М. И. Зайкин
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ТРЕНИНГ
Развиваем комбинационные
способности
Москва
«Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС»
1996
ББК 22
3-17
Рецензенты: профессор, доктор педагогических наук
Г. И,Саранцев; учитель математики высшей категории
Л. М. Фильченкова
Зайкин М. И.
3-17 Математический тренинг* Развиваем комбинационные спо-
собности: Книга для учащихся 4 — 7 классов общеобразо-
вательных учреждений. М.: Гуманит изд. центр ВЛА-
ДОС, 1996. -176 с.: 324 илл. - ISBN 5-87065-060-7
Книга содержит 375 задач, предназначенных для
развития комбинационных способностей учащихся среднего
школьного возраста. Подбор задач выдержан в традициях
лучших отечественных пособий по занимательной матема-
тике.
Адресуется учащимся 4 — 7 классов в качестве пособия
для самостоятельного тренинга комбинационных способ-
ностей. Может быть использовано учителями при про-
ведении занятий математического кружка, развивающих
практикумов, факультативов.
ББК 22
3 430602000 - 45 Без объявл © Зайкщ, м. И., 1995
14К(03) — 95	г	л
(0 «Гуманитарный
издательский
ISBN 5-87065-060-7	центр ВЛАДОСь, 1996
ОБРАЩЕНИЕ К ЧИТАТЕЛЮ
Дорогой друг! Эта книжка содержит задачи на тренировку
твоих умственных способностей. Острота ума, быстрота ориен-
тировки, выбор рациональных вариантов достижения цели
ценнейшие человеческие качества, которые можно развивать
также, как умение быстро бегать, хорошо играть в теннис, метко
стрелять по мишеням. Но для этого необходимо тренироваться.
Если спортсмену надо выполнять физические упражнения,
танцору — много танцевать, музыканту — играть на музыкальных
инструментах, то для развития умственных способностей нуж-
ны упражнения другого сорта. Пищу для ума дают математичес-
кие задачи: не случайно, что саму математику называют иногда
гимнастикой ума.
Где бы ты ни работал в дальнейшем, чем бы ни занимался,
тебе всюду пригодятся комбинационные умения. Расставлять,
располагать, размещать числа или предметы, разрезать, разде-
лять на части фигуры или тела, разменивать купюры или моне-
ты, составлять узоры или паркеты, соединять части в одно
целое, перекладывать или перекраивать вещи, переливать жид-
кости, перемещать, передвигать что-либо, перебирать возмож-
ные варианты — всему этому можно научиться, выполняя мате-
матические упражнения. Но необходимо запастись терпением,
проявлять настойчивость и, по возможности, решать задачи
самостоятельно, не заглядывая в ответы.
Задачи, развивающие комбинационные способности, разби-
ты на 15 разделов. Такое деление условно, а потому порядок
работы с разделами особого значения не имеет. Вну! ри каждого
раздела задачи сгруппированы по ситуациям или темам и рас-
положены по нарастанию сложности. Задачи повышенной
трудности отмечены галочками. Ббльшая часть приведенных
задач взята из многочисленных книг по занимательной матема-
тике, а остальные придуманы автором. Ответы и решения даны
в конце каждого из разделов. (Приведенные решения могут
оказаться не самыми лучшими.) Желаю успехов.
М. Зайкин
1. РАССТАВЛЕНИЕ
1.	В шести кружках, располо-
женных в форме равносторон-
него треугольника (рис. 1),
расставьте числа 31, 32 ,33,
34, 35, 36 так, чтобы сумма
чисел на всех сторонах тре-
угольника была одинаковой и
равнялась 100.
2.	В девяти кружках, располо-
женных в форме равносторон-
неготреугольника(рис.2), рас-
ставьте числа от 11 до 19 так,
чтобы сумма чисел на всех сто-
ронах треугольника была оди-
наковой и равнялась 60.
Расставьте эти числа по-
другомутак,чтобы рассматри-
ваемая сумма равнялась 57.
Рис. '2
6
РАССТАВЛЕНИЕ
3.	В девяти квадратах, изо-
браженных на рис. 3, рас-
ставьте числа от 6 до 14 так,
чтобы сумма чисел в трех
квадратах, соединенных отрез-
ками прямой, была бы одина-
ковой.
4.	Расставьте числа от 11 до
17 включительно так, чтобы
сумма чисел по каждой из двух
окружностей (рис. 4) и по каж-
дому из обозначенных радиу-
сов была одинаковой и равня-
лась 42.
5.	Расставьте числа от 11 до
22 включительно в кружках фи-
гуры, изображенной на рис. 5,
так, чтобы каждая четверка
чисел, лежащая вдоль сторон
фигуры, давала в сумме чис-
ло 66.
Рис. 5
РАССТАВЛЕНИЕ
7
6.	Расставьте числа от 1 до 16
включительно в кружки фигуры
(рис. 6) так, чтобы сумма чи-
сел по каждой стороне каждо-
го квадрата была одинаковой и
равнялась 34.
7.	Расставьте недостающие
числа от 1 до 21 в кружки фигу-
ры, изображенной на рис. 7,
так, чтобы сумма чисел каждой
из трех окружностей была оди-
наковой и равнялась 60.
8.	Расставьте числа от 11 до
22 включительно в каждую из
фигурок, изображенных на
рис. 8, так, чтобы сумма чисел,
расположенных во всех круж-
ках, во всех треугольниках и во
всех квадратах была одинако-
вой и равнялась 66.
8
РАССТАВЛЕНИЕ
Z 9. Расставьте числа 1,2,3,
4,5,6,7 и 8 в вершинах прямо-
угольного параллелепипеда
(рис. 9) так, чтобы сумма четы-
рех чисел, расположенных на
каждой из шести граней парал-
лелепипеда, была одинаковой.
10. Расставьте в пустых клетках (рис. 10) числа так, чтобы
сумма чисел, стоящих в любых трех соседних клетках, была
одинаковой и равнялась 21.
8								6				
Рис. 10
Z 11. Задача А. Эйнштейна. В
девяти кружках (рис. 11), об-
разующих вершины четырех
малых и трех больших равно-
бедренных треугольников, рас-
ставьте числа от 1 до 9 так,
чтобы суммы чисел, стоящих в
вершинах каждого из семи тре-
угольников, были равны.
Рис. 11
РАССТАВЛЕНИЕ
9
12.	Расставьте скобки в запи-
си (рис. 12) так, чтобы значе-
ние полученного числового вы-
ражения равнялось 23; 75.
13.	Расставьте числа в пустых
клетках (рис. 13) так, чтобы
получились верные равенст-
ва.
14.	В каждой из девяти клеток
квадрата, изображенного на
рис. 14, поставьте одно из чи-
сел 1,2, и 3 так, чтобы сумма
чисел в каждом вертикальном
ряду, в каждом горизонтальном
ряду и в каждой из двух диаго-
налей квадрата равнялась 6.
15.	В квадрате, состоящем из
девяти клеток (см. рис. 14),
расставьте числа от 1 до 9
включительно так, чтобы сум-
мы чисел, стоящих в каждом
вертикальном ряду, в каждом
горизонтальном ряду и на обе-
их диагоналях квадрата, были
равны.
		
		
		
Рис. 14
16.	Расставьте числа квадра-
та, изображенного на рис. 15,
так, чтобы произведения чи-
сел, стоящих в каждой строке,
в каждом столбце и на каждой
диагонали были равны.
Рис. 15
10
РАССТАВЛЕНИЕ
1	2	3
4	6	9
12	18	36
Рис. 16
1	а	b
ab	а2	ь2
а2Ь	ab2	ab2
Рис. 17
Рис. 18
17.	Расставьте числа 1,2,3,4,
6, 9, 12, 18 и 36 в клетках
квадрата, изображенного на
рис. 16, таким образом, чтобы
произведения чисел, стоящих
в каждом столбце, в каждой
строке и на каждой диагонали
квадрата были одинаковыми и
равнялись 216.
18.	Расставьте одночлены 1.
a, b, ab, а1, Ь2, а2Ь, ab2 и а2Ь2
в клетках квадрата, изображен-
ного на рис. 17, таким образом,
чтобы произведения одночле-
нов, стоящих в каждой строке,
в каждом столбце и на каждой
диагонали, были одинаковыми
и равнялись а3Ь3
19.	Расставьте числа 1,2,3,4,
5, 6, 7, 8 и 9 в маленьких тре-
угольниках (рис. 18) так, что-
бы суммы чисел в треугольни-
ках, состоящих из четырех ма-
леньких треугольничков, были
одинаковыми и равнялись 20.
РАССТАВЛЕНИЕ
11
✓ 20. Расставьте числа 1, 2,
3. 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 и 12 в
маленьких треугольничках звез-
ды (рис. 19) так, чтобы каждый
из двух больших треугольни-
ков, составляющих звезду, об-
ладал свойством, описанным
в задаче 19.
21.	Расставьте числа 2,3,4,5,
6, 7 и 8 в треугольничках и в
центре звезды (рис. 20) так,
чтобы сумма чисел, находя-
щихся в противоположных
треугольничках и в центре звез-
ды, равнялась 15.
22.	В квадрате, состоящем из
16 клеток (рис. 21), расставьте
недостающие числа от 1 до 16
так, чтобы суммы чисел каж-
дой строки, каждого столбца и
каждой диагонали были одина-
ковыми и равнялись 34.
3	2		
		1	4
	11		
	5	12	9
Рис. 21
12
РАССТАВЛЕНИЕ
			
			
			
			
Рис. 22
Рис. 23
23.	В квадрате, состоящем из
16 клеток (рис. 22), расставьте
четыре буквы а так, чтобы в
каждой строке, в каждом стол-
бце и на каждой диагонали ока-
залось ровно по одной букве.
24.	В квадрате, состоящем из
16 клеток (см. рис. 22), рас-
ставьте четыре буквы а,четыре
буквы Ь, четыре буквы с и че-
тыре буквы к так, чтобы в каж-
дой строке и в каждом столбце
любая из этих букв встреча-
лась ровно 1 раз.
У 25. В квадрате, состоящем
из 25 клеток (рис. 23), рас-
ставьте недостающие числа
от 1 до 25 так, чтобы в каждой
строке, в каждом столбце и на
каждой диагонали получились
одинаковые суммы.
РАССТАВЛЕНИЕ
13
Ответы и решения задач (разд. 1)
14
РАССТАВЛЕНИЕ
(7 9 + 12) 3 2 = 23;
(7 9 + 12) (3 2) = 75
5 7 15 = 20;
8 + 7=3 5;
2 = 16:4-2
РАССТАВЛЕНИЕ
15
16
РАССТАВЛЕНИЕ
24.
25.
а	Ъ	с	к
b	с	к	а
с	к	а	b
к	а	b	с
11	24	7	20	3
4	12	25	8	16
17	5	13	21	9
10	18	1	14	22
23	6	19	2	15
2. РАСПОЛОЖЕНИЕ
26.	Расположите три одинако-
вых квадрата (рис. 24) таким
образом, чтобы получилось
семь квадратов.
27.	Расположите два равных
равнобедренных прямоуголь-
ных треугольника (рис. 25) та-
ким образом, чтобы образова-
лись четыре равнобедренных
прямоугольных треугольника и
квадрат.
Рис. 24
Рис. 25
1 8
РАСПОЛОЖЕНИЕ
Рис. 26
28.	Расположите два равных
равносторонних треугольника
(рис. 26) так, чтобы образова-
лись шесть равносторонних
треугольников и шестиуголь-
ник.
29.	Расположите две равные
трапеции (рис. 27)таким обра-
зом, чтобы образовались че-
тыре трапеции и квадрат.
Рис. 27
Рис. 28
30.	Расположите три прямые
(рис. 28)таким образом, чтобы
образовались шесть острых и
шесть тупых углов.
РАСПОЛОЖЕНИЕ
1 9
31.	Расположите четыре пря-
мые (рис. 29) таким образом,
чтобы образовались 16 прямых
углов.
32.	Расположите два острых
угла (рис. 30) таким образом,
чтобы образовались четыре ту-
пых угла.
Рис. 30
33.	Расположите два тупых
угла (рис. 31) таким образом,
чтобы образовались два ост-
рых угла и один прямой.
Рис. 31
20
РАСПОЛОЖЕНИЕ
оооо
ООО
Рис. 32
ДАДДА
ДАДД
Рис. 33
34.	Расположите семь окруж-
ностей (рис. 32) таким обра-
зом, чтобы образовались
12 восьмерок.
35.	Расположите девять треу-
гольников (рис. 33).таким об-
разом, чтобы получилось три
ряда по четыре фигуры.
Рис. 34
36.	Расположите четыре
кружка и четыре квадратика
(рис. 34) в четыре ряда так,
чтобы в каждом ряду кружков
было в 2 раза меньше, чем
квадратиков.
АДДАД
ООО
Рис. 35
©©©©©
©@©@
Рис. 36
©©©©
•••••
Рис. 37
37.	Расположите пять треуго-
льников и три кружка (рис. 35)
в четыре ряда таким образом,
чтобы в каждом ряду было две
фигуры одного вида и одна
фигура другого вида.
38.	Расположите девять ша-
шек (рис. 36) в восемь рядов,
по три шашки в каждом ряду.
39.	Расположите четыре бе-
лые шашки и пять черных ша-
шек (рис. 37) в восемь рядов
таким образом, чтобы в каж-
дом ряду было две шашки
одного вида и одна шашка
другого вида.
РАСПОЛОЖЕНИЕ
2 1
40.	Расположите 12 черных и 12 белых шашек по окружности
так, чтобы при отсчитывании, начиная с некоторой шашки, и
выбрасывании каждой седьмой шашки выброшенными оказа-
лись все белые шашки, а черные остались на прежних местах.
41.	Расположите кружки ^вер-
тикальной штриховкой, изобра-
женные на рис. 30, в шесть
рядов по три кружка в каждом
ряду.
42.	Расположите три кружка с
вертикальной штриховкой и
шесть кружков с горизонталь-
ной штриховкой (рис. 39) та-
ким образом, чтобы получилось
.три ряда по четыре кружка,
причем в каждом ряду число
кружков одного вида должно
быть равно числу кружков
другого вида.
43.	Расположите два кружка
с вертикальной штриховкой,
два кружка с горизонтальной
штриховкой и два кружка с сет-
чатой штриховкой (рис. 40) в
три ряда таким образом, что-
бы в каждом ряду было по
одному кружку каждого вида.
44.	Расположите семь пуговиц
с двумя дырками (рис. 41) в
шесть рядов таким образом,
чтобы число дырок в каждом
ряду пуговиц равнялось 6.
Рис. 38
Рис. 39
Рис. 40
Рис. 41
22
РАСПОЛОЖЕНИЕ
®@®®®
®®®@®
Рис. 42
45. Расположите 10 пуговице
четырьмя дырками (рис. 42) в
пять рядов таким образом, что-
бы число дырок в пуговицах
каждого ряда было одинако-
вым и равнялось 16.
®@®®®
Рис. 43
46. Расположите пять пуго-
виц с двумя дырками и пять
пуговиц с четырьмя дырками
(рис. 43) в пять рядов таким
образом, чтобы число дырок в
пуговицах каждого ряда было
одинаковым и равнялось 10.
47. Расположите пять пуговиц с двумя дырками и пять пуговиц
с четырьмя дырками (см. рис. 43) в пять рядов таким образом,
чтобы число дырок в пуговицах каждого ряда было одинаковым
и равнялось 8.
Рис. 44
Рис. 45
48. Расположите кости китай-
ского домино (рис. 44) таким
образом, чтобы образовался
магический квадрат.
Z 49. Расположите восемь
костей домино, изображен-
ных на рис. 45, таким обра-
зом, чтобы образовался ма-
гический квадрат.
РАСПОЛОЖЕНИЕ
23
Z 50. На дорожках одного лондонского парка, план которого
представлен на рис.46, были расставлены шесть полицейских
таким образом, чтобы они могли держать под наблюдением все
дорожки парка. Наблюдательный пункт одного из них расположен
на перекрестке 34. Укажите расположение других полицейских.
Рис. 46
24
РАСПОЛОЖЕНИЕ
РАСПОЛОЖЕНИЕ
25
32.
36.
26
РАСПОЛОЖЕНИЕ
38.
40.
Шашки нужно распо-
ложить в такой после-
довательности Ч-Ч-Ч-
Б-Б-Ч-Б-Ч-Б-Б-Ч-Б-Ч-Б-
Б-Ч-Ч-Ч-Ч-Б-Б-Б-Ч-Б
РАСПОЛОЖЕНИЕ
27
48.
SO.	Наблюдательные посты полицейских нужно расположить
на перекрестках: 3, 12, 14, 23, 25, 34.

