С. И. Шварцбурд
О. С. Ивашев-Мусатов

АЛГЕБРА
И НАЧАЛА АНАЛИЗА
С. И. ШВАРЦ БУРД, о. С. ИВАШЕВ-МУСАТОВ
АЛГЕБРА
И НАЧАЛА
АНАЛИЗА
Одобрено Ученым советом Государственного ко-
митета Совета Министров СССР по профес-
сионально-техническому образованию в качестве
учебного пособия для средних профессионально-
технических училищ
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1977
517.2
ШЗЗ
Отзывы и замечания по книге просим направлять по адресу:
Москва, К.-51, Неглинная ул., 29/14, «Высшая школа».
Шварцбурд С. И., Ивашев-Мусатов О. С.
ШЗЗ Алгебра и начала анализа. Учеб, пособие для средн, проф.
техн, училищ. М., «Высш, школа», 1977.
ill с. г ил.
В учебном пособии учитывается как новая программа восьмилетяей школы, так и
специфика средних профтехучилищ. Ряд сложных понятий и доказательств, относящих-
ся к элементам математического анализа, упрощены без снижения корректности изложе-
ния материала с точки-зрения математической науки.
Книга предназначена для учащихся средних профессионально-технических училищ.
««оз- ш
052(01)—77
517.2
© Издательство <Высшая школа», 1977.
ПРЕДИСЛОВИЕ
XXV съезд КПСС уделил большое внимание развитию в десятой пяти-
летке сети профессионально-технических училищ. Решениями XXV
съезда предусмотрено: за пятилетие подготовить в системе профессио-
нально-технического образования примерно II млн. квалифицирован-
ных рабочих, а также увеличить подготовку рабочих со средним обра-
зованием в профессионально-технических училищах не менее чем в
2,5 раза.
В десятой пятилетке встает задача всемерного совершенствования
не только специального, но и общего среднего образования в средних
ПТУ. Важное место в общем среднем образовании будущих рабочих
занимает изучение математики. Необходимы поиски путей такого со-
вершенствования.
Настоящая книга является учебным пособием по предмету «Алгеб-
ра и начала анализа» курса математики для учащихся средних профес-
сионально-технических училищ, которые прошли новую программу по
математике в восьмилетней школе.
Это пособие не заменяет учебных пособий по алгебре и началам ана-
лиза IX и X классов общеобразовательной школы, которые обязатель-
ны и для средних профтехучилищ.
Назначение данной книги — провести экспериментальное изуче-
ние тех же вопросов программы ^ ином освещении. При этом в пособии
излагаются не все вопросы программы, и лишь часть из них, а именно:
производная и интеграл и примыкающие к ним разделы. Сюда, с одной
стороны, относятся такие темы, как предел функции, непрерывность
функции и связанные с ними вопросы, а с другой стороны — приме-
нение производной и интеграла в приложениях и при изучении тради-
ционно школьного материала — элементарных функций.
В основе изучения элементов математического анализа в данном
пособии лежит понятие непрерывности функции. Для более ясного
представления об этом понятии в учебнике помещено много рисунков.
Каждый рисунок и график выполняют определенную учебную роль.
Поэтому учащимся надо относиться к ним с вниманием, понимать и
знать, какие особенности функции или свойства поясняет тот или иной
рисунок. В связи с этим чтение текста данной книги рекомендуется
сопровождать записями, «комментариями», т. е. читать «с карандашом
в руке».
Часть упражнений дублируется для того, чтобы помочь учащимся
усвоить то или иное понятие, выработать известные навыки, накопить
знания. Разумеется, в тех случаях, когда материал уже усвоен, нет
надобности выполнять одинаковые упражнения, их полезно оставлять
для повторения в будущем.
1*	3
Пункт со звездочкой необязателен для всех учащихся, его могут
изучать лишь желающие.
В пособии содержится раздел для повторения курса восьмилетней
школы. Учащиеся смогут самостоятельно или под руководством препо-
давателя по мере надобности повторять забытые вопросы арифметики
и алгебры как в учебном году, так и при подготовке к выпускным эк-
заменам.
Порядок изложения и содержание данной книги не соответствуют
полному перечню вопросов программы. Поэтому преподаватель должен
сам решать, каким образом использовать книгу в процессе обучения.
Вместе с тем некоторые замечания для преподавателя приводятся в
конце книги и имеют целью осветить ряд методических вопросов пре-
подавания по этому пособию.
Глава I
ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРОИЗВОДНАЯ
$ 1. ФУНКЦИЯ
1. Понятие функции и ее графика (повторение). Напомним основ-
ные сведения о числовых функциях, известные из предыдущих клас-
сов. Начнем с определения функции.
Если каждому числу х из числового множества D поставлено в соот-
ветствие единственное число у, то говорят, что на множестве D за-
дана функция.
Множество D называют областью определения функции, х— аргу-
ментом функции.
Функцию обычно обозначают буквой /. Тот факт, что числу х по-
ставлено в соответствие число у, записывают так: у = f(x). Перемен-
ную у часто опускают и говорят: задана функция х2, Igx и т. п. Вместо
буквы f можно употреблять любую другую букву.
Напомним, что нет никаких ограничений на способ, которым уста-
новлено соответствие между переменными х и у. Чаще всего это со-
ответствие устанавливается при помощи формул:
у = х2 — 5х, у = У2х + 3, у — и т.п.
4 — 7х
Но бывают и более сложные случаи задания функции, когда на
разных частях области определения функция задается разными фор-				
мулами. Например:				
	’ 2х — 1 при х < — 3,	X* — X	при	х< 1,
У =	5	при —3<х<2, или у =	2	при	X = 1,
	 7 — х при 2 < х,	0	при	Х> 1.
Функция может быть задана и словесным описанием. Например,
функция [х] есть целая часть числа х. Напомним, что 1х] = п для всех
х, удовлетворяющих неравенству п < х< n + 1, где п — целое
число.
Иногда функции задаются при помощи рисунка. Например, для
каждого числа х > 0 можно рассматривать площадь фигуры, заштри-
хованной на рис. 1. Это функция от х. Ее обыкновенно обозначают че-
рез S, а ее значение в точке х обозначают 5(х). Из рисунка видно, что
5(1) - 1, а 5(2) = 2,5.
Приведенные примеры задания функции никоим образом не исчер-
пывают всего разнообразия возможностей, с которыми вы будете встре-
чаться при дальнейшем обучении.
5
Область определения функции — множество D — тоже может
быть весьма произвольна. Простейшие области определения: отрезок
(а; Ь\ — множество чисел х, удовлетворяющих неравенству а < х <
< Ь. и множество внутренних точек этого отрезка — интервал]а; 6[—
множество чисел х, удовлетворяющих неравенству а < х < Ь. Числа
а и Ь называются концами отрезка и интервала', а — левым, b — пра-
вым. На числовой оси отрезок и интервал принято обозначать так,
как это показано на рис. 2 и 3.
Кроме отрезков и интервалов часто еще говорят о полуотрезках
(или полуинтервалах) 1а; Ь[ и |а; Ь]. Это множество чисел х, удовлетво-
ряющих неравенству а с х С Ь или а < х < Ь соответственно.
На рис. 4 и 5 приведено их изображение на числовой прямой.
Общее название для перечисленных выше множеств — промежу-
ток. Число Ь — а называется длиной такого промежутка.
Еще рассматриваются бесконечные промежутки — лучи, или полу-
прямые:
|а; оо[ — множество чисел х, удовлетворяющих неравенству а < х;
|а; оо[ — множество чисел х, удовлетворяющих неравенству а < х;
1—оо; а[ —множество чисел х, удовлетворяющих неравенству х < а;
I—оо; а] — множество чисел х, удовлетворяющих неравенству х < а,
и прямая:
1—00; оо| = /? — множество всех действительных чисел.
Г рафиком функции f называется множество точек на плоскости
с координатами (х; /(х)), где х — любое число из области определения
этой функции (рис. 6).
График дает наглядное представление о рассматриваемой функции.
Вы уже знакомы с графиками простейших функций: графиком линей-
6
ной функции у = kx 4- Ь является прямая (рис. 7); графиком обратной
пропорциональности у является гипербола (рис. 8, на рисунке
/п > 0). Графиком квадратного трехчлена или квадратичной функции
Рис. 9
у — ах2 4- Ьх 4- с является парабола (на рис. 9 приведен график
функции у = 2 4- х — х2).
Построим график функции у — 1x1 — целая часть х. Построение
проводится по полуинтервалам в соответствии с определением функции
«целая часть». Пусть х удовлетворяет
двойному неравенству 0 < х < 1 (т. е.
принадлежит полуинтервалу 10; 1[). Тог-
да целая часть х равна 0, т. е. у={к\ —
= 0. На рис. 10 эта часть графика изоб-
ражена отрезком оси абсцисс, правый
конец которого помечен светлым круж-
ком. Этот кружок на графике говорит о
том, что 111 #= 0. Далее рассмотрим чис-
ла х, удовлетворяющие двойному нера-
венству 1 < х <Z 2 (т. е. из полуинтер-
вала [1; 2(). Для них целая часть рав-
на 1, т. е. у = [х] = 1. Следовательно,
над этим полуинтервалом график функ-
ции 1x1—горизонтальный отрезок со светлым кружком в точке (2; 1).
Рассматривая х, удовлетворяющие двойному неравенству —1 <х<
< 0 (т. е. из полуинтервала 1—1; 0[), и замечая, что для них целая
часть равна —1, получаем график (х] над этим полуинтервалом —
горизонтальный отрезок со светлым кружком в точке (0; —1). Подоб-
ным образом, перебирая последовательно полуинтервалы с целыми
концами, продолжаем строить график.
Упражнения
Найдите:
1. (3J.	2. [2,2].	3. Г-у-1 .	4. М-
7
8.
5. [—2]. в. Hl,73]. 7.
Постройте графики	функций		
8. у = х 4- 2.	10. у = х — 1.	11.	у = 3 — х.
12.	•	13. х/ = 2лг — 1.	14.	у=т+2-
15. у = х* — 4.	16. (/ = 9 —х2.	17.	у = (х~2)3.
18. У = (* + 3)».	19. i/ = -(x-l)3.	20.	у = х3 — 2х + 1.
21. у = х»4-2х.	22. у = Зх— х2.	23.	у = 1 — 2х — х3.
2 24. у = — . X	3 26. У = -— . X	26.	у = |*|-
27.	Автомобиль движется 20 с со скоростью 60 км/ч,а затем 50 с со скоростью
100 км/ч. Запишите зависимость пути s (в километрах) от времени движения t
(в секундах) и постройте график этой функции.
28.	Стержень сечением 1 см3 и длиной 25 см спаян из двух частей. Левая
часть стержня, равная 10 см, имеет плотность 7,8 г/см8, а правая, длиной 15 см,
имеет плотность 8,9 г/см3. От этого стержня отпиливают кусок длиной х (считая
от левого конца). Напишите зависимость массы т (в граммах) этого куска от его
длины х (в сантиметрах). Какова область определения этой функции? Постройте
график этой функции.
29.	В равнобедренном треугольнике АВС длина основания АВ равна 2 см,
а высота — 2 см. Прямая, перпендикулярная АВ и отстоящая от точки А на
расстоянии х (см), отсекает от треугольника АВС фигу-
ру (рис. 11). Найдите площадь этой фигуры как функ-
цию х. Начертите график этой функции.
2. Изменение функции. В более сложных (по
сравнению с предыдущим пунктом) случаях гра-
фик функции f обычно строят так: наносят на
плоскости точки с координатами (xfc; ук), где
числа хк произвольно выбраны из области опре-
деления функции f (график которой мы хотим
построить), а ук = f(xk). Таким образом, пост-
роенные точки лежат на графике рассматривае-
мой функции. После этого проводят через отме-
ченные точки линию (рис. 12 и 13). Ее считают схематическим изобра-
жением искомого графика. Однако при этом ряд важных особенностей
Рис. 12
8
графика функции может быть утерян или искажен (рис. 14, 15 и 16).
Рассмотрим некоторые из этих особенностей.
Функция f называется возрастающей на промежутке, если для
любых xt и х2 этого промежутка из' неравенства Xi <Z х2 следует нера-
венство f(Xi) < f(xa). Можно сказать, что график возрастающей функ-
ции идет «снизу вверх» при движении
слева направо (рис. 17).
Функция f называется убывающей на
промежутке, если для любых хг и х2 это-
го промежутка из неравенства хг •< хг
следует неравенство /(xj > /(х2). Мож-
но сказать, что график убывающей функ-
ции идет «сверху вниз» при движении
слева направо (рис. 18).
Рис. 18
Упражнения
30. На рис. 19—24 приведены графики функций. Укажите для этих функций
промежутки: а) возрастания, б) убывания.

Рис. 19
Рис. 20
9
Рис. 21
Постройте график функции и укажите промежутки ее возрастания и убыва-
ния:
31. у = (х- !)«+!.
33. у = (х+ 1)«- 1.
35. у=|х+1|.
38. у = 1 — |х|
41. j/ = x* —х.
32. у = 1 — (х— 1)2.
34. г/ = 1 — (х + 1)2.
Зв. у= 11 —х|.
3». у = х» + Зх.
42. у = — х — х2.
37. у = |х| — 1
40. у = Зх — х2.
43. На рис. 25 и 26 изображены графики движения поездов. На оси абсцисс
откладывается время t — это ось Ot, на оси ординат — расстояние от железно-
дорожной станции А. Определите: 1) на каком расстоянии от пункта А и на какое
время останавливались поезда; 2) через какое время после выхода из А и на каком
расстоянии первый поезд встретил второй; 3) какова наибольшая скорость
первого поезда.
44. Кирпич падает с крыши 20-этажного дома. Его расстояние от земли /7=
«60 — 4,9/2 (м), где / *— время падения (в секундах). 1) Начертите график за-
висимости Н от t (откладывая время t на оси абсцисс, а высоту Н — на оси орди-
нат). 2) Сколько времени будет падать кирпич? 3) Когда он пролетит мимо пере-
крытия 10—11-го этажей? Найдите этот момент на чертеже.
3. Экстремум функции. Кроме промежутков возрастания и убыва-
10
ния для графика функции существенно указать точки экстремума.
Дадим их определение.
Точка х0 называется точкой максимума функции f, если можно ука-
зать такой интервал |а; 61, содержащий эту точку х0, что
f (*о) > f (х) для всех x^xQ из ]а; 6[ 1
Можно сказать, что точка максимума функции есть «самая высокая»
точка части графика функции, расположенной над интервалом ]а; Ь[
(рис. 27). Например, общая граница между интервалом возрастания
и интервалом убывания есть точка максимума. Точка х9 называется
точкой минимума функции f, если можно указать такой интервал
]а; 61, содержащий точку х0, что f(x9) < f(x) для всех х Ф х0 из
]а; 61.
Можно сказать, что точка минимума функции есть «самая низкая»
точка на части графика функции, расположенной над интервалом
]а; Ь\ (рис. 28). Например, общая граница между интервалом убывания
и интервалом возрастания есть точка минимума.
Общее название для точек максимума и минимума — точки экст-
ремума.
Упражнения
45. Для функций, приведенных
в упр. 30—42, укажите точки экстремума.
11
46. Является ли точка х0 точкой экстремума для функций, графики которых
изображены на рис. 29—34?
Рис. 32	Рис. 33	Рис. 34
4. Приращение аргумента и приращение функции. Далее мы часто
будем иметь дело с разностью значений аргумента и разностью соот-
ветствующих значений функции. Для этих разностей введены специ-
альные обозначения и названия.
Рассмотрим функцию /(х) = х3. Ее график изображен на рис. 35.
Значение функции в точке 2 равно 8:
/(2) - 23 - 8.
Продвинемся вправо от точки 2 по оси абсцисс на расстояние,
равное 0,2 единицы. Мы окажемся в точке 2,2. В этом случае говорят,
что аргумент функции получил в точке 2 приращение 0,2. Приращение
аргумента в точке х — это разность двух его зна-
чений Xi = 2,2 и х - 2 (рис. 36). Пишут:
< хг — х = Ах, т. е. 2,2 — 2 = 0,2.
Здесь греческая буква Д (дельта прописная)
применена для обозначения приращения аргумен-
та. Не следует забывать, что Дх — это одно целое
выражение, а не произведение «дельты» на «икс».
Рис. 35
24—у-----'2,2	*
I
Дх*0,2
Рис. 36
1,8'--у---'2 х
I
Д^-0,2
Рис. 37
Приращение аргумента иногда обозначают буквой h. В нашем при-
мере Л = 0,2.
12-
Можно продвинуться от точки 2 влево на 0,2 единицы, тогда мы
окажемся в точке 1,8 (рис. 37). Приращение аргумента теперь будет
отрицательным:
Дх = —0,2; h = —0,2.
«
Итак, приращением аргумента в точке х называют разность двух
значений аргумента хх — х и обозначают через А или Дх (читается:
«дельта икс»). Таким образом,
Дх = хх — х и Xj = х 4* Дх,
или
Л = Xj — х и xt - х 4- h.
Приращением функции f в точке х, соответствующим приращению
аргумента Дх = Xj — х, называют разность f(xt) — /(х). Приращение
функции обозначают Д/(х) или короче Д/, &у и читают: «дельта эф от
икс», «дельта эф» или «дельта игрек». Таким образом,
Д/(х) = f (xj — f (х) = f (х + Дх) — / (х) и (х 4-Дх) = f (х) + Д/(х)
или
Д/= /(•» + Дх) — /(х) и /(х4-Дх) = Нх)4- Д/
или
Ду = f(x + h) — f(x) и f(x + h) = у + Ду.
На рис. 38 отмечены приращение ар-
гумента и соответствующее приращение
функции. Например, если приращение
аргумента функции /(х) = х3 в точке х
обозначим через А, то
Ду = f (х 4- A) — f (х) = (х 4- А)8 —
—х8 = (х 4- h — х) х ((х 4- Л)8 4- (х 4*
4- А)х 4- х2) = А (х2 4- 2хА 4~А24-х24~
4-	хА 4- х2) = А (Зх2 4- ЗхЛ 4- А2).
Рис. 38
Упражнения
47.	Для функции f(x) = Зх — 4 найдите:
a)	xlt если х = 3 и Дх = 0,2;
б)	xlt если х — 5 и А = 0,03;
в)	Ду, если х=- 4и Ах= 0,1;
г)	Ду, если х — 7 и h = 0,02.
48.	Для функции у = х2 найдите:
а)	приращение аргумента Дх, если хх = 2,3 их = 2 и соответствующее
приращение функции Ду;
б)	приращение аргумента Л, если xj = 3,8 и х = 3,75 и соответствую-
щее приращение функции Д/.
49.	Найдите приращение функции у = _L, если:
13
a)	x = 5 и h - 0,05; в) Дх - -0,3 и х = 4,03;
б)	Xi = 3,01 и Л = 0,01; г) Дх = —0,01 и х — 3.
50.	Выразите через х, и Лх приращение функции в точке для функций:
а) у = 3 — 2х;	в) /(х) = 2х2;
б)	у = /х;	г) /(х) = Зх — х2.
51.	На рис. 39 изображен график функции /. Глядя на рисунок, скажите,
чему равно приращение аргумента и чему равно соответствующее приращение
функции.
52.	Чему равны приращения аргумента и какого они знака (рис. 40, 41, 42)?
Какого знака соответствующие приращения функции и чему они равны?
| 2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
5. Наглядное представление о непрерывности функции. Вы уже уме-
ете строить графики некоторых функций, например у = 2 — х
(рис. 43) или у = х2 — 2х (рис. 44). Обратим сейчас основное внима-
14
г: в этих графиках на то, что их можно нарисовать, не отрывая каран-
ia от бумаги — одним непрерывным движением. Поэтому говорят,
это непрерывные функции. А вот график функции у — — (рис. 45)
или у = (рис. 46) так нарисовать нельзя — нарисовав левую часть
графика, придется оторвать карандаш от бумаги, чтобы нарисовать
Рис. 46
У
Г
правую часть. Про такие функции говорят, что они разрывны. В при-
веденных примерах точка нуль является точкой разрыва.
Функция у = |х| (целая часть х, см. рис. 10) имеет разрывы при
всех целых значениях аргумента х, а во всех остальных точках эта
функция непрерывна.
В этом параграфё мы будем изучать описанное выше свойство не-
прерывности функции или его отсутствие, т. е. разрыв.
Упражнения 53 и 54 , иллюстрирующие непрерывность или разрыв-
ность функции, приведены в конце этого пункта.
Рассмотрение графиков непрерывных функций приводит нас к
следующей характеристике непрерывности функции: малому изменению
аргумента (т. е. малому | Д х|) соответствует малое изменение
функции (т. е. малое | А у |).
Можно сформулировать свойство непрерывности функции и так:
если х, « х, то /(х,) зг; /(х) и точность второго равенства может быть
сделана как угодно большой за счет повышения точности первого
равенства (рис. 47).
Рассмотрим, например, как будет меняться соответствующее при-
ращение функции у --- х® в точке 4, если уменьшить приращение Дх
в этой точке.
Пусть Дх = 0,3, тогда /(4,3) — 4,3® = 18,49, а приращение
функции у = х® в точке 4, соответствующее приращению аргумента
0,3, будет равно Ьу - /(4,3) — /(4) = 4,3® — 4® = 2,49.
Посмотрим, как изменится приращение функции при уменьшении
приращения аргумента. Например, возьмем Дх = 0,2 и Дх = 0,1.
Соответственно получим Ди = /(4,2) — /(4) = 1,64 и Д^ = /(4,1)—
- /(4) = 0,81.
Ниже приводится сводная таблица изменения приращения аргумен-
та и соответствующего изменения приращения функции:
15
К	Дх	х 4- Дх	f (X)	f (X 4-Дх)	(*)
4	0,3	4,3	16	18,49	2,49	/
4	0,2	4,2	16	17,64	1,64 /
4	0,1	4,1	16	16,81	о,в/
4	0,01	4,01	16	16,0801	О,оэ61
• • • • • •						/
4	— 0,01	3,99	16	15,9201	4- 0,0799
4	— 0,1	3,9	16	15,21		 — 0,79
4	— 0,2	3,8	16	14,44	— 1,56
4	— 0,3	3,7	16	13,69	— 2,31
Если процесс уменьшения | Дх | продолжить (в таблице это отме-
чено многоточием), то заметим, что при уменьшении | Дх | уменьша-
ется и | Д/(х) |. Отсюда напрашивается вывод: функция у = х2 в
точке 4 непрерывна.
Разберем пример разрывной функции. Функция у = {х} = х —
— [х] (дробная часть х, рис. 48) имеет разрывы при всех целых значе-
ниях аргумента х, а во всех осталь-
ных точках эта функция непрерывна.
Составим для этой функции таблицу
приращений аргумента и соответству-
ющих значений приращений функции
в точке 3:
Рис. 48
X	1	х 4- Дх	1 t (*)	| f + a*)	Д/ (х)
3	0,03	3,03	0	0,03	0,03
3	0,02	3,02	0	0,02	0,02
3	0,01	3,01	0	< 0,01	0,01
					•	
3	— 0,01	2,99	0	0,99	0,99
3	— 0,02	2,98	0	0,98	0,98
з	— 0,03	2,97	0	0,97	0,97
16
\ Из верхней половины таблицы видно, что при неограниченном
уменьшении положительных приращений аргумента неограниченно
уменьшается и соответствующее приращение функции. Может пока-
заться, что функция непрерывна в точке 3. Но, рассмотрев нижнюю
половину таблицы, мы видим, что при уменьшении приращения аргу-
мента (по абсолютной величине) приращение функции не уменьшается,
а увеличивается. По графику (рис. 48) ясно видно, в чем здесь дело:
от приближения аргумента слева к точке 3 мы не приближаемся
к значению функции 0 в этой точке, а удаляемся от него, прибли-
жаясь к Значению 1. Итак, при приближении аргумента слева к точке
3 соответствующее значение функции приближается к 1, а при прибли-
жении аргумента справа к точке 3 соответствующее значение функции
приближается к 0 — значению функции в точке 3.
Получаем .вывод: функция у = {х} разрывна в точке 3. Эта функ-
ция разрывна^и при любом целом значении аргумента х. По графику
(рис. 48) видно\ что в этих точках происходит «скачок» значений функ-
ции на единицу.
Характеристику непрерывности функции (имеется в виду приращение аргу-
мента и приращение функции) мы часто встречаем в практике и технике. Напри-
мер, при нагреваний воды ее температура 01 есть функция от времени /, т е. 0 =
— 0(/). Поскольку за малый промежуток времени вода нагревается мало, то
функция 0(0 такова, что малому приращению аргумента А/ соответствует малое
приращение функции Д0, т.е. это непрерывная функция. Если подсоединить при-
бор, автоматически записывающий температуру нагреваемой воды, то мы увидим
непрерывную лйнию, являющуюся графиком температуры 0(Г).
К понятию непрерывности функции подводят и потребности приближенных
вычислений. Представьте себе, что требуется вычислить значение функции /(х) в
точке х, т е. найти число/(х). Причем часто приходится округлять число х, т. е.
брать для вычисления другое число х^хи вычислять /(хх) вместо/(х). При этом
получается ошибка, равная f(xr) — /(х) = &f. Для непрерывных функций эта
ошибка может быть сделана как угодно малой по модулю, если ошибка округле-
ния Xj — х = Дх подобрана достаточно малой (тоже по модулю) (см. рис. 47).
Поясним сказанное конкретным примером. Пусть требуется вычислить объ-
ем куба, ребро которого равно 2. Этот объем равен (]^2)3 = 2)^2, что является
значением функции /(х) — х3 при аргументе х = У 2. Для вычисления берется
"К 2 с точностью до трех, четырех ит. п. знаков после запятой. В результате полу-
чается приближенное значение для объема куба. Ясно, что чем точнее измерено
ребро, т. е. чем точнее вычислен У2, тем точнее получен объем.
Пример 1. Доказать, что линейная функция непрерывна.
Решение. Пусть /(х) = kx + b. Тогда
&у = k (х + Дх) + b — kx— Ь = &Дх,
т. е.
|Ду| = |Л|.|Дх|.
Следовательно, при неограниченном уменьшении | Дх | неограниченно
уменьшается и | Ду |, т. е. линейная функция непрерывна.
* п — буква греческого алфавита итэта».
17
Пример 2. Доказать, что для всех х > 1 функция /(х) =
рывна.
Решение. Найдем приращение этой функции:
1
— непре-
* /
А	1	1	— Л»
Ау --------------=-------------.
х 4- Ах х	х (х 4- Дх)
Рассмотрим такие приращения аргумента Дх, для которых/^ыпол-
нено неравенство х 4 Ах > 1. Тогда
|Ау| =—' <|Дх|,
х (х 4- Дх)
поскольку при уменьшении знаменателя дробь увеличивается. Полу-
чаем | Ду | < | Дх |, откуда видно, что при неограниченном умень-
шении | Дх | неограниченно уменьшается и | Ду |, что /и требовалось
доказать.	/
Пример 3. Доказать, что функция Дх) = — непрерывна в точке
0,2.
Решение. Найдем приращение этой функции в точке 0,2:
д	1	1	— 5Ах
Ду =---------------— —--------.
0,2 4-Ах 0,2	0,2 4- Дх
Рассмотрим приращения аргумента Дх, удовлетворяющие неравен-
ству | Дх | «0,1. Тогда 0,2 4- Дх > 0,1 и
|Ду| - 5|Ах| < 50|Дх|.
1	0,2 4-Ах	1
Отсюда ясно, что при неограниченном уменьшении | Дх | неограни-
ченно уменьшается и | \у |, что и требовалось доказать.
