Автор: Калантаров П.Л. Цейтлин Л.А.
Теги: электротехника электрические и магнитные измерения электроника индукция
Год: 1986
Текст
П.А.Калантаров
Л. А. U�йтлин
РАСЧЕТ
ИНДУКТИВНОСТЕЙ
Справочная книга
Издание третье,
nе�:;t:µабот<!нное и дополненное
оо.
Ленинград
ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ
Ленинградское отделение
1986
Ьu" �1.22
1( 17
УДК 621.3.011.3 (035.5)
Рецензент Н. Н. Тиходеев
К 17
Калантаров П. Л., Цейтлин Л. А.
Расчет индуктивностей: Справочная книга. - 3-е
изд., перераб. и доп. Л.: Энерrоатомиздат. Ленингр.
. отд-ние, 1986. - 488 с.: ил.
Сnравочное ру1<оводство no расчету 111щу11тивностей содержит фор
�-1уJ1ы. таблицы и иривые для расчета собственных . и взаимных 1н,1дунтия·
ностеl! nронодов. ко11туров 11 катушек различно/\ формы. Общие формулы
1-1 J.1етоды расчета иллюстрированы числовыми примерами. Второе издание
�,1,1111ло" 1970 году. Третье пздание ,попол11ено матер11аJJ�ми, ОСDЕ'Ща1ощнми
вл1:1я1н1е на индуктивность магнитных и эл�ктромаr1н.1тJ1ых эир8нов.
Для инженерно-техннчеси .их 11 1н1.уч5,Iых работн1-ш"0R, завимэющнхся
электромаrн11т11ым<1 расчетами.
ББI( 31.22
©
Энерrоатомиздат, 1986
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИIG
Для нового издания материал книги заново пересмотрен,
частично изменен и дополнен. В частности, более полно
рассмотрены вопросы расчета индуктивнщ:rей при весьма
высокой частоте, изложены энергетические {вариационные)
методы расчета и оценки индуктивностей. Книга дополнена
главой, в которой даны формулы и кривые для расчета ин
дуктивностей экранированных проводов, I<онтуров и кату
шек. В работе над этой главой принял участие А. В. Щукин,
разделивший со мной труд по выводу ряда новь;х формул
и выполнивший числовые расчеты для приведенных в
ней кривых.
!-'яд вt:сьма ценных замечаний по содержанию книги
сделал проф. Ю. Я. Иоссель. Реuензирование книги любезно
·согласился взять на себя чл.-корр. АН СССР Н. Н. Тихо
деев, рекомендации которого были учтены мною при окон
чательной подготовке рукописи к печати. Считаю своим
r;�риятным долгом выразить всем указанным лицам искреннюю
признательность за оказанную мне помощь.
Замечания и пожелания по книге просьба напра_влять
по адресу: 191065, Ленинград, Марсово поле, 1, Ленинград
ское отделение Энергоатомиздата.
Л. Це_йтлuн.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Собственные и взаимные индуктивности принадлежат
к числу основных параметров электрических цепей, и·· их
определение представляет собой одну из важнейших задач,
возникающих при расчете цепей и исследовании происходяЩих в них физических процессов.
,., Ин,женерьt-электрюш встречаются с расчетом индуктив
ностей при решении многих основных вопросов, относящихся
1*
3
к различным областям электротехники (перед-ача энергии,
электрические измерения, электрические печи, техника связи
и т. д.). Однако, несмотря на важное прикладное значение
этого вопроса, существующие методы расчета индуктивно
стей и даже готовые расчетные формулы до сих пор недо
статочно хорошо известны широким кругам инженеров и
научных работников. Основной причиной этого является
то обстоятельство, что литература по расчету индуктивностей,
состоящая из весьма большого числа статей, опубли1юванных
в различных физических и электротехнических журналах, не
систематизирована, а соответствующая книжная литература
крайне бедна и почти не отражает работ советских авторов,
исследования которых дали в этой области много нового.
Потребность в издании справочной книги, посвященной
расчету индуктивностей, назрела уже давно, а потому ини
циатива, проявленная в этом вопросе авторами, получила
поддержку со стороны издательства.
К сожалению, тяжелая болезнь и последовавшая за ней
смерть П. Л. Калантарова прервали нашу совместную ра
боту над книгой, и в дальнейшем мне пришлось продолжать
эту работу уже одному. Поэтому ответственность за воз
можные недочеты книги лежит на мне.
При работе над книгой мы с самого начала отказались
от мысли восполнить многочисленные пробелы, существую
щие в области. расчета индуктивностей, а также и от мысли
включить в нее все, что когда-либо было сделано в этой
области. Из обширного материала, разбросанного по разным
литературным источникам, мы стремились отобрать лишь то,
что является наиболее ценным для практического исполь
зования.
Основной справочный материал книги состоит из расчет
ных формул, таблиц и кривых, приведенных в гл. 2-11.
Пользование этим материалом, как правило, не требует
обращения к гл. 1, где изложены общие основания расчета
индуктивностей. Эту главу нужно рассматривать ка1{ теоре
т ическое дополнение к ю-шге, и к ее содержанию следует
обращаться лишь в тех случалх, когда в гл. 2-11 нет гото
вых формул, табл1щ и кривых, дающих возможность непо
средственно рассчитать искомую индуктивность.
Для удобства пользования книгой текст и формулы,
представляющие ограниченный интерес, а таюке все число
вые примеры набраны петитом.
Л. Цейтлш-t
4
УКАЗ АНИЯ К ПОЛЬЗОВАНИЮ КНИГОЙ
1. Основной справочный материал 1шиrв. (расчетные формулы. таб
ли цы и кривые) дан в гл. 2-11. В начале каждой нз этих глав сделаны об
щие замечания, которые следует иметь в виду nри nользоnанин содержа
щимся в них материалом. В тех случаях, когда в книге нет готовой формулы,
табли цы н кривой , дающей возможность рассчитать искомую индуктив
ност ь или взаимную индуктивность, следует обратиться к сбщим формулам
и методам, данным в гл. 1. Эта глава может служить также д.пя общего
ознакомления с теорети•1ескими основаниями расчета индуктивностей.
2. В книге принята р а ц и о н а л и з о в а н н а я фор1ча написания
выражений. При желании перейти к неращюнализованной форме необхо
димо все выражения для индуктивностей и их составляющих умножить
на 4n.
3. При пользовании принятой в СССР М.еждународпой системой еди
ниц (ГОСТ 8.417-81) индуктивности, найденные по приведенным в 1п1Иге
формула- м, таблицам и кривым, будут выражены в генри. Для перехода
к единицам системы СГС числовые значения индуктивностей, выраженные
в генри, следует умножтъ на 109•
4. Во всех случаях, когда не оговорено противное, углы выражены в от
влеченной мере, т. е. в радианах.
5. Во всех случаях, когда не оговорено противное, приняты следующие
общие обозначения:
µ - абсоюотная магнитная проницаемость вещества;
/J-o - i\!агн111ная постоянная;
1' - удельная электрическая проводимость вещества;
w - угловая частота переменного тока;
s - площадь поперечного сечения провода;
'А - пернметр поперечного сечения провода.
6. Прпнято, что µ = µ0 , если не оговорено противное. В случаях,
когда /J, =f= µ.0, предполагается, если нет спеiн:альных указаний, что /J, =
= const, т. е. не зависит от магнитного состояния вещества.
7. Под линейньши проводш,щ и 1Ф11тураАщ понимаются провода н кон
туры, линейные раз.1еры nопереч11ого сеченая· которых малы по сравнению
с другими пх размерами и взаимными расстояниямн. При расчете в з а и м н ы х индукт1шностей линейные провода и контуры рассматриваются ка1<
б е с к о н е ч н о т о н к и е.
8. Под низ1шй частотой понимается частота, при которой неравномер
ность распределения тока по сечениям проводов незначительна.
Под высоl(ОЙ частотой понимается частота, nри которой неравномер
ность распределения тока по сечен11ям проводов значительна и должна
быть учтена при расчете.
5
Под весыш высокой частотой по1111мается частота, при 1<0торой ток
в I<юкдом проводе можно считать сосредоточенным в весьма то11ком слое
вблизи поверхности провода; если не оrоворе110 противное, толщина этого
слоя при11имается равной нулю. Степень нерав11омерности распределе1:1ия
тока по сечению провода в каждом ко11кретном случае можно оuе11ить,
срав11ивая лиией11ые размеры поперечного сечения провода с дли11ой волиы
эле1{тромаrнип1ых колеба11ий в провод11ю{е "- или с глубиной прониюю
ве11ия электромагнит11ой вол11ы
() = v21v ШР'\'·
Случай 11изкой частоты имеет место, когда rлуби11а nро11ию1u11t.н11я Ь
больше соответствующих ли11ей11ых размеров nonepeч11oro сечения провода;
случаи высокой и весьма высокой частоты - когда 6 ме11ьше и соответст-
венно з11ачитель110 меньше этих размеров.
9. Если расчет11ая формула дает искомую вели•ш11у в виде суммы не
с1<олышх слагаемь1х (в част11ости, в виде бескоиеч11оrо ряда), следует оце11ить от11осительную величи11у отдель11ых ее чле11ов и до выполнения рас
чета отбросить все члены, ие влияющие 11а результат расчета при при11ятой
степени точности (см. примеры 3-1, 5-4, 5-6).
10. Если формулы содержат разности от11оситель110 близких вели•шн,
·т. е. когда результат алгебраического сложе11ия двух или 11ескольких чи
сел з11ачитель110 ме11ьше отдельных членов суммы, следует иметь в виду,
что степень точности результата з11ачитель110 11иже той стеnе11и то•111ости,
с которой вычисляются отдель11ые чле11ы, входящие в формулу (см. пример 4-3).
11. Для возмож11ости сравне11ия различных формул и методов и
оце11ки степе11и их точ11ости большинство расчетов в числовых примерах
выполнено с сохранением четвертой (а и11огда и пятой) з11ачащей цифры.
В и н ж е II е р II ы х р а с ч е т а х, 1<ак правило, достаточ110 т р е х
�mачащих цифр и можно пользоваться логарифмической линейкой.
12. При интерnолирова11ии по таблицам следует руководствоваться
указаниями приложения 2.
13. При необходимости выполнения численного интегрирования мож110
пользоваться формулами, дан11ыми в приложении 3.
14. В тех случаях, когда это 11е может привести к недоразумению,
вместо термина «собствен11ая 1111дуктив11ость» в 1<ниге применяется таюке
и более I<раткий терми11 «и11дуктив11ость».
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ОБЩИЕ ОСНОВАНИЯ
РАСЧЕТА ИНДУКТИВНОСТЕЙ
t-1. О ПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
": Понятие о собственных и взаимных индуктивностях
к он-rуров тесно связано с понятием о магнитном потоке,
с цепляющемся с контуром.
Рассмотрим замкнутый геометрический контур l, распо
ложенный в магнитном поле, и какую-нибудь ограниченную
этим контуром поверхность S (рис. 1-1). Выберем положи
тельное направление обхода контура l и направление поло
жителыюй нормали 1< поверхности так, чтобы они образо
вали правовинтовую систему. Поток вектора магнитной
индукции В сквозь поверхность S в направлении ее nоло
;:;,ителыюй нормали определяется равенством
Ф= J Bd�
s
(1-1)
и называется магнитньt1.t потоко.м, пронизывающим эту
поверхность, или магнитным потоком, сцепляющимся с кон
туром l. Поток Ф можно разбить на единичные трубки .маг
нитной индукции, т. е. на трубки, для каждой из которых
поток равен единице. Если каждую единичную труб1<у
изобразить магнитной линией, совпадающей с осью этой
трубки, то магнитный поток Ф можно найти, определив,
сколько раз магнитные линии пронизывают поверхность S
в направлении ее положительной нормали.
Поверхность S может иметь слшкную форму (рис. 1-2),
и каждая магнитная линия, вообще говоря, может пронн
зывать поверхность S, а следовательно, и сцепляться с кон
туром l, ограничивающим эту поверхность, не один, а не
сколько раз. В этих случаях величина Ф, определяемая
р авенством (1-1), будет отличаться от числа q> единичных
магнитных трубок, входящих в состав потока, пронизываю
щего поверхность S (на рис. 1-2 q> = 6, Ф = 11). В отличие
от величины q>, величина Ф называется полным магнитным
7
s
z.
Рис. 1-2
Рис. 1-1
потоком или числом потокосцеплений. В общем случае
Ф =t== q:,, и, лишь если каждая магнитная линия сцепляется
с контуром только один раз, будем иметь Ф = <р. В другом
частном случае, когда все магнитные линип сцепляются
с контуром одинаковое число (w) раз, Ф = wrp.
Приведенные определения имеют смысл, очевидно, лишь
в применении к геометрическим контурам, так как только
в этом случае можно говорить о поверхности S, ограничен
ной каким-либо контуром. Для реальных электрических
контуров, образованных проводниками конечного сечения,
понятие о сцепляющемся с ними потоке вводят следующим
образом. Ток i в контуре разбивают на элементарные трубки
(нити) тока бесконечно малого сечения и находят полный
поток Ф, сцепляющийся с каждой из трубок (рис. l-3).
Под полным потоком 'Р', сцепляющимся со всем контуром
(со всем током i), понимают величину
'У=+ J Фdi,
(1-2)
где di - ток каI<ой-либо трубки; Ф - сцепляющийся с ней
магнитный поток, а интегрирование пропзводится по всему
сечению провода, т. е. рас
пространено на все трубки
тока.
Если для всех трубок
тока Ф имеет одно и то же
значение, то в выражении
(1-2) можно вынести Ф из
под знака интеграла, и
тогда 'Р' = Ф. Это равенст·
во остается приближенно
справедливым и в том слу•
Рис. 1-3
8
чае, когда потоки Ф, сuепляющиеся с отдельными нитями то
ка, мало _отличаются дру.г от друга, каl{, налриtv..ер, в слу
чае весь ма тонкого контура, расположенного во внешнем
магнитном поле.
_. __
Если плотность тока постоянна по сечению провода,
как эт0_ имеет М€сто при постоянном токе и приближенно
при переменном токе достаточно низкой частоты, то di =
= i!!!_,
где ds - элемент площади- s поперечного сечения
s
провода, соответствующий элементарному току di, и выра
жение (1-2) принимает вид
'У=+ J Фds.
(1-3)
Магнитный поток, сuепляющийся с ка1<им-либо электри
ческим контуром, в общем случае обусловлен как током
в этом контуре, так и токами в других, ·соседних с ним кон
турах. В соответствии с этим вводят понятие о потоках само
индукции и взаимной индукции электрических контуров,
а именно: потоколt самоиндукции контура называют полный
магнитный поток, сцепляющийся с этим контуром и обус
ловленный током в нем, а потоко.м взаимной индукции полный магнитный поток, сцеп.J_Iяющийся с данным контуром
и обусловленный то1<ами в других контурах.
Отношение потока самоиндукuии контура к току в нем
называют собственной индуктивностью илй коэффициmтом
самоиндукции этого контура, а отношение потока взаимной
индукuии одного из двух контуров к силе обусловливаю
щего его тока в другом контуре - взаuлтой индуктивно
стью или коэффициентом взашtной индукции этих кон
туров. Таким образом, для собственной индуктивности и
взаимных индуктивностей контуров по определению имеем
соответственно
L = 'fJi;
(1-4)
М12 = 'f2м/i1; М21 = 'Yшli2,
(1-5)
где 'VL - поток самоиндукции контура; i - ток в нем;
'Y21vr - поток взаимной индукции второго контура, обуслов
ленный током i1 первого контура; 'fL,r - поток взаимной
индукции первого контура, обусловленный током i2 второго
контура.
При определении собственных и взаимных индуктивно
. стей контуров за положительные направления обхода кон
туров всегда будем принимать направления протекающих
9
iю ним токов. Так как направление магнитных линий потока
самоиндукции всегда образует правовинтовую систему с на
правлением обусловливающего его тока, то собственная ин
дуктивность при указанном условии является величиной
существенно положительной. Направление линий потока
взаимной индукции, напротив, зависит не только от направ
ления тока, но также от формы и взаимного распоЛ<)жения
контуров. Поэтому взаимная индуктивность двух контуров
может быть как положительной, так и отрицательной вели
чиной и изменяет свой знак при изменении направления
одного из токов.
В последующем, если не оговорено противное, всегда
предполагается, <по магнитная проницаемость среды, в ко
торой замыкаются магнитные линии потоков самоиндукции
и взаимной индукции, не зависит от напряженности маг
нитного поля. При этом условии потоки 'YL и 'Уи пропор
циональны обусловливающим их токам, а индуктивности L
и М не зависят от токов и определяются лишь формой и
геометрическими размерами контуров, магнитной прони
цаемостью проводов и окружающей их среды, а при пере
менном токе также и характером распределения тока по
сечению проводников. Взаимная индуктивность зависит
еще и от взаимного расположения контуров.
При указанном предположении справедливо, кроме того,
важное соотношение
М12
=
М 21,
показывающее, что взаимная индуктивность М12 , опреде
ляющая электромагнитное воздействие первого контура
на второй, равна взаимной индуктивности iИ 21 , определяю
щей электромагнитное воздействие второго контура на
первый. Поэтому при рассмотрении системы из д в у х
контуров индексы 1 и 2 у М можно не ставить.
Если, как это обычно бывает, электрические контуры
выполнены из немагнитного материала и расположены в воз
духе, то магнитные проницаемости проводов и окружающей
их среды могут быть приняты одинаковыми. В этом случае
собственная и взаимная индуктивности контуров выражаются
в виде произведения магнитной проницаемости на величину,
зависящую от формы, размеров и взаимного расположения
контуров, а также от характера распределения тока no
сечениям проводов.
В дальнейшем, за исключением случаев, 1юrда это будет
оговорено особо, магнитные проницаемости проводов и
10
оl) руж ающей их _ :Ред1-,1 предr�олагаются одинаковыми и
равными магнитнои постояннои µ0•
Пользуясь понятиями о собственной и взаимной индук
тивностях 1<онтуров, следует иметь в виду, что они имеют
ы лишь при условии, что в любой момент времени ток
можно считать одинаrювым для всех сечений каждого rюн
,:ура. Эти понятия nрименимы, следовательно, лишь тогда,
когда элеrпромагнипюе поле в среде, оr<ружающей rюнтуры,
квазистационарно, т. е. 1<огда длина волны элеrпромапщт
ньi х колебаний в этой среде много больше размеров контуров
и расстояний между ними.
. Переменный тоr<, проходя по проводниr<у, распределяется
iio его сеч,ению неравномерно. Это явление, известное под
названием поверхностного эффеюа (или эффеrпа близости,
когда речь идет о влиянии то1<а в одном из проводов на рас
пределение тока в другом), приводит к тому, что значения
индуктивностей при переменном тоr<е отличаются от их
значений при постоянном токе.
Из теории поверхностного эффе1<та известно, что характер
распределения переменного тоr<а по сечению провода зависит
каr< от магнитной проницаемости и удельной проводимости
вещества провода, таr< и от частоты протекающего по про
воду тоr<а. Поэтому собственные и взаимные индуrпивности
проводов и 1<онтуров при переменном то1<е косвенно зависят
от всех упомянутых величин. Особенно важным является
то обстоятельство, что инду1<тивности п.ри неизменности
всех прочих условий зависят от частоты и поэтому, вообще
говоря, различны при различных частотах.
Так как поверхностный эффе1<т и эффе1<т близости при
прочих равных условиях выражены тем резче, чем выше
частота то1<а, то при расчете индуктивностей различают
случай постоянного тоr<а и низ1<ой частоты, случай высокой
час тоты и предельный случай весьма высокой частоты.
При этом под НLJЗкой чш;тотой понимают частоту, при
которой неравномерность распределения тоr<а по сечениям
пров.одов незначительна и мало влияет на значение индуr<
тивности. Под высокой ч.астотой понимают частоту, при
которой неравномерность распределения тоr<а значительна
и должна быть учтена при расчете. Наrюнец, под вгсь.ма
высокой ч,астотой понимают частоту, при rюторой распре
деление тоr<а по сечению резко неравномерно и то1< можно
считать сосредоточенным лишь в весьма тонком слое вблизи
поверхности провода; чаще всего толщину этого слоя (по
крайней мере в первом приближении) принимают равной
с·м СJI
11
нулю. Случай низкой частоты имеет место, когда длина
электро магнитной волны в проводнике значительно больше
линейных размеров поперечного сечения провода, случ.ай
весьма высокой частоты - когда длина волны меньше
размеров поперечного сечения провода.
1-2. РАСЧЕТ ИtiДУКТИШЮСТЕЙ ПО ЗАДАННОЙ ФОРМЕ,
РАЗМЕРАМ И ВЗАИМНОМУ РАСПО,110ЖЕНИЮ КОНТУРОВ
В ряде случаев расчет индуктивностей может быть проиq
веден путем непосредственного применеrшя формул (1-4)
11 (1-5), служащих определением понятий «собственная
ш1ду1<тивность» и «взаимная индуктивность». В .этих случаях
ра_счет сводится к следующему.
Задавшись токами в рассматриваемых контурах, раз
бивают каждый из то1<0в на .элементарные нити тока и,
пользуясь законом Био-Савара, определяют напряженность
магнитного поля Н в произвольно выбранной точке поля.
Умножая Н на магнитную проницаемость, предполагае
мую одинаковой для проводов и ОI{ружающей их среды,
получают магнитную инду1щню В и, пользуясь форму
лой (1-1), находят поток Ф, сцепляющийся с какой-нибудь
нитью тока, после чего по формуле (1-2) илн (1-3) вычисляют
полный магнитный поток, сцепляющийся с рассматриваемым
контуром. Подставляя найденное таким путем значение Ч'
в формулу О-4) или (1-5), получают выражение для соб
ственной или соответственно взаимной индуктивности рас
сматриваемых контуров.
Однако в большинстве случаев для расчета пндуктив
ностей пользуются другими формулами, в которых мате
матические операции, необходимые для получения искомых
величин (L пли М), у1{азаны явно. Разбив каждый из токов
на .элементарные нити тоr<а, можно поток Ф, сцепляющийся
с !(Э!(ОЙ-нибудь нитью то1<а di', рассматривать ка�< сумм.у
потоков взаимной инду,щии, создаваемых другими ниТЯ!\Ш (di"), т. е. 1<а1< сумму произведений вида IVIdi", где /vI взаимная и ндуктивность нитей di' и di", причем .это сумми
рование до.тrжно быть распространено на все нити данного
контура при вычислении L и на все нити другого к онтура
при вычислении М.
Так11м образом, потш< Ф выразится интегралом вида
ф
12
= s м di",
и, подставляя это выражение в (1-2), а (1-2) -в (1-4) и (1-5),
можно написать
L =--} di' М di";
(1-6)
f
i
f
i
(1-7)
Входящая в эти формулы взаимная· индуюивность М
в
у
.1;1- х нитей тока может быть найдена по формуле
J,, J,,
Af _
н
- .Е:о._
4:rt ';У';У
dl' dl"
D
_<1,
COSv,
(l-8)
l' l"
где dl' и dl" - элементы длины нитей ['· и {"; D - расстоя
вие между этими элементами; -{)- - угол между ними, при
чем нити l' и l" в формуле для собственной индуктивности
принадлежат одному и тому же контуру, а в формуле для
взаимной индуктивности - двум различным контурам
(рис . 1-4 и 1-5). Интегрирование в формуле (1-8) произво
дится сперва по нити l" при фиr<сированном положении эле
ыtнта длины dl', а затем по нити l'. Найдя выражение для
взаимной инду1пивности М нитей l' и l", следует подставить
его в формулы (1-6) или (1-7) и произвести указанное в них
двукратное интегрирование. Необходимо, однако, иметь
в виду, что формулы (1-6) и (1-7) имеют смысл только при
условии, что плотность переменного тока во всех точках
каждого контура имеет од
ну и ту же фазу. В против
ном случае интегралы, вхо
дящие в эти формулы, не
будут пропорциональны
мгновенным значениям со
ответствующих токов и
выражения (1-6) и (1-7)
Рис. 1-4
--r--1;,
Рис. 1-5
13
�::жзжутся зависящими от времени, т. е., по существу, по
теряют смысл .
. Таким образом, упомянутые формулы непосредственно
nрименимы лишь при постоянном токе и при переменном
ТО((е низ,юй частоты, когда фаза плотности то1<а одинакова
во всех точках каждого контура, а также при переменном
·ro((e весьма высокой частоты, 1югда можно считать, что все
элементарные нити тока, сосредоточенного в весьма тонком
поверхностном слое, несут то1<и, совпадающие друг с другом по фазе.
В первом из двух у1<азанных предельных случаев можнр
nоложить di/i = ds/s, где ds - элемент площади s попереч
ного сечения соответствующего провода. Следовательно,
для случая низкой частоты имеем
L=
f J ds' J М ds";
s
s.
(1-9)
(1-10)
Во втором случае внутренний интеграл в формулах (1-6)
и (1-7), представляющий собой магнитный лоток, сцеплен
ный с нитью l', одинаков для всех нитей l', и, следовательно,
в этом с.�учае вместо (1-6) и (1-7) можно написать
J
L = J,_
Mj" d'J..";
i "
м = -! лJ м 'i" d'A,".
12
Непосредственное применение этих формул обычно не
возможно, та,< 1<а1< распределение тока по поверхности про
водни1<а, ка,< правило, неизвестно. Расчет упрощается,
-если предположить, что ток распределен по периметру попе
речного сечения каждого провод1-1и1<а равномерно. Хотя
это предположение не всегда соответствует действителr,
ности, однако во многих случаях расчет индуктивностей,
исходящий из предположения о равномерности распреде
ления то1<а по поверхности, приводит 1< результатам, доста
точно близ,шм к истинным *.
* О степени точности этого предположения и границах ero при
менимости, а также о возможных методах расчета, учитывающих не
равномерность распределения тока по пооерхности проводника, см.
в§ 1-5, 1-15, 1-17-1-19.
14
При указанном услош.1и di/i -:- d),,/'л, где dЛ - элемент
периметра л поперечного сечения соо�ветствующего провода,.
·И тогда для случая весьма высокои частоты имеем
J dл' J м dл";
м = � J dл' J м dл".
L = ,_�
?..
?..
1Л\! ?..,
1...
(1-11)
( 1-12)
Пусть два рассматриваемых 1<онтура «линейны», т. е.
,размеры контуров и расстояния D от элементов одного кон
тура до элементов дpyroro много больше линейных разме
ров их поперечных {:ечений. Тогда при любом характере
распределения то1юв �о сечениям взаимная ицду1пивность
контуров М равна М, т. е. может быть найдена по фор
муле (1-8), причем под l' и l" следует понимать осевые нити:
контуров. Таким образом, при расчете взаимной инду1пив
ности линейных контуров необходимость двукратного ин
тегрирования по площадям или периметрам сечений отпадает.
Во избежание ошиб1ш, l{Оторую иногда делают, следует
иметь в виду, что выражение для собственной инду1пивности
линейного контура не·может быть получено из формулы (1-8)
путем отождествления обоих r<онтуров, т. е. путем слияния
нитей l' и l". Правильное решение этой задачи может быть
получено путем применения принципа �редних геометри
ческих расстояний (§ 1-9) или общей формулы (1-24), данной
в § 1-5.
1-3. ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ИНДУКТИВНОСТЕЙ СЛОЖНЫХ КОНТУРОВ.
ИНДУКТИВНОСТИ YЧACTKOll
При определении собственных и взаимных индуктив
ностей контуров, состоящих из нес1<0ЛЫ<их участков, двойной интеграл по нитям l' и l" в формуле (1-8) для М можно
представить в виде двойной суммы та1<их же интегралов
no длинам отдельных участков, посJ1е чего для собственной
индуктивности L контура, состоящего из n участков (рис. 1-6),
и взаимной индуктивности М двух контуров, состоящих
из n и т участков, получим
п
п
L=
п
Е L1i+ ll=li=I
:Е :ЕМ,,;,
k=I
М
п
п+т
= k=I
:Е i=n+I
1J M1ti,
i=ftk;
(] -13)
(1-14)
15
где L1t и М1,1 - интегралы вида
(1-6) и (1-7), соответствующие от
дельным участкам контуров. Эти
величины, широко используемые
при расчете индуктивностей кон
туров сложной формы, будем на
Рис. 1-6
зывать соответственно собствен
ной индуктивностью k-го участка и взаимной инду1пив
ностыо k-го и i-го учаспюв.
При постоянном токе и низкой частоте они могут быть
определены по формулам:
Lk =
+J J
51
м,,ds' ds";
(1-15)
' 5/t.s,f,
( 1- 16)
а при весьма высокой частоте - по формулам:
- -1
L k:i2
м . - -'
ki -
. .
t1L2
J 1., dЛ' J мk/.,, dл"·'
'Л,k
J ., d1 ' J fV•f1<,/• ,,, d1""' '
/
'-11
где
Л1k = ....!:!:о_
4:n.
(1-17)
?,,k
JJ
/' 1�
1
(1-18)
dl' dl'' cos t}
D
(1-19)
"'
"- 1
Здесь fv1 11. - взаимная индуктивность двух нитей ТО((а l�
i: l", проходящих через элементы ds' и ds" площади s или
соответственно через элементы dЛ' и dл" периметра л попе
речного сечения k-ro участка; M ki - то же для нитей, про
ходящих через элементы площадей s11 и s1 или соответственно
периметров "-1< и лi поперечных сечений k-го и i-го участков;
j! = di'/d'A' и j" = di"/d'A" - линейные плотности тока в точ1<ах расположения элементов dЛ' и d).,"; D и {)· - расстояние
и угол между элементами длины d[! и dl" нитей l' и l".
Интегрирование по нитям l' и l" производится лишь
в пределах соответствующих участ1юв.
16
Если можно принять, что токи распределены по перимет
по перечных сечений проводов равномерно (j' = const,
ам
р
( = const), то
L,, = /1
j j /1-1 1 dл' dл.";
{J-17a)
,
k 1\.1, l\.k
м,ii
JJ
м,,i dл' dл".
=�
•lt ,, 1\. /\.
/t ;
(1-18а)
Взаимная индуктивность линейных проводов (двух участ
!<ОВ линейных 1<о нтуров) при любой частоте может быть
принята равной вз аимной инdхг
дуктивrюсти Ми; осевых нитей 1� и l" этих проводов:
=
r: j j
M1t;=Mki =
dl' dl cos v
�
,
(1-20)
l' l"
'])
х,
dx1
1�
•1
а
Рис. 1-7
Для иллюстрации процесса Иli·
тегрирования, связанного с применением формул (1-15)-(1-20), а также соответствующих формул пре
дыдущего параграфа, приведем два примера.
В качестве n е р в о r о n р и м е р а определим взаимную индуктив
ность двух одина1<овых прямолинейных параллельных иитей тока, распо
ложенных согJ1асно рис. 1-7. Применяя общее выражение (1-20) и пользуясь
обозначениями рис. 1-7, можно написать
.-,.1 = �
4n
j J dx1 dx2
L l
о о
D
'
(1-21)
где х1 и х2 - 1шоrд1щаты, отсчитываемые вдоль нитей от общего nерnеи
дикуляра к инм, и
D = J!(X2-X1)2 -j- 1l 2,
причем dl' dl" cos {), = dx1 dx2 ввиду параллельности соотuетствующвх эле
ментов длины. Интегрируя выражение (1-21) по х2, имеем
l
М = �� J [ln {х.� - Х1 + V (х2 - Х1) 2 + 11 2)):::=t dx1.
о
Интегрируя это выражение по частям, найдем
i
М = �� t [2х2 ln 'l'j + (х1 - Х2) ln (х 2 - Х1 + V (х2 .:__ х1)2 + 1) 2)
+
17
Подставляя пределы � производя упрощения, получим
1) •
l + V l2 + 112
µol
)
+ -ln
М=
1
1
2л (
f\
v�
Если l » 1), то можно написать
2
V 12 + ТJ2 - 1 -.rf 1 + ril2 = 1(t +
ln
l + V�
.ТJ
2[
= ln
и для М получаем
__1_ у_+
_1_ ж_
2 12
в 1•
111 + 'р1 ) =
ln _L + ln ( 1 +
• ТJ
1 f \2
з 11�
11 + ту- 32 у+
l
=
М= � (1п �
... ) .,
2
... ,
-1++-+ ;: +· .. )·
Наконец, если можно пренебречь первой и 6олее высокими степенями
11// по сравнению с единицей, то выражение для М приобретает следующий
простой вид:
21
�/
(1-22)
ln 1 М=
211 ( 1 l ) .
В качестве в т о р о r о n р и м е р а рассмотрим прямолинейный
провод произволы-юrо, но nостоянноrо по длине сечения и определим ero
индуктивность при низкой частоте в предположении, что длина провода
значительно больше линейных размеров ero nоперечноrо сечения.
При определении индуl\тивности будем исходить из формулы (1-15).
Так как любое расстояние в пределах nonepeчнoro сечения провода мало
по сравнению с ero длиной, то для взаимной индуктивности Mk двух нитей
!!'Ока можно применить выражение (1-22).
Подставляя значение М из (1-22) в формулу (1-15) и nриним2я во вни
мание, что от положения нитей зависит только член, содержащий ТJ, можем
написать
\п f\ ds' ds" •
L = �� ( ln 21 - 1 - :2
fJ
)
Последний член в скобиах представляет собой логарифм среднего гео
метрического расстояния g площадИ s поперечного сечения провода от са
мой себя (§ 1-8). Таким образом,
L = �; ( ln � - 1) .
( 1-23)
1
В частности, для провода кругового сечения ln g = lп г 4 [формула (10-5)) и
L=
18
� ( ln
� - 0,75 ) •
1
112
Если в выражении для M1i сохранит·ь члены -ТJ-1 и - 4 /2, то
вместо (1-23) получим более точное выражение:
l
L= µo (in�-J +� ___
I
2
l
2л
g
4
_!f_)
l
'
где а и q - соответственно среднее арифметическое и среднее ю�адратичное рассто яния площадИ s от самой себя (§ 1-8).
1
Общие формулы предыдущего и настоящего параграфов
являются основными при расчете индуктивностей. Однако
вып олнить в 1юнечном виде у1<азанное в них интегрирование
удается лишь в некоторых наиболее простых случаях, в боль
шинств е же случаев для получения необходимых формул
приходится делать ряд дополнительных допущений и пре
небре жений, основанных, в частности, на малости одних
размеров по сравнению с другими.
Кроме того, иногда удается существенно упростить рас
чет, применяя различные искусствеliные методы и IJриемы
расчета; не({оторые из них даны в следующих параграфах.
Особенности расчета 1<атушек и особенности расчета при
высо1<ой частоте у1<азаны в § 1-14 и 1-15.
1-4. МЕТОД УЧАСТКОВ
Метод участков, применяемый при расчете инду({тиgно
стей контуров сложной формы, состоит в· том, что .к.онтур
или контуры сложной формы разбивают на отдельные участ
ки, 1<аждый из которых имеет сравнительно простую форму,
после чего определение индуктивностей сложных контуров
,сводится с помощью формул (1-13) и (1-14) к определению
индуктивностей отдельных участков. Особенно отчетливо
преимущества метода участ1шв проявляются в случае, 1югда
контуры состоят только из прямолинейных участков.
В этом случае для определения собственной индуктив
ности 1<акого-нибудь 1шнтура достаточно иметь только общее
выр ажение инду1пивности прямолиней1юго провода- и общее
выражение взаимной инду1пивности двух таких ·проrюдов
при произвольном взаимном их расположении в простран
стве, а для определения взаимной индуктивности двух кон
туров достаточно толыю последнего из упомянутых выра
жений. Оба выражения могут быть получены, и, следова. тельно, в рассматриваемом случае расчет индуктивностей
Может быть сведен 1< шаблонному применению формул (1-13)
и (1-14).
19
Например, применяя формулу (1-13) к контуру, имею
щему форму прямоугольного треугольника (рис. 1-8), можно
написать
L = Ц + L2 + L8 + 2 (Mi2 + М28 + М31),
\
пр�чем собственные индуr<тивности Li, L2, L8 могут быть
найдены по формулам § 2-2 или 2-9, взаимные индуrпивно
сти М12 и М23 - по формулам§ 2-11, а М 31 = О в силу взаим
ной riерпендиr<улярности сторон 1 и 3.
Что r<асается rюнтуров, имеющих r<риво
линейные участr<И, то в этом случае задача
значительно СJJожнее, таr< как для ее реше
ния необходимо иметь выражения для соб
ственных и взаимных индуrпивнqстей кри
волинейных проводов различной формы
при различном их взаимном расположеJ
нии, а таr<же для взаимных индуктивностей прямолинейных и криволинейных про
Рис, 1-8
водов.
Формулы для собственных и взаимных индуктивнос
тей прямолинейных и r<риволинейных проводов даны в
гл. 2.
1-5. ОБЩАЯ ФОРМУЛА
ДЛЯ ИНДУКТИВНОСfИ ЛИНЕЙНОГО ПРОВОДА
Собственная индуктивность линейного провода может
быть представлена в виде [16]
L = N -G +А -Q,
(1-24)
где N - величина, зависящая только от формы и размеров
оси провода и не зависящая от формы и размеров попереч
r юго сечения провода и от харщпера распределения тока
по сечению; G, А и Q - величины, зависящие от формы и
размеров поперечного сечения и от хара1<тера распределения
т ока по сечению.
Определение величины N требует интегрирования лишь
по оси провода, а определение G, А и Q - интегрирования
лишь по площади его поперечного сечения.
Таким образом, определение индуктивности линейного
провода распадается на две самостоятельные задачи, из rю
торых первая - нахождение N - имеет решение, опреде
ляемое н езависимо от формы сечения провода толыю. урав
нением его оси, а вторая - нахождение G, А и Q - решается
одинаrюr:о для Есех проводов с одной и той же формой сече20
nия. В этом расчJ1енении сбщей задачи �а две независимые
др)'Г от д руга частичные задачи и заключается основrюе
достоинство формулы (1-24), особенно ценно е при р_асчете
методо,м численного интегрирования (§ 1-12).
Формула (1-24) дает индуктивность провода с. точностью
2
2
до величин nоря.1ка lg!(2Rт )] и (g/l) , где l -длина про
нь
ра
и
на
р
с
визны его оси; g д
и
а
и
"
R
диу
й
ш
ме
во ; m среднее геометрнческое расстояние !]Пощади поперечного
сечения провода от самой себя. Если пренебречь по сравне
нию с едиющей величинами порядка g/(2Rm) 11 g!l, то в фор
муле (1-24) можно отбросить
-.
члены А и Q, и тогда
iJ
L = N - О.
(1-25)
В настоящем параграфе
даны общие сведения об
определении величин N, G,
А и Q. Формулы, относящие:
в
ся к различным частным слу
чаям, даны в гл. 2, 4 и 10.
Рве. 1-9
. Начнем с оnр�деления
величины N.
Пусть 11 н l2 - криволинейные I<оординаты, отсчитьшае
мые вдоль оси провода от одного из его 1<01-1uов (рис. 1-9),
{} и D - соответственно угол и расстояние м�жду элемен
тами длины d/1 и dl2 , h - хорда, стпгивающая малую дугу cr,
координаты концов которой равны 11 и l1 - а. Вычислим
интеграл
V=
J
1,-а
о
cost} dl2
D
(1-26)
и обозначим через i�' предел, 1< которому стремится сумма
V + ln 2h nрн а _,.. О:
\fl = liш (V + ln 2h).
U-+0
(1-27)
Тогда величина N определится по формуле
J \V dl
l
N = �;
где l - длина оси провода
1,
(1-28)
[16 ].
21
.,- · Величина W является функцией от 11 и при невозмож
ности найти предел вы ражения (1-27) в общем виде может
быть вычисле на по приближенной формуле
W= V
ln 2h,
(1-29)
+
относительная погрешность которой одного порядка с ве
личиной а2/R':n.
В качестве простого примера, иллюстрирующего применение формуJJы
(1-28), найдем величину N для провода, изогнутого по дуге окружности.
Пользуясь обозначениями рис. 1-10, имеем D = 2R sin : ; d/1 = Rd{} 1 ;
d/2 = R d{}2• Подставив эти значения в формулу (1-26), nолучим
с }
s {}
V = &,s-Ф �{ {} d-(}2 = - r c� {} d{} =
2smJ 2sm2
2
&,
o
= - lп tg{}
1
+ 2cos
Рис. 1-10
{}
ф
+ 2 cos 2
l&
,
{}
= ln tg --f
+
{}1
- \n tg '\j) -- 2cos 'Ф ,
4
2
2
где 'Ф = а/ R. Применяя формуJJу (1-27) и учитывая, что h = 2Rsin
можем . написать
'Ф
l,
tg
т
{}
}
.
W = lim ln tg { + 2cos -f- - Jn
'Ф
о
4Rsin2
'*..
(
Т
= lп tg �1 + 2 cos
�1
+ \п8R - 2,
и, следовательно,
1
N= � JWR d{} 1=µ;: [e(ln8R-2)-4!+4sin-}J,
где е - центральный угол, соответствующий всей длине провода, а
0/4
/ =- J ln tg{} 1 d{}1 •
о
Последний интеграл юш неопределенный не берется. Ero значения
для различных углов 0 даны ti табл. 2-2.
22
. Пусть рассматриваемый провод имеет круговое 11оперечное сечение
радиуса r. Тогда при постоянном токе и низкой частоте [формула (2-57))
О= 2п
µo
l
1
( lnr---),
4
и формула (1-25) для этого случая дает
J
L=N-0=/;: [e(tn8� -1,75)-4!+4sinf].
в частности, при 0 = 2п имеем / = О и полу•�аем известную формулу
для индуктивности кругового кольца кругового 11опере•1110го сечения:
L=µ0 R(tn8;-t,15).
Ограничившись приведенным простым примером, отме
тим, что, как правило, величина N не выражается в конеч
ном виде через величины, определяющие форму и размеры
провода. В подобных случаях N можно найти методом чис
ленно го интегрирования (§ 1-12).
Величины G, А и Q п р и п о с т о я н н о -м т о к е
и приближенно n р и н и з к о й ч а с т о т е моrут быть
найдены из формул:
11 l
µ
µо ·q 2
(l-30)
G = 2� ln g; А = 2; а; Q = ВлD
,
где g, а, q - соответственно среднее геометрическое, сред
нее арифметическое и среднее квадратичное расстояния
площади поперечного сечения провода от самой себя (§ 1-8);
l - длина оси провода; D - расстояние между крайними
точками оси провода (предполагается, что D � q).
П р и в е с ь м а в ы с о к о й ч а с т о т е G, А и Q
определяются аналогичными формулами:
µol
µо q-2
- µо а-·1 Q =snD
(1-31)
G =21t ln g-·' А -:lл
'
rде
l
,11 ,
1n g- 7
J
J 1 n '1 d� = -11-. J lп rJ d1
=
J.
J ., J
а=� J i' dл' J j"чdл" = --' . J iri dл;
л
л
л
l J Pl
. d1
_,, = 1 J /., d� , J J., 11 d � = Т
q�
7
•/1
Ш\,
,.
11
f\,
..
/1,;
._
А
t
..
/1,
1
2
/1,
п
.
·
-
2
(1-32)
/1,;
i' ·,11 i" - линейные плотности тока в точках расположения
элементов dл' и d л"- периметра л пoпepeчfl.Clro сечения про'""
23
вода; т1 - расстояние между этими точками; i - ток в про
воде, а интеr.рирование производится по периметру попереч
ного сечения провода.
\
Если ток можно считать распределенным по периметру
сечения равномерно, то i' = j" = const и
g = g; а = а;_ ij = q,
где '-g, а и q - среднее геометрическое, среднее арифмети
ческое и среднее квадратичное расстояния периметра 'А,
поперечного сечения провода от самого себя (§ 1-8).
В общем случае величины g, ii и ij должны быть опреде.
лены по формулам (1-32), однако ввиду относительной ма
лости величин А и Q по сравнению с разностью N -G обычно
можно принять а = а, ij = q.
. Что касается величины ii, то ее непосредственное опре
деление по формуле (1-32) большей частью связано с весьма
значительными трудностями. Если, однако, принять, что
распределение тока по периметру поперечного сечения
провода конечной длины совпадает с распределением тока
в уединенном бесконечно длинном прямолинейном проводе
с такой же формой и такими же размерами поперечного
сечения, то величина g может быть· найдена другим путем,
не требующим интеrрирования по формуле ( J-32).
Предположим, что магнитное поле тока весьма высокой
частоты, nроте1<ающеrо по бесконечно длинному прямоли
нейному -проводу заданного сечения, известно и V есть
функция потока этого поля, определенная при условии,
что V = О на поверхности провода *. Тогда, введя поляр
ную систему координат r, 0 с центром в пределах попереч
ного сечения провода (рис. 1-11 }, всегда можно представить
функцию потока V для достаточно больших значений r
в виде
V = -iл;2 (lп с0 - In r
+ 6),
(*)
где i - ток в проводе; с0 - постоянная, зависящая от формы
и размеров поперечного сечения провода, а 6 - малая
величина, стремящаяся к нулю при r -> оо. Можно пока
зать, что величина g, определяемая формулой (1-32), равна с0•
Таким образом, если для провода рассматриваемого сечения
известно разложение вида (*), то величина ii определяется
* Вместо функции потока можно рассматривать векторный потен
циал А, единственная составляющая которого (Az) параллельна оси
ровода и ссязана с V простой зависимостью: Az = 11oV,
24
х
Рис. 1-12
Рис. J-1I
}l епосредственно из этого разложения и необх одимость
в интегрировании nыражения (}-32) сама собой отпадает.
Пусть, например, провод имеет эллиптическое попереч
ное сечение (рис. 1-12). Функция потока, определяющая
ма гнитное поле тока весьма высо1<ой частоты, протекающего
no этому проводу, может быть легко найдена из решения
соответствующей краевой задачи. В частности, для точек
на оси х (r = 1 х 1) выражение для V имеет вид
V = 2� ( Arch
где с = у а2 - ь2• Так 1<ак
7 - А1·с11 7) ,
2
' (' 11R
Arch= Jn --1с
с
ln (�
+ -.JI/ а:
Arch ..!!:._
с =
с
с
то при r/c � 1 имеем
1 ( Jn а+ ь
с
-·
V=2л
-.
- 1 '·
с2
1) а-= ln а+с Ь ,
+
- ln �
б) '
(**)
с
где б -+ О при r -+ оо. Из сопоставления выражений (*)
и (**) сразу находим
а+ь
g=Co =-2
-·
В частности, для кругового сечения (а = Ь = R), как и
следовало ожидать, получаем g = R = g. Для другого
крайнего случая (лента, Ь = О) имеем g = а/2, в то время
как g = 2ae-3l2 = 0,446 а.
Следует заметить, что получение более точного решения,
Учи тывающего неравномерность распределения тока по пери
метру поперечного сечения провода, в ряде случаев (как,
напри мер, для эллиптического сечения) оказывается более
простым, чем получение приближенного решения, требую25
щего нахождения среднего геометрического расстояния g
периметра поперечного сечения провода от самого себя.
Формулы для определения g в различных случаях см. в§ 2-IO.
1-6. ТЕОРЕМА О ДВУХ ЧАСТЯХ И ТЕОРЕМА О ТРЕХ
ЧАСТЯХ
Пусть какой-нибудь контур (или провод) состоит из двух
частей, которые обозначим цифрами 1 и 2. Тогда взаимная
индуктивность этих частей может быть найдена по формуле
1
М1 2 = 2(L12 - L1 - L2),
где L12 - индуктивность рассматриваемого
контура (провода); L1 и . L2 - индуктивнос
ти его частей. Эта формула называется
· теоремой о двух частях и позволяет вычис
Рис. 1-13
лить взаимную индуктивность двух частей
контура (или провода), если известны собственные индук
тивности всего контура (провода) и обеих его частей.
Например, зная выражение для индуктивности провода,
изогнутого по дуге окружности, можно по этой теореме найти
выражение для взаимной индуктивности двух таких при
мыкающих друг к другу проводов 1 и 2 (рис. 1-13).
. Для контура (провода), состоящего из трех частей (1, 2, 3),
справедлива аналогичная теорема (теорема о трех частях):
1
М 1з = 2 (L 1zз
+ L2 - L12 - L2з),
где L123 - индуктивность рассматриваемого контура (про
вода); L2 - индуктивность ч�сти 2; L12 - индуктивность
вместе взятых частей 1 и 2; L23 - индуктивность вместе
взятых частей 2 и 3. Теорема о трех частях позволяет свести
вычисление взаимной индуктивности двух не примыкающих
друг к другу частей контура (или провода) к вычислению
нескольких собственных индуктивностей.
· Например, зная выражение для индуктивности провода,
изогнутого по дуге окружности, можно по этой теореме
найти выражение для взаимной индуктивности двух таких
проводов (1 и 3), не примыкающих друг к другу (рис. 1-13).
1-7. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА НАЛОЖЕНИЯ
При расчете индуктивностей контуров сложной формы
в ряде случаев целесообразно пользоваться методом нало
жения. Этот метод основан на_ следующем r:�оложении: щз.а
26
контура, по которым протекают токи одинаковой силы.
экв ив.алентны друr друrу в электромагнитном отношении,
если один из них может быть получен из дpyroro путем
добавления к последнему одноrо или нескольких проводов,
по каждому из которых протекают в противоположных
направлениях два тока одинаковой силы.
_ Например, nрямоуrольный контур, изоб раженный. на
рис. 1-14, а, эквивалентен сложному контуру на рис. 1-14, 6,
рядом расположенные стороны которого надо представить
себе доведенными до полноrо их слияния.
Из эквивалентности двух контуров, о которых идет речь
в приведенном основном- положении, следует, в частности,
и)
б}
б}
Ь
о
!f
c....____..,.d
f'-------'----__,e
Ряс. l-14
что индуктивности обоих контуров одинаковы. Точно так же
равны друг другу взаимные индуктивности между каждым
из этих контуров и каким-либо третьим контуром. Указан
ные обстоятельства позволяют применить принцип нало
жения к расчету индуктивностей, так как дают возможность
свести определение одних, неизвестных, индуктивностей
к определению нескольких друrих, уже известных, индук
тивностей.
Для пояснения метода наложения рассмотрим простой
п ример.
· . Пусть требуется определить индуктивность линейного
контура abcdefa, показанного на рис. 1-14, в (точка с - центр
_прямоугольника agefa). Дополнив контур двумя проводами bg и gd, можем утверждать, что контур abcdefa экви
валентен совокупности прямоугольного контура agefa и
прямоуrодьноrо контура bcdgb. Следовательно,
L = Lagefa LЬc,fgЬ 2М,
д
г е М - взаимная индуктивность контуров agefa и bcdgb.
Из соображений симметрии ясно, что поток взаимной ин
_дукции, сцепляющийся с контурьм bcdgb и обусловленный
током в контуре agefa, по абсолютной величине составляет
+
+
27
одну четверть от потока самоинду1<ции контура agefa, но
и,меет· обратный знак. Поэтому М = -+Lagefa и, следовате.пьно,
1
L = 2 L agefa + Lь�dgьТаким образом, определение индуктивности сложного
контура abcdefa свелось I< опреде.пению индуктивностей двух
простых прямоугольных контуров.
1-8. СРЕДI-IИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ, АРИФМЕТИЧЕСКИЕ
Т
И КВАДРАТИЧНЫЕ РАСС ОЯНИЯ
При расчете собственных и взаимных инду1<тивностей
весьма часто используется понятие о так называемых средних
геометричес,сих расстояz.
тtях [см., например, еледующий парагра ф, а также
§ 2-9, ф ормуду (2-46) }.
а)
�k
о
2
Рис. 1-15
о
Пусть мы имеем две точки 1 и 2 (рис. 1-15, а), удаленные
от точки О на расстояния, равные соответственно 11 1 и 'У)2.
То гда среднее геометрическое расстояние точки О от точек 1
и 2 будет g = -,/111ТJ2, и ло гарифм э то го расстояния равен
]n g = 2 (ln 111 + ln 112). Точно так же среднее геометри ческое расС1ояние точки О от точек 1, 2, .. . , п, удаленных от О
на р асстояния т11, ч2, ... , '1'} 1i , равно
11,.-----
и соответственно
g = 1/ '111'1 12 · • -11n
1
lng =-
t ln111,·
п
n k=I
2-8
( 1-33)
Пусть мы имеем некоторую линию длиной l. Разобьем ее
на п элементарных отрезков одинаковой длин ы Лl
(рис. 1-15, 6). Приняв во внимание, что п = l!Лl, для сред
него геометрического расстояния точки О от точек 1, 2, ... , п,
я вляющихся серединами этих отрезков, согласно форму
ле (1-33) можно написать
l
ln g = n
t ln 111i = - t Jn
ri
J
п
1 k=I
k=J
·11,, Лl.
(1-34)
Увеличивая беспредельно число отрезков и уменьшая тем
самым длину каждого из них, получим в пределе среднее
геометрическое расстояние точки О от всех точек линии l.
Формула (1-34) переходит при этом в выражение
lng = + J ln ridl,
(1-35)
где ri - переменное расстояние точки О от элементов длины dl
линии l.
Аналогичным путем вводится понятие о среднем геометри
ческом расстоянии от точки до площади
1
lng= -s. ln rids,
(1-36)
f
s
где т1 - расстояние от точки до элемента площади ds; s площадь рассматриваемой фигуры (рис: 1-16, а).
Средние геометрические расстояния линий /1 и .[2, площа
дей s1 и �. площади s и линии l друг от друга определяются
равенствами:
(1-37)
(1-38)
1 r
Jng=J
1s
f ln11dlds,
I s
( 1-39)
где 11 - расстояние соответственно между элемента ми
dl1 и d/2, ds1 и ds2, ds и dl рассматриваемых фигур
(рис. 1-16,6,в,г).
Особенно важными являются понятия о средних геомет
рических расстояниях площади s от самой себя (рис. 1-16, д)
29
fi}
гJ
Рис. 1-16
и линии l от самой себя (рис. 1-16, е). Эти величины опре
деляются выражениями:
1ng =
lng =
4 J j ln 11ds' ds";
s
s s
f J j ln ч dl' dl",
l l
(l-40)
(1-41)
·где 1') - расстояние между какими-либо элементами пло
щади ds' и dsn (или соответственно элементами длины dl"
и dl"), принадлежащими одной и той же фигуре, причем ин
тегрирование производится один раз при неизменном поло
жении ds' (или dl') и изменяющемся положении ds" (dl"),
а другой раз - при изменяющемся положении ds' (dl').
30
Формулы для расчета средних геометрических расстоя
nий даны в гл. 10.
Здесь мы nродеNОнстрируем оnределение этих велич.ин 1-1а nростом
имере окружности (рис. 1-17).
JJP Применяя основную формулу (1-41)-и учитывая, что 11 = 2, \sin ;
dl' = r d<p1; dl" = r d<p_z; (J) = (J)1 - <р2;" имеем
1;
ln g =
�
4 2,2
JJ
2:rt 2:rt
u u
ln ( 2r I sin
J /) r dfj)1 dfj)2•
2
в силу симметрии фигуры результат интегрирования no fPi 1-1е зависит
от значения (J)2, nоэтому
Так как
то
J
n/2
1,
т
J
Jn ( 2 sin : ) d<p
J
2:rt
dn
ln g =
ln ( 2, sin � ) d<p.
IJ
ln sin "dx =
=2
(J
п
J
t,
-т
ln 2,
ln (2 sin х) dx = 4
�
J
u
ln (2 sin х) dx = О
и, следовательно, ln g = ln ,, т. е. среднее геометрическое рассrоюте
окружности от самой себя равно радиусу этой окружности.
Помимо средних геометрических расстояний при расчете индуктивно
стей иногда встречается необходимость применять и та1< называемые сред
JJНе арифметические и средние 1шадратичные расстояния.
Средние арифметические расстояния а и средние квадраmш1Ные рас
стояния q различных фигур друг от друга и самих от себя ооределяются
формулами, аналогичными вьmrеприведеннь� м, и могут быть получены из них пуdl"
тем замены ln g и Jn 11 соответственно на а
и f} в первом случае и на q2 и 112 во втором
случае.
Например, для среднего арифмети
че ского и среднего квадратичного рас
стояния площади s от самой себя имеем
a=-j--
JJ
JJ
s s
q2
=
:2
8 8
11ds' ds ";
_
'12 ds' ds".
)
(1-42)
Рис. 1-17
31
Следует иметь в виду, что для фигур; взаимные средние геометриче
ские, арифметические и квадратичные расстояния g, а и q которых больше
их линейных размеров, величины g, а и q относительно мало отличаются
друг от друга и близки к расстоянию между центрами инерции этих фигур.
Так, например, для двух отрезков, изображенных на рис. 1-18,
ln g = ln d -
а,2
12 - 60 - • · •;
а,4
а = d;
rде а= bld. При d = 2Ь, т. е. nри а= 1/2, nолучаем
q � 0,98 d; а= d; q � 1,02 d,
и, следовательно, а равно расстоянию между центрами отрез1<0в, а g и q
отличаются от него лишь на 2 %.
Из сказанного следует, что для фигур, достаточно удаленных друг от
друга, взаимные средние rеометричес!(ие, арифметические и квадратичные
.
расстояния могут бьrrь nриняты paвными расстоянию между их центрами
. .1� /
ю1ерции. Существешю также иметь
Ь
•
1·
.
.
в виду, что составляющие индуктивd
ностей, зависящие от средних арифмеj,
,-i
тических и квадратичных расстояний,
обычно значительно меньше суммы
Рис. 1-18
других составляющих, вс.r�едствие чего
их можно вычислять с меньшей сте
nенью точности. В большинстве случаев средние арифметические и квадра
тичные расстояния можно nринимать равными среднему геометрическому
расстоянию тех же фигур, как это видно, в частности, из nриведенноrо
nримера.
В качестве второго примера укажем, что среднее квадратичное рас
стояние q nлощадей двух одю1а1<овых кругов, расстояние d между центрами
которых втрое больше радиусов кругов, равно d V 10/9 � 1,05 d, т. е.
отличается от среднего rеометри•Jес1<0го расс тояния g = d только на 5 % .
Среднее арифметическое расстояние а, меньшее чем q, и большее, чем g,
отличается от g еще меньше.
Из изложенного следует, •1то пра1<тичес1<и различие между величи
нами а, q и g бывает необходимо учитывать лишь для фигур, весьма близко
расположенных- друг 1< другу, а таюке при определении средних арифмети
ческих и квадратичных расстояний фигур от самих себя.
Формулы, необходимые для расчета в этих случаях, даны в rл. !О.
t:.±=J
1-9. ПРИНЦИП СРЕДНИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РАССТОЯНИЙ
С о б с т в е н н а я и н д у к т и в н о с т ь 1ю1-1тура {или
провода) может быть определена с помощью принципа
средних гeoл-iemputtecкux ршхтоянv.д, если известно выра
жение взаимной индуктивности двух соответствующих экви
дистантных нитей, т. е. нитей, имеющих такую же форму и
размеры, как ось рассматриваемого контура, и расположе:н-
32
.ных в параллель�ых плоскостях так, что соответствующие
точки обеих нитеи лежат на одном перпендикуляре к пло
скостям и, следовательно, находятся на одинаковомеораст
стоянии друг от друга (рис. 1-19). Принцип средних г ме
рических расстояний применительно к расчету собственных
и ндуктивностей может быть сформулирован следующим
обра зом: собственная индуктивность плоского контура из
.провода постоянного сечения при р�вномерном распреде
- лении тока по сечению равна взаимном индуктивности соот
ветс твующих эквидистантных нитей, отстоящих одна от
Рис. 1-19
друг ой на расстояние, равное среднему геометрическому
расстоянию площади поперечного сечения провода от самой
себя.
Сформулированный таким образом принцип приводит
к точному результату для системы, состоящей из двух беско
нечно длинных прямолинейных параллельных проводов
·произвольного, но постоянного сечения. Применение прин
ципа к контурам иной формы приводит к ошибке, которая,
вообще говоря, тем меньше, чем меньше линейные размеры
поперечного сечения провода по сравнению с размерами
самого контура (16 ). Степень точности, получаемая при
применении этого принципа к линейным проводам и катуш
кам, достаточна для большинства практических расчетов.
Так, например, для массивного кругового кольца, радиус
которого лишь в 5 раз превышает радиус его поперечного
с ечения, погрешность при расчете по принципу средних
геометрических расстояний составляет около 0,2 % .
Принцип средних геометрических r;·асстояний может быть
nрименен к расчету индуктивностей и при весьма высокой
Уастоте. В этом случае, сделав дополнительное предполо
?Кение о равномерности распределения тока по поверхности
2 J<эла�,тэров П. л .. Цеliтлнн Л. А.
33
�:�ровода (§ 1-15), можно утверждать, что собственная индук
тищюсть контура равна взаимной индуктивности соответ
ствующих эквидистантных нитей, отстоящих одна от друrой
на расстояние, равное среднему геометрическому расстоя
нию не площади, а п е р и м е т р а поперечного сечения
провода от самого себя. Допускаемая при этом погрешность
того же порядка, что и в случае низкой частоты.
В з а и м н а я и н д у к т и в н о .с т ь двух эквиди
стантных пло�ких контуров с конечными размерами попе
речных сечений может быть приближенно принята равной
взаимной индуктивности двух соответствующих нитей, имею
щих такую же форму и такие же размеры, как оси рассмат
риваемых контуров, и расположенных так, что кратчайшее
расстояние между ними равно среднему геометрическому
расстоянию площадей (или соответственно периметров) бли
жайших друг к другу поперечных сечений контуров.
' Допускаемая при этом . погрешность еще меньше, чем
при определении собственных индуктивностей.
НО. ТЕОРЕМА О ЧЕТЫРЕХ ПРЯМОУГОЛЬНИКАХ
И ОСНОВАННЫЙ НА НЕЙ МЕТОД
При расчете индуктивностей весьма полезным оказываетсn
одно общее положение, именуемое в дальнейшем теоремой
о четырех прямоугольниках.
Рассмотрим четыре прямоугольника 1, 2, 3, 4 (рис. 1-20),
имеющих такие размеры и расположенных так, что каждая
сторона любого из них лежит на одной прямой с какой-ни
будь стороной другого прямоугольника. Обозначим через s1,
s2, s3 , s4 площади прямоугольников, через ds1, ds2, d5з, ds4 элементы площадей s1 , s 2 , s3 , s4 и через х и у, х и '1'\, и 'l'J,
и у - координаты точек, принадлежащих этим площадям.
Пусть <р (х,
у, '1'\) - некоторая функция координат х1
а также относи
у, '1'\, симметричная относительно х и
телы-ю у и '1'\, т. е. функция, удовлетворяющая условию
s
s,
s
s,
s.
«р (х, S, у, '1'}) = (р (s,
Х,
'1'}, у).
(l-43)
Если (р есть �<акая-нибудь геометрическая или физи
ческая величина, определяемая положением точек (х, у)
и'
11), то в силу условия симметрии эта величина будет
для точек (х, '1'}) и (s, у) иметь то же значение.
