Макроскопическая электродинамика - Галицкий В.М., Ермаченко В.М.

Автор: Галицкий В.М. Ермаченко В.М.
Теги: физика электродинамика
Год: 1968
Похожие
Классическая электродинамика
Высокочастотная электродинамика
Электродинамика плазмы
Класическая электродинамика
Текст
                    \ "¦'
В. М. Галицкий, В. М. Ермаченко
Макроскопическая
электродинамика
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1988

ББК 22.313
Г15
УДК 538.3
Рекомендовано
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
для использования в учебном процессе
студентами физических специальностей вузов
Рецензенты:
кафедра теории ядра и элементарных частиц Ленинградского государ-
государственного университета им. А. А. Жданова (зав. кафедрой — проф.
Ю. В. Новожилов); проф. А. М. Федорченко (Киевский государствен-
государственный университет им. Т. Г. Шевченко)
Галицкий В. М., Ермачемко В. М.
Г 15 Макроскопическая электродинамика: Учеб. пособие для
студентов физ. спец. вузов. — М.: Высш. шк., 1988. —*
159 с: ил.
В книге с единой точки зреиня на основе уравнений Максвелла излагаются
различные электромагнитные явления в сплошных средах. Большое место уде-
уделено термодинамическим аспектам при исследовании взаимодействия электромаг-
электромагнитного поля с веществом. Рассмотрены фазовые переходы в сегнетоэлектриках,
ферромагнетиках, сверхпроводниках, электромагнитные волны в изотропных и
анизотропных средах. В рамках общего подхода освещены нелинейная поляри-
поляризация вещества и конкретные нелинейные эффекты: генерация гармоник, преобра-
преобразование частот, самофокусировка.
1704020000D309000000)—175
001@1)—88
¦49-88
ББК 22.313
537
Издательство «Высшая школа», 1988
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Стр.
5
1. Основные понятия макроэлектродинамики
§ 1. Система ураннений для электромагнитного поля в веществе. Гра-
Граничные условия
§ 2. Уравнения связи. Восприимчивости и проницаемости веществ . .
§ 3. Энергия и поток энергии электромагнитного поля в веществе
6
15
18
2. Стационарные электромагнитные поля в веществе
§ 4. Электростатика проводников. Коэффициенты емкости и электро-
электростатической индукции. Энергия электростатического поля провод-
проводников 19
§ 5. Электростатика диэлектриков. Термодинамика диэлектриков. Си-
Силы, действующие на жидкий диэлектрик 32
§ 6. Тензор диэлектрической проницаемости 43
§ 7. Постоянное магнитное поле. Коэффициенты самоиндукции и вза-
взаимной индукции проводников. Термодинамика магнетиков. Оценка
магнитной восприимчивости 50
3. Фазовые переходы в диэлектриках и магнетиках
§ 8. Пироэлектричество. Сегнетоэлектрики
§ 9. Ферромагнетизм. Доменная структура ферромагнетика
63
71
4. Сверхпроводимость
§ 10. Феноменологическая теория сверхпроводимости. Решение электро-
электродинамических задач при наличии сверхпроводников 81
§ 11. Фазовый переход в сверхпроводнике. Критические температура
н магнитное поле 90
5. Квазистационарное электромагнитное поле
§ 12. Уравнения для электромагнитного поля в квазистациоиарном при-
приближении
§ 13. Токи Фуко и скин-эффект в проводниках
93
97

Стр.
6. Быстропеременные электромагнитные поля в веществе
§ 14. Частотная дисперсия диэлектрической проницаемости. Соотноше-
Соотношения Крамерса—Кронига 103
§ 15. Электромагнитные волны в изотропных и анизотропных средах ПО
§ 16. Рассеяние электромагнитных волн в веществе 114
§ 17. Электромагнитное поле быстрой заряженной частицы в среде.
Излучение Черенкова 119
§ 18. Пространственнан дисперсия диэлектрической проницаемости . . 123
7. Электромагнитные поля в нелинейных средах
§ 19. Нелинейная поляризация вещества 125
§ 20. Прохождение электромагнитных волн через нелинейную среду:
генерация гармоник, преобразование частот, самофокусировка 139
Приложение 157
Список рекомендуемой литературы
ПРЕДИСЛОВИЕ
В основу книги положен курс лекций, который в течение ря-
ряда лет читался авторами в Московском инженерно-физическом
институте студентам факультета экспериментальной и теорети-
теоретической физики. При написании книги было решено ограничить-
ограничиться рассмотрением только тех вопросов, которые излагаются в
лекционном курсе. Поскольку макроскопическая электродина-
электродинамика изучается студентами МИФИ после других разделов тео-
теоретической физики таких, как «Теория поля», «Квантовая меха-
механика» и «Статистическая физика», то изложение вопросов в
данной книге отличается от принятого в большинстве имею-
имеющихся пособий и ближе всего по подходу и методике к курсу
«Электродинамика сплошных сред» Л. Д. Ландау и Е. М. Лиф-
шица (М.: Наука, 1982). Для понимания большинства вопро-
вопросов достаточно знания курса общей физики и знаний, получен-
полученных при изучении соответствующих разделов математики.
В книге с единой точки зрения на основе уравнений Максвел-
Максвелла рассматриваются различные электромагнитные явления в
сплошных средах. Большое место уделено термодинамическим
аспектам, при исследовании взаимодействия электромагнитного
поля с веществом. Рассмотрены фазовые переходы в сегнето-
электриках, ферромагнетиках, сверхпроводниках, электромаг-
электромагнитные волны в изотропных и анизотропных средах. В рамках
общего подхода излагаются вопросы нелинейной поляризации
вещества и описываются конкретные нелинейные электродина-
электродинамические эффекты.
Смерть В. М. Галицкого прервала совместную работу над
рукописью и мне пришлось заканчивать ее одному. Большую
помощь в этой работе мне оказали Ю. А. Вдовин, В. И. Коган,
Е. Е. Ловецкий, М. И. Рязанов и В. Н. Собакин, которым я вы-
выражаю глубокую благодарность.
В. М. Ермаченко

1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
МАКРОЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
§ 1. Система уравнений для электромагнитного
поля в веществе. Граничные условия
В этом курсе рассмотрены некоторые вопросы макроскопи-
макроскопической электродинамики. В отличие от других разделов теорети-
теоретической физики излагаемая здесь теория является феноменоло-
феноменологической. Поясним сказанное на примере. Предположим, что
требуется рассчитать поле, создаваемое заряженными пластина-
пластинами конденсатора. Для этого надо было бы написать уравнения
для электромагнитных полей, создаваемых отдельными движу-
движущимися зарядами —электронами и ядрами, из которых состоят
пластины. К ним нужно еще добавить квантово-механические
уравнения движения для микрочастиц. Решение совокупности
этих уравнений и дает ответ на поставленную задачу. Такой
подход называют микроскопическим, так как он учитывает про-
процессы атомного масштаба. Ясно, что в данном случае микроско-
микроскопический подход чересчур сложен и ненужен. Разумнее сфор-
сформулировать общие уравнения для электромагнитного поля в
присутствии проводников и решать их для данной конкретной
системы. Сформулированные таким образом уравнения и явля-
являются феноменологическими. Электромагнитное поле, удовлетво-
удовлетворяющее феноменологическим уравнениям, называется макро-
макроскопическим.
С современной точки зрения, основные уравнения феномено-
феноменологической теории занимают промежуточное положение между
фундаментальными законами физики и результатами, описы-
описывающими данное конкретное явление. Из этого можно сделать
два вывода. Во-первых, феноменологическая теория не содер-
содержит принципиально новых постулатов и основана на фундамен-
фундаментальных микроскопических законах. Во-вторых, написание фе-
феноменологических уравнений не является однозначным. Могут
быть выбраны различные системы уравнений, занимающие раз-
различные положения между фундаментальными микроскопически-
микроскопическими законами и результатами решения конкретных задач.
Основными микроскопическими законами, на которые опи-
опирается феноменологическая теория электромагнитных явлений
в веществе, являются микроскопические уравнения электромаг-
6
нитного поля, уравнения квантовой механики, описывающие
движение отдельных микрочастиц во внешних полях, и законы
статистической физики, определяющие поведение ансамбля ча-
частиц. Феноменологический подход к этим явлениям состоит в
макроскопическом описании вещества, в котором оно рассмат-
рассматривается как сплошная среда.
Такое рассмотрение обосновано, если макроскопическое элек-
электромагнитное поле существенно меняется на расстояниях, зна-
значительно превышающих расстояния между атомами. Например,
поле, создаваемое заряженным телом, вследствие медленного
(степенного) его убывания на макроскопическом расстоянии от
этого тела есть сумма полей, создаваемых многими атомами.
Так как расстояния между соседними атомами малы по срав-
сравнению с расстоянием до точки наблюдения, то разница в поло-
положении атомов малосущественна и тело можно рассматривать
как сплошную среду.
Формальный переход к макроскопическому описанию можно
осуществить путем усреднения положений атомов. Отметим, что
такое же усреднение фактически используется в гидродинамике
и теории упругости. Для того чтобы после усреднения тело
представляло собой сплошную среду, размеры области, по ко-
которой проводится усреднение, должны быть велики по сравне-
сравнению с межатомным расстоянием. С другой стороны, эти разме-
размеры должны быть малы по сравнению с расстояниями, на кото-
которых меняются макроскопические величины. Так возникает по-
понятие физически бесконечно малого объема с размерами, удов-
удовлетворяющими указанным условиям.
Итак, задача состоит в усреднении микроскопических урав-
уравнений электромагнитного поля по физически бесконечно мало-
малому объему. Обозначим е(г, /) и h(r, /) напряженности микро-
микроскопических полей. Они удовлетворяют системе уравнений
rot e = —
1
dh
dt
dive=4jtp,
roth = i^f
с
divh=O,
де
dt
dt
f divpv=0.
A.1)
A.2)
A.3)
A.4)
A.5)
Входящие в эти уравнения p(r, t) и pv являются микроскопиче-
микроскопическими значениями плотностей заряда и тока и связаны с заряда-
зарядами отдельных микрочастиц среды, как известно, следующим
образом:
'.Л8СГ — Г —с. Л (\ f\\

A.7)
где а — номер атома (молекулы или элементарной ячейки в
твердом теле); ^ — радиус-вектор i-го заряда, отсчитываемый
от центра соответствующего атома; та — радиус-вектор цент-
центра инерции атома; г — радиус-вектор точки наблюдения;
s*= ~j7~* Ьсе эти микроскопические величины е, h, р, pv испы-
испытывают существенные изменения при переходе от одного заряда
к другому, т. е. на расстояниях порядка атомных размеров.
Усреднение сглаживает резкие колебания значений этих вели-
величин, обусловленные микроструктурой вещества, и выявляет сред-
средний ход их зависимости от г и /, характерный для сплошной
среды. Черта сверху над соответствующей микроскопической
величиной показывает ее среднее значение. Введем следующие
основные обозначения:
ё=Е, h = B.
Величина Е называется напряженностью электрического поля
в среде, а В — вектором магнитной индукции. Уравнения для
них получаются усреднением основных микроскопических урав-
уравнений A.1) —A.5):
A.8)
divE=4;tp,
с dt
divB=0,
д9 i j,..—
dt
divpv=0.
A.9)
A.10)
A.П)
A.12)
Проведенное усреднение имеет пока что символический ха-
характер, так как неизвестны средние значения плотностей заряда
и тока. При «размазывании» отрицательных и положительных
зарядов по физически бесконечно малому объему в большинстве
случаев они компенсируют друг друга. Поэтому средняя плот-
плотность заряда в отличие от микроскопической равна нулю. Одна-
Однако под действием макроскопических полей характер движения
зарядов меняется и средняя плотность зарядов становится от-
отличной от нуля. Таким образом, средние плотности зарядов и
токов зависят от существующих в теле полей Е и В и не могут
быть заданы произвольно. Раскрытие этой зависимости и есть
основная задача построения системы феноменологических урав-
уравнений.
Все заряды в веществе можно
(свободные и связанные):
р=:Рсво6~ГРсвяз-
разделить на два класса
A.13)
Свободными называют такие заряды, которые могут переме-
перемещаться в теле на макроскопические расстояния. В отличие от
них связанные заряды локализованы около некоторых центров.
Примером свободных зарядов могут служить электроны зоны
проводимости в металле. Связанными электронами в металле
являются электроны внутренних оболочек и ядра атомов. Раз-
Разделение зарядов на два таких класса обусловлено существенно
разным их поведением в медленно меняющихся полях.
Рассмотрим внутреннюю область электронейтрального не-
непроводящего, т. е. не содержащего свободных зарядов, вещест-
вещества. Усреднение плотности заряда в веществе означает усредне-
усреднение выражения A.6) по координатам та атомов. При этом раз-
разность |г—га | пробегает интервал значений порядка размера фи-
физически бесконечно малого объема. Следовательно, она в сред-
среднем значительно больше координат \\i\, которые для связанных
зарядов порядка атомных размеров:
1?/1С1г-гЛ| . _ A.14)
Неравенство A.14) позволяет разложить рСвЯЗ по координатам
A.15)
Отметим, что в данном случае р=рСвя3. Так как среда электро-
электронейтральна, то первое слагаемое в сумме A.15) равно нулю, а
второе — выражается через среднюю плотность дипольного мо-
момента:
Р(г)= V
-гв).
t,a
Поэтому средняя плотность зарядов в этом случае
A.16)
A.17)
Аналогично проведем усреднение выражения A.7) для плот-
плотности тока и сделаем разложение по малому параметру A.14).
Так как в данном случае свободные заряды отсутствуют, то
pv совпадает с плотностью тока связанных зарядов руСВЯз- Огра-
Ограничиваясь первыми членами разложения, получаем
V,
A.18)
8

где
dt
A.19)
Третье слагаемое в формуле A.18) может быть записано в виде,
аналогичном A.19), с той лишь разницей, что плотность ди-
польного момента заменится на плотность квадрупольного мо-
момента. Таким образом, оба эти члена в усредненной плотности
тока имеют одну и ту же физическую природу. Однако квадру-
польный член содержит дополнительную степень малой величи-
величины— отношения атомных размеров к расстоянию, на котором
меняется напряженность поля. Следовательно, квадрупольная
поляризация среды мала, поэтому последним слагаемым в
A.18) можно пренебречь. Второе слагаемое формулы A.18)
выражается через среднюю плотность магнитного момента ве-
вещества:
A.20)
где Ц/а=
§;]— магнитный момент, связанный с дви-
движением отдельного заряда в атоме.
С учетом вышесказанного выражение A.18) принимает вид
ОТ
Как уже отмечалось, значения Р и М сами зависят от Е и В
(см. § 2)
Перейдем теперь к проводникам, т. е. к веществам, в кото-
которых наряду со связанными зарядами имеются и свободные. Ос-
Основная особенность проводников заключается в том, что под дей-
действием приложенного поля в них возникает макроскопическое
движение свободных зарядов, т. е. электрический ток. Этот ток
называется током проводимости. Среднюю плотность тока про-
проводимости обозначим j:
С учетом связанных зарядов полное выражение для средней
плотности микроскопического тока может быть записано в виде
P^=j+-^-+^rotM. (I.22)
При написании аналогичной формулы для плотности заря-
зарядов следует учесть, что электронейтральность тела обеспечива-
обеспечивается теперь совокупностью как свободных, так и связанных за-
зарядов, поэтому первое слагаемое в формуле A.15) для провод-
проводников отлично от нуля. Обозначим его рЩ3 и запишем среднюю
10
плотность микроскопических зарядов в виде
p = p_divP, A.23)
где
~~ | ~@)
Р=Рсвоб-ГРсвяз.
Покажем, что р и j удовлетворяют уравнению непрерывно-
непрерывности. В самом деле, подставляя A.23) и A.22) в уравнение неп-
непрерывности для средних плотностей заряда и тока A.12), полу-
получаем
-^ + divj=O. A.24)
Подставим выражения A.23) и A.22) в уравнения A.9) и
A.10):
divE=4np—4ndivP, A.25)
dp i л * ял i 1 d E
dt ' ' с dt
A.26)
Вместо величин РиМ, входящих в эти уравнения, введем функ-
функции D и Н:
О = Е+4лР, A.27)
Н=В-4яМ, A.28)
где D — вектор электрической индукции, Н — напряженность
магнитного поля в среде. Следует обратить внимание на то, что,
хотя Н называется напряженностью магнитного поля, средней
напряженностью магнитного поля в веществе является величи-
величина В. В этих обозначениях уравнения A.25) и A.26) принима-
принимают вид
divD=4jrp,
I dD
A.29)
A.30)
До сих пор тело считалось электронейтральным. Если в тело
введены извне дополнительные заряды, нарушающие его элек-
электронейтральность (такие заряды называют сторонними заряда-
зарядами), то к плотности заряда р и тока j в уравнениях A.29) и
A.30) следует добавить рСт и jCT, где рст и Ьт — плотности заря-
заряда и тока сторонних зарядов.
Таким образом, система уравнений Максвелла, описывающая
поведение электромагнитных полей в веществе, принимает сле-
следующий вид:
rotE=-
I on
dt
A.31)
li

2
Рис. 1. Схематическое изобра-
изображение границы раздела между
средами 1 и 2:
1 — геометрическая граница разде-
раздела между средами / и 2; 2—3 —
границы переходного слоя толщи-
толщиной б; 4 — кривая, схематично по-
показывающая изменение каких-либо
физических свойств при переходе
из среды / в среду 2
D
Ъ
t-
I
1
/
i
Рис. 2. Область интегрирования
при получении граничных усло-
условий:
п — единичный вектор нормали к
геометрической границе раздела;
б — толщина переходного слоя
divB=0,
divD=4n(Prf-PeT),
до
dt
A.32)
A.33)
A.34)
Система этих уравнений не является полной. К ней нужно
добавить уравнения, связывающие величины Р, М, j с существу-
существующими внутри тела макроскопическими полями, а также так
называемые граничные условия, определяющие поведение мак-
макроскопических полей на границе раздела различных сред.
Рассмотрим сначала граничные условия. Ясно, что при мик-
микроскопическом подходе такого понятия, как «граница раздела»,
вообще не существует. Оно возникает при рассмотрении вещест-
вещества как некой сплошной среды. Микроскопически граница раз-
раздела представляет собой некоторую область, в которой свойства
вещества резко меняются. Эту область часто называют переход-
переходным слоем. Для конденсированных сред толщина переходного
слоя порядка атомных размеров. При макроскопическом описа-
описании граница раздела считается геометрической поверхностью,
т. е. предполагается, что при переходе через некоторую поверх-
поверхность физические свойства вещества меняются скачком.
Формально переход к резкой границе можно совершить,
устремляя к нулю толщину переходного слоя б (рис. 1). Если
при этом в переходном слое был конечный заряд, то в резуль-
результате такого перехода он будет сосредоточен на поверхности
раздела. Так приходим к понятию поверхностного заряда. Плот-
12
ность поверхностного заряда а связана с величиной заряда соот-
соотношением
= f
е=
где US— элемент поверхности раздела. Аналогично возникает
понятие поверхностного тока, плотность которого обозначим i.
Направление i совпадает с направлением объемного тока j, про-
протекающего в переходном слое, а величина ji| выбирается так,
чтобы поверхностный ток через линию, в которую превращается
при 6->0 площадь, выбранная в переходном слое (рис. 2), был
равен объемному току через эту площадь.
При переходе к геометрической поверхности раздела величи-
величины Р и М, характеризующие свойства вещества, станут разрыв-
разрывными функциями. Поэтому удобно решать систему уравнений
для нахождения макроскопических электромагнитных полей
отдельно для каждого из участков пространства, занятого одним
веществом. На границах раздела сред нужно производить сши-
сшивание решений, используя соответствующие граничные условия.
Совокупность этих граничных условий вытекает непосредствен-
непосредственно из системы уравнений Максвелла.
Проинтегрируем, например, уравнение A.31) по поверхности
бесконечно малого прямоугольника, расположенного в переход-
переходной области так, как показано на рис. 2:
dSrotE= -
BdS.
Используя теорему Стокса, получаем
Edl= —— — (*BdS.
с dt J
Так как стороны / и б прямоугольника являются малыми вели-
величинами по сравнению с длинами, на которых существенно изме-
изменяются В и Е, то интегралы можно вычислить по теореме о сред-
среднем. Например,
где ВП1 — проекция В на нормаль к поверхности прямоугольни-
прямоугольника. Переходя затем к резкой границе, т. е. устремляя б к нулю,
имеем
-E^^O, A.35)
где Ei — напряженность электрического поля на границе разде-
раздела при подходе к ней со стороны среды /, а Е2 — напряженность
со стороны среды 2. При предельном переходе б-Я) направле-
направление I совпадает с направлением одной из касательных к поверх-
яости раздела. Поэтому из условия A.35) следует, что для про-
13

извольной точки г на границе раздела сред должно выполняться
условие
EU = E2/, A.36)
где Ег — проекция вектора Е на направление касательной к гра-
границе раздела.
Аналогично, из уравнения A.34), интегрируя его по той же
области, получаем
DdS.
Используя теорему о среднем и переходя к пределу 6->-0, полу-
получаем следующие выражения для отдельных слагаемых этого
соотношения:
Iim f DdS=limZV8=0,
откуда
Iim
=(Ht —H2)l9
Iim f(J+jCT)dS=inil.
Здесь int—проекция плотности поверхностного тока на нормаль
к поверхности интегрирования, т. е. на направление касательной
ni, перпендикулярной I. Подставляя эти выражения в исходное
соотношение, получаем
Это равенство можно записать в векторном виде, не зависящем
явно от выбора направления касательной \, вводя единичный
вектор нормали к поверхности раздела п, направленный внутрь
среды 2:
[n,
A.37)
Проинтегрируем уравнение A.32) по объему бесконечно малого
цилиндра, расположенного в переходном слое так, что его высо-
высота б есть толщина переходного слоя, а площадь основания AS
параллельна возникающей при д-^0 границе раздела:
divBd1/ =
Используя теорему Гаусса
делу б->-0, имеем
Остроградского и переходя к пре-
преIim
5+0
A.38)
где Вп — проекция В на нормаль п к границе раздела сред.
Индексы 1 и 2, как и раньше, означают, что соответствующие
значения Вп в точках границы раздела получаются при подхо-
подходе к границе со стороны сред / и 2 соответственно.
Аналогично поступаем с уравнением A.33). Имеем
Г
iv
av
Переходя в этом выражении к пределу 6-^0 и вводя поверхност-
поверхностную плотность заряда а
Iim
A.39)
получаем
14
Соотношения A.36) — A.39) должны выполняться в любой
точке границы раздела сред и представляют собой граничные
условия, с помощью которых должно производиться сшивание
решений системы уравнений Максвелла, получаемых в соприка-
соприкасающихся между собой различных средах.
§ 2. Уравнения связи. Восприимчивости
и проницаемости веществ
Как уже отмечалось, система уравнений A.31) — A.34) не яв-
является замкнутой. Ее нужно дополнить уравнениями, связыва-
связывающими между собой величины Н, D, j с В и Е. При этом удобно
установить связь напряженностей поля с векторами Р и М, так
как эти величины имеют более наглядный физический смысл.
Для решения поставленной задачи феноменологическая элек-
электродинамика вынуждена снова обратиться к микроскопическим
теориям. Действительно, для того чтобы найти необходимую
связь, нужно рассмотреть движение микрочастиц во внешних
макроскопических полях В, Е и вычислить средние плотности
электрического и магнитного дипольных моментов вещества, т. е.
решить квантово-механическую и статистическую задачу. В точ-
точной постановке эти задачи очень сложны для решения. Однако
в тех случаях, когда макроскопические поля не слишком велики,
результат можно получить сравнительно просто. В самом деле, в
случае малых полей для расчета можно использовать квантово-
механическую теорию возмущений по величине взаимодействия
с макроскопическими полями. Как известно, поправки к волно-
волновым функциям при этом пропорциональны величине возмуще-
15

ния, а средние значения физических величин в этом приближе-
приближении будут линейными функциями величины возмущения:
BЛ)
fk. B.2)
(По повторяющимся тензорным индексам везде подразумевается
суммирование от 1 до 3.) Отметим, что в выражении B.2) физи-
физически более последовательно было бы записать М в виде ли-
линейной функции В. Однако в рассматриваемом приближении
В и Н линейно связаны друг с другом, поэтому обе записи мате-
математически эквивалентны. Принято выражать М через Н. Вели-
Величины Ро и Мо представляют собой плотности дипольных элек-
электрического и магнитного моментов вещества при отсутствии
внешних полей. Их называют спонтанным электрическим и спон-
спонтанным магнитным моментами соответственно. Вещества, у ко-
которых Ро=т^О, называются пироэлектриками. Для большинства
веществ Р0=0. Аналогично, для большинства веществ, за исклю-
исключением ферромагнетиков, М0=0.
Величина хг-* называется тензором диэлектрической воспри-
восприимчивости (поляризуемости) вещества, %г-& — тензором магнит-
магнитной восприимчивости. Используя выражения B.1), B.2) и A.27),
A.28), получаем
A=
Здесь
D0=4nP0, В0=4лМ
0>
B.3)
B.4)
B.5)
B.6)
B.7)
где Eik — тензор диэлектрической проницаемости вещества, \ин —
тензор магнитной проницаемости. Рассматриваемое приближе-
приближение допускает также наличие в формуле B.3) члена линейного
по напряженности магнитного поля, а в B.4)—линейного по
напряженности электрического поля. Такого рода слагаемые мо-
могут существовать лишь в веществах, обладающих определенны-
определенными свойствами внутренней симметрии. Наличие этих слагаемых
приводило бы, однако, к ряду явлений, которые до сих пор не
обнаружены. Поэтому в дальнейшем формулы B.3), B.4) ис-
используются при рассмотрении любых веществ.
Рассуждения, которые привели к формулам B.1), B.2),
позволяют установить критерий применимости линейного приб-
приближения. Оно основано на использовании теории возмущений,
условием применимости которой является малость макроскопи-
макроскопического поля по сравнению с внутренними полями. Например,
для среды, поляризация которой есть результат деформации
16
электронных оболочек отдельных атомов, напряженность Е поля
должна быть малой по сравнению с напряженностью внутри-
внутриатомных полей, порядок которых 1010 В/см.
Установим теперь связь между плотностью j электрического
тока и напряженностью Е электрического поля. Для этого в
принципе нужно решить кинетическую задачу о поведении систе-
системы электронов проводника во внешнем электрическом поле. При
этом существенны процессы взаимодействия с кристаллической
решеткой, в которых электроны теряют свой импульс. Решение
квантово-механической задачи о движении электрона в перио-
периодическом поле кристаллической решетки показывает, что сред-
среднее значение его импульса в отсутствие внешнего поля остается
постоянным. Точно так же не изменяется импульс системы элек-
электронов вследствие их взаимодействия между собой. Поэтому
процессами, в которых электроны теряют импульс, являются
столкновения электронов с примесными атомами и возбуждение
электронами колебаний атомов кристаллической решетки. Эти
столкновения приводят к торможению электронов. В итоге уста-
устанавливается стационарное движение электронов, при котором
сила, действующая со стороны электрического поля, компенси-
компенсируется тормозящей силой. Скорость установившегося движения,
а следовательно, и плотность тока пропорциональны напряжен-
напряженности Е электрического поля:
Ji = °i*E*- B-8)
Соотношение B.8) называют законом Ома в дифференциальной
форме, a Oik — тензором проводимости. Следует иметь в виду,
что ток в веществе может возникать не только под действием
внешнего электрического поля, но и за счет других причин, нап-
например градиента температуры (термоэлектродвижущая сила).
Рассмотрение таких вопросов выходит за рамки этого курса.
Формулы B.3), B.4), B.8) решают задачу, которая была
поставлена в этом параграфе: они устанавливают необходимую
связь различных величин, характеризующих макроскопическое
электромагнитное поле. Эти связи содержат два вектора и три
тензора. В дальнейшем показано, что эти тензоры являются сим-
симметричными. В частном случае изотропных сред они принимают
вид
Скалярные величины е, \л, о называются диэлектрической про-
проницаемостью, магнитной проницаемостью и проводимостью ве-
вещества. Все величины Во, Do, егк, \иь oih зависят только от
свойств вещества и его термодинамического состояния. Эти ут-
утверждения справедливы лишь для постоянных или медленно
меняющихся полей. При быстром изменении поля величины г<к,
\itk, Oik перестают быть постоянными и начинают зависеть от час-
частоты поля. Физический смысл этой зависимости и следствия рас-
рассмотрены в § 14.

