерности 1, т. е. таких точек
х, что Ох. х имеет размерность 1, а поэтому есть кольцо
дискретного нормирования. Пучок Dx дивизоров Вейлл на A'ei
определяется как сумма © ix,Z, где Z обозначает постоянный пучок
на х, заданным Z, a ix: x<^*X. Утверждается, что Dx « Dlv*.
Для любой схемы U, этальнои над X,
Г (U, Dx) = ф Z,
а потому определено отображение г|з: gtGm.K-*-Dx, ставящее в
соответствие f^R(U)* целочисленный вектор (ord.r(/)).„ где
{)(> /л //. /со/)//'i пчч:;оо
onl, - днгкреititjl- нормирование ii;i R{(.'), определяемое
кольцом Oi.\\. Чтобы док.чь'!ri) паше утверждение, достаточно
установить точность последовательности
0 -»• G,,,, А- —>■ £„О,„. к -- ■> /) v --> 0.
Для .iionoii точки i е ,\' соответствующем последовательностью
слоен в .v является 0 >/Г->/.'-*ф^->0, где А ~Ох,х, L —
поле частных кольца /1, ;j су мм а берется но всем простым
идеалам высоты I. Но кольцо Л регулярно (1.4), а значит, и факто-
рн;1лыю, поэтому псе простые идеалы являются главными, что
доказывает сюръектпвность i|\ Точность в других местах оче-
ппдпа. (При другом подходе можно использовать тот известный
факт, что данная последовательность, ограниченная па Uzm,
точна для люпоп схемы U, чталышм плд .V. См. [92, лекция 9J
млн |П1, П.(Ш|.)
Рассмотрим теперь следующую ситуацию: А"—некоторая
схема, U — открытая подсхема и А', я Z -подсхема в X, множество
точек которой совпадает с замкнутым дополнительным
подмножеством Z = X'-— U. Обозначим ч^н > / н j соответствующие
включения
z—»xJ- и.
Каждый пучок F на Xoi определяет пучки Ft = i*F и F2 = j*F
па Z н U. Более того, так как Нот (/•', /'*/*/) л; Нот (/*/•", j*F), го
сутсстнуег канонический морфндм F-*-jtj*F, отвечающий
тождественному отображению пучка j*F. Применяя к нему Г, мы
получаем канонический морфцзм rp^: F]—>-i*jtF2- Итак, каждому
пучку F па A'ei можно сопоставить тройку (F\, F2< fpf), где
Г, е S(Z), Fje S((7), a tp: F,-*-i*j*F?. Сейчас мы превратим это
сопоставление п ^хвпвалентность категорий.
Определим категорию Т(А'), объектами которой являются
тройки (У7!, F^, ([■■) с F|GS(Z(i), F2eS(yei) и морфпзмом
<l: Ft -*- /*/»Го. Д\о[1(|)плм()М (Fr /•".„ ф) ^{^'i- F'» ф') ^улем
называть пару (\[\, tfi), где \|-, - морфием /^-►/'J, л ■*)'•> — морфцзм
F,,-*- /'".'„ совместимую с гр п ср' в том смысле, что коммутативна
следующая диаграмма:
■?. Прямы г и обратные образы пу.цк^
Tp.opf.ma \].\0. Существует эквивалентное!!- >;игс,\>рий 8(\щ)
и Т(Л'), которая ставит в соответствие каждому пучку Fe^S(\e<)
тройку (i*F. j*F, rpF), определенную выше.
Д о к .-I 4ii i с-i i.cm о. Пусть v|- ■:= Hoins(7\ F'\: io;.i;i 11; ■ j •. i
(i'*(|), Г i (1 ) ) задает мпрфилм
(/*/•, i'F, фг) -> (/*/■■', /■•/■'. (|,-).
Поэтому имеется функтор /: S (Л',.()->- T(.V).
Для (/■',, /■■'•.,, ff)eOhT(A') определим пучок s{F,. Г:. ц) как
расслоенное проичвсдсннс пучкои i\F, n jtF-2 n;i i иГ/,/2. тик -im
s(FuF2,<?) > j,F2
— декартов кпадрлт. Мо.и.луясь снойспюм уиипереу.и.иогтн рас-
слоенных проичие.чемпм, мы получлем, <\io люС)о\\ морфпчм
(%,П- {Гг ^ T)->('vf:»4')
индуцирует канонический морфпзм
•«№. *,.): ^(F^F,. Ф)->5(^;. FL ц').
Поэтому существует функтор .*: Т(Л)-*- S(AVi).
Для каждого пучка FeS(A'ei) канонические отображения
F-*-i,i*F п F-+']*j*F индуцируют отображение F^-st(F). Чтобы
показать, что это изоморфизм, достаточно проверить декарто-
вость квадрата
1
/.■■♦Г- > Li*j.J'F
Так как функтор, переводящим пучок в сто c.inii. сохраняет
расслоенные произведения, а полное семейство таких функтором
консервативно, то данную диаграмму можно чамсинть на ее
слон. При v <= U эта диаграмма принимает вид
О » о
/*.i. //. Теория п:,чков
см. .Ч.П) ii. o'icdii.'iiii). дгкарижа. При yeZ она принимает вид
и спона декартова.
Поскольку 5 м / индуцируют изапмпо обратные отображения
м()[)(|)п:)М()н (что также достаточно проверить послойно
(2.17(с))), что доказывает эквивалентность рассматриваемых
категории.
Пусть )'--некоторая подсхема и Л', a F—пучок на Хе\. Го-
иорит, что F-пучок с носителем о У, если F* = 0 для любой
точки л' ^ Y.
Слг.дстиш; 3.11. Пусть i: Z <=~Х — замкнутое вложение. Тогда
функтор /,: S(Zei)-»-S(/Vel) устанавливает эквивалентность
категории S(Zel) и полной подкатг.'ппни в S(A"e(), состоящей из
пучков с носителем в i{Z).
Д »к a :i ;i г с."i i. с i во. Это следует in 3.10 и очевидного факта,
что носитель пучка F лежит в Z гогдл и только тогда, когда
МО имеет ипд")/7,, 0, 0).
Пример 3.12. Пусть А'= spec Л, где Л — кольцо дискретного
нормирования, Л' — поле частных кольца A, a k — поле вычетов
кольца Л, соответствующее этому нормированию. Обозначим
через Gk группу Гллуа сепарабелыюго замыкания Ks над К. Пусть
(7д-1Э D з / о {1}—ее стандартная неканоническая фильтрация
с группой разложении D и группой инерции /• Тогда D/l = Gk
есть группа Галуа поля к, Ks — поле частных гензелнзацнн Аь,
а А''—поле частных строгой гензелнзацнп Ash (1.4). Пусть
U —. spec A', a Z = spec k. Если F<=S(U?[) соответствует мо-
луио Л'е G/f-mod, то можно убедиться, например при помощи
3.2, что i*jtF соотиетствуст модулю Л'' е Gt-mod. Поэтому
задать пучок па Л'С| — это то же самое, что задать тропку
(<V|. N-i, ([), где Л'| е (Vinod, N2 e:- Ок-mod и ф: N] ->-/V' —неко-
то|)ып 0(,-гомоморф»зм. Отметим, что ф удобнее рассматривать
как гомоморфизм N1-+N2, совместимuii с действиями групп
С!к и GK.
Замечание 3.13. Последоиательпопь
(/■;, /■•.;. ф')- >(/•',, /> с,) >(/-•;', f:;, ф")
.7. Прямые и обратные образы пучков
из Т(Л') точна тогда п только тогда, когда точны последованмь-
иостн
в S(Zel), S(£7et) соответственно. Это следует из 3.10. 2.15 и
факта, что
для любого (F\, F2, (p) из T(/V). Так например, для люГнпо
пучка F на Л' в T(.Y) имеется точная последовательность
0->(0, У*/-\ Щ->(ГГ, j*F, qv) ->(CF, 0, 0) ►О.
В обозначениях, вводимых ниже, она соответствует
последовательности
из S(.Y).
Существует шесть стандартных функторов
Отождествив S(A') с Т(Л'), мы можом описать их следующим
обралом:
Г: Ft^(Fu Fu ф), /,: (0, /•',„ 0) —-/-?,
/.: /7,^(^",, П. 0), /*: (/•,, F2l T)f-»f,,
<!: ксг(Ч.)*-н(/-„ Fj, ч), /,: ('7Л. /',■. !)*-/>
(Функтор /, есть «продолжение нулем»; г «ьылелясг нодну^'ж
сеченпп с носителем в Z»; для /". через 1 обозначено тождес1вгп-
нос отображение на i*/»F2-)
Предложение 3.14. (а) Каждый из этих финкторп,! сонр.чжен
слева к стоящему ниже него в приведенном списке.
(1>) Функторы I*, и, Г, /, точны, а /„, /' точны с.\евч.
(с) Композиции i*j., i'/,, £'/„. /X равны нулю.
(А) Функторы п, /, вполне унивалентны, а носитель пучка
FgS(A'Pi) лежит в Z тогда и только тогда, когда Fzzi*F\ для
некоторого Л е S(Z<.().
(с) Функторы У,, У", /', it переводят инъекгионые объекты в
инъективные.
Гл. II. Тесрия пцчиов
Доказательство. Пункты fa), (I)), (с) и (с!) легко
вывести п.ч уже докиданного, а (о) следует iij (а), (Ь) и очевидного
(j);iKiu, что (|)yiii(io[), обладающий ычнм.м сопряженным слева
функтором, сохраняет нпъекгпвные объемы (см. III. 1.2 ниже).
Пример 3.1.1. Пусть Л'= ьрсс Л, не .1 ■- кольцо днекретпиго
нормирования н.ч ,4.12. Используя тропки пч 3.12, можно описать
рассматриваемые функторы следующим образом:
/'(Л1,. А',, ч-) =- Л',. /■ (.V) -(О, .V, 0),
/, (.V) =- (.V, 0, 0), Г (Л',. V,, q.) =-- Л',,,
'"('V|, Л'... ()|=кс|-(ф), /.(V) (;V, .V, I).
Упражнение 3.10. Пусть Л — нормальная связная схема
размерности одни, например гладкая кривим, а ц: i|<^*A' —ее
общая точка. Положим G — Gal (t;{t\)/k(r\)) и G(v) =
— Gal (f:(C>)/k(v)), v e Л'", 1де точки i] и v выбраны так, что
/v(i|) = A:(i)).,, k(v) -— k (а)ь. Для каждой точки I'G.l0 выберем
некоторое нложенпс 6^.1.^*^(11); >w вложение определяет
фи тьтрапшо G ^> /);.. zr> I^ id {[} п и.нщорфи.чм Dv/Iv—»- G (v).
Рассмотрим семс-iicTua (,\/, (Л/,., (р:.), v), где М — дпекротпыи
6'-.мс)ду.т|), ЛГу — дискретный G(e) -Mo.'iy.Tii, ф„: М-^-уМ'" —
отображение, совместимое с действиями г|>\пи G(v) п G, п супюст-
iiytM непустая открытая подсхема /'с:.\, такая, что ц^: Л/„—►
->■ М n.ioMop(|)ii;iM для vclU. Прснпашм множество таких се-
MCiicTii р. ка и -торию /W(.V,.|), взми п качестве морфпзмов
семейства оюиражечшп ("»]', (^\)и. 1;= Л- )> сохраняющие все заданные
структуры.
(а) Для Л" ez S(.Vei) положим /«(/■") = (/-\|( (1-\, ф^)), где q;u;
/■' > 1~\ — оюбражемне коспец/и/.чшщии, ппдуцпронанпое
вложением (f,\. v <=^- к (i'|). (Грубо Г()ио|)я, ф„ есть отображение
l: [Ox,J->F(k(x\)).) Покажите, что m (/■')€= М (Л'е|) тогда п
только то;да, когда /-'--пучок, локи.шно постоянный в общем, т. е.
мнда еутеавусг аталыюс отображение W-+-X с 1)'фЯ5,
такое, что /-"| 6" —постоянным пучок.
(1>) Покажите, чго ;/; определяет ■-жпнпа.тентиость ка roi орпи
п\чкоц, докл.TI.по постоянных в общем, и категории M(.VM).
(с) П\чп. m (!■') = (Л1, (ML,, ([■■■)). Покажите, что
(d) Пусть Л/—такой G-модуль, что ,W = M'V для нсс.х v 115
[ i L1 к; i r v. p i: i о iionu'toif) открытого jii';•'::'"> :-кестРП в Л', а /^ — пу-
.4. Прямые а обратные образы пцч\г>п I'"1!
чок n;i I). заданным модулем М; покажите, что m (£./"„) -- ' W,
(Л/''1, (f,,)), где яч> есть включение .V/'iic*.U.
(с) Оппшпге шесть функторов /*, j мри помощи М.
Замечание 3.17. Следствие 3.11, п частности, применимо, koi.m
U — пустая схема, т. е. когда i: Z-*■ X есть сюръектпппое
замкнутое вложение. Это так, когда Z является замкнутой подсм-.мпн
в Л', заданной пнлыютептпым пучком идеалов. В этом случае
г*: S(Zt.|)~»-S(.Vei) есть эквивалентность категорий с кватпобр.-i i -
пым функтором 1*. В действительности это утверждение ныни-
дптся пешнредечнеппо 11.ч 1.3.23, где доказано, что функтор
}'i—>}'(/, (н-\ 'inecTiuMCT -Лчнпналсптность категории (е()/.\--
M)/
В более oonieii ептуапип [54, V111. 1.1], когда гт: К->.\' при
пзвольпып yuiiHopca.Tbiihii'i гомеоморфизм, оба последних утиерх.-
депия остаются в силе, т. е. (ei)/Y<=~ (ёt)/А' п л,: S(l'e;) '—*■
—>-S(A'i.|). Как известно ([54, VIII. 13)1, морфпзм л яв.тяс.чя
универсальным гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда он
цел, сюрьсктпвсп и радикален. Примерами таких морфпзмои
являются морфнчмы .\®кк'-*-Х. где X — некоторая схема пал
полем /с, а к' ---чисто песепарабелыюе расширение ноля к, или
морфпзмы Л''-»-Л', где А' — геометрически однолистная схема, а
А" — нормализация схемы A'reJ.
Замечание 3.18. Пусть /: U -*■ X — объект в С/Х для
некоторого ептуса (С/А');; (не обязательно эталыюго). Покажем, что
j* имеет сопряженным слева функтор /,, обладающий многими
свойствами функтора /,, которым был определен выше в частно;1!
ситуации предложения 3.14. Этот функтор по-прежнему будет
называться функтором продолжения нулем.
Пусть/j —функтор C/U-* С/Х, р (y -±+ и) = (y JX х).
Функтор
(/W о р): FunCC/A", Ab)-*Fun(C/cy, Ab)
есть функтор /'': Р(Х)-*- P(U) из § 2. По 2.2 оп обладает
отряженным слепа, который мы обозначаем через /,: Р (U) -* Р I.Y).
В бо.тее явном виде для Pg P(U) п V е С/Л" имеем (У,/5) (К) - ■■■•■
= \\т Р(У'), |до предел берется по всем коммутатмвмым ки i-
дратам
у ♦ V
V
1 nj Гл. II Теория nifiKoa
п i С/Л'. Данный предел расщепляется и сумму
(ij')(v)= 0 нш/»(П.
Horn (l't Ui
где -S((|) обошачлег множество квадрптп с (V-*■ V"-*■ U) = ф.
Тик как S{>{>) имеет коночным объект (квадрат с V = К), то
где Г., обочначпет об'ьсм<т V ■—*■ U и C/U. Поэтому функтор /,
ючен. Отметим, что если / — открытие п.тоженпе, то (/|/D)(l/)==
=/'(1'') для К-+Л', пропускающихся чере;! U, и иу.'м. в
остальных с.чучлях.
Для пучкон определим /', как :;-:.:::" ""шю
S (.V. с^ р (X) -Л Р (Y/) -V S {U).
Очег.п.ща ею сопряженность к /*, фупкюру ограничения.
Поскольку он инлиется .чейым сопрм/кеппым, он автоматически
точен спраиа, п он точен Ciena, потому что яи.чястся KO.Miio:iiimicii
фупк'юрои, точных с.чена. Когда (С/Л)? ~_- Хе\, а / — открытое
п.Ю/кепне, что, мшечпо, пршюдпт к смарому определению.
И .(с1кл1пчеппе рассмотрим обоотеппя нп иропзиольпып ептус
пекшорых стапдлртиых копегрукцпп для иучко» мпду.чсП. Пусть
Л - пучок кмммугппшпил колец над анусом (С/.V)/;.
Обозначим чере;; S(.\Y, ,1) категорию пучкоп /1-модулсн. Если Л—по-
сюяппыи пучок . , то S(.V, /1)= S(A').
Пусть 6' — ii''. коюрый предпучок множеств па Хг. Предпучок
I'S модуле!! над А с. PS(U), равным свободному Л (СУ)-модулю
с образующими iij S(U) для любого U, и очевидными
ограничениями насыпается свободным предпцчком Л-модулеп,
порожденным S. Л ее о u it и р ои а и и ы ii с ним пучок F(S) = aPS называется
аюиодным пучком Л-модулеп, порожденным S. Для любого
пучка Л-модулеп М
IIom(5, M) ~ Homp,.v./i,(RS\ М) « ПошЯи. aj^, AT).
Для любой пары пучков /1-модулей f-\ п Fi определен пучок
Пот,., (Г,, Г,): (J 1--:-1 loins w. л\и, (Fx \U, Г2 \ U).
,lii ко пронерть, 4i;i ")то деГктпнтс-.чыю пучок.
Д|я любой пары пучкоп Л-мо.чудеп F\ и F-г пучок F\ 0ц
опреде.мяется как пучок, ассоциированный с предпучком I)*
l:V®F
Существует также пепосредстпеппля конструкция тензорных
произведении. Рассмотрим F\ X ?г как пучок множеств и опре-
§ 3. Прямые а обратные образы пучков [ 03
делим отображения
FiXFlXFa-*F(FlXFs)
(/л,, т[, т2)«->(ш, + т[, т2) — (ш,, »«,.) — (»/[, ш.,),
(a, ;/f|, ша)ь^(шИ|, ш2)—a(m[t m.>),
AXF]XF2-*F(FlXF2),
(a, mu "*2)|~~5Р"(/П1> onto)— a{tn\, щ)
Тогда F\ ®л Fi есть наибольший факторпучок снободпого пучка
F(F\XF2). для которого образы определенных выше
отображении переходят в нуль при гомоморфизме F(F\ X F2)—*■ 1:\ <£> i F?.
Это вытекает из того, что предпучок U <—* F\(U)<Z>a{I,, FJL')
есть наибольший факториредпучок сиободпого предиучка
P(F\XFi) с соответствующим свопстпом.
Имеются стандартные изоморфизмы сопряжения. Пусть F\,
F2 и- F3 — пучки пли предпучки ^-модулей. Отображение F\X
Х^72->/Г1 называется А-билинейным, если Л (<7)-6ii.iiinciUii.i mr
отображения F\ (U)X Fi(U)-*- F3(U). Обозначим через Biliiii(/",,
F2, F3) группу всех таких отображении.
Предложение 3.19. Имеются канонические изоморфизмы
Hom^CF, ® F,, Рл) ~ Hom^F,, Ноптл(^. F3)) « Bilin , (Fh F,\ /■',).
Доказательство. Изоморфизм
UomA(Fi®AF2, F3) » ВШпл(/',, f.,; F3)
очевиден по второму определению пучка F[®AF2.
Доказательство того, что
B\\inA(Fit F2, F3) « HomA{Fit Hom^iF.., F.,)),
совпадает с обычным доказательством в случае модулей пал
кольцом.
Пучок Л-модулсп F па .V,.( называется пссвдокогсрснтным и
геометрической точке х схемы Л', если существует эта.тьппя
окрестность U-*■ X точки х и точная последоватс.чьпогть пучком
(A\U)m-^(A\U)"->-F\U-+Q на t/e( с конечными /н, /;.
Пгг.дложг.нш- 3.20. Пусть х — геометрическая точка cxcmi>i X.
(а) Для любого пучка множеств S на Х#\ слой (FS)i равен
/r(Sx)) т. с. является свободным А*-модулем с образующими
из S.c
101 Г.I //. I Сирия nil'IKOO
(Ь) Если Ft — псевдокогерентный пучок в х, то
\iomA{Flt /■\>)je = Hom.i_e (/-"lv,
.(с) Для любой пары пучков F\ и !'ч
Д о к а з и т с.1! ь с т в о. (а) Операция сопоставления свободного
модуля некоторому множеству коммутирует с прямыми
пределами (являясь леным согфижеп::;,::.: функтором). Поэтому
(I'S)K ■--- (PS)x = lini PS (U) = /•' (Mm 6' (£/)) = F (Se).
(b) Заключение, очевидно, справедливо для F, = A, и обе
стороны доказываемого соотношения коммутируют с конечными
прямыми суммами по первому аргументу. Теперь доказываемый
результат следует из леммы о пяти гомоморфизмах.
(c) Тензорные произведения коммутируют с фильтрованными
прямыми пределами.
Для любого пучка Fo функтор Ft—>F®.\F0 точен справа. Это
очевидно по 3.20(с) для этального спгуса и может быть
проверено непосредственно для произвольного ептуса. Пучок
*4-модулей Fo называется плоским, если соответствующий функтор
также точен еле»а Очевидно, пучок Fo па этальном снтусе является
плоским тогда и только тогда, когда все его слои плоские.
Предложение 3.21. Пусть Р — предпучок, a F — пучок.
Обозначим через P*F функтор £Л->P(f/)®/i((,)F(f/). Тогда а(Р * F) —
P®F
Доказательство. Ноггц {а(Р « F), F') жНоп14 (Р*/=", F') «
F- F')zz\r\omA{F, Hoin,4(P, F')) « ВШпл (аР, F;
F')x HomA(aP®F; F') для любого пучка F'.
Упражнения 3.22. (а) Пусть я: Х'Г,-> XЕ— морфизм ептусов.
Покажите, что л* Нот (л*/7, F') « Пот(/Г, л»Р) для любых пуч-
кои абел14)ых групп F па Хг. п F' па Х'г,.
(Ь) Обозначим через Set(C/.V)r категорию пучков множеств
па ептусе (С/А')£. Пусть я: (С/Х')Е--> (СД)£—непрерывный
мо|)фпзм. Покажите, что существуют сопряженные функторы
я„ я*: Set (X'E>)I*Set (*E)
с (ntF) (U) = F (U(x')) для любого U из СД. Покажите, что если
и С/Х существуют конечные обратные пределы, то эти функторы
совпадают по модулю групповой структуры с соответствующими
функторами, определенными для пучков абелевых групп. Для
морфпзма /: U-*■ X из С/А' установите существование сопряжен-
Библиографические замечания IП5
пого слева к функтору /*: Set (С/Л')£-> Set(C/U)E функтора /,.
Для пучка F, представленного схемой Z/U, покажите, что /,/•"
представляется Х-схемон Z-*- U'-*■ X. Выведите отсюда, что если
G—коммутативная групповая схема над U, то jfi (где G
рассматривается как пучок абелевых групп) Ф jfi (где G
рассматривается как пучок множеств).
Библиографические замечания
Основную часть материала этой главы можно найти в [5] и па
несколько ином языке в [54]. Краткое, но полезное резюме па
языке [54] имеется в [41]. См. также [90].
когомологии
Существенная часть формализма, относящегося к когомоло-
гиям, определенным с помощью производного функтора, к кого-
мологпям Чеха п к высшим прямым образам, проходит почти
без изменений для пучков на эталыюм и плоском ептусах. Более
того, при выполнении достаточно общих условий этальпые ко-
гомологнн Чеха совпадают с этальпымн когомологиями,
определенными с помощью пропзводпого фупктора. Когда базисная
схема есть спектр поля, этальпые когомологии совпадают с ко-
гомологпямп Галуа. Для гладкого алгебраического
многообразия над полем комплексных чисел .С, этальпые когомологии
пучка кручения совпадают с когомологпямн относительно
комплексной топологии. Этальпые когомологип совпадают с когомо-
логпямп относительно топологии Зарпсского для пучков,
заданных квазикогерситпыми пучками модулей, и с плоскими когомо-
логпямп для пучков, заданных гладкими групповыми схемами.
Как обычно, //' имеет явпую интерпретацию через главные
однородные пространства, а поэтому технику этальных когомологнй
можно использовать для их классификации.
§ 1. Когомологии
Напомним сначала некоторые определения и факты из теории
абелевых категории. (См., например, [29, гл. 6, 7] пли [45].)
Вес функторы между абелевымп категориями предполагаются
аддптнппымп.
Пусть А — абелева категория. Объект / из А называется
инъективным, если функтор М ь-> HomA (M, I): В -> АЬ точен.
Говорят, что категория А содержит достаточно много инъектив-
ных объектов, если для всякого объекта М из А существует
мономорфизм из М в некоторый ппъектшшый объект. Пусть А —
абелева категория, содержащая достаточно много ппъективных
объектов, а /: А->-В — точный слева функтор пз А в некоторую
другую абелеву категорию В. Тогда существует единственная с
точностью до канонического изоморфизма последовательность
функторов R'f: А—>В, < ^ О, называемых правыми производ-
/. Когомо.югии \i)7
ными функторами функтора [, которая обладает следующими
свойствами:
(a) R°f = f:
(b) R'f{I)= 0, если / — ппъективным объект и i > 0;
(c) для любой точной последовательности 0 —»- Af —*- Л/ —*■
-+М"->0 в А существуют морфизмы д': /?'7(ЛТ")->-/?|('/(^'')
при ( ^ 0, такие, что точна последовательность
(d) сопоставление из п. (с) длинной точной
последовательности короткой точной последовательности функторналыю.
Объект М из А называется {-ациклическим, если /?'/(Af) = 0
для всех i > 0. Если объект М имеет резольвенту
0->М->Лг0-»Лг1-н>-Лг2-> ...
с /-ациклическими объектами N', to объекты R'f(M)
канонически изоморфны когомологиям комплекса
Чтобы применять эти результаты к функторам из S(.Y£),
необходимо убедиться, что там имеется достаточно много нпъек-
тпвных объектов.
Предложении 1.1. Категория S(XE) имеет достаточно много
инъективных объектов. *- '
Доказательство^ Мы приведем два доказательства,
одно — для этального ентуса, другое — для общего случая.
Лемма 1.2. (а) Произведение инъектиё'ных объектов инъек-
тивно.
(Ь) Любой функтор /: А-*-В, обладающий точным
сопряженным слева функтором g: B->-A, сохраняет инъективные объекты;
так, например, если л — непрерывный морфизм ситусов, то функ-
тор.п* сохраняет инъективные объекты, еели л* точен.
Доказательство, (а) Очевидно.
(Ь) Пусть / — пнъектнвный объект из А. Функтор Afi—=»
н-^Нотв(Л/, //) изоморфен функтору М к—» HomA (gM, /), а
последний функтор точен, так как является композицией двух
точных.
Рассмотрим этальный ептус. Пусть их: х-> X —
геометрическая точка схемы X. Категория S(Jcet) изоморфна АЬ, а потому
имеет достаточно много инъективных объектов. Пусть F «=
. Для каждого х^Х выберем вложение u\F-* 1:'х пуч-
108 Га. III. Когоыологии
ка i/'Fb пнъектпвнып пучок. Положим F'= \\ttrn\F и F" =
= II «л.^х- Тогда канонические отображения F-*-F* и F*-*-F**
янляются мономорфизмами (И. 2), а объект Z7** пнъективеп
по 1.2.
Перейдем теперь к произвольному ептусу. Напомним, что
семейство объектов (Л/),е/ категории А называется
семейством образующих для А, если для каждого мономорфизма
В-*■ А из А, не являющегося изоморфизмом, существуют
индекс / и морфизм Aj-+A, не пропускающийся через морфизм
В^Л.
Лемма 1.3. Любая абелева категория, удовлетворяющая
АВ5, АВЗ* и допускающая семейство образующих (At), имеет
достаточно много инъективных объектов.
Доказательство. Пусть А = Ц At. Тогда функтор
М>—г» Нот (Л, М) вкладывает А в категорию левых /^-модулей,
где R обозначает кольцо Ногти (/1, Л). Дальнейшее
доказательство основывается на изучении этого функтора (см. [29,
6.32]).
Чтобы установить 1.1, остается проверить существование
семейства образующих для S(XE). Для любого морфнзма
/: U-*■ X из С/А' обозначим через '/*и пучок ^Z, где
Z—постоянный пучок на Ue, определяемый группой Z (II. 3.18).
Тогда
Нотх (1и, F) « Ноту (Z, F \U) ~ F(U),
а потому в качестве семейства образующих для S(A'£) можно
взять по одному пучку У. и в каждом из достаточно большого
числа классов изоморфных объектов категории С/Х.
(Конечно, необходимо показать, что его можно выбрать так, чтобы
оно было множеством, ср. с замечанием после II. 2.2.)
Замечания 1.4. (а) Если мы рассмотрим этальпый ситус на
X — spec К, где Л' — некоторое поле, то но предыдущей
конструкции для категории G-mod -- S(.\'ei) мы получим мпоже-
стио образующих (Z[(7///])w, где // пробегает все открытые
подгруппы в G = Ga\(Ks/K). Более ранняя конструкция дает
для модуля Л'е G-mod пмъектнвное вложение вида N^*-Ма (Л"),
где N-> N' — ннъективное вложение для N как абелевой группы,
a Mn{N')= Conts Maps(G, Л;/) — такой же модуль, как и в [118,
с. 18].
(Ь) Пели в (а) группа G бесконечна, то сравнительно просто
показать, что 0 является единственным проективным объектом
в G-mod = S(A"C|). Категории S{Xr) редко имеют достаточно
много проективных объектов.
§ I. Когомо.югии
Теперь мы готовы к определению правых производных
функторов для произвольных точных слева функторов пз S(A'£) в
некоторую абелеву категорию.
Определения 1.5. (а) Функтор Г (А', —): S(A'£)->Ab с
Г (A', F) = F(X) точен слевл, и его правые производные фупкю-
ры обозначаются через
Группа Н'(Хе, F) называется i-й группой когояо.югий ептуеа
Кг. с коэффициентами в пучке F.
(b) Для любого U->-X из С/Х правые производные функторы
для Ft-^F(U): S{XE)-*-\b обозначаются через H'(U, F). Эти
группы (временно) следует отличать от групп H'(U, F\U).
(c) Функтор включения i. S(Ar£)-> Р(А'е) точен слева. Пго
правые производные функторы обозначаются через H'{XF,F)
или npocTo_//'(F).
(d) Для любого фиксированного пучка Fo па Xf: функтор
F>—*-Homs{Fo, F) точен слева. Его правые производные
функторы обозначаются через R1'Horns (Fo, —) = Exts (/'(,, — ).
(e) Если Fo и F\ — два пучка на А'^, то по определению
Mom(/r0,/'i) есть пучок U*—^Hom [Fo\ U, F\ \ U). Фиксируем Fa
п рассмотрим функтор
F ■-» Horn (Fo, F): S (Xe) -+S (Хв).
Он точен слева, и его правые производные функторы
обозначаются через Ext'(Fo, F).
(f) Для любого непрерывного морфпзма л: Х'Е,-* XЕ
определены правые производные функторы /?'я» функтора л,: S(iV^.)->
—»S(A'£V Пучки R'n+F называются высшими прямыми
образами пучка F.
Оставшаяся часть этого параграфа посвящена изучению этих
функторов.
Замечание 1.6. (а) По определению функторов Ext' короткая
точная последовательность пучков 0 -> F'-*■ F->- Г" ■-*■ 0
индуцирует длинную точную последовательность групп Ext по нто-
рому аргументу. Она также индуцирует длинную точную
последовательность по первому аргументу, т. е. при фиксированном
Fo имеет место длинная точная последовательность
1(F", Fo) -> Ext' + I (F, F.>) ->....
Действительно, пусть Fo-*-!' — птп.ектпвпая резольвента пучка
Fo. Тогда имеется точная последовательность комплексов
0->Hom(F"t /-)->.Hom(F( Г)-» Нот (Г, /')н->0,
ПО Г.) III. Ко.',).\ш.ю.чш
из которой стандартным способом можно получить требуемую
длинную точную последовательность.
(Ь) Для любой абелевой категср:::: группу Exll(F, F') также
можно интерпретировать как группу расширении Йопеды, т. е.
как группу всех точных последовательностей
по модулю некоторого отношения эквивалентности; см. [89].
(c) Функтор Н'(ХЕу F) контравариаптсн по ХЕ; если функтор
п: S(XE)->S(X'F/) точен, то отображения Н'(ХЕ, F)-*Hl{X'E,t
л*/7) индуцированы естественным отображением 11° (X, F)-*-
->- //°(А", л1/7) в силу универсальности производных функторов
(|29, 7.12]).
(d) Функторы из 1.5 и их правые производные функторы при
подходящем расширении зависят только от категории пучков
S(A',r). Так например, если л: Х'-*-Х— универсальный
гомеоморфизм, то S (А^() « S (ХеЛ (П. 3.17), и для пучка/7 па A^t,
соответствующего пучку F' на Х'е1,
H'(Xtl, F) ~ W (X'el, F),
п.Н1(Х', F') = H'(X, F).
(с) Функторы из 1.5 не независимы. Например, имеется
изоморфизм функторов r(/Y, —)« Hom(J, —), где Z обозначает
постоянный пучок па ХЕ, определяемый [',. Поэтому И'(Х, —) «
ж Ext'(^", —), т. е. группы когомолопш есть частный случай
групп Ext. Кроме того, легко убедиться, что H'(F) является
предпучком Ut—>H'(U, F) (возьмите шп.ективную резольвенту
п вычислите дне группы, H'(F)(U) и H'(U,F)). Более глубокие
связи, пспользуюиц'с спектральные последовательности,. будут
указаны ниже в этом п следующем параграфах.
Пример 1.7. Приведем интерпретацию некоторых p
ных функторов в случае этаЛтЛого ептуса на X =ь &рес К*
К-^ поле. Напомним, что S(A'e() ж G-mod,"rjj,e G = Cal /t/^J
(а) Пусть F — пучок, соответствующий йодулю М. Тогда
Г (Л", F) = MG, а потому
//' (A', F) = Н' (G, М) = И1 (К, М),
где дне правые группы есть группы когомологнй Галуа в смысле
Серра [118].
§ 1. Когомологии
(b) Если пучки Fo и F соответствуют модулям Мо п М, то
Hom(F0, F) = Homc(M0, М) и Exts {Fo, F) = Ext« (Мо, Л/J, где
Ext'; обозначает Ext в категории G-mod.
(c) Если f0 и F| соответствуют Мо и М|, то Нот (fo, Л)
соответствует модулю
у HomAb(M0, М,)"=у Нотя(М0, Л/,),
где // пробегает все открытые (нормальные) подгруппы в G.
(//'"■действует на НотАь(Мо, М\) по правилу a(f) — ofa-1,
а е//, /: Мо->-М|.) Обозначим эту группу че^ез Homc(M0, Mj).
Если модуль Мо конечно порожден, то'Л'Ното (Мо,' М\) =
= НотАь (Мо, М|), но обычно это не так при произвольном
модуле Мо. Производные функторы для М\—>Hom0(Mo, M)
обозначаются через Exto(M0, M).
Благодаря следующей лемме правые производные функторы
можно вычислять, используя классы объектов, отличные от
класса ннъектнвиых объектов.
Лемма 1.8. Пусть /: А->-В — точный слева функтор аболе-
вых категорий. Предположим, что А имеет достаточно много
инъективных объектов. Пусть Т — такой класс объектов
категории А, что
(a) любой объект из А является подобъвктом некоторого
объекта из Т; ■«._. ^
(b) если А ф А' е Т, го Л е Т;
(c) если 0->/1'->Л -> Л"->(?— точная последовательность, а
А и А' лежат в Т, го Л"еТ и последовательность 0-^/Л'—>-
->f/l ->-/Л"->0 точна.
Тогда все инъективные объекты лежат в Т и все элементы из
Т являются [-ацикличными. Поэтому функторы R'f можно,
вычислять, используя резольвенты из объектов класса Т. ...
Доказательство. Пусть / — ннъектпвпып объект из А.
Вложим его в объект А из Т. Так как / нпъектпвеп, он является
прямым слагаемым объекта А, а потому лежит в Т по (Ь).
Пусть А е Т. Рассмотрим его пиъектпвпую резольвенту
0->Л->/°->/'-> ..._>/'-■_>/'->....
Определим по индукции объекты Z' так, чтобы
последовательности
были точны. Тогда по (с) объект Z' лежит в Т, откуда по
индукции вытекает, что каждое Z' лежит в Т. Кроме того, точны по-
112 ГЛ. III. Ко?п.:ю.1О.-1Ш
следоватслыюа н
значит, R'f(A) — О при всех i > О.
Примеры 1.9. (а) Класс всех нпъскшвпых объектов категории
А, содержащей достаточно много шгьсктпвпых объектов,
удовлетворяет требованиям леммы 1.8 при любом /. Пункт (и)
выполняется по предположению, п, как легко проверить, прямое
слагаемое ипъектпвпого объекта пньектпвно. Для (с) заметим,
что в силу ппъективпостп Л' последовательность 0-*А'-*-Л-*-
-у Л"-* 0 расщепляется, а потому А" выделяется в А прямым
слагаемым и пиъектнвен. Но всякий точный слева функтор
сохраняет точность таких последовательностей, потому что он
сохраняет прямые суммы.
(b) Пучок F па топологическом пространстве X (в о,бычном
смысле) называется вялым, если все отображения ограничения
F(X)-y F(U) сюръектнвпы. Класс вялых пучков па А
удовлетворяет требованиям леммы 1.8 при / = 1 (А, —) п т. д. (см.
Из, п.з]).
(c) Пучок F па ептусе (C/X)L будет называться слабым, если
Н'(О, F) = 0 для всех U из С/Л п всех / > 0. Это понятие
совпадает с понятием вялого пучка и:» [5], по отличается от
понятия вялого пучка и [54, V. 4.1]. (По определению из [54] F —
вялый пучок, сели для любого пучка множеств 5 на Хг. все
высшие правые производные функторы для функтора F'i—*•
> ->llom(6\ /•") равны пулю для F; поэтому всякий пучок, вялый
в чгом смысле, является слабым.)
Пусть Т — класс всех слабых пучков на Хе. Очевидно, Т
содержит все нпъективпые пучки, откуда вытекает справедливость
п. (а) леммы 1.8. Кроме того, выполнено (Ь), поскольку кого-
мологнн коммутируют с конечными прямыми суммами
(конечная прямая сумма инъектпвных резольвент также является пнъ-
ектпвиоп резольвентой). Первая часть (с) очевидна, а вторая
очевидна для /=Г(А, —) и f = H°(U, —), а потому и для
//°(—). Это также верно, хотя и не очевидно, для / = л* (1.14).
Пркдложение 1.10. Для любого пучка F на ХЕ и любого U-у X
пи С/А' группы H'(U, F) и H'{Ue, F\U) канонически изоморфны.
{Ни обозначает ситус (C/U)e-)
Доказательство. Функтор (F*—>F(U): S(XE)-y S(Ue)
точен, а поэтому данное предложение вытекает из следующей
леммы.
Лг:ммл 1.11. Для любого морфизма л: U-уX из С/Л'
функтор л* ^= (/•"(—> F\ U) переводит инъективные пучки в инъек-
тшшыс.
/. Когомологии 1 13
Доказательство. Функтор п* обладает точным
сопряженным слева функтором п/. S{Ue)-*S(ХЕ) (II.3.18), а потому
ииъектпвиые пучки переходят в пиъективные (1.2).
Замечания 1.12. (а) Из предложения 1.10 следует, что
функтор F<—>F\U переводит слабые пучки в слабые. Другое
доказательство этого факта, а значит, и этого предложения, будет
дано в следующем параграфе (2.13).
(Ь) Из этого предложения также вытекает, что fP(F) есть
предпучок U*-* H'(Ue, F\U).
Рассмотрим теперь задачу вычисления высших прямых
образов пучков и пх когомолопш.
Предложение 1.13. Пусть п: Хе'^>Хе — непрерывный мор-
физм, flfES^r). Тогда R'n^F = cmP{W(F)). т. е. R'nJ есть
пучок, ассоциированный с предпучком U*—>N'(L", F\W), где
W = UXxX'.
Доказательство. По определению л» = ал„г, где /
обозначает включение S(X')-*- Р(^'). Пусть F->7- — ппъектпвпая
])езольвепта пучка F в S(A"'). Тогда R'ntF есть i-й пучок кого-
мологпй комплекса апр(И'). Но а и лр —точные функторы
(II.2.15 и II.2.6), а потому они коммутируют с взятием когомо-
логпп. Значит,
R'n,F = апр (И1 (iV)) = апр (//' (/•)).
Следствие 1.14. Если F — слабый пучок, то /?'л*^=0 при
i >■ 0. Поэтому для вычисления функторов /?'л. можно
использовать слабые резольвенты.
Доказательство. По определению Н1(11', F\U')=0 для
любого слабого пучка F и любого V. Второе утверждение
вытекает из 1.8 и использует лишь тот факт, что R[ntF = Q для
слабого пучка F.
Теорема 1.15. Пусть л: Y->-X — квазикомпактныйморфизм, а
F —пучок на Ке|. Обозначим через х геометрическую точку
схемы X, для которой k(x) есть сепарабельное замыкание поля
k(x). Пусть -Y = spec(7x, Jt. ? = YX.X X, a F — обратный образ
пучка F на ?:
Тогда
Т л III. Когомо,10,'ш1
Доказательство. По II. 2.11 (с) и 1.13
где предел можно брать по аффинным схемам U, для которых
X = \\mU. Заметим, что
*~~ Y = (WmU)XY = lim(U XY)
п морфизмы перехода в этом обратном пределе являются
аффинными морфпзмамп квазпкомпактпых схем. Теперь теорема
вытекает из того факта, что этальпые когомолопш коммутируют
с обратными пределами схем.
Лемма 1.16. Пусть {—фильтрованная категория, a )
контраварнантный функтор из I в схемы над X. Предположим,
что все схемы А'< квизикомпактны, а все отображения А,-<—А,-
аффчнны. Пусть Хх = lim А, и для пучка Г на A'et обозначим
через Fi и /\» его обратные образы на Л,- и А», соответственно.
Тогда
Mm H" ((*,)с Ft) -^ Я" ((A JeI, О. .
Доказательство. Доказательство в высшей степени
технично. Оно основано па том ([52, IV. 17]), что категория эталь-
1гых схем конечного типа над А"^, является прямым пределом
категорий таких схем над А",, и на том (III. 3), это этальпые
когомолопш коммутируют с прямыми пределами пучков.
(Подробности см. в [54, VIII. 5.8] пли [5, III. 3).)
Замечания 1.17. (а) Если в теореме 1.15 в качестве пучка F
взят пучок, заданный групповой схемой G локально конечного
типа над V, то пучок F задается G^. В этом случае изоморфизм
п.) 1.15 принимает вид (R"n,G)i « Нр (Y, G).
Аналогичное замечание справедливо для 1.16.
(b) Для собственного морфпзма имеется также более тонкий
результаг, чем 1.15. Это теорема о собственной замене базы:
пусть л: Y-*■ X — собственный морфп.чм, а х — геометрическая
точка схемы А; для любого пучка кручения F на Y имеет место
изоморфизм {RpntF)i-^ HP(YX, F\YX) (VI.2).
(c) При использовании когомолопш Чеха лемма 1.16
превращается в простое упражнение (см. 3.17 ниже).
(d) Все результаты из [54, VI 1.5] и, в частности, лемма 1.16
также верпы для плоского ситуса (ср. с. [48, с. 172]).
Ti-оРЕмл 1.18. (а) (спектральная последовательность Лере).
Для любого непрерывного морфпзма л: (CjX')e' -> (C/X)e
j>' /. Когомологип 115
имеется спектральная последовательность
И"(ХЕ, R"n.F)=>Hp+'>(X'E>, F),
где F— пучок на Л>.
(Ь) Для любых непрерывных морфизмов Х"Еч -^-> Л'г —•
имеется спектральная последовательность
где F — пучок на Х%>,.
Доказательство. Поскольку слабые пучки ацикличны
для функторов Г (-Ye, —) и я», обе части данной теоремы
вытекают из приложения В1 п следующей леммы.
Леммл 1.19. Пусть п: Х'е'-*Хе— непрерывный морфиэм.
Тогда л» переводит слабые пучки в слабые.
Доказательство будет приведено в следующем нарл-
графе (2.13).
Л Замечания 1.20. (а) Если в 1.19 функтор At., т^чваvtQ.UW"нр
так п бывает; см. первый абзац в § II.3), то л» имеет точный
левый сопряженный функтор н сохраняет ппъектпвные объекты,
и в этом случае нет необходимости откладывать доказательство
теоремы 1.18 до следующего параграфа.
(Ь) Пусть G— проконечная группа. Напомним, что для
любой абелевой группы N через Ma(N) обозначается G-модуль
{/: G-*-N\f непрерывно}, на котором группа G действует по
правилу (of) (т) = [(та). Такой модуль Ma(N) называется
индуцированным (7-модулем. Если G = Gal (/г/6) для некоторого
поля k и k = /fsep, то индуцированные G-модулп соответствуют
в точности пучкам вида u*F на Xd, где -и: spec /г->- spec k = X.
Назовем такие пучки utf индуцированными..
Теперь предположим,-.что лемма 1.19 доказана. Так как любой
пучок па (spec£)ei является слабым, то любой индуцированный
пучок будет слабым, а потому и ацикличном для Г(Х, —),
V{U, —), л» и Я°(—). Любой пучок на X вкладывается .в
индуцированный пучок в силу инъектнвностп канонического
отображения F^4t,u*F; поэтому Н'{Х, —), H'(U, —),№( — ) н 7?'л.
можно вычислять, используя резольвенты из пндуцнроааппых
пучков. Наш словарь (II. 1.9) позволяет вывести аналогичные
утверждения для индуцированных G-модулей. В частности, для
вычисления H'(G, —) можно использовать резольвенты из
индуцированных модулей. В случае когда модуль Мо проектпвен как
абелева группа, это верно также для функторов 11ото(/И0, —)
и Ногпг;(Мо, —). (Упражнение!)
Гл. III. Когомп.ю.'ип
(с) Предыдущее замечание служиi основанием для
следующего определения: пучок F на А'ы начинается индуцированным,
если он имеет вид П»х*(^.«), где ft —некоторый пучок на ,v
A--.Y
(для каждом точки .vg.V выбирается геометрическая точка
их: х->Х). Положим Л" = XI х (пессязное объединение схем).
xf=..\
Задать пучок па XQ\— это то же самое, что задать семейство
абеленых групп (Fx)x^x " рассматривать Fx как постоянный
пучок на х. Пусть и: X'-*■ X— естественное отображение. Тогда
н, ((f.Oxe.v) = II чх,^х> откуда вытекает, что индуцированный
пучок является слабым (так как всякий пучок на Хе1 является
слабым). В силу ппъективпостп канонического отображения
F-VH.K*/7 для вычисления когомологпп и высших прямых
образов можно использовать резольвенты из индуцированных пучков.
Важен тот факт, что каждый пучок F па A%t имеет каноническую
резольвенту из индуцированных пучков; она называется
резольвентой Годсманп и определяется следующим образом:
(i) С°(Л = »»»*(/•'); имеется каноническое отображение
е: f-+ C°(/■);
(ii) С1 (Г-) = С°(соксг(к)); имеется каноническое
отображение d«: C°(F)-*-O(F);
(iii) (по индукции) C'(F) = С°(сокст(^'-2)); имеется
каноническое отоПражеппс г/'~': С'-1 (Z7)-»- С' (F).
Тогда F->C'{F) есть слабая резольвента пучка F, фупкто-
рнальная по F, и каждый из фупктороп Fi—*-Cn(F) точен.
Упражнение 1.21. Кслн А' —схема Джекобсопа, то более есте-
ственпо определить индуцированный пучок F как пучок вида
Z7 = ТТ tix (Fx), где А'0 обозначает множество замкнутых точек
схемы А (ср. с II. 2.17 (Ь)). Для каждой точки х^Х0 пусть /.,:
х с=—X обозначает се включение. Покажите, что пучок F
индуцирован в этом смысле тогда п только тогда, когда
(я) F-^Tl WHO;
jrs.Y4
(Ь) пучок £*■ (F) индуцирован (в смысле замечания 1.20(Ь))
для всех .ve А0.
Теперь мы исследуем связь между локальными функторами
Hxt, V.\V(F]}F2), п глобальными Е n I' (Z71, F2).
Тг.огт.мл 1.22 (локалыю-глобальпая спектральная
последовательность для Ext). Л..1Я любых пучков F\ и F2 на Хг имеется
спектральная последовательность
II" (XF, Exi"(Fu f2))=>Extp17(Flt F2).
§ 1, Когомологни
Доказательство вытекает из приложения Bl n
следующей леммы.
Лемма 1.23. Если F2 — инъективный пучок, то Hom(F|, Fy)-
слабый пучок.
Доказательство. Мы докажем это в следующем
параграфе (2.13).
Замечание 1.24. В действительности пучок Exlp(F\, F2) есть
пучок, ассоциированный с предпучком U ^—> Ext^yr) (F\ \U, F2\ U),
Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить следующие
утверждения.
(a) Рассматриваемые пучки совпадают при /7 = 0; по это
верно по определению пучка Wom(F\, F2).
(b) Ext"(F,, F2) = 0 11 Extg^"(F,|(/, F2 | £/) = 0 при p > 0,
если F2 — мнъективный пучок; в первом случае это есть
следствие определения, а во втором — леммы 1.11.
(c) Оба функтора сопоставляют короткой точной
последовательности по второму аргументу длинную точную
последовательность. Для первого семейства функторов это часть
определения, а для второго семейства это вытекает из точности
функтора а: Р-> S.
В качестве следствия этого результата и 1.6(а) мы получаем,
что каждой короткой точной последовательности 0 -> F'-*■ F -*■
-*F"—>-Q пучков на Хе можно поставить в соответствие длинную
точную последовательность пучков
0 -» Horn (F", Ft) -> .. . -> Ext" (F, Fs) ->
-> Ext" (Г, Fi) ->Ex[p +' (F", F2) ->....
Вернемся теперь к ситуации, изучавшейся в II. 3.10, а именно к
z-^x J-u,
где i — замкнутое вложение, а / — открытое вложение, такое, чго
X теоретико-множественно есть несвязное объединение i(Z) 11
j(U). Пусть F — произвольный пучок на Хе\. Пучок ij'F есть
наибольший подпучок в F, равный нулю вне Z. Группа
Т(Х, i.i'F) = r(Z, i'F) = Ker(F(X)-*F(U))
называется группой сечений пучка F с носителем в Z. Функтор
Ft—*■ Г (Z, ilF) точен слева, и его правые производные
функторы H"z(X, F) называются группами когомологни пучка F с
носителем в Z. Они коптраварпантны по (.V, U). (Топологи обычно
пишут Н"(Х, U, —) вместо H'z{Xt-).)
IIH Гл. 111. Когомо.югии
Предложение 1.25. Для любого пучка F на Xti имеется
точная последовательность
О -> (/'/=•) (Z) -*F{X)-*F(U)->...
Доказательство. Дли любого пучка F на Xt\ имеется
точная почледователыюсть
О -»> i/F -> F -> iJ'F -> 0
(II. 3.13). В частности, если F есть постоянный пучок Z, то
имеется точная последовательность
О -> Zy -> Z-vZ^ ->0,
где .'"(/ п ."г обозначают пучки /,/*.' it iJ*Z. Поэтому имеется
длинная точная последовательность
...-► Ext" (Z, F)-^Ex.tp{ZUt F)->Exfll(Zz, F) ->....
Как мы уже отмечали, E.\l"(3, F) = //''(.V, Z7). Группы
- ^ ,, Hpmsw) (Zu* F) и Homsty^Z^/f) ' ^
канонически изоморфны (II. 3.14), поэтому Extp(Zy, F)
п р я и ы li пропзподпын функтор для
/*F) = Г (t/, F
Так как /* сохраняет пнъектпвпые оТ)1>екты и* является точным
функтором, то это показывает, что Exl/7(.Jy, F)=H"(U, F\U).
Имеются канонические изоморфизмы
Homsm (Zz, /r)«Homst.Y)(Z> ilF)^Hz(X, F).
Значит, Exl"(Z?, F)^HPZ(X, F).
Замечание 1.2G. Небольшое улучшение предыдущего
рассуждения показывает, что для любой тропки A' zd U => V, где С/ и
V — открытые подсхемы в X, п любого пучка F па Хе\ точна
следующая последовательность:
...->НрХ-и{Х, F)->HPX-V(X, F)->
Если V — пустая схема, эта последовательность совпадает с
построенной выше.
Предложение 1.27 (вырезание). Пусть Zсг X и Z'аХ' —
замкнутые подсхемы, а л: Х'-*Х — такой эталиный морфизм,
что его ограничение на Z' является изоморфизмом, n\Z':
Z'—* Z, и п(Х' — Z')cz X — Z. Тогда для всех пучков F на
§ 1. Когомологии
Xe\ и любого p^O морфизм HPZ(X, F)-*Hz'(X', n'F) яв.тстся
изоморфизмом.
Доказательство. Так как функтор л* точен и сохраняет
ниъектпвные объекты, достаточно доказать это для р = 0.
Имеется точная коммутативная диаграмма
0-*Hz(X, F) *T(X, F)^r{U, F) {U = X-Z)
0-> Hr (Xr, F\X')->T (A", F)-> Г (U\ F) (Ur = X' - Z')
Пусть элемент \<=HZ(X, F) отображается в нуль из Н\(Х',
F | X'). Рассмотрим у Как элемент группы Г (A', F). Тогда у\ U =
= 0 = v|-^/- Так как (U-*-X, Х'-*-Х) — покрытие схемы Л',
отсюда вытекает, что у = 0. Для доказательства сюръектнвпостп
возьмем элемент у' ^ Hz' (X', F \ X') и рассмотрим его как
элемент из Г (Л', F). Так как сечения у'<=Г{Х', F) и 0еГ((У, F)
совпадают на Х'У^х U <^ U', то они происходят из некоторого
глобального сечения у е r(/Y, F), которое должно принадлежать
группе Hz (X, F).
Следствие 1.28. Пусть z — замкнутая точка схемы X. Тогда
HPr{X, F)^+Hpz{specOhx,z,F) для любого пучка F на Хе1.
Доказательство. По предложению 1.27 Н"(Х, F) =
= Hy{Y, F) для любой этальной окрестности (Y, у) точки г,
такой, что только у отображается в г. По 1.16
b, F).
В заключение настоящего параграфа мы определим группы
когомологии с компактным носителем НРС{Х, F) пучка F на
отделимом многообразии X. Группа сечении пучка F с
компактным носителем есть по определению
где Z пробегает все полные подмногообразия пз X. Так как
функтор ГС{Х, —) точен слева, то можно попытаться определить
группы когомологии пучка F с компактным носителем как
правые производные данного функтора, но они не интересны. Так
например, если X — аффинное многообразие, то ГС(Х, F) =
= ф Ипх(Х, F), а потому RTC(F)= ф НР(Х, f). Вместо этого
предположим, что для X существует вложение /: A' <=i» Л' в
некоторое полное многообразие X в качестве открытого
подмногообразия, п определим НР(Х, F) = HP(X, j)F). (Напомним, что
120 Гл. III. Когомологии
функтор /, точен, по он не обязан сохранять ппъективные
объекты.) Позже мы убедимся (VI.3.11), что если F—пучок
кручения, то группа НРС(Х, F) не зависит от выбора Я и
удовлетворяет теореме двойственности Пуанкаре.
Предложение 1.29. В предыдущих предположениях о X, Я и
Г справедливы следующие утверждения:
(a) Н°с[Х, F) = Te{X, F).
(b) Функторы Нс{Х, — ) образуют Ь-функтор, т. е. они функ-
ториально сопоставляют длинную точную последовательность
абелсвых групп короткой точной последовательности пучков.
(c) Для любого полного подмногообразия Z в X имеется
канонический морфпзм о-функторов Hz(X, — ) -> ИРС(Х, — ).
Доказательство, (а) Из точности последовательности
пучков па .Y, где /: Я— А' <=♦ Я, вытекает, что
Н°с (X, F) = ker (Г (X, F) -+Г(Х- X, / V)).
Но
Г(Х-Х, rjmF) =\ии Г {VXjX, F),
где V-*■ X — эталыгые морфиэмы, содержащие Я — X в своем
образе. Поэтому
Н*{Х. F) = Uker(r(X, F)-*r(VXjX, F)).
Предположим, что serc(X, F), значит, s\X — Z=0 для
некоторого полного подмногообразия ZczX. Из полноты Z следует
его замкнутость в X. Очевидно, s\ V[]X = 0 для V = Я — Z,
поэтому s^H^(X, F). Обратно, предположим, что s^H°c(X, F)t
т. с. s | V X X = 0 для некоторой схемы V; тогда образ V схемы
V а X есть открытое подмножество, содержащее Я — X; значит,
Z = X— V является полным подмногообразием в X и X — Z =
= V'[)X\ поскольку VX Х-*- V'[\X — этальное покрытие, то из
S\VXX = Q вытекает, что s | А" — Z = 0 и s е Гс (X, F).
(h) Так как функтор /', точен, то точная последовательность
0-»■ Р -> F-*■ F" -*- 0 на X приводит к точной последовательности
0 -> if -*i,F -*!\F"-* 0 па Я и, значит, к точной
когомологической последовательности па X.
(с) Для любого пучка F па X имеется каноническое
отображение И1(Х, F)-*H'c(X, F), а поэтому (с) есть следствие
универсальности производных функторов.
§ 2. Когомологии Чеха 121
Замечание 1.30. Пусть Z —замкнутая подсхема в Л'. Для
любого пучка F на X определена точная последовательность
где /' м / обозначают вложения Л' — Z <=* X п 7. <=• .V (11.3.1а).
Поэтому имеется длинная последовательность групп когпмо-
логип
...->//? (Я-Z, F)->HPc(X, F)-*flp(Z, F)->....
В более общей ситуации, когда X = Хо zd X[ и ... zd А', ф 0 —
последовательность замкнутых подсхем и Л', имеется
спектральная последовательность
Упражнение 1.31. Обозначим через А (нётерово) кольцо п
пучок на Хе\, определяемый им.
(a) Покажите, что если F — пнъективнын пучок /1-модулей
на Хе[, то Fa — инъектнвпыи /4-модуль. (Используйте [43, I. 1.4.1]
п 1.11.)
(b) Покажите, что если пучок Fti псевдокогерептсп в точке
х, то
°Fm Ft).
(Возьмите пнъективную резольвенту F-> I' для F и
воспользуйтесь утверждениями из II. 3.20(Ь) и (а).)
(с) Установите, 4ToExt^(/r, /1) = 0 при р > 0, если F
—локально свободный пучок /4-модулей конечного ранга (т. е.
F\Ut^Ar' для каждого элемента £/, некоторого покрытия (U,)
схемы X) или если F — пучок, псевдокогерентный во всех
геометрических точках х схемы X, а А—пнъективнын Л-модуль,
например, А = Z/(n).
§ 2. Когомологии Чеха
В изучаемой ситуации имеется теория когомолопш Чеха, очень
близкая к обычной теории когомологин Чеха па топологическом
пространстве.
= \Ul
Пусть cll = \Ul—>- Xjiei — покрытие схемы X в £-тополопш
на X. Для любого набора иэ р + 1 элементов (<0, .... /Р) с г/,
лежащими в /, через Uto...i будет обозначаться произведение
Ut0Xx ... XxUtp. Пусть Р — некоторый предпучок на ХЕ.
Каноническая проекция
122 Га III. Когомологпп
индуцирует морфпзм ограничения
для которого мы используем не совсем четкое обозначение res,-.
Определим комплекс
С
С {41, Р)= J[P(Uto...t); dp: С (41, Р) ->CP+I (41, Р),
где dp есть такой гомоморфизм, что для s = (s(0... / ) s С (41, Р)
Стандартным рассуждением проверяется, что dPyXdP =» 0, т. е.
что это комплекс. Группы когомологпп Rt'CU, P) комплекса
(О'('-U, Р), dp) называются группами когомологий Чеха пред-
пучка Р относительно покрытия Щ схемы X.
Заметим, что
/7(•?/, Р) = ker (Up [ut) -
а потому имеется каноническое отображение Р(Х)-> Я" СИ, Р),
являющееся изоморфизмом, когда Р—пучок.,'
Второе покрытие Т =\V/—*-X)jej называется
измельчением покрытия Ч/, если суи1ествует такое отображение т: /->/,
что при каждом / морфизм \f,- пропускается через фт/,'т. е. г)з/=
= Чч/Л/ Д-'1Я некоторого морфизма i^: K,->(7T/. Отображение t
it семейство морфпзмов г), индуцируют отображения т":
С"{Ш, Р)->С"{У\ Р) по правилу: если s = (s,o... ( )ееСр(Ч1, Р),
то
(Л)'о ••• 1Р = Ге^/Ох^,х ... хл/р (sii0... т/р).
Эти отображения т" коммутируют с с/, а значит, индуцируют
отображения когомологпп
р(У, <?/, т): Я"(^, Р)->П°(Т, Р).
•Леммл 2.1. Отображение р(Т, 11, т) не зависит от выбора т
// 11,.
Доказательство. Пусть т' — другое такое отображение
/->/ с семейством морфпзмов (г)'). Для s(^Cp(4/, P) положим
= Z (- 1Ггез^х ... Х(Ч/ ,
Тогда kp есть гомоморфизм Ср(Ч1, Р)-*-Ср^(Т, Р) со следую-
§ 2. Когомологии Чеха 123
щнм свойством:
При переходе к когомолошям это равенство превращается в
требуемое:
р(У, 16, т')~р(У, <U, т) = 0.
Следовательно, каждое измельчение У покрытия 11
определяет гомоморфизм р(У, ^): /У(^, Р) — Я" (У, Р), зависящий
только от 16 и У. Отсюда вытекает, что если 16, У, Ж — такие
покрытия схемы Л", что W есть измельчение У, а У есть
измельчение ^, то р(УГ, 16) = р (Ж, У)р(У, 16). Поэтому можно
определить группы когомологии Чеха предпучка Р на X как
Н"(ХЕ, Р) = lim Н" (11, Р), где предел берется по исем покры-
тпям 16 схемы X.
Замечания 2.2. (а) Категория, по которой борется
предыдущий предел, не кофильтроваиа. Однако, если мы рассмотрим J,\,
множество покрытий схемы Л" по модулю следующего отпоило*
нпя эквивалентности: 16 = У, когда каждое из этих покрытии
есть измельчение другого, и введем частичный порядок па /д,
индуцированный измельчением покрытий, то в результате
получится даже фильтрованная категория, потому что любые дна
покрытия 16 = (Ut) п У = (У,-) имеют общее измельчение
(UiXVj). По 2.1 функтор 1tv-*-H"(16, P) пропускается через
Jx и предел можно брать по Jx-
(b) Пусть U ^>-X — морфизм из С/Х, а Р — иредпучок па
(С/Л')£. Тогда, как и выше, можно определить группы когомо-
логпп Я" (16/U, Р) п
H"(U, P) = tiruHp(1t/U, P),
где Ш обозначает теперь покрытие схемы U. Заметим, что
группы RP(U, P) определяются по самому предпучку Р. Поэтому,
например, fl"(U,P) совпадает с Flp(U,P\U). Сопоставление
U*—>RP(U, Р) продолжается до функтора С/A'-vAb, т. е.
предпучка на (С/Х)Е, который мы обозначаем через Я^(ХЕ,Р) или
просто через fP(P).
(с) Имеется каноническое отображение P-*-fP(P), ядро
которого совпадает с предпучком Ро, определенным в
доказательстве теоремы II. 2.11, т. е. Po(U) есть группа сечений s^P(U),
обращающихся в нуль при ограничении на некоторое покрытие
схемы U. Поэтому морфизм Р-*-Й°(Р) инъективен тогда и
только тогда, когда Р является отделимым предпучком. Пред-
пучок /?°(Р) отделим и Я°(Р)=аР для любого отделимого
предпучка Р. В общем случае Я°(Я°(Р)) = аР (см.
доказательство, упомянутое выше).
121 Гл. III. Когомологии
(d) Неверно, что когомологии Чеха можно вычислять,
используя альтернированные коцепи, если только отображения Ui-*-X
не являются универсальными мономорфизмами, например
открытыми вложениями. В частности, группы когомологпЛ для
покрытия (V-*-U), состоящего из одного морфнзма, не
обязательно равны нулю при р > 0 (см. (е) ниже или 2.6).
Доказательство из [111] не проходит в нашей ситуации, поскольку
отображения ограничения pi, где s'—подснмплекс в s, не
определяются однозначно своими индексами.
(с) Пусть .V = spec А — аффинная схема, ^ — покрытие,
состоящее из единственного строго плоского морфизма конечного
типа spec В-*- spec Л, а Р—пучок, заданным группой Gm. Тогда
группы Й"Си, Р) имеют очень явное описание: они являются
группами когомологии комплекса
О -> Д* -* (В ® а В)* -> (В ® „, В ® л В)'-*....
В таком форме эти группы были определены впервые Лммцуром
[3] в том случае, когда А и В — ноля. В общем случае, когда
/1 и В — кольца, а Р — предпучок, малинный коммутативной
групповом схемой, указанные группы //"(?А Р) были объектом
многочисленных исследований, в которых омп назывались
группами когомологпн Лмпцура. Это даст элементарный подход к
одному из фрагментов теории этальпых когомологии, но, к
сожалению, доказательства многих результатов, которые должны
бы были быть простыми упражнениями, становятся очень
громоздкими при отсутствии достаточно развитом техники
этальпых когомологпп.
Пусть 0 -*■ Р'-> Р -> Р"-*■ 0 — точная последовательность пред-
пучков, a °U — произвольное покрытие. Тогда
последовательность
0-*C(<U, Р')-*СР{Ш, P)-*C(<U, Р")-»-0
точна для любого /;, потому что она представляет собой
произведение точных последовательностей абелевых групп. Значит,
имеется короткая точная последовательность комплексов
откуда в силу общей теории следует существование
естественной длинной точной последовательности
О -> Н° {11, Р')-* ...-* Н'р (<U, Р) -*
^>НР(К, P")^HP+](CU, Р')->....
При переходе к прямому пределу по всем покрытиям схемы X
(а лучше по h\ см. 2.2(а) выше) эта последовательность оста-
§ 2. Когомологии Чеха
пется точном. Поэтому любом точной последовательности 0-*
-*■ Р' -* Р ->- Р"-*■ 0 предпучков естественным образом cootuim-
ствует длинная точная последовательность групп когомоло! ni'i
Чеха
О -> Н" [U, Р') -* . . . — Н" (U, Р) —
-> Н" (U, Р") ^-Я""1' (U, Р') ->-....
К сожалению, это перестает быть верным, кигда мы исходим п.ч
короткой точной последовательности пучков, которая точна
только в S(,Yr), но не в Р(ХЕ), потому что тогда отображения
Ср(^, Р)^С"(%6, Р") не обязаны быть сюръектпвпымп.
Поэтому в общем случае нет длинной точной последовательности
групп когомологии Чеха, ассоциированной с короткой точном
последовательностью пучков, и группа ЙВ(ХЕ, F) может быть не
изоморфна Ир(Хе, F). Однако эти группы можно сравнить при
помощи спектральной последовательности, и, как известно, в
некоторых случаях они изоморфны (см. 2.7, 2.16, 2.17 ниже).
Несмотря па все сказанное, функторы ft"(Xt. -■■) образуют
семейство правых производных функторов, по производных п.ч
категории предпучков, а не пучков.
Предложение 2.3. Функторы HP(::U/U, —) (соответственно
Йр(11, —)) являются правыми производными функторами Оля
функтора Я*(Ш/и, —): Р(*Е)->-АЬ (соответственно I4O(U, - ):
Р(^е)->-АЬ) при любой схеме U из С/Х и любом покрытии Я/
схемы U.
Доказательство. Так как нам уже известно, что
fl*(°U/U, —) п /?*({/, —) связывают с короткой точной
последовательностью длинную точную последовательность, то
остается показать, что в Р(А'е) имеется достаточно много пнъектпв-
ных предпучков н что R^iil/l/,—) равно нулю для таких
предпучков. Доказательство того, что Р(ХЕ) имеет достаточно мною
инъективны.х предпучков, совпадает с доказательством того же
факта для S(.Vf), использующим 1.3. Поэтому паше
предложение вытекает пз следующей леммы.
Лг.ммд 2.4. Hp(1//U, Р) = 0 при р > 0, если нредпцчок Р
инъективен.
Доказательство. Нужно установить точность
следующего коцепного комплекса:
Прm-^Пр(</ы.)4*Пр(Пш>)- ....
Напомним (II.3.18), что для любого морфнзма W-*■ U п.ч C/.V
имеется предпучок Z»- на X, для которого Нот ('.Z ц, Р) = Р(\Г)
126 Гл. III. Когомологии
при любом Ре Р(А') и
7 (v\— ff) 7
Hoin_Y(l/, \Г)
Тогда предыдущий комплекс переписывается в виде
П Нот (Zu., P) - П Нот (Zy,, ,v P) ->...,
П.1Н
Мот (©Zy., Р)->Нот (©"u,-,,v Р)-> ....
Так как Р ппъсктпвеи, то достаточно установить точность
последовательности
©л"4! "-«• . Д^ "• ,.
■^ui *~ Kjj ^'У(о(, чП/ ■ 'У;,,/,/, • • •
в Р(Л'), т. е. установить точность последовательности
© Zu, (V)<- © ГУМ1 (К) <- © 2гШ1 (V) *- ...
для любого К из С/Л'. Для любой {/-схемы W ir любого мор-
фпзма феМошх(1/, L/) обозначим через Hom<f(V, U^)
множество морфп.чмов »|": I/-»- W', t.-ikhx, что диаграмма
V _*-» tK
С/
коммутативна. Тогда
По1П\(1'. Ui.ti ...)= U Нотф(1/, f/jj, ...) (несвязное объе-
11ишЛ (Г. ")
дпненне)=
= U (Нот, 0', ^1.)ХНотФ(К, Uit)X ■■■)■
Илпд (V, У)
Пусть 6' (ф) = U Нотф(К, Ui) (несвязное объединение). Тогда
U Hom.v (V, Uial ...,)= U (-S" (<Г) X ... X 5 (ф))
(произведение р+\ экземпляров множества S(<p), и
©i-y(0...,- (V) есть свободная абелсиа группа с образующим»
из множества (J (5(ф) X •. ■ X 5(ф)). Поэтому последний
Но1Пд(/. У)
комплекс переписывается в виде
© (©z<- © z<- © z.-...v
11ошЛ (V. U) \S <•(') S (ф) X S (<[) S (•!■) X 5' (f) X S (4) /
§ 2. Когомологии Чеха 12?
Комплекс в скобках есть стандартный комплекс,
ассоциированный со свободной группой © Z, и он точен; стягивающая го-
S(q>)
мотоппя для него задается гомоморфизмами k"(in), =
о ••• 'р->
= т,, . где 1 — некоторый фиксированный элемент в
О ' ' ' р—|>
5(ф), а
Следствмк2.5. Когомологии Чеха Й°{Х,—) совпадают с кого-
мологаями Н"(Х, —), заданными производным функтором на
категории пучков, если и только если каждой короткой
точной последовательности пучков функториально сопоставлена
длинная точная последовательность групп когомологии Чеха.
Это так, например, если для любого сюръективного отображения
пучков F->-F" сюръективно отображение ПгпДП F (£/,-0 ...< )-••
-> IX F" (Uia ... / )) где предел берется по всем покрытиям
схемы X.
Доказательство. Необходимость очевидна. Поскольку
Н°(Х, F)= Я°{Х, F), достаточность вытекает из 2.4 и того
факта, что ппъектнвный пучок как предпучок также ппъектпвеп
(потому что а является точным левым сопряженным функтором
к i: S <=♦ Р). Последнее утверждение тривиально.
Упражнение 2.6. Пусть Y-*-X — конечное накрытие Галуа
схемы X с группой Галуа G. Напомним (1.5.4), что это означает
наличие действия Y{T)~X Gx [T)-*- Y(T) группы GX(T) на
множестве Y{T) для любой /V-схемы Т, а также то, что
отображение YXGx-*YX.Y, имеющее на точках вид (у, о)->-(у, уа),
является изоморфизмом. Утверждается, что в действительности
имеется коммутативная диаграмма
т1 Т1 Т ' Т"
:Yx Y^Yx Yx У---
для которой (на точках)
Ч>,ЛУ, о, оп) = (у, уаи уа,а2, .... уах ... ап),
Pii'Jo Уп + \) — (Уо У1-ь Уи - tfn + il.
= (y. a , oi(,l+r ..., онИ),
=(y, о an).
12R Гл. ///. Когомологп
В самом дел с, коммутативность легко проверить; cpi—
изоморфизм по определению накрытия Галуа, а
— изоморфизм по пндукнпн.
Пусть Р— предпучок, переводящий конечные несвязные cvm-
М1>| схем п прямые произведения групп, например пучок. Так
как Y X G" = П У. то
Применяя Р к предыдущем диаграмме и беря альтернированные
суммы горизонтальных отображении, мы получаем из верхней
строки комплекс, изоморфный комплексу неоднородных коцепей
группы G с коэффициентами в P(Y) (см. [117, VII. § 3]), а из
нижней строки — комплекс, изоморфный комплексу Чеха
C(Y/X, P) покрытия (У'->-А'). Поэтому группа №{У/Х,Р)
канонически изоморфна группе когомологнн Hr(G, P(Y)), где
Р{)') — левый (7-модуль, заданный действием группы G па Y.
Прг.дложкпие 2.7. Пусть U^~X — объект из С/Л', Щ —
покрытие U, a F — ni/чпк на Хг. Тогда имеются спектральные
последовательности
HP(<U/U,
HP(U, H"(F))=> Иа(И, F).
Доказательство. Чтобы воспользоваться приложением
В1, надо показать, что для любого F
//nC?//f/. /_/п(Р)) = Яп(У, F) = fi"{U, Hn(F))
п что
0 = Hl>(ir, !Jn(F)) при р>0,
если пучок F ппъектпвсп. Первое утверждение есть очевидное
следствие определений, а второе вытекает из 2.4, так как
функтор //". который есть просто функтор включения S(Xr) <=L*
^■* Р(А'С), сохраняет пнъектпвность.
Следствие 2.8. Имеется спектральная последовательность
ПР(Х, Hq(F))=>nn{X, F).
Доказательство. Надо рассмотреть переменное U во
второй пз указанных выше спектральных последовательностей.
$ 2. Когомологин Чеха 129
Следующее предложение показывает, что в этой спектральной
последовательности имеется по крайней мере один столбец,
состоящий, кроме одного элемента, сплошь из нулей.
Предложение 2.9. Н°{Х, Hq(F)) = 0 при q > 0, г. е. ll°(U,
H"{F)) = 0 при q > 0 и любом U-+ X из С/Х.
Доказательство. Пусть F ~* Г — ппъектпвная
резольвента пучка F. Тогда H_q(F) есть q-h предпучок когомо.юпш
комплекса /(/'). Так как функтор а точен, то он коммутирует с
взятием когомологий; поэтому a(Hq(F)) есть q-н пучок когомо-
логий комплекса at (/') = /". Значит, a(Hq(F))= 0. Но, как нам
известно по 2.2(с), fP(H*(F)) есть подпредпучок в aHq(F), что
устанавливает ею тривиальность.
Следствш: 2.10. Для любого пучка F и любого II-*■ X из С/А'
имеются изоморфизмы
H°(U, F)« H°(U, F),
Я1 (U, F) « Hl (U, F)
и точная последовательность
0->H2(U, F)^H2(U, F)-*Hl(U, W(F))-*H3(U, F)^H3(U, F).
Доказательство. Это непосредственное следствие
утверждении 2.7 и 2.9 (приложение В).
Замечания 2.11 (а) Предложению 2.9 можно придать
интуитивно более понятную формулировку: для любого класса кого-
молопгй s e Hq(U, F) при q > 0 существует покрытие ([/,■->- II)i
схемы U, такое, что s при ограничении переходит в нуль в
//»(£/,-. F) для всех /.
(Ь) Изоморфизм из 2.10 между группам» первых когомологий
имеет принципиальное значение, ибо он позволяет
интерпретировать элементы из Hl{U, F) как главные однородные
пространства (или торсеры); см. ниже § 4.
Теперь мы возвращаемся к теории слабых пучков.
Внимательный читатель может проверить, что в § 2 мы совсем не
использовали результатов § 1, следующих за леммой 1.19.
Предложение 2.12. Пусть F — пучок на ХЕ. Следующие
утверждения равносильны:
(a) F — слабый пучок;
(b) Я" {11/U, F) = 0 при <7>0 для любого V^-X из С/Х и
любого покрытия <%1 схемы U (в некоторой кофинальной системе
покрытий);
(c) /?«(£/, F) = 0 при q>0 для любого U--X из С/Х.
5 Зак. 421
130 Гл. III. Когпмп.югпп
Доказательство. (a)=>(b). Так как F—слабый пучок,
то Нч (F) =■ 0 при q > 0. Поэтому по 2.7 имеется изоморфизм
HP(<U/U, F)^+ H"(U, F) = 0.
(Ъ)=>(с). Получается переходом к прямому пределу в (Ь).
(с)=^(а). По предположению Hq(F) = Q при q > 0.
Следовательно, по 2.10 //' (F)= 0. Используя спектральную
последовательность Hp(Hq(F))=> Hn(F) (2.8), проведем индукцию по q.
Как мы уже знаем, fl2(H°(F)) = H2(F)— 0 по предположению,
tV (Я1 {F)) = 0, ибо Я1 (F) = 0, H~7?°(tf2(F))=0 по 2.9. Тогда
из спектральной последовательности вытекает, что H2(F) = 0.
Предположим теперь, что H'(F) = 0 для i<Lq. Рассуждая, как
и выше, мы получаем, что /?'(//'''(F)) — 0 для всех г, /, / + / ^ <7,
откуда снова вытекает, что Hq(F)=- 0.
Следствие 2.13. (а) Если F — слабый пучок, то F\U — слабый
пучок для любого U ->■ X «з С/А".
(Ь) £сл« л: А~£'-> Х£ — непрерывный морфизм, a F' —
слабый пучок, то л»/7' — слабый пучок.
(с) Если F—инъективный пучок, то Hom(F0. F) — слабый
пучок для любого пучка Fo.
Доказательство, (а) Очевидно, пучок F\U
удовлетворяет условию (с) из 2.12.
(b) Пусть (£/,--»■£/) —покрытие схемы U. Для любой ЛГ-схемы
V через V обозначим VXx^'- Тогда (Ui-*Uf) есть покрытие
схемы 11' и {U'ia... / ) = (^/0 ... г )'• По определению л»/7'
комплексы С" ('Ы', F') и С (°U, я,/7') изоморфны. Но первый из них
точен, значит, точен и второй.
(c) Во-первых, заметим, что если F—плоский пучок (как
пучок Z-модулей), а / — ниъектнвнып пучок, то пучок Нот(/Г,/)
нпъектпвеп. Действительно, функторы
Fo I-* Horn (Fo, Horn (F, /))
изоморфны по П. 3.19. Первый функтор точен, поскольку F —
плоский пучок, откуда вытекает точность второго функтора, а
значит, и инъективность Hom(F, I).
Во-вторых отметим, что для любого U-> X из С/Х пучок aZy
является плоским (7-и — такой же предпучок, как в
доказательстве предложения 2.4). Чтобы установить это, достаточно
показать, что функтор (F*—>F® aZu): S(Xe)-+S(Xe) точен слева.
Пусть 0 -v F' -> F-*■ F" — точная последовательность пучков. Эта
последовательность также точна в категории предпучков и для
§ 2. Когомологии Чеха 131
каждого V^rX из С/Х точна последовательность
0->F'(V)®Zu(V)->F(V)®Zu(V)^F"(V)®Zu(V)
(потому что Zu(V) — свободный Z-модуль). Меняя V в этой
последовательности, мы получаем точную последовательность
предпучков и, применяя а к этой последовательности предпуч-
ков, приходим к точной последовательности пучков (II. 3.21)
О -> F' ® aZy -> F ® aZu -> F" ® aZy.
Теперь пусть F—некоторый инъектнвный пучок на Хс, а
<U = {Ui->- U) is/ —покрытие схемы U е?ОЬ(С/Х), Обозначим
через Z. точную последовательность пучков
la/ ' IXt "" I XI XI " ' :
(ср. с доказательством 2.4). Тогда для любого пучка Fo па XF
имеют место изоморфизмы комплексов: С' CU, Hom(/r0, F)) »
«Horn (Z.,Hom (Fo, F))~Hom (Z. ® Fo, F) «Horn {F^Tfom (Z., f)).
Последний комплекс точен потому что Нот (Z., F)—точным
комплекс пучков (ибо F — ннъективный пучок), каждым член
которого инъективеи (см. предыдущее рассуждение).
Следовательно, Н^СШ/и, Нот(/70, А)) = 0 при р>0 и Нот(/Г0, /•') —
слабый пучок.
Теперь мы переходим к более тщательному изучению связи
между когомологнями Чеха и когомологпямн, заданными
правыми производными функторами. В случае топологии Зармс-
ского имеется следующий результат.
Предложение 2.14. Пусть F — квазикогерентный пучок С\-
модулей (в топологии Зарисского на X), а X — отделимая схема.
Тогда для всех р имеются канонические изоморфизмы
Доказательство. В основе доказательства лежит
следующая лемма.
Лпммл 2.15. Пусть U — аффинная схема, a
F—квазикогерентный пучок Си-модулей. Тогда Hn(Ui3U F) = 0 для всех
р >0.
Доказательство. Доказывается это стандартно.
Вначале устанавливается, что Йр(Щ/и, F) = 0 для любого
покрытия схемы U элементами некоторого базиса открытых аффинных
множеств, откуда вытекает, что Rp(U, F) = 0, а тогда по
условию Картана //*(£/, F) = fl"{U, F) ([51, III. 1.3.1]). Условие
Ь*
132 Гл. III. Когомо.югии
Картана, немного уточняющее импликацию (с)=>(а) из 2.12,
можно на 1 iт11 в [43, II. 5.9.2].
Доказательство предложения 2.14. Пусть Щ =
==(£/,) — открытое аффинное покрытие схемы X. Рассмотрим
спектральную последовательность
HP(<UIX, Hq{F))=>Hp+q{X, F).
Поскольку множества Uto...i аффнпны,
при <7>0, а потому Яр(Щ/Х, #<?(F)) = 0 при q > 0. Значит,
И"(Х, F) = H»(<U/X, F) при p^Q. (См. также [61, III.4.5].)
Замечание 2.16. Ниже в 3.7 будет показано, что
И"(Хп,
если Л' — аффинная схема, a F—квазпкогерентный" пучок.