Заметим, что аналогичные рассуждения в общем случае показыва-
ют непрерывность в любой точке х =# 0.
Пример 4. Доказать, что функция /(х) = х2 непрерывна в точке
х - —3.
Решение. Найдем приращение этой функции в точке —3:
Ьу (— 3 + Дх)2 — (— З)2 = — 6Дх + (Дх)2 = Дх (— 6 + М-
Рассмотрим Дх, удовлетворяющие неравенству | Дх | < 1.
Тогда
| Ду | =|Дх||— 64- Дх| « | Дх|(б4-1 Дх|) с 7|Дх|.
Отсюда видно, что при неограниченном уменьшении | Дх | неограни-
ченно уменьшается | Ду |, что и требовалось доказать.
Аналогичные рассуждения можно провести для любой точки х
и доказать, что функция Дх) — х* непрерывна в этой точке.
18
Упражнения
\53. На рис. 10,13—35 и 38—48 приведены графики функций. Какие из функ-
ций непрерывны, а какие разрывны? Укажите точки разрыва. Укажите зна-
ченияфункции в точке разрыва (если они существуют).
54.	Поезда отходят от станции каждые 10 мин. Найдите зависимость времени
ожидания поезда от времени прихода пассажира на станцию (нарисовать график
этой функции). Непрерывная ли эта функция?
По образцу таблицы на с. 16 заполните таблицу для функций:
55.	/(х) = х2 в точке х~ —2, если Дх — —0,3; —0,2; —0,1; 0,1; 0,2; 0,3.
56.	/(х) = — в точке х— 3, если Дх = — 0,3; 0,3; —0,2; 0,2; —0,1; 0,1.
х
57.	/(х) = х* в точке х = — 1,8, если Дх= —0,3; 0,3; —0,2; 0,2; —0,1; 0,1.
58.	Сколько верных знаков надо взять у числа л, чтобы вычислить с точностью
до четырех знаков: а) те2; б) те3; в) —; г)
те г
Докажите, что приведенные ниже функции f непрерывны в указанных точ-
ках:
59.	f (х) — С, С — постоянная для всех х.
60.	f (х) = -у , х < — 1.
62. /(х) = -у, х^ — 0,7.
64. Дх) = х2, х = 47.
66. f (х) = У~х , X > 1.
61. /(х)^—, х-0,3.
X
63. /(х) -=х2,	х=2.
65. /(х) —х2, х^=—15.
67. /(х)-=/х, х=0,02.
6. Формулировка понятия непрерывности функции в точке. Дадим
точную математическую формулировку понятия непрерывности функ-
ции в точке. При этом по традиции пользуются греческими буквами:
« — эпсилон и 6 — дельта.
Определение. Функция f называется непрерывной в точке
х0, если для любого положительного числа г можно подобрать такое
положительное число 6, что
| Д/ | < в для всех приращений &х таких, что | Дх | < 6. (1)
Если приращения функции записать подробнее, то условие (1)
будет выглядеть следующим образом:
I /(*) — /(хо) I < 6 * 8 для любого х такого, что | х — х 0 | < 6. (2)
Например, применительно к приближенным вычислениям число
е можно рассматривать как заданную точность вычислений (если вы-
числения ведутся с точностью до трех знаков после запятой, то « =
= 0,001, до четырех — то с = 0,0001 и т. д.). А число 6 — это та
наибольшая ошибка, которую можно допустить при округлении числа
х0 (взяв вместо него число х), не нарушая заданной точности вычисле-
ний.
Проиллюстрируем данное определение на рис. 49. Возьмем график
непрерывной функции f (т. е. этот график можно нарисовать, не отры-
вая карандаша от бумаги). Отложим на оси ординат точку f (х,) и про-
19
ведем прямые у = f(x0) + е и у = /(х0) — е. Они ограничивают по-
лосу, внутри которой находится точка (х0; /(х0)) графика рассматрива-
емой функции / вместе с частью этого графика. Спроектируем эту часть
графика на ось абсцисс. Проекция содержит интервалов котором ле-
жит точка х0. Наименьшее расстояние от точки х0 до концов этого ин-
тервала обозначим через S — это положительное число. Тогда для
любого числа х, попавшего в интервал ]х0 — 6; х0 + б[, выполняется
неравенство | х —х0 | <6, а точка графика (х; /(х)) попадает внутрь
полосы (рис. 50). Следовательно, ордината этой точки есть число, по-
падающее в интервал ]Дх0) — е; Дх0) 4- оси ординат, и потому вы-
полнено неравенство | Дх) — /(х0) | < е. Геометрически ясно, что
подобное построение можно сделать для сколь угодно узкой полосы,
то есть для любого числа е > 0. Именно в этом и заключается основное
зерно понятия непрерывности функции в точке.
Отметим, что если функция удовлетворяет условию
| \у | < С | Дх |
(см. примеры 1 —4, п. 5), то для любого числа е>0 достаточно
взять 8 = — , и тогда условие (1) будет выполнено: если | Дх|<8 =
С
= —, то | Д г/ | < С | Дх | < С  — = е, т. е. | \у | < е.
С	с
В курсах математического анализа доказываются основные свой-,
ства непрерывных функций.
Теорема. Если функции fug непрерывны в точке х0, то в этой точ-
ке будут непрерывны следующие функции: f + g, f — g, f-g, k-f
(k — постоянная), -£• (если g(x0) Ф 0). Функция f(x) = xa непре-
рывна внутри области определения.
Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего курса. На-
глядно же она ясна. Например, сумма f + g непрерывна потому, что
при малых изменениях слагаемых мало меняется их сумма.
Пример. Докажем, опираясь на теорему, что функция
1 — х»
непрерывна внутри области определения.
20
к Область определения этой функции есть множество чисел х, которые.
удовлетворяют неравенствам х > 0 и х #= 1 (поскольку знаменатель
не должен равняться нулю). Числитель этой функции непрерывен при
х > О, так как это функция вида ха при а (см. основные свой-
ства непрерывных функций). Знаменатель есть тоже непрерывная
функция как разность двух непрерывных функций 1 и х2. Следователь-
но, по основным свойствам непрерывных функций, эта дробь есть функ-
ция непрерывная, поскольку знаменатель не обращается в нуль в
области определения.
Упражнения
68. Укажите для функции из упр. 59—67, как подобрать 6 для заданного е
(в указанных точках).
Докажите непрерывность следующих функций (в их областях определения):
69.	y = (kx + b)2.	70. у =	X3.	71. y = (kx+b)n
72.	у = ах2 + Ьх + с.	73. у =	2x4-3 5 —7х	2 —Зх 74. у = 		 . 5 + х2
75.	X3	76. У =	1 4-х2	77. , х3 — 8
	У ~ 9 - х3 ’		1 — X4 *	
78. у =
7. Предел функции. Тот факт, что функция f непрерывна в точке
х0, коротко принято записывать следующим образом:
lim f (х) = / (х0)..	(1)
X —>х0
Эта запись читается так: «предел функции эф при икс, стремящемся
к икс нулевому, равен эф от икс нулевого».
Например, поскольку функция
непрерывна в точке
* х0 = 2, то
г . ч Зх — 7
f(x ) = ----
5 — х
*-►2 5 — х 5 — 2	3
Упражнения на применение формулы (1) помещены в конце этого
пункта (№ 79—88).
Оказывается, что полезно определить понятие предела функции
при х, стремящемся к х0, не только для функций, непрерывных в точке
хф, но и для других случаев. Предел функции сообщает дополнитель-
ную информацию о самой функции в том случае, если у функции в
данной точке нет непрерывности.
Например, функция /(х) = не является непрерывной в точке
21
2, так как она не определена в этой точке. Однако при всех х 2
общий множитель числителя и знаменателя (х — 2) не равен нулю и
потому возможно сокращение дроби:
f , v х — 2	х— 2	1
f (х) ----- ---------------------.
1	' х2 - 4 (х - 2) (х + 2) X + 2
Полученная после сокращения функция F(x) = непрерывна в
точке 2, и потому
lim F (х) = lim —— = — = F (2).
х->2	х-*2 * + 2	4
Число ~~ и принимается за предел интересующей нас функции f при
х, стремящемся к 2. Коротко приведенные рассуждения принято, за-
писывать следующим образом:
1.x — 2	х — 2	р 1	1
lim-----= lim-------------lim---------= — .
*->2Х2-4	х->2 (х —2)(х4-2)	х->2 х + 2	4
Обратим внимание на то, что для вычисления предела функции
х___2
/(х) = ——- при х, стремящемся к 2, нам пришлось рассмотреть дру-
гую функцию F (х) =------(получившуюся из f после сокращения
х + 2
на х—2). Значения функций f и F равны между собой для всех
значений х, кроме х = 2, а при х = 2 функция F (х) = — непре-
4
рывна. Запишем кратко соотношения между функциями f и F:
F(x) =
/(х)
1
4
при х#=2,
при х = 2.
Таким образом, для вычисления предела функции f при х, стремя-
щемся к 2, важно, что функцию f мы заменили на такую функцию F,
22
которая совпадает с f для всех х #= 2, а в точке х = 2 функция F
непрерывна (в отличие от f) и потому легко вычисляется : lim F (х) =
х->2
= То, что функции f и F совпадают при всех х ф 2, видно на
рис. 51 и 52.
Перейдем к общему определению предела функции.
Определение. Число А .называется пределом функции f при
х, стремящемся к хп>
limf(x) = 4,	(2)
х->х
если функция
ПРИ Х=£ХЬ>
I А при х = xQ
непрерывна в точке х0.
Упражнения на вычисление пределов функций даны в конце пунк-
та (№ 89—98).
Запись lim Дх) = А можно пояснить так: /(х)« А для всех х,
х-+х9
«близких» к х0, т. е. х « х0 и х х0, и точность равенства Дх)ж А
может быть сделана сколь угодно большой за счет повышения точнос-
ти в равенстве х« х0.
В самом деле, по определению, функция F(x) непрерывна в точке
х0. Следовательно, F(x)« F(x0) для всех х, «близких» к х0. Но F(x0) =
= А и Г(х) = Дх) при х #= х9. Значит, приб-
лиженное равенство F(x)« F(x0) можно запи-
сать в виде Дх)« А для всех х « х0 и х х0.
На рис. 53 дан пример графика функции, для
которой выполнено равенство (2).
Теория пределов выходит за рамки данного
курса. Поэтому правила вычисления пределов
приведем без доказательства — если существу,
ют lim f (х) и lim g (х), то:
1.	lim (f (х) ±g (х)) == lim f(x)± lim g (x).
x->xe	x->x0	x-*xe
2.	lim kf(x) — k lim f(x), k — постоянная.
x->xe	x*>xe
3.	lim f(x)g(x) = lim f(x) lim g(x).
x->x#	x-*xe x->x.
4. lim
g(*)
lim f (x)
lim g(x)
x->xe
если limg(x)#=0.
x->xe
Полное доказательство этих правил приводится в курсах матема-
тического анализа, а наглядное объяснение очень просто: если lim/(x)=
х->х.
23
= А и lim g(x) — В, то это значит, что f(x) А и g(x) яг Л,если
х» xQ(x Ф х0). Но тогда Дх) ± g(x}« А ± В, что поясняет пра-
вило 1. Аналогично поясняются правила 2, 3 и 4.
Для приложений еще удобна следующая теорема.
Теорема (о промежуточной функции). Если lim f (х) = А,
х->х0
lim g(x) = А и f(x) < р(х) < g(x) для всех х =£ х0, то и lim р(х) — А .
х-*х0	х->хф
Упражнения
Сформулируем эту теорему словами.
Если значения функции р для всех х9
кроме' х0, заключены между соответству-
ющими значениями функций fug, пре-
делы которых при х9 стремящемся к х0,
совпадают и равны А, то и предел функ-
ции р при х9 стремящемся к х0, равен А.
Рис. 54 дает наглядное представле-
ние о содержании теоремы.
Вычислите следующие пределы:
79. lim (х2 — 2*4-5).
х->3
lim
,	2*4-5
81. lim ------
х->з 2 4-*2
82. lim -
х->4*
з _ 5*2 + 6
83. lim
х->8
85. lim (7 — 2*).
х-> 5
87. lim	.
х-*2 хг — х
89. lim
х->2
91. lim
х-> 5
93. lim —!—
х->-2Х2- 4
84. lim ..
х->27 Зг-
2 — у *
86. lim (*24-2*-|-5).
х->—з
88.	lim - х->2	2*-3 _	3/— К*— V X	
90.	lim	X3 — Хр	
	х->х0	* — *0	
		33 /	
92.	lim .	г *— У	
	X —>Xq	* — *0	
94.	lim х-> 3	* —3	
		*2 — 2* —	3
24
х* + х — 2
95. lim ——•з—~ •
х->1 2x* —5x4-3
x* — 2х»
li m —------
x->o 3x*4-2x
ло v X* 4-3x4-2
98.	lim ----------
99.	На рис. 55 приведен график функций f. Определите по рисунку lim /(х).
100.	Найдите lim Дх) для функции f, графики которых изображены на рис. 56 и 57.
101.	Сделайте рисунок, иллюстрирующий теорему о промежуточной функ-
ции, но не повторяющий рис. 54.
102.	Дайте наглядное объяснение (как это сделано для правила 1) для пра-
вил 2, 3 и 4 и для теоремы о промежуточной функции.
$ 3. ПРОИЗВОДНАЯ
Решение многих задач значительно упрощается, если пользоваться
характеристикой скорости изменения функции — производной.
в. Определение производной. Наглядное представление о непрерыв-
ности функции состоит в том, что малому приращению аргумента соот-
ветствует малое приращение функции. Теперь нас будет интересовать
уточнение: во сколько раз приращение функции больше (или меньше)
приращения аргумента; коротко* говорят: какова скорость изменения
функции.
Производной функции f в точке х называется предел
lim Н* 4-Дх)-/(*)»
Дж->0	Дх
Это число обозначается f'(x) (читается: «эф штрих от ико), так что,
по определению,
f (х) = lim /^ + А*)-/(х)	(1)
Дх->о Дх
Для обозначения производной приняты и более простые записи:
Г» У » Ух и т- п- (читается: «эф штрих», «игрек штрих», «игрек штрих
по икс»). Пользуясь обозначениями из п. 4 (с. 13), формулу (1) часто
записывают в виде
25
/ = lim .	(2)
дж-н) Ax	'
Поскольку равенство (2) означает, что у'« для всех доста-
Дх
точно малых | Дж |, то
Д// ~ у' • Дх,	(3)
т. е. производная как раз и показывает, во сколько раз А г/ больше
(или меньше) Дх, иначе — какова скорость изменения функции.
Пример 1. Найти производную функции /(ж) = ж2.
Р е ш е н и е. По определению производной (см. формулу (1)) имеем
f w _ lin,	_ lim	+	_
Дх->0 Ax	Ax->0 Ax
= lim (2x 4- Ax) = 2x.
Дх-М)
Таким образом,
(x2)' = 2x.	(4)
Пример 2. Доказать, что
Решение. По определению производной,
1 1
/±У e lim х+*х ~ х = lim + M = lim -Ах =
\х/ дх->о Ах*	Дх—>о Ах (х + Ах) х	дх->о Ах (х + Ах) х
г-1	-1
= 11ГП ---------- =--.
Дх->0 X (X + Ах)	X2
Пример 3. Найти f (2), если f (х) — — .
X
Решение. Так как по формуле (5) f' (х) = —» то f' (2) =
— 1	— 1
2а 4
Пример 4. Для функции /(х) = х2 в точке х = 3 найти прибли-
женно А/ для малых | Дх |.
Решение. По формуле (3), Д/« /' (3) Дх. Поскольку f (х) =
= 2х (см. формулу (4)), то /'(3) = 6. Следовательно, Д/« 6 Дх.
Заметим, что для приближенных вычислений подсчет примера (4)
означает следующее: ошибка в аргументе функции Дх) = х2 около
точки х = 3 вызывает ошибку в значении функции, в шесть раз боль-
шую. Это значит, например, что для вычисления л2 надо брать один
запасной знак для значения числа л.
26
Упражнения
Найдите производные следующих функций:
-
103. х8.	104.x4.	105./х.	106. Ух. 107. 3—2х.
3/—
108. г х2(х>0).	109. х. ПО. С — постоянная.
111.-4-	U2. kx + b. 113. ax*+bx + c.
х2
Для функции f (х) = Ух и g (х) = х2 найдите:
114. /' (1).	115. /' (4).	116. Г (25).
117. g'(l).	118. g'(S).	119. g' (125).
120. Для функции f(x) — Ух вычислите приближенно А/ (пользуясь фор-
мулой (3)) в точках:
а) х = 1; б) х = 4; в) х = 25.
121. Для функции /(х) — — найдите приближенно А/ (пользуясь формулой
х
(3)) в точках:
а) х = 0,1; б) х = 1; в) х = 3; г) х = 10.
122.* Докажите, что если функция имеет производную в точке, то эта функ-
ция непрерывна в этой точке.
Указание. Использовать определение производной и предела.
9. Геометрический смысл производной. Решение многих задач при-
водит к понятию производной: это и определение скорости точки и ее
ускорения, и определение плотности вещест-
ва, и определение силы тока, и многое другое.
Сейчас мы подробнее остановимся на геомет-
рической задаче — построение касательной к
кривой. Начнем с определения.
Пусть задана^ линия L и точка А40 на ней.
Прямая А40Т называется касательной к линии
L в точке М0, если М0Т есть предельное поло-
жение секущей Л4ОЛ4, когда точка М стремит-
ся по кривой L к точке Л40. Точка Л40 называ-
ется точкой касания (рис. 58).
При построении касательной к графику функции основной является
следующая теорема, которую называют «геометрическим смыслом про-
изводной».
Теорема. Существование невертикальной касательной к графику
функции f в точке Л40(х0; /(*о)) равносильно существованию производной
f'(xQ). При этом угловой коэффициент касательной равен f'(xQ), а урав-
нение касательной имеет вид
У =	+ /'(*о) (* —*0).
(D
27
Сначала докажем, что угловой коэффициент секущей (рис. 59)
Действительно, запишем уравнение секущей МйМ'.
у = fex + b.	(3)
Точки Л4д(х0; /(х0)) и М(х; Дх)) лежат на этой секущей. Следовательно,
их координаты удовлетворяют уравнению (3):
f (х0) = kx0 + b и f(x) = kx -I- b.
Вычитая эти равенства почленно, получаем
/(х)— f (х0) = k (х — х0) или Д/ = k • Дх.
Из последнего равенства находим, что k = -У-. Формула (2) дока-
Дх
зана.
При Дх, стремящемся к нулю, точка М по графику функции стре-
мится к точке Мо, а секущая МЛ10 поворачивается вокруг точки Мо.
Ясно, что секущая имеет предельное невертикальное положение при
Дх -> 0 тогда и только тогда, когда ее угловой коэффициент имеет
предел при Дх -> 0. Но
(2)
lim -У- --= f (х0).
Дх->о Дх
Следовательно, предельное положение секущей М0М есть прямая с
угловым коэффициентом т. е. угловой коэффициент касательной
MqT равен f'(xQ) (рис. 59).
Покажем, что (1) есть уравнение касательной MQT. Координаты
точки Л10(х0; /(х0)) удовлетворяют этому уравнению. Раскроем скобки
в уравнении (1) и перепишем его в виде
У = f' (*о)х + f <хо) — Г	хо-
28
Мы видим, что угловой коэффициент этой прямой равен f (х0). Следова-
тельно, это касательная Л10Т.
Пример. Построить касательную к параболе у = х2 в точке х0 =
= —1.
Решение. Поскольку у' = 2х (формула (4), п. 8) то у'(*о)=
= 2(—1) = -2.
Кроме того, #(х0) = (— I)2 = 1. Подставляя найденные значения
в формулу (1), получаем уравнение искомой касательной
у = 1—2(х + 1) или у = —2х — 1.
После этого касательная строится по ее уравнению (рис. 60).
Упражнения
Составьте уравнения касательных к параболе в точках ее пересечения с ося-
ми координат, если парабола задана уравнением:
123.	у = х2— 2х.	124. у = х— х2.
125.	у = х2 — х — 2.	126. у = 2 — х — х2.
127.	По рис. 61 (а.б) скажите, какая производная больше: f'(x0) или g'fa).
128.	Найдите площадь треугольника, образованного хордой и касательны-
ми к параболе, проведенными в концах хорды, если парабола и хорда заданы
уравнениями: а) парабола у = х2 и хорда у — 1; б) парабола у = х2 — 2х и
хорда у = 0.
10. Правила вычисления производной. Для облегчения вычисления
производных существует несколько правил. Коротко эти правила обыч-
но формулируют следующим образом: если функции fug имеют произ-
водные, то их сумма, разность, произведение и частное (если g 0 в
рассматриваемой точке) тоже имеют производные и эти производ-
ные вычисляются по следующим формулам:
(f±gY=f'±g'>	(!)
коротко говорят: производная суммы равна сумме производных, а
производная разности равна разности производных:
w = k — постоянная.	(2)
29
коротко говорят: постоянный множитель выносится за знак производ-
ной;
(fgY -fg+fg',	(3)
/XV -f'g-fg'	(4)
\ 8 /	8*
Пример 1. Найти производную функции f(x) — 5х3— 2|/х" ’+
+ 7.
Решение. Так кай в упражнениях 103, 106 и 110 уже были вы-
числены
(**)' = 3ха, (7)' = 0 и (yG)'= —‘	,
3 V х2
ТО
/'(*) = 5(xV -2(р/х)' + (7)' = 5 • Зха- 2 • .... ‘	=
3 У х2
= 15х2---------.
3/—
3 У х2
Пример 2. Доказать, что при любом целом п(х 0 при п < 1)
(хя)' = их'1"1.	(5)
Решение. Доказательство для п > 2 проведем методом мате-
матической индукции. При п — 2 формула (5) верна. Это было дока-
зано в примере 1, п. 8. Предположим, что формула верна при n=k,
докажем, что тогда она верна и при п = k 4 1. В самом деле,
(х*+1)' = (х*-х)' = (х*)'-х + х*-(х)' = kx^-x +хл-1 =
— kxk 4- х* = (k + 1) х*.
Отсюда в силу принципа математической индукции следует, что форму-
ла (5) верна для всех целых показателей п > 2. При п = 1 эта фор-
мула тоже верна (при х =#= 0), так как (х)' = 1 - l x1"’. При п = 0
их #= 0 имеем: х* = х° = 1 и (1)' = 0 = nx"*1. Если п < 0, то
число т = —п > 0, и по доказанному выше
(Хпу = /_1_У =	1 •	= О х'” - тх"1'1 = ~т пхп-1
' '	( I	(Xя*)2	х2"*	хя,+*
в силу правила вычисления производной дроби. Формула (5) полностью
доказана.
Замечание. Формула (5) верна для любого показателя п.
]	12
Так, для п =-у, п = j, п = это уже было проверено в упраж-
нениях. Общий случай будет разобран позднее.
Пример 3. Вычислить производные функций
30
Ъ/	Ч	г х*
f(x)=Vx4------— и g(x)= —
X f х	х + л
Решение. Пользуясь правилами вычисления производной, фор-
мулой (5) и замечанием к ней, имеем:
/ М' / _ з_у _ ।	_ s
г(х)=и5}-з(х 2)-4х 5-3(-4)х 2 -
— \	7 г—	О 7	7/—
X7 / (х* + 3) - У х* (х* + 3)' ~х (Xs + 3) — х« • 5х«
(х‘ + 3)’	(х* + 3)»
 6 (х* 4~ 3) — 35х* _	18 — 29х*
7/~ 7/~
7 У х(х»4-3)»	7 У х (х* + 3)2
Докажем теперь равенство (1) для суммы. По определению произ-
водной и правилу вычисления предела суммы,
(/ (*) + g (*))' = Пт (/ (x-t-^) + g <5.± М) ~ </ & + ? W =
Дл->0	Дх
= lim ( f(x+^x) — f<x) | g (х + Ах) — g (x) \ _
Дх->0 \	Дх	Дх	/
= lim	+ |im g (x + Ax) — g (x) =r(x)+g>(x).
Дх->0	Дх	Дл->0	Дх
Остальные правила доказываются аналогично. В п. 12 будут даны
более простые выводы равенств (3) и (4).
У пражнения
Вычислите производные следующих функций:
129.	у = X* — X».	130. у = л4 + 2х2.
131.	У = х»+ 4 •	3 132. у = 5х6 —— + 10x4-9.
138.	X»	
	*	5 -1- X» 	
135.	4-х*	у+2.
	7 + Ьх* ’	,8в- У~ 3-5х* ‘
31
У" 5
137. у = V х* — Зх. 138. у = х*У х —- ..а	.
Для следующих функций в точках с указанными абсциссами напишите урав-
нение касательной:
13». у = 13х—х8 — 20, х=2.
1
140. у = х8 ——, х=—1.
х
±г
'«•’-тйг- ’-0;	~3'
143.* Докажите правила (2) и (1) для разности.
11. Применение производной. Рассмотрим применение производной
к построению графиков функций, решению задач на нахождение наи-
больших и наименьших значений и использование производной в прос-
тейших приближенных вычислениях.
Для построения графиков функций основную роль играет признак
возрастания и убывания функции.
Теорема. Если f'(x) > 0 на интервале ]а; 61, то функция f(x)
возрастает на интервале 1а; 61. Если f'(x) < 0 на интервале ]а; 61, то
функция f(x) убывает на интервале 1а; 6[.
Доказательство этой теоремы выходит за рамки данного курса.
Пример 1. Построить график функции у = Зх — х3.
Решение. Эта функция определена и непрерывна для всех х.
Найдем ее промежутки возрастания и убывания, пользуясь признаком.
Производная этой .функции
/ = 3 —Зх2 = 3(1 —ха).
Ясно, что у' > 0 на интервале 1—1; 11. Следовательно, на интервале
1—1; Ц заданная функция возрастает, а на промежутках]—оо; —1[ и
11; оо[ производная у' <Z 0. Из этого следует, что на этих промежутках
заданная функция убывает. Остается вычислить значения функции в
концах найденных промежутков
у(— 1) = 3 - (— 1) —(— 1)* = — 2, i/(1) = 3 • 1 — I3 = 2
и учесть при построении графика,, что
у = 0 при х = 0их = ±КЗ.
После этого все отмеченные точки наносятся на рисунок и соединяются
плавной линией с учетом промежутков возрастания и убывания
(рис. 62).
Заметим, что в точках х = 1 и х = —1 при построении автомати-
чески получились точки экстремума: максимум в точке х = 1 и мини-
32
мум в точке х = — 1. Это те точки, в которых у' = 0. Оказывается,
что это неслучайно: условие у' — 0 есть необходимое условие экстре*
мума для функций, имеющих производную. Функция возрастает на
Рис. 63, б
отрезке I—1; II (как это видно на рис. 62), а не на интервале. Это сле-
дует из ее непрерывности. Аналогично убывает функция на замкнутых
промежутках 1—оо; —1) и 11; оо(.
Пример 2. Из квадратного листа бумаги выкроить коробку (без
крышки), имеющую наибольшую вместимость.
Решение этой задачи тоже связано с применением производной и
признака возрастания и убывания. Выкройка коробки показана на
рис 63,а. Объем получающейся при этом коробки (рис. 63,6) равен
V = х (а — 2х)2 = 4х® — 4ах2 + а2х.
Нам надо подобрать х так, чтобы этот объем был наибольшим. Постро-
им график функции V. При этом ясно, что по смыслу задачи х должен
удовлетворять неравенствам0<	-у, т.е. находиться в интервале
10; -|4. Определим интервалы возрастания и убывания функции V.
