Текст
к гея по постановлению ионно-издательского совета -кого университета
< н з е н т ы :
> философских наук, сор Е.К.Войшвилло, шт философских наук, г Ю. В.Ивлев
Е.Д.Смирнова. Формализованные языки и проблемы логи1 тики. - М.: Изд-во Моск, ун-та, 1982, - 182 с.
Книга посвящена систематическому исследованию форм i •и и выявлению их роли в логике. Особое внимание уд«i •f теории семантических категорий, распространена। И кванторами и операторами, на базе чего проводится | гия логической формы. Даётся тщательное доказаг t । горем о выразительных и дедуктивных возможноет • -Р дуется философско-методологическое и теоретико-п» «»><
значение этих теорем. Выдвигается и разрабатывает! i анализа интенсиональных контекстов.
Предназначена для специалистов в области логи! •, и и теории познания.
© Издательство m*»i • университ тп, гм
СОДЕРЖАНИЕ
Введение.......................................................... 4
§0. Предварительные замечания ................................. 4
§1 . Исторические предпосылки возникновения общей теории знаковых систем.................................................... 6
§2 . Синтаксический, семантический и прагматический аспекты языкаТЗ
§3 . Искусственные и естественные языки....................... 16
Глава I. Формальные исчисления, языки и логистические системы... 20
§1 . Конструктивные объекты, слова в алфавите А.............. 20
§2 . Исчисления над словами алфавита.Уточнение понятия исчисления. Нормальные исчисления Поста............................ 23
§3 . Деревья в алфавите А.................................... 27
§4 . Многослойные конструктивные объекты. Слова и деревья в потенциально-бесконечных алфавитах.............................. 29
§5 . Об употреблении термина "язык" в логике.................. 32<Э
Глава П. Теория семантических категорий................ 39
§1 . Логические языки без операторов......................... 39
§2 . Логические языки с операторами.......................... 57
§3 . Языки с неопределенно-местными функторами......... 60
§4 . Классификация языков, удовлетворяющих теории семантических категорий ................................................ 63
Глава Ш. Синтаксис и семантика первопорядковой арифметики. , Арифметизация и геделизация................................... 66 J
§1 . Синтаксис первопорядковой арифметики.................... 67 i
§2 . Арифметизация синтаксиса :.............................. 75 j
§3 . Семантика формальной арифметики.......................... 89©)
§4 . Некоторые свойства класса истинных предложений системы Р.. 94
Глава ТУ. Анализ дедуктивных и выразительных возможностей форма- 'Ч-лизмов..................................................... 98
§1 . Уточнение понятий определимости предикатов и функций.... 98©
§2 . Свойства К-определимых предикатов и функций...............102®
§3 . Теоремы об ограниченностях формализмов.................. 106"©
§4 . Семантическое доказательство теоремы Геделя.............114
§5 . Философский смысл теорем об ограниченностях формализмов... 1216*
Глава У. Языки с интенсиональными предикатами....................139
§1 . Референциальная семантика и семантика возможных миров...139
§2 . Языки с интенсиональными знаками........................ 149
§3 . Семантика первопорядковой интенсиональной логики.........159
Заключение.................................................... 166
Литература...................................................... 175
4 ВВЕДЕНИЕ § О. Предварительные замечания
Формализованные языки - искусственные языки, построенные на основе точно сформулированных синтаксических и семантических правил, приобретают все большее значение. Появившись первоначально как средство для исследования и моделирования процедур дедуктивного рассуждения, формализованные языки были использованы для обсуждения глубоких проблем оснований математики. В процессе разработки 11юрмализованных языков были установлены точные границы их возможностей и применимости. Для решения ряда логических задач стандартные гзыки классической логики оказались недостаточными. В процессе раз-, вития логики были построены формализованные языки с более богатыми выразительными и дедуктивными средствами, в том числе языки с медальными, временными, эпистемическшв, деонтическими и другими интенсиональными операторами.
Чем более богатые языки мы строим и исследуем, тем более глубокие аспекты и характеристики понятия истинности мы используем. В иписимости от того, каким условиям отвечает принимаемое в семантике понятие истинности, находят свое оправдание и обоснование те ivm иные способы рассуждения. Классическая логика ограничивается пониманием истинности высказываний как их соответствия действительности. В интуиционистской логике помимо этого учитывается, что об-/нки объектов рассмотрения не завершена и в процессе познания мо-гут вводиться новые объекты рассмотрения, происходит рост, накоп-пнщю знания. Интенсиональные логики явным образом требуют учета 1«»нкратности истины, ее зависимости от условий. Построение формали-«• шитых языков зависит от гносеологических установок и, в свою юр^дь, является средством для их уточнения и изучения.
«’пои эвристическую ценность формализованные языки проявили не «•»•««> при изучении процессов рассуждения и доказательства. Они на-играть все более важную роль как упрощенные модели фрашен-
5
тов разговорных естественных языков. Разнообразные школы в лингвистике используют технику построения и исследования формализованных языков дцгя моделирования определенных аспектов естественных языков.
Использование вычислительной техники связано с применением уже построенных и конструкцией новых формализованных языков. Это относится как к языкам программирования, так и к языкам, на которых формулируется и хранится информация, языкам информационно-поисковых систем. Формализованные языки нас интересуют прежде всего с точки зрения логики, с точки зрения возможности выражения в них логических отношений и их роли для построения теории вывода.
Не последнюю роль играют формализованные языки и в реконструкции научных теорий, а тем самым в методологии и философии науки.
Построение специальных формализованных языков для задач логики послужило мощным стимулом ее развития. Sa короткий период в логике произошли изменения, несоизмеримые со всей ее прежней историей. Использование языков с точным образом заданной структурой давало новые средства выявления и воспроизведения логических связей. Дело не в использовании специальных символов. Именно возможность представлять содержательные логические отношения и процедуры (например, логические рассувдения) в исчислении послужило основой развития новых областей и разделов логики. Тем самым развитие логики подтверждает тезис диалектического материализма, что вне материального носителя, вне языка не существует особого царства мысли. К.Маркс и Ф.Энгельс писали: "Язык ’ есть непосредственная действительность масли. Так же, как философы обособили мышление в самостоятельную силу, так должны были они обособлять и язык в некое самостоятельное, особое царство. ....ни мысли, ни язык не образуют сами по себе особого царства ...они только проявление действительной жизни" С1,т.З, 448-4493. IX - Т844
6
Предметом нашего рассмотрения будут формализованные языки, в рамках которых можно проводить дедуктивные рассуждения. Но прежде, чем приступить к их рассмотрению, мы охарактеризуем общие условия, которые привели к созданию общей теории знаковых систем.
§ I. Исторические предпосылки возникновения общей теории знаковых систем
Общую теорию знаковых систем вызвали к жизни те процессы, которые имели место в логике, философии математики, лингвистике и ряде наук о культуре.
Знаки и знаковые системы в определенных аспектах изучались лингвистами, логиками, философами, математиками, антропологами и социологами. В этике и эстетике также рассматривались определенные типы знаковых систем. ’’Человеческая цивилизация зависит от знаков и систем знаков и человеческий ум не отделим от действия со знаками" EII33. Однако сама идея создания общей теории знаков и знаковых систем, общего учения о знаках и их функционировании, родилась на рубеже XIX-XX вв. Знаковыми системами являются естественные, исторически сложившиеся языки, искусственные языки, в том числе формальные логические исчисления, различные системы сигнализации в человеческом обществе (например, система знаков уличного движения), системы сигнализации в мире животных" ("язык" пчел), языки программирования, системы культовых, обрядовых действий и т.д. Семиотика изучает любого типа системы вещей, но только в одном единственном аспекте: в их функции знаков. Вещи и свойства вещей, выступление в функции знаков, составляют предает ее рассмотрения. Поэтому она и является основой, инструментом любой конкретной науки, в которой определенные типы объектов, явлений, действий изучаются не сами по себе, а в их роли знаков.
Развитие общей теории знаковых систем во многом стимулировалось
7
успехами в области символической логики, а также задачами исследования структуры языков науки. К началу века эти исследования постепенно выкристаллизовывались и складывались в особую отрасль знания. Изучение языка науки предполагает использование особого рода знаков, относящихся к знакам и выражениям рассматриваемых языков. Последнее означает, что "метанаука должна использовать семиотику как свой органон" ЕПЗЪ Язык науки рассматривается не только с точки зрения его синтаксической структуры, но и в его отношении к обозначаем оглу. Метод конструирования особых искусственных языков логики и математики во многом стимулировал развитие семиотических исследований. Возможность представить определенного типа содержательные процессы рассуждения точным образом посредством оперирования с символами по определенным правилам значительно обогатила наше понимание языка и расширила представления о структуре знаковых систем, адекватных для воспроизведения логической дедукции.
Идея семиотики как общей теории знаковых систем была выдвинута независимо друг от друга логиком, философом и математиком Чальзом Пирсом, швейцарским лингвистом Фердинандом де Соссюром, н мецким философом, логиком, основоположником феноменологической школы Эдмундом Гуссерлем. Большую роль в разработке искусственных языковых систем и исследовании их репрезентативной функции сыграли работы логика и математика Г.Фреге.
Именно Г.Фреге (1848-1925) поставил задачу построения особого рода искусственного языка (идеографии), в котором бы правила оперирования с комбинациями символов - наглядными чувственно-воспринимае-мыми объектами - воспроизводили отношение логического следования. Г.Фреге полагал, что естественны* язык неадекватен для представления структуры логических рассуждений, и он строит язык, написанный специальными символами, с которыми надо манипулировать по установленным правилам - некоторый род исчисления. Фреге видел свою задачу
8
9
не в том, чтобы представить логику в виде формул, подобных формулам алгебры или арифметики, и применить математические, алгебраические методы к логике, а в том, чтобы построить специальный искусственный язык символов для "чистого мышления", адекватным образом воспроизводящий отношения между понятиями и отношение логического следования между высказываниями. Он ставил своей целью освободить логические процедуры от влияния тех частных, специфических средств выражения, которые накладываются естественным языком. Фреге подчеркивал методологическую, гносеологическую роль искусственных языковых систем как инструмента исследования содержательных процедур.
Ч.Пирс (I893-I9I4), один из родоначальников математической логики в ее современной форме, предложил создать общую теорию знаковых систем и назвать ее семиотикой-. В разработке идей семиотики Пирс прежде всего идет от задач и проблем математической логики. Точность логических рассуждении обеспечивается применением к логике методов математики, она опирается на не вызывающую сомнения наглядность, на математическое, т.е. Анаграмматическое или "иконическое мышление". Знак есть, прежде всего, материальное образование, вещь или свойство венда. Пирс рассматривает, как в процессе* коммуникации конкретные, наглядные, чувственно-воспринимаемые объекты становятся знаками. Знаком является такой объект, который некоторому лицу (интерпретатору) представляет, замещает некоторую вещь, процесс, ситуацию: знак есть нечто, представляющее что-либо некоторому лицу в некотором отношении. Пирс разработал подробную классификацию знаков. Среди различных аспектов предложенной им классификации особое значение сохранило подразделение знаков на иконические, знаки-индексы и символы. Это подразделение знаков непосредственно связано с анализом того механизма,
Исследование и критический анализ философских воззрений Ч.Пир-с » см. в монографии Ю.К.Мельвиля £393.
посредством котооого одна вещь (знак) может репрезентировать вещи, процессы, отношения. Пирсом были заложены основы общей теории знаковых систем, разработана целостная теория знаков. Однако семиотические идеи Пирса становятся широко известными гораздо позднее, после выхода в свет в 1938 г. работы Морриса "Основания теории знаков", в которой систематизируются и получают дальнейшее развитие идеи Пирса, относящиеся к семиотике.
Вторая, европейская, линия развития семиотики связана с именем Ф. де Соссюра (I857-I9I3), с задачами, идущими от лингвистики, от анализа структуры естественных языков. Прочитанный Ф.де Соссюром в 1908 г. курс общей лингвистики был опубликован в 1916 г. (новый русский перевод см. Е693). Лингвистику де Соссюр рассматривал как ветвь общей теории знаковых систем. Необходима наука, которая лежала бы как в основе языкознания, так и ряда других наук о знаках. Он называет такую единую науку о знаках семасиологией. Ei«y первому принадлежит сравнение языковой системы с шахматной игрой: роль отдельных знаков или выражений языка определяется их положением в системе. Идеи де Соссюра оказали огромное влияние на развитие лингвистики. Построение формальных грамматик, применение математических методов в лингвистике тесно связаны с разработкой семиотических идей в лингвистике. Для современной лингвистики характерно использование структурных, математических методов. Лингвистика переходит от задач описательного характера - чисто эмпирического исследования исторически сложившихся языков - к построению их теоретических моделей. Это сближает лингвистику с логикой, математикой и другими дисциплинами, использующими метод конструирования искусственных гзиковых систем. Лингвистика при таком подходе имеет дело с некоторыми общими свойствами языков и.дает лишь упрощенное, идеализированнее воспроизведение реально существующих языков.
давитие семиотики тесно связано с развитием логики, с процессом
10
II
размежевания логики и психологии. Большое влияние в этом направлении оказали работы Г.Фреге и Э.Гуссерля (1859-1938). Э.Гуссерль - философ, основоположник феноменологической школы современной философии, откровенно идеалистической школы. Однако логические исследования Гуссерля связаны с борьбой против психологиз-. ма в логике и теории познания^-. Согласно Гуссерлю, чистая теория познания изучает не психические феномены сознания, а некоторые
"идеальные сущности", "идеальные предметы", не существующие в пространстве и времени. Они - результат абстрагирующей деятельности, интуитивного усмотрения предмета, результат особой идеирую-щей абстракции. Выявляя природу логики, сущность логических законов, Гуссерль выступал против психологической трактовки законов логики. Гуссерлю принадлежит исследование природы знака, ряд интересных семантических идей, анализ видов значений знаков языка (категорий значения). Теория семантических категорий, разрабатываемая, позднее в польской школе логиков, идейно восходит к категориям значения Гуссерля.
Мы ввделим некоторые общие принципиальные установки, тенденции, связанные с семиотикой. Они легли в основу ряда наук, исследующих
знаковые системы,в первую очередь - в основу логики и лингвистики.
I Психологическая трактовка логики имеет место в работах Дж.С.Милля, Н.Я.Грота, Х.Зигварта, Т.Липпса, Ъ.Эрдмчна и др. Э.Гуссерль следующим образом характеризует указанную тенденцию: "Логика и теория познания, эстетика и этика и педагогика приобрели, наконец, благодаря ей (экспериментальной психологии), точный фундамент, мало того, они уже на пути к тому, чтобы преобразоваться в экспериментальные дисциплины. Вообще строгая психология, говорят нагл, само собой разумеется, есть основа всех наук о духе и в не меньше степени основа метафизики" f22,10J . Я.Лукасевич характеризует психологизм в логике как признак упадка логики в современной философии С 362 .
Одной из таких установок явился антипсихологизм. Б XIX в. основу логики и даже теории познания, этики, эстетики видели в психологии. Логика - часть психологии, она изучает закономерности нашего мышления как психической деятельности, то, как мы мыслим. С психологизмом в логике связано эмпирическое истолкование законов логики. Логика превращается в некоторую "физику мышления", науку, изучающую "естественные законы мышления".
Развитие логики показало, что логика изучает не психические процессы, а правила, нормы перехода от одних утверждений к другим, обеспечивающие при истинности исходных утверждений истинность получаемых заключений. Логика основывается не на закономерностях психической деятельности людей, а на объективных отношениях, складывающихся между результатами абстрагирующей, познавательной деятельности людей. Б.И.Ленин отмечал, что практика человека, "миллиарды раз повторяясь, закрепляется в сознании человека фигурами логики. Фигуры эти имеют прочность предрассудка, аксиоматический характер именно (и только) в силу этого миллиардного повторения" £2, т.29, 1983. Логические законы, способы рассуждения, не являются абсолютными, раз и навсегда данными, априорно присущими нашему мышлению. Вне
языка "логические фигуры" не существуют, лишь в языке получают они свою "непосредственную действительность", свое выражение.
Следующая идея, связанная с разработкой семиотики, состоит в признании возможности и правомерности синхронного изучения знаковых систем. Важнейшим завоеванием XIX в. была идея развития, эволюции; исторические методы применялись в биологии, социологии, языкознании. Языкознание изучало естественные, исторически сложившиеся языки. Основным методом исследования был сравнительно-исторический метод.
Де оссюр не отрицал идеи эволюции языка. Не отрицая правомерности изучения последовательных состояний языка - каждое данное состо-
ите есть результат предшествующего состояния - он предлагает метод
12
синхронного изучения языка, метод рассмотрения языка на данном срезе его развития. Речь идет не о двух способах существования языка (реальные языки всегда развиваются во времени), а о двух различных способах описания языка, о двух различных подходах к языковым системам. Рассмотрение языка на данном срезе его развития -методологический прием. Г.1ы рассматриваем язык как единую, функционирующую систему. Абстрагируясь от проблемы изменения системы, мы изучаем отношения в этой системе, "...для описания данной шахматной позиции совершенно незачем вспоминать, что случилось на доске десять секунд тому назад'*’ С69, 1223. Синхронный метод не объясняет возникновения системы, законов ее развития, но он позволяет исследовать структуру, взаимодействие элементов системы, механизм ее работы. "Следуя за эволюцией языка, лингвист уподобляется наблюдателю, который передвигается с одного конца Юрских гор до другого, отмечая при этом изменения перспективы" Е69, 1153.
Конструируя искусственные языки логики, мы абстрагируемся от проблемы развития логики, абстрагируемся, но вовсе не считаем, что логика и ее законы неизменны, раз и навсегда даны.
С синхронным способом описания знаковых систем непосредственно связано применение структурно-функциональных методов в логике и лингвистике. Структура, взаимосвязь элементов системы объясняются условиями функционирования системы в целом. Мы не мскем объяснить сущности человека, рассматривая изолированного, "абстрактного" человека. Человек как социальное существо есть продукт общественных отношений. Поведение, сущность объекта, включенного в некоторую систему отношений, объясняется его ролью, местом в этой системе, а не его абстрактной природой.
В семиотических системах вещи, процессы наделяются особыми свойствами, приобретают значение не сами по себе, в силу своей природы и физических свойств, а в силу их отношений к чему-то, что они в этой
13
системе репрезентируют. Деревянная фигурка является королем в шахматной игре не в силу своих природных качеств, а благодаря той роли, которую она выполняет в системе. Таков же характер религиозных культовых действий. Ейе семиотической системы они теряют свой смысл. С другой стороны, изучение семиотического аспекта религиозных культовых действий не объясняет ни происхождения обрядов, ни их социальной функции - для этого надо выйти за рамки семиотической системы.
Смысл, значение знаков и выражений языка невозможно объяснить, рассматривая их изолированно, вне их места и роли в знаковой системе. Смысл и значение знаков языка можно установить, лишь выявляя условия и принципы функционирования данной знаковой системы.
§ 2. Синтаксический, семантический и прагматический аспекты языка
Исследуя искусственные или естественные языки как особого рода знаковые системы, мы всегда имеем дело с некоторой системой знаков. Только в процессе коммуникации складываются такого рода знаковые системы. Вне определенного коллектива, вне коммуникативной функции рассматриваемые системы вещей остаются системами вещей, но не являются знаковыми системами.
Уровень рассмотрения, устанавливающий, какие объекты включены в знаковую систему, какие комбинации знаков в качестве средств общения допустимы, называется синтаксическим.
Комбинации материальных объектов являются знаками в сиду того, что участники знакового общения связывают с ними нелингвистические объекты и ситуации. Отношение системы материальных объектов, являющихся знаками, к обозначаемым ими объектам и ситуациям, является предметом семантики. К области семантики относится также и тот смысл, оторый связывается со знаками участниками знакового общения. Отно
14
шение носителей языка к знаковым комбинациям и выражаемому ими содержанию, а также отношения лиц в процессе знакового общения, составляют предмет прагматики»
Обычно для объяснения механизма использования одного объекта в качестве знака другого объекта выделяют некоторую абстрактную ситуацию, кбгда некоторое лицо (носитель знака, или интерпретатор) воспринимает нечто (предметы, положения дел) не непосредственно, а благодаря наличию некоторого объекта (знака). Такого рода отношение выделяется как "исходная клеточка” анализа и описывается посредством так называемого треугольника:
знак
означаемое
Но, поскольку язык является средством коммуникации, следует рассматривать более сложную схему:
производитель
знака
воспринимающий
знак
Чтобы имело место понимание, объект, репрезентируемый знаком для производителя знака, должен совпадать с объектом, репрезентируемым знаком для лица, воспринимающего знак.
С помощью знаков в процессе общения передается не только информация о нелингвистических положениях дел, но и выражается отношение носителей языка к этой информации. То, что используются не отдельные знаки, а организованные системы знаков, позволяет передавать информацию посредством структуры и взаимного расположения знаков.
Очевидно, что вне знаковой деятельности, вне отношения лиц в процессе коммуникации не может быть семантического аспекта, т.е. отношения знаков к означаемому. Однако, изучая знаковые системы, мы
15 используем достаточно сильные абстракции и идеализации и даже "оборачиваем” порядок исследования. Мы можем исследовать знаковые системы не как средство общения, а только как средство фиксации, переработки и хранения информации. Таким образом, первая абстракция - это отвлечение от того, что язык является средством общения. В таком случае язык перестает быть собственно языком в лингвистическом смысле. Так, в логике мы используем знаковые системы не как средство общения. Мы отвлекаемся от отношения лиц, использующих язык. Но, как отмечалось выше, изучение феномена понимания предполагает включение в рассмотрение отношений между лицами. Схема "носитель языка-знак-означаемое” является результатом абстракции.
Знаковые системы, рассматриваемые только с точки зрения формальных, синтаксических связей между знаками не могут рассматриваться как механизмы хранения и переработки информации - для этого необходимо учитывать по крайней мере семантический аспект. Но при исследовании языков мы мелем допускать и эту абстракцию и начинать исследование с чисто синтаксических связей.
Таким образом, хотя именно роль в процессе практической познавательной деятельности лвдей определяет и формирование, и структуру, и интерпретацию знаковых систем, порядок исследования аспектов знаковых систем может быть обратным.
Сказанное определяет план нашего изложения. Сначала формальные системы будут рассмотрены с чисто синтаксической точки зрения. Затем в рассмотрение будет включен семантический аспект. Это дает уже достаточно мощный аппарат для исследования логических средств и вы-р 1зительных возможностей достаточно богатых языков. Мы покажем это па основе логико-семантического анализа достаточно богатого языка, пяыка первопоредковой арифметики. В дальнейшем, в процессе логико-семантического анализа интенсиональных контекстов, будут включены и г которые аспекты прапдатики. Рассмотрение языка как средства общении и проблемы понимания лежат за пределами настоящего исследования.
17
16
§ 3. Искусственные и естественные языки
Особую роль для изучения языка и логических процедур приобретает метод конструирования искусственных языков.
Искусственные языки создаются не для замены естественных языков, у них разные цели. Естественные языки складываются в процессе коммуникативной деятельности людей и являются прежде всего средством общения, передачи информации. Отсвда их многогранность, многоплановость, гибкость. В отличие от них искусственные языки ориентированы на строго ограниченные, специальные задачи.
При таком подходе искусственные языки можно рассматривать как фрагменты, модели определенных аспектов естественных языков. Собственно ухе синхронное описание естественного языка в лингвистике дает не реальное, исторически сложившееся, состояние этого языка, а некоторую "проекцию этого состояния на неподвижный экран исследователя". Такое синхронное описание языка Ф. де Соссюр сравнивал с проекцией тела на плоскость. Проекция тела на плоскость непосредственно зависит от проецируемого тела и в то же время она представляет иную, отличную от самого тела вещь £693.
Аналогично, языки, задаваемые формальными грамматиками, могут рассматриваться как определенные "проекции" естественных, исторических языков. Правила конструирования в таких языках могут задаваться таким образом, чтобы объекты, порождаемые этими правилами, предложения искусственных языков, отвечали тем же грамметическим, структурным требованиям, которым отвечают осмысленные выражения естественного языка. Искусственные языки в этом случае выполняют роль некоторых "моделей порождения" грамматически правильных единиц естественного языка. Точно так же построение искусственных языков логики позволяет моделировать различные способы рассуждений.
Однако искусственные языки в лингвистике и логические системы являются не только приблизительными моделями и описаниями естествен
ных языков или "естественных" способов рассуждения, они играют и самостоятельную роль. Искусственные языки математики, логики, химии стали важным инструментом исследования, средством для достижения определенных научных целей.
Бытует мнение, что в естественных языках можно сформулировать все то, что фиксируется средствами специализированных искусственных языков. Предполагается, что все отличие искусственных языков от естественных состоит, в принципе, в замене обычных слов и выражении специальными символами. Таким путем достигается определенный эффект краткости, сжатости сообщений, как бы некоторая их стенограмма. Такое понимание роли искусственных языков в познании не является верным. Во-первых, существенную роль при создании искусственных языков играют вопросы эффективности. Искусственные языки могут вводиться как инструмент эффективного представления определенных связей и отношений.'При переводе с искусственного языка на естественный может теряться этот оперативный характер искусственных языков, особенно возможность проведения достаточно сложных рассуждений. J этом несложно убедиться, попробовав изложить логику, математику и другие естественно-научные построения без использования специализированных языков и символики.
Цель использования искусственных языков в логике - не замена слов естественного языка некоторыми специальными символами в про-цгссе описания логических процедур и правил, а воспроизведение логической дедукции. Логические системы строятся таким образом, что-6i. репрезентировать адекватно логические структуры и связи, порой ц’ьже в ущерб краткости и легкости общения". Г.Фреге отмечал, что тенденция к краткости не всегда оправдана даже в языках математики, пни приводила ко многим неточным выражениям, а "они оказывали обрат-н н! действие, открыв дорогу ошибочным определениям. ...Логическую н йвилыюсть нельзя приносить в жертву краткости выражения" £98, 2 - 1844
19
18
665-6663. Таким образом, искусственные языки нельзя рассматривать н считал, что отношение построенного им языка "исчисления поня-просто как системы специальных символов, вводимые для краткости и ий", специального языка формул для чистого мышления, к естествен-простоты сообщений и играющие по отношению к естественным языкам w языку "лучше всего можно пояснить, если сравнить его с отно-роль языков стенографии. нием микроскопа к глазу. Глаз, в силу широкой сферы его приме-
Далее, способы рассуждения не являются чем-то раз и навсегда »нпя, в силу его способ» сти приспосабливаться к различным обсто-данным, от природы присущим людям. Нельзя принимать за некий этало тольствям, обладает большим преимуществом по сравнению с микро-те способы рассуждения, которые нашли свою реализацию именно в whom... Но как только научные задачи предъявляют более сильные естественном языке. Построение искусственных языков логических си- г^бования к остроте различения, оказывается, что глаз не в состо-стем позволяет выявлять и конструировать новые способы рассуждения ии с ними справиться. Напротив, микроскоп самым совершенным об-Посредством искусственных языков реализуются определенные шаги кон<Р';,ом породит для решения именно-таких задач, и как раз поэтому руирувдеи, познавательной деятельности люден, Закрепляясь Фигурами пригоден для решения всех иных. Так и данное исчисление понятий логики” С2, т.29, 1989. тляется созданным для определенных научных целей вспомогательным
Таким образом, искусственные языки в большинстве случаев не родством, которое поэтому не следует осуждать за то, что для дру-просто упрощенные Фрагменты естественных языков, но дополнительные ’пх целей оно не П°КК°ДИТ" С97, 59.
специализированные знаковые системы, играющие важную оль в дозна- Остановимся еще на одном круге вопросов, связанном с ролью ионии. Они служат особым вспомогательным средством для достижения оп-,<>’сственнЕас OTblK0B в анализе определенных контекстов естественных
ре деленных научных задач. Одна из них - сделать явными те предпосылки, которые принимаются в теории, представить точным образом логические связи и структуру рассуждений.
Отметим еще одну важную функцию естественных языков. Построение искусственных языков с точным синтаксисом и семантикой позволяет исследовать - путем реконструкций - определенные интеллектуальные, познавательные процедуры, выяснять онтологические допущения, связанные с ними. Так, построение точных семантик для логических систем позволяет выявлять теоретико-познавательные предпосылки, свя-
шков. Речь идет о роли искусственных языков логики в выявлении I' гической структуры предложений естественных языков. Разработка ч-кусственных языков логики, "моделирующих" различные логические
'Груктуры и способы рассуждения, позволяет все более точным обра-м репрезентировать логическую форму предложений естественных язы-
*»»п. С другой стороны, интенсивная разработка в последние годы
г.।личного типа модальных и интенсиональных логик, построение точ-!ы семантик для них позволяет включать в сферу логического анали-11 все более широкий круг контекстов естественных языков.
занные с принимаемыми способами рассуждений, выявлять ту информацию,
которую несут логические законы. Особое развитие получают вопросы связи языка и мышления, исследование выразительных возможностей язиков и отношения языка и реальности.
Именно как инструмент исследования, инструмент решения определенных познавательных задач рассматривал Г.Фреге искусственные язнки.
20 Глава первая ФОРМАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ, ЯЗЫКИ И ЛОГИСТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
§ I. Конструктивные объекты; слова в алфавите А
Хотя классическая логика в своих семантических основах исходит из теоретико-множественных принципов, имеются основания строить логический синтаксис в рамках конструктивного направления в математике, по крайней мере для стандартных логических систем. "Конструктивное направление в математике и логике состоит в том, что исследование ограничивается конструктивными объектами и проводится в рамках абстракции потенциальной осуществимости, без привлечения абстракции актуальной бесконечности” (Марков А. 37,50 ). Конструктивными называются объекты, которы или непосредственно п едставлены (атомарные объекты) или задаются эффективными спосо-ами порождения из ранее построенных объект в.
Атомарные объекты задаются списком их представителей, называемым алфавитом. Природа этих объектов не играет никакой роли. Существенно, чтобы они были жесткими, дискретными, рассматривались как ц л е, и чтобы их можно было эффективно различать и отождествлять. Элементы алфавита А будем называть буквами. При рассмотрении этих элементов используется абстракция отождествления: две графически равные буквы выступают как реализации абстракты )й буквы.
Конструктивные объекты, построенные из элементов некоторого алфавита А вводятся посредство.м фундаментального индуктивного определения.
Ст уктурЕ фундаментальных индуктивных определений сл< дующая, помощью прямых пунктов устанавливается, чт > является объектом рассмотрения; в косвенном пункте утверждается, что рассматривают-
21
> лишь объекты, порожденные согласно прямым пунктам. В свою >чередь, прямые пункты подразделяются на базисные и индуктивные. I пзисные пункты указывают исходные объекты, индуктивные - способы порождения новых объектов из построенных.
Типичным примером конструктивных объектов являются слова в алфавите А :
I. Если есть элемент алфавита А , то есть слово и А;
2. Пустое слово есть слово в алфавите А ;
3. Если есть слово в алфавите А , и Jb есть элемент алфа вита А , то результат присоединения Jb справа к оС , ,
ость слово в алфавите А ;
4. Ничто другое не есть слово в алфавите А .
Пункты 1-3 являются прямыми, причем первый и второй - базисные, третий - индуктивный; пункт 4 - косвенный. В данном случае имеется одна двухместная операция, порождаюсь я из слова в А и элемента А новое слово в А .
Заметим, что любой конструктивный объект может быть представлен как слово в некотором алфавите А . Так, натуральные числа могут быть рассматриваемы как слова в однобуквенном алфавите.
Пусть А = , т.е. алфавит А состоит ив одного элемен-
та. Именем этого элемента будет " / ". Для описания результата применения порождающей операции будем использовать скобки: *( tb / )" означает "результат применения к л.". Например, " ((/ i )/-))" есть имя объекта " III ". (В дальнейшем в описании слов алфавита круглые скобки опускаются).
Натуральное число вводим посредством следующего фундаментального индуктивного определения:
I. 1. есть натуральное число;
2. Если си есть натуральное число, то результат приписыва-2х - 1844
22
ния к CL справа / есть натуральное число;
3. Ничто другое не есть натуральное число.
Далее помимо слов мы будем рассматривать конструктивные объекты более сложной структуры, элементы которых не обязательно расположены линейно. Однако любой конструктивный объект, образованный из элементов алфавита А, может быть закодирован в виде некоторого слова в расширении алфавита А; более того, слова любого алфавита могут быть представлены словами в двухбуквенном алфавите £37, гл. Г).
На множестве введенных конструктивных объектов мы можем определять некоторые предикаты и функции, вводить некоторые процедуры рассуждения, оправдываемые способом порождения объектов.
Структура нефундаментальных индуктивных определений та же самая что и фундаментальных. Различие между ними функциональное: фундаментальные индуктивные определения вводят объекты рассмотоения; нефундаментальные индуктивные определения вводят предикаты над ранее порожденными объектами.
Примером нефундаментального индуктивного определения может служить следующее определение нечетного числа:
I. есть нечетное число;
2. Если Л- есть нечетное число, то результат присоединения к CL- справа двух черточек есть нечетное число;
3. Ничто другое не есть нечетное число.
Предикаты, введенные с помощью нефундаментальных индуктивных определений, называют индуктивными или рекурсивно перечислимыми предикатами.
Как фундаментальные, так и нефундаментальные индуктивные определения оправдывают способы рассуждений, носящие название рассуждений методом математической индукции.
23
В теории рекурсивных функций разработан один из путей уточнения понятия эффективной процедуры. Теория эта строится непосредственно
пли натуральных чисел, в ней рассматриваются операции над числами и уточняется понятие вычислимой функции (разрешимого предиката).
Но имеются и иные эффективные процедуры, например, процесс порождения слов в алфавите А или процедуры порождения более сложных кон
структивных объектов.
Возможны два пути изучения этих объектов. Первый - сопоставить им определенные числа, а функциям и предикатам нац этими объекта
ми - соответственно теоретико-числовые функции и предикаты. Тогда
операции над конструктивными объектами опишутся в теории рекурсивных функции. Разработаны различные методы отображения конструктивных объектов на натуральный ряд. Эти способы получили название реализации, (геделевской нумерации объектов).
Второй путь состоит в разработке своей теории рекурсии над конст-руктивно-порождаемыми объектами, аналогичной теории рекурсии над и 1туральными числами. Хотя ничего принципиально нового этот подход Be Дазт, однако процедуры введения функций и предикатов над конст-руктивно-порождаемоЁ нечисловой системой объектов существенно упрощаются. Этот путь реализован в статьс Г.Петер Е11/Э.
§ 2. Исчисления над словами алфавита. Уточнение понятие исчисления. Нормальные исчисления Поста
Под исчислением над системой конструктивных объектов мы понимаем истему правил оперирования с конструктивными объектами, т.е. систему правил, разрешающую производить над этими объектами некоторые точным образом установленные действия.
Понятия исчисления и эффективной процедуры (операции) взаимосвя-। inы: одно из них может уточняться на основании другого.
