ЛОГИКА
и проблемы
обучения
Под редакцией
Б. В. Бирюкова и В. Г. Фарбера
/<< -
ttr 	-	   —■
Москва
«Педагогика»
1977

871.01
Л 68
Jl 68
Составитель В. Г. Фарбер
Предисловие
А. И. Берга, Б. В. Бирюкова
и Э. И. Моносзона
Логика и проблемы обучения. Под ред. Б. В. Бирю¬
кова и В. Г. Фарбера. М., «Педагогика», 1977.
216 с. с ил.
Книга посвящена новой области педагогических исследований! при¬
менению идей и методов математической логики к решению проблем
рационализации обучения. В работе освещается значение логики для тео¬
рии и практики обучения, излагаются новые подходы к анализу и совер¬
шенствованию учебного материала, повышению эффективности учебного
процесса.
Книга адресована научным работникам в области дидактики и
частных методик. Она будет интересна преподавателям вузов, студентам
педагогических институтов и университетов, аспирантам и учителям
средней школы.	о7.	ni
. еомо-оо7 18 „
Л 005(01)-Т7 '8~™
© Издательство «Педагогика», 1977

ПРЕДИСЛОВИЕ
Перед советской средней школой, всей системой образования
страны стоят ответственные задачи повышения уровня, улучшения
качества педагогического процесса. Утвержденные XXV съездом
КПСС «Основные направления развития народного хозяйства СССР
на 1976—1980 годы» предусматривают «дальнейшее развитие си¬
стемы народного образования в соответствии с требованиями научно-
технического прогресса и задачами неуклонного повышения
культурно-технического и образовательного уровня трудящихся,
улучшения подготовки квалифицированных кадров рабочих и спе¬
циалистов»1.
Из решений съезда вытекает, что педагогическая наука должна
ускорить разработку научных основ повышения эффективности
обучения и воспитания подрастающих поколений; необходимо даль¬
нейшее совершенствование направлений, характера и методов ис¬
следования проблем дидактики и теории воспитания; на службу
педагогическому процессу должны быть поставлены новейшие до¬
стижения человеческого познания в самых различных областях.
В педагогической психологии, в теории обучения и воспитания
и других разделах педагогики широко испэлззуотся различные
идеи и методы, оправдавшие себя в других науках, в том числе и
математико-кибернетические. Контакт с идеями кибернетики для
педагогической науки ценен, в частности, тем, что на его основе
в исследовательскую сферу педагогики проникают методы точных —
использующих математику — областей знания. Это необходимо для
построения математических моделей обучения — в целях теорети¬
ческого отображения определенных сторон обучения, решения тех
или иных дидактических и методических задач, в частности для
дальнейшей разработки ряда вопросов дидактического программи¬
рования, теории и практики применения обучающих машин.
Среди новых направлений педагогического поиска, связанных
с кибернетикой, необходимое место занимает применение по.нятии,^-^
и средств современной логики, нацеленное на решение теоретиче-^хч 'У
ских и практических проблем обучения. Здесь уместно напомнить, ^
что в развитии знания второй половины нашего века логика является
одной из самых быстро прогрессирующих наук, что она достигла
серьезных успехов и в настоящее время представляет собой разви-
1 Материалы XXV съезда КПСС. М., 1976, с. 220.
3

тую ш учную дисциплину, имеющую ряд разделов и направлений.
Особенно привлекают в этой науке разнообразные и эффективные
ее практические применения. Теперь даже неспециалисты знают,
что без достижений математической логики невозможным было бы
возникновение кибернетики х, разработка и программирование
электронных цифровых вычислительных и управляющих машин.
Современная логика стала одной из теоретических основ автома¬
тики. Она нашла успешный выход и в другие научные области,
например науку о языке—для решения проблем математической
лингвистики и автоматической обработки текстовой информации,
в некоторые области нейрофизиологии (теория формальных нерв¬
ных сетей) и др. Учитывая ту большую помощь, которую оказывает
современная логика в решении многих научных и технических проб¬
лем, можно ожидать, что и в применении к вопросам совершенство¬
вания учебного процесса она даст положительные результаты.
Приложение логики к задачам обучения диктуется, однако, не
только, если так можно выразиться, соображениями внешнего
порядка. Оно обусловлено прежде всего самой сущностью про¬
цесса обучения. Действительно, обучение (учение, научение) как
специфический познавательный процесс на ступени абстрактного
мышления протекает в определенных логических формах. Изучение
этих форм, целенаправленное применение полученных о них зна¬
ний необходимы для успешного осуществления педагогического
процесса. Опора на законы логики имеет первостепенное значение
при осуществлении проблемности в изучении основ наук о природе
и обществе в школе.
Конечно, приведенные соображения лишь в самом общем виде
обосновывают значимость теоретических построений логики — вы¬
являемых ею логических форм и категорий, законов и операций,
создаваемых в ее рамках исчислений и моделей — для теории и прак¬
тики обучения. Наряду с ними правильность такого подхода к делу
подтверждается многочисленными дидактическими, методическими
и психологическими работами, в той или иной мере использующими
данные логики для решения вопросов обучения. Правда, многие
из этих работ принципиально новых результатов не принесли, по¬
скольку строились на базе традиционной логики, запас средств
которой явно недостаточен для решения таких сложных проблем,
какими являются проблемы обучения. Лишь применение современ¬
ной логики, с ее развитой и гибкой системой понятий, разработан¬
ным формальным аппаратом, с ее проверенными рядом наук и раз¬
делов техники математическими методами, обещает, как можно
надеяться, прогресс в комплексных дидактико-логических исследо¬
1 Недаром основатель кибернетики как особого комплексного направления
исследований — Н. Винер счел нужным отметить «фактор, который неоднократно
появляется в истории кибернетики, — влияние математической логики»
(И. Винер, Кибернетика, или Управление и связь в животном и машине. Изд.
2-е. Пер. с англ. Под ред. Г. Н. Поварова. М., «Советское радио», 19G8, с. 57),
4

ваниях. Предлагаемый вниманию читателя сборник имеет целью
наметить некоторые пути в этом направлении.
Статьи сборника распадаются как бы на две части. Одну из них
составляют работы относительно общего характера, в которых об¬
суждаются некоторые принципиальные вопросы исследования ло¬
гики обучения и логических средств повышения эффективности
педагогического процесса; другая включает исследования, направ¬
ленные на улучшение конкретных методик преподавания. Оста¬
новимся вкратце на содержании сборника.
В статье А. И. Уемова «Аналогия и учебный процесс» рассмат¬
риваются вопросы применения в обучении правдоподобных рассуж¬
дений, прежде всего аналогии. Надо сказать, что в современной
науке (физике, биологии, математике и др.) и технике выводы по
аналогии приобретают возрастающую значимость, что обусловлено,
в частности, широким применением моделирования как определен¬
ного исследовательского метода. Значительную ценность представ¬
ляет аналогия и для школьного преподавания, для изучения
различных учебных предметов — от математики до дисциплин поли¬
технического цикла. Однако педагогическая роль аналогии иссле¬
дована еще мало, главным образом потому, что умозаключения по
аналогии в логике изучены еще недостаточно. Автор на основе и
в свете разработанной им теории аналогии (краткий очерк которой
дается в статье) анализирует значение этого типа рассуждений
в учебном процессе. В статье приводятся примеры использования
в обучении различных выводов по аналогии и производится их ло¬
гический анализ. При этом выясняется, что аналогия является
эффективным эвристическим средством; она представляет собой
плодотворный прием объяснения, который может при выполнении
определенных условий служить и методом доказательства.
Некоторым вопросам, связанным с дидактическим программи¬
рованием, посвящена статья Ю. А. Петрова и Л. М. Фридмана
«О некоторых применениях математической логики и теории авто¬
матов к задачам программированного обучения». В ней выделяются
логические аспекты программно-управляемого педагогического
процесса; обосновывается тезис о том, что программированное обу¬
чение как одна из частных дидактических систем предполагает
своеобразную структуру самого учебного материала, а это требует
анализа предмета обучения в терминах логики. Исходя из тезиса
об алгоритмизуемости обучения в определенных его частях,
авторы исследуют возможности применения логических граф-схем
и идей математико-логической теории автоматов для выработки
эффективных методов упрощения алгоритмов обучения и их экви¬
валентных преобразований, т. е. условий замены одних алгоритмов
другими, более удобными в данном конкретном случае. Следует
отметить, что сама задача «минимизации» в применении к обучению
могла быть поставлена лишь в связи с разработкой путей осу¬
ществления программно-управляемого педагогического процесса.
В статье содержится также анализ задач распознавания, интерпре-
5

ных средств математической логики. Как показывается в статье,
артикли выполняют функции некоторых хорошо известных логи¬
ческих операторов. Так, определенный артикль в основном играет
роль оператора определенной дескрипции, т. е. оператора, выде¬
ляющего единственный, вполне определенный предмет; он также
может применяться в качестве оператора функциональной абстрак¬
ции. Неопределенный артикль в основном выполняет функцию опе¬
ратора неопределенной дескрипции (хотя в зависимости от контекста
его можно сопоставлять и с другими логическими операторами).
Интересный путь рационализации методов обучения рассматри¬
вается в работе Л. В. Шеншева «Опыт семиотического подхода
к проблеме взаимосвязей между учебными предметами». Вряд ли
надо специально доказывать, что задача выявления связей между
школьными учебными дисциплинами крайне важна как в теорети¬
ческом, так и в практическом отношении. Вопрос о связи между
учебными предметами вырос в серьезную педагогическую проблему.
Особую актуальность при этом приобрела задача сближения гума¬
нитарного и научно-технического образования. Трудность здесь
состоит в отыскании таких подходов, которые вполне обеспечили бы
установление необходимых межпредметных связей. В статье
Л. В. Шеншева намечается некоторый новый путь решения этой
задачи. Этот путь характеризуется применением идей и методов
семиотики, т. е. той отрасли (точнее — обобщения) современной
логики, которая занимается изучением закономерностей структуры
и применений знаковых систем, используемых в человеческом
обществе, в частности в науке. Автор стремится выявить общность
различных учебных предметов (естественнонаучного цикла, с одной
стороны, гуманитарного — с другой), анализируя используемые
в них знаковые системы, или, точнее говоря, символические языки
соответствующих научных дисциплин. Он обращает внимание на
то, что такие выражения, как «язык алгебры» или «язык химии»,
%имеют давнюю традицию, в том числе и педагогическую. Правда,
в педагогической литературе они по большей части употребляются
лишь фигурально, в обиходе же логиков понятие языка науки уже
давно утратило свой метафорический характер. С позиций семиотики
к числу языков, изучаемых школьниками, правомерно причислять
не только родной и иностранный, но и символические и терминоло¬
гические системы математики, химии и других учебных дисциплин
естественнонаучного цикла. Как показано в статье, имеются общие
закономерности, общие процессы овладения любым новым языком,
будь то иностранный язык или язык какой-либо науки. В этом
смысле можно сказать, что у семиотики есть педагогический аспект,
3 у педагогики — семиотический.
Под углом зрения закономерностей, характеризующих строение,
применение и усвоение естественных и искусственных языков,
в статье J1. В. Шеншева проводится сравнительный анализ ряда
конкретных учебных дисциплин (иностранный язык, черчение,
математика, химия), который позволяет сделать ряд интересных
8

наблюдений и выводов. В ходе этого анализа выявляются теорети¬
ческие предпосылки для углубления и расширения взаимосвязей
между языковыми и неязыковыми учебными предметами.
Как видно из настоящего обзора, сборник отражает оригиналь¬
ные исследования проблем обучения, проведенные с использованием
логико-семиотических идей и средств. Авторы помещенных в нем
работ исходят из необходимости раскрытия, так сказать, внутрен¬
ней логики педагогического процесса, определяемой содержанием
изучаемого учебного материала и возможными способами его усвое¬
ния учащимися. Исследуя педагогические применения логики,
авторы подходят к ней, отправляясь от собственной проблематики
обучения, его внутренних запросов и возникающих в нем задач.
Речь, таким образом, идет не о привнесении в обучение чего-то
«извне»: было бы неправильным, например, превращать уроки по
тому или другому предмету в занятия логикой, при которых учеб¬
ный материал используется в качестве иллюстрации к логическим
законам и правилам. Речь идет о другом — о том, прежде всего, что
применение эффективных средств, основанных на современной ло¬
гике, может содействовать успешной разработке учебных пред¬
метов и методов обучения; поскольку же дело касается учебного
процесса, то имеется в виду использование учителем операций
логики в качестве дидактических приемов, развитие логического
мышления обучаемых и сообщение школьникам лишь некоторых
сведений из логики (которые, впрочем, если говорить о математике,
могут быть достаточно развитыми). В работе по целенаправленному
и продуктивному развитию мышления учащихся логическая ориен¬
тация необходима. Нужна она и для разработки ряда теоретических
и практически-методических проблем педагогической науки, в ко¬
торой полезными могут оказаться методы логико-кибернетического
моделирования. Таким образом, размышления над содержанием
данной книги приводят к заключению о целесообразности активного
использования логики в качестве одного из элементов широкого
комплекса мер, направленных па повышение эффективности про¬
цесса обучения.
Данный сборник не претендует на полноту охвата проблемы
«Логика и педагогика». В педагогическом плане это очевидно. Если
же говорить о логической стороне, то вне рассмотрения в книге
остались, например, проблема пригодности тех или иных знаковых
систем и языков логики в качестве источника средств построения
моделей обучения; вопросы выбора различных логических исчис¬
лений и теорий (классическая и конструктивная логики, логики
модальные и многозначные, вероятностная логика и логика расплыв¬
чатых понятий, теории алгоритмов и автоматов в их различных
модификациях и др.) для разработки и решения дидактических
и методических задач, а также для адекватной постановки проблемы
рационализации (в идеале, оптимизации) управления обучением;
трактовка обучения как вероятностного (стохастического), в опре¬
9

деленном смысле, процесса; вопросы алгоритмизации обучения и
ряд других. Однако материал книги и без того раскрывает актуаль¬
ность привлечения средств логики как важного, но пока мало ис¬
пользуемого резерва повышения результативности педагогического
процесса.
Логическая наука в ее педагогических применениях только вы¬
ходит на исходные рубежи дальнейших исследований. Большие
надежды здесь можно возлагать на ее содружество с психологией.
Лишь в этом содружестве, как представляется, сможет вполне про¬
явиться воспитательное значение логики, в данной работе мало
затронутое. Раскрытие этого значения — одна из задач последую¬
щих изысканий.
Мы убеждены, что представленные в книге материалы принесут
пользу научным работникам в области дидактики, методистам и учи¬
телям. Книга может быть использована и вузовскими преподавате¬
лями педагогики и логики, в частности как материал для лекций,
аспирантами — в их подготовке к научной деятельности, студен¬
тами — для более углубленного изучения ряда учебных курсов.
Специализирующиеся в области программированного обучения
помимо ответа на некоторые конкретные вопросы обнаружат в ней
общие идеи и методы, могущие быть использованными в их разработ¬
ках. Тем же, кто в общем плане интересуется современным состоя¬
нием проблем обучения, ознакомление с книгой даст представление
об одном из перспективных направлений нашей педагогической
мысли.
Обращаем внимание читателя на то, что редакторы книги
не стремились к унификации логической символики. В частности,
в статьях разных авторов используются не оговариваемые в тек¬
сте различные (но общеизвестные в логике) соглашения о рангах
операций и об опускании скобок в формулах.
В заключение отметим, что в книге не исключены и дискуссион¬
ные положения, так как в ней обсуждаются новые и сложные воп-
*росы, связанные с выяснением логических основ обучения. Книга
отражает некоторые принципиальные установки, выявившиеся
в секциях «Методологические вопросы кибернетики» и «Кибернетика
и психология» Научного совета по комплексной проблеме «Кибер¬
нетика» Академии наук СССР. Но сами эти установки находятся
в развитии, поскольку являются результатом творческих обсужде¬
ний в среде советских педагогов, психологов, логиков и киберне¬
тиков.
Академик А. И. Берг,
доктор философских наук Б. В. Бирюков,
действительный член Академии педагогических
наук СССР Э. И. Моносзон
10

А. И. Уемов
АНАЛОГИЯ И УЧЕБНЫЙ ПРОЦЕСС
Обучение и аналогия. Постановка вопроса о развитии мышления
в качестве задачи педагогического процесса предполагает выяснение
основных логических форм мышления. В нашу задачу не входит обо¬
снование того положения, что процесс усвоения содержания науки
в своей основе происходит с помощью тех же форм мышления, что
и его развитие. Отметим лишь, что это положение находит все
большее признание в педагогической пауке. Так, например,
Д. Брунер считает его центральным для понимания основных проб¬
лем процесса обучения: «Умственная деятельность везде является
той же самой, на переднем ли фронте науки, или в третьем классе
школы. Деятельность ученого за его письменным столом или в ла¬
боратории, деятельность литературного критика при чтении
поэмы — это деятельность того же порядка, что и деятельность
любого человека, когда тот занят подобными вещами, юли перед
ним стоит задача достигнуть понимания определенных явлений.
Различие здесь — в степени, а не в роде» 11, с. 171.
На первых этапах развития науки, при относительной бедности
фактического материала, определяющая роль принадлежала де¬
дукции, позволяющей извлекать максимум выводов из минимума
данных. В дальнейшем, по мере накопления фактов, на первый
план выступила задача обобщения этих фактов, которая решалась
с помощью индуктивных методов исследования. Дедукция сохра¬
няет свое значение в области математики, поскольку здесь, в инте¬
ресах строгости выводов и доказательств, сознательно ограничи¬
ваются минимумом исходных данных.
В современной науке все большее значение приобретает струк¬
турный подход, при котором имеет место отождествление отношений
в различных объектах. Эти отношения становятся предметом иссле¬
дования особых наук, типичный пример которых — кибернетика.
Перенос отношений и свойств из одной системы в другую является
определяющей чертой тех форм мысли, которые носят название
выводов по аналогии. Важная роль выводов по аналогии в развитии
современной науки неоднократно находила признание со стороны
ряда выдающихся ученых. Раскрытию этой роли посвящено уже
немалое число работ [2—7].
Выводы по аналогии позволяют переносить результаты, полу¬
ченные в одной области, на другие области явлений. Тем самым
происходит увеличение значимости каждого из этих результатов.
11

Перенос знаний, полученных при изучении одного объекта, на дру¬
гие объекты — столь же важная задача обучения, как и развития
науки. Поэтому нельзя не согласиться с Д. Брунером, который
выдвигает на первый план проблему структуры знаний: «Изложе¬
ние структуры знания, овладение этой структурой, а не просто
усвоение фактов и технических приемов является центральным мо¬
ментом в классической проблеме переноса» [1, с. 15].
Пример, который приводится в книге Д. Брунера [1, с. 15],
поясняет важность исследования структуры, особенно в условиях
недостатка времени. Явления геотропизма, зависимость плотности
роя саранчи от температуры, сохранение чистоты вида у насекомых,
обитающих на склонах гор на различной высоте над уровнем моря,—
все это разные вещи. Изучение каждой из них в отдельности требует
довольно много времени. Усвоение же структуры, общей для всех
этих явлений, перенос отношений по аналогии из сферы одного
явления на другие позволяет гораздо быстрее и лучше понять каж¬
дое из них.
Однако в нашей методической литературе отношение к выводам
по аналогии часто крайне скептическое или даже отрицательное.
Приведем два примера. В солидной «Методике преподавания матема¬
тики» В. М. Брадиса о выводах по аналогии говорилось следующее:
«Строя гипотезы, человек руководствуется прежде всего аналогией,
т. е. заключением по сходству: вполне естественно предположение,
что при сходных условиях получаются одни и те же результаты.
Но всякий результат порождается целой совокупностью условий,
и при суждении по аналогии обращают внимание только на некото¬
рые из них, поэтому суждения по аналогии никогда не бывают
доказательными. На основании того, что пять дней подряд была
хорошая погода, можно высказать догадку, что она будет хорошей
и на шестой день, но, как известно, такая догадка часто оказывается
неверной» [8, с. 30].
Прямую критику использования аналогии в процессе преподава¬
ния мы находим в «Методике преподавания физики» автора много¬
численных учебников физики для средней школы И. И. Соколова;
эта книга, выйдя из употребления как рекомендуемое пособие, долго
оказывала влияние на методистов. Здесь имеет место противопо¬
ставление форм мышления в науке и в процессе обучения: «В об¬
ласти преподавания физики значение аналогии более ограничено,
чем в научной области. Научные теории преподносятся учащимся
в окончательном виде, в их полном экспериментальном обоснова¬
нии. Только в историческом обзоре теорий еще может быть показано
значение аналогии. Математическая обработка материала по ана¬
логии также недоступна учащимся средней школы.
В учебниках и в методических руководствах аналогии при¬
меняются с двумя целями: во-первых, для введения нового понятия;
во-вторых, для пояснения экспериментально введенного, но дале¬
кого от обычных представлений нового понятия при помощи частично
сходных, более знакомых понятий.

Применение аналогии с первой целью является неправильным.
Никакая аналогия не позволит составить понятие о новой величине,
существенно отличной от аналогичной. Такое объяснение оказы¬
вается внешним, словесным, формальным. Если оно может быть
проверено последующими экспериментами, то с них и надо начи¬
нать обоснование понятия, и тогда аналогия превращается в пояс¬
нение.
Бесплодное значение аналогии в усвоении учащимися физиче¬
ских понятий можно показать на традиционном приеме введения
в VII классе понятий о потенциале, напряжении и о работе электри¬
ческого тока» [9, с. 70—71].
Влияние точки зрения И. И. Соколова сказалось на интересной
статье С. Е. Каменецкого [10]. В ней убедительно, на конкретных
примерах показана целесообразность использования аналогии в про¬
цессе преподавания физики. Автор пишет: «Аналогии, являясь
эффективными средствами повышения наглядности обучения, помо¬
гают создать опорные образы, особенно важные в процессе усвоения
понятий учащимися, мышление которых малоспособно к абстраги¬
рованию. Например, при формировании понятия «электрический
ток» образ тока полезно создать с помощью явлений течения жидко¬
сти» [10, с. 127]. Однакоесли создание опорного образа с помощью
аналогии, по автору, возможно, то «вводить новые понятия
по аналогии нельзя, как справедливо утверждает И. И. Соколов».
Мы видим, что отношение к использованию аналогий в учебном
процессе существенно отличается от отношения к использованию
других форм мысли — дедукции и индукции. Если применение де¬
дукции и индукции в процессе преподавания в общем и целом
соответствует тому месту, которое эти формы занимают в научном
мышлении, то с точки зрения использования аналогии между сферой
обучения и сферой науки существует определенный разрыв. Ка наш
взгляд, этот разрыв объясняется прежде всего неразработанностью
логической теории аналогии. В самом деле, было бы очень странно,
если бы сейчас дедукция и индукция оценивались на основании
тех взглядов, которые господствовали в логике два-три столетия
назад. Но то представление о выводах по аналогии, которое выра¬
жено в приведенной выше цитате из книги В. М. Брадиса, не вызы¬
вает удивления, поскольку оно, по сути дела, немногим отличается
не только от тех взглядов, которые были распространены столетия
назад, но и от того, что до сих пор пишется во многих работах но
логике.
Правила дедуктивных выводов для одной немаловажной части
логического мышления были сформулированы уже Аристотелем.
В настоящее время эти правила — традиционная силлогистика —
нашли свое развитие и обобщение в современной теории дедукции.
Эти правила, вообще говоря, довольно просты, и с их помощью легко
отделить правильную дедукцию от неправильной. Когда говорится
об использовании дедукции в процессе преподавания, то при этом
предполагается лишь правильная дедукция. Если дедукция прнво-
13

дит к ложному выводу, то повинным в этом считается либо ложность
исходных посылок, либо логические ошибки, допущенные в ходе
рассуждения, но не само по себе использование дедуктивных умо¬
заключений. Например, никто не скажет, что к ложному выводу
о том, что данная фигура — ромб, ученика привело использование
силлогизма, если ученик рассуждал по схеме:
Все ромбы имеют взаимно перпендикулярные диагонали.
Данная фигура имеет взаимно перпендикулярные диагонали.
Данная фигура — ромб.
Для всех ясно, что здесь привело к ошибке не использование
силлогизма, а неумение пользоваться силлогизмом. Нельзя допу¬
скать, как гласит общеизвестное правило силлогизма, чтобы в вы¬
воде по второй фигуре обе посылки были утвердительными.
В логике принято считать, что в отличие от дедукции индукция
может давать лишь вероятностный результат. При этом указываются
правила повышения этой вероятности. Каноны Дж. Ст. Милля, при
всей их ограниченности, представляют собой все-таки руководство
к тому, как пользоваться индукцией при отыскании причины тех
или иных явлений. Поэтому даже методисты-математики не склонны
связывать ошибки учащихся с применением индукции. В. В. Репьев
отмечает, что в педагогическом процессе индукция вообще не может
привести к ошиблс: «Надо заметить, что при обучении индуктивные
заключения не могут привести к ложным результатам, как это может
иметь место при исследовательской работе: на страже правильности
индуктивного вывода стоит учитель; в случае надобности он внесет
необходимые коррективы и достигнет того, что полученный с по¬
мощью неполной индукции результат будет безупречным» [ 11, с. 611.
Что касается выводов по аналогии, то за ними признается пози¬
тивная эвристическая роль. Однако в отличие от дедукции и индук¬
ции «использование учащимися заключения по аналогии в иных
случаях приводит к ошибкам» [11, с. 711. В. В. Репьев приводит
убедительные примеры вреда, который приносит использование ана¬
логии учащимися в процессе изучения математики: «Ученик по ана¬
логии, чаще всего им не осознаваемой, распространяет какое-либо
правило на такие случаи, к которым оно не применимо, и начинает
пользоваться этим незаконно расширенным правилом в решении
примеров н задач. К числу ошибок, порожденных неверной анало¬
гией, относится, например, хорошо известная учителям довольно
распрострмненная и медленно искореняемая ошибка в сокращении
слагаемых в числителе и знаменателе дроби. Такое сокращение
обычно не встречается в V классе, когда учащиеся занимаются
арифметик-ой, и появляется в VII классе, когда приходится зани¬
маться алгебраическими дробями. Причина этой ошибки — в не¬
верном заключении по аналогии, которая обусловливается многими
сходствами между суммой .и произведением: сходные формулировки
правил изменения суммы и произведения в зависимости от измене¬
14

ния компонентов, сходные переместительный и сочетательный за¬
коны сложения и умножения.
По-видимому, неверные аналогии являются причинами и многих
других ошибок учащихся. Например: sin (a-f p)=sina+sinp (по
аналогии с умножением одночлена на многочлен); lg (a-\-b)=\ga-\-
+ ig b (та же аналогия)» [11, с. 70].
Отметим, что причина ошибок здесь усматривается в самом ис¬
пользовании вывода по аналогии, а не в неумении обращаться с ним.
Что же должен делать учитель? В отличие от рассмотренного выше
случая индукции ему не предлагается сносить коррективы в сам
процесс вывода с целью получения нужного результата. В данном
случае учитель должен лишь предостеречь против уже осуществлен¬
ного вывода — подорвать к нему доверие. «Общим профилактиче¬
ским средством является разъяснение в доступной для учащихся
форме с иллюстрацией примерами, как строится умозаключение по
аналогии, что эго заключение не гарантирует безупречности вы¬
вода, что выеод не более, как только гипотеза (догадка)» [11, с. 71].
Но в таком случае, если всякий вывод по аналогии не более чем
догадка, догадкой должны считаться и те выводы по аналогии, кото¬
рые применяются учителем. Очень часто учитель, желая доказать,
что учащийся рассуждает неправильно, приводит пример анало¬
гичного рассуждения, ошибочность которого совершенно очевидна.
Например, ошибочность соотношения sin (a+p)=sin a-f-sin р может
быть выяснена с помощью аналогии — путем указания на ошибоч¬
ность соотношения lg (a+b)—lga+lgb. Если рассуждения действи¬
тельно аналогичны, то вывод об ошибочности первого соотношения
представляет собой не догадку, а достоверный результат.
Поэтому учитель, подвергая сомнению всякий вывод по аналогии,
тем самым подвергает сомнению значительную часть своих собст¬
венных рассуждений, на которые он рассчитывает как на достаточно
убедительные.
Поскольку отмеченная трудность связана с использованием
определенного типа умозаключений, средства преодоления этой
трудности может дать только логика. Она должна установить пра¬
вила пользования выводами по аналогии. Эти правила, вообще говоря,
могут обеспечивать достоверность вывода (подобно дедукции) или
же приближать надежность вывода к достоверности (как в случае
индукции). Установление этих правил дает возможность учителю
развивать умение учащихся пользоваться аналогиями. Тогда, если
учащийся получит ошибочный вывод по аналогии, учитель сможет
показать ему, что причина ошибки не в том, что применялась ана¬
логия, а в том, что она применялась неправильно.
Проблема правомерности выводов по аналогии и школьное
преподавание. В настоящее время в литературе уже имеется ряд
работ, в которых рассматривается проблема определения условий
правомерности выводов по аналогии [ 12—17,4, 18]. Однако эту проб¬
лему трудно решить в общем виде. Формы выводов по аналогии
столь же многообразны, как и формы дедуктивных умозаключений.
15

Условия правомерности дедукции определяются в связи с особен¬
ностями формы дедуктивного вывода. То же самое должно иметь
место и применительно к умозаключениям по аналогии.
Мы остановимся на некоторых формах выводов по аналогии,
играющих особенно большую роль в педагогическом процессе.
Во всяком выводе по аналогии совершается перенос информации,
полученной при исследовании одного объекта, на другой объект.
Но строение переносимой информации может быть различным
[7, 18].
Прежде всего существенно различие между тем случаем, когда
переносимая информация заключается в приписывании свойства
объекту, и тем случаем, когда устанавливается отношение между
элементами этих объектов [71. Например, утверждение, что Земля
обитаема, означает приписывание ей некоторого свойства. Иное
дело — закон всемирного тяготения. Здесь речь идет о системе,
состоящей из отдельных элементов — величин, между которыми
существует отношение, выражаемое формулой закона.
Систему в ряде случаев можно охарактеризовать не только отно¬
шением между ее элементами, но и свойством. Возьмем, например,
высказывание: «Кавказские горы высоки». Получив такую инфор¬
мацию, мы можем распространить ее по крайней мере на некоторые
из гор, входящих в систему гор Кавказа.
Различие между отношениями и свойствами обычно выражают
тем, что отношение обозначают некоторым символом (например, R),
за которым в скобках помещаются по крайней мере два (разделенные
'запятыми) символа элементов рассматриваемой системы, например:
R (a, b), R (ах, ..., ап). В связи с этим говорят, что отношение пред¬
ставляет собой двуместный или более — вообще «-местный —
предикат. Свойство же считается одноместным предикатом — пре¬
дикатом, приписываемым лишь одному предмету, и обозначается
формулой вида Р (а), где Р — свойство, а а — предмет (предметная
переменная), которому оно присуще [19, гл. Ill, § 1).
Эти обозначения, однако, не выделяют случай, когда свойство
приписывается ряду элементов системы. Для того чтобы получить
возможность выражения и этого случая, условимся отношения обо¬
значать большой буквой латинского алфавита, стоящей слева от
скобки, в которой малыми латинскими буквами обозначены (разде¬
ленные запятыми) элементы системы, а свойства — такого же типа
буквой, но стоящей справа от скобки того же вида. Так, например,
R (аи ..., ап) обозначает принадлежащее элементам аи ..., ап отно¬
шение R, a (alt ...,ап)Р — свойство/3 элементов ах, ..., ап.
Отметим, что в нашей записи не исключаются крайние случаи
/г!>1 для свойств, п— 1 для отношений. Иными словами, отношение
в некоторых случаях может рассматриваться как одноместный
предикат. Сюда будут относиться так называемые рефлексивные
отношения. В пользу введения понятия одноместных отношений
можно привести ряд теоретических соображений [18], однако более
детальное рассмотрение выходит за рамки настоящей статьи.
16

Приписывание свойства Р множеству элементов везде ниже будет
пониматься в разделительном (исключающем) смысле. Запись
(аи ..., ап) Р будет означать, чтоР присуще каждому из элементов,
обозначенных символами alt ..., ап. Если системе приписывается
не одно, а ряд свойств: Ри ..., Рто, это выразится как (аи •••» яп)
Р1» •••> Рт." В тех случаях, когда сложность системы несущественна,
она будет рассматриваться как единое целое и обозначаться одной
буквой.
Объект, информация о котором служит посылкой вывода по ана¬
логии, мы будем называть моделью. В работе [18] показано, что
такое понимание модели предполагается большинством исследова¬
телей. Для обозначения модели будем использовать символ а или
alt ..., ап. Объект, исследование которого является целью вывода,
т. е. тот объект, на который переносится информация о модели,
будем называть прототипом и обозначать буквами b или Ьи ...,Ьп.
В зависимости от того, что переносится с модели на прототип —
свойство или отношение, все выводы по аналогии можно разбить на
две большие группы: аналогии свойств и аналогии отношений.
Дальнейшие подразделения определяются, с одной стороны, типом
переносимых свойств и отношений, а с другой — характером осно¬
вания, делающего этот перенос правомерным 17].
Например, в спучае той формы аналогии, которая обычно описы¬
вается в учебниках логики, основанием является факт общности
ряда свойств (признаков) Ри ..., Рп обоим сравниваемым предме¬
там, т. е. модели и прототипу. Это можно выразить в виде (а, Ь)
Ри ..., Рп. Информация, полученная в результате исследования
модели,— посылка умозаключения — здесь представляет собой ут¬
верждение о наличии в модели некоторого свойства: (a) Pn+t.
В заключении это свойство переносится на прототип: (b) Pn+i-
Посылка и заключение образуют то, что можно назвать ядром умо¬
заключения. В рассматриваемом нами случае оно принимает вид
п"+1, • Отделим основание от ядра знаком j—. Вывод в целом
\ J) • П + Л
будет описываться схемой:
(«■ Ь)Рг />.!-[
В частном случае, когда /2=1, имеем (а, Ь) Рг |— ~~ . Этот случай
рассматривался Аристотелем, который называл такое умозаключе¬
ние парадейгмой, т. е. примером. Война фиванцев с фокейцами (а),
так же как и война афинян с фиванцами (Ь),\- это*войны с сосе¬
дями: (а, Ь) Рг. Но война фиванцев с фокейцами ^ зло: (а) Р2.
Следовательно, зло и война афинян с фиванцами:1 (Ь) Р2\20, с. 1691.
В качестве примера более общего случая парадейгмы (когда
/С>1) можно привести обычный в учебниках логики, вывод от оби¬
таемости Земли к обитаемости Марса на том основании, что они
имеют ряд общих признаков.	1	^	и

Когда в учебниках логики или работах по методике преподава¬
ния того или иного предмета говорится об аналогии, то обычно
имеется в виду парадейгма в ее обобщенном виде. Но парадейгма
далеко не единственная и даже не самая распространенная в прак¬
тике научного исследования и в учебном процессе форма выводов
по аналогии.
Начнем с примера. Пусть имеют место две теоремы А и В. Вообще
говоря, всегда можно отыскать между ними какие-нибудь сходные
черты. Например, обе они могут относиться к планиметрии, обе они
могут быть выражены в форме условного суждения и т. д. Обнару¬
жение подобных общих черт делает рассматриваемые теоремы ана¬
логичными в смысле парадейгмы, но это не та аналогия, которую
обычно имеют в виду математики. Аналогичность теорем обусловлена
не просто общностью ряда черт, а общностью одной, совершенно
определенной черты.
Автор известной монографии, посвященной правдоподобным
рассуждениям в математике, Д. Пойа пишет: «Быть может, вы ду¬
маете, что когда-нибудь будет возможно представить себе более
широкую теорему Я, которая будет выявлять все существенные об¬
щие пункты и из которой и Л и В будут естественно следовать. Если
вы думаете таким образом, то вы начинаете мыслить по аналогии.
Как бы то ни было, рассмотрим аналогию между двумя теоре¬
мами А п В как намерение открыть общее основание, из которого сле¬
довали бы и А и В: А следует из Я, В следует из Я» [21, с. 275].
В отличие от парадейгмы здесь с модели (теоремы Л) на прототип
(теорему В) переносится не любое свойство Pn+i, а свойство особого
рода — истинность. Обозначим его буквой Т. Тогда мы будем иметь
следующее ядро вывода по аналогии:	.	Основанием этого вывода
является предположение об общности логических оснований для а
(т. е. для теоремы Л) и для b (т. е. для теоремы В). Это можно вы¬
разить как h-+aikb. Таким образом, мы получим следующую схему
вывода по аналогии: h—>a&.b\—	гДе через h обозначена
теорема Я.
Очевидно, что аналогия такого типа существенно отлична от
парадейгмы. Ее можно назвать логической аналогией следствий.
Особенно большое значение эта форма аналогии имеет в математике
и праве.
В том случае, когда вместо логического основания мы имеем
реальное явление с, выступающее в качестве причины других явле¬
ний а и Ь, то логическая аналогия следствий превращается в анало¬
гию физических действий. Если модель и прототип имеют общую
причину, то задачи, решенные на модели, позволяют по аналогии
легко решать задачи, относящиеся к прототипу. Эта форма аналогии
особенно большое значение имеет в таких науках, как физика,
химия, биология. Она с успехом может быть применена в учебном
процессе, в частности в курсе физики [22].

В рассмотренных случаях речь шла о переносе свойств. Еще
большую роль в науке и педагогической практике имеет перенос
отношений. Обычно ядро аналогии отношений может выразиться
R (а1, ..ап) 0
в виде схемы т—г	Чгч. Здесь посылка выражает отношение
R(bx, ..., ьт)	г
в модели, а вывод — то же отношение в прототипе. Но что является
основанием для переноса отношений от одного предмета к другому?
Эти основания могут иметь различный характер, в соответствии
с чем определяются разные формы выводов по аналогии. Часто
основанием переноса отношения (R2) с модели на прототип яв¬
ляется тот факт, что сравниваемые системы обладают одинаковым
отношением Rx. Например, пусть известно, что два тела геометри¬
чески подобны друг другу. Это подобие можно понимать как одина¬
ковость отношения между определенными их элементами (одинако¬
вость геометрической формы), как одинаковость отношения /?,
в модели и прототипе. Пусть в результате измерения модели в ней
обнаружено отношение R2. По аналогии это отношение мы перено¬
сим на другое геометрическое тело — прототип. Тождественность от¬
ношения Rx в разных системах: ах, ..., ап и Ьх, ..., Ьт можно выра¬
зить следующим образом: ах ,..., ап Rx (at,..., an)~bu ..., bm Rx
(bx, ..., bm). «Крышечки» над символами элементов сравниваемых
систем означают, что мы отвлекаемся от конкретных свойств этих
элементов. В целом вывод по аналогии рассматриваемого типа
будет иметь вид
ах, .. •, cinR j (ах, .. •, ct/i) bx, ..., bmRi (,bx, .. ., bpj) (
I  R2 (^1» • • •» Q/l)
R» (b  ьт) *
Эту форму аналогии мы будем называть простой аналогией от¬
ношений. Она имеет широкое распространение в математике и
особенно в технике.
В последнее время во многих науках приобретает все большую
роль тот вид аналогии, который связан с понятием изоморфизма.
В простой аналогии отношений основанием служит тождествен¬
ность отношений Ru установленных между теми же элементами,
что и переносимое отношение Rz. В аналогии типа изоморфизма
основанием служит тождественность отношений, связывающих
элементы разных систем, т. е. элементы одной системы с элементами
другой. Такие отношения называются обычно корреляторами.
Коррелятор, сопоставляющий элемент ах одной системы с элементом
Ьх другой, обозначим через (alt bx)\ коррелятор, сопоставляющим
а о с b 2, обозначим через р2(а2, Ь2) и т. д. Схему вывода по аналогии
типа изоморфизма можно записать в следующем виде:
щ,ъ,р, (а,. 6,)=— =2„,ь„Р„ (о„,ь„)ь-	%}•
Примером аналогии типа изоморфизма может служить про¬
порция. Пусть моделью является пара чисел (8,6), а прототи-
10

12	9	12
пом — пара (12,9). Если нам дано, что	’	то’	РассматРивая -g-
9
и -g- как корреляторы, мы на основании тождественности этих
корреляторов можем сделать вывод о тождественности отношений
в системах, состоящих из чисел (12,9) и, соответственно, (8,6). Тер¬
мин «аналогия» (греч. avcdovla) первоначально употреблялся древне¬
греческими математиками и философами именно в смысле пропор¬
ции, соразмерности.
В рассмотренном случае отождествлялись бинарные отношения,
т. е. отношения, существующие между двумя объектами. В общем
случае аналогии типа изоморфизма отождествляют отношения в си¬
стемах, состоящих из большего, быть может, даже бесконечно
большого, числа элементов. Корреляторы устанавливают взаимно¬
однозначное соответствие между элементами модели и прототипа,
Взаимно-однозначное соответствие само можно рассматривать как
отношение, связывающее элементы сравниваемых систем.
Аналогии типа изоморфизма имеют самое широкое применение
в науках, особенно таких, как математика, языковедение, кибер¬
нетика, физика. Значительная часть аналогий, используемых в про¬
цессе обучения, связана с изоморфизмом. Например, сюда в основном
относятся те примеры аналогии, которые приводятся в статье
С. Е. Каменецкого [10]. Так, при введении понятия электрического
тока очень полезна гидродинамическая аналогия. С. Е. Каменец¬
кий описывает прибор для демонстрации гидродинамической анало¬
гии. Здесь имеют место следующие взаимно-однозначные соответст¬
вия: источник электрического тока — насос, потребитель электри¬
ческой энергии — водяная турбина, соединительные провода —
трубы, наполненные водой, выключатель — кран [10, с. 130—1311.
Указанные соответствия являются логическим основанием для ото¬
ждествления отношений в модели и прототипе.
Приведенные примеры далеко не исчерпывают все богатство
форм выводов по аналогии. Однако уже из изложенного видно, что
проблему правомерности вывода по аналогии нельзя решать, игно¬
рируя специфику конкретных форм этого вывода.
Применительно к парадейгме уже в учебниках традиционной ло¬
гики формулируются два правила, позволяющие в ряде случае от¬
дать предпочтение одной аналогии перед другой. Первое из них тре¬
бует, чтобы число п общих свойств модели и прототипа было воз¬
можно большим, а второе — чтобы эти свойства были существен¬
ными для обеих систем.
Однако этих правил чаще всего недостаточно. Необходимо уве¬
личить число правил, выполнение которых повышает вероятность
вывода. Таким образом можно повышать вероятность вывода вплоть
до практической достоверности. Разумеется, при этом решающее
значение имеет не просто число, а прежде всего характер, логи¬
ческая ценность правил.
20

В дополнение к двум указанным выше традиционным правилам
можно сформулировать следующие.
Первое. Необходимо, чтобы свойства, общность которых
сравниваемым предметам дана в основании вывода, максимально
отличались друг от друга, были возможно более разнородными.
Например, применительно к сравнению Земли и Марса это должны
быть не только геометрические или кинематические, но и физичес¬
кие, химические и т. д. свойства.
Второе. Свойство, о котором говорится в заключении ана¬
логии, должно быть по возможности однородным, однотипным с теми
свойствами, общность которых дана в основании аналогии. Поэтому,
например, нельзя устанавливать общность между человеком и жи¬
вотным по биологическим признакам и затем переносить на живот¬
ных социальные признаки человека. Или, наоборот, нельзя социаль¬
ные закономерности человеческого общества истолковывать в смысле
биологических законов животного мира.
Т р е т ь е. Свойства, о которых говорится в основании, должны
быть специфичными для сравниваемых предметов, а не такими,
которые могут быть присущи чему угодно. Например, при сравнении
человека и животных свойства способности к размножению, раз¬
витию и т. д. несравненно более важны, чем «обладают массой»,
«состоят из молекул» и т. д., несмотря на то что свойства «обладать
массой», «состоять из молекул» и т. д. сами по себе существенны для
сравниваемых предметов. Специфичность (для данных предметов)
далеко не всегда совпадает с существенностью. Чем более специфи¬
ческий характер имеет данный факт, тем менее он вероятен. Чем
менее вероятен факт, описываемый данным утверждением, тем боль¬
шее количество информации оно содержит. Поэтому рассмотренное
условие повышения степени правдоподобия вывода по аналогии, по
сути дела, равнозначно выдвижению требования о том, чтобы
посылки содержали возможно больше информации о сравнивае¬
мых предметах.
Четвертое. Применительно к заключению дело обстоит
как раз наоборот. Оно будет более правдоподобным, если заключает
меньшую информацию. Это означает, что переносимый признак
Рп+1 не должен иметь специфического характера. Чем более этот
признак «банален», тем более вероятен вывод.
Обоснование изложенных правил выходит за рамки настоящей
статьи. Оно может быть сделано с помощью принципов индукции,
если рассматривать отдельные признаки как вещи [15—18].
Изложенные правила повышения правдоподобия выводов
по аналогии носят сугубо качественный характер. С их помощью
невозможно дать точную количественную оценку степени правдо¬
подобия. Они имеют лишь значение требований, которые нужно
стремиться удовлетворить, поскольку это возможно.
Однако отсутствие точной количественной оценки не означает
невозможности сравнения различных случаев использования вы¬
водов по аналогии с точки зрения их правдоподобия. Если ряд ус¬

ловий (правил) правомерности аналогий приблизительно в равной
мере выполняется в обоих сравниваемых умозаключениях, то раз¬
личие в выполнении следующего условия дает возможность пред¬
почесть одну аналогию другой 123, с. 233—237].
В конечном счете количественная оценка степени правдоподо¬
бия имеет значение не сама по себе, не непосредственно, а лишь по¬
стольку, поскольку позволяет делать требуемый выбор. Это, по сути
дела, относится ко всем количественным оценкам вообще. Преиму¬
щество количественных оценок в том, что они во многом облегчают
выбор, который надлежит произвести.
Выполнение перечисленных выше условий может приблизить
вывод по аналогии к практической достоверности, но не сделать его
вполне достоверным. Однако в некоторых случаях умозаключение
по аналогии типа парадейгмы дает достоверный результат. Напри¬
мер, пусть модель и прототип обладают одинаковой формой (/Д), сде¬
ланы из одного и того же материала (Р2) и обладают одинаковым
весом (Р3). В таком случае вывод о том, что у них также одинаковый
объем (Р4), вполне достоверен. В этом примере, так же как и в дру¬
гих примерах такого же типа 124, с. 44—45, 103], имеет место опре¬
деленная связь между общими и переносимым признаком, делающая
вывод достоверным. Эту связь можно установить с помощью дедук¬
ции из определений соответствующих признаков, но от этого раз¬
бираемое умозаключение не перестает быть выводом по аналогии.
Оно производится согласно структурной схеме вывода по аналогии.
Связь между Ри Р2, Р3, Р4 устанавливается в результате анализа
уже данной структуры вывода. Вывод имел бы дедуктивный харак¬
тер лишь в том случае, если бы мы с самого начала исходили из
общего суждения Vx ((х)Р1Р2Р3-*~(х)Р4). В таком случае для опре¬
деления (Ь)Р4 нам не было бы необходимости ссылаться на модель,
и заключение было бы получено с помощью простой подстановки Ь
вместо х.
Мы рассмотрели в общих чертах условия правомерности одной
из форм выводов по аналогии. Другие формы требуют других усло¬
вий. Так, применительно к логической аналогии следствий сформу¬
лированные выше правила утрачивают свой смысл. Правда, неко¬
торые из них могут быть соответствующим образом переформули¬
рованы. Так, условие специфичности общих признаков для сравни¬
ваемых систем естественным образом переходит в требование, сог¬
ласно которому вывод будет более правдоподобен, если факт, фикси¬
руемый в посылке, сам по себе будет менее вероятным [ 12]. Этот факт
должен как можно полнее выражать специфику предполагаемого
общего основания (см. выше цитату из Д. Пойа, в которой охаракте¬
ризована сущность логической аналогии следствий).
Пусть, например, известно, что по крайней мере две стороны не¬
которого четырехугольника равны друг другу. По аналогии сделаем
вывод о том, что в этом четырехугольнике диагонали взаимно пер¬
пендикулярны. Первое утверждение является моделью, второе —
прототипом. С модели на прототип переносится логическое свой-
22

стио — истинность. Вывод по аналогии основан на предположении
об общем основании для модели и прототипа, а именно — предполо¬
жении о том, что данный четырехугольник является ромбом.
Однако в нашем примере данные, фиксируемые в модели, носят
довольно банальный характер. Равенство двух сторон можно об¬
наружить у самых различных четырехугольников, например у тра¬
пеции. Менее вероятно равенство трех сторон четырехугольника.
11оэтому вывод от равенства трех сторон четырехугольника к вза¬
имной перпендикулярности его диагоналей будет более вероятным.
Еще менее вероятно равенство всех четырех сторон прямоуголь¬
ника. Если бы удалось показать, что истинность модели возможна
лишь при условии истинности предполагаемого основания, то вы¬
вод по аналогии стал бы вполне достоверным.
Возьмем пример из другой области. В тексте некоторая группа
слов выделена кавычками. По аналогии можно сделать вывод о том,
что первое слово этой группы должно быть написано с большой
буквы. Предполагаемое общее основание — то, что данная группа
слов представляет собой прямую речь. Вывод здесь только правдо¬
подобен. Он будет тем ближе к достоверному, чем менее вероятно
в данном тексте выделение слов кавычками. В тексте, передающем
обычную разговорную речь, эта вероятность меньше, чем в научном
тексте, вводящем новую терминологию, или в тексте иронического
характера. В предельном случае, когда не может быть других осно¬
ваний, требующих выделения слов кавычками, правдоподобие вы-
Еода переходит в достоверность. Однако полученный результат не
перестает быть выводом по аналогии, поскольку мы предполагаем
общее основание двух утверждений, а не исходим из положения
о том, что всякая группа слов, выделенная кавычками, должна
начинаться с большой буквы.
С точки зрения разбираемого правила большое значение имеет
вопрос о том, какое из двух сравниваемых утверждений является
моделью, а какое — прототипом. Пусть одним из этих утверждений
является это существительное русского языка в именительном па¬
деже пишется с нулевым окончанием, а другим — это существитель¬
ное русского языка в винительном падеже пишется с нулевым окон¬
чанием. Общим основанием будет положение, согласно которому в
русском языке неодушевленные существительные мужского рода
в именительном и винительном падежах пишутся с нулевым окон¬
чанием. Если в качестве модели рассматривается первое из приве¬
денных выше утверждений, то вывод будет менее правдоподобным,
чем в том случае, когда моделью служит второе утверждение. Это
обусловлено тем, что существительные в именительном падеже чаще
имеют нулевое окончание, чем в винительном, и поэтому вероятность
истинности модели в первом случае будет выше, чем во втором.
Изложенное правило дает возможность предпочесть одну ана¬
логию другой. С его помощью можно определять разные степени
правдоподобия — от крайне незначительной до практически досто¬
верной. Однако в ряде случаев данные, содержащиеся в посылке,
23

не способствуют усилению степени правдоподобия заключения,
несмотря на то что модель и прототип могут иметь общее основание.
Пусть, например, посылка гласит: Найденные кости принадлежат
млекопитающему. Прототипом будет утверждение: Найденные кости
принадлежат существу, живущему в воде. Общим основанием для
модели и прототипа может быть гипотеза о том, что найденные кости
являются костями китообразного. Но поскольку большинство млеко¬
питающих живут на суше, заключение, после учета данных посылки,
становится менее правдоподобным, чем до этого. Еще более нагляд¬
ным будет вывод о том, что некоторое вещество при обычных усло¬
виях — жидкость, исходя из данных о нем как о металле. Можно
предположить общее основание, согласно которому рассматриваемое
вещество является ртутью. Но поскольку истинность этого основания
маловероятна — большинство металлов не ртуть и не жидкости,—
посылка не увеличивает, а уменьшает правдоподобие вывода.
Я- Линденбаум-Хосьяссон формулирует в качестве условия пра¬
вомерности вывода по аналогии требование того, чтобы вероятность
истинности утверждения, составляющего прототип, не уменьша¬
лась после того, как установлена истинность модели в предположе¬
нии, что общее основание модели и прототипа является ложным [12].
В приведенных выше примерах из математики и грамматики, как
бы ни был далек от достоверности полученный вывод, модель все же
дает основание для повышения степени правдоподобия этого вывода.
Здесь соблюдается условие Линденбаум-Хосьяссон. Вероятность
истинности утверждения, что данный четырехугольник имеет
взаимно перпендикулярные диагонали, не уменьшится от того,
что у него есть равные стороны, даже если этот четы¬
рехугольник и не ромб. Выделение слов кавычками не уменьшает
вероятность того, что эти слова должны писаться с большой буквы
и в том случае, когда они не образуют прямой речи.
Аналогия следствий, так же как и парадейгма, относится к груп¬
пе аналогий свойств. Для выяснения условий правомерности вывода
здесь находят применение вероятностные соображения. По-иному
решается эта проблема для умозаключений, в которых с модели на
прототип переносится не свойство, а отношение. Вероятностный
подход здесь, по-видимому, неприменим.
Рассмотрим проблему правил простой аналогии отношений.
Для того случая, когда тождество отношений в сравниваемых сис¬
темах выражается в виде тождества описывающих эти системы ма¬
тематических уравнений, правила простой аналогии отношений
сформулированы в виде теорем так называемой теории подобия
[25, 26]. Выполнение условий этих теорем обеспечивает достовер¬
ность получаемого вывода. Характерно, что с помощью моделей,
построенных с соблюдением требований теории подобия, проверяются
те результаты, которые ранее были получены с помощью дедукции.
Например, вывод о том, что строящийся корабль не потонет, полу¬
ченный на основе теоретического расчета, должен быть проверен на
специальной модели этого корабля, помещенной в соответствующие
24

условия. Теория подобия как теоретическая основа метода модели¬
рования находит широкое применение в современной технике.
Однако в тех случаях, когда отношения в сравниваемых системах
нельзя выразить с помощью математических уравнений, необхо¬
димы другие методы установления правомерности вывода по ана¬
логии. Один из путей, ведущих к этой цели, заключается в выясне¬
нии тождественности отношений /?! и R2, рассматриваемых как
особые предметы. Если отношения RiH R2 тождественны в модели,
то они будут также тождественны и в прототипе. При этом такая
тождественность может сопровождаться существенными различиями
в познавательном отношении [15].
Между отношениями Ri и R2 могут быть установлены не только
логическая тождественность, но и иные типы связей. Если связь
имеет место между отношениями, как таковыми, независимо от со¬
относящихся объектов, т. е. является, так сказать, внутренним
свойством соотносящихся отношений, то ее можно переносить с мо¬
дели на прототип [18]. Для выяснения внутреннего характера связи
между отношениями можно воспользоваться методом формализа¬
ции, с помощью которого отношения выделяются из соотносящихся
объектов и делаются предметом самостоятельного рассмотрения.
Возьмем примеры. Допустим, что на уроке истории ученик рас¬
суждал следующим образом: Киевская Русь — государство фео¬
дальной, а не рабовладельческой формации. Следовательно, в Киевской
Руси не было рабов. Учитель, ставящий перед собой цель развития
логического мышления учащихся, не может ограничиться уточ¬
нением фактического характера: в Киевской Руси были рабы, хотя
рабский труд не был основой производства. Он должен разъяснить
ученику не только фактическую неточность, но и ошибку в рассуж¬
дении. Для этого необходимо прежде всего выяснить недостающие
элементы умозаключения. В качестзе основания своего вывода уче¬
ник должен будет сослаться на положение: Во всех государствах
рабовладельческой формации были рабы. Таким образом, получается
силлогизм: Во всех государствах рабовладельческой формации были
рабы. Киевская Русь не является государством рабовладельческой
формации. Следовательно, в Киевской Руси не было рабов.
Поскольку логика в школе не изучается, учитель не может просто
сослаться на то, что в рассуждении нарушается правило первой
фигуры силлогизма — меньшая посылка является отрицательной.
Единственная возможность разъяснить сущность допущенной ошиб¬
ки заключается в использовании аналогии. Необходимо привести
другой пример умозаключения с теми же отношениями (Rх) между
его элементами, в котором неправомерность полученного вывода
была бы совершенно очевидной.
Неправомерность вывода также представляет собой некоторое
отношение — «не следует»,— которое можно обозначить как R2.
Таким образом, рассуждение ученика можно рассматривать как
прототип, и целесообразно указать модель, с помощью которой
можно было бы установить наличие R2 в прототипе. В качестве такой
25

модели можно было бы взять, например, такой силлогизм: Все по¬
мидоры — овощи, огурцы — не помидоры, следовательно, огурцы не
овощи.
Неправомерность приведенного умозаключения, т. е. наличие
в модели отношения Rt, совершенно очевидна. Но правомерно ли
переносить это отношение на прототип? Для обоснования этой право¬
мерности необходимо показать, что R 2 в модели определяется исклю¬
чительно Rlt является его следствием и не зависит от специфики
соотносящихся вещей, т. е. от того, о чем именно идет речь в данном
умозаключении. Чтобы достичь этого, нужно вычленить в мо¬
дели отношение Ru рассмотреть его независимо от соотносящихся
предметов.
Отвлечемся от конкретных свойств этих предметов, обозначив
их символами А, В, С, каждый из которых может принимать раз¬
личные конкретные значения. Будем иметь схему: Все А суть В;
С не есть Л; С не есть В. Полученная схема характеризует не только
модель, но и прототип; это означает, что в обоих случаях имеет место
отношение Ri. Обозначим через R2 отношение «следует», являющееся
отрицанием отношения R2. Если бы приведенная схема давала право¬
мерный вывод, то между Rt и R2 существовала бы связь, выражаемая
импликацией Ri(A, В, C)-+R2(A, В, С). Но наша модель пока¬
зывает, что эта импликация не имеет места. Есть только две возмож¬
ности: либо схема правильна, либо неправильна. Если Ri(A, В, С)
не имплицирует R2(A, В, С), то/?, (Л, В,С) имплицирует R2(A, В,С).
Это значит, что мы имеем /?i(/l, В, C)-+R2 (Л, В, С). Эта связь
совершенно не зависит от конкретных особенностей А, В, С. Таким
образом, правомерность переноса R2 с модели на прототип обосно¬
вана. Вывод носит не вероятный, но достоверный характер.
Разумеется, учитель не имеет возможности проводить перед
учениками приведенное выше обоснование правомерности вывода
по аналогии,— так же как он не может давать обоснование право¬
мерности тех или иных форм дедукции или индукции. Такое обо¬
снование — дело логики. Но учитель должен владеть логикой, что¬
бы сознательно пользоваться логически обоснованными выводами.
Приведем другой пример. Для того чтобы доказать теорему
Пифагора, Евклид прибегает к аналогии между построением квад¬
ратов на сторонах прямоугольного треугольника и построением на
этих же сторонах прямоугольных треугольников [21, с. 34—36] (см.
рис. на с. 27).
Треугольник, построенный на гипотенузе, совпадает с первона¬
чальным треугольником. Треугольники, построенные на катетах,
представляют собой части первоначального треугольника, разделен¬
ные высотой, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.
Легко видеть, что треугольник, построенный на своей гипотенузе,
подобен двум другим треугольникам, построенным на его катетах.
Отношение подобия между этими треугольниками обозначим Rt.
Квадраты, построенные на сторонах прямоугольного треугольника,
26

также подобны друг другу. Иными словами, в прототипе имеет место
то же самое отношение Rlt что и в модели.
Но в модели есть и другое отношение: площадь фигуры, по¬
строенной на гипотенузе, очевидно, равна сумме площадей фигур,
построенных на катетах. Обозначив это отношение как R2, пере¬
несем его по аналогии на прототип. Получим искомый результат:
площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме пло¬
щадей квадратов, построенных на катетах.
Согласиться с таким доказательством можно только в том случае,
если будет показано, что связь между Rx и R2 не зависит от конкрет¬
ных особенностей соотносящихся объ¬
ектов, т. е. будет показано выполне¬
ние условий правомерности рассмат*
риваемого типа выводов по аналогии.
Допустим, что мы не фиксируем
каких-либо конкретных свойствфигур,
построенных на сторонах прямоуголь¬
ного треугольника. Известно только,
что эти фигуры подобны друг другу.
Если в модели площадь квадрата, по¬
строенного на гипотенузе а, равна о2,
то площадь соответствующей фигуры (треугольника) в прототипе в
общем случае равна Ана, где А— некоторый коэффициент. Из подобия
трех фигур, построенных на сторонах я, b, с прямоугольного тре¬
угольника, следует, что их площади соответственно равны fa,2,
Kb2, Ас2. Каждый конкретный тип фигуры определяет конкретное
значение к. Для некоторого конкретного случая, скажем, для нашей
модели, коэффициент к пусть будет равен А^. Результат исследова¬
ния модели показывает, что kla1=klb2Jrkxc2. Из этого равенства
видно, что числовое значение А, оказывается несущественным.
Поэтому мы можем заменить А, любым другим значением А, в том
числе и А=1. Для случая А=1 в прототипе имеем соотношение я2=
—Ь2-\-с2. Таким образом, вывод о наличии в прототипе отношения R2
сделан исключительно на основе отношения Rlt т. е. подобия гео¬
метрических фигур, построенных на сторонах треугольника, и не
связан с особенностями объектов, между которыми устанавливается
это отношение. Тем самым обосновывается правомерность вывода но
аналогии.
Как уже отмечалось выше, другой распространенной формой
аналогии отношений является аналогия типа изоморфизма. Всегда
ли здесь достоверен получаемый вывод?
Рассмотрим пример с картой поверхности Земли. Несмотря на
то что каждой точке земной поверхности соответствует определенная
■юнка карты, отношения между точками на карте могут не соответст¬
вовать (или не вполне соответствовать) отношениям между точками
на земной поверхности. Это несовпадение очевидно, если взять карты
больших участков Земли, например карту полушарий. Такие карты
значительно искажают направления, т. е. углы. Можно взять карту,
27

не искажающую углов,— меркаторскую. Но на такой карте будет
резко нарушено соотношение расстояний.
Из сказанного следует, что для обоснования правомерности пере¬
носа отношений из одной системы в другую одного изоморфизма
недостаточно. Здесь требуются дополнительные условия. Эти ус¬
ловия должны представлять собой ограничения, накладываемые на
корреляторы и переносимые отношения. Возможны различные ком¬
плексы таких ограничений. Сформулируем в качестве примера один
из них. Предварительно введем некоторые понятия.
В логике отношение R называется функциональным (многоод¬
нозначным) в том случае, если возможен лишь один объект, находя¬
щийся в отношении R к данным объектам. Например, функциональ¬
ным будет отношение окружности к ее центру, поскольку у любой
окружности есть только один центр (но для любой точки — «цен¬
тра» — можно построить, конечно, не одну окружность). Задание
окружности однозначно определяет точку, являющуюся се центром.
Отношение R называется взаимно-функциональным (одно-одно-
значным), если" каждый из соотносящихся с помощью данного отно¬
шения объектов однозначно определяет другой. Например, длина
диагоналей квадрата однозначно определяет длину его сторон, и
наоборот.
Если отношение R представляет собой отношение объекта а к
объекту b, то отношение, которое имеет объект b к объекту а, назы¬
вается обратным и обозначается R.
Пусть отношения Q и S функциональны. Определив с помощью
отношения Q, примененного к объекту а, объект b, что выразим как
b— Qa, мы затем можем определить новый объект с с помощью от¬
ношения S, примененного к b: c=Sb. Используя полученные ре¬
зультаты, придем к соотношению c=S Qa. Но можно поступить и
наоборот: сначала к а применить 5, а к Sa применить Q. Если
результаты будут совпадать, т. е. c=S Qa— QSa, то отношения
S и Q назовем коммутативными.
Пусть в модели — между ее элементами ах, ..., ап — имеет место
отношение R(alt ..., ап). Прототип состоит из элементов blf ..., bn,
взаимно-однозначно соответствующих элементам модели. Допустим,
что отношение R(au ...,оп) разлагается на совокупность отношений
а„ ...,ап между парами элементов: аи а2\ ...; ап_ь ап\ ап, ах. Пусть
в прототипе этим отношениям соответствуют отношения рх, ...,
рп между парами соответствующих элементов: Ьх, Ь2, ...; Ьп_х,
bn\ Ьп, Ьх. В таком случае достаточными условиями тождества от¬
ношений в модели и прототипе, т. е. достаточными условиями
соотношений: cti=Pi; ...; ап=Рп» будет выполнение следующих тре¬
бований:
1)	Каждое из отношений at, pt (1^/^ц) функционально (много¬
однозначно). Иными словами, каждый последующий член ai+l
(соответственно, bi+x) однозначно определяется с помощью отноше¬
ния а,- (соответственно, р*) между предыдущим членом at (соответст¬
венно, bf) и членом at+x (соответственно, bt+l).