Поэтому с помощью предыдущих рассуждений можно также
установить, что для любой отделимой схемы X когомологпи Чеха и
когомологип, заданные производным функтором, с
коэффициентами в W(F) совпадают как в этальной, так и в плоской
топологиях.
Для этальной топологии имеется следующий результат Ар-
тпна [11].
Теорема 2.17. Пусть X — такая квазикомпактная схема, что
каждое конечное подмножество из X содержится в некотором
открытом аффинном множестве {например, X —
квазипроективная схема над аффинной схемой), a F — пучок на Хе1. Тогда
при любом р имеется канонический изоморфизм Hp{Xei, F)—*■
^U F).
Доказательство. Прежде всего нам необходим
следующий результат из коммутативной алгебры.
Лемма 2.18. Пусть А —некоторое кольцо, рь ..., уг —
простые идеалы из А, а Л'^1, .... А4*— строгие гензелизации
локальных колец Af А?г. Тогда A/ = Alht<S)A ... <8>аА^
обладает тем свойством, что любое строго плоское этальное
отображение А'-*■ В имеет сечение В-*-А'.
Доказательство. Это есть утверждение 3.4(iii) из [11].
Для любого морфпзма U-*-X положим U0 = X и U" =
= ^Х* ••• X* U (перемножаются п экземпляров). Кроме того,
§ 2. Когомологии Чеха 133
для набора (х) = (х , хг) из г геометрических точек
положим Х(х) = Х при г = 0 и
Хм = spec (Ох,) Хх • • • X* spec (Омг)
при гф 0.
Лемма 2.19. Пусть X—такая же схема, как и в предыдущей
теореме, U-*-X — этальный морфизм конечного типа, а (х) =
= (*1, .... хг) — семейство геометрических точек схемы X.
Пусть W^- Un\X{x)—этальный сюръективныи морфизм. Тогда
существует зтальныи сюръективныи морфизм U' -*■ U, такой, что
индуцированный Х-морфизм U"1 X X(x)-+Un X Х(Х) пропускается
через W {предполагается, что п > 0 или г > 0).
Доказательство. Предположим сначала, что п = 0.
Тогда точки Х\, ..., хг лежат в некотором открытом аффинном
множестве spec А из X, откуда вытекает, что Хщ = spec (Л^ ® . . .
для некоторых простых идеалов Vt из А. Поэтому
имеет сечение по первой лемме.
Случай п = 1, г = 0 очевиден (возьмите V = II?).
Продолжим доказательство индукцией по п. Предположим,
что V-*■ U — этальный морфизм конечного типа, не обязательно
сюръективныи, такой, что отображение V" X Я(х)-> 1>л X Х<*
пропускается через W (в качестве V можно взять, например,
пустую схему). Пусть у — геометрическая точка схемы U, не
лежащая в образе V, a Xg =» Ug — спектр строго локального
кольца точки у. Для несвязного объединения V Ц Хд п-я
степень является суммой схем вида V1 X Xд (i -\- j = п). По
предположению индукции, примененному к подъему U^ на V X ^!?Х
У.Х(х), каждое из отображений V1 X (Xg X Хщ) -* Un X Х(х>
при i < п пропускается через W после замены V подходящим
этальным покрытием V. При i = n данное отображение
пропускается по предположению. Следовательно, можно
предполагать, что отображение
пропускается через W. Но Хд есть предел схем Y, этальных над
U, поэтому для некоторой такой схемы Y отображение
{.V II У)" X X[x)-*U" X Хм также пропускается через W.
Заменим V на V Ц Y. Продолжая эту конструкцию, мы получим
последовательность отображений V\-*-V, Vi->-U, ..., образы
которых составляют строго возрастающую последовательность
открытых подмножеств в U. Так как схема U нётерова как
топологическое пространство, то мы приходим к сюръективному
отображению после конечного числа шагов. Лемма доказана.
134 Гл. 111. Когомологии
Чтобы закончить доказательство теоремы, мы используем
теперь 2.5. Пусть F'-> F" — сюръектпвное отображение пучков, а
V — схема из (tt)/X. Очевидно, покрытия U-*■ V, состоящие из
одного морфизма, образуют кофинальную систему в множестве
всех покрытий схемы V (в силу квазпкомпактности X и V).
Пусть s"tB.F"(Un). Существуют этальное покрытие W^*-U" и
сечение s e F(W), такие, что s»—>s"| W. По последней лемме
существует покрытие U'-*-U, такое, что U'n-*-Un пропускается
через W. Значит, s\U'll*—>s"\U'n, что доказывает теорему.
О связи когомологии Чеха н когомологии, заданных
производным функтором, в плоском случае, по-видимому, мало что
известно (однако см. [124, теорема 42, с. 208]).
Теорема 2.20 (спектральная последовательность Хохшиль-
да—Серра). Пусть п: Х'-*-Х—конечное накрытие Галуа с
группой Галуа G, a F — пучок в этальной топологии на X. Тогда
имеется спектральная последовательность
H"(G, Hq(X'el, F))
Доказательство. Так как G действует на X' справа, то
■это задает левое действие данной группы на F(X'). Композиция
функторов
Fi-+F(X')i S (Xet) -> G-mod и N ^* Na: G-mod->-Ab
совпадает с функтором сечений Г(Х, —): S(^ei)->-Ab (II. 1.4).
Поэтому данное предложение будет следовать из приложения
В1 после того, как мы покажем, что №(G, I(X'))—Q для
любого инъектпвпого пучка / па X при р > 0. Но HP{G, /(Av)) =
= П°(Х'/Х, I), что равно пулю по 2.4, ибо / также инъективен
как предпучок.
Замечания 2.21. (а) То же рассуждение показывает, что если
F—пучок в плоской топологии на X, то имеется спектральная
последовательность
Я"(С, Mq (XL F))^Hp+q(Xn, F).
(b) Пусть Х'-*-Х — бесконечное накрытие Галуа схемы X с
rpyimoii Галуа G. Для каждой конечной факторгруппы G,-
группы G, соответствующей накрытию Ta.iya /Y,- схемы X, имеется
спектральная последовательность
H'{Gt,
tt, F).
Но поскольку когомологин коммутируют с обратными
пределами схем (1.16) и с обратными пределами групп, а прямые
пределы точны, то, переходя к прямому пределу по этим
§ 2. Когокологии Чеха 135
тральным последовательностям, мы получим спектральную
последовательность
HP{G, H"(XU, F))=*//p+'(Xel, F).
Пример 2.22. Пусть X— целая регулярная квазнкомпактная
схема. Сейчас мы вычислим некоторые группы когомологпй
пучка G,n в этальной топологии на X (а значит, и в плоской
топологии, см ниже 3.9). Напомним (II. 3.9), что имеется точная
последовательность пучков
где g: specK^-X обозначает включение общей точки схемы X
в X, a Dx = ф /„.Z, где Xt обозначает множество точек схемы
вех,
X, имеющих коразмерность 1, a iv: spec k (v) <=^* X. Ей
соответствует точная последовательность
... -> Иг (Xel, DX) -* Яг+' (Xel, Gm, x)-*Hr+l(Xeb gtGm, к)— ....
поэтому нам надо вычислить группы Hr(XeU Dx) и Hr(X<.\,
g*<&m,K.)-
Рассмотрим спектральную последовате;1ыюсть Лере для
включения iv: v <=• X (1.18)
НР{Х, R%.Z)=>Hp+<l(v, Z).
Заметим, что
H°(v, Zj = Z, Hx{v, Z) = 0
(потому что ( (/())
a Z не имеет конечных подгрупп) и H2(v, Z)= Hom(Gv, Q/.~)
(используется точная последовательность
H'(GV, Q) = 0 для всех г > 0, потому что это группа кручения,
а деление в Q однозначно). По тем же соображениям, с
помощью которых мы установили, что //'(у, Z)=0, можно
убедиться, что /?'to.Z = 0 (используйте 1.13). Поэтому
Н°(Х, iv.Z) = Z,
W{X, iv.Z)=0,
И2 (X, iv .Z) c=, Horn (Gv, Q/Z),
а значит,
H°(X,DX)= 0 Z,
136 Г.1. III. Когомо.югип
(так как когомолопш коммутируют с прямыми пределами, см.
ниже 3.6 (d)).
Рассмотрим теперь спектральную последовательность Лере
для включения g: spec/(->^
Н"(Х, R'gtGnul<)^Hp+n(spccK, Gm).
Слон пучка Rqg*&m. к в геометрической точке х схемы А'
изоморфен Hq (Kx, Gm), где Кх— поле частных строго локального
кольца схемы X в х. Значит, Rlg*&n, к = 0 по теореме
Гильберта 90. Следовательно,
H'(X,gtGmiK)=-H4K,Gm.K).
Собирая все это вместе, мы получаем точные
последовательности
0^Г(Х,Ох)-*К'-> © Z->//'(*. 6ffl)-* 0,
V(E Ху
0-> Я2 (*.Gm)->//>(/(, &m,K).
Итак,
Hl(X, 6т) = (дивизоры)/(главные дивизоры) = Pic X =
= Hl (Хгшт, Ох).
В действительности H[(Xei, Gm)=Pic(A') для любой схемы X
(см. 4.9 ниже).
ЧтоОы сказать больше, нужны дополнительные ограничения
на X.
Случай (а). Пусть X имеет размерность I и поле вычетов
k(v) каждой точки v^X\ совершенно.
В этом случае для любой точки dgXi поле Кб есть поле
частных гепзелева кольца дискретного нормирования с
алгебраически замкнутым полем вычетои. Классическое
рассуждение, показывающее, что H2(L, G,,,)--0, когда L — поле частных
такого полного кольца, проходит и в этом случае, что позволяет
установить равенство H2(L, Gm)=0. Воль H2(L, Gm) является
группой Брауэра поля L\ нормирование с L однозначно
продолжается до нормирования на любой центральной алгебре с
делением А над L (здесь используется гензелевость); такая
алгебра А содержит подполе L', для которого [А : L] = [Z/ : L]2 и
U неразветвлепо на L; значит, в этом случае L = Z/, откуда
А = L (ср. с [П7, XII, § 2]). Следовательно, в этом случае
R2g»<&m = 0. Так как X имеет размерность I, точки v из Xt
замкнуты, а потому функтор ivt точен (II. 3.6). Значит, Rqivt = 0
при q > 0.
§ 2. Когомологии Чеха 137
В результате получается точная последовательность
О -* И2 (X, Gm) -> И2 (К, Gm. к) -> © X (Gv) ~> Н3 (X, Gn) ->
-*M3(K,Gm.K),
в которой через X(GV) обозначена группа непрерывных
гомоморфизмов Go->-Q/Z, т. е. характеров группы Gv.
Случай (Ь). Предположим дополнительно, что Л' —
превосходная схема (1.1.2) (например, что поле К имеет характеристику
нуль или что X является алгебраической кривой над некоторым
полем).
Как показал Ленг, в этом случае Ко есть поле типа С\ (см.
[124]), откуда вытекает, что И {Ко, Gm) = 0 при г > 0. Значит,
в этом случае R"g*Gm = 0 при д>0 и данная
последовательность продолжается до бесконечной точной последовательности
... ->Hr(X.Gm)-+Hr(K, Gm.K)-*(&Hr-Uk(v)
Случай (с). Предположим, что X = speC/4, где А —
превосходное кольцо дискретного нормирования с совершенным полем
вычетов. Тогда по (Ь) имеется точная последовательность
Если А гензелево, то эта последовательность распадается в
короткие точные последовательности, имеющие неканонические
расщепления,
0->//'(*, Gm)-*Hr(K. Gm)->//r-'(fe
Чтобы убедиться в этом, мы укажем сечение отображения
Hr{K, Gm)-+Hr(k, Z) « Hr~](k, Q/Z) при л>2.
Выберем униформизирующий параметр л кольца А и
отождествим Z с подгруппой {nn|neZ} в KZ- Требуемое отображение
есть композиция гомоморфизма инфляции Hr(k, Z)-vHr(К, Z)
и естественного гомоморфизма Нг (К, Z)-*- И'{К, &т).
Если А лишь гензелево, но, возможно, не превосходно, то по-
прежнему имеется расщепляющаяся точная последовательность
0 -> И2 (X, Gm) -> Н2 (К, GJ - X (G {kjk)) -> 0.
В гл. IV будет показано, что в этой ситуации Н2(Х, Gm)ss
» ИЦк, Gm).
Случай (d). Предположим, что X — гладкая алгебраическая
кривая над алгебраически замкнутым полем k.
138 Гл. III. Когпмп.югни
По теореме Тзеня [124, теорема 24] поле К имеет тип С\,
а потому Hr{K,Gm) = Q при г > 0. Так как Hr(k{v), Q/Z) = 0
при г^\, то, используя точную последовательность из (Ь), мы
получаем, что ИГ(Х, Gm)= 0 при г > I.
Случай (е). Предположим, что X— регулярная превосходная
схема размерности 1, а поле k(v) конечно для всех v^X\.
Тогда G(k(v)s/k(v))=Gvx ?.; поэтому Hr(Gv, Q/Z) =
= Q/Z, Q/Z, 0, ... для л = 0, 1, 2 Значит, по (Ь)
0 -> Я2 (X, Gm) -> //-' (/С, GJ -> gi Q/Z ->
"е '^//3(Х, Gm)^H3(K, Gm)->0,
//г(^, Gm)~Hr(K, Gm) при л ^4.
Случай (Г). Предположим, что А' — открытая подсхема в
spec7?, где R — кольцо целых некоторого поля алгебраических
чисел К.
Согласно теории полей классов [31, VII. 10], имеется точная
последовательность
0-> Вг (К) -> 0 Вг (Kv) -1* Q/Z^ 0,
о
где v пробегает все нормирования поля К (включая
архимедовы), a Rv обозначает пополнение поля К по v. Сравнивая эту
последовательность и точную последовательность из (е), а
также используя факт существования коммутативных диаграмм
Вг(/С) -> Вг(К„) « Hz(K0,Gm)
для всех неархпмедовых нормировании v поля К (ср. с (с)), мы
получаем, что
последовательность 0->//2(Х, Gm)-> ф Вг {Kv)-*-QJZ-*-
ties
-+НЦХ, Gm)->H3(K, Gm)-^0 точна и
Hr(X,Gm) = Hr(K, Gm) при л>4
(где 5 — множество нормировании поля К, не соответствуюших
точкам схемы X). Например, если A' = spccZ, то S состоит из
одного элемента и
Я3 (X, Gm) ~ Q/Z
(поскольку #3(Q, Gm) = 0 (131, VII. 11.4])).
§ 3. Сравнение топологий 139
Случай (g). Пусть X — полная гладкая алгебраическая
кривая над конечным полем k. Из результатов, доказанных в
[118, II], следует, что Hr(K, 6т)=0 при г > 2. Как и выше,
из теории полей классов (см. [4J) вытекает, что
Hr(X, Gm) = 0 при r>3.
Упражнение 2.23. (а). Докажите результаты в случае (g) без
использования теории полей классов. (Указание: используйте
спектральную последовательность Хохшнльда — Серра для Х/Х,
где X = X ®k /esep; заметим, что Hx(k, Pic°(AT)) = 0, потому что
1 — F: Pic0^ Pic0, тождественный морфизм минус морфизм Фро-
бениуса, есть сюръективное отображение групповых схем
(теорема Ленга [94, с. 239]).)
(Ь) Пусть X — полная гладкая алгебраическая кривая над
сепарабельно замкнутым полем k. Покажите, что Hr(X, G.,,) = 0
при л> 1. (Указание: используйте спектральную
последовательность Лере для л: Хп-*- (spec k) п; покажите, что RgnmGm=&m,
Pjc(specA), 0, ...; затем используйте 3.9 ниже.)
Упражнение 2.24 (последовательность Майера — Вьеториса).
Пусть <U = {Uo-+X, U\ —♦ X) —открытое покрытие Зарисского
схемы X, a F — пучок на некотором ситусе (С/А')Е. Установите
существование длинной точной последовательности
... -*Hn-](U0, F)XHn-1{Ul. F)-^H"-l{U0l, F)-*Hn(X, F)-*
где ф(«0| S\) = s0 — Si. (Указание: воспользуйтесь 2.7 н 2.2(d).)
Используя 1.13, перенесите это утверждение на случай высших
прямых образов.
Упражнение 2.25. Пусть А — пучок колец на {С/Х)е
Обозначим через Ир{Х,А,—) р-й производный функтор для функтора
M^-*■Г(X, М): S(X, Л)->-АЬ. Покажите, что изоморфизм
Н°(Х, А, М)->-Н°(Х, М) продолжается до канонического
изоморфизма Ир(Х, А, М)-*"Н»(Х, М) при р ^ 0, (Указание:
установите, что стирающий функтор S(A', i4)->S(Ar) переводит пнъ-
ективные пучки в слабые; используйте 2.12.)
§ 3. Сравнение топологий
Результаты настоящего параграфа часто при вычислении кого-
мологий позволяют заменить один ситус другим, более
простым.
140 Гл. III. Когпмп.югчи
Изменение С/Х
Предложение 3.1. Пусть С/Х — подкатегория в С'/Х, а
f: (С'/Х)Е->{С/Х)Е
— морфизм, определяемый тождественным отображением на X.
(a) Функтор /, точен, а естественное отображение F-*-ftf*F
является изоморфизмом для любого пучка F на (С/Х)Е-
(b) /*: S((C/X)E)^S((C'/X)E) — строго полный функтор.
(c) Канонические отображения
Н1 (X, f,F') -* И' (X, F') и И' (X, F) -> Н1 (X, f'F)
являются изоморфизмами для всех i ^ 0 и всех пучков F' на
{С'/Х)Еи F на {С/Х)Е.
Доказательство, (а) Точность /» очевидна. Для любого
U из С/Х
Г(Ц, fpF) = T(U, F),
потому что в категории, по которой берется предел Г (U, f"F) =
= 1|'гпГ(К, F), имеется начальный объект (id, U). Так как F —
пучок на (С/Х)Е, то переход к ассоциированному пучку не
меняет сечения над любым объектом U из С/Х. Поэтому
T(U, fJ-F) = T(U, fF) = V(U, f>F) = T(U, F).
(b) Непосредственное следствие второй части
утверждения (а).
(c) Первое отображение —изоморфизм в силу точности f#,
второе —в силу того, что композиция отображений
И'(Х, F)-+H'(X. f*F)^ Hl{X, },ГР)-^Н1(Х, F)
является тождественным отображением.
Замечания 3.2. (а) Это предложение, в частности, можно
применить к малому и большому £-сптусам на схеме X. Тогда мы
получим, что малый £-ситус дает те же группы когомологий,
что и большой f-ситус.
(Ь) Для пучка F па (С'/Х)Е не всегда имеет место
изоморфизм F «/*/«/"'. Например, если /■ — пучок на большом эталь-
пом ентусе приведенной схемы X, заданный оар, то f»F = 0 на
малом этальном ситусе, но РфО.
Изменение Е
Предложение 3.3. Пусть £| э £-—классы морфизмов,
удовлетворяющие требованиям (е) из § П. 1, С2/Х — подкатегория в
С]/Х, а /: (С\/Х)Е>-*(С2/Х)Ег—морфизм, индуцированный
тождественным отображением на X. Предположим, что для каокдой
§ 3. Сравнение топологий 141
схемы U из С2/Х и каждого покрытия схемы U в Е[-топо.югии
найдется покрытие схемы U в Е2-топологии, являющееся
измельчением первого. Тогда функтор /,: S (Хе,) -» S {XEJ точен, а
потому H'{XEl, \f)—*Hl{XEx, F) для любого пучка F на XEl.
Доказательство. Функтор f» есть просто ограничение
пучка на XEl ДО пучка относительно более грубой £2-тополопш.
Пусть F-*- F"-*■ 0 — точная последовательность пучков па ХЕ„
a s^F"(U). Тогда существует покрытие (Ut) схемы U в £гто-
пологни, такое, чго s\Ui лежит в образе гомоморфизма F(Ui)-*-
-+F"{Ui) при всех L Обозначим через (V;) покрытие для О в
Ег-топологпп, измельчающее первое покрытие. Ес.чи Vj-*-U
пропускается через Ui-*-U, то коммутативна диаграмма
Щ)r[
I I
F(U,) у F"((7f)
откуда вытекает, что s\ V/ лежит в образе гомоморфизма F(V/)->
-*-F"(Vj). Итак, функтор f, точен справа.
Примеры 3.4. Предыдущее предложение применимо к
следующим классам:
(а) £| — класс всех этальиых морфизмов,
(b) £, = (et),
Е2 — класс всех отделимых этальных морфнзмов или
аффинных этальных морфизмов;
(c) Е\ — класс всех гладких морфизмов,
Это следует из 1.3.26.
(d) £,=(fl),
Е2— класс всех плоских морфизмов конечного типа;
(e) £,=(П).
Е2 — класс всех квазиконечных плоских морфизмов.
Это следует из 1.2.25.
Нётеровы ситусы
Ситус называется нётеровым, если каждое его покрытие
Ul-*U)ist имеет конечное подпокрытие, т. е. существует
конечное множество индексов / с: /, такое, что (t/, -> U)t e } — все
еще покрытие. (Автору непонятно, почему такие ситусы чаще
называют иётеровыми, а не компактными.) Пусть X—квазн-
142 Гл. III. Когомологии
компактная схема, а С/Л'— категория схем конечного типа над
Л'. Тогда любой сцтус, заданный классом Е, все морфпзмы
которого открыты, является петеровым.
Предложение 3.5. Пусть (С/Х)Е — нётеров ситус. Определим
категории P(-Va(d) // S(Xfad) предпучков и пучков на X, как и
выше, но считал покрытиями лить конечные сюръективные
семейства Е-морфизмов. Тогда категории Р(Хец-)) « Р(А"я). а
также категории S(Xец)) и S(XE) канонически эквивалентны.
Доказательство. В действительности Р(ХЕ{Г)) = Р(Хе),
потому что покрытия не участвуют в определении предпучка.
Чтобы установить вторую эквивалентность, мы покажем, что
если предиучок F удовлетворяет условиям (S|) и (S2) для
любых конечных покрытии, то он удовлетворяет этим условиям
для любых покрытии. Пусть s^F(U), a (Ut -*U)t <=i — такое
покрытие схемы U, что s\Ui = 0 для всех /. Поскольку
существует конечное подмножество Уст/, такое, что (£/*->£/)< е/—
покрытие, a s|£/, = 0 для всех i'ei, то s = 0. Значит, F—
отделимый предиучок. Предположим теперь, что для некоторого
покрытия {Ui-*U)t е/ заданы сечения s,^F(Ui), для которых
st | Ui'XUi=sl\Ui)>CUi при всех i и /. По условию для любого
конечного подмножества J czl, задающего покрытие {Ut -*U)l^J,
существует единственное сечение s^F(U), такое, что s|£/, = s,
при всех ie/. Выберем такое s для некоторого У с нужными
свойствами. Тогда в силу единственности s|£/, = s,- для всех
/<=/.
Замечания 3.6. (а) Пусть X — квазикомпактная схема.
Рассмотрим пётеров ситус ((et)/A')et(n. где (f) означает, что
допускаются только конечные покрытия. Сопоставляя предыдущие
предложения, мы видим, что ситус Хскм задает те же самые
когомологии, что малый этальный ептус и большой этальный
ситус.
Аналогичное утверждение верно для плоских ситусов.
(b) На нётеровом ситусе прямой псевдофпльтрованпый
предел пучков в категории предпучков является пучком (II. 2.17).
Поэтому прямые псевдофнльтровапшж: пределы и, в частности,
прямые суммы не зависят от того, берем мы их в категории
предпучков или пучков на таком ситусе.
(c) На нётеровом ентусе прямой псевдофпльтрованпый
предел F = Iim Ft слабых пучков также является слабым пучком.
Действительно, так как прямые пределы коммутируют с
конечными произведениями, то H^CU/U, F)=0 при q > 0, если
покрытие Щ схемы U конечно. Но конечные покрытия кофинальны
в множестве всех покрытий, а потому Rq{U, /7)= 0 при q > 0,
откуда вытекает, что F — слабый пучок (2.12).
§ 3. Сравнение топологий ИЗ
(с!) На нётеровом снтусе когомологин коммутируют с
прямыми всевдофнльтрованными пределами пучков.
Действительно, пусть / — малая псевдофнльтрованная
категория. Категория функторов Fun(/, S(X£)) наследует все
известные свойства S(XE) и, в частности, имеет достаточно много ппъ-
ективных объектов. Возьмем i'oe/, Функтор
(i0): Fun(/, S)->S, F-*F(£0)
по II. 2.2 имеет левый сопряженный. Точнее, этот левый
сопряженный функтор есть функтор, переводящий пучок F в функтор
t^F(i)= 0 F.
Нот, (/„. I)
Так как прямые суммы точны в S, то этот левый сопряженный
функтор точен. Поэтому (to) сохраняет ннъектнвность.
Пусть теперь {F(i)} — направленная система пучков,
индексированная категорией /, т. е. элемент категории Fun(/, S), а
{F (/)}-> {/* (0) — ннъективная резольвента системы {F ((')}• По
предыдущему замечанию F (г0) -> /* (/0) является пнъектпвпоп
резольвентой пучка F(i0) для каждого /0. Положим F = lim F (i)
и У" = ПтУ'(г)- Согласно предыдущему п. (с), предельный
комплексУ" является слабой резольвентой пучка F. Так как мы
находимся в нётеровом ептусе, то для любого U из С/Х функтор
S->-Ab, F>—>Y{U, F), коммутирует с прямыми пределами (см.
(Ь) выше). Итак, Т(0, У) = lim Г (£/, У*(0). и- переходя к кого-
мологиям, мы получаем, что H'(U, F)= UmH'(U, F(i)).
Это замечание применимо, в частности, к Хе\, когда X — ква-
зикомпактпая схема. (В этом случае для упрощения
доказательства можно пользоваться резольвентой Годемапа.)
Плоские когомологии и когомологии Зарисского
Следующее предложение можно интерпретировать как
утверждение о том, что топология Зарисского достаточно топка для
вычисления правильных групп когомологии квазикогерентпых
пучков модулей.
Предложение 3.7. Пусть f: A"n->-Xzar — непрерывный мор-
физм, индуцированный тождественным отображением на X,
F — квазикогерентный пучок (?х-модулей, a W(F) —
соответствующий ему пучок на Хи (II. 1.6). Тогда имеются
канонические изоморфизмы
Ml Гл. III. Когомологии
Доказательство. Напомним (1.18), что имеется спек-
тра.-п.иая последовательность
Очевидно, f,W(F)= F. Поэтому достаточно показать, что
Ril\W(F) = 0 при / > 0. Так как R'f,W(F) есть пучок,
ассоциированный с предпучком С/ь-> W(On, W(F)) на XZar, то
достаточно показать, что //'(£/м, W(F)) = 0 для любого аффинного
множества U при )> 0. Кроме того, при доказательстве можно
предполагать, что U снабжено малым £-ситусом, где Е — класс
всех аффинных плоских морфизмов конечного типа (см.
предыдущее). Мы покажем, что в этой ситуации пучок W(F) является
слабым. Для этого по 2.12(Ь) достаточно показать, что
Ri(Y/V, W(F))=0 при />0 для любой аффинной схемы V,
плоской и конечного типа над U, п любого конечного покрытия
Т = (Vi-^V). Заменяя (Vi) на (JJ Г,), мы сводим пашу
задачу к следующей: пусть V-+V— строго плоский морфнзм
конечного типа, где V и V — аффинные схемы: тогда H'(V'/V,
W'(/r))=0 при / > 0. Пусть К = spec Л, V — spec В, а пучок F
задан Л-модулем М. Тогда соответствующий комплекс Чеха
имеет вид
Но, как уже было замечено в 1.2.19, эта последовательность
точна, что завершает доказательство.
Замечание 3.8. То же самое доказательство показывает, что
//'■ (*Zar, F) ^> //' (XeU W (F)).
Плоские когомологии и этальные когомологии
Этальиая топология является достаточно топкой для
вычисления правильных групп когомологпп гллдкпх групповых схем.
Теорема 3.9. Пусть G — гладкая квазипроективная
коммутативная групповая схема над некоторой схемой X. Тогда
канонические отображения
Hl(XeU G)->//'№., С)
являются изоморфизмами.
Доказательство. Пусть f: Xtl-*- Xe\ — морфизм,
индуцированный тождественным отображением. Надо показать, что
/?7*G ^^ о при i>0 пли, эквивалентно (ср. с 1.13 и 1.17), что
Н'{Хи, G) = 0 при / > 0 для любом строго локальной схемы X.
§ 3. Сравнение топологий 145
Лемма 3.10. Пусть X = specA, где А—локальное гензелево
кольцо, а ХЕ обозначает малый Е-ситус на X, где Е— класс всех
конечных плоских морфизмов. Тогда функтор ft. S(A'u)—S(A£),
такой, что f индуцировано тождественным отображением на X,
точен. Поэтому И' (ХЕ, F)—> Н{(Хп, F) для всех пучков F на Х[.
Доказательство. Это вытекает из 1.4.3, 1.4.2 и 3.3.
Покажем, что пучок G является слабым в этой топологии.
Для этого по 2.12 требуется установить, что если X — строго
локальная схема, а Х'-*-Х — конечный строго плоский морфпзм,
то Н'(Х'/Х, G) —0 при i > 0. Доказательство проводится в
несколько шагов. Всюду предполагается, что С — гладкая
квазипроективная групповая схема над X.
Шаг 1. Пусть X — произвольная аффинная схема, А'о— ее
замкнутая подсхема, а Л' —функтор
где Yo = А'о X Y. Если подсхема А'о определяется идеалом 3 с
нулевым квадратом, то N = W(М) для некоторого когерентного
пучка С^-модулей М.
Доказательство. Пусть ыа = е'пд/Х, где е: X-*-G— сечение,
отвечающее групповой единице. В качестве М можно взять
пучок Нот^(сос, 9). (См. [37, 1.4.2.4] или [42, VII. 1].)
Шаг 2. Пусть X — некоторая схема, а X'-*■ X — строго плоский
конечный морфизм. Обозначим через C'(G) комплекс функторов
Sch/A'^-Ab, такой, что для любой схемы Y/X комплекс C'(G)(Y)
есть комплекс Чеха C'(Y'/Y,G) покрытия V" = КХ7*'-»-1'.
Пусть Z' — функтор
Y к^ ker (<*': С' (Y) ->_С( + | (Y)).
Тогда морфпзм d'~l: C'-'->-Z| представляется гладким морфпз-
мом схем.
Доказательство. По определению C'(G) есть функтор
т. е. это пучок n»G, где л: X'X ■•■ ХХ'-*-Х. Так как л —
конечный строго плоский морфизм, то этот пучок представим
схемой GXY'X ••• XY' с ограниченными по Венлю скалярами
([53, VIII. 7.7] пли [37, I. 1.6.6]). Таким же образом представим
функтор Z'(G), ибо он отвечает ядру отображения d1: C'(G)->-
->Ci+l(G), представимого групповыми схемами. Чтобы
установить гладкость отображения d'~1: C'~[ (G)-*-Z'(G), остается
показать (1.3.22), что для любой аффинной А'-схемы Т и ее
замкнутой подсхемы Го, заданной идеалом с нулевым квадратом,
любой элемент zeZ'(G)(7") с образом го в Z'(G)(T0), происходя-
MG Гл. III. Когомо.югии
щнм из элемента с0 е С'-' (G) (7"0), сам происходит из
некоторого элемента с е С1'-1 (G) (Т), отображающегося в с0.
Рассмотрим диаграмму
О » С - ЧГ/Т, N) > £/м(С)(Г) » £?~'(С)(Г0) » О
О . > Z;(r/r, Л/) > Zl{G)(T) > Z\G)(T0)
где N обозначает функтор Г-схем Y>—>ker(G(K)->- G(Yo). Сюръ-
ектпвность верхней правой горизонтальной стрелки вытекает из
гладкости схемы С. Диаграммный поиск показывает, что
достаточно установить сюръективность гомоморфизма
t-\. c'-i(r/7, N)-*Zl(T'/T, ff),
т. е. установить, что Я'(Т'/Т, N)=0 при i ^ 1. Но это следует,
согласно шагу 1, из 3.7.
Шаг 3. Пусть X = spec/1, где А — гензелево кольцо, Х'-*-Х —
конечнын строго плоский морфизм, Хо — замкнутая точка схемы
X, г Хц = Л"ХлЯ<,- Тогда отображение
Й'{Х'1Х, G)-*H'(X'o/Xo, G)
биективно при всех i ^ 1.
Доказательотпо. Из гладкости С и того факта, что
произведение Х'Х ••■ X X' является несвязным объединением спектров
локальных гензелевых колец, вытекает сюръективность
отображений
С'(Х'/Х, G)^C:(Xb/X0, G)
(1.4.13). Итак, необходимо проверить точность комплекса
кег (С* (Х'/Х, G) -> С (Х'о/Хо, G)).
Пусть zeZ'(X'/X, G) и его образ г0 равен 0 в Cl(X'o/Xo, G).
Мы ищем элемент с е С1'-1 {X /X, G) с с0 = 0 и такой, что
*/'-' (с) — z. По шагу 2 прообраз (d'-l)~l(z) представляется
гладкой подсхемой в С'~К Но (d'~l)~](z) имеет сечение над А'о,
а именно нулевое сечение, а так как X гензелева, оно
поднимается до сечения из (d'-[)~[(z) над X.
Теперь мы можем приступить к доказательству теоремы.
После шага 3 остается лишь проверить, что П'(Х/Х, С) = 0
при /^1, когда X есть спектр сепарабельно замкнутого поля.
Так как морфизм С'~{-*■ Z' гладок, то остается установить
сюръективность этого морфизма как морфизма схем. Для этого
достаточно показать, что С'-' (/e)-vZ' (k) сюръективно, если k —
§ 3. Сравнение топологий 147
алгебраически замкнутое поле, т. е. что Й'(Х'/Х, G) = 0, когда
X является спектром алгебраически замкнутого поля. Но тогда
морфизм Х'-*-Х имеет сечение, откуда вытекает, что эти группы
когомологпй равны 0, поскольку существует стягивающая го-
мотоппя.
Замечания 3.11. (а) Из шага 3 данного доказательства
вытекает, что для любой гладкой квазнпроектпвпой групповой
схемы G над гензелевым кольцом А имеет место изоморфизм
Н' (X, С) —»■ Н' (Хо, С0)при / ^ 1,где X = spec А До — замкнутая
точка схемы X, а Со = СХхХо— замкнутый слой схемы G/X.
(Ь) Теорема 3.9 (и предыдущее замечание) также верпа для
пучка G, представленного гладким коммутативным групповым
алгебраическим пространством, а потому, в частности, и для
гладкой коммутативной групповой схемы G. Доказывается это
точно так же, как и предыдущая теорема, за исключением
одного места: в шаге 2 ссылку на [53] следует заменить ссылкой
на V. 1.4 (а). Поэтому данная теорема верна для локально
конструктивных пучков на (Sch/A")ei (V. 1.7(d)). Это значит, что
для любого пучка F на Xet канонические отображения F->-ftf*F
и И'{Хеи F)^*-Hi{Xlu f*F) являются изоморфизмами.
Этальные когомологии и комплексные когомологии
Следующая теорема устанавливает совпадение этальпых и
классических комплексных когомологии в тех случаях, когда
разумно этого ожидать. Как и при сравнении алгебраических
и классических фундаментальных групп, нет оснований ожидать
такого совпадения, когда группы коэффициентов не являются
группами кручения. Например, если X — гладкая полная кривая
рода g над полем С, то //' (Х(С), Z) « Z2g, a
Я1 (*et. Z) = Horricont, (я, (X), Z) = О,
потому что группа л\ (X) проконечиа и имеет лишь конечные
дискретные факторгруппы. Однако
), Z/rtZ) ~ (Z/«Z)2g ~ Я1 (Xel, Z/nZ).
Теорема 3.12. Пусть X — гладкая схема над [С. Тогда для
любой конечной абелевой группы М имеются изоморфизмы
И'(Х(С), М)« H'(Xei> М).
Доказательство. Мы приведем лишь набросок
доказательства. Подробности можно найти в [54, XI]. В основе лежат
два результата, один из которых принадлежит Артнпу, а
второй— Грауэрту и Реммерту.
148 Гл. 111. Когомологнп
Элементарным слоением называемся морфнзм схем /: X
который можно вложить в коммутатпипую диаграмму
где
(a) / — открытое вложение, плотное в каждом слое, a Y =
= X -_Х;
(b) / — гладкий проективный морфпчм с геометрически
неприводимыми слоями размерности 1;
(c) g — конечный этальпып морфи.чм, каждый слом которого
непуст.
Лртиновой окрестностью относительно схемы 5 называется
S-схема Х, для которой существует разложение
X = X„ *■ Хп_\ *■ ... ->Ло =5,
состоящее из элементарных слоений /,.
Лемма 3.13. Пусть X — гладкая схема над алгебраически
замкнутым полем k. Каждая замкнутая точка к из X лежит в
некоторой, открытой подсхеме U в X, являющейся артиновой
окрестностью относительно speck.
Доказательство. Для некоторой открытой окрестности U
точки х имеется вложение в npo<?"Tiln""e пространство V", при
котором замыкание О схемы U нормально. Поэтому особенности
схемы О имеют коразмерность ^ 2. Заменяя вложение О <=♦ рг
его подходящим кратным С <=^~ •'*, можно построить достаточно
хорошую проекцию p^-^-P"-1 для О, где п = dim X. Раздувая
О в центре данной проекции, мы получаем элементарное слоение
U-*-Un-\. Этот процесс можно продолжить ([54, XI. 3.3]).
Если /=0, то 3.12 просто утверждает, что Х(С.) и X имеют
одно и то же число компонент связности (относительно
комплексной топологии и топологии Зарнсского соответственно), что
хорошо известно. (См., например, [109, VII. 2).) При i= 1
теорема утверждает существование взаимно однозначного
соответствия между накрытиями Галуа многообразия Х(С) с группой
М и аналогичными накрытиями схемы X. Это вытекает из
следующего результата.
Лемма 3.14 (теорема Римана о существовании). Пусть X —
схема локально конечного типа над С, а ХЛп — ассоциированное
комплексно-аналитическое пространство. Тогда функтор Ун-?- Yan
§ 3, Сравнение топологий 149
определяет эквивалентность категории конечных этальных
накрытий Y/X и категории аналогичных накрытий для Хап.
Доказательство. Для проективной схемы X
доказательство имеется в [112]. Общий случай можно найти в [44]. См.
также [54, XI. 4.3]. Более простое доказательство,
предполагающее, однако, разрешение особенностей, можно паптп в [53, XII].
Кроме того, см. дополнение к [72].
При г> 1 мы поступаем следующим образом. Обозначим
через Хсх малый ситу с (Хап)Е, где Е — класс всех морфпзмов
комплексно-аналитических пространств, являющихся локальными
изоморфизмами (конечно, это не есть ентус в смысле гл. II,
поскольку его объекты не являются схемами). Так как включение
U <=^ Х(С) открытого подмножества (в комплексной
топологии) есть локальный изоморфизм, то имеется морфизм ентусов
Хсх->-Х(С). Рассуждения, использованные ранее в этом
параграфе (особенно в доказательстве предложения 3.3),
показывают, что этот морфизм индуцирует изоморфизмы когомологпп
И'(Хсх, М)хИ'(Х(С), М). Существует морфизм ептусоп
f: Xcx^-Xet, при котором обратным образом схемы U, эталыюп
над X, является 1/гп. (Как было отмечено в 1.3, по теореме о
неявной функции и*п-*-Хап является локальным изоморфизмом.)
Кроме того, существует спектральная последовательность
//'Uet, R'LF)^Hi+!{Xcxy F).
Поэтому остается показать, что R'l^F = 0 при / >■ 0, а это
вытекает из следующей леммы (и 1.13).
Лемма 3.15. Пусть у^Н'(Хсх, F), a i > 0, где F — локально
постоянный пучок кручения на Хсх с конечными слоями (т. е.
являющийся конечным постоянным пучком на Ui для
некоторого этального покрытия Ui-*-X). Тогда для любой точки х е
еХ(С) существует этальный морфизм U^~X с образом,
содержащим точку х, и такой, что у | UCx = 0.
Доказательство. Используется индукция по п = сПгм.Д.
Поскольку данное утверждение локально в эталыюп топологии
на X, то можно предполагать, что F—постоянный пучок и что
имеется элементарное слоение X—*S. Все вычисления будут
проводиться относительно топологии локально аналитических
изоморфизмов. Несложными вычислениями можно убедиться,
что jtF есть постоянный пучок на X с тем же слоем, /с1/*/7 —
продолжение нулем постоянного пучка с У, a RljtF = Q при г> 1
(ср. с VI.5.1). Так как f — собственный морфизм, то слон пучка
k'J» можно вычислять послойно над ^/5, а так как это гладкий
морфизм, то Я'7* сохраняет локально постоянные пучки круче-
160 Гл. III. Когомологип
нпя (ср. с VI. 4.2). Теперь спектральная последовательность
(Я'7*) {R'j.)F^> Ri+ij»F показывает, что f*F — тоже постоянный
пучок, R%F — локально постоянный пучок кручения с
конечными слоями, a R'ftF = O при i > I. Поэтому спектральная
последовательность Лере
Я''(5„. R'ff)=>Hi+l(Xex,F)
сводится к длинной точной последовательности
...-//' (S«. f/) -> Н' (Хех, F) -//'"' (Sex, /?'f,F) - . . . .
По предположению индукции существует этальное отображение
U'-*-S, образ которого содержит точку /(л), такое, что у\и'сх —
= 0 = у'|^схДЛя любых данных y^H(-:(SCx, Rlf*F) и /е
e//'(Sex, /»/•") (предполагается, что />1). Это заканчивает
доказательство при г> 1: надо взять U = О'У^Х для
подходящего U'. При /= 1 лемма вытекает из 3.14.
Замечание 3.IG. Методами, используемыми при
доказательстве теорем гл. VI, можно показать, что для любого уе
e//'(Xet, F) (( > 0) и любой точки хёХ, где X — гладкая
схема над алгебраически замкнутым полем k, a F — локально
свободный пучок 7,/п'Л-модулей, причем п взаимно просто с
char(/e), существует конечное эталыгое отображение U-*■ U' на
открытую по Зарпсскому окрестность V точки х, такое, что
y\U = 0.
Упражнение 3.17. Мы сохраняем предположения и
обозначения леммы 1.16.
(a) Пусть Ux^(tt)/X есть схема вида £/( X*, ^а, Для
некоторого Ut e(et)/%; покажите, что любое покрытие для Ц»
имеет измельчение, получающееся заменой базы из некоторого
покрытия для (£/,XX/)ei при подходящем /, таком, что i-*-j.
(Данное покрытие можно считать конечным; используйте
1.3.19.)
(b) Покажите, что Г ({/_, FJ = lim Г (£/,, F,), где U, = Ut Xx^,;
вьшедите отсюда, что
Н𠹄, FJ = lim H» (Ы, X Х„ F,)
для любого покрытия 'U^ вида 4lt Xx,^oei a также что
Нр{Хао, Fc0) = ihnMp(Xj, Fj) и что если все схемы Хс и Хх
удовлетворяют предположениям теоремы 2.17, то Hr(Xx, Foo) =
= 1\тНр(Х„ F,).
§ 4. Главные однородные пространства 151
§ 4. Главные однородные пространства
В этом параграфе почти всюду мы работаем с плоским ситусом.
Все групповые схемы предполагаются плоскими и локально
конечными, но не обязательно коммутативными. Существование
единичного сечения влечет за собой строгую плоскость. Если
G— такая групповая схема над X, то ее действием на Х-схеме 5
называется морфизм SX* G-*-S, индуцирующий действие (в
обычном смысле) группы 0(7") на множестве 5(7") для каждой
Х-схемы Т. Так, например, морфизм умножения GX.G-+G
определяет действие групповой схемы G на себе. Легко ввести
понятие морфизма и изоморфизма схем с С-действнем.
Предложение 4.1. Предположим, что G действует на схеме S.
Следующие утверждения равносильны:
(a) S —строго плоская схема локально конечного типа над
X, а отображение (s, g)i~^(s,sg): SX* G-*Sy(xS задает
изоморфизм;
(b) существует покрытие (Ui-*-X) в плоской топологии на X,
такое, что для каждого i схема S(f,) вместе с G^u ^-действием
изоморфна G(ut).
Доказательство. (а)=»-(Ь). Возьмем покрытие (S^-X)
и заданный изоморфизм G(S)-+S(S).
(b)=>(a). Пусть U = XI Ui. Тогда U — строго плоская схема
локально конечного типа над X, a S{u) « С(у>, откуда вытекает,
что 5(У) — строго плоская схема локально конечного типа над U.
Используя теперь теорию спуска (1.2.24), мы получим те же
свойства для 5 над X. Кроме того, по (Ь) отображение
(S X* G)(U)-»-(S X*S)<u) является изоморфизмом, значит, по
теории спуска 5Хх G ->-SX* S также изоморфизм.
Схема 5 с действием С, для которой выполнены утверждения
из 4.1, называется главным однородным пространством или тор-
сером групповой схемы G над X. Торсер S, изоморфный G
(с естественным действием на себе), называется тривиальным.
Торсер 5 тривиален тогда и только тогда, когда непусто
множество S(X). (Если se5(Jf), то отображение (g*-*-sg): G^-S
задает изоморфизм.) Тривиальные торсеры составляют
выделенный элемент множества PHS(G/X) всех классов изоморфных
торсеров групповой схемы G над X. Пункт (Ь) в определении
торсера можно интерпретировать как утверждение о том, что
каждый торсер локально тривиален в плоской топологии на X.
Если G является гладкой, то каждый торсер локально
тривиален в этальной топологии на X, т. е. существует покрытие
(Ui-*-X) в этальной топологии, такое, что S(Ut) «** G^u.y (Это
вытекает из следующего предложения 4.2 с использованием
1.3.26.) Для многих групп G G-торсеры, локально тривиальные
152 Гл. III. Когомологип
в топологии Зарнсского, не интересны. Серр первым предложил
изучать торсеры, тривиальные па некотором этальном
покрытии [115].
Предложишк 4.2. Пусть G— гладкая или этальная, или
собственная, ... групповая схема над X. Тогда тем же свойством
обладает любой G-торсер.
Доказательство. Это следствие теории спуска,
использующее тот факт, что любой торсер становится изоморфным G
после подходящей строго плоской замены базы.
Оставшаяся часть этого параграфа посвящена вычислению
PHS(G/X), т. е. классификации классов изоморфных С-торсе-
ров. Например, если G — коммутативная конечная группа, то
G-торсеры являются накрытиями Галуа схемы X с заданным
действием группы G, а потому PHS(G/X) = Нот (л( (X), G) для
таком группы G. (См. 1.5.4.) Вычисление PHS(G/X) проводится
в три этапа. Во-первых, вводится понятие пучка С-торсеров и
исследуется вопрос, когда пучок торсеров представим схемой.
Во-вторых, показывается, что пучки торсеров классифицируются
определенной группой когомологип. II наконец, используя
когомологическую технику, мы вычисляем данную группу
когомологип.
Пусть G — групповая схема над X, а 5 — пучок множеств на
(LFT/X) п с действием G. Тогда 5 называется пучком главных
однородных пространств пли пучком торсеров групповой схемы
G, если он удовлетворяет услоз;;:с (!;) из 4.1 (где теперь под
Gy () понимается пучок, заданный G на (£/,-) м, а под S^urf
понимается 5|(У,). Очевидно, пучок, заданный схемой 5, которая
является С-торсером. есть пучок торсеров, а две схемы 5 и 5'
изоморфны как G-торсеры в том и только том случае, когда они
изоморфны как пучки торсеров (по лемме йопеды (29, 1.1.6]).
Вопрос о том, какие из пучков торсеров происходят из схем,
в общем, достаточно тонкий.
Теорема 4.3. Пучок G-торсеров S на Хи представим в каждом
из следующих случаев:
(a) О' — схема, аффинная над X:
(b) G — гладкая и отделимая схема над X, а размерность
(c) G — регулярная схема, гладкая и собственная над X, с
геометрически связными слоями;
(d) G — схема, кваэипроективная над X, а пучок S тривиали-
зуется на схеме X', которая является конечной и строго плоской
над X;
§ 4. Главные однородные пространства 153
(е) G — абелева групповая схема, проективная над X, a S
определяет элемент конечного порядка группы /?'(Л'п, G)
[определение класса когоАологий, сопоставляемого пучку торсеров,
см. ниже в абзаце, предшествующем 4.6).
Доказательство, (а) Пусть Y-+X—строго плоский мор-
фнзм конечного типа, для которого S|V» G\Y (как пучки па
Yn). В существовании такого Y не трудно убедиться.
Канонический изоморфизм р\ (S | Y)-*p*2(S I Y), где pi и /;2—канонические
проекции YXY^ZY, индуцирует изоморфизм ф: p\(GlY))-*
-> pJ(G(J,.), удовлетворяющий условиям теоремы 1.2.23. Поэтому
пучок 5 представим некоторой ^-схемой.
(Ь), (с), (d) и (е). Доказательство в этих случаях аналогично
предыдущему, однако здесь требуется более утонченная техника
спуска. Случаи (Ь), (с) и (е) (и многое другое) можно найти
в [103, XI. 3.1 к XII. 2.3]. Случай (d) вытекает из [53, VIII. 7.7J.
Замечания 4.4. (а) В лекциях Рейно, упоминавшихся выше,
также приведены следующие примеры: пример абелевоп схемы
А над нормальной локальной схемой X размерности 2 с
непредставимым пучком Л-торсеров, локально тривиальным в эталыюп
топологии; пример проективной абелевоп схемы А над целой
локальной схемой X размерности 1 с представпмым пучком
Л-торсеров 5, пепроективным над X и не задающим элемент
кручения в Й[(Хп, А). (Заметим, что проективность не обязана
сохраняться при спуске, кроме случая, когда существует
обильный дивизор, совместимый с данными спуска.)
(Ь) Возможно, более естествен вопрос о представимости
пучков торсеров алгебраическими пространствами [8, следствие
7.2].
Прежде чем переходить к выяснению связи пучков торсеров
с когомологиямп, мы распространим некоторые из наших
определений на пучки некоммутативных групп. Пусть G — пучок
групп на ХЕ в мультипликативной записи, а °И = ((/,• —> X)t n f —
некоторое покрытие, l-коциклом покрытия Ш с коэффициентами
в G называется семейство (gii)ixr, gi/^ G(Uit), такое, что
Два коцикла g и g' называются когомологичными, если
существует такое семейство (А;)л А,еС(С/',), для которого g\ =
:=(^t\^tt)Sii{^i\^ii)' • Это отношение эквивалентности, и
соответствующее ему множество классов обозначается Я'(<2/Д, G).
Оно имеет выделенный элемент (#,/) с gij = 1 для всех i и /.
Множество R]{X, G) определяется как предел Mm /?' {Щ/Х, G),
154 Гл. III. Котмп.тгпи
которым берется по всем покрытиям, как п в 2.2. Если G— пучок
абелевых групп, то это определение fl^((H/X,G) совпадает с
первоначальным, а так как фильтрованные прямые пределы
множеств и абелевых групп совпадают, то данное определение
/'/' {X, G) также совпадает с нашим первоначальным
определением.
Последовательность пучков групп 1 -*■ G'-*■ G-*■ G"-*■ 1
называется точной, если для каждого U из С/Х группа G'(U)
является ядром гомоморфизма G{U)-*-G"(U) и каждое
сечение s^G"(U) поднимается локально до сечения из G.
Предложение 4.5. Любой точной последовательности пучков
групп
1 -► С -> G -> G" -* 1
соответствует точная последовательность пунктированных
множеств
\->G'(X)-+G(X)-*G"{X)-£+Hl(X, G')^W{X, G)-*Hl(X, G").
Доказательство. Отображение d определяется так:
возьмем элемент g <= G"(X) и выберем такое покрытие (Ui^-X)
схемы А", что для каждого i существует сечение g,e G(Ui),
отображающееся в g\Ui при гомоморфизме G(Ui)-*- G"(Ui); тогда
мы берем
Остальные отображения очевидны. Доказательство
корректности определения d и точности данной последовательности
стандартно, и мы его опускаем. (Ср. с [42, III. 3.6].)
Пусть S — пучок торсеров групповой схемы G, a (Ui^-X) —
плоское покрытие, трпвиалпзуюшее S, так что множество S(£/,)
непусто при любом L Выберем s;eS(£/,■); тогда существует
единственный элемент gi/ e G(Ui/), для которого (Si\Ut/)gi/ =
= (sj\Uh). Заметим теперь (опуская знаки ограничений), что
Sigagik = sk = Sig.k, а потому gugn< =-gin, т. е. семейство (gif)
задает 1-коцикл. При другом выборе элементов st коцикл g =
= (gil) заменяется на когомологичный. Класс когомологнй
также не меняется при замене 5 на изоморфный пучок торсеров.
Итак, пучок 5 определяет элемент с(5)е/?'(Х, С).
Предложение 4.6. Отображение S*—>c(S) задает взаимно
однозначное соответствие между классами изоморфных пучков
торсеров групповой схемы G и элементами множества R'(X, G),
при котором классу тривиальных пучков торсеров соответствует
выделенный элемент этого множества.
§ 4. Главные однородные пространства 165
Доказательство. Построим обратное отображение.
Пусть °U — (£/(->-X)— некоторое покрытие схемы А', а С°(3/, G)
и O(<U, G) — пучки V*->UG{UtXV), V ^l[G (UUXV).
Тот факт, что это действительно пучки, можно проверить
непосредственно либо используя равенство Со(^, О) = Ц я,« (G |(Л),
где я,: Ui^-X и т. Д. Обозначим через d: C-j-C отображение
(А,)1—»• (ЛГ'Л/). Фиксируем теперь некоторый 1-коцнкл g с
коэффициентами в G для покрытия ^. Для любого V коцикл g
ограничивается до элемента g\V, принадлежащего l'(V,
С (°U, G)), и мы определяем пучок 5 как подпучок в С°(й1/, G),
такой, что V(V, S) есть прообраз элемента g\V при любом V.
На пучке 5 имеется очевидное действие (справа) rpynnouoii
схемы G, а именно: ((s,), g)i—»(g~'s,-). Предположим теперь,
что g —тривиальный коцикл, т. е. gu = (gi\Ui,)-l{gi\Un) для
некоторой цепи (gt) e Ц G (f/^). Тогда отображение G-*-S,
переводящее сечение h групповой схемы G над V в элемент
(А~'| КХ Oi) (gi\ ^X ^<). является изоморфизмом,
коммутирующим с действием группы G. Поскольку коцикл g становится
тривиальным после ограничения на каждое U;, а определение
пучка 5 коммутирует с ограничениями, то по предыдущему
S\Ui?z G\Ui, т. е. 5 является пучком G-торсеров. И наконец,
можно проверить, что 1-коцикл, отвечающий такому пучку 5,
совпадает при подходящем выборе данных тривиализации с
первоначальным коциклом g и что пучок торсеров, заданный по
коциклу, отвечающему некоторому пучку торсеров, изоморфен
этому пучку торсеров. Это устанавливает взаимно однозначное
соответствие между классами изоморфных пучков торсеров, трп-
виализуемых на заданном покрытии 41, и элементами
множества W(°U, G). Остается перейти к пределу по всем покрытиям.
Следствие 4.7. Имеется каноническое вложение PHS(G/X)^-
-*■/?'(-^Mi G); для коммутативной групповой схемы G также
имеется вложение PHS(G/X)-*- Я1 (Хп, G); если групповая
схема G/X подпадает под один из случаев (а), (Ь) или (с)
теоремы 4.3, то отображение PHS(G/X)-+ Й[(Хц, G) является
изоморфизмом.
Доказательство. Это вытекает из 4.6, замечаний,
предшествующих теореме 4.3, 2.10 и 4.3 соответственно.
Замечания 4.8. (а) Как мы уже отметили, если G — гладкая
групповая схема, то любой G-торсер тривиален на некотором
этальном покрытии схемы X. Тогда из доказательства
предложения 4.6 видно, что для таких групповых схем остаются
верными все утверждения следстэия 4.7 преле замены э них групп
156 Гл. III. Когомологии
плоских когомолопш па группы этальпых когомологии. Это
неудивительно с точки зрения теоремы сравнения 3.9.
(Ь) Когда С —коммутативная групповая схема, имеется
прямое описание закона композиции пучков торсеров,
индуцированного отображением 5»—>с(5) и сложением в Й1(Х(\, G). Пусть
S — пучок множеств с действием G. Тогда факторпучок S/G
определяется как пучок, ассоциированный с предпучком
£/>—>S([/)/G(t/). Если 5i н S2 — два пучка множеств с
действием G, то пучок S| У S2 =S|V GS2 определяется как
факторпучок S\X.Si/G по действию G, заданному правилом (аь s2)g =
= (s\g~l, s2g). Если 5i и 52 —пучки торсеров, то пучок 5,v52
также является пучком G-торсеров с действием (si, s2)g =
{{{) И C(SlVSi) = C{Si) + S
Перейдем теперь к вычислению некоторых групп R[(X, G).
Предложение 4.9 (теорема Гильберта 90). Канонические
отображения
Я1 (XZar, О'х) -> Я1 (Xet, Gm) -> Я1 (ХП, G«)
являются изоморфизмами; в частности, Hl(Xn, Gm) ял Р\с(Х).
Доказательство. Мы покажем только, чтоИ1 (XZar, О'х) та
«« //' (Jfn, Gm); доказательство а^л этальных когомологии
аналогично. Из спектральной последовательности Лере 1.18
видно, что достаточно доказать равенство Rlf*&m =■■ 0, где f —
канонический морфнзм A'n->XZar. Для этого нужно показать,
что любой элемент из H](Ui\, Gm), где U — открытое по Зарнс-
скому подмножество в X, становится нулевым в Я'((£Л-)г1, ®т)
для всех схем Ut некоторого покрытия Зарисского схемы 0. Это
сводится к утверждению, что //' (i/ц, Gm) = 0, где (/ = spec/4,
а Л —локальное кольцо. Мы докажем несколько больше.
Лг.ммл 4.10. Пусть U — specA, где А — локальное кольцо.
Тогда
Hl{Un,GLn) = 0.
Доказательство. GLn обозначает здесь пучок Ь' *—»
h->GLn(r(f/, Ou)). Пусть ae=/?'(t/n. G/,n). Существует ^У-схе-
мп I7, которую можно считать строго плоской аффинной и
конечного типа, такая, что аеЙ'(У/(/, GLn). Пусть В = Г(У, Ov),
а ере GL,(VX V) = GLn(B <8>A B)~ коцикл, соответствующий а.
Тогда ф можно рассматривать как изоморфизм (В <8>А В)п->~
-+(В ®А В)" или (ср. с 1.2.21) как изоморфизм Вп<дЛВ-*-
->■ В ®..i 5". Тот факт, что тр является коциклом, влечет за собой
при второй интерпретации выполнение условий из замечания
1.2.21, которые гарантируют существование Л-модуля М, при-
§ 4. Главные однородные пространства 157
водящего к паре (Вп, ср). Поскольку Вп как В-моду.чь является
плоским и конечно порожденным, а В — строго плоская алгебра
над А, то по теории спуска М—плоским конечно порожденный
модуль над А. Поэтому М свободен (1.2.9), М-—*■ Лп. Значит,
Ф — кограница. (Ср. это с обсуждением скрученных форм в
конце настоящего параграфа.)
Теория Куммера
Для любом схемы А' и любого целого числа п точная
последовательность II. 2.18(Ь)
индуцирует точную когомологическую последовательность
о ->>„ (X) -> г (х, оху —► г (х, аху-* я1 (х, «о ->
Эта последовательность имеет следующую явную
интерпретацию: Я1 (X, щп)~ множество всех пар (L, ф) (с точностью до
изоморфизма), где L — обратимым пучок на А', а ср —
изоморфизм 0Х -у L®"; образ пары (L, ф) в Pic (Л") п совпадает с
классом пучков, изоморфных L; если существует изоморфизм \\-\
Ox^-L, т. е. пара (L, ф) отображается в нуль из Pic (А'), то
(L, ф) является образом сечения аеГ(Х, Ох)*, где композиция
^ _Ф ® п (М.-1)8" я п can
Ох —*■ L >- Ох —*■ Ох
есть умножение на а~\ Паре (L, ф)е//'(А', цип) соответствует
^„-торсер 5 = spec В, где В представляет собой когерентным
п -I
пучок Сх-алгебр ф L®' с умножением, заданным по правилу
при i + j>n.
Исследуем это вначале для случая, когда X = spec A —
аффинная схема и существует изоморфизм тр: А-уЬ. Пусть e = t|i(l).
Тогда элемент е91 порождает L®', а е®" можно записать в
виде е®" = аф(1), аеЛ*. Значит, В является свободным Л-мо-
дулем с образующими е0, .... e,,.-i, гце et=e9i, a
ПРИ '
при /
158 Гл. III. Когомологии
т. е. В « А [Т]/(Тп— а). Пусть Y — произвольная Х-схема.
Тогда
S (У) = fс е Г (У О ) I с" = а]
и действие щ„ на S определяется отображениями 5(У)Х Шп(У)-*-
-+S(Y) с (с, £)'—^с^. Торсер 5 становится изоморфным ifin,
когда а берется равным rt-й степени. Для схемы X общего вида
отсюда вытекает, что схема 5 локально (в топологнн Зарпсского
на А') является ^„-торсером. Поскольку так локально
определенные действия групповых схем щп на 5 склеиваются, то S
глобально является торсером.
Если п обратимо в Г(Х, Ox), т. е. не делится на
характеристику никакого поля вычетов, и r('Y, Ox) содержит примитивный
корень rt-й степени из единицы £, то щп (неканоническп)
изоморфен постоянному пучку Z/nZ, а предыдущая теория имеет
непосредственное отношение к теории Куммера. Грубо говоря,
изоморфизм Щп-*- Z/rtZ задается выбором примитивного корня
степени п из 1 и отображением его в 1 eZ/nZ. Однако лучше
обратить внимание на то, что из данных условий на X следует,
что это схема над spec Л, где А = 7 \\/п] [£], и что рт„ и Z/nZ
изоморфны как групповые схемы над А, потому что
А [ТУ(Тп - 1) * П A [TW-Z1) * А X А X ... X А.
(-0
Поэтому при этих условиях Н1(Х, Щ1„)& 1Р{Х, Z/nZ)«
« я1 (X, Z/nZ) равно множеству классов изоморфных
накрытий Галуа схемы X с группой Галуа Z/nZ. А так как схема щл
этальпа, то И1 (X, щп) := И[ (Xet, Щп) ■
Предложение 4.11. Для любой схемы X над Z [\/п\ \%)
имеется точная последовательность
0-> Г (Л", ОХТ1Г {X, Ох)'п-*Н1 (Л"С|, Z/nZ) -> Pic (X)n ->0.
Доказательство. Это утверждение — просто
переформулировка предыдущих рассуждений.
Первое отображение, конечно, переводит элемент а е
е= Г(Х, Ох)* в схему specB, где В = 0х[Т]/{Тп — а), а второе
можно описать, как и выше, используя обратимые пучки.
Рассмотрим теперь тот случай, когда X — полное нормальное
многообразие над полем k (содержащим примитивный корень
степени п нз 1). Тогда предыдущая последовательность
переписывается в виде
О -► k'/k'n ~>n[(X, Z/nZ) -> Pic [X)n -> 0.
§ 4. Главные однородные пространства 159
Элемент aeft' определяет расширение k' поля k, а
соответствующий элемент из л1 (X, Z/nZ) есть X' = X ®* k'.
Рассмотрим, с другой стороны, элемент X' из л1 (X, Z/nZ), для
которого k алгебраически замкнуто в R(X') или, что эквивалентно,
каждая компонента А" есть также многообразие над к. Такие
накрытия X' многообразия X называются в [79, с. 289—290]
геометрическими накрытиями. Кольцо R(X') является расширением
Галуа поля k(X), а поэтому в силу предыдущего предложения
оно соответствует элементу aeft(A')*, так что R(X') =
= k(X) [T]/(Tn — а). Поскольку X' этально над X, то дивизор
нулей и полюсов функции а имеет вид nD, где D—некоторый
дивизор на X. Класс дивизора D в Р\с(Х) совпадает с образом
элемента X' при отображении л'(Х, Z/nZ)->~P\c(X). Данное
накрытие X' многообразия X называется накрытием пнкарпв-
ского типа, если класс D принадлежит подгруппе Pic0(А') в
Pic(X), т. е. дивизор D алгебраически эквивалентен пулю.
Пример геометрического накрытия, не являющегося накрытием пп-
каровского типа, дай в [79, с. 302].
Пусть теперь X — полная гладкая кривая рода g над
алгебраически замкнутым полем k (характеристики, не делящем п).
Напомним, что Pic(JT)» Pic°.(*)0 Z и Pic0(Я) = /(*), где J —
якобиан кривой X. Так как / — абелево многообразие
размерности g, то J{k)n ж (Z/nZ)2g ([94, с. 82]), а потому
W {X, Z/nZ) « / (k)n « (ZlnZfe.
Заметим, что при k = С тот же самый результат получается
для групп комплексных когомологий.
Теория Артина — Шрейера
Пусть X — схема характеристики р, т. е. канонический мор-
физм A'-^specZ пропускается через spec рр. Точная
последовательность пучков (II. 2.18)
индуцирует точную гомологическую последовательность
г(х, ах) ^г(х, ох)^нх {х, z/pZ) ->//' (х, ох)^и1 (х, ах),
причем безразлично, рассматриваем ли мы группы этальных или
плоских когомологий.
Предложение 4.12. Для любой схемы X над fp имеет место
точная последовательность
0 ^ Г (X, OX)I(F - 1) Г (X, Ох) - я1 (X, Z/pZ) ~> Я1 (X, OX)F -> О,
160 Гл. III. Когомп.югии
где
IP (X, OX)F = {a e //' (X, Ox) \ Fa=a).
Доказательство. Это утнсрждспие — переформулировка
предыдущего.
Итак, если Л' — аффинная схема, Л' = speed, то любой Z/pZ-
торсер А'' имеет вид spec (Л \Т] /(Т" — Т ■+- а)), где оеУ!;
элемент le!'//'-' действует на Л' = /1[/], переводя / в / + 1; тор-
сер X' тривиален тогда и только тогда, когда а = b" — h для
некоторого b e А.
Пусть теперь X' является Z/рГТ-торсером над X, где X —
произвольная схема. Для любого открытого аффинного покрытия
X = \JUlt где Ui = spec А;, существуют элементы л,е/1/, для
которых
X'XU,=Ui = spec(Л, \Т}/('Г -Т + а,.)).
Тот факт, чю UiXUij = UjX.Uij п т. д., влечет за собой
равенство aj — ai =/fy — /,,-, где (/,-,-) есть 1-коцпкл для О\
относительно покрытия (Ui). Значит, любой элемент X' из
.Tt'(,Y, Z/p:~) описывается заданием аффинного покрытия Щ =
= (£/,■) схемы А', коцепью (а,-)ь= С"{?«,', С^л-) п коциклом (/,,)е
eZ'(%, С^х), для которых /^— /",-,■ = л;. — af. при любых / и /.
Образ данного элемента в Я1 (A'. O)v)f совпадает с классом
1-коцикл а (/,,). Если он равен нулю, т. е. ]ij = gi — £,• для
некоторой коцепи (#,) е С°(^, С'х), то А'' совпадает с образом
элемента аеГ (А", ^ л:), такого, что а = а{— £? + g( в Г(Ог,,С?'х)
при всех L
Если А' — полное многообразие над алгебраически замкнутым
полем k, то л'(А, Z/pZ) « Я1 (A, C.v) ^ и группа //'(А, (?*)
иредстапляет собой конечномерное векторное пространство над
k, а потому применима следующая элементарная лемма.
Лемма 4.13. Пусть V — конечномерное векторное
пространство над алгебраически замкнутым полем k характеристики р,
л (р: V-*■ V—такое аддитивное отображение, что (p(av)=apq>(v)
для всех а е k, v e V. Тогда V разложимо в прямую сумму,
у = Vs Ф V,,, где V, и У„ — подпространства, инвариантные
относительно действия ф, при этом гр биективно на Vs и нильпо-
тентно на V,,. Кроме того. Vs имеет базис е— {et, .... еа),
такой, что ф(<°,)= с, при всех 1. Отсюда вытекает, что
и отображение ф— 1: V-*■ V сюръективно.
Доказательство. См., например, [58, XXII. I] или [94,
с. 170].
$ 4. Главные однородные Пространства 161
Таким образом, группа Н1 (X, Z/pZ) = л1 (A', Z/pZ) имеет
порядок/?0, где а ^ dimk(H[ (X, Ох)). Если А' —неособая
кривая, то число а определяется по матрице Хассе—Витта
кривой X. Если X — полное пересечение размерности ^ 2 пли
проективное пространство любой размерности, то пЦХ, 7у./р7.)= О,
потому что //' (X, (Ух)= 0. Заметим, что по теории Куммср;!
я1 {P'k, Z/nZ) = 0 для любого п, не делящегося па р, а потому
фундаментальная группа щ(Р?) не имеет абелевых факторов.
В действительности л\(Р'к) = 0 ([51.XI.1]). Если X — связная
подсхема в FJ, то имеется связь между обращением в нуль
групп когомологий Я'(Р" — Х,М) для когерентного пучка М
при i^n — t и обращением в нуль H'(X,Z/p") при isg/—1,
которая использовалась при построении примеров многообразии,
не являющихся теоретико-множественно полным пересечением
([27]).
Предыдущие результаты о я1 (A', Z/pZ) можно перенести на
л1 (A7, Z/p"Z), заменяя Ох векторами Витта длины п над Ох
([114]). Для полных многообразий над конечным полем группы
Н'(Х, Z//?Z) используются для вычисления дзета-функции
многообразия X «mod p» ([58, XXII]).
Инфинитезимальные накрытия
Пусть X — снова схема характеристики р. Точная
последовательность (II. 2.18)
пучков на Xtl индуцирует точную когомологическую
последовательность
о ->г (х, ох)щх, охг ^я1 (*,„ cog -> W(x, ох) -^ я1 (х, ох).
Поэтому оа.р-торсеры имеют описание, аналогичное описанию
Z/pZ-торсеров, явный вывод которого мы оставляем читателю.
Существует еще лишь одна простая ннфиннтезпмальная плоская
коммутативная групповая схема над алгебраически замкнутым
полем, а именно щр, а ^р-торсеры уже обсуждались выше.
В том случае, когда X — гладкое многообразие над
совершенным полем, fip- и ахр-торсеры описываются также при помоши
дифференциалов. Напомним ([122]), что для таких
многообразии определено (р~')-линейное отображение С, называемое
оператором Картье, из пучка замкнутых дифференциалов Qci
на X в пучок всех дифференциалов Qx.
0 Эвк. 421
162 Га. III. Когпмо.югии
-1.1 I. Пусть X — г.и/Окпс многообразие паи
совершенным полем к характеристики р. Тогда
//' (Хп, оу.р) = {со е= Г (,Y, l>'v) | r/.o --= 0, Сю = 0} и
И' (Л'„, fip) = {ю ез Г {X, Их) | c/oi - 0, Сю = со}.
Доказательство. На Xei имеются следующие две точные
последовательности пучков:
О -н. Ох -^ (7х ^> «5t. с — Йл -> О,
где dlog обозначает отображение Z'-^-dg/g. Точность этих
последовательностей всюду, за исключением сюръективности
отображения С—1, вытекает прямо из стандартных свойств
оператора С ([122]). Чтобы убедиться в сюръективности С—1,
заметим, что для любой замкнутой точки Р е X и любой
дифференциальном 1-формы, заданной в окрестности точки Р,
существует открытая окрестность U точки Р, в которой данная форма
представляется суммой членов вида g{dxt/xi), где l+*i, ...
.... 1 + х,„ — локальные параметры в Р. Но
(С - 1) (hp (dxjx,)) = (h- Л"») (dxjx,),
а потому g(dxi/xj) попадает в образ оператора С—1 после
ограничения на этальное покрытие U'—*~ U схемы U, заданное
уравнением Тр—Т -f- g = 0.
Пусть /: Xr,->-Xet — естественный морфизм. Так как У?'/*®о = 0
при l > 0 (3.7), то из длинной точной последовательности,
ассоциированной с последовательностью 0—*-aap->-Ga—*-Ga—>-0,
легко вынести, что R'f»v.P = 0 при 1ф\ п R[f,oxp = coker(Ox —*■
—»• Ох)- Поэтому в силу первой точной последовательности
Rlfjap = ker (Qx. о ~^* Qjt). Значит,
° (Х /?7) kr (//" (Qj) ^ Я° (Qj))
= /7 (, 7.%) ( (,с1) (jf))
Доказательство второго равенства аналогично.
Замечания 4.15. (а) Иначе говоря, мы установим, что
Н[(Х, огр) и И'(Х, щр) совпадают с множествами {ш|ш локально
точна} и {ш|со локально логарифмически точна} соответственно.
(b) Явное описание торсеров, соответствующих данной 1-фор-
ме, мы оставляем читателю.
(c) Обобщения предыдущего результата на непостоянные
конечные групповые схемы над X можно извлечь из [15].
§ 4. Главные однородные пространства 163
Связи с Pic
Как ужо даппо известно, многообразие Лльбапезе играет роль
абелеиом фундаментальной группы рассматриваемого
многообразия. Более точная форма этого утверждения приводится
ниже, в 4.19. Напомним ([94, § 14]), что для любой конечном
плоской коммутативной групповой схемы N иад схемой X пучок
Нопт*П (Л/, Gm) представим групповой схемой Л" такого же типа,
называемой групповой схемой, двойственной по Картье к N;
функтор N*—>N' сохраняет точные последовательности.
Напомним также, что для любого морфизма л: Y-+X пучок V\Cy/x
определяется как высший прямой образ У?'л;»6т на А'п. При
выполнении условий следующего предложения пучок Pic>v*
представим алгебраическим пространством (см. [10]) и схемой, если
морфнзм л, кроме того, проективен.
Предложение 4.16. Пусть л: Y-*■ X— собственный плоский
морфизм, для которого л*0у = Ох- Тогда /?'л, (Ny) —-».
■^* Нот* (Л/', Pjca/k) для любой конечной плоской коммутативной
групповой схемы N над X, где NY = NX.Y, a N' — групповая
схема, двойственная по Картье к N. (Все рассматривается
относительно плоских ситу сов.)
Доказательство. Прежде всего необходима одна лемма.
Лемма 4.17. Для любой схемы X и любой конечной плоской
коммутативной групповой схемы N над X имеет место равенство
l
Доказательство. Нужно показать, что для любой схемы
U локально конечного типа над X любой элемент из ExtyfI (/V, Gm)
становится нулевым на некотором плоском покрытии схемы U.
Если группа N аннулируется умножением на п, то любой
элемент группы Exty(W,Gm) приходит из Ext[, (Л\ щп). Пусть £ —
расширение пучка Nu при помощи ци.п, т. е. имеется точная
последовательность пучков 0 —»1цп-*- £-► Л/и -*■ 0. Расширение Е
можно рассматривать как пучок ^„-торсеров над схемой Л/у;
поэтому оно представимо конечной плоской схемой над U (или
Nu) (4.3(а)). Увеличивая при необходимости п, можно
предполагать, что группа Е аннулируется умножением на п.
Двойственность Картье дает точную последовательность 0 -> N'u ->£"—»•
-»Z//tZ->0. Если Е' имеет сечение над U, то это сечение
определяет сечение гомоморфизма £'->Z/nZ, поскольку пЕ' = 0.
Значит, данная точная последовательность расщепляется, когда Е'
имеет сечение, но Е' приобретает сечение на строго плоском
покрытии (E'-^U) схемы U.
164 Гл. III. Когомологии
Рассмотрим теперь функтор от пучков на Км
G ^+ И {(}) = я. Horn (Ny, G) ~ HomjN', я.С).
Данным функтор точен слева, и существуют две спектральные
последовательности, возникающие из двух способов
представления функтора И в ппде композиции, а именно
R"n, (Ext" (Л'у, G)) -^ RP+4H (G)
Ext" (Л/', R*n,G) =*> /?*+«// (G).
Положим С = Gm. у. Так как л»С„, >. = G,,,, то первая
спектральная последовательность приводит к последовательности
J —я. Ejd1 (^, 6„) =0,
а пгорая — к
Exl1 (Nr, Gm) = 0 — RXH (Gm) -> Horn (;V, R%Gm) —
Поэтому мы получаем инъектнвное отображение /?'ji»jVy-*-
->-Mom(yV', Picv/x), которое сюръектнвно тогда и только тогда,
когда пнъектпвпо Exl^jV', л;#6т)->-/?2/У (Gm). Поскольку
последнее утверждение локально в плоской топологии, то его
достаточно проверить в предположении существования сечения
s: X-*-Y морфизма п. Тогда существует функториальный по G
морфизм n»G-^s*G, который имеет следующее прямое описание:
пусть U-*■ X—морфизм локально конечного типа; F(U, n»G) :=
= V(Y{U), G), a F(f/, s*G) есть предел limr(V, G) по
некоторым схемам V, локально конечным над V; так как сечение мор-
фнзма Y-*-X индуцирует сечение для Y^d-> U, to Y(U) есть одно
из таких V, а потому определено естественное отображение
T(U, л»С)->Г(£/, s*G). Заметим, что, когда G = Gm> обе эти
группы совпадают с Г (U, ОЬ). Данный морфизм определяет
отображение /?2Я(С)-> Ех12(Л", s*G), композиция которого с
Ext2(iV, .n»G)->/?2/7(G) есть отображение, заданное на
Ext2(Л/', —) и индуцированное функториальным морфизмом
:i*G-*s*G. Так как отображение n*(Gm, K)-vs*(GW| Y) является
изоморфизмом, это завершает доказательство.
Следствие 4.18. Пусть X — полное многообразие над алге~
браически замкнутым полем k. Тогда
//' {X, щп) « {а е Pic (X) \па = 0}
II1 (X, Л') » Horn (Lie (Л"), Lie (Picx)),
§ 4. Главные однородные пространства 165
если N' — инфинитезимальная группа, где Lie(,V) и L i е (Р i с л)
обозначают р-алгеоры Ли, соответствующие N' и Pic*.
Доказательство. По установленному предложению
Н1 {X, N) sy Ногти(Л/', Picx), а потому все сводится к
интерпретации правой группы. Для N = щ„ достаточно заметить, что
N'='Z/nZ, а для инфинитезимальной группы Л" можно
использовать результаты из [94, § 14, 15].
Для произвольной групповой схемы А введем обозначение
Л„ = кег(л: А^-А). Через ТА будет обозначаться проективная
система групповых схем (An)n>i с отображениями Ап *~ Лтп>
а через TtA — проективная система (Л,п)п>, с отображениями'
Следствие 4.19. Пусть X— полное многообразие над
алгебраически замкнутым полем k.
(a) Если Pic* — гладкое пространство, a NSX = Pic^/Pic'^. —
группа без кручения, то Н{(Х, N) x Hom(7"(Albx), Л') для любой
конечной коммутативной групповой схемы N нии k.
(b) Следующая последовательность точна по модулю р-групп,
р — характеристика поля k:
О -> (NS (Х)1опу -> л, (Xfb -> Т (А1ЬХ (k)) - 0.
где Albx обозначает многообразие Альбанезе для X, лл(Х)аЬ —
максимальный абелев фактор фундаментальной группы П\(Х),
a NS (X)\ors — группу, двойственную по Понтрягину к
(конечной) подгруппе кручения в NS(X).
Доказательство, (а) По условиям
Homk(/V', Picx) = Homft (/V', Pic£),
а это, очевидно, совпадает с Homfc(/V', (Pic^)n)> если Л''
аннулируется умножением на п. Поскольку Р|с^ и Alb* —
двойственные абелевы многообразия ([94]), то групповая схема
(Pic^) двойственна по Картье к (А1Ь*)л. Значит,
~Homk(N', (Pic;)J = Hom,((Albx)^V) = Hom,(r(AIb,). ,V).
(b) Так как группа Pic°(X) делима (и: PicJ. -> Pic^ —
конечный строго плоский морфизм ([94, § 6])), точная
последовательность
О -> Pic" {X) — Pic {X) -> NS (X) — 0
166 Гл. 111. Когомологии
задает точную последовательность
О - Pic0 (X)n - Pic (X)n -> NS (Х)п -* 0.
Как известно, группа NS(X) конечно порождена (ср. с V.3.25
и VI. 11.7 ниже), а потому, беря достаточно большое п, мы
получим, что NS(X) п = NS(X) ton. По 4.18 эта последняя точная
тропка может быть переписана (по модулю р-групп) в виде
0 - Pic0 (Х)п ~> я' (X, Z/nZ) -> NS (X)lors -*0.
Применяя к ней функтор Hom(—, Z/nZ), мы получим точную
последовательность
0 -> (Л/5 (X)lors)* -> щ (Х)аЪ1ппх (ХТЬ - Pic0 (Х)'п - 0,
a Pico(X)* = Alb (X)n. Переходя к обратному пределу, мы
получим требуемую точную последовательность.
Следствие 4.20. Пусть X — абелево многообразие над
алгебраически замкнутым полем k, a N — произвольная конечная
коммутативная групповая схема над k. Тогда И{(Х, Л/) =
J
Доказательство. Так как Alb* = X, Pic* — гладкая
группа, a NS{X) не имеет кручения,То"//1 {X, N)Z= Homk{T(X), N).
Переходя к обратному пределу в последовательности
(0 =) Нот» (X, N) -> Нот* (Хп, N) -> Ext1 (X, N) -^ Ext1 (X, N),
мы получаем, что Homk(T(X), N) = E\tlk(X, Л/).
Замечание 4.21. Следствие 4.20 можно проинтерпретировать,
сказав, что каждый Л/-торсер X' происходит из некоторой
точной последовательности 0-»- N-*■ X'-*■ X-*■ 0, а значит, если он
является многообразием, то абелевым.
Слабая теорема Морделла — Вейля
Предыдущая теория имеет ряд арифметических приложений.
В качестве примера мы докажем слабую теорему Морделла —
Beп л я.
Ti-opEMA 4.22. Пусть А — абелево многообразие над числовым
полем К. Тогда для любого целого п факторгруппа А(К)/пА(К)
конечна.
Доказательство. Существует непустое открытое
подмножество U в спектре кольца целых алгебраических чисел из К,
такое, что А имеет хорошую редукцию в каждой точке из U, т. е.
А является общим слоем абелевой схемы А' над U. Можно так*
§ 4. Главные однородные пространства 167
же предполагать, что п обратимо на U. Тогда на Хе\ имеется
точная последовательность пучков
0-»N-+A/JL*A'->0,
потому что умножение на п задает этальный морфпзм схемы А'
(поскольку это так в каждом слое; ср. с II. 2.19).
Соответствующей когомологической последовательностью будет
... -4.A'(U)-^Af(U)-+H4Utt, М)-*И^ие1, А')-* ... .