3. РАЗМЕЩЕНИЕ
51.	Разместите пять одинако-
вых шариков в коробке стремя
ячейками (рис. 47)таким обра-
зом, чтобы ни одна ячейка не
осталась пустой. Укажите все
различные варианты размеще-
ния шариков.
52.	Разместите девять шари-
ков в коробке с тремя ячейка-
ми (рис. 48) таким образом,
чтобы в каждой ячейке оказа-
лось нечетное число шариков.
Укажите все различные вариан-
ты размещения шариков.
53.	Разместите четыре кружка
на шести отрезках (рис. 49)
так, чтобы на каждом отрезке
было по два кружка.
Рис. 49
30
РАЗМЕЩЕНИЕ
54.	Разместите десять круж-
ков на пяти отрезках (рис. 50)
так, чтобы на каждом отрезке
было по три кружка.
Рис. 50
Рис. 51
55.	Разместите в клетках пос-
леднего квадрата (рис. 51)
кружки с такой штриховкой,
чтобы сохранялась закономер-
ность их чередования во всех
четырех квадратах.
Рис. 52
56.	Разместите фигуры в
клетках квадрата (рис. 52)
таким образом, чтобы фи-
гуры, расположенные в со-
седних клетках (в строках и
столбцах), отличались друг
от друга формой и штрихов-
кой.
РАЗМЕЩЕНИЕ
31
57. Разместите два треуголь-
ника, два квадрата, два кружка
и две звездочки в четырех
клетках (рис. 53) так, чтобы в
каждой клетке было по две
разных фигуры и не было по-
вторений фигур.
□ □АДО
			
Рис. 53
58. Разместите три квадрати-
ка, три треугольника, три кру-
жка и три звездочки в четы-
рех клетках (рис. 54) таким
образом, чтобы в каждой клет-
ке было по три различных
фигуры.
□ АО*
□ □ДАО О**
			
Рис. 54
59.	Разместите 12 фигур в ше-
сти клетках (рис. 55) так, что-
бы в каждой клетке было по
две фигуры, различающихся по
форме, размерам и штриховке.
60.	Разместите восемь козлят
и девять гусей в пяти хлевах
(рис. 56) так, чтобы в каждом
хлеве были и козлята и гуси, а
число их ног равнялось 10.
61.	Разместите восемь кроли-
ков и девять голубей в пяти
клетках так, чтобы в каждой
клетке были и кролики и голу-
би, а число ног и голов рав-
нялось либо 13, либо 14
(рис. 57).
62.	Разместите 15 белых и
15 серых кроликов в шести
клетках (рис. 58) так, чтобы во
всех клетках кроликов было
поровну, но численность их
по масти была неодинаковой.
					
Рис. 58
32
РАЗМЕЩЕНИЕ
63.	Разместите 20 белых и 20 сизых голубей, не смешивая
масти, в семи клетках (рис. 59) так, чтобы число белых голубей
в каждой клетке было нечетным, а число сизых — четным и не
было двух клеток с одинаковым числом птиц.
						
Рис. 59
64.	Разместите 45 кроликов в девяти клетках (рис. 60) так,
чтобы во всех клетках было разное число кроликов.
								
Рис. 60
65.	Разместите семь полных бочек,и семь бочек, наполненных
наполовину, и семь пустых бочек на трех грузовиках, чтобы на
каждом грузовике было по семь бочек, а на всех грузовиках был
одинаковый по массе груз.
ООО Рис. 61 §	§	66. Разместите три кружка у сторон прямоугольника (рис. 61) так, чтобы у каждой стороны было по одному кру- жку. 67. Разместите семь кружков у сторон квадрата (рис. 62) так, чтобы у каждой стороны кружков было поровну.
Рис. 62
РАЗМЕЩЕНИЕ
33
68.	Разместите 10 кресел в
квадратной комнате, план ко-
торой изображен на рис. 63,
так, чтобы у каждой стены сто-
яло одинаковое количество
кресел.
69.	Вдоль стен квадратного
бастиона были выставлены ча-
совые по схеме, изображенной
на рис. 64. Разместите часо-
вых так, чтобы вдоль каждой
стены их было по шесть.
70.	В квадратном холле, план
которого изображен на рис. 65,
было восемь журналистских
комнат, расположенных вдоль
стен. Разместите в них 21 жур-
налиста так, чтобы вдоль каж-
дой стены оказалось по девять
человек.

Рис. 63
Рис. 64
Рис. 65
34
РАЗМЕЩЕНИЕ
71.	Разместите 10 шашек в
клетках квадрата (рис. 66) так,
чтобы в каждом горизонталь-
ном и в каждом вертикальном
ряду было по четному числу
шашек.
72.	В каждом из четырех полков выбрано по четыре офицера
разных званий (полковник, майор, капитан, лейтенант).
Разместите этих 16 офицеров в квадрате из 16 клеток так,
чтобы в каждом горизонтальном и каждом вертикальном ряду
был офицер каждого звания и представитель каждого полка.
МФО
Рис. 67
73.	Разместите восемь шашек
в незаштрихованных клетках
игральной доски (рис. 67) так,
чтобы в каждом ряду и каждом
столбце оказалось по одной
шашке.
74.	Наигральной доске разме-
ром 5X5 клеток (рис. 68) раз-
местите четыре суперкороле-
вы таким образом, чтобы ни
одна из них не могла атаковать
другую. (Суперкоролева — это
шахматный ферзь, который
может ходить еще и как конь.)
РАЗМЕЩЕНИЕ	35
75.	На игральной доске размером 10X10 разместите 10 супер-
королев таким образом, чтобы ни одна из них не имела возмож-
ности напасть на любую другую суперкоролеву.
36
РАЗМЕЩЕНИЕ
Ответы и решения задач (разд. 3)
51. (1, 2,	2);	(2, 1,	2);	(2, 2,	1);	(3, 1,	1);	(1,	3,	1);	(1,	1,	3).
52. (1, 1,	7);	(1, 7,	1);	(7, 1,	1);	(1, 3,	5);	(3,	1,	5);	(3,	5,	1);
(1, 5, 3);	(5,	1, 3);	(5,	3, 1);	(3,	3. 3).
59.
«0.
1к. Зг.	1к. Зг.	2к. 1г.	2к. 1г.	2к. 1г.
1к. Зг.	1к. Зг.	2к. 1г.	2к. 1г.	2к. 1г.
РАЗМЕЩЕНИЕ
37
61.
Белые кролики	0	1	2	3	4	5
Серые кролики	5	4	3	2	1	0
62.
1 1 3 1 5 1 11 белые 	1	1	1		2 | 8 | 10 серью
шг А		Л е	ф	(Щ)	епш
64.
1	2	3	4	5	6	7	8	9
65.
I грузовик: 3 полных бочки, 1 наполненная наполовину и
3 пустых.
II грузовик: 3 полных бочки, 1 наполненная наполовину и
3 пустых.
Ill грузовик: 1 полная бочка, 5 наполненных наполовину и
1 пустая.
38
РАЗМЕЩЕНИЕ
69.
72.
п,1	M.IV	К,II	Л,III
Л,II	К,III	М,1	n,IV
м,ш	пл	Л,IV	KJ
К,IV	Л,1	П,И1	M,ll
73.
РАЗМЕЩЕНИЕ
39

4. РАЗБИЕНИЕ
76.	Разбейте круг (рис. 69) тре-
мя отрезками на четыре, пять,
шесть и семь частей.
77.	Разбейте квадрат, изобра-
женный на рис. 70, на два рав-
ных шестиугольника.
Рис. 70
42
разбиение
78.	Разбейте квадрат, изобра-
женный на рис. 71, на два рав-
ных пятиугольника так, чтобы
каждый из них содержал по
одному светлому и по одному
темному кружку.
Рис. 72
79.	Разбейте фигуру, изобра-
женную на рис. 72, на шесть
частей, проведя два отрезка.
80.	Разбейте прямоугольник
(рис. 73) на две равные трапе-
ции.
Рис. 73
РАЗБИЖИЕ
43
81.	Разбейте равнобедренный
треугольник, изображенный на
рис. 74, на девять равнобед*
ренных треугольников.
82.	Разбейте равнобедренный
треугольник (рис. 75) на три
равных равнобедренных треу-
гольника так, чтобы каждый
из них содержал по одному
кружку.
83.	Разбейте прямоугольник
(рис. 76) на два равных деся-
тиугольника, состоящих из пол-
ных клеток.
84.	Разбейте фигуру, изобра-
женную на рис. 77, на четыре
равные части.
44
РАЗБИЕНИЕ
85.	Разбейте фигуру, изобра-
женную на рис. 78, на три рав-
ные части так, чтобы эти частй
оказались пронумерованными
цифрами 1,2, 3.
Рис. 79
86.	Разбейте фигуру, изобра-
женную на рис. 79, на четыре
равные части.
87.	Разбейте фигуру, изобра-
женную на рис. 80, на пять
равных частей.
Рис. 80
Z 88. Разбейте фигуру, изо-
браженную на рис. 81, начеты-
ре равные части так, чтобы эти
части оказались пронумерован-
ными цифрами 1, 2, 3, 4.
Рис. 81
РАЗБИВКЕ
45
Z 89. Разбейте фигуру, изо-
браженную на рис. 82, начеты-
ре равные части, подобные ис-
ходной фигуре.
Рис. 82
90. Разбейте квадрат (рис. 83)
на пять треугольников так, что-
бы площадь одного из этих тре-
угольников равнялась сумме
площадей остальных треуголь-
ников.
У 91. Разбейте треугольник,
изображенный на рис. 84, на
Три равновеликих треугольни-
ка.
Рис. 83
Рис. 84
46
РАЗБИЕНИЕ
92.	Разбейте заданный треу-
гольник (рис. 85) с помощью
зигзагообразной ломаной на
пять равновеликих частей.
93.	Разбейте фигуру, изобра-
женную на рис. 86, на четыре
равных четырехугольника.
94.	Разбейте циферблат
(рис. 87) с помощью одного
отрезка на две части так, что-
бы сумма чисел в каждой части
была одинаковой.
95.	Разбейте циферблат
(см. рис. 87) с помощью двух
отрезков на три части таким
образом, чтобы сумма чисел в
каждой из этих частей была
одной и той же.
Z 96. Разбейте пластину, изо-
браженную на рис. 88, нашесть
совершенно одинаковых пла-
стинок.
Рис. 88
развое
47
97.	Разбейте земельный учас-
ток, план которого изображен
на рис. 89, на четыре равные
части так, чтобы колодцы, от-
меченные черными кружками,
на каждом участке занимали
одно и то же положение.
98.	Разбейте правильный
шестиугольник, изображенный
на рис. 90, на 12 равных че-
тырехугольников.
99.	Разбейте фигуру, изобра-
женную на рис. 91, на 16 равных
фигур, подобных ей.
Z 100. Разбейте многоуголь-
ник, изображенный на рис. 92,
на четыре одинаковых много-
угольника.
Рис. 92
48
РАЗБИЕНИЕ
РАЗБИЕНИЕ
49