Ее производная
Г = 12г2 — 8ах + аг= 12/х — — Wx — — V
\	6 Д 2 /
Ясно, что V >0 на интервале j(); Следовательно, на этом
интервале функция V возрастает. А на интервале ] -2-;	[ произ-
водная V' < 0. Следовательно, на этом интер-
вале функция V убывает. График функции V
приведен на рис. 64. Из него видно, что на-
ибольший объем Vmax у коробки получается при
Основой для приближенных вычислений слу-
жит формула (3), п. 8. Если воспользоваться тем,
2—«08
33
что Ду = /(х) — f(x0), а Дх = х — х0, то эту формулу можно за-
писать в виде
f(x) — f (х0)«(х — х0) f' (х0),
откуда получаем приближенную формулу
f (х)« f (х0) + (х — х0) f • (х0).	(1)
Смысл этой простейшей из формул приближенных вычислений состоит
в том, что, зная /(х0) и f'(x0), можно просто подсчитывать приближен-
ные значения /(х) при х « х0. В курсах математического анализа дока-
зывается, что точность этого равенства пропорциональна (х — х0)°;
говорят: «имеет порядок (х — х0)2». Поэтому формула (1) дает доста-
точную точность, если | х — х0 | достаточно мало.
Пример 3. Вычислить приближенно ^32,1.
Решение. Возьмем функцию /(х) = Число, кото-
рое нам надо приближенно вычислить, есть значение этой функции
при х = 32,1. Положим х0= 32 и подсчитаем
7(х0)=/з2 = 2, f(x) = —' и /'(х0) = —^=^ = -1-.
5 У х*	5 V 32*
Подставляя эти числа в формулу (1) при х = 32,1, получаем
5/-------------	1	1
у 32,1 « 2 + — (32,1 - 32) = 2 + — = 2,00125.
OU	OUU
Сравнивая полученный результат с таблицей, видим, что ответ верен
с точностью до пяти знаков после запятой.
Пример 4. Вычислить приближенно (0,999)®°.
Решение. При использовании формулы (1) берем
/(х) = х50, х0 = 1 и х = 0,999.
Вычислим сначала
f (х0) = 1«® = 1, /' (х) = 50х*° и /' (х0) = 50 • 1« = 50.
Подставив эти числа в формулу (1), получаем
(0,999)®° « 1 + 50(0,999 — 1) = 1 —0,05 = 0,95.
тг—
Пример 5. Найти ошибку приближенного равенства у 130 « 2.
Решение. Найти ошибку приближенного- равенства
у/ 130 « 2 — значит определить значение разности
j/130 — 2. Для этого рассмотрим функцию f (х) — у/~х. Нас ин-
тересует значение этой функции при х=130. Заметим, что)/ 128 =
= 2, т. е. это значение функции / (х) = V~x в точке х0 = 128. Вы-
числив
34
f (x0) = /128 = 2.
1
7/—
7 V Xе
И f (х0) =
7/-----
7 У 128е
1
7 • 2е

1
и подставив полученные числа в формулу (1), получаем
7/---- ,	130—128	1
г 130	2 = f (х) /(х0) f С*о) (х *о)	7 . 2« = 224	0,005,
т. е. ответ верен с точностью до двух знаков после запятой.
В ряде упражнений придется искать наибольшее и наименьшее зна-
чения для корня квадратного из некоторого выражения. При их ре-
шении следует иметь в виду, что наибольшее значение корня квадратно-
го получается при наибольшем значении для подкоренного выражения.
Упражнения
Постройте графики	функций:
144. у = х3 4-3x2. 1	145. у = х4 — 4х® 4- 4х2. 4
146. у = х 4- — • X 148. у = х2 4- — • *	X2 6(х—1)	147. у = х + — . 2х
	1ЧУ. и —	. *	14-х2 X8
150. у = —	L . *	х24-3 10 (х —2)	>51 у = — (х-5)«. 1 о
152. у = —		 . *	х24-5	153. у = х» 4- Зх2 — 9х.
154.	Из всех цилиндров объема V найдите цилиндр с наименьшей полной по-
верхностью.
155.	Из конусов с образующей / найдите конус наибольшего объема.
156.	Из круглого бревна диаметром d вытесывается балка прямоугольного
сечения с основанием b и высотой h. При каких b и h прочность балки будет наи-
большей, если эта прочность пропорциональна М2?
157.	Впишите в полушар радиуса г прямоугольный параллелепипед наи-
большего объема с квадратным основанием.
158.	Впишите в шар радиуса г цилиндр наибольшего объема.
159.	Опишите около шара радиуса г конус наименьшего объема.
160.	Суточные расходы при плавании судна состоят из двух частей: постоян-
ной, равной а рублей, и переменной, возрастающей пропорционально кубу ско-
рости. При какой скорости плавание судна между двумя портами будет наиболее
выгодным?
161.	Какими должны быть размеры открытого бассейна с квадратным дном и
объемом V, чтобы на его облицовку (стенок и дна) ушло наименьшее количество
материала?
162.	Через точку Л4, лежащую внутри прямого угла, проведите прямую
так, чтобы отрезок этой прямой, попавший внутрь этого прямого угла, имел
наименьшую длину.
163.	Через точку К, лежащую внутри прямого угла, проведите прямую так,
чтобы отсекаемый от прямого угла треугольник имел наименьшую площадь.
164.	Вырежьте из круга радиуса R сектор так, чтобы свернутая из него во-
ронка имела наибольший объем.
165.	В точке А расположен репродуктор. В точке В расположено 8 таких же
2*	35
репродукторов. Найдите на отрезке АВ точку, в которой сила звука этих девяти
репродукторов будет наименьшей.
166.	Число 8 разбейте на два положительных слагаемых так, чтобы сумма их
кубов была наименьшей.
Вычислите приближенно:
3/----- 3/--------------- 10/---------------- 4/---------------
167.	У 8,1.	168. У 26,7 .	169. V 1000 .	170. У 80 .
171. (1,001)70.	* 172. (0,998)80.	173. -----^-= .
3+ У 1000
Найдите ошибку приближенного равенства:
3/--
174. У 350^7.
____________1__________
,7в‘ 3 —(0,996)100 % 2
5/----
175. У 240 «3.
,77’ 9 + (1,ООЗ)100
0,1
12. Сложная функция и ее производная. Пусть задана пара функций
у — f(z) и г = g(x). Она задает у как функцию от х, т. е. у = F(x).
Действительно, возьмем х и вычислим соответствующее ему число
2 = g(x)- По этому числу z вычислим соответствующее ему число
у = f(z). Таким образом, по взятому числу х получено единственное
число у, т. е. у есть функция от х. Функция F(x) называется сложной
функцией, составленной из функций f и g при промежуточной перемен-
ной г, и обозначается	______
Например, функцию у = |/ 5—х2 можно рассматривать как слож-
ную функцию, составленную из функций у = yfг и z = 5 — х2.
В курсах математического анализа доказывается, что сложная
функция, составленная из непрерывных функций, непрерывна. На-
глядно это ясно: если мало меняется х, то мало меняется г = g(x) в
силу непрерывности функции g, а тогда мало меняется у = /(г) в силу
непрерывности функции f.
Перейдем к вычислению производных сложной функции. Правило
вычисления производной сложной функции (мы его приводим без до-
казательства) коротко формулируется так: если составляющие функ-
ции имеют производные, то и сложная функция имеет производную
У'Х = У'г'г'Х-	0)
3/-----
Пример I. Вычислить производную функции у — У 5 — х2.
Решение. Рассмотрим заданную функцию как сложную функ-
зг—
цию, составленную из функций у — у г и z = 5 — х2. Составляю-
щие функции имеют производные
уг = —r?s=- и zx = (5 — х2)' = (5)' — (х2)' = 0 — 2х = —2х.
3 У 3»	''
Тогда, по формуле (1), заданная функция тоже имеет производную
36
( Vх 5 —х2) = ух = уг 2Х -------(— 2х) = —.
3 V 2*	з у (5 — *2)2
Пример 2. Пусть р есть функция от х, имеющая производную.
Доказать, что
(Р2)' = 2р • р'.	(2)
Решение. Действительно, функцию у = р2 (х) можно рассмат-
ривать как сложную: у = г2 и z = р (х). Так как y'z = 2z и гх — р',
то по правилу вычисления производной сложной функции (равен-
ство (1)) имеем
(р2)' = у'х = Уг • 2х = 2г • р' = 2р • р'.
Пользуясь равенством (2) и тем-, что fg =	((/ + g)2— f2 — g2),
можно вывести правило (3), п. 10:
(fg)' = у W + ё)2У - ^У - te2)') = у(2 (/ + ё) (Г + - 2ft' -
—Zgg') = ff + fg' + gf + gg' — ff — gg' = fg' + gf-
Пример 3. Доказать, что если функция g имеет производную и не
обращается в нуль, то
— ё'
ё2
(3)
Решение. Функцию у = —
ё
1
рассмотрим как сложную: у = —
г
и г = g(x). Так как у' = и z'x
производной сложной функции (равенство (1)) имеем
/IV	'	'	'	— 1	,	—ё'
-- = Ух = Ух • Zx = - • S = -— •
\ ё)	х	х	х	г2	ё2
Пользуясь равенством (3), легко вывести правило (4), п. 10:
(“V=(/•—)=/'• — + /• (—У=/'•- + /•
\ g /	\	8}	8	\ 8 /	8	8г
= g', то по правилу вычисления
= f'g — fg'
g2
Поясним правило вычисления производной сложной функции сле-
дующим образом.
Пусть аргумент х функции'получил приращение Дх. Тогда функ-
ция z = g(x) получила приращение Az = g(x + Дх) — g(x), а
функция у = f(z) получила приращение Ду = /(z + Дх) — /(z).
Поскольку
37
' ~ АУ __ by
x ~ Ax Az Ax
z
Упражнения
Вычислите производные следующих функций:
178. у = (2х — З)80.
180. у = (х* + 4)».
182. у = (7 — бх — Зх*)1*.
,84’ У~ (х4 + Зх* + б)8
179. </ = (7 —бх)40.
181. у = (9 — х*)*8.
183. у = (х* + бх* + 8)»°.
5 /-------
185. у = У х»4-7х.
188. у = V (7— 2х)8.
3
188. у = (5 — 2х)’(3х+ I)4 .
187. у = (2х + 3)* (7 — х)3
189.y=iZ±l.
х + 3
190.	» = 	* -
’	3 /-----
V 1 —х*
191.	Напишите уравнение касательной к графику функции у = У 25 — х*
в точке с абсциссой х = 3.
192.	Напишите уравнение касательной к графику функции у = (х* 4- х + I)8
в точке с абсциссой х = 0.
Постройте графики функций:
193.	у = Ух+ 1 +УТ^х. 194. у = хУЗ^х. 195. у = хУ2 —х*.
Г лава II
ИНТЕГРАЛ
$ 4. ПЕРВООБРАЗНАЯ
13. Основные свойства первообразной. В § 3 вы познакомились
еще с одним математическим действием — вычислением производной
или дифференцированием. Теперь вы познакомитесь с обратным для
дифференцирования действием — оно называется интегрированием.
При дифференцировании по функции отыскивается производная. Сле-
довательно, обратное действие состоит в том, что по заданной произв од-
ной надо отыскать функцию. Перейдем к определению.
Функция F называется первообразной для функции f на заданном
промежутке, если для всех х из этого промежутка
F'(x) = f(x).
(1)
38
Например, для функции f (х) = х* первообразной будет функция
F (х) =	, так как F (х) = 1 — 1 = — • Зх2 = х2 для всех х; про-
межуток представляет собой всю прямую.
Для функции f (х) = —^=- первообразной будет функция F (х) =
1
4=- для всех х>0;
в этом случае промежутком является ] 0; оо [.
Упражнения на нахождение первообразных даны в конце пункта
(№ 196—206).
Одна из задач интегрирования состоит в том, чтобы для заданной
функции найти все ее первообразные. Для доказательства соответству-
ющих теорем нам потребуется признак постоянства функции.
Теорема 1 (признак постоянства функции). Для того чтобы функция
была постоянной на интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее
производная равнялась нулю на этом интервале.
Пусть функция g(x) ~ С — постоянная на некотором интервале.
Тогда, как это было доказано в § 3, g'(x) =- (С)' - 0. Обратное ут-
верждение почти очевидно, но доказывается сложно, его доказательст-
во не входит в программу курса.
Теперь мы можем сформулировать и доказать теорему, играющую
основную роль в интегрировании.
Теорема 2 (основное свойство первообразных). Если функция F
есть первообразная для функции f на промежутке I, то при любой
постоянной С функция
F(x)-\-C	(2)
также является первообразной для функции f на промежутке I. Любая
первообразная функция f на промежутке / может быть записана в ви-
де F(x) + С.
Первое утверждение теоремы проверяется простым подсчетом.
ТаккакГ'(х) — Дх) для всех хиз/, то(Г(х) + С)’ = F’(x) + (С)'—
~ Кх) + 0 = Дх) для всех х из I, т. е. F(x) + С есть первообраз-
ная для Дх) на промежутке /.
Для доказательства обратного утверждения воспользуемся приз-
наком постоянства функции. Пусть функция Ф =- еще одна первооб-
разная для функции f на промежутке /, т. е. Ф'(х) = /(*) Для всех х
из этого промежутка. Тогда для всех х из промежутка / имеем
(Ф (х) - F (х))' = Ф' (х) - F' (х) = f (х) - f (х) = 0,
откуда следует в силу признака постоянства функции, что разность
Ф(х) — F(x) есть постоянная функция на промежутке /, т. е.
Ф(х)—F(x)=C или Ф (х) = F (х)С,
что и требовалось доказать.
39
Например, любую первообразную для функции х’ можно записать
в виде
—+ С,
3
где С — произвольная постоянная.
Пример. Найти для функции х* первообразную, график которой
проходит через точку (0; 1), и первообразную, график которой прохо-
дит через точку (3; 5).
Решение. Так как любую первообразную функции Xs можно за-
писать в виде у 4- С, то поставленная задача сводится к нахожде-
нию постоянной С по указанным условиям. Для первой первообразной
искомую постоянную С можно найти из уравнения
— + С = 1, откуда С = 1.
3
Следовательно, первая первообразная
Fi(x) = -^- + l.
□
Чтобы найти вторую первообразную, необходимо использовать ус-
ловие
+ С = 5, откуда С = — 4.
Следовательно, вторая первообразная
---4.
Из полученных формул видно, что Ft(x) — F2(x) = 5 и что график
Г2(х) расположен ниже, чем график FJx).
Упражнения
Найдите одну из первообразных для функции:
196. х®.	197. х*.	198. х.	199. -Д= . V х® 3/	
200. Ух.	201. —!— •	202. V х. 208. -L.. 3/—	х« V х
зу— 204. V х*.	295. V"?.	209. 2 — . 2
Указание. Использовать упражнения § 3.
207. Найдите все первообразные для функции, заданной в упр. 196—206.
40
Для указанной функции найдите первообразную, график которой проходит
через указанную точку:
208.	х2 и (0; 3).	200. /х* и (1; 3).
210.	и (—2; 1).	211. —U- и (4; —3).
212.	Для функции найдите: а) первообразную, график которой прохо-
дит через точку (1; 3); б) первообразную, график которой проходит через точку
(9; 5). Чему равна разность этих первообразных? График какой из них располо-
жен выше?
213.	Для функции найдите первообразную, график которой прохо-
дит через точку (1; 5), и первообразную, график которой проходит через точку
(8; 8). Чему равна разность этих первообразных? График какой из них располо-
жен выше?
214. Для функции —L найдите; а) первообразную, график которой прохо-
дит через точку (Г, —5); б) первообразную, график которой проходит через точ-
ку (0,02; —30). Чему равна разность этих первообразных? График какой из них
расположен выше?
14.	Правила^нахождения первообразных. Как и при вычислении
производных, нахождение первообразных упрощается,.если* пользо-
ваться некоторыми правилами. Они сформулированы ниже в виде
теорем. .
Теорема 1 (первообразная степени). Для степенной функции хр,
где р =/= —1 — действительное число, любую первообразную можно
записать в виде
—------1-С.
р+1
Действительно, при любой постоянной С
(	_j_ cY = —— (хр+1)’ = —Ц- (р + 1)хр = хр.
\р+1	/	р+1	7 - р+1
То, что так можно записать любую первообразную степенной функции,
следует из основного свойства первообразных (теорема 2, п. 13).
Теорема 2 (первообразная суммы). Если F есть первообразная
для функции f, a G — для функции g (на одном и том же промежутке),
то F + G есть первообразная для функции f + g (на этом же проме-
жутке).
По условию, F'(x) = f(x) и G'(x) = g(x) для всех х из рассматри-
ваемого промежутка. Поэтому (для указанных х)
(F (х) + G (х)У = F’ (х) + G' (х) = f (х) + g (х),
что и требовалось доказать.
Теорема 3 (вынесение постоянного множителя). Если F есть перво-
образная для f и к — постоянная, то kF есть первообразная для kf.
По условию теоремы, F'(x) — f(x) для всех х из некоторого проме-
жутка. Поэтому (для указанных х)
41
(kF (х))' — kF'(х) = kf (х),
что и требовалось доказать.
Пример 1. Найдите первообразную для функции
Дх)=х24--^=.
Ух
Решение. Для функции х2 первообразной является функция
на промежутке ]— °° ; <»[, а для функции —-= первообразной
3	F
является функция 2р/Гх на J 0; <ю [. Следовательно, в силу теорем 2
и 3 на промежутке ]0; <»[ для функции / первообразной является
функция
— + lOj/x.
з г
Теорема 4 (линейная замена). Если функция F(x) есть первообраз-
ная для f(x), то функция -- F(kx 4- Ь), где k ф 0 и Ь — числа, есть
первообразная для функции
f (kx + b).
Действительно, так как F' = [, то по правилу дифференцирования
сложной функции (п. 12) имеем
LL. F(kx + b)\' =-j-(F (kx + b))' = 4 F'(kx + b) (kx + ЬУ =
\ R	J R	R
= -Lf(kx + b)k = f(kx + b),
R
что и требовалось доказать.
3 /-----------------------------------------------------
Пример 2. Найти первообразную для функции у 5х 4- 7.
Решение. Так как для функции /(х)=Ух первообразной
3 V
является F(x) =у х3 4 (теорема 1), то для функции /(5x-f-7) =
3/------
= у 5х 4- 7 первообразной будет функция
4- F(5x-b 7) = -!-• 4 Г(5х4-7)4 = -А. (5x4*7)* .
Пример 3. Найти первообразную для функции ———1	. .
Решение. Так как для функции f (х) = -i- первообразной
является функция F (х) = — (теорема 1), то для функции /(4—Зх)=
42
——первообразной будет функция
—— F (4 — Зх) = —.	----!--.
— 3	-3 4-Зх 3(4 —Зх)
Пример 4. Найти первообразную для функции g (х) = —~4.
х •(- 2
Решение. Так как в промежутке ] — 2; а> [
tW =
X + 2
то первообразной функции g на промежутке ] — 2; »[ будет функ-
ция —-----2х (теоремы 2 и 3). Эта же функция есть первообразная
для функции g и на промежутке ] — » ; — 2 [.
Упражнения
Найдите первообразные для указанных функций:
.	5
215. х8 —	.
5/—
Ф 216. у х4-4хУТ.
218.
221.
224.
х* —3
X2 — 16
х + 4
х3 — 8
х—2
222.
227. (3 —5х)<».
230. /7+ Их .
233. ------—г •
(4 + 9х)3
225.
228.
231.
234.
219.
х2 —9
х —3 ‘
х* + 27
х*-3x4-9
1
(4х 4- 3)«® ‘
1
3 /-------
У (5 —2х)2
226. (2х4-5)7*.
232‘ '
| 5. ИНТЕГРАЛ
15. Формула Ньютона—Лейбница. Решение многих задач сводится
к вычислению приращения первообразной для заданной функции.
Оказывается, что это приращение не зависит от того, какую первооб-
разную мы при этом возьмем. Действительно, пусть F и Фесть перво-
образные для функции f на промежутке I. Тогда в силу основного свой-
ства первообразных существует такая постоянная С, что Ф(х) = F(x)+
43
+ С для всех х € /. Пусть числа а и Ь принадлежат /. Тогда
ф (ft) _ ф (а) = (F (Ь) + С) - (Г(а) + С) = F (&) - F (а),
что и требовалось доказать.
Таким образом, приращение первообразной зависит только от за-
данной функции f и чисел а и Ь.
Определение. Интегралом от а до b функции f называется
приращение первообразной F этой функции: F(b) — F(a).
Определенный интеграл от а до b обозначается
ь
\f(x)dx
а
и читается: «интеграл от а до b эф от икс дэ икс». Знак J называется
знаком интеграла. Числа а и b называются пределами интегрирования:
а — нижним, b — верхним. Функция f — подынтегральной функ-
цией, а переменная х — переменной интегрирования.
Таким образом, если F есть первообразная для функции /, то, по
определению,
ъ
f (х) dx = F (b)—F (a).	(1)
а
Эта формула называется формулой Ньютона — Лейб-
ница.
' Например, используя первообразные, найденные в п. 13, имеем:
2	4
f x*dx = — — till! = з, f — = 2 J/T— 2 VT= 2.
J 3	3 J /7
—1 1 v
Для удобства вычислений по формуле Ньютона — Лейбница для
разности F(b) — F(a) принята сокращенная запись F(x) \bai т. е.
ЛЬ)-Ла)=Л*)1а.	(2)
Пользуясь этим обозначением, формулу Ньютона—Лейбница можно
записать в виде
ь
р (x)dx = F (х)|‘,	(3)
а
а вычисления при этом ведутся, например, таким образом:
p*s+i)dx=('4 + *)Г=v+3-°=12-
J	\ з / 1о 3
44
Упражнения
Вычислите следующие интегралы:
235.
238.
241.
244.
247.
	1		4
236.	x*dx.	237.	J xdx.
			
	f dx		
239.		240.	| у x dx.
	J 3 /—		
	1 у X		
	5		—21
242.	J x7dx.	243.	C x^dx.
			21
		•	
	2		0
245.	j (3 —2x)dx.	246.	J (x3 — x) dx.
	0		2
з
248.	[ (х2 — 2х + 2) dx.
16.* Нахождение координаты по заданной скорости и скорости по
заданному ускорению. В качестве одного из приложений понятия
интеграла рассмотрим задачу определения скорости. При изучении дви-
жения полезно иметь такие его характеристики, пользуясь которыми
это движение можно восстановить. Поскольку функция восстанавли-
вается по ее производной интегрированием, то будем рассуждать сле-
дующим образом. Пусть точка движется по прямой. Ее координата х
есть функция от времени движения /, т. е. х = x(t). Поскольку
х(0— X(fo) = ^xf(t)dt	(1)
/о
в силу формулы Ньютона—Лейбница, то можем рассматривать х'(0
как одну из характеристик движения; она называется скоростью и
обозначается буквой v. Таким образом, по определению, скорость
и = х' = lim .	(2)
t. Д/
Зная скорость движения v как функцию от времени t, т. е. v = v(t),
можно в силу равенств (1) и (2) восстановить уравнение движения
t
х (/) = х0 + j V (0 dt,	(3)
где х0 = х(/0) называется начальной координатой.
Если же начальная координата х0 неизвестна, то координата по
скорости восстанавливается только с точностью до постоянного сла-
гаемого.
45
Производную от скорости по времени называют ускорением движе-
ния:
а = v' = lim .	(4)
Зная ускорение как функцию времени, т. е. а — a(t), можно восстано-
вить уравнение движения, найдя сначала скорость этого движения
t
V (0 = Vo + [ а (0 dt	(5)
to
по формуле Ньютона — Лейбница, где i>0 = v(/0) называется началь-
ной скоростью. После этого можно найти координату по формуле (3).
Упражнения
249.	Точка движется по прямой с постоянным ускорением а. Найдите ско-
рость и координату этой точки как функции времени
250.	Камень брошен вертикально вверх. Пренебрегая сопротивлением воз-
духа и считая ускорение силы тяжести g~ 9,8 см/с2, найдите: 1) наибольшую
высоту подъема камня в зависимости от начальной скорости и0; 2) через сколько
времени камень упадет на землю; 3) скорость камня в самом верхнем положении.
251.	Найдите координату точки (движущейся по прямой) к моменту времени
t = 5, если при /0 = 0 начальная координата х0 = 0, а скорость точки меня-
ется по закону v = 9,81 — 0,003 t2. Найдите ускорение этой точки в конце пути.
252.	Скорость движущейся по прямой точки меняется по закону v = Rt -|-
4- k}Tt. Найдите координату этой точки к моменту времени t = 4 и ускорение
ее в конце пути, если /0 = 0 и х0 = 0.
253.	Точка движется по параболе у = х2 — 2х + 3 так, что ее проекция
на ось абсцисс имеет постоянную скорость v. Для проекции этой точки на ось ор-
динат найдите скорость и ускорение.
254.	Точка движется по графику функции у = х3 — 2х2 так, что ее проек-
ция на ось абсцисс имеет постоянную скорость v. Найдите скорость и ускорение
проекции этой точки на ось ординат.
17. Нахождение площадей плоских фигур. Фигуры, о которых
пойдет речь, называются криволинейными трапециями и определяются
следующим образом. Пусть на отрезке [a; fel задана непрерывная и не
меняющая знака функция /. Фигура, ограниченная графиком этой
функции, отрезком [a; &J и прямыми х — а и х Ь, называется кри-
волинейной трапецией (рис. 65). Докажем, что , если f > 0 на [а;
то площадь S этой криволинейной трапеции можно подсчитать по фор-
муле
ь
S = J/(x)dx.	(1)
а
Для доказательства рассмотрим площадь части этой криволинейной
трапеции, расположенной левее точки х (рис. 66).
Пдощадь этой фигуры обозначим 3(х). Этим на отрезке [а; 6] определе-
на функция 3(х). Ясно, что S(b) = S и S(a) — 0. Подсчитаем теперь
производную этой функции, коротко говорят: производную площади.
Для этого надо найти приращение этой функции ДЗ = S(x + Дх) —
46
— S(x). На рис. 67 оно представлено площадью заштрихованной фи-
гуры. Из того же рисунка ясно (для простоты функция f взята воз-
растающей на 1х; х + Дх1 и Дх > 0), что
f (х) Дх < AS < f (х + Дх) Дх
и потому
/(х)<-^-</(х + Дх).
Но lim f (х) = f (х) и lim f (х -|- Дх) = f (х), так как / — непрерыв-
Дх-*0	Дх->0
пая функция. Следовательно, в силу определения производной
(формула (2), п. 8) и по теореме о промежуточной функции,
S'(x) = lim = /(х).
Таким образом, доказано, что функция S(x) есть первообразная
для функции f(x). Тогда, по формуле Ньютона — Лейбница,
ь
p(x)dx = S(b) — S(a) = S,
а
так как S(b) = S и S(a) = 0. Формула (1) доказана.
Теперь мы можем дать геометрическое толкование примерам
подсчета интегралов, приведенных на с. 44. В первом примере
найдена площадь фигуры, заштрихованной на рис. 68, она равна
47
3. Во втором примере найдена площадь фигуры, заштрихованной на
рис. 69, она равна 2.
Замечание. Отметим, что попутно доказано следующее ут-
верждение: непрерывная (неотрицательная) функция имеет первооб-
разную — это площадь S(x) криволинейной трапеции, заштрихован-
ной на рис. 66.
