Л.М. ПИХТАРНИКОВ
А.И. ПОВОЛОЦКИЙ
основы
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
(книга для учителей математики
старших классов средних школ)
h
dd№
Санкт-Петербург
1997
ББК 22.12
Л 45
Л.М.Лихтарников, А.И.Поволоцкий.
Л 45 Основы математического анализа. Книга для учителей математики
старших классов средних школ. / Оформление обложки А. Олексенко,
С. Шапиро.— СПб.: Издательство Лань, 1997.— 304с.
ISBN 5-86617-016-7
Пособие предназначенно для учителей математики средних
учебных заведений, начинающих работать по программе начал ма-
тематического анализа, входящих в школьный курс математики.
Оно поможет учителю улучшить свою подготовку путем самооб-
разования. Пособие будет полезно учащимся старших классов
школ с математическим уклоном.
ББК 22.12
Охраняется законом РФ об авторском праве.
Воспроизведение всей книги или любой ее части
запрещается без письменного разрешения издателя.
Любые попытки нарушения закона будут
преследоваться в судебном порядке.
© Издательство«Лань», 1997
© Л.М. Лихтарников,
А.И. Поволоцкий, 1997
© Издательство «Лань»,
художественное оформление, 1997
3
Настоящая книга “Математический анализ” предназначена для учи-
телей математики средних учебных заведений.
Прошло более двух десятилетий после введения в школьный курс
математики начал математического анализа, а создание в школах клас-
сов с математическим уклоном привело к преподаванию в этих классах
курса “Математический анализ».
Написание предлагаемой книги преследовало две цели:
1) Обеспечить учителя математики старших классов книгой, содер-
жащей достаточно полный минимум сведений по математическому ана-
лизу, необходимый учителю в процессе преподавания начал анализа.
2) Дать учителям старших классов с математическим уклоном учеб-
ное пособие по курсу “Математический анализ”.
В связи с этим, авторы стремились излагать материал в краткой и
доступной форме, не снижая его научного уровня. Книга состоит из
четырех разделов:
1.	Введение в математический анализ.
2.	Дифференциальное исчисление.
3.	Интегральное исчисление.
4.	Основные понятия теории дифференциальных уравнений. В
изложении материала этих разделов широко используются простейшие
понятия математической логики (формулы алгебры логики и логики
предикатов). Учитывая, что элементы математической логики не входят
в школьный курс математики, в книгу включено приложение, в кото-
ром излагаются основные понятия математической логики. С приложе-
нием можно познакомиться до начала работы над основным содер-
жанием книги.
Текст книги снабжен иллюстрирующими примерами, призванными
помочь читателю приобрести необходимые навыки в решении задач.
Нумерация чертежей в книге сквозная. Нумерация формул сохраня-
ется только в рамках одного параграфа.
Для нумерации задач используется два индекса: первый индекс -
номер задачи в упражнении, второй индекс — номер раздела в книге, к
которому относится упражнение.
4
Раздел I
Введение
в математический
анализ
5
Глава I
Множество действительных чисел
1.	Действительные числа
Математический анализ является аппаратом для изучения различ-
ных процессов, в ходе которых изменяются изучаемые величины (дли-
на, скорость, температура и т. д.). Эти величины характеризуются чис-
лами (численными значениями). Поэтому понятие числа играет важную
роль в математическом анализе. Здесь мы ограничимся описанием мно-
жества действительных чисел и тех их свойств, которые используются в
дальнейшем изложении.
Множество рациональных чисел
Понятие числа прошло длинный путь развития. Вначале, в связи с
необходимостью пересчета конкретных предметов, возникли простей-
шие числа — натуральные числа. Множество этих чисел бесконечно и
образует натуральный ряд чисел
N = {1,2, 3,...,л,...}
Операция вычитания натуральных чисел привела к множеству це-
лых чисел, {0, 1, — 1, 2, —2, 3,..., л, —«,... }. Операция деления целых
/ Р
чисел привела к множеству рациональных чисел, то есть чисел вида ~
ч
где ри q целые, причем 0*0 .
тт	Р Р
Два рациональных числа ~ и ~ считаются равными, если pqx = pxq.
Ч Ч\.
Поэтому каждое рациональное число можно единственным образом предста-
Р
вить в виде несократимой дроби “, где р и # взаимно простые И£ > 1.
тт	8-5-11
Например, —-т = —= —, где ~ несократимая дробь.
— 16 10	2	2
Рациональные числа обладают следующими простейшими СВОЙ-
СТВАМИ:
1.	Арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и
деление, кроме деления на нуль) над рациональными числами приво-
дят снова к рациональным числам.
6
2.	Множество рациональных чисел упорядочено, то есть для любой пары
различных рациональных чисел а и b справедливо одно из двух: либо а
больше b (а > Ь, иначе b < а), либо b больше а (Ь> а, иначе а < Ь).
3.	Множество рациональных чисел плотно, то есть для любой пары
различных рациональных чисел а и Ь, а < Ь, существует промежуточное
,	, тт	а+Ь
рациональное число с, а < с < Ь. Например, таким числом будет с =	.
Очевидно, промежуточных рациональных чисел для а и b бесконечное
множество.
Множество рациональных чисел достаточно для решения многих за-
дач. Так, например, уравнение первой степени ах 4- b = 0 с целыми
коэффициентами (а * 0) разрешимо в множестве рациональных чисел.
Однако простейшее квадратное уравнение х2-л = 0, где л натуральное,
уже не всегда разрешимо в множестве рациональных чисел. Покажем,
например, что неразрешимо уравнение х2 = 2, то есть среди рациональ-
ных чисел нет такого числа, квадрат которого равен 2.
„	„ т
Для доказательства предположим противное. Пусть — — искомое
/	\2
[ т\ -
число, то есть 1 — 1 =2. Так как можно произвести сокращение, то
дробь — можно считать несократимой. Из равенства т2 = 2п2 следует,
что число т2 делится на 2, а потому и т — четное: т — 2р. Тогда 4/?2 =
2п2 или 2р2 = п2. Отсюда следует, что п число четное, то есть т и п не
взаимно простые, а это противоречит тому, что дробь — несократимая.
Итак, наше предположение о том, что существует рациональное чис-
ло, квадрат которого равен 2, неверно.
Множество рациональных чисел обозначается через Q.
Иррациональные числа
Так как множество рациональных чисел недостаточно для решения
ряда задач, то возникла необходимость введения новых чисел, назван-
ных иррациональными. Объединение множества рациональных и ирра-
циональных чисел называют множеством действительных (или веществен-
ных) чисел и обозначают через R.
Существуют различные способы введения иррациональных чисел.
Укажем один из них, основанный на понятии бесконечной десятичной
дроби.
7
Каждое положительное рациональное число — по известным прави-
п
лам арифметики можно превратить в десятичную дробь
— = a0,ata^3...a„OOO...	am*0,
п
где а0 - целая часть десятичного разложения, al9 а2, av... — десятичные
знаки (цифры). При этом получаются либо конечные десятичные дроби
(дроби с нулем в периоде)
— = ^,^^...«„000... йи*о,
п
либо бесконечные периодические дроби
п
(набор цифр bv.. bk,отличный от нуля, периодически повторяется). Пер-
вый случай сводится ко второму, так как
™=ц),ц...ц^МЮ... = ц),ц...(ця-1)999...
Равным рациональным числам, очевидно, соответствуют одинако-
вые бесконечные периодические десятичные дроби. Отрицательному pa-
ra	га
циональному числу - — соответствует десятичное разложение числа —,
взятое со знаком минус, а нулю — разложение 0,000... Итак, каждому
рациональному числу, отличному от нуля, единственным образом
соответствует бесконечная периодическая десятичная дробь, не со-
держащая нуля в периоде.
Существуют и непериодические десятичные дроби, например,
0,121121112... или 0,101001000... Такие дроби и принимаются в качестве
иррациональных чисел.
Таким образом, каждому действительному числу единственным об-
разом соответствует бесконечная десятичная дробь периодическая, если
число рациональное, и непериодическая, если число иррационально.
Для действительных чисел по десятичным разложениям естественно
определяются равенство и сравнение при помощи знаков “>”, “<” строгих
неравенств (или знаков ", “< ” нестрогих неравенств).
Так для положительных чисел а^а^а^... и p^b^bfaby.. имеем
а = р, если '^к(ак=Ьк) и а<р, если Э1Чк<1 (ак=Ьк,а(<Ь(). Если а
8
отрицательно, а р положительно, то а <0< р. Если р отрицательно, а а
положительно, то p<Q<a. Если же а и р оба отрицательны, то
а = р<=> -а = -р и а<р<=>-а>-р.
Для каждого иррационального числа а =	рациональные чис-
ла ±ц),ца2...яда000... и ±aQ,ala2...(am + 1)000... являются приближениями (одно
с недостатком, а другое с избытком) с точностью до 10"w. Используя
рациональные приближения иррациональных чисел с различными точ-
ностями, можно для всех вещественных чисел ввести арифметические
операции и изучить свойства этих операций. Подробно этот вопрос мы
рассматривать не будем.
Изображение действительных чисел на числовой прямой
Геометрическое представление множества рациональных чисел мо-
жет быть получено следующим образом. На некоторой прямой линии
(рис. 1) выбираем точку 0 в качестве начала отсчета, положительное
направление и отрезок — масштаб. После этого выбора прямая назы-
вается числовой осью. Обычно числовую ось располагают горизон-
тально, а за положительное направление берут направление слева
направо. Целые числа на числовой оси изображаются точками, отсто-
ящими от 0 на соответствующее целое число единиц масштаба, нуль
изображается точкой 0.
1 *
 4
-1	0	1 А 2
Рис. 1
Если отрезки между этими точками разделить на п равных частей, то
получим точки, изображающие рациональные числа — со знаменате-
п
лем п. Придавая п всевозможные натуральные значения, получим в ре-
зультате множество точек на числовой оси, изображающих всевозмож-
ные рациональные числа, или, короче множество рациональных точек
оси. Равные рациональные числа, очевидно, изображаются одной и той
же точкой, а неравные — различными точками, причем большее число
изображается точкой, лежащей правее.
Исчерпывают ли рациональные точки множество всех точек оси?
Пусть отрезок О А является диагональю квадрата со стороной, равной
единице масштаба. Если х длина отрезка О Ав единицах масштаба, то
9
по теореме Пифагора должно выполняться равенство х2 - 2. Но, как
было показано выше, х не может быть рациональным числом. Следо-
вательно, точка А не является рациональной, и множество рацио-
нальных чисел не заполняет всю числовую ось.
Важным следствием введения иррациональных чисел является тот
факт, что каждой точке числовой оси единственным образом соот-
ветствует некоторое действительное число и наоборот. Действитель-
но, пусть А точка на числовой оси (рис. 2), не являющаяся рацио-
нальной точкой. Пусть для определенности А лежит на положитель-
ной полуоси. Найдется натуральное aQ, такое, что Я лежит между точ-
ками aQ и aQ + !. Разделив отрезок между aQ и aQ ,+ 1 на десять равных
частей, найдем точки а0,а} и я0,(ц +1), между которыми лежит Я. Ана-
логично найдем точки и	и т.д. В результате этого
процесса найдется иррациональное число a=aQ,ala2a3..., соответству-
ющее точке Я. Верно и обратное, для каждого действительного числа
а можно найти соответствующую точку А на числовой оси.
а0»а1	а0,
..I	1	1-1-Н-►
ао-----------------------------------д О(г1~1
Рис. 2
Тесная связь между действительными числами и точками на число-
вой оси приводит к тому, что в дальнейшем между понятиями “действи-
тельное число” и “точка числовой оси” не делается различия, а изуче-
ние числовых множеств становится равносильным изучению точечных
множеств на оси.
Основные свойства множества действительных чисел
Приведем без доказательств совокупность основных свойств мно-
жества R. Эта совокупность интересна тем, что может быть принята за
систему аксиом, из которой как следствие выводится вся теория дей-
ствительных чисел.
I.	Для любых aj> gR однозначно сопоставлен элемент R, называемый
суммой й обозначаемый а + b, причем для V«,/>,cgR:
l)a+b = b + a (коммутативность сложения);
2)	(а + Ь) + с — а + (Ь + с) (ассоциативность сложения);
3)	а + 0 = а (свойство нуля);
4)	а 4- (~а) = 0 (свойство противоположного числа).
10
II. Для любых a,beR однозначно сопоставлен элемент R, называе-
мый произведением и обозначаемый а Ь, причем для V«,/>,cgR:
1)	a-b^b-a (коммутативность умножения);
2)	(а-b)-c = a(b-c) (ассоциативность умножения);
3)	a l = a (свойство единицы);
4)	для Уа^ОЗя"1 gR (а а~' =1) (существование обратного числа).
III. Для сложения и умножения имеет место дистрибутивность, то
есть для Va,Z>,cGR
a-(b+c) = a-b+b-c
IV. Для любых a,b gR выполнено по крайней мере одно неравенство,
или а<Ь, или Ь<а, причем для V«,Z>,cgR
1)	а<а (рефлексивность);
2)	а<Ь и b<a=>a = b (закон тождества);
3)	а<Ь и Ь<с^>а<с (транзитивность).
Перечисленные свойства означают, что R является линейно упоря-
доченным множеством.
4)	a<b=>a+c<b+c (сохранение неравенства);
5)	0<я и O<Z>=>O<a Z> (правило знаков).
V.	АКСИОМА АРХИМЕДА. У a gR 3 п gN (а < п).
VI.	АКСИОМА ДЕДЕКИНДА о свойстве полноты или непрерыв-
ности. Пусть R = где А и В два непустых непересекающихся множе-
ства таких, что ЧаеАЧЬеВ (а<Ь) (рис. 3). Тогда существует с gR такое,
что
УасЛУ^сВ (a<c<b)
А	’ В
Рис. 3
О множествах Л и В говорят, что они образуют дедекиндово сечение,
а о числе с, что оно производит сечение. Это число с принадлежит либо
Л , либо В. В первом случае с в Л наибольшее (при этом в В наименьшего
числа нет), а во втором случае с в В наименьшее (при этом в А наиболь-
шего числа нет). Единственность с очевидна.
11
Заметим, что множество рациональных чисел обладает всеми свой-
ствами I—V, но свойством полноты VI не обладает.
Действительно, пусть, например, В — множество положительных
рациональных чисел, квадрат которых больше, чем 2, а А — остальные
рациональные числа. Тогда А и В, как нетрудно видеть, образуют деде-
киндово сечение множества рациональных чисел. Но числа с, произво-
дящего сечение, среди рациональных чисел нет, так как для этого чис-
ла должно быть с2 = 2. Следовательно, свойство полноты является результа-
том введения иррациональных чисел.
Существуют и другие формулировки свойства полноты R, эквива-
лентные теореме Дедекинда. Они будут рассмотрены ниже.
2. Модуль действительного числа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Абсолютной величиной или модулем числа fleR
называется число |а| G R , равное самому а, если а неотрицательно, и
равное ~а, если а отрицательно.
. . 1л, еслия>0
[- а, если а < 0.
Из определения модуля а ясно, что |я| — неотрицательное число.
Отметим геометрический смысл абсолютной величины: |о| — это рассто-
яние между точками О и а на числовой оси.
Легко проверить справедливость неравенств
-|а|<а^|4
Действительно, если я>0, то справа будет равенство, а левое нера-
венство очевидно, если же я<0, то слева будет равенство, а правое
неравенство будет очевидным.
Абсолютная величина обладает свойствами:
СВОЙСТВО 1. Пусть b — положительное число, тогда равносильны
следующие неравенства 1) |х|<b и 2) -Ь<х<Ь.
Действительно, пусть выполнено 1). Тогда при х > 0, очевидно, - b < х
и, кроме того, х = |х|</>. При х < 0, очевидно, х<Ь и |х| = -х<Ь, откуда
х>-Ь. Следовательно, выполнено 2).
Пусть выполнено 2). Тогда при х > 0 имеем |х| = х < b, а при х < 0 из
неравенства -Ь<х получаем £>>-х = |х|, то есть выполнено 1).
12
СВОЙСТВО 2 (неравенство треугольника). Модуль суммы двух чисел
не превосходит суммы их абсолютных величин
Название свойства объясняется тем, что для векторов это равенст-
во означает сравнение длины одной стороны треугольника с суммой
длин двух других сторон.
Для доказательства сложим почленно неравенства
-|я|<я<|а| и-$<£><$.
Получим
4|а|+|й|)<«+г><|а|+|/>|.
но по предыдущему свойству это равносильно доказываемому нера-
венству треугольника.
Методом математической индукции неравенство треугольника мож-
но обобщить и получить неравенство
|ц + ^+...+ди|<|ц| + |«2|+...+|ап|.
Действительно, для п = 2 неравенство доказано. Предположим, что
оно справедливо для п = к:
|ц + а2+...+ак\< |ц| + |ог|+...+|«*|,
и докажем его для п = к 4- 1. По свойству 2 имеем
|ц +О2+...+Д* +л*+1| = |(ц +«2+...+в*) + а*+1|<|ц +<%+...+а*| + |а*+1|.
Если теперь воспользоваться предположением справедливости нера-
венства при п = к, то доказательство будет завершено.
СВОЙСТВО 3. Модуль разности не меньше разности модулей данных
чисел
Действительно,
И = |(a-Z>) + 6| <|а-£| + |6|,
откуда и вытекает доказываемое неравенство.
ЗАМЕЧАНИЕ. Если учесть, что |fl-Zj| = |« + (-Z>)|<|a| + |-Zj| = |a| + |Z)|, то для
разности двух чисел справедливы неравенства:
13
5.=h.
«2 h
Отметим геометрический смысл величины |а --1& - а| — это рассто-
яние между а и Ь на числовой оси.
СВОЙСТВО 4. Абсолютная величина произведения и частного равны
соответственно произведению и частному абсолютных величин данных
чисел
|ц-а2-...-ал| = |ц|-|<%|-...-|ая| и
Это свойство следует из определения абсолютной величины и пра-
вила знаков при умножении и делении.
3. Точечные множества на числовой оси
Как уже отмечалось, изучение множества R вещественных чисел
равносильно изучению множества точек числовой оси. При этом понятие
“число”, “больше”, “меньше” заменяются геометрическими понятия-
ми “точка”, “правее”, “левее”.
Рассмотрим простейшие точечные множества часто встречающиеся в
дальнейшем изложении.
1.	Множество точек х прямой, удовлетворяющих условию а<х<Ь9
называется замкнутым промежутком или сегментом (отрезком) и обоз-
начается [л, 6].
2.	Множество точек х прямой, удовлетворяющих условию а<х<Ь9
называется открытым промежутком или интервалом и обозначается (a,Z>).
Таким образом, сегменту [я,принадлежат не только точки, содер-
жащиеся между а и Ь9 но и сами точки а и Ь9 то есть концы промежутка,
а интервалу (л,/>) принадлежат только точки, содержащиеся между а и b
3.	Множество точек* прямой, удовлетворяющих условию а < х < b или
а<х<Ь называется полузамкнутым (полуоткрытым) промежутком или
полусегментом (полуинтервалом) к обозначается соответственно [я, 6) или
(М-
Общее обозначение для промежутков любой природы
Интервалы и полуинтервалы могут быть бесконечными. Так интер-
вал (- оо,+оо) есть вся числовая ось; интервал («,-ню) есть множество точек
х , удовлетворяющих условию а < х (лежащих справа от а ), а интервал
14
(-оо, а) есть множество точек х, удовлетворяющих условию х < а (лежа-
щих слева от а).
Введем теперь важные понятия, относящиеся к произвольным мно-
жествам Е числовой оси.
I.	Множество Е называется ограниченным снизу, если существует
бесконечный полусегмент [а,+оо), содержащий Е , другими словами,
если
ztaVx еЕ(х>а).
Число а называется нижней границей множества Е ( рис. 4 ).
X
----1	1—11 I 11 I F I 	-
«-----------------------------------Е
х
----1 1 I H-I—I—I-1------- --------------
Е	ь
Рис. 4
Множество Е называется ограниченным сверху, если существует бес-
конечный полусегмент (—»,£], содержащий Е, то есть
ЭЬЧх еЕ (х<Ь).
Число b называется верхней границей множества Е (рис. 4).
Очевидно, для ограниченного снизу множества существует беско-
нечно много нижних границ, а для ограниченного сверху множества
существует бесконечно много верхних границ.
2.	Множество Е называется ограниченным, если оно одновременно
ограничено снизу и сверху, то есть
3a,b\fx еЕ (а<х<Ь)
(существует сегмент [a, ft], содержащий £).
Очевидно, для ограниченного множества Е можно указать такое о О,
что Е с: [- с, с]. Тогда для Vx g Е выполнено условие - с < х < с или |х| < с.
3.	Точка т называется нижней гранью множества Е, если она являет-
ся наибольшей из нижних границ Е. Нижняя грань обозначается т = inf Е
(читается infimum Е).
Точка М называется верхней гранью множества Е, если она является
наименьшей из верхних границ Е. Верхняя грань обозначается М = supE
(читается suprenum Е).
15
Очевидно, определение нижней грани w = infE равносильно двум
условиям:
l)Vx gE (х>ли); 2)Уе>0Эх'gE(x'< ли + с),
а определение верхней грани М = supE равносильно двум условиям:
1)	Ух gE (х<Л/); 2) VoOBx' gE(x' > М - с) (см. рис. 5).
ПРИМЕРЫ. 1. Для промежутка (а,Ь) числа а и b будут соответствен-
но нижней и верхней гранью.
П ЛЛ	17 fl 1 1	1
[23 п
гранью 1.
3.	Множество N= {1,2,3,...} имеет нижней гранью 1, а верхней грани
не имеет.
Следующая теорема является одной из формулировок свойства пол-
ноты или непрерывности R, то есть эквивалентна аксиоме Дедекин-
имеет нижней гранью 0, а верхней
тп m+е	£
х	х'
----1-1—-I-1-1----1--1---1 - -.....
Е	М-е М
Рис. 5
ТЕОРЕМА. Всякое множество на числовой оси, ограниченное снизу
(сверху), имеет нижнюю (верхнюю) грань.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что утверждение теоремы следует
из аксиомы Дедекинда. Пусть Е - множество, ограниченное снизу.
Через А обозначим множество всех нижних границ Е , а через В —
множество остальных точек оси. Проверим, что А и В образуют деде-
киндово сечение.
Множество А непусто, так как Е ограничено снизу, а В непусто, так
как для х gE по аксиоме Архимеда существует п > х, то есть п еВ. По
определению В множества Я и Б не пересекаются и R = AUB.
Наконец, для любых аеА и ЬеВ найдется xgE такое, что х<Ь
(так как b не является нижней границей), но а< х и потому а< Ь. Итак,
А и В образуют дедекиндово сечение.
16
Пусть т число, производящее сечение. Покажем, что т является
искомой нижней гранью Е. Предположим, что теВ . Тогда найдется
хеЕ, что х<т. По свойству плотности R найдется число с, что
х<с<т. Правое неравенство здесь говорит о том, что се Л, то есть с
является нижней границей Е, а левое неравенство этому противоре-
чит. Следовательно, предположение о том, что т еВ, неверно, и те А,
но тогда т наибольшая из нижних границ, что и требовалось дока-
зать.
Утверждение о существовании верхней грани у ограниченного свер-
ху множества доказывается аналогично.
Нетрудно видеть, что аксиома Дедекинда, в свою очередь, выте-
кает из теоремы о существовании граней. Действительно, множества,
образующие дедекиндово сечение, ограничены: одно сверху, другое
снизу, а их грани совпадают и производят сечение.
17
Глава II
Функции
1. Отображения множеств
Пусть Хи У—два произвольных множества и пусть каким-то спосо-
бом f каждому элементу хеХ поставлен в соответствие один и только
один элемент у еУ. Тогда соответствие х-+у (или /(х)) называется
функцией с областью определения X и областью значений, лежащей в Y
(рис. 6).
Рис. 6
При этом х называют аргументом (х еХ), у — называют значением
функции (уеУ), а закон соответствия/- функцией или отображени-
ем. Кроме того, у называют образом элемента х, а х соответственно
прообразом элемента у.
Подчеркнем, что в определении функции (отображения) нет надо-
бности, чтобы каждый у был образом некоторого х и не требуется,
чтобы разным значениям х соответствовали разные значения у.
Проиллюстрируем это на конкретном отображении. Пусть мно-
жество X - это множество точек окружности, a Y множество точек
прямой прямой, касающейся окружности (рис. 7).
Восстановим из точки касания перпендикуляр и возьмем на нем
произвольную точку О, лежащую вне круга. Возьмем на окружности
произвольную точку х и проведем из точки О луч, проходящий через
18
точку х до пересечения с прямой К Точку пересечения луча с прямой
обозначим через у. Поставим в соответствие точке х точку у (х -> у).
Нами построено отображение окружности на прямую. Очевидно,
что при заданном отображении окружность переходит в сегмент .
Отсюда следует, что если взять точку у, лежащую на прямой вне сег-
мента [c,tZ], то она не будет образом никакого хеУ.
Из чертежа же видно, что при заданном отображении две разные
точки окружности (flj и а2) переходят в одну точку b на прямой.
Введем следующие определения:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Совокупность всех элементов из У, образом ко-
торых является элемент beY, называется полным прообразом элемента
beY и обозначается
В нашем примере f~\b) =	•
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пусть Я — некоторое подмножество из У. Сово-
купность {/(«):« еЛ} всех элементов вида /(а), где аеА, называется
образом А при отображении f и обозначается /(Л).
В нашем примере образом дуги является сегмент [>>,/>], то есть
Лед) = [j'.ft].
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Для каждого множества Б из У его полный прооб-
раз f\B) есть совокупность всех тех элементов из У, образы которых
принадлежат В,
Заметим, что f~\B)aX.
В нашем примере полным прообразом сегмента [.г,£] является
xjq U х^, то есть = xjq U х^-
Из определения полного прообраза множества вытекают два соот-
ношения.
1) /(/Ч(В)) = В.
2)
Первое соотношение — это просто символическая запись определе-
ния. Второе легко проверяется. Проиллюстрируем его на нашем приме-
ре.
Лед) но/ ‘[у,fe] = Xft и ед
19
ИЛИ
ед)) = ед U ед
(в примере роль множества А играет xfq) и xfq U ед z> ед.
В определении функции (отображения) мы подчеркивали, что нет
надобности, чтобы каждый у еУ был образом некоторого х еХ. Таким
образом, не исключена возможность, что у некоторых уеУ полные
прообразы будут пустые множества, это как раз и означает, что в эти
элементы никакие хеХ не переходят.
Может оказаться, что все множество В с: У состоит из элементов,
которые не имеют прообразов (например, [Z, X] в нашем примере),
тогда и полный прообраз /Ч(В) будет пустым множеством. Примем
следующую терминологию. Будем говорить, что f есть отображение
множества X «на» множество У, если flX) = У; в общем случае, то есть
когда /(Х)сУ, говорят, что /— есть отображение X «в» У.
Основные свойства отображений
ТЕОРЕМА 1. Полный прообраз объединения двух множеств равен объе-
динению их полных прообразов:
Г1(лий)=Г,(Л)иг,(В).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть xef~\A\jB). Очевидно,xef~\A\jB)о
'о f(x)eA\JB<^> f(x)eA или f(x) еВ ox ef'l(A) или «-хе/ч(Я)о
охе/-'(Л)иГ'(В) ,
что и требовалось доказать.
ТЕОРЕМА 2. Полный прообраз пересечения двух множеств равен пере-
сечению их полных прообразов:
Г1(лПв)=/-1(Л)ПГ1(Я).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если xef~\Af\B), то
х е/ч(ЯПВ)о /(х) еЛПВо/(х) еЛ и /(х) еВ ох е/ч(Л) и х е f~\B) о
хе/-‘(Л)ПГ*(В)»
что и требовалось доказать.
Теоремы 1 и 2 справедливы и для любого (конечного или бесконеч-
ного) числа множеств.
20
ТЕОРЕМА 3. Образ объединения двух множеств равен объединению их
образов:
/(лив) = /(Л)и/(В).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если ye /(лив), то существует х , что
y=f(x). Так как хеА или хеВ, то у е f(AL)B)<=> у е f(A) или
у ef(B) <=> у ef(A)Uf(B),
что и требовалось доказать.
Заметим, что для пересечения множеств утверждения, аналогичного
теореме 3, вообще говоря нет. Так в приведенном выше примере дуги
ЭД и *2^2 не пересекаются, а их образы совпадают. ♦
2. Сужение. Композиция отображений
Рассмотрим несколько понятий, применяемых в теории функций
(отображений).
Пусть заданы два отображения: f множества X в Yи ср множества Хг
вГг
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Отображение <р называется сужением / на Х19
если Xtc:X и <р(х) = /(х) для любых х При этом / называется рас-
ширением (р на X.
Таким образом, сужение / на Х1 — это отображение, определяемое
тем же законом, что и / но не для всех хеХ, а только для хеХг
Принято обозначение <р = f\X{.
Пусть заданы два отображения:/множества Хь Yи /’множества Yв
множество Z (рис. 8).
Рис. 8
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Композицией отображений F и / или сложным
отображением называется отображение ср множества X в Z, определя-
емое равенством z = /[/(x)].
Для композиции отображений принято обозначение F°f.
Видно, что образ ДА) первого отображения входит в полный про-
образ F второго, то есть значения у = ДА) первого отображения
21
служат аргументами для второго z = F(y). Элементы у = f(x) называют
промежуточными аргументами.
Аналогично можно определить сложные отображения, являющиеся
композицией трех и большего числа функций.
3. Взаимно однозначное соответствие
Пусть X и Y - два произвольных множества. Естественно поставить
вопрос о сравнении множеств по числу элементов.
Если множества X и Y — конечны, то поставленная задача может
быть решена двумя способами:
1. Пересчитаем число элементов в каждом из множеств и сравним
результаты. Это позволит нам или установить равенство числа элемен-
тов в множествах, или указать в каком из множеств элементов больше.
Однако можно поступить и иначе:
2. Каждому элементу х еХ поставим в соответствие один и только
один элемент yeY.
Рис. 9
Если при этом оказывается, что каждый элемент yeY ставится в
соответствие одному и только одному элементу хеХ, то говорят, что
между элементами множеств X и Y установлено взаимно однозначное
соответствие (рис. 9).
Очевидно, что для конечных множеств взаимно однозначное соот-
ветствие можно установить только тогда, когда число элементов в этих
множествах одинаково.
Легко видеть, что в то время, как первый способ (подсчет числа
элементов) годится лишь для сравнения конечных множеств, второй
способ (установление взаимно однозначного соответствия) годится в
одинаковой мере как для конечных, так и для бесконечных множеств.
Ясно, что взаимно однозначное соответствие двух множеств — это
частный случай отображения (функции) одного множества на другое,
при котором разным элементам первого множества отвечают разные
элементы второго.
Если между множествами X и Y установлено взаимно однозначное
соответствие, то говорят, что эти множества эквивалентны и записы-
вают X - Y. Отсюда следует, что если два конечных множества эквива-
лентны, то они равночисленны. Таким образом, понятие эквивален-
22
тности множеств есть обобщение понятия равночисленности на случай
бесконечных множеств.
Выше была указана эквивалентность множества действительных
чисел и множества точек прямой. Приведем другие примеры попарно
эквивалентных множеств:
1. Пусть множество Х = {1,2,.то есть множество натуральных
чисел, a Y = {-1,-2,., то есть множество целых отрицательных
чисел. X ~ Y, так как взаимно однозначное соответствие между ними
устанавливается по закону	,
X э по-пеУ.
2 Пусть X = {1,2,.a Y = {2,4,...,2л,...}, то есть множество четных
положительных чисел. X - Y, так как взаимно однозначное соответст-
вие между ними устанавливается по закону
X э л <-> 2л еУ.
3. Множество У - есть множество точек одного из катетов прямоу-
гольного треугольника, а X — есть множество точек гипотенузы того же
прямоугольного треугольника (рис. 10).
Взаимно однозначное соответствие между множествами X и У уста-
навливается следующим образом: возьмем у еУ и через эту точку про-
ведем прямую параллельную второму катету треугольника до пересече-
ния с гипотенузой. Тогда на гипотенузе получим точку х еХ. Очевид-
но, соответствие между точками х и у взаимно однозначное.
Примеры 2 и 3 показывают, что понятие эквивалентности — дале-
ко идущее обобщение понятия равночисленности, так как в этих при-
мерах мы встречаемся с ситуацией, в которой выполнено три условия:
1.Х-У 2.Х*У З.УсХ.
Если для двух множеств X и У выполнены эти три условия, то
говорят, что множество У есть эквивалентная правильная часть мно-
жества X.
23
Очевидно, что конечные множества не могут иметь эквивалентную
правильную часть, так как для них эквивалентность означает и равно-
численность. Отметим, что свойством иметь эквивалентную правиль-
ную часть обладают все бесконечные множества.
В заключение отметим свойства, которым удовлетворяет понятие
эквивалентности:
1.	Х~Х (рефлексивность);
2.	Если Х~У, то Y-Х (симметрия);
3.	Если Х-Y а, У-Z, то X-Z (транзитивность);
4.	Пусть Х19Х2,...,Хп и У^,У2,...,Ул — два семейства множеств. Если мно-
жества Хк не пересекаются между собой, а множества Yk не пересека-
ются между собой	^П1у=0, при/^jj и если при каждом
п	п
к = 1,2,...,п Xk~Yk,то ПХ*~АГ*.
fc=l	fc=l
4. Общее понятие функции
действительной переменной
Рассмотрим отображение f множества X в множество У. Как указы-
валось, при отображении множества X и У могут быть произвольными.
Частным, но важным, случаем отображения является случай, когда
множества X и У являются подмножествами R множества действитель-
ных чисел. В этом случае отображение у = f(x) называют функцией
действительного переменного.
Учитывая особую роль функций действительного переменного, да-
дим ее определение, которое, конечно, является частным случаем об-
щего определения отображения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть даны два множества действительных чисел:
множество Е = {х} и множество М = {у}. Если каждому элементу мно-
жества Е поставлен в соответствие единственный элемент множества
М9 то говорят, что на множестве Е определена функция действительно-
го переменного х и пишут у = f(x), х называют независимой переменной
или аргументом, а у называют зависимой переменной или функцией.
Множество Е называют областью определения функции, а множество
М = f(E) множеством значений функции.
Функции действительного переменного наиболее часто встречают-
ся при изучении различных процессов и явлений природы. При этом
изменение одних величин, как правило, вызывает изменение других
24
величин. Поэтому, изучая какой-то процесс, какое-то явление, необ-
ходимо прежде всего выяснить связи и закономерности, которые в
них существуют. С точки зрения математики это означает, что нужно
найти зависимости, существующие между величинами.
Так, например, имеются зависимости между площадью крута и
его радиусом, между объемом тела и его температурой. Эти зависи-
мости, конечно, различны, но общим является тот факт, что имеется
зависимость между величинами, причем множеству значений одной
переменной соответствует множество значений другой переменной. Так
как это множества действительных чисел, то приходится иметь дело с
функциями действительного переменного.
Имея дело с функцией /(х) всегда пишут равенство у = /(х), что-
бы выразить, что у есть функция х, однако это не означает, что фун-
кция всегда определена формулой, где указаны те действия над аргу-
ментом х, которые надо выполнить, чтобы получить соответствующее
значение функции у.
Функция определена, если дано соответствие между множествами
Е = {х} и М = {у}, о которых говорится в определении, а выражено ли
это соответствие формулой или нет, это не является существенным.
Если функция задана формулой вида у = /(х), то говорят, что она
задана аналитически. Правая часть формулы называется при этом ана-
литическим выражением. Например: y = xsin2x.
Однако функция может задаваться и иначе. В частности, на разных
участках области определения она задается различными аналитичес-
кими выражениями. Например:
х если х е [0,1],
х2 + х + 5 если х е(Ц] ‘
Или функция задана, но аналитическое выражение ее нам не-
известно, даже на отдельных участках области определения. Напри-
мер:
1, если х рационально,
0, если х иррационально.
Эта функция задана на множестве всех действительных чисел.
Функция может быть задана таблицей (например, таблицы квад-
ратов и кубов натуральных чисел).
/(*) =
/« =
25
Но во всяком случае функция считается заданной, если указаны
область определения ее и закон соответствия, при котором каждому
значению аргумента из области определения соответствует единствен-
ное значение функции.
Часто приходится встречаться с аналитическими выражениями, для
которых не указана явно область определения. В таких случаях находят
область естественного определения функции, то есть множество всех
действительных значений аргумента, при которых выражение прини-
мает действительные значения.
ПРИМЕРЫ:
1.у = 71-Х2 •
Здесь 1-х2>0 или х2<1, то есть |х|<1, или -1<х<1, то есть об-
ластью определения является сегмент [-1,1].

1
V1-X2
Здесь область определения, очевидно, есть (-1,1).
3. y = logflx.
Так как здесь х>0, то областью определения функции является
(0,оо).
5. Способы задания функций
действительного переменного
Как уже говорилось, задать функцию — это значит указать со-
вркупность всех значений, которые принимает независимая переменная
и закон, по которому каждому х соответствует определенное у. Рас-
смотрим некоторые способы задания функции.
Аналитический способ задания функции
Под аналитическим выражением мы понимаем совокупность мате-
матических операций, которые производятся в определенной последо-
вательности над числами и переменными величинами.
Один из основных способов задания функции - аналитический
способ, то есть задание с помощью формулы. Он состоит в том, что
дается формула в виде равенства аналитических выражений, содержа-
щих две переменные х и у.
26
Например:
(^-ptgx
Inx
Этот способ обладает рядом достоинств, из которых важнейшим
является возможность пользоваться математическим аппаратом. К чис-
лу недостатков следует отнести недостаточную наглядность.
График функции. Графический способ задания функции
Графиком функции называется множество всех тех точек на плос-
кости XOY, абсциссы которых принадлежат области определения, а
ординаты равны соответствующим значениям функции. Например,
функция у = х2 имеет своим графиком параболу, а функция у=Ах+В
имеет своим графиком прямую.
Часто графиком функции оказывается некоторая линия на плос-
кости ХОК Однако не всякая линия может быть графиком функции, а
только такая, которая пересекается каждой вертикальной прямой не
более чем в одной точке. В противном случае нарушается та однознач-
ность, которая принята в определении функции. Например, кривая
= х (рис. 11) не может служить графиком функции, так как здесь
нарушена однозначность.
Рис. 11
Заметим, что график функции может состоять из кусков различных
кривых, или даже из отдельных изолированных точек.
Функция называется заданной графически, если задан ее график.
Достоинством этого способа является наглядность. По графику функ-
ции можно судить о характере ее поведения. Поэтому часто бывает
важно даже в тех случаях, когда функция у = /(х) задана каким-либо
иным способом, построить график этой функции. Это можно прибли-
женно осуществить следующим образом: для ряда близких между со-
бой значений переменного х мы вычисляем соответствующие значе-
ния функции у = Дх).
27
В результате получаем множество пар чисел	- координат
точек плоскости. Построим по этим координатам точки на плоскости
XOY. Соединяя их плавной кривой, мы получим приближенно эскиз
графика функции. Недостатком этого способа являются : 1) невозмож-
ность в должной мере применить математический аппарат, 2) прибли-
женное построение чертежа.
Табличный способ задания функции
При этом способе выписываются ряд значений независимой пе-
ременной и соответствующие им значения функции. Известны таб-
лицы логарифмов и тригонометрических функций. Очень часто этот
способ используется в естествознании как результат некоторого на-
блюдения.
Например, таблица 1 задает температуру Т некоторого процесса в
зависимости от времени t.
t в минутах	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Т в градусах	5	7	9	11	13	15	12	9	6	3	1
Таблица!,
Достоинство способа: легко найти значения функции для заданных
значений аргумента. Недостатки: малая наглядность, невозможность
отыскания промежуточных значений аргумента.
Словесное задание функции
Это задание функции при помощи некоторого словесного описания
закона соответствия, позволяющего по заданному значению аргумента
(из области определения функции) находить соответствующие значе-
ния функции.
ПРИМЕРЫ: 1. Дп) равно л-му десятичному знаку в разложении V2
в бесконечную десятичную дробь
л/2 =1,4142.., Д1)=4, /(2) = 1, /(3) =4, /(4) =2,....
2. F(ni) есть ди-ое по порядку простое число в натуральном ряде
чисел:
F(l) = 2, F(2) = 3, F(3) = 5, F(4) = 7, F(5)=ll,....
3. Дх) = [х] (антье от «х») — наибольшее целое число, не превосхо-
дящее данного действительного числа, то есть [х] = п, если
28
п< х <w + l; [«]=«; [х + w] = [х] + т.
График этой функции смотри на рис. 12.
{1, если х рационально,
О, если х иррационально.
Эта функция носит название функции Дирихле.
Равенство функций. Арифметические операции над функциями
Пусть функция у = /(х) определена на множестве а функция
y = g(x) определена на множестве Х2. Предположим, что пересечение
множеств Xt и Х2 не пусто, то есть Х = 2Г1ПАГ2^0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функции /(х) и g(x) называются равными на
множестве X, если для всякого х еХ равны их значения, то есть
УхеУ(/(х) = ^(х)).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Суммой функций f(x) и g(x) на множестве X
называется функция h(x), которая для каждого х gX принимает значе-
ние, равное сумме значений функций /(х) и g(x), то есть
Ух е У(й(х) = /(х) + g(x)).
Аналогично определяется разность, произведение и частное двух
функций. При этом частное двух функций есть функция, определенная
в тех точках X, в которых функция-делитель отлична от нуля.
Например, функция У = определена в области
X = (0,+оо)П(-оо,3]\{3} =(0,3).
29
6.	Простейшая классификация функций
действительного переменного
Классификацию функций действительного переменного можно про-
водить по различным признакам: по характеру поведения функции, по
структуре аналитического выражения и т. д.
Рассмотрим простейшую классификацию функций действительного
переменного, исходя из характера поведения функций.
Функции монотонные и кусочно-монотонные
1.	Функция у = f(x), заданная на множестве X, называется строго
возрастающей на этом множестве, если с возрастанием аргумента бу-
дет возрастать значение функции. Иначе: функция у = /(х), заданная
на множестве X, называется строго возрастающей на этом множестве,
если
Ухьх2 е Х(хх < х2 => f(xx) < /(х2)).
Геометрически строго возрастающая функция изображается графи-
ком, поднимающимся вверх вправо (рис. 13).
2.	Функция у = /(х), заданная на множестве X, называется строго
убывающей на этом множестве, если
Ухрх2 еХ(хх < х2 => f(xx) > /(х2)).
Геометрически строго убывающая функция изображается графиком,
опускающимся вниз вправо (рис. 14).
Заметим, что строго возрастающие и строго убывающие функции
осуществляют взаимно однозначное соответствие между областью оп-
ределения и множеством значений, а поэтому они играют в анализе
особую роль.
30
3.	Функция у = Дх), заданная на множестве X, называется возрас-
тающей или неубывающей на этом множестве, если
Vxpx2 еХ(хх <Х2=> Дхх) < Дх2)).
Следовательно, неубывающая функция у = Дх) или возрастает, или
не меняет своего значения. Геометрически это означает, что или гра-
фик функции поднимается вверх вправо, или параллелен оси абсцисс.
4.	Функция у — Дх), заданная на множестве X, называется убываю-
щей или невозрастающей на этом множестве, если
Vx1?x2 еХ(хх < х2 => Дхх) > Дх2)).
Геометрически это означает, что или график функции опускается
вниз вправо, или параллелен оси абсцисс.
Функции строго возрастающие, строго убывающие, неубывающие
и невозрастающие называются монотонными,
ПРИМЕР. Функция у = х3 строго возрастает на всей числовой оси. В
самом деле, здесь
f(x2) - f(Xi) = х} - *13 = (х2 - х,)(х% + XjX, + Xj2) •
Очевидно, что при х2 > хх, независимо от знаков хх и х2, правая
часть последнего равенства больше нуля, то есть Дх2)- Дхх)>0, откуда
/(х2) > Дхх).
Следует отметить, что одна и та же функция на различных участках
может вести себя по-разному. Так, функция у = х2 строго убывает на
(-оо,0] и строго возрастает на [0,оо).
Подобные функции называются кусочно-монотонными. Точнее,
функция Дх) на X называется кусочно-монотонной, если X есть объ-
единение конечного числа промежутков, на каждом из которых Дх)
монотонна.
Легко показать справедливость следующих утверждений:
1.	Сумма двух возрастающих на множестве ^функций есть функция
возрастающая.
2.	Композиция двух возрастающих (убывающих) функций есть фун-
кция возрастающая.
3.	Композиция двух функций, одна из которых возрастает, а другая
убывает, есть функция убывающая.
31
Функции четные и нечетные
1. Функция /(х), определенная в области симметричной относи-
тельно начала координат, называется четной, если /(-х) = /(х), то есть
при замене аргумента х на - х она не меняет своего значения как по
абсолютной величине, так и по знаку.
Например, функция /(х) = х2 при замене аргумента х на -х дает
Я~х) = (—х)2 = X2 = fix)
или функция
f (х) = COS X, f (-х) = cos(-x) = COS X = f (x).
2. Функция y = /(x), определенная в области симметричной отно-
сительно начала координат, называется нечетной, если /(-х) = -/(х),
то есть при замене аргумента х на -х она не меняет своего значения
по абсолютной величине, но меняет знак.
Например:
1	• fix) = х3, Д-х) = (-х)3 = -X3 = -fix) 
2	.f(x) = sin х, f (-x) = sin(-x) = - sin x = -/(x).
Так как для четной функции выполнено /(-х) = /(х), то ее график
симметричен относительно оси Оу. Это значит, что та часть графика,
которая соответствует отрицательным значениям х, получается зеркаль-
ным относительно оси Оу отображением той части графика, которая
соответствует положительным значениям х (рис. 15).
Рис. 15
Поскольку для нечетной функции справедливо /(-х) = -/(х), то ее
график симметричен относительно начала координат. Это значит, что
если какая-либо точка принадлежит графику, то ему принадлежит так-
же точка симметричная относительно начала координат.
32
Две точки называются симметричными относительно начала коор-
динат, если начало координат является серединой отрезка, соединяю-
щего эти две точки (рис. 16).
Легко показать, что сумма нескольких четных (нечетных) функций
является четной (нечетной) функцией. Произведение двух четных или
двух нечетных функций есть функция четная, а произведение функций
четных на нечетную есть функция нечетная.
Например, пусть /(х) и у(х) — две нечетные функции, тогда, если
у<(х) =/(х)ф(х), то
V(-x) =	= [- /(x)J- <р(х)] = /(х)<р(х) = у/(х).
Конечно, не всякая функция, заданная в области симметричной
относительно начала координат, будет четной или нечетной. Однако
справедлива теорема.
ТЕОРЕМА. Всякая функция /(х) с областью определения, симметрич-
ной относительно начала координат, может быть представлена в виде
суммы четной и нечетной функций,
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Составим две вспомогательные функции
+/(-*)] и у(х) = |[У(х)-/(-х)].
Функция ф(х) — четная, так как
ф(~*) =	+ /(*)] = <р(х),
а функция у/(х) — нечетная, так как
vl-x) = | [/(-*) - /(*)] = -Ч'(х).
Из определения <р(х) и у/(х) следует, что
/(х) = <р(х) + у/(х).
33
Периодические функции
1.Функция у = /(х), заданная на множестве X называется периоди-
ческой, если существует такое число 7*0 (называемое периодом), что
для любого значения х из области определения функции число х + ТеХ
и при этом справедливо равенство
/(x + 7) = /(x).
Если функция является периодической с периодом Т, то зная
значения этой функции на полусегменте [0,7) (или вообще на лю-
бом отрезке длины 7), мы можем найти значения этой функции в
любой точке области определения. Так, например, зная, что значе-
ния функции при x-xQ равно А, заключаем, что это же значение
функция будет принимать и при х = х0 + 7,х0 + 27,..., а так же при
х = х0-7, х0-27,....
Имея часть графика функции на участке [0,7), мы можем постро-
ить график этой функции на всей области определения. Для этого до-
статочно параллельно перенести вдоль Ох часть графика, заданную на
[О,Г), вправо на величину Т, чтобы получить ту часть графика функ-
ции, которая соответствует значениям х, заключенным между Т и
2Т, включая Т. Аналогично строятся и другие части графика.
Простейшими периодическими функциями являются функции
y = sinx и y = cosx с периодом 2п (рис. 17).
Рис. 17
Очевидно, что если число Т является периодом функции, то пе-
риодами функции будут числа 27, 37, .... В самом деле, например
f(x + 2Т) = /((х + Т) + Т) = f(x + Т) = f(x).
Может случиться, что во множестве периодов одной и той же фун-
кции есть наименьший положительный. Это число называют мини-
мальным периодом.
34
Не всякая периодическая функция имеет минимальный период.
Например, функция Дирихле
{1, если х рационально,
О, если х иррационально.
периодическая. Ее периодом будет любое рациональное число. Однако
минимального периода она не имеет, так как не существует наименьше-
го не отрицательного рационального числа, отличного от нуля.
Функции ограниченные и неограниченные
1.	Функция y = f(x), определенная на множестве X, называется ог-
раниченной на этом множестве сверху, если
ЗЛ/VxgX (/(х)<Л/).
Иначе говоря, функция у= /(х), определенная на множестве X,
называется ограниченной на этом множестве сверху, если множество
ее значений ограничено сверху.
Например, функция j> = sinx ограничена сверху на всей числовой
прямой и числом М для нее может быть любое число большее или
равное единице. Число М в определении носит название верхней гра-
ницы функции у = f(x) на множестве X,
2.	Функция у = /(х), определенная на множестве X, называется ог-
раниченной на этом множестве снизу, если
ЗтиУхеХ (/(x)>w).
Число т называется нижней границей функции у- /(х) на мно-
жестве X.
Например, функция у = х2 ограничена снизу на всей числовой пря-
мой. Ее нижней границей может быть любое число т<0.
3.	Функция у = /(*), определенная на множестве X, называется ог-
раниченной на этом множестве, если она ограничена и сверху и снизу,
то есть
ЗоОУхеХ (|/(х)^с).
Геометрически это означает:
а)	для функции, ограниченной сверху, имеется такая прямая у = М,
что все точки графика у = f(x) лежат ниже прямой у = М;
35
б)	для функции, ограниченной снизу, имеется такая прямая у = т,
что все точки графика у = /(х) лежат выше прямой у = т;
в)	для ограниченной функции, имеются прямые у = с, у--с та-
кие, что все точки графика у- /(х) лежат между этими прямыми. ♦
4.	Число М называется верхней гранью функции у = f(x) на множес-
тве X (A/ = sup /(х)), если выполнены два условия:
a)	УхеХ(/(х)<Л/),
б)	Уе>03х'еХ(/(х')>Л/-£).
Условие б) означает, что верхняя грань М есть наименьшая из всех
верхних границ (рис. 18).
5.	Число т называется нижней гранью функции у = /(х) на множест-
ве X т = inf f(x), если выполнены два условия:
a)	VxgE(/(x)>zm),
б)	Vs>03x'gX(/(x')< w + s).
Условие б) означает, что нижняя грань т есть наибольшая из всех
нижних границ (рис. 19).
Рис. 19
36
ПРИМЕРЫ. 1. Функция у = х2 имеет своей нижней гранью т = 0.
2. Сужение функции у = х3 на [0, 1] имеет своей нижней гранью
т = 0, а верхней гранью Л/ = 1.
Вопрос о том, являются ли нижняя т и верхняя М — грани ограни-
ченной функции ~ значениями этой функции — сложен. В дальнейшем
положительный ответ на этот вопрос будет получен для непрерывных
функций, определенных на сегменте.
Неограниченность функции, очевидно, можно определить так: фун-
кция /(х) называется неограниченной на множестве X, если
УЛ>03х'е*(|/(х')>Л).
Примерами неограниченных функций являются функции y = tgx,
y = ctgx (рис. 20).
Рис. 20
7. Функции натурального аргумента
(последовательности)
Функции, для которых областью определения является натуральный
ряд чисел N = {1,2,3,...}, называются последовательностями.
Это означает, что каждому натуральному neN по некоторому за-
кону поставлен в соответствие элемент ап еУ, ап =
Если областью значений Y является множество R вещественных
чисел, то последовательность называется числовой. Значения функции
называются членами последовательности и записываются в порядке
роста натурального аргумента (номеров членов):
а19а2,
Элемент ап называется общим или л-ым членом последовательности,
а формула ап = f(n) — формулой общего члена.
37
Приведем примеры числовых последовательностей:
п 1 1 1	1 (	11
1). 1,-,... ап = - ;
2 3	п V	п)
2). 2,4Д...,2и,...(ц, =2и);
[1, если пнечетное
3). 1,0,1,0,...,1,0 ап = ’
I [0, если пчетное
Из последнего примера видно, что члены последовательности с раз-
личными номерами могут быть, одинаковыми. В частности, последова-
тельность со всеми одинаковыми членами называется стационарной.
Так как числовая последовательность есть частный случай числовой
функции, то все понятия, относящиеся к общему случаю, переносятся
на последовательности. Так последовательность называется возрастаю-
щей (или неубывающей), если	х
ц <а2<а3<...<ап <...
и убывающей (или невозрастающей), если
а1>а2>а3>...>ап >...
Аналогично определяются строго возрастающая и строго убываю-
щая последовательности. Так среди примеров последовательность 1)
строго убывает, а 2) строго возрастает. Переносятся и понятия ограни-
ченности, границ и граней на последовательности.
8. Принцип вложенных отрезков
Приведем здесь еще одну формулировку свойства полноты R, из-
вестную под названием принципа вложенных отрезков (рис. 21).
ТЕОРЕМА КАНТОРА. Для последовательности сегментов, таких, что
каждый следующий вложен в предыдущий
существует число, принадлежащее всем сегментам.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Разобьем R на два множества Л и В. К А отне-
сем такие числа х, что хотя бы при одном п будет выполнено неравен-
ство х < ап, а к В— остальные числа.
