Збірник задач з диференціальних рівнянь - Гудименко Ф.С., Павлюк І.А., Волкова В.О.

Автор: Гудименко Ф.С. Павлюк І.А. Волкова В.О.
Теги: математика задачі з математики збірник задач диференціальні рівняння
Год: 1972
Похожие
Математическое моделирование в электротехнике и энергетике
Математика в СССР за тридцать лет. 1917-1947
Большой русско-украинский политехнический словарь: около 160 000 слов и словосочетаний
Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Том 5
Текст
                    Ф. С. ГУДИМЕНКО,
І. А. ІІАВЛЮК, В. О. ВОЛКОВА
ЗБІРНИК
ЗАДАЧ
З ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ
РІВНЯНЬ
За редакцією
доц. Ф. С. Гудименка
Видання друге, перероблене і доповнене
Допущено Міністерством вищої і середньої спеціальної освіти УРСР як навчальний посібник для студентів університетів
ВИДАВНИЦТВО «ВИЩА ШКОЛА» КИЇВ — 1972
Б17.2 Г93
УДК 517.9(076.1)
Сборник задач по дифференциальнмм уравнениям. Ф. И. Гуднменко, И. А. П а в л ю к, В. А. В о л-к о в а. «Вища школа», 1972,156 стр. (на украпнском язьіке).
Сборник содержит задачи и упражнения по дифференци-альньїм уравнениям. В нем даньї краткие теоретические указания, а также подробное решенне типичньїх задач, к остальньїм задачам даньї ответьі, указания.
Пособие предназначено для студентов механико-матема-тических и физических факультетов университетов. Его могут использовать студентьі педагогических и техниче-ских вузов.
Редакція літератури з математики і фізики Зав. редакцією А. С. Макуха
30—72
Київський поліграфічний комбінат
ПЕРЕДМОВА ДО ДРУГОГО ВИДАННЯ
Готуючи друге видання «Збірника», автори насамперед мали на увазі студентів механіко-математичних, фізичних та радіофізичних факультетів державних університетів. Для цього «Збірник» грунтовно перероблено й доповнено: додано нові приклади і текстові задачі, переважно в розділах лінійних рівнянь першого та вищих порядків. Серед них чимало таких рівнянь, розв’язки яких не можна подати через елементарні функції за допомогою скінченної кількості дій. Ретельно перевірено умови вміщених у першому виданні всіх задач та відповіді на них і зроблено необхідні виправлення.
Принцип побудови книги не порушено. В кожному параграфі подано стислий виклад основних понять та означень, дано розв’язання типових прикладів, зазначено відповідну підручну літературу. До багатьох текстових задач, а також до деяких складних прикладів читач знайде короткі вказівки в розділі «Відповіді».
Зазначаючи в кінці кожного розділу відповідні підручники чи посібники, автори вдались до таких скорочень:
1.	Е. Л. Лйнс. (Айнс 3. Л. Обьїкновенньге диф-ференциальньїе уравнения. X., Государственное научно-техническое изд-во Украиньї, 1939).
2.	Ф. С. Гудименко. (Гудименко Ф. С. Диференціальні рівняння. Вид-во Київського державного університету, 1958).
З
3.	Е. Гурса. (Гурса 3. Курс математического анализа, т. 1, ч. І; т. 2, ч. 11. Дифференциаль-ньіе уравнения. М.— Л., ГТТИ, 1933).
4.	С. Є. Крижанівський. (Крижанівський С. Є. Диференціальні рівняння. X., ДНТВУ, 1938).
5.	М. М. Матвеєв. (Матвеев Н. М. Методьі ин-тегрирования обьїкновенньїх дифференциаль-ньіх уравнений. М., «Внісшая школа», 1967).
6.	І. Г. Петровський. (Петровский И. Г. Лек-ции по теории обьїкновенньїх дифференциаль-ньіх уравнений. М., «Наука», 1964).
7.	М. С. Пискунов. (Пискунов Н. С. Диффе-ренциальное и интегральное исчисления, т. 1, т. 2. М., «Наука», 1964).
8.	Ю. В. Пфейфер. (Пфейфер Ю. В. Інтегрування диференціальних рівнянь. Вид-во Київського державного університету, 1937).
9.	В. І. Смирнов. (Смирнов В. И. Курс вьіс-шей математики, т. II. М., «Наука», 1967).
10.	В. В. Степанов. (Степанов В. В. Курс диф-ференциальньїх уравнений. М., Физматгиз, 1959).
11.	Л. Е. Ельсгольц. (Зльсгольц Л. 3. Диффе-ренциальньїе уравнения и вариационное нечисленне. М., «Наука», 1965).
Друге видання «Збірника» підготували й опрацювали до друку Ф. С. Гудименко та В. О. Волкова.
Розділ І ВСТУП
§ 1. ОСНОВНІ поняття.
УТВОРЕННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
Нетотожне співвідношення між змінними та їх диференціалами (або похідними) звуть диференціальним рівнянням. Порядок найвищої похідної, яку містить дане рівняння, звуть порядком рівняння. Коли шукані функції, що входять в диференціальне рівняння, залежать від одного аргументу, рівняння зветься звичайним диференціальним рівнянням.
Покажемо утворення звичайного диференціального рівняння першого порядку на конкретному прикладі.
Приклад 1. Утворити диференціальне рівняння однопара-метричної сім’ї кривих 2-го порядку
Р (х, у. С) = х2 + Су2 — 4 = 0.	(1)
Розглядаючи в рівнянні (1) у як неявну функцію від х та диференціюючи по х, дістанемо
+ -Т"	= 2х + 2СУ -Т~ = о-	(2)
дх 1 ду сіх	у сіх	к 4 * * 7
4__х%
Визначаючи з (1) величину С, С = —-р— і підставляючи в рівність (2), матимемо рівняння
(4-^)-^- + ^ = °.	(3)
яке вже не містить параметра С. Отже, рівність (3) описує геометричну властивість, притаманну всім кривим, які зображає рівняння (1), і звуть її диференціальним рівнянням сім'ї (1), а співвідношення (1) — загальним інтегралом цього диференціального рівняння.
Знайти диференціальні рівняння таких сімей кривих (де можливо, дайте геометричне тлумачення здобутого результату):
2. х2 + у2 = С.
3. (х — С)2 + у2 = г2.
4. у — Сх2 = 0.
5. у2 = 2Сх.
6. х2 4- у2 — Сх = 0.
б
7.	у = еСх.
8.	у — Сес = 0.
9.	У = — •
X
ІО.	х — у — Се^~х =0.
11.	у = Сеагс‘г х + агсі£ х.
12	у = 5Іп(х + С).
13.	х у “|“ С (1 — ху) = 0.
14.	у = ск(х + С).
15.	Су9 + 2х — у2 = 0.
16.	агс8Іп-|- + х = С.
17.	у = 8ІПХ + С СОЯХ.
18.	Се-*— х —	+ 1 =0.
19.	г/ = і&Сх.
20.	у2 = 2Сх + С2.
21.	хІ£(х + С)-г/ = О.
22.	X сЬ (х + С) — у = 0.
23.	р2 = асоз20, а — параметр.
24.	у = Сге3х + С2е~3х, Сх та С2 — параметри, що підля
гають вилученню.
25.	у = Сг со8 ах + С2 $іп ах, Сх та С2—параметри, що підлягають вилученню.
26.	у = Сх + С21п х С3х3, Сх, С2, С3 — параметри.
27.	Скласти диференціальне рівняння сім’ї співфокусних кривих 2-го порядку -	£ = 1, С — параметр.
28.	Знайти диференціальне рівняння всіх прямих на площині.
29.	Утворити диференціальне рівняння прямих, що проходять через задану точку з координатами (а; Ь).
ЗО.	Знайти диференціальне рівняння сім’ї парабол, які проходять через початок координат і мають за вісь симетрії вісь Ох.
ЗІ.	Написати диференціальне рівняння всіх кіл на площині.
6
32.	Знайти диференціальне рівняння всіх парабол на площині.
33.	Знайти диференціальне рівняння всіх кіл на площині, які проходять через початок координат: х2 + у2 — 2 С^х — — 2С2у = 0.
34.	Знайти диференціальне рівняння кіл з радіусом г та центром у будь-якій точці площини.
35.	Скласти рівняння всіх парабол, які проходять через початок координат і мають вісь, паралельну Оу.
36.	Знайти диференціальне рівняння всіх парабол, осі яких паралельні осі Оу.
37.	Скласти диференціальне рівняння сім’ї кіл з радіусом г та центром на осі Оу.
38.	Скласти диференціальне рівняння всіх кіл, що дотикаються осі ординат.
39.	Знайти диференціальне рівняння сім’ї строфоїд
х (х2 + у2) = С (х2 — у2).
40.	Знайти диференціальне рівняння всіх еліпсів з даною фокусною відстанню 2с.
41.	Знайти диференціальне рівняння сім’ї циклоїд
X = С (І — 8ІП /), у = С (І — СО5 І).
42.	Знайти диференціальне рівняння сім’ї циклоїд з однаковою висотою Н = 2(1, основи яких лежать на осі Ох.
43.	Знайти диференціальне рівняння сім’ї кардіоїд, що проходять через полюс, мають в ньому точку звороту, а віссю симетрії кардіоїд є полярна вісь.
44.	Написати диференціальне рівняння сім’ї цисоїд (2С — х) у2 = х3.
45.	Скласти диференціальне рівняння логарифмічних спіралей, що мають полюс в початку координат
46.	Знайти диференціальне рівняння гармонійного коливного руху, описуваного формулою х = А соз (со/ -|- а), де А та а — довільні сталі.
47.	Показати, що у = Схт є загальний розв’язок диференціального рівняння ху' — ту = 0.
48.	Те ж саме для функції у = Сх +	і рівняння
у — ХУ' Н—, У 
Уі+у'2
49.	Показати, що диференціальне рівняння кривих 2-го порядку має вигляд:
9у"2уУ _ 45у"у"'уіУ 40у'"3 = 0.
7
50.	Показати, що агсі§ ---1п С Ух2 + у2 = 0 е загаль-
ний інтеграл диференціального рівняння
(х 4- у) сіх — (х — у)йу = 0.
51.	Показати, що функція у, визначувана співвідношенням агссоз-^- = 1п справджує диференціальне рівняння
х2у" + ху' + п2у = 0.
X
52.	Показати, що у = х у зіп (/2) сіі є розв’язок диференці-о
ального рівняння ху' — у = х2 з.іп (х2).
53.	Показати, що у = х + С]/г1+х2 є загальний розв’язок рівняння (1 + ху) Лх — (х2 + 1) сіу = 0.
54.	Показати, що у (Сх + 1п х + 1) — 1 = 0 є загальний інтеграл диференціального рівняння
ху' + У = У21п х.
Література
В. В. Степанов, розд. І, § 1, п. 1—4.
В. І. С м и р н о в, т. II, § 1, п. 1. Ф. С. Гудименко, § 3.
§ 2. ПОЛЕ НАПРЯМІВ. ІНТЕГРАЛЬНІ КРИВІ
Якщо в диференціальному рівнянні
4 - й	<4>
розглядати х та у як декартові координати точок площини, то (4) ставить у відповідність кожній точці області визначення функції / (х, у) певне значення г/', тобто надає певного значення кутовому коефіцієнту дотичної. Інакше кажучи, рівняння (4) для кожної точки М (х, у) вказує напрям кривої у = = Ф (х). Отже, знайти розв’язок рівняння (4) — це означає знайти криву у = ср (х), яка має в кожній точці М. (х, у) дотичну з кутовим коефіцієнтом, що дорівнює значенню / (х, у) в цій точці. Шукана крива у = ср (х) зветься інтегральною кривою.
Сукупність трьох значень х, у, у' визначає так зване поле напрямів. Накресливши в точках області Існування / (х, у) стрілки, що утворюють з віссю Ох кути, тангенси яких дорівнюють значенню / (х, у) в цих точках, дістанемо зображення поля напрямів. Геометричне місце точок з однаковим напря
8
мом поля у' = а звуть ізоклінами (грецькі ізоз — рівний, однаковий, кііпо — нахиляю). Якщо в деякій точці Р (х0, г/0) функція / (х0, г/0) стає нескінченно великою, напрям поля буде паралельний осі Оу\ замість рівняння (4) слід вдатися до рівняння
1 £ / \ “ЗГ ”	~ ^х’
Коли ж в Р (х0, г/0) функція / (х, у) набирає вигляду то вважають, що в цій точці поле напрямів не визначене, а саму точку Р (х0, г/0) звуть особливою точкою диференціального рів-няння.	**
Поле напрямів дає нам певне уявлення про хід і розташування інтегральних кривих.
Приклад 55. Побудувати поле напрямів і схематичний хід інтегральних кривих рівняння
<іу	<>
—г— = У —х-сіх у
Ізоклінами тут будуть параболи у — х2 = а, у = х2 + а. Надаючи а числове значення — нуль, дістанемо ізокліну у' = = 0, у — х2 = 0 або у = х2. Отже, максимуми та мінімуми інтегральних кривих розташовані на параболі у = х2. Знайдемо тепер геометричне місце точок, в яких у" = 0. Маємо: у" = у' — 2х = у — х2 — 2х = 0 або у = х2 + 2х. На цій кривій (параболі) знаходяться точки перегину інтегральних кривих. Після цих обчислень можна зробити зазначені побудови.
Побудувати поле напрямів та накреслити схематично хід інтегральних кривих таких диференціальних рівнянь:
36. <=Л+1.	57. ах	= х +у.
58. 4- - і . СІХ	X	59. А-ах			X
6°.	= У +	61. 4е ах	= у—х\
62.	= у — х.	63. сіх	= у — 2>х.
64. -^-=х2 + 2х-г/.	65. СІХ	= (0-1)а.
66.	= х — у*. СІХ	V	67. СІХ	= у — ех.
68. -^~ху-\.	69. (ІХ	= х(у- 1).
9
70.	=
72. А- = х2 + у2.
у' = -4=-, у' = 1 та у' = У~&
73.	= х2 — у2.
(Іх	а
71. А- = х2у. ах
Побудувати ізокліни у' — 0,
Побудувати ізокліни у' = 0,
у' = ± 1, у' = ± 2 та у' = ± 3.
74.	х2 + у2.	Побудувати ізокліни у' = 0,
У' =	> У' = У' =
75.	Дано рівняння у' = х + у2. Побудувати наближено за методом Ейлера криву, яка проходить через точку (0, 0), та знайти у при х = 0,3.
76.	Дано диференціальне рівняння = х + у. Побудувати за методом Ейлера інтегральну криву, яка проходить через точку (1; 1) в проміжку х = 1, х = 1,5, та обчислити наближено у при х = 1,5.
Побудувати інтегральні криві таких диференціальних рівнянь:
77.	— їху.	78.	= З'УУ2.
СІХ	&х ¥ V
79.	4Е- = #--	80. -^~= --7=--
сіх 2х	сіх	2 У х
Література
В. В. Степ а н ов, розд. І, § 1—2.
І. Г. Петр овсь кий, розд. І, § 2.
Ф. С. Г у д и м е н к о, § 4.
Л. Е. Ел ьсгол ьц, розд. І, § 1.
Розділ II
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ
Кажуть, що «вміють зінтегрувати диференціальне рівняння», якщо процес знаходження його розв’язку зводиться до відшукання невизначених інтегралів (чи квадратур), незалежно від того чи такі інтеграли можна подати через елементарні функції за допомогою скінченної кількості дій, чи ні. Існує незначна кількість типів диференціальних рівнянь, які з цієї точки зору можна розв’язати (тобто звести до квадратур). Загального способу відшукання розв’язку диференціального рівняння першого порядку не існує.
Нижче подано деякі типи рівнянь першого порядку та способи їх розв’язання.
§ 3. РІВНЯННЯ З ВІДОКРЕМЛЮВАНИМИ ЗМІННИМИ
Якщо в диференціальному рівнянні
М (х, У)(іх + N (х, у)(іу = 0 функції М (х, у) та М (х, у) можна подати у вигляді добутку двох множників, з яких один залежить тільки від х, а другий тільки від у, то рівняння матиме вигляд
Л (X) Рг (у) 4х + /2 (х) Р. (у) 4у = 0	(1)
і звуть його рівнянням з відокремлюваними змінними. Помноживши обидві частини (1) на функцію р (х, у) = „ . \	,
Г 1 (У) І2\Х) дістанемо
А<±г/х+-&#^ = 0.	(2)
Л(</)
Його загальний інтеграл — с?х + 4у = С. Ділячи на Рг (у) Д(х), відкидаємо розв’язки рівнянь (у) = = 0, 7г (х) — 0; через це втрачаємо деякі розв’язки рівняння (1).
Приклад 81. Зінтегрувати рівняння
х ]/ 1 — у2 дх 4- у ф' 1 4~ х2 <1у = 0.
11
Помноживши на функцію р. (х, у) = ,	, мати-
у і — у2 у і + х2
мемо рівняння з відокремленими змінними:
х<іх . у<іу _ 0 /1 + X2 "г" /1-І/2
іТ+^? — У 1-у2 = С — його загальний інтеграл. При відокремленні змінних припускалося, що у =£ ± 1. Загальний інтеграл не має розв’язків у = 1 та у = — 1, їх втратили.
Зінтегрувати диференціальні рівняння (там, де подано початкову умову, знайти також частинний розв’язок чи інтеграл):
82.	(у2 — 1) (х + 2) сіх — х2уау = 0.
83.	2х(1 +у*)ах + у(1 +х2)ау = 0, М(1; 0).
84.	х у 1 + у2 ах + у у1 + х2 ау = 0.
85.	(1 + х2) уЧх — (1 + у2) хЧу = 0.
- 86. 2х ]/ 1 + г/2 ах + е-х2ау = 0, М (0, 0).
.87. (х + 1) у -	(у2 - 1) у' = 0.
88- У' + ]/^ = °-
-89. ху(\ + х2)у' = 1 + у2, М(1; 1).
90.	8ЄС2 X усіх + 8ЄС2 у хсіу = 0.
* 91. ху' — у\пу = 0.
92.	Х8ІП у = у' (1 + Xі) СО8 у,
93.	хуЧх + (х2 — 1) (у2 + 1) сіу = 0.
94.	усіх — х 1п хсіу = 0, М (а;	.
95.	ху — (х2 + 1) у' = 0, М (0; 1).
96.	^- = єх+у, М(0; 0).
• 97. зіп х 8Іп усіх 4- соз х соз усіу = 0, М ; -2-) .
98.	у' = £±4 •
а У+ 1
6 99. (х2у —х2) Лу = (ху2 + у2) сіх.
100. зіпхну — у1пус?х=0, М , 1^.
юі. 4г-—гі4=0- м(°; 0-
ах 14-х2	’	\	/
12
102. еу(у' + 1)= 1, Л4(0; 0).
103.
104.
105.
106.
(ху2 + х)(іх+(у — х2у) іу = 0.
(1 + 2г/)х+ (1 +х2)(/' = 0.
х /а2 — у2 (іх — (х4 + 1) (1 + У) <1у = 0. . *3(у — і)3	п
(ІХ (X + 1) у
107.	уіх + (Уху-Ух) (Іу = 0, М(1, 1).
108.	(х + 2) еуіх + у Ух + 1 іу = 0.
109.	хуіх = (а — х) (у ~г Ь) іу.
110.	(1 + у2) іх — (у + УТ+~у2) (1 + х2)* іу = 0.
111.	х (у2 — 1) £?х + (у + 2) У2х — х2 іу = 0.
112.	(1	г/4) (соз х 4- 8Іп х) іх 4- У Узіп 2х іу = 0,
м(тґ:0)-
"4- 4^4-*^+
У 1 + х У 1—х
115.	(зІП X + соз х)2 (Іу = (зіп у + СОЗ у) (ІХ.
116.	/_ІЕ4йх4--=^^ = 0.
Г 1 +х2	1 хагсі£х
117.	(1 4- у2) хіх — у (х4 4- 4) іу = 0.
118.	х2(іх 4- у3ех+уйу = 0.
119-4^+4 "*-<>•
121. ху' 1 4- У*4х 4- (1 4-х2)(1 4- У3)(Іу = 0.
122.	2_^ау +1/ 4/+% + 19ах = о.
123.	т/Т 1 •	+ у' У 1 + СО5 у - 0. У 3 соз х + $іп *
124.	у-2 ІП ІП Х(ІХ 4- ХЄуг(Іу = 0.
125.	1 — їй2 у .	У 3—1п2 х .	~ —і—- (іх 4-  	(іу = 0. X 1п у	*	у	у
із
/	52а:«+іп>;
126.	_7--------—— = 0.
К 2^ 4-2	У3 + З
127.	-^--(5-Зсо8^)е-^= 0.
128.	(1 4- і&х) (1 4- ах + (1 — у) 8Іп 2хау = 0.
129.	ї§у  ІПСО8Х • ІП 8ІП у 4- СО82 X • у' = 0.
130.	(4 — соз2 2у) ах 4- (1 — 8Іп Зх) 8Іп 2уау = 0.
131.	(14- /) хах 4- е~* (І + х)2 (1 + у2) ау = 0.
132.	(2х4 — х) у' — 2 (х3 — 1) у = 0.
5 Г----5—
і/ 2 —з /у1
133,	££3.^) .6/х —----х----^г/ = 0.
- у'у
134.	-^=-1 = ^(1 4-е*)/.
• 135. у' — 8іп (х — у) = 0.
-136. -%_-(ах + Ьу + с)2 = в.
> "137. у' = (х + 8у 4- З)3.
Скласти диференціальні рівняння та знайти їх розв’язки: * 138. Посудину, що має форму півкулі радіуса 2 м, наповнено водою. За який час витече вода крізь круглий отвір радіуса 0,1 м, вирізаний в дні посудини?
139.	На деяку кількість нерозчинної речовини, що містить у своїх порах 2 кг солі, діємо ЗО л води. Через 5 хв розчиняється І кг солі. Через який час розчиниться 99% початкової кількості солі?
140.	В чан налито 100 л ропи, що містить 10 кг розчиненої солі. Зі швидкістю 3 л за хвилину в чай вливається вода, і суміш з такою ж швидкістю витікає з чана. Перемішуючи воду, в чані підтримують рівномірну концентрацію. Скільки солі залишиться в чані через годину?
141.	Деяка кількість нерозчинної речовини містить у своїх порах 10 кг солі. Піддаючи її дії 90 л води, довідалися, що протягом години розчинилася половина наявної кількості солі. Скільки солі розчинилося б протягом того самого часу, коли б кількість води подвоїти?
Вказівка. Швидкість розчинювання пропорційна кількості нерозчиненої солі та різниці між концентрацією розчину в даний момент і концентрацією насиченого розчину (1 кг на 3 л). Концентрацією с даної речовини звуть кількість її, що міститься в одиниці об’єму.
14
142.	Визначити криву, піддотична якої в кожній точці пропорційна п-му степеню абсциси цієї точки.
143.	Довжина еластичного шнура під дією сили натягу / збільшується на величину 6//, де к — стала. На скільки збільшиться довжина шнура, почепленого за один кінець, під дією тільки його власної ваги р?
$ 144. Рух пароплава уповільнюється силою опору води, пропорційному швидкості пароплава V. Початкова швидкість пароплава с0 = 10 м/сек. через 5 секс падає до ї^місек. Через , який час зменшиться до 2 м/сек? до 1 м/сек?
145.	Знайти криву, піддотична якої є а (стала).
146.	Знайти криві, у яких піднормаль є стала а. Вилучити з них ту криву, яка проходить через точку М (0; 1).
147.	Знайти криві, полярна піднормаль яких є а (стала).
148.	Знайти криву, полярна піддотична якої дорівнює полярній підиормалі.
а 149. Швидкість розпаду радію пропорційна наявній його кількості. З досвіду відомо, що протягом року вага одного грама радію меншає на 0,435 мг. Визначити період піврозпаду (час, протягом якого початкова кількість зменшиться вдвоє).
150.	У залі кубатурою 10 800 куб. м повітря містило після зборів 0,12% СО2. Скільки куб. м повітря, що містить 0,04% СО2, треба щохвилини подавати до залу, щоб через 10 хв у ній було 0,06% СО2?
151.	Чан циліндричної форми з вертикальною віссю заввишки 6 м і діаметром 4 м має в дні отвір радіуса м. Знайти залежність рівня води від часу і.
152.	Визначити криву, яка проходить через початок координат і поділяє прямокутник, утворений координатними осями та перпендикулярами, опущеними на них з будь-якої точки кривої, у відношенні 2:1.
153.	Площа, обмежена кривою, віссю Ох та довільною ординатою, дорівнює кубові цієї ординати. Знайти ту з інтегральних кривих, яка проходить через початок координат.
154.	Швидкість охолодження тіла в повітрі пропорційна різниці між температурою тіла та температурою повітря. Температура повітря 20° С, тіло протягом 20 хв охолоджується від 1003 до 60°. Знайти залежність температури від часу та через який час температура тіла знизиться до 30°.
155.	Кількість світла, що поглинається під час проходження крізь тонкий шар води, пропорційна товщі шару й кількості світла, що падає на його поверхню. Якщо під час проходження крізь шар завтовшки 3 м поглинається половина початкової кількості світла, то яка частина цієї кількості дійде до глибини 30 м?
15
156.	Знайти рівняння кривої в полярних координатах, коли відомо, що тангенс кута <р, утвореного радіусом-вектором, проведеним в точки дотику, і дотичною до кривої в тій же точці, дорівнює полярному куту 0.
157.	Нормаль М.0 перетинає вісь Ох в точці ф. Довести, що коли абсциса точки 0 вдвоє більша за абсцису точки М, то крива — рівнобічна гіпербола.
158.	Знайти в полярних координатах рівняння кривої, радіус-вектор якої утворює з дотичною сталий кут а, а = а.
159.	Довести, що крива, всі нормалі якої проходять через одну й ту ж фіксовану точку, є коло.
160.	Швидкість розмноження деяких бактерій пропорційна кількості бактерій в розглядуваний момент часу. Кількість бактерій подвоюється протягом трьох годйн. Знайти: а) залежність кількості бактерій від часу; б) в скільки разів збільшиться кількість бактерій протягом 9 годин.
161.	Знайти криві, для яких відрізок, що відтинає дотична на осі Ох, пропорційний квадратові абсциси точки дотику.
162.	Припустимо, що у вертикальному повітряному стовпі тиск на кожному рівні обумовлений тиском шарів повітря, що лежать вище. Знайти залежність тиску від висоти, якщо відомо, що на рівні моря цей тиск дорівнює 1 кг на 1 кв. см та 0,92 кг на 1 ке. см на висоті 500 м.
163.	Сповільнююча дія тертя на диск, що обертається в рідині, пропорційна кутовій швидкості обертання. Диск, почавши обертання зі швидкістю 100 обертів за хвилину, після однієї хвилини обертається зі швидкістю 60 обертів за хвилину. Знайти залежність кутової швидкості від часу.
164.	Деяка речовина перетворюється в іншу речовину зі швидкістю, пропорційною'кількості неперетвореної речовини. Кількість неперетвореної речовини через годину була 31,4 г, через 3 години — 9,7 г. Знайти залежність між кількістю неперетвореної речовини х та часом /; встановити, скільки було речовини на початку процесу.
165.	В культурі пивних дріжджів швидкість приросту діючого ферменту пропорційна наявній його кількості. Якщо ця кількість подвоюється протягом години, то в скільки разів вона збільшиться протягом 2,5 годин?
166.	Парашутист спускається на парашуті. Сила ваги парашута Рх = т§, а сила опо^'у повітря Р2 = &>2, к = сопзі. Знайти швидкість V парашута через секунд після початку спуску та шлях 5, пройдений за той же час.
167.	Встановлений вертикально чан циліндричної форми має отвір у дні. Половина води з повного чана витікає за 5 хв. За який час витече вся вода?
16
168.	Човен уповільнює свій рух під дією опору води, який пропорційний швидкості човна. Початкова швидкість човна 1,5 м/сек, швидкість його через 4 сек 1 м/сек. Через який час швидкість зменшиться до 1 см/сек} Який шлях може пройти човен до зупинки?
Література
В. В. С т е п а н о в, розд. І, § 2.
В. І. С м и р н о в, т. II, § І, п. 2—4.
Ф. С. Гудименко, § 4.
Л. Е. Е л ьсгол ьц, розд. І, § 2.
М. С. П и с к у н о в, т. І, розд. XIII, § 4.
§ 4. ОДНОРІДШ РІВНЯННЯ ТА ЗВІДНІ ДО НИХ
Диференціальне рівняння
А4 (х, у) сіх + N (х, у) ду = 0	(3)
зветься однорідним, якщо М (х, у) та N (х, у) однорідні функції одного й того ж виміру.
Функція /(х, у) зветься однорідною виміру т (т — будь-яке дійсне число), якщо справедлива тотожність
}(іх, іу)~ітІ(х, у) при будь-якому і.
Заміною у = их (абох = гу), ду = хЛи + иЛх (або Ах = = гЛу + уйг) однорідне рівняння (3) зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними.
Приклад 169. х = у 1п-~ . Покладемо и = -у-,	=
। сіп	гр . і 9 гі,а	і	 (їй
= н-4-х-^-~.	Тоді хи + х2—з— = хи Іпм або и + х-^— =
' сІХ	ах	1 сіх
= иїпи, х-^- = и(1пи- 1).
„.	...	сій	сіх
Відокремлюючи змінні, дістанемо ц	~— •
Отже, 1п (1п и — 1) = !п х + 1п С; остаточно
у = хес*+і.
Розв’язати рівняння:
'170. (У + ]/гх2 — у2) (їх — хііу = 0.
і 171. ху' = у(І + Іпу — Іпх).
-172. (х2 + ху	у2) д,х — х2(іу — 0.
173.	(у2 — 2ху) сіх + х2д.у = 0.
174.	2хуйх + (г/2 — х2) сіу = 0, М (1; 1).
17
175.	хіу — ("Их2 + у2 4- у) іх — 0.
176.	(Зх2 — у2) іх— 2хуіу = 0, М (І ; |/2).
« 177. (х — у — ]/ху)іх 4-]^ху йу = 0.
178.	(2х 4- Зг/) <іх 4- (х 4- 2г/) іу = 0.
* 179. (хуе у 4- у2) (іх — х2е у (іу = 0.
180. [х сі£ ------у^ (іх 4- хіу = 0.
181. (2]/7у — у) (іх — хіу = 0.
» 182. ху' — х соз-------у = 0.
183.	(бхг/ 4- 5г/2) іх 4- (Зх2 4- 10хг/ — у2) іу = 0. _у_
184.	[(х 4- У)2 е х + #21 іх — хуіу = 0.
185.	4х2 4- ху — Зг/2 4- (г/2 4- 2ху — 5х2) у' = 0.
а 186. (г/3 4- 2х2у) (іх — (2х3 4- 2ху2) (іу = 0.
187.	(х3 + Зхг/2) іх 4- (2г/3 + Зх2г/) іу = 0.
& 188. х3іх 4- (У3 — 2х2г/) іу = 0, М (1; 0).
189.	(2х3 4- Зхг/2) іх 4- у3іу — 0.
190.	2х3 4- х2у 4- у3 4- (2г/3 4- ху2 4- х3) у' — 0.
191.	(х3 — Зх2г/) <іх 4- (У3 — х3) іу — 0.
192.	(г/3 4- 2х2у) іх -1- (2х3 4- 2хг/2) іу = 0.
193.	(ах 4- у) іх — хіу = 0.
194.	(2х 4- у) іх 4- уіу — 0.
* 195. (4х 4- Зг/) іх 4- (х 4- У) іу = 0.
196.	(х — у соз іх 4- хсоз іу = 0.
До однорідних рівнянь заміною х = и а, у = у 4- Р зводяться рівняння вигляду
<іу = «1Х 4- ЬіУ 4- Сі	,4)
Лх а2х 4- Ь^у 4-	'
при умові, що — а2&х 0.
Приклад 197. у' 4-	= 0. Через те що —
—	= 7 • (—7) — (—3)  3=7^0, запроваджуємо заміну
х == гг 4-г/= п 4-Р. =	 В перетвореному рівпян-
18
(5)
.	За + 7а 38	7 п	о
н* лг + 3ц--7,-+за-7р--з- = 0 доберемо числа а та 0 так, щоб воно стало однорідним, тобто покладемо 7се _ ЗР _ 7 = 0, За —7^ —3 = 0.
.	(IV , 7и — За Л	, ск)
Однорідне рівняння-^- +	 = 0 заміною V = іи, =
= 1+ зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними
, . сіі . 7и — Зіи	сі! . 7/2 — 7 п
і + и “л—Ь	= 0, и —Ь	—7г- = 0,
сій 1 За — /іи * сій ‘ 71 — 3	’
71	3 її । сій __ л
7/3 — 7	+ ~й °*
Зінтегрувавши, дістанемо
21п(* — 1)4-21п(^4- 1) + 71п« = 1пС або (і — 1)2(/ 4- 1)5и7 = С.
Вертаючись до вихідних змінних, взявши до уваги, що
і =	, и = х — 1, V = у, бо а = 1, 0 = 0 з (5), матимемо
остаточно інтеграл у виглят
(г/-х-1)2(^/ + х-1)5 = С.
Якщо агЬг — а2Ьг = 0, то заміна г = агх 4- Ь-уу перетворює (4) в рівняння з відокремлюваними змінними.
Приклад 198. ^-+	= 0.
З огляду на те, що агЬ2 — а2Ьг =1 -2 — 2 • 1=0, вдаємося ।	. сіг < , 2з — 1 л йг .
до заміни х + у = х. Тоді -----1 +	- = 0 або +
2-1-1
4~ г_2  =0. Відокремивши змінні та зінтегрувавши, дістанемо г — 31п (г 4- 1) 4~ * = С> остаточно 2х 4- У — 31п(х4-+ У + 1) = С.
Знайти інтеграли рівнянь: 199.
' 200.
201.
202.
« 203.
204. (8х + 25г/ — 62) сіх — (1 їх 4- 4г/ — 11) сіу = 0.

(6х у — 1) сіх + (4х + у — 2) сіу = 0. (х — 2) сіх + {у — 2х 4- 1) сіу — 0.
(5х — 7у + 1) сіу 4- (х + у — 1) сіх -= 0. (х -ь 2у + 1) сіх — (2х + 4у + 3) сіу = 0. (х + У + 1) СІХ н- (2х + 2у — 1) сіу = 0.
19
Не лише рівняння (4), але й більш загальне-------------=
е ( агх 4- у 4-	\	•	а^х ЬуУ 4“ й
= / - •  т-й -—Н заміною г =	.	——, яку реко-
1 \ а2х + Ь2у + с2 І	а2х + Ь2у + с2 ’	> г
мендував В. П. Єрмаков, завжди зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними. Г. В. Пфейффер запропонував користуватися в рівнянні (4) заміною -------------------
67-і X —І” &1У 4“	1	/*\	• °
-----। ' а Т = ”а— ( )> завдяки якій значно спрощується 67 2х 4- с2у 4~ с2 022
техніка розв’язування цього типу рівнянь. Справді, з останньої рівності дістанемо їх 4- т	1	/	і.	с »
— —, де І = а2о1 — т =	— о^.
(іу _ їх т (іг . І а2
~	(Іх ‘ Ь2г Ь2 *
сіух 4~ ^іУ ”Н	—* 1
а2х 4- Ь^у 4- с2 “*
Я2Х 4“ &%У -Ь
Отже, —Г- = ----7—
иХ	С?2
Але з рівності (*)
а тому рівняння (4) набирає вигляду
(їх + т)-^ +Іг—а2 =
Відокремлюючи змінні, будемо мати
(Іх ..	г(іг
Ь2г
Ьгг — 1 г
їх 4- т ”г /з2 + (л2 + Ьі) з — 1
Приклад 205.
, = 2х — г/ + 1
V х — 2г/+ 1
Запроваджуємо заміну
1 _ 2х — г/ + 1 =_____1_
2 х — 2у + 1	2г
Звідси	г = 4~ 1 аб° (Зх + 1) г = х — 2г/ + І.
Диференціюючи останню тотожність, знайдемо
(іу _ 1 ___ 3 Зх 4~ 1 ^г
(Іх 2	2	2 (Іх '
ТЛ •	2х — у 4- 1	1.1
Кр™ ЦЬОГО, Х_2Д1 -^-+-2-.
Підставляючи останні вирази в це рівняння, дістанемо 2£±1 + (3х+і)4=о.