Отметим, что феноменологические уравнения A.31) — A.34)
правильно описывают поведение электромагнитного поля при
отсутствии вещества. Действительно, в этом случае плотности
свободных зарядов р и токов j равны нулю, а е/ь=б|Л, \iik = &ik.
Отметим, что в этих условиях получаются уравнения, описыва-
описывающие поведение электромагнитного поля в вакууме, источником
которого являются отдельные заряды (сторонние заряды). Та-
Таким образом, феноменологические уравнения A.31) — A-34)
можно рассматривать как обобщение уравнений электродинами-
электродинамики в вакууме.
§ 3. Энергия и поток энергии электромагнитного поля
в веществе
Одним из важнейших следствий уравнений макроскопиче-
макроскопической электродинамики является закон, связывающий плотность
энергии и плотность потока энергии электромагнитного поля в
макроскопических телах. Для простоты ограничимся случаем
непироэлектрического и неферромагнитного вещества, так что
уравнения связи B.3), B.4) имеют вид
C-D
C.2)
==•«?*,
Умножим обе части уравнения A.34) скалярно на Е и выч-
вычтем из полученного выражения уравнение A.31), скалярно умно-
умноженное на Н:
ErotH-HrotE^ —(j+jCT)E + —E—
с с dt
Н
дВ
dt
C.3)
Рассмотрим теперь случай медленно меняющихся полей, когда
тензоры Eik и yak можно считать постоянными величинами. Тогда
с учетом симметричности этих тензоров последние два слагае-
слагаемых в правой части C.3) можно записать следующим образом:
I
dD • 1 „ uu
I
dt ' с dt
Введем обозначения
2с dt
(ED + HB).
4я
ED
HB
w
В этих обозначениях равенство C.3) принимает вид
hdivS = — (j + jrT)t.
C.4)
C.5)
C.6)
C.7)
В случае равенства нулю правой части соотношение C.7) имеет
вид закона сохранения некоторой физической величины, при-
чем w имеет смысл плотности, a S — плотности потока этой вели-
величины. Отметим, что эта величина есть не что иное, как энергия
электромагнитного поля. В самом деле, выражение 0+Ьт)Е, яв-
являющееся в соотношении C.7) стоком рассматриваемой величи-
величины, представляет собой работу, совершаемую силами электро-
электромагнитного поля над зарядами, т. е. уменьшение энергии элек-
электромагнитного поля. Это же следует из предельного перехода к
вакууму: S представляет собой плотность потока энергии элек-
электромагнитного поля, a w — плотность энергии. Отметим, что
выражения для плотности потока энергии поля в среде и в ваку-
вакууме имеют один и тот же вид. Физический смысл этого стано-
становится ясным при рассмотрении потока энергии поля сквозь
границу вакуум — среда. Действительно, при отсутствии поверх-
поверхностных токов нормальная компонента вектора Sn не должна
претерпевать разрыва на границе. Сопоставляя выражение для
вектора S в пустоте с граничными условиями, выражающими
непрерывность тангенциальных составляющих Ей Н, приходим
к выводу, что S имеет в среде тот же вид. Вектор S называется
вектором Пойнтинга, а соотношение C.7)—теоремой Пойн-
тинга.
В заключение отметим, что проведенный вывод опирался на
предположение о постоянстве величин etk и \iik. В дальнейшем
показано, что для быстропеременных полей понятие энергии
поля более сложное.
СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
ПОЛЯ В ВЕЩЕСТВЕ
§ 4. Электростатика проводников. Коэффициенты
емкости и электростатической индукции.
Энергия электростатического поля проводников
Эта глава посвящена рассмотрению стационарных задач
электродинамики, т. е. задач, в которых плотности заряда и тока
не зависят от времени. Очевидно, что создаваемые этими заря-
зарядами и токами поля также не зависят от времени, так что урав-
уравнения Максвелла принимают следующий вид:
rotE=0, D.1)
D.2)
D.3)
•). D.4)
Видно, что система уравнений разбивается на две отдельные
19
divB=0,
ж 4я

системы. Уравнения D.1) и D.2) вместе с уравнением свя-
связи B.3) и граничными условиями A.36) и A.39) позволяют по
заданным зарядам найти напряженность электрического поля.
В диэлектриках свободных зарядов нет (р=0), а распределение
сторонних зарядов задается внешними условиями; следователь-
следовательно, задача является математически замкнутой. В случае провод-
проводников плотность свободных зарядов не может быть задана про-
произвольно, так как она сама зависит от напряженности поля. Для
нахождения напряженности электрического поля внутри провод-
проводника необходимо использовать уравнение непрерывности A-24)
и закон Ома B.8). Учитывая, что в стационарном случае
dp/dt = O, из A.24) получаем уравнение
-±-(olkEb) = Q. D.5)
Оно заменяет уравнение D.2) для областей внутри проводни-
проводников. Уравнение D.2) должно быть использовано для нахожде-
нахождения плотности свободных зарядов по найденной напряженности
электрического поля. Характер решения задачи в области внут-
внутри проводников может быть установлен из следующих рассуж-
рассуждений.
Электрическое поле, вызывающее ток в проводнике, произ-
производит над перемещающимися свободными зарядами работу.
Энергия поля диссипируется в проводнике, переходя в теплоту.
Поэтому электрическое поле внутри проводника должно зату-
затухать со временем. Единственно стационарным состоянием будет
состояние с напряженностью поля, равной нулю.
Сделанный вывод о невозможности стационарного тока в про-
проводнике справедлив не всегда. Система проводников может
содержать элементы, в которых ток поддерживается силами
неэлектрического происхождения. Такими элементами могут
быть аккумуляторы, гальванические элементы, участки с гра-
градиентом температуры и т. д. Следует иметь в виду, что в обла-
области этих элементов закон Ома в форме B.8) неприменим. Поло-
Положительная работа над зарядами неэлектрических сил в этих
элементах компенсирует уменьшение энергии на джоулеву теп-
теплоту в проводниках. Конечно, уменьшение внутренней энергии
в этих элементах означает, что в действительности процесс про-
протекания тока не стационарен. Однако это уменьшение обычно
происходит столь медленно, что в ряде случаев им можно пре-
пренебречь.
Таким образом, в стационарном случае все задачи можно
разбить на два класса. В задачах первого класса стационарные
токи отсутствуют и речь идет о нахождении характеристик элек-
электрического поля. Совокупность таких задач называется задача-
задачами электростатики. В задачах второго класса имеются стацио-
стационарные токи и речь идет о нахождении характеристик стацио-
стационарного магнитного поля. В этом параграфе рассмотрены задачи
электростатики проводников.
20
Рассмотрим систему проводников, помещенную в вакуум
{электромагнитные свойства вакуума: е=1, ^=1, р+Рст = 0,
j+Jct = O). Будем искать напряженность Е(г) электрического
поля, создаваемого этими проводниками, предполагая их заря-
заряженными. Обозначим еа заряд а-го проводника (а — номер про-
проводника). Предположим, что все проводники находятся в термо-
термодинамическом равновесии. Как это было показано выше, нап-
напряженность Е поля внутри каждого проводника равна нулю.
Поэтому задача сводится к отысканию Е(г) в пространстве меж-
между проводниками. Уравнение D.2) в этой области имеет вид
divE=0.
D.6)
С учетом того, что внутри проводника напряженность поля рав-
равна нулю, из уравнения D.2) следует, что объемная плотность
зарядов в проводнике равна нулю, т.е. заряды в проводнике рас-
распределены по его поверхности. При решении уравнений D.1),
{4.6) удобно вместо векторной функции Е(г) выбрать скалярную
функцию ф(г), связанную с Е соотношением
E=-gradcp. D.7)
При подстановке D.7) в D.1) это уравнение обращается в тож-
тождество. Из D.6) получаем, что в пространстве между проводни-
проводниками ф удовлетворяет уравнению Лапласа:
Аср=О.
D.8)
Функция ф называется скалярным потенциалом. Он имеет смысл
потенциальной энергии единичного точечного заряда в электри-
электрическом поле, в частности разность значений ф в точках 1 п 2 дает
работу сил поля при перемещении единичного заряда из точ-
точки/в точку 2. Нетрудно видеть, что скалярный потенциал опре-
определен с точностью до произвольной постоянной. Обычно ее опре-
определяют, требуя обращения в нуль потенциала на бесконечности.
Это требование может быть выполнено, когда заряды располо-
расположены в ограниченной области пространства. В противном слу-
случае, например в поле бесконечной заряженной плоскости или
нити, отсутствуют общепринятые требования выбора произволь-
произвольной постоянной.
Предполагая, что система проводников занимает ограничен-
ограниченную область пространства, нормируем потенциал так, чтобы
limcp(r) =
D.9)
На поверхностях проводников должны выполняться граничные
условия, вытекающие из A.36) и A.39). Из условия непрерыв-
непрерывности Е* с учетом того, что внутри проводника Е = 0, следует, что
потенциал ф постоянен вдоль поверхности проводника, т. е.
D.10)
21

Аналогично, из условия A.39) имеем
En\s= —
дп
D.11)
где Ста — плотность поверхностных зарядов а-го проводника. Так
как полный заряд проводника
ea = (?oadSa, D.12)
то, интегрируя D.11) по поверхности а-го проводника, получаем
D.13)
4л
дп
a.
Уравнение D.8) с соответствующими граничными условиями
имеет единственное решение. Единственность решения является
обоснованием применения специальных методов и приемов, ис-
используемых в отдельных задачах электростатики.
Как известно, функции, удовлетворяющие уравнению Лапла-
Лапласа, называются гармоническими. Напомним некоторые свойства
этих функций.
Для определения гармонической функции достаточно задать ее
значения на границе области (задача Дирихле). В рассматрива-
рассматриваемом случае границей являются поверхности проводников и беско-
бесконечно удаленная точка. Таким образом, задание потенциалов
проводников D.10) и нормировка потенциала D.9) полностью
определяют потенциал ср(г). При найденном потенциале <р, ис-
используя условие D.11), можно найти распределение поверх-
поверхностных зарядов Ста и полный заряд каждого проводника еа.
Видно, что распределение заряда аа полностью определяется
заданием потенциалов проводников. Этот результат физически
очевиден: заряды должны распределиться по поверхности так,
чтобы обеспечить обращение в нуль электрического поля внутри
проводника. Следовательно, распределение поверхностных заря-
зарядов на проводнике не может быть задано произвольно.
Гармоническая функция ср(г) в пространстве между провод-
проводниками меньше, чем наибольший из потенциалов проводников
фа, и больше, чем наименьший. Если наименьший из потенциа-
потенциалов проводников положителен, то скалярный потенциал больше
нуля, так как наименьшего значения, равного нулю, он дости-
достигает в бесконечно удаленной точке. Функция <р(г) не имеет мак-
максимумов и минимумов в пространстве между проводниками.
Физически это означает, что пробный заряд не может находить-
находиться в состоянии устойчивого равновесия в точке, лежащей в
области между проводниками.
Получим некоторые следствия, вытекающие из сформулиро-
сформулированных выше свойств гармонических функций. Из них следует,
что заряды еа проводников однозначно определяются заданием
потенциалов <ра проводников. Более того, из-за линейности урав-
22
нения D.8) и граничных условий D.10) и D.9) можно утвер-
утверждать, что потенциал ф(г), а следовательно, и заряды еа явля-
являются линейными функциями потенциалов проводников фа:
D.14)
Диагональные элементы матрицы Саа называются коэффициен-
коэффициентами емкости, величины Саъ при афЬ называются коэффициен-
коэффициентами электростатической индукции. Элементы матрицы Саъ
зависят от формы, размеров и взаимного расположения провод-
проводников. Аналогично можно написать соотношение, выражающее
потенциалы проводников через их заряды. Решая D.14), имеем
>еь. D.15)
Коэффициенты (С~г)аь образуют матрицу, обратную матрице
Саь- Нетрудно видеть, что коэффициенты Саь имеют размерность
длины. Можно показать, что коэффициенты емкости Сда>0, a
коэффициенты электростатической индукции Саь<0 (афЬ).
Некоторые свойства матрицы Саь позволяет установить тео-
теорема взаимности, представляющая также и самостоятельный
интерес. Для доказательства теоремы рассмотрим два случая.
В первом из них проводники имеют потенциалы <ра и заряды еа,
во втором — ф7д и е'а (все величины, относящиеся ко второму
случаю, помечаем штрихами). Рассмотрим интеграл
— fdl/EE\
4rt
D.16)
где Е и Е'— напряженности электрического поля в первом и
втором случаях, а интеграл берется по области вне проводни-
проводников. Подставляя Е=—Уф и используя уравнение D.6), полу-
получаем
D.17)
Аналогично, заменяя Е'=—v<p'> получаем
D.18)
Приравнивая D.17) и D.18), имеем
D.19)
а
а
Это соотношение обычно и называют теоремой взаимности.
Пусть в первом случае был отличен от нуля только потен-
потенциал а-го проводника, а во втором — b-го. Тогда заряды провод-
23

ников равны соответственно
D.20)
Из соотношения D.19), которое в этом случае имеет вид
с учетом D.20) получаем
Cab=Cba, D.21)
т. е. матрица коэффициентов Саъ симметрична. Иными словами,
электростатическое влияние а-го проводника на Ь-й такое же,
как 6-го на а-й.
Рассмотрим теперь общие постановки задач электроста-
электростатики проводников. Потенциалы проводников сра и их заряды еа
связаны между собой соотношением D.14) или D.15). Поэтому
можно задавать произвольно либо потенциалы, либо заряды
проводников. В соответствии с этим имеем две следующие по-
постановки задачи.
1. Задаются потенциалы сра на всех проводниках. Решается
уравнение
для определения потенциала с граничными условиями
= ?a. ?(г—оо) = 0.
Затем по найденному потенциалу находятся заряды проводни-
проводников по соотношению D.13)
2. Задаются заряды еа проводников. Решается уравнение
Для решения необходимо привлечь условие постоянства по-
потенциала на поверхностях всех проводников и условие D.9).
Конечно, значения этих постоянных фа неизвестны, и их нужно
определить из решения. Можно поступить следующим образом.
Произвольно задаем значения потенциалов проводников
Решаем задачу в первой постановке и находим соответствую-
соответствующие этим потенциалам значения зарядов е'а проводников. Если
случайно окажется, что е'а=еа, то задача решена. В общем слу-
случае, зная е'а и q/a из соотношения
находим СаЬ и (С~1)аъ. Затем из D.15) по заданным зарядам еа
определяем потенциалы сра проводников и для нахождения ц>(г)
решаем задачу в первой постановке.
24
Физически первую постановку задачи можно представить
следующим образом. Рассматриваемые проводники соединены
с какими-то источниками («резервуарами»), которые поддержи-
поддерживают (pa=const. В этом случае система проводников не замкнута,
она может обмениваться зарядами (энергией) с резервуарами.
Во второй постановке задачи можно считать, что заряды еа на
проводниках появились за счет того, что проводники на какое-то
время были соединены с источниками, а затем отсоединены. В
этом случае система замкнута.
Напряженность поля, создаваемого системой проводников,
существенно меняется на расстояниях порядка размеров L сис-
системы. Предположим, что вдали от системы, т. е. на расстоя-
расстояниях /?2>L, имеется еще один незаряженный проводник. Пусть
размеры этого проводника малы по сравнению с длиной, на ко-
которой существенно меняется напряженность поля. Такое поле
называется квазиоднородным. Так мы приходим к третьей по-
постановке задачи: незаряженный проводник во внешнем квазиод-
квазиоднородном поле <?. Требуется найти распределение поля Е в про-
пространстве, т. е. найти отличие Е от 8\ связанное с присутствием
во внешнем поле рассматриваемого незаряженного проводника.
Если бы проводник был заряженным, то вследствие линейно-
линейности уравнений поля результирующее изменение можно было бы
записать в виде суммы изменения напряженности поля, связан-
связанного с зарядом проводника при отсутствии внешнего поля, и
изменения от незаряженного проводника во внешнем поле. Зада-
Задача нахождения полей, создаваемых заряженными проводниками,
была рассмотрена выше.
При помещении незаряженного проводника во внешнее поле
он поляризуется и полная напряженность Е поля складывается
из внешнего и поля зарядов, выходящих на поверхность рас-
рассматриваемого проводника. Обозначим потенциал этого доба-
добавочного поля ф'. Так как Е=—v ф> т0
<р=—(г#)+?'. D.22)
При получении формулы D.22) поле & считалось однородным.
Так как потенциал <р удовлетворяет уравнению Лапласа, то для
<р' с учетом D.22) получаем
= О. D.23)
Для определения q/ нужно задать граничные условия: поведе-
поведение q/ в бесконечно удаленной точке и на поверхности провод-
проводника. Так как проводник не заряжен, то на бесконечности потен-
потенциал ф' должен убывать быстрее, чем потенциал заряда, т. е.
Нтлр'(г)=0. D.24)
Г-*-оо
На поверхности проводника потенциал ф должен быть постоян-
постоянным. Соответствующим выбором начала отсчета эта константа
может быть обращена в нуль. Тогда на поверхности проводника
25

потенциал <р' будет удовлетворять условию
, D.25)
Таким образом, для решения поставленной задачи нужно ре-
решить уравнение D.23) с граничными условиями D.24) и D.25).
На больших расстояниях от проводника q/(r) можно разложить
в ряд по мультиполям и ограничиться первым неисчезающим
приближением
3, D.26)
где 3* — полный дипольный момент, возникающий в проводни-
проводнике под действием внешнего поля <В. Для проводника, когда объ-
объемная плотность заряда равна нулю, дипольный момент выра-
выражается через поверхностную плотность ст:
^ D.27)
Вследствие линейности уравнения для ср', граничных условий и
соотношения D.26) $Р и & связаны между собой линейно. Не-
Нетрудно видеть, что коэффициент пропорциональности между &
и & имеет размерность куба длины, поэтому связь между ком-
понентами 9* и & можно представить в виде
&t = VatuSk, D.28)
где V — объем проводника, am — тензор поляризуемости про-
проводника. Выделение объема в виде отдельного множителя имеет
смысл, когда размеры проводника соизмеримы между собой.
Тогда безразмерный тензор aik зависит в основном от формы
проводника. Тензор щь является симметричным. Практическое
вычисление тензора поляризуемости для тела произвольной фор-
формы представляет сложную задачу, которая может быть просто
решена только в отдельных случаях. Например, для шара
а1*=38/4/Dл).
Рассмотрим теперь энергию электростатического поля, соз-
создаваемого заряженными проводниками. Как следует из C.6),
плотность энергии электростатического поля имеет вид
да = ЕО/(8я). D.29)
Так как внутри проводников Е=0, а вне D=E, то энергия поля
• D'30)
где интегрирование ведется по области пространства вне про-
проводников. Преобразуем выражение D.30) так, чтобы энергия W
явно выражалась через заряды еа и потенциалы <ра проводни-
проводников, создающих это поле. Используя D.7), запишем Е2=
и преобразуем D.30) к виду
W =
di v (<pE).
D.31)
Затем интеграл в D.31) преобразуем в интеграл по поверхно-
поверхности, охватывающей объем интегрирования:
D.32)
Эта поверхность состоит из бесконечно удаленной поверхности
и суммы поверхностей проводников. Интеграл по бесконечно
удаленной поверхности обращается в нуль из-за достаточно
быстрого убывания напряженности поля и потенциала на бес-
бесконечности. Остаются интегралы по поверхностям проводников.
Напомним, что нормаль к поверхности в D.32) есть внешняя
нормаль по отношению к объему интегрирования в D.31), т. е.
нормаль направлена внутрь проводников. Если, как обычно,
считать нормаль внешней по отношению к объему самих про-
проводников, то из D.32) с учетом D.10) —D.12) получаем
D,33)
Отметим, что выражение D.33) имеет такой же вид, как и выра-
выражение для энергии системы точечных зарядов. Используя соот-
соотношение D.15), можно D.33) переписать:
W =4"
2
D.34)
а,Ъ
26
Выражение D.34) представляет собой квадратичную форму.
Так как исходное выражение для энергии D.30) существенно
положительно, то из условий положительности квадратичной
формы следует ряд неравенств, которым должны удовлетворять
элементы матрицы Саь-
Перейдем теперь к обсуждению обстоятельства, важного для
всей макроскопической электродинамики. Рассматриваемая
здесь система включает в себя не только электромагнитное поле,
но и совокупность проводников. Последние, как макроскопиче-
макроскопические тела, подчиняются законам термодинамики. Поэтому сле-
следует рассматривать изучаемую систему как термодинамическую,
а величины, характеризующие ее, — как термодинамические
функции. До включения поля термодинамическая система харак-
характеризуется температурой и двумя переменными: V и р (V—объ-
(V—объем, р — давление). После включения поля добавляются две но-
новые характеристики: еа и сра. Одна из них может быть выбрана
как внешний параметр, тогда другая будет внутренним пара-
параметром. Как известно, в состоянии термодинамического равно-
равновесия внутренние параметры являются функциями внешних и
температуры. При отсутствии поля эта зависимость связывает
между собой V, р и Т, т. е. представляет обычное уравнение
состояния. Для новых переменных еа и <ра роль такого «уравне-
«уравнения состояния» играет соотношение D.14) или D.15).
27

Появление при наличии поля новых переменных расширяет
возможность выбора внешних параметров. Так для одного про-
проводника в качестве внешних параметров могут быть выбраны
следующие пары: (V, е); (V, <р); (р, е)\ (р, <р). Наряду с
этими переменными термодинамические функции должны зави-
зависеть либо от температуры, либо от энтропии. Нетрудно видеть,
что выражение для W [см. D.34)] представляет собой связан-
связанную с полем добавку к термодинамическим потенциалам в пере-
переменных S, V, е, либо в переменных Т, V, е (S — энтропия). В са-
самом деле, рассматриваемая система является замкнутой при
фиксированных зарядах проводников, поэтому только при выбо-
выборе е в качестве внешних параметров W представляет собой энер-
энергию замкнутой системы. Что касается V, то, как указывалось
ранее, именно от геометрических характеристик проводников
зависят элементы матрицы Саь (в данном случае под V понима-
понимается совокупность переменных, характеризующих объем, форму
и взаимное расположение проводников). Наконец, W не зависит
ни от температуры, ни от энтропии, поэтому выбор между этими
переменными может быть сделан любым образом. Добавляя к
выражению D.34) UQ — внутреннюю энергию проводников при
отсутствии поля, запишем полную энергию рассматриваемой си-
системы в виде
U(S, V, e)=
D.35)
?
Дифференцируя D.35) по еа, получаем
(—) =
Таким образом, потенциал фа имеет смысл обобщенной силы,
относящейся к обобщенной координате еа. Нетрудно осущест-
осуществить формальный переход к термодинамическому потенциалу в
переменных S, V, <р. Этот потенциал будем обозначать О:
U(St
Используя D.35) и D.14), получаем
D.36)
a,b
D.37)
Легко видеть, что добавки, связанные с электрическим полем, в
D.35) и D.37) равны между собой по значению и имеют про-
противоположные знаки. Энергия О имеет непосредственный физи-
физический смысл. Как было указано ранее, система с заданными
потенциалами проводников не является замкнутой. Для под-
поддержания потенциалов постоянными необходимо соединить
проводники с какими-то «резервуарами», т. е. с проводниками,
обладающими большой емкостью. Заряжаясь зарядом еа, про-
28
водник отбирает у «резервуара» энергию <?aq>a. Поэтому перемен-
переменная часть энергии «резервуаров» — 2<?афа. Следовательно, О —
а
энергия замкнутой системы, состоящей из проводников, поля и
«резервуаров». Проводя различные преобразования Лежандра,
можно перейти к свободной энергии и другим термодинамиче-
термодинамическим потенциалам. Полученные выражения могут быть исполь-
использованы для решения обычных термодинамических задач. Для
примера найдем избыточное давление на поверхность отдельно-
отдельного проводника, вызванное его зарядом. Как следует ^из D.35),
в случае одного проводника изменение его свободной энергии,
связанное с зарядом, равно
где
Ние
2 С '
— его емкость.
Используя термодинамическое соотноше-
получаем Д/?=—
dV
2 ЗУ \ С
Например, для шара радиуса R
Выражения для энергий О и U соответствуют первым двум по-
постановкам задач электростатики проводников. Полезно получить
выражение для энергии, отвечающее третьей постановке. Напом-
Напомним, что в этом случае внешним параметром является электри-
электрическое поле & и нужно преобразовать выражение для энергии
так, чтобы явно выделить эту зависимость. Для этого удобно
исходить из первоначального определения энергии D.30), запи-
записав его следующим образом:
W =
8л
D.38)
Интегралы в D.38) распространим и на область внутри провод-
проводника. Тогда второе слагаемое в D.38) не зависит от присутст-
присутствия проводника и может быть опущено. При этом изменится
определение рассматриваемой термодинамической системы, так
как из нее исключается то поле, которое существовало бы в про-
пространстве при отсутствии проводника. Энергия этой системы, как
функция внешнего поля
U(S, 1/, *)=
D.39)
Проведем следующие преобразования интеграла в D.39). Пусть
Ф и ф0 — потенциалы полей Е и & соответственно; V\ и Ve — объ-
объемы внутри и вне рассматриваемого проводника. Тогда
8л
8л
8л
29