Рис. 21
38
Эти множества непустые, так как А содержит числа, меньшие ап, а
В— все Ьп, причем А и В не пересекаются (по определению).Рассмот-
рим произвольные х еА, у еВ. По определению у > ап для любого п, а
для х найдется номер ц, что х < . Поэтому х < йц < у 9 то есть х < у.
Итак, А и В образуют дедекиндово сечение. Поэтому по аксиоме
Дедекинда существует число с, производящее сечение.
Предположим, что сеА. Тогда для некоторого п выполнено нера-
венство с<а„. По свойству плотности R найдется число к такое, что
с<к<ап. Правое неравенство здесь говорит о том, что кеА, а левое,
что к еВ, что невозможно. Поэтому сеВ, откуда следует, что при лю-
бом п ап<с<Ьп. Это означает, что с принадлежит всем сегментам [ц,Д]
и теорема доказана.
Аксиома Дедекинда, в свою очередь, может быть выведена из тео-
ремы Кантора.
Если последовательность вложенных сегментов такова, что для лю-
бого положительного числа £ найдется номер N, начиная с которого
длины сегментов меньше £: п > N => bn -ап < е, то сегменты назовем стя-
гивающимися.
Нетрудно видеть, что если в теореме Кантора сегменты стягиваются,
то число с, о котором говорится в теореме, единственное. Действитель-
но, если таких чисел два, с и d, то
что противоречит произвольности £>0.
Интересно отметить, что для открытых и полуоткрытых промежут-
ков утверждение теоремы Кантора неверно. Например, последователь-
ность вложенных полусегментов
(од>
оД =>fo,- =>...z>(o,-
k 2 J v 3J v n
не имеет общей точки.
39
Глава III
Предел
1. Окрестность точки. Предельная точка множества
Пусть Е множество, расположенное на числовой оси и точка сеЕ.
Любой интервал, содержащий точку с, будем называть окрестностью
точки с.
Интервал (с-£,с+е), гдее>0 будем называть е -окрестностью точ-
ки с и символически обозначать U(c,e).
Если с -произвольное положительное число, то U(c,s) представля-
ет собой интервал произвольной длины с центром в точке с . Очевид-
но, X gC7(c,£)<z>|x-|^<£[
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка х0 называется предельной точкой множества
Е, если любая окрестность точки х0 содержит хотя бы одну точку мно-
жества Е, отличную от х0.
Заметим, что сама точка х0 может принадлежать, а может не при-
надлежать множеству Е. Если точка х0 принадлежит Е, но не являет-
ся предельной точкой, то она называется изолированной. Иначе го-
воря, точкам еЕ называется изолированной точкой этого множест-
ва, если найдется окрестность этой точки, свободная от точек мно-
жества Е, отличных от х0.
ТЕОРЕМА. Если х0 — предельная точка Е ,то ее любая окрестность
содержит бесконечное множество точек Е.
В самом деле, предположим противное. Пусть некоторая окрестность
точки х0 содержит конечное число отличны* от х0 точек Е. Обозначим
их хих2,...,хк. Если£>0 и^Хо-х,] /=1,2,...,к, то окрестность £/(х0,е) не
будет содержать ни одной точки множества Е и, следовательно, точка
х0 не будет предельной.
Xf *2	*4 *5 *6
Ч Г !  I —Ч-1---1--г ь- к—♦
*о
Рис. 22
На рисунке 22 приведена окрестность точки х0, не содержащая то-
чек множества Е (е взято меньше, чем расстояние от точки х0 до бли-
жайшей точки х, еЕ).
40
Доказанная теорема уточняет определение предельной точки мно-
жества. В определении предельной точки мы требовали, чтобы в лю-
бой ее окрестности нашлась хотя бы одна точка множества Е, отлич-
ная от точки х0. Из этого требования вытекает, что на самом деле в
любой окрестности предельной точки будет бесконечное множество
точек Е. Отсюда следует, что конечные точечные множества предель-
ных точек иметь не могут. Приведем примеры предельных и изолиро-
ванных точек.
1)	Рассмотрим множество £ = ](-1)л + ->, где п принимает натураль-
I п)
ные значения (рис. 23). Множество Еимеет две предельные точки х0 = -1,
х} =1. Обе они не принадлежат множеству Е. Точки множества Е ’’сгу-
щаются” у точек 1 и -1 (поэтому часто предельные точки множества Е
называют точками сгущения множества Е).
3
-16 2
’7 7
1 9 5
в 4
3
2
Рис. 23
В отличие от точек 1 и -1, точка 0 — изолированная точка множест-
ва £, никакого сгущения в окрестности этой точки не наблюдается.
Заметим, что и все остальные точки множества Е будут изолиро-
ванными.
Отметим еще, что х0 = -1, являясь предельной точкой множества £,
одновременно является для этого множества нижней гранью. Точка Xj = 1,
также являясь предельной *уже не будет границей нашего множества.
3
Роль верхней грани выполняет точка х2 = -, которая во множестве Е
будет изолированной.
Интересно проследить связь между двумя понятиями верхней грани
(нижней грани) и предельной точки. Справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА. Если верхняя (нижняя) грань не принадлежит множеству,
то она является для этого множества предельной точкой (точкой сгуще-
ния).
Для доказательства этой теоремы достаточно сопоставить два опре-
деления - верхней (нижней) грани и предельной точки, а Затем срав-
нить их.
В нашем примере точка х0 = -1 иллюстрирует справедливость теоремы.
41
Рассмотрим другие примеры предельных и изолированных точек.
2)	Пусть Е = |-[, где п — натуральное число. Точка ха = О является
[nJ
предельной точкой этого множества. Действительно, любая окрёс-
тность(-s,s) содержит хотя бы одну точку множества Е . Такой точ-
кой будет точка -, если - < е, то есть л > - и достаточно взять п =
п п	8
Все точки множества являются изолированными.
3)	Пусть Е = [а,2>]. Здесь всякая точках0 gE является предельной. В
самом деле, любая окрестность точки х0 содержит точки сегмента. Кста-
ти, здесь все предельные точки принадлежат множеству Е.
4)	Пусть E = (a,Z>). Здесь все точки интервала (a, Z>) будут предельны-
ми, но, кроме того, будут предельными и точки а и Ь. В отличие от
других предельных точек они не принадлежат множеству Е .
5)	Пусть Е = {«}. Это множество предельных точек не имеет. Все его
точки изолированные, так как каждый интервал
содержа-
щий точку пеЕ, других точек множества Е не содержит.
Последний пример показывает, что не всякое бесконечное мно-
жество имеет предельные точки. В связи с этим естественно установить
критерий, который выделяет класс бесконечных множеств, имеющих
предельные точки.
ТЕОРЕМА БОЛЬЦАНО-ВЕЙЕРШТРАССА. Всякое бесконечное ог-
раниченное множество Е имеет хотя бы одну предельную точку.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как Е ограниченно, то можно указать сег-
Г 71	„	_	иги _	_
мент [я, 6], содержащий его. Положим с=-у~. Тогда хотя бы один из
сегментов [л, с] или [с, 6] содержит бесконечное множество точек Е. Обо-
значим его [ц,^]. Сегмент[ц,^] вновь разделим пополам и обозначим
через ту половину, которая содержит бесконечное множество то-
чек Е. Продолжая процесс, мы получим бесконечную последовательность
вложенных сегментов.
М о [ц,^] => [02,4] о...о [а„Л]
каждый из которых содержит бесконечное множество точек Е.
42
Для любого положительного £ найдется номер, начиная с которого
длина л-го сегмента
, Ь-а
ba-a„ = — <e.
Следовательно, по теореме Кантора, существует единственная точ-
ка х0, общая для всех сегментов [я„Д]. Докажем , что точка х0 предель-
ная для множества Е. Для этого возьмем произвольный интервал (а,Д),
содержащий точку х0. Если п достаточно велико, то [ялД]с:(а,/3). Так
как сегмент[ялД] содержит бесконечное множество точек множества,
то и интервал (а,/3) содержит бесконечное множество точек £, и, сле-
довательно, точка х0 — предельная точка для множества Е .
Теорема Больцано-Вейерштрасса гарантирует наличие у бесконеч-
ного ограниченного множества Е хотя бы одной предельной точки. За-
метим, что:
а)	предельная точка может быть и не одна (см. пример 3);
б)	предельная точка не обязана принадлежать множеству Е (см. при-
мер 4);
в)	оба условия: и бесконечность множества и его ограниченность
существенны. Пример 5 показывает, что существуют неограниченные
бесконечные множества без предельных точек. А если множество Е ко-
нечно, то у него предельных точек быть не может, хотя оно и ограни-
чено.
В заключение этого раздела введем понятие внутренней точки мно-
жества. Пусть х0 . Точка х0 называется внутренней для множества Е,
если она входит в Е вместе с некоторой своей окрестностью.
2. Предел функции в точке (по Коши)
Пусть функция Дх) определена в некоторой окрестности точки х0,
хотя в самой точке х0 она может быть не определена.
Рассмотрим поведение функции при условии, что х приближается
к точке х0. Различные функции ведут себя при этом по разному. Так,
значение функции /(х) = х2 + 5 при стремлении х к точкех0 = 2 прибли-
жается к 9. При этом не играет роли то, каким образом х стремится к
точкех0 =2, оставаясь большех0=2 или меньше.
Важно, что как только расстояние|х-2| становится малым, так не-
медленно и расстояние |/(х)-9| становится малым. В связи с этим гово-
43
рят, что функция /(х) = х1 + 5 при стремлении х к точке х0 = 2 имеет пре-
дел, равный 9. В общем случае можно дать следующее определение пре-
дела функции в точке, принадлежащее Коши.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число b называется пределом функции/(х) в точке
х0, если
Vs > 0 3<5 > О Vx(0 < |х - х0| < 8 => |/(х) - < s).
Коротко этот факт записывается так lim f(x) = b.
X->Xq
Следует еще раз подчеркнуть, что в этом определении значение
функции в самой точке х0 не рассматривается, в этой точке функция
может быть и не определена.
Покажем, что в соответствии с этим определением,/(х) = х2 +5 в
точкех0 = 2 имеет предел, равный 9.
Рассмотрим модуль разности
|/(х)-9| = |(х2 +5)-9| = |х2-4| = |х-2||х+2|.
Но при рассмотрении предела нам нужно знать только значения х
близкие к 2 . Поэтому мы считаем, что1<х<3 и поэтому |х + 2|<5. При
этом
|/(х)-9|<5|х-2|.
Возьмем произвольное число s>0 и выберем £<|. Если теперь вы-
полняется неравенство |х-2|<<5, то есть |х-2|<|, то
Следовательно,
Обратимся еще раз к определению предела функции в точке. Возь-
мем две точки Xj и х2, такие, что^ -х0|<<5 и|х2-х0|<<5. Тогда, по опре-
делению, |/(*i)-i|<£ и |/(х2)~^|<е- Отсюда
44
|/(xi)“ Лхг)| = )[/(*,) ~ 6]+[й~ Ж)] * |/(xi) ~ Ц +16" Ж)| < 2£,
то есть, если^-x0|<<5 и |x2-x0|<<5, то
|/(х1)-/(хг)|<2£.
Итак, если функция у = /(х) имеет предел b в точке х0, то значения
функции в точках, близких к точке х0, будут близки между собой.
Выясним геометрический смысл существования предела функции
(рис. 24). Неравенство|х-х0|<<5 означает, что значения аргумента х на-
ходятся в 8-окрестности точки х0, то есть х0-<5<х<х0 + <5. Неравенст-
во |/(x)-Z)|<£ означает, что значения функции находятся в е -окрес-
тности точки Ь, то есть b-e< f(x)<b + e.
Следовательно, если lim f(x) = b, то геометрически это означает,
Х-»Хо
что как только значения аргумента попадут в 8 -окрестность точки х0,
так немедленно график функции попадает в полосу шириной 2е, ог-
раниченную прямыми у=Ь-е, у=Ь+е.
В определении предела функции сказано, что по произвольному е >0
мы можем подобрать <5>0, которое, очевидно, зависит от с. Из гео-
метрической картины следует, что чем меньше мы возьмем е>0, тем
меньше нам придется подбирать <5>0.
Отметим еще, что предел постоянной равен самой постоянной.
Рассмотрим один пример, иллюстрирующий понятие предела фун-
кции в точке. Исследуем поведение функции у = xsin- при стремлении
аргумента х к нулю. Заметим сразу, что функция у = xsin- в точкех = 0
45
неопределена, но это не мешает нам говорить о пределе этой функции
в точкех = 0 (см. рис. 25).
Отметим, что
м=
. 1
xsm—
х
Геометрически этот факт означает, что график нашей функции
расположен между биссектрисами у = х и у = -х. Теперь докажем,
что limxsin—= 0
х-И)
В самом деле, на основании определения предела функции в точке,
нам надо показать, что
Vs > 0 35 > 0 Ух 0 < |х| < 5 =>
. 1
xsm—
х
<6
(*)
(в нашем случае хо=О, 5=0).
По определению предела надо для любогое>0 найти соответ-
ствующее <5>0, чтобы выполнялось соотношение (*) . Данная функ-
ция такова, что 5 подбирается просто, а именно, 8 равняется s. До-
кажем это.
Так как
. 1
xsm —
х
<|х|, то при|х|<£ получим, что
. 1
xsm—
X
< |х| < 8
то есть
|х| < 8
. 1
xsm—
х
<s.
Следовательно, если мы возьмем 8 = s, то мы добьемся соотношения
(♦). Подчеркнем еще раз, что в общем случае 8 зависит от е(е задает-
ся, 5 nos подбирается ), а в нашем случае эта зависимость очень про-
стая, а именно 8 = 6.
46
Из рисунка 25 видно, что по мере приближения х к нулю амплитуда
колебаний графика функции^ = xsin-^ уменьшается. Колебания затуха-
ют по мере приближения х к нулю. Если |х| < е , то |^ < е, то есть график
функции попадает в квадрат с центром в начале координат и стороной
£ .
Рассмотрим пример функции, не имеющей предела в точке. Иссле-
дуем поведение функции у = sin при х->0. Заметим, что функ-
ция у = sin — в точкех=0 неопределена. Докажем, что в точкех = 0 функ-
х
ция у = sin ~ не имеет никакого предела. Для этого докажем, что в сколь
х
угодно малой окрестности точких = 0 найдутся точки xt и х2 такие, что
.1.1 ~ „
значения sin— и sin— отличаются друг от друга на 2. Пусть
Xi	Х2
х _	2	2
1 7г+4ля’ Зл + 4пл
Для больших п Xj и х2 будут сколь угодно близки к нулю, но
.1	. (п -	.	.1	. Л Зтг _ Л .
sin— = sin — + 2пл 1 = 1, sin— = sin — + 2пл =-1
Xi <2	)	х2 < 2	)
Построим график функцииу = sin— на участке- — ~х~~ (рис. 26).
Так как нас интересует поведение функции в окрестности точки х = 0,
47
то построенный график даст нам представление о поведении функции
при х->0.
X	£ X	. 1 sin — X	
1 пл	пл	0	и = ±1,±2,±3,...
2 л+4пл	—+2пл 2	1	и=0,±1,±2,±3,...
2 Злч- 4пл	Зл - — + 2пл 2	-1	и = 0,±1,±2,±3,...
Таблица 2
12	2
Видно, что--> 0,------> 0,------> 0, то есть в точках, сколь
пл л + 4пл	Зл + 4пл
I . 1
угодно близких к точке x = 0,y = sm- принимает значения 0, 1, —1, и
все промежуточные значения. Рис. 26 изображен не полностью, так как
в окрестности точких = 0 функция бесконечное множество раз пробе-
гает значения от —1 до 1. Поэтому в точкех = 0 функция sin ~ не имеет
предела.
Итак, обе функции xsin^ и sin^- не определены в точке х = 0. Но
X	X
при стремлении х=0 к нулю эти функции ведут себя совершенно раз-
лично. Первая из ниху = х8пД при стремлении х к нулю совершает за-
тухающие колебания и имеет предел равный нулю. Вторая же у = sin-
при стремлении х к нулю продолжает совершать незатухающие колеба-
ния от —1 до 1 и поэтому предела не имеет.
В заключение отметим, что определение предела функции по Коши
часто называют определением на языке е - 5.
48
3.	Предел функции по множеству.
Предел на бесконечности
Пусть функция у = f(x) определена на множестве X, а, Е а X и пусть
точка х0 является предельной для множества Е .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число b называется пределом функцииу = /(х) в
точке х0 по множеству Е , если
Vs > 0 35 > 0 Vx	(О < |х - xj < 5 => |/(х) - 5| < s).
Для предела функции по множеству употребляется запись lim /(х).
Х-»Хо
хеЕ
Если множество Е есть окрестность точки х0, то предел по множес-
тву Е есть обычный предел функции в точке и в записи предела указа-
ние на множество опускается.
Пусть функция у = /(х) определена на множестве Х,ЕсХ и мно-
жество Е не ограничено сверху.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число b называется пределом функцииу = /(х)
прих—>+ао по множеству Е , если
Ve > О	Vx еЕ(х > N => |/(х) - й| < г).
Аналогично определяется предел функции прих->-оо по множест-
ву Е. В частности, роль Е могут исполнять промежутки (я,-к») и (-оо,я).
Отметим, что предел функции в точке х0 может не существовать и в
то же время предел функции в этой точке по некоторому множеству
существует. Покажем это на примере.
Для функции Дирихле
{1, если х рационально,
О, если х иррационально
предел не существует ни в одной точке. Рассмотрим предел функции
по множеству R\Q иррациональных точек и по множеству Q рацио-
нальных точек в точке х0. Имеем
lim D(x) = 1, lim D(x) = 0.
x-»xb	x->xb
X60	xeR\Q
49
4.	Основные теоремы о пределах
ТЕОРЕМА 1. Если функция/(х) имеет предел в точке х0, то он един-
ственный.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное. Пусть в точке х0 фун-
кция /(х) имеет два предела b и с (Ь*с). Тогда
lim f(x) = b<=> Ус >03$ >0 Ух| 0< |х-х0| <$ => |/(х) -Ь\ < -1
х->*ь	\	2) *
и
Для5 = тш{51,52} неравенства (1) и (2) выполняются одновременно.
Рассмотрим разность |5-с|, при условии |х-х0|<5:
- с| = К/(х) - с) - (Дх) - < |/(х) - с| + |/(х) - й| < е.
Итак, |5-с|<с. Но е — произвольное положительное число, а поэ-
тому5-с=0 или Ь=с.
ТЕОРЕМА 2. Если функция имеет предел в точке х0, то она ограниче-
на в некоторой окрестности точки х0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как /(х) имеет предел в точке х0, то
Ус > 0 35 > 0 Ух (0 < |х - х0| < <5 => |/(х) - 5| < с).
Но |/(х)-5|>|/(х)|-|5|. Следовательно,|/(х)|-$<е или|/(х)|<Щ + с в
окрестности 0<|х-х0|<5. Таким образом, функция/(х) ограничена в
указанной окрестности.
ТЕОРЕМА 3. Если функция у = /(х) имеет предел в точке х0, отличный
1
от нуля, то функция Уограничена в окрестности точки х = х0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть lim f(x) = b, гдеб^О и для конкретнос-
Х->Хо
ти Ь>$. Тогда
Ус > 0 35 > 0 Ух (О < |х - х0| < 8 => |/(х) - < с).
50
При этом b-e< f(х) < Ь+£. Если ВЗЯТЬ £<Ь, ТО Ь~£>0 И Ь+£>0.
Тогда
1 _1_
Ь-£ /(х) Ь+£'
1
Откуда и следует ограниченность функции в некоторой окрес-
тности точки х = х0.
ТЕОРЕМА 4. Если функции/(х) и <р(х) имеют пределы в точке Xq, то
функция /(х) + ф(х) также имеет предел в этой же точке, который равен
сумме пределов функций /(х) и р(х).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть lim/(x) = 5, lim<p(x) = c.
X-^Xq	X-*Xq
Но тогда
Vs > 0 35j > О Vxfo < |х - х0| < 5] => |/(х) - 5| < |
И
Vs > О Э52 > 0 Vx^O < |х - х0| < 52 => |р(х) - с| < j,
Если <5 = min{3,(S2}, то для всехх, удовлетворяющих неравенству|х-х0|<5
будут одновременно выполнятся оба неравенства. Тогда для всех х из
окрестности 0 < |х - х0| < S имеем
|(/(х) + ф(х)) - (Ь + с)| < |/(х) - й| + |<р(х) - с| < £ ,
а это и означает, что5+с есть предел функции/(х) + р(х) в точке х0, то
есть
lim (/(х) + ф(х)) = b + с - lim f (х) + lim р(х)
ТЕОРЕМА 5. Если функции/(х) и <р(х) имеют пределы в точке х^, то
функция /(х) лр(х) также имеет предел в той же точке, равный произве-
дению пределов функций /(х) и <р(х).
51
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть lim f(x) = b и lim<p(x) = c.
Х->Х0	X->Xq
Докажем, что функция/(х)р(х) в точкехд имеет предел Ь-с9 то
есть докажем, что
Vs >035 >0 Vx(o<|x-xo|)<5=>|/(x)-(p(x)-5-c|<s.
Оценим выражение	7
|/(х)  <р(х) - Ь• с| = |/(х)(«р(х) - с) + с(/(х) - 6)| < |/(х)||ф(х) - с| + |cj/(x) - й|.	(3)
Но так как lim f(x) = b, то
X->Xq
Vg>035j >0Vx 0<|x-x0|<5l =>|/(х)-5|<-7|Д
(4)
ПЬ теореме 2 функция/(х) ограничена в окрестности (/(хо,^), то есть
3<52 > 0 ЗЛ > 0 Vx g£7(x0,<52) (|/(х)| < Л).	(5)
Так как функцияр(х) в точке х0 имеет предел, равный с, то
Vs>0353 >0Vx 0<|х-х0|<53
2Aj
(6)
Если положить теперь 5 = min{5i,52,^}, то для всех х*х0, попадаю-
щих в окрестностьU(xQ,5) неравенства (4), (5) и (6) будут выполнять-
ся одновременно. При этом из неравенства (3) получаем
|/(х) • <р(х) - Ь-с| < |/(х)||<р(х) - с| + |с| • |/(х) - 4 < А •	+ |с| •	< е
Следовательно,
bc= lim(/(x)«p(x)).
X->Xq '
Подставляя в последнее равенство выражения b и с, получим
lim (/(х) • ф(х)) = lim f (х) • lim р(х)
X->Xq	7 *~>Xq	*~>Xq
СЛЕДСТВИЕ. Постоянный множитель можно выносить за знак
предела:
52
lim c-f(x) = c- lim f(x)
X-*Xq	X-»Xq
ТЕОРЕМА 6. Если пределы функций f(x) иу(х) в точке х0 сущест-
f(x)
вуют, причем предел ф(х) отличен от нуля, то предел частного^— в
Ф\Х)
точке х0 также существует и равен частному от деления пределов этих
функций.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала частный случай. Покажем,
что
г 1 -1
х™ р(х) "с ’ если	=
Так как функция<р(х) в точкех0 имеет предел с, отличный от нуля,
1
то функция—— ограничена в некоторой окрестности точки Xq, то
Ф(х)
есть
BA >03<5j >0 Vx 0<|x-Xq|<^ =>
(7)
Кроме того,
Ve>0352 >0 Vx| О<|х-Хо|<(% =>|ф(х)-с|<—	(8)
I	A J
Положим 5 = min{^,52}. Тогда неравенства (7) и (8) будут выпол-
няться одновременно в окрестности С7(х0,5).
При этом получим
1

1
ф(х)
с	|с| <р(х) А |с|
Следовательно,
1
Ф(х)
<е, а поэтому
г 1	1
lim —— = -
Х->*Ь ф(х) С
с
£
с
Для доказательства общего случая достаточно учесть, что
,	lim f(x)
c	lim ф(х) •
x-»*b
lim = lim fix)~j~r = lim /(х) • lim =
X~*Xq ф(х) X-+Xq (р(х) x-^Xq	(p(x)
53
ТЕОРЕМА 7. (Предел промежуточной функции). Если две функции /(х)
и <р(х) имеют один и тот же предел в точке х0, а третья функция^(х) в
некоторой окрестностих0 заключена между ними f(x)<y/(x)<(p(x), то
функция i//(x) также имеет предел в точкех0 равный общему пределу
функций /(х) и р(х).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть функция/(х) имеет предел в точкех0
равный Ь, то есть
3s>O3(5j >0 Vx(O<|x-xo|<(5j =>|/(х)-Д|<£).
Так как функция <р(х) имеет в точке х0 тот же предел Ь, то
3e>0352>0 Ух(0 < |х - х0| < $> => |р(х) - i| < с).
Если =	то для всех х, удовлетворяющих неравенству
0<|х-х0|<<5 неравенства |/(х)-6|<£ и|р(х)-5|<£ будут выполнятся од-
новременно. При этом
b — £< f(x)<b+ £ , Ь-£<ф(х)<Ь+£ .
Учитывая неравенства f (х) < у/(х) < <р(х), для Ух(0 < |х - х^| < 5) прихо-
дим к неравенствамЬ-е<у/(х)<Ь+е или \у/(х)-t\<£. Таким образом
Уе > 0 3 5 > 0 Ух(0 < |х - Хо| < 5 => |у/(х) - < е).
Следовательно, число b есть предел функции у<(х) в точке х0.
ТЕОРЕМА 8. Если функция/(х) неположительна в некоторой окрес-
тности точки х = х0 и имеет в этой точке предел, то этот предел не
может быть положительным числом.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим противное. Пусть lim /(х) = 5>0. Тогда
Х->Хо
Уе > 0 35 > 0 Ух(0 < |х - Xq| < 8 => |/(х) - А| < е).
Или b-s< f(x)<b+£. Но для всехе<5 функция /(х)>0, а это про-
тиворечит тому, что по условию /(х)<0.
Аналогично доказывается, что если функция /(х)>0 в окрестности
точки х = х0, то ее предел в этой точке не может быть отрицательным
числом.
54
СЛЕДСТВИЕ 1. Если функцииу^х) и у/(х) имеют пределы в точкех$
и (?(x)>w(x) в некоторой окрестности точки x = xQ, то
lim ф(х) > lim у/(х)
X-¥Xq	X-*Xq
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как функции(р(х) и у/(х) имеют предел в
точке х0, то разность их у(х) - у/(х) также имеет предел в точке х0. Но
эта разность неотрицательна, а поэтому lim(р(х)-у/(х))>0. Отсюда
Х-*Хц
lim <р(х) > lim у/(х)
X->Xq	X-*Xq	*	,
СЛЕДСТВИЕ 2. Если функция <р(х) имеет предел в точкех0 и для всехх
в окрестности х = х0 имеет место неравенство р(х) >В,тои lim <р(х) > В.
Х-»Хо
Это утверждение - частный случай предыдущего следствия.
ТЕОРЕМА 9. Если функция/(х) в точкех0 имеет предел b и Ь>А,
то функция f(x)>A в некоторой окрестности точки Xq, исключая Xq.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Положим разность Ь-А-е, Так как
lim/(x) = Z>, то для е = Ь-А, найдется такое <5>0, что для всех
X->Xq
хеС/(х0,3), х*х0, будет выполняться неравенство |/(х)-6|<е. Следо-
вательно, в окрестностиО<|х-Хо|<5 выполняется неравенст-
во/(х)> 6-е или f(x)>A.
5.	Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Если lim /(х)=0, то говорят, что в точкехо функция/(х) - беско-
x-*Jtb
нечно малая. Другими словами:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция/(х) называется бесконечно малой в точ-
ке Xq , если
V£>03#>0 Vx(O<|x-xo <<5=>|/(x)|<sj).
ПРИМЕРЫ. 1. Функция/(х) = х в точке х = 0 является бесконечно
малой.
2. Функция/(x) = sinx в точкех = я является бесконечно малой.
55
Если вернуться к общему случаю функции /(х), имеющей своим
пределом Ь, то разностьа(х) = f(x)-b между/(х) и ее пределом, оче-
видно, будет бесконечно малой функцией, так как|а(х)| = |/(х)-^<£
для х * х0 попадающих в окрестность 0 < |х - х0| < 8.
Наоборот, еслиа(х) - бесконечно малая, то /(x) = Z>+a(x) в точке х0
имеет предел, равный Ь. Таким образом, доказано утверждение:
ТЕОРЕМА. Для того, чтобы функция /(х) имела в точке х0 своим
пределом Ь, необходимо и достаточно, чтобы разность f(x)-b была в точ-
ке xQ бесконечно малой.
Итак, если b есть предел функции /(х) в точке х0, то /(x) = Z>+a(x),
гдеа(х) — бесконечно малая функция для всех х из окрестности
0<|х-х0|<<5, то есть функция равна своему пределу плюс бесконечно
малая функция.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если
V^>03<5>0Vx(0<|x-xo|<«5=>|/(x)|>j), '
то говорят, что функция /(х) есть бесконечно большая в точке х^, или,
что предел функции в точке ха есть бесконечность, и пишут lim /(х) = оо
(+оо или -оо, если/(х)>0 в некоторой окрестности точкиXq или, соот-
ветственно, /(х) < 0).
Например, функция^ бесконечно большая в точке х=0, причем
г 1
lim -у = +оо.
x-^XqX
Между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями
существует определенная связь.
ТЕОРЕМА. Если функция /(х) в точке х0 бесконечно большая, то в
некоторой окрестности точки х0 определена функция
1
——, и она явля-
/(х)
ется бесконечно малой в точке х0. Если функция /(х) в точке х0 беско-
1
/(х)
нечно малая и /(х) * О в некоторой окрестности точки х0, то функция
в точкеxQ является бесконечно большой.
56
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возьмем произвольное положительное число
е. ТогдаЛ = - также будет произвольным положительным числом. Так
s
как f(x) — бесконечно большая, то
УЛ = 135 > 0 Ух(0 < |х - Хо| < 8 => |/(х)| > Л)
или | Дх)| > |. Отсюда
1
/(X)
Аналогично доказывается вторая часть теоремы. В связи с этой тео-
ремой приняты символические записи: т = °°, — = 0.
О оо
Отметим следующие свойства бесконечно малых функций.
ЛЕММА 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых
функций есть функция бесконечно малая.
ЛЕММА 2. Произведение конечного числа бесконечно малых функций
есть функция бесконечно малая.
ЛЕММА 3. Произведение ограниченной функции на функцию бесконеч-
но малую есть функция бесконечно малая.
Доказательства первых двух лемм следуют непосредственно из тео-
рем о пределах и определения бесконечно малой функции.
В самом деле, пусть функция f(x) ир(х) — бесконечно малые в точ-
ке х0, то есть lim Дх)=0 и lim^(x)=0. При этом
X-+XQ
lim Дх) • ф(х) = lim Дх) • lim р(х) = 0.
Х->*Ь	*-**()
1нп(Дх) + р(х))= lim Дх)+ limp(x) = 0.
и, следовательно, функции Дх) + р(х) и Дх)-р(х) есть функции беско-
нечно малые. Методом математической индукции эти результаты легко
распространяются на случай любого конечного числа бесконечно ма-
лых функций.
Докажем теперь лемму 3. Пусть функция Дх) бесконечно мала в
точке Xq , а функция |Дх) ограничена в некоторой окрестности точки
х0. Тогда
57
VJ>03$ > 0 Vx(O < |x - x0| < <Sj => |i//(x)| < я),
V^>O352>OVx[o<|x-xo|<3!=>|/(x)|<4 |
(10)
(ii)
Если положить <5 = min{3,3j, то в окрестности C7(x0,<5) неравенства
(10) и (11) будут выполнятся одновременно. Тогда в окрестности U(x0,3)
при x*xQ
|/(х) • <р(х)| = |/(х)| • |ф(х)| < • А = е.
А
Таким образом, |/(х)р(х)|<£ и поэтому /(х) р(х) есть функция бес-
конечно малая.
Частный случай. Произведение постоянной величины на бесконеч-
но малую функцию есть функция бесконечно малая.
Отметим, что нетрудно доказать и следующее утверждение о беско-
нечно больших функциях: сумма конечного числа бесконечно больших
функций одного знака есть бесконечно большая функция того же знака.
6. Практическое отыскание пределов функций L
Основные теоремы о пределах и свойствах бесконечно малых и бес-
конечно больших функций дают возможность практического отыска-
ния пределов функций. Рассмотрим ряд примеров.
1. Найти
lim
х->3
Зх2-7х + 1
х3+1
/	\	Чт2 —7т+1 lim(3x2-7x+l
Так как lim(x3 + l)=28*0, то lim-—=—— =	>
*->з\	'	*->з х +1 lim(x3+l|
= 3^x2~7^x+1 = 3-9-7-3+1 = 1
lim(x3+l)	27 + 1	4
2. Найти limxsinx. Так как функция/(х) = х в точкех=0 бесконеч-
но малая, а функция v<(x) = sinx — ограниченная во всей области опре-
деления, то их произведение в точкех=0 есть функция бесконечно
малая и limxsinx = 0.
х—>0
58
Однако теоремы о пределах и свойствах бесконечно малых не всег-
да позволяют найти предел функции. Рассмотрим конкретные случаи.
1. Пусть функция f(x) и ср(х) бесконечно малые в точке х0. Тогда о
пределе отношения общего заключения сделать нельзя. Он может ока-
заться равным или нулю, или конечному числу, или не существовать.
Например, f(x) = x3, р(х) = х2, тогда
X	1
lim—= limx=0, а КтДг = lim-= ».
х-+0х	х~^	х-^0 Х3 Х~^Х
В связи с этим говорят, что отношения бесконечно малых функций
_ .	О
представляют собой неопределенность вида -.
Если на основании исследования характера изменения данных бес-
конечно малых функций удается найти предел их отношения, то гово-
рят, что неопределенность раскрыта.
ПРИМЕРЫ.
, г х2-5х + 6 r (х-3)(х-2) v х-2 1
1. lim---=------= lim---------- = lim---=? -.
*->3 х-9	*-*3(х-3)(х4-3) *->3хч-3 6
~ г л/Зч-Х — л/З r	1	1
2. пт----------= lim z   .=—= —т=.
x~*> x *-*>(л/Зч-хч-л/з) 2V3
IL Пусть функции/(x) и <p(x) бесконечно большие в точке х0. В
f(x)	с
этом случае о пределе отношения^-1 так же никакого общего заклю-
ф(х)
чения сделать нельзя. Например, если /(х) = -, а р(х) = -^, то
X	1
lim^^ = lim-f- = limx = O, a lim^~ = lim^- = lim— = оо.
х-И)ф(х) х-И) 1 х-И)	х-И) /(х) х-И) 1	х->0 %
72	~
Поэтому говорят, что в общем случае отношение двух бесконечно
00
больших функций представляет собой неопределенность вида —. Если
00
предел такого отношения удается найти, то говорят, что неопределен-
ность вида— раскрыта.
59
ПРИМЕР.
v 5х2+6х-1 ..
lim —5-------= hm
я-** х +2х + 8 *-**>
х= l
1_А 7'
х х2
III. Пусть функция /(х) — бесконечно малая, а функцияр(х) — бес-
конечно большая в точке х0 , тогда о пределе их произведения общего
заключения сделать нельзя. В этом случае говорят, что произведение
бесконечно малой и бесконечно большой функции есть неопределен-
ность вида О-оо. Очевидно, неопределенность видаО-оо легко сводится к
одной из двух предыдущих
lim /(х) • ф(х) = lim	= lim Д—.
X~>Xq	X->Xq 1	X->Xq 1
ф(х) /(х)
В последнем случае /(х)*0 в окрестности х0.
IV. Пусть функции /(х) Иф(х) в точке Хо есть бесконечно большие
функции разных знаков, например, lim Дх) = +оо и lim <р(х) =-оо. Тогда
х->хо
о пределе суммы /(х) + р(х) общего заключения сделать нельзя. В этом
случае говорят, что суммы двух бесконечно больших функций разных
знаков есть неопределенность вида оо-оо.
Раскрытие неопределенности этого вида достигается путем предва-
рительного преобразования суммы.
ПРИМЕР.
8
г (	Г~2 с о\ г	— 5х + 8	г	+ у 5
lim(x-Vx +5х-8|= lim---===== lim--------==А== = --.
х+нхД	/ х-4-кох + л/х2+5х_8	L 5 __8_	2
V х х2
В дальнейшем рассмотрим еще три вида неопределенностей 0е, оо °,
Г, к которым приводит рассмотрение пределов функций вида (/(х))^(х).
7. Односторонние пределы функции
Изучим поведение функции f(x) вблизи некоторой точки Xq при
условии, что х приближается к х0 с одной стороны. Пусть, например,
х приближается к х0 слева.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Число b называется пределом функции в точ-
ке х0 слева, если
60
Vg > 0 35 > 0 Vx((x0 - 5 < х < х0) => |/(х) - А| < g).
Если функция/(х) имеет предел в точке х0 слева, равный числу Ь,
то это записывается так b= lim /(х) = /(хо-О).
X—>Xq—О
Если хо=О, то пишут lim/(x) = /(-0).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Число b называется пределом функции/(х)
прих->х0 справа, если
Vs > 0 35 > 0 Vx((x0 <х<х0 + 5)=>|/(x)-5|<g).
Если b является пределом функции /(х) в точке х0 справа, то пишут
lim /(х) = /(хо+О). Если хо=О, то пишут b= lim/(х) = /(+0).
х->хь+0	7	х->+0
Легко видеть, что односторонние пределы функции - это пределы
в х0 соответственно по множествам (х0-5, х0) и (х0,х0 + 5).
Пределы функции в точке х0 слева и в точке х0 справа называются
односторонними пределами. Если функция имеет оба односторонних
предела в точке х0 и эти пределы равны между собой, то их общее зна-
чение называется двусторонним пределом.
Очевидно, определение предела функции в точкех0 по Коши рав-
носильно существованию такого же двустороннего предела функ-
ции.
ПРИМЕР. Пусть
{х, если х* О,
1	л
1, если х = 0.
Здесь	\
lim /(х)= lim /(х) = 0 и lim/(x) = 0, но /(0)=1,
х->+0	х->-0	х-И)
то есть значение функции в точке х=0 не равно пределу функции в
этой точке.
61
8. Первый замечательный предел
_	.	sinx
Рассмотрим предел функции в точке х=0, где х выражен в
радианах. Эта функция определена для всех х кроме точки х = 0. Для
отыскания предела этой функции в точкех=0 нельзя воспользовать-
ся теоремой о пределе частного, так как здесь предел знаменателя
равен 0.
Рассмотрим круг единичного радиуса, в нем сектор AOD (см. рис.
27) с центральным углом, равным х>0. Через точки Ап D проведем
перпендикуляры к радиусу OD и сравним площади полученных фи-
гур. Так как &AOD есть часть сектора AOD и сектор AOD есть часть
AOCD, то
Но
OD - 2 S*n Х , ‘SxrMOD “ 2 Х ’ S&OCD ~ 2
поэтому
0<sinx<x<tgx.
Из полученных неравенств, в частности, следует, что sinx в точке
х=0 справа имеет предел, равный нулю. А так как cosx=l-2sin2^, то
отсюда следует, что limcosx = l. После деления на sinx>0 получаем
1	.	&U1 л
1 < —— <----, а отсюда 1 >-----<cosx.
sinx cosx	х
В этих неравенствах крайние функции в точкех = 0 справа имеют
одинаковый предел, равный 1, поэтому это же верно и для промежу-
точной функции. Таким образом,
62
v sinx ,
hm = 1.
x->+0 x
Покажем, что предел этой функции слева также равен 1. Для этого
заменим хна (-г). Тогда црих<0 имеем />0, поэтому
sinx sin(-f) sm/ ,
lim-------= lim —- = lim-------------= 1.
x->-0 X *-»+0	— t >4-0 t
__	. sinx	Л	,
Итак, функция—^— в точкех = 0 имеет предел, равный 1:
.. sinx ,
hm-----= 1
х-И) х
Заметим, что замена х на (-г) позволяет доказать также равенства:
lim sinx = 0, limcosx = l.
х->-0	х->-0
lim----= 1 часто называют первым замечательным пределом. С его
х-И) X
помощью раскрываются многие неопределенности, связанные с три-
гонометрическими функциями. Приведем примеры, которые одновре-
менно являются и важными следствиями из доказанного.
, .. tgx .. sinx .. sinx ..	1	.
1.11т-^- = 11т------= hm------lim----= 1.
x->0 X X->OXCOSX x—>0 X x->0COSX
~ sinax sinax .. sinax
2. lim-----= a lim-----= a lim-------= a.
х-И) X x-*0 ax	ax->0 ax
r tgax .. ( tgax")	r tgax
3 lim—— = lim a —— = a lim-----------= a.
’ X ах-И)^ ax J ax->0 ax
л .. sinax a .. sinax
4. hm-------= — • lim------
*->osin/3x p x->o ax
1 a smax
.	= — • lim---
sinpx p x->o ax
px
2
1 a
sinPx~ R'
lim—— H
x->o px
• 2*
1-cosx Sln 2 1
5. lim---=— = lim-----= -
x->0	x->0
sm—
2.
= -lim —
2x->o x
I 2
. X
sin—
lim—-
х-И) X
£
2*
£
2
2 ;
63
9. Предел последовательности
Как уже указывалось, числовая последовательность
Ц,«2..................................(1)
является функцией натурального аргумента, то есть ап = f(n). Так
как изменение аргумента этой функции носит вполне определенный
характер (он возрастает, принимая целочисленные значения), то ес-
тественно рассматривать предел функции ап = /(л) при п-> +оо. Опреде-
ление предела последовательности можно дать в следующей формули-
ровке.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число а называется пределом последовательности
(1), если
Уе > О 3N Чп(п > N => \а„ - а| < е).
Неравенство |ал - я| < е эквивалентно двум неравенствам-s<an-a<s
или a-e<an<a + s.
Геометрически это означает, что, начиная с некоторого номера N,
члены последовательности^} попадают в s-окрестность точки а, т.е.
в интервал длины 2s с центром в а и в дальнейшем из него не выходят
(рис. 28). Тот факт, что число а есть предел последовательности {ап},
записывают так:
а = lim ап или ап -> а.
а
Рис. 28
Очевидно, предел последовательности обладает обычными свой-
ствами предела функции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность называется сходящейся, если
она имеет предел, и расходящейся, если предела не имеет, или имеет
.бесконечный предел. В последнем случае записывают Нт ап = +оо (или-оо),
Л->о0
в зависимости от знака ап.
64
ПРИМЕРЫ. 1. Последовательность]!
I л
сходящаяся и имеет своим
пределом 0. В самом деле, при любом е>0
-0<
п
, если взять номера
Т
8
1	АГ Г1! 1
п> —, то есть У = - +1.
8
2	. Последовательность {2п} - расходится, точнее lim2n = 4-oo.
Установим связь между понятиями предельной точки числового
множества и предела числовой последовательности.
ТЕОРЕМА. Для того, чтобы точка х0 была предельной для числового
множества Е, необходимо и достаточно, чтобы из этого множества можно
было выделить последовательность различных точек хг,х2,...,хп,...,, такую,
что xQ = lim хп.
Л—>4-00
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем сначала достаточность условия. Пред-
положим, что из множества £ можно выделить последовательность {хл}
различных точек такую, что хп -> х0. Но тогда по определению предела
числовой последовательности Vs > 0 3W Х/п(п > N => |ц, - а| < я).
Следовательно, все члены числовой последовательности, начиная
с некоторого номера N, содержатся в s -окрестности точки х0, а это
означает, что точка х0 является предельной для множества Е.
НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть точка х0 - предельная для множества Е.
Тогда всякий интервал, ее содержащий, содержит бесконечное мно-
жество точек Е.
Выберем в интервале (х0-1,х04-1) точку ххеЕ, отличную от точки
Xq. Далее в интервале
|/o-?Xo + 2j
выберем точку х2, отличную от то-
чек х0 и хх. Продолжая этот процесс, на л-ом шаге выберем в интерва-
ле ^хо-!,хоч-!^ точку хпеЕ, отличную от точек х0, х15..., хл_г В ре-
зультате из множества Е выделена последовательность {хл} различных
точек, для которой, очевидно, будет л^х«=хо.
65
В связи с этим результатом можно дать определение предельной
точки в другой форме.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка х0 называется предельной точкой множества
Е, если из этого множества можно выделить последовательность раз-
личных точек ХуХ2,..,,Хп,..., СХОДЯЩИХСЯ к Xq.
Такой подход к понятию предельной точки позволяет теорему Боль-
цано-Вейерштрасса сформулировать в терминах числовых последова-
тельностей.	v
ТЕОРЕМА Больцано-Вейерштрасса. Из всякой ограниченной число-
вой последовательностихх,х2,...,хп,..., можно выделить сходящуюся под-
последовательность
........ (п1<п2<..<пк<..).
Действительно, если среди членов данной последовательности бес-
конечно много одинаковых, то они и образуют указанную последова-
тельность, если же бесконечно много различных, то для доказательст-
ва следует воспользоваться прежней редакцией теоремы.
10.	Предел монотонной последовательности
Понятие предела последовательности позволяет дать еще одну фор-
мулировку свойства полноты множества R действительных чисел.
ТЕОРЕМА. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность
ограничена сверху (снизу), то она имеет предел.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть числовая последовательность
не убывает и ограничена сверху. Из условия ограниченности этой чис-
ловой последовательности (точечного множества) сверху следует, что
данная последовательность имеет верхнюю грань. Обозначим эту верх-
нюю грань через а и докажем, что lima„ = а. Действительно, в силу оп-
Л—>00
ределения верхней грани последовательности для Уп(ял <я), но в это же
время Уе > О 3N (а- е < aN). По условию последовательность {ял} неубы-
вающая, поэтому aN <aN^ <... Из совокупности этих неравенств следу-
ет, что а-е<ап<а + е для n>N. Итак,
У£>01/У Vn(n>N=>\an-ci<6)tt> 1ипял = я.
4	II/ л->00
Для невозрастающих последовательностей, ограниченных снизу,
доказательство аналогичное.
Заметим, что из доказанной теоремы следуют другие формулировки
свойства полноты R.
66
11.	Определение предела функции в точке (по Гейне)
Если воспользоваться понятием предела последовательности, то
можно дать еще одно определение предела функции в точке, которое
принадлежит Гейне.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число b называется пределом функции /(х) в точ-
ке Xq, если для любой последовательности точек хх,х2,...,хп,... из облас-
ти Е определения функции, отличных от х0, сходящейся к точке х0,
последовательность соответствующих значений функции /(х^, /(х2),
..., /(хл), ... сходится к числу Ь.
ТЕОРЕМА. Определение предела функции по Гейне эквивалентно оп-
ределению предела функции по Коши,
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть число b есть предел /(х) в точке Xq по
Коши, то есть
Vs >035 >0 Vx(O<|x-xo| <5 =>|/(х)-£| < s).
Возьмем последовательность {хя}сЕ, сходящуюся к точке х0
(хя *х0). Тогда по 5>0 найдем такое N, что для п>N выполняется не-
равенство О<|хя-хо|<5, но при этом выполняется и неравенство
|/(хл)-^<£. Таким образом,
Vs >03# V^h>#=>|/(x„)-Zj|<s).
то есть lim f(x^ = b и b есть предел функции в точке b по Гейне.
Л->+оо
Пусть b есть предел функции по Гейне. Докажем, что b будет преде-
лом функции и по определению Коши. Предположим противное. Пусть
b не является пределом функции по определению Коши. Тогда имеет
место отрицание утверждения
Vs > 0 35 > 0 Vx(0 < |х - Xq| < 5 => |/(х) - 5| < s),
а это означает, что
3sq > 0 V5 > 0 Зх(0 < |х - xj < 5 & |/(х) - 5| > s).
п	я	1 1 1	1	я 1	-
Возьмем за о последовательно числа 1,-,и для 5=- наи-
2 3 и	п
дется точка хл*х0, такая, что
В результате имеем последовательность {хл} сходящуюся к х0, а
последовательность {/(х„)} не сходится к Ь.
Полученное противоречие доказывает теорему.
12.	Число е
Рассмотрим числовую последовательность с общим членом
Докажем существование предела этой последовательности. С этой
целью сначала установим неравенство Вернули:
(\ + h)m >l + mh,	(1)
где т — любое натуральное число, a h ~ любое действительное число,
большее (-1).
Доказательство проведем методом математической индукции. При
т = 1 соотношение (1), очевидно, справедливо со знаком равенства.
Пусть теперь соотношение (1) справедливо для какого-либо опре-
деленного целого положительного показателя т = к
(1 + Л)*>1 + £А.	(2)
Докажем, что тогда неравенство (1) верно и при т = к+1. Умножив
обе части неравенства (2) на положительное число 1 + й, получим
(1 + й)*+1 = (1 + й)*(1 + й) > (1 + kh)(\ + й) = 1 + (к + 1)й + kh1 > 1+(к + 1)й,
что и требовалось доказать.
Докажем теперь существование предела последовательности
/	1 \я+1
Для этого установим, что эта последовательность не возрастает. Рас-
Уп
смотрим отношение —.
Ал+i
68
= 11 +----------.
7<n + 2)J	П + 1
Но в соответствии с неравенством Вернули
-	1	।	п+2	, 1 п+1
1 +----г	>1 + ——— = 1 + - =--.
n(n + 2)J п(п + 2) п п
Поэтому
Уп >л+1 п -1
Л+1	” л+1
Отсюда Уи^Ул+1, то есть последовательность {уя} не возрастает. А
так как уп >0 при всех п, то последовательность ограничена снизу. Та-
ким образом, последовательность не возрастает и ограничена снизу. Сле-
у	(	1А
довательно, она имеет предел, но ял=^~- и lim 1 + - =1, значит пос-
1 + A	п J
п
ледовательность {а„} также имеет тот же предел, что и последователь-
ность {>-„}.
Этот предел обозначается буквой е. е — иррациональное число, оно
играет важную роль во многих разделах математики и в дальнейшем бу-
дет многократно применяться. Его приближенное значение е» 2,718....
13. Второй замечательный предел
( 1Y
Рассмотрим предел функции у= 1 + — при х->±оо и покажем,
V х)
( 1 у
что lim 1 + - =е. Существование степени с действительным показа-
X)
телем и ее свойства будут доказаны позже в гл. V.
69
1. Пусть х>0. Положим л = [х]. Тогда п<х<л+1. Запишем очевид-
ные неравенства
/	1 X л	Z	1 \Х Z	. х X	z	1Г /	1 \л+|
1+-М < 1+— < 1+- 4i+- < 1+-
V	Л + IJ	V	П + IJ \	xj	V	nJ V	п) 
Отсюда	'
(1)
Так как при х->-юо и п = [х]->-к», то
lim 1 +
X-»+ool
( 1 Y
= lim 11 + —- =
х->-но^ п +1)
(	1 V*1
lim 1 + —-
х-»+«\	и 4-1 у _
г Ti	1
lim 1 +-------
X->+ool	п
е
1
-е,
Аналогично,
limfl + p-J—1	=limfl + —1 = limfl + -l • limfh+ ~l = e*l = e. (2)
x—>+a>i I xj 4-1J x-^+oo^ n 4-1J	х->+оо^ n J x->+oo^ n J
Следовательно, в неравенстве (1) крайние функции при х->-ню
имеют одинаковые пределы, равные е, поэтому на основании теоремы
о пределе промежуточной переменной
( 1 у
lim 11 + — = е.
х-^+00^ X)
2. Пусть теперь х < 0, т.е. 'х -> -<ю. Положим i = -i -1. Теперь уже t -> -к»
и
z ’Цхх/’?„< Z ’ j ч-Г-1	>	\-/Ч
lim|l + —I =lim|l +------I	= lim I--I =
X->-«^ X J r->+ool — t —1J	t-t+aoy t + 1J
.. fr+iY+l .. (. 1Y f. П
= lim ----- = lim Г+- • lim 1 + - =e.
f->+ool t J f->+oo^ IJ f->+oo^ IJ
Приведем примеры, использующие второй замечательный предел.
70
ПРИМЕРЫ: 1. Пусть требуется найти lim(l + а)<*. Заменяя з^есь а = —,
а->0	X
мы найдем
( k\x	к 1
2. Найти предел lim 1 + — . Положим - Тогда
х->±оо^ х J	X t
14. Сравнение бесконечно малых функций.
Эквивалентные бесконечно малые
Пусть а(х) и р(х) — две бесконечно малые функции в точке х = х0.
Функция а(х) называется бесконечно малой более высокого порядка,
а(х)	«
чем Р(х), если предел отношения в точке х0 равен нулю. В случае,
когда функция а(х) есть бесконечно малая более высокого порядка,
чем функция Д(х), употребляется символ а(х) = о(Д(х)) (читается: а —
равно о малое от Д(х)).
Очевидно, символ о обладает свойствами: если у = о(Д), то о(Д) ±
±o(Y) = o(p)fo(P)±o(p) = o(p).
Отметим также, что если а(х) и Д(х) бесконечно малые в точке *о
функции, то функция а(х) • Д(х) имеет более высокий порядок малос-
ти, чем каждый из сомножителей, и поэтому а(х)• Д(х) = о(а),
а(х)Д(х) = о(Д).
2. Функции а(х) и р(х) называются бесконечно малыми одного поряд-
ка (имеют одинаковый порядок малости), если предельное значение
а(х)
функции в точке *ь существует и отлично от нуля.
71
3. Функции a(x) и p(x) называются эквивалентными бесконечно ма-
а(х)
лыми (обозначение а~Д), если предел отношения в точке х0
равен единице.
ПРИМЕРЫ:
1.	а(х) = х2, Д(х) = х, х->0, lim^^ = 0, то есть а=О(Д).