Отже,
(ІХ ! 2СІ2 _ п С	 ґ 2<І2	1
3x4- і + Зз24- 1 ” и’ 3 3x4- 1 Л Зз2+ 1	1
(Зх24- І)2 (Зг2 + 1) = С.
20
х __ 2і/ | 1
Якщо г = —і —» то остаточний вираз загального інтеграла буде такий:
Зх2 + Зу2 — Зху + Зх — Зу + 1 = С.
Заміна (*) застосовна й до рівняння
Лу = г ( агХ + Ьху + Сі \ (іх ' \ а2х + Ь2у + с2 Г
До однорідних рівнянь зводяться ще так звані ^загальне-но-однорідні рівняння. Рівняння типу (3) зветься узагальнено-^однорідним, якщо, вважаючи в ньому у з виміром а, а х з виміром 1 (тоді &у матиме вимір а — 1, а (іх —0), можна дібрати число а так, щоб рівняння стало однорідним. Заміна у = = 2а зводить такі рівняння до однорідних.
Приклад 206. усіх + (у2 — 2х) (Іу = 0.
Щоб це рівняння було однорідним, виміри всіх його членів повинні бути однакові, тобто
а 2а 4-а — 1 = 1 + а — 1.
і	- а
Звідси а = Запроваджуємо заміну у = г2. Тоді =
1	(12
= у2 2 ~іїх * Раяння набирає вигляду
г2 (іх 4- у (г — 2х) г 2 <1г або 2г 4- (г — 2х)	= 0.
Це вже рівняння однорідне, і заміна г = іх, = і 4-перетворює його в рівняння з відокремлюваними змінними: /__2	сіх	2
—р— сК 4—— = 0. Інтегруючи, знаходимо 1пі 4- — 4- Іпх =
2х
= 1п С, Або, повертаючись до початкових змінних, у2е = С.
Поєднуючи дві заміни у = 2а та г = іх, дістанемо заміну у = /<*ха, або у = иха. Остання зразу ж перетворює узагаль-нено-однорідне рівняння в рівняння з відокремлюваними змінними.
Приклад 207. (х 4- у3) (іх 4- (З#5 — 3#2х) йу = 0. Шукаємо а ? 1= За = 5а 4-а — 1 = 2а 4- 1 4- а — 1, звідки а = 4"- По-о
(іу V (Іи ,	1	— т •
маємо -/-=х3 -з—3 ці,внаслі-ах	ах 1 З
клавши у = их3,
док підставлення, змінні,
сій .	4- 1 п
1Г + ЗиЬ-Зи* =0 аб0’ Відокремивши
За5 — Зи2 ,	.	(іх п
—д-,- . (іи 4---------- 0.
а0 4- 1	1 х
21
Зінтегрувавши, матимемо
1п («6 + 1) — агсі§ м3 4- 1п х = 1п С; остаточно
2 агсі§ -у- = 1п С (х2 + «/’)•
Знайти загальні інтеграли рівнянь:
208.	у (х2у2 + 1) сіх 4- (х2у2 — 1) хсіу = 0.
209.	у3йх 4- 2 (х2 — ху2) сіу = 0.
210.	Зх^усіх 4- (У1 — х6) сіу = 0.
* 211. 4ху2сІх + (Зх2у—\)сіу = 0.
• 212. (х 4- у — 2) сіх 4- (х— у 4- 4) сіу = 0.
213.	^ = -2х~У-\ .
ах х — 2у — 1
214.	(х — 2у 4- 5) сіх 4- (2х — у + 4) сіу = 0.
‘ • 216. хусіх 4- (У* —х2)сіу — 0.
217. (ху2 — у) сіх — (х3у2 — Зх2у 4- Зх) сіу = 0.
218. (у + у Ух2у* — 1 )0х + 2хсІу = 0.
* 219. 2ху3йх + (х2у2 + 1) (іу = 0.
220. 2 (Ух^у2 + 1 — х2у) йх — х3сІу = 0.
• 221. у (1 + ]/х2#4 + \)йх + 2хйу = 0.
222. (х Ух2у2 — х6 — 2у2)(іх + хуйу = 0.	;
* 223. (х2у3 — у) сіх— (х*у3 — 2х3у2 + Зх)(іу 0.
Скласти, виходячи з умов задач, диференціальні рівняння та знайти їх розв’язки:
224. Знайти криву, що має таку властивість: відстань будь-якої дотичної від початку координат дорівнює абсцисі точки дотику.
225. Визначити криву, всі дотичні до якої проходять через початок координат.
* 226. Знайти форму дзеркала, що відбиває всі промені, які виходять з однієї точки О, рівнобіжно даному напряму.
227.	Визначити криву, знаючи, що піднормаль будь-якої точки кривої є середнє арифметичне між координатами точки.
228.	Знайти криву, піддотична якої є середнє арифметичне координат точки дотику.
22
229.	Знайти криві, у яких піддотична дорівнює сумі абсциси та ординати точки дотику.
230.	Визначити криві, у яких піднормаль дорівнює різниці між радіусом-вектором та абсцисою точки дотику.
231.	Визначити криву, для якої відношення відрізка, утворюваного дотичною на осі Оу, до відрізка, утворюваного нормаллю на осі Ох, є величина стала.
232.	Визначити криву, знаючи, що трикутник, утворюваний нормаллю в усякій її точці з осями координат, є рівновеликий трикутнику, утвореному віссю Ох, дотичною та нормаллю.
233.	Знайти криві, якщо відомо, що їх нормалі збігаються з радіусом-вектором точки дотику.
234.	Знайти криву, знаючи, що в кожній її точці довжина відрізка дотичної дорівнює довжині відрізка, який відтинає дотична на осі Ох.
235.	Знайти криву, знаючи, що відношення відрізка, утворюваного її нормаллю на осі Ох, до радіуса-вектора, є величина стала й дорівнює к.
236.	Довести, що інтегральні криві рівняння
(ах + Ьу + с) йх + (ау — Ьх + с^йу = 0 є логарифмічні спіралі.
237.	Знайти криву, знаючи, що трикутник, утворюваний дотичною до неї, віссю Оу та радіусом-вектором точки дотику, є рівнобедрений.
238.	Дві рідини х та у піддають дистилюванню. Відомо, що в будь-який момент цього процесу відношення кількостей рідин, які перетворюються в пару, пропорційне відношенню кількостей, які знаходяться ще в рідинному стані. Визначити залежність між х та у.
Література
В. В. С т е п а н о в, розд. І, § 3.
В. І. Смирнов, т. II, § 1, п. 3—5.
Ф. С. Гудименко, § 5, 6.
Л. Е. Е л ь с г о л ь ц, розд. І, § 3.
М. С. П и с к у н о в, т. І, розд. Хїїї, § 5, 6.
§ 5.	ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ ТА ТІ, що до них зводяться
Диференціальне рівняння першого порядку зветься лінійним, якщо шукана функція та її похідна містяться в рівнянні в першому степені (тобто «лінійно») і не перемножуються. Його канонічна форма
-^+Р(Х)£/=(3(Х).	(6)
23
Існує кілька способів інтегрування цього рівняння. Найчастіше застосовують спосіб варіації довільної сталої, суть якого викладено в наступному прикладі.
Приклад 239.
+ 2ху = 2хе~х'.	(7)
Беремо відповідне йому лінійне однорідне рівняння
>+2« = 0,
тобто таке рівняння, ліва частина якого ідентична з лівою частиною заданого неоднорідного рівняння. Змінні в ньому відокремлюються: -у- + 2 хйх = 0. Отже, 1п у + х2 = 1п С, у = Се~х\ Це є загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння. Розглядаючи в ньому С як невідому функцію від х, добирають її так, щоб функція у = С (х) е~х2 була розв’язком лінійного неоднорідного рівняння. Для цього знаходимо = -С^ е~х2 — 2хС(х) е~*г і разом з у = С(х) е~х2 підставляємо в рівняння (7):
— 2С (х) е~хіх + 2С (х) хе~х' = 2хе~х\
Звідси = 2х, дС (х) = 2х(1х, С (х) = х2 + Сг. Таким чи-ном, у = (Сг + х2) е~х2 =	+ х2е~х2 є загальний розв’язок
рівняння (7).
В наступних прикладах знайти загальний розв’язок рівнянь і вилучити частинний, якщо дано початкову умову:
240.	— у = 2х — х2.
” 241.	— у = х— 1, Л4(0; 1).
• 242.	+ ху = х3, М (0; — 2).
243-	-зг + 3^ = х2+ Е
244.	у' + 2у =х3.
245.	у' — усі&х = 2х— х2сі§х.
9 246.	Г/СО5Х = 8ІПХСО8Х.
* 247. у' + у = 8ІП х + соз х.
24
248.	х1пх-^-4- у = 21пх, М (е; 0).
249.	у' — 2ху = созх— 2хзіпх, М (0; 1).
250.	— 2ху = 1.
251.	хіпх -------у = х(1пх—1).
252	и' ХУ хі х І ех
У - -Х2+1 -	Х*+1 Є •
253. у' + усо8х= е~зіах.
254	— 2у = — 5іп2х .
(іх зіп 2х	соз х
255. усіх + (2х — 6/) сіу = 0.
256,±+± = ^ ах х х‘
257.
258.
259.
260.
261.
262.
У	' + У х = х соз2 х, М (0; 1). зес усіх — (х 4- зіп у) <іу = 0.
,/ і У _ х 4- /1 — х2
У	~г’ /(1-х2)3	(1-х2)2
ху' 4- У = X созх, (1п#4-х)/ = 1-
У	Т+^-%-----------*	~
4х 1п(х4-|/1 4-х2)
Іпх
/14-х2 X
ІП (х 4- У 1 4- X2) ‘
263.	[5 (х 4- я)3 — 2у] сіх — (х 4- я) Лу = 0-
264.	(2х — 4/) сіу 4- усіх = 0, М (1; 1).
265.	х3сіу — 2хуЛх = Зсіх.
266.	у' зіп х — у = 2 зіп2 -у-.
267.	(ї/2 — 6х) у' 4- 2у = 0, М (0; — 1).
268.	(у — у3) сіх 4- (2хі/2 — х — У^сіу — 0.
269.	е*‘сіу 4- (2хуех‘ — х зіп х) сіх = 0.	х «
271.	усіх+ (2х— \0у3)<іу = 0, М(0; 1).	* '
272.	х соз х 4- У (х зіп х 4- соз х) = 1.
273.	сіх 4- (х — е~у8ес2у)сіу = 0, М (2; 0).
25
До лінійних рівнянь зводяться рівняння
{'(УЇ^ + РМНу) = $(*)>	(8)
-^- + Р(х) =<2(х)еЧ	(9)
^+Р(х)у = (}(х) ут.
Останнє має назву рівняння _Бернуллі. Заміною г = у1~т воно перетворюється в лінійне.
Простими замінами, як це буде показано далі, рівняння (8) та (9) теж зводяться до лінійного.
Приклад 274. соз у 4- зіп у = х 4- 1.
Це є рівняння типу (8), коли придатна заміна г = / (у).
Отже, покладемо г = зіп у, тоді = соз у . Рівняй-
СІ2
ня набере вигляду + г = х + 1. Здобуте лінійне рівняння розв’язуємо методом варіації довільної сталої:
+ г = 0, ——р йх = 0, 1п г 4- х — 1п С, сіх '	’ г '	.	1	’
г = Се-х-, -^- = е-х-^- — Се-\ ах	ах
---Се~х + Се-*^Х -1-І,	= (х + 1) ех,
С (л) = хех — ех + ех 4- Су
г — х + Сів-*.
Остаточно
зіп у = С-ре-11 4- х.
Приклад 275.	---X = ХЄ~хгЄ2У. Це е рівняння типу (9);
помноживши його на — пе~пу, а потім поклавши г = е~пу, дістанемо лінійне рівняння.
Отже, в даному випадку помножимо обидві частини на
—2е~2у та зробимо заміну г = е~2у,	= — 2е~2у Ді-
станемо лінійне рівняння
4 + 2«
Розв'язуючи останнє (приклад 239), знайдемо г — Се~~х2 + + х2е~хг; остаточно е~~2у = Се~~хг +
26
Приклад 276. (1 — х2)--ху = аху2. Це рівняння Бер-
нуллі. Рекомендується зразу ж поділити обидві частини на ут, в даному випадку на у2. Дістанемо
а-^гг2-^---у = ах-
Заміна г = -у-, -^-= — У~2~^~ перетворює це рівняння в лінійне: (1 —х2)	+ хг = —ах. Розв’яжемо його способом
варіації довільної сталої. Маємо
(1 — х2) —- хг = 0,---Ь -і--»- = 0,
/	'	7 (їх	’ г ‘ 1 — х2 ’
1пг---1п(1 — х2) = 1пС; г = СV 1-х2,
&	__ 1/1	ч^2	______
ах ~ у 1 л ах уг^ ’
з
(1-х2)2	—СхУї=^+ Сху 1-х2 = —ах,
ас __ ах
ах	з ’
(1 —Xі)2
С(х) = - Д_ + С1( г^суі/т^-а.
У 1 — х2
Остаточно загальний розв’язок матиме вигляд у= *	
СіУ1—х2 — а
Зінтегрувати подані нижче диференціальні рівняння та вилучити інтегральну криву там, де вказано початкову умову.
277.	~%- + (2-х)1пу = х(е2х-е~~).
278.	зес2г/-^-4-хі£і/= х.
279.	є~х — е~х = е". ах
280.	-----------2Ц±£ = 2 (х + 5).
V1 + у <ІХ	X	VI/
281.	Г1___	+ Уу2+ 1 = х2 + 1.
уу2	і ах 1	1	1
- 282. у’+ -Т^-2. = хУу.
283.	Зсіу -Ь (1 + ех+^) Лх = 0.
27
284.	х-^- + у = у2)пх, Л4(1; 1).
285.	зіп хсіу — соз хсіх = е~ч зіп хсіх.
286.	у' 4- зіп у + х соз у + х = 0.
> 287. (х2у8 + ху) у' = 1.
288.	3-^-----у зіп х + Зу4 зіп х = 0.
290.	-^ + (1 + у2) х агсі§ у = (1 4- у2) х.
291.	4 + 5І^'Е1'=^
292.	.ЖЛ + ^ГИ1= 1.
* 293. соз х ---У8Іпх=у4.
294.	ху' 4- у = ху2 Іпх.
295.	у'+ 1- = у*(\_х2), М(1; 1).
296.	у' — уі§х = — у2СОЗХ.
297.	4- ху = у8 (зіпх4- хсозх), М (0; 1).
298.	(1 4- х2) у' = ху 4- х2у2.
299.	хусіх 4- (х2 + у2+1)Лу = 0.
* 300. (х8у — Зх2у 4- У8) сіх 4- 2х8сіу = 0.
ЗОЇ. (х2 + у2 + 2х — 2у)0х + 2(у — 1)сіу = 0.
До лінійного*рівняння зводиться також рівняння Міндін-га — Дарбу.	‘———
М (х, у)йх + N (х, у)йу 4- Д (х, у) (хіїу — усіх) — 0,
де М. (х, у) та N (х, у) — однорідні функції виміру т, а 7? (х, у) — виміру п. Зробивши заміну у = их і вважаючи х за шукану функцію, и — за аргумент, зводять його до рівняння Бернуллі, а останнє — відомим шляхом — до лінійного.
Приклад 302. (х3 — ху2) сіх 4- 2.x2 у іу — (хсіу — усіх) = 0.
Покладемо у = их, отже, сіу = исіх 4- хіи, тоді
(х3 — х3м2) сіх 4- 2х®и (исіх 4- хсіи) —
— (ихіх 4- х2іи — хиіх) = 0, або
х (І 4- и2) сіх 4- (2х2и — 1) сій = 0.
28
Вважаємо далі х за шукану функцію, а и — за аргумент; тоді "Зи" і +~й^~х = і 4-7? х~1- Одержане рівняння є рівнянням Бернуллі. Його можна розглядати і як рівняння типу (8). _ ,	«	і-,	•	2
Зінтегруємо його. Зробивши для цього заміну г = х\	=
= 2х дістанемо	= уру. отже, далі	+
+ -4±£-..=о 14-м2
Іпг + 2 1п(1 + и2) = ІпС, г = С(1+и2)-2,
(1 + и2)"2-^- = -г?-г, іС = 2 (1 + и2) сій, ' 1	' аи 1 + г? ’	4	'
1 \ о і 2 з । /-*	4" 2і? У	,.2
С (ц) = 2и 4 и 4“	з (1 | и2)2 х '
Остаточно
6хУ 4-2і/3 4-З^х3 х~ З(х24-і/3)2
Зінтегрувати рівняння:
303.	усіх 4- хіу 4- у2 (хіу — усіх) = 0.
304.	(х2 4- У2 + у) іх — хіу = 0.
305.	(у2 4~ Уху2) іу — 2у2іх 4- (х -Н у) (хіу — усіх) = 0.
306.	х2у2іх 4- хіу2д.у 4- усіх — хіу = 0.
307.	(х2у 4- у2 — ху) сіх 4- х2іу = 0.
308.	у2 (х 4- а) іх 4- х (х2 — ау) іу = 0.
309.	(2ху — х2у — у2) іх — (х2 4- у2 4- х3 — ху2) іу = 0.
310.	(Зх4г/2 4- у2) іх — (ху1 4- 2Х5!/) іу = 0.
311.	(х2 4- 2ху 4- х2у — у2 — у3) іх (у2 ху2 4- 2ху — — х2 — х3) іу — 0.
Розв’язати задачі:
312.	Знайти криву, яка має таку властивість: відрізок осі Ох від початку координат до перетину з дотичною до кривої в будь-якій точці пропорційний ординаті цієї точки (к — коефіцієнт пропорційності).
313.	Знайти криву, дотична до якої утворює на осі Оу відрізок, величина якого складає — частину суми координат точки дотику.
314.	Знайти закон зміни струму в колі з опором 7? та самоіндукцією Ь, якщо початкова сила струму є 70, а електрорушійна сила змінюється за законом V = ц0 зіп сні.
29
315.	Площа трапеції, утвореної дотичною до деякої кривої, осями координат та ординатою точки дотику, є величина стала — а2. Знайти цю криву.
316.	Знайти криву, кожна дотична до якої перетинає пряму у = 1 в точці з абсцисою, що дорівнює подвоєній абсцисі точки дотику.
317.	Знайти криву, дотична до якої в точці (х, у) проходить через точку (х2, у2).
318.	Знайти криву, в кожній точці якої піднормаль є середнє арифметичне квадратів координат цієї точки.
319.	Знайти криву, у якої площа криволінійної трапеції з основою [а, х] дорівнює —-й площі прямокутника з тією ж основою та висотою, що дорівнює крайній ординаті.
320.	Відрізок на осі Ох, який відтинається нормаллю до деякої кривої, дорівнює Знайти цю криву.
Література
9 \
В. В. Степ а н ов, розд. 1, § 4.
В. 1. Смирнов, т. 11, § 1, п. 4.
Ф. С. Гу д и мен к о, § 7, 8.
Л. Е. Е л ь с г о л ь ц, розд. 1, § 4.
М. С. П и с к у н о в, т. 1, розд. ХНІ, § 7, 8.
§ 6. РІВНЯННЯ ЯКОВІ
Під рівнянням Якобі розуміють диференціальне рівняння першого порядку такого вигляду
(а + а±х + а2у) (хсіу — усіх) — (6 + Ьгх + Ь2у) сіу +
+ (с + сгх + с2у) сіх = 0.	(10)
Рівняння Якобі завжди зводиться до квадратур. Зауважимо, що коли а = Ь = с9 рівняння (10) є рівнянням Міндінга — Дарбу, при а2 = Ь2 = с2 — лінійне рівняння, а при аг =• а2 = = 0 — рівняння, розглянуте в § 4, що зводиться до однорідного.
Розглядаючи загальний випадок рівняння (10), покажемо на конкретних прикладах, як знаходити загальний інтеграл рівняння Якобі.
1 Приклад 321. (х + у) (х<іу — усіх) — (— у + \)сіу + (— х + + 3(/- 1) б/х = 0.
Вводимо заміну:
х = и + а, у = V -Ь р, сіх = сій, сіу = сію, де а та р — сталі, які потрібно дібрати так, щоб зробити коефіцієнти при идм — юсіи, сій та відокремлюваними й однорідними відносно и та V.
ЗО
Маємо:
(и + у) (исії — у(іи) + [и + Р — 1 + а (и + V) +
+ а (а + Р) + (а + Р) и] (IV + [— и — Зу — а + Зр — 1 —
— (а + Р) V + (а + р) — (и + о)р] йи = 0.	(11)
Як бачимо, треба покласти
Р-1+а(а + Р)=0, 1
-а + 3|3—1-р(а + р) = 0. )	(1 }
Таким чином, дістали два рівняння другого степеня з двома невідомими. Якщо покласти а + р = І, то система (12) зводиться до такої:
— X Т" сс -|- р = 0, 1 — Ха — Р = 0, • — 1—а+ (3 — Х)р = 0.
В загальному випадку система (13) має вигляд а — X + ака + а2Р = 0, ь + (&! — X) а + &2р = 0, ф с + ^а + (с2 —Х)Р =0.
(13)
(14)
Щоб система (14), чи зокрема (13), була сумісна, має бути
виконана така умова:
а — X, а1У
Ь, Ь1 — К с,
а2
^2
с2 — X
— л,
1,
— 1,
1, -X, - 1,
1
— 1
З —%
= 0,
або в розгорненому вигляді X3 — ЗХ2 — % + 3 = 0. Останнє рівняння має три корені: = 1, %2 = — 1, %3 = 3. Для X = = — 1 з (13) дістаємо
а + р = — 1,
а — Р = — 1, — а + 4р = 1. Звідси а = —1, Р = 0.
Для X = 1:
а + Р = 1,
а + р = 1, — а + 2р = 1.
Звідси а = Р =
Для X = 3: а + Р = З,
За 4-р = 1,
Звідси а — — 1, р = 4.
а — — 1.
31
Отже, є три можливості. Беремо X = — 1, тобто а = — 1,0 = = 0. Рівняння (11) набирає вигляду:
(а + у) (исЬ — ї)(1и) — 2исії + (4р — а) сій = 0.	(15)
Таким чином, дістали рівняння Міндінга — Дарбу.
Заміна г = — дає и
(2г—1)— 2« = — (1 4-г) «2,
або сій 2и	1 + г 2
йг	2г-1	1—2г и
(рівняння Бернулі).
Поклавши ау = дістанемо лінійне рівняння
,	2ш	= г+1	(1б.
аг 2г- 1 2г — 1
Розв’язок відповідного йому однорідного лінійного рівняння буде мати такий вигляд:
Застосування способу варіації довільної сталої дає
С(г) = 4 + г + С1.
Отже, розв’язком рівняння (16) ш:
(г3	\	1	Сі	г	г3
— + г +	 2г_ ] = 2г— 1 + 2г - 1 + 2 (2г — 1) ’
Беручи до уваги, що х = и — 1, у = у, і вертаючись де початкових змінних, знайдемо:
У2,	У
1		 Г ч Х+1 - о/ 2у	'		! 1 	
>+' .	1	*4-1	Х4-1
Остаточно
-у- + ху — У + х + 1 = Сі (х + 1)г.
Приклад 322. (х 4- у 4- 2) (хйу — усіх) — (х — у — 2)(Іу-+ (х + Зу + 2) (іх = 0.	(11
Застосувавши заміну х = и + а, у = V + 0, для визначеі ня X, а, 0 дістанемо рівняння
2 — X “|" 4“ 0 = 0,
— 2+(1 — Х)а —0 = 0,	(1і
2 4- а 4- (3 — X) 0 = 0,
32
для сумісності яких потрібно
2-Х,	1,	1
— 2, 1-Х,	- 1
2,	1, З — К
Звідси = Х2 = %8 = 2.
Підставляючи в систему (18), для визначення а та 0 мати-
мемо:
« + 0 = 0,
а + 0 = — 2, а + 0 = — 2.
Система несумісна — визначити а та 0 неможливо. У цьому разі віднімемо від коефіцієнта при хйу — усіх в рівнянні (17) число X = 2; для того щоб рівність не порушилась, додамо до інших доданків 2 (хіу — усіх). Внаслідок цього матимемо
(х + у) (хсіу — усіх) —(—Х-у — 2)сІу +
+ + У + 2) (їх — 0.	(19)
Далі, згідно з теорією, запроваджується нова функція а2г = = алх + а2у, тобто в даному разі г = х + у. Звідси у = г — — ху йу = йг — Ах. Підставляючи в рівняння (19), перетворимо останнє до такого вигляду:
х2 + г + 2-2«-^ = 0, або
(їх __ ? + 2
Аг г ~~ г2 ’
тобто до лінійного рівняння відносно шуканої функції х. Загальний розв’язок відповідного лінійного однорідного рівняння буде х = Сг. Застосовуючи спосіб варіації довільної сталої, знайдемо загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння. Маємо
2^ = 1+1, аС(г)-(±+^,
отже,
Якщо вернутися тепер до початкових змінних, то загаль-пиіі інтеграл буде мати такий вигляд:
х = С± (х + у)--!----1,
1 \ і// х _|_ у	»
або	С± (х + у)2 = 1 + х + у + х (х + у).
2 І-- 2414
33
Зінтегрувати рівняння:
323. (14х 4- ІЗ# + 6) ах + (4х + Зу 4- 3) іу — (7х + 5#) X X (х<іу — уйх) = 0.
324. (1 — х) ах 4- (1 — у) йу 4- (х — у) (хау — уах) = 0. » 325. (у— х — \)ах — (х — г/4- 1)^#4- (х 4- у 4- 1) х х (хау — уах) - о.
326.	(Зу 4- 2) ах 4- (у — X 4-1) ау 4- (2х 4- З# 4-1) х х (уах — хау) = о.
327.	2хах 4- (у — 2) ау 4- х (хау — уах) = о.
328.	(х 4-1) ах — уау 4- (х 4- у 4-1) (уах—хау) = о.
329.	(2х — 1) йх 4- 2 (у — 2х) йу 4- (х — у 4- 2) х х (хау—уах) = о.
330.	(х — 1) ах 4- (х — у — 2) йу 4- (у — х 4- 2) х х (хау — уах) = о.
331.	(4х 4- 2у 4- 3) (хау — уах) — (х — у 4- і) ау 4-
4-	(4х 4- Зу 4- 2) ах = 0.
332.	(х 4- у 4-1) (хау — уах) — (х — у 4-1) ау 4-
4-	(у — х — 1) ах = 0.
333.	(4х 4- 2у 4- 1) (хау — уах) — (х 4- у 4- 1)^4-
4- (4х 4- у 4- 2) ах = 0.
Література
В. В. Степанов, розд. І, § 5.
Е. Гу р са, т. II, 2, § 367, 377.
Ю. В. П ф е й ф е р, розд. І, § 4.
Е. Л. А й н с, 2.14, 2.21.
§ 7. РІВНЯННЯ В ПОВНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛАХ
Якщо ліва частина рівняння
М (х, у)дх + N (х, у) йу = 0	(20)
є повний диференціал якоїсь функції і/ (х, у), тобто
+ ^-<іу = м(х> у)ах + ^х, у)ау, то рівняння (20) зветься рівнянням у повних диференціалах. Воно буде таким тоді й тільки тоді, коли	Якщо
ця умова виконана, функцію і/ (х, г/), як це видно з наведеного далі прикладу, знайти дуже просто.
34
Приклад 334. (х3— Зху2) йх 4- (у3— Зх2у) йу = 0. Маємо — — Ьху, = — Зху. Отже, згадана вище умова виконана. Функцію І/ (х, у) шукаємо серед функцій (х, у) = (х3 — Зху2) ах + <р(г/) =	— -^-х2у2 4- <р (у), де
ср (у) — довільна диференційовна функція змінної у. Її потрібно дібрати так, Щоб виконувалась рівність
Через те що
У (х, У) =	— "Г + ’Р
матимемо:
— Зх2у 4- <р' (у) = у3 — Зх2у.
Звідси <р' (у) = у3, <р (^ = ±- 4- Сг, і, отже,
Щх, у) = £ —|-хУ4-4-+Сі-
Загальний інтеграл рівняння буде Xі — 6х2у2 4- у* = С. (Знайдену функцію'І/ (х, у) прирівнюємо довільній сталій). 335. (2хзіп у—#2зіпх) ах 4- (х2соз у 4- 2г/соз х 4- 1)^=0. 336. (х 1п у —х2 4- соз у) йу 4- (х3 4- У 1п у — у—2ху) ах = 0. 337. (х2 — 4ху — 2у2) ах 4- (у3 — 4ху — 2х2) ау — 0.
338.	(х + -7=!==) ах + (у — 4—^ ) ау = о.
\ у у2 —х2 /	\ у у у2 — X2 /
339.	(бху 4- х2 + 3) у’ + Зг/2 + 2ху + 2х = 0.
340.	22ХГ~2 йх 4- йу = 0.
X2 + у2	X2 + у2 у
341.	/— зіп——---соз— 4- Ірх 4-	соз——
\ У У Xі х '	) \х х
-^8ІпТ + ^)^ = ()-
342.	Р-----ах 4- [ 7 ' *3 V»--------Ч аУ = °-
X (х — у)2 ]	1 [ (х—у)2 у ]
343.	{——|-   !.	4- сі§у\ ах 4-
^СОЗаХ 1 у і/2 —X2	Ьі/
4-(ібх------/х	—Л—)ау = о.
\ у V у2 — х2 51П у /
2*
35
* 344. [соз (х 4- у2) + З#] іх + [2# соз (х 4- #8) 4- Зх] іу = 0, м (1 • »)•
345. (2х зіп у — у соз х 4- 1п х) сіх 4- (х2 соз у — 1п у — — зіп х) іу = 0.
346. [п соз (пх 4- ту) — т зіп (тх 4- пу)] (іх 4-+ [т соз (пх 4- ту) — п зіп (тх 4- пу)] іу ~ 0.
* 347. (1 4- ^Ліх — 2 — іу = 0.
у ' Xі )	Xа
348. (2х соз у — у2 зіп х) іх 4- (%У соз х — х2 зіп у) іу = 0.
349. (Зх2 4- 4 + 2хИ2 -¥-)<іх + (3^2 +~^ + 2х2У + 4-^-)^ = 0.
» 350.	+^£^ = о.
/1 + х2 4- у2 х+у
351. (1 +еТ)іх+ еТ (1 — -^іу = 0.
352. (хек 4- ех) іу 4- (еу 4- уех) іх = 0.
» 353. зіп (х 4- у) іх 4- х соз (х 4- у) (іх 4- іу) = 0.
354.	]/га2 + у2іх 4- -*У ±-<?а-+.2уа- іу = 0.
У	/ а2 4- у* у
355.	(у соз х + 2ху2) сіх + (зіп х — а зіп у + 2х2у) сіу = 0.
356.	(2х — у) йх-- хйу = 0.
Література
В. В. Степанов, розд. II, § 3, п. 1.
М. М. М а т в е є в, розд. 1, § 11.
Ю. В. Пфейфер, розд. 11, § 1.
Ф. С. Г у д и м е н к о, § 9.
Л. Е. Ельсгольц, розд. 1, § 5.
М. С. Пискунов, розд. XI11, § 9.
С. Є. Крижанівський, розд. II, § 16.
§ 8. ІНТЕГРУВАЛЬНИЙ МНОЖНИК
Коли вираз М (х, у) йх + N (х, у) (іу не є повним диференціалом, то постає питання: чи не можна знайти таку функцію р (х, у), щоб, помноживши на неї ліву частину рівності
М (х, у)іх + м (х, у) іу = 0,	(21)
перетворити її в повний диференціал? Таке припущення має підставу. Справді, вираз усіх — хіу не є повний ди-ференціал 1-^- = 1,	= — 11, але досить його, примі-
ром, помножити на рх (х, у) =--------- чи р2 (х, у) = —г
ху	У
і він стає повним диференціалом функції V (х, у) =	+ С.
В деяких випадках функцію р (х, у) можна знайти; звуть її інтегрувальним множником. Будь-яке диференціальне рівняння першого порядку, що має загальний інтеграл, має безліч інтегрувальних множників.
Якщо р (х, у) є така функція, то
рМ (х, у) йх + рМ (х, у) (іу = (Ш (х, у) = 0.
1} (х, у) = С є загальним інтегралом рівняння (21). За ,	. д (Мр) д (рМ) х
ознакою повного диференціала ~ $у = з х~ > або ж
— М =	-----(22)
дх	ду \ ду дх )	47
Останнє зветься рівнянням інтегрувального множника. Можна легко зінтегрувати це рівняння з частинними похідними, тобто знайти функцію р (х, у) в таких випадках.
1.	Відомо, що рівняння (21) має інтегрувальний множник, який залежить тільки від х:
Н = Р (X).
Тоді (22) набирає вигляду = 0^:
дг ф _	/ дМ __дИп р __ 1 / дМ __________ дії \
дх ~ ду дх )' дх ~~ А/ ( ду дх у
Для існування р (х) права частина останньої рівності мусить бути функцією тільки від х; в цьому випадку 1п р (х) знаходять за допомогою квадратури.
2.	Інтегрувальний множник є функцією тільки від у: р = р (у). Тоді з (22) дістанемо = 0^:
д 1п р _ 1 / дії дМ \
~ду~	ду") ’
(Права частина повинна залежати тільки від у).
3.	Інтегрувальний множник є функцією від даної функції о) (х, у) : р = р [со (х, т/)]. В цьому випадку рівняння (22) можна подати у вигляді
ЛГ-^.	-М^-^ = И(<О)^—
д<ь дх д(а ду г' 7 ду дх ) ’
37
дМ дії
ц' ду дх	>т дій пл д(й . п
або — =--------------------, якщо М -ч--------Л4 -ч—	0
Н „ до „ дю	дх	ду
N -ч----М. -ч—
дх ду
Для існування інтегрувального множника необхідно й досить, щоб права частина останньої рівності була функцією тільки від со:
дМ дії
Коли так, то
ду	дх	, к
дх	т ду
Сф (<0)4(0
Н = «	= П® (X, г/)].
Якщо форма |і (х, у) не вказана, можна застосувати спосіб, який вжито в прикладі 357.
Приклад 357. (х3 + ху2 — у) (їх + (У3 + х,2у + х) сіу = 0. Розіб’ємо ліву частину на такі дві групи, щоб інтегрувальний множник для кожної знаходився просто, безпосередньо. Отже, дістанемо
[* (х2 + у2) (Іх + у (х2 + у2) сіу] 4- [хсіу — усіх] = 0.
Для першої групи очевидно |і = 2 ?_ а, а інтегралом х “г У
НЯННЯ ХСІХ + уЛу = 0 буде
ФЛх,у)^^ = С.
рів-
Тому найзагальніший вигляд інтегрувального множника для цієї групи буде такий:
Ні = Х2^_у1 Фі(*24-У2), де ф — довільна функція. Для другої групи інтегрувальним множником є |а2 = -—• ^може бути також -і- та і загальний інтеграл рівняння —----— =0 буде Ф2(х, у)=з
У	х
= — = С. Отже, ц2 = —ф2| — І. Де Фг — довільна функція.
Тепер, користуючись довільністю функцій фі та ф2, треба дібрати їх так, щоб виконувалась тотожність:
^^Ф1(х2 + ^А-Ф2 у
Якщо покладемо Ф1(х2 + у2) = 1, а ф2 _--------—г , то
'+Ш
38
знайдемо шукану тотожність
1
Н “ Ні “ ^2 “	_|_ д2 ’'
Помноживши дане рівняння на р = *2 ^_-^2, дістанемо рівняння (* — х2 + у2 )ах + (У + х2 4-	)ау = °’
ліва частина якого є повний диференціал. Отже,
(X, У) = § (х--х2 у2 ) Лх = -у — агсі§ -у + Ф (*/)•
Але = *а у2 4- ф (у) мусить дорівнювати тотожно коефіцієнтові при ау:
Х* + у2 + Ч>'(У) = У + Х2^у2-п2
Звідси ф (у) = у, ф (у) = — + с.
Остаточно
І/ (х, у) = х2 + у2 — 2 агсі£ = Сг
Розв’язати диференціальні рівняння методом інтегрувального множника, знаючи, що вони мають р = / (х) або р = / (у): 358. (2у + ху9) ах + (х + х2у2) ау = 0.
359. (1 + хіу)ах + х2(х + у)ау = 0.
360. (х2 + у2 + 2х) ах + 2уау = 0.