Например, если
х 2 (·1'} - у)2
(j) = г = <s - )
34
(s.
v
+
Ь' расстояние между точками (х, у) и (�. ч). то расстояни�
�:Кду точками (х, 11) и (6, у) будет таким же . Этим свойством
обладает и любая функция от г, например ln ,-, r2 , 1/г.
. ; ,введе м обозначения :
<р ds2 ds,1, (1-44)
F (1 х 3) = J <р ds1 ds3; F (2 Х 4) =
J
JJ
S� S.i
где <р - функция, удовлетворяющая условию (l-43).
те орема о четырех прямоугольниках утверждает, что
. f (1 х 3) = F (2 Х 4), (1-45) а)
б) 2
причем это равенство сохраняет
\з
силу и в том случае, когда пря
моугольники вырождаются в
0
2
'lJt
/
!12
fv/
у
Yt=.i
11
i!1
Х Xz-
ш t: ,[Е
[]
vз
r/
б)
�,
4
�
Рис. 1-20
!;2 А
[]
4
?)
Рис. 1-21
отр�зки прямых или точки (рис. 1-21, а-г). Индуктивности·
про·водов, контуров и катушек в ряде случаев являются
функциями вида (1-44), что можно усмотреть, в частности,
из сравнения формул (1-44) с формулами (1-10) и (1-16).
Именно это обстоятельство определяет значение теоремы о
четырех прямоугольниках для расчета индуктивностей. Пусть,
например, прямоугольники 1, 2, 3 и 4 на рис. 1-20 являются
поперечными сечениями четырех массивных медных колец,
общая ось которых совпадает с прямой АА.
Согласно формуле (1-10) при постоянном токе и низкой
частоте взаимная индуктивность Mi3 колец 1 и 3 опреде
ляется выражением
(l-46)
м;3 = -S1S3-1 f J M)s ds 1 ds3 ,
гд е М13 - взаимная индуктивность двух круговых нитей,
имеющих своей осью ось х и проходящих одна через точку
(х, У), а другая - через точку (6 , 11).
2•
35
Взаимная индуктивность колец 2 и 4 выражается анало
гичной формулой
(1-47)
где М24 - взаимная индуктивность нитей, проходящих через
точки (х, 11) и (s, у).
Очевидно, что М 13 = М24, откуда следует, что произве
д ения s1sзМ1з и &.2s4M24 являются величинами именно того
f
2
1 ) J
L___
4
Рис. 1-24
Рис. 1-23
Рис. 1-22
--.
1
1
!
1
вида, для которого установлена теорема о четырех прямо
угольниках. Так как, кроме того, s15з = s2s4, то, следова
тельно, на основании этой теоремы можно утверждать,
что взаимная индуктивность колец 1 и 3 равна взаимной
индуктивности колец 2 и 4 - обстоятельство, непосредст
венно не очевидное.
Расчет взаимных индуктивностей шин и катушек пря
моугольного сечения, а также контуров прямоугольной
формы требует вычисления двойных интегралов вида
F (li
х i) = J
J (р ds" ds i ,
Sh Si
(1-48)
распространенных по площадям двух лежащих в одной
плоскости прямоугольников k и i с параллельными сторо
нами. С помощью теоремы о четырех прямоугольниках
вычисление величин этого вида может быть сведено к вычис
лению нескольких величин вида
(1-49)
F (k) = f J (р ds; ds�,
sh sk
где <р - та же функция коорд инат , что и в формуле (1-48),
а интегрирование производится дважды по площади k�го
прямоугольника [ 16 ].
36
, дан ilые ·ниже форм ульi относятся ко всем вoзMoJflliы�
л ч аям взаимного расположения прямоугольников k· и i.
с удля расположен�я по рис. 1-22
(1-50 )
F (1 х 2) = +:[f (1, 2)-F (1) - F (2)).
Для расп·оложения по рис. 1-23
F (lx3). i-f.F(J,2,3)+F(2)-F(l, 2)-F(2,3)]. (1-51)
с=с�1-�--1,·
J
4
1
.
1
IQ
1 5
1
L_____ _L __
li
' '-
.----��----,
1
·, 1;
1 2
1
4
$
J
1
1
li
_,
L ______.____.__
Рис. 1-26
Рис. 1-25
Для расположения по рис. 1-24
F (1 х 4) = F (2 х 3) =
=+[F(l, 2, 3, 4)+F(l)+F(2)-/-F(3)-/-
.. _+ F.(4)-F (1, 2)-F(1, 3) - F(2, 4) - F(3, 4)). (1-52)
Для расположения по рпс. 1-25
F (1 х 6) = F (3 х 4) = + [F (1, 2, 3, 4, 5, 6)
+ F (1, 2) +
+ F (2, 3)-/- F (2,5)-/- F (4, 5) + F (5, 6) � F (1, 2, 4, 5}
- F (2, 3, 5, 6)-F (1, 2, 3) - F (4, 5, 6)-F (2)-F (5)}. 1
(1-53)
Для расположения по рис. 1-26
F(l, 2 х 5, 6)=F(2,3х 4, 5)=+1F(1,2, 3,4,5, 6)-/
+F(2, 5)+F(l)+F(3)+F(4)+F(6)-F(I, 2, 3)- F (4, 5, 6) - F(1, 4)-F (3, 6)-F(2) - F(5)]. (1-54)
, Для расположения по рис. 1-27
F(5
х
1, 2, 3) = F(2
х 4,5,
6) = +1F(l, 2,4,5)
+
·+ F(2, 3, 5, 6) + F(1)-/- F(3) + F(4) + F(6)-F (1, 2)
- F (2, 3)-F (4, 5)- F (5, 6)-F (1, 4)-F (3, 6)J. (1-55)
Для расположения по рис. 1-28
1
F(1
х 9) = F(3 х 7) = 4 {F(/,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)-1-- ..
+ F(1, 2, 4, 5) + F(2, 3, 5, 6) + F(4, 5, 7, 8) +
+ F(5, 6, 8, 9) + F(2, 5, 8) -1-- Р (4, 5, 6) + Р(5) -
о
- F(1, 2, 3, 4, 5, 6)- F(4, 5, 6, 7, 8, 9) - F(1, 2, 4, 5, 7, 8)- F (2, 3, 5, 6, 8, 9) - Р (2, 5) - F(4, 5)(1-56)
- Р (5, 6) - F (5, 8)].
1
1
1 2 1
1
1
4
5
L_____
-_-2--т--�--1
6
:
_ __ ...J
1 4
�
1
----т-------,
6
1
5
1
1
г1�t- в
L __ ..1.
Рис. 1-27
I
-
Рис. 1-2R
в
1
.
Для расположения по рис. 1-29
F(1, 2 х 8, 9) = F(2, 3 х 7, 8) =
1
.=,гlF(l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)-1--f (2, 5, 8)-t-F(4, 5, 6)+
+ F(1, 4) + F(3, 6) + F(4, 7) + F(6, 9) + F (5)-
-F(l, 2, 3, 4, 5, 6)- F(4, 5, 6, 7, 8, 9)-F(l, 4, 7)- F (3, 6, 9) - F(2, 5) - Р (5, 8)- F(4) - F (6)]. (1-57)
Для расположения по рис. 1-30
1
F(l, 2, 3 х 8) = F(2 х 7, 8, 9) = 4/F(l, 2, 4, 5, 7, 8)-1--
+ F(2, 3, 5, 6, 8, 9) + F(4, 5) +- F(5, 6) + F(1, 4) + F (4, 7) +
+ F(3, 6) -1-- F(6, 9)- F(1, 2, 4, 5)...:... F(2, 3, 5, 6)-F (4, 5, 7, 8) - F(5, 6, 8, 9) - F (/, 4,7) - F (3, 6, 9) - Р (4) - F(6)/.
(1-58)
Таким образом, при любом расположении в одной плос
кости двух прямоугольников k и i с параллельными сторо
нами определение «взаимной» величины F (k Х i) приводит ся
к определению нескольких «собстnенных» величин вида F (k).
38
так, определение взаимных _индуктивнос:гей упомянутых
колец прямоугольного сечения можно
выше массивных
собственных индуктивностей несколь
еделению
сти
опр
к
св
� колец такого рода, если в формулах (1-50)-(1-58) под
'j11(k х i) принимать произведение sksiM1ti, а под F (k) произведение stL't,, где L',, - собственная инду1<тнвность
k-ro кольца.
az=c���]
1 4 1
t_! j
5
(
1
1
8
,6
9
1
1
2
1
* :
5
t]_ ...
,--8----
Рис. 1-29
3
6
1
_....:__-,......j
9
1
____ ..J
Рнс. 1-30
Если учесть, что собственные и взаимные 0ндуктивности
колец (L;, и м;, L) выражаются через собственные и взаимные
индуктивности (L11. и Мнi) катушек тех же размеров фор
мулами:
(1-59)
где w11. и w 1 - числа витков катуш ек k и i (§ 1-14), то фор
мулы (1-50)--(1-58) можно распространить и на катушки,
5
понимая под F (k Х i) произведение h51 Mht , а под F (k) wkwi
s2
произведение w: L n . Для катушек с одинаковой плотностью
k
витков w/s все множители перед M1t ; и L1t в формулах (1-50)-
),
(1-58) одинаковы (� = s:
их можно сократить и,
1Vf [1lJi
[elk
следовательно, в этом случае можно положить F (k Х i) =
:::, M1ii и F (k) = L1t .
Возможность свести вычисление «взаимных» велич11н
F (k Х i) к вычислению нескольких «собственных» величин
F (k) в ряде случаев весьма ценна с расчетной точки зрения.
В самом деле, величины F (k Х i) в общем случае яв
ляются функциями шести параметров - двух сторон одного
прямоугольника, двух сторон другого и двух коо_рдинат,
определяющих взаимное расположение прямоугольников.
При таком числе параметров табулирование значений вели
чин F (k Х i) становится практически невозможным, а их
1
39
вычисление по. неизбежно сложным формулам требует зна
ч ительного времени. Напротив, величины F (k) определяюn;я
только двумя параметрами - сторонами прямоугольника
или даже одним - отношением этих сторон и потому могут
быть относительно просто вычислены или найдены из таб
лиц, составлеFще которых при одном или двух параметрах
не представляет особых затруднений. В силу сказанного
возможность свести вычисление величин F (k Х i)· к вычис
лению нескольких величин F (k) во
многих случаях �ущественно умень
А
шает время, необходимое для вы
2
полнения расчетов.
J
f
Рассмотрим теперь какую-нибудь
плоскую фигуру (А), ограниченную
ломаной линией со взаимно перпендикулярными сторонами (рис. 1-31).
Такая фигура всегда может быть
представлена в виде совокупности
нескольких прямоугольников (напри
мер, прямоугольников 1, 2 и 3 на
4
5
8
рис. 1-31). Двойной интеграл
F (А)=
Рис. 1-31
J J cpds' ds�,
(1-60)
s s
взятый дважды по площади s этой фигуры, может быть
представлен в виде �уммы
F (А)
п
п
п
� F (k х i),
= k=I
� F (k) + k=1
Е i=1
i =t= k,
( 1-61)
члены которой - или ве.личины вида F (!г), или же могут
быть выражены через величины такого вида по формулам
·
·
(1-50) - (1-58).
Точно так же, рассматривая две лежащие в одной плос
кости фигуры А и В со взаимно перпендикулярными сторо
нами (рис. 1-31) и разбивая каждую из них на отдельные
прямоугольники 1, 2, ... , п и (п + 1), (п + 2), ... , (п + т),
можно интеграл вида
F (А х В)=
представить как сумму
F (А х В)=
40
п
J J (р ds' ds'!
sA sв
п+т
Е � F (k х i),
ll=l i=11+1
(1-62)
С}-63)
каждый член которой также выражается через величины
·вида F (k).
:,1. Таким образом_, не только для прямоугольников, но и
·для любых лежащих в одной плоскости фигур со взаимно
перпендикулярными сторонами вычисление интегралов вида
(I-60) или (1-62) может быть сведено к вычислению величин
вид а F (k). В этом и заключается метод, основанный на
применении теоремы о четырех nрямоугольн�шах.
Необходимо, однако, иметь в виду, что вычисление вели
чин F (k Х i) по формулам (1-50) - (l-58) становится весьма
неудобным или даже совсем неприемлемым, когда расстоя
ние между прямоугольниками значительно превосходит
их лин<:1йные размеры. В этом случае отдельные члены,
через которые выражается величина F (k Х i), во много раз
больше результата их суммирования, так ·что расчет необ
ходимо вести со степенью точности, значительно превышаю
щей степень точности, требуемую от результата. В связи
с этим возникает необходимость в достаточно точных зна
чениях величин F (k), и весь расчет становится весьма rpo-.
моздким. В указанных случаях вычисление величин F -(k Х i)"
удобнее вести по методу, изложенному в следующем пара-.
графе_
1-11. ВЫЧИСЛЕНИЕ «ВЗАИМНЫХ» ВЕЛИЧИН
ДЛЯ ДВУХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ МЕТОДОМ РЯДА ТЕЙЛОРА
Как было указано в предыдущем параграфе, расчет ин
дуктивностей во многих случаях требует вычисления инте
гралов вида (1-48), распространенных по площадям двух
лежащих в одной плоскости прямоуrолыrи1<0в с параллель
ными сторонами. Если функция IP, входящая в (l-48), в пре
·делах площади каждого из прямоугольников изменяется
незначительно, то в первом, грубом, приближении можно
считать ее постоянной, и тогда F (k Х i) = shsi <fh i , где fpi, i значение функции 1Р для центров обоих nрямоугольнт<ов.
Для более точного определения F (k Х i) можно пользсr,аться
методом, основанным на разложении функции 1Р в ряд Тей
лора. Этот метод применительно к рассматриваемому слу
чаю (рис. 1-32) приводит к следующей общей формуле;
h ( Dyk) sh (aDx;) sl1 (bD11;)
F (k Х i) = 16 sh (AD.,-1<) s B
(J)h i, (1-64)
D
D
D
D
xh
uh
:i.-i
yt
где 2А, 2В, 2а, 2Ь - стороны прямоугольников; Dx = д/дх
и Dy = д/ду - символы дифференцирования по координа41
а
\r
---· L-x
1
Рис. 1-32
т�м х и у, причем Dx и Dy снабжены индексами k и i, чтобы
отличать дифференцирование по координатам точек k-ro
прямоугольника от дифференцирования по координатам
точ�к i-ro прямоугольника. Индекс ki у 1Р показывает, что
производные должны быть взяты в центре 01, одного и .в
центре Oi другого прямоуrОJJьника.
Разложив гиперболические синусы, входящие в фор
мулу (1-64), в ряды по степеням их аргументов и перемножив
эти ряды, получим
(
f (li Х i) = SJiSi l
+
A282D2 D2
х11 у/1
+
A2D2
xk
+ а2�?
½;
б
+
82D2
yk
+ b2D2yl
6
2
2 D2
+ д2ь2D2xl,D2111 + в2а2 2xl D2у/1 + а2 Dxi
yl
D
36
ь
+
+
(1-65)
где степени вида D� и D� следует понимать как символы
р-кратноrо дифференцирования по соответствующим коор
динатам. Формула (1-65) сводит задачу вычисления f (kX i)
к определению частных производных от q, по х и у.
Если производные по координатам X1i и Yk равны соот
ветствующим производным по координатам xi и Yi или отли42
чаются от них только знаком, как, например, если (р есть
функция только от расстояния r между двумя точками одного
и другого прямоугольника, то формула (l-65) существенно
упрощается:
n2 + ь2. 2
2
А2 + а2
F (k Х t) = s1,s; 1 +
Dx +
Dy +
6
6
3.44 + 10А2а2 + 3а1 1
(А2 + а2) (82 + ь2) 2 2
Dx +
D,Ду -1-+
36
360
] </)1,t·
384 + 1ов2ь2 + зь4 D4
(l-66)
--г
у + • • •
360
•
[
_J
Формула (1-65) лишена отмеченного в предыдущем пара
графе недостатка метода, основанного на теореме о четырех
прямоугольниках. Эта формула не содержит разностей близ
ких величин, и для прямоугольников, удаленных на зна
чительное расстояние друг от друга, второй, третий и по
следующие члены в формуле (1-65) значительно меньше пер
вого члена, а потому могут быть вычислены со степенью
точности, даже меньшей, чем требуемая от результата.
Формула (l-65) удобна, однако, лишь в тех случаях,
когда расстояние между центрами nрямоуголыrиков не
слишком мало по сравнению с их размерами, так 1<ак в про
тивном случае ряд (1-65) сходится медленно и для обеспе
чения достаточной точности расчета потребовалось бы сохра
нение большого числа членов этого ряда.
Область, в которой применение формулы (1-65) является
целесообразным, зависит от вида фующии <р и лепю уста
навливается в каждом 1<0нкретном случае. При малых рас
стояниях между прямоугольниками становится возможным
применение метода, изложенного в § 1-10, и, следовательно,
оба метода взаимно дополняют друг друга.
·
Проиллюстриру ем формулу (1-66), nримеиив ее к оnределению сред
него rеометрическоrо расстояния g,1 1 11лощадей r�рямоуrольни1<0в k и i друг
от дру га. По оnределе11ию (§ 1-8) имеем
Sk siln g,1i
= J f 1n r cls1tdsi,
( 1-67)
rде r - расстояние между точками одного и другого прямоугольника.
Следовательно, в рассматриваемом случае следует положить q> = 1n r,
и тогда F (k Х i) = skst ln g,.;.
Так КЗI< функция q> = ln, удовлетворяет уравненшо
4-3
то нетрудно nоказать, ,�то
D;s
Ifl,;' = ( _ 1 )t о� (s+t>.
.
..
,\
·поэтому в данном случае достаточно определить только nроизводные от rp
ПО Х. Дифференц�рул 111 Г иеСJ<ОЛЬJ<О раз 110 Х, НаХОДИМ
�<P t, ;
= -�2 (1 - 2и2);
D�<p ki = -
:о
(1 - SJ2 + 8и4),
где R - расстояние между центрами·прямоугольни1юв; и= XIR = cos 0
(рис. 1-32). Подставив значения производных в формулу (1-66) и оrрани
чпвшись членами с nроизводными ие выше четвертого порядка, nолучнм
Z
z
2
2
ln Шit - (A + a ) � (8 + ь ) (\ - 2�2) N.2
4
(ЗА'+
R
IOA 2 2
a
+
-
За4)
+ (38� +
б
l0B2 b2
60R4
Х (1 - 8и2
+ ЗЬ4)- 10 (А2 + а2) (82 + Ь2)
+ Suf),
Х
(1-68)
где 2А, 28, 2а, 2Ь- стороны ilрямоугольн.1шов.
J-12. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА -ИНДУКТИВНОСТЕЙ
Выше уже было отмечено, что лишь в. простейших случаях
удается выполнить в общем виде интегрирование тех основ
ных выражений для индуктивностей, �юторые были при
ведены в § 1-2 и 1-3. Поэтому иногда приходится, отказав
шись от получения общего буквенного выражения, ограни
читься tiисленным расчетом искомой .индуктивности для
заданных размеров контура или провода.
Обычно в подобных случаях расче'Г зю<лючается в при·
менении методов численного интегрирования, причем исход
ные выражения предварительно видоизменяют и упрощают
таким образом, чтобы они требовали лишь однократного
или, в крайнем случае, двукратного численного интегри
рован��я. Само интегрирование выполняют или аналити
чески - с помощью формул механических квадратур (см.
приложение 3), или графоаналитичесю,r, построив 1<ривую
подынтегральной функции и определив графически пло
щадь этой кривой между соответствующими ординатами.
Приводимый. ниже пример иллюстрирует применен,-1е
метода численного интегрирования к расчету взаимной
индуктивности двух линеfшых проводов, причем для воз
можности оценки результата рассмотрен случай, допускаю
щий решение в конечном виде.
44
Пример 1-1. Оnределить взаимную индуктивность криволинейного
провода, изогнутого no полуокружности, и прямолинейного провода, совпа
дающего с диаметром этой полуокружности {рис. 1-33, а).
Точное решение этой задачи может быть получено с nомощью формулы
(2-119), если положить в ней � = n/2 и удвоить найденный результат (вза
и мная индуктивность nолуо1<ружност11 11 диаметра вдвое больше взаимной
и ндуктивности полуокружности и радиуса). Тогда получим М = � R.
'Jt
lj)
у
Рис. 1-33
Дr�я определения М методом численного и1-1теrрирования воспользуемся
обозначениями -рис. 1-33 и nредставим общее выражение (1-20) в виде
+R :n
+R
М= ��
rде
и
причем
'
�
j dx j
-R
О
D=
R
nO
�
d0= :� J F(x)dx,
-R
V R2 -/- xt - 2Rx cos О
:n
:n
R siп 0 U
г (х) = J ---Лd = J f (х, 0)d0,
О
(1-69)
(1-70)
4
R sin 0
•
f ( х, 0) _
D
(1-71)
Вычислим значения f (х, 0) для всех значений хот -R до +R через
0,2 R и для всех значеиий 0 от О до n •1ерез :n/18. Сведем результаты вычис45
0, ..·.0
1
о
10
20
30
10
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
Таблица 1-1. З11ачения f(x, tl) 11р•1 .х= 0,4R
sin 0
cos 0
0,000
0,174
0,342
0,500
0,643
0,766
0,866
0,940
0,985
1,000
0,985
0,940
0,866
0,766
0,643
0,500
0,342
0,174
0,000
1,000
0,985
0,940
0,866
0,766
0,643
0,500
0,342
0,174
0,000
-0,174
--0,342
-0,500
--0,643
-0,766
--0,866.
-0,940
-0,985
--1,000
D
2х cos
0
--
R
R
О,800
0,788
0,752
О,694
0,612
О,514
0,400
0,274
О,139
0,000
--0,139
-0,274
--0,400
-О,514
-0,612
--0,694
--0,752
--0,788
--0,800
0,360
О,372
0,408
0,466
0,548
О,646
0,760
0;886
1,020
1,160
1,299
1,434
1,860
1,674
1,772
1,854
1,912
1,948
1,960
0,600
0,610
О,638
0,683
0,740
0,804
0,872
О,943
1,010
1,080
1,142
1,198
1,250
1,295
1,332
1,363
1,383
1,397
1,400
1 f (Х,, .6)
0,000
0,285
0,535
0,733
0,868
0,952
.О.,992
0,998
0,975
О,928
О,863
О,783
О,693
0,592
0,483
О,367
0,247
0,125
0,000
леш1й в таблицы, каждая из которых отвечает определенному значению х
(см., например, табл. 1-1, для которой х = 0,4R)*.
Имея таблицу значений f (х, ·е), можн·о найти значение фун1щии F (х)
для того значения х, для которого эта таблица составлена. При отыскании
F (х) можно поль&оваться любой из формул механи'ческих квадратур.
Пользуясь параболической формулой (прнложен�е 3). находим
1 n
F (0,4 R) =
318 [2<fo +f2 + • • · + f1в) + 4 (f1 + fз + ·· • +!11)n
-<fo+ f1s )] = 54 [2 (О +о,53 5 +···+О)+
4 (0,285 0,733
0,125) - (О+ О)] = 0,636."t.
Оnределя� таким же путем значения F (х) для других значений х,
получим табл. 1-2.
Приме1нrя 1( интегралу от функции F (х) параболическую формулу,
+
нaxn�rfl',f
+
+ , .. +
Л1 = 1,003 µoR ,
n
т. е. значение, весьма близкое к истинному.
В связи с црнведенным примером СJJедует отметить, что
д!!я кривых сложной формы расчет связан, вообще говоря,
с более длительными вычислениями.
* Все расчеты в данном примере вьmолнены на лоrарифми•1ес1юй
.nинейке.
46
Таблица 1-2. Значен�1я F (x)ln
Номер
'f0':l1Oi
R
х
F (х)
:/!
о
-1,О
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,650
0,638
0,636
0,636
0,636
0,636
1
2
3
4
5
11
'l"СЧИ\t
Номер
1
5
6
7
8
9
10
7f
х
F (Х)
1t
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,636
0,636
0,636
0,636
0,638
0,650
Напротив, если один из проводов является прямолиней
ным или представляет собой замкнутое круговое 1юльцо.
то одно интегрирование может быть выполнено в 1<онечном.
виде и объем вычислений существенно сокращается.
Рассмотрим сначала первый из этих случаев. Пусть необ
ходимо определить взаимную индуктивность провода про
извольной фермы и прямолинейного провода (рис .. 1-34).
Уравнение оси криволинейного провода будем считать
у
А
Рис. 1-34
заданным. Совместив прямолинейный провод с осью х и
учитывая, что в данном случае dl' dln cos � = d� dl cos � =
· = d� dx, где dx - проекция элемента длины dГ = dl на
ось х, можем написать
м = �� J cos � dlJ � =
а
1 '
1
О
(1-72)
47
где х, у, z - переменные координаты элемента длины dl.
После первого интегрирования этого выражения получаем
f� J f(x, у, z)cos-д-dl =
М=
l
где
f(x, у, z) = Arsl1 f_x_2
J !f+z
�� f f(x, у, z)dx,
(1-73)
+ Arsl11/_-x
{1-74)
l
if+z
2
.
Если второе интегрирование в 1<онечном виде невозможно,
то для определения М достаточно проинтегрировать выра
жение (l-73) с помощью параболической формулы. Задача,
таким образом, требует лишь однократного численного
интегрирования.
Пример 1-2. Решить пример 1-1 с помощью формулы (1-73). Совместим
оба рассматриваемых провода с плоскостью (х, у), расположив оси коорди
нат таr<, как показано на рис. 1-33, б. Учитывая, что взаимная индуктив
ность nолуокру11шости и диаметра вдвое больше взаимной индуктивности
полуш<ружности и радиуса, и полагая в общей формуле (1-73) z = О, можно
написать
n
:
(1-75)
М = 2 �; J f (х, у) cos{}dl = µ ; . F (0) sin0d0,
о
l
J
Таблиц.а 1-3. Значения F(0) sin 0
"'
"'
g
...
.,
се
:,;
е
е
2
ctg е
1
2
3
4
5
6
q
8
9
10
11
12
48
�
�
.,
.с:
о
::;:
о
ф
�
Ф/""
ctg е
�u
2 ....__...
о° о
7° 30'
15° 00 '
22° 30'
30° 00 '
37° 30'
45° 00 '
52° 30 '
60° 00''
67° 30
75° 00 '
82" 30'
90° 00'
00
3,732
1,732
1,000
0,577
0,268
0,000
-{),268
-0,577
-1,000
-1,732
-3,732
-00
00
2,028
1,317
0,88)
О,549
0,265.
0,000
-0,265
-0,549
-0,881
-1,317
-2,028
-00
sin е
00
00
2,725
2,028
1,615
1,317
1,08 0
0,881
0,707
0,549
0,403
О,265
0,132
0,000
!:.,
...
�
7,596
3,732
2,414
1,732
1,303
1,000
0,767
0,577
0,414
0,268
0,132
0,000
ф
€
.,
.с:
�
15
3 0°°
45
60°
75°
90°
105°
120°
135°
150°
165°
180°
р (6)
0,693
О,697
0,711
0,734
0,768
0,815
0,881
0,972
1,098
1,284
1,582
2,160
00
0,000
0,259
0,500
0,707
0,866
0,966
1,000
0,966
0,866
0,707
0,500
0,259
0,000
0,000
0,181
0,356
0,519
0,665
0,787
0,881
О,938
0,951
0,908
0,791
0,558
0,000
г.де 0 = л/2+ {)-; dl= -R d0;
х
F (0) = f (х, у) = Arshу
= -Arsh (ctg0)
+ Arsh R-x
-- =
у
+ Arsh ( ctg {).
(1-76)
Вычислив значения F (0) sin 0 для всех значений 0 ar О до 180° через
15° (табл. 1-3) и применив параболическую формулу, найдем
М = µ�: + !� [2 (О+ 0,356 + 0,665 + ... + О)) +
+ [4 (О,181 + ... + 0,558)-(О + О)) = µ2'!t°R Збn -22,8 = 0,995 µoR,
л
z
2
Q
у
ар
z
х
f
Рис. J-35
л
что в пределах точности расчета на лоrарифмической линейке совпадает
с точным ответом l¼Rln*.
Перейдем теперь ко второму из упомянутых случаев.
Рассмотрим круговой контур 1 радиуса R и nровод 2 nроиз
.вольной формы (рис. 1-35). Выберем прямоугольную- си
стему координат с началом в центре О кругового контура
.и с осью z, перnендикулярной к его плоскости. Рассмотрим
элемент длины dl" = dl провода 2, расположенный в точке
Р (х, у, z). Разложим dl на составляющие: dz по оси z, dp
по nрямой QP, nерпендикулярной I{ оси z, н dл по дуге
окружности 'А, проходящей через точку Р и имеющей цент
ром точку Q. Очевидно, что взаимная индуктивность эле
.мента dz и контура 1 равна нулю в силу того, что dz пер"' Значения F (8) при 0 = О и F ( 0) sin 0 nри 0
Щ"I'ем раскрытliЯ получающихся t1еоrтр еделенностей,
= 180° найдены
49
пендикулярен к nлос1<ости этого контура, а взаимная ин
дуктивность элемента dp и контура 1 равна нулю вследствие
симметрии контура относительно направления dp. Следо
вательно, взаимная индуктивность dM элемента dl и 1юн
тура 1 равна взаимной индуктивности dM 1-- элемента dл,
и этого контура. С другой стороны, вследствие коаксиаль
ности окружности л и контура 1 и вытекающей отсюда сим
метрии можно написать
(1-77)
J\11 }. = т = 2np,
где М1-- - взаимная индуктивность контуров л и 1.
. Из рис. 1-35 непосредственно видно, что
dл = dy cos ЧJ - dx sin ЧJ = (cos Р cos ЧJ - cos а sin ЧJ) dl,
(1-78)
где cos а и cos р - направляющие косинусы элемента dl
no осям х и у, а fP = arctg+. Поэтому
dM 1-,
dл
dл
cos !) cos qi - cos а sin qi
dM = dM 1-- = М 1• -�-----dl
2np
и, следовательно,
М = ;n J M1-t
cos � cos {JJ - cos а sin qi
dl.
р
(1-79)
( 1-80)
Взаимная индуктивность М1-- двух коаксиальных круго
вых контуров может быть определена no общим формулам,
т аблицам и кривым § 5-7, 5-8, и, следовательно, определение
взаимной индуктивности провода произвольной формы и
кругового контура может быть сведено к задаче однократ
ного численного интегрирования (см. пример 1-3).
Пример 1-3. Определить взаимную индуктивность двух лежащих
в одной плоскости контуров: кругового контура радиуса R= 1 м и квадрат
ного контура со стороной 2а = 1 м (рис. 1-36).
В силу симметрии имеем М = 8 М12, где Mi2 - взаимная индуктив
ность 1юнтура / и провода АВ. Из рис. 1-36 видно, что в данном случае
а
a ; s111
А = О; qi = arct
. {JJ = уа2+х2
g,r
у = а; cos а= - 1 ; cos..,
;
х
adx ; р ]1г--d'А = - sln ер dx = - ---се==== а2 + х2 и, следовательно,
Va2 +х2
4а f Млdх
М = 8М 12 = -.л а,. + х2
й
50
1)
•
Таблица 1-4.
х.
м
1
о.о
р•= :::+х•. ,
0,25
0,26
0,29
0,34
0,41
0,50
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
З11аче11ия JИ1,/Р2
р, ..
1
0,500
0,510
0,538
0,583
0,640
0,707
Мд,
мкГн
0,546
0,572
0,647
0,778
0,981
1,275
1
Мл!Р2,
мкГн/м•
2.19
2.20
2,23
2,29
2,40
2,55
Для выполнения интегрирования составляем табл. 1--4, причем зщ1чения Мд для каждого значеtrия р берем из таб,1. 5-5.
Имея значения подынтегральной функции и применяя формулу трапеций, находим
у.
4а
[1
М = -0,l
-(2,(9 + 2,55) + 2,20 +
:n:
z.
+·2,23 + 2,29 + 2,40] = 0; ·13,86 =
= о.вво мкгн.
х
Переходя к вопросу о расчете
собственных индуктивностей, заме
-rим, что основные формулы {1-9),
Рис. 1-36
(1-0) и соответствующие формул ы
§ 1-3 требуют многократного интегрирования, выполнить которое численным методом было бы
практически совершенно невозможно ввиду ero чрезвы
чайной громоздкости. Поэтому для расчета собственных
индуктивностей методом численного интегрирования сле
дует применять формулу (1-24), требующую лишь двукрат
ного интегрирования вдоль оси провода. Так как вели
чины G, А и Q, входящие в эту формулу, могут быть опре
делены по формулам § 2-10, то задача сводится, по суще
ству, лишь к определению величины N [формула (1-28) ].
В приводимом ниже примере показан процесс вычисле
ния этой величины методом численного интегрирования,
причем для возможности оцен1<и результата рассмотрен
случай, допус1<ающий решение в общем виде.
nример 1-4. Определить величину N для провода, изогнутого по
дуге окружности радиуса R = l м при угле 0 = 55 ° (рис. 1-10).
Точное решение этой задачи может быть rюлучено с помощью фор
мулы (2-51), которая при е = 55° и R = 1 м дает
N = �; [0,960 (ln 8-2)-4,0,581 + 4-0,462) = -0,399 � •
51
Для опреде.,1ения N методом числе�1ноrо интегрирования разобьем всю
дугу на 11 участков по 5 ° каждый и вычислим sначения величины W для
каждой из точек деления по приближенной формуле (1-29). nусть рас•1ет
надо произвести с точностью до 0,01. Тогда, учитывая, что погрешность
формулы (1-29) порядка (a/R)2, нужно выбрать дугу а так, чтобы отноше:ние a/R было не более V0,01 = 0,1, т. е. чтобы центральный угол ,Р, соот180
= 5,73° .
ветствующий этой дуге, был не более 0,1
s s
nримем ,Р= 5°. Пользуясь обозначениями рис. 1-10, д.пя величины V,
входящей в формулу (1-29), имеем
V=
l,-u
со �
� dl2
о
=
&,-'Ф
о
где f (�2) при фиксированном �i есть фующия только от �2 • Вычислим для
этого найдем значения nоДрmте
примера значение V при -1}1 = 25°. Для
гральной функции
f (-1}°2) при �i =
25° и при �2• изменяющемся от О до -1}1 °
°
°
_ ,р = 25 - 5
20 через 2 30'.
Результаты расчета сведем в табл. 1-5, после чего интеграл (1-81)
найдем по параболи•1еской формуле
=
V (25 °) = + � (2 (2, 10
7
+ 2,71 + 3,70 + 5,64 + 11,45) +
+ 4 (2,37 + 3,13 + 4.48 + 7,56)- (2,10 + 11,45)] = 1,569.
Подставляя это значение V в формулу (1-29) и учитывая, •по
Iп 2h
найдем
= ln ( 4R siп : ) = Jn (4 siп 2°30') = - 1,746,
W (25°)
=
V (25°)-/- lп 2h
=
1,569- 1,746
= -0,177.
Таким же путем могут быть найдены значения W д.,1я других значений
угла -/}1. Эти значения даны в табл. 1-6 для всех t1 1 от 5 до 55°. nри {}1 = О
Taблutja 1-5. Значения / (it2) при it1 = 25°
№
пп.
о
1
2
3
4
5
6
8
52
о°
2 30'
50
7° 30'
100
12° 30'
1 5°
17° 30'
20°
25°
22° 30'
200
17° 30'
1 5°
12° 30'
100
7°0 30'
5
1
12° 30'
11° 15'
!0° 00'
8° 45'
7 ° 30'
6° 15'
5° 00'
3° 45'
2° 30'
cos t}
s1. л -(}
2
0,906
0,924
0,940
0,954
0,966
0,976
0,985
0,991
0,996
0,216
0,195
0,1736
0,1522
0,1305
0,1089
0,0872
0,0655
0,0436
f (tr,)
2,IO
2,37
2,71
3,13
3,70
4,48
5,64
7,56
11,45
Таблица 1-6. Значения W
..
., '
..
ir1, • • •0
о
10
15
20
25
4
-
-1,746
-1,059
-0,663
-0,387
-0,177
5
1
2
3
w
w
1
30
35
6
7
8
9
10
-0,016
+0.115
+0.223
+·О,312
-!-О,386
-j-0,445
40
45
50
55
11
W = -оо, вследствие чего численное интегрирование в области, б,1изкой
к {}f = О, становится певозможным. Поэтому выражение (1-28) для N пред
qавим в виде суммы
(1-82)
где
(1-83)
Применяя ко второму интегралу параболическую Формулу, найдем
•t
O,lбl. Для вычисления первого интеграла учтем, что П{)И ма- �
N2 = -
2�
m,ix углах {}_можно написать cos{}= 1, sin
V=
э.s-'1)
.
·о
111
.....,i, d{}2
cos {}· }
-.-& d{ 2 =
{}1 -{}2
2sш 2
g = g,
г·
и тогда
= - ln(-д-1 -{}2)
s
о
= Iп {}1 - In:'Ф;
W = V + ln 2h=lп -V-1 - lп 'Ф + 1� ( 4 siп � )
J
=
= lп {}-1 - lп 111 + \п 2�J = \п {}·1 + lп 2.
Подставив это значение \\7 в выражение для Ni, получим
µoR n In--1
n
µо
240
) =--·0
N1 --- 2n 36 (
18
2n ' ·
r; ,
что в пределах точности
Таким образом, N = Ni + N2 = -0,401
расчета на логарифмической линейке совпадает с найденным ранее резуль
татом -0,399
f� .
53
1-13. О РАСЧЕТЕ ИНДУКТИВНОСТЕЙ СЛОЖНЫХ
СИСТЕМ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ IIPOBOДOB
Рассмотрим систему, .состоящую из произвольного
числа (п) бесконечно длинных прямолинейных параллель�
ных проводов произвольного и, вообще говоря, неодинако
вого поперечного сечения (рис. 1-37). Будем предполагать,
что ток в каждом проводе распределен по его сечению рав1юмерно и что система нейтральна,- т. е. алгебраическая
2
А
®
�J
-�
2�
@
k
®
Рис. 1-38
Рис. 1-37
сумма токов всех проводов равна нулю. При постоянном
то1<е последнее условие выражается равенством
(1-84)
а при переменном синусоидальном токе - равенством
(1-85)
причем токам одного направления приписывается один знак
(например, плюс), а токам другого направления - другой
(минус); точка над буквой 1k обозначает комплекс. При
постоянном токе совокупность всех проводов с токами
одного направления можно рассматривать как один провод
сложного поперечного сечения. Например, для системы из
пяти проводов, сечения которых показаны на рис. 1-38,
можно считать, что провода 1, 2, 3 образуют один (прямой)
провод А, а провода 4, 5 - другой (обратный) провод В.
Если при этом плотности токов во всех проводах с токами
одного направления одинаковы, то индуктивность рассмат
риваемой системы может быть найдена по общей формуле *
2
L=�
,
2n lп ggАв
AgB
(1-86)
* В этом параграфе все формулы относятся к индуктивностям и а
е д и н и ц у д л и н ы системы.
54
где gл и gв - соответственно средние геометрические рас�
стояния площадей sл и sn поперечных сечений сложных
проводов А и В от самих себя (например, для рис. 1-38
SA --'- s1 + s2 + s3; sв = S + s5), а gлв - среднее геомет·
рическое расстояние площадей sл и s8 друг от друга (об
опред елении средних геометрических расстояний площадей,
состоящих из нескольких частей, см. в § 10-2). В общем
случае, когда плотности тока в системах постоянного тока
различны, а тем более для систем переменного тока, у которых
фазы токов отдельных про
водо\3 неодинаковы и делени.е
проводов на «прямые» и «об
ратн ые» теряет смысл, фор
мула (1-86) неприменима. В
подобных случаях вопрос об
индуктивностях требует не
сколько более подробного
рассмотрения.
.. . OR;ружим рассматривае
мую систему проводов беско
нечно тонкой цилиндриче
С{ФЙ оболочкой радиуса R
tlJИC. 1-39) и рассмотрим пет
Рис. 1-39
лю, образованную каким-либо
проводом системы (например,
проводом 1) и оболочкой. Индуктивносtь этой петли в
соответствии с общей формулой (1-86) равна
4-
(1-87)
где g0 и g1 - средние геометрические расстояния площадей
поперечных сечений оболочки и провода 1 от самих себя,
а g10 - среднее геометрическое Р?Сстояние э тих площадей
друг от друга. Так как(§ 10-3) g10 равно R, а g0 также равно
R и притом независимо от формы поперечного сечения про
вода и его положения внутри оболочки, то
l,10=.1!::!!_ln_в__.
2л
g1
Аналогично для индуктивности петли, образованной
проводом k и оболочкой, имеем
Lм = �� ln �
(1-88)
55
и для взаимной индуктивности двух та�шх петель
(1-89)
M kt = 2/.¼J:rt tn..В...,
gki
где gki - среднее геометрическое расстояние площадей попе
речных сечений проводов k и i друг от друга.
Так как для произвольной системы, подчиненной усло
вию (1-81) или (1-85), суммарный ток оболочки, мужащей
обратным проводом всех рассматриваемых петель, всегда
равен нулю, -то введение оболочки ничего не меняет в физи
ческой картине поля системы, и, следовательно, любую
та1<ую систему всегда можно рассматривать как совокуп
ность п отдельных петель вида «провод-оболочка». Вели
чины вида (1-88) и (1-89), определяющие собственные и
взаимные индуктивности таких петель, можно условно
называть собственными и взаимными индуктивностями про
водов k и i. Чтобы отличать их от собственных (Lп) и взаим
ных (M hi ) индуктивностей проводов (участков), о которых
была речь в § 1-3, будем называть величины вида (1-88)
и (1-89) условны,ии индуктивностя,ии проводов и обозначать
буквами Л, а не L и М.
Таким образом, для условных собственных и взаимных
индуктивностей проводов k и i можем написать
R
лk =-µo1 R. Л
µolп--.
(1-90)
k1=-2:rt
1t n-,
gk
Ш,1
Наличие в этих формулах радиуса оболочки R не должно
вызывать недоумений, так как при определении действи
тельных индуктивностей системы эта величина в конеч
ный результат не войдет.
Для иллюстрации сказанного определим индуктивность
системы, состоящей из двух проводов 1 и 2 (прямого и об
ратного). Рассматривая петлю, образованную проводами l.i
и 2, как последовательное встречное соединение петель
«провод 1 - оболочка» и «провод 2 - оболочка», получим
2
Li.2
= Л 1 -f- Л2 - 2Л 12 = µ°2 :п; lп
if2
gif{2
(l-9 l)
в полном соответствии с общей формулой (1-86). Радиус
оболочки, как и следовало ожидать, в конечное выражение
не вошел.
Из приведенного примера nидно, что условными индук
тивностями Л 11., Л1 и Лht можно оперировать так, как если бы
они были действительными собственными и взаимными
56
:индуктивностями проводпв, в чем, собственно, и закл�
чается основной смысл введения этих понятий *.
Пусть, например, необходимо найти индуктивность ли
нии с расщепленными проводами, сечение которой показано
на рис.. 1-40.
])
Рис. 1-40
Энергию линии на единицу ее длины можно предста
вить в виде
W = + (Л1i�
+ Л2i� + Лзi� + Л.1i�) + Л12i1i2 +
rде
л = л = ito l R.
1t n -2g12 ;
µ0ln R. ·
л = л = _,.n
g1з
12
З4
18
н.2,
l)
--,
lo I R. • л
л 14 =-/.2э
n--,
2
g14
1t
=
I R.
-2/.lo
1t n--,
g28
п ричем g1 = ,е- 114; g12 = d; g13 = D; g14 = D + d; g23 =
=D -d.
Если токи в проводах 1, 2, 3,. 4 одинаковы и вдвое меньше
общего тока линии i, т. е. i1 = i2 = i3 = i4 = i/2, то
W
=
µof2 ln gf3gl4g23
�:;л;
g2g2
1 12
_ _Ео_
L _ 2\\1/
- i2 - 4n
2 (D2 -d2 )
[tП D
a02,i
+-\-]
2
•
* Необходимо, конечно, помнить о выполнении требования нейтраль•
иости систе мы.
57_
Правильность этого результата легко проверить с, по
мощью формулы (l-86), рассматривая провода 1 и 2 как
один общий прямой провод А, а провода 3 и 4 как общий
обратный провод В и применяя формулы § 10-2 и 10-3.
· Если по проводам системы протекают п е р е м е н н ы е
токи, фазы которых неодинаковы, то понятие общей индук
тивности системы теряет непосредственный смысл. В этом
случае вводят понятие об эквивалентных (или рабочих)
индуктивностях отдельных проводов *. Эквиsалентi-юй ин
дуктивностью L11. провода k называют величину
(l-92)
где· ЛИhr - реактивное падение - напряжени я на едйницу
длины провода /i; jh - ток в нем * *.
Эквивалентная индуктивность провода зависит не только
от геометрии системы, и в частности от положения рассмат
риваемого провода относительно других, но, вообще говоря,
и от соотношения между токами системы.
Пусть, например, мы имеем трехфазную линию, состоя
щую из трех проводов 1, 2, 3, токи в которых образуют
··
симметричную трехфазную систему
•
•
•
1
1
1 =__:!__-_]
i1
i2 - is
_2
Тогда
. 2n
з
--а-е·�1 -
- -
1
.
v-з
=-т- 1 2·
+ j(J) (Л1/� + + ЛзJз) =
= i1r1 + i(J)i1 ( Л1 + аЛ12 + л;1);
ЛИ1г = j(J)/� [ Л1 -+(Л + Лз1)],
ЛИ1 = i1r1
Л1i2
12
откуда для индуктивности фазы 1 получаем
I
Л
L1 = -_ЛЙ1r
-. = Л1 - 2 (Л12 + :н),
JW/1
(1-93)
* Их не следует смешивать с условными 1шдуктивностями Л.
Иногда определяют L" как отношение n о л 11 о r о падения на
пряжения ЛU11, в проводе к произведению ;wi h . Так как, однако, при
этом величина Lk в некоторых случаях оказывается комплексной, то
nредстамяется бoJJee целесообразным определять Lk формулой (1-92).
**
58
Аналогично
1
L2 = Л2 -2 (Л2з + Л12) ,•
(1-94)
+ Л2з)-
(1-95)
1
Lз = Лз -2 (Лз1
Если система токов несимметрична, результа: будет
иным. Пусть, например, i2 = -ji1; /� = (-1 + j ) /1. Тогда
ЛV1 = i1r1 jroi1 [Л1 -,-jЛ 12-{l-j)Лз1],
откуда
L1 = Л1 - Лз1·
Аналогично
L2 = Л2 -Л 2з;
1)
1
Lз = Лз-2(Лз1 +Л2з)Рис. 1-41
+
Эти значения L1, L2 и L3 в общем случае не совпадают
с найденными выше [формулы (l-93), (1-94) и (l-95) ].
Если, однако, трехфазная линия состоит из трех сим
метрично расположенных одинаковых проводов (рис. 1-41),
тu Л1 = Л2 = Л3; Л12 = Л23 = Л31, и так как для н ейтраль
ной системы всегда /� + i3 = -i1 , то, как нетрудно убе
диться,
(1-96)
и притом независимо от степени и характера несимметрии
системы токов.
Аналогичным путем могут быть найдены эквивалентные
индуктивности и в более сложных случаях. Не,юторые фор
мулы, относящиеся к трехфазным системам, даны в § 3-15
и 3-16.
J-14. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА l(ДП/ШЕI(
Катуш1<у можно рассматривать как сложный 1<011тур,
имеющий форму цилиндрической, призматической, плоской
.или иной спирали, витки которой в зависимости от типа
катушки имеют ход в осевом или перпендикулярном к оси
направлении (рис. 1-42, а и в). Однако расчет индуктивностей
катуше1< с учетом спиральности витков связан с весьма
значительными трудностями. Поэтому при расчете индук
тивностей сnир2льностью виткпв, как правило, пренебре59
rают и рассматривают катушку как совокупность отдельных
замкнутых плоских витков той или иной формы, лежащих
в одной или нескольких параллельных плоскостях (см.,
например, рис. 1-42, 6 и г, на которых показаны расчетные
схемы катушки, соответствующие рис. 1-42, а и в). Подоб
ное упрощение задачи существенно облегчает расчет и вместе
с тем, как показывает специальное исследование, приводит
лишь к весьма незначительной погрешности.
Все приводимые в· книге формулы для индуктивностей
кат.ушек' выведены в пренебрежении спиральностью витков.
а) 1
-В)
б) 1
г)
d
Рис. 1-42
. Расчет собственных и взаимных индуктивностей l{ату
J,Пек может_ быть произведен двумя принципиально отлич
ными друг от друга методами, которые назовем соответ
ственно .методом сум,иирования и методом массивного витка.
При ·расчете м е т о д о м с у м м и р о в а н и я соб
ственная индуктивность катушки вычисляется как сумма
qобственных и взаимных индуктивностей всех ее витков;
l'!заимная индуктивность двух катушек определяется . как
сумма взаимных инду1<тивностей всех витков одной катушки
со всеми витками другой. Этот метод, приводящий д,ля много
слойных катушек к весьма сложным формулам, обычно не
имеет никаких преимуществ по сравнению с методом мас
сивного витка и поэтому в настоящее время почти не при
меняется. В несколько упрощенной форме этот метод иногда
используют для числового расчета индуктивностей катушек
СЛОЖНОЙ формы.
При расчете индуктивностей м е т о д о м м а с с и в н о r о в и т к а индуктивности катушек (рис. 1-43, а)
сравнивают с индуктивностями соответствующих массив
ных витков (для цилиндрических катушек - массивных
колец), имеющих такую же форму и размеры, как обмотки
рассматриваемых катушек.
60
Для возможности сравнения коэффициент заполнения
катушек принимают равным единице, т. е. при расчете пред
полагают, что витки имеют бесконечно тонкую изоляцию
и плотно заполняют все пространство, занятое обмоткой
(см., например, рис. 1-43, в, где тонкими линиями пока
заны границы сечения «расчетных» витков).
При сделанном предположении и одной и той же п л о т
н о с т и т о к а магнитные поля катушки (рис. 1-43, в)
и соответствующего массивно го вит
ка (рис. 1-43, 6) будут одинаковы,
а следовательно, будут одинаковы и
интегралы, входящие в формулу (1-2)
для полного потока, сцепляющегося
l
с катушкой (или соответственно с
1
массивным витком). С другой сторо
1
ны, при равенстве плотностей тока
1
1
1
ток в катушке, имеющей w витков, в
а) 1
1
w раз меньше тока в соответствующем
массивном витке, и из формулы
=-;-JФ
L = 'I'!L di
1
t
(!-97)
следуР.т, что индуктивность Lp «рас
четной» катушки (т. е. катушки с
коэффициентом заполнения, равным
единице) в w2 раз больше индуктив
ности L' соответствующего массив
ного витка:
L P = w2L'.
(1-98)
б)
6)
�( тrwi
�Гffm
6um
iiГП�i
Точно так же взаимная индуктив
но�ть Мр ДIJYX «расчетных» катушек,
Рис. 1-43
имеющих w и W витков, в wW раз
больше взаимной индуктивности М' соответствующих маесивных витков:
Мр
= wWM'.
(1-99)
Формулы (1-98) и (1-99) сводят расчет индуктивностей
катушек к расчету индуктивностей соответствующих мас
сив ных витков. Следует, однако, иметь в виду, что действи
тельные индуктивности катушек несколько отличаются от
рассчитанных по этим формулам, так как витки обмотки
обычно имеют не прямоугольное, а круговое поперечное
61
с ечение, и между отдельными· витками всегда имеется неко
тор·ая воздушная или иная прослойка, -необходимая для
изоляции одного витка от другого. Это обстоятельстве
в большинстве случаеь почти не сказывается на результате
расчета взаимной индуктивности катушек. Однако при рас
чете собственных индуктивностей различие между индук
тивностями действительной и расчетной катушек иногда
приходится учитывать, для чего в формулу (1-98) вносят
поправку, обычно называемую поправкой на изоляцию.
Если обозначить эту поправку
через ЛL, то вместо (1-98) бу
а).,
дем иметь
L = Lp + ЛL == tQ;2 [( + ЛL.
(1-100)
Отличие действительной ин
дуктивности катушки от ее рас
четной индуктивности обуслон-.
лено тем, что расчетные витки
5)
имеют не такое поперечное се
чение, как_ действительные. Ес
ли учесть, что индуктивность
катушки можно рассматривать
как сумму собственных и _.взаим
ных индуктивностей ее витков,
то поправку ЛL можно пред
ставить в виде
Рис. 1-44
ЛL = Л1L + Л2L, (1-101)
где первая �оправка (Л1L) учитывает различие между соб
ственными индуктивностями действительных и расчетных
витков, а вторая (Л2L) - различие между их взаимными
индуктивностями.
Выражения для поправок Л1 L и Л2L зависят от формы
витков и их поперечных сечений, а та1<же от типа об
мотки.
Покажем процесс определения обеих поправок на при
мере однослойной цилиндрической катушки с витками кру
гового поперечного сечения. Пусть средний диаметр ка
тушки равен d, диаметр голого провода r, а шаг обмотки р
(рис. 1-44, а). Тогда расчетная катушка будет состоять
и з витков с тем же средним диаметром d и прямоугольным
поперечным сечением pr, причем шаг обмотки будет равен р
(рис. 1-44, б).
62
. Согласно формуле (5-1 5) собственные индуктивности дей
�вительного и расчетного витков могут быть рассчитаны
нз выражений:
d
L1 = '1 (1n �-2); L1p = µ;1 (ln ;:-2), (1 -102)
где g - среднее геометрическое расстояние площади попе
речного сечения действительного витка от самой себя;
gp - то же для расчетного витка. Вычитая L1p из L1 , имеем
l,¼id n
gp =µo[l
1
-(ng
(1-103)
1 7
ЛL 1 = L1- L 1p= 2
2 1 P-ng).
Согласно формулам § 10-3 для площади круга
r
1
1
-=
lnr-n
l g · = ln--Jn2 = lnr- О,.943 1
2
4
4
l k (р
а для площади прямоугольника ln g P = n
1<оэффициент, определяемый по табл. 10-3 .
Таким образом,
1)
µotf( n
p+r
l --+l
n2k+ЛL 1 =r
2
4
и. следовательно,
Л1L =WЛ L1
=
'
+ r), гдеk (1-104)
p+r n + 1)
µ uwd
2k т. (1-105)
2 ( ln--+l
r
При определении поправки Л2L ограничимся учетом раз
ницы во взаимных индуктивностях, во-первых, соседних
витков и, во-вторых, витков, расположенных один от дру
гого через виток. Разницей во взаимных индуктивностях
более удаленных друг от друга витков ввиду ее малости
пренебрежем. В соответствии со сказанным в конце § 5-7
взаимные индуктивности соседних витков действительной
]{атушки и соответствующих расчетных витков могут быть
найдены из выражений:
М12 = µod (ln�- 2 ); М12 = �t"d (ln�- 2)
2
g12
Р
l
gl2p
'
где g 12 - среднее геометрическое расстояние площадей по
перечных сечений витков 1 и 2; g 12P - то же для соответ
ствующих расчетных витков. Следовательно, поправка для
соседних витков
(1-)06)
63
причем g12 = р, а g12p можно найти по формуле (10-44)
и табл. 10-4 и 10-5.
Аналогичным путем для двух витков 1 и 3, расположенных через один, найдем
лм - µod I
13 -
2
е1зр
п е1 з '
(1·107)
где g1:I = 2р, а g18p можно определить по той же формуле
(10-44), взяв расстояние между центрами прямоугольников
равным 2р.
Общая поправка Л2L вычисляется по формуле
(1-108)
Л2L = 2 (w - 1) ЛМ 12 + 2 (w - 2) ЛМ 1з·
Отметим, что поправка Л1 L обычно в нес1юлько раз
больше, чем Л2L, так что в большинстве случаев можно
ограничиться только первой из них.
Формулы для вычисления Л1L и Л 2L в различных слу
чаях даны в § 6-9.
1-15. О РАСЧЕТЕ ИНДУКТИВНОСТЕЙ
ПРИ НИЗКОЙ И ВЫСОКОЙ ЧАСТОТАХ
Как было указано выше, при расчете индуктивностей раз
личают случай низкой частоты, соотв.етствующий _приблизи
тельно равномерному распредел ению токов по сечениям про
водов, и случай высокой частоты, когда неравномерн9сть
распределения тока по сечениям значительна и должна
быть учтена при расчете.
В предельном случае весьма высокой частоты распреде
ление тока ПО' сечению проводов настолько неравномерно,
что ток в каждом проводе можно считать сосредоточенным
в весьма тонком слое вблизи его поверхности.
Определение индуктивностей п р и н и з к о й ч а
с т о т е обычно производят, пренебрегая неравномерностью
распределения тока по сечениям проводов, а· следовательно,
и разницей между значениями индуктивностей при пере
менном и постоянном токе.
С наибольшими трудностями связан расчет индуктивно
стей п р и в ы с о к о й ч а с т о т е, когда основные фор
мулы (1-6) и (1-7) непосредственно неприменимы (§ 1-2).
Взаимная индуктивность л и н е й н ы х контуров и в этом
случае может быть определена по формуле (1-8), для соб
ственной же индуктивности контуров аналогичной простой
формулы нет. Обычно при высокой частоте ее определяют
64
приближенно, разбивая магнитный потоI< 'l", сцепленный
с конт уром, на две части: внешний поток 'Р'е, линии кото
рого охватывают весь провод, и внутренний пото1< 'ft , линии
кото рого полностью или частично замыкаются внутри про
вода, соответственно чему делится и полная индуктивность
контура L = 'l"/i.
Следует, однако, заметить, что строгое и однозначное
разделение полного потока 'l", сцепленного с контуром,
на внутренний и внешний, а следовательно, и общей
индуктивности L на внутреннюю и внешнюю возможно
лишь · для осесимметричных систем (типа коаксиального
1_<абеля кругового сечения), в общем же случае разбие
ние потоков и индуктивностей на внутренние и внешние
в известной мере условно и зависит от способа определения
(введения) этих понятий. Обычно внешний поток и внешнюю
индуктивность Le = 'l"efi, сравнительно мало зависящие
от характера распределения тока по сечению проводниI<а,
считают одина1швыми для всех частот * и при изменении
частот_ы учитывают лишь изменение внутренней индуктивности
L1 = 'l";/i. При этом внутреннюю индуктивность определяют
как деленную на ffi мнимую часть комплекса полного внутрен
него сопротивления провода, под которым понимают величину
.
zi == Г;
+ iwL
*
i
= Pt/2,
(l-l09)
где Р - комплекс, сопряженный с комплексом Р мощности
потока электромагнитной энергии, проникающей внутрь про
вода сквозь его боковую поверхность; / - действующее
значение тока в проводе. Величина Р вычисляется как ин
теграл от нормальной составляющей комплексного вектора
I)ойнтинга по боковой поверхности провода.
Метод, основанный на представлении собственной индук
тивности в виде суммы внешней и внутренней, очевидно, тем
больше соответствует физической картине поля контура и,
следовательно, тем точнее, qем отчетливее выражен поверх
ностный эффект в проводе. Этот метод применим также при
постоянном то1<е и низкой частоте, если контур выполнен
из материала с высокой магнитной прониuаемостыо (µ
µо).
»
* Для осесимметричных систем внешний лаrок 'l'e и внешняя ин
дуктивность L,., вообще не зависят от степени неравномерности рас
пределения тока в проводах, образующих систему, и для этого случая
nоправка ЛL" равна ну лю точно.
3
Калантаро�:, Л. Л., Цеiiтли11 Л. А.
65
Формулы, позволяющи·е определить внутреннюю шщуктив
ноеть провода при различных формах его поперечного сече
ния, даны для этого случая в § 2-10.
Определение индуктивностей проводов и контуров при
высокой частоте удается произвести лишь в весьма неболь
шом числе простейших случаев. Обычно приходится огра
ничиваться рассмотрением предельного случая в е с ь м а
в ы с о к о й ч а с т о т ы, когда распределение тока по се
чениям столь неравномерно, что токи можно считать сосре
доточенными в весьма тонких слоях вблизи поверхностей
проводпи1<0в.
В этом предельном случае почти все магнитное поле,
связанное с контуром, расположено вне провода, по кото
рому идет ток, ·и лишь весьма незначительная часть магнит
ного потока замыкается
внутри провода, образуя внутренний
!
поток контура Ч i· Этот поток, сосредоточенный в весьма
тоююм поверхностном слое, в большинстве случаев на
столько мал, что им и соответствующей ему внутренней
инду,пивностыо Li = 'Yi /i при весьма высокой частоте можно
пренебречь. Обычно полагают Ч\ = О*. Кроме того, как уже
отмечалось выше (§ 1-5), для дальнейшего упрощения за
дачи обычно вводят то или иное дополнительное предполо-·
жение о характере распределения тока по поверхностям
рассматриваемых проводов.
Если пренебречь влиянием, которое оказывают на рас
пределение тока в проводе конечность его длины, наличие
соседних проводов, а для криволинейных проводов еще и их
кривизна, то можно считать, что ток в прямолинейном или
криволннейном проводе конечной длины распределен так же,
KaJ< и в уединенном бесконечно длинном прямолинейном
проводе того же поперечного сечения. В этом случае задача
определения индуктивности провода при весьма высо1<0й
частоте сводится к определению величины N из формулы
(1-28) и G из формулы (1-31), nричем·для определения вели
чины g, как было разъяснено в § 1-5, необходимо иметь
решение соответствующей плоской краевой зад�чи для уеди
ненного провода рассматриваемого поперечного сечения.
В ряде случаев можно еще более упростить задачу, сделав
предположение, что ток весьма высокой частоты распределен
по поверхностям проводов равномерно. При этом величина G
должна по-прежнему определяться из формулы (1-31), а g =
* Об учете внутреннего потока Ч'i и определении внутренней индук•
Lt см. ниже (в конце этого параграфа).
тивности
66
= g, где g - среднее геометрическое расстояние периметра
попер ечного сечения провода от самого себя (находится
по формулам гл. 10).
Очевидно, что для проводов кругового поперечного сече
ния оба варианта расчета совпадают.
Чтобы дать представление о погрешности, вносимой от
личием истинного распределения тока от равномерного, рас
смотрим три примера, позволяющих оценить влияние не
равномерности, вызванной тремя основными факторами:
кривизной провода, наличием соседних проводов и отличием
сечения провода от кругового.
В качестве первого примера рассмотрим круговое кольцо
кругового поперечного сечения. Ток весьма высокой частоты,
проходя по кольцу, распределяется по его поверхности не
равномерно. Как показывает специальное исследование
[16, § 29), плотность тока имеет наибольшее значение на
внутренней стороне кольца и наименьшее - на наружной
его стороне, причем отношение этих плотностей тока jilie
тем больше, чем меньше отношение радиуса кольца R к ра
диусу его поперечного сечения r. При Rlr = 10 отноше
ние it lje равно 2,27.