РАЗБИВ^
51-
91.
92.
95.
К)"^
1
2 '
9
3
АВ = ^АН, СК = ^СН.
8
4
7
6
5
52
РАЗБИЕНИЕ
97.	98.
99.	100.
5. РАЗДЕЛЕНИЕ
101.	Разделите яблоки, изо-
браженные на рис. 93, между
шестью мальчиками поровну,
но так, чтобы ни одно яблоко
не оказалось разрезанным
больше, чем на три части
102.	Разделите апельсины
(рис. 94) поровну между
12 мальчиками, но так, чтобы
ни один апельсин не оказался
разрезанным больше, чем на
четыре части.
Рис. 94
54
РАЗДЕЛЕНИЕ
Рис. 96
103.	Разделите бумагу
(рис. 95) между шестью учени-
ками поровну, но так, чтобы
ни один лист не оказался
разрезанным больше, чем на
три части.
104.	Разделите блины
(рис. 96) между двенадцатью
едоками поровну, но так, что-
бы ни один блин не оказался
разрезанным больше, чем на
четыре части.
••••
••••
••••
Рис. 97
105.	Разделите пряники
(рис. 97) между 10 малышами
поровну, но так,чтобы ни один
пряник не оказался разрезан-
ным больше,чем на пять час-
тей.
РАЗДЕЛЕНИЕ
55
106.	Разделите груши
(рис. 98), не разрезая их, меж-
ду тремя приятелями так, что-
бы никто из них не получил
больше, чем остальные.
Рис. 98
107.	Разделите орехи
(рис. 99), не разбивая их, меж-
ду четырьмя приятелями так,
чтобы никто из них не получил
больше, чем остальные.
Рис. 99
108.	Разделите шоколадные
медальки, (рис. 100), не разла-
мывая их, между тремя друзь-
ями так, чтобы каждый из них
получил половинутого, что по-
лучили остальные.
Рис. 100
56
РАЗДЕЛЕНИЕ
109.	Разделите конфеты
(рис. 101), не разламывая их,
между четырьмя подругами
так, чтобы каждая из них полу-
чила третью частьтого,что по-
лучили остальные.
Рис. 101
Рис. 102
110.	Разделите финики
(рис. 102), не разламывая их,
между тремя сестрами так,
чтобы младшей сестре доста-
лась половина того, что доста-
лось средней сестре, а средней
— половина фиников старшей
сестры.
111.	Раздайте три розы, находящиеся в одной упаковке, трем
девочкам так, чтобы каждая из них получила по одному цветку и
чтобы одна роза осталась в упаковке.
Рис. 103
112.	Развесьте 900 кг карто-
феля в мешки двух видов
(рис. 103) так, чтобы масса
всех мешков одного вида
равнялась массе всех мешков
другого вида.
РАЗДЕЛЕНИЕ
57
113.	Рассыпьте 144 кг крупы в
пакеты трех видов (рис. 104)
так, чтобы масса всех малень-
ких пакетов, масса всех сред-
них пакетов и масса всех боль-
ших пакетов была одинаковой.
Рис. 104
114.	Разлейте 45 л молока по
банкам двух видов (рис. 105)
так, чтобы во всех банках мень-
шей емкости молока оказалось
в 2 раза больше, чем во всех
остальных банках.
Рис. 105
115.	Рассыпьте 10 мешков го-
роха массой по 50 кг каждый в
кули трех видов (рис. 106) так,
чтобы масса всех кулей како-
го-либо одного вида не пре-
восходила массы всех кулей
любого другого видаболее, чем
на массу одного мешка.
Рис. 106
58
РАЗДЕЛЕНИЕ
Рис. 107
Рис. 108
Рис. 109
116.	Расфасуйте один мешок
сахарного песка (рис. 107) в
пакеты по 4 и 5 кг так, чтобы
разница между массой всех
пакетов по 4 кг и массой всех
пакетов по 5 кг была мини-
мальной.
117.	Разделите сладкую плит-
ку, изображенную на рис. 108,
между тремя сестрами так,
чтобы ни одна из них не полу-
чила больше, чем остальные,
разломав плитку таким об-
разом, чтобы длина разломов
была наименьшей.
118.	Разделите шоколадку
(рис. 109) между четырьмя
подругами так, чтобы ни одна
из них не получила больше
половины того, что получили
остальные, разломав при этом
шоколадку вдоль и поперек та-
ким образом, чтобы общая дли-
на продольных разломов была
больше общей длины попе-
речных на единицу.
РАЗДЕЛЕНИЕ
59
119. Раздробите число, изо-
браженное на рис. 110, на
четыре неравные части так, что
если к первой части прибавить
2, от второй части отнять 2,
третью часть умножить на 2, а
четвертую часть разделить на
2, то все результаты будут оди-
наковыми.
Рис. 110
120. Раздробите число, изо-
браженное на рис. 111, на
четыре неравные части так, что
если к первой части прибавить
2, от второй части отнять 3,
третью часть умножить на 2, а
четвертую часть разделить на
3, то все результаты будут оди-
наковыми.
5Ег
Рис. 111
121. Раздробите число, изо-
браженное на рис. 112, на
четыре неравные части так, что
если к первой из них прибавить
3, от второй отнять 3,'третью
умножить на 3, а четвертую
разделить на 3, то все резуль-
таты будут одинаковыми.
40=
Рис. 112
122. Раздробите число 63 на четыре неравные части так, что
если к первой части прибавить 2, от второй части отнять 2,
третью часть умножить на 2, а четвертую часть разделить на 2,
то первый результат будет в 2 раза меньше второго, второй — в
2 раза меньше третьего, атретий — в 2 раза меньше четвертого.
60
РАЗДЕЛЕНИЕ
54-
123. Раздробите число, изо-
браженное на рис. 113, на
четыре неравные части так, что
Рис. 113	если к первой части прибавить
3, от второй части отнять 3,
третью часть умножить на 3, а четвертую часть поделить на 3, то
первый результат будет на 3 меньше второго, второй — на 3
меньше третьего, а третий — на 3 меньше четвертого.
124. Некто разделил яблоки так: старшему сыну он отдал
половину всех яблок и половину яблока, среднему сыну — •
половину остатка иеще половину яблока, младшему — половину
нового остатка и оставшуюся половину яблока. Определите,
сколько яблок был о до дележа и разделите их соответствующим
образом.
У 125. Некая вдова должна была разделить оставшееся после
смерти мужа наследство в размере 3500 динариев с еще не
родившимся ребенком. Подействовавшим в то время римским
законам, если родится сын, то мать получает половину
причитающейся ему доли, а в случае рождения дочери мать
получает вдвое больше нее. У вдовы родились близнецы — сын
и дочь. Как разделить наследство, чтобы все требования были
соблюдены?
РАЗДЕЛЕНИЕ	61
Ответы и решения задач (разд. 5)
101. Три яблока разрезаются пополам, а два других — на три
части. Каждому мальчику дается по половинке и по третьей
части:
1	1	5
— —— — —
2	3	6
102.	Четыре апельсина разрезаются каждый на три части, а три
других — на четыре части каждый.-Каждому мальчику выдается
по третьей и по четвертой части:
±+-L=^
3	4	12
103.	Три листа разрезаются пополам, и четыре листа разреза-
ются натри части каждый. Ученикам выдается по целому листу,
по половине и по две третьих части листа:
104.	Восемь блинов разрезаются на три части каждыми три
блина — на четыре части. Каждому выдается по две третьих
части и по одной четвертой части блина:
2 1 11
— 4----— —
3	4	12
105.	Пять пряников разрезаются пополам, и восемь пряников
разрезаются на пять частей каждый. Малышам выдается по
половинке и по четыре части пряника:
_L+_4_= 13
2	5	10
106.	Одному приятелю можно дать две груши, а двум другим —
по одной груше.
107.	Одному приятелю можно дать один орех, а трем другим —
по два ореха.
108.	Каждому из трех друзей можно дать по 29 шоколадок.
109.	Каждой из четырех подруг можно дать по пять конфет.
62
РАЗДЕЛЕНИЕ
110.	Младшей сестре нужно дать три финика, средней — шесть
фиников, а старшей — двенадцать.
111.	Двум девочкам нужно дать по одной розе, а третьей девочке
— розу в упаковке.
112.	Нужно наполнить 15 мешков картофеля по 30 кг и 9 мешков
по 50 кг.
113.	Нужно насыпать 24 пакета по 2 кг, 16 пакетов по 3 кг и
12 пакетов по 4 кг.
114.	Нужно налить 10 трехлитровых банок молока и
3 пятилитровые банки.
115.	Нужно насыпать 10 кулей по 15 кг, 8 кулей по 25 кг и 5 кулей
по 30 кг:
10 15 + 8 25 + 5 • 30 = 500 (кг); 10 • 50 = 500 (кг).
116.	Нужно насыпать 5 пакетов по 4 кг и 6 пакетов по 5 кг.
120.	8, 12. 5 и 30.
121.	6, 12. 3 и 27
122.	1,8, 6 и 48.
123.	3. 12. 4 и 45.
РАЗДЕЛЕНИЕ
63
124.	Всего яблок было семь. Старшему сыну нужно дать
четыре, среднему — два, а младшему — одно яблоко.
125.	Пусть доля сына — х, дочери — у, матери — к (динариев).
Тогдах + у + к = 3500, х = 2 к, у = к/2	х = 2000, у =
500, к= 1000. Следовательно, вдова должна получить 1000 ди-
нариев, сын — 2000, а дочь — 500 динариев.