« 361. (х2у 4- у2 + 2ху)ах + (х2 4-х)(х + 2у)ау = 0.
362.	х (Зу 4- 2х) йу 4- 3 (х 4* у)2 ах = 0.
363.	2хуах 4- (у2 — Зх2) ау = 0.
364.	у2 (х — Зу) ах 4- (1 — Зх#2) ау = 0.
365.	(2ху 4- ах) Ох 4- ау = 0.
* 366. у’ 4- ау = етх.
367- О +	+ +
368.	- Зх) ах -	- і) ау = о.
370.	(і + ^ах^^-ау.
39
371.	еу~хіх + (хеу~х — 2уе~х) іу = 0.
372.	ухуіх + ху+' 1п хіу = 0..
373.	(ху2 + у) іх — хіу = 0.
374.	(у2ех + у) іх — хіу = 0.
375.	(2ху + у2) іх + (2х2 + Зху 4- 4у2) іу =0.
376.	2уіх + (У2 — 6х) іу = 0.
377.	іх + (х + е~уу2) іу = 0.
378.	(2ху2 — у) іх + (у2 + х + у) іу = 0.
379.	і/(1 — у зіп х) соз2 уіх — (у2 + х соз2 у) іу = 0.
Зінтегрувати наступні рівняння за допомогою множника р. = р (х + у) або ц = р (х — у)-.
380.	(х2 + х2у + 2ху — у2 — у3) іх 4-
+ (У2 + ху2 + 2ху — х2 — х*)іу = 0.
♦ 381. (2х3 + Зх2у + у2 — у3) іх +
+ (2у3 + Зху2 4-х2 — х3)іу = 0.
382. [у----у- 4- х) іх 4- аіу = 0.
383. (10х3 4- у2 4- 9х2у) іх 4- (Іу2 4- Зху + х*)іу = 0.
• 384. іх 4- х (х 4- у) (іх 4- іу) = 0.
385.	(х 4- Зу) іх 4- їуіу + а(х + у) (хіу — уіх) = 0.
Розв’язати диференціальні рівняння, які мають інтегрувальний множник як функцію аргументу ху, або х2 4~ у2, або ж х2 — у2:
386.	у2іх 4- (ху — 1) іу = 0.
387.	(2х2у 4- х)іу 4- (у 4- 2ху2 — х2у3) іх = 0.
388.	(х3 4- ху2 — у)іх (у3 -}- х2у + х)іу = 0.
389.	(х2 4- У) іу 4* х (1 — у)іх = 0.
г
390, (х + х2 + у2)у' — у = 0.
391.	(2х®у2 — у) іх 4- (2х2г/3 — х) іу = 0.
392.	х(2#4- х4- 1)у' — у (у 4- 2х — 1) = 0.
393.	(х2 4- у2 4- у) іх — хіу = 0.
394.	(х2г/3 4- у) іх 4- (х3у2 — х)іу = 0.
395.	, . 2ау. .. = Г—------------------— 1 <
... У (^2 + У2) І X	ХУ ]
40
396.	— у\ах + [х — . ]ау = о.
(X — у)2	і>\	1 [ (X — у)2 ] *
397.	[2ху2 + х + йу + (у — х) ах = 0.
в 398. (х-----— соз — 'і ах 4- соз — ау = 0.
\ X X І	X
399.	2у®у' + ху2 — X3 = 0.
Розв’язати подані нижче рівняння, застосовуючи метод інтегрувального множника:
400.	(6х — 2у — 2у2) ах + (5у2 — 8ху — х)ау = 0.
401.	хс/х + (ху — у^ау = 0.
Є 402. уМх 4- 2 (х2 — ху2) ау = 0.
е 403. (у — х)ау 4- уах — ха = о.
404.	(х2 4- У2 4- 1) Лх — 2хуау = 0.
* 405. ху' 4- (зіп у — Зх2 соз у) соз у = 0.
^406. (1п у 4- 2х — 1) у' = 2у.
407, у + 2 (*4- 1) 4х (х 4-1) =
408. (х зіп а 4- У соз а) ах 4- (У зіп а — х соз а) ау — 0.
? 409. (х3 4* Зху2) ах 4- (У3 4- Зх2у) ау = 0.
• 410. (бху2 4- х2) ау — у (Зу2 — х) ах = 0.
Література
В. В. Степанов, розд. 11, § 3.
М. М. М а т в е е в, розд. 1, § 12, 13, Ю. В. П ф е й ф е р, розд. II, § 2, 3.
М. С. П и с к у н о в, т. 1, розд. XII1, § 10.
§ 9. РІВНЯННЯ ЕЙЛЕРА —ріккаті
Рівняння вигляду
— Р (х)0(х) уР(х) у2	(23)
має назву рівняння Ейлера — Ріккаті. Зауважимо, що дехто з авторів підручників з диференціальних рівнянь зве це рівняння загальним або узагальненим рівнянням Ріккаті. Окремі випадки рівняння (23), а саме
+ ау2 = Ьха,	(24)
41
звуть рівнянням Ріккаті, або спеціальним рівнянням Ріккаті, а рівняння
-----у + — у2 = схл-1,	(25)
СІХ X V 1 X V	' 7
де а, Ь, с та п — задані сталі, причому Ь й с не дорівнюють нулю — рівнянням Буля.
Рівняння Ейлера — Ріккаті, як це довів у 1841 р. Ліу-вілль, в загальному випадку не зводиться до квадратур. І навіть рівняння (24), як одночасно показали Ріккаті та Д. Бер-нуллі (у 1724 р.), припускає відокремлення змінних і зводить-ся до квадратур лише тоді, коли а =	± р де к — будь-яке
ціле число, або к = сю. Якщо вдається знайти частинний розв’язок уг (х) рівняння (23), то заміна у = у^ (х) 4~ х зводить його до рівняння Бернуллі.
Приклад 411. х2у' — х2у2 + 5ху — 3 = 0.
Частинний розв’язок, як видно, є уг (х) = —. Отже, робимо заміну:
_ і । сіу  _________1 । сіх
V ~ х	г' сіх ~ х2 сіх *
Тоді
*2(^-^)-*2(г2+^+4)+544-+гЬ3=0’ х2 -----------1 — х2г2 — 1 — 2хг + 5 + 5хг — 3=0,
х2-^--х2г2 +3x2 = 0, -^- + 3-^ = г2 (рівняння Бернуллі). Далі маємо
1	З _ .
X2 СІХ ' XX ’
1	сій	1 сіх	.	. . „	.
а поклавши — = и, —г— =-----» Дістанемо лінійне рів-
X	СІХ	X СІХ
няння
сій Зи ____ і
сіх х ~	'
Відповідним однорідним йому рівнянням буде	= 0,
його загальний розв’язок и = Сх3. Застосувавши спосіб варіації довільної сталої, знайдемо загальний розв’язок неоднорідного лінійного рівняння и = С1х3 + -^-.
к	1 	, . ,	1 ,	Сх2-Н3
Але и = — і у = уг (х) + г = — + г, отже, у = Сх3^х 
42
Рівняння (24) у двох випадках, коли а = Ота а = —2, легко зводиться до квадратур. Справді, при а = 0 змінні відокремлюються:	+ (іх = 0, загальний розв’язок при
цьому подається в елементарних функціях; а при а = —2 1	.	.	(іг
заміною у = — дістанемо однорідне рівняння = а — ( г \2
— Ь І у І , розв’язок якого теж буде виражатися через елементарні функції.
Крім цих двох випадків існує безліч значень а, при яких спеціальне рівняння Ріккаті можна зінтегрувати в елементарних функціях. Щоб їх знайти, перетворимо рівняння (24) так, щоб воно зберегло свій вигляд, але щоб показник став нулем. Для цього в рівнянні (24) робимо заміну: __________________________ а .	1 У ~~ х2 + ах
(26)
(и — невідома функція від х). Маємо: ду  \	ди	2и	1
дх	х2	дх	х3	ах2	’
, І и2 , 2и .	1 \	* г
1 ди	2и
х3 дх	х3	ах2
* ах + х* х '
1
х4 * ах3 ~ а2х2 )
Лх х2 ох~ .
В останньому рівнянні покладемо
1	дії	1 ду
и =—, -з— =------------
У	ІЇХ	V2 (ІХ
(27)
Тоді
—З- -Е- + Іт -	+	=	(28)
Зробимо тепер таку заміну незалежної змінної, щоб коефіцієнт при ц2 перетворився на сталу. Маємо Дї2
. •- Отже, щоб досягти нашої мети, досить х1^
+ йу2 =
по-
класти
Справді
ха+3 = г, (а 4- 3) ха+2йх = йг.
(29)
(ІУ (12
(іу । Ьи2дг ____________	адг
х“+2 + (а + 3) х“+2 ~ х“+4 (а + 3) ха+2 ’
_ а4-4
. ——	= _____“___	(а+4) =_____а____ ~ а-І-3
а + 3 а + 3	а + З
43
або	+ а^г = Ь^'	(ЗО)
/	Ь і а	а + 4 \
(при цьому ^ = -^3-,	а, =«---
Співвідношення між а. та а: а, =---ю~{~	можна подати у
л	л	а о	и
ВИГЛЯДІ = 1 + ^Т2-
Застосовуючи до рівняння (ЗО) перетворення типу (26) та (29), дістанемо знову рівняння типу (24), в якому а2 буде пов’язане з а співвідношенням
1	=2 4-	1
о&2 Н- 2	ос -|— 2
Після к послідовних перетворень матимемо
^ТГ = ‘+тЬ-	<3,)
Якщо внаслідок перетворень дістанемо рівняння Ріккаті, що інтегрується в квадратурах, то й початкове рівняння має ту ж властивість. З рівності =-----а + з ПРИ а = —% зна-
ходимо, що й = —2, тобто при розглядуваному перетворенні показник —2 не змінюється (інший не може виникнути, якщо а = —2). Тому для нас становлять інтерес ті значення, при яких ак = 0. При всіх цих значеннях а, а = 1 рівняння (24) зводиться до квадратур.
Приклад 412.	---у2 = х .
Тут а = — 1, Ь = 1, а ------• 3 рівності-------%- =
о	О	1 —
дістанемо к = 2; отже, вказані вище перетворення доведеться застосувати двічі. Згідно з (26) покладемо
и і / у = ^~—— (ц = —і).
сіу	__ 1 (їй	2и	.	1
сіх х2 (їх	х3	'	х2	'
Підставлення дає
__2
(їй	и2	з
	2~ = х ах	х2
Далі робимо заміну [згідно з формулою (27)]:
1	(їй	І сіа
и = —, —г- =-------
V	(ІХ	V2 (ІХ
44

__ 2
і дістаємо + х 3 у2 = х~2, або
4
1 (IV ,	9 з
ТТ-иг + у=х  X 3
Тепер зробимо заміну незалежної змінної [згідно з формулою (29)]: - — + з —	_Л
ла+3 = х 3	= л3 = г, гіг = л 3 (іх.
Після цього рівняння набирає вигляду
4-4 + у2 = г_4> аб° 4 + 3^ = ЗгЛ
Знову робимо заміну за формулою (26): и> .	1
У —Із' + іГ
і дістанемо рівняння . Зву2   З Аг * г2	г2
В останньому змінні відокремлюються: СІШ д/2.	1 4 и) — 1   з г р
З — Зої2 ~ г2 ’ V п оу+ 1	Г + С-
Знайти розв’язки рівнянь, дібравши спочатку частинні розв’язки:
о 413.	— х2у2 + 5ху — 3 = 0.
414.	х3-^---У2 — хіу 4- Xі = 0.
415.	-¥~ + хуг+ -У- — х3 — 2 =0. ах 1	27 1 х
416.	-І-9’-«+!.
417.	у' — у2 — ху — х + 1 = 0.
Знайти загальні розв’язки рівнянь:
418.	(х — х*)у' — х2 — у + 2ху2 = 0, уг (х) = х2.
4 419. у' = у2 +	4-	, Уі(х) = —
420. у' = у ~^1_Ух~2х > У\(х) є Функція вигляду ах2.
-> 421. ху'—Зу 4- у2 4- 4х — 4х2 = 0, у1(х)=2х.
45
с 422. х2у' + (ху — 2)2 = 0, Уі (х) є функція вигляду -у- • 423. у' + у2 = 2х-4.
424. у' + у2 = х
425.	+ у2 = х~2.
(ІХ 1
426.	у’ —у2 = 2х 3.
427.	ху' — 5у — у2 — х2.
428.	Зху' — 9у — у2 = х3.
429.	-^- + — «/+ — У2 =х. (ІХ ' Xа Xа
лпг\ ' і 9	ЗІП X
430.	у + у2 зіп х =-а— •
431.	(1+хг)/ + 2-Ц^-у + 3 = £/2.
432.	у’ + -^у + *У2 = х~{.
Література
В. В. С т е п а н о в, розд. 1, § 6.
М. М. М а т в е є в, розд. 1, § 9.
Ю. В. П ф е й ф е р, розд. 1, § 6.
§ 10. РІВНЯННЯ ЕЙЛЕРА
Диференціальне рівняння першого порядку
(іх . йу
ГТО УТГ&
(32)
де /? (х) = а0х4 + 2а^ 4- а2х2 4- 2а3х + а4,	(у) =	4-
4- 2аху3 4- а2у2 4- 2а3у 4- а4,
зветься рівнянням Ейлера. Зверніть увагу, що многочлени (х) та /? (у) мають однакові коефіцієнти. Змінні в рівнянні (32) відокремлені, і загальний інтеграл цього рівняння має вигляд
Р (Іх ( (Іу
З уіПх) + ] ута = с> аб° р + р = с>
46
де функція Р, взагалі кажучи, вища трансцендентна функція — еліптична. Ейлер помітив, що інтеграл рівняння (32) можна подати також в алгебраїчній формі, і зумів його здобути в цій формі. Винахід Ейлера слід вважати за початок теорії еліптичних та Абельових функцій.
Далі подано інтегрування рівняння Ейлера способом Лагранжа, який був спрощений Ейлером.
Запишемо (32) у вигляді ах =___________________________= &
/Я(х)	/«(у)
звідси
(4-)’ - ад-
Отже,
2 4г •	= (4аох3 + 6аі*2 + 2а*Х + 2аз)
або
= 2аох3 + Зоух2 а2х + аа.	(33)
Так само знаходимо
= 2а0г/3 + За^2 + а2у +	а3.	(34)
Запровадимо тепер	змінні	и = х +	у,	V —	х — у.	Тоді
сі2и _ сі2х	сі2 у	сій сіу	_	/ сіх	\2_/	сіу	\2
~ЗЇ2~ ~ ~с№	+	~сй2~ ’	сіі ' сіі	~	[ сіі	)	\	^	/
Виконавши відповідні підставлення, дістанемо:
= 2а0(х3 + у3) + За^х2 + у2) + а2(х + у) + 2а3 = о (а2 + 2а2)а . о и2 + и2	0
= 2<2о----4------Н	—2--------1" а%и	(36)
= «о (^ - ^) + 2«1 (** - у3) + а* (*2 - я2) +
+ 2а3 (х —у) = а0 —	+	2	- +	+ 2а3п. (37)
На підставі рівностей (36) та (37) маємо
сРи сій сіу л ч ч	/ооч
р ~ ~і----------аГ= ао“° +		<38>
сій
Помножимо ліву й праву частини рівності (38) на 2	,
знайдемо сій	/ сій \ 2
2____ /------------------------------\
сіі	/	сі2и	сій	сіу \	сі І сіі І	/п .	о ч сій
-----ч— и --------хг •	= тут \ —г" / = (2лои + 2оі) .
V3	\	сіі2	сіі	аі І	сіі \ у /	V	о । і/ сії
47
Інтегруючи останню рівність, будемо мати / сій \ 2
) = а0м2 + 2аіи + Сх або = V |/а0и2 + 2ахи + Сх.
Вернувшись до початкових змінних, дістанемо загальний інтеграл у вигляді
V Я (х) — V Я (у) = (х — у) Уа0 (х + у)2 + 2ах (х + у) + Сг
Приклад 434.	_______г = 0.
/1 + X3 /1 + у3
Маємо 	= - г<іу = Лі.
/1 + X3 /1 + у3
Звідси	(4г)2 = 1 + *3>	(гіг)2 = 1 + У3’
о ах азх _2„2	ах 0 ау азу	_0<і2	ау
аі ар ~м	оі ’ оі ар	~6у	аі	•
Таким чином, 2-^- = Зх2, 2-^~- = 3«2.
Поклавши х + у == а, х — у = V, дістанемо З о 2\ З И2 + V2 3 / о . ~ар- = ^х 2+^2) = ^—у- = — («2 + ^). аи______________/ ^х \г / гіу \2 _ гз _ /7з =
аі аі \ аі )	\ аі ) х у
/	\ / 2 і	І 2\	/ М2 +	І И2  V2 \
= (х — у) (х2 + ху + у2) = V /—±--1-----— \ =
= 4" (Зи2а + о3).
Отже, с!2и	сій	сіа
г;____________ _—
ар	аі	аі
= 4" (Зц2а + Зу3) —г	—г и3 = Ц-у3-
йи
і-г	....	2 сіі
Помножимо тепер обидві частини останньої рівності на —:
\2
2	/ сі2и сій сій \ сі І сіі ] _ 1 о сій
цЗ І/ ~аі2' сіі * сіі	~ 2 ‘ 2 сіі •
Інтегруючи, знайдемо сій \2 І । сій і / .
~ и + Сі, “4/" = V]/ и + Сг.
48
Вертаючись до змінних х та у, матимемо
/1 4-х3 4- ]ҐІ + У3 = (х — у) к х 4- У 4- Сг.
Знайти алгебраїчну форму загального інтеграла рівнянь:
іх . ау _ ф
/Г^х2	Уї^у*
іх	іу	= д
СІХ	_ (Іу
а + 2Ьх + сх2 ~~ а + 2Ьу + су2 _____(Іх	__ ______(Іу______ х У а + Ьх + сх2 у У а + Ьу + су2
435.
436.
437.
438.
439.
440.
441.
У ах^ + 26х3 + сх2 + 2ех + /
4-	—...... йу	— =0.
V ауі + 2Ьу3 + су3 + 2еу + і
іх . іу = д
/1 — Xі ’’’ у
Показати, що частинний інтеграл попереднього рів
няння з початковими умовами х = 0, у = 1 має вигляд
х2г/2 4- х2 4- у2 = 1.
Література
Ю. В. П ф е й ф е р, розд. II, § 6.
Е. Г у р с а, розд. II, 2, § 375, 376.
Ф. С. Гудименко, § 17.
§ 11. РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ, НЕ РОЗВ’ЯЗАНІ ВІДНОСНО ПОХІДНОЇ
Загальний вигляд диференціального рівняння першого порядку, не розв’язаного відносно похідної у'у такий:
р (X, у, У’) = 0.	(39)
Важливим випадком цих рівнянь є той, коли Р — многочлен степеня п відносно похідної:
Р<> (х, У) У,п 4- Рі (х, у) у'п~' 4-  • • 4- Рп-і (х, у) у' 4-
+ Р„(х, у) =0.	(40)
Рівняння типу (40) звуть рівнянням першого порядку п-го степеня. Згідно з основною теоремою вищої алгебри рівняння (40) для кожної пари вартостей (х, у) в розглядуваній
49
області має п коренів. Обмежуючись тільки дійсними коренями, (ми вивчаємо диференціальні рівняння в дійсній області), дістанемо к рівнянь першого порядку:
=	й<п).	(41)
Якщо кожне з рівнянь (41) має загальний інтеграл, то їх сукупність
Фі (*, У) = С, (і = 1, 2, ... , к\ к<Сп)
звуть загальним інтегралом рівняння (40) і часто подають у вигляді
[<Р1 (х, у) — С] [<р2 (х, у) — С]  [ф* (х, у) — С] = 0.
Приклад 442. у'3 — (х2 + ху + у2) у'3 +
+ ху (х2 + ху + у2) у' — х3£/3 = 0.
Різницю між першим та останнім членом розкладемо на множники:
(/ — ху) (у'3 + хуу' + х2у2).
Тоді ліву частину цього рівняння можна подати у вигляді
(/ — ху) (у'3 + хуу' + х2^2) — у' (х2 + ху + у2) (у' — ху) =
= (у' — ху) (у' — X2) (у' — у2).
Отже,
, (у1 — ху) (у1 — X2) (у' — у2) = 0.
Таким чином, дістали три диференціальних рівняння
_^_=Хп	-^- = х2 -^- = и2
сіх ху’ ах 'Ох у 
З інтегруємо їх:
= хйх, 1п у =	+ 1п С, у — Се 2 = 0;
у	’	3	2 1	а
йу = х2Ах, у =	4-С, у — -------С = 0;
= йх,-----— =	х + С,	у	----р-р	= 0.
у2 ’	у 1	’	17	1 х + С
А тому загальний інтеграл цього рівняння буде
X*
Ф(х, у,С) = (у — Се2)\у — ^- — С)[у+ х + с) = °‘
Знайти загальні інтеграли рівнянь:
443.	у’3 — (Зх — 2у) у' + 2х2 — ху — Чу2 = 0.
444.	у'3 — (2х + у) у' + х2 + ху = 0.
50
445.	— (х + у + а) 4- (ах + ау + ху) —
— аху = 0.
446.	у'3 — (х2 4- ху + у2) у' 4- ху (х 4- у) = 0.
447.	(2ху — х2) у'2 — 2хуу' 4- 2ху — у2 = 0.
448.	у'3 зіп х — (у зіп х — соз2 х) у'2 — (у соз2 х 4- зіп х) у' 4~
4- у зіпх = 0.
Якщо рівняння (39) не можна розв’язати відносно у', то іноді його інтегрування, запровадивши параметр, вдається звести до інтегрування рівняння, розв’язаного відносно похідної.
Справді, нехай (39) допускає параметричне представлення х = ф(«, у), у = ф(«, у), у' =%(и, у),
так, що Р [ер (и, у), ф (и, у), % (и, у)] = 0 при всіх значеннях «тау. Тоді, використовуючи параметричне представлення рівняння (39) та основне співвідношення сіу = у'йх, дістанемо диференціальне рівняння, розв’язане відносно похідної 4г = «“•”>•	<391>
В тому випадку, коли останнє має загальний розв’язок
V = (О («, С), загальний розв’язок рівняння (39) дістанемо в параметричній формі:
х = Ф [«, (о («, С)], у = ф[«, со(«, С)].
Практичне застосування викладеного методу пов’язане з певними труднощами; по-перше, не існує правила, як па-раметризувати будь-яке рівняння вигляду (39), а по-друге, не завжди рівняння (39х) зводиться до квадратур. Але коли рівняння (39) розв’язане відносно х чи відносно у, параметричне представлення його можна завжди дати.
Приклад 449. ху'2 4- УУ' — у* = 0.
Розв’яжемо рівняння відносно х:
Візьмемо за параметри у та у' = і. Тоді параметричне представлення даного рівняння буде
х= у*-#
61
У = 9,
У' = і-Знайдемо іх-.
,	4#3 — і , іу — 2ї/4 ,,
— ау н- р у м.
Тепер використаємо основне співвідношення сіу = у'іх:
^_==^±аУ + -^=^-аі.
І	Iі	1 І*
Остаточно	я
Ч 4у3 — 2і . . іу — 2у* „ ~ А йУ + ~Чг~ °-
Це рівняння з відокремлюваними змінними, його загальний інтеграл у2 = СІ.
Загальний розв’язок рівняння в параметричній формі є
Vі-уі
Х~ р •
у2 = а.
Тут параметр можна виключити. Отже, загальний інтеграл буде
у(С2 — х) = С.
Приклад 450. (ху' + а)2 — 2ау ф- х2 = 0, а 0. Розв’яжемо рівняння відносно у.
2ау = (ху*+ а)2 + х2.
Візьмемо за параметри х та у' = і. Тоді
х = х,
2ау = (хі + а)2 + х2,
У' =
Знайшовши Лу й використавши співвідношення <іу = ійх, дістанемо
2аід.х = 2 (хі + а) (іЛх + хііі) + 2x0.x.
Останнє, після спрощень, можна подати у вигляді (іх ! і __ а
~аГ "т" р+ і х — ~ <2_|_! • Це — лінійне рівняння. Його загальний розв’язок
х =	[С _ а іп (і + //ЧИ)].
Загальний розв’язок рівняння (в параметричній формі)
х = у=^т[С-а!п +
2ау = (хі + а)2 + х2.
62
Знайти загальні розв’язки чи загальні інтеграли рівнянь: 451. х3у'2 4* х2уу' + а = 0.
452.	$уу'2 + 4-*®у’ — 4х2у = 0.
453.	8ху'3 — 12уу'2 + 9у =0.
454.	(у4 — а2х2) у'2 4- 2а2хуу’ 4* У2 (У® — °®) — 0-
455.	16у2у’3 4-2ху’— у = 0.
456.	у'3 — ахуу' 4- 2ау2 = 0.
457.	у'3 — хуіу' — у5 = 0.
Якщо Р (х, уь у') є лінійна функція відносно х та відносно у, тобто рівняння має вигляд
Г(х, у, у') = Р(у')х + (^(у') у 4- /?(у’) = 0, то запровадженням параметра воно завжди зведеться до лінійного, а, отже, й до квадратур. Таке рівняння зветься рівнянням Лагранжа.
Приклад 458.'"хуг^— 2уу' + 4х = 0.
Це рівняння Лагранжа. Розв’язуємо його відносно у: ху' . 2х
У- — + ~-
Запроваджуємо параметри х та у* = р; отже сіу = рсіх. Тоді х = х, _рх_ + 2^
*	2 ~ р
У' =Р-
Тепер досить виразити х через параметр р, і будемо мати загальний розв’язок даного рівняння у параметричній формі. Знаходимо (Іу, і, пам’ятаючи, що гіу = р<іх, дістанемо
ріх = -±-х(Ір 4- -^-рйх 4- 2 -у---
Звідси
1-^-ах _	ар = о
2р а	2р2 ар ’
= х = Ср.
х р '	г
Отже, х = Ср, рх . 2х	»	,	. „ А
у = -у + —------загальний розв язок в параметричній формі.
Тут легко вилучити параметр:
У =	+ 2С, або у = Схх2 4--^-.
63
Знайти загальні розв’язки рівнянь:
459.	ху'2 — 2у' — у = 0.
460.	ху'2 + уу' 4- а = 0.
461.	у'3+ху’2-у =
462.	у = 2ху' + V1 + у'2.
463.	у = ху' + зіп у'.
464.	(3х+1)у'2~3(у + 2)у' 4-9 = 0.
465.	у = ху' 4- а 1 — у'3.
466.	у = ху' 4--а?у . .
Рівняння вигляду Р (х, /) = 0 та Р (у, у') = 0, тобто неповні рівняння зводяться до квадратур, якщо їх можна розв’язати відносно одного з аргументів.
Приклад 467. х = іп у' + зіп
Рівняння вже розв’язане відносно х. Запровадимо параметр у' = р; вираз для х через параметр буде:
х = Іпр + зіп р.
Для того щоб виразити у через цей же параметр, використаємо співвідношення йу = рйх. Тоді
йх = -у- + соз рйр і
йу = йр + р соз рйр.
Звідси
У = \ [<ір + Р соз рйр], у = р 4- соз р 4- р зіп р 4- С.
Загальний розв’язок:
х = 1п р 4- зіпр,
у = р (зіп р 4-1) 4- созр 4- С.
Приклад 468. у = у,2еу .
Рівняння розв’язане відносно у. Запровадимо параметр р = — Вираз для у через цей параметр знайдемо безпосередньо з даного рівняння:
У = Р2ер.
Щоб виразити через цей параметр х, використаємо співвідношення = р, звідки йх = у-; з виразу для у знайдемо йу =
64
= (2р + р2) ергір. Отже, <іх = (р + 2) ер(ір; звідси х = 2ер рер — ер„ + С або
х = ер (р -І- -1) 4~ О.
Загальний розв’язок даного рівняння в параметричній формі: ер(р + 1)4-С,
У = Ргер.
Приклад 469. у V а2 — у'2 = у'.
Тут можна було б взяти за параметр у’, але доцільніше покласти у' = а зіп ф. З цього рівняння знайдемо вираз у через ф: р]/а2— а2зіп2ф = азіп ф, р = І£ф.
Таким чином, рівняння можна подати у параметричному вигляді
У = Ф. у' = азіпф. Знайдемо вираз для х через ф: йу = у’йх, сіу =	, сіх =	,
СОЗ2 ф	у’ »
ах =______
а зіп ф соз2 ф
Звідси
х = — (* ——---------1- С — — (зес ф 4- 1п -у-) 4- С.
а зіп ф соз2 ф 1 а \	& 2 / 1
Загальний розв’язок цього рівняння в параметричній формі X = ^зес ф 4- ІП -у) 4- с,
У = *2Ф-З
Приклад 470. х (1 + г/’2)2 = а.
Запровадимо параметр у' = р =	0. Тоді хзес3 0 = а, х =
= асоз80. Отже, необхідно виразити через цей параметр ще й у. Маємо
йу = рд,х, йу =	0б/х.
Але
йх = — За соз2 0 зіп 0б/0, отже,
йу = — За 0 соз2 0 зіп 0б/0, йу = — За зіп2 0 соз 0с70, а тому
у = — а зіп3 0 + С.
55
В параметричній формі загальний розв’язок має вигляд х => а соз3 0, у = — а зіп3 0 + С.
Вилучивши параметр 0 (це тут можливо), дістанемо
2	2	2
х3 +(£/-С)3 =а3.
Це рівняння сім’ї астроїд.
Рівняння вигляду Р (х, у') = 0 та Р (у, у') = 0 інтегруються в квадратурах і тоді, коли допускають параметричне представлення.
Приклад 471. х3 + у'3 = аху\
Легко перевірити, що параметричне представлення цього рівняння буде
х~ 14-/»’ _ а(і У 14-/3-
Знайдемо йх: 1______________________________о/з
~ а () _|_ ^)2 а тоді
.	, Iі (1 — 2/3) ..
Л/ а (1 _|_ йі.
Звідси
дз (4/3 4-І) у 6 (1 4- /»)3 "г °-
Отже, загальний розв’язок рівняння в параметричній формі: ___________________________ аі
Х~ 1+і3 1
дз(4/з+1) у~ 6 (1 4- і3}3
Знайти загальні розв’язки рівнянь:
472.	х V1 + УЛ — У' = О-
473.	х(1 + у'2) = 1.
474.	х = ау' + Ьу'2.
475.	х — у' зіп у’.
476.	у = у' зіп у' 4- соз у'.
477.	У = (2 4-Л/Г=7.
І6
478.	3/5-^'+ 1 = 0.
479.	у-у' = У\+У'2.
А А А
480.	у5 + у'5 = аь.
481.	х8 + у'3 — Зху' = 0.
482.	у'2 + ху' — Xі = 0
483.	у2у'2 — а2 = 0
Коли рівняння (39) має вигляд Г (у') = 0, а його коренями є дійсні сталі ак (к = 1,2, 3,...), то тоді
У' = ак, у = акх + С, ак = -^^~.
Оскільки
Т7 (ак) зз 0,
Сц __ \
— = 0 — загальний інтеграл рівняння.
Приклад 484. у'3 — Зу'2 4- 2 = 0.
Загальний інтеграл цього рівняння є
— 3 ( ? ~-С V + 2 = 0.
\ х / * х )
Знайти загальні інтеграли рівнянь:
485. у'3 — 1 = 0.
486. у'2 + 2/ + 1 = 0.
*487. у'2 + у' — 2 = 0.
488.	+ 5-^- + 6 = 0.
\ (ІХ ]	1 (ІХ 1
489.	—х8 = 0.
490.	у'2 + 2ху' — Зх2 = 0.
491.	у'2 — 2^'сЬх 4-1=0.
492.	у’2 — 2ху' = 0.
о 493. у’2 = у3- у2.
494. у'2 — 2у’ — у2 = 0.
‘ 495. у-/3-/2 = 0.
1
496.	ху'2 — ву =0.
Б7
497.	х(у' — І)2 = у'(у' -2).
498.	у ~\ґу' = ]/2а — у'.
* 499. у'3 + у’ = еу.
500.	у'2 + У' — 6 = 0.
501.	—7-^-4-6 = 0.
І ах ] ах 1
502.	у = у' у’ + 1п соз у'.
503.	2уу'3 — у у'2 — 2ху' + х = 0.
504.	(Зх + 5)у’2-(Зу + х)у’ +у = 0.
З
505.	х(І +У'2)2 = 1.
506.	у2 (х2 + у2) у’2 + 2хуу’ = х2у'2 + у2.
‘ 507. у’2-(х + 1)у'+у = 0.
508.	/ =
509.	х(1 +у,2)= 1.
510.	х = ау' + Ь V 1 + у'2.
511.	(4Ц2 + У 4-----х2 —ху = 0.
\ ах / сіх	*
512.	у’3 — (о & 4~ 1) у' 4"	4” 4~ У —	~
513.	у'2 — хуу' 4- У21п ау = 0.
514.	х = 4у' 4- 4/3.
♦ 515. ху'2 + (у-3х)у’ + у = 0.
516.	у'2 4- ау' 4- Ьх = 0, Ь 0.
517.	у'2 — 2ху' 4-1=0.
518.	ах = 0.
у ах )
г 519. ху'2 — 2уу' + а = 0.
520.Д1 4-х2)(^-)34-х(х24-і)(^-)2—-х = 0.
521.	у’2 4- 2уу' сі§ х — у2 = 0.
’ 522. у = у' 1п у'.
58
523.	х = у(-^= — -Ц. у\Уу' у' і
524.	у'3 + (х + 1) еу = 0.
525.	3/72 + ^?= І-
526.	Ху^-уул+\ =0.
• 527. х = Л +Цг-
У у'2
* 528. ху’ + у — 4 Vу' = 0.
ху'
529. у' = е и .
; 530. у'2 — 2ху’ — х2 + 4у = 0-
/ 531. у(у — 2ху’)3 = у'2.
’ 532. 2ху' — 1п у' — у — 0.
Література
М. М. М а т в е є в, розд. 11, § 1—3.
В. В. С т е п а н о в, розд. 111, § 1—3.
Ф. С. Г у д и м е н к о, § 15.
М. С. П и с к у н о в, т. 1, розд. X111, § 13, 14.
§ 12. ОСОБЛИВІ ТОЧКИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ
Нехай маємо рівняння
=	(44)
або йх __________________________	1
"Зу” ~ І (х, у) •
Особливими точками диференціального рівняння (44) звуть ті точки М (х, у) площини, в яких порушується хоча б одна з умов теореми існування та єдиності розв’язку.
Вкажемо критерії для визначення типу особливої точки на площині х, у для рівняння
_^_ = _ах + ^	(45)
ах сх + ау *	4 7
в якому сталі а, Ь, с, й задовольняють умову Д = ай — Ьс^=
#= 0. У рівнянні (45) початок координат (0; 0) є особлива точка. Будемо розглядати х та у як функції параметра і. Тоді
59
рівняння (45) запишеться у вигляді системи
-^г- = ах + Ьу, -^- = сх + (1у.	(46)
Розрізняють чотири основних типи особливої точки (0; 0) для рівняння (45) або, що те саме, для системи (46): а) вузол, б) сідло, в) центр, г) фокус. При цьому ми говоримо, що особлива точка (0; 0) системи (46) є вузлом, якщо всі інтегральні криві цієї системи проходять через особливу точку (0; 0). Окремо виділяють вироджений вузол — так звуть точку (0; 0) тоді, коли всі інтегральні криві системи (46) входять в цю точку з одним і тим же напрямом (вздовж осі Оу),
Умовимося звати особливу точку стійкою, коли при і -> оо будь-яка точка на інтегральній кривій прямує до початку координат, і нестійкою — в противному разі.
Справедливі такі критерії для системи (46):
1.	Нехай (Ь — с)2 + 4ай >0 і ай — Ьс < 0; тоді особлива точка буде стійким вузлом при Ь + с < 0 і нестійким при Ь + с > 0.
2.	Нехай маємо (Ь — с)2 + 4ай = 0; тоді особлива точка буде стійким виродженим вузлом при Ь + с < 0 і нейстій-ким при Ь + О 0.
3.	Нехай	(&	—	с)2	+ 4ай >0	і ай — Ьс> 0; маємо сідло.
4,	Нехай	(Ь	—	с)2	+ 4ай <0	і Ь + с = 0; тоді маємо
центр,
5.	Нехай	(Ь	—	с)2	+ 4ай <0	і Ь + с Ф 0; тоді особлива
точка буде стійким фокусом при	Ь + с < 0 і нестійким при
Ь + с > 0.