=—i- dl/
Преобразуя полученные интегралы к интегралам по поверхности
проводника с учетом того, что div Е = 0, div <§Г=0, получаем
Потенциал ф постоянен на поверхности проводника и может
быть вынесен за знак интеграла. Возникающие при этом инте-
интегралы от Е и & по замкнутой поверхности равны нулю из-за от-
отсутствия зарядов внутри этой поверхности. Таким образом,
D.40)
Так как интеграл в D.40) берется по поверхности проводника,
то можно воспользоваться квазиоднородностью поля & и запи-
записать
?о = -(¦#)•
D.41
Подставляя D.41) в D.40) и используя определение дипольного
момента ^[см. D.27), а затем и D.28)], получаем окончательно
9? У? /d. J.9\
, I/, 8) = U
Дифференцируя D.42) по
имеем
) =-&г D.43)
Как известно, энергия постоянного диполя !? во внешнем поле
равна— {0>&). Коэффициент 7г в формуле D.42) связан с тем,
что в данном случае дипольный момент не постоянен, а пропор-
пропорционален напряженности & внешнего поля.
Установим знак изменения энергии незаряженного проводни-
проводника во внешнем поле. Для этого обратимся к выражению D.39).
Интеграл, стоящий там, можно рассматривать как изменение
энергии поля, возникшее в результате установления стационар-
стационарного состояния при внесении проводника в электрическое поле.
Установление этого состояния, как отмечалось ранее, связано с
диссипацией энергии поля — переходом части этой энергии в
джоулеву теплоту. Следовательно, энергия поля в конечном ста-
стационарном состоянии меньше, чем энергия в начальном состоя-
состоянии, т. е. при отсутствии проводника. Таким образом, добавка к
энергии проводника при помещении его во внешнее поле всегда
отрицательна. Отсюда следует, что квадратичная форма в пра-
правой части равенства D.42) положительна:
т. е. главные значения тензора aik положительны.
30
Сила, действующая на проводник, как известно, есть произ-
производная потенциальной энергии по координатам проводника, взя-
взятая со знаком минус. Напомним, что потенциальная энергия —
это та часть энергии замкнутой системы, которая зависит от
взаимного положения тел. В первой постановке задачи, когда
заданы потенциалы проводников, энергией замкнутой системы
является величина O(S, V, <р), во второй — U(S, V, e). В третьей
постановке задачи сила, действующая на незаряженный провод-
проводник со стороны поля, равна
Так как добавка к энергии незаряженного проводника во внеш-
внешнем поле отрицательна, то он будет двигаться в направлении
увеличения напряженности $ поля, т. е. будет втягиваться в
электрическое поле.
Для неподвижных проводников в электростатическом поле
на первый план выступают эффекты, связанные с деформацией
тела,— электрострикция. Для расчета электрострикционных эф-
эффектов необходимо сначала найти силы, действующие на по-
поверхность проводников, а затем, используя теорию упругости,
определить деформацию тела под действием этих сил. Возмож-
Возможность такого подхода связана с относительно малой деформаци-
деформацией проводников. В этом разделе ограничимся только вычислени-
вычислением сил.
Сила, действующая на проводник со стороны поля, равна
приращению импульса проводника в единицу времени. Это при-
приращение равно импульсу поля, втекающему внутрь проводника
через его поверхность. Как известно, поток импульса есть тен-
тензор, образованный пространственными компонентами четырех-
четырехмерного тензора энергии-импульса поля. Здесь вместо тензора
потока импульса используется тензор напряжений Максвелла
Tik, равный тензору потока импульса с обратным знаком:
1 /г. ~ 1 ™ \ D44)
4rt \ l * 2
При таком определении сила, действующая на проводник со сто-
стороны поля, равна
D.45)
где dS —элемент площади с внешней нормалью. Вводя единич-
единичный вектор п внешней нормали, перепишем D.45) в виде
^=<j>F.dS, D.46)
где с учетом того, что на поверхности проводника Е=?п,
F = ii?'2/(8k)=cjE/2
— сила, действующая на единицу площади проводника. Напри-
Например, для заряженного шара |F| совпадает с выражением для
Ар, полученным на с. 29.
31

§ 5. Электростатика диэлектриков.
Термодинамика диэлектриков.
Силы, действующие на жидкий диэлектрик
Рассмотрим, как и прежде, систему заряженных проводников,
но теперь пространство между ними будем считать заполненным
диэлектриком. Диэлектрик в общем случае может быть неодно-
неоднородным или кусочно-однородным, в части пространства диэлект-
диэлектрик может отсутствовать. В этом случае для определения напря-
напряженности электростатического поля нужно решать систему урав-
уравнений D.1) и D.2) с уравнением связи C.1) и граничными усло-
условиями A.36) и A.39). В дальнейшем считаем, что сторонние за-
заряды отсутствуют и поля создаются заряженными проводника-
проводниками. Из § 4 известно, что в статическом случае плотность свобод-
свободных зарядов р=0 и заряды располагаются на поверхности про-
проводников так, что напряженность поля внутри них равна нулю.
Таким образом, необходимо решать лишь внешнюю по отноше-
отношению к проводникам электростатическую задачу с граничными ус-
условиями на поверхностях проводников:
/ — U. @.1)
/)л=4ла. E.2)
При решении этой задачи в случае кусочно-однородных диэлект-
диэлектриков появляется граница раздела двух диэлектриков. Гранич-
Граничные условия на такой поверхности имеют вид
— F /ц^
It — *-*2Л W'O)
А«=А«- E.4)
Ради простоты в дальнейшем рассматриваются изотропные ди-
диэлектрики, для которых уравнение связи C.1) принимает вид
E.5)
Для решения задачи определения поля удобно, как и прежде,
ввести потенциал (р равенством Е=— \?ф. Из уравнения div D=
=0, используя E.5), получаем уравнение, которому удовлетво-
удовлетворяет потенциал <р в области между проводниками: ¦
div?Vcp=O. E.6)
Перепишем граничные условия через потенциал <р. Из усло-
вия E.3) следует, что —^ = -^, где производная берется по ка-
дх дх
сательной к поверхности раздела в любом направлении, cpj и
Ф2 — предельные значения потенциала на поверхности раздела
со стороны сред 1 и 2 соответственно. Отсюда имеем
Значение этой постоянной не сказывается на значении напря-
напряженности Е поля. Однако если потенциал ф связывать с энерги-
Таким образом, на поверхности раздела двух диэлектриков
ей, то эту постоянную следует принять равной нулю, так как при
переносе заряда с одной «стороны» поверхности на другую со-
совершаемая работа равна нулю:
E.7)
E.8)
E.9)
Условие E.4) с учетом E.5) дает
е,
дп
= *2
дп
а условие E.2) принимает вид
дп
Как отмечалось в § 4, условие E.1) приводит к постоянству по-
потенциала на поверхности проводников. Можно показать, что рас-
рассматриваемая задача допускает единственное решение без усло-
условия E.9). Оно должно использоваться для определения о по
найденному потенциалу.
Так же как и в § 4, можно сформулировать следующие три
постановки задачи об определении поля в рассматриваемой си-
системе.
1. Задаются потенциалы всех проводников:
<pa=const. E.10)
<pa
2. Задаются заряды всех проводников.
3. Задача о диэлектрике во внешнем квазиоднородном по
ле
В первой постановке решается уравнение E.6), которое для
кусочно-однородных диэлектриков принимает вид
Д<р=О E.11)
с граничными условиями
= 9а E.12)
на поверхностях проводников и граничными условиями E.7) и
E.8) на границе раздела различных диэлектриков. Найдя по-
потенциал и используя E.2), определяем заряды проводников:
дп
E.13)
'а
где п — внешняя нормаль по отношению к проводнику.
Из линейности граничных условий и уравнения следует, что
заряды и потенциалы проводников связаны линейно:
E.14)
32
2—1514
зз

В данном случае коэффициенты Саь зависят не только от геомет-
геометрических параметров —формы и расположения, размеров про-
проводников и диэлектриков, но и от электрических свойств диэле-
диэлектриков—значений их диэлектрических проницаемостей е.
Рассмотрим следующий пример. Пусть пространство между
проводниками заполнено диэлектриком с е== const. Тогда при
заданных потенциалах проводников решение уравнения E.11)
такое же, как и в вакууме с этими граничными условиями. Сле-
Следовательно, напряженность поля при наличии диэлектрика оста-
остается прежней, но заряды проводников еа будут в е раз больше
по сравнению с зарядами, которые были на проводниках, нахо-
находящихся в вакууме [см. E.13)]. Тогда из соотношения E.14)
вытекает, что
»\ E.15)
где c^jj' —соответствующая матрица для той же самой систе
мы проводников, находящихся в вакууме.
Рассмотрим вторую постановку задачи, когда заданы заря-
заряды проводников ea = const. Можно решать задачу в первой по-
постановке с произвольными значениями ф</. Затем, найдя коэф-
коэффициенты емкости и электростатической индукции и вычисляя
обратную матрицу (С~1)аь, определим потенциалы проводников
при данном значении их зарядов еа из соотношения
E.16)
Предположим опять, что пространство между проводниками за-
заполнено однородным изотропным диэлектриком. Из E.15) сле-
следует, что
1 \ь. E.17)
Тогда из E.16) с учетом E.17) получаем
Та —
@)
та
где <р
@) _
потенциалы проводников при тех же самых зарядах
еа, когда в пространстве между проводниками отсутствует ди-
диэлектрик. Таким образом, при заполнении пространства между
проводниками диэлектриком при заданном значении зарядов
проводников напряженность поля уменьшается в е раз. Ослаб-
Ослабление напряженности поля в е раз можно понять как экраниров-
экранировку зарядов проводников .связанными зарядами, возникающими
при поляризации диэлектрика. Формально можно представить
себе ситуацию, когда экранировка будет полной, т. е. напряжен-
напряженность поля внутри диэлектрика обратится в нуль. Поэтому пре-
предельным переходом е-^оо можно из решения задачи о диэлект-
диэлектрике получить результаты задачи о проводнике той же формы и
34
размеров. Действительно, перепишем условие E.8) в виде
?2
дп
дп
и при Ei—>-оо получим
дп s
Решение уравнения Д<р = 0 с таким граничным условием дает
<j< = const внутри рассматриваемой области, как это и должно
быть внутри проводника.
Пусть во внешнем квазиоднородном поле & теперь находит-
находится незаряженный изотропный диэлектрик. Постановка задачи
аналогична той, которая была рассмотрена для проводника во
внешнем поле. Как и прежде, потенциал полного поля Е записы-
записываем в виде суммы:
E.18)
E.19)
E.20)
внутри диэлектрика. На границе диэлектрика из E.7) получаем
<?'e\s=<?'i\s- E.21)
Условие E.8) в данном случае имеет вид
E.22)
<Р=-(г, ?
Потенциал q/ удовлетворяет уравнению
в области вне данного диэлектрика и уравнению
дп
дп
где е — диэлектрическая проницаемость диэлектрика, причем
считаем, что вне диэлектрика — вакуум. На больших расстояни-
расстояниях от диэлектрика
т.Ф
E.23)
где $р — полный дипольный момент диэлектрика. Вследствие ли-
линейности уравнений и граничных условий <р линейно связан с §\
т. е.
^ = ^Л. E.24)
где V —объем диэлектрика. Тензор поляризуемости диэлектрика
Щк зависит не только от геометрии, но и от электрических
свойств диэлектрика. Вычислить тензор поляризуемости до кон-
конца удается только в простейших случаях. Например, если
, E.25)
35

то задача вычисления а** упрощается. В этом случае [см. E.25)]
напряженность поля внутри диэлектрика мало отличается от &
внешнего поля:
ji-E|<#. E.26)
По определению, ^= j dVP, где Р —плотность дипольного мо-
момента. С другой стороны, Р = хЕ, где х=(е—1)/Dл) —диэлект-
—диэлектрическая восприимчивость. Следовательно,
g> = J dVxE.
v
Учитывая E.26), в этом выражении можно в первом приближе-
приближении заменить Е на & [фактически это разложение по параметру
E.25)]. Так как поле <% квазиоднородно, а диэлектрик одноро-
однороден, то
& =l/xf. E.27)
Сравнивая это выражение с E.24), получаем
a/ft=x8/ft. E.28)
Если диэлектрик анизотропен (Pi=XikEk), то вместо E.28) име-
имеем
alk=Kik. E.29)
Рассмотрим теперь термодинамические соотношения системы,
состоящей из проводников, диэлектриков и электрического поля.
Как и раньше, считаем, что сторонние заряды отсутствуют, а
поля создаются заряженными проводниками. Поэтому в качест-
качестве внешнего параметра могут быть выбраны заряды проводников
или их потенциалы. Кроме того, рассмотрим случай, когда про-
проводники расположены на большом расстоянии от диэлектрика
и диэлектрик можно считать находящимся во внешнем квазиод-
квазиоднородном поле <8. В этом случае внешним параметром будет на-
напряженность & этого поля. Термодинамические функции, соот-
соответствующие этим трем возможностям, обозначаются также,как
и в термодинамике проводников, например свободная энергия
системы
$ G\ V, e)t f(T9 V\ <р), $(ТЛ V9 Щ). '
В отличие от вывода, приведенного в § 4, здесь не будет ис-
использовано выражение для энергии поля в диэлектрике
W
= Г
6V
ЕР
E.30)
так как при выводе E.30) учитывалась связь Di=EikEkj пред-
представляющая «уравнение состояния» рассматриваемой термоди-
термодинамической системы. Поэтому формула E.30) справедлива толь-
36
ко в состоянии термодинамического равновесия. Сейчас будут
получены дифференциальные термодинамические тождества,
справедливые в более общем случае.
Для получения искомых термодинамических соотношений
рассмотрим выражение для работы, производимой внешними те-
телами над системой, которая является замкнутой, когда внешние
параметры —заряды еа проводников. Пусть потенциалы провод-
проводников равны фа. Тогда работа, затраченная на изменение заря-
зарядов проводников на dea, равна
E.31)
Выразим эту работу непосредственно через характеристики поля.
Изменение зарядов на Аеа вызывает изменение индукции D во
всем пространстве на 6D, причем
_!_
4л
где 8Dn — проекция 6D на внешнюю по отношению к проводнику
нормаль. Считая нормаль внутренней, перепишем это соотноше-
соотношение:
йе.
=—-=-#
dSSD.
Так как на поверхности проводника (p=<pa=const, то E.31)
можно представить в виде интеграла по объему:
<!/?= —
dl/div(cpSD).
E.32)
Интеграл в E.32) берется по области пространства вне провод-
проводников. При написании последнего равенства учтено, что соответ-
соответствующий интеграл по бесконечно удаленной поверхности равен
нулю. Используя связь ф с Е, получаем
dR=— fdl/E8D.
4* J
E.33)
Интегрирование в E.33) можно распространить на все прост-
пространство, так как внутри проводников напряженность поля равна
нулю. Как видно из E.31) и E.33), заряды проводников и ин-
индукция D во всем пространстве являются эквивалентными внеш-
внешними параметрами. В дальнейшем в качестве внешнего парамет-
параметра используется индукция D.
Работа, произведенная над теплоизолированной системой,
равна изменению ее энергии. Следовательно, для изменения
37

внутренней энергии U(Sy V, D) системы можно написать выра-
выражение
E.34)
где 5 — энтропия. Соответственно для свободной энергии имеем
bf=-SbT-pbV + — fdl/ESD. E.35)
При получении аналогичных соотношений для О и 9~ заметим,
что внешним параметром, эквивалентным потенциалам фй, явля-
является напряженность Е электрического поля, так как ф и Е свя-
связаны соотношением Е=—у'ф. Поэтому достаточно провести в
формулах E.34), E.35) формальное преобразование от вариа-
вариации D к вариации Е. В результате получаем
E.36)
E.37)
= —SbT — pbV L fdl/DSE,
4rt J
J
причем
f = f — J dl/ED/Dn).
Третье слагаемое в E.36) можно выразить через <3фй — измене-
изменения потенциалов проводников. Для этого достаточно сделать за-
замену 6Е= — у бф и преобразовать этот интеграл к поверхност-
поверхностному. Аналогично, разность &~—&~ может быть преобразована к
виду —2фйед. Она представляет собой переменную часть энер-
гин резервуаров, поддерживающих постоянными потенциалы
проводников. Вводя плотности соответствующих термодинами-
термодинамических функций соотношениями типа &r^= \dVF y$F = jdVF, по-
получаем, например при постоянной плотности р вещества,
DdE
E.38)
E.39)
где 5 — плотность энтропии. Отметим, что при выводе дифферен-
дифференциальных термодинамических тождеств не использовалось урав-
уравнение связи векторов D и Е, следовательно, они справедливы и
для неравновесных состояний системы. С помощью полученных
соотношений легко доказать симметричность тензора е^. Из
E.39) следует
?>,= -4л
а из уравнения связи О{=г{кЕк получаем
(dDl\
s
E.40)
E.41)
33
Подставляя E.40) в E.41), убеждаемся в симметричности тен-
тензора:
e/ft=—
dEkdEt
\ л ( d^F
=— 4я
)т,р \ dEidE
Для равновесных состояний, используя связь D и Е, получаем
выражения и самих термодинамических функций:
?:
= fo(S, V)~\dV
E.42)
E.43)
где ^"о — свободная энергия диэлектрика при отсутствии поля.
В третьей постановке задачи, когда внешним параметром яв-
является квазиоднородное поле §\ термодинамические функции оп-
определим, как и в § 4:
E.44)
При таком определении из системы исключается то поле, кото-
которое было при отсутствии диэлектрика. Преобразуем второе сла-
слагаемое в E.44):
E.45)
где ф и фо — потенциалы полей Е и 8 соответственно. Первое
слагаемое в правой части E.45) обращается в нуль, в чем мож-
можно убедиться, преобразовывая интеграл к поверхностному и учи-
учитывая, что поля Е и 8 создаются одними и теми же заряженны-
заряженными проводниками. Используя квазиоднородность поля <В, полу-
получаем
? Siff*. E-46)
E.47)
Дифференцируя E.47) по 8, находим
Отметим, что аналогично тому, как доказывалась симметрич-
симметричность тензора zik, можно доказать и симметричность тензора а^.
39

Рассмотрим теперь силы, действующие на диэлектрик. Во-
Вопрос о вычислении сил, действующих на диэлектрик, находящий-
находящийся в произвольном электрическом поле, достаточно сложен.
Наиболее простой случай — это случай жидких и газообраз-
газообразных диэлектриков. Главная особенность жидкости и газа — их
изотропия: их локальные характеристики, являющиеся скаляра-
скалярами, сами зависят от скалярных величин. Например, диэлектри-
диэлектрическая проницаемость зависит от плотности р и температуры Т
жидкости. В состоянии термодинамического равновесия Г=
=const и изменение е определяется только изменением р. Су-
Существенно, что эти свойства жидкости остаются неизменными
при любых деформациях. В отличие от твердых тел, где воз-
возможны деформации сдвига, меняющие внутреннюю симметрию,
в жидкости все деформации сводятся к изменению р.
Пусть часть пространства заполнена жидким диэлектриком.
Обозначим
f(r)dl/ E.48)
силу, действующую на элемент объема dV в окрестности точки
г (f(r) —плотность объемных сил). Для нахождения f(r) посту-
поступим следующим образом. Предположим, что каждая точка жид-
жидкости сдвинулась на расстояние и (г). Тогда, с одной стороны,
работа, которую производят силы системы, равна f ufdV,
а с другой стороны, равна уменьшению свободной энергии си-
системы:
E.49)
Посчитаем изменение &~ при таком сдвиге. При смещении про-
происходит изменение е в каждой точке. Это связано с тем, что в
данную точку пришла жидкость с другим значением е, и с тем,
что при смещении может произойти изменение плотности жидко-
жидкости. Следовательно,
8р.
E.50)
Возникающее при изменении е изменение свободной энергии оп-
определяется из выражения E.42):
г~ С г D2 СЕ2
Ъ$ = — \ dV Ьг = — I dl^ 8s. E.51)
J 8я?2 J Зя
Отметим, что вариация D, возникающая при изменении р, не ме-
меняет свободную энергию при постоянных зарядах проводников,
создающих поле.
Преобразуем второе слагаемое в E.50), выражая бр через
смещение и. Пусть элемент жидкости с массой тп занимал объ-
объем V. После сдвига объем изменится на 61/, а плотность р =
=m/V жидкости — на
^ уг
40
Для вычисления 8V предположим, что и направлено по оси х.
Пусть h — длина элемента жидкости в направлении оси х. Тогда
одна сторона этого объема сместилась на и(х), а другая — на
u(x+h) = u(x) +hdu/dx. Поэтому изменение линейного размера
в направлении х равно hdu/dxy а так как другие размеры не ме-
менялись, то
дх
Аналогично, в общем случае, разлагая смещение и по осям х> у,
г, имеем 81/=l/divu. Таким образом,
Ъ?=—pdivu. E.52)
Подставляя E.52) в E.50), а затем E.50) в E.51), получаем
8f= — fdl/ — [-uvs — ?(— \ divul. E.53)
J 8л L V д? }т J
Преобразуем второе слагаемое в E.53):
E.54)
Первый интеграл в правой части E.54) равен нулю, в чем не-
нетрудно убедиться, преобразуя его к поверхностному интегралу.
Следовательно,
E.55)
Приравнивая E.55) и E.49) и требуя, чтобы это равенство вы-
выполнялось при произвольном и, получаем следующее выражение
для плотности объемных сил:
E.56)
8я 8rt
Это силы, связанные с поляризацией диэлектрика. Если жид-
жидкость заряжена, то к E.56) нужно добавить еще рСтЕ, где рСт —
плотность сторонних зарядов. Добавляя еще силу гидростатиче-
гидростатического давления —V Р, получаем окончательное выражение для
плотности объемных сил в жидком диэлектрике:
Е2 ЬРстЕ. E.57)
Наиболее простой вид формула E.56) принимает для газа. Ди-
Диэлектрическую проницаемость е газа можно разложить в ряд по
41

степеням р и ограничиться линейным членом. Тогда
Р
= 8-1.
E.58)
Подставляя E.58) в E.56), получаем плотность объемных сил
в газе:
f= («
8я
E.59)
Выражение E.59) можно получить из простых соображений.
Рассмотрим газ как среду, состоящую из отдельных атомов.
Пусть р —дипольный момент отдельного атома, возникший под
действием поля Е. Тогда энергия взаимодействия атома с полем
есть —V2 (рЕ), а действующая на него сила
Если концентрация атомов nt то плотность объемных сил
где Р=/гр — плотность дипольного момента. Учитывая, что
Р=
4л
Е,
приходим к выражению E.59).
Формула E.56) имеет также простой вид и для несжимаемой
жидкости, плотность р которой постоянна. Поэтому последнее
слагаемое в E.56) обращаются в нуль, а в первом под знаком
градиента остается лишь Е2:
E.60)
8я \ д9 ):
Основное выражение для плотности объемных сил f E.57) поз-
позволяет найти максвелловский тензор напряжений для поля в
жидком диэлектрике. Действительно, сила, действующая на ве-
вещество в объеме dV> представляет собой изменение его импуль-
импульса в единицу времени. Как указано в § 4, полный импульс, пере-
переданный объему, может быть записан через интеграл от тензора
напряжений, взятый по поверхности, окружающей этот объем.
Таким образом,
Преобразуя интеграл в правой части к объемному и используя
произвольность объема интегрирования, получаем
/,=—— . E.61)
oxk
Представим теперь выражение E.57) в виде E.61). Так как пер-
первые два слагаемых E.57) уже имеют необходимый вид, дело
42
сводится к преобразованию двух последних. Заменяя для них,
согласно уравнению Максвелла,
pCT = div(eE)/Dn),
для 1-й компоненты имеем
?2 дг | Е[ д (e?ft) д
4а dxk
dxk \ 4 л ) 4л V dxi dxk
Последнее слагаемое обращается в нуль, так как rotE=0. Поэ-
Поэтому выражение E.57) может быть записано в виде
. д
Jl дхк
ш
8я
до
/*
E.62)
Таким образом, тензор напряжений
— г —р
8л
« = — рощ —
E.63)
Последние два слагаемых в E.63), зависящие от напряженности
поля, обычно называют максвелловским тензором напряжений.
Отметим, что выражение E.63) переходит в D.44), если е=1-
§ 6. Тензор диэлектрической проницаемости
Тензорная структура диэлектрической проницаемости прояв-
проявляется во всех случаях, когда вещество обладает анизотропией.
Примером анизотропного вещества являются кристаллы. В кри-
кристаллах тензорные свойства eifc определяются свойствами сим-
симметрии кристаллической решетки. В общем случае диэлектриче-
диэлектрическая проницаемость является симметричным тензором второго
ранга. Такой тензор имеет шесть независимых компонент. Как
известно, симметричный тензор второго ранга всегда может быть
приведен к главным осям. Именно в главных осях удобно рас-
рассматривать свойства этого тензора. Обозначая главные оси х, у,
2, запишем тензор е^ в виде
0 0
XX
=l 0
0
ZZ
о о
Заметим, что шестью независимыми величинами, характери-
характеризующими тензор в главных осях, являются три диагональных
значения тензора, называемых главными значениями тензора, и
три угла, определяющие положение главных осей. При этом воз-
возможны следующие три случая;
хх
xx
~г szz
43