6. РАЗМЕН
126.	Разменяйте денежную ку-
пюру (рис. 114)одиннадцатью
денежными знаками достоин-
ством 1, 3 и 5 деНов.
Рис. 114
127.	Можно ли разменять денежную купюру, изображенную на
рис. 114, десятью денежными знаками достоинством 1, 3 и 5
денов?
128.	Разменяйте денежную ку-
пюру (рис. 115) денежными зна-
ками достоинством 1,3 и 5 юпи
так, чтобы было задействова-
но всего 20 разменных знаков.
129.	Можно ли' разменять де-
нежную купюру, изображенную
на рис. 115, денежными знака-
ми достоинством 1,3 и 5 ЮПИ
так, чтобы общее число раз-
менных знаков равнялось 25?
Рис. 115
3. Зак. 1
66
РАЗМЕН
Рис. 116
130.	Разменяйте денежную
купюру, изображенную на
рис. 116, денежными знаками
достоинством 1, 3 и 5 чиров
так, чтобы число разменных
монет каждого вида было чет-
ным.
131.	Можно ли разменять денежную купюру, изображенную на
рис. 116, денежными знаками достоинством 1,3 и 5 чиров так,
чтобы число разменных монет каждого вида было нечетным?
Рис. 119
132.	Разменяйте 41 дукат мо-
нетами достоинством 3 и 5 ду-
катов (рис. 117). Укажите чис-
ло, начиная с которого, можно
уплатить этими монетами лю-
бое целое число дукатов без
сдачи.
133.	Разменяйте 49 бонов мо-
нетами 5 и 8 бонов (рис. 118).
Укажите число, начиная с ко-
торого, можно уплатить эти-
ми монетами любое целое
число бонов без сдачи.
134.	Разменяйте 120 солетов
монетами достоинством 8 и
13 солетов (рис. 119). Укажите
число, начиная с которого,
можно уплатить этими моне-
тами любое целое число со-
летов без сдачи.
РАЗМЕН
67
135.	Разменяйте 43 лара мо-
нетами достоинством 4 и'
7 ларов (рис. 120). Укажите
число, начиная с которого,
можно уплатить этими моне-
тами любое целое число ла-
ров без сдачи.
136.	Разменяйте 58 сули мо-
нетами достоинством 4 и 11
сули (рис. 121). Укажите чис-
ло, начиная скоторого, можно
уплатить этими монетами лю-
бое целое число сули без сда-
чи.
137.	Разменяйте денежную
сумму в 13 форинтов 40 фил-
леров десятью монетами до-
стоинством в 1, 2, 5, 10 фо-
ринтов и 10, 20, 50 филлеров
(рис. 122) так, чтобы число
монет в форинтах равнялось
числу монет в филлерах (1 фо-
ринт равен 100 филлерам).
Рис. 120
Рис. 121
1 3 форинтов
40 филлеров
Рис. 122
138.	Разменяйте 15 форинтов одиннадцатью монетами досто-
инством 1,2, 5, 10 форинтов и 10, 20, 50 филлеров так, чтобы
шесть монет были достоинством менее 1 форинта, монет
достоинством в 1 форинт было больше, чем монет в 5 форин-
тов, а монет достоинством в 2 форинта — не меньше, чем
монет достоинством в 10 форинтов.
68
РАЗМЕН
139.	Разменяйте денежную сумму в 25 тонов монетами досто-
инством 1,2,8 и 10 тонов (рис. 123) таким образом, чтобы число
разменных монет было наименьшим.
Рис. 123
140.	Можно ли разменять 25 тонов монетами достоинством в
1, 2, 8 и 10 тонов так, чтобы число разменных монет четного
достоинства было нечетным, а число монет нечетного достоин-
ства было четным?
49 =® Г*1+®-Г^
<риков \_/	_
Рис. 124
141. Разменяйте.49 туриков
монетами достоинством 3 и
5 туриков (рис. 124). Укажите
число способов, которыми
можно осуществить размен.
142.	Разменяйте денежную сумму в_30 танов монетами досто-
инством 1,2, 8 и 10 танов (рис. 125) так, чтобы каждая из монет
участвовала в размене не более чем 2 раза.
Рис. 125
143.	Разменяйте денежную сумму в 80 чепиков монетами
достоинством 1, 3, 8 и 10 чепиков (рис. 126) так, чтобы число
монет нечетного достоинства (каждого вида) было четным, а
число монет четного достоинства (каждого вида) было нечет-
ным.
80
чепиков
Рис. 126
РАЗМЕН
69
144.	Разменяйте денежную
купюру, изображенную на
рис. 127, монетами достоин-
ством в 1,5, 10, 20, 50 пфен-
нигов. Укажите число различ-
ных вариантов такого разме-
на.
Рис. 127
145.	Разменяйте денежную купюру, изображенную на рис. 127,
монетами достоинством 1,5, 10, 20, 50 пфеннигов так, чтобы
число монет нечетного достоинства (каждого вида) было чет-
ным, а число монет четного достоинства (каждого вида) было
нечетным.
146.	Разменяйте 62 рубля мо-
нетами достоинством 3 и 5 руб-
лей (рис. 128), имея в запасе
достаточное количество монет
меньшего достоинства и всего
две монеты большего достоин-
ства. Укажите число, начиная с
которого можно уплатить та-
ким набором монет любое це-
лое число рублей без сдачи.
Рис. 128
147.	Разменяйте денежную сумму в 4 марки пфенниговыми
монетами трех достоинств (рис. 129). Укажите число различных
вариантов такого размена.
Рис. 129
148.	Можно ли 2 марки разменять двадцатью монетами досто-
инством в 5, 20 и 50 пфеннигов?
70
РАЗМЕН
149.	Разменяйте денежную сумму в 35 слоунов денежными
знаками в 1,3, 8 и 10 слоунов (рис. 130) таким образом, чтобы
число разменных денежных знаков было наименьшим.
слоунов
®-0+®
к
Рис. 130
150.	В 1960 г. московский школьник ехал на математическую
олимпиаду в метро, уплатив рубль и получив сдачу. Возвращать-
ся ему пришлось на трамвае. Смог ли школьник уплатить за
проезд без сдачи? (До 1961 г. проезд в метро стоил 50 коп., в
трамвае — 30 коп., в обращении находились монеты достоинст-
вом в 1, 2, 3, 5, 10, 15 и 20 коп.)
РАЗМЕН
71
Ответы и решения задач (разд. 6)
126.	7 денежных знаков достоинством в 3 дена, 4 денежных
знака достоинством в 1 ден.
127.	Нельзя: сумма любых 10 денежных знаков достоинством в
1, 3 и 5 денов будет числом четным.
128.	10 денежных знаков достоинством в Зю пи, 9 денежных
знаков достоинством в 5 юпи и 25 денежных знаков достоинст-
вом в 1 ЮПИ.
129.	Нельзя: сумма любых 25 денежных знаков достоинством в
1,3 и 5 юпи будет числом нечетным.
130.	32 монеты по 5 чиров, 8 монет по 3 чира и 16 монет по
1 чиру.
131.	Нельзя: сумма нечетного числа монет достоинством в 1.
3 и 5 чиров будет числом нечетным.
132.	7 монет по 3 дуката и 4 монеты по 5 дукатов.
Начиная с 8 дукатов, можно уплатить любое целое число дукатов
без сдачи.
133.	5 монет достоинством в 5 бонов и 3 монеты достоинством
в 8 бонов.
Начиная с 28 бонов можно уплатить любое целое число бонов
без сдачи.
134.	2 монеты достоинством в 8 солетов и 8 мойет достоинст-
вом в 13 солетов.
Начиная с 60 солетов, можно уплатить любое целое число
солетов без сдачи..
135.	2 монеты достоинством в 4 лара и 5 монет достоинством
в 7 ларов.
Начиная с 14 ларов, можно.уплатить любое целое число ларов
без сдачи.
72
РАЗМЕН
136.	9 денежных знаков достоинством в 4 сули и 2 денежных
знака достоинством в 11 сули.
Начиная с 30 сули, можно уплатить любое целое число сули без
сдачи.
137.	1 монета достоинством в 5 форинтов, 3 монеты достоин-
ством в 2 форинта, 1 монета достоинством в 1 форинт, 2 монеты
достоинством в бО филлеров, 1 • монета достоинством в
20 филлеров и 2 монеты достоинством в 10 филлеров.
138.	2 монеты достоинством в 5 форинтов, 3 монеты достоин-
ством в 1 форинт. 3 монеты достоинством в 50 филлеров, 2
монеты достоинством в 20 филлеров и 1 монета достоинством
в 10 филлеров.
139.	3 монеты по 8 тонов и 1 монета в 1 тон.
140.	Нельзя (см. задачи 2, 4 и 6).
141.	13 монет достоинством в 3 турика и 2 монеты достоинством
в 5 туриков. Три различных способа размена.
142.	1 монета достоинством в 2 тана, 1 монета достоинством в
8 танов и 2 монеты достоинством в 10 танов.
143.	2 монеты достоинством в 1 чепик, 4 монеты достоинством
в 3 чепика, 7 монет достоинством в 8 чепиков и 1 монета
достоинством в 10 чепиков.
144.	343 различных способа размена.
145.	1 монетадостоинством в 50 пфеннигов, 1 монетадостоин-
ством в 20 пфеннигов, 1 монетадостоинством в 10 пфеннигов,
2 монеты достоинством в 5 пфеннигов и 10 монет достоинством
в 1 пфенниг.
146.	Начиная с 8 рублей, можно уплатить любое целое число
рублей без сдачи.
РАЗМЕН	73
147.	6 монет достоинством в 50 пфеннигов, 2 монеты достоин-
ством в 20 пфеннигов и 12 монет достоинством в 5 пфеннигов.
Семь различных способов размена.
148.	Нельзя.
149.	4 монеты достоинством в 8 слоунов и 1 монета достоин-
ством в 3 слоуна.
150.	Смог.

7. СОЕДИНЕНИЕ
151.	Соедините четыре точки,
изображенные на рис. 131, за-
мкнутой линией, состоящей из
трех звеньев.
Рис. 131
152.	Соедините девять точек,
изображенных на рис. 132, ло-
маной линией, состоящей из	.	,
четырех звеньев, не отрывая
карандаша от бумаги.
Рис. 132
153.	Соедините пять точек, изо-	*	*
браженных на рис. 133, замкну-
той ломаной линией, состоя-
щей из трех звеньев.	*
Рис.133
76
СОЕДИНЕНИЕ
154.	Соедините 16 точек, изо-
браженных на рис. 134, лома-
ной линией, состоящей из ше-
сти звеньев, не отрывая ка-
рандаша от бумаги.
Рис. 134
155.	Соедините 24 точки, изо-
браженные на рис. 135, за-
мкнутой ломаной линией, со-
стоящей из 10 звеньев, не
отрывая карандаша от бумаги.
Рис. 135
156.	Начертите фигуру, изо-
браженную на рис. 136, не от-
рывая карандаша от бумаги и
не проводя ни одной линии
дважды.
Рис. 136
157.	Можно ли начертить фи-
гуру, изображенную на рис. 137,
не отрывая карандаша от бу-
маги и не проводя ни одной
линии дважды?
Рис. 137
СОЕДИНЕНИЕ
77
158.	Говорят, что Магомет
вместо подписи (он был не-
грамотен) описывал одним
росчерком состоящий из двух
рогов Луны знак, изображенный