Так как А = А'Хи spec К, то А'(К) = А(К) и, как легко
убедиться, каждый морфизм spec К—*- А' пропускается через 0, а
значит, А'(К) = A'(U). Следовательно, остается установить
конечность //'(L/et, N). Очевидно, схему U можно заменять
меньшей открытой подсхемой, а по 2.20 ее можно заменять
накрытием Галуа. Поэтому достаточно рассмотреть случаи, когда
N — постоянный пучок, аннулируемый умножением на n, a
Г(1/, О и) содержит корень степени п нз 1. Так как когомолопш
коммутируют с прямыми суммами, то в качестве N можно взять
Z/nZ zz inn. Используем последовательность из 4.11:
0 -> Г (U, ОиУ/Г (U, ОиУп — Я1 (£/„, Z/nZ) - Pic (U)n -> 0.
Пусть U = spec/?. Тогда, согласно двум основным теоремам из
алгебраической теории чисел, группа R* конечно порождена, а
кольцо R имеет конечную группу классов идеалов (т. е. группу
Пикара). Из всего этого вытекает конечность Я1 {Uet, Z/nZ).
Замечания 4.23. (а) Теорема Морделла — Вепли утверждает,
что в ситуации нз 4.22 группа А(К) конечно порождена. Это
можно вывести из 4.22, используя теорию высоты; см.,
например, [81].
(Ь) Изучение групп Hl(Uet, N) и H[(U, А), а также
выяснение их связи с группами Зельмера и Шафаревнча — Тента
можно найти в [86].
Скрученные формы
Пусть У—некоторая схема (пучок модулей, алгебр,
групповая схема, ...) над X. Другой объект У того же типа над X
называется скрученной формой для Y в плоской топологии
(соответственно в этальной топологии, в топологии Зарпсского) на
X, если существует покрытие °U = (Ui-*- X) в плоской топологии
(соответственно в этальной топологии, в топологии Зарпсского),
для которого КХх Ui ~ У'Хх Ui при всех i. Каждая скрученная
форма Y' следующим образом определяет элемент c(Y')^
^Rl{cU/X, Aut(y)), где Aut(K) обозначает пучок,
ассоциированный с предпучком U>—*Auty(KXx U)'- пусть ф, — изомор-
Jfi8 Гл. III. Когомологии
фп:ш YXUi-* У X Ur, тогда (a.ti), где а(/ = ф(-'ф/> есть 1-ко-
цпкл, представляющий класс c(Y'). Класс с{У') определен
корректно, и две скрученные формы У и Y" изоморфны над X
тогда и только тогда, когда c(Y')= c(Y"). С другой стороны,
каждый элемент из НХ(Ш/Х, Aut(K)) задает данные спуска на
Yy,U, где U = Ц Ui, T- е- изоморфизм ф, удовлетворяющий
условиям из 1.2.23. Следовательно, отображение Y'>—>c(Y')
задает включение множества классов изоморфных скрученных
форм для Y, которые становятся тривиальными на 11, в Hx{4ljX,
Aut(y)), и это включение сюръективпо, когда все данные спуска
па YXU происходят нз скрученных форм.
Так, например, GLn = Aut^ {Ох), а потому R*{<U/X, GLn)
взаимно однозначно соответствует множеству классов
изоморфных <?х-модулей, которые на каждом £/, изоморфны (f\j . По
теории спуска такие пучки модулей являются локально
свободными пучками С?;гмодулен (ранга п) на A'Zar в обычном смысле.
Поэтому, переходя к пределу по всем покрытиям, мы получаем
изоморфизмы Я[(ХЕ, GLn)~ {классы изоморфных локально
свободных пучков СУ модулей ранга п), где Е = (Zar), (et) или (И).
Другой пример нам доставляют так называемые схемы Брау-
эра — Севери, являющиеся скрученными формами проективного
пространства Р* в этальной топологии. Как известно,
(PJ) = PGLn = Aut (Мп (0Х))
([91, с. 173]). Поэтому имеется включение множества классов
изоморфных схем Брауэра — Севери над X в
(= Й'(Хи, PQLn)).
Согласно [53, VIII. 7.8], это биекцпя.
Упражнения 4.24. (а) Покажите, что для любой схемы
Брауэра— Севери Y/X существует двойственная схема Брауэра —
Северн Y°/X, такая, что для любого U^-X cYXU^Pu
произведение Y°XU канонически изоморфно двойственному
проективному пространству гиперплоскостей в YX.U. Кроме того,
(У») (П'
(Ь) Предположим, что морфизм Y^-Х допускает сечение.
Пусть D — дивизор на У0, соответствующий точке из У^(=Р"),
заданной фиксированным сечением, на каждом геометрическом
слое Yi, a L — линейное расслоение на Y0, соответствующее D.
Покажите, что прямой образ яф£, где л обозначает структурный
морфизм У"^-Аг, локально свободен и что У° изоморфно
проективному расслоению P(ntL), a Y~P(ntL ).
Библиографические замечания 169
(с) Выведите отсюда, что У имеет сечение над X тогда и
только тогда, когда c(Y) принадлежит образу морфизма
(См. также [117, Х.6].)
Упражнение 4.25. Пусть X—гладкое собственное
многообразие над алгебраически замкнутым полем характеристики
рфО. Установите существование канонического отображения
И2(Хи, 1цр~)-*Н1 (X, Й^) и покажите, что оно инъективно тогда
и только тогда, когда каждая глобальная дифференциальная
1-форма на X замкнута. (Используйте методы из доказательства
предложения 4.14.) Когда инъективна композиция//2 (Хп, №„)->•
->//' (X, Q^,)->//|,Л (X), задающая отображение в
алгебраические когомологии де Рама?
Библиографические замечания
Опять большую часть материала первых трех параграфов
можно найти в [5] и [54]. Тщательное изложение неабелевых и абе-
левых первых и вторых групп когомологии, а также их явные
представления имеются в [42].
Глава IV
ГРУППА БРАУЭРА
Группу Брауэра поля К можно определить как группу классов
подобия центральных простых алгебр над К или, что
эквивалентно, как группу когомологий
Оба этих определения обобщаются на случай схем, но приводят
при этом к разным группам. Первая из них Вт(Х) — группа
классов подобных алгебр Адзуман над А' — называется группой
Брауэра схемы X, а вторая Вг'(Х) = И2(Хе\, Gm)—
когомологической группой Брауэра. Всегда имеется включение Вг(А") <=♦
<=»Вг'(Х), которое, как известно, сюръективно во многих
случаях. По тем же соображениям, по которым полезно знать, что
каждый класс когомологий из НХ(Х, Gm) представим некоторым
обратимым пучком, было бы полезно узнать точно, когда это
отображение сюръективно, т. е. когда каждый класс когомо-
логпн в И2 (Xei, &m) представим некоторой алгеброй Адзумаи.
С геометрической точки зрения группа Брауэра классифицирует
классы 2-когомологий, не приходящие из алгебраических диви-
зорпальных циклов, т. е. она классифицирует трансцендентные
классы.
§ 1. Группа Брауэра локального кольца
Всюду в этом параграфе через R обозначается коммутативное
локальное кольцо с максимальным идеалом т, а через А—
алгебра над R, не обязательно коммутативная, но с единичным
элементом. Будем считать, что отображение R-*-A, гу-^-г\,
отождествляет R с подкольцом центра алгебры А. Отображение
п классы вычетов по модулю m будет обозначаться через аь-ъ-а.
Под идеалом понимается двусторонним идеал. Теория групп
Брауэра над полями (см., например, [62, гл. 4J или [22])
предполагается известной.
Обозначим через Л° алгебру, противоположную к А, т. е. ту
же алгебру, но с умножением в обратном порядке. Алгебра А
называется алгеброй Адзумаи над R, если она свободна и
конечного ранга как У?-модуль и если отображение А ®л Л°->
§ 1. Группа Браузра локального кольца 171
fl.mdi(А), переводящее а®а' в эндоморфизм (дп—*аха'),
является изоморфизмом. (Ср. с [26, II.5, упр. 14].)
Предложение 1.1. Пусть А—алгебра Адзумаи над R. Тогда
центр А совпадает с R; кроме того, для любого идеала 3 из А
выполнено соотношение 3 = {3{]R)A, а для любого идеала 5
из R — соотношение 3- = (3^)0 Я. Поэтому сопоставление
3*—>ЗП# задает биекцию между множеством идеалов алгебры
А и множеством идеалов кольца R.
Доказательство. Пусть ф — эндоморфизм алгебры А
как /?-модуля. Так как ф есть умножение на элемент из А ® А°,
то ф(ас) = ф(а)с для любого с из центра алгебры А и ф(3)с=3
для любого идеала 3 из А.
Пусть а\ = 1, а2, ..., ап — базис Л как /?-модуля, a yj, ...
..., %п — такие Я-линеиные эндоморфизмы на А, что Xi{a,)=6n
(дельта-символ Кронекера). Пусть с лежит в центре А.
Напишем разложение с = £^а,, л, е R. Тогда
=rx <= R.
Далее, пусть 3—идеал в А и оеЗ имеет разложение
a = "EJrial, rt^ R. Тогда л/ = х<(а)еЗ; поэтому ае(ЗП^)^-
И наконец, пусть 3 — идеал в R, а а^ЗА. Тогда a = Y,riai
для некоторых г.е^и ае/?в том и только том случае, когда
г, = 0 при /> 1. Значит, %А [\R = 3-.
В частности, если R = k — поле, то алгебра Адзумап над k
является центральной простой алгеброй над k (по известном
теореме верно и обратное).
Предложение 1.2. (а) Если А—алгебра Адзумаи над R, а
R' — коммутативная локальная R-алгебра, то A®RR' — алгебра
Адзумаи над R' {локальность отображения R->-R' не требуется).
(Ь) Если алгебра А свободна и конечного ранга как R-mo-
дуль, a A = A®{R/m) — алгебра Адзумаи над R/m, то А
—алгебра Адзумаи над R.
Доказательство. Для любой Я-алгебры А, которая
свободна и конечного ранга как У?-модуль, и любой коммутативной
У?-алгебры R' имеется коммутативная диаграмма
Y ® R':(A ®л А") ® R' -* End,.™,, (A) ® X'
Ч'ЛА ® Ю ® (А в> RT -' Сяdx'-mdl (A ® К)
Поэтому, если <р — изоморфизм, то ф' также изоморфизм.
Обратно, легко проверить, что если ф®(Я/т)—изоморфизм, то ф
172 Г л IV. Группа Брауэра
также изоморфизм. (Сюръектнвность следует из леммы На-
каямы, а ннъективность— нз 1.11 ниже.)
Следствие 1.3. (а) Если А и А' — алгебры Адзумаи над R, то
А ®яЛ' также алгебра Адзумаи над R.
(и) Матричное кольцо Mn(R) является алгеброй Адзумаи
над R.
Доказательство. Оба утверждения вытекают из 1.2(Ь)
и соответствующих утверждений для полей.
Определим теперь группу Брауэра Bv(R) локального кольца
R. Две алгебры Адзумаи А и А' над R называются подобными,
если A <8>RMn(R) « А' ®ЛМ„<(/?) для некоторых п и п'.
Подобие ость отношение эквивалентности, и если алгебра А\ подобна
Л'\, а А2 подобна АЬ, то алгебра А1®ЯА2 подобна А\ ® R A'i
(потому что М„(/?)® Mm(R) ж Mnm(R)). Обозначим через [А]
класс подобия алгебры А. Классы подобия образуют группу с
умножением [Л] \А'\ = \А ®« А']. Единицей для данного
группового закона является класс (/?], а класс [А°] обратен к [А].
Эга группа называется группой Брауэра кольца R. Очевидно,
тем самым определен функтор Вг(—) из категории локальных
колец в АЬ.
Предложение 1.4 (Сколем — Нётер). Пусть А — алгебра
Адзумаи над R. Каждый автоморфизм алгебры А над R является
внутренним, т. е. имеет вид a*-^>tiau~\ где и — некоторая
единица из А.
Доказательство. Пусть ф: А-*-А — автоморфизм
алгебры А. Существует два способа ввести на А структуру левого
А ®я ,40-модуля, а именно
(а\
Обозначим эти А ®д/4°-модули через А и А' соответственно. Как
Д' = A' ®RR/m, так и Л — простые левые А ®^ Л°-модули, а
поскольку Д ® А° — центральная простая алгебра над R, то
существует изоморфизм А ®^ Л°-модулей ty: А^-А'.
Установим теперь проективность А как А ® /4°-модуля. Так
как А ® А° « EndRmifi(А), то достаточно установить
проективность А как End (Л)-модуля. Но А — свободный Я-модуль.
Поэтому существует гомоморфизм Я-модулей g: A-*-R, такой, что
g(r) = г для всех re У?. Эпиморфизм EndR.ma\(A)^>- А, /"<—>-/(1)»
имеет сечение си—>(а'*~>g(a')a) над EndR-mdi(^4), что
устанавливает проективность А.
Теперь отображение А -> А—*■ А' можно поднять до
гомоморфизма Л®Л°-модулей \|з: А-*-А'. Из сюръективности ty вы-
§ 1. Группа Брауэра локального кольца
текает, что \р{А) + шА' = А', а тогда лемма Накаямы,
примененная к А' как к ^-модулю, показывает, что \J; также сюръектпвно.
Пусть ы = т|)(1); тогда для любого аеЛ верпы соотношения
яр (а) = ф(а1) = ф(а)« и ф(а) = 1)з(1а) = на. Значит, ф(а)п =
= иа для всех йе/( и остается проверить, что и — единица.
Но если ао^А таков, что тр (а0) = 1, то 1 = \\ (а0) = <р{ао)и и
Следствие 1.5. Группа автоморфизмов кольца Mn(R) {как
R-алгебры) изоморфна PGLn(R)= GLn(R)/R*.
Доказательство. GLn{R) является по определению
группой единиц алгебры M,,{R), а внутренний автоморфизм,
заданный элементом Ue GL,,(R), тождествен в том п только том
случае, когда U принадлежит центру алгебры M,,{R).
Предложение 1.6. Пусть R — гензелсво кольцо. Тогда
каноническое отображение Вг(/?)-► Вг(/?), где R = У?/ш. инъективно.
Доказательство. Пусть А—такая алгебра Лдзумап нал
R, что А—* Mn{R), а ееД — элемент, отображающийся в
матрицу с 1 в позиции (1, 1) и 0 в остальных местах. Отметим, что
е — идемпотент, т. е. е2 = е. Выберем такой элемент аеД, что
а = е. Тогда R\a]—конечная коммутативная У?-подалгебра в А
и по 1.4.2 и 4.3 е поднимается до идемпотента е в R\a). Так
как А = Ае © Л(1—е), то Ае представляет собой конечно
порожденный свободный У?-модуль. Поэтому достаточно показать.
что отображение ф: Л-► ЕпсМЛе), ф(а) — левое умножение на
а, является изоморфизмом. Ядром ср будет идеал в А,
пересекающийся по нулю с R (ибо модуль Ае свободен над R);
поэтому ф ннъектнвно (1.1). По тем же соображениям инъективно
отображение ф", а так как Д и End^ (Аг) имеют одинаковую раз
мерность, то ф—изоморфизм. Тогда по лемме Накаямы ф сюръ
ективно.
Следствие 1.7. Если R— строго локальное кольцо, то Вг(/?) =
= 0.
Доказательство. Группа Брауэра сепарабельно
замкнутого поля равна нулю.
Следствие 1.8. Пусть А — алгебра Адзумаи над локальным ген-
зелевым кольцом R. Тогда существует конечный зтальный строго
плоский гомоморфизм R->R', такой, что A ®RR' « M,,(R').
Доказательство. Это вытекает из 1.6, 1.4.4 и того, что
данное утверждение верно, когда R — поле.
174 Гл. IV. Группа Враиэра
Замечание 1.9. Позже (2.13) будет доказано, что отображение
Вг(/?)-> Вг(£) является изоморфизмом для любого локального
гензелева кольца R.
Если A ®rR' ж Mr.(R'), то говорят, что /?-алгсбра R'
расщепляет /?-алгебру Адзумап Л. По 1.8 любая алгебра Ллчумап ряс-
щеп.шетея некоторой строго плоской Д?-алгеброй.
Тноремл 1.10. Пусть А— алгебра Адзумаи над R ранга п2.
(a) Пусть а^А, a R' — строго плоская R-алгебра,
расщепляющая А, так что ф: Л®/?'-—♦ Мп (R')\ характеристический
многочлен са(Т) матрицы ср(а® 1) принадлежит R[T] и не
зависит от выбора R' и ф; он называется многочленом Кэли —
Гамильтона элемента а; са(а) = 0.
(b) В алгебре А существует коммутативная этальная
подалгебра R' ранга п, являющаяся ее прямым слагаемым как R-mo-
дуля; такая подалгебра называется максимальной этальной.
(c) Любая максимальная этальная подалгебра в А
расщепляет саму алгебру.
Доказательство, (а) Прежде псего сделаем следующее
замечание: если ф| п ф2 —два изоморфизма А <8> R R' ^t Mn (Rr)
для строго плоской алгебры R' над R, то ф((а® 1) и ф2(а® 1)
имеют одинаковые характеристические многочлены.
Действительно, по 1.4 для любого максимального идеала ш из /?'
существует такой элементы е: GLn (/?„,), что ф2(а®1) =«ф1 (я® 1)м~'
в М„ (/?'„), а потому данные характеристические многочлены
имеют один и тот же образ n R'm [T] для любого ш, что
доказывает замечание.
Возьмем ф = ф|. Пусть са(Т) — характеристический многочлен
элемента ф(а®1). Предыдущее замечание, примененное к
У?'®/?', показывает, что образы многочлена с«(Т) при двух
отображениях /?' \Т\ r> R' ®я R'[Т] совпадают. Так как
последовательность
R [Т] -> R' [Т] =? R' [Т] ®Л1г, R' \T] = R'®RR' [T]
точна (1.2.18), то ca(T)<=R\T).
Независимость легко следует из частного случая,
разобранного выше в качестве замечания. Последнее утверждение
вытекает из того факта, что са(ф(а® 0)j= " » Ma(R).
(h) Выберем йеД, для которого R [а] — максимальная
этальная подалгебра в А. Тогда R[а] имеет ранг п над R. Пусть
R' = R[T]/(c,,(T)); это этальная /?-алгебра ранга п и
существует каноническое отображение R'-+A, Г>—>а. Так как
отображение R'<g)RR—*R[a]<=~A инъективпо, то R'^-A инъектпвно
и R'— прямое слагаемое в А в силу следующего результата.
§ 2. Группа Брауэра схемы 175
Лемма 1.11. Пусть М и N — конечно порожденные R-модули,
a N, кроме того, свободен. Если <р: M-*-N— такое R-линейное
отображение, что ф: М-*-N инъективно, где М = М ®RR и т. д..
то ф имеет сечение1). Если ф— изоморфизм, то ф также
изоморфизм.
Доказательство. Пусть ф': N-*-M — такое отображение,
что ф'ф = 1с1^, а ф = ф'ф. По лемме Накаямы отображение
ф: М-*М сюръектнвно. Введем на М структуру R[T]-модуля
при помощи ф. Тогда существует многочлен }(Т), для которого
(1 — 1(\\>)у)М = О [16, 2.5], т. е. Дт|з)\|) = iaV Значит, для
отображения [(тр)ф': N-*-M верно, что (/(т)з)ф')ф = idM. Второе
утверждение — следствие первого н леммы Накаямы.
Доказательство 1.10(с). Рассмотрим А как правый R'-
модуль. Как известно, отображение
а0 ® г' к-» (а ь-». аоа/): А ® R' -> End^-m<ii (A)
является изоморфизмом по модулю т, а значит, и просто
изоморфизмом.
§ 2. Группа Брауэра схемы
Пусть X — некоторая схема. Алгеброй Адзумаи над схемой А'
называется пучок Сх-алгебр А, когерентный как пучок С^г-мо-
дулей и такой, что в каждом замкнутой точке х схемы X
алгебра Ах является алгеброй Адзумаи над локальным кольцом
Ох. х. Из определения вытекает, что пучок А как пучок Ох-моцу-
лем локально свободен и имеет конечный ранг (1.2.9) и что для
любой точки х схемы X алгебра Ах является алгеброй Адзумаи
О (12())
Предложение 2.1. Пусть А —пучок Ox-алгебр, имеющий
конечный тип как пучок Ox-модулей. Следующие утверждения
равносильны:
(a) А — алгебра Адзумаи над X;
[[Г
(b) А локально свободен как пучок Ох-модулей, и А(х) =
if
= Ах ® k (x) — центральная простая алгебра над k(x) для всех
точек х схемы X:
(c) А локально свободен как пучок Ох-модулей, и
канонический гомоморфизм А <8>вх А°-* EndoxmA\{A) является
изоморфизмом;
((1) существуют покрытие (Ui^>-X) в этальноп топологии на
X и натуральное число г, для каждого i, такие, что A 8>ny(Juj~
') Имеется п виду сечение в двойственной категории.—Прим. перев,
176 Гл. IV. Группа Брауэра
(е) существуют покрытие (£7;->-Л') в плоской топологии на
X и натуральное число л для каждого i, такие, что А ®?
Доказательство. (г)<=>(Ь). Это следует из 1.2(Ь).
(а)-<=»-(с). Так как пучок А локально свободен, то(Л ® А°)х =
= Лх ® Л°х и (End^jf (Л))х = Eiicl,-V x(Ax). Поэтому данные
утверждения равносильны в силу определений.
(a)<=>(d). Для каждой геометрической точки х схемы X
имеется изоморфизм А ® Ох, х «* Мг {Ох. *) (1-7).
Следовательно, существует этальный морфизм U-*-X, образ которого
содержит .v, и А ®^ О и «* Mr {О и)-
((1) =>-(е). Очевидно.
(с)=*-(Ь). Пусть (J = Ц Ut. Поскольку U — схема, строго
плоская над А', а пучок алгебр А ®Ои является плоским как пучок
Си-модулей, то пучок А как пучок б?х-молулей также является
плоским, а потому и локально свободным. Кроме того, по (е)
А (х) ®k(X) k' « Mr(k') для некоторого расширения k' поля k(x),
а из этого, как известно, вытекает, что А (х) — центральная
простая алгебра над k(x).
Замечания 2.2. (а) Пусть X = spec R — аффинная схема.
Алгебра Адзумаи над X соответствует некоторой У?-алгебре А.
Условия из 2.1 (с) означают в точности, что алгебра А как
/?-модуль проективпа и конечно порождена, а каноническое
отображение А ®я A°-f- Endff т<ц(Л) является изоморфизмом
(отметим, что (А ®^Л°) ~ А®охА°, a (End^(A)) =« Endox-m<i\(A),
потому что пучок А когерентен). Значит, понятие алгебры
Адзумаи над X в точности эквивалентно понятию центральной се-
парабельноп алгебры над R в смысле Ауслендера — Голдмана
[17].
(Ь) Условие 2.1 (d) можно усилить: существуют покрытие
(11 i) схемы X в топологии Зарисского и конечные сюръективные
эталытые отображения U'i->-Ot, такие, что А ® О • « М (О Л
°х ui t\ ui)
для всех i. Это следует из 1.10(Ь, с).
Определим теперь группу Брауэра схемы X. Две алгебры
Адзумаи А и А' над X называются подобными, если существуют
локально свободные пучки (7х-модулеп Е и Е' конечного ранга
над Ох, Для которых
Л ®,:х ЕпАах (£)«/!' <8>(<х End,?^ (£')•
Отношение подобия является отношением эквивалентности,
потому что End (£) ® End (Е') » End (Е ® Е'). Очевидно, тензорное
произведение двух алгебр Адзумаи есть снова алгебра Адзумаи
§ 2. Группа Браузра схемы 177
(используйте 1.3(а)), и эта операция совместима с отношением
подобия. Операция [А] [А'] = [А ® /Г] превращает множество
классов подобия алгебр Адзумаи на X в группу: единичным
элементом для данного группового закона является класс [Ох], а
[Л]-'= [А°]. Полученная группа называется группой Брауэра
схемы X и обозначается через Вт(Х). Это задает функтор Вг(—)
из схем в абелевы группы.
Чтобы выяснить связь Br(JQ с группой когомологпй
H2(Xet, Gm), нам понадобится следующее обобщение теоремы
Сколема — Нётер.
Предложение 2.3. Пусть А — алгебра Адзумаи над X. Любой
автоморфизм ф алгебры А локально, относительно топологии
Зарисского на X, является внутренним автоморфизмом, т. е.
существует покрытие схемы X открытыми подмножествами U,,
на которых ф|£/< имеет вид а*—>иаи-] для некоторого «е
(£ЛЛ)*
Доказательство. Пусть х е X, a U — такая окрестность
точки х, что существует элемент меГ(£7, А*), для которого
Фж (а) = и ~ [аих при всех йеД» (такой элемент существует по
1.4). Тогда отображения ф: A\U-+A\U и (а*—>и~гаи): A\U-*■
-+A\U совпадают в некоторой окрестности VczU точки х.
Пусть GLn — функтор Sch->-Gp с
GLn (S) = GLn (Г (5, Os)) = Мп (Г (5, OS)T
для всех схем 5. Функтор GLn представим схемой
(7-det
поэтому он задает на X пучок в плоской и в любой более грубой
топологиях (П. 1.7).
Пусть PGLn — функтор Sch-cGp с PGLn(S)= Aut{Mn(0s))
(автоморфизмы пучка Mn(0s) как пучка Cs-алгебр). Тогда
функтор PGLn также представим, а значит, он задает на X
пучок в плоской (и более грубой) топологии. Действительно,
каждый автоморфизм Cs-алгебры Mn(Cs) можно также
рассматривать как эндоморфизм пучка Mn(0s) как пучка (^-модулей.
Значит, PGLn—подфунктор функтора М„i. Условия,
выделяющие среди эндоморфизмов автоморфизмы алгебр, описываются
полиномиальными соотношениями, поэтому PGLn представим
замкнутой подсхемой в М„> = specZ[Гц, .... 7W]. В
действительности функтор PGLn представим схемой spec 5, где 5 —
подкольцо элементов степени нуль из Z(7"M Тп„, йе\(Тц)-1].
Следующий результат есть непосредственное следствие
теоремы Сколема — Нётер.
178 Гл. IV. Группа Брауэра
Следствие 2.4. Последовательность пучков
точна на A'zar, A'ei n Х\\.
Тноремл 2.5. Существует канонический инъективный
гомоморфизм Br(X)->~H2(XeU GM).
Доказательство. Мы дадим одно доказательство,
основанное па использовании когомологнй Чеха, при условии, что X
удовлетворяет предположениям из III. 2.17, и набросок второго
доказательства, использующего неабелевы когомологин Жиро,
в общем случае.
Шаг 1. Множество классов изоморфных алгебр Адзуман
ранга п2 над X изоморфно tV(Xet, PGL,,).
Доказательство. Так как по определению алгебра Адзумаи
является скрученной формой алгебры М„{0х) в этальной
топологии, a kui{Mn(Ox))= PGLn, то это есть частный случай
теории, обсуждавшейся в конце § III. 4. Остается лишь убедиться,
что всякий 1-коцикл происходит из некоторой алгебры Адзумаи.
Сечение пучка PGLn можно рассматривать как автоморфизм
пучка М„ как пучка ОЧ-модулей. Поэтому 1-коцнкл пучка PGLn
залает 1-коцпкл пучка GLn , который, как мы уже знаем (III.4),
происходит из некоторого локально свободного пучка <?*-моду-
леп ранга п2. Тот факт, что данный 1-коцикл приходит из 1-ко-
циклов пучка PGLn, означает автоматически существование
структуры алгебры Адзумаи на этом локально свободном пучке
Ох- модул ей.
Шаг 2. Множество классов изоморфных локально свободных
пучков модулей ранга п над X изоморфно /?' (A'ei, GLn);
отображение /'/'(.Vet, GLn)-*- Я'(Ае!, PGLn), индуцированное сюръек-
типным гомоморфизмом GLn-*■ PGLn, переводит пучок Ох-моду-
лем Е в алгебру Endyx(E).
Доказательство. Первое утверждение было рассмотрено в
111.4. Что касается второго утверждения, то пусть Е—пучок
Сл-модулеп, a CU = (U,)—покрытие схемы X в топологии За-
рпсского, для которого имеются изоморфизмы ф(: Оц ->E\Ul.
Тогда Е соответстнует 1-коцпкл (ф,- 'ф^. Пусть А = End(£).
Существуют изоморфизмы tyr. Мп(О\, \ -*■ А | Ut, •ф1(а) = ц>1ац>~1.
Поэтому пучку алгебр А соответствует 1-коцнкл (Ф^Ч/) = {ац),
где а(/(а) =Ф^'фуяФ/"'ф(. (1еГ((//,-, Мп). Но это есть образ
коцикла (ф^'ф,). потому что GLn-+ PGL., переводит элемент и
в автоморфизм (ау-^-иаи^) пучка Мп.
Шаг 3. Пусть А" удовлетворяет предположениям из III. 2.17.
Утверждается существование точной последовательности пунк-
2. Группа Врауэра схемы
1ироьанных множеств
...->//' (Хеи Gm) ~> /71 (*«,, GLn) -> W (Xel, PGLn) -±+ H- (*el, Gn)
Более того, граничные отображения // совместимы с изменением
п и d(c(A ® А')) = dc(A)dc{A'), где с(А) обозначает класс из
/7'(Х, PGLn), соответствующий алгебре Адзумап А.
Доказательство. Отображение d определяется так:
предположим, что элемент у е /?'(A'et, PGLn) представим коциклом (с,-,-)
для покрытия (Ui); после подходящего измельчения покрытия
(Ui) можно считать (III.2.19), что каждый элемент Сц является
образом некоторого с'^ s Г (Ut/, GLny, тогда d(y) есть класс
2-коцпкла (ацк), где aijk = с'/к (c'lk)~l с'ц е Г (Vцк, Gm).
Проверка точности и остальных утверждений достаточно шаблонна, а
поэтому опущена. (Ср. с [42, IV. 3.5].)
Определим теперь включение Вг(Х) с=* Я2(Х, &п,). Пусть
А — алгебра Адзумаи над X. Если схема X связна, то пучок А
имеет постоянный ранг на X, а потому определяет элемент
с (А) ^ ПЧXd, PGLn) для некоторого п. По тагу 3 элемент
dc(A)e П2(Хе[, Gm) зависит только от класса подобия алгебры
А. Это задает включение Вг(Х)-*~Н2(Хе\, Gm), являющееся по
шагу 3 гомоморфизмом. Если схема ,Y несвязна, то, поскольку
она квазикомпактна, группы Вг(Я) и R2(X, &m) разлагаются п
прямые произведения, соответствующие разложению схемы ,Y
в объединение компонент связности. Поэтому достаточно
определить требуемое отображение для каждой компоненты
связности.
Теперь мы переходим к наброску доказательства в обшем
случае. Пусть ф: F->C — некоторый функтор; для любого
объекта U из С через F(U) будет обозначаться категория,
объектами которой являются такие объекты и категории F, что
ф(«)=£/, а морфизмами — такие морфизмьт f, что <f(f)='\d,j.
Пусть f: y-v« — морфизм в F, a y(f: v->-и) = (g: V -* U);
говорят, что морфизм f декартов или что v есть обратный образ
g*(u) объекта и относительно g, если для любого v' из F(V')
отображение
/' I-* //': Homrmit/, v) -*Homg {vr, и) = {AeHom (v'. u)\<r(h)=g)
является изоморфизмом:
180 Гл. IV. Группа Брауэра
Функтор ф: F-»-C называется расслоенной категорией, если
обратные образы всегда существуют и композиция двух
декартовых морфизмов снова декартова. Тогда g* можно превратить
в функтор F(t/)->-F(V'), a (g\g2)* будет канонически изоморфно
Рассмотрим теперь расслоенную категорию ф: F—>-С/Х, где
?,
(С/X)е — некоторый ситус. Пусть (U,—► U) — покрытие в
(С/Х)Е. Любой объект не F(U) задает семейство («,), ut =
= ^u6F((/(ln обратные образы объектов и, и и, на (/,■/ =
= У/Хи^/ изоморфны; более того, данные изоморфизмы
удовлетворяют коциклепному соотношению на Uijk, т. е. для
семейства (mi) имеются данные спуска. Обратно, если каждое
семейство («,-), и, е= F(£/,•), с данными спуска происходит из
некоторого объекта neF((/) и, более того, если для любых и\, «2^
eF(f/) функтор (V—► f/)1—* Ногпр ,i'i (Я*Ч\, g*u2) задает пучок
па (С/£/)ь то ф называется стэком [42, II. 1.2.1]. Стэк
называется стэком группоидов, если
(a) каждая из категории F(i7) является группоидом, т. е. все
морфпзмы из F{U) являются изоморфизмами;
(b) существует такое покрытие (U,) схемы X, что каждая из
категорий F(U,) непуста;
(c) для каждой схемы U из С/Х любые два объекта из F(U)
локально изоморфны, т. е. их обратные образы изоморфны на
некотором покрытии схемы U.
Стэк группоидов называется тривиальным, если категория
F(vY) непуста. Говорят, что стэк группоидов F ограничен пучком
групп G на (С/Х)Е, если для любой схемы U из С/Х и любого
объекта и из F(U) имеется функториальный изоморфизм
G(U)—*■ AutF<y)("). Жиро определяет Н2(ХЕ, G) как множество
стэков группоидов, ограниченных пучком групп (7, по модулю
G-эквивалентности [42, IV. 3.1.1]. Чтобы избежать путаницы,
когда G — пучок абелевых групп, мы будем обозначать данное
множество через Н'й{Хе, G). Для доказательства нашей теоремы
достаточно показать, что:
(i) имеется канонический изоморфизм Н\(ХЕ, G)—* H?(XE,G),
когда С — пучок абелевых групп;
(ii) существует канонический ппъективный гомоморфизм
Вг (X) -> Н\ (*«, Gm).
Отображение, требуемое в (ii), описать легко. С каждой
алгеброй Адзумаи А па X можно ассоциировать категорию ¥а над
A'et, для которой объект из Fi{U) есть пара (£, а), состоящая
из локально свободного пучка О'у-модулей Е конечного ранга и
изоморфизма a: End (£)—► А ® Ои\ морфизмом (£, а)->(£', а')
§ 2. Группа Б pay эра схемы
является изоморфизм £->£', для которого коммутативна
очевидная диаграмма. По теории спуска F^ есть стэк, а 2.1 (cl)
показывает, что это стэк группоидов. Отображение Gm{U)->-
-*-Аи[ц(Е, а), переводящее элемент из Г (£/, С'ц) в умножение
иа этот элемент в П, является изоморфизмом. Значит, FA
ограничен пучком &т, а потому задает элемент в H2g(Xe\, Gm).
Очевидно, данный элемент тривиален в том и только том случае,
когда И] = 0 в Вт(Х).
Чтобы установить (i), достаточно проверить, что
(i') для любой точной последовательности пучков абелевых
U V
групп 0-»G'—*■ G—»■ G"-*0 существует точная
последовательность абелевых групп
... И1 (X, G) — //' (X, G") ■— И\ (X, G') — Н\ (X, G) — Н\ (X, G");
(i") если G — ипъективный пучок абелевых групп, то
Н\(Х, G) = 0.
Пусть и: G'-*• G — гомоморфизм пучков абелевых групп, a F'
и F—стэки группоидов, ограниченные пучками G' и G
соответственно. Категория HOMU(F', F) определяется как
расслоенная категория над С/Х, слой которой над U составлен из всех
функторов F'\U-*-F\U, сохраняющих слои категорий и
декартовы морфизмы и коммутирующих с действием пучка G' на F' и
G на F ([42, IV. 2.3.2]). В действительности это стэк группоидов.
Отображение н],{и): н\ (X, G')~>И\(X, G) переводит F' в
HOMU(F', Fo), где Fo обозначает тривиальный стэк группоидов,
т.е. Fo(f/)— множество торсеров для G\U.
Групповая структура на H2g(X,G) (G — пучок абелевых
групп) задается композицией отображений
Н\ (X, G) X И\ (X, G) -* Н\ (X, GXG)~>Hl (X, G),
индуцированных диаграммой G^GX.G—*■ G.
Отображение И1(Х, G")-*- H2(X, G) можно определить так:
пусть Р — некоторый G''-торсер, a F — стэк группоидов, для
которого F(U) состоит из всех пар (Q, а) с G-торсером Q на
U и изоморфизмом а G''-торсеров v, (Q) -^* Р. Так как стэк F
ограничен пучком G', то он определяет класс в Н\(Х, G'),
который мы и считаем образом класса торсера Р. По определению
F тривиален тогда и только тогда, когда Р происходит из
некоторого G-торсера.
Само доказательство п. (f) состоит из ряда
непосредственных, утомительных проверок [42, IV. 3.4].
Перейдем теперь к (i"). Пусть F — стэк группоидов для ннъ-
ективного пучка G. Схема X обладает покрытием (£/,), на ко-
182 Гл. IV. Группа Брауэра
тором ограничения F|t/,- тривиальны. Рассмотрим морфнзм
G->-я»я*С?, где л: Д Ut-*-X. Так как F отображается в нуль
группы H'g(X, n^n'G) и так как имеется сечение G *=+ntn*G, то
стэку F соответствует пуль из H2g(X, G) [42, IV. 3.4.3].
Следствие 2.6. Пусть X — регулярная целая схема и К = R (X).
Тогда каноническое отображение Вг(Х)->- Вг(/() инъективно.
Доказательство. Это вытекает пз доказанной теоремы и
ннъективностн естественного гомоморфизма Н2(Х, Gm)->
-+НЦК, 6И) (III. 2.22).
Предложение 2.7. Образ группы f'V(X, PGLn) в И2{Х, Gm)
аннулируется умножением на п. Значит, Вт(Х) является
группой кручения, если схема X имеет конечное число компонент
связности.
Доказательство. Здесь используется плоская топология
(а тем самым [42, IV. 3.4.5]). Рассмотрим диаграмму
1 — ---» SLn ■. GLH --J?1
I I
}'GLn = PC I.
J "
где SLn обозначает ядро отображения, задаваемого взятием
определителя. Верхняя строка точна (II. 2.18), откуда вытекают
сюръектнвность det и точность средней строки. Далее
диаграммным поиском устанавливается точность первого столбца.
Сравнивая в плоской топологии когомологические
последовательности двух первых столбцов, мы видим, что отображение
Hl(X, PGLn)-*~H2(X, Gm) пропускается через группу Н2(Х, ци„),
которая аннулируется умножением па п. (Значительно более
сложное доказательство, не опирающееся на [42], имеется в
[75, IV. 6.1].)
§ 2. Группа Б pay эра схемы 183
Замечание 2.8. Используя один пример Мамфорда, Гротендик
[48, II. 1.11Ь] указал на существование нормальной (но особой)
поверхности X над полем комплексных чисел, для котором
Н2(Хе(, Gm) не есть группа кручения (а Вг(А)-> Вг(К) не пнъ-
ективно). Поэтому отображение Вг(X)-*■ Н2(X, &т) в этом
случае не сюръектнвно. Однако естествен следующий вопрос.
Вопрос 2.9. Сюръектнвно ли отображение Вт(Х)-*-Н2(Х, Gm) (ors
для квазпкомпактных схем X?
Когда X—произвольное топологическое пространство, а (Ух —
пучок непрерывных функций со значениями в С, можно,
копируя предыдущие определения, ввести группу Брауэра
пространства X. Известно, что если X — конечный CW-комплекс, то
отображение Вг(Х)-*Н2(Х, O'x)lors сюръектнвно (см. [48, 1.1]).
Ниже будет показано, что это отображение сюръективно для
определенных классов схем. По-видимому, до сих пор
неизвестно примера, чтобы данное отображение не было
сюръектнвно. Каждый новый положительный ответ на вопрос 2.9
чрезвычайно важен, потому что он позволяет применить
когомологическую технику к группе Брауэра и, с когомологической точки
зрения, позволяет явно представить класс когомологнй
некоторой алгеброй Адзумаи.
Группу И2(Х, &т) мы обозначаем через Вг'(Л') и называем
когомологической группой Брауэра. Ввиду 2.6 н того факта, что
группа Брауэра поля является группой кручения, возникает
следующий вопрос.
Вопрос 2.9'. Пусть X — регулярная схема с конечным числом
компонент связности. Сюръективно ли тогда отображение
Замечание 2.10. Для любой схемы X обозначим через Вг
(соответственно Вг') пучок на XZar, ассоциированный с предпучком
t/t->Br(f/) (соответственно £/i—». Вг'(£/)). Пусть f: Xel-*XZar —
естественный морфизм. Тогда /?2,f»Gm = Вг'. Так как Rlf,Gm = O
(III.4.9), то спектральная последовательность Лере дает первую
строку в следующей диаграмме:
О > Я2(Хг„, fffi > Вг' (X) > ЦХ, Вг') > Н3(Х2,г, <Ц)
1 I !>•
О * Вг (Хгог) > Вг (^) * Т(Х, Вт)
Br(XZar) обозначает подгруппу в Вт(Х), порожденную
алгебрами Адзумаи, расщепнмыми для покрытий схемы X в топологии
Зарисского. Первое вертикальное отображение индуцировано
184 Гл. IV. Группа Б pay эра
двумя другими. В качестве упражнения мы оставляем читателю
явное описание отображения ц при помощи алгебр Лдзумаи.
Теперь мы можем разделить вопрос 2.9 на три следующих.
(a) (локальный вопрос). Является ли отображение Вг(Х)->-
— Bv'(X) изоморфизмом? Эквивалентно является ли
отображение Вт((Ух,х)—Вг'{Ох,х) изоморфизмом для всех JteP
(b) (глобальный вопрос). Будет ли каждый элемент группы
Г (Л", Вг), отображающийся в нуль из H3(Xzar, O\), происходить
из некоторого элемента группы Брауэра Вг(Х)?
(c) (вопрос об особенностях). Является ли изоморфизмом
отображение Вг (Хцт) ->//2 {X7.*r, б?л)? (Если схема X
регулярна, то H2(XZar, tf.v) = 0 = Br(XZar) и функтор t/t-»Br'(LO
задает пучок.)
Предложение 2.11. Пусть X — specR, где R — локальное
кольцо, a veBr'(X). Следующие утверждения равносильны:
(a) veBr(A);
(b) существует конечное этальное сюръективное
отображение Y->-X, такое, что у отображается в нуль из Вг'(У);
(c) существует конечное плоское сюръективное отображение
Y-*-X, такое, что у отображается в нуль из Вг'(У).
Доказательство. (а)=>(Ь) следует из 1.10. Импликация
(Ь)=Мс) очеппдпа.
(с)=^(а). Пусть Y = spec 5. Спектральная
последовательность II 1.2.7 покрытия Y-*■ X дает точную последовательность
Я0 (Y/X, Pic) - Н2 [УIX, GJ - Вг' (Y/X) ->
где чере.ч lir'(}'/A') обозначена группа кег(Вг'(Х)—► Вг'(У)).
Поскольку 5 п 5® 5 — полулокальпые кольца, их группы Пн-
кара равны нулю и предыдущая последовательность приводит к
изоморфизму >72 (УД, Gm)« Вг'(К/Л"). Пусть и e=(S ® 5 ® 5)*-
представитспь класса из fl2(Y/X, Gm), соответствующего
элементу v в Br'(Y/X), a E — кольцо S, рассматриваемое как
свободный У?-модуль ранга п. Умножение па и задает 5®
5-линейный автоморфизм ср: S®S®£-*-5®5®£, который можно
рассматривать как элемент из GLn(S ® S). Пусть ф; обозначает
автоморфизм гр, тензорно подкрученный па id в 1-м месте. Тогда
автоморфизм
совпадает с ф4> равным умножению па «®1 (потому что
Ф|фГ'Т;,ф,"' есть кограница 2-коцикла и). Так как
к® 1 <=(S®S®S)' = центр (Auts®s®s{S<g>S®S®£)),
§ 2. Группа Б pay эра схемы 185
то образ ф в PGLn(S ® S) является 1-коцнклом, определяющим
элемент у'<=Й[(Х, PGLn). Очевидно, граничное отображение
RX{X, PGLn)^- R2(X, <Gm) переводит v' в V- Поэтому
произвольная алгебра Адзуман с классом у' представляет у.
Следствие 2.12. Если X — спектр гензелева локального
кольца, то Вг(*)= Вг'(Х).
Доказательство. Любое v^Br'(X) удовлетворяет 2.11 (Ь)
по III. 2.11 и 1.4.2.
Следствие 2.13. Если R—генэелево локальное кольцо, то
Вг(Я)« Вг(Я/т).
Доказательство. Это вытекает из 2.12 и III. 3.11 (а).
Замечание 2.14. (а) Эквивалентность (Ь)-Ф4-(а) из
предыдущего предложения можно доказать непосредственно: пусть
У'-*■ X — накрытие Галуа с группой 6*; спектральная
последовательность Хохшильда — Серра для данного накрытпя Y/X
показывает, что v соответствует некоторому элементу из H2{G, T{Y,
Or)*); такой элемент, как и в случае расширения Галуа полей,
определяет нужную алгебру над X в виде скрещенного
произведения.
(Ь) Алгебру, соответствующую v из 2.11 (с), можно описать
при помощи теории спуска. Рассмотрим £ = 5® 5 как
свободный S-модуль с действием S на первом сомножителе и
определим 5®5-лннейный изоморфизм ф: 5®С->£®5 с
Ф (х ® у ® г) = £ п{Х ® с,г ® bty,
где
Легко проверить, что hYV-M есть умножение на «|и2"|«3 = «4
а потому отображение
определяет данные спуска для алгебры Ends(£).
Соответствующая алгебра Адзуман А над R, для которой A ®RS « End.sCf),
представляет v-
(с) Пусть А"—произвольная квазикомпактная схема, a Y^-X—
конечный строго плоский морфизм. Доказательство импликации
(с)=>(а) можно перенести на этот случай и показать, что
элемент группы Вт'(Х), отображающийся в нуль из Вг'(У),
происходит из некоторого элемента группы Вт(Х). См. [65,
предложение 3.1]; можно также доказать это в аффинном случае,
сравнивая последовательность Чейза—Розенберга [32, теорема 7.6]
186 Гл. IV. Группа Брацэра
с точной последовательностью из доказательства предложения
2.11.
Предложение 2.15. Пусть X— гладкое многообразие над
полем k. Тогда Вг(Л') = Вг'(А'), т. с. каждый элемент у группы
Вг'(А') локально происходит из некоторой алгебры Адзумаи.
Доказательство. Пусть y^Br'(U), где U — открытое
по Зарпсскому подмножество в А". Мы должны показать, что
для любой точки л' из U существует в топологии Зарисского
открытая окрестность V точки х, лежащая в U, и конечное
плоское сюръектнвное отображение V-*■ V, такое, что у переходит
в пуль из Br'(V'). Очевидно, можно предполагать, что поле k
алгебраически замкнуто. Если пу = 0, то из куммеровой
последовательности видно, что v происходит из некоторого элемента
у' ^ H2(U, ifin). Если характеристика р поля k не делит п, то
Шп « Z/nZ, п из существования артпиовых окрестностей тогда
вытекает существование схемы V, па которой у' становится
нулем (III. 3.10). Предположим теперь, что р=-п. Тогда (ср. с
III. 4.14) имеется точная последовательность
tp (и, и',)—> н°(и, &)^н*(и, *g-//' {и, oj,).
Поскольку N'(Ut Qci) можно вычислять, используя топологию
Зарисского (12J., — когерентный пучок над C^rpi), то образ
элемента у' в Я1 (i/, illi) становится пулевым на подходящей
окрестности точки х в топологии Зарисского. Поэтому можно
предполагать, что у' происходит из некоторого элемента у"
группы H°{U, Q1). Но тогда (см. доказательство предложения
III. 4.14) существует окрестность V точки х в топологии
Зарисского и конечное одноэлементное покрытие Лртина — Шрейера
V-*■ V, для которого 7"1^"лежит в образе гомоморфизма
Теорема 2.16. Пусть X—квазикомпактная схема, а у)
Существует открытое подмножество U в X с codim(A'—U) > 1,
такое, что у\ U представимо алгеброй Адзумаи на U. Более того,
если схема X регулярна, то можно выбрать такое U с
codim(X— U) > 2, я если X — гладкое аффинное многообразие,
то в качестве U можно взять само X
Доказательство. Сначала мы (частично) ответим на
поставленный выше локальный вопрос.
Лемма 2.17. Пусть R—локальное кольцо размерности ^ 1.
Тогда Вг(У?)-1> Вг'(/?).
§ 2. Группа Брауэра схемы 187
Доказательство. Если R имеет размерность 0, то это
локальное артпново кольцо, а потому оно и гснзелево. Тогда
требуемый результат следует из 2.12. Предположим теперь, что
R имеет размерность 1. На spec/?et существует точная
последовательность пучков (ср. с II. 3.9)
где К обозначает полное кольцо частных кольца R, a
Div—пучок дивизоров Картье. Так как Div имеет носитель в замкнутом
точке spec к кольца /?, то существует точная последовательность
Любой элемент группы Вт (К) или группы //'(ft, Div)
становится нулевым для некоторого конечного плоского расширения
поля К или k, а все такие расширения индуцированы конечными
плоскими расширениями кольца R. (Например, если
расширение L имеет базис Х\ = 1, хг, .... хп над К, а
xlxl = Z
с cljk e A', dci/k^R, то L = S ®д К, где S cz L имеет базис 1,
dx-i, .... dxn над R.) Значит, данная лемма следует из 2.11.
Пусть теперь X— схема из формулировки доказываемой
теоремы, а Х\, ..., х, — общие точки неприводимых компонент
схемы X. Так как локальные кольца точек л', имеют размерность
О, то по предыдущей лемме существуют открытые окрестности
U], .... Ur (которые можно считать непересекающимися) точек
Х\, .... х, и алгебры Адзумаи А; на каждом Uit представляющие
y\Ui. Но U = U][) ... \J Ur есть открытое плотное
подмножество в X, и на нем имеется алгебра Адзумаи А,
представляющая y\U.
Пусть гф.и и dim(O>^>z)= 1. По 2.17 существует алгебра
Адзумаи Аг над Ох,г, представляющая v|spec(Cx, z). Пусть К —
полное кольцо частных для Ох,г- Тогда алгебры Аг® К и
А<8>оиК подобны, а значит, заменяя при необходимости их на
матричные алгебры над ними же, можно считать их
изоморфными. Следовательно, А продолжается над г. После конечного
числа таких продолжений мы получим, что codim(X—U)> \.
Прежде чем переходить к регулярной схеме X, мы напомним
некоторые определения и факты, касающиеся порядков ([105]).
Пусть R — область целостности с полем частных К, а Ак —
конечная /(-алгебра (не обязательно коммутативная). R-поряд-
ком алгебры Ак называется ее /?-подалгебра, содержащая
некоторый базис для Ак как векторного /(-пространства п конечно
порожденная как /?-модуль. Если А — некоторый /?-порядок, то
Лт является /?т-порядком для всех максимальных идеалов т
188 Гл. IV. Группа Брауэра
кольца R, и обратно. Поэтому для данной целой схемы А' с
R(X) — К можно определить Сх-порядок в Ак как когерентный
пучок С*-алгебр А, который локально в топологии Зарнсского
па X задает порядок.
Пусть R— целозамкнутая область, а Лк — алгебра Адзумаи
над К. Тогда любая подалгебра в Ак, содержащая базис для
Ак и целая над R, является порядком. Чтобы убедиться в этом,
достаточно проверить конечную порожденность А как У?-модуля.
Но приведенный след па Ак задает невырожденную
билинейную форму Аку(Ак-+ К; поэтому обычное доказательство из
коммутативного случая ([16, 5.I7J) проходит и здесь. Отсюда
вытекает, что любая последовательность порядков А\ d/42cr ...
обрывается, ибо А — (J At конечно порождена. Значит,
существуют максимальные порядки. Очевидно, этот результат
распространяется на порядки над квазнкомпактпон нормальной схемой.
Пусть А' — снязная квазикомпактпая регулярная схема, ?е
е Вг'(А), а Ак — алгебра Адзумаи ii;i;i К = R(X),
представляющая образ элемента у в Вг'(/(). Выберем максимальный (Ух-по-
рядок А в Ак. Очевидно, множество U точек jel, для которых
Лх ость алгебра Адзумаи над (Ух,*, открыто и плотно в .V, а из
ппъективпости Br(U) d* Вг'(£/) <=* Вг'(Д') вытекает, что А | U
представляет vl^- Остается показать, что codim(.Y— U) > 2
(возможно, после замены А на матричную алгебру над ней).
(Следует заметить, что поскольку А — максимальный
порядок в Ак, то Мп(Л)—максимальный порядок в Мп(Ак). При
доказательстве этого факта можно предположить, что А —
аффинная схема, т. е. X = spec R. Пусть В — такой порядок, что
М„(Л)а В cz М„ (Ак), а Во — множество элементов алгебры Лк,
которые являются также элементами некоторой матрицы в В.
Из матричного соотношения
_(bu ON
~\ о о)
видно, что Во — кольцо. Поскольку оно порождено как R-гло-
дуль элементами матриц из любого конечного множества
образующих для В п содержит А, то оно япляется порядком. Значит,
Во = А и М„(А)=В.)
Предположим теперь, что существует точка х в X — U с
R = (?x,i размерности один. Ах — максимальный У?-порядок в
А к, а по предыдущей лемме существует другой /?-порядок А' в
АК, который является алгеброй Адзумаи, представляющей
V | spec У? (возможно, после замены А па матричную алгебру
над ней). Множество 3 = [а ^ Ак\аАх с^ А'} является левым
идеалом в А'. Так как левые идеалы алгебр Адэумаи над
полями всегда являются главными ([62, 1.4.2]), то по лемме На-
каямы 3 —главный идеал, т. е. $ = А'и. Легко проверить, что
§ 2. Группа Брауэра схемы 189
ЗГ\К¥=О, откуда вытекает, что и является единицей в Ак. Так
как 3 также является правым Лх-модулем, то иАх cz 3 = А'и, а
потому Ах cz и~]А'и. Из максимальности порядка Ах следует,
что А.х = и~*А'и, а поэтому Ах является алгеброй Адзумаи.
Значит, х е U.
Пусть А = Нот<?у (А, бх) ^ Ак= Hotn^ (Ак, К)- Алгебру Ак
можно отождествить с Ак. • Максимальность А означает, что
естественное включение А <=» А является изоморфизмом.
Пусть х — точка схемы X, для которой R = 0X x имеет
размерность два. Рассмотрим точную последовательность
где Fa — свободный конечно порожденный tf-модуль. Применяя
к неп Но1Пя(—, R), мы получаем точную последовательность
где iV — подмодуль в МУ. Поскольку R — область целостности,
то М п N. не имеют кручения, а следовательно, имеется
включение N ^- /V®/?K. Значит, N вкладывается в некоторый
свободным конечно порожденный /?-подмодуль F\ из N®RK. Так
как R имеет гомологическую размерность два, то из
существования точной последовательности
вытекает, что Ах свободен.
Каноническое отображение Ах®А°х->Епс1л(Ах) инъектнвно,
потому что является подотображением для Ак® Аак->End/((/1/();
обозначим через М его коядро. Так как алгебры АХ®А^ и
Endn(Ax) свободны, то М имеет гомологическую размерность
^ 1. Значит, максимальный идеал локального кольца R не
является простым идеалом, ассоциированным с М (см. (119,
с. IV-36]). Но М ® /?(. = 0 для любого простого идеала р
высоты ^ 1, поскольку нам известно, что для таких р алгебра
A®Rr является алгеброй Адзумаи. Поэтому не существует
простых идеалов, ассоциированных с М. Значит, М = 0 и Ах —
алгебра Адзумаи, откуда х е U.
И наконец, мы переходим к случаю, когда X — гладкое
аффинное многообразие, например Я = spec/?. Обозначим через 3
множество таких элементов f^R, что ограничение у| spec /?f
представимо алгеброй Адзумаи. Если мы покажем, что 3 —
идеал, то по 2.15 он должен совпадать с /?, что и докажет тсо-
190 Гл. IV. Группа Брауэра
рему. Очевидно, fee3, если |еЗ, g e R. Пусть / и ge3;
остается показать, что / + g e 3. По предположению
существуют алгебры Лдзумаи А и В над /?/ и Rg, представляющие
YI spec /?f п у | spec /?e. Так как алгебры Ag н В/ подобны на
s\)vc Rfe, то существуют конечно порожденные, локально
свободные R[g- модул и £ п Г, для которых /lw 0 End (£) «В/ 0 End (F).
Следующие отображения групп Гротспдика
Ко (Я/)-* Ко (tffo). Ко (/?g)-> Ко (/?/,)
сюръективпы; это очевидно для Л'о (конечно порожденные
модули), по, поскольку R регулярно, эта группа совпадает с Ко
(конечно порожденные проективные модули) ([20, IX. 2.1]).
Поэтому классы модулей Е и F из Ko(R[g) продолжаются до /?/ и
R^. Так как можно выбирать Е и F со сколь угодно большим
рангом, то по теоремам стабильности ([20, IX. 4.1]) сами
модули Е и F можно продолжить до локально свободных Ri- и
Яе-модулем Е' и F'. Заменяя А и В на 4®End(£') и В®
® End(/r') соответственно, мы получаем, что Ag « В;, т. е. А и
В склеиваются, а значит, у представимо алгеброй Лдзумаи на
spec/?; U spec RR. Так как это множество содержит Rf + g,
доказательство закопчено.
Замечания 2.18. (а) Пусть А" — аффинная регулярна схема.
Тогда рассуждения, подобные предыдущим, показывают, что
Вг(Х)—>■ Н2 (А"С(1, Gm), где (etf) обозначает класс всех
композиции конечных этальных морфизмоп и открытых вложений.
(b) Доказательство второго случая из 2.16, по существу, уже
встречалось у Луслспдсра и Голдмапа при доказательстве того,
что для любом регулярной связной схемы X размерности 2
группа Вг(А") совпадает с пересечением П Вг {Ох, х) в Вг (R (X)).
Хублер, к которому восходит доказательство третьего случая из
2.16, показал, что из 2.17 вытекает тот же самый результат для
гладкого аффинного многообразия. Данный результат можно
рассматривать как некоммутативный аналог чистоты подсхемы
ветвления (1.3.7): если алгебра Адзумаи разветвлена, то она
разветвлена па множестве чистой коразмерности один.
(c) Доказательство третьего случая из 2.16 показывает, что
Br(.V) = Вг'(Л'), когда А" — гладка ччпгообразпе с покрытием
X = ХХ\}Х2, где Л'|, Л"2 и X] П ^2 — открытые аффинные
подмножества. Это верно, например, когда /V — гладкая проективная
кривая над гладким аффинным многообразием, что было
использовано Артппом при обобщении своего результата [48,
III.3.1].
§ 2. Группа Врауэра схемы 191
(d) О. Габбер и Р. Хублер анонсировали доказательство')
того, что Вг(^)=Вг'(Х) для любой аффинной схемы.
И наконец, отметим один вопрос, который в силу своей связи
с гипотезой Тейта, может быть, является одним из самых
интересных вопросов, касающихся группы Брауэра.
Вопрос 2.19 (Артнн). Если А" —схема, собственная над specZ,
то конечна ли группа Вг(Х)?
Для схемы X размерности 1 теория полей классов дает
утвердительный ответ, однако уже в случае поверхностен над
конечным полем возникают серьезные трудности 2).
Упражнение 2.20. (а) Покажите, что Вг(/?) = 0 для любого
кольца R, в котором каждый элемент /■ удовлетворяет уравнению
гп = г, где п — целое число ^ 2, зависящее от г. (Указание:
покажите, что R является объединением конечных колец.)
(b) Покажите, что Вг(/е) та Вг(/е[Г]) для любого
совершенного поля k. (Указание: используйте III. 2.2I для ks[T\/k\T\\
заметим, что Вт(к*\Т] )c Вг(МП) = 0-)
(c) Покажите, что если R— гензелево кольцо дискретного
нормирования, то Вт(К) = Bt(R), где К и R— поля частных
кольца R п его пополнения, исключая, возможно, р-компонепты,
когда спаг(Л') = р ф 0. (Указание: /\ и R имеют одну п ту же
группу Галуа ([117, II]), поэтому достаточно изучить вложение
L* <=—Г.* для конечного расширения L поля К: группа L'/L*
однозначно делима для любого целого числа, взаимно
простого с р.)
(d) Покажите, что для любого поля k имеется точная
последовательность
0 — Вг (k [Т]) -* Вг (К) ~> XG (kjk) -> 0,
где R обозначает поле частных для (k[T]ir))h и первое
отображение индуцировано сопоставлением 7"i—^ 7"-'. (Указание:
заметим, что К представляет собой гензелизацию поля k( ') в
бесконечности; используйте III.2.23(Ь), III. 1.25 и III. 1.28 для
доказательства в случае k = ksep\ используйте III.2.21 в обшем
случае.) (Ср. с [132].)
(e) Пусть R — кольцо целых квадратичного числового поля
QfV^J- используя элементарную теорию чисел (в частности,
') Полное доказательство см. Gabber О., Some theorems on Azumaya
Algebras, In: Groupe de Brauer (Seminaire Les Plans-sur-Box. edited by M. Ker-
vaire ct M. Ojanguren, Suisse, 1980). Lecture Note in Malti., 844, 1981, pn 129—
209; Hoobler R. Т., A cohomologica' interpretation of Brauer groups of rings.
Pacific J. Math.. 86 (1980), № 1, 89—92. — Прим. перге.
2) См. [126] и Miln J. On a conjtclure of Artin and Tate, Ann. of Math. (2),
102 (1975), Б17—БЗЗ. — Прим. пере a.
192 Гл. IV. Группа Брацэра
не используя теорию полей классов), покажите, что Br(tf/Z) =
= 0. (Указание: заметим, что
Вг (R/Z) = ксг (Вг (QI VrfJ/Q) - > П Вг (ОЛ Vrf]/Qp)).
где Qp есть /7-аднческне числа; в силу периодичности когомоло-
гнй группы G = Gal [Q[^d ]/Q) эго упражнение эквивалентно
следующему утверждению: а е Q есть норма элемента из
Q[V^]> есл11 011а является нормой элемента из QpfV^l для
всех р; используйте теперь случай п — 3 из [120, IV, теорема 8].
Такое доказательство восходит к Лежапдру.)
(f) Пусть X — гладкое многообразие над полем
характеристики р. Покажите, что любой элемент /7-кручения в Br'(.Y)
становится нулевым в Вг'(К) для некоторого конечного плоского
морфизма Y-*-X. Выведите, что такой элемент лежит в Вг(Х)
(2.14(с)). (Указание: используйте отображение Фробениуса.)
(g) Пусть А—алгебра Адзумап над схемой X. Покажите,
что существует схема YA над X, такая, что для любой -Y-схемы
U алгебра А \ U тривиальна тогда и только тогда, когда Ya имеет
точку в U. (Указание: используйте III. 4.24.) (Ср. с [106].)
Библиографические замечания
Первоначально алгебры Адзумап изучались над локальными
кольцами самим Адзумаей [18], над произвольными кольцами
их изучали Ауслендер и Голдман [17], а над схемами — Гро-
тенднк [48]. Гротеидик первым дал удовлетворительное
когомологическое описание групп Брауэра. Мы в основном следовали
трем указанным источникам. В настоящее время существует
обширная литература по группам Брауэра (см. [38], [101], [75]
и библиографию к ним), большая часть которой, к сожалению,
не уделяет должного внимания плодотворным методам,
введенным Гротендиком. 10. И. Мании использовал группу Брауэра
для изучения арифметики и геометрии кубических
поверхностей [84].
Глава V
когомологии кривых
И ПОВЕРХНОСТЕЙ
Класс постоянных или, локально постоянных пучков не
обладает спопстиом замкнутости относительно взятия прямых
образов по отношению к собственным отображениям (или даже к
замкнутым вложениям). Наименьший полезный класс пучков,
содержащий конечные постоянные пучки и обладающий этим
свойством,— это класс конструктивных пучков. Конструктивные
пучки на схеме X образуют абелеву категорию, являющуюся
нётеровой, если X квазикомпактиа. С другой стороны,
конструктивные пучки — это в точности те пучки, которые могут быть
представлены этальными алгебраическими пространствами
конечного типа.
Для конструктивных пучков на гладких кривых имеет место
теорема двойственности Пуанкаре (при условии, что кручение
пучков взаимно просто с характеристикой). Характеристику
Эйлера— Пуанкаре £ (—1)' dimy, Н' (X, F) конструктивного
пучка F рг-модулей на кривой X можно выразить в виде суммы
локальных членов. Из-за появления дикого ветвления вопрос
становится очень тонким в характеристике р.
Метод вычисления когомологии поверхности очень похож на
классический, и, в частности, сначала строятся пучки Лефшеца
кривых на поверхности. Результаты вычислений также очень
похожи на классические, если пучки обладают лишь кручением,
взаимно простым с характеристикой; например, имеет место
формула Пикара —Лефшеца. Мы даем использующее этальные
когомологин доказательство критерия Кастельнуово
рациональности поверхности.
§ 1. Конструктивные пучки: спаривания
Пучок F на Хе\. конечен, если группа F(U) конечна для всех
квазикомпактных U, и имеет конечные слои, если группа F конечна
для всех геометрических точек J? схемы X. Пучок может быть
конечным, но иметь не только конечные слои, и наоборот. Пучок
F локально постоянен, или скрученно постоянен, если
существует покрытие (Ui-*-X), такое, что P\Ui постоянен для всех i.
7 зек. 411
1Й4 Гл. V. Когомологии кривых к поверхностей
Предложение 1.1. Пусть F — локально постоянный пучок на
Хе\. Если F имеет лишь конечные слои, го он конечен и
представим групповой схемой F, которая является конечной и этальной
над X.
Доказательство. Пусть (£/<)—покрытие схемы Xet,
такое, что ограничения F\Ui постоянны. Очевидно, абстрактная
группа, соответствующая F\Ui, должна быть конечной. Для
любой квазпкомпактной схемы U покрытие (£ЛХ* U->■ U)
содержит конечное подпокрытие. Поэтому F(U) является подгруппой
конечного произведения П^(^(Х^) конечных групп-
Пусть X' = Y\_Ui'i тогда F\X' представим конечной этальной
групповой схемой Р'/Х'. Канонический изоморфизм p\{F\X')-*
-+p'2(F\X'), где pi и р2 — проекции Х"ХX'-+Х', определяет
данные спуска для F'. Согласно теории спуска (1.2.23), схема F' с
ее данными спуска происходит из групповой схемы F над X,
которая по 1.2.24 снова конечна и этальпа.
Замечания 1.2. (а) Схему F следует рассматривать как эталь-
ное пространство для F в смысле Голсмапа [43, II. 1.2].
(Ь) Предложение 1.1 имеет очевидное обращение: пучок,
определенный конечной этальиой групповой схемой, локально
постоянен и имеет конечные слои.
Пусть схема X связна; выберем ее геометрическую точку х.
Напомним (1.5.3), что категория конечных л\(Х, х)-множеств
эквивалентна категории конечных этальных Я-схем; согласно
1.1, эта эквивалентность может быть продолжена: категория
конечных п\(Х, х)-модулей эквивалентна категории локально
постоянных пучков F с конечными слоями, причем пучку Р
соответствует его слой Рц, а модулю М соответствует такой пучок Р,
что F(U) = Нотл, (Нотл(*, U), М) для любой конечной и эталь-
Hoii над X схемы U. (Заметим, что F(U) = Мл'1и'Х), если U
связна.) Для такого пучка F существует конечный этальный
морфнзм Х'-*-Х, для которого F X.v ^'— несвязное объединение
экземпляров схемы X' и Р\Х' постоянен; например, в качестве
X' можно взягь замыкание Галуа накрытия F-+X (ср. с 1.6.4).
Если X — нормальная связная схема с общей точкой g: r\-*-X,
то пучок F на X с конечными слоями локально постоянен тогда
и только тогда, когда F->g,g*F является изоморфизмом и
действие группы Gal(k(r\)/k(r\)) на Р^ пропускается через щ(Х,г\).
Упражнение 1.3. Пусть X — нормальная связная схема
размерности один и F — локально постоянный в общем пучок на
Хе\, соответствующий семейству (М, (ф„: Mv -*■ М'")), как в
II.3.16. Покажите, что
§ 1. Конструктивные пучки: спаривания 195
(a) F имеет конечные слон тогда и только тогда, когда М и
все Мо конечны;
(b) F конечен тогда и только тогда, когда МИ и MHv конечны
для всех открытых подгрупп Ясби HoczDo;
(c) F постоянен тогда и только тогда, когда G тривиально
действует на М и ф„ является изоморфизмом для всех v;
(d) F локально постоянен ■<=>- Iv тривиально действует на М
и фи является изоморфизмом для всех v <=> существует конечное
этальное отображение Х'-*-Х, такое, что F\X' постоянен;
(e) F конструктивен (см. ниже) тогда и только тогда, когда
он имеет лишь конечные слои.
В дальнейшем мы покажем, что любой пучок F на Хе{ может
быть представлен этальным пространством F при условии, что
в качестве F допускаются алгебраические пространства, а не
только схемы. Напомним следующие определения из [13] и [76].
(a) Пара отображений Х-схеи
R=tU
есть отношение эквивалентности, если для любом А"-схемы Т
отображение
(/,,«2): R(T)->U(T)Xxir>U(T)
инъективно и R(T)cz U(T)\X(T)U{T) есть отношение
эквивалентности в обычном сысле.
(b) Пучок множеств А на (Sch/-V)et есть алгебраическое
пространство над X, если существуют отношение эквивалентности
ilt i2: R^+U и отображение U —*■ А (здесь G рассматривается
как пучок множеств на (Sch/X)et), такие, что каждое
отображение ij сюръективно и этально, R—'■—*~UXXU является ква-
эикомпактным морфизмом и и отождествляет А с факторпучком
U/R, т. е. А есть пучок, ассоциированный с предпучком А' =
= (Tt-4*U(T)/~). Так как R(T) <=* (UXxU)(T) является
пучком для всех Т и R, то А' удовлетворяет (Si). Таким образом
(ср. со вторым доказательством II. 2.11), А' <=^~ А и любой
элемент s в А(Т) описывается заданием этального покрытия (Г,-)
схемы Т и сечениями sieU{Tt) и ще R(TiXTf), такими, что
i\°ri[ = s'i\Tii и i2°rti = s'i\Tii. Эквивалентным образом
элемент из А(Т) описывается диаграммой
Гх.
196 Гл. V. Когомологии кривых и поверхностей
в которой Т'-*Т является этальпым и сюръектпвным морфиз-
мом конечного типа и s'pt = l\r, s'p? = iV.
(c) А локально отделимо, ес.ми /?-*■ £/Хх U — вложение, и
отделимо, если R-> б'Х* U — замкнутое вложение.
(d) А приведено, нормально и т. п., если существует схема U
с указанными в п. (Ь) при определении алгебраического
пространства свойствами, являющаяся приведенной, нормальной
и т. п.
(e) А этально, конечного типа и т. п. над X, если существует
схема U, как в п. (Ь), являющаяся этальной, конечного типа
и т. п. над X.
(f) Пусть А и А' — алгебраические пространства;
отображение s: А-*■ А' может быть описано коммутативной диаграммой
R -
W > А'
где R^ZU и R' =1 U' — зталынчс (Лношения эквивалентности
с факторпространствами А и А'. Отображение s этально, сюръ-
ективно и т. п., если s' может быть выбрано этальным,
сюръекп т. п.
Упражнения 1.4. (а) Пусть л: Y-+X — конечный плоский н
сюръективмый морфпзм. Покажите, что если V'-> U — этальное
отображение У-схем, такое, что л»'/ ;; л*С/ представимы (л,
вычислено на (Sch/X)et), то отображение n»V-*-n*U этально
(используйте 1.3.22). Выведите отсюда, что если А —
квазикомпактное алгебраическое пространство над У, то л»Л представим
алгебраическим пространством над X. (Возьмите в качестве R
и U конечные несвязные объединения аффннных схем и
используйте [37, 1.1.6.6].)
(Ь) Пусть R^ZU-+A,— как и выше, алгебраическое
пространство. Покажите, что R —yUy^AU. Возьмите в качестве U
несвязное объединение аффинных схем, которое, в частности,
отделимо. Покажите, что для любой схемы V и любого
отображения V^-A отображение WX.aV—*-V (пучков) представимо
эгальным сюръектпвным отображением схем, т. е. пучок £УХд V
представим и указанное отображение этально и сюръе'ктивно.
(Пусть V-* V — этальное сюръектпвное отображение конечного
типа, такое, что V-*■ А поднимается до отображения У"->-£/.
Покажите, что каждый квадрат в следующих диаграммах де-
§ I. Конструктивные пучки: спаривания 197
картов, и примените теорию спуска. Например, согласно [52,
18.12.12], любой квазиконечный отделимый морфпзм квазиаф-
фннен, н потому R-+Uy(xU квазиаффинен. [53, VIII.7.9]
показывает теперь, что £/>G V представим. Эталыюсть морфнзма
R^-U также влечет за собой этальность UXaV'-^V и эталь-
ность UXa V-+ V.
1
I
tK v
у •—>
[/. d , >
С/
и
и
и
I
К—Ь_
I
x^V" —
1
-» V
1
f
Здесь /г этально, q квазиаффинно и с — покрытие.)
(с) Пусть R^iU -*■ А то же, что н в п. (b), n рассмотрим А
как предпучок на (Sch/JT)ц. Пусть А' — ассоциированный пучок.
Покажите, что А <=*. А' и что все утверждения п. (Ь) остаются
справедливыми при замене А на А'. Выведите отсюда, что
А—*-А', т. е. что А — пучок на (Sch/JQn- (Заметим, что
элемент A'(V) задается диаграммой
I I
A'
где V-*-V — плоский сюръективный морфизм конечного типа.
Доказательство утверждений (Ь) принципиально не изменяется.
Для доказательства сюръективности отображения А-*-А'
заметим, что в приведенной выше диаграмме V" может быть
заменено на UV)
Теорема 1.5. Любой пучок F на Xei представим (()/)
единственным локально отделимым алгебраическим
пространством F, этальным над X.
198 Гл. V. Косомологии кривых и поверхностей
Лемма 1.6. Пусть U\ и U2— аффинные схемы, этальные над
Л\ и пуст/, si <= F{Ui) и s2^F(U2). Функтор UiXfU2: (et)/X->-
->Sets,
(f/, Xf £/2) (V) = {(/,, /2) | /,: V->Ult resfl (s.) = res,, (s2)},
представим открытой подсхемой схемы U\ X* Uz-
Доказательство. Для любой пары (fi, f2) е(£7| Xf Uz) {V)
морфизм (/,, /2): V-*- U\~Xx U2 эталон (потому что V и
U\ Хх f/g этальны над X (1.3.6)) и значит, его образ V открыт
(1.2.12). Кроме того, S\\V' = s2\V. Теперь ясно, что UiXfU2
представим открытой подсхемой U = (J V схемы U\ Xx U2.
Доказательство теоремы 1.5. Пусть U = Ц V, где
несвязное объединение берется по всем парам (V, s), таким, что
V — аффинная схема, эталыгая пал А", и seFfV). Сечения s
определяют канонический элемент с в F (U) = U F (V), который
может Пыть представлен как отображение пучков множеств
U^-F. Им леммы 1.6 мам известно, 4\oR=U\FU является
открытом подсхемой в Uy(x U. Примем за l\, i2 композиции
RXx
Pi
Тогда
i,
R=XU
удовлетворяет приведенным выше п п. (Ь) условиям, и мы
определяем F как соответствующее алгебраическое пространство.
Оно эталмю и локально отделимо над X, так как U этально над
А' и R с, U'X* U — открытое вложение.
Чтобы показать, что F п F изоморфны как пучки на Хе\,
достаточно показать, что изоморфны их группы сечений над аф-
фпппымп схемами, этальпымм над А'. Пусть V — такая схема, и
пусть se/r(V). Элемент s позволяет представить V как
подсхему схемы О, п, следовательно, мы имеем отображение
(пучков) V-+-F, т. е. некоторый элемент пз F(V). Для того чтобы
показать, что оно определяет изоморфизм F(V)-*- F(V), мы
построим к нему обратный. Пусть sef(V) описывается
диаграммой
У xv V —^ V > V
§ I. Конструктивные пучки; спаривания 199
Пусть s0 = с | V', т. е. s0 = ress- (с). Тогда
resP/ Ы = resS'P/ (с) = res(yr (с) = resr (res(/ (с)).
Но, согласно определению R, resi, (с) = resj;(c), и потому дпл
ограничения s0 па V'X.vV совпадают и so^F(V). Легко пи-
деть, что отображение si—>s0: F (V)-+ F(V)— обратное к
построенному выше отображению.
Это доказывает существование F. Для доказательств
единственности заметим, что если R^Z U-*■ А— этальное
алгебраическое пространство над X, то последовательность
F(A)-*F(U)=tF(R)
точна (определение А как факторпучка). Таким образом, F
однозначно определен как функтор на этальных алгебраических
пространствах над X и, следовательно, однозначно определен
(по лемме Йонеды).
Замечания 1.7. (а) В некоторых случаях F автоматически
будет схемой, например когда оно конечного типа над полем
[13, IV.4.8].
(b) Пусть F—пучок на Хе\. Поскольку F этален над X,
используя соображения из II. 3.1 (d), можно показать, что(я*/г)~ =
= ^Ху^ДЛЯ любого морфизма л: Y^-X.
(c) Пусть / — морфизм (SchAY)ei->->Vei, определенный
тождественным отображением. Замечание (Ь) показывает, что для
любого пучка F на Xet отображение f*F-*-F, соответствующее
тождественному отображению при изоморфизме
Р, F) ~ UomXei (F, F | *et) = HomXet (F, F),
является изоморфизмом. Из 1.4(с) следует, что f*F также
пучок на (Sch/X)i\, и поэтому обратные образы пучка F при
(Sch/X)n->-)fet и (Sch/X)et -*■ Xei совпадают.
(d) Если F — пучок на (Sch/X)et и F\ = F\XB\, то в общем
случае неверно, что F = F\ на (Sch/X). По (с) это верно тогда
и только тогда, когда F ж f*f*F. Такой пучок называют локально
конструктивным. Пучок Р на ,Yet конструктивен, если F —
пространство конечного типа над X; пучок F на (Sch/^)ei
конструктивен, если он локально конструктивен и F — пространство
конечного типа.
(e) Пусть G — этальная групповая схема над X. Пучок на
Xei, определенный ею, конструктивен тогда и только тогда, когда
G — схема конечного типа над X.
(f) Если X = spec/4 с артиновым локальным кольцом А, то
F на .VB| конструктивен тогда и только тогда, когда F — конечная
200 Гл. V. Когомологии кривых и поверхностей
-лальная схем л над А'. Доказывая это, мы можем
предположить, что А имеет сепарабсльно замкнутое поле вычетов. Пусть
F = U/R, где U — этальная схема конечного типа над X. Тогда
U и R— несвязные объединения конечного числа экземпляров
X, откуда очевидно, что U/R— схема.
Предложение 1.8. Пусть F — пучок на Xti. Следующие
утверждения эквивалентны:
(a) F конструктивен;
(b) каждая неприводимая замкнутая подсхема Z в X
содержит непустую открытую подсхему U, такую, что F\U локально
постоянен и имеет конечные слои.
(c) каждая квазикомпактная открытая подсхема U с X
является конечным объединением локально замкнутых подсхем,
U = U Zi, таких, что F\Z/ конечен и F\Z[ постоянен для
некоторых конечных этальных Z'i-*-Zi\
di ~
(d) для любой точки хеХ Fx = F X^specfc (x) есть
конечное алгебраическое пространство над k(x) ц х 1—> Л (х) =
(порядок Fx) является конструктивной функцией (т. е. для любого
t е1* и любой квазикомпактной открытой подсхемы U а X
пересечение h-[(t)[\U является конечным объединением локально
замкнутых подмножеств).
Доказательство. Так как все условия локальны по
отношению к А", то мы можем предположить, что схема X квазнком-
пактна (а следовательно, и нётерова).
(а)=*-(Ь). Если z — общая точка Z, то 1.7(f) показывает, что
существуют конечная этальная групповая схема W над specCz,г
и некоторый изоморфизм <р: jV—*• F \ spec Oz, г- Схема jV
расширяется до конечной групповой схемы над некоторой открытой
окрестностью точки г, а так как F конечного типа, то ср
продолжается до изоморфизма на некоторой меньшей окрестности.
Теперь можно применить I. 2 (Ь).
(Ь)=^(с). Предположим, что (с) неверно, и Z—минимальная
среди замкнутых подсхем в А", для которых это неверно. Оче-
пидно, Z неприводима. Можно также считать ее приведенной.
В соответствии с (Ь) и 1.1 существует этальное отображение
U-*-Z аффинного множества U, такое, что пучок F\U постоянен
и конечен. Так как общий слой этого отображения конечен,
I. 1.12 показывает, что существует открытая подсхема V в Z,
такая, что UXzV-^V конечно. Поскольку F\UXV постоянен
и (всилу минимальности Z) F\Z — V удовлетворяет (с), мы
получаем противоречие.
(c)=*-(d). Функция h постоянна на Z, если Z —связная
подсхема и существует конечное этальное отображение Z'-*-Z,
такое, что F\Z' постоянен.
§ 1. Конструктивные пучки: спаривания 201
(d)--=>(a). По тем же соображениям, что и при
доказательстве импликации (Ь)=*-(с) (т. е. в силу нётероиой индукции),
нам достаточно показать, что каждая замкнутая неприводимая
подсхема Z в X содержит непустую открытую подсхему U,
такую, что пучок F\U конструктивен. Если г — общая точка схемы
Z, то F\specCz,z является конечной этальной групповой схемой.
Поэтому существуют конечная этальная групповая схема N над
некоторой открытой подсхемой U в Z и морфнзм ср: N~>F\U,
являющийся изоморфизмом над specCz, г. Уменьшая U, можно
предполагать, что ср — локальный изоморфизм (ср. с [49, 6.6.4])
и что слон схем N и F имеют одно и то же (постоянное) число
точек в любой геометрической точке схемы U; но тогда ср —
изоморфизм.
Замечания 1.9. (а) Пример неконструктивного пучка с
конечными слоями имеется в [13, VII.2.10].
(Ь) Пусть ф: F-*■ F' — отображение пучков на A"et. Так как
следующая диаграмма декартова как в категории
алгебраических пространств над X, так и в категории пучков множеств
над X,
i нулевое сечение
Р >?'
то пучок ker(cp) конструктивен (т. е. конечного типа), если F
конструктивен.
Заметим, что
—этальное отображение алгебраических пространств (аналог
1.3.6), а потому его образ R — открытое алгебраическое
подпространство в F'XxF'. Поэтому отображения R^tF',
индуцированные проекциями F'y^F'-*-F', задают этальное отношение
эквивалентности на алгебраическом пространстве F' и F'/R =«
= coker(cp). Легко видеть, что F'-*-F'/R — сюръектнпиое
этальное отображение алгебраических пространств. Значит, пучок
сокег(ср) конструктивен, если F' конструктивен. И наконец,
пучок im(cp) « сокег(кег(ф)^-/г) « кег(^'^-сокег(ф))
конструктивен, когда либо F, либо F' конструктивен. Из этих замечании
следует, что конструктивные пучки образуют абелеву категорию.