Дослідити характер особливих точок рівнянь:
533.	у' -------х-, М (0; 0).
У
534.	у' =	, Л4 (— 1; — 1).
535.	у' =	, Л4 (0; 0).
536.	= Л4 (0; 0).
537.	у' =	, М (0; 0).
Література
М. М. М а т в е є в, розд. V, § 4.
В. В. Степанов, розд. II, § 2.
Ф. С. Гудименко, § 13.
60
§ 13. ОСОБЛИВІ РОЗВ’ЯЗКИ
Особливим розв'язком диференціального рівняння звуть та-кий його розв'язок, в усіх точках якого не виконується умова єдиності (розв’ЯЗкуТ
Особливі розв’язки диференціального рівняння можна шукати або за самим рівнянням, або знаючи його загальний розв’язок (чи інтеграл). Якщо сім’я інтегральних кривих Ф (х,у, С) = 0 має обвідну, то остання й буде особливим розв’язком, бо кожна точка обвідної належить якійсь інтегральній кривій; отже, обвідна задовольняє диференціальне рівняння і вона є інтегральною кривою. Здругого боку, через кожну її точку проходять принаймні дві кривих — обвідна й відповідна крива сім’ї. Спосіб відшукання особливого розв’язку в цьому випадку — це спосіб відшукання обвідної. Якщо ж шукають особливий розв’язок за самшм рівнянням, то, коли воно розв'язане відносно у*, тобто у‘ = / (х, у), шукають геометричне місце точок, ДЛЯ ЯКИХ = оо (не виконується умова Ліпшиця); коли ж рівняння має вигляд Р (х, у, у') = 0, особливий розв’язок можна дістати, вилучивши у' з системи
г (X, у, у') = 0 та = 0.
Приклад 538. Знайти особливий розв’язок диференціального рівняння
Р (X, у, у') = у'2 — 2ху' У~У + 4у Уу = 0.	(47)
Маємо = 2у’ — 2хУу; звідси у' = х]/~у. Підставляючи в (47), дістанемо
х2у — 2х2 (У у)2 + 4у Уу = 4у У~у — х2у = 0,
4уУу— х2у = 0, 16#3 — х4#2 = 0, #2(16# — х4) = 0.
Отже, є два розв’язки у = 0, 16# — х4 = 0. Обидва ці розв’язки справджують рівняння (47). Покажемо, що в усіх точках цих розв’язків не виконується умова єдиності. Для цього потрібно зінтегрувати рівняння (47). Зробивши заміну шуканої функції
Уу = г. отже, у = г\ = 2г , дістанемо
42г(-г-У-4-“,4+4г’“°. або
[ аг \2 аг ,	, аг І аг \2
---1-2 = 0, 2-- X —---—3— .
\ах ах *	*	ах і ах у
61
Знайдене рівняння є рівнянням Клеро; тому загальний розв’язок його матиме вигляд г = Сх — С2, або, вертаючись до початкової функції, у = С2 (х — С)2. Інтегральні криві — сім’я парабол з вершинами на осі 0х\ у = 0, у =	— їх об-
відні. (Якраз в точках обвідних і порушується умова єдиності). Справді, вилучивши С з системи Р = С2 (х — С)2 — у = 0, 2С (х — С)2 — 2С2 (х — С) = 0, дістанемо ці обвідні. Зауважимо, що крива у = 0 (особливий розв’язок) міститься і в загальному розв’язку (при С = 0).
539.	Загальний інтеграл рівняння є (х —- С)2 + у2 = /?а. Знайти особливий розв’язок.
540.	Чи має рівняння у = 5ху' — у'2 особливий розв’язок?
541.	Знайти особливий розв’язок рівняння, загальний інтеграл якого є ех (у — С) = С.
542.	Знайти особливий розв’язок рівняння у2 (1 + у'2) — — ауу' — ах = 0, загальний інтеграл якого — Ф (х, у, С) = = (х — С)2 + у2 — аС = 0.
543.	Знайти особливий розв’язок рівняння у = ху' + +	1 + у'2, якщо загальний його розв’язок
у = Сх + УГ+С2.
544.	Загальний розв’язок рівняння є у = С (х — С)2. Знайти особливий розв’язок.
545.	Загальний розв’язок рівняння є у = С3х2 + 2С2х — — С. Знайти особливий розв’язок.
Знайти загальні та особливі розв’язки рівнянь:
546.	^(/-1)= (2-/)а.
547.	у'2-У у' + / = 0.
548.	4 г/'2 — 9х = 0.
549.	4г/'2 (х —2) = 1.
550.	у'2 + у2 — 1 = 0.
551.	у'2 + 2ху' — у = 0.
552.	ху'2 — 2ху' + 1 = 0.
« 553. 4хг/'2 + іуу' — 1 = 0.
Знайти особливі розв’язки рівнянь, не шукаючи загального:
554. у'2 (х2 — Ь) — 2хуу' — х2 = 0.
,555. у— 2ху' — у'2 = 0.
62
556.	у'- + (х + у' - (1 + х2) у - 4 = 0.
557.	у2у'2 —	+ а2 = 0.
558.	х + уу' = ау'2.
559.	уу'2 + У' (х —у) = х.
560.	у'3 — 4хуу' + 8//2 = 0.
561.	//' = 3/^4-1.
562.	4//3 — 4у2 = (1 + х2) у'2.
563-	(^г)2-(х+1^ + У = °-
Література
М. М. Матвеєв, розд. 1, § 1.
В.	В.	Степанов, розд. 111,	§	4.
Л. Е.	Е л ь	с г о л ь ц, розд. 1,	§	8,	9.
Ф. С.	Г у д	и м е н к о, § 14.
М. С.	П и с	к у н о в, т. 1, розд.	X111,	§ 12.
§ 14. ЗАДАЧІ НА ТРАЄКТОРІЇ ТА ЕВОЛЬВЕНТИ
Лінії, що перетинають криві даної сім’ї плоских кривих під сталим кутом р, звуть ізогональними траєкторіями цієї сім’ї (грецькі «І5О5» — рівний, «£олш» — кут). Якщо кут перетину р = то траєкторії звуться ортогональними. Відшукання траєкторій зводиться до інтегрування диференціального рівняння першого порядку. Маючи рівняння однопа-раметричної сім’ї кривих у вигляді Ф (х, у, С) = 0, знаходимо (відомим способом) диференціальне рівняння цієї сім’ї: Р (х, у. у') = 0. Тоді рівняння ізогональних траєкторій буде
\
§	=0,	(48)
1	+ "г-аГ/ де т = ц, а ортогональних
~^=°-	(49)
\ я .7
Це в тому випадку, коли задано рівняння сім’ї в декартовій системі координат. Коли ж рівняння сім’ї береться в полярній системі, то диференціальне рівняння ортогональних траєкторій
63
матиме вигляд
р /р’ V’	(50)
\	бАр /
Приклад 564. Знайти ортогональні траєкторії сім’ї кривих (півкубічні параболи) ер (х, у, С) = у2 — Сх3 = 0. Складаємо диференціальне рівняння цієї сім’ї. Маємо
дф 5ф _£/_	_ зс%2= о.
дх ду дх з дх
Вилучаючи С, дістанемо
2^<-3^-х2 = 0-
Остаточно диференціальне рівняння сім’ї буде
2----------------^_ = 0.
ах х
Отже, зважаючи на (49), диференціальне рівняння ортогональних траєкторій матиме вигляд:
----------у- = 0 або 2хдх + Зусіу = 0...	(51)
СІХ
замінили на Інтегруючи (51), будемо мати
2х2 + Зг/2 = С.
Це є еліпси.
Як відомо, геометричне місце центрів кривини для всіляких точок кривої Ь зветься її еволютою Ь', а саму криву щодо її еволюти звуть евольвентою, або розгорткою. Інакше кажучи, якщо крива £' є еволюта кривої Л, то крива Ь зветься евольвентою кривої І/. Дотична до еволюти є нормаллю до евольвенти. Отже, евольвенти можна розглядати як ортогональні траєкторії для сім’ї дотичних до еволюти.
Нехай М (х, у) будь-яка точка евольвенти, а С (£, г]) — відповідний їй центр кривини. Рівняння дотичної в С до ево люти буде
у — П = (X —	(52;
Кутовий коефіцієнт нормалі в М до евольвенти дорівнює---
(їх Зважаючи на вказану вище властивість, маємо
с/гі	І	йх	/ЕО\
Т =	(53)
(ІХ
64
(54)
або
Останнє рівняння правитиме за рівняння для визначення евольвенти.
Приклад 565. Визначити евольвенту кола £ = 7? соз/, г] = 7? зіп Л
Маємо = — Я зіп ійі, сіх\ = 7? соз ійі, = — сі§ і. Рівняння (52) набере вигляду:
у — Я зіп і = — СІ£ і\х — Я соз /],
>	р
у = — X СІ£ І Н----7-7- .
&	’	81П І
Диференціюючи останнє, дістанемо:
(Іу = — СІ£ ІСІХ + X СО8ЄС2 ІСІЇ-& =
X — СОЗ І 1,	.	,1
= -----^2-7---(11 — СІ£ ІСІХ.
81П2 І	ь
Підставляючи вирази та (іу в рівняння (53), матимемо ,	,	СІХ
с 2	х — р С05	>
—-------------
або
---хсї&1 =—Ксо5Ісї§і.	(55)
Отже, ми дістали лінійне рівняння відносно шуканої функції х. Загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння є х = С зіп І. Застосовуючи спосіб варіації довільної сталої, знайдемо
зіп і = —Н соз /сі^/, сіС = —/?сі£2/гі/,
С = — Я У (созес2/ — 1) (11 = £сі§/ + /?/ + Сх.
Загальний розв’язок рівняння (55):
х = Сх зіп І 4- К соз і 4- Ні зіп І.
Таким чином, параметричні рівняння евольвенти кола будуть
х = Сх зіп і 4- Н соз і + Ні зіп І, у = — х сі? і 4—•
27	&	1	81П І
Знайти ортогональні траєкторії сімей ліній:
566. у = аха.
567. х2 + у2 = а (а>0).
З 1—2414
65
568.	ху = а {гіпербол).
569.	у = ах2 {парабол).
570.	— +	= 1 (еліпсів).
571.	у2 — 2р (х 4- (співфокусних парабол).
572.	(2а — х) у2 = х3 (цисоїд).
573.	(х — а)2 + у2 — 4 (кіл).
574.	х2 4- у2 = 2ах (кіл).
575.	(х2 4- У2)2 = а2 (х2 — у2) (лемніскат).
576.	р = а(1 4-СО8 0) (кардіоїд).
577.	х(х2 4- у2) = а (х2 — у2) (строфоїд).
578.	(х2 4- у2)2 = а2ху (лемніскат).
579.	г2 = 1п ф 4- С.
580.	х2 — у2 = а (гіпербол).
581.	у2 — 2р (х — а) (парабол).
582.	Знайти лінії, що перетинають криві сім’ї х — у = — х2 4- а2 під кутом 45°.
583.	Знайти лінії, що перетинають криві сім’ї ху = а під кутом 45°.
584.	Знайти лінії, що перетинають криві сім’ї х*4- У2 = = 2ах під кутом 45°.
585.	Знайти лінії, що перетинають криві сім’ї х2 4- у2 = = а2 під кутом а.
586.	Знайти сім’ю кривих, що перетинають сім’ю парабол у2 = 4ох під кутом 45°.
587.	Знайти ізогональні траєкторії (кут перетину а = = 45°) сім’ї ліній у = ах.
588.	Знайти ізогональні траєкторії (кут перетину а) сім’ї
. . о 2 і а2
ЛІНІЙ р2 = ----
г соз 20
589.	Знайти ізогональні траєкторії (кут перетину а) сім’ї кривих р = а (1 + соз 0).
590.	Знайти ізогональні траєкторії (кут перетину а) сім’ї кіл р = а соз 0.
Знайти евольвенти ліній:
591.	Ланцюгової лінії у = асЬ-^-.
592.	Евольвенти кола х = а (соз і + і зіп /), у — а (зіп і — і соз і).
593.	Півкубічної параболи у = 3 х = —2І£3Л
66
Б94. Циклоїди х = а(і— зіпі), у = а(1—созі).
595.	Астроїди х — а соз3 і, у = азіп3Л
596.	Кривої х =	1£2 і, у = —
597.	Кривої х = — 2/3, у = Зі2.
Література
В. В. С т е п а н о в, розд. III, § 5.
Ю. В. П ф е й ф е р, розд. II, § 5.
Ф. С. Гу д и м єн ко, § 16.
М. С. П и с к у н о в, т. І, розд. XIII, § 15.
§ 15. ПОДВІЙНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ (ЛЕЖАНДРОВЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ)
У деяких випадках можна дістати розв’язок рівняння Р (*, У, У') = 0 в параметричній формі, користуючись так званим Лежандровим перетворенням.
Яке ж диференціальне перетворення зветься Лежандровим? Нехай X та У будуть нові змінні, визначувані рівностями:
Х-^Ґ- У ~х	— У- (56)
Щоб знайти вираз старих змінних через нові, обчислимо йУ. Маємо йУ = у'йх + хйу' — йу. Але у'йх = йу, у' = X; отже, йУ = хйХ. Звідси
х ~ ах '	(57)
Зважаючи на рівності (56), дістанемо у = ху' — У, у — (1¥
= хХ — У. Але х =	, тому остаточно
лу
у-Хіп-'-у-	<58>
Як бачимо, між рівностями (56), (57), (58) є повна симетрія. Перетворення, зображуване цими рівностями, звуть Лежанд-рович.
Застосовуючи Лежандрове перетворення до рівняння
Р(х, у,у’)= 0,	(59)
дістанемо
Р [	, X — У, ХІ = 0.	(60)
аХ ’ аХ ’ І	' '
Припустимо, що нам удалося зінтегрувати рівняння (60) і нехай
У = Ф(Х, С)	(61)
з*
67
його загальний розвозок. Підставляючи в рівності (57) та (58), будемо мати розв’язок рівняння (59) в параметричній формі
х — <р (X, С), у==Х(р’{Х, С)-<р(Х, о.
Роль параметра тут, звичайно, відіграє X.
Приклад 598. Зінтегрувати рівняння х (у — ху’) = у.
Застосовуючи заміну (56), дістанемо у оу _ у ау	у	ау _ у
*ах ~ л ах	¥ •	ах ~ х + у 
Як бачимо, останнє є однорідне рівняння. Звідси уах + улу = уах, уіу = у ах — хау, оу _ уах—хау у — уі
Отже, інтегруючи, знайдемо 1п У —у = С,
Х = У\пУ — СУ.	(63)
Вилучаючи X, У та у' з системи х (у*— ху') - у, У = ху’ — у, Х = у’,
ІпУ — у- = С, дістанемо
і
1п(-^-)+1 -4- = С, У = С1Хех.
Останні обчислення можна було зробити ще й іншим способом: диференціюючи (63) по X, матимемо
У	У2
Звідси
ах
[згідно з (57) та (58)]. Отже, А = і _2_ __ і,
Их
68
а тому
г)-т-'"с-
Зауважимо, що коли (59) є рівняння Клеро, то застосування Лежандрового перетворення дає можливість знайти лише особливий розв’язок.
Зінтегрувати рівняння, застосовуючи Лежандрове перетворення:
599.	2у(у' 4-2)— ху'2 = 0.
600.	у' = 1п х 4- 1п (ху' — у).
601.	Показати, що рівняння
(ху' —	(у') 4- УЯ (У') 4- хН (у') = 0
з допомогою перетворення Лежандра зводиться до рівняння Бернуллі
[Хд(Х) + Н(Х)] ¥' — д(Х)У + /(X) Уп = 0.
Література
Е. Г у р с а, т. 1, § 58.
Е. Л. Айнс, 2.5.
Розділ ПІ
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ
8 16. ІНТЕГРОВНІ ТИПИ
Вилучаючи з залежності
Ф(х, у.С^С,, ... , Сп) = 0	(1)
довільні сталі Сіг дістаємо рівність
Р(х,у,у', ... , у^)=0,	(2)
яку звуть диференціальним рівнянням п-го порядку. Рівняння (2) визначає диференціальні властивості, притаманні і спільні для всіх кривих п-параметричної сім’ї, визначуваної залежністю (1).
Розв’язуючи (2) відносно найвищої похідної, будемо мати (припускаємо, що виконані умови теореми про існування неявної функції):
У(п) = [(х, у, у', .... у*""1’).	(3)
Якщо права частина останньої рівності є лінійною функцією відносно у, у', ..., то таке рівняння зветься лінійним.
Функцію у = ф (х) звуть розв’язком рівняння (2) чи (3), якщо підставлення ер (х), ер' (х), ..., <р(п) (х) в (2) або (3) замість у, у\	перетворює ЙОГО В ТОТОЖНІСТЬ. Як і для
рівняння першого порядку, справедлива, за певних умов, теорема існування та єдиності розв’язку. А саме: диференціальне рівняння (3) має єдиний розв’язок у = ер (х), що задовольняє задані початкові умови: при х = х0, у = г/0, у' = = Уо, У(п~і} = Ж"~П, ЯКЩО І (х, у, у', .... у’"-0) — не-перервна функція своїх аргументів в деякому околі точки М (*о> Уо» */о» •••, Уо”-») та задовольняє умову Ліпшиця по аргументах у, у', ...,г/(л-1). Зауважимо, що умова Ліпшиця напевне буде виконана, коли частинні похідні	...,
обмежені в околі точки М.
Відшукання розв’язку <р (х) рівняння (3), що задовольняє певні початкові умови, звуть також задачею Коші,
70
Слід підкреслити, що єдиність розв’язку рівняння (3) аж ніяк не означає, що через задану точку (х0, г/0) буде проходити єдина інтегральна крива, як це властиво для рівняння у' = І (х, у). Навпаки, через точку (х0, #0), коли взяти, наприклад, рівняння у” = / (х, уіу’\ проходить безліч інтегральних кривих, серед яких буде єдина крива, дотична до якої в точці (х0, у0) утворює з віссю х кут а такий, що а = (Уо — задане наперед початкове значення першої похідної).
Зінтегрувати рівняння (2) чи (3), коли воно нелінійне, щастить лише в окремих випадках.
Далі на конкретних прикладах покажемо інтегрування окремих типів рівняння (2):
Р (X, у(п}) = 0. Р (у(п~1\ у(п)) = 0, Р (у(п~2\ у(п)) = 0. й3и
Приклад 602.	= х 1п х. Знайти загальний розв’язок
та частинний, що задовольняє умови: при х0 = 1,
У о = 0, у$ = 0, у0 =	.
В даному разі це є рівняння Р (х, у(Л)) = 0, розв’язане відносно у{п) (окремий випадок лінійного рівняння). /Маємо
) == * 1п х, сі (-йг) = х 1п хіх,
(ІХ \ (ІХ2 )	*	СІХ2 )	’
отж
	^- = ^хІпхОх + С1 = ~-\пх—-^- + С1,	(4)
а (4-)=(41п х -
	_ *3 іп х___±_____х3 4-е х 4- С
ііх ~ 6 ІПХ	18	12 1 сіх + с2>
<	= 41"'-ТГ^ + С^ + ^ и
У = П41л х----х3 4- Схх + С^Ух + С,
або
у=-£-\пх--£------Лі-Х*+С1^-+Сгх + С3-,	(6)
остаточно
у = ІПХ-	+ С3.
Шукаємо тепер частинний розв’язок, що задовольняє зазначені початкові умови. Маємо з рівності (4) у^ = -----=
71
= —і- 4- С1( отже, С\ = 0. Далі з рівності (5) знаходимо
0 =-----4- 0 • 1 4- С2, отже, С2 —	.
Нарешті, рівність (6) дає змогу визначити С3:
Уо — и— 288 “і- зб 4" Ч> ьз —	32 •
Таким чином, шуканий частинний розв’язок буде
Xі ,	13	4 ,	5	З
У - 24 ПХ	288 Х -І" 36 Х 32 
Приклад 603. у" — соз у" — х = 0.	(*)
Рівняння не розв’язується відносно у", але воно розв’язне відносно х. Отже, х = у" — соз у”. Якщо покладемо у" = = і, дістанемо х = і — соз і, у" = і — параметричне зображення рівняння (*). Наше завдання визначити у через параметр і. Маємо
(У') = Мх-Але
йх = Лі зіп ійі = (1 4- зіп і) <іі, отже
<І(у') = / (1 4- ЗІП/)<//, а тому
у' = у ід.1 4- зіп Ні 4- С\ = — і соз і 4- зіп і 4- Сг. Звідси
у — § — /соз / 4- зіп / 4- Оі)(1 4- 8іп/)Л 4- С2,
/З	І2
У = -§----/ зіп / — 2 соз / 4- Сд/-2~ соз / 4- / зіп / 4-
4- соз і 4- соз 2/ —зіп 2/ 4- -^- / —— Сг соз і 4- С2,
у =	— 1) соз 2/---зіп 2/ —	4- 1 4- соз і 4-
4-	4—2~) / 4- “6“ "І"
Отже, розв’язок рівняння (*) в параметричній формі буде
X = і — соз /,
у = -у- (/ — 1) соз 2/-зіп 2/ —	4-	4- 1) соз / 4-
+ (Сі 4- -у-) і 4- ~б" 3"
72
Приклад 604. у"' — у"2 = 0.
Покладемо у" = г, тоді у"' =	. Отже,
(І2 о (І2	.	1	. /•,
-7— = г2, —т- = сіх,-----------== х 4- Сг
сіх	г2 ’ г 11
л	А2 У	ії2У	1
Але 2 = -т4- , тому =-----------------
сіх2 і сіх2 х +
няння, розглянуте в прикладі 602. Далі маємо
Як бачимо, дістали рів-
а	= — іп (х + Сі) + с8,
\ (ІХ ]	X Н- Сі ’ СІХ	\ І 1/ І 2’
звідси
У — — У 1п (х + Сі) іїх + С2х + С3; остаточно
У = — х 1п (х + Сх) + 1п (х + Сх) + С2х + С8.
Приклад 605. Знайти розв’язок рівняння у" + //“3 = 0, який задовольняє початкові умови: при х0 = 1, г/0 = 1, у0 = = 0. Записавши рівняння у вигляді у" = —у~3, помножимо обидві частини на '2у'(1х. Будемо мати
2у'у"(1х = — 2у-3у'(1х, (і {у'2) = — 2у~3йу,
У'2 = ~уГ + Су
Звідси, беручи до уваги початкові умови,
Ш=»-4-+с.,
Далі маємо
^ = ±1/4-1,	у^_ =ах, ±ут=Гуіх+Са.
йх ту2	у і __ у2	12
Беручи знову до уваги початкові умови, знайдемо С2 =—1. Таким чином, 1 — у2, = (х — 1)2; або х2 + у2 — 2х = 0.
Зінтегрувати диференціальні рівняння та відшукати частинні розв’язки там, де задані початкові умови:
606.	у'" = 0, при х0 = 0, г/0 = 1 ^о = О, уй = 2.
607.	у1 = х— 1.
608.	г/1у = 5іп2л:.
609.	у"’ = х 4- соз х.
610.	= сЬх, при х0 = 0, #0 = 2, #0=1, #;=1,
Уо = °-
611.	у" = е'созх, при х0 = 0, уо = 0, #0=1,5.
73
612.	у'" = хе*, при х0 = 0, у0 = 0, у'о = 0, уй = 0.
613.	г/" = зіп3х.
614.	у" = -±-, при х0 = 1, у0 = 1, у'о = 1.
615.	у'" = —ХСО5Х.
616.	у" = агсзіпх.
617.	у" = агсі§х.
618.	у'" = ех--
619.	у™ = ех — 1, при х0 = 0, ї/0= 2, у'0 = 1, у"0 = 1,
Уо = 1.
621.	у™ = х Іпх.
622.	у'" =	.
623.	х/ — уп = 0.
625. у" =
X
ЗІП X
X
626.	у" = х зіп х.
627.	у'" =	, при х0 = 1, у0 = 2, у'о = 1, у’ = 1.
629- У" =	- при х0 = 0, у0 = 0, у0 = 1. 
630.	у"3 — 2у" — х = 0.
631.	у"4 + у" —х = 0.
632.	у"2 + ху”— х3 = 0.	633. у" — еу = 0.
634. г/" + 1Пї/' —х= 0.	635. у'" — у"3	0.
636. у"’ — е~у' = 0.	637. ї/" — у" = 0.
638. у" — а (1 + у'2)2 = 0.	639. у"2 — Аху" + 4г/' = 0.
74
640. 33/^"= 1.
642. уу" = 1.
644. у'й +3/і/' -у'2 = 0.
646. у" у3 = 1.
648. у" + 2г/" 1п у' — 1 = 0.
650. у3у" — уі + 1= 0.
Література
641. іУуу" = 1.
643. /2 + /2-/4 = 0.
645. у"'2 + у"2 —1=0.
647. З/ = у~ У-
649. /(!+/)/'=!.
651. /' + / = 0.
В. В. С т е п а н о в, розд. IV, § І, 2.
М. М. Матвеєв, розд. III, § 1, 2.
Ф. С. Г у д и м е н к о, § 18, 19.
М. С. Писку нов, т. І, розд. XIII, § 16, 17.
Ю. В. П ф е й ф е р, розд. IV, § 1, 2.
§ 17. РІВНЯННЯ, ЩО ДОЗВОЛЯЮТЬ ЗНИЗИТИ ЇХ ПОРЯДОК
Порядок диференціального рівняння
Р(х,у,у'......у*~", у,п}) = 0.	(7)
можна знизити тоді, коли: 1) рівняння (7) не містить явно шуканої функції; 2) не містить явно незалежної змінної; 3) ліва частина рівняння (7) — однорідна функція відносно У, У', •••> У{п\ 4) ліва частина рівняння (7) —однорідна функція відносно змінних та їх диференціалів; 5) функція Р (х, у, у', •••> У{п}) є повна похідна по х деякого диференціального виразу (п — 1)-го порядку та ін.
Нижче наводяться приклади таких рівнянь та їх розв’язування.
Приклад 652.
/'(1+/2)-3/г/"2 = 0.	(8)
Як бачимо, це рівняння не містить явно шуканої функції і аргументу, отже, його порядок можна знизити на дві одиниці. Покладемо у = 2. Тоді у” = -т-, у"' = і рівняння ма-СІХ	СІХ
тиме вигляд
(1 + г2) ~ — Зг = 0.	(9)
х 1	7 ах2 \ ах}	х 7
Завдяки тому, що рівняння не містить явно шуканої функції, ми знизили його порядок на одиницю. Користуючись тепер тим, що воно не містить і явно незалежної змінної,
75
знизимо його порядок ще на одиницю. Поклавши = р і розглядаючи г як незалежну змінну, матимемо
г/2г _ д,р (іг _ йр
(їх2 ~ (іг	(Іх ~~ ? (іг
Рівняння (9) набере вигляду
р(Ц-г2)^--3гр2 = 0, або
(1 +г2)-^--3гр = °.
Відокремлюючи змінні, дістанемо
-у------і^- = 0. Іпр —1п(1 + ?2) = 1пС1(
р = С1]/(Т+^)3, -^- = С1/0+^)8
і звідси
С г іг = с1Х +с2-
З /ач-*2)3
Зробивши в інтегралі заміну г =	9, йг — зес2 0Й0, мати-
мемо
Р 8ЄС2 0^0 с пм -а г
І —=-а— = І соз 0с!0 = зіп 0 = -г=^=.
зес? 03	у і 4- г2
Таким чином,
-г—— = Схх + С2.
Звідси
г2 = (Схх + С2)2, г2 = Ах + С»)2
1 4-г2	41	1 — (Схх 4-Сд)2 ’
__ । ___Сгх 4~ Су_ йу ____ ।____Схх -}~ С2_
”	/1 - (Схх + Сд)2 ’ Лх~ ~ /{-(С^+Сд)2 ’
,	СіХ С2 ,
<іу = ± , - — - ах.
/1-(Схх + Сд)2
Інтегруючи останню рівність, знайдемо
У + С3 = 4-	1“Ь С2)2,
або
С*ІУ + С3)2 + (Сіх + С2)2 — !•
Приклад 653. хуу” + ху'г — уу' = 0.
Ліва частина рівняння є однорідна функція (виміру 2) відносно шуканої функції та її похідних./
Покладемо — = г, або у' — гу. Тоді у" — г'у + гу' = У
76
— у (г' + 2і), і рівняння після підставлення виразів для у' та у" набере вигляду
ху2 (г' 4- г2) 4- хг2у2 — у2г = О,
або (після скорочення на у2)
х (г' 4- г2) 4- хг2 — 2=0.
Таким чином, ми дістали рівняння першого порядку (рівняння Бернуллі). Зробивши заміну (після ділення на г2)
__ 1 ди  	1 дг
и ~ 2 ' дх ~~ г2 (іх *
матимемо лінійне рівняння
йи । « _ о
дх ' х
Розв’язок відповідного однорідного рівняння буде
1п и 4- 1п х = 1п С, и =
X
Т°“’	С = ^‘ + Сп
и = 1(х24-С1) = -^-4-х.
у'	X
2 = —_ = -------
У х2 + С^
Отже,
З останньої рівності маємо
-у = хаЦІс; 1п У = 1п + С1) +,п с2-
Остаточно	у = С2 ]/х2 4- Сх.
Приклад 654. х3у" — х2у'2 4- їхуу' — у2 = 0.
Якщо це рівняння подати у вигляді
х№у — х2<іу2 4- 2ху<іу<іх — у2(1х2 = 0,
то відразу переконуємося, що воно однорідне (виміру 4) щодо змінних та їх диференціалів, і тому покладаємо х = е‘, у =
= ие- т°Д’^- = и+л-’ ^ = (^-+аг)е • Підставляючи в дане рівняння, дістанемо
З/ / д2и . ди\ —і 2і І ,	\2 .
е [-ж + 1й)е ~е \и+—} +
4- 2е(и^	4-	— и2е2і = 0,
сРи [ сій \2 , <1и п
аб°	+ л-=°-
77
Здобуте рівняння не містить шуканої функції и, і, отже, можна його порядок знизити на одиницю (зауважимо, що це рівняння не залежить також і від аргументу /). сій гг	сі2и сір сій сір .
Покладемо — = р. Тоді	— = р— і підставлення
дає
р^-р2 + р = °-
Звідси — р = — 1 і р = 0. Розв’яжемо спочатку перше рівняння. Маємо — р = 0, Іпр— и = 1пС, р=Сеи. Застосовуючи спосіб варіації довільної сталої, знаходимо еи = — 1, сІС = — е~и<іи, С = е~и + Сх. Загальний роз-
в’язок буде р = (Сі + е-") еи = Сів" + 1. Але Р =	. ТОМУ
+1, (11 = —і
Л і	Сге ’
і = ї + 1п = ~ 1п (е~“ + Сі) + їй С„
Л Сге + 1 отже,
Вертаючись до початкових змінних, дістанемо:
у
С ех
Х = -----£------
Сіе‘4-1
х
Враховуючи, що ех = ~—=-, знаходимо
С 2 С іХ
З рівності р = 0, тобто = 0, маємо и = С, або у = Сх. Легко переконатися, що цей розв’язок міститься у загальному
У = * 1п с~ХСх ’ О 2 —
якщо покласти С2 = 0.
Приклад 655. уу'" — у'у" = 0.
Якщо поділити на у2 обидві частини рівняння, помічаємо, що
78
и
тоді ліва частина буде похідною від —, тобто У
у'"у —у'у" = 4 /V = о
У2	<іх \ у /
Звідси
= у" = С1у.
Це рівняння буде вже рівнянням другого порядку відомого нам типу (приклад 605). Отже,
2у'у"<іх = 2С1уу'<іх, сі (у'2) = 2С1УсІу,
У'2 = С,у2 + С2,	, ау . - = ± (їх.
У ІУ 1- 2. уСіуі + Сі
Зінтегрувавши, матимемо
еС*х =С3 (у + У у2+ С2).
Останнє можна розв’язати відносно у:
еСіХ (У^+С, ~ у) — С3С2, Ууг+Сі -у = С3С2е~с'х.
З рівностей
У + Уу^+с, = -У ес'х, У^~+С2 -у = С2С*~с'х сз
маємо
у = С2ес'х + Сзе~с'х с« = -т)-
Зінтегрувати диференціальні рівняння:
656. ху" = у' іп .	657. 2уу" — Зу'2 = 4у2.
658. ху" + у'— х2 — 1 = 0.	659. 2уу" — у'2 = 1.
660. ху'у" + у'2 4- 1 = ау"У 1 + у'2.
661. і/(1-1пг/)/4-(1 + Іп х/) у'2 = 0.
663. х^у" + (ху' - у)3 = 0.	664. у"'у' - у"2 - у'3 = 0.
665.	уу" — у'2 — уа1п^ = 0.
666.	х2уу" — 2ХіУ2+ хуу'+ у2 = 0.
667.	хуу" — ху'2 — 2уу' = 0.
,2
668.	хуу" — ху'2 — уу' +	= 0.
У * х
79
669.	XV" — у"‘ = 0.	670. і/”у' — Зу"‘ = 0.
671. х2уу” — (у — х/)2 = 0.	672. хуу" 4- ху'2 — 3уу’ = 0.
673.	у у" — у’ (2 Куу' — у') = 0.
674.	(х2 + у2) у" — уу'2 4- ху'3 + ху' —у = 0.
675.	у" (у — 1) — 2г/'2 = 0.
676.	х*у" — (х3 4- 2ху) у' 4- 4у2 = 0.
677.	х2 (уіґ — у'2) 4- хуу' = у Ух2у2 4- у2.
678.	х3у"-(у — ху')2 = 0.
679.	ху" — х2уу' — у' = 0.
680.	х4^"*4- 2х3г/" —1=0.
681.	ху"' 4- у" = х 4- 1.
Знайти частинні розв’язки рівнянь:
682.	(х2 4-1) у" — %ху' = 0 при х0 = 0, у0 = 1, у0 = 3.
683.	уу" — у'2 4-ї/'3 = 0 при х0= 1, г/0 = 1, у0 = — 1.
684.	у"у3 4-1 = 0 при х0 = 1, у0 = 1, у'о = 1.
685.	х4/ — (у — ху')3 = 0 при х0 =1, у0 = 1, у0 = 1.
686. уу” — 2ху'2 = 0 при х0 = 2, у0 = 2, у'о = 0,5.
687.	у"у'у = у'3 + у"2- Знайти інтегральну криву, що проходить через точку М (0; 0) й дотикається до прямої у = — х.
688.	Знайти плоскі криві, у яких радіус кривини пропорційний кубу нормалі.
689.	Знайти криву, у якої проекція радіуса кривини на вісь Оу є величина стала.
690.	Знайти криві, у яких радіус кривини дорівнює відрізку нормалі, який міститься між даними паралельними пря-
мими.
691.	Знайти криву, у якої радіус кривини дорівнює 1.
692.	Обчислити швидкість, з якою впаде на Землю (під дією земного тяжіння) тіло, що в початковий момент знаходиться на орбіті Місяця в стані спокою. (Тут прискорення сили земного тяжіння обернено пропорційне квадрату відстані рухомого тіла від центра Землі).
693.	Використовуючи дані попередньої задачі, зокрема, ви
раз для швидкості V	у
обчисліть час па-
дання тіла на Землю з місячної орбіти.
694.	Обчислити згин балки, один кінець якої непорушно замурований у стіні, а на. другий діє вертикальна сила Р. Довжина балки дорівнює І (вагою балки нехтуємо).
80
695.	Балка завдовжки І лежить кінцями на двох опорах. Цо середини балки підвішено вантаж Р. Знайти рівняння пружної лінії та найбільший її прогин.
696.	Знайти форму, що її набирає під дією власної ваги гнучка однорідна нерозтяжна нитка, закріплена на кінцях.
697.	Знайти інтегральну криву, знаючи, що радіус її кривини пропорційний квадрату абсциси (коефіцієнт пропорційності —^та справедлива умова// (а) = —у' (а) = 0.
а І	о
Література
В.	В. Степанов, розд. IV, § 3, 4.
М. М. М а т в е є в, розд. 111, §1,2.
Ф. С. Г у д и м е н к о, § 20.
Ю. В. Пфейфер, розд. IV, § 3.
М. С. П и с к у н о в, т. 1, розд. XIII, § 18.
Л. Е. Е л ьсгол ьц, розд. II, § І, 2.