(К
Упражнения
Вычислите площади криволинейных трапеций, ограниченных указанными
ниже отрезками оси абсцисс, прямыми х - а,х = Ь(анЬ — концы отрезков)
и графиками функций (к решению сделайте рисунок):
255.	(1; 3] и у = х«.	256.	[—2; 3] и у = х«.
257.	(1; 4] и у = ^~х .	258.	[1; 8] и у = уСх”. Г 1	1	1
259.	[1; 4] и у = х -/Г.	260.	L 3 J	х2
Вычислите площади фигур, решению сделайте рисунок):		ограниченных указанными ниже линиями	
261.	„	3/— у = X2 и У = у X .		4	 262. у = х? и у = у х .
263.	у = 2х — х® и у = 0.		264. у = 3х — х2 и у ~ х.
265.	у = х2 и у = — х. •		266. у = (х + I)2 и у = 1 — х.
267.	£/ = (1 — х)®, х = 0 и у	= 0.	268. у=х2 —2х + 2
и у = х + 2.
18. Основные свойства интеграла. I. Определенный интеграл не
зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е.
ь	ь	ь
§f(x)dx — ^f(f)dt = (z)dz = ••• .
a	a	a
•Это следует из того, что, как бы ни обозначать переменную интегриро-
вания, она потом заменяется в формуле Ньютона — Лейбница числа-
ми а и Ь: все написанные выше интегралы равны F(b) — F(a).
b	a	b
u. p(*)dx =
= 0.
Эти свойства также следуют из формулы Ньютона — Лейбница:
а	b
- J f(x)dx = — (F (а) — F (6)) = F (b)- F(a) = J f(x)dx,
b	a
ь
С/(х) dx = F (b) — F (&) = 0.
48
III. Гр (о л) = f(x).
\л	/
Здесь интеграл рассматривается как функция переменной х (верхнего
предела интегрирования), а переменная интегрирования обозначена
буквой t, чтобы различать эти две переменные.
Если F есть первообразная для /, то
Г р (0	- (F (х) - F (а))' « F' (х) - (F (а))' = f (х) - 0 = f (х).
\а /
19. Логарифмическая функция. Возьмем положительное число
х и рассмотрим
При х > 1 этот интеграл есть площадь криволинейной трапеции
/х В А (рис. 70). Если же 0<х< 1, то этот интеграл равен площади
криволинейной трапеции х!ВА (рис. 71), но взятой со знаком минус.
Действительно, так какх< 1, то площадь криволинейной трапеции
х1ВА равна
1
Следовательно, если воспользоваться свойством II определенного
интеграла (см. п. 18), то
е	<и	г	dt	.п.
I	— = — [	— = — пл. х 1ВА.
J	t	J	t
1	X
Для неположительных х этот интеграл не определен, так как подын -
тегральная функция не ограничена около нуля (рис. 71). Таким обра-
зом, для каждого положительного х получаем определенное значение
49
интеграла (1). Этим на промежутке 10; оо| определена функция перемен-
ной х, которую называют натуральным логарифмом и обозначают In.
Итак, по определению,
1пх=(-£-.	(2)
Рассмотрим некоторые свойства натурального логарифма.
В силу свойства II определенного интеграла (см. п. 18)
In 1 =0,	(3)
так как при х = I в формуле (2) получается интеграл, у которого
верхний и нижний пределы совпадают.
В силу свойства III определенного интеграла (см. п. 18)
(lnx)z = -l,	(4)
т. е. натуральный логарифм есть функция, дифференцируемая во
всей области определения, а следовательно, и непрерывная.
Докажем основные свойства натурального логарифма:
In (ab) = In а + In b.	(5)
Действительно, по правилу вычисления производной сложной фун-
кции, (1п(ах))' =~а - —. Таким образом, 1пх и In (ах)
есть первообразные для функции на промежутке 10; оо[. По-
этому существует такая постоянная С, что 1п(ах) = 1пх + С.
Для определения значения постоянной С положим х = 1, тогда Ina =
= Ini + С — С. Отсюда находим С •- Ina. Подставляя найденное
значение С в формулу ln(ax) -- 1пх + С, получаем равенство ln(ax)=
— Ina -h 1пх, которое при х - b дает (5).
Из формулы (5) следует, что
In — = Ina — ln&.	(6)
b
Действительно, так как а - — • Ь, то, пользуясь формулой (5), по-
ь
лучаем
Ina = In/— • b) = 1п — + 1пЬ,
\ ъ / ъ
откуда после переноса в левую часть полученного равенства 1пЬ с про-
тивоположным знаком вытекает формула (6).
Из формул (6) и (3) находим, что
In — = — In b,	(7)
b
так как
50
= =
In — = In 1 — In b = 0 — In b — — In b.
b
При помощи метода математической индукции из формулы (5) для
любого натурального п получаем формулу
In (а, • аг... а„) = In aj 4- In вг + • • • 4- In а„.
Из формулы- (8) для любого натурального п находим
in \/~а = — In а.
п
Действительно, так как а =	то из формулы (8) при
п /
— ап = у а получаем
1па — in== п 1п )/а\
откуда следует формула (9).
Наконец, из формулы (8) для любого целого п получаем
Ina" — nlna.
Эту формулу докажите самостоятельно
си ачала для натуральных п, а затем и для
отрицательных, используя формулу (7).
Функция натуральный логарифм воз-
растает на промежутке Ю; со| и не огра-
ничена. Действительно, (1пх)' = по
формуле (4). А так как х > 0, то (1пх)'>
> 0 и, следовательно, логарифм натураль-
ный есть возрастающая функция (рис. 72).
Покажем, что при увеличении х неограни-
ченно увеличивается и 1л х. В самом деле, для
любого числа существует натуральное число
п > в силу свойства неограниченности мно-
жества V натуральных чисел. Тогда для всех
функции In имеем
(8>
(9)
а, =
в силу возрастания
In х > In 2я = п In 2 > —  In 2 = К.
In 2
Этим доказано неограниченное возрастание In.
В следующем пункте вы увидите, что известные из курса VIII клас-
са логарифмы связаны с натуральным логарифмом формулой
|0gex=—, *>0, a>0, а=£\.	(П)
Ina
В частности,
51
(12)
. in к
1g x ------.
6 In 10
Из формулы (12) получается формула
Inx = In 10 • 1g х,	(13)
которая показывает, что нет необходимости в составлении специальных
таблиц для вычисления натуральных логарифмов. Коэффициент про-
порциональности In 10 = 2,3026... называют множителем перехода
от десятичных логарифмов к натуральным и обычно обозначают через
1
Упражнения
Пользуясь формулой (11), докажите приведенные ниже равенства (для всех
допустимых значений переменных):
269.	ь loga (be) = loge b + logfl C. 270. logfl 	 = logfl Ь — loga c. c
271.	logfl 1 =0.	272. logaa=l.
273.	logo -7- = — loga b. 0
274.	logo (aj • ag ... a„) = loga ai + logfl aa 4	Hoga an- .JIJ	1
275.	loge bn = n logfl 6.	276. logfl^y b>•= — logfl b. n
277.	logfl b = -7^ •	278. (logfl x)' =	• log,, a	xlna
Пользуясь таблицами В. М. Брадиса, найдите:
279.	1113 .	280. In 231.	281. in 0,017.
282.	log, 7 .	283. log, 319 .	284. logojO.813.
285.	log( 19 .	286. log, 50,271.	287. Iog£^7,81. "3
Постройте графики функций:
288. y=log2x.	289. у = log х.
290.	j/ = logo7x.	291. y = log17x.
292.	у = loga х (отдельно для а > 1 и 0 < а < 1).
293.	Докажите, что функция loga возрастает при а > 1 и убывает при
0< а < 1.
Вычислите производные следующих функций:
294.	1п(3х).	296. In (2 — 5х).
52
296.
298.
logs (Ж*+ 4).
П 2 + х
497. logs (3 —х —х€).
а — х
299.
300.
xlnx — X.
301.
линии в точке
х0= 1. 304. у = logs х, *о = 3.
с указанной абсциссой:
302. ух In (2 4~ у* )•
Напишите уравнение касательной к
303. 0 = 1пх
Вычислите приближенно:
305. In 1,02 . 306. In 0,96.	307. Igll.
Найдите первообразные следующих функций:
1
308. —
3	1
309. — . 310. ——
х	5х
311.
1
х 4- 2
5
312. -----
1
313- “---7
2x4-6
314.
5
3*4-2
315.* — на промежутке ] — оо; 0[.
Вычислите интегралы:
f dx
316.---------
3 х
317.
1.8
dx
х
318.
319.
г» 2dx
—2 Х $
320.
0,2
f 3d*
-Г,5 2х + 4
321.
5dx
Зх + 2
Т
322.
10
I Inxdx.
Указание, Используйте упр. 300.
323.
с dx
Указание. Используйте упр. 301.
3
1 4
2
324. Вычислите площадь, ограниченную линиями:
у = In х, у = 0, х = а > 1.
20. Экспонента. В п. 19 вы познакомились с функцией ]п и ее свой-
ствами. Она определена для всех х > 0, т. е. областью ее определения
является промежуток ]0;оо[, а множеством значений — множество
всех действительных чисел R. Функция In возрастает и потому имеет
обратную функцию (см. <Алгебра—6»), которая называется экспо-
нентной и обозначается ехр. По свойству обратной функции, экспо-
нента имеет область определения, совпадающую со множеством зна-
чений функции In, т. е. D(exp) = /?, а множество ее значений совпа-
53
дает с областью определения In, т. е.
£(ехр) = 10; оо[. График экспоненты сим-
метричен относительно прямой у — х гра-
фику функции In (поскольку это взаимно
обратные функции). Поэтому, для того что-
бы построить график функции у = ехрх,
достаточно нарисовать график х = 1пу
(рис. 73). Отметим, что из определения
взаимно обратных функций следуют фор-
мулы:
In (exp х) = х при любом х (1)
exp (In х) = х при любом х > 0.	(2)
Приведем основные свойства функции ехр:
ехр0 = 1,	(3)
ехр (а + Ь) = ехр а • ехр Ь,	(4)
ехр(-&) = —,	(5)
ехр b
ехр(а — Ь) =	(6)
ехр Ь
ехр (Д1 а2 + • • • 4- а„) = ехр^ • expat... ехра„, (7)
где п — натуральное число,
ехр (па) = (ехр а)",	(8)
где л— целое число.
Докажем, например, формулу (4). Пользуясь формулами (2) и (1)
и свойством In (п. 19, равенство (5)), имеем
ехра • ехр b — ехр (In (ехр а • ехр 6)) = ехр (1п (ехр а) 4- In (ехр Ь)) =
= ехр (а 4- Ь).
Равенство (4) доказано. Остальные свойства следуют из формулы (4)
(докажите нх сами).
В VIII классе степень числа а > 0 была определена только для
рациональных показателей х	Z, q £ N):
р. ч.-----
а* = а' = У аР 
Дадим теперь определение степени а с любым действительным пока-
зателем степени х при помощи равенства
ах — exp(xlna).	(9)
54
Для рациональных х это определение совпадает с определением, дан-
ным в курсе VIII класса. Действительно, так как 1паж = xlna при
рациональном х, то из этого равенства в силу равенства (2) получаем
а* = ехр(х1па), т. е. равенство (9) для рациональных показателей
степени х.
Далее докажем две важные формулы:
logaa‘=x для любых х	(10)
и
a0SaX=x для любых х>0.	(11)
Действительно, согласно определению (формулы (9) и (11), п. 19)
1ое ах = ln(exP(*ln<0) = xlna =
60	In a	In а
Таким образом, формула (10) доказана. Формула (11) доказывается
аналогично:
aloga * = exp (logo х • In a) = exp (• In — exp (In x) = x-
\ In a /
Из формул (10) и (11) следует, что показательная функция у = а*
и логарифмическая функция у -- logex есть взаимнообратные функ-
ции. Кроме того, формула (11) показывает, что число log0x, определен-
ное формулой (11), п. 19, совпадает с логарифмом числа х по основанию
а, определенным в курсе VIII класса.
Значение экспоненты в точке 1 называется числом е и обозначается
буквой е, т. е. согласно определению
е = exp 1.	(12)
Это число играет большую роль во многих вопросах математики.
Доказано, что число е — иррациональное и потому записывается в
виде непериодической десятичной дроби:
е = 2,71828.
Покажем, что экспонента есть показательная функция с основанием
е, т. е.
ехрх = еж,	(13)
а натуральный логарифм есть логарифм с основанием е:
lnx = logex.	(14)
Действительно, из формулы (12) следует, что
1пе = 1,	(15)
и потому, пользуясь равенствами (9) и (11), п. 19 , можем написать:
ех — exp (х In е) = ехр х,
55
log,* = 4^- =,nx’
In e
Докажем теперь, что для любого х
(е*У = ех и (а4)' = ах In а.	(16)
Функция x«=lnt/ имеет во всей области определения производную.
Следовательно, в каждой точке график этой функции имеет касатель-
ную. Но эта кривая, по определению, есть график функции у=ехр х.
Таким образом, график функции у=ехр х имеет в каждой, точке каса-
тельную, а это значит, что функция ехр всюду имеет производную. Ос-
тается найти эту производную. Заметим, что в формуле (1) слева и спра-
ва стоят равные функции. Следовательно, их производные тоже равны:
(х)' = (In (ехр х))', т. е. 1 =—!—(ехрхУ
ехр х
по правилу вычисления производной сложной функции. Отсюда сле-
дует, что
(ехрх)'=ехрх или (ех)' = ех.
Для доказательства второй формулы (16) воспользуемся правилом
вычисления производной сложной функции: так как ах — е*|па,
то	(ах)' = (ех 1п аУ = ех ,n а (х In а)' — ах In а.
Наконец, докажем, что при любом действительном р и любом х>0
(хР)' = рхР~1.	(17)
Действительно, так как, по определению, xp = eptnx, то
(хру = (ер ln х)' = ер ,n х (р In х)' = хр р — = рхР~1.
Из формулы (17) следует, что теорема 1 из п. 14 верна при любом
действительном р =/= —1, а при р = —1, т. е. для функции у ,
первообразной будет 1пх + С.
Из формул (16 ) вытекает следующая теорема:
Теорема. Для показательной функции ах первообразной будет
ах
функция + С, где С — произвольная постоянная. В частности,
для экспоненты ех первообразной будет функция е* + С.
В самом деле, так как производная постоянной равна нулю, то
+ cY = (—У = —— (0х)' = —— ах • Ina = ах,
\ In а )	\ 1n а / . In a	In о
а
(е* + Q' = (е*)' = е*,
что и требовалось доказать.
56
Отметим еще очень важное свойство показательной функции
у’ = ky ** у = Се*х,	(18)
где С — произвольная постоянная. Для доказательства вычислим
(уе~кхУ = y'e~kx + уе~кх (— k) = kye~*x — kyr^ = О,
поскольку у' = ky. Следовательно, производная функция уе-** рав-
на нулю для всех х. Отсюда следует в силу признака постоянства функ-
ции (см. § 4, п. 13), что это произведение есть постоянная С, т. е.
уе~кх=С, откуда у = Се*х,
что и требовалось доказать.
Обратное утверждение проверяется дифференцированием.
Упражнения
328. Докажите равенства (5)—(8).
Вычислите, пользуясь таблицами десятичных логарифмов:
326.	3/2~. 327. 2я. 328.	0,172’3 . 329. 1,9“°'*7.
Постройте графики функций:
330. у = ах при а = 2; 1,7; 0,3; 1. 331. у — хр при х > 0 и р = 2,5;
0,7; —1,3. 332. Запишите для показательной функции ах равенство (3)—(8) и до-
кажите их. Докажите, что равенство (8) верно при любом действительном п.
Вычислите производные следующих функций:
333.	е~»х. 334. 32Х.	335. ЬУх . 336. е **.	337.	х»(0,3)ж.
338*.	. 339*.	. 340*. т/1пТ е~х. 341*. —. 342. Ha-
iti х	хх	г	2х + 3
пишите уравнение касательной к линии у = ех в точке с абсциссой хо = О.
343. Напишите уравнение касательной к линии у = 3”ж в точке с абсциссой
х0 = 1.
Постройте графики функций:
344. у = х1пх. 345. у = - Х- . 346. у =	•
1п х	ех
ех
347. у =-------. 348*. у = 3 In х— In3 х.
Найдите первообразные следующих функций:
349.-г’х. 350. е~*х. 351. 3»х. 352. —— •
72Х
358*.	— З’ж- 354*. (2х4-0,3”х)*.
5х + 1	ф
Вычислите интегралы:
2 0 3
355. J гМх. 356. j e*xdx. 357. j —j- •
О	—1	—2
57
Ie 1	-Is 5	2
358. I’ ICHdx. 359. J IO3Xdr. 360. f —~
ig2	ig5	-i 5T
361. Вычислите площадь, ограниченную линиями у — 3х. у = О, к = ____2.
Глава III
СВЕДЕНИЯ ИЗ АРИФМЕТИКИ И АЛГЕБРЫ IV—VIII КЛАССОВ 1
21. Множества н операции над ними. Множество может быть за-
дано или перечислением всех своих элементов (если это конечное мно-
жество), или указанием определенного признака для элементов этого
множества. Например, множество А = (1; 2; 3; 4; 5; 6), состоящее из
шести элементов — натуральных чисел, задано перечислением всех
элементов множества. Или множество М = (Q; Д; □} задано пере-
числением трех геометрических фигур — элементов этого множества.
Множество В = {2; 4; 6; ...} всех четных чисел задано указанием
признака для элементов этого множества.
То, что элемент а принадлежит множеству А, записывают так:
а б А. Знак принадлежности € читают: «принадлежит». Если эле-
мент b не принадлежит множеству А, то пишут Ь £ А. Например,
если множество А — {3; 7; 11; 19), то 7 € А, но 5 £ А.
Для наглядности принято изображать элементы множества точка-
ми на плоскости. Например, множество А = (яблоко; кит; жук)
Рис. 76
изображено на рис. 74, или проще на рис. 75, или совсем просто на
рис. 76 (не отмечая элементов множества).
Пересечением двух множеств называется множество, состоящее из
всех их общих элементов. Пресечение множеств А й В обозначается
Ар В, знак П читают: «пересечение».
Например, если множество А — {4; кот; Д), а множество В =
= (жук; 7; кот; репа), то А рВ = {кот), т. е. множеству, состоя-
* Материал для повторения курса средней школы.
58
щему из одного элемента — кота. На рис. 77 пересечение-множеств
А и В заштриховано дважды.
Объединением двух множеств называется множество, состоящее из
всех элементов, входящих ‘хотя бы в одно из этих множеств. Объедине-
ние множеств А и В обозначается А (J В, знак (J читают: «объеди-
нение». Например, если А = {3; кит; яблоко; Солнце), а В = {бык;
Рас. 77
Рис. 78
Солнце; 7; 3), тоД(]^ — {3; кит; яблоко; Солнце; бык; 7). На рис.
77 вся заштрихованная фигура изображает множество А ЦВ.
Для некоторых множеств приняты стандартные обозначения: N —
— {I; 2; 3; 4; ...) — множество натуральных чисел; Z = {...; —2;
—1; 0; 1; 2; ...) — множество целых чисел; Q — множество всех ра-
циональных чисел (целые числа, положительные и отрицательные дро-
би); 0— пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного
элемента; R — множество действительных чисел.
Подмножеством множества А называется множество В, каждый
элемент которого принадлежит множеству А. Записывают это так:
В с: А, что читается: «множество В содержится во множестве Д» или
«В содержится в Д», или так: А гэ В, что читается: «множество А
содержит множество В» или «Д содержит в» (рис. 78). Например,
ЛГ <=. z, Z cz Q, Qd. R. Считается, что пустое множество ф есть под-
множество любого множества.
Дополнением множества А до множества В (содержащего множест-
во Д) называется множество всех элементов множества В, не являющих-
ся элементами множества А. Например, дополнение N до Z есть мно-
жество отрицательных целых чисел и нуль, дополнение множества Q
до множества R есть множество иррациональных чисел. На рис. 79
дополнение множества А до множества В заштриховано.
Упражнения
Для множества А = {1; 7; Земля; кот), В = (Солнце; 7; жук). С = {3;
кот* Земля} найдите*
362. А П В. 363. А и В. 364. А П С. 365. В П С. 366. Дополнение
А П С до А.
22. Правила арифметических действий. Любые два числа а и b
можно сложить и перемножить. Их сумма обозначается а 4 Ь, числа
а и b называются слагаемыми. Их произведение обозначается а-b или
ab9 числа а и b называются множителями. Например:
23,9 4- 4,57 = 28,47; 3,7125,4 = 94,234.
59
Разностью чисел а и Ь называется такое число с, что b + с = а.
Эта разность обозначается а — Ь, так что с — а — Ь. Число а назы-
вается уменьшаемым, число b — вычитаемым. Вычитание из числа а
числа b можно заменить сложением числа а с числом, противополож-
ным Ь, которое обозначается (—6), например а — Ь = а 4- (—Ь).
При этом а — а = а + (—а) = 0.
Частным чисел а и i> =/= 0 называется такое число с, что Ьс —
= а. Частное обозначается: а : Ь, или или alb. Число а называется
делимым, число b — делителем. Деление числа а на число b =# 0
можно заменить умножением числа а на число, обратное числу Ь,
которое обозначается: -у, или Ь~г, или 1/ь. При этом
а-(а-1) = 1.
Законы арифметических действий:
1)	переместительный: а + b — b + а и ab = Ьа;
2)	сочетательный: а + (6 + с) (а + Ь) + с и a(bc) — (ab)c;
3)	распределительный: а(Ь + с) ab + ас;
4)	свойства нуля: а + 0 = а — 0 = о, а-0 = 0, делить на 0 нельзя,
а + (—а) = 0;
5)	свойства единицы: а-1 -~= аЛ — а, а-(а-1) ata — 1.
Примеры выполнения арифметических дей-
ствий:
3,7 + 2,54 — 1,7 = 3,7 — 1,7 + 2,54 = 4,54;
3,6 (2,97: 1,8) = 2,97 (3,6 : 1,8) = 2,97 • 2 = 5,94;
2,57 -1,83+ 7,43 -1,83 = (2,57 + 7,43) 1,83 = 10 • 1,83 = 18,3;
(5,5 : 0,9) — (3,7 :0,9) = (5,5 — 3,7): 0,9 = 1,8: 0,9 = 2.
Сложение, вычитание и умножение обычно выполняют <столбиком»:
2,7	2,73
+ 0,43	7,32	• 1,5
13,56	— 4,594	1365”
16,69	2,726	273
4,095
При сложении и вычитании числа подписываются так, чтобы запятые
были расположены друг под другом. Если одно число имеет после за-
пятой меньше знаков, чем другое, то недостающие знаки заменяются
нулями — их обычно не пишут. При умножении друг под другом
располагают последние (правые) знаки. Умножают, сначала не обра-
щая внимания на запятую. В конечном результате запятую ставят так,
чтобы справа от нее было столько же вычисленных знаков (включая
60
нули, полученные при умножении), сколько знаков во всех множителях
вместе стоит справа от запятой. Например, в произведении 51,703*
• 9,8041 справа от запятой надо отделить 3 + 4 = 7 знаков.
Деление обычно выполняется «уголком». При этом пользуются тем,
что при умножении делимого и делителя на одно и то же число частное
не меняется. Например найдем частное 16,422 : 4,6. Умножим и де-
лимое и делитель на 10 (если бы делитель имел и сотые, то умножали
бы на 100, если делитель справа от запятой имеет k знаков, то умножа-
ем на 10*. т. е. в делителе и делимом сдвигаем запятую на k мест впра-*
во). После такого преобразования мы приходим к следующему равенст-
ву 16,422 : 4,6 164,22 : 46. Деление «уголком» выполняется следую-
щим образом*, берем первую цифру делимого, в данном случае это циф-
ра 1, она меньше делителя, т. е. 1 <Z 46, добавляем следующую цифру
делимого — получаем 16< 46, вновь добавляем следующую цифру
делимого — получаем 164 > 46. Теперь подбираем
164,221 46	целое число £ так, чтобы выполнялось неравенство
138 о к?	k-46 < 164 < (k + 1)-46. В нашем примере k = 3.
 1 ’ Вычитаем произведение 3-46 = 138 из 164 — полу-
чаем первый остаток 26. «Сносим» следующую циф-
230	ру делимого 2 — получаем 262. Так как снесенная
322	цифра 2 стоит уже правее запятой, то после цифры 3
322	в частном ставим запятую. Подбор следующей цифры
частного делаем так же, как и подбор 3, т. е. ищем
такое число целое k, чтобы k- 46 < 262 < (k +
+ 1)-46. Это число 5. Вычитаем из 262 произведе-
ние 5-46 = 230 — получаем второй остаток 32 и «сносим» к нему
следукмцую цифру делимого 2 — получаем 322. Подбираем следу-
ющую цифру частного так же, как и первые: ищем такое целое число k,
чтобы выполнялось неравенство £-46 < 322 < (k + 1)-46. Получа-
ется k — 7 и 7-46 = 322. При вычитании получается 0 — частное
найдено и деление закончено, итак, мы нашли, что 16,422 : 4,6 =
= 3,57.
Иногда деление до конца не доводят, т. е. последний остаток р
не равен нулю. Тогда говорят, что деление проведено с остатком и по-
лучено неполное частное. Если делимое а, делитель Ь нс — неполное
частное, то а = Ьс + р.
При умножении (делении) пользуются еще правилом знаков: про-
изведение (частное) двух чисел одинаковых знаков есть число положи-
тельное, а разных знаков — отрицательное.
Упражнения
Вычислите:
367. 16,31—8,219 4- 4,2.	368.	3,48 + 28,146.	36».	0,03-21,05.
370.	10,53:0,12. 371. 17,3-2,54. 372. 3,7-0,0029. 373. 6,851:1,3. 374. 0,334961:82,3.
23.	Делимость чисел. Делителем данного натурального числа на-
зывается натуральное число, на которое заданное число делится наце-
ло. Например, число 12 имеет делители {1; 2; 3; 4; 6; 12}, число 8 име-
61
ет делители (I; 2; 4; 8}. Общими делителями для чисел 12 и 8 являются
(1; 2; 4).
Наибольшим общимделителем чисел а ид называется наибольший
из их общих делителей, он обозначается D(a, Ь). Например, наиболь-
ший общий делитель чисел 12 и 8 есть D(12; 8) = 4.
Взаимно простыми называются числа а и Ь, если D(a,b) = 1.
Число называется простым, если оно имеет только два делителя —
себя и единицу. Вот несколько первых простых чисел: 2; 3; 5; 7; 11; 13;
17; 19; 23; 29; ...
Кратным числа а называется любое число, для которого а есть дели-
тель. Пересечение множеств чисел, кратных числу а и кратных числу
Ь, есть множество чисел — общих кратных чисел а и Ь. Наименьшее
из ч исел этого множества называется наименьшим общим кратным чи-
сел а и д, оно обозначается К(а, Ъ). Например, числа, кратные 8,
образуют множество (8; 16; 24; 32; 40; ...}, числа, кратные 12, образу-
ют множество (12; 24; 36; 48;...}. Множество общих кратных чисел 8 и
12 есть пересечение указанных множеств и равно (24; 48; ...), так что
К(8; 12) = 24.
24.	Признаки делимости. Если каждое слагаемое суммы делится
нацело на число а, то и вся сумма делится нацело на а. Например,
777 + 49 делится на 7, так как каждое слагаемое делится на 7.