2)	Отношения (3* коммутативны с корреляторами р, и ре+1, а
отношения ctj коммутативны с обратными корреляторами р,-ир|+1
(г. е. с корреляторами, направление которых противоположно
направлению корреляторов р,- и р1+1).
Доказательство утверждения, охватываемого пунктами 1) и 2),
выходит за рамки настоящей статьи (оно изложено в [16; 17]). Поясним
<ч о смысл на простом примере. Пусть модель представляет собой си¬
стему чисел {18,36,9,3}. Между ними будут иметь место отношения,
выражаемые числами 4,3, Здесь каждое число выражает бинар¬
ное отношение предыдущего элемента системы к последующему. Для
того чтобы число бинарных отношений соответствовало числу эле¬
ментов системы (что упрощает обозначения), рассматривается также
бинарное отношение последнего элемента к первому. Пусть элементы
прототипа связаны с элементами модели отношением «в 1,389 раза
больше». Нетрудно видеть, что здесь соблюдаются приведенные выше
условия. Поэтому вывод о том, что первый элемент прототипа состав¬
ляет-^ второго, второй — в 4 раза больше третьего, третий — в 3 ра¬
за больше четвертого, а четвертый составляет первого, будет
вполне правомерен.
Однако если бы в качестве отношений модели брались не мульти¬
пликативные, а разностные отношения —«первое число на 18 меньше
второго», «второе на 25 больше третьего», «третье на 6 больше чет¬
вертого», «четвертое на 15 меньше первого», то при том же корреля¬
торе было бы нарушено условие коммутативности (например, (18—
—18)-1,389ф\8-1,389—18) и вывод оказался бы неправомерным.
Но если бы коррелятор сделать тоже разностным, например «па 1,389
больше», условие коммутативности опять было бы соблюдено, и
вывод, отождествляющий отношения в прототипе с отношениями
модели, вновь был бы достоверным.
Наряду с достаточными условиями правомерности выводов по
аналогии могут быть сформулированы и необходимые условия.
Для случая аналогии отношений эти условия определяются теми
следствиями, к которым приводит отождествление отношений в срав¬
ниваемых системах. Так, во многих случаях тождество отношений
в сравниваемых системах предполагает тождество отношений между
соответствующими отдельными элементами этих систем. Явное от¬
сутствие последнего означает неправомерность вывода по аналогии
в целом. В этой связи рассмотрим ту аналогию между сокращением
сомножителя и слагаемого в числителе и знаменателе дроби, о ко¬
торой говорилось выше. На основе соотношения а ученик
а -1 b
делает вывод по аналогии о том, что —£~==а. Основанием здесь
является общность свойств умножения и сложения, выражающихся
в наличии обратных операций. Но для умножения обратной опера¬
29

цией будет деление, а для сложения — вычитание. Поэтому пере¬
ходу от умножения к сложению должен соответствовать для
обратных операций переход от деления к вычитанию. Это значит,
что модели ^ = Д правильно проведенная аналогия должна сопо¬
ставлять прототип (а+6) —Ь—а.
В рассмотренной аналогии к числу элементов сопоставляемых
систем относятся сами операции — умножение и деление, сложение
и вычитание. Неправильно проведенная аналогия приравнивает
отношение умножения к делению и отношение сложения к делению
же. При правильной аналогии первому отношению приравнивается
отношение сложения к вычитанию.
Учитель, встречаясь с выводом, подобным ^~ = а, должен не
бороться с аналогиями, как таковыми, а показывать ученикам, как
нужно правильно строить такой вывод.
Использование различных видов аналогии в учебном процессе.
Приведенные соображения и примеры показывают, что выводы по
аналогии могут быть столь же обоснованы, как и выводы индуктив¬
ного или даже дедуктивного характера. Различные методы такого
обоснования соответствуют разным формам выводов по аналогии.
Отсюда следует необходимость пересмотра традиционных представ¬
лений о функциях аналогии в учебном процессе.
На наш взгляд, в учебном процессе, поскольку он связан с мыш¬
лением, можно выделить четыре момента. Это, во-первых, возник¬
новение в сознании учащихся новых мыслей, т. е. процесс форми¬
рования нового знания. Во-вторых, установление ассоциаций между
новыми мыслями и старыми, уже имевшимися в сознании учащихся.
На этом основано понимание нового знания. В-третьих, выяснение
логических связей новых мыслей с другими, истинность которых
признана ранее. Это процесс логического доказательства. И, в-четвер¬
тых, применение полученных знаний, их практическая проверка.
Обычно, говоря о положительной роли аналогии в учебном про¬
цессе, методисты отмечают ее эвристическую ценность. Это значит,
что они относят применение аналогии в основном к первому из ука¬
занных выше процессов. Однако выше уже говорилось о том, что
такой авторитетный методист, как И. И. Соколов, делает из этого
важное исключение. Он отрицательно относится к использованию
аналогии в процессе формирования новых понятий. Поскольку по¬
ложительная роль аналогии в усвоении нового знания вообще И. И.
Соколовым не отрицается, получается, что здесь речь идет о про¬
тивопоставлении формирования понятий формированию суждений,
так как новое знание выражается прежде всего в этих двух логи¬
ческих формах. Однако противопоставление понятий и суждений
в данном отношении лишено смысла. Понятие представляет собой
результат, синтез многих суждений; поэтому если признается за¬
конность суждений, выведенных по аналогии, то должна также
признаваться законность и понятий, построенных на их основе.
30

Паука изобилует примерами понятий, введенных по аналогии,—
«пеплоемкость», «электроемкость», «напряжение», «электрический
кж» и т. д. Блестящее применение нашла аналогия, например, при
формировании понятия изотопического спина.
Как уже отмечалось, логические методы развития науки не
могут не найти своего отражения в практике ее преподавания.
Б статье С. Е. Каменецкого 110] по существу показывается, как при¬
меняется аналогия именно для формирования понятий.
Отрицание аналогии как метода формирования понятий свя¬
зано, по-видимому, с тем, что всякая аналогия отождествляется
с парадейгмой. Парадейгма предполагает у сравниваемых объектов
общность возможно большего количества существенных свойств.
Это снижает возможность образования с помощью парадейгмы дей¬
ствительно новых понятий. Вместе с тем при меньшем количестве
общих свойств снижается степень правдоподобия вывода. Таким
образом, парадейгма действительно имеет малую ценность как метод
формирования новых понятий. Это верно и для науки, и для педаго¬
гического процесса. Однако для формирования понятий широко
используются другие виды аналогий, прежде всего аналогии отно¬
шений, и среди них чаще всего аналогии типа изоморфизма. 11менно
эти аналогии совмещают новизну вывода с достоверностью ре¬
зультата. Здесь имеет место отождествление таких отношений, ко¬
торые относятся зачастую к качественно разнородным предметам.
Решающее преимущество аналогии типа изоморфизма в процессе
создания новых понятий заключается в том, что здесь аналогия по- *
нятий является не только результатом, синтезом многих выводов
по аналогии, но вместе с тем и необходимым элементом каждого
из них. Соответствующие друг другу элементы сравниваемых систем
являются тем, что обычно называется аналогами или аналогичными
понятиями. Таким образом, механизм образования аналогичных
понятий в случае аналогии типа изоморфизма чрезвычайно прост.
Это переход от одних элементов к другим на основании однозначного
соответствия между ними. Например: «Аналогично тому, как в
гидродинамической системе напор создает движение воды, в электри¬
ческой цепи ток создается в силу наличия «электрического напора»,
называемого напряжением» [10, с. 133]. Здесь с гидравлическим
напором сопоставляется электрический напор, с движением воды —
ток. Такое сопоставление приводит к образованию новых понятий.
Вначале аналогичность подчеркивается в названии — «электри¬
ческий напор». Затем название заменяется на «напряжение». Ана¬
логия терминов исчезает. Остается лишь аналогия понятий.
Однако понятия-аналоги, образованные таким способом, дают
право на довольно ограниченный круг выводов, связанный лишь
с переносом отношений. Отождествление свойств соответствующих
элементов вне рассматриваемых отношений исключается. Например,
бессмысленно переносить на электрический ток свойство жидкости
превращаться при определенной температуре в твердое тело. В то же
время аналогия понятий, образованных с помощью парадейгмы,
31

вообще говоря, дает право на перенос любых свойств. Например,
с Земли на ее аналог — Марс можно пытаться переносить не только
обитаемость, но и геологическое строение, химический состав внут¬
ренних частей планеты и т. д.
Мы говорили о функциях разных форм аналогии в процессе
формирования понятий. Что касается суждений, то и здесь эври¬
стическая ценность парадейгмы, вообще говоря, не выше, чем цен¬
ность других рассмотренных выше форм аналогии. Основной не¬
достаток парадейгмы в этом отношении заключается в том, что для
ее правомерности необходима качественная однородность сравни¬
ваемых объектов. Этого недостатка лишены аналогии отношений.
Поэтому их можно применять для получения более ценных в поз¬
навательном отношении выводов. Это относится и к науке, и к пе¬
дагогическому процессу.
Ярким примером использования аналогии отношений в эври¬
стических целях является планетарная модель атома. С помощью
такой модели, исходя из аналогии между законами Кулона и Нью¬
тона, можно подвести учащихся к выводу о форме орбит электро¬
нов в атоме.
Многие методисты, в частности И. И. Соколов, отмечают зна¬
чение аналогии для «пояснения» нового материала. Действительно,
в этом отношении аналогия обладает большими преимуществами.
Дедукция может заставить человека согласиться с тем или иным
выводом, но она зачастую не делает его понятным. Не имея возмож¬
ности как-то возразить против дедуктивного вывода, человек в та¬
ком случае все же остается неубежденным и подозревает «софизм».
Индукция через перечисление по самой своей природе не может
ничего объяснить. Если непонятны отдельные факты, то не может
быть понятно и их обобщение. Специфика же аналогии заклю¬
чается прежде всего в том, что она является средством объяснения.
«Объяснительная» —экспликативная —функция аналогии суще¬
ственна для развития науки. Однако особенно большую значимость
эта функция имеет в процессе преподавания. Значение аналогии
для понимания нового обусловлено тем, что модель выбирается
обычно среди наиболее знакомых, привычных, «понятных» явлений.
С помощью вывода по аналогии «понятность» модели в той или иной
мере переносится и на прототип. Вместе с тем большая понятность
прототипа делает более понятной и саму модель. Так, метод про¬
тивопоставления прямых и обратных операций, предлагаемый
П. М. Эрдниевым, дает возможность с помощью аналогии между
теми и другими сделать их более понятными для учащихся [27—29].
Однако экспликативная ценность аналогии далеко не всегда
одинакова. Она зависит прежде всего от строения, формы вывода.
Из рассмотренных выше форм наибольшую ценность в этом отноше¬
нии имеют аналогия следствий и простая аналогия отношений.
В аналогии следствий с модели на прототип переносится логи¬
ческое свойство истинности. Истинность прототипа объясняется
точно так же, как истинность модели: то и другое вытекает из одного
32

источника, обусловлено одним и тем же основанием. Поэтому если
понятно, почему истинна модель, то будет понятно, почему истинен
прототип.
Простая аналогия отношений устанавливает в прототипе связь
между отношениями R1 и R2. Если брать прототип сам по себе, то
чга связь зачастую непонятна. Эта непонятность обычно обусловлена
конкретными свойствами элементов прототипа, непривычными для
учащихся. Например, таким прототипом могут быть грамматические
конструкции иностранного языка. Так, при изучении немецкого
языка русские учащиеся часто недоумевают, почему в предложениях
типа Ich komme, urn du mir ein Buch gibst придаточное предложение
не стоит в будущем времени, хотя здесь глагол выражает действие,
будущее по отношению к времени действия сказуемого главного
предложения. Для разъяснения этого вопроса с помощью анало¬
гии в качестве модели можно взять знакомую конструкцию родного
языка: Я иду к тебе, чтобы ты дал мне книгу. Здесь то же самое
огношение R, между временами действия, но оно выражается только
не формой будущего времени, а даже формой прошедшего. Понят¬
ность связи между /?, и R, в родном языке делает понятным эту
связь и в иностранном.
Эксплнкативная ценность парадейгмы и аналогии типа изомор¬
физма, на наш взгляд, меньше. В случае парадейгмы, вообще говоря,
не всегда понятно, почему предметы, имеющие ряд сходных свойств,
должны иметь и другие сходные свойства. Использовать парадейгму
для объяснения можно лишь в том случае, если предположить, что
переносимые свойства имеют какие-то причинные связи с теми свой¬
ствами, присущность которых сравниваемым предметам является
основанием вывода.
Изоморфизм сам по себе также не всегда объясняет возможность
переноса отношения от модели на прототип. Например, можно пг
пять возможность установления соответствия между электрическим
током и движением жидкости, между напором воды и напряжением.
Но почему в электрических явлениях имеют место те же отношения,
1 то и в жидкости? Ведь по проводам не течет жидкость! Понимания
ьтого факта легче всего достигнуть, если тем или иным способом
будет применена простая аналогия отношений.
Однако аналогия типа изоморфизма, даже в том случае, когда
она не объясняет причину явления, имеет гсе-таки большую цен¬
ность для понимания характера отношений в прототипе, поскольку
ь результате ее применения обнаруживается, что это те же отноше¬
ния, которые уже известны нз модели.
Когда говорят об использовании аналогии для «пояснения»,
обычно имеют в виду именно такое отождествление отно-
ц ений в разных системах, без выяснения причин того, почему это
отождествление возможно. В связи с этим возникает вопрос, всегда
ли, когда используют аналогию для объяснения, используют умо¬
заключение? Вообще говоря, зачастую аналогией называют простое
приравнивание отношений в двух разных системах без выявления
2 № 1745?
33

основании такого приравнивания. Вопрос о тем, можно ли считать
подобную операцию умозаключением, довольно сложен. Он отно¬
сится к области, пограничной между логикой и психологией. На наш
взгляд, здесь имеет место случай, аналогичный энгимеме категори¬
ческого силлогизма. В энтимеме не формулируется, а «опускается»,
например, большая посылка. Но она может быть реконструирована
логиком. Подобным же образом в случае аналогии основание пере¬
носа отношений с модели на прототип может быть реконструировано
логиком. На практике всегда какое-то основание молчаливо пред¬
полагается. Чаще всего предполагается соответствие элементов срав¬
ниваемых систем. Таким образом, не будет большой ошибки, если
использование аналогий в учебном процессе всегда считать исполь¬
зованием умозаключений.
Если эвристическая и экспликативная функции аналогии в учеб¬
ном процессе обычно не отрицаются методистами, то использование
аналогии в обучении как орудия доказательства вызывает едино¬
душный протест. И это понятно, поскольку всякая аналогия отожде¬
ствляется с парадейгмой, и правила этой парадейгмы не известны.
В процессе доказательства должен быть получен достоверный вывод.
Поэтому стремление изгнать из доказательства выводы типа Сегодня
был дояедь, слсдовипельно, и завтра будет дождь вполне оправдано.
Однако, как мы пнделн, ряд форм умозаключений по аналогии пои
определенных условиях дает достоверный еывод. Поэтому они могут
быть использованы в процессе доказательства.
Фактически аналогия как метод доказательства используется
довольно часто — и в науке, и в процессе обучения. Выше был
приведен пример с доказательством теоремы Пифагора. Сн взят
из книги Д. Пойа, который, вообще говоря, рассматривает анало¬
гию как лишь правдоподобное рассуждение. Однако вывод, получен¬
ный в процессе упомянутого доказательства с помощью аналогии,
не только правдоподобен. Он достоверен. Иначе не было бы мате¬
матического доказательства. Иногда в таких случаях отрицают, что
речь идет об аналогии. Но Пона подчеркивает именно роль ана¬
логии: «Мы сумеем открыть доказательство, которое будет приведено
ниже, если заметим аналогию между знакомой частью I нашей состав¬
ной фигуры и едва ли менее знакомой частью 11» [21, с. 35].
На эти доводы могут возразить: «Возможно применение ана¬
логии в процессе доказательства опять-таки в- эвристических
целях, для нахождения метода доказательства, но это не значит, что
гозможно доказательство по аналогии. Аналогия сама по себе ничего
не доказывает. Доказывают дедуктивные рассуждения, использую¬
щие аналогию. В частности, у Пойа аналогия в процессе доказа¬
тельства выступает не самостоятельно, а вместе с обобщением и спе¬
циализацией».
Обоснованный анализ этого возражения требует более углуб¬
ленного рассмотрения природы умозаключений и проблемы их клас¬
сификации [30]. Здесь мы ограничимся следующими соображениями.
Необходимо различать умозаключение, представляющее собой про¬
34

цесс перехода от данных, фиксированных посылками, к заключению,
и проверку правомерности умозаключения, т. е. выяснение того,
обязательно лн истинность посылок обусловливает истинность
заключения. Второе возможно лишь в том случае, если уже есть
первое. Нельзя установить правомерность умозаключения, если его
нет. Различи» между индукцией, дедукцией и аналогией — это
различия между типами умозаключений. Эти различия не зависит
от уровня развития логической теории. В дедуктивных рассужде¬
ниях нередко допускаются ошибки. От этого дедукция не перестает
быть дедукцией. Но вполне положиться на дедукцию можно лишь в
гом случае, если в нашем распоряжении есть логическая теория для
ее проверки. В процессе проверки дедукции мы можем применять
разные умозаключения, например аналогию. Но от этого проверя¬
емая дедукция не превращается в аналогию. Она продолжает оста¬
ваться дедукцией. Соответственно, если мы применяем логический
аппарат для проверки аналогии и при этом используем дедукцию, то
аналогия не превращается в дедукцию, остается аналогией.
Итак, никакое умозаключение само по себе без проверки его
правомерности, строго говоря, не достаточно для доказательства.
Но в случае дедукции проведение проверки значительно легче и за¬
частую даже излишне ввиду очевидности получаемых выводов.
Для аналогии проверка сложнее, но, как было уже показано, она
возможна. Отсюда, на наш взгляд, следует, что можно говорить не
только об использовании аналогии в процессе доказательства, но
именно о доказательстве па аналогии.
В самом деле, допустим противное: вывод по аналогии — всегда
только элемент доказательства, наряду с другими умозаключени¬
ями. Но если аналогия не может ничего доказать, то не может ни¬
чего доказать и рассуждение в целом, в которое аналогия входит
в качестве необходимого элемента. Слабейшее звено определяет
крепость всей цепи. Но если другие умозаключения используются
не наряду с аналогией, а лишь для проверки ее правомерности, то
они относятся к более высокому уровню логического анализа и не
могут изменить характера первоначального умозаключения, которое
остается выводом по аналогии. Именно это имеет место в рассмотрен¬
ном выше случае с доказательством теоремы Пифагора.
Среди логиков давно существовало стремление: для выяснения
правомерности вывода по аналогии представить ее как синтез ин¬
дукции от одного случая к общему положению и дедукции от общего
положения к другому, частному случаю. Поскольку индукция ог од¬
ного случая дает крайне маловероятный вывод, крайне маловероят¬
ным оказывался и вывод по аналогии.
Д. Пойа вместо индукции и дедукции говорит об обобщении
и специализации. Но то и другое необходимо исключительно для
того, чтобы установить правомерность вывода по аналогии. Вывод
оказывается вполне достоверным потому, что частное в данном слу¬
чае логически равносильно общему. Эгот факт обычен для матема¬
тики.
2*
35

Большое применение аналогия находит не только в процессе не¬
посредственного усвоения нового знания, но и при его практическом
использовании. Здесь аналогия имеет преимущество перед дедук¬
цией, поскольку позволяет теоретически бесконечно раздвигать
сферу применения полученных знаний. Это особенно характерно для
аналогий типа изоморфизма. Однозначные соответствия можно уста¬
навливать между качественно разнородными объектами и тем самым
применять знания, полученные при исследовании данной области,
к самым различным областям. Прекрасные примеры использования
аналогии в процессе применения знаний читатель может найти в ра¬
ботах Д. Пойа [21, 31, 32].
Рассмотрение этих примеров не входит в нашу задачу. Мы огра¬
ничились общей постановкой проблемы б значении выделения раз¬
личных форм выводов по аналогии для выяснения их функций в учеб¬
ном процессе.
Литература
1. Д. Брунер. Процесс обучения. М., 1962.
2. A. Arber. Analogy in the History of Science. «Studies and essays offered to
G. Sarton». N. Y., 1947.
3. R. Oppengeimcr. Analogy in Science. «The american psychologist», vol. 11, № 3,
March, 1956.
4. П. H. Пипиныров. О роли аналогии в процессе познания.— «Ученые записки
ЛГУ», № 274; «Вопросы логики». Л., 1957.
5. Э. И. Розенберг. К вопросу о роли аналогии в современном естествознании.—
«Труды Новосибирского инженерно-строительного института им. В. В. Куй¬
бышева», 1959.
6. Ц. С. Саронгов, Б. М. Спасский. Роль аналогии в открытии квантовой меха¬
ники.— В кн.: История и методология естественных наук, вып. II. М., 1963.
7.	А.	И.	Уенив. Аналогия в практике научного исследования. М., 1970.
8.	В.	М.	Брадис. Методика преподавания математики в средней школе. М.,	1951.
9.	И.	И.	Сскоюв. Методика преподавания физики в средней школе. М.,	1951.
10.	С.	Е.	Каменецкий. Аналогии в курсе физики средней школы.— «Известия
АНН РСФСР», вып. 106. М., 1959.
11. В. В. Репьев. Общая методика преподавания математики. М., 195S.
12. J. Lindenbaum-Hosiasson. Induction et analogie. «Mind», vol. L, N 200, Octo¬
ber, 1941.
13. I. M. Bcchenski. liber die Analogie. «Logisch-philosophishe Studien». Frei¬
burg— Miinchen, 1959.
14. А. И. Уемов. Индукция и аналогия. Иваново, 1956.
15. А. И. Уемов. О достоверности выводов по аналогии.— В сб.: Философские
вопросы современной формальной логики. М., 1962.
16. А. И. Уемов. Основные формы и правила выводов по аналогии.— В сб.:
Проблемы логики научного познания. М., 1964.
17. А. И. Усмсв. Вещи, свойства н отношения. М., 1963.
18. А. И, Уемов. Логические основы метода моделирования. М., 1971.
19. П. С. Новиков. Элементы математической логики. М., 1973.
20. Аристотель. Аналитики, первая и вторая. [М.], 1952.
21. Д. Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения. М., 1957.
22. А. Уемов. Развитие логического мышления учащихся при решении задач.—
«Фьзика в школе», 1956, № 2.
23. А. И. Уемов. Задачи и упражнения по логике. М., 1961.
24. А. И. Уемсв. Логические ошибки. М., 1958.
36

25. В. М. Кирпичев. Теория подобия. М., 1953.
26. В. А. Веников. Теория подобия и моделирование применительно к задачам
электроэнергетики. М.. 1966.
27. П. М. Эрдниев. Некоторые вопросы методики обучения арифметике и алгебре
в средней школе. Элиста, 1960.
28. П. М. Эрдниев. Метод противопоставления на уроках арифметики в первом
классе. М., 1966.
29. П. М. Эрдниев. Методика упражнений по математике. М., 1970.
30. А. И. Уемов. Строение умозаключений как проблема логики научного позна¬
ния.— «Вопросы философии», 1966, № 7.
31. Д. Пойа. Как решать задачу. М., 1959.
32. Д. Пойа. Математическое открытие. М., 1970.

Ю. А. Петров, JI. М. Фридман
О НЕКОТОРЫХ ПРИМЕНЕНИЯХ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
И ТЕОРИИ АВТОМАТОВ
К ЗАДАЧАМ
ПРОГРАММИРОВАННОГО
ОБУЧЕНИЯ
О характерных чертах программированного обучения. За время
своего существования и развития программированное обучение полу¬
чило много различных истолкований, в соответствии с чем был
предложен ряд способов его практического осуществления. Настоя¬
щая статья исходит из интерпретации программированного обуче¬
ния как частной дидактической системы, основанной на алгоритми¬
зированных процессах (на различных уровнях алгоритмизации — ср.
11, с. 147—156, 179—185, 247—255; 2, с. 261—278]) и ориентирован¬
ной на те разделы учебных дисциплин, которые поддаются доста¬
точно строгой логической обработке. В связи с этим возникает за¬
дача уяснения «логической составляющей» разработок в области
программированного обучения, т. е. выявления формально-логи¬
ческого аспекта дидактического программирования на различных
его этапах.
Рассмотрим в интересующем нас плане эти этапы.
1.	Логический анализ учебного материала. Этот — первый —
этап имеет целью логическое упорядочение (систематизацию) ма¬
териала обучения [3]. Он складывается из:
а) выделения основных (исходных) понятий данной учебной
дисциплины — понятий, на базе которых могут быть введены
остальные ее понятия;
б) установления с помощью определений логических связей
основных понятий с понятиями производными. Определения в этом
случае играют роль средств упорядочения системы понятий данного
учебного предмета;
в) проверки полноты и независимости системы исходных поня¬
тий. Полнота состоит в возможности построения из основных поня¬
тий всех понятий учебной дисциплины. Для установления полноты
надлежит проверить, не пропущено ли какое-либо основное поня¬
тие — понятие, без которого невозможно построение некоторых
других понятий предмета. Независимость системы основных понятий
состоит в том, что ни одно из них не может быть получено с помощью

данных определений из других основных понятий. Для установле¬
ния независимости следует проверить, имеются ли среди исходных
понятий такие, которые определяются через другие основные поня¬
тия и без которых поэтому можно обойтись при построении всей
системы понятий данной дисциплины;
г) выведения из основных понятий и данных определений всех
практически необходимых понятий. Результатом этой процедуры
является установление логической структуры системы понятий —
исходных и производных — материала обучения (учебного пред¬
мета) в целом.
2. Построение модели учебной деятельности учащихся по изу¬
чению данного предмета. Под «моделью учебной деятельности» мы
понимаем предварительное описание системы действий учащихся,
приводящих их от незнания и неумения в некоторой области к зна¬
нию и умению. Модель учебной деятельности составляется на основе
логической структуры учебного предмета, учета принципов про¬
граммированного обучения и данных педагогической психологии.
В частности, необходимо исходить из положения, согласно кото¬
рому полноценное усвоение знаний и умений происходит лишь в ре¬
зультате целенаправленной собственном деятельности учащихся;
при этом объектом усвоения, объектом действий учащихся должны
быть не только знания и умения в, так сказать, готовом виде, но
и способы и средства развития этих знаний и умений. Поэтому
модель учебной деятельности должна включать системы учебных
заданий, в процессе выполнения которых учащиеся овладевают
действиями, приводящими к формированию у них нужных знаний
и умений.
3. Программирование процесса обучения. Процесс обучения скла¬
дывается из системы действий, включающей как деятельность обу¬
чающихся, так и деятельность обучающих. Поэтому программирова¬
ние обучения заключает в себе два главных компонента: программи¬
рование системы действий учащихся (разработка модели поведения
обучаемых, или программы учения) и программирование системы
действий обучающих (разработка программы преподавания) J[cp. 14]).
Программа учебной деятельности учащихся описывает: а) сферу
учебной деятельности обучаемых, т. е. изучаемый ими отрезок учеб¬
ного материала; б) задания по этому материалу (вопросы, задачи,
упражнения); в) указания о способах выполнения заданий; г) от¬
веты па задания. Иначе говоря, программа учения указывает те
действия над материалом обучения, которые должны совершить
обучаемые, чтобы овладеть новыми знаниями и навыками.
Программа управления учебной деятельностью учащихся (про¬
грамма преподавания) состоит из: а) процесса проверки правильно¬
сти ответов учащихся и указаний о допущенных ими ошибках;
б) способов исправления этих ошибок; в) действий, которые следует
выполнить; чтобы впредь не допускались подобные ошибки; г) разре¬
шений перехода к выполнению последующих учебных заданий. Эта
программа управляет программой учения.
39

Для реализации каждого из перечисленных выше элементов
программы обучения имеется несколько различных путей. Так,
например, ответ на вопрос учебного задания может производиться
с помощью специально предусмотренной процедуры конструиро¬
вания ответов, выполняемой самим учащимся, но он может осущест¬
вляться и посредством процедуры альтернативного выбора ответа
из нескольких предлагаемых ему готовых ответов, среди которых
обычно лишь один правилен. Как показали исследования
Л. Б. Ительсона [4], эффективность разных способов реализации
отдельных элементов программированного обучения весьма раз¬
лична при решении разных учебных задач.
Далее. Для осуществления программированного обучения необ¬
ходимо, во-первых, чтобы материал обучения и программа обуче¬
ния были описаны на достаточно точном языке с тем, чтобы сообще¬
ния и команды в нем можно было, в случае необходимости, переко¬
дировать на язык, «понятный» машине (техническому устройству
обучения), и, во-вторых, чтобы сама программа строилась в соот¬
ветствии с требованиями, которые предъявляются к алгоритмам.
Программу обучения, построенную с учетом этих условий, можно
просто считать алгоритмом. Тогда вместо терминов «программа
обучения», «программа учения», «программа преподавания» можно
употреблять, соответственно, термины «алгоритм обучения», «ал¬
горитм учения», «алгоритм преподавания».
Следует подчеркнуть, что изложение программы обучения на точ¬
ном языке дает возможность не только уточнить саму программу,
но и решать многие задачи дидактического программирования,
используя уже разработанные средства кибернетики и логики.
4.	Реализация программы обучения. Использование программы
обучения в реальном педагогическом процессе производится с по¬
мощью «обучающего устройства». Под последним понимается уст¬
ройство, которое в. состоянии: а) предъявлять обучаемому заранее
определенные объемы учебной информации и выдавать ему задания
(вопросы, задачи, упражнения) в порядке, установленном програм¬
мой; б) воспринимать от обучаемого выполняемые им задания (ответы
на вопросы, решения задач, выполненные упражнения) и анализи¬
ровать их с точки зрения правильности; в) выдавать обучаемому,
в случае надобности, дополнительную информацию, содержание и
характер которой определяются в результате анализа его ответов;
г)	производить оценку (как текущую, так и итоговую) учебной дея¬
тельности учащегося.
В настоящее время можно говорить о двух типах «обучающих
устройств». Ими являются преподаватель, использующий програм¬
мированные тексты, и технические средства обучения (обучающие
машины), запрограммированные и направляемые человеком. Между
этими типами нет резкой грани. Любое «обучающее устройство»,
применяемое при программированном обучении, всегда включает
в себя как «человеческий», так и «внечеловеческий» (программный,
текстовой, технический и т. п.) компоненты. Проблема их рацио-
40

пильного сочетания в тех или иных условиях принадлежит к числу
самых сложных вопросов дидактического программирования (см.
II, гл. 3]. где, в частности, подчеркнута ведущая роль человека
при любых формах программно-управляемого обучения), и мы не
можем здесь на ней задерживаться.
Нас интересуют некоторые логические аспекты программирован¬
ного обучения. Логические компоненты имеются на всех описанных
выше этапах дидактического программирования — этапах, которые
четко не отделены друг от друга, а тесно переплетаются. Рас¬
сматриваемые ниже логические проблемы минимизации и распозна¬
вания касаются прежде всего первого и третьего этапов дидактиче¬
ского программирования, однако заключения, которые можно из¬
влечь из их анализа, полезно учитывать и на двух других этапах.
Задачи минимизации *. Поскольку программированное обуче¬
ние основано на алгоритмах, одной из задач, связанных с его
оптимизацией, является задача минимизации алгоритмов обуче¬
ния. Она решается методом эквивалентных преобразований алго¬
ритмов.
Проблема минимизации алгоритмов обучения состоит в том, что,
описав процесс обучения в виде некоторого алгоритма, мы должны
исследовать полученный алгоритм на оптимум, исходя из некоторых
критериев оптимальности; это означает, что для данного алгоритма
обучения мы должны уметь находить эквивалентные ему алгоритмы
и среди всех этих алгоритмов выбирать такой, который является
оптимальным в принятом нами смысле, т. е. уметь находить алго¬
ритм, минимальный с точки зрения принятых критериев (длины
обучающей программы, числа операций алгоритма и т. п.).
Программированное обучение является дискретным — разло¬
жимым на отдельные, отличающиеся друг от друга шаги — про¬
цессом, протекающим во времени. Ввиду того, что при решении
многих задач программированного обучения от фактора времени
отвлечься нельзя, алгоритмы обучения удобно описывать в виде так
называемых автоматных алгоритмов, используя, например, поня¬
тие автомата Мили, в котором как раз и учитывается фактор вре¬
мени (автоматы Мили — как и автоматы Мура, которые будут вве¬
дены в рассмотрение ниже,— представляют собой логическую модель
автоматических устройств дискретной переработки информации;
эти автоматы изучаются в теории абстрактных автоматов).
При изучении автоматов в теории абстрактных автоматов от¬
влекаются от стру ктуры автоматов (она исследуется в стру ктурной
теории автоматов) и рассматривают автомат как некоторую конст¬
руктивную функцию (отображение), которая определяется заданием
функции переходов автомата из одного состояния в другое и функ¬
ции выходов автомата. Приведем в качестве примера задание неко*
торого автомата Мили.
1 В данном разделе использован материал, любезно предоставленный в рас¬
поряжение авторов Е. Л. Ющенко.
41

Таблица I
Таблица 2
“1
х\ 1 а1
г
“1
Ч
«1
аг
ч
а2
Ч
9i
92
ч
У-2
У-2
Пусть i есть произвольный момент автоматного времени, a (t) —-
состояние автомата в момент t, x{t)— входной сигнал (входная
информация) в момент t, tj{t) — выходной сигнал в тот же момент.
Обозначим функцию переходов буквой б, а функцию выходов —
буквой К. Тогда определение состояния а (/) автомата через функ¬
цию переходов б выразится формулой a(t) 6(a(t—1), л(/)), а оп¬
ределение выходного сигнала y(t) автомата через функцию выходов
к представится формулой y(t) =X(a(t—1), x(t)). Сами функции б
и К можно задавать разными способами, например в виде направ¬
ленных графов или таблиц. Разъясним это на следующем примере.
Рассмотрим автомат Мили, у которого имеется два состояния
а, и аг, два входных сигнала х, и х„ и два выходных сигнала yv и у2.
Автомат определяется двумя функциями (переходов и выходов),
которые можно задать, соответственно, таблицей переходов (табл. 1)
и таблицей выходов (табл. 2). Этим таблицам соответствует направ¬
ленный граф (рис. 1). Вершинам графа — они на рисунке показаны
*г (Уг)
х, (у,)
X, (Уг )
аг
(Уг)
Рис. 1
прямоугольничками — соответствуют два состояния автомата;
стрелки, помеченные буквой хс индексом t(t =1,2), показывают,
в какое состояние переходит автомат на данном такте своей работы;
выходные сигналы записаны рядом с входными в скобках.
Автоматы можно интерпретировать как алгоритмы обучения.
Например, алгоритм учения можно представить как автомат Мили
(разумеется, с гораздо большим числом состояний и более богатым
набором входных и выходных сигналов, чем это было в приведенном
выше примере), у которого входами (входными сигналами) является
сообщаемая ученику информация, состояниями — имеющиеся у уче¬
ника знания и навыки по ее переработке, а выходами (выходными
сигналами)— выдаваемая или запоминаемая учеником информация
либо его реакции. Тогда алгоритм учения можно задать с помощью
таблиц переходов и выходов или направленного графа. Если эти
таблицы или граф окажется возможным минимизировать, то тем
42

самым будет минимизирован н алгоритм обучения. Поэтому-то
минимизация абстрактных автоматов является средством решения
(при соответствующих условиях) задач по минимизации программ
обучения. Более того, существующее понимание минимизации в тео¬
рии абстрактных автоматов более или менее адекватно переносится
па задачу минимизации программ обучения: ведь минимизация
последних в значительной мере состоит в том, чтобы получить по
возможности более компактные способы переработки информации.
Задача минимизации программ обучения соответствует задаче
минимизации абстрактных автоматов 15, с. 124—139; 6, с. 135—
164], которая преследует цель нахождения более компактных ал¬
горитмов, что выражается в отыскании «автомата с минимальным
числом состояний в классе всех автоматов, эквивалентных данному»
[5, с. 124], т. е. в нахождении более компактных таблиц и графов,
задающих ту же самую функцию. При этом эквивалентными счи¬
таются такие автоматы, которые при одной и той же входной ин¬
формации выдают одну и ту же выходную информацию (естественно,
записанную на некотором точном языке, прежде всего в виде слов
в определенном алфавите).
Разработаны различные методы минимизации абстрактных авто¬
матов. Примером может служить алгоритм минимизации Ауфеп-
кампа и Хона [5, с. 127]; впрочем, он не наилучшин, имеются прак¬
тически более пригодные способы минимизации. Фактически эгл
задача сводится к задаче построения на основе данных таблиц
(направленных графов), опретеляющнх заданные функции пере¬
ходов и выходов, таблиц (графов) с меньшим числом состоянии, но
задающих те же самые функции переходов и выходов.
Для иллюстрации решения задачи минимизации алгоритма обу¬
чения воспользуемся примером, который хотя и весьма условен,
однако достаточен для ясного представления существа соответст¬
вующего метода.
Предположим, что у обучаемого требуется выработать быструю
реакцию на внешние воздействия. Представим соответствующую
Таблица 3
Внешние
воздействия
Ситуации
1
2
3
4
5
G
7
8
9
1(1
11
12
1 3
II | 1 я
X
2
3
7
8
11
1
5
6
2
5
9
В
21 5
1
У
11
9
13
15
9
10
6
7
3
1
13
9
1
7
13
г
10
12
2
14
13
8
10
14
13
3
5
11
3 ! 15
1
2
Действия
—!
0
1
— 1
0
1
—1
0
—1
0
1
0
0
0
1
43

тренировку игрой, правила которой задаются следующим образом.
Имеется три различных внешних воздействия х, у, г и три разных
действия, которые должен производить обучаемый в зависимости от
сложившейся ситуации. Обозначим эти действия (выходную инфор¬
мацию, выходные реакции) тремя числами: — 1, 0, 1. Возможным
ситуациям (состояниям) поставим в соответствие числа 1, 2, ..., 14,
15. В каждый момент времени реализуется одно из внешних воздей¬
ствий л-, у, г и в зависимости от ситуации (номера состояния), в ко¬
торой находится обучаемый в данный момент, он должен перейти
в следующую ситуацию (состояние) и при этом произвести одно из
трех действий: — 1, 0, 1, которые являются его выходными реак¬
циями.
Динамику игры представим таблицей 3. Эта таблица задает обе
функции — переходов и выходов, но не автомата Мили, о котором
речь шла выше, а автомата Мура. Отличие второго от первого
заключается в определении функции выходов. В случае автомата
Мура выходная информация определяется только состояниями авто¬
мата в момент времени t: y(t)=[i (а (/)). Поэтому в таблице 3 действия
(выходная информация) в момент t зависят только от ситуаций (со¬
стояний) в момент времени t. Например, ситуации 1 в момент t
соответствует действие—1, ситуации 2 в момент t — действие О
и т. д. Действие в момент t-\r 1 определяется внешним воздействием
(входной информацией) в момент /+1 и ситуацией (состоянием)
в момент t. Скажем, ситуации 1 в момент t и внешнему воздейст-
44

вшо х в момент t-\-1 соответствует ситуация 2 в момент ^+1. Если,
например, в момент t обучаемый находился в ситуации номер 10
и в этот жц момент получил внешнее воздействие у, то в следующий
момент /+1 он должен перейти в ситуацию номер 1 Й совершить
(в момент t-\-1) действие —1. Направленный граф, соответствующий
этой таблице, имеет вид, изображен¬
ный на рисунке 2.
Минимизируя таблицу 2, мы полу¬
чаем более компактную таблицу 4 и
соответствующий ей более компакт¬
ный граф (рис. 3), которые задают
те же самые функции переходов и вы¬
ходов, что и исходные таблица и граф.
Описание алгоритмов, по которым
совершается минимизация, в том
числе и минимизация функций, за¬
данных таблицей 3, содержится в ра¬
боте 161. Мы не будем их излагать.
Заметим лишь, что при минимизации
некоторые состояния объединяются
по определенным признакам в классы. Минимизация автомата,
заданного таблицей 3, приводит к классом:
а=(1,4, 7, 9},	с- {3. 6. II, 15},
*?={2, 5, 8},	й {10, 12, 13, 14}.
В заключение следует отметить, что минимизация алгоритме в
обучения, по-видимому, не присолит к «самой хорошей» методике
обучения, поскольку критерий оптимальности не учитывает многих
факторов, которые в действительности оказыЕакт влияние та обу¬
чение. Тем не менее при построении алгоритмов обучения можно
учитывать многие существенные параметры, так; е, как нидивилх -
альные особенности обучаемых (в тех или иных пределах), быстрота
реакции в ее связи с теми или иными путями обучения (эти данные
могут быть получены на основе экспериментальных дндактпко-пси-
хологических исследований) и др.
Таблица 4
Внешние
воздействия
Ситуации
а
ь
с | ,
X
Ь
с
а
Ь
У
С
а
d
а
2
cl
d
b
с
Действия
-1
0
1
0
4 5

Залами распознавания. Одной из важнейших целей обучения
любому предмету является привитие учащимся твердых навыков
в распознавании тех объектов, с которыми они встречаются в про¬
цессе учения. Характер этих навыков может быть различным. Для
нас существенно, «по в ряде случаев навыки распознавания могут
быть основаны на алгоритмах. Если для задач распознавания най¬
дены — и применяются — алгоритмы их решения (что означает,
что сами задачи формулируются или могут формулироваться на точ¬
ном, конструктивном, например алгоритмическом, языке), то про¬
цедуры опознавания оказываются регулярным, эффективным про¬
цессом. Для программированного обучения алгоритмизация реше¬
ний задач распознавания имеет немаловажное значение.
Проблемам дидактического, психологического и логико-алгорит¬
мического анализа задач распознавания посвящена большая лите¬
ратура; логико-дидактические вопросы этого рода освещаются,
например, в работах 17—16], где показано, что эффективная мето¬
дика выработки необходимых «распознавательных» навыков пред¬
полагает рационализацию приемов (в частности, оптимизацию ал¬
горитмов) распознавания. Ниже на материале анализа простых, по
существу условных, задач в качестве «модельного» понятия ввоаигся
понятие элементарной задачи распознавания (сокращенно — ЭЗР),
используемое для демонстрации логических методов изучения
«проблемы узнавания» и последующего рассмотрения вопросов
оптимизации.
Всякая задача состоит из условия (то, что нам дано, известно) и
вопроса (то, что надо установить в результате решения задачи).
ЭЗР также состоят, каждая, из условия и вопроса, но при форму¬
лировке их на обычном языке не всегда можно однозначно устано¬
вить содержание условия и содержание вопроса. Это происходит
потому, что многие условия при этом вообще могут быть явно не
указаны (хотя они и предполагаются, ибо без них нельзя однознач¬
но ответить на вопрос, содержащийся в ЭЗР, и тем самым решить
данную ЭЗР). Запись ЭЗР на конструктивном языке помогает
уточнять конкретные ЭЗР, выявлять условия задачи, уточнять во¬
прос, в ней содержащийся.
Для достижения этой цели можно воспользоваться разными
конструктивными символическими языками. Мы будем пользо¬
ваться некоторым смешанным языком, алфавит которого содержит
символы теоретико-множественного языка, языка логики высказы¬
ваний и особые символы лбгики вопросов.
Приведем этот язык, который мы назовем языком ЭЗР. Основы
построения такого языка можно найти в специальной литературе
(см., например, [171).
Множества произвольной природы (множества предметов, свойств
и отношений между предметами, имен предметов и т. д.) будем обо¬
значать заглавными латинскими буквами А, В, С, ... . Элементы
этих множеств будем обозначать малыми латинскими буквами а,
Ь, с, ... Принадлежность элемента множеству будем выражать
46

обычным образом: ci£A, где Е —знак принадлежности элемента
множеству, знак (£ — знак непринадлежности элемента множеству.
Если множество А состоит из элементов аг, а2, ..., ап, то это
будем записывать так: А = {аг, а2, ..., ап}, или сокращенно: А =
={Gi}, указывая, что i= 1, 2,3,..п. Символ U означает операцию
объединения множеств. Символ с выражает отношение строгого
включения множества в множество. Символы R, Q означают про¬
извольные бинарные отношения (двуместные предикаты; заметим,
что ограничение двуместными отношениями не повлияет па общ¬
ность наших рассуждений, так как их легко распространить и на
л-арные предикаты).
Если множество В составляет правильную часть (собственное
подмножество) множества А, то, используя символ строгого вклю¬
чения, мы будем писать: BczА. Множество А, являющееся объеди¬
нением п множеств (как попарно непересекающихся, так и пере¬
секающихся), обозначим так: A—A, (J А2Ь ... (J Ап, или сокращен-
П
но: А= (J А[.
i=i
Введем следующие метазнаки. Знаки а, b, с, ... означают либо
символы предметов а, Ь, с,..., либо символы множеств А, В, С, ... .
Знак е. означает либо символ принадлежности элемента множеству
(Е). либо символ строгого включения множества в множество
(с), т. е. формула авЬ означает либо Ас В, либо а Е В. Выпаженге
/1
2 Я/ означает либо совокупность из п элементов {а1у а2, ..ап},
1 = 1
п
либо объединение п множеств А,-.
Переменная X будет принимать значения из множества отноше¬
ний {R, Q}, что будет записываться как Х={/?, Q}. Выражение
аХЬ означает какое-либо из отношений R или Q между двумя пред¬
метами: aRb, aQb, или между предметом и множеством: aRB,
nQB, или между множеством и предметом: ARb, AQb, или между
множеством и множеством: ARB, AQB. Например, это может оз¬
начать какое-либо из отношений: а—Ь, а£А, АсВ и т. д.
Символы & и V соответственно означают конъюнкцию и дизъюнк¬
цию высказываний, а р, q, ...—произвольные.высказывания.
Формула p&q читается: р я q; формула рУ q читается: р или q.
Наконец, мы будем пользоваться особым символом: | ? н». Выра¬
жение 2( | ? и»23 означает задачу, т. е. требование дать ответ на во¬
прос 23 при условии 2L
Введем понятия прави.пьно тюттленных вопросов первого и вто¬
рого видов. Из изложенного ясно, что правильно поставленный во¬
прос в силу.самой записи на языке ЭЗР, которая явно выделяет ус¬
ловия вопроса и вопрос, можно назвать в то же время и правильно
сформулированной задачей. Поэтому, когда речь идет о вопросах
п задачах, записанных на языке ЭЗР, мы их не будем различать.
47

(1) Пусть высказывание (а £ Д)& (ЬеА) истинно. Тогда правильно
поставленным вопросом 1-6о вида назовем выражение типа
(а € А) & (ЬеА) | ?	(аХ'Б),	(I)
которое означает, что при условии истинности того, что я принадле¬
жит А и I) принадлежит (или включено в) А, найти то значение Х°
переменной X, X={R, Q}, при котором высказывание (аХ°Ь)
истинно.
(2) Пусть высказывание (а£ А) &(А= 2 истинно. Тогда
\	*=> J
правильно поспювленным вопросом 2-го вида назовем выражение типа
(«€Л)&(л = 2 йЛ|?|-	(И)
\	1=1	/	ь/.	I	<	'<	п
которое означает, что при условии истинности того, что а принадле¬
жит Л и Л является объединением множеств /?,, В.г, ..В„ (либо
А является множеством {&!, Ьг, . ..,&„}), найти то bh	при
котором высказывание (aRbt) истинно.
Заметим, что вопрос 1-го вида входит в задачу нахождения от¬
ношения, а вопрос 2-го вида входит в задачу нахождения предмета.
Поэтому, чтобы воспользоваться определениями (I) и (II) для вы¬
явления (распознавания) Правильности вопроса, записанного на
естественном языке, надо перевести его на язык ЭЗР и посмотреть,
будет ли с:о запись частным случаем записи (I) или (II). В приво¬
димых ниже примерах мы покажем, как это делается.
При определении правильно поставленных вопросов 1-го и 2-го
видов мы ввели »>яд ограничений. Например, мы считали, что мно¬
жество отноше: тн X состоит из двух отношений; при этом сами
отношения мы рассматривали лишь как бинарные. Между тем
можно указать задачи распознавания, которые содержат вопросы
более общего характера (например, с многочленными отношениям.i
пли с множеством отношений, состоящим из трех и более бинарных
отношений, и т. д.). Однако для первоначального исследования
задач распознавания такая широкая трактовка вопросов, входящих
г; задачи, может создать большие трудности. Чтобы избежать этих
трудностей, мы и ограничили класс задач распознавания. Дальней¬
шее обобщение этих задач и, следовательно, вопросов, входящих в
эти задачи, является темой последующих исследований.
Приведем теперь примеры ЭЗР и покажем, как можно при запи¬
си ЭЗР на нашем языке явно выражать.условия задачи и входящий
ь задачу правильно поставленный вопрос. Более того, мы покажем,
как по вопросу можно реконструировать всю задачу, содержащую
этот вопрос. Это важно потому, что зачастую вся задача не формули¬
руется й явном виде, так как условие, при котором следует давать
ответ на вопрос, явно не выписывается. Однако для точной форму¬
лировки задачи в явном виде необходимо все части задачи записать
тоже в явном виде.
48

Следуя традиции, задачу распознавания мы будем сначала за¬
писывать не вполне явно — явно будет выражен лишь вопрос (да
и то на естественном языке). И по традиции же эту запись мы будем
называть записью задачи. Но при переводе этой не вполне явной
записи на естественном языке в запись на языке ЭЗР мы задачу
будем представлять полностью в явном виде. Иначе при распозна¬
вании правильно поставленных вопросов (задач) мы не сможем
воспользоваться нашими определениями. Приведем примеры рас¬
познавания правильно поставленных вопросов, выражающих ЭЗР.
Задача 1. Пусть задан вопрос: «Данный треугольник прямо¬
угольный или нет?»
Анализируя этот вопрос, можно выявить всю задачу (т. е. вопрос
на языке ЭЗР). Сделаем это следующим образом: обозначим объект
распознавания (данный треугольник) буквой а. Вопрос предполага¬
ет известным, что а принадлежит множеству треугольников А, т. е.
что высказывание а С А истинно. Это одно из условий задачи. Кроме
того, неявно в вопросе предполагается еще известным, что множест¬
во прямоугольных треугольников В составляет правильную часть
множества треугольников А, т. е. высказывание Bcz А тоже истинно.
Это второе условие задачи. Из вопроса также следует, что значения¬
ми X являются отношения £ и (£.
ЭЗР в данном случае состоит в том, чтобы при выполнении упо¬
мянутых выше условий установить, какое из двух указанных отно¬
шений должно принять X — назовем его А'0,— чтобы высказыва¬
ние аХ°В было истинным. Или иначе: требуется установить, каким
из двух отношений, £ или (£, связаны а и В (именно в этом порядке).
Как мы видим, данная задача является вопросом 1-го вида. Со¬
гласно изложенному выше ее можно записать так:
((а 6 А) & (Вс А)) | ? I-—(аХ°В).
*={е,
Запись показывает, что задача является правильно поставлен¬
ным вопросом, согласно определению (I) правильно поставленного
вопроса 1-го вида.
Задача 2. Учитель, указывая на портрет, спрашивает уче¬
ника: «Это А. С. Грибоедов?»
Учитель поставил перед учеником вопрос, а тем самым и требо¬
вание решить ЭЗР, содержащую этот вопрос. Объектом распозна¬
вания в данном случае является изображение (образ) некоторого
человека. Обозначим объект распознавания через а. Очевидно, что
образ этого человека должен быть знаком ученику (иначе вряд ли
учитель задал бы приведенный выше вопрос).
Если мы множество людей, образы которых знакомы ученику,
обозначим через А, то первое условие ЭЗР, извлекаемое из постанов¬
ки вопроса, будет А.
Неявно .еще вопрос предполагает, что образ А. С. Грибоедова (ft)
также знаком ученику, т. е.&£ А. Тогда все условия задачи можно
записать так: ((а£ А)&(Ь£ А)). Из постановки вопроса также оче¬
видно, что Х = {=, Ф}.
49

Задача состоит в том, чтобы (при данном нам условии) устано¬
вить относительно этих двух элементов а и b множества А, одинако¬
вы они (являются изображениями одного и того же лица) или нет.
Поэтому данную задачу распознавания, которая является вопросом
1-го вида, можно записать так:
{{а € А) & {Ь е А)) | ? |- - - -> (аХ°Ь).
л —1 = *
Согласно определению (I), она является правильно поставлен¬
ным вопросом.
Задача 3. Ставится вопрос: «Окрашена ли эта стена в зеле¬
ный цвет?» Из анализа вопроса следует, что объектом распознавания
является цвет а данной стены, при этом а принадлежит множеству
А различных цветов. Кроме того, постановка вопроса предполага¬
ет, что адресат имеет представление о зеленом цвете. Иначе говоря,
предполагается, что неявно задано некоторое правильное подмно¬
жество В множества А, причем такое, что каждый из элементов
В мы обычно и называем зеленым цветом (точнее — предметом, ок¬
рашенным в зеленый цвет). Задача состоит в установлении, каким
отношением связаны а и В при упомянутых выше условиях задачи:
или а £ В, или а(£В.
Так как данная задача, как мы видим, является вопросом 1-го
вида, ее можно записать так:
((а е А) & (В с А)) | ? |			г (аХ°В).
х={е, «}
Нетрудно убедиться, что, согласно определению (I), это пра¬
вильно поставленный вопрос.
Все приведенные выше задачи являются правильно поставленны¬
ми вопросами 1-го вида, и в каждой из этих задач нам надо было
установить, каким из данных двух отношений связаны объект рас¬
познавания и другой данный объект.
Таким образом, все эти задачи являются примерами задач рас¬
познавания отношения, ибо ответить на правильно поставленный
вопрос данного вида ничто иное и не означает.
Каждой такой задаче соответствует определенная элементарная
задача распознавания искомого объекта.
Задача 4. Ставится вопрос: «К какому виду треугольников
принадлежит данный треугольник о?»
Первое условие запишем с помощью высказывания: а£А, ко¬
торое истинно, ибо данный треугольник а, конечно, принадлежит
множеству треугольников А.
Коль скоро нам нужно установить вид данного треугольника а,
то нам должно быть известно, окаких видах (подмножествах множест¬
ва А) идет речь. Допустим, что речь идет о таких видах треуголь¬
ников: остроугольные треугольники (В,), прямоугольные (В,) и
тупоугольные (В3). Следовательно, второе неявно заданное условие
з
задачи можно записать так: А = U В,.
I =i
50
I.

Задача состоит в том, чтобы при данных условиях установить,
к какому из трех правильных подмножеств Blt В2 и В3 принадле¬
жит а. Эта задача является вопросом 2-го вида, и ее можно записать
так:
((«е -<) & (л = и в.))| ?	<« е в,).
Используя определение (II), можно убедиться, что она представ¬
ляет собой правильно поставленный вопрос 2-го вида.
Задача 5. Указывая на портрет, учитель ставит вопрос иначе,
чем он это сделал в задаче 2, а именно: «Кто изображен на этом пор¬
трете?»
В этом случае надо установить, с каким из известных ученику об¬
разов людей совпадает образ человека на портрете. Выявляя пред¬
посылки, при которых вопрос имеет однозначный смысл, мы нахо¬
дим, что неявно в условия задачи входит задание всего множества
А образов людей, известных ученику; допустим, что А = {Ьи Ьг,...,
Ьп} и что человек, изображенный на портрете, принадлежит к этому
множеству: о £ Л.
Очевидно, что данную задачу можно рассматривать как вопрос
2-го вида, и записать ее надлежит следующим образом:
((а£А)&(А={Ь1, К M))l?lt-T<<^7(Q=ft?)-
Легко убедиться, что, согласно определению (II), она представ¬
ляет собой правильно поставленный вопрос.
Задача 6. Вопрос: «В какой стране находится данный город?»
Правильная постановка данного вопроса предполагает, что
некоторое множество предметов А разбито на подмножества В„ Вг,
..., Вп, каждое из которых представляет собой множество предметов
(городов) одной и той же страны, а также то, что известный нам пред¬
мет принадлежит множеству А, т. е. что а£А. Данная задача со¬
стоит в нахождении того из подмножеств В (, к которому принад¬
лежит объект распознавания а.
Следовательно, данная задача представляет собой вопрос 2-го
вида и ее следует на языке ЭЗР записать так:
(«■ е 3) & (з = й в,)) | г	<«	€	в?).
После этого можно убедиться, что в данной записи задача пред¬
ставляет собой правильно поставленный вопрос.
Задача 7. Вопрос: 'Параллельны ли данные прямые?» Пра¬
вильная постановка этого ьопроса предполагает, что как прямая
а, так и прямая b принадлежит множеству несовпадающих прямых
одной и той же плоскости, т. е. а£ А иЬ£А. Тогда задачу 7 можно
записать такг
((а 6 А) & (ft € А)) | ? 1^7— (аХ'Ь).
51

По своей форме задача есть правильно поставленный вопрос 1-го
вида. Форма же эта явилась результатом достаточно полного выяв¬
ления содержания задачи.
Задача 8. Вопрос: «Как расположены на плоскости две дан¬
ные прямые?»
Условия задачи: 1) данные прямые а и b принадлежат множеству
А пар несовпадающих прямых, находящихся между собой в отно¬
шении «взаимного расположения», т. е. а, Ь£А, что является сок¬
ращением для ((а£ A)&(b£ А)); 2) множество А разбито на под¬
множества Ви ..., Вп, в каждом из которых прямые находятся в
одном и том же «взаимном расположении». Тогда задача 8 записы¬
вается на языке ЭЗР так:
^(а, Ь£А)&.
Как видно, эта задача является правильно поставленным вопросом
2-го вида.
Согласно определениям (I) и (II) правильно поставленных
вопросов (правильно сформулированных ЭЗР), ответ на подобный
вопрос (решение задачи) требует либо распознавания наличия неко¬
торого отношения между объектами (предметами или множествами),
задача распознавания которых предполагается решенной, либо
распознавания некоторых объектов, находящихся в определенном
отношении, задача распознавания которого, аналогично, предпола¬
гается решенной. Но что означают слова «задача распознавания
объектов и отношений (в дальнейшем отношения мы тоже будем
называть объектами) считается решенной»? Они означают, что вы-
голняется одно из следующих требований:
(1) Требование достаточности непосредственного распознавания
объектов, основанное на эмпирических данных (интуиции).
(2) Требование достаточности данную задачу распознавания
принять за решенную, отвлекаясь от ее решения.
(3) Требование необходимости опосредованного распознавания
этих объектов и отношений, основанного:
а) на сведении распознавания данных объектов к распознаванию
некоторых других объектов с помощью логического определения
первых через вторые;
б) на сведении распознавания данных объектов к распознаванию
некоторых других объектов и отношений, осуществляемому в силу
одного из требований (I), (2) или (3).
Если при этом всегда основываться на выполнении требования (3),
то очевидно, что задача распознавания решена быть не может из-за
бесконечности процесса сведения, поэтому необходимо на каком-
либо этапе ее решения ограничиваться требованием (1) или (2).
Выполнение требований (1) — (3) существенно зависит от кон¬
структивности распознаваемых объектов и конструктивности опре¬
делений.
52

Конструктивным считается либо (а) объект, данный в виде,
доступном непосредственному наблюдению, четко различаемый от
других объектов, либо (б) объект, построение которого определено
алгоритмом.
Примерами конструктивных объектов служат натуральные числа,
если, например, они заданы следующим правилом (определением):
а) |— натуральное число;
б) если п — натуральное число, то п | — тоже натуральное
число.
Объект | конструктивен в силу 1-го требования (а) конструктив¬
ности объектов, а объекты 11, 111 и т. п. конструктивны в силу 2-го
требования (б) конструктивности объектов.
Примерами неконструктивных объектов могут служить беско¬
нечные множества (числовые, точечные и т. п.), ибо они не даны
в виде, доступном непосредственному наблюдению, не являются
четко различаемыми или отождествляемыми объектами, а алгорит¬
мов для их построения из конструктивных объектов не существует.
Например, нет алгоритма для построения множества всех натураль¬
ных чисел из объекта |, хотя такие конструктивные объекты, как
произвольное натуральное число или конечное множество натураль¬
ных чисел, из такого объекта строить можно с помощью алгоритми¬
ческих (конструктивных) определений.
Практически, конечно, конструктивность или неконструктивность
объектов — понятие относительное, зависящее от наших возмож¬
ностей различать и отождествлять объекты. Поэтому все теории,
имеющие дело с конструктивными объектами, предполагают дан¬
ной конструктивность исходных объектов, фактически абстрагиру¬
ясь от решения этой задачи.
Конструктивное определение является алгоритмическим пра¬
вилом (предписанием), по которому из одних объектов строятся
(определяются) другие объекты.
Например, приведенное выше определение натурального числа
является конструктивным (рекурсивным) определением, представля¬
ющим собой алгоритм (рекурсивную функцию), по которому из
объекта | можно построить любое натуральное число. (Понятие
рекурсивной функции является одним из уточнений понятия ал¬
горитма.)
Конструктнвизация объектов распознавания и определений
в педагогическом процессе является, по существу, конструктиви-
зацией того материала обучения, который должен быть усвоен
в процессе программно-управляемого обучения. Она в значительной
мере предопределяет успешное внедрение дидактического програм¬
мирования в преподавание той или иной дисциплины. Чем больше
конструктивизирован материал обучения, тем легче конструктиви-
зировать процесс учения, а значит, использовать методы про¬
граммирования.
Большое место в конструктивизации материала обучения долж¬
но быть отведено конструктивизации его логической структуры. Это
53

первый и необходимый этап конетруктивизации материала обуче¬
ния, осуществляемый с помощью современной формальной ло¬
гики.
Современная формальная (математическая) логика играет су¬
щественную роль п конетруктивизации задач распознавания, на
чем мы остановимся подробнее.
Решение задачи распознавания сводится к проверке наличия
у распознаваемого объекта тех признаков, которые указаны в его
определении. Проверка этих признаков составляет отдельные шаги
алгоритма решения задачи распознавания.
Но что собой представляют эти шаги алгоритма решения за¬
дачи распознавания? Что означает проверка наличия у распозна¬
ваемого объекта того или иного признака?
По сути дела, проверка наличия у объекта того или иного приз¬
нака есть снова решение некоторой элементарной задачи распозна¬
вания. Например, при решении задачи распознавания параллель¬
ности двух данных плоскостей нам надо согласно определению
проверить перпендикулярность одной из этих плоскостей к прямой,
которая (по построению) перпендикулярна к другой плоскости.
Но ведь установление перпендикулярноеги прямой н плоскости
есть задача распознавания того же типа, и она может быть, в свою
очередь, сведена к другим задачам распознавания.
Поэтому, если допустить, что решение всякой задачи распозна¬
вания сводится к проверке тех или иных признаков, то получится,
что это решение состоит в проверке бесконечной «цепи» признаков,
что, конечно, невозможно. Следовательно, должны существовать
такие задачи распознавания, решение которых не должно основы¬
ваться на сведении их к другим задачам распознавания. Если пос¬
ледние, для того чтобы считаться решенными, предполагают вы¬
полненным лишь требование 1, то такие задачи распознавания мы
будем называть задачами узнавания, а психические процессы, про¬
исходящие при решении этих задач, будем называть узнаванием.
Психические же процессы, происходящие при решении задач рас¬
познавания, когда это решение состоит из цепи последовательных
решений задач узнавания, т. е. сводится с помощью определений в
конечном итоге к процессам узнавания или к объектам, которые пред¬
полагаются распознаваемыми, будем называть собственно распозна¬
ванием.
Разделение задач распознавания на задачи узнавания и на задачи
собственно распознавания является, конечно, относительным и ме¬
няющимся по мере обучения; оно зависит от цели решения задач
распознавания. Очевидно, с одной стороны, что многие задачи рас¬
познавания по мере овладения навыками их решения становятся за¬
дачами увнавания; с другой стороны, в случае затруднений, возни¬
кающих при узнавании, оно расчленяется на отдельные шаги и
тем самым становится распознаванием.
Вернемся теперь к вопросу о построении алгоритмов решения
задач распознавания на базе определений.
54

Чтобы на базе какого-либо определения можно было построить
алгоритм распознавания, надо сначала выделить в этом определении
родовое понятие, которое должно быть конструктивным объектом
(либо его конструктивность должна предполагаться). А затем надо
построить алгоритм, который бы позволил построить подмножество
объектов, обладающих некоторым видовым признаком. При этом
объекты, распознавание которых предполагается решенной задачей,
не обязаны быть практически конструктивно распознаваемыми.
Рассмотрим, например, определение равнобедренного треуголь¬
ника: «Треугольник, у которого две стороны равны, называется рав¬
нобедренным». Из определения ясно, чго родовым понятием для
определяемого понятия («равнобедренный треугольник») является
понятие «треугольник», которое предполагается конструктивным,
т. е. предполагается, что задача распознавания треугольников кон¬
структивно разрешима. Теперь надо конструктивно определить
видовой признак, которым является равенство сторон треугольника.
Для того чтобы конструктивно распознать, является ли данный тре¬
угольник равнобедренным или нет, достаточно конструктивно опре¬
делить понятие равенства сторон треугольника.
Первым шагом в алгоритмизации процесса распознавания неко¬
торого объекта, осуществляемого с помощью его определения, и
распознавания объектов, через которые он определяется, является
запись определения на конструктивном языке. К такому языку от¬
носится, например, язык конструктивной логики высказываний,
т. е. язык логических связок и ((к), или (V), если ..., то (=>),
тогда и пюлько тогда ( =) и логического оператора отрицания (”]),
значение которых определяется эффективно (алгоритмически). Од¬
нако использование в определении объекта связок подобной логики
еще не обеспечивает полной алгоритмизации распознавания. Любое
определение — если оно не чисто логическое — содержит внелоги¬
ческие выражения, и эти выражения могут не иметь (н очень часто
действительно не имеют) алгоритмического определения. В послед¬
нем случае распознавание не будет конструктивным. В этом отно¬
шении ничто не изменится, если мы определение запишем с помощью
символов, за исключением разве того, что оно будет записано
короче.
Поясним это на примере определения равнобедренного тре¬
угольника, видоизменив его так: «Фигура является равнобедренным
треугольником (обозначим это предложение буквой р) тогда н толь¬
ко тогда, когда фигура является треугольником (q) и фигура имеет
по крайней мере две равные стороны (г)».
Используя введенные символы, это определение можно записать
в виде формулы ps=(q&r). Это определение говорит нам об эквива¬
лентности алгоритмов распознавания, содержащихся в формуле р
и в формуле qtkr. Если мы можем алгоритмически распознать,
является или нет фигура-треугольником, и можем алгоритмически
распознать, равны или нет по крайней мере две ее стороны, то можем
алгоритмически распознать и то, является или нет данная фигура

равнобедренным треугольником. Если распознавание, требуемое
предложениями q и г, конструктивно, то конструктивным будет и
распознавание, требуемое предложением (q&r), ибо связка & опре¬
делена алгоритмически. А тогда будет конструктивным и распозна¬
вание, требуемое предложением р.
Отсюда видна необходимость записи определений на возможно
более богатых конструктивных (алгоритмически задаваемых) язы¬
ках: это расширяет конструктивизацию процесса распознавания. По¬
следнее же весьма существенно для программированного обучения.
Используя язык конструктивной логики высказываний, можно
конструктивизировать в определениях только соответствующие ло¬
гические связки. Например, в определении, выражаемом формулой
p==(q\/r), конструктивизирована связка V; в определении р=
s^(q&(r\/s)) конструктивизированы связки & и V- При этом сле¬
дует оговориться, что связка V обеспечивает конструктивизацию
распознавания только тогда, когда мы, например, из двух случаев
распознавания, q и г, по крайней мере один
можем алгоритмически распознать. Если же
мы знаем, что из двух случаев в одном каком-
то алгоритмическое распознавание возможно,
УЛ	но не знаем, в каком именно случае это воз¬
можно, то связка V не конструктивизирует
распознавания.
Язык конструктивной логики высказыва-
Рис- 4	ннй можно использовать для конструктивиза-
ции определений, памятуя о необходимости
тщательного анализа логических связок, особенно связок или и
если ..., то. В противном случае очень легко записать определение
на языке логики так, что будет искажен его смысл. Но для неко¬
торой степени конетруктивизации задач распознавания можно
использовать и язык классической логики. В литературе можно
найти многочисленные примеры применения языка алгебры логики
для записи определений категорий грамматики с целью частичной
конетруктивизации распознавания грамматических объектов.
Практически решение задачи распознавания в случае применения
определений сводится к замене данной задачи распознавания другой
более легко разрешимой задачей. Изобразим алгоритм распознава¬
ния без применения определения в виде граф-схемы. Получим граф,
имеющий один вход А и два выхода: В и В (рис. 4). От входа А стрел¬
ка ведет нас к узлу А, что показывает необходимость проверки на¬
личия у объекта а признака Р. От узла А идут две стрелки: одна
со знаком + (это означает, что проверяемый признак Р у объекта
а имеется) приводит нас к выходу В; другая же стрелка со знаком
— (он означает, что признак Р у объекта а не имеется) приводит
к выходу В.
Если же распознавание объекта опирается на его определение,
V" для построения алгоритма распознавания нам надо сначала уста-
56

попить логическую структуру определения, обусловливающую по¬
рядок проверки у объекта соответствующих признаков. Выбрав тот
1иш иной порядок проверки наличия признаков, мы строим алго¬
ритм распознавания в зависимости от логической структуры опре¬
деления. Так, если определение имеет конъюнктивную структуру
pis(pt8ip2& ...&рп), то каждый последующий признак проверяет¬
ся лишь при положительном исходе проверки всех предшествующих
Lb]
Ш
признаков, а отрицательный исход проверки любого признака
означает, что распознаваемый объект признаком р не обладает.
Если определение имеет дизъюнктивную структуру ps=(PiVp*V- • •
•. • VPn). то положительный исход проверки любого из признаков
р,,. . рп означает, что распознаваемый признак присущ объекту,
а проверка всякого последующего признака необходима лишь при
отрицательном исходе проверки всех предшествующих признаков.
67