на рис. 138. Как он это деЛал?
159.	Известна история о том,
что один богатый человек да-
вал миллион рублей каждому,
кто начертит одним росчерком
фигуру, изображенную на
рис. 139. Попробуйте сделать
это.
160.	Обведите фигуру, изо-
браженную на рис. 140, не
отрывая карандаша от бумаги
и не проводя ни одной линии
дважды.
161.	Соедините пять двоек
(рис. 141) знаками арифмети-
ческих действий таким об-
разом, чтобы в результате полу-
чилось число 7.
Рис. 139
Рис. 140
22222
Рис. 141
78
СОЕДИНЕНИЕ
333333	162. Соедините некоторые цифры числа, изображенного на рис. 142, знаками арифме- тических действий таким об- разом, чтобы в результате по- лучилось число 10ОО.
Рис. 142	
88888888	163. Соедините некоторые цифры числа, изображенного на рис. 143, знаками сложения таким образом, чтобы получи- лось выражение, значение которого равно 1000.
Рис. 143	
1234567	164. Соедините некоторые цифры числа, изображенного на рис. 144, знаками арифме- тических действий таким об- разом, чтобы получилось выра- жение, значение которого равно 100.
Рис. 144	
165.	Соедините некоторые цифры числа (см. рис. 144), знака-
ми сложения и вычитания таким образом, чтобы получилось
выражение, значение которого равно 40.
123456789
Рис. 145
А
В
166.	Соедините некоторые
цифры числа, изображенного
на рис. 145, знаками сложения
и вычитания таким образом,
чтобы получилось выражение,
значение которого равно 100.
167.	Соедините точки А и В
линией длиной 19 см так, что-
бы она прошла через все точ-
ки, изображенные на рис. 146.
Рис. 146
СОЕДИНЕНИЕ	79
168.. Соедините точки А и В	* * * *
ломаной линией Длиной 31 см			
так, чтобы она прошла через	• • А. • * •
все точки, изображенные на			
Рис147		
• в« • •
Рис. 147
169.	Соедините точки М н К !<»••••••••'•
(рис. 148) линией так, что-	•••••••••••
бы образовалась ломаная из ........  •
трех звеньев, длины которых	•••••••••••
находятся в отношении 1:2:3.
. . ..........................М
Рис. 148
170.	Соедините точки В и С В»
(рис. 149)ломаной, состоящей
из трех звеньев одинаковой .
длины.
•	• «С
Рис. 149
171.	Соедините точки Р и Т
(рис. 150) ломаной, состоящей
из четырех звеньев одинако-
вой длины.
р. .	.
• Т
Рис. 150
80
СОЕДИНЕНИЕ
X» • • • • • • ••••• • ••••• • •••••	172. Соедините точки X и Y (рис. 151) ломаной, состоящей из трех звеньев одинаковой длины.
• ••••• • • • • • • y	
Рис. 151
D
173. Соедините точки D и Е
(рис.152)ломаной, состоящей
из шести звеньев одинаковой
длины.
Рис. 152
С
Z 174. Соедините точки Си D
(рис. 153) линией так, чтобы
образовалась ломаная в виде
буквы «М» , состоящая из че-
тырехзвеньев одинаковой дли-
ны.
D
Рис.153
СОЕДИНЕНИЕ	81
✓ 175. Соедините точки Си D (рис. 154) линией' так, чтобы образовалась ломаная в виде буквы «М», состоящая из	. • • • • •	• •
четырех звеньев длиной по		
пять единиц каждый.
• ••••••
С	D
Рис. 154
82
СОЕДИНЕНИЕ
C-E-B-D-E-A-B-C-D
СОЕДИНЕНИЕ
83
157. Нельзя нарисовать такую
фигуру одним росчерком, так
как она имеет четыре нечетных
узла.
T-A-D-T-B-C-T
159. Нельзя, так как фигура
имеет четыре нечетных узла.
161.	2 2 + 2 + 2 + 2 = 7
B-E-T-Z-X- Y-C-K-O-M-P-H-
K-D-B-/CA
162.	3 3 + 3 333 = 10.00.
163.	8 + 8 + 8 + 88 + 888 = 1000.
164.	1+2 + 34 + 56 + 7 = 100.
165.	12 + 34 - 5 + 6 - 7 = 40.
166.	123 - 45 - 67 + 89 = 100.
168
84
СОЕДИНЕНИЕ
169.
170.
171.
172.
173.
174.
175.
С	D
8. СОСТАВЛЕНИЕ
176.	Составьте из двух равных
прямоугольных треугольников,
изображенных на рис. 155, рав-
нобедренный остроугольный
треугольник; равнобедренный
тупоугольный треугольник;
параллелограмм; прямоуголь-
ник.
177.	Составьте из трех равных
прямоугольных треугольников,
изображенных на рис. 156, рав-
нобедренную трапецию,' пря-
моугольную трапецию.
Рис. 156
* При решении многих задач этого раздела полезно сначала начертить
исходные фигуры на плотной бумаге и вырезать их, а затем составлять из них
искомые фигуры.
86
СОСТАВЛЕНИЕ
Рис. 157
Рис.159
178.	Составьте из четырех тре-
угольников, изображенных на
рис. 157, квадрат,-трапецию.
179.	Составьте из девяти ма-
леньких равносторонних треу-
гольников, изображенных на
рис. 158, один большой рав-
носторонний треугольник.
180.	Составьте из двенадцати
равнобедренных треугольни-
ков, изображенных на рис. 159,
равнобедренную трапецию.
СОСТАВЛЕНИЕ
87
181.	Составьте из 13 квадратиков со стороной 1 см два больших
квадрата.
182.	Составьте из семи фигур,
изображенных на рис. 160,
квадрат.
✓ 183. Составьте фигуру в
виде греческого креста из че-
тырехфигур, изображенныхна
рис. 161.
184. Составьте квадрат из че-
тырех фигур, изображенных на
рис. 162.
Рис. 162
88
СОСТАВЛЕНИЕ
Рис. 163
185. Составьте квадрат из фи-
гур, изображенных на рис. 163.
О, 1, 2, 3
Рис. 164
о, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9
186. Составьте из цифр, изо-
браженных на рис. 164, все
четырехзначные числа, исполь-
зуя каждую цифрутолько 1 раз.
187. Составьте из цифр, изо-
браженных на рис. 165, на-
ибольшее десятизначное не-
четное число, в котором все
цифры разные.
Рис. 165
188.	Составьте из цифр, (см. рис. 165), наибольшее десятиз-
начное число, в котором все цифры разные и которое делится
на 4, но не делится на 5.
Рис.166
189.	Составьте из цифр, изо-
браженных на рис. 166, на-
ибольшее число, в котором две
любые соседние цифры раз-
личны.
СОСТАВЛЕНИЕ
89
190.	Составьте из трех еди-
ниц, трех двоек и трех троек
(рис. 167) наибольшее девя-
тизначное число, в котором
любые две соседние цифры
различны.
191.	Составьте из двух цифр
натуральное число, которое в
7 раз больше числа его еди-
ниц (рис. 168).
192.	На рис. 169 приведены
числовые выражения, состав-
ленные из четырех единиц и
знаков математических дейст-
вий. Составьте выражение,
значение которого наибольшее
из всех возможных.
Рис. 167
ab = 7Ь
Рис. 168
Рис.169
193.	Составьте сумму двух чисел а и Ь, значение которой
меньше первого слагаемого; меньше каждого из слагаемых.
194.	Составьте разность двух чисел а и Ь, значение которой
больше уменьшаемого; вычитаемого; уменьшаемого и вычитае-
мого.
195. Составьте из цифр
2, 3, 4 и 5 всевозможные
пары обыкновенных дробей
(рис. 170). Выберите среди них
пары дробей, абсолютная ве-
личина разности которых наи-
меньшая, и пары дробей, аб-
солютная величина разности
которых наибольшая.
4 2	5 4
- и -;	- и —
2	4
-и - и т. д.
5 3
Рис. 170
90
СОСТАВЛЕНИЕ
196. Используя цифры и зна-
ки, изображенные на рис. 171,
составьте дробное выражение,
значение которого равняется
•S-, а сумма цифр всех чисел,
записанных в числителе, рав-
няется сумме цифр всех чисел
знаменателя.
197. Составьте из фигур, изо-
браженных на рис. 172, прямо-
угольник 4 х 5.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Рас. 171
Z 198. Составьте из семи частей квадрата (рис. 173) фигуру,
изображенную на рис. 174.
Рис. 174
СОСТАВЛЕНИЕ
91
Z 199. Составьте из семи
частей квадрата (см. рис. 173)
фигуру, изображенную на
рис. 175.
Z 200. Из семи частей
квадрата, изображенного на
рис. 176, составьте равнобед-
ренный треугольник.
Рис. 176
92
СОСТАВЛЕНИЕ
Ответы и решения задач (разд. 8)
177.	178.
СОСТАВЛЕНИЕ
93
182.
184.
187.9876543201.
186. 3210, 3201, 3120, 3102,
3012, 3021,2310, 2301,2130,
2103,2031,2013, 1320, 1230,
1203,1032,1302,1023.
188.9876543012.
189.13131212121.
190.323132121.
94
СОСТАВЛЕНИЕ
191. 35.
192. 11”.
193. Достаточно взять в качестве b отрицательное число;
достаточно взять в качестве а и b любые отрицательные
числа.
194. Достаточно взять в качестве b любое отрицательное
число; в качестве а положительное, а в качестве Ь отрица-
тельное число.
9. СКЛАДЫВАНИЕ
201.	На рис. 177 изображен прямоугольник, сложенный из
спичек. Сложите из тех же самых спичек прямоугольник с
наибольшей площадью.
202.	На рис. 178 изображены две фигуры, каждая из которых
сложена из 8 спичек. Сложите из этих 8 спичек фигуру с
наибольшей площадью.
Рис. 178
96
СКЛАДЫВАНИЕ
Рис. 179
203.	На рис. 179 изображено
число 10, сложенное из пяти
спичек. Сложите из семи спи-
чек число -у , не разламывая
ни одной спички.
204.	На рис. 180 изображены контуры трех квадратов, сложен-
ные из двенадцати спичек. Сложите из этих спичек контуры
а) двух квадратов, б) четырех, в) шести.
Рис. 180
205.	Сложите (не разламывая
спички) контуры трех квадра-
тов, используя 11 спичек; ис-
пользуя 10 спичек.
206.	Сложите из спичек, изображенных на рис. 181, двенадца-
тиугольник, у которого нет ни острых, ни тупых углов.
Рис. 181
207.	На рис. 182 сложены из спичек контуры двух равносторон-
них треугольников. Сложите из тех же спичек четыре равносто-
ронних треугольника.
Рис. 182
СКЛАДЫВАНИЕ
97
208.	На рис. 183 из спичек
сложена фигура, имеющая
четыре прямых угла. Сложите
изтехжеспичекфигуру, имею-
щую восемь прямых углов.
209.	На рис. 184 из 12 спичек
сложено женское имя. Сложи-
те другое женское имя из
13 спичек.
Рис. 183
Рис. 184
210.	(Шутка) 13 счетных палочек длиной по 9 см каждая
сложите так, чтобы получился метр.
211. Определите, из каких разверток (рис. 185) можно сложить
	—					
						