Первый шаг в уточнении понятия исчисления состоит в том, что копст-
24
25
руктивные объекты произвольной природы замещаются стандартными
|>роо множество слов в алфавите А рекурсивно перечислимо, если
объектами - словами некоторого алфавита А. Поскольку мы приняли
t только если оно совпадает с множеством слов, доказуемых в неко-
тезис, что любой конструктивный объект может быть закодирован словом в некотором алфавите, то общность рассмотрения при этом не меняется. Операции в исчислении заключаются в преобразовании одних слов в другие. Следующий шаг уточнения состоит в установлении действий, допустимых над словами в алфавите А - в задании системы предписаний , позволяющей строить из одних слов другие. Задача состоит в том, чтобы любые действия, допустимые над словами в А, заменить некоторой системой локальных действий стандартного типа. В качестве таких стандартных действий Пост допускает лишь переходы типа:
4 р pCi
где Р - произвольное, а Вс и CL - фиксированные слова в А Г*
- знак перехода от слова вида Д. Р к слову вида РСс . Нор-
мальпым исчислением Поста в алфавите А, определяемом словами Д и C-L ( t 4. i & П- ), называют систему правил, разрешающих последовательно производить действия указанного вида, исходя из какого-нибудь слова в алфавите А.
Слово @ выводимо из слова Р в нормальном исчислении Поста П, если и тольф если Q графически равно Р или Q получено из Р в результате применения действий, допустимых в исчислении П. Некоторые слова могут приниматься за исходные (аксиомы). Тогда все слова, выводимые из них, называют словами, доказуемыми
гором исчислении над словами в алфавите А.
Нормальные исчисления Поста являются специальными видами исцелений. Однако имеются основания принять тезис, согласно кото-ому любое исчисление (в содержательном, неуточненном смысле) с (флективными процедурами вывода может быть представлено в нормальном исчислении в смысле Поста, эквивалентном егду относительно А. Иля всякого индуктивного (рекурсивно перечислимого) предиката Р , । (данного на множестве слов в алфавите А, можно найти такое нормальное исчисление П над словами в алфавите А, что для любого 'лова В в алфавите А В & ft , если и только если В доказуемо в П.
Построенное исчисление может быть таким, что для каждого слова и А можно решить, является ли оно доказуемым в этом исчислении или нет. Тогда множество слов, доказуемых в исчислении, разрешимо >гпосительно всего множества слов в А. Мы говорим, что предикат Р разрешим, если он сам и его дополнение рекурсивно перечислимы. Тогда можно построить исчисления, порождающие все элементы Р , и порождающие (Гперечисляющие”) все элементы/?.
Уточнение понятия исчисления - это один из путей уточнения понятия рекурсивной перечислимости. Понятие разрешимого предиката (вычислимой функции) вводится как производное. Но тлеются и прямы- пути уточнения понятия разрешимого предиката. Одним из естест-
иичиьлении. „ П1ЬК уточнений понятия эффективной процедуры является понятие
Задав исчисление (систему допустимых действий над словами в нормального алгорифма Маркова.
алфавите А), мы т м самым задаем "механизм”, порожцагаций одно за Как и в системах Поста, конструктивными объектами, над которы-другим слова нек торого типа. Уточнив понятие исчисления (например •<> производятся действия, являются слова в алфавите А. От исчис-смысле оста) мы н этой основе можем уточнить понятие эффективн гий алгорифмы отличаются в двух отношениях: во-первых, они не
ц дуры, эффективно-порождаемого множества. Лы говорим, что него сто разрешают производить некоторые действия, а предписывают
26
27
совершать их; во-вторых, алгорифмы не оставляют свободы в выборе последовательности применения правил.
В качестве стандартных, локальных действий А.А.Марков выбирае действия, состоящие в замене первого вхождения слова Сс в Р на слово Cj . Элементарное предписание состоит в требовании заменить первое фиксированное вхождение на
Сам алгорифм задается схемой алгорифма, т.е. упорядоченным списком элементарных предписаний, причем некоторые элементарные пред писания могут иметь точку при стрелке. Схема алгорифма в алфавит А имеет вид г _____ г
7
У
у
1умерация слов алфавита А, который состоит из /(отличных друг г друга букв, может быть осуществлена исключительно просто: каж-I ' букве сопоставится число /\-ичной записи. Если мы хотим прово-п нумерацию в определенной, например десятичной, системе запи-I, то переход к ней от /( -ичной (X $= d. ) осуществляется стан-
>ртным методом. В эт<м случае функции и предикаты над словами •ЛМвита А с буквами являются ничем иным, как теоретикс-число-
и функциями и предикатами (в терминах К -ичной арифметики).
десь и Cj есть слова в расширении алфавита А. Порядок применения элементарных предписаний жестко фиксирован. Сначала п меняется первая строка: если она неприменима, то переходят к елг -I дующей. Если применима строка с точкой, то делается требуемое пр образование и процесс обрывается; если применена X -ая строка С । точки, то делают требуемое преобразование и переходят к первой а
строке, [рименение ir рифма заканчивается, если последним его п <’дц изучения логических систем полезно ввести понятие дерева в гом было применение предписания с точкой, не применима.•
Простым примером нормального алгоритма в алфавите А будет, на рилер, алгорифм обращения слова, котсрый задается следующей схемой (буквы У не являются элементами А
т друга, 53 и у, - переменные, пробегающие по буквам алфавита А).
§ 3. Деревья в алфавите А
Мы уже отмечали, что любого рода конструктивные объекты можно цставить стандартным образом в виде слов в некотором алфавите, ико имеет смысл выделить конструктивные объекты особого рода.
или ни одна строка боле«пцИте А. Здесь мы рассматриваем лишь конечные деревья.
кик и понятие слова, понятие дерева в алфавите А вводится по-1>ч<твои фундаментального индуктивного определения. Но основная । |н дающая операция (или операции) преобразует не слово и букву
и отличны .други поиск; слово, ’» линейно или
а пару деревьев в дерево. Деревья могут записывать-двумерно (в виде графов на плоскости). Дадим точное
и* ление:
I. Если Л
V. ели А,
есть элемент А, то X- есть дерево в А;
и А - деревья в А, то <5=^ 0? есть дерево в А;
28
3. <f > есть дерево (пустое) в А;
4. Ничто другое не есть дерево в А.
Мы предполагаем, что угловые скобки не являются элементами алфавита А.
Легко видеть, что дерево в алфавите А является словом над А, т.е. словом в расширении А : А = А { >< } .
На плоскости дерево будет иметь вид графа:
I. Если - элемент А , то есть дерево в А;
2. Если и Ji> - деревья в А, то есть дерево в А;
3. • есть дерево (пустое) в А;
4. Ничто другое не есть дерево в А.
Понятие дерева в алфавите А расширяется, если вместо двухмест ной операции вводится система К -местных операций (К ^/ ) над деревьями. При этом может быть нс одна, а несколько операций одного и того же числа мест, например двухместных.
Деревья с одной двухместной операцией нередко называют слова с операцией конкатенации (сочленения).
Заметим, что эту ведущую операцию конкатенации следует отлич от операции соединения слов, вводимой следующим рекурсивным опр, делением: j £>-# д, = в о-
| 5 ( В * С-) л-
где 0^ есть буква алфавита А, а В и С - слова в А. Операция соединения слов ассоциативна, а операция сочленения - нет.
С помощью нефундаментальных индуктивных определений над дерев ями в А вводятся индуктивные (рекурсивно перечислимые) предикаты Как и над словами, над деревьями в А может быть разработана теория разрешимых предикатов и функций аналогично теории, построенной над натуральными числами.
Деревья можно закодировать числами (провести геделизацию) и в развивая самостоятельной теории рекурсивных функций и предикатов
29
ицк словами и деревьями, а используя лишь теорию рекурсивных фун-над натуральными числами.
Один из способов геделизации деревьев заключается в следующем, •««ментам алфавита А сопоставим нечетные натуральные числа; если । »|юу oL сопоставлено число !ъ , а дереву^ 3 - число Л>г. ,
деревусопоставляется число -2 3 . Если имеется не
"*лько двухместная, но и другие, К -местные, операции (для каждо- К по одной), то дереву с К составляющими со-
ч гавляется номер pt ' pz рк , где рс есть ь -ое простое число, а есть число, сопоставленное дереву . При псом способе геделизации каждому дереву сопоставлено одно единст-иное число. Отметим, что при наличии более чем одной порождающей ««•рации от того же числа мест указанный способ геделизации непригоден.
•§ 4. Многослойные конструктивные объекты. Слова и деревья в потенциально-бесконечных алфавитах
До сих пор мы представляли конструктивные объекты как объекты, । «строенные из элементов некоторого алсбавита. Это были слова и । рчвья в алфавите А. Однако ничто не мешает нам в свою очередь порождать из этих объектов новые объекты иного типа, например, по-а« цовательности слов.
Рассматривая слова в некотором алфавите А в качестве исходных «•моптов посредством фундаментального индуктивного определения •««дем понятие последовательности слов в А:
I. Если ^6 есть слово в А, то оС - последовательность ««и в А;
'. Если ft есть последовательность слов в А и - слово А, то (yd Z ) есть последовательность слов в А;
Ничто иное не есть последовательность слов в А.
Ai ч iw и » можно гнести последовательность деревьев, дерево слон, ди|»«нил деревьев. Нередко при построении исчислений в качеств»» плфадита, из элементов которого строятся слова и деревья слов, «уступает потенциально-бесконечное множество слов в некотором алфавите А. Так возникают слова и деревья в потенциально-бесконечных алфавитах. Например, говорят о потенциально-бесконечном списке пере менных ро> р* р .. .Но в принципе можно обойтись конечным алфавитом, рассматривая переменные как слова определенного типа в алфавите •£ р i . Множество переменных П вводится посред ством рекурсивного определения:
f П (И п (об /) = п
Аналогично, последовательности и деревья формул можно рассматривать как слова и деревья в алфавите формул. Все логические системы и языки являются многослойными.
Обратим внимание на следующую особенность: объекты высшего уро-ня строятся не просто из слов, а из слов специального вида, всегда выделяются из фундаментальных объектов низшего уровня с помощью рекурсивных процедур (эффективно).
Рассмотрение системы конструктивных объектов с несколькими порождающими операциями от одного и того же числа мест представляет двоякий интерес. Во-первых, можно применять удобные методы нумерации конструктивных объектов; во-вторых, мы получаем возможность трактовать логические связки не как знаки особых объектов, а как способы связи составных частей сложных объектов. Более того, при таком подходе мы можем сразу порождать интересующие нас виды конструктивных объектов, а не выделять их эффективным образом из объектов, порожденных фундаментальным определением.
Пусть А есть потенциально-бесконечный алфавит пропозициональных переменных. Имеется одна одноместная и три двухместные операции,
31
пнриждающие из объектов (деревьев) в алфавите А новые объекты Iи"ревья). Результаты применения различных операций будем изобра-•лтт, скобками различного вида: результат применения одноместной порации к объекту изобразим - первой двухместной чюрации к объектам JL и yb - £fo\ , второй и третьей операции я Ti-м же объектам соответственно и r<Zy?>7 . Тогда можно
нить следующее фундаментальное индуктивное определение объекта -(ропозиционалъной формулы:
' . Всякая пропозициональная переменная (т.е. элемент А) есть Рч>мула;
Г 2. Если формула, то [оС формула;
3. Если cL и Jb формуль, то / <^/’1 , суть
|©рмулы;
I И. Ничто другое не есть Формула.
Мы можем в дальнейшем интерпретировать Е<=^3 как отрицание об , Н - как конъюнкцию, Lc/foJ - как дизъюнкцию и /"<^/>7 - как импликацию и, рассматривая С7^) как сокращение для ] < - для |Zy>>/ , ) - для LotyJ и, наконец, (<Z ’/> )
«И сокращение для [ oift], мы получим обычную Формулу записи, чины 1 ° указывают лишь на иную форму скобок и тем самым
м । азные способы конструирования объектов.
Рассмотренный подход позволяет понять некоторые идеи Фреге, -Ч'инедшие его к графическому способу записи молекулярных предло-«•иий. Логические связки не рассматриваются как обозначающие вы-
|»чв.цция. В качестве системы связок, на базе которой строится про-н ищиональная логика, принимаются импликация и отрицание. При Мамином выше подходе порождающими операциями будут [<^3 и IX, И. Переходя к графической записи деревьев, [«(/37 можно запи-•гг, следуя символике Фреге, в виде ] 3 - в вице '—|—«Z
/3
•м- кция тогда запишется в виде -»j 1—Л , .дизъюнкция - "1 у .
32
Указанный подход позволяет исключить логические связки как особы выражения языка. ТЛы имеем дело лишь с различными способами сочл нения одного предложения с другими.
Построение конструктивных объектов посредством нескольких порождающих операций определяет и способ нумерации этих объектов. Каждому типу объектов, порождаемому соответствующей оп рацией, удобно сопоставлять определенный класс чисел - геделевских номеров этих объектов. Так, можно каждому объекту, порождаемому операцией за номером К , сопоставить число, остаток от деления которого на Л- равен К , где /д - число принимаемых порождающих операций ( к - о У,., п. -1 ).
Поскольку у нас есть двухместные операции, нам нужна функция нумерующая пары нату альных чисел. Такой функцией, как известно из арисрлетики, может служить функция:
С к, £) ~ ————-----------------+ tf
Так, в нашем примере каждый с -ой пропозициональной перемени сопоставим число • с (например, переменной , сопоставится число 5, переменной „ р^" 0 и т.д.). Объекту вида 3 сопос
таким число L + d. , цде с- - номер объекта °C , объектам - соответственно числа 5^ (hj)'*' >
, где с и J - номера объектов и /Ъ ; любым двум объектам, образо анных из одних и тех же сост. ляющих г/ и уЗ посредством различных операций, сопоставляются очевидно, разные числа.
§ 5. Об употреблении термина "язык” в логике
В настоящее время термин "язык", "языковая система" в разных контекстах и разными авторами употребляются неоднозначно. Это обусловлено, на наш взгляд, прежде всего тем, что одно и то же
33
может рассматриваться в различных аспектах. В частности но называют языками (языковыми системами) в логике, как пра-
« тличается от-того, что называют языками в лингвистике, рольку искусственный язык в логике создается не для целей об-В, а в первую очередь для того, чтобы представить в нем про-••и логической дедукции, постольку естественно понимать под
♦и ••нм*’ в логике знаковые системы, включающие процедуры логичес-»• нннода.
н и ограничиться рамками синтаксического и семантического »|*кго!) рассмотрения и процессами дедукции, то можно выпилить сле-• «itiv системы, часто называемые языками:
I. Иык как множество правильно построенных выражений, состоя-h. и । элементов некоторрго фиксированного множества (алфавита •hwk ’i). Такое понимание характерно для стру стурной лингвистики !•** ки 1 E8I3).
11ык как множество правильно построенных интерпретированных iii’iihIi. В этом случае фразы, выражения - не просто допустимые 1и®ч. '1опательности элементов языка, но и знаки, имеющие смысл, • ин ообщающие.
1 . зык как .множество правильно построенных выражений вместе с '| ’<1 р<ми преобразования одних выражении в другие. Такого рода ’ омь описываются не только правилами образования правильно по-Меппых выражении, но и правилами преобразования (аксиомы и пра-in>1 ода). °ти системы чаще всего называют формальными система-•«I и j отца выполняется требование эффективности - логистическими И .«M-IMW (Френкель - Бар-Хиллел Е78, § 23, Черч Е823. Согласно *. •, системы, не удовлетворяющие требованиям эффективности,
* моих>дит для использования (или интерпретирования) в качестве ♦ in ч... При нарушении требований эффективности нарушаются и функ-•• nuiai как средства общения" Е82; 523. Вместо термина "фзрмаль-
IH44
ная система" употребляют термины: "исчисление", "формализм", "формальное исчисление", "неинтерпретированное исчисление", "синтаксическая система”, "формальный язык" и др.
• гр, к?/poll. В таком сдучае иг* п процедуры, позволяющие .«im.4 1 мцн’ц-’лошив классы выражений эффективным образом - толь-•| В* •ин, символов и способам их сочленения - не прибегая к их
4. язык как множество правильно построенных интерпретирован „ ,,|ОЧО||И„М. такое описание языка является чисто структурных выражений вместе с определенными процедурами логической де д , п1(. ится к синтаксису.
дукции. Эти системы в ломке обычно называют формализованными .........системы вещей; не любые комбинации символов мо-
языками (Тарскии EI283; Черч С820). 1J гак явнки в логике- в логике используются знаковые
Семантическими системами мы будем называть, как обычно, си<х ju,.,,, ХЧ)оого рода. Во-первых, это системы конструктивных объек-мы, имеющие интерпретацию. (Таковы системы 2 и 4). Термины "се 1у1(„ в некотороы алйавите А. Кроме того, в логическом син-
мантическая система», "интерпретированная знаковая система" бу- ...... .„осматриваются только такие' свойства конструктивных обьек-
дем употреблять как синонимы. Языками в собственном смысле ало Г ю1Тор1(, детерип1ируются праВилами синтаксиса.
с нашей точки зрения, являются только интерпретированные знаков р_г0 тапа в лопие определяются оледуидаи классами
системы. Выражениям этих систем приписываются "вполне конкретны....ииодше сдмвот. терминЫ1 (предложения). Ис-
и для нас понятные значения, а те выражения, которые мы называ |........ (11толы (алфавит> или языка) вводятся перечнем,
высказываниями, остаются высказываниями также при переводе их , их м1(Яесга0 конечНо, и индуктивным определением - если ело-
разговорный язык" (Тарский С82Э). Если же последовательности эл ментов ("фразы", "выражения") системы не несут информации, не т ражают ничего, то такого рода система, в нашем понимании, не яв ляется языком^. Она представляет собой нелингвистическое явлени звуки, чернильные значки на бумаге и т.п.
... ч тно-бесконечен. (Логические системы стандартного типа, •hi. щмнило, строятся с не более чем счетными словарями). Посред-i&cm фундаментального индуктивного определения задается мнажест-
»Л(Ш в алфавите А. Применяя нефундаментальные индуктивные опре-
<<»«. пи । к этим объектам, описывают классы термов, формул^ предло-
Описание языка является точным и ясным, если тлеются эффекта J( д
ныв процедуры, позволяющие в конечное число шагов устанавливать „ ,,ис1емах такого рода и, гаеем дело с эффективно порождаемым для любого выражения языка, является ли оно термом, формулой, п |^,,,.,г),ом стов в некотором алфавите. Правила образования синтак-ложением и т.д. Такого рода языки называют языками о вффективно ,|( мого0 представить гак разрешающие производить точно
1 Коцца мы говорим, что такого рода системы не несут никакой т ленные действия над словами в алфавите А, т.е. как правила
информации, то имеется в виду информация об объектах вне этой cnt®atA<ll',oro исчисления. Под термином "язык" в логическом синтаксисе
стемы. Несомненно, что всякая организованная система содержит о •• потея особого рода исчисления, правила которого устанавлива деленную информацию о своей собственной организации, структуре, W1 тпкого рода объекты являются переменными, термами, формулами это уже совершенно другой вопрос. ><р" и лужениями).
о-г "языков" в этом смысле отличают "языки", подходящие для
37
36
описания логических процедур - исчисления, задаваемые двумя груп .......... Формул (предложений), а также классы аксиом и формаль-
пами правил: правилами образования и правилами преобразования. • |д*изательств разрешимы относительно множества слов в алФави-(это системы 3-го типа, формальные или логистические системы).
Правила преобразования устанавливают, какого рода слова (последо- (^пгстчуют два пути построения логической теории. В одном слу-вательности или деревья слов) являются аксиомами, формальными вы-м •• качестве языков, подходящих для представления логических водами из посылок, формальными доказательствами. Эти правила таюг>1н<л/1>, принимают системы 3-го типа - формальные, логистичес-
можно представить как правила, разрешающие производить определен ные действия над словами в некотором алфавите.
В качестве исходных элементов такого рода исчислений, порождающих формальные доказательства, выступают не буквы алфавита А, а формулы, т.е. слова в А, доказуемые в исчислении, задаваемом правилами образования. Таким образом, формальные, логистические
*• нистомы - и к описанию этих систем присоединяют некоторую ин-»^»1ицию. При таком подходе в каждом языке существует лишь одно । «г»,- доказательства. Логика, процедуры логической дедукции выс-как нечто исходное, задаваемое в виде явно сФормулирован-
| при «ил преобразования. Можно говорить лишь о различных интер-•»«щиях систем: правильных, превращающих логические системы в
системы описываются в логическом синтаксисе обычно как "двухъяру ные” исчисления, определяемые двумя упомянутыми группами правил.
Порождая определенные типы знак вых комбинаций, правила логического синтаксиса накладывают определенные ограничения (определенные рамки) на возможные интерпретации знаковых систем. Систелы 1-го и 4-го типа полностью описываются в языке синтаксиса. Собственно, интерпретироваться могут любые типы знаковых систем. Однако семантика как строгая теоретическая наука может быть построена только для языков с точным образом описанной структурой. Для стан дартных языков принадлежность к определенным классам выражений (выступающих при интерпретации как осмысленные выражения языка) устанавливается эффективным образом. Так, прежде чем установить значение определенных последовательностей слов в алфавите А, надо иметь эффективную процедуру, позволяющую относить их к классу формул, предложений или формальных доказательств. В качестве языков в логике рассматриваются знаковые системы, удовлетворяющие силы, и требованиям эффективности: системы, в которых классы переменных,
Mung о логикой, и неправильные.
1ч возможен и другой путь построения логической теории, при мы исходим из предположения, что принципы логической де-нии определяются семантикой языка. Язык в этом случае задается лып> правилами образования и семантическими правилами. Допусти-• к 1пила вывода детерминируются семантикой языка. При таком uiiuuv вопросы формулировки законов и правил дедуктивной логики ни’шшгся от вопросов их аксиоматизации.
С т( чки зрения нашей интуиции термин "язык", пожалуй, более • <<'гнонно относить к системе 3-го типа (без правил преобразова-м). 1ерч также отмечает возможность двоякого понимания термина «•mi-’’ в логике: "По другой точке зрения, которая,как макет пока-больше соответствует повседневному употреблению слова iiuit", следовало бы определить "язык" как состоящий из исходных поп, понятия правильно построенной формулы и некоторой интер-<имм«ции, а аксиомы и правила вывода следовало бы считать образую-"логику" языка. В этом случае вместо того, чтобы говорить о ( •«1Ц.П0Й или неправильной интерпретации логистической системы,
,• • И44
38
мы говорили бы о правильной или неправильной для языка логик. В пользу этой точки зрения можно было привести некоторые до». С82, примеч. 1163. Однако Черч предпочитает употреблять терм "язык" применительно к интерпретированным логистическим сисг. т.е. "таким образом, что во всяком языке существует лишь одн< нятие доказательства. Поэтому введение дополнительной аксиом-правила вывода, так же как и изменение какой-либо аксиомы илг правила вывода, дает новый, отличный от исходного язык". Такс употребление термина "язык” в логике Черч принимает отчасти и желания менять уже хорошо разработанную терминологию, отчастг тому, что считает, что "новая терминология потребовала бы дво/ го подразделения предметов синтаксиса и семантики в зависимое от того, рассматривается ли язык-объект отдельно или вместе с кой-либо его логикой" С82, 33. Такое подразделение предметов с таксиса и особенно семантики в зависимости от характера рассм-риваемых систем представляется Черчу "неестественным" и "беспо лезнытл".
Вопрос, конечно, не в терминологии, какого рода системы пре почтительнее называть языками в логике. Речь идет о принципах пятил логических процедур, их обосновании. На наш взгляд, опис пни путь построения логической теории не является "неестествен или "бесполезным". Во-первых, он дает возможность показать в ном виде зависимость системы дедуктивной логики от принимаемой семантики. Во-вторых, правила логической дедукции выступают не нечто данное, исходное, а обосновываются семантикой языка.
39
4
Глава вторая
ТЕОРИЯ С ЛАНТИЧЕСКИХ КАТЕГОРИИ
§ I. Логические языки без операторов
ценимся к анализу структуры выражений интерпретированных систем. Предполагается, что в любом из известных языков, 1||гус('твенных так и естественных, осмысленные выражения язе-Ц^мптворяют определенным структурным требованиям. Не любые системы, описываемые правилами образования, могут интер-|фл>мяться таким образом, что допускаемые комбинации символов Апмются в осмысленные предложения или термины. Возникает во-fl«.н к»б11мх структурных особенностях, связанных именно с осмыс-il । выражений, с теми вида ели значений, которые могут им со-шгься при интерпретации. Теория семантических категорий, т"торий значений выражений языка, позволяет выявить общие рнпе требования, соблюдение которых является необходимым
» и недостаточным) условием осмысленности выражении интерпре-Mmill 1ЫХ систем.
I ii-iii о семантических категориях восходит к Фреге и Гуссерлю. И|бплее интенсивную разработку оно получило в польской школе
Очень близка к концепции семантических категорий теория
<Й1 Г-.J ассела. Однако надо отметить, что если у Б.Рассела теория S'inin введена как средство для предотвращения парадоксов, то
«ft школе логики у Ст.Лесневского, А.Тарского, К.Айдукевича
। • |*ла1ггических категорий связана с глубокими философскими и '•пиитическими проблемами. Для них элиминация парадоксов логики
• -я т ионный и не главный стимул для введения теории семантичес-• IlVlirofHfi.
Й»Л»сиовский использует теорию семантических категорий в после
40
довании оснований дедуктивных наук. А. Тарский дает классификацию формализованных языков в зависимости от порядка и числа семантических категорий, к которым принадлежат переменные Азыка. Целый ряд важнейших результатов Тарского (о том, что метаязык, в котором определяется понятие истины, должен быть богаче объектного языка; о невозможности синтаксического определения истины для языков бес конечного порядка без использования трансфинитной индукции) невоз можно даже точно сформулировать, не предполагая определенной тес рии семантических категорий. В работе К.Айдукевича E85J систематически разработана теория синтаксических категорий (аналог теории семантических категорий), позволяющая выявлять структурные особен ности осмысленных выражений языка; в то же время она явилась пер вой работой, заложившей основу для внедрения теории семантических (синтаксических) категорий не только в логику, но и в лингвистик;.
На основе теории семантических категорий нам представляется также возможным уточнить понятие логической формы высказываний, имеющее существенное значение для логики (см. Смирнова Е.Д.С582 ) Членение выражений языка на осмысленные единицы может совершат ся на различных уровнях. Можно говорить о членении слов на опреде ленные (осмысленные) составляющие - словоморфы (пере=чит^ыва=ющ-сложных предложений - на простые или предложений - на слова и (ос мысленные) словосочетания. Естественно, возникает вопрос,
1 Метод рассмотрения структуры выражений на основе теории семантических категорий получает в последние годы все большее признан." В первую очередь следует отметить работы Р.Сушко £126 J , Л.Борко ского [89J , Р.Монтегю £112 J , М.Кресвелла £92 J и И.Ламбека E29J Интересно отметить, что метод анализа структуры выражения языков по непосредственно составляющим в структурной лингвистике по существу воспроизводит метод Айдукевича (см. [191 , [8IJ ). Однако у Айдукевича имеется в виду именно типология значении, и постр ние определенной иерархии категорий.
41
iBr itiu принципы членения на осмысленные составляющие единицы.
И' к одними элементами некоторого языка будем считать слова это-11 Сложные выражения рассматриваются как конечные деревья Мон Юж упоминалось выше, может быть много операций, порождаю-/(пренья. Мы будем представлять выражения языка как конечные
/ i вида: Y Указанного вица деревья допус-
двоякое истолкование.
Пп первых, 'F <<Zt, ,<^к> можно представить как дерево, по-|Mkii<4iiioe из деревьев z olK посредством операции 9х . Выше • показано, что двухместные пропозициональные связки (конъюнк-цияьюнкцию, импликацию и т.д.) можно представить как особые •••рицин, порождающие из двух деревьев новое дерево, а не как са-В*"‘ «тельные выражения языка. При данном подходе '"р - также не Нци-1'О'-тельное выражение языка, а лишь изображение порождающей ВЬк 'пни, т.е. синкатегорематическое выражение, наподобие скобок. Ьвиим случае для каждого Л должно быть несколько К -местных •м*! »щий, порождающих из деревьев cLi:). ? различные вира-
^••вторых, ) °^к> можно рассматривать как дерево, по-
ft«<i>'*iiioe К+1*местной операцией из деревьев и У7 .
^В тиком подходе для каждого л имеется всего одна -местная ^<«.111 к 1ая операция, У - является выражением языка rupi^uor/D. Однако роль У' и деревьев c/Xj } в построении
ИИ*" 'У' различна: будет главной частью, а
t cZ к подчиненными частями дерева 'У' у °£к>* Ц|« нставление выражений языка в виде дерева y-z z
пением главной и подчиненных частей назовем членением выра-^Blll пипка на функтор и его артументы. Первая из описанных выше В^*' ""к деревьев вида z olK>соответствует номиналисти-пеним нию функторов как необозначающих, синкатегорематичес-
ких нырмжсчшй. । ' истолкование соответствует платоиистичес-
кому истолки» ниц» '| пктороп как выражений, обозначавших функции.
В естественном языке выражение "Онегин убил Ленского" естественно ссм1Тривлтъ как выражение, состоящее из трех частей: главная гость - "убил", две остальные - подчиненные. Тогда это предложение запишется следующим образом:
убил <Онегин, Ленский >
В данном примере главную часть естественно трактовать как обозначающее выражение.
Рассмотрим выражение "мать цужа". В виде дерева оно запишется: и/мать, муж> . Этот пример естественно трактовать как дерево, построенное из двух выражений "мать" и "муж" с помощью особой порождающей операции, выражаемой в русском языке родительным падежом второго слова, в английском и немецком - особыми словами "о/ ". Главную часть можно считать выражением языка, обозначающим функцию, известную в логике под названием относительного произведения бинарных отношений.
Представление выражений естественного языка в виде деревьев указанного вида (с главной и подчиненными частями) не является тривиальной задачей. По существу это одна из основных задач структурной лингвистики.
Если фиксирован некоторый определенный способ разбиения выражений языка, то этим еще не установлено, является ли выражение правильно построенным или нет. Мы должны уметь различать типы сложных выражений и их составляющих. Это достигается посредством теории семантических категорий.
Предположил, что мы умеем как-то выделять предложения языка. Будем говорить, что два выражения рассматриваемого языка принадлежат к одной и той же семантической категории, тогда и только тогда, когда имеется предложение языка, в которое входит одно из этих вы-
43
tunil, и для всякого предложения результат замещения в нем одно-и птих выражений на другое вновь является предложением. Так, и» «-пня русского языка "стул” и '’молоток" принадлежат к одной же семантической категории, ибо заведомо существуют предикий русского языка, в которые входит слово "стул" (например: *С - 'I стоит под деревом") и в любом предложении замена слова Кул" па слово "молоток” даст в результате опять-таки предлеже-||« Выражения "маленький" и "меньше" или же "стул" и "лежит на" инлдлежат к различным семантическим категориям.
Но колику отношение "принадлежать к одной и той же семантичес-
<1 категории" является отношением типа эквивалентности, то приметок называемое определение через абстракцию можно ввести поня-ссмантической категории. При этом все множество выражений будет оделено на взаимно непересекающиеся подмножества (семантические гории) .
1 •дует отметить, что указанный способ разбиения выражений м>’| на непересекающиеся классы (семантические категории) предпо-очень сильную идеализацию. Чтобы установить, принадлежат ли । поражения к одной и той же семантической категории, надо про-|'Ф<«'гь все высказывания языка, содержащие одно из этих выражений. И* 1м’у11|оствить это эмпирическим путем невозможно. Можно просмот-
Ь нить достаточно большое число случаев или сослаться на интуи-"чувство языка". Чтобы не прибегать к перебору бесконечного И^тна предложений, приходится принять основной принцип теории ч нчоских категорий: если существует некоторое предложение, в •I" ' входит выражение oL , и если результат замены на уЗ ’* м предложении есть предложение, то для всякого другого предло-•’* имена на Ji дает предложение. Другими словами, для уста « ши того, что два выражения и принадлежат к одной и Ь> (^пиитической категории, достаточно знать, как влияет замена
44
одного из них на другое всего в одном предложении. Это означает, что принимается очень сильное допущение, что любое выражение языка принадлежит к одной и только одной семантической категории: тип, категория его значения в данном языке остается одной и той же в любом осмысленном контексте, в котором оно встречается.
К построению теории семантических категорий, на наш взгляд, можно подойти двумя способами: первый условно назовем анализирующим, второй - синтезирующим.
Оба подхода в качестве предварительной части предполагают, что имеется Фиксированный способ разбиения сложных выражений на составляющие. Здесь мы принимаем, что выражения языка членятся указанным выше образом на функтор и аргументы.
Введенное выше понятие семантической категории (как класса взаимозаменимых предложений) лежит в основе анализирующей теории семантических категорий. Анализирующая теория семантических катер рий основывается на следующих предпосылках:
I. Предполагается, что имеется способ распознавания правильно построенных формул (предложении), не-прибегая к анализу их внутренней структуры.
2. Принимается основной принцип теории семантическ х категорий Анализирующая теория семантических категорий исходит из предпосыл ки, что язык задан множеством всех возможных предложений; задача теории состоит в том, чтобы открыть грамматику языка, т.е. найти элементарные семантические категории этого языка и способы образования из выражений одних семантических категорий - других.
Принятый способ членения выражений языка на функтор и аргумента делает естественным допущение, что категория функтора зависит от числа и категорий аргументов и от категории выражения, образованы го приложением функтора к аргументам. Удобную форму представлена такой зависимости предложил К.Айдукевич С853. Он обозначает катег
45
।i • >on в вице дроби: в числителе дроби стоит знак категории । .пня в ц<*лом (образованного приложением функтора к его ' im', id знаменателе знаки категорий аргументов.
h im ЦШП1 только одна категория выражений языка - катего-лщгий. Обозначим ее знаком S , и будем называть этот
1«»к(>ом категории предложений. Тогда категории унарных и
। н< -ичсских связок, таких как и т.д. обозначатся
$ S
" ;|”,10 5 и •
b с мновить категории выражений, являющихся факторами,
ми от логических связок, необходимо найти категории выраже-ro|uj« не являются (функторами, а играют только роль аргумен-, которые встречаются на местах аргументов, но ни-
• иотречаются в роли функторов, мы будем называть именами ичнч категорию имен буквой п. . Естественно, что для различ Вон тело основных категорий может быть различным.
।| мн имеем средства для решения следующего типа задач:
"рию выражения в целом и категории аргументных выраже-
* м устанавливать категории функторов. Так, выражение
i и ‘Тея предложением и, следовательно, принадлежит кате-
и "3” принадлежат категории п. . Таким образом, " > "
• н категории ^7. Категория выражения "5+7” - п. , кате-
< ши "7” и "5” также - п- . Категория функтора ”+",
“ ivrC* Соответственно категория выражения "красный" ци ток) - Jb-, а выражений "брат”, "старше”, "современ-
♦in ji'iT Алексея) - • Таким путем получаем определении |<11с;щию функторов: . - категории предметных
~ Федикаторов; XX- .. - пропози-
«м к i:jok.
<*"i ' (ом, используя членение выражений языка по схеме:
• ••• »ргументы, для любого функтора мы можем установить
46
его категорию по категории выражения в целом и категориям аргуме! тов. Но можно решать и другую задачу: зная категории выражений, стоящих на местах функтора и аргументов, установить категорию
сложного выражения в целом и в частности решить вопрос о его пра
вильной построенности.
Айдукевич предложил простую процедуру, позволяющую установить, является ли выражение языка структурно правильно построенным (сш таксически связанным" - в его терминологии). Категория выражения
в целом определяется следующим образом:
I. Пишется категория функтора.
2. Вслед за категорией функтора выписываются категории аргуме? тов.
3. Производится последовательно сокращение справа налево -
по обычным правилам сокращения дробей.