(с) Так как функторы S (Sch/A")et ч=* S (Xtt) точны, из (Ь)
следует, что если ф". F-*-F' — отображение локально
конструктивных пучков на (Sch/X)et, то кег(ф) конструктивен, если кон-
202 Гл. Г. Когомологпи кривых и поверхностей
структниен F, соксг(гр) конструктивен, если конструктивен F',
п im('|) конструктивен, если конструктивен F или F'.
Упражнения 1.10. (а) Пусть F — копст[)уктнвный пучок на Aei.
Покажите, что F локально постоянен тогда и только тогда,
когда для любой пары Jfo, -Vi геометрических точек схемы А',
таком, что л'о лежит в замыкании л'ь существует общая этальная
окрестность U точек х0 и хи для которой F(U)-*-Fxt и F(U)-+
>/•'.», —изоморфизмы, либо (что эквивалентно) тогда и только
п>гда. когда для некоторого (или каждого) выбора
отображения Ox. v, ->• (Ух, х, отображение коспецпалнзации F^-^Fn,
является изоморфизмом.
(1)) Покажите, что любой локально конструктивный пучок
кручения па (Sch/,Y)e( есть прямой предел конструктивных пуч-
кон. (Достаточно показать, что любой пучок кручения F на A"et
является таким пределом; проверьте, что
F = \im\m(g.(Z/(n))-*F),
где U обозначает аффинное открытое множество, g: U-*■ X —
■лалыюе отображение, a seFJ!.'; сечение порядка п, и
данное отображение индуцировано сопоставлением Ць->s):
( /(n))u-*-F\U; чтобы установить конструктивность g*{^/(n)),
покажите, что Х= (J Xh где каждая из схем А\ локально
замкнута п такова, что морфнзм Uy\X,-*-Xi конечен (ср. с 1.8).)
Рассмотрим теперь категорию S(A'e(, Z/(n)) пучков 7/(п)-
модулей. Напомним (III.2.25), что когомологии пучка Z/(n)-
модулей совпадают с его когомологпями как пучка Z-модулей.
Для Ext это не имеет места. Например, если X — спектр сепара-
белыю замкнутого поля, то категорию S(^et, Z/(n)) можно
отождествить с категорией //(л)-модулей и Extz/(n)(Z/(rt),Z/(rt))==
= 0, но Extz(Z/(n), Z/(rt))=y^0, так как последовательность
0 -> Z/(n) -> Z/(n2) -> Z/(n) -> 0
не расщепляется. Пучок L/(п)-модулей F называется локально
постоянным или конструктивным, если он является локально
постоянным или конструктивным как пучок абелевых групп.
Говорят, что он локально свободен (конечного ранга), если
существует покрытие (£А->-Х), такое, что /^ £А — постоянный
пучок, определенный свободным модулем (конечного ранга) для
всех /. Для локально постоянного и конструктивного F положим
Г — Horn(F, '/(п)). Функтор F-^Г точен (по П.3.20(Ь)) н
переводит локально свободные пучки в локально свободные. По-
§ 1. Конструктивные пучки: спаривания 203
следние определения и замечания распространяются очевидным
образом на S(X, Л), где Л —конечная Г/(л)-алгебра.
Пусть X— схема, у которой характеристики колеи вычетоп
взаимно просты с п. Тогда щп — локально свободный пучок
//(я)-модулей ранга I на A'ct. Положим
!№„® ••• ®№„ (г экземпляров), если г > 0;
Z/(n), если г=0;
(Z/(«)) (-/■)", если г<0.
Для любого пучка Z/(п)-модулей F определим г-е скручивание
(по Тейту) пучка F как тензорное произведение F(r) =
= F ®Z/(/?) (г); очевидно, ^(г) (неканонически) локально
изоморфен F. Если X—многообразие над сепарабельно
замкнутым полем, то F(r) « F (пеканонически) и
HS(X, F)®(Z/(n))(r)^+Hs(X, F(r))
(канонически), что можно легче всего увидеть, рассматривая
группы Чеха.
Пусть / — простое число, l-адическим пучком (или пучком
Z[-модулей) на Xei называется проективная система F = (Frl)fi(_.|
пучков, такая, что для любого п отображение Fn+]-*Fn из этом
системы изоморфно каноническому отображению Fn+I ->Fn + l ®
®zZ/(/n), т. е. Fn+i-+Fn индуцирует изоморфизм Fn + {/rF,i + i-=*
—*■ Fn. По индукции Fn/FFn —»• Fn для всех т> п. Отсюда
следует, что Fo = 0 и что пучок Fn аннулируется умножением на
/", т. е. что он является пучком Z/(ln)-модулей. Группы кого-
мологий /-адического пучка F определяются как предел
Hr(X, F) = WmH'(X, Р„). Заметим, что, как правило, Н'{Х, F)*£
ФНГ{Х, WmFn) даже для г=1 и схемы А", являющейся
спектром поля. Кольцо Z/ = lim Z/ln действует на Hr(X, F) и на
Нот (F, F') = lim lim Horn (Fn, F'm) =jim Нот (f,,,, F'm)
т п т
для любых /-адических пучков F и F'. /-адпчеекпй пучок F
называется скрученной формой постоянного пучка пли
конструктивным пучком, если каждый из пучков Fn обладает
соответствующим свойством. Отметим, что для скрученном формы
постоянного пучка не обязано существовать конечное сюръектпв-
ное этальное отображение U-+X, для которого F\U постоянен.
В частности, если X — связная схема с геометрической точкой
х, то действие П\(Х, х) на F* = lim(Fn)- не обязательно прочу-
204 Гл. V. Когомологии кривых и поверхностей
скается через конечный фактор. Тем не менее это действие
непрерывно, когда слом /'л снабжен /-адической топологией, и
специализация F >-*Fx индуцирует эквивалентность между
категорией скрученных форм конструктивных пучков на X и
категорией л\(Х, х) -модулей, которые конечно порождены над Z/.
Если F—конструктивный /-адическин пучок на X, то каждая
квазикомпактная открытая подсхема Uс X есть конечное
объединение локально замкнутых схем U = \JZlt таких, что
каждое ограничение Fn\Z{ конечно и является скрученной формой
постоянного пучка (упражнение1). /-адический пучок F
называют локально свободным конечного ранга г, если каждый из
пучков Fn — локально свободный пучок ранга г над Z//". (В [55,
Rapport 2.1] "/-пучком называется конструктивный Z/-пучок,
а скрученная форма конструктивного Z/-пучка называется
гладким пучком.)
Пусть X — схема, у которой характеристики колец вычетов
точек взаимно просты с /. Пучки Z, (г) = ((Z/(/n)) (r))n являются
локально свободными пучками ранга 1. Определим для любого
/-адического пучка F скручивание F(r)=(Fn(r))n. Как и выше,
если X—многообразие над сепарабельно замкнутым полем k,
это скручивание коммутирует с взятием когомологии. Если
k = С и X гладка, то по III. 3.12
Hr{X*u F)-^\\mH'{X(C), Fn) = Hr(X(C), F),
где Fn — постоянные конечные пучки. На самом деле такой
изоморфизм существует, когда X — произвольное многообразие над
,С, а пучок F конструктивен (|54, XVI. 4]).
Категория конструктивных пучков Qi-векторных пространств
определяется как факторкатегорпя категории конструктивных
пучков 7, /-модулей по ее подкатегории объектов кручения, т. е.
объектов, аннулируемых некоторой степенью /. Более
конкретно, каждый конструктивный пучок F Z(-модулей определяет
пучок F®Qi Qz-вскторных пространств; все конструктивные
пучки фгвекторных пространств имеют такое задание и
Hom(F®Qb F'®Q,) = Hom(F, F')®z,Q,-
Мы говорим, что конструктивный пучок (^/-векторных
пространств есть скрученная форма постоянного пучка, если он
изоморфен пучку F®Q/, где F—скрученная форма
постоянного конструктивного пучка. Если А' — связная схема с
геометрической точкой х, то сопоставление
,ф /. Конструктивные пучки: спаривания 205
задает эквивалентность между категорией конструктивных
пучков (^-векторных пространств, являющихся скрученными
формами постоянных пучков, н категорией конечномерных Q/-bck-
торных пространств, на которых непрерывно действует П\{Х, х).
Так как каждое такое векторное пространство содержит
инвариантную решетку (потому что п\(Х, х) компактна), каждая
скрученная форма постоянного конструктивного пучка С!<-век-
торных пространств представлена в виде F ® Q/ с локально
свободным пучком F конечного ранга. Мы пишем (F®Qi)(r)
вместо F{r)®Qi и (F®Q,r вместо £®Q, = (Fn)®Qt.
Если Q — конечное расширение поля Qt п Л— целое
замыкание 71 в Q, то приведенные выше определения н обозначения
можно распространить на пучки Л-модулей и й-векторных
пространств. Например, пучок Л-модулей есть проективная система
F = (Fn), где Fa—пучок А/т"-модулей и Fn¥X ® (Л/тп) = F,,.
Обычно в дальнейшем мы доказываем результаты только для
пучков л/(л)-модулей (или Л/ш"-модулей) и оставляем
читателю проверку того, что они справедливы для пучков Zf-моду-
лей или Q,-векторных пространств. Для этого полезна
следующая лемма.
Лемма 1.11. Пусть F = (Fn) есть l-адический пучок на Хе[,
такой, что каждый из пучков Fn является плоским как пучок
Z /(1п)-модулей и группы Hr(X,Fn) конечны для всех run.
Тогда группы ИГ(Х, F) конечно порождены как Zi-модули и
существуют точные последовательности
0-+Hr(Xet, F)Un)->Hr(XeU Fn) +Hr+l(Xci, Л,"->0
для всех run.
Доказательство. Мы должны использовать то, что
обратные пределы точных последовательностей конечных абе-
левых групп точны. Один путь убедиться в этом— заметить, что
категория проконечных (т. е. компактных вполне несвязных) абе-
левых групп двойственна категории дискретных периодических
абелевых групп (согласно простейшему случаю двойственности
Понтрягина) и требуемое утверждение двойственно тому, что
прямые пределы сохраняют точность последовательностей
(периодических) абелевых групп. Умножая тензорно
о -> z/(r) -£> z/(r+s) -»z/(/s) -> о
на Fn+s, получаем точную последовательность
0-+Fn-+Fn+t-+F.-*0.
206 Гл. V. Когомологии кривых и поверхностей
При изменяющемся п эти последовательности совместны в том
смысле, что диаграмма
О > Fn+i -JL+ Fn^s у Fs > О
коммутативна. Образуя когомологическую последовательность
для каждого п н переходя к обратному пределу по всем п, мы
получаем точную последовательность
... -+Hr(F)-L+Hr (F) -*Hr (Fs) ->Hr+1 (F) —► Hr+[ (F) -> ....
которая дает нужные последовательности.
Поскольку группа Hr(F) есть обратный предел конечных
групп кручения, аннулируемых степенями /, то в ней нет
нулевого элемента, делящегося на все степени /. Таким образом,
lim #r+I (F)n = 0 (отображения перехода — это Яг+1 {F)n <—
*— tfr+I(F)n+l) и lim #r(F)('n)-^> Hr{F); отсюда следует, что
группа Н'(F) порождается любым подмножеством,
порождающим се mod /.
Если А—кольцо и М — конечно порожденный Л-модуль или
Л-модуль конечной длины, то через \М] мы обозначаем класс
М в группе Гротендика соответствующей категории Л-модулей.
Если Л — пучок колец на некотором ситусе ХЕ и F-г- пучок
Л-модулей, то Н'(Хе, F) является Г(А", Л)-модулем и мы
обозначаем через x(XE,F) характеристику Эйлера — Пуанкаре
T.(-l)r[Hr{XE,F)],
когда она определена. Например, когда Г(^, Л) — поле К и
Нг(Хе, F) являются конечномерными векторными
пространствами, мы можем отождествить \Нг(Хе, F)] с (Итпк(Нг(Хе, F))
и Х(ХЕ, F) с
когда Г (А", Л) есть Z и НГ(ХЕ, F) конечны, мы можем
отождествить \Hr(XE, F)} с порядком Hr(XE, F) и х(ХЕ, F) с
Ц[Н'(ХЕ, F)Y-*f.
l-адичвские числа Бетти многообразия X над сепарабельно
замкнутым полем определяются стандартно:
§ I. Конструктивные пучки: спаривания 207
а l-адическая характеристика Эйлера — Пуанкаре есть
Если группы Hr(Xet, ft) конечны, то
Наконец, в этом параграфе мы подготавливаем для теорем
двойственности Пуанкаре, доказываемых в следующем
параграфе и VI. 11, описание канонического спаривания между
группами Ext. Напомним, что в абелевой категории А с достаточным
количеством инъективных объектов ExtA (В, С) обычно
определяются с помощью инъективной резольвенты С-* Г объекта С
и взятия г-н группы когомологий комплекса
Нот (в, /°)-*Нот(в, /')-> ....
т. е. E\tr(B, C)= Hr(Uom(B, /')). Нам понадобится иное
описание. Напомним, что отображением степени г комплексов
ф: В'-*С является семейство отображений <ps: Bs-*•&+',
такое, что ф5+1^д = (—\)rdc+s<p'; иначе говоря, это есть
отображение (степени нуль) В'-* С [г], где С* [г] — комплекс С",
«сдвинутый на г мест влево», т. е. (C'[r])s = C+S и dc- \r\ = (— \У dc--
Два таких отображения фи t|) гомотопны, если существует
семейство отображений ks: Bs -+ Cs+'-', таких, что ср5 — if* =
= dk* + ks+ld. Например, если В' — комплекс с В° = В и
Bs = 0 для 5=7^=0, то отображение В'-* Г степени г есть просто
отображение ф: В-*-Г с d ° <р = 0. Более того, такое ф гомотопно
нулю тогда и только тогда, когда существует отображение
ф: B-*-Ir~l с ^°ф = ф. Поэтому если /*—некоторая инъектив-
ная резольвента для С, то группа гомотопических классов
отображений В-*Г [г] совпадает с Extr(B, С). Столь же простые
рассуждения показывают, что если В-+В' — некоторая
резольвента объекта В, т. е. 0-*■ В-*■ В°-»-В1 ->- ... — точная
последовательность с необязательно инъективными объектами В", то
группа гомотопических классов отображений В'-*/'[г]
изоморфна группе гомотопических классов отображений В ->Г[г],
а потому и Exf(B, С).
Это позволяет определить каноническое спаривание
tA (Л, fl)XExtA(fl, C)-*ExtA+s(4, С),
а именно мы выбираем инъективиые резольвенты В -> В' и
С->С для В и С, интерпретируем группы Ext как группы
гомотопических классов отображений А-*В'[г], В' [г]-* С' [г -\--s]
и /4-> С" [г + s] и определяем спаривание как композицию.
Конечно, многие факты должны быть проверены (например что
208 Гл. V. Когомологии кривых и поверхностей
композиции гомотопных отображений гомотопны), но все они
просты ([30]).
Проверяется также, что спаривания функторнальны по А, В
и С и совместимы в очевидном смысле с короткими точными
последовательностями в любом месте. Данные спаривания могут
быть описаны также следующим образом: интерпретируем
элемент y&Exlr(A, В) как г-кратпое расширение ([30, III. 3J)
0-» в-»£'-*£*-> ... -+Ег-+А-+0
при г >■ 0; отображение Exts(5, С)■-*- V.xtr+'(A, С),
индуцируемое спариванием с у, с точностью до знака есть r-кратное когра-
нмчиое отображение, определенное указанной точной
последовательностью (г>0), пли отображение, индуцированное у: А-*-В
(г = 0).
Мы будем интересоваться этим спариванием главным образом
в случае А= S(A'et) (или S(A'ei, '."./(п))) и А = Z (или7/(п)).
Тогда спаривание принимает вид
Hr(X, F) X Extx(F, G) ->Hr+S(X, О).
Рассмотрим также ситуацию, где /: X <=i» X — открытое
вложение. Для пучков F и G на X мы имеем каноническое спаривание
Так как Hom^^,/7, —) = Ногл^(Р, /*(—)) и /♦ точен и
сохраняет инъективность объектов, то группа Extj(/,F, /,O) может
быть заменена на Ext^F, /*/,G). Более того, О—*П[О.
Поэтому мы имеем каноническое спаривание
Hr(X, j/)XExtsx(F, Q)^Hr+'(X~, jft).
Если X — полное многообразие, то это спаривание может быть
записано (III. 1.29) в виде
Hr.(X, F)XExtsx(F, G)->H'C+S(X, Q).
В ходе доказательства (одномерного и многомерного
случаев) теоремы двойственности Пуанкаре нам понадобится
информация о поведении этих спаривании при этальных
отображениях, а для этого описания необходимо введение
отображения следа.
Лемма 1.12. Пусть п: Х'-*-Х — конечное этальное
отображение постоянной степени d. Для любого пучка F на X существует
отображение следа tr: nwn*F-+ F, функториальное по F, такое,
что сопоставление ср>—■»/г л»(<р) задаст изоморфизм Hom^'(F',
я7;) >Ыотл {ntF't F) для любого пучка F' на X'. Следовп'
§ 1. Конструктивные пучки: спаривания 20Э
твльно, я, = я,, т. е. я. сопряжен слева к л* и tr— отображение
присоединения. Композиции
F -* ntn*F -^* F и И' [X, F) -> Яг (A", F' | A") -^*Hr(X, F)
суть умножения на d.
Доказательство. Пусть Х"-+Х— морфпзм Галуа с
группой Галуа G, являющийся композицией X" -о X' -*■ X. Тогда
X"-*• X'— тоже морфпзм Галуа с группой Галуа HczG. Для
любого этального множества 0 над X
Г (U, F)c.r (U\ F) с=» Г (£/", F)
и
V(U, F)-^Y{U", F)G,
где U' = UX X', U" = UX X". Для s <= V (U, n,nF) = Г (fV', f)
мы определяем
(r{s)= Z о(«|П
oe GIH
так как этот элемент неподвижен при действии G, то он может
быть представлен как элемент из t(U, F). Очевидно, tr
определяет отображение n,n*F-*-F, композиция которого с F->~
-*-ллл*Р есть умножение на d.
Если X' — объединение d непересекающихся экземпляров А',
то очевидно, что HomX'{F', nF)—*-Homx(ntF', F), и можно
редуцировать вопрос к этому случаю, переходя к конечному эталь-
ному накрытию схемы X, например Х"-*-Х, и используя то, что
Нот — пучок.
В последовательности
Hr(X, F)^>Hr(Xf, n'F)^Hr(X, nfn'F)-^Hr(X, F)
композиция первых двух отображений индуцирована F-+n,n*F,
а композиция всех трех индуцирована \F—> ntn'F—*■ F),
являющимся умножением на d.
Предложение 1.13. Пусть п- X''-*■ X — отделимое этальнос
1 _ л
отображение, а X' =* X' <=«. X — разложение л, в котором j —
открытое вложение, an — конечное отображение. Тогда л, = л,/г,
и мы определяем tr: n{n*F -*■ F как отображение присоединения.
Для любых пучков F на X и F' на X' композиция
', nF) -^ Extx (я,Г, я,пТ) -^ Ех1д (л,Г, F)
210 Гл. V. Когомологии кривых и поверхностей
является изоморфизмом, а диаграмма
j,F) х ExrJ-i
Г "г
сап-.ЩХ, л.Г) х Extsx (k.F',F) > Hr*\X,F)
коммутативна.
Доказательство. По II. 3.18 пучки л^, nj^F
ассоциированы с предпучками F\, F2 соответственно и предпучки F\, F^
имеют следующее описание. Пусть U — этальное открытое
множество над А". Предположим, что оно связно и квазикомпактно.
Обозначим морфнзм U X* (А"' <=♦ л') чс^сд U'<=~U'. Пусть U'=
= U\\) ... \}Ur — разложение U' в объединение
непересекающихся связных компонент. Тогда Г (£7, Fs) = @ F (U[), где
сумма берется по тем V\, которые изоморфно отображаются на U
в случае s = 1 (см. 1.3.12), и по тем Uit которые конечны иад
U (и, следовательно, открыты и замкнуты в О) в случае s = 2.
Очевидно, существует отображение F\ <=-* F2, являющееся
изоморфизмом, если U строго локально. Переходя к
ассоциированным пучкам, мы получаем изоморфизм л^—+nj\F.
По определению
HomA,(F', n*F)-1* Нотx{ntF', F).
Так как функтор л* точен и сохраняет нпъективность объектов,
то группа Extx'(F', n'F) может рассматриваться как г-й
производный функтор функтора F>—> Hom^/(F', n'F), и
единственность производных функторов показывает, что соответствующие
Ext изоморфны.
Пусть Fi — пучок на A", F2, F3 — пучки на X', a q>: F\~*-htF2 и
г):: F2->-F3—их морфизмы. Тогда
(Fi "^ ft,ii*F| -^—-> n.F3) = (F, >Ф> S.F3),
где ф': it*Fi^-F2 —морфнзм, отвечающий ф относительно
сопряжения. Действительно, <р'—единственное отображение я*F\ -*■
->F2, такое, что я^(ф') °сап = ф. Таким образом, диаграмма
Нот*. (**FU Ft) х Нот* (Fz, F3) у Нот* (t^F^ F,)
I- Ь I-
Ношд (Fi, %tfFl) x Hwijf^Fjj, Tf^Fj) > Ноп»д (Ft, irtFj)
§ I. Конструктивные пучки: спаривания 211
в которой спаривания заданы композицией,
коммутативна.
Пусть F—у Г и jxF'-*-J'—инъективные резольвенты пучков
F и if. Предыдущее замечание показывает, что верхняя часть
следующей диаграммы коммутативна:
Homr(Z, J-[r]) x Ношх.(Г[г],;.зг»Г[г + s]) > Horn*,{Z,hx*l'ip + s])
I" i
x Horrid (зГ+</'И, Я)Я*7 [г + s\) » Ногпд |
Homx (Z, V"H) x Homx ff/И, Г[г + s]) * Нохпх(1, Г[г + s])
Нижняя часть этой диаграммы коммутативна ввиду функто-
риальности 1т. Переходя к гомотопическим классам
отображений и используя то, что последовательность niF'-*h,J' есть
инъективная резольвента пучка n]F', мы получаем требуемую
диаграмму.
Вариант 1.14. Пусть л: Х'-*-Х — конечное этальное
отображение постоянной степени d, которое дополняется до декартова
квадрата
с конечным морфизмом я и открытыми вложениями / и /'. Для
любого пучка F на X
\F ->ntn*F—*• F) = умножение на d.
Так как п./' = /,я, (посмотрите на слои), это показывает, что
iF) = умножение на d.
Если X—полное многообразие, из предыдущего вытекает
существование таких отображений, что
(Нс(Х, F)^Hrc{X', F\X')-^Hrc(X, F)) = умножение на d.
212 Гл. У. Когомп.югии кривых и поверхностей
Более того, рассуждая, как н выше, мы получаем
коммутативную диаграмму
ЩХ', F) X Extjj. (Г, n*F)
ЩХ, ^F) х Ext* (**F, F)
В дальнейшем нам понадобятся также спаривания между
группами когомологпм. Мы построим их с помощью резольпепт
Годемана (111. 1.20с).
Лемма 1.15. Пусть X —схема, F — пучок на Хе\, C°(F) —
нулевой член резольвенты Годемана для F. Положим Z =
= coker(F-> C°(F)). Тогда последовательность
точна и расщепляема на слоях, т. е. для всех геометрических
точек х-*-X
является точной и расщепляемой последовательностью абеле-
оых групп.
Доказател ьство.Напомним, чтоC°(F) =и.м*(/г) = П"*Л.
X
где и: XJ х—*Х. Для любой точки х е X и любой эталь-
Х
ной окрестности U точки х существует отображение
Г(и, С0(F))^>-Fji, сопоставляющее элементу T(U,C°(F)) его
х-ю компоненту (более точно — его (х—>-и)-ю компоненту).
Переходя к прямому пределу по всем U, мы получаем отображение
° —* Fv являющееся требуемым сечением для Р£-°
Предложение 1.16. Пусть А — абелева категория с
тензорными произведениями, a fit f2 и f3 — точные слева функторы
S(A'ei)->-A, такие, что любой индуцированный пучок
f{-ацикличен, (= 1, 2, 3. Предположим, что задан морфизм бифункторов
/i(Fi)® Ы^г)-»- /a(F| ® F2). Тогда существует единственная
система морфиэмов бифункторов
2) -+ Rr+'f3 (
записываемая в видё[ Vi, Vi)^"*"?! ^V2. такая, что
(а) для г = 0 = s это заданный морфизм;
§ 1. Конструктивные пучки: спаривания 213
(b) если тройка О ->F\ -* F\ -> F\ -»О тонна и расщепляема
слоях, то для у, ^ Rrf\F" и у2 е Rsf2F2 выполнено равенство
iy\)yjy2 = d{y\^y2);
(c) если тройка Q-+F2->-F2-*-F2-*-Q точна и расщепляема
слоях, то для у{ е RrfxFx и у2 е Rsf2F2 выполнено равенство
в
Доказательство. Заметим, что последовательность,
точная и расщепляемая в слоях, остается точной при тензорном
умножении на любой пучок (ввиду того, что последовательности
слоев остаются точными при этой операции); это показывает,
что (Ь) и (с)—корректно сформулированные утверждения.
Доказательство ведется по индукции с неоднократным
использованием короткой точной последовательности из 1.15. Мы опускаем
его (см. [28, II. 6.2]).
Примеры 1.17. (а) Естественное спаривание
Г(Х, F,)Xr(X, F2)-*r(X, F,®F2)
индуцирует однозначно определенную систему спариваний
Hr(X, FX)XH'(X, F2)-*Hr+s(X, F,®F2).
(b) Естественное спаривание
n.FlXntF2-*n,(Fl®F2),
определенное для любого морфизма л: Y-*-X, индуцирует
однозначно определенную систему спариваний
/?гл.Р, X R'ntF2 -* Rr+Sn, (F, ® Fa).
(c) Естественное спаривание
определенное, когда Z\ и Z2 — замкнутые подсхемы в X,
индуцирует однозначно определенную систему спариваний
НЦХ, Fi)XHsz,{X, F2)-+Hrztnz,(X, F,®Fa).
Далее каждое из этих спариваний мы называем
^-произведением. Кроме того, если задано спаривание пучков fi X F2->- F3,
т.е. отображение F\® F2->- Гз, то композицию любого из
предыдущих спариваний с отображением, индуцированным F^/Y-»-
-*■ F3, мы также называем «^-произведением.
Замечание I.I8. Если тензорное произведение F\ ® F*
отождествлено, как обычно, с F<®Ft, то из части утверждения 1.1G,
214 Гл. V. Когомологии кривых и поверхностей
относящейся к единственности,следует, чтоYiwY2 = (~I)™Y2v-'Yi
для Yie/?7i/'i и \2^RS{^-
Замечания 1.19 (а) Для любых пучков F и G на A'et и любого
покрытия °U для X существует спаривание комплексов Чеха
C(<U, F)XC'(<U, G)-*C'(<2/, F®G),
которое сопоставляет /= (fi , \ е С (<U, F) и g = (gi Ле
eCs(<2/, G) элемент f^g с
a lr+s о r 'r r+s
Переходя к прямому пределу по всем покрытиям 1/ и взяв
затем когомологнн, мы получаем спаривание
Hr(X, F)XH*(X, G)-+Hr+s(X, F®G).
Когда когомологии Чеха совпадают с когомологиями,
определенными с помощью производных функторов, легко проверить,
что эти спаривания удовлетворяют тем же условиям, что н
спаривания из 1.17(а), а следовательно, совпадают с ними.
(Ь) Пусть С (F) — резольвента Годемана пучка F. В (43,11.6]
установлено существование канонического спаривания
комплексов
где F\ и F2—пучки в обычном смысле на топологическом
пространстве. Те же соображения показывают, что такие
спаривания существуют также и в нашей ситуации. Применяя функторы
Г(А", —) пли л» и взяв когомологии, мы получаем спаривания
Hr(X, Fl)XH'(X, F2)-+Hr+s(X,
Rrn,Fl X R\F, - ЯГ+Ч (Ft ® F2).
Легко проверить, что они удовлетворяют условиям
предложения 1.16, а поэтому совпадают со спариваниями 1.17(а) и
1.17(Ь). (Точного описания данного спаривания комплексов при
этом не нужно — достаточно знать его существование.)
Наконец, мы укажем, как извлечь определенное
w-произведением спаривание 1.17(а) из канонического спаривания для Ext.
Для любых пучков F и G на X существуют канонические
отображения
G-»Hom(F, F®G)
'(A", Hom(F, F®G))-^Exts(F, F®G),
§ I. Конструктивные пучки: спаривания 215
второе является краевым морфизмом в спектральной
последовательности
Hs (X, Ext' (F, F®G))=> Exts+' (F, F ® G).
Взяв композицию, мы получаем каноническое отображение
Hs (X, G) -*'. xt. (F, F ® G), а следовательно, и спаривание с
коммутативной диаграммой
Н%Х, F) У Н'(Х, G) ► Hri S(X,
Н%Х, F) X ExtJ (F,F ® G) > H"S(X, F ® G)
Предложение 1.20. Определенное выше спаривание совпадает
с yj-произведением из 1.17(а).
Доказательство. В соответствии с 1.16 достаточно
показать, что эти спаривания совпадают для г = 0 = s и что новое
спаривание «хорошо ведет себя» по отношению к коротким
точным последовательностям по G и по F. Первое очевидно, а
второе тоже легко проверяется, как только разъяснены
соответствующие отображения. Мы начнем с граничного отображения
для Ext.
Пусть А — абелева категория, которая имеет достаточно много
инъективных объектов, а 0->-Л->-в->-С->-0 — точная
последовательность в А. Можно так выбрать ннъектнвные резольвенты
А', В' и С" объектов А, В и С, что будет точна
последовательность 0->Л* —*■ В"-»-С'->0. Пусть Со— конус отображения
а, т. е. Са = В'ВА'[\] с
Существуют точная последовательность 0-► В"-► Са-> А'[1] ->0
и очевидное отображение Са-+С. Выписывая
когомологические последовательности, соответствующие этим двум
коротким точным последовательностям, мы находим, что Со—►С" есть
квазнизоморфизм. Так как последовательность Са ограничена
снизу и состоит из инъективных объектов, то морфнзм С'а-+С
имеет гомотопически обратный ([60, 1.4.5]), а потому
существует отображение С —» А'[\] (определенное с точностью до го-
мотопии). Граничное отображение Exf(D, C)-*-Extr-M(D, A)
есть просто композиция гомотопических классов отображений
D->C[r] с р[г].
216 Гл. V. Когомологии кривых it поверхностей
Опишем теперь отображение Н"(Х, G)-*~E\ts(F, F®G).
Пусть F' и (F&G)' — нпъектиппые резольвенты пучков F н
F®G, а С (G) — резольвента Годемапа пучка G. Ввиду 1.15
легко убедиться, что Т7® С (G) — резольвента для F ® G, а
потому существует отображение F ® С" (G) -» (F ® G)'. Элемент у
из Я'(Л", G) может быть представлен отображением Z ->
->C'(G)[s], индуцирующим отображение F-*F®C (G)[s]. Взяв
композицию, мы получаем отображение уГ: F—>(F ® G)' [s],
которое представляет образ у в Exts(/7, F ® G). Мы можем также
рассматривать yF как отображение /•" -> (Z7® G)" [s].
II наконец, пусть 0-*-F\ -*■ F2-+ F3-+ 0-- последовательность
пучков, точная и расщепляемая в слоях, а у2 ^ HS{X, G).
Диаграмма
коммутативна с точностью до гомотоинн. Рассмотрим некоторый
элемент Hr(F3), представленный отображением Yp Z -*■ F3[r].
Тогда
что и требовалось доказать.
Замечание 1.21. Когда X — открытое подмногообразие полного
многообразия, каноническое спаривание в Ext задает
спаривание, определенное через «^-произведение,
Н'ЛХ, F)XHS(X, G)->Hrc+s(X. F®G)
со свойствами, подобными указанным выше.
§ 2. Когомологии кривых
Всюду в этом параграфе X — гладкая проективная кривая иад
полем k. В следующей теореме мы пишем Exti/(/\ F') вместо
Теорема 2.1 (двойственность Пуанкаре). Предположим, что
поле k алгебраически замкнуто, а -п взаимно просто с char(&).
Тогда
§ 2. Когомологии кривых 217
(a) Для любой непустой открытой подсхемы U в Л
существует канонический изоморфизм r\(U): H\{V', шп) —* Z/(n). (//*
такое же, как и в III. 1.29.)
(b) Для любого конструктивного пучка Z/(n)-модулей F на
таком U группы Hrc(U,F) и Exty(F, pin) конечны для всех г и
тривиальны для г > 2; канонические спаривания
Н'с (U. F) X Ext2y-r (F, *я) -* Н] (U, цп) -1> Z/[n)
невырожденны.
Доказательство, (а) Укажем сначала изоморфизм ц(Х).
Напомним, что отображение степени
deg: P\c(X)-*Z
сюръективно, причем его ядро равно Jx(k), где Jx — якобиан X,
и что все элементы абелевоп группы Jx(k) делятся на п ((94,
с. 56]). Ввиду того что Н2(Х, Gm)=0 (III. 2.22(d), куммерова
последовательность приводит к диаграмме
2 п- > Z > j/(n) > О,
и «лемма о змее» показывает, что г\(Х) — изоморфизм.
Если UdX — открытая подсхема, то точная
последовательность (III. I.30)
где i — замкнутое вложение X—U <^~ X, показывает, что
H\{U, Шп)~* И2[X, щп) — изоморфизм, и мы определяем r\(U)
как композицию этого изоморфизма с г\(Х), так что r\(U)—
единственный изоморфизм, дополняющий следующую диаграмму до
коммутативной:
GJ ^^^ И\Х, <С„) -^ Z
218 Гл. V. Когомологии кривых и поверхностей
Если 1/с U с X, то, очевидно, диаграмма
коммутативна.
Нам понадобится также другое описание t\(U). Пусть
/: 2c»U — включение некоторой замкнутой точки в U, а
g: spec ft <^~ U — общая точка. Тогда Rsg*Gm, к = 0 для s > О
(теорема Тзеня III. 2.22) и ilgt = 0, и потому из спектральной
последовательности
следует, что (/?V) (gJGm. K) = 0 для всех г. Сходные
рассуждения показывают, что (/?V)ix.Z = 0 для всех s и всех замкнутых
точек ix: х<=^-Х, отличных от z, и (/?V)/,Z = Z, 0 coofeeT-
ственио для s= 0, ^ 1. Таким образом, из точной
последовательности
О ->Gm -*g,Gm. к -* Ф ixJZ -*О
мы находим, что /?si'Gm = 0, Z, 0 соответственно для s =» О,
1, > 1; спектральная последовательность
теперь показывает, что А/г W, Gm) — 0 для г Ф I и что существует
некоторый изоморфизм {,:Hlz(U, Gm)->Z. Если мы отождествим
^i(L/, Gm) с Hz{X,Gm) (теорема о вырезании (III. 1.27)), то
С — единственный изоморфизм, дополняющий следующую
диаграмму до коммутативной:
Г(Х - г, GJ > Щ(Х, GJ > НЦХ, Gm) ► Н\Х - г, Gm)
I" 4 1 I' ['
Т(Х - z, CJ) --^^-> Z ■» Pic (X) г Pic (X - г)
где Z-^Pic(A^) отображает 1 в класс дивизора г. Поскольку
отображение
Hl(U, Qm)(~Hl(X, <Эт))-+Н*(Х, Gm)
§ 2. Когомологии кривых 219
есть композиция
H[(U, Gm)-^lHlc(U, Gm)-tf'(*. Gm)
и так как t, — композиция
то мы видим, что r\{U)—единственное отображение,
дополняющее следующую диаграмму до коммутативной:
Я'(t/, G
/ДО,
(Ь) Для пучка F на подсхеме 6/ обозначим через q>r{U, F)
нли просто через ф'(^) отображение Exty~r(/r, Рп)^> Hrc(U, F)"
(" означает переход к двойственной группе), определенное
спариванием из (Ь). Доказательство будет разделено на несколько
шагов.
Шаг 1. Пусть л: U'-*-U—морфизм Галуа кривых; для пучка
F на V отображение q>r(U', F) является изоморфизмом тогда
и только тогда, когда qf(U, n,F)— изоморфизм.
Доказательство. Данное отображение продолжается до
конечного плоского отображения л: Х'-*-Х гладких проектшшых
замыканий V и U. Таким образом, этот шаг будет следовать
из 1.14, как только мы покажем, что диаграмма
коммутативна. Имеется коммутативная диаграмма
wo
ици,от)-—> Рк да
в которой отображение tr. Pic [X')-*- Pic (А") индуцировано
сопоставлением
220
Гл. V. Когомологии кривых и поверхностей
(По существу, коммутативность слслуот из равенства tr(div(/))=
= div(norm(/)).) Поскольку It- Pic (A'';-»- Pic (А') сохраняет
степени, требуемая коммутативность очевидна из первого
описания ц(0).
Шаг 2. Теорема справедлива, если носитель пучка F лежит в
собственной замкнутой подсхеме U.
Доказательство. Мы можем ограничиться пучками вида i*F,
где i: z <=~U — вложение одной точки. Тогда
Hrc(U, i l = Hr(X, jj.F) = Hr(X, i,F)~Hr{z, F) = 0
0. Итак, достаточно показать, что Exty(/.F, ди \ = o
= 1, ф 1
соответ( ур (а)), а /?5/У„ =
= Z/(rt), 0 при s = 2, Ф2 соответственно, то спектральная
последовательность
для
для s^=2. Поскольку Rsi{&m = Z, 0 при
ственно (см. доказательство утверждения
2
показывает, что
Hom,(F,
для i- ф 2.
Рассмотрим диаграмму
г
1-
Л°(г,г/(и)) =2/(п).
Все ее спаривания представляют собою канонические
спаривания в Ext, определенные в предыдущем параграфе (отметим, что
Нгг(и, G) = Ext[/(/.Z/(rt), G)), а два средних изоморфизма
внизу определены выше. Так как нижнее спаривание, очевидно,
невырожденно, остается доказать коммутативность диаграммы.
В том, что два верхних спаривания согласованы, можно
убедиться, интерпретируя все через Ext на X (например,Ht(U,ltF)->
-*H'c(U, i,F) заменяется отображением
§ 2. Когомологии кривых 221
индуцированным отображением Z/(n)-+i*(f,/(n)z));
согласованность двух нижних спариваний следует из функториалыюсти
по F отображения Exty (/,F, jpn) -> Нотг (F, Z/(/i));
коммутативность правого прямоугольника вытекает из второго
определения r\(U).
Шаг 3. Пусть V — открытое подмногообразие в U. Тогда
(fr(U, F) — изоморфизм, если <pr(V, F\V)— изоморфизм, а
отображение <pr+1(V, F\ V) сюръективно; <pr(V, F\ V) — изоморфизм,
если <pr(L/, F) — изоморфизм, а отображение фг~' (t/, F) ииъск-
тивно.
Доказательство. Пусть /': V <=^ U — данное открытое
вложение и i: Z <=^- U — дополнительное замкнутое вложение. Точная
последовательность пучков на U
О -> Fv -> F -* Fz -* О,
где Fv =} (F | V) и Fz = iJ*F, приводит к точной
коммутативной диаграмме
->...
Почти по определению Я^ (f/, Fy) = Ясг (V, F | V) и Exty (FK, jpB) =
= Extr^(F|V, />„), потому что функтор j* точен, сохраняет инъ-
ективность объектов и сопряжен слева к jr Кроме того,
отображение q>r(U, Fv) может быть отождествлено с <pr(V, F\ V) ввиду
согласованности отображений т)(К) и r\(U). Так как yr(Fz) —
изоморфизм для всех г (шаг 2), то лемма о пяти гомоморфизмах
влечет за собой доказываемое утверждение.
Шаг 4. Группа Hr(U, F) = 0 для л>2; следовательно,
Hre(U, F) = 0 для г>2.
Доказательство. Пусть g: spec К <=~ V — включение общей
точки. Рассмотрим некоторый конструктивный пучок Fo на
spec/C. По III. I.15 {R'g,Fo)i=Hs{Kx, Fo) для любой точки
ж е X, где /Сж есть поле частных строго локального кольца
точки х. Поскольку Кх = Кзер, если х — общая точка, то носитель
любого сечения RsgmF0 лежит в собственном замкнутом
подмножестве множества U для s > 0, и так как степень
трансцендентности поля Кх над (алгебраически замкнутым полем) k равна 1,
то по теореме Тейта ([124, теорема 28, с. 119]) Rsg,Fo = 0 при
s> 1. Таким образом, в спектральной последовательности Л ере
Hr(U, Rsg,F0)=*~ Hr+S(K, Fo) все члены слевл равны нулю,
исключая, возможно, случай s = 0 нли (г, s) = (0, 1). Так как
222 Гл. V. Когомологии кривых и поверхностей
Hr{K, Fo)= 0 при л > I [124, теорема 21], то это показывает,
что Hr(U, gwF0)= 0 для г > 2. Применяем последнее к Fo = g*F.
Ввиду того что носители ядра и коядра отображения F-+gtg*F
лежат в собственном замкнутом подмножестве множества U,
то Hr(U, F) = Hr(U, g*g*F) при r> 1, что завершает
доказательство первого утверждения. Второе утверждение есть
частный случай первого при {U, F) = (X, /,F).
Шаг 5. Если пучок F локально постоянен, то Exty (У7, щ\ = 0
при г > 2.
Доказательство. Очевидно, F псевдокогерентен, а потому
Ext^F, «ttn) = 0 при s >0 (III. 1.31). Таким образом,
Extr(F, щп) = Hr(U, HomiF, ifin)) = 0
для г > 2.
Шаг 6. Если фГо(^, Z/(n)) — изоморфизм, a q>r(U,
F)—изоморфизм для всех открытых подсхем U, всех локально
постоянных пучков F и всех г <. г0, то (fr°(U, F) также является
изоморфизмом для всех таких U и F.
Доказательство. Шаг 3 показывает, что <pr'(U, Z/(n)) —
изоморфизм для всех открытых подсхем U. Предположим сначала,
что пучок F постоянен. Тогда существует точная
последовательность
0-»F-»Fo-»F, —0,
где Fо — свободный пучок, т. е. имеет вид Z/(n)(J) ...
a F\ — постоянный пучок. Рассмотрим диаграмму
Так как <pr° (Z/(n)) — изоморфизм, то q>r°(F0) — также
изоморфизм и лемма о пяти гомоморфизмах показывает, что
отображение q/»^) сюръективно. То же рассуждение, примененное к
пучку F\, показывает, что отображение фг» (F]) сюръективно.
Теперь из леммы о пяти гомоморфизмах вытекает инъективность
Фг° (F). Если пучок F только локально постоянен, т. е. по 1.3(d)
существует конечное этальное отображение (которое можно
считать отображением Галуа) л; U'-*-U, такое, что пучок я*/7
постоянен, то мы можем включить F в последовательность
§ 2. Когомологии кривых 223
Ввиду того что пучок F\ локально постоянен, a <p°{njiF) —
изоморфизм по шагу 1, то, снова применяя лемму о пяти
гомоморфизмах, мы завершаем доказательство шага 6.
Шаг 7. Если пучок F локально постоянен, то отображение
q>r(L/, F) является изоморфизмом.
Доказательство. По шагу 5 yr(U, F) — изоморфизм для г <. 0.
При (U, F, r) = (X, Z/(n), 0) спаривание имеет вид
Z/(/i) X Я2 (X, щп) -» Я2 (Я, щп) ~ Щп)
и, очевидно, невырожденно. Таким образом, у°(Х,
Z/(n))—изоморфизм и доказываемое утверждение следует для г = 0 из
шага 6.
Пусть у е Я1 (X, Z/(n)), а п: X'-*-Х — накрытие Галуа,
соответствующее у (III.4). Тогда при отображения
Я1 (X, Z/(n)) -* Я1 (X, л.я-ZArt)) (= Я1 (X', Щп)))
Y>—>0, и легкий диаграммный поиск, исходя из точной
последовательности
О -» Щп) -»- n.n*Z/(n) -> F, -> 0,
показывает, что образ y при отображении
равен нулю, так что отображение <р' {X, Z/(n))~ инъективио, а
ФР(Я, Z/{n)) сюръективно. Более того, оно будет
изоморфизмом потому, что НХ(Х, Z/(n)) и Н1(Х, ря) имеют одинаковый
конечный порядок n2s (напомним, что Z/(n)«pn).
Следовательно, доказываемое утверждение для г= I следует из шага 6.
Для (U, F, г) = (X, Z/(n), 2) спаривание имеет вид
Я2 (X, Щп)) X Щп (k) -> Я2 (Л", <un) « Z/(n)
и, очевидно, невырожденно. Поэтому случай г = 2 доказан. При
г > 2 по шагу 4 отображение фг имеет вид 0—*• 0.
Докажем теперь теорему. По 1.8 существует открытое
подмножество V в U, такое, что пучок F\V локально постоянен, а
по шагу 7 фг(У, F\V) — изоморфизм для всех г. Отсюда по
шагу 3 yr(U, F)—изоморфизм для всех г. Наконец, нетрудно
убедиться по пройденным шагам, что из конечности группы
Hr{X,Z/(n)) (ср. с доказательством шага 7) вытекает
конечность групп Hrc(U, F).
Предложение 2.2. (а) Пусть X = speck{t), где k{t) —строго
локальное кольцо в начале координат прямой А* над алгеброй-
чески замкнутым полем k, г — замкнутая точка из Я, a F — кон-
224 Гл V. Когомологии кривых и поверхностей
структивный пучок /,/(п)-модулей на X для п, взаимно простого
с характеристикой поля k. Тогда существует канонический
изоморфизм г}; Н'г{Х, щ\ —-*• Z/(n), а каноническое спаривание
НГг(Х, F) X Ext2?"r(F, ftn)-*Hl(X, щп) « Z/(n)
невырожденно. (Ext берутся в категории S(.?, Z/(n)).)
(b) Пусть U, It, F и п те же, что и в 2.1, а, кроме того, пучок F
на U локально постоянен. Для любого открытого вложения
i
U <=♦ V с: X спаривания
H[(V, i,F)XH2-r(V, jmFU))->H](V, lfin) « Z/(n)
невырожденны.
(c) Для любой скрученной формы постоянного
конструктивного пучка F Qi-векторных пространств, l^char(k), на U<~X
и любого открытого вложения U <=^. V с: X спаривания
Hrc(V, j.F)XH2-r(V, jtF(l))-+H2c(V,Qt(\))~Q,
являются невырожденными спариваниями конечномерных
векторных пространств.
Доказательство, (а) Это можно вывести из 2.1, но если
интерпретировать X как spec Ox, i для некоторой кривой X и
F = FQ\X для некоторого конструктивного пучка Fo на X и
показать, что
Нгг(Х, F) = \\mHrc{U, F),
где пределы берутся по этальным окрестностям г.
Другое доказательство непосредственно Указанное
спаривание имеет вид, определенный в § I, потому что Нгг[Х, F) =
= Ext^(i.Z, F), где /': z <^~Я — вложение замкнутой точки. Как
и в доказательстве 2.1(а), мы можем показать, что ^r/Vn"""
= Z/(/i) для г = 2 и нулю в остальных случаях. Таким
образом, спектральная последовательность
дает изоморфизм
который мы возьмем в качестве ц.
.<$ 1. Когомо.югии кривых 225
Предложение тривиально, если носитель F сонпадаст v г
(ср. со вторым шагом при доказательстве 2.1), а поэтому мм
можем предположить, что наш пучок имеет вид jtF, где /: и <=♦
<=i*. Я — вложение общей точки и F — пучок па н, соотпетстную-
щий / = Оа1(6(«)5/£(«))-модулю М. Из точной
последовательности (III. 1.25)
О-//'(*, jtF)-+H°(X, /,F)-»//<>(«, F)- ...
и того, что Я строго локально, мы получаем изоморфизмы
Яг"' (и, F) -=* Н\ (X. //)
для всех г ^ 0. Кроме того,
Следовательно, мы должны показать, что спаривания,
определенные «^-произведениями,
Hr(l, M)XHl'r(I, Д})-//'(/, Z/(n))
невырожденны. Пусть /|С/ — первая группа ветвления.
Положим /' = ///[. Так как /| — про-р-группа, где р —
характеристика &, и модуль М имеет порядок, взаимно простой с р, то
спектральная последовательность Хохшильда — Серра
показывает, что Яг(/, М)= НГ(Г, М). Но (ср. с 1.5.2(е)) группа /'
порождена топологически одним элементом, а потому требуемое
утверждение тривиально [118, 1-31].
(Ь) Мы должны показать, что
Из спектральной последовательности
Hr(V, Ext'(I.F, nn))
мы вндим, что достаточно показать, что Hom(/»F, ipn) »j,F(1)
н Exls(/*F, ^я) = 0 для 5 > 0. Так как /.шп=цр„ и
Hom(/»F,/♦■«„) =/.Нот (F, ^in), то первое очевидно. Второе
может быть проверено локально относительно Ket. Поэтому и
обозначениях (а) и его доказательства достаточно показать, что
Exty (У,/7, №„)=0 при s>0. Но группа Ext| (/,F, ^n)
двойственна к
^-'(^. /.F),
и имеет место точная последовательность
0 -* А/°г (X, j.F) -+ Я° (X, /,F) -^ Я1 (Л" -z,F)-> Н\ (X, //) - 0.
8 Зак. 431
220 I'.i Г. Когомил1)гпи кривых и поверхностей
(с) Переходи к ппратному пределу в (Ь) и умножая тепзорио
па ч,, мы получаем (с).
Слкдствш- 2.3. Пусть k — конечное поле и п взаимно просто
с. char(6). Для любой непустой открытой подсхемы U в X
существует канонический изоморфизм т\ (U): H\ (U, щп) —*• Zf(n),
и Оля любого локально постоянного конструктивного пучка F
7,/{п)-модулей канонические спаривания
H[(U, F)XH*"(U, F(D) *H](U, Щп)—*21(п)
являются невырожденными спариваниями конечных групп.
Л ок а .ч а теп ьс тио. Пусть Г -— С jal (k.,/k), a a —
каноническая топологическая образующая группы Г. Для любого
конечного Г-моду.чя М «-кручения групп //°(Г, М) и Я1 (Г, М)
являются соответственно ядром МГ п коядром Мг гомоморфизма
а —1: М-+М п Н'(V, М)=0 для г ^ 2. Более того, если
М~ = Нош (/И, '7/{п)), то канонические спаривания
Нг(\\ /М)Х//'~Г(Г. лО->//'(Г, Z/(n)) « Z/(n)
неимрождеппы.
Пусть Я = X®kks и О = U ®kks. Спектральные
последовательности Хохишльда — Серра для Х/Х и 0/11 (III. 2.2I (b))
дают короткие точные последовательности
0 - > //' ' (О, F)V > He (U, Г) > We (U, F)r -> 0,
0 >ИГ [(U, F)r->W(U, F)->W{U, Ff-*0.
U частности.
чго определясч т](^У). Для доказательства следствия достаточно
проверить, что следующая диаграмма коммутативна (а затем
применить лемму о пяти гомоморфизмах):
о ___, (н>-'{п, f\i)YT —» ю-iu, ЛОГ —»(H2
Замечания 2.4. (а) Пусть fV/fr, /; п п те же, что и в 2.1, и
подсхема U аффнпна. Для некоторого вложения /: V <^~U пучок
Г\ V локально постоянен, а тогда но 2.2 (Ь) группа H2(U, jt(F\V))
двойственна к группе 1ГС (U, }щ (Г \ 1')(!)). которая тривиальна,
§ 2. Когпмологчн кривых 127
потому что собственное замкнутое подмножество схемы U не
может быгь носителем никакого сечения пучка j,(F\V) (ср. с
III. 1.29(а)). Так как размерность носителей ядра п коядра
отображения F-*-jj*F равна нулю, то H2(U, F) = 0. Отсюда но
1.10(b) H2{U, F) = 0 для любого пучка кручения F с порядком
кручения, взаимно простым с характеристикой поля k.
Предположим теперь, что U — произвольная (необязательно гладкая)
аффинная кривая над k, a F, — как и выше, пучок кручения на
U. Отображение нормализации л: U'->~U конечно, откуда
Hr(U, nXF) = Hr(U', n'F) = 0
при г^2. Так как носители ядра и коядра отображения F—►л.л*/-"
лежат в множестве особенностей кривой U, то llr(U. F) = () при
/-;== 2.
(о) Напомним, что скрученно постоянный конструктивный
пучок F Qz-векторных пространств на V соответствует Л|((Л »)-
модулю Fa и что H'\U, F) = (F,-,)n (£Л "'. Предложение 2.2(с)
может быть использовано для получения подобного же точного
описания для H~C(U, F), а именно
Hl(U, F) = H°(U, /?(l)f = (FH(1 )f~ = (/■'„)„, (-П,
где ' означает Qi-лппейную двойственность, а (Гй)п,
—наибольший фактормодуль модуля Fu, на котором п\(11, п) действует
тривиально. (Для того чтобы установить двойственность
(Vn') =(V )ni, заметим, что пространство инвариантов 1/Л и
пространство коинварнантов Кл, обладают очевидными
свойствами универсальности относительно отображений и что V*—>V~
определяет автоэкпнвалентность категории конечномерных Q,-
векторпых пространств, на которых непрерывно действует Л|.)
(с) Напомним (II. 3.17), что если U — схема над k, k' —
чисто песепарабельное расширение поля k w С:'=и<8*к', го
функтор V<~*■ V = VX.uU' задает эквивалентность между
категориями этальных схем над U п V соответственно. (Это также
вытекает из 1.3.23 и теории спуска, так как U®kk' япляетси
замкнутоЛ подсхемой в 6/'®*^', определенной тпьпотентпым
идеалом. (Таким образом, функтор F*—*F'=F\U' устапап.щ-
вает эквивалентность категорий S (L/Cl) ->S {U'\.}
Из этого мы можем заключить, что предыдущая теорема и
следствия имеют место, если поле k лишь сепарабельпо
замкнуто. Действительно, пусть подсхема U а X определена над
таким полем k, и пусть k' = kai и U' = l)®kk'. Тогда F*—^F'
отображает конструктивные пучки па U и конструктивные пучки
на U', ivn ,, в щп и и (7/{п))и в (Z/(n))rr. Таким образом,
HUH', F') = Hrc(U, F), Extw (F'u ^) = Ехй(Г,, /^), откуда поло-
228 Гл. V. Когомологии кривых и поверхностей
дуст донизываемое утверждение. (Замечание: при применении
рассуждений типа приведенных выше нужно быть
осмотрительным — например, &тф0т.)
(d) Артип и Вердье доказали теорему, аналогичную 2.3, в
случае, когда X— спектр кольца целых числового поля. Она
утверждает, что существует канонический изоморфизм х\:
Н3(Х, Gm)-*-Q/y" (по модулю 2-кручения) и для всякого
конструктивного пучка F спаривания
Н'(Х, F)XExtiTr(F, Gm) - Н\Х, G,n)-^
являются невырожденными спариваниями конечных групп (по
модулю 2-кручеппя). Доказательство, по существу, является
более топким вариантом доказательства 2.1, использующим
теорию полей классов. Обсуждение этой теоремы можно найти в
(87], а формулировку обобщения, найденного Артпном и Мазу-
ром, — на стр. 240 в [86].
(с) Артин и автор усилили 2.1 до теоремы, в которой
рассматриваемый пучок может иметь р-кручение, где р = char(6)=7t
^=0 ([15]).
(f) Спаривание, заданное ^-произведением,
Я1 (X, щп) X Я' (X, №„) -» Я2 (X, №(1 ® та) ~ vn (k)
совпадает с е„-спариваняем Jn(k)X-!n(k)-+ щп{к). (Определение
<?п-спаривания см. в [94, § 20], а совпадение — в [55,
двойственность, § 3].)
Следующая теорема — переформулировка известного
результата Л. Вейля. Для любого морфизма ср: Х-+Х мы обозначаем
через 7>/(<р) след индуцированного отображения Hr(X, Q/)->-
—* II'{X, Qi). Напомним, что если к алгебраически замкнуто, то
Я1 (X, Q, (1)) - V, (Jx (А)) = Нот (Q,/Zh J (k)) ® ZlQt
tP(X,
Tkoprma 2.6 (формула следа Лефшсца). Предположим, что
по.w k алгебраически замкнуто. Пусть <(•: ,Y --X — непостоянный
морфизм, а (Г,, • Д) — алгебраическое число его неподвижных
точек (где Г,, —график, (р, а А — диагональ в XXX). Тогда для
любого \Ф char(£)
Доказательство. Заметим сначала, что 7V°(<p)=l. Так
как
§ 2. Когомологии кривых 220
7Yj(<p) является также следом эндоморфизма //'(Л", Q,(l)),
определенного ф. Таким образом, ввиду того, что //' (.V, i,l (I)) =
= Vl{J(k)), 7>{(<p)может быть отождествлен со следом
эндоморфизма /(ф), определенного ф.на / [94, с. 212]. Так как ф
умножает степень дивизора на deg^), то Trjiq.) = deg (ф).
Следовательно, мы должны показать, что
НО
рема
(Гф • Д) = I - 77 (J (Ф)) + deg (ф),
это частный случай равенства о(Х)=Тг(т) [80, VI, тео-
а 6]. (Иное (?) доказательство см. ниже, в § VI. 12.)
Следствие 2.6. Пусть k = Fq, a F: X -+ X — эндоморфизм Ф/ю-
бениуса кривой X = X ®*&s. Тогда дзета-функция Z(X, t)
кривой X равна
Pi{X,t)/P0(X,t)P2(X,t),
где РГ(Х, t)= det (1 — Ft\Hr(X, Q,)) (при любом / =И= char(A-)).
Доказательство. Напомним, что дзета-функция Z(.V, /)
представляет собой формальный степенной ряд
где vrt(A")—число точек кривой X с координатами в ^
Под F понимается Аморфизм FX/k® 1, где Fx/k есть 6-морфпзм
Х-*-Х, тождественный на X как на топологическом
пространстве и являющийся возведением в ^-ю степень па пучке Ох- Он
действует на кривой X(ks) возведением координат точек в 17-10
степень. Очевидно, что v,,(A")—это число неподвижных точек
отображения F": X(ks)-J>-X(k,). Но это также алгебраическое
число неподвижных точек морфизма Fn, потому что каждая
точка из Трп ■ А появляется с кратностью один. (Если л —
локальный униформнзируютпй параметр в точке .v из .V0. которая
неподвижна при Гп, то кратность (.v, .\г) в 1'/;п • Л есть порядок
нуля отображения nq —л в х.) Следовательно, по 2.5
vn (X) = Tr] (Fn) - Tr\ (Fn) + Tr] (Frl),
и требуемое вытекает нз следующей леммы.
Лемма 2.7. Пусть а — эндоморфизм конечномерного
векторного пространства V. Тогда
log (det (1 -о/|V)"')™ £ Tr(an\V)ln/n.
п>0
'230 Гл. V, Когомологип кривых и поверхностей
Доказательство. Если V имеет размерность один и а
дейамует как умножение на а, то данная формула сводится к
ранепству
Ч-
Общая формул;) является суммой dini(V7) таких тождеств, в чем
можно \ оедпгы'я, ныПнрая такой 6a;inc n V, для которого ма-
ipniui ч треугольна.
Предположим теперь, что поле k алгебраически замкнуто, а
X - - ф.чкгоркрииаи X = Y/G гладкой проективной кривой Y по
конечной группе автоморфизмов G; это значит, что поле k(Y)
являемся расширением Галуа поля k(X) с группой Галуа G п
У — нормализация кривой А' в k(Y). Группа G действует на
//' (Y, ;ч/(1)) = Vt(Jy(ft)) и 2.5 дает нам возможность
определить характер этого представления. Пусть Gu — группа
разложения, соответствующая замкнутоГ) точке у кривой Y, т. е.
О„— {о е= G\ уа = //}. Для любого аф 1, o^Gy, мы
определяем ь((т) как порядок нуля отображения сг(л) — л в у, где л —
локальный упнформпзпруюгдпй параметр в у. Эквивалентным
ооралом. i,i(n) есть кратность [у, у) в IV/\. Характер Лртина
а,/. Су-*, определяется формулами
я» (<*) = —«4, (а), а =£ !.
ag(l)= S h(°)-
Известно ([111, 19]), что характер аи можно реализовать как
характер представления группы Gv в пекторном пространстве
над полем Qi при любом / Ф char(A;). Очевидно, ау ф 1 тогда и
только тогда, когда отображение Y-*-X разветвлено в у.
Характер а„ группы Gv индуцирует характер группы G, называемый
характером Артина ах группы G ъ х, где а- — образ точки у на А".
Легкое вычисление показывает, что
ах(о) = — £ iy(a)= S "у (о), оф\,
И у* х у у* х
Ох(П = - S ах(о),
где мы положили i,,(a) = Q =аи(а) для a^G,/. Таким образом,
я( .чавпент только от ,v. Обозначим через г характер регулярного
представления G, такого, что г(а) = 0 для а ф 1 и r(l) = [G].
Слг.дствш- 2.8. Характер \\> представления группы G на
//'(У. Qi) задается формулой
где g\ -род кривой X.
§ 2. Когомологии кривых 231
Доказательство. Если аф\, то ? 5 утверждает, что
2 —i|i(ct)= Г„.Д, где
(Го-Д)= £ iy(o)=- Z а.Л°)-
Если 0= 1, то эта формула является просто формулой Гурпиил
- 2 = л (2gT - 2) + deg (Dr v),
так как >f>(1) = 2gr, г(1) = л ранпо степени У—Л' и лнекппмп
нант Dr/л- равен ^ах(1)х ([117, IV. 1, предложение 4| и [(И,
IV. 2.4]).
Замечание 2.9. Пусть /lv — некоторый Q, [G,,] -модуль, 1Ф
=^=char(£), характер которого есть а,,, а .4., — нпдунпроиапньп!
Qt[G] -модуль, так что соответствующее представление па Л,
имеет характер ах. Предыдущее следствие показывает, что
Ё[ xl\- Z [Ах],
где [*] обозначает класс конечно порожденного Q/[(7|-модуля
в группе Гротендика /??г(С) категории таких модулем.
Ниже мы докажем формулу (полученную Гротепднкоч п
общем случае и Оггом и Шафаревичем в ручном случае),
выражающую характеристику Эйлера — Пуанкаре конструктивною
пучка Fi-модулей при /=?*= char(^) в виде суммы локальных
членов. Как п выше, пусть k—алгебраически замкнутое ноле
характеристики р, а X = Y/G — факторкрнвая, где G — конечнпя
группа автоморфизмов на Y. Для любой точки у из У0 характер
Суона ру: Gy-*■'/. определяется по формуле
где a,i и u,j — характер Артпна и характер аугментации группы
G,, соответственно. Известно ([111, 19.2]), что существует
единственный проективный 'Т, [Gy]-модуль Ру, характером которою
является рч. Характер Суона в точке у является нулем тогда п
только тогда, когда У-*-Х имеет ручное ветвление в у.
Пусть F — конструктивный пучок Тгмодулсп на .V, СфсЬ/лУкк),
п предположим, что F\Y—постоянный в общем пучок, т. е. ее;;;
g: i\-*-X — общая точка кривой Л', то представление группы
Ga\(k(X)s/k(X)) на слое F^ пропускается через G --
= Ga\(k(Y) /k(X)). Для заданного пучка F легко найти
подходящую кривую Y. Действительно, мы можем взять в кмчепт-
Y нормализацию кривой X в некотором достаточно большом
конечном расширении Галуа поля &(Л'). Для любой точки .ve.\°
'232 Гл. V. Когомо.ю.'чш кривых и поверхностей
мы определяем кондуктор дпкпгп ветвления пучка F в х как
дли любой точки i/еУ, отображающейся в х. (Здесь
dim = dirnj-,.) On обладает следующими свойствами ([121,19.3)
и [117, VI]):
(a) не зависит от выбора точки у (легко установить);
(b) не зависит от выбора кривой Y;
(c) аддитивен, т. е. из точности последовательности
вытекает равенство ax(F')-{- ax(F") = ax(F) (так как модуль
Ри проектнвеи);
i"\
где Go = Gy, G,— высшие группы ветвления п g, = [G,]; в
частности, ax(F)—0 тогда и только тогда, когда Рц имеет ручное
нетвлеппс в д-, т. е. G\ действует тривиально на F^;
(с) если F = n,F\ где л: X'-*■ X — конечное отображение,
такое, что &(А") сепарабельно над k(X), то
где Dx'>x — дискриминант Х'/Х. (Это следует из [117, IV. 2,
предложение 4].)
Кондуктор (точнее, его показатель) пучка F в х определяется
формулой
сх (F) = dim Ff, — dim Fx + ax (F),
где Fx — слой F в x.
Лг.ммл 2.10. (a) dimfx=S (—l)r dim//;(*, F).
Если F zz g*g*F, то
(b) d\mFx = dim (F?y) для любой точки у, отображающейся
в х\
00
(c) cv(/-')—Z tf,/gf, dim (F^/F?') в обозначениях
предыдущего замечания (d);
((1) fr(F) = O тогда и только тогда, когда слой F^ неразвет-
олен над х, т. е. G,, действует тривиально на F^ для одной (или
любой) точки у, отображающейся в х.
§ 2. Когомологии кривых 233
Доказательство. (Ь) очевидно, (с) следует из (Ь) и
свойства (d) кондуктора ах и (d) следует из (с), так что
остается доказать (а). Пусть X = spec Ох. х. и пусть R — поле
частных кольца Ohx х. По теореме о вырезании HrK(X, F) «*
ж Н°Х(Х, F), и имеется точная последовательность (III. 1.25)
0-*Hl(X, F)-*H°(X, F)-+H\K, F)-+Hx{X, F)->....
Так как К строго локальна, то Н'(К, F) = 0 для г > 0, в то
время как Н° (X, F) = Fx. Поэтому
£(-l)rdimtf;(X, F) = dimF,- £ (-I)' dim Hr(R, F).
Пусть / = Gal (Ksop/K), /i с/— первая группа ветвления и
/' = ///1. Поскольку l\ — про-р-группа, из спектральной
последовательности Хохшильда — Серра получаем изоморфизмы
Hr(K, F)~Hr{l\ F{,') для всех г. Но (ср. с 1.5.2(е)) группа
I' ~ IT Zi топологически порождена одним элементом а. От-
сюда следует, что ([117, XIII. 1]) Н°(К, F) и Я1 (Я, F) суть
соответственно ядро и коядро гомоморфизма F^—*■ F^, тогда как
Hr(K, F) = 0 для г > 1. Так как Ff, конечен, это показывает,
что
Замечание 2.11. Если F = g*g*F и порядок Gy взаимно прост
с I, то cx(F)= dim Homo (Ах, F^), где А'х — решетка п Ах.
Действительно, ри = ау — гу + 1, откуда следует равенство
[Ру ® Q,] = [Л,] - [Q, [О„]] + [Q,]
в Rr>t(Gy) и ([111, 15]) равенство
[Ру//Р„] = [Л^ | /Л;] - [F, [Gy]] + [Fi]
в Rs-t(Gy). Таким образом,
dim Homo (Лх, F^) = dimHomG (a'u, Z7^) =
-dimFjf/ЯШ, 15.5]) = cz(F)
в соответствии с 2.10(b).
Теорема 2.12. Для любого конструктивного пучка F
f,-моделей на X
F)£(I
234 Гл. V. Когомологии кривых и поверхностей
при условии, что /=^=char(6) и поле к алгебраически замкнуто
(g — род кривой X).
Доказательство. Сначала нам понадобится лемма.
•Лг-.мма 2.13. Пусть л: Х'-*-Х — конечное отображение
кривых, причем поле k{X') сепарабельно над k(X); теорема 2.12
справедлива для пучка F' на X' тогда и только тогда, когда
она справедлива для F = n,F' на X.
Д о к а з а 1 е л ь с т в о. Поскольку функтор л» точен, %(Х', F')=
= i(X, F), и для любой точки х е А'0
I E(-l/dim//',•(*'. F')= I(-l)r dim Hrx (X, F).
r
Таким образом, мы должны показать, что если S cz Y —
подсхема ветвления кривой Y/X, то
(2 — 2{>) dim /-'п — 2j (а* (F) ~\~ dim /-"fi) =
X <= It (i)
= (2 - 2g') dim /-; - I (аж. (f) + dim Q.
Поскольку dim /ril = deg л dim Fr\ и 2 — 2g' = (2 — 2g) deg л +
-\- <\сц[1)\'1.х) ||() tj)opмуле Гурвица, то это следует из свойства
(е) кондуктора а.
luvui носителем пучка F является собственная замкнутая
подсхема /: 7. с-, X и А.'то х(Х, F)= dim//°(Z, t*/7), ffi =0, cx(F) =
= 0 при л• ^ Z и f.v(/;) = dim/7* = dim //"(л;, t'F) при x e Z.
С.к'дшкпе.чык), и этом случае теореми очевидна. Ввиду того что
обе стороны проверяемого равенства аддитивны по F, мы можем
в ociaiuiicfini части доказательства предположить, что F =
Зафиксируем теперь кривую Y, такую, что А' = Y/G, и рас-
cMoipiiM только те пучки F, для которых /' = g*g*F и /^| У —
постоянный в общем пучок. Соответствие F+->■ Ft\ индуцирует
гжнпвалептпость между категорией таких пучков и категорией
конечных >Уt \(j\ -модулей. Поэтому каждая сторона
доказываемого равенства определяет гомоморфном Rrl{G)-*Z. Для
доказательства совпадения этих гомоморфизмов достаточно
показать, что они совпадают па множестве образующих кольца
R,\-[((j) "-'Hi даже (ввиду того, что i'\ не имеет кручения) па
множестве образующих кольца Rpl (G) ® Q. Но известно, что
Ry: (Y/.i СЪ Q порождено классами вида [ind^M)], где Я пробе-
raei циклически'1 полгруппы группы G порядка, взаимно
простого с /, п 111clа ( W) есть С7-модуль, индуцированный Я-модулем
М. (Теорема Лрпши ([111, 12.5]) показывает, что кольцо
§ 2. Когомо.ю.'ии кривых 23."
RK(G)<%i lj порождено {lndo(,W)}, где группа // ппк/м^л < ;с:я.
когдя Л' имеет характеристику нуль; в (121, lf>.I, теоргма o.3|
это распространено на характеристику /; наконец, п |1:Ч. S3.
предложение 26] показано, что циклические группы i:■ s;»>:.т.кп.
делящегося на /, ничего не привносят.) Таким оПралом, мы
можем предполагать, что F^ имеет такой пнд, т. с. Г,-, = Inrl,,(.W).
Если X'— Y/H и л' — морфизм Х'-+Х, то Я = л>", где Г—
единственный пучок на X' с F^ = М п F = #.# F . Ввиду
доказанной леммы достаточно установить теорему для F', т. с. мы
можем предполагать, что X = Y/G, где G— циклическая группа
порядка, взаимно простого с /, н кривая Y такова, что Я11 V —
постоянный в общем пучок.
Пусть А'х — решетка в модуле Ах. Применяя [121, 15.2| к
2.9 и замечая, что Ах и двойственный к нему моду/и,
Homrj( (Ax, Q() имеют один и тот же след, мы получаем, что
r=0 .t e=. .V
в /?!F, (G). Мы можем умножить это равенство тсторно па F,,
if получить равенство
= (2 - 2gx) [F, [G] ®гД1 - ZJНот,, (Л', F,)]
в /?iT, (G). Поскольку G имеет порядок, взаимно простои с /,
Hr(G, N) = 0 при г > 0 и любом If, [G] -модуле /V.
Следовательно, H°(G, —) точен и определяет гомоморфизм Rri(G) -*
_^.^f;(l)^Z. Применяя его к последнему равенству, мы находим.
что
Ввиду 2.11, для того чтобы завершить доказательство, мы
должны показать, что левая часть предыдущего равенства равна
Z(-lY[Hr(X, F)].
Пусть F — постоянный пучок на Y, определенный Ft-пектор-
ным пространством /> Отметим, что Н' (Y, F,) ® Ffi —" ЯГ(К, F)
236 Гл. V. Когомологаи кривых и поверхностей
(это легче всего заметить на группах кш'шологпй Чеха) и что
И' (У', Г) —- Hr{X,nJ:), поскольку крпипя Y конечна над X.
Имеемся естественное действие G па л./-': для любого открытого
множества (.', этального над X,
V{U, nJ) = V(UXY, F)-^ Г (U X Y, F,) ® Fb
и определим действие G иг модуле Г (U X У, F/) ® ffi через его
действие па У и на F,--. Это действие индуцирует действие
группы (7 па НГ(Х, л»Г), и очевидно, если интерпретировать группы
когомолопш как чеховские, что Hr(Y, F,) ® Ffj —>■ Hr (X, nj:)
является изоморфизмом G-модулеп. Кроме того, F —*• (n,F)°.
Так к?]к fi[G}= IF/ ®(ст— 1) !f'/[G], где элемент а порождает G,
операция взятия G-ппвариаптов коммутирует с каждым
аддитивным функтором. Поэтому НГ(Х, л,/)0 « Hr(X, (ntF)°)&
ss II'(X, F), п доказательство завершено.
Следствия 2.14. Если F и F' — конструктивные пучки
§гмодулей на Хе\, которые локально изоморфны, т. е. F\Ui£z F'\Ui
для всех Ui в некотором покрытии схемы A"ei, то %{X,F) =
Доказательство. Нужно лишь проверить, что cv(F) =
= cx(f) для всех замкнутых точек .veX, а это несложно.
Замечания 2.15. (а) Делннь частично распространил 2.12 на
высшие размерности. В частности, 2.14 справедливо для любого
собственного многообразия.
(I)) Пусть Ак — абсчепо многообразие над K=k(X), a A —
сю минимальная модель Нерона нал А'. Тогда теорема 2.12
может быть использована для того, чтобы показать ([102]), что
Hl(X, A)(l)**(Q,/7.l)r't£>M,
причем М—конечная группа и
g-2)+ £ сх(А°),
х <= .V
где г = rankz(>l (К)/В(К)), В = Д'/А-слсд Ак, d0 — размерность
В, d— размерность Ак, g— род кривом А' и At =ker(/ '• А" ~> А )
(Л" — максимальная открытая подсхема схемы А со
связными слоями). Гротендик [58, IX. 4.G] показал, что ax(At) не
зависит от / (/ взаимно просто с char(6)). Легко видеть, что
ручной кондуктор рх(Л) = cx(Ai) — а.х{А1) равен 2Я.+ Ц, где
}. — число экземпляров G,, в композиционном ряде для Ах и
ц — число экземпляров Gm; поэтому оп не зависит от /. Отме-
§ 2. Когомологии кривых 237
тим, что если А— абелева схема над р|, то из г + ra ^з 0
следует равенство d = d0 и, значит, Ак изогенно B®t,K.
(с) Если предположить, что справедливы теоремы гл. VI, то
становится возможным получить из них формулы для
характеристики Эйлера —Пуанкаре семейства многообразий. Пусть
л: Y->-Х — собственное отображение со связными слоями.
Пучки Fr = Rrnwfi конструктивны (VI.2.1), и спектральная
последовательность Лере для л показывает, что
х(У, /) = х(У, р,)=£(-1)гх(*. П.
Г
Таким образом,
%(Y,l) = x(X, /)х(Уч, 1)-Ц(~1)гсАП (согласно 2.12) =
В частности, если морфизм л гладок, то это означает, что
ХО\ O = XU, /)Х(^, /) (согласно VI. 4.2),
т. е. характеристики Эйлера — Пуанкаре перемножаются, Если
char(fc)= О,
X(Y, 0=Х(*„ ШУъ Q+T,(xiYx, l)~X(Yn, О)-
(Топологическое доказательство последней формулы см. в [21,
VI.4].)
Эти формулы используются только тогда, когда можно
вычислить члены
Когда Y = А является полной минимальной моделью Нерона
абелевой кривой Ак над K = k(X), формула Огга — Тента
показывает, что cx(Y/X) могут быть выражены через ord^(A) и п.
где А — дискриминант минимального уравнения Вейерштрассл
кривой Ак/Ох,х и л —число компонент в Ах ([100]) а копа
Y—гладкая поверхность и слои л имеют только изолированные
особенности, как показал Делинь,
cx(Y/X)= Z \i(Y/X,y),
у и х
где \i(Y/X, у)—число Милнора поверхности Y/X в точке у,
особой в Yx ([58, XVI]). См. также [70].
(d) Пусть Хо — полная гладкая кривая над конечным по.чем
ko, a F—пучок Fj-модулей на А"о, такой, что группы Н'(Х, F)
конечны, где Л = Хо ® k, k = ko,,»P (например, F конструкта-
Гл V. Когимологии кривых и поверхностей
пен). Тогда непосредственно из спектральной последователь-
пост Хохшп.и,да Ссрра для Л'/Xj следует, что х('^о. /■') = О
(С|). с докамательстпом 2.3). Тент доказал аналогичный
результат, когда А'о — спектр кольца целых в числовом поле. См. в
[12(5, теорема 2.2] формулировку этой теоремы, а в [19] — ее
доказательств.
Теперь мы дадим интерпретацию 2.12 в терминах ручной
фундаментальной группы. Пусть ИфХ—плотное открытое
подмножество в А'. Обозначим через я| ручную фундаментальную
группу n\(U, r\) (I. 5.2 (е)). Таким образом, Я| = Gal (Kt/K),
где Ki является объединением полей L, К с= L cr k(r\) = Ksep,
которые конечны над /( и таковы, что нормализация XL кривой
А' в L перазветвлена над U и имеет ручное ветвление над X— U.
Существует точная последовательность
1 -> я» -> nx(U) -> л,' *1,
где п"с" = 1, если спаг(/г) = 0, и л^1 не имеет конечных фактор-
гру юрядка, взаимно простого с р, при char(^) = р ф 0. Y\o-
ложпм X, = lim XL п Ut = \imUL.
<— ■< —
JIi-mma 2.16. Если F — конструктивный пучок 7,/(п)-модулей
на U (п взаимно просто с char(6)), такой, что F\Ut постоянен,
то Hr(U,, F\U,) = <S для г>0.
Доказательство. Так как If(Ut, F) = lim HT (UL< F), то
—>.
2.4 (а) показывает, что Hr(Ui, /7)=0 при г > 1. Поскольку пучок
F\U, постоянен, то Я1 (Ut, F) = Нот(л;", ^) = 0.
JIi ыма 2.17. Пусть F—пучок на U, удовлетворяющий
условиям леммы 2.16, а М обозначает слои Ff\, рассматриваемый как
щ-модуль. Тогда Нт (я|, М) = Hr (U, F) для всех г и Нг (л[, м)=
= 0 для г > 1.
Доказательство. Предыдущая лемма показывает, что
спектральная последовательность Хохшнльда — Серра Нг{л\,
!Г(и„ F))=>Hr+*{U, F) задает изоморфизмы Hr(n\, Af) «
«=//'((/, F). Второе утверждение леммы следует из первого
и 2.4(а).
Ti-opp.ma 2.18. Д.1.ч любого конечного п\-модуля М порядка,
взаимно простого с char (Л),
где s — число точек а X— U (и {*] означает порядок *).
§ 2. Когомологии кривых 230
Доказательство. Ввиду того что обе части формулы
мультипликативны по М, мы можем предположить, что модуль
М аннулируется некоторым простым / и тем самым является
Ггмодулем. Пусть Fo— пучок на K = k(r\), соответствую i\
модулю М, и F = gmF0. Тогда Нг(п\, М) = Hr(U, F\U) для всех
г. Из точной последовательности
0 - 0 Hi (X, F) -» Н" (X, F) -* Н° (U, F) ->
л,- е -V - U
- 0 Н\{Х, F)>...
мы получаем, что
X(U, F\U)=%(X, F)- £ S(-l)rdimWi(X, F).
xe X-U r
Так как М = F^ имеет ручное ветвление по всем д- &е Л'.
ax(F)= 0 для всех х, а поскольку М неразветвлеи во всех .vety,
то Cx(F)=0 для ле(/. Следовательно, 2.12 показывает, что
X(U, F\U) = (2 —2g) dim М— Ц dimM =(2 - 2g — s)dim-W,
и это мавершает доказательство.
Замечания 2.19. (а) Записываем дополнение X—U в виде
{,\"i, ..., xs}. Гротенднк показал ([47, и. 182, с. 27] пли (53,
XIII. 2.12]), что л{ =л[(А' — V) имеет 2g + s образующих u\, vit
и2, t>2, ..., ug, ve, oi, ..., as, таких, что
(i) и,»,!*,"1»,"1 . . . ugvgu^ lvg1ol ... as = \ и
(ii) a,; порождает ручную группу инерции XJX в .v! e Jf, для
подходящего выбора точек х\, отображающихся в Xi. Кроме
того, для каждой конечной группы G порядка, взаимно
простого с р, и элементов щ, и,-, дт этой группы, удовлетворяющих
предыдущему соотношению, существует единственный
гомоморфизм n\->G, отображающий м,- в н,-, и,- в vt и ат в am. Отметим,
что, если s = 0, это, по существу, I.5.2(j), а если g — 0, из
1.5. 2 (f) легко вывести, что а, порождают Л] (н.ч заключенного
в скобки замечания следует, что любые s— 1 из этих а,
порождают л,).
Теорема 2.18 показывает, что для каждого конечного
я[-модуля М порядка, взаимно простого с сЬаг(Л), и любых
элементов п\ п2й+$-\ ^ М существует единственный 1-коцпкл /
на я[ со значениями в М, такой, что
Действительно, отображение
21(1 /".?. Г. Когомологии кривых ч поверхностей
очеипдпо, является пиъективным, а потому
причем равенство имеет место тогда н только тогда, когда
отображение а сюръектпвпо. Таким образом, 2.18 показывает,
что а — изоморфизм.
(Ь) Нетрудно непосредственно показать, что предыдущее
отображение а — изоморфизм, и затем обратить приведенное выше
соображение, чтобы вывести 2.18, т. е. получить снова слабую
форму теоремы 2.12. Этот подход, использующий структуру л{,
и есть первоначальный подход, примененный независимо Ша-
фаревнчем [ПО] и Оггом [99].
Упражнение 2.20 (формула Лефшеца для постоянных
коэффициентов). Пусть U — открытая подсхема в А", и предположим,
что поле k алгебраически замкнуто, а п взаимно просто с
h)
(a) Покажите, что группы Hrc(U, Z/{n)) являются свободными
Z/(/?)-модулями при всех г.
(b) Пусть ф ф id — некоторый эндоморфизм кривой А",
относительно которого инвариантны U и /V — U. Предположим, что
неподвижные точки <р имеют кратность один, т. е. что ГФ пере-
2
секаст Д траисверсалыю. Покажите, что Z (—1)Г7> (ср | #£(£/,
Z/(ra))) равно числу неподвижных точек ср в U (mod л).