Розділ IV
ЛІНІЙНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ
ВИЩИХ ПОРЯДКІВ
§ 18. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ ЗІ ЗМІННИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ
Диференціальне рівняння /г-го порядку зветься лінійним, якщо воно першого степеня щодо шуканої функції та всіх її похідних. Отже, лінійне рівняння /г-го порядку має вигляд:
Р0 (X) У™ + Рг (х) у(п~1} + • • • +	(х) у’ +
+ Рп (х) У = Р (х).	(1)
Функції (х) звуться коефіцієнтами рівняння. Як і Р (х), всі Р1 (х) вважаються заданими неперервними функціями від х на деякому проміжку (а, Ь). Останній може бути і (—оо, оо). Коли Ро (х) =# 0 на (а, Ь), то, поділивши обидві частини рівняння (1) на Ро (х), дістанемо
у(п) + Р1 (х) у(п~1} + • • • + р„_і (х) у' +рп(х)у = г (х).	(2)
Якщо Г (х) =1 0, тобто
г/(п) + Рі (х) р(п-1) + • • • + р„_і (х) у’ + рп (х) у = 0, (3) то таке рівняння зветься лінійним однорідним рівнянням. В зв’язку 3-цим рівняння (1) чи (2) зветься лінійним неоднорідним.
Лінійне однорідне рівняння завжди має очевидний розв’язок у = 0; його звуть тривіальним розв'язком.
Рівняння (2) можна розв’язати відносно у(п}:
у{п} = ~Р1 (*) У(" ” — Рі (х) у(п 2) — ... —рп(х)у + г (х) =3 = ї(х, У, у',    , у(п~1)).	(4)
Звідси видно, що права частина рівності (4) задовольняє умови
теореми Коші про існування та єдиність розв’язку. Справді, якщо Рі (х) та г (х) неперервні на [а, &], то в околі будь-яких
початкових значень х х0 (а < х0 < Ь), у (х0) = г/0, у' (х0) = = Уо, У(п~1) (х0) = у(оп~1), І (х, у, у’,	у(п~1)) буде непе-
.	.	. дї
рервною функцією разом з усіма похідними ,
оу' ’ ”•
бо * = °- 1--------------«-1.
82
Загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння (3) має вигляд
У = <\ух (х) + С2у2 (х) + • • • + Спуп (х),	(5)
де (х) є його лінійно незалежні частинні розв’язки, а Сі — довільні сталі.
Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння (2) є сума будь-якого його частинного розв’язку Уо (х) та загального розв’язку відповідного однорідного рівняння (відповідним звуть рівняння, ліва частина якого ідентична з лівою частиною рівняння (2)). Отже, загальний розв’язок має вигляд
У = *% (*) + С1У1 (X) + С2у2 (х) + • • • + спуп (х).	(6)
Сукупність будь-яких п лінійно незалежних частинних розв’язків рівняння (3) звуть його фундаментальною системою. Відшукання частинних розв’язків, зниження порядку лінійного рівняння та інше буде з’ясовано на конкретних прикладах, поданих далі.
Приклад 698. Побудувати диференціальне рівняння, що має за фундаментальну систему функції у± (х) = х, у2 (х) = х2, Уз (х) = е*.
Шукане рівняння матиме вигляд
Уі,	Уг,	Уз,	У		х,	х2,	е\	У	
У\,	У2,	Уу	у'		1,	2х,	е\	у'		 Л
Уг	Уг	Уз,	У"		0,	2,	ех,	У"	= V.
УЇ>	У2-	Уз,	У'"		0,	0,	ех,	у"'	
Розгортаючи визначник за елементами останнього стовпця, дістанемо
	х,	X2,	ех		х,	X2,	ех		
у'"	1,	2х,	ех	-у"	1,	2х,	ех		+
	0,	2,	ех		0,	0,	ех		
	х,	X2,	ех		1,	2х,	ех		
+ у'	о,	2,	ех	—у	0,	2,	ех	= 0.	
	0,	о,	ех		0,	0,	ех		
Остаточно, після скорочення на ех
(х2 — 2х + 2) у'" — х2у" + 2ху' — 2у = 0.
Приклад 699. Знизити порядок, а потім знайти й загальний розв’язок рівняння
(х2 _ Зх)у + (6 _ Х2) уг + (3% _ 6) у о, якщо частинний його розв’язок ^1(х) = е\
83
Зробимо заміну у = ух(х) и = иех. Тоді
у' = и'ех + иех, у" = и"ех + 2и'ех + ие\
і підставляючи в рівняння, дістанемо
(х2 — Зх) (и" + 2и' + и) ех -|- (6 — х2) («' + и) ех +
+ (Зх — 6) ие — 0,
або, після простих перетворень,
(х2 — Зх) и" + (х2 — 6х + 6) и’ = 0.
Це рівняння не містить явно шуканої функції; отже, поклавши и! = г, знизимо порядок його на одиницю, тобто дістанемо лінійне рівняння першого порядку. Справді, якщо и' =
//	(І2	.	.
= г, то и =	, і останнє рівняння набирає вигляду:
(х2 — Зх) -^ + (X2 — 6х + 6) г = 0.
Знайдемо його розв’язок. Маємо:
йг х2 — 6х + 6 г * х2 — Зх
(їх = 0,
1п г = — х + 2 1п х + 1п (х —— 3) + 1п Сх, г = С1е“А:х2 (х — 3).
Але 2 =	, тому
и = Сх ]* е~х (х3 — Зх2) (іх + С2 =
= Сх (— е Хх3) + С2. Отже,
У = У1 М « = ех (— схх3е“х + С2).
Зауваження 1. Якщо дане лінійне рівняння є рівняння другого порядку і нам відомий один частинний розв’язок його, то для відшукання загального розв’язку краще скористатися формулою Абеля	~ ~
(С С1Є-^ах>іх )
У= Уі (х) \ ----5--------ах + сЛ.
Зауваження 2. Зниження порядку лінійного однорідного рівняння на одиницю можна досягти також заміною у' = гу (приклад 653), бо воно однорідне щодо шуканої функції та її похідних, але це нераціонально і не рекомендується (вказана заміна перетворює лінійне рівняння на нелінійне).
700.	Функції х, х2, х3 справджують деяке однорідне лінійне диференціальне рівняння. Переконатись, що вони утворюють фундаментальну систему, та скласти згадане рівняння.
84
701.	Побудувати диференціальне рівняння, що має за фундаментальну систему функції 1 та соз 2х.
Розв’язати лінійні рівняння зі змінними коефіцієнтами:
702.	(1 Н-х2)/ — 2ху' + 2у = 0, г/х(х) = х.	.
703.	(1 — х) у" + ху' — у = 0, уг (х) = ех.
704.	х2у" 1п х + у — 0, уг (х) = 1п х.
705.	у" + (І£ х — 2 сі£ х) у' + 2у СІ£2 х — 0, уг (х) = зіп х.
706.	х2/ — 2х (1 + х) у' + 2 (1 + х) у = 0, уг (х) = хе2*.
707.	(2х - х2) у" + (х2 - 2) у' + 2 (1 - х) у = 0, У1 (х) = х2?
708.	(1 + х2) у" + х/ - у = 0,	(х) = /Г+Т2.
709.	(4х2 — х) у" + (4х — 2) у'— 4г/=12х2— 6х, #х(х) = 2х — 1.
710.	ху" + 2у' + ху = 0, У1 (х) =
711.	х/" — у" + ху' — у = х2 — 3, Уі(х) = х, у2(х) =созх.
712.	ху"' — у” ~ ху' у — — 2х3, г/х (х) = ех, у2 (х) = х.
713.	х2у"зіп2х— 2ху' (зіп2х — х)+2г/(зіп2х — х) = 0,	1
г/х (х) = х.
714.	(Зх2 —х)і/" + (Зх —2)/ —3// = 0, і/х(х)=4--
* с<
715.	(1 + х2) у" + ху' — п2у = 0, г/х (х) = (х —V 1 + х2)п. ?
716.	ху" — (х + 2) у' + у = 0, уг (х) = х + 2.	Ч
717.	/ - (х2 + 1) у = 0, ух (х) = еТ
718.	у" — ху' + 2у = 0, г/х(х)=х2—1.
719.	у" + 4ху' + (4х2 + 2) у = 0,	(х) = є"*’.
720.	у" + у' х — у соз2 х = 0, г/х (х) = е81п х.
721.	(2х + 1) у" + (4х - 2) / - 8у = 0, уг (х) = е~2х-
722.	х(1 -х)2/-2у = 0, г/х(х) =	.
723.	ху" + (х2 + 1) у' + 2ху = 0, уг (х) = е 2.
724.	х2у" — х (х + 2) у' + (х + 2) у = 0, ух (х) = хех.
725-	У" ~	= 0’ УЛх)-^х.
85
726.	х^у" — 2ху' + (4х2 4- 2) у = 0,	(х) = х соз 2х.
727.	ху" + 2у' -ху = 0, У1 (х) = -^ .
728.	х2 (2х — 1) у"’ + (4х — 3) ху" — 2ху' + 2у = 0,
Уі (х) = х, у2 (х) = -Г.
729.	х (х — 1) у" — (2х — 1) у' 4- 2у — 2х3 — Зх2, Уі (х) = х2.
730.	(х2 - х) у" + (2х - 3) у' - 2у = 0, У1 (х) =	•
731.	(2х - 3) у"' + (7 - 6х) у" + 4хй' - 4// = 0, У1(х) = ех, у2(х)=х.
732.	ху'" — у" — ху' + у — О, У1 (х) = ех, у2 (х) = е х-
Література
В. В. Степ а нов, розд. V, § 1—3.
Ф. С. Гудименко, § 21—23.
М. М. М а т в е є в, розд. VI, § 1—3.
М. С. П и с к у н о в, т. І, розд. XIII, § 20, 23, 25.
§ 19. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ З СТАЛИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ
Якщо в рівнянні (1) Ро (х), Р± (х), ..., Рп (х) сталі, то рівняння (1) зветься рівнянням з сталими коефіцієнтами. Для лінійного рівняння з сталими коефіцієнтами завжди можна побудувати фундаментальну систему, а отже, й написати його загальний розв’язок (5) чи (6).
Приклад 733. Знайти загальний розв’язок рівняння
Г-6г/"+11г/'^6г/ = 0.
Шукаючи частинні розв’язки у вигляді у = егх, дістанемо рівняння
/(г) = г3 — 6г2 + 11г — 6 = 0, яке зветься характеристичним рівнянням, а його корені — характеристичними числами даного рівняння. Будова характеристичного рівняння дуже проста і не потребує додаткових пояснень. Його можна завжди написати зразу.
Корені характеристичного рівняння: гх= 1, г2 = 2, г3 = = 3. Тому {/і (х) = ех, у2 (х) = е2х, у3 (х) = е3х і загальний розв’язок рівняння буде
у = С,ех + С2е2х + С^х.
Приклад 734. Розв’язати рівняння у™ + у" — \2у = 0. Характеристичне рівняння /(г) = / + г2 — 12 = 0 має корені 86
г1 = )/^3, г2 = —ІЗ, г3 — 2і, г4 =—2і. Частинні розв’язки — у4 (х) = еу Зх, у2 (х) = е~ /Зх, у3 = е2іх, у4 = е~2іх.
Загальний розв’язок рівняння такий:
у =	+ С2е~ /Зх + С3е2іх 4- С4е~2іх.
Як і в попередньому прикладі, корені характеристичного рівняння прості, але серед них є комплексні. Користуючись формулами Ейлера, загальний розв’язок можна подати ще в такому вигляді:
у = С±е + С2е сз (соз 2х 4- і зіп 2х) 4“
+ С4 (соз 2х — і зіп 2х) =
= С-^е^ 4~	4~ Л соз 2х “Е В 5Іп 2х,
де
Л = С3 С4, В — і (С3 С4).
Приклад 735. Розв’язати рівняння уу — 9у'" = 0. Характеристичне рівняння г5 — 9г3 == 0 має корені г± = г2 = г3 = 0, г4 = 3, г5 = —3. Коли якийсь корінь /;• характеристичного рівняння має кратність т, то йому відповідають якраз т частинних розв’язків:
еГі\ хеГі\ х2еГі\ ... , хт~хеГіХ-
Отже, в даному разі частинні розв’язки будуть
г/х (х) = е°'х = 1, у2 (х) = хеОх = х, у3 = х2е0х = Xа,
(*) = ^Х, У і (х) = е~3х, а загальний розв’язок рівняння матиме вигляд:
у = с4 + С2Х + С3Х> + С4е^ + сзе~3х.
Приклад 736. Знайти фатальний розв’язок рівняння
Характеристичне рівняння для нього г4 — 5г3 + 6г2 4- 4г — — 8 = 0. Помічаємо, що г = — 1 — корінь цього рівняння; отже,
(г + 1) (г3 —6г2 + 12г — 8) = 0, (г + 1) (г — 2)3 = 0.
Звідси гх = — 1, г2 = г3 = г4 = 2. Загальний розв’язок його буде
у = Схе“* 4- С2е2х + С3хе2х 4- С^х2е2х.
Приклад 737. Знайти загальний розв’язок рівняння
~Уїу + 2^ - 2/ + у' - у = 0.
87
Маємо
/(г) = г5 — г4 + 2г3 — 2г2 + г — 1 = 0.
Корінь рівняння г = 1 — очевидний; отже,
/(г) = (г—1) (г4 + 2г2 + 1) = 0 або
(г— 1)(г2 + І)2 = 0.
Звідси Гі = 1, г2 = г3 = і, = г6 = — і. Частинні розв’язки будуть (приклад 735)
Уі (х) = ех, Уі (х) = еіх, у3 = хеІХ, Уі (х) = е~ІХ, у6 (х) = хе~‘х, або ж
Уі (х) = ех, у2 (х) = соз х, у3 (х) = зіпх, У і (х) = X СОЗ X, у3 (х) = X ЗІП X.
Тому
у =	+ С2 соз х + С3х соз х + С4 зіп х 4- С3х зіп х.
Приклад 738. Розв’язати рівняння у" — 4у' 4- \3у = х2. Характеристичне рівняння відповідного однорідного рівнян-
у" — 4у' + ІЗу = 0 є г2 — 4г + 13 = 0;
корені його: гг — 2 -]- Зі, г2 — 2 — Зі. Загальний розв’язок відповідного однорідного лінійного рівняння буде
у = &х (Сі соз Зх + С2 зіп Зх).
Згідно з теорією, частинний розв’язок ¥0 (х) неоднорідного рівняння шукають у вигляді: Уо (х) = (Лх2 4- Вх 4- С) еах, де а = сопзі (дійсна, або комплексна, або й нуль).
Права частина містить е°* = 1, тобто а = 0 і, отже, а Гр а =/= г2 і тому покладемо Уо (х) = Лх2 + Вх 4- С.
Маємо: Уо(х) = 2Лх 4- В, Уо(х) = 2Л. Підставлення в рівняння дає: 2Л — 4 (2Ах 4- В) -]- 13 (Лх2 + Вх -|- С) = х2.
Звідси А = -іу, В = -Ї69 , С = + 2197- •
Отже, Уо (х) = -уу- х2 4- уцд- х -р -уїду .
Загальний розв’язок — сума будь-якого частинного розв’язку лінійного неоднорідного рівняння та загального розв’язку відповідного однорідного — буде такий:
У = е2х (Сі соз Зх 4- С2 зіп Зх) 4" -4г- (х2 4- -^-х-.
Приклад 739. Розв’язати рівняння у'" — 4у" = 8х+1. Маємо г3 — 4г2 = 0 (характеристичне рівняння відповідного однорідного рівняння). Звідси г2 (г — 4) = 0,	= г2 =^>
88
= 0, г3 = 4. Загальний розв’язок однорідного рівняння 2 = Сі С2х С3е4х.
Частинний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді
Г0(х)= (Лх + В)х2
(тут а = 0 збігається з коренем характеристичного рівняння 0 з кратністю 2).
Підставляючи в рівняння, будемо мати 6Л— 24Ах — 8В = = 8х+ 1.
Звідси — 24Л = 8, Л =----6Л — 8В = 1, В =---------.
о	о
Отже, у = Сі + С2х + С3е4х----------х3------1- х2.
Приклад 740. Розв’язати рівняння у" 4- 4у = хсоз 2х.
Для відповідного однорідного рівняння маємо г2 + 4 = 0, гг = 2і, г2 = — 2і; отже, г = С, соз 2х 4- С2 зіп 2х.
Частинний розв’язок Уо (х) неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді
У о (х) = [(Дх + В) соз 2х + (Сх + О) зіп 2х] х (множимо на х, бо а = ± 2і збігається з коренем характеристичного рівняння кратності 1).
Маємо
Уо (х) — (2Ах + В) соз 2х — (2 Ах2 4- 2Вх) зіп 2х 4-+ (2Сх + О) зіп 2х + 2 (Сх2 + Ох) соз 2х;
Уо (х) = (— 4Дх2 — 4Вх + 8Сх 4- 40 4- 2Д) соз 2х 4-+ (— 4Сх2 — 4Ох — 8Дх — 4В + 2С) зіп 2х.
Підставляючи в рівняння і групуючи члени лівої частини за соз2х та зіп2х, дістанемо
(— 4Дх2 — 4Вх + 8Сх + 40 -|- 2Д) соз 2х + + (— 4Сх2 — 4Ох — 8 Ах — 4В + 2С) зіп 2х + 4- 4 [(Дх 4- В) соз 2х 4- (Сх 4- О) зіп 2х] х = х соз 2х, (— 4Дх2 — 4Вх 4- 8Сх 4- 40 4~ 2Д 4- 4Дх2 4- 4Вх) соз 2х 4-4- (— 4Сх2 — 4Ох — 8Дх — 4В 4- 2С + 4Сх2 4- 4Ох) зіп 2х г х соз 2х.
Звідси
8Сх 4- 40 4- 2Д = х, 8С = 1, С = 4~: О
89
40 Д- 2Д = 0, - 8Ах — 4В Д- 2С = 0, — 8Д = О, Д = 0; — 4В + 2С = О, В = -1-, О = 0.
Таким чином,
Уо (х) = х соз 2х Д- х2 зіп 2х;
загальний розв’язок:
у = С± соз 2х Д- С2 зіп 2х Д-	-с0^2х Д- х зіп 2х).
Приклад 741. Розв’язати рівняння у" Д- у = і§2х.
Метод невизначених коефіцієнтів застосовний лише тоді, коли права частина має вигляд:'
г (х) = (Дохт Д- А^-1 Д- • • • Д- Ат),
тобто є добуток з показникової функції та многочлена. В даному разі цей метод не діє. Але загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння у" Д- у = 0 нам відомий.
Отже, можемо застосувати спосіб варіації довільних сталих.
Складаємо систему
Сі соз х Д- С2 зіп х = 0,
— Сі зіп х Д- С2 соз х = І£2 х.
Звідси
Сі = — х зіп х, С2 = Ї£2 х соз х;
Сх (х) = — У і§2 х зіп х йх Д- Ті = — зес х — соз х Д- уг;
С2(х) = / І82ХСО8ХЙХ Д- у2 = 1п Д- — 8ІПХ -Р у2.
Таким чином, шуканий загальний розв’язок неоднорідного рівняння буде такий:
у = (— зес х — соз х 4- Уі) соз х +
+ [1п <£ (-у + 4") — 5Іп х + Ї2] 5Іп х =
= ухсозх Д- у2зіпх + зіпхіп + тг) — 2-
Знайти загальні розв’язки лінійних однорідних рівнянь, а також частинні там, де задані початкові умови:
742.	у" + 5у'	+4ї/ = 0.	743.	у"— 1у’ + 10у	= 0.
744.	у" — 2у’	Д- 10г/ = 0.	745.	у"	Д- Зг/' = 0.
746.	у" — а2у	= 0.	747.	у”	Д- 9г/ = 0.
748. у" - 2г/' = 0, у (0) = 0, г/' (0) = 2.
90
749.	У" - 6у' + 13у = 0.	750. у" — 4у' + 4у = 0.
751.	У' + 4у' + ІЗу = 0.	752. у" 4-Зу'— 4у = 0.
753.	Зу" + 5у' + 2у = 0.	754. у" + 4у' + Зу = 0, у(0) = 2, у'(0) = 4.
755.	у" - 4у' + 29у = 0, у (0) = 1, у' (0) = 7.
756.	4у" — 4у' + У = 0, у (0) = 2, у'(0) = - 1.
757.	у" + 6у' + 9у = 0., у (0) = 1, у' (0) = - 1.
758.	у" + 2у' - 2у = 0, у (0) = 0, у' (0) = 2 ]/3.
759.	у" + 2у' + Зу = 0, у (0) = 0, у' (0) = Г2.
760.	2у" + У'-у = 0, у(0) = 3, у' (0) = 0.
761.	У" + 2у" — 5у' — 6у = 0.
762.	у"'4-Зу"-4у'-12у = 0.
763.	У" — 5 у" + Зу' + 9у = 0.
764.	у'" + 6у" + 12у' + 8у = 0.
765.	у'" — 2у" = 0.	766. У" — 4у' = 0. -
767.	У" + 27у = 0.	768. у"' + у = 0.
769.	У" + У" + 9у' + 9у = 0.
770.	У" — 2у" + 2у' — 4у = 0.
771.	У"—Зу" + 9у' = 0.	772. уІУ — ІЗу" 4~ 36у = 0.
773.	у™ _ а*у = 0.	774. уІУ — 8у' = 0.
775.	уу _|_ 9у" = 0.	776. уіУ - Зу'" = 0.
777.	+ $у" + 24 у" + 32у' + 16у = 0.
778.	уіу _	_|_ бу- — 4у' + у = 0.
779.	у™ — 2у"' — Зу" + 4у' + 4у = 0.
780.	уІУ + 5у" + 6у = 0.
781.	уу+0.^ = 0.	782. уУ—у” = (У
783.	уіУ — 2У" + 2у' —у = 0.	784. у,у — 4у"' +4у" = 0.
785.	уУ — у = 0.	786. уу —ЗуІУ + 2у"'= 0.
787.	уУ + 8у" = 0.	788. уу — 4уІУ = 0.
789.	уУ — 16у' = 0.	790. уу — 2уІУ + У" = 0.
791.	ууі—у = 0.	792. уУІ—9у" = 0.
793.	уУ\_ 4уу + 13уІУ = 0.	794. уУІ + 2уу = 0.
795.	уУ\ _ 5уУ + 4уіУ = о.	796. ууі + ЗуІУ = 0.
91
Знайти загальні розв’язки	лінійних неоднорідних рів-
нянь зі сталими коефіцієнтами: 797. у — £ = х24- 1.	798. у — Зу' 4- 2г/ = х3.
799. у — 4 у' 4- 4г/ = хе*.	800. у — 9у = 2 — х.
801. у 4- 4у = соз х.	802. У" — 2г/" = х — 2.
803. у"' — 7 г/" 4- 6г/ = х2.	804. У" — 4у'=х2.
805. у" + у = х2 — х4- 1.	806. У" — Зу =
= х3 4- х2 — х 4-1 • 807.	У" — 4г/" 4- 5г/' — 2г/ = 2х 4- 3. 808.	у™ 4- у” = х2 4- х. 809.	у" 4- у = 4х соз х.	810. у™ — Зу' = хе2*. 811. г/у — 4^" = х2—1.	812. у”— 4у = е2*. 813. У" — Зу 4-Зг/' — у = 2е*.	814. г/у — у = х.	
815. у—9г/= е3*созх. 817. г/ІУ — г/= 5е* зіп х.	816. у"' -2у' 4-4г/ = = е* зіп X. 818. ^У_|_8у-4_
819. г/" + 4г/' + Зу = х + <?Ч
4- 16г/ = С08Х.
820. у" + 2у'-3у = = 2х — е3*.
821. у у' = х2 + соз2 х.	822. У" + 2у'у =
= е~х соз х 4- хе~*
823.	у™ — у — хе* 4- соз х.
824.	У" — 2у' 4- 4г/ = е* соз х 4- зіп 2х 4- х2.
825.	г/у 4-	= 3 зіп 2х 4- 1.	826. у" 4- у = сІ£х.
827. у — у —		828. У + 4У = 5ес 2х-
829.	у" 4- У = . 2 ..Д—........ - •
81П2 X У 81П X СО8 X
830.	У' - Зу' 4- 9г/ = ..9*2+у + 2 .
831.	у" 4- у = ї&х. 832. у - у = (2-^Сс°^--
у2 І О	рХ
833. у + у = ^^~.	834. у’-2у' +у =
92
Література
В. В- Степа нов, розд. VI, § 1.
Ф. С. Г у д и м е н к о, § 24, 25.
М. М. М а т в е є в, розд. VII, § І—3.
М. С. П и с к у н о в, т. І, розд. XIII, § 21 , 22, 24.
§ 20. РІВНЯННЯ, ЩО ЗВОДЯТЬСЯ ДО ЛІНІЙНИХ
РІВНЯНЬ ЗІ СТАЛИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ
Відомі деякі типи лінійних рівнянь зі змінними коефіцієнтами, які можна перетворити в лінійне рівняння зі сталими коефіцієнтами і, отже, знайти їх загальний розв’язок. До таких рівнянь належать: рівняння Ейлера, рівняння Лаг-ранжа, рівняння Чебишова та інші.
Лінійне диференціальне рівняння
хп^(П)	ап_іХу' _|_ апу = о, (7)
де а19 а2, ..., ап — задані сталі (деякі з них можуть дорівню-вати нулеві), зветься рівнянням Ейлера.
Заміною незалежної змінної х = є* (коли х < 0, то кладуть х = —6і) рівняння (7) перетворюється в рівняння зі сталими коефіцієнтами
-$-+''.-54-+-<8» яке розв’язується знаходженням його частинних розв’язків у вигляді у = егі. Через те що у = егі = (?)г = хг, немає потреби зводити рівняння (7) до вигляду (8), а просто шукати його частинні розв’язки у вигляді у = хг.
Рівняння
(ах + Ь)пу&> + (ах + Ь)п-Ху^п-^ + • • • + ап_\ (ах + Ь) х X У' + апу = 0
є рівнянням Лагранжа, і заміною ах + Ь = в1 зводять його до рівняння зі сталими коефіцієнтами.
Рівняння
(1 — х2) у/' — ху' + п2у = 0
зветься рівнянням Чебишова, після заміни х = соз і воно набирає вигляду ---------
Приклад 835. Знайти розв’язок рівняння Ейлера х*у"' —х2у" + 2ху’ — 2у = 0.	(9)
Шукаємо частинні розв’язки у вигляді у = хг. Тоді у' = гхг~\ у" = г(г — 1) хг~2, ут = г(г — 1) (г — 2) хг~3.
93
Підставляючи та скорочуючи на хг, будемо мати
г(г — 1)(г —2) —г(г — 1) + 2г —2 = 0.
Звідси
(г _ І) (Г2 _ Зг 2) = 0.
Отже,
Гі = 1, г2 = 1, г8= 2.
Коли б ми перетворили рівняння (7) в рівняння (8), то частинні розв’язки у випадку двократності одного з коренів були б такі:
Уі =	У2 =	Уз = еГ‘і-
Тому частинні розв’язки рівняння (9) будуть
Уі (*) = х, у3 (х) = х Іпх, у3 (х) = х2.
Загальний розв’язок матиме вигляд
у = Схх + С2х 1п х + С8х2.
Зінтегрувати подані нижче рівняння, які зводяться до рівнянь зі сталими коефіцієнтами:
836.	х2г/" — ху' — Зу = 0.
837.	х2у" + 2ху’ — 6г/ = 0.
838.	х2у" + ху’ — у = 0.
839.	хг/\|- у’ = 0.
840.	х8у"' -т\ху' — у = 0.	841. х2г/" — 2г/’ = 0.
842.	х8г/'" — Зх2-/' + бхг/’ — 6г/ = 0.
843.	2 (2х 4- І)2 /— (2х + 1) г/’ + 2г/ = 0.
844.	(х + І)2у" + 3(х 4- 1)у' + у = 0.
845.	(х + І)3 г/да — 3 (х + І)2 у" + 4 (х + 1) у' — 4г/ = 0.
846.	(х + 2)2 у" — 4 (х + 2) у' + 6г/ = 0,
Я47 м" І	1 У = О
847.	у + 1 + х2 -г ([ _|_ х2)2	0.
848.	х4г/ІУ + 10$/ = 0.	849. х8у"’ —ху’ — Зг/ = х2.
850.	х3//" — х2у" 4- 2ху’ — 2у = х8 -\-Зх.
851.	х4г/,у 4- бх3/" 4- Зх2у" —ху’ у = х2.
852.	х2г/" 4- Зхг/’ 4- 2г/ = х3.
853.	х8у"' 4- 8х2г/" 4- 12хг/’ = Іпх.
854.	х2у" —ху’ — Зг/ = бх4.
855.	(х 4- І)3 У"' + 9 (х + І)2 у" + 18 (х + 1) у' 4- 6г/ =
= 1п (1 4-х).
94
856.	х4//" + 2х8//'4-^ == 0.
857.	Написати частинний розв’язок ¥0(х) рівнянь (числових значень коефіцієнтів не шукати!):
1)	у — 9у' = Зх2 4- е3х 4- х зіп Зх.
2)	у"' 4~ 4//' = 1 — зіп 2х 4- е-х соз 2х.
3)	У'" — 5У’ 4- 4//' = хе4л 4- е* соз 4х — 8.
4)	У"' — Оу" + 1 Оу' = е3х соз Зх 4- хе3' зіп х.
5)	Уіу — 16//" = 4х 4- хеіх 4- х зіп 4х 4- хіе~іх соз 4х.
6)	Уіу — 5у"' 4- Оу" = 2 зіп 2х 4- я2е3л 4- е~2х соз Зх.
7)	//1У — 4//'" 4- Оу" — х2 соз 2х 4- хех зіп 2х 4- е2х зіп х.
з х
8)	У'" — Оу" 4- У' = хсоз-|-х 4- е2 зіпх 4* єхсозх.
9)	//у-//іу+4-^" = х2-7 + є~С05-Г-
— е*зіп-^-4-е2
Ю) //ІУ— Зу'" 4- -^~У" — 8Їп-|-х 4- е2 соз 2x4-
З
4- хе 2 1п X.
Література
В. В. Степанов, розд. V, § 1—4, розд. VI, § 1.
Ю. В. Пфейфер, розд. V.
Ф. С. Гудименко, § 21—27.
М. М. Матвеєв, розд. VI, VII.
С. Є. Крижанівський, розд. VI, § 33—46.
§ 21. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
В різноманітних застосуваннях (особливо в фізиці) важливу роль відіграють лінійні диференціальні рівняння 2-го порядку
/ + Рі (х) у' 4- Рі (х) у = 0,	(10)
де р± (х) та р2 (х) неперервні функції на (а, Ь).
Якщо запровадити заміну
-
у=е 3 г,	(11)
95
то рівняння (10)	набирає	вигляду	п
д,2г	Н
А£+/(х)г = 0.	(12; з
11	з
Функція / (х) = р2 (х)-2" Р\ (*)-4“Рі(х) зветься ін
варіантом рівняння (10), а рівняння (12) — його канонічною формою. Очевидно, коли рівняння (12) зводиться до квадратур, то й рівняння (10) теж зводиться. У випадку І (х) = С
С	с
або І (х) =	рівняння (10) зводиться відповідно де "
рівняння зі сталими коефіцієнтами чи до рівняння Лагранжа. Лінійне однорідне рівняння 2-го порядку, у якого коефіцієнт при у' дорівнює похідній від коефіцієнта при у", зветься самоспряженим. Воно має вигляд:
+ = 1
Будь-яке лінійне однорідне рівняння 2-го порядку
Ро (X) у" + Рі (х) у' + р2 (х) у = а, коефіцієнти якого є неперервні функції в проміжку (а, Ь), ( завжди зводиться до самоспряженої форми множенням на функцію
И(х)= * А°(х) .	(13)
Запровадивши заміну у' = гу (§ 18) в рівнянні (10), дістанемо рівняння 1-го порядку, але нелінійне (рівняння Ейлера — Ріккаті):
= — г2 — Рі(х)г — р2(х).
1 навпаки, будь-яке рівняння Ейлера — Ріккаті (§9)
-^- = Р(Х)+(2(Х)У + ЩХ)У*
можна звести до лінійного однорідного рівняння 2-го порядку, зробивши заміну
(14)
Як відомо (§ 9), рівняння Ейлера — Ріккаті зводиться до квадратур тільки в окремих випадках. Тому, про лінійні однорідні рівняння зі змінними коефіцієнтами можна висловити те ж саме.
Нагадаємо (§ 18), що коли відомий один частинний розв’язок лінійного однорідного рівняння 2-го порядку, загальний його розв’язок рекомендується шукати за до-
96
омогою формули Абеля. Зауважимо, нарешті, що коли лі-ійне рівняння 2-го порядку (10) зі змінними коефіцієнтами водиться до рівняння зі сталими коефіцієнтами, то тільки аміною
і = а \ ]/гр2 (х) йх.	(15)
Приклад 858. Рівняння
ху" — (2х 4- 1) / + (х + 1) У = 0
шести до канонічної форми та знайти його загальний розв’язок. Поділивши на коефіцієнт при у", дістанемо
«-(2 +	+	=
Гут Рі(х) = — (2 +	, р2 (х) = 1 + -±~, а інваріант І (х)
зівняння дорівнює
7 (х) = р2 (х) — -±-р\ (х) — -^-р2 (х) =
= 1+~Г~'т(+4’)----------г(2 + ~г) =------
Отже, дане рівняння набере канонічного вигляду
г" — -Д- 2 — 0 або 4х2г" — Зг = 0. 4х2
Це є рівняння Ейлера, його характеристичне рівняння
4г (г—1)—3 = 0
З	1
З коренями — ^1 =	, г2 ---2~ ’ а тому
З	__1_
2 = Сгх 2 + С2х 2 .
Беручи тепер до уваги рівність (11), знайдемо загальний розв’язок даного рівняння:
у = е л 2 Лх [СіХ 2 + С2х 2 ] = Срсгех + С2ех.
Приклад 859. Рівняння (1 — х2) у" — ху' + п2у = 0 перетворити до самоспряженої форми.
Користуючись формулою (13), знайдемо р (х):
Тому
у'У +	= о
У 1 — Xі
і є шукана самоспряжена форма даного рівняння.
3/^4 1-2414	97
Приклад 860. Бессельове рівняння
гу + ху' + (х2 — п2) у = 0
перетворити в рівняння Ейлера — Ріккаті.
Маємо у' = гу, у" = г'у + 2у' = (гг + г2) у. Отже, підставляючи ці вирази в дане рівняння, дістанемо
х2 (г' + 22}у + Х2у + (х2 — п2) у = 0.
Скоротивши на у та поділивши на х2, будемо мати шукане рівняння
Приклад 861. Рівняння у' +	+ ~-----х* ~ ® перетвори-
ти в лінійне однорідне рівняння 2-го порядку
Користуючись формулою (14), знайдемо (тут /? (х) = — 1):
Вносячи ці вирази в дане рівняння й зробивши відповідне скорочення, матимемо
х2и" + хи' —	= 0.
Звести до канонічної форми такі рівняння:
862. (х2 + 1) у" + Бху' + 4у = 0.
863. (4х2 - х) у" + 2 (2х - 1) у' —4у = 0.
‘ 864. у" + 2_у' + у = $.
865.	х (х — 1) у" + (1 + х) у' — у = 0.
866.	х2у" — 2ху' + (х2 + 2) у = 0.
867.	(1 — х2) у" — 2ху' + п. (п + 1) У = 0.
Подані нижче рівняння звести до самоспряженого вигляду:
868.	хі/" — (2х + 1) у' + 2у = 0.
869.	хV + 2х2у' + (х2 — 2) у = 0.
> 870. х2у" + ху' + (х2 — п.2) у = 0.
871.	х (х2 + 6) у" — 4 (х2 + 3) у' + Бху = 0.
Наступні рівняння Ейлера Ріккаті перетворити в лінійні:
872.	у' = і/2 + ^ + ^.
98
873.	ху'— 5у — у2 — х2 = 0.
874.	у'=у^-х~~.
875.	Побудувати лінійні однорідні рівняння, які мають такі фундаментальні системи:
і)	У1 (х) = еах, у2 (х) = е~ах .
2)	Уі (х) = х4, г/2 (х) =	.
3)	У1 (х) = 5ЄС X, у2 (х) = ЗІП X + X 8ЄС X.