						
						
						
Рис. 185
212.	Определите, из каких разверток (рис. 186) можно сложить
прямоугольный параллелепипед.
				
				
				
				
				
				
				
								
								
								
								
								
								
								
					
					
					
					
					
					
					
					
					
Рис. 186
98 СКЛАДЫВАНИЕ
213.	Определите, из каких разверток (рис. 187) можно сложить куб.
214.	Определите, какие из кубиков (рис: 188) можно сложить из
указанной развертки.
215.	Сложите все 28 костей домино в соответствии с правила-
ми игры таким образом, чтобы на конце этой цепочки оказалось
пять очков.
Рис. 189
Z 216. Сложите все 28 костей
домино в виде рамки в рамке
(рис. 189) так, чтобы суммы
очков вдоль каждой из восьми
сторон фигуры были одинако-
выми.
СКЛАДЫВАНИЕ
99
217. Сложите четыре кости до-
мино в виде фигуры, изобра-
женной на рис. 190 (в виде
«окошка»), так, чтобы суммы
очков вдоль каждой стороны
окошка были одинаковыми.
Употребив все 28 костей доми-
но, составьте семь таких око-
шек.
Z 218. Сложите 15 костей
домино в виде прямоугольника
так, чтобы любая прямая, про-
веденная через него, пересе-
кала хотя бы одну кость.
(Квадрат, изображенный на
рис. 190, не годится, так как
прямая АВ не пересекает ни
одной кости.)
•	• • • • •	• • • • •
• • • •		• •	
• • • • • •	•	• • • •
Рис. 190
219. Сложите четыре кости до-	223
мино в виде рамки (рис. 192),	5
иллюстрирующей умножение	1115
чисел. Сложите все 28 костей
домино в виде семи таких ра-
мок.
Рис. 192
100
СКЛАДЫВАНИЕ
9 см
о
о
о
о
Рис. 193
Рис. 194
220. Сложите из четырех кус-
ков проволоки (рис. 193), не
разрезая их, каркас прямоу-
гольного параллелепипеда с
длиной ребер 2, 3 и 4 см.
221. Сложите из полоски бумаги
размером 1x7 (рис. 194) еди-
ничный кубик (куб с ребром 1).
222.	Какова высота столба, сложенного из всех миллиметро-
вых кубиков одного кубометра, наложенных один на другой?
Рис. 195
Рис.196
223.	Детали 1—7 (рис. 195)
вдвинуты в футляр сверху (каж-
дая деталь вдвигалась строго
по вертикали).
В какой последовательности
производилось складывание?
224.	Если укладывать круглые
карандаши друг на друга
(рис. 196) в восемь рядов по
20 шт. в каждом, то коробка
будет полной. Уложите каран-
даши иначе, чтобы их вошло в
коробку 176 шт.
/ 225. Из листа бумаги требуется сделать заготовку для
16-страничной тетради и, не разрезая, заранее пронумеровать
страницы. Левая половина каждого разворота должна иметь
четный номер, а правая нечетный. Как сложить лист и
пронумеровать все страницы будущей тетради?
СКЛАДЫВАНИЕ
101
Ответы и решения задач (разд. 9)
102
СКЛАДЫВАНИЕ
205.
МЕТЕ
СКЛАДЫВАНИЕ
103
211.	Куб можно сложить из развертки «г».
212.	Прямоугольный параллелепипед можно сложить из раз-
верток «.б» и «в».
213.	Куб можно сложить из разверток «а», «в» и «г».
214.	Из указанной развертки можно сложитькубики «а» и «в».
215.	Цепь из 28 костей доминр закончится тем же числом очков,
с которого она начинается (5).
216
217
104
СКЛАДЫВАНИЕ
219. „223 5	„500 2	„401 3	„415 	4
1115	1000	1203	1660
X633	X664	X554	
	4_		4_		6_	
2532	2656	3324	
221.	Сначала нужно перегнуть
второй и шестой квадраты по
диагонали, азатем сворачивать
полоску в куб.
222.	1000 км.
223.	В последовательности:
2—7—5—6—1—3—4.
224.	Карандаши следуетукла-
дывать слоями попеременното
в 20, то в 19 шт. Карандаши
верхнего слоя должны распо-
лагаться в промежутках нижне-
го слоя.
5 20 + 4 19= 176.
10. ПЕРЕКЛАДЫВАНИЕ
226.	Переложите одну из двух
спичек, изображающих число 5
(рис. 197), так, чтобы получи-
лось число в 2 раза большее
исходного.
227.	Переложите одну из трех
спичек, изображающих число 6
(рис. 198), так, чтобы получи-
лось число в 1,5 раза меньшее
исходного.
228.	Переложите одну из че-
тырех спичек, изображающих
число 7 (рис. 199), так, чтобы
получилось число в 7 раз мень-
шее исходного.
229.	Переложите одну из вось-
ми спичек, изображающих чис-
ло io (рис. 200), так, чтобы
получившаяся дробь равня-
2
лась ~
Рис. 197
Рис. 198
Рис. 199
Рис. 200
106
ПЕРЕКЛАДЫВАНИЕ
230.	Переложите одну из семи спичек, изображающих число
у (рис. 201), так, чтобы получившаяся дробь равнялась у
РИС. 201
231.	Переложите одну спичку в левой части каждого из числовых
равенств, изображенных на ррс. 202, так, чтобы получилось
верное равенство.
XMII+II
Рис. 202
232.	Переложите одну спичку в правой части каждого из число-
вых равенств, изображенных на рис. 203, так, чтобы получилось
верное равенство.
VM/+IH
VM/11+11
Рис. 203
ПЕРЕКЛАДЫВАНИЕ
107
233.	Переложите одну спичку из правой части каждого из
числовых равенств, изображенных на рис. 204, в левую так,
чтобы получилось верное равенство.
VII+IX=III
Рис. 204
234.	Переложите одну спичку из одного числового равенства
(рис. 205) в другое так, чтобы оба равенства стали верными.
XI—XV-HV
V+V=XI
Рис. 205
235.	Переложите одну спичку из первого числового равенства
(рис. 206) во второе и одну спичку из третьего — во второе так,
чтобы все три равенства стали верными.
VIMV+II
XI—ll=XIV
XII+IHX
Рис. 206
108
ПЕРЕКЛАДЫВАНИЕ
Рис. 208
237.	Переложите четыре спич-
ки (рис. 208) так. чтобы полу-
чилась фигура, образованная
тремя квадратами.
Рис. 209
238.	Переложите три спички
(рис, 209) так, чтобы получи-
лась фигура, «образованная
тремя равными квадратами.
ПЕРЕКЛАДЫВАНИЕ
109
239.	Переложите пять спичек
(рис. 210) так, чтобы из трех
квадратов получилось два.
240.	Переложите шесть спи-
чек (рис. 211) так, чтобы полу-
чилась фигура, образованная
шестью равными четыреху-
гольниками.
241.	Переложите две спички
(рис. 212) так, чтобы получи-
лась фигура, образованная
пятью равными треугольника-
ми.
Рис. 212
110
ПЕРЕКЛАДЫВАНИЕ
242.	Переложите две спички
(рис. 213) так, чтобы вместо
четырех квадратов стало пять.
Рис. 214
243.	Переложите две спички
так, чтобы вместо имени ГЛЕБ,
изображенного при помощи
12 спичек на рис. 214, получи-
лось другое мужское имя.
Рис. 215
244.	Переложите одну спичку
так, чтобы вместо женского
имени СОНЯ, изображенного
при помощи 14 спичек
(рис. 215), получилось мужс-
кое имя.
Рис. 216
245.	Переложите одну спичку
так, чтобы вместо мужского
имени ТОЛЯ, изображенного
при помощи 12 спичек
(рис. 216), получилось женс-
кое имя.
ПЕРЕКЛАДЫВАНИЕ
111
246.	Переложите две спички
так, чтобы бокал, изображен-
ный с помощью четырех спи-
чек на рис. 217,сохранился, а
вишенка, находившаяся внут-
ри, оказалась вне его.
Рис. 217
247.	Переложите две спички
так, чтобы рюмка, изображен-
ная с помощью четырех спичек
на рис. 218, сохранилась,
а вишенка, находившаяся
внутри, оказалась вне ее.
248.	Переложите две спички
так, чтобы домик, изображен-
ный с помощью 10 спичек на
рис. 219, повернулся другой
стороной.
112
ПЕРЕКЛАДЫВАНИЕ
Рис. 220
Рис. 221
249.	Переложите три спички
так, чтобы рыбка' изображен-
ная с помощью восьми спичек
на рис. 220, поплыла в проти-
воположную сторону.
Z 250. Переложите три спич-
ки так, чтобы рак, изображен-
ный с помощью 10 спичек на
рис. 221, пополз вниз.
ПЕРЕКЛАДЫВАНИЕ
113
Ответы и решения задач (разд. 10)
226.	227.	228.	229.	230
231
232.
233.
234.
XI=XV-1V VI+V=XI
235
VII=V+II
XI+!II=XIV
XII-II=X
114
ПЕРЕКЛАДЫВАНИЕ
ПЕРЕКЛАДЫВАНИЕ
115
244.	245.
246.
116
ПЕРЕКЛАДЫВАНИЕ
11. ПЕРЕКРАИВАНИЕ
251.	Перекроите квадрат, изо-
браженный на рис. 222, в пря-
моугольный треугольник, сде-
лав лишь один разрез.
Рис. 222
252.	Перекроите прямоуголь-
ник, изображенный на рис. 223,
в параллелограмм, сделав при
этом лишь один разрез.
Рис. 223
118
ПЕРЕКРАИВАНИЕ
253.	Перекроите остроуголь-
ный треугольник (рис. 224) в
тупоугольный треугольник, сде-
лав при этом лишь один разрез.
254.	Перекроите прямоуголь-
ник (рис. 225) в треугольник с
тем же основанием.
Рис. 225
255.	Перекроите прямоуголь-
ник, изображенный на рис. 226,
в трапецию, сделав при этом
один разрез.
Рис. 226
Рис. 227
256.	Перекроите параллело-
грамм, изображенный на
рис. 227, в прямоугольник, сде-
лав лишь один разрез.
Рис. 228
257.	Перекроите равнобедрен-
ную трапецию (рис. 228) в пря-
моугольник, сделав лишь один
разрез.
ПЕРЕКРАИВАНИЕ
119
258.	Перекроите неравнобед-
ренную трапецию (рис. 229) в
прямоугольник, сделав лишь
два разреза.
259.	Перекроите квадрат
(рис. 230), разрезав его на
четыре равные -части, в тре-
угольник.
260.	Перекроите параллелог-
рамм (рис. 231) в ромб, сделав
лишь один разрез.
Рис. 230
261.	Перекроите четыреху-
гольник, изображенный на
рис. 232, в параллелограмм,
сделав лишь один разрез.
120
ПЕРЕКРАИВАНИЕ
262.	Перекроите квадрат
(рис. 233) в два равных ква*
драта.
Рис. 233
Рис. 234
263.	Перекроите прямоуголь-
ник, основание которого
в 2 раза больше высоты
(рис. 234), в квадрат, разрезав
исходный прямоугольник натри
части.
264.	Перекроите два равных
квадрата (рис. 235) в один ква-
драт, сделав при этом всего
два разреза.
Рис. 235
ПЕРЕКРАИВАНИЕ
121
Z 265. Перекроите два не-
равных квадрата (рис. 236) в
один квадрат.
Рис. 236
266.	Перекроите три правиль-
ных треугольника (рис. 237) в
два правильных шестиугол ьни-
ка.
Рис. 237
267.	Перекроите прямоуголь-
ник (рис. 238), длина которого
9 см, а ширина 4 см, в квадрат,
разрезав его на две части.
Рис. 238
122
ПЕРЕКРАИВАНИЕ
268.	Перекроите фигуру, изо-
браженную на рис. 239, в шах-
матную доску, разрезав ее на
две одинаковые части.
269ё Перекроите фигуру, изо-
браженную на рис. 240, в.вось-
миконечную звезду с точно та-
ким же отверстием в центре.
/270. Перекроите греческий
крест, изображенный на
рис. 241, в квадрат, разрезав
его на четыре части.
Рис. 241
ПЕРЕКРАИВАНИЕ
123
Z 271. Перекроите кусок клет-
чатой клеенки (рис. 242) в шах-
матное поле, разрезав ее на
две одинаковые части.
272. Перекроите коврик,
(рис. 243), разрезав его на две
одинаковые части,— в квад-
рат.
Z 273. Перекроите фигу-
ру, изображающую шлем
(рис. 244), в квадрат.
Рис. 244
124
ПЕРЕКРАИВАНИЕ
Рис. 246
274. Перекроите фигуру, напо-
минающую кувшин (рис. 245),
в квадрат.
Z 275. Перекроите, фигуру,
напоминающую букву «Ш?
(рис. 246), в квадрат, сделав
не более четырех прямолиней-
ных разрезов.
ПЕРЕКРАИВАНИЕ
.125
Ответы и решения задач (разд.11)
251.
253.
257.
126
ПЕРЕКРАИВАНИЕ
260.
ПЕРЕКРАИВАНИЕ
127
266. Каждый из трех треуголь
ников разбивается на четыре
равных треугольника, а из
6 треугольников складывается
шестиугольник.
270.
128
ПЕРЕКРАИВАНИЕ
(см. рис. 173)
12. ПЕРЕСЧИТЫВАНИЕ
276.	Пересчитайте, сколько
всего квадратов содержит
каждая из фигур, изображен-
ных на рис. 247.
277.	Пересчитайте, сколько
всего треугольников содержит
каждая из фигур, изображен-
ных на рис. 248.
а)	б)
Рис. 248
130
ПЕРЕСЧИТЫВАНИЕ
Рис. 251
278.	Пересчитайте, сколько
всего треугольников и четы-
рехугольников содержит
фигура, изображенная на
рис. 249.
279.	Пересчитайте, сколько
всего квадратов содержит фи-
гура, изображенная на рис. 250.
280.	Пересчитайте, сколько
треугольников содержит фигу-
ра, изображенная на рис. 251.
ПЕРЕСЧИТЫВАНИЕ
131
281.	Пересчитайте, сколько
всего правильных шестиуголь-
ников содержит фигура, изо-
браженная на рис. 252.
282.	Пересчитайте, сколько
получится острых углов, если
внутри данного острого угла
(рис. 253) из его вершины про-
вести три луча.
283.	Пересчитайте, сколько потребуется сделать распилов,
чтобы 60 трехметровых бревен разрезать на полуметровые
части.
284.	Пересчитайте, сколько
потребуется сделать разрезов
плоскостями, чтобы из куба с
ребром 3 дм (рис. 254) полу-
чить кубики с ребром 1 дм.
Рис. 254
132
ПЕРЕСЧИТЫВАНИЕ
285.	Пересчитайте, сколько
потребуется сделать разломов,
чтобы плитку шоколада, изо-
браженную на рис. 255, раз-
ломать на отдельные дольки.
Рис. 255
286.	Пересчитайте, сколько получится кубиков: а) с одной
красной гранью, б) с двумя красными гранями, в) с тремя
красными гранями, — если все грани куба с ребром 10 дм
окрасить в красный цвет, а затем распилить его на кубики с
ребром в 1 дм.
50 = 24 + 26
Рис. 257
287.	Пересчитайте, сколько
маленьких прямоугольных па-
раллелепипедов можно уло-
жить в большом прямоугольном
параллелепипеде (рис. 256).
288.	На рис. 257 число 50
представлено в виде суммы
двух четных положительных
чисел. Пересчитайте, скольки-
ми способами можно выпол-
нить такое представление*
* Здесь и далее представления, различающиеся лишь порядком слага
емых, считать одинаковыми.
ПЕРЕСЧИТЫВАНИЕ
133
289. На рис. 258 число 6
представлено в виде суммы
двух нечетных положительных
чисел. Пересчитайте, скольки-
ми способами можно выпол-
нить такое представление.
6 = 3+3
Рис. 258
290. На рис. 259 изображены двухзначные числа, в записи
которых используются лишь нечетные цифры. Пересчитайте,
сколько существует таких двухзначных чисел.
А сколько существует трехзначных чисел, в записи кото-
рых используются лишь нечетные цифры?
И, 13, 15,
Рис. 2S9
291. На рис. 260 изображены
четырехзначныечисла, в запи-
си которых используются лишь
цифры 5,6,7 и 8. Пересчитайте,
сколько существует таких чи-
сел.
✓ 292. Пересчитайте, сколь-
ко раз в течение суток минут-
ная и часовая стрелки часов
образуют прямой угол
(рис. 261).
5678,
5687,
5768
Рис. 260
Рис. 261
134
ПЕРЕСЧИТЫВАНИЕ
293. Пересчитайте, сколько
оборотов вокруг своей оси сде-
лает маленький диск, который
перекатывается без скольже-
ния вокруг большого диска,
радиус которого в 3 раза боль-
ше радиуса маленького диска
(рис. 262).
м
А А
Т Т Т
Е Е Е Е
М М М М М
А А А А А А
ИИИИИИИИ
ККККККККК
АААААААААА
Рис. 263
Z 294. Пересчитайте, скольки-
ми способами можно прочи-
тал) слово «математика», спу-
скаясь от каждой буквы на од-
ну строку вниз и на одно
место правее или левее
(рис. 263).
295. Пересчитайте, сколько всего линий воздушного сообще-
ния потребуется для того, чтобы соединить каждые два из
20 городов.
296. Пересчитайте, сколько
всего автобусных маршрутов
в городе, автобусная сеть ко-
торого, изображенная на
рис. 264, устроена так, что:
а) на каждом маршруте по три
остановки, б) любые два
маршрута имеют только одну
общую остановку, в) с любой
остановки можно попасть на
любую другую без пересадки.
ПЕРЕСЧИТЫВАНИЕ
135
297.	Пересчитайте, сколькими способами можно выдать пять
разных книг: а) двум читателям? б) трем читателям? (Каждый
читатель должен получить хотя бы одну книгу.)
298.	Пересчитайте, скольки-
ми способами можно прочитать
слово «шалаш», двигаясь по
прямым, кривым и ломаным
дорожкам (рис. 265), при усло-
вии, что начальная и конечная
буквы «Ш» не должны совпа-
дать.
Рис. 265
299.	Пересчитайте, сколько партий было сыграно на шахмат-
ном турнире, в котором участвовало, семь человек, причем
каждый с каждым сыграл по одной партии.
300.	Пересчитайте и опишите
все варианты движения пешки
из левого нижнего угла игро-
вого поля в правый верхний
угол (рис. 266), используя обоз-
начения: П—движение вправо
на одну клетку, В — движение
вверх на одну клетку.
Рис. 266
136
ПЕРЕСЧИТЫВАНИЕ
Ответы	и решения задач (разд. 12)
276. а) 3; б) Всего 17:	8 с ребром в 1 ед.; 6 с ребром в 2 ед.; 2 с ребром в 3 ед.; 1 с ребром в 4 ед.
277. а) Всего 20:	12 со стороной 1 ед.; 6 со стороной 2 ед.; 2 со стороной 3 ед.;
б) Всего 28:	8 маленьких прямоугольных; 4 больших прямоугольных; 14 маленьких равнобедренных; 2 больших равнобедренных.
278. Всего 18:	12 треугольников и 6 четырехугольников.
279. Всего 32:	19 со стороной в 1 ед.; 10 со стороной в 2 ед.; 3 со стороной в 3 ед.
280. 35.
281. Всего 12:	10 со стороной в 1 ед.; 2 со стороной в 2 ед.
282. 10.
283. 300.
284. Всего 6 распилов.
ПЕРЕСЧИТЫВАНИЕ
137
285.	Всего 95:
11 + 12 7
286.	384 кубика с одной красной гранью; 96 кубиков с двумя
красными гранями; 8 кубиков стремя красными гранями.
287.	В прямоугольном параллелепипеде 5 х 4 х 6 см уложатся
20 прямоугольных параллелепипедов 1x2x3 см. Тогда ответ
задачи 20000.
288.	50 = 2 + 48 = 4 + 46 =	= 46 + 4 = 48 + 2; всего
представлений 24. Исключая совпадающие, получим 12 раз-
личных способов.
289.	6 = 3 + 3;
6 = 5 + 1;
6 = 3 + 1 + 1 + 1;
6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1. Всего четыре различных способа.
290.	25 двухзначных чисел; 125 трехзначных чисел.
291.	256 различных четырехзначных чисел.
292.	44.
293.	Четыре оборота вокруг своей оси.
294.	29 = 512	1
1 1
1 2 1
133 1
1 4 6 4 1
1 5 Ю 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Число, стоящее на месте каждой буквы, показывает, сколькими
способами можно добраться до нее, спускаясь с вершины
конфигурации. Итак, слово «математика» можно прочитать
512 различными способами.
138 ПЕРЕСЧИТЫВАНИЕ
295.	190.
296.	7.
297.	а) 30; б) 22.
298.	44.
299.	21 партия.
300.	Всего 10 различных вариантов:
1)ВВППП, 6)ПВПВП,
2)	ВПВПП, 7) ПВППВ,
3)	ВПЛВП, 8) ППВВП,
4)	ВПППВ, 9) ППВПВ,
5)	ПВВПП, 10) ПППВВ.
13. ПЕРЕДВИЖЕНИЕ
301.	Перемещая фигуры на-
борного полотна(рис. 267)по
правилам игры в «Пятнашки»
(можно перемещать на пустое
место либо в вертикальном,
либо в горизонтальном на-
правлении), поменяйте мес-
тами квадрат С и треуголь-
ник D.
302.	Передвигая детали иг-
рового поля (рис. 268), но не
вынимая их из коробки, пере-
местите квадрат 3 из правого
верхнего угла в правый ниж-
ний угол.
Рис. 267
Рис. 268
140
ПЕРЕДВИЖЕНИЕ
Рис. 270
303.	Передвигая детали иг-
рового поля (рис. 269), но не
вынимая их из коробки, пере-
местите квадрат 3 на место,
которое занимают прямо-
угольник Д и квадраты Е и Ж.