Выражение будет правильно построенным, если в результате сокра
щечия получаем одну дробь вида
при и. > о . Получении
в результате индекс указывает, к какой категории принадлежит вы
ражение в целом.
По существу, указанный метод установления "синтаксической свя занности" выражений языка предполагает, что любые (осмысленные) выражения языка могут быть представлены в виде деревьев вица с^к>, любое правильно построенное выражение должно цо конца члениться на части по схеме: функтор и его аргумент. Но эт -го недостаточно. Необходимо ещё, чтобы каждому функтору, принадл жащему определенной семантической категории, соответствовало опре деленное число аргументов, и чтобы сами аргументы принадлежали оп ределенным семантическим категориям. На синтаксическом уровне это выливается в правила сокращения индексов и требование, чтобы после такого сокращения оставался экспонент, состоящий из одного индекса.
47
|ц»мрующая теория семантических категорий позволяет устано-Вмпирическим" путем определенную систему семантических кате-г чатриваемого языка.
*1 ). мы имеем возможность построить теорию семантических риП строгим синтезирующим методом. Мы не рассматриваем язык что данное - как заданную совокупность всех его возможных В>ний. От нас не требуется "божественной” способности рас-1 ч предложения языка, не вдаваясь в анализ их структуры, и вп основной принцип теории синтаксических категорий. Систе-<• хэрий мы строги дедуктивно;
'ццеляются основные (исходные) категории.
Устанавливается метод построения иерархии категорий. Над ними категориями выражений "вырастают леса" категорий; иерар-•л и торий, представленных их индексами.
, Наконец, устанавливается, каким образом каждому выражению к>жот быть сопоставлен определенный индекс (т.е. - как оно rtiiTb отнесено к определенной категории).
i построении синтезирующей теории категорий мы фактически чилаем метод": не предполагается, что мы умеем распознавать шпине выражения, являющиеся предложениями, - и мы начинаем "пне с некоторых категорий выражений, принимаемых за основ-Кнкого рода сущности сопоставляются выражением этих катего-иорпопачально не указывается.
нарушая общности рассмотрения, можно считать, что каждое »»• выражение образовано из двух выражений посредством одно-операции приложения функтора к аргументу (т.е. двухместной В порождения дерева). В дальнейшем результат одноместной и приложения функтора Y к аргументу оС мы будем пи: (%С).
48
Понятие индекса категории вводится индуктивно:
I. Л- и 6 есть индексы категорий.
2. Если оС и /3 есть индексы категорий, то есть индекс категории.
Пусть /г- - индекс категории имен, £ - индекс категории предложения. Заметим, что в качестве исходных индексов могут быт приняты индексы иных категорий.
Определил произведение индексов;
I. Если - есть индекс категории, то есть произведение индексов.
2. Если и Jb суть произведения индексов, то ? ) есть произведение индексов.
Определим функцию , которая каждому исходному (примитивному)! знаку исследуемого языка сопоставляет некоторый индекс и каждому сложному выражению (АВ) сопоставляет произведение индексов где с/ и Jb суть произведения индексов, сопоставленные функцией выражениям А и В соответственно.
Пусть с/ , уЗ и Ф - индексы категорий и имеет вид щ би £ , тогда произведение индексов (cZ/З ) может быть замене-
У* но индексом . Эту процедуру назовем процедурой сокращения индексов.
Выражение будем считать правильно построенным, если сопоставленное ему произведение индексов после процедуры сокращения преоб< разуется в индекс категории.
Выражения, которым приписывается один и тот же индекс, мы относим к одной и той же синтаксической категории и сами индексы рассматриваем как обозначения соответствующих категорий
Система, построенная в соответствии с данной иерархией синтаксических категорий, еще не будет языком. Отнесение выражений формальной системы к опоеделенным категориям устанавливается в синт
49
нс puTtfi систему можно превратить в язык посредством се-.1- правил. На наш взгляд, семантические правила естест-цтпцеллются на два типа. Правила первого типа Фиксируют
|'*fи. гтн интерпретации, т.е. указывают, какого рода системы fnw могут приписываться выражениям соответствующих синтакси-
мт горий.
kixnrnt^ "область X приписывается категории ” употреб-
*. I-U' сокращение для "X есть область изменения переменных ка-
р • - , и X есть множество, элементы которого приписываются
tn.. »пм категории ”.
^пиитическим правилам первого типа относятся:
• г1.|плла, устанавливающие, какого рода области объектов при-Brti и основным синтаксическим категориям;
мп1жл1, устанавливающие, какие области приписываются произ-
<мптиксическим категориям, т.е. категориям типа , если /о
, какие области приписываются категориям и jb . |>и[»лжениям категории л. сопоставляется некоторая область В. Правила первого типа не фиксируют определенной индивиц-и ти - это дело правил второго типа. Выражениям категории
'.шляется область истинностных значений. Для уточнения
•’мантической категооии не существенно, какова эта область mu,и значений. Однако для систем, основанных на класси-
= (Выбор области истинностных значений
" 'ИКР, "тпосгть к правилам первого типа). Выражениям категории
" шляется множество функции, область определения которых -, сопоставленное J , и область значений - множество, со-об , т.е. категории приписывается множество X , пштоставлено Jb , а X - категории . Так, выражениям р свой категории приписываются функции, областью опре-
fiTopiDC является индивидная область, а областью значений—
50
область истинностных значений Ло . Синтаксической категории приписывается множество функций, область определения которых -множество упорядоченных пар индивидов, а область значения - /?о. Поскольку индивидная область не фиксирована, приписывание областей этим категориям релятивизировано относительно приписывания области объектов синтаксической категории . Синтаксической катег рии -у приписывается множество унарных пропозициональных функци Правила первого типа, даже обогащенные правилом выбора области истинностных значений, не устанавливают значения, скажем знака , а только указывают, что оно может быть одним из четырех (если
Ко- { И,ЛТаким образом, посредством семантических правил пе вого типа система синтаксических категорий превращается в систему семантических категорий.
Правила второго типа из всех возможных областей, приписываемы/ категории К , Фиксируют одну определенную область (например, множество натуральных чисел) и из всех возможных приписываний объектов дескриптивным выражениям языка фиксируют одно определенное. Если фиксированы приписывания областей основным синтаксическим категориям, то тем самым Фиксируются области, приписываемые произ-с водным синтаксическим категориям. Так синтаксической категории -=£ сопоставится множество свойств натуральных чисел, если категории /2- сопоставлено множество натуральных чисел.
Параллелизм между синтаксическими и семантическими категориями оказался возможным благодаря наличию двух предпосылок: выражения основных категорий рассматривались как обозначающие, и все функторы рассматривались как категорематические выражения.
Выше отмечалось, что с чисто синтаксической позиции Функтор можно рассматривать не как особое выражение языка, а как метку способа образования (порождения) сложного выражения из составляющих. Семантические правила первого типа могут быть построены так,
51
м оиптаксическим категориям сопоставятся семантические.
Iим пример такого построения. Семантические правила фор-
II гчндукщим образом:
и* пи им категории Л- приписывается индивидная область.
in кпгпгории Ji приписана область У , то категории R о*Л1СТЬ 2У .
П IJ t'l-'
щ 'лгегории Jo приписана область М , то категории
I бласть ХУ, где X есть область, приписанная катего-
> шиш система есть система семантических категорий с дву-л i|i лкторов - имяобразующими и высказываниеобразующими.
гго выражения категории , так же как и выражения кате-, и т.д. не будут обозначающими.
мучае понятие семантической категории выражений может
' о индуктивно следующим образом:
। Г’ семантическая категория;
I Коли - семантическая категория, тои - семанти-кие категории;
Ьвяикая другая категория не является семантической.
IBfik'TeTBHH с двумя способами истолкования функторов, логи-снютанты могут рассматриваться как обозначающие выражения |рвгсматриваться как синкатегорематические - игл не приписн-«в*« и•’пия*'. В первом случае должны вводиться дополнительные
к ’И»' правила, приписывающие значения логическим констан-1то|юм - должны иметься правила, позволяющие сводить зна-ftlitux выражений, образованных посредством этих функторов, |Им составляющих. Осуществляется это посредством правил »и (выполнимости).
in и ’чльно важности подразделения выражений языка на катего-MlCMi' и синкатегорематические интересные соображения выдви-
и логике схоластов, об этом см. нашу статью £610.
52
На базе построенной указанным образом теории семантических к о тегорий можно уточнить понятие логической формы выражений.
В современной логике следует, на наш взгляд, различать два по-1 нятия формы выражений. Первое понятие формы синтаксическое. Мы г ы ворим о формальном рассмотрении выражений языка, если оно касается лишь вида знаков, их порядка и способов сочленения. Второе п нятие формы, понятие логической формы, является семантическим; оно аппелирует к значениям определенных знаков языка - логически констант, хотя и не зависит от значений конкретных терминов, or ставляющих "материю" высказывания. "Если вы удалите из силлогизм! все конкретные термины, заменив их буквами, - вы удалите матери силлогизма, и то, что остается, называется его формой" (Лукасевич, £36, 503).
Под логической формой выражений языка понимают обычно резул!г • замещения дескриптивных знаков (одинаковых - одинаковыми). Конк ные термины, подставляемые вместо этих переменных, представляют "материю" высказываний. Полагают, что, заменив конкретные терж и переменны?®!, мы тем самым удалил "материю" рассуждения и получит его логическую форму.
Нам кажется такое представление логической формы неадекватным, если в качестве переменных выступают переменные объектного языка. В таком случае результат замещения дескриптивных терминов перемени ними даст нам формулу того же языка, а не логическую форму его в ражений. Логическая форма выражений некоторого языка не есть фо!>-мула этого же языка; она должна описываться не в объектном языке, а в его метаязыке.
Если же дескриптивные терглины замещать переменными метаязыка, то тогда эти переменные предварительно должны быть отнесены к опр
О
См. наши работы £563, £593, £613, £663.
53
। hi иiM, категориям - в таком случае они просто выполняют В фмь < < и категорий замещаемых терминов.
д и гом, что при появлении логической формы высказывания, Шр <>i ' < > освобождаемся от "материи” высказывания (это действи-
.........икается удалением дескриптивных терминов и заменой их райнпикма), но мы должны еще выявить тип удаляемых выражений.
oi'iiHiDM, к логической форме высказываний, помимо логических in.и, относятся указания места и категорий удаляемых дескрип-и гормипов (что может быть достигнуто введением особого рода
71 .Существенную роль в анализе логической формы, как нам нпггся, играет сам принцип членения выражений на составляю-)||’’<||| способ связи функтора с его аргумента?®. Но этот воп-|« ион затронут нами в гл.5.
|Ьн1.пи логической формы языковых выражений можно ввести более
1 разом, если в основу анализа структуры выражений положить иную теорию семантических категорий.
р логической формой первого уровня выражения А будем иметь
। • чультат замещения всех примитивных знаков выражения А Ьмш соответствующих категорий.
Kki'um, однако, что такое понимание логической формы высказы-* им «и(слагает предварительное подразделение знаков языка на Ь'"'111 и дескриптивные. Но какие знаки считать логическими,а
i.i < нриптивными и по какому принципу? Обычно в качестве логи-тисов рассматривают именно те знаки, которые относятся к ^^|||<>й форме, к тому, что остается после удаления "материи” В^нпгишя, т.е. после удаления дескриптивных терминов. Из природы самих знаков мы не можем установить, какие из >.|ц*|< (чше, а какие декриптивные, ибо это не синтаксические in I. Только разграничение семантических правил, уточне-Ъ>> <нов приписывания значений различным типам знаков язы-£****'< '•>' путь подразделения знаков на логические и дескрип-
54
Выражение А по своей структуре представляет собой дерево; его мы можем записывать линейно с использованием скобок, как было показано выше, или двумерно в виде (ориентированного) графа выражения А. Точка, в которую входят две стрелки, представляет сложное выражение, две точки, из которых выходят эти стрелки, представляют составляющие выражения. Точка, в которую не входит ни одна стрелка, представляет примитивное выражение. Точка, из которой не выходит ни одна стрелка представляет само анализируемое выражени ; эту точку графа будем называть главной вершиной графа .
Логическую форму (первого уровня) выражения А удобно изображать в виде графа А с произведением индексов, приписанных каждое его точке. Логическая форма правильно построенного выражения име ет вид графа, каждой точке которого сопоставляется произведение ин дексов, сокращаемое до индекса. Индекс, приписанный главной вера не графа есть индекс категории всего выражения в целом.
Рассмотрим структуру выражения С (Рх$) ( , записанного д,
удобства анализа в польской символике. Мы принимаем соглашение ос ассоциации влево, без которого указанное выражение, рассматриваемое как результат двуместной операции порождения дерева, следовало бы записать: и С(( Рх)у)) ( вх>) Чертеж внизу слева даёт графическое изображение структуры рассмат риваемого выражения. Логическую форму первого уровня этого выраж ния представляет граф справа.
5
Метод представления структуры сложных выражений языка посредством диаграмм разрабатывался Р,Сушко £1263 ; использование метода диаграмм в лингвистике см., например,[19], [81] . Однако существенные преимущества этот метода даёт при анализе выражений с операторами и кванторами так, как это предлагается ниже.
55
ii • нише понятие логической формы недостаточно для обос-я< иуктивннх рассуждений. Для того, чтобы логическая Форма и -Лоеношгеала дедуктивные рассуждения - рассуждения по Ri • ^холима дополнительная информация:
<ивг<ютвс и различии выражений, входящих в состав данного m u.hiцелении знаков языка на логические и дескриптивные ним логических констант.
1 о тождестве и различии составляющих выражений может о ин в описание структуры выражения; для этого выражению и«то>1 более сложный граф. Новый граф, назовем его условии ии ^сиеку. отличается от исходного тем, что исходные • «цестненными выражениями соединяются, как бы склеивают-L Дли этого из некоторой третьей точки в них проводятся • да ясно, что в схеме в виде обобщенного дерева все точки попарно различны.
'i-piuop определение обобщенного графа следующее;
• ли|"чинная точка с приписанным ей атомарным выражением lu -itnuii граф. Эта точка является и главной и исходной вер-i'1ri.
'и Г( и Pg есть обобщенные графы выражений А и В, то мы >1«И выражения (АВ), если проделаем следующие операции;
56
фиксируем некоторую новую точку, которой припишем выражение (ДБ), в эту точку проводим стрелки из главных вершин графов Г-j- и Г^; если некоторой исходной вершине графа Ij и некоторой исходной ве шине графа Г2 приписаны графически равные атомарные выражения, то фиксируем некоторую новую точку, проводим из этой новой точки стрелки в точки с графически равными атомарными выражениями и при этой новой точке пишем это атомарное выражение. Главной вершиной вновь образованного графа будет точка, из которой не выходит ни одна стрелка, а исходными вершинами - точки графа, в которые не входит ни одна стрелка.
Под л-тучесггрА ФаМуА stllqtc туощ-;, учитывающей значения логических констант, будем иметь в виду граф в виде обобщенного де рева, при вершинах которого стоят индексы категорий соответствуй щих выражений и при точках, соответствующим логическим константам, кроме того, стоят сами логические константы.
Логическую форму второго уровня выражения С (РfQx
приведенному выше предварительному, неуточненному понятию логической формы. Оно учитывает значения логических констант; дескриптивные термины удалены, и, следовательно, удалена "материя" высказывания, но на местах вхождения удаленных терминов стоят показатели их семантического типа - индексы соответствующих семантических категорий.
57
ф Логические языки с операторами
Ир1|.ым груктуру языков, содержащих операторы, т.е. функ-....... нищи* переменные. На наш взгляд, основное отличие от язык в без операторов состоит не просто в том, что I» я iirHUf семантические категории выражений, но прежде всего I появляются новые способы образования одних выражений М|> 1 ” описания структуры выражений, составленных с помо-*..... . их операторов, недостаточно одной только операции при-h тора к аргументору, необходима обратная операция - •<'<т| кции. Эта операция состоит в вычеркивании всех вхож-иц.го выражения В в А. В дальнейшем мы будем вычерки-и ременные, т.е. далее неразложимые выражения (поэтому и (1 ясности наложения одних вхождений В в А на другие).
IВ Kun операции сочленения, у нас нет особого знака для опе-
-рн'.ции, и ни та, ни другая операции не относятся ни к
। мпнтических категорий. Результат применения операции
цнн 1 выражению А по переменной В будем представлять фигу-L » in бражать его графически следующим образом: главная Ь и "b'i, представляющего А, соединяется с новой точкой, ко-
< тановится главной вершиной, из новой вершины прово-iiui исходную точку, при которой стоит переменная В, |»i< п производится абстракция.
t».i и ставленный выражению с операцией абстракции, будем
деревом с замыканием. Так же как и просто в
|и» норове, все исходные точки в нем отличны друг от друга.
. С ( Рх.у
h*. . >< составленным выражению -----------------
1*1 /рП
58
С ГРдгу) (Qx)
и CCP^KQ^)
Графическим изображением выражения у ---
Категооию операторов, связывающих индивидные переменные, следует, как нетрудно усмотреть, установить следующим образом:
для кванторов по индивидным переменным - , для операторов
типа 7 - оператора X" .
В общем случае индекс категории квантора по переменной категс -рии сС имеет вид: -у- ; для операторов типа 9 -оператора по „ об
переменной категории .
оС
Под логической формой выражений языков с операторами будем име | в виду граф) в виде обобщенного дерева с замыканиями, вместе с иг- 1 дексами, приписанными кавдой точке графа, при точках соответству щих логическим константам, помимо индексов, написаны сами эти кон станты. При указанном подходе кванторы и другие операторы, связы
вающие переменные различных семантических категорий, сами относят
59
мной пиитическим категориям. Другими словами, указан-I « ।’и не устраняет типовой неопределенности операто-
ЫМ*И при указанном способе анализа структуры выражений особая роль самих способов образования сложных вы-Г г- гнпляющих, они включаются в анализ логической формы Н41л»м. Основное отличие структуры выражений языков с опе-вмючнется не в появлении новых семантических категорий, Миж и поннх способов образования сложных выражений из со-
I, ч t.ihkcIx без операторов единственной операцией образо-выражений является операция приложения функтора к
II лпиках с операторами необходима также операция абст-
рпйти к более стандартной,
линейной форме записи следу-
пи иную фигуру записывать в
виде линейной последователь-алфавита скобками;
расширении основного
писать хА, где от х идут стрелки ко всем свобод-• HI1 м х в А; каждое вхождение х в хА связано. Правила hi тегорий выражениям примут Ьi'I примитивный знак (константа
। 'П л
А
г" X
следующий вид:
или переменная) относит-
омпнпои категории.
им it и конечный или потенциально
«г • |икатов; в частности
бесконечный перечень ло-
принадлекат кате-
п А < сть выражение категории об и В есть выражение
, то (АЕ) есть выражение категории оС .
и А ггь выражение категории об и В есть переменная ка-, т ВА есть выражение категории .
'[грин записи структуры вышеприведенного выражения
60
Vx С ((имеет вад
а его логической Фоомы (Y -£г )) f ~н7 У
или Т~ к ( С ss~ >у-) (-£ ft-))).
Существенно не то, графически или линейно запишем мы структуру
выражений языка, важно, что в анализ логической структуры включи ется способ порождения (сложных) выражений из составляющих, а та
же трактовка порождающих операций.
В языках с операторами операция абстр кции выступает как нов:
порождающая выражения операция, а не как самостоятельное выраже: языка; она показана определенным расположением символов (точно т же как и операция приложения функтора к аргументам), но не обо^ ена. Возникает вопрос, какова категория выражении, образованны}
посредством этой операции. Рассматривая систему категорий с двум, видами функторов - имяобразующими и высказываниеобразующими и оп ределяя понятие семантической категории для язтпсов с операторше , в приведенном выше определении семантической категории следует д бавить пункт, устанавливающий категории выражений, полученных в р зультате применения операции абстракции:
Если А - выражение категории S или /ь , |/ -переменная категории Jb и V входит свободно в А, то v А - выражение семантг „ £ л-
ческои категории или соответственно.
§ 3. Языки с неопределенно-местными функторами
Нам неизвестны работы, в которых систематически рассматривал; бы языки с неопределенно-местными функторами. Введение подобного да языков в логику представляет, на наш взгляд самостоятельный и терес. Неопределенно-местные функторы рассматриваются нами толь.: как пример того, что возможны языки, удовлетворяющие требованиям синтезирующей теории категорий, но не удовлетворяющие основному щ ципу теории семантических категорий.
61
ргку|)(И111шх определений на основе известных конечно-и вязок могут быть определены неопределенно-мест-и * iwtuo связки, например:
I ।‘| pvq, i Ap<p = p^',^v''P^‘k
i f 5oCV<j, И
»> " м тнпеременная, пробегающая по конечным последова-
II <« • н| ш пиционалъных переменных.
•»ж< 1 и« - трогой дизъюнкции от любого конечного числа аргу-। ... । 1; его аналогом в естественном языке будет выра-
н fiwi ^nrn Mt ре одно из ......" "Д" - это строгое ’’либо”,
Ши» к г б ому конечному числу аргументов, большему I;
I I» и । одно из........”.
мммв и шределенно-местных предикатов в естественных язы-И рияать предикаты типа: "братья”, "сотрудники",
। и и т.п.: Л- и £ суть братья, Р и С суть
• । • и Д относятся к одной и той же семантической кате-
„ S
в и । нтегория отлична от категории у-, и т.п.
мп он»тема индексации категорий, предложенная К.Айдукеви-
। и||Ц'1Н| для этих функторов, но она,по-видимому, может быть
»••• и «я языков с неопределенно-местными функторами с прив-••нит ктивных ординалов.
Mi-им пики только с пропозициональными функторами. Пропо-ВtJl |унктор от К, аргументов есть функтор категории Jk ; )»«||ц • местные функторы от двух и более мест, например, .5 /
и Д , - функторы категории . Функтор 4 , вво-th м рекурсивного определения:
f X =/
L, <£р - L cL v р
62
5
4
принадлежит к категории предложение.
- константа: всегда ложи о
При установлении того, является ли выражение правильно пост
енным, будет исходить из двух правил:
I. - ек. ' S есть л,-у ~ , если л_>О и Л- - конечное число ]
о
или , если и- есть .
£и3 е £
2. Индекс -^7 , отождествляем с S , если и только если -у
стоит изолированно или является вторым сомножителем -------------------—-----<?
индексов: 5^ - ь
произведен j
S 5(О
Так, выражения Д и Др не яш принадлежит к категории
Выражения вида Др ср, Др^ь,
з
Действительно — SS -
сяются предложениями. Первое из ь *
___ S /> __ $
, второе “К v ~~ ш
Др{•••/>< будут предложениями.
——-----= $
•S _ 5 <?
£ Ш °
теории семантических катер-
Таким образом, основной
не имеет места для языков с неопределенно-местными функторами. '
Kpq<, где "К" - знак обычной конъюнкции в польской символике, и
Др Я- являются выражениями категории д , но К и Д не принадлег
S
к одной и той же семантической категории; выражение Др есть
правильно построенная пропозициональная формула, но Кр<^£не яь < еткя таковой.
В результате мы видим, что теорию семантических категорий н обязательно связывать с так называемым основным принципом теори семантических категории. Может быть построена обобщенная синтез:»'
рующая теория семантических категорий и для языков с неопределе местными функторами.
63
। и < категорий в ее синтезирующей- форме явля-для определения логической формы и установ-••'♦»••» с пязанности высказываний достаточно широкого . ...Ill их языков.
к и икация языков, удовлетворяющих теории семантических категорий
пиитами семантических категорий служит базой для
.. Нанимаемая система семантических категорий обус->п мн-иную классификацию выражений языка. На этой ос-•|мит1 также классификацию самих языков в зависимос-KiMitoro рода семантическим категориям относятся выра-нмис в этих языках. Таким образом, определенный тип 1'гич- ских категорий обусловливает иерархию языков.
А. орским введем понятие порядка семантических кате-
• •и чиновных категорий ( S и равен 0.
b’lrrop совместно с аргументом образует выражение ка-
нн । - tn и порядок категорий аргументов , но при
•п< I мере одно аргументное выражение принадлежит к ка-
II t'H-, то функтор принадлежит к категории порядка
Р-нии, порядок семантической категории - это число, Вг< этой категории в соответствии с приведенным опреде-•iiiiiin категории функтора зависит не от числа его аргу-"I гего, к какому наивысшему порядку принадлежат катего-I<м'нгов, а также - от порядка категории всего выражения II»»пример, категории одноместных,двуместных и вообще любых пи предикатов от индивидов имеют порядок I; категории
64
предикатов от предикатов (первого порядка) имеют, соответствен л К-
но, порядок - 2, а категории вида ~рс >н-п, относятся к поряд А.Тарский С1283 предлагает классификацию языков в зависимое от того, к каким семантическим категориям принадлежат встречающиеся в них переменные. Соответственно языки подразделяются на 4 группы:
К первой относятся языки, в которых все переменные принадле жат к одной и только одной семантической категории. Например, языки исчисления высказываний, алгебры классов, любые первопоряд ковые языки без пропозициональных и предикатных переменных (в том числе язык первопорядковой арифметики без предикатных и фун циональных переменных).
Ко второй группе относятся языки, в которых переменные прина лежат более чем к одной категории, но число категории переменнь конечно. Примером языка второй группы является одноместное исчи ление предикатов с предикатными переменными.
К третьей группе относятся языки, в которых число категорий, к которым принадлежат переменные, бесконечно, но порядок категс рий переменных при этом не превосходит некоторое данное число т.е. конечен. Примером языка третьей группы служит обычное перв порядковое исчисление предикатов с предикатными переменными, а также любое исчисление предикатов К-го порядка для любого конечного К > 2.
Наконец, к четвертой группе относятся языки, в котсрых порядок категорий, к которым принадлежат переменные, бесконечен. Яз простой теории типов - типичный пример такого рода языка.
Приведенная классики сация языков осуществляется по двум осно
ваниям:
65
kflhpи । ггм оптических категорий, к которым принадлежат I.H-hH делятся на языки конечного и бесконечного поряд-« 1'М« В-х групп являются языками конечного порядка. Н|ялу омиптических категорий, к которым принадлежат пе-L •«< ini делятся на языки с конечным числом семантических | « ис бесконечным числом семантических категорий. I >ii пи щипальной является классификация языков по высш эму М”ч>иЙ кванти ощируемнх переменных. В этом случае клас-о па основе иерархии семантических категорий явля-
ц*”1и«‘М и своеобразным вариантом теоретико-типового под-м подходе исчисление предикатов с предикатными пе-। >ш)т исчислением второго порядка лишь в том случае, |<' । кпппторы по предикатным пе еменннм.
IM4
66
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
СИНТАКСИС И СЕМАНТИКА ПЕРВОПОРВДКОВОЙ АРИФМЕТИКИ.
АРИФМЕТИЗАЦИЯ И ГВДЕЛИЗАЦИЯ
Третья и четвертая главы работы посвящены анализу дедуктие ных и выразительных возможностей формальных систем, исследованиг философского смысла так называемых ограничительных теорем, их м< тодологической роли.
В третьей главе детально рассматриваются принципы построен синтаксиса и семантики первопорядковых теорий, т.е. теорий строя щихся на базе первопорядковой логики. В качестве примера такого рода систем выбирается первопорядковая арифметика Р, система с достаточно богатыми выразительными средствами.
Синтаксис и семантика первопорядковой теории строятся в метаязыке. Возникает вопрос, каковы те средства метаязыка, которые адекватны для чисто синтаксического, формального описания^,-и к ковы те средства, которые адекватны для введения семантических понятий. При построении семантики”? существенным образом использ, ются идеи и подход А.Тарского [128] , £ 129] , а также методы и результаты А.Мостовского, представленные в его работе [П4] .
Опираясь на идеи первых двух глав, мы рассматриваем выражения исследуемой системы как многослойные объекты. Это позволяет, как нам представляется, более простым способом провести геделев-скую нумерацию. Существенным образом используются методы предста Ления формальных систем, разработанные А.Мостовским. При форму? ровке логических и прикладных исчислений можно по-разному решат возникающие технические трудности. При формальной и точной форм лировке синтаксиса и семантики - а именно такая формулировка на* и нужна - приходится быть особенно осторожным и даже педантична Глава третья играет вспомогательную роль по отношению к следующей
67
(Р>м>(ит>Й, главе, в которой доказываются единым образом теоремы • IMV к тинных и выразительных возможностях формализмов и дается «« Иф тифе кий анализ.
§ I. Синтаксис первопорядковой арифметики
Под первопорядковой арифметикой Р будем понимать арифметику, * (<ы, ।ированную в прикладном исчислении предикатов (без пропо-фрип^ьных, функциональных и предикатных переменных) с равен-flB'**. шумя арифметическими функциональными константами (знака-g i ния и умножения), с одной унарной функциональной констан-(единицей).
Опишем прежде всего язык первопорядковой арифметики.Выраже-ф* «рифметики строятся из знаков словаря А= j с по-
одноместных операций ЩИр двуместных операций
Инд,В,И,Е,и]
'Ч жжением языка Р мы будем иметь в виду не слова в алфави-И | • B|VB2 , но некоторые объекты специального вида. Такой под-инниолит продести арифметизацию синтаксиса более простым спо-
Дин того, чтобы говорить о выражениях предметной теории, ^ргикмсе используются их имена или описания. Для обозначения НФ1'1"' внаков и операций мы будем использовать те же знаки, но Ь •'«дратов.
Г качестве синтаксических переменных, пробегающих по выраже-
> м< темы Р, используем буквы /3,^ с индексами или без них. । помощью фундаментального индуктивного определения введем объекты рассмотрения - формальные выражения:
I 1,v и а - формальные выражения;
* <ч:ли оС формальное выражение, то ($°^)>(фор-
• поражения;
68
3. если ot и уз - формальные выражения, то js), х £ 6EZj2>), С^ХгО “ формальные выражения;
4. ничто другое не есть формальное выражение.
Например, согласно определению "((Д0,®) “ и "
формальные выражения.
Описание синтаксиса первопорядковой арифметики будем строи
как содержательную теорию, но ее формализация не представляет
трудностей.
По мере построения
синтаксиса первопорядковой
арифм
тики и доказательства метатеорем будем фиксировать те понятия,
средства рассуждения и способы определения терминов, которые при
этом используются.
В дальнейшем для удобства
метатеории
исполь
эуется обычный логический символизм,
принятый в
стандартных
систе
в
мах первопорядковой логики предикатов и в содержательной, "школь ной" арифметике, хотя в принципе можно было обойтись словарем обычного естественного языка. Вместо слов "если..., то", "или", "и", "неверно, что", "все", "некоторые", "если и только если", "равно" употребляются соответственно символы: 7( V; 3 =
Знаки: +, = , . , е , £ , О, I, 2, 3, ..., U , Г\ , понимаются обычным образом. Переменные а, € , с, с/, е, t ,^ , к, if ,/^г, /ь, а1» £ j.... пробегают по целым неотрицательным числам; f , 'f, *f', -fp fp.«. , - функциональные переменные, P,Q,R_ , Pj, ..., - np< дикатные переменные.
На множестве формальных выражений определим некоторые синтаксические предикаты и функции.
р есть непосредственная часть формального выражения </- НчQZ ёсли и только если Z имеет один из следующих видов: (.sp), Ср},
/)» ’ Где ° есть Х’~* ’ ~ > № ’
fb входит в <Z (символически -В( У )д если и только еслиJi>
есть «тС или существует непосредственная часть такая, что входит в эту непосредственную часть: В
- определении квантор существования по X ограничен непосред-частями выражения сС .
Пт р*м основные синтаксические предикаты, необходимые для опи I и иыка Р.
Ilj (</)-- есть связанная перемени ед (переменная первого вида) И, ( < v3jz> (06=^^ Пх (Jb)).
II (ot) -счесть свободная переменная (переменная второго вида):
II (-)^^с^И^ £ 11g (/)).
й поразом,)свободные переменные составляют потенциально-беско-перечень формальных объектов: й-,, , . Свобод-
ен цинидную переменную с п. штрихами будем обозначать в мета-ll символом ZZ/j, . Аналогично, связанную индивидную переменную с •«рихчми будем обозначать символом Vn. .
II ( •) - оС есть переменная: П (</)^ П^(с/) V (с^)
I 1>1ГГ (с^) - есть элементарный квазитерм:ЭКГ (^)^П (<^ ) ¥*=1 KI (°О -</есть кваэитерм: КТ (°^)^ЭКТ («^) V Зр б^=-£/3<£КТ
In V **) u 'S’'*))#
hivopij, встречающиеся в определении являются ограниченными, 1м>'||нне, связанные этими кварторами, пробегают по подвыражени-•ы||*1жгния <^С . Во всех определениях этого параграфа кванторы Barren ограниченными.
НФ (с/ ) - оС есть квазиформула:
сС является квалиформулой, если оС имеет вид и
и 1 являются квазитермами, или если <5/ имеет один из следую-| опция уз, гдеи Y квазиформулы,
•низанная переменная. •
IH44
70
Символически определение запишется следующим образом:
КФ (Л)^ ху g KT(j>)^Ki(y))*'3ji(^jl^il.i \
( (°C ~Ji^) 4 КФ (Ji) £ КФ (у)) V 3j (°C = %
nt(ft)<S. КФ(у))</ 4 UJji')# №(»)).
Вх (<Z уЭ ) - переменная <?С входит вквазиформулу или края терм Jb :
Вх р;уз^ ЭКГ (Jb) Вх/<<))</
(cZ = <Г» J1 4 (В* ?) v&x (<£,&))) »3#(/>=
&* (c£> t)) V 3} ((Jb = & (ct = % V Bx *
3)(3A((ji°Vxfl)^(°c-f v Bxl°c.fi))),
где о есть if- » x , или js , или -> . Вместо "ot входит вуЗ " мы будем иногда говорить ’’ имеет вхождение в Jb ".
Вс () - связанная переменная kk, уходит свободно в квазитерм или квазиформулу Jb :
Вс (V^Ji)^ ЭКТ(Ji) £ И„ = Ji
3r(Ji..~Y 4 Be Cv^^)) vSfSjl (Ji-- Е)"
Be ( Wv, fi))) V Jf (Ji . e,c (vn, fij).
Квазитерм и квазиформула, в которых ни одно вхождение связанной переменной не является свободным, будем называть термом и формулой соответственно.
Тм (^ ) - cL есть терм:
тм ) —кт (cZ)^ ^£вх(|/Л>йг) э 1 вс (.
Ф (оС ) _ (Zесть формула:
Ф (^4 КФ (Л) Vvn [ Bx(v^₽d; -I
Термы и формулы будем называть правильно построенными выражения
Ппв ( оС) =£ Тм (<Z ) V Ф (-6 )
В качестве синтаксических переменных, пробегающих по формулам, будем использовать буквы^^'в качестве синтаксических переменных пробегающим по термам - возможно с индексами.
71
у, не содержащую свободных переменных, будем называть
ин’ям:
Ф(о0<£ VkK 1 Вх (а^ос).
•лроом, мы закончили описание языка системы Р.
и. । • цгм к описанию дедуктивной части системы Р.
||йнд* всего нам нужно описать вспомогательное отношение:
\ мьтат подстановки вместо каждого вхождения свободной мн. >п CLi квазитерма cZ в правильно построенное выражение м-it. этого предиката мы - что эквивалентно - определим
подстановки вместо каждого свободного вхождения свобод-
ной квазитерма cZ в правильно-построенное выраже-
Дес/и ЭКТ(/>)
и fb ? Ac
, s (.Г-e
* .мл'» операция^, х,
, а Л/ есть И или £ .