Произведение делится на число а, если хотя бы один из множителей
делится на а. Например, произведение 36* 14-17 делится на 7, так как
множитель 14 делится на 7.
Признак делимости на 2. Если число оканчивается четной цифрой,
то оно делится на 2. Четные цифры: 0; 2; 4; 6; 8.
Признак делимости на 3. Если сумма цифр числа делится на 3,
то число делится на 3. Например, число 25 803 714 делится на 3, так
как сумма его цифр 2+ 5 + 8 + 0 + 34- 7-1-1 + 4 = 30 де-
лится на 3, а число 76 458 103 не делится на 3, так как сумма его цифр
7 + 6 + 4 + 5 + 8 + 1 + 0 + 3 = 34 не делится на 3.
Признак делимости на 5. Если число оканчивается цифрой 5 или 0,
то оно делится на 5.
Каждое число единственным образом раскладывается в произведе-
ние простых чисел. Это разложение проводят, последовательно деля
заданное число и его последовательные частные на простые числа, на-
чиная с первого: на 2, на 3, на 5, на 7 и т. д.
На пример,
4464	2	следовательно,	315	3
2232	2	4464 = 2* • 3» • 31	105	3
1116	2		35	5
558	2		7	7
279	3			
93	3			
31	31			
следовательно,
315000 = 3’-5.7-10» =
= 2» • 3» • 5* • 7.
После того как числя разложены на простые множители, легко найти
их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Для на-
62
хождения наибольшего общего делителя берут все общие простые дели-
тели в наименьшей степени. Например, по приведенным выше разло-
жениям D(4464; 315 000) - 23-3* == 72. Для нахождения наимень-
шего общего кратного достаточно взять одно из чисел и домножить его
на недостающие множители. Например, К(4464; 315 000) = 315 000-2-
-31 «= 19 530 000.
Упражнения
Найдите D и К для пар:
375. 36 и 48. 376. 40 и 15. 377. 135 и 225. 378. 108 и 144.
379. 84 000 и 66 600. 380. 14 400 и 81 000.
25.	Обыкновенные дроби. Обыкновенной дробью или рациональ-
т
ным числом называется число вида —, где п — натуральное число, а
т — целое число. Число п называется знаменателем дроби, а число т
— числителем.
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой
больше числитель. Чтобы сложить (вычесть) дроби с одинаковыми зна-
менателями, складывают (вычитают) их числители, а знаменатель под-
писывают общий. Например;
2	5	.	—9	1	.	5	3	=	5 + 3	__	8	.
7	7	’	5	5	’	13 +	13	~	13	~	13	’
11____5_	_	11—5	=	_6_
7	7	~	7	7
Основное свойство дроби: дробь не меняется, если ее числитель и
4	8
знаменатель умножить или разделить на одно и то же число: -у -
2
= -у — ... Этим пользуются при сравнении, сложении и вычитании
дробей с разными знаменателями и для упрощения дробей. Прежде чем
производить с такими дробями действия, находят наименьшее общее
кратное их знаменателей — общий знаменатель. Числитель и знаме-
натель каждой дроби умножают на такое число — дополнительный
множитель, чтобы знаменатель стал равен общему знаменателю. После
«приведения дробей к общему знаменателю» действия с ними произ-
водят так, как это было описано выше.
Например, а) что больше: -^-или 4-?
о	D
rzzq. ..	,е.	2	10 .	4	12 .	10	. 12	2	4 .
K(3,5) = 15, у = т =	1Г<ПГ=)Т<Т’
б) ± +	>3.
' 2	7	14	14	14
, _5___2_ _ 15 — 8 _ 7
'12	9	36	36 '
Если слагаемые больше единицы, то удобнее выделить Целые части
и нх складывать (вычитать) отдельно. Например,
63
+ А = 2+ 1+| + 1 = зт1Н = з1.
6	4	6	4	12	12
Произведением двух обыкновенных дробей называется дробь, чис-
литель которой равен произведению числителей множителей, а знаме-
натель — произведению знаменателей. Например,
3	5 = 3 • 5 = 15
2	7	2-7	14
Частное двух обыкновенных дробей определяется как произведение
делимого на дробь, обратную делителю. Например,
7 . 2 = 7	_5___35
3 * 5	3	2 ~ 6
Если при умножении (делении) в числителе и знаменателе окажутся
общие делители, то на них надо сократить. Например,
12 . 36 = 12 25 = 1 • 5 _ 5
35 * 25 “ 35 • 36	7 • 3 ~ 21 ’
Если действия производят в выражении, содержащем как десятич-
ные, так и обыкновенные дроби, то или все дроби обращают в десятич-
ные, или все дроби обращают в обыкновенные (в зависимости от кон-
кретного примера). Например,
а) что больше: 0,37 или 1/3?
0,37 = — = —; _L = 2~ _>0,37>—
100 зоо з зоо ' з
б) 0,3+A = A + _5_=.9_ + _25_=J<_ = JZ-^l-L;
'	6	10	6	30	30	30	15	15
в) 0,63 -I- — = 0,63 + — = 0,63 + 0,28 = 0,91;
'	20	100
. о 72 • 27 = 72	20 = 72 ‘ 20 = 8' 1 = 8 .
Г' ’	* 20	100 * 27 ~ 100 • 27 “ 5 • 3 ~ 15 ’
д) 2: — = 2 • — = 2 • 1,75 = 3,5.
7	4
При обращении обыкновенной дроби в десятичную «делением угол-
ком» может случиться, что ни один из остатков не обращается в нуль.
Тогда получается периодическая десятичная дробь, у которой одна или
несколько цифр все время будет повторяться в одном и том же порядке.
Например, при обращении 2/3 в десятичную дробь получается периоди-
ческая дробь, 0,6666666... Повторяющаяся группа цифр называется
периодом и обычно записывается в скобках. Пишут:
0,(6) вместо 0,666666...
2,7(43) вместо 2,743434343...
64
Чтобы представить число а, заданное в виде периодической десятич-
ной дроби, в виде обыкновенной удобно поступать следующим образом.
Пусть а = 2,7(43). Тогда 1000а - 2743,(43) и 10а	27,(43). Вычи-
тая эти равенства почленно, получаем: 990а — 2716 и, следовательно,
а — 2716/990. Ясно, что и в общем случае любая периодическая деся-
тичная дробь обращается в обыкновенную, т. е. представляет рацио*
нальное число. Непериодические десятичные дроби представляют ир-
рациональные числа. Примеры иррациональных чисел: J/2 или 0,
12122122212222... (после Л-й единицы стоит k двоек — это непериоди-
ческая десятичная дробь и потому представляет иррациональное число).
Объединение множества рациональных чисел и множества иррацио-
нальных чисел есть множество действительных чисел R — их мы будем
называть просто числами.
Упражменна
Сравните числа:
2	4	3	2	2
»'• у«-. 382.	383 . 0.М « -•
Выполните действия:
384. 4 — “Г+4"- 385 • °’24 -Г- 386 3.211 + 4— 4“
4	3 о	У	об
21	5
387 . 0,014:—. 388. — :0,31.
Представьте заданные числа в виде десятичной или обыкновенной дроби:
2	5
389.—. 390, — . 391. 0,(23). 392. 5,3(71).
26. Степень. Степенью числа а с Натуральным показателем п
называется произведение п множителей, каждый из которых равен а:
а" = а • а • а... а
п множителей
Число а называется основанием степени, п— показателем степени,
а“—степенью. По определению полагают, что а1 —а и а®= 1 при
а =#=0. Если целое число п<0, то согласно определению ап =
= 1 :а~п при а=/=0. Если п> 1—натуральное число и а>0, то
степенью ап называется такое число b > 0, что Ь" = а. Это число
b называется еще арифметическим корнем степени п из числа а и
обозначается у а . В математической литературе при нечетных п
П/~--------------------------------------------------------
допускаются значения а^О. При этом полагают, что V а —
= — |/^ — а. Для любого рационального числа к = — , где п — на-
упр
65
туральное, т — целое, D(n, т) = 1, по определению полагают:
т
ах — ап =	, п € N9 m£Z> D(n, т) = 1.
Л/--
При этом считают, что у а > 0 при четном п.
Свойства степени: для любых чисел р и q
ар • aq
аР	аР
— ; — =
ы>	aq
(ab)p = а» (аР)« = apq = (а’У’.
Например, )Лб = 2; 83 = р^в2 = (у 8 ) = 2“= 4; 2* • 2«=2W =
= 1024; 322 = (25)2 = 210 = 1024; З5; З4 = З4"4 = З1 = 3;
3
I* = (И2 У = 4 /2.
Упражнения
Выполнить действия:
393.^27». 394. /4»". 395. 2* • /2 • 2* •/2 . 39«. 8-2«:2».
Запишите при помощи дробных и отрицательных показателей:
397. —. 398. /х3 . 399. ------- . 400. У 2» .
/а	У
Запишите при помощи радикалов:
__2	j_	_ £
401. х 3 .	402 х2 . 403. а 4 .
Запишите как степень простого числа:
404. 4» -в-»: 16.	405. (^2/2" ). 406. (з /»
Вынесите.множитель из под корня:
_	___ эу-----------
407. /о». 408. /20аэ . 409. V 8х« .
27. Порядок выполнения арифметических действий. Если в выра-
жении без скобок подряд стоят несколько чисел или алгебраических
выражений, связанных действиями сложения, вычитания, умножения,
деления и возведения в степень, то действия производятся в следую-
щем порядке: 1) возведение в степень, 2) умножение и деление (в по-
рядке записи — слева направо), 3) сложение и вычитание (в порядке
записи — слева направо). Вычислим, например, 36 : 3 — 2* 4-Ь 23* 5 :
66
: 4- 7 Сначала находим число а — 2е = 8. Затем выполняем действия
умножения и деления: b = 36 : 3 = 12, с — 2- 4 = 8, d = а-5 : 4- 7 =
= 8>5 : 4>7 = 40 : 4-7 - 10*7 = 70. Затем выполняем сложение и
вычитание: b — с + d = 12 — 8 4 70' = 74. Заметим, что при
вычислении d было бы удобнее переставить умножение на 5 и деление
на 4, т. е. d = 2э-5 : 4-7 = 23: 2»-5-7 = 2-5-7 = 10-7 = 70.
Если в выражении стоят скобки, то сначала выполняются действия,
указанные в скобках. Например, вычислим число а = (26 — 19)- (46 —
39). Сначала вычисляем число b = 26— 19	7 и число с = 46 —
— 39 = 7, после чего находим произведение а — Ьс = 7-7 = 49.
Разберем еще пример:
а = (2- 3--у)(6-5-за)-(-+72 8 + 1):(5-3).
Сначала производим действия, указанные в скобках, т. е. находим чис-
ла
ft=2-3----— = 6— 3 = 3; с = 6 • 5 — 3s = 30 —27 = 3;
5
_ 5 + 2^8 _ 5+16 =	_ 3. e_d+I_3+1=4.
7	7	7	г -г .	,
g —5 —3 = 2.
После этого находим значение выражения, т. е. число
а — be~е : g = 3 • 3 — 4:2 = 9 — 2 = 7.
Вычисление можно несколько видоизменить, числа Ь, с, е и g можно
находить в любом порядке. При вычислении Ь можно было поступить
так:
Ь = 2-3 —— = 3(2——) = 3(2 —1) = 3- 1 = 3.
5	\	5 ,'
Если перед скобками стоит знак плюс, то скобки можно опустить. На-
пример,
3 7 ,	f_5_ ' 2_5_	2\ ==	37 > 5 3	_ 5 2	=
’	,\ 9 ‘ 3	4	)	10 + 9 • 2	4 -1
= 37	_5______5_ _ 111 425—75 = 61_2 1
‘ ~ 10 + 6	2	30	~ 30 ~	30 ‘
Если перед скобками стоит знак минус, то скобки тоже можно опус-
тить, изменив на противоположный знак каждого слагаемого, заклю-
ченного в скобках. Например,
-I3-_/7 2: — — 2,1 • —) = 4 4 — — ——— + —— =
3	\	5	7 /	3	10-910-7
_ j	_1___4_ .	3	_ 5 + 9	_ 14
~	3	1 + 5	15	15	’
67
Упражнения
Выполните действия:
410.
3 • 2+ 14 : (7 —3 - 2). 411.
3 + <:2. 6-(|±1;2 + ,
412.
/7	10 \	—
5 - — 2 — 0,3-	413. 3 - /28 -/Т :0,12.
\ о	У /
9
414. (0,03)»: 5	+0,05.
28. Пропорции и проценты. Пропорцией называется равенство
вида -у = -у, где a, b,c,d — числа, причем b =#= 0 и d Ф 0. Эти чис-
ла называются членами пропорции: a ad — крайними, b нс — сред-
ними.
Основное свойствопропорции: произведение край-
них членов пропорции равно произведению ее средних членов, т. е.
ad = be.
Процентом называется одна сотая часть числа. Для определения
р процентов от числа N используют «формулу процентов»:
Пользуясь этой формулой, можно решить три задачи: 1) задано число
N и его процент р — найти А; 2) задано число N и число А — сколь-
ко процентов р от числа N составляет А; 3) известно, что число А сос-
тавляет р% от числа W — найти число ЛГ.
Покажем это на следующих примерах:
1) Найти 83% от числа 72. Здесь N = 72, р — 83. Подставляя
эти значения в формулу, имеем
А = — • 83 = 59,76.
100
2) Число 91 составляет 65% от некоторого числа. Найти это число.
Здесь А = 91, р = 65. Подставляя эти значения в формулу, получа-
ем
91 = —— • 65, откуда N = 91 —- = 140.
100	J	65
29. Координатная прямая. Модуль числа. При изображении чисел
на координатной прямой выбирают на прямой две точки — 0 и 1 (они
изображают число 0 и число 1). Обычно прямую располагают горизон-
тально, а точку 1 — правее точки 0. Направление от 0 к 1 называется
положительным, а противоположное направление — отрицательным.
Отрезок с концами 0 и 1 считается единичным. Откладывая последова-
тельно в положительном направлении на прямой единичный отрезок,
получаем точки 2; 3; 4; ..., которые изображают числа +2; +3; +4; ...
68
(рис. 80). Не говорят: «точка, изображающая число тЗ», а говорят
короче: «точка +3».
Точка прямой, симметричная точке 4-3, относительно точки 0, изо-
бражает число —3, ее называют «точкой —3». Вообще точка, симметрич-
-----1, I | I И I I I I 1 I I |--
J ? -1 D ~1	7 J А	’'-/7	°
Рис. 80	Рис. 81
на я точке k относительно 0 , изображает число —k и называется «точ-
ка —Л» (рис. 80). Точки — k и k называются противоположными.
Аналогично изображаются и любые рациональные числа. Напри-
мер, чтобы изобразить число—11/13, делят единичный отрезок на 13
кон груэнтных частей и 11 таких частей откладывают в отрицательном
направлении от 0. Полученная точка (рис. 81) изображает число
— 11/13 и называется «точка — 11/13».
Кроме рациональных чисел точки прямой изображают и иррацио-
нальные числа, т.е. числа, которые не могут быть записаны в виде дроби.
Например, число |/2 выражает длину диагонали квадрата, сторона ко-
торого равна единичному отрезку. Построив на
единичном отрезке квадрат и проведя окруж-
ность радиуса ОА до пересечения с координат-
ной прямой, получаем на прямой «точку )/2>>
(рис. 82).
Для любого иррационального числа мож-
но найти десятичное приближение с любой
точ ностью.
Прямая, каждая точка которой изобража-
ет определенное число,называется координат-
ной прямой. Число а, которое изображается
точкой А, называется координатой этой точки А, пишут: А = М(а).
То чка а и —а одинаково удалены от точки 0. Это расстояние называется
модулем числа а и числа —а и обозначается | а | и | —а |, т. е. | а | =
= | —а |. Числа а и —а называются противоположными. Для моду-
ля числа х справедливо равенство
। r I ( х, если х > 0
1 1 | — х, если х<0.
Для любых двух чисел а и b
I ab | = | а || b | ; |А| = 1£1;|а4-ЬК|а|4-|Ы.
I М I О I
Из двух разных чисел одно больше и на числовой прямой оно располо-
жено правее. Число 0 делит все числа на положительные, которые рас-
положены на координатной прямой справа от 0, и отрицательные, ко-
торые расположены на координатной прямой слева от 0. Любое поло-
жительное число больше любого отрицательного.
69
30. Тождества. Тождественные преобразования. Выражения,
содержащие переменные, принимают различные значения в зависимости
от значений переменных. Значения выражений (содержащих перемен-
ные) при одних и тех же значениях переменных называются соответст-
венными. Например, для выражений х2 + Зх — 1 и 2х + 5 при х =
= 0 соответственными значениями будут —1 и 5, а при х = 1 — 3 и 7.
Два выражения называются тождественно равными, если все их
соответственные значения равны. Например, (х ( I)2 и х(х 4- 2) 4-
1 X I 1
+ 1; — и ---------1. Но выражение х 4- 2 не тождественно равно вы-
х24-2х
ражению —-—, так как первое имеет смысл при любых значениях
переменной, а второе — при х =/= 0. Про эти выражения можно ска-
зать, что они тождественно равны при х =/= 0. Если же никаких огово-
рок не сделано, то принято считать, что тождественные выражения
определены при одних и тех же значениях переменной.
Замена одного выражения другим, тождественно равным ему, на-
зывается тождественным преобразованием выражения.
Тождеством называется равенство двух тождественных выражений.
Приведем пример тождественных преобразований:
(а + Ь)2 = (а 4- b) (а 1 Ь) = (а + Ь)а (- (а 4- b) b —
. = а2 4- ab 4- од 4- Ь2 = а2 + 2аЬ + Ь2.
Таким образом, доказано тождество сокращенного умножения:
(а 4- Ь)2 — а2 4- 2аЬ 4- Ь2.
Аналогично доказываются и остальные тождества сокращенного умно-
жения:
(а — Ь)2 — а2 — 2аЬ 4- Ь2;
(а 4- Ь)3 = а3 4- За26 4- Заб2 4- Ь3;
(а — Ь)3 — а3 — За2Ь 4- За&2 — Ь3;
(а — Ь)(а + Ь) = а2 — Ь2;
(а — Ь) (а2 + ад + б2) =а3 — б3;
(а 4- б) (а2 — ab 4- б2) = а3 4- б3
Упражнения
Выполнив тождественные преобразования, упростите выражения:
415	— х) (°2 4- ах 4- х2) -j- х3	(а — ft) (а 4- ft) — (а — Ь2)
(а 4- д)3 — ЗаЬ (а 4- Ь) — Ь3	а2 — 2а 4- 1
(а2 — ft2) (а2 4-aft 4-ft2) .	(х — у) (х3 4- у3)
417. -----------.» т ; о-	418.	----------------4" У* •
аЛ + Ь*	Х*-Ху + у2
2
31. Многочлены. Произведение числового множителя на какие-либо
70
степени переменных называются одночленом. Числовой множитель
называется коэффициентом одночлена. Так а2-(—6)2 — одночлен,
5-(аЬ)8-а63 — одночлен с коэффициентом 5.
В одночлене стандартного вида все одинаковые множители объеди-
нены и заменены соответствующими степенями. Сумма показателей
степеней переменных называется степенью одночлена.
Пример. Приведем одночлен к стандартному виду
3(а6)8 • 5а • Ь3 • (— а) • (— Ь)2 = - 15а8+1+1 • 62+3’- s — 15а4/Л
Получили одночлен с коэффициентом —15, его степень равна 7 + 4 =
= 11.
Многочленом называется сумма одночленов. Многочлен обычно рас-
полагают по убывающим или возрастающим степеням переменной:
5х8 — Зх3 + 7х*. х5 — 2х4 + Зх2 — х + 6 и т. п.
Выражения, представляющие собой сумму, разность и произведе-
ние многочленов, называются целыми алгебраическими выражениями.
После тождественных преобразований они приводятся к многочленам.
Действия над многочленами подчиняются тем же правилам,что и
действия с числами: произведение одночлена на многочлен равно сумме
произведений одночлена на каждый член многочлена:
Зах (а8 + 2ах 4- Зх2) = За3х 4- 6а2х2 4- Эах3.
Произведение лаух многочленов равно сумме произведений каждого
члена одного многочлена на каждый член второго многочлена:
(х8 — Зх + 1) (х — 2) = х2 • х + х2 • (— 2) + (— Зх) • х |-
+ (—Зх) • (— 2) + 1 -х + 1 • (— 2) = х3 — 2Х2 —
— Зх2 + бх + х — 2 = х3 — 5х2 4- 7х — 2.
Разложить многочлен на множители— значит представить его в
виде произведения многочленов или одночлена на многочлены. При
этом используются следующие приемы:
1)	Вынесение общего множителя:
9ах2 — 6а8х = (Зах) • (Зх) — (Зах) • (2а) = Зах (Зх — 21а).
2)	Группировка:
х2 — 7х + 6 = х8 — х — бх 4- 6 = х(х — 1) — 6(х— 1) =
= (х—1)-(х —6).
3)	Разложение квадратного трехчлена: ах2 4~
4- Ьх + с: если х, и х2 — его корни, то
ах3 4- Ьх + с = а (х — xj (х — х2).
Например, квадратный трехчлен х2 — бх 4- 8 имеет корни х — 2
и х — 4, следовательно , х8 — бх 4- 8 = (х — 2)-(х — 4); квад-
71
ратный трехчлен Зх2 — 5х — 2 имеет корни х = 2 и х = —у и по-
тому Зх2 — 5х — 2 = 3(х — 2) (х + у).
Корнем многочлена называется значение переменной, при котором
многочлен принимает значение, равное нулю.
Упражнения
Разложите на множители многочлены:
419. ах*+а2х. 420. Зу2 — бу. 421. *« + 2* + 1.
422.	— х2 — х + 1.
32. Уравнения и неравенства. Высказывания бывают истинные и лож-
ные. Например, 2-2 = 4 и 3<5 есть истинные высказывания, а
3 < 1 и 7 — 5 = 0 — ложные.
Если из высказывания А следует высказывание В, то пишут: А =>
В, читается: «из А следует В», =*— знак логического следования.
Если из высказывания А следует высказывание В, а из высказыва-
ния В следует высказывание Л, то эти высказывания называются рав-
ное ильными и пишут: А <=> В, <*=>— знак равносильности, который
читается: «равносильно».
Если в предложение с переменной подставить ее значения, то при
одних значениях получится истинное высказывание, а при других —
ложное. Например предложение с переменной (х — I)2 = 4 будет
исти иным высказыванием при х = —1 и х - 3, так как (—2)2 = 4
и 22 = 4, а при подстановке остальных значений переменной х полу-
чим ложные высказывания. Предложение с переменной х <3 при под-
стан овке значения х 2 дает истинное высказывание, а при х = 5—
ложное.
Р авенство с переменной называется уравнением, если нужно найти
значения переменной, при которых это равенство истинно. Примеры
уравнений: Зх — 6 = 0, х2 — 6х + 8 = 0.
Корнем или решением уравнения называется значение переменной,
при подстановке которого в уравнение получается истинное высказы-
вание. Например, 2 есть корень уравнения Зх— 6 = 0, так как 3-2 —
— 6 == 0; 4 есть корень уравнения Зх2 — 6х + 8 = 0, так как 42 —
— 64+8 = 0
Решением неравенства называется значение переменной,при котором
неравенство истинно. Например, для неравенства х + 5 < 0 одним из
решений будет число —6, так как —6 + 5< 0. Все решения нера-
венства составляют множество его решений.
Решить неравенство (или уравнение) — значит найти множество
его решений. Так, для уравнения Зх — 6 = 0 множество решений
есть {2}; для неравенства х + 5 < 0 множество решений есть беско-
нечный промежуток I—оо; —51.
Уравнения (неравенства) называются равносильными, если множест-
ва их решений равны. Например, уравнения Зх — 6 = 0 и (х —2)2 = 0
равносильны, так как множество их решений есть {2).	«
При решении уравнений и неравенств пользуются следующими ос-
новными правилами и приемами:
72
1) К обеим частям уравнения (неравенства) можно прибавить одна
и то же число — при этом получается равносильное уравнение (нера-
венство). Отсюда следует, что любые слагаемые (как числовые, так и
буквенные) можно переносить из одной части уравнения (неравенства) в
другую с переменой знака. Так, уравнение вида х + а = 0 можно ре-
шить, прибавляя к обеим его частям число —а:
х -J- а = 0 х = — а.
2а) Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно н
то же число, не равное нулю. Например, Зх =- 6 (=) х = 2.
26) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и
24-х
то же положительное число. Например, —у- > 1	2 + х > 3.
2в) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и
то же отрицательное число, то смысл неравенства нужно изменить на
противоположный. Например, —х > 1 <=* х< —1.
При помощи этих правил решается любое линейное уравнение (т. е.
уравнение вида ах + Ь = 0, а =# 0) и линейное неравенство (т. е.
неравенство вида ах + Ь < 0 или ах 4- b > 0. а 0).
Например
Зх — 6 — 0 Зх — 6<=> х = 2, ответ: (2);
9 — 5х>0 <=> — 5х> — 9«=*х< — , ответ: ] — оо; —
5	5
Нередко пользуются и такими свойствами неравенств:
3)	Транзитивность: a<b н Ь< с а< с.
4)	Правило сложения (вычитания) неравенств:
а<Ь
+
d
а 4- с <Zb 4- d
a<b
d>c
a — d<b — c
т. e. неравенства одного смысла можно складывать, а противоположно-
го — вычитать.
5)	Правило умножения неравенств:
91 —\ac<Z bd и следствие 0<а< b =}ап<Ьп (для лю-
a I
бого л>0).
Если ставится задача: найти все общие решения двух или несколь-
ких неравенств, то говорят, что требуется решить систему неравенств.
Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств
решений, входящих в нее неравенств. Например,
2	| х — 3 > 4х | — Зх > 3
0 4х — 1 4х —1 <0	| 4х< 1
73
___________________ Таким образом, множеством решений
Г	ГГГ z этой системы является промежуток
4	)—оо; —1[ (рис. 83).
Рис. 83	Решением уравнения с двумя перемен-
ными называется упорядоченная пара зна-
чений переменных, обращающая это урав-
нение в истинное равенство. Например, для уравнения х2 4- у2 = 25
решением будет пара чисел х = 3, у = 4. Это решение коротко
записывают (3; 4): на первом месте х, на втором — у. Для этого
уравнения решениями будут также пары (5; 0), ( — 4; 3) и еще мно-
жество других пар.
Если ставится задача найти все общие решения для нескольких
уравнений от нескольких переменных, то говорят, что требуется ре-
шить систему уравнений.
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара
значений переменных, обращающая каждое из уравнений системы в
истинное равенство. Решить систему уравнений — значит найти мно-
жество ее решений.
Система двух линейных уравнений с двумя переменными
I ахх + Ьху = q,
| а2х -h Ь^у = ct
может иметь:
а) одно решение:
| Зх -f- у = 5,
(х—У = — 1» ответ: {(1; 2)};
б)	бесконечно много решений:
{ЗХ — у = 1,	о	/е
*	ответ: {(х; Зх — 1)}, где х — любое число;
— 6х 4- 2у = — 2,
в)	ни одного решения:
( к —У = L
I — 2х 4- 2у = 3.
При решении систем линейных уравнений применяются способы:
1.Сложение (или исключение):
( Зх 4- У = 11 I 6х 4- 2у = 22
( 7х — 2у - 17 ** j 7х —2у — 17
13х = 39 ** х = 3;
3-3 + 9-11 **9 = 2.
Ответ: {(3; 2)).