Индуктивность кольца при весьма высокой частоте мо
жет б.ыть найдена по формуле (§ 5-2):
2r
8R
r2
8R
r2
]
)
L = tt0R 1 - 4R2 ln-2
п
2
+
]
r
R
-r
- - - lб 2 ,
2R
[(
( 1-11О)
учитывающей неравномерность распределения тока по по
верхности кольца и верной до членов порядка (r/R)2 вклю
чительно. С другой стороны, формула, выведенная в пред
положении, что ток распределен по поверхности кольца
равномерно, имеет вид
2
R
(1-111)
L = µ0R 1 4R 2 ln -rB - - 2 ]
[( + , )·
и отличается от формулы (1-110) лишь членами порядка r2/R2•
Для массивного кольца с Rlr
= 10 формула (1-110) дает
L = 2,3551µ0R, а формула (1-111) дает L = 2,3931µ0R, так
что погрешность формулы (1-111) составляет лишь около
1,6 %. несмотря на то, что при Rlr = 10 ток распределен
по поверхности К()льца весьма неравномерно (ii lie = 2, 27).
Таким образом, предположение о равномерности распреде
ления тока приводит к относительно небольшой ошибке даже
�
и
тогда, 1<огда это распределение заметно отличается от равно
мерного.
В рассмотренном примере неравномерность распределе
ния тока была обусловлена Iфиволинейностью провода. Сле
дующий при:мер относится к случаю, когда прнчипой не
равномерности является влияние соседнего провода с током.
Рассмотрим двухпроводную линию с проводами круго
вого поперечного сечения (рис. 3-5). Вследствие взаимного
влияния проводов то1< высокой частоты, проходящий по ли
нии, распределяется по поверхности каждого из проводов
нершшомерно.
Несложный расчет показывает, что плотность тока ji
в наиболее близких друг I< другу точках проводов относится
к плотности тока j" в наиболее удаленных друг от друга
точках, как (d + 2r)/(d - 2r), где d - расстояние между
осями проводов; ,. - радиус сечения провода. При малых
rасстояниях между проводами, когда это отношение велико,
распределение токов по периметрам сечений проводов резко
неравномерно (например, при dlr = 3 отношение Uie равно
пяти, а при d/r = 10 равно 1,5). Несмотря на это, формула
L = Pol Jn.!!...
(1-112)
n
r ,
выведенная без учета эффекта близости, т. е. в предположе
нии равномерного распределения тока по периметрам сече11ий
проводов, отличается от точной формулы
_ �t 0l
Ln
I
n
d
+ Уd2 - '1r2
'lr
,
выведенной с учетом эффекта близости, весьма незначи
те.тiыю. В самом деле, представим последнюю формулу в виде
1
L = J� [1п ;,
+ ln ( 1 +
V
1 - (�
у)]
(1-113)
N, предполагая, что d > 2r, разложим второй логарифм
в ряд по степеням 2r!d:
ln [1
+V1
�
2 21
3 r4
- (-'
- -"2 -·
·•
) = ln 2 - -'
а4
d'l
d
Тогда формула-(1-113) примет вип
(1 +_.:!_� .•• ).
L = Po l 1n.!!... - Pol �
2
n
68
r
n
d
2
d2
(1-114)
Сравнение формул {l-112) и (1-114) показывает, что эф
фект близости приводит I< уменьшению индуктивности линии
на величину
л
µJr ( 1
=·----;--7
2
з,
+2
d2.. •
2
)
(1-115)
Отношение Л к значению L, определенному no формуле
(1-112), дано в виде кривой на рис. 1-45, где приведена
6
f2
%
fO
5
о
4
6
31
L4
2 Jc
t
k
2
о
f
г
4
6
d/r-
о
Рис. 1-45
также кривая jilie - Из рис. 1-45 видно, что погрешность
от пренебрежения эффектом близости становится меньше 1 %
уже при d/r = 8, хотя при этом j;lie > 1,5.
В каqестве третьего примера рассмотрим прямолинейный
провод, имеющий форму тонкой (теоретически бесконечно
тонкой) ленты длиной l и шириной 2а (а « /). Легко пока
зать, что при весьма высокой частоте линейная плотность
тока в ленте равна
j
=---'
-:п Vа2-х2'
где х - расстояние от рассматриваемой точки ленты до ее
оси. Из приведенной формулы видно, что распределение
тока по сечению ленты существенно неравномерно, а на
69
краях (х = а) j = оо. Несмотря на это, учет неравномер
ности распределения тока сравнительно мало сказывается
на результате расчета, так как величины g и g, определя
ющие индуктивность провода при учете и неучете неравно
мерности распределения тока (§ 1-5), мало отличаются друг
·от друга: g = 1/2 а; g = 0,446 а. Применяя для определения
индуктивности формулы:
l
2
L (g) = 2n
µo ( ln ! - 1) и L (g) = �tol ln (� - 1) ,
g
2л
g
находя их разность и относя ее к L (g), получим
lng/g
б-1-(д)-L(g)_
L(g)
21 •
ln-_ge
Пусть, например, l = 50а, тогда б = 2,7 % (см. таJ<Же
рис. 2-2).
Из приведенных примеров видно, что даже существенная
неравномерность распределения тока по периметрам попе
речных сечений проводов сравнительно мало сказывается на
значении индуктивностей, причем наибольшее влияние ока
зывает эффект близости, вызванный наличием несимметрично
расположенных соседних проводов с током.
Таким образом, во всех случаях, когда более точное
решение задачи невозможно, предположение о равномер
ности распределения токов ·высокой частоты по поверхно
стям проводов можно рассматривать как п е р в о е п р и
б л и ж е н и е, вполне допустимое в большю�стве инженер
ных расчетов. Указанное предположение может, однюю,
оказаться неприемлемым для проводов со сложной формой
поперечного сечения и проводов, весьма близко расположен
ных друг к другу. Каждый из таких сомнительных случаев
требует специального рассмотрения.
Все приведенные в настоящей книге формулы, относя
щиеся к случаю весьма высокой частоты, дают лишь внешние
индуктивности проводов и контуров. При желании учесть
потоки внутри проводов следует к внешней индуктивности
каждого провода, найденной одним из указанных способов,
прибавить его внутреннюю индуктивность Lt, которая мо
жет быть определена из формулы (1-109).
Для линейных проводов из материала с постоянной ма
гнитной проницаемостью активное и внутреннее индуктив
ное сопротивления при весьма высокой частоте равны друv
70
другу и в соответствии с формулой (1-109) могут быть най
дены из выражения
r
= (J)L1 = 1
V
�� -(-1.,....
J j2dл,
1
,,_ ,
-. - .,..., 2
d л
)
(1-116)
где l - длина провода; 'Л - периметр его поперечного сече
ния; j - линейная плотность тока на поверхности провода,
предполагаемая :неизменной в направлении оси провода;
интегрирование в числителе и знаменателе производится
по периметру поперечного сечения провода. Величина j
должна быть взята из решения той краевой задачи, из кото
рой определяется и внешняя индуктивность Le . Однако
обычно упрощают расчет, используя для определения j ре
шение соответствующей задачи для бесiюнечно длинного
прямош-!нейного провода (или системы таких проводов).
Пусть, например, провод имеет эллиптическое поперечное
сечение с полуосями а и Ь (рис. 1-12). Тогда плотность тока j
на поверхности провода определяется выражением
.
А
1 = Vai - s2x2
'
(1-117)
где е - эксцентриситет эллипса; А - некоторая постоянная.
Подставляя это выражение в формулу (1-11{?) и учитывая, что
d'Л, =
имеем
-v
а2-в2х2
а2 -х2
dx,
J j dл = 4: К; J jd'Л = 2пА,
2
2
:л.
:л.
и, следовательно,
L 1 =l
-v µ к
-2
2wy :n: a '
( 1-118)
где К - полный эллиптичес!{ИЙ интеграл первого рода с мо
дулем k = yl - Ь2/а2 •
Аналогичным путем определяется внутренняя индуктив
ность провода прямоугольного сечения (§ 2-7). В более
сложных случаях определение закона изменения плотности
-тока по периметру сечения провода и последующее интегри71
рованне в формуле (1-116), как правило, связаны со значи
тельными трудностями. В подобных случаях можно пользо
ваться приближенной формулой
L;
1 1/µ
2wv'
=т V
(1-119)
получаемой из (1-116) в предположении, что плотность тока
постоянна по периметру поперечного сечения провода. Та1{
как для проводов из немагнитных материалов внутренняя
индуктивность при весьма
10
высоl(оЙ частоте, )(ак пра
%_
9
вило, значительно меньше,
1
\
' 8
чем внешняя, то допус1<ае
\
мая при ТШ{ом предполо
' 7
жении ошиб)(а сравнитель
\
но мало С)(азывается на
общей индуl(ТИВНОСТИ про
\
вода.
\
Не)(оторое представле
J
ние о возможной погреш
\'
2
ности формулы (1-119) дает
'\.
рис. 1-46, на )(ОТором эта
f
погрешность (б) дана для
"--....._
О O,f 0,2 o,J 0,4 0,5 0,6 0,7 од 0,9 f,0 провода
эллиптического
сечения в зависимости от
71�Ъ/аотношения полуосей элJIИП
Рис. 1-46
са а и Ь.
Для проводов из ферромагнитных материалов внутренняя
индуктивность L1 при весьма высо1юй частоте может быть
найдена по формуле
(1-120)
где µе - абсолютная магнитная проницаемость материала,
O11ределяемая по основной кривой намагничивания при зна
чении напряженности магнитного поля Н, равном действую
щему значению напряженности магнитного поля на той
поверхности 11ровода, через которую электромагнитное поле
прони1{ает н провод (например, для наружного провода
кабеля, изображенного на рис. 3-1, а, µ., следует определять
при Н = //(2лq), где 1 - действующее значение TOl(a в ка
селе). Для возможности пользования формулой (1-120) не
обходимо, чтобы рассматриваемый провод не имел rлубо72
т
ких прорезей и полос ей, сообщающихся с внешним про
13есьма
уз1шми
щелями*.
транстJЗом
с
Учет nоР,ерхностного эффекта и эффеI<та близости при
расчете инду!{тивностей 1с а т у ш е к представляет собой
задачу, еще не получившую удовлетворительного разреше
ния**. Следует, одна�ю, отметить, что неравномерность рас
пределения тока по сечениям отдельных витков весьма мало
с!{азывается на взаимной индуктивности !{атушек и может
иметь существенное значение лишь для собственной индук
тивности катушек.
В случае рез1ю неравномерного распределения тока соб
ственная индуктивность катуш1си может изменяться на ве
личину, имеющую тот же порядок, что и поправка на изоля
цию (§ 1-14}.
t-16. О PACL(ETE ИНДУКТИВНОСТЕЙ
ЭКРАНИРОВАННЫХ ПРОВОДОВ, К ОНТУРОВ И КАТУШЕК
Магнитные и электромагнитные э1<раны, применяемые для
защиты проводов, контуров и катушек от воздействия внеш
них постоянных и переменных магнитных полей и для ослаб
ления собственных магнитных полей, создаваемых отдель
Р.ымн эJ1ементами эJ1ектрической цепи в окружающем их
пространстве, обычно располагаются в непосредственной
близости от экранируемых объектов и изменяют_ собственное
магнитное поле этих объе1стов, а следовательно, и их соб
ственные и взаимные инду1стивности***.
Аналогичные эффекты вызывают различные элементы кон
струкции, имеющие вид плоских или изогнутых пластин и
оболочек и, независимо от их основного назначения, игра
ющие роль магнитных или электромагнитных экранов..
В ряде случаев изменение индуктивностей, обусловленное
наличием ЭI<ранов или ЭI<раниру�ощих элементов ,юнструк
ции, может быть значительным и должно быть учтено или,
по крайней мере, оценено при расчете. Этому вопросу посвя
щена гл. 11, где даны формулы и !{ривые, которые позво
ляют определить изменения собственных и взаимных инду* Весь нормальный- сортамент фасонной стали этому тре(юоанию
удоnлетворяет.
** Эта задача ОСJюж1-шется еще тем, что при высокой частоте су
щественную роль начинают играть емкостные явленИ51.
*** При переменном токе наличие экранов приводит также н
изменению активных сопро тивлений.
73
ктивностей, обусловленные магнитными и электромагнит
ными экранами различной формы.
Определения терминов «магнитный экран» и «электро
магнитный ЭI<ран» даны в ГОСТ 18311-80. Однако следует
иметь в виду, что деление ЭI<ранов на магнитные и электро
магнитные в известной мере условно: при переменном токе
в магнитном экране из проводящего материала возникают
вихревые токи, вследствие чего такой экран является одно
временно и электромагнитным; с другой стороны, «магнит
ный эффе1<т» всегда, хотя и в слабой степени, присущ и
электромагнитному экрану, материал которого имеет ма
гнитную проницаемость �t, строго говоря, отличную от ма
гнитной постоянной �t0•
Однако практически экраны по своим физичес1шм свой
ствам всегда близки к одной из двух расчетных схем экрану из непроводящего материала с высокой магнитной
проницаемостью и экрану из немагнитного материала (�t =
= µ0) с высокой удельной электрической проводимостью;
именно к этим расчетным схемам относятся применяемые
в дальнейшем термины «магнитный экран» и «эле1<тромагнит
ный экран».
Решение задач экранирования, и в частности определение
вносимых э1<ранами собственных и взаимных индуктивностей,
связано с необходимостью расчета по сложным формулам
даже для экранов сравнительно простой формы. Поэтому
при инженерных расчетах, не требующих большой точности,
обычно упрощают задачу определения вносимых индуктив·
ностей, рассматривая магнитные экраны ка�< идеально про
ницаемые, а эле1<тромагнитные - как идеально проводящие,
т. е. полагая в первом случае �t = оо, а во втором у = оо.
Все формулы и кривые, приведенные в гл. 11, относят<:я
именно к этим двум предельным случаям, определяю
щим, очевидно, верхнюю границу возможных значений
вносимых индуктивностей. Если обозначить вносимые
инду1<тивности реального и идеального экранов соот
ветственно через ЛL и ЛLоо, то соотношение между ни
ми можно представить в виде ЛL = ЛLоо (1 - '11), где
'11 - поправка, учитывающая отличие реального экрана от
идеального.
Общее представление о величине этой поправки дает
табл. 1-7, в которой приведены nр_иближенные выражения,
определяющие поправку fJ для случая воздействия то·
чечного магнитного диполя на плоский и сферический
экраны (рис. 1-47, а, 6) и линейного магнитного дипо·
74
а}
т
о)
Рис. 1-47
на бесконечно длинный цилиндрический эr<ран
ля
(рис. 1-47, в}*.
· Для возможности сопоставления в таблице даны также
выражения, определяющие модуль ka 1юэффициента экрани
рования, т. е. отношения абсолютных величин напряжен
ности поля в экранируемой области при наличии и отсутствии
экрана (для плос1юго экрана величина kэ определена в точке,
являющейся зеркальным изображением точки расположе
ния диполя). Все данные табл. 1-7 относятся к тонкостенным
экранам с высокой эффективностью экранирования (k0
1).
Через Л обозначена толщина экрана, через·µ - абсолютная
магнитная проницаемость материала магнитного экрана и
через б = --,/2/1/ ffi!-Lo'\' - глубина проникновения электро
магнитного поля в стенку электромагнитного экрана ( w угловая . частота изменения поля, µ0 - магнитная постоян
ная, у - удельная электрическая проводимость материала
экрана).
«
* Точечным магнитным диполем. 1<ак известно, называется источ1-1и1<
поля, получаемый из плоского контура с током i и площадыо s при
уменьшении до нуля всех линейных размеров контура и одновременном
неограниченном возрастании тока i no закону i = m/s, где т = const магнитный момент контура.
Под линейNым магнитным диполем понимается источник поля, полу
ч аемый из двухпроводной линии с бесконечно тонкими проводами (ни
тя ми) при уменьшении до нуля расстояняя с между нитями и одно
временном неограниченном возрастании тока i в линии по закону i =
m1/c, где т1 = coлst - магнитный момент линии на единицу ее длииы.
Моментам т и т1 приписывается наnраВJJение, нормальное r< nлос1<0стям контура и линии н связанное с направлениями тока i прави.�юм
Правого винта (рис. 1-47).
=
75
Таблица 1-7. Поnращш 11 дJJA экранов раЗJшчвой форм•ы
Магнитный
Электро-
1
r,
/,3
1\
1
µ Л
12+- 2 µQ h
k,
lг�
4
�
(Л <б )
3 {)2
2 /1Л
Эле1<тро-
з
б
--е-6
магнитный
(Л> б)
2h
1
"э
т''э
магнитный
А
v2
б
h
Ципнндрическнй
Сферическ111\
Jl11оский
Экран
д
.з
б
11
",
1
µ Л
21+- - 1
3 !¼ R \
з
2
RЛ
6
h
{)2
27[ V2 R
---('
k�
k�
д
- ""ii
1
"э
1+
1
Л
1 µ--
2 µ., R
/j�
RЛ
-�
v-2 RбlI v24 яб l'
6
Определим в качестве примера поправку '1'\ для плоского
контура с током, расположенного параллельно плоскому
1у1аrнитному э1<рану (Л = 4 мм, µ = 400 µ0) на расстоянии
li = 1 О см от него. Если размеры контура позволяют рас
сматривать его как точечный магнитный диполь, то соответ
ствующая этому случаю формула табл. 1-7 дает 'l'J = kr; =
= 0,1. При тех же размерах системы для электромагнитного
экрана из меди (�t = �t0, у = 5,7 -107 См/м) при частоте
f = 50 Гц глубина проникновения б составляет ОIЮЛО 0,94 см,
та�< что Л < б, и, пользуясь соответствующей формулой
табл. 1-7, находим kэ = 0,33, ч = 0,109. Таким образом,
.в обоих случаях поправка составляет около 10 % . Tai< KaI<
вносимая индуктивность 06ыч1ю меньше собственной инду·
ктивности контура или катушки без экрана, то из при
веденного примера, 1<ак и из общего рассмотрения табл. 1-7,
следует, что в инженерных расчетах, не требующих высокой
степени точности, при определении JЗНОсимых индуктивно
стей поправку на отличие реального экрана от идеального
!'-ЮЖНО вовсе не вносить или же определять приближенно,
пользуясь табл. 1-7.
1-17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕIОДЫ
ОЦЕНКИ И РЛС41:.1А ИНДУКТИВНОСТЕЙ
Энергетические методы, т. е. методы, основанные на ис
пользовании энергетических соотношений, применяются
в электростатике для оценки и расчета ем,юсти уединенных
76
провод ников и емкости между двумя проводниками 12, 10 ].
соответствующими изменениями эти методы могут быть
также использованы .д,11я оценки и расчета собственных
инд уктивностей проводов и контуров различной формы.
Некоторые из этих методов рассматриваются в настоящем
параграфе.
t. Принципы Дирихле и Томсона. Рассмотрим какой
нибудь 1юнтур с током при рез1ю выраженном поверхност
ном эффекте, что по принятой в настоящей книге термино
логии соответствует случаю весьма высокой частоты. Обозна
чим ток в контуре через i, сцепленный с ним магнитный поток
через Ч:", а индуктивность 1юнтура через L. Пусть в области Q
вне контура векторы Н' и В" хара�перизуют два каких
нибудь поля, вообще говоря, не совпадающих с истинными
полями Н и В = �tH, создаваемыми в этой области током i
контура. Подчиним _поля Н' и В" следующим условиям:
1) в области Q выполняется равенство rot Н' = О;
2) циркуляция вектора Н' по любой кривой, охватыва
ющей контур, равна циркуляции истинного вектора Н по
этой кривой, т. е. току i;
3) в области Q выполняется равенство div В" = О;
4) нормальная составляющая В� вектора В" на поверх
!Юсти нронодника, образующего контур, равна нулю;
5) поток вектора В", сцепленный с контуром, равен
потоку истинного ве1<тора В.
Кроме того, если область Q содержит бееконечно удален
ные точки, будем считать оба поля (Н' и В") исчезающими
на бесконечности.
Можно показать, что при указанных условиях справед
ливы следующие неравенства, которые, как и соответству
ющие неравенства в эле1<тростатике [10), назовем принци
пами Дирихле и Томсона:
с
L � � f (H') 2 dQ;
Q
+�
(1-121)
(1-122)
�2 J (В")2 dQ.
о
Так как по принятым условиям напряженность поля Н'
должна быть пропорциональна току i, а магнитная индук
ция В" - потоку Ч:", то неравенства (1-121) и (1-122) дают
соответственно верхнюю и нижнюю оценки индуктивно
сти L. При этом в качестве полей Н' и В" могут быть взяты
любые поля, удовлетворяющие указанным выше условиям.
µ
77
Различным полям Н' и В" соответствуют различные оценки
индуктивности, в большей или меньшей степени близкие
1< истинному значению L, и чем ближе эти nоля 1< истинному,
тем точнее оценки.
Зна1< равенства в формулах (1-121) и (1-122) соответствует
случаю, когда фиктивные поля Н' и В" совпад3ют с истин
ными полями н и в.
Таким образом, неравенства (1-121) и (1-122) могут быть
использованы для количественной оценки и расчета индук
тивностей при весьма высокой частоте.
Пусть Н' в формуле (1-121), выражающей принцип Ди
рихле, означает напряженность магнитного поля, создавае
мого в области Q рассматриваемым контуром при любой (вы
сокой или низкой) частоте или вообще при произвольно
заданном распределении тщ<а i по площади или периметру
поперечного сечения 1ю1-�тура, а L' - соответствующую этому
полю индуктивность контура. Тогда из неравенства (1-121)
следует, что L � L'. Таким образом, инду1<тивность L,
соответствующая истинному распределению тока весьма вы
сокой частоты по периметру поперечного сечения контура,
всегда меньше индуктивности L' при любом другом распре
делении то1<а по сечению. Из этого неравенства следуют не1юторые общие оценки, относящиеся к рассматриваемому
случаю:
1) индуктивность L контура при весьма высо1юй частоте
дает нижнюю оценку инду1<тивности L' того же контура
при любой другой частоте; наоборот, любое из значений L'
может рассматриваться ка�< верхняя оценка индуктивно
сти L;
2) рассмотренный в § 1-15 метод расчета, основанный на
предположении, что ток весьма высо1юй частоты распределен
по периметру поперечного сечения провода равномерно,
всегда приводит 1< преувеличенным значениям индуктив
ности; это утверждение справедливо и по отношению к уточ
ненному методу расчета, при котором распределение тока
по периметру сечения принимается таким же, 1<ак и у бес1ю
нечно длинного прямолинейного провода того же сечения;
следовательно, оба метода дают верхнюю оценку инду1<тив
ности контура при весьма высокой частоте;
3) верхнюю оценку индуктивности какого-либо контура /(
при весьма высокой частоте можно получить, определив (для
любой частоты) индуктивность любого другого контура /(1,
по форме и размерам вписывающегося в габариты контура /(;
нижнюю оценку можно получить, найдя индуктивность при
78
весьма высокой частоте любого контура К2 , в габариты
которого вписывается контур К (рис. 1-48).
Следует иметь в виду, что упомянутые здесь общие оценки,
непосредственно вытекающие из принципа Дирихле, в ряде
_случаев могут оказаться довольно грубыми. В подобных
случаях более точные оцешш можно иногда получить с по
мощью специальных методов, рассмотренных в двух сле
дующих пунктах этого параграфа.
Рис. 1-48
2. Метод предписанных поверхностей и линий. Прин·
ципы Дирихле и Томсона [неравенства (1-121) и (1-122) ], как
уже uтмечалось, можно использовать для двухсторонней
оценки индуктивностей контуров при весьма высокой ча
стоте. Одним из методов тююй оценки является метод пред
писанных поверхностей и линий. Идея этого метода заклю
чается в том, что при выборе поля Н' заранее задаются фор
мой поверхностей (для двухмерных задач - линий) равного
скалярного потенциала, а при выборе поля В" - формой
линий этого вектора, после чего из всех полей, отвечающих
предписанным требованиям, выбирают такие, при которых
неравенства (1-121) и (1-122) дают наилучшую оценку ин
дуктивности.
Продемонстрируем применение этого метода на примере
однофазного кабеля с произвольной формой поперечного
сечения прямого и обратного проводов (рис. 1-49). Отнесем
сечение кабеля к полярной системе координат р, 0, располо
жив ее начало внутри сечения внутреннего провода, и пусть
р = r (0) и р = R (0) будут уравнениями границ области Q
со стороны внутреннего и внешнего проводов.
Магнитное поле Н' в области Q будем характеризовать
скал ярным потенциалом v, который представим в виде v =
= i(j) (р, 0), где i - ток кабеля. Для однозначности этого
потенциала . в области Q введем непроницаемую переrо79
родку [15 J, которую совместим с частью луча 0 = О между
границами области. Если принять, что (р = О при 0 = О,
то при 0 = 2n'будем иметь q, = 1. В остальном выбор функ-·
ции (р (р, 0) произволен. Мы рассмотрим случай, когда q,
не зависит от р и, следовательно, линии равного потенциала
совпадают с лучами 0 = const, а напряженность Н' =
= -grad v фиктивного поля имеет только составляющую Но;
при этом
i
,
Н = Не . =--d
, 1 ,1
р
dcp
t-1
и из формулы (1-121) для индуктивности кабеля на единицу
его длины находим
L � µ �2f
i
1 : 1 dQ
2
231:
(1-123)
= µ J 1 :: 1 F (0) d0,
О
2
где dQ = р dp d 0; F (0) =
R (0) •
= ln ""71ё)
Если принять {р (0) =
0/(2n), то последняя
=
В=О формула дает
231:
(0) dfJ.
L � (2�)2 ·ОJ F
Эта оценка верхнего
предела индуктивности кабеля не является, однако,
наилучшей. Обозначив интеграл в правой части формулы
Рис. t-49
2,i;
(1-123) через J1, а интеграл J d0/yF (0) через /2 и при·
о
меняя неравенство Шварца, имеем
l1 l2
�[Ту
0
F (0)
I
1 :: 1 V f (0)
d0]
2
= 1,
откуда l1 � l/J2, причем равенство имеет место только при
пр ?порциональности или равенстве подынтегральных функ
ции интегралов J1 и J2• При этом для индуктивности L
получим
.
L�µ
80
I
(231:
1/;/r
) -1
,
(1-124)
что в рассматриваемом случае и дает наиболее точную верх
нюю оцен1<у индуктивности. Аналогично находится и ниж
няя оценка. Если ввести параметр q, изменяющийся от О
при р = r до 1 при р = R, и определить семейство линий
вектора В" уравнением
(1--125)
р (0) = (1 - q) r (0) + qR (0),
то, используя, как и выше, неравенство Шварца, можно
получить наилучшую нижнюю оценку индуктивности в виде
I л•
Фо
Ro
L �µ
(1-126)
где
Л = (R0- r0)фlgradqldл;
1 grad q 1
(1-127)
1 {
r' ] 2}
l [ r, + (р - r ) R'R ;
= (R _ ,)2 1 + р2
_,
dл. - элемент длины линии вектора В", проходящей через
точку (р0 , О) на луче 0 = О, а индексами О отмечены вели
чины, относящиеся к этому лучу; штрихи у r и R означают
прпизводные по углу 0.
Из формул (1-124) и (1-126) видно, что нахождение верх
ней и нижней оценок индуктивности требует однократного
или двукратного интегрирования, которо_е, как правило,
приходится выполнять численно.
Расчет существенно упрощается, если границы области
rомотетичны. Пусть центр гомотетии совпадает с началом
координат, а коэффициент гомотетии равен k. Тогда ln Rlr =
= ln k, и формула (1-124) дает
L.,.;: � Jnk.
· Для этого случая
Л = Ро
(1-128)
ф+ [ 1 + ( ,; ) 2 1 '
J
2
dl,
(1-129)
где dl - элемент длины внутренней границы области Q,
откуда
L;;;.µ � lnk.
(1-130)
Найдем в качестве простого примера верхнюю и нижнюю
оценки индуктивности кабеля, прямой и обратный провода
81
которого (рис. 1-50) представляют собой гомотетичные эл
липсы с полуосями а, Ь и А = ka, В = kb. Верхняя оценка
определяется формулой (1-128). Для получения нижней
оценки совместим луч 0 = О с большими полуосями эллип
сов, после чего выражение для Л примет вид
'it/2
Л = 4р0
J (1 +
i,4 sin2 20 )
4
Т4
d0,
о
�----- \
где в = -,/ I - Ь2/а2; Т = -,/ 1 - е2 cos2 0 . Выnошrив указанное в этой формуле интегрирование, при Ь/а = 1/-,/2,
в = -1/-,/2 найдем Л/р 0 = 6,66 и соответственно
(1-131)
L;::,, 6�6 lп k.
Отношение правых частей неравенств (1-128) и (1-131)
равно 6,66/(2:п:) = 1,06, и, следовательно, индуктивность
кабеля можно в данном случае оценить с погрешностью,
не превышающей 3 %.
В заl(лючение отметим, что в силу известной связи между
индуктивностью и емкостью идеальной линии [формула
(1-146) ], зная верхнюю оценку емкости линии (кабеля),
можно найти нижнюю оценl(у ее индуктивности, и наоборот.
3. Вариационный метод Ритца. Из принципа Томсона
[формула (1-122)] следует, что интеграл
/ = J ( в ")2 dQ
( 1-132)
Q
в правой части формулы (l-122) принимает минимальное
значение /mi n , когда фиl(тивно� поле В" совпадает с истин
ным полем В рассматриваемого l(Онтура. При этом
(1-133)
L = �t'F 2//mln ·
Таl(ИМ образом, задача определения индуктивности кон
тура при весьма высОl(ОЙ частоте может быть сведена к заВ�kЬ
Рис. 1-50
82
даче отыскания векторной функции В", минимизирующей
11нтеграл (1-132). Так как точное решение этой вариационной
задачи чаще всего невозможно, обычно ограничиваются
прибл иженным ее решением. Среди различных методов, при
меняемых в подобных случаях, одним из наиболее простых
и эффективных является метод Ритца, который мы рас
смотрим здесь применительно к проводам и системам с пло
скопараллельным магнитным полем. В этом случае векторы
поля Н и В лежат в параллельных плоскостях , одну из ко
торых можно совместить с плоскостью ху; при этом вектор
ный потенциал поля А имеет только одну составляющую Az ,
параллельную оси z, и
(В")2 = ( a;z )
так что
/=
2
+ ( ��z)
j grad
Q
2
2
= grad2 Az,
Az dQ.
(1-134)
По методу Ритца приближенное значение функции A z ,
минимизирующей интеграл (1-132), ищется в виде суммы
(1-135)
A z = а1<р1 + a2q;2 +· .. ,
где q;1, <р2, ••• - линейно независимые функции, выбранные
так, чтобы сумма (1-135) удовлетворяла граничным усло
виям задачи независимо от значений параметров а1, а2, ••• •
·Значения этих параметров определяют из условия
..Е.!__=0' k = l ' 2' ... ,
(1-136)
даt,
обеспечивающего минимум интеграла (1-132). Если сумма
(1-135) содержит п членов, то условие (1-136) дает систему п
уравнений, из которой и можно найти все параметры а,,.
Продемонстрируем применение метода Ритца на уже рас
смотренном в п. 2 примере однофазного кабеля, имеющего
сечение в виде двух rомотетичных эллипсов с полуосями а, Ь
и А = ka, В = kb (рис. 1-50). Если принять, что векторный
потенциал Az на наружном проводе равен нулю, то на вну
-треннем проводе он равен магнитному потоку Ч' на единицу
длины кабеля. В соответствии с методом Ритца, полагая
п = 2, будем искать A z в виде
A z = а11Р1 + a2q;2
и в качестве функций q;1 и q;2 выберем
83
(1)1 = :: + �: - k2; (J)2 = ( :: -j- :: - () ( :: + t: - k2) •
Нетрудно видеть, что при этом удовлетворить граничным
условиям для Az можно только при
а1 = '1'/(1 - k2),
после чего остается неизвестным только параметр а2. Диффе
ренцируя A z по х и у, подставляя результат в (1-134) и
выполнив интегрирование по области Q, заключенной между
эллипсами, получим
'1'2 :: 11 +
+
l=л(
+ f а2 1
+
+
1
=
+) [
'Р k2 (k6 - 3k4 + 3k2 - 1) +
(k8 - 2k6
+ 2k
2-
1)] .
Приравнивая нулю производную дl!да2 , найдем
•
k6 - Зk4 + Зk2 - 1
а2 = 'V (k2- J)(k8- 2k6+2k2- 1)'
1
2
+�);
+1
lnun = л\f (
ь ) ( k2 + 1 _ 1 k2 - t ) ]-1 •
L _ iin [ ( аЬ
k2 - 1
З k2 + 1
а
т+ +) (::
+
-+::
При Ь/а = 1 /-,12 и k = 2 последняя формула дает L =
1,023µ, в то время как нижняя оценка по методу пред
писанных поверхностей и линий составляет в этом слу
чае 1,041 µ, та1< что оба значения L отличаются друг от друга
на 1,7 %.
В l{ачестве другого примера применения метода Ритца
рассмотрим задачу определения внутренней индуктивно
сти Li прямолинейного провода из материала с весьма вы
сокой магнитной проницаемостью (µ
tt0). Если тuк в про
воде можно считать распределенным по его сечению равно
мерно (что имеет место при постоянном токе 11 низкой ча
стоте), то z - составляющая векторного потенциала магнит
ного пол н внутри провода удовлетворяет двухмерному урав
нению Пуассона
(1-137)
»
где J - i/s - плотность то1<а.
84
В СИЛУ УСЛОВИЯ �L )) µо
можно считать, что одна из ма
гнитных линий совпадает с
границей поперечного сечения
провода (рис. 1-51), которая,
таким образом, является линией
равного значения Az [15 ], при. чем это значение можно при
нять равным нулю. Если ре
Рис. 1-51
шить уравнение(l-137) при ука
занном граничном условии и
найти энергию магнитного поля внутри провода на едини
цу его длины
\\7 = + J AzJ dQ
Q
то из равенства
=
-d- j gгad A dQ,
2
µQ
z
�(1-138)
W =+L;i2
определится и внутренняя индуктивность L;. При это� реше
ние уравнения (1-137), а следовательно, и определение Lt
мuжно свести к задаче минимизации неrюторого интеграла,
который в данном случае имеет вид
1=
j (grad
2
А - 2JAµ.) dQ,
(1-139)
Минимум интеграла 1, как и раньше, достигается, когда А
является решением уравнения (1-137), т. е. совпадает с истин
ным значением Az . В этом случае
1
J (grad2 А, - 2µJ Az).dQ = W - 2W = - W
�,in
� =
t
fit Q
и, следовательно,
(1-140)
Приведем решение р�ссматриваемой задачи для случая,
когда провод имеет прямоугольное поперечное сечение
( рис. 1-52). Приближенное значение минимизирующей ф унк
ции ищем по методу Ритца, т. е. в виде (1-135), выбрав
в качестве q,1 и q,2 функции
(/)1 = (а2 -х2) (Ь2 -у2); (1)2 = (а4 -х4) (Ь4 -у4), (1-141)
85
каждая из которых удовлетворяет граничному условию за
дачи (qJ1 = О, qJ2 = О при х = +а или у = +Ь). В первом
приближении, положив а 2 = О, будем иметь
А = а1 (а2 - х 2) (Ь 2 - у2).
Подставив А в (1-139), выполнив указанные в этой фор
муле операции, из условия дl!да1 = О найдем
а1 = 32 аЬ (а2+ ь
2)
5
и соответственно
Lt
J
-
µi
аЬ
mln - - 72 µ t а2 + ь2 •
5
2·2
•
ah
аЬ
= 75 µ а2+
ь2 = 0, 0694µ а2 + ь2.
5
(1· 14 2)
Если сохранить в формуле (1-135) два члена, то более
точное значение L t будет
(1-143)
Lt = 0,0703�t ai �ь 2 •
1
Истинное значение L i , которое можно получить, решая
уравнение Пуассона (1-137) методом разделения перемен
ных, определяется формулой
L t - 12"11
- µ
а (
192
l -7
а
� tl1 (2n
т�
+ 1)
Т
(2п + l)fi
+]
• (1-144)
Формулы показывают, что в данном случае метод Ритца
приводит к более простым выражениям дЛя внутренней индуктивности провода,
у
чем метод разделения
переменных. Из форА =О
Ь
мул (1-142) и (1-143)
видно, в частности,
что максимального
значения величина L,
достигает при а = Ь,
т. е.
для провода
квадратного сечения.
Azmax
В этом случае фор
о
мулы (1-1 42) и (1-143)
дают соответственно
Рис. 1-52
Li = 0,034 7µ и L, =
Вб
= 0,0351µ, в то время как по точной формуле (1-144) Li !µ =
= 0,03517, та1< что погрешность формулы (1-142) состав
ляет l ,.:S % , а формулы (l-143) - около 0,2 % .
Для сравнения отметим, что внутренняя индуктивность
провода кругового сечения Li = µ/(8л) = 0,0398�t - на
13 % больше, чем у провода квадратного сечения.
1-18. МЕТОД ПОЛОСОК
Индуктивность 1<онтура при весьма высо1<0Й частоте мо
жет быть определена с учетом неравномерности распределе
ния тока по поверхности проводника, если воспользоваться
м е т о д о м п о л о с о 1<, в известной мере аналогичным
методу площадок, применяемому в электростатике [2 ].
Рассмотрим какой-либо контур и представим выражение
для индуктивности этого контура при весьма высокой ча
стоте (§ 1-2) в виде
J Mj dл = Li = 'I!,
7,,
(1-145)
где Ч! - магнитный поток 1<онтура; i - ток в нем. Эта фор
мула может рассматриваться как интегральное уравнение
относительно линейной плотности тока j, и идея метода
полосок за,шючается в приближенном решении этого урав
нения путем его замены соответствующей системой линейных
алгебраических уравнений.
Для получения такой системы поверхность S рассматри
ваемого контура разбивают на ряд полосок, границы кото
рых совпадают с линиями тока на поверхности S. При этом
ширина полосо1< (не обязательно одинаковая для различных
полосок) выбирается достаточно малой для того, чтобы плот
ность то1<а в пределах каждой полоски можно было считать
постоянной по ее ширине. Каждой полоске приводится в соот
ветствие характерная нить тока (например, нить, проходя
щая через середину поперечного сечения полоски), после
чего магнитный поток, сцепленный с нитью k, можно при
ближенно представить в виде
Ч'1t = L1ti1,
11
+ 1J М нJ1,
i=I
где п - число полосок; L1, ·- собственная инду1пивность
полоски k; Mi/, (i =1= k) - взаимная индуктивность поло
сок i и k. При этом собственные индуктивности L,, опреде
ляются в соответствии с принятым условием постоянства
87
шютности тока по ширине полоски, а взаимные индуктив
ности М н� обычно принимают равными взаимным индуктивностям M i,• соответствующих характерных нитей обеих
полосок.
Так как все потоки ':l'h должны быть одинаковы и равны
потоку ':l', сцепляющемуся с рассматриваемым контуром, то
выражение (1-145) дает следующую систему п уравнений
для неизвестных токов ii :
L h ih
"
+ � Mн.it = ':l',
i=I
k = 1, 2, ..., п; i =i=, k,
"
решая которую, найдем все токи i1 и общий ток i = � it
i=I
контура. Отношение 'Pli дает приближенное значение соб
ственной индуктивности контура, причем это значение тем
ближе к истинному, чем больше число полосок пи чем меньше
ширина каждой из них. В принципе метод полосок приме
ним 1< контурам любой формы, однако наиболее просто он
реализуется в случае плоских контуров, в частности двух
I1роводных линий и круговых колец (рис. 1-53, а, 6). В пер·
вом из этих случаев величины Lh и М 0• могут быть найдены
по соответствующим формулам, данным в § 3-4, 3-9, 3-12,
3-13, а во втором - по формулам§ 5-4, 5-6, 5-7. 5-8.
Определим в качестве примера собственную индуктив
ность симметричной двухпроводной линии, СО(."Гоящей из
двух бесконечно тонких лент (рис. 3-9, а), при d = 1,
с = 2 и различном числе полосок п.
При п = 1 плотность
тока в соответствии со ска
занным выше должна быть
принята ПОСТОЯl:JНОЙ по
высоте обеих лент, и фор
мула (3-41) в рассматри
ваемом случае ('\' = c/d =
= 2) дает L 11) = Е:о.
л 1,018.
При п = 2 в силу симмет
рии системы вновь придем
k
1< равномерному распреде
лению тока и к тому же
значению индуктивности.
Разбивая каждую из лент
на три полоски одинаковой
Рис. 1-53
высоты с/3 = 2/3 (п = 3)
88
и учитывая, что токи в верхней (k = 1) и нижней (k = 3)
полосках одинаковы (i1 = i3), получим систему уравне
ний
из которой найдем токи i1, i2 , i = 2i1
+ i2
и индуктивность
M
= Lf + L 1 31 -2M i2
L!З> = _.!_
i
ЗL 1
+ М91 -4М12
•
Определив индуктиnности полосок 4 = L2 = La по фор
муле (3-43) лри d = 1, Ь = О, с = 2/3 и взаимные индуктив
ности М 12 = М 21 и М 13 = М 31 по формуле (3-115) при d = 1,
h = 2/3 и /1 = 4/3, получим для индуктивности L значение
L '31 = µ; 0,950. Истинное значение индуктивности, опредеТаким обленное по формуле (3-46), равно L0 = E!Lo,968.
n
разом, погрешность расчета при п = 1 и п = 2 составляет
с:{о.,-;о 3 %, а при п = 3 -менее 2 %.
В заключение отметим, что метод полосок допускает раз
личные модификации. В частности, при фиксированном
общем числе полосок п в ряде случаев можно получить
более точный результат за счет рационального выбора
ширины полосок в различных частях поверхности провод
ника.
1-19. ЭЛЕl<ТРОСТАТИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ
В некоторых случаях собственные и взаимные индуктив
ности проводов и контуров при весьма высокой частоте могут
быть определены с помощью соотношений, связывающих
эти величины с аналогичными величинами, интегрально
характеризующими электростатическое поле
(емкость,
собственные и взаимные потенциальные коэффициенты
[2, 15)).
Рассмотрим, например, идеальную однофазную линию
(линию без потерь) с проводами произвольного поперечного
сечения, расположенными один внутри или вне другого
(однофазный I<абель, двухпроводная или мноrопроводная
89
линия). Из теории электромагнитного поля известно, что
электромагнитные волны распространяются вдоль идеаль
ных проводников в идеальном диэлектрике со скоростью
v = l/1/i::µ, где е и µ - диэлектрическая и магнитная про
ницаемости диэлектрика [15 ]. С другой стороны, из теории
длинных линий известно [4 ], что скорость движения волн
вдоль идеальной однородной линии равна v = 1/-,/ LC,
где L и С - индуктивность и емкость линии на единицу
ее длины. Сопоставляя оба выражения для скорости, при
ходим к важному соотношению
LC = µе,
(1-146)
связывающему индуктивность идеальной линии с емкостью
между ее проводами. Эта зависимость позволяет свести
определение индуктивности линии при весьма высокой ча
стоте к определению емкости между ее проводами, т. е.
к известной и достаточно хорошо изученной задаче электро
статики [2 ].
Не менее примечательное соотношение имеет место между
индуктивностями и потенциальными коэффициентами прямо
линейных проводов конечной длины. Пусть L" и М н. собственные и взаимные индуктивности таких проводов,
найденные в предположении, что ток распределен по пери
метру поперечного сечения каждого провода равномерно,
а а" и а;,. - собственные и взаимные потенциальные коэф
фициенты этих проводов, определенные по методу средних
потенциалов. Тогда справедливы зависимости:
Lh =· µ 12.
е k•
а.,,,
Mil,
ll
-rxнt = ер 1" 1 cos 0 ,
(1-147)
где li и 11, - длины проводов; 0 -:- угол между ними. Фор
мулы (1-147) позволяют определить L,, и М 0,, если известны
а1, и а0" и наоборот.
Эти формулы справедливы также и в том случае, когда
при определении индуктивностей L1, и М 0, ток предпола
гается распределенным по периметру поперечного сечения
каждого провода не равномерно, а как в бесконечно длинном
прямолинейном проводе того же сечения; потенциальные
коэqфициенты а1, и a ilt должны быть в этом случае опреде
лены по соответственно уточненному методу средних потен
циалов (ЖТФ, 1971, № 7).
90
ГЛЛВЛ ВТОРАЯ
ИНДУКТИВНОСТИ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ
И КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПРОВОДОВ
2-1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
1. Приведенные в настоящей главе формулы и таблицы
для расчета собственных и взаимных индуктивностей прямо
линейных и криволинейных проводов в сочетании с методом
учаспюв (§ 1-4) дают возможность рассчитывать индуктив
ности плоских и пространственных контуров различной
формы.
Все рассматриваемые провода предполагаются л и :н е й
н ы м и, т. е. имеющими поперечное сечение, линейные раз
меры которого дсстаточно маJiы по сравнению с другими
размерами проводов и расстояниями между ними.
В соответствии с этим при расчете взаимной индуктив
ности провода рассматриваются как бесконечно тонкие нити
соответствующей формы *.
2 Собственная индуктивность прямолинейного провода
может быть определена с удовлетворительной степенью точ
ности при любой встречающейся па практике форме попе
речного сечения провода. Взаимная инду.ктивность двух
прямолинейных проводов также может быть найдена при
любом взаимном их расположении в пространстве. Приме
няя метод участков, можно, следовательно, определить соб
ственную индуктивность любого контура, состоящего из пря
мо линейных участков, а также взаимную индуктщшость
двух любых контуров этого вида.
3. Задача расчета индуктивностей значительно услож
няется при наличии у контуров криволинейных участков,
так как выражения собственных и взаимных индуктивностей
криволинейных проводов известны лишь для некоторых
простейших частных случаев. Поэтому в случае, когда кон
туры имеют криволинейные участки, единственным методом
расчета чаще всего оказывается метод численного интегри
рования, изложенный в § 1-12.
* Для параллельных проводов одинаковой длины даны также вы
ражения, справедливые при коне•шой толщине проводов и малых рас
стояниях между ними (§ 2-11 ).
91
4. Значения собственных индуI<тивностей проводов при
низкой частоте в первом приближении принимаются рав
ными их значениям при постоянном токе, т. е. при равно
мерном распределении тока по сечениям проводов. В ряде
случаев можно уточнить расчет, внеся поправку ЛL;, учи
тывающую отличие истинного распределения тока от равно
мерного. По величине этой поправки можно судить также
о погрешности, возникающей при неучете неравномерности
распределения тока по сечениям проводов.
5. Все приводимые в этой главе фор.мулы .п,ля собственных
индуr<тивностей проводов при весьма высокой частоте выве
дены без учета потока внутри провода, т. е. в предположе
нии, что ток сосредоточен в бесконечно тонком поверхностном
слое. При этом, если не оговорено противное, предполагается,
что ток распределен по поверхности провода rюнечной длины
так же, каr< в уединенном бесконечно .п,линном прямолиней
ном проводе того же поперечного сечения.
При желании учесть магнитный поток внутри провода
к величине L, найденной указанным путем, следует прибавить
внутреннюю индуктивность провода L;, которая в общем
случае может быть определена так, как указано в § 1-1"5.
Для проводов кругового, эллиптического и прямоугольного
поперечного сечения необходимые расчетные формулы при
ведены в соответствующих параграфах..
6. Формулы для собственных .индуктивностей п о л ы х
проводов при весьма высокой частоте совпадают с соответ
ствующими формулами для сплошных проводов. Оговорки
требуют лишь формулы для L i , которыми следует пользо
ваться_ только при усло:вии, что толщина стенки полого
провода не меньше половины .п,лины электромагнитной волны
Л-=2n -,;2/-,; wµ-y внутри провода.
2-2. ИНДУКТИВНОСТЬ nРЯ.МОЛ11НЕЙНОГО nPOBO/1,A
КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ
. 1 . П р и п о с т о я н 1-1 о м т о к е и н и з 1< о й ч а
стоте
L = l10 ( ln �
-(2-1)
,
4
'
21t
l
2-)
где l - длина провода; r - радиус его поперечного сечения.
Для коротких проводов более точное значение можно найти
по формуле
2
128 , _ , ) •
(2_2)
L _ ii2n0 (tn 2lr _ 43 + 45n
l
4Р
1
92
*
Если магнитная проющаемость материала провода µ =1=
µ0, то вместо формулы (2-1) следует пользоваться фор
мулой
itol
2l
L = 2:rt ( ln, - 1 ) + Lt,
(2-3)
где
µl
L-=•
(2-4)
Bn
- внутренняя инду1пивность провода.
2. П р и в е с ь м а в ы с о к о й ч а с т о т е
l
L = �iv
2n ( ln � - 1) ,
(2-5)
где l - длина провода; r - радиус его поперечного сечения.
Для корОТ!{ИХ проводов более точное значение L можно
найти по формуле
L = µol (ln� - 1
2:rt
,
+ �-'l- _ _!:_).
2l
2
:rt
(2-6)
При желании учесть магнитный поток внутри провода
следует к величине L, найденной по этим формулам, приба
Е:пь .13Нутренню:-о индуктивность провода, определяемую
формулой
(2-7)
если µ = coпst.
Для проводов из ферромагнитного материала
_1f �t('
L 1 =06_t
' 2nr V wy
,
(2-8)
причем µе - абсолютная магнитная проницаемость, опреде
ляемая по основной кривой намагничивания вещества про
вода при напряженности поля, равной //(2nr), где / - дей
ствующее значение тока в проводе.
3. П р и л ю 6 о й ч а с т о т е и µ =1= �t0
(2-9)
где Loo - индуктивность провода при весьма высокой ча
стоте [формула (2-5) J;
L-• -�,
(2-10)
8:rt ';,
93
� внутренняя индуктивность провода; l - его длина; � величина, значения которой даны в табл. 2-1 в зависимости
от значений величины kr, причем k = (J)µy; r - радиус
поперечного сечения провода.
Для определения � при kr < 2 можно пользоваться фор
мулой
1
13 8
(2-11)
� = l - 6 х4 + 275 х + ... '
v
а при kr
где
> 5 - формулой
1
'=х-
3
3
64х3 -
(2-12)
128х4 • • • '
х = kr/vв.
При любом значении kr
�=
(2-13)
4 ber kr ber' kr + bei kr bei' /и
'
kr
(Ьеr' kr)2 + (bei' kr)2
(2-14)
Таблица 2-1. Значения � для провода круrовоrо сечения
kт
о
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1, 1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
94
1,0000
0,9998
9997
9994
9989
9983
9974
9062
5946
9927
9902
9871
9834
9790
9739
9680
9611
9448
9248
9013
8745
8452
8140
7818
0,7493
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
5,2
5,4
5,6
5,8
6,0
6,2
6,4
6,6
6,8
7,0
7,2
7,4
7,6
7,8
8,0
8,2
8,4
0,7493
7173
6863
6568
6289
6028
5785
5560
5351
5157
4976
4809
4652
4506
4368
4239
4117
4002
3893
3790
3692
3599
3511
3426
0,3346
8,4
8,6
8,8
9,0
9,2
9,4
9,6
9,8
10,0
!0,5
11,О
11,5
12,0
12,5
13,0
13,5
14,О
14,5
15,О
16,0
17,О
1
18,0
19,О
20,0
21,О
0,3346
3269
3196
3126
3058
2994
2932
2873
2816
2682
2562
2452
2350
2257
2170
2090
2016
1947
1882
1765
!661
1569
1487
1413
0,1346
21,0
22,О
23,0
24,0
25,О
26,О
28,0
30,0
32,0
34,0
36,О
38,0
40,О
42,0
44,0
46,0
48,О
50,0
60,О
70,0
80,0
90,0
l00,0
00
0,1346
1285
1229
1178
1131
1087
1010
0942
0884
0832
0785
0744
0707
0673
0643
0615
0589
0566
0471
0404
0354
0314
0,0283
о
где ber kr и bei kr - функции Томсона, т. е. вещественная
и мнимая составляющие функции Бесселя J0 первого рода
uулевоrо порядка от комплексного аргумента z = kre;з:тr.14;
ьеr 'kr и bei' kr - их производные по kr. Значения этих
функций могут быть взяты из таблиц приложения 8 или
из работы [9 ].
Пример 2-J. Прямолинейный медный провод длиной l = 20 см, имеет
круговое поперечное сечение, радиус которого r = 0,2 см. Определить ин
дуктивность провода при низкой частоте, при весьма высокой частоте и при
частоте f = 10 ООО Гц.
Р е щ е н и е. В данном случае
rll = 0,2120 = 0,01; llr = 100; (г/!) 2 = 10-4•
1. При низкой частоте, применяя формулу (2-1), имеем
L
= :: , 10----.:, 0,2 ( ln
200-+ )
= 4• 10-в (5,298 - 0,75) =
= 1,819· 10-1 Гн.
Более точная формула (2- 2) д.ает
4
128
1
L = 4n· 10
0,2 (tn 200- 0 75
О 01 -- -- 10-4)
2л
'
45л'
4·
+
=
+
= 4, 10-� (5,298 -0,75 0,009) = 1,823, 10 -Z Гн,
Уточнение, даваемое формулой (2-2) по сравнеиию с формулой (2 -1 ),
r; ;:эн,1uм случае uесьма невелико (около 0,2 % ).
2. При весьма высокой частоте, применяя формулу (2-5), получим
4л
L = --, 10-1 ,0,2 (ln 200 - 1) = 4 .1Q-ь( 5,298 - 1) = 1,719-10-1 Гн.
2n
Более точная формула (2-6) дает
L = 4 . 10-в (5,298 - 1
+�
0,01 - _l_, 10-4) =
л
2
= 4. ю-в (4,298 + 0,013) = 1,724· 10 -7 Гн.
Значение индуктивности, определенное ло формуле (2-6), больше опре
деленного по формуле (2-5) на 0,2 % .
3. При частоте f = 10 ООО Гц находим индуктивность по формуле
(2-9). Для определения входящей в формулу величины � вычисляем k:
откуда
li =
Jf wµ'\' = J(2n-104 -4n- l{P-5,8· 107 = 2,140· 10 ,
3
kr = 2, 140· 103• 2· 1 0---3 = 4,280.
По табл. 2-1 находим � = 0,6456.
Следовательно,
5 56
L = 4, 10--- в (5,298 - J о, : )
+
= 4.10-:-5 ( 4,298 + 0,161) =
= 1,784- 10---z
Гн.
95
Величину �. входящую в формулу (2-9), можно найти по формуле
(2-12). В данном CJJyчae
х=
�: = 1 ,51 3;
:хэ =
0,0 1 35 3;
:х
12 4
= 0,0045;
1
-= 0,6 609,
х
СJJедовательно,
� = 0,660 9 - 0 ,0135 - 0,00 45 = 0,6 419.
Для проверю1 определим � по точной формуле (2-14). При kr = 4,28 0
из таблиц функций Томсона (9] находим
ber f,r = -3,497; bei f<r = 2,050;
ber' kr= -З, 522;
bei'·kr= -1,279.
Подставляя эти значения в формулу (2-1 4), получаем
9,6 94
4
t = 4,280 14,04 = 0•6453 ·.
Из приведенных расчетов видно, что зна•1ения {, найденные различ
ными способами, сравнительно мало отличаются друг от друга. Проще
всего � олредедяется по табл. 2-1.
2-3. ИНДУКТИВНОСТЬ
КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ
nолого
ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ПРОВОДА
1. П р и п о ст о я н н о м т о к е и н и з к о й ч а
ст о т е
L = .f2!.. ( ln � - 1 ) '
(2-15)
гс
2л.
где l - длина прово да; r -внешний радиус его поперечно го
сечения (рис. 2-1); с -величина, значения кото рой даi-1ы
в табл. 10-1 в зависимо сти от отно шения внутреннего ра
диуса q к внешнему радиусу r.
Если магнитная про ницаемо сть вещест
ва провода �· =1= µ0 , то
µО [
2[
�L
L=( ln • - 1 - - j n с ) • (2-16)
2л
µо
2r
Рис. 2-1
96
2. П р и в е с ь м а в ы с о к о й ч а
ст о т е
l
L = µo
(tn�1) '
(2-17)
,
2л
где l ·_ длина прово да; r -внешний ра
диус его поперечно го сечения (рис. 2-1).
При желании учесть магнитный поток внутри провода
след ует к величине L, найденной по этой формуле, прибавить
внутреннюю индуктивность провода L1 , определяемую фор
мулой (2-7) при �t - const и формулой (2-8) при µ, завися
щем от магнитного состояния вещества.
3_ П р и л ю б о й ч а с т о т е
L
µnl
2/
ln-,
2:rt (
=
- l)
+ L ; = l�oo + L 1
(2-18)
,
где l - длина провода; r - внешний радиус его поперечного
сечения; Loo - индуктивность провода при весьма высокой
частоте; L; - внутренняя индуктивность провода. Для про
r)
вода с малой толщиной стенки t (t = r - q
_ µl sl1 ml - sin mt
Li - 2-л.тr
(2-19)
cl1 ml - cos mt '
«
где т
= V2ffi�ty. При mt < 3 можно написать
L;
m 4f4
µ[ /
- (1
2л ,
- 630
=
+
t,'"18/ H
249480 • • • ) •
(2-20)
При больших значениях lгq и l,t внутренняя индуктивность полого
nровода может бьnь найдена по формуле
I.;
µl
= 8.-сх
3
3
{ 1- 64х2- J28хз
3
, ) • • • ] - 2е - тt s!n mt r 1 - 8
q + 3 q2
1
2
3
- 256х2 (1 - 6 ,
+
+ ... + 2е-mt cosmt [ 1-
�
7 6
2 х2 ( - +
+3
;: ) • • •]
+ члены
порядка
.
t
+
QX
г2тt ••• } ,
(2-21)
где х = mr/4 = V ffiµ-y/8 r.
В о б щ е м с л у ч а е L i равно разделенной на jffi мнимой части
выражения
z.
•
где
k=
=
j�tffil
ber kr + j bei l,r - Т (l1f'i kr - J l1er kr)
j bei' kr -- Т (hei' llr - ; hei' kr) '
(2-22)
Т = ber' kq + i bei 'kq
l1ei' 1-q- i her' kq '
(2 -2 3)
2:rtkr ber' kг
+
-Vffiµ-y; ber kг и bei /и - вещественная и мнимая составляющие бессе
левой функции J 0 (zr) первого рода нулевого nоряд1<а от комnлексвоrо
з:n:
числа Zr = kге 4 ; ber' lir и bei' kr - их про11з1юдны1: no lгr; her kr и
11 (zr)
hei kг - вещественная И мнимая составляющие фушщии ха�шеля
нулевого порядка от того же аргумента zг ; her' lгr и hei' kr - их производ-
,-
4 КаJiантаров П. Л., Цe.l\TJIИh Л. А,
нь
97
ные по kг; ber' kq, bei' kq, her' !щ, hei' kq - то же, что ber' kг, bei' kг,
her' kr, hei' kr, но с заменой r иа q. Значения всех указанных здесь функ
ций и их производных можно взят�, из таблиц_ приведенных в приложе
ниях 8 и 9_
Пример 2-2. Прямолин�йный медный rрубчатый провод миной
l = 100 см имеет сечение, внешний и внутренний радиусы 1ютороrо равны
соответственно г = 0,5 см, q = 0,3 см. Определить индуктивность провода
при низкой частоте, при весьма высокой частоте и при частоте f = 2500 Гu.
Р е ш е н и е. В данном случае
г/l = 5 . 1 0-3; llr = 200; q/r = 0,6.
l. При низкой частоте применяем формулу (2- 1 5). По табл. 10-1 нахо
дим с = 0,8778 и
L=�-10-ч- (1п�-1)=2·!0-7Х
'2:rt
О,Н778
х (ln 455,7 - l) = I0,24· 10-1 rи.
2. При f = оо, применяя формулу (2-17), имеем
L
=
=
2· 10-, (ln 40 0 - l)
2· 10-, (5,99 1 - l) = 9,982· 10--'l Гн.
3. Прн частоте/= 2500 Гц, применяем формулу (2- 1 8), причем вну
треннюю индуктивность L i определяем тремя различными способами.
1) Применяем формулу (2-19). В данном случае
t = 2, 10-з м; т = V2-2л,2,5, 1оз.4:;-�. 10-1,5,8-101 = 1,513- IO�J
= 1, 513-IОЭ-2, 10-з = 3,026;
тг = 1 ,513• lQЭ .5. 10-з = 7,566;
h mt = 10,28;
cl1 mt = lО,33;
sln mt = 0, 1 2;
cos ml = - 0,09
mt
10, 1 6;
t
L
=
11,32;
4:п: • ю-?. 1 !О, 1 б
=0,2373. 10-7
2:п:-7,566 11,32
гн.
2) Применяем формулу (2-2 1), В данном случае
- 7•566- 1 ""1·
:1,
х - 4 -,<>
1- � 2
б4х r
3
1 28хз
2 3,576;
Х=
= 1-0,01 ',Н-О,0035 = 0,9834;
,2
7-6-+З=5,333;
q2
q
5,333-0,003275 = 0,0 1 75;
3
В
qx = 0,1322;
l ·
3 6, 762i
Х=
3
256х2
= 0,003275;
l - 0,0175
= 0,9825;
1-0, 1 322 -J- 0,0175 = 0,8853;
e --mt = 0,04851; cos mt=-0, 9933; sin тt= 0,1153;
-2·0,04831 ·0,9933-0, 9825 = -0,0947; µt/(8лх) = 0,2644· 10--1;
-2·0,04831-0,1153·0,8853 = -0,0099;
0,9834 - 0,0947 - 0,0099 = 0,8788;
Li =0,2644- 10- 7 • 0,8788 = 0,2324- 10-1 Гн.
3) Применяем т·очную формулу ( 2-22). 8 данном случае
k = Jfwµy = т/J(2= 1,070-103; kr = 5,35; kq = 3,21.
По таблицам, данным в приложениях 8 и 9, находим
Ьег flr = -7,504; bei kr = -1,7 57;
Ьег' kr = -3,333; bei' kr = -6,402;
her flГ = +6,578• ю - 3; hei kr = -J -4,045· ю-3;
her' flГ = -2,37 7· ю- 3; hei' kr = -8,893· 10--8;
ber' kq=-1,879 ; bei' kq = 0,741 9 ;
her' kq = + 4 ,643· 10-2 ; hei' kq =-1,8216· 10--2;
Т
=
- 1,879 -1- j0,7419
_
4О,�О ef1, 5G9.
'
о
(-J,8216-j4,643)·J0-� -
Т (hei kr - j her kr) = 0,2663 -1- jO, 1633;
Т (hei' kr- j her' kr) = -0,09631 - j0,3196;
_
_ _
Jtljw
2· 10-7 .