Все это наглядно видно, если изобразить алгоритм распозна¬
вания в виде граф-схемы. Граф-схема алгоритма распознавания объ¬
екта в случае коньюнктивной структуры его определения изображе¬
на на рисунке 5, а граф-схема алгоритма распознавания объекта,
имеющего дизъюнктивную структуру своего определения, изобра¬
жена на рисунке 6. При этом принят тот порядок проверки призна¬
ков, который указан в записи определения согласно индексам 1,2,
п. Точно так же можно построить алгоритм распознавания
объекта, имеющего смешанную структуру определения, например
гакую, как на рисунке 7.
Графы-схемы алгоритмов распознавания могут служить не только
хорошим пособием для усвоения изучаемого алгоритма распозна¬
вания, ной для обучения методам построения алгоритмов распозна¬
вания на базе того или иного определения.
Оценка структурной сложности задач распознавания в системе
программированного обучения. Чтобы из всех возможных алгорит¬
мов решения задачи распознавания найти оптимальный, надо уметь
количественно оценивать сложность задачи распознавания при ис¬
пользовании того или иного алгоритма.
Как же оценить сложность задачи? Сделать это можно, исходя
из разных оснований оценки. Мы рассмотрим только основания,
характеризующие структуру объекта распознавания или алгоритма
распознавания. Несмотря на узость такой постановки вопроса, он
имеет определенное значение для программированного обучения.
Можно, например, принять такой критерий сложности задач
распознавания: задача распознавания тем сложнее, чем большая
информация требуется для выделения (распознания, различения)
данного объекта среди всех объектов множества, к которому он при¬
надлежит. С интуитивной точки зрения этот критерий вряд ли может
вызвать возражения. Однако количественная оценка сложности ре¬
шения задачи распознавания, очень важная с точки зрения програм¬
мированного обучения, весьма затруднительна ввиду различного
понимания информации, которое определяется объективными раз-
чичиями в природе информации, получаемой в результате решения
разных задач распознавания. Мы ограничимся рассмотрением наи¬
более простого случая, при котором можно использовать для оценки
сложности шенноновское понятие количества информации. Тем са¬
мым мы предопределили условие структурного подхода (а не содер¬
жательного) к выбору оснований для оценки сложности задач рас¬
познавания.
Тогда мы можем принять допущение, что сложность задачи
распознавания определяется количеством элементарных алгорит¬
мов, т. е. количеством шагов работы сложного алгоритма, которое
необходимо для распознавания индивидуального объекта в множе¬
стве, которому он принадлежит (предполагается также, что эти мно¬
жества конечны).
Если мы отвлекаемся от всех характеристик работы алгоритма
распознавания, кроме той, что на каждом шаге в результате его ра-
58

(ими мы имеем один из двух равновозможных ответов ■— «принад¬
лежит», «не принадлежит»,— то хорошо известно, что в этом слу¬
чае количество информации, требующейся для распознавания объек¬
та в конечном множестве (состоящем из п объектов), равно log, п бит.
11апример,если множество состоит из одного объекта,то Jog2l=06«m,
н, стало быть, не требуется никакой информации для распознавания
поьекта в множестве, состоящем из одного объекта, т. е. этот объект
предполагается распознаваемым, иначе не имеет смысла говорить
п множестве, состоящем из одного объекта.
Если в множестве имеется два объекта, то требуется 1 бит ин-
(|юрмации, чтобы распознать один объект и тем самым отличить его
иг другого объекта этого же множества. Действительно, logg2= 1 би¬
ту. Если в множестве 8 объектов, то для распознавания каждого из
них требуется log2 8=3 бита информации, и т. д.
Отсюда нетрудно усмотреть, что оптимальным с точки зрения
количества шагов для распознавания п объектов будет алгоритм,
содержащий количество шагов, не превышающее первого натураль¬
ного числа, следующего за числом log2 п, если Iog2 п не есть натураль¬
ное число (так как алгоритм не может иметь не целое число шагов),
н равное log2 п, если это натуральное число.
Для распознавания каждого из объектов восьмиэлементного
множества оптимальным будет алгоритм, состоящий из log2 8=
3 шагов. Если в множестве 9 элементов, то оптимальным будет
алгоритм, состоящий из 4 шагов, ибо 4 есть первое натуральное чис¬
ло, следующее за числом log2 9, которое не является натуральным.
На основании этого, конечно, мы ничего не можем сказать о том,
какие именно нужны алгоритмы распознавания на каждом шаге рас¬
познавания и какова трудность выполнения каждого шага. Все
эти задачи при данном способе оценки сложности алгоритма рас¬
познавания принимаются за решенные, хотя они могут представлять
практически определенную трудность.
Теперь допустим, что обучающийся может оценить сложность
решения т задач распознавания g,, g2, . . ., gm (с точки зрения из¬
ложенного выше критерия), т. е. может оценить сложность рас¬
познавания объектов а1ъ а2г . . ., ат, соответственно, в конечных
множествах Мх, Мг, . . .,Мт. Иначе говоря, относительно каждого
из множеств А4„ . . ., Мт он может оценить сложность задачи рас¬
познавания и (что с количественной точки зрения одно и то же)
определить оптимальное количество шагов (алгоритмов) для рас¬
познавания каждой из задач gb . . . , gm. Допустим, что оценка g£
равна К (г=1, 2, . . ., т). Спрашивается, какова будет оценка слож¬
ности составной задачи g, состоящей из задач g,, . . ., gm. Очевидно,
что она будет зависеть от логической структуры, образуемой этими
задачами. Допустим, что структура задачи g имеет такие формы1:
Л Ж 1 hi означает неразрешимость задачи g£;
1 Знак _о есть знак графического равенства: запись ё о~ё; означает, что
? есть сокращенное (условное) обозначение выражения ~] й,-
59

&JL(3i&3y) означает решение сразу двух задач: fa и fa;
5 JL(8iV8/) означает решение по крайней мере одной из двух задач:
5,_или fa;
3 _o_(5i ^ 3j) означает решение задачи fa при условии решения задачи
8,-, или, другими словами, сведение решения задачи fa к решению
задачи 5г.
Как при таком понимании задачи распознавания 5 оценить ее
сложность? Ответ на этот вопрос подсказывает сам смысл, приданный
нами тем формам, в которых выражается эта задача. Действительно,
если jlT 1 fat что означает неразрешимость задачи fa, то при нашем
смысле оценки сложности это значит, что для решения задачи
требуется бесконечное число шагов (что равносильно ее нераз¬
решимости, ибо бесконечное число шагов неосуществимо), а само
решение задачи "lfo бесконечно сложно. Так как тут речь идет о не
более чем счетной бесконечности, то сложность решения задачи
можно обозначить первым трансфинитным числом со.
Предложенное понимание смысла выражения фиксирует тот
факт, что задача распознавания не решается в том случае, если не¬
обходима бесконечная работа алгоритма, ее решающего (отрица¬
тельный результат определяется через бесконечность процесса,
приводящего к положительному результату). Если выражение
«сложность задачи 8» обозначить через |_3_|. то L ~1 й J —ы-
Очевидно, что при независимости оценки сложности задач
gj и fa получится, что
L(ii&3i)J = Lfa J + LfcJ
(в случае неразрешимости одной из задач вся задача тоже неразре¬
шима);
L (йт V a/) J = М- (L 5/ J » L8/J).
где оператор р есть оператор взятия наименьшего числа. Это опре¬
деление обеспечивает условие оптимальности алгоритма решения
задачи. Задача неразрешима только в случае неразрешимости обеих
задач. Поэтому если задача все же была решена, то разумно оцени¬
вать ее по оптимальной, а не по максимальной сложности и не по
задаче неразрешимой, если таковая имелась.
L (3/ => 6/) J = 0 + L 8/ J = L 8/ J .
что соответствует интуитивному представлению об оценке сложности,
ибо оценивается-то сложность той задачи, которую требуется решить
обучающемуся, а не той задачи, которая принимается им за решен¬
ную и лично для него никакой сложности не должна представлять.
Поэтому в задаче (fa =э fa) всегда L 0; J =0.
Предложенный способ оценок позволяет (при оговоренных
нами условиях) оценивать сложность задач распознавания, имеющих
изложенную выше логическую структуру. Здесь основание для
оценки сложности задачи учитывает только логическую структуру
задачи. Пусть, например, нам дана задача распознавания 5, имеющая
логическую структуру (jj & (з2 => (fa V 3j)))- И пусть даны области
60

распознавания для задач glt g2, g3l g4, которыми являются конечные
множества Ми М2, Ms, УИ4. Допустим, что эти множества имеют,
I оответственно, 2, 4, 9 и 18 элементов. Тогда |_ 3i J =log2 2=1 биту,
I За J =2 битам, |_ 3e J =3 битам, |_ h J = 4 битам, а учитывая,
чго р (3, 4)=3, мы будем иметь: |_g J =(1+(0+р (3, 4)))=(1+0+
| 3) = 4 битам.
При тех же самых начальных условиях |_ (3i& (За^Зл)) J =
(1+(0+4))=5 битам. Отсюда ясно, что альтернативные задачи,
входящие в составную задачу, могут только уменьшать ее сложность,
а конъюнктивная задача имеет наибольшую сложность, что легко
проверить. При этом учитывается не сложность решения задачи с
ючки зрения ученика, а таким образом выявляемая ее объективная
сложность.
Для случаев конъюнктивной или дизъюнктивной логической
структуры задач распознавания применима и вероятностная оценка
их сложности.
Допустим, что мы имеем конъюнктивную задачу g, состоящую из
задач g,, g2 g„, т. е. g^g!&g2 3: . . .	g„,	либо мы имеем
дизъюнктивную (альтернативную) задачу g о_ g, V g2 V ••• V g„-
Допустим, что каждая из задач . . ., g„ разрешима и все ре¬
шения независимы друг от друга. Пусть для каждой задачи gj
(/=1,2, . .., п) сложность ее решения состоит из сложности либо по¬
ложительного (bt), либо отрицательного (gf) решения, т. е. |_ 3/ J =
= L bt _!, либо L hi J = L ЬТ J • Запись (_ bt J означает вероятност¬
ную оценку положительного решения задачи gj, а |_ gf J — вероятно¬
стную оценку отрицательного решения задачи ЬТ, Li? J + L b~i J = *•
Тогда в случае glT g, & . . . & g„:
(о) L з+ J = L з.+ J + L 8* J + • • • + L in J;
<P) L a- J = м (L 8Г. J L8/*J);
n^zk^z 1; i, j= 1, ..., n;
в случае g^gi V • • • V gn:
(Y) l_3+ J =11(L3/,J.	L 3/fc J n^k^z 1;
i, /= 1, .... n\
(f>) L 3~ J — L зг J + L 3a J + • • • + L Зл J •
Содержательное обоснование этого способа оценок состоит в
следующем:
(а)	Конъюнктивная задача g решается положительно тогда,
когда все элементарные задачи glt . . ., gn решаются положительно.
Поэтому оценка ее сложности должна. состоять из суммы оценок
сложности всех элементарных задач.
((3) Конъюнктивная задача решается отрицательно тогда, когда
по крайней мере одна элементарная задача решается отрицательно.
61

Объективная оценка задачи j- может быть дана только по]
оптимально решенной элементарной задаче т. е. по наимень-1
шея оценке. Это и выражается формулой (Р), означающей выбор]
из всех оценок отрицательных решений той оценки, которая является]
наименьшей.
Рассуждения при обосновании соответственно случаев (у) и]
(б)	аналогичны рассуждениям при обосновании соответственно слу-1
чаев (Р) и (а).
Важно отметить, что субъективная оценка сложности задач, ко-]
нечно, может не совпадать с объективной оценкой их сложности.
Так, в случае (р) субъективно она равна сумме оценок всех положи¬
тельно решаемых задач, предшествующих отрицательно решаемой!
задачи, но не обязательно оптимально решаемой, а просто первой!
встретившейся в процессе распознавания.
Литература
1. Б. В. Бирюков, Е. С. Геллер. Кибернетика в гуманитарных науках. М.,|
1973.
2. Управление, информация, интеллект. Под ред. A. IF. Берга (и др.]. М.,|
1970.
3. В. Г. Фарбер. Некоторые вопросы педагогических применении логики.— I
«Советская педагогика», 1962, № 1.
4. J1. Б. Птельсон. О некоторых основных проблемах программированного]
обучения.— «Советская педагогика», 1963, № 9.
5. В.	М.	Глушквв. Введение в кибернетику. Киев,	1964.
6. В.	М.	Г лутков. Синтез цифровых автоматов. М.,	19С2.
7. Л.	М.	Фридман. Логико-математическая модель	распознавания	в	учебной!
деятельности.— В сб.: Вопросы теории и практики оптимально	управляемого]
(программированного) обучения. Душанбе, 1963.
8. Л. М. Фридман. Учебные алгоритмы распознавания.— «Новые исследова¬
ния в педагогических науках», 1, вып.' 129. М., 1963.
9.Л. М. Фридман. Построение и оптимизация алгоритмов распознавания]
отношения принадлежности. — В сб.: «Программированное обучение и|
обучающие машины», № 1. Киев, I960.
10. Л. М. Фридман. Логико-математический подход к определению понятий |
распознавания и узнавания.— «Вопросы психологии», 1968. № 6.
11. К. М. Шаюмий. Оптимизация алгоритмов распознавания путем исключе-1
ния избыточных операций.— «Новые исследования в психологии», № 2. [
М., 1971.
12. К■ М. Шоломий. Оптимизация алгоритмов распознавания за счет использо¬
вания работы памяти.— «Вопросы психологии», 1971, № 1.
13. К. М. Шоломий. О дихотомических и иолитомических алгоритмах распозна¬
вания.— В сб.: О путях повышения эффективности обучения русскому |
языку в средней школе, вып. 3. М., 1972.
14. С. И. Шапиро. Операторы и логические условия в процессе решения матема¬
тических задач.— «Новые исследования в психологии и возрастной физио-1
логин», № I. М., 1970.
15. С. И. Шапиро. От алгоритмов — к суждениям. Эксперименты по обучению i
элементам математического мышления. М., 1973.
16. К. М Шоломий. Об одном формальном методе построения рациональных
алгоритмов распознавания.— В кн.' Вопросы алгоритмизации и програм¬
мирования обучения, вып. 2. М., 1973
17. /О. А. Петров. Математическая логика и материалистическая диалектика!
(проблемы логико-философских оснований и обоснования теорий). М., 1974. |
62

Ю. А. Петров, А. А. Столяр
О ПЕДАГОГИЧЕСКОМ АСПЕКТЕ
СЕМИОТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ВОПРОСОВ
Понятие об зротетичеекой семиотике. Роль вопросов в обучении
|рудно переоценить: они, по существу, пронизывают всю обучаю¬
щую и учебную деятельность 11,2]. Поэтому изыскание рациональ¬
ных методов формирования вопросов и построения правильных
ответе в, а также эффективных способов анализа тех и других - -
важней задача дидактики и специальных методик. Настоящая
статья имеет целью предложить исследователям-дидактам, методи¬
стам и учителям некоторые средства решения этой задачи.
В современной науке анализ вопросов и вопросно-ответных про¬
цедур производится различными методами, как чисто содержатель¬
ными, так и формальными (рассмотрение различных подходов к пост¬
роению «вопросительной» — эротетической, иптеррогативной — ло¬
гики см. в работах [3, с. 139 и далее; 4], где приведена обширная биб¬
лиография). Смысл предлагаемого здесь подхода к анализу вопросов
состоит в переходе от содержательных рассмотрений вопросительных
предложений естественного языка к формально-логическому их
представлению, основанному на строгой теории, предложенной
п [5, 6] (впоследствии развита в [7]). Как убедится читатель, подход
этот предполагает некоторый общий семиотический взгляд на воп¬
росы и ответы на них.
Как известно, семиотика (наука о знаках) включает три основных
раздела: синтактику (науку, изучающую синтаксис, т. е. отношение
знака к знаку), семантику (науку, изучающую отношение знака к
обозначаемому объекту) и прагматику (науку, изучающую отно¬
шение знака к научно-практическим потребностям человека). Со¬
ответственно, изучение педагогического аспекта такой логико-грам¬
матической формы, как вопрос, посредством семиотического ана¬
лиза требует рассмотрений с синтаксической, семантической и праг¬
матической точек зрения. Область семиотики, в которой исследуется
вопрос, получила название эротетической семиотики. Разделами
эротетической семиотики являются эротетическая синтактика, эро-
тетическая семантика и эротетическая прагматика.
В эротетической синтактике вопросы изучаются со стороны их
структуры, представленной некоторыми знаковыми образованиями,
и только с этой стороны. Отношения между различными вопросами,
а также отношения между вопросами и ответами в эротетической син-

тактике изучаются как отношения между знаковыми образованиями
определенного типа. Одной из задач такого изучения является вы¬
яснение структуры вопросов (и ответов), чтобы по структуре, или,
образно выражаясь, по внешнему виду (по форме), знаковых обра¬
зований можно было бы распознавать знаковые образования, явля¬
ющиеся вопросами (или ответами), и отличать их от знаковых об¬
разований, не являющихся вопросами (соответственно, ответами).
Поскольку естественный язык является совокупностью знаковых
образований, чисто синтаксические алгоритмы построения которых
во многих случаях неизвестны, что не дает возможности удовлетво¬
рительно решать задачу распознавания знаковых образований, явля¬
ющихся вопросами (или ответами), для записи вопросов (и ответов)
создаются искуссгвенные языки, где подобная задача разрешима.
Синтаксис искусственных языков определяется эффективными (про¬
стыми, вполне определенными и понятными) правилами построения
слов, представляющих собой знаковые образования, называемые
термами, и предложений—знаковых образований, называемых
формулами. И если вопросы (или ответы), записанные на естест¬
венном языке, перевести на язык искусственный, то задача распоз¬
навания вопросов (ответов) может решаться эффективно (т. е. с
помощью правил, дающих однозначные решения).
Эротетический синтаксис служит также для решения другой,
не менее важной задачи, чем задача распознавания вопросов (или
ответов). Задача эта состоит в том, чтобы по структуре вопроса уметь
находить структуру выражения, являющегося ответом на этот во¬
прос. Опять-таки, в отличие от естественного языка, лишь искусст¬
венные языки позволяют эффективно решать эту задачу.
В силу сказанного понято, почему в современной логике и
семиотике изучение структуры вопросов (и ответов на вопросы) за¬
частую ведется посредством искусственных эффективно построен¬
ных языков (т. е. языков, построенных с помощью эффективных
правил и иногда называемых формализованными языками). Эроте-
тическая синтактика вопросов, записанных на формализованном
языке, называется эротетичсской логической синтактикой.
В эротетичсской семантике изучается семантическая сторона
вопросов, т. е. возможные смыслы и значения вопросов и ответов, а
также значения предложений, называемых предпосылками вопросов;
способы семантически правильной постановки вопросов и способы
обоснования ответов на вопросы. Если эротетическая семантика ос¬
нована на эффективных правилах определения значений вопросов
(эффективных семантических правилах обозначения) или на эффек¬
тивных правилах определения смысла вопросов, то она называегся
эротетичсской логической семантикой. Одной из главных задач эро-
тетической логической семантики является задача эффективного
определения понятия семантически правильно поставленных во¬
просов, понятия истинного ответа на вопрос и т. п.
В эротетичсской прагматике изучаются условия понимания
i.inpoca тем, для кого предназначен данный вопрос (адресатом),
64

условия эмпирической разрешимости вопросов, их так называемая
прагматическая правильность, т. е. правильность, выражающаяся,
например, в целесообразности (в том числе и с педагогической точки
зрения) постановки вопросов; в эротетической прагматике анализи¬
руется практическое значение вопросов для различных областей
знания — педагогики, юриспруденции, психологии и других наук.
Несмотря на важность прагматических задач, пока еще нет ос¬
нований говорить о наличии разработанных систем эффективных
правил их решения. Поэтому, в отличие от эротетической синтак-
тики и эротетической семантики, эротетическая прагматика не ео<
тавляет области точного знания и в основном остается областью со
держательно-интуитивного понимания. Ввиду этого к эротетической
логике (или логике вопросов) как области точного знания относя г
только эротетическую логическую синтактику и эротетическую логи¬
ческую семантику, но не относят эротетическую прагматику.
В данной статье эротетическая логика и эротетическая прагма¬
тика будут интересовать нас с точки зрения преодоления трудностей,
связанных с постановкой вопросов в процессе обучения. В основу
изложения положены примеры, педагогически и логически доста¬
точно простые, чтобы сделать отчетливой для читателя принци¬
пиальную сторону дела. Дидактико-методические аспекты предла¬
гаемого подхода обрисованы лишь в самых общих чертах и требуют
дальнейшей разработки.
Семиотический характер трудностей, связанных с постановкой
вопросов в процессе обучения.
Тpydriocmu постановки вопросив, св 1занные с особенностями син¬
таксиса естественного языка. Первая трудность: вопросы в естествен¬
ном языке выражаются предложениями различных грамматических
форм, причем по одной лишь синтаксической структуре предложе¬
ния далеко не всегда можно определить, язляется оно вопросом
или нет. Если вопрос выражается вопросительным предложением,
то это обстоятельство синтаксически выражается с помощью во¬
просительного знака, стоящего в конце предложения. Однако этот
синтаксический признак вопроса не является эффективным средст¬
вом для распознавания вопросов. Во-первых, наличие в предложе¬
нии вопросительного знака не всегда свидетельствует о том, что
данное предложение выражает вопрос. Во-вторых, вопрос могут
выражать повелительные и повествовательные предложения, не
имеющие вопросительных знаков. Вопросы, которые нельзя рас¬
познать в силу одной только их структуры, выраженной в записи
(их синтаксической формы), мы будем называть синтаксически не¬
правильными воп росами.
Примерами синтаксически неправильных вопросов являются
предложения:
(а)	Разве можно так доказывать?
(в)	Расскажи, как ты доказал теорему!
Предложение (а), хотя и заканчивается вопросительным зна¬
ком, по существу, не выражает вопроса. На это предложение не ожи¬
J № 1749
65

дается никакого ответа. Оно утверждает (с помощью слова разве),
что «так» доказывать нельзя. Предложение (Ь), хотя и не содержит
знака вопроса, все же выражает вопрос: Как ты доказал тео¬
рему?
Вторая трудность состоит в том, что без контекста (а иногда и
в контексте) не всегда по виду вопросительного предложения можно
определить, что стоит под вопросом, т. е. к какому выражению, вхо¬
дящему в предложение (слову, словосочетанию), относится вопрос.
Вопрос, выраженный вопросительным предложением, в этом случае
в силу характера своей записи оказывается неоднозначным.
Вопросы, относительно которых в силу одной лишь их синтак¬
сической формы нельзя однозначно решить, что находится под во¬
просом, назовем синтаксически неопределенными вопросами.
Трудности семантического характера. Эти трудности связаны как
с распознаванием значений вопросов, так и их смыслов.
Если предположить, что синтаксические трудности преодолены,
то прежде всего вызывает трудности задача распознавания семан¬
тически правильно поставленных (семантически правильных) во¬
просов, а также семантически неправильно поставленных (семан¬
тически неправильных) вопросов.
Семантически правильным вопросом называют при этом, напри¬
мер, вопрос, на который возможен какой-либо ответ (истинный
или ложный), а семантически неправильным вопросом — вопрос,
на который вообще невозможен ответ (ни истинный, ни ложный).
Примером семантически неправильного вопроса является сле¬
дующий вопрос: Какой треугольник больше: ABC или ArB,Ci?
На этот вопрос невозможен ответ (ни истинный, ни ложный), по¬
добно тому как нельзя ответить на вопрос Какое из двух комплексных
чисел: 2+3/ или 3+2/—больше?, так как отношение больше не введено
на множестве треугольников (так же как и в множестве комплексных
чисел). Это отношение применимо к вещественным числам, которые
могут быть значениями некоторых числовых функций, определенных
на множестве многоугольников, в частности треугольников (пло¬
щадь, периметр и др.). Семантически правильным будет, например,
вопрос Площадь какого треугольника: ABC или A,BtC,— больше?
Чтобы эффективно распознавать семантически правильные во¬
просы любой сложности, нужны правила для распознавания се¬
мантической правильности элементарных вопросов и правила для
распознавания семантической правильности сложных вопросов.
Практически для этого необходимо располагать средствами четкого
выражения логической структуры (синтаксической формы) вопро¬
сов любой сложности и быть в состоянии эффективно распознавать
их синтаксическую правильность. Подобные задачи, как правило,
успешно разрешимы при использовании искусственных языков.
Семантическая правильность и семантическая неправильность явля¬
ются двумя семантическими значениями вопросов, эффективно рас¬
познавать которые возможно лишь при использовании эффективно
построенных языков вопросов (эротетических языков).
66

Трудности семантического характера возникают, далее, тогда,
когда вопрос семантически правилен (т. е. ответ на него, вообще
творя, возможен), но смысл вопроса неоднозначен, т. е. вопрос се¬
мантически неопределенен (а посему и ответ на него может быть неод¬
нозначен). Часто семантически неопределенные вопросы начинаются
со слов «Что можно сказать...», например: Что можно сказать о па¬
раллелограмме A BCD?
Причин семантической неопределенности вопросов, выраженных
на естественном языке, довольно много. Одной из них является то,
что контекст определяет как явные, так и неявные предпосылки во¬
проса. При этом неявные (незаписанные в явном виде) предпосылки
зачастую либо не выявляются при чтении вопроса, либо выявляются
неоднозначно. В обоих случаях вопрос будет семантически неопре¬
деленным. Допустим, что уже известно о наличии прямого угла в
параллелограмме ABCD. Эта неявная предпосылка не выявляется
при чтении приведенного выше вопроса. Поэтому ответ может быть
дан, исходя лишь из явной предпосылки, содержащейся в формули¬
ровке вопроса (ABCD — параллелограмм). Например, возможен
такой ответ: В параллелограмме A BCD сторона А В параллельна
стороне CD, а сторона ВС параллельна стороне AD — или: Диа¬
гонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Если
же учитывать и невысказанную предпосылку, ответ может быть:
Этот параллелограмм — прямоугольник или: Диагонали его рав¬
ны. Заметим, что все эти ответы семантически правильны.
Для устранения семантической неопределенности вопрос запи¬
сывают в виде особого рода условного предложения (условный
вопрос), в котором в антецеденте (условии) выписываются в явном
виде все истинные предложения, являющиеся предпосылками во¬
проса, а в консеквенте (заключении) записывается сам вопрос.
Например, условным вопросом будет предложение Если известно,
что A BCD — параллелограмм и один его угол — прямой, то что
можно сказать о фигуре A BCD?
Другой причиной семантической неопределенности является то,
что в естественном языке вопросы возможно формулировать так,
что остается неопределенным, о каком из двух типов свойств идет
речь: то ли о свойствах безотносительных, то ли о свойствах, про¬
являющихся через отношение. Например, свойство угла быть тупым
безотносительно к другим углам (геометрическим фигурам). Его
определение опирается только на измерение этого угла. Но свойство
угла быть внешним безотносительно к некоторому треугольнику
не имеет смысла. Оно проявляется только через отношение к опре¬
деленному треугольнику. Так, вопрос Каков угол BCD (рис. 1)? —
семантически неопределенен, хотя и семантически правилен.
Этот вопрос можно осмыслить и как вопрос Каковы безотноси¬
тельные свойства угла BCD?, и как вопрос Каковы свойства угла BCD
относительно треугольника ABC? Поэтому на вопрос Каков угол
BCD? возможен как ответ Угол BCD тупой, так и ответ Угол BCD —
внешний угол треугольника ABC.
з*
67

Несколько забегая вперед, заметим, что существующие искус¬
ственные логические языки позволяют по форме самой записи оп¬
ределять, о чем идет речь: об отношении (Р (х, у)), об относительном
свойстве (Р (х, a)~Q(x)) или о безотносительном свойстве (Р (х)),
где х, у — переменные, а — постоянная, Р и Q — предикаты. Это
упрощает устранение семантической неопределенности вопроса.
Трудности прагматического характера. Если в применении к
конкретному вопросу (или вопросам) предположить, что синтакси¬
ческие и семантические трудности разреше¬
ны, то остаются еще трудности прагматиче¬
ского рода. Преодоление этих трудностей
имеет важное значение для педагогики.
Из трудностей прагматического харак¬
тера прежде всего следует сказать о труд-
А	со	ности, связанной с тем, что в зависимости
рнс- j	от задач обучения, подготовленности уче¬
ников и т. гг. условный вопрос должен
быть поставлен целесообразно с методической точки зрения — в том,
например, смысле, что он не должен быть ни чрезмерно трудным, ни
слишком легким. Иначе говоря, если вопрос понимать как затре¬
бование информации, которую должен дать отвечающий, то вопрос
должен ставиться так, чтобы количество затребованной информации
было оптимальным с точки зрения задач обучения: не слишком боль¬
шим и не слишком малым. Вопрос, поставленный целесообразно с
методической точки зрения, назовем прагматически правильным1.
Так, используя рисунок 1, можно задать вопрос Является ли
угол BCD внешним по отношению к треугольнику Л ВС? Семантиче¬
ски этт вопрос правилен, но неправилен прагматически, ибо от¬
вет усматривается непосредственно из довольно тривиального оп¬
ределения понятия внешнего угла и самого рисунка 1. Эгот вопрос
не содержит даже неопределенности в выборе определения. В данном
случае было бы прагматически более правильным задать вопрос
Каким свойством обладает угол BCD относительно треугольника
ABC? Ответ на такой вопрос содержит необходимость выбора не¬
которых определений из всех возможных определений свойств угла
BCD относительно треугольника ABC.
Прагматически правильные вопросы должны вызывать активную
мыслительную деятельность учащихся именно в силу оптимального
(в идеале) количества энтропии (неопределенности) этих вопросов.
При этом не надо смешивать семантическую неопределенность с
прагматической. Поэтому впредь прагматическую неопределенность
вопроса мы будем именовать энтропией вопроса. Чем больше эн¬
тропия вопроса, тем больше информации должен содержать ответ
на такой вопрос. Поэтому если вопрос содержит слишком боль¬
1 Понятие прагматически правильного вопроса относительно и может быть
применено к определенному лицу (или группе лиц). Безотносительно к обучае¬
мому (обучаемым) оно не имеет смысла.
68

шую энтропию, то он не вызовет активной мыслительной дея-
ильности отвечающего, так как содержащееся в этом случае в во¬
просе требование сразу дать большое количество информации ста¬
вит ученика в тупик, в положение, когда он может счесть для себя
бесполезным поиски ответа.
Вместе с тем вопросы с малой энтропией также не способствуют
пктивной мыслительной деятельности учащихся. Представим себе,
например, что учитель задал учащимся вопрос: Сколько окружностей
можно провести через три точки, не лежащие на одной прямой?
Ученики без затруднения отвечают: Одну. Затем учитель спраши¬
вает: А если точки лежат на одной прямой? Учащиеся отвечают:
Гогда нельзя провести через них окружность. Совершенно очевидна
прагматическая неправильность такой постановки вопросов. Сле¬
дует повысить их энтропию. Лучше, например, задать учащимся
вопрос: Сколько окружностей можно провести через три точки?
Готового ответа на этот вопрос ученик не найдет в учебнике. Ему
нужно самому исследовать возможное расположение трех точек.
Рассматривая два априорно возможных случая: «точки лежат на
одной прямой» и «точки не лежат на одной прямой», ученик <(юрму-
лирует ответ в виде двух условных предложений: Если три точки
лежат на одной прямой, то через них нельзя провести окружность;
если они не лежат на одной прямой, то можно провести окружность,
и притом только одну.
Здесь возникает общая прагматическая задача: каковы методы
повышения и понижения энтропии вопросов? Ее решение может,
н частности, содействовать разработке таких методик постановки
вопросов в педагогическом процессе, при которых у учащихся будет
вырабатываться своего рода «вопросоустойчивость»: умение не
становиться в тупик перед «слишком сложными» вопросами, сводя
их к вопросам «более простым» — вопросам, ответы на которые
позволяют получить ответ и на исходный вопрос.
Методы разрешения прагматических трудностей, связанных
с постановкой вопросов в процессе обучения, мы рассмотрим
после анализа методов преодоления синтаксических и семантиче¬
ских трудностей, основанного на некотором уточнении языка
вопросов и ответов. Нашей конечной целью будет разрешение праг¬
матических трудностей, которые состоят в формулировании правил
возможного сведения прагматически неправильных вопросов к праг¬
матически правильным. Но более успешное, более экономное и про¬
стое их разрешение требует записи вопросов на таком языке, кото¬
рый позволял бы лучше описывать, например, методику сведения
сложных вопросов к более простым. Кроме того, говорить о праг¬
матической правильности вопросов без выполнения условий син¬
таксической или семантической правильности не приходится. А вы¬
полнение этих условий более достижимо, если вопросы и ответы на
них записаны на эффективно построенном языке. Поэтому мы кратко
охарактеризуем язык вопросов и ответов, или язык эротетической
логики.
69

Языкэротетической логики. Мы не будем стремиться к изложению
языка вопросов и ответов в очень скрупулезной и обобщенной форме.
Дадим его изложение в той мере, в какой это нужно для решения не¬
которых проблем педагогического использования логики вопросов.
Язык будет основан на алфавите специальных символов и на
эффективных правилах построения из символов строчек символов
определенного вида (формул). Запись вопросов и ответов на таком
языке позволит нам либо непосредственно применять для анализа
вопросов и ответов современную формальную логику, либо приспо¬
собить ее для подобного применения. Обозначать этот язык мы будем
буквами Яэ (сокращение для выражения «Язык эротетический»).
Язык Яэ
1. Символы а, Ъ, с, ... — индивидные постоянные, т. е. имена
каких-то индивидуальных предметов (например, геометрических
фигур, чисел и т. д.).
2. Символы х, у, г, ... — индивидные, или предметные, пере¬
менные. Эти переменные принимают значения из какой-то предмет¬
ной области (например, числовой области).
3. Символы Р, Q, R, . . . — имена предикатов, выражающих ка¬
кие-то конкретные свойства или отношения (например, свойства
«быть числом», «быть четным числом» или отношения «больше»,
«предшествует» и т. д.);
4. Символы X, Y, Z, . . . — предикатные переменные, значения¬
ми которых могут быть предикаты (например, предикатная пере¬
менная X может принимать значения из совокупности предикатов
«больше», «меньше», «равно»),
5. Символы р, q, г, ... — переменные для высказываний, т. е.
переменные, значениями которых могут быть высказывания, нли
(что при нашем рассмотрении то же самое) истина (И) либо
ложь (Л).
6. Символ V — квантор общности. Имеет то же значение, что
и слово «все» (или «для всех»).
7. Символ 3 — квантор существования. Имеет то же значение,
что и слово «существует» (или слово «некоторый»).
8. Символы 3, &, V, ^ имеют, соответственно, те же значения,
что и логические связи «не», «и», «или» (соединительное), «если ....
то». Значение символов V, 3, 3, &, V, уточняется в логике
предикатов (см., например, [8, гл. 1—IV]).
Символы, перечисленные в пунктах 1, 3, 6, 7, 8, будем считать
логическими постоянными, а символы, перечисленные в пунктах
2, 4, 5,— логическими переменными.
9. Символ «?» — оператор вопроса. Он ставит под вопрос ка¬
кие-либо логические постоянные или переменные. Что значит «ста¬
вить под вопрос», разъяснится при изложении эротетического син¬
таксиса и эротетической семантики языка Яэ.
Сформулируем теперь понятие формулы в языке Яэ (оно соот¬
ветствует понятию предложения):
1). Символы, р, q, г, . . . являются фоомулами. Этими симво-
70

лами мы обозначаем предложения, рассматриваемые как целые (т. е.
такие, структуру которых мы не рассматриваем).
(ф. 2). Если а обозначает «-местный предикат или «-местную
предикатную переменную, а (аи . . ., ап) есть подпредикатное вы¬
ражение, являющееся набором предметных постоянных (или пере¬
менных), то о (аь . . ., а„) — формула.
(ф. 3). Если а(х)— формула, содержащая предметную пере¬
менную X, ТО V X (1 (х) и Зхо (а) —формулы.
(ф. 4). Если о и Ь — формулы, то ~| a, (а & b), (а V Ь),
(а => Ь) — формулы. Значения этих формул будем полагать из¬
вестными (см. [8]). Определения (ф. 2) — (ф. 4) служат для выяв¬
ления логической структуры предложений.
Назовем компонентой формулы либо подпредикатное выра¬
жение, либо предикат, либо предикатную переменную, либо
квантор.
(ф. 5). Если о (у) — формула, не содержащая оператора «?»,
и у — компонента этой формулы, то (?у) а (у) — формула, называе¬
мая вопросом. С синтаксической точки зрения наличие в формуле
оператора «?» рядом с буквой у будет означать, что у поставлена под
вопрос.
Определение (ф. 5) служит для выявления логической структуры
вопроса. Так, выражения (?«) Р(а), (?х) Р(х), (?Х) X (а) , (?Р) Р(х),
(?3) 3 хР (х), (?V) V хР (х), (? (х, у, г)) Р(х, у. г), (?х) (Р(х) V Q(y)h
(? (х, у)) (Р(х) Г) Q (х, у)) ит. п. будут формулами, где соответствую¬
щие компоненты поставлены под вопрос.
Значениями вопросов будут значение «правильный» и значение
«неправильный». Как приписывать эти значения вопросам, будет
разъяснено ниже.
Выражение «ставить под вопрос» с семантической точки зрения
будет означать приписывание формуле одного из упомянутых выше
значений в силу того, что в синтаксическом смысле компонента
формулы поставлена под вопрос.
При необходимости язык Яэ можно расширять, добавляя новые
символы к исходному алфавиту и расширяя понятие формулы. На¬
пример, для формулировки вопросов в процессе обучения математи¬
ке очень удобно расширить язык Яэ, добавив к нему элементарный
теоретико-множественный язык *, а именно:
1.	Исходные символы: символы А, В, С, . . .— знаки множеств;
символ € — знак принадлежности предмета множеству; символ
cz — знак строгого включения множества в множество; символы
U , П — знаки, соответственно, операций объединения множеств,
пересечения множеств и операции теоретико-множественного до¬
полнения; символы ф uV — знаки, соответственно, пустого и уни¬
версального множеств; символ = есть знак равенства множеств.
1 Более подробное описание применения теоретико-множественного языка
в процессе обучения математике содержится в работах А. А. Столяра (см. его
статьи в настоящей книге, с. 88—139 и литературу при них).
71

2.	К определениям (ф. 1) — (ф. 5) добавляется определение
(ф. 6), расширяющее понятие формулы:
(ф. 6) Если а — предмет, а М — множество, то (а£М) — фор¬
мула. Если А и В —термы (множества), то (A U В), (А П В), А' —
тоже термы (множества). Если А и В —термы (множества), то
(А с В) и (А — В) — формулы.
После этого можно расширить понятие вопроса. Естественно,
возможны и иные расширения языка Яэ-
Заметим, однако, что, по существу, все теоретико-множественные
отношения можно выразить и на исходном языке Яэ-
Действительно, предложение х£ А, где х — предметная пере¬
менная, а А — множество, выражает одноместный предикат, ко¬
торый можно обозначить через РА (х) (здесь РА —свойство, опреде¬
ляющее множество А). Приняв во внимание некоторые логические
факты, на которых мы здесь не будем останавливаться, предложения,
выражающие различные теоретико-множественные отношения, мож¬
но перевести на исходный (нерасширенный) язык Яэ следующим
образом:
(1) х	£	(A	U В) переводится	как РА(х) V Рн(х):
(2) х	£	(А	Г) В) переводится	как РА (х)& Рн(х)\
(3) х	6	А'	переводится как	Рл (х);
(4) А	с В	переводится как	Чх(РА (х) =з Рв(х)) & 3 х (Ри (а)&
& ”1 ра (*));
(5) А=В переводится как Vx((PA (х) зРЛ(.гР (Рн(х) гз РА{х))).
Однако расширение исходного алфавита Яэ за счет включения
теоретико-множественного языка обычно приводит к значительному
упрощению формул. Целесообразность введения теоретико-множе¬
ственного языка в обучение математике, как известно, ныне ши¬
роко признана.
Теперь остановимся на возможности использования языка Яэ
для преодоления некоторых синтаксических, семантических и праг¬
матических трудностей, связанных с постановкой вопросов в про¬
цессе обучения.
Использование языка Я э Для преодоления семиотических труд¬
ностей постановки вооросов.
Преодоление синтаксических трудностей. Упомянутые выше син¬
таксические трудности, выражающиеся в синтаксической непра¬
вильности и неопределенности, которые возникают при формулиро¬
вании вопросов на естественном языке, при выражении вопросов
в языке Яэ уже не могут возникнуть в силу самого построения язы¬
ка Яэ- Действительно, по виду самой формулы можно всегда распо¬
знать, является или не является она вопросом (этим самым устраня¬
ются трудности синтаксической неправильности), а если является,
то всегда можно распознать, что находится под вопросом, ибо это
всегда явно выписано в формуле (чем и устраняются трудности син¬
таксической неопределенности). Собственно говоря, язык Яэ так
и строился, чтобы по крайней мере синтаксические трудности ре¬
шались тривиально в силу построения самих формул-вопросов.
72

Ml
I юл ее того, если мы имеем вопрос, записанный на естественном язы¬
ке, то при переводе его на язык Яэ нам будет необходимо уточнить
его так, что синтаксические трудности должны будут разрешиться.
Иначе говоря, нам надо будет уточнить, можно или нельзя ставить
вопросительный знак в данном предложении, а если можно, то что
именно ставшей под вопрос. Только выяснив это, мы сможем пра¬
вильно перевести вопрос с естественного языка на язык Яэ ■ Значит,
сама задача подобного перевода уже способствует уточнению син¬
таксического аспекта вопроса. Приведем несколько примеров.
Пусть имеется предложение:
(а)	Треугольник имеет ось симметрии.
Очевидно, что если в конце этого предложения поставить вопроси¬
тельный знак, мы получим синтаксически неправильный вопрос.
Однако при том же содержании предложения можно поставить
следующие синтаксически правильные вопросы:
(al) Всякий ли треугольник имеет ось симметрии?
(а2) Какой треугольник имеет ось симметрии?
На языке Яэ эти вопросы запишутся так:
(oI)(?V)V*/> (х);
(а2)(?х)Р(х),
где х — переменная для треугольников, а Р — одноместный пре¬
дикат, выражающий свойство «иметь ось симметрии».
Вопрос (б) Каковы прямые а и £>? синтаксически правильно фор¬
мулируется так: В каком отношении находятся прямые а и Ь?
Зтот вопрос на Яэ запишется следующим образом: (?Х) X (а, Ь),
уде предикатная переменная X принимает значения из множества
двуместных предикатов {«параллельны», «пересекаются», «скрещи¬
ваются»}.
В гетях семантического анализа вопросов бывает полезным раз¬
лагать данный вопрос на несколько вопросов или сводить несколько
вопросов, связанных некоторыми логическими связками, к одному
вопросу. Для этого введем символ <-> (синтаксической эквивалент¬
ности), обозначающий следование слева направо и справа налево,
и сформулируем синтаксические правила:
(П. 1) (?у) (а (у) & t (у)) <-> ((?у) а (у)&(?у)Ь (у));
(П. 2) (?у) (п & 6 (у))«-»(а & (?у) Ь (у));
(П. 3) (?у)(п (у) V t (у))«-»((?у)а (у) V (?у) Ь (у));
(П. 4)	(?у) (а V Ь (у)) <-> (а V (?у) Ь (у));
(П. 5)	(?у)(п (у) гэ b (у))	((?у) а (у) =з	(?у)	Ь	(у));
(П. 6)	(?у) (а о b (у))<-> (а => (?у) Ь (у));
(П. 7)	(?у)(п(у) г> Ь)«-»((?у)а (у) г> Ь);
(П. 8)	(?у) 1о (у) <-> “] ((?у)о (у)), где	а	и	Ь	формулы, а у —
компонента под вопросом;
(П. 9) (?а)Р (а)	(?Я) Р(а).
Например, вопрос (?х) (1 р V (Р (*) & Q (*))) сводится к формуле
73

"1 Р V((?*) Я(х)& (?х) Q (х)), содержащей два вопроса: (?х) Я (л:) и
(?х) Q(x).
Синтаксические правила (П. 1) — (П. 9) будут нами исполь¬
зованы для решения некоторых семантических и прагматических
задач. При анализе этих задач мы будем предполагать, что вопросы
выражены в языке Яэ или в его расширении.
Преодоление семантических трудностей. Рассмотрим семанти¬
ческие трудности, связанные с выполнением требования семантиче¬
ской определенности и правильности вопросов.
1.	Начнем с трудностей, связанных с выполнением требования
семантической определенности вопросов, выраженных на обычном
языке. Зти трудности, как мы уже говорили, заключаются в неод¬
нозначности, возникающей при распознавании смысла вопроса.
Эффективное построение синтаксиса языка Яэ дает возможность
придать вопросам вполне определенный смысл, который можно разъ¬
яснить с помощью терминов предмет, свойство, отношение, предмет¬
ная область, присущность свойства предмету, присущность отно¬
шения предметам, все, существуют, а также с помощью смысла во¬
просительных слов ли и какие, отрицательной частицы не и союзов
и, или, если... то. Для краткости записи введем символ ФФ, озна¬
чающий тождество по смыслу. Ограничившись вопросами с одной
буквой в подпредикагном выражении, сформулируем следующие
правила:
(п. 1) (?а) Р (а) фф Обладает ли предмет а свойством Р?
(п.2) (?х) Р (х) фф Какие предметы из области значений пред¬
метной переменной х обладают свойством Р?
(п.З) (?Я) Р (а) фф Обладают ли свойством Р предметы из об¬
ласти значений предметной переменной х?
(п.4) (?й) X (а) фф Обладает ли предмет а свойствами из области
значений предикатной переменной X?
(н.5) (?Х) X (а) <Ф Какими свойствами из области значений
предикатной переменной X обладает предмет а?
(п.6) (?х) X (х) фф Какие предметы из области значений пред¬
метной переменной х обладают свойствами из области значений
предикатной переменной X?
(п.7) (?Х) X (а) фф Какими свойствами из области значений
предикатной переменной X обладают предметы из области значений
предметной переменной х?
(п.8) (?V) VхР (х) ФФ Все ли предметы из области значений пред¬
метной переменной х обладают свойством Р?
(п .9) (?х) V х Я(х)ФФ(?V) V* Р(х).
(п. 10) (?Я) V а Я (а) фф Обладают ли свойством Я все предметы
из области значений предметной переменной х?
(п. 11) (?Э) 3 хР (х) фф Существует ли предмет в области значе¬
ний предметной переменной х, обладающий свойством Р?
(п. 12) (?х) 3 х Я (х) фф (?3) 3 хЯ (х).
(п. 13) (?Я) 3 хЯ (х) фф Обладает ли свойством Я существующий
предмет из области значений предметной переменной х?
74

(п. 14) (?V) VхХ (х) <=> Все ли предметы из области значений
предметной переменной х обладают свойствами из области значений
предикатной переменной X?
Правила (п. 15)—-(п. 19), определяющие, соответственно, смысл
формул: (?x)VxX(x:); (?P)VxP (х), (?Э) 3 х X (*); (?х)ВхХ (х);
QP) 3 хР (х), предоставляется сформулировать читателю.
Вопросы, у которых оператор «?» относится не к свободным пере¬
менным, будем называть вопросами первого типа (они иногда назы¬
ваются ли-вопросами или прямыми вопросами). Вопросы, у которых
оператор «?» относится к свободным переменным, называются во¬
просами второго типа (другие названия: для каких-вопросы или не¬
прямые вопросы).
Таким образом, мы придали вполне определенный смысл вопро¬
сам, полученным по правилам (ф. 2) или (ф. 3) и (ф. 5), которые в
подпредикатном выражении имеют одну букву. Смысл вопросов,
полученных по этим же правилам, но таких, которые имеют в
подпредикатном выражении более одной буквы (п букв, где п> 1),
предоставляется определить читателю. Мы же ограничимся двумя
примерами, демонстрирующими, как это можно сделать.
Первый пример: (?(х„ . . ., хп)) Р(х ь . . ., хп) <=> Какие
внки предметов из областей значений предметных переменных
Xi, . . ., хп находятся в отношении Р?
Этот вопрос встречается в математике и в обучении математике
очень часто. По существу, к нему сводится задача решения урав¬
нения или неравенства.
Действительно, если «-местный предикат, выражаемый уравне¬
нием а1л:1+а2л:2+. . .-\-апхп—Ь, обозначить через Я (л:,, . . ., хп), то
решить данное уравнение и означает ответить на вопрос (?(xi, . . ., л:,,))
Я (л:,, . . ., хп), т. е. на вопрос Какие энки чисел (из данной число¬
вой области) находятся в отношении Р, т. е. удовлетворяют урав¬
нению (обращают его в верное равенство, т. е. истинное высказыва¬
ние)?
Второй пример: (? (аи . . ., а,,)) Р («,, . . ., ап) ФЭ Находится
ли энка предметов а,, . . ., ап в отношении Р?
Этот вопрос встречается часто в обучении математике в такой
формулировке: Является ли энка чисел (аи аг, . . ., а„) решением
данного уравнения (или неравенства) с п переменными? Из этих
примеров нетрудно усмотреть, как можно правила (п. 1) — (п. 19)
сформулировать в общем виде, т. е. не для формул с одной подпре-
дикатной буквой, а с энкой подпредикатных букв (н^1).
Все вопросы, полученные по правилам (ф. 2) или (ф. 3) и (ф. 5),
мы будем называть простыми вопросами (1-го или 2-го типа).
Сложными вопросами назовем вопросы, полученные с примене¬
нием правила (ф. 4). Эти вопросы можно получить, либо применяя
вначале правило (ф. 4), а потом правило (ф. 5), либо, наоборот, вна¬
чале применяя правило (ф. 5), а потом правило (ф. 4).
Так как, согласно правилу (ф. 5), оператор «?» можно применять
при построении вопросов к данной формуле только один раз, то в
75

первом случае мы можем получить следующие виды формул (с точ¬
ностью до коммутативности конъюнкции & и дизъюнкции V):
Во втором случае мы можем получить следующие виды формул
(сточностью до коммутативности & и V):
В силу правил (П. 1) — (П. 8) можно принять соглашение,
что если известен смысл вопросов 1Б, 2Б, ЗБ, ЗВ, 4А, то вопросы 16,
26, 36, Зв, 4а являются другой записью соответствующих вопросов
этого же самого смысла; иначе говоря, если заменить в синтаксиче¬
ских правилах (П. 2), (П. 4), (П. 6), (П. 7) и (П. 8) знак *-> знаком
мы получим семантические правила определения смысла слож¬
ных вопросов.
Заметим, далее, что если известен смысл вопросов 1А, 2А и ЗА,
то в частном случае при уАГу, (знак 1Г является знаком тождества
по написанию! также можно принять соглашения, что правила
(П. 1), (П. 3) и (П. 5) можно считать семантическими правилами опре¬
деления смысла, заменив в них знак на знак Далее, заметим,
что придать вопросам ЗА и ЗВ какой-либо интуитивно постигаемый
смысл нам не удается. Поэтому будем считать, что не все сложные
вопросы в нашем языке имеют смысл (это не исключает возможности
придания им вообще какого-либо смысла).
Тогда, чтобы придать смысл вопросам любого вида, кроме во¬
просов вида ЗА и ЗВ, достаточно определить смысл вопросов вида
1А—2Б, ЗА, 4А в предположении, что известен смысл вопросов
(?у) п (у), (?у) Ь (у), (?Yi) b (Yi) и предложении а и Ь. Интуитивный
смысл этих определений весьма очевиден, поэтому мы не будем его
специально формулировать; просто обозначим соответствующие
определения через (п.20) — (п.25) и приведем примеры.
Вопрос типа ЗБ: Если существует жизнь вне Земли, то каковы
ее свойства? Вопросы типа 4А: Не является ли мышление немоделиру-
емым свойством?, Какими свойствами не обладают квадраты?
Очевидно, что уточнение смысла вопросов в данном случае све¬
дено просто к его однозначному пониманию, что, собственно говоря,
нам и требовалось для придания вопросам семантической определен¬
ности и для разрешения на этой основе задачи распознаваемости
семантической определенности вопросов.
la.	(?у)(а(у)&	b(Y))l	16.	(?y) (а & 6 (у));
2a.	(?у) (a (у)V	b (y))'.	26-	(?y)	(а	V b (y));
3a.	(?y) (n (Y) =>	£> (Y)):	36.	(?у)	(п	b (y));
3b.	(?y) (а (у)	b);	4a.	(?у)	~|	а (у).
1A. ((?у) п (у) & (?y,) b (Yj));
2A. ((?у) а (у) V (?Y,) b (yx));
ЗА. (а (у) =з (?y1)b(y1));
3B. ((?y)o(y) =3 b);
1Б. (a&(?Y)b(Y));
2Б. (a V (?Y) b (у));
ЗБ. (а =э (?y) b (y));
4A. "1((?Y)fl(y)).
76

2.	Рассмотрим теперь трудности распознавания семантической
правильности вопросов. Решение этой задачи в общем виде, т. е.
не только для простых, но и для сложных вопросов, предполагает,
кроме выработки эффективных правил распознавания семантиче¬
ской правильности (или неправильности) вопросов, еще и эффектив¬
ное распознавание (семантической) истинности (или ложности)
высказываний. Однако последнюю задачу мы будем предполагать ре¬
шенной для сложных высказываний в предположении, что она реше¬
на для простых высказываний (об этом см. в любом руководстве по
математической логике, например в [8]).
Аналогично дело обстоит относительно распознавания семан¬
тической правильности вопросов. Для простых вопросов нельзя
указать правил распознавания, которые были бы эффективными во
всех случаях. Но должно указать эффективные правила распозна¬
вания семантической правильности сложных вопросов в предполо¬
жении, что оценки семантической правильности простых вопросов
нам каким-то образом известны. Оценка правильности простых во¬
просов может основываться на оперировании с неконструктивными
объектами (предметами, свойствами, отношениями, множествами),
но то1да эффективных правил такой оценки заведомо не будет.
Однако интуитивно понимаемое правило все же дать можно, что
важно для педагогических целей.
Сформулируем это правило.
Пусть (?у)«(у) есть простой вопрос. Отбросим (?у); получим
формулу п (у); если в этой формуле имеются свободные перемен¬
ные, то заменим свободные переменные на постоянные из области
значений этих переменных. Получим некоторую формулу, которую
обозначим [ару)]-*. Если формула [а (у)] * будет высказыванием,
то вопрос (?у) а (у) — семантически правильный вопрос. Формулу
[п (у)1 * мы будем называть ответом, на простой вопрос.
Например, пусть предикат а обозначает свойство «быть простым
числом», а предметная постоянная есть число 5. Тогда вопрос
(?5) а (5), читаемый Является ли число 5 простым числом?, семанти¬
чески правилен, ибо выражение а (5), т. е. Число 5 есть простое чи» -
ло, является высказыванием. Или пусть а обозначает свойство быть
простым числом, а у пусть будет переменной для натуральных чисел.
Тогда вопрос (?у) а (у), читаемый Какие натуральные числа явля¬
ются простыми?, семантически правилен, ибо существует, напри¬
мер, число 5, такое, что а (5) есть высказывание. Еще раз напомним,
что правило распознавания правильности простых вопросов не
обязано быть эффективным.
Теперь сформулируем правила распознавания семантической
правильности сложных вопросов. Эти правила должны быть эффек¬
тивными и предполагать задачу распознавания правильности про¬
стых вопросов решенной (хотя практически эта задача не всегда мо¬
жет быть решаема не только эффективным, но и вообще каким-либо
способом). Определения значений сложного вопроса задаются се¬
мантическими правилами (мы назовем их для краткости правилами
77

СПЗ, что означает «семантические правила значений»). Благодаря
эгим правилам сложному вопросу всегда можно приписать одно и
только одно из двух значений — «правильный», «неправильный» —
на основание знания значений простых вопросов и значений выска¬
зываний, входящих в сложный вопрос.
Сложный вопрос не является высказыванием, поэтому связки
1, &, V, хотя и читаются, соответственно, как не (или разве не),
и, или, если . . . то, однако их значения будут уже иными, нежели
в логике высказываний, так как их уже нельзя определить просто
через понятия истины и лжи, поскольку вопрос не истинен и не ло¬
жен. Правила СПЗ фактически предназначены для определения зна¬
чения этих связок, входящих в сложные вопросы. Для краткости
записи слово правильный обозначим символом W, а выражение
а есть правильный вопрос будем запнсывагь в виде выражения а~ W,
выражение высказывание р истинно запишем выражением р—И, а
связку если, и только если обозначим символом =. Тогда семанти¬
ческие правила значения можно выразить следующим образом:
(СПЗ 1) (П n)=W) (п = W).
Читается: отрицательный вопрос правилен, если, и только если,
положительный вопрос правилен.
Например, отрицательный вопрос Не читали ли вы эту книгу?
правилен, когда правилен положительный вопрос Читали ли вы
эту книгу? Вопрос Какие объекты не обладают свойством Р? пра¬
вилен, если правилен вопрос Какие объекты обладают свойством Р?
Это правило обосновывается тем, что если существует ответ на
отрицательный вопрос, то существует ответ и на положительный
вопрос, и наоборот. Мы не будем останавливаться на обосновании
этого утверждения, а только заметим, что оно возможно лишь
с точки зрения классической логики, в которой справедлив закон
исключенного третьего. Мы не будем также приводить обоснова¬
ние правил (СПЗ 2) — (СПЗ 6), так как эти правила более или
менее очевидны.
(СПЗ 2) ((п & Ь)= W) = ((а = W) и (b = W)).
(СПЗ 3) ((а & р)= W) = ((а = W) и (р=И)).
(СПЗ 4) ((а V Ь)— W) з= ((а = W) или (0 = W)).
(СПЗ 5) ((й V р)= W) = (a= W).
(СПЗ 6) ((р => а)= W) = ((а = W) и (р=И)).
Истинность высказывания р, входящего в сложный вопрос, не¬
обходима в правилах (СПЗ 3) и (СПЗ 6) потому, что если в качестве
р взять предпосылки для вопроса а и если р будет ложно, то (а Л р)
и (р гз а) будут неправильными сложными вопросами. Об этих пред¬
посылках подробнее будет сказано ниже.
С помощью правил (СПЗ 1) — (СПЗ 6) решение задачи опреде¬
ления правильности формул, выражающих сложные вопросы, мож¬
но свести к определению правильности формул, выражающих прос¬
тые вопросы, и определению истинности утвердительных предложе¬
ний. Эти определения мы предполагаем известными.

Проверим, например, правильность сложного вопроса, выра¬
женного формулой (pj(gV (?х) V хР (*))). Если простой вопрос
(■’х) V хР (х) окажется правильным и если q будет истинно либо лож¬
но, а р истинно, то исходный вопрос правилен.
Как правило, в вопросах имеются предпосылки, которые не¬
пременно должны быть истинными, чтобы вопрос был правилен.
Эти предпосылки записываются в виде условий, при которых можно
правильно ставить вопрос. Вообще говоря, беепредпосылочных во¬
просов нет, так как каждый вопрос предполагает описание некоторой
ситуации, относительно которой происходит затребование информа¬
ции. Поэтому можно было бы считать, что каждый вопрос является
сложным вопросом. Однако явное выписывание предпосылок прак¬
тически нужно не во всех случаях.
Некоторые педагогические примеры. Охарактеризуем теперь
вкратце значение распознавания семантической определенности
и семантической правильности вопросов для педагогики.
Наши наблюдения и опыт обучения математике в школе по¬
казывают, что многие трудности в процессе обучения возникают
из-за семантически неправильной и семантически неопределенной
постановки вопросов. Такого рода случаи встречаются не только
на уроках молодых, неопытных учителей, студентов-практикантов,
по — хотя и в меньшей мере — также и на уроках опытных препода¬
вателей. Правда, опытный учитель интуитивно доходит до семанти¬
чески правильной и определенной постановки вопросов; но, как
известно, интуиция не во всех случаях достаточно надежная опора.
Напротив, многократно повторяемые действия по научно разрабо¬
танным правилам способствуют выработке надлежащей интуиции:
осознанные действия по определенным четким правилам переходят
в правильные интуитивные действия, которые непосредственно уже
не опираются на правила. Разработке таких правил в рассматри¬
ваемой области дидактики и должен помочь логический анализ
(ср. [9, с. 258—2601).
Приведем несколько примеров семантически неопределенно по¬
ставленных вопросов на уроках математики (уроки давались учи¬
телями или студентами-практикантами в различных школах
г. Могилева).
Пример 1. Учитель поставил следующий вопрос: Каков угол
BCD (см. рис. 1 нас. 68)? Ответ ученика гласил: Угол BCD — mynoi .
Ученик ответил семантически правильно. Но учитель ожидал
другого ответа: Угол BCD—внешний угол треугольника ABC.
Таким образом, вопрос должен был касаться отношения между уг¬
лом BCD и треугольником ABC. Как известно, угол и треугольник
могут находиться в различных отношениях: угол может быть вну¬
тренним углом треугольника (Ri), он может быть вертикальным по
отношению к внутреннему углу треугольника (/?„), он может быть
внешним углом треугольника (R3) и т. п.
Вопрос: Является ли угол BCD внешним углом треугольника
ABC?, т. е. имеет ли место отношение Rs,— хотя он семантически
79

правильно и семантически определенно поставлен — неправилен
прагматически, нецелесообразен с методической точки зрения. Этот
ли-вопрос подсказывает учащимся ответ (это, разумеется, относится
не ко всем ли-вопросам).
Здесь, очевидно, целесообразно рассматривать переменное от¬
ношение X (предикатную переменную) и задать вопрос: В каком
отношении находятся угол BCD и треугольник ABC? При этом пред¬
полагается некоторая область переменности пре¬
дикатной переменной X, которая известна уча¬
щимся.
П р и м е р 2. При доказательстве теоремы
о вписанном угле встречается геометрическая
ситуация, более сложная, чем изображенная на
рисунке 1. Здесь и углы, и треугольник, и ок¬
ружность (рис. 2).
На уроке учитель спрашивает: Каков угол
AOD? Ученики отвечают по-разному, и все их
ответы семантически правильны (угол AOD ост¬
рый, центральный, внешний угол треугольни¬
ка АВО). Однако вопрос семантически неопределенен.
В этом примере мы имеем систему <.М, Р1у Р2у . . ., Яп>, где
М — множество, состоящее из угла AOD, треугольника АВО,
окружности О; Я,, . . ., Рп— предикаты, среди которых имеются
одноместные, выражающие свойства угла AOD или треугольника
О А В («быть острым», «быть прямым», «быть тупым», «быть равно¬
бедренным», «быть прямоугольным» и др.), двуместные, выражающие
бинарные отношения между углом и треугольником, углом и окруж¬
ностью, треугольником и окружностью.
Если учитель желает, чтобы ученики обнаружили, что мгол
AOD центральный, то уместен вопрос: В каком отношении находятся
угол AOD и окружность О? Если же необходимо использовать свой¬
ство внешнего угла треугольника, то нужно поставить вопрос:
В каком отношении находятся угол AOD и треугольник АВО?
Пример 3. На уроке геометрии в VIII классе, после того
как была доказана теорема о сумме внутренних углов выпуклого
многоугольника и выяснено, что для каждого из внутренних углов
его сумма с соответствующим внешним углом равна 180°, учитель
задал вопрос: Можно ли теперь определить внешние углы?
Никто из учащихся на него не ответил. Сказать «нет» не реша¬
лись (хотя этот ответ очевиден и правилен), так как по интонации
учителя чувствовалось, что все рассуждения направлены на опре¬
деление «чего-то», касающегося внешних углов (однако не самих
этих внешних углов). Замешательство вызвала именно семанти¬
чески неопределенная постановка вопроса. Речь шла не об опреде¬
лении внешних углов, а об определении их суммы, т. е. о совершенно
другом объекте. Вопрос Можно ли определить теперь сумму внеш¬
них углов многоугольника? не вызывал бы никакого замешательства
среди учащихся.

Теперь перейдем к рассмотрению прагматической правильности
шшросов и к трудностям, связанным с этим свойством вопросов
При этом мы будем предполагать синтаксические и семантические
фудности разрешенными (отвлекаться от этих трудностей); поэтому
будем рассматривать лишь вопросы, подобные трудности не содер¬
жащие. Вначале продемонстрируем некоторые из прагматических
трудностей на конкретных примерах. Так, известно, что учащиеся,
щучая различные числовые множества (натуральных, целых, ра¬
циональных, вещественных и комплексных чисел), не понимают, в
каких отношениях друг с другом находятся эти множества. Это во
многом связано с тем, что традиционная методика пренебрегает ло¬
гикой изучаемого материала, в частности разъяснением отношений
между различными множествами математических объектов, которые
изучаются в школьном курсе математики.
Нами был проведен эксперимент 1 по разъяснению учащимся
отношений между различными числовыми множествами. Прежде
исего были выяснены некоторые из отношений, в которых могут
находиться два множества А и В : (А=В), (Ас В), (Вс:А), (/1 П В—
ф), (А П В Ф ф). После этого учащимся задавались вопросы, ка¬
сающиеся отношений между известными им числовыми множествами.
Оказалось, что в некоторых случаях вопрос типа Находятся
ли в отношении пересечения множества А и В? затрудняет некоторых
учащихся (средних и слабых). Это объясняется, по-видимому, тем,
что данное отношение довольно сложно (оно сложнее, чем, скажем,
отношение включения множества в множество), а поставленный во¬
прос, хотя и является семантически правильным и определенным,
содержит слишком большую энтропию, снятие которой и затрудня¬
ет учащихся. Иначе говоря, относительно этих учащихся он праг¬
матически неправилен.
Очевидно, что в таких случаях нужна серия подводящих вопро¬
сов, которая легко определяется с помощью анализа определения
данного отношения, в котором находятся два множества А и В.
Пусгь мы хотим выяснить с учащимися, находятся ли в отноше¬
нии теоретико-множественного пересечения Р множества положи¬
тельных (Л) и целых (В) чисел: (?Р) Р(А, В, ф). Так как пересе¬
чение множеств есть двуместная операция, то мы ее записали как
трехместное отношение. Анализ отношения пересечения с помощью
его определения через другие понятия приводит к следующему его
представлению 2:
А П В Ф ф == (Эх: (Л (х) & В (х)) & 1 Vx (Л (х) о В (х)) &
& ”1 Vx (В (х) о А (х))).
Исходя из такого представления отношения Л П В Ф ф, мы уста¬
навливаем следующую серию подводящих вопросов:
1 В средней школе № 1 г. Могилева.
2 Условимся вместо Рд(х) и Рд(х) писать в дальнейшем просто А (х) и В(х).
81

1. Существуют ли числа (число), которые являются и положи¬
тельными и целыми?
(?Э) Эл: (Л (х) & В (х)).
2. Все ли положительные числа целые?
(?V) Ух (А (х) => В (х))
(так как (?V) “| Ух (A (x)zdB (л:)) = (?V) Ух(А (х) zd В (х))).
3. Все ли целые числа положительные?
(?V) Ух (В (х) => А (х))
(так как (?V) ~| Vx (В (х) со А (х)) — (?V) Ух (В (х)г> А (х))).
Выражая вопросы, содержащиеся в пунктах 2, 3, мы использо¬
вали правило СПЗ 1, согласно которому отрицательный вопрос се¬
мантически эквивалентен определенному этим правилом положи¬
тельному вопросу.
После этих трех ли-вопросов, требующих ответа «да» или «нет»,
учащиеся, как показал проведенный эксперимент, уже не затрудня¬
ются ответить на вопрос: Находятся ли в отношении пересечения
множества А и В?
Можно привести примеры, в некотором смысле противоположные
предыдущему. Имеются в виду случаи, когда вопросы с малой эн¬
тропией не вызывают активной мыслительной деятельности учащих¬
ся, позволяют им ответить словами учебника; такие вопросы не тре¬
буют никакого исследования, рассмотрения частных случаев и т. д.
К таким вопросам относятся вопросы, приведенные нами ранее
(см. с. 69). Изменим несколько эти вопросы и запишем их на языке
Яэ-
Итак, имеем вопрос Существует ли окружность О, проходящая
через три точки А, В,С, не лежащие на одной прямой А В?:
УАУВУС( “I (С£АВ)=>(?3)3 0(А,В, С£0))
и вопрос Существует ли окружность, проходящая через три точки,
лежащие на одной прямой?-.
УАУВУС ((С € АВ) zd (?Е) Э О (А, В, С£0)).
Эти вопросы целесообразно объединить в один — Существует ли
окружность, проходящая через три точки?-.
УАУВУС{?3)30(А, В, С € О).
Это делается с целью повысить энтропию вопроса, ибо безуслов¬
ный вопрос содержит больше энтропии, чем условный вопрос, так
как для устранения энтропии первого надо еще выявить условия.
Из приведенных выше примеров видно, что для устранения труд¬
ностей, лежащих на пути достижения прагматической правильности
вопросов, можно использовать определение предиката, стоящего под
вопросом. В частности, так мы поступали с отношением пересече¬
ния множеств.