2. Подстановка:
74
f Зх 4- у = 11	( у — 11 — Зх
I 7 9п — 17 *1 7г 9п — 17 ?х	2 • (11 —Зх) = 17;
I 7х,— 2у — 17	[7х—2(/-17	13х—22 = 17; х = 3;
у = 11 — 3 • 3 = 2.
Ответ: {(3; 2)}.
3. Г рафический способ состоит в %
построении прямых, изображающих уравне- У \	/
ния системы, тогда координаты точки их пе-	\	/
ресечения являются решением системы (рис.	\	/
84).	\ /
Квадратные уравнения. Уравнение вида __________V
ах2 Ьх 4- с = 0, а О,	А
---------------------------------------------------АЦ---------
где а, 6, и с — числа, называется квадрат- 0	/ J \ х
ным уравнением. Корни квадратного уравне- I /	\
ния могут быть найдены по формулам:
— b ± / Ь2 — Аас — b ± у D
Х'<2 “	2а	~	2^	’
гдеО — Ь*— 4ас называется дискриминантом квадратного уравнения.
Если а 1 и Ь — четное, то для решения удобнее формула
Х!,2 -~~Г ± |/ (у) ~С ’
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, если D =
= 0, то квадратное уравнение имеет один корень, если D < 0, то
квадратное уравнение действительных корней не имеет.
Теорема Виета. Сумма корней квадратного уравнения равна —Ыа,
произведение его корней равно с/а: х± + х2 — — bl а, ххх2 = с/а. Верно
и обратное утверждение, а именно: если числа xt и х2 удовлетворяют
этим равенствам, то они есть корни квадратного уравнения ах2 4- Ьх 4~
4~ с ~ 0.
Пример. Разложить на множители квадратный трехчлен
2 х2 4-5x4- 3.
Решение:
2х2 + 5х + 3 = 0, х., = ~5 1 г25~24- ,
х2 — — у-
Следовательно, имеем разложение: 2х2 4 5х 4- 3 = 2 (х +
+ ’)(х+ у) = (х 4-1) (2x4-3).
Уравнения степени выше первой можно решать или подбором,
или введением новой переменной, или при помощи разложения на мно-
жители, или графически (см. функции и графики).
75
Примеры: 1) Решить уравнение х3 — х2 — 4х 4- 4 = 0.
Разложим многочлен, стоящий в правой части, на множители:
х3 — JT® — 4х + 4 = х2 (х - 1) - 4 (х - 1) = (х — 1) (х2 — 4) =
= (х —1)-(х —2)(х-+2).
Таким образом, уравнение приведено к виду (х — 1)-(х — 2) (х 4-
4- 2) — 0 и множество его решений (1; 2; —2}.
2) Решить уравнение (х2 — 5)2 — 3(х2 — 5) — 4=0.
Обозначим х2 — 5 = t, тогда уравнение принимает вид Z2 —
— 3Z — 4 = 0. Следовательно,
= <, = —1;
- х2 — 5 = 4, х2 = 9, X, 2 = ± 3;
х2 — 5 = — 1, х2 = 4, х3 4 = ± 2.
Ответ: {—3; -2; 2; 3}.
Уравнение вида ах4 4- Ьх2 4- с — 0 называется биквадратным
и решается введением новой переменной t = х2. Например,
Зх4 4-х2 —4=0, х2 = /, 3/24-Z — 4=0,
х2 = 1, х, 2 = ± 1; х2 =--—полученное уравнение решений не
имеет. Множество решений биквадратного уравнения: (—1; 1).
Упражнения
Решите линейные уравнения и неравенства:
423 .	2х-|-3 = 3x4-1.	424 .	3—2х = 5.
425.	1 —Зх<7.	426.	14-л>2х —4.
Решите системы неравенств:
427.	|2х<5,	428.	| у + 1 > 2у 4- 1,
1 1 — х>3.	I Зу—1 < у — 3.
4М. -1< ^±1 < 1.
Решите системы линейных уравнений:
430. | у =	1.
I 2>4-Зу=8.
432. | 2х4-3у = 1,
I 4х 4- бу = — 1.
431. ( 2x4-31/ = — 1,
( 5х— 2у = 7.
433. ( х —Зу = 2,
( Эх—9у = 6.
76
Решите квадратные уравнения:
434. х« —8*4- 12 = 0.	435. 2у» 4-Зу 4- 1 = 0.
Разложите на множители квадратные трехчлены:
438. а2— 2а —24 .	437. Зх* —7*4-2.
33. Функции и графики. Многие алгебраические факты можно ис-
толковать наглядно, если воспользоваться методом координат на
плоскости.
Возьмем на плоскости точку О и проведем через нее две взаимно пер-
пендикулярные координатные прямые, для которых точка О есть на-
чало отсчета. Одна из них называется осью абсцисс или осью Ох (ее
обычно располагают горизонтально, а положительное направление на
ней берут слева направо), а вторая — осью ординат или осью Оу (ее
обычно располагают вертикально, а положительное направление на
ней берут снизу вверх). Эта пара осей координат называется системой
координат на плоскости, а точка О — началом координат (рис. 85).
У'
е
s
____I______-
q 1X
Ось абсцисс
Рис. 85
Рис. 86
Если на плоскости выбрана система координат, то положение точки
на плоскости определяется парой чисел — координатами этой точки.
Из точки М опускаются перпендикуляры на оси координат: MMt I
I Ох и ММ2 I Оу. Координата точки Mi называется абсциссой точ-
ки М или координатой х и обозначается буквой х (рис. 86). Коорди-
ната точки М2 называется ординатой точки М или координатой у и
обозначается буквой у. Если тдчка М имеет координаты х и у, то это
записывают так: М(х; у) — число х ставят на первом месте, а число
у — на втором. На рис. 86 имеем: М(3; 4), К - М(—2; 1).
Линейная функция у — kx + Ь. Графиком линейной функции
служит прямая (рис. 87), пересекающая ось ординат в точке b, k =
= tga, где а — угол между прямой и осью Ох. Коэффициенты в урав-
нении прямой имеют названия: b — начальная ордината, k — угловой
коэффициент. Важный частный случай линейной функции при 6-0,
у .= kx называется прямой пропорциональностью; график ее есть пря-
мая, проходящая через начало координат (рис. 88).
С помощью графиков можно наглядно объяснить решения системы
линейных уравнений и неравенств:
77
[ агх -Ь bty = q, ( atx 4- bty + > 0,
I a2x 4- b^y = c2; I a.x 4-M + <4>0-
Каждое уравнение системы изображается на плоскости некоторой пря-
мой (исключая особые — «вырожденные» случаи). Если эти пря-
мые пересекаются, то координаты точки пересечения есть решение
системы. Поскольку две прямые пересекаются в одной точке, то
в этом случае система имеет единственвое решение (рис. 89).
Рис. 89
Рис. 90
Если прямые параллельны (рис. 90), то у них или нет общих точек,
н система уравнений решения не имеет, или прямые совпадают (рис.
91), тогда система уравнений имеет бесконечно много решений — коор-
динаты каждой точки прямой есть решение этой системы уравнений.
Решение неравенства ах 4- by > с есть полуплоскость, граница
которой есть прямая ах +Ьу — с (на рис. 92 изображено неравенство
2х + Зу с 6). Решение системы неравенств есть пересечение соответ-
ствующих полуплоскостей (на рис. 93 изображено решение системы
неравенств х 4- У > 2 и 2х — у <_ 1, при этом прямая х 4- У = 2
изображена сплошной линией, так как соответствующее неравенство
нестрогое — точки этой прямой принадлежат решению, а прямая
2х — у = 1 изображена пунктиром, так как соответствующее нера-
венство строгое, и точки этой прямой не принадлежат решению).
78
Квадратичная функция у — ах1 + Ьх + с, а =# 0. Графи-
ком этой квадратичной функции служит парабола у = ах* , подверг-
нутая параллельному переносу ОМ, где 5Г;	Парабола
у = ах* изображена на рис. 94 и 95, начало координат — вершина
параболы, ось ординат — ее ось симметрии. На рис. 96 изображены
параболы: (I) у = ха, (2) у = 2х*. (3}у = ^.х*, (4) у = - у; пара-
79
болы (3) и (4) симметричны относительно оси абсцисс. На рис. 97 изо-
бражена парабола у — 5х — 2х*, которая получена при параллельном
переносе ОМ параболы у - —2х2 (пунктир).
Решение неравенства у ах* + Ьх -Ь с изображено на рис. 98,
а неравенства у с ах* 4- Ьх -) с — на рис. 99. При решении квад-
Рис. 98
Рис. 99
ратного неравенства ах* 4- Ьх 4- с > 0 находят корни Xj и х2 квад-
ратного трехчлена, представляют его в виде произведения
а(х — Xj)(x — х2) и смотрят, какие из промежутков!—оо; хх[, ]хх; х21,
]x2i оо( (здесь хх < х2) являются решением. Если квадратный трехчлен
действительных корней не имеет, то неравенство или не имеет решения,
или множество его решений есть все действительные числа.
• Степенная функция задается формулой у — ахя. На рис. 88
приведены графики степенных функций при п. — 1 и разных а. На
рис. 94 — 96 приведены графики степенных функция при п — 2 и
разных а. На рис. 100 приведен график степенной функции для п =
= —1 при а 0 и приа< 0 — на рис. 101. График этой функции
называется гиперболой, а сама функция — обратной пропорциональ-
но
ностью. На рис. 102—104 при а = 1 приведены графики некоторых
других степенных функций. При целых показателях п степенная функ-
ция четная, если п четное, и нечетная, если показатель п нечетный.
На интервале 10; ool степенная функция (при а > 0) возрастает при
п > 0 и убывает при п < 0.
Упражнения
Постройте графики линейных функций:
438.	у=-£--	48». у = 3х.	440. у = х+1.
441.	у = 3ж —2.	442. у=1 — 2х.	448. у=2—	•
Постройте прямые:
444 . 2х+у = 5 .	445. х = 1.	446. у = 3.
Изобразите на координатной плоскости множества, являющиеся решением
приведенных неравенств и систем неравенств:
	х + у>1.	448 . 2ж—г/<3.	44». ж —Зу<2.
450. 451.	у > — 1- | ж — у > 2,	452. | Зх +	> — 3 ,	453. ( 2х — у < 1, t 2х + </<!.	( ж + 2у < 1	1 2х — у > — 2.
454.	( 2x-j-y>3,	455. ( х4-у> 1,	456. | х> — 1, 12х4-у<0.	1* + У>2.	1 у < 3.
Постройте параболы:
457. у = х®—2х—1.	458. у = 2 —4х —х«.	45». у = 3х —ж®.
Изобразите на координатной плоскости множества, являющиеся решением
приведенных неравенств:
460. у +	— 2.	461. у < 1 +4х — ж®.	462. у>3ж —ж®.
Решите квадратное неравенство:
463. ж« — ж — 2> 0.	464. ж’+2ж —3<Ч).	465. ж — ж® + 6 >0.
4-аов	81
466. х» — 2х + 2 < 0.	467. х» 4- 5х + 8 > 0.	468. х» — бх + 9 < 0.
34.	Последовательности. Последовательностью называется функ-
ция, заданная на множестве натуральных чисел. Значение этой функ-
ции /(п) обозначают еще ап и т. п. и называют п-м членом последова-
тельности. Если последовательность зада-
*	fJg ‘Of на только на множестве первых п нату-
ральных чисел, то последовательность на-
Рис. 105	зывается конечной и записывается так: alt
щ, .... ап. Последовательность называется
возрастающей, если a„+i j> ап. и убывающей, если an+i < ап (при всех
п). Все способы задания функции относятся и к последовательностям.
График последовательности состоит из отдельных точек. Члены после-
довательности можно изображать на прямой (рис. 105). Задавать по-
следовательности можно рекуррентным способом, т. е. формулой, вы-
ражающей ая+1 через предыдущие члены последовательности, например
а л+1 ' ап ая-1-
Арифметической прогрессией называется последовательность, зада-
ваемая формулой а я+1 = ап + d, числом называется разностью ариф-
метической прогрессии, при этом ая+1 = at + nd. Для суммы п
первых членов арифметической прогрессии известны формулы:
о ei + fl« „ с _ 2at + d(n— 1)
Оя — ----------П.	—		п,
а 2	2
Геометрической прогрессией называется последовательность, зада-
ваемая формулой bn+i = bnq, число q называется знаменателем про-
грессии, при этом 6я+1 = Для суммы п первых членов геометри-
ческой прогрессии при q ] известны формулы:
е __^1 — Ьпд о _____	(।	4я)
п~ 1-q ’	l-q
35.	Приближенные вычисления. Погрешностью приближенного
значения а числа х называется разность х — а — Если | Д \ < h,
то говорят, что а есть приближенное значение числа х с точностью до
Л, и записывают это так: х = а ± Л. Относительной погрешностью
-	Л
приближенного значения а для числа х называется —.
Цифра а называется верной, если модуль погрешности данного при-
ближения не превосходит единицы того разряда, в котором записана
цифра а.
Правила округления. Если в округляемом разряде стоят цифры
0; 1; 2; 3; 4, то их отбрасывают, т. е. число округляется с не-
достатком. Если в округляемом разряде стоят цифры 5; 6; 7; 8;
9, то в предыдущий разряд добавляется единица, т. е. число округ-
ляется с избытком. При округлении результатов вычислений
погрешность округления не превосходит половины единицы того раз-
ряда, до которого ведется округление.
Правила сложения и вычитания приближенных слагаемых:
82
1.	Выделить наименее точное слагаемое, т. е. такое, в котором име-
ется наименьшее число верных десятичных знаков.
2.	Округлить все остальные слагаемые так, чтобы каждое из них
имело на один десятичный знак больше, чем выделенное.
3.	Округлить ответ на один знак.
Пример. Вычислить сумму трех чисел, в записи которых все деся-
тичные знаки — верные: 0,6; 0,423; 0,286.
Решение. 1. Выделяем слагаемое с наименьшим числом верных
десятичных знаков: 0,6 (один десятичный знак).
2. Округляем остальные слагаемые до двух
десятичных знаков: 0,423» 0,42; 0,286» 0,29 и находим сумму
приближенных значений этих трех чисел:
0,6
+ 0,42
0,29
1,31
3. Округляем ответ на один знак: 1,31» 1,3.
Правила умножения и деления приближенных чисел:
1.	Выделить множитель с наименьшим числом значащих цифр (зна-
чащими цифрами числа, записанного в виде десятичной дроби, называ-
ют все его цифры начиная с первой слева, отличной от 0).
2.	Округлить все остальные множители так, чтобы каждое из них
имело на одну значащую цифру больше.
3.	Сохранить в результате столько значащих цифр, сколько их в
выделенном сомножителе.
Пример. Вычислить произведение двух чисел, в записи которых
все десятичные знаки — верные: 0,2743-0,72.
Решение. 1. Выделяем множитель с наименьшим числом верных
значащих цифр: 0,72 (две верных значащих цифры).
2. Округляем второй множитель до трех значащих цифр: 0,274.
3. В полученном произведении 0,274-0,72 - 0,19728 сохраняем
две значащие цифры, т. е. произведение 0,19728» 0,20.
Примечание. Если полученный результат промежуточный,
то в нем сохраняют на одну цифру больше.
При возведении в степень сохраняют столько значащих цифр, сколь-
ко их в основании степени.
ЗАМЕЧАНИЯ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ
Перестройка среднего математического образования в средней общеобразо-
вательной школе имеет непосредственное отношение к системе среднего образова-
ния в ПТУ. Считается необходимым обучать математике в средних ПТУ по тем же
учебным пособиям и учебникам, что и в школе. Этот факт следует приветст-
вовать, так как этим подчеркивается полноценность математического образова-
ния в средних ПТУ, которые в настоящее время проходят стадию становления
и развития.
Вместе с тем наличие общих требований к знаниям и совпадение разделов
программ еще не означает полной тождественности систем обучения, и поэтому
весьма возможно, что по мере развития средних ПТУ возникнет проблема созда-
4*
83
НИЯ своих собственных учебников, задачников и методических пособий, отлича-
ющихся от соответствующих книг общеобразовательной школы. Разработка та-
ких пособий может иметь место лишь на основе широкого эксперимента и доста-
точно веского научно-методического обоснования. Однако уже сейчас издание
дополнительной учебной и методической литературы по математике для средних
ПТУ целесообразно. Сборники задач по математике, содержащие производствен-
ные задачи по группе специальностей, а также сборники, освещающие и обоб-
щающие положительный опыт преподавателей, и ряд других учебных и методи-
ческих пособий нужны средним ПТУ уже сегодня.
Издание настоящего пособия связано с поиском экономного пути и методи-
чески аргументированного изложения некоторых новых разделов курса —эле-
ментов математического анализа . Эффективность предложенного пути необхо-
димо еще проверить в практике преподавания. Данное пособие служит целям
выявления основ для разработки в будущем курса математики для средних ПТУ,
который, возможно, будет отличаться от курса средней общеобразовательной
школы так, как, например, отличается курс математики в техникумах от курсов
школы и средних ПТУ.
Необходимость подобного рода экспериментов оправдывается различием
условий, в которых работают учащиеся средней школы и учащиеся средних
ПТУ — у них различные учебные планы, разное число часов в неделю, отводи-
мых на математику, разные сроки обучения (3 и 4 года вместо двух лет общеобра-
зовательной школы в IX и X классах).
В настоящем пособии излагаются лишь вопросы, в преподавание которых
вносятся изменения по сравнению с соответствующими вопросами IX и X клас-
сов. Предполагается, что остальной материал изучается по учебным пособиям
алгебры и начал анализа для IX и X классов. Поэтому в процессе эксперимента
у учащихся должны быть на руках и данное пособие,- и учебные пособия для IX
и X классов. При этом учитель, воспользовавшись методическими рекомендация-
ми, которые излагаются ниже, должен приложить определенные усилия, чтобы
согласовать работу по двум пособиям и успешно провести эксперимент, подгото-
вить учащихся к экзаменам.
Рассмотрим основные методические цели данного пособия. Ими являются:
а) выделение элементам математического анализа вспомогательной роли ап-
парата для изучения элементарных функций и их свойств. Поэтому этот матери-
ал не рассматривается в качестве специального объекта для детального изучения
в средних ПТУ, а служит лишь средством более научного изучения свойств эле-
ментарных функций и связанного с ними материала;
б)	выявление возможностей более компактного и доступного изложения эле-
ментов математического анализа сразу после восьмилетней школы;
в)	исследование возможностей и целесообразности изучения всех включен-
ных в программу вопросов математического анализа без разрыва во времени изу-
чения, в отличие от курса средней школы, когда производная изучается в IX
классе школы, а интеграл — в X классе. Это изменение в последовательности
изучения призвано высвободить значительное количество учебного времени и к
концу обучения дать возможность провести полноценное повторение всего курса;
г)	выделение дополнительного учебного времени на изучение других вопро-
сов программы: элементарных функций, алгебры многочленов, уравнений и не-
равенств и их систем за счет высвобождаемого времени из разделов «Производная
и интеграл»;
д)	повышение уровня усвоения знаний, умений и навыков учащихся средних
ПТУ за счет увеличения числа часов, выделяемых на изучение основного курса
математики.
Средствами достижения указанных целей при обучении по данному пособию
служат:
1)	полный отказ от теории и практики вычисления пределов последователь-
ностей; отказ от аппарата «е — /V»;
2)	значительное упрощение и сокращение теории и практики вычисления
пределов функции; аппарат «е — б» не является основным и необязателен для
усвоения всеми учащимися;
3)	признание в качестве основного понятия изучаемых элементов математи-
ческого анализа понятия о непрерывности функций с опорой на наглядное опи-
84
сание и представление этого свойства при вычерчивании графика функции без
отрыва карандаша от бумаги.
В результате предполагается получить более простой и доступный аппарат
математического анализа, которым будут пользоваться учащиеся при исследова-
нии функций. При этом необходимые пояснения проводятся на рисунках, при-
мерах и контрпримерах, наглядность которых призвана сделать материал до-
ступным. Этим изучение элементов математического анализа в средних ПТУ бу-
дет отличаться от вузовского изложения соответствующих вопросов и от изло-
жения их в техникумах.
Выбор методики изложения элементов анализа в данной книге объясняется
рядом причин общепедагогического характера. Во-первых, выбранная методика
позволяет высвободить время для усвоения учащимися средних ПТУ ряда при-
ложений математики, что само по себе ценно, так как служит политехническим
целям преподавания математики и способствует лучшему пониманию роли мате-
матики в познании реальной действительности, воспитанию у учащихся правиль-
ного мировоззрения. Во-вторых, избранный путь изложения элементов анализа
не лишает курс его научной и общеобразовательной ценности, хотя ряд сложнос-
тей и теоретических тонкостей удается обойти и не рассматривать с учащимися.
В-третьих, предлагаемое изложение более доступно, чем принятое теперь в шко-
ле и техникумах. Если это подтвердится в условиях реального преподавания и
учащиеся будут усваивать учебный материал, то можно будет сделать определен-
ные выводы о целесообразности создания учебных пособий и учебников для сред-
ни х ПТУ
Остановимся на некоторых вопросах конкретного использования данных
учебных материалов в процессе обучения, его сочетания с учебными пособиями
для IX и X классов общеобразовательной школы.
1.	Прежде всего отметим, что основной материал данного пособия — это
производная и интеграл и примыкающие к ним вопросы непрерывности и преде-
ла функции, исследование функций с помощью производной, применения произ-
водной, интеграл, первообразная и приложения производной и интеграла. Этот
материал в данном пособии изложен не так, как в школьных учебных пособиях,
и его предполагается изучать вместо соответствующего материала школьного
учебного пособия.
2.	Принцип математической индукции (причем, на наш взгляд, возможна
постановка вопроса о его удалении из программы средних ПТУ), комбинатори-
ка, тригонометрические функции и их производные, системы уравнений и не-
равенств изучают по учебным пособиям для общеобразовательной школы без
каких-либо изменений. При этом принятое в данном пособии изложение производ-
ной и интеграла подряд позволяет не разрывать тригонометрию. Компактное из-
ложение элементов анализа дает возможность использовать их более эффективно
в физике и специальных дисциплинах.
3.	Для лучшей ориентации преподавателя при использовании одновременно
данного пособия и учебных пособий по алгебре и началам математического анали-
за для IX и X классов школы ниже приводятся предложения о последовательности
изучения материала, согласно которым можно будет вести преподавание.
При этом порядок изложения материала, за исключением изучения интеграла
сразу за производной, остается таким, каким оно принято в соответствии с про-
граммой и тематическим планом для средних ПТУ. Это означает, например, что
принцип математической индукции и комбинаторика изучаются в средних ПТУ
на последнем курсе, в конце программы, но по пособию для IX класса. Некоторые
темы, как, например, действительные числа, изучаются по данному пособию
в разделе «Сведения из арифметики и алгебры IV—VIII классов», а не по учебно-
му пособию для IX класса. Логарифмическую и показательную функции предла-
гается изучать поданному пособию, тригонометрические функции и их производ-
ные — по учебным пособиям для IX и X классов, непрерывность и предел
функции, а также производную и интеграл — по данному пособию. Системы
уравнений и неравенств изучаются по учебному пособию для X класса.
В данном пособии по-иному, чем в учебном пособии для X класса, написан
раздел «Сведения из арифметики и алгебры IV—VIII классов». В нем содержится
лишь материал 8-летней школы.
85
Ниже помещен ряд материалов, который со всеми учащимися не рекоменду-
ется изучать, но учителю полезно их иметь под рукой и учитывать.
К пункту 7. Приведем доказательство правила вычисления предела суммы.
Положим А = limf(x) и В — limg(x). Тогда, по определению предела, будут
Х->Х0	Х-*Хв
непрерывны в точке функции
F(x)=! д(х)
I л
при х=/=х0,
при X = х0,
G(x) =
при
при
х=£х0,
х =х0.
Так как сумма непрерывных функций непрерывна, то функция
F(x)4-G(x) = |	+
v' I A+B
при x^=x0,
при x = x0
непрерывна в точке х,. А это по определению предела функции означает, что
lim (f (х) + g (х))= А + В lim f (х) + lim g (х),
х-*хв	х-*х0	х->х0
что и требовалось доказать. Остальные правила доказываются аналогично.
К пункту 9. В качестве примера на геометрический смысл производной мож-
но разобрать так называемую задачу о прожекторе (это установит и определен-
ные связи с курсом физики). Коротко эту задачу можно сформулировать так:
какой формы должно быть зеркало у прожектора? где поместить точечный источ-
ник света, чтобы все отраженные лучи образовали параллельный пучок?
Начнем с доказательства следующего факта: если взять параболу у = х2
(и представить себе, что это зеркало в плоскости) и лучи, параллельные оси орди-
нат (т. е. образующие параллельный пучок), то все они, отразившись, попадут
в одну точку. Эта точка называется фокусом параболы. Тогда ясно, что зеркало
прожектора можно получить, «провернув» эту параболу около оси ординат. Ис-
точник же света надо поместить в фокусе параболы.
При доказательстве мы будем пользоваться известным из физики законом
отражения света: «угол падения равен углу отражения» (рис. 106). А эти углы
Рис. 107
Рис 108
Рис. 106
для кривого зеркала определяются как угол между лучом и перпендикуляром
к касательной к зеркалу, проведенной в точке падения (отражения) луча
(рис. 107).
Возьмем произвольную точку Мо на параболе (рис. 108) с абсциссой
при этом SM0 || Оу — падающий луч, FMa — отраженный. Уравнение каса-
тельной М9Т имеет вид (см. пример на с. 27)
86
У =	+ 2х0(х — х0) или у = 2х0(х------------
Докажем, что AOPQ ~ AQAfoxo. Углы треугольников при вершине Q равны, как
вертикальные. Остается доказать, что равны катеты. Из уравнения касательной на-
ходим координаты точки Q, а именно: у = 0 и х = —— .
Следовательно, | 0Q | =
= | Qxq |. Таким образом, равенство треугольников доказано. Итак, Q есть
середина [РЛ401 т. е. FQ — медиана треугольника PFM0. Так как SAf0||Oz/, то
-4 Р = <4 SMqT. А в силу законов отражения -4 FM0P SMQT. Следовательно,
-4 FMqP и треугольник PFM0 — равнобедренный. Поэтому его медиана
FQ л PMQ. Обозначим через а угол наклона касательной М0Т к оси абсцисс Тогда
tga = (х2)'|ж=Хв = 2х0. Из прямоугольного треугольника OQP видно, что <х =
те
= — — -3 Р. Тогда из прямоугольного треугольника FQP получаем, что -4 PFQ —
- — <4 Р = а. Окончательно из треугольника OFQ имеем
Хр
|OQI 2	1
’	tg a 2хо 4
Этим доказано, что каждый луч, параллельный оси ординат, после отражения
проходит через точку (0;-L) — это фокус параболы. Поэтому если в фокусе па-
4
раболы поместить точечный источник света, то все отраженные лучи (от параболы
как от зеркала) будут параллельны оси ординат.
К пункту 11. Приведем некоторые пояснения относительно признака воз-
растания функции. Пусть/'(*) > 0 для всех х £ ]а; и хх < х2 — две любые
точки из этого интервала. Тогда при Дх 0 и достаточно малом в силу формулы
(3), п. 8 имеем
f (Xj + Дх) — f (Х!)= Д/ (xt) « f (хА) Дх > О,
так что f (хО < f (хг 4- Дх). Таким образом, мы получили точку ct = xt + Дх > Xi
и такую, что f (Xi) < f (q).