/ffi=,w-0,3739-J0 7,
=
5,35
2лkr
z. =,
'
О)
·О• 3739
+
- 7,504- jl, 757 -1- 0,2663 i0,1633
10_7
- 3,3З3-i6,402-o,09631- ·io,3195
=
=/0 •0, 3739 - 7,238-i l,594 10-1 =.JW -0' 3739-0' 9689 е-jO,BB 2.10-1'•
- 3,429 - j6,722
Li = 0,3739-0.9689 cos ( О,882), ю-7 = 0,2302· ю-7 Гн.
ffi
Приведенные расчеты показывают, что значения Li , найденные различ
ными способами, сравн11телъно мало отлича�тся друг от друга. Общую
индуктивность провода при частоте f =
2500 Гц находим, суммируя nолу
-·Ченные выше зна.чения Loo = 9 ,982· 10 7 Гн и Li = 0,2302· 10-1. Г11, rrocлe
чего окончательно имеем
2-4. ИНДУКТИВНОСТЬ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ПРОВОДА
ЭЛЛИllТИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЯ
1. При постоянном токе и низкой ча�
стоте
µ0{ lп--4l
З
-,
L=4 )
2л (
4*
а+ь
(2-24)
00
где l - длина провода; а и Ь - полуоси эллипса, являюще.
гсся его rюверечным сечением.
flpи низкой •�астоте можно учt,сть мияние нер·»внuмернос:т11 расnре1tС>.лен11я тока 110 ссче1111ю провода. прибавив 1< значению L. даваемому
t!юрмулой (2-24). IJC.:IИ'IИHY
!-1111 х1
(2-25)
ЛL; = - 2л 24 l (е),
где
a-/J
i: =а+!_;
/ (€) =
(\ - 1:.) (\
+
i-;
/3) (1
2
+ 4t.-:' -t 1:. )
:
4
( +Е
Формула (2-25) примсним11 при k (а+ /J) < 4.
2. П р и в е с ь м а в ы с о к о й ч а с т о т е
1
L = µ11
__
1
1 ')I'
�--! (ln-4
а+ Ь
0
.(2-26)
где l - длина _провода; а и Ь - полуоси эллипса, являющегося его поперечным сечением.
При желании учесть магнитный поток внутри провода
следует· к величине L, найденной по qюрмуле (2-26), приба
вит!:, внутреннюю индуктивность провода, определяемую
( при µ = const) q:ормулой
Lt = -2
"·· К.,
n'J/µ
а
.ow)'
(2-27)
где /( - полный эллиптический интеграл первого рода с мо
дулем, равным i/ 1 - Ь2/а2•
В частности, для круга (а = Ь = r) получаем фор-·
мулу (2-7).
Для провода из ферромагнитного материала вместо (2-27)
следует пользоваться формулой
_ 1/
L 1 = О' 15 _1
аЕ V
�te '
u1-v
(2-28)
где Е - полный эллиптический интеграл второго рода с мо
дулем -i/ J - Ь2/а2, �t� - абсолютная магнитная проницае
мость, определенная по основной 1<ривой намагничивания
вещества провода прн ю111ряженности п<,ля, равной 1/(4аЕ);
1 - действующtе значен111:: тuка в проводе.
lOO
2-5. ИНДУКТИВНОСТЬ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ПРОВОДА
1<.ВАДРАТНUГО СЕЧЕНИЯ
1. П р и п о с т о я н н о м т о к е и н и з к о й ч астоте
�1 ( ln-+l
1 )
L=(2-29)
2:rt
Ь
2 '
где l - длина провода; Ь - сторона квадрата, являющегося
поперечным сечением провода.
При низкой частоте (kb < 3) можно учесть влияние не
равномерности распределения тока по сечению провода, при
бавив к значению L, даваемому формулой (2-29), величину
ЛL = - /tD/ �
2:ri 24'
где х = 0,2kb; k = -,/ ffiµ0'\' •
2. П р и в е с ь м а в ы с о к о й ч а с т о т е
L = !lol (lп :1 - 1) '
2n
g-
(2-30)
где l - длина провода; g = О,5902Ь; Ь - сторона квадрата,
являющегося поперечным сечением провода.
При желании учесть магнитный лоток внутри провода
к индуктивности, найденной no формуле (2-30), следует
прибавить внутреннюю индуктивность Li, оnреде.пяемую
(при µ = const) форму1юй
Li
=
l
1/µ
nb V 2ооу •
(2-31)
Для провода из ферромагнитного материала
1
L, = 0, 15 (2-32)
/!е ,
ь
00"\'
причем µе - абсототная магнитная проницаемость, опре
деленная по основной кривой намаrничивани51 вещества
провода при наnряжею-юсти поля, равной 1/(4Ь), где 1 действующее значение тока в проводе.
·11
2-6. ИНДУКТИВНОСТЬ ПОЛОГО f!РЯМОЛЮIЕЙНОГО 11РОВОДА
l(ВАДРАТНОГО СЕЧЕНИЯ
1. П р и n о с т о я н н о м т о к е и II и з к о й ч а-
ст от е
L
p0 l
= 2n
(t
21
О
<)
пт- •45·
+ зь
2 с )
'
(2-33)
101
г де l - д11ина провода; Ь - сторона квадрата, являющегося
внешним контуром поперечного сечения провода; t - тол
щина стенки; предполагается, что t � Ь/3.
2. П р и ·в е с ь м а в ы с о к о й ч а с т о т е индук
тивность провода может быть найдена по форму11е (2-30).
Если t > 'А_/2, где 'А_ - длина э11ектромаrнитной волны
в проводе, то поток внутри провода может быть учтен с по
мощью формул (2-31) и (2-32).
2-7. ИJ-IДУКТИВНОСТЬ ПРЯМОШIНЕЙНОГО ПРОВОДА
ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
1 . П р и п о с т о я н н о м т о к е и н и з к о й ч а.
с тоте
L=
µi;l(
2з1
21
')
ln ь+с тт·'
(2-34)
где l - длина провода; Ь и с - стороны прямоугольника, яв
ляющегося его поперечным сечением. В частности, для бес�
конечно тонкой ленты следует положить в этой формуле
ь = о.
При низкой частоте можио учесть влияние неравиомерносrи распре
деления тока по сечению провода, nрибавив к значению L, даваемому фор
мулой (2-34), величину
J-1-ol х4 /
дL; = - 2n
24 (е),
гд е
(2-35)
с-Ь
(с>Ь);
X=0,2kc; k= .�
v wµ1,y; t;=
с+Ь
3
2
2
i;4)
. _ (1-е) (1-в /3) (1 4i;
•
f (е)1 Е
+
Формула (2-35) применима при k (Ь
+
+
+ с) < 7.
2. П р и в е с ь м а в ы с о к о й ч а с т о т е
2
L= f-tol
2л (ln ! - 1) 1
g
(2·36)
где l - щ1ина провода, а g - ве11ичина, значения которой,
отнесенные к величине с, даны на рис. 2-2 в зависимости
от отношения сторон Ь и с nрямоуго11ьника, являющегося
поперечным сечением провода (Ь < с). Точные значения g
можно найти по форму11е
с
4g = E-k'21( •
102
(2•37)
где К и Е - полные э1шиптические интегралы первого и
второго рода с модулем k, определяемым из уравнения
Е' -k2 К.'
Ь .
(2-38)
E-fl'2K =7,
К' и Е' - полные эллиптические интегралы с дополнитель
н ь1м м одулем k' = 1/ 1 - /, 2 . В частности, для бесконечно
тонкой ленты (Ь = О) формулы (2-37) и (2-38) дают g = с/4.
О,б
�
D,5
!_:;
g
с
!!
.с�
!!.!!
с'с о.2
,
О
D,1
D,2
D,J
0,4 0,5 D,6 0,7
7J=Ь/с--+-
О.В
D,9
1,0
Рис. 2-2
При выводе формулы (2-36) в соответствии со сказанным
в§ 2-1 предполагалось, что ток распределен rto поверхности
ттровода конечной длины так же, как по поверхности беско
нечно длинного провода того же поперечного сечения. Еи1и
распределение тока по поверхности провода принять равно
мерным, то формула для L примет вид
l (J
2[
L=-·Uon-I) '
2л
g-
(2-39)
· где g - среднее геометрическое расстояние периметра пря
моугольника со сторонами Ь и с от самого себя. Значения g,
отнесенные к длине стороны с, даны на рис. 2-2 в зависимо
сти от отношения Ыс. Из рисунка видно, что величины g и g
мало отличаются друг от друга.
При желании учесть магнитный поток внутри провода
к индуктивности, йайденной по .формуле (2-36) или (2-39),
103
v
следует прибавить внутреннюю индуктивность L1, опреде
ляемую (при µ = coпst) по формуле
1
L- = --
•
где
,'} = ;2 (J<
УЬс
(·2-40)
_/.A
_ <t'
2wv
+ f<.') (Е _ k'2K)112 (Е' _ /l'J/(')1'2,
(2-41)
а все прочие обозначения - те же, что в формулах (2-37)
. и (2-38).
0,3
1
142M�Щt���-���
�нtt:4.�-H
,,.
O,f
о
O.f
0,2
0,3
О,',
0,5 О,б 0.7
11=Ь/с-
0,8
0,9
f,O
Рис. 2-3
Значения ве.rшчины О даны на рис. 2-3 в зависимости
от отношения Ь!с.
Для провода из ферромагнитного материала вместо (2-40)
следует пользова ться формул ой
Li
l
= 03-' ь+с
-v�
-(1>11
'
(2-42)
где µе - абсо11ютная магнитная проницаемость, определен
ная по основной кривой намагничивания вещества провода
/
"
при напряженности по11я, ривнои" 2 (Ь +с); 1 - деиствующее значение тока в проводе.
104-
2.s. ИНДУКТИВНОСТЬ ПОЛОГО ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ПРОВОДА
ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
1. П р и п о с т о я н н о м т о к е и н и з к о й ч а
о
ст те
l
L = �to
(in � - l),
(2-43)
2:;r
ge
rде l - длина провод а; g·,, - среднее геометрическое рас
стояние от самого себя периметра прямоугольника со сторо
нами Ье и Се, определяемыми из форму11:
Ье = Ь [ J
-++ (
f)];
I - �
2
1 t
/ 1--)] '.
С=С г 1--Зс (
Зс
"
L
(2-44)
(2-45)
Ь и с - стороны прямоугольника, являющегося внешним
1юнтуром поперечного сечения провода; t - то11щина стенки
провода. Предполагается, что t ..,,;: Ь/3 (Ь ..,,;: с). Величина g,
может быть определена с помощью формулы (10-18) итш
табл. 10-2 при соответствующем изменении обозначений
(g, Ь И С на ge, Ье И Се)2. П р и в е с ь м а в ы с о к о й ч а с т о т е индуктив
Н()С.'ГЪ провода может быть найдена по формуле (2-36) и11и
(2-39). Если t > 'Л_/2, где 'Л_ - длина электромагнитной
волны в проводе, то поток внутри провода может быть
учтен с помощью формулы (2-40) или (2-42).
2-9. ИНДУКТИВНОСТЬ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ПРОВОДА
ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕLJЕНИЯ
1. П р и n о с т о я н н о м т о к е и н и з к о й ч а
стоте
l
L = 1-'o
2л
(rn �
- 1) '
g
(2-46)
rде l - длина провода; g - среднее геометрическое расстоя
ние площади ero поперечного сечения от самой себя (§ 1-8).
Для коротких проводов более точное значение L может
быть найдено по формуле
µ0 l (
21
L=l11--l
2:rr
g
а
cf )
+--l
4[2
,
(2-47)
rде а и q - соответственно среднее арифметическое и сред
н ее квадратичное расстояния площади поперечного сечения
·прово да от самой себя (§ 1-8).
l05'
2. П р и в е с ь м а в ы с о к о й ч а с т о т е индук
тивность провода в общем CJJyчae должна быть определена
в соответствии со сказанным в § 1-5 и 1-15; формулы для g
см. в § 2-10.
Если форма и соотношение размеров поперечного сече
ния провода позволяют сделать предположение о приблизи
тельно равномерном распределении тока по периметру попе
речного сечения, то индуктивность провода (без учета вну
треннего потока) может быть найдена по формулам (2-46)
и (2-47), в которых, однако, под g, а и q следует в этом слу
чае понимать среднее геометрическое, среднее арифметиче
ское и среднее квадратичное расстояния не площади, а п е
р и м е т р а поперечного сечения провода от самого ceбsr
(§ 1-8). Внутренняя индуктивность провода должна учиты
ваться в соответствии с указаниями § 1-15.
2-10. ИНДУКТИВНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОВОДА
Б ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
Собственная индуктивность тшейного провода может
быть представлена в виде
L = N -G +А -Q,
(2-48)
где N - величина, зависящая только от формы и размеров
оси провода и не зависящая от формы и размеров попереч
ного сечения провода и от характера распределения тока
по сечению; G, А и Q - величины, зависящи� от формы и
размеров поперечного сечения и от характера распределения
тока по сечению. Обычно разность А - Q пренебрежимо
мала по сравнению с разностью N -G, и тогда
L = N -G.
(2-49)
1. Значения N д11я nроводов ра3ли•шой формы,
1) Для прямолинейного провода
N = �� (ln2l--1),
(2-50)
где l - дтша провода.
2) для провода, изогнутого по дуге окружности,
N= µ;; [e(lп8R-2)+4s1n f-41].
(2-51)
где R -радиус окружности, по дуге которой изогнута ось
провода; 8 - центральный угол, соотвеrствующий длине
106
Таблица 2-2. Значения l в формуле (2-51) для провода,
изоrнутоrо no дуrе окружности
0, ..•0 1
1
о
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
/
0,0000
0,1052
0,1803
0,2439
0,3000
0,3506
0,3968
0,4393
0,4786
0,5151
0,5492
0,5809
0,6107
/ е, ...
0�
360
355
350
345
340
335
330
325
320
315
310
305
300
е, ...
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
1 е. ····11 е, ···• 1
0,
0,6107
0,6385
0,6645
0,6889
0,7117
0,7330
0,7529
0,7715
0,7887
0,8047
0,8195
0,8332
0,8458
300
295
290
285
280
275
270
265
260
255
250
245
240
120
125
130
135
140
145
150
155
160
165
170
175
180
/
1 е, ••.�
0,8458
0,8572
0,8676
0,8774
0,8852
0,8925
0,8988
0,9041
0,9083
0,9117
0,9141
0,9155
0,9160
240
235
230
225
220
215
210
205
200
195
190
185
180
провода; / - величина, значения которой для ра3Личных
. углов 0 даны в табJJ. 2-2.
При угле 0, близком к 2:rt, т. е. для почти замкнутого
кругового кольца,
N = 11;: [ (ln BR - 2) it ( ln �
J) ,
(2-52)
«
е
+
+ ]
l.
где {} = 2л - 0
Дnя замкнутого кругового кольца (0 = 2л; {), = О)
N = �t0R (ln 8R - 2).
(2-53)
3) Для криволинейного провода произво11ьной формы
следует исходить из общего выражения для величины N,
приведенного в § J-5.
Величина N для проводов сложной формы, как правило,
не выражается через величины, определяющие форму и
размеры провода. В подобных случаях N можно найти мето
дом численного интегрирования (§ 1-12).
2. Определение величин О, А и Q.
1) При постоянном токе и низкой частоте
G = 1-1-ol
а· Q = �
q2
2:ri ln g·' А = _Ео__
2:п '
8:nD '
(2-54; 2-55; 2-56)
где g, а, q - соответственно среднее геометрическое, среднее
арифметичес1юе и среднее квадратичное расстояния площади
поперечного сечения провода от самой себя; l - длина оси
107
провода; D - расстояние между I<райними точками оси
провода.
2) При весьма высокой частоте величины G, А, Q могут
быть определены по формулам (2-54)-(2-56), в которых
вместо g, а, q следует подставить g, а, ij (§ 1-5). Выражения
для g при различной форме поперечного сечения провода
даны ниже. Ввиду относительной малости величин А и Q
и трудностей, связанных с определением ii и ij, можно при
ближенно положить а= а, ij = q, rде а и q - соответственно
среднее арифметическое и среднее квадратичное расстояниS1
периметра поперечного сечения провода от самого себя. При
желании учесть маrнитный поток внутри провода следует
уменьшить G на величину, равную внутренней индуктивно
сти провода L;, [{Оторая должна быть определена в соотве-J.'
ствин с уl{азаниями § 1-15.
Значения g для различных фиrур:
для окружности радиуса r
g= r;
для квадрата со стороной Ь
g = О,5902Ь;
для прямоугольника со сторонами Ь и с (Ь
g = 0,25
О,44Ыс - О, 1 Ь2/с2
+
< с)
(см. также кривую на рис. 2-2);
для дуги окружности радиуса r
-
g
. а
= ,sшт,
rде а - центральный угол, под которым видна дуга;
для [{pyroвoro сегмента радиуса r
2щ sin а./2
g_
- (2n-a.)sin (
::п-а.
:п)
п-а
'
rде а - то же, что и в предыдущем случае; в частности, для
полукруга (а= л)
g=
З
4
v3
r
= 0,770r;
для равностороннего треугольника с. высотой h
g = 0,7870h;
108
д11я равнобедренного прям оугольного треугольника с ка
тетом Ь
g = О,4756Ь;
для прямоугольного треугольни1<а с углом л/6 и гипоте
нузой
g = О,3779Ь;
ь
для правильного шестиугольника со с-rороrюй Ь
g = О,9204Ь;
для замкнутой кривой, состоящей из дуг двух окруж
ностей, пересекающихся под углом а = n/n (а и Ь - ра
диусы окружностей):
при п = 2 (а = л/2)
g=
уа2 +ь2;
при п = 3 (а = л/3)
аэ-ьз
а2- ь2
g=
(PfJШ а = Ь, то g = 3/2а);
при п = 4 (а = л/4)
g=
+ Ь2 + аЬ J/"2)612
+ Ь + � J/"2 аЬ
(а2
а2
2
(ecJiи а = Ь, то g = 1,5307а);
при п = 6 (а = л/6)
6 (а2 + Ь2 + аЬ J/"3)512
g = (Vз а2 + 4аЬ + Vз ь2) (2 Vз а2 + 7аЬ + 2 Vз ь2)
(если а = Ь, то g = I ,553a);
для симметричного креста, образованного двумя взаимно
перпендикулярными отрезками с общим центром,
- vь2 + с2
g=
2
'
где 2 J и 2с - длины отрезков;
для эллипса с полуосями а и Ь
g
"' (а + Ь)/2.
109
3) Для провода кругового сечения:
при постоянном токе и низкой частоте
О=
�::
( lп r -
•
64
А = /Jo 45;п2 r, Q
=
-¼-) ;
µ 0г2
8:nD '
(2-57)
(2-58; 2-59)
rде l и D - то же, что и в формулах (2-54) и (2-56);
при весьма высокой частоте
•
1u'2
2
1 1
.' 2 60· 2 61 ·
О= ·21- 0 r lп,; А = Pn
, ( - , - , 2 -62)
; Q = 4f лD
r
312
I
при желании учесть магнитный поток внутри провода еле-.
дует уменьшить G на внутреннюю индуктивность провода Lt ,
определяемую в соответствии с указаниями § 1-15;
при любой частоте
О = r.1"l 1 nr- Lt,
(2-63)
231
rде
и
L-' =J.:L
&t �
µl
L-' =�
8:rt
= /Jo
(2-64)
�t =I= /Jo,
(2-65)
при
при
р
� - величина, зависящая от характера распределения TOl{a
по сечению· провода и определяемая так, как указано в § 2-2.
4) Для полого провода кругового сечения:
при постоянном токе и низкой частоте
G
= �� lп (cr),
(2-66)
rде l - длина провода; r - внешний радиус ero сечения;
с -величина, значения которой даны в табл. 10-1 в зависи
мости от отношения внутреннего радиуса q I< внешнему ра
диусу r;
при весьма высокой частоте
О= µol \nг·'
при любой частоте
211
(2-67)
. (2-68)
О= µol ln1· - L1 ,
2л
rде L1 - nнутренняя индуктивность провода, определяемая
так, как указано в § 2-3.
110,
5) Дл я провода из материала с высокой магнитной nрони
u аа,�остью (µ
µ0) при постоянном токе и низкой частоте
G = Goo -Li,
»
значение G при весьма высокой частоте (см. под
где 000
пункт 2), а Li - внутренняя индуктивность провода при
постоянном токе, определяемая при различных поперечных
сечениях по следующим формулам:
для круга
-
Li
= :� ;
для эллипса с полуосями а и Ь
L-• = �
4:n:
аЬ
а2 + Ь2 '
для квадрата
µl
о ,110;
Li =:n:
для прямоугольника со сторонами Ь и с
µl
Ьс
0,221 ьz + с2 •
L; = :r!;
Пример 2-3. Медный провод прямоуrольноrо поперечного сечения
6 Х 8 мм изоrнуr по дуrе окружности радиуса R°= 20 см, причем централь
ный уrол 0,- соответствующий дуге, равен 1 20 .
Определить индуктивность провода при низкой и весьма высокой ча
стоте.
Р е ш е н и е. Для определения индуктивности применяем формулу
(2-48). Величину N вычисляем по формуле (2-5 1). При 0 = 1 20 ° из табл. 2-2
находим / = 0,8458. Следовательно,
4
0 1 0, 2
°
N= :n:-l - •
[2 ,094(iпl,6-2)+4sin60 -4-0,8458]=
2:n:
= -1, 249-10-7 Гн.
1. Определяем величины О, А и Q при низкой частоте. Для этого нахо
JЩМ среднее геометрическое, среднее арифметическое и среднее КJJадратич
ное расстояния площади поперечного сечения провода от самой себя.
Среднее геометрическое расстояние g вычисляем по формуле (10-20):
g = 0, 2 236 (0,008 + 0,006) = 3. 130· 10-3 м.
Среднее арифметическое расстоя1ше а находим по формуле (10-6 4),
ко торая дает а= 3,2 29· 10-з м.
Среднее квадратичное расстояние q определяем по формуле (10-74),
котора я дает q2 = 16,67· 10-е м2 и q = 4,083- ю-з м.
Расстояние D между крайними точками оси провода
D = 2·0, 2 cos 30° = 0,3464 м.
111
.По формулам (2-54)-(2-56) получаем
4n-ю -7· 1t·0,2 lп , 3 · -8) = -4,
;
832 -10-7 Гнi
(3 1 0 10
О=
2Л·
4
А
Q=
Ь
О_., 3,229-10-s = 6,458- 1 0-10 � 0,006-I0-7 Гн1
\�
4n- lO-?
:тt·
. 16 ' 67 . 1О-в = 2 '06·
4 1О-12 Гн .
О,3464
Приnедеi-шые расчеты показывают, что величина Q ничтожно мала и ею
можно преt1ебречь. Величина А влияет только на четвертую значащую
цифру . Поэтому при ее вычислении можно было принять а= g. Подстаn
ляя N, О и А в формулу (2-48), имеем
l. = (-1,249 + 4,832 + 0,006)· JO-? = 3,589-10� Гн.
2. Для определения индуктивности провода при весьма высокой ча•
стоте предполагаем, что ток распределен по периметру поперечного сече
ния провода рашюмерно. Кроме того, учитывая результаты расчета прн
низ:кой частоте, пренебрегаем величинами А и Q. Среднее геометрическое
расстояние периметра поперечного сечения провода от самого себя опре
деляем по табл. 10-2, которая в данном случае (Ь = 0,006 м, с= 0,008 м)
дает
glc = 0,507; g = 4,06· 10-� м.
Следовательно, lп g = -5,51 и
4 - 10- 7.231.0 2
О= - :тt
' ·5,51 = -0,838-5,51, 10-r = -4,62· 10-1 Г11 •
2n.3
. Искомая индуктивность
L = (-1,25 + 4,62)· 10-.
= 3,37, 10-1 Гн.
2-11. ВЗАИМНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ
ДВУХ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ПРОВОДОВ
J. Про_вода, расположенные по одной прямой. Взаимная
индуктивность проводов, расположенных по одной прямой,
М=
f�
t(a+ь+d)ln(a+ь+d) +
+ d ln d - (а + d) ln (а+ d) - (Ь + d) ln (Ь + d)I,
(2-6q)
где а и Ь - длины проводов; d ·-ближайшее расстояние
между ними (рис. 2-4, а); предполагается, что токи проте
кают в одном направлении.
Если d = () (рис. 2-4, 6), то
М = �; \ta
112
+ _Ь) ln (а+ Ь) - а ln а - Ь Ln bj.
(2-70)
2. Параллельные провода одинаковой длины, располо
rженны е согласно рис. 2-4, в. Взаимная индуктивность nа
раллельных проводов, расположенных согласно рис. 2-4, в,
М
= ��
(2-71)
F,
где l - длина проводов; F - величина, зависящая от отно
шения длины l к расстоянию /i между проводами; предпо
лагается, что токи протекают в одном направлении. Значе
ния F для h � l даны в табл. 2-3, а для h � l - в табл. 2-4.
а)
I·
б)
1'
6)
•l• d •/� ь ,1
а
а
l
Рис. 2-4
Точное значение М может быть найдено по формуле
(2-72)
м = � (1п 1 +V� -
»
При l
h
µ01
21
( ln h - 1
М = 2n
Если,
++).
vтry
h
1 h
+ -h- - ТI Т
+ 32
7· · ·)
наоборот,. h » l, то
2
4
l
(2-73)
_ µo l2 ( I __1_ � -1- _l_� ••• )
М - 41th
(2-74)
40 li4
•
12 h2
Если расстояние /i между осями проводов соизмеримо
с линейными размерами их поперечных сечений, то, пред
полагая, что l
h, имеем
М = N - G A - Q,
(2-75)
где
N = �: (ln 21 - 1) ,
(2-76)
»
+
а величины G, А и Q определяются по формулам:
А
µ0
G = µ0 J n
1i
?
= 2n а",; Q = 8nl0 q12 ,
(2-77)
2n gi 2;
причем при низкой частоте g12, а12, q12 - соответственно
среднее геометрическое, среднее арифметическое и среднее
l
113
Таблица 2-3. Значен.ия F в формуле (2-71) для
параллельных проводов одинаковой длины пр11 lt ,а:;; l
h/1
F
1,11
F
h/l
F
0,050
55
60
65
70
0,075
2,73�2
2,6479
2,5657
2,4905
2,4212
2,3570
2,2973
2,2415
2,1891
2,1398
2,0932
2,0492
2,0074
1,9677
1,9298
1,8937
1,8592
1,8262
1,7944
1,7639
1,7346
1,7065
1,6794
1,6532
1,6279
1,6035
1,5799
1,5571
1,5349
1,5134
1,4926
0,20
21
22
23
24
0,25
26
27
28
29
0,30
31
32
33
34
0,35
36
37
38
39
0,40
41
42
43
44
0,45
46
47
48
49
0,50
1,4926
1,4528
1,4152
1,3797
1,3460
1,3139
1,2834
1,2544
1,2267
1,2002
1,1749
1,1506
1,1273
1,1049
1,0835
1,0628
1,0429
1,0238
1,0052
0,9874
0,9702
0,9536
0,9375
0,9219
0,9068
0,8922
0,8781
0,8644
0,8511
0,8381
0,8256
0,50
52
0,8256
0,8016
0,7789
0,7574
0,7370
0,7176
0,6992
0,6817
0,6650
0,6490
0,6338
0,6193.
0,6054
0,5920
0,5792
0,5670
0,5552
0,5439
0,5330
0,5225
0,5124
0,5027
0,4934
0,4843
0,4756
0,4672
80
85
90
95
0,100
105
110
115
120
0,125
130
135
140
145
0,150
155
160
165
170
0,175.
180
185
190
195
0,200
54
56
58
0,60
62
64
66
68
0,70
72
74
76
78
0,80
82
84
86
88
0,90
92
94
96
98
1,00
1шадратичное расстояния п л о щ а д е й поперечных сече
ний проводов друг от друга, а при весьма высокой частоте
g12 , а12, q12 - соответственно среднее геометрическое, среднее
арифметическое и среднее квадратичное расстояния п е р и
м е т р о в сечений проводов друг от друга (§ 1-8). В послед
нем случае предполагается, что токи распределены по пери
метрам поперечных сечений проводов равномерно.
Если разностью А - Q можно пренебречь, то
М= µol
2:rt
(ln�gl2
t).
(2-78)
3. Параллельные провода в общем случае. Определение
взаимной индуктивности параллельных проводов в общем
114
а)
Г
а
б)
р
г
1
ъ
Ъ
a+d
1h
d ·
1
___ t__ _ ..J
ъ
а-Ъ
-----,
lh
а
г)
Ъ
г-----------г---,
1
а
1
а
1h
----'
Рис. 2-5
случае (рис. 2-5, а) может быть сведено 1< определению
взаимных индуктивностей нескольких пар проводов, рас
положенных согласно рис. 2-4, а именно:
2М = Ма - Мв - M v -t М6,
(2-79)
где Ма. , М13 , M v , М 6 находятся по формулам и таблицам
предыдущего пункта при l, равном соответственно а = а +
Таблица 2-4. Значения F в формуле (2-71) для
параллельных проводов одинаковой длины при Ji � l
1/h
---1,00
0,98
96
94
92
0,90
88
86
84
82
0,80
78
76
74
72
0,70
68
66
64
62
0,60
58
56
54
52
0,50
р
t/h
р
0,4672
4588
4505
4421
4336
0,4251
4166
4080
3993
3906
0,3819
3731
3643
3554
3464
0,3374
3284
3193
3102
3011
О,2918
2826
2733
2640
2546
0,2451
0,50
48
46
0,2451
2357
2262
2166
2071
0,1975
1878
1781
1684
1587
0,1489
1391
1293
1194
1096
0,0997
0898
0798
0699
0599
0,0500
0400
0300
0200
0100
0,0000
44
42
0,40
38
36
34
32
0,30
28
26
24
22
0,20
18
16
14
12
0,10
08
06
04
02
0,00
115
+ d + Ь; В = а + d; 1' = Ь + d; б = d; предnолаrаетсяt
ч·,·о токи протекают в одном направлении.
В частности, для расположения проводов по рис. 2-5, б
(2-80)
2М = Мь+,, + Мь+·, - М Р - Мц;
дJlЯ расположения по рис. 2-5, в и г соответственно
(2-81)
2М = М и + Мь- М а_ь;
(2-82)
В общем случае для точного определения М можно поль
зоваться также формулой
М = �� [а ln (а+
·v a + li
2
2
) - �
ln (р + 1/�2 + fit) -
+
- у ln (у+ 1/ у�+ /i2) + б ln ( б + уlP + /i?) - ·1/ а2 + li2
+ у' �2 + h2 + 1/ yz + /i2 - у' б2 --\- h1],
(2-83)
где а, р, у, б и li - то же, что и в формуле (2-79).
Пример 2-4. Прямолинейный провод .миной а= 30 см и прямолиней
ный провод длиной Ь = 10 см расположены параллельно друг другу на
расстоянии h = 4 см так, как поюшано на рис. 2-5, 6, причем р = 15 см
и q = 5 см. Определить взаимную индуктивность проводов.
Решени е .
1. Применяем формулу (2--80), определяя каждЫй из ее членuв по
формуле (2-71); значения F берем из табл. 2-3. При этом получаем
hl(b + р) = 4/25 = 0,016; Fь+р = 1,679;
hl(b
q) = 4115 = 0,2667; Fь+q = 1,274;
hlp = 4/15 = 0,2667; FР = 1,274;
hlq = 4/5 = 0,8; Fq = 0,5670;
7
·О,25,1,679=8,395-10-з Гн;
Мь+р = 411-102:rt
+
Мь+СJ = ?-О,15-1,274-10-7 = 3,822· I0-8 Гн;
М=
+
М р = 2-0,15-1,274-10-J = 3,822, 10-в Гн;
М 9 = 2,О,05·0,5670-10-7. = 0,5670· 10-� Гн;
(8,395 + 3,822- З,t22-О,567)-10-е = 3,914·10- з
rн.
2. Применяем формулу (2-83). В данном случае:
а = 0,25 м;
Vа.2 + h2 = О,2530м;
1n (а + Vа2 + h2 ) = -0,6872i
�=0,15м;
Jfp2 +h2
ln
=0,1552м;
(f)+ V�2 +h2 )=-1,187;
\' = -0,05 м; V у2 + h2 = О,06403 м; ln (i; + Jfri + h2 ) = -4,267:
116
6= -0,15 м;
Vo2 + h2 = 0,1552 м;
lп (О+ Vo2
+ Ш·) = -5,251;
-0,25-0,6tl72 = -0,1718; 0,15-1,187 = 0,1781;
-О,05·4,267 = -0,2134; 0,15-5,251 = 0,7877;
7
4
1\1 = л��о- (-О,1718 + 0,1781 - 0,2134 + 0,7877-0,2530 +
+
0,1552 + 0,06403 - О, 1!'-52) = 3,918, 10-в Гн.
Этот результат близок к найденному по формуле (2-80).
4. Прямолинейные провода, сходящиеся в одной 'ЮLЖе.
Взаимная индуктивность прямолинейных проводов, сходя
щихся в одной точ1се,
= �1ua F '
(2-84)
М
4,т
где F - величина, значения которой
а
даны в табл. 2-5 в зависимости от
cos <р и отношения Ь!а, причем <р Рис. 2-6
угол между проводами, а и Ь длины проводов (рис. 2-6); предполагается, что токи наnрав
левы от общей точки.
При малых углах· <р интерполирование по табл. 2-5 не
точно, так каr< значения F, отвечающие соседним значеюшм ер, сильно отличаются друг от друга.
Для точного определения М может служить формула
+ ьЬ + с ) =
а+ Ь + с
0
Ь ln а +
М = -µ4 ,т cos q:, ( а ln с + а- ь
-а
с
+
= �� cos q:, ( а Arth а�
с
приче�
cos q:, =
+ Ь Arth
ь: ) ,
с
(2-85)
а2 +ь2-с2
; с2 = а2 + ь2 - 2ah cos <r. ( 2-86)
2аь
В частности, при а = Ь = l
1 • ,
+ �) = � cos (р Агt\1 1 1
c
. (j>
причем cos q:, = 1 -w; с= 2lыnт,
М = Р2?.,т1 cos <р lп ( 1
10 1
С
11
-• С
(2-87)
t
-5. I-lеnара.ллельные провода в од11ой шюскос1·и. Взаим
ная индуктивность ненараллельных 11роводов, -лежэ.щих
В ОДНОЙ ПЛОСКОСТII,
М = М (,½, У2)
+ М (Х1, У1)
- М (Х1, У2) - М (Х2, У1), (2-88)
117
Таблица 2-5. Значе11ия F в формуле (2-84) для проводов, сходящихся в одной точке
cosq,I
0,95
90
85
0,80
0,75
70
65
60
0,55
0,5
4
3
2
0,1
0,0_
-0,)
2
3
0,4
-0,5
6
7
8
0,9
-1,О
Ь/а= 1
0,9
o.s
3,7830
3,0594
2,6132
2,2816
3,5786
2,8958
3,3406
2,7095
2,3178
2,0256
1,7889
1,5876
2,4744
J,2474
2,1609
1,9071
·1,6922
1,5038
1,3352
1,1820
1,0986
0,8310
0,5938
0,3793
0,1825
0,7876
0,5628
0,3595
0,1730
2,0137
1,7863
1,5872
1,4092
о
1,0411
о
1,4113
1,2534
1, 1098
0,9776
0,7398
0,5288
0,3378
0,1626
о
-0,1707
-0,3316
-0,1618
-0,3144
-0,1522
-0,2956
-0,6290
-0,7677
-0,9006
-1,0284
-0,5963
-0,7278
-0,8538
-0,9750
-0,0919
-0,5608
-0,6845
-0,8031
-0,9172
-1,0272
-1,1335
-1,2366
-0,4840
-1,1517
-1,2709
-I,3862
-0,4588
-1,2048
-1,3143
-0,4314
0,6
0,7
3,0683
2,4980
2, 1411
1,8735
1,6562
I,4710
1,3083
1,1625
1,0297
0,9074
0,6870
0,4913
0,3140
0,1512
о
-0,1416
-0,2750
-0,4015
-0,5220
-0,6372
-0.7476
-0,8540
-0,9563
-0,0557
-1,1517
2,7622
2,2597
1,9422
1,7028
1,5073
1,3402
1,1931
1,0609
0,9404
0,8291
0,6283
0,4496
0,2876
0,1385
о
0,5
2,4221
1,9930
1,7189
1,5108
1,3399
1,1932
1,0636
0,9468
0,8400
0,7412
0,5625
0,4030
0,2580
0,1244
о
0,4
2,0473
1,6957
1,4690
1,2950
1,1513
1,0272
0,9172
0,8177
0,7264
0,6417
0,4880
0,3501
0,2244
0,1083
о
0,3
1,6348
1,3643
1,1877
1,0512
0,9374
0,8386
0,7504
0,6703
0,5964
0,5277
0,4024
0,2893
0,1856
0,0898
о
-0,1298 -0,1167 --0,1018 -0,0847
-0,2523 -0,2269 -0,1982 -0,1650
-0,3684 -0,3315 -0,2898 -0,2416
-0.-4791 -0,4314 -----{),3772 -0,3148
-0,5850 -0,5268 -0,4611 -0,3852
-0,f,865 -'J,6186 -0,5416 -0,4528
-0,784'1 -0,7070 -0,6194 -0,5182
-0,8788 -0,7922 -0,6944 -0,5814
-0,9701 -0,8748 -0,7671 -0,6428
-1,0585 -0,9548 -0,8376 -0,7029
0,2
0,1
1,1776
0,9918
0,8688
0,7727
0,6917
0,6209
0,5572
0,4991
0,4452
0,3947
0,3020
0,2179
0,1404
0,0680
0,6598
0,5630
0,4973
0,4452
0,4008
0,3615
0,3258
0,2929
0,2622
0,2332
0,1794
0,1301
0,0842
0,0410
-0,0644
-0,1257
-0,1844
-0,2406
-0,2948
-0,3470
-0,3976
.-0,4467
-0,4943
-0,5406
-0,0391
-0,0765
-0,1125
-0.1472
-0,1808
-0,2134
-0,2450
-0,2758
-0,3058
-0,3351
о
о
где М (х2 , у2) - взаимная индук тивность прямолинейных
проводов д линой х2 и у2, сходя щихся в одной то чl<е; М (х1,
у1) - то же для проводов длиной х1 и у 1 и т. д. , причем х1,
х2, у1 , у2 - расс тояния, показанные на. рис. 2-7. Во всех
случаях угол между проводами предполагается равным
угл у ер между зад анными провода ми а и Ь. Взаимные индук
тивно сти М (Х2, У2), М (Х1, У1), М (Х1, У2), М (Х2, У1) МОГУТ
быт ь на йдены с п омощью табл. 2-5 т ак, ка l< указано в пре
дыдущем пункте.
Для точного определения взаимной индуктивнос ти М может служить
формула
М=
�to cos (р (x2Arth
+ У2 Artl1 D22 �D12 �
2Л
D 22 D21
Ь
-y1Arth
-x1Arth
а
(2-89)
,
D 11 + DJ.2
· D11 + D21 )
rде Dii, D12, D 21, D 20 - рассrояния, показанные на рис. 2-7, причем
D1 1 = Xf + УТ - 2Х1У 1 cos (j); Dт2 = xr + У1- 2Х1!12 cos (j);
} (-?--(JО)
• ')
2
D21
= Х2• + Yf• - 2 Х2У1 cos q:,; D"22 = Х22 + Y'i-Х2У2 cos (j).
Если заданы длины проводов а и Ь и расстояния D11, D 12, D 21, D22
между их концами, то кос инус угла q, и расстояния х1, х2, у1, у2 могут
быть найдены по формулам:
k2 •
Dr2 + D� 1 - D11 - Щ2
cos (j)
(2-91)
2аЬ
= 2аЬ '
Х1
=
2Ь2 (D� 1 - Df 1 - а�) + k2 (D r2 - Df1 - Ь 2 )
а;
4а2ь2 - k�
(2-92)
(2-93)
У2 = У1 + Ь.
Пример 2-5. Прямолинейный провод длиной = 120 см и прямо
а так, 1{ак показано
линейный провод длиной Ь = 200 см расположены
на рис. 2-7, причем х1 = 80 см,
у1 = 40 см, cos q> = 0,7. Определить
взаимную индуктивt1ость прово
дов.
Реше н11е.
1. Лриме1mеJ,1 формулу (2-88),
определяя отдельные ее члены по
формуле (2-84) и табл. 2-5. Ввиду
'fОГо •1то линейное интерполирова
ние по табл. 2-5 дает по грешность
в несколько единиц четвертого зна
ка, применяем I{Вадратичное интерполирование
(см.
приложение 2).
Рис, 2-7
119
+
В данном СJ1учш• х2= х1
а= 200 см; у 2= У1
-"'2!IJ2 = 0, 83 3 3; F (Х2 , У2) = 1,624;
t11 IX 1 = 0.5000; F (Х1, У1) = 1.193;
X 1 IY2
= 0.3333;
1.J 1IX 2 = 0,2000;
+ Ь = 240
см;
F (Х1, У2) = 0.9040;
F (Х2 , !11) = 0,6209;
4
л· �-, -2,4-1,624=3,898-10-7 Гн;
4
М(Х 1, !J 1 )= 10-,.о.�-1.19 3=0,954-10-7 Гн;
7
7
М (х 1, у2) = 10- ·2,4-0,9040 = 2,170- 10- Гн;
(Х2 , !!1 )= 10-7,2,0-0,6209= 1,242·10-7 Г11;
О,954-2,170-1,242)-10-1 = 1,440-10-7 Гн.
М = (3,898
М(х2 , у2 )=
м
+
2. Применяем формулу (2-89). Подстаnлшr значешт х1 , Х2, У1, у 2
D форм улы для D11 , Dt1 , D12, D22, находим
0,5933 м; D12
1,927 м;
D 11
=
=
D2 1 = 1,744 м; D22 = 1,744 м;
Arlh
Arlh
A1·tl1
Artl1
= 1,305G;
D22 --1� Dti
= 0,6528;
2,0-0,6528
D22 + D12
= 0,3394;
2,4·0,3394= 0,8146;
= 1,0812;
= О,5675;
= -О,8650;
-0,4-0,5675 = -0,2270
а
ь
Da +D12
а
Dн +D2 1
-0,8-1,0812
1,02�2 м.
Искомая
взаимная ющуктивность
4n-10- 7
-0,7-1,0282=1,439-l0-1r11.
М=
21(
Этот результат совпадает с найденным по формуле (2-88).
Пример 2-6. Прямолинейный провод длиной а = 12 см и прямоли
нейный провод миной Ь = 20 см расположены так, как показано на
рис. 2-7, причем Di1
5 см, D12 = 21,93 см, D21
15,52 см, D 22
20,22 см. Определить взаимну10 индуктивность проводов.
Реше н н е. Определяем по формулам (2-91), (2-92) и (2-93) cos (j),
Х1 И IJ1:
15,52 2 - 52 - 20,2�= 288 -ем2;
k2= 21,932
=
=
=
=
+
288
= 0,6;
2-12,20
2
D� I - DV1 -а
72 см�; Df2 -D r1 4сrЬ2 - k4
14,75· 104 см··;
cos !/J
=
120_,
+
=
=
Х1
=
2-400-72
288,56
-12
14,75_ 10 4
Yi
=
2-144-56
28Ь-72
_20
14,75-104
+
ь� = 56 см ;
2
= 6 см;
х2 = 11' см;
= 5 см;
У2
=
25 см.
ДЗJJе е 11меем
Аг1h
Artl1 ·
Ar\11
Arth
ь
= 0,6329;
18-0,6-329
!)2?. :- D12
= О,2930;
25,О,2930
f-
= 0,9562;
-6·0,9562
022
D11
D11
+ D 21
ь
-
а
+
D12
Dн
= 0,G697;
= 11,39;
=
,325;
= -5,737;
-5·0,6697 = -3,349
9,629 см.
Искомая взаимная шщу1\тишюс1ъ
4 :rr . 10- 7
М=
·0,fi·0,09fi29 = 1,155- 10-� Гr1.
2л
6. Провода одинаковой длины, перпендикулярные пря
Взаимнап инду1пивность
проводов одинаковой длш1ы, перпендикулярных прямоt,,
проходящей через их ко1щы,
мой, проходящей через их концы.
(2-94-)
где
F
li
+ 2Г
= cos
q;
sio_ rp
ч; [
+
2 Arth
li
l sin <р
-v
arctg
h 2
- -- --.- arctg
1
SIП (j)
1
4l�sin3 (�
(21
+
+ ht + v 2 + h2
�
-V
4/ 2 sin 2 �
('+v12 +1i2
h
+ 112
11
+
1.g 2
q; )
rr)]·,
tg 2
l - длина проводов; (р - угол между ними; /i - расстояние
между ближайшими концам11 проводов (рис. 2-8).
Значения F для различных значений отношения li/l
и различных углов ер даны в табл. 2-6 для случая li <. l
и в табл. 2-7 для случая li;,;. l.
7. Два nрямолин�йиых nровода в общем rлучае. Всегда
можно провести две параллельные nлос1<0сти та!{, чтобы
в каждой из них лежал один из данных проводов (рис. 2-9).
Если rp - угол между проводами (О <. ер ..,;: :rt), х и у - коор
динаты, отсчитываемые от общего перпендикуJ1яра 0102
121
к проводам в направлении протекающих по ним токов,
х1, х2, у1, Yz - координаты начал и концов проводов, D11,
D 12 , D21, D22 - расстояния между началами и концами
проводов, то
м=
0
2µл cos
"1 A
- "'
rth
D11
<r(X:!
ь
A rth
+ D12
-
D �D
�
�
Yi Аrth
D11
+ Y2 Arth Dп :пu
а
+ sinh q; А) '
+
D21
(2-95)
h
l
Рис. 2-9
Рис. 2-8
где
А= arctg(
+ arctg (
- arctg(
причем
- arctg (
Х1
+ !l1 + D11
Х2
+ !12 + D22
Х1
Х
h
tg �) +
11
tg
11
tg � )-
+ У2 -f- D12
2
+ Yt + D21
+) -
tg �)'
Df1 = xf + yf - 2х1у1 cos <р + li2;
D�2 = xf
D�1 = х�
+ у� - 2х1У2 cos <р + h2;
+ yi - 2х2у cos <р + h ;
D� = х� + у � - 2х2у2 cos <р + /i •
2
1
2
2
(2-96)
)
1
1
j
(2-97)
При вычислении арктангенсов углы сJiедует брать в пре
делах от нуля до л/2, если выражение в круглых скобках
в (2-96) положительно, и от нул я до -n/2, если это вы ра ·
жение отрицательно.
i22
Таблица 2-б. Значения Р в формуле (2-94) w•я проводов, изображенных на рис. 2-8, при h � 1li/l
0,05
0,10
·0.15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
О,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
Q)=
<
о
2,7382
2,0932
1,7346
L,4926
1,3139
1,1749
1,0628
0,9702
0,8922
О,8256
0,7573
0,7176
0,6733
0,6338
0,5987
0,5670
0,5385
0,5124
0,4889
0,4672
10°
20°
30°
40°
50°
60 °
70°
80°
2, 1078
1,8100
1,5769
1,3927
1,2448
1,1238
1,0231
0,9382
0,8657
0,8030
0,7484
0,7004
0,6578
0,6199
0,5860
0,5554
0,5277
0,5025
0,47�5
0,4584
1,6149
1,4560
1,3174
1,1972
1,0929
1,0025
0,9238
0,8550
0,7946
о, 7414
0,6941
0,6520
0,6143
0,5804
0,5497
0,5220
0,4967
0,4736
0,4523
0,4330
1,2614
1,1625
1,0729
0,9920
0,9193
0,8540
0,7955
0,7429
0,6957
0,6531
0,6148
0,5801
0,5487
0,5201
·о,4941
0,4702
0,4484
0,4284
0,4099
0,3929
0,9770
0,9119
0,8517
0,7963
0,7455
0,6990
0,6564
0,6175
0,5820
0,5496
0,5199
0,4927
0,4678
0,4450
0,4240
0,4046
0,3868
0,3702
0,3549
0,3407
0,7341
0,6908
0,6504
0,6128
0,5779
0,5455
0,5155
0,4877
0,4621
0,4384
0,4165
0,3963
0,3776
О,3603
0,3443
0,3294
0,3156
0,3027
0,2908
0,2796
0,5199
0,4922
0,4661
0,4416
0,4186
0,3971
0,3771
0,3584
0,3410
0,3248
0,3097
0,2957
0,2826
0,2704
0,2590
0,2484
0.2385
0,2292
0,2206
0,2125
0,3282
0,3120
0,2967
0,2823
0,2687
0,2560
0,2440
0,2327
0,2221
0,2123
0,2030
0,1943
0,1862
0,1786
0,1715
0,1648
0,1585
0,1526
0,1471
0,1419
0,1554
0,148.З
0,1415
0,1351
0,1290
0,1232
0,1178
0,1127
0,1079
0,1033
0,099)
0,0951
0,0913
0,0877
0,0844
0,0813
0,0783
0,0755
0,0729
0,0704
90°
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Продол.жен.ие табл.. 2-6
Ф= 90°
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
·1,00
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
1
100°
нос
120•
1зо·
140°
1so0
160°
170°
-0,1390
-0,1333
-0,1278
-0,1225
-0,1175
-0,1128
-0,1083
-0,1040
-0,1000
-0,0962
-0,0925
-0,0891
-0,0859
-0,0828
-0,0799
-0,0771
-0,0745
-0,0720
-0,0697
-0,0675
-0,2620
-0,2516
-0,2416
-0,2321
-0,2230
-0,2144
-0,2061
-0,1983
-0,1909
-0,1838
-0,1772
-0,1708
-0,1648
-0,1591
-0,1537
-0,1486
-0,1437
-0,1391
-0,1347
-0,1305
-0,3690
-0,3548
-0,3412
-0,3282
-0,3158
-0,3039
-0,2927
--(),2819
--(),2717
-0,2620
-0,2527
-0,2439
-0,2356
-0,2277
-0,2201
-0,2130
-0,2062
-0,1997
-0,1936
-0,1877
-0,4599
-0,4428
-0,42&'1
-0,4104
-0,3953
-0,3809
-0,3671
-0,3540
-0,34J5
-0,3296
-0,3182
-0,3074
-0,2972
-0,2874
-0,2781
-0,2693
-0,2609
-0,2529
-0,2452
-0,2380
-0,5348
-0,5152
-0,4964
-0,4784
-0,4611
-0,4447
-0,4289
-0,4139
-0,3996
-0,3859
-0,3729
-0,3605
-0,3487
-0,3374
-0,3267
-0,3165
-0,3068
-0,2976
-0,2888
-0,2803
-0,5932
-0,5718
-0,5513
-0,5316
-0,5128
-0,4947
-0,4775
-0,4611
-0,4453
-0,4304
-0,4161
-0,4024
-0,3895
-0,3771
-0,3б53
-0,3540
-0,3433
-0,3331
-0,3234
-0,3141
-0, 6.'350
-0,6124
-0,5 907
-0, 5699
-0,5499
-0, 5308
-0,5 125
-0,4 951
-0,4784
-0,4 625
-0,4473
-0,4328
-0,4190
-0, 4058
-0,3932
-0,3812
-0,3698
-0,3589
-0, 3485
-0,3386
-0,6602
-0,6369
-0,6144
-0,5929
-0,5723
-0,5525
-0,5336
-0,5156
-0,4983
-0,4818
-0,4661
-0,4511
-0,4368
-0,4232
-0,4101
-О,3977
-0,3859
-0,3746
-0,3638
--0,3535
1
180°
-0,6686
-0,6450
-0,6224
-0,6006
-0,5798
-0,5598
-0,5407
-0,5224
-0,5050
-0,4883
-0,4724
-0,4573
-0,4428
-0,4290
-0,4158
-0,4032
-0,3912
-0,3798
-0,3689
-0,3585
Табл�ща 2-7. ЗпачепЮ! F в формуле (2-94) длg проводов, изображенных на ряс. 2-8, при h;;.,,, l
hfl
Ф= ос
1,0
1,2
0,4672
0,3964
0,3439
0,3033
0,2712
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3.4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8.
5,0
0,2451
0,2236
0,2055
0,1901
0,1768
0,1652
0,1552
0,1460
0,1380
0,1308
О, 1244
0,1185
0,1131
0,1083
0,1038
0,0997
1
о•
0,4584
0,3894
0.3380
0,2983
0,2668
0,2412
0,2200
0,2022
0,1870
О,174{)
0,1626
0,1526
0,1438
0,1359
0,1288
0.1224
0.1167
О, 1114
0,1066
0,1022
0,0981
<
20
0,4330
0,3689
0,3208
0,2834
0,2537
0,2295
0,2095
0,1926
0,1782
0,1658
0,1550
0,1455
0,1370
0,1295
0,1228
0,1168
0,1113
0,1062
0,1017
0,0975
0,0936
зо•
0,3929
0,3361
0.2931
0,2595
0,2326
0,2106
0,1923
0,1769
0,1638
0,1524
0,1425
О, 1338
0,1261
о, 1192
'0,1130
0,1075
0,1024
0,0978
0,0936
0.0898
0,0862
40
50'
6()'
70{,.
so•
0.3407
0.2930
0,2564
0,2275
0,2043
0,1852
0,1693
0,1559
0,2796
0,2418
0,2123
0,1889
0,1700
0,1543
0,14]2
0,1301
0,1206
0,1124
0,1052
0,0988
0,0932
0,0881
0,0836
0,0795
0,0758
0,0724
0,0693
0,0665
0,0638
0,2125
0,1847
0,1628
0,1453
о. 1310
0,1191
0,)()91
о,1007
0,0934
0,0870
0,0815
0,0766
0,0723
0,0684
0,0649
0,0617
0,0588
0,0562
0,0538
0.0516
0,0496
0,1419
0,1240
О, 1()97
0,0982
0.0887
0,0808
0,0741
0,0684
0,0&35
0,0593
0,0555
0,0522
0,0493
0,0466
0,0443
0,0421
0,0402
0,0384
0,0368
0,0353
0,0339
0.()7()4
0.0618
0.0549
0,0492
0,0446
0.0407
С.0374
0,0345
0,0321
0,0299
0,0281
0,0264
0,0249
0,0236
0,0224
0,0213
0,0203
0,0194
0,0186
0,0179
0,0172
°
0,1444
0,1344
0,1257
0,1181
0,1113
0,1053
0,0998
0,0949
0,0905
0,0864
0. 0827
0,0793
0,0762
90'
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
·о
о
о
о
о
о
о
о
о
Продолжети. табл. 2-7
11((
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
1
ф= 90
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
°
j
]00°
110
-0,0675
-0,0597
-0,0533
-0,0481
-0,0437
-0,0400
-О,0368
----0,1305
-0,1158
-0,1037
-0,0937
·-0,0853
-0,0781
-0,0720
-0,0668
-0,0622
-0,0581
-0,0546
-0,0514
-0,0486
-0,0341
-0,0317
----0,0297
-0,0278
-0,0262
-0,0248
-0,0235
-0,0223
-0,0212
-0,0202
-0,0194
-0,0185
-0,0]78
-0,0171
°
-0,0460
---0,0438
-0,0417
-0,0398
-0,0381
�О,0365
-0,0350
-0,0336
1
120 °
-0,1877
-0,1670
-0,1499
-0,1356
-0,1236
-0,1134
-0,1046
-0,0971
-0,0904
-0,0846
-0,0795
-0,0749
-0,0706
-0,0672
-0,0638
-0,0606
-0,0581
-0,0555
-0,0532
----0,0511
-0,0491
1
130°
-:-0,2380
-0,2122
-0,1908
-0,1729
--0,1578
-0, 1449
-0,1338
-0,1242
-0,1158
-0,1084
-0,1019
-0,0960
-0,0908
-0,0861
---0,0819
-0,0780
-0,0745
---0,0713
-0,0683
-0,0656
-0,0631
1
140'
150°
160°
170°
IS()"
-0,2803
-0,2504
----0,2255
-0,2046
-0,1869
-0.1717
-0,1587
-0,1474
-0,1375
-0,1288
-0,121-1
-0,1142
-0,1080
---0,1024
-0,0974
-0,0928
-0,0886
-0,0848
-0,08]3
-0.0781
-0,0751
-0,3141
-0,2809
-0,2533
-0,2300
-0,2102
-0,1933
-0,1788
---0,)661
-0,1550
--О,1452
-О,1365
---0,1288
-0,12]9
-0,1156
-0,1099
-0,1048
-0,1001
-0,0958
-0,0918
-0,0882
-0,0848
-0,3386
-0,3031
----0,2735
-0,2485
-0,2273
-0,2091
-0,1935
-0,1798
-0,1678
-0,1573
-0,1479
-0,1396
-0,1321
-0,1253
-0,1192
-0,1136
-0,1085
-0,1038
-0,0996
-0,0956
-0,0919
----0,3535
-0,3166
--0,2858
-0,2598
-0,2377
-{),2188
-0,2024
-0,1882
-0,1757
-0,1647
-0,1549
-0,1461
-О,1383
-0,1312
-0,1248
-0,1190
-0,1136
-0,1088
-0, 1043
-0.1001
--0,0963
-О.3585
-0,3212
-0,2900
-0,2636
-0,2412
-0,222 0
-0.2054
-0,1910
-0,1783
-0,1671
-0,1572
-0,1483
-0,]404
-0,1332
-0,1267
-0,1208
-0,1154
-0,1104
-0,1059
-0,1019
-0,0978
Если рассматриваемые провода отнесены к декартовой
системе коор динат х, у, z и их концы имеют в этой системе
координаты (xi, Yi, zi), (х2, У2, z2) и (x'i, y'i, z1) и (х2, У2, z2),
то расстояния D11 , D 21 , D 12, D 22 определяются формулами
вида
D11 =
_ r(Х1,, - Х1')2
V
+ (у'1 - У1')2 Т, ( Z1.. - Z1')2•
В тех случаях, когда заданы длины проводов а и Ь и расстояния Dif,
Diz, D 21, D22 между их концами , дл я опр еделения М с ледует в ычис лить
о/rол (j) и расстояния
- h, х1 , х2, у1, у2• Эти величины можно определит ь no
формулам:
- Dit - Щ2
·- =
cos (j) = Dr., + Щt '2(2-98)
2аЬ ;
аЬ
(2-99)
(2-100)
YJ
=
+ k� (D1 1 - D'f 1 - а2) Ь;
а2ь2
- k4
4
а2 (D{ 2 - о;, -Ь'')
(2-101)
(2;102)
Пр:m;ор 2-7. Два одинаковых прямолинейных провода длиной а=
см каждый лежат в nаралле.�ьных плоскостях, отстоящих друг от
друга на расстояние h = 40 см, и расположены та1<, что обший перпендн
куляр к плоскостям проходит через начала обоих проводов. Угол между
проводами равен л/З. Определить взаимную индуктивность проводов.
Р е ш е н п е. Применяем формулу (2-95) В данном случае (рис. 2-9)
= 20
(j)
= 0,5774;
а= Ь = 0,2 м; х1 = у1 = О; Х2 = У2 = 0,2 м; cos (j) = 0,5; tg 2
D11 = /i = 0,4 м; Dt2 = 0,2 2 + 0,4 2 = 0,20 м2 ; D22 = 0,4472 м;
D21 """D12 = 0,4472 м; D;/2 = 0,2' + 0, 22 -0,2 2 ·2·0,5 + 0,4 = 0,2 м2;
D22 = 0,4472 м;
Artl1
А
=
ь
а
= Arth 0,2236 = 0,2275;
= Arth D +
D22 + D21
2� D12
arctg 0 ,5774 + arctg 1,223 - 2 arctg 0,9343 = - 0,0938;
-.h_ А= ;� -0,0938 = 0,0433.
sш (j)
' О
Искомая взаимная индуктивность
7
4
М = n�o- ·О,5 (2·0,2-О,2275-0,0433)
= 0,0477 · 10-z = 4,77- 10-s Гн.
127
2-12. ВЗАИМНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ
НЕКОТОРЫХ КРИВОJIИНЕЙНЫХ И ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ
ПРОВОДОВ
1. Дна провода. изогнутых по дугам одной окружности (р11с. 2-10)
Взаимная индуктивность двух проводов, изогнутых по дугам одной ок
ружности,
µoR
. 01 + 02 + Оз + SIЛ
.
м=�
( Slll
2
02 - S\П
. 81 + 82 2
2
(2-103)
l2a оnреде.11яются по табл. 2-2 при 0, равном
03.
01
02, 02
2. Два провода, изогнутых по
дугам окружностей и расположенных
согласно рис. 2-11. Взаимная индук1 ивность двух проводов, изогнутых
по дугам окружностей, лежащнх во
взаимно перпендикулярных nлос1ю
стях так, что центр одной окружности
лежит в плос1юсти, в которой распо
ложена другая окружность,
Рис. 2-10
(F11 +F22 -F12 -F21), (2-104)
М=
2
2
где при (!Ь
а
Dpq
2Dpq,
(2-105)
Fpq = 2 V с2 - а2 - Ь 2 arctg -:-;�===;:::
- ь2
V ct-a2 =�
а при с2 <i а2
Ь2
+
+
>
+
+
Fpq =
причем
D�q = а2
f�
Vа2 + Ь2 - с2
V а2 + ь2 - с2 + Dpq
ln -:-;:�===;::;:::=;::-��
V а2 + ь2 - с2 - D
+ Ь + с + 2с (acosa
2
2
2D pq•
(2- 106)
-Ь cos fj q) - 2аЬ cosa11 cos B,r
(2-107)
pq
11
Здесь с - расстояние между центрами Оiфужностей; а и Ь - их радиусы.
Токи предполагаются направленными в сторону возрастания углов а и �
Частные случаи:
при с2 = а2 + Ь2
= -2 v2 V с2 + с (a.cos а р - ь cos f:Sч) - аЬ cos а" cos /3q; (2-108)
при с = О (центры окружностей совпадают)
V а2 + Ь2 + V а2 + Ь2 - 2аЬ cos ар cos �q
FPQ = V а2 + Ь .2 ln -:--;с::;;:"?. :::::::::;=.:::,....-'-"7;:::;;:===;=.::=;;=====-:f=V а + ffl, - V а2 + 1;2 ?.аЬ cus а" cos /:lq
Fpq
(2- 109)
128
х
у
при с= О;
Fpq =
V2 aln
при с =
а=Ь
1 + V1 -COSCl.pCOS/1q
1 - У 1 - COSCl.pCOS /3!/
О; а
= Ь;
V2
м = -2
- µоа
л
[
а.1
= f11 = О;
1п
1
а2 = �2 = 1'
+ 1 sin V I
1 cos 1' 1
1 + 1r2.sin �- ]n -----1 - Vl sin _у_
2
(2-110)
- I sш
. '\' I -
у]
+ 2 v2_ sin 2
(2-111)
3. Провод, 11зогнутый по дуге оиружности, и nрямолинеi!ный провод,
лежащий в одной плоскости с нормалью, проведенной из центра 01,р:�,·жно
сти 11 ее плос1юсти (рис. 2-12). Взаимная индуктивность провода, изогну
того по дуге окружности, и прямолинейного провода, лежащего в одной
Рис. 2-12
5 1<.а11антаров П. л., Цеi-,т11ин JJ. А.