х-*> р(х)
£
2.	а(х) = —, Р(х) = — 5 х->+оо, lim = lim-~= limx = +oo. Здесь,
X	X	х->+00 Д(х) х->+°0 1	х->+<ю
X2
очевидно, р - 0(a).
3.	a(x) = sinx, Д(х) = х, х->0,	=	= l.
х-яр(х) х-^ х
Значит бесконечно малые функции sinx и х эквивалентны sinx~x.
Сравнение бесконечно малых функций оказывается полезным в
различных вопросах анализа.
Одним из важных применений является использование эквивален-
тных бесконечно малых функций при вычислении предела функции. В
связи с этим рассмотрим две теоремы.
ТЕОРЕМА 1. Для того, чтобы бесконечно малые функции были экви-
валентными в точке Xq, необходимо и достаточно, чтобы их разность
представляла собой бесконечно малую функцию более высокого порядка,
чем они сами.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость. Пусть функция Дх)~<р(х) в
точке xQ. Тогда
Цт/(х)-ф(х)=	lim <РЫ=О
x-^xq f(x)	f(x) J X-+XQ f(x)
Это значит, что бесконечно малая функция f(x)-<p(x) имеет более
высокий порядок, чем Дх). Аналогично доказывается, что Дх)-р(х) -
бесконечно малая более высокого порядка, чем <р(х).
Достаточность. Пусть
г Дх)-(р(х) л
Дх)
72
Тогда limfl-—1=0 и lim ^— = 1, то есть /(х)~р(х).
*-*Ч Лх)) /W
Из этой теоремы следует, что при замене некоторой бесконечно
малой функции /(х) эквивалентной ей функцией р(х) относительная
погрешность	может быть сколь угодно малой, если х доста-
f(x)
ТОЧНО близко К Xq .
ТЕОРЕМА 2. Если имеется две пары эквивалентных бесконечно малых
в точке *ь функций:
Л(Х)~Л(*) и ^W^^z(x),
то
г Л(х) г Л(*)
hm = hm ^7-7
x-wfc (ft (х)	х->*ь
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как
/1(х) _ f^x) f2(x) Фг(х)
<й00 f2M ФгОО
то
г Z(x) г Л(х1 г Л(*) г Фг(х)
hm = hm - -- • hm ~ - • hm - ;
х->ло(^(х) x-*xof2(x) x~^xQ(p2(x) х-**ь^(х)*
Но по условию теоремы
lim~~ = l и lim^y—= 1.
x->*b f2{X)	x-+xq <^(х)
Следовательно,
flM Г Л(х)
hm = hm
x->xq<^(x) х-^ьсрДх)
Эта теорема означает, что при отыскании предела отношения двух
бесконечно малых функций, любую из них можно заменить эквивален-
тной бесконечно малой функцией и от этого предел не изменится.
х2
ПРИМЕР. Так как sinx~x и l-cosx~ —, то
2
3	3	3
X v X COSX	X cosx v -
lim----;— - hm—— --------- = lim-x— = hm2cosx = 2.
x^otgx-smx x—>0 sin x(l — cos x) x->o x
XT
73
Глава IV
Непрерывность
1. Приращение аргумента и функции
Пусть у~ Дх) — функция, определенная на некотором промежутке
и х0 любая внутренняя точка этого промежутка. Пусть в точке х0
функция Дх) имеет значение Дх0). Перейдем от точки Xq к некоторой
другой точке х = х0 + Дх e{a,ty, где Дх — некоторое положительное или
отрицательное число. Разность х - х^ = Дх называется приращением аргу-
мента. Значению х0 + Дх аргумента соответствует значение f(x + Дх) фун-
кции.
Разность /(х + Дх) - /(х) - Ду между значениями функции называют
приращением функции, которое она получает при переходе аргумента
от значения х0 к значению х^ + Дх.
Геометрически приращение аргумента это приращение абсциссы, а
приращение функции это приращение ординаты точки А графика функ-
ции у = Дх), переместившейся в новое положение В (рис.29).
ПРИМЕР. Записать приращение функции Дх) = х3 и вычислить его
при изменении аргумента от Xq = 2 до х0 + Дх = 2,1. Здесь
Ду = (х0 + Дх)3 - Xg = 3xqДх + Зх0(Дх)2 + (Дх)3 •
По условию х0 = 2, а Дх = 2Д-2=0,1. Следовательно,
Ду = 3 • 22 • 0,1 + 3 • 2 • (ОД)2 + (ОД)3 = 1Д61.
Т4
2. Непрерывность функции в точке
Интуитивное представление о непрерывной функции обычно связы-
вается с такой функцией, график которой представляет собой сплош-
ную «непрерывную» линию. При этом подразумевается, что для близких
значений независимой переменной близки между собой соответствую-
щие значения функции.
Перейдем к точному определению непрерывности функции в точке
До-
определение. Пусть функция у — Дх) определена на множестве
Ей хоеЕ. Функция Дх) называется непрерывной в точке х0, если либо
х0 изолированная точка Е, либо х0 предельная для Ей Дх) имеет пре-
дел в точке х0, равный ее значению в этой точке
Jim/W = /(*))•
л—
хеЕ
В частности, когда функция Дх) определена в окрестности точки х0,
непрерывность Дх) в точке х0 означает, что существуют пределы Дх) в
точке х0 слева и справа, равные значению Дх) в точке х0, то есть
Д*о - 0) = Дх0) = Дх0 + 0).
Так как xj, = lim х, то непрерывность означает, что
Х-»Хо
lim /(*) = / Птх].
х->о	\x-Mo J
Следовательно, в случае непрерывной функции можно переходить к
пределу под знаком функции.
Ранее было дано два эквивалентных определения предела функции:
«на языке последовательностей» и «на языке е - 8». В соответствии с
ними можно дать два эквивалентных определения непрерывности функ-
ции в точке.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. (Непрерывность функции по Гейне). Функция
Дх), определенная в х0, называется непрерывной в точке х0, если для
любой последовательности значений аргумента хх,х2,...,хп,... (хл gE), схо-
дящейся к х0, последовательность соответствующих значений функции
/(*,), Дх2), ..., Дх„), ... сходится к Дх0).
75
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. (Непрерывность функции по Коши). Функция Дх),
определенная в х0 еЕ называется непрерывной в точке х0, если
Vs > 0 3<5 > О Vx(|x - Xq| < 8 => | Дх) - /(*о) < s).
Можно дать еще одно определение непрерывности функции, кото-
рое является перефразировкой первоначального определения. Так как
имеет место эквивалентность равенств
Нт /(х) ='/(х0) «• Нт (/(х) - /(х0)) = 0 о lim Ду = 0,
х->*0	'	' x-*Xqx	' z	Дх-Я)
то справедливо
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Функция /(х) называется непрерывной в точке
Xf,, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соот-
ветствует бесконечно малое приращение функции.
Рассмотрим конкретные примеры.
ПРИМЕРЫ. 1. Функция /(х) = х, очевидно, непрерывна в любой точке
Хд числовой прямой. Действительно, для нее в любой точке имеем
lim /(х) = lim х = х« = f(xa)
X-HCq	X-^Xq
2. Исследовать на непрерывность функцию Дх) = х2 в произвольной
точке Хд. Здесь
&У = Лхо + Д*) - /(*о) = (*о + Д^)2 - ^0 = 2х0Дх + (Д*)2 >
а
lim Ду = lim (2хпДх + (Дх)2) = 0.
Дх-Я) Дх-Я)\	v 7 /
Следовательно, функция Дх) = х2 непрерывна в любой точке х0.
3. Исследовать на непрерывность функцию Дх) = х(1 - D(x)) в произ-
вольной точке х (D(x) - функция Дирихле). Очевидно,
lim Дх) = limx(l - D(x)) = 0
х-Я)	х-Я) '	’
так как в точке хо=О функция р(х) = х бесконечно малая, а функция
l-D(x) ограничена. Значит, в точке хо=О эта функция непрерывна. В
любой точке хо*О предел функции Дх) не существует, так как не
76
существует предел функций D(x) и следовательно, в точке хо*О фун-
кция /(x) = x(l-Z>(x)) не непрерывна.
В отдельных случаях приходится пользоваться понятием односторон-
ней непрерывности.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция /(х) называется непрерывной в точке х0
справа (слева), если
Как отмечалось выше, для функции, непрерывной в точке х0,
Л*о - 0) = /(х0) = f(x0 + 0).
Следовательно, если функция /(х) непрерывна в точке Xq, то она
непрерывна в этой точке и справа и слева. Очевидно, справедливо и
обратное утверждение: если функция /(х) непрерывна в точке х0 справа
и слева, то она будет непрерывной в этой точке. Однако, легко привести
пример функции, которая в некоторых точках будет непрерывна только
с одной стороны. Так функция /(х) = [х], рассмотренная ранее, во всех
целочисленных точках числовой прямой непрерывна только справа.
Если функция /(х) определена на сегменте [«,£>], то для точек х = а
и х — Ь естественно говорить только о непрерывности в этой точке,
справа и слева соответственно.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Функция /(х) называется непрерывной на мно-
жестве Е, если она непрерывна в каждой точке множества Е.
Приведем примеры функций, непрерывных на различных множест-
вах.
1.	Функция /(х) = х2 непрерывна на интервале (- оо,-юо).
2.	Функция /(*)= “ непрерывна на множестве (- oo,0)LJ(0,+oo).
3.	Непрерывность суммы, произведения и частного
ТЕОРЕМА 1. Если функции <р(х) и ^(х) определены в некоторой окре-
стности точки Xq и непрерывны в точке Xq , то функции <р(х) + уг(х), ср(х),
ф(х) • у/(х) также непрерывны в точке х0. Если, кроме того, у(х^Ф$) то фун-
кция , также непрерывна в точке х0.
Va(x)
77
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Непрерывность всех приведенных выше функ-
ций доказывается одинаково. Для примера докажем непрерывность част-
ного, то есть непрерывность функции f(x) =	. Функция определена
в точке х = *0, так как у/(х0) * 0, причем	,
lim Д х) = lim	= Д хо).
х->Хо х-»А)1//(х) limy/(x) 1/а(Хо)
Х->Хо
Откуда и следует непрерывность функции /(xq) .
Доказанная теорема позволяет решать вопрос о непрерывности ряда
функций. В частности, учитывая, что функция /(х) = х в интервале
(-оо,+оо) непрерывна, мы приходим к выводу, что будет непрерывной в
(- оо,+оо) и функция /(х) = х", которая представляет собой произведение
п одинаковых сомножителей х. В связи с этим будет непрерывной в той
же области и целая рациональная функция
f(x) = ^akxk
к=й
как сумма произведений постоянных ак на непрерывные функции хк.
Дробно-рациональная функция
У\акхк
Zv*
Jt=o
представляющая собой отношение двух непрерывных функций, будет
непрерывна во всех точках числовой прямой, за исключением тех точек,
в которых знаменатель дроби обращается в нуль. Этих точек не более т,
так как знаменатель дроби есть многочлен ди-ой степени и он имеет не
более т действительных корней. В заключение докажем теорему, которая
следует непосредственно из определения предела функции в точке.
ТЕОРЕМА (об устойчивости знака непрерывной функции). Если фун-
кция f(x) непрерывна и положительна (отрицательна) при х = х0, то она
положительна (отрицательна) в некоторой окрестности точки х0.
78
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу непрерывности функции /(х) в точке х0
имеем lim Дх) = Дх0), или по определению Коши,
X~>Xq
Ve>03<5>0 Vx(0<|x-x0|<5=>|/(x)-/(x0)|<£)
При этом выполняются неравенства
Дх0)-е< Дх)< Дх0) + е.
Так как Дх0)>0, то взяв е меньше Дх0), мы получим, что Дх)>0
в некоторой окрестности точки х = х0.
Аналогично рассматривается случай Дхо)<О.
4.	Классификация точек разрыва функции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка Xq, принадлежащая области определения
функции Дх), называется точкой разрыва функции Дх), если функция
Дх) не является непрерывной в этой точке.
Так, для функции Дх) = x(l-Z)(x)), рассмотренной выше, точками
разрыва будут все точки числовой прямой, за исключением точки х0 = 0.
Очевидно, что точка х0 является точкой разрыва, если в ней нарушено
одно из условий определения непрерывности функции в точке:
1-а. Пределы функции Дх) слева и справа существуют и равны меж-
ду собой, но не равны значению функции в точке х = х0.
1-6. Пределы функции слева и справа существуют, но не равны меж-
ду собой, хотя один из них и может быть равен значению функции в
точке х = х0.
2. В точке х = х0 пределы функции слева и справа (или один из них)
не существуют (в частности, равны бесконечности). В связи с этим при-
нята такая классификация точек разрыва функции:
1) Если пределы функции в точке х = х0 слева и справа существуют,
но не равны между собой, или не равны значению функции в точке х^,
то точку х = х0 называют точкой разрыва первого рода. Причем, в пер-
вом случае точка х = х0 называется точкой разрыва с конечным скач-
ком, а во втором случае — точкой устранимого разрыва. В последнем
случае достаточно переопределить функцию только в одной точке х = х0
и она будет непрерывной в этой точке.
79
ПИНЧЕРЫ
1. /w =
х2, еслих*2,
2, если* = 2.
Здесь точка х0 =2 есть точка разрыва первого рода с устранимым раз-
рывом (рис. 30).
2./(х) =
Зх + 5,еслих>0,
х+1, еслих<0.
Здесь точка х0 = 0 есть точка разрыва первого рода с конечным скач-
ком (рис. 31).
2) Если пределы функции /(х) в точке х0 слева или справа не суще-
ствуют, то точка х = х0 называется точкой разрыва второго рода.
ПРИМЕРЫ:
l./(x) = b «а™**0’
х, если х < 0.
Здесь lim /(х) = +оо, lim /(х)=0 (рис. 32).
х-»+0	х->-0
н
J
f
80
Следовательно, точка х0 =0 является точкой разрыва второго рода.
2./(х) = еслих#0,
0, если х = 0.
Здесь lim /(х) = -оо, Пт /(х) = +оо. Следовательно,. точка хо=О явля-
х->-0	х->+0
ется точкой разрыва второго рода (рис. 33).
3. D(x) =
1, если х рационально,
0, если х иррационально.
Здесь любая точка х из (-оо,+оо) является точкой разрыва второго
рода, так как в любой точке х предел функции не существует.
5.	Непрерывность сложной функции
Пусть значения функции р(х) входят в область определения функ-
ции Ду).
ТЕОРЕМА. Если функция р(х) непрерывна в точке Xq, а Ду) непре-
рывна в точке у0 = <р(х0), то сложная функция z = Дф(х)) непрерывна в
точке xQ.
81
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению непрерывности f(y) в точке
у0=<р(х0) для любого £>0 найдется <5>0 такое, что для любого у из
области определения Ду).
|j - л| < 3 => |/( У) ~ /(Л>)| < е •
Но, так как (р(х) непрерывна в точке х0, то по 8 > 0 можно найти
<51 >0 такое, что для любого х из области Е определения р(х)
|х - *о| < $ => |ф(х) - <р(х0)| < 8.
В результате приходим к выводу
Ve > 0 3$ > 0 Vx gE(o < |х - х^ < $ => |/(р(х)) - /(ф(х0))| < я),
который и означает непрерывность /(р(х)) в точке х0.
Утверждение теоремы легко переносится на случай композиции лю-
бого конечного числа непрерывных функций.
6.	Теорема об обращении непрерывной функции в нуль
(первая теорема Больцано-Коши)
ТЕОРЕМА. Если функция Дх) непрерывна на промежутке (а,р) и в
некоторых точках промежутка принимает значения разных знаков, то
внутри промежутка найдется по крайней мере одна точка с такая, что
значение функции /(х) в этой точке равно нулю: f(c) = Q.
Сформулированная теорема имеет простой геометрический смысл,
который состоит в том, что график функции, непрерывной на проме-
жутке (а,Д) и принимающий на промежутке значения разных знаков,
пересечет ось абсцисс по крайней мере в одной точке (рис. 34). Отметим,
что таких точек может быть и больше одной. Например, функция
у — х3-8х2 +21Х-18
на сегменте [ 1,4] обращается в нуль в точках X! = 2 и х2 = 3.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть а,Ье(а,р} и значения f(a) и f(b) раз-
личны по знаку. Разделим сегмент Д = [о,#]cz (а,р) пополам. Если в точке
деления сегмента d = значение функции f(d) = 0, то теорема уже
доказана.
82
Если же	то на концах одного и только одного из частичных
сегментов функция /(х) принимает значения разных знаков. Обозначим
этот сегмент через Aj. Сегмент А! вновь разделим пополам. Если в точке
его деления функция /(х) не обращается в нуль, то обозначим через
Д2 тот частичный сегмент, на концах которого функция принимает зна-
чения разных знаков. Продолжая этот процесс, получим последова-
тельность вложенных друг в друга сегментов
До Aj Д2 z>...z3 Дл z>...,
на концах каждого из которых функция принимает значения разных зна-
Ь—а
ков. Длина л-го сегмента Дл равна и стремится к нулю при л->оо.
Следовательно, по теореме Кантора о вложенных сегментах существует
единственная точка с, принадлежащая всем этим сегментам.
Покажем, что в этой точке значение функции равно нулю. Предпол-
ожим противное. Пусть f(c) * 0 и пусть для конкретности /(с) >0. Так как
функция /(х) непрерывна на промежутке (а,Д), то она непрерывна и в
точке с. Но тогда по теореме об устойчивости знака непрерывной функ-
ции /(х)>0 и в некоторой окрестности (с-£,с+е) точки с. Возьмем те-
перь п столь большим, чтобы сегмент Дл целиком попал в интервал
(с-£,с + е). По предыдущему в интервале (с-£,с+е) функция /(х)>0, а
по построению сегмента Дл на концах его функция /(х) принимает зна-
чения разных знаков. Полученное противоречие и доказывает, что /(с) = 0.
Доказанная теорема, как будет показано дальше, имеет большое те-
оретическое значение. Кроме того, она имеет и важные практические
приложения. В частности, она дает возможность приближенно находить
корни для некоторых классов уравнений.
Пусть дано уравнение /(х) = 0, где функция /(х) непрерывна на сег-
83
менте [а, 6]. Если окажется, что на концах сегмента [я,функция f(x)
принимает значения разных знаков, то по доказанной теореме мы впра-
ве заключить, что внутри сегмента существует точка с, в которой /(с) = 0
и, следовательно, с есть корень исходного уравнения. Взяв части сег-
мента [л,/>] (например, деля его неоднократно пополам), мы сможем как
угодно близко подойти к этому корню.
Рассмотрим уравнение х3 - 5х + 3=0. Здесь функция /(х) = х3 - 5х + 3
непрерывна на сегменте [0,1], а на концах его принимает значения
/(0) = 3, /(1) = -1. Следовательно, данное уравнение имеет корень внутри
1 3 5
сегмента [0,1]. Вычисляя значение функции в точках мы получаем
5	/3>| = _21	/5У 63
l2j“8’	64’	512
и делаем последовательные выводы, что корень уравнения находится в
сегментах
?
1 21 Г2 1
_2,4J’ L8’4.’
Путь дальнейшего уточнения значения
корня очевиден.
7.	Теорема о промежуточных значениях непрерывной
функции (вторая теорема Больцано-Коши)
Эта теорема является непосредственным следствием теоремы об об-
ращении непрерывной функции в нуль.
ТЕОРЕМА. Пусть функция /(х) непрерывна на промежутке (а,р) и
на этом промежутке принимает значения А и В. Если С любое число, зак-
люченное между А и В, то на промежутке (а,р) найдется по крайней мере
одна точка с такая, что f(c)-C.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть для конкретности f(a) = А < f(b) = В, где
а,Ье(а,р}. Введем в рассмотрение вспомогательную функцию р(х) =
= f(x)-C. Очевидно, она непрерывна на промежутке (а,р) и, так как Я
< С < В, то
ф(а) = /(а)-С = Л-С<0 и cp(b) = f(b)-C = В-С >0.
Следовательно, функция р(х) удовлетворяет всем условиям
84
предыдущей теоремы и поэтому существует такая точка се{а,р},
что р(с) = 0. Но ф(с) = f(c)-C. Значит /(с)-С=0. Отсюда /(с) = С.
Доказанная теорема имеет важный геометрический смысл, который
состоит в том, что в условиях теоремы значения функции /(х) сплошь
заполняют отрезок [Я,В] (см. рис. 35). Конечно, это не означает, что вне
сегмента [4 Я] нет значений функции /(х).
8.	Обратное отображение и понятие обратной функции
Пусть имеется отображение f множества X «на» множество У. Тогда
каждому элементу хе! ставится в соответствие один и только один
элемент у еУ и каждый элемент у еУ является образом некоторого эле-
мента х еХ.
В общем случае различным элементам х еХ может соответствовать
один и тот же элемент у еУ. Иначе говоря, в общем случае соответст-
вие между множествами X и Уне является взаимно однозначным. Если
же соответствие между множествами X и У взаимно однозначно, то
одновременно с отображением f множества X «на» множество У можно
говорить об отображении (р множества У «на» множество X, при кото-
ром каждому у еУ становится в соответствие единственное х еХ, для
которого у является образом х в отображении/ При этом отображение
Ф называют обратным по отношению к отображению f и обозначают
у-1, а отображение f называют прямым.
В случае, когда отображение f есть функция действительного пере-
менного у = Дх), обратное отображение х.= р(у) также является функ-
цией действительного переменного.
85
Так как для функции х = (р(у) обратной будет функция у = Дх), то
функции у = Дх) и х = (р(у) называют взаимно обратными. Очевидно,
для взаимно обратных функций справедливы соотношения /(ф(^)) = у
и ф(Ду)) = х, которые можно было бы принять за определение обрат-
ной функции.
Легко видеть, что отыскание аналитического выражения обрат-
ной функции х = ф(у) сводится к решению уравнения у = Дх) отно-
сительно х.
НАПРИМЕР. Для функции j> = 3x + 5 обратной функцией будет
У-5
х = --.
X
Рассмотрим вопрос о графике обратной функции. Прямая функ-
ция у = Дх) и ее обратная функция х = у(у) выражают один и тот же
закон соответствия между множествами X и Y. Поэтому их графики
совпадают.
Если же обратную функцию представить в обычно принятых обоз-
начениях (аргумент обозначить через х, а функцию через у, то есть в
виде у = ф(х)), то график обратной функции у = у(х) будет симметри-
чен графику прямой функции у = Дх) относительно биссектрисы пер-
вого и третьего координатных углов, так как оси ОХ и OY меняются
местами (см. рис. 36).
Графики прямой функции j> = 3x + 5 и ее обратной функции у = ——
изображены на рис. 37.
86
Рис. 37
Отметим еще, что если для прямой функции у = Дх) областью опре-
деления является множество Х9 а множество значений Y, то для обрат-
ной функции х = <р(у) областью определения будет множество Y, а мно-
жеством значений — X. Очевидно, что не всякая функция имеет обрат-
ную. Поэтому важно иметь критерий, обеспечивающий для функции
у Дх) существование обратной функции.
Следующая теорема выделяет класс функций, для которых обратные
функции существуют.
9.	Существование и непрерывность обратной функции
ТЕОРЕМА. Если функция у= f(x) строго возрастает (убывает) и не-
прерывна на сегменте [a, 6], а на концах сегмента принимает значения
f(a) = А и f(b) = В, тона сегменте [Я,В] существует ей обратная функция
х = <?(у) строго возрастающая (убывающая) и непрерывная на этом сег-
менте.
Рис. 38
87
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть для конкретности функция у = /(х) строго
возрастает на сегменте [л, ft]. Возьмем на сегменте [Д В] произвольную точ-
ку С. Тогда, по теореме о промежуточных значениях непрерывной функ-
ции, существует точка £ е[а, ft] такая, что /(£) = С (рис. 38). Так как функ-
ция /(х) строго возрастает, то эта точка единственная.
Следовательно, существует функция х = р(у), сопоставляющая каж-
дому у е[ДВ] единственное значение х e[a,ft], которая и будет обратной
для функции у = /(х). Докажем теперь, что функция х = у(у) строго воз-
растает на сегменте [А,В]. Возьмем ух,у2 е[Д Л] и пусть у{ < у2. Тогда для
Xj = (р(ух) и х2 =ф(у2) имеем Дхх) = ух<у2 = f(x2). Но функция /(х) строго
возрастает на сегменте [a,ft], поэтому из неравенства f(xx)< /(х2) следу-
ет, 4TOXi<x2, и, следовательно, ф(я)<ф(л)-
Остается доказать непрерывность функции ср(у) на сегменте [ДВ].
Пусть С — любая внутренняя точка отрезка [ДВ]. Положим р(С) = £,
так что а<£<Ь и /(£) = С (рис. 38). Пусть £>0 такое, что £-£e[a,ft] и
£ + е е [я,ft]. Положим /(£ - g) = Q, /(£ + £) = С2. В силу строгого возраста-
ния функции /(х) справедливы неравенства (\<С<С2. Выберем те-
перь 8 положив его равным min{C-С{9С2-С]. Пусть справедливо не-
равенство |у-С|<<5. Докажем, что при этом \(р(у) - ф(С)\ < е. Действи-
тельно, из неравенства |у-С|<5 следует, что С\< у<С2. Так как функ-
ция ф(у) строго возрастает, то p(Ci) <у(у) <(р(С2). Но (р(Сх) = ^-е,
<р(С2) = % + е и поэтому %-8<ср(у)< £ + £ или |<р(у)- £| = |<р(у)-0(С)|<£. Та-
ким образом,
tf£>035 >0 Vy е[ДВ](0<|у-С|<5 =>|<р(х)-р(С)|< е).
Следовательно, функция (р(у) непрерывна в точке С.
Аналогично доказывается непрерывность функции <р(у) в точке А
справа и в точке В слева.
88
10.	Свойства функций, непрерывных на сегменте
Функции, непрерывные на отрезке, обладают важными свой-
ствами, которые используются во многих разделах анализа. Рассмот-
рим эти свойства.
ТЕОРЕМА 1. (Первая теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) не-
прерывна на отрезке [л, 6], то она и ограничена на этом отрезке,
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть функция /(х) непрерывна на отрезке
[я,6], но не ограничена сверху на этом отрезке. Тогда
^пЭхя(|/(хл)|>и).
Будем придавать л значения 1, 2, 3,..., л,.... Тогда получим ограни-
ченную последовательность точек хх,х2,х3,...,хп..., принадлежащих отрез-
ку [а,&]. По теореме Больцано-Вейерштрасса из этой последовательности
можно выделить подпоследовательность {х^}, сходящуюся к точке
х0 g[o,Z>] . Так как в точке х0 функция /(х) непрерывна, то по определе-
нию непрерывности
“VW = /(Xo)-
Но в то же время по построению точек хп имеем /(^) > nk и потому
/(xj->+«>. Полученное противоречие доказывает ограниченность фун-
кции /(х) сверху. Аналогично доказывается ограниченность функции /(х)
снизу.
Отметим, что в условии теоремы сегмент нельзя Заменить интерва-
лом. В подтверждение приведем как пример функцию /(х) = “ на интер-
вале (0,1). В этом интервале она непрерывна, но не ограничена сверху
(бесконечно большая в точке х = 0).
ТЕОРЕМА 2. (Вторая теорема Вейерштрасса). Если функция /(х) не-
прерывна на отрезке [^Л], то она принимает на этом отрезке свои наи-
большее и наименьшее значения.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как функция /(х) непрерывна на сегменте
то, по предыдущей теореме, она и ограничена на этом сегменте.
89
Следовательно, ограничено множество значений функции Дх), а по-
этому это множество имеет верхнюю грань р = sup Дх) и нижнюю грань
а = inf Дх). Нам нужно доказать, что существуют точки
хфМ>]
х} и х2
такие, что Дхх) = р и Дх2) = а.
Докажем существование точки хх. По определению верхней грани
Vx g[o,Z>](/(x)</3). Предположим противное, то есть что точки х = хь, в
которой Дхх) = р, нет. Тогда при всехх выполняется строгое неравенст-
во Дх) < р или р - Дх) > 0. При этом функция <Р(Х) = дху непрерыв-
на на отрезке [л,6] как частное двух непрерывных функций.
В силу первой теоремы Вейерштрасса функция <р(х) ограничена на
сегменте [a,Z>], то есть
3C>0Vx etaft] |0<-—<С|
1 Ч д-zw ;•
Отсюда Дх)<р-—9 то есть мы получили верхнюю границу функ-
ции на отрезке [а,6], меньшую верхней грани. Полученное противоречие
доказывает существование точки Xj.
Аналогично доказывается вторая часть теоремы. В условиях и этой
теоремы сегмент [a,Z>] нельзя заменить интервалом. Так функция Дх) = х
непрерывна на интервале (0,1), но нижней грани 0 и верхней грани 1
своих значений она не принимает на этом интервале.
11.	Равномерная непрерывность функции
и теорема Кантора
Если функция Дх) определена и непрерывна на множестве X, то это
означает, что она непрерывна в каждой точке xgI.
Поэтому, по определению Коши, для каждого е>0 и каждой точ-
ки хеХ найдется <5>0 такое, что для Vx' еХ, как только |х'-х|<<5,
так сейчас же |/(х') - Дх)\ < е. Обратим внимание на то, что число 8 >0
90
находится не только по заданному е> 0, но и по точке х, поэтому,
отражая эту зависимость, запишем 8(е,х).
Определение непрерывности Дх) на Xможно записать так
Vs >0 Ух еУ35(£,х)>0 Ух' еХ(|х' -х| <8 =>|Дх')- /(x)|<s)
(порядок записи здесь важен).
Если число 8(е,х) одно и то же для всех х еХ, то есть оно от х не
зависит, и <5(s,x) = 5(s), то говорят, что функция Дх) на X равномерно
непрерывна. Это имеет место, если при каждом s>0 множество чисел
{<5(s, х)} имеет положительную нижнюю грань, которую и можно при-
нять за 5(s).
Итак, определение равномерной непрерывности следующее.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция Дх), определенная на множествеX, на-
зывается равномерно непрерывной на X если
Vs >0 Ух еУ35(5)>0Ух',х gX{|x'-x|<5(s)=>[/(x')- /(x)|<s).
В случае равномерной непрерывности неравенство |Дх')-/(x)|<s
для значений функции обеспечивается неравенством |x'-x|<<5(s) для
аргументов, независимо от того, в какой части множества Xони рас-
положены.
Из равномерной непрерывности Дх) на X очевидно, следует не-
прерывность Дх) в каждой точке х еХ. Но из непрерывности Дх) на
множестве Xеще не следует равномерная непрерывность на X. Это видно
из следующего примера.
91
Функция f(x) = - (рис. 39) определена и непрерывна на интервале
(О,я). Для £>0 и хе(0,а) можно найти соответствующее <5(е,х)>0 . Так
1 zr
как функция - убывающая, то для этого достаточно решить неравенст-
во ~	> ° • В результате получаем
0<5(е,х)<——.
1 + £Х
г,,	£Х2
Так как нижняя грань значений для х е(0,я) равна нулю, то
выбрать <5(е,х), общее для всех х е(0,я) невозможно. Поэтому равномер-
ной непрерывности нет.
В связи с этим естественно поставить вопрос: в каких случаях из не-
прерывности функции на множестве следует ее равномерная непрерыв-
ность. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
ТЕОРЕМА (Кантора). Если функция /(х) непрерывна на сегменте [я,£>],
то она равномерно непрерывна на этом сегменте.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, то есть предположим,
что функция /(х) на [а,не является равномерно непрерывной. Отрица-
ние определения равномерной непрерывности означает, что
Vs0 > О V<5 > 0 Зх',х еУ(|х' - х| < 5(е)&|/(х') - /(х)| > £0).
В качестве <5>0 будем брать числа 1,-, к..и соответствующие
2 3 п
значения аргумента обозначим хп их'.
Для этих аргументов имеем
к -	=> !/(*.) - z«)| ео.
Последовательность {хл} принадлежит сегменту [я,£>] и потому огра-
ничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить под-
последовательность |хп* |, сходящуюся к х0. Очевидно, х0 g[o,Z>] .
92
Из последовательности {х^} при этом выделяется подпо-
следовательность |х^ |. Из неравенств
К	-x0|^+ta -*>|
следует, что подпоследовательность {х^} также сходится к х0.
По условию функция /(х) непрерывна в каждой точке сегмента
[«,/>] и, в частности, в точке х0. Поэтому из сходимости последователь-
ностей |хп*| и {х;} к Xq следует сходимость последовательностей
и	к /(х0), а, следовательно, и сходимость последова-
тельности |/(хл*) - /(х^)| к нулю. Но это противоречит указанному выше
неравенству:
Полученное противоречие означает, что предположение было не-
верным, и теорема доказана.
93
Глава V
Элементарные функции
Среди большого многообразия типов функциональной зависимости
в ходе развития науки исторически выделилась небольшая группа
функций, которые особенно часто встречаются в самых разнообраз-
ных задачах. Естественно, что этот класс, так называемых элементар-
ных функций, оказался наиболее тщательно изученным.
К основным элементарным функциям относятся степенная, пока-
зательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные триго-
нометрические функции.
Элементарными называются функции, полученные из основных
элементарных функций и постоянных конечным числом арифмети-
ческих операций и композиций.
Естественно, завершая изучение основных понятий анализа, под-
робней рассмотреть основные элементарные функции. Часть основ-
ных элементарных функций широко известна. Для этих функций мы
ограничимся только доказательством их непрерывности. Для осталь-
ных мы дадим определение, докажем их существование и непрерыв-
ность.
1. Степенная функция с натуральным показателем
и ее свойства
Рассмотрим степенную функцию с натуральным показателем у=хп.
Она определяется как произведение п одинаковых множителей х, то есть
ХП = ХХХ...Х.
1)	Очевидно, что областью определения является вся числовая
прямая.
2)	Эта функция четная, если п — четное и в этом случае график
функции симметричен относительно оси Оу. Эта функция нечетная,
если п — нечетное число и в этом случае график функции симметри-
чен относительно начала координат.
3)	Она непрерывна в любой точке Xq числовой прямой. Действи-
тельно
lim /(х) = lim xn = lim(х • х • х-...-х) = lim х • lim х-...- lim х = х£ = /(х0)
X->Xq	X->Xq X—>Xq	X->Xq X->Xb X-Wfc	'	7 ’
4)	При x>0 из условия xx<x2 следует неравенство xx<x2. Дей-
ствительно, пусть 0<Х| <х2. Тогда
94
x”~X2 = (xj-X2^x” ^xf 2-%2+...+*£ !) <0,
так как xx -x2 <0 по условию. Следовательно, xf -x2 <0 или xf <x2, то
есть при х > 0 функция строго возрастает при любом п .
При х<0 и п — нечетном, функция у = хп строго возрастает, что
следует из свойств нечетных функций. При х<0 и п — четном, эта
функция строго убывает, что следует из свойств четных функций.
График функции у = хп при п = 1, 2, 3 изображен на рис. 40.
2.	Степенная функция с целым
отрицательным показателем
Рассмотрим степенную функцию с целым отрицательным по-
казателем у = х~п. Она определяется как функция у =	.
1)	Очевидно, что областью ее определения является вся числовая
прямая за исключением точки х=0, то есть множество (-oo,0)U(0,+oo).
2)	В области определения эта функция непрерывна как отношение
двух непрерывных функций.
3)	Эта функция четна, если п — четное, и в этом случае график
функции симметричен относительно оси Оу . Эта функция нечетна,
если п ~ нечетное число, и в этом случае график функции симметричен
относительно начала координат.
1 1
4)	При х>0 из условия х2>х1 следует неравенство , то есть
х2 Xj
функция убывает. Действительно, при х2>хх имеем
1	1	Г1	1Y 1	। 1	1 । 1	1 ।	। 1 1>р
I V" V* II	.ye «^“3 «2	I
^2	у ।	-*2 J \ •*!	•*!	А2 •*!	Л2 Л2 J
95
и, следовательно, — > —. При четном п, в силу симметрии графика
Xj х2
функции относительно оси Оу, при х<0 функция возрастает, а при
нечетном п, в силу симметрии графика функции относительно начала
координат, при х<0 функция убывает.
сч г 1
5)	lim — = -ню.
х->+0ХЛ
Значит при четном п lim Д- = 4-оо, а при нечетном п lim — = -оо.
х->-0 х	х->-0 хП
 lim-^- = O.
График функции при п = 2 изображен на рис. 41.
3.	Определение степени с действительным показателем
и ее существование
Определим понятие степени действительного числа а с действительным
показателем а. Определение зависит от того, каким будет а.
1)	Если число а =л, то есть целое положительное число, то степень
ая определяется как произведение одинаковых множителей а:
' ап =аа...-а.
Очевидно, ап существует для любого действительного а.
2)	Если число а=-п, то есть целое отрицательное число, то степень
„ 1
а определяется как произведение п одинаковых сомножителей -:
а
-Л
а а а а
При любом я*о а~п существует.
96
3)	Определение корня с целым показателем >[а, то есть степени с
1
показателем -, осуществляется следующим образом:
Пусть а - любое действительное неотрицательное число. Уравне-
ние хл = а, где п — натуральное число, имеет один и только один
неотрицательный корень.
Действительно, на [0,оо) функция у = хп непрерывна, строго воз-
растает, а ее значения заполняют полусегмент [0,оо). По теореме о
существовании обратной функции существует для функции у = хп
непрерывная и строго возрастающая обратная функция х = д>(у), оп-
ределенная на [0,оо). Поэтому при y = a>Q она принимает единствен-
ное неотрицательное значение, которое называется арифметическим
I
корнем л-ой степени из а и обозначается у[а = ап. Следует отметить,
что корень уравнения с целым показателем при нечетном п существу-
ет и для отрицательных а.
4)	Определение степени с любым рациональным показателем для
а>0 дается так: если г = ->0, то
Я
-Я 1
аг -а 4 =— и а°=1.
а4
Существование степени с любым рациональным показателем оче-
видно. Отметим следующие свойства степени с рациональным показа-
телем.
а) Пусть а>\, тогда из условия <г2‘ вытекает неравенство аГ{ <аг.
Действительно, рациональным числам = — и г2 = — соответствуют сте-
Я Я
пени
97
&
a2 = а9
а9
2
Так как при а>1 имеем а4 >1, а из условия гх<г2 следует рх<р2, то
( 1Y* ( 1V
а9 < а9
I 7	\ 7
ИЛИ
<а^, то есть аг'<а'2. Если дроби г, и г2 имеют
различные знаменатели, то их можно привести к общему знаменателю.
Подобным же образом можно убедиться, что при 0<а<1 из усло-
вия гх<г2 вытекает неравенство
в) Для а>0, Ь>0 и рациональных г и s справедливы равенства
(а')1 = дм, a' b'=(a b)', a'-as = a'+s.
Докажем последнее из записанных равенств, которое выражает
основное свойство степени.
Пусть

Тогда
г-_ Ml s=_ Р2Я1
М2 ’ М2 ’
и поэтому
а -а
1 ум* (
а™
• а9192
' 1 \№2+РЯ
а™
(справедливость последнего равенства следует из того, что и —
целые числа). Итак,
ar as = a 9192	92 =ar+s.
с) При а>\ и рациональном г>1 справедливо неравенство аг>1.
98
р
В самом деле, пусть г = — и аг =ад <1. Перемножая почленно q ука-
Ч
занных неравенств, получим ар <1. Последнее неравенство противоре-
чит неравенству ар>\, полученному почленным перемножением р
неравенств вида а > 1.
В заключение отметим, что если рациональная дробь г = - имеет не-
Ч
четный знаменатель q, то определение рациональной степени можно
распространить и на отрицательные числа, полагая
(-а)г =аг, если р ~ четное,
^-а)г = -аг, если р ~ нечетное.
5) Определим теперь для а>0 степень аа при любом действи-
тельном а.
Предварительно отметим, что последовательности
i
- а п >
<ап> и
имеют предел, равный 1. Действительно, при а>\ по неравенству
' i \ у
ял-1 +1
Бернулли а =
1 1 1
>1 + л ап-1 , откуда 0<ял-1<--. По теоре-
л
£
ме о пределе промежуточной переменной отсюда следует, что а” -> 1.
*	1	1	1	1	(1	1	(1
—	1	,	—	,	( 1 I п —	( 1
Так как а п = —г, то а п ->1. Если же а<1, то ал = - I , а п = - и
-
ап
снова предел равен 1.
Пусть {рл} любая последовательность рациональных чисел, имею-
щая предел, равный нулю. Пусть, для определенности, а>\. Возьмем
произвольное положительное е. По предыдущему найдется такое на-
_1 1
туральное т , что а т и ат попадают в интервал (l-sj + s). Так как
1 1
рп ->0, то найдется номер л0, начиная с которого <~ ’ а потому
справедливы неравенства
99
1
\-s<a т <аРн <ат < 1 + £.
Это означает, что последовательность также имеет предел 1.
При я<1 рассуждения аналогичны.
Пусть теперь а - любое действительное число. Как было показано
выше, можно построить различные последовательности рациональ-
ных чисел {/•„}, сходящиеся к а. Докажем, что для любой такой последо-
вательности соответствующая последовательность {д'"} сходится к од-
ному и тому же пределу. Этот предел и примем за аа. Для определенно-
сти снова полагаем а>1.
Сначала возьмем возрастающую последовательность рациональных
чисел ri<r2<r3<.„, сходящуюся к а. Соответствующая последователь-
ность {</*} будет также возрастающей и ограниченной сверху, так как
при любом натуральном п а'<аг*, где г* — рациональное число,
большее а. Отсюда вытекает, что последовательность имеет предел.
Убедимся, что для любой последовательности рациональных чисел
{гл}, сходящейся к а, последовательность {«'"} имеет тот же предел.
Действительно,
аГя -afn = а'п(аГп~'п -1).
Так как гл->а, гп—>а, то рациональные числа рп = гп-гп стремятся к
нулю. По предыдущему а'л"'л-1->0, а ограниченная последова-
тельность. Следовательно, аГп-а'п-+0 и
1ппяГл = Пшя\
Л~>ОО	Л->00
Так определяется степень с любым действительным показателем.
Из этого определения следует, что при aj<a2, имеем
ащ<а°*(а>\) и а* >аа2 (0<а<1).
Нетрудно показать, что основное свойство степени, выражаемое тож-
деством
Z+X"=Z-Z',
100
сохраняется и для любых вещественных значений х' и х". Для этого
возьмем последовательности рациональных чисел г' -> х' и г"-> х". Для
рациональных чисел
гл' и г"
Л л
справедливо равенство
аг**г* ~атп ,агп.
Переходя в этом равенстве к пределу при п -> +оо, получим нужное
равенство.
Можно доказать и формулу
=а^,
справедливую для любых вещественных значений х' и х".
4.	Степенная функция с рациональным показателем
и ее свойства
Степенной функцией с рациональным показателем г называется
функция, определенная для х>0 равенством
/(х) = х'=хя =Vx'”,
где — одно из представлений числа г. Рассмотрим свойства vxw , ограни-
те
чиваясь натуральными тип.
1)	При нечетном п функция Vx* определена в интервале (-оо,+оо).
При четном п областью определения функции будет [0,-ню).
2)	При четном т (п — нечетно) функция Дх) = л/х" является
четной:
f(-x) = ^(-x)m =^ = f(x).
При т нечетном и п нечетном функция vxw — нечетна.
/(-х) =	х)” =	= —fix') .
101
3)	Функция f(x) = ylxm монотонно возрастает на промежутке [0,-ню).
Действительно, пусть х2 > х1 > 0. Так как хт возрастает на [0,-ню), то при
z2 = x™, ^1 = хГ имеем z^z^O. Но функция y = tfz, как обратная сте-
пенной функции уп, также монотонно возрастает на промежутке [0,+<ю).
Поэтому при z2>Zj>0 и	или ч[х?>ч[хГ-
Из предыдущего следует, что при п нечетном и т - четном, фун-
кция убывает на (-оо,0), а при нечетных пит— функция возрастает
на (-оо,0).
4)	Степенная функция с рациональным показателем непрерывна
т
в своей области определения. Действительно, функция у=хп может
X	1
рассматриваться как сложная функция у = zm, где z = хп. Функция z = хп
непрерывна в своей области определения (на (-оо,+оо), если п — нечет-
но и на [0,-ню), если п — четно) как функция обратная степенной ут.
Функция y = zm непрерывна для всех z. Тогда по теореме о не-
/	т
прерывности сложной функции будет непрерывна и функция у=хп
на (-оо,+оо), если п — нечетно, и на [0,-ню), если п - четно.
Рис. 42
5) График функции для частных значений пит, изображен на рис.42.
6) Если г<0, то 0 не входит в область определения функции х\
Свойства ее легко следуют из тождества хг=-~ (-г>0) и указанных
выше свойств.
102
5.	Показательная функция
Показательной функцией называется функция у = «х, заданная на
множестве всех действительных чисел (а>0, атЧ). Условие а>0 необ-
ходимо для существования ах при любом действительном х Рассмот-
рим свойства показательной функции:
1)	При всех действительных значениях х функция ах >0. В самом
деле, пусть а>\9 тогда для рациональных х утверждение очевидно.
Пусть х — иррационально и {хл} — возрастающая последовательность
рациональных чисел, сходящихся к х . Последовательность |аХл| воз-
растает и имеет своим пределом ах. Поэтому аХп <ах при любом п. Но
так как аХп >0, то и ах >0. Если 0<а< 1, то	При этом ах = -i->0,
а	b
так как по доказанному Ьх >0.
2)	При любых а>\ и х>0 имеем ях>1, при 0<я<1 и х>0 имеем
ах<1, при а>\ и х<0 имеем ах <1, при 0<я<1 и х<0 имеем ах>\.
Докажем первое из перечисленных положений. Для рационального
х неравенство ах > 1 было доказано.
Пусть х — иррациональное число и {гл} — возрастающая последо-
вательность положительных рациональных чисел, сходящихся кх, тогда
возрастает и поэтому dn <ах = Jim аГп. Так как аГп >1, то ах >1.
3)	Показательная функция у = ах непрерывна в интервале (-оо,+оо).
Для доказательства нам, пользуясь определением непрерывности по
Гейне, нужно показать, что при любом действительном х0 из сходи-
мости последовательности хр х2, ..., хп, ... к х0 следует сходимость
последовательности значений функции:
яХ1,яХ2,...,яХл,... к
Пусть х0 - любое действительное число ихр х2, ..., хп, ... произволь-
ная последовательность действительных чисел, сходящихся кх0. В каж-
дом интервале | хп --,хп + - | выберем два рациональных числа гп < хп < рп.
к п п)
Очевидно, что гп -> х0 и рп —> х0. Поэтому аГп -> а* и а* ->	.
103
При а>\ аГп <аХп <а^, а при 0<я<1 аГп>аХп>арл. Поэтому при я>0
всегда имеем
lim аХп =	.
хп~^х0
4)	Показательная функция является возрастающей при а>\ и убы-
вающей при 0<а<1. Действительно,
-а4
Если Xi<x2> то х2 - хх > 0. Пусть а>\. Тогда aX}>Q, аХ2~Х] >1,
и, следовательно, ах' -aX2<Q, то есть функция возрастает.
Аналогично доказательство для 0<я<1.
5)	При а>1
lim ах = -ню, lim ах =0.
Х->+00	Х->-00
При 0<а<1
lim ах = 0, 1йпд*=+».
Х-> +оо	Х-Но
Например, пусть а>\ и х->-юо. Тогда х>0 и
ах >	= (14-(а -1)^ > 1 + [х](а -1)-> 4-оо .
Следовательно, множеством значений функции является интервал
(0,4-оо).
Рис. 43
График показательной функции изображен на рис.43.
104
6.	Существование логарифмов
и логарифмическая функция
Как было показано, показательная функция х = ау (я>0, стро-
го монотонная в своей области определения и, следовательно, имеет
обратную функцию. Назовем эту функцию логарифмической функцией,
заданной при основании а и обозначим ее у = logfl х.
Функция y = logflx определена в интервале (0,+<ю), поскольку этот
интервал является множеством значений функции х = ау. По определе-
нию логарифмической функции каждому значению х = х0>0 соответ-
ствует единственное число у0 = logex0, удовлетворяющее условию = %0
и называемое логарифмом числа х0 по основанию а. Таким образом, каж-
дое положительное число имеет логарифм. График логарифмической
функции проще всего получить, воспользовавшись свойством симмет-
рйи графиков взаимообратных функций относительно биссектрисы пер-
вого координатного угла (см. рис. 44 и 45).
105
Свойства логарифмической функции легко следуют из свойств об-
ратной для нее показательной функции:
1)	Логарифмическая функция непрерывна и монотонна в области
ее определения, причем она возрастает при а>\ и убывает при 0<я<1.
2)	Если а>\, то при х>1 logflx>0, а при 0<х<1 logflx<0.
Если 0<а<1, то при х>1 logex<0, а при 0<х<1 logflx>0.
3)	При а>\ lim logflx = -oo, lim logex = +oo, при 0<я<1 lim logflх =+оо,
х->+0	х->+оо	х->+0
lim logflx = -oo, откуда следует, что множество значений функции
X—>+оо
у = logfl X ВСЯ ОСЬ (- оо,+оо) .
7.	Натуральные логарифмы.
Связь между логарифмами с разными основаниями
Логарифмы при основании а = е называются натуральными логариф-
мами и обозначаются
logex = lnx.
Наряду с таблицами десятичных логарифмов, принятых в школе, на
практике широко пользуются таблицами натуральных логарифмов. Уста-
новим связь между логарифмами с различными основаниями.
По определению логарифмической функции:
л1О8вХ = х.
Прологарифмируем это тождество по основанию b (Ь>0, Ь*\),
получим
logflxlogha = loghx.
Отсюда
= l---log*x.
log* л
Число М = —5— называется модулем перехода от логарифмов при
log^
основании b к логарифмам при основании а.
В частности, если я = 10, Ь = е, то lgx = —1пх. Здесь
1п10
106
8.	Степенная функция с иррациональным показателем
Степенная функция f(x) = xa нами изучена для целых и рациональ-
ных а. При этом она определена либо на всей оси (-оо,+оо), либо на
[0,-ню), исключая точку 0, если а<0.
В общем случае при любом действительном а областью определе-
ния степенной функции является (0,-ню), так как для х>0 при любом
действительном а определена степень ха.
Рассмотрим основные свойства степенной функции:
1)	Функция /(х) = х“ возрастает в интервале (0,-ню), если а>0, и
убывает на этом интервале, если а <0. Действительно, рассмотрим тож-
дество
х“ = (<?'"*)“ =е“10Х.	(1)
Так как функция 1пх — возрастающая, то для а >0 возрастают и alnx и
еаЬх, а при а <0 эти функции убывают.
2)	Функция /(х) = х“ непрерывна в каждой точке интервала (0,-ню).
х Действительно, согласно тождеству (1) функция ха ~ сложная функция
и составлена из функций у = z = alnx. Так как функция z = alnx не-
прерывна в интервале (0,-ню) и отображает его в интервал (-°о,-ню), а
функция у = ег непрерывна в интервале (-<ю,+°°), то по теореме о непре-
рывности композиции функция х“ непрерывна на интервале (0,-ню).
3)	Если а>0, то
lim х“ =0, lim х“ = -ню.
х-я-0	х->-н»
Действительно, в силу свойств функций у = 1пх, имеем
lim alnx = -<ю, lim alnx = -ню. 4
х->+0	х->+«
Отсюда, в силу свойств показательной функции, имеем
lim х“ = lim еа}пх =0, lim ха = lim еа1пх = -ню в
х->+0	х->+0	х->+® х->+оо
Аналогично доказывается, что при а<0
107
lim x“ =+oo, lim xa =0.
x->+0	x->+oo
4)	Множество значений функции f(x)-xa в интервале (0,-кю) есть
интервал (0,-ню). Это следует из предыдущего и того, что на интервале
(0,+оо) функция ха непрерывна.
9.	Показательно-степенная функция
Так называется функция вида
№ /(х)>0.
Область ее определения X очевидно, есть пересечение областей
определения положительной функции /(х) и функции р(х).
Если функции /(х) и ф(х) непрерывны в точке хоеХ, то показа-
тельно-степенная функция у = (/(х))ф(х) так же непрерывна в этой точ-
ке. Действительно,
у _ (/(х))*(Х) = е,П((/(х)^(Х)) __	ln(/(х)).	q)
Функция ln(/(x)) непрерывна в точке х0, как композиция функ-
ции /(х) и логарифмической. Функция p(x)ln(/(x)) непрерывна в точ-
ке х0, как произведение непрерывных функций ср(х) и 1п(/(х)). И,
наконец, в силу равенства (1), показательно-степенная функция не-
прерывна в точке х0, как композиция показательной функции еи и не-
прерывной функции
<7 = р(х)1п(/(х)).
Отметим, что произведение р(х)1п(/(х)) в точке х0 будет представ-
лять собой неопределенность О-оо в трех^случаях:
1)	ф(*о)=О5 /(хо)=О; 2) ф(х0) = ±оо, /(х0) = 1; 3) ф(хо) = О, /(х0) = оо.
Следовательно, в этих случаях выражение (/(х))^(х) будет также неопре-
деленностью, вид которой обозначается соответственно 0°, Г, оо°.
Раскрытие неопределенностей этого вида, как это следует из ра-
венства (1), легко сводится к раскрытию неопределенности вида о-оо.
108
10.	Решение показательных
и логарифмических уравнений
Пусть дано уравнение
/(х)=0.	(1)
Будем называть уравнение (1) показательным или логарифмическим,
если в аналитическое выражение функции /(х) входит соответственно
показательная или логарифмическая функция.
Очевидно, что корни уравнения (1) должны принадлежать облас-
ти определения функции /(х), которую будем в дальнейшем назы-
вать областью определения уравнения (1) или областью допустимых
значений х (О.Д.З.).