шщгшновку /Т/ ot,Jb) назовем правильной, если ни |Ь««.и.< ние переменной в выражение Jb не находится в об-
ДЫ1 твия кванторов по переменным, входящим свободно в об , ►миную подстановку обозначим /у. Предикат ••и результат правильной подстановки вместо квазитерма
" будем записывать в виде - Г об JiJ .
72
Определение этого предиката следующее:
у» Ft (.«;, ct,JI)* 2KT(ji)v3/\[(Y-
г* (а., Л, ( SJi.)) vJ-.Fi (л<, -Jb.))£(FF(a..,JJjy_ F (CK = piF-<,J
F (Ft(a.^jb,)- F(a.i,ot,
Pi(a..,oi, fy.jb/)v PF<(a.,^ рь.jiJ)£ PifcjeJ J34)*
P( *(, ^,Jiz) 4 Pi (Л*') $
В этом определении ° , как и выше, есть нь х; ггг , —^ . Отметим, что с/ - квазитерм и, следовательно, может содержать с? бодные вхождения связанных переменных. Однако, поскольку у нас нет операторов, связывающих переменные в квазитермах, требование, что бы переменнаяне входила в cZ свободно, равносильно требованию, чтобы переменная вообще не входила в cZ .
Отметим также, что всякая подстановка терма правильна, т.к. в термах нет свободных вхождений связанных переменных.
Теперь мы имеем все необходимые вспомогательные средства для определения аксиом и правил вывода системы Р.
Логическими аксиомами системы Р будут формулы одного из следующих видов:
I. (Я Я)
2. (Я~? + (Я-*С))
3.
4. (Я~> (^Я -*Я>))
5- Ил. Г(icit Я) Г(4 Я)
6. /4ч Fс (е-* я))
7. F(ле, ) -> Fa.i, Я)
8. Г(a-i, v*, Я~>£) я) ~^c).
Как было отмечено выше,^ синтаксические переменные, про
бегающие по формулам. На шестую и восьмую схемы аксиом накладывает
73
l>i пополнительное ограничение: в формулу С не входит свободная *«Р«менная . Букву t мы используем в качестве синтаксической •нименной, пробегающей по термам.
Сформулированные выше аксиомы являются аксиомами исчисления 0|-“цикатов. К ним добавляются аксиомы равенства и собственно логи-|>*,кие аксиомы. Они описываются аксиомами 9-16 и схемой аксиом 17;
9. Ki Ki -»
ю. у уi yf (Vt » k,-» ((Vt B vs)-? (v*. a v$)))
II. (svi cd)
12. Vv, K. (Vi г li -? SVi « JVi)
13- Vvi. ((№)* ^*4)
I4- Vv± Vvi ((V# gvz) x(s ( Vi #V*)))
I5- Уъ yvi ((VtxJV.)a (Vt x Vt г Vi))
I6- V'v/ ((Vi x 1 )a Vi)
I7- F ( 1, аЛ)-»[Угл (F(«.C/ Гл, Л)-? pfa,,
Vv^F(»-i, Ул,Л)]
Ирндикат "быть аксиомой" обозначим Акс. Из формул А и В непосредственно выводима по правилу rpc^s р?рРЛ$ формула С тогда и только Тогда, когда А имеет вид Вт’С; символически: Нвр^^^г?
Помимо трехмес^ного отношения непосредственной выводимости но правилу motfui Донеле вводится также двухместное отношение -»1 «чгосредственная выводимость по правилу обобщения:
Нво (сСе^,Л).
Выводы имеют вид деревьев. Расширим запас исходных объектов.
Помимо уже имеющихся операций, с помощью которых из одних выражений отроились другие, мы введем еще три операции; одну одноместную, одну двуместную и одну трехместную. Результат применения одноместной операции к уже построенному объекту оС обозначим результат применения двуместной к и уЗ - fl трехместной -^-^fl/^.
74
Объекты, построенные с помощью введенных ранее операций и трех новых, называем формальными объектами.
Формальные объекты вводятся следующим индуктивным определени ем:
1.2 , V, О- - есть формальные объекты;
2. если oL- формальный объект, то (''"об''), (-формальные объекты;
3. если oZ и уЗ - формальные объекты, то ^cZ=#y3j, (<£ [cL {olJb t (Erf)- формальные объекты;
4. если У, - формальный объект, то -Z oZ > - формальный объем ;
5. если gL и уЗ - формальные объекты, то^^уз? - формальный объект;
6. если У fb, - формальные объекты, то > - фор-
мальный объект;
7. ничто другое не есть формальный объект.
Деревьями формул назовем формальные объекты, введенные следующим определением:
I. если с/ - формула, то <foZ> есть дерево формул;
2. если Jb и у - деревья формул и У - формула, то и <у?> - деревья формул.
Формулу У назовем последней формулой деревьев Z<Z >t rfbJ> Пф(сЕЯ) есть сокращение для-' У есть последняя формула дерева
Пусть Г - множество формул, возможно пустое. Мы будем предполагать, что это множество разрешимо, т.е. имеется эффективный метод распознавания принадлежит ли произвольная формула этому множеству или нет.
Определим понятие вывода из множества посылок Г:
I. если аксиома, то есть вывод из множества посылок
75
I Г «'СЛИ Л*Г, то z Л > есть вывод из / ;
I ’». пели есть вывод из Г, <Л последняя формула <Л и из
Jlr • < родственно выводима формула Л , то ZtZc^<>ecTb вывод из/7 ;
1. если и суть выводы из Г , Л и Л щ последние фц'мулы, и из ь/ И непосредственно выводима формула Е, то<^э/’ фН1 вывод из Г -
Дадим определение-вывода из множества посылок Г в символичес-,1пписи:
I ык (£, Г)* ЗЛ >4 (Л е rvA <^с))
| Нии (Л Г)$ (№(Л,Л)4 Нво (Л,
I Bun г)4
Вывод из пустого множества посылок назовем доказательством:4 В| ( &) - Выв f , X) •
Внедем бинарный предикат - о/ есть доказательство формулы : Док (о/.) <£ Пф Л,<Л)
Аналогично - cZ есть вывод формулы Л из посылок Z7 - запи-Ь' •«: Выв ^ol/ Выв ( Л Pj <£ Пф ( Л;Л)
На этом закончим описание синтаксиса. Для удобства введем не-M|t<>pue сокращения:
л Л ^Л>)
Л v ~ (Л-^Л) (Лл)
оС < Jb-
Ми пока не ввели понятия доказуемой формулы, т.к. в отличие
I п< нх введенных выше синтаксических понятий оно не является раз ;р«и1имым (рекурсивным).
§ 2. Арифметизация синтаксиба
Цель этого параграфа состоит в погружении синтаксима системы Р • примитивно-рекурсивную арифметику. Синтаксическим понятиям и ут
76
-верждениям будут сопоставлены арифметические понятия и утверждения Одновременно будет показано, что арифметические функции и предикаты, соответствующие синтаксическим, примитивно рекурсивны.
Объекты нашего рассмотрения, или формальные объекты, введены посредством индуктивного определения. Следуя методу конструирования формальных объектов, всегда можно задать функцию однозначным образом сопоставляющую каждому формальному объекту натуральное число, его гёделевский номер. В качестве функции , нумерующей формальные объекты, может быть использована любая арифметическая функция, удовлетворяющая требованиям: каждому формальному объекту она сопоставляет число, любым двум различным формальным объектам -разные числа .
Каждому исходному формальному объекту сопоставляется число, а каждой порождающей операции - арифметическая операция, которая по гёделевским номерам составляющих объектов дает гёделевский номер порождаемого объекта.
При этом мы используем арифметическую функцию нумерующую упорядоченные пары натуральны^ чисел: Р(Kt (к*£~*)*
(к t & . функция Kj находит по числу первый член
пары, представленной числом , a Kg - второй член пары. Не трудно убедиться, что функции Кр Kg примитивно рекурсивны.-Приводимый ниже способ гёделиэации позволяет каждому типу формальных объектов однозначно сопоставить класс чисел - гёделев-ских номеров этих объектов:
f(i) = У
____________-з
У Вопрос о различных способах нумерации конструктивных объектов рассмотрен выше - гл.1 § 5.
77
f i -f(^)
(Set) = I
'f = f 'f t°i) + 5
?( №), "6
f {</ *Л) -. ю (.t/ltfW, Y(/>))) + 7
'f (J aJ})-. W(3,mw). WW) * 7
't (oi-^ji)= !?(</,2(-fM,'tW)+ f 'f Mji) = /у (^У(ЧИ, Ы*
f < Z/f/, У [ У И, <«)>)»'*
Y (СЛ>). //(>1)Н
У. - J? (6, у(r^,^(Ji)))^ Y (‘^>) = У !^)^МЛ(
функция является взаимно однозначной. Каждому формальному объекту она сопоставляет одно единственное число.
Покажем, что множество гёделевских номеров выражений языка примитивно рекурсивно. Напомним, что следующие функции примитивно рекурсивны:
(а,в) - остаток от деления а на в,
£а/в J - целая часть частного от деления а на в,
К^(а) - первый член пар а,
Kg(a) - второй член пары а.
Пусть С- есть множество гёделевских номеров формальных выражений языка Р. Это множество определим следующим образом:А €/г
ъ ( a,t /) = О [a./pj€^
V tm. (л, /) = d 4 а - d.
V -t /п- (А, /у = z 4 А =2
. v ът. (а,/) - з а = 3
( а, 3) - [а./<П * 6-
।
78
v tn (<z,f) - 5 £ L л//J е £
V (^J) = 6$ (Кл [a./fj = ^ v К± (Kx [a/Jj)ef% Кг(Кг [a/f])e<r
V t/rt ( Лу /) = ?^6</fc/<7=^ vKt[A/fJ=^ |/ Кг [(L//J--5V Кг [A.//J - б <SiKt(K2[A//])6^ К л (Кг La/J>J)
Введенный предикат определен на натуральных числах и является примитивно рекурсивным, т.к. определен через примитивно рекурсивные предикаты и функции с использование только пропозициональ-2/ ных связок '.
Предикаты, заданные на натуральных числах, будем называть чи еловыми. Следует различать два вопроса: на какой области задан предикат, и определим ли он средствами первопорядковой арифметики (или другой системы). Если предикат задан на числовой области, то, как сказано выше, мы будем называть его числовым, независимо от того, каким способом он может быть представлен. Предикат, определимый через исходные предикаты первопорядковой арифметики будем называть арифметическим. В дальнейшем будет показано, что не всякий числовой предикат является арифметическим.
Мы показали, что формальным объектам можно сопоставить натуральные числа. Проведем отображение синтаксических’ понятий и утвер! ждений в арифметические. Эта процедура называется арифметизацией синтаксиса.
Прежде всего сопоставим синтаксическим предикатам § I числовые предикаты, определенные на гёделевских номерах выражений и формальных объектов.
Числовым предикатом, вполнесоответствущимсинтаксическому
2 /
' Теоремы, устанавливающие замкнутость класса примитивно рекурсией ных функций относительно булевых операций,ограниченной квантиф кации,подстановки см.Клини [26, 204-206 J.
79
будем называть предикат, выполняющийся на тех и только Цмх числах, кот1 рые являются гёделевскими н мерами формальных в* (.Актов, на которых выполняется синтаксический предикат. Числовые предикаты и функции, вполне соответствующие синтаксическим предикатам и функциям, будут обозначаться теми же буквами или сочета-пилми букв, что и синтаксические.
Покажем, что для каждого синтаксического предиката (функции) Il I имеется вполне соответствующий числовой предикат (функция), и при этом вполне соответствующие предикаты и функции примитивно р<курсивны. Числовые предикаты введем таким путем, чтобы, с одной •тороны, легко было усмотреть, что они вполне соответствуют син-1'.ксическим предикатам и функциям, а, с другой стороны - несложно У'тановить, что они примитивно рекурсивны.
Арифметические предикаты и функции, вполне соответствующие |-1>едикатам и функциям, определенным на формальных выражениях, Определены на множество чисел (г . В дальнейшем это специально не Оговаривается.
Числовой предикат, вполне соответствующий предикату Нч годится следующим определением: Нч (г**- (4 t)-Ov
) £ Я) ~ v ~ 5) & - О' v( (-6, /J 6
11-1 (Kz[.-€/eJ)va-^
Mi этого определения видно, что если Нч (^), то d * £. _
денный числовой предикат определен посредством примитивно ( Мкурсивных функций с помощью логических связок и суперпозиций
•примитивно рекурсивных функций, поэтому он примитивно рекурсивен.) Теперь нетрудно ввести предикат, вполне соответствующий прейди к ату В (<^у2>):
v Зс (Нч (е,^)
80
Мы установили, что усс(Нч (л>4’ ). Из этого утверждени.
легко вывести, что (Зс) [Нч( В (а, с ) = (7с ) (Нч (с
<&В( а,с ) .
Таким образом В (а, € (X- -6 Зс Нч (е, ^*) <£ В (л,с)].
Предикат В (л ^), как легко видеть, является примитивно рекурсив
ним: в определяющей части встречаются только примитивно рекурсивные предикаты и ограниченные кварторы. На основе определения уста навливаем, что В (а- &) & и В (а, £) <£ (а, >( cl* g)
Для предиката Пу (быть связанной переменной) вполне соответствующий числовой предикат -Пу (а):
Пу (а)^ а = /6 4 Пу ( £)),
поскольку а = 8 € , естественно, л < £ , и квантор в вышеприведенном определении ограничен поэтому предикат Пу примитивно рекурсивен.
В определении числового предиката П^ (а) очевидно, что , и поэтому квантор также ограничен.
Пг а = 24 (4))
П^Л-J Пу (л.} v
ЭКТ ( л ) (а,)
КГ(л)^ ЭКТ(а) v 4 =
№(c))v3{3c(<^ <?<?(£, д(4,ь)) + кт<с))-
Если Л,— 8^ + 4, то -4 и с,^л. также и в случае
Отсюда следует, что кванторы по и £ ограничены, и предикат КТ примитивно рекурсивен.
Предикат "©/есть выражение видауз^ , точнее, соответству-щий ему числовой предикат - = 8 %))+? - примитивно
81
п курсивен; / и £ <£ 4L . Аналогично для предикатов: oZ-уЗ-* <Г
'~Л «^= W’
В С«.)^ З/Л (а. -i; KVie)*K,F(c))v3£[b*f<-i-
К # К?(4))г3<3'(л*/?(4,Ж1))'7* KP(i)&.
(С)) V 3<Зс[(а.,/У(3,У( <М) ★? V*.-. Г?(£7Кс))'74 (<) 4 к<РС‘)];
I и с геделевские номера соответствующих составляющих выражений канторы по / и /: ограничены ; поэтому предикат примитивно
окурсивен
L («., <)*П(«)*№(£)$ -4£
X (л c))v Зе. (4*'fe + 54 вг (*,с)) v Эс
£V -ё- f $ (Л, c, d& V f* ^7(3 7/e- k
(a,C) *hp7))l v ЭсЗоСН^ЩГ.Яс,*))^*'
пять-таки кванторы ограничены, т.к. и . Не трудно видеть го если Вх (А,/), то В (« /) и отсвда если Вх (а, £), to*z^ .
ал>гичным образом определяется числовой предикат Вс ), кван »->ры ограничены . Предикат примитивно рекурсивен.
Ы КТ (а) « ^(Пт Вх Вс «.)) .
I (а)^ КФ (а) (<?) •<£ Вх (/а. ) р 7 Вс ( / )) .
Кванторы ограничены: Вх (/«.), следовательно, -^га. .
Нив (а)-^г Т (a) v Ф (а).
|1р (а) Ф (аМ ^(П2(^)^ -? Вх (<А)).
Легко показать, что в данном случае 7 Вх (^л) ?
(п2( ? Вх (€ л » так как 3 (Вх (
II. (^)) = КС (Вх ( / А) 5 -7 Ik((f)).
Тмкиы образом, все числовые предикаты, вполне соответствующие пре-пикатэм синтаксиса языка Р, примитивно рекурсивны. 6
6 - 1844
82
Перейдем к арифметизации теоретико-доказательственной част системы Р. Для построения числовой функции, вполне соответствуй- ’ функции подстановки, нам потребуется несколько вспомогательных п < митивно рекурсивных функций. Выпишем их:
о, если а = 0
I, если а > 0
1 ' если а = 0
о, если а > 0
Примитивная рекурсивность 1а - в! известна, остальные используе-
мые функции были введены раньше. Введем также
следующие вспомога-
тельные функции:
<V-
I, если а = 4 или а = 5
О, в противном случае
I, если а = 6 или а = 7 «
О-в противном случае
Числовой функцией, вполне соответствующей операции подстановки, будет функция ^^4, с, ? (*ъ’1 (4, ^))
(*,*)) (Zf))
(<f 1) +th'L ( ($')) '>
? (ct к. /w (t f)j.
Функция примет значение I, если £есть геделевский номе элементарного терма. В противном случае - 0; примет значение I, € есть выражение, образованное операциями S или прим
значение I, если £ есть гёделевский номер выражения, образованы
го из двух других выражений. [/ /8] , Kj£ ^/8] , Kj-d^ftf/87 ) и
меньше £. Поэтому функция
примитивно рекурсивна.
Для предиката " есть результат правильной подстановки
83
И*< то d.t- квазитерма сС в выражение Jb " вполне соответствующим (Валовым предикатом будет предикат Т: с,
»»Т («) V 3ezи/(Л, fasti) 4 {(а., fa.)-- F(a, с, 4.) 4fa, 4)*
rii.efafavMfatiLt* / {fafaflfafai fafa) 4.
(fae, fafasfa fa-ifafa(fa)vJfaifafaStty: '[(fafafa fa fa, fa J.
Здесь c - сокращение для гёделевских номеров вираже-ВИ, образованных из выражений с гёделевскими номерами и помощью операций f , х,» ,-%а fy- операций S и ~ . При желаете эти сокращения можно выписать явно. Кванторы по Ли огра-чены и и все функции, входящие в определение,
||>имитивно рекурсивны. Следовательно, предикат F (л, с, ^2 при-мтивно рекурсивен.
Сформулируем числовой предикат, вполне соответствующий преди-1«ту "быть аксиомой, определяемой схемой I":
Акст (*О*£ 5л ((a,-*(4-*«A) = d).
^скольку здесь используется как сокращение для 8 <^(4,^(4^) |7, то определение более полно будет выглядеть:
Akcj Ф 8^(4,8 (4,/(<^))
47)) + 7)
Аналогично строятся примитивно рекурсивные предикаты, соответствующе схемам: Акс 2 - Акс 4.
Чтобы построить числовой предикат, вполне соответствующий синтаксическому предикату "быть аксиомой логики предикатов", нам Иудеы некоторые дополнительные понятия. Покажем, что по формулам •ида Н/^А и А мотет быть найдете формула /\ и свободная ^временная ftt- , такие, что А= [4л, А ) и
L А = EVn F'(А 9.
Прежде всего, надо найти функцию, которая по формуле 3(в част
84
ности и EVn ft ) давала бы свободную переменную с наименьшим индексом К , не входящую в формулу В . При арифметизации надо построить функцию, дающую по гёделевскому номеру формуле 3 гёделевский номер свободной переменной с указанным свойство* Такую примитивно рекурсивную функцию можно построить. Пусть -искомая функция.
Определим операцию подстановки вместо свободных вхождений связанной переменной !/„_ свободной переменной в квазиформулу и кваэитерм:
?(. Vn, , если ЭКГ (ft) 4 / * 14..
= аг, если уЗ - Уп,
F(/)), где & есть $ или есть #, х, F(vK, Ac, Vv^Jb)-F(Vnt
Искомая формула Д' тогда есть F a-L, А) , где ^-свободная переменная с наименьшим индексом, не входящая в
Пусть гёделевский номер А есть А? ; тогда гёделевским номером X) будет Kg(Kg [^/8 J) = О., 14- -Kj(Kg [ €/QJ ) = е, Ас-Л ^).
Гёделевским номером А тогда будет A = (Kj(Kg ///8j ),£ (/), )), где У* - функция, вполне соответствующая функции подстановки вместо свободных вхождений связанной переменной.
Определяем числовой предикат - Акс^(д^):
Акс5 (fi6) = ‘Р^)^
F(-L(e),e,a.')))*7)4 3t fie, -t, л '))-
Аналогично определяем вполне соответствующие числовые предикаты для Акс^ - Akcj7.
Вполне соответствующим числовым предикатом для Нюр (А,В,С)
85
будет Нмр (Л-, с)^ (Х= 8^(4,С )) +7. Нво («, £ « b(nF
( Ч.»Д) - более развернуто: Нво (л,£)^ =
И У (5,7(2 • 8^,0) +7^с=/7(3-84, 2-8Л, А)).
Все до сих пор построенные числовые предикаты определялись нл числах - гёделевских номеров формальных объектов, которые мы называли выражениями. Доказательства не являются выражениями, как отмечалось вьше, это особый вид формальных объектов. Числовой предикат, вполне соответствующий предикату "быть доказательством”, («ределен на гёделевских номерах всех формальных объектов. Определение класса гёделевских номеров формальных объектов (гср получается путем замены в определении предиката " а. & (г" знака " Q- " на "/г^," и добавления следующих членов дизъюнкции:
(a.. g)=±$a.t± Zg^/gjz fy
гт. [а.//] = 6$ Кл(Кг [a'/fJefyF
Кг. ( Kg.
гъ [&,g)= 5 Kt [л/gj* 71
К, (Кг ( K£ [л/g]))
Построим числовой предикат, вполне соответствующий предикату 1*ыв ( $,Г). Пусть X есть множество гёделевских номеров формул Г. X конечно или примитивно рекурсивно. Искомый числовой предикат еле дующий:
Выв = 84 + 1* v 4е kRc)]v3K,3c^[^
8 У ( Р] c8i Выв X ) & Пф Нво^ c)J v
3^3к Зс [^ = 8У У (^/7(^,с)))/3^т (л, 4 Выв (к,Х}8^3£
Пф (а., к) 4 Пф ( к) <^г Нир ( а, с,)].
Чтобы показать, что Выв ('Г-,Х) - при условии, что X рассматривается как фиксированный параметр, - примитивно рекурсивен, надо установить, что кванторы по всем переменным ограничены. Нетрудно видеть, что это имеет место: если угь= , то если ГЦ)
6х - 1844
86
(-^ zl) , то и т.д.
На этом мы завершим арифметизацию синтаксиса системы Р. Аналогичной образом может быть арифметизирован синтаксис любой стан дартной формальной системы.
Синтаксические предикаты описывают свойства конструктивных, финитных объектов и отношения между ними. Благодаря гёделевской номерации и арифметизации синтаксиса каждому синтаксическому предикату или операции сопоставляются вполне соответствующие числовы» предикат или функция, определенные на множестве гёделевских н ме-ров формальных объектов. Метатеоретические утверждения становятся высказываниями арифметики. Так, предложение синтаксиса "^2, есть свободная (неквантифицируемая) переменная” (А 6 1^) превращается в утверждение арифметики ”16 принадлежит к классу чисел, частное от деления которых на 2 есть произведение степеней числа 8й (16 g |к|к= 2 • 8г|, *1>0), и т.д. Естественно, возникает вопрос нельзя ли синтаксис Р представить в самой системе Р.
Ответ на этот вопрос требует уторнения понятий выразимости (определимости) предикатов и функций в некотором формализме.
Поскольку, как было показано выше, все до сих пор введенные синтаксические предикаты и функции примитивно рекурсивны; синтаксис первопорядковой арифметики Р может быть описан на языке рекур сивной арифметики. Мы говорим, что синтаксический предикат примит но рекурсивен, если примитивно рекурсивен вполне соответствующий ему числовой предикат, аналогично обстоит дело с функциями.
Говоря о синтаксисе для стандартных формальных систем, мы неявно предполагаем, что все основные синтаксические понятия разрешимы. Действительно, введенные нами синтаксические понятия таковы, что вполне соответствующие им числовые предикаты примитивно ре
on
IVpcHBHH. Однако в принципе могут быть синтаксические предикаты, •нолне соответствующие числовые предикаты которых не рекурсивны. )Ь смотрим предикат "быть теоремой системы Р" - Т (А):
Т(А)^ ЗсНДок(&) & Пф(А,<Я))
В этом определении квантор существования не ограничен. Опера-ци связывания переменных неограниченными кванторами в общем слу-«Wif не сохраняет свойства примитивной рекурсивности предикатов. IUui будет показано ниже, числовой предикат, вполне соответствующий предикату "быть теоремой Р", не рекурсивен.
Числовой предикат рекурсивно перечислим, если и только •ели он представим в форме Зт-fi- » где AL - рекурсив-
н ;й предикат, т.е. если п. € Q = 3-т. R, » см.например,
| б, 272] . Но числовой предикат, вполне соответствующий Т(А), представим именно в такой форме:
Т (*l) ЗмХДокО’ъ) Пф (ntrn- )), где
гёделевский номер формулы. Предикаты "быть формальным доказательством" и "быть последней формулой дерева " примитивно рекурсивны. Таким образом, предикат Т( и-) рекурсивно перечислим. Аналогично обстоит дело с предикатом "быть формулой выводимой из посылок Г" - Т(А,Г):
Т(А,Г)# ЗсЯ(Выв(,Г) Пф(А>)).
Если мы откажемся от финитной установки при описании синтак-
•иса, то можно использовать предикаты и такого типа. Но и в этом tлучае синтаксические утверждения преобразуются - в результате Арифметизации синтаксиса - в утверждении первопорядковой арифметики, хотя и йе обязательно рекурсивной арифметики.
Еще больший отход от финитной установки в построении синтаксиса состоит в использовании теоретике-множественных понятий. Если допускаются любые классы формул - соответственно классы их гёделев
88
ских номеров - независимо от наличия эффективной процедуры, позволяющей устанавливать принадлежность к этим классам, то мы имеем дело с концепцией синтаксиса, существенно отказывающейся от финит ной установки.
Мы начали с четкого разграничения объектного языка и метаязы ка. Но всегда ли это должны быть два различных языка? Л.Витгенштейн полагал, что структура выражений языка не может быть описана в самом языке, она может быть лишь "показана" в нем. Тем не менее, сч? тал Витгенштейн, не требуется подразделения на объектный язык и метаязык [10 ] .
Мы видим, что для описания синтаксических свойств языка действительно можно обойтись одним языком, но не потому, что мы отказываемся от описания структурных свойств выражений этого языка, а потому, что синтаксическое описание может быть представлено в самом языке. Для любого языка L возможность описания его синтаксиса в самом языке зависит от выразительных средств этого языка.
Формальная система может быть описана средствами рекурсивной арифметики. Многие синтаксические утверждения, в частности утверждение о непротиворечивости формальной системы, формулируются на языке примитивно рекурсивной арифметики. Такие синтаксические понятия как "доказуемая формула" для достаточно сильных языков (содержа щих первопорядковую логику) не являются примитивно рекурсивными и не выразимы в языке рекурсивной арифметики.
При этом следует различать вопрос о выразительных возможностях формальной системы (например, первопорядковой арифметики) и вопрос о се дедуктивных возможностях. Выразительных средств первопорядковой арифметики достаточно для формулировки синтаксических утверждений, но - как будет показано ниже - ее дедуктивных средств недостаточно для доказательства всех верных утверждений синтаксиса.
89
Возникает вопрос, нельзя ли и семантику достаточно богатых систем (например системы Р) описать в языках этих систем.
§ 3. Семантика формальной арифметики
В предыдущем параграфе мы построили метатеорию, адекватную для описания синтаксических свойств системы Р. Теперь мы приступаем к построению метатеории, описывающей интерпретацию системы Р. Интерпретация формальной системы осуществляется путем задания семантических правил в метаязыке. Для формулировки этих правил метатеория должна содержать средства, позволяющие нам говорить как о самих выражениях формальной системы, так и о тех внелингвистичес-ких объектах, к которым эти выражения относятся. Это означает, что наша метатеория должна содержать переводы всех предложений содержательной теории. Помимо синтаксических предикатов, в нашей метатеории должны быть определены предикаты, устанавливающие отношения выражений формальной системы к внелингвистическим сущностям. В качестве исходных семантических понятий мы введем понятие значения терма системы Р и понятие выполнимости формулы системы Р. Закончив построение семантической теории, мы дадим детальный анализ тех понятий и методов, которые использовались при этом построении. Устранение семантических парадоксов может быть достигнуто путем разделения языка теории на объектный язык и метаязык. Язык метатеории содержит специфические семантические понятия. Но возникает вопрос, нельзя ли каждому утверждению семантической теории одно-однозначно сопоставить предложение языка Р, аналогично тому, как это мы делали для языка синтаксиса.
Мы покажем, что семантическим предикатам и функциям однозначным образом можно сопоставить предикаты и функции, определенные на натуральных числах. Означает ли это, однако, что семантические свой ства системы Р, ее интерпретацию можно описать в самой объектной те
90
ории Р? Это привело бы к воспроизведению семантических парадоксов в Р. Анализ выразительных возможностей формальной системы Р покажет, что не все числовые предикаты могут быть описаны определенными средствами аксиоматической арифметики Р.
Семантика для арифметической системы Р строится стандартным ,<бразом. Основным семантическим отношением является отношение между бесконечным последовательностями натуральных чисел и формулами ар *метики Р. Использование бесконечных последовательностей позволяет нам одновременно приписывать значения всем индивидным переменным независимо от того, встречаются ли они в данном выражении или нет. Поскольку выражения нашей системы содержат только конечное число знаков и мы всегда рассматриваем только конечное число выра-жений системы Р, то можно ограничиться использованием последователь ностей, у которых число членов, отличных от 1, конечноЭто последовательности типа ар а2»”*ап_» $» 1,...
С.помощью гёделевской нумерации всем формальным объектам сопротивляются натуральные числа.
Использование бесконечных последовательностей, только конечное число членов которых отлично от I, дает возможность эффективно провести номерацию таких последовательностей. Каждой такой последовательности может быть однозначно сопоставлено целое положительное (р = Pl -Pg • • • • Pn. » где Р L есть t -тое простое число. В силу основной теоремы арифметики о разложении на простые сомножители каждому целому положительному числу сопоставляется одна единственная последовательность указанного вида. *
Таким образом, гёделевская нумерация формальных объектов и нумерация бесконечных последовательностей, только конечное число чле-
3/
' Идея использования в семантике подобных бесконечных последовательностей принадлежит А.Мостовскому [XI4J .
91
нов которых отлично от I, позволяют вводить числовые предикаты и функции, вполне соответствующие как синтаксическим, так и семантическим предикатам и функциям.
В дальнейшем, особо не оговариваясь, мы можем рассматривать все утверждения синтаксиса и семантики как утверждения о целых положительных числах.
Можно указать функцию, по, номеру последовательности i вычисляющую ее с -й член. Такой функцией будет, например, функция:
И/(рг,£) + I, где p4t- ое простое число, а ^(pt,^) = [Делит Делит (р*, ^)]. Пусть 99, тогда &/= I,
4 = £ а = I, а = I, а = 2, w (2,99) = 0, w(3,99) = 2.
i -й член последовательности, представленной числом 4, бу-— а'Г* а
дем обозначать . функция CR( д ,а) » .рх позволяет по номеру Q некоторой бесконечной последовательности вычислить номер другой последовательности пг, отличающейся от первой самое большее
к-ым членом, и при этом к-ый член последовательности т. равен А. Отметим следующее свойство арифметической функции С: если к /гЛ то Ск (С^ , а), /) = С^(СК(^ ,/), а).
Определим семантическое понятие значения терма относительно
бесконечной последовательности:
I. Зн ($,1) = I
2. Зн (^,Л.) =
3. Зн (^,^) = Зн (у, «£) +1
4. Зн = Зн (^,^) + Зн (/»/’).
5. Зн (^,^х/) = Зн • Зн (/,ys)
Обращаем внимание, что при описанном подходе значение приписы
вается только термам, но не квази-термам.
92
определим отношение выполнимости:
Зн (^,^4) = Зн (/,/>) (^, JHB) = Был ,Л) => Был (^,^ =1Вып (£,/)
(£,К F и., 1/к,4))5^вып (Ci у,^),^) ($, НГкГ(й-, ^,Л))=^ Выл (С> (^,*М)
Теперь I. Был 2. Был 3. Был 4. Был 5. Выл
Всякую формулу вида VVk Jb и EvK«^ можно представить в виде VvKP(&i, V*, Я') и EvK F(л<> v*> Л') , где есть свободная переменная, не входящая в е£. Поэтому наше определение не теряет общности.
В пункте I определяется понятие выполнимости элементарных формул Р в предположении, что значения термов ^/иу^ относительно последовательности уже определены. Установление выполнимости сложных формул последовательностью у сводится к установлению выполнимости этой последовательностью составляющих формул. По сво
ей структуре определение понятия выполнимости аналогично определениям таких синтаксических понятий, как переменная, квазитерм, квазиформула. Установление того, является ли сложное выражение формулой, сводится каждый раз к установлению того, являются ли формула-
ми соответствующие составляющие выражения - и так вплоть до элементарных составляющих формул. Пункт 5 определения понятия выполнимости формулы вида v* Л) бесконечной последовательно-
стью устанавливает, что последовательность у выполняет указан-? ную формулу, если и только если найдется такое число , что после довательность, отличающаяся от самое большее своим i-н членом (и этот член есть число Л ), выполняет подкванторную формулу
,Я). Значение предиката выполнимости для формул указанного вида в общем случае не может быть установлено в конечное число шагов: оно предполагает "перебор" бесконечного ряда натуральных чи-
93
«л. Аналогично обстоит дело и с 4 пунктом определения понятия выполнимости. А это означает, что установление выполнимости формул [роизвольной последовательности© $, хотя и сводится к установлению выполнимости составляющих формул, но в общем случае не может быть вавершено в конечное число шагов. Отношение Выл (Сс (у, 4), , где
А любая подкванторная формула, не рекурсивно: мы не можем для лю-1ой пары <Л,4>эффективным образом установить, удовлетворяет ли она тому отношению.
Определим класс формул, общезначимых в области натуральных чи-ел. Будем его обозначать 5£. . Формула^ принадлежит к классу^ ,
iели и только если каждая бесконечная последовательность выполняет »е:
В том случае, когда Е является предложением языка Р, мы будем говорить, что предложение Ft истинно.
Пример I. Рассмотрим, выполняет ли последовательность 104
Формулу Evt (Vt * Vi к А Е)? (ъ. * = Ex\F(а,Л)
По определению выполнимости формул: Выл р/04, EVt,l4 *Кг.га*)1=
3^Вып £СЛ (Ж» * )>[Зн (Cz (ущ, 6 3» (Сь (щ,, -
- Зн (g (<(24?g), (cz(i(w, &)),U
но ('cx^,/;)z = j; =
W (2,104) +1 = 4, тогда 3 & (4 как выполняет формулу (14 х 14-^).
Пример 2. Рассмотрим, выполнима ли формула :£ .
По определению выполнимости, для любой последовательности имеет место: Выл (4*/)] - Зн/у?/^^=1 + 1 = 1.
Но I + I / I, следовательно 1 Выл , 1 ] и это верно
для любой последовательности Q .
и так
2-2 = 4, любая последовательность лг такая, что лг =Cg(IO4,2),
94
§ 4. Некоторые свойства класса истинных предложений системы Р
Опираясь на введенные понятия общезначимости и истинности мож-н обосновать законы непротиворечия и исключенного третьего.