129
ПЛОС!{ОСТИ с нормалью, проведенной из центра окружности к ее плос
кости,
(2-112)
где
Fpq =
V а2 sin2 QJ + с2 cos2 с:р
sinc:p
ln[xp (acosa?sin2 rp+ccos2 (J) )+
-1- а (а - с cosaq)si_n rp + D pq Vа2 sin2 QJ + с2 cos2 q>] а cos aq sin 2 QJ + с cos2 ер
ln [х р + (а cos aq -с) sш rp
.
SIO rp
+ D pq} -D pq;
oiq = х� +а�+ c2 -2cxP sin rp +2а (хр sln ep-c)cosa ;
q
(2-113)
(2- 114)
а - радиус О!{ружности; с = ОА. Токи предполагаются направленными
в сторону возрастания координат х и а.
Частные слvчаи:
при с= О (прямолинейный провод проходит через центр окружности
F pq = а ln (Хр sin QJ cosaq + а + p pq)- а sin QJ cosа 9 ln (Х р + а si п с:р cosaq + D pq )- D pq; (2-115)
2
(2-116)
D� = х� + � + 2ахР sin с:р cos aq;
q
при с= О; с:р = зт./2 (провода в одной плоскости, рис. 2-13)
F pq =а ln (хр cosa q + а+ Dм)-а cosa q ln (х р + а cos aq + D pq)- D pq;
D iq = х2 + а2 + �ахР cosaq ,
nри с= О; (j) = '!"',/2; х1 = О; х2 = а; а.1 = :rt; а 2 = :rt
линейный провод совпадает с радиусом окружности)
М
= ��
[sin 2 р ln sln Р + cos2 р ln(\
(2-117)
+ 2Р
+ slп B)-sin PJ;
(2-118)
(прямо
(2-119)
при с= а (прямолинейный провод пересекает окружность)
Fpq = si: ln[xp(cosa.9 sin·•c:p +cos2 rp)+ а (1 -соsач) sin с:р + D pq 1rp
cosа ч sin2 QJ + cos2 rp
-а
Х
siпep
Х ln [ х р + a(cosa9- l)sin rp +
+ DJJQ]- Dpq ; (2-120)
х
D19 = х1 2а (cosa.,9 -1) Х
Х (xsin rp-a); (2-121)
ОВ = h =F О
при ер = 11/2;
Рис.,2-13
(прямолинейный провод. парал·
+
120
елеи плоскости, в 1<оторой ле�кит криволинейный, рис. 2-14)
- •rа2 + 1, 2 ln (i:z2 + h2 +
Fpq1'
2
2
+аур cosetq Dpq V а + 11 )
- acoSetq ln (Ур + acosaq +
+
с
п
Bo--------Yt
Уг У
---------/
+ Dpq) - Dpq; (2-122)
2
2
D =У2 +а +112+
pq
р
+ 2ауР + cos aq,
причем У1
= ВС;
(2-123)
У2 = BD.
Рис. 2-14
2-13. ВЗАИМНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ПРОВОДОВ
В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
Если один или оба провода являются криволинейными,
то, как правило, взаимная индуктивность проводов не
вы
ражается в конечном виде через величины, определяющие
их форму, размеры и взаимное расположение.
В подобных случаях можно воспользоваться методом
численного интегрирования (§ 1-12) или же заменить каждый
криволинейный провод совокупностью .нескольких прямо
линейных, образующих ломаную линию, по форме и разме
рам достаточно близкую к рассматриваемому криволиней
ному проводу.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ИНДУКТИВНОСТИ СИСТЕМ ПРЯМОЛИНЕЙНЫ
Х
ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОВОДОВ
З.-1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
1. В настоящей главе даны формулы и кривые для расчета
собственных и взаимных индуктивностей однопроводных,
двухпроводных и многопроводных однофазных линий, ка
белей, шин прямоугольного сечения, трехфазных линий,
трехфазных шин и других систем прямолинейных парал
лельных проводов. Все провода предполагаются бесконечно
длинными. Формулы дают значения индуктивностей
на
е д и н и ц у д л и н ы рассматриваемых систем.
2. П р и п о с т о я н н о м т о к е и н и з к о й ч ас т о т е собственные и взаимные индуктивности систем
5*
прямолинейных параллельных проводов могут быть опре
делены для всех форм поперечных сечени11, встречающихся
на пракгике.
Круг решенных задач для случаев в ы с о к о й и
в е с ь м а в ы с о к о й ч а с т о т ы значительно уже
и включает в себя лишь несколько систем простейшего вида.
В более сложных случаях для возможности расчета индук
тивностей при высокой и весьма высокой частоте, как пра
вило, необходимы те или иные упрощения в постановке
задачи; в первую очередь это относится к эффекту близости,
учет которого составляет главную трудность при решении
задач рассматриваемого типа.
3. Если не оговорено противное, формулы для индуr<тив
ностей при весьма высоrюй частоте не учитывают магнитных
потоков внутри проводов. При желании учесть эти магнит
ные потоки следует руководствоваться указаниями, данными
в§ 1-15. Для некоторых важных случаев необходимые расчет
ные формулы приведены в соответствующих параграфах.
4. При весьма высокой частоте формулы для индуктив
ностей систем п о л ы х проводов и шин совпадают с соот
ветствующими формулами для сплошных проводов и шин;
однако формулами- для внутренних индуктивностей проводов
11. шин следует пользоваться лишь при условии, что толщина
стенки полого провода или шины не меньше половины длины
ЭЛектромаГНИТНОЙ ВОЛНЫ Л_ = 2:л: у2/у W/.L'\' В металле.
5. Все формулы для т р е х ф а з н ы х л и н и й и
ш и н относятся к случаю низкой частоты (предполагается,
что токи распределены по сечениям проводов и шин равно
мерно).
3-2. ИНДУКТИВНОСТЬ ОДНОФАЗНОГО КАБЕЛЯ
1. Коаксиальный кабель со сплошным внутренним про
водом и полым наружным проводом (рис. 3-1, а)
1) При постоянном токе и низкой частоте
L = 2µо { ln _q_ + L
µ
р
л
.
0
[<
2
ln _,_ - _21
,, 2)2
q
r -q
2
r -q2
2 ,
] }'
(3· 1 )
где р - радиус внутреннего провода; q и r - внутренний
и внешний радиусы наружного провода.
При малой толщине наружного (полого) провода (t =
= r - q q) удобна формула
µ0
«
1
µ
(
4
t
q
2
t3
q�
q
1 +-----. ···
L=- ln-+--
2л
132
[
р
4
µ0
З
15
)J .
(3-2)
2) При весьма высокой частоте
L
= _&_ ln
2n
.!L..
(3-3)
р
З) При любой частоте для кабеля с малой толщиной
q)
наружного (полого) провода (r - q = t
З_ J!:E_ ( ln Д.... + J:_ _l_ + _µ_ sh mt - sin mt )
L21t
р
� 4 µ0тq cl1 mt - cos mt ' ( 4)
«
где т = у 2щtу; � - коэффициент, учитывающий поверх
ностный эффект во внутреннем проводе. Значения � можно
а)
..-rx7.,.__
б)
2r
Рис. 3-1
2r
определить по табл. 2-1 или по формулам§ 2-2, заменив в них
.kr на kp (k = т/у2 = �). При ·mt < 3 можно поль
зоваться формулой
1 ( + 1114 t4 •• • ) ]•
.L = _но_ l ..!!_ + ..1:... J;_ + ..1:_ 1
[п р
(3-5)
2n
630
µ0 4
µ0 Зq
В частности, при mt = О
t
L = � o (lп .!L.
?.n
р
+ -1-1
� )•
(3-6)
µ0 4
4) При любой <Jастоте и произвол ьном соотношении ра Д11усов р, q, ,
µо
q
µ � )
L=п-+-+Lt2,
( 3-7)
2n
р
µ0 4
где L i2 - внутренняя индуктивно сть наружного провода, равная деле н·
1юй на jw мнимой час ти выражения
z11 = _ j<J?µ Ьеr kq + j bei kq- Т (l1ei !щ - i her kq)
(3·В)
2nqk Ьеr' llq + j uei' kq - Т (hei' !щ - j her' /щ) •
(1
rле
Т
= Ьеr' kr + i Ьеi' kr
hei' kr - j her' kr
(3-9)
133
k = V (J)µ'\'; ber kq и bei kq - веществе1шая и мнимая составляющие
бесселевой функции J0 (zq) первого рода нулевого порядка от комплекс
_ зn
ноrо числа zq = kqe 4 ; ber' kq и bei' kq - их производные по kq; her kq
и hei kq - вещественная и мнимая составляющие функции Ханкеля
Hl (zq) нулевого порядка от того же арrумеита zq ; her' kq и hei' kq - их
производные по lщ; ber' kr, bei' kr, her' kr, hei' kr - то же, что ber' kq,
bei' kq, her' kq, hei' kq с заменой q на r.
Значения всех указанных здесь функций и их производных можно
взять из таблиц, приведенных в приложениях 8 и 9.
При больших значениях kq и kt = k (r -q) величина L; 2 может быть
найдена непосредственно по формуле
µ
3
3
L.
t --------···
+ 2е-mt COS/1'/,. Х
i2 =-Ъ:пх{
12Вх 3
64х2
,-
3
]Г1-- 1-6д...+3 L)···
,2
r
256х2 (
l
х
1
-2е-тt sin mt [1 -�--+-3
- 1-6...!L. + 3�)··]
� rx
256х2 (
r
r2
+ члены порящ<а e-2mt... },
где х = kql�
= mq/4;
т = k у2
+
(3-10)
= V :!(J)µ'\',
Пример 3-1. Кою<сиальный кабель со сплошным внутренним и полым
наружным проводами имеет следующие размеры: радиус внутреннего
9 мм и r = 9,5 мм.
провода р = 2,5 мм, радиусы наружного провода q
Определить индуктивность кабеля на едмницу длины при низкой ча
стоте, при весьма высокой частоте и при частоте f = 70 кГц.
Реше н и е.
1. При низкой частоте применяем формулу (3-2). В данном случае
i/q = 0,5/9 = 0,05556.
qlp = 9/2,5 = 3,6;
2 /3
Величиной "15 71" можно пренебречь, и, следовательно,
=
L
=
4.тт• 10-7
2п
(
1
0,05fi56 ) = 2· 10- 1 (1,281 + 0,2685)
3
= 3, 110- 10-7 Гн/м.
ln 3,6 + 0,25 +
Если воспользоваться формулой (3-1), то будем иметь
- 90•25
· -' = 9,fi
12
r2 = 90,25 мм2;
- 9' 757' 1·2 - q2 - !:1,25
9
q
2
2
2
2
2
q = 81,00 мм ; , - q = 9,25 мм ;
�
( ,2 -q2) 2
=
95,20;
r
lnq
= 0,05449;
L = 2· 10- 7 ( ln 3,6 + 95,20-0,05449
134
= 1,056;
-+
9,757)
=
= 2, 10-1 (1,281 + 5,)87 -4,879) = 2.10-,.1,589 = 3, 178-10-Z Гн/м.
=
в данном случае (при малой толщине t) более точным является ответ,
�олученный по формуле (3-2), та1< как с-rруктура формулы (3-1) такова,
что относительно небольшие ошибки в промежуточных вычислениях
приводят к значительно большим ошиб1<ам в конечfю:-.1 результате.
2. При весьма высокой высоте, применяя формулу (3-3), имеем
4п-10-7
ln 3,6 = 2· 1,281 ·10-7 = 2,562-10-7 Гн/м.
L=
2:rt
3. При частоте f = 70 кГц применяем формулу (3-4). В данном
случае
т = V2-2:rt•70-10 8·4:rt· 10- 7 ·5,8· 10 7 = 8,0I0· 103;
k= m!V<i = 5,665-108; kp= 5,665-108 -2,5-I0-S= 14,IG;
mq = 72,09; mt = 4,005;
ch mt = 27, 4 5;
28,19
= , ОО3
•
I
28, 10
sin ml = -0,76;
cos mt = -0,65;
shmt = 27,43;
28,19
28,I0
По табл. 2-1 при kp= 14,16 находим �=0,1994.
Искомая индуктивность
L = 2-10-7 (1,281 0,1994/4
1,003/72,09) =
7
= 2-10- (1,281 + 0,050 + 0,014) = 2,690-10- 7 Гн/м.
+
+
2. Коа�{сиальный кабель с двумя полыми . проводами
(рис. 3-2).
1) :При постоянном токе и низкой частоте
·
L=�
f ln .!{_ + .Е.... [
2:rt . )
Р
µо
14
ln -'(r2 - q2) 2
q
-+
п4
2
п2 2 In ....f!.._
п (р
_ )
(3-11)
где п и р � радиусы внутреннего провода; q и r - радиусы
наружного провода.
Для кабеля с малой толщиной стенок обоих провод()В
q) удобна формула
р; t2 = r - q
(t1 = р - п
«
«
1 _!l_ ••• ) + _1 .Е._ .!.!_ ( l
___
2
10
3
р
/¼
- -+о- ;! ... ) ] .
q
(3-12)
2) При весьма высокой частоте
L = ...1!..о__ \n_!!_,
2:rt
р
(3-13)
2q
2r
Рис. 3-2
135
3) При любой частоте для кабеля с малой толщиной сте
q)
р; t2 = r - q
нок обоих проводов (t1 = р - п
sl1 mt2 -sin mt2
L = � [ln_!l__+ J::__
mq cl1 mt - cos mt
µ
р
·2:п
«
«
(-1-
0
- sin mt ) ]
+ тр cl1 mt - cos mt •
1
1
1
где т = Jf2ro�t'\'.
При mt1 < 3 и mt2
L = _&. { ln _!l__
2:n
2
2
1 sl, mt1
+
(3-14)
<3
J::__ [ _!!._ ( l - тЧ\
+-!.-630
q
3µ 0
+ ; ( 1 - ;;�t ... )] }·
р
••• )
+
(3-15)
В частности, при "ti = t2 = О справедлива формула (3-13).
4) При любой частоте и произвольном соотношении ра
диусов п, р, q, r
(3-16)
+ Lн + Li2,
L = �; tп
где L-ii и Li2 - внутренние индуктивности внутре н него
и наружного· проводов, причем L; 2 определяется так, как
указано в подпункте 4) пункта 1 этого параграфа (при t =
= /2), а L11 - аналогичным образом, но с заменой q на р,
r на п и t2 на t1 ; кроме того, при определении Lн правую
часть формулы (3-8) следует умножить на (-1).
3. l(оаксиальный кабель с многожильным внутренним
и полым наружным проводами (рис. 3-3).
l) При постоянном токе и низкой частоте
1
r
r4
r2
L = � [ln q
2 _ 2)2 ln q - 2 ,2 _ q2
2n
R
q
7
+ (,
1
1
R] ,
1
-1-+-ln�
4(
m)
т
т
р
Рис. 3-3
136
(3-17)
где q и r - радиусы наружного провода; m - число жил
вну треннего провод�; р - радиус жилы; R - радиус 01,руж
ности на которои расположены центры сечений жил
(ри с. 3-3, а, 6 ). Для I{абеля с весьма малой толщиной стенки
q) удобна формула
полог о провода (t = r - q
«
)
µ0
q
lt
\ t2
L=2 [ ln-+-3 q ( 1 ---.
IU 2-· ··
n
R
q
1
1
R ]
+-+-ln-·
т
4m
тр
+
(3-18)
2) При весьма высокой частоте для кабеля с плотно при
легающими друг к другу жилами внутреннего провода
(рис. 3-3, 6)
(3-19)
4. Коаксиальный кабель с мноrожилы1ым наружным
полым внутренним nромдами (рис. 3-4).
1) При постоянном токе и низкой частоте
µо [ 1 R
п4
Р
I зп2- Р2
L = 2:rt n---,;-+ (D2-n2)2 ln 11-т р2-п2" +
1
R
-f- -ln-·
(3-20)
I ., '
т
тр + 4m
l
где -п и р - радиусы внутреннего провода; т - число жил
наружного провода; р - радиус жилы; R -;-- радиус окруж
ности, на которой расположены uентры сечений жил
(рис. 3-4, а, 6).
В частности, для сплош1юго внутреннего провода (п = О )
1
1
1
_!i_
L = -1!:L [in _.!l._ +2л:
р
т ln тр +4 (1
т )] • (3-21)
+-
а)
2
б)
2
Рис. З-4
137
При малой тqлщине стенки полого провода (t = р - п
« р) удобна формула
«
R
l t
1
tз ---+
1
i
µ0 ln-+----L=80 р�
2n (
Р
3 р
30
р8
5
1
l )
+-In-+-.
т
4m
тр
(3-22)
R.
2) При весьма высокой частоте д,ля кабеля с плотно при
легающими друг к другу жилами наружного провода
(рис. 3-4, 6)
L=�
ln
2л
2R.
-Р •
2р
(3-23)
Б. Кабель со смещенными осями (рис. 3-1, б).
1) Если µ = �. то при постоянном токе и НИЗl{ОЙ частоте JJJJЯ кабеля
с полым наружным проводом в зависимости от конструкции внутреннего
провода справедливы формулы, данные в пунктах 1, 2 и 3 настоящего
параграфа; для кабеля с многожильным наружным проводом и полым
внутренним проводом
4
Р
R. �ed
L = -2µо
- [ ln -+ с2 n 2 2 lл -р
R.
р -п )
л
п
__1_ 3п 2-р2
1 ln ....!!_ _1_
+-(3-24)
т
тр + 4m ] '
4 /У' - п2
т
,...,...
где Rmed = Y d 1-,�..-. ""'d-,
d , d 2 , ••• , drn -расстояния от центра
m причем i
сечения внутреннего провода до центров сечений жил наружного провода,
а прочие обозначения те же, что и в формуле (3-20). В частности, для
сплошного внутреннего провода (п = О)
L
1
1
= � [ ln R.�iecl + _l_ lл ....!!_ + -( 1 + --)].
2п .
Rp
т
тр
4
m
(3-25)
При малой толщине стенки полого провода (t,;,,, р - п « р) удобна
формула
L
=
µо
R�ecl
[
2n Jn Rp
+( 1
t
l
fS
3 р - 30
1
·t5
7 - 80 7 · · · ) +
1
R
1
+- Jn-+-.
т
тр
4m ]
(3-26)
2) При весьма высокой ,,астоте для кабеля с полыми проводами
Р2 + qZ - d2
L = � Arch
(3-27)
2pq
2п
где d - расстояние между осями внутреннего и наружного проводов.
Формула справедлива при любом материале проводов (µ может быть
не равно µ0).
138
Пример 3-2. У l(абеля предыдущего примера оси внутреннt>rо и н аруж
но го пр оводов смещены на расстояние d = 2 мм. Определить индуктив
но сть кабеля пр и весьма высо1<ой частоте.
р е ш е н и е. Применяя формулу (3-27), в данном случае имеем
р = 2 ,5 мм; р2 = 6,25 мм2;
2pq = 45 мм2 ;
q = 9 мм;
q2 = 81 м м2 ;
2 = 4
d
мм2 ;
d = 2 мм;
7
4:п:- io- Arch 6• 25 + �! - 4 = 2 -10-7 Arch 1,85 2,452-10-7Гн/м,
.
.
L=
4'
2 :п:
Ср авнение полученного результата с соответствующим значением ин
дуктивности коа1<сиального · 1<абеля (2 ,562 - 10-� Гн/м) показывает, что
смещение осей сравнительно мало влияет на индуl(тивность.
=
3-3. ИН ДУКТИВНОСТЬ ОДНОФАЗНОЙ ЛИНИИ
С ПРОВОДАМИ КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ
1. Двухпроводная
(рис. 3-5).
линия
со
сплошными
проводами
+ + +) ,
1) При постоянном токе и низкой частоте
=
L
�о ( ln
(3-28)
где d - расстояние между осями проводов; r - радиус про
вода.
2) При весьма высокой частоте
d
L
.uo А
d2 -2r2
µ0
rch -�-=Arch-.
(3-29)
. 2r
2r2
л
= 2:п:
В частности, n рн d
»r
L
=�
ln_!!__:
г
:rt
Более точное выражение для случая d
L
(3-30)
»r
= .Ео... (1n ..!!... - � - ��).
2
:п
r
d'l
(3-31)
dQ
При желании учесть магнитные потоки внутри проводов
к величине L, найденной no формуле (3-29), необходимо
прибавить величину 2L i , где L 1 2r
внутренняя инду1<тивность одного
провода на единицу длины, опре
деляемая по формуле
Li
=
d
4:п, V (d/2)2 -,
2
-v
2�у·
(3-32)
d
Рис. 3-5
139
При d
»r
Lt1
- 2nr
v-µ
2(t)y •
(3-33)
3) При любой частоте и для проводов ив любого мате
риала
(3-34)
где � - коэффициент, учитывающий поверхностный эффект
в проводах. Значения � можно определить по табл. 2-1 или
по формулам § 2-2. Формула (3-34) не учитывает эффекта
близости и искажения магнитного поля, вызванного нали
чием соседнего провода с магнитной проницае�:vюстью, отлич
ной от �t0• О воэмож1-юй погрешности см. в § 1-15.
Пример 3-3. Двухпроводная однофазная линия выполнена из сплош
ных медных проводов кругового сечения. Ради·ус сечения г = 4 мм, рас
стояние между осями проводов d = 50 см.
Определип, индуктивность линии при низкой частоте, весьма вы
сокой частоте н частоте f = 800 Гц.
Р е ш е и и е. В данном случае
г
d
50
d
, ?
= 8-10-з; ( d) = 6 4
-,- = 0,4
= 4,828; d
= 125; ln ,:, -JО-Б,
1. При tшзкой частоте применяем формулу (3-28):
4n, 10-7
L =--- (4,828 + 0,25) = 4,5,078-10-7 =2,031-10-6 Гн/м.
:rt
2, При весьма высокой частоте применяем формулу (3-29):
2
4n ·I 0-7
( 50
L=
Arch
.
-1 =2·10-7 .Arch7813=
2n
2 0, 42
)
=· 1,931-10-6 Гн/м.
Так как d » r, то можно использовать формулу (3-30):
4n· 10-7
L = ---\n 125 = 4-4,828·10·7 = 1,931·10-6 Гн/м.
:rt
Формула (3-31) в пределах принятой точности расчета не дает уточнения по сравнению с формулой (3-30).
3. При частоте f = 800 Гц применяем формулу (3-34). В данном cJJy•
чае
k = V2:п:-800-4n-10 1 .5,s. нr1 = 605,4; kг = 605,4-4-10-s = 2,422.
По табл. 2-1 находим � = 0,9219. Искомая индуктивность
0 9 19
L = 4.10-1 ( ln 125 + • ;
140
) = 4-10-1 (4,828 + 0,231) =
= 2,024-10-в Г11/м.
Двухпроводная линия с полыми nроводами (рис. 3-6).
1) При постоянном токе и низкой частоте
2.
L = ...&..
(3-35)
rc ,
n ln ___!!____
где d - расстояние между осями проводов; с - величина,
зна чения которой даны в табл. 10-1 в зависимости от отно
шения внутреннего радиуса q к внешнему радиусу r.
r)
При малой толщине стенки проводов (t = r - q
формула
добна
2r
у
2
+-31-_!_r L = ...&.. (1п ...!!._
r
«
n
1
- 30
t3
1
r3 - 80
t5
,� • • • ) •
(3-36)
d
2) При весьма высокой
Рис. 3-6
частоте справедливы формулы (3-29), (3-30) и (3-31).
Внутренняя индуктивность п роводов может быть учтена
с помощью формул (3-32) и (3-33).
3) При любой частоте и для проводов из любого мате
риала
L =...&..Jn_!!,__+2L"
n
r
(3-37)
где L, - внутренняя индуктивность провода на единицу его
длины, определяемая путем деления на l выражений, данных
в § 2-3, п. 3.
Формула (3-37) не учитывает эффекта близости и искаже
ния r.1аrнитного поля, вызванного наличием соседнего про
вода с магнитной- проницаемостью, _отличной от µ 0•
3. Однопроводвая .линия с землей в качестве обратного провода
(рис. 3-7). Инду1{тивность однопроводной линии, обратным проводом
которой служит земля, вдвое меньше индуктивности соответствующей
двухпроводной линии (рис. З-5), обратный провод которой находится
от прямого на расстоянии d = 2h. Предполагается, что высота h достаточ110
велика по сравнению с длиной волны 'л_ эле1{Тромаrнитных 1юлебаний
в зем.ле, т. е. что
h>>л- =
(З-38)
v�
Vtv '
где)' - удельная проводимость земли. Следует име11, в виду, что nослел
нее условие выполняется только при достаточно большом значении ча
стоты f.
Индуктивность двухпроводной линии определ_яется та11, нан ;ука
зано в nn. 1 и 2 этого параграфа.
141
�
-ф}'
d
__.
/,
�
�
1/
Рис. З-8
Рис. З-7
4. Двухnровод11ая линия nб,1изи nоверхиости земли. Если провода
линии лежат в плоскости, параллельной nоверхносrи земли (рис. З-8),
то индуктивность линии может быть найдена no формуле
L' = L - ЛL,
(З-39)
rде L - индуктивность линии без учета ·земли (определяется по пунк
там 1 и 2 этого naparpaфa); ЛL - поправка, учитывающая влияние земли
11 равная
d2 )
ЛL = µ0 lп ( 1
(3-40)
4h2 ,
2:п:
причем d - расстояние между проводами; /i - высота подвеса линии.
Предполагается, что /1 по крайней мере в нес1шJ1ько раз превосход,п ра
диус проводов и длину волны электромагнитных 1шлебаний в земле, рав-
+
ную
.
л-= v�
Vlv '
rде -у - о/дельная проводимость земли.
Следует иметь в виду, что последнее условие выполняется толыш при
достаточно бо.пьшом значении частоты f.
3-4. ИНДУКТИВНОСТЬ ТОНКИХ ОДНОФАЗНЫХ ШИН
ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
В на стоящем параграфе рассматривают ся шины пр ямо
угольного поп ер ечного сеч ения, один из раз м еров которого
значите льно меньше другого.
При этом различаются шины
нич тожно малой толщины, рас
сма триваемые при расчете как
бе ск он е чн о тон к ие
л е н ты (ри с. 3-9), и ш и н ы
ма лой, но к он е чн о й тол
Рис, 3-9
щ ин ы (ри с. 3-10).
142
1. Бесконечно
тонки�
а)
ленты.
1) При ПОСТОЯННОМ ТО·
ке и низкой частоте значения индуктивностей лент
могут бы ть взяты из
рис. 3-11 (кривые f=
ъ ь
Б)
�
<.>
с.,
�
�
= О).
аналитического
Для
индуктивностей
расчета
лент при распо л ожении по рис.
qюрмула
2
+ V2\12- 1 ln (1
[ lп �
L = .!:!_о_
С
Л
Рис. 3-10
3-9, а может служить
+ '\'2 + +,r arctg -v],
)
(3-41)
6
f.f·f0Гн/м
1,0
0,9
0,8
0,7
с/Ь
-
f�cP
-t"--
,,
�
,?\)
,.. .....
,,
,;
,;
о
.,.
,с
Ь, =О
, (Р
\'l
0,4
O,J
0,2
O,f
О
0,2
0,4
О,б
0,8 1,0 f,2 1,4
d0/(Ь+с)-Рис. 3-11
(б
1,8
г,о
т + (+ +
++ (+-
а при расположении по рис. 3-9, б - формула
L
+
= �0 [ ln
J у ln (1
1 У ln(I -
Р>].
+ (3) +
(3-42)
где '\' = c/d; (3 = Ь/d.
При значительном расстоянии между лентами формулы
(3-41) и (3-42) неудобны для расчета и лучше пользоваться
формулой
L = �о ( ln Ь :. с +
Д) '
(3-43)
где для рис. 3-9, а (Ь = О)
л = ,у2/12 -у4/60
f+
+ у6/168 , .. 1
а для рис. 3-9, б (с = О)
л =-((32/12 + (34/60
(3-44)
+ (36/168 ... ).
(3-45 )
2) При весьма высокой частоте значения индуктивностей
лент могут быть взяты из рис. 3-11 (кривые f = оо ).
Т о ч н ы е з н а ч е н и я инду1<тивностей лент при весьма высо
кой частоте могут быть найдены по формуле
L = µ0
к
К,
(3-46)
где К и К' - полные ЭJJJJиптичес1<Ие 11нтегралы первого рода с молулями
k и k' = V 1 - k2, зависящими от относительных размеров попере•1·
ного сечения рассматриваемой сисrемы.
Для расположения лент по рис. 3-9, а модуль k определяется из
системы уравнений:
К' Е' (0, k)- Е' F' (0, k) =
.
�
�ш20- (1К'-Е'
- k2) К' '
Т;
(3-47)
(3-48)
где К', Е', F' (0, k), Е' (!:!, k) - обозначения полных и неполных эллип
тичес1<их интегралов первого и второго рода с дополнительным модулем .
k' = У\
k2 (для упрощ1::ния расчетов решение этой системы дано
в табл. 3-1 в виде зависимости d/c от k2).
Для расnОJJожения по рис. 3-9, 6
d-b
k= d+ Ь
•
(3-49)
В обоих случаях ,п,ля определения отношения KIK' удобно пользо
Еаться таблицей приложения 4, где это отношение дано в зависимости от
квадрата модуля ll.
144
Таб,лица 8-1. Значения dlc в зависимости от k2 для
лент (рис. 3-9, а)
dfc
k'
о
o,oooi
4
6
8
0,0010
20
40
60
80
0,0100
dfc
dlc
о
u
0,4351
0,4765
0,5043
0,5262
0,5441
0,6091
0,6907
0,7488
0,7997
0,8367
0,01
2
3
4
5
6
7
8
9
0,10
о
0,8367
0,9928
1,1127
1,2161
1 3097
1,3974
1,4806
1,5612
1,6394
1.7161
0,10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0,20
J,7161
1,7919
1,8669
1,9414
2,0160
2,0906
2,1654
2,2404
2,3161
2,3926
2,4698
При значительном расстоянии между лентами (d/c > 2,
dlb > 2) вместо формулы (3-46) можно пользоваться более
простыми формулами, полученными в пренебрежении эффек
том близости, а именно:
для расположения по рис. 3-9, а -формулой
L
= .1:о..
Arsh �n
с '
(3-50)
дл я расположения по рис. 3-9, б - формулой
L = .1:о..
Arch 2d
•
n
Ь
(3-51)
2. Тонкие шины конечвой толщины.
1) При постоянном токе и низкой частоте значения индук
тивностей тонких шин могут быть найдены по формулам:
для расположения по рис. 3-10, а
d
'\' - 1 l
µо [
2) + 2 arctgy ; (3-52)
L =--;:i+ 2-у2 n(l
ln ь
�
+с
]
2
+11
для расположения по рис. 3-10, 6
L= �0
[tn ь: с ++(++ 1) 2 tn(I+�)+
+2
1
т- 1 )2 ln(l - �)] ,
( 1
(3-53)
где v = c/d; � = Ь/d.
При значительном расстоянии между шинами ( ь� >
с
> 2) удобно пользоваться формулой (3-43), вычисляя зна145
чения Л по формуле (3-44) для расположения по рис. 3-10, а
и по формуле (3-45) для расположения по рис. 3-10, 6.
2) При весьма высокой частоте для определения индук
тивностей тонких шин можно пользоваться кривыми рис. 3-14
и 3-15.
Для тонких, близко расположенных шин (d
с,
рис. 3-1О, а) можно пользоваться простой приближенной
формулой
«
d-b
(3-54)
L = µ0 -с-,
дающей удовлетворительный результат при d/c..,;: 0,1.
Наоборот, при значительном расстоянии между шинами
( ь � с > 2) применимы формулы:
при Ь
с (рис. 3-1О, а)
«
1'1 ) ;
{3-55)
1
)
µ /
,
L = -3/ Arcl1 -d, - Arcl1 ---
(3-56)
L = � (Arsh_!!__-Arsl1
n
t
V1 - чz
при
с« Ь
(рис. 3-10, 6)
VI -1'}
'" \
2
причем в первом случае
f = 2� (1
+ ·11) yl - 11
2
'
11 =
а во втором
+,
(3-57)
(3-58)
где Е - полный эллиптический интеграл второго рода с мо
дулем k = yl - 112•
При же.пании учесть магнитные потоки внутри шин
следует к величине L, найденной, как указано выше, при
бавить 2Li , где Li при пренебрежении эффектом близости
опре�еляется деленным на L выражением (2-40):
L; =
1
vЬс
-v-µ-2roy
- tt,
(3-59)
причем значения величины tt могут быть найдены по формуле
(2-41) или по кривой рис. 2-3. Для тонких, близко расnоло146
женных шин (d
форм улой
« с,
рис. 3- 1 О, а) следует пользоваться
d-b
2
L=1·0 ( --+ тс ) '
с
(3-60)
где т = V2roµo'\'
3) При высокой частоте для тонких, близко расположен
ных шин (d _с, рис. 3-10, а)
«
L
_Ь+�
= _&.
с (d
т
sh х - sin ,с
)
ch .к. - cos х '
(3-61)
где х = тЬ; т = -,;2roµ0'\' •
Если х < 3, последняя формула может быт� представлена
в виде
1<
L = �0 [ d - Ь + � Ь ( 1 - :Зо + 24; 480 - • • ) ] • (3-62)
З-5. ИНДУКТИВНОСТЬ ОДНОФАЗНЫХ ШИН
ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
В настоящем параграфе рассматриваются сплошные шины
сечения,
расположенные
согласно
прямоугольного
рис. 3-10, а и 6, при произвольном соотношении размеров Ь
и с поперечно1'0 сечения *.
1 . П р и п о с т о я н н о м т о к е и н и з к о й ч а
с т о т е значения индуктивности L могут быть определены
по кривым рис. 3-12 . Для наиболее ващнёго случая, когда
шины расположены согласно рис. 3-10, а (Ь ...;: с), несколько
более точные значения L при d < с могут быть получены
с
из рис. 3-13, где величина 7 L дана в зависимости от d/c
при различных значениях Ь/d. При d/(b + с) > 2 для опре
деления индуктивности шин с любым соотношением раз
меров Ь и с можно пользоваться приближенной формулой
ln _d_ + �).
L = ..&.
:т (
2
ь+с
(3-63)
При любых Ь, с и d индуктивность шин может быть опре
делена по формуле
L =..&
. (ln-d-+�+t-в),
(3-64)
2 .
n
ь+с
причем f и в могут быть найдены по табл. 10-3-10-5.
* О расчете инду1пивностей при другом распОJJожении шин см.
в§ 3-9.
147
6
1,0-10Гн/м
0,9
о.в
0,7
с/Ь=О
с/Ь-0,2
1,',
. c/b-G,5
1,,
0,4
b/c=f
0,3
b/c=D,5
�-
0,2 �� ',ьfс=О,2
O,t t::if b/c=0
о
0,2
0,4
О,б
0,8
1,0.
1,2
d/(b+c)-
f,4-
1,8
2,0
Рис. 3-12
2. П р и в е с ь м а в ы с о к о й ч а с т о т е значения
индуктивностей шин моrут быть определены по кривым
рис. 3-14 при Ь -,,;. с и из кривых рис. 3-15 при Ь � с.
При d0/с > 2 для индуктивности шин, расположенных
согласно рис. 3-10, а, справедлива приближенная формула
L = .1!:о..
n ( Arsh ..!!...f
-
Arsh V 11 1'}2 ) ,
1 -
(3-65)
где
(3-66)
Е - полный эллиптический интеграл второго рода с модулем
"k = 1/l -1)2•
П ри dvlЬ > 2 для индуктивности шин, расположенных
согласно рис. 3-10, б, справедлива приближенная формула
1
d - Arch V__ ) ,
L = .&.
(Archn
1
1 _ 1l2
148
(3-67)
6
f,20·10- [\
Гн/м �\
f,fO
\\'1\.'\
\\.1\.'\l"'-.
\\\.'\""\l"-.
1,[Ю
:\\ 1'\.' "' ""-...'
�"1 .'\.1\.'!'..." r-...' r--....
0,90
1.\ ,"\['(��r--....r---............____
\\
['-._['_[""-,Г',......" '-..
......
t 0,80
\'\.'
......
::---.... r--....-..::..__..__'-..
°-L
....
'
'\'< .... r--....r'-............_.............
0,70
....
·" "
'" ·,""," "
"",'""'
'
'
.....
--.....
".......
',
'' -r-..
.... ' ' --...
-- ' ..... ......
--..... '
t---....
........ '-.. .......
r--.._�'-..Г',...
.....
.......
.....__
�1"-r--.......
....
........ ....
'-..["-.r-.. r-..._'-.. 0,7� 0,6 .......
.......
......
0,60
0.50
--
'
r--.......r---....
.......
D ,4 0
0
�
�
�
�
0,8
0,9
1,0
�
d/с-
Ь/4�0
- ---�-�
j--,..
�&
0,?:::::::,,
r--:
:-r---@
......
i---....----�
0.5
-
�
..,,.,
,..,,,,...,,.,. ,,
1,.-"
5
D,6
0,
/
qз
о,г
0,1
J.,,,.
.J,,. ,:,,
i,
,,,,.
.,,,.. �.....,....
..... Ь/с-о
,
/, � ,..,,... ,..__
r--,.__ --0,25
/4:%�..<
с-. --. 0,5
�¼::;,
f О/1
L
---
�-"""....
-�
,
...,..
--- -- -- о,
/1,.), ..J, .,,.,.
II/U
� 1,
0
WJi"
/;
"
V
А
r
о о,г
о,� о,5 о,в 1,0 1,г t,4 �б ,,в 2,0
d0/с-
Рис. 3-14
1----.
r--�
�
�
�
Рис. З-13
0,7
,,,._r=:::::
.... с-.._;�
где
(3-68)
Е - то же, что и в предыдущем случае.
Степень точности формул (3-65) и (3-67) возрастает с ув�
личением расстояния между шинами и с уменьшением их
толщины.
f.,O·f0-6
Гн/м
0,9
1
""о
о.в
0,7
0,6
0,5
....... �"'
:�
.... .,..
"' с�\
1-'
_, _,. 02i...V .......... �""'" '--"'.,.... .... [....- �
�
./'
о
1......
......
1...,,
:...,,
� / ......, ,1.....
11" 1/ [/
(;;;�1}1..,..'--"'
/ I V 1....."
_.,.
V
t 44
"' �[;.,
J1/
L
17
0,3 'J11J1/ 11'
)
0,2
1
O,f '/1/
rJ
i.-
.4
1-""
....---
--
,.,
V
,.,
,
w
$
� � м � �
м � w......____.
d0/Ь
Рис. 3-15
При желании учесть магнитные потоки внутри шин
следует к величине L, найденной, как указано выше, при
бавить 2L1 , где Li при пренебрежении эффектом близости
определяется деленным на l выражением (2-40):
L- - _1_ 1 f µ {}
(3 69)
' - VЬс JI
2w V
'
причем значения величины tt могут быть найдены по формуле
( 2-41) или по кривой рис. 2-3.
Пр11мер 3-4. Меднъ1е ш11ны прямоугольного поперечного сечения
имеют размеры: Ь = 1О мм, с = 50 мм. Шииы расположены на расстоя
нии d = 20 мм друг от друга так, как показано на рис. 3-IO, а. Определить
_ инду1{тивность шин при низкой частоте.
150
Р е ш е н и е. В данном случае
10
d = 20 = 0,3333; Ь
li+c
с= 50 = 0,2;
60
d
20
-=--=0,4;
с
50
ln Ь + с = -1,099.
1. С помощью кривых рис. 3-12 находим L = 2,65 · 10-1 Гн/м.
2. Применяем формулу (3-64). При blc = 0,2 из табл. Ю-3 находим
8 = О,002; при dlc = 0,4 из табл. 10-5 определяем f = 0,278.
Искомая индуктивность
L = 4.10-1 (-1,099+ 1,500 + 0,278 - 0,002) = 2,708· IO-z Гн/м.
3. Поскольку blc = 0,2 � 1, можно применить формулу (3-52).
В данном случае
r2 - l
50
5,25
О4
:у=
= 2,5; v2 = 6, 25;
2'\'2 = 12,50 = • 2О;
20
ln (1 +у)= 1,981; 0,42-1,981 = 0,8320;
d
arctg 'У= l, 190;
/
5
-1,190= о,9520.
Искомая индуктивность
L = 4 -10-1 (-1,099 + 0,832 + 0,952)
= 2,740·10-7 Гн/м.
Значения инду1пивности, найденные раЭJiичными снособами, отно
сительно мало отли,1аются друг от друга.
3-6. ИНДУКТИВНОСТЬ ПОЛЫХ ОДНОФАЗНЫХ ШИН
КВАДРАТНОГО СЕЧЕНИЯ
1. П р и по ст о я н н о м т о к е и- н и з к о й ч а
с т о т е индуктивность полых однофазных шин квадратного
сечения, расположенных согласно рис. 3-16, может быть
определена по формуле
L
= �0
( 111 -}
+ 0,54 J ) =
1,72d
_
/Jo I n-ь-·
-7
Ь/2 1 'h/2
->-
-т--
�.1
rЪ/2�---Ь/2,.
- ,-.
d
Рис. 3-16
(3-70)
!
60·f0-g
Гн/м
50
t 40
30
дi_L
20
10
О
0,05
о,ю
O,f5
о,го 0,25
-r=t/ь---..:.
Рис. З-17
151
где Ь - сторона квадрата, представляющего собой сечение
шины; d - расстояние между центрами сечений.
Более точная формула имеет вид
4-�
8 ·, ·].
1
L = .E!L [ ln .!!_+О 5413 +л
Ь
'
(..!!.-)
d
40
720
(..!!.-)
d
(3-7])
В формулах (3-70) и (3-71) толщина стенки шин t пред
полагается равной нулю. Влияние толщины можно учесть,
заменив в этих формулах размер Ь некоторым другим (<<ЭI<ВИJО-Ю-9
Гн/м
�о
f
--t
Л.,.L
10
i-+I
о
O;I
0,2
r/Ь-
о,з
О/1
Рис. 3-18
валентным») размером Ье , зависящим от толщины и опре
деляемым по формуле
Ье
= Ь [1
-++( -++)].
I
(3-72)
Формула применима при t � Ь/3.
Другой способ учета толщины стенки заключается в до
бавлении к величине L, найденной по формуле (3-70) или
( 3-71), поправки Лt L, значения которой даны на рис. 3.17·
в зависимости от,: = t/b. Более точные значения ЛtL можно
найти по формуле
Л 1L
= .E!L (0,573-r - о, 1701:8 ••• ).
3t
(3-73)
Если углы шин закруглены, то к величине L следует
прибавить поправку Лr L. значения которой щшы на рис. 3-18
-�2
в зависимости от r/b, где r - радиус закругления. Более
точные значения Л,.L вычисляются по формуле
п
ЛrL = µо Р2 ( - 1 n Р
)
1
3
+Т
- Т + Т р. . . '
:rt
(3-74)
где р = 0,463r!b.
2. П р и в е с ь м а в ы с о к о й ч а с т о т е индуктив
ность полых шин может быть найдена по тем же формулам
и кривым, что и индуктивность соответствующих сплошных
шин, т. е. шин с тем же внешним размером Ь поперечного
сечения ;,.и тем же расстоянием d между центрами сечений
(см . § З-5, в частности кривую Ыс = l на рис. 3-14).
3-7. ИНДУКТИВНОСТЬ ПОЛЫХ ОДНОФАЗНЫХ ШИrf
ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
В настоящем параграфе рассматриваются полые шины пря
моуголыюго сечения, расположенные согласно рис. 3-19, при
произвольном соотношении размеров Ь и с поперечного сече
ния. Толщина стенки шин t предполагается малой по сравне
ниюсЬис(tне больше однойтрети меньшеrо из этих размеров).
1. П р и п о с т о я н н о м т о к е и н и з 1< о й ч а
индуктивность шин, расположенных согласно
стоте
рис. 3-19 (Ь. < с), может быть найдена по кривым
рис. 3-20, где значения L даны в зависимости от d/(b + с) при
различных значениях Ь/с для бесконечно тонких шин (t = О).
Аналитический расчет индуктивности бесконечно тонких
полых шин (при Ь < с и при Ь � с) можно произ_вести по
формуле
(3-75)
_где g1 - среднее геометричесr-юе расстояние периметра по
перечного сечения шины от самого себя; g12 - среднее геометрическое расстояние периметЬ/2 ь/z
ьл Ь/2
ров поперечных сечений шин друг
от друга. Эти величины могут быть
найдены по формулам (10-18) и �
(10-39); для определения g1 удобна ""
также табл. 10-2.
Индуктивность полых шин 1<0нечной толщины (t > О) может �
быть определена по тем же фор
мулам и кривым, что и при t =
d
= О, но с заменой размеров Ь и
с
С· оответственно «эквивалентныРис. 3-19
)53
и
ми» размерами
мулам:
Ье = Ь 1 - ;
по
определяемыми
[
+ ( 1 - + +)] ; \
1 (1 -1 -1 )].
се = c[I -�
3 с
3 с
фор(3-76)
2. Пр и в е сьм а вы с о к ой ч а с т о т е индук
тивность полых шин может быть найдена по тем же формулам
tо-Ю-6
/ii/м
. 0,9
0,8
,_
-
0,7
0,6
1
L
,,
,,
.,
0,5
Ь/с=О,
0,4
"'
"
"
0,3
0,2
0,(
О
,_
,_
L/
I
I
·-
1,0
t '0,25
7
1 0,1
0,2
0,5
0,4
0,6
0,8
f,O
f,2
d;(Ъ+с)-
1,4
f,6
f,B
2,0
Рис. 3-20
и кривым, что и индуктивность соответствующих сплошных
шин с теми же внешними размерами поперечного сечения
(Ь и с) и тем же расстоянием d между центрами сечений
(§ 3-4 и 3-5).
3-8. ИНДУКТИВНОСТЬ ОДНОФАЗНОЙ ЛИНИИ
С ПРОВОДАМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЯ
1. П р и п о с т о я н н о м т о к е и н и з к ой ч ас т о т е индуrпивность однофазной линии с проводами
154
эллиптического сечения может быть определена по фор·
муле
1
L=.&.(Jn�++л) '
(3-77)
n
4
а+ь
где а и Ь - большая и малая полуоси эллипсов, являющихся
поперечными сечениями проводов; d - расстояние между
о}
6)
их центрами, а величина Л опреде
ляется следующим образом:
для расположения по рис.
3- 21, а
л = -2:_
1 -�
б2 + �
б4
8
48
4 (
-
(3-78)
}-)ис. 3-21
для расположения по рис. 3-21, 6
Л
{)
= -4
2
для общего
(рис. 3-21, в)
Л
=
+
(
1
5 б
35 б
+ 48
+8
+
2
случая
4
147 б6 .) •
.. ,
178
симметричного
+
б2cos28 - ;2 б4 (3
1�2
б6 (6cos 28
(3-79)
расположения
+ 2cos48) +
+cos68) -
7�2
х (10+ 10cos40 +cos88) . ..,
б8 х
(3-80)
причем б = qld; q = -,1а - Ь ; 8 - половина угла между
большими осями эллипсов.
Возможность применения формулы (3-77) определяется
областью сходимости рядов (3-78), (3-7 9) и (3-80), зависящей
от соотношения между размерами а, Ь и d и от угла 8. Если
б � 1/2, то ряд (3-80) сходится достаточно быстро при всех
значениях угла 8_ и формула (3-7_7) применима при всех
2
2
155
видах симметрич1юго взаимного расположения проводов
(рис. 3-21, в).
. При низкой частоте можно учесть влияние неравномер1-юсти распределения тока по сечениям проводов на индук
тивность линии, прибавив к значению L, определенному
по формуле (3-77), величину
tN0�6
[11/м
f,1
1,0
0,9
0,8
0,7
t 0.6
L
o,s
ЛL1
µо
= -п
\J
'i)�
lll"
1 11
,,.
1....
1,
,,
v
v
V
1, 1�
1,
1,
....
1,
();:>
1536
L,.
L,.
:...:-',
� °"
l:::1-
"\�
ц_
.. n
1,
-�
0.4
о.3
0,2
O,f
о
v
(3-81)
f (в) ,
f,2·!0-6
Гн/м
f.f
tO
0,.9
"'
'1) :;..
0,8
17 �
i, fi1
11\�
0,7
1, 1,!,
\��...
1,
0,6
t 0.5 1,
L,
124 1/IJ
k4a•
о,з 111111
аг
4
2
J
dо�и)-Рис. 3-22
где k = у wµ0y ; в
f (в)
=
1
0.f
о
5
rt
О.5
to
dof{2
u)-
Pиc. 3-23
(5
(а - Ь)/(а + Ь);
3
2
2
(l - е) (1 - � :) (1 + 41:. + в4)
=
Формула (3-81) применима при k (а+ Ь) < 4.
2. П р и в е с ь м а в ы с о к о й ч а с т о т е индук
тивность линий с проводами, расположенными согласно.
рис. 3-21, а и 6, может быть определена по кривым рис. 3-22
и 3-23, на которых значения L даны в фующии от отношения
dof(2a) при различных значениях 11 = Ь/а.
При d/a > 5 можно пренебречь эффектом близости и
пользоваться для определения L формулами:
для расположения по рис. 3-21, а
8
L · .1:!:о..
Arsh.!!.... - Arsь_!._);
п (
q
q
156
(3-82)
для распо ложения по рис. 3-21, 6
L =�
(Arch..!!_ - Arch..!!_),
n
q
q
(3-83)
q = -,/а2 - ь 2 .
Внутренняя индуктивность линии может быть учтена прн
бавлением к величине L, найденной, как указано выше,
величины 2Li , где Li при пренебрежении эффектом близости
определяется формулой
где
L--12_-ul tio К
t - п а V 2шv ',
К - полный эллиптичес1шй интеграл первого рода с моду
лем, равн ым Vl - Ь2/а2 •
3-9. ИНДУКТИВНОСТЬ ОДНОФАЗНОЙ JШНИИ
С ПРО ВОДМ1И ПРОИЗВОJ1ЫЮiГО СЕЧЕНИ�
1. П р и п о с т о я н н о м т о к е и н и 3 к о й ч а
с т о т е индуктивность однофазной линии с проводами
произвольного поперечного сечения (рис. 3-24, а, 6) опре
деляется по формуле
(3-84)
где gA и gв - соответственно средние геометрические рас
стояния площадей Sл и s8 поперечных сечений проводов от
самих себя; gлв - среднее геометрическое расстояние этих
площадей друг от друга (о методах, формулах и таблицах
для определения этих величин см. в § 1-8, 10-2 и 10-3).
В частности , если прямой и обратный провода одинаковы,
то g,i = gв и
(3-85)
Рис. 3-24
157
2. Определение инду1пивности линии при в е с ь м а
в ы с о к о й ч а с т о т е при сложной форме сечения про
водов связано со значительными трудностями.
Если форма сечений и расположение проводов таковы,
что ток можно считать распределенным по периметрам по
перечных сечений равномерно, то индуктивность при весьма
высокой частоте можно определить по формуле (3-84), по
нимая в ней под gA, g8 и gА в средние геометрические рас
стояния не площадей sA и I п, а о е р и м е т р о в Лл и Лв
поперечных сечений от самих себя и друг от друга (см. § 1-8,
10-2 и 10-3). При этом для проводов, расположенных один
внутри другого (рис. 3-24, 6), под л.11 следует понимать внеш
ний периметр сечения внутреннего провода и под л.8 - вну
тренний периметр сечения внешнего провода. Более точный
результат может быть получен путем замены в формуле
(3-84) средних rеометричес1шх расстояний gд и g8 периме
тров Лл и л.8 соответствующими величинами_ g А и gв, учиты
вающими истинный характер распределения тою:1 по по
верхностям проводов (§ 1-5).
Если известно выражение для емкости С между прово
дами линии с рассматриваемым поперечным сечением, то
индуктивность линии при весьма высокой частоте можно
определить из формулы
(3-86)
LC = µе,
где е - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды,
окружающей провода.
При желании учесть магнитные потоки внутри проводов
линии надо к значению L, определенному, как указано
выше, прибавить сумму внутренних инду1пивностей обоих
проводов линии (L,н и LВi )- При определении индуктив
ностей L,н и LВi следует ру�юводствоваться указаниями,
данными в § 1-15.
О других методах расчета см. в § 1-17 и 1-18.
3-10. ИНДУКТИВНОСТЬ 1'1\НОГОПРОВОДНОЙ ОДНОФАЗНОЙ
линии
Если однофазная линия состоит из нескольких проводов,
соединенных между собой параллельно, то совокупность
всех проводов с то1<ами одинакового направления можно
рассматривать ка�< один провод со сложной формой попереч
ного сечения. Например, для системы из пяти проводов,
сечения которых показаны на рис. 3-25. совокупность про158
водов J, 2 и 3 можно рассматривать 1<а1< один _ сложный
nровод, а совокупность проводов 4 и 5 - !<ак другои провод.
1. Д ля нахождения ющуктивнос-�:,и линии п р и п о
с т O я н н о м т о к е и н и з к о и ч а с т о т е можно
пользоваться формулой (3-84):
L = � ln е-3�в ,
2л
gAgB
t
(3-87)
опреде ляя средние геометрические расстояния gл , gв и g,iв
по фармулам (l0-1) и (10-2), причем под sA следует понимать
сумму площадей поперечных сечений всех прямых проводов,
а под Sв - сумму площадей поперечных сечений всех обратных проводов
(например, для рис. 3-25 sA = s1 +
1
+ s2 +s8; sв = s4 +s5). Предпола�
гается, что плот�ость тока одинакова
2
для всех частеи каждого из рас�
•.
сматриваемых сложных проводов.
·:z '
:.,.
В большинстве случаев прямой
обратный
провода
одинаr<овы,
и
тоги
да вместо формулы (3-84) следует при.
0
5
менять более простую формулу (3-85),
•
Рис. 3-25
(3-88)
Если все провода одинаковы, то инду�тивность системы
можно найти по формуле
1
=-L = 4µ20 ln _П--'
(3-89)
п/2П '
м
€1
2
где п - общее число прямых и обратных проводов; g1 - сред
нее геометрическое расстояние площади поперечного сечения
одного провода от самой ·себя; П 1 и П 2 - произведения сред
них геометрических расстояний площадей поперечных сече
ний отде льных проводов друг от друга ,· nричем в П 1 входят
все расстояния для проводов с токами противоположного
направления, а в П 2 - все расстояния для проводов с то
ками одного направления.
Распространенным видом многопроводной линии является
линия с расщеплею-tыми проводами, простейшие варианты
которой изображены на рис. 3-26.
Для рис. 3-26, а
_ -1:о_ ( 1 n d Vd2 - л2
L2л
.
рЛ
+ _1 )
4
'
(3-90)
]59
а для рис. 3-26, 6
i
л2 + 1
)
( ln d V d Л+
(3-91)
L = ��
4'
.<..1,
р
где d - расстояние между центрами сечений прямого и
обратного «проводов»; Л - расстояние между двумя про
водами с токами одного направления, а р - радиус отдель
ного провода.
;щ
d
�
5)
d
Рис. 3- 26
При Л � d обе формулы упрощаются:
µ
(
d2
L = 2; 1n рЛ
Длн pv.c. 3-26, в
1 Jn
L = -1:11._
П1
[т
nm
-
1
+ Т) .
(т - 1) \п R - ln то•
(3-92)
+ -41 ] ,
{3-93)
где т - общее число проnодов с токами одного направления;
р - радиус отдельного провода; R - радиус окружностей,
на которых расположены центры поперечных сечений отдель
ны х проводов; П 1 - произведение всех расстояний d1,t
между центрами поперечных сечений проводов с токами
nротивоположно го направления.
160
. Обычно радиус R существенно меньше расстояния d
м ежду центрами поперечных сечений прямого и обратного
«проводов»; при этом
1 l R
1
d +µ" ( IпL =(3-94)
:п
R
т п--+-.
тр
4m )
Аналогичны· формулы справедливы для многопроводных
линий с полыми проводами круr:ового сечения. В этом случае
вместо формул (3-92) и (3-94) следует пользоваться форму
лами:
L=
·И
L
_l!__o_Jп...!!:..__
2:rt
cr/1,
1 n -R )
µ0 (!11 d -1- =n
R
т I тег '
(3-95)
(3-96)
где с -.коэффициент, значения которого даны в табл. 10-1
в зависимости от отношения внутреннего радиуса q к внеш
нему радиусу ,·.
2. Расчет индуктивности многопроводной линии п р и
в ы с о к о й и в е с ь м а в ы с о к о й ч а с т о т е ана
чи�:...1:0 сложнее, чем при низкой частоте.
Если форма поперечных сечений отдельных проводов и· их
взаимное расположение позволяют сделать предположение
о равномерном распределении тока по пер.иметрам сечений
проводов, то расчет индуктивности мноrопроводной линии
при весьма высокой частоте можно производить по формулам
(3-87) и (3-88) так, как указано в§ 3-9, п. 2. При этом под лА
следует понимать сумму периметров поперечных сечений
всех прямых проводов, а под 'лв - то же для обратных про
водов, в соответствии с чем величины gл , gп' и gлв должны
быть определены так, как указано в § 10-2.
Следует, однако,_ иметь в виду, что для многопроводных
линий предположение о равномерности распределения тока
весьма высокой частоты по поверхностям 11роводов может
быть принято даже в качестве перnого приближения лишь
в тех случаях, когда отдельные провода линии расположены
достаточно далеко друг от друга. Поэтому указанным путем,
как правило, можно получить лишь приближенное значение
индуктивности многопроводной линии при весьма высокой
частоте.
3. П р и л ю б о й ч а с т о т е и для проводов из любого
материала индуктивности многопроводных линий (линий
6
Калаитаров П. л. r Цейтлии Л. А,
161
с расщепленными проводами), изображенных на рис. 3-26; а
и 6, при Л
d могут быть найдены по формуле
«
L = h2n
(tn
2
d
рЛ
+ L_f_
µ
4 )•
0
(3-97)
а индуктивность линии, изображенной на рис. 3-26, в, при
d - по формуле
R
«
1.10 ln-+-In-+--,
d
t
R
µ r. )
L =(
n
R
т
тр
µ0 4m
(3-98)
где � - коэффициент, учитывающий поверхностный эффект
в проводах. Значения , можно определить по табл. 2-1 или
по формулам § 2-2. Формулы (3-97) и (3-98) не учитывают
эффекта близости и искажения магнитного поля, вызванного
наличием соседних проводов с абсолютной магнитной про
ницаемостью, отличной от µ0•
Для линий с полыми проводами кругового сечения при
тех же условиях следует ПОJ1ьзоваться формулами:
L = hln rЛ
d2
2n
+ L-·"
d
1
R )
2
1.10 ( ln-+-InL=+-L
n
R
т
mr
т 1'
(3-99)
(3-100)
где r - внешний радиус провода; Li - его внутренняя
индуктивность на единицу длины, определяемая путем
деления на l выражений, данных в § 2-3, п. 3.
3-11. ИНДУКТИВНОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ ОДНОФА:-JНЫХ ШИН
ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
В энергетических установках на большие токи находят
применение шиноnроводы, состоящие из нескольких парал
лельно соединенных шин прямоугольного сечения, обычно
собираемых в пакеты (рис. 3-27). Индуктивность таких
шиноnроводов может быть найдена
так, как указано в предыдущем
параграфе
(см.
также
при
мер 3-5).
Иногда с целью уменьшени я
общей индуктивности шиноnровода
применяют шихтованные пакеты
шин -пакеты, у иоторых шины с
токами прямого и обратного направления чередуются (рис. 3-28).
Рис. З-27
162
Ниже даны формулы и кривые для расчета индуктив
т
те
нос й та ких пак�тов, причем различаю ся е два случая:
шины весьма малои толщины, рассматриваемы при расчете
как б е с к о н е ч н о т о н к и е ленты (рис. 3-28, а, в),
и ш и н ы к о н е ч н о й т о л щ и н ы (рис. 3-28, е6, г).
в каждом 11з этих случаев рассматриваются пакеты с в сьма
большим (теоретически бесконечно большим) числом шин
и пакеты с конечным числом шин. Во всех случаях рассто
яния меж ду соседними шинами (лентами) считаются одина-·
1ювыми.
о)
-
�
<.,
d d d d
�-\.ь121.Ыl1,.Ь/{1.ъ,111,Ъ/{,,Ь/�11,ь/�1·Ь/f1
1•
х
� 1
Ь/2 Ь/2
d
•1,
Ь/2 ь/2
d
•1 ,
><
Ъ/R ь/2
d
•1
Ь/2 Ъ/2
1
1 ъql,Ь/(1
ь/2 Ъ/2 1
�1Si,,iJ)<,��d �,,�dт- k�
Рис. 3-28
1. Шихтованный пакет с бесконечно большим числом
лент (рис. 3-28, а, в; п = оо ).
1) При постоянном то1<е и низкой частоте индуктивность
одной ленты шихтованного пакета с бЕ\Сконечно большим
числом лент может быть найдена из рис. 3-29 по кривой
Ыс = О для расположения согласно рис. 3-28, а и по кривой
с/Ь = О для расположения согласно рис. 3-28, в (d - рас
стояние между центрами поперечных сечений лент, Ь и с размеры сечений).
Для аналитического расчета индуктивности шин, рас
положенных согласно рис. 3-28, а, может служить формула
(3-101)
где d - расстояние между соседним�� лентами; с - их вы
сота, а величины /1, /2, ... , fm, ..• - nоправ1ш, учитывающие
163
отличие средlfего геометрического расстояния между сече:°'
ниями лент от расстояния между их центрами; эти величины
должны быть взяты из пе рвой графы табл. 10-5 при аргу
ментах, равных c/d, c/(2d), ... , с/(тd),
или соответственно
{l
J,6·f0Гн/м
J,4
3,2
З,D
IJ
2,8
R,6
2,4
2,2
2
,0
с/Ь
1 1,8
Lf
а
f.'6
с/Ь=О.5
f,4
1,2
1,0
b1c=f,0
0,8
'
О,б
Ь/с:::;;0,5
0,4
0,2
О
Ь/с ==О
0,2
D,IJ
О,б
0,8 1,G f,2 1,4
d/(Ь+с)--Рис. 3-29
164
1,6
f,8
2,0
d/c 2d/c, ... , mdlc, ... (в зависимости от того, какие и з этих
от�оwений меньше единицы).