В общем случае уравнение (1) не может быть решено эле-
ментарными способами. Однако в ряде частных случаев существуют
приемы, позволяющие найти его решение. Рассмотрим эти частные
случаи.
1.	Простейшие уравнения. Простейшим показательным уравнени-
ем называется уравнение вида
ах-с (я>0, я*1).
При о 0 простейшее показательное уравнение имеет решение
x = logflc.
При с<0 оно не имеет решения, так как согласно свойствам пока-
зательной функции 0х >0.
Простейшим логарифмическим уравнением называется уравнение
вида
logflx = c (я>0, at\).
При любом действительном с простейшее логарифмическое уравне-
ние имеет решение
х = ас.
Очевидно, многие показательные и логарифмические уравнения
могут быть сведены к простейшим. Рассмотрим примеры таких урав-
нений.
1.	Решить уравнение
4Х+2-10-Зх =2-Зх+3-11-22х.
Областью определения этого уравнения является (-оо,+оо).
109
Приведем это уравнение к виду
4х(16 + 11) = Зх(54 + 10) •
Откуда
,	<4Y (лУ3
4х-27 = 3х-64 или - = -
и поэтому х = 3.
2.	Решить уравнение
5х2-1 =125.
Здесь О.Д.З, интервал (-оо,+оо). Приведем уравнение к виду
Отсюда х2-1 = 3 или х2=4. Следовательно, xj=2, ^ = -2.
3.	Решить уравнение
log4(x2 -4х-13) = 3.
Здесь в О.Д.З, входят те значения х, для которых выполняется
неравенство х2 - 4х -13 > 0.
Потенцируя, получаем х2-4х-13 = 64 или х2-4х-77 = 0. Отсюда
х12 = 2±V81, то есть Xj =11, х2 =-7. Оба корня входят в О.Д.З.
4.	Решить уравнение
loga(logft(logcx))=0.
Здесь, очевидно, a>Q, b>Q, с>0 и х>0. Потенцируя последова-
тельно, получим:
logA(logcx)=1, logcx = Z>, х = Л
II.	Пусть U(x) показательная или логарифмическая функция, a F(U)
рациональная функция аргумента U. Уравнение F(U(x)) = 0 при помо-
щи подстановки t = U(x) преобразуется в уравнение относительно
нового неизвестного t: F(t) — 0.
Если tp t2, ... ,tn — действительные корни последнего уравнения, то
решение исходного уравнения сводится к решению уравнений:
U(x) = ti9 и(х) = ^ ..., U(x) = tn.
110
Очевидно, что если U{x) — показательная функция, то непо-
ложительные корни /. невозможны и должны быть отброшены.
ПРИМЕРЫ: 1. Решить уравнение
9х2-1 +	=10.
Здесь О.Д.З, есть (-оо,+оо). Полагая У? =t , получим ^/2+3/ = 10 или
г2+ 27/-90=0. Отсюда ^=3, /2 = -30. Второе значение /2 = -30 как отри-
цательное невозможно. Имеем 3х2 = 3 , откуда х2 = 1, следовательно,
решения ^=1, х2 = -1.
2. Решить уравнения
1 —log3x
l + log3x
+ log3x = l.
Здесь О.Д.З, определяется из условий х>0 и х*|. Заменяя log3x,
получим уравнение
1-/	2	,
-—+/2=1.
1 +1
Это уравнение имеет решение ^=0, t2 = -2, /3=1, и мы приходим
к трем уравнениям
log3 х = 0, log3 х = 1, log3 х = -2.
Их решения =1, х2 = 3, х3 = ^.
III. Показательное уравнение
д/(х,К...,2)=дФ(х,К..,г)	Ц)
сводится к уравнению
/(х, у,..., z) = <p(x, у,..., Z)
(2)
логарифмированием по основанию а.
Уравнения (1) и (2) эквивалентны. В самом деле, уравнение (1) есть
следствие уравнения (2), так как значения показательной функции
равны в том случае, когда равны показатели степени, в которую возво-
дится основание. Наоборот, уравнение (2) есть следствие уравнения (1),
так как получается путем логарифмирования из уравнения (1).
111
Логарифмическое уравнение
loga f(x, у,z) = loga ф(х, у,z)	(3)
сводится к уравнению
f(x,y,...,z) = <p(x,y,...,z)	(4)
потенцированием.
Уравнения (3) и (4), очевидно, эквивалентны, если функции
/(x,y,...,z) и ф(х,у,...,г)
положительны.
Таким образом, логарифмирование показательного уравнения вида
(1) и потенцирование логарифмического уравнения вида (3) позво-
ляют упростить уравнения.
Однако следует помнить, что применение этих операций может
привести к изменению области допустимых значений, а это ведет к
потере решений. Так, например, переход от уравнения
=	(5)
7з
к уравнению ‘
logd / + loge f2 - log, /з = log„ <p	(6)
возможен лишь при условии fx>09 f2>V, f$>Q, p>0. Всякая система
значений неизвестных, при которой 7!>0, Л<0, Л<0 117111 Л<0’
f • f
^>0, /з<° 117111	Л<0» /з>0 и =ф>0, есть решение урав-
7з
нения (5), но не есть решение уравнения (6).
ПРИМЕРЫ: 1. Решить уравнение
Здесь областью допустимых значений является интервал (-оо,+со).
Перепишем уравнение в виде
3	4
4Х._ = 3Х._^
2	V3
Прологарифмировав при произвольном основании, получим
112
2x loga 2 + loga 3 - loga 2 = x loge 3 + 2logfl 2 - ^logfl 3.
3
Откуда x = -.
2. Решить уравнение
lgV5x-4 + Ig Vx+T = 2 + lgO,l 8.
Здесь область определения уравнения характеризуется условиями
<4 А
5х-4>0, х + 1>0 следовательно, это есть множество I -,-ню I. Потенци-
руем уравнение, получаем
(5х-4)(х + 1) = 182 или 5х2 + х-328 = 0.
41	41 (4
Корни последнего уравнения х{ = -у, х2 = 8. Но = -у у 5,+001- Сле-
довательно, имеем один корень х = 8.
Указанные приемы используются и для решения ряда других ви-
дов уравнений:
а)	показательно-степенных уравнений,
б)	показательно-логарифмических уравнений,
в)	систем показательных уравнений,
г) систем логарифмических уравнений.
IY. Показательно-степенным уравнением называется уравнение вида
Это уравнение сводится к решению следующих четырех уравне-
ний:
1.	ф(х) = -1. Корни этого уравнения являются корнями данного, если
значения функций fx(x) и f2(x) от этих корней — целые числа одинако-
вой четности или дробные несократимые с нечетными знаменателями и
одинаковой четности числителями.
2.	ф(х) = 0. Корни этого уравнения являются корнями данного, если
значения функций f^x) и f2(x) от этих корней положительны.
3.	ф(х) = 1. Корни этого уравнения являются корнями данного, если
они входят в область определения функций fx(x) и f2(x).
113
4.	fi(x) = f2(x). Корни этого уравнения являются корнями данного,
если они входят в область определения уравнения.
ПРИМЕР. Решить уравнение
Так как при х = — I получаем (-I)0 = (-1)°, то х{ =-1 является корнем
уравнения. Так как при х = 0 функция х*2"1 не существует, то х = 0 не
является корнем уравнения. Так как при х = 1 получаем I2 =1°, то х2 =1
является корнем уравнения. И, наконец, из уравнения х + 1 = х2 -1 нахо-
дим х3=2 (х, = —1 найден раньше).
V. Показательно-логарифмическим уравнением называется уравнение,
у которого неизвестные уравнения входят в показатель степени и под
знак логарифма.	/
Рассмотрим конкретный пример такого уравнения.
^.log2x3-log^x-3 _ X
*	X
Область определения этого уравнения, очевидно, (0,+оо).
Логарифмируя уравнение по основанию 2, получим
(log2 х3 - log^ х - 3)log2 х = -log2 x
или
31og^x-log2x-21og2x = 0.
Отсюда
log2 x = 0, log2 x = 1, log2 x = 2; Xj = 1, x2 = 2, x3 = 4.
YI. Рассмотрим примеры решения систем показательных и логариф-
мических уравнений.
1. Решить систему
|</47 = 32^87,
[л/з7 = 3</9Г^.
Здесь О.Д.З., очевидно, находится из условий, что х*0 и у*0. Пе-
репишем систему в виде:
114
Ъс	Зу
2У = 25-2*,
X	2(1-у) или
3'=3-3 у ,
Откуда находим
_3
.Х,-2’	^ = -2,
1 и
— = 5 + —,
У X
х^Щ-у)
У У
2. Решить систему уравнений
(x-y)lg<x+l’5)=0r2,
'8(х-^2ГГз=о>1.
Здесь область допустимых значений находится из условий
х-у>0, х-у*1, х + 1,5>0.
Логарифмируя систему, получим
lg(x + l,5)lg(x-y) = lg2-l,
1
IgO - У)
•lg(2x + 3) = -1.
Полагая
lg(x + l,5) = « и lg(x-y) = &,
приходим к системе
и ^=xlg2-l,
l.(lg2+«) = -L
.€7
Решениями этой системы будут
uj=-lg2 + l,	fwz = -l,
^=-1. И |32 = -lg2+l.
Таким образом, относительно х и у получаем две системы
lg(x+l,5) = ~lg2+l,
. lg(x-y) = -l
lg(x +1,5) =-1,
. Ig(x-y) = -lg2 + l.
115
Решая их, находим
fa =3,5,	(х2 = -1,4,
1м =3,4, и |72 = -6,4.
Оба решения находятся в области допустимых значений.
11. Некоторые замечательные пределы, связанные с
логарифмической и показательной функциями
Доказанная нами непрерывность показательной и логарифмической
функции позволяет переходить к пределу под знаком этих функций,
а это в свою очередь позволяет находить пределы ряда более сложных
функций, которые широко применяются в анализе. Рассмотрим ряд
таких пределов.
Z \л
1.	lim 1 + — . Естественно, считая х^О, находим
Л—>+ool и J
1- Il х
hm 1 + —
л->+аЛ п
( -Y
г	X
hmll + —I = e
П J
2.	limloga^+X\ Так как
л->0 x
lim— = lim—logfl(l + x) = limlogfl(l + x)x,
n—>0	x	л-И) X	л-»0
то, переходя к пределу под знаком логарифмической функции, получим
lim12&lLi?l - log f lim(l + x)x
л-И) x	I
= logfl e.
В частности, отсюда следует, что 1п(1 + х) ~ х.
QX — 1
3.	lim----. Положим a*-\ = U9 тогда я* =1+17, х = к^(1+17) и при
л-И) х
х->0, 77->0. Тогда
а*-\ ,. U	1	1	1
lim-----= hm  ---р—гт = 1ип------------р =-------------г =;-----,
л-И) X £/-*01О2л(1+ [/)	1	— log„e
7	1о&(1 + ЬЭи limloga(l + tOu
то есть -1~ х.
116
. .. (l + x)"-l
4. lim---------
х-Л х
. Положим (I + х)** -1 = U. Тогда
(l + x)"=l + tf, pln(l + *) = ln(l + t/).
При х->0 и <7—>0 и, следовательно,
.. (1 + х)"-1 .. U .. 1па(1+х)
Inn-----------= lim——— • ц  lun—-------------- = и.
х->0 X	1п(1 + U) х-»0 X
Отсюда, в частности, следует, что (l + x)** -1~рх.
12.	Непрерывность тригонометрических функций
1)	Функции у = sinx и у = cosx непрерывны в любой точке х0 число-
вой прямой. Действительно, функция /(x) = sinx имеет приращецие
|/(х) - /(*о)| = |sinx - sinxol =2sin^y^
• cos
Но для любых х и х0 имеет место неравенство
х + х0 .
cos------- <1.
2
Кроме того, для любого a |sina|<|a|, а поэтому
|sinx-sinxo| <2 sin Х
•1 = |х-^|.
Отсюда видно, что предел функции sinx при х->х0 равен sinx0 и,
следовательно, функция sinx непрерывна в точке х = х0. Аналогично
доказывается непрерывность функции у=cosx.
2)	Каждая из функций y=tgx и y=ctgx есть отношение ранее
рассмотренных непрерывных функций sinx и cosx. Поэтому, на осно-
вании теоремы о непрерывности отношения двух непрерывных функ-
ций, функция tgx непрерывна во всех точках числовой прямой за
исключением точек, в которых функция cosx обращается в нуль, то
п , Зп , (2я + 1)я	,
есть точек х = +—, ±—, ..., ±—-—, ..., а функция ctgx непрерывна
во всех точках числовой прямой за исключением точек, в которых
функция sinx обращается в ноль, то есть точек х=0, ±я, ±2я,...,
± ляг,— •
117
13.	Существование и непрерывность обратных
тригонометрических функций
1.	Функция арксинус. Функция y=arcsinx определяется следующим .
образом. Рассмотрим на сегменте
п п
2’2
функцию
sinx. Известно,
что на этом сегменте она возрастает и непрерывна и имеет в качестве
множества значений сегмент [-1,1]. В силу теоремы о существовании
непрерывной обратной функции, на сегменте [-1,1] существует непре-
рывная возрастающая обратная функция. Эту функцию будем обозна-
чать arcsinx.
Рис. 46
2.	Аналогично определяется функция arccosx, при этом областью
ее определения будет сегмент [-1,1], а множество значений сегмент
[О,л]. Эта функция монотонна и непрерывна на сегменте [-1,1].
Функции y=arctgx и y=arcctgx определяются как обратные для
( п
сужения тангенса и котангенса соответственно на I ” I и Эти
функции определены, монотонны и непрерывны на (-оо,+со).
Графики обратных тригонометрических функций изображены на
рис. 46,47,48 и 49.
Рис. 48
Рис. 49
118
14.	Решение тригонометрических уравнений
1	. Рассмотрим уравнение
/(х)=0,	(1)
где аналитическое выражение функции содержит тригонометрические
функции. Такие уравнения будем называть тригонометрическими. В прак-
тике решения тригонометрических уравнений чаще всего встречаются
случаи, при которых, функция Дх) является периодической. Наименьший
положительный период функции f(x) будем называть периодом уравне-
ния.
Очевидно, что если в этом случае найдены все решения уравнения
(1) на полусегменте [(V), (где £ — период уравнения): хр х2, ..., хг, то
все решения уравнения в области определения функции найдутся по
формуле Xi+kt, где к == 0 , ±1 , ±2 , ±3 , ... , i = 1, 2, ..., г . Таким
образом, множество всех решений уравнения, обладающего перио-
дом, можно представить в вид? совокупности двухсторонних ариф-
метических прогрессий с разностью, равной периоду уравнения.
2	.-Рассмотрим частные случаи. В таблице приведены простейшие
уравнения и их общие решения.
Уравнения	Общее решение
a) cosx = т	x = ±arccos/w + 2for > если |/п|<1 и
период 2л	не имеет решений, если |аи| > 1.
б) sinx = aw	х = (--1)* arcsin т + кЛ) если |w|<l и
период 2л	не имеет решений, если |m| > 1.
в) tgx = т	х = arctgzw + кл, если т — любое
период 7Г	действительное число
в) etgx = т	х = arcctgw + кл , если т — любое
период 7Г	действительное число
Таблица 3.
ПРИМЕРЫ: 1) Решить уравнение
sin(ax + b) = т (а ф 0).
Здесь О.Д.З, является интервал (-оо,+<ю). При |w|^l имеем
, / Лл	,	>	(-1)” arcsin w Ъ кл
ох + 0 = (-1) arcsin т+к л или х~-—'--------------+ —.
л	л л
119
2) Решить уравнение
sin2x
2 ‘
Здесь О.Д.З. — интервал (-оо,+оо). Имеем
2х = (-1)* arcsinf- + кл
или
2*=(-1)*+1^ + Ьг.
Это уравнение имеет решения при (~l)*+1^+for>0, то есть при
6
к > 0. При этом
x = log2 [ (-1)*+1 ^ + кл
3) Решить уравнение
cos(sinx) = -y'.
Очевидно, здесь О.Д.З, вся числовая прямая. Имеем
sinx = ±^+2кл.
6
Это уравнение имеет решение при ±^+2кл <1, то есть при к = 0 и,
6
. л
следовательно, имеем sinx = ±—. Тогда
6
.	• л j
х = ±arcsm— + кл.
6
Решение тригонометрических уравнений
посредством подстановки
Рассмотрим уравнение вида
F(sinx, cosx, tgx, ctgx) = 0,
(2)
где F(u,£,fi),z) — некоторое аналитическое выражение от переменных
120
Например, рассмотрим частный случай уравнения /(cosx) = 0. Выпол-
ним подстановку cosx = r, тогда получим систему /(/) = 0, |г|^1. Всякое
решение / данной системы даст серию решений х = ±arccos/ + 2кп. Анало-
гично можно рассмотреть решения уравнений /(sinx)=0, /(tgx)=0,
/(ctgx) = 0. В общем случае в уравнении (2) можно все тригонометричес-
кие функции выразить через одну, а потом свести решение уравнения к
ранее рассмотренному простейшему случаю.
ПРИМЕР: Решить уравнение
2cos2 х + 3cosx -2 = 0.
Здесь О.Д.З, есть интервал (-00,4-00). Положим cosx = r, приходим к
смешанной системе: 2? 4-3/-2 = 0, |/|<1. Корни квадратного уравнения
tx = |, t2 = -2. Следовательно, сйстема имеет единственное решение
t = - то есть cosx = - и х = ±— + 2кл.
2	2	3
Рационализирующие подстановки
Рассмотрим уравнение
A(sinx, cosx) = 0,	(3)
рациональное относительно функций sinx и cosx. Очевидно, уравнение
(2) легко приводится к виду (3), если функция F — рациональна.
Уравнение (3) может быть приведено к рациональному виду с помо-
щью подстановок.
X
1.	Универсальная подстановка. Это подстановка вида tg- = г. Для
нее
2sinycosy 2tgy
sinx =----------— =----— =-------7.
. 2 *	2 *	1 ж 2 X 14-t2
sin2-4-cos- 1 + tg2-
2	2	2
cosx =
1X • 2* i x 2*
cos - - sm -	1 - tg ~ 1 t2
2	2 _ a 2
. 2 *	2*	1 . x 2 *	14-12
Sin2 —4-COS —	1 + tg —
2	2	2
121
и уравнение (3) принимает вид:
то есть рационально относительно /. Если - корень уравнения (4), то
решение уравнения (3) запишется в виде
х = 2arcctgZj + 2кп.
С помощью универсальной подстановки можно найти все решения за
х
исключением решений вида х = (2к +(в этом случае tg— не существует).
Наличие такого решения может быть установлено проверкой.
2.	Уравнение (3), содержащее cosx (или sinx) лишь в четных степе-
нях рационализируется подстановкой: z = sinx (или t = cosx).
3.	Уравнение (3) есть однородное уравнение относительно sinx,
cosx вида:
Oq sin" х + ц sin""1 xcosx +... + fl„cos" x = 0.
Разделив это уравнение на cos"x и положив tgx = z, приходим к
алгебраическому уравнению.
ПРИМЕРЫ: 1) Решить уравнение
(cosx - sinx/2tgx + ——| + 2 = 0.
'	\	cosxJ
r.	tt г»	2Zc -4-1
Здесь О.Д.З. вся числовая прямая за исключением точек х = —
х
Сделаем универсальную подстановку: tg—= /.
fl-/2 2t Y 4/ l+r2>| „ п
fl+г2 1+г2Х1-< 1-< )
или
Зг4+6г3 + 8г2-2/-3 .
122
Отсюда
(3r2-l)p+2z + 3) = O.
1
3-
Действительные корни этого уравнения t = ±
Поэтому х = ± — + кп.
Данное уравнение не имеет решений вида (2Zr+l>.
2) Решить уравнение
3 - 7cos2 х sin х - 3 sin3 х = 0.
Здесь О.Д.З. есть вся числовая прямая. Положим t = sinx. Тогда
3-7(l-r2)r-3? =0 или 4?-7/ + 3 = 0 и |г|<1. Здесь три корня г, =1, г2=|,
*3	2'
Неравенству |/| < 1 удовлетворяют два первых корня. Поэтому
х(= — + 1кп и	+
2	6
УПРАЖНЕНИЯ
1.1. Указать большее из двух чисел:
л), у и —, б). V7 и —, в), х Ил/9,87.
1.2. Решить неравенства:
ч I I	X X
а). х >х,	б). -—>-—,
11	2 + х 2 + х
в). |х2-5х + б|>х2-5х + 6.
1.3.	Найти корни уравнений:
а)	. |4х + 5| = х2,
б)	. |sinx| = sinx + l,
1.4.	Указать область определения следующих функций:
	б). y=Jx-\x\,
в). у-4х2 +2х + 3,	г). y = arcsin(2x-3),
д). y = arcsin(sinx),	ч	• 1	1 е). у = sin 1g	 х-5
ж), у = lgsin(x-5),	з). У = у1[х]-х.
123
1.5.	Построить графики следующих функций:
а). У = -£Г~^	б). у = х2-2|х| + 1,
в). у={х}, где {х} = х-[х] — дробная часть х .
г), у = arcsin(sinx),	д) у -1 - ^J\x\,
е).У =
х2, при -2<х<0
-1, прих = 0
1-2х, при0<х<2
1.6.	Каждую из следующих функций представить в виде суммы четной
и нечетной функции:
а). у = х6 + Зх5-х3+4,
б), у = sin2x-cos3x + tg4x,
в). у = (1 + х)4,
г). y=coslx + j I
1.7. Какие из следующих функций периодические и каков их период?
a). y = sin2x,	б), у = sinx2,
в). y = 5xsinx,	г), у = sin5x,
д). у = cos—,	е). у = cos(l - х).
1.8. Пользуясь определением предела последовательности, доказать
равенства:
v г 1 Л	.. 2п + 1 2
a), lim—=0,	б). Inn-----= -4
7	’	7 л-ноЗп-1 3*
ч .. 5л + 1	5	.. Зл-1 3
в), hm----= —,	г), пт----= -.
7 п^2-3п	3’	7 п-~>2л + 3 2
Начиная с какого п выполнено неравенство |ая - о|< е, если е=0,01 ?
£=0,001?
1.9. Доказать сходимость последовательностей и найти их пределы:
124
ч 2 Зп
а). ап = - +-
7 п п 2и + 1
ncosn 2п
в)-ц,"77Т+з^2
б).ая = т-йпл2,
2п
1 + 2+...+л
0-.-^—
е). а„ =
1 1
---1---
2 4
1 1
3 + 9
1
2"
£’
3"
/	. \ п+3
.	I И + 1 ]
жм-Ч —I
1.10. Найти пределы следующих функций: ч х2—16	_ч г х2—6x4-8 a), hm	, 4	б), lim—5, х-*4 Х-4	*~>2х2-9x4-14		
ч r V34-X -2 в). hm -т	-——,	ч .. sin3x г), lim-;	 *->osin5x	
ч .. sin5x-sin3x д). hm	;	, л*-*о sin2x	ч .. arcsin2x е). hm	, х-И) tgx	
ч v l-cos5x ж). 1ип			, *-»о xtg2x	. r tgx-sinx з). lim ,	, x->0	x3	
. .. х5-Зх4 + 2х-5 и), hm	=	=	 *-*» Зх5+2х3-1	к). lim(Vx + l - -Ух),	
ч .. 2>/x+3Vx+4Vx 1	-73x + 1+V2x-1	(2х + 1Г+2 м).,imL J , x->«j^2x + 3y	
н). lim(l + tgx)1**441,	. .. 2х -Vi+^ o). hm	, x->0	x	
.. ln(l + tgx) п). hm---. х-и) sin2x	P* lim(cosx)”n x j x->0V	7	
ч .. sin2x с), lim .	, Sin3x	TtJimO-xXgy,	
ч .. 1пх-1 у), hm	. х-и) х-е		
125
1.11. Исследовать на непрерывность, одностороннюю непрерывность,
установить вид точек разрыва следующих функций:
а).у={х} = х-[х],	б). _v=[x]+[-x],
в). У = -	и х’ °,	прих^О > при х = 0	г). у=-	sinx	Л 	, при х 5*0 X	’ 1, прих = 0
д)-?=	г X . о,	при х ф 0 при х = 0	е). У=-	—, при х ф 0 ех +1	’ 1, прих=0
ж).у=	^2х	х2, при -оо<х<1 -1, при1<х<+оо’	з). У=-	arctg—, прих*0 X у, прих=0
t'
126
Раздел II
Дифференциальное
исчисление
127
Глава VI
Дифференцируемые функции.
Производная
Понятие производной возникло в результате многолетних усилий
математиков при решении ряда задач, важнейшими из которых явля-
ется задача о скорости неравномерного движения и задача о касатель-
ной к кривой. В ХУП веке Ньютон и Лейбниц независимо друг от друга
дали полное теоретическое решение этих задач. Это привело к созда-
нию дифференциального и интегрального исчислений и явилось нача-
лом нового периода в истории математики — периода математики пе-
ременных величин.
1.	Скорость
Пусть материальная точка движется по некоторой прямой, на ко-
торой выбрано начало О отсчета расстояний и положительное направ-
ление. Через S обозначим расстояние данной точки от О, а через t —
время. Каждому значению t из некоторого промежутка соответ-
ствует определенное значение S. Функция 5 = /(г), выражающая эту
зависимость, называется законом движения точки.
Выберем некоторый момент г0 е(л,6) и для каждого t е{а,Ь) обозна-
чим Д/ = /-г0, тогда г = г0 + Дг. Моментам г0 и /О + Дг соответствуют рас-
стояния от О, равные
So = /(г0) и 5 = /(0 = f(t0 + Д/). Их разность обозначим
Д5 = 5-^ = /(/0 + Д/)-/(Г0).
Таким образом, за время Дг точка переместилась по прямой на
расстояние Д5. Отношение (при условии Дг*О)
AS _/Qo +Др-/(fr)
ДГ	Д/
128
называется средней скоростью движения точки на отрезке времени
между моментами tQ и tQ + Д/ и обозначается Иср.
Для характеристики движения в момент г0 вводится понятие мгно-
венной скорости. Мгновенной скоростью движения называют предел
средней скорости при Д/->0 и обозначают
И = lim И = lim —.
дг->0 и д/->0 Д/
Итак, для отыскания мгновенной скорости в момент г0 требуется
найти предел отношения приращения функции S к приращению аргу-
мента t, когда последнее стремится к нулю.
В качестве примера найдем скорость свободно падающего тела. Изве-
стно, что закон движения в этом случае имеет вид
постоянная. Здесь
где g -
AS = ^g(l0 + Az)2 -	= gt0At + |g(A/)2.
Поэтому
V - lim —= limf gZn + -gAz | = £Zn
д/-юД/ дг-Ц6^ 2	)
Заметим, что каждому моменту t соответствует определенная мгно-
венная скорость V и эта зависимость выражается функцией V = gt.
2.	Дифференцируемость и производная
Рассмотрим два основных понятия дифференциального исчисления:
понятие дифференцируемости функции и понятие производной функ-
ции в данной точке.
Пусть функция у = /(х) определена на некотором промежутке
Зафиксируем значение х0 внутри промежутка: х0 е(а,/>). Обозначим че-
рез Дх = х-х0, где х — приращение аргумента, а через Ду = /(х)~
_ /(х0) = /(х0 + Дх)- /(х0) соответствующее приращение функции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция у = f(x) называется дифференцируемой
в данной точке х0, если приращение Ду этой функции в точке х0, соот-
ветствующее приращению аргумента Дх, может быть представлено в
виде
&у = А Дх + а(Дх) • Дх,
(1)
129
где А от Дх не зависит, а а(Дх) функция от Дх бесконечно малая в
точке Дх = 0.
Так как произведение двух бесконечно малых а(Дх) и Дх является
бесконечно малой более высокого порядка, чем Дх, то а(Дх)• Дх = 0(Дх)
и Ду = А • Дх + 0(Дх). Первое слагаемое в этой сумме является линейным
относительно Дх, а второе бесконечно малым более высокого поряд-
ка, чем Дх.
Например, функция у = х3 является дифференцируемой в любой
точке Хо, так как
Ду = (х0 + Дх)3 - Xq = 3xq Дх + (зх0 Дх + (Дх)2) • Дх.
Здесь А = 3х$ и а(Дх)==Зх0Дх + (Дх)2.
Рассмотрим теперь отношение приращения функции Ду к опреде-
ляющему его приращению аргумента Дх*0 (разностное отношение) в
точке Xq
Ду_/(х0 + Лх)-(х0)
Дх Дх
Эта функция Дх определена в окрестности Дх=0, поэтому можно
изучать вопрос о существовании ее предела в точке Дх = 0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Производной функции у = /(х) в точке х0 на-
зывается предел разностного отношения (2) при Дх->0.
Производную функции у = /(х) в точке х0 будем обозначать у
или
Дх-И) Дх Дх->0 Дх
Если производная функции у = /(х) существует в различных точках
х промежутка (a, ft), то ее можно рассматривать как функцию перемен-
ной х и для нее пользоваться обозначением у'(х) или /'(х).
Например, для функции у = х3 в любой точке х производная сущес-
твует и равна
У = lim — = lim ^-+_3^+Н. = .
Дх-ю Дх	Дх
130
Введенные нами понятия дифференцируемости и производной функ-
ции в данной точке тесно связаны. Это видно из следующей теоремы.
ТЕОРЕМА. Для того, чтобы функция была дифференцируемой в дан-
ной точке, необходимо и достаточно, чтобы она имела в данной точке
производную.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость. Пусть функция у = Дх) диффе-
ренцируема в точке Xq. Тогда ее приращение представимо в виде (1).
Отсюда (при условии Дх^О) находим
— = А + а(Дх).
Дх v 7
Правая часть равенства имеет предел в точке Дх->0? равный Л, по-
этому существует производная в точке Xq —
Дх->0 Дх
и она равна А.
Достаточность. Пусть функция у- Дх) имеет производную в точ-
ке х0:
Дх->0 Дх
Обозначим
= “-/'(х0).
Как известно, эта разность между функцией и ее пределом есть
бесконечно малая функция в точке Дх = 0. Отсюда
Ду= /'(х0)Дх + а(Дх)- Дх.
Следовательно, имеет место представление (1), и функция у = Дх) в
точке Xq дифференцируема.
Вернемся к понятию мгновенной скорости движения материаль-
д у
ной точки. По определению V = lim —, следовательно, мгновенная
скорость в момент г0, это производная функции S = f(t) в точке tQ. По
аналогии с механикой производную Д(х0) любой функции трактуют
как скорость изменения этой функции в зависимости от изменения
аргумента х. Такая трактовка находит широкое применение во многих
приложениях математического анализа.
131
3.	Непрерывность дифференцируемой функции
Установим связь между свойствами непрерывности и дифференци-
руемости функции в данной точке х0.
ТЕОРЕМА. Если функция в данной точке дифференцируема, то она в
этой точке непрерывна.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть функция у = Дх) дифференцируема в
точке х0. Тогда ее приращение представимо в виде
Ду = Л-Дх + 0(Дх).
Но тогда при Дх—>0 будет Ду->0, а это и означает непрерывность
функции у = f(x) в точке х0.
Итак, непрерывность в данной точке является необходимым усло-
вием для дифференцируемости. Однако непрерывность не является до-
статочным условием дифференцируемости. Действительно, рассмотрим
в качестве примера функцию у = |х| в точке х0 = 0. Для нее
А_у |04-Ах| —10| |Дх| [ 1, еслиДх>0,
Дх Дх	Дх [-1, еслиДхсО.
Ду
Отсюда видно, что функция — в точке Дх=0 предела не имеет.
Поэтому функция у = |х| в точке хо=О не имеет производной и, следо-
вательно, не дифференцируема. В то же время в точке х0 =0 прираще-
ние функции Ду = |Дх| и =	= то есть функция непрерыв-
на. Другим примером функции непрерывной, но не дифференцируе-
мой в точке является функция
= .xsini прих*0,
У	прих = 0.
В точке х0 = 0 она непрерывна, так как Ду = Дх-sin•—- и Д™ л^ = 0-
Ду . 1	Ду
Но в этой точке -~ = sin— и функция — в точке Дх=0 не имеет
Дх Дх	Дх
предела.
132
4.	Понятие касательной.
Касательная к графику дифференцируемой функции
Из предыдущих разделов математики известны различные плоские
кривые (например, кривые второго порядка: окружности, эллипсы,
гиперболы, а также графики различных непрерывных функций). Важ-
ным является понятие касательной прямой к таким кривым. Приведем
описание этого понятия.
Пусть L одна из таких плоских кривых и Я точка на L. Если 2? другая
точка на Z, то прямая р, проходящая через А и В, называется секущей
для L.
4
/ V
Рис, 50
Пусть точка 2? движется по £, приближаясь кА сколь угодно близко.
Тогда секущая р будет вращаться вокруг точки А. Если при этом суще-
ствует проходящая через Я прямая Т, такая, что угол а между р и Тбудет
сколь угодно мал (т.е. р будет стремится к положению Т), то прямая Т
называется касательной к L в точке Л.
Касательная существует не всегда. Так, например, у графика функ-
ции ^ = |х| в точке х = 0 касательной нет. Действительно, (см. рис. 51)
график состоит из двух полупрямых дид, образующих угол — с
вершиной в точке Л. При Д ер1 секущая проходит вдоль р1, а при В2
вдоль Р2, поэтому общего предельного положения секущих нет. График
у = |х| в точке х = 0 имеет излом.
Пусть теперь L это график функции у = f(x), заданной на проме-
жутке (а,Ь) и дифференцируемой в некоторой внутренней точке х0 е(а,Ь)
133
этого промежутка. Пусть Л(л^,у0), где у0 = /(х0), соответствующая точка
графика функции y=f(x). Если В(х,у) другая точка графика, то
Дх = х-хо и Ду=л’-уо = /(х)-/(^о)=/(хо + Дх)-/(Ло) и секущая р, про-
Ду
ходящая через А и В , наклонена к оси ОХ под углом q> =arctg—
Проведем через А прямую Т, образующую с осью угол = arctg/’,(x0).
Угол между р и Т равен а = ф-^. Когда В приближается к А сколь
угодно близко, то Дх->0 и, благодаря непрерывности функции arctgx
<Р = arctg^ -> = arctgf'(x0),
т.е.	Следовательно, Г является касательной к графику
у ~~ f(x) в точке Л. Угловым коэффициентом касательной Т является
* = tg<% = /’(xo) — производная функция в точке х0. Итак, график диф-
ференцируемой функции в соответствующей точке имеет касатель-
ную, угловой коэффициент которой равен производной в данной точке.
В этом заключается геометрический смысл производной.
Верно и обратное, если график функции в данной точке А имеет
касательную, не перпендикулярную оси ОХ, то в данной точке х0
Ду
существует при Дх->0, предел — = tgp (благодаря непрерывности
Дх
tgx), т.е. функция в данной точке дифференцируема. Ясно, что в точ-
ках разрыва функции касательной к графику быть не может. В точках
же, где нет дифференцируемости, может существовать касательная
перпендикулярная оси ОХ(см. рис. 53).
134
т |у
т-р х
Рис. 53
Знание углового коэффициента касательной к графику функции по-
зволяет составить уравнение этой касательной. Известно, что всякая
прямая (не перпендикулярная оси ОХ ), проходящая через точку
Л(х0,у0), имеет уравненйе
У-Уо = к(х-хо).
Так как для касательной £ = tg^ = /'(х0), то уравнение касательной
имеет вид
Л’-/(*о)=/'(*оХх-хо)-
Прямая, проходящая через Л(х0,у0) и перпендикулярная касатель-
ной, называется нормалью к графику функции у = f(x). Так как ее уг-
ловой коэффициент , то уравнение нормали имеет вид
y-f№=-j^j(x-xo).
Например, для кривой у = х3 в точке х0=2 имеем
/'(*о)=(*3) |х=2=зх2|х=2=12’
поэтому уравнение касательной в точке Л(2,8)
у-8 = 12(х-2),
а уравнение нормали
^-8 = -1(х-2).
135
5.	Дифференцирование суммы, произведения и частного
ТЕОРЕМА. Если функции U(x) и К(х) имеют производные в данной
точке х0, то в этой точке имеют производные их сумма, разность, произ-
ведение и частное (последнее при условии К(хо)*ОЛ причем имеют место
формулы
(и + V) =U'±И'; {и-V) =U'-V+ V-и-,
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Обозначим y(x) = U(x)±V\x), тогда
Ьу = Я*о + Дх) - Х^о) = (Цх0 + Дх) ± V(xq + Дх)) - (t/(x0) ± И(х0))=
= (t/(x0 + Дх) - U(xq)] ± (и(х0 + Дх) - И(х0)) = Д U ± Д V.
Отсюда (при Дх*0)
Ду Д17 , ДИ
— =----+----.
Дх Дх Дх
При Дх->0 правая часть этого равенства имеет предел, равный
U'±Vf, поэтому и левая сторона имеет тот же предел, т.е. у = U' + V'.
2)	Обозначим Хх) = С/(х)-К(х). Тогда
Ьу = и{х^ + Дх)- И(хо + Дх) - tz(xo) • И(х0) =
= U(x0 + Дх)(и(хо + Дх) + И(х0))+V(x^U(x0 + Дх)- и(х^ =
= t/(x0 + Дх)Д И + И(хо)ДС/.
Отсюда
— =	• И(хо)+—~—U(xq + Дх).
Дх Дх w Дх	7
Функция U(x) благодаря дифференцируемости в точке х0, непрерывна
в этой точке и потому С/(х0 +Дх)->С7(х0) при Дх->0. Следовательно, су-
ществует предел	—. При этом у = U' • И + Vf U.
136
3)	Обозначим /х) =	• Заметим, что из условия К(х0) ф 0 и непре-
рывности К(х) в Xq следует, что К(хо)*О в некоторой окрестности х0.
Имеем
С/(х0 + Дх) U(xq) U(x0 + Ax)V(x0)-U(x())V(x0 + Ax)_ •
И(х0 + Дх) К(х0)	И(х0 +Дх)-И(х0)
= (t/(xb + Дх)-{7(дд,))Г(хь)-^(л<))(к(хо + Дх)-Г(хр)) ДСЛК(х0)-ДК{/(хр)
Г(хо + Дх)-Г(хо)	И(хо+Дх)-Г(хр)
Отсюда
hU v( . дг ... .
Ду = Ах'К(Хо) Дх'^^
Дх К(лф + Дх)-К(х0)
Поэтому существует предел этого выражения при Лх->0 и
, U'V-V'U
Теорема доказана.
Отметим два важных следствия.
СЛЕДСТВИЕ 1. Если с — постоянная, a U(x) дифференцируема в дан-
ной точке, то в этой точке дифференцируема cU(x), причем
(cU) = cU',
т.е. постоянный множитель выносится за знак производной.
Действительно, (CU) =c'U+cU', а производная постоянной функ-
ции равна нулю: с' = lim = lim - = 0.
Дх-И) Дх Дх-И) Дх
СЛЕДСТВИЕ 2. Если U(x) дифференцируема в данной точке, то в этой
точке дифференцируема любая натуральная степень Un(x), причем
(tr) =пия-}и'.
Действительно, это справедливо для п = 1. Общий случай доказыва-
ется методом математической индукции. Пусть утверждение верно для
п = к. Тогда
(l/‘+l) =(l7*-t7) =kUk-l-U'-U + Uk-U' = (k + lpk-U'.
137
6.	Дифференцирование сложной функции
ТЕОРЕМА. Пусть функция U = (р(х) имеет производную в точке х0, а
функция y = f(U) имеет производную в точке £/0 = р(х0). Тогда сложная
функция у = f °(?, то есть композиция у- /(ф(х)), имеет производную в
точке х0 , причем справедлива формула
(f ° <Р) (х0) = f'{Uoyp\x^.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Приращению Дх * О аргументах соответствует
приращение Д17 функции U = <p(x). Приращению AL7 в свою очередь
соответствует приращение Ду функции у = /(СТ)- Так как f(U) диффе-
ренцируема в точке UQ, то
Ду = /'(С70)Д U + а( Д U) • Д U,
где а(ДС7)->0 при дст->0- Отсюда
Дх 7 v 07 Дх v 7 Дх
При Дх->0, благодаря непрерывности U = (р(х) в точке х0 имеем
ДС7—>0 и а(ДС7)->0. Поэтому имеет предел при Дх->0 и этот пре-
дел равен /'(С70)р'(х0)-
7.	Дифференцирование обратной функции
ТЕОРЕМА. Пусть у функции у- f(x), отображающей промежуток
{аф) в промежуток {сф}, имеется обратная функция х = (р(у). Пусть для
XQ^faty соответствующая точка у0 = /(xq) g(c,4Z). Если у = /(х) имеет
производную в точке х0, отличную от нуля, то обратная функция х = <р(у)
имеет производную в точке у0, причем <р'(Уц) =
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Придадим аргументу обратной функции
х = (р(у) в точке у0 приращение Ду*0. Этому приращению соответству-
ет приращение Дх, также отличное от нуля, благодаря взаимно одно-
значному соответствию между и {сф}, Очевидно,
1
/'W
138
I
~ку " Ду ’
Дх
Если Ах —>0, то, согласно непрерывности у = /(х) в точке х0, будет
Ду—>0. По условию	= /'(хо)*О, поэтому существует предел —,
,	Дх-И) Дх	Ду
I
Лхо)
т.е. обратная функция имеет производную, причем (р'(у0) =
8.	Производные основных элементарных функций
Покажем, что все основные элементарные функции дифферен-
цируемы в любой внутренней точке областей их определения и найдем
их производные. При этом используем различные замечательные пре-
делы:
I)	Производная степенной функции.
Пусть у = х“, где а -любое вещественное число. Тогда для любого
х>0
Ду
Дх
1 = х‘
Так как
х
то при Дх->0 ^->а хаЧ, т.е.	= ахаЧ. В частности, (х) =1.
Зная производную степенной функции и правила дифферен-
цирования сумм, произведений и частных, можно дифференцировать
целые и дробно рациональные функции. Например,
Зх + 5А _ (Зх + 5) (х2 -1) - (х2 -1) (Зх + 5) _ з(х2-1)-2х(Зх + 5) _ Зх2 + 10х + 3
У-1Г (х2-1)2	=	(х2-1)2	=	(х2-1)2
139
2)	Производная показательной функции .
Пусть у = о*, где а>0 и а*1. Тогда для любого х
= — р+Л*-0х) = <f —-.
Дх Дх' 7 Дх	'
Так как
lhn^ = _J_=lna,
Дх logfl е
то при Дх —>0 ~~>ах1па, т.е. (ах) = ах1па.
В частности, (е*) = ех.
3)	Производная логарифмической функции.
Пусть y = logflx, где а>0 и а*1. Тогда для любого х>0
, Л ДхЛ
А 1	, loge 1 +-
= —(loge(x + Ах) - log, х) =-1 х •
Дх Дх'	7 х Ах
X
Так как
.	(\ Дх^
°Ц т	1
lim к Z = iOga е = —f
Дх-^) Дх	Ina
X
А Л Ду 1 1 А V 1
то при Дх-»0 -—> —•-—, т.е. (log.х) =——.
Дх х Ina v оа 7 xlna
В частности, (1пх) =^. Заметим, что производную логарифмичес-
кой функции можно получить как производную функции обратной
показательной
(logex) =—=	=-р-.
/ v\ a7ma xlna
140
4)	Производные тригонометрических функций.
Пусть у=sinx. Тогда для любого х
. Лх
Лу 1 / . / д \	• \	( Дх^ Sm~2"
— = —(sinx +Ax-sinx) = 2cos х + — —
Дх Дх' v 7	7 V 2 ) Дх
. Дх
sin—-
Так как Нт	= 1, то при Дх -> 0, благодаря непрерывности cosx,
т
— ->cosx, т.е. (sinx) =cosx.
Дх	'	'
Аналогично доказывается, что (cosx) =-sinx.
Пусть у = tgx. Тогда для любого х * + кп (к gZ) .
f \ (sinx
(tgx) = ----
I cosx
_ cosx cosx-(-sinx) sinx 1
— - — -
COS X	COS X
Аналогично доказывается, что для любого х*кл(кеЁ)
(ctgx) =--Д-.
sin X
5)	Производные обратных тригонометрических функций.
Пусть у = arcsinx. Тогда для любого х, -1 < х < 1 — по правилу диффе-
ренцирования обратной функции,
/	. V 1	1	1	1
(arcsinx) =------т =-----= .—	=-7-г.......
(sin у) cos^ Vl-sin2y Vl-x2
лг	f 1
Так как arccosx = — -arcsinx, то (arccosx) =—?-
Пусть у=arctgx. Тогда для любого х
(arctgx) =——-7 = cos2y = —Ц5—
(tgy)	1 + tgy
1
1 + х2 ’
141
Так как arcctgx = ~--arctgx, то (arcctgx) =-р—f.
Полученные результаты можно представить в виде таблицы произ-
водных основных элементарных функций (U = С7(х)).
1.(с)'=0; 2.[иа] =aUaA-W,	8. (cost/) =-sinU-U'', 9.(tgI7)'=-^-; cos U
З.(аи) =aulnaU';	lO.(ctg0'=— sin U
4.(еи) =eu-U'-,	11. (arcsint/) = 	; V1-C72
	*	Uf 12. (arccosCZ) =—T— • Vi-t/2
	13,(arctg0 =1 + (/2;
7. (sintZ)' =cosU-U’-	14. (arcctgLZ) = i+i/2.
В заключение рассмотрим	показательно-степенную функцию
y = (U(x))v(x), где U(x)>0 и функции U(x), V(x) имеют производные в
точке jcq. Воспользуемся так называемым методом логарифмического
дифференцирования. Рассмотрим сначала функцию W(x) = \ny =
= K(x)lnt/(x). Она дифференцируема, причем >Р'(х0)=Г'(х0)1п(7(х0)+
+ ^о)	• Так как у = eW(x), то данная функция также дифференци-
руема, причем
y = e^)-lF'(x0), т.е. (urj	+
Например, (хх) = хх(1пх + 1).
142
9. Производные высших порядков.
Механический смысл второй производной
Если функция f(x) в каждой точке некоторого промежутка имеет
производную, то эта производная f'(x) является новой функцией на
данном промежутке. Возможно, что функция /'(х) имеет производную.
Эту производную называют второй производной от функции Дх) и
обозначают у" или f"(x). Таким образом, по определению,
/"(*) = (/'(*))'.
По индукции производная л-го порядка определяется как производ-
ная от производной (л—1)-го порядка и записывается
/")(х) = (/"-«(х))’.
При этом предполагается, что производная (л-1)-го порядка /^(х)
определена во всех точках некоторой окрестности х и имеет производ-
ную в точке х.
Для некоторых элементарных функций можно указать формулу про-
изводной л-го порядка, справедливость которой проверяется методом
математической индукции.
Например, для функции у=ах имеем у(п} =ях(1пх)л. Действительно,
это верно для п = 1. Предположим, что это верно для п = к и проверим
справедливость для п = к 4-1:
уЛ+1)=(^А;)	= дх1п«(1пя)* =О*(1ПЯ)*+1.
т>	( х\(") х
В частности, J = е.
Для функции у = sinx имеем у(л) =sin^x + n^. Действительно, это
1	„
верно для п = Г. у = cosx = sml х + — I. Предположим, что это верно для п
= к и проверим справедливость для п = к + Г.
г
y(*+l) =(./) =fsinfx + w^ll =cosfx + A:yl = sinfx + (A: + l)^l
143
Аналогично,
Для отыскания производной и-го порядка от произведения функ-.
ций, имеющих производные до порядка п в данной точке, весьма пол-
езной является формула Лейбница:
(1/Г)(л) =с”и<")^+с'(и)(" ,)К’+С^(и)(я 2)Г"+...+С"иУ(а) = ^с”Ц(я~т)У(т).
т=0
Докажем ее методом математической индукции. Для п = 1 она имеет
вид (СЛК) =U'V+UV' и потому справедлива. Предположим, что она
верна для п = к и докажем ее справедливость для п = к+\\
к
(U •	=	с™(у(к+1-т)у(т)	—
\т=0	/	ж=0
к	к
_	£ту(к+1-т)у(т)	ут-1у(к-т)у(т+1)
т=0	т=0
Так как С? = С°+1 =	=1 и С” + С”~1 = C”+i (т = 1Д—Л), то окон-
чательно имеем
*+1
(и- К)(*+,) = ^cf+1(/<*+1"m)r(m)
т=0
Например, если y = x2cosx, то
Уя) =x2cos х +fl-
12
так как (х2)(л) =0 для п>2.
Выясним механический смысл второй производной. Пусть закон
движения материальной точки по некоторой прямой линии имеет вид
5 = ДО - Как известно, первая производная f(t) функции f(t) дает за-
висимость мгновенной скорости V движущейся точки от времени
144
t: V(t) = f'(t). По определению второй производной /”(/) = V'(t), а K'(z)
есть скорость изменения V(t) в момент t. Как известно из механики,
последняя величина является ускорением а в момент времени t. Итак,
вторая производная /"(О есть ускорение: a(t) = f"(t).
I 2
Например, если S = -gt (8 ~ постоянное ускорение свободного
падения), то K(r) = S'(t) = gt, а ускорение о(г) = К'(0 = S"(t) = g.
10. Кривые, заданные параметрически
Две функции
Х=ф(Г),
7=ИО,
(1)
заданные на промежутке t е{а,р), сопоставляют каждому значению / точ-
ку (х,у) на плоскости с координатной системой XOY. Образом L при
этом отображении часто является некоторая плоская кривая, уравнения
(1) называют параметрическим заданием этой кривой, а переменную t —
параметром.
Уточним понятие кривой, потребовав от функций р(/) и wit) до-
полнительных свойств.
1)	Пусть функции (p(t) и w(t) непрерывны, т.е. L является непре-
рывным образом промежутка (а,Д).
2)	Пусть функции (p(t) и y{t) таковы, что разным t соответствуют
разные точки (х,у) плоскости, т.е. L является образом (а,р) при взаим-
но однозначном отображении.
3)	Обратное отображение L на (а,р) пусть также является непре-
рывным (т.е. близким точкам L соответствуют близкие значения пара-
метра /)• При наличии указанных свойств L называется кривой Жорда-
на.
Приведем простые примеры кривых, заданных параметрически.
1. Параметрические уравнения окружности. Рассмотрим окружность
радиуса г с центром в начале координат.
145
Возьмем на окружности произвольную точку М с координатами х и
у. Обозначим через t угол между радиусом-вектором, соединяющим
начало координат с точкой М, и положительным направлением оси
абсцисс.
Из чертежа видно, что x = rcost, y=rsinz. Это и будут параметричес-
кие уравнения окружности.
2. Параметрические уравнения циклоиды.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Циклоидой называется множество точек, которое
описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по пря-
мой без трения и скольжения.
Выведем параметрические уравнения циклоиды, приняв за пара-
метр t угол поворота окружности.
Выберем оси координат так, чтобы ось ОХбыла направлена по пря-
мой, по которой катится окружность. Предположим, что в начале дви-
жения (при t=0) выбранная точка находилась в начале координат. После
поворота колеса на угол t точка займет положение М с координатами х
и у. Найдем х и у в зависимости от /. Из чертежа видно:
Рис. 55
146
x = OA = ОВ - АВ. Но ОВ — это путь, пройденный точкой окружности.
Так как качение происходит без трения и скольжения, то ОВ = МВ. Дуга
МВ равна П, где г радиус окружности, a t — угол поворота окружности,
a AB = MN = rs\x\t. Поэтому x = rr-rsinr = r(/-sinr). Вычислим ординату
точки М:
у = AM = NB = CB-CN = r- roost = -cos/).
Таким образом, параметрические уравнения циклоиды имеют вид:
{x = r(l-sinr),
<y = r(l-cos/).
Отметим, что параметрические уравнения эллипса имеют вид:
(х = acost,
где а и b полуоси, a t — параметр.
Очевидно, что одна и та же кривая может задаваться различными
параметрическими уравнениями или, как говорят, имеют различные
параметризации.
Так верхняя полуокружность |(х,.у): х2 4-^=1, ^>о| может быть за-
дана следующими параметрическими уравнениями:
X =COS/j,
у — sin
(0<^ < яг).
Кривая (1) называется гладкой, если существует такая ее парамет-
ризация, что производные р'(0 и ^'(0 непрерывны и одновременно
это кривая Жордана.
Кривая называется замкнутым контуром, если (а,Д) = [а,Д], и на
[а,/3] ф(а) = ф(Д), ^(а) = ^(Д), т.е. начало и конец L совпадают.
Например, верхняя полуокружность является примером кривой
Жордана, а окружность — замкнутым контуром (контуром Жордана).
Более того — это гладкие Жордановы кривая и контур.
147
Параметрически заданные функции и их дифференцирование
Пусть кривая задана параметрически при помощи функций x = cpl(t),
y = (p2(t). Пусть первая из этих функций х = <^(0 взаимно однозначно
отображает (а,Ь) на некоторый промежуток (А,В), т.е. существует об-
ратная функция t = gx(x), отображающая (А, В} на (а,Ь). В этом случае у
является функцией от х, определяемой композицией: y = <%(giW). О
такой функции говорят, что она задана параметрически равенствами
/х = (^(Г), ,	к
1 ЛА
[у=<%(')> v	г
Если функции (д(/) и <^(0 имеют производные в некоторой точке
причем <pf(0*O, то можно через эти производные выразить
производную у как функции от х (обозначается у'). Действительно,
используя правила дифференцирования сложных и обратных функций,
получаем
К = (рг(й W)) = &(')£(*) =	= 5.
Например, если x = cosr, y = sin/ (0<t<n), то
и производная определяется без использования явного выражения у
через х (у = Vl-x2).