При этом точка q£]a;6[ и потому ff(cx) > 0. Повторяя приведенное выше рассуж-
дение, получаем точку q > q и такую, что
f (q) < f (q)-
Продолжая этот процесс, получим точки ск, хА < q < q < ... < сп < х2 и
такие, что
1 (*|) < f (Cl) < f(c2) < ... < f (c„) < f (Xt).
Этим доказано, что
/(xt)</(x2).
Признак убывания функции поясняется аналогично. Добавим еще одно замена-
ние. Мы все время говорили о возрастании (убывании) функции на интервале.
Однако если функция непрерывна в концах этого интервала la; Ь[, то она будет
возрастать и на отрезке (a; 6J. Этим мы, по сути дела, пользуемся при построении
графиков: граничные точки интервалов возрастания (убывания) присоединяем к
87
этим интервалам, а в этих точках при построении получаются (как правило )
экстремумы функции.
Приведем достаточные условия максимума (минимума).
Вторая производная и экстремум функции. Производная f'(x) в свою очередь
есть некоторая функция от х. Может оказаться, что эта функция тоже имеет про-
и зводную; эта новая производная называется второй производной функции т
и обозначается f" или у" и т. п. (читается: «эф два штриха», «игрек два штриха»
и т. п.), так что, по определению,
f" = (f'Y или у" = (у')' и т. п.
Например, если f(x) ~= х\ то f'(x) = 7xe, a f"(x) = (7хв)' = 42х*.
Оказывается, что точки максимума и минимума в ряде случаев легко разли-
чить по знаку второй производной. Об этом говорит достаточный признак экстре-
мума.
Теорема. Если /'(хо) = 0, а /"(хо) < 0, то х$ есть точка максимума функ-
ции f. Если f'(x^ = 0, а ("(х$) > 0, то Xq есть точка минимума функции f.
Пример. Найдем экстремумы функции fix) = 6х2 — Xs. Производная
f'(x) — 12х — Зх2 обращается в нуль при х = 0 и х - 4. Вторая производная
f"(x) — 12—6х, так что /"(0) ~ 12 > 0, т. е. точка 0 есть точка минимума;
/"(4) = 12—24 < 0, т. е. точка 4 есть точка максимума.
Докажем более слабое утверждение: если f (х^) — 0 и /" > 0 на интервале
b[, содержащем точку х0, то точка х0 есть точка минимума функции f (рис.
09).
В самом деле, f" — (f'Y > 0 и в силу признака монотонности функция
возрастает на интервале ]а; Ь\. Так как f'(x0) = 0, то /'(х) < 0 на интервале
--................. о__—		О..-о--
а	Л A	CL Хо	Ь \
Рис. 109	Рис. НО
}о; *ol (рис. 1Ю) и на этом интервале функция f убывает, т. е. f(x) > /(Хо) для
всех х из интервала ]а; х0[. А для всех х из интервала ]х0; выполнено неравен-
ство f (х) > 0, и поэтому на этом интервале функция / возрастает, т. е. /(х):>
> /<х0) для всех х из интервала ]xq; Ь[. Следовательно, для всех х =£= Хо из ин-
тервала ]а; Ь[ получено неравенство /(х) > /(х0), т. е. Хо есть точка минимума
Упражнения
Вычислите вторые производные функций:
469. х».	470. х« —Зх. 471. — .	472. }Гх.	473. Vx — Ъх.
X
Пользуясь достаточным признаком экстремума, найдите экстремумы у
функций:
474. f (х) = х® — Зх» _ 9Х.	475. f (х) =	.
476. f (х) -= Зх* + 10х + 3.	477. f (х) = — Бх* + 7х— 4.
478.	f (х) = ех* Ьх + с.
479.	Докажите достаточный признак минимума, считая известным достаточ-
ный признак максимума.
480.	Докажите утверждение: если f'(x0) = 0 и /" < 0 на интервале 1а;
содержащем точку х*, то точка Хо есть точка максимума функции /.
К пункту 12. Дадим теперь полную формулировку правила вычисления
производной сложной функции и его доказательство.
88
Теорема. Если функция g имеет производную в точке хь, а функция f имеет
производную в точке 2q = #(хь), то сложная функция F(x) = f(g(x)) имеет в точ-
ке Хо производную
Так как
F' (xQ) = g' М f' (g (х0)).
Г (*о) = Ьт ----------------------,
то, по определению предела, функция
и (г) =
z—Zq
при 2=/=20,
Г (*о) при
непрерывна в точке 20. Из равенства (2) следует, что
f (г) — f (*о) = (z — 20) • и (г)
(1)
(2)
(3)
для любого аргумента z. Действительно, при г = правая и левая части этого
равенства равны нулю и потому оно справедливо. Если же 2 ф 2ф, то равенство
(3) следует из первой строки равенства (2). Вычислим теперь F'(xo), пользуясь
равенством (3) й правилом вычисления предела произведения:
Г'/ ' Гт FW— f<*o)	/(£(*))— f(gM)
F (x0) = lim --------------= lim ------------------=
x->xe X — X0	x-+xt	X — Хф
_ lim	_ ,im (Hzm „„ „UW)=
Х->Л0	X--Xq	X->Xo X---X0 X->X0
= g' (Xo) U (g (x0)) == g' (x0) f' (g (Xo)).
При этом мы воспользовались тем, что функция u(g(x)) непрерывна в точке Хф,
так как она составлена из непрерывных функций. Поэтому linw(g(x)) = u(g(x^).
Но g(x0) = 2q по условию теоремы, a u(zQ) — f (z®) в силу равенства (2) (вторая
строка).
К пункту 13. При доказательстве признака постоянства функции обратное
утверждение, т. е. достаточность этого признака, доказано не было. Восполним
этот пробел.
Доказательство достаточности проведем методом от противного. Предполо-
жим, что g'(x) ~ 0 для всех х из интервала 1а; Ь[, но функция g не является пос-
тоянной на интервале ]а; Ь[, т. е. на этом интервале найдутся две точки xt и хх
такие, что g(xj =/= g(x2). Возьмем тогда вспомогательную функцию
Л (х) = g (х) + /?х,
где число k подобрано так, чтобы h(xx) = h(x2). Это равенство и позволяет найти
число k:
g (Xi) + kxi = g (Xi) 4- kxt,
откуда
. g(xi)-g(xi)
К —	~	.
X2 — Xi
Поскольку g(xj) ф g(x2) (по предположению), то k 0. Но тогда
Л' (*) = «' (x)4-fe = *=£0,
так как g'(x) = 0 no условию. Следовательно, Л'(х) сохраняет постоянный знак
89
на интервале ]а; Ь[, и потому функция Л возрастает или убывает на этом интерва-
ле, что противоречит равенству b(xt) = Л(х2). Это противоречие показывает, что
сделанное предположение неверно, т. е. функция g постоянна на интервале
к; Ь[.
Применение интеграла и производной в геометрии. В пособии рассматрива-
лись некоторые приложения интеграла—это введение логарифмической и показа-
тельной функции и вычисление площадей плоских фигур. Покажем, как систе-
матическое применение интеграла к решению ряда геометрических вопросов дает
заметную экономию времени.
Прежде всего следует сконцентрировать внимание на вопросе о площадях
подобных фигур. Соответствующий факт был отмечен в курсе геометрии VII
класса, но доказан только для много-
угольников, теперь он может быть до-
казан в общем виде.
Теорема. Отношение площадей по-
добных фигур равно квадрату коэффици-
ента подобия.
Очевидно, что доказательство дос-
таточно провести для криволинейных
трапеций, поскольку из них может быть
составлена любая фигура. Итак, пусть
S — площадь криволинейной трапеции
аАВЬ, ограниченной графиком неотри-
цательной и непрерывной на отрезке
1а; Ь] функции / (рис. 111). Тогда
ъ
S= f f(x)dx = F (b) — F (a),
a
где функция F есть первообразная для функции /. Пусть криволинейная трапе-
ция a1AlBibl подобна криволинейной трапеции аАВЬ (рис. 111) с коэффициен-
том подобия k. Если ее расположить так, что at — ka и bj - kb, то сверху она
будет ограничена графиком функции у — kf(^L). Первообразная для этой функ-
k
ции равна k2F(—) согласно теореме 4 из п. 14. Вычислим площадь Si криволи-
k
нейной трапеции а1Л1В1Ь,1:
$1 =
k2 (F (b) — F(a))=k2S,
поскольку выше отмечалось, что F(b) — F(a) — S. Теорема доказана.
Следствие. Площадь круга радиуса R равна к R2, где л есть площадь кру-
га радиуса единица.
Поскольку круг радиуса R подобен кругу радиуса единица с коэффициентом
подобия, равным R, а площадь круга радиуса единица равна к, то площадь круга
радиуса R равна nR2 в силу доказанной теоремы.
Как следствие, легко получается формула для длины окружности: длина
окружности радиуса R равна 2nR.
Проведем две концентрические окружности радиуса R и радиуса R 4- Л/?
(рис. 112). Площадь получившегося кольца приблизительно равна длине / ок-
ружности радиуса R, умноженной на ширину А/? этого кольца:
/ . AR ъ к (R + AR)2 — к/?2 = k2R • AR + к (AR)»,
и точность этого приближенного равенства тем больше, чем меньше AR. После
сокращения на AR получается / 2kR + AR. Переходя к пределу, получаем
точное равенство
90
I = lim (2к/? + ^/?) — 2k/?.
ДЯ->0
Значительные упрощения получаются и в стереометрии при вычислении
объемов тел и площадей сферы и ее частей. Начнем с вычисления объемов тел.
Пусть задано тело, объем которого И мы хотим подсчитать. Про это тело из-
вестно следующее: каждая плоскость, перпендикулярная оси Ох (которую обычно
выбираем мы сами) и пересекающая Ох в точке х, в сечении с телом образует
плоскую фигуру (рис. 113), площадь этой фигуры 3(х) нам известна как функция
от х. Тогда
Ь
V— JS(x)dx,	(4)
а
где а — наименьшее, а b — наибольшее значение х, при которых проводимые
плоскости пересекают рассматриваемое тело.
Пример 1. Доказать, что объем шара радиуса R равен —nR3. Проведем
3
ось Ох чере* центр шара, начало отсчета совпадает с центром шара (рис. 114)
Тогда площадь сечения S(x) есть площадь круга радиуса YR2 — х2 (рис. 115),
т. е. S(x) : к(/?2 — х2). Следовательно, по формуле (4), объем шара
V	/	х3 \
V -- I к (/?2 — х2) dx — к I /?2х —-j I = — к/?8.
Л	\	3 / J* 3
Аналогично получаются формулы для объемов частей шара.
Пример 2. Доказать, что объем усеченной пирамиды (конуса) высотой h
и с площадями оснований Q и q (рис. 116) равен
v (Q + /О? + <?) •
О
91
В частном случае, при q ~ 0, получается формула для объема пирамиды
(конуса)
У*
Проведем через вершину Р усеченного конуса (пирамиды) плоскость, парал-
лельную плоскости его основания. Ось Ох проведем перпендикулярно этой плос-
кости, начало отсчета О тоже в этой плоскости, по-
ложительное направление оси — от меньшего осно-
вания к большему (на рис. 117 ось Ох направлена
вниз). Плоскости оснований пересекают ось Ох в
точках а (верхнее основание площади q) и b (ниж-
нее основание площади Q), а< Ь. Высота h = Ъ—
— а. Проведем через точку х оси Ох плоскость,
перпендикулярную оси Ох. Она пересекается с усе-
ченным конусом (пирамидой) по фигуре, подобной
фигурам оснований (на рис. 117 эта фигура заштри-
хована). Коэффициент подобия (с нижним основани-
ем) равен Д. Поэтому площадь сечения S(x) и пло-
b
щадь нижнего основания Q связаны (см. теорему на
с. 90) равенством ' q" — I I, откуда
Q
SW=-7T*2-	(5)
О2
Отсюда по формуле (4) получаем искомый объем
л	О	Q	b* — a*	Q	Ь — а
V =	-2- х2 dx = —-----------= -7------— (М 4- ab + а») =
J	Ь*	№	3	Ь* 3
(6)
Остается определить неизвестное отношение—. Заметим, что площадь верхнего
b
основания q - S(a), и из формулы (5) получаем
Подставляя найденное значение дроби 3 в формулу (6), получаем
о
V=-^-(l+	’U-!j-(Q+VrQ5 + <z).
о \	*4 Ч J <3
Пример 3. Доказать, что объем шарового сектора
9
V	(7)
о
Где я _ радиус шара, а Н — высота соответствующего
сферического пояса.
Эту формулу достаточно доказать для случая, когда
сферический пояс является сегментной поверхностью (рис.
118). Здесь О — центр шара, ОМ — радиус шара, пер-
92
пендикулярный основанию сегментной поверхности, KL — радиус основа-
ния этой сегментной поверхности. Тогда J ОМ | = R, | КМ | = Я. Обоз-
начим q — R — Я, тогда (КЦ* = R* — Выберем ось абсцисс, совпадаю-
щую с прямой ОМ, начало координат в центре шара О и положительное направ-
ление по лучу ОМ. По формуле (4) получаем искомый объем:
V = j х(№ —x»)dx+yu|KL|»-|O/(| = «
Ч
1	2
+ — ж (RS — q«) q = я — R« — я
о	о
□ / о
2	2
= — nR* (R-q) =
О	о
что и требовалось доказать.
Отсюда получается общий случай. На рис. 119 изображено осевое сечение
шара плоскостью, перпендикулярной основанию шарового сектора. Сечение это-
го шарового сектора заштриховано. Объем V этого шарового сектора может быть
Рис. 119	Рис. 120
получен как разность объемов двух шаровых секторов. Больший из них имеет
объем Vi и высоту Hlt а меньший — V* и Я2. Тогда высота рассматриваемого ша-
рового сектора Я = Ях — Я2, а его объем
2	2	2	2
V = Vi — V2 = — Ях — — Я2 = — л Я*(Ях — Я2) = — лЯ«Я.
3	о	«5	о
Таким образом, формула полностью доказана.
Перейдем к доказательству формулы (4). Рассмотрим объем части тела,
расположенной левее точки х (см. рис. 113). Обозначим его V(x). Этим на [а; 6] оп-
ределена функция от х. Ясно, что V(b) = V, a V(a) = 0. Найдем производную
этой функции. Приращение
Д V = V (х + Дх) — V (х)
есть объем части тела, заключенной между плоскостями, перпендикулярными оси
Ох и проходящими через точки х и х 4- Дх (рис. 120). Этот объем приблизитель-
но равен объему цилиндра, указанного на рис. 121; его площадь основания рав-
на S(x), а высота равна расстоянию между плоскостями, т. е. Дх. Следовательно,
объем цилиндра равен S(x)Ax и
ДУ
Д V ъ S (х) Ах или —-  S (х),
точность этого равенства тем больше, чем меньше Дх. Но это означает, чт;о
93
S(x) = lim —— = V'.
Дх->0 Ax
Следовательно, функция V(x) есть первообразная для функции S(x), и потому
в силу формулы Ньютона — Лейбница
b
f S (ж) dx = V (b) — V (а) = V,
а
поскольку V(b) = V и V(a) = 0. Формула (4) доказана.
Упражнения
481.	Площадка, ограниченная линиями у = 2* * х, у = 0, х = — 1, х = 2,
вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем полученного тела вращения.
482.	Площадка, ограниченная линиями у = 1пх, у — 2, у = Q, х = 0 ,
вращается вокруг оси ординат. Найти объем полученного тела вращения.
483.	Площадка, ограниченная линиями у = 1пх, у = 0, х = 4, вращает-
ся вокруг прямой х = 5. Найти объем полученного тела вращения.
Продемонстрированный выше единый метод можно применить и для вычисле-
ния площади поверхности сферы и ее частей.
Докажем, что для сферы радиуса R площадь ее поверхности
S = 4к₽*.	(8)
Для этого сначала вычислим площадь Sc сегментной поверхности. Покажем,
что
Sc = 2nRH,
(9)
где Н — высота сегментной поверхности, a R — радиус сферы.
На рис. 122 приведено осевое сечение сфе-
ры плоскостью, перпендикулярной основанию
сегментной поверхности. Дуга АВ есть пере-
Г	сечение плоскости с сегментной поверхностью.
4<х г х>в/ Рассмотрим шаровой сектор, опирающийся на
--------------„ -......эту сегментную поверхность. Так как высота
х. ।...................сегментной поверхности Н = R(1 — cosa),
х. I У'	то объем шарового сектора (см. формулу (7),
I q,	с. 92) равен
у =-у л₽8(1 — cosa).
Рис. 122	Подобно увеличим шаровой сектор. Радиус
шара станет R 4- А/?, а объем шарового сек-
тора
2
У, = — к (R + АЯ)8 (1 — cos a).
3
На рис. 122 увеличенный шаровой сектор в сечении опирается на дугу А^В^^
Ясно, что
AR
и точность этого приближенного равенства тем больше, чем меньше AR. Под-
ставляя выражения для V и V\, получаем
2
Sc — х (1 — cos a)
3
(Я4-ДЯ)* —Я*
дя
94
точность этого приближенного равенства тем больше, чем меньше А Я. Следова-
тельно,
Sc = lim — х (1 — cos а)
AJ?->0 3
(Я + ДЯ)» —/?«
ДР
2
Но полученный предел есть производная функции — х (1 — cos а) х8 в точке х =
О
2
е= Я, т. е. — х (1 — cos а) ЗЯ8 = 2хЯЯ. Формула (9) доказана.
3
Формула (8) получается из формулы (9) при Н = 2R.
Упражнение
484.	Выведите формулу (8), пользуясь формулой для объема шара.
Применение интеграла в физике. Приведем пример применения интеграла
при решении задач из физики.
Пример. Найти работу переменной силы. Пусть на отрезке [а; 6] в каждой
его точке действует сила. Ее величина есть функция от точки х, обозначим ее
а х b
Рис. 123
Рис. 124
f(x). Предположим* (для простоты), что сила параллельна отрезку [а; 6], так
что достаточно рассматривать ее как скалярную величину, и что функция /(х)
непрерывна (рис. 123).
Покажем, что работа А этой переменной силы на отрезке [а; может быть
подсчитана по формуле
ь
А = f f(x) dx.
а
(10)
Подсчитаем работу силы f не на всем отрезке, а на его части, т. е. отрезке
[а; х] (рис. 124). Эта работа есть функция от х, обозначим ее Л(х). Найдем произ-
водную этой функции. Приращение функции Л (х)
равно ДЛ = Л(х Дх) — Л(х) и (рис. 125) есть
работа силы / на отрезке |х; х 4- А*ь Поскольку --------„
сила меняется непрерывно, то указанная работа ц х х*Лх Ь
&A^f(x)bx	(11)	рис 125
откуда
ДЛ
Дх

точность этого приближенного равенства тем выше, чем меньше Дх. А это озна-
чает, что
ДЛ
l'm —Г— =/(*)•
Дх
95
Поскольку левая часть этого равенства есть производная А'(х), то мы нашли, что
Л' (*) = /(*)•
т. е. Л(х) есть первообразная для функции f(x) и потому
ь
f f(x)dx=4(fr)-4(a)
а
по формуле Ньютона — Лейбница. Остается заметить, что Д(д) = А и А(а) =»
= 0 по смыслу функции Л(х). Поэтому из последней формулы следует формула
(U).
Упражнения
485.	Найдите работу, затрачиваемую на растяжение пружины из спокойного
положения до удлинения /.
У казаки е. Сила сопротивления пружины удлинению х равна kx.
486. Материальная точка массы М притяги-
вает материальную точку массы m по закону все-
а	мирного тяготения Ньютона. Точка массы т уда-
____.. ч	ляется по прямой от точки массы М от расстоя-
—V	* J ния а до расстояния b (рис. 126). Найдите рабо-
М ь	ту, затрачиваемую на преодоление силы притя-
жения.
Рис. 126	487. Канал имеет в разрезе вид равнобочной
трапеции высотой h и с основаниями а и b(b >
>а, 6—верхнее основание). Найдите силу, с ко-
торой вода, заполняющая канал, давит на
плотину.	z
488.	Определите силу давления воды на стенки аквариума.
489.	Вода, подаваемая снизу в цилиндрический бак, заполняет его пол-
ностью. Определите затраченную при этом работу.
490.	На прямой лежат материальная точка массы т и однородный матери-
альный стержень, масса которого М и длина I. Они притягиваются по закону все-
мирного тяготения Ньютона. Найдите силу этого притяжения, если расстояние
от точки до стержня равно г.
491.	Капля воды с начальной массой М падает под действием силы тяжести
и равномерно испаряется, теряя ежесекундно массу т. Какова работа силы тя-
жести за время от начала падения капли до ее полного испарения?
492.	Какую работу нужно произвести, чтобы насыпать кучу песка в форме
конуса, высота которого Н и радиус основания /?? Удельный вес песка равен d9
и его поднимают с плоскости основания конуса.
493.	Однородный стержень длиной I = 20 см вращается в горизонтальной
плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец. Угловая ско-
рость вращения (о = 10тсс-1. Поперечное сечение стержня S = 4 см*, плот-
ность материала, из которого изготовлен стержень, у = 7,8 г/см3. Найдите
кинетическую энергию стержня.
494.	Однородная прямоугольная пластинка со сторонами а=50 см и Ь=
= 40 см вращается с постоянной угловой скоростью со = Зя с-1 вокруг стороны
длиной а. Найдите кинетическую энергию пластинки,4если ее толщина d = 0,3
см, а плотность материала, из которого сделана пластинка, у = 8 г/см3. (Тол-
щиной пластинки пренебречь!)
495.	Однородная пластинка в форме треугольника с основанием а = 40 см
и высотой Л = 30 см вращается вокруг основания с постоянной угловой ско-
ростью со = бжс-1. Найдите кинетическую энергию пластинки, если ее толщина
а = 0,2 см, а плотность материала, из которого изготовлена пластинка , у =
= 2,2 г/см3. (Толщиной пластинки при расчетах пренебречь!)
96
496.	Пластинка в форме треугольника с основанием а и высотой h погружена
вертикально в воду так, что ее основание лежит на поверхности воды. Подсчитай**
те силу давления воды на пластинку. Во сколько раз увеличится сила давления,
если повернуть пластинку в вертикальной плоскости на 180°, оставив всю ее
под водой (вершина на поверхности)?
497.	Какую работу надо совершить, чтобы в пять раз сжать воздух, находя-
щийся в цилиндре с поршнем?
Интеграл как предел сумм. Интеграл вычисляется очень просто, если перво-
образную можно выписать при помощи формулы. Но часты случаи, когда этого
сделать нельзя. Как тогда вычисляется интеграл? В таком случае интеграл вы-
числяется приближенно. Проще всего это сделать (если подынтегральная функ-
ция положительна) следующим образом: построить график подынтегральной
х, х2 хл хп., b
Рис. 128
функции и подсчитать приближенно площадь получившейся криволинейной тра-
пеции. Последнее можно выполнить так: разобьем криволинейную трапецию на
вертикальные полосы (рис. 127), подсчитаем площадь полосы приближенно, за-
меняя ее площадью прямоугольника, получим: для первой полосы эта площадь
будет равна /(qXxx — а), для второй полосы /(q)(x2 — xj и т. д. для л-й поло-
сы f\cn){b — хя-1). Следовательно, вся площадь, т. е. интеграл, приближенно
равна сумме этих площадей:
b
J f(x)dx^f(cl)(xl — a)+f(ct)(xt — xi) + ...+ f(c„)(b — x„_1).	(12)
а
Чем уже полосы, на которые разбита фигура, тем точнее это равенство, и точ-
ность его может быть сделана как угодно большой. Означает это следующее:
для любого числа е > 0 можно подобрать такое число б > 0, что при любом
выборе точек хЛ, сЛ, а < q < хх < q < х2 < ... < хя-1 < сп < 6, удов-
летворяющих условию Л = max(x£+i — хд) < 6, разность между правой и
левой частью формулы (12) будет по модулю меньшее. Сокращенно это записыва-
ется так:
Ь
J f (X)dx = lim (/(Cl) • (х,— a) +f(ct)  (x2 — x,) + ... + /(c„) • (b — x„_i)). (13)
a
Суммы, стоящие под знаком предела, называются интегральными суммами, а ра-
венство (13) коротко читают так: <интеграл равен пределу интегральных сумм».
Изучение интеграла можно начать, определив его формулой (13), а потом
доказать формулу Ньютона — Лейбница. Оказывается, что тогда интеграл су-
ществует и для ряда разрывных функций, т. е. определение при помощи формулы
(13) более общее. В приложениях иногда удобно пользоваться формулой (13), а
иногда определением, данным в п. 15. Почти любую задачу на применение интег-
рала можно решать и тем и другим методом.
Дадим, например, вывод формулы (10) с использованием предела интеграль-
ных сумм. Разобьем весь отрезок [а; Ь] на п отрезков точками хх, х2, ..., хп_\
(рис. 128). Работа силы f на всем отрезке [а; Ь) равна сумме работ этой силы на
составляющих отрезках. Эти работы подсчитаем приближенно, (так же как и
97
при получении приближенного равенства (11): работа на первом отрезке прибли-
женно равна f(a)* (х>	п), и точность этого приближенного равенства тем выше,
чем короче отрезок [a; xj; работа на втором отрезке |xt; х2] приближенно равна
f(xi)*(*2 — *i)» и точность этого приближенного равенства тем выше, чем короче
отрезок |х>; х4]; и, наконец, работа силы на последнем отрезке [хл_1; Ь] приб-
лиженно равна f(xn_i)-(b — хл_|), и точность этого равенства тем выше, чем
короче отрезок [хл_!; Следовательно, работа А /(а)(х> — а) 4- /(xt)X
Х(ха — хх) 4- ••• 4-	и точность этого приближенного равен-
ства тем больше, чем меньше длина наибольшего из отрезков, на которые разбит
отрезок [а; Ь] (его длина была обозначена через А). Но это означает, что
А = lim (f (в) (х, — а) + f (xi) (х2 — xt) + ... + f (х„_,) (b — x„_,)).
х-»о
Правая же часть этого равенства в силу формулы (13) равна интегралу от а до
b функции /(х), так что
ь
А = J f(x)dx.
а
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
1.3. 2. 2. 3. 3. 4. 3. 5. — 2. 6.-2. 7. —3. 8. 2. 26. См. рис. 129.
при 0 < t < 20,
28.	| 7,8х при 0 < х < 10,
т — <
(8,9х—11 при 10<х<25;
при 20<J<70; см. рис. 130.
см. рис. 131.
х2 при 0<х< 1,	30. Рис. 19, возрастание
2 —(2 —х)2 при 1 < х < 2; см. рис. 132.
на промежутках [—5; —3J, [—1; 1], [3; 5]; убывание на промежутках [—3; —1J,
[1; 3J. Рис. 20, возрастание на промежутках [—3; —1], [Г, 3] [5; 7]; убывание
на промежутках [—5; —31, [1; 1|, [3; 5]. Рис. 21, возрастание на промежутках
[-—6,5; —6], [—3; —2],	1; 0J, [3; 4J, [5; 6], [9; 9,5]; убывание на промежут-
ках [—6; —51, [—4; —31, [0; 1], [2; 3], [6; 7], [8; 9]. Рис. 22, возрастание на
промежутках ]—6; —5],	4; —3], [0; 11, [2; 3], [6; 71, [8; 9]; убывание на про-
межутках [—6,5; —6], |—3; —2], |—1; 0], [3; 4|, [5; 6], [9; 9,5]. Рис. 23,
возрастание на промежутке [3,5; 6|; убывание на промежутках ]—2; 3[, [3; 3,5],
99
Гб; 10]. Рис. 24, возрастание на промежутках [—6; —4], [—3; 3]; убывание на
промежутках [—7; —6], [—4; — 3]. 31. Возрастание на промежутке [1; оо[; убы-
вание на промежутке ] — оо ; 1]; см. рис. 133. 32. Возрастание на промежутке
]__оо ; 1]; убывание на промежутке [1; оо [; ‘см. рис. 134. 33. Возрастание на
промежутке [—1; со [; убывание на промежутке ] —оо ; — 1); см. рис. 135. 34. Воз-
Рис. 133	Рис. 134	Рис. 135
растение на промежутке ]—оо; —1]; убывание на промежутке [—1; со[; см. рис. 136.