г
-Этот прием можно обобщить следующим образом. Пусть мы имеем
иоирос (?y)li (у), являющийся синтаксически и семантически пра-
ИНЛЫ1ЫМ и определенным, но прагматически неправильным. До¬
пустим, что существует определение, с помощью которого выраже¬
ние а (у) определяется через одно из выражений форм:
b (у) & с (у),	Ь & с (y).
b (Y) V с (y).	b V г (Y).
Ь(у)зс(у),	b zd Щу),
D (у) =5 с,	~]	b	(y).
Такие формы определений очень распространены. Тогда, если в
синтаксически и семантически правильном и определенном вопро¬
се (?у) и (y) выражение и (у) заменить эквивалентным ему по опре¬
делению выражением одной из приведенных выше восьми форм,
го полученный вопрос — обозначим его через (?у) fl* (y) — оста¬
нется семантически и синтаксически правильным и определенным.
Обоснование этого утверждения тривиально, так как, согласно
понятию определения как синтаксического и семантического пра¬
вила, если в его левой части была формула языка Яэ, то и в правой
части будет формула того же языка, и наоборот; если при некоторых
условиях из левой части можно получить высказывания, то при этих
же условиях высказывание получится и в правой части, и наоборот;
и если левая часть однозначна, то однозначной будет и правая часть,
и наоборот. Этого достаточно для сохранения синтаксической и се¬
мантической правильности и определенности вопросов. Но тогда,
пользуясь правилами (П. 1) — (П. 8), вопрос (?у) й*(у) можно све¬
сти к некоторым выражениям, содержащим вопросы (?у)Ь (у) и
(?y)i (у), которые уже могут оказаться прагматически правильными.
То, что они будут синтаксически и семантически правильными и
определенными, следует из того, что правила (П. 1) — (П. 8) эти свой¬
ства сохраняют (для синтаксической правильности и определенности
эго очевидно; для семантической определенности это было показано;
а для семантической правильности мы предоставляем читателю
убедиться в этом самому, пользуясь правилами СПЗ).
Если проведенное сведение не дает прагматической правильности,
процедуру сведения можно повторить относительно вопроса (?у) Ь (у)
или вопроса (?у) г (у) и т.д. При этом, конечно, нет гарантии,
что непременно будет достигнута прагматическая правильность
(тем более, что это понятие относительное и не имеющее точного
определения). Однако практически шансы для этого достаточно
хороши.
Пусть, например, Р (ABCD) означает высказывание Четырех¬
угольник ABCD — параллелограмм; Я, (ABCD) означает В четырех¬
угольнике ABCD сторона АВ параллельна стороне CD; Р„ (ABCD)
означает В четырехугольнике ABCD сторона ВС параллельна AD;
Р3 (ЛBCD) означает В четырехугольнике A BCD стороны АВ и CD
равны (AB=CD); Pi(ABCD) означает В четырехугольнике ABCD
83

г
1
стороны ВС и AD равны (BC=AD)\ Ръ (ABCD) означает В четырех¬
угольнике ABCD AO—OD\ Pfi (ABCD) означает В четырехугольнике
A BCD BO=OD; P. (A BCD) означает В четырехугольнике ABCD
/ А=/_С\ P^ABCD) означает В четырехугольнике ABCD
£B=/_D.
Тогда различные определения параллелограмма запишутся так:
(1) Р (ABCD) ФФ Р, (ABCD) & Р2 (ABCD);
(2) P{ABCD)e> P3(ABCD)^Pi{ABCD)\
(3) Р (ABCD) фф Ръ (ABCD) & РЁ (ABCD);
(4) Р (ABCD) ФФ Р7 (ABCD) & РЙ (ABCD);
(5) Р (ABCD) ФФ Рг (ABCD) & Р3 (ABCD)\
(6) Р (ABCD) фф Рг (ABCD) & Р4 (.4BCD),
и вопрос, является ли A BCD параллелограммом, (?Р) Р (ABCD),
сводится к вопросам (?Pi) Pt(ABCD) & (?Р2) P2(ABCD), по опреде¬
лению (1), или же к вопросам (?Ря)Рз (ABCD) & (?Я4) Pt(ABCD),
по определению (2), и т. д.
В зависимости от того, какие свойства легче обнаружить у че¬
тырехугольника ABCD, мы обращаемся к тому или иному опреде¬
лению (по существу, к определению, принятому в построении курса
геометрии, или к одному из признаков параллелограмма, выводи¬
мых из этого определения).
Чтобы сведение прагматически неправильного вопроса к вы¬
ражению, содержащему прагматически правильные вопросы, со¬
храняло бы синтаксическую и семантическую правильность и опре¬
деленность, непременно требуется точная запись самих определений.
В качестве инструмента сведения можно использовать определе¬
ния разных типов, в зависимости от того, с какими объектами мы
имеем дело (конструктивными, неконструктивными, конечными, бес¬
конечными и т. п ), и в зависимости от того, какой логикой мы поль¬
зуемся. Последнее условие важно соблюдать при переводе вопроса
с обычного языка на язык Яэ и при сведении одних вопросов к дру¬
гим. Например, если мы даем операциональное определение преди¬
кату Р (х), то неверно записывать его на языке Яэ в обычной форме
/>(*)== (^(л^гэ/^л:))1, употребляя знак материальной импликацииз,
ибо обычно здесь подразумевается иная связка если..., то, нежели
материальная импликация. Используя же материальную имплика¬
цию, это определение следует записывать в форме Q (.г) з (Р (х) =j
= R (х))2. Поэтому с записью определений на точном языке связаны,
1 Здесь определяющее (Q(x) з /?(*)) читается так: «Если специфическое усло¬
вие Q для предмета выполняется, то специфический результат R для этого же пред¬
мета будет иметь место». Например, растворимости предмета в воде можно дать
такое операциональное определение: «х растворим в воде» по определению озна¬
чает, что «если х погружен в воду, то х диссоциирует». Подробнее об операцио¬
нальных определениях см в работах [10—12].
2 Эта формула читается так: «При условии, что специфическое условие Q
для предмета х выполняется, этот предмет обладает свойством Р тогда
84

п гною очередь, определенные трудности. Это касается и рекурсив¬
ных, и индуктивных, и других определений 1.
Наибольшие трудности представляет устранение прагматической
неправильности вопроса, начинающегося со слова почему. Такой
номрос можно выразить в виде: Какие обоснования (логические или
эмпирические) имеет предложение р? Иногда бывают ясны инту-
1м явные, эмпирические обоснования, но совсем не ясны логические.
Например, на уроках математики часто можно слышать вопрос
Ничему? Это, пожалуй, один из самых важных вопросов в обучении
математике, и именно этот вопрос чаще всего затрудняет учащихся.
1ак, на вопрос Может ли треугольник иметь два тупых угла? уча¬
щиеся, основываясь на интуиции, без затруднения дают отрицатель¬
ный ответ. Но когда их спрашивают Почему треугольник не может
иметь два тупых угла?, некоторые затрудняются ответить. Чем это
обьяснить?
То, что треугольник не может иметь два тупых угла — это ин-
|уитивно ясно, хорошо усматривается из чертежа: все попытки на¬
чертить треугольник, имеющий два тупых угла, оказываются безу¬
спешными. Но вопрос Почему? предполагает логическое обоснова¬
ние этого интуитивно ясного факта, а это обоснование может ока¬
заться уж не столь ясным.
Указанные затруднения иногда устраняются путем переформу¬
лировки вопроса типа Почему? в вопросы типа На каком основании?,
Из каких ранее известных истин это следует? и т. п. В других же
случаях, когда причина затруднений более глубока, нужны допол¬
нительные подводящие вопросы (в данном случае ими могут быть
Какой была бы сумма углов треугольника с двумя тупыми углами?
или: Может ли сумма углов треугольника быть больше 180й?).
В общем случае устранение прагматической неправильности воп¬
роса Какие обоснования имеет предлоокение р? может быть до¬
стигнуто путем точного определения термина «обоснование». На¬
пример, с помощью подобного определения этот вопрос можно
свести к вопросу Из каких аксиом следует по данным правилам
предложение р?, который прагматически более правилен, чем ис¬
ходный вопрос.
Термин «обоснование (понимаемый как синоним термина «до¬
казательство») предложения» может быть постепенно уточнен в
процессе обучения математике так, чтобы ученик старшего класса
уже понимал под этим термином конечную последовательность
предложений, каждое из которых или аксиома, или определение,
или выводимо из предшествующих предложений этой последова¬
тельности (на первых этапах обучения по невыясненному, а в даль¬
нейшем по явно выделенному правилу вывода), а последнее предло¬
жение — то, которое требуется доказать.
и только тогда, когда он обладает свойством R». Например: «При условии, что
предмет погружен в воду, он растворим в воде тогда и только тогда, когда он дис¬
социирует».
1 Описание различных видов определений имеется, например, в [13, 11].
85

Таким образом, требование привести обоснование некоторого
предложения, часто формулируемое одним из вопросов Почему?,
На каком основании? и т. п., должно пониматься как требование
построить последовательность предложений с указанными выше
свойствами. Например, на вопрос Почему диагонали квадрата равны
и взаимно перпендикулярны? (эквивалентный вопросу Почему диа¬
гонали квадрата равны и почему диагонали квадрата взаимно
перпендикулярны?) ответом может служить следующая последова¬
тельность предложений:
1. В прямоугольнике диагонали равны.
(Это предложение ранее доказано в курсе геометрии.)
2. Квадрат — прямоугольник.
(На основании определений.)
3. В квадрате диагонали равны.
(Из 2 и 1.)
4. В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.
(Ранее доказано в курсе геометрии.)
Б. Квадрат есть ромб.
(На основании определения.)
6. В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны.
(Из 4 и б.)
Следовательно:
7. Диагонали квадрата равны и взаимно перпендикулярны.
(Из 8 и 6.)
* * *
Проводимое нами экспериментальное исследование примене¬
ния в обучении методов семиотического анализа вопросов хотя
далеко еще не завершено, уже дало некоторые интересные резуль¬
таты. В частности, анализ конспектов уроков, составляемых сту-
дентами-практикантами (не изучавшими никаких элементов логики
вопросов), обнаружил, что они изобилуют синтаксически и семан¬
тически неправильными или неопределенными и еще в большей
мере с педагогической точки зрения нецелесообразно поставленными
вопросами. В порядке подготовки к очередной педагогической прак¬
тике мы посвящаем две лекции проблеме правильной и педагогически
целесообразной постановки вопросов (с элементами эротетической
логики и с анализом вопросов, часто встречающихся в процессе
обучения). Число неправильных и нецелесообразно поставленных
вопросов в конспектах студентов, слушавших эти лекции, оказы¬
вается меньшим, чем в конспектах тех, кто не слушал их.
Можно предполагать, что включение элементов эротетической
логики в программу спецкурсов окажет положительное влияние
на педагогическую подготовку учителя.
Разработка эротетической логики представляет определенный
интерес в свете современных поисков усовершенствования процесса
обучения путем использования точных методов в педагогике. В ча-

сгности, эта логика может оказать помощь в составлении оптималь¬
ных алгоритмов и программ обучения, поскольку здесь требуется
тчная методика сведения сложных вопросов к простым и выбора
вопросов с оптимальной энтропией.
Литература
1. В. Г. Фарбер. О взаимосвязи логики и педагогики.— «Доклады Академии
педагогических наук РСФСР». М., 1961, №6.
2. Ю. И. Зуев. К логической интерпретации вопроса.— «Логико-грамматические
очерки». М., 1961.
3. Ю. А. Петров. Математическая логика и материалистическая диалектика
(проблемы логико-философских оснований и обоснования теорий). М., 1974.
4. И. Кинтикка. Вопрос о вопросах.— В кн.: Философия в современном мире.
Философия и логика. М., 1974.
5. Ю. А. Петров. Вариант логики эротетической.— В кн.: Проблемы теории
познания и логики. Материалы к XIV Международному философскому конг¬
рессу. М., 1968.
6. Ю. А. Петров. Опыт формализации вопросительных предложений (вопро¬
сов).— В кн.: Вопросы алгоритмизации и программирования обучения,
вып. I. М., 1969.
7. Е. К. Вошивилло, Ю. А. Петров. Язык и логика вопросов.— В кн.: Логика
и методология научного познания. М., 1974.
8.	П.	С. Новиков. Элементы математической логики. М., 1973.
9.	Б.	В. Бирюков, Е. С. Геллер. Кибернетика в гуманитарных науках.	М.,	1973.
10.	A.	Pap. Theory of Definition.— «Philosophy of Science», vol. 28, 1961,	№ 1.
11.	Д.	П. Горский. Определение (логико-методологические проблемы).	М.,	1974.
12.	К-	Попа. Теория определения. М., 1976.
13. Определение.— «Философская энциклопедия», т. 4. М., 1967.

А. А. Столяр
ЛОГИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
ШКОЛЬНОЙ АЛГЕБРЫ
И ПРАКТИКА ПРЕПОДАВАНИЯ
Современные школьные учебники и программы по математике пред¬
полагают методику, существенно отличающуюся от применявшейся
ранее, особенно в логических аспектах обучения.
На необходимость изучения в школе общих логических основ
современной математики еще в 1963 г. указал А. Н. Колмогоров,
поставивший задачу: «Привести общие логические основы совре¬
менной математики в такое состояние, чтобы их можно было изла¬
гать подросткам 14—15 лет» [1]. Ж- Дьедонпе (1962) отмечал, что
язык и обозначения теории множеств проникли во все области
математики, однако до сих пор заботливо остерегаются вводить их
в школу, где по-прежнему говорят «геометрическое место» вместо
«подмножество», не используют теорегико-множественные и логи¬
ческие символы, такие, например, как g, сг, П, U, 3, V, Д,
V, =>, <^> \ и не внедряют общие идеи, выражаемые этими сим¬
волами (см. [2]). Как явствует из материалов Международной комис¬
сии по математическому образованию, многочисленных работ, осве¬
щающих проблемы модернизации математического образования в
в различных странах, почти во всех осуществляемых проектах
в школьное преподавание математики ныне вводятся элементы тео¬
рии множеств и математической логики.
Детальное рассмотрение проблемы логического языка матема¬
тики в школьном обучении осуществлено автором в монографии [3];
заключения автора кратко резюмированы в курсе лекций [4], а
также отражены в пособиях [5, 6]. Настоящая статья посвящена
некоторым вопросам использования языка и понятий теории мно¬
жеств, логики высказываний и предикатов в преподавании алгебры
в школе.
1.	Числовые множества. В школьном преподавании учение
о числе, как и другие разделы курса, не может строиться строго де-
1 Символы е.сг, П. U. =>, <=>, означающие, соответственно, отношения
принадлежности элемента множеству, включения множества в множество, опера¬
ции пересечения и объединения множеств, импликацию (союз если..., то) и эквива¬
лентность (эквиваленцию, союз если и только если..., то), уже вводятся в наших
учебниках и пособиях начиная с IV класса; знаки кванторов (V, 3) также, оче¬
видно, применимы (хотя бы в старших классах); вместо знаков конъюнкции (д)
и дизъюнкции (v) можно применять по-прежнему союзы и и или, только разъяс¬
няя их точный смысл.
88

дукгивно, и сложная логика этого учения не может быть раскрьгга
перед учащимися. Однако практика преподавания, пренебрегающая
/югнческими аспектами, приводит к тому, что выпускники средней
школы, после изучения в течение десяти лет различных числовых мно¬
жеств, не понимают ни идеи последовательного расширения понятия
числа, ни отношении между различными числовыми множествами,
пи свойств порядковой и алгебраической структуры этих множеств.
Рассмотрим методический аспект проблемы отражения логики
учения о числе в школьном преподавании по следующим основным
вопросам: А. Разъяснение идеи развития понятия числа. Б. Изу¬
чение отношений между различными числовыми множествами.
И. Изучение свойств порядковой и алгебраической структуры чис¬
ловых множеств.
А.	Будем использовать следующие обозначения для числовых
множеств, изучаемых в школьном курсе:
N	—	множество	натуральных чисел;
NB=N U {0} — множество	неотрицательных целых чисел;
Z	—	множество	целых чисел;
Q	—	множестго	рациональных чисел;
R	—	множество	вещественных чисел.
В современной математике учение о числе строится обычно по
следующей схеме:
N с Z с Q с R.
В установившейся школьной практике и действующих про-
фаммах сохраняется историческая последовательность развития
понятия числа, отличающаяся от приведенной выше схемы тем, что
натуральные числа расширяются не до целых, а до неотрицатель¬
ных чисел введением нуля и положительных дробей, так как дроби
исторически появились намного раньше отрицательных чисел.
Школьная схема обычно обосновывается педагогическими сообра¬
жениями, исходящими из того, что понятие дроби (положительной)
доступнее пониманию учащихся, чем понятие отрицательного числа.
Вообще соображения психолого-педагогического порядка, касаю¬
щиеся доступности учебного материала, могут служить основанием
для такого отклонения в школьном преподавании от логики науч¬
ной системы. Однако в данном случае правомерность такого откло¬
нения по крайней мере проблематична. Действительно, структура
дискретного множества целых чисел, несомненно, проще структуры
плотного множества положительных рациональных чисел, получа¬
емых в результате дополнения множества натуральных чисел по¬
ложительными дробями. Если в первом случае геометрическое пред¬
ставление чисел точками бесконечной прямой способствует форми¬
рованию понятия о бесконечности множества целых чисел, во вто¬
ром случае такое геометрическое представление не способствует
правильному формированию понятия о том, что на любом, сколь
угодно малом отрезке содержится бесконечное множество точек.
Некоторые проведенные педагогические эксперименты, в част¬
ности К. И. Нешкова (см. [7] и др.), полностью подтверждают
89

возможность и целесообразность изучения отрицательных чисел;
•>аньше дробей, уже в IV классе, а может быть, и еще раньше.
Однако целесообразность применения какой-то схемы развития
понятия числа в школьном обучении определяется не только логи¬
ческой стройностью и доступностью этой схемы. Некоторые считают,
•уто в школе дроби должны быть введены раньше отрицательных чи¬
сел, так как жизненный опыт детей приводит их к дробям раньше,
ч<;м к отрицательным числам. Обсуждение этого вопроса в междуна¬
родном плане уже давно выявило существование различных мнений.
Дальнейшие эксперименты покажут, какая схема развития понятия
числа более целесообразна в школьном обучении.
Важнейшим моментом процесса расширения понятия о числе в
пкольном обучении является разъяснение основной цели этого рас¬
ширения. Мы не можем ограничиваться в соучениц чисто формаль¬
ным обоснованием необходимости введения новых чисел для обес¬
печения выполнимости операций. Эта внутренняя потребность ма¬
тематики должна связываться с потребностью практики в разреши¬
мости возникающих в ней задач.
Получается следующая схема обучения: от потребностей прак¬
тики к потребностям математики в выполнимости операций и от
этих последних к новым числам, вооружающим математику средст¬
вами для удовлетворения потребностей практики. Необходима де¬
тальная методическая разработка реализации этой схемы на каждом
этапе расширения понятия числа в школьном обучении.
Б. Разъяснение отношений между различными числовыми мно¬
жествами может проводиться с помощью специально разработанной
системы упражнений.
Приведем несколько примеров таких упражнений.
1) С помощью какого свойства можно выделить из множества Z
целых чисел подмножество N натуральных чисел?
Это — свойство «быть больше нуля», и множество N можно
определить как «множество всех тех и только тех целых чисел, кото-1
рые обладают свойством (удовлетворяют условию) х>0 (т. е. при
подстановке которых вместо х предложение лОО обращается в ис¬
тинное высказывание)» ', записав:
/V—{х\х 6 Z Л лОО}.
(По существу, здесь N представлено как множество истинности
предиката х £ Z&jC>0, представляющего собой конъюнкцию двух
элементарных предикатов: x£Z и х>0.)
2) Пусть Z~— множество целых отрицательных чисел. Состав¬
ляет ли объединение Z- и N множество всех целых чисел, т. е. ис¬
тинно ли равенство Z~ и N=Z? Из каких чисел состоит дополнение
множества Z- до множества Z?
В каком отношении находятся множества N и NB? Чему равно
N UN0, Nf\NB?
1 Термином «предложение» мы пользуемся для обозначения высказывания или
высказывательной формы—того, что в школьном преподавании (IV класс) име¬
нуется «предложением с переменной».

3) Множество Q рациональных чисел определяется как множест¬
во всех тех и только тех чисел, которые могут быть представлены
в виде ^-, где т, п g Z и пф0. Доказать, что множество Z включа¬
ется в множество R, т. е. что Zcz R — истинное высказывание.
Известно, что N a Z п Z cz R. Что отсюда следует?
Изобразить отношения между множествами N, Z и Q с помощью
схемы, на которой каждое из множеств представляется в виде мно¬
жества точек внутри некоторой замкнутой линии (диаграммы Венна).
11оказать, какая область на схеме изображает дополнение множества
/ до множества Q. Из каких чисел состоит это дополнение?
4) Пусть Р — множество рациональных положительных чисел,
г. е.
Р= I *€ Q Л х> 0}.
В каком отношении находятся множества Z и Р? Чему равно их
пересечение ZftP?
Изобразить с помощью диаграммы Венна отношения между
множествами Z, Р и Q. Указать на диаграмме области, изображаю¬
щие множества: Z (дополнение множества Z до множества Q); Р
(дополнение множества Р до множества Q); Z Г) Р\ Z П Р\Z П Р\ Z f| Р.
Назвать последние четыре подмножества Q. В каком отношении на¬
ходятся каждые два из них?
5) Пусть J — множество иррациональных чисел.
Из каких чисел состоят множества: Q, J, QljJ, <?Г)7?
Изобразить на диаграмме отношения между множествами N,
Z, Q, R. Указать на диаграмме область, изображающую множество J.
6) Пусть Р — множество положительных вещественных чисел
(рациональных или иррациональных), т. е.
Р = {х | x£R Л х> 0}.
Нарисовать диаграмму отношений между множествами Z, Р,
Q, R.
Назвать следующие множества:
(1) ZflPflQ
(2) ZnPflQ
(3) ZnPBQ
(4) Znfn Q
(5) Z(]P(]Q
(6) ZП Q
(7) ZnFnQ
(8) ZpPnQ.
Какие из множеств (1) — (8) пустые? Указать на диаграмме
области, изображающие непустые из множеств (1)—(8). Какие из
множеств (1) — (8) могут быть записаны проще?
Учащимся может быть предложена и обратная задача.
Исходя из диаграммы, назвать множества, изображаемые раз¬
личными ее облаетями, и записать их в терминах Z, Q, Р и допол¬
нений Z, Q, Р до множества R.
91

В.	Для изучения свойств порядковой структуры числовых мно¬
жеств необходимо прежде всего сформировать общее понятие об
отношении порядка. Работа по формированию этого понятия долж¬
на продолжаться в течение длительного времени. Вначале можно
рассматривать различные конкретные примеры бинарных (двумест¬
ных) отношений, среди которых будут и такие, которые являются
аятирефлексивными, антисимметричными и транзитивными.
В качестве иллюстрации рассмотрим отношение х выше у, где
область значений переменных — множество М учащихся класса
(х, у £ М), т. е. вместо переменных х, у разрешается подставлять име¬
на учащихся класса. Очевидно, что это отношение: а) антирефлек-
сивно, так как ни один ученик не выше самого себя, т. е. предложе¬
ние х выше х обращается в ложное высказывание при любом значе¬
нии х; б) антисимметрично, так как если один ученик выше второго,
то второй не выше (а ниже) первого, предложение если х выше у,
то у не выше х обращается в истинное высказывание при любом на¬
боре значений переменных х и у, в) транзитивно, так как предложе¬
ние если х выше у и у выше г, то х выше z обращается в истинное вы¬
сказывание при любом наборе значений переменных х, у, г.
С другой стороны, предложение (высказывательная форма с
двумя переменными илидвумя «пустыми местами») х выше у выражает
логическую функцию этих переменных (двуместный предикат), или
отображение множества М2 всевозможных пар учащихся класса на
множество {И, Л}, где И — истина, Л — ложь. Это отображение
разбивает множество М2 на два подмножества: на одном из этих
подмножеств х выше у принимает значение И, т. е. обращается в ис¬
тинное высказывание, на другом — значение Л, т. е. обращается
в ложное высказывание. Первое из этих подмножеств является
областью истинности предиката, выражаемого предложением х
выше у. Если, например, Толя выше Вовы, то пара (Толя, Вова)
принадлежит области истинности этого предиката, а пара (Вова,
Тотя) не принадлежит ей (эти пары различны, так как под парой мы
понимаем упорядоченную пару). Если обозначить отношение х
выше у обычным символом функции двух переменных, например
В(х, у), то
Л (Толя, Вова) = И,
В Вова, Толя) = Л.
Таблица 1
Анатолий
Андрей
Владимир
Михаил
Николай
Анатолий
Л
л
Л
Л
Л
Андрей
И
л
л
и
и
Владимир
И
и
л
и
и
Михаил
И
л
л
Л
л
Николай
И
л
л
и
л
92

Можно предложить учащимся такое упражнение:
Пусть имеется множество учащихся М={Анатолий, Андрей,
Владимир, Михаил, Николай}, никакие два из которых не одина¬
кового роста. Отношение В(х, у) (или, как иначе обозначают бинар¬
ные отношения, хВу) —х выше у определено на множестве М2 с
помощью таблицы 1.
1) Какое свойство отношения В отражается в том, что главная
диагональ таблицы 1 (идущая с левого верхнего угла к правому ниж¬
нему) содержит только одни Л?
2) Найти по таблице, кто выше — Андрей или Михаил. Как
яо записать с помощью значения функции В (х, у)?
3) Расположить множество учащихся по порядку, определяемому
ростом, т. е. на первое место поставить имя ученика, который выше
■ •тех остальных, на второе — имя ученика, который выше всех
оставшихся (кроме первого и, разумеется, самого себя), и т. д.
4) Исходя из приведенной выше таблицы отношения В(х, у)
составить таблицу отношения В (х, у) — х не выше у, определенного
на том же множестве А12 (здесь и далее черта над формулой
означает операцию отрицания).
5) Что можно сказать о любых двух ячейках (клетках) таблицы,
симметричных относительно главной диагонали? Какое свойство
отношения В па данном множестве отражается в этом свойстве таб¬
лицы?
Очевидно, это свойство отношения В можно сформулировать
так: для любых х, у из данного множества М—х выше у или у выше
х, что, иными словами, и означает, что среди учащихся данного мно¬
жества нет таких, у которых одинаковый рост. Мы говорим, что это
множество упорядочено с помощью отношения хВу (х выше у), а само
это отношение называется■ отношением порядка.
Таким образом, множество М, с точки зрения установленного в
нем с помощью отношения хВу порядка, характеризуется следую¬
щими свойствами:
1. VxxBx;
2. Vx Vy [(хВу) => уВх\,
3. Vx Vy V2 \xBy & уВг => xBz\\
4. Vx Vy [x — y => хВу V yBx],
Рассмотрим теперь предложение х больше у (х>у), где х и у —
переменные, область значений которых составляет, например, мно¬
жество А = {1, 2, 3, 4}.
Это предложение, так же как и предложение х выше у, рассмо¬
тренное ранее, выражает антирефлексивное, антисимметричное и
транзитивное отношение—некоторый двуместный предикат (логи¬
ческую функцию двух предметных переменных), определенный на
множестве Аг. Ввиду того что А2— конечное множество, этот преди¬
кат может быть полностью задан с помощью таблицы (см. табл. 2).
93

Таблица 2
У
ЗС X.
1
2
3
4
1
Л
л
л
л
2
И
л
л
л
3
и
и
л
л
4
и
и
и
л
Область истинности предиката А имеет вид:
\(х, у) \ (х. у)£А2 А (х>у)\ - {(2, 1); (3, 1); (3, 2);	,
(4, 1); (4, 2); (4, 3)}.
После накопления достаточного конкретного материала можгп
выделить все известные примеры бинарных отношений, являю
щиеся антирефлексивными, антисимметричными и транзитивными
х выше у, х старше у, x<zy, х>у и т. д. Все эти и подобные им (обла
дающие теми же свойствами) бинарные отношения являются при
мерами отношения порядка. Таким образом, мы приходим к общем;
понятию отношения порядка (в указанном выше смысле называемой
также отношением строгого порядка), которое можно назвать i
предшествует у и on редел ить как всякое антирефлексивное, антисим.
метричное и транзитивное отношение.
Изучаемые в школе числовые множества N, Z,Q,R упорядочи
ваются с помощью отношения «меньше» (или «больше») и с это!
точки зрения характеризуются следующими свойствами:
1. Vxx < х\
2. Vx Vy((x <у) =>у < х);
3. Vx Vy Уг [(х < у) Д (у < z) => (х < z)];	j
4. Vx Vy (x = у => ((* < у) V (у < х))).	|
Разумеется, так как отношение «меньше» сейчас определено in
бесконечных множествах, эти свойства нельзя устанавливать так
как мы это делали выше, с помощью таблицы. Они принимаются ка!
аксиомы.
Необходимо знакомить учащихся не только с общими свойствам]
структур порядка множеств N, Z, Q, R, но и с теми их свойствами
которыми эти структуры отличаются друг от друга. Так, высказы
ванне V.\Э// (у<Сх) (т. е. для всякого х существует такое у, что у<Сх)
выражающее отсутствие наименьшего элемента множества, ложн|
для множества N, так как в N имеется наименьший элемент, I
истинно для каждого из множеств Z, Q, R. Свойство иметь наимепи
ший элемент тогда выразится отрицанием приведенной формулы
Vx3y{y <J£), или 3xVy у<х.
94

Необходимо также разъяснить учащимся сущность свойства
дискретности множеств N к Z, отличающего их от множеств Q и R,
in* обладающих этим свойством.
В каждом из множеств N и Z для каждого числа существует
число, «непосредственно следующее» за ним. Предикат «непосред-
1венно следует за...» определяется с помощью предиката «меньше»
следующим образом:
у непосредственны следует за х, если, и только если,
(х < у) Л 3z ((х < z) Л (г < у)), или
(х < у) Д Vz ((г < х) V (у < г)).
Таким образом, свойство дискретности может быть записано сле¬
дующим образом:
V.v3у ((х < у) Д Vz ((z < х) V (у < г)).	(1)
В множествах Q и R высказывание (1) ложно. В этих множествах
ложно и высказывание
Э*Эу((х <у) Л Vz((z<x) V(y<2))),	(2)
следующее из (1) и содержащее более «слабое» требование. Таким
образом, в множествах Q и R истинно отрицание высказывания (2):
Эх 3у [(х < у) Л Vz ((z < х) V (у < г))],
или Vx Vy[x<yV3z ((х < z) Л (г < у))],
или Vx Vy [(х < у) => Эг ((х < г) Д (г < г/))].	(3)
Обычно конъюнкция (х<2) Л (г<//) обозначается сокращенно как
x<Zz<zy. Тогда формула (3) запишется так:
Vx Vy [(х < у) => 3z (х < z < у)].
Высказывание (3) выражает свойство плотности множеств Q и
R, состоящее в том, что между любыми двумя различными числами
содержится число. Мы говорим, что «число z содержится (лежит)
между числами х и у», если, и только если, хфу и х<г<у (в случае,
когда х<у), или у<Хх (в случае, когда y<Zx).
Более сложно раскрывается различие между структурами по¬
рядка множеств Q и R. Например, содержание аксиомы непрерыв¬
ности Дедекинда, представляющей собой одну из возможных форм
выражения этого различия, непредставимо в виде высказывания на
языке логики предикатов, в которой операция «навешивания» кван¬
торов применяется лишь к предметным переменным (см. [81). Но
па этом языке можно выразить содержание этой аксиомы с помощью
ныеказывательной формы, содержащей переменные множества (или
одноместные предикаты) и выражающей схему аксиомы Дедекинда.
(Так же поступают и в случае аксиомы математической индукции,
о которой будет идти речь дальше.)
95

Пусть х, у, г — переменные для вещественных чисел (лг. у, г g R),
X. Y — классы (подмножества) вещественных чисел (X,Y с: R), а
символ Х(х) обозначает предикат х £ X. В этих обозначениях усло¬
вия аксиомы Дедекинда выразятся следующими формулами:
(1) Уг(Х(г)УПг))
(читается: «Всякое вещественное число принадлежит одному и толь¬
ко одному из классов X, К»; для краткости записи мы применяем
строгую дизъюнкцию \/).
(2) ЭхХ(х)ДЗyY(y)
(«Каждый из классов X, Y не пуст»),
(3) Vx У у (X (х) ДК((/)^(х< у))
(«Каждый элемент класса X предшествует любому элементу класса
К»),
Заключение аксиомы выразится формулой
(4) Эг ((X (г) Д Vx (Х(х) ^ (х < г))) V(^ (z)A Vy (К (у) =>
■=> (г <»))))
(«Существует последний элемент класса X или первый элемент
класса Y и только одно из двух»).
Таким образом, формула
(5) (1)Д(2)Д(3)=>(4)
представляет собой высказывательную форму, содержащую сво¬
бодные переменные X, Y для множеств и, следовательно, выражаю¬
щую логическую функцию от этих переменных. При подстановке
вместо X, Y названий любых двух определенных классов веществен¬
ных чисел эта форма обращается в высказывание, которое принима¬
ется за аксиому. В этом смысле мы и говорим, что формула (5) пред¬
ставляет собой схему аксиом.
Разумеется, наше рассмотрение не предназначено для непосред¬
ственного применения в школьном обучении. Оно может служить
основой для разработки соответствующей методики. В таком виде
вопрос может быть предметом изучения лишь с отдельными учащи¬
мися.
Важное свойство структуры порядка множества N (или Nu)
выражается аксиомой математической индукции, служащей фор¬
мальной основой одноименного метода доказательства. Схема этой
аксиомы выражается формулой
(Р (1) Д Vx (Р (х) ^ Р (х'))) => Vy Р (у),
где Р — предикатная переменная, а х'— число, непосредственно
следующее за х («Если 1 обладает свойством Р и из того, чтох облада¬
ет этим свойством, следует, что и х' обладает им, то любое число у
обладает свойством Р»),

Эта формула представляет собой форму для высказываний, обра¬
щающуюся в высказывание при подстановке вместо Р названия лю¬
бого индивидуального одноместного предиката (свойства), и поэто¬
му фактически есть схема аксиом: каждое высказывание, полу¬
чаемое из этой схемы с помощью подстановки вместо Р предикатной
постоянной, является аксиомой.
В традиционной практике преподавания аксиома индукции не
рассматривается, хотя метод математической индукции стал внед¬
ряться в школьное обучение. Но доказательство методом математи¬
ческой индукции, лишенное своей формальной основы — аксиомы
математической индукции,— несостоятельно, так как, по существу,
остается незавершенным. Обычно в школьной практике индуктивное
доказательство заканчивают таким рассуждением: «Так как теорема
верна для 1 и из того, что она верна для п, следует, что она верна и
для n+1, то она верна и для числа 2; так как она верна 2, то, на том
же основании, она верна идля 2+1, т. е. для 3, и т. д. Следовательно,
она верна для любого натурального числа». Слова и т. д. свидетель¬
ствуют о незавершенности, а по существу, о незавершимости этого
рассуждения, состоящего из бесконечного числа шагов. Роль аксио¬
мы математической индукции состоит в том, что она позволяет заме¬
нить это бесконечное рассуждение конечным, дедуктивным.
Приведем пример, иллюстрирующий применение аксиомы ма¬
тематической индукции в доказательстве.
Пусть Р(х) обозначает предикат:
l + 2+...+i_^±i).	(I)
(Заметим, что Р теперь уже предикатная постоянная, она обозначает
определенный, индивидуальный одноместный предикат.) Требуется
доказать, что VxP(x)—И, т. е. что (1) верно для всякого натураль¬
ного числа х.
Доказательство состоит в следующем. Подставив 1 вместо х
1 -2
в (1), получаем 1 = -g—, т. е. Р(1)=И. Пусть теперь (1) верно
для произвольного, нефиксированного х. Докажем, что (1) верно
х' Ax' I П
и для х', т. е. что 1 + 2 -|-3+ ... + х' = — 2	’	есть истинное
высказывание.
Действительно, 1 +2 + 3+... +х+х' = Х^2Г ^ + xf =**	=
*'(*-) 2)	*'((*+1)+ 1)	х'(х'	+	\)
“2 2 ~ 2
Таким образом, мы доказали истинность импликации
Р(х)^Р(х')
для всякого х, т. е. что Vx (Р (х) => Р (х')) ■— истинное высказывание.
4 № 1749
97

Так как Р (1) и Vx(P (х)=$-Р (х'))— истинные высказывания, то
и их коныонкция
Р(1)Д Vx(P(x)=>P(x'))
(2)
есть истинное высказывание.
Теперь из
(Р (1) Л V* (Р (*) => Р (-О)) => vyP (У)
[аксиома математической индукции, в которой Р уже не переменная,
а постоянная, обозначающая предикат (1)] и из (2) , по правилу за¬
ключения (Modus ponens), получаем, что иУуР(у), или, что то же,
VxP (х) — истинное высказывание, т. е. мы доказали, что (1) верно
для любого натурального числа х.
Очевидно, что такое осуществление доказательства методом ма¬
тематической индукции вполне пригодно для школьного курса ал¬
гебры *.
Все рассмотренные выше свойства относятся к порядковой струк¬
туре числовых множеств. В формулах, выражающих эти свойства,
фигурирует, по существу, лишь один индивидуальный предикат:
отношение порядка «меньше» (так как предикаты >, ^ и ^ вы¬
разимы через предикат <). Чтобы подчеркнуть это, целесообразно
структуры порядка этих множеств обозначать, соответственно, сим¬
волами
Рассмотрим теперь свойства алгебраической структуры этих мно¬
жеств, т. е. структуры, определяемой в этих множествах введенными
в них операциями. Эти структуры целесообразно обозначать сим¬
волами [УУ,+], [N, •], [УУ, +, •], [Z, +] и т. д.
В традиционной практике обучения не формируется общее по¬
нятие «операция», не применяется и этот термин. Очевидно, через
некоторое время после введения термина «действие» (арифметиче¬
ское действие) целесообразно ввести и термин «операция» как сиио-
1 В приведенном примере применена следующая общая схема доказательства
методом математической индукции:
1. Р (I)	(устанавливается	провер-
[Л/, <], [2, <], [Q, <], |Р, <].
2. у* (Р (*)=>Р (*'))
3. Р(1) Л Va(P(a)=»P(a'))
кой)
(доказывается)
и 2 по правилу
введения конъюнкции:
4. (Р (1) Л V.v (Р (*) => (Р (а'))) =4> Vt/P ({/)
5- Vt/P(у)
«Г- 'Ф \
ср ЛЧ>/
(аксиома индукции)
)
из 3 и 4 по правилу
заключения:
)•
98

ним термина «действие», а в дальнейшем полностью перейти на при¬
менение термина «операция».
Для функциональной трактовки понятия операции необходимо,
чтобы учащиеся как можно раньше овладели понятием функции.
Как только подготовка учащихся позволит, нужно показать им,
прежде всего на примере сложения и умножения в множестве N,
что эти операции представляют собой отображения множества N*
п множество N: N2^>-N, т. е. каждой паре (х, у), где (х, у) £ №,
ставится в соответствие одно определенное число х+у из N,
(х, у)-* х + у,
называемое их суммой, и одно определенное число ху,
(х, у) > ху,
называемое их произведением.
Такое толкование этих операций включает:
1) существование в N суммы и произведения любых двух чисел
из N:
Vx Vy Эг (х + у = г),
VxVy3z(xy = z),
mu замкнутость множества N относительно этих двух операций, и
2) единственность суммы и произведения, так как всякое отобра¬
жение N2^>~N ставит в соответствие любой паре (х, у) из N только
один элемент из N, т. е.
VxVy VzVu ((x-fy = z) Д (х + у = ы)=>(г = н)),
Vx Vy Vz Vu ((ху = г) д (ху = и) =^> (г = и)).
Эту функциональную трактовку конкретных операций сложения
и умножения легко обобщить и получить общее определение би¬
нарной операции. Достаточно заменить множество N натуральных
чисел произвольным множеством М, а знаки «+» и «•» каким-ни¬
будь знаком,_ например звездочкой «*», обозначающим произволь¬
ную операцию (говоря «операция», мы всюду понимаем бинарную
операцию), и тогда получим определение: операцией * в множестве
М называется отображение М2—>~М, ставящее в соответствие каж¬
дой упорядоченной паре элементов из М один определенный эле¬
мент х-х-у из М.
Иными словами, это означает:
(1) VxVy 3z(x*y = z),
(2) Vx Vy Vz Vu ((x * у = z) Д (x * у «= и) =t> (z = «)).
С этой точки зрения вычитание, например, не является опера¬
цией в множестве N, так как не выполняется условие (1) замкну¬
тости.
Как в случае свойств порядковых структур, свойства алгебраи¬
ческих структур можно изучать методом сопоставления различных
структур. В результате этого изучения можно составить таблицу 3.

Таблица 3
[W. + ,-]
[Q. + .-3
ЧхЧуЗг(х+у = г)
И
и
и
и
Vx4y3z (ху = г)
И
и
и
и
Vx4z3y(x + y = z)
Л
и
и
и
V*Vz (х = 0 => 3у (ху = г))
л
л
и
и
VxVyVz ((х + (у + z) =■ (х+ у) + г))
и
и
и
и
VxVt/Vz (х (г/г) = (ху)г)
и
и
и
и
VxVy(x-j-y = y + x)
и
11
и
и
VxVy (ху = ух)
и
и
и
и
3/oVx (*-)- Id — 1ц~\~х ~х)
л
и
и
и
3l\Vx (xli = 11х = х)
Vx3x' (* + *' = *' + х = 1„)
и
и
и
и
л
и
и
и
VaS*-1 (xx~1 = x~1x — li)
л
л
и
и
VxVyVz (х (y-\-z) = xy + xz)
и
и
и
и
Vx3у((х > 0)=>(*г=г/))
л
л
J1
и
Эта таблица помогает выявить сходство и различие алгебраиче¬
ских структур.
Можно рассмотреть и вопрос о логической организации свойств
этих структур, о выводе одних свойств из других, о выделении, на¬
пример, системы аксиом, характеризующей коммутативную группу
[Z, +], и другие вопросы, методика изучения которых пока мало
разработана. Мы имеем в виду изучение не готовой, аксиоматически
построенной теории, описывающей структуру [Z, +] (или какую-
нибудь другую структуру), а самой процедуры ее аксиоматизации.
Начала такой методики описаны в работах [3, 4, 91.
2.	Тождественные преобразования. Тождественные преобразо¬
вания алгебраических выражений по праву занимают видное место
в школьном курсе алгебры. Овладение аппаратом алгебры означает,
в частности, приобретение определенных знаний и навыков в преоб¬
разовании алгебраических выражений. В этой области учащиеся
часто допускают ошибки, свидетельствующие о непонимании ими
логических основ выполняемых преобразований. Иногда, даже без¬
ошибочно преобразовывая выражение, ученик не знает, как он эго
сделал и для чего, в каком отношении находятся исходное выраже¬
ние и выражение, полученное в результате преобразования.
Разработка более эффективных методов обучения тождественным |
преобразованиям основана, в частности, на более широком отраже¬
нии логики учения о тождественных преобразованиях в преподава¬
нии. Мы рассмотрим здесь три вопроса, имеющих важное значение ,
для разработки таких методов: 1) понятие алгебраического выраже¬
ния; 2) понятие тождества алгебраических выражений; 3) обосно¬
вание тождественных преобразований.
1.	Понятие алгебраического выражения можно рассматривать с
двух различных точек зрения: синтаксической — как образование
100

ii.i символов, сконструированное по определенным правилам, ка¬
сающимся самих этих символов, в полном отвлечении от их смысла,
н семантической — как образование из символов, имеющее опреде¬
ленный смысл. Оба эти подхода должны применяться в школьном
обучении. Если ограничиться одной синтаксической точкой зрения,
учащиеся не будут понимать смысла алгебраических выражений,
не смогут применять свои знания на практике, эти знания окажутся
формальными, бесполезными. Если же ограничиться одной семан¬
тикой, учащиеся не научатся использовать алгебраические выраже¬
ния в качестве рабочего аппарата. Педагогическая проблема состо¬
ит в определении правильного сочетания двух подходов на различ¬
ных этапах обучения.
Нам представчяется, что на всех этапах обучения, особенно на
первых, должна превалировать семантическая точка зрения. Син¬
таксическая должна применяться, как правило, в сочетании с се¬
мантической.
Проиллюстрируем сочетание двух подходов в формировании
понятия алгебраического выражения.
Прежде всего уточним вопрос о терминологии. В практике пре¬
подавания термин «выражение» или «алгебраическое выражение»
применяется в узком смысле, как обозначение для образования
из букв, цифр, знаков операций и скобок, не содержащего знака от¬
ношения «, = или >). Если же два выражения соединены знаком
отношения, то получается формула.
Представляется целесообразным несколько изменить сложив¬
шуюся школьную терминологию: термин «выражение» применять в
широком смысле, включающим и формулы, а выражения в узком
смысле называть термами. Остановимся на этом более подробно.
Алфавит (множество символов) языка элементарной алгебры
{О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а, Ь, с х, у,	,
■=, <;, >,(,)} состоит из цифр, букв, знаков операций, знаков
отношений и скобок (играющих роль знаков препинания).
Символы алфавита, с семантической точки зрения, можно раз¬
бить на два класса. Символы первого класса имеют самостоятель¬
ный смысл. К этим символам относятся буквы — переменные и
постоянные — и цифры. Каждый из этих символов, взятый в отдель¬
ности, имеет смысл и представляет собой выражение (элементарное,
или исходное). Ко второму классу относятся знаки операций, от¬
ношений и скобки. Каждый из этих символов, взятый в отдельности,
не имеет смысла и не составляет выражения.
Множество всех выражений можно разбить на элементарные,
состоящие из одной буквы или цифры, и сложные, содержащие
и другие символы алфавита, кроме букв и цифр 1.
Определить, является ли данная последовательность символов
выражением, означает: с точки зрения семантической — устано¬
1 Выражение 2435 — условная запись сложного выражения 2-103+4 • 102+
+3-10+5.
101

вить, имеет ли эта последовательность какой-то смысл, с точки
зрения синтаксической — образована ли эта последовательность
в соответствии с правилами образования сложных выражений.
Совершенно очевидно, что по смыслу легко установить, напри¬
мер, что последовательность символов «(3+2)+4» — выражение,
а «(3+2)+» не является таковым. Действительно, символ «+»
обозначает операцию над двумя числами, поэтому в выражении он
может стоять только между двумя символами, представляющими
собой имена чисел или переменные для чисел.
Каков же смысл выражения «(3+2)+4»? Это выражение пред¬
ставляет имя числа ■— результата сложения числа, получаемого
при сложении чисел, обозначаемых символами «3» и «2», с чи¬
слом, обозначаемым символом «4». Но это число имеет и другое
имя —«9». Тот факт, что выражения «(3+2)+4» и «9» представляют
собой имена одного и того же числа, обозначается знаком «=»:
(3+2)+4=9.
Полученная последовательность символов тоже есть выраже¬
ние, но его смысл совершенно иной, чем смысл составляющих его
выражений: <<(3+2)+4» и «9». Эти последние обозначают числа,
если же их соединить знаком «=», мы получаем высказывание,
в данном случае истинное.
Выясним теперь, каков смысл выражений с переменными.
Возьмем, например, выражение «х+5», где х — переменная
с областью значений /VI = = {1, 2, 3, 4, 5}. Эго выражение уже не
представляет собой имени числа, но при подстановке в него вместо
переменной х какого-нибудь его значения получается имя числа.
Выражение х+5 представляет собой форму для числа, или число¬
вую форму. Можно сказать, какое число (будем говорить «число»,
имея в виду «имя числа») получается из этой формы для каждого
значения переменной х:
Таким образом, числовая форма х+5
выражает некоторую числовую функцию
числовой переменной, определенную на
множестве М={1, 2, 3, 4, 5} и принимаю¬
щую значения из множества Л+^6, 7, 8,
9, 10), т. е. отображение М-+Мi.
Если выражение с переменными со¬
держит знак отношения (=, < или >),
то оно представляет собой форму для вы¬
сказываний (пропозициональную форму, или высказывательн^ю
форму, по терминологии В. А. Успенского [10]). Например,
х+5=8 — высказывательная форма, обращающаяся в истинное
высказывание при подстановке вместо переменной х ее значения 3 и
в ложное при всех остальных значениях переменной.
Таким образом, выражение х+5=8 определяет логическую функ¬
цию числовой переменной х (одноместный предикат), или отображе¬
ние множества М в множество {И, Л}: Л4->-{И, Л}, в отличие от выра¬
жения х+5, не содержащего знака отношения и определяющего чис-
X
дс+5
1
6
2
7
3
8
4
9
5
10
102

шую функцию числовой переменной: М->Ми где М\\ Мг-— число¬
вые множества.
Рассмотренные примеры подводят нас к выделению и четкому
разграничению двух категорий выражений: термов и формул.
( синтаксической точки зрения эти выражения различаются тем,
что термы не содержат знака отношения, а формулы содержат знак
какого-нибудь отношения (меньше, равно или больше). С семанти¬
ческой точки зрения, термы обозначают числа или числовые формы,
определяющие числовые функции числовых переменных, а форму¬
лы — высказывания или высказывателъные формы, определяющие
логические функции числовых переменных.
Понятие терма может быть уточнено с помощью индуктивного
определения, в котором указываются элементарные, пехотные термы
и правила образования новых термов нз уже имеющихся:
а) элементарные термы суть буквы, цифры;
б) правила образования термов таково: если Тл и Т2— термы,
(^1+^г)| (Тг—Т2), (TiT2), (Т1 : Т2)— термы;
в) никаких других, отличных от перечисленных в пунктах а) и
б), термов нет.
Исходя из этого определения, содержащего схему конструкции
термов, нетрудно установить для любой заданной конечной после¬
довательности символов, составляет она терм или нет.
Доказать, например, что последовательность символов
{{а.ф + с))-(Ь:с))	(1)
есть терм, означает найти такую конечную последовательность
термов, в которой каждый терм — или элементарный или получен
из предыдущих по правилам образования, а последний представ¬
ляет собой последовательность символов (1):
1. Ъ
2. с
3. (Ь + с)	(из	1	и	2	согласно	б))
4. а
5. (п-(Ь-Ьс))	(из	4	и	3	согласно	б))
6. (Ь:с)	(из	1	и	2	согласно	б))
7. ((а•(& + с)) — (Ь:с))	(из	5	и	6	согласно	б))
Нетрудно установить, исходя только из данного определения,
что последовательность символов
(я-(Ь + с)	(2)
не есть терм. Согласно пункту б) определения терма, термы, обра¬
зованные с помощью скобок, содержат четное число символов ско¬
бок: столько же правых скобок, сколько левых; согласно пункту
в), других термов нет. Следовательно, последовательность символов
(2)	не есть терм, так как в ней недостает одной правой скобки.
Для упрощения записи термов, уменьшения числа применяемых
скобок принимаются следующие соглашения: опускать внешние
103

скобки, заключающие все остальные символы терма; считать, что
знаки умножения и деления связывают сильнее, чем знаки сложения
и вычитания, т. е. операции умножения и деления выполняются
раньше операций сложения и вычитания, если только скобками
не определен иной порядок выполнения операций; опускать знак
умножения. В соответствии с этими соглашениями приведенный
выше терм (1) запишется так:
а(Ь-\-с)—Ь:с.
Разъяснение учащимся схемы конструкции термов, содержащей¬
ся в приведенном выше определении, не вызывает затруднений и
помогает им распознавать правильно составленные термы и поря¬
док операций в них.
Важно отметить, что, если в данном терме заменить какую-ни¬
будь букву некоторым термом, получится снова терм, т. е. правиль¬
ная конструкция из букв, знаков операций и скобок остается пра¬
вильной, если вместо любой ее буквы подставить правильную кон¬
струкцию из букв, знаков операций и скобок. Например, после
подстановки в терм а2—b2 {а2 — сокращенная запись терма аа)
вместо буквы а терма т2п, а вместо буквы b терма p-\-q получится
снова терм
(т2«)2— (р+ <7)2.
Такая подстановка, переводящая один терм в другой, часто
применяется в школьной практике преобразований термов, но по¬
чему-то в школе остерегаются ввести в явном виде правило подста¬
новки.
2.	С семантической точки зрения тождественными называются
такие термы, которые определяют одну и ту же функцию (числовую
функцию числовой переменной или числовых переменных), с син¬
таксической .— такие термы, которые могут быть получены один
из другого на основе формальных свойств операций, выраженных
в некоторых исходных тождествах (аксиомах) с помощью специаль¬
ных правил (правил вывода).
Как видно, семантическая точка зрения имеет своей основной
идею функции. Одна и та же функция может быть выражена различ¬
ными по форме, по структуре термами. Когда говорят «тождество»,
обычно понимают совпадение. В тождественных термах различна
форма, структура, но совпадают функции, отображения, опреде¬
ляемые ими. Исходя из смысла тождественных термов как таких,
которые определяют одну и ту же функцию, совершенно ясно,
что отношение тождества термов обладает свойствами рефлексив¬
ности, симметричности и транзитивности, т. е. является отноше¬
нием эквивалентности.
Очевидно, что из различных возможных языковых выражений,
определяющих одну и ту же функцию, удобно пользоваться (для
изучения свойств функции, вычисления ее значений) наиболее про¬
стым по форме выражением. Очевидно также, что из двух выраже¬
104

ний то проще, которое имеет меньшую длину, т. е. составлено из
меньшего числа символов. (В некоторых случаях понятие простоты
структуры выражения требует дальнейшего уточнения, мы дальше
останавливаемся на этом.) Бывают также случаи, когда удобно
иметь для функции выражение какой-то стандартной (нормальном,
или, как еще говорят, канонической) формы, хотя, быть может,
и не наиболее простой. Так возникает потребность в преобразовании
термов.
Под преобразованием, или тождественным преобразованием,
терма понимают переход от одного терма к другому, тождествен¬
ному ему.
В практике обучения встречаются различные классы задач на
тождественные преобразования. Наиболее важные из них сле¬
дующие:
(а) доказательство тождества двух данных термов;
(б) приведение данного терма к определенному виду (разло¬
жение на множители, раскрытие скобок, уничтожение иррацио¬
нальности в знаменателе и т. д.);
(в) упрощение данного терма.
Задача упрощения терма (в) менее определенна, чем задача до¬
казательства тождества термов (а) н приведения терма к опреде¬
ленному виду (б). Неопределенность состоит здесь в том, что часто
нам заранее неизвестно, к какому более простому виду приводится
данный терм. Упростив его, мы можем оказаться не в состоянии
определить, является найденная форма простейшей или же она
допускает дальнейшее упрощение. Кроме того, простоту терма мы
принимаем за интуитивно ясное понятие. Разумеется, для ответа
а2 — Ь'2
на вопрос, который из двух тождественных термов проще ———
или а-\-Ь, не обязательно знать точный критерий простоты. Однако
вряд ли можно без такого критерия определить, которое из следую¬
щих двух выражений
a4-)- a2bz + «4, (a2-fft2- ab) (а2 -f-b1 -f- ab)
проще. Некоторым покажется, что второе выражение «длиннее»
первого и в этом смысле сложнее; друн им, наоборот, первое выраже¬
ние покажется сложнее ввиду того, что содержит более высокие
степени.
Представляется весьма целесообразным внедрение в школьную
практику критерия простоты выражения, основанного на наиболь¬
шей простоте алгоритма вычисления числового значения этого
выражения. Каждое из двух данных выражений определяет неко¬
торый алгоритм, или схему вычислений,— имеется в виду простей¬
шую, для каждого выражения, схему вычислений (например, вы¬
ражение а'1 можно вычислить с помощью тр> \ операций (а■ а\ а2-и\
а3-а), но можно вычислить и с помощью двух операций (а-а; а1-а’)-,
под «операцией» здесь понимается любое из четырех арифметических
действий, выполняемое над двумя числами). Очевидно, что тот из
105

двух алгоритмов проще, который содержит меньшее число опера¬
ций. Если же два вычислительных алгоритма содержат одинако¬
вое число операций, то их следует сравнить по сложности этих
операций. Учитывая, что числовые значения букв задаются обычно
в виде десятичных дробей, очевидно, что сложение и вычитание
выполняются проще, чем умножение и деление, сводящиеся к серии
сложений и вычитаний. Это положение сохраняется и в том случае,
когда вычисление ведется с помощью машин, в том числе электрон¬
ных вычислительных машин.
Проиллюстрируем этот критерий на примере приведенных выше
двух термов. Для этого составим и сравним простейшие алгоритмы
вычисления этих двух выражений:
я4 + а2Ь2 + Ь*	(a2 + b2—ab){a* + b2 + ab)
1) я-я (по определению равно я2),	1)	я-я( = я2),
2) а2-а2 (по определению равно я4),	2)	b-b( = b2),
3) b-b (по определению равно Ь2),	3)	а-Ь,
4) Л2 -Ь2 (по определению равно //*),	4)	а2-\-Ь2,
5) а2-Ь2,	5) я2+Ь2—ab,
6) я4 +я262,	6) я2 -}- Ь2 -i- ab,
7) я44 я2й2 + 64.	7)(a2+b2—ab)(a2+b2+ab).
Как видно, эти два алгоритма содержат одно и то же число опе¬
раций, но первый содержит пять умножений, а второй — четыре.
Следовательно, исходя из описанного выше критерия, первое вы¬
ражение сложнее второго.
3.	Рассмотрим два терма:
(1) x(y + z) и (2) ху + хг,
причем пусть область значений переменных М — {О, I}.
В этом случае мы можем доказать тождество термов (1) и (2)
непосредственным вычислением всех значений фхнкций, опреде¬
ляемых ими. Для наглядности составим таблицу, в которой для
всевозможных наборов значений переменных х, у, z выписаны соот¬
ветствующие значения этих ф\ нкций (табл. 4).
Таблица 4
X
У
г
*■ (4< + z)
ху + хг
v (у + г)=ху±хг
0
0
0
0
0
II
0
0
1
0
0
И
0
1
0
0
0
И
0
1
1
0
0
и
1
0
0
0
0
II
1
0
1
1
1
II
1
1
0
1
1
и
1
I
1
2
2
и

Таблица 4 показывает, что термы (1) и (2) определяют одну и
ту же функцию, одно и то же отображение множества всевозмож¬
ных упорядоченных троек чисел из {0, 1} на множество {0, 1, 2},
т. е. термы (1) и (2) тождественны, или (что выражает то же самое)
формула x(y-\-z)=xy-\-xz представляет собой тождество на мно¬
жестве {0, 1}; это значит, что при всех возможных наборах значе¬
ний переменных х, у, z из этого множества высказывательная форма
x(y+z)=xy+xz обращается в истинное высказывание.
Рассмотрим теперь термы:
(3)	х+уг и (4) (х + у)(х + z),
определенные на том же множестве {0, 1}. Составим таблицу зтп-
чений ф\нкцнй, определяемых термами (3) и (4) на этом множе¬
стве (табл. 5).
Таблица 5
X
У
Z
х + уг
(х+у) (х+г)
х+уг = (х+у) (х+г)
0
0
0
0
0
И
0
0
1
0
0
И
0
1
0
0
0
И
0
1
1
1
1
И
1
0
0
I
I
11
1
0
1
1
2
Л
1
1
0
1
2
Л
1
1
1
2
4
л
Таким образом, термы (3) и (4) определяют различные функ¬
ции, т. е. они не являются тождественными.
Мы доказали, чтоформула x-\-yz=(x-\-y) (x+z) не является тож¬
деством на множестве {0, 1}; эта высказывательная форма не при
Бсех наборах значений переменных х, у, г обращается в истинное
высказывание. Отсюда следует, что эта форма для высказываний
не является также тождеством и на любом другом множестве чисел,
включающем {0, 1}. Этим самым доказано, что ни в одном числовом
множестве, включающем {0, 1}, не имеет место закон дистрибутив¬
ности сложения относительно умножения.
Тождество, выражающее закон дистрибутивности умножения
относительно сложения, мы доказали выше только на множестве
{О, 1}. Для бесконечного множества чисел мы не можем доказывать
это — и любое другое — тождество путем непосредственной под¬
становки вместо переменных всевозможных наборов их значении,
так как таких наборов бесконечное множество.
Приведенные примеры показывают, что семантическая точка
зрения дает нам средства для опровержения тождества и для дока¬
зательства тождества на конечном множестве, но не дает нам средств

для доказательства тождества на бесконечном множестве. Здесь I
выступает на первый план синтаксическая точка зрения.	’
Недостаточно высокий уровень преподавания алгебры может
выражаться, в частности, в том, что учащиеся не получают пред¬
ставления о доказательстве, о правилах преобразования термов
или вывода одних тождеств из других. Вопреки бытующему-рще$
мнению, алгебра в большей мере, чем геометрия, представляет'
возможности для логического развития учащихся, для ознакомления
их с аксиоматическим методом. Но эти возможности редко еще
используются в практике преподавания.
В тождественных преобразованиях применяются, часто в не¬
явном виде, два правила — правило подстановки (ПП) и правило
замены равным (ПЗР).
Правило подстановки состоит в следующем: в тождестве вместо
любой переменной с областью значений М можно подставить всюду,
где эта переменная входит в тождество, один и тот же терм,
принимающий значения из М, и при этом получится снова тожде¬
ство.
Это правило, которым широко, хотя и в неявном виде, поль¬
зуются в школьном обучении, нетрудно объяснить, исходя из
смысла тождества. Действительно, если, например, нам известно
тождество
(х + у)2=х3 + 2ху+у*,	(1)
определенное на множестве рациональных чисел, то и формула
[(а +-Ь)+- с? = (а+-Ь)2 + 2(а+- Ь)с + с",	(2)
где а, Ь, с — переменные с одной и тон же областью значений Q,
тоже будет тождеством, так как при любых наборах значений пере¬
менных, в силу (1), она обращается в истинное высказывание. Фор¬
мула (2) получается из формулы (1) путем подстановки а+Ь вместо
переменной х и с вместо у.
Правило замены равным состоит в следующем: в тождестве можно
любой терм заменить тождественным (равным) ему термом, и при
этом получится снова тождество.
Возможность такой замены непосредственно следует из смысла
отношения тождества, из того, что тождественные термы опреде¬
ляют одну и ту же функцию, принимают одни и те же значения
при любых одинаковых наборах значений переменных. Если, на¬
пример, воспользоваться этим правилом и заменить в формуле (2)
терм (а+Ь)2 тождественным ему термом a2+2ab+-b2, а терм 2 (а+Ь)с—
термом 2ас+-2Ьс, то получится снова тождество:
((а + Ь) + с)2 = (а2 + 2ab -f b2) +- (2ас + 2be) + с2.	(3)
Когда мы говорим, что в (3) можно опустить скобки, мы, по су¬
ществу, снова применяем правило замены равным: (а+Ь)-)-с заме-
108

пнем тождественным ему (по определению) термом a+b+с и т. д.
и получаем тождество
(а b + с)2 = а2 2 ab + Ь2 + 2 ас + 2 Ьс + с2.	(4)
Если к (4) мы применим правило замены равным, используя
тождество, выражающее закон коммутативности сложения, то
получим
(а + b + с)2 == а2 + Ъ2 4 с2	2ab + 2ас + 2Ьс.	(5)
Таким образом, из тождества (1) мы получили тождество(Б)
с помощью правил подстановки и замены равным, используя при
этом законы ассоциативности и коммутативности сложения.
Естественно возникает вопрос: как можно получить тожде¬
ство (1), как преобразовывать терм (х+у)2 в терм х2+2ху+у2?
Зл о преобразование мы осуществляем с помощью тех же правил
подстановки и замены равным, опираясь на уже известные тож¬
дества, в частности на тождество, выражающее закон дистрибутив¬
ности умножения относительно сложения, и на тождества хх =х2 и
х+х=2х, установленные по определению.
Но тогда возникает вопрос: как устанавливается, например,
тождество, выражающее закон дистрибутивности умножения отно¬
сительно сложения?
Совершенно очевидно, что таким путем — на основе других, уже
известных — все тождества не могут устанавливаться. Должны быть
некоторые первоначальные тождества, которые именно потому, что
являются первоначальными, не могут быть получены из других.
Эти первоначальные тождества принимаются за аксиомы.
Доказательство тождества может быть представлено как ко¬
нечная последовательность формул, каждая из которых либо ак¬
сиома, либо получается из предыдущих формул последователь¬
ности по ПП или ПЗР, а последняя формула — доказываемое тож¬
дество.
Принимая, например, за аксиомы тождества
Al. x(y + z) = xy + xz,
А2. ху = ух,
мы можем представить доказательство тождества
(а + Ь) (с-f d) = ас + be -f- ad + bd
в виде следующей последовательности формул, удовлетворяющей
сформулированным выше условиям:
Е х(У+ z) = ху -\-xz,	(АП
2. (a + b)(c + d)—(a+b)c + (a + b)d, (ПП, 1)
3. ху= ух,	(А2)