для рис. 3-28, в аналогичная формула имеет вид
L1
[in: +f+2(f1-f�+fз-f4+ ···)], (3-102)
= ��
где d - расстояние между центрами сечений соседних лент;
ь -их ширина, а поправки f1, f2 , • • • , f m , . . . , имеющие тот же
6
2,z.1o- E[,HtttE�at�Ht1lE[HtffE[Ht�HtHBr:EHlm
Гн/м
l:1:tt1=t:t1::t:tJ+1=/+t1:tt1:tt1:tt1+t1::t:tl:ttJ:ttj:tij:ttJ:t�t1:tlj
?,D��t�+tЦ+�+tЦ+��t�+��+t1±t�:ttjjt��!�±tttl
f,B
1:1a!E!fSi:E!iE!EaiEarairarE1t�iE�EE!tlli
�14++1�+1=1++:1�+1=1=ttt:tt1=1l:ttt:l+tt:ttQ4't�t�l:tttJj::tjjj
1,8�1:l+t!;:t:t:t:i+tJ�+t:;:tt\=!:t�i=t+:i.:t:tJ�tt=j:tt�:tt:1;:t::t:tJ:ttlli
о
..,
0,1
0,2
0,J D,4
0,5
0,8
d/c-__..,...
0,7
0,8 D,9
1,0
Рис. 3-30
смысл, что и в предыдущей формуле, должны быть в зяты
и з первой графы табл. 10-4 nри аргументах, равных соот
ветственно Ь/d, Ь/(2d), ... , Ьl(md), ...
2) При весьма высокой частоте индуктивность L1 одной
ленты пакета может быть найдена для расположения со
ГJiасно рис. 3-28, а тю кривой рис. 3-30, а также и no простой
формуле
1
L - пµо
(3-103)
1--в
ln2+�-c
· 2 d
165
применимой вплоть до dlc
= 2,5.
Точная формула для L1 имеет 1:1ид
L1
,..о /(
=4
�,
(3-104)
где К и К' - полные эллиптические интегралы первого рода с модулями
k и k' = V1 - k2, определяемыми для рис. 3-28, а по формулам:
k'=th�,
k=---·
'
ch
а для
рис.
2d
�
2d
3-28, в - по формулам:
:л ь ,•
k =cos27
. :л ь
k ' =SIП2d
0
Отношение KIK' можно найти по; таблице приложения 4 или по
приближенной формуле
/('
4
k2
13
2
--=[ \п---- ( 1 +--k2 )] ,
К
:л
k
4
32
(3-105)
применимой при li-' � 1/2 {при k� ;;;;;,, 112 эта же формула после замены k2
на k'2 дает обратное отношение KIK'); при k2 ,;;;;; 0,2 формула (3-105) мо
жет быть заменена более простой:
..!S__
К
= 2... (1п ..i.__ �).
:л
k
4
.
(3-106)
2. Шихтованный пакет с конечным числом лент
(рис. 3-28, а, в).
1) При постоянном токе и низкой частоте индуктивность
шихтованного пакета с конечным числом лент п
(рис. 3-28, а, в) может быть приближенно определена деле
нием индуктивности L1 одной ленты бесконечного пакета
на п/2, т. е. на число лент с током одного направлениЯ!
L=п L 1;
2
(3-107)
при этом Li определяется так, как указано в подпункте I)°
пункта I настоящего параграфа. Погрешность расчета по
формуле (3-107) уменьшается с увеличением числа лент п.
Точное значение индуктивности L определяется по фор
муле
(3-108)
166
общее число лент пакета; g1 - среднее геометри,:
где n _расстояние площади поперечного
сечения однои
ское
че
"
еб
среднее
геометричес
и
с
я
само
кое рассто;
g,,_n
от
ленты
k и п.
площадями
поперечных
сечении
лент
жду
ме
ние
я
Средние геометрические расстояния g1 и ghn определяются
по формулам и таблицам § 10-3, прич�м поперечные сечен!1я
лент рассматриваются как прямолинеиные отрезки длинои с
для рис. 3-28, а и длинои Ь для рис. 3-28, в.
Среднее значение индуктивности L1 одной ленты пакета
получается умножением общей индуктивности пакета L
на число лент п/2 с током одного направления.
2) При весьма высокой частоте индуктивность L шихто
ванного пакета лент с конечным числом лент п
(рис. 3-28, а, в) может быть приближенно определена по
формуле (3-107), в которой теперь под L1 следует понимать
индуктивность одной ленты, определяемую так, как указано
в подпункте 2) пункта 1 настоящего параграфа, т. е. ин
дуктивность одной ленты при весьма высокой частоте в слу
чае, когда пакет имеет бесконечное число лент. Погрешнссть
расчета уменьшается с увеличением числа лент п.
Краевой эффект, вызываемый конечностью числа лент,
можно приближенно учесть, приняв поправочный коэффи
циент х,, учитывающий этот эффект, пе зависящим от частоты.
Тогда более точное значение индуктивности L при весьма
высокой частоте получится умножением приближенного зна
чения, найденного указанным способом, щ1 коэф фюшент ?(,
определенный как отношение индуктивностей того же па
кета, рассчитанных по формулам (3-108) и (3-107) для по
стоянного тока.
3. Шихтованным пакет с 6есконеч1ю большим чис.г.ом
шин к онечной толщины (рис. 3-28, б, г; п = оо).
1) При постоянном токе и низкой частоте индуктивность
4 одной шины шихтованного пакета с бесконечно большим
числом шин конечной толщины может быть найдена по 1<ри
вым рис. 3-29, на котором величина L1 дана в зависимости
от d/(b + с) при различных значениях Ь!с (d - расстояние·
между центрами поперечных сечений соседних шин, Ь и с размеры сечений).
Для аналитическог о расчета может служить формула
2d
L1 = ..&. [1n
+..?...2 - е 2 (f1 - f2 fs - f4
2n
n (Ь + с)
(3-109)
где е - величина, определяемая по табл. 10-3, а f1 , {2, • • • ,
•.. , fт, .•• - поправки, учитывающие отличие среднего
u
0
+
+
+ · · · >] ,
167
геометрического расстояния между площадями поперечных
сечений шин от расстояния между их центрами; если Ь � с,
то эти вел-и чины должны быть найдены по табл. 10-4 при
значениях аргумента, равных соответственно Ыd, Ь/(2d), ... ,
Ь/(тd), ... ; если Ь � с, то поправки fm должны быть найдены
по табл. 10-5 при аргументах, равных c/d, c/(2d), ... , c/(md), ...
или соответственно d!c, 2d/c, .. . , тd!с ... (в зависимости от
того, какие из этих отношений меньше единицы).
2) При весьма высокой частоте индуктивность L1· одной
шины шихтованного пакета с бесконечно большим числом
шин конечной толщины Ь � с (рис. 3-28, 6) может быть
определена по кривым рис. 3-31, на котором величина L1
дана в зависимости от d0/c при различных значениях Ыс
(Ь и с - размеры поперечного сечения· шин, d0 - расстояние
между ближайшими друг к другу поверхностями сосед
них шин).
2,2·105
11·111
Гн/м
Ь/с=О ;,�
2,0
-���
f,8
(\'\.�
1,б
1
;Е� ...�
-'fl
.,
�4
��-
�� �
"
1,2
"
to
i,
ав
1о"
"
1
I
0,6
0,4
�2
о
16.8
..
O,J 0,4 0,5 О,б 0,7
d0/с---;.Рис. 3-3!
0,8 0,9
для аналитического расчета при Ь � с -и dn <. с может
л
у
с жить формула
µо
L1
2
= 4 { + -} [ ( 1 + 2 ln ( 1 + : ) + l n
)\
Т
л
1)
= тµо
л + (26 + Ч) ln ( 1
-t] } --
6
26 ) +
+ 11
26 ln -%-
,
(3-110)
где б = dofc; 'У) = Ь/с.
При желании учесть магнитные потоки внутри шин
к величине L1 , найденной одним из указанных способов,
следует прибавить внутреннюю индуктивность шины
L11где
Ф=
r
=1 'l f
2с
µ Ф
2(JJy
( 3-111)
,
1 +fв[-}(1 +i) m(1 +-*) +1]
{1
+ � о [ ( ! + 2 � ) \ n ( 1 + � ) + ln
6 ] У'
а прочие обозначения те же, что в формуле (3-110).
Прн б
l (для. близко расположенных шин) можно
положить в формуле (З-111) Ф = 1.
При значительном расстоянии между шинами (б близко
к единице) можно пренебречь влиянием соседних шин и
определять ½t как для уединенного провода прямоугольного
сечения (§ 2-7).
4. Шихтованный пакет с конечным числом шин конеч
но й толщины (рис. 3-28, б, г).
1) При постоянном токе и низкой частоте индуктивность L
ших тованного па�{ета с конечным числом п шин конечной
толщины (рис. 3-27, в, г) может быть приближенно опреде
лена делением индуктивности одной шины пакета с беско
нечным числом шин на п/2, т. е. на число шин с током одного
направления:
«
(3-112)
при этом L1 определяется так, как указано в подпункте 1)
пункта 3 настоящего параграфа. Погрешность расчета по
формуле (3-J 12) уменьшается с увеличением числа шин п.
Точное значение индуктивности L может быть найдено
ло ф ормул е (3-108), в которой для шин конечной толщины
9
под gi и gkn следует-понимать собственные и взаимные средние
геометрические расстояния не отрезков (как для лент), а пло
щадей прямоугольников, являющихся поперечными сече
ниями шин (эти величины определяются по формулам и
таблицам § 10-3).
2) При весьма высокой частоте индуктивность L шихто
ванного пакета с конечным числом п шин конечной толщины
Ь -,;;;. с (рис. 3-27, б) может быть приближенно определена по
формуле (3-112), в которой теперь под L1 следует понимать
индуктивность одной шины пакета с бесконечным числом шин
при весьма высокой частоте, определяемую так, как указано
в подпункте 2) пункта 3 настоящего параграфа. Погрешность
расчета уменьшается с увеличением числа шин п.
Краевой эффект, вызываемый конечностью числа шин,
можно приближенно учесть, приняв поправочный коэффи
циент 'Х, учитывающий этот эффект, не зависящим от частоты.
Тогда более точное значение индуктивности L при весьма
высокой частоте получится умножением приближенного значе
ния, найденного указанным способом, на коэффициент Х, опре.
деленный как отношение индуктивностей того же пакета, рас�
считанных по формулам (3-108) и (3-112) для постоянного тока.
Пример 3-5. Шинопровод (рис. 3-32) состоит из четырех медных шин
nрямоуГОJiьноrо сечения, соединенных так, что две шины(/ и 2 на рис. 3-32)
образу1от прямой провод, а две другие шины (3 и 4) - обраПJый провод.
Размеры шин и расстояния между ними в мИJJлиметрах даны на рисунке.
Определить индуктивность линии при низкой частоте.
Реш е 1-1 и е. Для определения индуктивности линии применяем
формулу (3-87), рассматривая шивы 1 и 2 как один прямой провод А,
шины 3 и 4 - как обратный провод В. Средние геометрические расстоя
ния gA = gв иgАв находим по формулам (10-1) и (l0-2), которые приме
нительно к определеншо средних геометрических расстояний принимают вид
2
(s 1 + 52) ln gA = � \п g1 + � 1� g2 + 2s1 s2 ln r 12;
(s1 + s2)(�:J + s4) \пgАв= s15:i lпg1� +5i.s4 lng1� +
+ S:i�з ln g2:, + S:JS4 lng24,
�
""
10 20 fO
10 20 10
'
1
х I х
1
170
J"
.
'
200
Рис. 3-32
1
..,
1
.
3 ' 4
5 • 5 и т. д. - ттлощ ади поперечных сечений шин; gi , g2, gi2; gпJ
г., де 1 ':.! срещше геометрические расстояния этих площаде й от самих себя
г
В данном случае s1 = s2 = Sз = s4, gl = g2, g1s = g24,
_: �:у от друга.
и мы получаем
JngA = {-( \пg 1 + l пg12 ); lng Aв = + (lпg14 + 2 lпg 1J + l пg 23).
Величину lп g1 опреде.пяем по формуле (20-21), взяв значение е из
табл. J0-3:
Jпg1 = lп (10 + 1) - 1,5 + 0,002 = 2,398 - 1,500 + 0,002 = 0,900.
Средние геометрические расстояния g12, g1 :i• g23, g14 определяем по
форму11е (10-44), находя зна чения f no табл. 10-5. Результаты расчета
сводим в табл. 3-2.
Таблица 3-2. Чис.�овые данные к примеру 3-5
Нпмер
шины
1;
1;
1;
2;
2
3
4
3
d. см
3
20
23
17
lfl d
c/d
h/c
1,099
2,996
3,135
2,833
3,3333
0,5000
0,4348
0,5882
0,1
0,1
0,1
0,1
\ng
0,4003
0,0197
0,0152
0,0245
1,499
3,016
3,150
2,858
Подставляя найденные значения логарифмов в форму.пы для lпgл
и ln gлв, имеем
1
(0,900 + 1,499) = 1,200;
lngA =
2
1
(3,150 -1- 2-3,016 + 2:858) = 3,010,
4
Искомая индукrивность по формуJiе (3-87)
L = Е:о..1п g AB = 4:rt· IO-� (3,010- 1 ,200) = 7,240 10-1 Гн/м.
n
n
gA
Пример 3-6. Пакет медных шин прямоуrоJiьноrо сечения состоит из 10
одинаковых шин (пяти прямых и пяти обратных), расп01юженных так,
как· показано на рис. 3-28, 6. Ширина шин Ь = 1 см, высота с= 10 см,
расстояни е между соседними шинами do = 1 см. Найти индуктивн ость
пакета при низкой частаrе.
Р еше н и е. Применяем формулу (3-108). В данном CJiyчae п =
= 10, blc = 0,1. ВеJJичину lng1 опреде.Jiяем по форму11е (10-21) и табл. 10-3.
При Ыс = О,1 из таб.11. 10-3 находи�� Б = 0,0021, и, следовате.11ьно, lп gi =
= lп (10 + 1) - 1,5 + 0,0021 = 0,9000. Логарифмы всех других сред
них геометрических расстояний находим по формуле (10-44) и табл. 10-5.
Результаты расчета сводим в табл. 3-3.
Подставляя найденные значения логарифмов в (3-108), 110J1учаем
4 4 1 7
(2,915 + 3-2,678 + 5. 2,373 + 7· J ,953 +
L = - n�
:rt• о+ 9. 1,304-5-0,900- 2-2,803- 4-2,536-6-2,182- 8-1,669) = 2,459 .10-в Гн;м.
\11gАВ =
?-
171
Таблица 3-3. Числовые данные к прИ111еру 3-6
Номер
шины
l; 10
3; 10
5; 10
�; 10
9;
2;
4;
6;
8;
10
10
10
10
10
1
q,
см
18
14
10
6
2
16
12
8
4
I
c/d
lr, d
2,8904
2,6391
2,3026
1,7918
0,6931
2,7726
2,4849
2,0794
1,3863
d/c
0,5556
0,7143
-
-
0,6
0,2
-
0,8
0,4
l
-
0,6250
0,8333
-
-
ln Р.
1,11
0,0242
0,0386
0,0702
0,1607
0,6105
0,0301
0,0510
0,1023
0,2826
2,915
2,678
2,373
1,953
1,304
2,803
2,5.'!6
2,182
1,669
3-12. ВЗАИМНА.Я ИНДУКТИВНОСТЬ ДВУХ ПЛРАЛJJЕJJЬНЫХ
ОДНОФАЗНЫХ JJИНИЙ С ПР ОВОДАМИ КР УГОВОГО СЕЧЕНИЯ
При низкой частоте взаимная индуктивность двух па
раллельных однофазных линий со сплошными или полыми
проводами кругового поперечного сечения может быть най
дена по формуле
(3-113)
где d11i - расстояние между центрами сечений k-го и i-ro
проводов, причем цифры 1 и 2 относятся к проводам одной
линии, а цифры 3 и 4 - к проводам другой линии (рис. 3-33).
Если пренебречь эффектом близости, а также искажением
магнитного поля, вызванным наличием соседних проводов
с абсолютной магнитной проницаемостью, отличной от µ0 ,
то приведенной формулой можно пользоваться при пере
менном токе любой частоты и для линий с проводами из
любых материалов. Влияние обоих указанных факторов
обычно весьма мало и может привести к ощутительной
погрешности лишь для линий, весьма близко расположен
ных друг к другу.
с л у ч а и.
Ч а с т н ы е
а) Линии имеют общую
2
1
симметрии
(рис.
ось
[
3-34, a)i
®
®
3
Рис. 3-33
172
4
® л ®
d23 = d14 , d24 = dн:
ln di�. (3-114)
М =.&..
d
n
14
б) линии одинаковы и расположены симметрично
(.рн<::. 3-34, 6):
d23 = dн = h, d 24 = d19 = Vh2 + d2 ;
h2 + d2
лА1 = �
(3-115)
2n ln h2
б)
d
Рис. 3-34
f
в) Линии расположены в одной плоскости (рис. 3-34, в):
d14 = d
+ d1 + d2, d2s = d, d1з = d + d1 , ·d24 = d + d2;
м _ ft l (d + di) (d + d2)
- 2n n d(d + d1 + �) ·
(3-116)
При значительном расстоянии между линиями все четыре
расстояния d13, d14, d2s , d24 , входящие в формулу (3-113),
близки друг к другу, величина, стоящая nод знаком лога
рифма, близка к единице и расчет по этой формуле весьма
неудобен. В подобных случаях для линий, лежащих в па
раллельных плоскостях (рис. 3-35, а), удобна следующ ая
приближенная формула:
2
М = nµ0 'l'JS [cos 2а ('ti2 + �,2)(2 cos2 2а - 1)], (3-117)
где '1'} = Ь/d0; s = c/do . В частности, для линий, лежащих
в одной плоскости (а = О),
2).
м = 2µ0 'l'Js(1 + 1)2
(3-118)
n
+
+�
173
_ Для линий, лежащих во взаимно перпендикулярных
плоскостях (рис. 3-35, 6), можно пользоваться следующей
приближенной формулой:
111 - 4µо 11s cos sin а. 1 + 4 (11>! cos2 а+ �2 sin2 а)]
(3-119)
- л (1+112+;2)2 [
(1+112+1;2)2
•
(Х
а)
do,.,, �
.,,
6о/
о>---ъ-*'--�ъ-
dq,,,/
-�
Q
«
ъ
«
�/
Рис. 3-35
Если Ь
d0 и с
d0 , то величинами '1'}2 и t2 можно пре
небречь по сравнению с единицей, и· тогда вместо формул
(3-117), (3-118) и (3-11 9) получим соответственно:
= 2� b c
М
(3-120)
л dо0 cos 2а;
М = 2µ"�·
(3-121)
2 '
:n: dо
2µ0 Ьс
/\"
'1 = -- sln 2 а.
(3-122)
:n: d2
о
Последние формулы при больших расстояниях между
линиями дают достаточную для практики степень точности
и весьма удобны для расчета.
О расчете взаимных инду1{тивностей в более сложных
случаях см. в § 3-13 и 3-14.
Пример 3-7. Две двухпроводные однофазные линии расnоJ1ожены
в одной плоскости так, как показано на рис. 3-36. Определить взаимную
индуктивность линий.
Р еше н и е. Применяем формулу (3-116), В данном случае d1 =
= � = J м, d = 4 м и
10-71 (4 + 1)(4 + 1)
М = 4:n:2-2· 0-'1 \ �=8' lб·IO-g�Г"/м.
n:
n 4 (4 + 1 + 1) - 1
n и
:
174
Так как di = d2 � d. то можнn применить и формулу (3-118). В дан
ном случае
do = 5 м; Ь =с= 0,5 м; rJ = � = 0,5/5 = 0,1;
7
= 2-4:rt:Jt-l0- .10--2(1 2.10- 2)=8,160-10-0 Гн/м.
Е сли поль зоваться формулой (3-121), то получим
= 2·4:rt- lO-? . 10-2 = 8-10-� Гн/м.
:rt
м
+
м
Результаты, по.пученные всеми тремя способами, хорошо согл асуются
друг с другом.
г
ф fм �
f�
ф fм
1""
..j...
•1•
·4м
"j
Рис. 3-36
3-13. ВЗАИМНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
О ДНОФАЗНЫХ ЛИНИЙ С ПРОВОДАМИ ПРОИЗВОЛЬНОГО
СЕЧЕНИЯ
t. П р и п о с т о я н н о м т о к е и н и з к о й ч а
с т о т е взаимная индуктивность двух параллельных одно
фазных линий с проводами произвольного поперечного сече
ния (рис. 3-37) определяется формулой
(3-123)
,1
1
где gл v, gвс и т. д. - средние геометрические расстояния
соответствующих площадей (sл , s 8 , sc , sп) поперечных сечений
проводов друг от друга (о методах,
формулах и таблицах для определе
ния этих величин см. в § 1-8 и
гл. 10).
В частности, для л и н е й н ы х
А
Sв "Ав
проводов gAD = dлп, gnc = dвс и т. д.,
где dлv, dвс и 1_'. д. -расстояния меж
ду центрами инерции поперечных се
чений соответствующих проводов, и,
следовательно,
.
(3-124)
8
·
PtiC. 3.37
175
Последняя формула справедлива и для линейньtх про•
водов из ферромагнитных материалов.
Так как формула (3-124) отличается от основной формулы
(3-113) лишь обозначениями, то для однофазных линий
с л и н е й н ы м и проводами произвольного поперечного
сечения справедливы все формулы, приведенные в § 3-12
для проводов кругового сечения.
2. Формула (3-113) и вытекающие из нее формулы § 3-12
справедливы для л и н е й н ы х проводов п р и л ю б о й
ч а с т о т е.
3. Для н е л и н е й н ы х проводов взаимную индуI{
тивность линий п р и в е с ь м а в ы с о к о й ч а с т о т е
можно опред�лять по формуле (3-123), понимая в ней под
gAD, g80 и т. д. средние геометрические расстояния не пло
щадей sA , s8, s0 , Sn, а периметров лА , л8 , 'Ас, 'лп поперечных
сечений проводов друг от друга (см. § 1-8 и гл. 10) . Такой
метод расчета соответствует предположению, что токи высо
кой частоты равномерно распределены по поверхностям
проводов, и приводит к значительной погрешности лишь
для проводов, расположенных в непосредственной близости
друг от друга.
3-14. ВЗАИМНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
МНОГОЛРОВОДНЫХ ОДНОФАЗНЫХ ЛИНИЙ
Если однофазная лини-я состоит из нескольких проводов,
соединенных между собой параллельно, то· совокупность
всех проводов с токами одного направления можно рассма
тривать как один провод со сложной формой поперечного
сечения. Например, для системы из пяти проводов, сечения
которых показаны на рис. 3-25, совокупность проводов 1, 2
и 3 можно рассматривать как один сложный провод, а сово-
купность проводов 4 и 5 - как другой провод.
1. Взаимная индуктивность двух - мноrопроводных линий
пр и п о с т о я н н о м т о к е и н и з к о й ч а с т о т е
может быть найдена по qюрмуле (3-123), причем средние
геометрические расстояния gAD, gпс и т. д. должны быть.
Qпределены по qюрмулам § 10-3; под Sл следует понимать
сумму площадей поперечных сечений всех прямых проводов
nервой линии, под s8 - сумму сечений всех обратных про--·
Бодов первой линии, а под sc и sn - соответствующие суммы
для второй линии (для рис. 3-25 sA = s1 + s2 + s8 , sв =
= s4 + s5 и т. д.); предполагается, что плотность тока оди11акова для всех частей каждого из рассматриваемых слож
вых проводов.
176
...
Обычно все провода каждой линии одинаковы и число
у т
равно числу обратных роводов
пря
мых п rоводов
'.
п второи
. П-ст.ь
а
для
это
число
равно
п,
линии
ои
перв
для
тогда выражение для М можно представить в виде
П1
/.1.о - } пм =-2(3-! 25)
п '
u
:rtnm
2
г де П1 и П2 - произведения средних геометрических рас
стояний площадей поперечных сечений отдел ьных проводов
первой линии от площадей поперечных сечений проводов
второй линии, причем в произведение П1 входят все рассто
яния для проводов с токами противоположного направления,
а в произведение П� - все расстоя
3 4
ния для проводов с токами одина 1 2
для
I
Например,
кового направления.
�
. двух линий (/ и / /), сечения кото
рых изображены на рис. 3-38, п = 2,
т= 1 и
5
6
][
М = µо lп Rн,i/2r,i/зof540
®®
2л · 2 · 1
g1вg2вgsr,g45 •
®
®
Если все провода линейные, то
Рис. 3-38
отдельные средние геометрические
гаrстояния ghl, входящие в произведения Пi и П2, можно
заменить расстоя·ниями dh1 между центрами инерции по
перечных сечений соответствующих проводов. В этом слу
чае формула (3-125) справедлива и для проводов из ферро
магнитных материалов.
2. Формула (3-125) после замены в ней средних геометри
ческих расстояний ght расстояниями dh1 между центрами
инерции поперечных сечений соответс твующих проводов
справедлива для л и н е й н ы х проводов n р и л ю б о й
ч-а ст о т е.
3. Для н е л и н е й н ы х проводов взаимную индук
тивность двух многопроводных однофазных линий п р и
в е с ь м а в ы с о к о й ч а с т о т е можно определить
так, как указано в пункте 3 предыдущего параграфа. Под л._-1
в этом случае следует понимать сумму п е р и м е т р о в
поперечных сечений всех прямых проводов первой линии,
под л8 - то же для обратных проводов первой линии
и т. Д.
Такой расчет соответствует предположению о равномер
ном распределении токов по поверхностям всех проводов
каждой линии. Это предположение при расчете взаимных
индуктивностей приводит, как правило, к sначительно
177
меньшей погрешности, чем при расчете собственных индук
тивностей.
При равном числе прямых и обратных проводов для ли
ний с одинаковыми проводами приближенно справедлива
формула (3-125), в которой под П1 и П2 следует в данном
случае понимать произведения средних геометрических рас
стояний не площадей, а периметров поnеречных сечений
соответствующих проводов.
3-15. ИНДУКТИВНОСТЬ ТРЕХФАЗНОЙ ЛИНИИ
Индуктивностью одной фазы трехфазной линии называют
величину
(3-126)
где k -номер фазы; ЛИ11.r - реактивное падение напряже
ния в k-й фазе; i11.. -ток в ней (§ 1-13). Индуктивность фазы
зависит от соотношения между токами. Если токи образуют
симметричную трехфазную систему, т. е.
- i E:..
1
. Jfз
iз- = -.i1
2 = -.
-.iз = - -2 - J - ' (3- 127)
=а= е
2
то
11
lz
lз
Lp1 = Л1 - 2 (Л12 + Л�1);
1
Lp2 = Л2 - 2 (Л23
1
+ Л12);
Lрз = Л3 - 2 (Лз1 + Л23),
1
(3-128)
гд е Л1, Л2, Лз, Л12, Л23 , Л31 - условные собственные и
взаимные индуктивности проводов (§ 1-13). Обычно Л1 =
= Л2 = Л3, и тогда
+ L i);
Lp2 = � (L2э + L12);
Lp1 = : _(L12
L vз = 4 (L111
3
+ L J,
2
.
1
1
(3-129)
где L12, L23, L31 - индуктивности однофазных линий, со
ставленных соответственно из проводов 1 и i, 2 и 3, 3 и 1.
178
й фаз
таким образом, в этом случае расчет индуктивносте
соот
остей
ктивн
инду
ету
расч
к
тся
своди
и
лини
трехфазной
тные
расче
ых
котор
для
,
линий
ветствующих однофазных
3-9).
и
3-3
е·
(§
формулы даны вы1:1
Для трехфазном лини� с одинаковыми проводами, рас
ль
положенными с. и м м е т р и ч н о по вершинам праrзи
ин
ные
е
взаим
и
венны
собст
ные
услов
а,
ного треугольник
дуктив ности проводов одинаковы:
Л1 = Л2 = Л,1; Л12 = Л2.ч = Лз1В этом случае, независимо от степени и характера не
трех фаз
симметрии системы токов, индуктивности всех
,-акже одинаковы:
Lpi = L p2 = Lµ3 = L P = Л 1 -Л12
(3-130)
и вдвое меньше индуктивности
L = 2Л 1 - 2Л 12 соответствую
Рис. 3-39
щей однофазной линии, т. е.
линии с теми же проводами и
для
таким же их взаимным расположением. В частности,
ия
сечен
вого
круго
дами
прово
с
линии
трехфазной
(3-131)
L = �; ( ln � +_
+) ,
P
где d - расстояние между осями nроврдов; r - радиус
сечения провода. Если абсолютная магнитная проница
емость проводов µ отлична от µ0, то
(3-132)
L = �(
In�+-¼-�)·
p
В трехфазных линиях с н е с и м м е т р и ч н ы м рас
положением проводов (см., например, рис. 3-39) конструк
тивная несимметрия линии может быть устранена путем
транспозиции проводов, т. е. периодичес(кого изменения
месторасположения отдельных фаз линии рис. 3-40). Для
несимметричной т р а н с n о н и р о в а н н о й линии сред
нее значение индукт11вности фазы на участке, длина которого
1
2
3
х
2
J
f
з
�
1
2
х х
1
2
з
2
3
1
Рис. 3-40
179
втрое превышает. длину нетранспонированноrо участка, оди
наково для всех трех фаз и независимо от степени и характера
несимметрии системы токов равно
1
L P = 3 lЛ1
При Л 1
+ Л + Лз - (Л12 + Л + Л 1)].
2
23
3
(3-133)
= Л2 = Л3
LP = Л1 --½,-(Л1 2 -!-Л2з + Л31) =
+
1
+
(3-134)
= 6(LJ 2 L2з L:н ),
где L 12, L 23 , L 31 - индуктивности однофазных л иний (пе
тель), составленных соответственно из проводов 1 и 2, 2 и 3,
3 и /.
В частности, для линии с проводами кругового сечения
(ln_!!_
L Р =�
211:
,
+ _J_j:_)
4µ0 '
(3-135)
где d = У d 12�dз1; r - радиус проводов; d 12, d23 , dЗI - рас
Gтояния между ними.
Значения индуктивности одной фазы трехфазной линии,
вычисленные по формуле (3-135) приµ = µ0, даны в табл. 3-4
в зависимости от отношения dlr.
Общие формулы настоящего параграфа применимы и
к мноrопроводным трехфазным линиям (линиям с расщеплен
ными проводами), т. е. к линиям, каждая фаза которых
состоит не из одного, а из нескольких соединенных парал
лельно проводов. Однако в этом случае необходимо допол
нительное предположение о том, что плотность тока во всех
проводах каждой фазы одинакова. В формулах (3-129),
(3-130) и (3-134) под L 12, L 23 , L 31 следует при этом понимать
Таблица 3-4. Индуктивность одной фазы трехфазной J1инии
tl
r
20
30
40
50
60
70
80
90
180
6,491
7,301
7,878
8,324
8,689
8,997
9,264
9,500
d
,
L 7,•
мкГп/м
1()()
9,710
10,521
11,097
11,91
12,48
12,93
13,29
150
200
300
400
500
600
tl
,
1000
1100
13,60
13,87
14,10
14,32
14,51
1300
14,84
700
800
900
1200
14,68
индуктивн ости соответствующих многопроводных однофаз
ных линий, определяемые так, как указано в§ 3-10.
Пример 3-8. Трехфазная линия выполнена из медного провода ра
диус а r = 7 мм. Провода линии расположены в одной плоскости (рис. 3-39)
на расстоянии d12 = d23 = 3 м друг от друга. Система токов симметрична.
Определить индуктивности отдельных фаз линии.
реше н и е. Находим индуктивности соответствующих однофаз
ных линий. Применяя формулу (3-28), получаем
3
· 4л·10-7
( ln
+ 0, 25 ) =
L12 = L23 =
0.007
:rt
=4-10'-(6,061 + 0, 25) = 2,524-10-G Гн/м.
Аналогично
Lз1 = 2,802· ю-G Гн/м.
По формулам (3-129)
Lp1 = Lр.ч = Т (2,524 + 2,802)· 10-G = 1,331 · 10-6 Гн/м;
Lp2 = /J12f2 = 1,262 · 10-6 Гн/ м.
Среднее значение индуктивности фазы
1
Lp = 3 (Lp1 + Lp2 + L p3) = 1,308· 10-6 Гн/м.
Если линия транспонирована, то среднее расстояние между прово
дами
d=-V3·3·6=3,780 м; d/r=З,780/0,007=540,
н по формуле (3-131) находим
4л-J04
Lp = 2n
(lп 540 + 0,25) = 1,308- 1�6 Гн/м.
По табл. 3-4 при d!r = 540 получаем L p = 1,307 Гн/м. Оба резуль
тата практически совпадают друг с другом и с найденным ранее сред ним
значением нндуктнnностей фаз.
3-16. ИНДУКТИВНОСТЬ ДВОЙНОЙ ТРЕХФАЗНОЙ ЛИНИИ
Если две трехфазные линии расположены рядом и идут
параллельно друг другу, то вследствие электромагнитного
воздействия, которое каждая из них оказывает на другую,
эквивалентные индуктивности фаз зависят не только от
соотношения между токами данной линии, но и от токов
в соседней линии. Понятие об индуктивности фазы стано
вится при этом uеопределенным и, no существу, теряет
см ысл. Если, одI-Iако, поnеречные сечения обеих линий
одинако'Вы и расnоложены симметрично (каr<, например, на
рис. 3-41), а соответствующие их фазы соединены nарал
лельно, то токи обеих линий будут nофазпо одинаковы
и понятие об индуктивности отдельной фазы может быть
введено так же, ка�< и для одиночной линии, причем индук181
п
Рис. 3-41
тивности различных фаз будут, вообще говоря, различны.
Это различие может быть устранено путем транспозиции
проводов_ Две простейшие схемы транспозиции двойной
трехфазной линии показаны на рис. 3-42.
Для схемы рис. 3-42, а индуктивность одной фазы линии
определяется формулой
1
Lp = Л1 - 3 (Л 12 + Л23 Лз1 ) +
+
1
+ 31 (Л1 ' +л22, + Аз.�-) - т(Л1
,+
1
2
Л2_1,
+ Л31•),
(3-136)
где Л1 - условная собствен:ная индуктивность одного про
вода; Л 12 , Л11,, Л12• и т. д. - условные взаимные индуктив
ности проводов, причем значения индексов ясны из
рис. 3-42, а ( например, Л23, - условная взаимная индук
тивность второго провода первой линии и третьего проnода
второй линии).
В удобном для расчета виде формула (3-136) может быть
представлена так:
(3-137)
где g1 - среднее геометрическое расстояние площади попе
речного сечения провода от самой себя;
gr = f! g12g2зgз1; gн = f g1,-g22-gзз,; gш = v g,2,g'lЗ,gз,-,
.а g12, g11,, g12· и т. д. - средние геометрические расстояния
площадей поперечных сечений проводов друг от друга (рас
становка индексов та же, что и в предыдущей формуле).
�=-:::-...::-_x-=:
�
-=
=
-:5<
_
-=
�
-�
=
:=
:=_
i====�����-��=== i=
З' а)
1:
--- ---
3·'---�
Рис. З-42
182
в частности,
сечения
где
для линий с проводами кругового поперечного
(!п D1Dш
LР = ..ь_
•D
2n
н
D,
+....!...4 ),
(3-138)
= у d,1d�dз1; D11 = У d11-d22·d'33-;
D111 = i1/d12-d2з,dз1,;
r - радиус проводов; d,2, d11·, d12· и т. д. - расстояния
между ними.
Например, для двqйной линии, по1<азанной на
рис. 3-41, а,
_d?�
LР _-1:!:,_
(3-139)
П ·з.
2n
r V d1d2dз + 4 ,
а для двойной линии на рис. 3-41, б
/¼ ' d :V 2 (D2 - d'l)
1
L =ln r 'V n2 - 4d2 + •
(3-140)
Р
2n \
4)
(1
..!...)
Если транспозиция проводов выполнена по схеме
рис. 3-42, б, то суммарная ЭДС, индуктируемая токами
одной линии в любой фазе другой линии, равна нулю. По
этому индуктивность одной фазы каждой линии выражает
ся так, ка�< если бы другой линии вообще не было, т. е.
формулой (3-133; или (для линии с проrюдами кругового
сечения) формулой (3-135). При этом даже не 1ребуется,
чтобы токи в линиях и сами лннии были одинаковы; вза
имное расположение проводов обеих линий также может
быть произвольным.
3-17. ИНДУКТИВНОСТЬ ТРЕХФАЗНЫХ ШИН
Индуктивности фаз трехфазных шин произвольного попе
речного сечения при симметрии системы токов могут быть
· определены по формулам (3-129), при
ъ ъ ъ
че м для шин прямоугольного сечения
индуктивности соответствующих одно
фазных линий должны определят�,ся по
формулам и кривым§ 3-4-3-7.
Для наиболее важного случая - для
с плошных шин прямоугольного сечения,
расположенных согласно рис. 3-43, индуктивность средней фазы (2) равна
половине индуктивности однофа�ных
u.ин с тем же соотношением размеров
Ь и с и тем же расстоянием d между
Рис. 3-43
183
. ш-ш-6
'Гн/м
0,9
0,8
1
b/,d
0,7
D,6
о
0,2
0,4
О,б
0,5
t.ii"tj
11
о.в
ц: 0,4
'
f,0
'-'l'lj
D,3
O,f
о,г
0,3
d/с-�--
D,4
o,s
Рис. 3-44
шинами (см. § 3-5, в частности рис. 3-12 и 3-13); для опреде
ления индуктивности крайней фазы (1 или 3) могут слу
жить кривые рис. 3-44, на которых индуктивность L P1 =
= Lps, отнесенная к величине d/c, дана в зависимости от
параметров Ь/d и d/c.
-
0.9·f0-s
'Гн/м
0,8
(d
о
0,2
0.4
0,7
о.в
,6
0
1 0,5
-frlp
0,4
0,8
f,O
O,J
'о/о
184
0,1
0,3
о,г
d/с--
Рис. 3-45
0,4
0,5
На рис. 3-45 такие же кривые построены для с р е д
н е й индуктивности трех фаз, также отнесенной к вели
чине dlc.
ГЛА ВА ЧЕТ ВЕРТАЯ
ИНДУКТИВНОСТИ ПЛОСКИХ КОНТУРОВ
4-1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
1. Применяя метод участков(§ 1-4) и используя формулы
и методы расчета индуктивностей отдельных проводов,
данные в гл. 2, можно найти собственные и взаимные инду1<
тивности плоских и пространственных контуров любой
формы.
При этом для определения взаимной индуктивности М
двух контуров следует непосредс_твенно пользоваться основ
ной формулой (1-14):
11+т
11
м=Е Е
k=l l=11+1
(4-1)
Mki•
а для определения собственной индуктив-ности L какого
нибудь контура целесообразно придать основному выра
жению (l-13)
L
=
Е L1i + i<=I
Ем
Е i=l
k=I
11
fJ
lt
IФ
i =/=: k
(4-2)
несколько иной вид. Согласно формуле (2-49) собственная
индуктивность L" каждого участка сложного контура может
быть представлена в виде
(4-3)
L1i = N" - G1i ,
причем величины N11. и Gh в общем случае определяются
так, как указано в § 2-10. Подставляя (4-3) в (4-2), имеем
L
n
n
11,
= k=l
Е i=l
Е Мм Е N,. + k=I
n
Е
k=I
О,., i =f=:k.
(4-4)
2. В дальнейшем предполагается, что форма и размеры
поперечного сечени11 провода, из которого выполнен контур,
)85
одинаковы на всех его участках. При этом условии вели
чины Gh можно представить в виде Gh = l11H, где Н величина, не зависящая от lh и одинаковая для всех уча
стков, откуда следует, что последняя сумма в формуле (4-4)
равна G = lH, где l = l1 + l2 + ... + ln - общая длнна
всех участков. Таким образом, собственная инду1<тивность
линейного контура
(4-5)
L = N-G,
причем
1l
п
11,
N= }.J N11+ � � Mhi,
k=I
k=I i=I
i==!=k,
(4-6)
где п - число участков контура; M hi - взаимная инду1<
тивность k-го и i-го участков; Nh - значение величины N,
входящей в формулу (4-3), для k-го участ1<а; величина G,
пропорциональная длине контура (его периметру), может
быть найдена в различных случаях по формулам и методам
§ 2-10. В частности, для контура из провода I<ругового
сечения
l
G = µo
(Inr - ..1:... -1-),
2,i:
µ,. 4
где � - величина, зависящая от характера распределения
тока по сечению провода и определяемая так, как указано
в § 2-2 (например, из табл. 2-1).
Ниже для контуров различной формы даны значения
величины N. Собственная индуктивность контура получается
из N и G по формуле (4-5).
4-2. ИНДУКТИВНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
Для треугольного 1юнтура величина
N
= /::i [а ln2а + Ыn 2Ь + с ln 2с-l (1 + J nl) +
+ aln(l - 2а) + Ь ln(l-2Ь) +cln (l - 2c)l,
(4-8)
где а, Ь, с-· стороны треугольника; l =а+ Ь + с - его
периметр. В частности, для равнобедренного треугольника
(с =·Ь, l = а+ 2Ь)
N=f; [aln2a+2Ьln2b-l(I+Inl)+
+ а 1n(2Ь - а)+ 2Ь lri а].
Для равностороннего треугольника (а
N = l':i:..
(tп �
- I).
2,т
61
186
=Ь=с=
(4-9)
l/3)
(4-10)
Пример 4-1. Треугольный контур со сторонами а= 1О см , Ь =
_ 20 см и с = 15 см выполнен из медного провода диаметром 2r = 0,4 см.
Опреде лить индуктивность контура при низкой частоте и при весьма вы
сокой частоте.
ре ш е н и е. Длн определении индуктив1юсти пользуемся формулой L = N - G, причем величину N опредеJJяем по формуJJе (4-8):
4л-10- 7
t0.I ln 0,2 + 0,2 ln 0,4 + О, 15 Jn 0.3 N=
211
- О,45 (1 + \п 0,45) + О,1 ln 0,25 + 0,2 ln 0.05 + 0.15 ln 0.15] =
=- 2, 1,638-10- 7 = -3,276-10- 7 Гн .
Величину G определяем по формуле (4-7).
При f =О величина , = 1 и
1
G = 4n· 10; ·0·45 (1n 0,002- 0,25) = - 5,819- ю-7 Гн;
1L
L = N - G = (- 3,276 + 5,819) - lo-7 = 2,543- 10- 7 Гн,
При f = оо величина , = О и
4л-10-7
·О,45 In 0,002 = -5,594- 10- 1 Г11;
G=
2л
L = N - G = (- 3,276 + 5,594). 10-7 = 2,318, 10- 7 Г н.
Для определе,шя индуктивности контура можно таюке воспользо
ваться приближенной формулой (4-28), приведе!J!:!ОЙ в § 4-10.
!Jданном случаеl=45см,S=
f(� -а)(;-ь)(�
V
-с)=
= ](22,5·12,5·2,5·7,5 = 72,63 см 2 = 7,263·10-� м 2•
При f = О величина , = 1 и
4:rt· 10-7
14,526-10-з
L=
-0,45 ( 1n
. Б- 0,15 + () ,25 = 2,592-10-7 Гн.
211
О 4 U,ОО2
)
При f = оо величина � = О и
4п- lО� -О
14·526. ю----s - О
1 5) = 2 368·10-7 Г н.
L=
45 ( 1
2:rt
'
п 0.45-0.002
'
'
Сравнение результатов, полученных no обеим формулам, по1(азывает,
что приближенная формула дает в данном случае погрешность около 2 %.
4-3. ИНДУl(ТИВНОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНИК.А
Для прямоугольного контура величина
2
N = -;µ� [1
а.ь
Ь1п ь 2+аьd
2
а п а+d
(d - а - Ь) ] , (Ll_,.. J J)
+
+
где а и Ь - стороны прямоугольника; d - его диагональ.
Для квадрата (а = Ь)
2
N= µ0 (1п 2а
2).
(4-12)
n
1 + ,12
а
+v2-
187
4-4. ИНДУКТИВНОСТИ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Для контура, имеющего вид правильного многоуголь
ника, величина
µ ап
N =-t--(Jn
a+f (п)],
(4-13)
где
п-1
[ (n)
= � � Мпh + Jn 2 - 1;
µva �
(4-14)
k=L
п - число сторон многоугольника; а - длина одной сто
рон ы; Мпk - взаимная индуктивность п-й и k-й сторон.
Величина f (п) зависит только от числа сторон многоуголь
ника. Значения f (п) для различных п дан ы в таб л. 4-1.
Таблица 4-1. Значения f (n) дJ1я 1шавиJ1ьных мноrоуrоJ1ьников
11
3
4
5
(:j
1:\
f (n)
-l,4{)546
-0,77401
-0,40914
-0,15152
+О,21198
4-5. ИНДУКТИВНОСТЬ КРУГА
Для кругового контура величина
N = µ0 R (ln 8R - 2),
где R - радиус круга. Для получения более точного значе
ния индуктивности L следует польз оваться формулами гл. 5.
4-6. ИНДУКТИВНОСТЬ ЭЛЛИПСА
Для элщштического контура величина
N = �: [ ln � - 2 - f
(л)] ,
(4-15)
где l = 4аЕ - периметр эллипса; Е - полный эллиптиче·
скнй июеграл второго рода с модулем k = -yl - '1')2; ri =
Ь
1- t
- -;
л. = 1 + 11'112 ; а и Ь - полуоси э ллипса, а f (л ) а
функция от 'А, имеющая вид
2
4
2
.,;; ч.,,;: 1);
/1 (л) = О,4375'А + О, 144Ы.. при
О.,;; л,.,;;
f2 ('А)= - 0,0182
188
+ О,614'А
2
7
+ (�
15 ( 1
4)
при 32.,,;: л. .,,;: 17 4 .,,;: 'У\.,,;: 5
•
4.7. ИНДУКТИВНОСТЬ РОМБА
. Для контура, имеющего форму ромба, величина
2 a
N = µv [ln а - f (cx)J,
(4-16)
n
где а - сторона ромба; а - половин а угла при его вер шине ;
f (а) = 2 - ln 2 - cos сх - sin а + cos2 а х
1
Х Iп
+ sin а + sш
. 2 а Iп 1 + cosct •
(4-17 )
cos а.
sJn а
Значения f (сх) для а°от 5 до 45° °могут бьiть взяты из кри
nой рис. 4-1. При 45 � сх � 90 справед ливо равенство
°
f (а) = f (90 - а).
0,30
�
,�
Р,5
'
�
0,25
' lf
'
'
f(a.)
.
�
1,5
'
�
'
f(a)
1,�
1,0
5
fO
15
0,f5
го
25
O,fO
'�
"'�
�
зо
J5
40
а.---
45до5
i->ис. 4-1
189"
4-8. ИНДУКТИВНОСТЬ CEl<TOPA
Для контура, имеющего форму кругового сектора, ве
личина
N = �� {(2 + 8) ln 2а +28 In 2 - 2 (1 + 6) -41+21n[(1+s1n �)s1n �]},
(4-18)
где 8 - угол; а - радиус сектора; 1 - величина, значе
ния которой даны в табл. 2-2.
4-9. ИНДУКТИВНОСТИ l(OHTYPOB
СО ВЭАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ СТОРОНАМИ
Для определения собственной индуктивности сложного
контура со взаимно перпенди1<улярными сторонами добав
ляют 1< нему один или несколько прямолинейных проводов
так, чтобы в результате образовались только контуры, имею
щие форму п рямоуrольюшов (рис. 1-31).
Тогда величина N, входящая в формулу (4-5) для <06ственной индуктивности контура А, определится по q:ор
муле
п
N = I:; Nk
k=I
п
"
+ I:; I:; N i•
1<=1 i=I
k
i=:f=k,
(4- l 9)
где п - число п р я м о у г о л ь н и к о в, из которых
состоит контур А; N,. - значение величины N для k-ro
п р я м о у г о ль 11 и к а; Nhi _.величина, входящая в фор
мулу (4-35) для взаимной индуктивности k-ro и i-ro прямо
угольников (§ 4-11).
Для опре,!:._еления Nk служит формула
(4-20)
где 1,. - периметр k-· о прямоугольни1<а; Sk - его площадь,
а величина fJ!k зависящая только от dТношения сторон
прямоугольника, может быть найдена по табл. 4-3. Вели
чины Nм определяются так, как указано в § 4-11.
Пример 4-2. Контур из провода кругового сечения диаметром 4 мм
имеет форму и размеры, указанные на рис. 4-2 (размеры даны в санти·
метрах). Определить индуктивность контура nри низкой частоте и при
частоте f = 1 Мrц.
Р е ш е н и е. Для определения индуктивности контура применяем
формулу L = N - G, причем N определяем no формуле (4-19). Доnо л·
190
няя к онтур четырьмя nроводами, показанн ыми на рис. 4-2 штр!!Ховыми
линиями, получим
N = N (1) + N (8) + N (4) + 2 [N(1 Х 8) + N (1 Х 4) + N(8 Х 4) ).
(4-21)
Ве личин ы N(1 Х 3), N (1 Х 4) и N (8 Х 4) оnределя€м методо м,
основан ным на теореме о четырех прямоугольниках . Для прямоуголь
н иков 1 и 8, а также 8 и 4 в соответствии с формулой (!-50) �,;меем
(4-22)
2N (1 Х 3) = N (1, 8) - N (1) - N (8);
2 N (3 Х 4)
=
N(3, 4) - N (8) - N (4).
(-!-23)
Величина N (1 Х 4) определяется по формуJrе (l-52):
1
2 N(lx4 )=7[N(J, 2, 3, 4)+N(l)
+ N (.?) + N (3) + N (4) - N (1,
fO
+
----,
-'----""
2) -
з
-N (1, 3)-N (2, 4)-N (3, 4)].
!
г
f
20
( 4-24)
Рис. 4-2
Подставляя (4-22), (4-23) и (4-24) в
(4-21) и учитывая, что в данном пр.11.мере N (1) = N (2) = N (3)
N (1, 2) = N (3, 4), N (1, 3) = N (2, 4), ПОJrучаем
1
N (1, 2, 3, 4) + N (1).
N=
2
= N {4),
Величины N (1, 2, 3, 4) и N (1) находим по фор11уле (4-20), определя я
'Р no табл. 4-3. Для прямоугольник а (1, 2, 8, 4)
l1284 = 0,6 м; S12э.i = 0,1·О,2 = 0, 02 м2; 'Р12114 = 0 , 0711;
4.
2 0 02 - 11.1. =
N(J 2 8 4)= n-lo-·.o в( 1n · •
0, 0 )
' ' '
2.n
'
0,6
= -3,335- 10-7 Гн.
Для прямоу-rольника 1
li = 0,3 м; Si
N (/) =
= 0 ,1 ·О,05 = 0 ,005
2 .0 o os
4.n· ю-1
О,З
·0 ,3 ( \п
'2.n
м2; QJi = 0,0 714 и
- 0,0714) = - 2,083- I0-1
Гн.
+
СледоватеJ1ьно, N = -(3,335/2
2, 083) · 19- 7 = -3, 750 · ю-1 Гн.
Для определен ия G пользуемся формуло й (4-7). При низкой частоте
(� = 1)
G -- 4.п-ю-1 -0,б (
11
231
L = (-3,750
1 )
ln 0,002 4
= - 7,758, 10-1
Гн
+ 7,758)·1 -i = 4,0 8·10-7 Гн.
0
0
191
При частаге f = 1 ·мгц k = уroµy = 2,140·104, kr = 2,140·0,0 02 Х
Х 104 = 42,8 0 и по табJI. 2-1 находим � = 0,0 66 1.
СJiедовательно,
7
0• 06 61 = - 7 478, 10 -1 Гн
G = 4n· ю- ,О 6 ( lnО 002
)
2n
'
'
4
'
и
L = (-3,750 -1- 7,478)· L 0-7 = 3,728· I0-7 Гн.
Индуктивность рассматриваемого контура может быть опредеJJена
также и по приближенной формуJiе (4-28), в кагорой следует принять
l = 0 ,6 м, S = 0,015 м2 • При низкой частоте (� = 1) имеем
4n-10-7
·2.0 015
L=
0,15 -0,25 ) =3,983·10-7Гн.
.
·0,6 ( ln.L.· IO·� ·0,6
"
:.::n
При f = 1 Мгц � = 0,06 61 и L = 3,70 6· I 0-7 Гн.
Сравнение резуJiьтатов, полученных обоими способами, показывает,
что в данном случае погрешtюсть пр ибJiиженной формуJIЫ составJiяет
TOJ!bKO 0,6 % .
4-IO. ОБЩАЯ ФОРМУЛА
ДЛЯ ИНДУКТИВНОСТЕЙ ПЛОСКИХ КОНТУРОВ
Величина N, входящая в формулу (4-5) для собственной
индуктивности плоского контура, всегда может быть лред
ставлена в виде
µol
2S
(4-25)
N=ln--rn.
't" ) '
2n (
l
где l - периметр контура; S - охватываемая им площадь,
а величина q, зависит лишь от формы контура и одинакова
ЩJя всех геометрически подобных фигур.
В частности, для контура из провода кругового сече
ния при любой частоте имеем
ft ь)
µ�!
2S
L·=ln--q,+-,
2n (
rl
µ 4
0
(4-26)
где r - рад иус сечения лровода , а величина t может быть
определена так, как указано в§ 2-2 (в частности, по табл. 2-1 ).
Ниже приведены значения q, для контуров различной формы.
В тех случаях, когда значение величины q,, входлщей
в формулы (4-25) и (4-26), неизвестно, инuг.:�.а пользуются
приближенными q:юрмулами:
l
2S
(4-27)
N- µ0 (I -- О 1 .. ).
-1n
1-tvl
L=2n
n
1 -
,и ,
(tn--Olи+-....:....
2S
µ /;.
),
rl
'
i::
µ3 4
(4-28)
в которых для q:, принят , некоторое среднее значение, рав:
ное 0,15. Следует, однако, иметь в виду, что при наличии У
192
Рис. 4-3
кон тура участ ков с относительно большой взаимной инду
ктивностыо истинное значение ([J может существенно отли
чатьс я ст среднего значения О, 15, принятого в этих форму
лах. На рис. 4-3 приведены примеры контуров, для которых
формулы (4-27) и (4-28) могут дать значительную погреш
ность , причем участ ки с относительно большой взаимной
индуктивностью помечены цифрами / и 2 (см. также рис. 4-4
и табл. 4-5).
0,26
0,2.1,
о,г2
(),20
'
0,18
O.f6
41
,
'
\
\
1 ОД
-1
0,10
\
�
0,08
i...--
I_.;
D,Об
0,04
0,02
О
O,f.
0,2
0,3
0,4
0,5
О,б
0.7
0,8 ·0,9
f,O.
1j=Ъ/а---Рис. 4-4
!l
l<алантаров П. Л.,ЦейТJ!ИН Л. А.
193
Таблица 4-2. Значения q, Д))Я равнобецренноrо треуrольника
(j)
о
5
10
20
30
40
50
60
0,3069
2788
2548
2172
1912
1747
1657
16.ЗО
11
а, ... Р.
60
70
во
90
100
110
120
1
(j)
1630
1654
1719
0,1818
1943
2090
2249
11
а, ...с
120
130
140
150
160
170
180
1
(j)
2249
2417
2587
2750
2897
3012
0,3069
Значения {р для контуров разли•1ной формы.
1) Для т р е у г о л ь н и к а
(fJ = {- tri ll (l - 2а) (l - 2Ь) (l - 2с)] -
f ln (а (l -2a)J -
ь
с
-1 ln [Ь (l - 2Ь)1- Т ln [с (l - 2с)] - 2 ln 2
+ 1, (4-29)
где а, Ь, с - стороны треугольника; l = а + Ь + с - его
периметр.
Для равнобедренного треугольника (с = Ь)
1
а
h
{р = 2 In [l (l - 2а)] - Т ln (l - 2а) - 2т ln Ь - 2 In 2 + l.
(4-30)
Значения qJ для равнобедренного треугольника даны
в табл. 4-2 (а - угол при вершине треугольника).
2) Для п р я м о у г о л ь н и к а
· (fJ=�ln a+d +_3!!._ln ь+d -�+2
(4-31)
l
l
l
t
l
,
где а и Ь- стороны прямоугольника; d - его диагональ;
l = 2 (а +. Ь).
Значения q., для различных значений отношения а =
= а/Ь даны в табл. 4-3.
nравильных
м н о г о у г о л ь н и·
3) Для
ков
q., = - ln ( 2 tg : ) - f (п ),
(4-32)
где п - число сторон многоугольника, а f (п) может быть
определена по формуле (4-14) или табл. 4-1. Значения q.,
для некоторых правильных многоугольников даны в табл. 4-4.
4) Для р о м б а
(4-33)
q., = lп (cos а sin а) + f (а),
Таблица 4-8. Значе ния (j) для nрямоуrол ьник а
ф
ф
0,0809
0,0802
0,0785
0,0763
0,0739
0,0714
0.0689
0,0665
0,0642
0,0619
0,0598
0,0549
0,0507
1,0
1,2
1,4
1.6"
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,5
4,0
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
в.о
8,5
9,0
9,5
10,О
0,0507
0,0471
0,0438
0,04[0
0,0385
0,0362
0,0343
0,0325
0,0309
0,0295
0,0281
0,0269
0,0258
ф
10
0,0258
0,0238
0,0221
0,0206
0,0194
0,0182
0,0172
0,0163
0,0155
0,0147
0,0140
0,0129
0,0110
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
22
26
26
30
35
40
45
50
60
70
во
90
100
-
0,0110
0,0096
0,0084
0,0074
0,0066
0,0059
0,0050
0,0043
0,0037
0,0033
0,0030
где а - половина угла при вершине ромба, а f (а) может
быть определена по формуле (4-17). Значения ер для раз
личных значений а. даны на рис. 4-1. При а > 45° следует
пользоваться равенством
°
(J) (а) = qJ (90 - а).
5) Для с е к т о р а
Ч> = 2 � 8 { l - In [ 2 siп : ( l
+ siл : ) ] +
2+0}
2+0
0
+ в --lп8
_J-2/ ---ln-2
'
2
8
(4-34)
'
где 0 - угол сектора; / - величина, значения которой для
различных углов 0 даны в табл. 2-2.
Значения <р для сектора даны в табл. 4-5.
6) Длsl э л л и п с а
n2ri
q> = 2 lп 32Е2
f (л),
+
+
где все обозначения те же, что и в § 4-6.
Таблица 4-4. Значени я qJ для пра ви льных многоугольник ов
п
(j)
i*
1
1
3
4
5
6
8
00
0,1629
0,0809
0,0354
0,0077
-0,0237
-0,0794
195
Таблица 4-5.
0, •.. ь
о
5
10
20
40
60
80
100
(j)
0,3(!7
0,278
0,254
0,208
0,144
0,098
0,065
0,044
Зн ачення (1) для сектора
е. ..."
t20
140
160
180
180
200
220
240
(j)
0,031
0,023
,О,020
0,021
0,021
0,026
0,034
0,047
0, •.• ь
260
280
300
320
340
350
355
360
(j)
0,064
0,087
0,121
0,174
0,279
0,403
0,550
00
Значения ер, вычисленные по этой qюрмуле, даны на
рис. 4-4 в зависимости от величины !l = Ыа, где а и Ь - по
луоси эллипса*.
4-11. ВЗАИ МНАЯ ИНДУК ТИВН ОСТЬ ДВУХ
ЛЕЖАЩИХ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ
При любом положении в одной плоскости двух прямо
угольных контуров со взаимно перпендикулярными сто
ранами взаимная индуктивность контуров может быть най
дена по методу, основанному на теореме о четырех прямо
угольниках (§ 1-10), для чего достаточно применить фор
мулы (1-50)-(1-58), понимая в них под F (k Х i) взаимную
индуктивность Mki рассматриваемых контуров k и i, а под
F (k) - собственные индуктивности соответствующих пря
моугольных контуров.
Если представить индуктивности L1i. в виде L1i. = N1i. -G1i. (§ 4-1) и просуммировать отдельно все N1i. и отдельно
все G1i. , то будем иметь
(4-35)
Mki = N1i.t - G1ii·
0
Входящая в эту формулу величина N1it может быть
найдена по формулам (1-50)-(1-58), в которых- под F (k)
следует понимать величины
)
2Sli.
N
(4-36)
k = µu2:rtlk (l nт-(j)1i.
•
* В области v212 ,;;; 11 ,;;: 4/5, где применимы обе формулы для
f (л) (§ 4-6), значения f1 (л) иf2 (л), а также получаемые из них sначе-·
ния ер несколько отличаются друг от друга. На рис. 4-4 соответствую
щая ·часть кривой q> (11) проведена так, чтобы обесnечиваJiосЬ надлежащее сопряже1:1ие обла<:rей '1') ,;;; Jl2/2 и 11 ;;;,, 4/5.
196-
где 111. - периметр k-ro прямоугольниl{а; S11. - его площадь;
_ величина, определяемая по табл. 4-3.
(J)11. величина 011.i в формуле (4-35) равна нулю, если рас
сматриваемые прямоугольные ({ОН туры k · и i не имеют об
щих участк ов; если же они имеют общий участок (l{ак,
например, контуры 1 и 2 на рис. 1-22), то величина 011.t =I=
-4=- о и ее следует определять по формулам § 2-10, понимая
в них под l длину общего участка контуров.
Указанный метод расчета неудобен, когда рассматривае
мые прямоугольники удалены друг от друга на расстояние,
зна чительно (в три и более раз) превышающее их размеры.
В этом случае для определения взаимной индуктивности Mki
лучше пользоваться формулой, полученной методом ряда
Тейлора (§ 1-11):
а2 + а2
ь112 + ь2
SS
2 -l) "
2М ы = -��
1
+(5u
i
+(5v
1)
� �
�
�• i --1-
[
+ (2lu'¾J2 - 2) 5 (а�, + a:1Jьl + ь7) +
(4-37)
где S11. = 4a11.bk и S; = 4а1 Ь1 - площади . прямоугольников
k и i; 2ah, 2h10 2а;, 2bi - длины соответствующих сторон;
r - расстояние между центрами прямоугольников; и =
= cos 0; v = sin 0; 0 - угол между направлением r и на
правлением, параллельным сторонам 2ari и 2а1•
Пример 4-3. Два прямоугольных контура (1 и 3) имеют та�ше размеры
и расположены так, как показано на рис. 4-5 (размеры даны в сантиме
трах). Определить взаимную индуктивность контуров.
Реше ние. Так как контуры 1 и З не имеют общих участков, то
M1s = N1з·
ПОJiьзуясь методом, основанным на теореме о четырех прямоуголь
никах, и применяя формулу (1-51), имеем
Niз �N(JxЗ)=+lN(J,
2, 3)+N(2)-N(l, 2)-N(2, 3)].
:.::
Величины N (1, 2, 3),
N (2), N (1, 2) и N (2, 3)
о пределяем по формуле (4-36)
и табл. 4-3. В данном случае
li2з= 1,7м;
f.¼:шi = 7,5; Q)ш= U,0325;
Рис. 4-5
197.