Упражнение 2.21 (L-ряды Лртина). Пусть Y—полная гладкая
кривая над конечным полем k= Fq, G— конечная группа &-ав-
томорфпзмов па Y и X = Y/G. Для произвольной точки у ^ Y0
обозначим через Gy и 1У группы разложения и инерции в у, так
что имеет место точная последовательность
По/южпм ?= Y0,tk, где к = ka\. Тогда группа G действует на
у и y/G = X = X ® к.
(а) Покажите, что Gy = {а\ для несх у е ?°,
отображающихся в у, t]o=Fn(y) при некотором п) и 1У = {а\ для всех
jeF0, отображающихся в у, уо = р}, где F: ?—Р —
отображение Фробспнусп (как в 2.6).
Обозначим через fy каноническую образующую группы
Gi\\(k(y)/k(x)), т. с. fy (а) = a*de?l;". Мы можем отождествить
[„ с элементом ип О„/1„. Пусть Q — некоторое поле, содержащее
О/ (/-f ц), а р: O-yAuiu {V)—конечномерное представление
§ 2. Когомологии кривы г 241
группы G. Тогда L-ряд Артина, соответствующий р, есть
формальный степенной ряд
L(Y, р, '> =
где для каждой точки j;eA° выбирается одна из точек i/е Уп,
отображающихся в х.
(b) Проверьте, что член, соответствующий точке л- в L(Y, p, t),
не зависит от выбора у.
(c) Положим
Покажите, что
det (1 -19 (fy) | V'y) = det (I - lpav (fy) | v);
таким образом,
L{Y< P> /)==
(Указание: отображение
P = _L_ V р(о)
является проекцией V-+V'y, при этом р(сг)/} = Рр(а) = ()av(/,,),
если о>—>/'у.)
(d) Пусть х — характер представления р. Для любой точки
х из X (Fп\ (т. е. точки из X®Tqn степени 1) положим
где точка 1/еУ® F," отображается в х. Покажите, что /(л)
= Tr(pav(fy) | V), и выведите отсюда, что
(
Vn>0
где vn(V, х)= 2 Х(*)- (Указание: используйте 2.7.)
(е) Покажите, что
^{УТО
212 Г.! V. Kot'DMu.wjiiu кривых и поверхностей
где L(aF") — число неподвижных точек действия oFn на ?.
(Указание: заметим, что действия о е G ii f на ? коммутируют;
покажите, что для точки х е X (F^n)
w
где Lr(aF")—число точек у, меподипжпых при aFn, которые
отображаются в .v.)
(I) Покажите, чго
/ЛК, PiCfcft. l)--=L{Y. Pi, 0 /ЛУ, Р,.. /).
1ЛУ, [>, /) = /(yV, /), если р — трпппа.чьное представление,
L(Y, r, t) = Z(Y, /), если г — регулярное представление.
Выполите отсюда, что
Z(Y,t) = z(X, /)(ПМУ, p. 0dim(o)).
где нрпм.чпедопие берется по всем нетривиальным
неприводимым представлениям (> группы G.
Покажите, что если представление р иеприводимо п петри-
una.Miiiio, то
L(Y, p,l) = dei(l-Ft\Hl(Y, V~f) =
= det(l-Fn(w'(i?, Qt)®V~)a).
где {V, p") — контрагреднептное представление, т. е. р~ (ст)—
трмнепортпропанная к р(о-') матрица: в частности, L(Y,p,t)
оси. многочлен от /, де.чяпин"! числитель Z(Y, t). (Указание:
v,,(>'. 3C> = -i£j-
с £=- О
п [С/]"1 2 Р" (°)® а ~ проекция V ®//Л -«•(К" ® //г)°- Для
второго утверждения заметим, что
//'(?, i/-)o==Homfl(^f н.{уг Q)).)
(h) Гротепдпк [3, п. 279] определяет L-ряды формулой
1 Grotii /у _ /^==
Покпжнте, что \''я — * Vf «« (Й'")"р где
§ 3. Когомологии поаерхночгп 24?
ii выведите отсюда, что
LGrolh (Y, p, t) = det (I - Ft | Я1 (?, V)a),
следовательно,
L°"*b(Y, p, /) = LA'""(y, p~, 0,
где p — неприводимое и нетривиальное представление.
(Пункт (g) показывает, в частности, что L(Y, p, q~s)
является аналитической функцией на всей комплексной плоскости;
известно, что аналогичные функции для числовых полей меро-
морфны, и Э. Артпн предположил, что они также апалнтнчпы;
справедливость этого предположения установлена только в
частных случаях.)
§ 3. Когомологии поверхностей
На протяжении этого параграфа А" - гладкая полная (и,
следовательно, проективная) поверхность над алгебраически
замкнутым полем k. Для того чтобы изучить когомологни поверхности
X, мы расслаиваем ее над Г'1.
Теорема 3.1 (существование пучков Лефшеца). Существуют
поверхность А'", получаемая из X раздутием конечного числа
точек, и отображение л: А'*-*-рр, удовлетворяющие следующим
условиям:
(L) л — собственное плоское отображение, имеющее сечение,
его общин слой — гладкая кривая; его замкнутые слои —
связные кривые, гладкие везде, кроме, может быть, единственной
обыкновенной двойной точки.
Доказательство. Мы дадим лишь набросок
доказательства: детали можно найти в [66] или [58, XVII]. Будем считать,
что А" вложено в Гт, и пусть \'т — двойственное проектппнпо
пространство, так что V'm(k)—множество гиперплоскостей в
Гт. Пусть V — замкнутое подмногообразие в X X - т,
состоящее из пар {х, Н). таких, что гиперплоскость Н содержит
касательную плоскость к А" в точке х. В силу якобнева критерия
гладкости это условие эквивалентно тому, что х — особая точка
в Х-Н пли Н =) X. Образом К при проекции ф: А" X ! "'-»- ' т
является многообразие X, двойственное к X; таким образом, если
А" не лежит ни в какой гиперплоскости, то X(k) состоит из
гиперплоскостей Н, для которых ХН — особое многообразие.
Поскольку все слон морфизма V-*-X — неприводимые
многообразия размерности m — 3, то V—неприводимое полное
многообразие размерности m— 1 (за исключением случая А" = гт, когда
V пусто). Отсюда следует, что X неприводпмо, полно и имеет
коразмерность ^ 1 в Fm. Отображение (р. V->■ ' "' неразветвлене
244 Гл. I-'. Когонологии кривых и поверхностей
п (л-. Я) п гом п только п том случае, когда х — обыкновенная
двойная том км па кривой Х-И [58, XVII. 3.3]. Мокрфпзм ф пераз-
нетвлен в общем"! точке пли становится таковым после замены
вложения Х<^Рт его квадратом Л'=»Рт=.рч 2 ) [58,
XVII. 3.7]. Поэтому мы можем считать, что <р перазветвлен в
обшей точке. Отсюда вытекает, что множество F
гиперплоскостей // в Я, для которых особенности пересечения Х- Я не
ограничиваются единственной обыкновенной двойной точкой,
замкнуто и имеет коразмерность ^2 в f•'".
Пусть D — прямая в j '". Если Яо и Нх — две различные
гиперплоскости в D, то элементы из D представимы в виде аН0 -\-
+ р//«., a, |-i е к, и, значит П{Я I // ^ 0} = Н„ П Я„. Это
линейное нространстпо называется осью D.
Согласно теореме Бертпни [61, III. 7.9.1], И-Х неприводимо
для общей гиперплоскости И. Поэтому мы можем так выбрать
#0 в ■ '", чтобы /70-А' было гладким (т. е. Н^фЯ) и
неприводимым. Так как коразмерность (Но-Х) ' в ■ т не меньше единицы,
найдется открытое подмножество в ' т, элементы Я™, которого
пересекаются с //о■А' трансиерсалыю. Кроме того, поскольку
через Но проходит (т—1)-мерное семейство прямых в \-'т и
лишь (т — 2)-мсрпое семейство пересекается с F, мы можем
выбрать //ос так, чтобы прямая D, соединяющая Но с Я™,, не
пересекалась с F. Тогда
(a) ось D пересекает А' трансверсалыю;
(b) все Я из некоторого открытого плотного подмножества U
в D пересекают А" трансверсально;
(c) для всех Я в D—U пересечение Н-Х гладко везде, за
исключением единственной обьнчмивениий двойной точки. Из
условия (а) вытекает, что существует лишь конечное множество
точек Q\, ..., Qv, в которых две кривые вида А"-Я могут
пересекаться (а именно точки из X, лежащие на оси D) и что эти
кривые пересекаются в них трансверсально. Раздувая точки Q,-,
мы получаем поверхность X* и морфнзм л: X* -*■ D = Р1, такой,
что его слой над Я есть ХН. (График л—это график
очевидного рационального отображения Х-*'?1.) Кроме того, в силу
1.2.6 (Ь) л плоский н собственный, потому что А' полно.
Из условий (Ь) н (с) вытекает, что слои л удовлетворяют
заключению теоремы, если мы покажем, что они геометрически
связны. Так как л — строго плоский морфизм, то п.Ох- есть Ор\-
модуль без кручения, и поскольку л собственный, наш модуль
конечно порожден. Значит, KjOx- локально свободен, и так как по
крайней мере один замкнутый слой приведен и связен, то ранг
пщ0х' должен быть равен единице. Следовательно, 0р\—*■ пт0х;
§ 3. Когомологии поверхностей 245
и теорема связности Зарисского [51, 4.3,4] показывает, чтп псе
слон л геометрически связны (ср. с [61, 111. 113]).
Пусть Е— исключительная кривая на X*, полученная
раздутием одной из точек Q,-. Заметим, что такая кривая
существует, потому что пересечение X Pi Н0(]Н„, не может быть пустым.
Каждый замкнутый слом морфизма я: Х*-*~ ' пересекает Е
(трансверсально) ровно в одной точке. Таким образом, л инду-
цирует изоморфизм Е—*■ Р1 и обратный изоморфизм является
сечением я.
Замечание 3.2. (а) У морфизма л могут быть приводимые
слон. Например, если А" —квадрика в г3, то слон А*-> ' —
замкнутые связные подсхемы размерности 1 и степени 2 в 2;
такая подсхема негладка тогда и только тогда, когда она
приводима. Тем не менее Игуза [6G] показал, что если вложение
X <=♦ | m заменить его кубом, то подобных ситуаций не
возникает, т. е. можно выбрать D так, что все слои л: А'*-*- ' будут
неприводимыми.
(Ь) Для любой прямой D в Рт, удовлетворяющей условиям
(а), (Ь) и (с) из доказательства теоремы 3.1, семейство кривых
(А" • H)HeD называется пучком Лефшеца на X. Мы также будем
называть пучком Лефшеца отображение л: А"*-»-!"1.
Предложение 3.3. Пусть S — гладкая кривая и л: А*->5 —
собственный плоский морфизм. Предположим, что Os —*■ я,Сх
(как пучки на Szar) и для некоторой замкнутой точки в S слой
Xs приведен. Тогда
(a) k-^H°(Xs, Oxs)\
(b) pa(Xs) = pa(Xn), где Х^ —общий слой морфизма л, и
ра = dimft Я1 (О) — арифметический род.
Доказательство. Из условия Os « njOx вытекает, что
все слои геометрически связны (теорема связности Зарпсского,
ср. с [61, III. 11.3]). Поэтому, так как А% приведена, Я°(А"5, Oxs)=
= k, что доказывает (а). Поскольку функция si—>x (A"s, Oxs)
постоянна на 5 ([94, с. 65—66]), то (Ь) следует из (а).
Замечание 3.4. Утверждение (а) в 3.3 эквивалентно тому, что
я —морфизм, когомологически плоский в размерности 0 в s
([51, 7]), т. е. если мы заменим 5 на Speeds,«, то Os—*• я.0х
универсально (эквивалентное утверждение: Os —*■ п,Ох на 5П).
Теорема 3.5. Пусть S — гладкая кривая над k, л: A"->-S
удовлетворяет (L), слои я неприводимы и Т— конечное множество
210 lit V. Koeciv'i.w.viii кривых и поверхностен
."i •-•', ■- f- ,S, i,tKii.\, 'iiD (.1.4/ л '(\) Л . негладок. Пусть и вэа-
.■(.!■■• ' '//.'■'. :'> Г (.'liar А1.
v;i) Л.(.7 любой геометрической точки s в S канонические от-
()\>1>ал спич
{Rrnjnn)s-*Hr(X*, щп)
- - изоморфизмы.
(h) R°nt--i,, = №«; пучок /?'я«щ„ конструктивен и пучок
R':rtп1 „\S— 7' локально постоянный; R'2nt-ii,, = .'/(п), Rrntifii, = 0
d.-vi r > 2.
(с) Rrn,ipn — > g^R'n^m,,, где #: i] <=■♦ 5 — обм^а.ч ro't/cn 5.
/I о к я :i ci те л ь ст в о. Напомним (111. 1.15), что (/?гл|,доп).=
-=//г(Л, ««„), где Х = Х X.s-spec6'.Vr. Пели s = т], то А" =
= .Y ® к /vsi.|, — А'*,, и тогда наши канонические отображения
являются тождественными. Иначе гоноря, это отображения
Нг (X, №„)-* НГ(Х*. №«). иереволянпю к.часс когомологпп па X
и его ограничение на замкнутый слон .V/spec(7s.«• Таким обра-
Ki\i. тот факт, что рассматриваемые отображения —
изоморфизмы, есть частый случаи теоремы о собственной замене базы
(VI. 2). Доказательство этого нужного здесь частного случая
можно 11лГг"ггi и [5, IV. 5].
ll;i предположении нашей теоремы вытекает, что п„О\ = Os
(как пучки на .Sor) и, следовательно, л».■'Г?,,, = <Gm и л#^„= р„.
Положим F = /?'л,ш,,. Слом пучка Г.< равен Pic(A',?),1; это
конечное muo/kcuibo. Рели мы выберем для замкнутой точки 5
и S пложеппе Os\C1* If (n). то инлуцпронанное отображение
'IV Р*~*Р*? (лдесь /.,■ ci Gal (k(r\)/Ь(ц)) — группа инерции,
отвечающая данному вложению) может оыгь отождествлено с
(Pic .V,),, Г—' Pic (Х)п °Г"""Г »' Pic № = Pic (Xj;
(\\ — общая точка 5). Следовательно, rps — изоморфизм. Если
IU—изоморфизм, обратный к cps, то он переводит класс диви-
.чора па А^,-, в класс пересечения X., = Xs с замыканием дивизора
в топологии Зарисского. Пусть s^T. Тогда, согласно 3.3, Xs и
А',-, — гладкие кривые одного и того же рода g. Таким образом,
[/?s] —.п!~ =rf/7fi], н мы находим, что Г5 —* F'j = F.. Отсюда
вытекает, что F конструктивен, и пучок F\S—Т локально
постоянен (1.10).
Дчн -nooon полной пепрпмодимоп прпнеденион кривой Y над
а.'п гппапческн замкнутым нолем H2(Y, •-]„) « 7,/(п); для
гладких У это доказано в § 2, а общин случай вытекает из сравнения
когомологпп крипом Y и ее нормализации (ср. с 2.4(а)). Отобра-
§ 3. Когомологии поверхностей 2-17
жение R'n^m-y R2n, ■!„ пропускается через отображение cie-
пени /?'n»ii,,i = Pjca/s-»■-.- (поскольку это справедливо для не ох
слоев пучков), и получающееся отображение __,/(п)-*~ R-:it4n
является изоморфизмом (поскольку оно является изоморфизмом
на каждом слое). Наконец, Rrn+iyn = О для г > 2, потому что
(ЯХ^Д = н' №. Рп) = 0 Д-тя г>2. Утверждение (с)
очевидно для т-ф\, и f—*"g,g'l\ так как ф$: /;$ — * /•"[* д.iя всех
s (ср. с И.3.16(с1)).
Теперь мы рассмотрим в ситуации из теоремы 3.5 структуру
пучка F = /?'л»^п в точке s^T. Группой исчезающих циклов
в замкнутой точке seS называется по определению группа
Vs = ker (Fs —> Pic (X's)), где X's —нормализация Xs. Поскольку
Fs ='Pic(Xs)n, Fs = 0 для s^T. Обычно мы отождествляем l's
и Fi с подгруппами сг$ (Vs) и 4S(FS) = F/Jf в Fn .
Заметим, что так как Рц = (J (k (f|)))n, где У — якобиан Хц, то
существует каноническое невырожденное кососпммстрическое
спаривание еп: /^ X ^л -> цвп W 194, § 20]. Это спаривание
может быть отождествлено со спариванием, заданным
«^-умножением па Н[(Хц, рп) (2.4(f)). Для любого а е Gnl (А
Теорема 3.6. Пусть л: X—>-S такое же, как ч о 3.5, и m/rn>
s^T. Тогда Fs « (-.'/(п))2*-1, гЛ- g = pa(A-,,), V4«.'./(n). "
Ks является точным аннулятором Fs относительно e,,-cnapttiui-
ния еп: FnXFi\-*wn{k).
Доказательство. Нам потребуется следующая лемма.
Лемма 3.7. Пусть Y — полная кривая над k и Q —
обыкновенная двойная точка на ней. Предположим, что на Y нет
других особых точек. Пусть г|>: У"— Y — нормализация Y, и Qi, Q2 —
точки из У", переходящие в Q. Тогда существует точная
последовательность
0 -> Gm -> Уу -► Уу- -> 0
(Уг — обобщенный якобиан кривой Y ([116])), в которой второе
отображение возникает из-за функториальности Pic, а первое
может быть описано следующим образом: пусть а е Gn(k) — k*;
существует функция {е k(Y') = k{Y), такая, что j(Ql)=u и
f(Q2)= I; образ а в Jy(k) — это класс дивизора (f).
Доказательство. Его можно найти в [ I К», V. 13|. Можно
также вымести утверждение леммы из когомо.-кч нческоп iioc.ie-
дователыюстн для
248 Гл V. Когомологии кривых и поверхностей
[11(>, IV. 4, упр. 6] и того факта, что
Доказательство 3.6. Из точной последовательности
леммы 3.7 (для Y = Xs) мы получаем точную
последовательность
Так кпк X's имеет род g—1 (116, IV], это показывает, что F4
изоморфен (/,/(п))2е~1 и V, — подгруппа ifin(k) в F4.
Пусть Yi, V2<^FT\ = Jxs(b{f\))n- Тогда e,,(Vi. Y2) = MOi)/fi (O2),
где О,- — дивизор, представляющий v*. и (/,) = (nD,) для / = 1, 2.
(Ср. с [67, с. 755], а также [116, предложение 7, с. 54].) Из
описания е„ ясно, что если Yi> y2^F'_s отвечают ур Y2 s
^Fs==Jxs(k)n, Toert(Yp Y2)=en(Y[. Y2). где е^ — спаривание на
/V'(A),,. Таким образом, если yi е ^*> то en (Yi> Y2) ==
= ^(0, y.,) = U ". значит, Vs н Fs аннулируют друг друга.
Поскольку спаривание е„ невырождеппо, a Vs, F5 и F^ имеют
порядки п, n2g~l и n2g соответственно, то отсюда вытекает, что Vs
и Fs являются точными аниуляторамн мруг друга.
Следствие 3.8. Fs слабо разветвлен в каждой точке $ёГ
Доказательство. Мы должны показать, что в Is есть
подгруппа Н конечного индекса, взаимно простого с char 6,
которая тривиально действует на Fц. Для у0, у е F^ и г е Is
<?n(-c(Yo),
Значит, для любого у ^ Fs = F^s
еп (т (Yo) — Yo. Y) = еп (т (Yo), y) — ^n (Yo. Y) = 0,
т. e. t(yo)—Y° ортогонально Fs. Тогда 3.6 показывает, что t(y*) —
-1»oel/s. Отсюда вытекает,, что если мы выберем у0,
порождающее Ff^Fj, то отображение х*—>х(у0) — Yo является
гомоморфизмом Is-*Vsta'Z/(n), ядро которого есть требуемая подгруппа Н.
Следствие 3.9. х(Я. 0 = х(^п> 0х(^> 0+', где t — число
элементов в Т.
Д о к а з ;i т о л t. с г в о. Заметим, что из спектральной
последовательное гп Леро вытекает, что
§ S. Когомологии поверхностей
Мы используем 2.12 для вычисления последних трех членов. Ясно
(2.10), что cs(ifii) = 0 = cs(Z/(/)) для всех s и, значит,
Кроме того, cs(F) = 0 для s^T и
cs (F) = dim Ffl — dim F^ + 0 = I
для s e Т. Отсюда следует, что /(5, F) = 2g%(S, /)— t.
Замечание ЗЛО. Мы дадим набросок геометрического
доказательства 3.8, Задача состоит в том, чтобы показать, что после
перехода к конечному расширению k(r\') поля к(ц), слабо
разветвленному в s, группа инерции точки s', лежащем над s,
тривиально действует на F^.
Пусть t<=k{r\) — униформизирующий параметр в s и k{r\') —
поле, получаемое присоединением корня л-й степени из г к &(т)),
а 5' — нормализация 5 в k{r\'). Тогда XXsS' — нормальная
поверхность, особенности которой могут быть разрешены так, что
мы получим гладкую поверхность X', входящую в
коммутативную диаграмму
Пусть s'— единственная точка в S', лежащая над s. Тогда
слон XS' состоит из нормализации Xs кривой Xs и п—1
экземпляров проективной прямой Р1 (см. рисунок).
Положим *;, = *, U ... 1!*„. где Xt=X's и Х,= \'1 дли
i> 1. Тогда (Xi-Xi)= — 2 для всех / и (Xi-X,)= 1, если /s
^j+lmodn. и равно нулю в противном случае (ср. с (5,
с. 116—117]). Легко показать (например, используя индукцию
и последовательность Майера — Вьеторнса), что существует
точная последовательность
0->G -*]x, —/„.-►О,
2:'ii) Г.1 I'. Ko.-ii.ud.io.viu крипих и поверхностей
ri : !ч!>п>|>1'.-1 (.М'.чум, 'по !'\, \\\'л-1-, ,1"рмлок я7'-' ', как и было
yi I .iiiou.iciio pii и со. При этом существует точная последова-
■М-. n.iiocTi»
где
f = eoker (D .-> ((О • *,), (D ■ Кп), ..., (D • Хп)): 0 ZX, -> Z")
(|1, 1\'.'1.Г)|). Вычисление с определителями показывает, что
[к1..г«1 == «, и, значит, порядок Г' равен n2g~[ -n = и2г.
Поскольку Ft)' = {р'ц'У* , последнее рапс-исто доказывает то, что
мм хотели.
Для применения этих результатов к произвольным
поверхностям мы должны знать, как ведут себя когомолопш при раз-
дутпп точки, т. е. когда мы переходим от А" к А* (см. 3.1).
Предложение 3.11. Пусть q: А"' —.V — отображение,
получаемое раздутием замкнутой точки Р в А', и п взаимно просто с
rhar(&). Тогда Rrq,;,n = («,„ 0, /,.."/(/;), О для г = 0, 1, 2, 5» 3
соответственно, где /V: Р С1* X — отображение включения.
Доказательство. Очевидно, что q^n—* щп и /?г<7.№„ —
пучок, ассоциированный с предпучком Ui—> И'(£/', щ„), где V
получено из U раздутием всех точек из U, лежащих над Р,
Пс.ш образ U не содержит Р, то 11' = U. Отсюда вытекает, что
iRrqtlfin)^ — Q при г > 0 и хфР. Теперь можно использовать
теорему о собственной замене базы (Vf.2), чтобы показать, что
(КГ(1^п)-р = 1Г(К' К) (так как хТ> = Р1)-это дает
.требуемый результат. Тем не менее можно достичь более глубокого
понимания, рассматривая непосредственно Rrq*G,n. При
переходе от U к {]' каждой повой исключительной кривой отвечает
ирный простои дпппзор, и эти дпвп.тры независимы в Vk(U')
|Г)|. V3.21; таким образом, Pic (f/'l ----- Pic (U) ф ((^,,-7), где
сумма берется по всем точкам Р' и {/', переходящим в Р.
Отсюда вытекает, чтоГ((/, Rqjti,,,) — Ф,.-7 = Г (U, iP*Z) и, значит,
R'q,ni;i ■■= /,,."'. Допустим, что V связно. Отображение
spec li(U)-~ I-' [P'\ Prt~^>- P) -> U'-*■ V определяет ннъектнвные
отображения (111.2.22)
Вг (U) -> Вг ((Г) -> Вг (U - {Р'}) -> Br (k (U)).
Так как В г (f,/) ->- Вг (V -- {/-"}) — изоморфизм (IV. 2), мы видим,
Чю Вг(£У) = Вг(У), откуда следует R2q,Sm = 0. Теперь кум-
§ 3. Косомологии поверхностей 251
мерова последовательность дает нам точную
последовательность
О -> /?'л^а -->• r>Z -^> ip'Z -* R-n'iUn -> 0,
из которой вытекает, что А?'л,/л„ = 0 и R-njfLn = iP« (Z/(n)).
Теорема 3.12. x(*«i. 0= ^(*)= х)()
с,-(А") обозначает i-й класс Чженя касательного расслоения на
X, и класс нульмерного цикла отождествляется с его степенью
).
Доказательство. Второе равенство 12х(А\ ОЛ = с\ + <"
является частью теоремы Рнмана — Роха для X [24]. Если
q. X'-*■ X — отображение, получаемое раздутием злмкпутип
точки Р в А', то Кх =(/~| (Кх) + Е, где Кх и K.Y —
канонические классы на А" и X' соответственно, и Е = <7-'(Р) [G1, V. 3.3].
Поэтому
Cl(X'f = ct(Xf + Е ■ Е = ct (Xf - I.
Поскольку х(А, Ох) инвариантно относительно раздутии [(И,
V. 3.5], отсюда следует, что 12/(X, Ох) — С\(Х)2 увеличивается
на единицу при переходе от А" к А'. Так как то же самое верно
для х(Х, I) в силу 3.11, то при доказательстве теоремы мы
можем предположить, что существует пучок Лефшеца я. А-> '
с неприводимыми слоями. Вследствие 3.9 мы должны показан.,
что с2{Х)= — 2(2g — 2)-f t, где g — род А„ и / — число
негладких слоев.
Мы утверждаем, что (при S= Г|)
с, (X) = С| (Qx ® (n'Q')-1) • п'с, (Q^) +
Действительно, если мы запишем
то доказываемое равенство превращается fi
Y1Y2 = (Vi + Y2 — Y) Y + (Yi — Y) (\i — V-
(Ср. с [61, приложение A3].) Пусть с, (Q^) = — 2s, где s e 5,
такое, что слой Xs гладок. Тогда
с, (Щ ® (п^) ') • я*с, (Щ) = (Кх + 2XS) -(-о у
= -2(/(v + A4. -X4
«= - 2 (2^ - 2)
252 Гл. V. Когомологии кривых и поверхностей
по формуле присоединения [61, V. 1.5]. Каноническое
отображение я*£^->Йд определяет сечение о расслоения Й^®(я*£Ю~'
и, согласно Гротенднку [46, следствие к теореме 2] с2 (Q*x ®
®(Я*Й|Л~') является циклом нулей о. В терминах локальных
параметров tu t2 в точке Pel, ст, как легко убедиться, есть
отображение
(здесь л рассматривается как фу;;;сц;;;; на X).
Таким образом, кратность Р в цикле нулей а есть
Последнее выражение равно нулю, если Р не является
обыкновенной двойной точкой, и 1 в противном случае. Это завершает
доказательство.
Замечания 3.13. (а) Теорема 3.12 была доказана Артнном
примерно в 1960 г., по существу, теми же методами. Она также
вытекает из формулы Лефшеца о неподвижных точках (VI. 12),
примененной к тождественному отображению, которая в этом
случае показывает, что %{Х, /) = (Л-Л)—индекс
самопересечения диагонали на X X %> и известного утверждения о том, что
(Д-Л)=с2(Л').
(Ь) 3.12 может быть использована для доказательства того,
что /-адические числа Бетти |3<(ЛГ, /) не зависят от I (/^=char(k)).
Действительно, ро(-К, /)=1 = |34(^. 0 (см. 3.23 ниже) и
Pi (А", /) = dim (Pic0/Y). По теореме двойственности Пуанкаре
VI. 11 или прямсГпо 3.23 $3(Х, /)=p,(.Y, /). Наконец, 3.12
показывает, что
,/) = с2(*) + 2Р, (*,')-2,
т. е. не зависит от /.
Пусть л: X-*-S=Vl — пучок Лефшеца с неприводимыми
слоями, п пусть
так что F(-\\ = Hl(Xii, Z/[n)) и F(-l), = W (Л'„ ?./(п)).
Для любого 5 е= Т имеем Vs x цл„(Ь) и, значит, 7/(/?)-модуль
Г
имеет каноническую образующую. Образ этой образующей в
F(—1)Г| будет обозначаться через 6S и называться каноническим
§ 3. Когомологии поверхностей 2'Л
исчезающим циклом в s. Заметим, что б* зависит or выбора
вложения 0 .''$<=♦£ (ij) (поскольку от него зависит отображение
коспециализацни <ps: Fs-*F^h определен лишь с точностью до
знака (потому что отображение Gm-*-/y ил 3.7 умножается на
— 1, если Q\ и (?2 поменять местами), еп-спарнвапне Г- X ^п -»■
-+щп(к) индуцирует спаривание
которое мы будем записывать как (у, у')*—>(у-у')\ оно может
быть отождествлено с каноническим спариванием
из 1.20 (см. 2.4(f)). Это спаривание невырождеино и кососнм-
метрнчно. Кроме того, точным аннулятором Fs(—1) является
Vs(—I) = <6jr>. Мы обозначаем через f5 характер ls-*-ai,,(k)
группы инерции в s, такой, что o(tUn) = es(cr)/l/n для унпфор-
мнзирующего параметра t в s. (Ср. с I. 5.1 (е); е* для
возрастающих п определяют изоморфизм ручного фактора l[ группы /.,■ на
linip { л щ„ (k), где р = char (k).)
Теорема 3.14 (формула Пикара — Лефшеца). Существует
единица Хх = {ХХ (п)) е limp f nZ/(rt), такая, что
о (V) = Y — Я* (п) е5 (о) (у ■ fi.) 6S
<9ля в сел:
Доказательство. Выберем ys^F{—\)^, такой, что
(Vs-6S) имеет порядок п, и положим a(ys) — ys = a(o)()s для
сте/5 (ср. с доказательством 3.8). Тогда ст»—*а(ст)е !:/(/[) —
гомоморфизм, пропускающийся через Is, и, следовательно, ом
может быть записан как а(ст) = Кх(п) (ys-f>s)B(o) для
некоторого Хх(п)<= щ„{1г).
Если ys заменено иа y, с y's = «YS + Y. п ^ (-^Д"))*, Y ^ Z7,, то
г/ (а) 6, ^ а (Ys') - Y,' -= «о (Y.) - «Y, = «я (а).
Поскольку (Yj " *s) = « (ys " bs)> мы ВИД»М. чт0 Ъх(п) не зависит
от выбора Ys- Кроме того, Кх(п) — единица в Z/(n), так как в
противном случае индекс F1^ в F^ был бы меньше п. Ясно, что
Хх(п) согласованы для различных п в том смысле, что \х(п) =
= Х.\ (гл) mod п.
Замечание 3.15. (а). Можно показать, что Vv(") зависит
только от отображения tf-»-S, где 5 = Spec<?|hs, .V = spec (7sv!.«,.
2*i 1 /".i. Г. Kv<';)Mo.\(i,'uti кривых и поверхностей
а л'о —двойная точка на Xs. Кроме того, с помощью теоремы Ар-
тииа об аппроксимации можно получить нзоморфность Х-*-5
отображению, получаемому из
spec k [T] [Т„ T2\j{TJ2 -T)-+ spec k [T]
ген Hviiuuuiieii и начале координат обеих схем [58, XV. 1.3.2].
Таким обра.чом, /.(Л', '/)= Х(п) ис зависит от X. Наконец,
поднимая последнее отображение в характеристику 0 (если оно не
определено уже в характеристике 0), можно доказать равен-
ство >.(«) = 1, используя класс!г:^с;;::с результаты. Поэтому мы
будем считать, что Я,(л)= I (это упрощает формулы). См. [58,
XV]. Таким образом, формула Ппкара — Лефшеца выглядит
так:
° (У) = V — е* (о) (\ ■ f>s) f>s-
(b) Над С приведенная выше формула принадлежит Пикару
(без точного вида коэффициента при б-) и Лефщецу (по суще-
сти_\ в том же виде, что и у нас).
(c) Существует точная последовательность
т. с.
о - //' (х„ zi(n)) - > /
в которой второе отображение есть -у1—>(v#6»)-
(cl) Переходя к пределу по степеням /(/^= char ft) и тен-
зорно умножая па Q/, мы получаем утверждения, аналогичные
приведенным выше, с той лишь разницей, что Z/(n)-пучки
заменяются Q,-пучками. Например, Я1 (Xs, Qi) = //' (Х^, Qt) \
существует канонический исчезающий цикл б^ s= Я1 (Хц, Qi) и
Теорию, изложенную выше, обычно называют локальной тео-
pucii Лефшеца; теперь мы дадим краткий набросок глобальной
теории Лефшеца. Как и раньше, л: X-+S=pl — пучок
Лефшеца с неприводимыми слоями. Мы будем работать только с
пучками векторных пространств нал Q/. Представление
nJCP1—7", ц) 1) /-'^ = Я1 (JL, Qi) называется мпнодромией
мучки. П/юсгринсгпо исчезающих циклов Е на X — это
подпространство в //' (\\, Qi), порожденное исчезающими циклами 6S,
seF. Так как п\ порождена образом /.,, $ёГ (мы выбираем
нолкодящпм образом /., для каждого .чевТ), формула Ппкара —
Лефшеца лает нам инвариантность Е относительно действия я(.
Из нее также следует, что ортогональное дополнение Е1 к Е
шшкм гелию канонического спарпнаппя па //' {Хц, Q/) совпадает
§ 3. Когомологии поверхностей 255
с //'(**. О./)"' • Так как
г (S, /?'л.д,) = г(л, ^/?r«.Qi) = (/?4Q«)5|1 = w1(^, Q/f1.
то 3.5 и спектральная последовательность Лере задают нюмор-
фпзм Я'Ц, Qi)^*r(5, /?'ntQi) (см. ниже 3.22), и мы пилим.
что Е' может быть отождествлено с подпространством //'(А'. С'/)
в //'(*!. Q,).
Замечание 3.16. Известно, что £П£Х = 0, т. о. л, не оставляет
на месте ненулевые исчезающие циклы. Этот факт называется
трудной теоремой Лефшеца (или, более образно, по французски
«Lefschetz vache»). Над С трудная теорема Лефшеца доказана
Ходжем. Для поверхностей в ненулевой характеристике докл-
зательство этого факта не особенно трудно (см. |74. 2.4.10]), но
для многообразий общего вида трудная теорема Лефшеца бы.in
лишь совсем недавно доказана Делинем [3G]; см. также (88].
Для поверхностей она сформулирована в [74, 1.4] следующим
образом:
(HL) отображение
Lx: W(X, Qt)-+H3(X, Q,(l)),
являющееся ^-умножением на класс когомолощй гладкого
гиперплоского сечения в Н2{Х, Q/(l)), есть изоморфизм. Ввиду
теоремы двойственности Пуанкаре (VI. II) (HL) эквивалентно
невырожденности спаривания
W (X, Q0 X Я1 (X, Q,) -> Н* (X, Q, (1)) - Q, (-1),
a, b>-*Lx(a)^b.
А это спаривание совпадает со спариванием, индуцированным
на H'(X,Qi) как на подпространстве в Н1 {Х-^, Q/) нашим
каноническим спариванием
нчх Q)'№ QQ
Так как Я1 (A, Q() = EL, то (HL) очевидным образом
эквивалентно равенству £f| EL =0.
Из (HL) вытекает, что Hl{X<i,Qi) распадается в
ортогональную прямую сумму, Я1 {Хц, Qi) = Я1 {X, Q/) ф Е.
Теорема 3.17 (сопряженность исчезающих циклов). Для
любой пары 6s, 6S, исчезающих циклов найдется а«=л[(Р' — 7", ц).
такой, что ад, = ± б.,.
S
Доказательство (набросок). Мы вознпншпемся к
обозначениям из доказательства 3.1; таким образом, А' с . m, .to
Г.1 У. Когомолоти кривых и поверхностей
с; [Р'" - двопсгленпос мпотобразпе, D (== Р1 = S) — прямая в
i '", л: \*->■ D — пучок Лефшеца и D f\X(= T)—множество,
слои над точками которого негладки.
Лсммл 3.18. Включение D — DQX с^рт — X индуцирует сюръ-
екцию п\ (D — DftX, d) -* л\ (Pm — X, d), где d — замкнутая
точка в D — Df\X.
Д о к а 1 я т с л ь с т в о. Пусть О — подмногообразие в грассма-
ииапе прямых в \ '", состоящее из таких прямых, которые
проходят через й, пересекаются с X лишь в неособых точках и пе-
ресокаются с ним трансверсально. Рассмотрим диаграмму
J J
D » D « Df
где s — точка в G, отвечающая D, G = spec (?oh,s. I —
геометрическая точка, лежащая над общей точкой | в G, D —
универсальная прямая на О и О| = D X I- Из нее мы получаем
коммутативную (с точностью до сопряженности) диаграмму
отображении ручных фундаментальных групп
*"-#,2-)
- D п А', 5) -
определенных с точностью до сопряженности.
Отображение п левом нижнем углу является изоморфизмом,
питому что D собственно над О, В[\Х — дивизор с нормальными
пересечениями в D и D — Df\X получается из D удалением
дивизора с нормальными пересечениями [53, XI11.2, особенно
2.10]. Поэтому мы получаем отображение специализации
я',(Л6-08П*, d)-*n\(D-D()X, d),
композиция которого с
я! (D - D П X, d) - л{ (Рт - X, d)
S 3. Когомологии поверхностей 257
является каноническим отображением
я[ (Dj - D4 П X, d) -> n[ (Pm - X, d).
Осталось показать, что последнее отображение сюръектпвно,
или, что тоже самое, двойственное отображение множеств л1
инъективно. Пусть £/->-рт— X— конечное эталыюе
отображение со связным U: поскольку рт — Я ненрнводпмо, U также
будет неприводимым. Вариант теоремы Бертншг доказывает
связность U X (£>| — X), что завершает доказательство (речь
идет о следующем варианте теоремы Бертинн: пусть f: U-*■ Гт—
непостоянным морфизм, где U — неприводимая схема конечного
типа над алгебраически замкнутым полем; если L — общее
линейное подпространство в Рт коразмерности < dim(/((/)), то
Ul = 1~[(Ц геометрически неприводимо (ср. с [I3(i, 1.6|).
Теперь следует применить это утверждение к f: U -*Pm — -Y=*P';<
и общему линейному подпространству L в Рт размерности 1.
Лемма 3.19. Действие n\{D — D[\X,d) в #'(*-, Q,)
пропускается через л[(Рт — X, d).
Доказательство. Квадрат
X* с > Г с X х $«
где Y = {{х, Н) \х лежит на Н), а X* =Y [\ D, декартов. Так как
л' гладок на л'~1(\}т — Я), теоремы о замене базы (VI. 2.4)
показывают, что Rln'jQi — скрученно постоянный пучок на рт—Л.
Это означает, что все слои Rln[Qi совпадают и на них действует
m(Pm — Я, 3) (фактически действует л[ (Рт — X, d)); например,
на (R^n'jQi)^ = Я' (Хъ, Qt) действие л[ (рт — X, d) согласовапг>
с действием группы n\(D — D{]X, d).
Теперь мы докажем саму теорему. Замена вложения C*d.s-*
-> k(f\) отвечает выбору другой точки на нормализации D в k(r\),
лежащей над s. Если р е Ga\(k(t])/k(r])) переводит одну точку
в другую, то отображение
ls -^*K(D — D(] X, f\) cz Gal (k (r\)/k (r\))
9 Зак. 421
2Г>8 Гл. V. Когомологич кривых и поверхностей
заменяется на сопряженное а>—> p~l/s(o)p, a 6S заменяется на
p~'6s; последнее утверждение можно проверить или исходя
непосредственно из определения б5) пли заметив, что
р-'ар (у) = р"1 (р (у) — es (о) (pv • f>s) 6s) = y — es (о)(y • p"'6s) p-'6s
и формула Пикара — Лефшеца определяет 6S однозначно (с
точностью до знака). Таким образом, мы должны показать, что
отображения
е"1 /
TL^W-^n-^nUD-DnX, fj)->Aut (//'(*„, Qf)).
определенные для seF, все сопряжены друг другу с помощью
элементов из ni(D — Df\X, fj). Из лемм мы получаем
диаграмму (коммутативную с точностью до сопряженности)
Поэтому достаточно показать, что отображения Д Z, (I)
-> п{ (D| — Z)| fl Jf). определяемые (аналогично /,е~') для s
3
f( становятся сопряженными после композиции с
Но поскольку Я неприводнмо н D^ —общая прямая, то из
теоремы Бертини вытекает, что D^[\X неприводимо и, значит,
состоит из одной точки. Таким образом, все точки из D^[\X лежат
над единственной точкой D\ и, следовательно, переставляются
группой Gal(*(I)/A(|)). Это дает нам GaI(*(|)/*(E))-conpH-
женность рассматриваемых отображений, и остается заметить,
что Gal(£(i)/£(£)) — фактор группа группы п\{р% — D%[\X)'
(Более подробное изложение см. в [58, XVIII.6].)
Следствие 3.20. Действие п\ (Р1 — Т, ц) на E/Ef\Ex
абсолютно неприводимо.
Доказательство. Пусть Fc£®Qi,8i —
подпространство, инвариантное относительно монодромии. Если Fф
££)®Сл ai, то существуют y<^F и $еГ, такие, что
§ 3. Когомологии поверхностей 259
(yfisJ^O. Тогда ay — у = —es(a) (y-6s)6j для a e/s, что дает
нам 6sgF. В силу 3.17 все 6S лежат в F и F = Е.
Замечание 3.21. Если мы выберем изоморфизм Q((—1)«Q,,
спаривание на Я1 (Xf\, Qi) индуцирует невырожденное кососим-
метрнческое спаривание
Так как монодромия сохраняет это спаривание, то мы получаем
представление
р: я, (Р1 - 7\ ij) -- Sp (E/E П £\ *).
где 5р обозначает симплектическую группу. Теорема Каждана —
Маргулиса утверждает, что (для любых пучков Лефшеиа со
слоями нечетной размерности) образ р открыт1). Эта теорема,
почти непосредственно вытекающая из неприводимости монодро-
мии (3.20), играет важную роль в доказательстве Делиня
гипотезы Римана; см. [35, 5.9]. (Эта работа также содержит обзор
теории пучков Лефшеца произвольной размерности.)
Теперь мы даднм явное описание групп когомологии
Hr{X,Z/(n)) с помощью пучка Лефшеца л: X-*S=P] с
неприводимыми слоями. Для упрощения обозначений мы
полагаем A = Z/(n), так что Л(1)=цц„ и /?'л„Л(1) = F. Выпишем
спектральную последовательность Лере для морфизма л:
Hr(S, R\A(l))*>Hr+s(X, Л(1)).
Так как /?°я,Л(1)= Л(1), /?'я,Л(1) = /\ /?2л,Л(1) = Л и
Rsn,A(l) = Q для s >• 2 (3.5) и первая группа когомологии
любого постоянного пучка на S равна нулю, мы получаем
F)±
0-+Н2{Х, А(1))'-+Н2{Х, Л(1))5=±Я°(5, Л)
НГ(Х, Л(1))»*О, г>4.
') В (-аднческой топологии. — Прим. мрев.
9*
260 Гл. V. Когомологии кривых и поверхностей
Здесь1) отображение
а*: НЦХ, A(l))'-*H2(S, Л(1))
индуцировано сечением а морфнзма л; таким образом, а*л* =
= (ла) * = 1 и поэтому
НЦХ, A(l))' = W(S, F)®H2(S, \(l)).
Напомним (2.1), что H2(S, Л(1)) = Л, и, следовательно, мы
имеем
где уе — элемент из Н2{Х, Л(1)), отвечающий канонической
образующей группы H2(S, Л(1)), а <у£> обозначает свободный
Л-модуль, порожденный ув\ Уе также может быть описан как
образ дивизора Е = a(S) при отображении Pic(A") = Я1 (<Gm)->
->-Я2(Л(1)). Краевой гомоморфизм
Н2(Х, \(l))-*H°(S, /?2я,Л(1)) = Я°(5, Л)
можно интерпретировать как отображение р1с(Х)(п)->-Л,
переводящее класс дивизора в индекс пересечения этого дивизора
с Е. Если мы обозначим через v класс когомологии
произвольного гладкого слоя л, то отображение
(l->Yf): H°(S, Л)->Я2(*.
является сечением краевого гомоморфизма. Таким образом,
Н2(Х, Л (!)) = //• (5, F) © (уЕ) ф <Yf>.
Мы показали (F = /?'л,Л(1)), что
Н°(Х, Л(1)) = Л(1),
Н[(Х, Л(1)) = Я°(5, F),
Н2 (X, Л (1)) = Я1 (S, F) © (Ye> ф (y,>,
НЦХ, Л(1)) = Я2(5, F),
НГ(Х, Л(1)) = 0, г>4.
Остается вычислить когомологии F на S. Используя
вырезание2), мы получаем Нт (5, F) » ф Я^ (5(а), F), где 5(s) =
8Г
= spec
s.
') Здесь Н2(Х, Л(1))' — ядро краевого гомоморфизма, т. е. Н [X, Л(1))'=
> Ё\ в обозначениях приложения В. — Прим. перев.
') См- предложение 1.27 гл. IJJ.—Прим. перед,
§ 3. Когомологии поверхностей 261
Более того (см. доказательство 2.10), Hr,(Sls), F) = 0 для г Ф 2
и Я5(5(5), F) = H {K(s), F), где /C(S) — поле частных локального
кольца 5(s); таким образом, H2S(S{S), F) = HI{IS, F) и последняя
группа равна Я'(/'> f). поскольку порядок F взаимно прост с
char(&). Кроме того, 2.17 показывает, что
Hr (S -T,F) = Hr (л[ (S - Т, fj), F))
равна нулю при г>\. Из когомологической
последовательности пары (5, 5 — 7") вытекают следующие равенства:
Н° (S, F) = H°(S — T, F) =
Я1 (5, F) = ( n)
2
H2(S, Л =
Теорема 3.22. Если я: ^-*-Г' — пучок Лефшеца с
неприводимыми слоями и п взаимно просто с cliar(&), то
Н°(Х, А(1)) = А(1),
Hl(X, ?{
Н2(Х,
= 0, г>4,
Р^ = Я'(^, Л(1)) = кег(л: /^(А)->/
ГсР1—множество точек, слои над которыми негладки, я{ =
= я{ (Р1 — Г, fj), уЕ и yF — классы когомологий сечения и
гладкого слоя соответственно.
Доказательство. Утверждение теоремы является
переформулировкой доказанного ранее.
Для упрощения формулировки и доказательства следующей
теоремы мы выберем изоморфизм
П z,(D~ П zh
262 Гл. V. Когомологии кривых и поверхностей
т. е. выберем образующие £„ в ifin(k) для каждого п,
удовлетворяющие условию £„ = £'„• Поэтому мы можем отождествить Л
с Л(1), J's с Ц Z, и ег,-спариванис со спариванием
(V. Y') ^ (V • V'): Н1 (Хч. Л) X Я1 [Хц, Л) -» Л
и т. д. Положим Г = {«|, .... Si), fSl = Iit a{ — каноническая
образующая группы /[ н выберем вложения Л =♦ Gal(k(r\)/k(r\))
так, чтобы (Ть ..., а/ порождали л[(Р'— 71, fj) и выполнялось
соотношение (Ti ... сг< = 1 (см. 2.19).
Теорема 3.23. В приведенных выше обозначениях
Н° (X, А) = Л = Я4 (А", Л)
к Н](Х,Л), Н2(Х,А)/((уЕ)®(уг)),ИЦХ,А) являются груп-
нами когомологий комплекса
F^A'—^Ff,,
где
Л( = Л0...0Л (( экземпляров),
a(Y) = ((V-fl|). .-.. (V •«*)),
Доказательство. В тех же обозначениях формула Пи-
кара — Лефшеца принимает следующий вид:
Поэтому а, оставляет на месте у тогда и только тогда, когда
(у-6i) = 0. Так как а порождают^ то ker(a) = F% =HX (X, А).
Напомним (2.19(а)), что есть ровно один коцикл (/(а)),
отвечающий действию я[ в f, с заранее предписанными
значениями Д(Т|), ..., f(ot-i)^ F^. С другой стороны, для любого
множества /((Ti), ..., f(Qt) элементов F^, таких, что
■■■ +о,- ... • ol_,f(of) = 0,
существует ровно один коцикл f, принимающий
соответствующие значения на образующих olt .... о(. Так как
Я1 (Л, Ff)) =
то такой коцикл f переходит в нуль при отображении вЯ'(/^, F^)
для всех I, если и только если существуют Yi» •••> Yr e F^,
такие, чтО f(oi) = ai{yi) — yi для всех L Эквивалентное
утверждение: / переходит в нуль (для всех I) тогда и только тогда, когда
§ 3. Когомологич поверхностей 263
существуют а\, ..., aiSA, такие, что f(a,) = a,6,. Тем самым
каждый коцикл f, переходящий в 0, определяет элемент а(/) =
= (ai, ..., и,)еЛ',
Условие коцикла для f эквивалентно следующему условию
на a(f):
а,б, + а2ст, (б2) + ... +а»а,- ... • а,., (6,) = 0.
Следовательно, образ гомоморфизма (/н—*-а(/)) есть в точности
ядро р. Более того, a(f) лежит в образе ее, если и только если
найдется уе/7^, такой, что ct/(y)—V = f(a') Для всех i.
Последнее эквивалентно тому, что / — кограница. Это дает нам
равенство
ker (P)/im (a) = кег (Я1 (я{, Ffl) -> ^ Я' (/J, F.)) =
Последнее утверждение теоремы вытекает из того, что
отображение
Y -* (0 0, у (mod (o(-l) F4)): Fn -> ф Я1 (/,-,
индуцирует изоморфизм
^ сокег(Я'(п;, Р
Замечание 3.24. Теоремы 3.22 и 3.23 остаются верными, если
заменить Л на Zt или Q/, /=
Теперь мы применим этальные когомологип к изучению
группы Нерона — Севери NS (X) = Pic(X)fP\c°{X) поверхности А".
Теорема 3.25 (Севери, Нерон). Группа NS(X) конечно
порождена ').
Доказательство. Напомним, что дивизор (или класс
дивизоров) D численно эквивалентен нулю, если индекс
пересечения (D-D') с любым дивизором (или классом) D' равен нулю.
Поэтому группа Pic"(А") классов дивизоров, численно
эквивалентных нулю, содержит Pic0(А") и является ядром формы
пересечения
(D, D') *-* (D ■ D'): Pic {X) X Pic (X) -> Z.
Мы полагаем N(X)= Pic(X)/Picn(X); заметим, что определено
невырожденное спаривание (а, а')у->(а-а'): N{X)y^N{X)-*■?...
') Это утверждение справедливо для гладких проективных многообразий
произвольной размерности < См. Ленг С. и Нерон А. Рациональные точки
абелевых многообразий над функциональными полями.—Математика, 5 : G,
1961, с. 13—33.— Ярил перев.
2G4 Гл. V. Когомологии кривых и поверхностей
С другой стороны, куммерова последовательность (для
=7^ char k)
вместе с конечностью группы Н2(Х, pi) (3.23) дает нам
конечность Pic(AT)//Pic(A:) п a fortiori конечность N{X)/IN,{X).
Из пашен первом леммы будет следовать, что N(X) — конечно
порожденная свободная абелева группа, а из второй — что
ker(NS(X)->-N(X))— конечная группа.
Лемма 3.26. Пусть N — абелева группа, на которой задано
невырожденное спаривание (a, |i)i-^-a-|3: NXN-^Z.
Предположим, что для некоторого простого I группа N/IN конечна, и
пусть N = WmN/lnN. Тогда
(a) Естественное отображение N-+ft инъективно.
(b) Группа N конечно порождена и свободна.
Доказательство, (а) Ядро N-у Я состоит из элементов,
которые делятся на все степени / (в <V). Но если элемент a
делится на все степени /, то для любого элемента р из N а-р*
также делится па все степени /, что влечет за собой равенства
сс-р = 0 и а = 0.
(Ь) Поскольку N/lnN конечна для всех п, R—конечно
порожденный Zj-модуль. Так как N~bft/W, мы можем выбрать
элементы он, .... an^N, порождающие ft/W и, следовательно,
#. Рассмотрим отображение
-а,,.... р.ов).
Если р лежит в ядре этого отображения, то р-сс делится на все
степени / для любого а^М, поскольку а можно приблизить
/I-комбинациями а,- с любой степенью точности в /-адической
топологии. Тем самым, N <=* Z".
Лемма 3.27. Группа Pic"(X)/Pic0(А') конечна.
Доказательство. Пусть Я —сечение X
гиперповерхностью достаточно высокой степени, такой, чтобы выполнялись
следующие условия:
(a) deg(//) > deg(/C), где К — канонический класс, и
(b) ~(Н-Н-К)+Ра(Х)+1>0.
Если Н' — дивизор на X, численно эквивалентный Н, то из (а)
вытекает неравенство deg(/C — Я')<0, и, следовательно,
Н°(Ох(К — Я')) = 0. Из теоремы Рпмана — Роха, а именно из
неравенства
dim Я0 (Ох (//')) + dim Я0 {Ох (К - Н')) >
>( Т~
§ 3. Когомологии поверхностей 265
и из (h) следует, что dim Н°(Ох (#')) > 0. Мы показали, что
каждый дивизор, численно эквивалентный Н, линейно
эквивалентен эффективному дивизору. Но семейство эффективных
дивизоров заданной степени параметризуется конечным числом
компонент многообразия Чжоу циклов на А' (основная теорема
Чжоу и Ван дер Вардена [33])'). Поэтому если мы выберем
по дивизору Di в каждой из компонент, то любой дивизор #',
численно эквивалентный Н, оказывается алгебраически
эквивалентным одному из Dt, и каждый дивизор, численно
эквивалентный нулю, алгебраически эквивалентен одному из дивизоров
D-,— Н. Это завершает доказательство леммы (и теоремы).
Следствие 3.28. Обозначим через р (X) ранг группы NS(X);
тогда
р (X) < Рз (X, I) = с2 (X) + 2q-2 (I Ф char (ft)),
где q = dim (Pic%) и ^(Х, I) = dimQ/Я2(X, Q£).
Доказательство. Равенство в утверждении следствия
вытекает из первого равенства в 3.12 (см. 3.13 (Ь)). Для
доказательства неравенства заметим, что, поскольку группа Pic°(A") =
= Pic^ (k) делима, куммерова последовательность дает нам
инъектнвное отображение NS(X)/lnMS(X) =• Н2(Х, ipn).
Переходя к пределу, получаем инъективное отображение yVS(A")®zZ,ci»
=♦ И2 (X, 7.1 (1)), так как NS(X) конечно порождена. Поэтому
элементы ttS(X), линейно независимые над Z, переходят в
элементы Н2(Х, Zi(l)), линейно независимые над Z/, что
завершает доказательство.
Замечание 3.29. (а) При доказательстве 3.25 мы установили
более сильное утверждение, чем то, которое доказывалось, а
именно: элементы конечного порядка в NS(X)—это в точности
классы дивизоров, численно эквивалентные нулю2).
(b) Изложение леммы 3.27 на языке схем см. в [57, XIII. 5].
(c) В неравенстве р(Я)^ с2(Х) — 2q -\- 2 из 3.28 не участвуют
этальные когомологии; впервые оно было доказано Игузой [69]
без их использования. Наше доказательство очень близко к его
рассуждениям; он заменяет Л'л,'рп на точки порядка п
семейства якобианов нашего пучка и использует когомологии группы
я[(Рр — Т, ц) (вместе с данным Гротендиком описанием я{)
вместо этальных когомологии Р1 — Т.
') См. также [109]. — Прим. перев.
*) Это утверждение справедливо для гладких проективных
многообразий произвольной размерности (см. Matstisaka T. The criteria for algebraic
equivalence and the torsion group. — Amer. J. A'lath., v. 79, 1957, N 1, p. 53—
66. — Прим. перев.
266 Гл. V. Ко.юмологии кривых и поверхностей
(d) Поскольку Вг(Л")/ конечна, то /-примарная компонента
группы Вг(Л") —это группа вида (Qi/Zt)°'(X-1}$) F, где F
конечна. Поэтому Т1 Вг(Х) = lim Br (Х){т— конечно
порожденный Z/-модуль ранга ро{Х, I). Куммерова последовательность
дает нам точную последовательность
0-+NS(X)®Zi-+H2{X, Zi(\))-*T,Bt(X)-*O.
Поэтому р4-ро = Рг(А') и р0 не зависит от / (1ф char (*))
(3.13(Ь)). Тензорно умножая точную последовательность на Q/,
получаем точную последовательность
0^NS(X)®Qt-^H2(X, Q,(l))->VtBr{X)-*0.
V, Вг(Л") может рассматриваться как векторное пространство
трансцендентных (т.е. пеалгебранческих) циклов на X, а
отображение Н2(Х, Qi(l))-*QT, получаемое из приведенной выше
точной последовательности выбором базиса в 7гВг(^),—как
алгебраически определенное отображение периодов.
В качестве последнего приложения мы приведем
доказательство Артппа критерия Кастельнуово рациональности
поверхности в характеристике р1). Напомним, что X называется
рациональной поверхностью, если она бирацнонально
эквивалентна Г'2. Число Рп(Х) = йиПкН^КХ, (Охи,) ) называется
п-кратным родом поверхности А", а число
Pa W =Х (*, Ox)-l=- dim* Я1 (0Х) + dim, H*(OX)
— арифметическим родом поверхности X.
Теорема 3.30 (критерий Кастельнуово). X рациональна, если
и только если Р2(X) = 0 = рп (X).
Доказательство. Поскольку pa{Y2) =0=Р„(Р2) (
а ра п Р„ — бпрациоиальные инварианты, то необходимость
очевидна (см. Серр [113]). В том же докладе Серра доказано, что
и, обратно, если X — минимальная поверхность с Рз(Х) = 0 =
= Ра{Х), то либо она рациональна, либо выполнены следующие
условия: группа Pic(X) равна 7, и порождена каноническим
дивизором К2), \—К\ содержит неприводимую кривую и 0<
< Я2<5 (см. также [21, гл. V]).
') Другие доказательства критерия Кастельнуово в характеристике р
см. п следующих работах: Псковских В. А. Минимальные модели
рациональных повермюстем над произвольными полями. — Изв. АН СССР, сер. матем.,
т. 43, 1979, № I, с. 19—43; Lang W. Е. Л short proof of Castelnuovo criterion
of rationality. Trans. Amer. Math. Soc, v. 264, 1981, p. 579—582. — Прим.
перге.
2) В. А. Пекинских показа.!, что этот случай не реализуется.—Прим.
персе.
§ 3. Когомологии поверхностей 267
Для k = .С- экспоненциальной последовательности 0—*Z-v
->Сх—*О\ -> 0 отвечает когомологическая точная
последовательность
//•(*, ОХ)-+Н*(Х, (ГХ)-*НЦХ, Z)-*H4-(X, Ох)
групп когомологии относительно классической комплексной
топологии.
Поскольку —К эффективен, из равенства Рг = О мы получаем
Р, = 0, что по двойственности Серра дает нам Н2(Ох)= 0.
Вместе с ра = О это влечет за собой равенство Я1 (Ох) = 0, и,
значит, Н2(Х, Z)« Pic(A"). Поэтому если X не рациональна, то
p2(jf)=l, X(X, Z) = 3. Формула Нётера Л'2 = 12(1+/?„) —
— %(Х, Z) дает нам /С2 = 9. Мы получили противоречие.
Зарисский дополнил доказательство так, чтобы оно
оставалось верным для полей k характеристики р Ф 0 (см. [137],
[138]). Следующие рассуждения принадлежат М. Артпну (не
опубликовано). (Доказательство в [77] неверно.)
Мы фиксируем простое 1Ф char(^). Из 3.29 (d) вытекает, что
/-примарная компонента Вг(Х)(/) группы Вг(Х) конечна, если
и только если р{Х) = fc(X). Поскольку второе условие
инвариантно относительно раздутий поверхности (3.11), то
инвариантно и первое условие; в частности, Вг(Л")(/) конечна для
любой рациональной поверхности, так как р(Г2)= 1 = {Ы^1)')-
Как и в доказательстве для fc = C, мы предположим, что X
не рациональна, и придем к противоречию. Теорема Римана —
Роха показывает, что /(—К)^(К2) + ра + 1 ^ 2, и, значит,
|—К\ содержит пучок кривых, арифметический род каждой из
которых равен
Pa = Pa(-K)=\+j(-K)-(K-K)=\.
Есть три возможности: общин элемент этого пучка (как кривая
над fe(P')) не регулярен и, следовательно, его нормализация
имеет род 0; общий элемент регулярен, но негладок, и почт»
все кривые в пучке — рациональные кривые с каспндальной
особой точкой; общий элемент гладок и почти все кривые в пучке —
гладкие кривые рода 1 ([135]). В первом случае рациональность
поверхности может быть доказана аргументами Серра [ 113, с. 5].
В оставшихся двух случаях мы раздуваем базисные точки
рассматриваемого пучка и получаем поверхность X* и отображение
я: Х*-*-Р1, слои которого являются кривыми этого пучка.
В спектральной последовательности
ЯГ(Р', R\Gm)^Hr+s(X\ <Qm)
') Группа Брауэра является бнрацнональиым инвариантом гладкой
проективной поверхности (см. f48, III]).— Прим. перев.
268 Гл. V. Когомологии кривых и поверхностей
Я2(Р[, Gm)=0 по III.2.22, a R2n.Gm не имеет /-кручения,
потому что /?2л»-и/= Z/(/) и отображение Pjcj^p1-* /?2я,#»1 сюръ-
ектнвно; ср. с 3.5. Поэтому
Вт(Х*)(1)~Н1(Р\ Pic.v/P')(0-
Если мы определим Л = Pic^..p, с помощью точной
последовательности 0-> Л-> Picx«/pi —>• Z-* О, то, поскольку Я1 (Р1, Z) =0,
Я1 (Г'1, Л) отличается от Я1 (Р1, Р1сл,/р|) на конечную группу.
Таким образом, из предположения оконечности группы Я'(р',Л)(/)
вытекает конечность группы Вг(Х*)(1). Тогда мы получаем
конечность группы Вт(Х)(1) и, следовательно, равенство ф2(Х) =
= р(Х) = 1. Как и ранее, последнее равенство приводит к
противоречию (с использованием 3.12).
Как обычно, через г| обозначается общая точка Р1. Якобнево
расслоение А'-*■ ■-'■ для Х*/Р* —это полная минимальная модель
над Г" кривой над k(r\), являющейся якобианом кривой Х'ч
(пополненным точкой, если Х'^ негладка). (См. [108].) Определим
Л как открытую подсхему в Л', получаемую удалением из Л'всех
особых точек слоев. Любой элемент из Й1 (^\ А) представим как
Л-торсер Y над !г', поэтому, будучи локально изоморфен Л над
Рё(, он может быть дополнен, как и А, до полной гладкой
поверхности У добавлением особых точек к некоторым слоям.
Поэтому У есть Л'-торсер над Г1, тривиальный в том и только
том случае, когда он имеет сечение, или, что то же самое, когда
У тривиален. Мы покажем, что любой нетривиальный У является
рациональной поверхностью. Это завершит доказательство, так
как из тривиальности всех У следует, что Я1 (щ\ А) (/) = 0; в
противном случае найдется рациональный У. Тогда Вт (У) (/)
конечна и, поскольку Л = Р1с^р1( то (ср. с предыдущим абзацем)
Я'(Р1,Л)(/) конечна.
Поэтому рассмотрим нетривиальный Л'-торсер л': У-*-Р1.
Поскольку R])n'JJv — Ор< = R°n,Ox> и R^ti'JJy' = (касательное
пространство к Л)= 7?'л,(?х«, го спектральные последовательности
Лере для л и л' показывают, что />„(У) = ра{Х*) = 0. Поскольку
У и X* локально изоморфны над Pen то они также имеют
одинаковые слон, и описание канонического класса эллиптической или
квазиэллиптнческой поверхности в терминах ее слоев и /?,я»(7
[23] показывает, что слои л' являются аптиканоническими
дивизорами, т. е. /Сг-= —(слой л'). Пусть п — наименьшее
положительное число, для которого существует дивизор D на У, такой,
что (D- (—К)) = (£>-слой) = п. Из теоремы Римана — Роха
вытекает, что число
= ±.(D ■ D - К)+ \ =j(№ + n +I
Библиографические замечания 269
положительно, если (D2)^—п. При добавлении или вычитании
слоя —К из D число (D-(—К)) не меняется, число же (D2)
переходит в (D ± К)2 = Ъ2 + 2п. Поэтому найдется D с %((?(&)) >
> 0 и (D- (—К)) = п. На самом деле существует такой дивизор
D, который еще и эффективен, поскольку либо #° ((?(£>)) Ф О,
либо Н°(О(К — О))Ф 0, но последнее невозможно ввиду
неравенства (K — D (слой)) = — п < 0. Будем вычитать теперь из
D слои до тех пор, пока выполняется условие Н° (O(D)) ф 0;
эта процедура позволяет выбрать дивизор D ^ 0, такой, что
#°((7(D-f К)) = 0- Теорема Римана —Роха, примененная к
D + К, показывает, что (D2) < п Если мы заменим D его
неприводимой компонентой, имеющей положительный индекс
пересечения со слоем, то мы получим кривую D, для которой вес
еще выполнены условия (D (—/()) = п и (D2)<n. Теперь
o<(0)
и, таким образом, pa{D)= 0 и {D2) = n — 2. Если п= 1, то
вопреки нашим предположениям существует сечепне морфизма
л'1). Поэтому л^2 и (D2) ^ 0 Из существования такой
кривой на У вытекает рациональность У" ([113, с. 06]).
Библиографические замечания
Теория конструктивных пучков изложена в [54, IX] и в [13],
причем в [13] конструктивные пучки описаны в терминах
алгебраических пространств Наше изложение формулы Огга — Ша-
фаревича — Гротендика (2.12) следует [102] обобщение на
комплексы пучков можно найти в [56, X]. Когомологий
поверхностей над-С; исследовались Лефшецем [83] с помощью пучков
Лефшеца2) Часть его работы была перенесена в
характеристику р Игузой [66]—[69] Артин интерпретировал работу
Игузы на языке этальных когомологий и полностью исследовал
когомологий поверхностей в характеристике р (не
опубликовано, за исключением [5, IV]). Полезное сравнение
классических результатов о когомологиях поверхностей с аналогичными
утверждениями об этальных когомологиях в характеристике р
можно найти в приложениях ко второму изданию книги Зарпс-
ского [133], написанных Мамфордом. Теория пучков Лефшеца
и их когомологий для многообразий больших размерностей и в
любой характеристике детально разработана в [58].
') Кривая D является образом этого сечения. — Прим. перев.
2) Современное изложение классических меточов Лефшеца см. п статье:
Lamotke К. The topology of complex projective varieties after S Lefschetz,—
Topology, v 20, 1981, p. 15—51. — Прим. перев.
Глава VI
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Гладкое полное многообразие размерности d над сепарабельно
замкнутым полем когомологически ведет себя как гладкое
многообразие комплексной размерности d и вещественной
размерности 2d; например, его группы этальных когомологнй
тривиальны в размерностях, больших 2J, и удовлетворяют теореме
двойственности Пуанкаре. Для подходящих пучков кручения
высшие прямые образы при собственном морфизме
коммутируют с произвольной заменой базы, а при произвольном
квазикомпактном морфнзме — с гладкой заменой базы. Отсюда
следует, что группы когомологий ограничения конечного
постоянного пучка па общий геометрический слой гладкого
собственного отображения совпадают с группами когомологнй его
ограничения на специальный геометрический слой. Высшие прямые
образы конструктивного пучка при собственном отображении
снова конструктивны; в частности, группы когомологнй
конструктивного пучка на полном многообразии1) конечны. Группы
когомологнй аффинного многообразия тривиальны в
размерностях, больших, чем размерность многообразия; так как
существует последовательность Гизина, то имеет место слабая
теорема Лефшеца, т. е. группы когомологий гладкого
проективного многообразия совпадают с группами когомологий его
гладкого гиперплоского сечения, исключая средние размерности. Для
произведения полных многообразий справедлива формула Кюн-
нета, и существует отображение циклов, сопоставляющее
алгебраическим циклам классы когомологий, причем так, что
алгебраически эквивалентным циклам сопоставляется один и тот же
класс. Эти результаты позволяют, следуя А. Вейлю, чисто
формально вывести формулу Лефшеца для числа неподвижных
точек и получить отсюда рациональность и функциональное
уравнение для дзета-функции гладкого проективного
многообразия над конечным полем. Из более общей формулы для числа
неподвижных точек можно получить доказательство
рациональности широкого класса L-рядов, отвечающих представлениям
групп Галуа.
') Над сепарабельно замкнутым полем. — Прим. перев.
§ 1. Когомологическая размерность 271
§ 1. Когомологическая размерность
Пусть / — простое число. Пучок F является пучком кручения
(соответственно l-кручения), если для всех квазикомпактных U
группа F(U) является группой кручения (соответственно
/-кручения, т. е. каждый ее элемент аннулируется степенью /).
l-кого но логическая размерность ссЦС/Л^е ситуса (С/А*) г
есть наименьшее целое п (или оо), такое, что Н'(ХЕ, F) = 0 для
всех 1>п и всех пучков /-кручения. Мы будем писать cd((/")
вместо cd/(specA)et и т. п. Нам понадобится следующая теорема
Тейта: если К — поле степени трансцендентности п над полем k,
то cd,(KXcd/(*) + n (см. [124, теорема 28, с. 119])').
Теорема I.I. Если X — схема конечного типа над сепара-
бельно замкнутым полем k, то cd/(A"et)^ 2 dim (A").
Доказательство. Мы используем индукцию по п =
= dim(A'). Утверждение теоремы очевидно для п = О, и мы
предполагаем, что оно справедливо для п— 1. Пусть F—пучок
/-кручения на А". Если размерность носителя F ^ п—I, т. е.
F = U i,F0, где i: Z ^* X — замкнутые подсхемы размерности
^л—1, то (III.3.6(d)) Hl(X, F) = \JHl(L, F0) = Q для i >
> 2п — 2. Пусть {лс[, ..., хг}—общие точки неприводимых
компонент схемы А' и gs: xs <=♦ X — отображения включения.
Ядро и коядро канонического отображения Z7-»© gs.g'sF
имеют носители размерности ^ п — 1, и, тем самым,
приведенное выше замечание позволяет нам ограничиться пучками вида
gs»F. Мы можем предположить, что схема А" неприводима и
приведена (II. 3.17).
Лемма 1.2. Размерность носителя пучка R'g,F не превосходит
л - /.
Доказательство. Пусть х^Х, А=Ох\х, А\, .... Л,—
факторкольца кольца А по его минимальным идеалам и Кг —
поле частных кольца Аг. Тогда (III. 1.15) слой R!gtF в х есть
®' F\Kr).
Подлемма 1.3. Для любой точки х^Х существует сепара-
бельно замкнутое поле k\ схема X' конечного типа над k' и
замкнутая точка х' в А"', такие, что О*х, х «* Ох\ х--
Доказательство. Мы можем считать схему А* аффинной.
Пусть У — замыкание {х} в А". Согласно теореме Нётера о нор-
мализацни, существует отображение А"->А», индуцирующее
') См. также [118, гл. II, п. 4.2, предложение 11, с. \03].—Прим. перса.
272 Гл. VI. Основные теоремы
конечное отображение K->A!t, где d = dim(Y). Тогда
6' = &(А*)з , А" = ^ Хл jspec^', и точка х', определяемая как
обратный образ х в X', удовлетворяют заключению подлеммы.
Теперь из 1.3 следует 1.2, потому что если d — dim{x}, то
степень трансцендентности поля К, над k' не превосходит п — d,
и, таким образом, W(Кг, F\Kr) = 0 для j>n—d, т. е. для
d > п — / в силу теоремы Теита.
Из 1.2 и предположения индукции вытекает, что Н'(Х, Rig<,F) =
= 0 для i>2(n — /), j¥=0. Таким образом, спектральная
последовательность Лере Н'(Х, R'g*F)=> Hi+l(k(X), F) дает
изоморфизм Я1 (A", g*F) ss H'(k(X), F) для / > 2rt, и последняя
группа тривиальна.
Следствие 1.4. Пусть X — схема конечного типа над полем k.
Для всех I ф char (k) имеем cd, (Xei) < cd, (k) + 2 dim (X).
Доказательство. Это непосредственно следует из 1.1 и
спектральной последовательности Хохшильда—Серра
Hl(k, H'(X', F'))=>Ht+'(X, F), X' = X®kks.
Замечания 1.5. (а) Ниже (7.2) будет показано, что для
аффинных схем X конечного типа над сспарабельно замкнутым
полем k cd/(^ei) ^ dim(A') для всех простых /.
(b) Пусть p = chav(k). Тогда для схемы X конечного типа
над полем k C(!p(Aret)^ dim(A')-|- 1- Если X отделима и k сепа-
рабсльно замкнуто, то cdp(Aret) ^ dim(A'). При доказательстве
первого утверждения показывается, что можно ограничиться
случаем пучка F = /,Z/(p), где /: U <=^-X является открытым
вложением. Потом нужно использовать последовательность Ар-
типа — Шрсйсра и тривиальность когомологий в топологии За-
рнсского когерентных пучков для i > dim (А"). Второе
утверждение с помощью леммы Чжоу сводится к случаю, когда X ква-
знпроектнвпо. Затем используется следующий факт:
отображение векторных пространств 1 — <р: V-+V с р-линейным ф эталь-
по, если V представить как векторную группу, и, следовательно,
сюръективпо, когда V конечномерно и k сепарабельио замкнуто
[54, Х.5].
(c) Если X — схема характеристики р, то за редким
исключением сс1р(Л'н) = оо. Например, Шатц [123] показал, что
cdp(Arn)= оо, когда X является спектром полного локального
(нётерова) кольца А, исключая случай, когда А—совершенное
поле.
Однако можно показать, что для плоской коммутативной
групповой схемы /V р-кручення над /Y Н1(Х<\, /V) = 0 при />
> Ci\p(Xei)-\- 1; здесь используется то, что над каждой аффинной
§ 2. Собственная замена базы и теоремы конечности 273
подсхемой схемы X групповая схема N может быть включена
в точную последовательность 0->-Af->- G°-*-Gl-*-0 с гладкими
групповыми схемами G0 и С1. Ввиду III. 3.9 R'ftG! = 0 для
i > 0, где /: Xu-^-Xei — очевидный морфизм, что влечет за
собой R'ftM = O для i> 1. Наше утверждение следует теперь из
спектральной последовательности Лере для морфизма /.
((1) Результаты в (Ь) и (с) не могут быть улучшены;
например, для кривой А' над конечным полем можно показать, что
§ 2. Собственная замена базы и теоремы конечности
Теорема о собственной замене базы утверждает, что высшие
прямые образы R'ntF пучка кручения F по отношению к
собственному морфизму я; У-*-Х коммутируют с заменой базы; в
частности, слой R'n,F в х есть Hl (Y-x, F | Yx), где У* —
геометрический слой я над х. Теорема конечности утверждает, что
высшие прямые образы конструктивного пучка на Уе\ тоже
конструктивны; в частности, группы когомолопш такого пучка на
полном многообразии конечны. Следующая теорема содержит
оба этих результата.
Теорема 2.1. Если я,- У-*■ X — собственный, морфизм. и F —
конструктивный пучок на (Sch/y)et, то RlntF — конструктивный
пучок на (Sch/A")et для i: :> 0.
Прежде чем рассмотреть доказательство теоремы 2.1, мы
перечислим некоторые следствия из нее.
Следствие 2.2. Если я: У-*-Х — собственный морфизм и F —
локально конструктивный пучок кручения на (Sch/y)et, тп
R'ntF — локально конструктивный пучок на (Sch/A')ei для
Доказательство. Теорема 2.J утверждает, что это так,
если F конструктивен. Поскольку высшие прямые образы
коммутируют с прямыми пределами пучков (ср. III. 3.G(*1)) и
каждый локально конструктивный пучок кручения на (Sch/K)ci есть
прямой предел конструктивных "пучков (V. 1.10 (Ь)). ю следствие
доказано.
Теперь мы выразим 2.2 в терминах малого этального ентуса.
Для каждого квадрата
i
274 Гл. VI. Основные теоремы
и пучка F на Yel существует отображение f'Rln,F-► Rln'.{f'*F),
которое, если квадрат декартов, называется морфизмом замены
базы. Ввиду того что функторы /* и ft сопряжены, для
определения морфизма замены базы нужно задать морфизм
функторов /?'я„-> f,{R'n',)f*. В качестве этого морфизма мы возьмем
композицию морфизмов
#'я,-»(/?Ч)/:Г (индуцирован Ш-*Г.П.
(*Ч) КГ - R1 «). Г = R1 (Ы\ Г.
Сходное соображение, примененное к квадрату
\ I"'
ХЛ <-*— (Sch/X)et
показывает, что существует «универсальный» морфизм замены
базы g'(R'ntF)~>-Rlnb,(grrF), который дает предыдущий
морфизм при ограничении с S((Sch/,Y)et) на S(A'ei). Морфизм
замены базы может быть также описан в терминах резольвент
Годемана; см. [1].
Следствие 2.3 (теорема о собственной замене базы). Пусть
У
Р
X'
— декартов квадрат. Если п—собственный морфизм и
F—пучок кручения на Kei, то морфизм замены базы f*(R'ntF)->
—> R'n', (f"F) является изоморфизмом для всех i.
Доказательство. Прямая проверка с использованием
III. 3.1 показывает, что RlntF —► gt (/?'л?) g'*F. Поэтому
локальная конструктивность (R'nb.)g"F означает в точности, что
универсальный морфпзм замены базы g' (RlntF) -*- /?'я* (g'"F)
является изоморфизмом.
§ 2. Собственная замена вазы и теоремы конечности 275
Замечание 2.4. Пример из [54, XII.2] показывает, что
утверждения 2.2 и 2.3, вообще говоря, не имеют места для пучков, не
являющихся пучками кручения.
Следствие 2.5. Пусть я: Y-+X — собственный морфизм, Jt->-
-*■ X— геометрическая точка схемы X, и пусть Yx-^-к —
геометрический слой л над х. Если F — пучок кручения на Kei, то
существует канонический изоморфизм (К1п^)2 -*■ Н' (Ух, F | Кх)
для i ^ 0. Предположим дополнительно, что размерности всех
слоев Y/X не превосходят п. Тогда Rln,F = 0 для j > 2н; если
характеристика X равна р и F — пучок р-кручения, то R'n,F = 0
для i > п.
Доказательство. Первое утверждение — частный случай
2.3; второе следует из первого и результатов § 1.
Следствие 2.6 (инвариантность когомологий по отношению
к замене основного поля). Пусть kczK—сепарабельно
замкнутые поля, и пусть X -*■ собственная схема над к. Если F — пучок
кручения на Ае[, то Н1 (X, F) -^* Н1 (Хк, F | Хк), где Хк = X ®* Л'
для i ^ 0.
Доказательство. Это частный случай 2.2, так как
Г (spec 6, F) « Г (spec К, F) для каждого локально
конструктивного пучка F на (Sch/spec&).
Следствие 2.7. Пусть S — спектр гензелева кольца A, s0 —
его замкнутая точка, л: X-*~S — собственное отображение и
Xo-+So — замкнутый слой X/S. Если F—пучок кручения на Xei,
то для i ^ 0 существует канонический изоморфизм Н1 (X, F)—»•
^+Н'(Х0, Fo), sdeF0 = F\X0.
Доказательство. Пусть 5 = spec AsU и s0
—замкнутая точка на 5. Тогда 2.5 утверждает, что Hl(X, F\X)—+
^ Н1 (Хо, Fo\ X0),rAe Х = ХХ5. Пусть G=*Gal{k(§0)/k(s0)) =
\AhA)
Следствие 2.7 вытекает нз рассмотрения спектральных
последовательностей Хохшильда — Серра
Hl(Q. H'(X, F\X))
Hl(G, H'(X0, Fo\Xo))^Hl+l(XD, F),
так как мы уже доказали, что левые части изоморфны. Все
предыдущие следствия нашей теоремы вытеквют из локальной
конструктивности R'nwF, содержащейся в утверждении 2.1.
27С\ Гл. VI. Основные теоремы
Следствие 2.8. Пусть k—ноле, такое, что группа Галуа
G = Ga\(ks/k) поля k конечно порождена как топологическая
группа (например, поле k = ks сепарабельно замкнуто). Если
X — собственная схема над k и F — конструктивный пучок на
/Vet, то группы Н'(Х, F) конечны ') при i ^ 0.
Доказательство. Если G = G;il (ks/k), то 2.1
показывает, что H'(X®ks, F) — конечным G-модуль для всех /.
Доказываемое следствие вытекает теперь из спектральной
последовательности Хохшнльда — Серра для A"® ks/X2).
Доказательство 2.1 Доказательство, содержащееся в
[54, XII, XIII, XIV], длинное н трудное. Однако его можно
упростить используя алгебраические пространства п аппрокси-
мацпопную теорему Артина. Поскольку в книге Артшга [13 VII]
дано сравнительно элементарное изложение упрощенного
доказательства, мы ограничимся лишь наброском Как и Артин,
мы будем всегда предполагать, что X схема конечного типа
над алгебраически замкнутым полем k. (См. также [55, Arcata
IV].)
Лемма 2.9. Пучок F на (Sch/A'),,( локально конструктивен
тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
(a) F локально конечного типа (т. е F(\imAi)=\\mF[Ai)
для любой фильтрованной направленной системы Ох-алгсбр
(А,));
(b) для каждой полной локальной Ox-алгебры А с полем
вычетов k каноническое отображение F'{A)-*-F(k) является
изоморфизмом.
Доказательство См [13,VII.7.2]
Замечание 2.10. Необходимость: если F представим
алгебраическим пространством Р, то (а) эквивалентно тому, что F
локально конечного типа над А"; если алгебраическое пространство
F этально и локально отделимо над .Y, то /^Хл spec Л является
несвязным объединением нескольких экземпляров spec Л что
влечет за собой (Ь).
Достаточность условий есть критерий представимости; 2.9
по существу, сводит доказательство локальной конструктивности
R'ntF в 2.1 к доказательству утверждения 2.7 для случая, когда
5 — спектр полного локального (а не просто гензелева) кольца.