Если функции (^(t) и <p2(z) имеют вторые производные, то через них
Можно выразить вторую производную у как функцию х (обозначается
у^). При выводе формулы используется найденное выше правило, но
применяется оно не к у, как функция от /, а к у'х, как функция от t
_ 1 М УпХ',-х”У,
х х;	(*;)3
Аналогичные формулы можно получить для производных третьего и
более высокого порядка.
148
11.	Касательная к кривой Жордана
Рассмотрим кривую Жордана с параметрическим уравнением
Iх"’’1®’ ((.М)
Пусть в окрестности значения параметра z0 g(o,Z>) у является дифферен-
цируемой функцией от х и ^(А)) * 0- Тогда для t из этой окрестности часть
кривой Жордана есть график дифференцируемой функции, а угловой коэф-
фициент к этой кривой в точке М(х0,у0) (х0 = ^(аДуо = ^Оо)) равен
8% *(’0о) М'
Поэтому уравнение касательной в точке с параметром tQ имеет вид
Аналогично, если в окрестности значения параметра z0 g(o,Z>) х явля-
ется дифференцируемой функцией от у и <p£(zo)*O, то уравнение каса-
тельной к кривой Жордана в точке Л/(х0,у0) с параметром z0 имеет вид
Оба случая приводят к следующей симметричной форме записи
уравнения касательной
<Pi(toiy ~ (РгМ) -	- %(»ь))=0.
Например, для полуокружности
[x=COSZ, /	,	,4
<	(/ еОд
[y=sinz, v L *
о	Я
уравнение касательной в точке с параметром z0 = —
или х + у = л/2.
149
Глава VII. Дифференциал
1. Дифференциал и его связь с производной
Функция y = f(x) определена на промежутке (^/^дифференцируе-
ма в точке xQ e(a,b), если ее приращение в этой точке можно предста-
вить в виде
Ду = А Дх + а(Дх) • Дх,
где Л от Дх не зависит, а а(Дх) бесконечно малая функция в точке
Дх = 0. Таким образом, приращение функции Ду представляется в виде
суммы линейной относительно Дх функции ЛДх и функции а(Дх)-Дх
бесконечно малой более высокого порядка, чем Дх:
= а(Дх)—>0 при Дх->0.
Поэтому функцию ЛДх называют главной линейной частью прира-
щения Ду.
. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Главную линейную часть приращения дифферен-
цируемой функции в данной точке называют дифференциалом функции в
данной точке.
Дифференциал функции у = /(х) обозначают </у = ЛДх.
Выше было показано, что дифференцируемость функции в точке
х равносильна существованию производной в этой точке и что
А = fix). Следовательно, формула для дифференциала имеет вид
dy = fix) Дх.
Если, в частности, взять функцию у=х, то учитывая, что х' = 1,
получаем dx = Дх, т.е. для аргументахдифференциал и приращение со-
впадают. Поэтому формула дифференциала принимает следующий вид
dy = f\x)dx.
Это равенство дает возможность выразить производную через диффе-
ренциалы функции и аргумента
150
ПРИМЕР. Для y = arctgx имеем dy = --,.
1	+ х
Дифференциал функции dy в общем случае не равен приращению
Ду, но часто пользуются приближенным равенством Ду»</у. Абсолютная
погрешность этого приближения равна |Ду - dy\ = |а(Дх)- Дх|, а относитель-
ная (при А *0)
|Ду-4у| _ |а(Лх)|
|Ау| |Л + а(Дх)|’
Видно, что относительная погрешность может быть сколь угодно
малой при достаточно малых Дх.
Например, для функции y = Vx приближенное равенство Ay^dy при-
нимает вид
Vx +Дх - л/х « —Дх.
2	/
ПУ1Х
Поэтому
782=781 + 1 »781+—5—1 = 9 + — ® 9,055...
2781	18
2.	Геометрический и механический смысл дифференциала
Рассмотрим график дифференцируемой функции у = Дх) (см.рис. 56). А и
В ~ точки графика, соответствующие значениям аргумента х0 и х0 + Дх,
имеют ординаты /(х0) и /(х0 + Дх).
Приращение ординаты Ду = /(х0 + Дх) - /(х0) равно (по модулю) длине
отрезка BD. Если же рассмотреть касательную прямую к графику в точке Я
151
У~ /(хо) = /'(хоХх“хо), т° на этой прямой точки Ли С, соответствующие
аргументам х0 и х0 + Дх имеют ординаты /(х0) и /(х0)+ /'(хо)Дх- Прира-
щение ординат (равное по модулю длине отрезка CD) равно f'(x0)&x, а
это дифференциал функции у = /(х) в точке х0.
Итак, дифференциал функции у = /(х) в точке х0 — это прираще-
ние ординаты точки касательной прямой к графику функции в точке
л(х0,/(х0)), соответствующее изменению абсциссы от х0 до х0 + Дх.
В этом и состоит геометрический смысл дифференциала функции.
Пусть 5 = f(t) закон движения материальной точки по прямой. В не-
который момент г0 скорость движения равна К(г0) = /'(го)- Дифференциал
функции в момент г0
rfS = /'(Zo)A/ = r(fo)Ar
представляет собой путь, пройденный точкой за время Дг с постоян-
ной скоростью Г(г0). Это составляет механический смысл дифферен-
циала.
3.	Дифференциал суммы, произведения и частного
Из известных формул для производных сумм, произведения и част-
ного двух дифференцируемых функций U(x) и V(x) следуют соответ-
ствующие формулы для дифференциалов:
d(U(x) ± Г(х)) = (<7(х) ± V(x))dx = {U'(x) ± V'(x))dx =
= U'(x)dx ± V'(x)dx = dU(x) ± dV(x).
♦
d(U(x)  Г(х)) = (U(x)  V(x)) dx = (U'(x)- V(x) + U(x)- V\x))dx =
= U(x)  V'(x)dx + V(x) • U'(x)dx = U(x)  dV(x) + V(x)  dU(x).
U{x)\_ft/(x)V , _t/'(x)-K(x)-r'(x)-t7(x)	_
K(x)J	J	Г2(х)
Г(х) • U'(x)dx - U(x) • V'(x)dx V(x)dU(x) - U(x)dV(x)
Г2(х)	Г2(х)
152
U\ VdU-UdV
V) V1
Таким образом,
d(U±V) = dU±dV, d(UV) = UdV + VdU,
В случае частного предполагается И(х) *0. Так как d(c) = c’dx =
- постоянная, то имеет место правило d(cU) = cdU, т.е. постоянный мно-
житель выносится за знак дифференциала.
4.	Дифференциал сложной функции
Пусть функция U = ф(х) дифференцируема в точке х, а функция
у = f([j) дифференцируема в соответствующей точке U = <р(х). Тогда слож-
ная функция у = /(р(х)), как было показано, имеет производную в точ-
ке х:
а поэтому дифференцируема. При этом для дифференциала сложной
функции имеем формулу
dy = (у = /(<?(*))) dx = f'(U)  <p'(x)dx.
Инвариантная форма дифференциала
Дифференциал функции у = /(х), как было показано выше, вычис-
ляется по формуле
dy=f'(x)dx.
Здесь dx = Дх — произвольное прирашение аргумента (независимой
переменной).
Если же имеется сложная функция у- f(U), где U = р(х), то диффе-
ренциал равен
d(y) = f(U)(pr(x)dx.
Но (p'(x)dx = dU - дифференциал промежуточного аргумента U. По-
этому окончательная форма записи дифференциала сложной функ-
ции та же, что и относительно независимой переменной, то есть
dy = f\U)dU.
Итак, дифференциал имеет неизменную (инвариантную) форму
относительно аргумента.
153
Следует однако отметить, что в общем случае dU*MJ. Из инвари-
антности формы дифференциала следует, что при любом выборе аргу-
мента производная равна отношению дифференциалов f'(U) =	. По-
яс/
этому правило дифференцирования сложной функции записывается сле-
дующим образом
dx dU dx'
а правило дифференцирования обратных функций
dy _ 1
dx~ dx'
dy
5.	Дифференциалы высших порядков
Дифференциал функции dy = f'(x)dx зависит как от аргументах, так
и от его дифференциала dx (от последнего линейно). Если зафиксировать
dx, то дифференциал dy становится функцией лишь х.
Второй дифференциал (дифференциал второго порядка) функции
у = /г(х) определяется как дифференциал от дифференциала и обозна-
чается d2y = d(dy), при условии, что dx фиксировано.
Дифференциалы любых порядков определяются по индукции. Диф-
ференциал порядка п (л>1) определяется как дифференциал от диффе-
ренциала порядка (л-1)
<Гу=<^<Г1у)
при условии, что dx фиксированно.
Найдем формулу для дифференциала любого порядка в случае, ког-
да х независимая переменная
d2y = d(dy) = d(f'(x)dx) = (f'(x)dx) dx = f"(x)dx2,
d3y = d(d2y) = d(f"(x)dx2} = (f"(x)dx2) dx = f"'(x)dx3.
Методом математической индукции выводится, что
(fy = f\x)dxn.
154
Из последней формулы можно производную порядка п выразить че-
рез дифференциалы
О
dxn
(в числителе дифференциал порядка п функции, а в знаменателе л-ая
степень дифференциала аргумента).
Пусть теперь у = /(£/), а £/ = р(х). Запишем второй дифференциал че-
рез промежуточный аргумент U. По правилу дифференцирования слож-
ных функций имеем
d2y = d(dy) = d(f'(U)<p'(x)dx) =	dx2 =
+ f’(U)<p"(x))dx2 =
= f"(U)(<p’(x)dxf + f'(U)<p"(x)dx2 = f"(U)dU2 + f'(U)d2U.
Еще более сложной будет формула для третьего дифференциала
<?у = d(<?y) = (/"(ЬЭ(ф’(х))2 + /W"(x)) dx3 =
= {f'"(U)(<p'(x))3 + 2f"(U)<p'(x)<p"(x) + /"(ЮФ'(х)ф»(х) + f'(U)<p'"(x)jix3 =
= f’\U)dU3+ 3f\U)d2UdU + f'(U)d3U.
Отсюда видно, что дифференциалы второго и выше порядка инвари-
антностью формы не обладают.
155
Глава VIII
Основные свойства дифференцируемых
функций и их применения
1.	Основные теоремы о дифференцируемых функциях
Важную роль в математическом анализе играют следующие основ-
ные теоремы о дифференцируемых функциях.
ТЕОРЕМА ФЕРМА. Пусть функция у- f(x) определена на промежутке
(а,Ь) и во внутренней точке х0 g(o,Z>) этого промежутка принимает наи-
большее или наименьшее значения. Тогда если в точке х0 существует про-
изводная, то она равна нулю: /'(хо) = О.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть /(х0) наибольшее значение функции
y = f(x) на (а,Ь):
38 >0 Vx(x eU(x0,8)=> f(x) < /(х0)}
где х0 Рассмотрим разностное отношение Дх°) Так как
/(х)-/(х0)<0, то при х<х0 это отношение неотрицательно и его пред-
ел при х->х0: /'(х0)>0, а при х>х0 это отношение неположительно и
его предел при х -> х0: /'(х0)< 0. Следовательно, единственно возможно
Г(хо) = О-
Для случая, когда /(х0) наименьшее значение функции У=Лх)
на (а,Ь), рассуждения аналогичны. Геометрический смысл теоремы
Ферма состоит в том, что касательная к графику в точке с абсцис-
сой Xq е(а,Ь) параллельна оси абсцисс, если /(х0) наибольшее или
наименьшее значение функции у = f(x) на fab) и функция в точке
х0 дифференцируема.
156
Рис. 57
, ТЕОРЕМА РОЛЛЯ. Если функция у= f(x) непрерывна на отрезке [а, 6],
дифференцируема в интервале и на концах отрезка принимает рав-
ные значения f(a) = f(b), то внутри отрезка найдется такая точка с е(а,£>),
что
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть А = f(a) = f(Ь) и пустьтнМ — наимень-
шее и наибольшее значения функции у = /(х) на отрезке [о,£>]. Очевид-
но, т<А<М.
Если т = М, то функция на [л, постоянна и ее производная всюду
равна нулю. Если же т*М, то либо т*А, либо М*А, т.е. внутри
отрезка достигается либо наименьшее, либо наибольшее значение фун-
кции у = /(х) на отрезке. По теореме Ферма в соответствующей точке
с производная равна нулю.
Теорема доказана.
Геометрически теорема Ролля означает, что при выполнении усло-
вий теоремы внутри отрезка найдется хотя бы одна точка на графике с
касательной, параллельной оси Ох. Очевидно, таких точек может быть
несколько.
т
ex
Рис. 58
Отметим, что условия теоремы Ролля существенны, при нарушении од-
ного из них получаем ложное высказывание. Например, функция у = |х| на
отрезке [-1,1] непрерывна, на концах отрезка принимает одинаковые значе-
ния |-1| = |1|, но внутри отрезка нет точки, в которой производная равнялась
бы нулю, так как нет дифференцируемости всюду в интервале (-1,1).
157
ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА. Если функция у = f(x) непрерывна на отрез-
ке [я, и дифференцируема в интервале (а,Ь)9 то внутри отрезка най-
дется такая точка се(а,Ь), что справедливо равенство
f(b)-f(a) = f\c\b-a),
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим вспомогательную функцию
Г(х) = Дх) - Да) -	. (х - а)
Ь-а
Легко видеть, что функция F(x) удовлетворяет всем условиям тео-
ремы Ролля: она непрерывна на [л,6] и дифференцируема на (а,6) как
сумма функций, непрерывных на [л,6] и дифференцируемых на (a,Z>) и
F(a) = F(/>) = 0. Поэтому, согласно теореме Ролля, найдется такая точка
се(о,б), что Г'(с)=0. Но
Ь-а
поэтому
F'(c) = f'(c) -	= О,
b-a
откуда и следует нужное равенство.
Теорема Лагранжа доказана как следствие теоремы Ролля. Заметим,
что сама теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа и
получается из нее, если йоложить f(b) = f(a). Выясним геометрический
смысл теоремы Лагранжа. Рассмотрим график функции у=f(x), задан-
ной на [a,Z>], и точки Ли В графика с абсциссами а и Ь.
Рис, 59
158
Видно, что
f(fi)-f(a) BD +
b-a AD
это угловой коэффициент хорды АВ, а /'(с) есть угловой коэффициент
касательной к графику в некоторой точке С с абсциссой х = с. Следова-
тельно, теорема Лагранжа утверждает, что на графике функции у = Дх)
между точками А и В найдется такая точка С, касательная в которой
параллельна хорде АВ.
Если в формуле Лагранжа положить b-a = bx, a = xQ,TQ с = х0 + ®Дх,
где 0<®<1, и формула Лагранжа принимает вид
Ду = /'(х0 + ® Д*)Дх-
Эта формула конечных приращений.
Как и в случае теоремы Ролля, условия теоремы Лагранжа существен-
ны, при нарушении одного из них получаем ложное высказывание.
ТЕОРЕМА КОШИ. Если каждая из функций Дх) и у(х) непрерывна
на отрезке [о,&] и дифференцируема в интервале (a,Z>), причем (р'(х)*Ъ в
(а,£>), то найдется такая точка ce(a,ty, что справедливо равенство
ДЬ)-Да)^Д(с)
ср(Ь)-(р(а) ф’(с)'
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предварительно отметим, что ф(Ь)*(р(а), так
как в противном случае по теореме Ролля в интервале (а,Ь) нашлась бы
точка, в которой производная (р'(х) обращалась бы в нуль, а это проти-
воречит условию теоремы.
Рассмотрим вспомогательную функцию
F(x) = f(x)~ f(a)-	• (<?(*)-<?(«)).
Эта функция непрерывна на [я,£] и дифференцируема в (а,Ь) как
сумма функций непрерывных на [а,6] и дифференцируемых в(а,Ь). Кро-
ме того, F(a) = F(b) = 0. Поэтому, согласно теореме Ролля, существует
точка с e(a,ty, такая, что F'(c) = 0. Но
F'(x) = f'(c) -
159
поэтому
ср(Ь)-(р(а)
Отсюда и следует доказываемая формула Коши.
Отметим, что формула Лагранжа получается из формулы Коши в
частном случае при ср(х) = х.
2.	Условие постоянства функции на промежутке
Если функция на некотором промежутке постоянна, то ее производная
всюду равна нулю. Справедливо и обратное утверждение.
ТЕОРЕМА. Если функция дифференцируема, на некотором промежут-
ке (а,Ь) и всюду в (а,Ь) ее производная равна нулю, то функция на этом
промежутке постоянна.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть /(х) на дифференцируема и всюду
/'(х) = 0- Если Xq —некоторая фиксированная, ах — любая точка
отличная от х0, то на отрезке между х0 и х выполнены условия теоремы
Лагранжа. Поэтому между х0 и х существует точка с, такая, что
Дх) - Дх0) = /'(с)(х ~ *о) = о.
Следовательно, Дх) = Дх0) и потому функция Дх) постоянна на
Ы-
3.	Возрастание и убывание функции в точке
и на промежутке
При помощи производных исследуется локальное и глобальное по-
ведение функции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция /(х) называется возрастающей (убываю-
щей) в некоторой внутренней точке х0 области определения, если су-
ществует окрестность точки х0, в которой /(х)> /(х0) при х>х0 и
Дх)<Дхй) при х<х$ (Дх)<Дх0) при х>хоп Дх)> Дх^) при хслД
Достаточное условие возрастания (убывания) функции в точке дает
следующая теорема.
ТЕОРЕМА 1. Если функция /(х) дифференцируема в точке х0 и
f,(x0)>0 (/'(х0)<0)> то эта Функция в точке х0 возрастает (убывает).
I
L
160
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть /'(*о) > 0 • Так как
f(xo) = lim < > 7
X^Xq X — Xq
TO
Ve>/035>0Vx 0<|x-x0|<£=>
2^U)_/U)<e
x-x0
Отсюда следует, что в 8 -окрестности точки х0 (кроме точки х0)
выполнены неравенства
< /'(^)+е.
х-х0
В качестве е возьмем положительное число, меньшее /'(х0).
Тогда f'(xQ)-s > 0 и	Д*о) > q Это означает, что в 8 -окрестное-
х-х0
ти Хо /(х)>/(х0) при х>х0 и /(х)</(х0) при х<х0, т.е. функция /(х)
возрастает в точке х0.
Аналогично доказательство в случае /'(х0) < 0.
Заметим, что условие теоремы не является необходимым для возрас-
тания (убывания) функции в точке. Например, функция /(х) = х3 возра-
стает в точке х=0, а /'(0)=0.
Перейдем к изучению монотонности функции на промежутке при
помощи производных. Будем считать, что функция у = /(х) непрерывна
на некотором промежутке (а9Ь) и дифференцируема во всех внутренних
точках этого промежутка. Напомним, что функция называется строго
возрастающей на множестве М, если
Vxbx2 G М (хх < х2 => /(х^ < /(х2))
и возрастающей или неубывающей на этом множестве, если
VXi,X2GA/ (xj <х2=>/(х1)</(х2)).
Аналогичны определения для строгого убывания или невозрас-
тания.
161
ТЕОРЕМА 2. Для того, чтобы /(х) на (а,Ь) была строго возрастающей
(строго убывающей) достаточно, чтобы всюду в интервале (а,Ь^ выполня-
лось условие /'(х0)>0 (/'(*о)<О).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для любых двух точек хх,х2 хх<х2 на
отрезке [хрх2] выполнены условия теоремы Лагранжа. Поэтому для не-
которой точки с e(xhx2)
f(x2)-/(*1) = f(c)(x2 - xj
Если /'(x)>0 всюду в (a,Z>), то /(х2)-/(х^О и функция на (а,Ь)
строго возрастает, а если /'(х0)<0, то /(x2)-/(xi)<0 и функция на (a,ty
строго убывает.
Условия теоремы не являются необходимыми. Например, функция
/(х) = х3 на отрезке [-1,1] строго возрастает, но f'(Q)=O.
ТЕОРЕМА 3. Для того, чтобы /(х) на {а,Ь} была возрастающей или
неубывающей (убывающей или невозрастающей) необходимо и достаточ-
но, чтобы всюду в интервале (а,Ь) было f(x)>0 (/'(xq)<0).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточность доказывается точно так же, как
в предыдущей теореме при помощи теоремы Лагранжа. При /'(х)>0
получаем /(х2)-/(х1)>0, а при /'(х0)<0 /(x2)-/(*i)^0 для хх<х2, т.е.
возрастание или, соответственно, убывание.
Перейдем к доказательству необходимости. Пусть х^ — любая точка
интервала (a,Z>), а хе^) и х>х0. Если функция возрастает, то
/(х)>/(х0), поэтому
/(*)-/(xoho
х-х0
Переходя к пределу при х->х0, получаем /'(х0)>0.
Аналогично, для убывающей функции получаем /'(х0)<0.
ПРИМЕР. Найти интервалы монотонности функции
х2 + 2х +1
v =-------.
162
Эта функция дифференцируема на промежутках (- оо,1) и (1,+°°), а ее
производная
= х2-2х-3 = (х + 1Хх-3)
(х-1)2	(х-1)2
Видно, что у >0 в интервалах (-оо,-1) и (3,+<ю), а у'<0 в интервалах
(-1,1) и (1,3). Таким образом, данная функция строго возрастает на (-оо,-1)
и на (3,+оо), д на (1,3) и на (-1,1) строго убывает.
4.	Понятие максимума и минимума
Максимальное и минимальное значения функции на некотором
множестве — это наибольшее и наименьшее ее значения на этом мно-
жестве. Максимум и минимум объединяется обшим названием - эк-
стремум. Наряду с глобальным понятием экстремума, имеется локаль-
ное понятие экстремума.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция у = f(x) во внутренней точке области
определения х0 имеет локальный максимум (минимум), если найдется
такая окрестность точки х0, в которой /(х0) наибольшее (наименьшее)
среди значений этой функции, т.е. /(х)</(х0)	/(х0)) для всеххиз
указанной окрестности.
Одна и та же функция может иметь несколько точек локального
максимума и минимума с различными значениями функции в них (экст-
ремальными значениями). Так функция, график которой изображен на
рисунке 60, имеет локальный максимум в точках Xj и х3, а локальный
минимум в точках х2 и х4.
Рис. 60
Отметим, что локальное минимальное значение может быть боль-
ше некоторого локального максимального значения (это видно и на
рис. 60).
163
4.1.	Необходимое условие экстремума
ТЕОРЕМА. Если функция у = f(x) в точке х0 имеет локальный эк-
стремум, то она в этой точке либо не дифференцируема, либо имеет в этой
точке производную, равную нулю.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Xq точка локального экстремума и пусть
в этой точке функция Дх) дифференцируема. Так как на некотором
интервале, содержащем х0, значение Дх0) наибольшее или наимень-
шее среди значений, принимаемых на этом интервале, то по теореме
Ферма/'(^)=0.
Теорема имеет простой геометрический смысл: в точке графика, со-
ответствующей точке локального экстремума, либо не существует каса-
тельная, либо касательная параллельна оси Ох.
Примером функции, не дифференцируемой в точке экстремума,
является у = |х|, которая в точке х = 0 имеет минимум и не имеет произ-
водной.
Доказанное условие экстремума является необходимым, но не явля-
ется достаточным. Например, функция у = х3 в точке х=0 имеет произ-
водную, равную нулю, но не имеет в этой точке экстремума.
Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума (т.е.
точки, в которых Д(х)=0, и точки, в которых Дх) не дифференцируе-
ма), называются критическими. Эти точки, «подозрительные на экст-
ремум». Вопрос о наличии экстремума в критических точках решается
с помощью достаточных условий.
4.2.	Достаточные условия максимума и минимума
Следующее достаточное условие локального экстремума использует
информацию о первой производной данной функции.
ТЕОРЕМА 1. Пусть для функции Дх) точка х0 является критической
и пусть функция Дх) дифференцируема, в некоторой окрестности х$, ис-
ключая может быть точку х0, в которой она непрерывна.
Тогда, если при переходе через Хо слева направо производная Д(х) меня-
ет знак, то функция в точке х^ имеет локальный экстремум. Если при
этом знак Д(х) меняется с + на —, то Дх) в точке Xq имеет локальный
максимум, если же знак Д(х) меняется с — на +, то Дх) в точке х0 имеет
локальный минимум.
164
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим случай, когда в данной окрест-
ности точки х0 производная f\x) при переходе через х0 меняет знак с
4- на —.Если х— любая точка этой окрестности, отличная от х0, то на
отрезке между х и х0 выполнены для /(х) условия теоремы Лагранжа.
Поэтому
f(x) - f(xQ) = f'(c)(x - Хд),
где с, некоторая точка междух и х0. Так как f'(c) >0 при х < х0 и f(c) <0
при х> х0, то всегда /(х) -/(х0) <0, т.е. /(х) < /(х0). Но это означает, что
в точке xQ функция /(х) имеет локальный максимум.
Аналогично рассматривается случай локального минимума.
Из доказательства теоремы видно, что если в условиях теоремы про-
изводная f'(x) имеет один и тот же знак в окрестности точки х0, то
локального экстремума в точке х0 нет. Действительно, в этом случае
/(х)-/(х0) имеет разные знаки при х<х0 и х>х0.
Доказанное достаточное условие дает первый способ исследования
функции на экстремум. Схема этого способа следующая:
1.	Устанавливаются критические точки /(х). Для этого берут первую
производную и находят корни уравнения /'(х) = 0. Затем находят все
точки, где функция не дифференцируема.
2.	Исследуется знак производной /'(х) в окрестности каждой точки
х0, т.е. для каждой критической точки х0 и достаточно малого й>0
определяется знак /'(х0 - Л) и f’(x0 + й).
3.	Вывод определяется по правилу:
f'(x0-h)	/'(Хц+Н)	Вывод
+	-	точка локального максимума
—	+	точка локального минимума
+	+	не является точкой локального экстремума
-	—	
Таблица 3.
165
ПРИМЕР. Исследовать на экстремум функцию
х2 + 2х + 1
у=-тт-
Функция определена и дифференцируема на множестве
М = (-
На этом множестве
Следовательно, множество критических точек этой функции есть
только множество корней уравнения /'(*) = 0> т.е.
Для точки хх = -1 при малом h > 0 f(xx - А) > 0, J\xx + А) < О и потому
в точке хх =-1 функция имеет локальный максимум /(-1) = 0.
Для точки х2 = 3 при малом h > 0 f'(x2 - А) < 0, f'(x2 + А) > 0 и потому в
точке х2 = 3 функция имеет локальный минимум /(3) = 8.
Рассмотрим другое достаточное условие локального экстремума, ис-
пользующее вторую производную.
ТЕОРЕМА 2. Пусть для функции /(х) точка Xq является критической
и пусть /(х) в xQ имеет вторую производную. Тогда, если /"(хо)*О, то
функция в точке х0 имеет локальный экстремум. Если при этом	,
то /(х) в Xq имеет локальный минимум, если же /"(х0)<0, то /(х) в Xq
имеет локальный максимум.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как х^ критическая точка и функция /(х)
в Xq имеет вторую производную (и потому имеет первую производную),
ТО /'(хо) = О.
Пусть /"(хо)>О. Тогда f'(x) имеет в положительную производную
и, следовательно, возрастает в точке Xq. Поэтому в некоторой окрестно-
сти Xq будет /'(х0) < 0 при х < Xq и /'(х0) > 0 при х > Xq . Но тогда по преды-
дущей теореме Xq — точка локального минимума.
Аналогично доказательство в случае /"(х0)<0-
166
Из доказанного достаточного условия локального экстремума выте-
кает второй способ исследования функции на экстремум. Схема этого
способа следующая:
1.	Находятся критические точки функции /(х), в которых /'(х)=0 и
в этих точках находится /"(х) (в точках, в которых не существуют первая
и вторая производные, этот способ неприменим).
2.	Исследуется знак второй производной в каждой критической точке.
Если /"(х0)>0, то Xq ~ точка локального минимума, если /"(х0)<0, то
Xq — точка локального максимума.
Заметим, что /"(хо)=О может быть как в точках, где экстремума
нет, так и в точках экстремума. Например, для функции у = х3 в точке
х=0 экстремума нет, хотя в этой точке у = у" = 0, а для функции у = х4
в точке х = 0 минимум, но также у' = у" = 0.
ПРИМЕР. Исследовать вторым способом на экстремум функцию
х2+2х + 1
'=-7Т-
Эта функция на множестве М - (- ооД)и(1,+<ю) имеет первую и вторую
производные
Критическими точками являются х} = -1, х2 = 3. Так как /"(-1)=-1 < 0,
то в точке х{ =-1 функция имеет локальный максимум /(1)=0. Так как
/"(3)=1>0, то в точке х2 = 3 функция имеет локальный минимум
Д3)=8.
Отметим в заключение, что второй способ исследования на экстре-
мум несколько проще первого, но, очевидно, имеет более узкую об-
ласть применения.
167
4.3.	Нахождение наибольших и наименьших значений
Если функция f(x) задана и непрерывна на отрезке то по
теореме Вейерштрасса, она на этом отрезке имеет среди своих значений
наибольшее и наименьшее. Эти значения могут достигаться в одной из
точек локального экстремума или на концах отрезка [л, 6].
Поэтому для отыскания наибольшего и наименьшего значений фун-
кции на отрезке следует найти ее значения во всех точках локального
экстремума на отрезке [«,/>] и значения на концах отрезка. Из этих значе-
ний и выбирается наибольшее и наименьшее.
ПРИМЕР. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
у = х3 - Зх2 -4 на отрезке [-1,4].
Найдем первую и вторую производные
У=3х2-6х, У'=6х-6. .
Из уравнения Зх2-6х = 0 находим критические точки Xj=0, х2=2.
Так как /"(0) = ~6<0, то в точке х^О локальный максимум /(0) = -4.
Так как /"(2) = -8, то в точке х2=2 локальный минимум /(2) = -8. На
концах отрезка функция имеет значения /(-1) = -8, /(4) = 12. Таким об-
разом, наибольшее значение функции — 12 достигается на конце отрез-
ка, а наименьшее значение — -8 достигается в точке локального мини-
мума и на другом конце отрезка.
Задача об отыскании наибольшего и наименьшего значений функ-
ции на отрезке несколько упрощается, если на данном отрезке функция
имеет единственную экстремальную точку. Это видно из следующей те-
оремы.
ТЕОРЕМА. Если функция у = /(х) на промежутке {а,Ь} непрерывна и
имеет единственную точку локального экстремума, то значение функции
в этой точке наибольшее или наименьшее на (а,Ь) в зависимости от того,
будет ли данная точка точкой локального максимума или точкой локаль-
ного минимума.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть в точке х0 е(я,6) функция имеет локаль-
ный максимум и Xq единственная точка локального экстремума на (a,ty.
Тогда в некоторой окрестности Xq /(х)< /(*о)-
Предположим, что значения /(х0) не является наибольшим на про-
межутке и что существует точка хх е(а,Ь), для которой /(*i)> /(х0). На
отрезке между хх и х0 благодаря непрерывности функция принимает
168
наименьшее значение, причем это значение меньше /(х0), т.е. достига-
ется внутри отрезка в некоторой точке х2. Но тогда точка х2 является
точкой локального минимума, что противоречит единственности точки
локального экстремума.
ПРИМЕР. Функция y = x2lnx определена и непрерывна на про-
межутке (0,+оо) и имеет на этом промежутке единственную точку
локального экстремума (локального минимума) х0 = -U. Поэтому зна-
чение функции в этой точке /(х0) =—— наименьшее на всем про-
7 2е
межутке.
5.	Выпуклые функции. Точки перегиба
Пусть функция у = f(x) дифференцируема внутри некоторого про-
межутка (а,Ь). Тогда в каждой точке Л/(х,/(х)) (х е (<*,£)) графика сущес-
твует касательная, не перпендикулярная оси Ох.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Говорят, что график функции у = /(х) в точке
М(х0, /(х0)) направлен выпуклостью вверх (вниз), если существует такая
окрестность точки х0, что для всех точек этой окрестности точки графи-
ка лежат ниже (выше) касательной к графику функции в точке
Л/(х0,/(х0)). Функция при этом называется выпуклой в точке х0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Говорят, что график функции у = /(х) на про-
межутке направлен выпуклостью вверх (вниз), если он направ-
лен выпуклостью вверх (вниз) в каждой точке Af(x,/(x)), где х лю-
бая внутренняя точка . Функция при этом называется выпуклой
на промежутке.
Например, функция у = 71 - х2 выпукла на отрезке [-Ц], а ее гра-
фик (см.рис. 61) направлен выпуклостью вверх на этом отрезке.
Функция у = х2 выпукла на (-оо,+оо), а ее график (см.рис. 62) на-
правлен выпуклостью вниз.
169
Рис. 61	Рис. 62
Установим условия того или иного направления выпуклости гра-
фика функции в данной точке Xq. При этом будем предполагать, что
функция в точке х0 имеет вторую производную.
ТЕОРЕМА. Для того, чтобы график функции у = f(x) в точке был
направлен выпуклостью вверх (вниз), необходимо условие /"(хо)^О
(/"(*о)0) w достаточно условие /"(*ь)< 0 (/"(xq)> 0).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Уравнение касательной к графику в точке
A/(x0,/(xq)) имеет вид у-/(х0)+/'(х0)(х-х0). Поэтому взаимное распо-
ложение графика функции у = /(х) и касательной определяется фун-
кцией
Дх)= Дх)- Дхо)- /'(*оХх - *<>)
В точке Xq эта функция и ее производная равны нулю.
Пусть график функции у = /(х) в точке Xq направлен выпуклостью
вверх. Тогда в некоторой окрестности Xq функция ф(х) отрицательна, а
потому в точке Xq имеет максимум. Но в таком случае ее вторая произ-
водная р"(х)=/"(х) в точке Xq не может быть положительной. Следова-
тельно, выполнение неравенства /"(х0)<0 необходимо для направле-
ния выпуклости графика вверх в точке х0.
Если же /"(xq)<0 , то р(х) в точке х0 имеет максимум, т.е. в некото-
рой окрестности х ф(х) отрицательна. Поэтому график функции у = /(х)
в точке Xq направлен выпуклостью вверх. Достаточность условия /"(х0)< О
доказана.
В случае направления выпуклости графика вниз рассуждения анало-
гичны.
Заметим, что в тех точках, где /"(хо)=О, график функции может быть
направлен выпуклостью вверх, либо вниз. Так графики функций у = х4
170
и у--х^ в точке jcq имеют разное направление выпуклости, но в том и
другом случае /”(хо) = О.
Практически для исследования выпуклости функции у = /(х) нужно
найти ее вторую производную и определить промежутки, внутри кото-
рых /"(х0)<0 и /"(х0)>0. На первых график направлен выпуклостью
вверх, а на вторых — вниз.
ПРИМЕР. Исследовать выпуклость функции
х2 + 2х +1
g
При х -* 1 имеем у” = --. Поэтому у" < 0 в интервале (- оо,1) и / > О
(х-1)
в интервале (1,-ню). Следовательно, график данной функции в интервале
(- оо,1) направлен выпуклостью вверх, а в интервале (1,+оо) — выпуклос-
тью вниз.
Точки перегиба.
Предположим, что функция у = f(x) дифференцируема в некоторой
окрестности точки х0, за исключением может быть, самой точки х0, в
которой она непрерывна.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка х0 называется точкой перегиба графика фун-
кции у - /(х), если существует такая окрестность (х0 - <5,х0 + 5) точки х0,
что в интервале (х0 -<5,х0) график направлен выпуклостью в одну сторо-
ну, а в (х0,х0 + 5) - в другую, т.е. при переходе через Xq направление
выпуклости графика меняется.
ТЕОРЕМА 1. Если в точке х0 перегиба графика функции у = /(х) вто-
рая производная функции существует и непрерывна, то она в этой точке
обращается в нуль: /"(хо)=О.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В некоторой окрестности х0 с одной стороны
от Xq выполнено неравенство /"(х0)<0, а с другой стороны /"(х0)>0.
Поэтому, благодаря непрерывности второй производной в х0, имеем
171
Равенство /"(хо) = О является необходимым признаком точки пере-
гиба, но не является достаточным. В этом можно убедиться, рассматри-
вая функцию у = х4 в точке х = 0. Эта точка не является точкой переги-
ба, хотя в этой точке у"(0) = 0. Следует иметь также в виду, что в точке
перегиба может не существовать вторая (и даже первая) производная.
Например, график функции y = Vx в точке х=0 имеет перегиб, но в
этой точке функция не дифференцируема.
Таким образом, точки перегиба графика функции у= /(х) следует
искать среди точек, в которых вторая производная /"(х) или не сущес-
твует, или равна нулю.
Укажем достаточный признак точки перегиба.
ТЕОРЕМА 2. Пусть функция у-/(х) имеет вторую производную в
некоторой окрестности точки х0, за исключением может быть самой
точки х0, в которой функция непрерывна. Тогда, если /"(х) в указанной
окрестности имеет разные знаки слева и справа от точки х0, то график
функции у- /(х) имеет перегиб в точке Xq.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как вторая производная функции у = /(х)
слева и справа от точки Xq имеет разные знаки, то направление выпук-
лости графика функции слева и справа от точки х0 различны. Но тогда,
по определению, х0 есть точка перегиба графика функции.
Из доказанного следует способ отыскания точек перегиба: 1) Найти
точки, в которых возможен перегиб, т.е. точки, в которых /"(х) либо не
существует, либо обращается в нуль; 2) Исследовать знак /"(х) в ок-
рестности каждой точки и сделать вывод по схеме.
Знак f"(x) при х < х0	Знак /"(х) при x>Xq	Вывод
+	—	Xq является
—	4-	точкой перегиба
+	+	Xq не является
—	—	точкой перегиба
Таблица 4.
172
Одновременно с исследованием точек перегиба происходит исследо-
вание направления выпуклости графика.
ПРИМЕР. Найти точки перегиба графика функции
у = 2х3 -Зх2-12х+2
Данная функция имеет всюду вторую производную у" = 12х-6. Она
обращается в нуль в точке хь = -. Так как /"(х)<0 при х<^ и /"(х)>0
1 * „
при х > -, то точка хй = - является точкой перегиба.
6.	Применение дифференциального исчисления
к нахождению пределов (правило Лопиталя)
1.	Раскрытие неопределенностей вида -.
При помощи производных можно находить пределы отношений бес-
конечно малых функций.
ТЕОРЕМА 1. Пусть для функций Дх) и Дх) выполнены следующие
условия: а) они определены и дифференцируемы в некоторой окрестности
точки Xq, за исключением, быть может самой точки Xq, причем Дх)^0 и
р'(х)^0 в указанной окрестности, б) Дх)->0 и Дх)->0 при x->Xq, в)
существует предел отношения производных:
ИтД^ = Л.
X-^Xq (р'\х)
Тогда существует предел отношения данных функций и
iim44=A:-
х->Хо (р\Х)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доопределим функции Дх) и Дх) в точке х0,
положив Дхо)=О и ф(хо)=О. Тогда в указанной окрестности функции
будут непрерывны. Для любого х * х0 из этой окрестности на отрезке
между Xq и х выполнены условия теоремы Коши. Поэтому
/(*)_/(х)-/(хо)_/'(с)
<р(х) ф(х)-ф(хо) Ф’(с)’
где с — некоторая точка между х0 и х. Так как при х->х0 и с->х0, то
173
lim ЛХ) lim AC) lim ЛС) lJm ЛХ)
lim - J ; = lim —fx ~ hm —sx = hm —•
x^XQCp^x) x^XQ(pf^c) c~*Xq (p'[c) x-*XQ(pf\X)
Теорема доказана.
ппггмгп 1- sinx г (sin*) v COSX ,
ПРИМЕР, lim----= hm1----= lim—— = 1.
x->0 x x-*0 x' x->0	1
ЗАМЕЧАНИЯ 1. Правило Лопиталя справедливо и при fc = oo.
2.	Если производные /(х) и р(х) удовлетворяют тем же требовани-
ям, что и сами функции /(х) и р(х), то правило Лопиталя можно
применить повторно, а при соответствующих условиях и несколько
раз, т.е.
= lim
= lim
ПРИМЕР.
.3
2ех-2-2х-х2 .. 2ех-2-2х .. 2ех-2 .. 2ех 1
hm-------=------= lim---=---= lim------= hm— =
x-и) x	x->o 3x x->o 6x	x—>o 6 3
Здесь правило Лопиталя было применено три раза.
3.	Правило Лопиталя переносится на тот случай, когда аргумент стре-
мится к бесконечности. Действительно, произведем замену аргумента
х = у. Тогда t —> 0 при х->оо. Поэтому
4.	Если предел отношения производных ; ; не существует, то от-
Фг(х)
сюда не следует, что не существует предел отношения самих функций
/(х) „
-4-6. Правило Лопиталя в этом случае неприменимо.
Ф(х)
174
ПРИМЕР. Если /(x) = x2sin — и р(х) = х, то ^4^ = 2xsin--cos- и
х v '	ф(х) х х
предел в точке х = 0 не существует. Но lim-^-y = limxsin—= 0.
х-И) (р\х)	х
00
2. Раскрытие неопределенности вида —.
00
Правило Лопиталя применимо и к отношению бесконечно боль-
ших функций.
ТЕОРЕМА 2. Пусть для функций /(х) и <р(х) выполнены следующие
условия: а) они определены и дифференцируемы в некоторой окрестности
точки х0, за исключением, может быть, самой точки х0, причем р(х) * 0 и
р'(х)*0 в указанной окрестности, б) /(х)->оо и (р(х)—>ю при х->х0, в)
существует предел отношения производных —
lim 7 ; / = к.
Тогда существует предел отношения данных функций и
lim = к.
х-»*ь (р[х)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если в указанной окрестности точки х0 по
одну сторону от xQ выбрать точки а и х (жх<х0 или х0<х<а), то на
отрезке между а и х выполнены условия теоремы Коши. Поэтому
1-
ф(х)
где с— некоторая точка между х и а.Отсюда
Дх) /'(с) Дх)
Дх) <р'(с) t Да)
175
Зададим любое s>0 и найдем >0 такое, что
fij(l + £j)+	<S.
По условию теоремы точку а можно выбрать и зафиксировать так,
чтобы для любой точки с между а и х0 выполнялось условие

Так как /(х)->+оо и р(х)->+оо при х-»х0, то
. Поэтому существует <5>0 такое, что при 0 < |х - Xg| < S будет

<1 + £р
Но тогда при указанных значениях аргумента
< fij(l + з)+	<£.
По определению предела это означает, что
lim = к.
x-^XQ (р\х)
Теорема доказана. Замечания, сделанные по теореме 1, относятся и
к теореме 2.
176
ПРИМЕР.
1
lim —7-= lim —^~r= lim —- = 0 (a>0).
x->+ao x x-^+ooax х->+®ах
При помощи правила Лопиталя могут раскрываться и неопреде-
0 оо
ленности, отличные от - и —, если преобразование приводит данное
О оо
выражение к отношению бесконечно малых или к отношению беско-
нечно больших функций.
ПРИМЕРЫ.
£
1)	lim ха lnx = lim lim ——= lim	= 0 (а >0).
х->+0	х->+0 1	х->+0	1	х->+0 — а
Ха	xa+l
Здесь мы имеем неопределенность вида О-оо (произведение беско-
нечно малой и бесконечно большой функций).
f 1 О v x-sinx .. 1-cosx v sinx л
2)	hm —------= lim--------= hm----------= lim----------— = 0.
x-*(\sinx x) x->o xsinx	*->osinx + xcosx x-»o2cosx-xsmx
Здесь мы имеем неопределенность вида оо-оо (разность двух беско-
нечно больших функций одного знака).
. lim xlnx А
3)	lim хх - lim = ё*-”*	= е° = 1.
х->+0	х-»+0
Здесь мы имеем неопределенность вида 0° (показательно-степенная
функция с бесконечно малыми основанием и показателем степени).
Аналогично раскрываются неопределенности вида оо° и Г00.
7.	Асимптоты
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Прямая х = а называется вертикальной асимпто-
той графика функции Дх), если при х->а-0 или х->я+0 Дх) являет-
ся бесконечно большой функцией.
Например, график функции У~~~^ имеет вертикальную асимптоту
х = 3, так как
.. 1 ..1
lim----= -00, hm------= 4-00.
х-»3-0 х — 3	х—>3+0 х — 3
177
Пусть функция у = f(x) определена на промежутке («,+<»)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Прямая у = кх + b называется наклонной асимпто-
той графика функции Дх) при х-»+оо (х—>-w), если функция Дх)
представима в виде Дх) = £х + 6+а(х), где а(х) бесконечно малая функ-
ция при х —>-ню (х—>-w).
ТЕОРЕМА. Для того, чтобы график функции у = Дх) имел при х -> -ню
(х->-<ю) наклонную асимптоту y = kx + b, необходимо, чтобы
= Иш(Дх)“Лх)=6
х-ж» х	х-жхД v '	7
lim ^^--k, lim(/(x)-£x) = Z^
и достаточно, чтобы
Ym^f[x)-kx)=b (lim(/(x)-£x) = Z>j
при некотором к.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость. Пусть график функции у = Дх)
имеет при х->-ню асимптоту у = кх + Ь, т.е. выполняется равенство
Дх) = кх + Ь+а(х), где lim а(х) = 0. Но тогда
х-жю
V fM .. kx + b+a(x) . b a(xU .
hm lim-------------hm к*-*-^-1 =£
х-жю х *-ж*> X	х->-юо^ X X )
И
lim (Дх) - кх)- lim (b+а(х)) = Ь.
х-ЖхЛ '	7	х->+00Х	7/
Достаточность. Пусть для Дх) справедливо равенство
Шп(/(х)-Лх)=&.
Тогда из этого равенства следует, что f(x)-kx = b+a(x), где а(х)
бесконечно малая функция при х-^оо. То есть f(x) = kx+b+a(x) и, сле-
довательно, прямая у = кх+Ь является наклонной асимптотой графика
функции у = Дх).
178
ПРИМЕР. Найти асимптоты графика функции
х2 + 2х + 1
Так как
г х2+2х + 1 г х2+2х + 1
Inn--------— = -оо, lim-------= +оо,
х->1-0 X — 1	х-Я+0 X — 1
то прямая х = 1 является вертикальной асимптотой.
Далее,
. .. х2+2х + 1 . , .. Гх2+2х + 1	~
к- lim —7 — = 1, b — hm-------------х 1 = 3.
х->±а> X(X-1)	х->±оо|^	х-1	)
Следовательно, наклонной асимптотой будет прямая у=х + 3.
8.	Исследование функций. Построение графиков
В заключение приведем схему общего исследования функции.
1.	Найти область определения функции.
2.	Исследовать функцию на непрерывность и найти ее точки раз-
рыва.
3.	Найти асимптоты графика.
4.	Выяснить, является ли данная функция четной или нечетной.
5.	Выяснить, является ли данная функция периодической.
6.	Исследовать функцию на монотонность, найти точки локального
экстремума.
7.	Исследовать направление выпуклости графика и найти точки пере-
гиба.
8.	Найти точки пересечения графика с осями координат и поведение
ФУНКЦИИ ПРИ Х->+<Ю И X-+-Q0.
Данные исследования следует записать в таблицу и использовать для
построения графика функции.
В качестве примера приведем полное исследование функции
У =
3-х2
и построим ее график.
179
1.	Область определения функции
м=(- оо,-Д)и(- Д Д)и( Д+оо).
2.	Функция является непрерывной в области определения как част-
ное двух непрерывных функций.
3.	Так как	'
X3	X3
lim -----т = +°о, lim ----т =
х->-73-0 3-х	х->-Л+О 3-х
то прямые х = -у/з и х = V3 являются вертикальными асимптотами гра-
фика. Далее имеем
,	.. f(x) ,. х3 ,
к = lim = lim -------у = -1,
х->±00 х х->±00 3 — X
( X3
b— lim (/(х)-кх} = lim ---,+х 1 = 0.
х->+аЛ	' x->+ool 3 — X J
Следовательно, прямая у = -х является наклонной асимптотой гра-
фика,
(-х? х3
4.	Так как v z 7 =-------у, то данная функция является нечетной,
З-(-х)	3-х2
а ее график симметричен относительно начала координат.
5.	Функция не периодическая.
6. Функция у=
3-х2
дифференцируема всюду в области определе-
х2(9-х2)
ния. Ее производная y, = ~r---^ = 0 в точках = -3, х2=0, х3 = 3; />0
при х2<9, т.е. на множестве (-3,+3)\{0}; у'<0 при х2>9, т.е. на мно-
жестве (- 00,-3) и(3,+оо).
Отсюда следует, что функция возрастает на множествах (-3,-7з);
(-л/3,+7з); (7з,з) и убывает на множествах (-оо,-3); (3,+оо).
Производная меняет знак в точках = -3 и х2 = 3. Это точки экстремума.
180
Так как в точке х{ = -3 знак производной меняется с - на 4- (при возрас-
9
тании аргумента), то в этой точке функция имеет минимум, /(-3) = -.
Так как в точке х3 = 3 знак производной меняется с + на —, то в
9
этой точке функция имеет максимум, /(4-3) = --.
7.	Вторая производная функции у” =
у-. у" = 0 в точке х = 0.
Далее, у” <0 на множестве (-V3,0)U(v3,4-oo), поэтому на этом множест-
ве график функции направлен выпуклостью вверх.
у">0 на множестве (-оо,->/з)и(о,л/з), поэтому на этом множестве
график направлен выпуклостью вниз.
В точке х = 0 вторая производная меняет свой знак с - на +, поэтому
точка х=0 является точкой перегиба графика.
8.	/(0)=0, т.е. график функции проходит через начало координат.
X3	X3
lim----у = -ню, lim -----у = -оо.
Результаты исследования представим таблицей.
X	X—>-00	-3	-л/з	0	л/3	3	Х->4-оо
Лх)	—> 4-00	9 2 min	не сущ.	0 перегиб	не сущ.	9 2 max	—> -00
Лх)	—	0	не сущ.	0	не сущ.	0	—
/"(х)	+ выпукло	+ сть вниз	не сущ.	0	не сущ.	ВЫПУКЛОС;	гь вверх
Таблица 5.
181
Пользуясь данными исследования, строим график функции.
Рис, 63
9.	УПРАЖНЕНИЯ
2.1.	Докажите, что функция у- Дх) дифференцируема в точке х и
найдите ее производную, пользуясь определением производной:
а) у = х3-х + 5,	б) у = 1-х2.
2.2.	Напишите уравнения касательной и нормали к графикам функ-
ций:
3	1
а) у = х2 в точке х0 = --,	= ~ в точке хо=1-
2.3.	Найдите производные следующих функций:
а) у = 0,5х2 +Зх + 5,
и) y = ln3ctg2x,
б)
4х3+5х-1
У ГьЗ
. 1
arcsin77=
в)
л) у = x(arcsin х)2 + 2VI - х2 arcsin х - 2х,
182
г)	у = л/Зх3 + х ,	м)	у _ ^arcsinV^+Z
д)	y = V* + Vx + Vx ,	н)	/х-1 у = arccos J	 Vx+1
е)	у = х5 +cosx + 2x,	о)	у = хх (х>0),
ж)	y = arctg(Vx),	П)	у _ ^arctgVx^J
з)	у = Ineos2—, 2	р)	y = xsinx, х>0.
2.4.	Найти производные указанных порядков для функций:
а) у = arccos . —— , у" = ?	г) у=	у(л)=?,
Vl + x2	х(х-1)
б) у = х5+2х3+3, у(б)=?	д) у = х31пх, у(л)=?
в) у = х3ех, у(8) = ?
2.5.	Найти дифференциалы функций:
z .sinx
а) У = (х + 1)	,
б) y = (tgx)x,
в) у = arccos Vx,
г) y = lnctgVx.
2.6.	Найти производные функций, заданных параметрически:
а) [*=1п(|-')>
[y = cos/,
6)
x = arctgr,
7=?,
2.7.	Найти пределы:
а)
lim
х->+®
4х3 + х + 2
2х3+3 ’
;|)
183
r x2-4
lim-5--------,
x-*2x -5x+6
.. x-sinx
hm----=—
sin x
e) limVxln3x,
x->+0
ж) lim xx.
x->+0
ln(x2-8)
lim •_ - --
*->з x2 + 12x-l5
2.8. Исследовать функции и построить их графики:
а)
(*+1)2
х-2 ’
У =
б)	у = хл/4-х2,
1
в)	у = е
г)	y = x-arctgVx.
184
Раздел Ш
Интегральное
исчисление
185
Глава IX
Неопределенный интеграл
1.	Задача восстановления функции по ее производной
Рассмотрим физическую задачу. Пусть для любого момента времени t
задана мгновенная скорость f(t) движущейся по прямой материальной
точки и известно положение 50 этой точки в начальный момент времени
t - Iq . Требуется найти закон движения S = F(t) этой точки.
Так как мгновенная скорость /(г) является производной функции
S = F(0, определяющей закон движения материальной точки по пря-
мой, то задача, поставленная нами, сводится к отысканию функции
F(z), производная которой равна /(г).
Аналогично можно сформулировать геометрическую задачу. Требуется
найти кривую у = F(x), у которой тангенс угла наклона касательной в каж-
дой ее точке х есть заданная функция абсциссы этой точки, т.е. f(x).
Так как здесь Fr(x)= /(х), то и в этой задаче нам требуется найти
функцию F(x), если известна ее производная f{x).
Дифференциальное исчисление имеет основной своей задачей отыс-
кание производной функции F(x), то есть F'(x)= /(х).
Рассмотренные выше физическая и геометрическая задачи требуют
решения обратного вопроса: восстановить (найти) функцию F{x) по
заданной ее производной /(х).
Эта задача составляет одну из основных задач интегрального исчис-
ления.
2.	Первообразная функция и неопределенный интеграл
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция Г(х) называется первообразной для функ-
ции /(х) на интервале (a,Z>), если в любой точке интервала (я, 6) функция
F(x) дифференцируема и имеет производную Г'(х), равную /(х).