Первый отвечает случаю изотропного диэлектрика. Тензор
диэлектрической проницаемости здесь имеет вид
»« = «8|*- F.1)
Такой же вид Eik имеет и для кристаллов, решетка которых об-
обладает кубической симметрией. В самом деле, если оси х, у, z
направлены по кристаллографическим осям, то ясно, что они эк-
эквивалентны. При повороте на 90° они переходят друг в друга, а
в кубическом кристалле такой поворот не должен сказываться
ни на каких физических величинах. Поэтому Bxx=eyy=eZz=B'
Таким образом, в системе осей, связанных с кристаллографиче-
кристаллографическими осями кубического кристалла, е« = еб«. Так как при лю-
любом вращении единичный тензор дцг переходит сам в себя, то в
кубическом кристалле ег-л имеет такой вид в любых осях, как и в
случае изотропного тела. Это связано с тем, что тензор второго
ранга слишком «грубая» характеристика, чтобы учесть кубиче-
кубическую микроструктуру.
Рассмотрим второй случай, в котором ось z выделена, а оси
х и у эквивалентны. Подобно тому как равенство всех трех ком-
компонент тензора в предыдущем случае приводило к его эквива-
эквивалентности изотропному телу, равенство компонент в плоскости
ху эквивалентно изотропии тела в этой плоскости. Это означает,
что любые оси в плоскости ху являются главными и вращение
вокруг оси z не меняет вида тензора е«. Такие кристаллы назы-
называются одноосными. Общий вид тензора диэлектрической прони-
проницаемости таких кристаллов удобно записывать, вводя п —еди-
—единичный вектор физически выделенной главной оси z — оптиче-
оптической оси кристалла. Обозначая eZ2=ef , гхх=гуу=г±, получаем
в случае произвольно ориентированных координатных осей сле-
следующий вид тензора zik одноосных кристаллов:
x (8tt —Л/Л*). F.2)
Нетрудно видеть, что когда координатная ось z совпадает с на-
направлением оптической оси (лг=1, пх=пу=0), тензор, опреде-
определяемый выражением F.2), диагонализуется.
В третьем случае все три главных значения гхх, гуу и zzz раз-
различны. Такие кристаллы называются двухосными. Электростати-
Электростатические задачи в двухосных кристаллах удобно решать, выбирая
в качестве координатных осей главные оси тензора е^. Для при-
примера рассмотрим задачу о диэлектрическом анизотропном шаре
в однородном внешнем поле &. Используя принцип суперпози-
суперпозиции полей, можно решение этой задачи разбить на три отдель-
отдельных случая, в каждом из которых присутствует только компо-
компонента поля, направленная вдоль одной из главных осей. В каж-
каждом из этих случаев задача не отличается от задачи об изотроп-
изотропном диэлектрике с соответствующей диэлектрической проницае-
проницаемостью Ъхх, Zyy, Bzz.
Рассмотрим теперь задачу вычисления диэлектрической про-
проницаемости методами статистической физики. Эти методы поз-
44
воляют вычислять термодинамические функции системы атомов
(диэлектрика), находящейся во внешнем однородном электри-
электрическом поле ё'. Гамильтониан такой системы
F.3)
— оператор диполь-
где Но — гамильтониан системы атомов, а
иого момента системы, равный
F.4)
а
(сумма по всем заряженным частицам). Так как диэлектриче-
диэлектрическая проницаемость не зависит от поля, то & можно считать
сколь угодно малым. Это позволяет использовать для нахожде-
нахождения поправки к свободной энергии Ь&~у связанной с наличием по-
поля, термодинамическую теорию возмущений. Сформулированная
здесь задача отвечает третьей постановке задачи нахождения
электростатического поля (см. § 5). Поэтому здесь роль свобод-
свободной энергии играет &~. Этому соответствует то, что #0, а следо-
следовательно, и свободная энергия не включают в себя энергию поля
при отсутствии системы атомов. Таким образом,
¦ Ю гEъ « У^шОм
где i^ — среднее значение оператора дипольного момента, а^ —
тензор поляризуемости диэлектрика — системы атомов. Видно,
что вычисление методами статистической физики поправки Ъ&~ к
свободной энергии позволяет вычислить тензор поляризуемости
пгь- Однако щи зависит не только от диэлектрической проницае-
проницаемости вещества, но и от формы диэлектрика. Поэтому для рас-
расчета должна быть выбрана такая форма диэлектрика, для кото-
которой вид тензора поляризуемости известен. Наиболее простым
случаем является изотропная пластинка конечной толщины.
В том случае, когда напряженность электрического поля перпен-
перпендикулярна плоскости пластинки, интересующая нас компонента
тензора а« равна (е— 1)/Dяе), так что
8л в
Если напряженность электрического поля параллельна плоско-
плоскости пластинки, то соответствующая компонента сх,& равна
<е—1)/Dя), откуда
F.7)
Если е мало отличается от единицы, то обе формулы F.6) и
F.7) принимают более простой вид:
8,Г=_у21Л^2. F.8)
Формулу F.8) можно непосредственно получить из F.5), учиты-
учитывая, что a,ib=7cdik для малых к. Более того, такой вывод позво-
45

ляет обобщить формулу F.8) на случай анизотропных сред. Ес-
Если компоненты тензора xik достаточно малы (а^ = х^), то
Существенно, что соотношение aik=Xik справедливо для тела
любой формы. Поэтому можно использовать формулу F.9) или
F.8) для вычисления тензора диэлектрической восприимчивости
4tik, не заботясь о выборе формы тела.
Для примера вычислим диэлектрическую проницаемость раз-
разреженного газа атомов и молекул. Предположим, что среднее
расстояние между частицами достаточно велико, так что их
взаимодействием друг с другом можно пренебречь. Это позволя-
позволяет выразить термодинамические функции системы через харак-
характеристики отдельной частицы. Физически очевидно, что сформу-
сформулированное выше требование к плотности газа обеспечивает ма-
малость диэлектрической восприимчивости х, что позволяет вос-
воспользоваться формулой F.8).
Как известно, для системы N невзаимодействующих частиц
статистическая сумма Z выражается через статистическую сум-
сумму отдельной частицы z следующим образом:
Z=z"/NU F.10)
а свободная энергия
F.11)
N
Для вычисления статистической суммы z необходимо знать уров-
уровни энергии отдельной частицы, т. е. собственные значения га-
мильтониана На, соответствующего а-я частице:
где
V*=-Pa$l F.12)
[индекс а (номер частицы) в дальнейшем опущен]. Предполо-
Предположим, что известны уровни энергии невозмущенного гамильтониа-
гамильтониана отдельной частицы, которые обозначим Wn. Величину —Г .In 2
б F.11) можно рассматривать как свободную энергию отдельной
частицы и применить для ее вычисления термодинамическую тео-
теорию возмущений:
¦О пфт
\ Х^
n
27>0
V
n
11
n
F.13
46
где z0 — статистическая сумма отдельной частицы при <§Г=0.
Поскольку при <э=0 диэлектрик не поляризован, среднее ста-
статистическое значение дипольного момента равно нулю:
Следовательно, поправка к свободной энергии
П
где 9r^ = — NT In (его/N). Подставляя в F.14) явный вид опера-
оператора взаимодействия F.12), получаем
/® к
'О пфт
- exp (-W
F.15)
п
Сравнивая F.15) с F.9), находим выражение для тензора ди-
диэлектрической восприимчивости Хг?. Следует иметь в виду, что
газ является изотропной средой, а потому
*« = «»«. F.16)
В результате
1
где p—N/V—плотность газа, а по i проводится суммирование
от 1 до 3. Выражение F.17) может быть упрощено в двух пре-
предельных случаях: AW^>Tt AW<^T, где AW — разность энергети-
энергетических уровней отдельной частицы (атома или молекулы). Усло-
Условие AW^>T (при комнатных температурах) всегда выполняется
для атомов, а для молекул — в том случае, когда они не имеют
дипольного момента в системе отсчета, связанной с осями моле-
молекулы. В этом случае отличны от нуля матричные элементы для
переходов между различными электронными термами. Расстоя-
Расстояние между ними порядка нескольких электронвольт, так что усло-
условие AW^$>T выполнено вплоть до достаточно высоких темпера-
температур. Такая ситуация возможна для всех одноатомных газов, га-
газа двухатомных молекул, состоящих из одинаковых атомов, а
47

также для газов СОг, С#4 и т. д. В этом предельном случае в
выражении F.17) достаточно сохранить те члены, в которых ин-
индекс п или т относится к основному состоянию (/2 = 0 или т=
= 0), полагая все остальные экспоненты равными нулю (энергия
основного состояния принята за нуль). Среднее значение диполь
ного момента в основном состоянии равно нулю [(Pi)оо = "л
Поэтому возможны всего два случая: я=0, тФО и т=0,
Таким образом, восприимчивость
и=ра- F.18)
Здесь
а =
2
(PiHm(Pi)m0
W
F.19)
т
— поляризуемость отдельной частицы, определяемая соотноше-
соотношением <р> = а^, где <р> —средний дипольный момент частицы,
возникающий под действием поля & (квазиупругий диполь). По-
Поляризуемость а находится квантово-механическим расчетом.
Для этого достаточно найти сдвиг уровня &W в электрическом
поле (Штарк-эффект) и воспользоваться формулой <р*> =
= —dAW/d&i. Для атома водорода, например,
_ 9 / Ш \з
а~ 2 [те* I
Перейдем теперь к другому предельному случаю: Д<
При нормальных температурах это условие выполняется для мо-
молекул, имеющих дипольный момент в системе координат, свя-
связанной с осями молекулы. К этому классу веществ относятся га-
газы из полярных молекул: SO2, H2S, NH3, пары воды и т. д. Для
таких молекул могут быть отличны от нуля средние значения ди-
польного момента в состояниях с заданными ротационными
квантовыми числами и матричные элементы для переходов меж-
между различными ротационными состояниями. Разность энергий
ротационных уровней очень мала и отвечает частотам оз=
= AWBp/ht лежащим в далекой инфракрасной области спектра.
Соответствующая характеристическая температура для враще-
вращения у большинства молекул порядка нескольких десятков кель-
вин. Считая условие AW= Wn— Wm<^T выполненным, преобра-
преобразуем выражение [exp(-Wm/T)— exp(—Wn/T)]/(Wn—WM) к ви-
ДУ
-exp \-{Wn - Wm)jT]} exp(-WJT)/(Wn- Wm) ^
, F.20)
F.21)
Подставляя F.20) в F.17), получаем
Сумма по п в F.21) представляет собой статистическое среднее
от квадрата дипольного момента отдельной частицы —рД Так
как значение дипольного момента молекулы слабо зависит от ее
вращения, то р*2 практически не зависит от температуры. Поэто-
Поэтому в отличие от газа неполярных молекул в газе полярных мо-
молекул диэлектрическая восприимчивость обратно пропорциональ-
пропорциональна температуре (х~1/П- Следует иметь в виду, что по смыслу
вывода формула F.21) справедлива для не слишком низких тем-
температур.
Проведем оценку полученных величин х, определяемых фор-
формулами F.18) и F.21). Видно, что х представляет собой произ-
произведение плотности газа на величину порядка среднего квадрата
дипольного момента, деленное в одном случае на энергию воз-
возбуждения, а в другом — на Т. По порядку величины <Р2>~ (еаJТ
W~e2/ay где a=h2/(me2) —радиус боровской орбиты. Следова-
Следовательно, х~ра3 в первом случае и х~ра3е2/(аТ) —во втором.
Сделанные выше расчеты показывают, что для разреженных
газов х>0. Этот результат не случаен. На самом деле неравен-
неравенство х>0 справедливо для всех веществ. Физически условие^хХ)
означает, что возникающий под действием поля дипольный мо-
момент Р направлен вдоль линий напряженности. Действительно,
положительные заряды в веществе смещаются вдоль линий на-
напряженности, отрицательные — против, так что Р=2еага оказы-
а
вается параллельным Е. Это можно доказать строго формально,
применив термодинамическую теорию возмущений ко всей систе-
системе в целом. Для анизотропного диэлектрика неравенство х>0
превращается в три неравенства: кхх>0, куу>0, xzz>0, где кХХу
хуу, Xzz — главные значения тензора щь-
В заключение параграфа обратим внимание на следующее
обстоятельство. Обычно вычисляемая статистическая сумма за-
зависит от объема тела, но не от его формы. Если бы это свойство
сохранялось и в присутствии внешнего электрического поля, то
в формуле F.5) левая часть Ь&~ не зависела бы от формы тела,
между тем как правая часть различна для тел разной формы.
Разрешение этого парадокса состоит в том, что, когда вещество
находится в электрическом поле, статистическая сумма действи-
действительно зависит от формы тела. В самом деле, при вычислении
статистической суммы всей системы необходимо учитывать эле-
электрическое взаимодействие отдельных ее частей. Во внешнем
электрическом поле в результате поляризации эти части приоб-
приобретают дипольный момент, так что их взаимодействие есть ди-
поль-дипольное взаимодействие, спадающее по закону R~3. При
усреднении такого выражения возникает расходимость, связан-
связанная с большими расстояниями, которая устраняется учетом гра-
границ тела. В результате среднее электрическое взаимодействие
отдельных частей тела будет зависеть от его формы.
Отметим, что методы статистической физики позволяют нахо-
находить электрические свойства вещества и в тех случаях, когда
связь между D и Е не является линейной.
49

§ 7. Постоянное магнитное поле. Коэффициенты
самоиндукции и взаимной индукции проводников.
Термодинамика магнетиков. Оценка
магнитной восприимчивости
Рассмотрим систему, состоящую из проводников и диэлектри-
диэлектриков. Пусть сторонние токи и заряды отсутствуют, а по проводни-
проводникам течет ток проводимости, плотность j которого не зависит от
времени. Тогда получается стационарная картина. В дальнейшем
пас будет интересовать только магнитное поле и оказываемое им
влияние на магнетики — проводники и диэлектрики. При такой
постановке задачи плотность тока j, создаваемого некоторыми
источниками (аккумуляторы, электрические батареи и т. п.),
предполагается известной и постоянной. Так как для поддержа-
поддержания стационарного состояния необходимо присутствие внешних
источников, то система (магнетики + магнитное поле) не явля-
является замкнутой. Такая постановка задачи в какой-то степени
аналогична той постановке задачи электростатики, когда посто-
постоянными считались потенциалы проводников.
Таким образом, необходимо определить характеристики Н и
В магнитного поля из уравнений
rotH= — j, G.1)
с
divB=0, G.2)
к которым добавлено уравнение связи
G.3)
Уравнение связи G.3) записано для изотропной неферромагнит-
неферромагнитной и несверхпроводящей среды. Предположим, что диэлектри-
диэлектрики и проводники кусочно-однородны. Поэтому уравнения G.1) —
G.3) будем рассматривать по отдельности в каждой из областей
пространства, где
ji. = const, G.4)
а на границе раздела будем проводить сшивание решений, ис-
используя граничные условия A.37) и A.38). Обычно плотность
поверхностных токов равна нулю и условие A.37) дает
Ни=Н2*. G.5)
Удобно от системы уравнений G.1), G.2) перейти к уравнению
для векторного потенциала А, который вводится соотношением
B = rotA. v G.6)
Ясно, что соотношение G.6) определяет векторный потенциал не
однозначно, а лишь с точностью до градиента произвольной
функции /(г), так как rot grad/:=0. Это позволяет наложить на
А дополнительное условие, называемое калибровкой потенциала.
50
В дальнейшем будем считать, что потенциал удовлетворяет ус-
условию
divA = 0. G.7)
Такая калибровка называется кулоновской. Даже с учетом ус-
условия G.7) потенциал определен с точностью до произвольной
постоянной. Ее мы определим, требуя, чтобы потенциал обра-
обращался в нуль на бесконечности [см. замечание к условию
D.9)]. При подстановке G.6) в G.2) это уравнение превраща-
превращается в тождество. Подстановка G.6) в G.1) с учетом G.3), G.4)
и G.7) дает
i. G.8)
Это векторное уравнение эквивалентно трем скалярным для ком-
компонент вектора А в декартовых координатах:
= x, у, z).
G.9)
На границах раздела сред векторный потенциал должен удов-
удовлетворять граничным условиям, которые вытекают из G.5)
[или A.37)] и A.38). Из условия A.38) с учетом того, что ин-
индукция В конечна на границе раздела, вытекает непрерывность
тангенциальных компонент вектора А. Из G.5) следует равен-
равенство тангенциальных компонент вектора rot А/ц,.
При произвольной форме граничных поверхностей получен-
полученные уравнения для вектора А достаточно сложны для решения.
Ниже рассмотрен ряд случаев, допускающих дальнейшее упро-
упрощение этих уравнений.
Рассмотрим однородную (следовательно, и бесконечную) в
одном направлении среду, например линейный проводник с то-
током в однородном веществе. Направим ось z по этому физически
выделенному направлению. Обозначая к единичный вектор по
оси 2, представим плотность тока j в виде
j(r)=ky(*. у\ G.10)
где скалярная функция j не зависит от z из-за однородности сре-
среды в этом направлении. Как следует из уравнений G.8), G.9),
векторный потенциал в этом случае можно искать в виде
А(т)=кА(х, у). G.11)
При этом условие G.7) выполняется тождественно, а для опре-
определения скалярной функции А (х, у) получаем уравнение
LA(x9 y)=-?2Lj{x, у). G.12)
с
Условия G.5) и A.38) приводят к непрерывности функций
А(х, у) и (дА/дп)/\л. Подставляя G.11) в G.6), получаем
B=[gra<M, k]. G.13)
51

т
Из G.13) следует, что вектор В лежит в плоскости х, у.
Если распределение плотности тока симметрично относитель-
относительно оси г, т. е. / зависит только от г = \^х2-\-у2 (расстояния от оси
z), функция А также зависит только от г. Поэтому вектор В в
данной точке г направлен по касательной к окружности радиуса
г. Таким образом, линии напряженности магнитного поля пред-
представляют собой окружности. Если ввести цилиндрические коор-
координаты г, z и ф, то функция Н(г), например, может быть записа-
записана в виде
Н(г)=е,Я(г), G.14)
где еф — единичный вектор, соответствующий координате ср. Ска-
Скалярную функцию Н(г) проще всего определить непосредственно
из уравнения G.1). Действительно, проинтегрируем обе части
этого уравнения по поверхности, натянутой на окружность ра-
радиуса г. Обозначая полный ток, протекающий через эту поверх-
поверхность,
и используя теорему Стокса
f rotHdS=(J5Hdlf
с учетом G.14), получаем
H(r)=2I(r)/(cr).
Исходные уравнения допускают существенные упрощения, ес-
если можно пренебречь магнитными свойствами среды, т. е. везде
считать ц=1. Тогда для векторного потенциала не нужно ста-
ставить никаких граничных условий, кроме требования стремления
его к нулю на достаточно больших расстояниях от системы то-
токов. Удовлетворяющее этому требованию решение уравнения
G.8) имеет вид
4Щг- G-15)
Взяв ротор от этого выражения, получаем
[] (г'), (г-г')]
B(r)= H(r)=-y Cell/'
G.16)
г —г'|3
Предположим, что мы интересуемся распределением поля
только в области вне проводников, а сами проводники достаточ-
достаточно тонкие, так что направление тока в данной точке совпадает с
направлением dl —элемента длины проводника. Такую систему
принято называть системой линейных токов. Тогда, выполняя
интегрирование по поперечному сечению проводников в G.15) и
G.16), получаем
G.17)
G.18)
с
а
С dlfl
J |г-гЛ| f
Г [dlfl.C —-
J |г - гЛ|
где 1а — полный ток, протекающий по а-му проводнику. Выра-
Выражение G.18) представляет собой закон Био — Савара. Соотно-
Соотношения G.17) и G.18) формально получаются из G.15) и G.16)
заменой:
jdV^/dl. G.19)
Для системы линейных токов ответ можно написать также и
в том случае, когда окружающая среда имеет некоторое посто-
постоянное значение магнитной проницаемости \х. Тогда опять ника-
никаких поверхностей раздела нет, так как проводники в этом приб-
приближении есть просто особые линии для поля. В результате име-
имеем
G.20)
,G.21)
I Г - Та I '
[dlflt (г-гд)]
I Г - Та | 3
Таким образом, наличие \i изменяет индукцию в \i раз по срав-
сравнению со случаем, когда |i=l, тогда как напряженность Н при
этом не меняется.
Рассмотрим теперь магнитное поле на достаточно больших
расстояниях от области, занятой токами. Тогда, если L — харак-
характерный размер системы, то, например, выражение G.15) можно
разложить в ряд по параметру L/r<cl и ограничиться первым
неисчезающим приближением:
ij[i (P -] • G.22)
Покажем, что
jdKJ(r)=O.
G.23)
Для этого интеграл умножим скалярно на произвольный посто-
постоянный вектор с. Внося с под знак интеграла и используя тожде-
тождество c=V(c, г), имеем
(с, j)=(j, v(c, r))=div(j(c, r))-(c, r)divj.
Так как в стационарном случае divj=O, то по теореме Гаусса
интеграл сводится к поверхностному, который равен нулю вслед-
вследствие того, что токи сосредоточены в ограниченной области про-
пространства— /n|s=0. Поскольку вектор с произволен, из полу-
полученного результата следует G.23). Итак, с учетом G.23) имеем
А(г)=
dK'J(«")(r, г'),
или
cr*
а
52
G.24)
G.25)
53

Преобразуем выражения G.24), G.25) так, чтобы векторный по-
потенциал выражался через магнитный момент распределения то-
токов:
, j].
G.26)
Для этого покажем, что
f d V jkxt = - fd Vjtxh. G.27)
Рассмотрим следующий тождественно равный нулю интеграл:
div j = 0. G.28)
(в стационарном случае divj = O). Подынтегральное выражение
в G.28) представим в виде
xixkdiv'i = div(xlxk}) — (xijk + xkji). G.29)
Проинтегрируем G.29) по объему системы. Интеграл от первого
слагаемого в правой части G.29) преобразуем в поверхностный,
который равен нулю, так как /n|s = 0 (ток не выходит из систе-
системы). Таким образом,
7. е. соотношение G.27) доказано. С учетом G.27) выражение
G.25) можно записать следующим образом:
G.30)
В векторной записи G.30) имеет вид
А(г)=-
2с гз
Г, U7'[r',j(r')]
или, вводя полный магнитный момент Ж системы по G.26), по-
лучаем
А(г) = [Ж т\1г\ G.31)
Вычисление магнитного момента М для произвольной системы
токов представляет собой сложную задачу. Простой результат
получается для плоского замкнутого линейного тока:
G.32)
Как видно из G.32), вектор Ж направлен перпендикулярно плос-
плоскости витка с током, а по модулю равен
M = IS\c, G.33)
где 5 — площадь части плоскости, охваченная витком.
54
Рассмотрим более подробно систему линейных токов, сосре-
сосредоточенных в ограниченной области. При такой постановке за-
задачи все линейные токи представляют собой замкнутые витки.
Подобно тому, как в электростатике проводник характеризовал-
характеризовался своим потенциалом <ра или зарядом еа, здесь важной характе-
характеристикой витка является не только ток 1а, но и магнитный по-
поток через контур витка
¦e= fBdSe=(fiAdle.
G.34)
Подставляя G.17) в G.34), видим, что Фа и 1а связаны между
собой линейно:
Ф * У, г „[„, G.35)
где Lab(a=?b) —взаимная индуктивность, Laa — индуктивность
проводников:
Вводя матрицу (L~l)abt обратную ЬаьУ можно переписать форму-
формулу G.35) в виде
Л)аъФъ- G.36)
Коэффициенты Lab зависят от геометрии системы: формы, раз-
размеров и взаимного расположения проводников. Если простран-
пространство между проводниками заполнено однородным магнетиком с
магнитной проницаемостью ц, то, используя вместо G.17) выра-
выражение G.20), получаем
Прежде чем изучать термодинамику магнетиков, рассмотрим
энергетические соотношения для системы токов в вакууме, т. е.
будем считать ц=1. Тогда выражение C.6) для энергии маг-
магнитного поля принимает вид
W=
8л
G.38)
Вводя векторный потенциал H=rotA и используя уравнение
G.1), преобразуем формулу G.38):
G.39)
^—f dl/jA,
2с J
где интегрирование проводится уже только по объему проводни-
проводников, так как вне их j = 0. Предположим сначала, что имеется си-
система линейных токов. Тогда в G.39) можно провести интегри-
55

рование по поперечному сечению проводников. В результате, ис-
используя G.34), получаем
w=
j
7.Ф..
G.40)
Выражение G.40) можно преобразовать так, чтобы энергия вы-
выражалась только через токи 1а или через магнитные потоки фа-
Для этого нужно воспользоваться соотношениями G.35) или
G.36). Имеем
*
а* Ь*
G.41)
а, Ь
или
1 "^1
G.42)
д, Ь
Эти формулы аналогичны выражениям D.33), D.34).
Обсудим теперь, какое отношение имеют полученные выраже-
выражения к термодинамическим соотношениям. При этом нужно отве-
ответить на ряд вопросов. Во-первых, какова та замкнутая система,
энергия которой дается формулами G.41), G.42), во-вторых, ка-
какие параметры являются внешними, а какие —внутренними,
в-третьих, какой вид имеет выражение для работы, производи-
производимой над системой, и как записать основные термодинамические
соотношения.
Перейдем к выяснению вопроса о системе, энергия которой
дается выражением G.38), полученным из уравнений Максвел-
Максвелла. Эти уравнения представляют собой «уравнения движения»
электромагнитного поля, а теорема Пойнтинга дает интеграл
энергии для переменных поля. Из вывода следует, что выраже-
выражение G.38) будет интегралом движения, т. е. сохраняющейся ве-
величиной, если только обращается в нуль интеграл
jdVjE. G.43)
В общем случае он определяет уменьшение энергии электромаг-
электромагнитного поля. При протекании тока по обычным проводникам это
уменьшение связано с выделением джоулевой теплоты. Расход
энергии электромагнитного поля компенсируется при этом за
счет источников: электрических батарей, аккумуляторов и т. п.
Таким образом, при протекании тока по проводникам в качестве
замкнутой системы рассматривается не только магнитное поле,
но и его источники. Энергия такой системы получается добавле-
добавлением к G.38) той переменной части энергии этих источников, ко-
которая идет на поддержание постоянства токов (аналогично пер-
первой постановке задачи электростатики проводников; см. § 4).
Положение существенно меняется при движении зарядов без со-
сопротивления. Такой системой являются сверхпроводники. Еще
56
более простой системой являются заряды, движущиеся в магнит-
магнитном поле в вакууме. При этом выделения джоулевой теплоты
нет, т. е. протекание тока не сопровождается диссипацией энергии.
Это означает, что интеграл G.43) равен нулю. Итак, мы прихо-
приходим к выводу, что системой, энергия которой дается выражением
G.38), является магнитное поле плюс совокупность зарядов, дви-
движущихся без сопротивления.
Перейдем к рассмотрению вопроса о внешних и внутренних
параметрах. Выражения G.41) и G.42) содержат параметры 1а
и Фа. Они связаны между собой соотношениями G.35) или
G.36). Эти соотношения имеют смысл уравнения состояния. Ка-
Какие же из этих параметров нужно считать внешними, а какие —
внутренними? При заданном расположении и форме проводни-
проводников связь между 1а и Фа однозначна, поэтому ответ на вопрос яв-
является условным. Он приобретает более определенный физиче-
физический смысл, если допускается возможность изменения геометрии
системы. Одной из причин этого изменения может быть измене-
изменение температуры. При таких изменениях в системе могут проте-
протекать различные квазистатические процессы, в которых соверша-
совершается работа и происходит поглощение (или выделение) теплоты.
Для расчета этих величин как раз и необходимо разделение па-
параметров на внешние и внутренние. Еще большее значение такое
разделение имеет для неквазистатических процессов. В этих про-
процессах связь между внутренними и внешними параметрами от-
отсутствует и эволюция замкнутой системы может совершаться
так, что внешние параметры при этом остаются постоянными.
Именно это обстоятельство и позволяет определить внешние па-
параметры системы. Для этого обратимся к простейшему случаю —
движению заряда в однородном магнитном поле, когда его про-
продольная скорость равна нулю. Как известно, траектория такого
заряда — окружность. Движение заряда можно рассматривать
в среднем как виток линейного тока. Сила тока витка выража-
выражается через различные характеристики движения заряда:
G.44)
где е —заряд, г —радиус окружности, (д=еН/(тс)—частота
вращения заряда по окружности, и=га. Магнитный поток сквозь
поверхность, охваченную витком, равен
лс
При медленном изменении напряженности магнитного поля или
при смещении витка в квазиоднородном поле полный ток в вит-
витке, как следует из G.44), изменяется. Меняются также скорость
заряда, радиус окружности и т. д. Существует, однако, комби-
комбинация этих величин, меняющаяся гораздо медленнее их самих.
Такой комбинацией является адиабатический инвариант. Срав-
Сравнение G.45) с выражением для адиабатического инварианта по-
показывает, что магнитный поток отличается от адиабатического
57