35. Возрастание на промежутке [—1; оо[; убывание на промежутке ]—оо ; —1];
см. рис. 137. Зв. Возрастание на промежутке [1; оо [; убывание на промежутке
J — оо ; 1]; см. рис. 138. 37. Возрастание на промежутке [0; оо [; убывание на
промежутке ] — ©о; 0]; см. рис. 139. 38. Возрастание на промежутке ]—оо; 0];
убывание на промежутке [0; оо [; см. рис. 140. 39. Возрастание на промежутке
100
£
2
станке на промежутке I — оо
; убывание на промежутке
см. рис. 142. 41. Возрастание на промежутке
оо| ; убывание на проме-
убывание на промежутке
жутке I— оо
см. рис. 143. 42. Возрастание на
промежутке — оо;
рис. 144. 43. Рис. 26.
1
2 1
первая оста*
Поезд, идущий в пункт А, остановок не имел; 1) поезд, вышедший из пункта А,
останавливался на расстоянии 80 км и 140 км, первая остановка длилась 10 мин,
вторая — 20 мин; 2) первый поезд встретился со вторым на расстоянии 80 км от А
и через 95 мин после отправления; 3) наибольшая скорость
90 км/ч. Рис. 26. Поезд, шедший в пункт А, остановок
не имел; 1) первый поезд (вышедший из пункта А) оста-
навливался на расстоянии 90 км и 140 км,
новка длилась 12,5 мин, вторая — 20 мин; 2) встреча
поезда произошла, когда первый поезд был в пути уже
150 мин; 3) наибольшая скорость у первого поезда была
80 км/ч на первом перегоне. 44. 1) см. рис. 145; 2)
3,5 с; 3) через 2,47 с. 45. № 30, рис. 19, максимумы
в точках —3 и 1; минимумы в точках— 1 и 3; рис. 20,
максимумы в точках — 1 и 3; минимумы в точках — 3;
1 и 5; рис. 21, максимумы в точках — 6; 0; 6; миниму-
мы в точках —3; 3 и 9; рис. 22, максимумы в точках
— 3; 3; 9; минимумы в точках — 6; 0; 6; рис. 23, мини-
мум в точке 3,5; максимум в точках 3 и 6 (точка—
2 не является точкой экстремума); рис. 24, максимум в
точке — 4; минимум в точках —би —3. № 31. х = 1 —
минимум; №32. х = 1 — максимум; № 33. х—— 1 —
минимум; № 34. х = — 1 — максимум; № 35. х = — 1
— минимум; № 36. х = 1 — минимум; № 37. х = 0 —
минимум; №38. х = 0 — максимум; №39. х = — 1,5 — минимум; №40. х=1,5 —
максимум; № 41. х = 0,5 — минимум; № 42. х — — 0,5—максимум. 46. Рис. 29,
максимум; рис. 30, максимум; рис. 31, нет экстремума; рис. 32, максимум; рис. 33,
минимум; рис. 33, минимум; рис. 34, нет экстремума. 47. а) 3,2; б) 5,03; в) 0,3;
г) 0,06. 48. а) Дх = 0,3 и Ьу = 1,29; б) h -0,05 и А/= 0,3775. 49. а) Ьу ъ
^—0,00198; б) Ду —0,001107; в) Ьу ъ 0,001861; г) Ду ^0,001115.
50. а) Ду = — 2Дх: б) Ду = Ух9 + Дх— |<Хе; в) Ду = 2Лх(2хо + Дх); г) Ду =
= Дх(3 —2хо —Дх). 51. Дх%0,2 и Ду 0,2. 52. Рис. 40, Дх= — 0,3 и
Ду == — 0,1; рис. 41, Дх = 0,3 и Ду = — 0,4; рис. 42, Дх = — 0,2 и Ду = 0,3.
53. Рис. 10, разрывы в целых точках; рис. 16, 18, разрывные функция; рис. 13—
15, 17, 19—22, 25—28 , 35 , 38—44 , 47, непрерывные функции; рис. 23, разрывы
у первого поезда равна
101
2 и 3, f(—2) = О, /(3) —3; рис. 24, разрывы в точках—3 и 3, ДЗ)=0,
1, рис. 29—34, х0—точка разрыва; рис. 45, разрыв в точке 0, рис. 46,
разрыв в точке 0; рис. 48, разрывы в целых точках,
значения функции равны 0. 54. г/ =10—x-f- 10 х
[х 1
-jjj- , где у — время ожидания поезда в мину-
тах, х — время прихода пассажира в минутах; эта
функция разрывная; см. рис. 146.
в точках—; . ,
/(—3) = — Г, рис. 29—34,
10
0\
10	20 JO 40 л
У
Рис. 146
X	Дх	х 4- Дх	f (х)	f (х + Дх)	Ы (х)
— 2	-0,3	-2,3	4	5,29	1,29
— 2	-0,2	-2,2	4	4,84	0,84
— 2	— 0,1	-2,1	4	4,41	0,41
— 2					
— 2	0,1	- 1,9	4	3,61	— 0,39
— 2	0,2	— 1,8	4	3,24	. — 0,76
— 2	0,3	— 1,7	4	2,89	— 1,Н
X	Дх	х 4- Дх	1 (х)	f (х ч- Дх)	Af (х)
3	0,3	3,3	1/3	0,(30)	—0, (03)
3	0,2	3,2	1/3	0,3125	—0,0208(3)
3 о	0,1	3,1	1/3	0,322580	—0,010752
о 3	— 0,1	2,9	1/3	0,3448275...	0,0114942...
3	— 0,2	2,8	1/3	0,3(571428)	0,0(238095)
3	— 0,3	2,7	1/3	0, (370)	0, (037)
X	Дх	х4-Дх	f (х)	f (х4-дх)	Ы (х)
— 1,8	0,3	-1.5	—5,832	—3,375	2,457
— 1,8	0,2	— 1.6	—5,832	—4,096	1,736
— 1,8	0,1	— 1.7	—5,832	—4,913	0,919
— 1,8	-0,1	-1,9	—5,832	—6,859	— 1,027
— 1,8	-0,2	—2,0	—5,832	—8,000	—2,168
— 1,8	—0,3	—2,1	—5,832	—9,261	—3,429
58. а) пять, б) шесть, в) четыре, г) четыре. 69. Это произведение двух непре-
рывных функций (kx 4- b)2 = (kx + b) • (kx -|- Ъ). 70. Это произведение трех не-
прерывных функций: х3 —х • х • х. 71. Это произведение п непрерывных функ-
ций, каждая из них равна fex-f-6. 72. Это сумма двух непрерывных функций:
bx-Ь-с и ах2, 73. Это частное двух непрерывных функций 2х + 3 и 5 — 7х,
причем знаменатель не обращается в нуль в области определения. 74: Это част*
ное двух непрерывных функций 2 — Зх и 5 4-х8, причем знаменатель всюду отли-
102
цен от нуля. 75. Область определения этой функции — множество всех действи-
тельных чисел х, удовлетворяющих условию х=£ ±3. Здесь эта функция непре-
рывна как частное двух непрерывных функций,* у которого знаменатель не
обращается в нуль. 76. Область определения этой функции — множество всех
чисел х, удовлетворяющих неравенству х ± 1. Следовательно, здесь эта функ-
ция есть частное двух непрерывных функций, причем знаменатель не обращается в
нуль. 77. Область определения этой функции —все числа, удовлетворяющие не-
равенствам х> 0 и х¥= 2. Числитель этой функции непрерывен при х>0. Зна-
менатель непрерывен всюду и не равен нулю при х^=2. Следовательно, внутри
области определения эта функция непрерывна. 78. Область определения этой
функции — все числа, удовлетворяющие условию х#=1 их#=2. Числитель этой
функции есть непрерывная функция. Знаменатель этой функции — тоже непре-
рывная функция (см. упр. 72) и не обращается в нуль в области определения.
Следовательно, заданная функция непрерывна в своей области определения. 79.8.
80. — 2. 81. 1. 82. —0,2. 83.
7
—. 84. —47. 85. —3. 86. 8. 87. 3/2,
6
88. ---------- . 89. 12 . 90. Зх*. 91. -----. 92.	-----------
°	3^25
93. —0,25 . 94 . 0,25 .	95. —3 .	96 . 0 .	97. —1/3 . 98. 1. 99 . 0,6.
100.	Рис. 56,	0,5;	рис.	57,	2.5.	103. Зх2. 1		104. 4х*.	1
								105.		•
								2^~х
1	107.	— 2.	108.	2		109. 1.	110. 0.	111 -2-
3 J/'x2'				З^Т				1,1	X2
112. k. 113. 2ax-\-b.		114.	1 2 ’	115.	1 4	. 116.	0,1. 117.	4- 3	3
2 119. —. 120. 15	а) Д/	Дх	; б)	Д/«	Дх 4	; в) д/	»0,1 Дх.	121. а) Д/«
100Дх; б) Д/« — Дх; в) Д/« —Дх; г) Д/« —0,01Дх.	123. у =>
= — 2х и у = 2х — 4. 124. у = х и у = 1 — х.
и у = — 2 — х. 126. «/ = 2 —х, у = 3 —Зх и
>Г(х0). 128. а) 2; б) 2. 129. Зх2 — 2х. 130.
132.
135.
138.
У —
21
30Х&4- — 4- 10. 133.
х8
х2 (бх4 — 80х — 21)
(7 + 5х4)2
21 . 5/—
— Х»/Т4
1	1
2	’ у~~ 2
х2(15+х2)
(5 + х«)2 •
30x2 4-25—-^-
125. у = — Зх — 3, у = Зх—6
У = 3х + 6.	127. g'(*o)>
2
4х*4-4х.	131. Зх*—— .
х*
4х
136.
134.
— 41
(5x4-3)*
6
137.
(3 — 5х»)*
139. £/ = х —4. 140. у~1—х. 141. у = х,
142. у = 2(1 4-х),
у =	у=-1. 144. Мак-
5
5	з/—
— у х* —3 .
3 F
симум в точке —2, минимум в точке 0, на промежутке (—2; 0] функция убы-
вает, на промежутках ] — оо; —2] и [0; оо | функция возрастает. 145. Минимум
в точках 0 и 2, максимум в точке 1, на промежутках между точками экстремума
функция или убывает, или возрастает. 146. Минимум в точке 1, максимум в точ-
ке — 1, разрыв в точке 0; возрастание на промежутках ] — оо; — 1] и [1; оо[;
убывание на промежутках (— 1; 0[ и ]0; 1]. 147. Минимум в точке 2, разрыв в
точке 0; возрастание на промежутках J — оо; 0[ и [2; оо[; убывание на проме-
жутке |0; 2J. 148. Минимумы в точках 1 и — 1, разрыв в точке 0; возрастание на
промежутках [—1; 0[ и [1; оо[; убывание на промежутках] — оо; —1] и ]0; 1].
149. Максимум в точке 1, минимум в точке — 1; возрастание на промежутке
103
[— 1; 1J; убывание на промежутках [—оо; — 1] и [1; ooj. 150. Максимум в
точке 3, минимум в точке — 1; возрастание на промежутке [— 1; 3J; убывание на
промежутках ] — оо; — 1] и [3; оо[. 151. Максимум в точке 3, минимум в точ-
ке 5, в точке 0 нет экстремума, функция возрастет на промежутках ] — оо; 3] и
[5; оо [, убывает на промежутке [3; 5|. 152. Максимум в точке 5, минимум в
точке — 1; возрастание на промежутке [— 1; 5J; убывание на промежутках J—оо;
— 1} и [5; оо[. 153. Максимум в точке —3, минимум в точке 1; убывание на
промежутке [—3; I]; возрастание на промежутках ] — оо; — 3] и [1; оо[.
154. Диаметр цилиндра равен его высоте. 155. Образующая в ^/З” раз больше
высоты конуса. 156. Диаметр бревна в >/*3” раз больше основания балки.
157. Диаметр полушара в j/T раз больше стороны основания. 158. Диаметр
шара в раз больше высоты цилиндра. 159. Высота конуса в четыре раза
_	aS
больше радиуса шара. 160. Стоимость плавания со скоростью v равна — +
S
4- kv9 • —
v
где S — расстояние между портами, k — коэффициент, наиболее
3 Г а
v = 1/ —.	161. Сторона основания равна V 2V .
экономичная скорость
162. Отложить на
стороне угла от его
а и b — расстояния точки М
вершины отрезок, равный
от сторон угла. Отклады-
вать отрезок на стороне, расстояние до которой равно Ь. Через М и конец от-
резка провести прямую. 163. Отрезок, отсекаемый от стороны угла, в два раза
больше расстояния точки К от другой стороны угла. 164. Сектор имеет цент-
рал ьный угол, равный 120° • /ТГ.	165. Искомая точка М такова, что
АВ = 3 AM. 166. Каждое слагаемое равно 4. 167 . 2 4- 1/120. 168. 3 — 1/90.
169.2 — 3/640. 170. 3— 1/108. 171. 1,07. 172. 0,84-. 173. 1/5 + 3/16000.
174. 1/21.	175. —1/135. 176.—0J. 177.-0,003.	178. 100 (2х — З)48.
179.	—	200	(7 — 5х)39.	180.	34х (х2	+ 4)1в.	181. — 46х (9 — х2)22.
182.	—	16 (5	4 6х) (7	— 5х	— Зх2)15.	183.	39 (10х 4 4Х3) (х4 +
4 5х2 4 З)88.	184.
186.
— 6
7 /--------
7 V (7 — 2х)4
- 3(4х34 6х)	_ Зх2 4 7
----------- 185. ———————
(х4 4 Зх2 4 5)4	5/-----
5 У (х3 4 7х)4
1
Т/ 1	\
187. (2х 4 З)4 (7-х) I 19 — — 6x1 . 188. — (5 — 2x)e X
X (Зх + I) 4 fse — + — х) . 189. ------''	1	.190. ---,.3
1 2	4 1	<» + з>Ч^+Т
1	3
191. у — 6 — — — х. 192. у = 1 4 3х/193. Область определения [—Г, 1]; макси-
4	4
мум в точке х — 0. 194. Область определения ]—оо ; 3]; максимум в точке 2.
195. Область определения [— |/~2; 1^2 ]; максимум в точке 1; минимум в точке
X4	X6	X2	з	2	/
— 1. 196.— . 197. —. 198.—^—. 199. 3 у х. 200. — Vx». 201.-1- у хг
1SXL. — 1/7,. 203.	. 204. JL 1/7». 205. — /х». 206. 2— х.
4	х	5	5	2
104
И	*э	x*	*Г~
207.-г-4-С (№196); — 4-С(№197); — 4-С(№198); 3 у х 4-С(№ 199);
о	3 з/—	3 з/—	_1
/л? 4-С (№ 200); — у * + С(№201); — у х* 4-С (№202);---4-
з	2	•	х
3 з/—	2 . 	1
4-С(№203); — у х»4-С(№204); — /7*4-С(№205); 2 —х4-С(№ 206).
5	5	2
л®	2 ___	1	—
208. --4-3. 209. —У"? 4-2,6. 210. 0,5 — —. 211. 2/7—7.
3	>	5	х
212.	а) 2У*+ 1; б) 2VT— 1; их разность равна 2; график второй — ниже,
з/—	— 1	1
213.	Обе	первообразные	равны	ЗУ	х +	2. 214.	а)	- —4;	б) 20 — — ; их
х<	5	5	5/—
разность равна 24; график второй — выше. 215. —— + — + С. 216. — х у x-j-
4	х	6
4-1,бУх»4-С.	217.	~^~ + ~+с-	2W- у-/"** — 6Ух4-С.	219.	-у—
3	1	3 з/—	з/—	;	л»
-----х«4-3х4--—— 4-С. 220. —у х’— 3 у х» — —4-С. 221. —---4х4-С.
4	2х*	7 r	г	х	2
222.	у- 4-ЗХ4-С. 223. у- У"з? 4-2х4-С. 224. -у-4- х»4-4х4-С. 225. -у- 4- Зх 4- С.
(2х 4- 5V5	1	__1
—is—+с- ^--ss-o-^+c. «• |00(4,+3). +с-
1	2	,______	3 з/-
30(7^3х)1о +с- 230. — У (7 4-Их)’4-С. 231. - — У 5-2х4-С.
232. |_-|-y3^7i + C. 233.	~5 И-С. 234.-------j- У(1-8х)»4-С.
7	1о (4 УХр	4
15	2	1
235. —236. —. 237. 6. 238. 3. 239. 4,5. 240. 11 — . 241. L 242. 0.
4	5	4
243. 0. 244. —3. 245. 2. 246. —2. 247. 0. 248. 9-^-. 249. о= ®.4-Л, х = х#4-
О
о2 3
+ — tt 250. 1) —; 2)	; 3) 0. 251. 122,375; 9,77. 252. 8R4-
2	2g g
4-^-*; R + ~T- 253. y't =(2x— 2)»; y" = 2t>». 254. (3x* — 4x)t>, (6x —4)0*.
3	4
2	2	2	5
255. 8— . 256. 11 — . 257. 4— . 258. 11,25. 259. 12,4. 260. 2. 261. -rr- .
3	3	3	12
262. 0,55. 263. -y . 264. -y . 265. y-. 266. 4,5. 267. 0,1. 268. 4,5. 279. 1,0986.
280. 5,4424. 281. —4,0746. 282. 1,7713. 283. 3,5820. 284. 0,5804. 285. —2,6802.
105
a..	«7. —1,3986. Ж. -к 295, j-X. «. —
2x4-1	3	1
2»7. ----- „ ,-•• З*8-	----7"- 2»®- —*--TT • 300. inx.
(x? 4-x—3) ln5 x» + x —2	аг — х»
1	In (2 4- |<x)	1
301.	. 302.—	/.	+—-------—• 303. j» = x— I. 304. у =
Ух»+ 4	2 Ух 2 (2 + Ух)
х	1	1
=------4- 1 —  - . 305. 0,02. 306. —0,04 . 307. 1 4---. 308. Inx4-
31n3 In3	10 In 10
4-С. 30». 3lnx4-C. 310. 4- 1пх4-С. 311. 1п(х4-2)4-С. 312. 51n(x4-3) +C.
5
313.
ЗД7.
323.
329.
1	5	7
— in (2x4-6) 4-С. 314. — in (Зх 4- 2) 4- С. 315. in (—х) 4-С. 316. In—.
2	3	3
in 9. 318. 4 — 2 In 3. 31». 4 In 2. 320. 3 In 2. 321. 5 In 2. 322. 10 in 10 — 9.
ln(2 4-yr5). 324. alna—a-f-1. 326. 4,728. 327. 8,825,328. 0,01697.
In 5
0,7396. 333. — 3e'»x. 334. 2 - 3iV in 3. 335. 5^*
2 Vx ‘
336. — 2xe~x‘
337.
(0,3)x(x1 2 In 0,3 + 2x). 338.
2x2lnx • 1пЗ— 1
X in2 X
• 3J
339.
— ЛХ Inx. 340.
3/----
у Inx
341
3 4-(i — x inx » in 2) • 2х
x(2x + 3)2
342. (/ = x4-L
343. y —
in (3e) — x In 3
3
344.
Функция определена при
определена при х > 0 и х 1;
347 ~
1
.	345. Функция
Максимум в точке 1.
348. Функция опре-
- * — I А V < >-»
x > 0; минимум при
минимум в точке е. 346.
Функция определена при х=£ 0; минимум я точке 1.
в точке е; минимум в точке — . 349. — е2Л-^-С
делена при x > 0; максимум
e
350. —-е^4-С. 351.
1	— 1	2
—— 3^ + C. 352. —— 7-^+C. 353. — X
5 In 3	2 in 7	5
X in (5х 4- 1) — ——
'	7 In 3
2
358.
I^-20’3^-
5
In 10 '
359.
363.
366.
U; 7;
U; 7}.
37Х4-С. 354. —— 2*х-|--------------- 2х  0,3~х
2 In 2 In 2—In 0,3
I
355. e» — 1. 356. —
О
12
^25 In 5
кот, Солнце; жук). 364.
4,48
in 10
360.
361.
1
Зе3 ‘
26
91пЗ
357.
e2 — e"3<
362. {7}
{кот; Земля}.
365 . 0
Земля; _____„ ________________________ %______ __	,	_
367. 12,291. 368. 31,626. 369. 0,6315. 370. 87,75. 371. 43,942
106
372. 0,01073 . 373 . 5,27 . 374 . 0,00407 . 375. D= 12, К = 144 . 376. D = 5,
К = 120. 377.	0 = 45, К =675.	376. D = 36, К = 432 . 379. D = 600,
2	4	3
К = 9 324 000. 380.0= 1800, К = 648000. 381. —> —. 382. -------- >
7	21	11
2	2	7	8	И
> —. 383 . 0,04 < — . 384. — . 385. — . 386 . 3,286 . 387.—— .
9	45	12	75	1500
500	23	184
388.	. 389 . 0,(18). 390. 0,41(6). 391.	—- .	392. 5 99	—. 393. 9. 495
	3	1	5
	•МН»	«Ж ^MV	
394 . 32 . 395 . 64 . 396. 1. 397. х-2. 398.	х2 . 399. а 2	400. 26 .
г
1	__ 1	т
401.	----- . 402. /7. 403. —j---------. 404 . 2’3 . 405 . 2*. 406 . 3 .
407. аг/а“. 408 . 2а /ба”. 409 . 2х frx .	410. 20. 411. 4. 412. 0.
413. 100. 414. 0,2. 415. 1 приа^О. 416. а° {  «*7- — 2(а + 5) при
a^b. 418. х2 при х2 + </2э*=0. 419. ах(х + а).	420. Зу(у — 2).
421. (54-1)2. 422. (х — 1)2(х+1). 423. (2|. 424. {— I). 425. ]— 2; со[.
426. ] —оо;5[. 427. J — оо; — 2(. 428. ] —оо; — 1 (. 429. (—4; 2].
430. {(1; 2)). 431. {(1; —1)}. 432 . 0 . 433. ((2 + Зу, у)}, у £ Я —любое.
434. (6;2). 435.	{—I; — -у|. 436. (а —6) (а+ 4). 437. 3(х— 2) X
/	। \
X 1х—— 1. 447. См. рис. 147. 448. См. рис. 148. 449. См. рис. 149.
\	о /
450., См. рис. 150.
451. См. рис. 151.	452. См. рис. 152.
107
<Z>- 455. См. рис. 154.
456. См. рис. 155.
Рис. 155
— l;JU(2;co|. 464. ] — 3, 1 (. 465. ] — 2; 3(. 466.0. 467. Я. 468. {3).
108
2	— 1	— 1
469. 20k3. 470. 90k*. 471.—. 472. ----------—. 473. ----—. 474. Ми-
«•	4 /Г»	4/9
ннмум при х = 3; максимум при х = — 1. 475. Минимум при х =— 1; макси*
5	7
мум при х= 3 . 476. Минимум при х = — — . 477. Максимум при х = —.
b
478. Если а > 0, то минимум при х = — — ; если а < 0, то максимум при х —
Ь	кбЗ	к
= -^Г- 48,< Т7Г7 • 482- V («‘-О’	483 •	я (241п4 — 22,5) .
Хи	О 1П X	X
• k	/1	1 \	2а + Ъ
485. — 1*. 486. kmM I— — — . 487. —7— Л*. 488. (a + 6)ft*. где
г, 2 '	\ a b J	о
а,д и h — размеры аквариума, Л —высота. 489. 0,5S№, где Н—высота бака,
S — площадь его поперечного сечения. 490. kmM : (r(r-)-Z)). 491. —-- .
6m2
л	1	a	aid
492.	— R*H*d. 493. — S^^Z8. 494.	—	495.	а>2Л8.
а	а
496. — Л2 и — Л2; увеличится в два раза. 497. р0И1п5, где р0 — на-
о	3
чальное давление в цилиндре, V — его объем.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие.................................................. 3
Глава I . Функция и ее производная........................... 5
§ 1.	Функция ................................................ 5
1.	Понятие функции и ее графика (повторение)......	5
2.	Изменение	функции................................... 8
3.	Экстремум	функции.................................. 10
4.	Приращение	аргумента и приращение функции ....	12
§ 2.	Непрерывность	функции.................................. 14
5.	Наглядное	представление о непрерывности функции . .	14
6.	Формулировка понятия непрерывности функции в точке .	19
7.	Предел функции..................................... 21
§ 3.	Производная ........................................... 25
8.	Определение производной............................ 25
9.	Геометрический смысл производной................... 27
10.	Правила вычисления производной..................... 29
11	Применение производной............................. 32
12	Сложная функция и ее производная .................. 36
Глава II. Интеграл........................................   38
§ 4.	Первообразная.......................................... 38
13.	Основные свойства первообразной.................... 38
14.	Правила нахождения первообразных................... 41
§ 5.	Интеграл.............................................. 43
15.	Формула Ньютона—Лейбница........................... 43
16*. Нахождение координаты по заданной скорости и ско-
рости по заданному ускорению...................... 45
17.	Нахождение площадей плоских фигур.............. 46
18.	Основные свойства интеграла.................... 48
19.	Логарифмическая функция............................ 49
20.	Экспонента........................................ 53
Глава	III. Сведения из арифметики и алгебры IV—VIII
классов ....................................  58
21.	Множества и операции над ними...................... 58
22.	Правила арифметических действий.................... 59
23.	Делимость чисел.................................... 51
24.	Признаки делимости................................. 52
25.	Обыкновенные дроби................................. 53
26.	Степень...........................................  55
110
Стр.
Z7. Порядок выполнения арифметических	действий . . . .	66
28.	Пропорции и проценты.............................. 68
29.	Координатная прямая. Модуль числа................. 68
30.	Тождества. Тождественные преобразования..........	70
31.	Многочлены........................................ 70
32.	, Уравнения и неравенства......................... 72
33.	Функции и графики................................. 77
34.	Последовательности . . . ’........................ 82
35.	Приближенные вычисления........................... 82
Замечания для преподавателя...............................  83
Ответы к упражнениям....................................... 99
Семен Исаакович Шварцбурд,
Олег Сергеевич Ивашев-Мусатов
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
И.Б. №-986
Редактор М. М. Панурина
Художник М. В. Алисова
Художественный редактор В. П. Спирова
Технический редактор Н. А. Битюкова
Корректор Г. И. Кострикова
Сдано в набор 19/Х 1976 г. Подл, к печати 10/1 1977 г Формат 60x 90*/i«-
Бум. тип. № 3.Объем 7 печ. л. Усл. п. л. 7. Уч.-изд. л. 6,61. Изд. № СП-535.
Тираж 100000 экз. Зак. № 808. Цена 18 коп.
План выпуска литературы издательства
«Высшая школа» (профтехобразование) на 1977 г. Позиция № 4.
Издательство «Высшая школа»
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14
Ярославский полиграфкомбинат Союэполиграфпрома при Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
150014, Ярославль, ул. Свободы, 97.
18 коп.