4)	Уі (х) = Є2х, у2 (х) = е~х (Зх + 1). с & х
5)	Уі (х) = хе*, у(х) = хе* Ох.
V -те -4-
6)	Уі (х) = е х	,	У2(х)	=ех	}е х ах.
7)	Уі (х) = е*’,	у2 (х)	= е*г	5 е~2х‘ах.
8)	У і (х) = е 2	,	у (х)	= е 2	йх.
9)	Уі (х) = 8іп Уч (х) = С08 Уз (х) = х2-Ю) Уі(к)=ех, і/2(х) = зіпх, у3 (х) = ех соз х.
П)*/і(х) = 1,	^г(х) = -~>і/з(х)=-^2’-
12)г/1(х)=х,	г/2(х)=х1пх, г/?(х)=^-.
Використовуючи ту чи іншу заміну або перетворення, або ж вгадавши частинний розв’язок, знайти загальні розв’язки рівнянь:
876.	х2у" + ху' — 4г/-0.
877.	х2у" + ху' + (х2 - -І-) У = 0.
878.	х2г/" — х2/ + 2 (х — 1) у = 0.
879.	х2(1пх — 1)у"— ху' + У = 0.
880.	хгу" —4ху' + 6у = х4 —х2.
881.	XV + Зху' + у = 0.
882.	у" + ху' — у = 0.
883.	у" — 4ху' + (4х2 — 1) у = 0.
,/^4-л-
99
884.	у" — ху' + (х — 1) у = 0.
885.	у" — 2ї/зес2х = 0.
886.	(х СОЗ х — зіп х) + у'х зіп х — у зіп х = 0.
887.	х2г/" — Зхї/' — 5у = х21п х.
888.	ху" - (х + 1) у' + у = 0.
889.	х2ї/" — 2ху' 4- 2у — х51п х.
890.	х2ї/" — Зху' + 4у = 5х.
891.	2ху" + у' — 2у = 0.
892.	у" — (соз2 х — зіп х) у = 0.
893.	х2у" + х3у' + (х2 — 2) у = 0.
894.	у" + 2у' 1§х 4- 2у зес2 х = 0.
895.	Xі у" — а2у = 0.
896.	у" 4- ху' 4- У = 0.
897.	у" — х2у' 4- ху = 0.
898.	х2у" — 2у = 0.
899.	х4/4-г/ = 0-
900.	у" 4- Xіу' — х3у = 0.
901.	у" + Нх)у' +:^-4--ф 4-ф = 0.
902.	ху" 4- [х/ (х) 4- 2] у' 4- / (х) у = 0.
903.	х2у" + (х + а) у' — у = 0.
904.	х2у" — х (х — 1) у' 4- (х — І) у = 0.
905.	х (х + 1) у" — (х — 1) у' 4- у = 0.
906.	ху" + 2у' — ху = 0.
907.	у" зіп х соз х — у' 4- У х зіп2 х = 0.
908.	Xі у" 4- 2х3у' — 4у =	.
909.	у" соз2 х 4- У' зіп х соз х — Зу = 0.
910.	у" зіп2х 4- у' зіп х созх — у 0.
911.	ху" — у' — х3у = 0.
912.	4ху" 4- 2у' 4- у = 0.
913.	у" — 4ху' 4- (4х2 — 2) у = 0.
914.	х2у" —ху' + у = Зх3.
915.	х2у" — Зху' 4- Зу = х3 зЬ х.
100
916.	(х2 + 1) у" —ху' -[-і/ = 0.
' 917. (х2 — 1) 0" — 2ху' 4- 20 =0.
918. х (х 4- 1) У" + (Зх 4- 2) у' 4- у = 0.
919.	4х20" 4- 4x0' — (4х2 4- 1) У = 0.
920.	4х20" 4- 4х®0' 4- (2х2 — 3) 0 = 0.
921.	у" зіп2 х — 20 = 0.
Знайти розв’язки поданих далі диференціальних рівнянь у вигляді степеневих рядів:
922.	0--0 = ОЛ0(О) = 1> /(0) = 1.
923.	0" —х20 = О.
а 924. у" — ху = 0.
. 925. 0"4-х20 = О.
« 926.	ху" 4- 20' 4- Х0 = 0.		
927.	4x0" 4- 20' 4- 0 = 0.		
928.	0" — (1 4-х2) 0 = 0	при хо = О,0о = -	-2,^ = 2.
929.	0" 4- ху’ 4- у = 0	при х0 = 0, 0О =	і. Уо =о.
930.	У" +	+ У = 0	при х0 = 0, 0О =	1,^ = 0-
- 931.	0" — ху' — у = 0	при х0 = 0, 0о =	1. Уо =0.
932.	„ .	X	,	ц У 1 !	д-2 У	! + х2	= 0 при х0 = 0, 0о =	1,^ = 1.
933.	У" + 20' 4- У = о	при х0 = 0, 0о =	о, уо=1.
934.	Визначити періодичний розв’язок рівняння
Й=оо
сРу , „ _ V соз М сІЇ2 У	&2
Л=2
935.	Визначити періодичний розв’язок рівняння
4-40 = 8ІП2/.
936.	Визначити періодичний розв’язок рівняння
&Ц І	х • Пі
+ У = $1П і 81П 2/.
Лі2, 1
101
937.	Визначити закон руху матеріальної точки з масою т під впливом сили х, пропорційної відстані точки від нерухомого центра.
938.	Видовження пружини пропорційне силі, що натягує пружину. До пружини почеплено вантаж 2 кг. Визначити період коливного руху, що його набуде вантаж, коли спочатку його злегка відтягнути вниз, а потім пустити. Відомо, що 1 кг видовжує пружину на 1 см.
Література
В. В. Степанов, розд. VI, § 2.
Ф. С. Г у д и м е н к о, § 28, 29.
М. М. М а т в е є в, розд. VIII.
Розділ V
СИСТЕМИ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
£ 22. ЛІНІЙНІ СИСТЕМИ
Лінійні системи подають у такому вигляді:
-£- = /’иМ«/і + РігМ^’+ + Ріп (х) уп + Л (х),
= Рп (х) Уі + р22 (х) уг + • • • + Р2п (х) уп + /2 (х),	(1)
= Рт (х)Уі 4- Рп2 (х) у2 + • • • + Рпп (х) уп + /„ (X).
Запровадимо матрицю
~Р11’ Рп’
_ Рп1>
Р12> • • • > Ріп
^22» • • • > Р2п Рп2> • • • > Рпп —
Р(х) =
та вектори
Уі
Уг
~Ї1(Х)~ їі(х)
, Р (X) =
У =
_Уп_
_Гп(х)_
Тоді систему (1) можна записати у векторно-матричній мі
фор-
= Р (X) у 4- Р (X).
Коли в системі (2) Р (х) = 0, то маємо однорідну систему
(2)
(3)
Вектор у± зветься частинним розв’язком системи (3), якщо ви-виконується тотожність
Якщо у± та у2 два частинні розв’язки системи (3), то їх лінійна комбінація + С2у2, де та С2 — довільні сталі, також буде розв’язком системи (3).
’/4 + 4 1-24Н
103
Система п векторів у±і у2, ..., уп зветься лінійно незалежною в проміжку &<Сх<С Ь, якщо тотожність а1у1 + а2у2 + • ♦ • + + апУп = 0,	= сопзі, /=1, 2, 3, и, справджується
лише при
а1 = а2 ‘  = а/г = 0-
Загальним розв’язком системи (3) є лінійна комбінація з п її частинних розв’язків, тобто вектор
У = СіУі + С2^2 + •4 • + ^пУп*	(^)
Разом з тим систему (3) можна розглядати як матричну систему
(З')
тоді її розв’язок є квадратова матриця У (х), в якій /-тим стовпцем буде вектор С4г/4. Якщо взяти фіксовані сталі С4-, і = 1, 2, 3, п, то ми дістанемо так звану фундаментальну систему розв’язків У (х) для матричної системи (3'). Отже, система (3) має безліч фундаментальних систем розв’язків.
Нехай матриця 2 є фундаментальна система розв’язків для системи р'), тоді загальним розв’язком системи (3') буде матриця У'= 2С, де С — довільна невироджена стала матриця.
Визначник фундаментальної системи розв’язків системи (З') 12 (х) | виражається через елементи головної діагоналі матриці Р (х) за формулою Остроградського
X п
(2 ри (0 Л
|7(х)| = |7(0)|е°г=0
де х = 0 — початкова точка замкненого проміжку [0; а], на якому елементи матриці Р (х) є неперервні функції.
Нехай частинним розв’язком неоднорідної системи (2) е вектор у. Тоді загальний розв’язок системи (2) запишеться у вигляді
У = 2 + Г/, де 2 — загальний розв’язок системи (З').
Коли відомий загальний розв’язок системи (3'), то загальний розв’язок системи (2) знаходимо методом варіації довільних сталих або ж, якщо це можливо, методом неви-значених коефіцієнтів.
Нехай шукається розв’язок задачі з початковими умовами (задача Коші) для системи (2)
-|-=Р(х)і/ + Г(х),	(5)
у (0) = с (заданий сталий вектор).
104
Візьмемо фундаментальну систему розв’язків 7 (х) системи (З') з початковою умовою: при х0 = 0, 7 (0) = Е (одинична матриця п-го порядку). Тоді розв’язок задачі (5) визначається формулою
X
у (х) = 7 (х) с + 5 г (х) /-1 (0 Р (і) йі.
0
Важливим окремим випадком системи (3) є система зі сталими коефіцієнтами
(6)
де А — стала матриця п-го порядку. Існує кілька методів розв’язування цієї системи, але основним методом є зведення її до одного лінійного рівняння п-го порядку.
Приклад 939. Розглянемо систему
^ = 2?, + 3Л.
Диференціюючи перше рівняння, дістанемо ух = у'х —у2. Підставимо сюди вираз у2 з другого рівняння, знайдемо у І = у\ — 2г/х — Зї/2.
Внісши сюди у2 з першого рівняння системи, дістанемо:
У\ — ±У\ + 5г/і = 0.
Його розв’язок
= е2х (Сх СО8Х + С2 зіп х).
Отже, для у2і беручи до уваги перше рівняння системи (7), знаходимо
у2 = — е2х [(Сі + С2) соз х + (С2 — зіп х].
Як бачимо, лінійно незалежними розв’язками системи (7) є вектори
Г е2хсозх	1 _ Г е2хзіпх
— е2х (С05 х — зіп х) ’	~ — е2х (соз X + зіп х) *
Розв’язати системи лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами та вилучити, де вказано, розв’язок, що задовольняє початкові умови.
	(ІХ -1Г=У'	
940.	< 941.	
	Иг=-Х-	4- = 4х + 3^.
-І- 4*
105
901
•о = (о)2 ‘і = (оМ
‘і —= (о)* ,/? + * = -^г
*2 + ’х = -^г *геб
‘г + а = хр
•г — її 4-х =
1 гр
-г + /7 — х = ^- 456 .
?Р хр
•і = а ‘з = х ‘о =	1 исіп о — ^9~х —		;р /їр ;р	”096 -
	‘0 =	- /?6 + х7>		
			хр	
г — = а ‘з = х ‘о =; исіп				
/гд— х— = ь	Йр ‘^8 + %£ = -£- ЛҐ	‘6^6	•а 4- х = ‘х —/?8 =	1Р Яр 1Р хр	•8£6
Я-Х*=-%Г	7,^6	•х^ — /7 = ‘Н — х =	1Р йр ІР хр	•9Н
Ч = х = ії *о = 1 исіп				
ії — х = -&~ Яр іГ	/Р /?-хе- = V-	‘^6	•^е 4- х = — х =	;р іїр ?р хр	•не
7?д 4- х = ~Т~ ° 1	іїр ‘/}-х=-*-хр	• ’еі'б	•6 — х^ = 7?д — х =	ІР йр № Хр	'г^б ,
953.
954.
955.
956.
957.
959.
-	>- = -^-г + 2Л ^ = -г + Л 4г + Зх + 4у = 0, 4- + 5у + 2х = 0, х(0) = 1, у(О) =4. ^- + у = /2 + б/ + 1і -$--х = -3/2 + 3/+1.
^_ + Зх-У = ^,
-	^- + х + 5у = еі.
йх
~аГ=у~г<
	^~ = х + у + і, 958.
-	і^х + г-М.
-^-^Зх-у + г,
-	^ = х + у + г, 4- =4х-у + 4г.
<іх
-	%- = 2х + у-2г-і + 2,
— у + г + 2х,
х + 2у — г, х+ 2г — у.
960.
(%2	а	7 І 1
— ^х^у-г-і + 1.
107
Систему (3) зі змінними коефіцієнтами іноді щастить зінте-грувати. А саме, система
де / (х) — довільна інтегровна функція, заміною і = = у [ (х) йх перетворюється в систему зі сталими коефіцієнтами:
4-=ау-
(ІХ &
З і нтегр у в ати си стем и
961.
1^+2(х-у) = 1,
» 962.
і-%—(і + 2)х-іу = -і.
963.
і-^- 4-6х — у — Зг = 0,
^-$- + 23х — 6у — 9г = 0, йі 1	*	*
^+* + ^-2г = 0.
964.
4т = ф (0 х + ф (0 у,
= —’'№')* +<9 (ї) У-
965. Розв’язати задачу Коші для системи
2	41 Г соз і
— 1 —2 зіп^
з початковими умовами для шуканого вектора у
(0:
0(0) =
0і(О)’ &(0).
966. Те ж саме для системи
ау —0
<и ~ [ і
21 Г 40е(
— б]^+ |_9е-<

1
о
108
з початковими умовами для у (/):
/т Г^<°>1 Г1] ^()“1^(0)] [і/
Література
В. В. Степанов, розд. VII, § 2.
М. М. Матвеєв, розд. IX, § І, 2; розд. X, § І—3.
Ф. С. Гу д и м єн ко, § 33, 34.
М. С. П и с к у н о в, т. І, розд. XIII, § 29, ЗО.
§ 23.	НЕЛІНІЙНІ СИСТЕМИ
Розглянемо нормальну систему диференціальних рівнянь:
-^ = Л (х, У1, у2..уп),
(х, Уі’ Уі..Уп)>	(8)
(*. Уі< У2, • • •. Уп)-
Існує два основних методи інтегрування системи (8).
З рівнянь системи (8) та з рівнянь, що дістають внаслідок її диференціювання, вилучаємо, якщо це можливо, всі шукані функції, крім однієї, для визначення якої знайдемо одне диференціальне рівняння /г-го порядку. Якщо нам пощастить розв’язати це рівняння і визначити одну шукану функцію системи (8), то й решта функцій може бути, взагалі кажучи, визначена з рівнянь даної системи та рівнянь, здобутих при її диференціюванні.
Другий метод інтегрування системи (8) зветься методом інтегровних. комбінацій. Інтегровною комбінацією системи ‘(8) зветься диференціальне рівняння, яке є наслідком рівнянь цієї системи і таке, що легко інтегрується.
Припустимо, що нам пощастило з рівнянь системи (8) дістати рівняння
гіфі (х, у„ у2..уп) = 0.	(9)
Це й буде інтегровна комбінація. Інтегруючи (9), матимемо так званий перший інтеграл системи (8)
Ф1(Х. Уз., у2...уп) = Су	(10)
Визначивши з (10) одну з функцій і підставивши її в (8), тим самим перейдемо від системи /г-го порядку до системи (п — І)-го порядку.
Нехай ми маємо к перших інтегралів фх, ср2, ..., ф/г системи (8). Ці інтеграли звуться незалежними, якщо міжфункціями
109
<Рі, ф2, фА не існує співвідношення Ф (ф1( ф2, ..., фй) = о
при жодному доборі функції Ф, що не залежить явно від
У2> ...» Уп-
Очевидно, знаючи к перших інтегралів ^системи (8), можна знизити порядок цієї системи на к одиниць.
Зауваження. Це твердження стосується й системи лінійних рівнянь.
Систему (8) можна записати в такому вигляді:
сіх _ сіуі =	_ Луп
і Л /2	” М ’
Помноживши цю систему на деяку функцію/7^, г/х, у2, ..., уп), відмінну від нуля, та змінивши нумерацію змінних, дістанемо систему (8) в так званій симетричній формі:
Луї = <іу2 = ... =
Приклад 967. Розглянемо систему, яка інтегрується зведенням до одного рівняння вищого порядку:
А _ і । 1	*у _ ,?
<Н ~ 1 у ’ (У “ У '
Диференціюємо перше рівняння (Рх _	1 (Іу
тпг •	&У	•
Підставляючи сюди вираз з другого рівняння, знаходимо
сі2х , о .
= — 1 • Звідси
4г = -і + Сх, X = -4 + Сгі + С2.
Після підставлення = — / + Сх в перше рівняння системи дістанемо
і+4=-*+сі’ звідси
1 у ~ с^ — і — \ •
Отже, загальним розв’язком системи буде
х = Сгі + С2--->
У = (4 — Г *
Розглянемо тепер системи, які інтегруються за допомогою інтегровних комбінацій.
110
Приклад 968.4- = -^^--	.
Віднімемо почленно від другого рівняння перше:
'— > або (У — х)Л(у — х) = — сіі-а х — у а	>
Звідси після інтегрування
(у-х)2 + 2/ = Сх
(перший інтеграл).
Поділимо почленно друге рівняння на перше: іу _ х іх у
Знайдене рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними, а його інтеграл: х2 — у2 = С2. Загальний розв’язок системи матиме вигляд:
(У—х)2+2і =Сг, х2 — у2 = Сг.
Приклад 969.	= у — г, = х2 + у,
4-=х2 + г.	(11)
Легко переконатися, що справедлива рівність (інтегровна комбінація!):
й (х — у + г) = 0.
Отже,
X—^ + 2 = ^	(12)
(перший інтеграл). З (12) дістаємо у — г — х — Сх або, після підставлення в перше рівняння системи (11),
Загальним інтегралом цього рівняння буде
х = Сх + С2е(.	(13)
Підставимо цей вираз х в друге рівняння системи (11)
тоді
У = - СЇ + (2СХС2/ + С3) е1 + (%е2‘.	(14)
Беручи до уваги (12), (13) та (14), загальний інтеграл системи (11) можна записати остаточно так:
х = Сх + С2е(,
У =-сі + (2С.С.І + С3) е1 + СІЛ г = Сх + у — х.
111
Зінтегрувати подані нижче системи диференціальних рівнянь:
970.	СІХ	(Іу	(іг	071	сіу __ (іг У ~ х + у
		
	хуг	х	
972.	сіх _ (іу _	(іг х — у ~ х + у ~	г	
973.	(іх 	 сіу 	 сіг	
974.	г — у	х — г у — г сіх — (х3 4- Зхг/2) сіі, <іу = Чу^йі, Лх	= 2у2г<іі.
975.	сіх 		сіу		 (іг у—х~х+у+г ~ х — у •	
976.	йх 	 йу 		4г	
977.	х	У	г — ]Лх2 + у2 + г2 сіх   х — у сіу   х — у	сіг 	 сіі	г — і ’ (іі	~ г — Iі	сіі	х — у+1.
‘ 978.	(іх		 сіу _ сіг	
	х2 — у2 — г2 2ху	2хг	
’ 979.	сіх 	 (іу 	 сіг У 4-2 ~ X 4- 2 ~ х+у ’	
980.	(їх 	 (іу 		сіх	
	у (х + у) х (х 4- у)	(х — у) (2х + 2у +г) ’	
о о і ________ _______^У____ _ ________
X (у2 — г2) ~~ — у (х2 + у2) ~ г (х2 + у2)
982	.____—_____
хг уг ~
по о	_ *У   &
УоО. ---; л—;—— ------— ----•
х + У2 + г2 у	г
984 ах =_________ау - — *_________
х(г — у) у (у — х) у2—хг'
985.
112
987.
(ІХ	9 і • ±
-1Г=У + 5ті'
(Іу   х
ді ~ 2у
988.
(іу = 1 9
б// 2ху
(іх ______	1
<іі ~~ у2 — ах
989.
(іу = і іі 2х2у ’
(Іх _____	1
(Іі ~~ 2х3 + х2 — у2
990.
х (х + у) — у (х + у}
(І2
(х — у) (2х + 2у + г) •
Коли система містить похідні порядку вищого за перший, го методом диференціювання й вилучення її можна звести до здного рівняння вищого порядку. Зінтегрувавши таке рівняння, знайдемо інтеграл початкової системи.
Приклад 991.	+ г = 0, — + у = 0.
Диференціюючи перше з них і вилучаючи за допомогою дру-(І2
гого , дістанемо рівняння третього порядку
(Іх3 я
Розв’язок ЙОГО
у = С3ех + е 2 соз ~^~х + С2 зіп х).
□	..	<&у
З даної системи г = —	, отже,
“ Т / С. , ]/3 ~ \ Кз г = е	С^соз-2^—х +
+ Є~ ----------Сх) зіп х + (- С3е>=).
Знайти інтеграли систем:
992. -§-+ 2г = 0, ^--2^ = 0.
(І2Х . п (Іх .	, (І2У . (Іу , Л Л
лг' + 2_зг + х+ 'а^_ + “5г + 2# = 0’ 993.
(і2 х  б/х . і (І%У і п /у
~ЗГ + 2х +	+ Зу = 0.
ЛПЛ	о /	\	(^У	(^г
994-	% (У —х ~ -дії -х — у, — — г.
113
"5- '-Ж+ 2т + (х = 0’ (т + 2»-'т = °-
996. >=х-9«, 4—^.
пп_ й2х	й2у
"7- ^ = Х~У> -^ = У~Х-
998.	=3г/+4г-3,	+ У + г + 5 = 0.
000 ^2У і &У і ^2     4 йу . п   йг ____	*
999,	ар + аі *" ар г~е> а{ + 2У аі +г — е •
1000.	+ 6л-+ 7у = о, 4- Зх + 2у = 21.
Література
В. В. С т е п а н о в, розд. VII, § 1, 4, 5.
М. М. Матвеє в, розд. IV, § 1, 2.
Ф. С. Гудименко, § 30—32.
Розділ VI
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ З ЧАСТИННИМИ ПОХІДНИМИ
§ 24. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ
Співвідношення, яке містить одну чи декілька шуканих функцій, залежних від двох чи більше аргументів, самі аргументи, а також частинні похідні від шуканих функцій по цих аргументах, зветься диференціальним рівнянням з частинними похідними. Порядок найстаршої частинної похідної звуть порядком рівняння.
Загальний вигляд рівняння першого порядку з однією шуканою функцією від п незалежних змінних такий:	.
пі	дг дг	дг \ А ,1Ч
Р Хг........Хп‘ г> дХ1 ’ ~дх^ ' дхп)	М
У випадку двох змінних рівняння (1) матиме вигляд
<2)
Розв’язком рівняння (2) буде функція г = <р (х, £/), якій відповідає деяка поверхня в тривимірному просторі. Остання зветься інтегральною повеохнеюданпго рівняння. Рівняння (1) та (2^ може не мати явно шуканої функції або незалежних змінних, але обов’язково повинна в нього входити принаймні одна частинна похідна.
Диференціальне рівняння вигляду
(Хр х2, ..., хПІ г) 4" Р2 (%і» х2, • • • >	+ • • • 4”
4"	(%19 ^2» • • • >	~ К (^1> ^2> • • • ’ Хп*	(3)
звуть лінійним (іноді квазілініиним) рівнянням з частинними похідними.
Якщо всі Рі (хп х2, хл, з) не містять шуканої функції з, а Р (хх, х2, ..., хл,з) = 0, тобто рівняння (3) має вигляд
х2, ..., хл)  4“ (хр х2, • • • > %п)	4” * * ‘ 4”
4" Хп («Хр х2, • • •, -Хд) ^Хп =
(4)
то таке рівняння зветься лінійним однорідним рівнянням з частинними похідними. ——
115
Зінтегрувати будь-яке рівняння з частинними похідними означає знайти всі розв’язки даного рівняння.
Теорія звичайних диференціальних рівнянь має на меті знаходження всіх частинних розв’язків, які при цьому визначаються як розв’язки, що задовольняють певні початкові умови (умови Коші). В теорії рівнянь з частинними похідними (і, зокрема, першого порядку) ці додаткові умови запроваджуються для однозначного визначення частинного розв’язку. Коли обмежитися рівнянням (2), то умови Коші і так звана задача Коші мають просте геометричне тлумачення. Задача Коші формулюється так: знайти розв’язок г = ї (х,у) ріїгняння (2), що задовольняє початкові умови: при х = х0, г = ер (у). Інакше кажучи, потрібно визначити інтегральну поверхню, яка проходить через дану криву г = ф (у), що лежить у площині х = х0, паралельній уОг.
Розв’язання лінійного рівняння з частинними похідними першого порядку (3) чи (4) зводиться до розв’язання системи звичайних диференціальних рівнянь.
Приклад 1001. Знайти загальний розв’язок рівняння та визначити інтегральну поверхню, що проходить через криву 2 = у2 в площині X = 0.
Дане рівняння є лінійне однорідне. Складемо відповідну йому систему звичайних диференціальних рівнянь:
сіх __ йу   (іг
1 -ф х2	ху	0
Інтегруючи її, знаходимо г = СІЗ
= 1пі/ = 4-іп(х2+1) + 1пС2> У	і “Г л.
' У — ^2 Ух2 + 1, |/%2	1 = ^2*
Отже, загальний інтеграл буде
Ф (г’ /х2“+Т ) = аб° г = ( /х2+ 1 ) ’ де Е— довільна диференційовна функція. Тепер потрібно визначити ту інтегральну поверхню, яка проходить через криву г = у2 в площині х = 0. Для цього вилучаємо х, у, г з рівнянь
г = Сх,
, у	С2,
У х2 + 1	2
г — у1 = 0,
х = 0.
116
Послідовно дістанемо:	= С2, у = С2, г = у2 = СІ
Зважаючи на перше рівняння, С, = С2, тобто г = у .
Це й є шукана поверхня.
Приклад 1002. Знайти поверхню, що справджує рівняння
2x2+ 2уг =гі~хі — У2
і проходить через криву х + у + 2 = 0, х2 + У2 + 22 = а2. Відповідна система матиме вигляд
бїх __ (іу __ (іг 2хг 2уг ~ г2 — х2 — у2 *
гь ,	.	(ІХ (Іу
Розв язуючи рівняння -х— =	, знайдемо
1п х = 1п у + 1п Су = Су
Підставляючи цей перший інтеграл системи в рівняння
будемо мати
йу ____ (іг
2уг г2 — х2 — у2 ’
Звідси
2г-^-
<іу
(іу _ (іг
~ г2 —С^2—у2 ’
г2-ф2-//2	гг
—у------	=
Останнє заміною и = г2 зводиться до лінійного рівняння сій и	^2
Його загальний розв’язок:
“ = С2у — С2іУ2 — у2, а тому 1
г2 = С2у - СІу2 - у2, г2 = С2у - х2 - у2, г2+^±^_ = С2. Загальний інтеграл матиме вигляд
ф / х г2 + х2 + у2 \ = 0
\У ' У І або
Шукаємо тепер частинний розв’язок, тобто поверхню, яка проходить через криву (коло) X + у + 2 = 0, X2 + У2 + 22 = а2. Для цього, як відомо з теорії, потрібно вилучити X, у, 2 з
117
рівнянь
х _ п Xі + уг + г2 _ п
— -	- Ч,
х + у + г = 0, х2 -Н у2 + г2 = а2.
" а2
Дістаємо (з другого та четвертого рівняння) — = С2, у = —
У	°2
• К	*	а2Сї
і, беручи до уваги перше рівняння, х =	, а тому
с2
а3 (Сі + 1) г = — х — у ~-----
Таким чином,
х. + 9І + 2Ї = ^ + ^ + ^Н)1.Л с2 с2	с2
2а2 (СІ + Сх + 1) = СІ
Підставляючи замість С\ та С2 їх вирази, дістанемо рівняння шуканої поверхні
2а2 (х2 + у2 + ху) = (х2 + у2 + г2)2.
Знайти загальні інтеграли рівнянь:
1003.	х + у^- = 0. Визначити поверхню, що прохо-у2 г2 .
дить через криву -----= І в площині х = а.
1004.	у ------х = 0. Визначити поверхню, що прохо-
дить через криву у2 = 2рг в площині х = 0.
іллґ	дг ,	дг
1005.	С08 Г/^-НСО5Х-Д— = СОЗ X соз у.
дх 1	ду
ЮМ.	1007. а ^- + 4 А-1.
1008. 2ху + (у2 — х2)	= 0. Визначити поверхню,
що проходить через криву г = ]/2ах в площині у = 0.
Ю09.	+
юю. г,>А- + х</-А = «.
1011.	(х2 + у2)	---у2 — г2 = 0.
1012.	---------=У2 — х2.
дх ду
118
1013.	хг-^—уг-^— — х. дх 1 ду
1014.	х-^--У-7г~ = х — У-
дх	я ду	*
1015.	х + у = 2ху V а2 — г2.
1016.	(у2 + г2 - х2)	- 2ху + 2хг = 0.
1017.	-----г/~- = г. Визначити поверхню, що прохо-
дить через криву 2 = X3, у = X.
І0	,8-^г + ^Г = аг-
1019.	(х — а) *_ + (у_Ь)-^Г = г-с.
1020.	(су — Ьг) + (аг -сх)-^- = Ьх — ау.
1021.	хг4 + г^у — х2у2. дх 1 ду я
9 ди 9 ди .	9 ди
1022.	^ — + у^—Л-г2-1Г^и.
1023.	х-^- + у-^- =2 — Кх2 + г/2 + г2.
1024.	(х —г/ + г)-^- + (2г/ —2)-^- = г.
1025.	(х3 -Ь Зхг/2) + 2г/3	= 2г/2г.
1026.	у2х-^- — у3-^- + хг = 0. дх ду 1
1027.	2хг + 2г/г = г2 — х2 — у2. Знайти поверхню, що проходить через криву г2 — у2 = а2 в площині х = а .
1028.	ху — у2 = х2. дх ду
1029.	(х + г/)^--(х-г/)-|-=2.
1030.	(г/-|-г + и)-^- + (х + 2 + и)-^- + + (х + у + а) =-- х + у + 2.
119
1031.	ху-^— ^2'^~==x^ Визначити поверхню, яка про-л а2 4- 2
кодить через криву 2аг = —— в площині х = а.
1032.	—- * + * = гсіе^. соз х дх 1 ду
топ ди . ди . ди 9 , п
ЮЗЗ. х— +г/_+ г—=х2 + 2«.
1034.	(х-^- -У^-) (х* - у2) - 2г (х2 + г/2) = 0.
1035.	(х2 - у2 - г2) А- + Ьсу -|- = 2х (г + І).
Знайти також поверхню, що проходить через криву х2 + 4- у2 = І в площині у = І.
1036.	г (х + г) --у (у + г) = 0. Знайти розв’язок,
який при х = І перетворюється в г = І^у.
1037.	хг + уг + ху = 0. Знайти також поверхню, по проходить через криву у = х2, г = х3.
1038.	^+^ = ^ + 9=.
1039.	Знайти поверхню, що справджує рівняння У2,^~\-4-	+ г2 = 0 та проходить через лінію х — уг = 1, х —
-у = 0.
Література
В. В. С т е п а н о в, розд. VII, § І—3.
М. М. М а т в е є в, розд. XII, § 1, 2.
Ф. С. Г у д и м е н к о, § 35.
С. Є. Крижа ні вськпй, розд. VIII, § 52—54
Додаток *
Асимптотичні формули для розв’язків лінійних диференціальних рівнянь другого порядку зі змінними коефіцієнтами
Лінійні рівняння другого порядку, як правило, не розв’язуються в елементарних функціях. Але існують досить широкі класи таких рівнянь, розв язки яких можна подати у вигляді так званих асимптотичних формул.
Щоб записати ці формули будемо користуватися символами О і о, яким приписується такий зміст:
Нехай функції ї (х) і £ (х) визначені на інтервалі хо С х < оо. Тоді рівність
/ (х) = О (£ (х)), х -> оо означає, що справджується оцінка
І / (*) І С | £ (х) |, х -> оо, де оо — деяке незалежне від х додатне число.
А рівність
/ (х) = О(£ (х)), X ОО означає, що відношення
Цх)
-------> 0 при х оо.
£(*)
Приклади:
соз х — О (1), х -> оо,
----Ц---— 0 (х), х -> оо, зіп-----
X
хп = о (ех), X оо.
Вважають, що функції } (х) та £ (%) асимптотично рівні при х -> оо, якщо їх відношення
-----> 1 при X -» оп.
£
Цей факт записується формулою
Их) - £ (х) (1 + о (1)), х-»оо.	(1)
Формули, які містять символи О або о, називаються асимптотичними формулами.
Наведемо дві теореми.
Теорема 1. Розглянемо рівняння
/ + Я (х) у = р (х) у; х0 < х < оо,	(2)
в якому у (х) > 0 і двічі неперервно диференційовна, а р (х) — довільна неперервна функція.
* Додаток написав 1. А. Павлюк.
121
Нехай виконуються умови:
1) Г Ь (х) ах <оо. Ь (х) = я 2 (X) р(х) + -^_ —) І
Л	І	4<7	10 у д } |
хо
_____З
2) | д 2 / | -> 0; х -> оо.
Тоді рівняння (2) має фундаментальну систему розв’язків уі та у2, для якої при х -> оо мають місце асимптотичні формули
і/і (х) = д 4 (х) [зіп ф 4- о (1)],
і
4/2 (х) — д 4 (х) [соз Ф + О (1)],
і
у\ (х) = д~ї (х) [соз Ф + о (1)],	(3)
і
У2 (*) = — Я 4 (*) [зіп <Р + о (1)], х і
де ф = у д 2 (х) йх.
х0
При досить великих значеннях х у формулах (3) можна знехтувати членами о (1), тоді ми дістанемо наближені формули для фундаментальної системи розв’язків рівняння (2).
Для стійкості за Ляпуновим усіх розв’язків рівняння (2) необхідно і достатньо, щоб ці розв’язки залишались обмеженими разом із своїми першими похідними при всіх х > хо. Користуючись теоремою 1, можна досліджувати задачі про обмеженість, стійкість та прямування до нуля при х -> оо розв’язків рівняння (2).
Приклад. Розглянемо рівняння
{Г + (1+^-)у = 0, х > 0.	(4)
В нашому випадку виконуються всі умови теореми 1. Крім того, функції 1	і
о =	। х ) і 1 = (~х~) залишаються обмеженими при х ->оо
Отже, всі розв’язки рівняння (Л) будуть стійкими за Ляпуновим.
Дослідити на обмеженість, стійкість та прямування до нуля розв’язків рівнянь:
0 У" + хпу = 0; х > 0,
2)	/ + (1+-Т)у = -^//; х > 0,
3)	у” + еху = 0; х > 0.
Теорема 2. Розглянемо рівняння з дійсним параметром X
у" + &Я (х)у = р (х) у; ха < X < Х1, X > А.о > 0,	(4)
в якому функція д > 0 і має третю обмежену похідну, а функція р має першу обмежену похідну на скінченному інтервалі хо < х < хі.
Тоді для системи розв’язків уі (х, хо, X) та у2 (х, хо, X) рівняння .(4) при початкових умовах
122
Уі (хв, хй, X) = У2 (х„, х0, X) = 1; у2 (х„, х0, X) = у\ (х0, х0,Х) = О, при X -> оо мають місце такі асимптотичні формули
Уі (х, хй, X) = V (х) | є-1 (х0) Є2 —	01 +
у-1 (Х,) V (X) Н. (X) 0!	(
“Г 2Х	Ц2)’
у\ (X, Хд, X) = У_І(х„) V' (X) 02 — У~1 (х) [Ху-1 (Хо) 0! + У' (Хо) 02] +
+ Р"1 (х„) у-1 (х) А (X) е2 + 0 (_1_)'
Уг (X, х0, X) = у (х0) у (х) А — к ^Є* ] + О
у2 (X, Хд, X) = У (х0) р-1 (х) 02 +	91 + ——^^)Є1 ] +
+ о(і).	<=>
Де	і	і
у(х)=^ 4 (х); /і(х)=Сб?	2 0) І р (/) + -?----
[ . 4д 16 \ д / ] ^0 х _і_
0г = зіп Хф; 02 = соз Хф, ф = У д 2 (х) (іх. хо
Якщо в рівнянні (4) параметр А досить великий, то у формулах (5) можна знехтувати явно невиписаними членами, в результаті чого ми дістанемо наближені формули для нормальної фундаментальної системи розв’язків рівняння (4).