Переход от полного кольца к гензелсву кольцу —это одно из
') Заключение следствия 2.8 справедливо для конечных и р адических
нолем, а также для поля вещественных чисел. Оно неверно для числовых
no.'ieii (даже для k — Q и / = I). — Прим. персе.
2) В наших предположениях из конечмос1и G модуля Н(X ® £s. F) вы-
гекаст конечность групп II, (С?, Н'(Х<8) ks. F)) при / = 0. — Прим. перев.
§ 2. Собственная замена базы и теоремы конечности 277
трудных мест в первоначальном доказательстве, и аппрокснма-
ционная теорема Артина позволяет совершить этот переход.
Шаг 1. Если F — конечный и постоянный пучок, то пучок
n»F локально конструктивен.
Проверку первого шага можно свести к следующему
утверждению. Для схемы Y, собственной над spec Л, отображение
Уо c=l» Y замкнутого слоя в Y индуцирует бпекцию множества
компонент связности nQ(Y0)—*■ п0 (Y) (ср. с П.9.18(а)). А это
следует из теоремы связности Зарисского (ср с. II. 3.8)
Шаг 2. Если пучок F конечен и постоянен, то пучок n,F
конструктивен.
Пусть Y—'■*¥'—'-*■ X — разложение Штейна морфнзма л
([61, III. 11.5]). Так как слои морфпзма Я| геометрически связны
и пир локально конструктивен, то n]mF есть постоянным пучок
My, где М = Г (К, F). Следовательно, мы можем предположить,
что морфнзм л = лг конечен. Существует сюръективиое
семейство Xi-*-X морфнзмов конечного типа, таких, что YXXi
является объединением непересекающихся экземпляров X, Ясно,
что пучок n,(F\YXXi) конструктивен. Ввиду того что пучок
n,F локально конструктивен,
Конструктивность л./7 следует теперь из V. 1.8(d).
Шаг 3. Если пучок F конструктивен, то конструктивен и л*/г.
Существует конечное семейство конечных отображений /,:
Yi-*-Y и конечные постоянные пучки Fi на Yi, такие, что F
является подпучком в F' = J[ flmF ([13, VII. 5.1)). Повторяя эти
рассуждения для F'/F, мы получим точную последовательность
О-*■ F-*■ F'-*■ F". По второму шагу пучки л»/7' и ntF"
конструктивны, и V. 1.9(с) показывает, что пучок n«F = ker(n,F->-n,F")
также конструктивен.
Шаг 4. Теорема справедлива для конечного морфизма
л: Y-+X.
Это следует из третьего шага, так как R'ntF = 0 для i > 0.
Шаг 5. Если пучок F конструктивен и относительная
размерность морфизма л не превосходит I, то R'n,F локально
конструктивны.
Проверяем условия 2.9. Изоморфизм между RlntF (lim At) n
limRln,F(А/)— следствие того, что когомологии коммутируют с
обратными пределами схем (III. I.16, III.3.17). Для 2.9(Ь) мы
должны показать, что ф': H'(Y, F)-*-Hl(Y0, Fo)— изоморфизм
при i^O. Здесь Y—собственная схема относительной
размерности один над полным локальным кольцом А и Yn — замкнутый
слой Y/specА. При »>0 функторы H'(Y,F) стираемы в кате-
278 Гл. VI. Основные теоремы
гории конструктивных пучков на У в том смысле, что для
каждого y^H'(Y, F) существует инъекция F-*~Fy с
конструктивным FY, такая, что у^0 при #'(У, F)-*-//'^, Fy) (|13,
VII. 4.6]). Отсюда следует, что нам достаточно доказать сюръек-
тивность ф' при i > 0. Поскольку ф° — изоморфизм (третий
шаг), a H'(Yq, Fq)=Q при г>2 (1.1), то достаточно
проверить сюръективность ф1 и ф2. Прием, использованный в шаге 3,
сводит эти утверждения к случаю F=Z/(/). Мы знаем, что
Поэтому для доказательства сюръективности ф1 нужно показать,
что любое накрытие Галуа Уо с группой Галуа Z/(l)
поднимается до накрытия Y. А это следует из теоремы существования
Гротендика ([13, VII. 11.7]). При / = char(fc) гомоморфизм ф2
сюръективен ввиду равенства нулю группы H2(Y0, Z/(/)). Если
1Ф спаг(6), то
Я2(У0, Z/(/))-Pic(ro)//Pic(ro),
и мы должны убедиться в существовании подъема для
обратимых пучков с Yo до Y. Тот факт, что такой подъем есть,
вытекает из топ же теоремы существования Гротендика ([13,
VII.11.10]).
Шаг 6. Теорема справедлива, если относительная размерность
морфизма я не превосходит 1.
Можно показать, что нужно разобраться лишь в следующей
ситуации. Схема X приведена, и л: Y-+-X— гладкий морфизм
с геометрически связными слоями размерности один. Тогда
RlntOy — локально свободный пучок конечного ранга над А", и
взятие1) первого высшего прямого образа Я1пщОу коммутирует
с заменой базы. Поэтому род gx слоя Yx — локально постоянная
функция на X. Снова необходимо рассмотреть лишь случай
F = Z/(/). Если /^char(A), то H'(YX, Z/(l)) имеет порядок /,
I х, I, \ соответственно для i = 0, 1, 2, г ^ 3. Следовательно,
R'n,F конструктивен по пятому шагу и VI. 1.8(d). Если / =
= char(£), то R*si^,/{l)=7,/(l) и /?'n.Z/(/) = 0 для i > 1.
Так как R'nt(Z/(l))— ядро этального отображения /?|я„Срк->
-*-R*nt0y (где кЫшОу рассматривается как векторная группа
на X), оио представимо этальной групповой схемой над X.
В частности, оно конструктивно. (Более подробное изложение
см. в [13, VII, § XII].)
Последний шаг, редукцию к случаю относительной
размерности ^ 1, можно найти в [13, VII, § XIII].
') В оригинале «formation*. -- Прим. перев.
§ 3. Высшие прямые образы с компактным носителем 279
§ 3. Высшие прямые образы с компактным носителем
Для заданных полного многообразия X, открытой подсхемы
/: U <=♦ А" и пучка кручения F на t/ei мы определили (III. 1.29)
группы когомологий F с компактным носителем Hlc(U, F) как
группы Н'(Х, j\F). Используя теорему о собственной замене
базы, можно показать, что эти группы не зависят от полного
многообразия, в которое вложено V. Более общо: можно
корректно ввести понятие высших прямых образов с компактным
носителем для любого пучка кручения F по отношению к
любому компактифицируемому морфизму л: U-+-S, т. е. морфмзму,
который может быть включен в коммутативную диаграмму
с открытым вложением / и собственным морфнзмом п; мы
просто полагаем R'cntF = #'jt (Z,/7)-
Предложение 3.1. Пучки R'cn.F не зависят от вложения
/: U с*Х.
Доказательство. Предположим, что мы имеем два таких
5-вложенпя /: U <=♦ X и /': U <=~ X'. После замены X'
замыканием образа U в A" Xs А"' мы можем предположить, что
существует собственный 5-морфизм g: X'-*-X, такой, что gj' = j и
л' = ng. Таким образом, существует спектральная
последовательность
Ввиду теоремы о собственной замене базы (особенно 2.5) слон
R'g,(j'F) могут быть вычислены на слоях Х'/Х. Так как слой Х'к
состоит нз одной точки, если je(/, и /'/г|А'^ = 0 при хф.11,
очевидно, что gj\F « j{F и R'g, (/[F) = 0 для i > 0.
Теорема 3.2. (а) Функторы R'cnt образуют 6-функтор.
(b) Предположим, что схема S квазикомпакт на. Если мор-
физм л квазиконечен и отделим, то R'cnt = 0 для i > 0. Если,
кроме того, л этален, то R°n,=n{— «продолжение нулем»
(II.3.18).
(c) Если в U' -—*■ U —*■ S морфизмы л и л ° л'
компактифицируемы, то для всех пучков кручения F на U' существует
спектральная последовательность
280 Гл. VI. Основные теоремы
(d) Если пучок F конструктивен, то Rlcn,F также
конструктивен.
(e) Высшие прямые образы R'cn,F коммутируют с заменой
базы.
Доказательство, (а) Функтор /, точен.
(b) В соответствии с основном теоремой Зарисского (I. 1.8)
мы можем взять компактификацшо X, являющуюся схемой
конечного типа над S, и тогда первое утверждение следует из
того, что л, точен (II. 3.6)'. Второе утверждение доказано в
V. 1.13.
(c) Заметим следующее:
(i) Если квадрат
v t-U х'
декартов, л и я собственны и / и /' — открытые вложения, то
теорема о собственной замене базы показывает, чтоRl(nt)(j'F)=
= ./,(/?'n,F) для каждого пучка кручения F на W.
(и) Если в (с) л' — замкнутое вложение, то мы можем
построить диаграмму, в которой X — компактификация л, а X' —
замыкание jn'{U') в А':
Тогда
{К ("«').) (F) = (#' (яя').) (i'tF) (по определению) =
= (Я'я.) (n'J'F) (в СИЛУ точности я^) =
= (Wit.) (/,<f) (по п. (i)) =
= (/?Х) (л*^) (по определению).
§ 3. Высшие прямые образы с компактным носителем
281
(iii) В общем случае мы можем построить диаграмму
V r-J-?. U xs U' CJU U xsX' ^U X xs X'
в которой X и X'— компактификации Uv.il' над 5. Таким
образом, /, /', /"" — открытые вложения, морфизмы л, л', я"
собственны и (—замкнутое вложение. Тогда
п. (м)) =
= (Я'я.) /,
определению) =
п.
(/?<+/ (лл")ф) (/"
')./7^ п. (iii) и по определению).
(d) Ясно, что пучок j{F конструктивен, и потому мы можем
применить 2.1.
(e) Это следует из теоремы о собственной замене базы (2.3).
Замечания 3.3. (а) Обычно Rlcnm записывают в виде R'nr
Однако Rlnt не является i-м правым производным функтором
от /?°я, (см. обсуждение, предшествующее III, I.29).
(b) Все утверждения из III. 1.29 обобщаются (вместе с их
доказательствами) на случай высших прямых образов с
компактными носителями.
(c) Для схемы U над сепарабельно замкнутым полем мы
будем писать HC(U, F) вместо Rcn,F. Если пучок F
конструктивен, то группы H(C{U, F) конечны.
(d) Если U — отделимая схема конечного типа над С и к
тому же компактифицируемая (в приведенном выше смысле),
то H'c(U, F) «* Hle(U(C)t F) для любого пучка кручения F на U,
где в npaeoii части стоят когомологии с компактным носителем
(в обычном смысле) пучка F на топологическом пространстве
U{С.) ([54, XVII.5.3.5])..
(e) В [97] показано, что отделимый морфнзм конечного типа
нётеровых схем компактифицируем; в частности, многообразие
компактифицируемо тогда и только тогда, когда оно отделимо.
282 Гл. VI. Основные теоремы
([) Для заданного морфнзма л: Y-* X обычно не существует
отображений ограничения Н'с (X, F) -» Н'с {Y, F | Y), исключая
случай собственного я.
Упражнение 3.4. Пусть л: Х'-*-Х — собственный морфизм
компактифицируемых схем, F и F' — пучки на X и X' и <р —
отображение F-*n,F'. Предположим, что существуют открытые
подсхемы Uа X и V = n-l(U)dX', такие, что n\U' является
изоморфизмом Ur-—>U, и ф: F | U — ► л,/-" | U. Показать, что
существует точная последовательность
...->//! (X, F) -> Я^ (Г, ОФ И' (X -U,F)-+
-> Я^ (Г - £/', Г) -> Я'+1 (A", F) -► ... .
(Указание: ср. с последовательностями в III. 1.30 для F', X', W
и F, X, U.)
§ 4. Теорема о гладкой замене базы
Для любой схемы X обозначаем через char (А") множество
простых чисел (или нуль), возникающих как char(k(x)) для
некоторой точки же А', или, что то же самое, char (А') —образ
канонического отображения A"-»-specZ. Кручение пучка F взаимно
просто с char (А"), если р: F-+F ннъектнвно для всех р^О в
char(X).
Теорема 4.1 (теорема о гладкой замене базы). Пусть
X «-£— X'
— декартов квадрат с гладким g и квазикомпактным л. Если
F — пучок кручения на Ye\ и его кручение взаимно просто с
char (А"), то морфизм замены базы gm (R'n%F)-> Rln'w(g'*F)
является изоморфизмом для всех i.
Прежде чем приступать к доказательству 4.1, мы приведем
некоторые следствия.
Следствие 4.2 (гладкая специализация групп когомологий).
Пусть л: К-*А" — собственный и гладкий морфизм, F —
конструктивный локально постоянный пучок на Ув| и кручение F
взаимно просто с char(A"). Тогда для каждого i ^ 0 пучок
RlntF конструктивен и локально постоянен; в частности, если
§ 4. Теорема о гладкой замене базы 283
схема X связна, то группы Н1 (Уя, F | Y£) (= (R'^F)^ изоморфны
для всех геометрических точек х в X.
Д о к а з ajr_e л ь с т в о. Пусть *i <= X и х0 — специализация xlt
т. е. хо£ {*i}i выберем геометрические точки Х\ и х0. Каждую
этальную окрестность х0 можно рассматривать и как этальпую
окрестность хи но, вообще говоря, разными способами. Однако
если мы фиксируем отображение Ох,х„-+Ох,я„ то любая
связная этальная окрестность х0 будет обладать единственной
структурой этальной окрестности х\, которая совместима с этим
отображением. Это дает нам отображение (Я'я.Р)^ ->(K'n</r)jf|,
поскольку направленную систему, прямым пределом которой
является первая группа, можно рассматривать как подсистему
направленной системы, прямым пределом которой является
вторая группа.
Если пучок RlntF локально постоянен, обе направленные
системы становятся постоянными, и рассматриваемое отображение
будет изоморфизмом. Обратно, так как нам известна
конструктивность пучка /?'ji*f (2.1), то если отображения (Rin,F)i ->■
->(/?'n,F)? — изоморфизмы для всех пар х0, х\, то пучок /?'n,F
локально постоянен (V. 1.10).
Фиксируем пару х0, Х\. Существует строго локальное
нормальное кольцо А с сепарабельно замкнутым полем частных и мор-
физм spec А -+Х, переводящий общую точку схемы spec Л в
точку х\, а ее замкнутую точку в xq. Рассмотрим, например,
диаграмму
spec Л ->spec A{ ->spec A2 ->Х.
Здесь А2 = Ох, i0, Л| = Л2/Р, где р —точка вресЛг,
отображающаяся в jci, и Л — целое замыкание Л| в сепарабельном
замыкании его поля частных. Ввиду того что я — собственный мор-
физм, высший прямой образ Rln*F коммутирует с заменой базы,
и мы можем заменить А" на вресЛ (и, следовательно, писать
Х= spec Л). Если мы обозначим через Y\ общий слой Y/X, то
(W)*, = tf'0'i, П (по 2.5). Так как (Rln.F)it = H1 (Y, F), то
нам осталось показать, что отображение ограничения Я'(К, F)-+
->-Я'(У|, F) является изоморфизлюм.
Рассмотрим диаграмму
{- b
■ X
284 Гл. VI. Основные теоремы
Если нам удастся показать, что g',(F \Y{) ** F н Rlg't(F |У() = О
для i > 0, то из спектральной последовательности Лере для g'
будет следовать, что отображения ограничения H'(Y,F)-*-
-*-H'(Yi, F\Yi) являются изоморфизмами. Поскольку эти
условия локальны на Yei, мы можем предположить, что F
постоянен, скажем F = Му (и потерять собственность морфизма л1).
Пусть U—аффинная открытая подсхема в X. Рассмотрим
диаграмму
В соответствии с 4.1
л* (R4M ~ К1?. (я"М „) = /?'/.' (F\YX U).
Поскольку высшие прямые образы коммутируют с некоторыми
обратными пределами схем (III. I.16), переходя к пределу по
всем U, мы получаем изоморфизм л" (/?'#,№*(*,))«*/?'g^ (F l^i).
Поскольку схема X нормальна, g,Mk (х,) = Мх (II. 3.7), и так как
поле k(xx) сепарабельно замкнуто, Rlg,Mkix,) = 0 для i > 0.
Следовательно, левая часть в предыдущем изоморфизме есть
Mr для i = 0 и нуль при i > 0. Это завершает
доказательство 4.2.
Следствие 4.3. Пусть k а К — сепарабельно замкнутые поля
и Х-*-схема над k. Для любого пучка кручения F на X,
кручение которого взаимно просто с char(k), Hl(X,F)—*■ Hl{XK,F \XK),
i>0.
Доказательство. Из II.3.17 мы заключаем, что
можно заменить к и К их алгебраическими замыканиями. Теперь
К = \шлА(, где Л, — гладкие ^-алгебры, и мы можем приме-
нить 4.1.
Замечание 4.4. Последнее сле-дчпне интересно сравнить с 2.6.
Отмстим, что для p = cliar(£) равенство Я1 (A*, Z/(p)) =
= k[T]/(F — \)k\T](U\.4.\2) не инвариантно относительно замен
основного ноля. Например, aT^(F — 1)&[Т] для произвольного
яе4, Отсюда вытекает, что 4.3 и, следовательно, 4.1 неверны
без предположения о взаимной простоте кручения F с char (Я).
Следствие 4.5. Пусть л: X—*S — морфизм конечного типа
схем локально конечного типа над полем k и F —
конструктивный пучок на X. Тогда пучок R\F конструктивен, если
§ 4. Теорема о гладкой замене базы 285
char (ft) = 0 или если dim (А") ^2 и кручение F взаимно просто
с char(ft).
Доказательство. ([55, XVI.5.1]) (Условия следствия
гарантируют возможность разрешения особенностей. См. также
5.5 и 5.7 ниже.)
Прежде чем доказывать 4.1, мы приведем схему
доказательства. Сначала вводится понятие (локально) ациклического
морфизма g: Y->-X Грубо говоря, это означает, что пучок F на .V
и его ограничение g*F на Y имеют те же когомолопш
(локально). Поскольку интуитивно мы знаем, что каждый гладкий
морфизм есть проекция А"Х(открытый шар)->-Л' и открытый
шар стягиваем, то гладкий морфизм должен быть локально
ациклическим. В двух главных шагах в доказательстве 4.1 мы
устанавливаем следующие факты. Для любого универсально
локально ациклического морфизма g: Y-+X морфизм замены базы
(как в 4.1) является изоморфизмом (4.10). Любой гладкий
морфизм универсально локально ацикличен (4.15). Каждый шаг
требует предварительной подготовки; прежде чем доказать 4.10,
мы показываем (4.8), что локальная ацикличность эквивалентна
следующему условию Для квазиконечных морфизмов
морфизм замены базы приводит к изоморфизму для прямых оПра-
зов. Прежде чем доказывать 4.15, мы устанавливаем критерии
ацикличности 4 12, утверждающий, что ацикличность заключает
в себе локальное условие (локальную ацикличность) плюс
глобальное условие на геометрические слои (ацикличность).
Морфизм g: Y-*■ X п-ацикличен, п~^ —1, если для всех эталь-
ных схем X /X конечного типа и всех пучков кручения F на X',
кручение которых взаимно просто с char (А"), естестпениое
отображение Hl(Xr,F)-*H'{Y',F\Y') биективно для 0< / < л и
инъективно для i = п -+- 1 (здесь Y'=Y'X.xX/). С помощью
спектральной последовательности Лере для g'=g(X,^; у' -> .V
и III. 1.13, 2.11 (а) легко убедиться, что л-ацнклпчность
эквивалентна следующим утверждениям: F ^->- g[g"F и R'g[ {g"F) = 0,
1 ^ i ^ п, если п ^ 0, или естественный морфизм F-*g'.g"F
инъективен при п =' — 1. Морфизм g ациклический, если он
л-ациклический для всех п, и универсально (п-)ациклический,
если ga,) (л-)ациклический для всех А"-схем X'. Морфизм
g: Y-*■ X (универсально) локально (п-)ациклический, если для
каждой геометрической точки у схемы Y отображение
g: Y = spec OV. g -*■ X — spec Ox, ц
(универсально) (п-)ациклическое. (Случай п = —1 в
определениях необходим в начале некоторых индуктивных
рассуждений. Так как каждое сюръективное отображение, очевидно,
286 Гл. VI. Основные теоремы
(—1)-ациклично и каждое квазпкомпактное (—I)-ациклическое
отображение сюръективно, то читатель может вместо
(—^-ацикличности предполагать, что отображения сюръективны.)
Лемма 4.6. Морфизм g: Y-*- X является п-ациклическим тогда
и только тогда, когда для любого декартова квадрата
с квазиконечным f и любого пучка кручения F на X', кручение
которого взаимно просто с char(X), Hl(X', F)->- H'(Y', F\ У)
биективно для i ^ п и инъективно для i = n -f 1.
Доказательство. Ввиду того что каждый этальный
морфизм конечного типа квазиконечен, условие леммы, очевидно,
является достаточным. Для доказательства его необходимости
мы должны показать, что F—*■ g',g"F и (Rlg',) g'*F = 0 для
1 ^ i ^ п. (Мы оставляем читателю модификации, требуемые
в случае п = —1.) Поскольку утверждение леммы локально по
отношению к этальной топологии па X', следующий результат
позволит нам предположить, что / конечен.
Подлемма 4.7. Если f: X'-+X квазиконечен, то существует
семейство коммутативных квадратов
в которых ft конечны, hi этальны и yhL: X't-*Xf} есть покрытие
А'бЧ, г. е. f локально конечно по отношению к этальной топологии
на А".
Доказательство. Фиксируем точку х'^Х', и пусть
x = f(x'), X= spec(<#.,), Х' = ХХхХ\ Тогда (1.4.2(с)) Г
содержит открытую подсхему О, конечную над X, в образе
которой в схеме X' лежит точка х'. Так как X = Iim Uy, где L'v
этальны над X, легко заметить [52, 9], что для некоторого v
существует открытая подсхема UV в UvXX', такая, что 11Л- ко»
§ 4. Теорема о гладкой замене базы 287
нечна над t/v и V = XXuJUX'. Варьируя х' в
мы получаем требуемое семейство. (Ср. с [52, 18.12.1].) Теперь
мы докажем 4.6 для конечного морфизма /. В силу теоремы о
собственном замене базы (2.3) g*ftF-^+ f',g"F, и, тем самым,
гомоморфизм
Я» (Г, F) = H°(X, ftF)->H°(Yr g*f,F) « H°(Y, f'.g"F) =
= H°(Y',g"F)
биективен, если g О-ацикличен. Если n^ I, то в силу точности
/.и /' (II.3.6) /. (/?'£) g"F = /?' (fg\ g"F = /?' (gf\ g"F =
= (Rlgt) f.g'*F *=> (Rlg,) g*f,F, Последний пучок тривиален для
1 < / < п. Отсюда следует, что (Rlg'm) g"F = 0 для I < i ^ п.
Лемма 4.8. Морфизм g: Y-*-X локально п-ацикличен тогда
и только тогда, когда для каждой диаграммы декартовых
квадратов
У *-?-— Y < / у"
\
е
X' <J— X"
в которой j — этальный морфизм конечного типа и f —
квазиконечный морфизм для любого пучка кручения F на X",
кручение которого взаимно просто с char (Я), морфизм замены базы
биективен для i^.n и инъективен для i = п + 1.
Доказательство. =>. Достаточно показать, что
отображения на слоях
инъективны или биективны для подходящих i и всех
геометрических точек у' в У". Пусть x' = g'{y') и х' = у'. Рассмотрим
диаграмму
Y' ^ Y"
I £
X <J— X"
28Я Гл. VI. Оснпаныс теоремы
и к.)го|К)Г| Л" --- spec {Ох; ,■), У' - spec {Or, у). X" --= X" X ,'Х'
ii Y" - У" X г>" = К' X £.Х". Тогда
(g" (Л'Ш^ = т.п,- ~= н1 Сх". f | к")
п
(/?'/: (g"*nh'=я- (У", /=• i n (ш. 1.15).
Поскольку g' «-ацикличен и / квазиконечен, отображение
W {X", F | X") -+ W (Y", F | Y")
биективно для i ^ п и тп.ектнв]го для / = п + I в соответствии
с 4.6.
#=. Очевидно, мы можем предполагать схему X аффинной.
Пусть g: ?-+X — отображение, отвечающее геометрической
точке у в Y. Мы должны показать, что для этального морфпзма
Х'/К конечного типа и соответствующего пучка кручения F на
X' //'(.?', F)^>-Hl(?', F) биективно для i ^ /; и ииъективно для
|' = л-4-1- Мы полагаем ,? —limA'v, где предел берется по
аффинным схемам Xv, этальпым над X. Для некоторого v,
скажем v = 0, будет существовать эталыюе отображение X'u-*-Xq,
такое, что X' -*■ X = (х'} -> Х()) X х,Х. Тогда X' = lim Xv, где Х'у—
= Xv Xv К,(У^ °)> " мЫ обозначаем через \: Х'-^-Х^
соответствующее каноническое отображение. Мы знаем, что F —
прямой предел конструктивных пучков, И каждый
конструктивный пучок на X', очевидно, является обратным образом пучка
па X'v для некоторого v. Поскольку когомологпи коммутируют
с прямыми пределам» пучков (111.3.6(d)), мы можем
предположит!), что F имеет вид h'nt'() для Fo над X'Q. Применяя
предположения леммы к диаграмме
;
мы находим, чгто морфпзм пучков 8l(R'fi.F0)-*R'f',(g"F0)
биективен для / ^я н Hi-nieKTimeii для / = п -+• 1. Но у можно
рассматривать (каноническим способом) как геометрическую точку
Уо п Хо, и
где (R'l[(g'o'Fo))g =H'(Y', F), Что завершает доказательство.
§ 4. Теорема о гладкой замене базы 289
Следствнн 4.9. Морфизм g: Y->■ X локальна конечного типа
является локально п-ациклическим, если g: Y = specОу. р—* А' =
= spec Ox. 9 п-ацикличен для всех у, таких, что у замкнута в
ее слое в Y/X.
Доказательство. В доказательстве необходимости в 4.8
достаточно было рассмотреть лишь такие точки у', ал я которых
у' замкнута в своем слое (П.2.17(Ь)). Часть 4.8, относящаяся
к доказательству достаточности, показывает теперь, что g
локально л-ацнклнчен.
Предложение 4.10. Утверждение 4.1 имеет место, если условие
гладкости g заменить условием его универсальной локальной
ацикличности.
Доказательство. Сначала мы докажем предложение
4.10, предполагая, что п компактифицируем, например является
аффинным морфизмом конечного типа [50, 5.3.4]. В этом случае
диаграмма из 4.1 может быть включена в диаграмму
в которой я/ = я, fi'\'=n',h—собственный морфизм, / —
открытое вложение и оба квадрата декартовы. Тогда
g*Rln.(R'I.F)j:*(Rl*Ot(R'i.l!) (B соответствии с 2.3) -^
—*(RlK)(R'O(g"F) (B соответствии с 4.8 и
локальной ацикличностью g).
Это доказывает предложение 4.10 в предположении компактц-
фицнруемостп л, потому что диаграмма
коммутативна (ср. с [54, XII. 4.4]),
10 Зак. Ш
290 Гл. VI. Основные георемы
Так как yi иерждоипе 4.10 локально относительно А', то в
доказательства общею случая мы можем считать Аг аффинным.
Если V—открытое аффинное множество в Y (пли открытая
подсхема открытого аффинного множества), то V = \im Vi, где
все Vi — аффинные схемы конечного типа над X (или открытые
подсхемы таком схемы). Поскольку такие Vt
компактифицируемы, предложение 4.10 справедливо для каждого Vi.
Поскольку взятие высших прямых образов коммутирует с
нужными обратными пределами, то 4.10 имеет место и для V. Теперь
простая индукция позволяет вывести предложение 4.10 из сле-
дуюшен леммы.
Лемма 4.11. Пусть
— декартов квадрат, Y = Y{ (J Y2, где Y\ и К2 — открытые в
топологии Зарисского подмножества в Y, и пусть У12 = Y\ П Yz.
Обозначим через л, ограничение n\Y\ и через я12 — ограничение
л1К|2. Пусть Y\ обозначает Y\ Хх А'' и т. п. Если морфизм
замети базы является изоморфизмом для Л|, л2 и Л|2, то он
является изоморфизмом для л.
Доказательство. Начиная с точной последовательности
Манера — Вьеторлса (III.2.24), мы можем построить точную
коммутативную диаграмму
к которой нужно применить рассуждения нз леммы о пяти
гомоморфизмах.
Теперь мы докажем критерий ацикличности.
Предложение 4.12. Если морфизм g: Y-+X квазикомпактен,
локально (п — 1) -ацикличен и все геометрические слой У*->х
с k{x), алгебраичным над k(x), п-ацикличны, то g п-ацикличен.
Доказательство. Поскольку утверждение локально
относительно А (см. второе определенно ацикличности), мы можем
§ 4. Теорема о гладкой замене базы 201
предположить, что X квазикомпактно. Для любого эталыюго
морфизма Х'-*-Х конечного типа отображение g' = gtXy Y'-* X'
удовлетворяет тем же условиям, что и g. Если и:
х-*-Х'—геометрическая точка X* с полем k(x), алгебранчным над k(x), то
x=\in\Ui, причем каждое L/, квазиконечно над X'. Из 4.8 и
коммутирования высших прямых образов с обратными
пределам» схем мы выводим, что морфизм замены базы для
диаграммы
g'* (/?'«.Fo) -*■ R'u'. (g"*FQ), биективен для i^n—I и инъективен
для i = п, где Fo— соответствующий пучок кручения на х. Так
как k(x)—сепарабельно замкнутое поле, то при п ^ 0 морфизм
пучков g"utFu->-u'tg"*F0 инъективен, а при п > 0 он биектипен и
Rlu',(g'"Fo) = 0 для l<j<n-l.
Рассмотрим пучок F = u,F0. Для того чтобы доказать наше
предложение для F, мы должны показать инъективносл,
F->g'g"F при л = — 1, а для п ^ 0 — биективность F-+g'i>"F
и равенство //'(У, F\Y') to W{X', F) = Q при 1 < i ^ и.
Рассмотрим последовательность морфизмов (пучков)
где q> = g£ (морфизм замены базы для предыдущей
диаграммы). Их композицией является морфизм a, (Fn -^g"g"*Fu). Этот
морфизм инъективен потому, что g" по крайней мере
(—^-ацикличен. Отсюда вытекает, что F <=^. g',g'*F. Если п ^ 0, то ф
инъективен (так как g'*u,Fu<^~u'4g"*F'0), и наша композиция мор-
фнзмов является изоморфизмом ut (Fo -^* g"g"'F^. Поэтому
F -"-> g[g'*F. Пусть п > 0. Тогда спектральная
последовательность Лере для и' дает нам вложения
H'(Yf, F\Y')^W(Y'X, F0\Y'x)=0
для 1 ^ i'^ п, так как мы уже показали, что R'u't (FQ | Y'^ = 0
для 1 < / <л — 1.
Чтобы распространить доказательство на случай пронзпо.п,-
ного пучка кручения F, нам потребуются следующие два фи к гл.-
IU"
202 Гл. VI. Основные теоремы
(а) любом пучок кручения на X' есть прямой предел
конструктивных пучков (V. I.10(b));
(I)) каждый конструктивный пучок F на X' может быть
вложен, F <=♦© F,, в конечную прямую сумму пучков F, типа u»F0,
разобранного в предыдущем разделе (это легко вытекает из
V. 1.8(с); напомним, что X и, следовательно, X' квазнком-
пактны).
Рассмотрим гомоморфизмы cp'(F): H'(X', F) ■-*-#'( У, F), где
F — соответствующий пучок кручения на X'. Предположим, что
гомоморфизм (p'-'(F) биективен для всех F и некоторого i,
O^i^n+I. Используя (b), можно показать, что
гомоморфизм c()'(F) пиъектнвен для всех конструктивных пучков F;
потом, используя (а), можно показать, что q>'(F) инъективсн для
всех F. Теперь предположим, что / ^ п. Повторное
использование (Ь) дает бнективпость гомоморфизма <pl(F) для
конструктивных F и (согласно (а)) для любых F. Поскольку
гомоморфизм ф-1 = 0 биективен по тривиальным соображениям для
всех F, то индукционные соображения завершают
доказательство.
Следствие 4.13. Морфизм g: Y-*-X локально ацикличен, если
для любой геометрической точки й в Y с соответствующим мор*
фпзмом
g: Y = spec Oy, g -+X = spec Ox. q,
и любой геометрической точки х в X, такой, что поле k(x) алге-
браичнп над k(x), геометрический слой Yi-+X ацикличен.
Доказательство. Предположим, что g локально (п — I)-
ацикличен. Предложение 4.12, примененное к морфизму g
показывает, что он л-ацнкличен, откуда следует, что g локально
л-ацнкличсн. Остается применить индукцию.
Замечание 4.14. Если g локально конечного типа, то 4.9
показывает, что в предыдущем следствии можно ограничиться голь-
ко теми геометрическими точками у, у которых у замкнута в
своем слое.
Теорема 4.15. Каждый гладкий морфизм g: Y-^-7 локально
ацикличен (и, следовательно, универсально локально
ацикличен).
Доказательство. Так как композиция локально
ациклических морфизмов, очевидно, локально ациклическая и
(1. 3.24 (Ь)) каждый гладкий морфизм локально представляется
композицией морфизмов
§ 4. Теорема о гладкой яамгче Оаз'и 213
с этальпым £о, нам достаточно доказать теорему для каждою
g,. Но поскольку g0, очевидно, локально ацикличен (кажлып
морфизм go — изоморфизм) и морфизм gi для любого i^ I
имеет вид \z~*Z, нам нужно только рассмотреть случай, когда
У—аффинная прямая над X Пусть у — точка У, замкнутая в
своем слое, к = g(y) и у и х— геометрические точки над у и х;
для простоты мы предположим, что k(y) = k(y)sep и k(x)— се-
парабельное замыкание k(x) в k(y). Мы должны показать, что
для любой геометрической точки z в X = specCA.x с полем
k(z), алгебранчным над k(z), геометрический c.ioi'i Yi~~*z мор-
фнзма g: У = specОу. о -* X ацикличен (4.14). Очевидно, мы
можем заменить X на ,?, т. е. предполагать, что Л" = spec 1 со
строго локальным кольцом /1 (и х = х). Тогда У = spec/1 [У] и
у — замкнутая точка замкнутого слоя Afe(x) в Y/X. Мы
покажем, что в качестве у можно взять начало координат в AJ,.m;
отметим, что в общем случае k(y) будет конечным чисто несс-
парабельным расширением поля k(x).
Лемма 4.16. Пусть А-+В — локальный гомоморфизм гензе-
лввых локальных колец, такой, что расширение полей вычетов
k{B)/k(A) чисто несепарабельно. Для любой конечной
локальной А-алгебры А' кольцо В®АА' локальное генэелево.
Доказательство. Каждый максимальный идеал В®АА'
лежит над единственным максимальным идеалом mfl n В, и
кольцо (В/тя)®в(В <8>А А') я: k{B)®inA)(A'/mA) имеет только
один простой идеал. Следовательно, В®АА' локально и 1.4.3
показывает, что оно гензелево.
Пусть А-*- А' — конечный локальный гомоморфизм; мы
утверждаем, что в доказательстве нашей теоремы схема Л' =
= spec А может быть заменена на -Y' = spec/T. Пусть g' = g_l(.i;
Y'->X'. Выберем геометрическую точку у' в У, лежащую
над у. Лемма 4.16 показывает, что )" = spec Су- ц «* К X xAf'.
Таким образом, геометрические слои ?'/Х' те же, что и у ?/Х
с точностью до, возможно, чисто нееепарабелыюго расширения
основного поля. В соответствии с II. 3.17 такая замена ocnnmmio
поля не изменяет ни этального ситуса, ни его когомологнп, и,
тем самым, утверждение доказано.
Мы можем, следовательно, полагать, что кольца Оу.,; и
Ох х (= А) имеют одно и то же поле вычетов, т. е. что Ц
соответствует рациональной точке а0 замкнутого слоя А'-,Р)
схемы 7/Х. После параллельного переноса !►—>Г — а на точку
У = Ад, лежащую над Оо, мы можем предполагать, что а0 = О,
294 Гл. VI. Основные теоремы
и, таким образом, что Г = spec А {Г}, где А {Т} — гензелизацпя
А[Т\ по идеалу, порожденному максимальными идеалами А
и Т. Таким образом, нам достаточно доказать следующую
лемму.
Л км мл 4.17. Бели А—гензелево локальное кольцо, то
каждый геометрический слой spec Л {У} над А ацикличен.
Доказательство. Отметим, что Л{Г} = limfi, где
каждая схема spec В является гладкой аффинной кривой над А.
Таким образом, любой геометрический слой I схемы spec Л {Г}
над spec/I является обратным пределом гладких аффинных
кривых над сепарабелыю замкнутым полем. Отсюда следует, что
H'(Z, F) = 0, / > 1, для любой конечной группы F, кручение
которой взаимно просто с char (Л) (V.2.4). Осталось показать, что
H°(Z, F)= F и //' (Z, F) = 0 для любого такого F. Легко
видеть, что Л =1мпЛ/, где каждое кольцо Л,- является гензелнза-
цней конечно порожденной .'-алгебры и, следовательно,
превосходно (1.1.2). Кроме того, Л {7} = lim Л,{Г} и каждый
геометрический слон spec Л {7} над spec Л является обратным
пределом геометрических слоев spec A,AT) над spec Л,. Значит, в
ходе доказательства этих утверждений мы можем считать
кольцо А превосходным. Требуемое утверждение для Н° вытекает из
следующей леммы.
Лиммл 1.18. Каждый геометрический слой Z схемы зресЛ{7}
на<) spec Л непуст и связен.
Доказательство. Ввиду того что spec Л {Г} имеет
сечение «7 = 0» над spec Л, очевидно, что 1 непуст. Нам
понадобится такое следствие из 4.16: для любой алгебры А', конечной
и локальной над Л, Л'{Г} жА'®АА{Т}. Используя это след-
стпе для замены кольца Л его факторкольцом, мы можем
считать Л областью целостности, а 2—геометрическим слоем над
общей точкой spec Л. Теперь мы должны показать, что для
любого конечного сепарабсльного расширения К' поля частных К
кольца Л
ZK-2L spec Л {Т)®лК'
связен. Пусть Л' — целое замыкание кольца А в К', и пусть
Z' — геометрический слой вресЛ'{Г} над spec Л'. Так как А'
конечно над Л (I. 1.2), то А'{Т} х А' <8АА{Т}; это дает нам
равенство слоев Z' = Z^'. Значит, мы можем заменить Л на А',
т. с. считать кольцо Л нормальным. Но тогда А[Т] нормально,
откуда следует, что А{Т} нормально (I. 4.10(а)). Таким обра-
§ 4. Теорема о гладкой замене базы 295
зом, А{Т} <8а К нормально, что, конечно, влечет за собой
связность слоя Z = spec (Л {Т} ®А К).
Утверждение для Н1 следует из такой леммы:
Лемма 4.19. Если кольцо А строго гензелсво и превосходно
и Z — геометрический слой spec Л {Т}/spec А, тп каждое
накрытие Галуа 2 с конечной абелевой группой Галуа О расщеп.тема
при условии, что порядок группы G взаимно прост с
характеристикой поля вычетов А.
Доказательство. За доказательством этого чисти
алгебраического результата мы отсылаем читателя к [54, XV. 3,
с. 197—202]. См. также [55, Arcata, V.2.3].
Теорема 4.15 имеет важное следствие, которое нам
понадобится позднее.
Следствие 4.20. Для каждой схемы X структурный морфизм
g: /кЦ-^Х ацикличен.
Доказательство. Ввиду того что композиция
ациклических морфнзмов, очевидно, является ациклическом, нам нужно
рассмотреть только случай т= 1. Так как 4.15 показывает, что
g локально ацикличен, 4.12 позволяет нам предположить, что
А" есть спектр сепарабельно замкнутого поля k. Тогда морфизм
g, очевидно, О-ациклическпй, и для того, чтобы доказать, что он
ациклический, мы должны показать, что Я'(д1, /•')=0, / >■ 0,
для всех постоянных пучков кручения F с кручением, взаимно
простым с char(A). Но #'(а£, F)=0 в соответствии с I. 5.2(f) и
Н1 (Afe, F) = 0 для i > 2 в силу V. 2.4.
Замечание 4.21. Пусть 5 = зресЛ, где Л —кольцо
дискретного нормирования, причем характеристика его ноля вычетов k
не равна характеристике его поля частных К. Поля k п Д'
считаются сепарабельно замкнутыми. Пусть д: X—>S — гладкий
собственный морфизм, а Хо и Х\ — замкнутый и общий слои л.
Тогда Х\ можно рассматривать как подъем многообразия ,V0 из
характеристики р в характеристику нуль. Для локально
постоянного конструктивного пучка F на X, кручение которого
взаимно просто с характеристикой char(£), имеют место ino-
морфнзмы
Н' (Хо, F | *9) ж Н' (*,, F | X,) (по 4.2) *
~ Н1{Хг. F\XC) (по 4.3) ~
~Hl{X{C), F\X{Q) (по III.3.12 и [54, XVI.4]).
29Г> Гл. 17. Oi4nii-ii.ic теоремы
§ 5. Чистота
Пугп. Л'-- схема. Гладкой S-mip'n'i (Z, А') называется
замкнутое н.юженпс г1: Z <=* Л' гладких 5-схем. Если мы через U
обозначим X— Z, то имеет место коммутативная диаграмма
с .замкнутым пложенном /, открытым пложеннем / и гладкими
морфпзмами /, g и h. Мы говорим, что (Z, А') имеет
коразмерность г, если для всех s e S слон Z., имеет чистую
коразмерность с г) А\. Для каждой такой пары (Z, X) и любой точки
?eZ су щеп пуст открытая окрестность X' точки i(z) и этальный
морфпзм
такие, что пересечение Z f\ X' является прообразом замкнутой
подсхемы, определенной уравнениями Тт-с+\= ... =7'т = 0
(ср. с 1.3.24, [53, 11.4.10]), т. е. локально в этальном топологии
любая гладкая пара (Z, А') коразмерности с изоморфна
стандартной паре (А™ с. Л"')- Морфплм ц■: (Z', X')->-(Z, X) гладких
5-иар есть S-морфпзм ф: Х'->Х, такой, что Z'=ZX,yA//.
Для любого пучка F на A'et обозначим через Hl7{X, F) пучок
{R'i')F (ср. с гл. III, абзац, предшествующий 1.25). Таким
образом, Н'7 ~ пучок па Z и существует спектральная последо-
нлтолыюсть //'(Z, И'7(Х, F))=>H'/'{X, F) ввиду того, что i
сохраняет спопстио шп.ектнниостп объектов п H'Z(X, F) =
= H°(Z, /"/■'). Заметим, что i,H_lz(X, F)— пучок,
ассоциированг V^H'XxV(V, F\V).
Ti:opi;m..\ S.I (когомологическая чистота). Пусть (Z, X) —
гладкая S-napa коразмерности с и F — локально постоянный пучок
кручения на А'|Ч, кручение которого взаимно просто с char (А").
Тогда Н'Х(Х. /•■'. = О для i=£2c и пучок Н%(Х, F) локально изо-
мпрфс'н i*F mi Zoi- Эквивалентное утверждение: F —*■ j.j'F,
(R4*)rF ^ 0 для 1Ф0, 2с ■-- 1 // /iii4OK'i*((R2c-l}.)}'F) локально
изоморфен ГГ.
Д о к а I а т е л ь с т и о. Эквпвалоптпосп, двух утверждений
вытекает из точной последопателыюсгн (III. 1.25),
.. -* Ext^ (i/Z, F) -+ jixtj, (Z, F) — Extjf (J/Z, F) -* ...
§ 5. Чистота 297
И изоморфизмов
Extj^/Z, f)~*.Ex^(i"Z, PF) = i.H'z(X, F),
Нотл (Z, F) = F, Ex\'x (2, F) = 0, i Ф 0,
ЕЗД (/,fZ, F) ~ j, Ext^fZ, /V) « #'/,(/*/■').
Так как утверждение теоремы локально но отношению к
этальной топологии, мы можем предположить, что
/--—постоянным пучок ^/(п) н что (Z, А) — стандартная пара (А?~с, А").
Рассмотрим сначала случай с=\ п докажем иторую форму
теоремы. Заменяя 5 на А'"~ , мы можем предположить, что
X = As =specCs[^] и Z определено уравнением Т = 0. Teopcwui
о вырезании (III. 1.27) показывает, что, но существу, ничего не
изменится, если мы возьмем в качсстие А' схему ijjs, в кичсчгнг
Z—«точку на бесконечности» и в качестве морфнзма /': U<=-~X—
стандартное вложение Л1 <=*■ t '. Мы используем тс же
обозначения, что н при определении гладкой 5-пары.
Рассмотрим спектральную последовательность Jlepe
{Rlf.HR'U)Z/(n)=>(Rl+'g.)Zl(n)-
В соответствии с 4.20 g,Z/(n) = Z/(/i) п R'<!цЛ.'/(п)) = 0
для i + / > 0. Мы утверждаем, что носитель R,i»/(n) p;i-
вен Z для i > 0, п каноническое отображение '.. /(и)-*-/,.", /(п)
{ = j,j*^'/(n))—изоморфизм. Эти утверждения могут быть
проверены послойно, так что выберем геометрическую точку .v
схемы А' = Ps; пусть
g: X = spec Ox. x -> S = spec Os. г
— соответствующее отображение строго локальных схем, и
пусть 0 = XXxU. Тогда (R'j.Z/Wh = H'{U, Z/{n)). Если x^U,
то О = Я, что показывает первую часть утверждения. Для
доказательства второй части достаточно показать, что О 0-ацп-
клично над 5, откуда
U = //°(t/, g'Z/(n)) - Я»(5, Z{(n)) = Z/(n).
Для этого достаточно показать (4.12) в свою очередь, что
геометрические слои морфизма 0/5 0-ациклнчны, т. е. непусты п
связны.
Но (4.18) мы знаем, что это справедлиио для слоев морфпзма
5, и слои O/S открыты и плотны в этих слоях. Утверждение
доказано.
Таким образом,
2Г>8 Гл. VI. Основные теоремы
если / = 0, н нуль, если / > О и / > О, так как / отображает Z
н.чоморфпо па S. Спектральная последовательность,
следовательно, дает изоморфизмы
В соответствии с 4.2 (/?'+1/*)~/(я) — локально постоянный
пучок, каждый из слоев которого изоморфен Я/ + 1 (Рь Z/(n)), где
поле k ссчшрабельно замкнуто. Эта группа, как нам известно
(V.2), тривиальна для \Ф — 1, I н изоморфна Hom(/f(n, Z/(n))
для /= 1. Значит, f,}.'/,/{п) fa Z/{n), fm{Rlj,)'Z/(п) « Z/{n)
локально и /»(/?'/*)■'■'*I(п) = О ДЛЯ / > 1; отсюда следует, что
/?'/V-7(«)|Z « Z/(n) (локально) и R'j,Z/(n)=0 для / > 1
(ввиду того, что f индуцирует изоморфизм Z»5). Это
завершает доказательство в случае с= 1.
Общий случай получается по индукции, так как локально в
эталыюп топологии каждая гладкая 5-napa (Z, /Y)
коразмерности с > 1 может быть включена и коммутативную диаграмму
X
где (Z, У) и (У, А") —гладкие 5-пары коразмерности с—1 и 1
соответственно, и имеет место спектральная последовательность
:X/i)('+/!)/
Замечание 5.2. Предположим в ситуации, рассматриваемой
в теореме, что F аннулируется умножением на п (где п взаимно
просто с char (Л')). Для каждой схемы V, этальной над X, н
каждого sel'(l/, F) отображение I ь->5: Z f{n)^-F\V рпреде-
ляот отображение
H*zxv(V, Z/(n))->lttxv(V, F\V).
Варьируя V, получаем отображение
где мы отождествили Я|с с *,Я|С. Следуя методу
доказательства теоремы 5.1, можно (легко) показать, что это изоморфизм.
Пи иду того что
локально п.юморфон !'7('')> он локально свободен, п пзомор-
фп.чм может Г<ы i ь шижо j;iiiiic;iii в вп.че
i*r®TZix —* Hz (X, /■).
§ 5. Чистота 299
Г.идстпие 5.3 (последовательность Гичипа). Нисп< (Z, Л)--
гладкая S-napa коразмерности с, и пусть F—локально посто.чн-
ный пучок на Хе\, аннулируемый п, где п взаимно просто с
char(X). В приведенных выше обозначениях
R'f.F—*Rig.(F\U), 0^/<2с-2,
и имеет место точная последовательность
Доказательство. Канонический изоморфизм i*F®Tz,x—*•
-Z+Hz(X, F) индуцирует изоморфизмы
H<(Z, i'F^TZ:X)-^Hi{Z, H$(X, F)).
Так как H'Z(X, F) = 0 для )Ф2с, то W (Z, Я|С(Х, F)) «
« Hz+2c(X, F). Используя этот изоморфизм для замены групп
Hz(X, F) в последовательности
... -*Н1г{Х, F)-+H'(X, F)-*W(U, F)- ....
мы получаем последовательность
... — Hl~2c(Z, i'F ® Tz,x) - Hi (X, F) -+ Hi (U, /■)-....
Если мы заменим схему 5 на схему 5', этальиую над 5, и A', Z
и U — на XXS', ZX.S' и U'XS', то получаем аналогичную
точную последовательность. Варьируя 5' и переходя к пучкам, по- i
лучаем требуемую последовательность.
Замечания 5.4. (а) В ситуации, рассмотренной в следствии
5.3, из 2.3 вытекает, что функтор Rfg,(F\U) коммутирует с
заменой базы, а из 4.2 следует, что пучок R'g,(F\U)
конструктивен при конструктивном F и локально постоянен, кигда f —
собственный морфнзм.
(Ь) В следующем параграфе мы покажем, что если 5 —
спектр сепарабельно замкнутого поля, то пучок Т7./х
канонически изоморфен (7,/(п))(—с) и, гем самым, Н!^(Х, F)
канонически изоморфен (i*F) (—с). Таким образом, в этом случае
последовательность Гизнна может быть записана в виде
Н'(Х, F)-^ Hl(U, F\U), 0</<2c-2.
и
0-*H2°-l(X, F)-*H2c'l(U, F\U)-+H°(Z, i'F(-c))-^*
-^Hlc(X, F)^ ... -*Я3""-«(2, i-F(-c))-^
-^* H2m (X, F) -► Him (U, F) — 0,
300 Гл. VI. Основные теоремы
где in --= (liin(.Y). Отображение it. II (Z, i*F( — c))-* //'+2e(.Y, F)
есть отображение Гинина.
Слидсгвш; Г).5. Пусть X— гладкие многообразие над полем k,
группа Галуа которого конечно порождена как топологическая
группа. llijcTii I- — конечный локально постоянный пучок, на X,
кручение которого взаимно прост с char(£); тогда Н'(Х, F)
конечно/ ') для тех i.
Д о к ;i -) ;i т е л ь с т в о. В соответствии с III. 2.20 и II. 3.17 мы
можем заменить k его алгебраическим замыканием '). Для про-
недеппи индукции предположим, что это следствие имеет место
для miioi ообразнп размерности, ;..чм,шен, чем размерность X.
Предположим сначала, что Л' — артппова окрестность и
пучок F постоянен. Тогда существует элементарное расслоение
g: X^t-S, и котором S —также артнпона окрестность; в
частности, .S гладка и <lim(S)= dim (Л') — 1. Используя 5.4 (а),
находим, что имеет место точная последовательность
и что пучки gtF и Rig*F конечны и локально постоянны. Таким
обрагюм, этот случай вытекает из предположения индукции.
Предположим затем, что существует непустая открытая
подсхема U п X, такая, что группы H'(U, F\U) конечны.
Существуют гладкие подсхемы Л', в Л', такие, что A'^L'^
... U А', (объединение непересекающихся подсхем), )
>-t!ini(.Y,) ;> ... >dim(A',) и -Y, замкнуто n U\JX\\J ... [)Xj.
Применяя (5.3) последовательно к гладким парам (A',, U {] Xt(] ...
... \jXj), находим, что группы Н(Х, F) конечны.
Докажем теперь следствие 5.5 индукцией по /. В силу III. 3.I3
существует эталыюе отображение я: U'-*-X, такое, что t/'—
артппова окрестность и пучок F\V постоянен; пусть U = n(U').
Мы можем предположить, что морфнзм л: U''-*■ U конечен.
Когомологическая последовательности для 0-> F\ И -*■ л»(F | U')->
-► F' -> 0 есть
... -+Hl(U, F\U)-*W (U, я. (F | U')) ->//' (U, F')-+
Пппду того что группы W(U, n,(F\U'))az Н1{1)', F\U') конечны
п пучок F' удовлетворяет предположениям, указанным в
формулировке следствия, из предполагаемой справедливости
следствия для /' ^z /о можно вывести, что оно верно для ;0 + 1; это
завершает доказательство.
Пример 5.6. Пусть k — сепарабельпо замкнутое поле, и пусть
А — '?/(п), где п взаимно просто с char(fc). Так как Р? =
') См. примечания мерспил'шкл к елелегп'мо 2 8.—Прим. перев.
§ S. Чистота 301
= A™ UP™"1 (объединение непересекающихся подсхем) и
Я'(А?, Л) — 0 для 1=^0 (4.20), последовательность Гизина
показывает, что //°(Р?, Л)«//°(АУ, Л) «Л, Я'(Р™, Л)=0 и
//'(Р*"'. А(-1)) ^> //'+2(РУ, Л) для j^O. Так как
Я' (Р°, Л)=0 для i > 0, легкая индукция показывает, что
~ Л (—//2), / четно, 0^/^2ffi,
= 0 в иных случаях.
В 7.2 ниже мы показываем, что если U — аффинное
многообразие над k, то Hl(U, Л) = 0 для i > dim(6').
Если принять это утверждение, то из последовательности
Гизина вытекает, что для гладкого гиперплоского сечения Хт-\
гладкого проективного многообразия А размерности т
Я2т~2(Л"т_,, Л(-1)) -- Я2т(Х, Л), /и>2.
В соответствии с теоремой Бертинн [61, III.7.9.1] всегда
существует последовательность X = Хт zd Xm_i zd ... гэ А,
гладких проективных многообразий, такая, что Л/_| — гиперплоское
сечение А"(. Таким образом,
^... -^Н2т'[(Х, Л (/я)).
Из теоремы двойственности Пуанкаре (11.2) следует, что
Н1(Х, Л(1)) <=• Я'(Х|, Л(1)), т. е. для общей кривой Y на
Л" отображение ограничения Н*(Х, Л(1))—► Я'(У, Л(1)) пнъек-
тивно. Классической является переформулировка этого
утверждения в терминах якобиана Y и многообразия Пнкара для А'.
(Отметим также сходство с V. 3.18.)
Соображения, подобные предыдущим, показывают, что если
X — гладкое полное пересечение размерности т в \'\, то
С «* Л(—ill), i четное, т < i^.2tn,
Н'(Х, ЛИ п . .
( =0, i нечетное, i > т.
По теореме двойственности Пуанкаре эти утверждения
распространяются на случай i < т.
Так как полное пересечение может быть поднято в
характеристику пуль, мы могли получить это из классических результатов
над С (4.21). Обычные формулы получаются и для числа Бетти
pm = dim Hm(X, Qi), где X — гладкое полное пересечение раз-
302 Гл VI. Основные теоремы
мерности in н j ' ([OJJ, |58, М|). Например, если X— гппер-
HOUCpXIIOl'T'l) СГСПСИП Л, TU
Э,„ = б"1 ((6 - 1)т+2 + (-1)т (6 - 1)) + е,
где е равно 0 пли 1 в соответствии с нечетностью или
четностью т.
Замечание 5.7. Если предположить, что особенности могут
быть разрешены, то становится возможным получение более
полных результатов о чистоте ([54, XIX]). В частности, X в 5.5
не обязано быть гладким. Од;;а;;о, ;;е используя разрешение
особенностей, Делпнь [55, теорема конечности] доказал
следующую теорему. Пусть S — регулярная квазикомпактная схема
размерности одни пли пуль, п пусть А = Z/(n), где п взаимно
просто с char(S); для каждого морфпзма л: Y-*-X S-схем
конечного типа п каждого конструктивного пучка F Л-модулей
па У пучки R'n*F конструктивны.
Кроме того, для каждой квазпкомпактной схемы S, мор-
фпзма л: Y ^*-X S-схем конечного типа н конструктивного пучка
F Л-модулей (Л такое же, как п выше) существует открытая
всюду плотная подсхема U в S, такая, что
(a) над U пучки R'n+F конструктивны и тривиальны,
исключая конечное число индексов i\
(b) функтор R'-n^F согласован со всеми заменами базы Г->
-vf/czS. Например, если S —спектр поля, то U = S.
Доказательство использует теорему двойственности Пуанкаре
для гладких морфизмов.
Упражнение 5.8. Пусть л: X'-*■ X — отображение гладких
многообразий над сепарабельно замкнутым полем, F и F' —
локально постоянные пучки на X п X', аннулируемые умножением
па число п, взаимно простое с char(fc). Пусть <р — морфизм
пучков F-+ntF'. Предположим, что существуют открытые
подмногообразия UdX и V = n-l(U)cz А'', такие, что отображение
n\U' является изоморфизмом U' —*■ U, индуцирующим пзомор-
фн.чм пучков, нф: F\U — * n.JF' }U). Показать, что если много-
обргкчпя X— U п X'— V гладкие и имеют коразмерности с и с',
то существует точная последовательность
... -*H'-le(Z, F(-c))-+H!(X, F)g?//;*(Z', F'(-c'))^
-*-//'(Г, F')-+ ....
§ 6. Фундаментальный класс
В этом параграфе мы фиксируем сепарабельно замкнутое поле
k п натуральное число п, взаимно простое с char(fc). Все схемы
будут гладкими многообразиями над S = specfc, и все пучки
§ 6. Фундаментальный K.ntcr ЗОЛ
будут пучками Z/(я)-мoдyлeй. Обозначим У./(п) через А. и,
таким образом, Л(л)= щ„<8> ... ® щп (г экземпляров). Мы
используем для гладких 5-пар те же обозначения, что и в § 5.
Если (Z, X) — такая пара коразмерности с, то спектральная
последовательность Hl(Z, fflz(X, F))=>Hlz+i {X, F) дает
канонические изоморфизмы
//'(Z, «|е(X, /Г))-=»//!с+|(Х, F)
для каждого локально свободного пучка F конечного ранга на
X. В частности,
r(Z, H2ZC(X, F))-*H%(X, F).
В этом параграфе мы определим канонический класс sz,x e
е^Н'2гс(Х, Л (с)), порождающий Н\С{Х, Л (с)) в том смысле, что
отображение Л ->H'ZC(X, Л (с)), при котором 1 переходит в
ограничения sZ/X, есть изоморфизм. (Напомним, что пучок H2ZC(X, Л (с))
локально изоморфен пучку Л (с) на Z, а А (с) неканонпческп
изоморфен Л.) Элемент szlx или его образ в Н2с(Х, Л (с)) будет
называться фундаментальным классом Z в X.
Рассмотрим сначала случай с = \, т. е. случай, когда Z —
гладкий дивизор на X, и предположим, что Z имеет только одну
компоненту. Интерпретируя все на языке дивизоров Вейли
(III. 2.22), получаем канонический изоморфизм между
следующими двумя точными последовательностями:
H°(U,Gm) * Hlz(X,Gm) * Hl{X,Gm) » H\U, GJ
Г((7, 0$) 2*! » z * Pic (X) > Pic ([/)
Из куммеровой последовательности мы получаем точную
последовательность
Н&Х, Gn) -*-» НЦХ, 6Я) > И&Х, ц|„> = J/KY, Л(1))
I t
Z —^-> Z
и мы можем определить sz/x как образ 1 при кограпичном
отображении. Очевидно, Sz/x имеет порядок, равный п, и, так как
тот же порядок имеет sz,/x, (= sz/x | X') для каждой схемы .V,
этальноп над X, то отсюда следует, что sZjX порождает
И2{Х,А{1)).
304 Гл. VI. Основные теоремы
Теорема 6.1. Существует единственная функция (2, X) •—*■
*—>Sz/x, сопоставляющая каждой гладкой S-nape (Z, X)
коразмерности с фундаментальный класс sZjX(=Hzc (X, Л (с)) и
удовлетворяющая следующим ус.яг»ч.ям:
(a) Sz/x имеет порядок, равный п;
(b) если с = \ и Z связана, то sZ/x —определенный выше
класс;
(c) если ф: (Z', X')-+(Z, X) — морфизм гладких S-nap
коразмерности с, то ф* (sZ/A) = sz.lX,\
(d) если
— коммутативная диаграмма, в которой (Z, Y), (Y,X) и (Z, X) —
гладкие пары коразмерностей a, b и с соответственно, то
справедливо равенство sZ/x ® sY/x = sZ/x, имеющее смысл после
проведения отождествлений, индуцированных следующими
каноническими изоморфизмами:
(i) Hf(Y, Н?(Х, АЩ-^+НЩХ, Л (с)),
индуцированным спектральной последовательностью
H'Z(Y, H'Y(X, А(с)))=>Нг+1{Х, Л (с));
(ii) Hl°(Y, Hf{X, A(c)))^+H?(Y, Л{а))9Н?(Х, Л (ft)),
использующим то, что
H'Z(Y, F)~H{Z{Y, Л)®Я0(У, F)
для каждого постоянного свободного пучка F.
Замечание 6.2. Из условий (а) и (с) следует, что Sz/x
порождает fJlu(X, Л (г)); отсюда вытекает, что в (d) Н\Ь{Х, Л (ft))
постоянен и потому Sz/x ® Sy/x имеет смысл как элемент из
HZC(X, А (с)), если известно, что теорема справедлива для
гладких S-nap коразмерности < с.
Доказательство 6.1. Пусть (Z, X)— пара с с= 1. Тогда
дивизор Z может быть представлен как объединение твоих
непересекающихся неприводимых компонент, Z = (J Zr, и
НЦХ, A(c))~®Hlcr(X, Л (с))
§ 6. Фундаментальный класс 305
(по теореме о вырезании). Ввиду (с) мы должны определить
szix == 2j szr/x>
где каждое sz /х однозначно определено по (Ь). Это
определение Sz/х, очевидно, удовлетворяет условию (а) и, как легко
видеть, удовлетворяет (с), в то время как проверять выполнение
(d) в данной ситуации не нужно. Предположим теперь, что
существование и единственность установлены для гладких пар
коразмерности < с, где с> 1. Так как
Н*(Х, Л(с))« T(Z, Hf(X, Л(с))) = Г(Х, i.H%{X, Л (с))),
вопрос о единственности локален относительно X. Но каждая
гладкая пара (Z, X) может быть локально вложена в гладкую
тройку (2, У, X) с codim(V, X)= 1, и, тем самым,
единственность следует из (d). Существование вытекает из приводимой
ниже леммы, поскольку мы можем, используя (d), определить
классы локально, а из этой леммы следует, что они согласованы.
Леммл 6.3. Пусть (Z, Уо, X) и (Z, Y\, X)—гладкие тройки,
как в (d), с Ь = 1. Предположим, что 6.1 имеет место для
гладких пар коразмерности, меньшей чем c = codim(Z, X). Если мы
проведем те же отождествления, что и в (d), то
SZ/Y. ® SY,IX = SZlY, ® SY,IX-
Доказательство. Для простоты мы предположим, что
Z связна. Снова задача локальна по отношению к X, так что
мы можем предположить, что Уо и Y\ — подсхемы в X,
заданные единственным уравнением (/0 = 0 и /i =0 соответственно).
Положим X = А* = spec Ох [Г\, Z = kz<^X, и пусть
?—подсхема X, определенная уравнением (/i — /о) Т + /о = 0. Имеет
место отображение проекции А"-» А*, и если мы обозначим
через X, (« X) его слой над / <= А^, то У П Яо « Уо и У П *i ж У,.
Пусть С — замкнутое подмножество в У, состоящее из точек,
в которых схема Р не гладка (С не пересекается с Уо и К|);
заменим X, У, 2 на X— С, ?— С и Z— СП2, так что (X, 7, Z) —
теперь гладкая тройка. Отображения X^^tX,
отождествляющие I с Jfo н 1| соответственно, определяют морфнзмы троек
е,: (X,Y,,Z)-+(X,Y,Z), t = 0, 1.
Рассмотрим отображения
HZC(X, А(с))-£*Н%(Х, \(с))=ХН*{Х, Л (с)),
Где е — отображение проекции {X, Z)-+(X, Z),
ЗОв Гл. VI. Основные теоремы'
Предположение индукции показывает, что пучок Н2£{Х, А (с))
порожден sz/b ® sYtlx и, следовательно, изоморфен Л.
Интерпретируя Н\С{Х, Л (с)) как C(R2c~4,)j*F, где / — открытое
вложение X — Z <=. X, мы находим, что из теоремы о гладкой
замене базы следует, что
е*: Hlc(X, A(c))-=»tfjre(X, Л (с)).
Отображение 1^>-Z, очевидно, индуцирует изоморфизм
->-jio(Z)_Ha множествах связных компонент; поэтому H°{Z, А)—*-
—- Я" (Z, Л) и
е': Н%(Х,Л(с))—*Н%(Х.А(с)).
Поскольку е'е* = id* = eje*, то e^ = ej. Но (с) из 6.1 показывает,
что i
для i = 0, 1, и это завершает доказательство.
Следствие 6.4. Пусть (Z, X)—гладкая пара коразмерности с.
Тогда пучок TZ/к = Я|с{X, Л) канонически изоморфен Л(—с).
Доказательство. Нужно только умножить теизорио обе
части изоморфизма HZC(X, Л (с)) » Л из формулировки теоремы
па Л(—с).
Предложение 6.5. Пусть S — спектр сепарабельно замкнутого
поля.
(a) Пусть i: Z <^~ X — гладкая S-napa коразмерности с, пусть
i,\ H'{Z, A)-+H'+7c(X, А (с)) —отображение Гизина и Ь
обозначает единичный элемент в H°(Z, A) = Л. Тогда
I. (lz) = образ sZlX при Н\с (X, Л (с)) -> Н2с (X, Л (с));
i/W = xwi,(lz), ^Я'^.Л);
i,(Г (х) w г) = х w г.г, jc г Яг+2с(Л", Л), геЯ'(Z, Л).
(b) Пусть Z<=^~Y<=-+X — гладкая S-тройка; тогда
Hr (Z, Л) -^ Яг+2° (У, Л (а)) -^ ЯГ+2о+2Ь {X, Л (а + 6))
— отображение Гизина для Z-^-*X, т. е. (i2ii)t = i"2.i|.-
Доказательство, (а) Формула для t.(lz) следует прямо
из определении, и формула для i*i*(x) следует из третьей фор-
§ 6. Фундаментальный класс 307
мулы. Последняя утверждает, что диаграмма
U -Проиэоеденйе ! W(Z, А) X Н\2, А) > Hrlts(Z, А)
) X Hs+2c(X,A(c)) > Hr-¥sV2'(X,A(c))
коммутативна.
Обозначим через Az и Л* постоянные пучки на Z и X
соответственно, определенные Л, и пусть Л2-+Л^ и Лх -> Л^ —
инъективные резольвенты. Тогда 0А'х — комплекс пнъективных
пучков на Z с Н2с (1*Л'Х) « Л2(— с) и Hs(i'A'x) = 0, s =^ 2с
(5.1). Исходя из этого, легко построить отображение степени
—2с, ГЛ'Х-> A'z(—с), являющееся квазиизоморфпзмом и
индуцирующее заданный изоморфизм //2"(i'Aj) - H°(A'Z(— с)) =
= Л (— с). Умножая тензорно на Л (с), мы получаем
отображение ilA'x (с) -* A'z[— 2c], индуцирующее две верхние
вертикальные стрелки в следующей диаграмме:
Homz(Az,Ai[r]) 'xHomz<Az,Az[s])
1 !
Homz(Az,Az[r]) xHomz(Az>Mi(c)[2c-|-s]) -♦ Homz(AZ)«-1Aj((c)[r-|-5+2c])
I- » 1
x, i;Az[r])xHomx(^Az,Ai(c)[2c-|-5]) - Homx(A,,Ai(c)[r + s-|-2c])
I I I
)-H Hom,(Ax,Ai(c)[r+j + 2c]).
Средние вертикальные стрелки определены сопряженностью пар
('«. '"') и ('*.'•). изоморфизмом i'Ax « Az u каноническим
отображением Ax-*i*fAx = i,Az. Оба нижних отображения
индуцированы этим Ьоследним отображением. Все спаривания —
композиции. Диаграмма коммутативна и определяет
коммутативную диаграмму комплексов. Мы перейдем к гомотопическим
классам отображений и возьмем когомологии. Ввиду того что
i*A'x (с) -* A'z[— 2c]— квазиизоморфизм, две верхние
вертикальные стрелки будут изоморфизмами (приложение С). Таким
образом, мы можем удалить два средних ряда в приведенной выше
диаграмме и получить требуемую диаграмму.
(Ь) Это легко следует из определений и 6.1 (d).
308 Гл. VI. Основные теоремы
Замечание 06. Отображение /'Aj(c)—►Л^!—2с],
определенное в предыдущем доказательстве, единственно с точностью до
гомотопни. Мы оставляем как упражнение читателю
перечисление его функторнальных свойств и поведение при композициях.
Замечание 6.7. В одном техническом пункте доказательства
теоремы двойственности Пуанкаре нам понадобится обобщение
диаграммы из доказательства 6.5.
(а) Пусть ('; Z £=-► X — гладкая пара, как и в 6.5, и F — пучок
на Z. Мы можем заменить A'z в первых трех строках большой
диаграммы ниъективной резольвентой F' для F. Переходя к
гомотопическим классам отображений и взяв когомологии, мы
получаем диаграмму
H\Z, F) х Exif (F, Аг)
(b) Теперь пусть /: Z ^-X — замкнутое вложение с
приведенной, по не обязательно гладкой подсхемой Z. Предположим,
что (/?rt') Л (с) = 0 для г < 2с и что существует каноническое
отображение Az —*■ (/?2г<|) (Л (с)) (это всегда выполняется, см.
9.1). Тогда мы имеем канонические отображения
где o'>2c(ilA'x) = (... -+0-+PA2c/im(d2c-l)-+ilA2c+l-+ ...)•
Поскольку функтор (' —правый сопряженный к функтору (* и
сохраняет свойство ннъективности объектов, мы получаем
отображений
(;;f, Ax) = ExtJ (imF, Ашх) * —> lExtJ (F, i'Ax)
I'
Ext£ (F, Az(-c)) * Ex£ (F, *'>1с«'Ак))
для любого пучка F на Z. Это дает нам коммутативную
диаграмму
Hr(Z,F) у Ext|(F,.Az) — --> fT+'(Z,Az)
§ 7. Слабая теорема Лефшеца 309
(с) Если носителем F является гладкое открытое
подмногообразие Z' в Z, так что F = Ji(F \Z') для /: Z' <=^~ Z, то
Extz(F, \z) = E*i'AU{F\Z')Az)~bx\'z{F\Z', Л2).
Следовательно, если мы обозначим (X—Z)\JZ' через А",
получаем коммутативную диаграмму
H1Z, Г) X ExtJ. (F\Zr, Ar) v H^(Z, Аг)
где отображение i* на Ext то же, что ив (а).
§ 7. Слабая теорема Лефшеца
Теорема 7.1 (слабая теорема Лефшеца). Пусть X —
проективное многообразие размерности m над сепарабельно замкнутым
полем k, и пусть i: Z-+X — вложение гиперплоского сечения.
(a) Для каждого локально постоянного пучка F
Z/(n)-модулей на X с п, взаимно простым с char (ft), отображение
i,: Hl(Z,F)-^Hl+i(X,F(\)) последовательности Гизина 5.3
является изоморфизмом для i^ m и сюръективно для i = m — 1
при условии, что X и Z гладкие.
(b) Для каждого пучка кручения F на X каноническое
отображение Hlz(X, F)-*Hl{X, F) является изоморфизмом для i^m-\-
-\- 2 и сюръективно для i = m + I.
Доказательство. Поскольку многообразие U = X — Z
аффинно, это следует из приводимой ниже теоремы и
последовательности Гизина (утверждение (а)) или III. 1.25
(утверждение (Ь)).
Теорема 7.2. Пусть X — аффинная схема конечного типа над
сепарабельно замкнутым полем. Тогда td(X) = sup( cd((A") =
diW
Нам понадобится более общий результат. Для любого пучка
F на схеме X положим d(F) = sup{d(;c) \Fi=£ 0}, где d{.x) =
= dim (замыкание {x}), так что «/(нулевой пучок)=—оо.
Отметим, что если F конструктивен, то d(F)^.d тогда и только
тогда, когда носитель F — замкнутая подсхема размерности ^ d
(V.1.8(c)).
Теорема 7.3 (d). Пусть я: Y-^ X — аффинный морфизм схем
конечного типа над полем k. Если F — пучок кручения на У и
d 'd
3 ] 0 Гл. VI. Основные теоремы
Доказательство. Избавимся сначала от случая d ^ 1.
Так как каждый пучок кручении является прямым пределом
сионх конструктивных подпучков (V. 1.10(Ь)), мы можем
считать F конструктивным. Тогда его носителем служит замкнутая
подсхема в Y размерности ^ d, и, таким образом, после
замены Y этом подсхемой мы можем предположить, что Y сама
имеет размерность d = d(F). Мы можем также предполагать,
что k сепарабелыю замкнуто, ибо переход от л: Y-*■ X к л® 1:
K®fc., —* X <8> ks не меняет ни строго локального кольца в
геометрической точке X, пи слоя /?'л»/\ Если d = 0, то л конечен и
теорема вытекает из II. 3.6. Если d=\, то, очевидно, d(ntF)^ 1.
Кроме того, существует конечная замкнутая подсхема Z в я (А"),
такая, что л конечен над n{X)—Z (I.1.12) и носитель R[n,F
совпадает с Z, что доказывает неравенство d(/?'n.F)^ 0. Ввиду
1.1 нам известно, что R'n*F = 0 для / > 2, и остается лишь
случай ( = 2. Этот случай вытекает из следующей леммы.
Лемма 7А. Теорема 7.2 справедлива, если X — кривая.
Доказательство. См. V. 2.4.
Для того чтобы продолжать доказательство, мы должны
рассмотреть локальный вариант 7.3(d). Если л: Y-*-X — морфизм
конечного типа, то для точки уеУс образом ig! мы
обозначаем d(x)+ tr dcg*u>fe(i/) через 6(у). Для пучка F на У мы
полагаем 6 (F) = sup {6(г/) j Z7,/ =7^= 0}.
Предложении 7.5 (d). Пусть я: У-»-Х= spec Л — аффинный
морфизм конечного типа, где А — строго локальное кольцо
геометрической точки алгебраической схемы над полем. Если F —
пучок кручения на Y, для которого 6(F)^d, то H'{Y, F) = 0
при i > d.
Лпммл 7.6. Утверждение 7.5(d) эквивалентно 7.3(d).
Доказательство. =>-. Пусть морфизм я: Y~*-X и пучок F
на Y такие же, что и в 7.3(d), а х0 — геометрическая точка
схемы А'. Рассмотрим морфизм
я': Y' = Y X* А" -* А" = spec Ox. *..
Тогда (R'nf). =H'(Y', F\Y').
Следующая лемма дает нам равенство b(F\ Y') = d(F)— d(x0),
из которого вытекает 7.3(d).
Подлеммл 7.7. В обозначениях предыдущего раздела пусть
ие е Y'. и пусть у. х' их — образы if в Y, X' и X соответственно.
Тогда 6{if) = d(y)-d(x0).
§ 7. Слабая теорема Лефшеца 311
Доказательство.
d(x) + iTdegk{x)k(y) [94, 1.7],
') = d{x') + trdegk{x,)k(y') (по определению)
и trdegk{x)k(y) = trdegk{x,)k(y'), поскольку k(x')/k(x) и
k(y')/k(y)—алгебраические расширения полей. Значит, нужно
доказать равенство d(x/) = d{x)—d{x0). Мы можем заменить
X на замыкание точки {х} и, следовательно, считать, что X'
совпадает с замыканием точки {х'}. Тогда
d {X') = dim Ох: я = dim Ох, * = dim (X) - d (jc0) = d(x)-d (x0).
Доказательство 7.6 (продолжение), ф:. Пусть морфплм
я': У-> X' = spec/Ч и пучок F' на У такие же, как в 7.5(d).
Рассуждения, приведенные выше, можно провести в обратном
порядке, если предположить существование морфизма л: У'-+■ X
и пучка F на Y, удовлетворяющих условиям 7.3(d) и таких, что
л'. У, X', F' строятся с их помощью так же, как и ранее1).
Но по условию X' = lim Xa, где все Ха — алгебраические схемы
над полем, У — схема конечного типа над X', а пучок F (если
предположить, что он конструктивен, а мы можем это сделать)
представим алгебраическим пространством конечного типа над
У. Поэтому для некоторого а найдется подходящая тройка л,,,
Уа, Fa на Уа, из которой заменой базы получаются наши л',
У, F'.
Рассмотрим теперь утверждение, являющееся частным
случаем 7.5 (d).
Предложение 7.8 (d). Пусть /Y = spec^4, где А—строго
локальное кольцо геометрической точки алгебраической схемы над
полем. Для любого элемента /еЛ
Здесь Xf = specif = spec^ (/"'), a cd обозначает sup/ cd(.
В оставшейся части доказательства мы предполагаем, что
Лемма 7.9. Утверждение 7.8(d) выполнено для всех d ^ do,
если и только если 7.5(d) выполнено для всех d ^ d0.
Доказательство, ф: Возьмем Xf в качестве У.
=>-. Рассмотрим сначала случай, когда Х = &х, и вложим се
в проективную прямую,
•) F' = F | Y' — Прим. перед.
x
Введем обозначение Xao = Px — j(Ax) для «точки на
бесконечности». Рассмотрим спектральную последовательность Н1 (Р^,
=>Hl +l (A*, F) для пучка кручения Z7 на А1, у которого
.d^do. Чтобы завершить доказательство в нашем
случае, достаточно показать, что
(a) //'(Pjp /?//,/г) = 0, если.г>0 и / >0 одновременно;
(b) //'(Pi, //) = 0, если i>2;
(c) Я0(Р\, R'j.F) = 0, если / > d.
Равенство (а) следует из того, что при / > 0 носитель пучка
Т?'/*/7 лежит в Jfoo, а схема Х„, л; А' строго локальна. Равенство
(Ь) вытекает из теоремы о замене базы 2.3 и утверждений 1.1
и 1.5. При доказательстве (с) мы, как обычно, можем считать
пучок F конструктивным. Поскольку 6(F)^ d, существует
замкнутая подсхема Z размерности ^rfe }-"', содержащая носитель
F. Пусть х — замкнутая точка из Х», лежащая над замкнутой
точкой из X. Тогда
= H'(U,F\U)f
где / > 0, /': Z П А^ «=- Z, U = Z Xp, Ax. Z = spec Oz. *• Теперь (с)
х
вытекает из 7.8.
В общем случае, поскольку У—аффинная схема над X, мы
можем считать, что К = Ал ')• Примем в качестве предположе-
') В самом деле, пусть 7.5(d) доказано для всех А". Так как
У—аффинная схема конечного типа над X, то для подходящего п определено
замкнутое вложение Х-схсм <: У а+. А^, т.е. сущестиует коммутативная диаграмма
Функтор л, точен (И. 3.6), поэтому для любого пучка кручения F на У имеем
R'x.L = R' (ji'i), F = /j'n^(i.F) (по приложению В). Остается заметить, что,
b(i*F) = 6(F), и применить 7.5(d) к пучку i.F иа Ад. — Прим, перед.
§ 1. Слабая теорема Лефшеца
ния индукции справедливость 7.5 для AJ ' и постоим лмл-
грамму
в которой морфизм g задает на AJ структуру аффинной прямой
над А*~'. Пусть F— пучок кручения на Ах,такой, что 6(F)^d^.
^ do. Применяя доказанное нами для п = ! утверждение 7.5 к
слоям пучков R'gttF, находим, что 6{R'g*F) ^ d— /. В
спектральной последовательности
Я'(АГ\ R'g.F)^Hl+l(Anx, F)
член, стоящий слева, является нулем при i~>d — /, или, что то
же самое, при i-\-j>d. Это замечание заканчивает
доказательство.
Следующая лемма завершает доказательство утверждений 7.1,
7.2, 7.3 и 7.5.
Лемма 7.10. Если 7.5(сГ) выполнено для всех d' <Ld, то
7.8(d') выполнено для всех d' ^ d.
Доказательство. Пусть X, A, f те же, что и в
предложении 7.8(d), и пусть U = Xf. Мы можем считать А строго
локальным кольцом замкнутой геометрической точки
алгебраической схемы Ло над сепарабельно замкнутым полем k (1.3).
Таким образом, Х = \\тХа, где все Ха—аффинные схемы
конечного типа над полем k размерности d. Пусть F—пучок на U,
который можно считать конструктивным. Мы должны доказать,
что H'(U, F)=0 при i >d.
Ясно, что элемент f и пучок F возникают из пар, состоящих
из элемента fa е Г (Х„, Оха) и пучка Fa на f/n =(ATa)fa,
существующих для всех «достаточно больших» индексов а1). При этом
H'(U,F)= lim H'(Ua, Fa). Чтобы завершить доказательство, мы
покажем, что для всех таких а морфизм V^*-lla разлагается
в композицию морфизмов U -*U'a-*Ua, где cd(t/i)s^rf. Мы
можем рассматривать /ц как морфизм Ха ->■ А*. Рассмотрим диа-
') В оригинале «sufficiently final». — Прим. rupee.
Га. VI. Основные теоремы
грамму
где Y — спектр строго локального кольца в начале координат
аффинном прямом А{,, X'a = Y X,v Ха (морфизм Х-+Ха
пропускается через Х'а, потому что А' строго локальна), ц — общая
точка схемы Y n U'a = ХаХуЛ- Заметим, что Y = {ц} \]
U {начало координат в AJJ. Поскольку Ua является множеством
точек из Х„, в которых /а ф О, то U'a можно отождествить с
Ua X,v Х'а с: А'п. Поэтому морфизм U-+Ua канонически
представляется композицией морфпзмов U —*-U'a—*-Ua- Осталось до-
казат|>, что c(\{U'a)^d. Ясно, что dim(C/i)^d— I, и по
предположению индукции (7.2 для d — \) схема U'a = U'a ®kwk(^\ер
имеет когомологическую размерность ^d—1. Но k(r)) — поле
степени трансцендентности 1 над сепарабельно замкнутым
полем и, значит, имеет когомологическую размерность 1 [124,
теоремп 28, с. 119]'). Теперь спектральная последовательность
Хихшильда — Серра дляУа/УаДает нам неравенство cd (t/i)<d.