186
Например, функция F(x) = sinx является первообразной для функ-
ции /(x) = cosx, а функция F(x)=arctgx является первообразной для
функции f(x) =	(в обоих случаях на (- <»,+оо)). в рассмотренных нами
задачах фактически требуется найти первообразную заданной функ-
ции.
Пусть на (a,Z>) функция F(x) является первообразной для функции
/(х), то есть F'(x) = /(x).
Действие отыскания первообразной Г(х) для данной функции /(х)
называется интегрированием функции /(х).
Таким образом, действие интегрирования является обратным дей-
ствию дифференцирования.
Как известно, многие обратные действия в математике не одноз-
начны и не всегда выполнимы.
Как будет показано в дальнейшем, вопрос о существовании перво-
образной для широкого класса функций решается положительно, здесь
справедлива:
ТЕОРЕМА. Любая непрерывная на сегменте [я,6] функция имеет на
этом сегменте первообразную.
В связи с этим, функции, для которых ищутся первообразные, бу-
дем в дальнейшем считать непрерывными.
Если же функция, для которой мы ищем первообразную, имеет
точки разрыва, то мы будем ее рассматривать только в интервалах не-
прерывности.
Задача отыскания по данной функции ее первообразной решается
не однозначно.
Действительно, для любой функции * /(х), имеющей своей перво-
образной функцию Г(х), первообразной будет и функция F(x)+C, где
С — любая постоянная. Это следует из равенства
(F(x)+C)'=F'(x)=/(x)
Более того, покажем, что вся совокупность первообразных функ-
ции /(х) имеет вид F(x)+C, где F(x) — любая первообразная функции
/(х), а С — произвольная постоянная.
187
Пусть функции Ф(х) и F(x), две различные первообразные функции
/(х) на [я,6]. Тогда Ф'(х) = /(х) и Г'(х)=/(х) на сегменте [я,6]. Из этих
равенств следует, что Ф,(х)-/’,(х)=0 или (ф(х)-Г(х)) =0 на сегменте
[я,/?]. Но тогда, на основании условия постоянства функции на проме-
жутке, Ф(х)-77(х) = С или Ф(х)=/7(х)+С, что и требовалось доказать.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Неопределенным интегралом функции /(х) назы-
вается совокупность всех ее первообразных.
Неопределенный интеграл от функции /(х) обозначается символом
J f(x)dx.
Следовательно, еслиГ(х) — одна из первообразных функции /(х), то
J/(x>fc=F(x)+C,	(1)
где С — произвольная постоянная. При этом /(х) называется подынтег-
ральной функцией, /(х)е/х - подынтегральным выражением, а сим-
вол J — знаком неопределенного интеграла.	/
г	г3
ПРИМЕР. Jx2<Zx = y + С.
3.	Основные свойства неопределенного интеграла
а)	Производная от неопределенного интеграла равна подынтеграль-
ной функции:
^J/(x> = /(4	(2)
Действительно, по определению неопределенного интеграла
j/(x)dx = F(x)+C,
где F(x) — одна из первообразных функции /(х), а С — любая постоян-
ная. Но тогда
188
£J/(^=£№)+c)=®./(4
Умножая равенство (2) на dx, получаем
dJ f(x)dx = f(x)dx,
то есть дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтег-
ральному выражению.
б)	Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функ-
ции равен сумме этой функции и произвольной постоянной.
В самом деле, если F(x) — одна из первообразных для функции
/(х), то, по определению неопределенного интеграла, справедливо ра-
венство (1). Но так как F(x) — первообразная для функции /(х), то
F'(x) = /(х), a dF(x)= f(x)dx и поэтому
j dF(x) = j f(x)dx = F(x)+С.
Из этого свойства следует, что, установив функцию, для которой
выражение /(x)Jx является дифференциалом, мы тем самым найдем
неопределенный интеграл.
Например, | dx = х + С, | dtgxdx = tgx + С.
в)	Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного
интеграла, то есть
J kf(x)dx = к j f(x)dx.	(3)
Для доказательства достаточно убедиться, что дифференциалы обеих
частей равенства (3) равны. Но по свойству a) dJkf(x)dx = kf(x)dx и
d(k j f(x)dx j = kf(x)dx.
г)	Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного
числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегра-
лов от каждого слагаемого в отдельности, то есть
{(/(*)+£(*))<& = J/(*)<& +	.
Доказательство этого равенства аналогично доказательству предыду-
щего свойства.
189
4.	Таблица основных интегралов
Таблица основных интегралов получается из основных формул диф-
ференциального исчисления путем прямого их обращения.
1)	. \xadx = -— + С,
J а+1
2)	. ]у = 1п|х| + С,
3)	. JsinxtZx = -cosx + С,
4)	. J cos xdx = sin x + C,
5)	.j-^~ = tgx+C,
J COS X
c dx x „
6)	.	= -ctgx + C,
J sin x
« 7). Jj-^2= arctgx+ C (-arcctgx + C),
g) J	- - arcsinx + C (-arccosx + C),
9)	. faxdx = ^- + C,
* Infl
10)	. Jexdx = ex + C.
5. Основные способы интегрирования
В отличие от дифференциального исчисления, где устанавливаются
правила для отыскания производных широких классов функций, ин-
тегральное исчисление не имеет таких простых и универсальных пра-
вил для отыскания первообразных.
Более того, имеется большое число примеров элементарных функ-
ций, для которых первообразные не являются элементарными функ-
циями. Например, не берутся в элементарных функциях интегралы
JVsinx^Zx, J——dx, j—dx, fe~x2dx.
В то же время существует несколько основных способов ин-
тегрирования, которые позволяют решить вопрос отыскания первооб-
разной.
190
6. Элементарный способ интегрирования
Пусть дан интеграл j f(x)dx. Если он находится среди табличных
интегралов, то задача вычисления его решается просто. В противном
случае, путем использования элементарных преобразований и ос-
новных свойств неопределенного интеграла, его стараются свести к
одному или нескольким табличным интегралам. Такой путь будем в
дальнейшем называть элементарным способом интегрирования функ-
ций.
ПРИМЕРЫ:
а) | (х2 + 5х- i^dx = J x2dx + J Sxdx - J Idx =	+ ~~ - 7x + C,
6)
J
[ x*+5->/x-
Jx J
2 | 10 | . r „
-x2 +—x2 -24 x +C,
5	3
4 f x2dx +	1 Ъ	x г,
в) -------=- = I--4—tZx = 1--------=- kZx = x-arctgx + C,
Jl + X J 1 + X	1 + x )
г
f ------------V-------\ = 7“ff------—\zx = ^-(ln|x-<i|-ln|x + a|)+C =
Jx2-^ J(x-fl)(x + fl) 2a*\x-a x + a)	2ax	7
1 x-a
2a x + a
+ C.
Последний интеграл
1 x-a
в практике интегрирова-
ния встречается очень часто и его следует включить в число табличных.
7. Интегрирование по частям
Пусть функции U = <р(х) и К = #(х) — две функции, имеющие непре-
рывные производные. Известно, что
d(UV) = UdV + VdU.
Интегрируя обе части этого равенства, получим

VdU
191
или
=	(4)
Формула (4) носит название формулы интегрирования по частям.
Она позволяет свести отыскание интеграла judV к отысканию интег-
рала JpytZ.
Если последний интеграл проще исходного, то операция (4) имеет
смысл.
Например, требуется найти интеграл j xexdx. Положим U = х, dV-d'dx.
Тогда dU-dx, У = ех и ^xexdx = xex ~^exdx = xex-ех +С.
При использовании способа интегрирования по частям нужно ру-
ководствоваться следующими правилами:
а)	Интегрирование по частям применяется обычно в случае, если
под знаком интеграла стоит произведение двух функций. При этом за
функцию U целесообразно принимать ту функцию, которая упрощает-
ся при дифференцировании, а за dV выбирают выражение, которое
легко интегрируется.
В результате такого выбора интеграл j ydU должен получиться про-
ще исходного.
б)	Формулу интегрирования по частям можно применять несколь-
ко раз подряд.
в)	Формула интегрирования по частям применяется и в том слу-
чае, когда под знаком интеграла находится одна функция (чаще транс-
цендентная). При этом за U принимается эта функция, a dV полагает-
ся равным dx.
ПРИМЕРЫ.
1)	. jx2exdx = xV -2jxexdx = х2ех -2хех + 2j exdx = х2ех -2хех +2ех + С.
U = x2, dU = 2xdx,	U-x9 dU = dx,
dV = exdx, V = ex. dV = exdx, V = ex.
2)	. jlnxdx = x/nx- jx — = xlnx- JiZx = xlnx-x + C.
I7 = lnx, dU = —, dV = dx, V = x.
X
192
3)	. J ex cos xdx = ex sin x - J ex sin x =ex sin x + ex cos x - J ex cos xdx.
U = ex, dU = exdx,	U = ex, dU = exdx,
dV^cosxdx, V = sinx, </K = sinx<Zx, V = -cosx.
Отсюда Jexcosxd^ = iex(sinx + cosx)+C.
8. Интегрирование подстановкой
Интегрирование подстановкой (или, как говорят, заменой пере-
менной) является наиболее эффективным способом интегрирования.
Его суть заключается в том, что для интеграла | f(x)dx осуществляется
замена переменной интегрирования х новой переменной z по формуле
х = ф(г). Цель такой замены состоит в том, чтобы получить более про-
стой интеграл.
Основа способа базируется на следующем утверждении:
Пусть функция х = <p(z) определена и дифференцируема на некото-
ром промежутке {ajty и пусть {х} - множество всех значений этой
функции. Пусть, кроме того, для функции /(х) существует на множес-
тве {х} первообразная функция F(x), то есть
j/(x)dk = F(x) + C.	(5)
Тогда всюду на множестве {х} для функции /(^(z))p'(z) существует
первообразная функция, равная F(p(z)J, то есть
J/(^(z))v'(z)<fe = F(^(z))+C.	(6)
Доказательство этого утверждения следует из того, что
£(FHZ)))=К'МФ'(г) =
Таким образом, справедливо равенство
jf(x)dx = jf(<p(z'))tp'(z)dz.	(7)
193
Следовательно, в интеграле J f(x)dx можно заменить х новой пере-
менной z по формуле x = p(z) и, вычисляя полученный интеграл, мы
фактически найдем первообразную исходного интеграла.
Выбор надлежащей подстановки x = p(z) в значительной степени
определяет возможность отыскания первообразной для полученного ин-
теграла.
Рассмотрим ряд примеров.
1). J cos5xJx = Jcosz~~ = | J coszdz = ^sin z + C = ^sin 5x + C.
z , dz
ax =—.
5’	5
f dx c adz c dz	x
x = az, dx^adz.
_ f dx f adz 1 f dz	1 A ~ 1	x „
aJz2+l a	a	a
x=az, dx = adz.
Во многих случаях можно не производить в простых интегралах всех
выкладок, связанных с заменой переменной, а ограничиться только
введением компенсирующего числового множителя и это обеспечит
вычисление интеграла. Например,
з
4)	. Jл/1 + x2xdx = | J(1 +	+ х2) =	+С =	+ х2)* 4-с.
2
5)	.
Va2 + x2 J 2л/а2 + х2
Вообще полезно запомнить, что, если в знаменателе подынтеграль-
ного выражения стоит корень квадратный из некоторой функции, а в
числителе — дифференциал этой функции, то интеграл равен удвоен-
ному корню квадратному, стоящему в знаменателе:
194
с sinxdx r-tZfl + cosx)	z	ч
6)	. ----= —*---------L = — ln(l + COSXJ + C.
Jl+cosx J 1 + cosx	v	'
Здесь также полезно запомнить, что, если в знаменателе подынтег-
рального выражения стоит некоторая функция, а в числителе ее диф-
ференциал, то первообразной подынтегральной функции является ло-
гарифм модуля функции, стоящей в знаменателе подынтегрального
выражения
Однако есть немало случаев, когда выбор соответствующей подста-
новки во многом определяется искусством вычислителя и несомненно
представляет серьезное математическое творчество. Например, для вы-
числения интеграла
Г ^(х)
J л/х2±л2
сделаем подстановку >1х2±сР =z-x или z = x + a/x2±o2 . Тогда
, Г. * I»	Х + у1х2±£Г , zdx
dz = 11 + ;--- \dx = —г	-dx - —...........
I Vx2±o2 J >lx2±a2	y/x2±a2
Отсюда
— = . и f	= (—= ln|z| + C = ln|x + Vx2±a2| + C.
z	J z 11 I I
В связи с рассмотренным*, становится целесообразным пользоваться
следующей таблицей основных интегралов:
1)./№))Ц</(х)) = Ир + С, (0.-1)
3)	. fsin{W = -cost/ + C.
4)	. JcosLWL/ = sint/ + C.
195
5)	.J-^- = tgt/+C.
J cos U
6)	.f-^- = -ctgL/ + C.
J sin U
r dU . U „
10). -------==arcsm—+C,
J Vo2 -x2 a
IJ
11). \avdU = ^- + C.
J Infl
-arccos— + C
a
12).^eudU = ^ +C.
9.	Интегрирование рациональных функций
Наиболее общим видом рациональной функции является дробно-
рациональная функция, которая представляет собой отношение двух
многочленов:
где Рт(х) — многочлен степени т, а 2Л(Х) ~ многочлен степени п.
Рациональная дробь (1) называется правильной, если т<п, и не-
правильной, если т>п,
В частном случае 2Я(Х) = С1 и дробно-рациональная функция выро-
ждается в целую рациональную функцию, то есть многочлен, интегри-
рование которого сводится к интегрированию степенных функций. Дей-
ствительно, в этом случае
- J~	^£^*с.
Наша задача заключается в изложении методов интегрирования ра-
циональных дробей, отличных от многочленов.
196
Отметим прежде всего, что всякую неправильную рациональную
дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной ра-
циональной дроби, что достигается простым выделением целой части,
то есть
RW=L'W+&W'
где L/х) — многочлен р-ой степени. При этом р<т, г<п.
Таким образом, интегрирование неправильной дроби сводится к
интегрированию многочлена и правильной дроби.
тт	\ х4+2х3-Зх + 1	\ 21П 1 5х-2
Например, R(x) =--$—j---’ имеем R(x) = x + 2х-1- —j-y и по-
этому
х4+2х3-Зх + 1, ff 2	1 5х-2\ х3 2	5. / о л _ х _
-----—j dx - JI x + 2x -1 - —- \dx = — + x^ - x - - 1Ц x^+1 j + 2arctgx + C.
В связи с этим, предварительно рассмотрим интегрирование про-
стейших правильных дробей.
10.	Интегрирование простейших правильных дробей
Будем считать известными интегралы
1. dx = Jlnlx-d + C,
* х-а
+ С,
м
dx
х2 + а2
1	X Х „
= -arctg—+ С,
а а
dx 1 , х-а
“2—"2 =^Г1п----
х -сг 2а х-а
+ С.
Рассмотрим более сложные интегралы от рациональных дробей.
Г dx	( 2 С
5.	Интегралы вида Г—--------• Так как ах +^x + c = dx +~х + ~
ах I 1ух + с	\	•
С J. 1 2 Р2
Р = ~, q = -> ±к	, то
а а	4
-а
±к2
где
197
г dx
J ax2 + bx + c
В последнем интеграле сделаем подстановку: z = x + ^, тогда dx = dz
и, следовательно,
f dx С &
J ах2 + bx + c a*z2±k2
yarctgy + C,
к к
1 . z-k
—In----
2к z + k
+ С,
1
а
и остается перейти к старой переменной.
Например,
dx
2х2 +4х-3
, Т1	г тх + п ,
6.	Интегралы вида: —z-------dx.
J ах + bx +с
В наиболее простом случае (ах2 + Ьх +с) = тх + п, но тогда
тх + п dx = г d(ax2 + bx + c)
ах2 + bx + c J ах2 + Ьх + с
= 1п|ах2 + Ьх + с| + С.
Если (ях2 + 6х + с) *тх + п, то используя преобразование, ах2+Ьх +
+ c^a(z2±k2^ где z = x + ~, dz = dx, получим
198
пкг-ВД+п	n-™P J
mx + л j_fk 2 J j _m( zdz 2 f “z _
ax2+bx + c •> a^?±fc2j aiz2±ki + a Jz2!^2
mp
= ™1п|?±ф21Т
2a ।	। a
1	z
—arctg—4-C,
к	к
1 . z-k
—In----
2k z + k
4-C,
и остается перейти к старым переменным.
Например,
х-1	,	iftfx -2x4-51 1.
	dx - - -Ц----L = -In х -
х2-2хч-5-----------------2J х2-2х4-5-2 '
f Н£1Е1ф_1)= f^±dz= f^-+4f-^ =
х2-2х4-5	J(x-1)2+4 v 7 Jz24-4	Jz24-4 J z2+4
= |ln(z2 + 4)+2arctg| 4- C = ln(x2 - 2x 4- 5) 4- 2arctg^~ 4- C.
_ T,	f dx
7.	Интегралы вида: ----------
(ax2 + bx+cj
f dx
Преобразуем квадратный трехчлен как и ранее, найдем I -------— =
(ax24-Z>x4-a
_ f ———ф Обозначим I = ( ———. Для вычисления последнего ин-
’ J L2 . J2\n	J /2 .L /,2Г
теграла возьмем его один раз по частям, полагая U = (z2±k2j ", dV = dz.
Тогда dU = -ri2z(z2 ± к2} dz, V = z и
z r z2dz z Az2 + k2\ + k2
2 2^ = 7T~TI7+2nJ - >2^
\z2±k2]	J[z2±k2)	(z2±A:2) J (z2±A:2)
z f dz _~,2Г
=  -----— 4- 2n  ---— 4- 2nk2  ---—Г.
ГЛ . /,2\л J /2 . /,2\л	J 2 . /,2\л+1
199
Таким образом,
/'’=7Г±Ч7+2и/"Т2лЛ2/->-
(z2±Jt2)
Отсюда
/л+' ±2пк2
-—Z—— + (2л-1)/„
(?±£2)
Полученная формула носит название рекуррентной формулы. Она
позволяет осуществить переход от In+i к 1п. Применяя эту формулу п раз,
мы придем к интегралу Ix =	> который является табличным.
Например, вычислим интеграл
/	л
г ^z - 1 z _ 1 z 3 1 f z
~(z2+22)’ ~2-22-2Ц?+22)2 + 2J «6(z2 + 22)2 +162?lz2 + 22 + 1
z 3 z 3 1 z _
" 1б(? Ч-22)2 +128 ’ z2 + 22 +128 ’ 2arCtg2 + '	*
Перейдя к старой переменной, получим
х-1	3	х-1	3	х-1
3“1б(х2-2х + 5)2+128’^-2х + 5 + 25баГСё^_+ ‘
8.	Интегралы вида: f-—— + ” —dx.
*(ax2+bx + c)
Преобразуя здесь квадратный трехчлен как и ранее, и полагая
р
x + - = z, мы придем к интегралу
( тр ]	( тр 1
1 wz + ^n 2 \ т г zdz	2 J Г dz
(z2±k2)n	аП
200
Первый интеграл в сумме является степенным
f-—- - ИР14Т+’	W+с-
J(?±*2)" 2^' ' ' '	>	2(1—л)
а второй берется по предыдущей рекуррентной формуле.
ПРИМЕР. Вычислить интеграл (-—— — -^dx. Так как х2-4х + 5 =
J(x2-4x + 5)
= (х-2)2 + 1, то полагая x-2 = z, получим
5<*с = |
4х-5
(х2-4х + 5)
1	,3 z 9 z 9 t _
82
Окончательно,
г 4х-5	,	1	3	х-2	9	х-2	9	,	_
———-—^dx =  --------у + - •  -----у + - • -у-+ -arctgix -2) + С.
(х2-4х + 5)	(х2-4х+5)	(х2-4х + 5) 8 х2-4х+5 8
10. Разложение рациональной дроби на простейшие.
Метод неопределенных коэффициентов
Всякая правильная рациональная дробь может быть разложена на
сумму простейших дробей. Опишем этот важный алгебраический факт.
Пусть имеется правильная рациональная дробь
Q«(XY
(1)
Ее знаменатель Q,(x) — действительный многочлен л-ой степени,
как известно из алгебры, имеет ровно п корней и может быть разложен
на множители
201
Qn(x) = (x - q f (x -	. .(x - q)“' (x2 + Zjx + q)A.. .(x2 + + cj'\ (2)
где	- действительные корни многочлена соответственно кратнос-
ти ах,а2,...аг, а каждый из квадратных трехчленов x2 + fyx + cf (/ = 1,2,...^)
соответствует паре комплексных корней многочлена 2„(х) кратности Д.
При этом, очевидно,
£«.+2ХА = «-
Тогда дробь (1) представима в виде
pw(x)^ 41	,	4	,	4
й,(х) (х-ц)"1 (х-ц)41	(х-ц)
4	л,2	4*
+_л_+__< + +^_+ +
(x-qf (x-qf4	(x-q)
| Mfx + N} , M^x + N2 t ! Affix+ Nfl !
(х2 + Дх + ц)А (x2+Zjx + cj)A 1 x2+l\x + <\
M^ + N' , M2x + N2 M^x + N^
(x2 + b4x + c?)A (x2 + bqx +	1 x2 +	+ c4
(3)
Например, дробь
______________ 7x3 + 32+1_______
(x - 2)3(x - 5)2(x2 + 2x + 5^x2 - 2x + 3)2
разлагается на простейшие дроби следующим образом:
-Л_+^г+А_+^_+Л.+
(х-2)	(х-2)	х-2 (х-5)	х-5
Mjx + Nl M'2x + Nl2 M^x + Nl
х2+2х + 5 (х2-2х + з)2 х2-2х + 3
202
Одним из наиболее простых методов определения коэффициентов
в разложении правильной дроби на простейшие является метод нео-
пределенных коэффициентов.
Его суть заключается в следующем. Пусть знаменатель рациональ-
ной дроби (1) представим в виде (2). Тогда для дроби (1) справедливо
представление (3), где коэффициенты а/, М', N* — постоянные числа,
подлежащие определению, то есть пока неопределенные.
Для их определения сумму дробей в правой части равенства (3)
приведем к общему знаменателю. В результате этого получим дробь,
равную дроби .
ЙАХ)
Но знаменатель полученной дроби и по форме есть многочлен 0„(х).
Поэтому числитель полученной дроби должен быть равен многочлену Рт(х).
Эти многочлены будут равны, если коэффициенты при х в одинаковых
степенях окажутся равными. Приравнивая их, мы получим относитель-
но неизвестных коэффициентов систему линейных алгебраических урав-
нений. Решая эту систему, найдем искомые коэффициенты.
Рассмотрим несколько примеров.
2x4-3
1. Разложить на простейшие дробь -----г.
х (х + 1)
~ 2х 4- 3
Согласно указанному, дробь ------- можно представить в виде сум-
х (х + 1)
мы:
2x4-3 А В С
х2(х4-1) х2 х+х4-Г
где А, В, С — неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.
Приведя сумму простейших дробей в правой части последнего равен-
ства к общему знаменателю, получим
2х-ьЗ _Л(х + 1) + Вх(х + 1)4-Сх2 (В + С)х2+(Л + В)х + Л
х2(х 4-1)	Х2(х4-1)	Х2(х4-1)
Отсюда следует, что
2х4-3 = (В4-С)х24-(Л4-В)х4-Л.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, приходим
к системе:
203
в+с=о
<А+В=2
Л =3
Из этой системы находим: А=3, В = -19 С = 1. Следовательно, спра-
ведливо представление
2х + 3	3 1	1
х2(х + 1) х2 X х + 1’
г2 + 3 г — 1
2. Разложить на простейшие дробь —±_L_—L_.
(х-1)2(х2 + х + 1)
Запишем представление
х2 + Зх-1	А В	Cx + D
(х - 1)2(х2 + X +1) (x-l)2 + x-l + x2 + x+f
Отсюда найдем
х2+Зх-1 = (В + С)х3+(Л-2С + Р)х24-(Л4-С-2Р)х + (Р-В + Л).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим
систему:4
В + С = 0
A-2C + D = \
A + C-2D = 3
A-B + D = -\
Решение этой системы есть А=1, В = - С = -- D = -~.
3	3’	,3
Возможность разложения любой правильной рациональной дроби
на простейшие дроби полностью решает вопрос об интегрировании
рациональных дробей, так как любая неправильная дробь может быть
представлена в виде суммы многочлена и правильной дроби, а все виды
простейших дробей, которые могут быть получены при разложении
правильной рациональной дроби, могут быть проинтегрированы по
правилам, изложенным выше. Например, при вычислении интеграла
f х2 + Зх — 1	х2 + Зх—1
7---мы разложим дробь ---------------^7—-----г на простейшие
J (х-1) (х2 + х + 1)	(х-1) (х2+х+1)
следующим образом (см. предыдущий пример):
204
'2	2	4
x2 + 3x-l _	1	, j , 3Х 3.
(х - 1)2(х2 + х +1) (х-1)2 х-1 х2 + х + 1’
Но тогда
f х2 + Зх-1 , г dx 2 с dx 2 с х + 2 . _
J(x-i)2(x2+x+i)	J(r^+3Jr4_3J?77Hx=
=+|lnl* " ’I" |ln(*2+*+0 ~ ^arctg^F+c'
11. Интегрирование простейших иррациональных
и трансцендентных функций
1. Интегралы, содержащие в знаменателе корень квадратный из квад-
ратного трехчлена.
Два частных случая таких интегралов были рассмотрены выше. Это
интегралы
( v fX.= 1п|х±7х2±д2| + С и f /	2 = arcsin+ С.
J Vx2±«2	1	1	Ч^-х2 а
f dx _	,
Рассмотрим теперь интеграл вида: I / , , Так как ах + Ьх +
* чах +Ьх + с
+ c = a(z2±k2}, где z = x+^, р=-, ±к2 = --^~, то	—2
'	>	2 а	а 4	Чах2+Ьх + с
f dz
^а(г2±к2)-
Здесь возможны два случая:
1. а>0. Тогда/ . , у //	=-4-ln|z + Vz2±Z:2[ + C.
^a(z2±k2) ^^(z2±k2) Ja 1	1
2. «<0. Здесь, в случае знака плюс перед к2, мы получаем мнимое
выражение. При знаке минус получим
205
Например,
dx
х2 4-3x4-4
II. Интегралы вида: F + я dx. Если d(ax2 + bx + с)=(тх + n)dx ,то
J ylax2 +bx + c	v	1
mx + n	j cd\ax +bx + c) ~ГТ~7-------------
I ........dx = J \	' = 2ylax + bx + c + C .
ylax2 + bx + c J ylax2 + bx + c
Если d(ax2 + bx + c}* (mx + njdx, то путем простейшего преобразова-
ния приходим к равенству
тх + п . тс
. ........dx = — I
'ах2 + Ьх + с
к ГП Ji
-г-..-	 "	—^dx =
ylax2 + bx + c
dx
^m-d\ax-+bx + c) ( Ьт 
^ах2 + Ьх + с \ • 2а у/ах2 + Ьх + с
то есть приходим к двум интегралам, которые вычисляются по спосо-
бам, изложенным в предыдущих случаях. Например,
г х-1	1 с 45х2“10х + 7) 1 /—;--------
[ х -.1------dx = [ 4—-----------1 = 1л/5х2 -10х + 7 + С.
J л/5х2-10х + 7	ЮJ V5x2-10х + 7 5
3x4-2	,
-Г-—dx
х2 -2x4-3
dx =
+ 5 F ,	---= 3 7x2-2x4-3 4- 51 n| X -14- Vx2-2x4-3 14- C.
206
12. Метод рационализации
Как было показано, интегрирование рациональных дробей есть воп-
рос полностью решенный. Поэтому при интегрировании иррациональ-
ных, а иногда и трансцендентных функций, путем надлежащего выбо-
ра подстановки стараются свести заданный интеграл к интегралу от
рациональной функции.
Если такое преобразование оказывается возможным, то задачу мож-
но считать решенной.
Приведение интеграла от иррациональной или трансцендентной
функции к интегралу от рациональной функции называется рациона-
лизацией интеграла.
Рассмотрим интегрирование некоторых видов функций методом
рационализации.
1. Интегралы, подынтегральная функция которых есть рациональ-
ная функция от х и дробных степеней дробно-линейной функции.
Здесь мы рассмотрим интегралы вида:

\&	(ахч-bw
(1)
где R — знак рациональной связи между дробными степенями дробно-
„ ,	ах + Ь
линеинои функции-------.
cx + d
u	f Jx+2
Например, интеграл J
х + 2
dx
имеет подинтегральной функцией рациональную функцию, зависящую
х + 2
от х и дробных степеней дробно линейной функции .
Интеграл (1) легко приводится к рациональному виду с помощью
ах + b ,
подстановки------- = z , где г — общее наименьшее кратное знаменате-
cx + d
лей дробей, стоящих в показателях степеней, то есть
При такой подстановке в показателях степеней мы получаем целые
а.	а2	ап
числа г-1,	г~,	...,	г--5-	— и, следовательно, иррациональности под
М	Р1	Рп
знаком интеграла (1) ликвидируются. Остается показать, что х и dx
207
выражаются через новую переменную также рациональным образом.
тт -	dz' ~b Л
Действительно, из подстановки х-------, a dx =
a-cz
}rz
-rr-dz, то есть
рациональные функции.
тт	f Jx + 1 dx	„ X + l 3
Например, интеграл	подстановкой ^^==z или
----г приводится к виду:
l-z*
3z2dz
dx
3 4	„	3( X+1V
-z +C = - --
4 4lx+2j
Рассмотрим два частных случая интеграла (1).
1. Интегралы, подынтегральная функция которых есть рациональная
функция от х и дробных степеней линейной функции:
otj	02
ах+ ,(ах+ b)fo,...^ax + b)Pn \dx.
Он получается из интеграла (1) при с = 0, d = \ и, следовательно,
подстановкой ax + b=zr приводится к рациональному виду.
г dx
Например, для интеграла J
x-l = z6, x = l+z6; dx = 6zsdz. Тогда
r dx	f 6zsdz	rz4dz _
J Vx-1 + VF-4 Jz2 + z	Jz+1
сделаем подстановку
z3-z2+z-l +
'4 r3	-?2
Z	Z	Z
3	2
208
2. Интегралы, подынтегральная функция которых есть рациональная
функция от х и дробных степеней переменной х:
02
0i Y0i
х^ dx.
Он получается из интеграла (1) при с = 0, tZ = l, а = 1, 6=0 и, следо-
вательно, подстановкой x = zr приводится к рациональному виду.
Например, для интеграла	сделаем подстановку x = z4,
J 1 + Vx
tZx = 4z\Zz и
г3 z2
—I—
3 2
1 I 1 I
-x4+-x2
3	2
Мп| X2 +1
2
ч-arctgx4 +С.
13. Интегрирование дифференциальных биномов.
(Подстановки ПЛ. Чебышева)
Дифференциальным биномом (или биномиальным дифференциа-
лом) называется выражение вида xm(a + bxn^P dx 9 где а, Ь, т, п и р —
постоянные числа, причем я* О, 6*0.
Если все показатели степеней т9 п, р — рациональные числа, то
дифференциальный бином, вообще говоря, является иррациональной
функцией (он будет рациональной функцией только при целых т, п9
Р).
ПЛ.Чебышев доказал, что дифференциальный бином приводится
к рациональному виду лишь в следующих трех случаях:
1.	р - целое число,
гч W + 1
2.	целое число,
п
~ w+1
3.	+ р — целое число.
209
Покажем, что в этих случаях интеграл от биноминального диффе-
ренциала с помощью надлежаще выбранной подстановки может быть
рационализирован.
1. Пусть р - целое число, а т и п — рациональные дроби. Тогда
интеграл
(2)
подынтегральной функцией имеет рациональную функцию от дробных
степеней т и п буквы х. Как было показано, такой интеграл приводит-
ся к рациональному виду с помощью подстановки x = z\ где г — об-
щее наименьшее кратное знаменателей дробей т и л.
2. Пусть р — дробное число вида ~,
а т и п удовлетворяют условию
----- — целое число (а и В — целые числа).
п
Сделаем в интеграле (2) подстановку a+bxn=zp. Тогда
х = ----, хт = --------, dx = -------------i--------dz.
b*	bn	bn
При этом
a	(zP -a\n Za ~(zP - fl)" 1 ftzP~l n	m+1 .
Xw(fl + Ьх”У dx =---------j---------------dz = —^4	- fl) n za+p~'dz.
b*bn	nb^
_	w + 1 ,
Так как а + Д-1 и----1, по условию, целые числа, то получен-
п
ное выражение является рациональным.
3.	Пусть р=^ - дробное число (аир —целые числа), выполняет-
W + 1
ся условие —— + р — целое число.
Преобразуем дифференциальный бином так:
(\Р	т+п- .	«
а + 6хл) dx-x р\ах n + bydx.
210
В результате получаем новый бином хт'(ахп' +bY dx, у которого
, а ,	а п	т' + 1 т+пр+1	(т + \
т' = т + п—, « =-«, р=р=—. Для него ---=------— = ----+ р|-
Р	р	п' -п \ п )
целое число, то есть выполнено условие предыдущего случая и, зна-
чит, подстановкой ax~n+b=zp он приводится к рациональному виду.
Но тогда, очевидно, исходный бином приводится к рациональному
виду с помощью подстановки a+bxn = zfixn.
Рассмотрим следующие примеры:
1. Для интеграла J^==^^==j р = -1, то есть имеет место первый
случай. Полагая x=z3, dx = 3z2dz, мы получим
2. Для интеграла
г	1
J х 2 1 + х4 dx р = -
1 1
т=—, п = —
2	4
----= 2 и, следовательно, имеет место второй случай. Используем под-
п
становку l + x4=z3, x4=z3-l, x=(z3-l) , dx=4^z3 -l)33z2tZz. Тогда
=12fy-^+c=y(1+V7p-3(1+V7)’+c.
т + \
п
3. Для интеграла
J + Х = §х 2(1 + *2)2<&
т = -2, п - 2,
2’
то есть условия второго
случая не выполняются, но
211
АИ + 1	Л	TI
-----ьр=О, то есть выполнено условие третьего случая. Используем
п
подстановку l + x2 = x2z2. Тогда х=^-1)2, Лх = -2^2dz, z = —
J х“2(1 + x2)2iZx = - J (z2 -1) '#dz = -J —j——dz =
Так как дифференциальный бином приводится к рациональному
виду только в трех описанных случаях, то в других случаях они не ин-
тегрируются в элементарных функциях. Например, интегралы
dx не берутся.
14.	Интегрирование простейших
тригонометрических функций
14.1.	Метод рационализации
(универсальная подстановка)
Метод рационализации может быть применен к интегралам вида
J 7?(sinx,cosx)tZx,	(3)
где R — знак рациональной связи.
Интегралы вида (3) приводятся к рациональному виду с помощью
так называемой универсальной подстановки z^=tg—. При этом
~ . х х	п х
2sm—cos—	2tg—	~
sinx =----2---2_ =-----2 =-----
. гх 2х 1 х 2Х 1 + z
sm — + cos - 1 + tg —
2	2	2
2Х . 2Х	.	. 2Х
cos	—-sm	-	1-tg	- 1	2
COS X =------- --—	=----—	  у,
• 2 X 2 X -	. 2 X 1 + /
sm	—+cos	—	l + tg	—
2	2	2
212
9	2*
, dx J ,	2X,	C0S 2
dz =------, tZz = 2cos —dz-----------dz =--=-
~ 2X	2	-2X 2x l+z
2cos —	sin —+ cos —
2	2	2
И
J7?(sinx,cosx
f 2z 1-z2 ] 2dz
l l + z2’l + z2 J.l + z2
Последний интеграл есть интеграл от рациональной функции.
Г Sdx
ПРИМЕР. Вычислить интеграл I--------------. Применяя универ-
J 3sinx-4cosx
сальную подстановку z = tg-, получим
2dz
^dx _ Г	1 + z2
3sinx-4cosx J „ 2z Л-z2
3---y-4----у
1 + z2 1 + z2
dz
2 3
Z +-Z-1
2
dz 5 1,
--=----=	n=ln
3^ 25 22 g
4) 16--V16
3_5
4 4
3 5
—i—
4 4
+ C = ln
. X 1
tg2 2
tgf + 2
14.2.	Интегрирование простейших
тригонометрических функций
1.	Зная табличные интегралы от тригонометрических функций
JsinxtZx, JcosxtZx,	J РассмотРим еще несколько про-
стейших интегралов, которые вычисляются путем применения элемен-
тарных тригонометрических преобразований:
а). [tgxtZx = f S*nX*Zx = - [ ^C0SX = -Inlcosxl + C,
J J cosx J cosx
tZsinx . । . । „
-----= In sinx + C,
sinx 1
6). fctgx^U^
J	J sinx
213
. 2 X 2 X
л л av sm —+cos —
f _— = f--------= f-----2----2
smx 2sin—cos—	2sin—cos—
2	2	2	2
=-In cos— + In sin— + C = ln tg
2	2 I 5
2
r)f—=f-y-^
j COSX J • n
Sin X + —
I 2
= ln ti
14.3.	Интегрирование произведении синуса
и косинуса кратных дуг
Здесь рассмотрим интегралы трех видов: a) jsin/nxcosnxdx,
б) JsinznxsinnxtZx, в) Jcoswx cos nxdx, где тип — действительные числа.
1л	. о ~ . а + р	а~Р „	а + р
Известно, что sma + sm/3 = 2sin--cos--Полагая -------- = тх,
2	2	2
ф _ О	j
—~- = пх9 найдем a = (m + n)x, р = (т-п)х и sinmx-cos«x =-(sin(w +л)х +
+ sin(w - n)x). Аналогично
sin тх • sin пх = i(cos(w - л)х -cos(w + п)х),
cos тх -coswx = i(cos(w - л)х +cos(w + л)х),
Поэтому
sin mx -cos nx = | J (sin(w + n)x + sin(m- njx^dx = -lC0S^t_”)x _
1	cos6h - п\х „
_ —\-----— + С, а при п = т имеем
2	т-п
[ sin тх -cos тх = — [ sin тх • tZsin тх = —sin2 тх + С.
J	т*	2т
214
f .	•	1 Г/ (	\	(	\ lsin(m-n)x lsin(m+n)x
6). I sinmx• sinnx=-1 (cos(m-n)x-cos(m+ n)x\ax=- — -— - — --+C
7 J	J r~ 2 m-n 2 m+n
r . 2	, rl-cos2mx, x sin2mx „
а при n = m имеем Ism /ихах=|----------dx = —----------+C.
K	J	J 2	2 4m
ч f	,	1 Г/ /	\	/	\ lsin(m-n)x
в). J cos mx • cos nxdx = - J (cos(m - n)x + cos(m + njxjax = - —*-— +
1	sin(m + n)x _	x
+ -—*-----— + C, а при n-m имеем
2	m + n
Г 2	» rl+cos2mx , x sin2mx
|cos mxdx=\--------dx = — +-------+ C.
J	J 2	2 4m
ПРИМЕР. Вычислить интеграл | sin3xcos2xsin4xtZx.
J sin3xcos2xsin4x<Zx = ~ J (sin5x + sinx)sin4xdx =
= i J sin5xsin4x + i J sinxsin4x = (cosx - cos9x+cos3x -cos5x)<Zx =
if . sin9x sin3x sin5x^
=4sm'_^+^—d+c-
14.4.	Интегрирование степеней синуса и косинуса
Рассмотрим интегралы вида J зтдахсо8лх^х, где т и п — целые числа.
Здесь принципиально различны два случая.
а)	Хотя бы одно из чисел т или п нечетно. Например, л = 2р+1.
Тогда J sinw xcos" xdx = J sinw xcos2/,+1 xdx = J sinw x(cos2 x}P cosxdx =
= Jsinwx(l-sin2x)PtZsinx. Последний интеграл легко вычисляется как
степенной.
Например,
J sin3 xcos4 xdx = J sin2 xcos4 xsinxdbc = -J (1 -cos2 xjcos4 xtZcosx=- C°^--
cos7x
7 +
sin4x , r sin4 xcosx , r sin4xJsinx
----dx = I------, dx = I---------z—
cosx J cos x J 1-sin x
sin2 x +1 + —J---psinx =
sin x -1)
215
б)	Оба числа т и п четные и положительные. Тогда
f • m п j f • 2р 2а j ffl-COS2xYfl + COS2xY ,
I sin xcos xdx = I sin 'xcos 4 xdx = I - ------ dx.
J	J	J <	2	) V 2 J
В последнем интеграле показатель степени в два раза меньше сум-
марного показателя степени в исходном интеграле.
Если в последнем интеграле показатели степеней окажутся нечет-
ные, то интегралы берутся как в предыдущем случае. В случае четных
степеней вновь используется прием
2к~ fl+cos4xY
cos 2х= —------- .
V 2	)
Например,
/	\2
f . 2	4 j f l-cos2x( l+cos2x) ,	1 ГА
J sin xcos xdx-J--------1--------I dx = -J ^l + cos2x-cos 2x-cos 2xjax =
If sin2x rl + cos4x .	1 г /	. 2^ \
= g I x + —---J-------dx - - J (1 - sin22xpsin2x I =
1 ( sin2x x sin4x sin2x sin3
8Г+—2	2~ 8 " 2 +—6
2x | x sin4x sin32x > _
- rvir-ir*
К рассмотренным типам также относятся интегралы вида J sinw xdx
и Jcos'" xdx. Их вычисление проводится в зависимости от четности или
нечетности т и п.
14.5.	Интегрирование степеней тангенса и котангенса
Рассмотрим интеграл jtgwxdx, где т — целое число больше едини-
цы. Путем несложных преобразований получаем
[ tgwxdx = [ tgw-2xtg2xdx = [ tgw-2x| —\-1 \dx =
J	J	J Vcos x J
= j tgw-2x6ftgx - j t^xdx =	* - j tgw-2xtZx.
216
Таким образом,
[ tgwxdx = ——- - [ tgw"2x<Zx.
j	w-1 J
Эта рекуррентная формула позволяет понизить показатель степени
у тангенса на две единицы. Применяя ее нужное число раз, мы придем
либо к интегралу Jtgx^=-ln|cosx|+C, либо к интегралу р&=х+С. Напри-
мер, Jtg5xa5c = ^^ -Jtg3xtZxr=-^	+Jtgxrfr = ^p ~~^2~-ln|cosx|+C.
Аналогичным образом для интеграла jctgwx<Zx получается рекур-
рентная формула
[ ctgwx</x =	- [ Ctg^XiZr.
14.6.	Интегрирование квадратичных иррациональностей
методом тригонометрических подстановок
Пусть дан интеграл JR^x9ylax2 + Z>x + cjdx, где R — знак рациональной
связи.
Так как квадратный трехчлен ах2+Ьх + с можно привести к виду
a(z2±k2]9 где z = x + —, /?=-, ±к2	то [я(х,д/ах2 + £х + c\dx =
v 7	2 а а 4 J \	7
= jR^z^afz2 ± k2)jdz. Здесь функция R{ отлична от функции R, но также
рациональная относительно z и Ja(z2 ± к2].
В зависимости от знака а последний интеграл есть интеграл одного
из следующих видов:
1.	J^z,^(z2 + fc2)jrfz,
2.	|^z,a/(z2-*2)|/z,
3.	J^z,^2-z2)^z.
где рациональная функция R2, вообще говоря, отлична от Rr
217
Во всех трех случаях с помощью одной из тригонометрических под-
становок легко перейти от интеграла, зависящего от квадратичной ир-
рациональности, к интегралу, рационально зависящему от тригоно-
метрических функций.
Так в первом случае подстановка z = fagr приводит к интегралу
ь dt Г n(,.	& Y Л
\k—2“= Я2 fag/,---- fc—X-.
F cos / J \ cost J cos /
_	к '
Во втором случае подстановка z =---- приводит к интегралу
cos/
к
cos г’
I 5	\	z	\
\ к ,2 ,	, fnl A , k sin/ ,
—5—k1 2 ktgtdt = -lR2l ,ktgt\k—=-tZ/.
cos /	* VcosZ ) cos t
В третьем случае подстановка z = A: sin г приводит к интегралу
j R^ksint/Jk? - к2 sin2 t^kcostdt = j /?2(fcsin/, к cos t)k cos tdt.
Например, для интеграла J Vo2 - x2dx сделаем подстановку x = flsinz.
Тогда dx = acoszdz и
J yla2 -x2dx = J J a2 -a2 sin2 zacoszdz - a2^ cos2zdz = a2f| + S^Z
a2 . x a2 . a2 . x x гъ 1
= —arcsin—+—sinzcosz =—arcsin— +—>1а -x + C.
2 al	2 a a
„	fVx2-l ,	1	, sinz ,
Для интеграла ]---j—dx подстановка x =----, dx = —^-dz приво-
* x	cosz cos z
дит к интегралу
x2-l , rsin2zcos3z , f . 2 »
—= ----------------T~“z ~ Sln =
x J coszcos z J
Bl.Ll.hZ — 1	11.	1 |
--------+ C = -arccos-------sinl 2arccos— I + C =
2	x 4	I xj
z sin2z
2
4
I
I
=-arccos— —-
2 x 2x
1 L i	1	1 y/x2-
’1 —+ C = -arccos---------
x2	2	x lx2
218
Глава X
Определенный интеграл
1. Задачи, приводящие к понятию
определенного интеграла
1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Криволинейной трапецией называется плоская
фигура, ограниченная кривой у= /(х), осью Ох и прямыми х=а и
х = Ь. Сегмент [я,£>] принято называть основанием криволинейной
трапеции.
По^тавиц задачу о вычислении площади криволинейной трапеции
при условии, что /(х)>0. Для решения этой задачи разобьем сегмент
[а, на п частей точками
а = х0 <Xj <х2 <...<х„ = b.	(1)
Обозначим длину частичного сегмента [х,,х/+1] через Дх/5 a max{AxJ
через Л. Будем называть Л рангом разбиения сегмента [а,6].
Выберем на каждом частичном сегменте [xf,x/+1] (г=0,1,2,...,л-1) по
произвольной точке 4 е[х„х/+1]. Вычислим в этих точках значения функ-
ции /(§) и составим сумму
СТ = ЁЛ§)М-	(2)
i=0
219
С геометрической точки зрения сумма (2) представляет собой сум-
му площадей прямоугольников, основаниями которых являются час-
тичные сегменты [х,.,х1+1], а длины высот равны значениям функции
/(§). Определим теперь площадь криволинейной трапеции как предел
суммы а при стремлении Л к нулю, если этот предел существует и не
зависит от способа дробления сегмента (1) на части, ни от выбора
точек § в каждом частичном сегменте. Таким образом, площадь криво-
линейной трапеции
5 = 1^ЁЯ^)Дх--	(3)
1=0
Следовательно, задача об отыскании площади криволинейной тра-
пеции сводится к отысканию предела (3).
2. Задача о вычислении работы переменной силы.
Пусть материальная точка движется по прямой, совпадающей с
осью Ох. Если это движение совершается под действием постоянной
силы F, направленной вдоль той же прямой, то работа, совершаемая
силой F по перемещению материальной точки на расстояние s, вы-
числяется по формуле W = Fs. Пусть теперь движение материальной
точки совершается под действием переменной силы F = Дх), направ-
ленной вдоль той же прямой, где Дх) есть непрерывная функция х —
абсциссы движущейся точки. Рассмотрим работу силы Гпри передви-
жении точки от а до Ь.
_______________________________________
о 5	4 Д* *	***
Рис. 65.
Разобьем сегмент [а,&] точками (1) нал частей (см.рис. 65). Выберем
на каждом частичном сегменте [xoxw] (г = 0,1,2,...,п-1) по произволь-
ной точке § е[х„х1+1]. Вычислим в этих точках значения функции Д§).
Обозначим Л = тах{Дх1). Считая силу F постоянной на отрезке [xf,xf+1]
и равной Д§), мы найдем работу, совершенную на отрезке [xf,xI+1], по
формуле
ди; =
220
Тогда суммарная работа на отрезке [а, 6]
и;=2ди;.=2/(§)Дх(.
i=0	1=0
В силу непрерывности функции /(х) произведение /(§)Дх,. близко к
истенной работе на отрезке [xf,x/+1], если достаточно мало. Поэтому
работа силы F = f(x) при передвижении точки от а до b может быть
определена равенством
1=0
Таким образом, задача о вычислении работы переменной силы
F = /(х) также сводится к отысканию предела (3). Рассмотренные две за-
дачи приводят к необходимости изучения конструкции, в которой тре-
буется находить предел суммы произведений значений функции на дли-
ны некоторых отрезков при условии, что максимальные длины отрезков
стремятся к нулю.
2. Интегрируемость функции и определенный интеграл
Пусть функция /(х) задана на сегменте [a,Z>] a<b. Разобьем сегмент
[a,Z>] на п частичных сегментов точками
a = xQ <хх <х2 <...<хл — b,	(1)
Длину /-го частичного сегмента [х„х/+1] (/ = 0,1,2,...,л-1) обозначим
через Дх, = х,+1 - х,.. В каждом /-ом частичном сегменте выберем произволь-
ную точку < e[xf,xf+1].
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1: Число
ст = ЁЛ§)Дх<-	(2)
1=0
называется интегральной суммой функции /(х), соответствующей дан-
ному разбиению сегмента (1) и данному выбору точек § на частичных
сегментах. Обозначим через Л = тах{Дх,} и назовем рангом разбиения
сегмента [«,£>].
221
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2: Число / называется пределом интегральных сумм
ст при Л -> 0, если
Vs >0 3<5 > О V§ е[х15х{+1](Л < 8 => |сг -7| < s).
Принято обозначение
/ = Нт£/(§)Дх;.	(3)
1=0
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3: Функция Дх) называется интегрируемой по Ри-
ману на сегменте если существует конечный предел интегральных
сумм этой функции при Л -> 0. Этот предел I называют определенным
интегралом от функции Дх) по сегменту [a,Z>] и обозначают
ь
I = \f{x)dx.	(4)
а
Возвращаясь к задаче о площади криволинейной трапеции, можем
сказать, что с геометрической точки зрения определенный интеграл от
неотрицательной функции Дх) представляет собой площадь криволи-
нейной трапеции, основанием которой является сегмент [a,Z>].
Аналогично, задача о работе переменной силы F = Дх) позволяет
утверждать, что с точки зрения механики определенный интеграл (4)
представляет собой работу, совершенную переменной силой Дх) по
перемещению материальной точки от а др Ь.
Простым примером интегрируемой на любом конечном сегменте [a,Z>]
функции является функция Дх) = с = const. Действительно, при любом
разбиении сегмента [я,2>] на части интегральная сумма для этой функ-
ции
л-1	л-1
о = У/Лх, = сУ Axf = c(b-a)
i=0	1=0
и, следовательно,
1 = lim ст = с(Ь-а).
Л->0 v 7
222
Легко показать, что неограниченная на сегменте функция Дх)
не интегрируема Но Риману на этом сегменте. В самом деле, если функ-
ция Дх) не ограничена на [а, 6], то она неограничен на некотором /-ом
сегменте [х,,х1+1] данного разбиения (1). Поэтому слагаемое в интеграль-
ной сумме Д§)Дх,, отвечающей разбиению (1), может быть сделано как
угодно большим по абсолютной величине за счет выбора точки §. Отсю-
да вытекает, что интегральные суммы (2), отвечающие разбиению (1),
не ограничены и поэтому не существует конечного предела интеграль-
ных сумм.
Но не всякая ограниченная функция интегрируема по Риману. Соот-
ветствующим примером может служить известная функция Дирихле
z х fl, если х рационально,
Йх =
[О, если х иррационально.
Для этой функции при любом разбиении сегмента [а,/>] на части (1),
выбирая точки § рациональными, получим
л—1	Л—1
<т = УД(х,)Ах, = сУ 1 • Axt =b-a,
i=0	i=0
а, выбирая точки § иррациональными, получим z
ст = Уд(хг)Лх, =	• Дх, = 0.
/=0	/=0
Поэтому для функции Дирихле не существует предела интегральных
сумм, и, следовательно, она не интегрируема по Риману.
В связи с этим требуется выяснить, при каких условиях, налагаемых
на функцию Дх), она будет интегрируема по Риману.
3. Нижние и верхние суммы Дарбу
ограниченной функции
Пусть дана функция Дх), ограниченная на сегменте [а,/>]. Рассмот-
рим разбиение сегмента [а,/>] на части (1). Обозначим через
sup Дх), inf Дх).
223
л-1	л-1
Суммы 5 = У^Л/.Дх. и 5 = ^^^ носят названия соответственно вер-
1=0	1=0
хней и нижней сумм Дарбу функции Дх) для данного разбиения (1)
Очевидно, с геометрической точки зрения S есть сумма площадей пря-
моугольников, содержащих в себе элементарные криволинейные трапе-
ции, a s есть сумма площадей всех прямоугольников, содержащихся в
элементарных криволинейных трапециях (см. рис. 66 и рис. 67).
Любая интегральная сумма <т данного разбиения сегмента [a,Z>] за-
ключена между верхней и нижней суммами S и s этого разбиения. Ясно,
что верхняя и нижняя суммы будут интегральными суммами для фун-
кции Дх) только в том случае, если при всех i М. и т. являются значе-
ниями функции на сегменте [^,хм]. Это, как известно из второй тео-
ремы Вейерштрасса, имеет место* для непрерывных функций, но, во-
обще говоря, не справедливо для произвольной ограниченной функ-
ции.
Рассмотрим свойства верхних и нижних сумм.
224
1.	Для любого фиксированного разбиения сегмента [я, 6] (1) и для
любого £>0 промежуточные точки § efx^x^J можно выбирать так, что
интегральная сумма (2) будет удовлетворять неравенствам
О < 5 - ст < е.
Аналогично, точки £ можно выбрать и так, что интегральная сумма
(2) будет удовлетворять неравенствам
0<G-S<8.