инварианта лишь на постоянный множитель 2лс/е. Следователь-
Следовательно, в данном случае практически постоянной величиной при мед-
медленном изменении внешних условий является магнитный поток.
Итак, для системы, определяемой выражениями для энергии
G.41) или G.42), внешними параметрами являются магнитные
потоки Фа.
Знание энергии и внешних параметров системы позволяет
найти выражение для работы и обобщенные силы. Дифференци-
Дифференцируя G.42) по Фа, находим
г
дФ
* т
/ f
2
а О
1
С
G.46)
G.47)
Таким образом, обобщенная сила, соответствующая магнитному
потоку Фа, пропорциональна полному току, протекающему в
данном контуре. Сравнивая формулы G.46) и G.47) с соответ-
соответствующими формулами электростатики проводников, мы видим,
что в термодинамическом смысле магнитные потоки аналогичны
зарядам проводников, а токи — потенциалам:
Фа^Иеа, Ia!c~Z-<?a- G.48)
Полезно отметить и определенную разницу между этими случая-
случаями. В электростатике заряды изолированных проводников явля-
являются строго сохраняющимися величинами. В случае изолирован-
изолированных токов магнитные потоки фа есть адиабатические инвариан-
инварианты, т. е. величины, приближенно сохраняющиеся при достаточно
медленном изменении параметров.
В ряде задач в качестве внешних параметров удобно выби-
выбирать токи 1а. Поэтому получим выражения для энергии и рабо-
работы, в которых в качестве внешних параметров выбраны токи.
Это можно сделать, переходя от величины W к W, определяемой
равенством
V
а
G.49)
Дифференцируя W по 1а, получаем
G.50)
где W — энергия системы токов при наличии диссипации энергии
в проводниках. Так же как и в случае электростатики, У/ вклю-
включает в себя переменную часть энергии источников. Подставляя
в G.49) выражение G.40), получаем
G.51)
58
Обобщим сделанный нами вывод на случай, когда токи нельзя
считать линейными. Тогда для энергии W надо сохранить выра-
выражение G.38) или G.39). Замкнутая система, для которой это вы-
выражение является энергией, есть, разумеется, по-прежнему маг-
магнитное поле плюс совокупность зарядов, движущихся без сопро-
сопротивления. Для определения внешних параметров, характеризую-
характеризующих эту систему, удобно рассмотреть дифференциал bW [см.
G.47)]. Совершая в этом выражении обратный переход от ли-
линейных токов к объемным с использованием соотношения G.34),
получаем
=— f
G.52)
Следовательно, роль внешнего параметра в случае объемных то-
токов играет векторный потенциал А. Величина W может быть по-
получена непосредственно из соотношения G.51):
G.53)
G.50),
=—\- f dl/jA.
2с J
Для дифференциала
следующее выражение:
нетрудно получить, используя
G.54)
Таким образом, объемные токи аналогичны потенциалам в эле-
электростатике проводников, а векторный потенциал — зарядам.
Рассмотрим теперь термодинамические соотношения для маг-
магнетиков, находящихся в постоянном магнитном поле. В присут-
присутствии магнетиков необходимо различать характеристики магнит-
магнитного поля Н и В. Эти величины связаны между собой соотноше-
соотношением A.28). Намагниченность М определяется состоянием сре-
среды и поэтому является естественным внутренним параметром.
В зависимости от внешних условий одна из величин Н или В мо-
может быть выбрана в качестве внешнего параметра, тогда другая
будет внутренним параметром. В состоянии термодинамическо-
термодинамического равновесия магнетика напряженность Н и индукция В связа-
связаны, например, соотношением G.3), которое следует рассматри-
рассматривать как уравнение состояния системы.
Выше были введены две различные энергии системы: W и W.
В присутствии магнетиков эти выражения видоизменяются из-за
того, что теперь нужно различать величины В и Н и, кроме то-
того, к ним нужно добавить еще внутреннюю энергию магнетика
при отсутствии магнитного поля. Поэтому вместо W и W имеем
следующие выражения для внутренней энергии системы:
G.55)
= Un- AV
В Н
8л
G.56)
59

где Uq — внутренняя энергия магнетика при отсутствии поля.
Энергия U системы является термодинамическим потенциалом
при выборе в качестве внешнего параметра векторного потен-
потенциала. В магнетике потенциал А однозначно связан с индукци-
индукцией В [см. G.6)]. Следовательно, внутренняя энергия U являет-
является термодинамическим потенциалом по отношению к индукции
В. Вводя свободную энергию #"(В) (другие аргументы не пи-
пишем), имеем, используя G.3),
j|i, G.57)
откуда
I
AV
HSB
4я
G.58)
Дифференциальные соотношения типа G.58) могут быть полу-
получены без использования соотношения G.3), а поэтому остаются
справедливыми и в неравновесных процессах, когда В и Н неза-
независимы. Что касается величины О, то она является термодина-
термодинамическим потенциалом при выборе в качестве внешнего пара-
параметра плотности тока j или напряженности Н, так как j и Н од-
однозначно связаны уравнением G.1). Поэтому для свободной
энергии получаем
#>(H)=f0-
откуда
=-587-/781/-
BSH
4л
G.59)
G.60)
Рассмотрим теперь магнетик, находящийся во внешнем ква-
квазиоднородном поле Ж. Физически такую ситуацию можно пред-
представить следующим образом. Допустим, что в некоторой ограни-
ограниченной области пространства имеется система токов, создающая
в окружающем пустом пространстве поле Ж. Плотности токов
предполагаем заданными. В это поле вносится магнетик, разме-
размеры которого настолько малы, что поле Ж в области, занимаемой
магнетиком, можно считать почти однородным и пренебречь об-
обратным влиянием магнетика на распределение токов в системе.
Определим свободную энергию 9ГB$) как разность между сво-
свободной энергией системы в присутствии магнетика #~(Н) и сво-
свободной энергией при отсутствии магнетика:
=—S871—л8У —
BftH
4л1
4л
G-61)
где В и Н — индукция и напряженность магнитного поля в при-
присутствии магнетика. Преобразуем выражение G.61) так, чтобы
в него входила только вариация ЬЖ внешнего параметра. Для
60
этого используем два равенства
f
доказательство которых основано на том, что поля Н и Ж соз-
создаются одним и тем же распределением токов. В результате по-
получим
8К7" О2"Т^ «ЙТ/ \ Л 1/ АЛ X '20 I / гкV 1
7* :— — oOi — /701/ — 1 L1 К JV1 О ^Ь? , ' V ' *v*i _J
где М —плотность магнитного момента магнетика. Интегриро-
Интегрирование в этой формуле проводится только по области магнетика,
так как вне ее М=0. Учитывая квазиоднородность поля Ж, на-
находим
=— siT—pbv—Ji ь
G.63)
где
— полный магнитный момент тела. Он зависит от магнитной
проницаемости и формы магнетика. В общем случае задача вы-
вычисления Ж является достаточно сложной. Положение упроща-
упрощается, когда |х| «Cl. Тогда присутствие магнетика мало искажа-
искажает поле, т. е. в первом приближении Н&Ж; следовательно,
где V — объем магнетика. Поэтому из G.63) получим
l"=fo— Vx^2/2. G.64)
Оценим величину магнитной проницаемости магнетиков. Изло-
Изложенная в § 6 термодинамическая теория возмущений может быть
применена и для вычисления магнитной проницаемости среды.
Важное отличие постоянного магнитного поля от постоянного
электрического заключается в том, что гамильтониан взаимодей-
взаимодействия заряженной частицы с магнитным полем содержит не
только линейные по характеристикам поля слагаемые, но и квад-
квадратичные:
V= ?_pA--^-SH-l — А2, G.65)
me me 2mc2
где А — векторный потенциал, е — заряд, m — масса, S — спин
частицы. Квадратичные по характеристикам поля слагаемые да-
дают вклад в энергию уже в первом порядке теории возмущений,
и этот вклад положителен. Линейные же, как и в случае посто-
постоянного электрического поля, дают вклад во втором порядке тео-
теории возмущений, и их вклад отрицателен. Поэтому в отличие от
диэлектриков, где восприимчивость % всегда положительна, маг-
магнитная восприимчивость х может быть как положительной, так
и отрицательной. Если вклад от линейных по характеристикам
61

боля слагаемых больше, чем от квадратичных, то х>0. Такие
магнетики называются парамагнетиками. В противоположном
случае, %<0, они называются диамагнетиками.
В отличие от диэлектриков, где к бывает значительно боль-
больше единицы (например, вода), у магнетиков магнитная воспри-
восприимчивость всегда мала: |х|<^1 (здесь не рассматриваются фер-
ферромагнетики и сверхпроводники). Эта малость связана с тем,
что мы живем в нерелятивистском мире, т. е. скорости движения
частиц в телах малы (v<^c). Поэтому при равных напряженно-
стях электрического и магнитного полей сила, действующая на
заряд со стороны магнитного поля е\у, Н]/с, в c/v раз мень-
меньше силы еЕ, действующей на заряд со стороны электриче-
электрического поля. Характерные скорости движения электронов в те-
телах по порядку величины равны v~e2/h, т. е. v/c~ 1/137. Сле-
Следовательно, изменение движения частиц под действием магнит-
магнитного поля значительно слабее, чем под действием электрическо-
электрического. Под действием магнитного поля возникает магнитный мо-
момент \х~~оеЬГъ/с, где дгн— изменение координаты под действием
поля Н. Это изменение пропорционально действующей со сторо-
стороны магнитного поля силе, т. е. brn~vH/c. Таким образом, маг-
магнитная восприимчивость имеет порядок величины %
{
Рассмотрим для примера одноатомный идеальный газ. Обо-
Обозначим J, L, S полный момент, полный орбитальный и полный
спиновый моменты атома соответственно. Разберем следующие
случаи.
1. /=L=S=0. Этот случай соответствует инертным газам.
Здесь все матричные элементы от линейных по полю слагаемых
оператора V G.65) равны нулю. Поэтому вклад в магнитную
восприимчивость дает только квадратичное по характеристикам
магнитного поля слагаемое ~А2 и, следовательно, х<0, т. е.
инертные газы являются диамагнетиками.
2. /=0, L=S#0. В этом случае в магнитную восприимчи-
восприимчивость вносят вклад слагаемые обоих типов, но вклад линейных
по характеристикам поля слагаемых больше. Это связано с тем,
что во второе приближение теории возмущений от линейных по
характеристикам поля слагаемых вносят вклад переходы между
уровнями тонкой структуры, расстояние между которыми мало.
Таким образом, здесь %>0— это парамагнетики.
3. 1ФО. Если при этом фактор Ланде отличен от нуля, то у
атома и в отсутствие поля имеется магнитный момент, пропор-
пропорциональный /. Однако так как при этом направления магнитных
моментов отдельных атомов распределены хаотично, то при Н=
= 0 магнитный момент всей системы равен нулю. При наложе-
наложении поля магнитные моменты отдельных атомов начинают ориен-
ориентироваться преимущественно по линиям напряженности поля.
Таким образом, в этом случае х>0 — среда парамагнитна. Од-
Однако если в первых двух случаях % не зависит от температуры,
то здесь % существенно зависит от нее. Эта зависимость возни-
кает от того, что числа атомов с магнитными моментами, на-
направленными по и против поля, отличаются друг от друга больц-
мановскими множителями ехр(±\хН/Т), где \х — магнитный мо-
момент отдельного атома. Если, например, |л#/Г<^1, то %~
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ДИЭЛЕКТРИКАХ
И МАГНЕТИКАХ
§ 8. Пироэлектричество. Сегнетоэлектрики
До сих пор рассматривались диэлектрики, у которых плот-
плотность дипольного момента Р пропорциональна напряженности
поля Е. Рассмотрим теперь класс веществ, которые и в отсутст-
отсутствие внешнего электрического поля могут обладать отличной от
нуля плотностью дипольного момента Ро (спонтанная поляри-
поляризация):
/*?"*. (8-1)
/*?"*. (8-2>
где
О0=4лР0. (8.3)
Такие вещества называются пироэлектрическими. Примером пи-
роэлектрика может служить сульфат лития. Величина Ро зависит
от свойств и термодинамического состояния пироэлектрика.
Сформулируем электростатическую задачу об определении
напряженности поля, создаваемого пироэлектрическим телом,
находящимся в вакууме. Предположим, что пироэлектрик зани-
занимает замкнутую область пространства, причем спонтанная по-
поляризация однородна:
P0=const. (8.4)
Задача сводится к нахождению напряженности поля внутри и
вне этого тела из уравнений электростатики:
rotE=0, (8.5)
divD = 0, (8.6)
причем D и Е связаны между собой соотношением (8.2) внутри
тела и соотношением
D^E (8.7)
вне тела. Обозначая Е^ и Е<е) напряженности поля внутри и вне
тела, запишем граничные условия:
'=Е/ |s, (8.8)

Е<'> -v О
(8.9)
(8.10)
(n — единичный вектор внешней нормали тела). Граничные ус-
условия отличаются от граничных условий для обычных диэлектри-
диэлектриков наличием дополнительного слагаемого Don\s в (8.9). Оно
соответствует поверхностным зарядам, возникающим на грани-
границе пироэлектрика вследствие спонтанной поляризации.
Покажем, что сформулированная выше задача может быть
сведена к задаче о диэлектрике, находящемся в некотором
внешнем электрическом поле <В (третья постановка задачи элек-
электростатики диэлектриков). Для этого введем новые поля Ei^ и
Ei<e> равенствами
(8.11)
(8.12)
где <§ — напряженность некоторого однородного поля. Выберем
<8 так, чтобы граничные условия имели такой же вид, как и для
обычного диэлектрика. Подставляя (8.11) и (8.12) в граничные
условия (8.8) — (8.10), получаем;
(8.13)
(8.14)
_
$—
n
[e)
(8.15)
Наша цель будет достигнута, если
что может быть выполнено на замкнутой поверхности лишь в том
случая, когда
Соотношение (8.17) представляет собой систему уравнений для
нахождения величин &к (k=xy у, z). Наиболее просто можно
найти <§ из (8.17), направляя оси х, у, z по главным осям тен-
тензора Etk- Тогда
,_ (8.18)
(га — главные значения тензора е^; здесь нет суммирования
по повторяющимся индексам в отличие от предыдущих соотно-
соотношений).
Итак, Ei^ и Ei(e> удовлетворяют обычным граничным усло-
условиям на'поверхности тела, условию (8.15) на бесконечности и
обычным уравнениям электростатики, следующим из (8.5) и
64
(8.6) вследствие однородности величин Ро и &'. Таким образом,
мы действительно пришли к рассмотренной в § 5 задаче об
обычном диэлектрике, помещенном во внешнее однородное по-
поле <§. В частности, полный дипольный момент пироэлектрика
равен [см. E.24)]
где aik — обычный тензор поляризуемости диэлектрика. Подстав-
Подставляя вместо 8к выражение (8.18), получаем
Для шара, например
° &
и поэтому
+ X
(8.19)
(*11 + 2)
Отличие полного дипольного момента однородного пироэлектри-
пироэлектрика от VP0 вызвано дополнительной поляризацией, обусловленной
существующим внутри него электрическим полем.
Перейдем теперь к изучению пироэлектрических свойств тел.
Пироэлектричество означает выстроенность элементарных ди-
дипольных моментов в теле. В газах и жидкостях такое выстраи-
выстраивание требует затраты энергии и, следовательно, энергетически
невыгодно. Таким образом, пироэлектричество не может быть
связано с выстраиванием дипольных моментов при хаотическом
расположении центров инерции атомов, а является следствием
определенной закономерности в расположении атомов, которая
и приводит к выстраиванию дипольных моментов. Следовательно,
пироэлектрическими могут быть только кристаллические тела.
Более того, симметрия электрических свойств пироэлектрика оз-
означает наличие определенных свойств симметрии кристалличе-
кристаллической решетки. Поэтому пироэлектриками могут быть не все крис-
кристаллы, а лишь те, кристаллическая решетка которых удовлетво-
удовлетворяет определенным условиям симметрии. В частности, при всех
преобразованиях симметрии должна оставаться неизменной ось,
по которой направлен вектор Ро. Этому требованию удовлетворя-
удовлетворяют, например, кристаллы, обладающие гексагональной и ромби-
ромбической решетками.
В зависимости от кристаллической структуры вещество мо-
может находиться в пироэлектрической или непироэлектрической
фазе. Вещества, у которых фазовый переход из пироэлектриче-
пироэлектрической фазы в непироэлектрическую является фазовым переходом
II рода, принято называть сегнетоэлектриками. Ось, по которой
направлен вектор Ро в пироэлектрической фазе, называется
сегнетоэлектрической осью. Сегнетоэлектриками являются, на-
3—1514
65

пример, сегнетова соль и титанат бария. В точке фазового пере-
перехода происходит скачкообразное изменение свойств симметрии
кристаллической решетки. Это изменение не означает, однако,
существенной перестройки решетки. Оно достигается путем ма-
малых смещений отдельных атомов. Поэтому плотность спонтан-
спонтанного момента Ро мала вблизи точки фазового перехода. Точка
фазового перехода из непироэлектрической фазы в пироэлектри-
пироэлектрическую называется точкой Кюри, а температура, при которой
происходит этот переход, — температурой Кюри Тс (для титана-
та бария, например, Гс=391 К). Предполагая, что пироэлектри-
пироэлектрическая фаза существует при Т<ТСу перечислим известные из экс-
эксперимента свойства сегнетоэлектриков вблизи точки перехода
(приводимые ниже факты являются идеализацией эксперимен-
экспериментальных результатов).
1. Плотность спонтанного момента Ро пироэлектрической фа-
фазы зависит от температуры по закону
(8.20)
2. Компонента тензора диэлектрической восприимчивости, со-
соответствующая направлению сегнетоэлектрической оси и обозна-
обозначаемая в дальнейшем х, в точке перехода имеет особенность:
У.
Т-Тс I •
(8.21)
Наличие спонтанной поляризации приводит, вообще говоря, к
появлению электрического поля, напряженность которого может
быть найдена из решения сформулированной выше задачи. Воз-
Возникновение поля усложняет картину фазового перехода. Наибо-
Наиболее простая ситуация наблюдается в том случае, когда Е=0 при
Ро?=О, что возможно в достаточно длинном однородном цилинд-
цилиндре, сегнетоэлектрическая ось которого параллельна образующей
цилиндра (цилиндр в отличие от тел другой формы находится
либо весь в пироэлектрической фазе, либо в обычной).
Для объяснения фазового перехода в сегнетоэлектрике вос-
воспользуемся теорией фазовых переходов II рода, развитой
Л. Д. Ландау.
Рассмотрим совокупность термодинамически неравновесных
состояний тела. Они отличаются друг от друга значением какого-
либо внутреннего параметра при фиксированных внешних. В от-
отличие от равновесных состояний внутренние параметры в данном
случае являются независимыми переменными. Термодинамически
равновесному состоянию соответствует минимум свободной энер-
энергии, рассматриваемой как функция внутреннего параметра при
фиксированных внешних. При этом изменение характеристик это-
этого минимума при каком-то значении температуры или других
внешних параметров отвечает фазовому переходу. В данном слу-
случае в качестве внешнего параметра выберем напряженность $
66
электрического поля, а в качестве внутреннего — плотность ди-
дипольного момента Р.
Задача состоит в определении свободной энергии тела для
состояний с различными Р при фиксированных значениях <§.
Будем считать 8 и Р направленными по сегнетоэлектрической
оси. Нас интересует область температур вблизи точки перехода,
где плотность дипольного момента Р мала. Поэтому свободную
энергию fF(P, Г, 8) тела разложим в ряд по степеням Р. Разло-
Разложение будет идти по четным степеням Р, так как оба направле-
направления сегнетоэлектрической оси при отсутствии поля <§ равно-
равноправны:
^=jro(p=O, T)+4%VaP*-VP$, (8.22)
где V — объем тела. Первое слагаемое в (8.22) представляет
собой свободную энергию тела в непироэлектрической фазе при
<§Г = 0, второе — характеризует добавку, связанную с поляриза-
поляризацией диэлектрика, третье — добавку, возникающую при поме-
помещении тела во внешнее поле 8 (см. § 5). Величины Р и <§ в
(8.22) являются независимыми. Практически такое состояние
можно получить следующим образом. Поместим тело в конден-
конденсатор с заданной разностью потенциалов. Выбором геометрии
тела и конденсатора картину можно сделать однородной. В ре-
результате в теле установится Р, соответствующая напряженности
&ъ. Затем быстро (за времена значительно меньшие, чем время
релаксации дипольного момента) изменим напряженность от 8о
до <§. В результате получится неравновесное состояние, в кото-
котором Р и 8 не связаны друг с другом. В состоянии термодинами-
термодинамического равновесия связь между Р и 8 определяется из условия
минимума
(8.23)
дР
Отсюда получаем
Р = —- $
а
С другой стороны, в состоянии термодинамического равновесия
при выбранной геометрии тела
г
следовательно,
а=1/х. (8.24)
Однако, как следует из (8.21), вблизи точки фазового перехода
х-^оо и, следовательно, а-*-0. Поэтому в разложении (8.22) нуж-
нужно учесть следующие члены:
= tf 0+ Va
VbP* - VP S.
(8.25)
67

Относительно коэффициента Ь можно утверждать, что он поло-
положителен:
6>0, (8.26)
в противном случае свободная энергия %Г, рассматриваемая как
функция -Р, не имела бы минимума ни при каком конечном зна-
значении Р.
Рассмотрим сначала условие термодинамического равновесия
в отсутствие внешнего поля, т. е. при <§? = 0:
Л& 0. (8.27)
Если а>0, то из (8.27) следует, что термодинамически равновес-
равновесное значение плотности дипольного момента при отсутствии
внешнего поля равно нулю:
Я0=0. (8.28)
Следовательно, в непироэлектрической фазе а>0. Если же а<0,
то значение Р=0 не определяет минимум функции ЗГ (Р, Т,
<§Г = 0), в чем нетрудно убедиться, определяя знак второй произ-
производной. В этом случае минимум достигается при
(8.29)
Отсюда следует, что отрицательные значения а соответствуют
пироэлектрической фазе. В точке фазового перехода а=0. По-
Поэтому в окрестности 7с величину а можно разложить в ряд по
степеням (Г—Тс)'-
а=а(Т-Тс), (8.30)
где а>0 и не зависит от температуры. Тогда из (8.29) получим
PQ=Va(Tc-T)jb (Т<ТС). (8.31)
Формулы (8.31) и (8.28) объясняют экспериментально наблю-
наблюдаемое изменение спонтанного дипольного момента от темпе-
температуры.
Объясним теперь второй экспериментальный факт — зависи-
зависимость к от температуры (8.21). При выбранной геометрии тела,
когда к совпадает с соответствующей компонентой тензора по-
поляризуемости ate, ее можно определить как производную термо-
термодинамически равновесного значения Р по &\
дР
(8.32)
Взяв значение производной при'е? = 0, мы выделяем линейную
восприимчивость. Для определения зависимости термодинами-
термодинамически равновесного значения Р от & вычисляем д^/дР из (8.25)
и приравниваем нулю. В результате получим следующее уравне-
68
ние для определения
Дифференцируя (8.33) по <§, находим
(8.33)
(8.34)
Для получения к в (8.34) вместо Р нужно подставить его термо-
термодинамически равновесное значение при <§? = 0, т. е. (8.28) при
T>Tqh (8.31) при Т<Тс. В результате имеем
* (Т<ТС).
Таким образом, изложенная здесь феноменологическая теория
позволяет объяснить наблюдаемые на опыте зависимости Р и к
от температуры в окрестности точки фазового перехода.
Для фазового перехода в сегнетоэлектрике, так же как и для
других фазовых переходов II рода, характерно отсутствие пере-
перегретых и переохлажденных состояний. В этом заключается одно
из существенных отличий фазовых переходов II рода от фазовых
переходов I рода. Причину этого отличия нетрудно проследить,
рассматривая кривую свободной энергии как функцию внутрен-
внутреннего параметра К системы. В случае фазовых переходов I рода
эта кривая имеет вид, изображенный на рис. 3. Она имеет два
минимума. Состояния вещества, отвечающие каждому из этих
двух минимумов, локально устойчивы и равновесны. Этим состоя-
состояниям соответствуют две фазы вещества. С термодинамической
точки зрения эти фазы неравноценны: фаза, отвечающая перво-
первому минимуму, имеет меньшую свободную энергию, чем вторая.
Поэтому термодинамически устойчивой является первая фаза.
Что касается второй фазы, то, хотя она и энергетически менее
выгодна, из-за локальной устойчивости она может существовать
достаточно долго. Время ее существования определяется време-
временем ожидания тепловой флуктуации, необходимой для преодоле-
преодоления барьера. Вследствие макроскопического характера барьера
это время имеет макроскопический порядок величины. Поэтому
вторая фаза является метастабильной, а вещество в этом состоя-
состоянии— перегретым или переохлажденным. При изменении темпе-
температуры взаимное расположение минимумов на кривой меняется.
Температура, при которой энергии в минимумах совпадают, от-
отвечает температуре фазового перехода. При дальнейшем изме-
изменении температуры второму минимуму будет соответствовать
меньшая энергия.
Обратимся теперь к фазовым переходам II рода. В этом слу-
случае функция F(K) имеет только один минимум при любой темпе-
температуре. Это значит, что при любой температуре имеется только
одно локально устойчивое состояние, которое и является термо-
термодинамически равновесным. Поэтому не возникает вопроса о пере-
перегретых и переохлажденных состояниях.
69