304.	Выкатите из желоба
(рис. 270) все черные шарики
(белые шарики в выходное
отверстие правого конца же-
лоба не проходят).
305.	Перейдите через глубо-
кий ров, ширина которого 2 м
(рис. 271), используя две до-
статочно прочных доски дли-
ной по 2 м каждая.
306.	Помогите крестьянину
переправить с одного берега
реки на другой козу, кочан ка-
пусты и волка (рис. 272) при
условии, что в лодку с собой он
может взять либо козу, либо
капусту, либо волка. Причем
нельзя оставлять волка на-
едине с козой (он ее съест) и
козу наедине с капустой (она
ее съест); других средств
передвижения нет.
Рис. 272
ПЕРЕДВИЖЕНИЕ
141
307.	Помогите переправиться с одного берега реки на другой
трем толстякам, если никаких других средств передвижения по
воде нет, кроме единственного челнока, в котором плавают
двое мальчиков и который выдерживает лишь одного толстяка.
308.	Помогите переправиться с одного берега-реки на другой
трем рабам и трем хозяевам, если средством передвижения
является единственная лодка, выдерживающая двух человек, а
во время перевозки необходимо следить за тем, чтобы число
рабов ни в коем случае не превышало числахозяев, иначе рабы
могут с успехом напасть на хозяев.
309.	Помогите переправиться с одного берега реки на другой
трем супружеским парам, если единственное средство пере-
движения — лодка, вмещающая двух человек, а по обычаю той
страны, из которой все эти люди, женщине запрещается оста-
ваться без мужа в обществе мужчин.
310.	Помогите переправиться с одного берега реки на другой
четырем рыцарям А, Б, В и Г и их оруженосцам а, б, в, г, если
единственное средство передвижения — лодка, вмещающая
трех человек, а по условиям тех времен никто из оруженосцев
не должен оставаться в обществе незнакомых рыцарей без
своих хозяев.
/ 311. Помогите перепра-
виться с одного берега реки на
другой четырем рыцарям
А, Б, В и Г и их оруженосцам
а, б, в, г (рис. 273), если един-
ственное средство передвиже-
ния по воде — лодка, вмещаю-
щая двух человек, посреди реки
есть остров, накотором можно
высаживаться, а по условиям
тех времен никто из оруже-
носцев не должен оставаться
в обществе незнакомых ры-
царей без своих хозяев.
Рис. 273
142
ПЕРЕДВИЖЕНИЕ
312.	Проведите по каналу шесть теплоходов, идущих по три
навстречудруг другу (рис. 274), если ширинаканала такова, что
два теплохода в нем разойтись не могут, а в имеющийся в
канале залив может поместиться лишь один теплоход.
Рис. 274
313.	Пропустите два состава А и Б по 60 вагонов каждый
(рис. 275), идущих навстречу друг другу по одноколейной желез-
ной дороге, имеющей единственный разъезд, который вмещает
не более 30 вагонов и тепловоз.
IIIII   SII111111III IB 111 k S  11111
А	Б
-+	Рис. 275	«-
314.	Пропустите два состава А и Б (см. задачу 313 и рис. 275)
при том условии, что разъезд может вместить не более
20 вагонов и тепловоз.
315.	Пропустите вперед скорый поезд С (рис. 276), догнавший
пассажирский поезд П, если оба они имеют по 20 вагонов.
Движение происходит пбодноколейной железной дороге с един-
ственным разъездом, вмещающим не более 10 вагонов и тепло-
воз, а расцеплять можно лишь вагоны пассажирского поезда.
шш
SllllllllllllllllkSUilll
с п
Рис. 276
ПЕРЕДВИЖЕНИЕ
143
316.	Пропустите вперед скорый поезд С, догнавший пассажир-
ский поезд П (см. задачу 315 и рис. 276), при том условии, что
расцеплять можно лишь вагоны скорого поезда С.
317.	Пропустите вперед спецпоезд из 22 вагонов, догнавший
товарный поезд из 60 вагонов, если движение происходит по
одноколейной железной дороге, имеющей единственный разъ-
езд, который может вместить не более 20 вагонов и тепловоз, а
расцеплять можно лишь вагоны товарного поезда.
318.	ПропуститедвасоставаАи Б (рис. 277) по
80 вагонов каждый, идущих навстречу друг другу
по одноколейной железной дороге с единствен-
ной тупиковой веткой, вмещающей не более
40 вагонов и тепловоз.
: ЖЖ: ж  ж ж ЖЖ ” ЖЖЖЖЖ Ж ЖЖ Ж Ж ЖЖЖ ЖЖЖЖЖЖ
llllllliSBUIIilllllllllBIIIII
Б
А
Рис. 277
319.	Пропустите два поезда: аварийно-восстановительный А из
12 вагонов и товарный Б из 45 вагонов, встретившихся на одно-
колейной железной дороге (см. рис. 277), при том условии, что
имеющаяся единственная тупиковая ветка может вместить не
более четырех вагонов и тепловоз.
144
ПЕРЕДВИЖЕНИЕ
K3VS
320.	Пропустите вперед пассажирский по-
езд П (рис. 278), догнавший ремонтный по-
езд Р, состоящий из тепловоза и семи ваго-
нов, если движение происходит по одноко-
лейной железной дороге, имеющей един-
ственную тупиковую ветку, которая вмеща-
ет не более четырех вагонов и тепловоз.
 м » в Ж.- W	Ж W ЯГЖ Ш ШВИЯГЖМЖ :’>
iiiiiiit:!iiiiiiiiiiiniiiiiii
П Р
Рис. 278
321.	Пропустите вперед скорый поезд П, догнавший пасса-
жирский поезд Р, если каждый из этих поездов состоит из
20 вагонов, а движение происходит по одноколейной железной
дороге, имеющей единственную тупиковую ветку (см. рис. 278),
вмещающую не более семи вагонов и тепловоз.
322.	Пропустите вперед скорый поезд С
(рис. 279), догнавший товарный поезд М,
если первый из них состоит из 15 вагонов, а
второй — из 20, а движение происходит по
одноколейной железной дороге, имеющей
единственную тупиковую ветку, вмещающую
не более 10 вагонов и тепловоз.

М С
Рис. 279
ПЕРЕДВИЖЕНИЕ
145
323.	Пропустите вперед спецпоезд С из 18вагонов, догнавший
на развилке (см. рис. 279) маневровый поезд М из пяти ваго*
нов при том условии, что единственный имеющийся тупичок
вмещает не более одного вагона и тепловоз.
Z 324 Переместите вагоны В, и В2с помощью локомотива Л
(рис. 280) таким образом, чтобы они поменялись своими места-
ми, при условии, что в тупике хватает места лишь для одного
вагона и не хватает места для локомотива.
Рис. 280
DiQtiiissBiiiiii
325.	Переместите вагоны В, и В2 с помощью локомотива Л
(см. условие задачи 324 и рис. 280) таким образом, чтобы все
они (и вагоны, и локомотив) . поменяли свои места.
146
ПЕРЕДВИЖЕНИЕ
Ответы и решения задач (разд. 13)
301.
-*-D, С[,В^, Df ,Е-*, А| ,
— Cf, Е—, В|, D-,
302.
Ж{, Е f, «-3, Kj, И—, Ж—,
Е|, 3|, А***, Б|. Ct, Д|,
гнЕ**<Ж, 3А|, Б «л С|,
At, Ж|, Е-, Cj, *~Д, «—А,
— Б,*-К, И£, 3—.
304.	305.
И так далее.
306
307.
В,Кз4< В,К	Кз—	т,т,т т,т,т		м,м —► — м	м
В,К		Кз	м.Т.Т	Т —►	м
к	В —	Кз	м,Т,Т	**— м	Т
к	— Кз	В	т.т	м,м —►	Т
Кз	К —	В	т.т	**— м	Т,м
Кз		В,К	м.Т	Т —►	Т,м
	Кз —	в,к В,К,Кз	м.Т Т т м м	**— м м,м —► — м Т м	Т.Т т.т Т,Т,м Т,Т,м т,т,т
ПЕРЕДВИЖЕНИЕ
147
308.
р,р,р,Х,Х,Х
Р,Х,Х,Х
Р,Х,Х,Х
х,х,х
х,х,х
р.х
р.х
р.р
р.р
р
р
*"* р
р.р-*
х,х—*
— Х.р
х,х—
*“ р
р.р-*
*“ р
р.р-*
р
р
р.р
.р
.р
х'?,х
х,х,х
Х,х,х,р
Х,Х,Х,р
Х,Х,Х,р,р,р
309.
А,а,В,в,С,с
В,в,С,с
В,в,С,с
А,В,С
А,В,С
С,с
С,с
а,-с
а,с
а
а
а,А —►
А
в,с —►
•*-: с
А,В —*
*— А,а
А,С
в
В,С —*
— в
а,в
а,в
а,в
В,в
В,в
А,В,С
А,В/С
А,В,С,с
А.В.С.с
А,а,В,в,С;с
310.
А,а,Б,б,В,в,Г,г
А,а,Б,В,Г
А,а,Б,В,Г
а, А,б,Б
а,А,б,Б
а,б,в
а,б,в
б,в,г—*
*- б *
В,Г —*
*“ в,в
А,Б,В—*
*— г
б,В,Г
*- б
а,б "-f
в,г
в,г
Г,г
Г,г
А,Б,В,Г
А,Б,В,Г
А,Б,В,в,Г,г
А,Б,В,в,Г,г
А,а,Б,б,В,в,Г.г
148
ПЕРЕДВИЖЕНИЕ
311.
а,А,б,Б,в,В,г,Г
а, А,б,Б,в,В
а,А,б,Б,в,В
Г,а,А,б,Б
Г,а,А,б,Б
а,А,б,Б
а,А,б,Б
а,А,б,Б,в,В
^В,в
Переправляются на
правый берег, минуя
остров (см. задачу 308)
в
в
а,А,б,Б,в,В
б,Б,в,В
б,Б,в,В
А,Б,Г,в,В
А,Б,Г,в,В
А,Б,г,Г,в,В
А,Б,г,Г,в,В
а, А,б,Б,в,В,г,Г
312. Теплоходы А и Б отходят назад, а В заходит в залив.
Теплоходы Г, Д и Е проходят по каналу влево мимо В; тогда В
выходит из залива и идет вправо. Г, Д и Е возвращаются на
прежнее место, а в залив заходит теплоход Б и т.д.
ПЕРЕДВИЖЕНИЕ
149
150
ПЕРЕДВИЖЕНИЕ
324. Локомотив Л едет влево, заталкивает вагон В, в тупик,
выезжает обратно, едет вправо, подталкивает вагон В2 к В, и
вывозит оба вагона. Состав В,В2Л движется влево, отцепляет
там В, и заталкивает В2 в тупик. После этого Л возвращается за
В, и отвозит его на надлежащее место, где первоначально
находился вагон В2. Далее Л едет влево, вывозит из тупика В2
и устанавливает его на нужное место.
3251 Сначала меняют местами вагоны В, и В2 (см. ответ к
задаче 324). Далее меняют местами один из вагонов и локомо-
тив.
14. ПЕРЕЛИВАНИЕ
326.	Используя два кувшина,
изображенные на рис. 281, на-
берите из бочки 4 л воды.
327.	Используя два бидона,
изображенные на рис. 282, на-
берите из водопроводного
крана 3 л воды.
Рис. 281
Рис. 282
152
ПЕРЕЛИВАНИЕ
Рис. 283
Рис. 284
Рис. 285
328.	Используя банку, и чай-
ник, изображенные на рис. 283,
наберите из водопровода 4 л
воды.
329.	Используя бидон и ведро,
изображенные на рис. 284, на-
берите из пруда 7 л воды.
330.	Используя два бидона,
изображенные на рис. 285, на-
берите из бочки 6 л воды.
ПЕРЕЛИВАНИЕ
153
331.	Используя ведро и бидон,
изображенные на рис. 286, на-
берите из реки 6 л воды.
332.	Используя две банки, изо-
браженные на рис. 287,набе-
рите из водопроводного крана
1 л воды.
333.	Используя стакан и бан-
ку, изображенные на рис. 288,
наберите из кувшина 100 мл
воды.
Рис. 286
Рис. 287
Рис. 288
154
ПЕРЕЛИВАНИЕ
Рис. 289
Рис. 290
334.	Используя ведро и бидон,
изображенные на рис. 289, на-
берите из речки 3 л воды.
335.	Используя дваведра, изо-
браженные на рис. 290, набе-
рите из пруда 4 л воды.
336.	Используя сосуды, изо-
браженные на рис. 291, пер-
вый из которых наполнен жид-
костью, а остальные — пусты,
отлейте 8 л жидкости.
Рис. 291
ПЕРЕЛИВАНИЕ
155
337.	Из бочки, содержащей не
менее 10 л бензина, отлейте
6 л, используя бидон и ведро,
изображенные на рис. 292.
338.	Можно ли, используя ем-
кости, изображенные на
рис. 293, отлить одно ведро
жидкости из заполненной
доверху первой бочки?
339.	Из бочки, содержащей не
йенее 13 ведер бензина, от-
лейте 8 ведер, используя два
бочонка, изображенные на
рис. 294.
Рис. 292
Рис. 293
Рис. 294
156
ПЕРЕЛИВАНИЕ
Рис. 295
Рис. 296
349. Из бочки, содержащей 18 л
бензина, отлейте 6 л, исполь-
зуя два ведерка и черпак, изо-
браженные на рис. 295.
341. Разлейте поровну между
двумя семьями 12 л хлебного
кваса, находящегося в 12-лит-
ровом сосуде (рис. 296), вос-
пользовавшись для этого дву-
мя другими пустыми сосуда-
ми..
342. Разлейте пополам 8 л
вина, 2 из которых находят-
ся в первом сосуде, 3 — во
втором,а еще 3 — в треть-
ем сосуде (рис. 297).
Рис. 297
ПЕРЕЛИВАНИЕ
157
343. Разлейте пополам 12-ве-
дерную бочку воды (рис. 298),
используя для этого два дру-
гих пустых бочонка.
/ 344. Можно ли разлить по-
полам 8-ведерную бочку, на-
полненную водой (рис. 299),
используя для этого два других
пустых бочонка?
345.	Разлейте пополам бидон
вместимостью Юл, наполнен-
ный молоком, используя для
этого два других пустых бидо-
на (рис. 300).
Рис. 298
Рис. 299
Рис. 300
158
ПЕРЕЛИВАНИЕ
346.	Разлейте пополам 10 ве-
дер кваса, четыре из которых
находятся в первом, а шесть —
во втором из изображенных на
рис. 301 бочонков, используя
для этого пустой бочонок вме-
стимостью в 3 ведра.
347.	Разлейте 8-литровое вед-
ро вина пополам, используя
для этого пустые бидон и банку
(рис. 302).
/ 348. Можно ли разлить
12-ведерную бочку .воды
(рис. 303) пополам с помощью
двух других' пустых бочонков.
Рис. 301
Рис. 302
Рис. 303
ПЕРЕЛИВАНИЕ
159
Z 349. Разлейте пополам 16-ведерную бочку воды, используя
для этого пустые 11 - и 6-ведерные бочонки.
350.	Разлейте натри равные части 24-ведерную бочку воды
(рис. 304), используя для этого три других пустых бочонка.
Рис. 304
160
ПЕРЕЛИВАНИЕ
Ответы и решения задач (разд. 14)
326.			327.		328.			329.				330.	
3 л	5л		4 л	5 л		1,5 л	5 л		4 л	9 л		5 л	7 л
0 0 3 0 2 2 3 0	0 5 2 2 0 5 4 4		0 4 0 4 3 3	0 0 4 4 5 0		0 0 1,5 0 1,5 0 1,5 0 0,5 0,5 1,5 0	0 5 3,5 3.5 2 2 0,5 0,5 0 5 4 4		0 4 0 4 0 4 3 3 0 4 0	0 ,0 4 4 8 8 9 0 3 3 7		0 0 5 0 2 2 5 0 4 4 5 0	0 7 2 2 0 7 4 4 .0 7 6 6
													