Теорема %. (закон непротиворечия). Для каждой формулы системы Р неверно, что < л и принадлежат классу общезначимых формул системы Р: ( )1 Т*)]
Теорема. 2 ♦ (закон исключенного третьего). Для любого предложения Л системы Р верно, что либо оно само, либо его отрицание принадлежит классу Тг Л [(Я € Пр) ? (Л £ Tt v "Л 6 %)J •
Теоремы I и 2 следуют из определения класса истинных предложений Р. Следовательно, введенное нами понятие истинного предложения Р удовлетворяет тем условиям, которые вытекают из интуитивного понимания истинного предложения, из классического (аристотелевского) понимания истинности. В традиционной логике названные условия рассматриваются как основные законы логики, которым должно удовлетворять любое правильное мыпление. Мы видим, что эти положения -точно так же, как и другие метатеоремы, которые мы докажем в дальнейшем - описывают свойства класса истинных предложений Р и зависят от определения этого класса.
Теорема 3. Если ^есть аксиома системы Р, то <т£ принадлежит классу Тг .
I. Пусть А д) яьф'Яер
Рассуждения будем вести для любой произвольной последовательности^1 Допустим, что последовательность выполняет формулу
((/>-> и докажем, что в этом случае выполняет формулу^ .
По определению выполнимости, из принятого допущения следует I) Вып[^ , ((^jB)-t^)] = Был// , (#^)J ? Вып 2) Допустим, что “7 Вып [у, c&J. Тогда по правилам пропозициональ
95
ной логики из I) следует:
3) 4(Bun[fl,sOJ => Выл [у &J), что эквивалентно:
4) Выл 1 Выл £
5) Выл [у, Я)] - из 4), Противоречие: 2,5. Следовательно, неверно допущение 2). Отсюда: если Выл [ то Выл [ $ Я],
Аналогичным образом доказывается, что все остальные аксиомы пропозициональной логики принадлежат к классу 7г. .
П. Пусть А имеет вид Р(Лс, t, $>) ~*EvK . Используя
определение выполнимости имеем:
Вып Ls,f(t, я)* (Л‘> ^-7s
= Вып Э-4 bnfCiff,*), Л].
На основании леммы 4 правая часть эквивалентна
Вып[£ ( 9 • Зн Ц,±)), Л] З-f Вш[^г (}№]
Но последняя импликация есть закон логики метаязыка; следовательно аксиома 7 общезначима. Общезначимость остальных аксиом теории квантификации доказывается аналогично.
ill. Рассмотрим арифметические аксиомы.
Аксиома 9 истинна, так как
Е«п [g, Vvt ( Vt~ Vjt i SVt я gVi)] =
s ^Вып [Ct (д.€), Vib(ai*vt-
~ L /Вып £ Ci (Cl( %, C), d), ~ ]=
гИГЙГВып LC^Ci
iA.^S^)]^VtVd[3H O.t) -^сг(СА^),
= Зн
Vii (&ll э Зн (Ci(Ct (},-(), oi), z / = Sh
V-{Vel(4 7-e+l
Но последний член эквивалентности является истинным утверждением метаязыка. Рассуждение велось для произвольной последователь
96
ности , следовательно аксиома 9 принадлежит классу Т’-ъ.
доказательство принадлежности остальных аксиом третьей группа классу аналогично.
Правила вывода системы Р сохраняют свойство общезначимости. Индукцией по высоте доказательства получаем: Теорема 4. Если , то & Тг.
Определение понятия истинности, удовлетворяющее теореме 4, на зывают нормальным.
Если в МР мы построили определение понятия истинности (общезначимости) для Р, то из этого еще не следует, что в МР можно пока зать, что каждая доказуемая формула общезначима. В общем случае, дедуктивных средств метатеории может оказаться недостаточно для д казательства непротиворечивости Р, т.е. для доказательства того, что к числу теорем Р не принадлежат вместе А и А для любой формулы А. Но, построив в некоторой метатеории нормальное определение истинности (общезначимости), т.е. такое определение, в силу которо го класс 7г удовлетворяет условию ( V^) $ 6 7г- ) (теорема
4), нетрудно доказать в метатеории непротиворечивость Р.
Теорема 5. Класс теорем Т системы Р непротиворечив. Доказательство.
Класс теорем Т является подклассом класса Тг. (теорема 4). Класс Тг непротиворечив (теорема 2). Следовательно, непротиворечив и подкласс этого класса.
Таким образом, построив в метатеории нормальное определение понятия истинности (общезначимости) для Р, мы легко доказали непротиворечивость системы Р (теорема 5). Однако такое доказательство непротиворечивости формальной системы не представляет собой особой познавательной ценности в том смысле, что предполагает использова
ние в метатеории дедуктивных средств, не менее сильных, чем
формализуемые в Р. Пусть имеются две системы $ и Мы будем гово -
97
1>ить, что S сильнее S , если каждая теорема S является теоремой S ^(но и обратно). Если в Sможет быть построено нормальное опре-целение истины для системы S * то S' сильнее S .
Теорема 4 имеет важный теоретике-познавательный смысл: возможность построения в некоторой системе 5’нормального определения понятия истинности для некоторой формальной системы S (теорема 4) дает строгий критерий для сравнения систем по силе. Дж.Кемени в своей докторской диссертации построил определение истины для простой теории типов Т в языке цермеловской теории множеств ? и, кроме того, доказал в Z. непротиворечивость Т. Следовательно, сильнее Т.
Пусть б^(Г) - класс формул, выводимых из произвольного класса формул Г. Мы скажем, что класс формул Г замкнут (представляет собой дедуктивную систему - в терминологии Тарского), если и только если имеет место:
или, поскольку Г Сл. (Г), CJr)=r.
Теорема 6. Класс Тъ является непротиворечивой дедуктивной системой: = 7г и ~7 & 7^ &
Замкнутость Тъотносительно выводимости следует из теоремы 4; непротиворечивость - из теоремы I.
Теорема 7. Класс истинных предложений системы Р есть полная дедуктивная система.
По теореме 2: (V^) (^^Пр)^>(^^ ТгУ^ЛбТг) . Согласно теоре-
ме 5 C'JTt) = Т-г . Из этих двух теорем, используя принцип замены равного равным, получаем: ($) £ (jUDp) z> (Л& Сл(Тг) И
£ С (T«z))J .
7 - 1844
98
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
АНАЛИЗ ДЕДУКТИВНЫХ И ВЫРАЗИТЕЛЬНЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ФОРМАЛИЗМОВ
§ I. Уточнение понятий определимости предикатов и функций в системе Р
Из класса термов полезно выделить подкласс, который мы буде называть нумералами - Нм («£): Нм = 4 V Зуъ (<£ = $/Ъ£Нм tjJO) Функция приписывания значений нумералам определяется следующим об разом:
Зн (4) = I
Зн (sZ) = Зн + I
Таким образом, нумералы - это последовательности палочек объектного языка, а их значениями являются натуральные числа. Нам потр< буется также функция, обратная функции, приписывающей значения н$ мералам, обозначим ее буквой Д . Эта функция натуральным числам сопоставляет нумералы объектного языка. Ее можно определить рекур сивно:
[Ad) = I
1А(п+1) =$ Д (м.)
Вместо "Д(п.)п будем писать "Да".
При гёделизации и арифметизации синтаксиса функции ZJ естест венно сопоставится вполне соответствующая числовая функция. Очевид но, что эта числовая функция примитивно рекурсивна.
Мы построили элементарную арифметику как стандартную формали зованную теорию. Эффективным образом определены такие категории объектов как терм, формула, предложение. В формализованной теории, построенной над некоторым стандартным языком, дополнительно также
99
•Фиктивным (рекурсивным) образом было определено, что есть аксиома, правило вывода, формальный вывод. Правила вывода носят финитный, эффективный характер, т.е. разрешают от конечного числа посылок определенного вида перейти к заключению. Формальный вывод также представляет собой финитную конструкцию.
Возникает вопрос, какого рода свойства и отношения объектов области рассмотрения могут быть представлены и описаны в такого рода языках - языках типа языка Р. Это - семантическая проблема •качения выражений языка, отношения выражений формальной системы |к внелингвистическим сущностям. Уточнение понятия выразительных возможностей формальной системы в этом плане несомненно связано с определением таких понятий, как значение терма, истинность предложений . |
С другой стороны, речь может идти о возможности представить формальным образом, в исчислении, содержательные логические процедуры. Какого рода дедуктивные рассуждения выразимы, представимы в этом смысле в формальной системе Р9
Уточнение этих понятий позволяет вскрыть существенную внутреннюю связь теорем об ограниченности формализмов. Введем некоторое общее понятие определимости предикатов и функций в P-понятие К-оп-ределимости. Это понятие впервые было введено А.Мостовским "... Теория К-определимости, - пишет он, - представляет одновременно обобщение теории определимости и теории общей рекурсивности функций и отношений" [114, гл.У] . Введение такого общего и абстрактного понятия определимости дает единый,своеобразный метод доказательства ограничительных теорем Тарского, Гёделя, Россера. Пусть К - произвольный класс формул языка Р, удовлетворяющий двум условиям: он непротиворечив и замкнут относительно формальной выводимости. Мы скажем, что Z- местный предикат (/2.^, ... ,^ )
TOO
К - определим в Р, если в Р найдется такая формула Л, содержащая в точности попарно различных свободных переменных ., £ и удовлетворяющая условию:
Кц... (Л
1 R (~ <^(&nit >^f^) &
Формула Jb называется К-ассоциированной с предикатами Я (««.
Числовая -местная функция К-определима в Р, если и только если в Р найдется терм сС , содержащий в точности попар но различных свободных переменных Л,, ... , ^2/, такой, что он удовлетворяет условию:
U£-- Д ( (п±, .t nJ) с< (Д }
Терм oL называется К-ассоциированным с функцией .
Классы Т и Тъ непротиворечивы и замкнуты, следовательно, могут выступать как конкретные примеры К. В том случае, когда К = Тъ , мы получаем понятие Тг -определимости, или формальной определимости, предикатов (аналогично функций) в Р. В этом случае говорим, что формула А, Т 2.-ассоциированная с R, формально определяет -местный предикат R. в Р. Аналогично, терм с£ , Тг -ассо циированный с функцией , формально определяет арифметическую функцию в Р.
Понятие формальной определимости предикатов (функций) является семантическим и опирается существенно на определение класса Т 2. Понятие Т" -определимого в формальной арифметике предиката эквивалентно понятию предиката, арифметического по Гёделю.
В случае К = Т ны получаем понятие Т-определимости, или рекурсивной определимости, предикатов в Р. Будем говорить, что формула А, Т-ассоциированная с R , рекурсивно определяет £-местное отношение R в Р. Аналогично, терм с/ , Т-ассоциированный с У?,
101
Iи курсивно определяет /2.- местную арифметическую функцию Y? в Р.
Понятие Т-определимости в арифметике числовых функций и предикатов является одним из возможным уточнений содержательных понятий эффективно вычислимой функции и разрешимого предиката.
Как известно, существует ряд других уточнений понятия эффективной процедуры: общая рекурсивность (Эрбран, 1931, К.Гёдель, 1934), -определимость (А.Чёрч, 1936), вычислимость по Тьюрингу (1936), вычислимость по Маркову (понятие нормального алгорифма (Марков., 1954), изобразимость по Гёделю (1936) и др. Доказана эквивалентность этих понятий. Вопрос о том, насколько эти понятия соответствуют интуитивному, содержательному понятию эффективности (вычислимости), естественно, не является предметом строгого доказательства. Утверждение об адекватности точным образом введенного понятия интуитивному понятию эффективной вычислимости называют тезисом Чёрча (тезисом Тыогинга, принципом нормализации Маркова и т.д.). Содержательные доводы в пользу тезиса Чёрча см. [26^ и ^37 J
Одним из уточнений эффективной вычислимости функций и разрешимости предикатов, как отмечалось выше, является понятие Т-определимости в формальной системе Р. Впервые это понятие введено Гёделем в 1931 г., но не для формальной арифметики, а для простой теории типов.
Естественно, что все примитивно рекурсивные предикаты и функции Т-определимы в Р. Как было показано в § 2 гл.З, числовые предикаты (и функции), вполне соответствующие таким синтаксическим понятиям как "переменная”, "терм", "формула", "предложение", "аксиома", "формальное доказательство", "подстановка" и т.д. примитивно рекурсивны. Тем самы они Т-определимы в Р.
7х - 1844
102
§ 2. Свойства К-определимых предикатов и функций
Из одних предикатов и функций с помощью булевых операций, опе
раций подстановки, операций связывания кванторами, мы можем строить другие предикаты и функции. Рассмотрим, какие из перечисленных one
раций приводят от К-определимых предикатов и функций к К-определи-
мым предикатам и функциям.
Теорема^. Если предикаты ) и . п )
К-определимы, то предикаты
(а) ~7р. (n,lt ,Пк), <<5) лх) &
(в) /I (ni} ,.f /гк) v /1^) К-определимы.
Соответственно, если класс ft К-определим и класс $ К-определим, тогда классы R., R. О Q, /ft, u Q К-определимы.
Доказательство основывается на определениях К-опред&лимости и зам-
кнутости класса К. Рассмотрим доказательство случая (б). Пусть фор-
мула К-ассоциирована с R-, а с . Тогда
I. К,., -,п,) = л (л*.,, е. К)&
г. Ут, V„e[(те) „ A
(^т„ Лт^) £ Пк) & Q(mt) ^[1^(0^,.^
условие
условие
1,2,1^ и по правилам логики высказыва-
ний
в силу замкнутости класса К, поскольку в системе Р из
4^ формально выводимо Л л А.
В систёме Р, по правилам логики высказываний ~ !~р^ (Л л
тогда
103
5. т R(«4,4^)*
6- ч Q (*4., > &(\it .., AnJ't
Л Л(Ч,..,^ ^K
7* 1 £ (П1> Лк) V1Q (ni> -л^9 5 ~(Я(\, • Л^))^
8* 7 (ПЯ,- •, пк) <£ Q } )) Э
,\)}4
K-x.- HK l(R (nL} лк)^ Qfa,..,^)? (Я(Ал^..^Лл)^ Л^)) 6 K№ t>(R(n<,..., nr) $ Qfa, f^))D (Я (Дп*, л $
I, в силу замкнутости класса К.
2, аналогичным образом
5,6,
7
Доказательство пунктов (а) и (в) аналогично.
Теорема 2. Если предикат R, ( , ... , ) и функция
... ,«у) и ^(^-х,... »^) К-определимы в Р, то (а) предикат
R. ( лх,... , ,... ,... )
и (б) функция
К-определимы в Р.
Доказательство основывается на свойствах К-определимых преди
катов и функций.
Теорема 3. Если К-местный предикат R (^,... ,^к) К-определим b Р, то 1^-1 -местный предикат 3ni R К-определим
Доказательство. Поскольку квантор ограничен числом , то
предикат (л4,...
R. (1,п.г,...Х) v...vR.^,n,,
Лк) может быть представлен в виде ..., . Последний предикат по теоре-
ме I К-определим в Р, если К-определим предикат
104
Таким образом, связывание переменных ограниченными кванторам существования (или общности), от К-определимых предикатов приводит к К-определимым предикатам. Операция связывания переменных неогра ниченными кванторами существования н/и общности в общем случае не сохраняет свойства К-определимости. Лишь в особом случае, когда К = Тг> класс Тг-определимых предикатов замкнут относительно опер, ции неограниченной квантификации.
Теоремы 1-3 доказаны для любого непротиворечивого и замкнутою класса К. Класс общезначимых формул системы Р непротиворечив и эаь кнут (теорема 6, § 4, гл.З). Класс Т непротиворечив (теорема 5, гл.З, § 4) и замкнут. С^(Т) = Т - из определения класса Т. Следовательно, теоремы 1-3 верны для классов Т и Тг.
Теорема 4. Если предикат (функция) Т-определим в Р, то этот предикат (функция) формально определим (Тс-определим) в Р.
Это утверждение верно, так как, согласно теореме § 4 гл.З (VA) [(ЛеТ) э (ЛбТъ) J
Теорема 5. Предикаты и функции, Т-опредедимые в Р, К-определи-мы в Р.
Действительно, если А теорема, то выводима из любого множества посылок, т.к. для всякого К Т^С^(К). Т.к. класс К замкнут то С^(К) = К и поэтому Т<К.
Как было показано выше, синтаксические предикаты и функции, введенные в § I гл.З, примитивно рекурсивны и тем самым Т-определи-мы в Р. Из теоремы 4 следует, что они Т^-определимы в Р. Естественно, они и К-определимы в Р (теорема 5).
Теорема 6. Если к-местный предикат Р. Тг-определим в Р, то Тг-определим (к-1) - местный предикат
Более того, если формула гА с к свободными переменными является формальным определением предиката К , то формула
105
формально определяет (к-1) - местный предикат
Доказательство. Согласно условиям теоремы, существует формула т , содержащая в точности к свободных переменных fij, такая
что: Vk* Иг
ПЪ , Л п* ) €’T'l'Pj <
Пусть с^- формула, содержащая единственную свободную переменную 4 , И Р ( >3 ' ) ^ ( Дп* , f •
I.j£( ?/г*. ) з> (j£( , /Ла) € Тъ ); I, Ну
2./£( > -> пк, ) Р г )» I» в силу замкнуто-
*’ 7 сти Тъ.
3. 3Л. Р < ...,пк) ? (Е^Р(асу„ ZUT*); 2,Н^.
4. К£ tR (рЛ(ЯЛх,..,Л^)) и далее
по правилам логики пре дикатов.
5. 13^ R nt > допущение
6. \^(~Л(йПл, ,гЛ^)^Гг.
4,5, Р
7. Кг
8. Kt п (^Л), ^ ))
( * 3^ В>ыл Cl (%, л-t.) , ')}
10. (-г&ып ( Ev^ Р(Л ')
II. V~ Р))
6, по определению Tv и выполнимости формул с отрицанием
7. по лемме 4, т.к.
-^Пк) =
F (At, А и.,, ,<А- )
8
9, по определению выполнимости формул с квантором Е.
9,по определению выполнимости.
5-II
106
Из 3 и I? получаем: Vat - Vku_£ |4£+i.. г кк) j
Vk, 1Л J 6 ) и 13ni R(n.£, (~Ev,J? Л1)У^Я^бТ'1- )
Мы доказали, что предикат 3^ R ( п<, .. ,п* ) формально определим в Р и формула Еу р ( ас Vr»v, А) есть его формальное определение в Р.
Следствие I. любой рекурсивно перечислимый класс (2 натуральных чисел формально-определим в Р.
По определению, непустой класс Q рекурсивно перечислим тогда и только тогда, когда предикат выразим в форме б*1,''1) с обще-рекурсивным R. . Предикат Е формально-определим в Р, следовательно, формально-определим предикат пе. Q.
Следствие 2. Предикат "быть теоремой”, - точнее, вполне соответствующий ему числовой предикат - формально определим в Р.
Т=^Н^(Док(, ^ )). Предикат Док у, *-) - примитивно рекурсивен (§ 2 гл.З) и, следовательно, Т-определим в Р. Тогда он и Тг -определим в Р. Если формула Jb (рекурсивно определяет в Р предикат Док (^,/г.), то формула Evt ($(*4,^)), согласно доказанной теореме, будет формальным определением в арифметике Р предиката "быть теоремой”.
§ 3. Теоремы об ограниченности формализмов
Как отмечалось в § I гл.З, подстановка вместо свободной переменной терма £. в любое правильно построенное выражение В всегда правильна, т.е. /к/I, Я) - Р (^,1, Я) . 4„CMBM функция, вполне соответствующая операции подстановки, определенная на гёделевских номерах соответствующих выражений -• Мы будем использовать сокращенную запись . В этой за-
писи " " используется как сокращение для выражения "гёделевский но
107
йи-р i -й свободной переменной” и тем самым как показатель того, что речь идет о числовой функции, вполне соответствующей операции (правильной) подстановки.
Выше была определена функция Д , сопоставляющая каждому целому положительному числу выражение объектного языка - некоторый нуме-рал. Нумералы являются термами объектного языка и при гёделезации им сопоставляются числа, гёделевские номера этих нумералов. Пусть <Z - некоторое выражение Р, (об) - его гёделевский номер. Каждому числу, том числе и Y7 («О, сопоставляется нумерал. Нумерал, соответствующий числу у’ («б), обозначится Л (/(</)). Сокращенно будем записывать Доб (нумерал гёделевского номера выражения^). Этому нумералу сопоставляется гёделевский номер Y’ (^ ) •
Для доказательства ограничи —-тельных теорем нам нужно рассмотреть особый вид подстановки Р ( А, Л- ) - подстановку вместо сво-бодной переменной в формулу нумерала, сопоставленного гёделев-скому номеру формулы А. Вполне соответствующая ей числовая функция обозначится Р ( i , , А) или, если к - гёделевский номер Л , -
P(i. йк, к)
Поскольку будут рассматриваться формулы с одной свободной переменной, ничто не мешает считать эту переменную первой: Операция
подстановки имеет вид Р (1,Д^, А). Примем новое сокращение ' (Л) =Р(I,^,>£); Р(к) = /71,,< ), если число К - гёделевский номер
Как показано в § 2 гл.З, функция Р ( t , / , Л5) примитивно рекурсивна, очевидно, примитивно рекурсивна и функция Z7 (*). Таким образом, операция подстановки Р (£) - точнее, ее арифметический коррелят - Т - определима в Р, следовательно, она и формально определима в Р.
Функция Р (/) -Л1,^,/) есть ни что иное как диагональная функция.
106
Пусть П - класс предложений системы Р:
Имеет место следующая основная теорема:
Теорема I, Для любого класса К формул системы Р верно: если К непротиворечив и замкнут, то класс К Л П не является К-определимь в Р. Иными словами, свойство принадлежать к непротиворечивому и замкнутому классу К предложений системы Р не является К-определимы-в системе Р.
Доказательство.
I. Класс К непротиворечив условие
2. КпП непротиворечив 3. КЛП К-определим в Р 4. КЛП К-определим в Р I, КПП^К допущение теорема I (§2), 3
5. PdjAn.A) К-определима в Р 6. Р (1,ДК »п)£ Ко П К-определим в теорема 5 (§ 2) Р теорема 2 (§ 2), 4
Следовательно, существует формула $>, содержащая одну свободную
переменную, такая, что:
7. (Vh.) { (Г (I, )€КЛП?^(Дл)б К)& ( Г(1,^ Л )^клпэ К)), где^(^)^Р(1,Дл Л).
8- (У*) КпП)1^[Т(^лпп)^п[]^
(~Р (±,1^,Я) е КпП)]} 7
9. [ Р (Л ZI*, Я) 4 К пП * Р(р *
Р(1,д# ~Л)еКлП] 8, fy.
ю. рл;4кп/1 кнп)
II. Я)£.КнП 10, (7А^АнА)
12. Г(1, я) бКлА * (Р(*, Лп-^КПП 9,^. *
13. рG КПП 11,12, лпуэ ; тогда
14 Класс КПП противоречив; 11,13.
Но последнее противоречит пункту 2. Следовательно, наше допущение, что класс КлП К-определим (допущение 3), неверно.
109
Доказательство велось для любого непротиворечивого и замкнутого класса формул системы Р. Мы доказали для всякого К, что, если К -непротиворечивый и замкнутый класс формул, предикат/г 6 К л П не лвляется К-определимым в Р.
Следствие I. Если К - непротиворечивый и замкнутый класс формул, то К не является К-определимым в Р.
Доказательство:
I. К А П - не является К-определимым в Р в силу доказанной теоремы I. 2. Класс П - К-определим в Р; предикат примитивно рекурсивен, и, следовательно, Т-определим в Р; в силу теоремы 5, § 2 он К-определим в Р.
3. Если П и К К-определимы в Р, то КПП К-определим в Р (в силу теоремы I, §2).
4. Следовательно, класс К не является К-определимым (43 3, I, 2).
Иными словами, если К - непротиворечивый и замкнутый класс формул, то неверно, что найдется такая формула Л системы Р, содержащая в точности одну свободную переменную , для которой выполняется условие: (Vn.) f ()£ К) <£ (tv 4 )
* К) J. Последнее эквивалентно тому, что найдется такое число /2- , которое "наруаает" условие К-определимости класса К, т.е.
ph.) [ (п*К<& v(n$
Поскольку теорема и следствие I доказаны для любого непротиворечивого класса формул К, в качестве К можно взять любой класс формул Р, относительно которого доказано, что он непротиворечив и •амкнут. Если в качестве К взять класс Т t, то как следствие получаем теорему Тарского о неопределимости:
Следствие 2. Класс общезначимых формул (истинных предложений) I' формально не определим в Р.
Как было доказано в § 4 гл.З, класс общезначимых формул систе
no
мы P непротиворечив и замкнут. Для случая К = Тг как следствие доказанной теоремы I получаем: класс ТълП не является Т -определимым в Р. Класс истинных предложений Р не определим в Р. Аналогично: класс общезначимых формул 74 не определим формально в Р.
Это означает, что семантика формальной арифметики Р не может быть описана в языке самой арифметики. Любые утверждения, относящиеся к синтаксису Р, могут быть выражены в языке Р: числовые предик ты и функции, вполне соответствующие синтаксическим, То. - опред** мы в Р. При этом не только рекурсивные предикаты (функции), вполн соответствующие синтаксическим, но и предикат "быть доказуемой фо цулой" -rcG Т формально определим в Р (следствие 2 теоремы 6 § 2). Выразительных средств языка элементарной арифметики достаточно для описания формальных, структурных свойств системы Р (и даже любой б лее богатой системы, содержащей арифметику). Но семантические свойства и отношения системы Р не могут быть представлены в языке Р: г дикат, выполняющийся на гёделевских номерах истинных предложений, не определим в Р. Иными словами, этот предикат не может быть представлен посредством числовых предикатов и операций над числами, вы разимых (Тъ - определимых) в языке арифметики первого порядка. Парадоксы типы парадокса Лжеца, парадокса Ришара в принципе не могут быть реконструированы в Р.
Следствие 3. (теорема Россера). Класс доказуемых предложений Р не является Т-определимым в Р.
Класс Т непротиворечив и замкнут. Теорема I и следствие I верны для случая К = Т. Класс теорем элементарной арифметики Р не опре делим рекурсивно в Р. Поскольку класс рекурсивных предикатов и функ ций эквивалентен классу предикатов и функций Т-определимых в Р, как следствие теоремы I мы получили результат Россера: класс теорем арифметики первого порядка не рекурсивен. Проблема разрешения для
Ill
элементарной арифметики не разрешима.
Неразрешимость чистого исчисления предикатов первого порядка нытекает из доказательства неразрешимости некоторой конечно-аксио-матиэируемой первопорядковой теории Т. Пусть конъюнкция замыканий аксиом некоторой неразрешимой теории Т. Обозначим Л + - результат замещения всех дескриптивных констант свободными переменными -различных различными и одинаковых одинаковыми. Тогда, для любого предложения , сформулированного на языке теории Т, имеет место: Л доказуемо в Т тогда и только тогда, если (2г*Л)+ доказуема в чистом исчислении предикатов первого порядка. Если бы проблема разрешения для чистого исчисления предикатов была разрешима, то тогда имелся бы метод, позволяющий для каждой формулы исчисления предикатов, в том числе и для формул вида - устанавливать, доказу-
ема она или нет. Но в таком случае мы имели бы разрешающую процедуру и для теории Т.
В качестве теории Т можно, например, взять систему Р.Робинсона, являющуюся подсистемой системы Р. Система эта представляет собой первопорядковую формальную систему с конечным числом аксиом; непротиворечивость этой системы доказывается финитными средствами. Из того, что проблема разрешения для системы Робинсона неразрешима, легко получается результат А.Чёрча о неразрешимости проблемы разрешения для чистого исчисления предикатов первого порядка. Изложение этого доказательства см. [26 § 761 .
Следствие 4. Дополнение к классу Т не является рекурсивно перечислимым.
Как известно, если класс Q и его дополнение Q рекурсивно перечислимы, то оба класса рекурсивны. Если имеется рекурсивная функция, перечисляющая один за другим элементы класса Q, и есть рекурсивная функция, один за другим перечисляющая элементы класса Q ,
112
то класс и/ разрешим. Поскольку класс Т рекурсивно перечислим, но,согласно следствию 3, не рекурсивен, следовательно, класс Т не является рекурсивно перечислимым.
Отсюда, в частности, следует, что множество рекурсивно перечи слимых предикатов и множество формально определимых предикатов не совпадают. Все рекурсивно перечислимые предикаты формально опреде лимы в Р (теорема 6, § 2). Однако существуют формально определимъ предикаты, не являющиеся рекурсивно перечислимыми. Так, предикат к,6 Т формально определим в Р (следствие 2 теоремы б, § 2), след вательно, Тг определим в Р предикат п, & Т (класс Т). Но предикат н.^Т не является, по доказанному, рекурсивно перечислимым.
Следствие 5. Элементарная арифметика Р не полна, т.е. сущест вует такое предложение , что ни Л . не доказуемы в Р.
I. Согласно следствию 2, класс истинных предложений Р - ТгЛ П не является формально определимым. Класс доказуемых предложений Р -ТАП - формально определим. Следовательно, ТЛП / ТьЛ П 2. ТЛП £ ТгА П; Теорема 4 § 4 гл.З.
3. Следовательно, существует такое предложение, которое принадлежит классу истинных предложений ТгЛ П и не принадлежит классу доказуемых предложений ТлП. Символически: (3^) [ ($£ТгЛ П)<£ <& (.А^Тл П)3 • Не все истинные предложения Р доказуемы в Р.
Отсюда легко показать, что существует неразрешимое предложение Р. Обозначим А* то самое предложение Р, которое принадлежит классу ТтЛ П и не принадлежит ТЛП, тогда:
4. (/*€ТгЛП)& (^-*4 ТЛП); 3,-Зу
5. Класс ТтЛП непротиворечив:
(УЛ)1[(Л£'?гп[1)&)1 теорема I, § 4.
(-Л^ТълП)] 5,1/у
7. Л* £ 7* л/7 4, <&у
из
н. ~Л*<£ ТглП 7, в силу непротиворечивости класса Т.
8, поскольку .
10. 7 л П 4,
II. ('-Л’Ч ТлП) 9, 10,<£/
18. II, 3^
|ахлм образом, как следствие теоремы I, мы получили теорему Гёделя • неполноте элементарной арифметики с неконструктивным доказательствам; идея доказательства принадлежит А.Тарскому [128 J.
Теорема о К-неопределимости непротиворечивого и замкнутого Biacca формул К позволяет получить единым методом доказательства ря-
важнейших теорем, связанных с принципиальной ограниченностью стан диртных формальных систем, содержащих элементарную арифметику.
Теорема Тарского (следствие 2) устанавливает ограниченность вы разительных возможностей системы Р. Семантика теории Р не может быть тружена в саму систему Р. Теорема Гёделя о неполноте формальной рифыетики (следствие 5) говорит о принципиальной ограниченности де-Г“ ™
Мы можем усилить дедуктивные средства Р, добавив, например, | качестве аксиомы неразрешимое предложение, но в усиленной таким
путем системе, возникнут новые неразрешимые предложения, которые троятся по той же схеме. Система Р не только неполна, но и сущест-ннно непополнима, а это означает, что класс истинных предложений рифметики не является рекурсивно перечислимым, его нельзя представить как класс доказуемых формул некоторой стандартной формальной •мстемы.
Если некоторый класс рекурсивно перечислим, то он Т* - определим в Р (следствие I теоремы 6, § 2 гл.З). Но класс истинных предло
8 - 1844
114
жений арифметики - ТъЛП, согласно следствию 2, не определим в Р.
Несколько иначе обстоит дело с результатами Россера и А.Черч (следствие 3). Результат Россера означает, что для предиката "быт теоремой элементарной арифметики" не существует такой формальной системы, в которой этот предикат был бы Т-опрёделим. Если принять тезис Чёрча, отождествляющий понятие эффективности с одним из его уточнений, например, с понятием Т-определимости в Р, то доказанна теорема (следствие 3) означает, что свойство "быть теоремой форма-ной арифметики" не является эффективным ни в одном из точных смыс лов этого понятия.
Теоремы Тарского, Гёделя и Чёрча - Россера (следствия 2, 3, 5 показывают принципиальную ограниченность стандартных формальных систем и приводят к ряду важных философских следствий. Однако, пр* жде чем перейти к обсуждению ряда следствий ограничительных теорес мы дадим конструктивное доказательство теоремы о К-неопределимост* класса К в том смысле, что это доказательство предполагает наличие точного метода построения таких предложений, которые нарушают уело вия К-оп-^ределимости класса К. Этот метод является также методом построения неразрешимого предложения системы Р и позволяет осущест вить конструктивное семантическое доказательство теоремы Гёделя о неполноте формальной арифметики.
§ 4. Конструктивное семантическое доказательство теоремы Гёделя
В предыдущем параграфе было доказано, что предикат "быть формулой непротиворечивого и замкнутого класса формул К" не является К-определимым в Р. Другой способ доказательства этой теоремы состоит в том, чтобы указать пример такого предложения, которое нарушав’ условия К-определимости класса К, т.е. построить такое предложение
П5
, что:
(«) К) V [(п/К)4(~Л(Л„, ) К)
|Ьы не просто построим некоторое фиксированное предложение А, удовлетворяющее условию (ZZ ), но рассмотрим алгорифм построения целого класса предложений, выполняющих условие (££ ). Предложения этого класса имеют структуру Р (Аж, т.е. представляют собой ре-
зультат подстановки в некоторую формулу вида "Л (Лг) вместо единственной свободной переменной нумерала, обозначающего гёделевский номер этой формулы. Такого рода подстановка сокращенно обозна-йится Р(~Л).
функция Рпримитивно рекурсивная, следовательно Т-опре-делима в Р. Обозначим Л терм Т-определяющий функцию Р (~Z).
Построение предложений указанного вида проводится следующим образом:
I. Начинаем с формулы вида^^С^), где - произвольная формула Р, содержащая единственную свободную переменную затем строим
2. ~Л{Л(а^ Где М~Л ).
Выражение ( д<)) содержит единственную свободную переменную I , сокращенно обозначим его ~ Я (Л/).
3. А - нумерическое выражение числа - гёделевского
J номера выражения (<*/).
4. ~А(^ (А (~Л(я*))))- результат подстановки в~Л(^(лх)) вместо единственной свободной переменной терма А (<2Ж)). Полученное выражение как раз и представляет собой предложение типа ft-, удовлетворяющее условию (*< ). Поскольку по построению д = ~Л(^(А(~«>^(лх)))),можно записать:?'*' = ~/£(^( F(^t ~ Л> ) = F£>)~F(~Л)'
Тогда ~л,= Л
116
Дадим некоторый содержательный анализ предложений типа /г. . Терм г/ (Л) определяет (Т - определяет) в Р подстановку вместо некоторой (произвольной) формулы ее гёделевского номера. Тогда формул •'^ («^ (*4 )) утверждает, что условию ?£ не удовлетворяет подстановка в некоторую произвольную формулу гёделевского номера этой же формулы. В дальнейшем вместо переменной в выражение ~Л (^)) подставлялся гёделевский номер (точнее, описывающий его терм) самого этого выражения. В результате такой подстановки мы получали вы
ражение типа П, ; оно представляет собой схему самоприменимых утвер ждений. Иными словами, мы дали схему построения самоприменимого предложения, утверждающего, что свойством Л не обладает предложи утверждающее в языке Р свойство "не обладать свойством Л- ".