4. (я + й)с=с(п + Ь),
5. c(a + b) — ca f cb,
6. {a-\-b)c= ca + cb,
7. ca—ac,
(ПП, 3)
(ПП. 3)
(ПП, 3)
(ПП, 1)
(ПЗР, 4; 5)
8. cb=bc,
9. (a + b)c=ac+bc,
10. (a-\-b)d = ad-\-bd,
(ПЗР, 6; 7; 8)
(ПП, 9)
11.	(a + 5)(c + d) =ac-\-bc-\-ad-\-bd.	(ПЗР, 2; 9; 10)
Приведенный пример показывает, что в школьном курсе алгебры
имеются возможности для такого представления доказательств
с указанием использованных средств вывода, которое способствует
формированию у учащихся общего понятия о доказательстве.
3.	Уравнения и неравенства. Долгое время в методике математики
спорили по вопросу: «что такое уравнение (неравенство)?». Были
предложены различные варианты трактовки общего понятия урав¬
нения, но ни один из них не снимал всех трудностей, возникающих
при построении учения об уравнениях и неравенствах в школьном
обучении. Между тем использование понятий математической ло¬
гики позволяет строить это учение на совершенно новой основе
и устраняет недостатки традиционной методики [11—15, 4].
Здесь мы рассмотрим с этой точки зрения общее понятие урав¬
нения (неравенства), понятие множества решений уравнения (не¬
равенства) и использование теоретико-множественных и логичес¬
ких понятий в процессе решения уравнений, неравенств и их
систем.
1.	Мы называли формулой выражение, содержащее знак отно¬
шения (равно, меньше или больше). Теперь мы можем уточнить
это понятие: если два терма Г, и Гг соединить одним из знаков =,
<, >, то получим формулу, т. е. Тх=Тг, Ti<T2, Т£>Т2 — фор¬
мулы.
Формула, содержащая знак = , называется уравнением.
Формула, содержащая знак < пли знаь >, называется нера¬
венством.
Это деление формул на уравнения и неравенства чисто синтак¬
сическое. Его недостаточно для раскрытия сущности понятий урав¬
нения и неравенства.
Все, что мы будем говорить дальше об уравнении, верно и для
неравенства.
Что же представляет собой уравнение 7\=7V
а)	Если ни один из термов 7\ и Т2 не содержит переменных, то
уравнение Tt=T2 есть высказывание о равенстве, истинное или
ложное. Так, 3+1=4—истинное высказывание о равенстве
(обычно говорят просто «верное равенство»), а 3+1=5 — ложное
высказывание о равенстве («неверное равенство»). Традиционно
3+1=4 и 3+1=5 не относят к уравнениям. Однако их отнесение
к уравнениям вполне оправданно не только с логической точки
ПО

.«рения, но и с методической. Ведь решая уравнения х+3+1=4+л;
н х+3+1=5+х, мы преобразовываем их в равносильные им урав¬
нения 3+1=4 иЗ+1=5, и именно эти случаи затрудняют учащихся
и определении множеств решений.
б)	Если хотя бы один из термов (одна из частей) уравнения
Tt и Т2 содержит переменные, то уравнение Ti—T2 уже представ¬
ляет собой не высказывание, а высказывательную форму, опреде¬
ляющую некоторую логическую функцию числовой переменной
(или числовых переменных), т. е. предикат.
Уравнение всегда рассматривается на каком-то определенном
множестве (области определения предиката). Подмножество этого
множества, на котором оно обращается в истинное высказывание
(область истинности предиката), называется множеством решений
уравнения.
Совершенно очевидно, что множество решений уравнения су¬
щественно зависит от того множества, на котором рассматривается
уравнение. Так, например, уравнение х2+х—2=0 на множестве
А = {3, 4, 5, 6, 7} не имеет решений, множество его решений пусто:
{v|x£ Л Д х2+х—2=0} =ф,
так как ни один элемент множества А не обращает высказыватель¬
ную форму х2+х—2=0 в истинное высказывание; на множестве же
N это уравнение имеет одно решение {х|лс£ N Д х2+х—2=0}={1};
на множестве Z — два решения:
{х|х (; Z Д A2 +.V—2 =0}= {1, -2}.
Обычно в школьном курсе, после введения иррациональных чи¬
сел, мы решаем уравнения в множестве вещественных чисел, т. е.,
говоря «решить уравнение», имеем в виду «решить уравнение в мно¬
жестве /?». В таком случае уравнение с одной переменной представ¬
ляет собой одноместную пропозициональную форму, определяющую
одноместный предикат на множестве/?, или отображение /?->-{11, Л},
а множество £ решений этого уравнения — подмножество R(EczR).
Геометрически вещественное число — точка прямой, а множество
R — множество всех точек прямой, или, как обычно говорят,
прямая. Множество Е в этом случае — подмножество точек
прямой, а каждое решение — точка прямой.
Уравнение с двумя переменными — двуместная пропозициональ¬
ная форма, определяющая на множестве R2 всевозможных пар ве¬
щественных чисел двуместный предикат, или отображение R2-*-
->{И, Л}, а множество Е решений этого уравнения — подмножество
R2(EczR2).
Геометрически каждая пара вещественных чисел — точка плос¬
кости, a R2— множество всех точек плоскости, или просто плос¬
кость. Множество Е — подмножество точек плоскости, а каждое
решение — точка плоскости.
Уравнение с тремя переменными — трехместная пропозицио¬
нальная форма, определяющая на множестве R3 всевозможных
111

троек вещественных чисел трехместный предикат, или отображе¬
ние Я3->-{И, ЛЬ а множество Е решений этого уравнения — под-'
множество
Геометрически каждая тройка вещественных чисел — точка
пространства, & Я3— множество всех точек пространства, или
просто простраИСтво (трехмерное). Множество Е — подмножество
точек пространства, а каждое решение — точка пространства.
Путь к дальнейшему обобщению открыт.
Уравнение с п переменными
а1х1 а2Х2 + • • • + а,гХп — О,
где аи а2, . . ., ап— определенные вещественные числа (имена чи¬
сел), а х1? х2, . • •• хп— переменные для вещественных чисел, пред¬
ставляет собой /i-местную пропозициональную форму, определяю¬
щую /г-местный предикат на множестве Rn всевозможных набо¬
ров из л вещественных чисел, или отображение
R“ —г {И, Л},
а множество решений Е этого уравнения представляет собой под¬
множество /?"(£<=#")■
Удобно и здесь использовать геометрический язык. Каждый на¬
бор (упорядоченная система) из л вещественных чисел мы называем ^
точкой п-мерногО пространства; тогда множество R" — множество
всех точек л-мерного пространства, или л-мерное пространство. 1
Множество решений Е в этом случае — подмножество точек л-мер- 1
ного пространства, а каждое решение — точка л-мерного прост- I
ранства.	'
Здесь необходимо отметить, что и уравнение с одной перемен- I
ной можно рассматривать на множестве R2, R3 и вообще R" (т. е., по
существу, как уравнение с двумя, тремя или вообще п перемен- 1
ными), например- Уравнение х~3 можно рассматривать как урав¬
нение х-{-у—3-ЕУ' нлих-Н/-рд=3-Ь#-)-2 и т. д. Так, уравнение х— 3
на множестве R имеет одно решение {xjx^R Дх =3}={3). Геомет-
рически это множество решений представляет собой точку на пря¬
мой. Это же уравнение х=3 на множестве R2 имеет бесконечное
множество решении (3, у), где y£R, т. е.
{(х, у)\(х. У)€Я2Дх = 3}={(3, У))-
ГеометрическД это множество решений представляет собой мно¬
жество точек, образующее прямую, параллельную оси ординат и
отстоящую от нее на расстоянии 3. Это же уравнение х=3 на мно¬
жестве R3 имеет бесконечное множество решений (3 у z) гле у
У, г 6 R*, т. е. {(■*•’ У. z) | (х, у, z) 6 Я’ Д х=3} = {(з/ у. z)}.	’
Геометрически это множество решений — плоскость, параллель¬
ная плоскости yOzn отстоящая от нее на расстоянии 3.
Обратимся тейеРь к рассмотренным выше (см. с. 110) уравнениям,
не содержащим переменные. Если такое уравнение — истинное
высказывание, то естественно считать, что множествоЕ его решений
112

совпадает с множеством, на котором оно рассматривается^, R2,Ra
пли вообще R), каждый элемент этого множества «обращает» его
и истинное высказывание. Если же такое уравнение — ложное вы¬
сказывание, то Е = ф, так как нет ни одного элемента в множестве,
на котором рассматривается это уравнение, обращающего его в не-'
гинное высказывание. Таким образом, множество решений Е урав¬
нения, не содержащего переменные, как и в случае уравнения с пере¬
менными, есть подмножество множества, на котором рассматри¬
вается уравнение (само это множество или пустое множество).
Как видно, общее понятие уравнения с описанной выше точки
зрения (предложение, содержащее знак =) охватывает и уравнения,
не содержащие переменных.
2.	Использование логического и теоретико-множественного ап¬
парата в процессе решения уравнений и неравенств способствует
лучшему пониманию сведения сложных уравнений и неравенств
к более простым, определения множеств решений первых через
множества решений последних.
Например, решая уравнение (х—1)(л:—2)=0, мы, по существу,
устанавливаем эквивалентность двух предикатов:
(*—1)(х—2)=0*>(*—1 =0) V (х—2 = 0);
иначе говоря, данный предикат представляется в виде дизъюнкции
двух более простых предикатов и отыскание его множества истин¬
ности сводится к отысканию множества истинности этой дизъюнк¬
ции, а следовательно, составляющих ее более простых предикатов
(линейных уравнений):
\х | (х— I) (х—2) = 0} = {х| (х— 1 = 0) V (*—2= 0)}~
= {х\х— 1=0}и{*|*—2=0}={1}U{2} = {1, 2}.
Вообще, решая уравнение /,(х)-/а(х)=0, мы устанавливаем экви¬
валентность/,^)-^^) =0о/,(л:)=0 ХУ/гМ^О1, несли {х\ /,(*) =0}=£',
и {*|/2(х)=0}=.£:а, то
{х| /, (*)-/, (х)~ 0} = {х| /, (х) = 0 V /. (х) = 0} =
= ix I ft (*) = 0} U {х | /2 (х) = 0} = и Е2.
Решая уравнение |/,(л;)|+|/2(л:)|=0, мы пользуемся эквивалент¬
ностью
|М*) I + 1М*) 1= 0 » /, (*) = 0Д/2 (*) = 0,
и множество решений данного уравнения выражается через мно¬
жества Ei и Е3 следующим образом:
{х | | /, (х) | +1 /2 (х) | = 0} = {х | /, (х) = ОД /2 (х) = 0} =.
* {* I fi (х) ~ 0} П \х | /а (х) = 0} = Ег П £в.
1 В общей части областей определения /, и /2.
113

Система уравнений
f fi (*,У) = О,
I /2 (Х,у) = О
представляет собой конъюнкцию
fi (Х>У)— О Л (х,у) = 0,
а следовательно, множество решений системы есть область истин¬
ности этой конъюнкции:
\(х,у) | ft (х,у) = ОД ft (х,у)= 0} = {(х,у) | (х,у) =.
= 0} П {(х,у) | /2 (х,у) = 0}.
Многие ошибки, допускаемые учащимися при решении урав¬
нений, неравенств и их систем, обусловлены непониманием ими
логических связей, которые в традиционной практике преподава¬
ния не применяются в явном виде. Решая, например, неравенство
(х—1)(х—2)>0, мы, по существу, устанавливаем эквивалентности:
(х— 1)(х—2) > 0 <=>((*— 1 > 0) А (х—2 > 0); V
V((*— 1<0)Д(х—2<0));
(х—1)(х—2) >	((х	> 1)/\(х> 2)) V((*< 1)Л(л:<2));
(х— 1 (v —2) > 0 <& (х > 2) V (х < 1),
а множество решений данного неравенства равно области истин¬
ности последнего эквивалентного ему предиката, которая легко
выражается через области истинности составляющих его элемен¬
тарных предикатов (линейных неравенств):
\х | (х— 1) (х—2) > 0} = {х| (х > 2) V (* < 1)} =
= {х|х > 2} и {х\х < 1}.
В традиционной же практике данное неравенство сводится к двум
системам неравенств:
jx — l >0, j х— 1 < 0,
\х—2 > 0,	\х—2 < 0,
которые никак не связываются между собой. Поэтому при опреде¬
лении множества решений учащиеся часто допускают ошибку:
вместо объединения множеств решений систем они берут пересече¬
ние этих множеств и приходят к выводу, что данное неравенство
не имеет решений. Эта ошибка допускается и в том случае, когда
говорят «или» при переходе от записи первой системы к записи
второй, так как на эту связку не обращают внимания и смысл ее
учащимся не разъясняется.
3.	Мы рассмотрели тождественность термов. Тождество термов
мы обозначили обычным знаком равенства, и внешне тождество
7\=Т2 ничем не отличается от уравнения ТХ=Т2. Действительно,

ождество есть уравнение, обращающееся в истинное высказывание
ia всем множестве, на котором оно рассматривается, т. е. когда
шожество его решений совпадает с этим множеством. В таком слу-
гае уравнение представляет собой общезначимую формулу, выра-
кающую закон, действующий в этой области. Так, мы выразили
юкоторые законы, действующие в каждом из множеств N, Z, Q, R,
: помощью пропозициональных форм (уравнений): x{y-\-z)=xy-\-xz,
■у—ух, но эти же законы мы выразили ранее в квантифицирован-
юй форме, как высказывания: VxVyVz \х{у-\-2)=ху-\-хг\, Vx
1 у[ху=ух]. Характерная особенность общезначимых в некотором
множестве уравнений (тождеств) состоит в том, что связыванием
юех содержащихся в них переменных кванторами общности они
юреводятся в истинные высказывания. Если в множестве, на кото¬
ром рассматривается уравнение, имеется хотя бы один элемент, об¬
ращающий уравнение в ложное высказывание, то оно не является
гождеством в этом множестве.
Уравнения, не представляющие собой тождества в данном мно¬
жестве, делят на выполнимые и невыполнимые в этом множестве.
Сравнение называется выполнимым, если множество Е его решений
эепусто, т. е. если уравнение имеет в данном множестве хотя бы
эдно решение, и невыполнимым, если это множество пусто. Совер-
ценно очевидно, что свойство выполнимости или невыполнимости
Существенно зависит от множества, на котором рассматривается
уравнение.
Уравнение, не содержащее переменных,— истинное или ложное
высказывание о равенстве. Если оно истинное высказывание, то
dho причисляется к тождествам, если ложное — к невыполнимым
на любом множестве.
Между тождествами, выражающими закономерности в некотором
множестве, и невыполнимыми уравнениями находятся выполни¬
мые уравнения, выражающие условия, с помощью которых из
этого множества выделяются различные подмножества, удовлетвэ-
яющие этим условиям. Такими уравнениями (выполнимыми)
выражаются, в частности, условия, с помощью которых в аналити¬
ческой геометрии выделяют точечные подмножества плоскости
и пространства. Так, например, уравнение х2+у2= 1 выражает
условие, выделяющее окружность {(х, у)\х2-\-у2=\) на плоскости
или цилиндр {(я, у, z)|.v2T~</2= 1} в пространстве в том смысле, что
точки плоскости (пространства), удовлетворяющие этому условию,
т. е. обращающие уравнение х2-\-у2=\ в истинное высказывание,
и только они, принадлежат окружности (цилиндру).
4.	В школьном курсе мы часто рассматриваем уравнения с «бук¬
венными коэффициентами». Важно выяснить смысл этих уравне¬
ний, особенно в тех случаях, когда они получены в результате обоб¬
щения из конкретных уравнений и используются для отыскания
общего метода решения (разрешающего алгоритма). Так, хг-\-Зх-\-1^
=0, л:2—2х—5=0, х2+0,5х—2,7=0 — различные конкретные урав¬
нения, квадратные уравнения приведенного вида, a x2+px+q=0 —
115

/
общая форма таких уравнении. Таким образом, можно сказать, что
xiJrpx-\-q=:0 — форма квадратного уравнения приведенного вида,
где х — переменная этого уравнения, а р, q — переменные
его формы, причем области значений этих переменных могут
быть различными множествами. Так, мы можем рассматривать
уравнение с вещественными коэффициентами (т. е. р, q£R) на
множестве комплексных чисел (х Е К). Эта форма квадратного урав¬
нения переходит в квадратное уравнение, когда переменные р, q
формы замещаются именами элементов из соответствующего мно¬
жества.
Можно также не различать переменные формы и переменные,
уравнения и рассматривать xz-\-px-\-q=0 как уравнение с тремя
переменными.
Произведя эквивалентные преобразования:
х2 + рх + q = 0 &х* + рх +£— (^—q^j =
=0 «(*+!)■-( (*+!_
~Yt-«)(*+■£•+ Yт-«)-°»(*-
—f+ YY^) v (*—*- YY^) ■
мы приходим к выводу, что каждое решение (х, р, q) исходного
уравнения есть решение и последней дизъюнктивной пропозицио¬
нальной формы, и обратно, т. е. множества их решений совпадают.
Если сейчас заменить р, q какими-нибудь их значениями, как это
имеет место в любом конкретном уравнении, то из последней про¬
позициональной формы легко получить соответствующее значение х,
являющееся решением этого уравнения.
5.	Мы везде говорим «уравнение с одной (двумя, тремя и т. д.)
переменными» вместо обычно применяемого выражения «уравне¬
ние с одним (двумя, тремя и т. д.) неизвестными», так как с терми¬
ном «неизвестное» связан один из существенных дефектов тради¬
ционного понимания уравнения.
В установившейся практике преподавания при первом ознаком
лении учащихся с простейшими уравнениями (еще в начальных
классах) вводят х как символ объекта, который нужно найти. Ввиду
того что начинают обычно с линейных уравнений, имеющих единст
венное решение, х понимается как имя, название одного опреде¬
ленного, но пока неизвестного объекта. К тому же это представ¬
ление усиливается применением известной модели с весами, которая
применима к линейным уравнениям.
В результате традиционного изучения учащиеся затрудняются
видеть в уравнении, например, х2—Зх+2=0, языковую структуру,
которая может выражать истинное или ложное высказывание. Они
считают, что это истинное высказывание об определенном, но пока
116

неизвестном числе. Этот взгляд на уравнение формируется у уча¬
щихся различными методическими средствами, в частности вопроса¬
ми типа «Какие значения может принимать х в выражении х2—Зх+2
н в уравнении х2—Зх-f 2=0?», цель которых — показать, что в вы¬
ражении х3—3x~j-2 буква х применяется как переменная, могущая
принимать любые значения (из данного множества), а в уравнении
\*—Зх+2=0 х есть неизвестное, которое может принимать лишь
два значения: 1 и 2. В действительности же в обоих случаях х —
переменная.
Школьная математика нуждается в понятии переменной. Один
из существенных недостатков традиционной методики состоит в от¬
сутствии этого понятия. Имеется в виду переменная как важное
языковое понятие, а не традиционно применяемое в школьном обу¬
чении расплывчатое понятие «переменной величины», смысл кото¬
рого никому не понятен.
Явное формирование понятия переменной по действующим
учебникам осуществляется в IV классе, хотя его подготовка
может начинаться — да фактически и начинается — уже в началь¬
ных классах [15].
Рассмотренные нами вопросы не исчерпывают учения об урав¬
нениях в том объеме, в каком оно включается в школьные программы.
Здесь намечены лишь общие основы, на которых может быть пост¬
роена конкретная методика учения об уравнениях и неравенствах,
лишенная недостатков традиционной практики изучения этого
важного раздела школьной математики.
4.	Функции. Понятие функции, наряду с понятиями множества,
отношения, операции, лежит в основе современной трактовки дру¬
гих математических понятий, в частности и понятий школьной
алгебры. Рассматривая числовые множества, тождественные преоб¬
разования, уравнения и неравенства с современной точки зрения,
мы всюду использовали понятие функции как отображения одного
множества в другое.
И это не случайно. Понятие функции не просто одно из изучае¬
мых в школе понятий, которое лишь сосуществует с другими,— это
источник идей, которые должны стать одной из основ современного
преподавания. Чтобы это понятие смогло сыграть такую роль в пре¬
подавании математики, необходимо его формировать у учащихся
как можно раньше и в современной трактовке [4].
1.	При исторически сложившейся методике преподавания ма¬
тематики изучение понятия функции начинается с отождествления
этого понятия с понятием алгебраического выражения. Известно,
однако, что первое знакомство с функциями на примерах алгебра¬
ических выражений оставляет глубокий след в сознании учащихся,
которые и в дальнейшем, несмотря на иные определения, продол-
дают отождествлять функцию с выражающим ее термом или форму¬
лой. Между тем алгебраическое выражение (терм, формула) — язы¬
ковое понятие. Это определенная конструкция из символов алфа¬
вита языка алгебры. Функция же — внеязыковое понятие. Это
117

отображение одного множества в другое. Эти понятия несравнимы
по объему, они не находятся, как иногда думают, в отношении под¬
чинения (алгебраическое выражение — вид функции). Алгебраи¬
ческое выражение является не видом функции, а языковой формой,
с помощью которой можно выразить некоторые классы функций,
другие же не выражаются средствами языка элементарной алгебры.
Отношение понятия алгебраического выражения (терма, формулы)
к понятию функции — это отношение языковой формы к обозначав-1
мому ею объекту.
2.	Понятие функции можно с самого начала формировать в его
современной трактовке и постепенно развивать, переходя от одного
уровня к другому; заметим, что от этих уровней не требуется,
чтобы они соответствовали этапам исторического развития понятия
функции; они выявляются с помощью анализа его современной
трактовки.
Работа по формированию понятия функции должна начинаться
в начальной школе. На этом уровне не следует давать никаких
формальных определений. Учащиеся знакомятся с простыми приме-1
рами функций, определенных на конечных множествах и зада¬
ваемых непосредственным перечислением всех принадлежащих им
пар. Так как числовая природа элементов области определения
и области значений функции не является существенным признаком
общего понятия функции, формирование этого понятия целесооб-1
разно начинать не с обычно изучаемых числовых функций от число¬
вых переменных, а с жизненных примеров, в которых область опре¬
деления и область значений (или хотя бы одна из этих областей)
суть нечисловые множества. Здесь можно использовать близкий
учащимся конкретный материал; в качестве примеров можно при¬
вести функции, определенные на множестве учащихся класса (рост,
вес, размер обуви, оценки, полученные на контрольной работе,ит.п.).
Например, когда объявляются результаты контрольной работы
по математике, называют пары: (Иванов, 3), (Петренко, 4), (Чер¬
нявский, 2) и т. д. В каждой из этих пар на первом месте стоит
элемент множества А фамилий учащихся, на втором — элемент
множества В ={1, 2, 3, 4, 5), обозначающий оценку по контрольной
работе. Список учащихся с полученными ими оценками образует
множество пар (х, у), где х£А, а у в В (на этом этапе можно обой¬
тись еще без переменных). Не глядя на этот список, мы можем отве¬
тить на следующие вопросы, касающиеся свойств пар, из которых
он состоит: а) В классе 30 учеников. Найдутся ли в указанном
(лиске различные пары с одинаковыми вторыми элементами (на
I гором месте в этих парах стоит один и тот же элемент из В)? б) Най-
; ,тся ли в этом списке две различные пары с одинаковыми первым!
: зементамн (па первом месте в этих парах стоит один и тот же эле-
лент из Л)?
В этом примере не только множества Л и В имеют определенною
I анкретную природу, но и само сопоставление с каждым элементом
I Л определенного элемента из В имеет конкретный смысл.
118

Необходимо обратить внимание учащихся на след>ющие свойства
фигурирующего в приведенном примере (и в других аналогичных
примерах) множества пар (элементы пары будем называть, соответст¬
венно, первой и второй координатами пары)'.
1) Первая координата каждой пары — элемент множества А
в каждый элемент множества А входит в качестве первой коорди¬
наты в какую-нибудь пару;
2) Вторая координата каждой пары — элемент множества В,
во не обязательно каждый элемент множества В является второй
координатой какой-нибудь пары (может быть контрольная работа
без единиц и двоек, еще лучше — без единиц, двоек и троек);
3) Нет двух различных пар с одинаковыми первыми координа¬
тами, т. е. двух пар с одной и той же первой координатой и различ¬
ными вторыми координатами. Иными словами, каждый элемент
множества А служит первой координатой только одной пары.
Можно сообщить учащимся, что такое множество пар определяет
некоторое отображение множества А в множество В (обозначение:
А-+-В) и что это надо понимать так: отображение множества А
в множество В состоит в том, что каждому элементу множества А
ставится в соответствие (спаривается) один и только один эле¬
мент множества В.
Возможны, разумеется, различные отображения множества А
в множество В\ каждое из них определяется множеством пар, обла¬
дающих свойствами 1)—3). Список результатов другой контрольной
работы может содержать уже пары (Иванов, 4), (Петренко, 5),
(Чернявский, 4) и т. д. и, следовательно, определять новое отобра¬
жение множества А в множество В, дающее право утверждать, что
Иванов, Петренко, Чернявский стали лучше учиться.
В дальнейшем, кроме функций, задаваемых перечислением
(таблицей), рассматриваются и функции, задаваемые областью
определения А (конечной) и правилом, по которому для каждого
элемента из А находится соответствующий ему элемент из В, об¬
разующий с ним пару. Вначале целесообразно рассматривать при¬
меры, где правило выражается в виде словесного предписания.
Затем появляется необходимость введения переменной х с областью
значений А и переменной у с областью значений В, так как правило
для нахождения элементов В, соответствующих элементам из А,
уже выражается формулой, содержащей переменные х и у, т. е. дву¬
местной пропозициональной формой, уравнением. Если в эту
пропозициональную форму подставить вместо х какое-нибудь ее
значение (из А), то соответствующим ему значением# будет то, ко¬
торое обращает получившуюся одноместную форму в истинное
высказывание. Иначе говоря, функция определяется множеством
пар (х, у), обращающих формулу в истинное высказывание, или
областью истинности пропозициональной формы. В этом смысле
мы и говорим, что, например, формула, или уравнение, у=2x4-3
«выражает» некоторую функцию переменной х. Говорят также, что
терм 2x-f-3 «выражает» функцию переменной х в том смысле, что
119

для каждого значения х этот терм дает соответствующее значение
функции. Однако ни уравнение у—йх-{-3, ни терм 2х+3 сами по
себе еще не задают функцию, так как неизвестна область опреде¬
ления, т. е. область значений переменной х (аргумента).
Задание функции с помощью области определения и правила,
выраженного уравнением у—2х+3, может быть записано следую¬
щим образом:
Г/={(х,У) |(*€ <1.2,3, 4} и (у = 2х + 3)\
(вместо союза и можно писать знак конъюнкции Д, если учащимся
известен этот знак).
Множество пар (или множество точек плоскости) называется
графиком этой функции или выражающего ее уравнения.
Переход от функций, определенных на конечных множествах,
к функциям, определенным на бесконечных множествах, уже не
представляет особых трудностей. Для выявления соответствующих
различий можно сравнить функции, выражаемые с помощью одной
и той же формулы, но определенные на конечном и бесконечном
множествах, например:
Гр = {(х, у) | (х € {1, 2, 3, 4}) Л(1/==2* + 3)} и
Гf = {(х, #)|(jc€ Q) А (у = 2х + 3)\.
Эта запись наглядно подчеркивает различие двух функций. Функ¬
ция ft определена на конечном множестве (1, 2, 3, 4), f2— на беско¬
нечном множестве Q рациональных чисел. Функция Д может быть
задана с помощью конечной таблицы, f2— не может быть задана
таким способом. Геометрическое представление, или график, функ¬
ции ft — конечное множество точек, график функций }2—беско¬
нечное множество точек, принадлежащих одной и той же пря¬
мой. Так как (1, 2, 3, 4}cQ, то иДсД.
Выше описаны лишь отдельные моменты процесса формирова¬
ния понятия функции как отображения одного множества в другое.
Необходимо отметить, что в этом процессе термы и формулы по¬
являются лишь как одна из форм выражения функций, причем не
с самого начала, а лишь после того, как учащиеся уже ознакомятся
с другими способами задания функций и с такими примерами функ¬
ций, задание которых вообще немыслимо с помощью алгебраических
выражений.
Необходимо добиваться четкого разграничения уравнения, вы¬
ражающего функцию, и функции, выражаемой уравнением.
3.	Остановимся на вопросе, относящемся к терминологии и сим¬
волике. В традиционной школьной терминологии двум различным
объектам присваивалось одно и то же имя «функция», и эти объекты
обозначаются одним и тем же символом f(x). Двусмысленность этого
термина (и символа), которым обозначали и «зависимую перемен¬
ную величину» и саму «зависимость между переменными величи¬
нами», нередко порождала много недоразумений в процессе обу¬
чения.
120

Два различных объекта — функция и значение функции —
должны обозначаться различными символами, различными терми¬
нами. Помимо символа (обозначения) f(x) целесообразно пользо¬
ваться и символом / как особым знаком, четко различая объекты,
(обозначаемые этими символами. Например, записи и f(x) £R,
|де К — класс непрерывных функций, означают: функция непре¬
рывна, и ее значения вещественны.
4.	В старших классах может быть дано следующее определение
функции как отображения.
Функцией / с областью определения X и значениями из У, или
отображением множества X в множество У (Х-*-У) называется
соответствие, сопоставляющее с каждым элементом множества X
один и только один элемент множества У, т. е. соответствие, об¬
ладающее следующими двумя свойствами1:
у*з у (у =/(*));	(I)
V(.V, у) V(jfJt yt) (((# = /(*)) Л&-/(*,))Л	(и)
<*, {,) еХХУ (*,, у,) € XXY
Л 1х = х1))^{у = у1).
Как видно, отображение f порождает множество пар
Г{ с ХхУ,
график f, на языке которого свойства (I) и (II) запишутся так:
I. Vx Зу {(х,у)£Г,)\
хеХ yeY
II. V(х, у) V(х,, yj (((х, y)$rf) л ((xv уг) £Г/) л
(*, y)eXxY {х„ y,)exxY
Л (х=х1)=>{у = у1)).
Свойство (I) означает, что для каждого элемента из X сущест¬
вует соответствующий ему элемент в множестве У, т. е. каждый
элемент из X является первой координатой пары из Г /.Свойство (II)
означает, что в Ff нет двух пар с одинаковыми первыми и различ¬
ными вторыми координатами, т. е. каждому элементу X соответст¬
вует не более одного элемента из У.
Как видно, это определение повторяет, лишь в несколько иных
терминах, приведенное выше разъяснение понятия отображения.
Роль формального определения — подвести итог, закрепить,
узаконить то, что уже понято интуитивно в результате неформаль¬
ных, содержательных разъяснений на разнообразных конкретных
примерах.
1 В следующих ниже формулах записи вида Vx и эх читаются: «для всех
хе М хеи
элементов х, принадлежащих множеству М» и «существует такой элемент х в мно¬
жестве At, что». Знак X есть символ операции образования прямого (декартова)
произведения двух множеств; запись XXУ означает множество всех пар (х, у)
таких, что х£Х и у£К.
121

Норслн определение дано, оно должно «работать». Имеется много
допросов, решение которых требует обращения к определению функ¬
ции. В преподавании необходимо подчеркивать эти обращения,
а не обходить их, как это подчас делается на практике, когда,
с одной1 стороны, определение остается без применения, а с дру¬
гой — вопросы, решение которых основано на этом определении, ре¬
шаются без достаточного основания.
Пусть, например, мы хотим установить, определяет ли уравне¬
ние у=2х-\-3 функцию на множестве Q с значениями в Q. Дл'я этого
нам нужно доказать, во-первых, что
Ух Зу (у == 2х 3),
xeQ И 6 Q
во-вторых, что
*1 = ** =>&=&■
Первое следует из- замкнутости множества Q относительно ум¬
ножения и сложения, второе — из единственности результатов этих
операций (если Xi=x2, то yl—2xi+3=2x2+3=yi).
Аналогично устанавливаем, опираясь на определение функции,
что уравнение у2=х не определяет функцию переменной х на мно¬
жестве положительных вещественных чисел, так как не выпол¬
няется второе условие: если Xi=x2, то у\=у\, но из у\=у\ не сле¬
дует i/i=i/2- Однако уравнение у"=х определяет	на	множестве R
функцию	переменной у. В этом нетрудно убедиться,	проверив	вы¬
полнимость условий (I) и (II) из определения функции.
5.	Покажем применение логического языка для точного и яс¬
ного выражения некоторых свойств функций и выяснения связи
между ними.
Будем считать, что функция f определена на некотором отрезке
(или на всем множестве) R.
«/ — возрастающая функция», если, и только если,
Ух,Ух, ((Хх < х2) => (f (xt) < f (х2))).	(1)
«/ — неубывающая функция», если, и только если,
VxxVx2 ((*! < х2) => (/ (хх) < / (х2))).	(2)
«/ — убывающая функция», если, и только если,
VxxVv2 ((х, < х2) => (f (хх) > f (х2))).	(3)
«/ — невозрастающая функция», если, и только если,
VxxVx2 ((хх < х2) => (/ (хх) > f (х2))).	(4)
Возьмем отрицание высказывания (1), т. е. рассмотрим высказы¬
вание Неверно, что f — возрастающая функция:
Vx„Vx2 ((х, < х2) => (f (хх) < Ах,))) Ф»
ФФ ЭххЭх2 ((хх < х2) Д (/ (хх) > (х2))).	>5)
122

Формулы (4) и(5) не эквивалентны, также как не эквивалентны
формула (2) и отрицание формулы (3).
Запишем определения максимума и минимума функции:
/ (*о) = Утах «=> 36V.V ((0 < | X Х0 | < 6) =>
6>0
=>(/ (х)< f(X0)))\	(6)
/ (*и) = ^min & ЭбУх ((0 < | X — X0 | < 6) =>
6>0
=></(*) >/(x o)))-	(7)
Для выявления различия между максимумом и наибольшим
значением, минимумом и наименьшим значением функции целесо¬
образно сопоставить формулы (6) и (7) со следующими:
«/(*о) — наибольшее значение функции/»:
Ух(/(х)</(х0)).	(8)
«/(хо) — наименьшее значение функции /»:
Ух(/(х)>/(х0)).	(9)
Запишем определение предела функции в точке:
I = lim / (х) фф Уе ЭбУх ((| х—х0| < б) =>
х-+х0	«>0 6>0
=>(!/(*)—*1 < «))•	(Ю)
Часто приходится устанавливать, что число / не является преде¬
лом функции в точке х0, для чего необходимо точно сформулировать
отрицание определения предела функции в точке. Опыт показывает,
что не	только учащиеся, но и	студенты	вузов	затрудняются	пра¬
вильно	сформулировать это отрицание	(имеется	в	виду	формули¬
ровка в преобразованном виде без отрицаний над кванторами).
Применение логического аппарата освобождает нас от этой
утомляющей умственной операции. Применяя правила отрицания
высказываний с кванторами, сразу же получаем:
/ ф lirn / (х) ФФ УеЕб Ух(( | х—х0| < 6) =>
Х-*Х0	F> 0 6> О
=>Ш(*) —1\ < е))^ЭеУ6 Эх ((| х — х„ | <
е>0 6>0
< 6) л (| /(х) — /|>е)).
Проведенные нами педагогические эксперименты показали, что
после некоторых упражнений в построении отрицаний с использо¬
ванием логического аппарата учащиеся научаются правильно
строить отрицания на словесном языке без применения этого аппа¬
рата. Однако они предпочитают пользоваться символическим язы¬
ком, считая его более удобным, кратким и ясным [16, 17]. Это под¬
тверждает общий тезис о важности использования логического
языка математики (см., например, [18]) в обучении содержанию
этой науки.
123

Литература
1 А ■ N. Колмогоров. Простоту сложному.— «Известия», 1963, f янп.
2. J. Dieudonne. Moderne Mathematik und Unterricht aul der Hoheren Schnle. —
«Mathem.-physik. Semesterberichte». Gottingen, 1962. Bd 8, H. 2.
3. А. А. Столяр. Логические проблемы преподавания математики. Минск, 1965.
4. А. А Столяр. Педагогика математики. Минск, 1969 (изд. 2-е. перераб. и дои*
Минск, 1974).
5. А. А. Столяр, Н. М. Рогановский. Основы современной школьной мате¬
матики. Ч. I. Язык. Множества. Отношения. Функции. Математические
структуры. Минск, 1975.
6. А- А. Столяр, М. П. Лельчук. Математика. (Для студентов I курса факульте¬
тов подготовки учителей начальных классов педагогических вузов). Минск,
1975.
7. К. И. Пешков. Математика. Учебные материалы для IV класса. Ч. I. М., 1963;
ч.	II, III. М., 1964.
8. Э. Бет. Размышления об организации и методе преподавания математики. -
В кн.. Преподавание математики. Пер. с франц. М., 1960.
9. А. А. Столяр. Методы обучения математике. Минск, 1966.
10. В. А. Успенский. Лекции о вычислимых функциях. М., 1960.
11. И. G. Steiner. Logische Probleme im Mathematikunterricht. Gleichungslehre.--
«Mathem.-physik. Semesterberichte». Gottingen, 1960. Bd. 7, H. 1.
12. А. Ш. Блох, Г. С. Неверов. Решение неравенств. Минск, 1962.
13. R. L. Swain. The Education.— «Math. Teacher», 1962, №4.
14. А. А. Столяр. К вопросу о трактовке понятия уравнения.— «Математика
в школе», 1959, № 1.
15. А. А. Столяр. Логические проблемы преподавания математики. Сообщение I.
Математический язык и обучение математике.— «Новые исследования в педа¬
гогических науках», вып. V. М., 1965.
16. А. А. Столяр. Логико-математический язык в обучении математике. Тезисы
Международного конгресса математиков, секция 15. М., 1966.
17. А. А. Столяр. Логико-математический язык в обучении математике.— «Ма¬
тематика в школе», 1967, № 2.
18. А. А. Столяр. Логическое введение в математику. Минск, 1971.

А. А. Столяр
О НЕКОТОРЫХ ПРИМЕНЕНИЯХ
ЛОГИКИ В ПЕДАГОГИКЕ
МАТЕМАТИКИ
И рамках применений логики й педагогике исследуются не только
общепедагогические проблемы, но и проблемы обучения отдельным
предметам. Особенно это относится к проблемам педагогики мате¬
матики.
Рассмотрим некоторые из этих проблем.
1.	Проблема логического воспитания учащихся. Обычно в обу¬
чении математике стремятся к устранению трудностей в понимании
материала учащимися путем многократных разъяснений и иллюст¬
раций собственно математического компонента этого материала.
Так поступают и в тех случаях, когда причиной трудностей является
непонимание его логического компонента. Но такие попытки редко
оказываются успешными, так как не устраняют причину непони¬
мания.
Проведенные педагогические эксперименты 1 с помощью спе¬
циально составленных логических тестов (вариант теста подоб¬
ного рода и результаты эксперимента с ним см. в 111) подтвердили,
что одна, пусть даже многолетняя, тренировка в выполнении про¬
стейших логических операций, выражаемых на русском языке
словами не, и, или, если... то, если и только если, беа их специаль¬
ного изучения, не приводит к усвоению точного смысла этих опе¬
раций. Одна тренировка в выполнении различного рода формаль¬
ных выводов, без понимания того, как мы рассуждаем, не может
привести к требуемому для корректной математической деятель¬
ности развитию логики мышления средних и слабых по матема¬
тике учащихся.
Результаты экспериментов опровергают утверждение (с которым
нередко приходится сталкиваться) об автоматическом влиянии
содержания школьной математики на логическое развитие уча¬
щихся. Такое влияние достигается лишь применением соответст¬
вующей методики, использующей элементы логики в качестве необ¬
ходимого инструмента правильной математической деятельности.
Естественно включить проблему логического воспитания уча¬
щихся в процессе обучения математике в комплекс работ, связанных
с дальнейшей модернизацией математического образования.
1 В средних школах № 1, 11, 14 г. Могилева и в средних школах № 444, 315
Москвы.
125

Ниже приводятся несколько примеров часто встречающихся
ошибок, обусловленных непониманием учащимися логического
компонента математического материала, и краткое описание ме¬
тодики преподавания, устраняющей подобные ошибки.
1) Учащйеся обычно считают, что высказывания 3^5, 2^2
ложны, так как они не понимают смысла дизъюнктивной связи.
Учащиеся же, знающие определение дизъюнкции, отвечают утвер¬
дительно на вопрос «Истинно ли высказывание 3^5?» и объяс¬
няют свой ответ: «З^С5 есть сокращенная запись дизъюнкции (3<5)V
V(3=5), а так как одно из составляющих высказываний (3<5)
истинно, то и вся дизъюнкция истинна».
2) Непонимание смысла дизъюнктивной связи часто приводит
к прямым математическим ошибкам. Например, в установившейся
х 2
практике обучения говорят, что неравенство типа -—g>0 «распа¬
дается» на две системы неравенств или что его решение «сводится»
к решению двух систем неравенств. Но что означает «распадается»,
«сводится», как связаны между собой две системы неравенств, во
многих случаях не разъясняется. В результате пренебрежения
логической связью между системами неравенств учащиеся часто
приходят к неправильному выводу, что данное неравенство не имеет
решений (это происходит потому, что в качестве множества решений
исходного неравенства они рассматривают не объединение, а пересе¬
чение множеств решений двух систем).
Применение в явном виде логических операций позволяет запи¬
сать на точном языке рассуждение, выполняемое при решении дан¬
ного неравенства, представив последнее в виде логической функции,
выраженной через более простые (линейные) неравенства: «Дробь
X — 2
j—^ положительна при всех тех и только тех значениях перемен¬
ной х, при которых числитель и знаменатель положительны или
числитель и знаменатель отрицательны»:
>0	((jc-2) > 0) Л (х-6 > 0)) V ((*—2 < 0) Л
Д (л:— 6 <0)).
Упрощая полученную формулу
((х > 2)Л(х > 6)) v((* < 2)/ (х < 6)) ФФ (х > 6)\/(*< 2),
учащиеся безошибочно определяют множество решений исходного
неравенства как область истинности полученной дизъюнкции.
3) Многие средние и слабые по успеваемости учащиеся не раз¬
личают импликацию и обратную ей операцию, когда обе они истин¬
ны или обе ложны. Это является источником ошибочных рассуж¬
дений.
На вопрос учителя: Что вы можете сказать о параллелограмме,
у которого диагонали взаимно перпендикулярны? — последовал
126

иной ответ ученика: Это ромб, так как в ромбе диагонали взаимно
т •рпендикулярны.
Понимание ошибочности этого рассуждения требует некоторой
формализации, касающейся не собственно математического, а ло-
1 ического компонента изучаемого материала.
Восстановим полностью рассуждение ученика: Если параллело¬
грамм — ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны; в дан¬
ном параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны; сле¬
довательно, данный параллелограмм — ромб.
Целесообразно привести учащимся пример рассуждения той же
структуры, но другого содержания, ошибочность которого была
бы очевидной, например: Если стол дубовый, то он деревянный;
данный стол деревянный; следовательно, он дубовый.
Чтобы показать, что эти два рассуждения различного содержа¬
ния имеют одну и ту же структуру, форму, достаточно заменить
встречающиеся в них элементарные высказывания переменными.
Заменим, например, высказывания параллелограмм — ромб метол—
дубовый переменной X, а высказывания его диагонали взаимно пер¬
пендикулярны и он — деревянный — переменной Y. Тогда легко
записать схему приведенных выше рассуждений (использованное
X —> Y Y
в них правило вывода) в следующем виде: 	1—.
Достаточно знать определение импликации, чтобы убедиться
в том, что это правило вывода недопустимо, так как может при¬
вести от истинных посылок к ложному заключению (при X—Л
и Y—И обе посылки истинны, а заключение ложно), и поэтому
любое рассуждение, построенное по такой схеме, ошибочно, даже
если в нем заключение само по себе истинно (оно может быть ис¬
тинным, но не следовать логически из данных посылок).
4)	Хотя в школьном преподавании математики постоянно го¬
ворят о «следовании» одного высказывания из другого, ни на каком
этапе обучения не разъясняется смысл высказывания о следовании.
Учащиеся не понимают точный смысл высказывания Если X, то Y
(или Из X следует Y), не знают, в какой зависимости находится
значение истинности этого высказывания от значений истинности
его компонентов X и Y. Например, учащиеся считают высказыва¬
ние Если 9 делится на 3, то 81 делится на 3 истинным, а высказы¬
вание Если 10 делится на 3, то 100 делится на 3 ложным.
Даже лучшие учащиеся допускают ошибки, связанные с незна¬
нием определения импликации. На математической олимпиаде (Мо¬
гилевская область, 1967 г.) была предложена следующая логи¬
ческая задача: «Кто из четырех мальчиков А, В, С, D отличник,
если известно, что: (1) Если А отличник, то и В отличник; (2)
Если С не отличник, то и В не отличник и (3) Неверно, что если D
отличник, то и С отличник».
Участники олимпиады, не изучавшие элементы логики, обычно
предлагали следующие два решения этой задачи: «Е> отличник,
А, В и С не отличники», которое действительно удовлетворяет
127

всем условиям задачи, и «Л, В и С отличники, D не отличник», ко{
торое противоречит условию (3), так как если D не отличник, а
отличник, то высказывание «Если D отличник, то и С отличник»
истинно. Участники же олимпиады, которые знали определен
импликации, решили эту задачу правильно, причем различными!
способами (обычными рассуждениями, в виде дедуктивного дока¬
зательства, алгебро-логическим способом).
Приведем эти решения:
а) Обычные рассуждения. Из условия (3) следует, что D отлич¬
ник, а С нет. Так как С не отличник, то из (2) следует, что и В не
отличник. Поскольку В не отличник, то из (1) следует, что и А
не отличник.
Следовательно, D отличник, Л, В и С не отличники.
б) В виде дедуктивного доказательства (этот способ отличается
от первого лишь по форме: рассуждение представлено в виде дедук¬
тивного доказательства):
1. Л=>В.
2. С=>В.
3.	D.
• С.
4.	ОДС из 3 по правилу вывода
Х=£>У \
Ха Y
D ^из 4 по правилу удаления конъюнкции * ^ Y j
п( О Л -	*	Л	К
С (из —
(*
5.
6. С (из 4 по правилу удаления конъюнкции
7. В( из 2 и 6 по правилу заключения
)
)•
8.
А ^из 1 и 7 по правилу отрицающего заключения
X=t>Y, г\
Итак, D отличник, Л, В, С не являются отличниками,
в)	Ллгебро-логический способ (или способ составления и решения
«логического уравнения»):
(Л => В) Д (С => В) Д (DIэ_С) = И.
(Л у В) AJC V В) A D ДС= И. _
ACDC V ABDC V BCDC V BBDC = И.
Осе члены полученной дизъюнкции, кроме одного (второго), содер¬
жат какое-нибудь высказывание вместе с его отрицанием, поэтому
они ложны. Получаем
ЛВВС=И.
Значит, А=В—С=Л, a D=И.
5)	Наши эксперименты показали, что подавляющее боль¬
шинство учащихся не умеют правильно строить отрицания выска¬
зываний сложной логической структуры. Этим объясняются не¬
128

которые часто встречающиеся ошибки в их рассуждениях, в част¬
ности в косвенных доказательствах.
Учащимся IX—X классов (средней школы № 1 г. Могилева),
студентам физико-математического факультета (Могилевского пе¬
дагогического института), не изучавшим логики, и учителям (слу¬
шателям курсов повышения квалификации в г. Могилеве) были
предложены две задачи:
Задача 1. Найти ошибку в следующем доказательстве за¬
кона коммутативности сложения: «а+Ь—Ь+а для всех а и Ь» (1).
«Допустим, что этот закон неверен. Тогда а-\-ЬфЬ-\-а для всех
а и Ь. Подставив Ь=а, получаем противоречие а+афа+а. Следо¬
вательно, наше допущение неверно и закон коммутативности до¬
казан».
Задача 2. Найти ошибку в доказательстве предложения:
«Если прямая а перпендикулярна какой-либо одной прямой b
плоскости а, то она перпендикулярна и самой плоскости а».
«Допустим, что прямая а не перпендикулярна плоскости а.
Тогда из определения перпендикулярности прямой и плоскости
следует, что прямая а не перпендикулярна ни одной прямой плос¬
кости а, в том числе прямой Ь, что противоречит условию. Предло¬
жение доказано».
Подавляющее большинство тех (учащиеся, студенты и учителя),
кому были предложены эти задачи, не справились с ними.
При решении задачи 1 некоторые усматривали ошибку в под¬
становке вместо b числа а, объявляя, разумеется без всякого осно¬
вания, такую подстановку незаконной. Другие же утверждали,
что приведенное доказательство безошибочно.
Мы предложили эту задачу и учащимся IX класса, изучавшим
элементы логики. Подавляющее большинство учащихся справи¬
лось с этой задачей. Приведем решение ученицы Е. Максимович
(решения других учеников были в том же стиле): «Из ложности
высказывания (1) Vn Vb fa+b=b+a\ не следует истинность вы¬
сказывания
которое не является отрицанием высказывания (I). Отрицание вы¬
сказывания (1) — это высказывание
Е1о высказывание (3) мы не можем опровергнуть таким способом,
как опровергнуто (2), и поэтому таким путем нельзя доказать (1)».
Так как задача 2 отличается от задачи I тем, что доказываемое
в ней предложение ложно, многие из испытуемых и стремились это
показать, т. е. подменяли задачу отыскания ошибки в приведенном
доказательстве задачей опровержения доказываемого предложе¬
ния. С этой задачей они справились, так как в традиционном пре¬
подавании обращают внимание на развитие пространственных пред¬
ставлений больше, чем на развитие логики мышления.
Va ЧЬ\а-\-ЬфЬ-\-а\,
(2)
Эй ЗЬ [а b Ф b + а].
(3)
5 № 1749
129

Можно, разумеется, научить учащихся правильно формулиро¬
вать отрицание определения перпендикулярности прямой и плос¬
кости, показывая на моделях прямую, перпендикулярную плос¬
кости, и прямую, неперпендикулярную ей. Однако этим способом
поставленная педагогическая задача решается неправильно. Ра¬
бота с моделями направлена на образование правильных прост¬
ранственных представлений, но не касается логической структуры
сформулированных предложений. Встречая определение такой же
логической структуры, но другого содержания, ученик снова может
допустить ошибку при формулировке отрицания.
Учащиеся, знакомые с логическим аппаратом, решили задачу 2
примерно	так: «Неверно, что из	определения	перпендикулярности
прямой и	плоскости следует, что	прямая а	не	перпендикулярна ни
одной прямой плоскости а».
Действительно, из определения
(a JL а) V6 [ф € а) =>	(a J_ b)]	(1)
следует лишь, что
(сХ^Г) ФФ 3Ь 1(Ь € а) л	(а ± ft)],	(2)
т. е. «если прямая а не перпендикулярна плоскости а, то сущест¬
вует на этой плоскости прямая Ъ (хотя бы одна), которой прямая а
не перпендикулярна, но вовсе не следует, что прямая а не перпен¬
дикулярна ни одной прямой плоскости а».
Приведенные решения задач 1 и 2, а также ранее рассмотренные
примеры иллюстрируют эффективность специальных логических
знаний учащихся и явного использования логического аппарата
в обучении математике.
2.	Проблема элементов логики в педагогике математики. Проб¬
лема введения элементов логики в обучение математике состоит
не в том, чтобы изучать специально и обособленно логику, а в том,
чтобы элементы логики стали неотъемлемой частью самого препода¬
вания математики — важным вспомогательным инструментом, по¬
вышающим эффективность обучения и влияние на логическое раз¬
витие учащихся.
Эта проблема включает три основных вопроса:
а) Ч т о (какие элементы логики включать в обучение матема¬
тике)?
б) Г д е (в каком месте курса математики, в связи с каким ма¬
тематическим материалом изучать эти элементы логики)? и
в) К а к (их изучать)?
Эги вопросы обсуждаются в методико-математической литерату¬
ре; их освещению посвящен ряд работ автора этих строк (см.
[1—4] и др.).
В качестве примера мы рассмотрим здесь лишь методику ана¬
лиза рассуждений и уточнение понятия доказательства в школь¬
ном обучении с помощью простейших правил вывода, используе¬
мых в явном виде.
130

1)	Разработанная методика анализа рассуждений средствами
логики высказываний или классов (множеств) в процессе обучения
математике включает:
а) рассмотрение рассуждений одинаковой структуры, но раз¬
личного содержания;
б) обобщение и абстрагирование формы рассуждения от его
содержания (отвлечение структуры рассуждения от его содержа¬
ния достигается заменой фигурирующих в нем элементарных вы¬
сказываний пропозициональными переменными — в тех случаях,
когда рассуждение поддается анализу средствами логики высказы¬
ваний, или заменой конкретных множеств переменными для мно¬
жеств — в тех случаях, когда для
анализа рассуждения мы пользуемся
средствами алгебры множеств);
в) запись схемы рассуждения (пра¬
вила вывода) на языке логики вы¬
сказываний или множеств;
г) установлениедопустимости (или
недопустимости) полученного правила
вывода (правило вывода считается до¬
пустимым, если его применение к ис¬
тинным посылкам не может привести к ложному заключению).
Если посылки и заключение записаны на языке логики выска¬
зываний, то допустимость правила вывода сводится к тождественной
истинности импликации, антецедентом которой является конъюнк¬
ция посылок, а консеквентом — заключение. Доказательство (или
опровержение) тождественной истинности этой импликации легко
осуществляется (для рассматриваемых случаев) табличным спосо¬
бом, или способом «от противного» (допущение истинности посы¬
лок и ложности заключения приводит к противоречию), или же
определенным преобразованием импликативной формулы.
Если посылки и заключение выражены на языке алгебры мно¬
жеств, допустимость правила вывода легко устанавливается с по¬
мощью диаграмм Эйлера — Венна (рис. 1). Рисуются всевозмож¬
ные диаграммы, для которых посылки истинны, и если хотя бы в
одном случае заключение ложно, то правило вывода недопустимо,
а следовательно, любое конкретное рассуждение, построенное по
этому правилу, неправильно.
Рассмотрим два примера анализа рассуждений по описанной
выше методике.
Пример 1. Выясним, правильны ли рассуждения:
(I) «Если треугольник равнобедренный, то две его стороны
равны; если две стороны треугольника равны, то два его угла равны;
следовательно, если треугольник равнобедренный, то два его
угла равны».
(II) «Если число натуральное, то оно рациональное; если число
рациональное, тэ оно вещественное; следовательно, если число
натуральное, то оно вещественное».
131

Рассуждения (I) и(П), хотя они и имеют разное содержание, об¬
ладают одной и той же структурой (формой), и их правильность (или
неправильность) определяется именно структурой.
Отвлечемся от содержания рассуждений (I) и (II). Для этого
заменим высказывания «треугольник равнобедренный» и «число
натуральное» переменной, например X; высказывания «две стороны
треугольника равны» и «число рациональное» переменной Y, а вы¬
сказывания «два угла треугольника равны» и «число вещественное»
переменной Z. Тогда первая посылка в каждом из рассуждений (I)
и(П) запишется в виде импликации Х=>-У\ вторая посылка — в виде
Y~>Z, а заключение X=>-Z.
Таким образом, каждое из рассуждений (I) и (II) построено
по следующей схеме (в каждом из этих рассуждений применено сле¬
дующее правило вывода):
X =>У, У =Ф Z
X =Ф Z
Допустимость этого правила вывода легко доказывается спосо¬
бом от противного. Предположим, что это правило недопустимо,
т. е. что при каком-то наборе значений переменных посылки ис¬
тинны, а заключение ложно: Х=>У=И (1), Y =>-Z^ И (2), a X=>-Z—
=Л (3). Из (3) следует Х=И (4) и Z=JI (5). Из (2) и (5) следует
У=Л (6), а из (1) и (6) следует Х=Л (7). Мы получили противоре¬
чие, (4) и (7), доказывающее допустимость правила вывода
Х=>У, K=>Z
X =>Z
называемого правилом силлогизма (ПС).
Таким образом, рассуждения (I) и (II) правильны, так как в них
применяется допустимое правило вывода (они построены по ПС).
Пример 2. Выясним, правильны ли рассуждения:
(III) «В параллелограмме противоположные стороны параллель¬
ны; в ромбе противоположные стороны параллельны; следова¬
тельно, ромб — параллелограмм»;
(IV) «Всякое натуральное число рациональное; всякая дробь
а	х	о-
 рациональное число; следовательно, всякая дробь — нату¬
ральное число».
Чтобы отделить структуру рассуждений (III) и (IV) от их со¬
держания, заменим множества параллелограммов и натуральных
чисел переменной для множеств Л, множества четырехугольников,
у которых противоположные стороны параллельны, и рациональ¬
ных чисел — переменной В, а множества ромбов и дробей вида—
переменной С. Тогда первая посылка в каждом из рассуждений
(III)	и (IV) запишется в виде включения ЛсВ, вторая посылка —
в виде СеВ, а заключение — в виде С s А. Таким образом, каждое
132

из рассуждений (III) и (IV) построено по следующей схеме:
СЕЛ
Для установления допустимости (или недопустимости) этого
правила вывода построим всевозможные (топологически различные)
диаграммы Эйлера, в которых обе посылки истинны (см. рис. 2).
Нетрудно заметить, что существуют случаи (б, в, г), когда посылки
истинны, а заключение ложно. Следовательно, это правило вывода
недопустимо, и всякое рассуждение, построенное по этому правилу,
считается неправильным, в частности и в том случае, когда заклю¬
чение само по себе истинно, как в рассуждении (III). (В проведен¬
ном эксперименте с логическими тестами подавляющее большинство
испытуемых — учащихся, студентов, учителей, не изучавших ни¬
каких элементов логики,— считали рассуждение (III) правильным,
а рассуждение (IV) неправильным.)
2)	Опыт показал, что упражнения на анализ конкретных рас-
суждений в процессе обучения математике являются эффективными
и вызывают большой интерес у учащихся.
Можно ограничиться постепенным ознакомлением учащихся
со следующими простейшими допустимыми правилами вывода:
X У
(а) х (правило введения конъюнкции (ВК));
X л Y XaY
(б) —х—	у - (правила удаления конъюнкции (УК));
Xv Y X XvY У
(в ) у~— —y— (правила удаления дизъюнкции (УД));
X У
^) х -~>F (пРавило введения импликации (ВИ));
Рис. 2
5* № /749
133

(д)
(е)
Х=фК, X
Y
X->Y,Y
X
(правило заключения—Modus ponens—(ПЗ));
(правило отрицающего заключения (03));
X —> у
(ж)	—	(правило	контрапозиции	(ПК));
Y =?> X
(з)	(правило	расширенной	контрапозиции (РК));
XaZ=s>Y
(и)
X =ФК, К=ф Z
(правило силлогизма (ПС)).
х z
Эти правила вывода абстрагируются от конкретных рассуждений]
примерно так, как это показано выше для правила силлогизма.
Перечень (а) — (и) правил вывода достаточен и для уточнения]
понятия доказательства в школьном обучении математике.
3.	Уточнение понятия доказательства. В традиционном препо-1
давании интересуются тем, из каких ранее известных предложении]
(аксиом, определений, теорем) выводится доказываемая теорема.]
Но вопрос, как она выводится из них, остается невыясненным^
В школьном преподавании, когда приступают к первым доказа-i
тельствам, обычно говорят, что «доказательство — рассуждение,
с помощью которого истинность доказываемого предложения устан
навливается на основании других, уже известных предложений]
(истинность которых ранее установлена или принимается без дока-|
зательства)». Однако раз понятие рассуждения остается неуточнен-1
ным, расплывчатым, то и понятие доказательства остается таким же]
и его не проясняет приведенное разъяснение.
На определенном этапе обучения понятие доказательства может!
быть уточнено. Для этой цели оно представляется в определенной,]
стандартной форме, поддающейся точному описанию.
Учащиеся IX класса, изучавшие элементы логики и знакомые]
с простейшими допустимыми правилами вывода (а) — (и), хорошо]
усвоили следующее уточненное понятие доказательства.
Под, доказательством теоремы Т понимают конечную последова¬
тельность предложений
Аг, А„
{данной теории, к которой принадлежит и Т), удовлетворяющею
двум условиям: а) каждое предложение этой последовательности
представляет собой или аксиому, или определение, или ранее до¬
казанную теорему (р. д. т.), или допущение (условие доказываемой
теоремы), или же получается из предшествующих предложений,
по одному из допустимых правил вывода и б) последнее предложе-j
ние Ап этой последовательности есть предложение Т.
Предложение Т (выраженное на языке данной теории) является
теоремой (этой теории), если для него может быть построено хотя бы 1
одно доказательство, т. е. может быть найдена хотя бы одна после¬
довательность предложений, удовлетворяющая условиям а) и б).
134

В качестве примера представим в описанной выше стандартной
форме доказательство следующей (алгебраической) теоремы:
«Среднее арифметическое двух неравных положительных чисел
больше их среднего геометрического».
Эту теорему можно записать в виде следующей импликации:
((а >0) Л (Ь > 0) Л (афЬ)) =>	>	Vab) •
Доказательство:
1. (а>0) Д(Ь>0) д(афЬ) (допущение);
2. афЬ (из 1 по УК);
3. (афЬ)=*-({а—Ь)2>0) (р. д. т.);
4. ((а—6)2>0)=^((я—b)2+4ab>4ab) (р. д. т.)
(или ((а—b)iZ>0)=$-((a+b)2'>4ab)y,
5. (афЬ)=>((а+Ь)г>4аЬ) (из 3 и 4 по ПС);
6. (a+b)*>4ab (из 2 и 5 по ПЗ);
7. (а>0)Л(Ь>0) (из 1 по УК);
8. ({a+b)2>4ab) /\(а>0) /\(Ь>0) (из 6 и 7 по ВК);
9. ((a+fc)2>4afc)A(a>0)A(fc>0)=^(^>K^) (р. Д. т.);
10.	fab	(из	8	и	9	по	ПЗ);
11. (а>0)/\(Ь>0)/\(афЬ))=>(—т^->1^аЬ) (из 1 и 10 по ВИ).
Разумеется, обычное доказательство этой теоремы, как и дока¬
зательства других теорем, выглядит короче за счет того, что неко¬
торые шаги доказательства не указываются, а лишь подразуме¬
ваются и применяемые (в неявном виде) правила вывода остаются
невыясненными.
Приведенное выше стандартное представление доказательства
в виде конечной последовательности предложений, удовлетворяю¬
щей условиям а) и б), не предназначено для того, чтобы им постоянно
пользоваться в практике доказывания. Оно является важным средст¬
вом анализа доказательства, помогая нам раскрывать некоторые
ошибки (часто допускаемые в доказательствах), связанные с ис¬
пользованием недоказанных теорем или недопустимых правил
вывода.
4.	Проблема логического языка. Одно из педагогических условий
разумной модернизации обучения математике состоит (а) в спе¬
циальном выявлении наиболее простых логических идей, связан¬
ных с математическим содержанием, и (б) в создании подходящего
для обучения, точного и ясного языка.
Язык, как известно, не только отражает мышление, но и орга¬
низует его. Введение в школьное преподавание языка логических
символов имеет определенное воспитательное значение. Когда
ученик должен выбрать, например, последовательность кванторов
5**
135

для точного выражения своей мысли, он вынужден подумать,
уточнить свою мысль, что он не делал бы, если бы пользовался
только естественным языком.
О воспитательном значении символического языка математики
говорил А. Я. Хинчин (см. [5]). Он отмечал, что несоблюдение без¬
укоризненной точности символической записи в математике влечет
немедленную расплату: ученик теряет возможность понять смысл
записанного, вынужден гадать, угадывает неверно и либо получает
неправильный ответ, либо вообще лишает себя возможности решить
задачу. Убедившись таким образом, что точность символической
записи соответствует его собственным интересам, учащийся начи¬
нает следить за собой в этом направлении, и постепенно строгая
правильность математической символики становится его привычкой.
Но такого рода привычка, приобретенная в какой-либо одной сфере
мышления, неизбежно приводит к воспитанию и общего стиля мыш¬
ления учащегося.
Мы не случайно обратились к высказыванию выдающегося ма¬
тематика и педагога. Во-первых, сказанное А. Я. Хинчиным о вос¬
питательном значении символического языка относится не только
к собственно математическому языку, но и не в меньшей мере к со¬
временному логическому языку (представляющему собой, по су¬
ществу, математический язык). Во-вторых, в настоящее время еще
высказываются сомнения относительно педагогической целесооб¬
разности использования логической символики в школьном пре¬
подавании.
Выражение логических понятий на точном и ясном математиче¬
ском языке положительно влияет на развитие у учащихся матема¬
тического стиля мышления, облегчает им понимание математиче¬
ского материала и устраняет различного рода логические ошибки,
встречающиеся в традиционной школьной практике. Это подтверж¬
дается проведенными экспериментами.
Возражения против расширения используемого в школьном
обучении математического языка за счет введения логической сим¬
волики обусловлены тем, что традиционное преподавание не по¬
зволяет достичь хорошего усвоения учащимися символического
языка математики. Питает эти возражения и непонимание педаго¬
гического значения л о г и к о - математического языка.
Но плохое усвоение учащимися символического языка матема¬
тики является следствием неправильной методики его изучения,
в частности недостаточного применением семантического подхода,
и не может служить основанием для возражений против расшире¬
ния этого языка. Разумеется, введение логического языка должно
осуществляться с большой осторожностью и на содержательной ос¬
нове.
Отрицание педагогического значения символического языка ло¬
гики объясняется отчасти тем, что этот язык был разработан для
других целей. Оно имеет также и своего рода психологические корни.
Такие же трудности возникали в свое время при внедрении симво¬
136

лического языка элементарной алгебры в школьное обучение, хоти
разработка этого языка была выдающимся достижением: ведь его
применение значительно упрощает решение задач и никто не сом¬
невается в преимуществе символической алгебры перед «ритори¬
ческой».
Недооценка педагогического значения логической символики
объясняется и тем, что многие рассматривают ее лишь как своеоб¬
разную стенографию. В действительности же это оперативный,
«работающий» язык, средствами которого не только кратко запи¬
сывается, но и преобразовывается математическая информация
(см. [6, 7, 4]).
Этот язык может быть эффективно использован в обучении
математике и как средство «логической наглядности» при реше¬
нии ряда педагогических задач (изучение логической структуры
определений, выявление различий в понятиях, поиск и анализ
структуры доказательств, установление эквивалентности различ¬
ных формулировок, обнаружение ошибок в рассуждениях и т. д.).
Примеры использования логического языка в качестве средства
наглядности уже приведены выше.
Нами разработана методика постепенного введения и последую¬
щего широкого использования логического языка в обучении ма¬
тематике [2 и др.].
5.	Логика в исследовании педагогических проблем. Мы говорили
выше о таких применениях логики в педагогике математики, кото¬
рые сводятся к непосредственному изучению и использованию ло¬
гического аппарата в школьном обучении математике. Однако этим
не исчерпываются все возможные применения логики в педагогике
математики.
Остановимся на одном применении другого рода, связанном с
исследованием одной важной педагогической проблемы.
Речь идет о проблеме «активного» обучения, или «обучения ма¬
тематической деятельности». Хотя сама по себе эта проблема не
нова, она не получила до сих пор удовлетворительного решения
и остается одной из актуальных проблем педагогики матема¬
тики [8, 9J.
В этой проблеме еще многое требует уточнения. Однако интуи¬
тивно ясно, что наиболее эффективным средством развития матема¬
тической деятельности учащихся является обучение «через задачи».
Поэтому возникает проблема построения педагогически целесооб¬
разной системы задач, с помощью которой можно было бы провести
ученика последовательно через все аспекты математической дея¬
тельности (выявление проблемных ситуаций и задач, математизация
конкретных ситуаций, решение задач, мотивирующее необходи¬
мость расширения теории, и т. д.).
Решение этой педагогической проблемы невозможно без уточ¬
нения понятий ситуации задачи, без структурного анализа задач,
который позволял бы нам определять целесообразную последова¬
тельность нх решения.
137

Один из возможных вариантов такого уточнения И анализа,
приспособленных для потребностей педагогики математики, может
быть построен средствами логики предикатов. Рассмотрим общую
схему этого построения.
Любая проблемная ситуация и любая задача, понимаемые пока
интуитивно, возникают в какой-то «предметной области». Эта пред¬
метная область характеризуется системой </4!, Л2, . - Ак, Я,, Р2,
. . ., Я„>, состоящей из одного или нескольких множеств Аи Л2,
. . ., Ак с определенными на них предикатами Pi, . . .,	Р„.
Любая ситуация в этой предметной области описывается с по¬
мощью некоторой формулы, составленной из исходных предикатов
и логических операций, например:
Под задачей (в широком смысле) понимается требование отыска¬
ния области истинности
т. е. множества всех наборов (х,, х2, . . ., хк), обращающих
Ф(Р„ Р-2, . . ., Я„) в истинное высказывание.
С одной и той же ситуацией, описанной формулой (1), могут быть
связаны различные задачи, отличающиеся между собой заданием
определенных x-t в выражении (2), в частности и «взаимно-обрат¬
ные» задачи.
Эта общая схема хорошо применяется к задачам, сводящимся
к решению системы уравнений или неравенств и к другим типам
задач, обычно решаемых в школьном курсе, исключая задачи на
доказательство. (Под задачей на доказательство предложения <р
понимается требование отыскать хотя бы одну последовательность
предложений
такую, что каждое ср* есть либо аксиома, либо ранее доказанная
теорема, либо допущение, либо получается из предшествующих
предложений по одному из правил вывода, а есть (р.)
Приведенная схема может быть использована для структурного
анализа задач (под «структурой» задачи понимается логическая
структура формулы (1)) и позволяет ввести объективный критерий
их сложности, С помощью этой общей схемы можно определить раз¬
нообразные задачи, порождаемые одной ситуацией, в частности
и взаимно-обратные задачи. Легко устанавливается структурное
тождество различных по содержанию и по методам решения задач
(например, задач, сводящихся к системе уравнений, и задач на
построение, решаемых методом пересечения множеств, структура
которых выражается одной и той же формулой Р(х, y)/\Q (х, у),
в первом случае Р и Q — уравнения системы, во втором — свойства,
(1)
{(*1. *2 хк) I (х„ хг хк) 6 (Л, X Аг х ... х Ак)л
АТ (Р»Р*	Рп)}.	(‘
(2)
138

характеризующие множества точек), а также структурное разли¬
чие близких по содержанию задач.
Структурный анализ является эффективным средством для оп¬
ределения педагогически оправданной обучающей последователь¬
ности задач. (Пример структурного анализа задачи см. в работе 19].)
Литература
1. А. А. Столяр. Методы обучения математике. Минск, 1966.
2. А. А. Столяр. Логические проблемы преподавания математики. Минск, 1965.
3. А. А. Столяр. Логические проблемы преподавания математики. Сообщение II.
Логический язык и обучение математике.— «Новые исследования в педагоги¬
ческих науках», вып. VI, 1966.
4. А. А. Столяр, И. М. Рогановский. Основы современной школьной матема¬
тики. Ч. 1. Язык. Множества. Отношения. Функции. Математические струк¬
туры. Минск, 1975.
5. А. Я- Хинчин. О воспитательном эффекте уроков математики.— В кн.: Пе¬
дагогические статьи. М., 1963.
С. А. А. Столяр. Логико-математический язык в обучении математике.— «Ма¬
тематика в школе», 1967, № 2.
7. А. А. Столяр. Применение современного математического языка в школьном
курсе математики.— В кн.: Линейная алгебра и геометрия. М., 1967.
8. А. С. Крыговская. Развитие математической деятельности учащихся и роль
задач в этом развитии.— «Математика в школе», 1966, № 6.
9. А. А. Столяр. Педагогика математики. Минск, 1969 (изд. 2-е. Минск, 1974).
139

И. И. Ревзин
ЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
ШКОЛЬНОГО РАЗБОРА
ПО ЧЛЕНАМ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
Предварительные замечания. В данном очерке делается попытка
построить модель *, вход которой соответствовал бы тем знаниям,
которые предполагаются наличествующими у учащихся, когда они
приступают к разбору предложения, а выход — тем умениям и на¬
выкам, которые должны явиться результатом этой работы. Хотя
и в первом и во втором случае необходима определенная идеализа¬
ция, все же если вход и.выход будут соответствовать существенным
моментам той реальности, которая имеет место в школе, то можно
надеяться, что внутренняя структура модели сделает явными опре¬
деленные закономерности, которые уже неосознанно используются
или могли бы быть использованы в методике обучения граммати¬
ческому разбору. Разумеется, такое использование возможно лишь
в многократно опосредствованном виде (ибо, по мнению автора,
непосредственное применение полностью формализованных методов
в обучении может принести скорее вред, чем пользу).
Очевидно, что, приступая к разбору по членам предложения,
школьники должны иметь некоторые сведения из морфологии. В на¬
шей модели из этого предположения мы используем лишь два мо¬
мента, а именно: а) знание учащимися всех словоформ языка
(т. е. всех флективных форм каждого слова) и б) знание списка слу¬
жебных слов языка (в частности, предлогов, союзов, местоимении)
и, для местоимений, знание всех их форм. Хотя процесс запомина¬
ния этих элементов и усвоения их роли весьма непрост, все же можно
предположить, что учащийся в результате предшествующего обу¬
чения умеет опознавать служебные элементы и отличать их от дру¬
гих элементов языка. В данной модели мы примем, что в множестве
словоформ языка — обозначим это множество через V — выделен
специальный, весьма ограниченный набор элементов К (К £ V).
Элементы К мы будем называть грамматическими константами 2
и будем считать, что константы, в свою очередь, разбиты на некото¬
1 Об общем понятии модели применительно к лингвистическим задачам см.
[1. §3].
2 Этот термин введен проф. Хенриком Хижем, беседы с которым во время
конференции по семиотике в сентябре 1966 г. в Польше во многом помогли автору
при построении рассматриваемой модели.
140

рые классы. Слова, не являющиеся константами, мы будем назы¬
вать знаменательными.
В каждой лингвистической модели наряду с множеством слов
рассматривается множество осмысленных, или правильных, фраз
языка L. (Фразы языка мы будем обозначать латинскими буквами
Л h, ...) Любое подмножество множества L мы будем называть
корпусом (иногда в этом смысле употребляется термин «фрагмент»
И, §231). Естественно считать, что в любой фразе имеется хотя бы
одно знаменательное слово.
Далее мы постулируем, что, приступая к изучению способов
разбора предложений, школьник понимает соответствующие пред¬
ложения. (Разумеется, на следующих этапах, когда основные схемы
уже усвоены, разбор по членам предложения, в свою очередь, может
явиться могучим средством понимания предложений, но сейчас нас
интересует тот этап, когда происходит именно усвоение приемов
разбора.)
Представляется, что методисты, писавшие о разборе по членам
предложения, учитывали необходимость понимания соответствую¬
щего предложения в качестве чего-то само собой разумеющегося.
Правда, соответствующая предпосылка, как правило, фиксируется
ими в слишком общем и расплывчатом виде. Примером может слу¬
жить следующее высказывание Г. И. Блинова: «Навык устанавли¬
вать связь между словами — весьма сложный навык, опирающийся
на разносторонние грамматические знания и хорошее общее и язы¬
ковое развитие. Слова, связанные между собой, выражают отноше¬
ния между понятиями, являющимися обозначениями предметов,
явлении, действий, качеств в мире материальной действительности.
Эти отношения многочисленны и разнообразны. Чем лучше общее
развитие школьника, шире его кругозор, выше уровень развития
логического мышления, тем богаче его язык, разнообразнее по зна¬
чению словосочетания, употребляемые им, тем скорее он овладеет
навыком устанавливать связь между словами и определять зависи¬
мость их» [2, с. 19]. Речь здесь идет не о разборе по членам предло¬
жения, а об установлении связей между словами, но, по концепции
данного автора (которую мы, как будет ясно из дальнейшего, пол¬
ностью поддерживаем), установление связей должно предшество¬
вать разбору по членам предложения.
Итак, нам необходимо зафиксировать условие понимания пред¬
ложения в формальной модели. Но что точно значит высказывание:
«Некто понимает данное предложение»? Мы и попытаемся начать
с формализации понятия «понимание предложения».
Представим себе, что построено некоторое кибернетическое уст¬
ройство, создатели которого утверждают, что оно способно пони¬
мать человеческую речь. Если это устройство не способно ни к какой
иной деятельности, кроме речевой, то, по-видимому, простейший
способ проверить правильность указанного утверждения состоит
в следующем: естественно считать, что устройство понимает предъяв¬
ленное ему предложение, если оно может перефразировать его.