													
									334.				
331.			332.			333.						335.	
4 л	9 л		0,75 л	2 л		200 мл	750 мл		5 л	9 л		9 л	11 л
0 0 4 0 4 0 1 1 4 0	0 9 5 5 1 1 0 9 6 6								0 0 5 0 4 4 5 0 5 0	0 9 4 4 0 9 8 8 3 3		0 0 9 0 2 2 9 0	0 11 2 2 0 11 4 4
			0 0,75 0 0,75 0 0,75 0,25 0,25 0 0,75 0	0 0 0,75 0,75 1,5 1,5 2 0 0,25 0,25 1		0 0 200 0 200 0 200 0 150 150 200 0 200 0 200 0 200 0	0 750 550 550 350 350 150 150 0 750 700 700 500 500 300 300 100 100						
													
								-					
ПЕРЕЛИВАНИЕ
161
336.	337.
5 л	9л	1?д
0 0 5 0 4 4 0	0 9 4 4 0 8 8	12 3 3 8 8 0 4
5 л	9 л
0 5 0 5 1 1 0 5 0	0 0 5 5 9 0 1 1 6
338.
Нельзя
339.
5 в.	9 в.
0 0 5 0 4 4 5 0	0 9 4 4 0 9 8 8
162
ПЕРЕЛИВАНИЕ
15. ПЕРЕГИБАНИЕ
351.	Перегибая лист бума-
ги прямоугольной формы
(рис. 305), получите изобра-
жение четырех прямых углов.
Рис. 305
352.	Перегибая лист бумаги
квадратной формы (рис. 306),
разделите изображенный на
нем отрезок АВ: а) пополам;
б) на четыре равные части.
А В
Рис. 306
164
ПЕРЕГИБАНИЕ
Рис. 308
Рис. 309
353.	Перегибая лист бума-
ги прямоугольной формы
(рис. 307), получите изображе-
ние угла с вершиной в точке М:
а) острого; б) прямого; в)тупо-
го.
354.	Перегибая лист бума-
ги произвольной формы
(рис. 308), получите изобра-
жение перпендикуляра к пря-
мой CD, проходящего через
точку А.
355.	Перегибая лист бума-
ги произвольной формы
(рис. 309), получите изобра-
жение перпендикуляра к пря-
мой АС, проходящего через
точку В.
ПЕРЕГИБАНИЕ
165
356.	Перегибая лист бума-
ги произвольной формы
(рис. 310), получите изобра-
жение биссектрисы угла АОВ.
357.	Перегибая лист бума-
ги прямоугольной формы
(рис. 311), получите изобра-
жение угла:
а) в 2 раза большего угла АОВ;
б) в 3 раза большего угла АОВ.
358.	Перегибая лист бумаги в
форме круга (рис. 312), полу-
чите изображение центра кру-
га.
Рис. 310
Рис. 312
166
ПЕРЕГИБАНИЕ
359.	Перегибая лист бумаги прямоугольной формы
(см. рис. 305), получите изображение треугольника: а) остро-
угольного; б) прямоугольного; в) тупоугольного.
360.	Перегибая лист бумаги квадратной формы (см. рис. 306),
получите изображение треугольника: а) равнобедренного;
б)равностороннего; в)разностороннего.
361.	Перегибая лист бумаги в
форме остроугольного треу-
гольника (рис. 313), получите
изображение центра вписан-
ной в этот треугольник окруж-
ности.
362.	Перегибая лист бумаги в
форме прямоугольного треу-
гольника (рис. 314), получите
изображение центра окружно-
сти, описанной вокруг этого
треугольника.
363.	Перегибая лист бумаги в
форме тупоугольного треуголь-
ника (рис. 315), получите изо-
бражение точки пересечения
медиан этого треугольника.
364.	Перегибая листбумаги в
форме равнобедренного треу-
гольника (рис. 316), получите
изображение всех трех сред-
них линий этого треугольника.
ПЕРЕГИБАНИЕ
167
365.	Перегибая лист бумаги прямоугольной формы (см.
рис. 305) не более чем 3 раза, получите изображение ромба.
366.	Перегибая лист бумаги в форме прямоугольника (см.
рис. 305), получите изображение квадрата.
Z 367. Перегибая лист бума-
ги произвольной формы
(рис. 317), получите изобра-
жение двух параллельных пря-
мых.
368.	Перегибая лист бума-
ги произвольной формы
(рис. 318), получите изобра-
жение прямоугольной трапе-
ции, одной из вершин которой
является точка А, а другой
(противоположной) — точка С.
369.	Перегибая лист бума-
ги произвольной формы
(рис. 319), получите изобра-
жение параллелограмма, вер-
шинами которого являются
точки А, В, С.
Рис. 319
168
ПЕРЕГИБАНИЕ
370.	Перегибая лист бумаги произвольной формы (см.
рис. 317), получите изображение прямоугольника, у которого
длина в 2 раза больше ширины.
Рис. 320
Рис. 321
Рис. 322
371.	Перегибая лист бума-
ги произвольной формы
(рис. 320), получите изобра-
жение квадрата, центр кото-
рого находится в точке О.
372.	Перегибая лист бумаги с
начерченным на нем острым
углом (рис. 321), получите изо-
бражение равнобедренного
треугольника с вершиной в
точке С и боковой стороной
СА.
4 373. Перегибая лист бума-
ги с начерченным на нем квад-
ратом (рис. 322), получите изо-
бражение вписанного квадра-
та, площадь которого в 2 раза
меньше площади исходного
квадрата.
ПЕРЕГИБАНИЕ
169
Z 374. Перегибая лист бума-
ги произвольной формы с на-
черченным на нем треугольни-
ком (рис. 323), получите изо-
бражение треугольника, сто-
роны которого в 2 раза мень-
ше сторон исходного тре-
угольника.
Z 375. Перегибая лист бу-
маги треугольной формы
(рис. 324); проиллюстрируйте
тот факт, что сумма внутрен-
них углов треугольника равна
180°.
Рис. 324
170
ПЕРЕГИБАНИЕ
Ответы и решения задач (разд. 15)
351.
	
	
Перегнуть лист пополам вдоль
и еще раз пополам так, чтобы
одна часть линии сгиба легла
на другую.
352.
	
А	В
а) Перегнуть лист по прямой
АВ и еще раз перегнуть так,
чтобы точка А совпала с точкой
В.
б) Перегнуть лист вдоль так,
чтобы линия сгиба проходила
через точку М, и еще перегнуть
поперек так, чтобы вторая линия
сгиба проходила через точку М.
Перегнуть лист по прямой CD,
еще раз перегнуть так, чтобы
вторая линия сгиба проходила
через точку А, а часть первой
линии сгиба АС легла на дру-
гую ее часть AD.
355. Аналогично задаче 354.
Первая линия сгиба — по АО,
вторая — по ОВ, третья — так,
чтобы ОА совпала с ОВ.
ПЕРЕГИБАНИЕ
171
а) Первая линия сгиба
по ОА, вторая «на себя»
по ОВ, третья линия сгиба—
«от себя» по ОА.
358.	Перегнуть пополам
вдоль, затем — пополам попе-
рек:
359.	б) Перегнуть лист так,
чтобы меньшая сторона пря-
моугольника легла на ббль-
шую.
360.	а) Первый сгиб — попо-
лам, второй — по диагонали
получившегося прямоуголь-
ника.
361.	' Перегибая лист, получите
изображения биссектрис двух
углов треугольника (см. зада-
чу 356). Точка пересечения
этих биссектрис и будет цен-
тром вписанной окружности.
362.	Перегибая лист бумаги,
получите изображения двух се-
рединных перпендикуляров
сторон треугольника (см. за-
дачу 352). Точка пересечения
этих серединных перпенди-
куляров и будетявляться иско-
мым центром.
363. См. задачу352.
364. См. задачу 352.
Первая линия сгиба — пополам
вдоль, вторая — пополам
поперек, третья — по диагона-
ли получившегося прямоу-
гольника.
366.
	
Перегните листтак, чтобы мень-
шая сторона прямоугольника
легла на ббльшую, а затем
перегните его так, чтобы оста-
ток большей стороны наложил-
ся на них сверху, и зафикси-
руйте линию сгиба.
172
ПЕРЕГИБАНИЕ
Первая линия сгиба фикси-
рует произвольную прямую,
вторая — перпендикуляр к
ней, третья — перпендикуляр
к перпендикуляру.
Первая линия сгиба фиксиру-
ет основание трапеции, содер-
жащее точку С; вторая —
перпендикуляр к первой линии
сгиба, проходящий через точ-
ку А; третья — перпендикуляр к
перпендикуляру, проходящий
через точку А. Четвертая линия
сгиба фиксирует боковую сто-
рону прямоугольной трапеции.
371. Первая линия сгиба фик-
сирует прямую, проходящую
через точку О; вторая — пер-
пендикуляр к первой,проходя-
щий тоже через точку О. Третья
линия сгиба получается при
совмещении двух первых ли-
ний, а четвертая — при нало-
жении части третьей линии
сгиба на другую ее часть.
372. Первая линия сгиба — по
прямой АС, вторая — по второй
стороне исходногоугла; тре-
тья — биссектриса исходного
угла; четвертая — перпендику-
ляр к биссектрисе, проходя-
щий через точку А.
374. См. задачу 364.
Первая линия сгиба — перпен-
дикуляр к АС, проходящий
через точку В; вторая — полу-
чается при совмещении точ-
ки В с основанием перпенди-
куляра; третья и четвертая —
при совмещении точек А и С
с основанием перпендикуляра.
ПОЛЕЗНЫЕ КНИГИ
1.	Балк М.Б., Балк Г.Д. Математические встречи: Репортаж с
факультативных занятий. Ч. 1. Смоленск, 1994.
2.	Бизам Д., Герцег Я. Многоцветная логика: 175 логических
задач / Пер. с венг. Ю.А.Данилова. М., 1978.
3.	ГермановичП.Ю. Вопросы и задачи на соображение: Пос. для
средней школы. Л., 1956.
4.	Доморяд А.П. Математические игры и развлечения. М., 1964.
5.	Задачи для внеклассной работы по математике в V—VI клас-
сах: Пос. для учителей / Сост. В.Ю.Сафонова. М., 1993.
6.	Зайкин М.И. Развивай геометрическую интуицию: Кн. для
учащихся 5—9 кл. общеобразоват. учреждений. М., 1995.
7.	Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. М., 1978.
8.	Козлова Е.Г. Сказки и подсказки: Задачи для математического
кружка. М., 1994.
9.	Кордемский Б.А. Математическая смекалка. СПб., 1994.
10.	Леман И. Увлекательная математика / Пер. с нем.
Ю.А.Данилова. М. 1985.
11.	Литцман В. Веселое и занимательное о числах и фигурах:
Занимательная математика всякого рода о числах и геометри-
ческих фигурах / Пер. с нем. И.Б.Погребысского. М., 1963.
12.	МазаникА.А. Реши сам. Минск, 1980.
13.	Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пос.
для учащихся. М., 1984.
14.	НовикИ.А., Пещенко Н.К., Бровка Н.В. Задачи по математи-
ке: 4—8 классы: Кн. для учащихся. Минск, 1984.
15.	Островский А.И., Кордемский Б.А. Геометрия помогает
арифметике. М., 1994.
16.	Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные
занимательные задачи. М., 1985.
17.	Перельман Я.И. Живая математика: Математические рас-
сказы и головоломки. М., 1970.
18.	Труднее В.П. Считай, смекай, отгадывай: Пос. для учащихся
начальной школы. М., 1980.
19.	Шарыгин И.Ф., ЕрганжиеваЛ.Н. Наглядная геометрия: Учеб,
пос. для учащихся V—VI классов. М., 1992.
20.	Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Математика: Задачи на смекал-
ку: Учеб. пос. для 5—6 кл. общеобразоват. учреждений. М, 1995.
СОДЕРЖАНИЕ
Обращение к читателю	3
1.	Расставление	5
2.	Расположение	17
3.	Размещение......................29
4.	Разбиение	41
• 5. Разделение	53
6.	Размен	65
7.	Соединение	75
8.	Составление.................... 85
9.	Складывание	95
10.	Перекладывание	105
11.	Перекраивание.................117
12.	Пересчитывание	129
13.	Передвижение	139
14.	Переливание...................151
15.	Перегибание	163
Полезныекниги.....................173
Учебное издание
Зайкин Михаил Иванович
Математический тренинг.
Развиваем комбинационные способности
Зав. редакцией Е.С.Ивашкина
Редактор Ю.С.Сазановский
Художник обложки В.А. Федоров
Компьютерная верстка и рисунки П.А.Чикин
Лицензия ЛР № 062093 от 25 января 1993 г.
Сдано в набор 18.09.95. Подписано в печать 10.12.95.
Формат 84x108/32. Печать офсетная. Усл. печ. л. 9,24
Тираж 30 000 экэ. Заказ № 1.
$ Гуманитарный издательский центр В Л АД ОС
117571, Москва, просп. Вернадского, 88.
Московский педагогический государственный университет,
тел./факс. 932-56-19, тел. 437-99-98.
Типография газеты «Красная Звеэда>.
123826, ГСП, Москва, Хорошевское шоссе, 38.
М. И. Зайкин
Математический
тренинг
РАЗВИВАЕМ
КОМБИНАЦИОННЫЕ
СПОСОБНОСТИ