Действительно, так как Л/, = sup Дх), то можно указать такую точку
Мх*’х«+|]
§ е[х,,х1+1], что будут выполняться неравенства
/=04,2,...,и-1.
Ь-а
Умножая эти неравенства на Дх,- и суммируя их, получим
0<5-сг<£.
Точно так же доказывается вторая часть этого утверждения.
2.	Если к разбиению (1) сегмента [я,2>] добавить новые точки дробле-
ния, то новая верхняя сумма будет не больше 5, а новая нижняя сумма
будет не меньше 5.
Для простоты доказательства рассмотрим случай, когда к разбиению
добавляется только одна новая точка дробления х,' е(х„х1+1). Полученное
новое разбиение [я,Z>] на части обозначим через (Г), а соответствующие
ему верхнюю и нижнюю суммы через S' и У. Докажем, что s' > s. Так как
1-1	л-1
=	Ще ^"хе^х/^
к=0	к=М	1 ” J
хе
Z-1	л-1
s' = '£ткЛхк +^(х;-х,)+гц"(хм-х!)+ ^ткАхк >
к=0	k=i+l
i-l	л-1 *	л-1
> £ткДхк + m,Axt +	= *
к=0	k=i+l	к=0
Аналогично доказывается, чт^> S'<S.
inf Дх) и, очевидно, т!>щ, т">щ, то
[хьх«+1]
225
3.	Пусть имеются два различных разбиения сегмента р/,6] на части (I)
и (II). Обозначим верхнюю и нижнюю суммы разбиения (I) через 5' и
У, а верхнюю и нижнюю суммы разбиения (II) через S" и У'. Тогда
s" < 5', a s' < S” , то есть ни одна из нижних сумм не превосходит ни одну
из верхних сумм, соответствующих различным разбиениям.
Для доказательства этого свойства рассмотрим новое разбиение (III),
которое получается объединением разбиений сегмента [я,б] (I) и (II). Со-
ответствующие ему нижнюю и верхнюю суммы обозначим через 5 и S.
Так как разбиение (III) получается из разбиения (I) путем добавле-
ния к нему новых точек разбиения (II), то, по свойству 2, s'<s. Но, с
другой стороны, разбиение (III) получается из разбиения (II) путем
добавления к нему новых точек разбиения (I) и значит S<S". Кроме
того, из определения верхних и нижних сумм для одного й того же раз-
биения следует, что s<5.
Следовательно, s' < s< S < S", то есть s' < S''. Аналогично доказывает-
ся, что s"<S'.
4.	Множество {5} верхних сумм данной функции /(л) для всевоз-
можных разбиений сегмента [я,6] ограничено снизу. Множество {5} ниж-
них сумм ограничено сверху.
Действительно, зафиксируем одну из нижних сумм s0. По свойству 4
для любого разбиения сегмента [<?,/>] его верхняя сумма Откуда и
следует ограниченность верхних сумм снизу. Аналогично доказывается
ограниченность множества нижних сумм сверху. Обозначим 7 = inf{S'} и
/ = sup{s}. Числа I и 1 называются верхним и нижним интегралом Дарбу
от функции 7(л). Нетрудно показать, что /<7.
Действительно, для фиксированной нижней суммы 50 и любой верх-
ней суммы 5справедливо неравенство ^<5, из которого вытекает, что
< inf{5} = / . В то же время для любой нижней суммы 5 из неравенства
Ло < 7 вытекает I = sup{s} < 7 .
5.	Пусть имеется разбиение [я,6] (I) и разбиение сегмента [а£>] (II),
которое получается из разбиения (I) путем добавления р новых точек
Дробления, s', 5', s” , S" — нижние и верхние суммы, соответствующие
разбиениям (I) и (II). Тогда
S' -S" < (М -гп)рЛ, s" -s' < (М -т)рЛ.
226
Действительно,
S' - 5"=л/дг,. -	м;&х;.
i=Q	i=0
Но если на Л-ый сегмент разбиения (I) не попало ни одной новой
точки дробления, то слагаемые в S' и S”, соответствующие этому час-
тичному сегменту, будут одинаковыми, и в последней разности приве-
дутся. На остальных частичных сегментах т < М[<М"< М и поэтому
i
и в последней сумме не болеер слагаемых. Таким образом,
5'-5"<(М-/фЛ.
ЛЕММА ДАРБУ. Верхний и нижний интегралы Дарбу / и/ от фун-
кции Дх) по сегменту [</,£>] являются соответственно пределами верх-
них и нижних сумм при Л ->0.
Если Л/ = ш, то Дх) и лемма очевидна, так как s = T = [ = S.
Пусть М>т. Так как I = inf{S), то существует разбиение [я,6] такое,
что его верхняя сумма S* удовлетворяет неравенству
2
Обозначим через р число точек разбиения, лежащих строго внутри
[г/,/?]. Возьмем любое разбиение [#,/>], для которого
2(Л/ - пг)р
и 5— верхняя сумма этого разбиения.Добавим к этому разбиению внут-
ренние точки предыдущего разбиения. Тогда получим новое разбиение с
верхней суммой S' и
Но, с другой стороны, I < S' <S*, а поэтому 0<£' - 7 <S* - / , то есть
0<S'-7	Отсюда 0<S-7 = (5-S') + (S'-7)<£.
Таким образом, 0< S-I < е. Что и требовалось доказать.
227
4.	Необходимое и достаточное условие
интегрируемости
ТЕОРЕМА. Для того, чтобы ограниченная на сегменте [л, 6] функция
Д.т) была интегрируема на этом сегменте, необходимо и достаточно, что-
бы для любого £>0 нашлось такое разбиение сегмента [л, 6] на части, для
которого S-sce.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Необходимость.
Пусть функция /(л) интегрируема на сегменте p/,Z>] и / предел интег-
ральных сумм этой функции. По определению предела интегральных сумм:
Vs>03<5>0V£ е[л*эл'/+|] (л -> 8 => |сг -l\ <	(1)
при любом разбиении сегмента [б/,Л>] на части. Зафиксируем одно такое
разбиение. По свойству 1 для фиксированного разбиения можно указать
две такие интегральные суммы <у' и сг" (различный выбор точек
§ e[.v„ vi+l] ), что
5-сг <- и ОТ -5<-.
4	4
и при этом сг' и а" удовлетворяют неравенству (1). Но тогда
5 - 5 = (5 - сг') + (сг' -/) + (/- от") + (сг" - 5)
и, следовательно, S-sce.
Достаточность. Так как для любого разбиения [я,6] на части справед-
ливы неравенства s<I<l<S и для любого s>0, согласно условию, мож-
но указать такое разбиение, что S-s<s,too<7-Z<£.
В силу произвольности с 1 = 1 = 1.
Докажем, что / является пределом интегральных сумм функции ./(х).
Действительно, в силу леммы Дарбу, / = limS = iim.s’, то есть
Л-»0	Л->0
V£>035>0 Л<5=>|/-.у<-|&|S-/<£
I I 2) I 2))'
Но тогда при Л < <5 S-s<e, причем s<I<S. В то же время любая
интегральная сумма сг данного разбиения удовлетворяет неравенству
5<сг <S. Отсюда при Лсд g-1 се. Что и требовалось доказать.
228
5.	Интегрируемость непрерывных и монотонных,
ограниченных функций
ТЕОРЕМА. Всякая функция ./(х), непрерывная на сегменте рлб],
интегрируема на этом сегменте.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как функция /(л) непрерывна на сегменте
[я,б], то она равномерно непрерывна на этом сегменте, то есть
Vs >03# >0 Va',a" е[«,^|л''-х"|<5==>|./(х9-	(2)
Возьмем теперь любое разбиение сегмента [я,6] на части, но такое,
что Л<<5. При этом
5 - 5 = Л/Ду,. - ГОДУ,- = ]Г(Д/. - 7И,.)Д.Х,. =
/=0	/=0	/=0
= EW-V')“ A-V"))M * г (Ь-а) = е,
1=0	° а
Следовательно, для непрерывной на сегменте [л,6] функции выпол-
нено достаточное условие интегрируемости.
ТЕОРЕМА. Монотонная, ограниченная на сегменте [п,б] функция /(х)
интегрируема на этом сегменте.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть /(л) не убывает на сегменте [</,/>]. Разо-
бьем сегмент на части, длины которых меньше —7 ч-, где s >0. Тог-
/(*)-/(«)
да
Но для неубывающей функции	- л?.)=/*(6)-/(я) и поэтому
г=0
S-s<£, то есть и для монотонной, ограниченной на сегменте [<?,/>] фун-
кции выполнены достаточные условия интегрируемости.
229
6.	Основные свойства определенного интеграла
Рассмотрим некоторые из свойств определенного интеграла:
1.	Будем считать, что
а
J/(a> = 0.	(1)
а
Этот факт, принимаемый без доказательства, следует рассматривать
как распространение понятия определенного интеграла на случай, ког-
да длина сегмента интегрирования равна нулю.
2.	Будем считать, что
Ь	а
J/(.yXv = -J/(.v)</.v.	(2)
а	b
Этот факт, принимаемый без доказательства, дает обобщение поня-
тия определенного интеграла на случай, когда сегмент [а,6] при а<Ь
пробегается в направлении от b к а.
3.	Значение определенного интеграла не зависит от обозначения пе-
ременной интегрирования:
h	b
I /(х)г/х = |	(3)
а	а
Этот результат становится очевидным, если учесть, что интеграль-
и-1
ная сумма для функции /(х) есть сг =	, и, следовательно, ее
/=о	,
предел не зависит от обозначения аргумента функции Дх).
4.	Если функция Дх) интегрируема на [я, 6], то функция с/(х), где
c-const, также интегрируема на [я,6] и
ь	ь
j сД x)Jx = с| Дхрх.	(4)
а	а •
Действительно, интегральные суммы ст' и ст" функций Дх) и сДх)
отличаются лишь постоянным множителем ст" = ест'. Так как функция
/(х) интегрируема на р/,6], то существует ^сг'. Но тогда существует и
Нтст" = сНтст'. Поэтому функция сДх) интегрируема на fa,61 и справед-
ливо равенство (4).
230
5.	Если функции /(.v) и g(x) интегрируемы на p,Z>], то функция
/(x) + g(x) также интегрируема на сегменте [г/,6], причем
h	h	ь
J(/(•') + M V)KY = f Лл)(/л' + f	(5)
a	a	a
Действительно, если обозначить через сг1, сг2 и сг интегральные сум-
мы соответственно функции /(х), g(x) и /(x) + g(x), то, очевидно,
сг = сг1 + сг2.	(6)
Так как функции /(х) и g(x) интегрируемы на сегменте [с/,/?], то
существуют пределы сг1 и сг2 при Л ->0, но тогда существует и предел сг
при Л—>0, а поэтому интегрируема функция /(x) + g(x). Переходя в ра-
венстве (6) к пределу при А->0, получим равенство (5).
б.	Если функция /(х) интегрируема на сегменте p,Z>] и для всех х е[«,Л]
ь
/(х) > 0, то j./(х)</х > 0.
“	л-1
Действительно, интегральная сумма для функции /(х) сг=
<=0
а поэтому неотрицателен и ее предел при Л-»0.
7.	Если функции /’(х) и g(x) интегрируемы на сегменте [с/,6] и
ь	ь
V.v е [а/>] (/(.v) > g(.v)), то j / (x)dx > j g(x)dx.	(7)
а	а
В самом деле, так как /(х) и g(x) интегрируемы на сегменте [с/, 6], то
на этом сегменте интегрируема и функция /(x)-g(x). Но последняя фун-
кция неотрицательна на сегменте [с/,/?] и поэтому
h
j(f(x)-g(x))dx>0.
и
или
b	ь
j /(л)</л -Jg(.v)r/.v>0.
231
Откуда и следует неравенство (7).
8.	Если функция Дх) интегрируема на сегменте [«,/>], то на этом
сегменте интегрируема и функция Дх), причем
J/(x)rfx<J|/(x)|r/x.
(8)
Обозначим через /и,-, Л/, , т-, М- нижние и верхние грани функций
/‘(х) и |Дх)| соответственно на z-том частичном сегменте. Легко убедить-
ся , что М- - т- <	.
Действительно, если х' и х" — любые две точки частичного сегмен-
та, то Дх')- ДЛ'")-/СИ”	откуда М'-т[< Mi От-
сюда следует, что S’ -s' <S-s. Поэтому, если для некоторого разбиения
S-s<s, то для этого разбиения и S’ -У <s, то есть для функции Дх)
выполнены условия интегрируемости.
Отметим, что из интегрируемости функции Дх) еще не следует ин-
тегрируемость функции Дх). Например, для функции
{I, если х рационально,
О, если х иррационально,
не интегрируемой на сегменте [л,/?], функция |z>(x)| = l, и она интегриру-
ема на сегменте [я,6].
Докажем теперь неравенство (8). Из неравенств - Дх) < Дх)< Дх)
J/(x>/x<J|./(y^X.
9.	Если функция /(х) интегрируема на сегментах р/.с] и [с./?], то, она
интегрируема и на сегменте р/,6], причем
J /(л>/х = J./ (х)с/х + j ,/(x)rfx.
(9)
232
Разобьем сегмент [а,5] на части так, чтобы точка с оказалась одной
из точек дробления (%„, = с), то есть
а = х0 < *i <х2<...< х,иЧ < с < л-т+1 <... < хп = Ь.
Тогда
л-1	ffl-l	л-1
°=ХУСЮм=£.Ж)М;-+Е =ст' + °г-
i=0	i=0	i=m
Так как функция Дх) интегрируема на сегментах [<7,с] и [с,6], то при •
Л->0 существуют пределы о-1 и о2, равные соответствующим интегра-
лам, стоящим в правой части равенства (9). Но тогда существует и пре-
дел ст при Л —> 0, то есть функция Дх) интегрируема на сегменте [я,6].
Переходя к пределу в равенстве
О = О’1 + О’2
при Л-»0, получим равенство (9).
Отметим, что верно и обратное утверждение: из интегрируемости
Дх) на следует интегрируемость /(х) на [я,с] при любом с, а<с<Ь.
7.	Теорема о среднем значении
Пусть Дх) непрерывная на отрезке функция. Тогда на [я,6] най-
дется такая точка с, что выполнено равенство
ь
|/(.v)<Zy = f(c)(b- а).	.	(1)
а /
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как Дх) непрерывна, то интеграл от нее
существует. Пусть
М - max /(х), т= min Дх).
Тогда т< j\x)<M	на [с/,6]	и,	согласно свойству	7,
b	h	h
m(b - а) = J mdx	< j	ДхДх < j Mdx = M(b - a),
a	a	a
ИЛИ
. b
f\x}dx<M.
b-aJ '
233
Так как функция /(х) непрерывна на \а,Ь\, то по теореме Больцано-
Коши всякое число между т и М является ее значением на заданном
отрезке.
Следовательно, найдется точка се[я,/>] такая, что
b
Откуда и следует равенство (1).
Теорема о среднем допускает простое геометрическое истолкование,
а именно при Дх)>0 площадь криволинейной трапеции, ограниченной
кривыми у = f(x), х = Ь, у = 0, х = а равновелика площади прямоуголь-
ника с тем же основанием и с высотой равной ординате кривой в неко-
торой точке с основания.
8.	Определенный интеграл
с переменным верхним пределом
Существование первообразной функции
Пусть функция Дх) непрерывна на сегменте [я,с]. Рассмотрим интег-
ь
рал j , где а<Ь<с. Значение этого интеграла зависит от а и Ь. Если
и
зафиксировать нижний предел а, то интеграл будет функцией своего
верхнего предела. Чтобы подчеркнуть этот факт, будем обозначать верх-
ний предел буквой х, а значение интеграла 7(х), то есть
234
где функция 1(х) определена на сегменте [я,с]. Так как приращение фун-
кции /(х) есть
х+Дх	v	х+Дх
Д/ = 1(х + Дл) - /(л-) = j	- j f(t)dt = J = Д^)Дх,
a	a	x
где <5 e(x,x + Av), то |Д/| = |/(£)Дх| < Л/|Дх| М = sup |Дх)| . Отсюда следу-
ет, чтс| НтД/ = 0 и, следовательно, функция /(х) непрерывна для
Лх->0	7
непрерывной функции Дх).
ТЕОРЕМА. Производная от определенного интеграла с переменным
верхним пределом интегрирования по верхнему пределу равна подынтег-
ральной функции, вычисленной при верхнем пределе:
а
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как было показано Д/ = Д§)Дх, где < е(х,х + Дх).
Отсюда
- = /(£), I'(x)= lim - = lim /(§) = Дх).
Дх V 7 v 7 Дх—>0 Дх Дх—>07
Таким образом, справедливо равенство (1). Отметим, что из сущес-
твования производной функции /(х) следует и ее непрерывность.
Доказанная теорема фактически устанавливает связь между операци-
ями интегрирования и дифференцирования. Она показывает, что функ-
ция /(x) = J /(ZHZ является первообразной для функции Дх). Но интег-
а
рал j существует для всякой непрерывной функции Дх) и ПОЭТО-
fl
му справедлива
ТЕОРЕМА. Всякая непрерывная функция Дх) имеет первообразные.
Одной из них является интеграл j f(t)dt.
а
235
9.	Формула Ньютона — Лейбница
V
Как было доказано, функция /(л) = j f(t)dt является первообразной'
а
для подынтегральной непрерывной функции Но как известно, вся-
кая другая первообразная F(x) для функции /(.v) отличается от перво-
образной /(х) только постоянным слагаемым, то есть
l(x) = F(x) + C.
Таким образом,
р(/)Л = Г(х) + С.	(1)
а
Полагая в равенстве (1) х равным а, получим
]/(/)Л = Г(«) + С = 0,
а
то есть С = -F[a). Следовательно,
а
В частности, при х, равном Ь, имеем
h
\f(t)dt = F{b)-F(a\	(2)
а
Принята и условная запись F(/>)-F(tf) = F(.v)|*, то есть
а
Формула (2) носит название формулы Ньютона-Лейбница. Она по-
зволяет вычислить определенный интеграл от функции Д.т), если изве-
1 dx
стна любая первообразная функции Да). Например, л2 =
= arctgA'Io = arctgl - arctgO = .
236
10.	Интегрирование по частям
в определенном интеграле
Пусть функции U(x) и И(л) непрерывны на сегменте р/,6] и имеют на
этом сегменте непрерывные первые производные U'(x) и И'(х). Тогда
справедливо равенство
d(UV) = UdV + VdU.
Интегрируя это равенство в пределах от a j\q Ь, получаем
b	b , ь
judV = jd(UV)-jvdU.	(1)
а	а	а
Но функция t/(x)K(x) есть первообразная для функции U'V + V'U.
h
Поэтому, применяя формулу Ньютона-Лейбница к интегралу
получим
ь
р(г •И) = Цх)Г(.С
а равенство (1) примет вид
h	h
= 1/(л-)И(л)‘ - J VdU.	(2)
и	а
Последняя формула носит название формулы интегрирования по
частям в определенном интеграле.
ПРИМЕР:
л	л
—	л —	л	л
2	- 2	~	-
| л* sin xdx = - xcos х|0 +1 cos xdx = -х cos x|Q + sin x|Q = 1.
о	о
U = х, dU = dx, dV = sin xdx, V = -cosx.
11.	Замена переменной в определенном интеграле
Пусть функция x = <p(z) определена и дифференцируема на некото-
ром промежутке [а.Д] и пусть р/,/?] —множество всех значений этой фун-
кции, причем (р(а) = а, (p(fl) = b. Пусть кроме того функция ,/(х) непре-
рывна на сегменте p/,Z?], тогда
237
b	fl
I./ (л-у.х = J / (<р(_-)У'(.-у-	(1)
а	и
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как функция /(л) непрерывна на сегменте
[я,6], то для нее существует первообразная F(.v) и по формуле Ньютона-
Лейбница
J/(A-yv = F(/>)-F(a).	(2)
Но, как было показано в разделе об интегрировании неопределенного
интеграла подстановкой, если функция /(л) имеет своей первообразной
\
функцию Г(х), то функция	имеет своей первообразной фун-
кцию ДДг)) и поэтому
J	- FMa))=~ F(a)-	(3)
a
Сравнивая равенства (2) и (3), приходим к равенству (I).
НАПРИМЕР:
“ --------- Г	аг Г 1
а2 - x2dx = a2 cos21dt = — t + - sin 2/
{	2 V 2
о	о	4
2 -716/2
о"
,v = 6zsinz, dx = acostdt, при x = 0, r = 0, а при x = a, t =
a
В качестве важного примера рассмотрим интегралы вида j f(x)dx.
-а
а	0	а	а	а	а
| f(x)dx = |/(л-у.х + J f(x)dx = j f(x)dx + J/(- x)dx = j( f(x) + /(- x))dx,
-a	-a	Q	0	Q	0
0	0	и
так как j f{x)dx = -j /(- t)dt = j /(- x)dx. Если /(.v) — четная функция, то
-a	a	0
a	a
j /(.v)dx = 2j /(.v)J.v. Если /(.v) — нечетная функция, то
-а	0
а
J Дл-ул =0.
-а
238
12. Интегральное определение логарифма
Понятие интеграла позволяет определить некоторые элементарные
функции с помощью интеграла. Определим функцию In.v равенством
1ПА-И	(1)
J t
1
1.	Так как функция ./(/) = J непрерывна в интервале (0,+°°), то интег-
рал (О существует в том же интервале изменения х и, следовательно,
интервал (0,+оо) является областью определения функции In.v.
2.	Функция InX дифференцируема (и поэтому непрерывна) в каждой
точке области определения. Действительно,
\ I 7
3.	Функция in.v возрастает в интервале (0,-ню). Это следует из того,
что в данном интервале ->0, то есть (1пл) >0.
5.	Для любых я>0 и /?>0 1п(я-6) = 1пя + 1п6. Для доказательства рас-
смотрим функцию g(x) = ln(av). Ее производная g(x) = ~ , но тогда 1п(б/.т)
г	1
и In.v являются различными первообразными функции - и поэтому
ln(av) = In х + С.
Полагая в этом равенстве л=1, получаем 1пл = С. Таким образом,
1п(лг) = 1пл+ 1П6/.
Очевидно, методом математической индукции это свойство распрос-
траняется на любое конечное число слагаемых.
Из равенства
1щ/ = ini a-'b I = ini а | + in/?,
239
получаем In = In a- In b.
6.	Для любого х е(0,оо) и любого действительного а справедливо ра- *
венство
ln(x°J = alnx.
Действительно, (1п(ха)) = —-аха 1 = ~ = a(lnx) = (alnx).
Из этого равенства следует, что
ln(xa) = alnx + C,
но при х = 1, С = 0 и мы приходим к нужному равенству.
7.	Множество значений функции 1пх есть все множество действи-
тельных чисел. В самом деле, в силу непрерывности функции 1пх множе-
ство ее значений есть промежуток, но этот промежуток не ограничен
сверху и снизу, так как, например, 1п2" = л1п2, а 1п2’"=-и1п2.
СЛЕДСТВИЕ. Существует число е такое, что lne = 1.
240
Глава XI
Приложения определенного интеграла
1.	Понятие спрямляемой дуги и ее длины
Пусть дуга АВ кривой Жордана задана уравнениями
где <?(/) и i//(r) —непрерывные функции на сегменте [z0^]-
Разобьем сегмент [/0,Т] на произвольное число п частей точками
?о</|</2	<Т. Положим xk=<p(tk), yk=4>(tk).
Образуем вписанную в дугу ломаную, вершинами которой будут точ-
ки кривой: Л/0(л0,у0),	Мп(хп,уп\ Обозначим через q, —
длину &-го звена ломаной, то есть ск = ИкМк+х. Тогда периметр ломаной
найдется по формуле
Р = Ё£’* = ZV(-4+i --v*)2 + U+l -л)2.	(2)
к=0	Л=0
Положим Mk=tk^-tk, A = max{AzJ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дуга АВ кривой (1) называется спрямляемой, если
существует предел суммы (2) при Л ->0, не зависящий от способа дроб-
ления сегмента [г0, 7"] на части, то есть
X (л*+) - хк )2 + (№+| - ук )2 = L.	(3)
V->U *=0
При этом число L называется длиной дуги АВ.
241
2.	Вычисление длины дуги класса С*
1.ТЕОРЕМ А 1. Если дуга АВ кривой задана уравнениями
(1)
где t е[г0,Т], а функции <p[t) и уг(г) имеют на [z0,T] непрерывные производ-
ные, то АВ кривой спрямляется и ее длина вычисляется по формуле
L = f +(v',(0)2dt 	(2)
%
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как функции q>(t) и на сегменте [г0, Г]
имеют непрерывные производные, то, применяя теорему Лагранжа,
получаем
xk+i-xk =<p(tM)-<p(tk)=<p'(Tkytk, Tk e(tk,tM),
Ум-=	ek G(Wui}
Поэтому сумма
p=sV(xt+i -x*)2+u+i -л)2=£jk(T*))2+(*''(0J)2(3)
*=0	*=0
Если заменить в последнем выражении вк на тк, то преобразованное
выражение
°=ZV(Ht*))2+(Нт*))2btk-
k=Q
очевидно, будет интегральной суммой для интеграла (1). При А—>0
сумма (4) будет иметь своим пределом интеграл (2), так как функция
7(р'(0)2 + G',(0)2 непрерывная и интеграл для нее существует. Для
того, чтобы доказать, что тот же предел при А—>0 имеет сумма (3),
нужно доказать, что lim(P-a)=0.
Если воспользоваться неравенством
242
pa2 +Z>2
-^77^7

TO
Но функция w'(t) непрерывна на [r0,T] и поэтому и равномерно не-
прерывна на этом сегменте, то есть
Vs > 0 35 > 0 Vfе[/0,Т](|/' - /"| < 5 =>	) - i/Дг')| <
Следовательно, взяв ДгЛ < 8, мы будем иметь |®* - т*| < 8, и поэтому
Л—1
|Р-а|<£^Д/* = £(Т-Г0).
Jt=O
Что и требовалось доказать.
2. Если кривая задана уравнением у = f(x), где х е[а,5], а функция
Дх) имеет непрерывную производную на сегменте [а, 5], то задачу о
вычислении длины дуги кривой у = f(x) можно свести к предыдущей
следующим образом: примем х за параметр. Тогда кривая будет задана
уравнениями
{х = х,
y = f(x),
Следовательно, здесь t = х, функция р(х) = х, функция i/a(x) = Дх)
и х е[о,5]. Поэтому
ь _________
L = ^l+(f’(x))2dx.	(5)
а
Если кривая задана уравнением в полярных координатах р = Др),
то пользуясь формулами перехода
{х = pcosp = /(p)cosp,
y = psinp = /(p)sinp.
243
и принимая <р за параметр, получаем
l=J	*(/'wfd<p,
"	Pl
так как
(/(<p)cos<p) = /'(<p)cos<p - /(<p)sin<p,
(/(<p)sinp) = /'(p)sinp + /(<p)cosp,
z	t\2 /	,\2
a [J/(p)cos<p) J +^(/(<p)sin<p) J =(/(<р))2 + (/'(<р))2.
ПРИМЕРЫ: 1. Найти длину дуги одной волны циклоиды
Jx = a(f-sinr)>
= а(1 - cos г).
Так как здесь /е[0,2тг], то
2п __________________________ 2п	2л
L = J д/ «2(1 - cos 02 + л2 sin2 tdt = aj ^2(1-cos	= 2а J sin ^-dt = 8а.
О	0	0
3
2.	Вычислим длину дуги полукубической параболы у = х2 от вер-ч
шины до точки (4;8).
Рис. 70
244
3 г~
Здесь /'(x) = -Vx,
х g[0,4], и поэтому
4
= — 102-1
27
О
4 |----- z J
г f 1 9 л 8 Л 9 V
L = J1 + ~хах = — 1 + -х
JV 4	27 V 4 J
• о	v 7
3
Дифференциал дуги.
Возьмем на дуге АВ кривой у = /(х) произвольную точку Л/(х,/(х)),
где хе[а,/>], а функция /(х) имеет непрерывную производную на
сегменте [а, 6]. Тогда длина дуги AM будет функцией от х и согласно
формуле (5)
£ = |а/1 + (/'(0)2Л.
а
(6)
В силу непрерывности подынтегральной функщш
Отсюда находим формулу для дифференциала дуги

dL = Jl + fy-l dx или dL = ^(dx)2 + (dy$ .
Эта формула позволяет дать простое геометрическое истолкование
дифференциала дуги, а именно дифференциал дуги численно равен
длине отрезка MQ касательной к кривой в точке Л/, то есть гипотену-
зы прямоугольного треугольника с катетами |<Zx| и |rfy|.

Рис. 71
245
3.	Понятие квадрируемой фигуры и ее площади
Из элементарной геометрии известно понятие площади многоугольной
фигуры.
Площадь многоугольной фигуры Р — это неотрицательное число,
обладающее свойствами:
1.	Монотонность. Если Р и Q — две многоугольные фигуры и Р
целиком лежит внутри Q, то пл. Р < пл. Q.
2.	Аддитивность. Если Рх и Р2 - две многоугольные фигуры без
общих внутренних точек и /}UP2 означает объединение этих фигур, то
пл. (= пл. Рх 4- пл. Р2.
3.	Инвариантность. Если многоугольные фигуры Рх и Р2 равны, то
пл. Рх = пл. Р2.
Распространим теперь понятие площади, сохранив все три свойст-
ва, с многоугольных фигур на некоторый более широкий класс фигур.
Эта задача решается следующим образом:
Пусть F— некоторая плоская фигура. Будем рассматривать всевоз-
можные многоугольные фигуры Р, целиком лежащие внутри Г, и мно-
гоугольные фигуры 0, целиком содержащие Е Фигуры Р будем назы-
вать вложенными, а фигуры Q — объемлющими. Площади вложенных
фигур ограничены в совокупности сверху, а площади объемлющих фигур
ограничены снизу. Поэтому существует точная верхняя грань.
& = &(F) = sup(rui. Р)
PcF
и точная нижняя грань
£* = S*(F)= mf(iui.g).
Величина £ называется внутренней площадью фигуры F, а £ ее
внешней площадью.
Так как пл. Р < пл. Q, то £ <£*. Если £ = £*, то их общее значение
S называется просто площадью фигуры F. Сама фигура F при этом
называется имеющей площадь или квадрируемой.
4.	Признаки квадрируемости фигур
ТЕОРЕМА 1. Фигура Р квадрируема в том и только в том случае,
если для любого £>0 найдутся две такие многоугольные фигуры PtzF
и 0z>F, что
пл.0-пл.Р<£.
(1)
246
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, если такие фигуры существу-
ют, то из неравенств
пл.Р<5*<5*<пл.б
получаем, что
0<S*-&<£,
а так как £>0 произвольное, то 5* =£, то есть фигура квадрируема.
Обратно, пусть фигура квадрируема, то есть для нее 5* = &. Тогда, по
определению точных граней, для любого е>0 найдутся вложенная
фигура Р и объемлющая фигура Q, такие, что
£--<пл.Р<£, 5*<пл.2<5* + -.
2	2
Отсюда m.Q-nn.P<s и, следовательно, выполнено условие (1).
Совокупность точек, принадлежащих Q, но не принадлежащих Р,
представляет собой многоугольную фигуру площади пл.£>-пл.Р, со-
держащую границу фигуры F. Поэтому условие теоремы 1 означает,
что фигура F квадрируема в том и только в том случае, если ее
граница может быть погружена в многоугольную фигуру сколь угодно
малой площади.
Рис. 72
С помощью этой теоремы легко устанавливается квадрируемость
ряда фигур, отличных от многоугольных, например, квадрируемость
круга. В качестве Р и Q для круга можно взять правильный вписанный
и правильный описанный многоугольники с достаточно большим
числом сторон.
Будем говорить, что некоторое множество (в частности кривая)
имеет площадь нуль, если его можно заключить в многоугольную
фигуру сколь угодно малой площади. Теорему 1 можно теперь сфор-
мулировать так: Для того чтобы фигура Гбыла квадрируемой, необхо-
димо и достаточно, чтобы ее граница имела площадь нуль.
Опираясь на эту теорему, опишем некоторый класс заведомо квад-
рируемых фигур, достаточно широкий для дальнейших рассмотрений.
247
ЛЕММА. Всякая спрямляемая кривая имеет площадь нуль,
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть L -спрямляемая кривая и I - ее длина.
Разобьем эту кривую с помощью и+1 точек на части, длина каждой из
которых меньше (это, разумеется, всегда возможно), и примем каж-
дую из этих точек за центр квадрата со стороной —. Сумма этих квадра-
тов представляет многоугольную фигуру, объемлющую кривую L, а пло-
щадь этой многоугольной фигуры не превосходит суммы площадей, со-
Рис. 73
Так как € фиксировано, а п можно взять произвольно большим, то
кривую £, действительно, можно погрузить внутрь фигуры сколь угодно
малой площади. Лемма доказана.
Из этой леммы и теоремы 1 получаем: Всякая плоская фигура (т.е.
ограниченное плоское множество), граница которой состоит из од-
ной или нескольких спрямляемых кривых, квадрируема.
Замечание. Укажем еще один класс плоских квадрируемых фигур.
Всякая кривая, определяемая уравнением у = /(х), а<х<Ь, где /(х)
— непрерывная функция, имеет площадь нуль. Отсюда в силу теоремы 1,
следует, что всякая фигура, граница которой представима в виде конеч-
ного числа непрерывных кривых, задаваемых уравнениями вида у = /(х)
(или х = /(у)), квадрируема.
Основные свойства квадрируемых фигур
(адаптивность и монотонность площади)
Аддитивность площади
Пусть и F2 - две квадрируемые фигуры без общих внутренних то-
чек и F— их объединение. Тогда Г тоже квадрируема и
пл.77 = пл./5; + пл.7*2.
(2)
248
Рис. 74
Квадрируемость фигуры Г следует из теоремы 1 и того, что ее граница
составлена из множества площади нуль, ограничивающих фигуры F, и F2
(она является частью объединения границ фигур F} и P2). Остается дока-
зать равенство (2). Для этого рассмотрим многоугольные фигуры Р} и Р2,
вложенные в Fx и F2 соответственно, и многоугольные фигуры Q{ и 02,
объемлющие соответственно F{ и Fr Фигуры F} и F2 не пересекаются,
поэтому площадь многоугольной фигуры, составленной из Д и Р2 равна
пл.7} + пл.Д. Фигуры 0, и Q2 (возможно, пересекаются) составляют в
сумме фигуру Q, площадь которой не превосходит пл.й + пл.02. Таким
образом, имеем
пл.Р = пл./] +пл.Р2 <пл.Р<пл.0< пл.0 + пл.02
и
пл./] + пл.72 < пл.7^ + пл./^ <пл.0 + пл.02.
Так как пл.0! - пл.7] и пл.02 - пл. Р2 могут быть сделаны сколь угодно
малыми, то есть
пл.0-пл.7}<|, пл.02-пл.Р2<|,
то
|пл.Р-(пл.Т^ + пл.70 <£
и равенство (1) доказано.
Монотонность площади
Пусть 7^ и F2 — квадрируемые фигуры такие, что Fx czF2. Тогда пл. Fx < пл. Р2.
Действительно, так как фигуры Fx и F2 квадрируемые, то для них существу-
ют внутренние и внешние площади. Обозначим их соответственно через
К - Причем 3j, = 3j* = пл.7^, 3^ = $>* = пл.7^. Но из определения
внутренней и внешней площадей и условия Fx a F2 очевидно, что 3J. < 3^,
3\* < S2, и поэтому пл. Fx < пл. F2.
249
5.	Вычисление площади плоских фигур
Площадь криволинейной трапеции
Рассмотрим криволинейную трапецию F, ограниченную кривыми
у~ f(x) (Дх)>0 и непрерывна), у = 0, х = а, х-b. Ранее мы определя-
ли площадь ее равенством
л-1
' S =	(1)
1=0
или
(2)
Вопрос о квадрируемости криволинейной трапеции эквивалентен
вопросу об интегрируемости функции Дх) на [я,£>]. Действительно,
интеграл (2) существует, если для любого е>0 найдется такое разби-
ение сегмента [я,6] на части, что для верхней и нижней сумм функ-
ции Дх), соответствующих данному разбиению сегмента [a,Z>] на части
справедливо неравенство
S-s<s.	(3)
С другой стороны, нижняя сумма s геометрически представляет со-
бой площадь ступенчатой (прямолинейной) фигуры Р, которая содер-
жится в криволинейной трапеции F, а верхняя сумма S представляет
собой площадь ступенчатой фигуры Q, которая содержит криволиней-
ную трапецию F. Но криволинейная трапеция будет квадрируемой, если
при любом £>0 найдутся две многоугольные фигуры PcF и Q^F,
такие, что пл.б-пл.Р<£. Последнее же равенство представляет собой
условие (3). Так как функция Дх) непрерывна на [«,£>], то для нее, как
было доказано, условие (3) выполняется и, следовательно, криволи-
нейная трапеция является квадрируемой фигурой, а ее площадь вычис-
ляется по формуле (2).
250
ПРИМЕР: Вычислить площадь, ограниченную кривой у = sinx и осью
абсцисс, если хе[0л].
Рис. 76
5 = J sin xdx = - cos x|* =	1) - (-1) = 2ед.2.
о
ЗАМЕЧАНИЕ: Если функция Дх) непрерывна и неположительна на
ь
сегменте [«,/?], то значение J f(x)dx равно взятой с отрицательным знаком
площади криволинейной трапеции, ограниченной кривыми у = Дх), у = 0,
ь
х = а, х = Ь и, следовательно, в этом случае S = -J/(x)tZx.
Рис. 77
Если же функция Дх) на сегменте [л,6] меняет знак, то сегмент
[a,Z>] нужно разбить на части, на каждой из которых функция Дх) зна- Ф
копостоянна, вычислить на каждой части соответствующую площадь
и результаты просуммировать.
251
ПРИМЕР: Вычислить площадь, ограниченную эллипсом -у+ 4^ = 1.
ст Ь2
Так как фигура, ограниченная эллипсом, симметрична относительно
координатных осей, то можно вычислить четвертую часть площади
п_
-5 = - [ •Jal-x2dx = — [a2 cos2 tdt = ab[
4	%	%	о
Я
’l + cos2r, 1	, 2
--------dt = -n aben,
2	4
x = asint, dx-acostdt9 x = 0, r = 0, x = a,
t = -.
2
Таким образом, £ = 7га/>ед.2. Очевидно, при b-а $ = ла2ъд..2, то есть
площадь круга радиуса а равна я а2 ед.2.
Площадь фигуры, ограниченной пересекающимися кривыми
Рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную кривыми у-Дх) и
^=Дх), пересекающимися в двух точках х = а и х = Ь. Если функции
Дх) и Дх) непрерывны на сегменте [а, 6], то площадь, ограниченную
кривыми у — Дх) и у=Дх) можно рассматривать как разность площа-
дей двух криволинейных трапеций:
” ^трлАСВЬ ~~ S-rpAADBb'
Рис. 79
252
b	b	b
Отсюда S=jf(x)dx-j<p(x)dx. Или S=j(/(x)-p(x))tfcc.
a	a	a
ПРИМЕР: Найти площадь, ограниченную кривыми у-х1 2 и у = 8-х2.
Очевидно, эти кривые пересекаются в точках х = -2 и х = 2. Поэтому,
2
-2
2
64 2
- ед.
О
Площадь криволинейного сектора
Пусть кривая L задана в полярной системе координат уравнением
р =	где а<ф<р. Предполагается, что функция /(р)>0 и непре-
рывна на сегменте [а, р].
Рис. 81
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Плоская фигура, ограниченная кривой L, и лу-
чами (р = а и (р = р называется криволинейным сектором.
ТЕОРЕМА. Криволинейный сектор является фигурой квадрируемой и
его площадь вычисляется по формуле
1 р
S=-jf2(<p')d<p.
(О
253
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Разобьем сегмент [а,Д] на части точками
a=aQ<al<a2<...<an^ р. Лучами ф =	= криволинейный сектор
разобьем на п частичных криволинейных секторов. Положим
ri =infV6[a„al+J]и	Для каждого частичного сегмен-
та [a„aJ+1] построим круговые сектора с радиусом /-и R.. В результате
получим две веерообразных фигуры, одна из которых содержится в
криволинейном секторе и имеет площадь
5 = ^/}2Дф,,	(2)
а вторая содержит в себе криволинейный сектор и имеет площадь
(3)
2 i=0
Очевидно, s - нижняя сумма для функции | /2(ф), a S - верхняя
сумма функции ^/2(ф) для данного разбиения сегмента [а, р] на части.
Но функция ^/2(ф) интегрируема на [а,Д] в силу ее непрерывности и,
следовательно, для любого £>0 S-5<| при соответствующем разбие-
нии сегмента [а, р] на части. Так как круговые сектора есть фигуры
квадрируемые, то будут квадрируемые и веерообразные фигуры, а по-
этому в первую можно вписать такую прямолинейную фигуру Р, что
5-пл.Р<7,	(4)
4
а около второй можно описать такую прямолинейную фигуру Q,
что пл.(?-5<7. Таким образом, для любого £>0 оказалось возмож-
4
ным указать такие прямолинейные фигуры Р, вписанную в криволи-
нейный сектор, и Q, описанную около криволинейного сектора, что
пл.б-пл.Р<е и, следовательно, криволинейный сектор есть фигура
квадрируемая. Но
1?
5 = lim5 = lim5 = - f2((p)d(p.
л->о л->о 2 v 7
и теорема доказана.
254
ПРИМЕР: Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой
р = а(а+cosy).
Рис. 82
Так как рассматриваемая фигура симметрична относительно пол-
ярной оси 0£, то можно вычислить площадь верхней половины, а
результат удвоить. При этом у изменяется от 0 до п, а площадь будет
вычислена по формуле:
S = 2 • i | p2dy = J ^(1 + cosp)2 dy = (Ay + 2sinp + j
oo	v
Г 3 2
= -яед.
'о z
6. Вычисление объемов тел вращения
Элементарная геометрия позволяет находить объемы только неко-
торых тел. Задача о вычислении объемов тел в общем случае может
быть решена только с помощью теории кратных интегралов.
Здесь мы рассмотрим применение определенного интеграла к вы-
числению только объемов тел вращения.
Пусть вокруг оси ОХ вращается криволинейная трапеция, ограни-
ченная осью ОХ, прямыми х = а и х = Ь и дугой АВ кривой у = /(х),
где /(х) — непрерывная, неотрицательная на сегменте [a,Z>] функция.
Тогда эта трапеция опишет тело, являющееся телом вращения
(рис. 83).
Сегмент [л,£>] произвольным образом разобьем на л частей точками:
а = х0 < Xj < х2 <. .< х*-! < хк <.. .< хп = Ь.
255
Через каждую точку хк (Аг = 1Д...л-1) проведем плоскость, перпенди-
кулярную оси ОХ, Тогда все тело разобьется на п слоев. Так как при
рассматриваемом вращении криволинейной трапеции каждая точка
ЛДх, Дх)) дуги АВ описывает окружность, центр которой лежит на оси
ОХ, а радиус есть у = Дх), то сечение тела вращения плоскостью,
перпендикулярной оси ОХ и соответствующей абсциссе х, представля-
ет собой круг радиуса у = Дх) и, значит, его площадь Дх) = яу2 = ДДх))2.
На каждом частичном сегменте [хЛ,х*+1] выберем произвольную
точку $к. Каждый из слоев заменим цилиндром, основанием которого
служит круг радиуса у=Д4), а высотой - длина частичного сегмента
[хЛ,х*+1], то есть Лхк = хк^-хк. Тогда объем Л-го цилиндра будет равен
произведению
а сумма объемов совокупностей всех цилиндров равна сумме
к=1
Назовем объемом рассматриваемого тела вращения предел суммы
ст, когда Л = тах{Дх*} стремится к нулю, если он существует и не
зависит ни от способа разбиения сегмента [я,ft] на части, ни от выбо-
ра точек 4 в каждом частичном сегменте.
Таким образом, по определению:
(О
Но сумма ст есть интегральная сумма для функции /2(х) на отрез-
ке [о, ft]. А так как функция /2(х) непрерывна, то предел (1) существу-
ет и равен определенному интегралу от функции /2(х).
Значит, объем К данного тела определяется по формуле
ь
P = f2(x)dx.
256
ПРИМЕР: Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг
оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ кривой / = х
и прямой х=1.
РЕШЕНИЕ. Здесь/2(х) = ^ = х, л=0, Z>=1 и
г
К = я] xdx = п—
о	2 о
Я 3
-2ед •
ЗАМЕЧАНИЕ. Очевидно, что аналогичным способом можно вы-
числять объемы тел, полученных вращением криволинейных трапе-
ций вокруг оси OY.
7. УПРАЖНЕНИЯ
Вычислить следующие интегралы
3.2. |х2(х2 + 3^dx;
3.4.
П 2х -2sinx + ।	- \dx;
Ч	V4-4x2;
3.5.	Ixlnxdk;
257
3.6.	jx2 sin xdx;
3.7.	Jxarctgxdx;
3.8.
J 1 + x
39 f sin2*^x.
*Jl+cos2x’
r dx
310-fe;
f xdx
3.12.fS^fc
f x3+l .
315- J x(x2 + x + 1)
_ f x2+3	,
3.17. J —з 2
j x -x -6x
f 5x+4
3.19. I / 2	~
J Vx2 +2x + 5
3.20. J
x5dx
Jl-x2'
258
f dx
12L%7;
3.22.	Jsinxsin2xsin3xtZx;
rcosx + sinx
3.23.	---—------dx;
J sin2x
3.24.	Jcos4xsin2x<Zx;
3.25.
j sin6x
3.26.	J ;
J 5-3cosx
3.27.	J :
. • 5+4sinx
3.28.	J IgSiZt;
3.29.
J COS X
3.30.	J23x -32xdr;
3.32.	В каких случаях интеграл j Vl + xmdx (m — рациональное) пред-
ставляет собой элементарную функцию?
3.33.	С помощью формулы Ньютона-Лейбница вычислить опреде-
ленный интеграл
я
3	4
a) J x3dx;	б) J sin4x<Zx;
1	о
в> 11+£+1;	г> jin(x+,)<zr;
о	о
1
д) 171 + x2dx.
259
3.34.	Вычислить площадь, ограниченную фигурами:
а)	ху = 4, х = 1, х = 4, у = 0,
б)	у = х2, у = 2-х2;
в)	г = arccos2<p.
3.35.	Определить объем тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями:
а)	у2=2рх и x = h вокург оси ОХ.
б)	ху = 4, х = 1, х=4, у=0 вокруг оси ОХ.
в)	/=4-х, х = 0 вокруг оси OY.
3.36.	Определить длину дуги кривой:
а)	у1 = х3, отсеченной прямой х = ^.
,	4	12
б)	у = 1пх от х = - до х = —.
в)	у2 = 2рх, отсеченной прямой х = у.
260
Раздел IV
Дифференциальные
уравнения
261
1. Основные понятия
В многочисленных задачах из различных областей науки и техники
встречаются уравнения, в которых содержатся производные или диффе-
ренциалы искомых функций. Такие уравнения называются дифференци-
альными, Часто встречаются и системы дифференциальных уравнений с
несколькими искомыми функциями.
Простейшее дифференциальное уравнение возникает в задаче об отыс-
кании первообразных. Это уравнение вида
^=/(4	(1)
где у искомая функция от х, а /(х) заданная на некотором промежутке
функция. Видно, что искомая функция у есть первообразная относитель-
но Дх). Следовательно,
y = J/(x>Zx + C = F(x) + C,	(2)
где С — произвольная постоянная, a Дх) некоторая первообразная от-
носительно f(x).
Из (2) следует, что уравнение (1) имеет бесконечное множество ре-
шений. Графики этих решений образуют семейство кривых у = Дх)+С (рис.
85). Чтобы найти одно определенное решение, т.е. из семейства кривых
выделить определенную кривую, нужно заранее задать точку Л/0(х0,у0),
через которую должна пройти искомая кривая.
г
Рис. 85
о
262
Подставляя в (2) координаты точки Л/о, получим
С = у0-Г(х0).
Следовательно, искомая кривая имеет уравнение
^ = F(x) + ^0-F(x0).	(3)
Другой пример дифференциального уравнения дает задача об отыс-
кании закона прямолинейного движения материальной точки с посто-
янным ускорением а. Если S обозначает путь, пройденный за время t, то
задача сводится к решению уравнения
Это уравнение, в отличие от уравнения (1), содержит вторую про-
изводную искомой функции.
Для отыскания искомой функции в этом случае приходится дважды
производить интегрирование. Первое дает
dS
— — at + С
dt
(5)
а второе
2
S = ^- + (\t + C2.	(6)
Видно, что семейство решений (6), в отличие от (2), зависит от
двух произвольных постоянных Ц и С2. Поэтому для выделения одного
определенного решения нужно задать два дополнительных условия. На-
пример, в момент г=0 (начальный момент) задать S = SQ (начальное
расстояние) и — = *о (начальная скорость).
dt
Из (5) и (6) находим Сх = Ио, С2 = 50 и получаем
2
5 = ^- + Г0< + 50.	'	(7)
Приведенные примеры являются частными случаями обыкновенных
дифференциальных уравнений. Общий вид таких уравнений
[	dy dny ]
I	dx dxn J
(8)
263
В уравнении содержатся производные искомой функции одной пере-
менной у до некоторого порядка п.
Порядок п старшей производной искомой функции, участвующей
в уравнении (8), называют порядком дифференциального уравнения.
Поэтому (1) — это дифференциальное уравнение первого порядка, а
(4) — дифференциальное уравнение второго порядка.
Задачу решения дифференциального уравнения, т.е. отыскания иско-
мой функции, часто называют задачей интегрирования дифференциаль-
ного уравнения. Для отыскания одного определенного решения, как было
видно из примеров, приходится кроме уравнения задавать дополнительные
условия. Так, для уравнения (8) можно задавать условия вида
* = ХО. У=У0, J =	(9)
Они называются начальными условиями. Задача отыскания функ-
ции по уравнению (8) и начальным условиям (9) называется задачей
Коши. Для широкого класса уравнений задача Коши на некотором про-
межутке, содержащем х0, имеет единственное решение. Это решение
называется частным решением уравнения (8). Множество всех частных
решений дифференциального уравнения образует общее решение это-
го уравнения. Так, для уравнений (1) и (4) частными решениями яв-
ляются соответственно (3) и (7), а общим решением (2) и (6).
Если ф(х) есть решение уравнения, то кривая у = ф(х) называется ин-
тегральной кривой. Общему решению уравнения (8) соответствует семейст-
во интегральных кривых, зависящее от п произвольных постоянных.
Рассмотрим более подробно некоторые типы дифференциальных урав-
нений первого и второго порядка.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка
с разделяющимися переменными
Общий вид дифференциальных уравнений первого порядка следую-
щий:
=о.
Л
(1)
Исследование уравнения значительно упрощается, если из (1) про-
dy
изводная -у- может быть выражена явно и уравнение принимает вид
ах
Y = ^y}
ах '
(2)
264
Уравнение (2) можно записать и в дифференциальной форме
dy = f(x,y)dx.	(3)
Если выражение f(x,y) в (2) или (3) является произведением функ-
ции Р(х), зависящей от х, и функции б(у), зависящей от у, то уравне-
ние (2) или (3) называется уравнением с разделяющимися переменны-
ми. Оно имеет вид
^ = ^(х)е(у)	(4)
ИЛИ
<fy=P(x)6(y)rfx.	(5)
Если б(у)*0, то после почленного деления на Q(y) получаем урав-
нение с разделенными переменными
=	(6)
После этого можно проинтегрировать обе стороны уравнения
<’)
и найти общее решение. Выражение (7) дает общее решение в неявном
виде. Такую форму общего решения принято называть общим интегра-
лом уравнения.
Если при некотором у = у0 выполнено равенство С(^о) = О, то реше-
нием уравнения (4) или (5) является функция у = у0. Заметим, что пря-
мая у = у0 не содержится в семействе интегральных кривых (7).
ПРИМЕР. Найти общий интеграл уравнения
dy _ х(» + /)
dx ^l + x2j’
1 +
Здесь б(^)= - -“*0. После разделения переменных получаем
уdy _ xdx ,
l + y2 1 + х2
265
Следовательно, искомый общий интеграл имеет вид
fJ^=f2^L+c
' 1 +у2 J 1 + х2
Вычислив интегралы, получим
^1п(1 + /) = |1п(1 + х2) + С.
Произвольную постоянную С можно представить в виде |1пС. Пос-
ле этого общий интеграл можно представить в виде
1 + /=с(1 + х2).
В качестве второго примера рассмотрим задачу о распаде радия.
Известно, что скорость распада радия пропорциональна его налично-
му количеству. Требуется найти закон распада радия, если известно
его первоначальное количество mQ и период Т полураспада, т.е. вре-
мя, в течение которого распадается половина первоначального коли-
чества радия. Какой процент окажется распавшимся через 100 лет,
если Т= 1600 лет?
Обозначим через m количество радия в момент /. Скорость распада
dm	*	. тт
— отрицательна, так как m убывающая функция от t. По условию зада-
at
чи составляем уравнение
где к - положительный коэффициент пропорциональности. Это уравне-
ние с разделяющимися переменными.
Интегрирование уравнения (8) имеет вид
- -kdt, In m = -kt + In С,
m
откуда
m^Ce'kt,	(9)
Найдем С и к. Для определения С воспользуемся начальным условием
t = 0, т = т$. Подставляя его в (9), получаем С = гщ, следовательно,
w =	(10)
266
Для определения к воспользуемся дополнительным условием t = T,
m = Подставляя его в (10), получим ^т0=т0-е~кт9 откуда к =
1	1	1	1	,	„	ТЛ
=	1п- = — m2. Итак, искомая зависимость m от t
Т 2 Т
_ln2z
т = гпц-е т .