В действительности в сегнетоэлектрике возможно существова-
существование метастабильного состояния в несколько ином смысле. Рас-
Рассматриваемая величина Pq есть проекция вектора плотности
спонтанного дипольного момента на сегнетоэлектрическую ось
(другие проекции этого вектора равны нулю). Она может иметь
два знака, поэтому функцию S^(P, Г, &) нужно рассматривать
как в области положительных, так и в области отрицательных
значений Р. В пироэлектрической фазе при $ = 0 эта функция
F
Рис. 3. Зависимость сво-
свободной энергии F от внут-
внутреннего параметра X при
фазовых переходах I ро-
рода
Рис. 4. ^Зависимость свободной
энергии F сегнетоэлектрика при
<?Г = 0 от Р
показана на рис. 4. Она имеет два минимума, которым отвечают
равные по модулю и противоположные по знаку значения Pq:
Ро= ± Уа(Тс-Т)/Ь.
Так как обоим минимумам соответствует одна и та же энергия, то
они в одинаковой степени равновесны. Отсюда вытекает возмож-
возможность образования доменов — отдельных макроскопических об-
областей, отличающихся друг от друга направлением вектора плот-
плотности спонтанного дипольного момента. Вопрос о форме и раз-
размерах доменов является очень сложным и требует рассмотрения
полного термодинамического потенциала сегнетоэлектрика. Если
&фО, то поле выделяет одно из этих направлений. Минимум с
Р, направленным по линиям напряженности поля, становится бо-
более глубоким; следовательно, такое состояние является энерге-
энергетически более выгодным. Состояние с Р, направленным против
линий напряженности поля, становится невыгодным. Однако пе-
переход из этого состояния в более выгодное затруднен наличием
энергетического барьера. Поэтому такое состояние является ме-
тастабильным.
Необходимость существования доменов вытекает из рассмот-
рассмотрения фазового перехода в сегнетоэлектрическом шаре. В случае
шара тензор поляризуемости am определяется выражением
(8.19). Поэтому для коэффициента а в формуле (8.25) получим
а= C + 4ях)/Cх). Отсюда видно, что при х->-оо коэффициент а
не стремится к нулю, а остается положительным. Поэтому в точ-
70
ке Кюри коэффициент а не меняет знак и возникновение пиро-
пироэлектрической фазы термодинамически невыгодно. Отсюда
можно было бы сделать вывод об отсутствии фазового перехода
в шаре. Однако такой вывод неправильный. Дело в том, что мы
исследовали возможность возникновения однородной спонтан-
спонтанной поляризации и убедились, что такое состояние невыгодно.
Физическая причина этого состоит в том, что при однородной
поляризации в пространстве возникает электрическое поле,
энергия которого превышает выигрыш внутренней энергии, по-
получающийся при переходе в пироэлектрическое состояние. Вы-
Выделим теперь в шаре цилиндр с образующей, параллельной сег-
нетоэлектрической оси. При возникновении в объеме этого
цилиндра спонтанной поляризации электрическое поле практи-
практически не создается. Поэтому диэлектрические свойства остав-
оставшейся части шара несущественны и такой цилиндр будет вести
себя так же, как и цилиндр, находящийся в вакууме, т. е. пере-
переходить в пироэлектрическую фазу. Это означает, что при Т<Тс
шар, во всяком случае, не может оставаться обычным диэлек-
диэлектриком. Наиболее выгодным ниже точки Кюри будет состояние,
в котором шар разбит на совокупность областей, имеющих фор-
форму цилиндров с образующими, параллельными сегнетоэлектри-
ческой оси. Плотность спонтанного дипольного момента в со-
соседних областях (доменах) имеет противоположное направле-
направление. При этом напряженность электрического поля шара
значительно меньше, чем в случае однородной поляризации, а
выигрыш во внутренней энергии остается практически тем же.
В заключение заметим, что изложенная здесь теория фазо-
фазовых переходов II рода имеет приближенный характер и непри-
неприменима в некоторой узкой области вблизи температуры Кюри,
где становятся существенными флуктуации термодинамических
величин.
§ 9. Ферромагнетизм. Доменная структура
ферромагнетика
Явление ферромагнетизма заключается в том, что при от-
отсутствии внешнего магнитного поля у определенного класса ве-
веществ существует отличная от нуля плотность спонтанного маг-
магнитного момента Мо. Поэтому при наличии магнитного поля
связь магнитного момента единицы объема М с Н у ферромаг-
ферромагнетиков имеет следующий вид:
М = Мо+хН, (9.1)
где / — соответствующая компонента тензора магнитной вос-
восприимчивости. Между явлениями ферромагнетизма и сегнето-
злектричества есть определенное сходство, но есть и различия,
а именно: ферромагнитное состояние вещества существует при
температурах
71 < 6. (9.2)
71

где 0 называется температурой Кюри, а переход в неферромаг-
неферромагнитное (обычно парамагнитное) состояние является фазовым
переходом II рода. Так же как и в случае сегнетоэлектрика,
идеализированные зависимости Мо и / от Т в окрестности точки
Кюри имеют следующий вид:
е—г
(9.3)
(9.4)
Различия в явлениях ферромагнетизма и сегнетоэлектричества
происходят из-за того, что микроскопические механизмы воз-
возникновения этих явлений существенно отличаются.
Появление спонтанной намагниченности можно представить
себе следующим образом. Каждый атом (ион), находящийся в
узле кристаллической решетки, обладает некоторым магнитным
моментом ц. За счет каких-то сил эти моменты ориентируются
параллельно друг другу и возникает макроскопическая намаг-
намагниченность. Магнитный момент отдельного атома может быть
обусловлен как орбитальным движением электрона, так и его
спином. Ответ на этот вопрос был дан в 20-х годах нашего сто-
столетия путем экспериментального измерения отношения магнит-
магнитного момента ферромагнетика к его механическому моменту.
Экспериментальное значение этого отношения отвечает величи-
величине e/(mc)t где е и m — заряд и масса электрона. Это означает,
что происхождение магнитных моментов отдельных узлов крис-
кристаллической решетки связано со спином электронов [в против-
противном случае это отношение было бы е/Bгпс)]. Теперь нужно вы-
выяснить, какие силы заставляют эти элементарные магнитные
моменты ориентироваться параллельно друг другу. Предполо-
Предположим, что это силы, связанные с их магнитным взаимодействием.
По порядку величины энергия взаимодействия двух магнитных
моментов равна U^\x2ja?y где а — расстояние между ними —
имеет порядок величины воровского радиуса Н2/(те2), а \х — по-
порядка eh (тс) =ea[e2/hc)]. Следовательно, U <*> [e2/(hc)fe2/ay
что составляет величину порядка 10~3 эВ. Таким образом, со-
состояние упорядоченного такими силами расположения направ-
направлений отдельных магнитных моментов будет разрушаться теп-
тепловыми колебаниями уже при температурах порядка 10 К, в
то время как в железе температура Кюри порядка 1000 К. От-
Отсюда видно, что силы магнитного взаимодействия слишком сла-
слабы для обеспечения существования спонтанной намагниченно-
намагниченности. Было высказано предположение, подтвержденное затем
экспериментально, что силами, ответственными за появление
спонтанной намагниченности, являются обменные силы, опреде-
определяемые обменным интегралом. Если он положителен, то состоя-
состояние с параллельными спинами является энергетически более
выгодным. Этот факт и представляет собой ключ к пониманию
природы ферромагнетизма.
72
В реальном ферромагнетике атомы (или ионы), из которых
построена кристаллическая решетка, — это многоэлектронные
системы. Для электронов, находящихся в заполненных атомных
оболочках, нет степеней свободы для ориентации спина. Поэто-
Поэтому свободно ориентировать свой спин в пространстве могут
только электроны, находящиеся в незаполненных оболочках.
Незаполненные электронные оболочки у агома могут быть как
внешние, так и внутренние. В твердом теле электроны внешних
оболочек коллективизируются — становятся нелокализованны-
ми. Для объяснения ферромагнетизма нужны локализованные
магнитные моменты, т. е. электроны во внутренних незаполнен-
незаполненных оболочках, для которых значение орбитального момента
/^2. Такие оболочки имеют, например, следующие группы эле-
элементов: железа (Зй-оболочка), лантанидов (редких земель)
D/-оболочка), платины, палладия и т. д. Если предыдущие рас-
рассуждения соответствуют действительности, то ферромагнетики
нужно искать в этих группах (сплавы мы не рассматриваем).
Действительно, в группе железа имеется три основных ферро-
магнетика: железо, кобальт и никель @^1000 К). Обнаружены
ферромагнетики и среди редкоземельных элементов: тербий
@^220 К), диспрозий (G~85К), гольмий @=^20 К). Убывание
температуры Кюри связано с убыванием обменного интеграла /,
определяющего силу взаимодействия магнитных моментов. Вели-
Величина / определяется степенью перекрытия волновых функций,
которые экспоненциально убывают при удалении от данного
атома:
J ~ ехр (— 2Rja\
где R — расстояние между атомами, а — радиус орбиты, отвеча-
отвечающей электронам незаполненной оболочки атома. Оболочка Af в
редких землях более глубокая, чем 3d в группе железа, поэтому
а для редких земель меньше и, следовательно, при том же самом
значении R (постоянной кристаллической решетки) обменный
интеграл для редких земель меньше, чем для группы железа.
Отметим, что наличие внутренних незаполненных оболочек не яв-
является достаточным условием существования ферромагнетизма,
так как обменный интеграл / может быть и отрицательным.
Для объяснения основных экспериментальных фактов (9.3) и
(9.4) воспользуемся снова теорией фазовых переходов II рода.
В данном случае в качестве внутреннего параметра выберем ве-
величину М, а в качестве внешнего— Н. Рассмотрим совокупность
термодинамически неравновесных состояний системы и запишем
выражение для плотности свободной энергии, считая ферромаг-
ферромагнетик однородным и опуская энергию магнитного поля:
Н, Г)=/70(М, Г)-МН, (9.5)
где первое слагаемое есть свободная энергия ферромагнетика в
отсутствие поля» а второе — учитывает энергию его взаимодейст-
взаимодействия с магнитным полем. Функция Fo зависит от модуля М2, так
73

как появление спонтанной намагниченности связано с обменны-
обменными силами. Эти силы определяются только взаимной ориентаци-
ориентацией соседних спинов и не связаны с их ориентацией относительно
кристаллографических осей, т. е. поворот на произвольный угол
одновременно всех спинов не должен менять значения свобод-
свободной энергии. Как и в случае сегнетоэлектрика, разложим функ-
функцию Fo в ряд по степеням М2, так как мы рассматриваем область
температур вблизи температуры Кюри, где спонтанная намаг-
намагниченность еще достаточно мала:
F<r=42aM2 + lUbM* (9.6)
[в (9.6) опущена постоянная, не зависящая от М].
Сделаем следующее замечание по поводу разложения (9.6).
В формальной теории фазовых переходов II рода Л. Д. Ландау
внутренний параметр систем, такой, как М в рассматриваемом
случае или Р в § 8, называется параметром порядка К. Свобод-
Свободная энергия вблизи точки фазового перехода раскладывается в
ряд по степеням к:
\ (9.7)
причем в этой теории коэффициент Ь не зависит от температуры
и положителен: &>0, а коэффициент а меняет знак в точке фа-
фазового перехода и записывается в виде
а=а(Г —в) (а>0). (9.8)
Отсюда термодинамически равновесное значение параметра по-
порядка равно
Г (9.9)
-Т)/Ь
Х0=0
Вернемся теперь к явлению ферромагнетизма. С учетом (9.6)
из (9.5) получаем
F =
+ У4Ш4 — МН.
(9.10)
Таким образом, при Н = 0 температурная зависимость спонтан-
спонтанной намагниченности (9.3) нашла свое объяснение в теории
Л. Д. Ландау. Температурная зависимость % получается анало-
аналогично тому, как это было сделано в § 8 при исследовании темпе-
температурной зависимости к. Единственное отличие состоит в том, что
здесь нужно искать минимум свободной энергии (9.10) при за-
заданном Н не только по модулю М, но и по направлению. Очевид-
Очевидно, что минимум по направлению достигается, когда вектор М
направлен по Н. При этом выражение (9.10) становится полно-
полностью аналогичным (8.25), поэтому результат для % совпадает с
аналогичным результатом, приведенным на с. 69.
Оценки показывают, что для напряженностей Н магнитного
поля, получаемых в лабораторных условиях, при температурах
Т, не очень близких к 0, второе слагаемое в выражении (9.1)
для М всегда мало по сравнению со спонтанной намагниченно-
74
стью. Предполагая эти условия выполненными, в дальнейшем
считаем, что |М| не зависит от напряженности приложенного
поля и совпадает с |М0|, Влияние магнитного поля сводится к
ориентированию вектора намагниченности, так как обменные си-
силы не определяют направление М. Следует иметь в виду, что при
рассмотрении поведения М было опущено взаимодействие маг-
магнитных моментов, которое является слабым по сравнению с об-
обменным и поэтому не влияет на |М|. Однако это взаимодействие
является анизотропным, т. е. его величина зависит от ориентации
М относительно кристаллографических осей. Поэтому даже при
Н = 0 из-за действия таких сил вектор М будет ориентирован по
определенному направлению.
Рассмотрим подробнее энергию магнитного взаимодействия
магнитных моментов электронов. Для двух магнитных моментов
цг и ц2, находящихся на расстоянии R друг от друга, ее можно
записать в виде
При переходе к макроскопическому описанию это выражение
нужно усреднить по движению электронов и по расположению
атомов решетки. В результате для плотности энергии, которая
называется энергией магнитной анизотропии и обозначается С/ан,
получается следующее выражение:
где Mi — проекции намагниченности М, fa* — безразмерный сим-
симметричный тензор, зависящий от симметрии кристаллической ре-
решетки ферромагнетика. Энергия магнитной анизотропии в
[e2/(hc)]2 раз меньше обменной.
Теперь нас будет интересовать только направление М. Для
исследования этого вопроса запишем ту часть свободной энергии
ферромагнетика, которая зависит от направления М:
Термодинамически равновесное направление М определяется из
условия минимума этого выражения, рассматриваемого как
функция направления М при заданном значении внешнего па-
параметра Н.
Определим вначале, как направлена намагниченность при
Н = 0. В выражении для энергии магнитной анизотропии перей-
перейдем к главным осям тензора р(-^ расположение которых опреде-
определяется кристаллической решеткой ферромагнетика:
(9.13)
R случае кубической симметрии
г х х === .уу Ргг г
и, следовательно, энергия анизотропии, определяемая выраже-
выражением (9.13), не зависит от направления М; С/ан^УгР^2. Этим
75

выражением можно пренебречь по сравнению с вкладом обмен-
обменных сил 112аМ2. Поэтому в кубических кристаллах при вычисле-
вычислении ?/ан необходимо учитывать более высокие порядки теории
возмущений. В результате энергия магнитной анизотропии будет
содержать более высокие степени величины М, например
где Bikim — тензор четвертого ранга. Это выражение уже не сво-
сводится к изотропному случаю. Из-за того, что сюда вошли более
высокие степени М, энергия магнитной анизотропии кубических
кристаллов меньше, чем у одноосных и двухосных. В двухосных
кристаллах все три главных значения тензора р,-* различны. Этот
случай здесь не рассмотрен.
Обсудим подробнее выражение для энергии магнитной анизо-
анизотропии одноосных кристаллов, у которых §хх=$уУф$г2. Обоз-
Обозначая
Vxx=?yv = h* P« = Pi (h >0, h >0), (9.14)
запишем Uan в виде
(9.15)
где 0 —угол между направлением М и выделенной кристалло-
кристаллографической осью кристалла. При исследовании на минимум вы-
выражения (9.15) рассмотрим два случая: рх>Р| и рх <Pi . Итак
пусть Рх>Рн . Преобразуем выражение (9.15):
Un=lf*hM*+42$±-$t)M*sin*B. (9.16)
Опуская не зависящее от направления М первое слагаемое и
обозначая р=рх —р „ (р>0), вместо (9.16) запишем
и[а=У$М* sin* В. (9.17)
Минимум этого выражения и определяет направление М в дан-
данном случае. Нетрудно видеть, что он достигается при 0 = 0 и
0 = я, т. е. вектор М ориентирован в положительном или отрица-
отрицательном направлении выделенной кристаллографической оси од-
одноосного кристалла, которая называется в этом случае осью лег-
легкого намагничивания. Отметим, что оба состояния с 0 = 0 и 0^я
имеют одинаковое значение свободной энергии и, следовательно,
оба являются термодинамически устойчивыми.
Во втором случае, когда Рн >Рх, выражение (9.15) преобра-
преобразуем к виду
^aH=V2px^2 + V2(PH-px)M2COS2e. (9.18)
Нетрудно видеть, что минимум (9.18) достигается при 6 = я/2, т. е.
вектор М лежит в плоскости, перпендикулярной выделенной
кристаллографической оси. Эта плоскость в таких кристаллах
называется плоскостью легкого намагничивания.
Ниже рассматривается только случай одноосных кристаллов
с осью легкого намагничивания. Пусть теперь напряженность
76
магнитного поля отлична от нуля. Для выяснения вопроса, как
направлен вектор М, необходимо исследовать на минимум вы-
выражение
(9.19)
Отсюда следует, что при
где по-прежнему угол 0 отсчитывается от оси легкого намагни-
намагничивания. Кроме этой оси имеется еще одно выделенное направле-
направление— н. Так как оси х и у в одноосном кристалле не связаны с
кристаллографическими направлениями, то всегда можно, на-
например, выбрать ось х так, чтобы вектор Н лежал в плоскости
xz. Тогда
(МН)=М (Нх sin в cos <p -\rHz cos в), (9.20)
причем, так как направление Н фиксировано, направления осей
х и г можно выбрать так, что #*>0 и #г>0. Итак, необходимо
искать минимум AF по углам 0 и <р, характеризующим положе-
положение вектора М. Нетрудно видеть, что минимум по углу <р достига-
достигается при cos<p=l, так как выражение (9.20) входит в (9.19) со
знаком минус. Осталось найти минимум AF выражения
У?М* sin2 Q — M(HX sin в + Hz cos в) (9.21)
по углу 0. Рассмотрим некоторые частные случаи. Предположим,
что #г = 0, т. е. Н лежит в плоскости, перпендикулярной оси лег-
легкого намагничивания НХ=Н. Тогда (9.21) принимает вид
sin2е-ЖЯ sin в. (9.22)
(9.23)
минимум (9.22) достигается при
sin В = НЦ$М). (9-24)
Уравнению (9.24) удовлетворяют два значения угла: 0т и
л—@т Следовательно, при включении магнитного поля магнит-
магнитный момент М начинает отклоняться от оси легкого намагничи-
намагничивания и, пока #<pAf, имеется два устойчивых состояния с оди-
одинаковой энергией, но разной ориентацией М. При Н = $М
@т = я/2 и устойчивым является одно состояние, в котором маг-
магнитный момент направлен по линиям напряженности поля. Не-
Нетрудно видеть, что при #>рМ вектор М также будет направлен
по Н. Другими словами, рМ играет роль критического значения
для напряженности Н поля, ниже которого в ферромагнетике ус-
устойчивыми являются два состояния с различными направления-
направлениями намагниченности, а выше — только одно.
Исследуем теперь частный случай #*=0, HZ = H, т. е. случай,
когда линии напряженности поля направлены по оси легкого на-
намагничивания. Выражение (9.21) при этом принимает вид
sin2 в — МН cos в. (9.25)
77

Проделав несложные преобразования и опустив слагаемое, не
зависящее от угла 0, из (9.25) получаем
[cos 9 + Н/($М)]*. (9.26)
Как функция cos0 выражение (9.26) представляет собой пере-
перевернутую параболу. Если //<|Ш, то имеется два минимума при
cos0=±l, причем энергия состояния, отвечающего значению
0 = 0, меньше, чем состояния с 6 = я. При Н>$М выражение
(9.26) имеет один минимум при 0 = 0, т. е. устойчиво только со-
состояние с вектором М, направленным по Н.
Аналогичное исследование можно провести в общем случае,,
когда одновременно не равны нулю Нх и Hz. При этом оказыва-
оказывается, что существуют критические значения Нкр такие, что если
Я<Якр, то устойчивыми являются два состояния с различными
направлениями М, а при Н>Нкр устойчиво только одно состоя-
состояние. Уравнение кривой, определяющее критическое значение по-
поля, получается из общего выражения (9.21) и имеет вид
Нш&+Н1%=$Мрк (9.27)
В рассмотренных частных случаях были найдены точки Нхкр=
= |Ш при Hz = 0 и #2КР=рМ при Нх = 0.
Как следует из полученных результатов, при Н<Нкр возмож-
возможны два устойчивых состояния с различными направлениями на-
намагниченности М. В том случае, когда линии напряженности
магнитного поля перпендикулярны оси легкого намагничивания,,
энергия этих состояний одинакова, при других направлениях
Н — различна. Отсюда вытекает возможность появления домен-
доменной структуры ферромагнетика, т. е. разбиения его на макро-
макроскопические области, отличающиеся друг от друга ориентацией
вектора М.
Рассмотрим доменную структуру ферромагнетика для слу-
случая, когда напряженность внешнего магнитного поля равна
нулю. Отсутствие внешнего поля означает равенство нулю плот-
плотности тока в уравнении Максвелла G.1). В случае ферромагне-
ферромагнетика наличие спонтанной намагниченности М приводит к появ-
появлению магнитного поля и при j = 0. Для нахождения напряжен-
напряженности, используя соотношение В=Н + 4яМ, перепишем уравне-
уравнение G.2) в виде
divH=—4ndiv:M. (9.28)
Модуль вектора М определяется обменными силами, а его на-
направление— энергией анизотропии. Вводя формально плотность
эквивалентных зарядов
p3=_divM, (9.29)
для определения напряженности магнитного поля, создаваемого
ферромагнетиком, имеем уравнения, аналогичные уравнениям
электростатики:
rotH=0, dlvH=4npe. (9.30)
78
В однородном веществе дивергенция N1 отлична от нуля там, где
есть скачок намагниченности, т. е. на границах между доменами
и на границе ферромагнетика. Это означает, что на этих по-
поверхностях имеется поверхностная плотность эквивалентных
зарядов сгэ. Рассмотрим, например, границу ферромагнетика.
Вне ферромагнетика М = 0, а внутри M = const; следовательно,
рэ = 0. При микроскопическом подходе, когда вместо резкой гра-
границы имеется переходная область, внутри нее рэ отлично от нуля.
Так же как и в § 1, при выводе граничных условий введем аэ
соотношением
litn
(9.31)
где интегрирование ведется по физически бесконечно малому
цилиндру с площадью основания AS и высотой б, равной тол-
толщине переходной области. Предел 6->0 означает переход к гео-
геометрической границе раздела, в результате чего заряд, сосредо-
сосредоточенный внутри переходной области, необходимо считать рас-
расположенным на поверхности раздела. Подставляя (9.29) в
(9.31), получаем
(9.32)
где Мп— проекция вектора М на внешнюю нормаль к поверх-
поверхности ферромагнетика. Аналогично, на границе раздела между
доменами 1 и 2 имеем
°*^Mln-M2ni (9.33)
¦причем нормаль направлена из домена 1 в 2. Рассмотрим для
примера однодоменный ферромагнетик в форме прямоугольно-
прямоугольного параллелепипеда, у которого направление М параллельно
боковым граням. Тогда на этих гранях сь = 0, а на торцах плот-
плотность поверхностных зарядов аэ имеет противоположные знаки
( + М на одном и —М на другом). Следовательно, такой образец
эквивалентен диполю — это есть постоянный магнит с двумя по-
полюсами.
Обсудим теперь, почему ферромагнетик разбивается на до-
домены. Здесь определяющим фактором является конкуренция
двух эффектов: выигрыша в обменной энергии при переходе все-
всего образца в ферромагнитное состояние и проигрыша, связанного
с увеличением энергии системы из-за возникающего при этом
магнитного поля. Обратимся для примера к рассмотренному вы-
выше образцу в форме параллелепипеда. Если он не разбит на до-
домены, энергия созданного им поля может превысить выигрыш в
энергии за счет перехода в ферромагнитное состояние. Предпо-
Предположим теперь, что образец разбился на плоскопараллельные слои
толщиной d, параллельные одной из боковых граней, так что
направления вектора М в соседних слоях противоположны.
В этом случае возможен частичный проигрыш в обменной энер-
энергии из-за того, что на границе между доменами магнитные мо-
79