§ 8. Формула Кюннета
Мы докажем формулу Кюннета для групп когомологий с
компактным носителем. Н формулировка, и доказательство
формулы Кюннета упрощаются, если рассматривать ее для
комплексов, а не для групп когомологмп. Поэтому мы начнем с общих
утверждении о комплексах пучков. А будет обозначать конечное
кольцо и соотпетствующий постоянный пучок; если не оговорено
противное, то вес пучки будут пучками А-модулей, и тензорные
произведения берутся над Л. Хотя читателю следует считать
А коммутативным, ничего не изменится, если этого не делать,
ча исключением того, что тензорное произведение пучков Л-мо-
дулеп не будет в обшем случае иметь структуру Л-модуля.
Если F' п 6" — комплексы пучков на некоторой схеме X, то
мы обозначаем через F'®G' тотальный комплекс двойного
') См. также [118, гл. II, п. 4.2]. — Прим. перев.
§ 8. Формула Кюннета 315
комплекса (F' ® Gs), точнее,
(F'®G')m = £ Fr®G*
r+s=m
И
Лемма 8.1. £слн отображения gt, g2- G\—>G\ гомотопны, го
для любого комплекса F отображения
1®£,, 1®£2: F' ®G\^r®G]
также гомотопны.
Доказательство тривиально.
Лемма 8.2. Пусть g: G\-*G'2— квазиизоморфизм, и пусть F'—
ограниченный сверху комплекс плоских^) пучков. Тогда
1 ® g: F' ® G] -*■ F' ® G\ — квазиизоморфизм, если выполнено
одно из следующих условий:
(a) G\ и G'2 ограничены сверху;
(b) F' ограничен снизу.
Доказательство. Достаточно показать, что F"®C
ацикличен, где С— конус отображения g. Заметим, что С
ацикличен, а в случае (а) ограничен сверху.
Двойному комплексу (P®CS) отвечает спектральная
последовательность
Е\-s = Н° (Fr ® С*) =j* Hr+S (F ® С)
([43, 1.4]; ср. с В.З), Ei-член которой очевидным образом равен
нулю. (Условия (а) и (Ь) нужны только для того, чтобы
гарантировать сходимость спектральной последовательности.)
Лемма 8.3. Если F' — комплекс пучков, такой, что Hr(F') = 0
для г Э> 0, то существуют ограниченный сверху комплекс
плоских пучков Р' и квазиизоморфизм Р' -у F'.
Доказательство. Из второго доказательства III. 1.1
ясно, что для любого пучка F найдется сюръекция P(F)^*-F, где
P(F) имеет вид флу, a U—*■ X — этальный морфизм и Аи =
= n*(A\U). Очевидно, что P(F) плоский, поскольку плоскими
являются его слои. Цусть для некоторого г0 Яг(^') = 0 при
') Напомним, что под плоским пучком понимается пучок плоских Л-моду-
лей. — Прим. перео.
316 Гл. VI. Основные теоремы
г > гп; мы можем в Р заменить Fr' на кег {сГ") и положить
Fr = О при г > г0. Положим Р' = 0при г > г0 иРГо = P(Fr").
Определив Рг Рг'~\ мы выберем в качестве Рт s+" пучок
Р (F r°~{s+[) y^Frt.s ker (pr"~s -*Pr'~s+l)).
Легко проверяется, что полученный комплекс квазиизомор-
фен F'.
Лемма 8.4. Пусть {: X-+S — собственный морфизм и схема S
квазикомпактна. Для любого комплекса F' пучков на X
найдутся комплекс (ц-ациклических пучков A'{F') и
квазиизоморфизм F' — A' (F*). Если /Г(Г) = 0 при г < 0, то A' (F*) можно
выбрать так, чтобы он был ограниченным снизу комплексом инъ-
ективных объектов. Если F' — А\ и F' — А\, где А\ и А\ —
комплексы /„-ацикличных пучков, то /.-4, —К^т Если а:
F]-*-F'j — отображение комплексов, то можно выбрать A'(F'A и
A' (Fj) так, что определена коммутативная диаграмма
F\ =—* Г,
A(F\)
Если а —квазиизоморфизм, то и /.(Р) также
квазиизоморфизм.
Доказательство. См. последнюю часть приложения С,
которая применила ввиду 2.5.
Пусть S—квазпкомпактная схема н /: X-+S —
компактифицируемый морфизм с компактификацией Х^*Х —► 5. Для
любого комплекса пучков F' на А' мы полагаем Rj,F' равным
f.A'(i,F'). где A'{i,F') — произвольны!1! комплекс /.-ациклических
пучков, квазиизоморфный \\F\ Согласно лемме 8.4, Rcf,F*,onpe-
делен с точностью до квазиизоморфпзма. Имеем Hr (Rcf,F') =
= RrJ,F'. В наиболее интересном для нас случае, когда F'
состоит из единственного пучка F, в качестве A'(j\F) можно взять
инъективную резольвенту пучка F, и тогда Hr{R.cf.F) = Rcf*F.
Если lf(F') = 0 при г>0, то Hr (Rcf,F') = O при г » 0, и 8.3
показывает, что найдутся ограниченный сверху комплекс пло-
§ 8. Формула Кюннета 317
ских пучков RJtF' и квазиизоморфизм RJ.F' -» Rcf.F'. Значит,
и в этой ситуации мы можем и всегда будем выбирать A'ihF')
и, следовательно, Rcf,F' ограниченными сверху.
Теорема 8.5 (формула Кюннета). Рассмотрим диаграмму
\
Л У
в которой S квазикомпактна, a f и g компактифицируемы. Пусть
F и G — пучки на X и Y соответственно и F — плоский пучок.
Обозначим через F^G пучок p*F®g*G на X Xs Y. Тогда
существует канонический квазиизоморфизм
Rcf.F®Rcg.G-RA(FRG).
Если, кроме того, Rrcf,F плоский для всех г, то существуют
канонические изоморфизмы
Z Rcf.F ® Rlg.G -=* R?h, (F К G).
r+s—m
Наша первая лемма показывает, что второе утверждение
теоремы вытекает из первого.
Лемма 8.6. Пусть F' и G' — комплексы пучков, и допустим,
что F' плоский. Тогда существует спектральная
последовательность
l + l-s
Доказательство как у Годемана [43, 1.5.5.1].
Наша следующая лемма—это, по существу, частным случай
теоремы 8.5 для Y = S.
Лемма 8.7. Пусть S — квазикомпактная схема и f: X-+S —
компактифицируемый морфиэм. Если F — плоский пучок на X,
a G'— ограниченный сверху комплекс пучков на S, то
существует канонический квазиизоморфизм
Доказательство. Заменив f на f: -V->5 и F на '.F,
мы можем считать морфизм / собственным. Пусть Р' (G*)—*- G' —
318 Гл. VI. Основные теоремы
квазпнзоморфизм, существование которого гарантируется 8.3.
Поскольку, согласно 8.2, R/.F® P'(G') —» Rf.F ® G* и ввиду
8.2 и 8.4
Rf. (F ® ГР' (С)) -^ Rf.
мы можем заменить G* на Я(С). Поэтому будем считать, что
С — комплекс плоских пучков. Пусть /' (F)—инъективная
резольвента F. Так как Hr(fJ'(F)) = 0 при г » 0, мы можем
обрезать l'{F) и получить ограниченный комплекс , A'(F) — F
/„.-ациклических пучков. Выберем квазиизоморфизм
Л' (F) ® f'G' -^ A' (A'
Применяя /», получаем отображение
композиция которого с каноническим отображением RftF ®C
-> R//" <8>fJ'G' дает отображение
Поскольку 8.2 и 8.4 дают нам кналппзоморфизм
то остается показать, что а — кпазпизоморфизм. Следующая
лемма доказывает это в случае, когда G* состоит из одного
пучка. Д.мя комплекса
при г ^> 0 утверждение о том, что а—квазиизоморфизм, верно
по тривиальным причинам (так как t>r{G') = 0 при г^О).
Индукция вниз но г и рассуждения с применением леммы о пяти
гомоморфизмах, использующие точную последовательность
О -+T>r+,G' -*x>rG'-*Gr -* 0, показывают, что
а—квазиизоморфизм д.чя т>лС' при всех г. Но для фиксированного г0
tfr'W.F®G') - /
при всех г «С л0, и
Hr" (R/. (Л* (F) ® ГО")) « Яго (R/.(Л' (F) ® fT> rG')
для всех г <С го, что завершает доказательство.
Лпммл Я.8. Пусть f: X-*■ S такой же, как и в 8.7. Для любого
пучки F на X и плоского пучка G на S определены канонические
§ 8. Формула Кюннета
квазиизоморфизмы
kj.F ® G -^ RJ.F ® G -^> RJ, (F ® f'G).
Доказательство. Опять мы можем предположить, что
f—собственный. Очевидно, что первое отображение — квазп-
изоморфизм. Второе отображение определено (с помощью а),
как в предыдущей лемме. Поскольку G плоский,
Поэтому для доказательства леммы достаточно показать, что
Rrf,F®G—»• Rrft(F®f*G) для всех г. Поскольку это
утверждение может быть проверено на слоях пучков, то теорема о
собственной замене базы позволяет предположить, что S — спектр
сепарабельно замкнутого поля. В этом случае мы должны
показать, что Hr(X, F)®G-1+ Hr(X, F&G). Если G —свободный
Л-модуль конечного ранга, то это очевидно. Остается заметить,
что плоский модуль G является индуктивным пределом таких
модулей') ([82]).
Прежде чем доказывать теорему, мы установим чуть более
тонкий вариант теоремы о собственной замене багш.
Лемма 8.9. Пусть <
X <-i_ X xsY
S *—1__ у
— декартов квадрат, где g — собственный морфизм, и пусть G —
пучок на Y. Существует канонический квазиизоморфизм
Доказательство. Пусть G-+l'(G) и q*G -*• Г (q*G) —
инъективные резольвенты G и q'G. Поскольку комплекс
<7*G-> q*l' (G) все еще точен, то существует отображение
q*I' {G)-* Г {q'G). Применяя р, и беря композицию с
отображением замены базы f*gj' (G) -*■ р,д*Г (С), мы получаем
отображение f*gj' (G)-> pJ'{q'G) и, тем самым, отображение /"Rg,G->-
->Rp*(^*G). Переходя к когомологиям, мы получаем
отображение замены базы f*Rrg,G->Rrp,(q*G), которое, как нам
известно, является изоморфизмом.
') См.. также: Говоров В. Е. О плоских модулях. — Сиб. матем. журнал,
19G5, т. 6, № 2, с. 300—304. — Прим. перев, ■ ■
320 Г л VI Основные георемы
Д ') к а :< w i с .1 ь с т i>, о 8.5. Имеем
RcfS®Rcg,G-Rcf.(F®rRcgG) (по 8.7)-^
-^Ri.(^®RcP.('/*G))(no 8.9) Z
(по 8.8)-^
(по 3.2 (с)).
Следствие 8.10. Пусть f: X -*■ S — компактифицируемый мор-
физм с квазикомпактной схемой S, и пусть F — плоский пучок
на X. Существуют ограниченный комплекс плоских пучков Р 'на
S, такой, что Р' = 0 при г <. О, и квазиизоморфизм RcftF-* Р'.
Если Rcf,F = O при г > г0, то Р' можно выбрать так, чтобы
Рг = о при г > гй.
Доказательство. Обозначим Rcf»F через Q"; явная
конструкция RcftF позволяет считать, что Qr = 0 при г > г0.
Лемма 8.7 показывает, что лг'" любого пучка G на S есть
квазиизоморфизм Q' ® G — Rc/, [!■' <if*G) и, значит,
при г < 0. Поэтому если мы тензорно умножим диаграмму
СГ2 > ОТ1 > QP
\ / В *= im(Q-f -* 0е)
на G, то верхняя строка останется точной и сюръекция
останется сюръекцией. Отсюда вытекает, что отображение пучков
В <8) G-*- Q" ® G остается вложением. Поэтому для любой
инъекции G'<^*G диаграмма
показыпяст, что отображение S®G'->-5®G инъективно.
Следовательно, пучок В плоский, и если мы положим Р\ равным
(... -vO-vB->- Q°->- Q1 -> ...), то существует квазиизоморфизм
Q'-*-P,. Так как В и Q0 плоские, а В® G-*-Qu^) G инъективно
для любого G, то Q°/ZJ° плоский, и мы можем взять Р' равным
(>O*Q°/fi>Q'* )
8. Формула Кюннста У2\
Следствие 8.11. В предположениях теоремы пусть
Fo—плоский слабый пучок на компактификации Я схемы X, a Go— слабый
пучок на компактификации ¥ схемы Y. Тогда p*F0<8>q*GQ
является h^-ациклическим. Если F и G такие же, как и в
формулировке теоремы, то
/I (F К G) -^ р'С (i,F) ® q'C (НО),
где C'iJiF) и С (j\G) —резольвенты Годемана для }tF и j,G,
является f\,-ациклической резольвентой /iffi/C)1).
Доказательство. Так как RrJ,F0=O при г > г0, 8.10
показывает, что /,^0 = Р° плоский. Поэтому из 8.5 следует, что
Rrh. (Fo И Go) = f.F0 ® Rrg,G0 = 0 при г > 0.
Поскольку для любого пучка /^"последовательность
0 -* Fo -> С° (Fo) -> С° (Fo)/Fo -* 0
точна II расщепляется на слоях пучков (V. 1.15), комплекс
F0-*C'(F0) гомотопнчески тривиален на слоях (|43, I. 2.4.1 (а) ]).
В частности, это верно для jtF ->C (У,/7). Используя 8.2, мы
видим, что комплекс
р* (jf) ® q' (jfi) -> pC (jf) ® q*C (/,G)
—резольвента. Наконец,
Замечание 8.12. Следствие 8.11 позволяет дать явное
описание отображений в 8.5. Чтобы упростить обозначения, мы будем
считать fug собственными морфизмамп. Положим
Rff = f.C-(F),
Rg.G = g.C (G),
Существует каноническое спаривание
1С (F) X gtC (G) -> К (С (F) S С* (G)),
и, следовательно, существует спаривание
R// X Rg.G -> R/.F X Rg.G -> RA. (FKG),
определяющее требуемое oтoбpaжeниeR/,/г® Rg,G-> R/г, (F^C).
В-частности, отображения R'f.F ® RsgtG -+Rr+sh,{F\ZG)
индуцированы отображениями ограничения
Rrt.F^Rrh.(p'F), R'gtG^Rs
') Здесь одним_ и тем же символом / обозначены компактифицирующие
пложения А' <=^> X, Y =» Y, ХХ3У<=^ХХ5 Y.— Прим. персе.
322 Гл. VI. Основные теоремы
и спарпиаппями, заданными w-произведеиием с помощью
p'f х q*G -* г к с.
Слпдствпе 8.13. Пусть X и Y — собственные схемы над сепа-
рабельно замкнутым полем k, и пусть F и G — пучки на X и Y
соответственно. Предположим, что пучок F и группы Hr(X, F)
являются плоскими А-модулями. Отображения
W {X, F) -> //' (А* X Y, F | X X Y) и IV(У, G) -+ Hs (X X У. G | X XY)
вместе со спариваниями
заданными ^-произведением, индуцируют изоморфизмы
Z {X, F)®H'(Y, G)->Hm(XXY,
для всех ш.
Доказательство. Это частный случай теоремы 8.5.
Замечание 8.14. На языке проилподных категорий1)
результаты, полученные выше, могут быгь сформулированы несколько
более гладко и общо. Если F' и С — произвольные
ограниченные сверху комплексы пучков на X и Y, a P'{F')—► F' —
плоская резольвента, то 8.5 обобщается (с помощью обычной
индукции и11г 13) до утверждения
RJ.F' ® Rcff.G* - RA (Я* (Г) И G*).
На языке производных категории это читается как
W ®L Rrf.G* - Kg, (ПЯ1- О').
В частности, при К = S мы имеем
где F" н С — ограниченные сверху комплексы па X и S
соответственно.
Комплекс пучков F' имеет конечную tor-размерность <ld,
если Hr(F' ®L G") = 0 при r<—d для всех пучков G. Если F'
состоит из одного пучка F, то это значит, что Tor^(F, G) = 0
при r>d. Если в ситуации 8.10 F' — комплекс пучков на X
конечной tor-размерности ^ d, то доказательство 8.10 показы-
') Па русском языке основные понятия языка производных категорий
шложены в работе: Бейлипсон А. А. Производная категория когерентных
пучков на Р*. — В сб.: Вопросы теории групп и гомологической алгебры,
вып. 2, Ярославский гос. университет, 1979, с. 42—54. — Прим. перев.
§ 8. Формула Кюннета 323
вает, что RJ.F" имеет конечную tor-размерность <; d. Поэтому
существуют ограниченный комплекс Р' плоских пучков на S,
такой, что Р' = 0 при г < —d, и квазиизоморфизм Р' — Rcf.F'.
Мы хотим доказать формулу Кюннета для пучков
Z(-модулей и векторных пространств над Q<, но вначале необходимо
установить, что их когомологии можно реализовать особенно
хорошими комплексами.
Лемма 8.15. Пусть X— отделимое многообразие размерности
m над сепарабельно замкнутым полем и f: X-+S— структурный
морфизм. Для любого плоского конструктивного пучка F А-мо-
дулей на X существует квазиизоморфизм Р' —*■ RJ,F, где Р' —
комплекс конечно порожденных проективных \-модулей,
обладающий следующим свойством: для всех г, не
удовлетворяющих неравенству О <: г <: 2т, Рг = 0.
Доказательство. Как и в 8.3. мы можем построить
комплекс Р' плоских Л-модулей, такой, что Р' — 0 при г > 2т, и
квазиизоморфизм Р'—*-RJ,F. Поскольку Л-модуль
Hr{P') = Hr{Rcf.F) = Hrc(X, F)
конечно порожден (2.8), небольшое усовершенствование тон же
самой конструкции ([94, II. 5, с. 62] дает нам комплекс конечно
порожденных плоских и, следовательно, проективных модулей.
Как и в доказательстве 8.10, Р°/В° — плоский и, следовательно,
проективный модуль (здесь В0 = im(P-1->P0)). Поэтому Р° =
= В°®Р°/В0, п, значит, мы можем заменить модуль Р° па
/
Говорят, что комплекс модулей над кольцом А совершенен,
если это ограниченный комплекс проективных конечно
порожденных модулей. Мы будем использовать обозначение Н'с (X, F)
для любого совершенного комплекса Л-модулей,
удовлетворяющего условиям 8.15.
Предложение 8.16. Пусть f: X-+-S такой же, как и в 8.15, и
пусть F = (F'„) — плоский конструктивный пучок Л-модулей, где
А — целое замыкание Z< в конечном расширении поля Qi.
(Значит, Fn — плоский конструктивный пучок Ап-модулей, где Ап =
= Л/пГ)'). Тогда можно выбрать комплексы Н'С(Х, Fn) так,
чтобы для всех п существовали отображения Н*с (X, Fn+[)-*■
->• Н'с(Х, Fn), индуцирующие изоморфизмы Н'С(Х, Fn+\)<g> А„-~-
-^* н; (х, Fn).
') Здесь ш—максимальный идеал в локальном кольце А.— Прим. перев.
324 Гл. VI. Основные теоремы
Доказательство. Поскольку Fa+i®\n—* Fn, 8.8
показывает, что
n- Rcf.F* ^~ Не (X, >„).'
Поэтому наше предложение вытекает из следующих двух лемм.
л
J1 им мл 8.17. Пусть А—(нётерово) кольцо и ЛГ—*• L'■*—ЛГ—
отображения комплексов А-модулей, причем я —
квазиизоморфизм. Если М' — совершенный комплекс, то существует
отображение комплексов г|>: M'-*N', такое, что яф = ф1).
Доказательство. Пусть С" — конус тождественного
отображения L' —* L'. Это точный комплекс, и мы можем
заменить я па квазппзоморфизм ЛГ©С*—»• L'. Поэтому мы можем
считать, что л сюръектнвен. Положим К' = ker (ЛГ -^* L').
Из когомологическом последовательности для 0 -*■/("—> Л/' ->
->L'-> 0 вытекает, что комплекс К' точен. Для г > 0 положим
\\>': Mr-*Nr равным пулю. Допустим, что »|/ определено для
всех г > Гц. Существует отображение ty[°: Mr" -* Nr\ такое, что
л'''Ф["==фг"2)- Более того, отображение
переиодит Мг* в К'* " с: /V0+l. Поскольку
<-+|(<'Ж-ф'1||<'Э-о,
существует отображение i|\: Л Г" -> Кг\ такое, что
Мы полагаем г()г' равным г]^ — г|-2.
Леммл 8.18. Пусть А—локальное артиново кольцо и Ао —
некоторое его фактор кольцо. Естественный функтор тензорного
умножения на /1ц Ла®л — из категории А-модулей в категорию
А^-мовулсй мы обозначаем через М*-^*М0 (для объектов),
') Очевидно, мго если <р — квазнизоморфнэм, то тем же свойством обла-
длег II 'I'.—Прим. ред.
2) В силу проективности М и сюръектишюсти я. — Прим. перев.
"К
3) В cii.n проективности М и сюрьектншюсш Кг° —» ker (p^H '). — Прим,
перео.
§ 8. Формула Кюннета 325
Ф>—>фо (для морфизмов). Пусть М' и N'— совершенные
комплексы А- и А0-модулей соответственно, и пусть \р —
квазиизоморфизм М'о —>• N'. Тогда существует совершенный комплекс
А-модулей L', квазиизоморфиэм ф: М' -*■ V и изоморфизм
Ц —*■ N', такие, что диаграмма
коммутативна.
Доказательство. Заметим, что любой конечно
порожденный проективный Ло-модуль представим в виде Мо для
некоторого конечно порожденного проективного А -модуля М, и
любой Ло-гомоморфизм ф: Мо-+ М'о таких модулей, предстаи-
ленный в виде матрицы, имеет вид ф0 для некоторого А
-гомоморфизма ф: М-+М'.
Подлемма 8.19. Для любого точного совершенного комплекса
N' Ао-модулей существует точный совершенный комплекс М'
А-модулей, такой, что М'о « N'.
Доказательство. Сформируем из W точные
последовательности ')
n ~7 -* N" ~2 -* Zr'"' ~» О,
О _* #г° -+ Nr°+i -> Zr°+2 -> 0.
Индукцией вниз по г получаем, что Z' — конечно порожденный
и свободный модуль. Мы поднимаем Nr'~l-* Nr' до
гомоморфизма проективных Л-модулей МГ'~]-*МГ' и полагаем
Затем мы поднимаем Nr'~2-*■ Zr<~' до Мг'~2->-Уг'~1 и повторяем
процесс.
Подлемма 8.20. Пусть ф: С-+М'— отображение
совершенных комплексов А-модулей. Любое отображение L'n -* M'a,
гомотопное фо, представимо в виде if0, где ф: L' -*■ М' гомотопно ф.
') Здесь Z1 я ker (d^). — Прим. перев.
И Зак. 421
320 Гл. VI. Основные теоремы
Доказательство. Пусть г))': L'a —► М'о — отображение,
гомотопное (р0:
Фо — V = dk0 + kod,
и можно считать, что k = (kr) — семейство отображений k'\ L'-+
-*-Мг-]. Мы полагаем i|) = <р — (dk-\-kd).
Теперь мы докажем лемму. Конус тождественного
отображения ЛГ—*■ N' точен и совершенен п, следовательно, поднимается
до комплексаС' Л-модулей. Заменив М' на М'фС", мы можем
считать, что ф сюръектнвен. Теперь кег(-ф) — точный
совершенный комплекс н, следовательно, может быть поднят до точного
совершенного комплекса Л-модулей К'. Вложение К'о <=» М"о
гомотопно пулевому отображению (ср. с 8.22 ниже) и потому,
согласно 8.20, поднимается до отображения /С* —>М'. Согласно
IV. 1.11, это отображение отождествляет каждое Кг с прямым
слагаемым в Мг. Поэтому комплекс L'=M'/K' является
совершенным п обладает требуемыми свойствами.
Пусть /: X->S п F = (Fn) такие же, как и в 8.16. Комплекс
НИ*, F) = limHn*. Fn) является совершенным комплексом
Л-модулей, и НИ*. F)®An-^+l\'c{X, Fn). Кроме того,
/ПНИ*. F))=Hr[\lmH'c(X, Ftt)) = \\mHr{ttc(X, Fn)) =
= \unHrc(X, Fn)~Hrc(X, F)
(ср. с доказательством V. 1.11).
Теорема 8.21. Рассмотрим диаграмму
X y.s Y
ь
|/
X
>
в которой S — спектр сепарабельно замкнутого поля, а \ и g —
компактифицируемые морфизмы. Для любых плоских
конструктивных пучков F и G А-модулей (А такое же, как и в 8.16) на
X и Y существует канонический квазиизоморфизм
; (X, F)® П'с (Y, G) -^ Не (X XY, FR G).
§ 8. Формула Кюннета 327
Таким образом, существуют точные последовательности
О- £ НГс(Х, F)®HSC(Y, G)^H7(XXY, F&G)^
-* Z Tor?{Hc(X, F), HSC(Y, G))-*O.
+ + l
r + s=m
Доказательство. Так как А — кольцо главных идеалов.
Tor;? = 0 при г > 1. Поэтому второе утверждение следует из
первого (и из 8.6).
Для доказательства первого утверждения заметим, что
определены квазнизоморфизмы
Не (X, Fn) ® Не (Y, Gn) -^ Rch. (Fn К- Gn) Q-H'dXX У. Fn К Gn)
и 8.17 показывает, что мы получаем квазнпзоморфпзмы
♦„: н; {х. Fn) ® н; (у, о.) -=* н; (х х v. ^ к оя).
Остается доказать, что мы можем выбрать их так, чтобы
rjfn+l ® Л„ = $п.
По построению диаграмма
коммутативна, н аналогичное утверждение верно для G. Отсюда
следует, что диаграмма
ЩХ, F,M)
НДХ, Fn) ® H'(Y, Сл)
коммутативна. Поэтому yn+i ® А„= фл, т. е.
Следующая лемма показывает, что i|'n+i®An и \[>п гомотопим.
После этого из 8.20 следует, что г|Зл+1 может быть
модифицировано так, чтобы выполнялось равенство v|3n+i ® Ап = ^л.
Лемма 8.22. Пусть^и^2 —отображения комплексов М'-+N'>
такие, что я\|3| = n\f2 <?ля некоторого квазиизоморфизма л: N' ->
-►Z.'. Если N'— ограниченный сверху комплекс проективных
модулей, то t|ii гомотопно ifj.
11*
32Я Гл. VI. Основные теоремы
Доказательство. Согласно утверждению, двойственному
к установленному в [60, 1.4.5J1), л имеет гомотопический
обратный я', т. е. л'л ~ 1. Тогда i|si ~ л'л^! = л'л\р2 — грг-
Следствие 8.23. В предположениях 8.21 существуют
канонические изоморфизмы
Z Не (X, F ® Q) ® He (Y, G ® Q) -^ ЯГ (X X V, (F К G) ® Q),
где Q — ноле частных кольца А.
Доказательство. Нужно умножить точную
последовательность из 8.21 тензорно на Q.
Замечание 8.24. Отображения в 8.23 — это те отображения,
которые были описаны в 8.12. Если А' н У собственны над S, то
они индуцированы отображениями ограничения
1Г(Х, F<8>Q)ie-'Hr(XXY, F®Q),
HS{Y, G®Q)-^>rr(XXY, G®Q)
ii w-умножснием
Hr(XXY, F®Q)XHS(XXY, G®U)
Положим
H'(XQ) Znr(
Спаривание, заданное w-умножепием, превращает векторные
пространства Н*(Х, Q,) и Н* {X X Y, Qi) в градуированные
кольца. Следствие 8.23 показывает, что существует естественный
изоморфизм
Н*(Х, Q,)®/nV, Qt)^H'(XXY, Q,)
градуированных колец. Кроме того, если ср: Х-*-Х' и ty: У-> У"—
морфнзмы собственных S-схем, то диаграмма
Н*(Х'г
коммутативна.
') Приведем формулировку соответствующего утверждения из книге Хартс-
хориа. Пусть s: /'->K'— морфизм комплексов объектов абелевой категории,
индуцирующий изоморфизм на когомологпях. Если /'—комплекс нпъективпых
объектов, ограниченным снизу, то s имеет гомотопический обратный. — Прим.
персе.
9. Отображение циклсг 329
Замечание 8.25. Если использовать теорему Делння о замене
базы, цитированную в 5.7, вместо теоремы о собственной
замене базы, то те же рассуждения, что и в доказательстве 8.5,
устанавливают следующий результат. Пусть А' и Y — схемы
конечного типа над сепарабельно замкнутым полем k, и пусть F
н G —пучки Л-модулей на X и Y соответственно. Тогда (в
обозначениях производных категорий)
RP (X, F) ®L Rr (К, G) -=» Rr (X X Y. F DL G).
§ 9. Отображение циклов
Все рассматриваемые здесь многообразия будут гладкими
многообразиями над фиксированным алгебраически замкнутым
полем k, а через Л будет обозначаться постоянный пучок Z/(n),
где п взаимно просто с char (ft). Каждому алгебраическому
циклу на таком многообразии мы сопоставим класс когомологнп.
Напомним, что простым r-циклом на многообразии А'
называется замкнутая приведенная неприводимая подсхема
коразмерности г, алгебраическим r-циклом называется элемент
свободной абелевой группы С'(Х), натянутой на множество
простых г-цпклов, и, наконец, алгебраическим циклом называется
элемент градуированной группы C'(^) = JCr(Jf). Простои
г-цнкл W и простой s-цикл Z пересекаются собственно, если
каждая неприводимая компонента WflZ имеет коразмерность
г + s; тогда пересечение WZ определено и принадлежит
Cr+s(X). Два алгебраических цикла W и Z пересекаются
собственно п W-Z определено, если каждый простой цикл,
входящий в W, пересекается собственно с каждым простым циклом,
входящим в Z. Для любого отображения л: Y-*■ X и ZeC*(A')
мы полагаем n*Z = Гл* (УХ2), если это выражение определено.
Каждое собственное отображение я: Y-+-X определяет
отображение л»: С*(Y)-*-С* (X), причем для простого цикла Z на У
полагаем л*2 = 0, если dim n(Z) <C dim Z, и n*Z = d(n(Z)),
где d — степень отображения n\Z: Z-*-n(Z), в противном случае.
Эти отображения связаны формулой проекции л» (л* W-Z) —
= UZ-n.Z, которая справедлива, если оба выражения
определены.
Мы будем писать Н*(Х, Л) или просто Я* (А') вместо
^Я|'(ЛГ) Л (г')), где г' —целая часть г/2. Тогда ^-умножение
г
превращает Н*(Х) в антикоммутативное градуированное кольцо.
Мы определим гомоморфизм градуированных групп,
удваивающий степени, с/*: С*(А')-> Н*(Х). Если Z — гладкий простои
r-цикл, т. е. Z — гладкое подмногообразие в X, то мы
определяем clx[Z) как образ фундаментального класса sZ/xZ в X при
ЛЗО Гл. VI. Основные теоремы
отбражсппп 11'{ (X, Л (г))->■ Н2г (X, Л (л)). Эквивалентно (6.5),
cl\(Z) = it(\z), где ;»— отображение Гизпна H°(Z, Л)-*
--»-//'-" (/V, Л (г)) и be//o(Z, Л) — единичный элемент кольца
ir(Z).
Чтобы распространить это определение на циклы с
особенностями, нам понадобится следующая лемма.
Лпммл 9.1. Для приведенной замкнутой подсхемы Z
коразмерности г в X Hz (X, Л) = 0 для s < 2г.
Доказательство. Для гладкой схемы Z утверждение
леммы вытекает из 5.1. Общим случай доказывается индукцией
шшз по г. Если г = dim(X), то Z— конечное множество точек и
потому гладко. В общем случае мы можем выбрать открытое
подмножество U в X, такое, что U[}Z гладко, U плотно в
каждой неприводимой компоненте Z коразмерности г и XzdUzdX—Z.
Точная когомологическая последовательность последней тройки
ныглядит следующим образом:
... --W/.Y .t,(.Y, Л)-->//1(Л\ Л) >/!bnz(U, Л)-> ....
Теперь П\-и(Х, Л) —0 для &-<2(r-f 1) по индукционному
предположению, так как коразмерность Л' — U в X не меньше
г+1, a Hun/-{U> Л) = 0 для s < 2л, так как U [\ Z гладка, из
чего сразу следует утверждение леммы.
Пусть теперь Z — простой r-цикл п иыбраио открытое
подмножество U n /Y, как в доказательстве леммы. Имеем
^ A(r))*-//^(,Y, \(г))^Н*{Х, Л (г)),
где м.н1морс|)плм возникает из точной последовательности тропки
.V ^э U гэ Л' — Z. Мы определяем clx(Z) как образ sunz/U в
//-' (А7, Л (г)). Согласно 6.1 (с), cl.x(Z) не зависит от выбора V.
Продолжим (.7л по линейности на все С* (А'). Заметим, что при
определении c/.v(Z) для г-цнкла Z нам разрешено выкидывать
любое замкнутое подмногообразие А коразмерности >• г.
Ппклложкнш: 9.2. Пусть п: У'->-А отображение
многообразии и Z — алгебраический цикл на X. Пели для любого простого
цикла Z', вхсд.чщгго в Z, YXxZ' является несвязным
объединением приведенных неприводимых схем, то n*Z определен и
Доказательство. Мы можем предположить, что Z прост.
II) условий вытекает, что после замены А' и У на их открытые
подмногообразия Z и УХ.<2 будут гладкими и n*Z=yx*Z.
§ 9. Отображение циклов 331
Тогда
clY (n'Z) = im (sz xYIY) (по определению) =
= nim(szlx) (6.1(c)) =
= n*clx(Z) (по определению).
Предложение 9.3. Пусть i: Z <^~ X — замкнутое вложение
гладких многообразий. Для любого W^Cr(Z) /,(с12(\\')) —
= clx{W), где i» — отображение Гизина H2r(Z А(л))-«-
№<■> {X, Л(г+с))').
Доказательство. Можно считать, что W—простом глад-
кип цикл. Тогда clz(W)= 11*(1 ir), где i\, — отображение Гпзппп
для ц: W <=- Z и, согласно 6.5(Ь),
/. (clz(W)) = /.(«..(1 ir)) = (/- h). (!«•)•
Предложение 9.4. Для любых W^C*(X) и Z(=C*(Y)
где р и q —проекции XX Y^-X, XXY-+Y.
Доказательство. Можно считать, что W п Z — гладкие
простые циклы. Пусть i — замкнутое вложение Xy^Z cz, A'X Y.
Тогда
i,rclxxr{W XY) = Ulxxz(r{WXY)) (по 9.2) =
= Ulxxz(WXZ) =
= cIxxy(WXZ) (no 9.3).
С другой стороны, 6.5 показывает, что
iSclxxriW XY) = cIxxy(W XY)v с1Хху(Х X Z) =
Предложение 9.5. Пусть W и Z — алгебраические циклы на
X, такие, что каждый простой цикл, входящий в U", трансвер-
сально пересекается с каждым простым циклом, входящим в Z.
Тогда
clx(W .Z) = cl
Доказательство. Можно считать, что 1У п Z простые.
Тогда WXZ трансверсалыю пересекается с диагональю в Л'ХА'
и, значит, Д: X-*~Х X X и W X Z удовлетворяют предположениям
') Здесь с — корез мерность Z в X. — Прим. перед.
332 Гл. VI. Основные теоремы
9.2. Таким образом,
clx {W ■ Z) = clx (Л* (W X Z)) (по определению Л*) =
= tfclXxx(WXZ) (по 9.2) =
(по 9.4) =
Замечание 9.6. Как вытекает из 6.1 (Ь), отображение с/*:
С1(Х)-+ Н2(Х, Л(1)) является композицией канонических
отображений
С1(Х)-*Р\сХ и PicX-*H2{X,
В частности, если Z — дивизор, то clx(Z) зависит лишь от
класса лппеппоп эквивалентности Z.
Пример 9.7. Мы видели в 5.6, что для любого линейного под-
пространств U в РП| коразмерности г отображение Гпзина
Л = H°(Lr, Л) - *► //2л(Рт, Л (г)) является изоморфизмом.
Поэтому Н2г(р'", Л(г)) порождено clpm(Lr). Поскольку Pic((Fm)«Z
порождено классом любой гиперплоскости, cl{L[) не зависит от
U. Аналогично, так как Z/ есть трансверсальное пересечение г
гпперп.чоскостей, то 9.5 показывает, что
также не зависит от Lr. Отсюда вытекает, что отображение
A[T]/(Tm+l)-+H'(Pm),
переводящее V п ctpm(Lr), является изоморфизмом
градуированных колец.
Замечание 9.8. Намного более общую и полную трактовку
отображения циклов можно найти в [55, Cycle].
§ 10. Классы Чженя
Мы фиксируем алгебраически замкнутое поле k и
рассматриваем только гладкие квазппроектпвные многообразия X над k\
как и прежде, Л обозначает постоянный пучок Z/(я) с п,
взаимно простым с char(fe). С каждым векторным расслоением (или
когерентным пучком) на X мы свяжем классы когомологий,
называемые классами Чженя. Для применения метода Гротендика
[46] построения классов Чженя мы должны знать кольцо кого-
мологпп проективного расслоения па X. Напомним, что
проективное расслоение векторного расслоения Е на X (или локально
свободного когерентного пучка Сл-модулей) — это многообразие
[''(£) вместе с морфпзмом P(E)->-/Y, такое, что каждый слой
§ 10. Классы Чженя 333
Р(£) над X канонически изоморфен проективному пространству
прямых в слое Е над X (Хартсхорн [61, II. 7]). Так же как н в
§ 9, мы полагаем Н* (X) равным кольцу когомолопш
£//г(Х, Л [г/2]) многообразия X, где [г/2] —целая часть г/2.
г
Предложение 10.1. Пусть Е— векторное расслоение ранга ш
над X и Р = Р(£)—-X— соответствующее проективное
расслоение. Пусть £е//2(Р, Л(1)) — образ канонического
линейного расслоения Ор{\) на Р при отображении Pic(P)->
->Н2(Р, Л(1)), возникающем из последовательности Куммерп.
Тогда отображение Н* (X) [Т] /(7"т)->- П*(Р), совпадающее с р*
на Н*{Х) и переводящее Т в \, является изоморфизмом
градуированных Н*(X)-модулей. Таким образом, Н*(1^(Е)) является
свободным Н*(X)-модулем с базисом 1, {•, £2, ..., |т-'.
Доказательство. Чтобы упростить рассуждения, мы
выберем изоморфизм Л—*"Л(1) и с его помощью отождествим вес
A(s) с Л. Заметим, что для X = spec k наше предложение
доказано в 9.7. Из следующей леммы вытекает предложение 10.1
для тривиальных расслоений Е.
Лемма 10.2. Формула Кюннета справедлива для XXF"1"1 «
пучка Л=Л[х]Л. Точнее, отображения
/Л Н*(Х, Л)-+НГ(ХХР""1, Л),
q\ Hs{Pm~\ Л)->Я*(ХХРШЛ Л)
вместе со спариваниями, заданными ^-произведениями,
Hr(xxPm~l, A)xHs{xxPm~l, A)-+Hr+s(xxPml, л)
индуцируют изоморфизмы
£ Hr(X, A)®Ws(Pm"'. А)-^Н'(хХРт-1, Л).
Доказательство. Для полного Л" утверждения леммы -
частный случай 8.5 (даже 8.13), и можно так модифицирован,
доказательство 8.5, чтобы (в этой частной ситуации) оно
проходило для неполных X. Мы используем те же обозначения, что и
в § 8; в частности, имеется диаграмма
X х Р"1"1
1 = spec A
334 Гл. VI. Основные теоремы
и (см. 8.15) совершенный комплекс Н^Р"1 ', Л) Л-модулен,
тиком, что
Hr{w(pm-[, л)) = яг(рш-', л).
Поскольку //2r(i '"-', Л) «Л1) и H2r^(Pm-\ Л)=0,
существуют соображения комплексов Л -> Н' (Рт~', Л) степени 2г,
индуцирующие изоморфизмы Л—*• 1ГГ (Н* (Р"1"1, Л)) на гомо-
логнях1). Поэтому найдется квазппзоморфизм из комплекса
m-l
в Н"(Р'"~', Л), и, значит, мы можем заменить Н'(рт~', Л) на
2 Л [—2л]. Поскольку очевидным образом НГ(Х, Л)®Л—*•
—*НГ(Х, Л), го мы имеем квазппзоморфизм
Rf.AfcH'O"-1'1"1. Л)---^.(ГН"(Рт"'. Л)).
Теперь
A("l[ ))^>R/,(R/'.(^A)) (по 8.9)-=>
- - R/I.A.
что доказывает лемму.
Лемма 10.2 дает нам изоморфизмы градуированных колец
что доказывает предложение 10.1 для случая тривиального Е.
Поскольку векторное расслоение Н локально тривиально в
топологии Зарнсского па X, то остается только показать
справедливость предложения 10.1 в предположении, что его
справедливость установлена для открытых подмножеств А'о, Х\, Х0(]Х\,
t.ikiix, что A'nU -Y| = X.
I loiYio/uieo утпержденпс вытекает ii:i сравнения иоследователь-
iidcreii Maiiep;i — Bi>eTopnca (III. 2.24)
... ->//Г(Р (I;,,)) D НГ(Р (С,)) ^Я'(Р(/-„))->//Г + '(
где A'oi — обозначение для Хо f] А', и Еп, £| и Е0\ — обозначения
для ограничении Е на А'о, Х{ и A'oi.
') Для г s.' /и — \. — JJpii.u. nepeo.
§ 10. Классы Чженя 335
Для определения классов Чженя на категории V всех кв;ии-
проектнвных, гладких многообразий нам нужны следующие
донные ([46]):
(a) контраварнантный функтор из V в категорию
градуированных аитикоммутативных колец; мы берем функтор X^—>■
(b) функторпальный гомоморфизм Pic (Л)—* И2{Х)\ мы
берем гомоморфизм, определяемый последовательностью Куммера;
(c) для любого замкнутого вложения i: Z <=— X с Z и Л' в V
должен быть задан гомоморфизм групп (',: Н* (Z)-> H*(X),
увеличивающий степень па удвоенную коразмерность Z в X; мы
берем отображение Гизина. Как и в § 9, мы полагаем clx(Z) =
Эти данные удовлетворяют следующим предположениям.
А1. Свойство, установленное в 10.1;
А2. Если Z —гладкий дивизор на X, то образ Z (как
элемента Pic(X)) при отображении рх равен clx(Z); это очевидное
следствие определений;
A3. Если W, Z и X лежат в V и If c^z^Jf —замкнутые
вложения, то (г..м), = t2.t'i.; это доказано в 6.5;
А4. Если Z и X лежат в V и i: Z с. X — замкнутое вложение,
то для любых х<=Н*(Х), z<=H*(Z) ('«(<* (я) w г) = х w /,?; это
доказано в 6.5.
Пусть Е— векторное расслоение ранга т на А', и пусть
£еЯ2(Г(£))—элемент, отвечающий каноническому .чиненному
расслоению па Р(Е). Предложение 10.1, т. е. условие А1,
показывает, что существуют однозначно определенные элементы
сг(Е)€еН2г(Х),'такие, что
г=0
cu(f) = l,. cr(E) = Q для т>т.
Тогда Сг(Е) называется r-м классом Чженя расслоения Е,
с(Е) = £сг (Е) — полным классом Чокеня расслоения Е и с, (Е) =
= l-fci(£)'+ ••• + cm{E)tm — многочлен Чженя расслоении
£■).
Теорема 10.3. Классы Чженя удовлетворяют следующим ус.ю-
виям:
(а) (функториальность). Если я: Y-*■ X — морфиэм, где X и
Y лежат в V, а Е — векторное расслоение на X, то сг(л-'(Е)) —
= п*с,{Е) для всех г;
') Теорему сравнения для классов Чженя п эталыюй и классическом
топологиях над U можно найти в [56, VII]. — Прим. перса
33(5 Гл. VI. Основные теоремы
(I)) (нормализация). Если Е — линейное расслоение на X, то
с,(Е) = 1 + Px(E)t, где в правой части равенства Е
рассматривается как элемент Pic (Л');
(с) (аддитивность). Если A'gV и 0->■ Е'-> Е-*■ Е"->0 — точ-
ни.ч последовательность векторных расслоений на X, то
Более того, эти три свойства определяют классы Чженя
однозначно.
Доказательство. Наше утверждение — это теорема 1
Гротендпка [40].
Замечание 10.4. Если
с,(£) = 1 + с,{Е)1 + с,(Е)Г-+ ... +с„(Е)Г
формально положить равным II(I+Y* (£)')■ т0 Y<(£)
называются корнями Чженя расслоения /;. Корни Чженя для Ё
равны —yt(E), для Е ® Е' они равны у,■(£) + Vi (£'). a корни Чженя
для Л''£ равны Y, + Y; + • • • + Y/ . ', < '■.> < • • • <ip.
Условие (с) в 10.3 говорит о том, что отображение с
пропускается через группу Гродендика /\(Л') векторных расслоений
па X. Поскольку А гладко, К(Х) равна группе Гротендика
пучков когерентных Сл-модулеп. Поэтому простой цикл Z на X
определяет элемент y{Z) = (класс Oi) в К(Х), и Z>-^>y(Z)
может быть продолжено по линейности до отображения у. С*(Х)-*~
-^■К(Х)*). Если через КГ(Х) обозначить подгруппу К(Х),
порожденную всеми когерентными пучками с носителями
коразмерности ^ г, то X CS(X) отображается па КГ(Х). Группы КГ(Х)
определяют убывающую фильтрацию па K(X)t и
соответствующая градуированная группа оказывается кольцом с законом
умножения, определяемым функтором Тог. А именно, [М] [N] =
= X(~l)r[Tor'J'lf(/V/> N)], где [М] обозначает класс М в GK,(X).
Описание умножения, заданного пересечениями, в терминах Тог,
данное Серром [П9], показывает, что гомоморфизм градуиро-
паниых групп у': С*(Х)—GK*(X), индуцированный у, сохраняет
произведения: y'{W-Z) = y'(W)y'(Z). Поскольку у' переводит
и пуль циклы, рационально эквивалентные нулю, то v'
определяет сюръектпвный гомоморфизм градуированных колец
цк CH*(X)-*GK*(X), где через СН*(Х) обозначено кольцо
Чжоу многообразия X ([46, с. 150]). (См. недавнее изложение
теории колец Чжоу в [40, I, II].)
') См. Маппн 1О. И. Лекции о /(-функторе в алгебраической геометрии. —
УМП, I9G9, т. XXIV, № 5, с. 3—86. — Прим. перев.
§ 10. Классы Чженя . 337
Гротендик [46, с. 147—151] также определил отображение,
задающее пополненный класс Чженя, с: К(Х)—*(Н*(Х))~, где
(Я*{X))" — некоторое К-кольцо, определяемое по Н*(Х).
Переходя к соответствующим градуированным объектам, мы
получаем отображение градуированных колец я|з: GK*(X)-+ Н*{Х)\
где Н*(Х)' совпадает с Н*(Х) как градуированная группа, а
мультипликативная структура на И*{Х)' задана формулами
x,*xs= (Г-ои»/)!
ср. с [57, V. 6.5]. Отображение ф функторпально по X.
Допустим теперь, что (dimX—1)! обратимо в Л; это
означает, что если р— простое число, делящее п, то р ^ dim А'. Тогда
определен изоморфизм
*,_>.»,/(-1)'"1 (г- 1)1: Н'(Х)'-+Н'(Х).
Определим сГх как композицию отображений
С* (X) -» СЯ* (*) -** GK' (X) -^ Я* (*)' -^ Я* (X).
Отображение cl'x обладает следующими свойствами:
Cl. cl'x — гомоморфизм градуированных колец
(удваивающим степени).
С2. Если цикл Z рационально эквивалентен циклу W, то
'{Z l'{W)
x
СЗ. Отображение с\'х функторнальпо по X (мы
ограничиваемся многообразиями X, для которых (dim А' — 1)!
обратимо в Л).
Условия С1 и СЗ выполняются, потому что сГх является
композицией гомоморфизмов, функториальных по X, а С2 вытекает
непосредственно из определения cl'x.
Лемма 10.5. Пусть Е — векторное расслоение ранга г на X и
s: X-+E — сечение Е, образ s(X) которого трансверсально
пересекается с нулевым сечением Е, так что множество нулей
сечения s — гладкая подсхема Z в X. Тогда cl'x(Z) = clx(Z).
Доказательство. Теорема 2 из [46], применимая в
пашей ситуации ввиду 9.2, дает нам равенство ctx{Z) = cr(E).
Пусть Ё — векторное расслоение, двойственное к Е. Почти по
определению Z Сг является коядром отображения Ё-*-(Ух,
двойственного к отображению О к — Е, индуцированному s.
Комплекс Кошуля (ср. с [60, III. 7]) дает резольвенту
0^ЛГ(£)->ЛГ~'(£)-> ... -+E'-+0x^0z^o
338 Гл. 17. Оснопные теоремы
пучка 0z, состоящую из локально свободных пучков. Поэтому
[^z] = Z(—U'[Л'(^)1 в К(Х). Образ Л'(Е) в Н'{Х)' равен
образу Л'(£), умноженному па (— 1)г, а образ ^ (— 1)' [Л'(£)]
равен —(г—1)1с,(£) (ср. с [57, Y.G.6.1J). Поэтому
Предложение 10.6. Два отображения clx, cl'x: С'(Х)-+Н'(Х)
равны.
Доказательство. Достаточно показать, что clx(Z) = cl\{Z)
для простого r-цпкла Z па X. Мы можем заменить X его
открытым подмногообразием U, таким, что коразмерность X — U в X
больше г, поскольку в этих предположениях 9.1 показывает, что
П2г(Х, Л(л))-> H2r(U, Л(г)) ипъектпвпо. Поэтому мы можем
считать, что Z гладок и определен (как схема) уравнениями
fl==f2= ... =/г = 0 в некоторой своей окрестности U.
Определим Е как векторное расслоение па X1), ограничения
которого на U и V = X — Z тривиальны, а склеивающее
отображение Луги- -*■ Аиnv задано формулой (и, (\, .... tr)*—>
1—*(и, t\/f\(u), ..., tr/fr(u)). Тогда s: A'->-£, такое, что s\U
есть и"—>(и, /i(m), ..., М«)), а 51^ ссть «•-»(«. 1. •••. 1),
является сечением £ над /V, трансверсальио пересекающимся с
нулевым сечением, п Z — множество нулей s. Поэтому, согласно
10.5, cl'x{Z) = clK(Z)
Следствие 10.7. Предположим, что (dimX—I)! обратимо в
Л. Тогда отображение clx {определенное в § 9) является
гомоморфизмом градуированных колец СН*(Х)-у Н* {X), функтори-
альным по X.
Замечание 10.8. Если в рассуждениях, проведенных выше, мы
заменим Л па Q,, то получим в точности те же результаты, за
исключением того, что условие «(dimX—1)1 обратимо» в Q/
оказывается бессодержательным.
§ 11. Теорема двойственности Пуанкаре
Везде Л обозначает постоянный пучок ~/(л), где п всегда
взаимно просто с char(X) для каждой из рассматриваемых схем X.
Сначала мы формулируем и доказываем теорему
двойственности Пуанкаре для гладких отделимых многообразий над се-
иарабелыю замкнутым полем. (Напомним (З.З(е)), что
отделимые многообразия компактпфиц!!;1;.'-"--.) Затем мы показываем,
') £— векторное расслоение ранга г. — Прим. перев.
§ П. Теорема двойственности Пуанкаре 349
как из эгой теоремы вытекает важный геометрический
результат: на гладком проективном многообразии группа классов
циклов по модулю численной эквивалентности конечно порождена.
Наконец, мы формулируем относительную теорему
двойственности Пуанкаре для гладкого компактифицируемого морфнзма.
Небольшое расхождение в обозначениях с последними двумя
параграфами: образ sp/x при каноническом отображении
Н^(Х, A (d)) -у Н2? {X, А (а1)), когда Р — замкнутая точка на
отделимом многообразии, мы будем обозначать через clx{P).
Теорема 11.1 (двойственность Пуанкаре). Пусть X — гладкое
отделимое многообразие размерности d над сепарабельно
замкнутым полем k.
(a) Существует единственное отображение ц{Х): H2cd{X, A(d)) ->
—*■ А, такое, что clx(P)>—> \ для любой замкнутой точки Р
многообразия X; кроме того, т\(Х)—изоморфизм.
(b) Для любого конструктивного пучка F А-модулей на X
канонические спаривания
Нгс (X, F) X Exil"-r (F, A (d)) - Hi* (X, Л (d)) ^ Л
невырожденны.
Отсюда, как и в § V.2, непосредственно вытекает
Следствие 11.2. Для каждого локально постоянного
конструктивного пучка F А-модулей на X спаривания,
определяемые ^-произведением,
Hrc(X, F)XHU-'(X, F{d))-+H]d(X. A(dj) « Л
невырожденны.
При доказательстве утверждения (а) этой теоремы нам
понадобятся две леммы.
Леммл 11.3. Для любого отделимого многообразия X
размерности d над сепарабельно замкнутым полем H'cd(X, A(d)) « Л.
Доказательство. Мы используем индукцию по г/. Пели
Хо—плотное открытое подмногообразие в Л", то точная
последовательность (III. 1.30)
... -> Игс (Хо, Л (d)) -* Нгс (X, A (d)) -> Нгс (X - Хо, Л (</)) — . . .
и 1.1 показывают, что Hld(Xo, A(d))—*-H2cd(X, A(d)). Таким
образом, мы можем заменить X таким Хо (или Хо таким А).
Поэтому мы можем предположить, что существует гладкое
многообразие S п проективное гладкое отображение л: X-*-S, слои
Которого свячны и имеют размерность 1 (III. 3.13). В дпаграм-
340 Гл. VI. Основные теоремы
ме, верхняя строка которой возникает из куммеровоп
последовательности,
4 Vjcxis -» R7
Z
отображение Pic*/s-»-A пропускается через R2n,A(l)
(поскольку это так для каждого слоя (§ V. 2)), и возникающее
при этом отображение /?2л„Л(1)->-Л есть изоморфизм (так как
оно является изоморфизмом па каждом слое). Спектральная
последовательность 3.2 (с) дает изоморфизм
Н1Л{Х, A(d))-^H2cd-2(S, R\\(d))
и
Hi"'2 (S, R\A {d)) -^ fl?-2 (S, A (d - 1)) -^ Л
no индукции.
Лемма 11.4. Пусть я: Y-*■ X — отделимый этальный морфизм,
где X —гладкое отделимое многообразие размерности d над се-
парабельно замкнутым полем. Пусть Р — замкнутая точка в Y,
и пусть Q = л(Р). Отображение
п.: Hld(Y, A(d))-+H2cd(X,A(d)),
индуцированное отображением RncnA (^) = ",Л*А (d) —*■ A. (d),
определенным в V. 1.13, переводит с!У(Р) в ch{Q).
Доказательство. Рассмотрим компактификацию У<=-*■
i - л
с=*У—►Л'с конечным я. Имеет место коммутативная диаграмма
(X, A(d)) ■
а которой оба вертикальных отображения индуцированы мор-
физмом Ir: nJtA {d) -* A {d). Таким образом, достаточно
показать, что некоторый прообраз sP/y в
8 II. Теорема двойственности Пуанкаре 341
отображается в Sq,x. Вырезание (III. 1.28) позволяет нам
ограничиться случаем, когда X строго локально. Но тогда Y —
несвязное объединение нескольких экземпляров открытых
подмножеств из X, и доказываемое утверждение очевидно.
Теперь мы докажем утверждение (а) теоремы 11.1.
Напомним (9.7), что Л-модуль H2a(Pd, A{d)) порождается классом
когомологий clpd(P) для любой замкнутой точки Р в Pd и что
этот класс не зависит от Р; таким образом, мы имеем
однозначный выбор для т)(Prf). Пусть X удовлетворяет условиям
теоремы; зафиксируем замкнутую точку Ро е А'. Согласно 1.3.24,
существуют некоторая открытая окрестность Хо точки Ро и
отображения
S" = Spec k
где оба отображения / — открытые вложения и л этально и
отделимо. Рассмотрим диаграмму
Н? (X, A (d)) •£- Hld (Хо, Л (d)) -^* Н\л (U, Л
Для любой точки Q из U класс когомологий clu(Q)
отображается в 1еЛ, и, согласно 11.4, также обстоит дело для любой
замкнутой точки Р из Хо. Это показывает, что гомоморфизм
H2cd{Xt), A(d))-*A сюръективен и из 11.3 вытекает, что
указанный только что гомоморфизм является изоморфизмом. Мы
определяем отображение г\(Х) как композицию 1ГС (X, A(d))—>Л.
Очевидно, что при этом clx{P)*->1 для каждой точки РеЛ'„ и
что это свойство (для какой-то одной точки Р) однозначно
определяет х\{Х). ТакиМ образом, начиная с других Ро и А'о, мы
получим то же отображение ц(Х), и это показывает, что
clx(P)<—>1 для каждой замкнутой точки Ре!
Теперь мы докажем утверждение (Ь) нашей теоремы
индукцией по размерности d многообразия X. Отметим, что случай
d = 1 доказан в V.2.
Обозначим через yr(X, F) отображение Ext2* ~r(F, A(d)) -*•
-~>Н({Х, F) , индуцированное спариванием, указанным в уело-
312
Г.1. VI. Основные теоремы
вин теоремы. (Советуем читателю опустить доказательства
коммутативности диаграмм, во всяком случае при первом чтении.)
Шаг 1. Пусть л: Х'-*-Х— конечное этальное отображение, где
А' п А' — многообразия, удовлетворяющие условию теоремы 11.1;
для пучка F па X' отображение фг(А", F) является
изоморфизмом тогда и только тогда, когда фг(А\ я»/7)—изоморфизм.
Доказательство. Степень морфнзма л будет постоянной, и
потому, следуя V. 1.14, мы должны только показать, что диаграмма
(г
H2/{X,A(J» ■№-> А
коммутативна, но это вытекает из 11.4.
Шаг 2. <pr(X, F) — изоморфизм, если носитель пучка
F—гладкое замкнутое подмногообразие Z =/- X в X.
Доказательство. Рассмотрим F как пучок на Z. Мы должны
показать, что существует коммутативная диаграмма
где а—размерность Z.
Пусть ,Y — компактнфпкацня Л" и 7. — замыкание Z в X. Тогда
мы получаем диаграмму
7.
■X
Отмстим, что /,/', = I./,, и, кроме того,
JfT(Z, A{a))—>tr-a{Z, Л (a))
§11. Теорема двойственности Пуанкаре 343
Таким образом, нам нужна диаграмма
Br{Z,j,T) х Ext!tf-r (F, Л(й)) > H2a{Z, Л(й)) > Л
ft С я||« й|п
Левая часть этой диаграммы построена в 6.7(с), а правый кпп-
драт коммутативен потому, что по 6.5 имеет место коммутапш-
ная диаграмма
irca(Z,A(a)) » H2a{Z,A(a))
ук е Н2/(Х, A(d)) » Щ"{Х, A(d))
Шаг 3. Пусть U — открытое подмногообразие X. Тогда ф'(Л', Г)
является изоморфизмом для всех г в том и только в том случае,
когда (fr(U, F\ U) — изоморфизм для всех г.
Доказательство. Строим последовательность многообразий
X = Хо ^> Xi zd Xs 13 ... zd Xs — U, такую, что Х< — .V,+1 —
гладкое многообразие, замкнутое в Xi. Соображения типа леммы о
пяти гомоморфизмах с использованием рассуждений,
приведенных во втором шаге, показывают, что q>r(Xi, F\Xi) будет
изоморфизмом для всех г тогда п только тогда, когда «j)r(-Y,--n,
F\Xi+i) является изоморфизмом для всех г (ср. с третьим шагом
в V2.1).
Шаг 4. Пусть X—многообразие, удовлетворяющее условиям
теоремы 11.1, и пусть F'—ограниченный снизу комплекс
пучков иа X, такой, что Hr(F') тривиальны для г>0 и
конструктивны для всех г. Тогда имеют место канонические
невырожденные спаривания
Доказательство. Пусть j^F'—* ^ (if) — квазппзоморфпзм
комплекса /:F* в ограниченный снизу комплекс пмъектмвных
пучков, и пусть /,Л(с/) —*■ /" (/,A(d)) — инъектпвная резольвента
для пучка j,A(d). Тогда Н^ (Л\ F') = (гомотопические классы
отображений Л^-»•/" (Д/7*) [г]) и ^x[-/~r(F', A (d))=
(гомотопические классы отображений комплексов ]tF' -*■ /' (/,A((rf))[2d—r]
или что то же самое, гомотопические классы отображении
.'И4 Га. VI. Основные теоремы
комплексов Г (/,/*")->/" (/,A(d)) [2rf — г]), и, значит, спаривание
может бытьопределепо как композиция гомотопических классов,
как и рпнее (ср. с [GO, I, § 6)). Определим комплексы
Существует кназипзоморфизм ст .г(/г') - * CT>r(O " точная по-
С.К'ДОШПСЛЫЮСТЬ
О - //'(/•") -> а'>г (/■-)-> a^ + | (П-0.
Для Го 3> 0 комплекс ст^ (/•") точен и обе спариваемые группы
тривиальны, так что спаривание исиырождепно по тривиальным
соображениям. Применяя соображения типа леммы о пяти
гомоморфизмах к длинным точным последовательностям,
возникающим из предыдущей короткой точной последовательности,
мы можем заключить, что спаривание невырожденно для
or>r t(F'). Квазиизоморфизм ст>Га_|(О—* ст^Гл_| (^")
показывает теперь, что оно невырождепио для v>r _l(F'), и мы можем
продолжать по индукции. Для г <С 0 мы имеем a>r(F') = F\
Шаг 5. Пусть S — гладкое отделимое многообразие
размерности d—^1 над сепарабельно замкнутым полем k, и пусть
я: X-*■ S — проективный гладкий морфпзм, все слон которого
имеют размерность 1. Тогда rpr(^> F)—изоморфизм для
каждого локально постоятшого конструктивного пучка F на X.
Доказательство. Мы пользуемся тем, что теорема доказана
для комплексов пучков па S (по четвертому шагу и индукции)
и для слоев морфнзма л. Поскольку ц проектнвеп, легко
построить диаграмму
'I 1'
S CJ_> .у*
spec к
в которой л лроектпвен, 5 — компактпфпкация S, -Y —замыка-
мне д пя~'(5) = А. Пусть ]Л (а)-> Л,=(/,
§ 11. Теорема двойственности Пуанкаре 345
—>- Л^, = (j^A^id — 1))' — инъективные резольвенты.
Рассмотрим диаграмму
Ношд(Л, FJ[r]) У Нот,(Г[г], A[[2d]) »Нопц(Л, Л;[2</])
I- , J f
Homs(A,^F;[r]) х Homj(*,F;[r], к,Л;[2</])—►Нот^Л, *,Л;[М])
J I
Homs(icrF,[r\, Aj,[M - 2]) -♦ Нот^Л, Ay[2d - 2])
Здесь /\F'-> Fj = (/I|F)' — инъективпая резольвента для /(F.
Изоморфизмы возникают из представления Л* =л*Л5 и
использования сопряженности функторов л » п л*. Две нижние
вертикальные стрелки возникают из отображения я, (/,Л(1 ))*—*■ (/|^s)' [—2],
индуцированного каноническим отображением А!2я.Л(1)->-Л,
определенным в ходе доказательства 11.3. Переходя к
гомотопическим классам отображений и отождествляя Ext^ (/,/\ /,Л)
с Ext^ (F, Л) и т. п., мы приходим к коммутативной диаграмме
ЩХ,Т) х
F, A(d - 1)) -» Яс^-2(5, A(rf - 1» Jgt, л
Здесь Rn,F = n,F", где F-+F'—инъективная резольвента
пучка F, и мы должны были использовать очевидный квазипзо-
морфизм комплексов /,n.F*—*■ я, (/^F)'. Отображение у
является изоморфизмом ввиду того, что /?2я,Л(й)—*Л(й—1), и
нижнее спаривание невырожденно по четвертому шагу.
Осталось показать, что р — изоморфизм. С помощью процесса,
сходного с приведенным выше, мы можем определить отображение
Р: .п. Нот л (F, A(l)')->Hom.s(Rtt.F, Л'[—2]), такое, что
H2d~r(r(S, P)) = P (игнорируя скручивание Тента). Ввиду того
что оба комплекса состоят из слабых пучков (III. 2.13(с)),
достаточно показать, что р — квазиизоморфизм (приложение С),
и это может быть проверено на слоях. Запишем Homx (F, Л(1)")=
= F(1)'; on является слабой резольвентой пучка F(1). Для
любой геометрической точки s многообразия S, согласно 2.3,
346 Гл. VI. Основные теоремы
тогда как незначительное обобщение 111. 1.31 дает нам
//' (Horn, [Rn.F, Л' [-2]).) = 1Г2 (Нот ((Rn^)., А.])).
(Отмстим, что пучки Hr(Rn,F) локально постоянны и
конструктивны для uci'x г.) Так как Л-> Ai — квазппзоморфнзм ииъек-
тпвиы.х Л-модулеп, то \s можно .заменить на А, и теперь ясно,
что pj является отображением
), A).
Стандартное вычисление показывает, что р5 согласуется с
отображением из V. 2.2 и, следовательно, является
изоморфизмом.
Шаг 6. Если F—постоянный пучок, то q>r(X, F)
—изоморфизм.
Доказательство. Согласно 111 Я. 13, мы можем найти
открытое всюду плотное подмногообразие -Vo в X п отображения
X ^—-Э Хо с > X
о
такие, что л: Xv-*-S удовлетворяет предположениям пятого
шага. Существует такой постоянный пучок F на Хо, что F|A'0 =
= F|.Y0. Согласно третьему шагу, достаточно доказать, что
(р' (.Yo, Г)— изоморфизм, но это сделано па пятом шаге.
Шаг 7. Если f —локально постоянный пучок, то q>r{X, F) —
изоморфизм.
Доказательство. Согласно V. 1.1, существует конечное эталь-
пое отображение л: Х'-*-Х, тз::'::, что F\X' постоянен.
Поскольку yr(X', F\X') — изоморфизм для всех г, то по первому
шагу ц>г(Х, n,(F\X')) — изоморфизм для всех г. Утверждение
седьмого шага можно теперь доказать индукцией по г,
используя точную последовательность
(Отметим, что F\ также локально постоянен и
для г < 0.)
Теперь третий шаг завершает доказательство теоремы, потому
что каждый конструктивный пучок локально постоянен на
открытом подмногообразии X (V. 1.8).
§ 11. Теорема двойственности Пуанкаре 347
Следствие 11.5. Пусть X— гладкое отделимое многообразие
размерности d над сепарабельно замкнутым полем. Если X не
полно, то HU(X, F) — 0 для каждого локально постоянного
пучка кручения F на X.
Доказательство. Мы можем предположить, что F
конструктивен, и тогда 11.2 показывает, что Я (X, F)=HC{X, F) -—
= 0.
Замечание 11.6. Пусть я: Y-->-X— собственное отображение
гладких отделимых многообразий над сепарабельно замкнутым
полем, и пусть а = dim(A'), d = dim (К) и с = d — о. По 3.2 (с)
нам известно, что существуют отображения
я': Н2/-'(Х, A(d))-+H2cd-r(Y, A(d)).
По двойственности (112) л* индуцирует отображение л,:
Hr(Y, А)-*-Нг~2с( X, А(—с)), которое однозначно определено
соотношением
Чх (я. (</) w *) = %«/ ^ л (х)), х 6= Н1"~г (X, Л (d)), !/<=Hr{Y,\),
где г\х и Ч>—отображения следа (11.1).
Отображения л» имеют следующие свойства.
(a) Если л эталыю (и, следовательно, конечно), то я* —
отображение следа (V. 1.12). Это — очевидное следствие
рассуждений, приведенных в доказательстве первого шага
доказательства п. (Ь) теоремы 11.1.
(b) Если л — замкнутое вложение, то я» — отображение Гп-
зина. Это — очевидное следствие рассуждений, приведенных и
доказательстве второго шага доказательства п. (Ь) теоремы 11.1.
(c) Если Z—*■ Y—*■ X собственны, то (л2Д|)« = Л2,Л|#, так
как
Чх (п2,п\. (2) ^x)=r\Y (я,, (г) w л* (*)) = Чг(ги п\пг (*)) =
= т\г {z w (л2я,)* (х)) = r\z ((л,л,), z w .v).
(d) Если Y и X—полные многообразия, то \]y(,it(y))= t|, (t/)
для yEBH2"(Y, A(d))\ кроме того, л, (у w л*(л)) = л,(у) ■_■ х
для х(ЕНг(Х),у€ЕН*(У).
Действительно,
Лх К (У)) = Ъ («. (У) ^ 1 х) = 1у (У ^ л* (1 х)) = т]к (//);
кроме того,
Лл К (^ ^ «*(*)) ^ *') = Пу (У ^ "* (* ^ •«')) = n.v (л. (.'/) w -v w л')
для всех -v' e Я2"1-»--1 {X).
348 Гл. VI. Основные теоремы
(е) Если л—замкнутое вложение и X полно, то r]x(clx{Y)ил)=
= х]у(п*(х)) для всех x^H~2c(X, Л (—с)); это равенство
характеризует с/Л(У).
Это — непосредственное следствие доказанного выше (см. (Ь)).
Теорема 11.7. Пусть X — проективное многообразие
размерности d над сепарабельно замкнутым нолем; группа Nr r-циклов
на X по модулю численной эквивалентности конечно порождена.
Доказательство. Ввиду проективности X операция
пересечения циклов определяет спаривание CHr(X)X CHd-r(Х)->
->Z, п по определению Nr оно дает невырожденное спаривание
Nr X Nd~r -*■ '-"■■ факторгрупп. Таким образом, Nr не имеет
кручения, п для завершения доказате.'и>стпл теоремы достаточно
показать, что W®zQ< конечноме!)по. Так как операция
пересечения циклов на СИ." согласована с w-произведением в
H*(X,Qt) (10.8), а последнее является невырожденным, то ядро
отображения
clx
содержится в ядре CHr(X)<8> Q(->- iV(X)®Qt. Ввиду того что
H2r(X, Qi(r)) конечномерно (2.8), конечномерно и Nr(X)<S>Qt.
Теперь мы сформулируем относительную теорему
двойственности Пуанкаре. Для того чтобы избежать сложных
обозначений, мы используем язык производных категорий [60, гл. I],
[55, С. D.]. В частности, D(X) обозначает производную
категорию от категории пучков Л-модулеп на A"et. Мы также для
сохранения симметрии в формулах пишем Rnt вместо Rcn».
Сначала определим отображение следа.
Предложение 11.8. Пусть л: X -> S — гладкий
компактифицируемый морфизм, все слои которого имеют размерность d.
Существует единственное отображение т) = т| (A"/S): /?МЯ|Л (d)->A,
такое, что для любой геометрической точки s схемы S и любой
замкнутой точки Р в Х- морфизм r\.: H-cd(X-, A(d))—>Л
отображает с!х(Р) в 1. Если слои л связны, то т\ —изоморфизм.
Доказательство. Если S —cik-ктр сепарабельно
замкнутого поля, то Я —несвязное объединение X = Х\ U ... [}ХГ
непересекающихся гладких многообразий. В этом случае x\(X/S)
должно быть определено как £л№) с r\(Xi), указанными в
11.1 (а); поэтому оно существует, единственно и является
изоморфизмом, если X связно.
В общем случае r\(X/S) определено однозначно, так как оно
определено на слоях. Таким образом, достаточно определить
его локально в этальной топологии на S. Поэтому можно
считать схему S связной, а X — несвязным объединением непере-
§11. Теорема двойственности Пуанкаре 349
секающихся гладких S-схем со связными слоями, п нам нужно
рассмотреть только случай, когда сама S-схема Х имеет
связные слон. Более того, мы можем предположить, что структурный
морфизм л: X-+S имеет сечение i: S-*-X (I.3.26). Определим
R^n^A (d) как пучок на Set, ассоциированный с предпучком
Т н-> Н2/ (Х(Т), A (d)), где мы рассматриваем Т как подсхему в
Л"(г) при /(Г): T-*-XiT). Согласно 6.1, существует единственный
изоморфизм HTd(X{T),A(d))—> А, такой, что Ss/*'—> 1.
Отображения
индуцируют каноническое отображение
Это изоморфизм, потому что в каждой геометрической точке s
схемы 5 его слой имеет вид
Определяем x\(X/S) как
Ямя,Л (d) » Rfn,A (d) -^ Л.
Упражнение 11.9. Покажите, что отображение следа r\(X/S)
совместимо с заменой базы и композицией морфизмов, что оно
является каноническим морфизмом, возникающим из формулы
присоединения, когда X/S этальна, н отображением,
получающимся из куммеровой последовательности, когда X-+S —
собственный морфизм со слоями размерности один. (Нетривиальна
только проверка совместимости с композициями я = л2Л|.
Можно предположить, что базисная схема есть спектр сепара-
бельно замкнутого поля и что Я| обладает сечением. Тогда
применимо соображение, приведенное в предыдущем параграфе.)
Пусть л: X-+S такой же, что в 11.8. Функтор скрученного
обратного образа л1 отображает комплекс С пучков на S в
л'О" = (л*С®Л {d)) [2d]. Очевидно, л1 определяет функтор
л1 :D(S)->D(X).
Для каждого пучка G на S существуют канонические
отображения
Rn,n' (G) -► R2dni (n'G ® Л {d)) -» nG ® R2dn{A (d).
Взяв композицию их с 1 ®r\(X/S), мы получаем морфизм следа
Rjtin1 {G)->G. Это определение распространяется на комплексы
пучков G".
350 Гл. VI Основные теоремы
Поскольку R.T; — функтор, для любых F' e D~ (X) и С" е
е D+ (X) существует морфнзм
Rn.R Horn {F\ G') -> R Horn (Rn,F, Rn,C).
Заменяя G" на n'G* п используя отображение следа, мы
получаем морфнзм
A\./s: Rn,R Mom v (F, n'-G')-* R Mom,, (Rnf, G').
Применяя R1"(S, —), мы приходим к морфпзму
A;;,s: R I IomA (F, л'С") -» R Homs (Rnf, G'),
который на когомологнях имеет вид
A3xis: (Extrv (Г, nG') -> Exts (Rn-Г, G').
Например, если F' — F и G = Л, Д3 есть отображение
Ext:v+M(F, A(d))-»ExtHR^. Л).
Когда S — спектр сепарабельно замкнутого поля, As инъектн-
вен п, значит, Ext^RnrF, А) = Нот (//С~Л(Х, F), А).
Действительно, А3 есть отображение
Ext;vJ"r(F, A(d))-*Hom(//,r(^, F), Л),
определенное спариванием из 11.1.
Тпорг.мл 11.10. Отображения &x/s, Дл/s. A'.v/s — изоморфизмы.
Подробное доказательство см. в [34, XVIII], а набросок —в
[55, Arcata VI]. См. также [127].
§ 12. Рациональность дзета-функции ')
Для любого многообразия X над конечным полем k = fq дзета-
функция X определяется формулой
я>0
где v,,(A') — число точек из X с координатами в Fqn. Когда X
проектпвно и гладко, гипотезы Вейля (131] формулируются так:
') Этот параграф посвящен гипотезам Вемля. Обсуждение других
гипотез (и результате^) о дзета-функциях многообразии над конечным полем
ем. в докладах: Тсмт Дж. Алгебраические классы когомологнй. — Успехи ма-
тсм. наук, т. 20, 19G5, № G, с. 27—40; Mazur В. F.ifjcnvalues of Frcibcnius
acting on algebraic varieties over finite fields, Anler. .\\alh., Soc, Proc. Symp.
Dun. Л\я1|1 v. ?9. 1075. n. 231—26). —Прим. перса.
§ 12. Рациональность дзета-функции 351
W1 (рациональность). Z(X,I)= Рр{*1Пп " ^"".'iV* ■ где
d = dim(X) и каждый из Pr(X, t)— многочлен с
коэффициентами в поле нулевой характеристики.
W2 (целостность). Р0(Х, t) = 1 —/, Рга(Х, t)= \ — qdt, и
каждый из Pr{X, t) равен Д(1 — аг J), где а,,,— целые
алгебраические числа.
W3 (функциональное уравнение). Z(\/qdt) = ±qd^txZ (t), где
Х = (А-А).
W4 (гипотеза Римана). Каждое из аг%,- и па сопряженных по
абсолютной величине равно qr/2.
W5. Если X — специализация гладкого проективного
многообразия Y над числовым полем, то степень многочлена Р,(Х, t)
равна г-му числу Бетти комплексного многообразия У(С).
Гипотеза (W1) является формальным следствием формулы
следа Лефшеца, которая в свою очередь представляет собой
легкое следствие уже доказанных нами результатов '). Гипотеза
(W3) вытекает из теоремы двойственности Пуанкаре, a (W5) —
из инвариантности групп когомологий относительно гладкой
специализации (4.2). Гипотезы (W2) и (W4) более трудны, и
мы докажем только (в следующем параграфе) более общую
форму формулы следа Лефшеца, которая требуется для их
доказательства.
В ближайших двух леммах и теореме X — гладкое
проективное многообразие над алгебраически замкнутым полем, а р и q
обозначают первое и второе отображения проекции X X. X ^Х X.
Мы отождествляем Q/ с Q/( 1) и через fI*(X) обозначаем кольцо
когомологпй Q)Hr(X,Qi), где I взаимно просто с
характеристикой. Мы также отождествляем Н*(ХХХ) с Н*(Х)<8> Н*(Х) с
помощью формулы Кюннета.
Лемма 12.1. Пусть <р: Х-+Х — эндоморфизм многообразия X.
Для любого Ь^Н"{Х)
Доказательство. Образом отображения (1, гр): А"->-
-v А' Х^ является ГФ и р ° (1, ср)= id.
P. (dx х х (Г,) w q' (Ь)) = р. ((1, Ф). (1) w q (Ь)) (§ 9) =
= Р.(1.Ф).(1^(1- <P)V(&)) (по 11.6 (</.)) =
= (id),(l ^ф») (по 11.6 (с)) =
= Ф* (Ь).
') Другое доказательство рациональности дзета-фчнкцин многообразия иад
конечным полем, основанное на р-адическом анализе (Дворк), можно
прочесть в послсдмгГ) главе книги: Коблиц Н. р-адические числа, р-адическнй
анализ и дзета-функции. — М.: Мир, 1982. Там же разобраны примеры
вычисления дзетафуикций конкретных многообразий. — Прим. перед.
352 Гл. VI. Основные теоремы
Лемма 12.2. Пусть «р такое же, как и в 12.1; пусть (ei) —
базис для И*(Х) и (е') — двойственный базис {так что если e,
то el^Hid-r). Тогда
Доказательство. Пусть c/.v x .\(ГФ) = £ ai ®ei- Тогда
ввиду 12.1
где си — каноническая образующая в Ни(Х). Но р»(Я/С
= а,, что завершает доказательство.
Теорема 12.3 (формула следа Лефшеца). Пусть ср: Х-+Х —
такой эндоморфизм., что (Гф-Д) определено. Тогда
■id
(Г„-Д)= Z (-\)rTr(<?\Hr(X,Qt)).
Доказательство (ср. с [125, с. 26—27]). Пусть (ej) —
базис для Н'{Х, Q/), и пусть (/^"^ — двойственный базис для
H2d~r(X, Q,). Тогда
г. »
Таким образом,
2d
ввиду того, что ф* (е[) /г^"л есть [коэффициент при ert в
разложении ф*(^) по базису (е/)]еМ- Применяя к обеим частям
ii(.YX^). получаем требуемую формулу.
Теорема 12.4. Пусть X — гладкое проективное многообразие
размерности d над конечным полем k = fq. Тогда
ZK*'i}- {\-t)P,(X,t)...{1-я"')'
§ 12. Рациональность дзета-функции 353
где
(здесь F— эндоморфизм Фробениуса многообразия X=X®ka\).
Доказательство. Это следует из 12.3 точно так же, как
V. 2.6 следует из V. 2.5.
Замечание 12.5. (а) Мы показали только, что Z(X, /)eQ,(/),
но отсюда следует, что Z(X,t)&Q(t). Действительно,
Более того, Z(X, t)^Q(t) тогда и только тогда, когда
существует такое N, что det (a(+/+M)0<Ji/<ЛГ = 0 для всех М ;§> 0 [25,
IV. 5, упр. 3]. Но так как Z(X, t)^Qi(t), тот же критерии
показывает, что наши определители равны нулю как элементы Q(
и, следовательно, как элементы Q.
(b) В выражении Z(X, t) = P,(X, t) .. ./(1— /)... в 12.4 мы
не показали, что многочлены Р{ не зависят от /. Однако из (а)
следует, что после сокращения общих множителей числитель и
знаменатель не зависят от / и их коэффициенты лежат в Q.
Конечно, нз гипотезы Римана вытекает невозможность
сокращений.
(c) Запишем Z(X, t) в виде P(()/Q(t), где P(t), Q(t)f=Q(t) —
многочлены без общих множителей, имеющие вид
Тогда мы утверждаем, что &,, c,eZ. Действительно,
предположим, что некоторое с< не лежит в Z; тогда существует простое
число / и алгебраическое число 0, такие, что / делит некоторую
положительную степень Р и Q(P)= 0. Следовательно, Р — полюс
Z(X, t), но ряд Z(X, Р)= 1 + OiP + й2$2+ ... сходится в /-адн-
ческой топологии, что приводит к противоречию. Ввиду того что
Z{X, /)-'eZ[|/]],Te же рассуждения показывают, что 6;е.\
Теорема 12.6. Для любого X, удовлетворяющего условиям
теоремы 12 А,
Z{X, l/q"t) = ±qdtf2txZ(t),
где х = (Д-Д).
Доказательство. Эндоморфизм Фробениуса F: Х^>~Х
имеет степень qd; это очевидно, если X id Ad (ибо F на AJ
индуцируется эндоморфизмом кольца
Td]),
351 Гл. VI. Основные теоремы
по, так как F чисто иесепарабелеп и X содержит открытое
подмногообразие, эталыюе над Ad, утверждение справедливо в
общем случае. Для каждой точки Р из X замечание 10.8
показывает, что
Гс!7 (Р) = clfiF'P) = clj (q'P) = qdcl7x (P).
Таким образом, F действует па H2d (,Y, Q,) как умножение на qd.
Отсюда и из теоремы двойственности Пуанкаре следует, что
если ос|, .... ос* — собственные числа F, действующего на
Н'(Х, Qt), то q'l/a\, •••■ Q'4°t-s— собственные числа F,
действующею на Н2а~г{К, Qt). Легкое вычисление показывает теперь, что
требуемая формула верпа, если заменить х на
Е (-1)'dim//'(*, Q,),
а 12.3 (с ф = id) показывает, что эта сумма равна (Д-Д). (Ср.