При Т= 1600 m = rnQ-e~Q’°O043t и полагая /= 100, получим
ш =	• е-0,043 - 0,958^.
Следовательно, через 100 лет распадется 4,2% первоначального за-
паса радия.
3.	Линейные дифференциальные уравнения
первого порвдка
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка назы-
вается уравнение вида
J+p(x)j=e(x).	(в
При этом, если С(х) = 0, то уравнение называется линейным одно-
родным, в противном случае линейным неоднородным. Предполагает-
ся, что функции Р(х) и б(х) определены и непрерывны на одном и том
же промежутке.
Линейное однородное уравнение
^ + P(.xV = 0	(2)
ах
является частным случаем уравнения с разделяющимися переменными.
Проинтегрируя его
— = -P(x)dx, ln|y| = - J P(x)dx + In С,
получим общее решение уравнения (2)
y = Ce~Wx}dx.
267
В частности, в этом общем решении содержится нулевое решение
у = 0.
Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) можно
найти, используя общее решение (3) соответствующего линейного од-
нородного уравнения, заменяя в нем произвольную постоянную С на
функцию С(х), которую нужно подобрать (метод Лагранжа вариации
постоянной).
Полагая
(4)
подставляем это выражение в (1). Получим
C'{xyiP(x}dx• Р(х) + P(x) C(x)e-"’(x,‘ix = е(х),
С'(х) = б(х>-,РМЛ:,
откуда
С(х) = {е(х>-'РМЛб/х + С.
Подставляя это значение С(х) в (4), получаем
^ = (c + Je(xXfP(x)^x)e-">W&,	(5)
это и есть общее решение линейного неоднородного уравнения (1).
При С=0 из (5) получаем частное решение^ уравнения (1). Равен-
ство (5) можно записать в виде
откуда следует, что общее решение линейного неоднородного уравне-
ния (1) есть сумма общего решения соответствующего линейного неод-
нородного уравнения (2) и частного решения самого уравнения (1).
ПРИМЕР. Найти решение уравнения
+ ysinx = 2xecosx,
dx
удовлетворяющее начальному условию х - 0, у=е.
Данное уравнение линейное неоднородное. В нем P(x) = sinx,
2(х) = 2хеСО8Х, поэтому по формуле (5) получаем
268
у = (с + J Ixe^ 	= (с + х2)/о,я
Подставляя начальные условия х = 0, у = е, получим С = 1. Поэтому
искомое, частное решение
у = (1 + x2)ecosx
В качестве примера линейного дифференциального уравнения при-
ведем уравнение для силы тока I в электрической цепи
Здесь U— напряжение, R — сопротивление, L - коэффициент само-
индукции в момент /.
Если U, R и L постоянные, то общее решение уравнения (6)
Отсюда находится частное решение, удовлетворяющее начальному
условию z=0, J = J0:
4.	Дифференциальные уравнения второго порядка,
допускающие понижение порядка
Общий вид дифференциальных уравнений второго порядка следую-
щий
Задача Коши состоит в отыскании решения уравнения (1), удо-
влетворяющего условиям вида
dy ,
x = Xq, у — Уо, =
(2)
Общий интеграл уравнения (1) содержит две произвольные по-
стоянные Cj и С2, которые находятся по начальным условиям (2).
269
Иногда заменой переменных удается решение уравнения (1) свести
к решению уравнения первого порядка, т.е. понизить порядок уравне-
ния. Рассмотрим некоторые случаи, когда понижение порядка осуще-
ствимо.
Пусть в уравнение (1) переменная у не входит явно, т.е. уравнение
имеет вид
( dy d2y\ _
F х,—,—4 = 0.
I dx dx2 J
(3)
_	dy	d2y dz
Положим в этом уравнении — = z и, значит, —4 = — , тогда полу-
dx	dx dx
чим дифференциальное уравнение первого порядка
(4)
Если из этого уравнения найдено	то
и, интегрируя, находим
Это общее решение уравнения (3).
ПРИМЕР. Найти решение у равнения ч
1 /у 2
dx2 х dx
(5)
1	1 dy
удовлетворяющее условиям х = 1, У=^,	= 1-
dy	d2y dz
Обозначим — = z и -гу = — 9 тогда уравнение примет вид
dx	dx dx
dz 1	2
------z = 2x2.
dx x
Это уравнение линейное первого порядка. Если общее решение
z =
Г	I —dx	I I —<
C1+J2xV х dx -eJx
270
Следовательно,
^--х3+Сх
— Л т ЦЛ,
ах
откуда интегрированием находим
(6)
(7)
X4 X2
у=-^<\-+сг.
Это общее решение уравнения (5). Из (6) по условиям х = 1, ^— = 1
ах
находим С =0, а из (7) по условиям х = 1, у = | находим С> = 0. Поэто-
4
1 4
му искомое частное решение у = -х .
Пусть в уравнение (1) переменная х не входит явно, т.е. уравнение
имеет вид
( dy d2y}
F •У’ТГ’ТТ =0*
I dx dx J
(8)
dy	i dy	d2 у dz dz
Положим — = z, откуда dx = --. Поэтому =	=	• Подставляя
полученные выражения в (8), получим
а это уравнение первого порядка, связывающее z и у.
Если z = q>(y,Cl)9 то =	® этом Уравнении переменные разде-
ляются и, интегрируя, находим
[ ^У=х+с2.
J <р(уА)
Это и есть общий интеграл уравнения (8).
В качестве примера рассмотрим задачу об уравнении колебательного
движения тела.
Пусть тело массы т находится в положении равновесия, а при
выводе из этого положения движется прямолинейно. Требуется найти
271
уравнение колебаний данного тела около точки равновесия, которые
возникнут под действием восстанавливающей силы, пропорциональ-
ной отклонению (сопротивлением среды пренебрегаем).
Обозначим отклонение тела от положения равновесия через у. Тогда
восстанавливающая сила, равна (- ку), где к коэффициент пропорцио-
нальности, а знак минус объясняется тем, что восстанавливающая сила
направлена противоположно отклонению.
На основании закона Ньютона имеем
d2y Is
тагкг
к 2
Разделив на т обе части уравнения и обозначив — = cd , получим
^+^=0.	(10)
Это уравнение является частным случаем уравнения (8).
р,	dy d2y dz
Полагая ~^=z и —^- = z—, получим
dt dt2 dy
dz 2
I Z •	= —CD V,
dy
уравнение с разделяющимися переменными. Поэтому
J z • dz = - J o)2ydy + C\.
Заменим Cx на . Тогда z2 = cd2(c2 - у2), а так как z =	, то
2	'	'	dt
Разделяя переменные и интегрируя, находим
J =р,+с„
у
arcsin—= йЯ +С,,
272
откуда
у = Сх sin(fttf + С2).
Это общее решение, уравнения (10), описывающее колебательное
движение тела. Видно, что частота колебаний о зависит от массы т и
коэффициента к восстанавливающей силы. Амплитуда колебаний Ц и
начальная фаза С2 зависят от начальных условий.
5.	УПРАЖНЕНИЯ
tfy	-
4.1.	Решить уравнение х — + у = /.
ах
dy
4.2.	Решить уравнение у— + х = 1.
dx
4.3.	Найти решение уравнения (1 + у2)б/х-х^у=0, удовлетворяющее
начальному условию х0 = 2, у0 = 1.
л л Л	dy х
4.4.	Решить уравнение — - у = е .
dx
4.5.	Решить уравнение	- у = ---- .
А , г»	п d2y dy
4.6.	Решить уравнение 2х—4 =	.
dx dx
d2y 7
4.7.	Найти решение уравнения 2—у = 3у , удовлетворяющее началь-
dx
ным условиям xQ = -2, ^0=1, X = -1.
273
Приложение
Элементы
математической
логики
274
I.	Основные положения алгебры логики
1.	Понятие простого высказывания
Основным (неопределяемым) понятием математической логики яв-
ляется понятие “простого высказывания”. Под высказыванием обычно
понимают всякое предложение, утверждающее что-то о чем-либо и при
этом мы можем сказать истинно оно или ложно.
Иначе говоря, логическим значением высказывания является исти-
на или ложь.
Приведем примеры высказываний: 1) Санкт-Петербург стоит на Неве.
2) 2 = 1. 3) Число 6 делится на 2 и 3. 4) Карась не рыба. 5) Если юноша
окончил среднюю школу, то он получает аттестат зрелости.
Очевидно, предложение “Да здравствуют наши спортсмены!” не яв-
ляется высказыванием.
Высказывания 1), 3) и 5) истинны, а высказывания 2) и 4) ложны.
Высказывания 1) и 2) можно считать простыми, а высказывания
3), 4), 5) сложными, так как они получаются из простых высказываний
с помощью грамматических связок “и”, “не”, “если... , то ...”. Напри-
мер, высказывание 3) можно рассматривать как высказывание, образо-
ванное из простых высказываний: “6 делится на 2” , “6 делится на 3” ,
соединенных союзом “и”.
Сложное высказывание 4) получается из простого высказывания “ка-
рась рыба” с помощью отрицания “не”.
И, наконец, высказывание 5) получается из простых высказываний:
“юноша окончил среднюю школу”, “юноша получает аттестат зрелос-
ти” с помощью грамматической связки “если ... , то...”.
Аналогично сложные высказывания могут быть получены с помощью
грамматических связок “или” , “тогда и только тогда”.
Высказывания обозначаются прописными латинскими буквами А,
В, С,....
В алгебре высказываний все высказывания рассматриваются только с
точки зрения их логического значения, а от их житейского содержания
отвлекаются.
Считается, что каждое высказывание не может быть одновременно и
истинным и ложным.
Одной из основных задач логики является изучение истинности или
ложности сложных высказываний в зависимости от йстинности или лож-
ности входящих в него высказываний.
В дальнейшем истинное значение высказывания будем обозначать бук-
вой И или цифрой 1, а ложное значение — буквой Л или цифрой 0.
275
2.	Логические операции над высказываниями
Логической операцией над высказываниями называется построение
из данных высказываний нового сложного высказывания.
Основными логическими операциями над высказываниями явля-
ются: 1) отрицание, 2) конъюнкция, 3) дизъюнкция, 4) им-
пликация, 5) эквивалентность.
Определим эти операции.
1)	Отрицание. Отрицанием высказывания Я называется новое вы-
сказывание А , которое считается истинным, если А ложно, и лож-
ным, если А истинно. Высказывание А читается: “неверно, что Я”
или, короче, “не Л”. Например, для истинного высказывания 2>1
отрицание будет ложным высказыванием “не верно, что 2>1” , то
есть высказывание “2<1”.
2)	Конъюнкция (логическое умножение). Конъюнкцией двух вы-
сказываний Я, Б называется новое высказывание, которое считается
истинным, если оба высказывания Л, В истинны, и ложным, если
хотя бы одно из них ложно.
Конъюнкция высказываний Л, В обозначается символом А&В, чи-
тается Л и Л. Например, для высказываний: “6 делится на 2” , “6
делится на 3” конъюнкция будет истинным высказыванием: “6 де-
лится на 2 и 6 делится на 3”.
Из определения операции конъюнкции видно, что союз “и” в
алгебре высказываний употребляется в том смысле, что и в повсед-
невной речи. Но в обычной речи не принято соединять союзом “и”
два высказывания, далекие друг от друга по содержанию, а в алгебре
высказываний рассматривается конъюнкция двух любых высказыва-
ний.
3)	Дизъюнкция (логическое сложение). Дизъюнкцией двух выска-
зываний Л, ^называется новое высказывание, которое считается ис-
тинным, если хотя бы одно из высказываний Л, В истинно, и лож-
ным, если оба они ложны. Дизъюнкция высказываний Л, ^обознача-
ется символом А vB и читается: “Л или В" . Высказывания Л, Б назы-
ваются членами дизъюнкции. Например, высказывание “В треуголь-
нике DFE угол D или угол Е острый” истинно, так как обязательно
истинно хотя бы одно из высказываний: “В треугольнике DFEугол D
острый” , “В треугольнике DFEугол Еострый” . В повседневной речи
союз “или” употребляется в различных смыслах: исключающим и не-
исключающим. В алгебре высказываний союз “или” всегда употреб-
ляется в неисключающем смысле.
276
4)	Импликация. Импликацией двух высказываний Я, В называют но-
вое высказывание, которое считается ложным, если А истинно, а В
ложно, и истинным во всех остальных случаях. Импликация высказы-
ваний А, В обозначается символом А-+В и читается: “Если Я, то Л”.
Высказывание А при этом называется условием или посылкой, выска-
зывание В — заключением или следствием импликации.
Примером импликации может служить высказывание: “Если чис-
ло а делится на 6, то оно делится на 3” . Это высказывание истинно.
Импликация играет важную роль в математических доказательствах,
так как из истинности импликации А—>В и истинности посылки А
мы можем сделать вывод об истинности заключения В.
5)	Эквивалентность. Эквивалентностью двух высказываний Я, В
называется новое высказывание, которое считается истинным, ког-
да оба высказывания Я, Я либо одновременно истинны, либо однов-
ременно ложны, и ложным в остальных случаях. Эквивалентность
высказываний Я, В обозначается символом ЯоВ и читается “Я тог-
да и только тогда, когда В” или, короче “Я эквивалентно В”. Выска-
зывания Я, ^называются членами эквивалентности. Эквивалентность
Я<->В читается так же следующим образом: “Для того, чтобы Я,
необходимо и достаточно, чтобы В” . Примером эквивалентности яв-
ляется высказывание: “Треугольник АВС с вершиной В и основани-
ем ЯС равнобедренный тогда и только тогда, когда Я = С”. Это выс-
казывание истинно.
Значение эквивалентности для математических доказательств со-
стоит в том, что из истинности эквивалентности Я <-> В и истинности
либо ложности высказывания Я мы заключаем соответственно об ис-
тинности или ложности высказывания В.
Логические значения перечисленных операций можно записать в
виде таблицы, которая носит название таблицы истинности:
Я	В	Я	А&В	AvB	Я-»В	А++В
и	и	л	И	И	и	и
и	л	л	л	и	л	л
л	и	и	л	и	и	л
л	л	и	л	л	и	и
Таблица 1.
Эта таблица, очевидно, может служить и определением пере-
численных операций.
277
3.	Формулы алгебры логики
С помощью логических операций над высказываниями из заданной
совокупности высказываний можно строить различные сложные выска-
зывания. При этом порядок выполнения операций указывается скобка-
ми. Например, из трех высказываний Я, Д С можно построить высказы-
вания	_
(Л&ВрС и Я->(В<->(Л&С)).
Первое из них есть дизъюнкция конъюнкции высказываний А, В и
отрицания высказывания С. Второе высказывание есть импликация, по-
сылкой которой является высказывание А, а заключением эквивален-
тность высказывания В и коцыонкции высказываний Л, С.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ формулы логики.
1.	Всякое высказывание А является формулой алгебры логики.
2.	Если U и V — две формулы алгебры логики, то выражения U,
U&V, С7v И, U—>V, U являются формулами.
Очевидно, что в отдельных случаях при записи формулы скобки можно
опустить, не нарушая смысла формулы. С этой целью устанавливается
следующий порядок действий: конъюнкция выписывается раньше дизъ-
юнкции, а дизъюнкция и конъюнкция раньше, чем импликация и эк-
вивалентность. Так же нет необходимости заключать формулу в скобки,
если над ней стоит знак отрицания.
Логическое значение формулы целиком зависит от логического зна-
чения входящих в него высказываний. Значение формулы при различных
комбинациях значений, входящих в нее высказываний, можно описать
посредством таблицы, которая носит название таблицы истинности фор-
мулы.
Например, для формулы Л&(ВуС) таблица истинности имеет вид
А	в	с	BvC	А&(ВчС)
И	и	и	и	и
и	и	л	и	и
и	л	и	и	и
и	л	л	л	л
л	и	и	и	л
л	и	л	и	л
л	л	и	и	л
л	л	л	л	л
Таблица 2.
Легко показать, что формула, содержащая п различных высказыва-
ний, имеет набор значений длины 2", то есть строк в таблице 2Л.
278
4.	Равносильные формулы алгебры логики
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две формулы алгебры логики А и В называются
равносильными, если они принимают одинаковые значения на любом
наборе значений, входящих в них высказываний.
Равносильность формул записывается так: А = В.
Например, рассмотрим формулы х-+у и х vy. Их таблицы истин-
ности имеют вид:
X	У	х —> у		X	У	X	х vy
и	и	и		и	и	л	и
и	л	л		и	л	л	л
л	и	и		л	и	и	и
л	л	и		л	л	и	и
Таблица 3.				Таблица 4.			
Следовательно, х -> у=х v у.
Отметим, что равносильность формул в алгебре логики играет
роль, аналогичную той, которую играет равенство формул в обыч-
ной алгебре.
Формулу Я, всегда истинную, будем в дальнейшем называть тож-
дественно истинной формулой и записывать А = И. Формулу В всегда
ложную, будем называть тождественно ложной формулой и записы-
вать В = Л.
Например,
1)	. х vx = И,
2)	. х—>(у—>х)-Я,
3)	. х&х = Л.
Действительно, в первой формуле, если х — истинно, то х — лож-
но, если х — ложно, то х — истинно, но в обоих случаях дизъюнкция
будет истинной. Аналогично, в третьей формуле в обоих случаях конъ-
юнкция х&х будет ложной.
Во второй формуле рассмотрим два случая:
а)	Пусть х— истинно, тогда в импликации у->х заключение истин-
но, а поэтому истинна и импликация. Но при этом в импликации
х —> (у —> х) истинными будут и посылка х и заключение у -> х, а поэто-
му будет истинной и импликация х->(у-»х).
279
б)	Пусть х — ложно, но тогда по определению импликации, если
посылка х ложна, то независимо от значения заключения (у->х) вся
импликация х->(у->х) будет истинной.
Равносильные формулы, с которыми нам придется встречаться/
можно разбить на три группы: 1) основные равносильности, 2)
равносильности, выражающие одни логические операции через дру-
гие, 3) равносильности, выражающие основные законы алгебры
логики. Рассмотрим эти группы равносильностей.
1. Основные равносильности
В эту группу мы включим 11 равносильностей.
1) х&х = х
2) х v х = х
(х&х&х...&х) = х
(х vxvx...vx) = x
— законы идемпотентности,
3)	х&Я = х, (х-1 = х),
4)	хуИ=И,
5)	х&Л = Л,
6)	х v Л = х ,
7)	х&х = Л - закон противоречия,
8)	xvx = J7 — закон исключения третьего,
9)	= х — закон снятия двойного отрицания,
— законы поглощения.
10)	х&(у vx)=x
11)	х v(y&x) = x
Законы 7 и 8 нами были доказаны. Остальные равносильности могут
быть доказаны путем составления таблиц истинности или путем неслож-
ных рассуждений. Например, докажем равносильность 10. Рассмотрим
два случая:
а)	Пусть х - истинное высказывание. Тогда независимо от значения
у дизъюнкция xv у есть истинное высказывание, а поэтому и конъюн-
кция х&(у vx) — истинное высказывание. Правая часть равносильности
истинна по предположению.
б)	Пусть х — ложное высказывание. Тогда конъюнкция хи xvy
будет ложным высказыванием независимо от значения дизъюнкции х v у.
Таким образом, левая часть равносильности ложна, а правая часть -
ложна по предположению.
280
II. Равносильности, выражающие одни логические операции
через другие
1) х<->у = (х->у)&(у->х),
2) x->y=xvy,
3) x&y^xv у
4) х v у=х&у
— законы де Моргана,
5) х&у=хчу,
6) xvу = х&у.
Равносильность 2 этой группы нами была доказана. Равносильности 5
и 6 легко получить из равносильностей 3 и 4, если взять от обеих частей
этих равносильностей отрицания и затем применить к левым частям за-
кон снятия двойного отрицания.
Докажем равносильность 1.
Пусть х и у одновременно истинны или одновременно ложны, тогда,
по определению операции эквивалентности, х <-> у истинное высказы-
вание. При этом импликации х->у, у-»х также истинны, а поэтому
истинна и конъюнкция (х-> у)&(у —> х). Пусть х и у принимают разные
значения, например, х — истинно, а у — ложно. Тогда высказывание
х о- у ~ ложно, импликация х -» у — ложное высказывание, а поэтому
и конъюнкция (х-> у)&(у —> х) - ложное высказывание.
Докажем равносильность 3.
Пустьх — ложно. Тогда конъюнкция х&у — ложное высказывание, а
х&у — истинное высказывание. В то же время х — истинно, и поэтому
х v у - истинно. Предположим теперь, что х истинное высказывание.
Тогда все зависит от у. Если у будет истинным, то обе части равносиль-
ности 3 окажутся ложными, а если у будет ложным, то обе части равно-
сильности 3 окажутся истинными. И равносильность 3 доказана.
Аналогично доказывается равносильность 4.
Равносильности группы II позволяют сделать один очень важный вывод.
Дело в том, что равносильность 1 позволяет исключить в формулах опе-
рацию эквивалентности, заменив ее на операции импликации и конъ-
юнкции. Равносильность 2 позволяет заменить операцию импликации на
операции дизъюнкции и отрицания. Более того, равносильность 5 позволя-
ет заменить операцию конъюнкции на операции дизъюнкции и отрица-
ния, а равносильность 6 позволяет заменить операцию дизъюнкции на
операции конъюнкции и отрицания.
281
Следовательно, используя равносильности группы II, можно пре-
образовать формулу к равносильной формуле так, чтобы в ней исполь-
зовались только две операции: дизъюнкция и отрицание или конъюн-
кция и отрицание.
III. Равносильности, выражающие основные законы
алгебры логики
I) х&у=у&х — коммутативный закон относительно конъюнкции,
2) xvy=yvx - коммутативный закон относительно дизъюнкции,
3) x&(y&z)=(x&y)&z - ассоциативный закон относительно конъ-
юнкции,
4)	xv(yvz)^(xvy)vz - ассоциативный закон относительно дизъ-
юнкции,
5)	x&(yvz)=(x&y)v(x&z) — дистрибутивность конъюнкции относи-
тельно дизъюнкции,
6)	х v (y&z)=(х v у)&(х v z) — дистрибутивность дизъюнкции относи-
тельно КОНЪЮНКЦИИ.	X
Последнего закона в обычной алгебре нет. Иногда его называют чудо-
законом. Докажем этот закон.
Пустьх- истинное высказывание. Тогда дизъюнкция xv(y&z) будет
истинной независимо от значения конъюнкции (y&z) л, следователь-
но, левая часть равносильности истинна. В правой части равносильности
конъюнкция двух дизъюнкций xv у и xv z будет истинной, так как
каждая дизъюнкция содержит своим членом истинное высказывание х,
а поэтому истинна.
Пусть х — ложное высказывание. Тогда во всех дизъюнкциях, где х
входит членом, его можно отбросить и мы получаем в обеих частях оди-
наковые формулы y&z, которые, очевидно, равносильны.
Аналогично могут быть доказаны остальные равносильности груп-
пы III.
5. Равносильные преобразования формул
Используя равносильности групп I, II, III, можно часть формул ал-
гебры логики или всю формулу заменить равносильной ей формулой.
Такие преобразования называются равносильными.
Равносильные преобразования употребляются для доказательства
равносильностей, для приведения формул к заданному виду, для упро-
щения формул.
282
Рассмотрим примеры.
а)	Доказать равносильность
х<-> ys(x&y)v(x&y).
Для доказательства равносильности подвергнем ее левую часть рав-
носильным преобразованиям:
х <-» у — (х -> у)& (у -> х) = (х V у)& (х V у) = (х & у) V (х & х) V (у& у) V (у& х).
Так как (х&х) = Л и (у&у) = ЛГ, то в последней дизъюнкции эти
члены можно отбросить и мы получаем
х <-> у = (х & у) V (х& у).
б)	Упростить формулу
А — ((* -> y)&(y^z))^(z -> х).
Подвергнем формулу Я равносильным преобразованиям:
А — v у)&(у v z)) v (z v х) = х v у v у v z v (z v х) =
= (x&y)v(y&z)v(z vx) = (x&y)v(y&z)vz VXS
= ((х& у) V х) v ((y&z ) V z) = X V Z.
II. Основные понятия логики предикатов
Логика предикатов представляет собой дальнейшее развитие алгеб-
ры логики. Она содержит в себе всю алгебру высказываний, то есть эле-
ментарные высказывания, которые рассматриваются как величины,
принимающие два значения: истина и ложь, все операции алгебры ло-
гики и, следовательно, все ее формулы.
Но помимо этого, логика предикатов вводит в рассмотрение новое
понятие — понятие предиката.
1.	Понятие предиката
В логике предикатов высказывание расчленяется на две части: объ-
ект (о чем говорят) и предикат (что говорят об объекте). Рассмотрим ряд
простых высказываний:
1)	Три - простое число.
2)	Пять - нечетное число.
3)	Новгород - областной город.
С точки зрения грамматики они состоят из подлежащего и сказуемо-
го. Подлежащее является наименованием некоторого объекта, сказуе-
мое выражает некоторое свойство.
283
Основным для логики предикатов является сказуемое.
Рассмотрим первый пример. Вместо числа три можно подставить лю-
бое число из множества натуральных чисел и всегда будем получать ос-
мысленное предложение. В одних случаях это будет истинное высказыва-
ние, а в других - ложное. Так, “пять - простое число” - истинное
высказывание, “десять - простое число” — ложное высказывание. Но во
всех случаях сказуемое выражает свойство объекта и оно зависит от объ-
екта. Таким образом, свойство объекта становится функцией объекта.
Эту функцию можно задать выражением: “х - простое число” и обозна-
чить Дх). Выражение “х — простое число” не высказывание, а только
форма, заготовленная для высказывания. Она становится высказывани-
ем, если вместо х подставить любое фиксированное число из множества
действительных чисел.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ предиката. Одноместным предикатом Р(х) называ-
ется произвольная функция аргумента х из множества М и принимаю-
щая два значения: истина и ложь.
Множество М, на котором определен предикат, называется областью
определения предиката. Множество i а М, на котором предикат прини-
мает только истинные значения, называется областью истинности преди-
ката. Например, 1. г(х) - свойство х быть четным числом. Здесь областью
определения предиката может быть множество натуральных чисел
М = {1,2,3,.. Тогда областью истинности предиката будет множество
четных чисел 1Г - {2,4,...,2и,...}. 2. К(х) — свойство х быть областным цент-
ром. Здесь областью определения предиката может быть множество всех
городов России, а областью истинности будет при этом множество обла-
стных центров России. 3. sinx=0 — свойство х быть корнем уравнения
sinx = 0. Здесь областью определения предиката является множество дей-
ствительных чисел, а областью истинности предиката является множест-
во чисел {кл} £=0, ±1,±2,....
Отметим, что можно определить и многоместные предикаты. Они
будут зависеть от нескольких переменных. Так, двухместный предикат
запишется в виде Р(х, у). Примером двухместного предиката может слу-
жить неравенство х < у - свойство х быть меньше у.
2.	Логические операции над предикатами
Пусть имеется два предиката Р(х) и 0(х), определенные на некото-
ром множестве М. Так как при каждом хеМ предикаты Р(х) и 0(х)
принимают одно из двух значений (истина или ложь), то к ним можно
применить операции алгебры логики. Следовательно, из двух предикатов
можно составить новые предикаты:
284
2.	p(x)&e(x),
3.	p(x)ve(x),
4.	p(x)->e(x),
5.	p(x)<->2(x).
Определим, например, операцию конъюнкции двух предикатов .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Конъюнкцией нвух предикатов Р(х) и (?(х), опре-
деленных на множестве М, называется новый предикат R(x), который
принимает значение истины при тех и только тех значениях х еМ, при
которых оба предиката Р(х) и Q(x) принимают значения истины, и
обозначается Я(х)=Р(х)&б(х). Очевидно, IR=IPr\IQ,
Пусть х - любой четырехугольник на плоскости, Дх) - свойство х
быть прямоугольником, Q(x) — свойство х иметь равные стороны. Тогда
Я(х)s Р(х)&б(х) есть свойство х быть квадратом.
Аналогично определяются остальные операции алгебры логики над
предикатами. Сказанное здесь относится и к многоместным предикатам.
3.	Кванторные операции
Пусть имеется предикат Р(х), определенный на множестве М. Если
а некоторый объект из М, то подстановка его вместо х в предикат
Р(х) переводит этот предикат в высказывание Р(д). Такие высказыва-
ния называются единичными. Наряду с образованием из предикатов
единичных высказываний в логике предикатов рассматриваются еще
две другие операции, которые превращают одноместный предикат в
высказывание.
а)	Квантор всеобщности. Пусть Р(х) — вполне определенный преди-
кат, принимающий значение истина или ложь для каждого элемента х
из некоторой области М. Тогда под выражением VxP(x) мы будем пони-
мать высказывание истинное, когда Р(х) истинно для каждого элемента
х области М, и ложное в противном случае. Это выражение уже не зави-
сит отх. Соответствующее ему словесное выражение будет «для всякого
х Р(х) истинно». Символ V называется квантором всеобщности. Пере-
менную х в предикате Р(х) называют свободной (ей можно придавать
различные значения изМ), в высказывании VxP(x) переменнуюх назы-
вают связанной квантором V.
б)	Квантор существования. Пусть Р(х) — некоторый предикат. Под
выражением ЗхР(х) понимают высказывание, которое является истинным,
285
если существует элемент области М, для которого Р(х) истинно, и лож-
ным в противном случае. Это высказывание уже не зависит отх. Соответ-
ствующее ему словесное выражение будет: “Существует*, при котором
Р(х) истинно» . Символ 3 называют квантором существования. В выска-
зывании ЗхР(х) переменная х связана квантором 3.
Заметим, что применение одной кванторной операции к двухмест-
ному предикату не превращает его в высказывание, а превращает его в
одноместный предикат. Чтобы превратить двухместный предикат в выс-
казывание с помощью кванторных операций, нужно использовать две
кванторные операции по каждой переменной.
Например, если Р(х,у) есть предикат неравенства, то есть х<у,
определенный на множестве N натуральных чисел, то высказывание
Vx g N Зу g N Р(х9у)
гласит: “для любого натурального числа х существует натуральное чис-
ло у, такое, что х<у”.
w
4.	Понятие формулы логики предикатов
Как и в алгебре логики, в логике предикатов вводится понятие фор-
мулы. Но в логике предикатов это понятие и сложнее по форме, и богаче
по содержанию. Опишем это понятие, используя для простоты только
одноместные предикаты.
1.	Всякое высказывание А и всякий предикат Р(х) являются форму-
лами. Такие формулы называются элементарными.
2.	Если U и V— две формулы логики предикатов, причем такие, что
одна и та же предметная переменная, входящая в эти формулы, не
является в одной из них свободной, а в другой связанной, тогда выраже-
ния U, U&V, t/vK, U++V являются формулами.
3.	Если (7(х) — формула и предметная переменная х в ней свободна,
то выражения УхС/(х) и ЗхС/(х) — формулы, причем х входит в них свя-
зано.
При рассмотрении формулы t7(x), определенной на множестве М,
можно говорить о ее логическом значении по отношению к этой области
при определенных значениях, входящих в нее высказываний и предика-
тов.
Например, формула Ух(л(х)->В(х)) будет истинной, если А(х) —
свойство х быть натуральным числом, а В(х) — свойство х быть пол-
ожительным числом и читается так: Для любого х, если х — натураль-
ное число, то х - число положительное.
286
Эта формула будет ложной, если А(х) — свойство х быть целым чис-
лом, а В(х) — свойство х быть положительным числом.
Действительно, не всякое целое число положительно, а поэтому не
при всех х формула Л(х)->В(х) истинна. Следовательно, формула
Ух(л(х)-> 2?(х)) ложна.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две формулы Uи Клотики предикатов называются
равносильными на области М9 если они принимают одинаковые значе-
ния при всех значениях переменных из области М.
Из большого числа равносильностей логики предикатов отметим две
наиболее важные:
1.	УхЛ(х)=ЗхЛ(х),
2.	ЗхЛ(х)= VxJ(x).
Первая из них означает тот очевидный факт, что если не для всех х
справедливо свойство Дх), то существует х, при котором это свойство
не выполняется.
Вторая равносильность утверждает, что если не существует х, обла-
дающего свойством — Дх), то для всех х справедливо свойство Л(х).
5.	Некоторые приложения логики предикатов
в математике
Рассмотрим некоторые применения логики предикатов в математи-
ке.
1.	Запись математических предложений в виде формул логики преди-
катов.
а)	Многие теоремы математики допускают формулировку в виде ус-
ловных предложений, то есть в виде
Ух(л(х)н>й(х)).	(1)
Например, теоремы Пифагора можно сформулировать так: “Для всех
треугольников (х), если треугольник прямоугольный (л(х)), то квадрат
длины его гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов (В(х)).
В теореме (1) предикат Дх) называют условием теоремы, а предикат
В(х) — заключением.
б)	Определение предела числовой последовательности. “Число а
называется пределом числовой последовательности {ц,^,...,^,...}, если
287
для любого положительного числа е существует такое натуральное
число л0, что для всех натуральных чисел п из условия л>ц, следует
неравенство \ап - о| < е может быть записано в виде формулы логики
предикатов:
Vs>03fy gN\/п	>п=>\ап -^<s).
в)	Определение непрерывности функции в точке: ’’Функция у = /(х),
определенная на множестве X, непрерывна в точке хоеХ, если для
любого положительного числа е существует такое положительное чис-
ло 8, что для всех х еХ из условия |х - х0| < 8 следует, что |/(х) - /(х0)| < 8
может быть записано в виде формулы логики предикатов:
Vs >035 >0Vx gX(|x-Xq|<5 =>|/(х)- /(х0)| < sj.
2.	Построение противоположных утверждений.
Пусть имеется некоторое утверждение Л, записанное в виде фор-
мулы логики предикатов. Чтобы получить противоположное утверж-
дение, следует взять отрицание утверждения А, то есть А . Однако в
таком виде формула А малообозрима. Поэтому путем равносильных
преобразований ее приводят к виду, который позволяет лучше уви-
деть ее значение.
Пусть, например, теорема (1) неверна. Тогда истинным будет отри-
цание теоремы (1), то есть формула Ух(л(х)->В(х)).
Пользуясь равносильностями логики предикатов и алгебры логики,
преобразуем последнюю формулу:
Ух(Л(х) -> Я(х)) s Зх(Дх) -> В(х)) = Зх^Л(х) v B(x)j =
s Зх^Л(х)& B(x)j s 3xp(x)& B(x)j.
Таким образом, чтобы доказать несправедливость теоремы (1), нужно
доказать существование такого объекта х, при котором условие теоре-
мы А(х) истинно, а заключение В(х) - ложно. Или, как принято гово-
рить, нужно построить контрпример.
Для утверждения ’’если в четырехугольнике диагонали равны, то
четырехугольник является прямоугольником”, контрпримером является
равнобедренная трапеция с острыми углами при основании, у которой,
как известно, диагонали равны, а углы не прямые.
288
Для определения ограниченной функции Дх) на промежутке {а,Ь):
ЗМ >0Vx e{a,b) (|Дх)| < Л/)
противоположным утверждением будет:
ЭЛ/ > 0 Vx е {a,b) (| Дх)| < Л/).
Пользуясь равносильными преобразованиями найдем:
ЗМ >0 Ух е(а,6) (|Дх)| < Л/) = УЛ/ > ОУх <=(а,Ь} (|Дх)| < Л/) =
= УЛ/ >ОЭх е{а,Ь) (|Дх)| < Л/) е УЛ/ > ОЗх e{a,b} (|Дх)| > Л/).
Последняя формула дает определение неограниченной на про-
межутке (а,Ь) функции /(х).
Из приведенных примеров ясно, что, беря отрицание от формулы,
содержащей впереди кванторы, нужно заменить все кванторы на проти-
воположные и взять отрицание от выражения, стоящего под знаком кван-
торов. Например,
Vs>03fy gNVw gN(«> Mq
=3£>0V^ gN3« gN(/i> -a|<£)
и далее преобразовать выражения, стоящее под знаком кванторов.
289
ОТВЕТЫ
290
1.1.	а) ?>7’ б) Т7>77’ в) ^>зг-
1.2.	а) х<0, б) -1<х<0, в) 2<х<3.
7	11
1.3.	а) xt=5, х2=—1, б) -л + 2кл, —л + 2кл, к = 0,±1,±2,....
6	6
1.4.	а) (- оо,1)и(3,+оо), б) (0,+°°), в) (-оо,+оо). г) [1,2] д) (-оо,+оо).
е) (- 5,-ню), ж) |J(2^ + s\2k + l);r + s), з) W = {n}.
л=о
1.6.	а) у = (х6+4) + (Зх5-х3), б) j> = -3cosx + (sin2x + tg4x),
в) _у = (1 + 6х2 + х4) + (4х + 4х3), г) >> = cosxcosj + sinxsinj
1.7.	а) Периодическая с периодом л,
б)	Периодическая с периодом 42л,
в)	Непериодическая,
2л
г)	Периодическая с периодом —,
д)	Непериодическая,
е)	Периодическая с периодом 2л.
1.8.	а) 21, 201, б) 56, 556, в) 146, 1446, г) 274, 2749.
о	2	1	4
1.9.	а) б) 0, в) г) д) 0, е) - ж) е.
2	3	2	3
213	25	1	1
1.10.	а) 8, б) в) г) д) 1, е) 2, ж) з) и) к)
2	1	1112	2	1
0, л) -тт, м) н) е, о) 1п2-- П) р) ~г, с) т) у) -.
V3 е	2	2 у/е 3 л е
1.11.	а) Функция разрывна в каждой целочисленной точке. Разрывы
первого рода с конечным скачком. В остальных точках функция непре-
рывна.
б)	Функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точ-
ки х=0, где она терпит устранимый разрыв 1-го рода.
291
в)	Функция непрерывна всюду, за исключением точки х = 0. В точке
х = 0 она терпит разрыв непрерывности первого рода с конечным скачком.
г)	Функция непрерывна на всей числовой прямой.
д)	Функция непрерывна всюду, за исключением точки х=0. В
точке х = 0 она терпит разрыв второго рода. k
е)	Функция непрерывна всюду, за исключением точки х=0. В точ-
ке х = 0 она терпит разрыв первого рода с конечным скачком.
ж)	Функция непрерывна на всей числовой прямой.
з)	Функция непрерывна на всей числовой прямой, за исключени-
ем точки х=0. В точке х=0 она терпит разрыв непрерывности первого
рода с конечным скачком.
2.1.	Функция дифференцируема, так как Ду = (Зх2-4)дх + Зх(Дх)2+
+ (Дх)3 и у' = Зх2-1.
б)	Функция дифференцируема, так как Ду = -2хДх-(Дх)2 и
У = -2х.
9
2.2.	а) Уравнение касательной: у+Зх+-=0.
Уравнение нормали: 12у-4х-33=0.
б)	Уравнение касательной: у+х-2=0.
Уравнение нормали: у - х = 0.
2.3.	а) у’ = х+3, б) у>=4~ху-9:г^-, в) У = ^(2-х-2)+2(1-х-2),
(х + З)	3
292
е)
У = 5л4-sinx+2-ln2, ж) Х =	3) У-tgi,
.	, .-ln2ctg2x , 121n2ctg2x
и) / = -12 .	, к) / =--------,
sin4x	sin4x
ч , /	 \2 . [1-х2 ч , 2х S^^lnS
л) у =(arcsmx) +4J-——2, м) у' = — -~^_	~
,1-4л	. ЦН\'нН
н) /"(7ИхДП)’ о)
п) у1 =	——*	, р) у' = xsinxfcosxlnx+	.
(x2+2)Vx2+1	k	X J
2.4.	a) y" = 2x 2, б) У6)=О, в) У8) = Лх3+24х2+168х+33б),
(1 + X2)	7
г) Ув) =(-l)"n'f----------—) д) У")=Ь2) j(w + 0(»-2)!
’ У [ ’ ((x-lf' *"V }	(л-3)х-2
2.5.	a) </y=(x + lW—4-:--------^|^-ln(x+l)l/x
'	’ Цх + 1)81ПХ sin2x v J ’
6) Jy = (tgx)*flntgx + sj^2x^ ’
в) dy =
з Vx’Vi-
r)dy~ •
2.6.	a) ^ = (l-z)sinz, 6) | Vl-V<, в) ^(l+z2), r) 2/2.
2.7.	a) 0,	6)-4, в) 7,
6
r) J, д) 2, e) 0, ж) 1.
4
293
3.1.14x +ln|x| + C.
Y5
3.2.	y + x34-C.
3.3.	-x3Vx --x2Vx + 2xjx-2jx 4-C.
7	5
2х	3
3.4.	4-2cosx4--arcsinx4-C.
In2	2
1 Э	1 0
3.5.	-x2lnx--x24-C.
2	4
3.6.	-x2cosx4-2xsinx4-2cosx4-C.
1	2	11
3.7.	-x arctgx-x 4-arctgx 4-C.
2	2	2
1	0
3.8.	-arctgx2 4-C.
3.9.	~ln|l+cos2x| + C.
3.10.	ln|x+Vx2 -5| + C.
3.11.	Vx2-6+C.
3.12.	-2cosVx4-C.
3.13	.1nV(x-3)J(x+l) + |.Aj+C.
3.14.	—2x + -ln(x2+2x + 3l + -4=arctg^-il + C
2	2 v ' -J2	41
3.15.	c + Inlxl - -ln(x2 + x +1) —l=arctg- + C.
3(x2 + x + l)	1 1 2 V > 343	-J3
3.16.	x-2Vx+21n(Vx+l)+C.
3.17.	-|1п|х| + ^1п|х + 2| + ^1п|х-3| + С.
3.18.	3VTH+6Vx+I + 61n|Vx+T-l| + C.
294
3.19.	5д/х2 + 2х + 5-ln|x +1 + 7х2+2х + 5| + С.
3.20.	- 71 - x2 +1^(1 -X2)3 -1^(1 -X2)5 +C.
3.21.	-In^i -iarctgz + C, где z=Vx‘4 +1.
4 z-1 2
1	1	1	9
3.22.---cos4x--cos2x----sin 3x + C.
16	8	12
1 1 x Xx f X	„
3.23	.2l»tg2-t^- + ?J + C.
x sin4x 1 . 3-	„
3.24.---------+ — sm3 2x + C.
16	64	48
2	1
3.25.	-ctgx--ctg3x--ctg5x + C.
3.26.	^arctgfltg^j+C.
2 5t4 + 4
3.27.	|arctg—2--+ c.
3.28.	^--^+tgx-x+C.
3.29.	tgx • ln|cosx| + tgx - x + C.
^3x o2x
3-30. £r~- + C.
In 72
3.31.	- у +1ln|ex -1| + |ln(e* +2) + C.
2
3.32.	m = —, где k*0, к - целое.
к
3.33.	a) 20, б) в) 2-ln2,
2
k’
r) 2to2_,. д)
2
* *.	8	. яй2
3.34. а) 81п2, б) в) —.
295
3.35. a) itph1, б) 12^г, в) .
3.36. a) 6) 1,35+1п2, B) /Jp2 + ln(l +V2)).
4.1. y=——.
7 1-Cx
4.2.у=А/с-(х-1)2.
л* P-2
43.	•
4.4 y=(C + x)ex.
296
Содержание
Раздел I
Введение в математический анализ............................5
Глава I Множество действительных чисел........................5
1.	Действительные числа.......................................5
2.	Модуль действительного числа..............................11
3.	Точечные множества на числовой оси........................13
Глава II Функции.............................................17
1.	Отображения множеств......................................17
2.	Сужение. Композиция отображений...........................20
3.	Взаимно однозначное соответствие..........................21
4.	Общее понятие функции
действительной переменной....................................23
5.	Способы задания функций
действительного переменного..................................25
6.	Простейшая классификация функций
действительного переменного..................................29
7.	Функции натурального аргумента
(последовательности).........................................36
8.	Принцип вложенных отрезков................................37
297
Глава III Предел............................................39
1.	Окрестность точки.
Предельная точка множества.................................39
2.	Предел функции в точке (по Коши).........................42
3.	Предел функции по множеству.
Предел на бесконечности....................................48
4.	Основные теоремы о пределах..............................49
5.	Бесконечно малые и бесконечно большие функции............54
6.	Практическое отыскание пределов функций..................57
7.	Односторонние пределы функции............................59
8.	Первый замечательный предел..............................61
9.	Предел последовательности................................63
10.	Предел монотонной последовательности....................65
11.	Определение предела функции в точке (по Гейне)..........66
12.	Число е.................................................67
13.	Второй замечательный предел.............................68
14.	Сравнение бесконечно малых функций.
Эквивалентные бесконечно малые.............................70
Глава IV Непрерывность......................................73
1.	Приращение аргумента и функции....1......................73
2.	Непрерывность функции в точке............................74
3.	Непрерывность суммы,
произведения и частного....................................76
4.	Классификация точек разрыва функции......................78
5.	Непрерывность сложной функции............................80
6.	Теорема об обращении непрерывной функции в нуль
(первая теорема Больцано-Коши).............................81
7.	Теорема о промежуточных значениях
непрерывной функции (вторая теорема Больцано-Коши),........83
8.	Обратное отображение и понятие .обратной функции.........84
9.	Существование и непрерывность обратной функции...........86
10.	Свойства функций, непрерывных на сегменте...............88
11.	Равномерная непрерывность функции
и теорема Кантора..........................................89
298
Глава V Элементарные функции...............................93
1.	Степенная функция с натуральным показателем
и ее свойства..............................................93
2.	Степенная функция с целым отрицательным показателем....94
3.	Определение степени с действительным показателем
и ее существование........................................95
4.	Степенная функция с рациональным показателем
и» ее свойства.........................................  100
5.	Показательная функция.................................102
6.	Существование логарифмов
и логарифмическая функция................................104
7.	Натуральные логарифмы.
- Связь между логарифмами с разными основаниями..........105
8.	Степенная функция
^.иррациональным показателем.............................106
9.	Показательно-степенная функция........................107
10.	Решение показательных
и логарифмических уравнений..............................108
11.	Некоторые замечательные пределы,
связанные с логарифмической и показательной функциями....115
12.	Непрерывность тригонометрических функций.............116
13.	Существование и непрерывность
обратных тригонометрических функций......................117
14.	Решение тригонометрических уравнений.................118
УПРАЖНЕНИЯ........:......................................122
Раздел II
Дифференциальное исчисление............................126
Глава VI Дифференцируемые функции. Производная...........127
1.	Скорость..............................................127
2.	Дифференцируемость и производная......................128
3.	Непрерывность дифференцируемой функции................131
299
4.	Понятие касательной.
Касательная к график^ дифференцируемой функции..........132
5.	Дифференцирование суммы,
произведения и частного.................................135
6.	Дифференцирование сложной функции....................137
7.	Дифференцирование обратной функции.................. 137
8.	Производные основных элементарных функций............138
9.	Производные высших порядков.
Механический смысл второй производной...................142
10.	Кривые заданные параметрически......................144
11.	Касательная к кривой Жордана........................148
Глава VII Дифференциал..................................149
1.	Дифференциал и его связь с производной...............149
2.	Геометрический
и механический смысл дифференциала......................150
3.	Дифференциал суммы,
произведения и частного.................................151
4.	Дифференциал сложной функции.........................152
5.	Дифференциалы высших порядков........................153
Глава VIII Основные свойства дифференцируемых функций
и их применения.........................................155
1.	Основные теоремы о дифференцируемых функциях.........155
2.	Условие постоянства функции на промежутке............159
3.	Возрастание и убывание функции в точке
и на промежутке.........................................159
4.	Понятие максимума и минимума.........................162
4.1.	Необходимое условие экстремума.....................163
4.2.	Достаточные условия максимума и минимума...........163
4.3.	Нахождение наибольших и наименьших значений........167
5.	Выпуклые функции. Точки перегиба.....................168
6.	Применение дифференциального исчисления
к нахождению пределов (правило Лопиталя)................172
300
7.	Асимптоты...............................................176
8.	Исследование функций. Построение графиков...............178
9.	УПРАЖНЕНИЯ......................................... ....181
Раздел III
Интегральное исчисление..................................184
Глава IX Неопределенный интеграл...........................185
1.	Задача восстановления функции по ее производной.........185
2.	Первообразная функция и неопределенный интеграл.........185
3.	Основные свойства неопределенного интеграла.............187
4.	Таблица основных интегралов.............................189
5.	Основные способы интегрирования.........................189
6.	Элементарный способ интегрирования......................190
7.	Интегрирование по частям................................190
8.	Интегрирование подстановкой...........................  192
9.	Интегрирование рациональных функций.....................192
10.	Интегрирование простейших правильных дробей............195
10.	Разложение рациональной дроби на простейшие.
Метод неопределенных коэффициентов.........................200
11.	Интегрирование простейших иррациональных
и трансцендентных функций..................................204
12.	Метод рационализации...................................206
13.	Интегрирование дифференциальных биномов.
(Подстановки П.Л. Чебышева)...............................208
14.	Интегрирование простейших тригонометрических функций...211
14.1.	Методом рационализации (универсальная подстановка)...211
14.2.	Интегрирование простейших
тригонометрических функций................................212
14.3.	Интегрирование произведений синуса
и косинуса кратных дуг...................................213*
14.4.	Интегрирование степеней синуса и косинуса............214
14.5.	Интегрирование степеней тангенса и котангенса........215
14.6.	Интегрирование квадратичных иррациональностей методом
301
тригонометрических подстановок..........................216
Глава X Определенный интеграл.............................218
1.	Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла...218
2.	Интегрируемость функции и определенный интеграл........220
3.	Нижние и верхние суммы Дарбу ограниченной функции......222
4.	Необходимое и достаточное условие
интегрируемости..........................................227
5.	Интегрируемость непрерывных и монотонных,
ограниченных функций.....................................228
6.	Основные свойства определенного интеграла..............229
7.	Теорема о среднем значении.............................232
8.	Определенный интеграл с переменным верхним пределом....233
Существование первообразной функции.......................233
9.	Формула Ньютона - Лейбница.............................235
10.	Интегрирование по частям в определенном интеграле.....236
11.	Замена переменной в определенном интеграле............236
12.	Интегральное определение логарифма....................238
Глава XI Приложения определенного интеграла...............240
1.	Понятие спрямляемой дуги и ее длины....................240
2.	Вычисление длины дуги класса С1........................241
3.	Понятие квадрируемой фигуры и ее площади...............245
4.	Признаки квадрируемости фигур..........................245
5.	Вычисление площади плоских фигур.......................249
6.	Вычисление объемов тел вращения........................254
7.	УПРАЖНЕНИЯ.............................................256
Раздел IV
Дифференциальные уравнения................................260
1.	Основные понятия.......................................261
2.	Дифференциальные уравнения первого порядка
с разделяющимися переменными.............................263
3.	Линейные дифференциальные уравнения первого порядка..266
4.	Дифференциальные уравнения второго порядка,
допускающие понижение порядка..........................268
5.	УПРАЖНЕНИЯ...........................................272
Приложение
Элементы математической логики
I. Основные положения алгебры логики..................274
1.	Понятие простого высказывания........................274
2.	Логические операции над высказываниями...............275
3.	Формулы алгебры логики...............................277
4.	Равносильные формулы алгебры логики..................278
5.	Равносильные преобразования формул...................281
II. Основные понятия логики предикатов................281
1.	Понятие предиката....................................282
2.	Логические операции над предикатами..................283
3.	Кванторные операции..................................284
4.	Понятие формулы логики предикатов....................285
5.	Некоторые приложения логики предикатов в математике..286
ОТВЕТЫ..................................................289
Л.М.ЛИХТАРНИКОВ
А.И.ПОВОЛОЦКИЙ
основы
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
(книга для учителей математики
старших классов средних школ)
Генеральный директор А.Л. Кноп
Директор издательства О. В, Смирнова
Художественный редактор С.Л. Шапиро
Корректор С, С, Малетина
Оригинал-макет П.И. Куренков, Д.А. Потрекий
ЛР № 062330 от 02.03.93 г.
Сдано в набор 20.06.97. Подписано в печать 22.07.97.
Бумага типографская. Формат 60X88 1/16.
Гарнитура Таймс. Печать офсетная.
Печ. л. 19. Тираж 10 000 экз.
Заказ № 920.
Издательство «ЛАНЬ».
193029, Санкт-Петербург, пр. Елизарова, 1.
Отпечатано с диапозитивов в ГПП «Печатный Двор»
Государственного комитета РФ по печати.
197110, Санкт-Петербург, Чкаловский пр., 15.
Книгоиздлтельскля и
книготорговля фирмд
ИзДАТСЛЬСТКО
«1И№»
V Книги нашего издательства
V Обмен, в т.ч. междугородний, и
закупку книг других издательств и
книготорговых организаций
V Приглашаем к сотрудничеству авторов и
издательства для совместного
выпуска книг
V Формирование контейнеров в любую точку
страны
V Ответственное хранение по договорным
ценам
V Экспедирование и перевозка книжной
продукции Москва — Петербург,
Петербург — Москва
V Гибкая система скидок
Рукописи не рецензируются и не возвращаются
ЖДЕМ ВАС ПО АДРЕСАМ:
РФ, Санкт-Петербург, пр. Елизарова, д. 1
Тел./факс (812) 567-54-93,265-00-88,
233-88-27
Филиал в Москве
РФ, Москва, ул. Ташкентская 34 к. 3
Тел. (095) 377-66-7*4, 232-03-01
root@lanpbl.spb.ru
Книга содержит введение в
анализ, дифференциальное и
интегральное исчисление и
элементарные дифференци-
альные уравнения.
К каждому разделу прилага-
ются упражнения с ответами.
Весь материал изложен в до-
ступной форме, но без излиш-
него упрощения.
Книга поможет в преподава-
нии школьного курса «Начала
математического анализа» как
в обычных, так и математичес-
ких классах.
Адресована учителям мате-
матики средних школ и средних
специальных учебных заве-
дений.
» ОТ