З допомогою формул (5) можна розв’язати не тільки задачу Коші, але й крайову задачу для рівняння (4).
ВІДПОВІДІ
2. л: + УУ' = 0; дотична до кола перпендикулярна до лінії, що сполучає точку дотику з центром.
4. ху' — 2у = 0.
6. х2 — у2 + 2хуу' = 0.
8. ху' — у1пу' = 0.
10. х — 2у + уу' =0.
З- У2У'2 + ї/2 — г2 = 0.	4. ху' — 2у = 0.
5. 2ху' — у = 0.	6. х2 — у2 +	= 0.
7. ху' — у 1п у = 0.	8. ху1 — у\пу' = Ь.
9. ху' + у = 0.	10.	х — 2у + уу' = 0.
11. (1 + х2) у' — у +	агсі# х —1=0. 12.	у'2 + у2 — 1 = 0.
13. (1 + х2) у' + у2	+	1	= 0.	14.	у'2-у2+ 1 =0.
15.	(у2 — 6х) у' + 2у = 0.	16.	ху' — у + хУх2 — у'1
17.	у' соз х + у зіп х — 1=0.	18.	у' + зіп у + х (1 -|- со;
19.	ху' — (1 + у2) агсі£ у = 0.	20.	уу'2 + 2ху' —у = в.
21.	(х2 + у2 Н- у) (іх - хсіу = 0.	22.	х2у'2 - 2хуу' + у2 =
23.	- Р і§20.	24. /-9у = 0.
25.	у" + а*у = 0.	26.	х^у"' - 2у' =	0.
27.	(ху1 - у) (х + УУ') + (&2 - а2) У' = 0.	28. / = 0.
29.	у — Ь = (х — а) у'.	ЗО.	2ху' —у = 0.
31.	у'" (1 + у'2) — Зу'у"2 =	0.	32.	Ьу'" - Зу"у™ = 0;
Вказівка: АС — В2 = 0.
33. (х2 + у*)у"- 2 (ху'—у)(1 + /2) = 0.
34. (1 + /2)3 = г2у"2	35. х2у" - 2ху' + 2у = 0.
36. у'" = 0.	37. х2 (1 + у'2) = г2у'2.
14. у'2 — у2 4- 1 = 0.
16. ху' — у + х х2 — у2 = 0.
18. у' + зіп у + х (1 -|- соз у) = 0.
20. уу'2 + 2ху' — у — 0.
22. х2у'2 — 2хуу' + у2 = х2у2 — х4.
24. / — 9ї/ = 0.
26. х2у'" - 2у' = 0.
38. (1 + у'2)3 = (ху" — у' — у'3)2.	39. 4х3уу' = ї/4 + 4х2ї/2 — х4.
40.	хуу'2 + (х2 — у2 — с2) у' — ху = 0.
41.	х = у [(1 + у'2) агсі£ у' — у'\.
42.	(у'2 + 1) у — 2а = 0. Вказівка: рівняння сім’ї х = С + а (/—зіп /), у = а (1 — соз і). 43.	= р с1&	44. 2х3у' — Зх2у — у3 = 0
ио	2
(І^Х
45.	2 (х + УУ') = У — ху'.	46.	= — со2х; прискорення пропорційне
відстані від початку координат.
82.	хе х =С/і/2 — 1.
124
83.	(1 -І- х2) У1 + у* = С; (1 + х2) V 1 + І/2 = 2.
М. ГПН? + /Г+7'=С- 85.-1-----------------1 +21п-І- = С.
У л	У
Н«. ех* + 1п (у + У 1 + у2) = С; ех3 + Іп (у + У1 + і/2) = 1.
87.	/ПН? + 1п (х + /1 + х2)--------=£--|-1пу = С,
88.	агсзіп х + агсзіп у «= С.
89.	(1 + х2) (1 + у2} = Сх2; (1 + х2) (1 + у2) = 4х2.
90.	І£ X • у = С. 91. у = еСх.
92.	І^х2 + 1 = С зіп у; 2 зіп у « )/ х2 + 1. і
93.	(х2 + 1) у2 = Се у2 94. соз у • 1п х = С; 2 соз у • 1п х = 1.
95.	у — СУх2-\- 1; у = У^+\. 96. ех + е~у = С; ех + е~у « 2
97.	зіп у = С соз х; зіпг/ = созх. 98. у2 + 2у = х2 + 2х + С.
* + у = іп — + С. 100. Іп У = С •	;	у = 1.
ху	у	* ь 2
101.	агсІ£і/ — агсІ£х = С; і/(1 — х) == 1 + х.
102.	еу — 1 = Се~х\ у = 0.	103. 1 + у2 = С (1 - х3).
104.	(х2 + 1) (1 + 2г/) = С.
105.	агсі# х2 — 2 агсзіп —(- 2 У а2 — у2 = С. х^ х2	1	1
107.	2 Уу — 1п у + 2 Ух = С; 2 Уу — 1п у + 2 Ух = 4.
108.	2 У (х -|- І)3 + 6 УГ+Т — Зе_у (у + 1) = С.
109.	/+«уь (а — х)° = С.
ПО. -4^-1п(1 + !/2)-21п(// + УТ+У)=С.
у х2 + 1
111. 2 агсзіп (х — 1) — 2 У2х — х2 + Іп	= С.
У і” 1
1Г». 2 агсзіп (зіп X — соз х) + агсі£ у2 = С; агсі& у2 + | 2 агсзіп (зіп х — соз х) =• л.
113. X (зіп Іпх — соз 1п х) — у (соз 1п у + ЗІП 1п у) = С.
.	. У І + х — УІ — х . о . і/~ І — х,.	и2 — 1
1 И. Іп —- -------у-- + 2 агсіо І/ —-----------к 1п	... . . _і_
УН-х + УТ^х	Г 1+х у и4 + «2+1
, ґ:,„ге1Еаїі+2_с;
кз	V і +«
І» І ‘..414
125
"5-і”Чтг+т) + -гтїї7 = с-
116. У1 + х2 агсі£ х — 1п (х + )/" 1 + х2) + 2 (У у — У 1 — у агсзіп Уу)=С.
ит і х2 1 .	(у+ І)2	2	, 2у— 1 п
„Лу+і -7ГЮІг-7Г"с-
118. є-1 (Xі + 2х + 2) — у* (у3 — Зу3 + 6у — 6) = С.
Xі . X2 . п . X п 8Іп2х . у2 . „ у2 .
И9.	— 8іп2х+ — соз2х----------іп’у— Х-ІПУ4-
+ -Т = С-
120.	31п(х—1 4-/х2 — 2x4-5) — іп(3у—1 4- У 9у2 — 6у -|- 2) = С.
121.	Іп(1 4-х2) 4- 4- 1п ^ + 1 +У -агсіе^ ?+у- 4-
2 /7ТЇ-У	У
+ 4-^(4-У4)3 =С.
О
122.	^Ох2 4-6x4-2 + -4- 1п (Зх 4- 1 4- /9х2 4-6х4-2) 4-9	9
+44 іп (8у + 9 4- 4 /4У2 4-9у + 1 -	/4у2 4-9^4-1 = С.
123.	іпі8(4-4-4) + 2/2|п18-Г = С-
124.	Іп х (Іп Іп х — 1) 4- —	—— = С.
2 агсзіп ---------іп (1 — іп2 у) = С.
125.
126.
2/2[Зіп(у4-Уу24- і)4-4-(У2-2) Уу2 + і] = с. и
127.	агсіб (2 ІК4") +	<У* + 1) = С.
128.	X + іп X + 2 іп (зіп у + соз у) = С.
129.	х • Іп соз х 4- х — х + Іп Іп зіп у = С.
130.
. З і 2 ~ соз 2у _ 4	8	2 + соз2г/
131. 12£-+агс^^Д- = С. 132. (2х3 - 1) « Сх*.
1+*	У2у
5 тт
133. зіп X2 + -|2 (2 —	3 ) 5 = с.
12$
184. 21п(е2 4-е 2)-ее9=С. 135. х 4- С =	— -у-)-
136. ах 4- Ьу 4- с =	0^<Лх 4- С).
Вказівка: покласти г = ах + Ьу + с.
13?; т1" (4,»--£'+-і?-+тгагй«+’«+3-
138. З хв 20 сек. Вказівка: о = 0,6 У2§Л, де К — глибина.
139. 37,3 хв. 140. а = 1,653 кг. Вказівка: (іх = —0,03 х(іі, якщо х — кількість солі в чані через і хвилин.
«М ЄН О	і, /10—*	1 \
141. 5,2 кг. Вказівка: —тг = кх —-.
аі І 90 о /
142. у = Се~ к(п-і)хп~1 .	143. в =	.
144. і == 36 сек\ і = 51 сек. 145. у = Се а .
146.	//2 = 2ахС; і/2 = 2ах+1. 147. р = аО Ц- С (Архімедові спіралі). 0	(І0 ___ (Ір
148.	р — Се±0 (логарифмічні спіралі). Вказівка: р2 — “Но”’*
149.	1593 роки. 150.	1497.
Вказівка: (Іх — а [0,0004 -----І
І	Ю оОО І
151.	1152 • 0,377 х
152.	у2 = Сх. Вказівка: 2ху = 3 у(Іх. V
X 2	р
153.	у2 =і — х. Вказівка: І уйх = у3, уйх — Зу2(іу. □	0
— 2/
154.	0 = 2О4-8Ое 20; /=60*е. 155.-^. 156. р = С0. 1024
157.	Вказівка: скористуватися рівнянням нормалі до кривої в точці Л4. Є	£
158.	р = Се а . 160. х = х02 3 . Збільшиться у 8 раз через 9 год.
161.	У 1=3 । — кх ' Ю2. р = г~°’00016/1 • Вказівка: (Ір = — кр(ІІі.
163.	(о = 100 • (0,6)<
164.	х = х^-м,	х0 = У» 56,5.
165.	х — ]^32 • х0«5,66х0; х = хоей/, к = 1п 2.
5*	127
а 4 г>	.
Вказівка: —тг аі
1	_ье—^£аі<
8 =---- Іп---------!-------
а
2
= § — ау2, а = —. т
166. У =
2

167.	т 17,06 хв. 168. 50 сек, 15 м. 170. агсзіп —--Іпх = С.
х
„	—агсі£—
171.	у*=хе- 172. х = Се	* . 173. ху — х2 = Су\ у = 0.
174.	х2 + у2 = Су\ х2 + у2 — 2у = 0. 175. Сх2 = у + /ха + у2.
176.	ху2 — х3 = С; ху2 — х3 = 1.
177.	(х — у) (Ух — Уу)г	= С.
178.	Іп (х + у) + 2(Ду) = С. 179. Іп х + е~ї = С. 180. Сх =- соз
181.	х — УТу = С. 182. Сх = і§^- + -^-
У
183. 9х2ї/ + 15ху2 — у3 = С. 184. (х + у) Іп х — хе х + С (х + у).
___х2
185. (у — х)8 (у — 2х)0 = С (у + 2х)6. 186. у2е у2 = Сх.
187. х4 + 6х2уа + 2у* = С. 188. х2 + (у2 — х2) Іп (у2 — х2) = С(у2 — х2)
189. 2х* + у* = СУ Xі + У 190. (х + !/)У х3 + У8 = С.
Ш. х* + уі — 4х3у = С. 192.	(4*2 + Зу2) = С. 193. Сх = е‘“.
194. Іп (2х2 + ху + у2)----1=- агсі£ = С.
У1 ху 7
— 5ІП —
195. 1п(2х+у)+ 2л.^_у = с 196. Сх = е
199.	(2х + у — З)2 = С (6х + 2у - 5).
200.	Іп(у-х-1) = С+7А=^П.
201.	(х - у) (х + 7у - 4)3 = С. 202. Іп (4х + 8у + 5) + 8у — 4х = С.
203.	х +2у + 3 Іп (х + і/— 2) = С. 204. (у — 4х — 2)3 = С (х + 2у = 5).
208.	х2ех*уі — Су2. 209. у2 = х Іп Су2. 210. хв + і/4 = Су2.
211.	У у — х2 У у3 = С. 212. х2 — у2 4- 2ху — 4х + 8у = С.
213. х2 — ху + у2 — х + у = С. 214. (х + у - І)3 = С (х ^у + 3).
128
215. Іп С (у + 2) + 2 агсі§ +  = 0. 216. Су* — у* = х*.
X — о
х 2—Ху і____________	агсі&---
217.	Ух2#2 — 2ху + 2 = Сху3е ху .
218.	Іпх + агсі£]/ х2у* — 1 = С або ж Іпх —агсзіп—= С. ху
219.	х2у2 = Су-}-\. Вказівка: покласти у = г-1.
220.	х2 0/ х4і/2 + 1 — х2у) — С. Вказівка: покласти у = г“2.
221.	хі&( агс^*У. \ == £. Вказівка: покласти у => —. \	2	/	уг
222.	х2 Іп х + У у2 — х4 = Сх2. Вказівка: покласти у — их2. . 2—ху і__________________агсія----------~
223.	~У 2 — 2ху + х2у2 — Сху3е ху \ ху + 1 « 0.
224.	х2 + у2 = Сх. Вказівка: скористуватися рівнянням дотичної в
• Ху'— У . у— ху' Л нормальному вигляді   ----- +	 — ==> 0.
//2+1 + 1
225.	у = Сх. 226. у2 = С2 + 2Сх. 227. (х — у)2 (х + 2у) = С. х	--------—
228.	у (у + Зх)2 = С. 229. у = СеИ. 230.	1 +	= -£- + 1.
231.	агсі§	Іп (х2 + у*) = С.
232.	(х — С)2 + і/2 = С2. В к а з І в к а: (х + уу')2 = у2 (1 + У'2)*
233.	х2 + у2 = С. 234. х2 + у2 — Су = 0. С
235. р — і соз~ф~ ї*0™4™ перерізи).
237. х2 + у* = Сх; у =	; У х2 + у2 + у = Сх2.
238. у = Схк. 240. у = Сех + х2. 241. у = Сех — х; у ех — х. х*
242.	у = Се Т + х2 — 2; у = х2 — 2.
243.	у «= СЄ~3х +	(9х2 - 6х + 11).
244.	у = Се~2х + 4- (4х8 — бх2 + 6х — 3).
О
245.	у = С зіп х + х2. 246. у = Се“8,п х + зіп х — 1.
247.	у = Се~~х + зіп х.
С	1
248.	у = -і---(-Іпх; у = Іпх-----;---.
у Іпх ‘ у	Іпх
249.	у = Сехг + зіп х; у = ех* + зіп х.
129
250.	у = Сех* + ех* е Х*с1х. 251. г/ = С1пх + х.
252.	у = С /х^+1 + ех. 253. у = Се“5Іп х + хе“8Іпх.
254.	у «= С х + зіп х. 255. х = Су~2 + у*.
С	1 (* зіп х
256. у =--------1----І -----(іх. 257. у*= С соз х + соз х (х зіп х + соз х);
х	х Л х
у » зіп 2х + соза х. 258. х =* Се5Іп — зіп у — 1.
259. у = Се	+ Х-
У 1 - Xа
Л/ЇЛ С , .	, соз X	.	, СОЗ X
26°. у = — + зіп *+—— ;	У = 81П*Н--------—.
261. х = Сеу 4- Єу У е~у 1п уіу. 262. у = С 1п (х Ц- У Xа 4- 1) 4- 1п *
263. У = • (Г^)Т + <х + а>3- 264- х = У + У2' Х = У2-
1	X	¥.
265. у ~ Сх2---266. у-С- + хї£±-.
267.
269.
271.
г——— х=-^--Су3; 2х = уа-у3. 268. х = СуУ І - у3 + у3.
у = Се~хг 4* (зіп х — х соз х) е~х\ 270. х = Су 4- -у--
* = -£г + 2у3;	272. г/ = с-^-4-
У	У	л
273. х = Се у + е у \%у\ х = е у (2 + у).
277.	М = е~2*[с+4^(х-4)--^ •
278.	їй У = Се Т 4- 1 • 279. ї.е~у = Се~х — е*.
280.	2 У" 1 4- У = 2х (х 4- 5 1п х) 4- Сх.
281.	/у^+Т = Се~х 4- Xа — 2х 4- 3.
282.	У"у - С V 1 — ха — -1- (1 — ха). 283. е~3у = ехх 4- Се*.
284. у (Сх 4- 1п х 4-1) = 1; У = 1п { •
285. еу = зіп х ^С 4- 1п . 286.	= Се~х 4- 1 — х
—у'
287. (Се 2 — у3 4- 2) х = 1. 288. у3 (Сесо$ х 4- 3) = 1.
__X»
289. У у =	+ 1пс°3* +х_ 290. агсі§ у = Се 2 4- 1.
130
291. зіп у = Сесо$ л + 1. 292. /(Іп у)3 =	+ 3 (Х* П 
293.	і/”3 = С со$3 х 4- 2 зіп3 х — 3 зіп х. 294. ху (С + Іп2 х) + 2 «= 0.
295.	{/-3с=х3(31пх3 + С) + 4-^ у~3 = х3(зіпх3 — 4-) + -^-х.
_ /2
298.	у (х 4- С) = зес х. 297. у~х = Се 2 4- соз х, у = 5ес х.
г98. Д С ;	1П(,+ ГГ+?)1	,
У 14- х2 2	2 У 1 4- х2
299.	уі + 2х2у2 + Іу2 = С. 300. Су2е* — х3 = у2.
ЗОЇ. х2 4- у2 — 2у = Се~х. 303. у2 Д- Сху = І. 2х
304.	х + агсід — = С. 305. у = Се у-----—
У	*	4у
306. х2у2 4- 2 Іп = с. 307. х2 4- у2 = Су2е2Х.
х{а—у)
308. —?-------= Сеа{*+у} . 309. 2у _ (у2 - х2) Іп С х + у 
х+у	*	*	х — у
310. х4 — у3 = Сху2. 311. ху 4-х 4-У = С (х + у 4-2) (х + у).
312.	х = у (С — ку\пу).
П—1
313.	у = Схп —х. Вказівка: ху' *— у =-------
. ___Я_
414	і \ і л.	І	ь 1 і	№о5ІпС0^ со^осозш/
314.	/	= ^04-	Ш2£2 4.£2 }Є +	О)2Л2 4- №
№	9.и
315.	у Сх2 4“ -5—	Вказівка: у'------— =-------3-.
*	Зх	у х х2
316.	у = -у- 4- 1	317. у[2х — 1 4-С(х— 1)2] = х2.
318. у2 = Сех — х2 — 2х — 2. (С>0). 319. у = С (х — а)"1-1.
и2
320. у2 = 2х2 (С — Іп х). В к а з і в к а: уу' + х = -р.
323. у = С(х—\) — 2. 324. (х 4- у 4- І)2 = С (х2 4- у2 4- І).
325. (х4-«/)(*+ і)4-С(*+</+ ^“О-
326. (2х 4- у) — (2х — І)2 -Ь 3 (2х — 1) (2х 4- у) = С (2х 4- у)2.
327-(У2^-У ї =С + 4- 32& х4-у+і + ІП~х-4.-~І~-- = С
329. (х-у)2-1=С(х + у+ 1)2. 330. 1п-^?- = С--44-.
4х
331. —Ц-=Се у~‘ 4- 2Ґ/ ,л------332. С (у 4-Х) 4-х 4- 1=0.
У “ 1	(1 — У)	О
131
333. у = С (2л — 1) + 1. 335. х2 зіп у + у2 соз х у *= С. х^
336. — + ху (Іп у — X — 1) ЗІП у — С.
337. (х + у) (х2 — 7ху + у2) = С. 338. х2 + у2 4- 2 агсзіп -у- = С.
339. Зху2 х2у -\-Зу х2 = С. 340. Іп (х2 + у2) — агсі? = С.
341. зіп — соз — х----------------- = С. 342.—^—4- іп — = С.
х	У	У	х—у у
343.	х сі§ у У х + агсзіп — = С.
У
344.	зіп (л у2) + Зху = С; зіп (л у2) + Зху = 1.
345.	х2 зіп у — у зіп х + х Іп х — х — у\пу у = С.
346.	зіп (пх + ту) соз (тх пу) = С. 347. х2 — у2 = Сх.
1	1	а2
348.	х2 соз у + у2 соз х — С. 349. л3 у3-------------~ х2у2 +	= С.
X
350.	/ х2 4- у2 4-	1 — агсі§ -~ =	С. 351. х 4- уе У	= С.
352.	хеу-\-уех <=С. 353. х зіп (х	4- у) = С. 354. (х + у)У	а2 +	Уг	= С.
355.	у зіп х + х2у2	4- а соз у =-С.	356. л2 — ху = С.	358.	Зх2у	4-	х3у3	=	С.
359.	ху2 4- 2х2у —	2 = Сх. 360. ех (х2 + у2) = С.
361. ху (х 4- у) = С (х 4- І). 362. §х2у2 4- 8х3у 4' Зл4 = С.
363. X2— у2 = Су3. 364-4----------!------Зху = С. 365. у4-4 = С'е-Хі-
Л У	2,
тх
366. у = Се~ах 4- 4+У • 367- %3 + Зху + 3^а = с-
368. 2у2 — ху 4- х3 = С. 369. у* = 4ху 4- С. 370. х2 4- у2 = Сх3
371. хеу — у2 = С. 372. ху = С. 373. х2у 4- 2х = Су.
374.	4-	х	= Су. 375. х2у2 4- ху3 4- У* = С. 376. у2 — 2х = Су3-.
377. Зхеу + у3 = С. 378. х2 —	+ У 4* 1п У = с-
379. х 4- у соз х — уЇ£У = Су. 380. ху 4- х 4- У = С (х 4- У) (х 4* У 4~ 2).
381. х3 4- ху 4- у3 = С (х 4- у). 382. х 4- а Іп * +У~ = С‘
383. (х3 4* У2) V 4" У =	384. х зіп (х 4~ У) = С.
385. х 4* 2у 4* ^х (х 4- у) — С (х 4- у)2- 386. у = Сеху.
387. 4ху 4- 2х2у2 Іп х 4- 1 = Сх2у2. 388. х2 4- У2 4* 2 агсі§ = С.
389. х2 4- у2 = С (у — І)2. 390. у 4- агсі£ = С.
Х 3 _
391. (х2 4- у2) ху 4- 1 = Сху. 392. у — х — 1 => С У ху.
132
393. х + агсід — = С. 394. хгу* = Іп -Ц—. 395. х + агсі§ -2- = С. У	XX
396. Іп —---------= С. 397. у* 4- Іп ху - — = С.
х х — у	У
398. х = С - зіп	399.	Xе — Зх2/	-2/ = С.
400. (х — у2)2 (2х — у) = С.	401. (х 4~	у2) ]Ґ2х — у2 = С.
X
402. 2х Іп у — у2 =	Сх.	403.	е у (у2 — х + у) = Су.
404. х2 — у2 — 1 —	Сх.	405.	х у —- х3	= С. 406. 2х 4- Іп у — Су.
407. 4у/х+Т 4- Іп + 1 + -1.. = С.
Г*4-1-1
408. ІП(*|Є+УІ!) ~ 2 агсі§ -у- = С. 409. Xі 4- 6х2/ 4- у* = С.
410.	Зї/2 + х Іп ху = Сх.
Сх2 + З	о	о	, ч 1
413.	у =	*	Вказівка: частиинии розв язок у± (х) = —
2	2
414.	у (Се х — 1) = х (Се х + 1); уг (х) = х.
І	2 ,	\	2
/ р — Vх \	— ~тх
415.	ху І С 4- \ е 3 сіх і = е -	; ут (х) = х.
416.	у = х + ех2 ехгсіх^ 1; уг (х) = х.
417.	уг(х) = — 1, підстановка у — — 14---------
приводить до лінійного
рівняння а' + (х — 2) и 4- 1 — 0. 418. у =	.
с» — х^
1	1	1 _
4'9- ’-	- Т- “• ’-
,2І ‘'-а+	,',-4. ' • 422-’--§Ет5-
423. -і-г- Іп Х (ХУ	4- _1_ = С.
2/2	х(ху-1) — У 2 х
424. У(^ + 3^) + 3 =с//-х. 425 2-в±У^ху = Сх_у^ у (Ух — З ух2) 4- 3	2 — (І -у 5) ху
,2„. ’/?+//?-в _ 1е/зп+Л
3/2(1 4- ху) Ух 'х Ух у
133
<»2	у2
427-«/=Т^Т’ и = Т+7’	х).
428- у-тУг' х=^ и=тт5’ &=-^з-
г = /Г сі£ (С - УТ). 429. у = х /3 -^^!+ --, С^х/З_і
.ол	1	, ЗСОЗ3X	. .	1
430. у =--------------~-----------; ух (х) =-------.
” соз х 1 С — соз3 х 1 соз х
431.	1 । ! + х2	, ч 1 х + С-Х ; л(х) = х •
432.	1	Се~2* +1	, .	1	1 У =	*3 х (Се-2* — 1) ’ У1 * х хї ’
433.	у = —аГП^-7—;	г —3. 435. уУі — х2 + х 1/І — у3 =С. у хіН(С + х) — 1	г	' г у
436.	Уу\ + х*+хУ 1 +у* =С(1 -Х2(/2).
437. а + Ь(х + у) + сху = С(х-у).
438.	у У а + Ьх + сх2 + х Уа + Ьу 4- су2 == С (х — у).
439.	) = а (х + У)г + 2Ь (х + У) + С,
X = ах*+ Ьх3 + сх* + 2ех + /, Г = ау* + Ьу3 + су* + 2еу + £.
440.	у + х УТ^* = С (х*у2 + 1).
443.	у = Сех — х — 1; у = Се"3* + (Зх — 1). у2
444.	у = — + С; у = Се* — х — 1.
445.	(у — ах — С) (у — Се*) (у — -с) = 0.
446.	С) (У -Се*) (у + х - І - Се~*) = 0.
447.	[(Уу - /х)1^-* (Уу + /х)^1 - С] [(Уу - У^+' X х (Уу + Ух/ї-1 — С| = 0.
448.	у = Се*, у = С — созх, і/= Іп сі£	4®^ф Схі/ = С24-ах
452. С2^2 - 2Сх2 + 9. 453. ЗС{/2 ~ 8 (х + С)3.
454.	у= р=[с_ «1.
Р ар	]/р2+ 1 [ 2Р ]
455. {/2 = Сх + 2С3. 456. 4у = аС(х — С)2. 457. у (С*х — 1) = С3.
4СО 2І— 21п/ + С	,,
459- * =---(і _ і)2Т—• У = хі3-2І.
134
462. х = -^-[1п(р + К^+Л)-р/рЧП+С], г/=2рх+/Т^ГІ.
463. у = Сх + «іп С. 464. ЗСу = ЗОх + (С — З)2.
465. у^Сх-ї-аУі— С3. 466. у = Сх + ~^^ь -
472. х2 + (у-С)2 = 1. 473. х=-^—,, у =	£== -агс(8р + С.
Р "г 1 У р2 + 1
474.	х = ар + Ьр2, у =	Ьр3 + С.
475.	х « р зіп р, у == р2 зіп р + р соз р — зіп р + С.
476.	х = зіп р + С» у = р зіп р + соз р. 477. у = х + С-^7^~~ *
478.	х = 4р3 + -^- + С </ = Зр‘ + А.
479.	х — Іп <р •	^-2- +	+ С, у = <р зес ф. Підстановка р =
« ф. 480. х — 5	І£3 і — і +	У = а зіп6 і.
483.	(-С- 4- С? — агх* = 0. 485. ( У~С'\ _ і = о.
\ 2	/	\ х І
486. ( ^~-~у + 2 -^-^•—4- 1 =0. 487. (у — х — С) (у + 2х-С) = 0.
488. (у — 2х — С)(у — Зх — С) = 0. 489. 49(у — С)2 = 4х’.
490. (2у — Xі — С) (2у + Зх2 — С) = 0.
491. (у — 6х — С)(у + е~х — С) = 0. 492. (у — С) (у — х2 — С) =. 0.
493.	(^[соз-С^р-р2
494.	1	= У (х + С).
495.	х = -|-р2 4-2р + С, у = р2-[.р3.
135
цЗ _1_ Зі/
498.	х = С + — 7—— , підстановка р = а (1 — соз /). оа
499.	у = Іп (р3 + р), х = 2 агсі§ р-+ С.
500.	(у— 2х-С)(у + Зх-С) = 0. 501. (у - С)3- 7х2 (у- С) + 6х3 = 0.
502. х = І£ р + С, у = р І£ р + Іп соз р.
603.	у =	+ С, (у3 - х3 - С2)2 = 4С3*3.
гал „ ,	5С2	51(2 — 30	5Р
604.	у — Сх + 3<?_ 1 , х ^,і—\)2'у	(3/ — 1)’ ’
— — / а\
605.	х3+(«/ + С)3 = 1. 606. У = ХіЦС±-|-]-
507.	у = Сх + С(\-С); 4у = (х+1)2.
508.	х = агсідр + у^-, у = С-т-1^г.
509.	у == Ух(1 — х) + агсзіп Ух + С.
510.	х — ар + ЬУТ+рі, у^^- + -^-УТТ^+С-
-_|-1п(р+ КїТр5). 5И. ((/_-£+с)(х+у-1+О-*) = 0.
512.	(у — х + С) (у — ах + С) (у — Ьх + С) = 0.
хг
513.	ау =	ау = е 4 . 514. х = 4р + 4р3, у = 2р3 Зр4 + С.
з	з
515. хр2 «С(р 4-1), ур2 =^Ср(3 — р).
516. Ьх = - і2 - аі, Ьу = --Ї- р3~	+ С.
о	£
617.	х = -?-±±-, у = -^--^-1пр + С.
618.	9(у + С)а — 4л*3 = 0. 619. х = С/ + 4г> У^-^+^г-
І X3 \	/--
620.	І у + — + С Н(у + С)2 - Іп (х + /1 + х2)] = 0.
621.	И1 ±со$х) = С. 522. у = (У' 2х + С- І)е/2*+С-1.
523.	у (С —х) = С2.	524. 4е 3 = ^ '(1 + *)4 + С.
526.	х = Зі + 3 сід І + С, у = соз3 і. 526. у = Сх + С“2; 4у3	27ха.
527.	х = Су + С2; 4х = — у2.
528.	х У р = Іп р 4- С, У = У~р (4 — Іп р — С).
529.	Сх = Іп Су. 530. 4// = С2 — 2 (х — С)2; 2у = х2.
136
531. у3 = 2С3х 4- С2. 532. х = —4--^-, (/ = 24-—— Іпр. р р2	р
633. х2 + у2 = С. Інтегральні криві — концентричні кола; точка (0; 0) — центр.
534.	у + 1 = С (х + 1). Точка (—1; —1) — вузол.
535.	у = Сх2 та у = 0. Точка (0; 0) — вузол.
г_______ агсі2 •—	й
536.	у х2 + у2 — Се х . В полярній системі р = Се — сім я спіралей. Точка (0; 0) — фокус.
С
537.	у = — , г/ = 0, х = 0. Точка (0; 0) — сідло.
а2
539. у=±Н. 540. Ні. 541. у2 + 4ех 0. 542. у2 — ах — -у- = 0.
4	4
543. х2 4- у2 = 1. 544. у = х3 та 0. 545. у = -^=—, у = 0. Лі	Л{ X
546.	у = х — С----1	, особливого розв’язку немає.
х
547.	у ==. Сех 4- С”1, у = ± 2е 2 — особливий.
548.	(у 4- С)2 = х8, х = 0 — місце точок звороту.
549.	{у 4- С)2 = х — 2, х == 2 — особливий розв’язок.
550.	у = зіп (х 4" С), у2 = 1 — особливий розв’язок.
551.	(2х3 4“ Зхг/ 4- С)2—4 (х2 4~ У)3 = 0, х2 4- У = 0— місце точок звороту.
552.	С2 — \2Су 4- 8Су3 — 12х2#2 4- 6х3 — 0, у2 — х — 0 — місце точок звороту. 553. С2 — ЬСху — 2Су3 — х (Зу2 — х)2 = 0, у2 4- х — 0 — місце точок звороту. 554. х2 4" У2 — Ь = 0. 555. Особливого розв’язку немає.
556. 16(/ 4-	4- 4х2 = 0. 557. у* — 4а2х2 = а.
558. Особливого розв’язку немає. 559. Особливого розв’язку немає.
560. 21у = 4х3. 561. Особливого розв’язку немає.
Б62. у = 1. 563. у =	—  566. х2 + ау3 — С. 567. у = Сх.
568. х2 — у3 = С. 569. х2 4- 2(/2 = С. 570. х2 + у3 = 8 Іп у + С.
571. у3 = С (С — 2х). 572. р2 + 2ха = С (х2 4- у2)2.
573. х + С = 2^1п	4-соз^, (/«=2з1п/. 574. х2 + р2 = Су.
575. (х2 + у2)2 = Сху. . 576. г =. С (1 — соз ф).
577. (х2 + р2)3 = Су (у3 4- Зх2). 578. (х2	(/2)2 = С (х2 — у3).
579. 2і/г — 1 = С (2х2 4- 1) 580. ху = С. 581. у = сГ.
582. (/ = 1пх —х4-С. 583. (/2 4- 2ху —х2 = С. 584. х2 4- у3 = С (у — х).
585. р = Се-кЧ1, к = і§а.
586. Іп(2х2 — ху + у3) 4--4=-агсіз Х~^ = С.
137
, агсі8 —	С2
«7. (А \	С
-г+а)- б90- Р = соз(Є-а) -_ С ,	/2	,. . СзЬ/Н-а
б91‘ *=7ь7- + а('-а,/>’ у = ~аГі—
/ д/2	\
592.	х = а (соз і + і зіп і) — і —|- С1 соз 4
у «= а (зіп і + і соз і) — І ——|- СІ зіп Л
593.	х = С зіп і + 2 І£ 0 у = І£2 і — С соз £ — 2.
594.	х = а (/ + зіп і) + С зіп , № сІ£	(х — аі) + 2а.
595.	х = соз і •	зіп2^, у — а зіп і — х і.
596.	х = зіп і • [С-Іп (зес / + І£ 0} , у = —х сі& і--£
597.	х = 2/ +	, у = і2----, С — 2. 599. Су = (х - Ср.
V і2 +1
_ _1_
600. х = е* (2е{ + С) 2 , у = іх — ЖГ"1, і => X.
606.	у = (\х2 + С2х + С3; у = х2 + 1.
607.	0 = ^-.£+СіХ« + С4х» + Сїх» + С<х+С»-
608.	у == —зіп 2х + С\х3 + С^х2 + С3х + С4.
609.	у « ----зіп х -|- С±х2 -|- С$х -|- С3.
610.	у = сЬ х + С]Х3 + С2х2 + С3х + С4; у = сЬ х + х 1.
611.	і/~-і- 6х зіп х + Сгх + С2і у = -і- ех зіпх + х. л	Лі
х^
612.	^(х-З^ + С^ + С^+Сз; у=,(х^3)єх + -г + 2х + 3.
соз3 X 7созх г 2 г п
613.	у =-----^7— -І----9----Ь Сіх +	+ Св-
614.	г/ = х1пх — х + С]Х + С2; у = х Іп х + 1.
615.	у = х зіп х + 3 соз х + Сгх2 + С2х + С3.
616.	у =	+ "І”] агсзіпх + хУ 1 — х2 + С\х + Са.
138
617.	у = *	— агсі§ х----Іп (хі 2 + 1) + С\х + Сг.
& £ 
уі
618.	у = ех — -у-Іп х + Схх2 + С2х + С3.
619.	у = ех--^- + С1х3+С2х2+С3х + С1; у = е*--£-+1.
620-	У = -ГТ7 +сіх + с‘-
»/ )п*	77 \	^І*3 < Сї*2 1 Г
621.	у — х 120	7200	6 + 2 +С3 +С4.
622.	у -----у Іп2 х + Сгх3 + СзХ + С3.
623.	у = СіХ» + С2х3 + С3х2 + С4х + С3.
624.	у = -4- х3 Іп х + Сгх3 + С2х2 + С3х + С4.
О
X
625.	у » х §	$ _|_ соз х + Схх + Са.
о
626.	у = — х зіп х — 2 соз х + Сгх + С2.
627.	у = 3 Іп х + С^2 + С2х + С3; у = 3 Іп х + 2х2 — 6% + 6.
628.	у = Іп зіп х + Сгх2 + С2х + С3.
629.	у = Сус С2 + х агсІ£ х — Іп 1 + х2;
у пз х (1 + агсі& х) — Іп УТ+х2.