Теорема I. Если К есть непротиворечивой замкнутый класс формул, то К не является К-определимым.
Доказательство.
Докажем, что любая формула типа П. удовлетворяет условию (<•* ) и,
самым, нарушает общее условие К-определимости класса К.
5- 6 7
6.
7. (~л 4 К) v (~~п- ф К)
8. (.~п- ^-К) V (~~п £ К) &.
& (п- v
т.к. по условию сС Т-определяет функцию А *).
2,п -F(-J5)
3, замена равного равным
4, т.к.П по построению есдоАСКД *)).
Условие: К непротиворечи 6,
7, по правилам логики высказываний
3- ~
117
9. (гьеК) £ (~п- К) v (—п 4 К)
ю. (п^К)^(Л(^^К) v
8, по правилам логики высказываний и поскольку (гь<Н) S (—К).
5, 9.
Таким образом, мы показали, что формулы типа Д- удовлетворяют условию (ct ).
Из 10 выводимо: (Ju) 7 К ’ (А(ДЛ) ^К)) (л-фК
I (~А(ДК) К)) J ; Следовательно, класс К не является К-определимьм. Доказательство теоремы велось для любого непротиворечивого и замкну
того класса формул К.
Опираясь на доказанную теорему, построим семантическое доказательство теоремы Гёделя о неполноте. В этом доказательстве существен ио используются свойства класса I't- .
Теорема 2. Имеется предложение^ вида (VK ) такое,
что ни Л, ни ~ г/Ь не являются теоремами системы Р.
Доказательст во.
Рассмотрим метод построения неразрешимого предложения и покажем, что он приводит к построению предложения типа п , о которых •ла речь в доказательстве предыдущей теоремы. Предикат Док (^, к), как было показано в § 2 гл.З,'примитивно рекурсивен и, следовательно, Т-опрередим в Р. Пусть формула есуь рекурсивное опреде-
ление в Р предиката Док (^, к) Пр (к), т.е. предиката -формальное доказательство предложения К ". Пусть» Д предиката - Док (^»к) & Пр (к).
Построение неразрешимого предложения Л мы начинаем с фиксированной формулы ~ представляющей собой формальное
определение в Р предиката "быть не доказуемым предложением". Даль
к) - сокращение для
нейшее построение ничем не отличается от построения формул типа ги .
Я1- 1844
118
I. ~ (^vk (VK> а^)) \ I. ~ с/Ь (<lt)
2.^ (^Vfc U(2- ~ Л(Л[л^)) рекурсивно определяет функцию Р().
Ь.&(~Л (Л (^)))
)) или
~*^«Л Л*/)))*
Л)) 4, ~EvKV(u<,</,(A с ,
Таким образом, Л »~£^ 110 построе"
нию очевидно, чтос^ есть предложение типа/г- .
В ходе доказательства предыдущей теоремы мы показали, что дл.* любого выражения типа Zt имеет место: (/£«-*A (Aft))6T. Следовательно, это верно и для построенного предложения Ж :
I. [(~Л^У(Дл,Ъ)]е7.
Теорема верна для любого непротиворечивого и замкнутого класса формул К, в частности для К=Тг . Предложение <А> по построе
нию есть предложение типа л-, следовательно, в силу предыдущей теоремы для этого предложения верно условие (*£ ):
2. (Л 6 П)А(ЕукУ(Ъ,йл)*7ъ) v(M7i)4(~E^fa^)fT)
Докажем ложность второго члена дизъюнкции 2:
а) (Л^Тг)«. ((~£ук У(ъ,Дл))17г. допущение.
б) 7V а), <£ у
в) EvK У(ук, Дл)) ф 7ъ а),^
г) (у*, Дл)) 6Ч\. в),теорема 2, § 4
гл.З
д) $%*, Лл) &7ъ Г), в.сиду замкну
тости класса Т:
в системе Р из формулы EvK^ формально выводима формула
где а34 - то самое число, которое удовлетворяет условию z дл).
, Дл) Ф Тъ $), класс Т не-
противоречив .
119
& [ Д' (4, 4)б7г)]1 Ж • V еся> Т-опраде- '
* ‘ J ление предиката
Д'(й, К) и УВ(ВбТ BfeTz-)
) П Л) ж),^ , е), т £
и)Д'(#*> Л) з),^
и) означает, что есть геделевский номер доказательства предло- .
женил А. ]
к) Л)(т& Л *Т) и),
л) АбТг, к)
Противоречие:
б)
и м),
следовательно, нале допущение
а)
неверно:
1 [(Л 47i) 4 (~EvK У(ъ,Ал)№)]
. (Л (EvK 2’ 3-
т.е.
верен первый член дизъюнкции 2.
Построим вспомогательный вывод: а)^ёТ
6)3j Д'(/ Л)
в) Д'(/*,♦*)
г> Vk к. Цд'М = Ж-^J
4
допущение
а), по определению АеТ
б), Зу
д) д' )^т
е)^(2у,^)£Т
Ж) EvK^(vK,iA)67
а-> EVkV(vk,
«) Ж. Лл)^ Тг
- Т-определение Д'.
ч I/ jp Vxp - OUл
r)»7>.V V осхе
д), в), ^ Р-
е), класс Т замкнут и
ж)
4, <W
120
Противоречие: з) и и). Следовательно, допущение а) неверно: 5.з£>4-Т
6./^ Тъ 4,&у.
6, класс Тт> непротиворечив.
7, теорема 4 § 4 гл.З.
9. С£фТ)А(~/^Т) 5,8.
Предложение А неразрешимо относительно класса теорем системы Р; таким образом, класс Т - неполная дедуктивная система.
Идея семантического доказательства теоремы о неполноте формальной арифметики восходит к А.Тарскому [128 ] . В ходе доказател ства существенно использовались теоремы, устанавливающие свойства класса Т (см.§ 4): класс Тънепротиворечив и замкнут, все теорему, системы Р принадлежат классу Т-с . Легко показать, цто*£/ ,^} рекурсивно определяет множество натуральных чисел.
Синтаксическое доказательство теоремы о неполноте формальной арифметики принадлежит К.Гёделю [101] . Доказательство Гёделя проводится в предположении, что система Ри)-непротиворечива. Сопостав ление различных способов доказательства теоремы Гёделя проводится в работе А.Мостовского [П4, rn.Vl] .
121
§ 5. Философский смысл теорем о выразительных и дедуктивных возможностях формализмов
Доказанные в предыдущих параграфах теоремы Тарского, Гёделя, Чёрча - Россера, равно как и теорема о полноте первопорядкового исчисления предикатов, имеет важное философское значение для оценки выразительных и дедуктивных возможностей формальных систем со стандартной формализацией и для исследования такого гносеологического понятия как истинность. Значение этих теорем выходит за пределы специальной проблематики, носит методологический характер. Влияние ограничительных теорем на стиль мышления науки 20 столетия можно сопоставить, пожалуй, только с влиянием фундаментальных открытий в области физики (теория относительности, квантовая физика) .
Рассматривая проблему изменения и развития научного знания, следует различать уровни и аспекты этого процесса. С точки зрения логики и теории познания, на каждом этапе познания имеется определенные концептуальные схемы, которые фиксируются в языке - не только в терминах языка, но и в его структуре - способах рассуждения, допускаемых приемах абстракции и идеализации.
Изменение знания может происходить на уровне принятия некоторых положений. Изменения могут происходить и rfa уровне принятия новых теорий. На этом уровне, естественно, возникают проблемы сравнения, сопоставления научных теорий в плане их языков, дедуктивных и выразительных возможностей, в плане их объяснительной силы. Существенную роль в такого рода рассмотрениях играет логика.
Наконец, изменения могут происходить на уровне концептуальных схем. Меняется сам каркас, в рамках которого происходит описание явлений, формулировка теорий. Изменяется категориальная сетка, структура язык теорий, способы рассуждения, допускаемые приемы
122
абстракции и идеализации. Именно такого рода изменения связываются, на нам взгляд, с понятием стиля мшления.
Понятие "стиль меления" включает логику, ее средства и методы, но не обязательно одну и ту же, неизменную логику. Более того, принятие определенных способов рассуждения, определенных логических процедур коррелятивно допущению определенных абстракций и идеализаций, т.е. в конечном счете - определенных концептуальных схем
Теоремы о дедуктивных и выразительных возможностях формализмов связаны с фундаментальными вопросами стиля мшления: истолкованием природы необходимого, теоретического знания, роли и характера абстракций и идеализаций, исследованием возможностей дедуктивного представления научного знания, связей концептуального аппарата и принимаемых логических процедур.
Результаты, сформулированные в предыдущих параграфах, имеют место не только для системы первопорядковой арифметики, но для любых формальных систем со стандартной формализацией, удовлетворяющих определенным требованиям. Под стандартными языками имеются в виду языки с конечными или счетными алфавитами, для которых эффек тивным образом определены основные синтаксические понятия: индивидная переменная, терм, формула, предложение. При этом предполагается, что все выражения языка являются конечными последовательностями символов алфавита.
В стандартной формальной системе (в формальной системе со стандартной формализацией), построенной над некоторым стандартна языком, дополнительно, также эффективным (рекурсивным) способом, описывается, что есть аксиома, правило вывода, формальный вывод. При этом правила вывода носят финитный и эффективный характер, т.е. это правила, разрешающие от конечного числа посылок определенного вида перейти к заключению. Формальный вывод представляет собой
123
также финитную конструкцию.
Такого рода формальными стандартными системами является построенная вше первопорядковая арифметика, таковыми являются и арифметика второго порядка и арифметика любого конечного порядка. Некоторые из прикладных теорий со стандартной формализацией могут оказаться полными, т.е. для всякой замкнутой формулы, сформулированной в языке этой теории, либо она сама либо ее отрицание являются теоремами теории. Однако выразительные возможности таких систем ограничены: в терминах их языков нельзя сформулировать синтаксис этих теорий. Если же в терминах теории определимы примитивно рекурсивные функции, то хотя такая теория неполна по своим дедуктивным средствам (согласно теореме Гёделя), ее выразительные возможности позволяют сформулировать синтаксис этой теории в языке самой этой теории. Из теоремы Тарского следует, что для всякого языка со стандартной формализацией найдется некоторое отношение, свойство не определимое средствами этого языка. Универсальный язык, в котором были бы определимы все отношения (между объектами типа объектов системы натуральных чисел) невозможен. Отсюда всегда встает проблема выбора языка с достаточно богатыми выразительными возможностями для данных целей. Это отнюдь не тривиальный вопрос. Скажем, достаточен ли первопорядковый язык, или необходимы и языки высших порядков, или возможно ограничиться расширениями первопорядкового языка дополнительными средствами выражения типа кванторов Мостовского или кванторов Генкина? Во всяком случае, универсальный язык с неограниченными выразительными возможностями в принципе невозможен. Все программы его создани»являются иллюзорными.
Теорему Тарского, а также теоремы Гёделя и Чёрча-Россера, принято называть теоремами об ограниченностях формализмов. Однако это название не совсем адекватно выражает их смысл и значение. Прежде
124
всего отметим, что сами теоремы не говорят о какой-то ущербности формальных систем. Но они действительно характеризует возможности формальных систем и границы их применимости. Однако их смысл этим не ограничивается: они дают возможность выявить важные характеристики таких содержательных понятий, как истинность, доказуемость, логическое следование.
Введение понятий определимости свойств и отношений в формализованном языке позволяет выявить существенные характеристики самих этих свойств и отношений, провести их классификацию. Класс (отношение) определимый в первопорядковой арифметике, называют арифметическим; определимый формулой второпорядковой арифметики - аналитическим (от слова "анализ"). Более детальную классификацию свойств и отношений дает обобщенная иерархия Клини-Мостовского. Формулы в Предваренной нормальной форме могут быть разбиты на классы в зависимости от того, с какого квантора (общности или существования) начинается приставка от указания типа высшего квантора (верхний индекс) )л числа перемен кванторов высшего типа (нижний индекс). Каждая формула относится к типу П„ или На этой основе можно построить соответствующую иерархию классов и отношений, указав типы формул, с помощью которых определимы эти классы или отношения. К типу Zo ~ Г > относятся все рекурсивные классы и отношения, к типу Zu - рекурсивно перечислимые, к типу П* (/ - арифме-
тические, к типу П* Л - гиперарифметические, к типу - аналитические.
Для того, чтобы установить место того или иного класса (или отношения) в иерархии Клини-Мостовского, необходимо указать минимальный класс, к которому он принадлежит, и максимальный, к которому он не принадлежит.
Семантические понятия относятся непосредственно к лингвисти
125
ческим объектам, но, как было показано ваше, лингвистические объекты можно закодировать с помощью чисел. Семантическим понятиям можно сопоставить вполне соответствующие им теоретико-числовые. Поэтому можно ставить вопрос о месте семантических понятий, включая понятие истинности, в иерархии Клини-Мостовского.
Теорема Тарского говорит, что понятие истинности для первопорядковой арифметики не определимо в первопорядковой арифметике, и тогда оно не принадлежит к типу П*!/ , т.е. не является арифме-
тическим. Однако было бы неправильно полагать, что понятие истинности для первопорядковой арифметики вообще не определимо в формализованных языках. Нет, оно определимо, т.е. может быть охарактеризовано формулой некоторой формальной системы со стандартной формализацией. Можно показать, что оно определимо во второпорядковой арифметике. В общем случае для системы порядка и, содержащей теорию рекурсии, понятие истины определяется в расширении этой системы до порядка п+1 (результат Тарского 1939 г., см.нашу статью 167]). Таким образом понятие "истинное предложение первопорядковой арифметики" определимо во второпорядковой арифметике и является аналитическим. Можно уточнить тип этого понятия, оно является гиперарифметическим (т.е. принадлежит к типу Ilf Л Zf . Таким образом, теорему Тарского можно рассматривать как теорему, характеризующую понятие истинности определенное для данного стандартного языка. При этом теорема характеризует не "бедность", а "богатство" этого понятия.
Что касается синтаксических понятий формальных систем со стандартной формализацией, то все они являются по крайней мере рекурсивно перечислимыми, т.е. принадлежат к типу . В частности понятие доказуемости для кадцой формальной системы (со стандартной формализацией) как первопорядковой,так и высших порядков является
126
рекурсивно перечислимым. Таким образом, класс теорем первопорядковой арифметики и Т* £с - в силу упомянутого выше результат
Россера.
Теорему Гёделя можно также рассматривать как результат, характеризующий понятие истинности. Она выявляет, что понятие истинности для первопорядковой арифметики не является рекурсивно перечислимых, так как найдется истинная, но не доказуемая формула, в частности -формула, утверждающая свою собственную недоказуемость.
Не следует полагать, адресуясь к результату Геделя, что всяка; первопорядковая теория неполна. Нетрудно привести примеры полных первопорядковых теорий (например, теорию плотного линейного порядка без первого и последнего элементов). Для них понятие истинности и доказуемости совпадут. Более того, поскольку теории представлены как формальные системы, а в формальных системах допускается только рекурсивное множество аксиом, множество теорем таких теорий также будет рекурсивным. Отсюда и понятие истинности для таких теорий будет разрешимым. Но если теория содержит примитивно рекурсивную арифметику, то такая теория неполна и понятие истинности для нее не является рекурсивно перечислимым.
В связи с рассмотренными характеристиками понятия истинности целесообразно сделать одно замечание общегносеологического характера. Включает ли содержание понятия истинности критерий истинности? Приведенные результаты показывают, что классическое понятие истин?.)-сти (истинного высказывания) этому условию не удовлетворяет, так км для достаточно богатых языков понятие истинности не будет рекурсив ным и даже рекурсивно перечислимым.
Вопрос об отношении между понятиями истинности и доказуемости является вопросом об отношении между семантическим и синтаксически-понятиями. Одним из инструментов логики является метод сопоставлен»
127
семантическим понятиям равнообъекиых им синтаксических. Логику пре
жде всего интересует не столько понятие истинности, сколько понятия логической истинности и логического следования. Как же обстоит дело с понятием логической истинности*? Для первопорядковых языков понятие логической истинности по объему совпадает с понятием доказуемости, тем самым является рекурсивно перечислимым. Это известный результат Геделя о полноте первопорядкового исчисления предикатов.
Таким образом, формализация первопорядковой логики оказывается осуществленной. Но как обстоит дело с понятием логической истинности
логического следования для второпорядковой логики?
Нетрудно видеть, что предложение Д истинно во вторпорядковой арифметике тогда и только тогда, когда логически истинна формула П =»А, где П есть конъюнкция аксиом Пеано для второпорядковой арифметики. Отсюда, поскольку понятие истинности для второпорядковой арифметики не принадлежит V П* , то таковыми будут и понятия логической истинности и логического следования для второпорядковой логики предикатов. Тем самым понятие логического следования не является рекурсивно перечислимым и не может быть описано с помощью
формальной системы со стандартной формализацией.
В первопорядковой арифметике схема аксиом индукции относится
только к свойствам, определимым в первопорядковой арифметике. Но имеются и свойства, не определимые в ней. Отсюда и неполнота характеристики системы натуральных чисел. Аксиомам первопорядковой арифметики могут удовлетворять и системы объектов, отличные от системы
натуральных чисел. Во второпорядвовой арифметике система аксиом
Пеано является категоричной, из нее логически следуют (в семанти-
ческом смысле) все истинные утверждения второпорядковой арифметики.
Система
объектов
теории
(система натуральных чисел)
характеризует-
ся в этом случае полностью, с точностью до изоморфизма. Причина
128
неполноты аксиоматически построенной второпорядковой арифметики обусловлена не ограниченностью собственно арифметических аксиом, а невозможностью охарактеризовать с помощью исчисления стандартного типа второпорядковое отношение логического следования. Неполнота возникает из-за "большой силы" отношения логического следования. Вгоропорядковое отношение логического следования полностью не формализуемо (посредством систем со стандартной формализацией). Гёдель доказывал теорему о неполноте не для первопорядковой арифметики, как она была сформулирована и доказана выше, - а для простой теории типов (модифицированной системы РМ). Поэтому теорему о неполноте можно рассматривать не как свидетельство невозможности, с точности' до изоморфизма, описать (посредством аксиом) систему натуральных чисел, а как свидетельство невозможности формализовать отношение логического следования второпорядкового языка и языков более высоких порядков.
Следующий важный вопрос, связанный с формализацией, - это вопрос о существовании алгорифма, по виду формулы устанавливающего, является она доказуемой или нет. Известно, что для логики высказываний такая эффективная процедура существует,т е. по виду формулы можно установить, доказуема она или нет; проблема разрешения для классического исчисления высказываний разрешима. Г.Лейбниц полагал, что существует единый метод установления, доказуема некоторая формула или нет, говоря современным языком, он полагал, что проблема разрешения для всей логики разрешима. Однако оказалось, что уже для исчисления предикатов первого порядка проблема разрешения неразрешима. Это составляет содержание теоремы А.Чёрча. Как невозможен единый завершенный универсальный язык, таи невозможен и метод, решающий все массовые проблемы. Существуют алгорифмически неразрешимые массовые проблемы.
129
Уточнение интуитивного понятия алгорифма явилось значительным достижением научной мысли. Конечно, тезис, что предложенные точные понятия алгорифма (Т-определимости в арифметике, алгорифма Маркова, машины Тьюринга, частично рекурсивной функции, систем Поста и другие) являются уточнениями интуитивного понятия эффективности и вычислимости, является содержательным утверждением. Этет тезис по сво ей природе не может быть объектом формального доказательства. Его принятие, как и принятие многих фундаментальных принципов типа законов сохранения, оправдывается научной практикой, всем стилем научного мышления. Аргументы в пользу его принятия хорош известны, см., например, Клини £26] , Марков L37J , Смальян £50] .
Таким образом, ограничительные теоремы явились важным этапом в исследовании формальных систем как средства изучения и репрезентации содержательных понятий. Не менее существенна их роль в иссле-
довании тех
средств и методов,
которые используются при описании
формальных систем и их интерпретаций, т.е. при исследовании выразительных и дедуктивных средств метатеорий. В этом плане ограничитель
ные
теоремы
явились переломным моментом в исследованиях
по
фил< Со-
фии математики.
Прежде всего они засвидетельствовали несостоятель-
ность
гильбертовской программы обоснования математики
в ее перво-
начальном
виде и
открыли н( вые горизонты в исследованиях по обос-
нованиям
математики
Связь методов семантического анализа с опре-
деленными
методологическими установками,
с исслед ванием "стиля
н
мышления
особенно ярко выступает в гильбертовской программе обос-
нования
математики,
в его методе "идеальных элемент в"
и трактовке
смысла и
значения идеальных предложений.
Результаты Геделя, в особенности его теорема о невозможности
доказательства
непротиворечивости
элементарной арифметики
средства-
ми
формализуемыми в самой арифметике, ставят важную философскую и
- 1844
130
методологическую задачу - исследовать характер той системы мышления, которая получила название финитной установки Гильберта, выявить круг понятий и принципов, которые ее определяют, зависимость логических законов от этих принципов.
Д.Гильберт исходил из допущения, что в основе всей математики лежит финитная система мышления. Она имеет дело с конечными наглядными объектами. "Общий вывод таков: бесконечное нигде не реализуется. Его нет в природе, и оно недопустимо как основа нашего разумного мышления, - и здесь мы имеем замечательную гармонию между бытием и мышлением. ... Оперирование с бесконечным может стать надежным только через конечное. Роль, которая остается бесконечно«<у, это только роль идеи, - если, согласно Канту, под идеей подразумевать понятие, образованное разумом, которое выходит за пределы всякого опыта и посредством которого конкретное дополняется в смысле цельности ..." (Гильберт 17, 364 ). Д.Гильберт различал подлинные объекты математического знания - те мысленные конструкции, введение которых не предполагает привлечения абстракции актуальной бесконечности и которые представимы наглядным образом. Высказывания о такого рода объектах - осмысленные, содержательные сообщения, они могут оцениваться как истинные или ложные. Гильберт называл их, соответственно, реальными предложениями. В элементарной теории чисел это предложения типа "2+2 = 4" "10<12" и т.д. По Гильберту, это содержательные сообщения о "конкретных образах наглядного созерцания" .
Согласно концепции Гильберта, основу собственно математического знания, его устойчивое, независящее от логики содержание определяют не гипотезы, не конструирующие способности ума и не интуиция, а определенные, конкретные, внелогические объекты, "непосредственно данные в созерцании до всякого мышления". О таких объектах наглядного созерцания мы рассуждаем содержательным образом, опираясь
131
на их обозримые, конкретные свойства.
Возникает вопрос, какого рода системы можно рассматривать как системы реальных предложений, системы, не выходящие за рамки финитных установок Гильберта. Естественно было бы отождествить финитную систему мышления Гильберта с бескванторной рекурсивной или даже примитивно рекурсивной арифметикой. Но Д.Гильберт неявно предполагал, что множество истинных реальных (т.е. при указанном понимании, сформулированных в терминах рекурсивной арифметики) предложений рекурсивно перечислимо и является подмножеством доказуемых формул первопорядковой арифметики. Теорема Гёделя опровергает это предположение. Множество всех истинных утверждений, сформулированных в терминах примитивно рекурсивной арифметики, не является рекурсивно перечислимым.
Собственно Гильберт считал, что математика не может развиваться без добавления все новых и новых систем идеальных элементов. Все предложения математики он разделял соответственно на реальные и иде альные. Он не отказывался ни от чистых теорем существования, ни от высказываний о трансфинитных объектах. Но такого рода высказывания не являются подлинными содержательными сообщениями об объектах, рассматриваемых в математике. Это предложения о фикциях, об идеальных образах нашей теории", и они не могут оцениваться как истинные или ложные.
Как нам представляется, дело не в математике как таковой и исследованиях ее оснований. Вопрос касается роли абстракций и идеализаций в научном познании, в особенности в теориях, имеющих дело с такого рода идеальными сущностями. Каковы основания для введения такого типа идеализаций*? Не означает ли их использование отлет, отрыв от живого дерева человеческого познания?
Гильберт, исследуя природу математического знания, фактически
132
ставил вопрос о природе идеального, о статусе, роли и правомерности введения идеальных объектов математики. С одной стороны, вводимые математические понятия не должны отрывать нас от реальности "выходить за пределы всякого опыта". Но означает ли это, что реальную, эмпирическую интерпретацию должны получать все вводимые в математику высказывания, или это требование предъявляется только ко всей теории в целом? Таковы основные, фактически философские, вопросы, поднимаемые Гильбертом в связи с его методом идеальных объектов. Во всяком случае Гильберт считает, что не только относительно математических, но и относительно даже физических теорий неразумно выдвигать общее требование,согласно которому каждое отдельно взятое утверждение теории должно получать эмпирическую интерпретацию и контролироваться опытом С17, 381] . Каково же обоснование вводимых идеальных элементов?
Использование абстракций, идеализаций всегда означает "отлет,г от реальности, мнимые числа, бесконечно удаленные точки и т.д.), но все дело в том, что теория с идеальными элементами должна быть построена таким образом, чтобы всегда имелся- "обратный путь" к реальным предложениям. Для Гильберта это означает, что допускаемые идеализации не привносят ничего нового в наше знание относительно подлинных объектов математики. Идеальные элементы можно вводить в теорию лишь в том случав, если те соотношения, которые выявляются в ней после расширения для прежних объектов при исключении идеальных образов, верны в старой области С17, 376] . Другими словами, добавление элементов и расширение первоначального языка не должно расширять запаса доказуемых утверждений, сформулированных в терминах исходной системы (т.е. системы реальных предложений). Говоря техническим языком, система с идеальными предложениями должна быть консервативным расширением исходной системы. Доказательство этого
133
и составляет основную задачу обоснования систём с идеальными элемен тами.
Само по себе доказательство непротиворечивости рассматриваемой системы трудно считать ее обоснованием. "Неправильная теория, не натолкнувшаяся на противоречие, - писал Брауер, - не становится от этого менее неправильной, подобно тому как преступное поведение, не остановленное правосудием, не становится от этого менее преступным" (цитируем ро [26, 25-57]).
Нередко сам Гильберт давал основания полагать, что основной целью его программы обоснования математики является доказательство ее непротиворечивости. Так, в ответ на возражение, что если даже какое-либо понятие может быть введено "без опасений, т.е. без появления противоречий, и это может быть доказано, то все же это понятие не является в достаточной мере оправданным", Д.Гильберт пишет, что "если, помимо доказательства непротиворечивости, может иметь смысл еще и вопрос о законности некоторого мероприятия, то таким вопросом может быть только вопрос о том, сопровождается ли это мероприятие соответствующим успехом или нет" £ 17 , 340J .
Нам представляется, что основным содержанием программы Гильберта является обоснование вводимых идеализаций, а не доказательство непротиворечивости само по себе. Можно показать, что при тех допущениях, которые принимал Д.Гильберт, доказательство непротиворечивости некоторой системы эквивалентно доказательству ее консервативности относительно её финитной подсистемы, см.нашу статью £621 Действительно, пусть Р и 5 некоторые теории. Если Р непротиворечива и S является консервативным расширением Р, то отсюда следует, что 5 тоже непротиворечива. Если Р является подсистемой 5 и 3 непротиворечива, то отсюда еще не следует, 5 является консервативным расширением Р. Но если Р полна, Р является подсистемой 3 и 5 не
9х- 1844
134
противоречива, то отсюда следует, что Р является консервативным расширением Р. Поэтому Д.Гильберт имел полное основание заменять требование консервативности требованием простой непротиворечивости. Но после результата К.Гёделя такое отождествление уже неправомерно.
Д.Гильберт исходил из допущения, что содержательную математик', можно формализовать, т.е. представить в виде исчисления. Теперь мы знаем, что если отождествлять математику с множеством всех ее истинных предложений, то это требование неосуществимо. Однако нам представляется, что для программе Д.Гильберта вопрос о формализуемости математики не является принципиальным. Ведь он не исходил из понимания математической истинности для всей математики как чего-то данного. Обычная математика изначально не дана, а возникает как ре зультат расширения идеальными предложениями финитной системы мышления. Конечно, полученные результаты об ограниченности формализмов ставят вопрос о выборе формальной системы, достаточно хорошо, хотя и не полным образом, представляющей обычную область математики.
Применение метода формализации непосредственно связано с установлением условий применимости содержательных логических рассуждений. Гильберт поднимает важный вопрос о связи принимаемых абстракций и идеализаций с допускаемыми средствами вывода.
Рассуждения по форме в логике действительно предполагают отвлечение от конкретного содержания посылок, но это вовсе не означает полного отвлечения от области рассматриваемых объектов и их характеристик. Напротив, применение логических процедур базируется на определенных теоретико-познавательных предпосылках. Так, для Гильберта необходимое условие применения содержательных, логических выводов и выполнения логических операций составляет наличие определенных, внелогичных, конкретных объектов, объектов, наглядно обозримых. Именно это составляет "основную философскую установку" Д.Гиль
135
берта, которую он считает "обязательной как для математики, так и вообще для всякого научного мышления" [17, 531J . "Должны ли мысли о вепах быть столь непохожими на то, что происходит с вещами, должны ли они сами по себе идти другим путем, совершенно в стороне от действительности?" И далее: "...содержательные логические выводы, когда мы их применяем к действительным ведам или событиям, - разве они нас где-либо обманывали и где-либо нам изменяли*? Нет - содержательное логическое мышление необходимо. Оно нас обманывало только тогда, когда мы принимали произ вр дьные, _аб страктные, спо собы об разевания понятий; мы в этом случае как раз недозволенО применяли содержательные выводы, т.е. мы, очевидно, не обратили внимания на предпосылки, необходимые для применения содержательного вывода" 17,350 , подчеркнуто Е.С.). Поскольку высказывания об идеальных элементах, фикциях не имеют самостоятельного значения, не являются содержательными сообщениями о подлинных объектах теории, логические операции над ними не могут проводиться содержательно, как они применяются к реальным предложениям.
В силу этого сохранение в теории высказываний об идеальных элементах предполагает, что сами логические операции и математические доказательства надо формализовать. Тогда высказывания и доказательства теории предстают как конечные, конкретные объекты, наглядно обозримые. Формализация и в этом случае выступает не как самоцель, а лишь как средство обоснования применимости содержательных логических процедур и выводов - обоснования в рамках финитной системы мышления.
Более сильным ударом по гильбертовской программе обоснования математики явилось следствие теоремы Гёделя, так называемая вторая теорема Гёделя, теорема о невозможности доказать непротиворечивость первопорядковой арифметики финитными средствами, формализуемыми в
136
самой этой арифметике. Для доказательства непротиворечивости некоторой формальной теории требуются средства, не формализуемые внутри этой системы. В каком отношении этот результат существенен для программы Гильберта*? Вопрос касается тех средств, которые используются при доказательстве непротиворечивости формальных систем. По-сколько при формализации теории доказательства и доадды этой теории предстают как конкретные, наглядные объекты, предполагается, что доказательство непротиворечивости самой теории осуществимо в рамках финитной системы мышления. Но результат Гёделя свидетельствует, что обоснование математики невозможно в рамках финитн й математики Гильберта. С нашей точки зрения, это говорит о невозможности обоснования всей математики в рамках последовательного номинализма. Вся осмысленная математика не сводима к высказываниям, как мыслил Гильберт, о конкретных, обозримых, реализуемых в пространстве конструктах. С философской точки зрения результат Гёделя означает, что задачу обоснования математики нельзя решить чисто математическими средствами,она принадлежит сфере философских рассмотрений.
Сказанное не следует понимать в том смысле, что из теоремы Гёделя вытекает вообще невозможность доказать непротиворечивость первопорядковой арифметики или вообще какой-либо другой достаточно богатой формальной системы. Построение для нее семантики в некотором метаязыке даст нам доказательство такой непротиворечивост. (см., напр..теорему 5 гл.З, § 4). Но ценность подобного доказательства невелика, т.к. приходится предполагать обоснованной более богатую систему, нежели исходная. Однако, развитие исследований по осн* ваниям математики, стимулированное ограничительном! теоремами, позволяет решать задачи обоснования более ограниченными средствами
137
хотя и Выходящими за пределы финитных методов, формализуемых в пер-вопорядкрвой арифметике. Г.Генценом доказана непротиворечивость пер-вопоряДковой арифметики с использованием индукции по ординалам вплоть до So » в последующем была доказана непротиворечивость анализа, доказана теорема об устранимости сечения для логик высших порцц-ков и получен ряд других значительных результатов.
Возможны и другие методы обоснования, например, путем перевода утверждений исследуемой системы в некоторую приемлемую систему. Этот метод использовал К.Гёдель, предложив перевод утверждений первопорядковой арифметики в систему всех конечных конструктивных функционалов [ 16 3 .
Доказательства непротиворечивости классической математики, даже классической теории чисел предполагают расширение финитной системы мышления. Это расширение означает, что наряду с понятиями, относящи мися к конкретным, конструктивным наглядным объектам, допускаются определенные абстрактные понятия, ’’...для доказательства непротиворечивости теории чисел нужны определенные абстрактные пбнятия. При этом под абстрактными (или не наглядными) понятиями следует понимать понятия, существенно принадлежащие второй или более высокой ступени. Это значит, что они охватывают не свойства и отношения конкретных объектов (например, комбинаций знаков), а относятся к мысленным образам (например, к доказательствам, осмысленным высказываниям и т.д.), причем при рассмотрении доказательств используется такое понимание последних, которое получается не из комбиниторных (пространственно-временных) свойств представляющих их знаковых комбинаций, а из их смысла [ 16, 299 1 . Дело в том, что в финитной установке в смысле Гильберта различают два аспекта. Во-первых, требование конструктивности: объекты математики таковы, что они или могут быть предъявлены или фактически могут быть построены. Вопрос требование -
138
это требование наглядности: сверх указанного, объекты математики должны быть еще, как указывалось выше, наглядно-обозримыми. Под этим понимается сопоставление им "пространственно-временных элементов, все особенности которых, за исключением их равенства и различия, не существенны" [16, 30lJ . Именно от второго требования приходится отказываться, именно в этом суть отхода от принципов финитной установки Гильберта. Фактически это знаменует, с нашей точки зрения, тход от последовательного номинализма в философии математики (см. [62, 85-88] ).
Если обоснование математики, в силу теорем Гёделя, требует выхода за пределы гильбертовской финитной точки зрения, то сама поставленная Гильбертом задача - задача обоснования вводимых идеализаций, остается полностью в силе. Более того, как отмечает П.С.Новиков, "выход за рамки финитизма не уничтожает основной идеи метода, пред доменного Гильбертом и состоящего в формализации тех математических систем, которые подлежат обоснованию, средствами некоторого круга понятий, принятых в качестве основы в силу тех или других ci ображе-ний" « [44, 34] .
Ограничительные теоремы показали, что первоначальная программа обоснования математики Д.Гильберта нереализуема. Но они открыли новые пути в разработке проблем обоснования. Ограничительные теоремы стимулировали рассмотрения формальных или полуформальных систем, не удовлетворяющих условиям стандартной формализации. Изучаются языки и логические системы со счетными конъюнкциями и дизъюнкциями (эти системы впервые были введены П.С.Новиковым и Д.А.Бочваром), с нестандартными кванторами, логические системы с правилами из бесконечного числа посылок. В последнем случае преодолевается несоответствие между семантическими и синтаксическими понятиями, т.е. имеет место полнота, но естественно нарушается условие эффективности синтаксических понятий.