пересказать предложение своими словами 1. В самом деле, именно
таким критерием мы фактически пользуемся, когда просим объяс¬
нить значение какого-то нового слова (например, слова лингвист
получая в ответ: «это человек, занимающийся изучением челове¬
ческих языков» и т. п.) или же непонятного выражения, а также
в случаях двусмысленных высказываний типа
Папа любит очень редкие книги.	(1)
В последнем случае слушающий, чтобы установить, правильно ли
он понял предложение, должен переспросить, например, следующим
образом: «Вы имели в виду, что то, что папа очень любит,— это
редкие книги (2), или же папа любит такие книги, которые очень
редки (3)?»
Таким образом, чтобы промоделировать понимание, нам надо
иметь заданным для рассматриваемого множества предложений
(разумеется, имеются в виду лишь осмысленные фразы) отношение:
смысл фразы / тождествен смыслу фразы g (здесь и в дальнейшем
фраза и предложение суть синонимы).	J
Существенно отметить, что для понимания некоторой фразы /
мы в данном случае вовсе не используем смысла этой фразы: нас
интересует не смысл данной фразы, а ее осмысленность и одинако¬
вость смысла данной фразы / со смыслом фразы g (конкретный смысл
фраз / или g может предполагаться неизвестным).
Мы введем в модель еще более сильное требование.
Возьмем множество всех предложений рассматриваемого нами
корпуса L (например, это может быть множество всех предложе¬
ний, встретившихся в учебниках русского языка с первого по пятый
класс, или, скорее, некоторая его «стандартизация» с добавлением
некоторых фраз аналогичного строения, которыми школьник заве¬
домо пользовался в процессе прохождения учебного материала).
На этом множестве мы считаем заданным следующее отношение
смыслового включения: для любых двух предложений / и g мы знаем,
построен ли смысл / на основе смысла g или нет.
Смысл понимается здесь интенсионально [3]. Поэтому, напри¬
мер, считается, что смысл фразы мальчика не кормят здесь построен
на основе смысла он ест путем добавления элементарных смыслов
человек и молодость к субъекту место, которое находится перед
глазами говорящего, а также применения к предикату операторов
каузации и отрицания; ср. последовательность фраз, в которой
смысл каждой последующей построен на основании смысла преды¬
дущей:
он кушает;
человек кушает;
} Заметим, что этот способ понимания подлинно человеческий, ибо проявле¬
ние понимания некоторого сообщения через действие вполне возможно и для
коммуникации в животном мире. Поэтому трудно утверждать, что машина, вы¬
полняющая команды, подаваемые на человеческом языке, моделирует именно
человеческое понимание речи.
Л 2

мальчик кушает;
мальчик кушает здесь;
мальчика кормят здесь;
мальчика не кормят здесь.
Заметим также, что поскольку множество заданных предложе¬
ний предполагается в модели конечным и даже достаточно неболь¬
шим, формально отношение смыслового включения может быть
задано как перечисление некоторого множества пар предложений.
Итак, мы выяснили исходные понятия, необходимые для конст¬
рукции модели 1.
Описание модели
/. Исходные понятия («вход» модели). Намзадано конечное мно¬
жество словоформ V, причем выделено подмножество констант К
(К Е V) и константы разбиты на определенные классы. Во множестве
всех возможных цепочек над V, т. е. всевозможных последователь¬
ностей словоформ, которое можно обозначить И”, выделено неко¬
торое подмножество L. (L Е V°°), элементы которого мы будем назы¬
вать фразами. В каждой фразе хотя бы одна словоформа не есть
константа. Каждой фразе / поставлен в соответствие ее смысл S (/).
Если смысл g построен на основе смысла /, то мы будем записывать,
что S (fXS (g). Мы будем считать, что для любых двух фраз / и g
известно, имеет место S(f)<LS(g) или нет.
II.	Внутренняя структура модели. Определение 1.
Фраза /' называется подфразой фразы /, если одновременно выпол¬
нены следующие условия:
1 а) Фраза /' получена из фразы / путем вычеркивания п слов
(n=^0, 1, . . ., т, где т число слов в f), или
1 б) фраза f получена из фразы / путем замены п слов на произ¬
вольные слова из К.
2)	Фраза /' имеет некоторый смысл S (/') и S (/')<S (/). Легко
видеть, что каждая фраза является своей подфразой. Назовем под-
фразу фразы /' собственной подфразой фразы /, если она есть ее
подфраза и не совпадает с ней.
Если фраза f есть подфраза фразы /, то / будет, в свою очередь,
называться надфразой фразы f.
Примечание. Условие 1 б) у Небесного отсутствует. Оно
добавлено для распространения модели на более широкий класс
языков и более естественное ее применение даже в случае славян¬
ских языков, для которых первоначально и строилась модель Не¬
бесного.
Определение 2. Будем говорить, что словоформа х под¬
чинена словоформе у во фразе / (обозначается у=>х), если во всех
/
1 Эта модель в несколько другом виде впервые предложена чешским матема¬
тиком Л. Небеским [4, с. 145—149].
143

подфразах фразы /, в которых присутствует X, присутствует и у.
Будем говорить, что словоформа х непосредственно подчинена слово¬
форме у (обозначается у^х), если х подчинена у, хфу и не сущест¬
вует словоформы г, отличной от х и у, и такой, что словоформа х
подчинена г и словоформа г подчинена у.
Пример. Разберем предложение (1).
Если оно имеет тот же смысл, что и предложение (2), то оно имеет
следующие подфразы:
a) папа любит очень редкие книги;
b) папа любит редкие книги;
c) папа любит их;
й) папа любит очень книги;
e) папа любит очень их;
f) он любит их;
g)	он	любит	очень	редкие	книги;
h)	он	любит	редкие книги;
i)	он	любит	очень	книги;
k)	он	любит	очень	их.
Если же оно имеет тот же смысл, что и предложение (3), то под¬
фразы сI, е, i, k будут исключены.
Первая система подфраз дает схему непосредственного подчи¬
нения:
Примечание. Задание системы подфраз для некоторой
фразы моделирует понимание предложения через выдачу некоторой
части всех возможных его перифраз, а отношение непосредственного
подчинения моделирует умение объяснить структуру предложения.
Любопытно, что из первого в модели с необходимостью следует вто¬
рое, а именно: по системе подфраз однозначно определяется граф
отношения непосредственного подчинения, в то время как обратное
неверно; ср., например, фразу wxyz с системой собственных подфраз
w, wyz, wxz. Эта система дает следующий граф непосредственного
папа /набит очень редкие книги,
а вторая система подфраз дает схему:
папа любит очень редкие книги.
граф получается у этой фразы

при системе собственных подфраз wx, wy, wz, даже не пересекаю¬
щейся с первой.
Определение 3. Назовем синтаксической группой во
фразе / совокупность всех слов х, . . хп, входящих в / и таких, что
для любых xt и Ху (IsO'sOi, 1 у я) имеет место xt=>Xj и х~>х,.
Теорема 1. Пусть хь . . хп есть синтаксическая группа в f.
Тогда если имеется натуральное число i	и	слово у такие,
что y^Xi, то для любого /(1</<л) верно у=у>Х], и наоборот, если
х,=>У, то xffy.
Для доказательства достаточно отметить, что отношение => тран-
зитивно, ибо если гх присутствует во всех подфразах, в которых
присутствует га, а га присутствует во всех подфразах, в которых при¬
сутствует г8, то 2] присутствует во всех подфразах, в которых при¬
сутствует г3. Итак, мы имеем, например, у=>хt и хс=>Х/. Значит,
y=>Xj. Или: х/=*-хi и Xj=>у. Значит, xj=>y. Теорема доказана.
Синтаксическая группа в дальнейшем рассматривается как еди¬
ный элемент (в отличие от словоформ синтаксические группы будут
обозначаться заглавными латинскими буквами X, Y, Z).
Перенесем теперь на синтаксические группы введенные отно¬
шения между словами.
Определение 4. Пусть X и Y — две синтаксические
группы фразы /. Устанавливаем X=>Y, если существуют слово¬
формы х, входящая в X, я у, входящая в У, такие, что x=j>y.
В силу теоремы 1 отношение =>- для синтаксических групп оп¬
ределено однозначно.
Определение 5. Устанавливаем X-+Y, если х=м/, хфу
и не существует 2{Хфх и ZфY) такое, что X=>Z и ZфY.
Замечание. В большинстве работ по математической линг¬
вистике принято описание отношения синтаксической зависимости
(обычно обозначается через D) как прадерева; это значит, что счи¬
таются выполненными следующие условия [5, гл. 161:
а) отношение D связно и не содержит контуров;
б) для любого слова х существует не более одного слова у
такого, что yDx.
Интересно выяснить, насколько эти свойства выполняются для
отношения—>-, установленного на множестве синтаксических групп
некоторой фразы. Мы будем обозначать множество синтаксических
групп фразы f через 2 (/), а соответствующий граф через g= {2 (/),— }.
Теорема 2. Граф g={2 (/), -►} не содержит контуров.
Доказательство. Пусть имеется последовательность
синтаксических групп Z,	Zn такая, что для любого i верно
Z,~*Zi+1 и, кроме того, верно Zn-*Zt. По определению 5 имеет место
Z„=>Zi (1) и Zi=>Zn (2), причем Z„=^=Z,. Из (1) следует, что сущест¬
вует х, входящее в Z„, и у, входящее в Z,, такие, что х=>у (3), и из (2)
следует, что существует w, входящее в Zu и и, входящее в Z„, такие,
что w=>u (4). По теореме 1 из (3) следует u=>w, а из (4) у=^х. По¬
этому любое х, входящее в Z„, входит и в Zu и любое у, входящее
145

Zu входит и в Zn, а стало быть, Zi—Zn, что противоречит нашему
предположению, что Z^=Zn. Теорема доказана.
Следствие. Отношение -*■ в графе g={2 (/), -*-} антисим¬
метрично и антирефлексивно.
Перейдем теперь к условию связности.
Теорема 3. Для того чтобы граф£={2 (/), -*} был связным,
необходимо и достаточно, чтобы существовала синтаксическая
группа Z, входящая во все подфразы фразы f.
Доказательство. Пусть имеется синтаксическая группаZ,
входящая во все подфразы данной фразы, и пусть X и У — две
произвольные разные синтаксические группы. Тогда очевидно, что
Z=>X и Z=>Y. Требуется доказать, что имеются цепочки синтакси¬
ческих групп Ми . . ., Мр и Nu . . ., Nk такие, что M,=yV,=Z,
Мр=Х, Х*=У и для любых i и /	М,-*-Л41+, и
Nj-*~Nj+i. Предположим, что хотя бы одна из таких цепочек, на¬
пример, Ми . . ., Мр отсутствует. Итак, М,=>Мр, но неверно
Мг+Мр. Это возможно, если a) Mt и Мр составляют одну синтак¬
сическую группу или же если б) существует / синтаксических групп
Ur таких, что Ui^=Mu и{=Мр и Ur=$-Uri_,.
Рассмотрим вторую возможность. Предположим, что хотя бы
для одного г неверно Ur-+Ur+l. Итак, существует синтаксическая
группа W такая, что Ur=^W и W=>Ur+l. Если УРфЦ	то
мы бы просто дополнили наш ряд, а поскольку число слов во фразе
конечно, то и число синтаксических групп конечно. Поэтому мы
должны предположить, что W=Uj, причем }фг и }Фг-\-\. Тогда
имеет место Ur=>Uj и Vj=^Ur + l и если г+1</<«, то Ur+i=^Uj,
а если j^Lr<Cn, то Uf=>Ur. В обоих случаях мы получаем контур,
что противоречит теореме 2. Итак, или имеется требуемая цепочка
Ми . . ., Мр (и, аналогично, цепочка Д\, . . ., Nk), или же Мх—Мр
(или же, аналогично, Ni=Nk).
По нашему предположению Мкф-Мр, и, стало быть, возможна
одна из двух ситуаций: 1) существуют две цепочки групп, в которых
группы попарно связаны отношением -► и которые ведут от Z к X
и от Z к Y, или 2) одна из групп X или У совпадает с Z, а другая
соединяется с Z упомянутой цепочкой. Итак, связность графа до¬
казана.
Предположим теперь, что граф g={Z(f), -v} связен. Из связ¬
ности графа и антисимметричности и антирефлексивности отноше¬
ния а также из конечности системы 2 (/) следует существование
корня дерева, т. е. одной и только одной синтаксической группы Z,
такой, что для любой синтаксической группы X верно Z=>-X. Пред¬
положим, что существует непустая подфраза / такая, что в ней от¬
сутствует синтаксическая группа Z. Тогда существует хотя бы одна
синтаксическая группа W, входящая в причем неверно Z=>W.
Теорема доказана.
Замечание. На самом деле можно было бы даже усилить
формулировку условия, ибо если искомая синтаксическая группа,
присутствующая во всех подфразах данной фразы, имеется, то она
140

является единственной. Это сразу же следует из теоремы 2. Можно
упростить формулировку теоремы следующим способом.
Теорема 3'. Для того чтобы граф g={2 (/), -►} был связ¬
ным, необходимо и достаточно, чтобы имелось хотя бы одно слово,
входящее во все подфразы данной фразы.
Для доказательства достаточно заметить, что если такое слово
одно, то оно составляет искомую синтаксическую группу, а если их
несколько, то они объединяются в единую группу.
Систему подфраз, в которой имеется словоформа, входящая во
все подфразы данной фразы, мы будем называть правильной.
Итак, если добавить еще одно требование к отношению непо¬
средственного подчинения на множество синтаксических групп,
а именно требование, чтобы для каждой синтаксической группы X,
кроме одной (а именно той, которая присутствует во всех подфразах
данной фразы), имелась одна и только одна синтаксическая группа У',
непосредственно подчиняющая X, то правильная система подфраз
делает отношение -*■ прадеревом с корнем Z.
Примечание. В терминах подфраз, по-виднмому, невоз¬
можно лингвистически естественным способом сформулировать
требования правильности так, чтобы сразу получилось прадерево.
Объяснение этого можно видеть в том, что имеются вполне естест¬
венные системы подфраз, которые не дают дерева. Это многие слу¬
чаи использования однородных членов, например маленькие маль¬
чики и девочки гуляют, со следующими собственными подфразами:
маленькие мальчики гуляют, маленькие девочки гуляют, мальчики
и девочки гуляют, мальчики гуляют, девочки гуляют, они гуляют —
и следующим отношением непосредственного подчинения:
маленькие мальчики и дебочки гуляют.
Существенно, однако, что подобные нарушения требований де¬
рева в простом предложении возникают, по-видимому, только
в связи с однородными членами (причем не всегда наличие однород¬
ных членов ведет к нарушению условий дерева). Поэтому (хотя ло¬
гически это и не обязательно) можно утверждать, что для простых
предложений без однородных членов всегда — путем применения
предложенной системы определений — можно получить систему
непосредственного подчинения, удовлетворяющую условиям дерева.
Теперь приведем пример того, как строится дерево в случае,
когда синтаксические группы состоят из нескольких слов. Для
этого рассмотрим предложение:
Наши мальчики сегодня будут выступать в клубе.
Собственные подфразы:
Наши мальчики будут выступать в клубе;
Наши мальчики будут выступать;
147

Мальчики сегодня будут выступать в клубе;
Мальчики будут выступать в клубе;
Мальчики будут выступать;
Они сегодня будут выступать в клубе;
Они будут выступать в клубе;
Они будут выступать.
Синтаксические группы данной фразы:
Наши,
мальчики,
будут выступать,
сегодня,
в клубе.
Дерево отношения для синтаксических групп данной фразы:
Г	\	г	г	г	  "	1	■■	■	1	^
Наши ма/гьчини сегодня будут Выступать 6 клубе.
Корень дерева: группа будут выступать.
Пусть у нас имеется фраза f, и для нее получено дерево непосред¬
ственного подчинения. Примем вполне естественное для лингвисти¬
ческих задач допущение, что в каждой синтаксической группе X
имеется одно и только одно слово х такое, что xg У\/С, т. е. что
в каждой синтаксической группе имеется только одно знаменатель¬
ное слово.
Мы будем называть такое слово центром группы.
Выход модели. Пусть в списке констант выделены константы име¬
нительного падежа (т. е. местоимения он, она, оно). Тогда можно
следующим образом разбить отношение -» на ряд отношений:
Определение 6. Отношение называется подлежащпым
во фразе f для тех пар синтаксических групп (X, У), входящих
в это отношение, второй член которых У обладает следующим
свойством: во всех подфразах фразы /, в которых У отсутствует,
имеется константа именительного падежа.Отношение-v называется
дополнительным в случае, если это константа неименительного
падежа.
Определение 7. Отношение -*■ называется атрибутивным
во фразе / для тех пар синтаксических групп (X, У), входящих
в это отношение, для которых оно не является ни подлежащным, ни
дополнительным.
Итак, в подлежащном (соответственно, дополнительном) отноше¬
нии находится слово, заменяемое на соответствующую константу,
а в атрибутивном — просто опускаемое.
В заключение приведем результат анализа некоторых рассмат¬
ривавшихся нами фраз.
1.	Предложение Папа любит очень редкие книги при первом
анализе (ср. с. 142, 144) получает заключительную схему:
148

ПОДЛЕЖАЩНОЕ АТРИБУТИВНОЕ
ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ
АТРИБУТИВНОЕ.
ПАПА
ЛЮБИТ ОЧЕНЬ РЕДКИЕ КНИГИ.
При втором анализе схема имеет вид:
ПОДЛЕЖАЩНОЕ АТРИБУТИВНОЕ
ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ
атрибутивное
ПАПА ЛЮБИТ ОЧЕНЬ РЕДКИЕ
КНИГИ.
(Дополнительное отношение на обеих схемах изображено большой стрелкой.)1
2.	Предложение Паши мальчики сегодня будут выступить
в клубе получит следующую заключительную схему:
АТРИБУТИВНОЕ ПОДЛЕЖАЩНОЕ АТРИБУТИВНОЕ АТРИБУТИВНОЕ
НАШИ МАЛЬЧИКИ СЕГОДНЯ БУДУТ ВЫСТУПАТЬ В КЛУБЕ.
Во всех этих примерах, как и вообще в модели, нет сказуемного
отношения. Сказуемое — это не отношение, а центр предложения,
корень соответствующего дерева, т. е. слово (или синтаксическая
группа), которое не опускается и не заменяется на константу.
Интересно, что свойство не опускаться и не заменяться на константу
характеризует не только глагол, ной именное сказуемое; ср. Пуш¬
кин ■—поэт с единственной собственной подфразой: он поэт (невоз¬
можно Пушкин он или он он).
Остальные полнозначные слова, как мы видели, распадаются на
находящиеся в таком отношении подчинения к сказуемому, что они
заменяются на константы, и находящиеся в таком отношении к ска¬
зуемому или к словам, подчиненным сказуемому, что они просто
опускаются. Атрибутивные отношения соответствуют определению
и обстоятельству. Правда, в некоторых случаях нашему дополни¬
тельному отношению будут соответствовать обстоятельства; при¬
мером может служить фраза Мальчик находится в комнате, для
которой есть подфраза он находится там, но нет подфразы он на¬
ходится (ср. также его зовут Васей, его зовут так, но нет подфразы
его зовут).
Эти факты можно истолковать по-разному. Можно считать их
свидетельством несовершенства модели. Можно, наоборот, считать
их доказательством несовершенства критериев, лежащих в основе
теории членов предложения. Здесь нам важно отметить, что в су-
149

щественных чертах модель дает результаты, близкие к результатам
разбора по членам предложения.	i
Осмысление модели. Ряд авторитетных русских лингвистов
настаивали на ненужности двойного разбора по частям речи и по
членам предложения (см., например, [6, с. 239 и сл.; 7, с. 54;
ср. также [8]). При этом было убедительно показано, что если рас¬
сматривать члены предложения как классы, то нет никакой необ¬
ходимости в двойной номенклатуре, ибо части речи представляют
собой классы, при выделении которых используются и синтакси¬
ческие критерии. С другой стороны, школьная методика практи¬
чески показала необходимость разбора по членам предложения,
хотя теоретически аргументы противников разбора по членам пред¬
ложения так и не были опровергнуты достаточно убедительно.
Как уже говорилось в очерке [8],дотех пор пока и для анализа
частей речи, и для анализа членов предложения будет использо¬
ваться логика классов (т. е. логика одноместных предикатов),
различие в сущности частей речи и сущности членов предложения
логически показать невозможно.
Как мы пытались показать в нашей модели, члены предложения
(за исключением сказуемого) суть не классы, а типы отношений
в некотором фиксированном предложении. Слово х не есть подле¬
жащее или дополнение и т. п., а есть слово, находящееся в подле-
жащном или дополнительном и т. п. отношении к некоторому дру¬
гому слову (в первую очередь к сказуемому или к слову, завися¬
щему от сказуемого).
Более важно, однако, не столько доказать разумность выделе¬
ния членов предложения (в этом, по-видимому, теперь, после не¬
удачных попыток изгнания разбора по членам предложения из
школы, вряд ли нужно кого-либо убеждать), сколько проследить
те этапы, которые этот разбор должен пройти в модели.
Прежде всего необходимым оказывается установление факта
такой связи двух слов, когда одно слово не может остаться в пред¬
ложении, если опущено другое. Именно в этом смысл определе¬
ния 1. Поэтому упражнения на возможные опускания или, наобо¬
рот, вставки слов в анализируемом предложении, занимающие,
как можно судить по методической литературе, весьма подчиненное
место в школьном преподавании г, могут стать мощным инстру¬
ментом отработки навыка узнавания связанных между собой слов,
и в особенности атрибутивного подчинения одного слова другому
(ведь подчинено в этом случае именно легко опускаемое во всех
пробах слово).
Второй вывод, следующий из рассмотрения структуры модели,
состоит в том, что центральную роль при разборе должен играть
навык образования синтаксических групп. Для его закрепления
может быть также разработана система упражнений, связанная
1 См., например, [2, с. 64], где эти упражнения рекомендуется проводить на
основе уже установленной схемы подчинения, т. е. тогда, когда они не имеют осо¬
бого смысла для дальнейшего.
150

с невозможностью опускания одного из членов синтаксической
группы без других ее членов (ср. Я сижу в доме при невозможности
сказать Я сижу в или Я сижу доме).
Третий вывод связан с ролью сказуемого. В нашей модели его
надо искать прежде всего как слово или синтаксическую группу
(например, в случае аналитической формы типа будут выступать),
которая остается при разнообразных свертываниях предложения.
Четвертый вывод касается предложений с однородными членами.
Их, по-видимому, можно анализировать лишь тогда, когда очень
хорошо отработаны все типы подчинительных связей1.
Пятый вывод касается роли вопросов. Читатель уже заметил,
что в нашей модели роль, аналогичную вопросам, играют константы.
Роль вопросов сводится к следующему. После того как установлено
отношение подчинения между двумя словами (или синтаксическими
группами), вопрос может уточнить тип соответствующего отноше¬
ния. «Какова истинная роль вопросов в установлении отношений
между словами? Ответ на этот вопрос может быть только один:
сначала учащиеся находят слова, объединенные по смыслу, а потом
уже устанавливают эту связь по вопросам» (2, с. 24].
Как мы видим, выводы, полученные в модели, позволяют рас¬
сматривать вопросы, уже давно поднятые в методике преподавания
русского языка, на достаточно точном и четком метаязыке. И в этом
ценность модели.
С другой стороны, предложенная модель, как и всякая модель,
создана путем значительного упрощения объекта, отказа от неко¬
торых важных его черт. Б частности, как показано в очерке 18],
при анализе по членам предложения приходится считаться с воз¬
можностями неоднозначного ответа при анализе по вопросам; ср.
приводимые там примеры типа Ракета упала на дом, допускающие
два вопроса: упала куда? и упала на что? Наша модель проанализи¬
рует эту связь как обстоятельственную (атрибутивную), исходя из
того слишком грубого факта, что возможна подфраза ракета упала.
Этот критерий назван слишком грубым потому, что для многих
косвенных дополнений, например, таких, как Ивану во фразе Маль¬
чик дал книгу Ивану, возможно опущение соответствующего слова.
Ясно, однако, что модель можно достроить таким образом, чтобы,
например, константы типа ему, даже в случае возможного их опу¬
щения, сигнализировали бы о дополнительной (косвенно-дополни¬
тельной) связи, а, например, константы типа туда — об обстоя¬
тельственной.
Если возникнет возможность замены двумя типами констант,
т. е. возможность подстановки двух типов вопросов (например,
в случаях типа Ракета упала туда и Ракета упала на него), то
можно реализовать идею Р. И. Аванесова, изложенную в 181.
Для этого надо сначала выделить слова, заменяемые только одной
1 Это хорошо согласуется с мыслями, высказываемыми в [2, с. 11], а та*.же
с мыслями А. М. Пешковского [7, с. 54].
151

И. И. Ревзин
ОПЕРАЦИОННЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ
ГРАММАТИ КИ
Усовершенствованию школьной грамматики может помочь не только
фименение конкретных средств современной логики (и лингвне-
ики), но также — и это, пожалуй, более важно — использование
е более общих представлении и методов.
В качестве примера возьмем так называемый вопрос о «вопро-
ах», т. е. об использовании вопросов в качестве средства опреде-
[ения грамматических понятий и грамматических связей.
Здесь наблюдается несомненное столкновение между так назы-
аемой научной и так называемой школьной грамматикой. Если
аучная грамматика, как правило, отвергает определения, содер¬
жащие вопросы, то в школе «вопросы» были и остаются основным
нструментом синтаксического разбора (в морфологии вопросы
ораздо реже употребляются и гораздо менее нужны благодаря чет-
ому формальному выражению соответствующих категорий,—
сущности «вопросы» появляются лишь там, где некоторая форма
епосредственно выполняет синтаксическую роль).
Мы увидим, что такой на первый взгляд технический метод,
ак применение «вопросов», на самом деле теснейшим образом затра-
нвает самое логику преподавания грамматики и даже, более того,
огическую структуру этой дисциплины; чго имеется естественная
вязь между методом вопросов в школьной методике и новейшими
редставлениями логики, структурной лингвистики и их методами.
Чтобы понять, почему «вопросы», несмотря на постоянное про-
нводействие со стороны теоретической грамматики и даже изгна-
ие этого метода в определенные периоды из программ, все же за-
имают столь прочное место в школьном преподавании, необходимо
Зратиться к логической структуре вопроса и его коммуникативной
ункции.
Мы начнем с так называемых частных вопросов, или вопросов
вопросительным словом.
Усилиями ряда лингвистов и логиков (см. [1, с. 15; 2, с. 1044)
ыяснено, что вопросы типа Кто пришел в школу? или Что лежит
а столе? соответствуют не суждениям, а таким пропозициональ-
1 Вопрос не просто пропозициональная функция, а «такая форма мысли
акое выражение), в которой требуется функцию высказывания превратить в
оказывание» [2, с. 108]. Мы пока отвлекаемся от этой особенности вопроса, но
гдем говорить о ней в дальнейшем.
№ 1749
153

константой, например слова типа вниз, а далее для всех групп слон,
допускающих замену на несколько разных констант, проверять,
нет ли среди надфраз данной фразы такой, что проверяемое слово
связано одной из констант и, но, но не со словом, заменяемым на
явно обстоятельственную (атрибутивную) константу; ср. наличие
надфразы: Ракета упала вниз, но не на город. В этом случае связь
проверяемой группы с подчиняющим словом также считается об¬
стоятельственной (атрибутивной).
Последний вывод касается различения обстоятельственной и
определительной (атрибутивной) связи. Наша модель вообще не
различает их, и соответствующими терминами мы пользуемся лишь
в данном параграфе при осмыслении модели. Это неразличение
данных типов связи показывает, что разделение их покоится на
совершенно ином критерии, чем разделение, например, обстоя¬
тельственной (атрибутивной) и дополнительной связи. Как нам
представляется, разделение обстоятельственной и определительной
связи также косвенно отражает идею о том, что член предложения
есть не класс, а отношение, ибо при той же самой синтаксической
природе определительная связь (например, в выражении хорошая
работа) есть связь с существительным, а обстоятельственная связь
есть связь с глаголом (например, в выражении хорошо работать).
При отчетливом понимании любого члена предложения (за исклю¬
чением сказуемого как центра предложения) как отношения к не¬
которому слову можно, по-видимому, отказаться от разграничения
обстоятельства и определения. Это тем естественнее, что случаи
спорной трактовки (например, в предложениях типа Утренняя
зарядка на свежем воздухе очень полезна, где можно задать два воп¬
роса к группе на свежем воздухе, а именно: зарядка какая? и заряд¬
ка где?) нисколько не затрагивают понимания смысла предложения
и связей внутри него и соответствующие споры носят схоласти¬
ческий характер. Модель и показывает, что, хотя анализ «по воп¬
росам» может получить вполне разумное истолкование, в нем явно
имеются слабые стороны, в какой-то мере оправдывающие ту кри¬
тику, которой этот анализ подвергался в научной грамматике (ср.
трактовку этого вопроса в 181).
Литература
1.	И.	И. Ревзин. Метод моделирования и типология славянских языков.	М.,	1967.
2.	Г.	И. Блинов. Изучение связи слов на уроках русского языка.	М.,	1963.
3.	Р.	Карнап. Значение и необходимость. Пер. с англ. М., 1959.
4.	Л.	Неоеский. Об одной формализации разбора предложения. Пер. с	чешек.—
В кн.: Математическая лингвистика. М., 1964.
5. К- Берж. Теория графов. Пер. с франц. М., 1965.
6. А. М. Пешковский. О грамматическом разборе.— В кн.: А. М. Пешковский.
Избранные труды. М., 1959.
7. А. М. Пешковский. Русский синтаксис в научном освещении. М., 1936.
-В. И. И. Ревзин. Операционные определения в школьном курсе грамматики.
Статья в настоящем сборнике.

ным функциям, т, е. высказывательным формам, которые имеют '<>*
щую форму Р (х) — «х обладает некоторым свойством Р» и превра
щаются в высказывания при подстановке вместо переменной д
некоторого конкретного имени, например Ваня или этот спил,
Недаром О. Есперсен [3, с. 312] назвал вопросы такого типа
вопросами» (x-questions) — вопросами, в которых вопросител. •
ное слово может быть приравнено переменной х в пропозициоплл1 •
ной функции. Другими словами, такой вопрос можно сравним,
с алгебраической задачей, имеющей форму: «х обладает такими-то
и такими-то свойствами. Найти х» *.
Можно, конечно, считать, что вопрос соответствует не про .(г
зициональной функции Р (х), а так называемому экзистенциально; у
высказыванию, т. е. высказыванию о существовании некоторою
объекта, имеющему форму 3хР(х): «существует х такое, что х об¬
ладает свойством Р». В обоснование такого мнения можно было бы
привести то обстоятельство, что когда мы спрашиваем Кто пришел
в школу?, мы уже знаем или во всяком случае предполагаем, что
некто пришел в школу. (В случае, когда на вопрос Кто пришел
в школу? отвечают никто, можно считать, что высказывание Су¬
ществует некое лицо такое, что это лицо пришло в школу ложно.)
Однако, анализируя вопрос Кто пришел в школу? как экзистен¬
циальное высказывание, мы не учитываем лингвистической струк¬
туры вопроса, в которой нег никакого указания на существование.
Во всяком случае для нас существенно то, что, как бы мы ни ана¬
лизировали вопрос путем перевода на логический язык, составным
элементом пашей записи будет пропозициональная функция Р(х).
С лингвистической точки зрения такую же структуру имеют
и все косвенные вопросы: С кем ты говорил? Куда ты пошел? За¬
чем я это сделал? и т. п.
Заметим теперь, что ту же информацию, которую мы получаем
цри ответе на вопрос Кто пришел?, например: Кто пришел? — Ваня
или Кто пришел? — Почтальон, мы можем получить, поставив
вместо вопросительного слова название любого объекта, которое
сделало бы пропозициональную функцию х пришел истинным или
ложным высказыванием, например: Почтальон пришел?—Нет, Ваня]
или Почтальон пришел?—Да, почтальон.
При этом о несобственном употреблении слова почтальон, кото¬
рое используется не для соотнесения с определенным объектом,
а как слово, вместо которого может быть подставлен любой объект,
сигнализирует особая вопросительная интонация, отсутствующая
в предложении Кто пришел? 2. Разумеется, между вопросами Кто
1 Есперсен пишет, что в данном типе вопросов «мы имеем дело с неизвест¬
ным — совсем как в алгебраическом уравнении; поэтому для обозначения «неиз¬
вестного» мы можем воспользоваться общепринятым знаком х, а для обозначения
вопроса, направленного на установление «икса», употреблять термин «иксовые
вопросы» (x-questions)».
2 Произносится, как правило, с той же интонацией, что и повествовательное
предложение: Ваня пришел [4, с. 255; а также 5].
154

пришел? и Почтальон пришел? имеется и структурная, и стилисти¬
ческая разница, но для нас важно, что с логической точки зрения
между ними налицо существенное сходство, а именно при переводе
на логический язык обеих фраз должна, по-видимому, использо¬
ваться пропозициональная функция Р(х).
Имеются и некоторые историко-лингвистические соображения
в пользу того, что фразы типа Кто пришел? возникли из повество¬
вательных предложений типа Некто пришел, причем есть свиде¬
тельства о том, что во втором случае имеет место резкое изменение
интонации [6, с. 374—375; 7, с. 308—309].
В проводившихся до сих пор рассуждениях мы, как указыва¬
лось в сноске на с. 153, намеренно упростили одну сторону дела.
Говоря о переводе фраз типа Кто пришел? на логический язык, мы
учитывали лишь внутреннюю структуру вопроса. Между тем, как
хорошо показано Ю. И. Зуевым [2, с. 111], при формализации воп¬
роса мы должны учитывать и то, что вопрос содержит компонент
побуждения к определенному действию, а именно к превращению
пропозициональной функции в высказывание. Полная формализо¬
ванная запись вопроса Кто пришел в школу? имеет, по Зуеву, сле¬
дующий вид: (!) (Р(х)), где (1) значит: «преврати в высказывание
следующую высказывательную форму», а Р есть предикат приходить
в школу.
Эта особенность вопроса — то, что он не только содержит про¬
позициональную функцию, но и вместе с тем инструкцию о ее пре¬
вращении в высказывание,— чрезвычайно важна для понимания
роли вопроса в школьна грамматическом разборе, к которому мы
и возвращаемся.
Наиболее обоснованную и подробную критику применения
вопросов в школьном разборе дал А. М. Пешковский, который не¬
однократно возвращался в своих статьях к вопросу о «вопросах» [8,
с. 74—80; 9, с. 33—49].
Основные выводы, к которым приходит Пешковский, сводятся
к следующему:
1. «Вопросы» являются «главным препятствием к распростра¬
нению здравых воззрений на преподавание грамматики. Роль эту
играют они, конечно, не сами по себе как методическое средство,
а исключительно потому, что учителя, в большинстве своем, поль¬
зуются ими не сознательно, не отдавая себе отчета в том, что такое
собственно «вопросы» по отношению к самой грамматической науке»
[9, с. 33].
2. ««Вопросы» есть один из видов грамматического эксперимен¬
тирования, в частности один из видов подстановки в словосочета¬
ния одних слов на место других» [9, с. 35—36].
3. Выбор некоторых вопросов в качестве средств подстановки
«сделан изумительно неудачно» [9, с. 37], причем следует признать,
что этот тезис Пешковский весьма убедительно доказывает.
4. «Если «вопросы» есть неудачный вид экспериментирования,
в частности неудачный вид подстановки различных форм в одни
6*
155

li тс же словосочетания, то, очевидно, они должны быть заменены
удачным экспериментированием, в частности удачной подстанов¬
кой» [9, с. 42].
В предисловии к [9] И. А. Василенко и И. Р. Палей правильно
указывают: «Хотя и трудно согласиться с конечным выводом
А. М. Пешковгкого о необходимости решительного изгнания «воп¬
росов» из школьного преподавания и морфологии и синтаксиса,
статья «Вопрос о «вопросах»» помогает искоренению ошибок,
которыми обычно сопровождается применение «вопросов» в школь¬
ном преподавании грамматики» ПО, с. 11].
О том, что такая помощь необходима и что предостережения
А. М. Пешковского не всегда принимаются во внимание, свидетель¬
ствует хотя бы соошстстбхющий раздел в книге А. В. Текучева, по¬
священной методике грамматического разбора [11]. Здесь выдви¬
гается требование «строго различать вопросы синтаксические и
вопросы морфологические» [11, с. 255], например различать при раз¬
боре предложения Небо голубое, лес вопрос что? о члене предложе¬
ния и вопрос что? о части речи. Разумеется, если понимать, поПеш-
коЕскому, вопрос что? как представителя класса взаимозаменяемых
элементов, то класс будет одним и тем же. По рецепту того же ав¬
тора, в предложении Купающийся, мальчик бросился в реку слово
(в)	реку как форма существительного стоит в винительном падеже
единственного числа и отвечает на вопрос во что?, а как член пред¬
ложения — обстоятельство места — отвечает на вопрос куда? [11,
с. 256].
Автор замечает, что здесь уже с логической, смысловой точки
зрения нельзя поставить вопрос бросился — во что? Как будто
в первом случае логика другая и смысл другой. На самом деле,
здесь заранее надо знать, какой формой слова или каким членом
предложения является анализируемый элемент. Но тогда вопрос
уже играет не роль приема подстановки, а является лишь неудач¬
ным (как показал Пешковский) ярлыком. Следует сказать, что
А. В. Текучев старательно учел при этом ряд частных замечаний
Пешковского, например критику двойных вопросов типа кто? что?
или его требование учитывать стилистическую приемлемость во¬
проса. Но характерно, что основной упрек Пешковского прошел
мимо автора книги [II]1.
То, что данный автор так настойчиво отстаивает метод анализа
по вопросам, свидетельствует, по-видимому, об определенной по¬
требности школьной методики, интересы которой он, несомненно,
представляет, в разборе по вопросам.
1 Так же как и следующее замечание А. М. Пешковского: «Традиционное раз¬
деление это (разбор по «частям речи» и «членам предложения».— И. Р.) было
основано иа убеждении, что части речи и члены предложения — явления разного
порядка. Первые считались морфологическими (на тогдашнем языке «этимологи¬
ческими»), вторые — синтаксическими. Отсюда возникло два разбора: «по частям
речи» (со всеми их атрибутами) и «по членам предложения». ...дело в том, что
абсолютно не синтаксических категорий в языке не существует» [9, с. 237, 239].
156

Пешковский, в сущности, исходит из одного свойства вопроси¬
тельных предложений, а именно из их свойства содержать пропо¬
зициональную функцию. Если бы вопрос был только пропозицио¬
нальной функцией, а вопросительное слово было только представи¬
телем некоторого класса взаимозаменяемых фраз, то действительно
было бы неясно, почему анализ по вопросам предпочтительнее дру¬
гих видов подстановки — тем более, что не во всех случаях, как
правильно показал Пешковский, вопрос является наиболее удач¬
ным представителем слов некоторого класса.
Нам кажется, чгоПешковский не учел второй особенности струк¬
туры вопроса: того, что вопрос содержит и пропозициональную
функцию, и инструкцию об определенном действии, которое надо
произвести.
Это обстоятельство ставит определения, включающие «вопрос»,
в привилегированное положение не только с методической, но и с ло¬
гической точки зрения. Последнее особенно важно, ибо методистам
и лингвистам, хорошо знакомым с традиционной формальной логи¬
кой, но незнакомым с современной логикой, определения, включаю¬
щие вопрос, кажутся, по-видимому, незаконными, в лучшем случае
являющимися уступкой практике.
Дело в том, что традиционная логика и связанная с ней методика
признают лишь так называемые видо-родовые определения(рег genum
proximum et per differentiam specificam), т. e. такие, в которых
задается некоторая объемлющая совокупность объектов («род») и
указывается признак («видовое отличие»), выделяющий среди объек¬
тов указанной совокупности класс определяемых объектов. Между
тем для лингвистических фактов такие определения, в силу самой
структуры языкового материала, менее всего подходят [12].
Возьмем определение предложения, долго фигурировавшее в
школьном курсе синтаксиса: «Предложением называется сочетание
слов или отдельное слово, которое выражает законченную мысль»
[ 13, ч. II, с. 3]. Это определение предполагает, что имеется множество
сочетаний слов (родовое понятие), в котором выделяется подмно¬
жество таких сочетаний слов, которые обладают определенным
свойством, а именно — выражают законченную мысль.
Вряд ли специфическое свойство данного вида выбрано удачно,
ибо даже в самых современных научных курсах не решен вопрос
о том, что значит выражать законченную мысль (ср. спор о том,
выражает ли вопрос суждение или нет). Хорошее видо-родовоеоп¬
ределение должно строиться так, чтобы понятия, используемые для
обозначения как рода, так и специфического видового свойства,
были уже известны. А этого в данном случае нет.
Предположим, однако, что соответствующие понятия были бы
уже корректно определены (хотя бы для некоторого множества
предложений). И в этом случае данное определение было бы неудоб¬
ным с методической точки зрения, так как из него не следовало бы
еще, каким образом можно поданной последовательности слов опре¬
делить, является ли она предложением или нет. В самом деле,
157

когда ученик встречается со значительно распространенным слож¬
ным предложением, то даже при умении определить законченность
простых предложений он может испытывать колебания.
Заметим, между прочим, что. следуя традиционной логике,школь¬
ная методика делает резкое различие между определением и пра¬
вилом [14], [15]. Так, определением превосходной степени призна¬
ется утверждение, в котором говорится, что превосходная степень
обозначает сам^ю высокую меру качества. Но формулировка
«Простая превосходная степень образуется прибавлением к основе
прилагательных суффикса -ейш- или -айии-, перед суффиксом -айш-
происходит чередование согласных, например, добрый — добрей¬
ший, глубокий — глубочайший» [16, ч. I, с. 124] считается правилом.
При этом подразумевается, что определения, так сказать, имеют
большую ценность, так как они «раскрывают сущность» понятия,
в то время как правила только «устанавливают норму употребле¬
ния» [15].
Все это основано на том, что логика, лежащая в основе школьной
методики, не знает другого вида определений, а именно — опреде¬
лений операционных, т. е. таких, в которых определяемый объект
возникает в результате некоторого явно выраженного правила.
Наиболее распространенным и важным типом операционных опре¬
делений являются индуктивные определения. Эти определения
строятся следующим образом. Задается базис определения, т. е.
некоторая совокупность обьектов, принадлежащих к определен¬
ному классу (в грамматике этому соответствует некоторый набор
примеров). Далее формулируется правило вида: если объект а
принадлежит к определяемому классу, то любой объект х, связан¬
ный с а определенным (указываемым в правиле) отношением, также
принадлежит к определяемому классу.
Индуктивные определения ничуть «не хуже» видо-родовых.
Наоборот, любое видо-родовое определение, если оно построено
достаточно точно, может быть превращено в индивидуальное опре¬
деление, в то время как обратное неверно 117, с. 40].
Возвращаясь к определениям, включающим вопрос, мы можем
теперь выявить их методическую и логическую ценность: эти опре¬
деления являются, по-видимому, самым простым видом опера¬
ционных определений, с которым ученик вообще сталкивается
в школе.
Надо отметить, что значительная часть определений, которые
даются в цитированном школьном учебнике синтаксиса, как раз
и включает некоторое указание на операцию, в частности содержат
вопрос. Правда, иногда это делается неявно, так что вопрос как
будто и не входит в определение, как это имеет место в нижеследую-1
щих примерах: «Подлежащим называется независимый член пред¬
ложения, который отвечает на вопрос /сто? или что?» [16, ч. II,
с. 10]. «Сказуемым называется член предложения, при помощи ко¬
торого говорящий утверждает что-либо о подлежащем: сказуемое
отвечает на вопросы: что делает? (Солнце греет.), что делается?1
158

(Температура повышается.), каков? (Рассказ интересен.), кто он?
(Толстой — писатель.), что такое? (Ртуть — металл.)»; «До¬
полнением называется второстепенный член предложения, который
обозначает предмет и отвечает на вопросы косвенных падежей»
[13, ч. II, с. 31].
Несомненно, лучшим из этих определений как с логической, так
и с методической точки зрения является первое. Достоинства этого
определения особенно выпукло выступают по сравнению с «улучшен¬
ным» определением, которое давалось, например, в первых изданиях
курса [18]: «В каждой мысли (суждении) имеются две части: то, о
чем думаем,— субъект мысли, и то, что об этом думаем,— предикат
мысли. Соответственно в предложении можно бывает найти две
части — часть, соответствующую субъекту, и часть, соответствую¬
щую предикату. Член предложения, соответствующий субъекту
мысли, называется подлежащим; член предложения, соответствую¬
щий предикату мысли, называется сказуемым» [18, с. 15]1.
Здесь, во-первых, грамматический анализ подменяется сомни¬
тельным логическим анализом: обязательная двучленность каждого
суждения (являющаяся одним из постулатов формальной логики
в ее наиболее схоластическом воплощении)2 в современной логике
полностью преодолена.
Но рассмотрим это определение с операционной точки зрения.
Как, исходя из него, найти подлежащее в конкретном предложении,
например. Мне не спится что-то? Очевидно, предметом мысли
можно считать говорящего субъекта, но поскольку на самом деле
при определении подлежащего мы опираемся не на логические, а на
грамматические категории, то это предложение на с. 33 того же
учебника [18] характеризуется как безличное. Итак, это определе¬
ние не дает никаких операционных критериев. Другое дело опреде¬
ление школьного учебника. Поскольку здесь нельзя поставить
вопрос кто?, что? 3, ответ будет однозначным: в этом предложении
нет подлежащего.
Еще более наукообразно и практически бесполезно, поскольку
из него нельзя извлечь никаких операций по обнаружению подле¬
жащего, следующее определение: «Подлежащее — грамматически
1 Следует, правда, отметить, что в шестом издании (1963) соответствующий
отрывок пропущен, а определения подлежащего и сказуемого упрощены и при¬
ближены к школьным; например: «Подлежащее — главный член двусоставного
предложения, который обычно выражается именем существительным или место¬
имением в именительном падеже и поясняется сказуемым... Подлежащее может
быть выражено любой частью речи, употребленной в значении существительного
([отвечая] на вопросы кто? ил'Й чМЬ?)» (ем. [19, С. 18]).
2 Карел Берка заметил fio этому поводу: «Интересно отметить, что взгляды
классической формальной логики на сущность простых суждений теснейшим об-
раЗбм связаны с метафизическим пониманием взаимоотношения субстанции и ат¬
рибута, которое принято даже и языкознанием» [20, с. 162].
* Мы, разумеется, несколько упрощаем картину: вопрос что? может быть
подставлен, как известно, и вместо дополнения, так что здесь должны использо¬
ваться и некоторые дополнительные средства, но нам важен пока общий принцив.
159

независимый главный член предложения, служащий для обозначе¬
ния предмета речи и мысли, предицируемый сказуемым» [21, с. 312].
То, что это определение на самом деле ничего не определяет,
лучше всего иллюстрируется следующим рассуждением: «Подле¬
жащее бывает выражено существительными, потерявшими лекси¬
ческое значение. Считать эти слова подлежащими можно только
формально (подчеркнуто нами.— И. Р.), так как они не обозначают
ни деятеля, нн носителя признака и не являются понятием, которое
требует предикации, например: Дело было в начаге сентября» [21,
с. 313]. Итак, авторы сами признают, что определение не является
формальным (т. е. чем-то, с чем можно работать), но с другой сто¬
роны (неясно, с помощью ли этого определения или как-то иначе),
можно выделять подлежащее формально. Все это чистая схоластика.
Единственным операционным критерием, который можно вычитать
из этого «определения», следует признать довольно туманные слова
о том, что подлежащее «предицируется сказуемым». Если извлечь
из них чисто грамматическое содержание, то можно сказать, что
подлежащее — это тот член предложения, который согласуется со
сказуемым.
Такое определение можно было бы вполне признать, если бы
корректно было определено сказуемое. Обратимся к определению
этого понятия в данном курсе: «Сказуемое — главный член пред¬
ложения, выражающий утверждение или отрицание какого-либо
признака предмета или явления действительности, обозначенного
подлежащим» [21, с. 318]. В такой форме это определение с опера¬
ционной точки зрения нас устроить не может, поскольку мы хотим
найти в этом определении опору для определения подлежащего
как того члена, который согласуется со сказуемым. Дело здесь не
в том, что при определении подлежащего ссылаются на сказуемое,
а при определении сказуемого на подлежащее (известна форма опе¬
рационных «перекрестных» определений, в которых два понятия
определяются одновременно [22, с. 3—51), а в том, что остальная
часть определения не дает никаких операционных критериев (не
говоря уже о том, что не так-то легко определить с чисто логической
точки зрения, утверждается или отрицается какой-либо признак
предмета, например, в вопросительных предложениях).
Любопытно, однако, что если в разделе о подлежащих никакие
вопросы вообще не упоминались, то здесь вслед за так называемым
определением говорится: «Глагольное сказуемое отвечает на воп¬
росы: Что делает предмет? В каком состоянии он находится?
Именное сказуемое отвечает на вопросы: Что есть предмет? Каков
предмет?» [21, с. 318].
Итак, рациональное зерно в этой схеме определений сводится
к следующему: чтобы определить подлежащее, нужно сначала найти
сказуемое, а последнее может быть найдено методом вопросов.
(В дальнейшем изложении мы увидим, что сказуемое методом
вопросов находить труднее, чем подлежащее, но пока мы от этого
отвлекаемся.)

Тем самым мы вновь возвращаемся к школьной схеме, которая
действительно обладает той самой операционностью, которой не¬
достает «теоретической грамматике» в данном ее варианте (представ¬
ляющем значительный шаг назад по сравнению со школьной грам¬
матикой).
Вернемся поэтому к школьному определению подлежащего.
Хотя по форме это определение и не является операционным, его
легко превратить в операционное:
«Поставь вопрос кто?, что?. Если слово х отвечает на этот вопрос,
то оно является подлежащим».
В этой операционности мы и видим основное преимущество
«вопросных» опредеченнй.
Требование Пешковского в современных терминах можно вы¬
разить следующим образом: определение с «вопросом» следует
построить как индуктивное, например:
1. (Базис индукции.) Слова кто и что являются подлежа¬
щими.
2. (Шаг индукции.) Если слово х можно подставить вместо
подлежащего, то оно также является подлежащим.
Заметим, что, хотя в пункте 2 мы при определении подлежащего
ссылаемся на подлежащее, никакого «круга» в определении нет,
так как этот пункт отсылает нас к чему-то уже определенному по
пункту 1 или даже по пункту 2. В пункте 1 задан набор некоторых
слое, яено стоящих в именительном падеже; поэтому можно счи¬
тать, что понятие подлежащего в этом определении просто обоб¬
щает понятие именительного падежа X
Ясно, что логическая ценность такого определения выше, чем
«вопросного» определения, но очевидно, что оно труднее для ус¬
воения. Поэтому начинать целесообразно именно с вопросных оп¬
ределений.
Эти определения как бы переворачивают обычную методическую
процедуру, которая строится внешне дедуктивно (сначала опреде¬
ления — потом примеры), так как здесь в первой части определе¬
ния даются примеры, а затем уже происходит обобщение. Но на
самом деле они гораздо лучше приспособлены к практическому
преподаванию, ибо любое обучение всегда идет от конкретного
к абстрактному.
Итак, от «вопросного» определения можно легко перейти к оп¬
ределению вполне научному, имеющему не только практическую,
но и большую ценность с точки зрения развития мышления, ибо
здесь грамматика раньше математики может познакомить учащихся
с важнейшим логическим средством — методом операционных оп¬
ределений.
1 Это соответствует давней тенденции, идущей еще от Аристотеля [23,
с. 134—135].
161

Этапы такого перехода, по-видимому, для разных членов пред¬
ложения могут быть различными. Если вопросы кто? и чую? доста¬
точно хороши (хотя бы на первых порах) в качестве базиса индук¬
тивного определения подлежащего, то в случае сказуемого они «ра¬
ботают» гораздо хуже. Это было выяснено еще Пешковским. Ис¬
кусственность вопроса что делает? особенно хорошо иллюстрируется
разбором: Петя (что делал?) был, был (у кого?) у товарища (II,
с. 228], где слово был более абстрактно и более удобно в качестве
представителя класса подстановок, чем что делал? Другие вопросы,
используемые в определении школьного учебника, еще более слу¬
чайны, и каждый из них подобран ad hoc.
Здесь индуктивное определение было бы уместно ввести раньше,
используя, например, понятие личной формы глагола или даже
основываясь на одной конкретной парадигме личных форм глагола
(по свидетельству Пешковского [9, с. 471, такие парадигмы заучи¬
ваются. гораздо легче, чем парадигмы имени).
Определение сказуемого тогда могло бы строиться следующим
образом:
1. (Базис индукции.) Любая личная форма глагола является
сказуемым (вариант: слова люблю, любишь, любит, любим, любите,
любят, любил, любила, любило являются сказуемыми).
2. (Шаг индукции.) Если слово или сочетание слова: можно под¬
ставить вместо сказуемого, то х также является сказуемым.
Так же как и определение подлежащего, это определение вполне
соответствует школьной методике. Показательно, что этот метод
неявно используется в следующем определении: «Составным имен¬
ным сказуемым называется такое, которое состоит из именной части
и глагола-связки, например, Мальчик был болен (сравните: Маль¬
чик болел)» [13, ч. II, с. 19).
Единственное различие состоит в том, что то, что здесь представ¬
лено как нечто второстепенное и даже запрятано в скобки, в нашем
определении становится основным: был болен потому сказуемое, что
может стоять вместо личной формы, являющейся сказуемым по
базису определения (или же вместо слова любил во втором варианте
определения).
Аналогично, «вопросные» определения могут быть переделаны
в операционные (с заменой вопросов на другие средства подста¬
новки) и в тех случаях, когда речь идет одругих членах предложе¬
ния. Мы не будем приводить соответствующие определения, так
как с логической точки зрения они не дают ничего нового.
Необходимо, однако, отметить одну общую трудность, связан¬
ную с переходом от вопросов к другим средствам подстановки. Дело
в том, что сами по себе категории дополнения, обстоятельства,
определения (грамматического атрибута) не имеют никакой логи¬
ческой ценности (с этой точки зрения понятны рекомендации ряда
выдающихся советских лингвистов в 20-х и 30-х годах изгнать их
вообще из грамматики). Однако ценность этих категорий в том, что
они, по сути дела, указывают на те отношения, в которых эти слова
162

находятся к другим словам (а не на свойства слов некоторою
класса) 1.
Обстоятельство есть название такого двучленного отношения
(обозначим его через Р (х, у)) между словами х и у, которое заклю¬
чается в том, что х есть форма глагола и словосочетание х-\-у всегд i
может быть заменено одним словом х(в очерке [24] в этомсборнш е
дано более точное определение, но здесь нам важна лишь общая
идея).
Дополнение есть название трехместного отношения Q(x, у, г)
между словами х, у и г, заключающегося в том, что х есть форма
глагола (или отглагольное образование) и словосочетание х-\-у может
быть всегда заменено некоторым словом г, которое имеет те же мор¬
фологические характеристики, что и х, хотя z не совпадает с
По этому определению в предложении Девочка собирает ягода
в лесу слова в лесу являются обстоятельством (точнее — находятся
в отношении обстоятельства к слову собирает', ср. Девочка собирает
ягоды), а слово ягоды является дополнением (точнее — находите i
в отношении дополнения к слову собирает, ср. Девочка гуляе.л
в лесу).
То, что категории членов предложения являются названиями
отношений, и позволяет строить школьные схемы подчинения, гд„*
понятие синтаксического подчинения может трактоваться ка:
объединение отношений дополнения, обстоятельства, определена.]
(грамматического атрибута) и т. п. Эго большое логическое завое¬
вание школьной грамматики. Показательно, что эти схемы подчи¬
нения изоморфны новейшим схемам синтаксического анализа, ш -
рающим основную роль в современной математической лингвистике.
Очень жаль, что этот факт недостаточно осознается в школьной mi -
тодикс, которая иногда рекомендует схемы разбора, отрывающие
отдельные члены предложения от тех слов, к которым они относятся;
ср. таблицу (табл. 1), рекомендуемую в цитированной книге [Г,
с. 253J для предложения Однако сильный дождь с градом в гол\ -
биное яйцо и комьями снега безжалостно поливал нас только в тече¬
ние трех минут.
Как надеется ее автор, подобные работы «наглядно покажут уча¬
щимся, что понятие «часть речи» не заменяет понятия «член предло¬
жения»: так, например, при характеристике слова поливал надэ
сказать, что это «сказуемое, выраженное глаголом», но нельзя
сказать: «это глагол или, что то же самое, сказуемое»» [11,
с. 254].
Даже если признать, что такое различение действительно при¬
водит к каким-то познавательным результатам (а это довольно сом¬
нительно, ибо если бы второе высказывание звучало «это личная
форма глагола, а следовательно, сказуемое», то оно >было бы вполне
корректно), все равно это не компенсирует того вреда, который на-
1 Между прочим, основное отличие современной логики от традиционной
состоит в переходе от понятия класса к более общему понятию отношения.
103

Таблица 1
Обстоятельства
Подле¬
жащее
Сказуе¬
мое
Определение
(граммати¬
ческий
атрибут)
Допол¬
нение
О)
«
л
ГО к
Л х
с. а
О (-
о о
места
времени
причины |
н
Слова —
не члены
предло¬
жения
Дождь
поливал
СИЛЬНЫЙ, В
голубиное
яйцо
с гра¬
дом, с
комьями
снега,
нас
без¬
жало¬
стно
в тече¬
ние
трех
минут
однако
с
в
и
в тече-
ii не
только
носит искусственный разрыв отношений, характерный для членов
предложения.
11адо сказать, что мы вовсе не требуем сразу же определять члены
предложения как отношения необходимо лишь, чтобы преподава¬
тель сам понимал суть дела и не создавал представления о членах
предложения как отдельных сущностях. Наоборот, именно «воп¬
росные» определения имеют на первых порах преимущество перед
подстановочными:	вопрос	естественно	задается	так,	что	в	нем
ясно виден тот член предложения, который является подчиняющим
в данной паре: Какая девочка? Собирала что? Собирала где?
Таким образом, при условии правильного осмысления метода
вопросов, он оказывается достаточно плодотворным и теоретически
вполне оправданным. Правда, у метода вопросов остается тот часто
упоминаемый порок, что существуют группы слов, которые одновре¬
менно допускают несколько разных вопросов, каждый из которых
характерен для «своего» члена предложения; ср., например, пред¬
ложения типа Ракета устремилась на город, где возможны вопросы:
Устремилась куда? и Устремилась на что? — или Он преподнес все
это без понимания сути дела, где возможны вопросы: Преподнес
все это без чего? и Преподнес все это как?
Любопытно, однако, что уже сравнительно давно Р. И. Аване¬
совым [25] был предложен интересный выход из этого положения,
целиком основанный на идее индуктивного определения (хотя явно
эта идея и не формулировалась).
Суть идеи Р. И. Аванесова состоит в следующем. Пусть у нас
имеются случаи явных обстоятельств (например, отвечающих только
на вопрос как? или только на вопрос куда?). Если теперь некоторое
слово (или группа слов) отвечает на несколько вопросов (как в при¬
веденных выше предложениях), то мы смотрим, нельзя ли его упот¬
ребить с явными обстоятельствами. Если да, то в спорном случае
164