12 = 0,7 м; S2 = 0,025 м 2 ; Ct2 = 2, 5 ; ср2 = О,ОЕ54;
Si2 = 0,05 5 м2; Ct12 = 5 , 5; f/)12 = 0,0410;
112= 1 ,3 м;
l23 = 1 , 1 м; S23 = 0,045 м 2 ; �з= 4,5; %з= 0,0471.
(4-3 6), получаем
N (1, 2) =-;- 6,5273 -10-7 Гн
N (1, 2, 8) = - 8, 3 647- 10-, Гн
О- 7 Г_н_
, 07 · -1--=
6
_N......:...2( _,_8-'-)_=_-_5 _1,
( ) = - 3, 7 860, 10-7 Гн
N 2
.,.,, 1
,.,..= - -=----=�
_,380-10
-12,
-12, 1 507-10-7
Применяя q:ормулу
Искомая взаимная индуктивность
М13 = N (1 х 8)=
� (-12, 1 507 +
12, 1 380)· НТ7 =
-
6, 35 · 10-10Гн.
К:ак видно из расчета, ответ получается n виде разности близких ве
личин. Вследствие этuго уже третья значащая цифра ответа оказывается
недостоверной, хотя вычнсления производились с пятью значащими ци
фрами. Поэтому для опредеJ1ения взаимной индуктивности рассматрива
емых контуров целесообразно применить формулу (4-37). В данном случае
S1 = 0,03 м2; S8 = 0,02 м2; r = 0,5 м; и = 1; v = О;
а1 = 0,1 5 м;
аз= 0,10 м;
af + а� = О 065·
'
•
2r2
ь�+ь� = о'01·'
2,2
За1+ lOaM + 3Q1
r4
Ь 1 = 0,05 м; а1/, = 0, 3; b1lr = 0,1;
Ь 3 = 0,05 м; aslr = 0,2; bяlr = о, 1;
=
l·
О, 065 ,
5 (af + й}) (Ь� + Ь�) = О •ООI6З·
4,-1
'
3Ь1+ 10 �rb� + 3Ь_\ = 0,00l 6•
Искомая взаимная индуктивность
=- 4:rt·l0-7 о, о3 - о .о2
- ' 01 6.З-l-001
М�з
' -2 00
'
о. 125 (1+4 0065
4:rt
+ 0,065l _+
О,�l
б ) = - 4,8· 10-10• 1 , 312 = - 6,298· 10-10 Гu.
.
4-12. ВЗАИМНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ
ДВУХ ЛЕЖАЩИХ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ КОНТУРОВ
СО ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИl<УЛSIРl-tЬIМИ СТОРОНАМИ
Для определения взаимной индуктивности двух сложных
контуров CQ взаимно перпендикулярными сторонами до
бавляют к каждому из контуров один или несколько nря-.
молинейных проводов так, чтобы в результате образова
лись только контуры, имеющие форму прямоугольников
(рис. 1-31), после чего взаимная индуктивность Млв рас198
сматриваемых контуров А и В может быть найдена по фор
мул е
п
Млв = �
п-1-т
_Е Мтн,
(4-38)
1,=I i=n-J-1
где п - число прямоугольников, из которых состоит кон
тур А; tn -то же для контура В; M11i - взаимная индук
тивность k-го и i-го прямоуголоников.
Взаимные индуктивности M 11.t определяются так, 1<ак
указано в § 4-11.
4-13. ВЗАИМНАЯ ИНДУКТИВliОСТЬ ДВУХ l(ОАКСИАЛЬНЫХ
ЛРЯМОУГОЛЬНИКОВ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ СТОРОНАМИ
1. Для д в у х о д и н а к о в ы х
(рис. 4-6, а)
ников
М =�
л
п р я м о у г о л ь-
[а ln (а+
!!1-.) + Ь ln (ьb+D
+ d .!!l...)
+
a+D х
х
+ 2 (D - d1 d2 + х)] ,
di
2
-
(4-39)
где а и Ь - стороны прямоугольников; х - расстояние
:м2жду плоскостями, в которых лежат r:рямоугольники;
d1 = -,1 а2 + х2 ; d2 = -,1 Ь2 + х2 ; D = уа2 + Ь2 + х2 •
В частности, для двух одинаковых квадратов (а = Ь,
d1 = d2 = d, D = 2а2 + х2)
М = 2�0 а ln ( ��
+ (D - 2d + х)]. (4-40)
J
[
v
f �)
о)
х
Рис. 4-6
199
с
2. ДJiя д в у х II е од и н а к о в ы х п р я м о у r о л ь н и к о в
п а р а л л е.л ь н ы м и
с т о р о н а м и (рис. 4-6, б)
2v.!:.._ +
(а
)tп(a1 a2+
)
М =�
2n [ 1+a2
а1 + а 2 + 2w t
а2 - а1 + 2w'
+
- (а2 -а )1 ln (- а 2 - а + 2v'
t
1
+
bt Ь2+ 2v'
+ (Ь1 + Ь2) ln ( +ь + 2w tf
Ь1
2
_!__)
..!!:.._)
-(b2-bi) 111 ( Ь2-Ь1 + 2w' .!!....)-4(v-w+ v'-w')],
(4-41)
Ь2 -Ь1 -l-2v и
где щ и а2 , Ь1 и Ь2 - стороны прямоуrольникоn, а прочие обозначения
ясны из рис. 4--6 (точки 1', 2', 8', 4' яn.rrяются проекциями точек 1, 2, 3;
4 на nJJоскость второго контура).
В частности, для двух квадратов (щ = Ь1 , а2 = Ь2 , t = и, v' = v,
и'= t')
(4-42)
Пример 4-4. Пря!l<юуrоJiьный контур со сторонами а1 = 10 см и
bi = 20 см и коаксиаJiьный с ним прямоугольный контур со сторонами
а2 = 20 см и Ь2 = 30 см расположены на расстоянии х = 10 см так, что
соответственные стороны их пара.ттельны. Определить взаимную индук
тив1-юсть контуров.
·реше н и е. Применяем формуJiу (4-41). В данном cJiyчae
-V
у(
= -V
= -V (
и=
v
=
t
=
v' =
w'
t'
200
a2
a
t 1
Ь2 bi )2
;
2
J/ ( а
1/ (
t
а1
( Ь2
t
см;
bi )2
+ х2 = 11,18
)2 + х
2
а2 а1 )2
;
-V ( С½;
= V(
=
ai
= 11,18
)2 + ( Ь2-;;Ь1 )2 +xz = 18,71
а2 а1 2
( ; ) +
w
и'
2
а
( а 2; 1 ) +х2
+ х2 = 30,82
см;
см;
= 18,03 см;
+ ( Ь2
t
Ь1 ) 2
+ х2 =
2 bi )2 + х
)2 + ( Ь;
2
Ь2 ;· bi ) + х2
см;
2
= 26,93
см;
27 ,39 см;
= 12,25
см;
t'
и'
и
2,409
-t =
;
-= 1,613;
а1 + а2 + 2v = 0,7357; In(0,7357-2,409) = 0,5721;
а1 + а2 +2w
а2 - а1 + 2ш: = 0,5326; ln (0,5326, 2,409) = 0,2492;
a2-a 1+2v
Ь1 + h2 + 2v' = 0,9386;
Ь1 + Ь2 + 2ш
Ь2-Ь 1 + 2w' = О 7276·
'
'
Ь2 -Ь1 + 2v
ln(0,9386- 1,613) = 0,4148;
ln(0,7276- 1,613) = 0,1604;
4(v--j-v' - ш-w)
= 0,1212 м.
Искомая взаимная инду1<тив11ость
М
=
4n, 10- 7
(0,3-0,57QI -0,1-0,2492
2:rt
+ 0,5-0,4148-0,I-O,IG04-
- О, !212) = 0,4338-10-7 Гu.
4-14. ВЗАИ!\11НЫЕ ИНДУКТИВНОСТИ
ПРАВИЛЬНЫХ КОАКСИАЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
I33аимнс<я индуктивность двух одииа1<оnых правильных мноrоуrоль
ни1<ов, лежащих в nара11ле;1ьных плоскостях и имеющих общую ось
(рис. 4-7), может быть опредеJiена по следующей формуле:
М
= Mof,
(4-43)
rде М 0 - взаимная инду1<тивность двух одинаковых коаJ<сиальных кру
говых контуров, имеющих тот же периметр l и находящихся друг от Др га
на тюшм же расстоянии х, ка1< и рассматриваемые миогоуrольники; rпоправочный коэффициент, учитывающий раЗJiичие между взаимными
индуt<тивностями мноrоуrольни1<ов и 1<руrов. Значения коэффициента f
для равностороннего треугольника, I<Вадрата и правильного шестиуrоль
ии1<а даны в табл. 4-6 в зависимости от отношения х!а (или а/х), где а сторона мноrоуrольни1<а. Значения взаимной и11ду!{тиnности М 0 двух
одина1<овых I<Оаt<сиальных 1<руrовых контуров можно оnреде;шть так,
как указано в § 5-7. Проще всего найти значения М0 по формуле (5-16)
и табл. 5-3 или табд. 5-4, учитывая,
что при длние окружности, равн ой
периметру / мноrоуrОJ1ьни1<а, радиус
01<р:ужности
R = l/(2:rt) = na/(2:rt), (4-44 ) t::,
где п - число сторон мноrоуrодьника.
При этом величина
в зависимости
от которой в табл. 5-3 и 5-4 даны
sиа чени я F, равна
s = x/(2R) = :rcxl(na). (4-45)
Vис. 4-7
s,
201
>
Значения коэффициента f при
6 можно получить графически,
/
/ п
построив для данного значения х а кривую зависимости f от 1 п и приняв
во внимание, что для О!(ружности п
оо, t/n = О и f = 1.
Д.,1я / близко расположенных мноrоугольни!(ов, т. е. при малых зна
чеииях х а, определеиие !(оэффициента f из табл. 4-6 становится затрудии
:rеJ1ьным, так как разности соседних значений f весьма велИ!(И и при необ
!Ходимости интерполировать трудно пОJiучить достаточно точный результат,
В этом случае для опреде.11ения взаимной инду!(тивности мноrоуrоль•
ников можно пользоваться формулами:
при п = 3
203 х4
•
х
а
3µ0
11 х2
М=2ла
••· ) •
+
( 1n7-1�4055+ 2,2 09
а2
86'! 114
а:
(4-46)
при п = 4
х4
х2
ц
х
2 µ0
М
( ln 7-0,7740 +а:-0,0429 7- 0,1097+ ••• ) ;
(4-47)
при п
6
=
12
=лц
=
Зµ
G
М=-а
n
(
а
х
xz
ln--0,15152+0,3954-+0,11602
х
а
а
-0,052 � + • .. ).
(4-48)
Таблица 4-6. &1аче11ия J в формуле (4-43)
0,00
0,05
0,1 0
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
1,0000
0,7245
6640
6217
6890
0,5624
5402
5215
5054
4914
0,4792
а/х
1 1
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
202
n= З
0,4138
4066
3996
3930
3866
0,3808
1,0000
0,8642
8362
8165
8007
0,7875
П60
7658
7565
7480
0,7402
n= 4
0,6861
6783
6701
6613
652 5
0,6439
1,0000
0,9449
9350
9283
9231
0,9188
9150
9117
9087
9057
0,9029
n
=
611
0,8802
8761
8713
8656
8592
0,8518
0,4792
4686
4592
4507
4437
0,4372
4314
4263
4216
4175
0,4138
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
а/х
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
о.о
1
0,7402
7329
7262
7200
7140
0,7085
7035
6988
6941
6899
0,6861
0,9029
9003
8978
8954
8931
0,8906
8884
8863
8843
8823
0,8802
= 3 \ n= 4 \ n= 6
n
0,3808
3757
3714
3682
3662
0,3655
0,6439
6362
6289
6221
6182
0,6169
0,8518
8440
8364
82Чl
8243
0,8225
Пример 4-5. Два правильных коаксиальных треугольника распо.rrо
:жены так, что их соответственные стороны параллельны. Сторона каждого
гольника равна а= 5 см, расстояние между центрами треугольников
треу
- о х = 8 см. Определить взаимную индуктивность треуrолъни1юв.
равн
р е m е н и е. Определяем взаимную индуктивность рассматриваемы�
контуров по форму.11е (4-43). В данном случае
а/х = 518 = О,625; п = 3; l = 3-5 = 15 см;
R = 15/(2n) = 2,387 см; 1/� = 3 , 5/(8n) = 0,5967.
Из табл. 4-6 при п = 3 и а/х = 0,625 находим f = 0,3882.
По табл. 5-4 при '\' = 1/� = 0,5967 находим F·= 0,4145. Следова
тельно, по формуле (5-16)
4n· 10-7
М0 =
-2,387-10- 2-0,4145=0,9894 -10-9 Гн.
4n
Искомая взаимная индуктивность
М
= fM0 = 0,3882-0,9894·10-9 = 0,3841-10-9
Гн.
Пример 4-6. Решить предыдущий пример при расстоянии между кон
турами, равном х = 1 см.
Р е ш е н и е. Так как контуры расположены близ1ю друг к другу,
то можно воспользоваться формулой (4-46). В данном случае
: =-} =
5;
М=
;
= {- = 0,2;
(:
у 1 = 0,04;
4
-7 .
5 (ln 5--1.4055
2n
3- л-JО
- �� -0,04
(: )
4
= 1,6·10-з;
+ 2,209·0,2 -
+ :: -1,6· 10-3 ••• ) -10-2 =
= 3-10-s (1,6094 + 1,4055 + 0,4418-0,0367 + 0,0004 ••. ) =
= 1,827-10-s Гн.
4-15. ОСОБЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ИНДУКТИВНОСТЕЙ ПЛОСКИХ КОНТУРОВ
Пользуясь методом наJюжения и пр·именяя теоремы о двух и трех
контурах(§ 1-6 и 1-7), можно выразить собственные и взаимные инду1<тив
ности одних контуров через индуктивности других контуров. В ряде слу
чаев таким путем удается свести расчет неизвестю,1х инду1пивностей к рас
чету инду1<тивностей нес1<ольких контуров, для которых уже имеются
rотовь�е Формулы. Подобный метод решения задачи в тех случаях, J<orдa
он возможен, обычно оказывается более прос- п,1м, чем метод участков,
Ниже этот метод демонстрируется на нес1<ольких примерах.
Пусть, например, мы имеем два сектора 1 и 3 одной 01<ружности
fрис. 4-8). Рассматривая контур ОаЬсdО как соnо1<упность трех контуров 1,
2 и 3 и применяя теорему о трех 1юнтурах
М1з = 2 (L 123 + L2 - L12 - L'l}j),
1
(4- 49)
203
ь
Рис. 4-9
Рис. 4-8
можно определение взаимной индуктивности 1юнтуров 1 и 3 свести к вы
числению ииду1<тивностей нескольких секторов, I<аждая из которых опре
деляе-гся по простой формуле (4-26).
Зная М13 , можно лепю определить собственную ииду1<Тивность Liз
контура ОаЬОаlО, состоящего из контуров 1 и 3:
(4-50)
L1з = Li
Ls
2М1 3•
-Аналогичным путем находятся индуктивности любых контуров, состоя
щих из иесколышх секторов одной ОI<ружиости.
Рассматривая 1<онтур аЬс, имеющий форму правильного треуrольюша
(рис. 4-9), ка1< сово1<упность четырех контуров 1, 2, 3. 4, имеющих такую же
форму, можем написать
(4-51)
Li2м = 4Li + 6Mi2 + 6Mi4.
По теореме о двух контурах
+ +
(4-52)
и, следовательно,
(4-53)
Таким образом, взаимная индуI<ТИВНОСТЬ контхров 1 и 2 выражена
через собственные индуктивиости р омба с углом 60 и двух равносторон
них треугольников, т. е. через величины, для которых имеются готовые
формулы (4-16) и (4-IO). Зная М12, легко опреде.т,ить собственные индук
тивности контуров (1, 2), (1, 2, 3) и (1, 2, 4).
Например, для равнобо1юй трапеции (1, 2, 4) с углом 60° имеем L124 =
L
= З i 4 М14 + 2М12 , причем М12 и М14 определяются по формулам
(4-53) и (4-52).
Рассматривая 1юнтур, имеющий форму правильного шестиугольника
(р11с. 4-10), ка�< совокуnиость двух трапеций (1, 2, 3) и (4, 5, 6), на основа
нии теоремы о двух контурах имеем
1
+
М (1, 2, 8 Х 4, б, 6) =
2
[L (1, 2, 3, 4, 5, 6)-2L(l, 2, 3)].
С другой стороны,
М (1, 2, 3 Х 4, 5, Б) = М (1 Х 4)
+ М (1 Х 5) + М (1 Х 6) +
+м�х4)+м�х�+м�х6)+м�х�+м�х�+
+ М (3 Х Б) = ЗМ (1 Х 4) + 4М (1 Х 3) + 2М (1 Х 2), (4-54)
204
куда легко выразить М (1 Х 4) через L (1, 2, 3, 4, 5, 6), L (1, 2, 3),
Х 3) и М (1 Х 2). Пользуясь еще формулами (4-52) и (4- 53), можно
выразить М (1 Х 4) через собственные инду1<тивности шестиугольника,
трапеции, ромба и треугольника.
Ограничившись приведенными примерами, рассмотрим еще следующим�
ет
м од, применимый I< расчету собственных инду1<тивностей целого класса
плоских контуров f9]. Пусть имеем контур, состоящий из части правиль
ного мноrоуrольнИJ<а и двух прямых, совпадающих с его радиусами или
апофемами, например контур ОаЬсdеО на рис. 4-11. Дополняя контур
до правильного мноrоуrольни1<а, можем написать
L(1) = L (1, 2) + L (2)-)- 2М (1. 2 Х 2),
от
м
(1
с
Рис. 4-10
\
', '-�
'-
ь
--
Iа
/
//
Рис. 4-11
Рис. 4-12
где L ( 1), L (2), L ( 1, 2) - собственные инду1<тивности контуров OabcdeO,
OafeO, ahcdefa, а М (1, 2 Х 2) - взаимная индуктивность контуров abcdefa
и OafeO. С другой стороны. из соображений симметрии следует, что поток
»за:r:.::;ой индукции, обусловленный током в контуре abcdefa и пронизы
вающий контур OafeO, относится J< пото1<у самоинду1щии контура ahcdefa,
квк угол а = LaOe к 231:, и имеет обратный знак. Поэтому
Cf.
и, следовательно,
M(l, 2Х 2)=-2nL(J, 2)
+ L (2).
(4·55)
Индуктивность L (1, 2) правильного мноrоуrолью-11<а известна. Если,
Кроме того, известна индуктивность L(2) «вырезанной» из него части,
то последняя. формула позволяет весьма просто определить неизвестну10
индуктивность контура 1 ..
Указанный метод применим 1< 1юнтурам, получаемым не только из nра
вмьных многоугольников. но и из других симметричных фигур (круг,
прямоугольник, ромб). Этот метод можно распространить и на 1юнтуры
с несколькими входящими углами.
Пусть, например, контур состоит из нес1<0льких одинаковых и симме
трично расположенных секторов (1, 2, 3, 4) одной 01<ружности (рис. 4-12).
Удалив один из секторов (например, 1), получим фигуру, состоящую из сек
торов 2, 3, 4. Так как в силу симметрии
\ГО
L (1) = (\ - а/л) L (1, 2)
М (1, 2, 3, 4 Х 1) =
--¼-
L (1, 2, 8, 4),
L(2, 3, 4)=L(J, 2, 3, 4)+L(1)+2M(l, 2, 8, 4Xl)=
= 21 L (1, 2, 3, 4) + L (1),
(4-56)
205
и, СJJедовательно, если инду1пивность исходного 1<онтура (J, 2, 3, 4)
известна, то можно легко опреде.11ить инду1сrивиость контура
(2, 3, 4) ..
При пользовании методами, рассмотренными в иастоящfМ параграфе,
следует иметь в виду, что, выразив собственную или взаимную индуктив
ность контуров через ссбстnенные и;�дуктивности L (k) других контуров,
практически нужно суммнровать не L (k), а лишь их сосmвля:ющие_N (k),
так как в соответствии со сказанным в § 4-1 и 4-11 результат сложения
составляющих вида G (k), равный (-G) для собственной индуктивности
и нулю для взаимной индуктивности ,юнтуров, не имеющих общих �част
ков, можно записать заранее,
ГЛАВА ПЯТАЯ
ИНДУКТИВНОСТИ КРУГОВЫХ l(ОЛЕЦ
5-1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
1. В настоящей главе даны формулы, таблицы и кривые
для расчета собственных и взаимных индуктивностей кру
говых колец, причем предполагается, что линейные размеры
поперечного сечения колец малы по сравнению с их ради
усами, т. е. кольца рассматриваются ка1< линейные контуры.
2. Для расчета индуктивностей м а с с и в н ы х (не
линейных) 1юлец при низкой частоте могут быть исполь
зованы формулы, таблицы и кривые, относящиеся к катуш
кам соответствующей формы и размеров (гл. 6 9).
- Ссбст
венная инду1пивность массивног, 1<0льца получается пу
тем деления собственной индуктивности соответствующей
катушки (без поправки на изоляцию) на I<Бадрат числа
витков. Взаимная индуктивность двух массивных колец
равна взаимной индуктивности соответствующих катуше1<,
деленной на произведение их чисел витков.
3. Приведенные в настоящей главе формулы дают воз
можность с достаточной степенью точности определить соб
ственные индуктивности линейных круговых rюлец во -всех
случаях, представляющих практический интерес.
Достаточно точно и в то же время просто могут быть
найдены взаимные_ индуктивности коаксиальных круговых
контуров. Значительно сложнее и менее точно определяются
взаимные индуктивности контуров с несовпадающими осями
(f 5-9-5-12). Относящиеся к этому случаю таблицы вслед206
с твие погрешностей, возню<а�ощих при интерполировании,
не всегда обеспечивают достаточную точност1:> расчета,
а формулы, дающие взаимную индуI<тивность в виде бесI<о
нечных рядов, требуют громоздrшх вычислений, так I<aI<
эти ряды, r<aI< правило, сходятся довольно медленно.
Ввиду этого во всех случаях, I<orдa необходимо иметь не
общее выражение взаимной индуI<тивности, а лишь ее число
вое значение для заданных размеров и заданного взаимного
расположения I<онтуров,. может оI<азаться целесообразным
применение метода одноI<ратноrо численного интегриро
вания, изложенного в § 5-12. Следует отметить, что этот
метод применим при любом взаимном расположении I<онту
ров, т. е. и в тех случаях, для rюторых расчетных формул
и таблиц вообще не существует.
4. В настоящей главе под о с ь ю I< о н т у р а (не
смешивать с осевой линией провода!) всюду понимается
ось, проходящая через центр I<онтура перпендикулярно I<
его плоскости.
5-2. ИНДУКТИВНОСТЬ КРУГОВОГО КОЛЬЦА КРУfОВОГО
СЕЧЕНИ.Я
частоте
ни з к о й
!. Пр и
[
BR
r2
7
(
1
BR
]
ln-+L=µoR ln---+-·
2
З) '
r
8R4
r
где R - радиус кольца (радиус осевой линии провода);
(рис. 5-1, а).
Формула верна с точностью до членов порядка (r/R)4•
r, то
Если R
r - радиус провода
»
L = µnR ( lп
е:
- :).
(5-2)
Погрешность формулы (5-2) при
R = 5r составляет около 1 % .
2. П р и в е с ь м а в ы с о
к о й ч а с т о т е с точностью
до членов порядка .(rl R)'1
L = µ0R
+ 2R2
,2
)
[(
_ln г
BR
r2
�; 1
1
R
R
BR
1 - 4RZ ln-,-+
r2 ]
- 2 - l6R2
•
(5-3)
Рис. 5-1
207
Если R
:» r,
то
L = µ0R ( In в:
-
2) ·
(5-4)
· Погрешность формулы (5 -4) при R = lOr составляет
око ло 1,1 %.
3. П р и л ю б о й ч а с т о т е с точностью до членов
поряд1<а (r/ R)2
L = /JoR ( In в:
2
(5-5)
-
+ �),
где � определяется та1<, I<aI< у1<азано в § 2-2 (например, по
табл. 2-1 ). Если µ � µ11 то
8
L = µ0R ( ln : - 2
(5-6)
+ � i) .
Пример 5-1. Kpyronoe кольцо радиуса R = 10 см выполнено из мед-
ного провода кругового сечения , имеющего радиус r = 5 мм.
Определить индуктивность кольца при низ1юй частоте, весьма высо
кой частоте и частоте / = 2000 Гц.
Р е ш е н и е. В данном случае
г2
r
8R
8R =
.
2
- = 100; �п ,.
5,075;
R = 5.10- ; 7fГ = 2, 5 101.
,
1. При низкой частоте, примеияя формуJ1у (5-2), имеем
L = 4:п· 10-1.-0,1 (5,075 - 1,75) = 4,180· ю-7. rн.
По более точной формуле (5-1)
25
• 10- 3 ( 5,075
=
L 4:п, 10-:z.o,1 [ 5 ,075 -1,75 +
8
= 4л• 10-8 (3,325 + 3, 125· 10-4 -5,408) = 4,182, 10 -1 Гн
Уточнение по сравнению с формулой (5-2) невелиI<о.
2. При весьма высо1<0й частоте, применяя формулу (5-4), имеем
L = 4л:-IО-8 (5 ,075- 2) = 4n. 10-t1.3,075 = 3,865 , Ю• Гн.
По более точной формуJ1е (5-3)
+ �)]
=
L
= 4л:,IО-8 [ (1 -+·2,5·10-З• 5,075 +
-2
--k .
2, 5· 10-s]
25 ; 10-з) 5,075'-
= 3,852· 10-z Гн.
Уточнение по срав11ению с формулой (5 -4) невеJ1ш<0.
3. При частоте f = 2000 Гц пользуемся формулой (5 -5), для чеrр
находим
- - 8- .- 10- -'< = 957,З;
k = -,1-2 л
- 10
- ---z
- 4п
.5,
- 3 ,-0
- -- 2- -1
kr = 957,3·5·10-3 = 4,786.
По табл. 2-1 находим � = 0, 5 802. Ис1юмая индуктивность
L = 4л:• 10-� (5,075 - 2 0,5802/4) = 4,048 - 10""7 Гн .
208
+
5.3, ИНДУКТИВНОСТЬ КРУГОВОГО КОЛЬЦА
ИЗ ПОЛОГО ПРОВОДА КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ
i. П р и
н и з к о й
ч а с т о т е
I BR ,
L = µ 0 R \In--z - 2 ) ,
(5-7)
где R - рад�ус кольца (рад иус осевой лин ии провода);
r - наружныи радиус поперечного сечения провода
(рис. 5-1, б); с - коэффициент, значения которого даны
в табл. 10-1.
Для провода из вещества с магнитной проницаемостью µ,
L = µ,oR ( \п B,R - 2 - L In с) .
(5-8)
/Jo
2. П р и в е с ь м а в ы с о I< о й
3. П р и
L=;· 0 R(In
R
�
любой
частот е
- 2):J
(5-9)
ча с то т е
R
L = µ 0 R· ( !n-B-;-- 2 ) +Li ,
(5-1 О)
где Li - внутре нняя инду[{ти вност ь про вода, опр еделяемая
так, ка�< указано в § 2-3.
Пример 5-2. Круговое кольцо радиуса R = 10 см выпОJшено из по
лого медного провода, внутренний и наружный радиусы которого равны
соответственно q = 0,4 см, r = 0.5 см.
Определить индуктивность проnода при низкой частоте, весьма высо
кой частоте и частоте f = 104 Гц.
Решен и е.
1. При низ1шй частоте, применяя формулу (5-7), имеем
�
2)=4:п:-10-8 -3,142=3,949-10-7 Гн,
О,5. 9358
причем значение с взято из табл. 10-1 ДJIЯ qlr= 0,8.
2.· При весьма высокой частоте
I
80
-2) ='11t·l0-в .3,076=3,867·10-7 Гн.
L=4л-10·1 .о,1 \ln
О,5
3. При частоте f = 10 4 Гц применяем формуJ1у (5-10). Учитьшая, что
IГОЛЩина стеюш провода t « r, для опредеJ1ения L i пользуемся форму
JЮЙ (2- 19). В данном случае
т = V2-2п-104-4л-10 7-5,8-107 =·3026;
L=4:n:-10" 7-0,1(ln
sin mt
t = r - q = 10-з м;
= 0,1153; sh mt = 10,28;
cos mt = -0,9933; ch mt = 10,33;
тt = 3,026;
10,28 - 0.1153
= 10,16;
10,33 + 0,9933 = 11,32.
..209
Внутренняя индуктивность
7 2 0
10,16 _
_
.
. _8 _
• -в .
L· - 4:rt- 10-- - :rt- , l
.0,005 11,32 - 0,8308 0,8975 10 - 7,5 10 Гн,
2
3026
i
L = L00 + L; = 3,942 · 10-� Гн.
,i;.
5-4. ИНДУКТИВНОСТЬ КРУГОВОГО КОЛЬЦА
ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
1. П р и
низ кой
частоте
(рис. 5-2)
F,
L = µJ<
2Jt
(5-11)
где R - радиус �юльца (радиус осевой линии провода),
а значения F могут быть определены по I<ривым рис. 5-3 в
зависимости от значений а =
= a/(2R) и р = r/(2R), где а и
r - размеры поперечного сечения
провода в осевом и радиальном
направлениях. Для определения L
может таI<же служить формула
8
Рис. 5-2
L = µ0R ( ln а � r - 0,5) . (5-12)
Более точные значения L при а
формуле
L_
- µoR
(
ln
1
4
а+р -2
+
За2 + р2
24
ln
>р
можно найти по·
4
f
](аз+Р2 +
+4
а2
)
f1 ,
(5-13)
взяв значение f из табл. 5-1, а значение f1 - из табл. 5-2.
При а < р последний член в скобках следует заменить
р2
на 4 f2, взяв значение f2 из табл. 5-2.
Таблица 5-1.
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
210
0,0000
0,0000
0,0001
0,0002
0,0004
0,0009
1. 1
Значения f дJIЯ кольца nрямоугольиоrо С{;чения
о, 1
О, 2
0,0000
-0,0018
-0,0021
-0,0023
-0,0021
-0,0016
-0,0001
--0,0021
-0,0018
--0,0019
-0,0017
-0,0014
О, 3
О, 4
0,5
-0,0003
-0,0027
-0,0021
-0,0019
-0,0015
-0,0011
-0,0007
-0,0032
-0,0026
-0,0021
-0,0016
-0,0010
-0,0014
-0,0038
-0,0034
-0,0028
-0,0021
-0,0015
2. П р и
высокой
весьма
ча с то те
D,5
8R
L = µoR· ( ln g
- 2) ,
(5-14)
е
rд R - радиус кольца;
g - среднее геометриче
ское расстояние л е р и
м е тр а поперечного се11ения провода от самого
себя [см. формулу (10-18) ).
'
' '
""
F=7
F=Br.,
...
F=B
D,f
'"'··lii.,
F=f5
f 20� ,v
"
.
F-fOP..
"
о
D,f
0,4 0,5
Пример 5-3. Круговое 1юль
цо радиуса R = 5 см выполне
но нз медного провода прямо
Рис. 5-3
;уrольноrо сечения ar, причем
а = 0,5 см и r = 1 см. Опреде
лить индуктивность провода при низкой частоте и при весьма высо
кой частоте.
Реше н и е. В данном случае а= 0,5/10 = 0,05; р = 1/10 = 0,1.
l. При низкой частоте по кривым рис. 5-3 находим F = 17·,5. Следо
вательно,
= 4n·10 ·0•05 -1 ,
L
7 5 = 1,75· 10""7 rн.
;
По формуле (5-12)
о,г о,з
р--
J'\.I
2зt· 10- 8- 2 ,78З 1,7 49-10-1 Гн.
.
Определяем L по формуле (5-13). В данном случае
4
4
4
;
ln а.+ � 3,2834 ;
а+ р = 0_ 15
р
L = 4п- ю-z .о,05 ( ln : � - 0,5)
24
3а.2
+ р2
= 0,000728 ;
ln
=
=
4
�=====+ = ln
35,78
= 3 ,577;
7,28-3,577-10-4 = 2 ,6·10- 3•
Таблица 5-2. Значения /1 и /2 для кольца прямоуrольиоrо сечения
f)/a,
0,00
0,05
0,1
0,2
0,3
0, 4
0,5
f,
0,12 50
0,12 69
0,1325
0,1548
0,1916
0, 2 423
0,3066
р/а,
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
t,
0,3066
0, 38 39
0,4739
0,5760
0,6902
0, 8162
v а.2
11
а,
р2
/р
0,00
0,05
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
t.
0,5972
0,5986
0,6023
0,6151
0,6329
0,6540
0,6773
!1
а/р
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1;0
t.
0,6773
0,7023
0,7287
0,7564
0,7856
0,8162
211
По табл. 5-1 nриа = 0,05 ир = 0,1 находим[= -0,0009, По табл, 5-2
при а/р = 0,5 находим f2 = 0,6773;
р2 - 0,0017.
Т
!2
Искомая индуктивность
L = 4.n:-10-z.o,05 (3,2834 + О,0026 - 0,5000-0,0009 + 0,0017) =
= 2.n:· 10-s.2,787 = 1,751 · 10-z Гн.
Различные формулы дают результаты, мало отличающи€ся друr>
от друга.
2. При весьма высо1юй частаrе пользуемся формулой (5-14), опреде
ляя \п g по формуле (10-18). Подставляя в эту формулу Ь = 0,5 см и с=
= 1 см, имеем
2,25·lп g = О,25· JпО,5 + 1-]п 1 + 2-0,5 ]п V 1,25 +
3
+ 1-1_,5 arctg 0,5 + 0,5· 1,5 arctg 2-т·2,25
= -1,911,
О I{уда lп g = -0,8493.
Т Исl{омая индуктивность
L = 2.n:· 10-s (\п 40 + 0,8493 - 2) = 2.n:· 10-8-2,538 = 1,595- 10-1 Гн,
·
5-5. ИНДУКТИВНОСТЬ КРУГОВОГО КОЛЬЦА
СЛОЖНОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
Если сечение кругового кольца ограничено ломаной линией со взаим·
,ю перпендикулярными сторонаыи (см., например, рис. 5-4) , то I<ольцо
можно представить в виде совокупное>
ти несколышх (п) колец, <еечениямн
(
Ор
прямоу ГО
и 2Т на рис. 5-4). .
�Инду1пивность
L основного
1юльJ
J!ЬННКИ
2(
!Ю при
ЫХ низ1юй
ЯВЛЯЮТСЯ
Ца
частоте может
быть
найдена no фОрмуле (l-61), если понимать в ней под F (А) произведение s2L,
Рис. 5-4
под F (k) - произведения вида stLk
и под F (k Х !) - произведения вида s1,.s;Mhi , где L1,. - собственная ин
ду1<тивность l{OJIЬцa, сечением которого является прямоугольник k; Мн
взаимная индуктивность l{OJieц, сечениями I<оторых являются nрямоуголь
НИI<И k и i; s - площадь сечения 1юльца; s,,_ и s; - площади прямо
уrольнююв k и i (например, для рис. 5-4 s2L = sfL t + �L 2 + 2s1 82M12 ),
Индуктивности L1t определяются, 1<а1< у1<азано в предыдущем пара
графе. Взаимные индуктивности М111 можно выразить через собственные
инду1сrивности несколы<Их колец no формулам (1-50)-(1-58); их можно
определить таюке no формулам и методам главы седьмой, если в формула.х:
для взаимных индуктивностей соответствующих 1<атушек положить числа
витков равными едшшuе.
-----г!' ----·,,
5-6. ИНДУКТИВНОСТЬ КРУГОВОГО КОЛЬЦА
ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
1. При низкой
212
частоте
8
L = �oR (tn R - 2) ,
.
g
(5-15)
rде R - радиус кольца (рад иус осевой лпнии прово да);
g - среднее геометрическое расстояние площади попереч
ного сечения провода от самой себя (§ 1-8).
2. П р и в е с ь м а в ы с о к ой ч а с т от е спра
вед лива та же формула (5-15), но под g следует понимать
среднее геометрическое расстояние не площади, а п е р и
м е т р а поперечного сечения п рово да от самого себя (§ 1-8).
5-7. ВЗАИМНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ КОАКСИАЛЬНЫХ
КРУГОВЫХ l(OHTYPOB ОДНОГО РАДИУСА
Дл я коа1<сиальных круговых контуров одного радиуса
(5-16)
М = � RF'
4n
rде R - радиус конту ров; F - величина. значения которой
даны в табл. 5-3 и 5-4 в функции от отношения � = x/(2R)
или от обратного отношения у = 1/G = 2R!x.
Таблица 5-3. Значеиия F в формуле (5-16) для од.инаковых
контуров
F
F
0,00
1
2
3
4
0,05
6
7
8
9
0,10
11
12
13
14
0,15
16
17
18
19
0,20
21
22
23
24
0,25
-
50,16
41,47
36,39
32,80
30,03
27,77
25,88
24,24
22,81
21,539
20,396
19,361
18,417
17,550
16,750
16,009
15,319
14,676
14,073
13,507
12,975
12,473
12,000
11,551
Il, 126
0, 25
26
27
28
29
0,30
31
32
33
34
О,35
36
37
38
39
0,40
41
42
43
44
0,45
46
47
48
49
О,50
11,126
10,723
10,340
9,974
9,627
9,296
8,980
8,679
8,390
8,114
7,850
7,Шl
7,354
7,121
6,898
6,684
6,477
6,279
6,089
5,906
5,730
5,560
5,396
5,239
5,087
4,941
0,50
51
52
53
54
0,55
56
57
58
59
0,60
61
62
63
64
0,65
66
67
68
69
0,70
71
72
73
74
0,75
4,941
4,800
4,66!1
4,532
4,405
4,283
4,165
4,051
3,940
3,834
3,730
3,631
3,534
3,441
3,351
3,263
3,179
3,097
3,1)18
2,941
2,866
2,794
2,725
2,657
2,591
2,528
0,75
76
77
78
79
0,80
81
82
83
84
0,85
86
87
88
89
0,90
91
92
93
94
0,95
96
97
98
99
1,00
2,528
2,4659
2,4060
2,3479
2,2916
2,2369
2,1838
2,1323
2,0823
2,0337
1,9865
1,9407
1,8962
1,8530
1,8109
1,7701
1,7304
1,6918
1,6542
1,6178
1,5822
1,5477
1,5141
1,4814
1,4496
1,4186
23
Через х обозначено расстояние между
плоскостями, в которых расположены кон
туры (рис. 5-5).
Табл. 5-3 и 5-4 неудобны для интерполи
или соот
рования при малых· значениях
ветственно у, так как при этом соседние
табличные значения величины F значительно
отличаются друг от друга.
Для обеспечения необходимой степени
точности в указанных случаях можно поль
зоваться следующими формулами:
при малом значении G (контуры расположены близко друг к другу)
s
Рис. 5-5
М = µoR [ ( 1
+ + s2
1 2
-2 -G
4
- �
G4
+
5
:5 6
s6 + .. ·) ln
1:.1 - � 1: G -1- • · . ] ·
+· �
128 '<>
1536 '<>
'
+-
(5-17)
Таблица 5-4. Значения F в формуле (5-16) для одинаковых
контуров
V .1 Р
1,00
0,99
98
97
96
0,95
94
93
92
91
0,90
89
88
87
86
0,85
84
83
82
81
0,80
79
78.
77
76
0,75
214
. 1,4186
1,3882
3579
3279
2982
1,2686
2393
2103
1814
1529
1,1246
0966
0688
0413
1,0141
0,9871
9605
9341
9081
8823
0,8569
8318
8070
7825
7583
0,7345
р
0,75
74
73
72
71
0,70
69
68
67
66
0,65
64
63
62
61
0,60
59
58
57
56
0,55
54
53
52
51
0,50
0,7345
7110
6879
6651
6427
0,6206
5989
5775
5565
5359
0,5157
4959
4764
4573
4387
0,4204
4025
3850
3680
3513
0,3350
3192
ЗО3t$
2888
2742
0,2600
р
F
0,50
49
48
47
46
0,45
44
43
42
41
0,40
39
38
37
36
О,35
34
33
32
31
0,30
29
28
27
26
О,25
0,25999
24622
23287
21994
20743
0,19533
18365
17239
16154
15109
О, 14106
13143
12221
11338
10495
0,09692
8926
8200
7510
€858
0,06242
5662
5116
4605
4128
0,03683
0,25
24
23
22
21
0,20
19
18
17
16
0,15
14
13
12
ll
0,10
09
08
07
06
0,05
1
1.
0,0368.З
3270
2888
2535
2212
0,019165
16478
14049
11865
0,009916
0,008189
6672
5353
4218
3255
0,002449
1788
1257
0,000843
0532
0,000308
при м алом значении '\' (контуры расположены далеко
друг от друга )
М = µоп.R s ( 1 _ �
2 _1_ � 1 _ 245 6 +
4
1
16
'\'
+
'\'
12Н '\'
6615 4
)
16384 у - ' .•.
512 '\'
(5-118)
Фор�улы нас тоящего параграфа пр иближенно спра
ведли вы и для круг овых к о л е ц, т. е. контуров с к о
н е ч н ы м и размерами поперечного сечения; в эт ом слух
чае при расчете взаимной индуктивности контуров под
следуе т понимать среднее геометрическое расстояние между
ближайшими друг к другу площадями их поперечных се
чений.
Пример 5-4. Одинаковые 1юаксиальные круrовые контуры радиуса
на расстоянии х = 4 см друг от друrа.
Определить взаимную индуктивность контуров.
Ре ш е н и е. В данном случае � = 4/20 = 0,2, и из табл. 5-3 нахо
дим F = 13,51.
Следовательно, по формуле (5-16)
4:п:-10- 7
:п:
·О,l-13,51=1,35!·10- -, Гн.
М=
4
R
= 10 см расположены
Применяя формулу (5-17 ), имеем
� 2 = 4.10--2;
�4 = 1,6· 10- 3;
1+
1n
4
Т
= 1n 20 = 2,996;
-¾- �2 = 1,030.
Искомая взаимная индуктивность
м = 4:п:-10-z.o,1 (1,030-2,996-2-0.01) =
= 4:п:-1,076-10-7 = l,Э5З-lо-7 Гн.
Пример 5-5. Контуры предыдущеrо примера расположены на расстоя
нии х = 50 см друг от друrа. Определить их взаимную индукти вность .
Реше ни е. В данном случае'\'= 20/50 = 0,4, и из табл. 5-4 нахо
дим F = 0,1411. Следовательно, по формуле (5-16)
М=
4зt-10""1
·0,1-0,1411 = 1,411-10- 0 Гн.
4:п:
Применяя формулу (5-18), имеем
ff2 = 0,16; • f = 6,4·10-2; -у4= 2,56,10-2;
з
4у
2
=0,12;
75
'1'6 = 4,096-10-3;
245
l 5 10-2-, 5Т2 •r.6 � 1, 96-10-з-.
= , ·
128 "4
r
215
Искомая взаимная индуктивность
М = 4л· lO- 7 :rt-O, l .5,4. 1 -r ( 0 l О, 12 + 0,015- 0,0020) =
l�
= 1,579-0,8930-10- 9 = 1,410-10-9 Гн.
5-8. ВЗАИМНАЯ ИНД УКТИВНОСТЬ КОАКСИАЛЬНЫХ
КР УГОВЫХ КОНТУРОВ С НЕОДИНАКОВЫМИ РАДИУСАМИ
Обозначим через Ri и R 2 радиусы контуров, через х расстояние между плоскостями, в которых они расположены
(рис. 5-6). Тогда
М = µ0R1 '1'
(5-19)
2:rt rn>
где <р - величина, значения которой могут быть найдены по
кривым рис. 5-7, 5-8 и 5-9. На этих рисунках по оси абсцисс
отложены значения величины G = x/(2R i), а по оси орди
нат - значения величины б = R2/R 1; значения <р указаны
на кривых.
Пользуясь кр1шыми рис. 5-10, дающими значения вза
имной индуктивности М двух о д и н а к о в ь1 х круговых
контуров диаметром D, расположенных на расстоянии х
друг от друга, и имея чертеж двух рассматриваемых не·
о д и н а к о в ы х контуров 11' и 22', выполненный на
кальке в масштабе рис. 5:10, можно определить взаимную
индуктивность контуров 1 J ( и 22', не прибегая к вычисле
ниям. Для этого кальку с изображением рассматриваемых
контуров накладывают на рис. 5-1О так,
чтобы точка 1 совпала с началом коор
динат, а точка 2 лежала на оси абсцисс
(рис. 5-11). Тогда значение М опреде
лится по положению точки т, лежащей
на пересечении вертикальной прямой
2m и окружности 2' т, проходящей че
рез точку 2' (например, для контуров
рис. 5-11 получаем М = 2,4 · 10-s Гн).
Следует обратить внимание на то,
что расстояние и диаметры D на
рис. 5-10 выражены в сантиметрах, а
значения взаимной индуктивности М
на кривых даны в генри.
Если размеры контуров превышают
размеры рис. 5-10, то при построении
Рис. 5-6
на кальке их уменьшают в несколько
216
...,
"
1\.
1
1
1\
1
1,0
J
j
1�
I
/
J
j
j
j
I 1/
� �I 1
��.... ., ,
1)
' I�
I
V
vl/
� i...
i--�l'V V 1.1V � 1/
D,9
"' ,., 1.1
!' V V
V
1.1
""
1,
1.1.1
,... V
1,
�
1.1
1...
0,8
1...�
V
,,, ���,,t
V
,....
...
.,,
_...
---�-
0,7
---...-
.,
...
�v
,,,
L,
.,,,...
,_
...
.,
.,
-
1,'
...
1...
,
L,
... ""' .... ,...
- ... 3... �
\),1..-
....
- .... ,.,
- ,_ ,.,
... -- - -- - - �--,.,... -- -- .... ...
-"'"
- 1��
....,..
-- -- ,__ -,_,..
1
-�
-� �.--�-- ...
-- ....�;:
_,__ -1-1
o.z .....
,,
l,
1..,,
,.,..
'l,.:;;1,.-o�
t-
,__
0,5
0,4
,_
,__
0,3
о,г
'
!\
D,f
�---
о,г
Of ,-
1
Рис. 5-7
раз, в соответствии с чем полученное из рис. 5- I О значение М
во столько же раз увеличивают.
У1шзанный здесь способ определения взаимной индуктивности н е
о д и н а I< о в ы х коаl{сиальных контуров основан 1-1а том, что эта ве.т1и
чина, ка!{ нетрудно показать, равна взаимной инду1пив1-1ости двух о д и
н а I< о вы х коаксиальных контуров lm' и 2m (рис. 5-12).
Более точные значения взаимной индуктивности коакси
альных круговых контуров можно найти по формуле
/¼JM = 4n
V R1R2 F,
(5-20)
217'
1,1
1
7
0,
О,б
ом
0,4
D,J
0,2
0.1
'0,2 0,4 0,5
о.в
1,0 f,2 1,4 !,б 1,8 2,0 2,2 2,4 2,б 2,8 3,0 J,2
�--"'""
Рис. 5-8
взяв значение F или lgF из табл. 5-5 1 где эти значения даны
в функции от величины
(5-21)
1
f,f
f.O
0,9
0,8
0,7_
(l6
5
8 0,
0,4
.0,3
0,2
·O,f
3,0 3,2 3,4 3,б 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 5,2 5,4 5,6 5,8 6,U
�---.-:�
Рис. 5-9
218
О 1 23 4 5
fO
х.
Рис. 5-10
15
20
см
При т2 .,.; U,1, т. е. для близко р�сположенных кругов,
удобн·ее пользоваться табл. 5-6, где значения F даны в функции от Igm2.
Если оба контура лежат в одной плоскости, т. е. центры
их совпадают (х = О), то для определения взаимной индук
тивности контуров могут служить формулы:
при малом значении б (один контур много меньше другого)
6
б�
М = ; µобR2 1
62
1�2� <5
[ + f + :: +
+
(2n !)2 (2
:i"
n + \) 6211
4
( 1) (п
+ 1)
+ ... +
(5_22)
+ ... ] ;
прн малом значении величины е = R12-R2 = 2 (1 - б)
R1
(контуры близких радиусов)
2
85
М = µ0R1
х
1 - е + : + � + � е1
1 i:: х ln � - 2 е
е2
[(
11
19
- 384
1
+ : + ... )
+ + �4 + -6
4
379 5
+ . . .] .
(5-23)
1920
3
8
-
8
219
С весьма большой степенью точности взаимная индуктив
ность коаксильных круговых контуров может быть в общем
случае определена по формулам, содержащим различные
специальные функции. В частности, часто применяется
формула
М = /10 v R1R2
[ (f- k) К - f Е],
где
k2
=
4R1R2
(5-24)
(R1 +R2)2 +x2
rr-r�
=гr-
-
(5-25)
а К. и Е - полные эл-
1
2
х----
Рис. 5-12
Рис. 5-11
первого и второго рода с модулем k. Значения К. и Е могут
быть найдены по таблицам эллиптических интегралов (прило
жение 4).
При значениях k, близких к единице, вычисление по этой формуле
становится затруднительным, так KaI{ табличные значения К, сооrвет·
ствующие соседним значениям k, сильно отличаются друг от друга и
с1юлыю-нибудь точное интерполирование между ними практичес1ш невоз
можно. В подобных случаях удобнее пользоваться формулой
М = 2µ0 Jf� (К Е1),
1
Vk1
(5-26)
где Ki и Ei - палные эллиптичес1ше интегралы первого и второго рода
с модулем
1-ft'
k1 = 1 +
k'
220
=
(5-27)
Таблица 5-5. Зt1а•1ения F в формуле (5-20) д.iut контуров
с 11еоди11аковыми радиусами
т•
0,00
1
2
3
4
0,05
6
7
8
9
0,10
11
12
13
14
0,15
16
17
18
19
0,20
21
22
23
24
0,25
26
27
28
29
0,30
31
32
33
34
0,35
36
37
38
39
0,40
41
42
43
44
0,45
р
-
21,474
17,315
14,937
13,284
12,026
11,017
10,179
9,464
8,843
8,297
7,810
7,371
6,974
6,611
6,278
5,970
5,685
5,420
5,173
4,941
4,723
4,518
4,325
4,142
3,969
3,805
3,649
3,500
3,359
3,224
3,095
2,971
2,853
2,740
2,6317
2,5276
2,4276
2,3315
2,2391
2,1502
2,0646
1,9821
1,9026
1,8259
1,7519
lgF
-
1,33191
23842
17246
12333
1,08014
04207
00770
0,97608
94662
0,91890
89263
86754
84347
82026
0,79780
77599
75475
73401
71371
0,69380
67423
65497
63598
61723
0,59869
58034
56215
54410
52618
0,50835
49062
47295
45535
43778
0,42024
40271
38518
36764
35008
0,33248
3)483
29712
27934
26148
0,24352
�
т•
F
0,45
46
47
48
49
0,50
51
52
53
54
0,55
56
57
1,7519
1,6805
1,6116
1,5451
1, 4808
1,4186
1,3585
1,3004
1,2443
1,1900
1,1374
1,0865
1,0373
0,9897
0,9436
0,8990
8558
8141
7736
7345
6966
58
59
0,60
61
62
63
64
0,65
66
67
68
69
0,70
71
72
73
74
0,75
76
77
78
79
0,80
81
82
83
84
0,85
86
87
88
89
0,90
,
6600
6246
5903
5571
0,5251
4941
4642
4353
4074
О,3805
3545
3295
3054
2823
0,25998
23859
21806
19840
17959
0,16162
14450
12821
11276
09815
0,08438
lg F
0,24352
22545
20726
18894
17048
0,15186
13307
11409
09492
07553
0,05591
03604
01592
1,99551
97480
1,95377
93240
91066
88853
86599
1,84300
81954
79556
77105
7459 5
1,72022
69382
66668
63877
61001
1,58033
54965
51788
48492
45065
Т,41495
37765
33859
29754
25428
1,2085)
15986
10792
05215
2,99187
2,92622
22-1"
Продолжение табл. 5-5
lg F
F
m•
р
lgF
0,95
96
97
98
99
1,00
0,02866
2,45732
30858
11782
3,85035
3,39551
11
0,90
91
-92
93
94
0,95
2,92622
85405
77382
68336
57950
2,45732
0,08438
7146
5940
4824
3798
0,02866
или формулой
2035
1312
0708
0249
0,00000
-
!!1JV�
4
[(l+k2)K2 -E2 ],
- Jt2kk/4�
м-
( 5-28)
где К2 и Е2- полные эллиnтическяе янтеrралы первого и второго рода
с модулем
2
k = 1- k;Vri k;-2 = 1- k'f..
(5-29)
2
1 + k1
V,1 +
=(
v;:; ) ,
-v,;
Вычисления по формуле (5-24) становятся неудобными также и в тeJ!i
случаях, когда модуль k мал, так как при этом фОрмула содержит pas•
Таблица 5-б. Зна•1еtшя F в фсрмуле (5-20) для близко
расположенных контуров с неодинаковыми радиусами
Jg m•
6,0
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
6,7
6,8
6,9
5,0
5,1
5,2
5,3
222
79,093
77,647
76,200
74,753
73,306
71,860
70,41 3
68,966
67,520
66,073
64,626
63,180
61,733
60,287
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
4,0
4,1
4;2
4,3
4,4
4,5
4,6
60,287
58,840
57,394
55,947
54,500
54,055
51,609
50,163
48,717
47,272
45,827
44,382
42,938
4t,494
4,6
4,7
4,8
4,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
41,494
40,051
38,608
37,167
35,727
34,288
32,851
31,416
29,984
28,554
27,128
25,707
24,291
22,881
3,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
1,о
22,881
21,478
20,084
18,700
17,329
15,972
14,632
13,311
12,013
10,742
9,502
8,297
иос1ъ близких друг к другу величин. В подобных случаях удобнее поль
зо ваться формулой
М= �
V�
k
[ _ь_-(1
+ /,)Е-u ] '
l +k
(5-30)
где Kv и Е0 - полн�е ЭJJлиnтические интегралы первого и второго рода
с модулем ko = 2 У"/(1 + k} .
Вместо формул с эллиптическими интегралами можно
пользоваться формулами, дающими взаимную индуктив
ност ь коаксиальных контуров в виде бесконечных рядов.
При малых значениях k (k2 < 0,3) удобна формула
м=
µ" V�
n
2
где
iг3(:!.+_з
_l2·+�k4+
...
8
32 г
1024
+
+ _п
_ А k2n-2 + .. ·) •
п+ l n
(5-31)
1-3-5 ... (2n- l) 2
]
:l-4-o ••• 2n
(5-32)
Ап = [
и k определяетсfi по формуле (5-25).
При всех значениях k от нуля до 0,995 быстро сходится
ряд
м = µon v� q3!4
V1+q
[1
+ _4l
-f- Anq'l11 -f- • • • + +q -f-
+ 2 2n(п ++ !1) АпQ
2n+I
q2
1
+ _964_·q4 + ... +
� qЗ
+•.•+
+ .. • ] '
(5-33)
где q = k2 определяется по q::ормуле (5-29), а A n - по фор
муле (5-32).
Пр значениях k, близких к единице (k2 > 0,6), удобна
формула
М=
/Jo
У�
[( 1 +
i
�
+ :: + ... ) In � -
т2
m'"
- ( 2--+-···
)] '
4
128
(5-34)
где
(5-35)
22.3
Формулы настоящего параграфа приближенно спра
ведливы и для круговых к о л е Li, т. е. для контуров с к о
н е ч н ы м и размерами поперечного сечения. В этом слу
чае взаимная индуктивность контуров может быть принята
равной взаимной индуктивности двух 6 е с к о н е ч н о
т о н к и х к о н т у р о в, имеющих такие же радиусы,
как и оси рассматриваемых колец, и расположенных так,
что кратчайшее расстояние между ними равно среднему
геометрическому расеrоянию между ближайшими друг
к · другу площадями поперечных сечений колец.
Пример 5-6. Коаксиальные круrовые контуры, радиусы которых
равны R1 = 25 см и R2 = 20 см, расположены на расстоянии х = 8 см
друг от друга. Определить IJЭаимную индуктивность контуров.
Р е ш е н и е. В данном случае � = 8/50 = О, 16; б = 20/25 = 0,8.
1. Применяя формулу (5-19), определяем <р по кривым рис. 5-7, из ко
торого находим <р = 5, 8. Следовательно,
М
= 4п·- io;:·0,25 -5, 8 = 2,9· 10-7 Гн.
lg
2. Применяем формулу (5- 20). В данном случае т2 = 4,2605 · ю-2;
= 2,62945, и по табл. 5-6 находим F = 12,929; следовательно,
m2
М = J/"0,25·0,20 -10-'2, 1 2,92 9 = 2, 8911 ·I0-7 Гн.
8, Применяем формулу (5-24). В данном случае
_ 4-0, 25 -0,2 _
- О, 9574о,. k = 0,97847,
k2
- 0,452 + 0,082
по таблицам эллиптических интегра.,юв (19) находим
К= 2,9 855; Е = 1,0531.
Подставляя найденные значения k, К и Е в формулу (5-24), получим
М = 2,8906·10-7 Гн.
4. Ввиду того что в рассматрlillаемом примере k близко к единице,
применяем формулу (5- 26).
В данном случае
k' 2 = 1 - k2 = 0,042605; k' = 0,20641; ki = О,79359/1, 2064 =
= 0,6 5781;
kf = о, 4 3211.
Vk1 = о,ю106;
и
По таблицам (19) находим
/(i = 1, 8009; Ei = 1,3 838; Ki - Ei = 0,4171
М
224
=
2
v0,81106
0.25-0,20
·0,4171-10-1 = 2,890· IO-z Гн.
5. Приl',! ен,ем формулу (5-28). В данном случае
k12 = 1-kf = 0, 56729; k; = 0,75319; k2 = 0,14078;
�=О,019819;
1 +�= 1,14078; � = 1,0681;
14,14 = 0,6 1 253.
По таблицам [13] нахо.цим
/(2 = 1,5787: Е2 = 1.5630,
и, следовательно,
М 4·4 10-? Vo, 25 ·0_;20
�
(l,14078-1,5787 -1 5630) =
=
V2 -0,61253.1, 0681
=; 2,890 3-104 Гн.
6. Применяем разложение в ряд (5-34). В данном случае
т2 = k'2
М=
= 0,042605;
�
- -0,01065;
4
lп - = 2,9641;
4
т
4n·I0-:11fo,25 · 0,20
,! '0063 =2 ' 8900·104 Гн.
О,97847
7. Применяем разложение в ряд (5-33). В данном случае
q=k2 =O,14078;
1 2=
4
0,0050;
q
Jll +q= 1 ,068 1 ;
1
2
q = 0,0704;
q314 =0,22983;
3 8
16
q = 0,0005;
Результаты, полученные рами,1ными способами, мало отличаются
друг от друга.
5�9. ВЗАИМНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ
КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ КРУГОВЫХ КОНТУРОВ
Взаимная индуктивность концентрических круговых кон
туро в
М = /..10R1 rn,
(5-36)
2л
..,,
где Ri - радиус больш его контура, а <р - величина, зна
чения 1<оторой могут быть найдены по I<ривым рис. 5-13.
На этом рисунке по оси абсцисс отложены значения cos 0,
где 0 - угол между плоскостями 1юнтуров, а по оси орди
н ат - значения б = R zl R 1 , где R 2 - радиус меньшего кон
тур а (рис. 5-14); значения величины <р определяются путем
8
Ка.пантаров П. Л., Цейтлин Л. А.
225
0,4
0,3
0,2
о
0,2
о.в
0,4
D,б
соsе----
f,(J
Рис. 5-13
интерполирования - по значениям, указанным на соответ
ствующих кривых.
Для более точного определения взаимной индуктивности
концентрических круговых конту_ров можно пользоваться
формулой
М
.
; µof>R2 [ Р1 (cos 0)
+ ��
1 R2
ив
<r
Рис. 5-14
226
п,
+ {-б Р (cos 0) +
2
б4Р0 (cos 0)
+ ... +
3
+ /0�4
)2
б6Р1 (cos 0)
(2n 1 • (2n + 1) t,2п
Х
z4n (n 1)4(/! + !)
Х P2n+t (cos 0)
+ • · ·] ·
+
(5.37)
где
Р3 (cos 0) , ... �
Р1 (cos 0),
P2n+i(cos 0) .. -. -полиномы Лежандра,
значения которых для различных п и
различных cos 0 можно найти по таб·
лицам или формулам, приведенным в
приложениях 1 и 5. Формула удобна
з
п и малых значениях б, т. е. при условии, что один и кон
т�ров значительно меньше другого. В противном случае ряд
(Б-37) сходится медленно.
Пример 5-7. Два концентрических круговых контура, радиусы кото°
= 2,5 см, расположены под углом 6 = 60
р ых раnны R1 = 10 см и R2 аимну
ю инду1пивиость контуров.
друг к другу. Определить вз
р е ш е н и е. В данном случае
б = 2,5/10 = 0,25; б2 = 0, 0 625; б4 = 0,003906; cos 0 = 0,5.
По кривым рис. 5-13 находим (j) = 0,3, и, следовательно,
м- 4n-10-1.o, 10 о 3 6 10 9- r
-
2n
· ' - ·
н.
Более точное значение М определяем по формуле (5-37). Из таблиц
полиномов Лежандра при cos 0 = 0 ,5 находим
Р1 = 0,5 000; Р3 = -0,4375; Р5 =:= 0, 0898;
{- б2Р3 = -0 ,0103;
�� б4Р6· = 0 ,000082.
Искомая взаимная индуктивность
:n:
М=
-4n• 1 0-7 - 0 ,25- 0 ,025 (О,5000 - 0 , 010 3 + 0,0001) =
2
= О,1234-10-7-0,4898 = 6,044-10-9 Гн.
5-10. ВЗАИМНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ КРУГОВЫХ КОНТУРОВ
С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ОСЯМИ
1. Контуры одного радиуса (рис. 5-15). Для контуров
одного радиуса
( 5-38)
где R - радиус контуров; (jJ - величина, определяемая
по кривым рис. 5-16 и-5-17. На этих рисунках по оси абсцисс
отложено отношение 'l'J = y/(2R), по оси ординат .:..... отно
шение s = x/(2R), где у - расстояние между осями кон-·
туров; х - расстояние, на которое
центры контуров смещены в осевом наR
R
правлении. Значения величины (jJ определяются путем интерполирования по значениям, указанным на соответ,·
ствующих кривых.
Более точно взаимная индуктивность в рассматриваемом случае может _R__l'----'-- '-�
быть найдена по формуле
М = M0k,
Рис. 5-15
(5- 39)
227
I
1,4
1
1,0
0,8
0,5
0,4
0,2
о
0,2
о.в
D,4
о.в
7J
1,0
1,2
1,4
f,б
Рис. 5-16
����tJ'I\��o.
�J-1.
�
/�t;.
1 ' 'V 1/ �
:g
1,4 1Е:!