139
Глава пятая
ЯЗЫКИ С ИНТЕНСИОНАЛЬНЫМИ КОНТЕКСТАМИ И ПРЕДИКАТАМИ
§ I. Референциальная семантика и семантика возможных миров
В работе 1967 г., анализируя теорию смысла, мы отмечали, что "в логике до сих пор нет удовлетворительной теории смысла” [67,29^ . Трактовка смысла и значения выражений зависит от методов семантического анализа. В той же работе рассматривались те трудности, которые должна преодолевать теория смысла: парадоксы теории именования,проблемы единичных высказываний существования, утверждений тождества, проблемы, связанные с пустыми именами, трактовка истинности высказываний с пустыми именами и дескрипциями. Особую трудность вызывает анализ предложений мнения, знания и вообще косвенных контекстов. В работе был сделан обзор семантических теорий, в которых рассматриваются и частично преодолеваются эти трудности. Наиболее радикальное решение состоит в том, чтобы ограничиться чисто экстенсиональными стандартными языками и строить чисто экстенсиональные семантики для них. Но при таком подходе указанные трудности не решаются, они просто отбрасываются, не принимаются во внимание. Конечно, для некоторых целей действительно можно ограничиться экстенсиональными языками. Однако тезис экстенсиональности Р. Карнапа . согласно которому для любых целей достаточен экстенсиональный язык, сомнителен. "Для того, чтобы устранить антиномию (отношения именования) посредством исключения всех неэкстенсиональных контекстов, необходимо было бы показать, что для целей всякогологического или эмпирического исследования может быть построена экстенсиональная языковая система; другими словами, что для любой неэкстенсиональной системы имеется экстенсиональная система, в которую первая может быть переведена. Утвер-
140
ждение это известно как тезис экстенсиональности"25, 215 J . Вопрос о том, выполняется ли полностью этот тезис, представляется Карнапу еще не решенным. Однако, обсуждая вопрос, может ли быть сформулировано полное семантическое описание даже неэкстенсиональной системы в экстенсиональном языке (содержащем только экстенсиональные предложения), Карнап склонен думать, что такое описание можно сделать. Но это и означало бы фактически возможность перевода всех неэкстенсиональных предложений системы на Экстенсиональный язывд. Исследование своеобразия интенсиональных контекстов, расширение класса таких контекстов, анализируемых в современной логике, показывает явно несостоятельность тезиса экстенсиональности.
Теория смысла Г.Фреге, семантика Б.Рассела, метод интенсионала и экстенсионала Р.Карнапа, прагматические теории смысла В.Куайна и М.Уа***а не решают всех указанных выше трудностей, хотя и содержат щей, важные для построения теории смысла. Введение понятия интен-ионала-(интенсии) играет существенную роль в анализе неэкстенсио-(альных контекстов, в которых проходит принцип, замены А-эквивалент ных выражений. Однако возникает вопрос, какова роль этого понятия в существенно интенсиональных контекстах, в которых не действует этот принцу замены -эквивалентных выражений.
Интенсиональные языки отличаются прежде всего наличием особых интенсиональных предикатных выражений (знак в) и операторов (на-пример;типа "верит, что,...", "знает, что..,", " а- ищет..." и т.д. Естественно особую роль приобретает семантическая интерпретация такого рода знаков, методы выявления их смысла и значения. Можно ли приписывать им значения в изоляции, какого рода сущности могут им тогда сопоставляться? Или же они выступают как опоеделенного типа синка-гегоре-'матические знаки, смыслом, значением наделяются не они сами, а контексты определенного вида, их содержащие? Каков тогда
141
способ интерпретации такого рода контекстов и каким образом в них смысл сложного зависит от смысла составляющих? Все эти вопросы касаются принципиальных особенностей интенсиональных контекстов, и уже это говорит об определенных принципиальных отличиях их семантик.
Более того, не ясно, в чем суть отличия указанных интенсиональных контекстов от модальных неэкстенсиональных контекстов, в которых проходит замена L- эквивалентных выражений. Зависит ли это от иной интерпретации модальных операторов, отличной от интерпретации интенсиональных операторов и предикатов, или же дело в ином способе истолкования сложных контекстов, содержащих эти операторы. Во всяком случае то, что замена L - эквивалентных не проходит в интенсиональных контекстах, подводило к выводу, что на базе понятия L -эквивалентности вообще нельзя уточнить понятие интенсии, что такое понятие не адекватно понятию смысла. Или же предполага-л сь, что для интенсиональных контекстов требуется более сильное отношение эквивалентности, нежели L -эквивалентность, например, отношение интенсионального изоморфизма, предполагающее выявление синтаксической структуры выражений и установления L -эквивалентности составляющих элементов. Но при таком подходе совершенно непонятны способы выявления и сопоставления соответствующих единиц.
Разработка проблем теории смысла и тесно связанных с ней методов анализа интенсиональных контекстов в последние годы существенно продвинулась. Особое значение в этом плане имеет разработка семантик возможных миров для интенсиональных логик. Основополагающими в этой области являются работы Р.Монтегю £112 J , £423 , £433 , Д.Скотта £52] , М.Кресвелла £923 .
Как отмечалось, при подходе Карнапа понятия экстенсионала и интенсионала (экстенсии и интенсии) определяются на основе понятий эквивалентности и -эквивалентности выражений.Замена эквивалент
142
ных выражений служит критерием различения экстенсиональных, интенсиональных и неэкстенсиональных контекстов. Однако с развитием реля ционных семантик и семантик типа Монтегю появляется возможность ввести понятия экстенсионала и интеясионала (и соответственно провести разграничение различных типов контекстов) независимо от понятий эквивалентности и L -эквивалентности.
Особый интерес в семантиках типа Монтегю представляет трактовка интенсиональных операторов, их отличие от модальных. Релятивизация понятий экстенсионала и интенсионала относительно точек соотнесения (возможных миров) позволяет включать в анализ содержания контекстов определенные прагматические аспекты. Интенсионалы высказыва ний при указанном подходе включают определенные аспекты употребления этих высказываний (учет лиц, моментов времени и т.д.). Не случайно семантики типа Монтегю получили широкое применение в логико-семантическом анализе контекстов естественных языков.
Следует также отметить интересное новое направление в методах семантического анализа высказываний - так называемую ситуационную семантику. Эта семантическая теория, альтернативная семантике возможных миров, служит базой построения пропозициональной логики ("не-фрегевской логики”), представляющей собой фактически интенсио-Hajьную логику. Направление это менее известно, но начинает интенсивно разрабатываться в настоящее время. В работах Б.Вольневича анализируются методологические аспекты указанного подхода (см. напр., £ II3 ♦ в работах Р.Сушко и его учеников разработаны принципы ситуационной семантики и не-фрегевских логик на этой основе [l26j , [l27 . Еще одно интересное направление в разработке логической семантики и теории смысла представлено теоретико-игровым подходом в семантике (см. Я.Хиктикка, £l02j, [l02j , [79] , а также сборник работ [l24j . Указанный подход также дает широкие возможности для логико-семанти
143
ческого анализа сложных контекстов естественных языков.
Ниже мы развиваем собственную концепцию анализа интенсиональных контекстов, основные идеи которой были сформулированы нами в работах [63] , Сб4] , [125] . В концепции разрабатываются идеи семантик возможных миров, но в отличие от подходов Г.Монтегю и Д.Скотта, помимо особой трактовки интенсиональных операторов, существенную роль играет способ установления интенсионалов выражений, включающих эти операторы. Именно таким путем выявляется принципиальное отличие интенсиональных контекстов от экстенсиональных.
В первой главе был дан синтаксический анализ языков с разными способами приложения функторов к аргументам, в этом разделе развивается семантический аспект этого вопроса. Тем самым, как нам представляется, мы все более приближаемся к охвату сложных логико-семантических связей естественных языков.
Мы будем подразделять предикатные знаки на экстенси нальные и интенсиональны.е. Каждому осмысленному выражению языка сопоставляются как экстенсионал, так и йнтенсионал, и при этом не вводятся особые обозначения для интенсионалов. Семантика строится таким образом,что интенсиональным предикатным знакам и операторам также сопоставляются как интенсионал, так и экстенсионал и при этом отличные от интенсионалов и экстенсионалов обычных предикатных и операторных знаков. Таким образом, интенсиональные языки отличаются наличием двух типоь предикатных знаког и операторов, и при этом разного типа предикатным знакам (аналогично, опареторам) приписываются разного типа интенсионалы и разного типа экстенсионалы . Указанные условия в той или иной форме и в той или иной мере реализовались в логической литературе. Однако, как представляется, принципиальное отличие Предлагаемого подхода к анализу интенсиональных языков состоит не
145
144
в вццелении двух типов предикатных и операторных ^аков, а в выявлении существенно иного способа связи интенсиональных функторов сих аргументами; разрабатывается вдея двух семантически различных способов приложения функторов к аргументам.
Но прежде, чем переходить к реализации этой идеи, мы рассмотрим экстенсиональные языки, в которых имеются только экстенсиональные предикатные знаки и только один способ приложения функторов -к их аргументам. Для этих языков может быть построена семантика возможных миров, и каждому правильно построенному выражению приписывается как экстенсионал, так и интенсионал. Мы сформулируем подобного рода семантику и сравним ее с референциальной.
Начнем с референциальной семантики и ограничимся первопорядковым языком. Пусть L есть первопорядковый прикладной язык, А - его словарь нелогических символов, X - некоторая непустая область, СТ -интерпретация А на X. Тогда ^Х,С7 (А)^ есть возможная реализация языка L . Семантические понятия, включая понятие истинности, релятивизируются относительно возможных реализаций. Одна из возможных реализаций ввделяется как (актуальная. Семантические понятия подразделяются на два типа: относящиеся к данной выделенной возможной реализации и относящиеся ко всем возможным реализациям. Последние называются L -понятиями, к их числу относятся понятия логической истинности, логического следования, выполнимости. Для стандартных логических систем именно таким образом строится семантика. В рефе-* ренциальной семантике понятия смысла, интенсии не являются исходными и необходимыми.
Как указывалось выше, для стандартных языков может быть построена семантика, основанная на идее возможных миров. Хотелось бы подчеркнуть, что мы не рассматриваем последний подход как нечто предпочитаемое по сравнению с референциальным подходом, когда речь идет
о стандартных экстенсиональных языках. Но этот подход создает пред посылки для исследования интенсиональных языков.
Пусть К есть класс возможных миров. Под "возможным миром" можно понимать мыслимую совокупность положений дел. Однако, при других конкретных интерпретациях это может быть просто класс моментов времени, или некоторый набор факторов, называемых точками соотнесения. На данном этапе мы не конкретизируем, что мы понимаем под возможным миром, хотя читатель может понимать под возможным миром мыслимую совокупность положений дел, пока не будет сделано специ
альных оговорок по этому поводу.
Мы рассматриваем языки, основанные на стандартной теории синтаксических категорий с основными категориями: л- (категория собственных имен) и S (категория предложений). Если <4 есть индекс ка-тегории и js есть индекс категории, то есть индекс категории. Каждому исходному (примитивному) выражению языка приписана некото
рая категория, сложные правильно построенные выражения строятся из
исходных с помощью двух операций - операции приложения и операции абстракции: если А есть выражение категории и В есть выражение категории , то А(&) есть выражение категории ; если
А А рии
есть выражение категории rC , х есть переменная категории и х входит свободно в А , то Л>хА есть выражение катего-с>С, р
Пусть V - непустая индивидная область. Интерпретация J
сопоставляет каждому знаку словаря А некоторый объект, а именно,-_ гк
выражению категории п. - объект типа U , т.е. функцию,сопостав
ляющую каждому возможному миру некоторый индивид, индивидной кон-
станте сопоставляется индивидный концепт, выражению категории а сопоставляется объект типа 2^. 2^ есть множество всех подмножеств К (или класс функций из К в 2 £ L, -F] , т.е. предложению сопо-
10 - 1844
146
ставляется пропозициональный концепт, отождествляемый с мыслимым положением дел). В общем случае выражению категории сопостав-ляется объект типа (А ) , где Ал есть объект, сопоставленный выражению категории Ж , и объект, сопоставленный выражению категории р . Модельная структура есть тройка < К,
Пусть наш язык содержит только индивидные переменные. Под функцией приписывания значений индивидным переменным имеется в вид, функция, сопоставляющая каждой переменной объект типа 1Г^. Пусть
$ означает, что отличается от -Г возможно приписыванием значения х.
Введем понятие интенсионала в данной модельной структуре и понятие зкстенсионала в возможном, мире данной модельной -структуры. Все эти понятия релятивизированы относительно приписывания значени свободным переменным -f . *
Если А есть формула, то вместо понятия зкстенсионала этой формулы в мире Н при приписывании ? будем использовать понятие f истинности формулы А в мире Н при приписывании f : Hll== А тогда и только тогда, когда ЕхЕц
Одновременно индукцией введем понятия интенсионала и экстен-сионала (для формул— (.-истинности):
I. Если а€ А, то (a, f ) = 7(а).
2. Если х - индивидная переменная, тоЗ£."£ (x,f ) = f(x).
3. Если ае А, то экстенсионал а в мире Н относительно приписывания -F есть значение 7(a) в Н, т.е. (7(a)) (Н).
4. Если х есть индивидная переменная, то экстенсионал х относительно приписывания -f есть значение f (х) в Н, т.е. (-f (х)) (Н).
5. Если А атомарная формула, т.е. имеет вид Р (хр.., х^), то
Н1£ P(xv.,x~) е
6. Hl£ А Ь Ь Н]£а и Hl^B
147
7. 7СН/£а)
8. = J
I 9. Если А - формула, то-Тк/. (A,f ) = ^Н: НП= А^
I Формула А общезначима в данной модельной структуре || если и только если Jrrt (A,f ) = К при любом приписывании f . | Если сложное выражение получено из составляющих по схеме при-I ложения функтора^ргументу, то интенсионал сложного выражения оп-
| ределяется интенсионалами составляющих и вычисляется по схеме
(АВ)К ХВК-АК
I Такой способ вычисления интенсионалов относится не только к сочле | нению предикатного знака с индивидным, но и к образованию сложных | высказываний с помощью пропозициональных связок, так
□ki СДАВ f) = Лг-i CA,f) Л Св/D и /л/СтА,-О = K-ZvtCA.f), что нетрудно обосновать, исходя из определений. Аналогично, экстенсионал выражения, составленного из функтора и аргумента, в данном мире вычисляется по экстенсионалам составляющих в данном возможном мире по схеме
АВ х В-*-А
Каждое выражение, в том числе содержащее кванторы, имеет как интенсионал, так и экстенсионал. Экстенсионал выражения с кванторами также зависит от экстенсионалов подкванторного выражения и может быть определен без обращения к понятию интенсионала.
Семантика возможных миров открывает иные подходы даже для экстенсиональных языков. Для простоты рассмотрим язык без индивид ных констант. Модельная структура есть четверка < К,1Г,7 ,»
149
148
где S' есть функция, сопоставляющая каждому возможному миру индивид ную непустую область S' (Н), будем обозначать ее также 7.
Введем особый предикат существования 3 или кванторы V и 3. со. следующими условиями истинности
Н|£ V.x A V? Cf ? д & Q (x)XH)e 1TH => Hl£ A)
H l£ Э.х A*> Cf-j & (g6<XH)e 1TH & H1^ A)
Кванторы V. и 3. означают (соответственно), что речь идет обо всех или некоторых объектах данного мира, а не обо всех или некоторых возможных объектах.
Если мы определим понятие значимости в данном возможном мире Н как значимость относительно всякого приписывания значений свободным переменным, то формула Vx Ах не будет значимой. Однако все замыкания всеобщности доказуемых формул исчисления предикатов значимы в данном возможном мире и во всех возможных мирах. Но чтобы класс общезначимых формул совпадал с классом доказуемых формул стандартного исчисления предикатов,можно дать другое определение значимости в мире Н: формула А со свободными переменнымих,...,х значима в мире Н если и только если для всякого приписывания f , удовлетворяющего условию f-F СхиХН) € ЪГН Н 1й== А.
Под интенсионалом одноместного предикатного знака имеется в виду объект типа (2^)^, т.е. функция из К в 2^". Под охватом предикатного знака Р в мире Н будем понимать значение функции 7 (Р) в точке Н. Но (7(F)) (Н) есть некоторое подмножество , однако оно не обязательно является подмножеством ТГц . Под объемом предикатного знака Р в мире Н будем понимать (7СР)бН))Л , т.е. объем -это класс объектов мира Н, обладающих свойством Р, а охват - это класс всех возможных объектов (из универсума 1Г ), обладающих свойством Р.
Установим связь между референциальной семантик й и семантикой возможных миров 1 сформулированной выше форме.
Индивидная область возможной реализации референциальной семан тики - это область 77р . Определим теперь интерпретацию: для одно-местн й предикатной константы _| (Р) s (7f) , т.е. одноместн му предикатному знаку сопоставляется его объем, подмножество из . Поэтому 7ц /*• есть возможная реализация.
- есть функция приписывания значений переменным из области Uj_( > т.е. (х) » C-f *))(Н при условии, что значение (-f(x))(Н) принадлежит . Отсюда если Н [|= А для всех f , выполняющих условие , то А значима для всех f в возможной
реализации < ТГ^ > 7ц >.
Пусть - класс всех возможных реализаций, а К - класс их индексов; класс К находится во взаимооднозначном со тветствии с W. Класс индексов К будем рассматривать как класс возможных миров. Пусть к соответственно - индивидная область и интерпретация некоторой возможн й реализации, имеющей индекс , т.е.
Под U имеется в виду L . • Пусть 7^ ( Р) - Некоторое произволь-
ное расширение функции ТГи-* [t, -f ] до I Vc —> (t, -f j . Аналогично для других констант. Тогда 7 есть функция, сопоставляющая каждому индексу £ из К интерпретацию . Пусть f такова, что ШС) = (х) , тогда если всякое -f. выполняет А в<ТГ7>^
то А истинна в М- при приписывании -f .
Таким образом в терминах семантики возможных миров могут быть определены все необходимые семантические понятия для обоснования стандартной логики.
§ 2. Языки с интенсиональными знаками
Интенсиональные нзыки отличаются, как отмечалось, от стандарт-
150
них экстенсиональных языков наличием особых предикатных знаков и операторов, например, типа "верит, что...", "знает, что...", а ищет...", "необходимо, что...". Мы предполагаем строить рассматриваемые языки на базе теории синтаксических категорий. Для этого следует расширить понятие индекса категории, а именно:
I. п и 5 суть индексы категорий (и - категория имен, S - категория предложений).
2. Если и fi индексы категорий, то и “ суть индексы категорий.
о( £
Выражения типа ~ назовем экстенсиональными, а типа
интенсиональными. Таким образом имеются экстенсиональные одноместные предикатные знаки (типа , для них будем использовать курсивные заглавные латинские буквы £ , 6^ и т.д.) и интенсиональные с
(типа = , для них используем полужирные латинские заглавные буквы Р , Q. и т.д.), аналогично имеются два типа одноместных пропозициональных операторов, например, 7 есть оператор типа , аО -5
типа = . В общем случае предикатный знак или оператор может быть интенсионален относительно одних и экстенсионален относительно других аргументов. Такое разграничение на интенсиональные и экстенсиональные знаки нередко принимается. Однако одного признания двух типов знаков недостаточно, чтобы построить язык с интенсиональными терминами, удовлетворяющий требованиям теории синтаксических категорий.
Мы принимаем два способа сочленения функтора с аргументами. Для каждого функтора существует один способ сочленения с аргументом, но интенсиональный и экстенсиональный функторы сочленяются со своим аргументом разными способами.Стандартный,экстенсиональный пре-дикатный(или операторный) одноместный знак сочленяется с аргументом с помощью круглых скобок-Р(х) интенсиональный предикатный одно
151
местный знак сочленяется с аргументным знаком с помощью квадратных I
скобок 61 Ск].
В литературе имеется подход, когда допускаются разные способы приложения одного и того же предикатного знака к аргументу. Например, утверждение "Р необходимо присуще о- " (символически: Р[>3 ), " ft случайно присуще cl " (символически: ), "5^ присуще сь”
(символически: 3^ (q)) можно рассматривать как результаты приложения одного и того же предикатного знака к аргументу, но приложения, осуществляемые разными способами. Признание разных типов приложения одного и того же предиката к аргументу восходит к работе Н.А.Васильева и в последующем разрабатывалось В.А.Смирновым [53]и В.И.Маркиным [Зв] . Такой подход ориентирован на проблематику модальностей ofc тх. , а не на интенсиональные контексты. Отметим, что указанный подход плохо согласуется с известной теорией семантических категорий. Напротив, принятие разных типов знаков наряду с разными способами приложения функтора к аргументу позволяет сохранить требования теории семантических категорий. Каждый примитивный знак будет иметь интенсионал и экстенсионал (в данном возможном мире). Пусть К -множество возможных миров, V - индивидная область. Тогда, интенсио-налом одноместного экстенсионального предикатного знака является объект типа (2V)^, т.е. функция из К в 2V, а интенсионалом одноместного интенсионального знака - объект типа (2^К^)К. Экстенсионалами в данном возможном мире - соответственно объекты типа 2^ и 2^^. Аналогично, для одноместного интенсионального оператора его интен-сионалом будет объект типа (2 ) , а экстенсионален (в данном
мире) - 2^К),
Следует отметить, что развиваемый нами подход согласуется с интерпретацией интенсиональных операторов Д.Скоттом и Р.Монтегю. Согласно Д.Скотту одномастному интенсиональному оператору в качест-
152
К (?К) ве значения приписывается объект типа (2 ) , а согласно Р.Монтегю - типа 2^^^. Однако объекты типа (А^)®^ и А^3^
изоморфны в теоретико-категорном смысле. Преимущество предлагаемого подхода состоит в возможности приписывать в качестве значений не только интенсионалы или только экстенсиэналы (как у Д Скотта и Р.Монтегг), но и экстенсионалы и интенсионалы.
Следующий вопрос, который необходимо рассмотреть, это вопрос о статусе индивидных и пропозициональных знаков. Если имеются одноместные предикатные знаки двух типов - интенсиональные и экстенсиональные, то не следует ли это деление распространить и на предло-жени! ? Ведь предложения можно рассматривать как нульместные предикатные знаки. Пустое декартово произведениеТГх...xtf обозначим < >, соответственно пустое декартово произведение учесть также < >. Поэтому xV)K при *г= О тождественно и Ti ждественно 2 . Аналогично, индивидный знак можно рассматривать как нульместный функциональный знак; тогда в качестве интенсионала ему сопоставляется и (и*= "1ГК • Таким образом, нет ос-н ваний для введения двух типов индивидных знаков, в том числе и индивидных переменных; также нет оснований для введения двух типов предложений - интенсиональных и экстенсиональных (см.нашу статью [64]).
В [бЗ] , [125] построен язык без операций абстракции, и семантика соответственно строилась для такого языка. В данном изложении мы отказываемся от этого ограничения. Поскояьку имеются две операции приложения функтора к аргументу, естественно иметь и две операции абстракции. Одну из них будем обозначать £ , соответствую щую операции приложения ( ), другую - * *. Допустим нам понятно, что означает выражение "формула А имеет экстенсиональное вхождение переменной х ” и "формула А имеет интенсиональное вхождение пе
153
ременной х ". Ниже мы формулируем эти понятия точным образом.
Если А формула, имеет по крайней мере одно экстенсиональное вхождение х в А и не имеется ни одного интенсионального вхождения х в А, то х А есть выражение категории -£• . Другими словами, мы можем образовать экстенсиональный предикат по формуле, в которую х входит экстенсионально, но не входит интенсионально. Другой тип абстракции, О'- абстракция по х, может быть образован по любой формуле, в которую входит х: если А формула и х входит в А, то G\A есть выражение категории — . Принятые условия позволяют каждому экстенсиональному предикату сопоставить интенсиональный. Так по экстенсиональному предикату cP строим формулу 3^(х), по этой формуле образуем интенсиональный предикат Однако по интенсиональ-
ному предикату нельзя построить экстенсиональный; пусть Q. - интенсиональный предикат, тогда QCxJ есть формула, но по ней нельзя с помощью 5) - абстракции построить экстенсиональный предикат, т.к. х в Q входит интенсионально. Содержательно принятое ограничение можно оправдать следующим образом:
ЖхА рассматривается как класс индивидов, удовлетворяющих условию А, (Г'х А - как класс индивидных концептов, удовлетворяющих условию А. Ясно, что если в А переменная х входит интенсионально, то можно с помощью А охарактеризовать класс индивидных концептов, но не класс индивидов. Отсюда и принятые ограничения.
При наличии операторов абстракции кванторы естественно рассматривать как одноместные второпорядковые предикаты. При этом эти пре-дикаты будут экстенсиональными, т.е. типа &т или ~у~. Имеется четыре предиката универсальности: л
A.(JxA) истинно в Н, если включается в экстенсионал (в мире Н) X х А;
II - 1844
154
ЛСЬА) истинно в Н, если V включается в экстенсионал (в мире И) х А;
V fs'x А) истинно в Н, если включается в экстенсионал (в мире Н) (/ х А
V. (<ГхА) истинно в Н, если (Vp| ) включается в экстенсионал (в мире Н) <5*х А.
Последний предикат не имеет достаточно прозрачного интуитивного смысла. Соответственно этим предикатам вводятся четыре квантора общности: А.хА, AxAfVxA,V.xA .
Аналогично имеем четыре квантора существования:
V. хА, VxA, 3.хА, ЗхА .
Мы имеем все необходимые средства, чтобы точным образом построить первопорядковый язык с интенсиональными знаками и сформулировать для него семантику в терминах возможных миров.
Язык строится на основе теории синтаксических категорий. Определим, что есть индекс категории:
I. /г, и 5 суть индексы категорий,
2. если и у? индексы категорий, то и суть индексы категорий.
Нелогический словать А интенсионального языка содержит преди-s S — -S- ==L ,
катные знаки типов -fe _»ъ- и т.д. (т.е.
н- ’ n-’ rv ’ ru ♦ n. ’ M
типа или , где oC есть 3 или является категорией предикатного знака). Для простоты мы рассматриваем языки без индивидных констант и функциональных знаков.
К логическим знакам принадлежат:
индивидные переменные х , , г ..... (возможно с индексами);
пропозициональные связки и операторы, т.е. выражения категории
3 < оС оС
$ , Т) 57, =Г ’ где есть категоРия пропозициональной связки
155
или оператора; а также второпорядковые логические предикаты Д., Л, V., V, V., V, 3., 3 , знак экстенсионального равен-
ства = (категории Jib-) и знак интенсионального равенства == (категории .
При желании можно расширить словарь за счет введения пропозициональных переменных и предикатных переменных для каждой предикатной категории (но введение кванторов по ним приводит уже к второпорядковому языку).
Обратим внимание, что исходные знаки первопорядкового языка будут иметь категории вида:
п. - для индивидных переменных; оС. л
- или = - для предикатных знаков словаря А или равенств;
или «=« - для пропозициональных связок и операторов;
или ~ АЛя второпорядковых логических предикатов.
Определим понятие выражения со свободными экстенсиональными и интенсиональными вхождениями переменных:
I. Если А есть предикатный знак словаря А или равенство категории , то А есть выражение категории с пустыми
списками экстенсиональных и интенсиональных свободных вхождений индивидных переменных.
2. Если А есть выражение категории со списком 14 интенсиональных свободных вхождений индивидных переменных и списком Э экстенсиональных своб дных вхождений ицдивидных переменных и х есть индивидная переменная, то А (ж) есть выражение категории *4 со списком И интенсиональных и списком экстенсиональных
свободных вхождений переменных.
3. Если А есть выражение категории - со списком 14 интенсиональных свободных вхождений и списком Э экстенсиональных свободных вхождений индивцдинх переменных и X индивидная переменная,
156
Фо AM есть выражение категории со списком ИU [xj интенсиональных и списком Э экстенсиональных свободных вхождений индивидных переменных.
4. Если А есть выражение категории со списком интенсиональных и списком экстенсиональных переменных и В есть выражение категории со списком интенсиональных и списком экстенсиональных свободных вхождений индивидных переменных, тоА(£>) есть выражение категории со списками 9± Uсвободных вхо-
ждений индивидных переменных.
5. Если А есть выражение категории « со списками И£ интенсиональных и экстенсиональных свободных вхождений переменных и В есть выражение категории s со списками интенсиональных и экстенсиональных свободных вхождений индивидных переменных, то А СВ] есть выражение категории^ со списком ин-
тенсиональных и списком экстенсиональных свободных вхождений индивидных переменных.
6. Если А есть выражение категории s со списком И интенсиональных и списком Э экстенсиональных свободных вхождений индивидных переменных, И и хеЭ » то ixA есть выражение категории -£• со списками И интенсиональных и Э-£х| ( Э за вычетом х)
свободных вхождений индивидных переменных.
7. Если А есть выражение категории S со списками И и 9 интенсиональных и экстенсиональных свободных вхождений индивидных переменных и хеИОЭ . то (JxA есть выражение категории со списком И- [xj интенсиональных и списком Э- [х^ экстенсиональных свободных вхождений индивидных переменных.
8. Если А есть выражение категории со списками И и Э интенсиональных и экстенсиональных свободных вхождений индивидных
157
переменных, то Л. (А), Л(Д), V. (А) и V С А) суть выражения категории s со списками И и Э свободных вхождений индивидных переменных.
Таким образом, под выражением понимается или предикатное выражение или формула. Формула есть выражение категории 5 .
В некоторых дополнительных комментариях нуждается пункт 5 индуктивного определения выражения. Согласно этому пункту определения все свободные вхождения индивидной переменной, находящейся в области действия интенсионального пропозиционального оператора, считаются интенсиональными вхождениями.
Мы предполагаем, что к числу пропозициональных связок принадлежат классические связки 7, в . Двуместные связки -
это связки категории - Вопрос об интенсиональных операторах мы оставляем открытым. Для них даются только схемы при описании семантики. К числу интенсиональных операторов могут принадлежать операторы необходимости и случайности в смысле некоторых модальных систем, эпистемические операторы типа ’’знает, что..." и т.д.
Перейдем к систематическому определению семантики. Под модельной .структур)й для языка Ь со словарем А и множеством интенсиональных операторов В будем понимать четверку К, V, 7 > , где К есть непустое множество возможных миров, If - непустое множество индивидов, У - функция, сопоставляющая каждому возможному миру подмножество V (V(h) в дальнейшем будем- обозначать также 1-1 пробегает по возможным мирам, есть индивидная область мира Н), 7 есть функция, сопоставляющая каждой логической (т.е. пропозициональным связкам, равенствам, операторам из В и логическим предикатам) и нелогической константе значения, по формулируемым ниже правилам.
Каждой предикатной константе сопоставляется объект по с’
ЦХ „ 1844
158
щим правилам: „
I. Если ft есть предикатное выражение категории . то У (ft} есть объект типа
2. Если R- есть предикатное выражение категории —, to3(R,) есть объект категории fZV"’'17) .
3. Если О. есть выражение категории « , to3(Q) есть объект типа
4. Если М есть выражение категории i , то $($) есть объект типа
Естественно, что для каждого предикатного знака указывается не тип объекта, а сам объект.
Классическим пропозициональным связкам приписываются следупцие значения.
Пусть
ЧСО-t [W-f
' (AW-1, lW)--f .
Определим функцию из J В [ :
’nr 0)^4
Придадим значения отрицанию и импликации:
7/?)=к, где к(н)=-£3 для всех Н € К
где (Н)~ для всех Н € К
Значения другим классическим связкам можно приписать анало
гичным образом.
Мы не фиксировали интенсиональные операторы. Поэтому зафиксируем схему приписывания им значений. Одноместному пропозициональному интенсиональному оператору приписывается объект типа(£^К^, Как мы отмечали, это согласуется с подходом Монтегю, который припи-оК
сывает объект типа Z и подходом Д.Скотта, который приписывает
159
объект типа . Аналогично приписываются значения интенсио-
нальным операторам от большего числа мест. Естественно каждому конкретному оператору приписывается функция, на которую накладываются дополнительные условия. Для стандартных модальных операторов они хорошо известны.
§ 3. Семантика первопорядковой интенсиональной логики
Мы имеем все необходимое, чтобы точным образом построить семантику первопорядковой интенсиональной логики. Но прежде всего заметим, что в нашем названии нет ничего парадоксального. Согласно Монтегю, интенсиональная логика может быть самое меньшее второпорядковой. У Монтегю собственно интенсиональные предикаты не являются атомарными, они вводятся с помощью экстенсиональных предикатов и интенсиональных операторов. Принятие двух способов приложения функторов к аргументам и двух операций абстракции позволяет вводить интенсиональные предикаты без обращения к интенсиональным операторам. К тому же интенсиональные предикаты могут входить в словарь атомарных предикатов.
Для простоты мы примем, что выражения строятся не с помощью одноместных функций приложения функтора к аргументу, а функтор прилагается к м-ке аргументов; при этом, естественно требуется укавать, какие аргументные места являются экстенсиональными, а какие интенсиональными (в последнем случае аргументное место будем заключать в прямые уголки l j ). Язык содержит только одноместные интенсиональные операторы ос , где t номер интенсионального оператора.
Под интерпретацией 7 нелогических констант будем иметь в виду функцию, которая каждому миру Н сопоставляет функцию 7р , которая каждому предикатному зняку R,*v сопоставляет множество кортежей длины и. , причем, если с-ое ргументное место интенсиональное, то L -ый член последовательности ♦ cti элемент из , если экстенсиональное, то - из V .
160
Каждому интенсиональному оператору сопоставляется функция из К в 2^. Для каждого оператора имеются условия, которым должна удовлетворять функция 0L .
Функция приписывания значений индивидным переменным есть функция, сопоставляющая каждой переменной объект из
Под модельной структурой будем иметь в виду последовательность <к,//и, где К - непустое множество возможных миров,
Л/ - множество нормальных миров (Д'? К), V - непустая индивидная область, О - функция, сопоставляющая каждому интенсиональному оператору соответствующий объект, и V - функция из К в 2?} YCH} - в дальнейшем будем писать 7/р - непустая индивидная область возможного мира Н.
Мы не будем непосредственно приписывать значения пропозициональным связкам, предикатам универсальности и непустоты, но определим все контексты, в которых они встречаются.
Ниже индукцией по структуре выражения определим понятие интен-сионала для формул и индивидных выражений и экстенсионала (но не интенсионала) для предикатных выражений. Для первопорядковой логики понятие интенсионала предикатного выражения нам не требуется. Поэтому нага задача существенно упрощается.
Заметим также, что S -абстракция и б'- абстракция применяются только к формулам, но не предикатным выражениям.