менты (спины электронов) не параллельны друг другу. Однако
при этом энергия магнитного поля может быть существенно
уменьшена, так как теперь аэ на каждом торце имеет чередую-
чередующиеся знаки в местах выхода различных доменов к поверхности
ферромагнетика. Следовательно, для выяснения вопроса о том.
будут ли возникать домены в данном образце и какого размера,
необходимо найти энергию магнитного поля и энергию, связан-
связанную с образованием границ раздела между доменами, — поверх-
поверхностную энергию (проигрыш в обменной энергии из-за того, что
по разные стороны от границы вектор М имеет разные направ-
направления).
Оценим, например, толщину d домена в рассмотренном слу-
случае. Пусть L3 — длина ребра образца в направлении оси легко-
легкого намагничивания, a Lj и L2— длины двух других ребер парал-
параллелепипеда. Для определенности считаем, что границы между воз-
возникающими доменами параллельны граням образца с длинами
ребер L% и L3. Число таких границ порядка Li/d, где d — толщи-
толщина слоя домена. С каждой из таких границ связана поверхност-
поверхностная энергия
Un = yM*L2L* (9.34)
где уМ2 — энергия, отнесенная к площади поверхности раздела,
Y — некоторая постоянная. Следовательно, полная энергия, свя-
связанная с образованием границ раздела между доменами,
yM2LxL2L<Jd. (9.35)
Оценим энергию возникающего магнитного поля. В изложенном
подходе поле создается заряженными плоскостями торцов, пло-
площадь каждого из которых равна LXL2. Из решения задачи для
бесконечной плоскости следует, что энергия магнитного поля,
отнесенная к площади заряженной поверхности, может быть за-
записана в виде
(9.36)
где k — числовой множитель. Умножая (9.36) на площадь заря-
заряженной поверхности и добавляя поверхностную энергию (9.35),
получаем выражение
4NPLxL^d+kM*LxL4i% (9.37)
которое нужно рассматривать как функцию толщины d домена.
Минимум этой функции и определяет равновесное значение d.
В данном примере толщина домена пропорциональна корню
квадратному из длины ферромагнетика в направлении оси лег-
легкого намагничивания: d~Y L3.
Рассмотрим подробнее границу раздела между доменами.
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что она параллель-
параллельна оси легкого намагничивания. Действительно, такое направле-
направление энергетически самое выгодное, так как при этом значение о?
80
на границе равно нулю [см. (9.33)] и, следовательно, нет источ-
источников для возникновения магнитного поля. При микроскопиче-
микроскопическом подходе поверхность раздела представляет собой слой неко-
некоторой толщины I. Пусть ось z совпадает с направлением оси
легкого намагничивания, а ось х перпендикулярна плоскости раз-
раздела между доменами. Тогда при движении вдоль оси х вектор
М меняет свое направление от Мг = М (Мх = Му = 0) в од-
одном домене до Мг=—М в другом, т. е. N1 зависит от х.
Энергетически выгодно, чтобы объемная плотность эквивалент-
эквивалентных зарядов в переходном слое была равна нулю:
Рэ= -div M= --^?.=0. (9.38)
дх
Из (9.38) следует, что изменение направления М совершается
так, что Mx = const. Вдали от границы раздела Мх~0\ следова-
следовательно, изменение направления М при переходе от одного доме-
домена к другому совершается поворотом вектора М в плоскости,
параллельной границе раздела. Вопрос о толщине / слоя мож-
можно решить, вводя энергию неоднородности ?/н, связанную с за-
зависимостью М от х в переходном слое /, и сравнивая ее с энер-
энергией анизотропии. Энергия неоднородности учитывает силы,
стремящиеся увеличить I — сделать зависимость М от х более
плавной, чтобы был меньше проигрыш в обменной энергии, свя-
связанный с изменением направления соседних спинов. Силы, учи-
учитываемые энергией анизотропии, стремятся уменьшить /, так как
эта энергия увеличивается при любом отклонении от оси легкого
намагничивания, поэтому для них выгоднее, чтобы соседние ато-
атомы сразу приняли противоположную ориентацию спинов. В ре-
результате получается конечная толщина переходного слоя, поря-
порядок которой, как это следует из более подробного рассмотрения,
равен (hc/e2)a, где а — боровский радиус.
4 сверхпроводимость
§10. Феноменологическая теория
сверхпроводимости. Решение
электродинамических задач
при наличии сверхпроводников
Сверхпроводимость, открытая в начале века, получила свое
название по одному из проявлений того особого состояния, в ко-
которое переходят многие металлы при достаточно низких темпе-
температурах,— отсутствию сопротивления протеканию постоянного
тока. Температура, при которой вещество переходит в такое
81

сверхпроводящее состояние, называется критической температу-
рои Тс.
Для всех известных в настоящее время сверхпроводников
критическая температура очень мала по сравнению с комнатной.
Среди чистых веществ наибольшее значение критической темпе-
температуры имеет ниобий: Гс~9,2 К. В сверхпроводящих сплавах
критическая температура достигает значения 21 К (температура
кипения жидкого водорода; были сообщения о получении сплава
с Гс«100 К).
Обратим внимание, что установки, использующие сверхпро-
сверхпроводники, уже нашли практическое применение в науке и техни-
технике, несмотря на то что для поддержания сверхпроводящего со-
состояния вещества его необходимо охлаждать жидким гелием.
Появление сплавов, сохраняющих сверхпроводящие свойства
при температуре кипения жидкого азота, должно привести к рез-
резкому увеличению использования сверхпроводников в технике.
Отметим, что физики-теоретики указывают на возможность
существования сверхпроводимости и при комнатной температуре.
Однако в настоящее время теория не может указать критиче-
критическую температуру конкретного вещества, ее изменение при изме-
изменении состава сплава, его кристаллической структуры. Можно
сказать, что есть теория сверхпроводимости, объясняющая физи-
физическую сущность явления, но нет теории сверхпроводников.
В данной главе рассматривается только феноменологическая
теория сверхпроводимости, задачей которой является получение
различных соотношений, граничных условий, позволяющих ре-
решать электродинамические задачи при наличии сверхпроводни-
сверхпроводников.
Напомним, что при помещении проводника во внешнее поле
свободные заряды располагаются на его поверхности так, что
поля внутри проводника нет:
ЕО = 0. A0.1)
Для сверхпроводника это условие остается справедливым и для
поля постоянного тока. Действительно, в проводнике в стацио-
стационарном поле на электроны проводимости действуют сила со сто-
стороны электрического поля и сила трения (сопротивление), кото-
которые уравновешивают друг друга. В сверхпроводнике силы тре-
трения нет, поэтому, чтобы картина была стационарной, необходи-
необходимо также и отсутствие электрического поля внутри сверхпровод-
сверхпроводника. Условие A0.1) позволяет решать задачи для стационар-
стационарных полей при наличии сверхпроводников. В частности, из непре-
непрерывности тангенциальных компонент напряженности электриче-
электрического поля и условия A0.1) следует, что на поверхности сверх-
сверхпроводника
E,|s=0.
т. е. линии Е перпендикулярны поверхности.
«2
(Ю.2)
Обратимся теперь к,стационарному магнитному полю. Экспе-
Экспериментально установлено, что магнитное поле не проникает
внутрь сверхпроводника:
В<'>=0
(эффект Мейсснера). Отметим, что при этом внутри сверхпро-
сверхпроводника средний микроскопический ток равен нулю и, следова-
следовательно, плотность магнитного момента сверхпроводника также
равна нулю, а потому и введенная в § 1 напряженность магнит-
магнитного поля равна нулю:
Н«>=0. (Ю.4)
Таким образом, в сверхпроводнике могут существовать только
поверхностные токи, определяемые из граничного условия A.37),
которое с учетом A0.4) дает
A0.5)
где п — единичный вектор внешней нормали к поверхности
сверхпроводника, Н<*> — напряженность магнитного поля вне
сверхпроводника. Именно эти поверхностные токи экранируют
внешнее магнитное поле, не давая ему возможности проникнуть
внутрь сверхпроводника.
В действительности токи текут в некотором поверхностном
слое, толщина которого зависит от свойств и термодинамического
состояния сверхпроводника и обычно имеет порядок 10~5 см.
Именно на такую глубину проникает магнитное поле внутрь
сверхпроводника. Для теоретического описания эффекта Мейс-
Мейсснера и расчета глубины проникновения необходимо привлекать
представления микроскопической теории.
Из непрерывности нормальных компонент магнитной индук-
индукции и условия A0.3) следует, что
#?>|5==(Ь (Ю.6)
Считая, что вне сверхпроводника находится вещество, магнитны-
магнитными свойствами которого можно пренебречь, т. е. положить ji=l,
имеем из A0.6)
//?%—0. (Ю.7)
Итак, при наличии сверхпроводника для отыскания стационар-
стационарного магнитного поля необходимо решить задачу только в обла-
области вне его. Отметим, что условие A0.7) позволяет найти Н<е> из
соответствующих уравнений однозначно. Соотношение A0.5) ис-
используется затем для вычисления плотности поверхностных то-
токов.
Отметим, что у некоторых сверхпроводящих сплавов эффект
Мейсснера отсутствует — магнитное поле проникает внутрь
сверхпроводника. Такие сверхпроводники называются сверхпро-
83

водниками II рода. Ниже везде будет идти речь только о сверх-
сверхпроводниках I рода —с эффектом Мейсснера.
Рассмотрим несколько простых примеров нахождения ста-
стационарного магнитного поля при наличии сверхпроводников.
1. Сверхпроводящий шар радиуса R помещен во внешнее од-
однородное поле Ж. В этом случае магнитное поле Н<*)=Н, отли-
отличается от Ж и удовлетворяет уравнениям
rotH=0, divH=O
с граничными условиями
Вводя скалярный потенциал if соотношением
из A0.8) приходим к уравнению
с граничными условиями, следующими из A0.9)
A0.8)
A0.9)
A0.10)
A0.11)
A0.12)
A0.13)
A0.14)
A0.15)
A0.16)
имеет физический смысл магнитного момента сверхпроводяще-
сверхпроводящего шара. В этом можно непосредственно убедиться, вычисляя
магнитный момент, создаваемый в шаре поверхностными тока-
токами, возникающими под влиянием внешнего поля. Для этого нуж-
нужно сначала вычислить значение Н на поверхности шара. Исполь-
Используя A0.10) и A0.14) с учетом A0.15), получаем
— (г, Ж).
Решение уравнения A0.11) ищем в виде
<!>(r)=-(г, Ш) + А{т, ЪIг\
где постоянная А определяется из условия A0.12)
А= -R3/2.
Величина
% ПЦ,
A0.17)
где п — единичный вектор внешней нормали шара. Подставляя
A0.17) в A0.5), получаем распределение поверхностных токов:
~" A0.18)
Вводя угол в между физически выделенным направлением Ж и
вектором п, видим, что при заданном значении в модуль i не
84
зависит от угла в плоскости, перпендикулярной Ж. Поэтому
кольцо на поверхности шара, занимающее область от 6 до 9 +
+ d0, можно рассматривать как замкнутый виток линейного то-
тока с d/=?/?de. Так как площадь, охваченная таким кольцом,
равна S = jtR2 sin2 6, то вклад в магнитный момент шара от та-
такого кольца равен [см. G.33)]
Интегрируя это выражение по в от 0 до я, получаем
Направление магнитного момента противоположно Ж в соответ-
соответствии с формулой A0.16).
Обратим особое внимание на направление магнитного момен-
момента сверхпроводника. Как и у диамагнетика, магнитный момент
сверхпроводника всегда направлен против индуцировавшего его
поля. В связи с этим сверхпроводник иногда называют аномаль-
аномальным диамагнетиком.
2. Магнитный диполь \х расположен над поверхностью мас-
массивного сверхпроводника. Магнитный диполь представим в виде
совокупности двух фиктивных магнитных зарядов: ±т. Вместо
задачи о вычислении поля, создаваемого диполем, рассмотрим
задачу о вычислении поля, создаваемого одним зарядом т, рас-
расположенным на высоте а над плоской поверхностью сверхпро-
сверхпроводника, занимающего полупространство z<0. Решение уравне-
уравнения Лапласа A0.11) для скалярного потенциала if ищем в виде
+¦
т
>/ (г 4- af + р2
Здесь р2=х2 + (/2; т' — константа, значение которой находится
из граничного условия
dz
г-0
= 0, что дает т'=т. Этот резуль-
тат показывает, что магнитный заряд любого знака отталкивает-
отталкивается сверхпроводящей поверхностью. Следовательно, и магнитный
диполь (постоянный магнит) также будет отталкиваться сверх-
сверхпроводящей поверхностью. Поэтому если взять достаточно ма-
маленький магнит, чтобы его сила тяжести могла уравновеситься
силой отталкивания, то он будет висеть над поверхностью
сверхпроводника.
3. Сверхпроводящий цилиндр помещен во внешнее однород-
однородное поле Ж, параллельное его оси. Пусть поперечные размеры
цилиндра (не обязательно кругового) достаточно малы по срав-
сравнению с его длиной /. Тогда, пренебрегая влиянием торцов, по-
получаем, что напряженность магнитного поля вне сверхпроводни-
сверхпроводника совпадает с Ж:
A0.19)
так как граничное условие A0.7) удовлетворено на всей боковой
поверхности. Найдем магнитный момент JC этого цилиндра. Как
85

уже отмечалось, Ж определяется поверхностными токами, рас-
распределение которых дается выражением A0.5). Подставляя в
A0.5) результат A0.19), имеем
"*" A0.20)
4я
откуда следует, что в каждой точке боковой поверхности цилинд-
цилиндра токи текут по касательной, перпендикулярной образующей, и
представляют собой замкнутые витки. Сквозь элемент длины
d/, взятый на поверхности цилиндра вдоль образующей, протека-
протекает ток
d/=/d/,
где, согласно A0.20), i=c3@/Dn). Такой плоский виток с током
d/ обладает магнитным моментом
d^=d/5/c=^5d//Dn), A0.21)
где S — площадь витка, равная площади поперечного сечения
цилиндра. Выполняя в A0.21) интегрирование по длине с учетом
того, что S и Ж постоянны, получаем
где V=Sl — объем цилиндра. Учитывая, что магнитный момент
направлен противоположно Ж, имеем окончательно
Ж=—УЖ/Dл). A0.22)
4. В разобранных выше примерах рассматривались односвяз-
ные сверхпроводники. Их отличительной чертой является то, что
полный поверхностный ток, протекающий через поперечное се-
сечение такого сверхпроводника, равен нулю. Для многосвязных
сверхпроводников полный ток, протекающий через некоторое се-
сечение тела, может быть отличен от нуля. Этот факт очень су-
существен, так как циркуляция Н по контуру пропорциональна
полному току, протекающему через поверхность, натянутую на
этот контур:
(j)Hdl = ~^/. A0.23)
В качестве примера рассмотрим сверхпроводник в форме то-
тора— сверхпроводящее кольцо. Пусть каким-то образом в нем
был возбужден ток /—полный ток, протекающий через попереч-
поперечное сечение кольца (рис. 5). Напомним, что / является поверх-
поверхностным током. Спрашивается: какое магнитное поле Н созда-
создает такое кольцо с током в окружающем пространстве? При ис-
использовании скалярного потенциала г|з A0.10) для вычисления
Н следует иметь в виду следующее обстоятельство. Если в слу-
случае односвязных проводников потенциал был однозначной функ-
функцией точки наблюдения, то в рассматриваемом примере при
86
^0 он не может быть однозначным. Действительно, рассмотрим
•следующий интеграл по контуру, охватывающему кольцо (рис.
5): "
Hdl = —
A0.24)
Пусть теперь точки 1 и 2 совпадают. Если г|з — однозначная
функция точки, то из A0.24) следует, что
(J) Hdl=0,
что противоречит A0.23) при 1Ф0. Для однозначности г|з необ-
необходимо, как говорят математики, провести «разрез плоскости».
В данном примере это сводится к сле-
следующему. Считаем отверстие в кольце
как бы закрытым некоторой бесконеч-
бесконечно тонкой пленкой, поверхность кото-
которой мы не должны пересекать ни при
каких перемещениях. Теперь при вы-
вычислении интеграла A0.24) надо счи-
считать, что точка 2 принадлежит нижней
поверхности пленки, а точка / — верх-
верхней, т. е. они разделены бесконечно
малым промежутком (лежат на раз-
разных «берегах разреза»). Тогда, с од-
одной стороны, рассматриваемый контур
отличается от замкнутого на бесконеч-
бесконечно малую величину и вследствие не-
непрерывности Н
1
~(? Hdl = —/. A0.25)
С другой стороны, сравнивая A0.25) с A0.24), видим, что на
поверхности этой пленки (разреза) потенциал испытывает ска-
скачок
L A0.26)
Рис. 5. Схематическое изоб-
изображение сверхпроводящего
кольца с током:
/ и 2 — точки иа контуре инте-
интегрирования 4; 3 — пленка, за-
закрывающая отверстие кольца
Выражение A0.26) представляет собой граничное условие, до-
дополнительное к условию
дп
=0,
A0.27)
которое должно выполняться на поверхности сверхпроводящего
кольца. Порядок нумерации 1 и 2 выбирается по правилу винта
так, что при вращении его по направлению / он движется от точ-
точки 1 к 2.
87

Рассмотрим магнитный поток сквозь площадь, ограниченную
кольцом,
Ф/=Г HdS,
A0.28)
где индекс У означает, что речь идет о потоке, связанном с то-
током У. Этот поток зависит от геометрии кольца и тока. Зависи-
Зависимость Ф/ от тока легко установить. Действительно, уравнения
A0.8) для определения Н и граничное условие A0.7) линейны
и однородны (напомним, что при удалении от кольца Н->-0).
Поэтому, как следует из A0.23), Н зависит от тока линейно.
Следовательно, Фх также линейно зависит от /. Обычно связь
Ф/ с / записывают в виде
A0.29)
где L —самоиндукция [см. G.35)]. Так же как и для линейных
проводников, в данном случае энергия магнитного поля выража-
выражается через L и / следующим образом [см. G.41)]:
8я
Если сверхпроводящее кольцо с током находится во внешнем
магнитном поле, то магнитный поток сквозь площадь, охвачен-
охваченную кольцом, можно записать в виде суммы:
Ф=Ф.+-»-?/, A0.30)
где Фе — магнитный поток от внешнего магнитного поля. Обра-
Обратим внимание, что при помещении сверхпроводящего кольца с
током во внешнее магнитное поле сила тока в нем изменяется,
так, что магнитный поток Ф остается неизменным. Постоянства
Ф вытекает из уравнения Максвелла
rotE= —
дЯ
которое после интегрирования по поверхности, охваченной каль-
цом, приводит к соотношению
?
A0.31)
Так как контур интегрирования лежит на поверхности сверхпро-
сверхпроводника, то правая часть A0.31) равна нулю вследствие A0.2).
Постоянство потока можно интерпретировать следующим обра-
образом. Поток Ф определяется числом линий напряженности маг-
магнитного поля, проходящих сквозь данную площадь. Изменить
поток — значит вывести (или ввести) линии Н из пространства,
ограниченного кольцом. Так как линии Н либо замкнуты, либо
уходят на бесконечность, то при такой операции необходимо пе-
88
ресечь сверхпроводящую область, куда поле проникнуть не мо-
может. Следовательно, линии Н нельзя вывести из сверхпроводя-
сверхпроводящего кольца, которое является, таким образом, «арканом» для
них. Обратим внимание, что если существует элементарный маг-
магнитный заряд — монополь Дирака, то магнитный поток сохра-
сохраняться не будет. Этот факт используют экспериментаторы для
поиска гипотетического магнитного заряда.
Отметим, что микроскопический подход к явлению сверхпро-
сверхпроводимости приводит к квантованию магнитного потока сквозь
сверхпроводящее кольцо:
Ф=лФ0. A0.32)
Здесь п — целое число, а
Ф0=2лПс/Bе)
A0.33)
— квант потока (флюксон), h — постоянная Планка, е — заряд
электрона, 2е— заряд куперовской пары, в которую связываются
электроны в сверхпроводящем состоянии. Для аккуратного по-
получения выражений A0.32), A0.33) требуется привлечь пред-
представление о волновой функции всех электронов в сверхпроводя-
сверхпроводящем состоянии. Следующие нестрогие рассуждения позволяют
понять эффект квантования магнитного потока в рассматривае-
рассматриваемом примере. Классическое финитное движение квантуется по
правилу Бора — Зоммерфельда. При движении частицы с заря-
зарядом 2е и массой 2т (куперовской пары) в магнитном поле с век-
векторным потенциалом А условия квантования имеют вид
где xs — скорость движения пары. Так как внутри сверхпровод-
кика сверхпроводящий ток отсутствует (vs=0, ток существует
только в поверхностном слое) и магнитного поля нет, то, смещая
контур интегрирования в глубь сверхпроводника и используя
теорему Стокса, получаем
что эквивалентно A0.32), A0.33).
Важной особенностью сверхпроводящего состояния является
наличие щели Д в спектре элементарных возбуждений, отделяю-
отделяющей основное состояние от возбужденных. Информация о А мо-
может быть получена, в частности, из изучения прохождения тока
через изоляционный слой (туннельный контакт) между двумя
сверхпроводниками. Если туннельный контакт достаточно тон-
тонкий, то электронные волновые функции сверхпроводящего со-
состояния по обе стороны барьера будут перекрываться и через
барьер будет течь сверхпроводящий ток (эффект Джозефсона).
Сверхпроводящие витки с одним или двумя туннельными кон-
контактами называют сквидом (SQUID — superconducting quantum
interference device — сверхпроводящее квантовое интерференци-
89

онное устройство). Они используются, в частности, в качестве-
высокочувствительных магнитометров. Это связано с тем, что ток
через туннельный контакт является осциллирующей функцией"
магнитного потока сквозь площадь, охваченную витком, и суще-
существенно меняется при изменении потока на Фо.
В заключение укажем способ возбуждения тока в сверхпро-
сверхпроводящем кольце. Кольцо в нормальном состоянии при Т>ТС по-
помещают во внешнее магнитное поле и затем охлаждают до пере-
перехода в сверхпроводящее состояние. В результате возникает оп-
определенный магнитный поток сквозь поверхность, охваченную
кольцом. Затем внешнее магнитное поле выключается и в коль-
кольце возбуждается ток /, обеспечивающий постоянство магнитного
потока.
§ 11. Фазовый переход в сверхпроводнике.
Критические температура и магнитное поле
Фазовый переход из сверхпроводящего состояния в нормаль-
нормальное при отсутствии внешнего магнитного поля и полного тока^
текущего через сечение сверхпроводника, является фазовым пе-
переходом II рода (см. § 8, 9). В качестве внутреннего параметра
(параметра порядка), наиболее полно характеризующего состоя-
состояние системы, здесь удобно выбрать величину А — щель в спектре
элементарных возбуждений системы. При Л=0 металл находит-
находится в нормальном состоянии, при Л=т^0 — в сверхпроводящем
(Д^О по определению). Далее нужно записать выражение для-
плотности свободной энергии Fsq вещества как функции Д (ин-
(индекс s указывает, что вещество находится в сверхпроводящем
состоянии, а индекс 0 — на отсутствие внешнего магнитного по-
поля). Минимум выражения Fsq по А определяет термодинамиче-
термодинамически равновесное значение До в зависимости от температуры. Как
и прежде, рассматриваем достаточно малые отклонения темпе-
температуры от критической Тс, что позволяет записать выражение
для Fs0 в виде ряда по степеням параметра порядка, обычном
для теории фазовых переходов II рода:
A1.1)
где Fn — плотность свободной энергии металла в нормальном со-
состоянии. Напомним, что в теории Л. Д. Ландау параметр Ь>0 и
не зависит от температуры, а параметр а записывается в виде
а = а(Т-Тс) (а>0). A1.2)
Тогда из A1.1) для термодинамически равновесного значения
щели получаем
ДО==О (Г>ГС), > A1.3)
Д0=1/а(Гс-Г)/? (Г<ГС). A1.4)
Подставляя A1.4) в A1.1), находим термодинамически равпо-
90
весное значение плотности свободной энергии Fsq в сверхпрово-
сверхпроводящем состоянии:
A1.5)
откуда следует, что она меньше плотности свободной энергии ме-
металла в нормальном состоянии.
Исследуем теперь фазовый переход при наличии внешнего
магнитного поля. Здесь существенна также и геометрия сверх-
сверхпроводника. Рассмотрим цилиндр во внешнем однородном поле
Ш, параллельном его оси (см. § 10). Выберем Ж в качестве
внешнего параметра. Тогда свободная энергия системы
v_, ' *~ / А А С* \
где VFso — свободная энергия сверхпроводника при отсутствии
магнитного поля, Ж — магнитный момент сверхпроводника, ин-
индуцированный полем Ж. Используя для рассматриваемого слу-
случая значение Л, определяемое выражением A0.22), а для Fsq —-
выражение A1.5), имеем для термодинамически равновесной
свободной энергии
A1.7)
Обратим внимание на то, что третье слагаемое в A1.7) дает уве-
увеличение свободной энергии сверхпроводника во внешнем поле.
Если Ж увеличивается, то оно может превысить второе и, сле-
следовательно, сверхпроводящее состояние тогда станет невыгод-
невыгодным. Поэтому для исследования фазового перехода в сверхпро-
сверхпроводнике при наличии магнитного поля необходимо более деталь-
детально рассмотреть проигрыш в энергии за счет эффекта Мейсснера.
Нужно учесть, что при достаточно малых значениях А эффект
Мейсснера неполный: при Д->-0 добавка к энергии за счет этого
эффекта должна стремиться к нулю. При этом мы отвлекаемся
от того, что свободная энергия нормального металла зависит от
Ш, так как обычно магнитными свойствами нормального метал-
металла можно пренебречь. С учетом вышесказанного запишем сле-
следующее выражение для свободной энергии сверхпроводника в
зависимости от Д:
ГЛД)=^/гл + 1/аД2/2 + 1/ЙД74 + 1/^2/(Д)/(8л), A1.8)
где функция f(A) обладает свойствами f@)=0, а с ростом Д
быстро выходит на постоянное значение, равное единице. Рас-
Рассмотрим качественно поведение выражения A1.8) в зависимости
от Д при а<0 и Ь>0. При увеличении А от нуля {Fs сначала воз-
возрастает из-за резкого увеличения функции /(А). Затем главным
становится слагаемое l/2aVA2 (a<0) и функция iFs* пройдя че-
через максимум, начинает уменьшаться. При дальнейшем росте А
функция 3*"в, пройдя через минимум при некотором значении
до=^О, снова возрастает из-за слагаемого 7^УД4-Итак, #s имеет
два минимума: при Д=0 и при До^О. Это означает, что здесь
91