у нас — обстоятельство, если же нет, и при этом слово относится к
глаголу, то мы имеем дело с дополнением.
Изложим эту идею в форме индуктивного определения:
1. (Базис индукции.) Слово х является обстоятельством места
(точнее — находится в отношении обстоятельства места к глаголу),
если оно заменяется вопросом куда? или где? и не заменяется ника¬
ким другим вопросом.
2. Если слово х может быть связано с обстоятельством места
союзами и, но, но не и т. п., то х — обстоятельство места.
Аналогично может быть построено правило для обстоятельств об¬
раза действия (вопрос как?) и других.
В приведенных примерах мы имеем дело именно с обстоятельст¬
вами; ср. Ракета устремилась вниз — Куда устремилась? и Ракета
устремилась вниз, но не на город, а также Он преподнес все это сбив¬
чиво — Как преподнес? и Он преподнес все это сбивчиво и без по¬
нимания сути дела.
Замечательно в идее Р. И. Аванесова и то, что дополнение
определяется строго логически как не-обстоятельство. Чтобы отра¬
зить это, введем в наше определение еще один пункт.
3. Если слово х относится к глаголу и не является обстоятельст¬
вом, то оно является дополнением к глаголу.
Существенно то, что при применении данного определения не¬
возможна какая-либо неоднозначность. Любое слово, относящееся
к глаголу, будет либо дополнением, либо обстоятельством и не
может быть одновременно дополнением и обстоятельством.
Правда, могут возникнуть колебания, когда производится проба
на вставку союза (ср. возможность сомнения в грамматической пра¬
вильности предложений типа Ракета устремилась вниз и на город —
именно в связи с этим мы разрешили группы, связанные не только
при помощи и, но и при помощи но не). Эта проблема правильности
фразы — одна из самых трудных в современной лиш вистичсской
теории. Следует, однако, надеяться, что в данном случае трудность
может быть преодолена путем разработки более сложных связок
(ср. введение связки но не).
Идея Р. И. Аванесова была воспринята в лучшем случае как
второстепенный методический прием, а не как выводящее в:е уче¬
ние о членах предложения из грозившего ему тупика. Во всяком
случае в теоретических курсах она почти не обсуждается.
Насколько эта идея плодотворнее тех, которые обычно высказы¬
ваются в связи с разграничением дополнения и обстоятетьсгва,
видно из рекомендаций, приводимых в одном курсе теоретиче¬
ской грамматики. Там [21, с. 393] мы читаем: «Чаще всего смеши¬
ваются отношения пространственное и объектное, поэтому сме¬
шиваются обстоятельство места и дополнение. При их разграниче¬
нии следует исходить из степени конкретности предмета-понятия,
обозначенного словом, выступающим в функции второстепенного
члена: если преобладает предметное значение, то больше оснований
говорить о дополнении; если преобладает пространственное значе¬
165

ние, то правомернее рассматривать второстепенный член как об¬
стоятельство места. Ср. упасть на стул (дополнение)—упасть
на землю (обстоятельство места)».
Итак, требуется определить такую фактически неопределимую
вещь, как «степень преобладания конкретности». Такой анализ
не только лишен всякой операционности (например, затруднительно
установить, где в ряду предложений: Ракета у пала на бревно, Ракета
упала на площадку, Ракета упала на дом, Ракета упала на квар¬
тал — проходит, по этому определению, граница между дополне¬
нием и обстоятельством), но — и это, по-видимому, главное—лишает
грамматический разбор его ценности как метода формирования грам¬
матических абстракций, т. е. постепенного выявления абстрактной
схемы, или, как иногда говорят, модели предложения.
Вернемся, однако, к индуктивным определениям.
Метод индуктивных определений может быть, по-видимому,
распространен и на предложение. Как мы видели, видо-родовое
определение предложения ничего не дает ни с методической, ни
с логической точки зрения. Здесь дело не в том или ином подборе
понятий, а в общем подходе. Ведь имеется уже свыше двухсот
определений предложения, что явно свидетельствует о неудовлет¬
ворительности каждого из них.
Идея индуктивного определения предложения принадлежит
известному логику и специалисту в области математической линг¬
вистики И. Бар-Хиллелу, посвятившему этому вопросу специаль¬
ную статью [261. Статья эта начинается следующими примечатель¬
ными словами: «Мне кажется, что непонимание той важной роли,
которую играют рекурсивные (индуктивные.— И. Р.) определения
в эмпирических науках, свойственное как ученым-практикам, так
и ученым, занимающимся методологией науки, является постоян¬
ным источником недоразумений и бесплодных споров» [26, с. 101].
Далее дается определение, которое мы несколько видоизменяем
(в частности, вместо понятий «именная фраза» и «глагольная фраза»
мы предпочли определенные уже нами понятия подлежащего и ска¬
зуемого):
1. (Базис определения.) Последовательность слов ху, где х
есть подлежащее, ay — сказуемое, причем х согласовано с у, есть
предложение.
2. Если ху предложение, то последовательность слов, в которой
можно произвести такие замены, что она приводится к виду ху,
также является предложением.
3. Если А и В два предложения? то последовательность слов
А КВ, где К — союз из заранее заданного списка, также является
предложением.
Ясно, что здесь дана лишь очень грубая схема. Но она интересна
тем, что как бы воспроизводит последовательность, в которой уча¬
щийся знакомится с разными видами фраз: сначала (ср. п. 1) уча¬
щейся знакомится с предложениями типа Мальчик читает, затем
(ср. п. 2) — с предложениями типа Маленький мальчик читает
166

очень интересную книгу, посвященную пчелам и, наконец, (ср. п. 3)
с предложениями типа Все дети утром пошли в школу, а маленький
Петя остался дома.
До действительного применения таких определений в школе
еще далеко, ибо необходимо, с одной стороны, дополнить его целым
рядом других пунктов (относящихся к назывным, безличным и т. п.
предложениям) и, с другой стороны, установить их взаимосвязь,
т. е. «выводимость» одних из других. Преждевременное использо¬
вание выводов теоретической грамматики в школе уже не раз па¬
губно отражалось на методике, а здесь (в отличие от предложенных
индуктивных определений членов предложения) речь идет о явле¬
нии действительно сложном и противоречивом, таком, которое
может быть научно определено лишь методом «последовательных
приближений» х.
Тем не менее, подобное определение предложения помогло бы по-
новому организовать трудный для усвоения материал, а главное,
стимулировало бы синтетическую деятельность учащихся: для того,
чтобы определить явление, учащийся должен построить его сам
известными ему средствами по известным схемам.
В методической литературе уже неоднократно отмечалось, ка¬
кую пользу может принести введение наряду с аналитическими уп¬
ражнениями упражнений синтетических, и даже говорилось о том,
что этим достигается единство методов обучения математике и грам¬
матике [27, с. 5 -13]. Здесь же речь идет не просто о введении син¬
тетических упражнений, а о введении такой системы обучения,
в которой все аналитические операции проводятся на основе пред¬
варительного синтеза тех же явлений (ср. плодотворность идей
«анализа через синтез» в общей теории перевода [28]).
В более общем, философском плане можно сказать, что введение
операционных определений — это своеобразное введение критерия
практики в познание сущности лингвистических явлений: я зшю
структуру сложного предложения, если могу построить его из за¬
данных простых элементов.
Все это говорит о том, что уже сейчас настоятельно необходимо
начать развернутые исследования по методическому использованию
индуктивных определений предложения.
Здесь большую роль может сыграть лингвистическое моделиро¬
вание.
Примером лингвистической модели может служить очерк [24]
в данном сборнике. Кроме того, вопросу об использовании модели¬
рования в обучении была посвящена специальная статья [29], по¬
ложения которой мы здесь не повторяем. Отметим лишь, что данное
в [29J определение лингвистической модели очень близко к понятию
операционного определения, вернее серии взаимосвязанных опе¬
рационных определений, базисом для которых служит совокуп¬
1 О связи между методом последовательных приближений, применяемом в
физике, и операционными определениями см. указанную статью [26, с. 106].
167

ность исходных данных модели. Заметим, что построение модели,
порождающей всю совокупность разбираемых на данном этапе
обучения предложений, было бы равносильно индуктивному опре¬
делению предложения, необходимому для данного этапа. Даже
если бы модель не порождала некоторых, второстепенных (с точки
зрения обучения) предложений, например эллиптических или тех,
которые в школе Ф. Ф. Фортунатова квалифицировались как не¬
грамматические [30, 31], то и тогда корректное определение ос¬
новных образцов предложения, дающее одновременно инструмент
для их построения, явилось бы важным шагом вперед.
Сказанное не следует понимать таким образом, что определе¬
ния, строящиеся в модели, должны целиком или в той же форме
переноситься в методику. Дело в том, что в методике преподава¬
ния мы можем опираться на интуицию и поэтому не уточнять не¬
которые промежуточные понятия; в модели же интуиция полностью
исключается. В качестве примера укажем, что если бы мы захо¬
тели строить формальные модели для понятий подлежащего, ска¬
зуемого и т. п., то в определениях, данных выше на с. 161—166, при¬
шлось бы уточнить, что мы понимаем под выражением слово х заменяет
слово у. Как показано в статье [29], это понятие не столь просто,
его эффективное определение предполагает такие понятия, как
учебная фраза и запрещенная фраза (т. е. знания некоторых заве¬
домо неправильных фраз *). Напомним данное в статье определение:
«Мы говорим, что два слова взаимозаменяемы относительно данных
учебных фраз, если 1) встретились две учебные фразы, различаю¬
щиеся только этими словами, и 2) не встретилось двух фраз, раз¬
личающихся только этими словами, и таких, что одна из них учеб¬
ная, а другая запрещена» [29, с. 57].
Между прочим, интересно, что строгое применение этого опре¬
деления подтверждает мысль А. М. Пешковского о том, что вопросы
кто? что? не очень удачное средство подстановки, ибо по их точному
смыслу нельзя заменить, например, девочка на кто во фразе Ма¬
ленькая девочка гуляла, если — в полном согласии с интуицией —
считать, что «маленькая кто гуляла» есть запрещенная фраза. Осо¬
бенность местоимений типа кто, что состоит в том, что их можно
заменить в любой фразе на существительное (в этом смысл высказы¬
вания, что они «стоят вместо существительного»), в то время как
обратное неверно. Когда же в качестве базиса определения исполь¬
зуется «слово в именительном падеже», то слово «заменяет» имеет
тот же смысл, что и в модели.
1 Мы не стоим на точке зрения, что введение некоторых заведомо неправиль¬
ных фраз вообще противопоказано методике, соглашаясь с А. М. Пешковским,
который писал: «...разъясняя согласование прилагательного с существительным,
мы обычно спрашиваем: можно ли сказать «добрый ночь», «зеленая дуб» и т. д.?
Всякий педагог знает, что такое экспериментирование не только экономит вре¬
мя, но и дает гораздо более яркую картину данного явления уму человека, чем
какую может дать чистое наблюдение» [8, с. 223]. Но мы считаем, что использо¬
вание такого приема в методике необязательно, а в модели — обязательно.
168

Существенно при этом, что в методике мы можем, опираясь на
интуицию, пользоваться неуточняемым далее понятием заменяе¬
мости. Необходимо твердо помнить, что научность методики состоит
вовсе не в том, что в ней все до конца строго определено и приве¬
дено в формально безукоризненную форму. Научность состоит в том,
что используемые понятия могут быть в случае необходимости
корректно сформулированы (невыполнение именно этого условия
обесценивает приведенные на с. 159—160 «научные» и подобные им
определения). Модель в этом случае строится лишь для проверки
корректности определения.
Но лингвистические модели имеют и другие достоинства с точки
зрения их методического использования. При построении таких
моделей удается точно выявить ту совокупность понятий, которая
должна быть принята в качестве исходной, т. е. знакомой учаще¬
муся.
Одним из существенных недостатков современной методики пре¬
подавания грамматики является то обстоятельство, что имеется
действительная трудность зафиксировать необходимый и достаточ¬
ный круг исходных знаний и навыков, которыми учащиеся обла¬
дают или должны обладать для прохождения данного материала.
Это связано с тем отличием русской грамматики (например, от ма¬
тематики или даже иностранного языка), что русским языком
школьники уже владеют. В частности, бессодержательное и ничего
не дающее ученику определение предложения на самом деле не
мешает ему, поскольку ученик интуитивно может по интонации
отличать в простейших случаях предложения от не-предложений,
т. е. обладает определенным базисом в виде запаса фраз, интуитивно
ощущаемых как предложения. Как показано в статье [29], в модели
должен быть точно зафиксирован тот исходный круг «учебных фраз»,
который необходим и достаточен для операционного определения
дальнейших понятий.
Вторым достоинством моделирования является то обстоятельство,
что в каждой модели по необходимости явно выявлены все операции,
часть из которых школьник, да и любое лицо, производящее грам¬
матический разбор, совершает интуитивно. Строя разные модели
одного и того же явления, мы можем сравнивать между собой
число совершаемых операций, используемое в каждой из них коли¬
чество сведений 1 (что немаловажно для методики, ибо предпола¬
гает разную нагрузку памяти) и вскрывать те звенья, которые ока¬
зываются наиболее существенными.
Наконец, важной и, может быть, решающей особенностью модели
является то, что конечный результат модели всегда направлен на
некоторую практическую задачу, например на образование произ¬
вольного предложения данного типа или же на анализ, дающий
1 В этом отношении особенно плодотворным оказалось исследование А. А.
Зализняка, показавшего зависимость между числом операций и количеством ис¬
ходных данных (в частности, данных, задаваемых списками исключений [32]).
169

возможность установить смысловые связи между словами произ¬
вольного предложения (обычно эти задачи объединяются). Тем
самым модель помогает установить, какие из используемых в школе
понятий (например, те же понятия подлежащего, сказуемого, об¬
стоятельства, дополнения и т. п.) действительно необходимы для
решения первой или второй из поставленных задач.
Одной из целей настоящей статьи и было показать, что именно
из школьной методики грамматическая наука может извлечь для
себя много ценного и в то же время проблемы, возникающие в школь¬
ной практике, подобны тем, которые возникают и в современной
теоретической лингвистике.
Литература
1. М. Katltov. Jaka je logicka vy'stavba matematiky? Praga, 1950.
2. Ю. И. Зуев. К логической интерпретации вопроса.— В кн.: Логико-граммати¬
ческие очерки. М., 1961.
3. О. Есперсен. Философия грамматики. Пер. с англ. М., 1958.
4. Е. А. Брызгунова. Практическая фонетика и интонация русского языка. М.,
1963.
Б. М. Петер. Мелодика вопросительного предложения в русском языке. (На
основе экспериментальных данных).— «Studia slavica», t. 1, fasc. 1—3. Buda¬
pest, 1955.
6. М. Мейе. Введение в сравнительное изучение индоевропейских языков. Пер.
с франц. М.—Л., 1938.
7. A. Gardiner. The Theory of Speech and Language. Oxford, 1932.
8. А. М. Пешковский. Школьная и научная грамматика. 3-е изд. Берлин, 1922.
9. А. М. Пешковский. Избранные труды. М., 1959.
10.	И. В. Василенко и И. Р. Палей. А. М. Пешковский — выдающийся советский
лингвист и методист. — Вступительная статья в кн. [9].
И. А. В. Текучее. Грамматический разбор в школе. М., 1963.
12. И. И. Ревзин. О логической форме лингвистических определений.— В кн.!
Применение логики в науке и технике. М., 1960.
13. С. Е. Бархударов и С. Е. Крючков. Учебник русского языка. 7-е изд. М., 1960.
14. И. Р. Палей. Определения в школьном курсе грамматики.— «Русский язык
в школе», 1963, № 1.
15. И. Р. Палей. Правила в школьном курсе грамматики.— «Русский язык
в школе», 1963, № 4.
16. С. Е. Бархударов и С. Е. Крючков. Учебник русского языка. 15-е изд. М.,
1968.
J7. В. А. Успенский. Алгоритм.— «Философская энциклопедия», т. 1. М., 1960.
18. А. М. Земский, С. Е. Крючков, М. В. Сеетлаев. Русский язык. Ч. II. Учебник
для педагогических училищ. М., 1950.
19. А. М. Земский, С. Е. Крючков, М. В. Светласв. Русский язык. Ч. II. Учебник
для педагогических училищ. М., 1963.
20. К. Берка. Функция глагола «бьпь» с точки зрения современной формальной
логики.— В кн.: Логико-грамматические очерки. М., 1961.
21. Современный русский язык. Ч. II. Морфология. Синтаксис. М., 1964.
22. Н. А. Шанин. О некоторых логических проблемах арифметики.— «Труды
Математического ин-та им. В. А. Стеклова», т. 43. М., 1955.
23. А. И. Уемов, Е. А. Уемова. Логические функции падежных конструкций.—
В кн.: Логико-грамматические очерки. М., 1961.
24. И. И. Ревзин. Логическая модель школьного разбора по членам предложения.
Статья в настоящем сборнике.
25. Р. И. Аванесов. Второстепенные члены предложения как грамматическая ка¬
тегория.— «Русский язык в школе», 1936, № 1.
170

26. И. Бар-Хиллел. О рекурсивных определениях в эмпирических науках. Пер.
с англ.— В кн.: Математическая лингвистика. М., 1964.
27. Я. Л1. Эрдниев. Об использовании приема противопоставления иа уроках
русского языка.—■ В кн.: Из опыта работы по русскому языку. М., 1963.
28. И. И. Ревзин, В. Ю. Розенцвейг. Основы общего и машинного перевода. М.,
1963.
29. И. И. Ревзин. Лингвистическое моделирование и обучение языку.— «Русский
язык в национальной школе», 1964, № 6.
30. Д. Н. Ушаков. Краткое введение в науку о языке. М., 1925.
31. S. Xarcevsklj. Sur la phonologie de la phrase. «Travaux du cercle llnguistlque
de Prague». Prag. 1931.
32. А. А. Зализняк. Русское именное словоизменение. М., 1967.

Ю. А. Петров
ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГИКИ
К ИЗУЧЕНИЮ
ФУНКЦИЙ АРТИКЛЕЙ
В АНГЛИЙСКОМ ЯЗЫКЕ
В разработке эффективных методов обучения грамматике русского
языка, как было показано (см., например, статьи И. И. Ревзина
в настоящей книге, с. 140—170, а также бодее ранние работы П—4]),
существенную роль играет логический анализ грамматических кате¬
горий. Не меньшее значение имеет он и для методик обучения ино¬
странным языкам. В частности, интерес представляет логический
анализ так называемых определителей (артикли, местоимения и
некоторые другие категории), выяснение логической природы кото¬
рых важно также и для понимания роли этих категорий в естест¬
венных языках.
Целью данной статьи является исследование логических функ¬
ций частного случая определителей, а именно — артиклей (анг¬
лийского языка) посредством представления их в качестве некото¬
рых логических операторов с тем, чтобы содействовать разработке
средств распознавания их применимости. Как мы покажем ниже,
такое распознавание может базироваться на единой логической
основе, т. е. опираться не на внешние признаки применения артик¬
лей (чем принято руководствоваться в существующей методике
преподавания), а на установление той логической роли, какую ар¬
тикли играют в языке. В основном мы исследуем тот случай, когда
артикли применяются к именам существительным. Поэтому, ес¬
ли не оговорено противное, мы будем иметь в виду именно этот
случай.
Имена существительные в естественном языке являются именами
предметов. Понятие предмета в том понимании, которое здесь не¬
явно подразумевается, может относиться к различным логическим
категориям. Под предметом может пониматься строго определенный
индивидуальный предмет некоторого множества предметов, а также
какой-то фиксированный, но строго не определенный предмет мно¬
жества; под предметом может, наконец, иметься в виду вообще мно¬
жество предметов либо свойство (или отношение), взятое само по
себе, так сказать, в чистом виде. Каждое из этих пониманий пред¬
мета выделяет предмет различной логической категории.
В любом языке контекст, в котором встречается имя существи¬
тельное, в более или менее явном (а скорее, неявном) виде уточняет,
к какой логической категории относится значение имени существи-

ельного, т. е. тот предмет, который это имя обозначает. Но англий-
кий язык (и некоторые другие языки) в этом отношении имеет
пецнфические особенности, выражающиеся в наличии в языке
собых средств уточнения логической категории предмета — ар-
пклей. Если артикль применяется к именам существительным, то,
0 нашему мнению, он выполняет функцию уточнения логической
атегории предмета, обозначаемого именем существительным. Этот
езис нам и предстоит обосновать.
Прежде всего следует учесть, что употребление артиклей может
ыть необходимым, а может быть и не необходимым. Последнее,
апример, имеет место, когда мы имеем дело с собственным именем.
1 этом случае не возникает сомнений, что имя существительное
днозначно обозначает вполне определенный индивидуальный пред-
ет. и относить принадлежность предмета, обозначаемого этим име¬
ем, к определенной логической категории не имеет смысла, ибо
на и так уже ясна. В таких случаях артикль все же может ста¬
иться, и именно потому, что это не влияет на однозначность пони-
ания логической категории предмета, обозначаемого именем су¬
ществительным. Однако необходимости в постановке артикля в дан¬
ом случае нет. Напротив, когда логическая категория предмета,
бозначаемого именем существительным без артикля, не может
ыть понята однозначно, употребление артикля необходимо.
Иными словами, постановка артикля (или его отсутствие) перед
менем существительным способствует однозначному распознава-
ию логической категории предмета, обозначаемого этим именем,
олсе того, сама постановка артикля может рассматриваться как
ерация, преобразующая предмет одной логической категории,
бозначаемый именем существительным без артикля, в предмет
ругой логической категории, обозначаемый именем существи-
гльным с артиклем. Поскольку артикли выполняют функции пре-
бразователсй логических категорий, их можно представить как
ператоры, применение которых к имени существительному, обозна-
ающему предмет некоторой логической категории, дает нам имя
у'ществительное, обозначающее предмет другой (или, быть может,
эй же самой) логической категории.
Поэтому изучение функций артиклей мы будем понимать как
зучснне соответствующих операторов (операторов-артиклей). Изу-
?ние же операторов-артиклей мы будем проводить методом логи-
еского моделирования. Мы рассмотрим некоторые операторы,
основном уже изученные в современной формальной логике, и по-
ажем, что эти операторы являются (с какой-то степенью точности)
оделями операторов-артиклей. Тогда все задачи, сформулирован-
е для операторов-артиклей, можно переформулировать в задачи
ля операторов формальной логики, решить их средствами
ормальной логики и с некоторой степенью точности считать
ги решения решениями задач для операторов-артиклей. Одной
з таких задач является задача разработки методов распознавания
рименимости артиклей. Поставив в соответствие операторам-
173

артиклям операторы, изучаемые формальной логикой, мы должны
позаботиться о том, чтобы объектам языка, к которым применяютс я
операторы-артикли, были поставлены в соответствие объекты фор¬
мально-логические. С этой целью мы будем объекты естествен¬
ного языка истолковывать в виде объектов формальной логики.
Прежде всего дадим подобное истолкование основному объекту
естественного языка—имени существительному. Для этого вос¬
пользуемся результатами, изложенными Е. К. Войшвилло в ра¬
боте [5].
Мы не будем рассматривать имена существительные собствен¬
ные ввиду того, что они представляют, как мы уже говорили, как
раз тот случай, когда в определении логической категории пред¬
мета, обозначаемого этим именем, или значения этого имени, ни¬
какой неопределенности нет. Никакой дополнительной информа¬
ции, которую сообщает постановка или непостановка артикля перчд
именем существительным, тут не требуется.
Остановимся на именах существительных несобственных (на¬
рицательных), таких, например, как вода, сила, утро, человек и т.д.
Согласно Е. К. Войшвилло, общее имя является функцией, вы¬
ражаемой формулой хп (х), где буква х — переменная для предме¬
тов (предметная переменная), а буква п — свойство, которым об¬
ладают предметы из области значений переменной х. Напримеи,
общее имя человек можно записать в виде выражения хг(х), которое
читается так: «х такой, что он обладает свойством г», или другим
языком: «предмет такой, что он обладает свойством г». В дальней¬
шем а будет обозначать произвольное свойство. Случай, когда л
обозначает отношение, ради простоты изложения мы рассматри¬
вать не будем, хотя нет никакого труда распространить наши вы¬
воды и на этот случай.
Итак, грамматическую категорию «общее имя» (или «несобствен¬
ное имя»), выражающую некоторую логическую категорию, мы
записали на языке формальной логики в виде формулы хп(х).
Теперь разъясним, как следует понимать ту функцию, которую вы¬
ражает формула ха(х).
Предположим, что переменная принимает значения из области
(измножества) предметов {аг, п2, Oj, ... ., ап, ..и пусть предметat
есть какой-то (произвольный) предмет из этих предметов. Тогда
л(сг) есть суждение. Например, если предмет at есть Петр, а г —■
свойство быть человеком, то г (at) есть истинное суждение Петр есть
человек.
Таким образом, формула ха (х) (а тем самым, с некоторой сте¬
пенью точности, и общее имя) выражает функцию, которая каждому
истинному суждению a (at) относит предмет uL. Например, фор¬
мула хг (х), где х — переменная для предметов из множества людей,
х={Петр, Иван, Мария, . . .}, выражает функцию, которая к ис¬
тинному суждению Петр есть человек относит предмет, именуемый
Петром, истинному суждению Иван есть человек относит предмет,
именуемый Иваном, и т. д.
174

Так как артикль применяется к общему имени, его можно рас¬
сматривать как функцию от функции общего имени. Например,
если к общему имени человек (man), выражаемому формулой хт(х)
(или хМ (х)), применяется артикль the, то получаемую формулу
the(xM(x)) можно трактовать как формулу, выражающую функ¬
цию от функции хМ (х). Аналогично, формулу а(хМ(х)), где «а» есть
неопределенный артикль, можно рассматривать как функцию от
функции хМ (х). Остается выяснить, можно ли трактовать артикли
the и а (ап) как логические функции, и если да, то следует выяс¬
нить, что это за функции.
В формальной логике известен уже целый ряд функций от функ¬
ции xct(x). Поэтому мы будем просто выбирать те из них, которые
могут быть моделями артиклей the и а. (Это и будет означать изу¬
чение логических функций определенного и неопределенного ар¬
тиклей методом их логического моделирования.)
Вначале применим метод логического моделирования к изуче¬
нию функций определенного артикля the.
Одним из операторов, могущих выполнять функцию определен¬
ного артикля, является оператор (определенной) дескрипции, назы¬
ваемый i-оператором (йота-оператор).
Применение i-оператора к формуле ха (х) дает формулу ixa (х).
Эта формула выражает функцию, которая единичному множеству
истинности формулы а(х) ставит в соответствие один вполне опре¬
деленный предмет из этого множества, который мы будем обозна¬
чать символом хс. Иначе говоря: ixa(x)=x°.
Предположим, что i-оператор адекватно моделирует определен¬
ный артикль. Тогда этот артикль должен общее имя «перераба¬
тывать» в имя вполне определенного единичного предмета. Значит,
определенный артикль должен употребляться перед именем сущест¬
вительным нарицательным там, где каким-либо образом, например
в силу соответствующего контекста, это имя выполняет функцию
имени существительного собственного.
Имеет ли место подобный факт в языке? Проверить это можно
путем исследования разных случаев сложившегося в языке примене¬
ния определенного артикля. Если мы обнаружим какие-то исклю¬
чения, то это будет означать, что i-оператор если и является моделью
определенного артикля, то не слишком уж адекватной моделью —
частичной моделью в том смысле, что он не полностью отображает
функцию артикля the.
Разумеется, нет необходимости исследовать в целях проверки
этой адекватности или полноты весь английский язык. Можно
просто положить, что все случаи применения определенного ар¬
тикля более или менее полно описаны в какой-либо грамматике
английского языка, например в грамматике М. А. Беляевой [6].
В работе [61 перечислены весьма распространенные случаи употреб¬
ления определенного артикля.
Случай 1. Определенный артикль употребляется для выделения
предмета из класса ему подобных как уже ранее известного гово¬
175

рящему и слушающему [6, §45, п. 1, с. 25]. Пример: Mr. Micav..
ber was waiting for me within the gate and we went nip to his
room.
Автор поясняет, что речь идет о воротах, известных говорящему
и слушающему. Gate — это общее имя. Чтобы в явном Еиде ука¬
зать, что контекст (в который входит описание состояний говоря¬
щего и слушающего) превращает общее имя в имя собственное (на¬
звание данных, вполне определенных ворот), перед общим име¬
нем gate ставится определенный артикль. Постановка этого артикля
существенна (необходима) именно перед общим именем.
В самом деле, допустим, что перед нами имя собственное. Тогда
у нас нет никакой неопределенности в том, к какой логической ка¬
тегории относится его значение (ясно, что к категории вполне оп¬
ределенного предмета), и незачем эту неопределенность устранять
постановкой определенного артикля. Иначе говоря, оттого что мы
будем ставить или .не будем ставить определенный артикль перед
собственным именем, ничего не изменится, ибо артикль в этом слу ¬
чае «не работает»: не может выполнять своей функции, ибо он ни¬
чего ни во что не перераба гывает, так как результат «переработки»
уже имеется налицо. Но тогда с логической точки зрения его можно
по произволу вводить и исключать как раз потому, что в данном
случае артикль не может выполнять свою логическую функцию,
т. е. не может уточнять логическую категорию того существитель¬
ного, к которому он применяется. Его можно употреблять именно
потому, что от этого ничего не изменится.
А как обстоит дело в языке? Грамматика 16] нам говорит, что,
действительно, в одних случаях определенный артикль перед име¬
нами существительными собственными употребляется, а в других
случаях — нет. Причем такое употребление (или неупотребление)
может быть основано на традиции, стилистике и т. п.— в упомяну¬
той грамматике эго не уточняется (§ 46, 50, с. 27—29),— но оно не
связано с логической функцией артикля. В данном случае употреб¬
ление артикля допустимо с логической точки зрения именно по¬
тому, что оно не зависит от выполнения артиклем логической
функции.
Случай 2. Определенный артикль употребляется для выделения
предмета из класса ему подобных как уже упоминавшегося в дан¬
ной речи (см. 16, § 45, п. 2, с. 261). Этот случай сводится к первому
случаю: если предмет уже ранее упоминался, он известен говоря¬
щему и слушающему.
Случай 3. Определенный артикль употребляется для выделения
предмета из класса ему подобных как предмета, который сразу ста¬
новится известным, поскольку он тут же поясняется (см. [6, § 45,
п. 3, с. 26]). Пример: The force of the current had worn a way the rock.
Имя существительное force обозначает здесь не силу вообще, а
только силу данного течения воды, т. е. вполне определенный
предмет. Стало быть, в этом случае определенный артикль выступает
в роли i-оператора.
176

Однако имеются случаи, в которых определенный артикль моде¬
лирует другие операторы.
Случай 4. «Определенный артикль употребляется с существитель¬
ным, обозначающим предмет, который выражает в единичном по¬
нятии общее» (см. [6, § 47, с. 27]). Пример: The thermometer becomes
useless if the fluid in it either freezes or boils. М. А. Беляева поясняет,
что «здесь имеется в виду не данный термометр» и не один из этого
класса предметов, а «термометр вообще». Последнее можно понять
в категориях логики только как свойство «термометричносги».
Тогда выражение «термометр становится бесполезным» имеет тот же
смысл, что и выражение «свойство термометричносги у жидкости
отсутствует» (и именно тогда, когда у нее имеются свойства «замер-
заемости» или «вое ки паем ости»). Значит, определенный артикль
при применении к общему имени «термометр» перерабатывает его
в имя свойства (имя «термометричность»),
В данном случае моделью определенного артикля является
^.-оператор (ламбда-оператор, или оператор функциональной аб¬
стракции), который выделяет свойство а из общего имени лчт (х).
Это обстоятельство записывается формулой Яхп(х)=а.
Эта формула выражает сложную функцию: функция хп (х)
«выдает» нам предметы некоторого множества, обладающие свой¬
ством п, а ^.-функция выделяет это свойство п, так сказать, в «чис¬
том виде», абстрагирует его.
Таким образом, мы нашли, что определенный артикль модели¬
руют два оператора: i-оператор и Я,-оператор.
Наконец, рассмотрим случай 5, упомянутый в рассматриваемой
грамматике. Он касается применения определенного артикля не
к существительным, а к прилагательным в превосходной степени
(см. § 48, 64, 75). Какую логическую функцию выполняет опреде¬
ленный аргикль в этом случае? Иначе говоря, перевод какой ло¬
гической категории в какую логическую категорию он выражает?
Если мы посмотрим на контексты, в которых употребляются прила¬
гательные в положительной и превосходной степенях (например,
прилагательные short и shortest, high и highest, useful и most useful,
difficult и least difficult, good и best, little и least, much и most и т.п.),
то увидим, что они относятся к именам существительным (данным
в явном или неявном виде). При этом прилагательное в положи¬
тельной степени просто ограничивает объем понятия, выражае¬
мого существительным (ср., например, объемы понятий «дом» и
«большой дом»). Но ограниченное понятие тоже есть понятие, а тем
самым и общее имя (ибо понятие, согласно используемой нами кон¬
цепции Е. К. Войшвилло, и есть общее имя).
Прилагательное в превосходной степени также употребляется
с существительным, но уже значением этого сочетания будет не¬
который вполне определенный предмет. Здесь следует заметить,
что употребление сравнительной и превосходной степеней сравне¬
ния прилагательных предполагает решенной задачу линейного упо¬
рядочения предметов, обладающих свойством, выражаемым при¬
177

лагательным в положительной степени. (На самом деле эта задача
практически далеко не всегда может быть решена.) Но если это так,
то определенный артикль в 5-м случае является функцией, которая
логической категории предмета, обозначаемого общим именем,
ставит в соответствие логическую категорию собственного имени,
обозначающего вполне определенный предмет из множества пред¬
метов. к которым это общее имя относится. Однако оно обозначает
не какой угодно предмет, а, так сказать, экстремальный (самый
первый или самый последний в линейном упорядочении). Значит,
в этом случае определенный артикль моделйруётся двумя частными
случаями i-оператора, а именно р-оператором (оператором взятия
наименьшего) и М-оператором (оператором взятия наибольшего!.
Применение р- и М-операторов к общему имени ха(х) мы запи¬
шем, соответственно, формулами рха(х) и Мха (х).
Таким образом, мы рассмотрели все приведенные в [6] употреб¬
ления определенного артикля с именем существительным и пока¬
зали, что этот артикль моделируется двумя операторами: i-onepa-
тором и ^.-оператором.
Теперь можно уточнить утверждение М. А. Беляевой в [61
о том, что общее значение определенного артикля — «это выделе¬
ние какого-либо предмета, лица или явления из класса ему подоб¬
ных» 16, с. 251. Во-первых, точнее будет говорить не о каком-либо
предмете (ибо, вообще говоря, это неверно), а о вполне определен¬
ном предмете. Во-вторых, точнее будет говорить не о классе «ему
подобных», а о множестве, к которому он принадлежит. И, в-третьих,
определенный артикль выполняет не только эту функцию (модели¬
руемую i-оператором), но и совсем другую функцию — функцию
выделения свойства из множества предметов, обладающих данным
свойством (моделируемую ^.-оператором).
Рассмотрим теперь неопределенный артикль «а» и проанализи¬
руем, какими операторами, изучаемыми логикой, он моделируется.
Для этого определим, переработку каких логических категорий
в какие логические категории он выполняет; тем самым мы пока¬
жем, какие логические функции в языке выполняет этот артикль.
В работе [61 перечислены следующие случаи употребления не¬
определенного артикля.
Случай 1 (см. § 34, с. 20). М. А. Беляева говорит, что неопреде¬
ленный артикль употребляется при существительном, когда оно
выполняет в предложении функцию именной части сказуемого.
Тут ничего не сказано о том, какую именно функцию выполняет
этот артикль. Но из приводимого примера ясно, что неопределен¬
ный артикль употребляется в этом случае для того, чтобы в явном
виде зафиксировать то, что общее имя (с помощью контекста) «пере¬
рабатывается» в имя фиксированного, но точно не определенного
(т. е. неизвестно, какого именно, или произвольного) предмета из
множества предметов, являющихся значениями этого общего имени.
Иначе Говоря, неопределенный артикль фиксирует функцию, со¬
относящую общему имени имя фиксированного, но точно не опре¬

деленного предмета из области значений этого общего
имени.
Здесь мы впервые упомянули логическую категорию фиксиро¬
ванного, но точно не определенного предмета из какого-то множества
предметов. Поясним эту категорию так: пусть дано множество
предметов {aL, а2, . . ., а„}; пусть предметная переменная х прини¬
мает значения из этого множества. Зафиксируем какое-то из этих
значений, но не будем точно определять, какое именно. Здесь для
нас существенно только то, что это есть какое-то одно-единственное
значение переменной х, но не существенно, какое именно. (Поэтому
от последнего обстоятельства мы отвлекаемся, чего не делали при
рассмотрении логической категории вполне определенного пред¬
мета.) Обозначать фиксированный, но точно не определенный
предмет из множества значений переменной х будем с помощью
символа х°.
Теперь уточним для 1-го случая смысл той операции, которую
фиксирует неопределенный артикль. Для этого в качестве модели
сопоставим ему операцию, производимую туоператором (эта-опе¬
ратор, или оператор неопределенной дескрипции). Результат при¬
менения rj-оператора к общему имени хп(а') выражается формулой
цха (х)=хс. Смысл последней формулы состоит в том, что она вы¬
ражает функцию, которая соотносит общему имени ха(х) имя
редмета х°. Или, иначе говоря, троператор «перерабатывает» ло¬
гическую категорию предмета, обозначаемого общим именем, в дру¬
гую логическую категорию — в категорию фиксированного, но
гочно не определенного предмета.
ц-оператор в 1-м случае действительно является моделью не¬
определенного артикля. То, что это так, убеждают нас приводимые
автором в работе 161 для 1-го случая примеры.
Возьмем один из них: A rectangle a parallelogram having right
angles [6, с. 21]. Из примера видно, что применение к общему имени
(parallelogram» неопределенного артикля дает имя «а parallelogram»,
шачением которого является какой-то фиксированный, но точно
ie определенный предмет — параллелограмм. Поэтому-то в геомет-
эии рассуждают о некотором параллелограмме, но эти рассуждения
ложно автоматически переносить на любой другой параллелограмм.
Случай 2 16, § 35, с. 21—22]. М. А. Беляева пишет: «Употребле-
ше неопределенного артикля с именем существительным отвлечен-
гым отражает изменение значения слова и переход имени сущест-
штельного отвлеченного в конкретное».
Из приводимых примеров видно, что под «отвлеченным именем
уществительным» подразумевается имя свойства. Так, в пред-
южении There are all the necessary conditions for the development
>f a scientific thought in our country слово thought употреблено в зна-
юнии «мышления» как свойства, и нечто утверждается в этом пред-
южении о мышлении как о свойстве. Свойство выступает здесь
I абстрагированном виде (ср., например, функцию синус (sin) и зна-
:ение этой функции в точке х, т. е. sin (а*)) и представляет самостоя¬
179

тельную логическую категорию. Имя свойства с функциональной
точки зрения нельзя отождествлять с общим именем. Неопреде¬
ленный артикль, применяемый к имени свойства, дает имя,
обозначающее логическую категорию фиксированного, но точно
не определенного предмета.
Функция артикля в этом случае может быть выражена фор¬
мулой 6(д)=х°, где через б мы обозначили оператор, выполняю¬
щий вышеописанную функцию (назовем ее 6-функцией), а х° имеет
значение фиксированного, но точно не определенного предмета.
Так как выделение свойства в «чистом виде» производится ^-опе¬
ратором, то формулу б (а) = х° можно преобразовать в эквивалент¬
ную формулу 6 (Ах а (а)) = х°, ибо Ахп (х) = а. Развернутая формула
показывает, что исходной логической категорией и в случае данного
преобразования логических категорий является предмет, обозна¬
чаемый общим именем: xct(x).
В математике примером 6-функции может быть функция, выра¬
жаемая формулой 6 (sin)=x°, гдех° есть произвольно взятое фикси¬
рованное, но однозначно не определенное значение sin х. В раз¬
вернутом видеформулу б (sin)=A'° можно записать как 6 (Ах sin х)=х°.
Так как формально х°=т]ха(х), то rj.va (х)=6 (Аха (х)). Значит,
с формальной точки зрения функция от функции (6А) равносильна
функции г). Однако с точки зрения содержательного анализа это
не одно и то же, ибо контекст как исходную логическую категорию
непосредственно выделяет имя свойства а, а не общее имя ха(х)
с последующим применением к нему A-оператора. Формальная
точка зрения была бы адекватна (в данном случае) содержательной,
если бы в (английском) языке допускались артикли от артиклей
(моделью чего и является применение оператора 6 к оператору А).
Но, как известно, такого положения в языке нет.
Заметим, что логикой 6-функция не изучается (точнее, нам не
известны соответствующие работы).
В приводимом автором [6, с. 211 примере A thought struck him
неопределенный артикль, применяемый к имени свойства «thought»,
дает имя фиксированного, но не определенного предмета «а thought»,
принадлежащего множеству мыслей (из этого множества мыслей,
как говорит приведенный пример, какая-то одна, без уточнения
того, какая именно, внезапно осенила того, о ком идет речь).
Случай 3 [6, § 35, с. 22|. Автор работы говорит, что «употребление
неопределенного артикля с именем существительным веществен¬
ным означает изменение значения слова и переход его из имени
существительного вещественного в имя существительное конкрет¬
ное».
Приведенные для подтверждения этого положения примеры
показывают, что под «именем существительным вещественным»
следует понимать имя свойства, а под «именем существительным кон¬
кретным» — имя фиксированного, но точно не определенного пред¬
мета. Тогда моделью неопределенного артикля является 6-опера-
гор, как и во втором случае.
180

Случай 4 [6, § 36, с. 23]. По поводу этого случая М. А. Бе¬
ляева пишет: «Неопределенный артикль может иметь оттенок чис¬
лового значения, отражающий происхождение неопределенного
артикля из числительного опе».
Это высказывание само по себе ничего не говорит о той функции,
которую выполняет неопределенный артикль при его употреблении
в 4-м случае. Однако из примеров становится ясным, что речь идет
о точно таком же употреблении этого артикля, что и в 1-м случае.
Например, рассмотрим предложение A complete vibration or oscil¬
lation means a round trip, say from «а» to «Ь» and back to «а» (с. 23).
Неопределенный артикль «а», примененный к общему имени round
trip, порождает обозначение фиксированного, но точно не опреде¬
ленного предмета — «а round trip» (один из циклов, без уточнения,
какой именно, пробега от «а» до «Ь» и снова к «а»). Таким образом,
моделью неопределенного артикля и здесь является троператор.
Случай 5 (§ 37, с. 23). «Неопределенный артикль употребляется
при существительном, выражающем в единичном понятии общее...
Неопределенный артикль придает оттенок значения, соответствую¬
щий русскому слову любой». Из этого разъяснения (и из примеров)
ста.ювится ясным, что и в данном случае моделью неопределенного
артикля является троператор.
Случай 6 (§ 38, с. 24). «Неопределенный артикль обычно
употребляется с существительным в функции приложения». Но
что это за «функция приложения», явно не разъясняется. Однако
из примера видно, что моделью неопределенного артикля в этом
случае также является троператор.
Этот случай, равно как и случаи 7 и 8 (см. соогветственно § 39,
40, с. 24), мы предоставляем рассмотреть читателю самостоятельно
и убедиться, что неопределенный артикль моделируется в них
троператор ом.
В случаях 9, 10 (см. соответственно §41 и 42) неопределенный
артикль моделируется тоже чроператором. Однако результат при¬
менения этого оператора, выражаемый формулой туто (х), в этих
случаях тут же попадает в область действия другого оператора,
который по произвольному элементу х° множества {*} «выдает»
подмножество этого множества. Оператор последнего типа выра¬
жается словами many и half, однако изучение этих операторов не
входит в нашу задачу.
Таким образом, в подавляющем большинстве случаев неопре¬
деленный артикль моделируется хорошо известным в логике ^-опе¬
ратором и (вероятно, в практически мало встречающихся случаях)
6-оператор ом.
Теперь уточним высказывание М. А. Беляевой о функции не¬
определенного артикля. Она пишет: «Неопределенный артикль
просто причисляет какой-либо предмет к классу однородных пред¬
метов, но не выделяет его. Поэтому эта функция неопределенного
артикля часто называется классифицирующей, причисляющей»
[6, с. 20].
181

На основе вышеприведенного анализа логических функций не¬
определенного артикля правильнее будет сказать так:
Во-первых, неопределенный артикль в случае, когда он модели¬
руется ri-оператором, никакого «причисления» не производит, ибо
его никак нельзя истолковать в значении знака принадлежности
элемента множеству (знака 6 )■
Во-вторых, выражение «не выделяет» следует уточнить и пони¬
мать его в том смысле, что неопределенный артикль (как троператор
или б-оператор) не дает вполне определенного, а дает лишь фикси¬
рованный, но не определенный точно предмет х°.
В-третьих, функцию неопределенного артикля никак нельзя
назвать «классифицирующей», ибо он (будучи опять-таки тропера-
тором или б-оператором) не производит разбивку множества на
непресекающиеся подмножества, т. е. не производит классифи¬
кации.
В-четвертых, правильнее было бы определить функцию неопре¬
деленного артикля как в основном трфункцию (и в некоторых,прак¬
тически мало встречающихся случаях — как б-функцию).
Это дает возможность правильно понять логическую природу
данного оператора, в частности во всевозможных случаях примене¬
ния артикля усмотреть то общее, что единственно существенно для
применения неопределенного артикля (аналогичное можно сказать
и про определение функции определенного артикля).
Напомним, что во всех рассмотренных нами случаях исходными
логическими категориями были категории предметов, обозначаемых
общим именем (ха (х)) или обозначаемых именем свойства (а).
Артикли, применяемые к именам существительным, обозначающим
исходные логические категории, давали имена, обозначающие
предметы других логических категорий, а именно тех, которые
требуются в данных контекстах. Но тогда отсутствие артикля должно
выражать то, что в данном контексте исходные категории не должны
меняться. Тем самым применение или неприменение артиклей устра¬
няет логическую полисемию, различая логические категории, к ко¬
торым относятся имена существительные.
Таким образом, из концепции логических функций артиклей
получается вывод, что их незачем употреблять в тех случаях, когда
требуется, чтобы контекст не менял исходную логическую катего¬
рию имени существительного, употребляемого в этом контексте,
а также в тех случаях, когда применение артикля к имени не может
изменить логической категории, обозначаемой этим именем (т. е.
когда неприменение артикля ничего не меняет, ибо даже приме¬
нение его не может ничего изменить). Насколько это предположе¬
ние подтверждается фактами языка, надо проверить. Для этого
обратимся к грамматике английского языка, к разделу «Отсутствие
артикля» [6, с. 29—30].
Случай 1 [6, § 52, с. 29]. Не имеют артикля имена существитель¬
ные во множественном числе, если перед ними в единственном числе
стоит неопределенный артикль. Пример: Bodies move under the
182

action of some force. A body moves under the action of some
force.
В данном случае подчеркивается, что существительное во мно¬
жественном числе выполняет роль имени предмета той же логи¬
ческой категории, что и имя существительное в единственном числе
с артиклем. Эта логическая категория нам теперь известна. Ею
является категория фиксированного, но точно не определенного
предмета.
Отсутствие артикля говорит, что логическую категорию менять
не надо, ибо существующая вполне адекватна контексту. Действи¬
тельно, сказать, что «тела движутся под действием какой-либо
силы» — все равно, что сказать «тело (фиксированное, но точно
не определенное, т. е. произвольное) движется под действием
какой-либо силы». В первом предложении речь идет не о множестве
тел, а о произвольных телах. А множество и произвольный его
элемент — это объекты разных логических категорий, образуемые
разными операторами (первая — оператором W, что дает формулу
ИРдса (дг), а вторая—троператором, что дает формулу грса (.*)),
которые отражают различные логические функции.
Случай 2 [6, § 53, с. 29]. «Артикль отсутствует перед именами
существительными отвлеченными и вещественными». Пример:
Strength, hardness, machinability and ductility are mechanical
properties of materials.
Исходной логической категорией, обозначаемой именем сущест¬
вительным, здесь является категория свойства (свойства проч¬
ности, твердости, годности к механической обработке, ковкости).
В предложении нечто утверждается именно о свойствах. Если бы
здесь был применен артикль, то, как мы знаем, логическая кате¬
гория изменилась бы, что как раз и не нужно.
Случаи 3, 4, 5, 6, (см. соответственно § 50, 54, 55, 56). Здесь речь
идет о собственных именах. К ним, как мы уже говорили, артикль
можно применять, но можно и не применять. Логическую катего¬
рию это не меняет.
Случай 7. Отметим лишь тот случай, когда артикль применяется
к существительному, но не пишется явно, а сокращается (элими¬
нируется). Этот случай следует трактовать не как случай неупот¬
ребления артикля, а как ненаписание его согласно принятому
в языке сокращению контекста. Действительно, такое сокращение
имеет место в ряде «застывших фразеологических сочетаний, в ко¬
торых существительное превратилось в составную часть сочета¬
ния» [6, с. 30]. В этих случаях подразумевается всегда возможным
однозначно восстановить артикль и потому не спутать подобные
случаи со случаями неупотребления артиклей.
Таким образом, артикли (в английском языке) в основном вы¬
полняют логические функции — являются логическими операто¬
рами, преобразующими объекты одних логических категорий
в объекты других логических категорий. Такие преобразования
необходимы, чтобы получить лингвистические объекты разнооб¬
183

разных логических категорий, нужных в языке и не могущих был.
выраженными именами существительными без артиклей. Употреб¬
ление артикля (или не употребление его) явно говорит о том,
с объектом какой логической категории мы имеем дело. А это в зна¬
чительной мере устраняет логическую полисемию языка. Послед¬
нее же необходимо для однозначности смысла контекста.
Литература
1. В. Г. Фарбер. О логических средствах школьной грамматики.— В кн.: Логико¬
грамматические очерки. М., 1961.
2. В. Г. Фарбер. К разработке упрощенной пунктуации. — «Русский язык
в школе», 1963, № 4.
3. В. Г. Фарбер. Об одном подходе к совершенствованию школьной грамматики.—
«Русский язык в национальной школе», 1963, № 6.
4. И. И. Ревзин. Лингвистическое моделирование и обучение языку.— «Русский
язык в национальной школе», 1964, № 6.
5. Е. К. Войшвилло. Понятие. М., 1967.
6. М. А. Беляева. Грамматика английского языка. 5-е изд. М., 1971.

JI. В. Шеншев
ОПЫТ СЕМИОТИЧЕСКОГО ПОДХОДА
К ПРОБЛЕМЕ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ
МЕЖДУ УЧЕБНЫМИ
ПРЕДМЕТАМИ
аряду с родным и иностранным языками школьники изучают так-
,е и языки науки, например символические языки математики и
лмии. Такие выражения, как язык алгебры или язык химии, имеют
1внюю традицию, в том числе и педагогическую. В педагогической
иературе эти выражения употребляются лишь фигурально, в на-
гном же обиходе логиков понятие языка науки уже давно утра-
1ло свой метафорический характер. Языком в современной логике
эинято называть не только обычный (естественный) язык слов, но
все остальные системы знаков, используемые в человеческом об-
естве, причем понятие языка в таком широком понимании вошло
■ке в предмет специальной науки — семиотики1.
Факт появления науки об общих принципах строения и приме¬
няя естественных и искусственных языков ставит перед педаго-
1кой ряд вопросов, связанных с координацией языковых и неязы-
эвых учебных дисциплин.
О педагогической целесообразности семиотического подхода
проблеме взаимосвязей между учебными предметами. Проблематика
:миотики включает в числе других такие вопросы, как сопостави-
щьное исследование разных типов знаковых систем, психологиче-
сие аспекты употребления этих систем и вопросы перевода инфор-
ации из одной системы в другую. Уже самой своей проблематикой
‘миотика открывает новый путь для дальнейшей интеграции совре-
гнной науки. Это путь сближения языкознания и психологии ре-
1 с метатеориями отдельных наук 2.
1 О концепции семиотики в советской науке и о направлениях отечественных
миотических исследований см. [1].
2 Понятие метатеории хорошо поясняет В. А. Успенский: «Предметом теории
шяется определенный фрагмент реального мира, предметом метатеории —сама
стема положений данной теории. Отношение теории к метатеории аналогично
ношению искусства к искусствоведению. Художник отображает объективную
йствительность в художественных образах, затем приходит искусствовед и изу-
>ет саму систему этих образов и отношение этой системы к действительности, но
: отображаемую действительность. Точно так же ученый отображает действитель-
)сть в научных образах, а метатеоретик изучает систему этих образов и ее связь
отображаемой действительностью» [2, с. 42].
N>1740
185

Возникает вопрос: не пригоден ли этот новый путь интеграции
науки также и для интеграции комплекса учебных дисциплин? В ча¬
стности, нельзя ли этим содействовать сближению гуманитарного
и научно-технического образования? Такая постановка вопроса
становится особенно актуальной в свете следующего соображения.
Если за распространением понятия «язык» на нелингвистические
системы кроется нечто большее, чем простое терминологическое
соглашение, то естественно предположить существование законо¬
мерностей, общих для процесса овладения любым новым языком,
будь то иностранный язык или язык какой-либо науки.
Говоря о координации иностранного языка с остальными учеб¬
ными предметами, обычно имеют в виду лишь связь преподавания
иностранного языка с преподаванием родного языка и включение
в учебник иностранного языка текстов, насыщенных различного
рода фактами из области географии, истории, литературы, а в ряде
случаев также и из области химии, физики, техники. Тем самым пред¬
полагается, что процесс формирования фундаментальных понятий
и представлений, необходимых для усвоения иностранного языка,
пересекается лишь с процессом изучения структуры родного языка;
связь с остальными учебными предметами может способствовать
обучению иностранному языку лишь в той мере, в какой она помо¬
гает учащимся ощутить практический смысл изучения неродного
языка; вместе с тем возможный вклад иностранного языка в обу¬
чение другим учебным дисциплинам сводится к тому, что учащимся
предоставляется возможность ознакомиться с содержанием несколь¬
ких научно-популярных текстов.
Между тем в той мере, в которой существуют экстралингвистиче-
ские универсалии — понятия, отражающие черты, общие для подав¬
ляющего большинства лингвистических и нелингвистнческнх зна¬
ковых систем,— правомерно предположить, что теория, изучаемая
на уроках иностранного языка, пересекается не только с курсом
грамматики родного языка, но и с метатеорией естественнонаучных
дисциплин. Иными словами, семиотика позволяет подойти к пробле¬
ме межпредметных связей в обучении иностранному языку с более
широких позиций, чем это делалось до сих пор, а именно — с точки
зрения логической и психологической общности тех трудностей,
которые возникают при обучении как иностранным языкам, так и
языкам науки.
Одна из таких трудностей связана с необходимостью преодолевать
в сознании учащихся психологически закономерную тенденцию рас¬
сматривать привычные языковые формы как атрибут выражаемого
ими содержания. Эта тенденция (которую Л. В. Щерба называл
«властью символов») проявляется, в частности, в отождествлении
привычного с «логичным» (Почему немцы говорят про солнце «она»?
Ведь на самом-то деле солнце — «оно».— Почему англичане гово¬
рят: «Его видел никто»? Это ведь смешно и нелогично.) 1
1 С проблемой «власти знаков», «власти символов» связана, в частности, зада¬
ча преодоления основного порока школьного обучения—формализма в знани¬
186

В формулировке Л. С. Выготского задача заключается в том,
чтобы дать ребенку возможность осознать родной язык «как част¬
ный случай языковой системы» [4]. Такая постановка вопроса со¬
звучна требованиям математиков дать учащимся возможность осо¬
знать символическую систему алгебры как разновидность «обычного
дара слова» (Н. И. Лобачевский, [5]), как «речь особого свойства»
(М. В. Остроградский, см. 16]), т. е. как частный случай языковой
системы. Как Выготский, так и математики связывают задачу раз¬
вития логического мышления учащихся с формированием у них
представления о языке как о некотором родовом понятии. Выготский
видел решение этой задачи в сопоставлении родного языка с ино¬
странным, математики — в сопоставлении языка алгебры с родным
языком учащихся. С позиций же семиотики решение этой задачи
предполагает объединение усилий преподавателей всех специаль¬
ностей — языковых и неязыковых, в том числе и преподавателей
химии, физики, черчения и прочих дисциплин научно-технического
цикла.
В этой связи возникает вопрос о том, что может дать учащимся
сопоставление родного и иностранного языков с языками науки.
Общепризнано, что одной из главных задач школьного обуче¬
ния является развитие логического мышления учащихся, развитие
их умственных способностей. Решение этой задачи издавна принято
связывать с обучением языку. Так, еще К. Д. Ушинский писал о том,
что «языки могут быть изучаемы с различной целью», одна из кото¬
рых состоит в том, чтобы «дать средство логического развития уму,
так как усвоение организма каждого языка дает в этом отношении
средства наилучшей умственной дисциплины» [7, с. 2121. Эти слова
выражают распространенную точку зрения, согласно которой за¬
дача развития логического мышления сводится к воспитанию «дис¬
циплины ума» путем тренировки («гимнастики») умственных спо¬
собностей 1. С этих позиций образовательные функции уроков язы¬
ка, по сути дела, ничем не отличаются от образовательных функций
уроков математики или физики.
Против такой трактовки задачи воспитания мышления в процессе
обучения возражал еще Декарт. Он писал о школьной математике
ях. Как известно, свои познавательные функции знаки (символы, слова) выпол¬
няют не только благодаря тому, что закрепляют сформированные понятия. Знаки
также снижают непродуктивную мыслительную активность в процессе дальней¬
шего оперирования понятиями: они дают возможность хранить понятия и пред¬
ставления, так сказать, в «свернутом» виде. Они разгружают воображение и па¬
мять. Они «удобнее» и «доступнее», чем репрезентируемое ими содержание. Но
именно поэтому в условиях обучения они являются обоюдоострым орудием:
в сознании учащихся знак (символ, слово) может неправомерно доминировать над
тем содержанием, которое он обозначает. И в этом можно видеть суть формализма
в обучении (см., например, [3]).
1 В более поздних работах К. Д. Ушииского нашла отражение и другая,
не тривиальная для его времени точка зрения, согласно которой «одна из польз»
изучения «чуждых языков» состоит в том, что «дитя оторвет идею от сочетания
звуков» [8, с. 620].
7*
187

своего времени, что доминирование в ней задачи «тренировки ума»
не только не стимулирует, но, напротив, тормозит развитие умст¬
венных способностей ребенка. Такое обучение приносит больше вре¬
да, чем пользы; оно хотя и «упражняет ум», но дает ему слишком
скудную интеллектуальную пищу, вследствие чего математика
«настолько порабощает ум известными правилами и знаками, что
из науки, развивающей ум, превращается в путаное и туманное ис¬
кусство, которое его сковывает» [9, с. 272].
Одна из причин, по которым школьная грамматика дает уча¬
щимся лишь материал для «гимнастики ума», связана с тем, что
мысль учащихся удерживается в рамках частного языкознания —
языкознания, ориентирующегося на изучение какого-либо одного
национального языка. Поэтому, изучая язык, учащиеся сплошь и
рядом воспринимают то или иное общелингвистнческое явление
как явление, специфическое именно для данного языка — родного
или иностранного *.
Подобная практика обучения языку только заглушает любозна¬
тельность учащихся.
Итак, грамматику нужно оживить мыслью. Как это сделать?
Выпустить мышление учащихся из узкого коридора частного язы¬
кознания на простор общелингвнстических интересов. Опыт пока¬
зывает, что ознакомление с проблемами общего языкознания не
только оживляет уроки языка, но и способствует реализации основ¬
ной образовательной функции школьного обучения: развитию той
природной способности, которую А. Эйнштейн назвал «умением
с удивлением взирать на мир».
Для расширения лингвистического кругозора учащихся можно
использовать в качестве дополнительного и контрастного материа¬
ла изучаемые в школе языки науки. Такое взаимодействие «школь¬
ного языкознания» с естественнонаучными дисциплинами будет
полезно также и для последних.
В самом деле, в обучении таким предметам, как математика или
химия, нередко наблюдаются недостатки, аналогичные отмеченным
выше в отношении школьной грамматики.
В свое время один из представителей так называемых антиграм¬
матистов — А. Петерсен говорил, что ученика пичкают грамматикой
кусочек за кусочком (потому что вся она разрознена на кусочки),
его начиняют парадигмами, не имеющими никакой связи ни между
собой, ни с чем-либо иным на свете. Эти слова созвучны той оценке,
которую нередко дают преобладающей системе школьного обуче¬
1 Например, когда учащиеся выучивают перечень частей речи, которыми
может быть выражен тот или иной член предложения на данном иностранном
языке,— перечень, включающий неизменные формулировки:	«Такой-то	член
предложения в немецком (или английском, или французском) языке выражается
следующими частями речи»,— у них может возникнуть ошибочное представле¬
ние, что этот перечень касается только данного (немецкого, английского и т. д.)
языка, между тем как в действительности он очень близок аналогичному перечню
для русского языка.
188

ния языкам науки. В школе алгебраическое буквенное исчисление
часто излагается как набор мало связанных между собой правил,
писал в конце 50-х годов П. С. Александров, отмечая, что вследствие
этого все идейное содержание этого важнейшего отдела алгебры
ускользает от понимания учащегося [10]. И в том, и в другом
случае выдвигается одной то же требование — излагать школьникам
теорию языка (будь то родной язык или язык какой-либо науки)
таким образом, чтобы эта теория не воспринималась как набор раз¬
розненных правил.
Отсюда вытекает общая для языковых и неязыковых учебных
дисциплин задача формирования у учащихся некоторого минимума
представлений об общих закономерностях построения языков.
Но в чем заключается сходство языков науки с обычным языком?
В чем состоит общность научных понятий, идей и методов в языковых
и неязыковых учебных дисциплинах? Достаточно ли богаты учеб¬
ные предметы школы материалом, способствующим осмыслению
учащимися общности искусственных и естественных языков? В ка¬
ких конкретно областях обучение языкам науки пересекается с про¬
цессом обучения учащихся новому для них естественному языку
(иностранному)? Распространяется ли предполагаемая общность в
усвоении языков науки и нового естественного языка (иностранного)
только иа процессы формирования знаний или речь может идти так¬
же и о переносе умений и навыков? Существуют ли предпосылки
для формирования у учащихся качественно новых представлений
или речь может идти лишь о систематизации и сведении воедино
определенных идей и представлений, разрозненных по различным
учебным дисциплинам? На эти и им подобные вопросы можно отве¬
тить лишь в результате конкретного сопоставительного анализа
учебных предметов под углом зрения закономерностей, характери¬
зующих строение, применение, а также усвоение естественных и ис¬
кусственных языков. В этом смысле можно сказать, что у семиотики
есть педагогический аспект, а у педагогики — семиотический.
Язык черчения. На уроках черчения школьникоз обучают
определенной системе способов условного изображения простран¬
ственных форм, на уроках математики — определенной системе
условной записи математических соотношений, на уроках химии —
определенной системе описания структур молекул и т. п. Во всех
этих случаях мы имеем дело с определенными системами выражения
информации. Чтобы показать, что эти системы правомерно тракто¬
вать как языки, необходимо прежде всего выявить принципы по¬
строения сообщений в этих системах и сопоставить их с принципами
построения сообщения в обычном языке. Надо, в частности, выяснить,
в какой мере эти системы и обычный язык обладают общностью фор¬
мальной структуры, во всяком случае в пределах тех обобщенных
представлений о языке, которые приняты в современной логике.
В последней под языком понимают такую знаковую систему, в ко¬
торой можно выделить «алфавит» (или «словарь») исходных знаков
11 для которой можно сформулировать правила «синтаксиса», т. е.
189

правила, позволяющие отличать правильно построенные комбина¬
ции исходных знаков от неправильно построенных (не вникая при
этом в значение знаков и их комбинаций). Решение этой задачи мы
начнем с простейшего случая, а именно — с языка черчения.
Геометрическая сущность метода проекций, лежащего в основе
черчения, состоит в преобразовании пространства большей размер¬
ности в пространство меньшей размерности. В результате такого
преобразования объекты-оригиналы заменяются более или менее
условными образами. Условность проективного изображения за¬
ключается в том, что образ определяется не только оригиналом, но и
рядом других факторов, в частности выбором плоскости проекции —
иными словами, выбором точки зрения (например, одному и тому
же цилиндрическому телу в зависимости от выбора точки зрения в
проекции в одном случае будет соответствовать прямоугольник, а в
другом — окружность). Если отвлечься от конкретного геометри¬
ческого содержания проекций и рассматривать их как способ отоб¬
ражения действительности, характеризующийся тем, что отобра¬
жение осуществляется с некоторой определенной точки зрения, то
нетрудно заметить, что в этом смысле метод проекций лежит в основе
любого языка. Семантические (понятийные) различия между язы¬
ками в некотором роде похожи на различия, существующие между
геометрическими проекциями одного и того же объекта в тех слу¬
чаях, когда плоскости проекции, или, что то же самое, точки зре¬
ния на данный объект, различны 1.
Проективное изображение необратимо в том смысле, что воссоз¬
дать оригинал по его проекции без дополнительных данных невоз¬
можно (например, одна и та же окружность может быть проекцией
как шара, так и цилиндра). По своему логическому содержанию не¬
обратимость проекций — явление того же порядка, что и необра¬
тимость операции обобщения понятий. И в том, и в другом случае
имеет место потеря информации. Допустим, передавая сообщение о
некоторой книге, мы обозначим ее словом учебник. Человек, полу¬
чивший наше сообщение, не сможет отличить учебник, который мы
имели ввиду, от других учебников. Подобно тому, как слово учебник
отображает множество предметов, точка проекции отображает мно¬
жество точек (причем обычно бесконечное множество).
1 Ср. взгляд В. Гумбольдта, считавшего, что изучение иностранного языка
подобно п pi обретен и ю новой точки зрения в миропонимании [11]. У Л. Витген¬
штейна читаем: «Предложение есть пропозициональный знак в своем проективном
отношении к миру. Предложению принадлежит все то, что принадлежит проекции;
но не то, что проектируется» [ 12, с. 37]. Ср. также слова Б. Рассела о том, что каж¬
дый из возможных способов проектирования какой-либо геометрической фигуры
соответствует особому языку 113, с. 12]. Отметим, наконец, то интуитивное пред¬
ставление о сущности языка, которое нашло свое отражение в таких выражениях
повседневного обихода, как на языке физики, на языке юристов, на языке физио¬
логии, и нм подобных; в тех случаях, когда словесный индекс, присоединяемый
к слову язык, является названием какой-либо профессии или научной теории, вы¬
ражение на языке употребляется в обиходе как синоним выражения сточки зрения
(например, данная система уравнений не имеет решений, что на языке геометрии
означает, что прямые параллельны).
190