630.	У=-^-р’--------Ї5-	+-|-Р3 + СХХ + С2, Х = р3-2р.
631.	х = р + р\ (/=-1|-р2 + -1-Рв + 4-р3 + С1х + С3. 1О	о
4	19	17	/4
632.	х = і3 + і. у = Г + і3 + і3 + -І2- + СіХ + Сі.
633.
і )п V2Єу+сг-/с; /Сі У 2еу + С1 + УСі
— ± (я + С2).
634. х = / + 1п/, р = -^-+-^- + / + С1х + С2.
з
635. Зу = (Сі—2х)2 +С3х + С3
636. у= Г [х1п(х + Сх) — х + Сі Іп (х + Сх) + С2] Лс + С3.
637. у = Сг 4- С2х + С^. 638. (ах +	+ (ау + С2)2 = 1.
639. у = Сіх (х —	+ С2.
139
640.	А х + с2 = сг Іп (/сі + Уу* + У у) - Уу VСі + у у*. и
641.	Зх + Сг = 4 (Уу - 2Сг) УСі + Уї
642.	х + С2= С	.. 643. у = С2 + Іп І8к + -£-).
л V Сі + іп у	\	/
644. х = 4-31п(з-4-)+Сі. У = -^г—^-+Са.
Вказівка: у" <=іу'. 645. у = С3 + С2х — зіп (х 4- Сх)
646.	(х +	- СіУ- + Сі = 0.
- 1/ -
647.	С’(х-С1) = (С2(/3 +2) V Са3 -1.
648.	х = р (2 Іп р — 1) + Сі, у = р2 Іп р + С2.
649.	х = реР + Сі, у = (р* —р+1)еР + С2.
650.	2С2{/2 = 2СА + С*е2х 4- (С? — 1) е~2х.
1-І_—
651.	у =* Сх соз (х + С2) + С3. 656. і/ = (Схх— Сх)е Сі + Са. х3
657. у соз2 (х + Сх) = С2. 658. у =	4- х + Сх Іп х С2.
659.	(х - С2)2 = 4СХ (у - Сх).
660.	х = а зіп 0 + Сх соз 0, у =	0<3х + С2. Вказівка: у' —	0.
661.	(Схх + С2) (Іп у - 1) + 1 = 0.
662.	у3 = Сх + С2 [х2 + х /14-х2 4- Іп (х 4- /1 4- х2)].
І	С \
663.	у = х І Сі — агсзіп І.
664.
х=Са + жІп
/2Р + С1-/С1 .
Уїр + Сі + УСі ’
У “ ^3 + Т^Зр + Сі-
665. Іп у = СіЄх + С^~х. 666. у (С2 + х2) = СіХ. 667. Іп у = С2 + С^».
668. Іп у = С2 + У1 - х2 + Сі Іп (Сі - /1 — х2).
X2
669.. у = Сі — + С2х + С8 - С2 (х 4 Сі) Іп (х + Сі).
^2
670. х = Сху2 4" С^у 4- сз. 671. у == Сххе х . 672. у2 = Схх4 4- С2.
673. Іп (у + Сі) + " Є»  = х + С2. 674. Ср2 + 2ху - Сх2 = Сг У “г сі.
675. (Схх 4- С2) (1 - у) = 1. 676. і/ = х2 [1 4- Сх (Іп х 4- С2)].
х .
677. у = С2е2С> 2х . 678. у = х Іп _ * „ .
О хх 4~ з
140
679. у = 46?!	(С^х2 + С2). 680. у — С*і + С2х 4- С3 Іп х •
681. у = С,х Іп х + С2х + С3 + -4- (х3 + 6л2). 682. у = х3 + Зх + 1.
І
683. у — х = 2 Іп у. 684. у3 = 2х — 1; у2 = 3 — 2х. 685. у = х.
686.	(З — х) у3 = 8 (х + 2).
687.	у = Сі + С2ес**; у = 1 - ех, у = е~х — 1.
688.	у2 = Су (х + С2)2 + -7гт- , & — коефіцієнт пропорційності.
о угі
689.	у = С2 — а Іп соз /	4- С Д . 690. Ну 4- Іп *	= С2.
691. (х 4- Су)2 4- (у 4- С2)а = 1. 692. V 11,08 км/сек.
Вказівка: диференціальне рівняння
СІЇ)	£Г2
руху
де х —
відстань, пройдена тілом за І сен,, § = 9,8 м/сек2 (біля поверхні Землі), г = 6370 км (радіус земної кулі), /?=384 000 км (віддаль Місяця від центра
Землі). Взяти також до уваги, що V =--------------.
сії
693.	117 год. 694. Н = У^і = —о-ь,- , де Е — модуль Юнга, І — ’мо-
Л * біїї
мент інерції площі поперечного перерізу балки відносно нейтральної лінії. Вказівка: беручи за початок координат нерухому точку балки 1 спрямувавши вісь Ох вздовж балки, а вісь Оу вертикально вниз, дістанемо диференціальне рівняння пружної лінії (згинальний момент в точці
х, у М = Р (/ — х); Е1 = Р (/ — х), при цьому у (0) = 0, у' (0) = 0.
р / і \	рі?
695^" = -2ТГ Т-4; Я = \=±=-48ЕГ-
Х	7	2
Вказівка: див. № 694. За початок координат взяти середину балки; х = 0, у = 0, у' = 0 (дотична горизонтальна!).
(Сі~|-Л
е а 4" е а )» де а =-------відношення сили гори-
/	Р
зонтального натягу до питомої ваги нитки. Якщо перенести початок коор-(1 X
динат в точку (—Сі; Сг), то у = — сії — Вказівка: з умов рівнова-
ги — Н + Т соз а = 0, — р$ 4- Т зіп а = 0 (Т — сила натягу, а — кут, утворений нею з віссю Ох, р5 — вага розглядуваної частини нитки завдовжки 5) дістанемо І£<х = -у^-, або ж у' = —. Отже, диференціюючи п	а
останнє: у" =-/1+1/'а> маємо шукане диференціальне рів
няння.
697. Зу = (х — 2а) |/	. 702. у = Схх + С2 (х2 — 1).
141
718. У = (ха—1) Сі4-С2
703. у = Сгх + С2ех. 704. у = С\ Іп х + С2 Іп х •	|п2 7*
705. у = Сг зіп х + С2 зіп2 х. 706. у = С^хе2* + С2х.
707. у =	4- С^. 708. у = Сгх 4- С2 /1 4- х3
709. у = Сг (2х — 1) 4*	4* *а 7Ю. у = С1^ + Сг-^-.
711. у — (\х 4- С2 сої х 4- С3 їіп х 4- ха 4-1-
712. у = С^ 4- С2х 4- С3е~х 4- х3. 713. у =. х (С2 4- С2 Іп зіп х).
7Н. у = -^-4-С8(Зх-2).
715.	у = С\ (х4- /Ґ+^)я 4- С2 (х -УГ+^)п.
716.	у = Сг (х 4- 2) 4- С2 (х- 2) 8х.
— с
717.	у = е 2 (Сх + С2 ] л2 е 2 (хз -1)3	‘
719. у = е~*’ (Сі 4- С2х).	720. у = СіЄііп х 4- С2е~5іп х.
721.	у = СіЄ~2х 4- С2 (4х3 4- 1).
722.	у = - С1Х 4- С2 2х1п^+1~ха у 1-х	3	1-х
х1
- —/ Ге2 \ 723. у = е 2 І Сі 4- С2 І — 4x1 •
724. у = х (СіЄх 4- С2). .	725. у == С\ іб х 4- С2 (х х 4~ 1).
726. у — СіХ сої 2х 4- С2х їіп 2х.	727. ху = СіЄ~х 4- С#х.
728. у = СіХ-]- -^-4-С3(х1пх4- 1).	729. у = С1х24- С2(2х - 1)4-х3.
730. у = Сі (2х — 3) 4-		731. у = СіХ-\- С^ 4- С^х.
732. у = СіЄ31 4- С2е~х 4- С3х. 742. у = СіЄ~х 4- С^-4*.
743. у = С^х + С2е2Х. 744. у — 0х (Сх соз Зх + С2 зіп Зх).
745. у = Сі 4- С2е-^х.	746. у = СіЄах 4- С^~ах.
747.	у = Сі їіп Зх 4- С2 сої Зх.
748.	у = Сі 4- С2еах; у = еіх - 1.
749.	у = езх (Сі сої 2х 4- С2 їіп 2х).
750.	у~е*х (Сі + С2х).
751.	у = е~2х (Сі їіп Зх 4- С2 сої Зх). 752. у = СіЄх 4- С2е-4х.
142
2
7БЗ. у^Суе^ + С^г 3 Х.
764. у — Сге~х + С2е~Зх; у = $е~х — Зг-Зх.
755.	у — е2х (С1 зіп 5х + С2 соз 5х); у — е2Х (зіп 5х соз 5х).
756.	у =	е 2 (Сі + С2х)\ у — 2е2 — 2хе	2	.
757.	у =	е“3х (Сі + С2х); у = е“3х (1 + 2х).
758.	у =	С^3-1)* + С2Н/з+і)л; у =	е(/з“1)х - Н/з+1)л.
759.	у = (Сх соз У 2 х + С2 зіп У 2 х)\	у	е“* зіп У2 х.
760.	у = СхЄ 2 + С2е~х; у ~2е 2 + е~х-
761.	у = Сге~~х + С2е*х + С3е“3х.	762. у =	+ С2е2Х + С3е“2х.
763. у =	+ С2е3х + С3хе?х. 764. у = е~2х + С2х + С3х2).
765. у = Сі + С2х + С3е2Х. 766. у = Сі + С2е*х + С3е“2<
767.	у ±=	4-е 2 {с2 соз --^3 * + С3 зіп -3^~•	•
768.	у = С#"* + е 2 \С2 созх + С3 зіп х) •
769.	у = СуЄ~х + С3 соз Зх + С3 зіп Зх.
770.	у — СуЄ2х + С2 соз У2 х + С3 зіп У~2 х.
771.	у «= С4 + е 2	[с3 соз ” х + С3 зіп $
772.	у = С^х + С2е—Зх + С3е2х + С4е_2х.
773.	у = С,еах + С3е~ах + С3созах + С4зіпах.
774.	у = Сі + С3е2Х + е~х (С3 соз /3 х + С4 зіп /3 х).
775.	у = Сх + С2х + С3 соз ]ҐЗ х + Сі зіп х_
776.	у = Сг + СіХ + С3ха + С^х.
777.	у => е~2х (Су + С2х + С3х2 + С4хЗ).
778.	у = ех (Су + Сгх + С3х2 + СіХ3). '
779.	у = е~х (Су + С3х) + е2х (С3 + С4х).
780.	у = Су соз У2 х + С3 зіп У2 х 4- С3 соз /3 х + С4 зіп /3 х.
' ах
-701	/г» ах . г> •	\ /2	~~ /2
781.	у= Сісоз—— + С2зіп —— ]е	Хе X
\ У2	/2) т
к /„	ах	, _ . ах \
X С3 соз —- 4- С4 зіп —- .
к	/2	У2)
143
782.	у = С, 4- С2х + С3х2 + С4е*.
783.	у = 6х (С) + Сгх + С3х2) + С^-'.
784.	у = Сх + Сгх + є21' (С3 + С4х). 2л г
* СО5Т~ і / 9л \	І 9л \1
785.	у = СіЄх-\-е С2 соз (х зіп —л—) 4-С3 «іп (х зіп —=—) +
4л г хс°5	/	. 4д \	/	' 4л \
+ б С4 соз х зш —— + С6 зіп х зіп —— .
І \ о /	\	о/]
786.	у	= Сг	4- С2х	4-	С3х2 4- С4езх 4- Сйех.
787.	у	= Сг	4- С2х	4-	С3е~2л 4- е—к (С4 соз /3 х	4~ С5 зіп х).
788.	у	= С\	4- С2х	4-	С3х‘ 4- С4х3 4- Сле*х.
789.	у	= С1	4- Сгегх 4- Суг~2х 4- С4 соз 2х 4-	С6 зіп 2х.
790.	у = Сг 4- Сгх 4- С3х2 4- е-г (С4 4- С6х).
— — [	1/3	і/з \
791.	у = Схех 4- е 2 ІС2 соз	х 4- С3 зіп х І 4-
X	.
4-е 2 (с4 соз —х 4- С5 зіп х) 4- Сйе~х.
792.	у = Сі 4- Сгх 4- С3е/Зл 4- С4е~ /Зх 4- Сь соз /3 х 4- Сй зіп /З х.
793.	^/( = С2 4- С2х + С3х2 + С4х3 + е2Х (Сй соз Зх 4- С6 зіп Зх).
794.	у = Сх 4- С2х 4- С3х3 4-	4- Сьх* 4- Све-2<
795.	у = Сі 4- С2х 4- С3х2 4- С4х3 4- С^ 4- С^х.
796.	у = Сі 4- с2х 4- С3х2 4- С4Х3 4- С3 соз Кз х 4- Св зіп УЗ х.
797.	у = Сгех 4- С^ — х2 - 3. х3 Чх2 21	45
798.	у = С^Х 4- С2е^ 4- 4" + 4п+^х + ~^~-
799.	у = е2Л (Сі 4- С2х) 4- ех (х 4- 2).
800.	у = Сіезх 4- С*-Зх + 4" (х “ 2)'
801.	у = С1 соз 2х + С2 зіп 2х + Х- . □
802.	у = Сі 4- С2х 4- С3е2 Г -	+ А х2-
1^ о
803.	у = Сіех 4- С2е(3+	4- С3е(3- /ЇЗ)Л 4- 4- + 17я—
О Іо
804.	у = Сі 4- С^х 4- С^е-2* - ~ - 4- • 14	о
805.	у =	+ е 2 ^С2 соз -^5- х + С3 зіп х^ + х2 — х + 1.
144
у5	у4	уЗ	5
806.	у = С1 + С2х + С3езх - —	— х2.
807.	у = (Сх + С2х) ех 4- С3е2Х — х — 4.
808.	у = Сх + С2х + С3 соз х + С4 зіп х +	+ ---------х2.
809.	у = (Сх + *) соз х + (С2 + х2) зіп х.
г-	г-	Р2Х
810.	у = Сх + С2еіх + е~х (С8 соз /З х + С4 зіп /3 х) + — (х2 — 2х).
4о
811.	у =	+ С2х + С3х2 + С^х + СбЄ-^----------•
812.	у = ^ + С^Х + С2?-2х-
х3рх
813.	у = (Сх + С2х + С3х2) ех + -V- -□
--9~ І УЗ	УЗ \ Xі
814.	у = С] + С2х + С3ех + е ІС4 зіп х + Сб соз х)----------т
\	2	2/0
о РЗХ
815.	у = (\езх + С2е Зл + -^=- (6 зіп х — соз х). <оі
о	Хвх
816.	у = СХ(Г1Х + е г (С2 соз х + С3 зіп х)-(3 соз х + зіп х).
817.	у = Схех + С2е~~х + С3 соз х + С4 зіп х — ех зіп х.
818.	у = (Сх + С2х) соз 2х + (С3 + С4х) зіп 2х +	.
□ х е2Х 4
819-	У = С1Є~Х + С8е—Зх + -у + ~і5----у
о 2	4
820.	у — С2ех + С^е х---у х-----------[£- •
оо. .. ґ> І	, Xа	, 8іп2х	соз2х , X
821.	у = Сх + Сае + — ~х +2х+—^------------------І0~ + -2--
/	уЗ	\
822.	у *= е^х І Сх + С2х + -----соз х) .
823.	у = ех |СХ + ------— х) + С2е~х + (С3-------) зіпх + С4 созх.
\	О О /	\	4 /
__9у і	і \	।	2х2 -4" 2х -4" 1	।
824.	у = Ске + (Рі соз г + С3 зіп х) ех 4---------—!--Н
о
. зіп 2х . З л . хех (3 зіп х — соз х)
+ -^б- + ^б-СО52х+ 	20----------
І	3	\	гЗ
825.	у = С] + С2х + С3х2 + С4 соз 2х + С5 -|- х зіп 2х +	•
\	02 /	24
оп/ї	ґ>	і	і 8,пх і 1—СО5Х
826.	у = Сх соз х 4- С2 зіп х 4-— Іп -г-?--------
1	2	1 4- соз х
145
827.	, - .Ис, + -ї- -	+ .-[Є. +	--І-.
оло //> і	ІПСО8 2Х \ л .	,	X \ . п
828.	у	= І Сх 4--------1	соз 2х + ІС2	+ І зіп 2х.
829.	у е= ^Сх + -у- Ксі&х^ соз х + С2 зіп х.
830.	» = е^(Сі + Сгх) + 2_.
831.	у = ^Сх + Іп і§ -----соз х + Сг зіп х.
832.	у = СіЄх + С2е~х + і§х.
833.	у = Сі соз х + С2 зіп х +
834.	у = е* (Сх + С2х + х іп х).
836. у = Сіх3 + -^-.	837.// = Сіх’+-^-.
838. у = СіХ + -у--	839. у = С2 + С2іпх.
840. у = х (Сх + Сг іп х + С3 іп2 х).
841. у = Сі + Сг іп х + СзХ3. 842. у = С±х + С2х2 + С3х?.
843.	у = Сі (2х + 1) + С2І^2х+7.
844.	у ----&-Ї- + ^1П<*+ 9 .
х+ 1	*+1
845.	у = (х + 1) [Сі + С2 іп (х + 1) + С8 (х + 1)»].
846.	у = Сі (х + 2)2 + С2 (х + 2)3.
847.	у У1 + х2 = Сі + С2х. Вказівка: зробити заміну х і§ і.
848.	у = (Сі + С3х3) соз іп х + (С2 + С4х3) зіп іп х.
Х^
849.	у = Схх3 + С2 соз Іп х + С3 зіп Іп х-=-.
о
уЗ з 850. у = Схха + С2х + С3х Іп х + --х Іп2 х.
О1Г<	। С2 । і , С41пх , ха
851. у = Схх 4----—Ь С3х Іп х 4-----------Н -д- •
ОКО Р І ^2 і ^3 . ІП2 х_____________5 .
853. г/«Сх4-	4-	+ 12	Зб Іп х.
854. і/ = -^- + С2х3 + х2.
146
ойй _____ Сі ।	і Сз ।
855- У - х + ! + (х + 1)а + + 1)3 4
856. у = С1 зіп -і- + С2 соз —•
Іп (* + 1)
6
11
36 ’
862 2" 4.	*2 + 6 862’ 2 + 4 (х*+ 1)	12х2 г = о.	863. г" (4;^^г = 0.
864. и" + и = 0.	865. г" - 4-	'г = 4 (ха — х)2
866. г" + г = 0.
868.
а Г е-2л
СІХ [ X
867. г" + П(п+^(іх2р+'- г = 0. ^1+^ = 0.
X І ' X2 у
а іх
ї-(*2-2)у = 0.
869.
е2Х
871‘ Ох [ Xі (Xі + 6) ] + Xі (Xі + б)2 =а
872. х2ип — хи' + и = 0.	873. хи" — би' + хи = 0.
__4_
874. и" — х 3 и = 0.
875. 1) у" —а3у = 0.	2) х*у"-2ху’—4у = 0.
3) у"-(І + 2і§3х)у = 0.	4) ХуІ'-(х+1)у'-2(х-1)у~0.
5) XV — (х3 — 2х)у’— (Зх + 2)у = 0.	6) х3у" + ху' — 2у = 0.
7) у" - (4х3 + 2) у = 0.	8) 4ху" + 4у' - (х + 2) у = 0.
9) (х3 + 2) у’” - 2ху" + (х3 + 2) у' — 2ху = 0.
10) у"' — Зу" + 4у' — 2у = 0.	11) х3/' + бху" + Зу' = 0.
12) х?у"' + 2х2у" — ху' + у => 0.
876. {, = С1х3+-^-.	877. у = С1-^Д + С,-^.
х	У х у х
878. у = х3 ((?! + Са У	879. у = С1х + С21пх.
880. У = С1х3 + Сах’+х31пх + 4-'	881. у = -^-+С2-^-
X	л
Xі
882. у => х ^Сх + С2 У	£— ах^•	883. у =ех* (Сх соз х + Са зіп х).
г» _____2х
884. у ех (Сх + С2 ] е 2 ах).
885. у — Сг х + ^2 (х х + О-	888- У ~ Сіх _г ^2 5І’п х.
147
С г3
887. г/ = С1х» + -^-—-^-Іпх.	888. у = С1(х + 1) + ^.
889. у=С1х + С8х» + ^-(1пх--^-).
890. у = х2 (Сі + С2 Іп х) + 5х.	891. у = С^е2 + С^~2 ’Ч
Вказівка: звести до канонічної форми.
892.	у = е5Іп х (Сі + С2 У е~2 £1п х Лх).
/ г *2
893.	у = й- (Сі + С2 \ х2е 2 ай. а	д
894.	у = С1 зіп 2х + С2 соз2 х. 895. у = х (С]Є х + С2е * ).
X2	X2
896.	у = е 2 (Сі + С2 У е 2 ах) .
ХЗ
/ С р~ \	с
897.	у = х ( Сі + С2 \ (їх і •	898. у =	.
899.	у = х ^С\ соз + С2 зіп •
900.	у = х + С2 У —— гіх).
—5“ І
901.	у — е	(Сг соз х + С2 зіп х). Вказівка: зробити
-4" ]* Цх)(іх
заміну и (х) = уе
902.	у = -і- (Сх + С2 У е~ і Кх}<1хах) 
903.	у = Сх (х + а) + С2хе“ .	904' У = х (Сі + У ехх~2ах) .
905.	і/ = С1(х—1) + С2[(х—І)1пх—4х].
1	.	и
906.	у = — (Сівг + С2е). Вказівка: запровадити заміну у = — •
907.	у = С1 соз (Іп соз х) + С2 зіп (Іп соз х).
Вказівка: запровадити заміну соз х = е1.
2	_2
908.	у = Сі.ех +С2е х -
909.	у = Сх ід х + С2 (І£ х «іп х + «ес х). с
91°- У =	9И- У = С1Є 2 + СіЄ 2 .
148
912. у = С\ соз У х + С2 зіп У х. 913. у = ел~ (Сх + С2х). З
914.	у = (\х + С2х Іп х +	х3.
915.	+	+
916.	у == х + С2 у х“2 У1 + х2 іїх} .
917.	у = СіХ + С2 (х* + 1).	918. ху = Сх + С2 Іп (х + 1).
919.	у]ґх — С^е* + С2е““х.	Зробити заміну и = у Ух.
— —
920.	у Ух = Сх +	2 .
921.	у = Сх сі& х + С2 (1 — х сі£ х). «2 уЗ	уП
922.	^=1+х + - + -зг+ ... +£+	= е'.
923.	У1(х)=1 + -Д-+3,4Л87.8 + ...,
X®-	х®
Уг (х) = х + 4 . 5 + 4.5.8.9 + • • •
924.	уі (х) = 1 + -^-д + 2 . з . 5.6 + ''' + 2 • 3 • • • (Зп — 1) -З/і
Уг (х) = х+ 3 . 4 + з 4 6 7 + • • • + х3п+1
+ 3 • 4 • 6 • 7 • • • Зп (Зп + 1) + ” ’
925.	ук (х) = 1	^-4- + з 4 7 8	• • •,
х®	х®
Уг (х) = х 4—57- + 4 . 5 . 8.9	‘ ‘'
, V . X2 , X4
926.	Уі (х) = зґ + Зі ‘ ’ • .	1	х х3	х6
~ х	21 + 41	6! +
X. У®
»27. ї1М_І_^г + т-...+(-1).-і^г+...,
- - (	у	у2	у/З
„,м = к;(і_ т+__ ... +(_ ,).7Я_іуг+ ...}.
!>2«. ,_-2 + 2х-х> + ^------+	-----
X2 X4
029. ,= 1-- + __ ...+(_ 1Г ^.4Х...2п+ ...
149
у2	у4	ув
930.	+—±— ------------*	+ ...
° 2а 22 • 4*	2* • 42 • 6^
х4	1.3
932.	^1+х + ---^-г+^-т-т уЗ	у4	у5
933.	і/ = х — х2	4- --_	4- —-...
У	^2!	ЗІ	41
оо
934.	у = Сг соз і + С2 зіп і + 2
935.	Не існує. 936. Не існує.
937. х (/) = Сх соз аі + С2 зіп аі. й2х	к
Вказівка: диференціальне рівняння + а2х = 0, де а2 = — •
Початок координат взяти в нерухомому центрі, а вісь Ох спрямувати по лінії руху точки.
я і Г 2
938. Т = — |/ — сек. Вказівка: диференціальне рівняння
9 Я2 х
— -^2~ =2 — к (х + 0,02). (За умовою задачі к ® 100).
940.	х = соз і + Са зіп /, у =* — Сг зіп і + С2 соз і,
941.	х = С^‘ + С^~‘, у = 2С1Є6' - С^Г1.
942.	х = 5Сг соз / + 5С2 зіп 3/, у = Сг (соз 3/ 4-3 зіп З/) 4-С8 (зіп Зі—ЗсозЗ/).
943.	х = (Сх 4- С2/) егі, У = -(Сі + С2 +
944.	х = (Сі -	«г1 соз/ — (С2 4- Са) е2‘ зіп/,
у = (С2 зіп і 4- С2 соз /) ег1.
945.	х =\~2' (1 - 2/), у = е~21 (1 4- 2/).
946.	х = Сіе~‘ 4- С2е3', у = ІС^-1 - 2С^‘.
947.	х = (Сі 4- С^) е1, у = (2Сі — С2 4- 2С/) е‘.
948.	х = гС^' - 4С^~3‘, у = Сів3' 4- С^""3'.
949.	х = 4е14- 2е—уг=—е1 — е~1.
950.	х = (2 - 15/) є»', у = (5/ 4- 1) е6'.
951.	х = СіЄ{ 4- С^~2‘, у = Сх? 4- С3е~2‘,
2 — С^1 — (С2 4“ с3) с 2 •
952.	х = — е~‘, у = е~‘, г = 0.
953.	х = е~‘ {С^ 4- С2/ 4- Сз) 4- /а — 3/ 4- З,
у = е-* (- 2Сі/ — С2) 4- /, г = гС^-' 4- / — 1.
954.	х = гС^-' 4- у = - Сіе~* 4- С2е-7'.
150
955.	х = Сг соз і + С2 зіп і + З/3 — і — 1, у = Сг зіп і — С2 соз ґ + /а + 2.
966. 900х = (Сх + Са + С2/) е“4' + Зве' + І75е2Г.
900і/ = (Сх 4- С2/) є-4' + !44е' - 25е2'.
957.	х = С/ + С2, у^ІСуі + С^е*-і— 1 -С2, г = у — С^е*.
958.	х = С2е2' + С3е’\ у =	+ С^, г =	+ С2е2/ 4- С3езі.
959.	х =	+ С2еі( + С3е«, у = Суе1 - 20^* +
+ С3е^(, г — —	— ЗС2е21 + ЗС3е6(.
960.	х = Схеґ + С2 зіп і + С3 соз і, у— і — Сге( 4- С2 соз і — С3 зіп І, г= 1 + С2 зіп і 4- С3 соз і.
961.	« - 2С,/-’ + С,Г* +	+ -І '
І
962.	х = Сгі—2 + — > у = С2еґ — х.
963.	х = Сгі + С2/ + С3Г-1, у = Сгі — С2/2 + 2С3Г-1, г = 2СХ/ + ЗС42 + Сд/-1.
964.	х = (Сі соз з + С2 зіп з) Г,
у = (— Сг зіп з + С2 соз з) Т7, де з = £ ір (/) сії, Р —	.
965.	уг = — 3 зіп і ~ 2 соз і + 6/ + 3, у2 = 2 зіп і — Зі.
966.	уг = — 6е~4' — е-7і + 7? + у2 = — Зе“4ґ + е~7і + 6і + 2е^1.
970. у = Сгх3 2 = С2х. 971. у = С^, г = С2 (х + у)-
972.	Іп г — агсі£ = Сь г = С2г, г2 = х2 + У2-
973.	х + у + г = Сь х2 + у2 + г2 = С2.
974.	2 = С1У, (х2 + у2)у = С2х2.
975.	х -*|~ 2 = Су (х у ~Ь 2) (у — Зх — 2) = С2.
976.	у = СіХ, г 4- /х2 4- г/2 4- г2 = С2.
977.	х-у = СХ1 г - і(х - у 4- 1) = С2, у - Іп (г - І) ~ С3.
978.	Xі 4- У2 + г2 = С1У, г = С^.
979.	г — х = С1(у — х), (х — у)2 (х + у + г) — С2.
980.	х2 + у2 = Су (х + у)(х + у + 2) = С2,
981.	х2 4- у2 + г3 = Сь у2 — С2х,
982.	х = Сгу, ху — 2 Уг2 + 1 — С2,
983.	у = Сх23 х — у2 — 22=- С2г.
984.	х + г — у = С13 і/1пх+г = С2у.
151
985.	1) х =	+ С2. ау = (С2 - С?) (/ + С4);
2) х =------‘— + 2СІ+ 126а, ау ~ С (і + 4С)а.
98в. х = С2і + ( (Сі, С^, у = Са/ + <? (Сь С&
987.	х = С1Є< + С#-1 -	, Vі = С1Єі - С2е~1 -	•
988.	у2 + ах Іп х = Схх, х2 (а + Сх — а Іп х) = 2 (/ + С^.
989.	у» — Xі = Сів~ , Xі — 2Сі У 4х = 2 (і + С^.
990.	ху = Сь (х + у) (х + у + г) = С2.
992.	у = е* (Сх соз / + С2 зіп 0 +	(С3 со5 зіп 0,
г = е* (Сх зіп і — С2 соз 0 +	(С4 соз і — С3 зіп і).
993.	х = е1 (ЬС^і + 4С2 + ЗСХ), у = — є"* (5СХ/ + 5С2 + 4СХ).
994.	г = Сх соз І + С2 зіп і, х + Зу — Зг = С3і + С4,
х — у + г = Сб соз 2і + Св зіп 2і.
995.	іх = Сх соз і + С2 зіп /, і2у — С3 + (Сх/ + 2С2) соз і + (С2і — 2СХ) зіп і.
996.	х = Сх + С2і + С3е“ґ + /, у2 = Сх + і.
997.	х + у = Сіі + С2, х = С3еУ^ + СіЄ-^1 + і +	
998.	у = — 23 — 2 (С\ + С3 + С^ е1 — 2 (Са — С4 - С4/) є""', г = 18 + (Сг + С3) е1 + (С3 + Сіі) е-1.
999.	8у = е< + (8 — 2Сг + ЗС2 — 2С2і) є"*, 8г = (Зі + С3) е* + (С2 + ГаО е~1.
1000.	х = Сів1 + С^-1 + 7С3 соз 3/ + 7С4 «іп Зі + -у- і, 4	4
у = — С-^ — С2е“г + ЗС3 соз Зі + ЗС4 зіп Зі---------і.
1003.	г = ^Ш,ха + #- = ^-. \ х /	1 с2 Ь2
1004.	г = Р (х2 + у2), х2 + у2 = 2рг.
1005.	г = зіп у + Р (зіп х — зіп у).
1006.	г = етх соз (ру + а) + Р (у + ах),
1007.	Ф (х — аг, у — Ьг) = 0.
1008.	х = Р	, гах = 2а (ха + у2).
1009.	г « ху + Р (х2 — у2).	1010. г ~ ур (х2 — у2).
1011.	гу = (хг + у2) Р (у) + ху. 1012. г = ху + Р (х2 + у2).
1013. га = 2х + Р ЦЧ.	1014. г = х + у + Р (ху).
152
1015. г = а зіп + Г ] •
1017. г = хр (ху), г = х2у.
1019. Ф (х~а , у~-. = 0. \г — с г — с /
1016. г2 = ур (-уІ — х2 — у2.
1018. г = еаур (х — у).
1020.	ах + Ьу + сг = Р (х2 + У2 + г3).
1021.	4?* = 5х2у2 + Р •
1 .
1022.	и = е~ х Р Ц--------------
\ У	х
1	1
г	х /
1023.	г = /х2 + у2 + г2 + х2Р (-^0 .
1024.	х+у=гР	1025. г = уР (£ + у).
1026. Іп г = -і- + Р (х2 + у2).
1027 ф|-£- (ХІЧ * г2)2 I ° 0, х (х2 + У2 + г2) = 2а (х2 + У2)-І У х і у ]
1028.	г =	+ р(ху1. .
Зу ху
1029.	г = /х2 + у2 • Р (агсій -у- + Іп /х2 + у2^ .
1030.	Ф |(х — а) угх + у г + и, (у — «)у^х+г/4-г + «, (г — и) V х + у + г + и} =. 0.
1031.	е2 = хР (ху)\ 2хуг — х2 = 2,
1032.	г = зіп у • Р (у — зіп х).
1033.	и2 = х2 Іп х + х2Р (-Х-,	.
1034.	г = (х2 — у2) Р (ху).
Ю35 Ф ( г+1 , ^2 + У2 + г2 + 2г-2(г+1)1пу\ = \ У	У	/
1036. г = Р [ У г) 1. г2 = ху.
І У+* 1
ЗМІСТ
Передмова до другого видання..................................... З
Розділ і. Вступ ................................................. 5
§ І.	Основні поняття. Утворення диференціальних рівнянь ....	5
§ 2.	Поле напрямів. Інтегральні криві............................ 8
Розділ II. Диференціальні рівняння першого порядку............. II
§ 3.	Рівняння з відокремлюваними змінними....................... II
§ 4.	Однорідні рівняння та звідні до них........................ 17
§ 5.	Лінійні рівняння та ті, що до них зводяться................ 23
§ 6.	Рівняння Якобі............................................. ЗО
§ 7.	Рівняння в повних диференціалах............................ 34
§ 8.	Інтегрувальний множник................................... 36
§ 9.	Рівняння Ейлера — РІккатІ................................ 41
§ 10.	Рівняння Ейлера........................................... 46
§11.	Рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідної 49
§ 12.	Особливі точки диференціального рівняння першого порядку 59
§ ІЗ.	Особливі розв’язки....................................... 61
§ 14.	Задачі на траєкторії та	евольвенти........................ 63
§ 15.	Подвійне перетворення	(Лежандрове	перетворення)........	67
Розділ Пі. Диференціальні рівняння вищих порядків .............. 7С
§ 16.	Інтегровні типи .......................................... 70
§ 17.	Рівняння, що дозволяють знизити їх	порядок................ 75
Розділ IV. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків . .	82
§ 18.	Лінійні рівняння із змінними коефіцієнтами............... 82
§ 19.	ЛІНІЙНІ рівняння з сталими коефіцієнтами................. 86
§ 20.	Рівняння, що зводяться до лінійних рівнянь зі сталими коефіцієнтами ....................................................... 93
§ 21.	Лінійні рівняння другого порядку......................... 95
Розділ V. Системи звичайних диференціальних рівнянь .... і 03
§ 22.	Лінійні системи...........................................103
§ 23.	Нелінійні системи ........................................109
Розділ VI. Диференціальні рівняння з частинними похідними 115
§ 24.	Лінійні рівняння.........................................115
Додаток. АсимтотичнІ формули для розв’язків лінійних диферен-
ціальних рівнянь другого порядку зі змінними коефіцієнтами .... 121
Відповіді ......................................................124
Гудименко Федор Исидорович, Павлюк Йван Адамович, Волкова Валентина Александровна
Сборник задач по дифференциальннм уравнениям
(на украинском язьіке)
Издательство «Вища школа» *
Редактори Н. Д. Мацько, Н. М. Кириленко Літредактор Н. І. Свєчнікова	•
Обкладинка художника М. Я. Брязкуна Художній редактор А. І. Клименко
Технічні редактори /. /. Каткова, Л. А» Стражник
Коректор М. С, Блажкевич
Здано до набору 7/ХІІ 1971 р. Підписано до друку 11.IV. 1972 р. Формат паперу 84хЮ81/з«- Папір друк. №2. Фіз.-друк. арк. 4,875-Умови, арк. 8,19. Обл.-видави. арк. 8,58. Тираж 4000.
Видави. № 537. БФ 06861. Ціна 44 коп. Зам. № 1—2414.
Видавництво «Вища школа»
Київ-54, вул. Гоголівська, 7
ЗТПНЛ — 1972, поз. ЗО.
Київський поліграфічний комбінат Комітету по пресі при Раді Міністрів УРСР, вул. Довженка, 3.