1,2
�/
1/ •
.,
,,..;,;-
t.--'v
-�r---.... �"
oOu1" '
1-=0.008L..L__
-o,ot.,_....._
- Yl,l'JJ;,.._ 1--. !'-.. ....
' J JI/ .,-, �i;..,
IJV '/l./ 1....-,.
�
1',..,
-"'
'll.� ..... ,._ "',._ "i-..
f,O 1') r/
1"' r--..
1-....
� .,.... �
r--1',..
"--��
8 �V�......
r-.. Г'-,
1\.
i..
1\ "'
0, v" ��
Jo.
r-...�,
"'"\
\ '
1\.
1 о.в :-::
==:,,.. "-� "'r-.. "- ...
i\" i\
1\Г\:
1;
�<3,.1\. ' \ --,
.......[',
=i::::i--..
\
0,4 -::::�........ ... r-,..1",' � о ·о
с:> о и
\\
.\
D���
1
\ 1
'i' \
\
0,2
\
1 1
�� �'� �\ .\ 1\ \1 \
1
1 1
о � 1\ \ 1 11 , 1 1 1 1 1
J,O
2,0
4/f
f,5
�5
i;,....
- -
'
"'
.,'..., l\
�f
-
"� ...
' "'
ь
'
11-
Рис. 5-17
'
'
,
"
"
'
'
г е М _ взаимная индуктивность тех же контуров, но рас
�о ж�нных коаксиально (0 = О) при том же расстоянии r
:ежду центрами; k - коэффициент, зависящий от угл.а 0
и о т отношения '\' = 2Rlr.
Взаимную индуктивность М0 определяют одним из спо
собов, указанных в § 5-7. Значения коэффициента k находят
по табл. 5-7.
для контуров, лежащих в одной плоскости, для определения взаимной индуктивности можно по льзоваться сле
дующими формулами:
для пересекающихся контуров
м
µ0 R·f·
1•
= 4:n
(5-<10)
для контуров, расположенных на бол[,шом расссоянии
друг от друга,
3
М = _ µ0:R (
(5-41)
f2_
_!/--)
Значения коэффициентов f1 и f2 определяются по
табл. 5-8.
Интерполирование по табл. 5-7 и 5-8 не всегда может
быть выполнено с достаточной степенью точности. В подоб
ных случаях пользование формулами (5-39)-(5-41) стано
вится неудобным и величину М следует определять иначе.
При больших расстояниях между контурами: (r > 2R,
f = 2R!r < 1) можно применять формулу
М= 1� µoR'f ( P2 (cos0)--: '\'2P4 (cos0)+
245 6
75 4
128 '\'P6 (cos0)- 512 11P 8 (cos0)+···+
�,2,,-2р2n (cos0)
+ (- J)n+I - (2n 1)2 п
,
�п 3 (п l)4 (n + l) r
+
+ ... ]
(5-42)
где Р2 (cos 0), Р4 (cos 0), ... , Р211 (cos 0) ... - полиномы Ле
жандра-, значения которых для различных п и различных
cos 0 можно найти по таблицам или формулам, приведенным
в приложениях 1 и 5.
Если расстояние r между центрами: контуров меньше их
диаметра или одного порядка с ним, то взаимную индуктив
ность контуров можно определить методом однократного
численного интегрирования (§ 5-12).
229
Таблица 5-7. Значения k в формупе (5-39) ц.nя один�овых круrоnых контуров с nараJJ.nеJ1ьными осями
1/
1,0
0,9
о.в
{),7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
о.о
i\
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
о, 1
0,0
о1
11v =
1
1
1 1
0,2
1
1,0267 1,0330
1,0552 1,0692
l,0857 · 1,1087
1, t 155 1,1517
1,1536 1,1997
1,1917 1,2524
1,2330 1,3109
1,2780 1,3760
l,3274 1,4489
1,3820 1,5311
1
1
l
1
1
1
1
1
1
1
v=
о, 1
i
1 ·1 ·1
0,9
0,8
l
1
1
0,9176 0,8968 0,8736
О,8180 Р.7741 0,7266
(),6959 0,6267 0,5551
0,5441 0,4477 0,3543
0,3515 0,2275 О, l 190
0,10]4 -(),0470 -0,155]
-0,2378 -0,3940 -0,4670
-0,7240 -0,8337 -0,7992
-1,5087 -1,3509 -1,0900
-4,053 -1,677 -1,2154
е,з
1
1,0329
1,0699
1,lll2
1,1580
1,2111
1,2717
1,3411
1,4212
1,5139
1,6214
0,7
1
0,8482
0,6771
·о,484В
0,2700
0,0336
-Q,2212
-0,4809
-0,7204
-0,8992
-0,9636
1
0,4
0,5
1 1
0,6
1
1,0265
1,0568
1,0919
1,1328
1,1812
1,2390
1,3085
1,3929
1,4959
1,6220
1
1,0146
1,0509
1,0750
1,1052
1,1440
1,1952
1,2641
1,3577
1,4851
0,9982
0,9954
0,9917
0,9876
0,9842
0,9836
0,9897
1,0102
J,0557
1,145
0,6
0,5
0,4
1,()313
1 1 1
1
0,8231
0,6292
0,4196
0,1992
-0,0287
-0,2551
-0,4704
-0,6357
-0,7586
-0,8030
1
0,7946
0,5812
0,3626
0,1434
-0,0697
-0,2681
-0,4410
-0,5764
-0,6632
-0,6931
1
1
0,7693
0,539В
0,3157
O,l0l9
-0,0956
-0,2704
-0,4156
-0,5250
-0,5930
-0,6160
0,7
1
0,9790
0,9527
0,9200
0,8787
О,8291
0,7668
0,6964
0,5850
0,5505
0,5253
1
Гэl
1
0,7471
0,5058
0,2798
0,0729
-0,1109
-(),2678
-О,3941
-0,4867
-0,5434
-0,5624
0,8
1
0,9
1
1
1
О,9584
0,9376
0,9070
О,В613
0,7665
0,8428
0,6472
0,7619
0,4938
0,6585
0,5246
0,2914
0,3489
0,0137'
0,1178 -0,3874
-0,1681 -1,0231
-0,4672 -1,953
0,2
1
0,7298
О,4806
0,2546
0,0540
-0,1195
-0,2640
-(),3780
-0,4604
-0,5102
-0,5269
1
о, 1
1
0,7188
0,4652
0,2399
0,0434
-0,1237
-0,2610
-0,3683
-0,4451
-0,4912
-0,5066
1
1/V= 1
1
1
0,9176
О,8180
0,6959
0,5441
0,3515
O,l014
-0,2378
-0,7240
-1,5087
-4,053
v= о
i
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
ф
<)
1,0
1
0,7150 0,9
0,4600 О,В
0,2350 0,7
0,0400 0,6
-0,1250 0,5
-0,2600 0,4
-0,3650 0,3
-0,4400 0,2
-0,4850 0,1
-0,5000 0,0
Таблица !j-8. Значения /1 и /2 в форм�лах (5-40) 1-1 (5-41)
д.nя контуров, лежащих в оцнои плоскости
1/V
-
1/v
f,
-
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
7,334 4,272
],506
-1,045
-3,457
-5,749
29,766
20,68]
!5,о73
10,840
7,334
0,1
0,2
о,з
0,4
0,5
V
f.
0,0
О, 1
0,2
0,3
0,4
0,5
т.
V
],0000
1,0057
1,0232
],0538
],1006
1,1686
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
,.
1,1686
1,2669
],4132
1,6482
2,0969
4,6604
Пример 5-8. Одинаковые круговые контуры радиуса R = 5 см рас
пол ожены в параллельных плоскостях (рис. 5-15) так, что расстояние
равно r = 40 см, а cos 0 = 0,4. Определить
между центрами контуров
т
в заи мную индуктивнос ь контуров.
Р е ш е н и е. В данном случае '\' = 10/40 = 0,25. Применяем фор
мулу (5-39). При'\' = 0,25 и cos 0 = 0,4 по табл. 5-7 находи�, /1 = -0,2659.
Взаимную индуктивность М0 коаксиальных круrоuых контуров опреде
ляем по формуле (5-16), при этом значение F берем нз табл. 5-4. При 1' =
= 0,25 находим F = 0,03683. Следовательно,
4 - 0-?
М0 = n J
-0,05-0,03683 = 1,842-10-10 Гв
4n
И ОКОНЧаТеJJЫЮ
М = - 1,842,0,2659-10-10 =
- 4,898, 10-д
Гн.
Для определения М по формуле (5-42) вычисляем
у3 = 0,01563;
1>4 � О,!103906.
у2 = 0,0625;
По таблице пол иномов Лежандра при cos 6 = 0,4 находим
Р6 (cos 6) = 0,2926.
Р4 (cos 6) = - 0,1130;
Р2 (cos 0) = -0,2600;
Подстамяя найденные величины в формулу (5-42), получаем
М = 1,929 · 1 o-:io (- 0,2603 + 0,0053 + 0,0007) = - 4,900. 10-�1 Гн,
что почти совпадает с резуль
татом, найденным 110 форм уJtе
R2
(5-39) и табл. 5-7.
2. l(онтуры неодинако
вых радиусов (рис. 5-18).
Если контуры лежат в од
ной плоскости (х = О), то
их взаимную индуктив
ность можно найти по фор
муле
М
=
f; R q>,
1
(5-43)
r
--=-., --i'-,-. ----., -y
1�
�r
1
Рис, 5-18
. 231
0,9
1
8
0,
о 0,7
0,6
0,5
D,4
f,5
3,0
2,5
'lj-�Pиc. 5-19
взяв значение <:риз рис. 5-19. На этом рисунке по оси абсцисс
отложено отношение ri = y/(2R 1), а по оси ординат - отно
шение радиусов контуров 6 = R 2/R 1• Значения величины q,
определяются путем интерполирования - по значениям, ука
занным на соответствующих кривых.
В общем случае (рис. 5-18), если расстояние r между
центрами контуров больше суммы их радиусов, то М можно
приближенно определить по формуле
�
м-м
- о k1+
2
,
(5-44)
где М 0 - взаимная индуктивность двух коаксиальных кон
туров с теми же радиусами R1 и R 2 и тем же расстоянием
между центрами r; k1 и k2 - значения функции k, опреде
ленные по табл. 5-7 один раз для'\' = 2R1 /r, а другой раз для '\' = 2R2/r. Значение М0 может быть найдено одним
из способов, указанных в § 5-8.
Если расстояние r между центрами контуров одного
порядка с суммой Ri + R 2 или меньше, чем эта сумма
то взаимную индуктивность контуров можно определить методом однократного численного
интегрирования
(§ 5-12).
j
В некоторых случаях для оnределения взаимной индуктивности не
одинаковых контуров с параллельными осями могут быть использо
ваны приводимые ниже формулы, дающие М в виде бесконечных ря
дов.
0
232
При r> Ri -1- Ri
i, (
(2n) 1
п
Ri
� -1) n!(n-t)!F ( -п, -n-1-1, 2, Rr
n=l
R1 2п+1 P (cos0),
2n
Х ( 2i )
я2
)Х
(5-45)
где P2n (cos 0) -полином Лежандра, а F - п, -п + 1, 2, ; -rиR
nерrеоме-rрический ряд (см. приложение 1).
Если радиусы R 1 и R 2 контуров близки друг к другу, удобнее формула
(
.
N1 = _ ...::_
2 µо
)
(2п 1)2 11
Rr + R1 � (- l "
Rf + R� " х
)
(
)
3
,·i
11
(
r
LJ
2 п 1)4 (п + 1)
n=I
п
XF ( ,
2
n-1-1
1
---,
2 -п,
2
'J,, ) P21i (CosU),
(5-46)
где
r 2"
(2n + 1)1
R2
М = щ� 0 _L � (- IY1 --'---'-...:.._- (
) х
R1
22п+1 (11 !)2 R1
n=O
) .
З
R! P (cos0).
(5-47)
XF п + 2, п+ 2• 2 ,
2n
Щ
Ввиду громоздкости отдельных членов этих выражений применение
формул (5-45)-(5-47) может оказаться целесообразным лишь в тех слу
чаях, когда можио ограиичиться двумя-тремя первыми членами ряда,
т. е. лри r » R1 + R2 для формул (5-45) и (5-46) и при r � R1 для фор
мулы (5-47).
Пример 5-9. Два круговых контура с параллt>л;,�н, м , осями имеют
радиусы Ri = 10 см и R 2 = 5 см и расположены так, что центры их
;удалеuы на расстояние r = 20 см, причем cos 0 = 0,8. Опредсл11ть вза·
имную индуктивность контуров.
Р е ш е н и е. Пр именяем формулу (5-44), определяя М0 no формуле
(5-19) и кривым рис. 5-8. В данном случае (j = 5/10 = 0,5, � = 20/20 = 1,
и из рис. 5-8 находим <р = 0,21, так •rто
4:n-10-1
:rt
-0,10-0,21=4, 2·10_9 Гн.
М0 =
2
(
1
l(оэффициенты ki и k 2 определяем ло табл. 5-7. При cos 0 = 0.,8 и
1'i = 20/20 = 1 имеем k 1 = 0,8180; лри cos 0 = 0,8 и у2 = 20/10 =
= 2 (1/у2 = 0,5) имеем k2 = 0,5812. Таким образом, 1/2 (k1 + k.J = 0,70
и, следовательно,
м = 4,2·10-0.0,10 = 2,95-Н(0 Гн.
233
Пример 5-10. Два круговых контура а параллельными осями имеют
радиусы R1 = 20 см и R2 = 4 см и расположены так (рис. 5-18), что рас
стояние между их центрами равно r = 2 см, причем cos 0= 0,66. Опре
делить взаимную индуктивность контуров.
Р е ш е н и е. Так как r <J R1 - R2, то применяем ф армулу (5-47).
При п = О коэффициент
2
1
=О,S,
A = (-l)n ( n+IJI (-'-)2п=___
2-1 1
22п+1 • (n !)2 R1
а rиnерrеометри<1еска11 функция
F=F(-},
f,
+ о,5 · 12�/35 ·2•
5
2,
1
0
=1+
25 )
·5;
1
•
5
.о,о4+
0,0016= 1 + 0,015 + 0,0004 = 1,015,
Аналоrи•шо при п = l получаем
А= - 7,5-lо-з;
F= 1,079;
при п = 2
А= 0,9375 ·10- 4; F = 1,193.
По таблицам полиномов Лежандра находим
Р4 (0,66)
Р2 (0,66) = 0,1534;
Ро (О,66) = 1;
= - 0,4284.
Подставляя найденные значения в формулу (5-47), получаем
М = 3,158-10-в (0,5• 1,015 -0,0075-0,1534-1,Q'79-0,9375 • 10-4· 1,193-0,4284) = 3,158-10-8·0, 5062 = 1,599, 10-н Гн.
5-Н. ВЗАИМНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ КРУГОВЫХ КОНТУРОВ
С ПЕРЕСЕКАЮЩИМИСЯ ОСЯМИ
1 1 Два контура, оси которых пересекаются в центре
меньшего из них (рис. 5-20). Обозначим радиусы [{Онтуров
через Ri и R2 (R1 > R2), расстояние между их центрами
через r, угол, под которым пересеR1
R,
каются оси контуров, через 0. Тогда
М = M0q cos 0,
(5-48)
где М0 - взаимная индуктивность кон
туров при 0 = О; q - коэффициент,
зависящий от взаимного расположения
контуров. Значения q даны в табл. 5-9
в зависимости от величин
234
б=
RiR1,
р = r/R1 И V = cos
е.
. Значение М0 может быть найдено одним из способов,
указанных в § 5-8.
Табли ца 5-9 дает значения коэффициента q для значе
й
ни бот 0,5 до 0,9. При 6 < 0,5.для определения взаимной
ин дуктивности можно пользоваться формулой
Р3 (v)
п
22 - 1 2 •
М = 2 рои V ЩV [ 1 4 V р (Ч) -v- +
: )
(
+ _18V�р"'r)
Р5 (v) _ � б ·
Р (v)
7('r)) 7V
V
64Vр
2n ·
+. (- l)n �п (п(2п!)
1)2 (п + 1) V p211+1 (Ч)
P2n.+1
v
(v)
+
+
+ • • • ] , (5_49)
•••
где
R2
�
Ю
f>t
Р
г
--- •
1
--�
" - --- - --� , 1"J
и2 = ---ЩV
i
= + Р�
-- af - i + pi
= � = V i + р2,
P2n +l (v) - полиномы Лежандра порядка (2n + 1) от аргу
мента v; Р2п+1 (11) - производные от полиномов Лежандра
P2n+t ('l"J), взятые по их аргументу 'l"J. Значени я полиномов Ле
жандра и их производных могут быть н айдены по таблицам
и формулам, приведенным в приложениях 1, 5, 6. Формула
(5-49) справедлива и при б > 0,5.
В тех случаях, когда интерполирование по табл. 5-9 ста
новится неточным, а ряд (5-49) сходится недостаточно быстро,
для вычисления взаимной индуктивности контуров может
быть использован метод однократного численного интегри
рования (§ 5-12).
Пример 5-11. Два круговых контура имеют радиусы, равfiые соот
ветственно R1 = 10 см и R 2 = 6 см. Ось nервого контура nроходит через
�ентр второго, расстояние между цен1·рами r = В см, оси контуров накло
нены под углом, косинус 1шroporo cos 0 = 0,7. Определить взаимную
индуктивное1ъ контуров.
Р е ш е н и е. Применяем фОрмулу (5-48). Взаимную инду1<тивность М0
определяем no формуле (5-20) и табл. 5-5. В данном случае
2 _ 16+64 _
т - 256 + б4 - 0,25,
F = 3,969;
4n-10-7 V 1
0, 0· 0,06-3,969 = 3,074-J0-8 Гн.
Мо = 4n
Табл1ща 5-9 при
Таким образом,
6 = 6/IO = 0,6 и v = cos 0 = 0,7 дает q = 1,0779.
М = 3,074· 1,078-0,7. 10- 8 = 2,320-10-s
Гн.
235
V
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
V
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0 ,9
1,0
l I
О т н о ш е н и е р ад н у с о в б = 0,5
•IP = о
о. 1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
J
1
1
1
1,0092
1,0091
1,0088
1,0084
1,0077
1,0069
1,005 9
1,0047
1,0033
!,0017
1
1,0349
1,0346
1,0335
1,0317
1,0292
1,0260
1,0221
1,0175
1,0123
1,0064
1
1,07!9
1,0712
1,0688
1.0650
1,0598
1,0530
1,0449
1,0355
1,0248
1,0129
1
1,1129
1,Ш6
1,1080
1,1018
1,0934
1,0827
1,0698
1,0550
1,0382
1,0199
1
t, 1496
1,1489
1,1439
1,1357
1,1243
1,1099
1,0927
1,0727
1,0506
1,0262
1
1, !793
1, 1774
1,1715
1,1618
1,1483
1,1312
1,1107
1,0870
1.(1605
1,0313
1,1965
1,1944
1,1882
1,1778
1,1634
1,1450
1,1227
1,0968
1,0674
1,0350
1
1,2019
1,1999
1,1938
1,1837
1,1694
1,1511
1,1286
1,1020
1,0714
1,0373
1
1,1988
1,1969
1,1912
1,1816
1,1681
1,1507
1,1292
1,1034
1,0734
1,0390
1
Р= 1
0,9
0,8
0,7
0,2
о, 1
1,1852
1,1837
1.1790
1,1710
1,1596
· 1,1442
1,1247
1,1007
1,0719
l,0382
1
1,1660
1,1648
1,1612
!, 1548
l,1455
1,1328
1,1161
!,0950
1,0688
1,0372
1
1,1376
1,1368
1,1343
1,1300
1,1234
1,1143
1,1016
1.0847
1,0627
1,0346
1
1,0993
1,0989
1,0979
1,0958
1,0925
1,0874
1,0797
1,0685
1,0523
1,0300
1
0,8361
8373
8410
8472
8563
0,8686
8841
9046
9299
0,9614
1
0,8045
8058
8097
8164
8261
0,8394
8568
8794
9087
0,9474
1
1
1
1
1
1
1
]
1
Таблtща 5-9. Значения q в формуле (5-48) для контуров с лересекающимися осями
1
1
0,6
1,0522
1,0523
1�0526
1,0529
1,0529
1,0523
1,0502
1,0457
1,0372
1,0227
1
1
0,5
0,9966
0,9972
0,9989
1,0016
1,0050
1,0088
1,0125
1,0153
1,0159
1,0121
1
1
1
0,4
0,9407
9414
9434
9468
9517
0,9582
9663
9757
9858
0,9944
1
1
о.з
0,8835
8841
8873
8928
9007
0,91]1
9242
9401
9587
0,9795
1
1 1
11/р =
1
J, , V
1,1852
1,1837
1,1790
1,1710
1,1596
1,1442
1,1247
1,!007
l,Q719
1,0382
1
Р= О
0,7934
7947
7987
8054
8154
0,8289
8468
8701
9008
0,9420
I
1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
V
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0
" 11/р= о
о.о
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1
1 1·
l
1
1
1
l
1
1
1
1
1
V I Р= 1 1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,2722
1,2702
1,2641
1,2535
1,2378
1,2163
1,1882
1,1526
l,l090
1,0579
l
О т н о IIJ е н и е р а д и у с. о в б
1
1
о.ь
0,1
0,2
0,3
1,0133
1,0131
1,0127
1,0121
1,0111
1,0099
1,0085
1,0067
1,0047
1,0025
1
1,0507
1,0502
1,0486
1,0459
1,0422
1,0375
1,0319
1,0252
1,0177
1,0092
1
1,1052
1,1040
1,1006
1,0949
1,0870
1,0770
1,0650
1,0510
1,0356
1,0185
1
0, 9
0,8
0,7
О,б
0,5
1,2425
1,2411
l,2366
1,2288
J,2169
1,2000
1,1768
i,1460
1,1064
1,0575
1,1996
1,1988
1,1963
1,1918
1,1844
1,1732
1,1566
1,1327
1,0995
1,0554
1,1431
1,1430
1,1425
1,1413
1,1388
1,1340
1,1253
1, 1105
1,0866
1,0505
1
1,0754
1,0758
l,077f
1,0790
1,0810
1,0826
1,08231,0779
1,0660
1,0417
1
0,9970
0,9979
1,0006
1,0051
1,0111
1,0183
1,0258
1,0323
1,0344
1,0260
1
1
0,4
1,1665
1,1646
1,1589
1,1496
1,1368
1,1206
1,1014
1,0794
1,0549
1,0283
1
1,2234
1,2208
1;2131
1,2005
1,1830
1,1651
1,1351
1,1055
1,0727
1,0373
1
1
1
О.б
1,2670
1,2639
1,2549
1,2400
1,2194
1,1934
1,1624
1,1268
1,08Н
1,0449
1
1
=
0,6
�. 7
1,2925
1,2894
1,2800
1,2643
1,2425
1,2147
1,1810
1,1420
1,0983
1,0506
1
1
Продолжение табл. 5·9
0,8
1,2998
1,2968
1,2880
1,2731
1,2521
1,2247
1,1910
1, 1510
1,1053
1,0546
1
1
0,9
1,2942
1,2913
1,2826
1,2690
1,2505
1,2253
1.1933
1,1537
1,!087
[,0570
1
1
1/р = 1
1,2722
1,2702
1,2641
1,2535
1,2378
1,2163
1,1882
1,1526
1,!090
1,0579
1
1
V
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,4
0,9166
9179
9216
9278
9366
0,9480
9619
9777
0,9936
1,0048
1
0,8404
84-18
8461
8533
8638
0,8779
8960
9187
9460
0,9764
1
0,7746
7761
7806
7883
7996
0,8150
8354
8621
8972
0,9429
1
0,7306
7321
7366
7444
7560
0,7718
7932
8218
8608
0,9160
1
0,7149
7164
7209
7287
7403
0,7563
7779
8071
8472
0,9055
1
о,
о
0,1
О, 2
о, 3
О, 4
О,5
о.6
О,7
о,8
о, 9
1,о
Отношение рад и у с о в �
V
0,0
0,)
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
11/р
=
1
1
]
1,0
1
1
1
1
1
1
1
1
"
Р=
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
о1
1
1,3788
1,3765
1,3693
1,3565
1,3370
1,3091
1,2708
1,2205
1,1574
1,0827
1
о, 1
0,2
1,0181
1_0180
1,0174
1,0165
1,0152
1,0136
1,0115
1,0092
1,0064
1,0034
1
1,0696
1,0689
1,0667
1,0630
1,0578
1,0514
l,0435
1,0344
1,0240
1,0125
1
0,9
1
1,3354
1,3340
1,3294
1,3210
1,3076
1,2872
1,2572
1,2144
1, 1568
1,0842
1
0,8
!,2746
1,2740
1,2721
1,2684
1,2618
1,2504
1,2308
1,1992
1,1512
1,0840
1
·
0 , 3. 1
1
1,1459
1,1442
1,1393
1,1312
1,1199
l,I058
1,0890
1,0697
1,0482
1,0249
1
0,7
1,1967
1,1970
1,]978
1,1986.
1,1986
1,1962
1,1886
1,1712
1,1375
1,0808
1
0,4
1
О,Б
1,2331
1,2303
1,2220
1,2084
1,1899
1,1666
1,1393
1, l084
1,0744
1,0381
l
1,3150
1,3112
1,2999
1,2813
1,2558
1,2240
1,1866
1,1446
1,0988
1,0502
(),6
(),5
1,1055
1,1066
1,1097
1, 1140
1,1198
1,1254
1,1293
1,1276
1,1125
1,0729
1
1,0028
1,0044
1,0088
1,0159
1,0255
1,0375
1,0512
1,0642
1,0702
1,0557
1 1
1
1
1
1
1
0,6
1,3778
i,3734
1,3602
1,3384
1,3083
1,2704
1,2256
1,1749
1,1194
1,0606
1
0,4
0,8979
8995
9044
9127
9247
0,9406
9607
0,9846
1,0097
1,0251
1
1
1
=
Продолж,ение табл. 5-9
0,7
0,7
1
0,7974
7990
8041
8129
8258
0,8434
8667
8971
9354
0,9790
1
0,9
1
1,4080
1,4049
1.3952
1,3783
1,35.34
1,3193
1,2750
1,2197
1,1540
1,0795
1
1,4221
1,4182
1,4062
1,3858
1,3566
1,3180
1,2698
l.2125
l,1470
1,0752
1
1,4136
1,4091
1,3958
1,3735
1,3422
1,3021
1,2536
1.1976
1,1354
1,0689
1
о.з
0,8
1
0, 2
.1
0,7104
7121
7172
7259
7387
0,7566
7807
8135
8585
0,9217
1
1
0,1
0,6498
6513
6562
6645
6769
O,q943
7182
7512
7984
0,8710
1
1/Р= 1
'1'
1,3788
1,3765
1,3693
1,3565
1,3370
1,3091
1,2708
1,2205
1,1574
1,0827
1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1 1=:=
Р= О
0,6276
6291
6337
6420
6542
0,6714
6950
7279
7753
0,8503
1
о.о
O,J
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
V 11/р
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
е,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
V
о.о
=
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0, 1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0, 9
1,0238
1,0235
1,0228
1,0216
1,0199
1,0177
1,0151
1,0120
1,0084
1,0044
1,0920
1,0910
1,0880
1,0830
1,0761
1,0674
1,0570
1,0449
1,0314
1,0162
1,3140
1,3100
1,2983
1,2792
1,2531
1,2209
1,0961
1,0485
l
1,4287
1,4232
1,4070
1,3805
1,3444
1,2997
1,2478
1,1901
1,1285
1,0646
1
1,5]56
1,5094
1,4908
1,4600
1,4177
1,3645
1,3018
1,2317
1,1562
1
1,1947
1,1924
1,1856
1, 1743
·1,1589
1,1396
1,1169
J,0911
1,0627
1,0322
1
1
1,5633
1,5573
1.5393
1,5089
1,4658
1,4101
1,3424
1.2645
l, 1791
1,0897
1
1,5718
1,5668
1,5517
1,5254
1,4868
1,4346
1,3682
1,2881
1,1970
1,0992
1
1,5492
1,5456
1,5342
1,5142
·1,4834
1,4393
1,3795
1,3026
1,2101
1,1068
1
0,9
0.8
0,7
0,6
0,5
0.4
0,3
1,4454
1,3638
1,3640
1,3636
1,3528
1,3593
1.3503
1,3304
1,2913
1,2231
1,2627
1,2636
1,2664
1,2706
1,2752
1,2782
1,2754
1,2583
1,2126
1,1475
1,1492.
1,1540
1,1617
1, 1721
1,1845
1,1963
1,2016
1,1855
1,1216
1,0190
1,0210
1.0271
1,0368
1,0508
1,0693
1,0916
0,8911
8928
8985
9090
9245
0,9453
0,9729
1,0077
1,0475
1,0719
0,768
767
773
782
796
0,819
847
886
0,938
1,008
1
1,1833
1,1414
1
1 1 1 1 1 1 1 1
Р= 1
1,5060
1,5037
1,4964
0,3 · 1,4828
0,4 1,4608
0,5 1,4272
0,6 1,3777
0,7 1,3085
о,в 1,2187
1,1128
0,9
1
1,0
0,1
0,2
1
Продолжение табл. 5-9
О т н о ш е н и е р ад и у с о в б = 0,8
1
1,4443
1,4408
1,4337
1,4209
1,3990
1,3628
1.3059
1,2235
1,1178
1
1,1222
l
1,1242
1
1
1,1153
1,1309
1,1069
1
1,0782
1
1
�
0,655
654
658
667
680
0,700
729
765
818
0,905
1
0,1
0.566
568
573
578
592
0,611
633
668
719
0,807
1
11/р = !
t,5060
1.5037
1,49М
1,4828
1,4608
1,4272
1,3777
1,3085
1,2187
1,1128
1
1
V
о.о
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
о.в
0,9
1,0
р=-ОТ
0,530
533
536
544
556
0,573
598
627
680
0,764
l
о.о
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0.6
0,7
0,8
0,9
1,0
О т н о m е и и е р а д и у с о в б = 0,9
V 11/р = 0 1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
'\1
о.о
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
О,!
о.в
0,9
1,0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
{)=
1
1,6564
1,6541
1,6470
1,6343
1,6131
1,5765
1,5155
1,4221
1,2955
1,1478
J
1
0, 1
0,2
1,0305
1,0302
1,0292
1,0276
1,0255
1.0227
1,0193
1,0153
1,0I08
1,0056
1
1,1178
1, 1165
1,1126
J, l061
1,0971
1,0858
1,0723
1,0568
1,0394
1,0204
1
0,9
о.в
1,5738
1,5734
1,5722
1,5686
1,5598
1,5403
1,5008
1,4276
1,3100
1,1580
1
1,4700
1,4705
1,4725
1,4762
1,4793
1,4771
1,4620
1,4178
1,3214
1,1698
1
о.з
0,4
1,2526
1,2495
1,2403
1,2251
1,2045
1,1789
1,1490
1,1154
1,0789
1,0402
1,4133
1,4079
1,3916
1,3651
1,3294
1,2857
1,2353
1,1800
1,1213
1,0609
1
1,5682
1,5605
1,5379
1,5010
1,4510
1,3897
1,3192
1,2423
1,1618
1,0802
1
1,6850
1,6765
1,6514
1,6091
1,5508
1,4777
1,3922
1,2975
1,1977
1,0972
1
0,6
0,5
0,4
1,2034
1,2057
1,2130
1,2260
1,2427
1,2665
1,2887
1,3091
1,2993
1,1972
1
1,0588
1,0580
1,0644
1,0808
1,0973
1,1207
1,1564
1,2007
1,2332
1,1918
1
0,9025
9050
9109
9273
9432
0,9693
1,0067
1,0567
1, 1190
1,1694
1
l
0,7
1,3451
1,3466
1,3517
1,3606
1,3724
1,3845
1,3922
1,3820
1,3226
1,1829
1
1
0,5
0,6
Продолжение пшбл. 5·9
0,.8
0,7
1
1,7454
1,7379
1,7148
1,6751
1,6178
1,5425
1,4501
1,3438
1,2291
1,1126
1
0,3
0,7511
7520
7596
7725
7887
0,8121
8473
8960
0,9648
1.0658
1
1
0, 9
1,7477
1,7420
1,7242
1,6926
1,6443
1,5765
1,4875
1,3783
1,2546
1,1248
1
1,7158
1,7120
1,7003
1,6787
1,6437
1,5899
1,5118
1,4066
1,2781
1,1374
1
0,2
0,1
0,6078
6095
6150
6246
6389
0,6593
6886
7308
7951
0,9064
1
0,4741
4763
4807
4890
5012
0,5185
5431
5794
6383
0,7313
1
11/{)= 1
'
1
1,6564
1,6541
1,6470
1,6343
1,6131
1,5765
1,5155
1,4221
1,2955
1,1478
1
()= о
0,4099
4114
4161
4229
4311
0,4472
4673
4969
5433
0,6278
1
1"
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
о.о
0,9
1,0
0,8
г.
0,0
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,1
2. Два контура, ос11 которых nере
секаются в щю11зво льной точке (рис. 5-21).
для двух контуров, оси которых пересе
каются в произвольной точке.
Х
где
Р ,, (v) р� (ТJ1) Р;, (ТJ2)
п(п+ 1)
а1 = Ri + r\!;
v=cos0;
(5-50)
111 = cosa1 = r1/a1;
a�=R;!+r�;
Рис. 5-21
а1 > ai;
112 = cos ai = r2/a2;
0 - угол между осями контуров (О,;;;;; 0 ,;;;;; 1t); Pn (v) - полином Ле
жандра; Р;1 (ТJ 1) и Р� ('112) - про изводные от полиномов Лежандра Р11 (ТJ 1)
и Рп (т�2) по их аргументам. Значения Р11 (v), Р� (1'J 1) и Р� (т� 2) могут быть
найдены по таблиuам и формулам, приведенным в приложениях 1, 5, 6.
Если ряд (5-50) сходится недостаточно быстро, то взаимную индуктив
но сть можно вычислип, методом однократного численного интегрирова
ния (§ 5-12).
б-12. ЧИСЛОВОЙ РАСЧЕТ ВЗАИМНЫХ ИНД}'КТИВНОСТЕЙ
КРУГОВЫХ КОНТУРОВ
Приводимые ниже формулы сводят расчет взаимных ин
дуктивностей круговых контуров при любом их взаимном
расположении к задаче однократного численного интегри
рования*, выполня�моrо при помощи любой из формул
механических квадратур (приложение 3).
Взаимная индуктивность круговых контуров с п ара л ле л ьны м и
или
пе ресек аю щим ися
о ся м и может быть представлена в виде
:rt
м=+J
о
t
1/
d{}.
где f и А - указанные ниже определенные функции от {},
а М,. - взаимная индуктивность коаксиальных круговых
контуров, радиусы которых равны R1 и р = AR2 и плоско
сти которых находятся друг от друга на расстоянии d, опре
деляемом так, как указано ниже.
• Обоснование метода дано в � 1-12.
·241
Величина м" может быть вычислена по формулам § 5-8
или же определена по кривым рис. 5-7-5-9.
Если определять М" по табл. 5-5 и 5-6, то удобнее пред
ставить Мв виде
(5-51)
где F - величина, данная в таблицах, причем аргумент m2,
зависящий от tl', определяется по формуле
2
т =
бА)2 + �2
+ М)2 + 1j2
(1 -
(1
(5-52)
'
где б = R2/R1; В = dlR1.
1. Для контуров с параллельными осями (рис. 5-18)
А=
-v
1
+ ( Rаz )''- - 2 Rаz cos tl';
(5-53)
а
f = 1 - - cos {}·'
d = rCOS0 =Х,
(5-54)
R2
где а = r siп 0 = у.
2. Для контуров с пересекающимися осями (рис. 5-21)
А2 = 1-cos2 {}sin2 0 -2 ; costl'cose+(;
2
f = cos е где а
=
'2
sin
а
costl';
R2
е.
2
2
) ;
(5-55)
d = r1 - R2cos ,Э, sin 0 - r2cos0,
(5-56)
В частности, если оси контуров пересекаются в центре
круга с радиусом R2, то r2 = О, r1 = r, а = О и
f = cos8;
d = r - R2cos {} sin0.
(5-57)
Если контуры имеют общий центр, то, кроме того, r = О.
В о б щ е м с л у ч а е совместим центр 01 первого
круга с началом декартовой системы координат, ось z на
правим вдоль оси этого круга, а плоскость xz проведем
через центр 02 второго круга (рис: 5-22). Ось второго круга
пересечет любую сферу, проведенную из точки 02 как из
центра, в некоторой точке Р, положение которой опреде
лим долготой 'lj), отсчитываемой от плоскости xz по часовой
стрелке, и широтой 0, отсчитываемой от прямой 02z', па242
ралл ельной оси z.
полагая
Тогда,
J
---
-А2 = 1 -cos2 t
i sin2 0+
+ :: (si.n 'Р Sln t} 2
-cos1J)cost} cos 0)
имеем
2n
l_J
M ___
- 2:п
о
!ф
+ Rf;
а2
1
_Q._
fMлd·u·
л2
02
',......__
z
',
\
I
х
/
,,,,,,,,.
;:'
о,
х
а
21Т
Рис. 5-22
µо Jf� J fF 2 d{} ' (5-61)
АЗ/
8:п2
о
'
\
(5-58)
f = cos 0-� (cos1j)cos\'J-- sin 'Р sin {t cos 0); (5-59)
d=h - R2 cos -tt s1n 0, (5-60)
а
/(Р
м� -
взаимная индуктивность коакси
где по-прежнему
альных контуров с радиусами R1 и р = AR2 , отстоящих
друг от друга на расстояни е d, а F - функция, данная
в табл. 5-5 и 5-6, причем аргумент m2 определяется по фор
муле (5-52).
Пример 5-12. Два круговых контура, радиусы которых равны R1 =
= 20 см и R2 = 10 см, расположены так, что ось первого контура прохо
центрами контуров r1 = 20 см.
д.ит через центр второго. Расстояние между
Оси контуров составляют yro..1 0 = 30°. Определить взаимную ипдуктив
ность контуров.
Р е ш е II и е. Для определения взаимной индуктивности контуров
nрименяем метод одпократноrо численного интегрирования. В данном
случае величина f постоянна (f = cos 0 = 0,8660) и ее можно вынести
еа знак интеграла в формуле (5-51).
Пос ледователыюст1, расчета та1<0ва. Сначала по формулам (5-57) вы
числяем значения величин А и d, соответствующие различным значениям
переменной{}. Зная А и� = d!R1 , находим по формуле (5-52) величину m2,
после чего по табл. 5-5 определяем соответствующие зпачения функции F.
Результат расчета сводим в табл. 5-10 и производим численное инте
грирование.
Применяя параболическую формулу (приложеине 3), нмеем
n
l n
Fd-l}
J 512 = З !2 [2 (3,429 .+ ... + 1,607) + 4 (3,..181 +
А
+ ... + 1,625)-(3.429+
1,€07)]
=
n
3б (2-16,938
+
+ 4-14,421 - 5,035) = 2,403 n.
· 243
Таблица 5-10. Числовые величины к примеру 5-12
�.... " 1
15
30
45
60
75
90
l05
120
135
о
165
180
150
л•
0,7500
0,7667
0,8125
0,8750
0,9375
0.9832
1,0000
0,9832
0,9375
0,8750
0,8125
0,7667
0,7500
А
0,8660
0,8762
0,9014
0,9354
0,9682
0,9916
!,0000
0,9916
0,9682
0,9354
0,9014
0,8762
0,8660
л З/2
0,8059
0,8202
0,8558
0,9047
0,9527
0,9874
1,0000
0,9874
0,9527
0,9047
0,8558
0,8202
0,8059
1 ��
1
15,00
15,17
15,67
16,46
17,50
20,00
21,29
22,50
23,54
24,33
24,83
25,00
18,71
1
�
т•
0,7500 0,3379 2,764
0,7585 0,3373 2,770
0,7835 0,3368 2,778
0,8230 0,3394 2,747
0,8750 0,3476 2,657
0,9355 0,3626 2,500
1,000
0,3848 2,288
1,065 0,4117 2,050
1,125 0,4417 1,813
1,177
0,4714 1,602
1,217 0,4970 1,437
1,242
0,5147 1,331
1,250
0,5210 1,295
3,429
3,243
3,037
2,789
2,532
2,288
2,076
1,903
1,771
1,679
1,625
1,607
3,381
Подставив найдс;нное значение и нтеграла в форi11улу (5-51), получим
искомую взаимную инду1<Тивность
4л-10-1.
V0.2-0 ,l·0,8660-2,403:rt=2,944·10-8 Гн.
М=
4л2
Расчет по формуле (5-48) с применением табл. 5-9 дает в данном слу•
чае тот же результат.
ГЛАВА ШЕСТАЯ
СОБСТВЕННЫЕ ИНДУКТИВНОСТИ
КРУГОВЫХ КАТУШЕК
6-1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
1. В настоящей главе даны формулы, таблицы и кривые
для расчета собственных индуктивностей круговых кату
шек, т. е. катушек, обмотка которых занимает объем, имею
щий форму тела вращения. В подавляющем большинстве
случаев катушки имеют прямоугольное поперечное сечение*,
и вопросы расчета индуктивностей наиболее полно разра
ботаны именно для таких катушек. На рис. 6-1 изображен
* Здесь и далее в этой главе поперечным сечением катушки назы
вается сечение. перпендикулярное напрамению тока в витках катушки.
244
разрез катушки прямоугольного поперечного сечения, при
ч ем через d1, d2 и d обозначены соответственно внешний,
внутренний и средний диаметры катушки, через а - ее
длина (аксиальный размер), через r = (d1 - d2 )/2 -тол
щина (радиальный размер) поперечного се�ения обмотки.
В зависимости от соотношения между размерами а, r
и d катушки прямоугольного сечения называются:
длинными, если а > d;
короткими, если а< d;
весьма короткими, если а« d;
плоскими (дисковыми), если а = О;
толстыми, если r одного порядка с d;
тонкими, если r
d;
соленоидами, если r = О.
2. Формулы, таблицы и кривые настоящей главы дают
значения так называемых рш;четных индуктивностей, т. е.
индуктивностей, nычислеш-1ых 13 предположении, что витки
катушки представляют собой коаксиальные круговые кон
туры, имеют бесконечно тонкую изоляuию и плотно запол
няют все пространство, занятое обмоткой (§ 1-14): предпо
лагается, кроме того, что витки катушки уложен:ы равно
мерно как по длине, так и в радиальном направлении.
Отличие действительной индуктивности катушки от ее
расчетной индуктивности обычно настолько невелико, что
в большинстве технич еских расчетов им вообще пренебре
гают. Это отличие бывает необ
ходимо учитьmать лишь в расче
тах, требующих высокой степени
точности, а также относящихся к
катушкам с малым коэффициентом
заполнения, например к реак
торам, применяемым для ограни
чения токов короткого замыкания.
В подобных случаях для получе·
ния действительной индуктивнос
ти L к расчетной индуктивности Lp
прибавляют поправку ЛL, обычно
называемую поправкой на изоля
цию. Эта поправка состоит из двух
частей, первая из 1<0торых (Л1L)
учитывает различие между собст
венными индуктивностями действи
тельных и «расчетных» витков, а
вторая (Л2L) -ра3Личиемежду их
Рис. 6-1
245
«
взаимными индуктивностями (§ 1-14). Во ·многих случаях
поправка Л2L в несколько раз меньше поправки Л1L, вслед
ствие чего ее чаще всего не учитывают. Формулы и таблиц ы
для вычисления обеих поправок при прямоугольной форме
поперечного сечения обмотки даны в § 6-9.
3. Приступая к расчету индуктивности катушки, прежде
всего определяют ее расчетную индуктивность, после чего,
если необходимо, вносят поправки на изоляцию.
При определении расчетной индуктивности средний диа
метр катушки берется равным среднему диаметру действи
тельной катушки; аксиальный размер а и радиальный размер
r поперечного сечения принимаются равными шагу обмотки,
умноженному на число слоев обмотки в данном направлении
(например, для катушки, сечение которой изображено
на рис. 6-11,в, а= 2р, r = 2q, гдер -шаг обмотки в акси
альном направлении, q -то же в радиальном направле
нии).
Если катушка имеет в каком-либо направлении только
один слой, ее размер (r или а) в этом направлении чаще всего
принимают равным нулю, т. е. рассчитывают катушку как
соленоид или соответственно как плоскую катушку. Однако
для провода кругового сечения этот размер можно также
принять равным диаметру голого провода или шагу обмотки;
для провода прямоугольного сечения размер r (или а) можно
принять равным соответствующему размеру поперечного
сечения голого провода. В зависимости от принятого вари·
анта расчета значения расчетной ющуктивности, соответ
ствующие одной и той же действительной катушке, будут
отличаться друг от друга. Однако, так как и поправки на
изоля·uию будут в разных варйантах различными, значение
индуктивности, полученное после внесения поправок, во
всех вариантах расчета должно получиться одним и тем же.
4. Все формулы, таблицы и кривые настоящей главы
получены в предположении, что ток распределен по сече
ниям отдельных витков равномерно, и пригодны, следова
тельно, для определения индуктивностей, строго говоря,
лишь при низкой частоте.
Расчет индуктивностей катушек с учетом поверхностного
эффекта представляет собой задачу, еще не получившую
удовлетворительного разрешения. Для оценки погрешности,
вызываемой пренебрежением поверхностным эффектом, сле
дует иметь в виду, что поправка на изменение частоты яв
ляется величиной того же порядка, что и поправка на из�
·ЛЯЦИЮ.
246
5. При одинаковом распределении тока по сечению рас
четные индуктивности катушек отличаются от индуктивно
с тей 2соответствующих массивных колец только множите
лем w (§ 1-14). Поэтому приведенные в этой главе формулы,
таблицы и кривые могут быть использованы и для определе
ния индуктивностей массивных колец при низкой частоте.
6-2. ИНДУКТИВНОСТЬ СОЛЕНОИДА
Индуктивность соленоида
2
L=�w
dФ '
4:п;
(6-1)
где w - число витков соленоида; d - его диаметр (рис. 6-2);
Ф - величина, значения которой даны в табл. 6-1 в зави
симости от отношения а =
= a/d (а - длина соле
ноида).
Более точно значения
индуктивности соленоида
можно найти по формуле
:п;
2 d2
(6-2)
L=-PoW
-K
а,
4
а
Рис. 6-2
rде w, d и а -то же, что
и в предыдущей формуле, а Ка - коэффициент, значения
которого в зависимости от а или 1/а даны в табл. 6-2.
ВИД
Точное выражение для величины Ф, входящей в формулу (6-1), имеет
Ф=
4
; [ Jfа2
+1
(К
+
1
;iа2
Е)
-� ] ,
(6-3)
где К и Е - соответственно полные эллиптические интегралы nepвoro и
второго рода с модулем
k=
1
Jfa 2 + 1
(6-4)
(nриложевие 1).
. При большом а, т. е. ддя ДJIИНJ-юrо соленоида, можно пользоваться
формулой
:п;2
4
Ф=а [ l- Зл
+(-l)n+J
1
1
а+В
1
а2
l
(З-5 ... 2п-3) 2 2п-1
'2:11 -п! (п + 1)1
1
-547+ ... +
а2п
+ ···]
(6-5)
247
Таблица 6-1. Значения
0,00
01
2
3
4
0,05
6
7
8
9
0,10
11
12
13
14
0,15
16
17
18
19
0,20
21
22
23
24
0,25
ф
ф
ф
0,000
0,098
0,196
0,292
0,388
0,483
0,577
0,671
0,763
0,855
0,946
1,037
1,126
1,215
I,303
1,390
1,477
1,563
1,648
1,732
1,816
1,899
1,982
2,063
2,144
2,225
0,25
26
27
28
29
0,30
31
32
33
34
0,35
36
37
38
39
0,40
41
42
43
44
0,45.
46
47
48
49
0,50
2,225
2,304
2,384
2,462
2,540
2,617
2,693
2,769
2,844
2,919
2,993
3,067
3,140
3,212
3,284
3,355
3,426
3,496
3,565
3,834
3,703
3,771
3,838
3,905
3,972
4,037
0,50
51
52
53
54
0,55
56
57
58
59
0,60
61
62
63
64
0,65
66
67
68
69
0,70
71
72
73
74
0,75
4,04
4,10
4,17
4,23
4,30
4,36
4,42
4,48
4,55
4,61
4,67
4,73
4,79
4,85
4,91
4,97
5,03
5,08
5,14
5,20
5,26
5,31
5,37
5,42
5,48
5,5"
нли формулой
15 7
1r,2
f:15
1
8
f:13
Ф - 2а2 ( f:\ - 311: - 8
16 - 128 �.
315 AJ,l + 297 ЩЗ
•
512..,.- ••• )
-10241-'
где
d/2
1
f:\ =
0
Jfа2 + d2/4 -v1 + 4а2
При малом а, т. е. для короткого соленоида,
+
Ф = 2n [ ( 1
2
+�
- �;
+ ... ) lп :
+
0,75
76
77
78
79
0,80
81
82
83
84
0,85
86
87
88
89
0,90
91
92
93
94
0,95
96
97
98
99
1,00
5,54
5,59
5,64
5,70
5,75
5,80
5,86
5,91
5,96
6,01
6,06
6,11
6,16
6,22
6,27
6,32
6,36
6,41
6,46
6,51
6,56
6,61
6,65
6,70
6,75
6,79
21 9
128 � ( 6-6)
(6-7)
-+ + �; + :; + ... ] ,
(6-8)
Последняя формула может заменить табл. 6-1 и 6-2 в тех случаях,
ко1·да интерполирование по этим таблицам при малых значениях а не обес•
nечивает необходимой степени точности расчета.
Все формулы настоящего параграфа применимы не только
для расчет.а индуктивностей соленоида, т. е. бесконечно
241:\
ф
8
формуле (6-1) для соленоида
ф
(/)
1,00
о,99
98
97
96
О,95
94
93
92
91
0,90
89
88
87
86
0,85
84
83
82
81
0,80
79
1 ;J
76
0,75
0,75
74
73
72
71
0,70
69
68
67
66
0,65
64
63
62
61
0,60
59
58
57
56
0,55
54
53
52
51
0,50
6,79
6,84
6,89
6,94
6,98
7,03
7,08
7,14
7,19
7,24
7,29
7,35
7,40
7,46
7,51
7,57
7,63
7,69
7,75
7,81
7,87
7,94
8,00
8,06
8,13
8,20
8,20
b,Zl
8,34
8,41
8,48
8,55
8,63
8,70
8,78
8,86
8,94
9,02
9,11
9,19
9,28
9,37
9,46
9,55
9,65
9,75
9,85
9,95
10,05
10,15
10,26
J0,37
0,50
49
48
47
46
0,45
44
43
42
41
0,40
39
38
37
36
0,35
34
33
32
31
0,30
29
28
Zl
26
0,25
i0,37
10,48
10,60
10,72
10,84
10,97
11,10
11,23
11,36
11,50
11,64
11,79
11,94
12,10
12,26
12,42
12,59
12,77
12,95
13,14
13,33
13,53
13,74
13,96
14,19
14,43.
0,25
24
23
22
21
0,20
19
18
17
16
0,15
14
13
12
11
0,10
09
08
O'l
06
0,05
04
03
02
01
0,00
14,43
14,67
14,93
15,20
15,48
15,78
16,10
16,43
16,78
17,15
17,55
17,98
18,44
18,93
19,47
20,07
20,72
21,46
22,29
23,26
24,40
25,80
Zl,60
30,15
34,50
00
тонкой катушки (r = О), но и для расчета индуктивностей
весьма тонких катушек, т. е. катушек с достаточно малым
значением отношения r/d, в частности.- для расчета боль
шинства однослойных (в радиальном направлении) катушек.
Более точно влияние толщины обмотки может быть учтено
так, как указано в § 6-5.
=
Пример 6-1. Соленоид диаметром d
10 см и длиной а= 50 см
имеет W·= 500 витков. Определить индуктивность соленоида.
Решен и е.
1. Применяем формулу (6-1) и табл. 6-1. В данном случае а.= 50/10
5, 1/а.
0,2, и из табл. 6-1 находим Ф = 1,816. Следовательно,
=
=
=
L=
4n· 10-1
n
4
25•104•0,1,1,816=4,540·10-3 Ги.
2. Применяем формулу (6-2) и табл. 6-2. При 1/а.
иаходим Ка
0,9201 и, следовательно,
=
L= :
4,i:,I0-1,25•104 �: �! ·О,9201
= 0,2 из табл. 6-2
= 4,541,IO-:i Гн.
2 49
Таблица б-2. Зt1ачеt1ия Ка в формуле (6-2) для солеt1оида
Ка
�а\
0,00
01
02
03
0,04
0,000000
034960
061098
083908
0,104562
0,25
26
27
28
0.29
0,365432
373818
381986
389945
0,397703
0,50
51
52
53
0,54
0,525510
530309
535017
539637
0,544170
0,75
76
78
0,79
0,623011
626122
629185
632200
0,635170
0,05
06
07
08
0,09
0,123615
141395
158119
173942
0,188980
0,30
31
32
33
0,34
0,405269
412651
419856
426890
0,433761
0,55
56
57
58
0,59
0,548620
552989
557278
561490
0,565627
0,80
81
82
83
0,84
0,638094
640973
643810
646604
0,649357
О,10
0,35
36
37
38
0,39
0,440475
447036
453451
459724
0,465860
0,60
61
62
0,64
0,569691
573683
577606
581462
0,585251
0,85
12
13
0,14
0,203324
217044
230200
242842
0,255011
0,652070
654742
657376
659972
0,662530
0,15
16
17
18
0,19
0,266744
278070
289019
299614
0,309876
0,40
41
42
43
0,44
0,471865
477741
483495
489128
0,494646
0,65
66
67
68
0,69
0,588976
592638
596240
599781
О,603264
0,90
91
93
0,94
92
0,665052
667539
669990
672407
0,674791
0,20
21
22
23
24
0,25
0,319826
329479
338852
347961
356816
0,365432
0,45
46
47
48
49
0,50
0,500051
505348
510539
515628
520617
0,525510
0,70
71
72
73
74
0,75
0,606690
610060
613376
616639
619850
0,623011
0,95
96
97
98
0,99
1,00
0,677141
679400
681746
684002
О,686227
0,688423
а\
)1
250
63
77
86
87
88
0,89
Продолжение табл. 6-2
!/�
1
Ка
1,000000
11
J/a I
l(a
0,25
26
27
О,:Ю1649
898033
28
О,29
890871
0,lj87325
0,979092
0,30
974985
9709 03
31
32
33
0,09
966846
0,962814
О,10
0,958807
0,00
01
02
03
О,04
0,05
Q6
07
08
0,995768
991562
987380
0,983223
0,34
0,818136
0,75
0,747762
815082
812049
809037
745190
742637
0,54
0,806046
76
77
78
0,79
0,883803
0,55
0,003075
0,80
880304
876829
873377
0,869948
56
800125
57
797195
794285
0,791395
81
82
894440
11
12
13
950867
0,35
36
37
946934
38
859799
856461
0,943026
0,39
0,853146
0,939143
0,40
41
0,849853
0,15
16
935284
1/а
0,50
51
52
53
954825
0,14
11
0,866542
58
0,59
0,60
61
0,788525
62
63
0,64
780032
0,7772"40
0,89
0,774467
0,90
0,710969
771713
843335
0,65
66
67
708646
706339
766262
91
92
93
0,763564
0,94
0,70177(;)
0,95
0,699508
697262
98
0,99
1,00
846583
18
927639
42
43
0,19
0,923854
0,44
840109
0,836905
68
0,69
0,20
0,920093
916356
0,45
0,833723
46
0,70
71
912643
47
830563
827424
72
О,760885
758224
755582
908954
905290
0,901649
48
824307
73
752957
49
821211
0,818136
74
0,75
750350
0,747762
22
24
0,25
0,50
0,725239
0,722820
720418
718032
715662
0,713308
931449
23
0,85
86
87
88
0,735079
732594
730126
727674
785674
782843
863159
17
21
83
0,84
740100
0,737581
768978
96
97
704047
695030
692813
0,690�11
0,688423
251
3. Применяем формулу (6-1), определяя Ф по формуле (6-3). Модуль
эллиптиче<:ких интегралов k = 1/у25 + 1 = llJ/"26; его квадрат k2 =
= 1/26 = 0,038462. По таблицам элли11тических интегралов находим
К. = 1,58624 и Е = 1,55559. !(роме того,
Vа2 + 1 = 5,0990;
(1-a2)/rJ.2 = -0,96;
1/а2 = 0,0400.
ПодстаВJiяя найденные значения в формулу (6-3), находим
4:п:
Ф = - - [5,0990 (1,58624 - 1,49337)-0,0400]
3
= -43лL
=
(5,099 0-0,092 87- 0,0400) = 1,816;
= 25·10-1·1,816 = 4,540·Ю·3
Гн.
В данном случае выражение для Ф содержит разность близких вели
чин, поэтому для обеспечения достаточной сте11ени точности эллиптиче
ские интегралы 11ришлось определять с сохранением шести значащих
цифр.
4. Применяем формулу (6-1), определяя Ф по форму11е (6-5):
4
3л
1 1
1
0,08487; В а}"= 0,00500;
а=
л2
Ф=-·0,9201 = 1,816;
а
L = 4,540· 10-s Гн;
· 5. Применяем формулу (6-1), определяя Ф по формуле (6-6). В данном
случае
l
= 0.09950;
/3 = --)11 + 100
Ф=
1
10.05;
т=
:п:2
(l_0,05-0.8487) = 1,816;
2-25
8
3л
= 0,8487;
L = 4,540· 10- 3 Гн.
В рассмотренном примере для аналитического расчета наиболее
удобно определять Ф по формуле (6-6).
Пример 6-2. Соленоид диаметром d = 50 см и длиной а= 20 см
имеет w = 110 витков. Определить индуктивность соленоида.
Реше н и е.
1. Применяем форму11у (6-1) и табJ1. 6-1. В данном случае rJ. = 20150 =
= 0,4. По табл. 6-1 находим Ф = 11,64, и, следовательно,
[=
4л . 10-7• 121 .102 -0,5-11,64 = 1,042 .10- 3 Гн.
4:п:
2. Применяем формуJJу (6-2) и табл. 6-2. При а= 0,4 из табл. 6-2
находим Ка = 0,4719, и, следовательно,
_
0,25
:п: L=4:n-10 _7,121-102---0,4719=7,045-IO 3 Гн.
4
0,20
252
., · з.
Применяем формуJ1у (6-1), определяя Ф по формуле (6-8). В данном случае
а2
а}
4
4
2,303;
В=
0.02;
0,005;
10;
ln
32
а=
а=
Ф
=
= 2n (1 ,020-2,303 - 0,500 + 0,005) = 2n · 1.854 = 11,65;
L
= 7,048-10-3 Гн.
6-3. ИНДУКТИВНОСТЬ ПЛОСl(ОЙ (ДИСКОВОЙ) КАТУШl(И
Индуктивность плоской (дисковой) катушки
L=
:; w2dЧf,
(6-9)
rде w - число витков катушки; d = (d1 + d2 )/2 - ее сред
ний диаметр (рис. 6-3); чr - величина, значения которой
даны в табл. 6-3 в зависимости от отношения р = r/d.
При малых значениях р интерполирование по табл. 6-3
может оказаться недостаточно точным, и тогда для опре
деления чr следует пользоваться формулой
4
J
р2
11
4
\Tr
Г 1
:с = 4л: l (
· · · ln р - Т
24
2880 Р
+
+
+
43
2
+ 288 р +
Наоборот, при больших
1
4
150 р
р (р
)
+
+ ' .. J •
1
> 0,5)
\J' = (l -+;р) (1, 7424 + 3,29()()7 ]П '\' З
р
+ o,3702v + o,0826v� +
(6-11)
+o,0312v + ...),
- 2,21oor'i
(6-10)
5
9
1
i�
i
r::½
L.-!-J
f .i .
где
(6-12)
Формулы настоящего параграфа
применимы для расчета индуr<тивнос
тей не только плоских катушек, т. е.
катушек с длиной а = О, но и весь
м а коротких катушек, т. е. катушек
с достаточно малым отношением а=
ald. в частности - для расчета
большинства однослойных (в аксиаль-
=
Рис, 6-3
253
Таблица 6-3. Значеt1ия Ч' в формуле (6-9) для плоской катушки
fJ
qr
-
0,00
01
02
03
04
0,05
Об
07
08
09
0,10
11
12
13
14
0,15
16
17
18
19
0,20
21
22
69,008
60,299
55,206
51,595
48,794
46,507
44,574
42,902
41,428
40,lll
38,920
37,835
36,838
35,91G
35,058
34,258
33,507
32,800
32,132
31,500
30,900
30,330
29,785
29,265
28,767
23
24
0,25
р
0,25
26
27
28
29
0,30
31
32
33
34
0,35
36
37
38
39
0,40
41
42
43
44
0,45
46
47
48
49
0,50
\)1
28,767
28,290
27,832
27,392
26,968
26,560
26,166
25,786
25,418
25,063
24,719
24,386
24,063
23,750
23,446
23,150
22,863
22,584
22,313
22,049
21,792
21,541
21,297
21,059
20,827
20,601
0,50
51
52
53
54
0,55
56
57
58
59
0,60
61
62
63
64
0,65
66
67
68
69
0,70
71
72
73
74
0,75
20,601
20,381
20,165
19,955
19,750
19,550
19,354
19,162
18,976
18,793
18,614
18,440
18,269
18,102
17,939
17,779
17,623
17,470
17,320
17,174
17,032
16,891
16,754
16,620
16,489
16,360
0,75
76·
77
78
79
о.во
81
82
83
84
0,85
86
87
88
89
0,90
91
92
93
94
0,95
96
97
98
99
1,00
16,360
16,235
16,112
15,992
15,874
15,759
15,646
15,536
15,428
15,323
15,220
15,119
15,021
14,925
14,832
14,740
14,650
14,563
14,478
14,394
14,314
14,235
14,158
14,083
14,010
13,939
ном направлении) катушек. Более точно влияние аксиаль·
ной толщины обмотки может быть учтено так, как указано
в § 6-5.
Пример 6-3. ПJюская катушка со средним диаметром d = 50 см и
радиальным размером r = 10 см имеет w = 10 витков. Определить индук•
тивность катушки.
Р е ш е н и е. Применяем формулу (б-9). В данном случае р = 10/50 =
= 0,2, и из табл. 6-3 получаем 'l' = 31,500, откуда
4n-10 7
L = �-100-0,5,31,50 = 7,875-10-2 Гн.
Так как р мало, то 'l' можно определить и по формуле (6-10):
4
43 2
р'124 = 1,667. ш-з; ln = 2,996; · 288 р = О,00 6;
Р
'l'
= 4n (1,00�·2,996- 0,500 + 0,006) = 4n·2,508 = 31 ,5li
L = 0,25-31,51 ·10-1! = 7,878· 10-� Гв.