Задача построения обратимого чертежа решается, как известно,
посредством эпюра двух или трех плоскостей, т. е. путем построе¬
ния сообщения, состоящего из нескольких проекций. Чтобы извлечь
информацию из составного сообщения, «сформулированного» на
языке черчения, нужно, по сути дела, поступить таким же образом,
каким мы поступаем, извлекая информацию из какого-либо состав¬
ного (описательного) имени в обычном языке. Так, предметное зна¬
чение (денотат) составного имени школьный учебник математики
задано нам как пересечение (произведение) нескольких множеств
(множество всех вещей, имеющих отношение к школе; множество
всех книг, являющихся учебниками; множество всех вещей, имею¬
щих отношение к математике). По такому же принципу строятся
сообщения и на языке черчения. Денотат выражения, представлен¬
ного эпюром, задан путем указания множеств-сомножителей. Чтобы
извлечь информацию из этого сообщения, нужно найти множество,
образуемое пересечением заданных множеств.
Одна из задач проекционного черчения, как известно, состоит
в том, чтобы исследование пространственных объектов заменить
исследованием их графических моделей. Реализуемый в эпюрах
принцип моделирования во многих отношениях подобен принципу
построения составных имен в обычном языке в тех случаях, когда
денотат обозначается посредством указания его существенных при¬
знаков. Такого рода имена, так сказать, логически моделируют свои
денотаты: это как бы усеченные дефиниции (составное имя двуногое
без перьев можно считать неконвенциональной дефиницией поня¬
тия человек).
Каждое проекционное изображение представляет собой опреде¬
ленную комбинацию прямолинейных и криволинейных отрезков
(подобно тому как каждое слово в обычном языке представляет собой
определенную комбинацию букв некоторого алфавита). Элементы,
из которых складывается проекционное изображение, образуют в
этом смысле алфавит языка черчения. «Знаки» этого алфавита распа¬
даются на два класса: контурные линии и вспомогательные линии.
Элементы первого класса (контурные линии) имеют самостоятель¬
ное значение, второй же класс содержит вспомогательные (служеб¬
ные) элементы. Последние лишены самостоятельного значения, но
необходимы для построения сложных выражений, состоящих из
нескольких элементов первого класса. В этом отношении они по¬
добны скобкам в математике или предлогам в обычном языке.
Алфавит языка черчения состоит из элементов, лишенных одной
из существенных характеристик знака формализованных языков —
произвольности. Связь с отображаемыми явлениями элементы этого
алфавита сохраняют в силу того, что сам механизм отображения —
проектирование — представляет собой естественный процесс (ср.
отображение в зеркале, проектирование на сетчатку глаза и т. п.).
Вспомогательные линии несколько ближе к «искусственным»
знакам, чем контурные, в том смысле, что их употребление задается
определенными правилами, без знания которых прочитать чертеж
191

невозможно. Однако, взятые сами по себе, эти знаки не до конца
произвольны. Это не условные обозначения типа буквенной или ие¬
роглифической символики. Обозначая некоторые линии (линии не¬
видимых контуров), они и сами являются линиями, хотя и стилизо¬
ванными, как это бывает в случае штриховых линий. Ведь штрихо¬
вые линии встречаются и в природе, например прерывистый контур
заднего (по отношению к смотрящему) ребра полупрозрачного кри¬
сталла.
Таким образом, эти знаки являются аналогом того, что лин¬
гвисты называют внутренней формой или этимологическим образом.
Внутренняя форма слова указывает тот признак предмета (не обя¬
зательно существенный), на который обратил внимание тот, кто
впервые применил данное название (отсюда и термин «этимологиче¬
ский образ»), В таком, например, слове, как подснежник, внутрен¬
няя форма прозрачна (под снегом), в слове же огород этимологиче¬
ский образ угас. Внутренней формой могут обладать и нелингвисти¬
ческие знаки. Например, этимологическим образом знака равен¬
ства (—) является равенство двух параллельных отрезков одинако¬
вой длины. Знаки обычно создаются с опорой на тот или иной эти¬
мологический образ. Как уже отмечалось в литературе (см. [14]),
эта тенденция базируется на стремлении к экономии памяти, за¬
трачиваемой на запоминание знаков.
В целом язык черчения занимает промежуточное положение ме¬
жду пиктографией и формализованными языками. Подобно тому как
формализованные языки превосходят обычный язык слов в точности,
уступая ему в легкости общения, эпюры уступают естественным про¬
екционным изображениям (рисункам, фотографиям) в наглядности,
но превосходят их адекватностью моделирования.
Знаковая система проекционного черчения обладает своим син¬
таксисом, т. е. правилами сочетания исходных элементов (элемен¬
тов алфавита), и правилами преобразования одних сочетаний в дру¬
гие, т. е. своего рода аналогами правил вывода формализованных
языков. В качестве примера правил сочетания исходных (алфа¬
витных) элементов можно сформулировать такое правило: «Любая
комбинация линий является неправильной, если она не содержит
ни одной контурной линии». Примером правил преобразования мо¬
жет служить известное правило построения третьей проекции по
двум данным.
Язык черчения частично формализован. Многие задачи можно
решать, не апеллируя к пространственному воображению, а руковод¬
ствуясь лишь синтаксисом данного языка. Если, например, ознако¬
мить кого-либо со способом выражения следов прямой не как со
способом кодирования определенных геометрических явлений, а
как с правилом построения из знаков заданного алфавита опреде¬
ленных сочетаний, условно называемых «следами прямой», то для
такого человека по крайней мере некоторые разделы курса начер¬
тательной геометрии превратятся, так сказать, в описание неинтер-
претированного исчисления, а построение соответствующих черте¬
192

жей — в игру х. Для построения, скажем, горизонтального следа
прямой ему достаточно будет знать, какие линии на эпюре называ¬
ются фронтальной проекцией, какие — горизонтальной проекци¬
ей и какие — осью проекции. Зная «имена» этих линий, он
сможет, совершенно не вникая в смысл производимых опе¬
раций, безошибочно решить задачу, руководствуясь следую¬
щим предписанием: продолжить фронтальную проекцию до пере¬
сечения с осью проекций, после чего через точку пересечения
провести перпендикуляр к оси проекции до пересечения с продол¬
жением горизонтальной проекции. Таким образом, зная правила
синтаксиса языка черчения, можно пользоваться этим языком,
не обращаясь к его семантике, подобно тому как поступают в слу¬
чае неинтерпретированного исчисления.
Существенным отличием языка начертательной геометрии от
прочих знаковых систем, и прежде всего от символической системы
алгебры, является то, что буквенная символика используется на
чертежах лишь для различения его объектов, т. е. выполняет лишь
диакритические (различительные) функции. Если в языке алгебры
буквы играют ту же роль, что и имена нарицательные в обычном
языке, то на эпюрах буквы выполняют функции, которые в обычном
языке несут имена собственные.
На материале геометрических образов можно сформировать
у учащихся надлежащие представления о преимуществах и недостат¬
ках пиктографического письма, о расширении коммуникативных
возможностей и о сужении сферы общения при переходе от знаков-
рисунков (пиктографии) к «искусственным» знакам.
Язык алгебры. Своеобразие алгебраической буквенной симво¬
лики в ряду прочих «иероглифов» языка науки, в том числе и хими¬
ческих, заключается прежде всего в отсутствии этимологического
образа. С этим связана и другая особенность букв в их применении в
алгебре. Слова и иерогли ры обычно закрепляются языковой тра¬
дицией. В естественном языке господствует закон: правильно то,
что привычно. В алгебре «языковая традиция» распространяется
лишь на знаки операций. В остальных случаях мы свободны в выборе
буквенного символа. Мы должны лишь следить за тем, чтобы избе¬
гать (в данном контексте) полисемии.
Исходные символы, составляющие алфавит языка алгебры, рас-
1 Ср. у Чёрча: «Представим себе людей, пользующихся формализованным
языком, скажем письменным формализованным языком... Представим себе, далее,
наблюдателя, который не только не понимает языка, но вообще не верит,
что это язык, т. е. не верит, что формулы имеют содержание. Он узнает, скажем,
синтаксические критерии, в соответствии с которыми формулы признаются пра¬
вильно построенными, и критерии, в соответствии с которыми последовательно¬
сти правильно построенных формул признаются непосредственными выводами или
доказательствами, но он предполагает, что наблюдаемая им деятельность есть
просто игра, аналогичная игре в шахматы... Для такого наблюдателя символы
языка имеют только то содержание, которое дается им правилами игры,— только
такое содержание, которым обладают, например, различные фигуры в шахма¬
тах» [15, с. 60—61].
193

па даются на два больших класса: основные символы («собственные»
по терминологии А. Чёрча) и вспомогательные («несобственные»),
К числу собственных символов относятся буквы и цифры. Несоб¬
ственные символы, подобно союзам, глаголам-связкам, предлогам
и прочим служебным элементам обычного языка, сами по себе не
могут образовывать сообщения. Но они необходимы для построения
сложных выражений, состоящих из нескольких основных символов.
Несобственными символами являются знаки операций, знаки ра¬
венства и неравенства, различного рода скобки (круглые, прямые,
фигурные), многоточие и др.
Знак многоточия перенесен в символический знак математики
из обычного языка. Значение его при этом несколько изменилось.
В символическом языке математики этот знак играет роль «и т. д.».
В одних случаях он указывает на то, что перечисление можно про¬
должать «до бесконечности», как, например, при задании прогрес¬
сий, в других используется просто в целях экономии места, как,
например, при задании матриц:
1
2
3
... 9
1®
2®
З2
... 92
1"
2"
3"
... 9П
Скобки тоже заимствованы из обычного языка. Но в языке ма¬
тематики они изменили свое значение еще в большей мере, чем мно¬
готочие. Синтаксическая (пунктуационная) сущность скобок в сим¬
волическом языке математики аналогична роли морфологических
средств согласования однородных членов предложения в обычном
языке. Логическая структура, скажем, такого предложения, как
Он мечтал о подвигах и славе, совершенно однозначна (Он мечтал
о подвигах и он мечтал о славе) именно благодаря падежному окон¬
чанию в славе. Нередко, однако, в обычном языке форма многозначна.
Так, например, выражение минеральные воды и соки мы формально
вправе понять двояким образом (скобки здесь используются в их
общеизвестном математическом значении): 1) минеральные (воды и
соки) и 2) (минеральныеводы) и соки. Если в первом случае раскрыть
скобки по известному правилу алгебры, то получим выражение
минеральные воды и минеральные соки. Такое толкование формально
тем правомернее, что в целом ряде случаев логические скобки рас¬
ставляются в выражениях данной структуры именно таким образом
(ср. минеральные воды и соки и русские песни и пляски). Недоразуме¬
ния в данном случае исключены лишь по той причине, что мы знаем,
что соки не могут быть минеральными. В других же случаях недора¬
зумения возможны, как, например, в словосочетании ядовитые и
сильнодействующие вещества. Идет ли здесь речь о веществах, од¬
новременно ядовитых и сильнодействующих, или о совокупности тех
и других веществ? Логическая структура здесь не очевидна, вскрыть
ее можно лишь в результате анализа значений слов ядовитый и
сильнодействующий. Аналогичные случаи мы имеем в таких выра-
194

жениях, как Курить и провозить огнеопасные вещества запрещается.
Воспрещается ставить детей и класть багаж на сиденья. Теория
поведения зарубежных психологов и т. п.
Обычный язык функционирует как средство общения между
людьми, владеющими семантикой всех знаков. Многозначность
формы в практике общения преодолевается соотнесением знаков с их
значением. Кроме того, существенную роль играет также и то, что
обычный язык слов — язык звуковой. Пунктуационные функции в
нем выполняет интонация. В формализованных языках пунктуа¬
ционные функции выполняют не только скобки, но и сами знаки опе¬
раций (умножение связывает сильнее, чем сложение и т. д.).
Наглядное представление о роли собственных и несобственных
символов знаковых систем может дать сравнение формализованных
языков с обычным языком слов.
Языковая форма является носителем информации не только в
формализованных, но и в обычных языках. В свое время это наглядно
продемонстрировал Л. В. Щерба, составив «предложение» Глокая
куздра штеко будланула бокру и куздячит бжренка. Слова в этом
«предложении» сами по себе бессмысленны, но сочетание эгнх слов
не бессмысленно. Из него можно извлечь, например, такую инфор¬
мацию: речь идет о куздре, она глокая, она в прошлом, причем один
только раз совершила действие будлануть, объектом этого действия
была бокра, а сейчас куздра что-то делает с детенышем бокры. Эту
информацию мы извлекли из системы вспомогательных (грамма¬
тических) знаков (флексии, суффиксы, союз). Собственные симвоты
(имена), непосредственно кодирующие те предметы действительно¬
сти, о которых как будто идет речь, мы не могли использовать (как
имена) в качестве источника информации, поскольку не знаем, что
же именно они обозначают. Но в какой-то мере мы использовали и
их. Вывод о том, что бзкренок является детенышем бокры, мы сде¬
лали на основе совпадения собственных символов (бокра). Что имен¬
но обозначается этим именем, мы не знаем, но мы понимаем, что в
слове бокра и в слове бокренок оно обозначает одно и то же. Что
именно обозначает слово куздра нам неизвестно, но мы понимаем,
что оно обозначает нечто отличное от предмета, обозначаемого сло¬
вом бокра. В принципе ничего не изменится, если слово куздра за¬
менить, скажем, словом тырна, слово бокра — словом линдра, а
слово бокренок, соответственно, словом линдренок.
Аналогичная ситуация нередко возникает в разговорной речи,
когда мы, например, говорим: «Неважно, кто именно это сделал:
Иванов, Петров ити Сидоров, важно то, что кто-то это сделал».
В официальной речи этот «кто-то» обычно персонифицируется с по¬
мощью аббревиатуры (больной К-в, 50 лет; испытуемая Ирина Т.,
7 лет) или с помощью условного символа (в Н-ском подразделении).
Идея буквенно-иероглифической символизации коренится в обыч¬
ном разговорном языке.
Подобно тому как нам в обычной речи нередко безразлично, кгэ
именно является субъектом нашего сообщения (Иванов — Петров —
195

Сидоров), и мы условно присваиваем ему фамилию Иванов просто
для того, чтобы как-то его называть, чтобы отличать его от Сидоро¬
ва. Точно так же и в алгебре безразлично, употребим ли мы для за¬
писи какого-либо сообщения буквы а, b или какие-нибудь иные
буквы (например, сообщение «Разность квадратов двух чисел равна
произведению суммы этих чисел на их разность» можно символиче¬
ски записать при помощи букв а, b в виде а2—bz=(a+b) (a—b)
или букв хну в виде х2—у2=(х-\-у) (х—у) и т. д.). Но какпе-то обо¬
значения для условной персонификации нам все же необходимы.
В обычном языке мы часто можем обойтись без условной персонифи¬
кации, как в приведенной выше формулировке правила о разности
квадратов двух чисел. В случае необходимости мы можем заменять
условную персонификацию словами один, другой, третий и т. д.
Однако логическая сущность символизации при этом остается
неизменной: мы имеем дело не с именами собственными, каждое из
которых имеет один определенный денотат, а с переменными, за¬
данными в определенной области. Когда мы говорим «Дано число а»,
то а является переменной, хотя и служит здесь для обозначения
числа, т. е. предмета заведомо постоянного. Дело в способе задания.
Число, задаваемое при помощи буквы, задается как один из равно¬
правных элементов некоторого множества. До тех пор, пока мы не
получим какой-либо дополнительной информации, мы вправе под¬
разумевать под знаком а любое число, т. е. приписывать этому зна¬
ку любой денотат из соответствующего множества.
Примечательно, что ряд математических открытий был сделан
благодаря рационализации буквенной символики, в частности, пу¬
тем ее индексации, т. е. путем построения имен типа А1и А1г, . . .,
А21, А22, А23, и т. д. Индексация буквенных знаков аналогична
аффиксации в обычном языке (бокра — бокренок, работать — раз¬
работать — доработать — переработать — выработать — за¬
работать — обработать).
Имена типа Alt, AZ3 и т. п. представляют собой частный случай
широко применяемых в алгебре (как и в любом ином языке) состав¬
ных имен, построенных из собственных символов (в частности, с по¬
мощью символов несобственных). Составные имена, будь то алгебраи¬
ческие выражения или словосочетания, и производные слова, т. е.
слова, образованные из корневых слов посредством аффиксации и
словосложения, обладают определенной структурой, благодаря
чему выполняют не только диакритические, но и описательные
функции.
Простые (корневые) слова, подобно исходным (алфавитным) име¬
нам знаковой системы алгебры, сами по себе лишены какой-либо
информативной ценности. Имена, лишенные структуры, приходится
хранить в памяти в форме своеобразной таблицы — в одной «графе»
знаки, в другой их значения. Семантика же словосочетания или про¬
изводного слова не произвольна. Она мотивирована семантикой ком¬
понентов. Семантику описательных имен в принципе не обязатель¬
но хранить в памяти, так как ее всегда можно заново синтезировать.
196

Среди различных способов обозначения одного и того же денотата
обычно выделяется некоторая каноническая («нормальная») форма,
которая в силу тех или иных причин привычнее и удобнее. В обыч¬
ном языке канонической («нормальной») формой служат названия,
т. е. общепринятые имена, закрепленные языковой традицией. В ос¬
нове выбора именно тех, а не других названий в конечном счете
лежат требования краткости и легкости общения. Коммуникация
упрощается ценой снижения информативной ценности имени.
С этим связано одно из существенных различий между обычными
языками и языками формализованными: последние плохо приспо¬
соблены к требованию легкости общения. Кроме того, составные
имена естественного языка обычно отражают лишь случайные, не¬
существенные признаки (ср. паровоз — тепловоз, паровоз — паро¬
ход, самолет — вертолет и др.). Поэтому семантика составных слов
в конечном итоге задается тем же «табличным» способом, что и се¬
мантика слов простых, немотивированных. Внутренняя форма в
этих словарях лишь ограничивает круг возможных значений и слу¬
жит подспорьем при запоминании нового знака. В языках же ма¬
тематики значение составного имени представляет собой результат
синтеза значений составляющих его исходных имен. «Таблично»
интерпретируются лишь исходные символы. Так, например, состав¬
ное имя Y 4 задает свой денотат строго однозначно.
«Таблично» семантизируемое имя в смысловом отношении ней¬
трально. Составные же имена не могут обозначать свой денотат,
не выражая при этом некоторого сопутствующего значения или
смысла. «Табличное» имя Лев Толстой нейтрально в смысловом от¬
ношении, в отличие от описательных имен автор «Анны Карениной»,
классик русской литературы, родившийся в 1828 г. и живший в Ле¬
ной Поляне и т.п. «Табличное» имя 8 нейтрально, в отличие от опи¬
сательных имен 2 3, 13—5 и т. д.
Смысл составного (описательного) имени отражает лишь один
из бесчисленного множества аспектов обозначаемого явления.
Поэтому одному и тому же факту действительности может в принципе
соответствовать бесчисленное множество различных описательных
имен. Многие из них могут указывать такие неожиданные, мало
очевидные, но вместе с тем достаточные (для выделения данного
предмета) признаки, что комммуникативная ценность имени ока¬
зывается ничтожной (например, двуногое без перьев). Такого рода
синонимия лежит в основе загадок, кроссвордов и т. п. Загадки стро¬
ятся путем замены «табличного» (канонического, «нормального»)
имени его «нетабличным» синонимом. В алгебре за составными име¬
нами тоже нередко скрывается денотат элементарного алфавитного
символа. Отыскать его — значит упростить это алгебраическое вы¬
ражение. В этом и заключается смысл традиционных школьных за¬
даний «упростить выражение». Упростить, например, выражение
(5 /5—3 /з)(/5+ У~3)	,
1^ у-^———-— значит заменить его «алфавитным» сим¬
197

волом 2. В тех случаях, когда составное имя каким-либо очевидным
способом можно заменить некоторой привычной, канонической фор¬
мой, оно и в алгебре воспринимается не только как имя, но и как
вопрос (например, 3+2).
Национальный (естественный) язык и логика, по выражению не¬
мецкого лингвиста О. Бехагеля [16], нередко находятся друг с дру¬
гом в очень натянутых отношениях. Но законы логики —■ законы
общечеловеческие, они не знают национальных различий. В той или
иной, подчас весьма причудливой, форме они присутствуют в каж¬
дом национальном языке, по крайней мере в том объеме, который
отражен в структурном сходстве этого языка с символическими язы¬
ками науки. Подобно тому как суждение можно пэнимать как то
общее, что сохраняется в повествовательных предложениях при пе¬
реводе их с одного языка на другой, символический язык представ¬
ляет собой логический инвариант национальных языков.
Сопоставления родного языка с языками научной символики и с
изучаемым иностранным языком способствуют формированию у уча¬
щихся правильных представлений о соотношении, существующем
как между разными языками, так и между языком вообще и логикой.
Сравнивая не только родной язык с иностранным, но одновременно
оба эти языка с языком математической символики, учащиеся полу¬
чают представление о некоторых наиболее общих закономерностях,
присущих всякому языку, в частности представление о единстве
логической основы различных языков.
Так, например, при изучении составного именного сказуемого
представляется полезным обратить внимание учащихся на аналоги
связок есть (не есть) естественного языка в языках символических.
Одним из таких аналогов является знак равенства (неравенства).
Но это именно «аналог». Глагольные связки быть, sein, to be и др.
многозначны и не всегда соответствуют знаку равенства. Части ра¬
венства всегда взаимозаменяемы, в языке же подлежащее и предика¬
тив, как известно, взаимозаменяемы лишь в дефинициях.
Однако обе части равенства равноправны и взаимозаменяемы
лишь, так сказать, в логическом плане. Хотя формулы х—2а и
2а=х формально совершенно равноправны, тем не менее в записи
ответа предпочтительнее первая форма. Различия в оттенках мысли,
заключающиеся в этих двух формах записи, должны стать достоя¬
нием учащихся Ч Здесь учащиеся, по сути дела, сталкиваются с яв¬
лением, имеющим место и в обычном языке и порождающим немало
1 Еще М. В. Остроградскнй указывал на то, что усвоение алгебраического
языка должно простираться вплоть до понимания того, что «и в Алгебре есть от¬
тенки, заставляющие предпочесть одно выражение какой-либо мысли другому»
(см. [6, с. 30]). При этом Остроградский приводит следующий пример: «Сравнивая
два числа — большее А с меньшим В — если первое из них почему-либо играет
важнейшую роль, то его превосходство [по величине) перед последним следует
показать знаком А >В, в противном случае лучше употребить выражение В<А,
Т. е. надобно поставить на первое место число более значущее не по величине, ио
По влиянию на рассматриваемый предмет» [там же].
198

трудностей при изучении иностранного языка. Фразы Я возьму с
собой книгу и Книгу я возьму с собой (прочитанные с обычной инто¬
нацией) с формально-грамматической точки зрения тождественны.
В плане же коммуникации они различны: слово книгу в первом сооб¬
щении является так называемым психологическим предикатом, а во
втором сообщении оно является психологическим субъектом. Это
различие особенно ощутимо в иностранных языках, обладающих
категорией артикля. В первом варианте рассмотренной фразы слово
книга при переводе с русского должно сопровождаться неопреде¬
ленным артиклем, во втором варианте — определенным артиклем.
Отмеченное выше «психологическое» неравноправие частей ра¬
венства в алгебре обусловлено тем, что правая часть равенства вос¬
принимается нами как психологический предикат. Вынесение пси¬
хологического предиката в конец сообщения — тенденция, общая
для всех письменных языков, в том числе и для русского языка, и
для изучаемого иностранного, и для языка алгебры.
Языки химии. В химии существуют по крайней мере четыре раз¬
личные системы обозначения веществ: система тривиальных (тра¬
диционных) названий, система рациональной номенклатуры, сис¬
тема брутто-формул (формул состава) и система структурных
формул.
Денотатом тривиальных названий являются вещества в макро¬
скопии, т. е. в том виде, в котором они даны нашему восприятию.
Денотатом брутто-формул и структурных формул являются молеку¬
лы. Денотатом рациональной номенклатуры являются структурные
формулы (т. е. не сами формулы, а их графические модели).
Поскольку переход от структурной формулы к брутто-формуле —
преобразование, как правило, необратимое, мы имеем в химии по
крайней мере два различных языка: язык состава и язык структу¬
ры — и четыре различных кода *: два вербальных (терминологиче¬
ских) и два графических (система линейных формул и система струк¬
турных формул), причем язык состава является частью языка струк¬
туры.
У тривиальной номенклатуры существуют две подсистемы:
система житейских («коммерческих») названий и система так назп-
1 По вопросу о соотношении понятий «язык» и «код» в литературе выска¬
заны различные, но не исключающие друг друга точки зрения. В. А. Успенский
|2] понимает под кодированием обратимое преобразование уже имеющегося языка;
язык рассматривается им «с точностью до кодирования», т. е. два языка, один из
которых получается из другого кодированием, считаются одним и тем же языком.
В. В. Иванов [17], Н. Д. Андреев и Л. Р. Зиндср [18], И. И. Ревзин и В. Ю. Ро-
зенцвейг 119] видят в переводе, в отличие от простого кодирования, частный слу¬
чай преобразования сообщений. Аналогичная точка зрения была высказана в
свое время и нами [20]. Г. Фрейденталь усматривает различие между языком и
кодом в том, что «кодировать и декодировать можно путем простой формальной
подстановки, в то время как перевод требует понимания» [21]. В этом критерии
смешаны логические и психологические понятия. Перевод в ряде случаев тоже
может протекать как формальная операция, однако логическая сущность преобра¬
зования языка от этого не меняется.
199

ваемой нерациональной научной номенклатуры. Житейские («ком¬
мерческие») названия (веронал, пенициллин и т. п.) представляют
собой большей частью знаки-диакритики. Подобно буквам на гео¬
метрических чертежах они выполняют лишь различительные ком¬
муникативные функции. Структура этих имен не имеет ничего об¬
щего со структурой обозначаемых ими объектов. Это произвольные,
логически неразложимые знаки. От знаков-диакритиков символиче¬
ских систем математики они отличаются лишь тем, что в данном
случае речь идет не о принципиальном-отсутствии внутренней фор¬
мы, а о так называемой деэтимологизации, т. е. о полной потере не¬
когда существовавшего этимологического образа. Многие из этих
этимологических образов безвозвратно угасли именно потому, что
они мотивировали обозначение случайным образом. Так, например,
название веронал мотивируется тем, что шекспировская Джульетта
приняла снотворноэ в городе Вероне, название барбитуровой кисло¬
ты восходит к женскому имени Барбара (так звали невесту химика,
открывшего это вещество) и т. п. Система тривиальных химических
обозначений содержит и знаки-символы (муравьиная кислота, ук¬
сусная кислота, масляная кислота, чилийская селитра и др.). По¬
добные названия связаны с каким-либо из источников получения
химических веществ, с их местонахождением в природе, с их физи¬
ческими свойствами и пр. Поскольку сами по себе эти имена
отражают лишь несущественные признаки своих денотатов, непо¬
средственная информативная ценность житейских обозначений неве¬
лика. Несмотря на это, они незаменимы в практике общения. По¬
добно тому как формализованные языки превосходят обычные язы¬
ки точностью, но значительно уступают им в легкости общения, так
и тривиальные химические обозначения, уступая другим системам
обозначения химических веществ в точности, превосходят их своей
краткостью и удобством построения сообщений в контексте обычной
звуковой речи (ср., например, ментол, СюНа„0, 1-метил-4-изопро-
пилциклогексанол-3\ структурную же формулу ментола вообще не¬
возможно передать в виде устного сообщения).
Символический алфавит химии существенно отличается от ис¬
ходных знаков алгебры. Это различие состоит, в частности, в том,
что в химии буквы, как правило, являются не переменными, а име¬
нами собственными (константами) С Своеобразие химического ал¬
фавита состоит и в том, что понятие элементарного (атомарного)
исходного знака приобретает здесь буквальный смысл: исходные зна¬
ки этого языка действительно обозначают атомы, химические эле¬
менты.
О синтаксисе языка химии правомерно говорить в тех пределах,
в каких правильно построенное составное выражение можно
отличить от неправильного, не обращаясь к эксперименту. По своим
1 Исключение составляют лишь такие особые символы, как переменный
индекс п в общих формулах гомологических рядов и На!. Последним знаком
в общих формулах обозначают атом произвольного галоида.
200

синтаксическим (грамматическим) особенностям все исходные имена
собственные химического языка распадаются на несколько «частей
речи», соответствующих числу групп таблицы Менделеева. Фор¬
мальным признаком принадлежности к той или иной группе явля¬
ется цифровая индексация (индексация валентности) в составе
сложных выражений. Отсутствие у какого-либо из имен собственных
цифрового индекса является значащим (подобно, например, зна¬
чащему отсутствию неопределенного артикля в обычном языке),
а именно — соответствует индексу 1.
Составное выражение считается правильным, если его можно
расчленить на две структурные части таким образом, чтобы сумма
индексов одной части равнялась сумме индексов другой. Так, на¬
пример, не вникая в химический смысл составного имени Na3H47706,
можно сразу сказать, что оно неверно. Эту информацию мы извле¬
каем из соответствующих формальных признаков. Таким образом,
и в языке химии имеет место явление, подобное «глокой куздре».
Другим примером необходимого (но недостаточного) формального
признака правильно построенного составного выражения языка
химии может служить известное правило подбора коэффициентов в
химических уравнениях.
Перейдем к терминологическому коду языка химической струк¬
туры. Номенклатурная задача этого кода заключается в том, чтобы
посредством небольшого, легко обозримого алфавита строить ин¬
дивидуальные названия для миллионов различных структурных
формул. Эти названия (имена собственные) должны удовлетворять
требованию обратимости, т. е. они должны выражать отличитель¬
ные признаки своих денотатов, чтобы по заданному имени можно
было однозначно воспроизвести соответствующую структурную фор¬
мулу.
Задача построения обратимых выражений решается в химиче¬
ской номенклатуре, по сути дела, тем же методом, чго и в проекци¬
онном черчении и аналитической геометрии: константа определяется
путем пересечения двух или более классов (в проекционном чер¬
чении оригинал задается сочетанием двух или трех проекций, в ана¬
литической геометрии точка задается системой линейных уравнений,
к числу которых относится также и непосредственное задание коор¬
динат: х =а,у=Ь). Роль проекции в химической номенклатуре игра¬
ют названия классов (эфир, кислота и т. п.), терминологические
аффиксы (-ан, -ен, -он и др.), названия радикалов (циан, карбоксил
и др.) и т. п.
Пусть, например, нужно решить номенклатурную задачу для
следующих формул: СН3—О—ОН3; СН3—О—С2НЬ; С2Н5—О—С2Н5;
СН3—S—СНЯ и СНЯ—S—С2НЙ. Общность их структуры очевидна:
ее можно представить общей формулой Rt—Z—R2, где Rt и R2—
какие-то углеводородные радикалы, а область значений переменной
Z составляет О и S. Форму (структуру) Rt—Z—Ra называют эфиром.
Переменной Z ставится в соответствие префикс: нулевой при Z—О
и «тио» при Z -S. Таким образом, первые три соединения будут
201

эфирами, а последние два — тиоэфирами. Индивидуализация осу¬
ществляется введением термина, соответствующего значению' каж¬
дой из переменных Z, Rb R2: названием для первой формулы будет
метиловый эфир, для второй — метилэтиловый эфир, для трегьей —
этиловый эфир, для четвертой — метиловый тиоэфир, для пятой
метилэтиловый тиоэфир. По сути дела, мы выделили некоторое
трехпараметрическое множество (эфир) и, фиксируя в нем значение
каждого из параметров, задали пять элементов этого множества.
Эта процедура похожа на то, как в аналитической геометрии для
индивидуализации объекта из двухпараметрического множества
прямых, задаваемых уравнением tj^kx-\-c, нужно фиксировать оба
параметра (Л и с), или, что то же самое, задать пересечение двух
однопараметрических семейств: параллельных прямых с угловым
коэффициентом k и пучка прямых, пересекающихся в точке А (0, с).
Рассмотрим другой пример. Возьмем структурную формулу
Будем рассматривать соединение, задаваемое этой формулой, как
результат замещения в метане СН4 грех атомов водорода однова¬
лентными радикалами, т. е. отнесем это соединение к определенному
подмножеству класса производных метана. Произвольный объект
Фиксируя параметры соответствующего трехпараметрического мно¬
жества, получаем искомую номенклатурную модель — диметилэтнл-
метан.
Нетрудно, однако, заметить, что выбранный нами путь не явля¬
ется единственным. Формулу (1) можно трактовать, скажем, и как
продукт замещения атома водорода при втором углеродном атоме
бутана СН3—СНг—СНг—СН„. В этом случае мы пришли бы к имени
2-метилбутан.
Подобного рода синонимия по своей логической природе ана¬
логична, например, синонимии в геометрии, когда точку пересе¬
чения медиан треугольника можно рассматривать как продукт
пересечения медиан Мх и М-2, но ее можно считать и результатом
пересечения медиан М2 и М3.
Языки науки стремятся к объективной мотивированности «вну¬
тренней формы» обозначений. Эго отчетливо выражено в «языке»
химии. Алхимический символ воды напоминал берег и волны —
внутренняя форма современного символа (НаО) отражает наиболее
существенные (с точки зрения химии) признаки данного вещества.
Но даже языки науки не могут обойтись без некоторого «субъектив¬
ного» — зависящего от принимаемой точки зрения — момента. Это
можно заметить не только в проекционном черчении («субъективный
произвол» в выборе плоскости проекции) и математике (влияние
СН
зч)сн—СН2—СН3.
СН3/
(1)
этого подмножества можно обозначить выражением

выбора системы координат на форму аналитического выражения гео¬
метрических образов), но, как мы видели, и на материале химии.
Поясним это еще на одном примере.
Если структурные формулы, имеющие вид разветвленных цепей,
трактовать как производные от соответствующих линейных формул,
то для построения названий приходится, как известно, указывать
не только сами радикалы, но и их линейные координаты. Существен¬
ное отличие «координатного кода», используемого в химической но¬
менклатуре, от системы координат, используемой в аналитической
геометрии, состоит в отсутствии произвола в выборе масштабной
единицы (цепь сама несет в себе естественную единицу измерения).
Но остается свобода в выборе «начала отсчета». Так, например, рас¬
смотренную выше формулу мы назвали 2-метилбутаном. Но если
бы мы поместили «начало отсчета» на другом конце углеродной цепи,
мы пришли бы к названию З-метилбутан.
Заметим также, что в языке химических символов широко при¬
меняются аббревиатуры, имеющие сходство со сложносокращенными
словами обычного языка.
Подводя итог всему сказанному выше о черчении, математике и
химии, можно сделать вывод, что эти учебные дисциплины содержат
богатый материал для расширения общелингвистического (семи¬
отического) кругозора учащихся и, тем самым, для повышения их
логической культуры. Осмыслив символические системы науки как
разновидность языка (что само по себе уже важно) *, учащиеся вме¬
сте с тем получают наглядное представление о причинах, вызывав¬
ших к жизни, наряду с естественным языком, также и языки искус¬
ственные. В частности, на материале учебных предметов можно убе¬
диться в том, что символизация, т. е. переход от естественного языка
к языку искусственному: а) совершенствует форму записи мыслей,
делает ее более обозримой; б) позволяет преодолеть трудности, по¬
рождаемые многозначностью естественного языка; в) открывает
путь к тому, чтобы в самой структуре языка отражать структурные
взаимоотношения между изучаемыми объектами; г) обеспечивает
возможность перехода от содержательных мыслительных операций
к оперированию знаками. Поэтому, хотя научная символика во мно¬
гом сходна с обычным языком, она для целей научного познания
«незаменима никаким другим языком» (М. В. Остроградский, см. 161),
ибо она «служит средством еще более совершенным, более точным и
ясным» (Н. И. Лобачевский [5]). Она, говоря словами Д. И. Менде¬
леева, представляет собой прекрасный пример того упрощенного
1 Это важно хотя бы уже потому, что, как правильно отмечает Н. Краудер
[22], одна из главных причин неуспеваемости по алгебре состоит в том, что уча¬
щихся не обучают jmcihiio воспринимать набор математических знаков как неко¬
торое высказывание, сформулированное на определенном языке (исходя из этого,
в своем собственном учебнике алгебры Краудер практикует «грамматический ана¬
лиз» символических записей).
203

и точного способа выражения целой совокупности идей и сведе¬
ний, какой желательно было бы иметь для всех человеческих
знаний.
Перевод и преобразование сообщений в языковых и неязыковых
учебных дисциплинах. Словарь современной науки содержит не¬
сколько миллионов терминов. Синтаксис научных языков нередко
(как, например, в случае языка алгебры) представляет собой об¬
ширную систему более или менее сложных правил. И тем не менее
основные трудности в овладении языками науки связаны не с их
формальной структурой.
Чтобы практически владеть каким-либо языком науки, т. е.
чтобы уметь применять его в практике решения познавательных за¬
дач, недостаточно знать его алфавит (словарь) и синтаксис. Нужно,
помимо этого, уметь читать (интерпретировать) символические за¬
писи, т. е. владеть операцией перевода с языка науки на обычный
язык, уметь переводить с одного языка науки на другой и, что самое
главное и трудное, уметь переводить на язык науки содержание,
заданное на обычном житейском языке.
Эти операции имеют много общего с лингвистическим переводом,
которому обучают на уроках иностранного языка. И в том, и в дру¬
гом случае преобразуется не только внешняя форма исходного
выражения, но и его внутренняя форма, т. е. та система понятий
(признаков), посредством которой переводимое содержание было
задано в исходном языке. Сложность операции перевода (будь то
перевод на иностранный язык или язык какой-либо науки) связана
с тем обстоятельством, что языки отличаются друг от друга не только
своей формальной структурой, но и своей семантикой.
В случае языков науки семантические (понятийные) различия
выражены достаточно резко (например, один и тот же предмет, ска¬
жем пластмассовый мячик, на языке начертательной геометрии ото¬
бражается как шар определенного радиуса, а на языке химии — как
вещество определенного состава). Семантические различия между
национальными языками выражены менее отчетливо. Но тем не ме¬
нее — и об этом в языкознании говорят по крайней мере со времен
Гумбольдта — они существуют: люди, думающие об одном и том
же предмете на разных языках, в известном смысле думают о нем
по-разному1.
В ряде случаев содержание, обязательно выражаемое в процессе
речи на одном национальном языке (в силу наличия в системе этого
языка соответствующих специализированных средств), в речи на
другом языке может вообще не подразумеваться. Поясним это на
примере своеобразных средств субъективной (идущей от данного
лица) ориентации направления в немецком языке.
С точки зрения других языков, в частности русского, обязатель¬
ная в-немецком языке дифференция направления посредством морфем
1 Напомним в этой связи известную гипотезу Сепира — Уорфа и ее инфор¬
мационно-кибернетические интерпретации (см., например, [23, с. 60, также приме¬
чание 23 на с. 495—496]).
204

bin и her кажется избыточной. Некоторые авторы даже склонны рас¬
ценивать Это явление как плеоназм. В литературе, в частности в на¬
ших теоретических и практических курсах немецкого языка, эти
лексические единицы рассматриваются главным образом лишь в
формально-языковом аспекте словообразования. В школьных учеб¬
никах конструкциям с hin и her уделяется буквально несколько
строк, содержание которых сводится к тому, что hin означает «туда»,
a her — «сюда». А поскольку в русском языке при обозначении на¬
правления соответствующие различия, как правило, не выражаются,
учащиеся естественно игнорируют эту специфическую особенность
немецкого языка. Между тем эти средства дополнительной (субъек¬
тивной) характеристики движения играют в процессе мышления на
немецком языке большую роль.
Сравним, например, русское Он поднимался по лестнице с не¬
мецким Er stieg die Treppe hinauf. Русское предложение никак не
определяет пространственную точку зрения наблюдателя. Слушая
это сообщение, можно двояким образом мысленно представить себе
человека, поднимающегося по лестнице: а) как бы следуя за ним
вверх по лестнице и б) как бы спускаясь ему навстречу с верхнего
этажа. У читателя же немецкого предложения такая вольность во
внутренней иллюстрации исключена. Приведенная выше немецкая
фраза однозначно диктует выбор первого варианта (второму ва¬
рианту соответствовала бы фраза Er stieg die Treppe herauf).
Таким образом, речь идет не только об особенности структуры
немецкого языка, но и о соответствующей ей особенности мышления
на этом языке (человек, думающий на немецком языке о каком-либо
направленном движении, вынужден ориентировать свое положение
в пространстве относительно данного движения).
Можно было бы привести еще немало примеров, свидетельствую¬
щих о том, что содержательное преобразование сообщений имеет
место не только при переходе от одной науки к другой, но и при пе¬
реводах, практикуемых на уроках иностранного языка. Для выра¬
жения одного и того же объективного содержания различные языки
(будь то языки различных наук или языки различных националь¬
ностей) используют различные системы понятий.
Такова же и логическая природа трудностей, возникающих пе¬
ред учащимися при переводах с житейского языка на язык той
или иной изучаемой ими науки. Здесь тоже имеет место содержа¬
тельное преобразование сообщения, заданного на исходном языке.
Сходство операции перехода от житейского языка к языку на^ки
с операцией перевода с одного национального языка на другой осо¬
бенно заметно на материале алгебры. Еще Ньютон подчеркивал
(в своем учебнике «универсальной арифметики»), что решение вся¬
кой задачи сводится, в сущности, к переводу условия задачи с род¬
ного языка на язык алгебраический. Как заметил по поводу этой
аналогии Ньютона современный американский математик и психолог
Д. Пойа, она помогает «внести ясность в природу некоторых затруд¬
нений, с которыми часто встречаются и учащиеся и преподаватели»,
205

поскольку трудности, которые «могут встретиться при составлении
уравнений, являются трудностями перевода» ([24, с. 185—1861;
ср. также [25, с. 47, 2701).
Для выражения одного и того же объективного содержания в
житейском языке и в языке алгебры используются разные понятия.
Так, например, разговорный язык не пользуется операцией вычита¬
ния. Вместо того чтобы сказать: «Число моих книг минус число тво¬
их книг равно пяти», мы говорим: «У меня на пять книг больше,
чем у тебя». В языке же алгебры понятие «больше на столько-то»
неприемлемо как средство выражения той же мысли. В традиционной
школьной задаче о товарном поезде, отправленном со станции на
час раньше пассажирского поезда, говорится, что пассажирский по¬
езд его вскоре догнат. Понятие «догонять» па языке алгебры выра¬
жается значительно более широким понятием: «Оба поезда оказа¬
лись на одинаковом расстоянии от пункта отправления».
Содержание, существенное с точки зрения житейского языка, в
языке науки нередко просто игнорируется. Наоборот, то, что в оби¬
ходной речи считается само собой разумеющимся, при переводе на
язык науки нередко приходится формулировать явно (см. [20]).
С этими явлениями, в частности, связана многозначность обратных
переводов, с которой учащиеся встречаются не только на уроках
иностранного языка, но и на уроках алгебры: уравнению, получен¬
ному в результате перевода условия какой-либо задачи на язык
алгебры, может соответствовать бесчисленное множество задач с дру¬
гой фабулой, но с тем же математическим содержанием. Необрати¬
мость перевода свидетельствует о том, что в результате перевода пре¬
образованию подверглась не только внешняя форма сообщения, но
в какой-то степени и его содержание. Процесс речевого мышления
на математическом языке нередко требует игнорирования содержа¬
ния, выраженного в обычном (житейском) языке.
Много общего с лингвистическим переводом содержится также в
процедурах решения задач по физике. Поясним это на примере:
«С аэростата, находящегося на высоте 300 м, упал камень. Через
сколько времени камень достигнет земчи, если аэростат поднимается
со скоростью 5 м/сек? Сопротивлением воздуха пренебречь».
Этот текст нужно изложить с помощью другой системы понятий.
В этом смысле его нужно перевести на язык физики.
То, что в исходном сообщении речь идет именно об аэростате, а
не о каком-либо ином летательном аппарате, с точки зрения языка
физики несущественно. Существенно лишь то, что событие (движе¬
ние камня) описывается относительно двух различных систем коор¬
динат. (Одна из них жестко связана с землей, а вторая движется
относительно земли!) Поэтому понятие аэростат при переводе пре¬
образуется в понятие системы координат, подвижной относительно
земли. Слову (понятию) камень в данном контексте соответствует
понятие «материальная точка», слову (понятию) падать соответ¬
ствует понятие движения под действием силы тяжести и т. д. В ре¬
зультате исходный текст примет примерно такой вид: «Материаль¬
206

ная точка, неподвижная относительно инерционной системы коор¬
динат, движущейся относительно земли со скоростью 5 м/сек, на
высоте 300 м начинает двигаться относительно этой системы коор¬
динат с ускорением 9,8 м/сек 2 относительно земли» и т. д. Это, ра¬
зумеется, еще не окончательный перевод, но это тот «подстрочник»
в алфавите физических понятий, от которого уже сравнительно не¬
трудно перейти к уравнениям.
Подобного рода предварительные преобразования исходного тек¬
ста с целью их перевода на язык уравнений нередко выявляют столь
элементарное (с позиции соответствующей науки) содержание, что
надобность в услугах формального аппарата просто отпадает — за¬
дача решается «в уме».
Рассмотрим в качестве примера следующую алгебраическую за¬
дачу: «При одновременном действии двух труб бассейн наполняется
за 8 часов. Однажды обе трубы действовали в течение двух часов
совместно, а затем первую трубу закрыли, и тогда вторая труба за¬
кончила наполнение бассейна за 18 часов. За сколько времени каж¬
дая труба, действуя отдельно, может наполнить бассейн?»
Понятие наполненный бассейн противостоит различным состоя¬
ниям незавершенности процесса наполнения бассейна. Поэтому в
данном контексте это понятие переводится числом 1, противопостав¬
ляемым меньшим величинам, дробям. Выражение бассейн наполня¬
ется за 8 часов в целях последующего перевода на язык алгебраиче¬
ских уравнений преобразуется предварительно в выражение За 8
часов совместной работы — единица, после чего выражение два часа
совместной работы естественным образом преобразуется в 0,25.
Благодаря этому сразу становится очевидным, что задача сводится
к элементарной арифметике: за 18 часов — 0,75, за сколько време¬
ни — единица?
Важно подчеркнуть, что во всех рассмотренных выше случаях
речь идет не о поверхностной аналогии с лингвистическим переводом,
а о глубокой общности сопоставляемых операций. Эта общность про¬
стирается вплоть до способов (приемов) преобразования исходных
сообщений. Так, в практике перевода с иностранного языка в ка¬
честве одного из способов преобразования внутренней (понятийной)
формы исходного сообщения используется так называемый прием
логического развития понятия [26]. Этот прием заключается в замене
данного понятия понятием какого-либо динамически развертываю¬
щегося его признака или свойства, в результате чего причина явле¬
ния заменяется его следствием или же, наоборот, следствие заменя¬
ется причиной. Этот профессиональный переводческий прием целе¬
сообразен и при переводе с житейского языка на язык той или иной
науки. Например, понятие закрыли кран для языка алгебры непри¬
емлемо: оно не поддается формализации на этом языке. Но если заме¬
нить явление его следствием и преобразовать исходное сообщение
первый кран закрыли на два часа раньше, чем второй к виду в течение
двух часов вода поступала только из одного крана, то получится вы¬
ражение, для которого можно построить его аналог на языке алгебры.
207

Как лингвистический перевод, так и перевод с житейского языка
на язык науки предполагает логический анализ исходного сообще¬
ния в плане выявления его строения с точки зрения семантической
(понятийной) системы того языка, на который сообщение перево¬
дится. На этом — промежуточном — этапе перевода переводимое
содержание рассматривается одновременно с точки зрения двух язы¬
ков. Иными словами, перевод сначала осуществляется как бы на
своеобразный «язык-посредник».
Одна из функций такого «языка-посредника» связана с выявле¬
нием содержания, не получившего формального выражения в ис¬
ходном сообщении. При переводе на иностранный язык, например,
русских вопросительных конструкций типа «Идти к доске?» при¬
ходится предварительно выявлять формально не выраженную в этих
конструкциях категорию модальности, т. е. то содержание, которое
при переводе, например, на немецкий язык должно получить фор¬
мальное выражение посредством модального глагола sollen. Анало¬
гичным образом, как было показано выше, обстоит дело и при пере¬
воде с житейского языка на язык науки.
В более общем случае на «языке-посреднике» фиксируются ре¬
зультаты анализа всех признаков, задающих то или иное содержание
в исходном сообщении. Иными словами, понятие, заданное в исход¬
ном сообщении, на «языке-посреднике» выражается в виде состав¬
ного (описательного) имени, отображающего необходимые и доста¬
точные признаки, т. е. в виде усеченной дефиниции (по типу дву¬
ногое без перьев). Затем эти описательные имена приводятся к форме,
канонической для того языка, на который осуществляется перевод.
Этот этап перевода подобен решению кроссворда.
Поясним сказанное примерами. Перевод на «язык-посредник»
немецкой фразы Sie ist sehrgefallsiichtig будет звучать примерно так:
Она очень стремится понравиться. Заключительный этап перевода
состоит в переходе от дефиниции (женщина, которая стремится по¬
нравиться) к термину («решение кроссворда») — очень кокетлива.
Другой пример приведем из области перевода символических запи¬
сей на обычный язык. Пусть требуется интерпретировать запись
2£2+1(/г=±1, ±2, ±3, . . .). Процесс перевода протекает при¬
мерно следующим образом: «Первое слагаемое содержит множитель
2.	Числа, содержащие сомножителем 2, называются четными. Числа,
получаемые из четных путем добавления единицы, называются не¬
четными». Для перевода выражения /г2 воспользуемся упомянутым
выше переводческим приемом логического развития понятия: «Число
возведено в квадрат. Следствие — образовано положительное число».
Окончательный перевод: «Нечетное положительное число».
Перевод путем преобразования описательного имени к некоторой
простейшей, канонической форме имеет место и в ряде других наук.
Особенно рельефно этот метод представлен в аналитической геоме¬
трии С
1 Вопрос о необходимости обеспечить аналитической геометрии более широ¬
кий доступ в школьную математику ставился в педагогической литературе уже дав¬
208

Преобразование к канонической форме в аналитической геометрии
осуществляется путем перехода к такой системе координат, которая
позволяет записать данный объект с помощью минимального числа
параметров. Например, при произвольном расположении начала
координат необходимо указывать как радиус окружности, так и ее
центр, т. е. два параметра, при переносе же начала координат в
центр окружности мы получаем уравнение x2+y?=R2, определяющее
уже не дву параметрическое, а однопараметрическое множество.
Таким образом, в аналитической геометрии каноническая («нормаль¬
ная») форма является простейшей прежде всего в том смысле, что
она отображает заданное содержание с минимальными «субъектив¬
ными» наслоениями, порождаемыми произволом в выборе системы
координат.
Подобным же образом упрощаются и номенклатурные вы¬
ражения в химии. Рассмотрим в качестве примера формулу
CHS—СН(ОН)—СН2—СООН. Наличие в формуле карбоксильной
группы СООН отразится в номенклатуре словом кислота, гидро¬
ксилу ОН соответствует префикс окси-. Таким образом, мы имеем
оксикислоту, а именно, оксимасляную кислоту. Оксимасляные кис¬
лоты могут различаться удаленностью гидроксильной группы от
карбоксильной. Следовательно, этот параметр — расстояние между
гидроксилом и карбоксилом — нужно отразить в названии. Рас¬
стояние является инвариантом любых преобразований системы
линейных координат, поэтому начало отсчета можно поместить в
любой точке углеродной цепи. Если начало отсчета совместить с од¬
ним из радикалов, то число параметров уменьшится на единицу и
мы получим имя такого вида: 1-карбоксил-З-гидроксил-оксимасляная
кислота. Но это выражение (описательное имя) еще не является
простейшим, хотя бы уж потому, что такой существенный признак,
как удаленность гидроксильной группы от карбоксильной, выражен
здесь неявно. Чтобы извлечь информацию об этом признаке, нужно
произвести операцию вычитания. Поэтому дальнейшее упрощение
использует инвариантность расстояния. Каноническим является,
как известно, имя 2-оксимасляная кислота.
Однако в целом ряде случаев в основе выбора той или иной
формы выражения в качестве канонической лежат соображения ино¬
го порядка. Некоторая форма выражения нередко является для нас
простейшей в силу случайных причин. Так, при переводе на ино¬
странный язык мы вправе предварительно заменять заданную фор¬
му сообщения другой, ей синонимичной. Практическая направлен¬
ность преобразований исходного сообщения в этих случаях довольно
своеобразна: мы стремимся к варианту, который в силу тех или иных
причин (большей частью совершенно случайных) является для нас
в данном случае простейшим.
но, в том числе и со ссылками на то обстоятельство, что эта наука представляет
собой «словарь», позволяющий переводить с языка геометрии на язык алгебры и
обратно [27].
209

Построение синонимов играет большую роль и при решении за¬
дач, например в начертательной геометрии. Так, для того чтобы опре¬
делить, лежат ли прямые в плоскости, заданной двумя другими
(параллельными) прямыми, обычно рекомендуется предварительно
построить на эпюре следы плоскости, т. е. перейти от исходного вы¬
ражения к выражению, ему синонимичному. Такое «неравноправие»
логически эквивалентных имен объясняется просто тем, что для вто¬
рого выражения известен удобный алгоритм распознавания по фор¬
мальным признакам (если следы прямой находятся на следах плоско¬
сти, то прямая лежит в плоскости, в противном случае прямая не
принадлежит данной плоскости). Таким образом, в основе выбора
канонической формы здесь лежат чисто практические соображения.
сводится, как известно, к цепочке последовательных преобразова¬
ний, в процессе которых мы стремимся прийти к выражению вида
сических преобразований обладает своеобразной целенаправленно¬
стью: мы стремимся привести исходное выражение к выражению, ему
синонимичному, причем в основе выбора канонического синонима
лежат соображения довольно субъективного порядка — мы ищем
такую форму, которая нам уже знакома, которая описывает задан¬
ное содержание посредством системы таких понятий (признаков),
которыми мы уже умеем оперировать.
Итак, переформулирование исходных сообщений в терминах не¬
которой определенной системы понятий — явление, общее для лин¬
гвистических переводов и для переводов на языки науки. В основе
этой общности лежит, с одной стороны, существование значитель¬
ных семантических различий между языками, а с другой — то, что
всякая мыслительная задача, как отмечал в свое время С. Л. Ру¬
бинштейн, решается посредством переформулирования ее условия
То обстоятельство, что переход от одного языка к другому свя¬
зан с содержательным преобразованием исходного сообщения (а не
только с преобразованием его внешней формы, как, например, в слу¬
чае простого перекодирования), не означает, однако, что сам про¬
цесс перевода должен непременно носить характер мыслительной
задачи, в процессе решения которой мы сначала выявляем заданное
содержание как бы «в чистом виде», чтобы «переодеть» его в новые
средства внешнего выражения.
Существуют два способа перехода от одного языка к другому.
Первый способ заключается в том, что сообщение, выраженное на
исходном языке, соотносится с соответствующим отрезком действи¬
тельности, после чего сообщение об этом отрезке действительности
строится заново на втором языке. Второй способ характеризуется
Приведем еще один пример. Решение задачи
lim
а-* ее
а
. И в данном случае цепочка последовательных синтак-
[28].
210

тем, что перевод осуществляется без непосредственного обращения к
внесинтаксической действительности, без интерпретации. Иными
словами, перевод может протекать не только по принципу «знак —
содержание — знак», но также и по принципу «знак — знак».
В последнем случае процесс перевода по своему психологическому
содержанию мало чем отличается от простого перекодирования.
С точки зрения педагогической различие между этими двумя
способами перехода от одного языка к другому весьма существенно.
Оно порождает, в частности, вопрос о том, какому же из этих прин¬
ципиально различных способов перевода отдавать предпочтение в
условиях обучения, и прежде всего в условиях школьного обуче¬
ния. Эта педагогическая проблема имеет различные аспекты. Один
из них предполагает оценку влияния способов перевода на умст¬
венное развитие учащихся.
Как в практике, так и в теории обучения иностранным языкам
господствует мнение, что осуществляемый по двуязычному словарю
переход от того или иного иностранного слова к соответствующему
слову родного языка означает обращение к семантике. Это, однако,
не так. Поясним сказанное примером. Согласно официальным ме¬
тодическим указаниям о системе работы с текстом 17-—18 учебника
немецкого языка К. М. Погодилова (до конца 50-х годов являв¬
шегося школьным учебником для IX класса), учащиеся должны
с помощью словаря заменять немецкие слова Bremsbahn, Sohle,
Stollen и т. п. русскими словами бремсберг, забой, штольня и т. д.
Очевидно, что такая «семантизация», по сути дела, не отличается
от объяснений типа «сонмище есть некий малый синдерион», которые
Лев Толстой называл излюбленными объяснениями бездарных
учителей.
Если при составлении словаря переводческой машины допустить
даже очень грубую ошибку, то (во всяком случае на современном
этапе развития машинного перевода) машина не заметит этой ошиб¬
ки, несмотря на очевидную абсурдность получающихся переводов.
Аналогичное явление имеет мссго и в рассматриваемом примере.
Учащиеся с таким же успехом переводили бы данный текст и в том
случае, если бы словарь дал им команду заменить слово Bremsbahn
не словом бремсберг, а, например, словом гезенк, слово Sohle не
словом забой, а, например, словом вивисекция и т. д. Об этом с полной
убедительностью свидетельствует следующее: в словаре действи¬
тельно допущена грубая ошибка: Sohle вовсе не забой. Едва ли мож¬
но объяснить случайностью тот поразительный факт, что на протя¬
жении семи лет работы с этим массовым учебником столь грубая
ошибка оставалась не замеченной не только учащимися, по и учи¬
телями.
Подобная практика обучения культивирует у учащихся преврат¬
ное представление о переводе как о простом перекодировании, при
котором совсем не обязательно понимать содержание переводимого
текста, а нужно лишь остерегаться ошибок при пользовании слова¬
рем. Не менее важно и то, что при такой «семантизации» озпакомле-
211

ние учащихся с иноязычной научной или научно-технической терми¬
нологией теряет смысл. Разумеется, непосредственные практические
задачи и цели обучения иностранному языку в общеобразова¬
тельной школе отнюдь не предполагают овладения учащимися
специальной терминологией, но это не исключает правомерности ис¬
пользования терминологической лексики в качестве средства, спо¬
собствующего обучению как иностранному языку, так и тем дисцип¬
линам научно-технического цикла, к которым относится данная тер¬
минология.
Иной характер носит перевод терминологической лексики по
принципу «знак — содержание — знак». Такой перевод может про¬
текать так, что учащиеся, не прибегая к помощи словаря, будут
сочетать словообразовательный анализ исходного слова с логиче¬
ским анализом признаков, отображенных в его внутренней (этимо¬
логической) форме, черпая, в случае необходимости, недостающую
информацию из контекста. При этом на этапе перехода от «языка-
посредника» к «решению кроссворда» учащиеся будут вынуждены
приводить в движение весь запас знаний, приобретенных на уроках
по соответствующим научным дисциплинам. Поскольку термин,
обладающий прозрачной внутренней формой, не только называет
явление, но и характеризует его, сопоставление понятий, использу¬
емых в разных языках в качестве внутренней формы одного и того
же термина, обогащает представление учащихся о содержании обо¬
значаемого данным словом понятия 1, вынуждает их различать суще¬
ственные и несущественные признаки.
Приведем пример. Применяя контекстуальную догадку к не¬
мецкому термину Scheitelwinkel, учащимся придется произвести
его морфологический анализ, вспомнить правило перевода сложных
существительных (первый компонент обозначает видовой признак,
последний — родовое понятие), восстановить в памяти значение
лексических компонентов (Scheitel — макушка, Winkel — углы),
выявить внутреннюю форму термина. После этого, руководствуясь
этимологическим образом термина («углы при макушке»), они долж¬
ны подобрать в своем математическом «багаже» соответствующее
понятие (с ориентацией на контекст) и затем воспроизвести русский
термин вертикальные углы. При этом сопоставление степени ус¬
ловности внутренней формы в обоих термннйх произойдет само
собой.
Из примера видно, что ознакомление учащихся с научной терми¬
нологией изучаемого иностранного языка способствует также фор¬
1 Эго в известной мере справедливо и по отношению к бытовой лексике. Так,
в школьной методике обучения иностранному языку предполагается, что значе¬
ние английских слов syster-in-law, brother-in-law и т. п. раскрывается путем по¬
становки вместо них соответствующих русских слов золовка, деверь, шурин и др.
Между тем в подобных случаях дело обстоит, скорее, наоборот — семантизи¬
руются, собственно говоря, эти обычно смутно различаемые слова родного языка,
лишенные прозрачной внутренней формы.
212

мированию представлений об условности знаковых средств. Это.
как мы уже говорили, полезно для преодоления «власти символов»
в сознании учащихся.
Вообще, перевод по принципу «знак — содержание — знак»
противодействует психологически закономерной тенденции уча¬
щихся отождествлять привычный знак с тем содержанием, который
он обозначает. Более того, вынуждая учащихся расчленять в сооб¬
щениях план выражения и план содержания, такой перевод нередко
срывает пелену привычности со знакомых понятий, пробуждая дав¬
но угасший познавательный интерес к ним. В этом смысле перевод,
подобно процессу восприятия произведений искусства, порождает
эффект, называемый в теории искусств (устранением (о психолого¬
педагогической интерпретации остранения см. нашу статью 129]).
Не менее важно и то, что задача логического анализа переводи¬
мого содержания (на этапе перевода на «язык-посредник») порождает
у учащихся потребность в определенных логических знаниях. Это
создает психологически благоприятные условия для единообразной
трактовки некоторых понятий, идей и методов, общих для языковых
и неязыковых учебных дисциплин.
Все сказанное выше свидетельствует о том, что семиотический
подход к проблеме взаимосвязей между учебными предметами
содействует сближению гуманитарного и научно-технического
образования.
Литература
1. Коллектив авторов. Семиотика.— В кн.: Кибернетику — на службу комму¬
низму, т. 5. М., 1967.
2. В. А. Успенский. К проблеме построения машинного языка для информацион¬
ной машины.— «Проблемы кибернетики», вып. 2. М., 1959.
3. А. Я. Хинчин. О формализме в школьном преподавании математики.— «Из¬
вестия АПН РСФСР», вып. 4. М.—Л., 1946.
4. Л. С. Выготский. Мышление н речь.— В кн.: Л. С. Выготский. Избранные
психологические исследования. М., 1956.
5. Н. И. Лобачевский. Наставления учителям математики в гимназиях.— «Труды
Института истории естествознания», т. II. М.—Л., 1948.
6. Е. Я■ Ремез. О математических рукописях академика М. В. Остроградского.—
«Историко-математические исследования», вып. IV. М.—Л., 1951.
7. К- Д. Ушинский. Родное слово. — В кн.: К. Д. Ушинский. Избранные педаго¬
гические сочинения. М., 1945.
8. К. Д. Ушинский. Собрание сочинений, т. 10. М.—Л., 1950.
9. Р. Декарт. Рассуждение о методе.— В кн.: Р. Декарт. Избранные произве¬
дения. М., 1950.
10. П. С. Александров. Математика как наука.— «Известия АПН РСФСР», вып. 92.
М., 1958.
11. W. Humboldt. Uber die verschiedenheit des menschlichen Sprachbaues und
ihren Einfluss auf die geistige Entwicklung des Menschengeschlechts. Bonn,
1960.
12. Л. Витгенштейн. Логико-философский трактат. М., 1958.
13. Б. Рассел. Введение к книге [12].
14. А. Б. Долгопольский. Факторы развития языка и частотность языковых зна¬
ков.— «Тезисы совещания по математической лингвистике». Л., 1959.
15. А. Чёрч. Введение в математическую логику. Т. I. М., 1960.
16. О. Beluighel. Die deutsche Sprache. Berlin, 1956.
213

17. В■ В. Иванов. О построении информационного языка для текстов по дескрип¬
тивной лингвистике.— «Доклады на Конференции по обработке информации,
машинному переводу и автоматическому чтению текста», вып. 9. М., 1961.
18. Н. Д. Андреев, Л. Р. Зиндер. Основные проблемы прикладной лингвистики.—
«Вопросы языкознания», 1959, № 4.
19. И. И. Ревзин, В. Ю. Розенцвейг. К обоснованию лингвистической теории пере¬
вода,— «Вопросы языкознания», 1962, № 1.
20. Л. В. Шеншев. Общие моменты мышления в процессах усвоения математики и
йностранного языка.— «Вопросы психологии», I960, № 4.
21. И. Freudenthal. Lincos. Design of a Language for Cosmic Intercourse, p. I.
Amsterdam, 1960.
22. N. A. Crowder, G. C. Martin. Adventures in Algebra. London, 1962.
23. А. Моль, В. Фукс, М. Касслер. Искусство и ЭВМ. М., 1975.
24. Д. Пойа. Как решать задачу. М., 1959.
25. Д. Пойа. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изу¬
чение и преподавание. М., 1970.
26. Я■ И. Рецкер. О закономерных соответствиях при переводе на родной язык.—
В сб.: Вопросы теории и методики учебного перевода. М., 1950.
27. В. Л. Гончаров. Математика как учебный предмет.— «Известия АПН РСФСР»,
вып. 92. М., 1958.
28. С. Л. Рубинштейн. О мышлении и путях его исследования. М., 1958.
29. Л. В. Шеншев. Об одном приеме возбуждения познавательного интереса.—
«Новые исследования в педагогических науках», вып. III. М., 1965.

СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ
А И V^MOB
АНАЛОГИЯ*И УЧЕБНЫЙ ПРОЦЕСС
Ю. А. Петров, JI. М. Фридман
О НЕКОТОРЫХ ПРИМЕНЕНИЯХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ЛОГИКИ И ТЕОРИИ АВТОМАТОВ К ЗАДАЧАМ
ПРОГРАММИРОВАННОГО ОБУЧЕНИЯ
Ю. А. Петров, А. А. Столяр
О ПЕДАГОГИЧЕСКОМ АСПЕКТЕ СЕМИОТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА ВОПРОСОВ
А. А. Столяр
ЛОГИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ ШКОЛЬНОЙ АЛГЕБРЫ
И ПРАКТИКА ПРЕПОДАВАНИЯ
А. А. Столяр
О НЕКОТОРЫХ ПРИМЕНЕНИЯХ ЛОГИКИ
В ПЕДАГОГИКЕ МАТЕМАТИКИ
И. И. Ревзин
ЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ШКОЛЬНОГО РАЗБОРА ПО
ЧЛЕНАМ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
И. И. Ревзин
ОПЕРАЦИОННЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ В ШКОЛЬНОМ
КУРСЕ ГРАММАТИКИ
Ю. А. Петров
ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГИКИ К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИЙ
АРТИКЛЕЙ В АНГЛИЙСКОМ ЯЗЫКЕ
J1. В. Шеншев
ОПЫТ СЕМИОТИЧЕСКОГО ПОДХОДА К ПРОБЛЕМЕ
ВЗАИМОСВЯЗЕЙ МЕЖДУ УЧЕБНЫМИ
ПРЕДМЕТАМИ
S
11
38
63
88
128
140
183
173
188

ЛОГИКА И ПРОБЛЕМЫ ОБУЧЕНИЯ
Составитель Виктор Григорьевич Фарбер
Зав. редакцией И. Н. Цекова
Редактор В. Г. Иоффе
'Художник В. Красновский
Художественный редактор Е. Э. Дятлова
Технические редакторы О. И. Самойлова, Т. Г. Иванова
Корректор В. Н. Рейбекель
ИБ № 117.
Сдано в набор 20.05.76 г. Подписано в печать 28.01.77 г.
А-03128. Формат 60X90'/ie. Бумага тип. № 2. Печ. л. 13,5.
Уел. печ. л. 13,5. Уч.-изд. л. 14,58. Тираж 22 ООО 9кз. (Т. п. 1976 г.
№ 18). Заказ 1749. Цена I р. 19 к.
Издательство «Педагогика» Академии педагогических
наук СССР и Государственного комитета Совета Министров
СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
Москва, 107066, Лефортовский пер., 8
Отпечатано в Московской типографии № 4 Союзполиграфпрома
hdh Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва. И’41, Б. Переяславская ул., 46
с матриц Ордена Октябрьской Революции
ордена Трудового Красного Знамени
Первой Образцовой типографии имени А. А. Жданова
Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета
Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли
Москва, М-54, Валовая, 28