Пусть Ч = Ч'» есть сокращение для Ч' есть функция приписывания, отличающаяся от f возможно приписыванием значения переменной х^> » а У Ч1» есть сокращение для « ч’ в мире Н приписывает всем переменным, кроме возможно х, тот же индивид, что и Ч в мире Н?>. Нетрудно видеть, что если Ч й3 S’ , п, х то Ч = Ч' • X
Одновременной индукцией определим понятия интенсионала форму
161
лы и индивидного выражения относительно приписывания значений свободным переменным (символически: 3£с£(А>Ч>) и экстенсионала индивидного выражения, формулы и предикатного выражения в мире Н относительно приписывания значений свободным переменным:
I. Xt = Y(x)
2. ExtHCx,<f)=
з. ExtH
4. ExtH G ExtH (E,
5. Если А формула, то ХЕ. fA,4’) = J Н| ЕхЕи (А? Y) = t]
в другой форме ЕхЕ^ у Х-t (А,1/)
б. Хе (А а В,Ч>)= Xut (А,Ч>) Л ХЕ (В,
7. ХЕ (7 А,79= К- (А,79
8. ^(□LA,4’>[H|7n.t(A?4’}€ 6>гСн>]
9. ХЕ (х=2, г) =4 НI чСхХн) =
10. Ех£^ (ЛхА,ТГ|Уч>'(п1=ч’'(хХн)2?ip'« Ч’Ф Не Xi(A,V^
II. ЕхЕц ‘f-» Не (А,7')|
12. EytH (Л(АхА)лу-)=Е^7Г£ ExtH 0хА,ч9 <=>
13. ExtH (A.(ZxA)^)=t^ VH s 6x-EH GxA,^)
14. Ex£H vK s ЕуЕцСсГхА'Ч’)
15- ExtH ExtH (^Y)€ ExEhGxA,^)
16. ExtH (C(TxA)cyl>4,)='t<£?> М (^, у )€ ExtH (<ГхА,
Мы не вводим предикат \/. , в силу неясности его употребления. Кванторы вводятся как сокращения
Л X А 5** Л Q) х А^
V х А V (^х А)
Л.хА Л.(^хА)
162
из 10-14 легко получить
I5 .ExtH ЛхА Г*-Н«ЭМ(М7>
I6 .ExtH(VxA,4>)=t<e> Vi/'Cm1'» Н « Уя£ СА> ¥'»
17 - Е>£н (Л.хА,Ч>)=Е^Уч'СЧ’=Ла'/’'^^£VH-»H«7nt(A,v'J
Если не вводить V (Г - операторов, то вместо 10-14 можно принять 15-17.
Можно ввести и квантор V. :
ExtH (V.X A,4>te> v<f ЧУ е 2ГН Н € (А, V ))
Формула А истинна в мире Н если и только если Ех£р (А/Л)=£ при всех приписываемых . Формула А общезначима в данной модельной структуре, если и только если она истинна во всех нормальных мирах этой структуры. Формула общезначима, если и только если она общезначима во всех модельных структурах данного типа.
Назовем п стр енную систему ИПЛ. Квантор V связывает переменные относительно их интенси налов. Для этого квант ры общезначимы все с ответствующие аксиомы и правила выв да стандартного исчисления предикатов. Квантор Л связывает переменные относительно их экстенсионалов. Если переменная имеет хотя бы одно интенсиональное вхождение, то она не может быть связана квантором Л . Для этого кван тора также общезначимы все соответствующие аксиомы и правила вывода стандартного исчисления предикатов. Однако, квантификация по объектам данной области не подчиняется всем законам стандартного исчисления. В частности Л.хА э А не верна. Каково отношение между кванторами? Легко проверить,что VxА о ЛхА и ЛхАэЛ.хА общезначимы, при условии, конечно, что все свободные вхождения х в А суть экстенсиональные вхождения; в противном случае формула Ах А не будет правильно п строенной.
Введенная нами система позволяет увидеть причину трудностей,
163
связанных с принципом замены равного равным. Этот принцип обычно формулируется или в виде х = (I)
или в виде Vx (х = у => Ах Ау) (П),
где Ах есть формула с выделенным свободным вхождением X е> Af by есть результат замены вьщеленного вхождения х на у .
Напомним известные рассуждения.
Холм, под которым погребена Троя, носит название Гисарлык.
Эту посылку можно записать:
I. Холм, под кот рым погребена Троя, - Гисарлык.
Пусть имеет место:
2. Шлиманн искал холм, под которым погребена Троя.
Согласно принципу замены равного равным (I):
3. Если холм, под которым погребена Тр)я, тождественен Гисар-лыку, то Шлиманн искал хслм, под которым погребена Троя, тогда и только т гда, когда Шлиманн искал Гисарлык.
Из этих трех утверждений получаем
4. Шлиманн искал Гисарлык.
Посылки 1-2 истинны, но заключение ложно.
Ситуация проясняется, если мы учтем различие между интенсиональными и экстенсиональными вхождениями индивидных терминов. Так в утверждении "Шлиманн искал холм, под которым погребена Троя" термин "Шлиманн"входит экстенсионально, а термин "холм, под которым погребена Троя" интенсионально.
В обозначениях сформулированной нами выше системы это утверждение имеет вид.
» гЛе " R." сокращение для "искал", "д"
- для "Шлиманн", "/?*' - для "холм под которым погребена Троя". Пусть "с " ость сокращение для "Гисарлык".
164
Тогда принцип замены равного равным, используемый в приведенном выше рассуждении, имеет вид
^ = co(R,Ca))cg3 =
Но этот принцип не доказуем в построенной нами системе. Более точно. Пусть Д (€) обозначает фиксированную формулу А с экстенсиональным вхождением индивидного терма (в случае переменной -свободным экстенсиональным вхождением), а А(с) - результат замены вхождения € на с Аналогично будет обозначать формулу с фиксированным интенсиональным вхождением, а - с ввделением интенсиональным или экстенсиональным вхождением.
Тогда принцип замены равного равным вида
ДС«)- АСо) будет общезначим в системе интенсиональной логики, а принцип €=с> AC63s А И не общез начим.
Аналогичным образом могут быть проанализированы ситуации, когда осуществляется замена равного равным в контекстах, которые входят в область действия модальных операторов. Обратимся к примеру В.Куайна:
(I) Число планет равно 9 - посылка
(2) необходимо, что 9 равно 9 - посылка
(3) если число планет равно 9, то необходимо, что 9 равно 9, тогда и только тогда, когда необходимо, что число планет равн 9 -принцип замены равного равным.
Из I, 2 и 3 получаем
(4) необходимо, что число планет равно 9.
Посылки I и 2 истинны, заключение 4 - ложно. Отсюда принцип замены равного равным в форме
а = е 3> А(«))
неверен.
165
В разиваемой нами системе он действительно неверен, т.к. вхождения а и в в формуле s Л(4)) находятся в области действия оператора необходимости и тем самым являются интенсиональными.
Вообще говоря, когда терм стоит на аргументном интенсиональном месте и когда он находится в области действия интенсионального оператора, - разные вещи. В данном рассмотрении мы игнорируем само по себе это важное различие.
В рамках сформулированной системы ИЛЛ могут быть преодолены и другие трудности, связанные с интенсиональными контекстами. Естественным расширением системы ИЛЛ является система с понятием интенсионального равенства и интенсиональной эквивалентности. Но эти расширения требуют дополнительных исследований.
Достоинством системы ИЛЛ является то, что (I) каждое выражение имеет и интенсионал и экстенсионал, (2) интенсиональные контексты отличаются от экстенсиональных не только приписыванием особых значений интенсиональным предикатам (операторам), но и способом сочленения их с аргументам^ (3) интенсионал любого сложного экстенсионального выражения является функцией экстенсионалов составляющих, (4) экстенсионал сложного интенсионального выражения является функцией экстенсионала функтора и интенсионалов аргументных выражений. Тем самым выявляется существенное отличие интенсиональных контекстов от экстенсиональных.
Разработка указанных методов позволяет более точным, адекватным, образом представлять логико-семантическую структуру широко-. го круга контекстов естественных языков.
166
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В любом научном исследовании используются определеннее абстракции и идеализации; без упрощений, отвлечений от каких-то аспектов, без огрубления и идеализации невозможно никакое познание. Эта фундаментальная идея применяется и при изучении самого аппарата познания, процедур рассуждения. При этом на первых порах идеализации и абстракции могут быть достаточно сильными, от них при более глубоком подходе приходится впоследствии отказываться. Построение различного типа специальных языков с точными синтаксисом и семантикой дает нам средства для осуществления абстракций и идеализаций, необходимых при исследовании процедур рассуждения.
Понятие истинности является основным понятием логической семантики, необходимым для обоснования принимаемых логических процедур. Способы рассуждения находят свое оправдание и обоснование в принимаемой системе семантики, в частности, в принимаемой концепции истинности. Разные понятия истинности детерминируют различные способы рассуждения. В зависимости от того, каким условиям отвечает принимаемое в семантике понятие истинности, находят свое оправдание и обоснование те или иные правила логики.
Хотя в философской литературе выдвигались различные концепции истинности - прагматистские, когеренции и другие, но в основе логической семантики лежит классическое понимание истинности. Основной принцип классической теории истинности есть принцип отражения -понимание знания как отображения, воспроизведения действительности. Безусловно ленинская теория отражения не ограничивается принятием этого основного принципа. В.И.Ленин в своих работах неоднократно подчеркивал, что познание как отражение не является простым непосредственным, зеркальным, оно представляет собой сложный диалектический процесс, “процесс ряда абстракций, формирования, образова-
167
ния понятий, законов...” 2, т.29, I73J . Особо важная роль в ленинской теории отражения отводится практике, активности познающего субъекта, соотношению абсолютного и относительного в знании, социальному характеру познания и другим основополагающим принципам.
Логическая семантика, являясь разделом логики, базируется на теории отражения и прежде всего на её основном принципе. Она использует и разрабатывает его с учетом своих специфических задач. Более того, дальнейшее развитие логической семантики приводит к необходимости учитывать и более глубокие принципы теории отражения.
При самом ’'грубом” подходе можно абстрагироваться от различных характеристик знания, понимая его исключительно как отражение действительности. Основанное на таком подходе понимание истинности достаточно для обоснования классической логики. Формулируя понятие истинности как соответствие знания действительности применительно к языкам с точной синтаксической структурой, т.е. относительно предложений формализованного языка, мы извлекаем определенную информацию и о самом понятии истинности. Как было показано в главе четвертой, уточнение понятий определимости свойств и отношений в формализованном языке дает возможность установить тип понятия истинности для фиксированного формализованного языка, его место в обобщенной классификации Клини-Мостовского. Для полных аксиоматизируемых первопорядковых теорий оно оказывается рекурсивным. Но если теория содержит примитивно-рекурсивную арифметику, то оно не только не будет рекурсивным, но даже рекурсивно перечислимым и арифметическим (для первопорядковой арифметики - гиперарифметическим). Как было отмечно, ото означает, что для достаточно богатых формализованных языков в содержание истинности не включаются ни критерии истинности, ни методы поиска истинных высказываний.
Классическая концепция истинности как соответствия знания действительности на всем протяжении истории философской мысли сталии-
168
валась с серьёзными трудностями при квалификации как истинных или ложных высказываний о будущих событиях, о возможном и необходимом. Трудности эти действительно непреодолимы, если действительность понимается как простая совокупность фактов в духе раннего Л.Витгенштейна. Тогда приходится признать, что нет иной необходимости, кроме логической^-. В диалектическом материализме действительность понимается отнюдь не как простая совокупность фактов. Действительность характеризуется и теми возможностями, которые в ней залажены.
Эта фундаментальная идея в своеобразной форме нашла реализацию в логической семантике. Имеются в виду семантики возможных миров, о которых речь шла в последней главе. Основополагающая установка состоит в том, что идея возможного мира привлекается не для уточнения понятия логической истинности, а для уточнения понятия истинности высказываний, истинности в данном мире. Таким образом, традиционные трудности, связанные с пониманием модальных утверждений, утверждений с временными характеристиками, оказываются преодоленными, по крайней мере, для широкого класса формализованных языков. В последней, главе мы построили формализованный язык с достаточно богатыми выразительными средствами, охватывающими предложения с интенсиональными контекстами; семантика для него построена на базе классического понимания истинности как соответствия знания действительности .
Основная тенденция развития логической семантики идет по линии разработки семантик с классическим понятием истинности пдж формализованных языков со все более богатыми выразительныш возможностями. Но чтобы реализовать эту тенденцию, приходится, кроме основного принципа теории отражения - понимания истинности как соответствия действительности, привлекать дополнительные характеристики ^"6.37 не существует необходимости, по которой одно должно произойти потому, что произошло другое.' Имеется только логическая необходимость” £l0,9(] .
169
знания, в частности*, в случае интенсиональных контекстов, учитывать принцип конкретности истинности, зависимость истинности высказываний от времени, места, лиц, контекста и других "точек соотнесения".
Второй дополнительный аспект, который приходится привлекать при построении семантик для таких языков как формализованные языки интуиционистской логики, это учет роста и развития знания. Анализируя рассуждения в классической логике абстрагируются от того обстоятельства, что знание накапливается, добывается, и исходят из идеализации, что знание как бы актуально имеется. Идеализация чрезмерно сильная. В конструктивной и интуиционистской логиках эта идеализация не принимается. Результаты А.Н.Колмогорова о погружении классической логики в интуционистскую, разработка реляционных семантик для интуиционистской логики показали, что инуиционистскую логику можно понимать как обогащение классической логики, как некоторую надстройку над ней, аналогично тому, как модальная логика может надстраиваться над классической. Классическое понятие истинности при этом не только не отбрасывается, но учитываются дополнительно возможное расширение объектов исследования и рост, накопление знания во времени. Но и в этом случае используются определенные абстракции и идеализации. В частности, предполагается, что объекты рассмотрения не исчезают (хотя и появляются новые), добытое знание не забывается и не корректируется.
В последнее время наметилась также тенденция учитывать в логике и приблизительный, аппроксимативный характер знания. Если на каком-то этапе исследования процедур познания мы можем абстрагироваться от этого аспекта и рассматривать шалив как абсолютно точное, то при изучении проблем чмплри’и ской интерпретации научных теорий, их применения к фактическому матнриалу эта абстракция становится неправомерной. Исследовали' аппроксимативного характера знания в ло-12 - 1844
170
гике только начинается (см. работы Р.Вуйцицкого, М.Л. Кьярн). Естественно, для логического исследования этого аспекта приходится строить формализованные языки, средствами которых модно формулировать утверждения аппроксимативного характера.
Вопрос о коррекции знания, о переоценке и исправлении уже накопленного знания важен в гносеологическом и практическом аспектах. В стандартных логических системах мы отвлекаемся от того, что знание может изменяться, тЛрректироваться, предполагается, что система имеющегося знания внутренне непротиворечива и согласована. Такое допущение полезно на определенных этапах логического исследования, но это достаточно сильная идеализация. История науки показывает и внутреннюю несогласованность знания и непрерывную коррекцию уже накопленного знания. Практический аспект проблемы состоит в том, что создание всё более и более разветвленной системы автоматизированных банков данных требует учета несогласованности данных, возможности ошибок в данных и сбо-е в их обработке. В логическом плане эта проблема только начинает рассматриваться и пока еще рано говорить об итогах исследований в этом направлении. Однако в этой связи следует, пожалуй, обратить внимание на разработку пара-непротиворечивых логик, логики вопросов и применение к указанной проблеме идей и результатов многозначной логики. Для логической постановки этой проблемы требуется конструирование и исследование специальных формализованных языков.
Специального рассмотрения требует вопрос об относительном характере знания и возможность учета относительного характера знания в логических исследованиях. На наш взгляд, вопрос об относительном характере знания при его логической постановке следует рассматривать не на уровне взаимоотношений между отдельными высказываниями, а скорее на уровне отношений между языками и между теориями. Наиболее крупные сдвиги в науке связаны со сменой языка науки, с вы
171
работкой новых языковых средств, адекватных для описания вновь открытых областей исследования. При логической постановке проблема относительного характера знания является достаточно сложной. Она тесным образом связана с явно или неявно принимаемой системой идеа лизаций и абстракций, с возможностью языков различной структуры, с вопросом об онтологических предпосылках, которые фиксируются в структуре формализованного языка, наконец, с проблемой информативности логических и аналитических истин.
Отметим некоторые результаты, которые могут быть получены с помощью формализованных языков, а также некоторые проблемы, которые могут решаться на их базе.
Во-первых, можно предъявить языки, отличающиеся друг от друга не только словарями нелогйческих терминов, но и языки построенные на основе различных систем семантических категорий. Теория семантических категорий, или категорий значения, имеет важный философско-логический аспект. Подразделение выражений языка на категории требует обоснования такого подразделения, во всяком случае уяснения основ такого подразделения. Принятие той или иной системы семантических категорий в логике не является вопросом языковой конвенции. Дело в том, что выбор той или иной системы семантических категорий кор-релятивен принятию определенной системы анализа логической структуры выражений. И такой выбор не может не определяться познавательными задачами.
Во-вторых, формализованные языки - по крайней мере некоторые их типы - представляют возможность поставить вопрос о тех онтологических допущениях., к которым влечет их принятие. При этом следует различать два вопроса: (а) ..опрос о системе объектов, которые обязывает нас принять данный язык, и (в) вопрос о допущениях содержащихся в утверждениях, к которым он обязывает-1-. Для стандартных языков
I. Мы неоднократно писали по поводу этого различия (см. /56J).
172
теории типов ответ на вопрос (а) даёт известный критерий Куайна "быть - значит быть значением квантифицируемой переменной". Так первопорядковый язык обязывает нас в качестве объектов рассмотре-ния принять индивиды, но не свойства и отношения'0. Второпорядковый язык обязывает принять в качестве объектов рассмотрения, помимо индивидов, также свойства индивидов и отношения между индивидами. Ответ на вопрос (в) формулируется в виде критерия Черча: онтологические допущения языка формулируются в предложениях этого языка, являющихся аналитически истинными. Отметим, Что вопрос (в) для логических позитивистов фактически не стоял, т.к. они придерживались лингвистической концепции анали тической истинности, и полагали, что аналитически истинные утверждения не несут никакой информации о действительности, они несут лишь информацию, относящуюся к языку, этим и объясняется необходимый характер логических законов. По существу вопрос об информативности аналитических истин сводится к вопросу о том, несет ли принимаемый язык своей структурой информацию о действительности. Безусловно, аналитическая истинность зависит от структуры и семантических правил языка. Но это, однако, не означает, что логически и аналитически истинные высказывания не несут никакой информации о мире. Если считать, что принятие того или иного языка науки не является теоретико-познавательным вопросом, то тогда, естественно, аналитически истинные утверждения не несут информацию о действительности. Если же считать, что принятие того или иного языкового каркаса, той или иной структуры языка является важным философским и теоретико-познавательным вопросом, связанным с проблемой адекватного описания объективной реальности, тогда следует признать, что логически и аналитически истинные высказывания,
2. О возможности "номиналистического" истолкования первопорядкового языка см.нашу статью f 66J ; в ней предикатные знаки не рассматрива
ются как обозначающие
173
так же как синтетические, несут информацию о реальности, отображают её, хотя способы отображения ими действительности и различны. Таким образом, для решения вопроса, сообщают ли анали-тические истинные высказывания информацию о действительности следует, очевидно, выйти за пределы рассмотрения отношения высказываний к моделям (возможным реализациям) языка и проанализировать отношение языка к реальности.
Указанная идея особенно рельефно проявляется при построении реляционных и окрестностных семантик. Например, та или иная система временной логики непосредственно зависит от той концепции времени, которая лежит в основе семантики этой логики. Варьируя эти концепции, мы получаем языки с разными правилами поведения временных операторов. Это относится не только к временным логикам, но и ко всем логическим системам, даже тем, которые-в случае классической логики - и не строятся на базе семантики возможных миров. Таким образом, выявляется связь между структурой языка, приемлемыми способа- ' ми рассуждения и свойствами объектов (отношениями между объектами) рассмотрения.
В третьих, в логике выработаны определенные средства равнения различных формализованных языков и теорий, сопоставляются выразительные и дедуктивные средства этих языков и теорий. Теории, сформулированные на идном языке, в ряде случаев погружаются в теории, сформулированные на другом. С другой стороны исследуется в логическом аспекте понятие "предельного перехода". В этом свете широко разрекламиро! iHiiuit "исторической школой в методологии" тезис о принципиальной jh>coh?imi римосги ннучш теорий представляется более, чем сомнительным.
Своеобразную ре/ии.шцию и ской семантике находит идея одздапн и • и В теоретико-игровой семантике взаимодействие между субъектом и познаваемой реальностью представляет-12х - 1844
174
ся в виде игры (в смысле математической теории игр) и знание рас-сматривется как вы^игрыш познапцим субъектом партии при всякой стратегии, принятой природой.
Все сказанное свидетельствует о самой тесной связи меаду логикой и теорией познания. Для разработки логики необходимы теоретико-познавательные исследования и установки. С другой стороны, методы логического анализа, в особенности метод построения ограниченных формализованных языков с точными синтаксисом и семантикой позволяют опробовать и уточнить многие теоретико-познавательные идеи и допущения.
175
ЛИТЕРАТУРА
I. Маркс К., Энгельс Ф. Сочинения.
2. Ленин В.И. Полное собрание сочинений.
3. Арутюнова Н.Д. Предложение и его смысл. Логико-семантические проблемы. М., 1976.
4. Асмус В.Ф. Логика. М., 1947.
5. Асмус В.Ф, Проблема интуиции в философии и математике. М. ,1963.
6. Бескова И.А. К вопросу об использовании семантики интенсиональных систем для анализа естественного языка. - В кн.: Логико-методологический анализ научи )го знания. М., 1979.
7. Бродский И.Н. Отрицательные высказывания. Л., 1973.
8, Бирюков Б.В. О взглядах Г.Фреге на роль знаков и исчисления в познании. - В кн.: Логическая структура научного знания. М., 1965.
9. Васильев Н.А. Логика и моталогика. Логсо, кн. 1-2, М.,1912-1913. 10^ Витгенштейн Л. Логико-философский трактат. М., 1958.
II. Вильневич Б. Понятие факта к.а« модального оператора. - В кн.: Философия в современном мире. Философия и логика. М.,1974.
12. Войивилло Е.К. Понятие интенсиональной информации и интенсионального отношения логического следования (содержательный анализ). - В кн.. Логико-методологические исследования. М.,1980.
13. Войшвилло Е.К. Опыт построения исчисления предикатов, приближенного к естественному языку. В кн.: Логическая структура научного знания. М., 1965.
14. Генцен Г. Непротиворечивость чистой теории чисел. В кн.: Математическая теория логического вывода. М., 1967.
15. Генцен Г. Новое доказательство непротиворечивости. - В кн.: Математическая теория логического вывода. М., 1967.
16. Гедель К. Об одном еще неиспользованном расширении финитной точки зрения. - В кн.: Математическая теория логического вывода. М., 1967.
17. Гильберт Д. 0 бесконечном. - В кн.: Основания геометрии.
Ы.-Л., 1948.
18. Гильберт Д. Об основания логики и арифметики. - В кн.: Основания геометрии. М.-Л., 1948.
IJ. Гинзбург С. Математическая теория контекстно-свободных язык >в. М., 1970.
20. 1 риненко Г. Теоретическая прагматика и неэкстенстоналышв кон-гек< гы. - В кн.: Актуьлыня проблемы диалектического матери 1-'iH'tr.vi. ГЛ., 1976.
176
21. Грифцова И.Н. К вопросу о значении не-фрегевской логики. -В кн.: Логический анализ естественных языков (материалы П советско-финского коллоквиума по логике. Москва, декабрь,1979).
22. 1уссерль Э. Философия как строгая наука. - Логос, кн.1. М., I9II.
23. Туссерль Э. Логические исследования, т.1, СПб, 1909.
24. Карри Г. Некоторые логические аспекты грамматической структуры. - Новое в лингвистике, вып.1У. М., 1965.
25. Карнап Р. Значение и необходимость. М., 1959.
25а Карнап Р. Эмпиризм, семантика и онтология. - В кн.: Значение и необходимость. Ы., 1959.
26. Клини С. Введение в метаматематику. М., 1957.
27. Крипке С. Семантическое рассмотрение модальной логики. -В кн.: Семантика модальных и интенсиональных логик. М.,1981.
28. Куртонина Н.Я. Анализ интенсиональной трактовки импликации в теории номонологических высказываний Рейхенбаха. - В кн.: Философские проблемы модальных и интенсиональных логик. М., 1982.
29. Ламбек И. Математическое исследование структуры предложений. -В кн.: Математическая лингвистика. М., 1964.
30. Ледников Е.Е. Критический анализ номиналистических и платонист-ских тенденций в современной логике. Киев, 1973.
31. Лихин А.Ф. Логический анализ языка в работах К.Айдукевича 30-х годов. - В кн.: Логика и методол гия научного познания. М., 1974.
32. Логико-методологические исследования. М., I960.
33. Логическая семантика и модальная логика, М., 1967.
34. Логическая структура научного знания. М., 1965.
35. Логический анализ естественных языков (материалы П советско-финского коллоквиума по логике. Москва, декабрь, 1979 г.). М., 1979.
36. Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М., 1969.
37. Марков А.А. Теория алгорифмов. - Тр.мат. ин-та им.В.А.Стеклова, ХШ, М.-Л., 1954. • Ь 1
38. Маркин В.И. Экспликация модальностей скгС - В кн.: Модальные и временные логики. Материалы П советско-финского коллоквиума по логике. М., 1979.
39. Мельвиль Ю.К. Чарльз Пирс и прагматизм. М., 1968.
177
40. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1971.
41. Методы логического анализа. М., 1977.
42. Монтегю Р. Прагматика и интенсиональная логика. - В кн.: Семантика модальных и интенсиональных логик. М., 1981.
43. Монтегю Р. Прагматика. - В кн.: Семантика модальных и интенсиональных логик. М., 1981.
44. Новиков П.С. Элементы математической логики. М., 1973.
45. Павиленис Р.И. Язык и логика. Формализация естественного языка в терминах исчисления высказываний и исчисления предикатов первой ступени. Вильнюс, 1975.
46. Патнам X. Некоторые спорные вопросы теории грамматики. - В кн.: Новое в лингвистике. Вып.1У, М., 1965.
47. Попович М.В. Очерк развития логических идей в культурно-историческом контексте. Киев, 1979.
48. Роджерс X. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. М., 1972.
49. Родос В.Б. Теория имен К.И.Лькмса. - Вопросы философии, 1972, Л 8.
50. Смалиян Р. Теория формальных систем. М., 1981.
51. Серебрянников О.Ф. Эвристические принципы и логические исчисления. М., 1970.
52. Скотт Д. Советы по модальной логике. - В кн.: Семантика модальных и интенсиональных логик. М., 1981.
53. Смирнов В.А. Логические взгляды Н.А.Васильева. - В кн.: Очерки по истории логики в России. М., 1969.
54. Смирнов В.А. Формальный вывод и логические исчисления. М., 1972.
55. Смирнова Е.Д. К проблеме аналитического и синтетического. — В кн.: Философские вопросы современной формальной логики. М., 1962.
56, Смирнова Е.Д. Формализованные языки и логическая форма. -В кн.: Ионическая структура научного знания. М., 1965.
57. Смирнов 1\.Д. Логическое следов, и in о, формильная выводимость и теорема дедукции. - В кн.: Логика и методология науки.
М., 1967.
58. Смирнова Е.Д, Г орил отражения и логическая семантика. -В кн.: Ленинская теория о,г|щж*тия и современная наука, т.1, гл.19, БАН, Софии, 1973.
Э. Смирнова Е.Д. Теория симиптмческих категорий: синтаксическая структура и логическая форма предложений. - В кн.: Проблеми
178
на логиката. София, 1973.
60. Смирнова Е.Д. Философское значение теорем об ограниченности формализмов. - В кн.: Философские вопросы логического анализа научного знания. Ереван, 1974.
61. Смирнова Е.Д. Проблема уточнения понятия логической формы.
- В кн.: Логика и методология научного познания. М., 1974.
62. Смирнова Е.Д. Непротиворечивость и элиминируемость в гильбер-товской теории доказательства. - В кн.: Философия в современном мире. Философия и логика. М., 1974.
63. Смирнова Е.Д. Подход к семантике первопорядковой интенсиональной логики. - В кн.: Релевантные логики и теория следования. Материалы П советско-финского коллоквиума по логике. М., 1979.
64. Смирнова Е.Д. Интенсиональные предикаты и операторы и их семантический статус. - В кн.: Модальные и интенсионально логики. М., 1978.
65. Смирнова Е.Д. Анализ выразительных возможностей языков и теорий. - В кн.: Логико-методологические исследования. М., 1980.
66. Смирнова Е.Д. Универсалии и логическая структура языка. - В кн.: Логико-методологические исследования. М., 1980.
67. Смирнова Е.Д., Таванец П.В. Семантика в логике. - В кн.: Логическая семантика и модальная логика. М., 1967.
68. Семантика модальных и интенсиональных логик. М., 1981.
69. де-Соссюр Ф. Труды по языкознанию. М., 1977.
70. Сокулер З.А. Проблема квантификации в модальной логике. -В кн.: Методы логического анализа. М., 1977.
71. Такеути Г. Теория доказательств. М.» 1978.
72. Тарский А. Истина и доказательство. - Вопросы философии, 1972, 8.
73. Тихонова Т.С. Выражение временных операторов в формальных языках. - В кн.: Актуальные проблемы диалектического материализма. И., 19767
74. Успенский В.А. Лекции о вычислимых функциях. М., I960.
75. Уорф Б.Л. Отношение норм поведения и мышления к языку. -В кн.: Новое в лингвистике. М., I960, вып.1.
76. Философия в современном мире. Философия и логика. И., 1974.
77. Финн В.К. О некоторых семантических понятиях для простых языков. - В кн.: Логическая структура научного знания. М., 1965.
78. Френкель А. Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М. ,1966.
179
79. Хинтикка Я. Логико-эпистемологические исследования. М., 1980.
80. Хомский Н. Логические основы лингвистической теории. - В кн.: Новое в лингвистике. Вып.1У. М.» 1965.
81. Хомский Н. Синтаксические структуры. - В кн.: Новое в лингвистике, вып.П. М., 1962.
82. Чёрч А. Введение в математическую логику. М., I960.
83. Шанин Н.А. О конструктивном понимании математических суждений. - Труды мат. ин-та им.В.А.Стеклова, вып.П. М.-Л.,
84. - Яновская С.А. Методологические проблемы науки. М., 1972.
85. Ajdukiewicz К. Die syntaktisohe Konnexitat. -Studia Philosophica. Lttow, 1955 V.l.
86. Вас-Hillel J. On syntactical categories. - Journal of symbolic Logic, 1950, V.15,,N 1.
87. Barcan Marcus R. Madalities and Intensional Languages.-3ynthese,V.27, 1962.
88. Boohenski I.M. On the syntactical categories. - The New Scholasticism, 1949, V.25. Formal Lo gio .Freiburg-Munchen, 1956.
89. Borkowski L. On proper quantifiers. - Studia Logioa, 1958, V.VIII.
90. Carnap R. The Logical Syntax of language. London, 1957.
91. Carnap R. Introduction to semantics. Cambridge, Mass., У 1959.
92. Cresswell M.J. Logics and languages. London, 1975.
95. Curry h.B. languages and Formal Systems.Mathematics, Syntacties and Logic. - Mind, 1955, V.62.
94. bavidson D.,Harman G. Semantics of Natural language, Dordrecht-Holland, 1972.
95. Dowty D.R. Word Meaning and Montague Grammar. Dordrecht-Boston-London, 1979.
0» . Fitch F. The Relation between Natural languages and Forma ll hI languages. In* Philosophy of Logic. Papers and ill* i loan. Berkeley and Los Angeles, 1976.
97. ।» i. 1 *rr1I’fsohrift,line der aritmetisohen naohge — bl l'i»l • > । I ipr&ohe des reinen Denkens. Halle,1879.
98. *' «• * W I »i li>« Funktion? - Festsohreft L. Bolt —
rn*ii. i пн »nh ,i|"jten Oeburtsta e, 20. Februar
1 И . i ' 'П1 ♦ .
'• <<tM*9'»»i l.rtlil Aiiq lit ill 11*с||1"П'|. Burjln,
I
180
1Q0. IKladkioh J.G. Singular Terms, Existence and Truth! dome Remarks on a First Order Logic of Existence, — Essays on mathematical and Philosophical logic. Dordrecht-Boston-London,£97 6,
JO). OBdel K. Uber formal unentscheidbare Satze der Principle Mathematlca und verwandter Systeme - Monatshefte fur Mathematik und Physik, 1931, B.38.
J02. Hintikka J. Grammar and Logic} Some Borderline Problems. - In» 105
103.hintikka J. Logic, language - Games and Information Oxford,1973.
]04. Hintikka J. Quantifiers in Natural languages:.Some Logloal Problems. - In 94
105 . Hintikka J.,Suppes P.(eds). Approaches to Natural language. Dordrecht, 1973.
106 .Kreisel G. Hilbert’s programme.- Dialeotica, 1958, N 12.
107 . Kreisel G. Mathematical significance of consistency proof.- Journal of Symbolic Logic, 1958, v.23.
108 .Kripke S. Naming and Necessity. - In! 90
109 .Lesniewski S. Crundziige lines neuen Systems der Grund-lagen der Mathematik. - Fund.Math., 1929, 14.
110 . Lorenzen P. Einfiihrung in die operative Logik und Mathematik. Berlin-Gott.-Hdlb., 1955, 1 - Logik.
111 . Martin R. Towards a systematic Pragmaties. Amsterdam, 1959.
112 . Montague R. Formal Philosophy! Selected Papers of R.Montd.gue. New Haven, 1974.
113 . Morris C.W. Foundations of the Theory of signs. Chicago 1938.
114 . Mostowski A. Sentences und ecidable in formalized Arithmetic .An exposition of the theory of Kurt God^ Amsterdam, 1952.
115 .Partee B. ,phe Semantics of Belief Sentences.- In: Approaches to Natural Language. Dordrecht, 1973, p.309-336.
116 .Peirre Ch.S . Collected Papers. Cambridge,Mass ., 1931-1958.
1Ы
117 . P^ter R. Uber die Verallgenidnerun, le H kur , l I begriffe fur abstrakte Mengen als Definition-* b»r« )oi.<*. In:Infinitistic Methods.New York-London-Paris, .
118 . Post E.L. Formal reduction of the General combinatorial decision problem. - Amer.J.Math.,194J,v.65,N2.
119 .Quine W.V. From a logical point of view. Cambridge, Mass., 1953.
120 . Quine W.V.Word and Object. Cam bridge, Mass ., 1960 .
121 .Quine W.V. Notes on existence and Necessity.- In: Semantics and the Philosophy of language, Urbana, 1952.
122 .Rosser I.B. Construotibility as criterion for existence. - J.of Symbolic logic 1, 1936.
123 .Russell B. Inquery into Meaning and Truth.London, 1967.
124 .Saarinen E.(ed). Game-Theoretical Semantics. Dordrecht-Boston-London, 1979.
125 .Smirnova E.D. An Approach to the Semantics of NonExtensional Context. — In: 6th International Congress of Logic,Methodology and Philosophy of Science. Abstracts, sections 5,7 .Hannover, 1979.
126 .Suszko R. Syntactic structure and semantical reference. — Studia Logioa, 1958, VIII.
127 . Suszko R, Notre Dame J :>v/h.al of Formal Logic, 1968, V.JX, N 1.
128 .Tarski A. Der Wahrheitsbegriff in den forma11sier-ten Sprachen. — Studia Philosophies, 1935, N 1.
129 . Tarski A. The semantic Conception of Truth and the Foundations of Semantics.— Journal of Philosophy and Phenomenological Research, 1944, v.4.
130 .Turing A.M. On computable numbers, with an application to the Entscheidunsproblem. — Proo.of the London Math. Soo.,(2),42, 1936.
131 . Wang ?ao. On formalization,, - Mind, 64,1955.
132 . Wright G.H. Form and content in logic. - In: Logical Studies. London, 1957.