с [61, приложение С.4.3].)
§ 13. Рациональность L-рядов
Пусть k — поле, Л — схема над к \\ Е— пучок на Л'е|, и пусть
А" — алгебраическое замыкание поля h, X обозначает X®kk ч
С — ограничение Е па Хе\. Пусть также Л обозначает
постоянный пучок, определенный kohcmil::.: легальным кольцом, и Q —
постоянный пучок, определенный конечным расширением поля
Qt. Предполагается, что / п порядок Л всегда взаимно просты
с .характеристикой любого основного поля k.
Одна и:» целей этого параграфа — распространить основную
теорему предыдущего параграфа на произвольные отделимые
многообразия.
Тиорнмл 13.1. Пусть X — отделимое многообразие над
конечным полем &= fq, и пусть F — эндоморфизм Фробениуса для
X. Тогда
Z (X, 0 = П det (l - Ft\ Н'с (X, Q,))(-|)r+1.
будем рассматривать более общее утверждение, в котором
Л разрешается быть любой компактифицируемой схемой
конечною тина над к и Qi заменено конструктивным пучком й-век-
торпых пространств. Оно интересно само по себе, и, кроме того,
используется для доказательства по индукции теоремы 13.1.
Сначала мы должны описать, как ¥ действует на группах ко-
гомологий. Заметим, что если <р: Х-*-Х — собственное
отображение и Е—пучок на X, то <р определяет отображение
Нс(Х, £)-> Нс{Х, ф*£); для того чтобы гр определяло эндомор-
фпчм НГС(Х, Е), должно быть задано отображение ф*£-»-£.
Фиксируем конечное поле k = fn и рассмотрим категорию
§ )3. Рациональность L-рядов 355
схем над k. Морфнзм Фробеннуса Fx/k такой схемы — это fe-мор-
фнзм Х-*-Х, являющимся тождественным отображением на
множестве X и индуцирующий гомоморфизм возведения в <7-ю
степень на структурном пучке Ох- Он функториален в том смысле,
что для каждого &-морфизма л: Y-^-X диаграмма
у <_0й_. у
X <
коммутативна. Значит, исходя из такого я, мы можем построить
диаграмму
квадрат которой декартов, и морфнзм Fr/x, называемый
относительным морфизмом Фробениуса многообразия Y/X, является
единственным Х-морфизмом, таким, что (/*/*)(>■) ° Fy/x = Fy/k-
Лемма 13.2. Если л этален, то FY/x — изоморфизм, кроме того,
композиция отображений
s^sXl: Нот* (X, У) -> Нотх (X, У<">)
и
t ^ Fy,lx о и Uomx (X, YM) -> Ногпд- {X, Y)
является тождественным отображением.
Доказательство. Для каждой Л-схемы морфизм F/k
отделим, биективен и радикален. Поскольку FY/k = (FX/k){r) °FY/x,
то Fr/x также отделим, биективен и радикален. Так как он к
тому же этален (1.3.6), то это изоморфизм (1.3.11).
Что касается второго утверждения, то пусть S*—*Si при
отображении, указанном в формулировке леммы, так что s, —
единственный ^-морфизм, для которого (Fx/k)r °Fy/x cSi =
= SoFx/k- Из функториальности F/k вытекает
= Fy/k «s = (Fx/k)[Y)° Fy/x о s,
что доказывает равенство s( = s.
Для любых £-схем X и Y
Fx х уik = Fxik X Fy/ь
356 Гл. VI Основные теоремы
В частности, поскольку Л' = X ®/; к,
Таким образом, FX!hfy 1д ==Fjl^, ". как и в случае, когда Л" —
многообразие над fe, мы будем называть этот морфизм просто
эндоморфизмом Фробениуса F = FW) на X. Отметим, что F
зависит от поля k= fQ; если k заменить на Ffln и X на JigiJ^n, то
X не изменится, но F заменяется на F{ n)==F"q).
Пусть Е — пучок на Xet. В соответствии с V. 1 мы можем
представить Е как эталыюе алгебраическое пространство над Л', и,
так как предыдущее обсуждение применимо также к
алгебраическим пространствам, мы имеем изоморфизм Feix'. E—►£<«>==
= F\ikE. Умножая тензорно на id^, мы получаем изоморфизм
cpf: E-*F*E, который также может быть определен как
единственное отображение, превращающее следующую диаграмму
(в которой квадрат декартов) в коммутативную:
F*E
Обозначим ф^1: F*E-*E через F*.
Поскольку морфизм F: X-*■ X конечен и, следовательно,
собствен, то пара (F, F*) определяет некоторый эндоморфизм
Нс(Х,Ё), который снова обозначается через F.
Пусть
Хрп = {xezX°\Fn (х) = х) » X (Г,«).
Каждая замкнутая точка х в X может рассматриваться как
геометрическая точка схемы X, и можно говорить о слое пучка
Е в точке х. Отображение F*n определяет отображение слоев
EFn(X-+ E-, которое, когда х е XF , является эндоморфизмом
F"x слоя Ex. Предположим теперь, что Е — конструктивный пучок
Q-векторпых пространств на X. Пусть х — замкнутая точка в X,
х — точка в X, отображающаяся в х, и пусть Fx — эндоморфизм
fdeKix) слоя £_t где deg(^) = \k{x): k]. Пара (£*, Fx) не зависит
от выбора х с точностью до изоморфизма. Поэтому мы можем
определить
Z(X,E,I)= П det(l-/yde«<*> \Et)
Х'
~l
§ 13. Рациональность L-рядов
Теорема 13.3. Если X отделима и конечного типа над k = F,,
то
Z (X, Е, I) = П det (l - Ft I Hre (X, Ё))(~"'+1.
г
Применяя V. 2.7 к каждой части этого равенства, мы находим,
что
f£,0)= Z IlTr(F7\Ei)(lau"x/m) =
= Z Z
тогда как
Таким образом, 13.3 эквивалентна следующей формуле следа.
Теорема 13,4. £ Тг (/="31 Et) = E(-l)r7> О"| Hrc(X, £)).
Поскольку замена ^ на X®Fqm в 13.4 соответствует замене F
на Fm, нам нужно доказать эту теорему только для случая
п=\.
Замечание 13.5. Обозначим через /= Fk!k = (a >—> а')
каноническую образующую группы Gal (£//>). Она определяет
автоморфизм 1®/ на X<8>k = X, и ввиду того, что (1 ®/")*£«£
(канонически) для каждого пучка £ на Л', она определяет также
автоморфизм (1®/)* на НГС(Х,Ё). Действительно, (1®/)* и
F — взаимно обратные элементы из Aut (Я^ (X, £)]. Поскольку
(I ® /) ° F = Ff/k, для того чтобы доказать последнее
утверждение, мы должны показать, что для каждого лучка Е на X пара
CF— • X—* Y F—'-• F— Р^Я'')
определяет тождественное отображение Hr(X, E)-+Hr(X, E).
Достаточно разобраться с г = 0, а затем сдвинуть размерность
(стандартное рассуждение, использующее единственность
производных функторов). Но для г = 0 наше утверждение доказано
в 13.2 (берем X в качестве Л", а в качестве Y — алгебраическое
пространство, определяемое Е) (в формулировке леммы 13.2).
Это частично объясняет следующие обозначения. Элементы
^ = (qi—=► а4) е Gal (£/&) и
!х --= (а ^ а" й<* w) <= Gal (*.(*)/* (л')),
358 Гл. VI. Основные теоремы
где х-н—>х, называются арифметическими элементами Фробе-
нчуса, a F = /-' е Gal (£//>) и Fx=f~l ^ Ga\(k(x)/k(x)) —
геометрическими элементами Фробениуса. Два определения для
F п F.t согласуются, если F и F* рассматривать как элементы из
End (ИГС(Х, £)) п End (£.<)•
Примеры 13.6. Предположим, что X — отделимое
многообразие над конечным полем.
(a) Пусть р: Ga\(k(X)/k(X) )-> Auln (V)—представление в
конечномерном векторном пространстве V, и предположим, что
р неразветвлепо почти во всех дивизорах многообразия X, т. е.
что оно пропускается через Л|(С, г\) для некоторого открытого
вложения U<=—X. Тогда р определяет скрученно постоянный
конструктивный пучок Е' па U, таком, что Е'ц = V (как л\{11, т\)-
модулн), п пучок Е = /.£' на X. Кроме того,
ЦХ о /)= ТТ detfl— (f~l)t\V'x)=Z(X E ()
и, следовательно, в соответствии с 13.3 это рациональная
функция.
(b) Пусть У —накрытие Галуа многообразия X с конечной
группой Галуа G, н пусть р — представление группы G в
конечномерном комплексном векторном пространстве V. Мы можем
предположить, что р определено над конечным расширением
поля Q н, следовательно, над конечным расширением & поля
Q/. Тогда
/Л"»(к,р,о= тт '
735Гтn {,,),
х%\, dct (i — /d bl' * p tf») I V 0
где f—пучок JJ-векторпых пространств на X, определенный
представлением, контрагредпентным к р (ср. с V. 2.21 (h)).
Предложение 13.7. Достаточно доказать 13.3 для случая,
когда X — гладкая отделимая кривая над k = Ffl и Е —
скрученно постоянный конструктивный пучок Q-векторных
пространств.
Доказательство. Обозначим
через det(I — Ft\H'c(X, E)).
Лемма 13.8. (а) (мультипликативность по Е). Для любой
точной последовательности
О -> Е' -* Е ->• Е" -> О
§ 13. Рациональность L-рядов 359
имеем
,E,{) = Z{X,E',t)Z(X,E",t)
det (I - F(\ He (X, £))=dei(I-Ft | H'c {X, E')) det (1 -Ft | H'c (X, £"))
кативность по X). Если U — откр
,to
,E,t) = Z{U,E\U,()Z(Y,E\Y,t)
(b) (мультипликативность по X). Если U — открытая подсхе
ма Х и Y = X—U,to
и
dei{l-Ft \H'C(X, E)) =
= det(l-Ft \H'c(U,E~\U))det(\ -Fi\H'c(Y, E|f))_
(с) (мультипликативность при расслаивании). Если л: A'->S
есть k-морфизм, то
Z(X,E,t)= П Z(Xs,E\Xs,t)
S1
det (\-Ft\Hc (X, Е)) = П det (1 - Ft\ H'c {S, R<cn,(£))(-" .
Доказательство. Все доказательства просты. Например,
первая часть (а) следует из рассмотрения точных
последовательностей
а вторая часть (Ь) — из рассмотрения точной
последовательности (III. 1.30)
... ->Hrc(U,E)-+Hrc(X,E)-+Hrc{Y,E)-+ ... .
Вторая часть (с) вытекает из спектральной последовательности
Hrc(S, Шл.Е)=>Нгс+3(Х, Ё)
и следующего общего результата. Если VZ***- V"—
спектральная последовательность конечномерных векторных пространств,
в которой K2>lS = 0 для г » 0, s :» 0, и ф = (ф? s, cp") —
согласованное семейство эндоморфизмов пространств Vr2's и V", такое,
что <p!/s коммутирует с дифференциалами, то
3-V) Г.1 17 Основные теоремы
Теперь мы предположим, что теорема 13.3 справедлива для
схем размерности ^ 1, н докажем индукцией по d = dim(X),
что она справедлива в общем случае. В соответствии с 13.8(Ь)
мы можем заменить X ее открытом подсхемой и, следовательно,
предполагать, что существует Л'-морфпзм я: X-*-S, в котором 5
и все слои л имеют размерность ^ d—1. Согласно 13.8(с),
Z (X, Е, 0 -=-- П Z (Х„ Е | Х„ О,
тогда как
det(I — Fl\II'(X, £)) = I[det(l - Ft\ H'C(S, ^я,
= 11 Z(S, R'cntE, /)(""' (но М11дукцип) =
-П I clet(l-/-VdeB(s'i(^£Xr1)/+1 =
- П M(l-Fjll'«^\Hc{Xa, E~[Xs)) =
= П Z(XS, E\XS, I) (no индукции).
i <-= i-'
Таким образом, мы можем предполагать, что /V имеет
размерность ^ I. Кроме того, (X, /:") можно заменить на (A'red,
C|-^red), поскольку это не изменяет обеих частей уравнения
11.3,17. Когда (lim(A')=0, теорема 13.4 доказывается легко.
В действительности мы имеем следующее более общее
утверждение. (Для того чтобы вывести 13.4 из него, полагаем А = Q,
X = .V", ф = F, ф* = Р.)
Лемма 13.9. Пусть X — конечное дискретное топологическое
пространство, ф: X-у X — некоторое отображение, А—кольцо,
В — пучок А-модулси на X, слои Ех которого свободны и конечно
порождены, и ф* — отображение q*: ([.*£->£. Тогда
I Тг(<р'х\Ех) = Тг(ч>\Н°(Х, Е)).
Доказательство. Имеем Ип{Х, Е)= ф Ех, (ф*£)х = £Фи),
Ф* — семейство отображений ф^: Evfx)-+Ex и ф: Н°{Х, Е)-+
- Н°(Х,Е)- отображение ©Я,-*©£ж, (ex)xeX^Ux)xeX.
где f 1==(?\е . Выписывая матрицу для ф блоками, легко
заметить, что
/° (*,£))= Z Тг(<р'х\Ех).
§ 13. Рациональность L-рядов 361
Отсюда следует, что можно считать размерность X в точности
равной единице и заменять X на любое его всюду плотное
открытое подмножество. Таким образом, мы можем предполагать,
что кривая X гладкая, а пучок Е скрученно постоянный.
Поскольку гладкая кривая X является несвязным объединением
своих неприводимых компонент, мы можем также предполагать,
что она неприводима. Тогда Я — гладкая кривая над
алгебраическим замыканием k' поля k в k(X), и, чтобы завершить
доказательство 13.7, осталось показать, что
det(l -Ft\H'(X<8>kK £)) = det(l - Ftn)H'(X
где n = [k''.k]. Первое из этих соотношении очевидно. Для
доказательства второго отметим, что X ®kk— объединением
непересекающихся экземпляров X ®*'k и что (НГС(Х ®* k, E), F)
изоморфна (Vn, Fn), где V = Hrc(X®k'k, E), F'n{v\,..., vn) =
= {F'vn, vh ..., vn_i) и F' — эндоморфизм Фробениуса на
XQk'k. Осталось показать, что
det (1 - F'nt | Vn) = det (1 - Ft" | V).
Если V одномерно, это легко сделать, и мы можем, по существу,
редуцировать утверждение к этому случаю, выбирая базис
{е\ ет) в V, в котором матрица для F верхняя треугольная,
и затем принимая {(еи 0, .... 0), (0, е\, 0 0) (е2, 0,...
.... 0), ...} в качестве базиса Vn.
В дальнейшем мы можем предположить, что X — гладкая
связная кривая над k = fq и Е — скрученно постоянный пучок.
Мы докажем теорему 13.4 в этих предположениях, редуцируя ее
к случаю постоянного пучка и применяя V. 2.20. Однако мы не
можем прямо провести эту редукцию, потому что не обязано
существовать конечное отображение Y-*-X, такое, что E\Y
постоянен. Вместо этого мы воспользуемся представлением Е =
= (£,),®^Q, где А — кольцо целых в О и каждый Еп — пучок
над Ап = Л/т", докажем аналог 13.4 для Еп и выведем 13.4 для
Е, переходя к обратному пределу и умножая тензорно на Q.
Дополнительная трудность возникает £ри формулировке
теоремы для Е„, поскольку группы НГС(Х, Е-,) обычно не являются
свободными Л-модулями и, значит, след Tr(F, Hrc(X, Еп)) не
определен. Для того чтобы обойти это, мы используем
комплексы Н'с(Х, Т„) из 8.16.
Лемма 13.10. Пусть А — локальное нётерово кольцо, М' —
комплекс А-модулей и а: М'-*-М' — его эндоморфизм. Для
12 Зок. 421
362 Гл. VI. Основные теоремы
качсдого квазиизоморфизма у: Р'-*М', где Р'—совершенный
комплекс А-модулей, существует эндоморфизм р на Р', такой,
что диаграмма
i
М-
коммутативна; этим р определяется однозначно с точностью до
гомотопии. Кроме того, элемент кольца А
не зависит от Р' и Р; если НГ{М') свободйн^для каждого г, то
7-г(р1П=Е(-1)гГг(Р|Я'(М'));
если А — область целостности с полем частных Я, то
Доказательство. Существование р следует из 8.17. Пусть
Рь Рг — два отображения, таких, что vPi = ay = YP2- Мы можем
построить коммутативную диаграмму
Id
в которой С" — конус отображения М'—*■ ЛГ и /С' = кег(Р'©
©С -о М'). Ввиду того что С точен, Р' ©С" —>• М" и К' точен.
Отсюда вытекает, что отображение Р'-+К.' гомотопно нулю
(утверждение, двойственное к [60. 1.4.4]), откуда в свою
очередь следует, что Pi — p2 гомотопно нулю.
Пусть (kr)— гомотопия, связывающая Pi и р2, так что k'\ P'
->РГ-' и $-$ = dr-[kr l
') Напомним, что проективный модуль над локальным кольцом свободен,—
Прим. перев.
§ 13. Рациональность L-рядов 361
потому что Тг(АВ) = Тг(ВА), если А и В — произвольная пара
прямоугольных матриц, таких, что АВ и ВА обе определены
(следовательно, А и В — квадратные матрицы).
Предположим, что заданы две пары \Р\ -Л> М', 0,) и
'2-^*-М', Рг). Согласно 8.17 существует отображение е:
. .—*■ Р\, такое, что Yie = Y2- Пусть Ci =М фМ [1] — конус
отображения id: M-+M', и пусть С'е = Р\(&Р'2[1] — конус
отображения в. Тогда
— кваэиизоморфиэи и
0
Ввиду того что е — квазиизоморфизм, комплекс С'е точен и
тождественное отображение гомотопно нулю, 1 ~ 0. Таким образом,
Р = pi ~ 0, и в соответствии с приведенными выше
соображениями 7У (р | Сё) == 0; но, очевидно,
7-г (Э | С;) = Гг (pi | />*.) — Гг (
Предположим, что модули НГ(М') свободны. Пусть л,
таково, что Р' = 0 для г ~> Г]. Рассмотрим точные
последовательности
0 —Bri~1-*Zr'~l-+tfr'~'->0,
Так как ^-модуль Нг (Р') « НГ{М') свободен, индукция вниз
показывает, что модули Br\ Zr'""', Br'~\ ... плоские и, следома-
тельно, свободные. Наше утверждение следует теперь из
аддитивности следов.
Если А — область целостности, то
Пусть X — отделимое многообразие над полем k =* f», F. - -
конструктивный пучок Л-модулей на X и /: X-> spec* — cip\ к-
12*
364 Гл. VI. Основные теоремы
турное отображение. Положим RJ.E = л,С" (/|£)'). гдеС*(/|Е) —
резольвента Годемана для пучка j\E, и обозначим через НС(Х, Е)
некоторый совершенный комплекс Л-модулей, для которого
задан квазипзоморфизм Н'С(Х, E)-+Rcf,E (см. 8.15). Небольшое
усовершенствование конструкции, приведенной в начале этого
параграфа, позволяет заметить, что отображения Фробениуса
F: Нс{Х, Е~±-*Нс(Х_, Е) индуцированы отображением
комплексов F: Rcf*E —*RJ.E- Теперь 13.10 показывает, что F может .быть
поднято доотображенпя F: НС{Х, Е) -*■ Нс (X, Е) и что след
Tr (F\Hc(X, £)) корректно определен. Если к тому же Е —
конструктивный пучок плоских Л-модулей, то Ец— плоский и,
следовательно, свободный Л-модуль. Таким образом, все члены в
условии следующей теоремы определены.
Теорема 13.11. Пусть X — гладкая отделимая кривая над
k = JFe и Е-—локально постоянный конструктивный пучок
плоских \-модулей на X. Тогда
Лемма \3.\2.Из теоремы 13.11 вытекает 13.4 (а
следовательно, и 13.3, и 13.1).
Доказательство. По 13.7 (и по последнему утверждению
из 13.10) достаточно доказать аналог 13.11, в котором Е
является скручепно постоянным конструктивным пучком
векторных ^-пространств. Пусть Е — такой пучок; можно записать его
в виде £ = £»®дй, Ех = (Еп)п, где Л—кольцо целых поля О
п каждый из Ег — локально постоянный конструктивный пучок
плоских Л„(= /1/пГ)-модулей. В соответствии с 8.16 (и
следующим за ним обсуждением) существует совершенный комплекс
Д-модулей Не(£ fij, такой^ что Нг(н'с(Х. EJ&Q) = Hrc(X, E)
и H'ciX, £J® An = tt'c(X, Е„). Таким образом,
Tr(F\tt'c(X, En)) = Tr(F\He{X, EJ) (mod в"),
тогда как (очевидно)
7У (F* | Шпх) •= Tr (Ft I £-x) (rr.od m").
Следовательно,
') Здесь /—компактифицирующее отображение для X, а я — структурное
отображение для соответствующего полного многообразия над k. — Прим.
перев.
§ 13. Рациональность L-рядов 365
так как обе части равенства — элементы А, совпадающие
mod ПГ для всех п.
Переходим к доказательству 13.11. Пусть Y-+X—
отображение Галуа '), такое, что пучок Е\ Y постоянен, и обозначим через
л отображение ? —► X (где ? = Y ®* к не обязательно связна).
Пусть G — группа Галуа накрытия Y/X (следовательно, также
и У/Х), R — групповое кольцо Л[С]. Напомним, что
совершенный комплекс /^-модулей является ограниченным комплексом
конечно порожденных проективных модулей. Пусть Ло —образ
Z в Л, так что Ло = Z/(l") для некоторого п, RQ = A0\G\.
Лемма 13.13. В качестве комплекса НС(К, Ло) может быть
выбран совершенный комплекс Ro-модулей; НС(Х, £) —*■ Ht X
X(Y, Aq) ®ruM,где'М*=Е(?). (G действует наН'с{7, Ло) и М
через свое действие на ?.)
Замечание 13.14. Если N и М суть С-модул и, то N <S>,\,Ji
также G-модуль с действием а(п ®m) = an ®стт. В частности,
если N является Яо-модулем и М — некоторый Я-модуль, то
Л'®л,Л1 есть /?-модуль. Пусть М' обозначает М,
рассматриваемый как G-модуль с тривиальным действием; тогда отображение
о ® m>—*-o<8> am определяет /^-изоморфизм Ro ®л„ЛГ -> Ro ®л-Л1.
Таким образом, если М — свободный Л-модуль, то /?о ® л А1 —
проективный /?-модуль. Отсюда легко вытекает проективность
/?-модуля A'®,vJM для любого проективного /?о-модуля N.
Доказательство 13.13. Так как и Ло, и G действуют па
пучок л#Ло, то он является 7?0-модулем и как таковой будет
(в этальной топологии) локально свободным2) (ранга один).
Таким образом, 8.15 показывает, что существует совершенный
комплекс /?0-модулей Нс(-^, л.Л0) и ква.чпнзоморфнзм НС(Х,
я,А0)—► Rc/. (я.Л0), где / — структурное отображение X.
Поскольку Rc (fn)t Ло -7*_Ref. (п.Л0) в силу точности функтора л»,
мы можем взять Нс(^, я.Л0) в качестве HC(Y, Ло), что
доказывает первую часть утверждения леммы 13.13.
След ntn*E->-E индуцирует изоморфизм (ntn*E)a-*-E и
(п,п'Е)а = (я.я*£) ® л Л =(я.Л0 ®л„ f*M) ® я А
(М рассматривается как постоянный пучок на spec5). В
соответствии с 8.7
/^Нс(Л:, я,Л0®а,ГМ),
') Отображение Y-+X выбирается эта/п.пым. — Прим. перео.
а) Проще говоря, пучок /?0-модулей я.Л0 локально (в эталыюм топологии)
изоморфен постоянному пучку /?0. — Прим. персе.
366 Гл. VI. Основные теоремы
так как л»А0— свободный Л0-модуль. По предположению М —
проективный Л-модуль, и поэтому предыдущее замечание пока-
зынает, что НС{Х, я,Лп)®л,Л4— комплекс проективных R-mo-
ду.чсн. Кроме того, я,Л0 ®л,/*М — пучок проективных R-uoay-
ле/i, и, следовательно, в качестве НС(Л~, л,А0 ®л„ {'Щ можно
выбрать совершенный комплекс /^-модулей. Таким образом,
тензорное умножение над R сохраняет квазиизоморфизм
Левая часть есть HC(Y, А0)®д,,Л4, тогда как применение 8.7
показывает, что
ПАХ, я,Л0®л,/'М)®яЛ -^ И'С(Х, л.Ло
Это завершает доказательство.
Рассмотрим
1 -» О -> Gal (Л (?)/* (К)) -►Gal
и заметим, что
Gal (k (X)jk (X)) -^ Gal (k/k) -^+1,
где первый изоморфизм — ограничение, а второй отображает
f = F^/k в единицу (ср. с 13.5). Степень deg(o) элемента ае
е Gal (fe(F)//j(X))—его образ в Z, так что а действует на
к cz k(?) как /"<■■"«". Пусть
Г = {ие Gal (Л (F)//fe (^)) | deg (a) a Z, deg (а) < 0},
так что имеет место точная последовательность моноидов
где Z- — {« е У, \п ^ 0}. Автоморфизм о &Ga\(k(?)/k(X))
олре-деляс-т Л"-морфизм схемы Р, ir отображение ai—>5 =
^ а о (Fp-^)"dcg(0) отождествляет W'- с множеством /%-морфиз-
мов Р, лежащих над некоторой степенью F, т. е. таких, что ло =
= F"n для некоторого п ^ 0 (потому что
а о ^/;в(<" | X =
Положим G_i гт= (яе l^-|deg((r) = — 1}; отображение
отождествляет G_i с множеством {fe-морфизмы а: Р->Р|яа =
-= /-"л} = {Fo|tre; G}. Группа G действует на G-\ сопряжением,
a. -a 'oca, и пусть S — множество классов сопряженности.
Ilyi'iL Z(cf.) — цс-iripn.'iнзатор ct в О, Z(<x)= {о& 6\ао = оа),
§ 13. Рациональность L-рядов 3C7
и пусть z(a) — его порядок [Z(a)j. Очевидно, г(<х), 7>(a|AJ) м
Tr(a\Hc(Y, Ло)) зависят только от класса а в S.
Лемма 13.15.
Tr(F\Hc(X, E)) = Tr(F\Hc(Y,
Tr(a\ H\l
-I
Tr(a\M).
Прежде чем доказывать 13.15, мы покажем, что оно влечет
13.11 (следовательно, также 13.4, 13.3, ...). Пусть ? <=~ ?с—
вложение ? в его гладкое проективное замыкание. Каждый
элемент aeC-i определяет эндоморфизм а на Vе,и дифференциал
da. = dF«da = 0. Поэтому все неподвижные точки а в ?с имеют
кратность 1. Ввиду 13.8(Ь) и 13.9 достаточно доказать 13.11 для
непустого открытого подмножества Л\ Поэтому можно считать
множество XF пустым. Значит, у морфизма а нет неподвижных
точек в ? , так как они должны лежать над неподвижными
точками F. Поэтому V. 2.20 показывает, что7> (a| HC(Y, Z/(/v))) =0
для всех N. Так как
7>(а|НЛ?, Л0)) = 7У(а|н;(Р. Z/(/")) (mod Г))
для всех N ^ п, мы видим, что
7>(а|н;(Г, Л0))-2(а)-' = 0.
Таким образом, Tr(F\ttc{X, £)) = 0, и теорема 13.11
справедлива, так как обе части доказываемого равенства равны нулю.
Первое равенство в 13.15 следует непосредственно из 13.13,
в то время как второе —упражнение по некоммутативным
следам. Пусть R — некоммутативное кольцо и Rn — факторгруппа
аддитивной группы R по подгруппе, образованной элементами
вида ab—Ьа. Если <р — некоторый эндоморфизм конечно
порожденного свободного У?-модуля М с матрицей (а,,) в некотором
базисе, то след 7><р= Тг(у\М) определяется как образ *£*аи
в /?" Он не зависит от выбора базиса. Если <р — эндоморфизм
конечно порожденного проективного /?-модуля М. то мы
представим М как прямое слагаемое свободного /?-модуля N —-
= М ф М' и определим 7>(<р) как Гг(ффО|М ф М')\ это
выражение не зависит от выбора N и М'.
Вернемся к ситуации, когда Я — групповое кольцо, R = A[G].
Отображение Xaoai—>a«: R ~* Л индуцирует отображение
е: /?" — Л, и для любого эндоморфизма ф конечно
порожденного проективного У?-модуля М Ггд(ф) = 7>/(<p|Al) по
определению есть е(7>я(<р|М)).
368 Гл. VI..Основные теоремы
Лнммл 13.16. 7Ул(ф1М) = [0]Ггл(ф|М).
Доказательство. Мы можем предполагать, что М
свободен и, так как следы зависят только от диагональных
элементов матрицы ф, даже что М = R. Тогда ф — умножение справа
на некоторым элемент £ аоа и Tr.\{q>) = [G]ae, 7>л(ф) = ае.
Пусть Ло — нодко.чьцо в Л и /?0 = A0[G].
Леммл 13.17. Пусть ф — эндоморфизм конечно порожденного
проективного R^-модуля N', и пусть if — эндоморфизм конечно
порожденного R-модуля М, который свободен как ^.-модуль.
Тогда
Tr'i (ф « 1|? | N ® д. Af) = Гг^ (Ф | J
Доказательство. Отметим, что, согласно 13.14,
N <%>,\а М — проективный /?-модуль, и, тем самым, все члены в
формулировке леммы определены. Нам нужно рассмотреть
только случаи N = А?о. Тогда ф — умножение справа на
некоторым элемент X ааа, и изоморфизм /?0 ®л.М' л* /?0 ®л0Л4 из
13.14 преобразует tp ® ф в эндоморфизм
модуля /?,, ®д 'W. Используя 13.16, легко вычислить, что
2 (л ®/к-> а„ка ® а Ч («)) = { '
(. О в п
, если а = е,
противном случае,
что завершает доказательство.
Предположим снова, что G включается в точную
последовательность моноидов
п так же, как в предыдущей ситуации, определим G_]t Z(a),
г (а) н S. Пусть Р есть Л-модуль, на котором W~ действует
Л-лпиейно, являющийся проективным как /^-модуль. Тогда Ра —
проективный A-модуль, и каждый ое W~ определяет некоторый
/ндоморфнзм Ра, зависящий только от степени а.
Леммл 13.18.
pipowrrf Z pi
§ 13. Рациональность L-рядов 369
Доказательство. Фиксируем элемент РоеС_|, н пусть
v = Y* а- Тогда композиция Р° <=± Р 1+ Р° — умножение на [G].
0<sQ
Таким образом,
Тг ( Z Р IР) = Tr (pov \P) = Tr ([G] ро | ро) = Тг
Умножение на v Определяет некоторый изоморфизм Ра-*-Р°
([117, VIII. 1, предложение 1]), и, таким образом, Р° может
быть заменено на Ра.
Предложение 13.19. Для любого poeG_,
Доказательство. После умножения на [G] формула
может быть проверена прямым вычислением:
13.18) =
13.16).
К сожалению, это не доказывает то, что нам нужно, ибо |(7)
может быть делителем нуля в Л. Вместо этого вычисления мы
доказываем наше предложение следующим способом. Пусть
ф: R-+R — отображение, индуцированное (ст >—^ р„аЭ(Г'): G-*-G.
Задать Л[1^~]-модуль —это означает задать Я-модуль Р и ср-лн-
нейное отображение у. Р->Р; при этом действие W на Р
задается формулой (Potf)р = у"(аР) для Ро<те It7", peP.
Очевидно, мы можем заменить данную пару (Р, у) на пару, в
которой Р свободен как ^-модуль, и мы можем выбрать Р = R.
Тогда v будет отображением вида х*—>({>(х)а, где а= Хааае
е R. Теперь мы заменим Л кольцом многочленов Z[ao]OeG,
а Р —групповым кольцом над Z [аа] и определим v той же
формулой, что и выше, но с новым смыслом для обозначения аа.
Так как Z [аа] не имеет кручения, предыдущее соображение
показывает, что требуемое равенство имеет место над Z(a0],
откуда следует, что оно имеет место над Л.
Теперь мы завершаем доказательство 13.15. Пусть а е= W~
действует на Hrc(Y, Ло) и М как а. Заметим, что р0 = (1 ®/)~' е
370 Гл. VI. Основные теоремы
G-\ действует, как Ро = (1 ®/)
\Hrc(Y> ло)®л„Мс) =
= Z Trlw(a\Hc{Y, Л0)®а.М)(по 13.19) =
o<=S
Г(|? ) Тгл (а |уИ) (по 13.17):
г (а)
Образуя альтернированную сумму по г, мы получаем второе
равенство и 13.15.
Замечание 13.20. (а) Приведенное выше доказательство 13.3
принадлежит Гротендику. Приведенное здесь доказательство
13.11 следует записи курса, прочитанного Н. Кацем в Принстоне
и 1973—1974 гг. (в свою очередь основанного на письме Л: Ил-
лю;{||), н доказательству Делиня в [55, Rapport].
(b) L-ряды, ассоциированные с представлениями группы Га-
луа (или, более общо, группы Венля) для поля k(X),
удовлетворяют функциональным уравнениям. См. [34].
(c) В [55, Fonction L mod/"] Делинь доказывает формулу
мультипликативности следа для отображения Фробениуса,
одновременно более сильную и более общую, чем в предыдущей
теореме 13.11.
(d) Доказательство очень общей формулы Лефшеца для
следа, намеченное Вердье в [128], завершено Иллюзи и
опубликовано в [56].
Приложение А
ПРЕДЕЛЫ
Мы нуждаемся в небольшом обобщении обычного понятия
предела. Доказательства несложные и нами опущены (см. [5, 1.1]).
Пусть I и С—категории, и рассмотрим ковариантиые
функторы 1->-С. Каждый объект М в С определяет такой функтор,
а именно постоянный функтор Ам с км(1) = М для всех i в I и
И.»(/->/) = и\м для всех отображений £-*-/. Объект М в С
является прямым пределом функтора F: 1-*-С, и мы пишем М =
= lim F, если задан морфизм функторов <р: F-*hM, таком, что
любой другой морфизм функторов ф': F-*-hH однозначно
разлагается в произведение <р' = г|хр. Точнее, это означает, что заданы
отображения F,->-A4 для всех i в I, такие, что диаграммы
коммутативны и что М универсально по отношению к этим
свойствам.
Например, если / — частично упорядоченное множество,
превращенное в категорию таким требованием: Hom(i, /) содержит
один элемент при t <| / и пусто в иных случаях, то паше
определение предела совпадает с обычным.
Обратные пределы определяются подобным же образом.
Категория 1 псевдофильтрована, если
(fi) каждая диаграмма вида
может быть включена в коммутативную диаграмму
О
372 Приложение А
(f2) каждая диаграмма вида
и
/=*/
V
может быть включена в диаграмму
с wu = wv. Категория 1 связна, если д.1я каждых дву.ч объектов
; II / в / существуют морфизмы / —»- /, -«— /] —*- /2 -*— /г ••■ -«-/, и
фильтрована, если она одновременно связна п псевдофнльтро-
вама. Например, категория, возникающая из частично
упорядоченного множеств;!, фильтрована тогда и только тогда, когда
множество направлено.
Если I—объединение непересекающихся категорий, I = Ц I/,
то lirnir = U Iimi Fit где Ц обозначает прямую сумму в
—* i —>■ ' t
категории С. В частности, если I дискретна, т. е. все морфнз-
мы — тождественные отображения, то lim F = XI Fi-
Если двойственная категория 1° к I фильтрована, то I
называется кофильтрованной.
Предложение [.Пусть I— фильтрованная (достаточно малая)
категория; пусть i>—*-Xi есть функтор I —*- Sets, и пусть X—
объединение непересекающихся Xi. По определению х-, ~ */ для
xi&Xi и Xj^Xj означает, что существуют морфизмы i-*-k,
j->■ k, такие, что X; и Xj имеют одинаковые образы при
соответствующих морфизмах Xi-*-X/,, Xj—>-Xk.
(a) ~ является отношением экс'.'с?.".ентности на X и X/~ -—
= \\rnX,.
(b) Для любой пары х,е=Х,-, x/^Xj существует k, такое, что
Xt и X) являются эквивалентными элементам Xk.
(c) Если Xt, Xi^Xi, то xt ~ xt тогда и только тогда, когда
существует морфизм /->/, такой, что Xi и xt имеют одинаковые
образы при соответствующем морфизме Xi^*-Xj.
Следствие 2. Пусть I — фильтрованная категория, и пусть
F — функтор I -*■ С, где С— категория всех групп, или всех абе-
левых групп, или всех колец и т. п. Пусть f — «.забывающий»
функтор f: C-vSets. Тогда lim F существует uf(\\mF) =\\m(fF).
Как обычно, прямые пределы коммутируют с прямыми
пределами и обратные пределы с обратными пределами, по, вообще
говоря, первые не коммутируют со вторыми.
Пределы 373
Предложение 3. Если категория I псевдофильтрована, то
прямые пределы в АЬ коммутируют с конечными обратными
пределами.
и
Пусть Сч^±С— функторы, такие, что и является
сопряженным слева к и, т. е. Ноте (и (Я), X') « Нот с (X, v{X')) как
бифункторы.
Предложение 4. Функтор и коммутирует со всеми прямыми
пределами, а функтор v — со всеми обратными пределами.
Предложение 5. Пусть I — множество и J — категория,
множества объектов которой есть / Л / X 1- а морфизмами являются
вложения вида i <=- (i, j) или j <=-* (i, j). Для любого функтора
F: J-»-C последовательность
точна.
Предложение 6. Пусть С — категория. Произвольные
{соответственно конечные) обратные пределы существуют в С тогда
и только тогда, когда существуют произвольные {соответственно
конечные) произведения и ядра пар морфизмов {уравниватели).
Полная подкатегория J с: I называется кофинальной, если для
всех i в I существует отображение i-*-} в 1 с / в J.
Предложение 7. Если I псевдофильтрована или фильтрована.
то тем же свойством обладает и J. Если I удовлетворяет (f|), то
для любого функтора F: I-»- С каноническое отображение
HmF-Him F\J
биективно.
Напомним [29, 5.8] следующее: говорят, что абелева
категория С удовлетворяет условию АВЗ, если любое семейство
объектов имеет прямую сумму, условию АВ4, если она удовлетворяет
АВЗ и любая прямая сумма точных последовательностей точна,
и условию АВ5, если она удовлетворяет АВЗ и каждый
фильтрованный прямой предел точных последовательностей точен.
Говорят, что она удовлетворяет АВЗ*, АВ4* или АВ5*. если
двойственная категория удовлетворяет АВЗ, АВ4 или АВ5
соответственно. Например, АЬ удовлетворяет АВ5 и АВ4\
Приложение В
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Пусть А, В и С — абелевы категории, Такие, что А и В нме(бТ
достаточно инъектнвпых объектов, и пусть f: A-»- Bug: B-> С —
точные слева функторы. Если / переводит пнъектнвные объекты
п А в g-ациклическне объекты в В, т. е. если инъектнвность /
влечет Rpg(I)= О для всех р > 0, то существуют соотношения
между объектами (Rpg) (R"f) (А) и объектами Rn(g!)(A) для
любого объекта А в А. Например, применяя последовательно
/ и g к ипъективной резольвенте 0->А ->/°->/'->- ... для А,
легко получить точную последовательность
О ->(/?'£)(f (Л))^я> (gf){A)-*g(Rlf (A)).
Также если функтор / оказывается точным, то существуют
канонические изоморфизмы R"g{fA)—*■ Rp (gf)(A). Все такие
соотношения суммируются заданием спектральной
последовательности RPgRif(A)=>Rp+i{gf)(A).
Мы дадим лишь очень краткое описание спектральных
последовательностей; более детально см. [124, 1Г. 4] либо
практически любую книгу по гомологит:сс::с:": алгебре.
Спектральная последовательность задается следующим
набором данных.
(a) Семейство Е"г' " объектов абелевой категории, где р, q, r
целые и р, ? ^ 0, г ^ 1 (или г ^ 2).
(b) Морфизмы
d%' : E-i —*■ Е2 ' ,
•р, ч, сР q pP+r- q-r+\
£{■?
-> • —>
-* • ->
с:
.£0,0 £1,9
Спектральные последовательности 375
с*!.'
При этом dr+r' *~r+ dr' * = 0. Конечно, если одно из р, q, p-f r
или ^ — т + 1 отрицательно, то в качестве d?" ' берется нулевое
отображение.
(c) Объекты Ег+1 уровня г + 1 получаются из объектов
уровня г по такой формуле:
_ ker(djM)
Например, мы имеем £2 °-* Ез' ° = £4' °= ... = £™° и
В общем случае для каждой пары (р, q) существует некоторое
го, зависящее от (р, q), такое, что для всех r^ r0 d?' " = 0 =
= £#-'■ *+г~'. Тогда
рР. Я рР. Я il pP. Q
Его — сг,+ 1 — • • • — Соо ■
Отметим, что существуют инъективные отображения Е^ "->£■>'q.
(d) Семейство объектов (£"), п ^ 0, и для каждого £" фи.и,.
трация
£" = £о =) £Г => £? zd . . . =j Enn=> 0,
такая, что
Ср/£р+\ — too
На картинке это выглядит следующим образом:
1\
Ч \\
37fi Приложение В
Такая спектральная последовательность обозначается £f q'=*■ £""
(или £2р- «=►£").
Соотношение между £" и Й"' * может быть явно выписано
для малых п. Заметим сначала, что
Кроме того, £'гз£,'=эО, где E\ = eL" = E\-° и Е1/е\ = е1' =
= ker (d^'')• Следовательно, 0 ->£' -*•£' ->Е'/е[ ->0 приводит
к точной последовательности
,0, I
Некоторыми усилиями она может быть продолжена до точной
последовательности
0 -£'•"-> Я1 -> £20-' -i* £f °- £?-*£'■ ' -* Е* °,
где £1 = кег(£2-*£Н-
Важнейшим результатом о существовании спектральных
последовательностей является следующая теорема.
Теорема 1. Пусть А, В и С — абелевы категории; предполо-
оким, что А и В имеют достаточно много инъективных объектов,
и пусть f: A->B и g: B-+ С — точные слева функторы. Если f
отображает инъективные объекты в g-ацикличные, то существует
спектральная последовательность
для любого объекта А в А. В частности, существует точная
последовательность
Доказательство. См. [63]1).
Следствие 2.Если в ситуации, рассмотренной в теореме,
функтор f точен, то Rp(gf) (А) ж (Rpg)fA.
Пример 3. Пусть А" — двойной комплекс, т. е. семейство
объектов /!"•«, где p. q e Z с дифференциалами d",' ": А" * -> Ао+1' "
и а1",) ч: А" "^Ар "+|, такими, что d,d, = 0 = d,,dn н
did/, + dud, = 0. Пусть Л" —тотальным комплекс tot (Л")
комплекса А", т.е. А"= © А" ч с d"=®(d/" '+dft'). и пред-
См. также [45]. — Прим. перев.
Спектральные последовательности 377
положим, что А"' * = О, если р < 0 или q < 0. Тогда существуют
спектральные последовательности
О.
г ")=*//"■■■'СО
где /Н и /(Я обозначают когомологии, вычисленные по
отношению к d/ и d// соответственно.
Замечание 4. Большинство спектральных последовательностей
этой книги определенного выше типа. Более общо, можно
позволить Е? " быть ненулевыми, когда р или q отрицательны: тогда
автоматически не следует, что Е?' " постоянны при больших г.
Приложение С
ГИПЕРКОГОМОЛОГИИ
Пусть А — абелева категория и С(А) — категория комплексов
в А. Это снова абелева категория. Пусть С+(А), С~(А) и С6(А)
обозначают подкатегории С (А), состоящие из тех комплексов
А', которые ограничены снизу (т. е. таких, что А' = О для г < 0),
ограничены сверху и ограничены (т. е. ограничены сверху и
снизу). Отображение комплексов Л, -> Ai есть квазиизоморфизм
(обозначение А\ —► Л2), если индуцированные отображения на
когомологиях Нг (Д|) -> /Уг (Л:>) являются изоморфизмами для
всех г.
Пусть /: А-»-В —точный слева функтор из А в абелеву
категорию В, и предположим, что А имеет достаточно много инъек-
тпвных объектов. Каждый Л'еС+(А) допускает квазиизомор-
фнзм А' —► /" в комплекс /* е С+ (А), объекты которого инъек-
тнвпы. (Легко проверить; см. [60, I.4.6i].) Функторы А'*-*-
1—>//' (//"): С+(А)-*В являются правыми гиперпроизводными
функторами R'f от /; они (по существу) не зависят от выбора
киазппзоморфпзмов А'—-Г. Эти функторы обладают
следующими свойствами:
(а) Для любой точной последовательности Q-*A\ ->А2-*Аз->
->0 комплексов в Cf(A) имеет место длинная точная
последовательность
(b) Если объект И в А рассматривается как элемент из С+(А)
с А° = А и Аг = 0 для г Ф 0, то R'fA = RrfA.
(c) Пус1ь С0(А) — подкатегория С+(А) комплексов А', таких,
что А' = 0 для г <Z 0. Функторы Rr/, если их ограничить на
Со(А), являются правыми производными функторами от
функтора (Л'ь->^/(Л') = кег(/10-^Л1)): С0(А)->В.
(d) Каждый квазинзоморфизм А\—► Ai индуцирует
изоморфизмы R7^I-»RrMi.
(e) Если /Г точен, то Rr\A' = 0 для всех г,
Гиперкогомологии 379
(f) Пусть А'— комплекс, объекты которого ацикличны для /,
т. е. RrfAs = О для всех г > 0. Тогда RrfA' = Hr(fA').
(g) Для любого комплекса А' е С+ (А) существуют
спектральные последовательности
Из этих утверждений (а) и (Ь) верны по определению, (d),
(е) и (f) следуют из (g), (с) следует из того факта, что
функторы Rrf удовлетворяют определению для правых производных
функторов от А' н-*► R°f (A'), U (g) может быть доказано так:
возьмем инъективную резольвенту А' -* I" для А', заметим, что
А'—► tot(/**), и напишем две спектральные последовательности,
соответствующие двойному комплексу ft" (приложение В.З).
Отметим, что из (е) и (f) следует, что если a: Ai-*- А* — кпл-
знизоморфизм ограниченных снизу комплексов, объекты
которых ацикличны для /, то/a: fA\->fAz также квазинзоморфнзм.
Ввиду того что конус отображения Са для а точен, Rr}Ca = 0
для всех г. Таким образом, точная последовательность О-»- А о ->
->-Са-> А\ [1]^-0 индуцирует изоморфизмы
В соответствии с (f) они могут быть записаны в виде
Hr(fA\)—+Hr(fA2), а это показывает, что fA\—*• fA2.
Можно распространить некоторые из этих определений и
результатов иа неограниченные комплексы, если существует такое
п, что RrfA = 0 для всех А и всех г > п. Заметим, что из этого
условия следует, что если А"-►Л1-*- ... ->Ап->-0 — точная
последовательность с /-ациклическими А0, А1, ..., А"-\ то Л"
также /-ациклический, так как
Rr(An = Rr+nfA' = Rr+nf (ker {А0-* Л1)) = 0
для г > 0. Используя это, мы можем построить для каждого
комплекса С" кваэиизоморфизм С*-—» А' (С) с
/-ациклическими объектами А'(С). Действительно, фиксируем некоторое г0.
Существует квазиизоморфнзм (... О->-СГо ->-Сг°+ '-»■...)—*■
—»• (... 0 -> Г° -* /г°+ '->...), где каждый объект Г и каждое
отображение О-*-1Г пнъективиы. Мы определяем А\ условиями:
= СГ, г<г0.
380 Приложение С
Очевидно, существует квазиизоморфизм С —*■ А\. Теперь
фиксируем некоторое п < г0 и строим другой квазиизоморфизм
А\<=~В с инъективными Вг для г ^ г\ и Вг = А\ для г < г\.
Пусть £> =сокег(Л| -*-В). Он точен, и Dr инъективны для
г ^ Ло. Таким образом,
является /-ациклическим, и
Лг/+п = im (вп+п'1 -► /irB+") ФЛг.+я-1 /lf'+rt
также будет ациклическим, потому что существует точная по-
следоиателыюсть
—>Л| —*■ А> —> im (,D —»•£) J^O.
Следоаателыю, если мы определим Лг условиями
/15 =
Л?+п, г =
А\, г>
то -существует квазиизоморфизм Ai—*■ Аг и А'г /-ацикличен
для г ^ т\. Мы можем продолжать построения указанным
способом, получая А\—*■ Аг—*■ А3—*■ ... и полагая Д'(С") =
= lim /4j, т. е. для фиксированного г Ar{c) = Ari для всех
Это наводит нас на мысль определить Rr/C* = Нг(А' (С)), но
технически более удобно продолжать следующим образом. Мы
говорим, что два комплекса С\ и Ci квазиизоморфны, С\ — Сг,
если существует конечная последовательность
квазиизоморфизмов С\ *—D\—*■ ... ■*—Ds—*■ d; заметим, что тогда заданы
изоморфизмы H'ic'i)-1* Hr(C-z). Мы определяем RrfC'=Hr QA'),
если А' — комплекс с /-ацикличными объектами, квазиизо-
морфпый С" . Чтобы придать эгому смысл, мы должны
показать, что если А\ — /Ь и оба являются комплексами
/-ациклических объектов, то /Д| — \At. Отметим сначала, что
отображение с^: С'-*С распространяется шаг за шагом до отобра-
Гиперкогомологии 381
жений
С > А\ > А'г > — АС)
ь ь ь
С > Л* ► А"2 > ... АС")
(Чтобы доказать это, используем следующий факт: для любых
отображений/" *—С c»D" ограниченных снизу комплексов, где
/• — комплекс, состоящий из инъективных объектов, существует
отображение у: D' ->-/', такое, что vP = a'. двойственное
утверждение мы доказали в V. 8.17.) Таким образом, при заданном
А\—*■ /Ь мы можем построить диаграмму
D's -~—» А'г
А'{А\) ^- А'ф\) — ^-» ... _^-> A(D'S) -^-> А(А2) '
Следовательно, мы можем предположить, что существует
отображение А\ —*■ Аъ- Положим
r>r(/iI) = (...o->/i;+l->^+2-...).
Тогда
Иг (Ml) = НГо (/ (т>гЛ1)) « Я" (/ (т>гАд) = «" {f Ад
для /• < го — п.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Altman А., НооЫег R., Kleiman S. A note on the base change map fof
cohomology. Composilio Malh., 27 (1973). 25—38.
[2] Allman A., Kleim.in S. Introduction to Grolhendieck Duality Theory.
Lecture Notes in Math., 146, Springer, Heidelberg, 1970.
[3] Amitsur S. Simple algebras and cohomology groups of arbitrary fields
Trans. Anier. Math. Soc, 90 (1959), 73—112.
HI Arlin E., Tale J. Class Field Theory W. A. Benjamin, New York, 1968.
[5] Artin M. Grothendieck Topologies Lecture Notes, Harvard University
Malh. Ucpt, Cambridge, Mass., I9f>2.
[6] — Elale coverings of scheme* o-™ Hansel rings. Amer. J. Math., 88
(1966), 915—934.
[7] — The etale topology of schemes. В кн.: Труды Международного
конгресса математиков (Москва, 1%f>). —M.: Мир, 1968, с. 44—56.
[8] — The implicit function theorem in algebraic geometry. In: Algebraic
Geometry (lnlernat. Colloq. Tata Inst. Fund. Res. Bombay, 1968). Oxford
University Press, London, 1969, pp. 13—34.
[9] — Algebraic approximation of structures over complete local rings. Inst.
Hautes Eludes Sci. Publ. Math., 36 (1969), 23—58. [Имеется перевод:
Артин М. Алгебраическая аппроксимация структур над полными
локальными «ольпами. — Математика, 1970, 14 : 3, с. 1—39.]
[101 — Algebraizalion of formal moduli, I. In: Global Analysis: Papers in
Honor of K. Kodaira, edited by D. С Spencer and S. E. Iyanaga, Uni-
versily of Tokyo Press, Tokyo, 1909. pp. 21—71. [Имеется перевод: Ар-
ТИИ M. Алгебраизация формальных модулей. — Математика, 1970, 14:4,
с. 1—47.1
[И] —On the joins of Henset rings. Advances in Math., 7 (1971), 282—
296.
[12] — Agebraic Spaces. Yale Malhemalical Monographs 3, Yale University
Press, New Haven, 1971. [Имеется перевод: Артин М. Алгебраические
пространства — УМЫ, 1980, 26 : 1, с. 181—205].
[13] — Theoremes de Representabilite pour les Espace Algebriques. Presses
de I'Universilc de Montreal, Montreal, 1973.
[14] Arlin M., Mazur B. Etale Homotopy. Lecture Notes in Math., 100,
Springer, Heidelberg, 1969.
[15] Arlin M, Milne J. Duality in the flat cohomology of curves. Invent, math.
35 (1976), 111 — 129.
[16] Atiyah M.. Macdonald I. Introduction to Commutative Algebra. Addison-
Wesley. Reading, Mass., 1969 [Имеется перевод: Атья М., Макдо-
пальд И. Введение в коммутатмнмую алгебру.—М.: Мир, 1972,]
[17] Auslander M., Goldman О. The Brauer group of a commutative ring.
Trans. Amer. Math. Soc, 97 (1960). 367—409.
[18] Azumaya G. On maximally central algebras. Nagoya Math. J., 2 (1951),
119—150.
[19] Башмаков М. И. Когомологи» абелевых многообразий над числовым
полем. — УМН, 1972. 27 : 6, с. 25—66.
[20] Bass H. Algebraic K-lheory. W. A. Benjamin, New York, 1968 [Имеется
перевод: Басе X. Алгебраическая К-теория.—М.: Мир, 1973.]
Список литературы 383
[21] Beauville A. Surfaces Algebriques Complexes. Asterisque 54, Soc. Math,
de France, 1978.
[221 Blanchard A. Les Corps Non Commutatifs. Presses Univ. France, 1972.
23] Bombieri E., MumFord D. Enriques' classification of surfaces in char (p).
II. In: Complex Analysis and Algebraic Geometry: A collection of papers
dedicated to K. Kodaira, edited by W. Baily and T. Shioda. Cambridge
University Press, Cambridge, 1977, pp. 23—42.
[24] Borel A.. Serre J.-P. Le thioreme de Riemann-Roch. Bull. Soc. Math, de
France, 86 (1958) 97—136. [Имеется перевод: Борель А., Серр Ж.-П.
Теорема Римана — Poxa.—Математика, 1961, 5-5, с. 17.54.1
[25] Bourbaki N. Algebre. Elements de Math. 4, 6, 7, 11, 23, 24, Hermann,
Paris. 1947—1959. [Имеется перевод: Бурбакм Н., Алгебра. — М.: Наука,
1966.1
[26] —Algebre Commutative. Elements de Math. 27, 28, 30, 31, Hermann.
Paris, 1961— 1965. [Имеется перевод: Бурбакн Н. Коммутативная
алгебра. — М.: Мнр, 1971.]
[27] Boutot J.-F. Frobenius et cohomologie locale. (Seminaire Bourbaki 19/4/75,
no. 453). Lecture Notes in Math., 514, Springer, Heidelberg, 1976.
[28] Bredon G. Sheaf Theory. MacGraw-Hill, New York, 1967.
[29] Bucur I., Deleanu A. Introduction to the Theory of Categories and
Functors. Wiley, London, 1968. [Имеется перевод: Букур И., Деляиу А.
Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.]
[30] Cartier P. Les groupes Exts(4, В). (Seminaire Grothendieck (1957),
Expose 3). Secretariat Mathematique, Paris, 1958.
[31] Cassels J., Frohlich A., ed. Algebraic Number Theory. (Proc.
Instructional Conf., Brighton, 1965). Thompson, Washington D. C, 1967.
[Имеется перевод: Алгебраическая теория чисел. — М,- Мнр, 1969.]
[32] Chase S., Rosenberg A. Amitsur cohomology and the Brauer group. Mom.
Amer. Math. Soc, 52 (1965), 34—79.
[33] Chow W.-L, van der Waerden B. Zur Algebraischen Ceometrie, IX. Math.
Ann., 113 (1937), 692—794.
[34] Deligne P. Les constantes des equations fonctionnelles des fonctions. L.
In: Modular Functions of One Variable. II (Proc. Internat. Summer
School, Univ. Antwerp., 1972). Lecture Notes in Math., 349, Springer.
Heidelberg, 1973, pp. 501—597.
[35] — La conjecture de Weil. I. lnst. Hautes Etudes Sci. Publ. Malh., 43
(1974), 273—307. [Имеется перевод: Делинь П., Гипотеза Вейля. I. —
УМН, 1976, 30:5, с. 159—190.]
[36] — La conjecture de Weil, II. lnst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math 52
(1980), 137—252.
[37] Demazure M., Gabriel P. Groupes Algebriques, vol. 1. Geometrie
algebriques, gcneralites, groupes commutatifs. Massoti, Paris, 1970.
[38] DeMeyer F, Ingraham E. Separable Algebras over Commutative Rings
Lecture Notes in Math, 181, Springer, Heidelberg, 1971.
[39] Douady A. Cohomologie des groups compacts totalement discontinue.
(Seminaire Bourbaki 1959/60, No. 189). Secretariat Mathematique, Paris.
[40] Douady A., Verdier J.-L., ed. Seminaire de Geometrie Analytique.
Asterisque 36—37, Soc. Math, de France, 1976.
[41] Giraud J. Analysis situs. (Seminaire Bourbaki 19C2/63, no. 256).
Reprinted in: Dix Exposes sur la Cohomologie des Schemas, North-Holland,
Amsterdam, 1968, pp. 1—11.
[421 — Cohomologie Non Abclienne. Springer, Heidelberg, 1971.
[43] Godement R. Topologie Algebriques et Theorie des Faisceaux. Hermann,
Paris, 1958. [Имеется перевод: Годеман Р. Алгебраическая топология
и теория пучков. — М.: ИЛ, 1961.]
[44] Grauert H., Remmert R. Komplex Raume, Math. Ann., 136 (1958), 245—
318
384 Список литературы
[45] Grutlicndici'k Л. Sur quelques poinls d'algebre homologique. Tohoku Math.
J., Я (1957), 119—221. [Имеется перевод: Гротендик Л. О некоторых
вопросах гомологической алгебры. — М.: ИЛ, 1961.]
[46] — La tlieorie des classes de Chern. Bull. Soc. Math, de France, 86
(1958), 137—154.
[47] — Fondements de la Geomelrie Algebrique. (Seminaire Bourbaki 1957—
1962). Secretariat Mathematique, Paris, 1962.
[48] — Le groupe de Brauer. I. Algebres d'Azumaya et interpretation diver-
ses, II. Theorie cohomologique, III. Exemples et complements. In: Dix
Exposes sur la Cohomotogie des Schemas, North-Holland, Amsterdam 1968,
pp. 46—188.
[49] Grothendieck A., Dieudonne J. Elements de Geometrie Algebrique. 1. Le
langage des schemas. Springer, Heidelberg, 1971.
[50] — Elements de Geometrie Algebrique. IF. Etude globale elementaire de
quelques classes de morphismes. Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 8
(1961).
[51] — Elements de Geometrie Algebrique. 111. Etude cohomologique des
faisceaux coherents, Ibid, 11 (1961), 17 (1963).
[52] — Elements de Geometrie A!gpbri,,,io iy. Etude locale des schemas et
des morphismes de schemas. lbit., 20 (1964). 24 (1965), 28 (1966), 32
(1967).
[53] Grotheudieck A. et al. Seminaire de Geometrie Algebrique. 1. Revetements
etale el groupe fondamental (I960— 1961). Lecture Notes in Math., 224,
Springer, Heidelberg, 1971.
[54] — Seminaire de Geometrie Algebrique. 4 (with Artin M. and Verdier J.-
L). Theorie des topos et cohomologie etale des schemas (1963—1964).
Lecture Notes in Math., 269, 270, 305, Springer, Heidelberg, 1972—1973.
[55] — Seminaire Geometrie Algebrique. 4'/? (by Deligne P, with Boutot J.-
F., Illusie L., Verdier J.-L.) Cohomotogie etale. Lecture Notes in Malh.,
569. Springer, Heidelberg, 1977.
[56] — Seminaire de Geometrie Algebrique. 5. Cohomotogie /-adique et fonc-
tions L (1965—1966). Lecture Notes in Math., 589, Springer, Heidelberg,
1977.
[57] — Seminaire d? Geometrie Algebrique. 6 (with Berthelot P., Illusie L.)
Tlieorie des intersections et theoreme de Riemann — Roch (1966—67).
Lecture Notes in Math., 589, Springer, Heidelberg, 1977.
[58| — Scmiiidire de Geometrie Algebrique. 7 (with Deligne P., Katz N.)
Groupes de monodromie en geometrie algebriques (1967—1968). Lecture
Notes in Math., 288, 340, Springer, Heidelberg, 1972—1973.
[59] Grolhendieck A., Murre J. The Tame Fundamental Group of a Formal
Neighbourhood of a Divisor with Normal Crossing on a Scheme. Lecture
Notes in Math., 208, Springer, Heidelberg, 1971.
[60] Hartshorne R. Resudues and Duality. Lecture Notes in Math., 20.
Springer, 1 leidelberg, 1966.
[01] — Algebraic Geometry. Springer, Heidelberg, 1977. [Имеется перевод:
Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.]
[62] Herstein I. Noncommutative Rings. Carus Math. Monograph 15, Math.
Assn. of America, 1968. [Имеется перевод. Херстейи И.
Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972.]
[63] Hilton P., Stammbach U. A Course in Homological Algebra. Springer,
Heidelberg, 1970.
[64] Hirzebruch F. Topological Methods in Algebraic Geometry. 3rd ed.,
Springer, Heidelberg, 1966. [Имеется перевод: Хирцебрух Ф. Топологические
методы в алгебраической геометрии. — М.: Мир, 1973.]
[05J НооЫег R. Brauer groups of abelian schemes. Ann. Sci. Ecole Nor(tv
Sup., 5 (1972), 45—70.
Список литературы 385
[66] lgusa J.-i. Fibre systems of Jacobian varieties. Amer. J. M.ith., 78 (IW)
171 — 199.
[67] Fibre systems of Jacobian varieties. II. Local monodromy gropiis ol
fibre systems. Amer J. Math., 78 (1956), 745—760.
[681 Abstract vanishing cycle theory. Proc. Japan Acad., 34 (1958), 589—
593.
[69] Betti and Picard numbers of abstract algebraic surfaces, Proc. Nat.
Acad. Sci. U. S. A., 46 (1960), 724—726.
[70] Iverson B. Critical points ol an algebraic function, lnventiones math., 12
(1971), 210—224.
[71] Generic Local Structure in a Commutative Algebra. Lecture Noles in
Math., 310, Springer, Heidelberg, 1973.
[72] Katz N. Algebraic solutions of differential equations (p-curvature and
the Hodge filtration). lnventiones math., 18 (1972), 1 — 118.
[73] —An overview of Deligne's proof of the Riemann hypothesis for
varieties over finite fields (Hubert's problem 8). In: Mathematical
Developments Arising from Hilbert Problems, edited by S. Browder, Amer.
Math. Soc, Proc. Symp. Pure Math., 28, 1976, pp. 275-306.
[74] Kleiman S. Algebraic cycles and the Weil conjectures. In: Dix Exposes
sur la Cohomologie des Schemas, North-Holland, Amslerdam, 1968.
pp. 359—386.
[75] Knus M. A., Ojanguren M. Theorie de la Descente et Aleebrrs d'\ziimnya.
Lecture Notes in Math., 389, Springer, Heidelberg, 1974.
[76] Knutson D Algebraic Spaces, Lecture Notes in Math., 203, Springer,
Heidelberg, 1971.
[77] Курке Г. (Kurke H.) О крнтернн рациональности Кастельиуово. — Мат.
заметки, 1972, 11 : 1, с. 27—32.
[78] Kurke H., Pfister G., Roczen M., Henselche Ring und Algebraische Geo-
me;trie. VEB Deutscher. Berlin, 1975.
[79] Lang S. Unramified class field theory over function fields in sveral
variables. Ann. of Math., 64 (1956) 285-325.
[80] Abelian Varieties Interscience, New York, 1959.
[81] Diophantine Geomelry. Interscience, New York, 1962.
[82] Lazard D. Sur les modules plat. С R. Acad. Sci. Paris., 258 (1964).
6313—6316.
[83] Lefschetz S. L'Analysis Situs et la Geometrie Algebrique. Gauthier-Vil-
lar, Paris, 1924.
[84] Манин Ю. И. Кубические формы: Алгебра, геометрия, арифметика —
М.: Наука, 1972.
[851 Matsumura H. Commutative Algebra. W. A. Benjamin, New York, 1970.
[86] Mazur B. Rational points of Abelian varieties with values in towers of
number Fileds. Inventiones math., 18 (1972), 183—266. [Имеется перевод:
Мазур Б. Рациональные точки абелевых многообразий иад башнями
числопых полей.—Математика, 1973, 17:2. с. 3—57.]
[87] Notes on atale cohomology of number fields. Ann. Sci. Ecole Norm
Sup., 6 (1973), 521—556.
[88] Messing W Short sketch of Deligne's proof of the hard Lefschelz tlico
rem. In: Algebraic Geometry (Arcata 1974), edilecl by R. Hartshorne.
Amer. Malli. Soc. Proc. Symp. Pure Math., 29, 1975. pp.' 563—580.
[89J Mitchell B. Theory of Categories. Academic Press, New York, 1965.
[90] Miyanishi M. Introduction a la Theorie des Sites et Son Application a la
Construction des Preschfrnas Quotients Presses de 1'Universite de Mont
real, Montreal, 1971.
[91] Mumford D. Geomelrir Invariant Theory Springer, Heidelberg, 1965
[Имеется перевод в кн.: Дьелонне Ж., Кэрролл Дж., Мамфорд. Д.
Геометрическая теория инвариантов. — М.: Мир, 1974.]
385 Список литераторы
[92] — Lectures on Curves on an Algebraic Surface. Annals of Math,
Studies. 59, Princeton University Press. Princeton, 1Э6С. [Имеется перевод:
Мамфорд Д. Лекции о кривых на алгебраической пооиерхностп. — М.:
Мир, 1968.]
[93] — introduction to Algebraic Geometry. Lecture Notes, Harvard
University Math. Depl., Cambridge, M;iss., 1967.
[94] — Abelian Varieties. Oxford University Press, Oxford, 1970. [Имеется
перепол: Мамфорд Л. Абелекы многообразия. — М.: Мир, 1971.]
[95] Murre J. Lecture? on ,in Inlroduclion to Grolhendieck's Theory of the
Fundamental Group. Lecture Notes. Tala Institute of Fundamental
Research, Bombay, 1967.
[9G] Nagata M. Local Rings. Inlerscience, New York, 1962.
[97] — A generalization of tlie iinucuuinK problem of an abstract variety in
a complete variety. J Math. Kyolo Univ.. 3 (1963), 89—102.
[98] Nori M. On the representations of a die fundamental group. Coinposito
Mathcm.-ilica, 33 (1976), 29—41.
[99] Ogg A. Cohomology of Abelian varieties over Function fields. Ann. of
Math., 76 (1962), 185—212.
[100] — Elliptic curves and wild ramification. Amer. J. Math. 89 (967) 1—
21.
[101] Orzech M., Small С The Brauer Group of Commutative Rings. Lecture
Notes in Pure and Applied Math., 11, Dekker, New York, 1975.
[102] Raynaud M Caracleristique d'Euler — Poincare. d'un faisceau et cohomo-
logie des varietes abelienes Scminnnr Bonrhaki 1964/65 no 286). In: Dix
Exposes sur la Cohomologie des Sclicmas, Norlli-Holland, Amsterdam
1068, pp. 12—30.
[103] — Faisceaux Amples sur les Schemas en Groupes et les Espaces Homo-
genes. Lecture Notes in Math., 119. Springer, Heidelberg, 1970.
[104] — Anneaux Locaux Henseliens. Lecture Notes in Math, 169, Springer,
Heidelberg. 1970.
[105] Reiner 1. Maximal Orders. Academic Press, New York, 1975.
[106] Roquetle P. On tlie Galois cohomology of the projective linear group and
its applications to the construction of generic splitting fields of algebras.
Math. Ann., 150 (1962), 411—439. [Имеется перевод: Рокетт П. Когомо-
логип Галуа проективных линейных групп и их приложения к
построению общих полей разложения алгебр.—Математика 1967 11:5,
с. 88—116.]
[107] Шафарепич И. Р. Главные однородные пространства над полем
функции. — Труды МИАН СССР, 1961, т. 64, с. 316—346.
[108] — Lectures on Minimal Models and Birational Transformations of Two
Dimensional Schemes. Lecture Notes. Tata Institute of Fundamental
Research, Bombay, 1966.
[109] Основы алгебраической геометрии. — M.: Наука, 1972.
[110] Шафаревич И. Р. и др. Алгебраические поверхности. — Труды МИАН
СССР. 1905. т. 75.
[Ill] Serrc .IP. F.iisrenux algebriiiiips coherents. Ann. of Math., 61 (1955),
197—278. [Имеется перевод: Серр Ж. П. Когерентные алгебраические
пучки. —В сб.: Расслоенные пространства, — М.: ИЛ, 1958, с. 372—45О.|
[112] — Geometric algebrique el gcometrie an.ilytique Ann. Inst. Fourier, 6
(I Мб). 1-42.
[113] — Critere de rationalite pour les surfaces algebriques. (Seminaire Bour-
bnki 1956/57 no. 146) Secretariat Mathematique, Paris.
[114] — Sur la lopologie des varieles nlcrbraiques en caracleristique p. Svn-
posium inlernacional de topotogia algebraica. Universidad Nacional Auto-
noma de Mexico and UNESCO, ,Me\iko City. 1958, 24—53.
[115] — F.spaces fibres algebriqucs. (Seminaire Chevalley 2 (1958), Expose
1). Secretariat Malhematique, Paris.
Список литературы 387
[116] Groupes Algebriques et Corps de Classes. Hermann, Paris 1959.
[Имеется перевод: Серр Ж. П. Алгебраические гр)ппы и поля
классов. — М.: Мир, 1968.1
!117] — Corps Locaux, Hermann, Paris, 1962.
118] —CohoinoloRic Galoisiennc. Lecture Notes in Л\n111., 5, Springer,
Heidelberg, I9G4. [Имеется перевод: Серр Ж. Р. Когомологин Галуа. —М.:
Мир, 1968]
[119] — Algebrc Locale-Multiplicites. Lecture Notes in Math. 11, Springer.
Heidelberg, 1965. [Имеется перевод: Серр Ж. П. Локальная алгебра и
теория кратностей. — Математика, 1963, 7:5, с. 3—83]
[120] — Cours d'Arithmetique. Presses Universitaires de France, Paris, 1970.
[Имеется перевод: Серр Ж. П. Курс арифметики. — М.: Мир, 1972]
[121] — Representations Lineares des Groupes Finis. 2nd ed. Herman, Paris,
1971. [Имеется перевод: Серр Ж. П. Линейные представления конечных
групп. — М.: Мир, 1970.]
[122] Seshadri L. L'operation de Cartier. Applications. (Seminaire Chevalley, 3
(1958/59), Expose 6). Secreatariat Mathematique, Paris.
[123] Shatz S. The cohomological dimensions of certain Grothendicck
topologies. Ann. of Math., 83 (196C), 572—595.
[124] — Profinile Groups, Arithmetic, and Geometry. Annals of Math.
Studies, 67, Princeton University Press, Princeton, 1972.
[125] Steenrod N. The work and influence of Professor S. Lefschetz in
algebraic topology. In: Algebraic Geometry and Topology; A Symposium in
Honor of S. Lefschetz, edited by R. H. Fox, D. C. Spencer, Princeton
University Press, Princeton, 1957, pp. 24—43.
[126] Tate J. On the conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer and a geoim-l-
ric analog. (Seminaire Bourbaki 1965/66m, no. 306), W. A. Benjamin. New-
York, 1966. [Имеется перевод: Таит Дж. О гипотезах Берча и Свнпгрто-
на-Дайера и их геометрическом аналоге. — Математика, 1968, 12:6,
с. 41-55.]
[127] Verdier J.-L. A duality theorem in the elate cohomology of schemes. In:
Proc. Conf. Local Fields (Dr?ibergen 1966), edited by T. Springer,
Springer, Heidelberg, 1967, pp. 184—198.
[128] — The Letschelz fixed point Formula in etale cohomology. In: Proc.
ConF. Local Fields (Driebergen) 1966), edited by T. Springer, Heidelberg,
1967, pp. 199—214.
[129] Wnterhouse W. Profinite groups are Galois groups. Proc. Anier. Math
Soc, 42 (1973), 639—C40.
[130] — Basically bounded functors and flat sheaves. Pacif J. Math., 57
(1975). 597—610.
[131] Weil A. Number of solutions of equations over finite fields Bull. Amor.
Math. Soc, 55 (1949), 497—508.
[132] Yuan S. On the Brauer groups of local fields. Ann. of Math., 82 (1965),
434—444.
[133] Zariski O. Algebraic Surfaces (Springer, Heidelberg, 1935), 2nd
supplemented ed., with appendixes by S. Abhyankar, J. Lipman, and D. Mum-
ford. Springer, Heidelberg, 197П.
[134] — Foundations of a general theory of birational correspondence Tran?
Amer. Math. Soc, 53 (1943), 490—542.
[135] The theorem of Bertini on the variable singular poinls of a linear
system of varieties. Trans. Amer. Math. Soc, 56 (1944), 130—140.
[136] — Introduction to the Problem of Minimal Models in the Theory ot
Algebraic Surfaces. Publ. Math. Soc. Japan, no. 4, 1958.
[137] — The problem of minimal models in the theory of algebraic surfaces
Amer. J. Math., 80 (1958), 146—184.
[138] —— On Castelnuovo's criterion of rationality p, = Рг = 0 of an
algebraic surface. Illinois J. Math., 2 (1958), 303—315.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебра Адзумаи 170—192
— противоположная 170
— сепарабс.чьиая 32
— центральная простая 171
— центральная сепарабельпая
176
Дзета-функция кривых 229—230
Дивизор Вейля 95—96
— Картье 95—96
Дискриминант 32, 37
Дифферента 36, 37
Билинейность 103
Замыкание этальное 61
Ветвление ручное 57-
Вырезание 118—119
-58
Измельчение покрытия 122
Инвариантность топологическая
этального морфизма 44
Гензелизация 51
— строгая 53
Гиперкогомологии 378—381
Гипотеза Римана 351
Гипотезы Вейля 350—351
Гладкость формальная 43
Гомотопность 207, 315
Группа Брауэра 170—192
— — гензелсва кольца 173, 185
— — гладкого многообразия 186
— когомологическая 170, 183
— локального кольца 170—175
— — регулярной схемы 186
схемы 175—192
Группа Нерона — Севери 165, 263—
20G, 348
— — — конечная порожденное™ 263
— фундаментальная 54—61
iKpimoii 58—59, 239
— Мск'тоишаи 61
ручная 57—58, 23-8—239, 25С
Двойственность Картье 163
— Пуанкаре 338—350
для кривых 216—228
— — локальная 226
Действие групповой схемы 151
Дзета-функция 161, 350—370
Категория кофильтрованиая 372
— предпучков 65
— пучков 83—84
— расслоенная 180
— связная 372
— фильтрованная 372
Квазиизоморфиэм 378, 380
Кваэисечение 32
Класс фундаментальный 303—309
— Чженя 251—252
полный 335
этальиый 332—338
Когомологии 109
— Амицура 124
— гладких групповых схем 144—148
— и обратные пределы 114, 150
— и схема Пикара 163—166
— инвариантность 275, 284
— комплексные и этальпые 147—150
— кривых 216—238
— плоские н Зарисского 143—-144
— прямых пределов 142—143
— с компактным носителем 119—121,
281—282
— с носителем в Z 117—120
— Чека 121 — 134
— Чека и производные 127, 131, 132—
134
— этальпые и плоские 144—147
Предметный указатель
Когомологни Sm I35—I39
Кольцо гензелеэо 12, 46—54, 56—57
— строго генэелево (локальное) 12,
53, 57
— Чжоу СЩХ) 336
Комплекс двойной 376
— ограниченный 378
— совершенный 323
— тотальный 376
Кондуктор 231—232
Конус отображения 215
Корни Чженя 336
Критерий Кастельнуово 266—269
— якобнев 35
Лемма Гензеля 46, 50
Матрица Хассс — Витта 160—161
Многочлен Кэли — Гамильтона 174
— сепарабельный 34
— Чженя 335
Многочлены строго взаимно простые
46
Модель минимальная Нерона 236—
237
Монодромня 254—259
Морфизм алгебраических пространств
196
— аффинный 13
— ациклический 285—295
— в нормальную схему 41—43
— гладкий 43, 45, 54
— гладких S-nap 296
— декартов 179
— замены базы 273—274
— квазнкопечный 14—17
— компактифицируемый 279—282
— конечный 13—17
— локально ациклический 285—295
— нераэветвленпый 33—46, 51
— плоский 12, 17—32
— стандартный 38, 41
— строго плоский 21—32
— универсально ниъективный 38
— этальный 12, 34—52
Накрытие Галуа 55, 59—61, 67, 127—
128
— геометрическое 159
— инфинитезимальное 161—162
— куммерово 57—58
— пикаровского типа 159
Перазветвлеииость формальная 43
Нормализация 13
Носитель пучков 98
Образ обратный в расслоенном
категории 180
— — предпучков 75—79
— — пучкоп 89—100
Образ прямой пыешмм 109, 113
— — предпучка 75—79
пучка 89—101
Объект ациклическим 107, 111
-~ инъектнвный 106
Окрестность артинова 148
— этальная 51, 54
Оператор Картье 161 — 162
Отображение Гизина 300, 306, 309
—■ комплексов степени г 207
— коспециалнзации 100—101, 202,
282—283
— следа 208—212, 339, 348
— — некоммутативное 361—-363
— циклов 329—332
Подалгебра Адзумаи максимальная
этальная 174
Подкатегория кофинальная 373
Подобие алгебр 172, 176
Подсхема ветвления 36
чистота 36—37
Порядок 187
Последовательность Артина — Шрей-
ера 88
— Гизина 299, 306—309
— куммерова 87
— Майера — Вьеториса 139
— спектральная 374—377
для замкнутых подсхем 121
— — для кегомологнй с замкнутым
носителем 296
— — для когомологин Чеха 128—120
Лере 115, 279—280
— — локально-глобальная для Ext
116—117
Хохшильда — Серра 134—135
Пределы 371—373
Предпучок 65
— ограниченный 76
— отделимый 67
— постоянный 65
— свободный 102
Продолжение нулем 99, 101, 104—
105
Произведение тензорное комплексов
314-315
390
Предметный указатель
Произведение тензорное пучков 103
Пространство алгебраическое 147, 153,
195-197
— главное однородное 151 —169
— исчезающих циклов 254—259
Псевдофильтрокаиность 371—372
Пучок ассоциированный 76, 81—83
— — его слой 83—84
— вялый 112
— гладким 204
— индуцированный 116
— конечный 193—195
— конструктивны» 193—195, 202—
205
— кручения 271
-- Лсфшсца 243—245
— локально конструктивный 199—
204, 276
- локально постоянный 193, 194, 202
— локально постоянный в общем 100
■■- локально свободный 202
■-- постоянный 87, 194
продетапнмый алгебраическим
пространством 197
■■- псевдокогерептный ЮЗ, 121
— свободный 102
— с конечными слоями 193—195
— скрученно постоянный 87, 193, 203
— скрученный по Тейту 203
— слабый 112-115, 117, 129—131
этальный над кольцом дискретного
нормиропанин 98
— — — полем 72
_ Нот юг
— /-адическнй 203
-- /кручения 271
— р;-векто|>пых ирогтранств 204
— /,-мо,чулей 203
Разложение Штеини 95
Размерность когомологическая 271 —
273, 301, ЗОН—314
— кривых 226-227
Рпсщеппмыс а.'пепры 174
Релильпептя 1'одсмана 110
Рпието 74
Род арифметический 266
— кратный 266
Семейство образующих 108
Ci-чсиня предпучка 05
Cm ус lil, 141 -143
Слоение '-элементарное 148
Слон 7!), 83 - 87, 103-104
Слой высшего прямого образа 113
— обратного образа 91—-92
— прямого образа 92, 93—94
Сопряженность исчезающих циклов
2Г)5—258
Спаривание каноническое для Ext
207—208
— w-произведепие 213—216
Специализация гладкая 282—283
Сравнение топологий 139—150
Стэк 180
— группоидов 180
Схема групповая 70
— — двойственная по Картье 163
— Джекобсона 86, 116
— Пикара 163—166
— превосходная 13
Схемы Брауэра — Севери 168—169
Теорема Бертнии 257
— Гильберта 90, 115, 156
— Зарисского основная 15
- Каждана — Маргулиса 259
— Лефшеца слабая 309
трудная 265
— Морделла — Вейля 166—167
— о гладкой замене базы 282—381
собственной замене базы 94—
95, 114, 273—278, 319
— Римана о существовании 56, 148—
149
— ОкОлема — Нётер 172, 177
Теоремы Лефшеца 265
Теория Артина —Шрепера 159—161
— Куммера 157—159
— Лефшеца глобальная 254—263
— — локальная 246—254
-- спуска 27—31, 196—197
Топология 64—65, 73
Торсер 151 — 166
Точность 27—28, 154
Уравнение Вейерштрасса
минимальное 237
Форма скрученная 617—169
Формула Кюннета 314—329, 333—334
— Лефшеца для кривых 228, 240,
252
следа 352—353, 357—360
— Огга — Тейта 237
— Ос\'а — Шафаревича — Гротенди-
ка 233-240
Предметный указатель
391
Формула Пиыара — Лефшеца 253—254
— проекции 306, 329
Функтор производный 106—107, 378—
381
Функция конструктивная 200
Характер Артнна 230
— Coyна 231
Характеристика Эйлера — Пуанкаре
206—207, 231—240, 248—249.
251-252
Цикл алгебраический 329
— исчезающий 247
канонический 252—255
— простой 329
Числа Бетти 206, 252, 351
Число Милнора 237
Чистота алгебр Адзумаи 190
— когомологическая 296—302
— схемы ветвления 36—37
Эквивалентность числгниая 263—20л,
348
Элементы геометрические 357—358
— Фробениуса арифметические 357—
358
Эндоморфизм Фробениуса 139, 229,
355—356
Эпиморфизм строгий 27
Этальиость формальная 43
АВЗ ... 5» 373
Char IX) 282
/^-покрытие 34
L-ряды 240—243, 354—370
— Арчина 240—243, 358
L 243
S. Si, S2 86—67
S-napa гладкая 296
tor-размерность 322—323