совершается фазовый переход I рода. С ростом Ж глубина вто-
второго, «сверхпроводящего», минимума уменьшается и начиная с
некоторого значения 3#кр устойчивым станет состояние с Д = 0,
т. е. нормальное состояние металла. Напряженность такого маг-
магнитного поля называют критической. Она зависит от температу-
температуры. Кривая Жф(П на плоскости ТЖ разграничивает области
сверхпроводящего и нормального состояний металла. Величину
ЖКр(Т) можно получить, приравнивая в A1.7) второе и третье
слагаемые:
— const (Гс-Г).
A1.9)
Отметим, что экспериментальные данные хорошо описываются
зависимостью
которая при (Гс—Г)/71с<1 согласуется с A1.9).
В предыдущих рассуждениях рассматривался фазовый пере-
переход при постоянной температуре, вызванный изменением напря-
напряженности магнитного поля,— разрушение сверхпроводящего со-
состояния магнитным полем. Рассмотрим другую постановку воп-
вопроса. Пусть при Г=0 К вещество находится в сверхпроводящем
состоянии в магнитном поле Ж<Жкр@). Тогда с ростом темпе-
температуры фазовый переход произойдет при некотором значении
ТС{Ж). Введенная в § 10 критическая температура Тс есть не
что иное, как температура, отвечающая значению Ж—О: Тс =
= Тс{Ж=0). С ростом напряженности магнитного поля крити-
критическая температура понижается.
В разобранном примере с цилиндром напряженность поля на
поверхности везде одинакова: либо 3%<Жкр, либоЖ > 5#кР.
Обычно поле неоднородно. Рассмотрим для примера полый
сверхпроводящий цилиндр, внутренний радиус которого рь а
внешний — р2. По оси цилиндра проходит линейный проводник
с током, создающий магнитное поле, спадающее по закону Ж~
~ 1/р (см. § 7), где p2 = x2 + y2t а ось z выбрана по оси цилинд-
цилиндра. Если Э@=Э@кр на внутренней поверхности цилиндра, то он ос-
останется в сверхпроводящем состоянии. Пусть теперь значение
3#=3#кр достигается внутри цилиндра при р=ро, где pi<po<
<р2. При этом внутренняя часть с pi<p<p0 перейдет в нормаль-
нормальное состояние, а внешняя с ро<р<р2 останется в сверхпроводя-
сверхпроводящем состоянии. Следовательно, вещество разделяется на две фа-
фазы, граница между которыми проходит по линиям ЗК=3#Кр.
Пусть теперь во внешнем однородном поле Ж находится сверх-
сверхпроводящий шар. Напряженность поля на поверхности шара за-
зависит от угла 0 между направлением напряженности магнитно-
магнитного поля и направлением на точку наблюдения [см. A0.17)]:
Здесь значение Ж = Ж^ достигается сначала на экваторе (при
6=jt/2). Можно было бы предположить, что нормальное состоя-
92
ние будет возникать в тех областях, где Ж>Жкр. Однако это
оказывается термодинамически невыгодным. Условия термоди-
термодинамической устойчивости приводят к тому, что при достижении
значения Ж=ЖКр в каком-то месте сверхпроводника все тело
разбивается на чередующиеся слои нормального и сверхпрово-
сверхпроводящего металла — домены. Такое состояние тела называется
промежуточным. Исследование промежуточного состояния пред-
представляет собой сложную задачу, выходящую за рамки данного
курса.
КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
§ 12. Уравнения для электромагнитного поля
в квазистационарном приближении
До сих пор рассматривались стационарные поля. Перейдем
теперь к исследованию полей, напряженность которых зависит от
времени, для чего обратимся снова к системе уравнений Мак-
Максвелла A.31) — A.34). Будем считать, что сторонние токи и за-
заряды отсутствуют: jCT=0, рСт=0. Учитывая линейность уравне-
уравнений Максвелла, разложим все величины в интеграл Фурье по
времени, например
о»
Е(г,О= J
2rt
ехр(— *
A2.1)
В дальнейшем для сокращения записи используется обозначение
Еш=Е(г, *). A2.2)
Подставляя для всех величин разложения типа A2.1) в A.31) —
A.34), получаем уравнения для соответствующих Фурье-компо-
Фурье-компонент Ett, Нш и т. д. Решив их, можно найти Е(г, t) и другие ха-
характеристики электромагнитного поля. Поэтому для исследова-
исследования общего случая достаточно рассмотреть ситуацию, когда на-
напряженность поля зависит от времени по гармоническому зако-
закону с фиксированной частотой со, например
A2.3)
Обратим внимание на то, что Е в A2.3) —комплексная величи-
величина. До тех пор пока соотношения линейные, это не приведет ни
к каким недоразумениям. В окончательных ответах и при вычи-
вычислениях различных нелинейных комбинаций нужно использовать
реальные части выражений типа A2.3).
В каждом конкретном случае частота со поля должна сопо-
сопоставляться с характерными частотами соо рассматриваемой зада-
задачи. Если со^соо, то поля называют высокочастотными (быстро-
93

переменными), если co<Scoo — низкочастотными (медленно меня-
меняющимися).
Для выяснения того, какие именно величины играют роль ха-
характерных частот too, обратимся к уравнениям связи (см. § 2),
которые добавляются к системе уравнений Максвелла. Как из-
известно, в стационарном случае (при со=0) для не слишком силь-
сильных полей
D=eE, B = [xH, j = aE. A24)
Ради простоты эти соотношения записаны для случая изотроп-
изотропных, непироэлектрических и неферромагнитных сред. Оценки,
проведенные в § 7, показывают, что в отличие от диэлектриче-
диэлектрической проницаемости магнитная проницаемость таких сред ма-
мало отличается от единицы, поэтому в дальнейшем рассматри-
рассматриваются вещества, магнитными свойствами которых можно пре-
пренебречь, т. е. принимается
И=»1. A2.5)
Если аналогичные уравнения связи записывать для переменных
полей (со=т^О), то при oxfCoo величины е, ц и а с хорошей точно-
точностью совпадают со своими статическими значениями, отвечающи-
отвечающими со=(Х
Рассмотрим для примера связь D=eE. Как указано в § 2, ?
определяется поляризацией среды, т. е. смещением связанных
зарядов под действием поля. Если поле изменяется достаточно
медленно (адиабатически), то эти смещения успевают следовать
за напряженностью поля и е не изменяется по сравнению со ста-
статическим значением. Медленность изменения напряженности оз-
означает, что со<Ссоо=1Д, где т — характерное время установле-
установления поляризации в веществе. Например, в твердом теле поля-
поляризация определяется электронами и соо~Д?уЛ~ 1015 с~\ где
Д?~1 эВ — порядок расстояния между энергетическими поло-
полосами. Для газа полярных молекул т —время релаксации макро-
макроскопического дипольного момента, т. е. время, необходимое для
выстраивания молекулярных диполей по направлению линий на-
напряженности. При рассмотрении связи j = aE роль характерной
частоты соо играет величина 1/т, где т — время свободного пробе-
пробега электрона, так как проводимость а определяется тем, насколь-
насколько свободно электроны могут перемещаться в веществе. Для хо-
хороших металлов 1/т порядка 1013 с, и при со<1/т значение а
практически совпадает со своим статическим значением, так как
поле в этих случаях не нарушает микроскопического механизма
проводимости.
В дальнейшем в этой главе предполагается, что с течением
времени напряженность меняется достаточно медленно, а пото-
потому е и о совпадают со своими статическими значениями. Мед-
Медленность изменения во времени напряженности электромагнит-
электромагнитного поля позволяет упростить систему уравнений Максвелла.
Для рассмотрения огромного числа задач электро- и радиотех-
94
ники, задач о распределении переменного тока по сечению про-
проводника, о возникновении токов в проводниках, находящихся в
переменном магнитном поле, и других достаточно квазистацио-
квазистационарного приближения.
Электромагнитное поле называется квазистационарным, если
в уравнении Максвелла A.34) пренебрегается величиной
dD
dt
Тогда
dE
dt
rotH= —j
A2.6)
A2.7)
Обсудим ограничения, позволяющие использовать вместо A.34)
уравнение A2.7). В области внутри проводника при наличии то-
тока проводимости пренебрежение dD/dt (тока смещения) не вне-
внесет существенной ошибки, если j = aE^>$ —— ~?ш?, т. е. при
Ш vC 3/6. \А<О/
Для хороших металлов, полагая а~1017 с, ё=1, видим, что
условие A2.8) является более слабым, чем отмеченное выше ус-
условие адиабатичности, требующее со<1О13 с™1. В области вне
проводника j = 0 и возможность пренебрежения током смещения
оценивается из сравнения пространственных и временных произ-
производных напряженностей поля, а именно: мы хотим в уравнении
A2.9)
rotH = —
с
дЕ
dt
где для простоты положено е=1, пренебречь правой частью,
т. е. считать скорость изменения напряженности поля во времени
малой по сравнению со скоростью ее изменения в пространстве.
Оценивая левую и правую части в A2.9), приходим к неравен-
неравенству
A2.10)
где / — характерная длина изменения напряженности электро-
х ж? 1 ^Н
магнитного поля в пространстве. Из уравнения rotb= —
получаем оценку, связывающую между собой величины Е и Н:
Е/1~<*Н/с. A2.11)
Исключая из A2.10) Е с помощью A2.11), приходим к условию
/«X, A2.12)
выполнение которого определяет применимость квазистационар-
пого приближения в области, где ток проводимости отсутствует.
Здесь %=с/ы—длина волны электромагнитного поля. Значение
/ — порядка характерной длины L проводника. Поэтому неравеи-
95

ство A2.12) ограничивает размер проводника: /,<СХ. С другой
стороны, в достаточном удалении от проводника, где напряжен-
напряженность поля изменяется в пространстве степенным образом, роль
/ играет г — расстояние от точки наблюдения до проводника. По-
Поэтому квазистационарное приближение работает только в некото-
некоторой области вблизи проводника, так что г<^К. Отметим, что фи-
физически это условие означает пренебрежение эффектом запазды-
запаздывания при распространении электромагнитного поля.
Итак, в квазистационарном приближении электромагнитное
поле описывается системой уравнений
4Я " A2.13)
rotH=
divH=0,
rotE=—L
с
dt
A2.14)
A2.15)
Вне проводника а=0 и уравнение A2.13) принимает вид
rotH=0. A2.16)
Взяв дивергенцию от обеих частей уравнения A2.13), с учетом
того, что а не зависит от координат, получаем
divE=0. A2.17)
Так как ток проводимости течет только внутри проводника, то
т. е. на поверхности проводника
р | п
A2.18)
Из уравнения A2.14) следует непрерывность нормальных компо-
компонент Н на границе проводника;
п
=//П5, A2.19)
где индексы i и е указывают на поле внутри и вне проводника.
Из A2.13) с учетом конечности Е и а следует непрерывность
тангенциальных компонент вектора Н:
=Н\%. A2.20)
Следовательно, на границе проводника вектор Н непрерывен:
Из уравнений A2.13) —A2.15) нетрудно получить уравнения
только для Н или для Е. Например, взяв ротор от обеих частей
уравнения A2.13) и исключая rot E с помощью A2.15), полу-
получим
4ла
96
Аналогично получается и уравнение для Е:
4яс дЕ
(?2 dt
A2.22)
Сделаем следующее замечание относительно применимости
квазистационарного приближения. Условия A2.8), A2.12) могут
оказаться более слабыми, чем требование адиабатичности, т. е.
отсутствия зависимости е и а от со. Поэтому иногда рассматрива-
рассматривают задачи в квазистационарном приближении с учетом зависимо-
зависимости е и а от со (квазистационарность в широком смысле этого по-
понятия). Имеется еще одно условие, ограничивающее примени-
применимость этих упрощенных уравнений. Дело в том, что мы рассмат-
рассматриваем макроскопические поля, поэтому длина свободного про-
пробега электрона в проводнике должна быть малой по сравнению
с расстоянием /, на котором существенно меняется напряжен-
напряженность поля внутри проводника. Как будет видно из дальнейшего,
/ уменьшается с ростом со. Именно отсюда для хороших метал-
металлов вытекает самое сильное ограничение на частоту поля: со<ёС
<С1010 с.
§ 13. Токи Фуко и скин-эффект в проводниках
Как уже отмечалось, уравнения квазистационарного электро-
электромагнитного поля широко применяются для решения задач элект-
электро- и радиотехники, в которых рассчитываются электрические
цепи с емкостями, индуктивностями и сопротивлениями. Они ис-
используются также при нахождении распределения переменного
тока по поперечному сечению проводника (задача о скин-эффек-
скин-эффекте). Еще один тип задач, для решения которых используется
квазистационарное приближение,—это задачи о нахождении то-
токов Фуко. Токи Фуко возникают в массивных проводниках, по-
помещаемых в переменное магнитное поле, и приводят к диссипа-
диссипации энергии электромагнитного поля — нагреванию проводников.
Рассмотрим более подробно задачу о токах Фуко на примере
проводящего шара радиуса R, помещенного в однородное пере-
переменное магнитное поле:
*}?/> 3й0 л—Itot { 1 О. 1 \
&%3 а%2 дС • 1 10,1 I
Напомним, что в промежуточных вычислениях для упрощения
используются комплексные величины. Поэтому выражение A3.1)
подразумевает, что
= Re Ш<р-ш=Жъ cos
Напряженность магнитного поля в присутствии проводника
A3.2)
A3.3)
где индексы е н I указывают, что рассматриваются области вне
4—1514 97

и внутри проводника соответственно. Из A2.21) получаем урав-
уравнения для определения функций Н<е)(г) и Н<*>(г)
ДН<*>(г)=0, A3.4)
ДН«>(Г)= —i^H<') A3.5)
с граничными условиями
A3.6)
A3.7)
Прежде чем обсуждать конкретный вид решения поставлен-
поставленной задачи, сделаем некоторые оценки и получим общие выра-
выражения, позволяющие найти поглощенную проводником энергию
электромагнитного поля. Вводя характерную длину изменения
магнитного поля внутри проводника /, получим для нее из A3.5)
следующую оценку:
t~c/V™. A3.8)
Значение / при уменьшении о) увеличивается, поэтому для доста-
достаточно малых частот выполняется неравенство /^>L, где L —ха-
—характерная длина рассматриваемого проводника (в случае шара
L=R). Для таких частот решение может быть найдено прибли-
приближенно в виде ряда по степеням малого параметра L/L В проти-
противоположном случае достаточно больших частот, когда /<сД ре-
решение может быть найдено в виде ряда по степеням малого па-
параметра 1/L.
По найденной напряженности магнитного поля из уравнения
A2,13) или A2.15) рассчитываются напряженность индуциро-
индуцированного им электрического поля Е и, следовательно, распреде-
распределение токов Фуко в проводнике j = aE. Поглощаемая проводни-
проводником в единицу времени энергия поля может быть рассчитана по
формуле G.43):
Е2. A3.9)
Величина Q0=jE=}2/g представляет собой количество теплоты,
выделяющейся в единице объема проводника в единицу времени,
а само это соотношение есть не что иное, как закон Джоуля —
Ленца в дифференциальной форме. В дальнейшем будет ис-
использоваться величина Q, где черта сверху означает усреднение
по промежутку времени Г^>1/о). Обратим внимание, что выра-
выражение A3.9) представляет собой квадратичную форму Е, а по-
потому в нем для Е следует использовать вещественное выраже-
выражение. Используя уравнения электромагнитного поля и теорему
Гаусса, можно записать выражение для Q в виде интеграла по
поверхности проводника:
A3.10)
98
где элемент поверхности dS направлен по внешней нормали. Вы-
Выражение A3.10) показывает, что диссипируемая в проводнике
энергия равна потоку энергии электромагнитного поля сквозь
поверхность проводника. Получим выражение для Q через комп-
комплексные величины Е и Н при гармонической зависимости напря-
женностей полей от времени. Записывая
Е(т f\—I/1 [F(r\f>—'т*-1_w rl Hfr /^ —
имеем
[Е(г,О, Н(г, O] = V2Re[E(r), Н(г)*]
Используя A3.11), из A3.10) получаем
, Н(г)*].
A3.11)
A3.12)
Для практических целей представляет интерес зависимость Q
от частоты о) поля. В предельных случаях малых и больших час-
частот можно установить явный вид этой зависимости для провод-
проводника произвольной формы. В случае малых частот при L<^1 для
распределения магнитного поля в пространстве можно взять в
первом приближении функцию Нст(г), отвечающую случаю со =
-¦¦
= 0. Для шара в однородном поле Нст(г)=<5^0. Индуцированное
электрическое поле определяется тогда из уравнения A2.15), ко-
которое для гармонической зависимости полей от времени имеет
вид
= —HCT(r).
С
A3.13)
Из A3.13) следует, что ?соо), в частности для шара в однород-
однородном поле
о-
с
Поэтому из A3.9) видим, что в области малых частот
для шара
¦yz aoJ/?5 9
V~ Г~
и
A3.14)
Исследуем теперь случай достаточно больших частот, когда
Тогда для нахождения напряженности магнитного поля
вне проводника можно в первом приближении пренебречь про-
проникновением поля в проводник. Поэтому на поверхности провод-
проводника имеем такое же граничное условие, как и в случае сверх-
сверхпроводника:
=0. A3.15)
Условие A3.15) означает, что возникающие токи Фуко препят-
препятствуют проникновению поля в глубь проводника. Условие A3.15)
вместе с условием поведения поля на бесконечности позволяет

найти распределение Н<*>(г) поля вне проводника и, следова-
следовательно, на поверхности проводника:
Н0=Н<*>(г)|$. A3.16)
Итак, в первом приближении по параметру 1/L вектор напря-
напряженности магнитного поля на поверхности проводника направ-
направлен по касательной к поверхности и определяется выражением
A3.16). Это выражение используется в качестве граничного ус-
условия при нахождении распределения напряженности поля
внутри проводника;
Н«>(г)|5=Н0. A3.17)
Уравнение A3.5) с условием A3.17) позволяет найти Н<*>(г)
внутри проводника. Оценка для напряженности электрического
поля внутри проводника дает
?40
/(О
— #{').
A3.18)
Обратим внимание, что напряженность электрического поля су-
существенно меньше, чем магнитного (/<^L<^c/g)). Для поглощае-
поглощаемой мощности из A3.12) в этом случае получаем следующую за-
зависимость от частоты со и проводимости а:
Q
/тф
dS|H(
A3.19)
Если / мала не только по сравнению с L, но и с характерным
значением радиуса кривизны поверхности проводника, то воз-
возможны дальнейшие упрощения. Тогда при нахождении напря-
напряженности поля внутри проводника можно заменить участок по-
поверхности проводника касательной плоскостью. Направим ось z
в глубь проводника перпендикулярно этой плоскости. При такой
постановке задачи функция Н<<> зависит только от г, а граничное
условие A3.17) имеет вид
o = Ho. A3.20)
Из уравнения divH = 0 следует, что #2(i) = const, а так как* на
границе #ог=О, то вектор Н<*> параллелен вектору Но [см.
A3.20)]. Тогда, обозначая
Н<'>(г)=е0Я(г),
где е0 — единичный вектор по направлению Но, для определения
скалярной функции Н (г) имеем из A3.5) уравнение
где
A3.21)
A3.22)
100
Решение уравнения A3.21), имеющее физический смысл, запи-
запишем в виде
Я = Яое^, A3.23)
где
A3.25)
Таким образом, в этом приближении напряженность поля внут-
внутри проводника при удалении от поверхности меняется по закону
Из этого выражения видно, что I имеет смысл расстояния, на ко-
котором существенно меняется напряженность поля в проводнике.
Эту величину, определяемую выражением A3.25), обычно назы-
называют глубиной проникновения поля в проводник. Из уравнения
A2.13) в этом приближении для напряженности электрического
поля в проводнике получаем выражение
-/
(I)
8ла
A3.26)
где п — единичный вектор внешней нормали к поверхности про-
проводника, направленный в отрицательном направлении оси г. От-
Отметим, что оценка A3.18) согласуется с результатом A3.26).
Используя A3.12), получаем, что поглощаемая мощность равна
Q
-*-i/-^- (?d5|HoP. A3-27)
16л ^ 2яа T ' 0|
Выражение A3.19), полученное путем оценки, отличается от ре-
результата A3.27) только числовым множителем.
Обратимся теперь к результатам точного решения задачи о
проводящем шаре в переменном однородном поле. Направляя
-*¦
ось z по физически выделенному направлению Жо и вводя сфе-
сферические координаты г, 0 и ф, из симметрии задачи видим, что
у магнитного поля отличны от нуля только компоненты Hr(rt 0)
и #е(г, 9)» а У электрического — только компонента Ev(rt 0).
Следовательно, вектор j, описывающий распределение токов Фу-
Фуко, также имеет только одну отличную от нуля компоненту /„(г,
0)=аЕ'ф(г> 0). Опуская выражения для напряженностей полей
ввиду их громоздкости, приведем формулу для поглощаемой
мощности:
8
X
2R
Kch—-cos
где shx и ohx — гиперболические синус и косинус.
A3.28)
101

Выражение A3.28) позволяет проверить результаты прове-
проведенных оценок поглощаемой мощности. Для малых частот, про-
проводя в A3.28) разложение по малому параметру, получаем
A3.29)
Сравнение A3.29) с A3.14) показывает, что проделанная ранее
оценка верна с точностью до числового множителя. Для больших
частот при 1<^R из A3.28) имеем приближенно
A3.30)
Оценка A3.27) согласуется с результатом A3.30). Более того,
результат A3.30) получается из A3.27), если в качестве Но ис-
использовать выражение A0.17).
Обратимся теперь к задачам о скин-эффекте, т. е. задачам
нахождения распределения переменного тока по сечению про-
проводника. Для примера рассмотрим бесконечно длинный прямой
цилиндрический проводник кругового сечения радиуса R. Напра-
Направим ось z по оси цилиндра вдоль направления протекания тока.
Тогда отличная от нуля компонента плотности тока jZj обозна-
обозначаемая в дальнейшем /, вследствие осевой симметрии задачи и
однородности в направлении z зависит только от г—расстояния
от оси цилиндра. Пусть плотность тока зависит от времени по
гармоническому закону
j(r, *)=/(r)e-'«<, A3.31)
где, как и выше, мы используем комплексное выражение, подра-
подразумевая его реальную часть. Распределение тока по поперечному
сечению проводника нормировано условием
f 2лгс1гу(г) =
A3.32)
где / — амплитуда полного тока, текущего по проводнику. Даль-
Дальнейшие вычисления проводятся в цилиндрических координатах
z, r и ф. Из симметрии задачи следует, что напряженность маг-
магнитного поля имеет только одну отличную от нуля компоненту
Я?(г, t)=H{r)er*»K A3.33)
Так как уравнения квазистационарного приближения вне про-
проводника совпадают с уравнениями стационарного магнитного по-
поля, то вне проводника
сг
A3.34)
Учитывая конечность величины Н^Цг) при г=0, из уравнения
A3.5) имеем
H(n(r)=AJl(kr)t A3.35)
102
где Jv(x) —функция Бесселя, k определено выражением A3.24),
а постоянная А находится из условия непрерывности магнитного
поля на поверхности проводника и равна
2!
А=
(kR)
A3.36)
Распределение плотности тока по сечению проводника получа-
получается затем из A2.13):
/ (г) = — Уо (kr). A3.37)
2nRJl(kR)
Для получения окончательного ответа нужно A3.37) умножить
на е~г'шГ и выделить реальную часть.
Обсудим полученный результат. В предельном случае малых
частот, когда 7?//<Cl, в первом неисчезающем приближении из
A3.37) получаем очевидный ответ:
Следующие члены ряда по малому параметру показывают, что
при удалении от оси амплитуда плотности тока возрастает. Эта
тенденция увеличения плотности тока по мере приближения к
поверхности проводника особенно наглядно проявляется при
больших частотах, когда 1<^R. В этом случае основная зависи-
зависимость плотности тока от г, как следует из A3.37), определяется
множителем ехр[— (R—г)/1]. Значит, при больших частотах ток
в основном сосредоточен в тонком слое .(скин-слое) вблизи по-
поверхности проводника. В заключение отметим, что этот резуль-
результат не зависит от формы проводника и толщина скин-слоя может
быть оценена по формуле A3.25).
БЫСТРОПЕРЕМЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
ПОЛЯ В ВЕЩЕСТВЕ
§ 14. Частотная дисперсия диэлектрической
проницаемости. Соотношения Крамерса— Кронига
Общий подход к рассмотрению переменного электромагнит-
электромагнитного поля в среде был изложен в гл. 5. Здесь мы также рассмат-
рассматриваем поля, напряженность которых гармонически зависит от
времени, т. е.
Е(г, О=Е(г, ш)е-'щ', A4.1)
но в отличие от предыдущего не считаем частоту со поля малой
по сравнению с характерными частотами среды. Как и прежде,
предполагаем, что сторонние заряды и токи отсутствуют, а так-
103

rotH = j — i —D,
с с
divH=0.
же пренебрегаем магнитными свойствами среды:
р=1. A4.2)
Тогда система уравнений Максвелла, введенная в § 1, принима-
принимает вид
rotE= —H, A4.3)
с
A4.4)
A4.5)
A4.6)
К этим уравнениям нужно добавить уравнения связи типа
D=eE, A4.7)
/=«Е, A4.8)
где (гиб зависят от частоты поля (см. § 12).
В § 1 указывалось, что уравнения Максвелла в среде явля-
являются феноменологическими и могут быть записаны по-разному в
зависимости от типа рассматриваемых задач. В частности, вид
уравнения A4.5) связан с разделением зарядов среды на сво-
свободные и связанные. Такое разделение имеет смысл для стацио-
стационарных и медленно меняющихся полей. Для быстропеременных
полей различие между свободными и связанными зарядами сти-
стирается: под действием поля и те и другие заряды осциллируют в
пространстве и, следовательно, могут быть описаны единым об-
образом. Поэтому для описания быстропеременных полей в веще-
веществе удобно вместо уравнения A4.5) пользоваться другим. Для
этого перепишем A4.5), используя A4.7) и A4.8), в виде
rotH = —
Ы
A4.9)
Выражение, стоящее в правой части A4.9), содержит два сла-
слагаемых, одно из которых учитывает вклад связанных электро-
электронов, а другое — электронов проводимости. Для быстроперемен-
быстропеременных полей, когда деление зарядов на свободные и связанные
становится условным, естественно описывать вклад всех зарядов
в индукцию (поляризацию среды) одинаково, вводя, например,
эффективную диэлектрическую проницаемость среды
Г —. A4.10)
Вводя индукцию D = eE, перепишем уравнение A4.9) в виде
rotH= -— D. A4.11)
104
Итак, поведение проводников и диэлектриков в таких полях ста-
становится одинаковым и электродинамические свойства среды
можно описывать одной комплексной функцией е. Заметим, что
для переменных полей величина е, входящая в е, также стано-
становится комплексной. В дальнейшем значок «тильда» над е и D
опущен и е учитывает вклад как связанных электронов, так и
электронов проводимости. Окончательно для описания быстро-
переменных полей в веществе используются уравнения A4.3),
A4.6), уравнение
rotH=-?— D,
A4.12)
вытекающее из него уравнение
divD=0,
A4.13)
и уравнение связи A4.7).
Напомним, что в нашем рассмотрении зависимость напряжен-
напряженности поля от времени предполагается гармонической. Поэтому
оператор d/dt здесь сводится к умножению на —ш. Если входя-
входящую в эти уравнения частоту о заменить на оператор id/dt, то
уравнения будут иметь смысл для произвольной зависимости на-
напряженности поля от времени, но это будут уже сложные опера-
операторные уравнения, не дифференциальные в общем случае. Дей-
Действительно, уравнение связи A4.7) в случае произвольной зави-
зависимости напряженности поля от времени означает интегральную
связь между индукцией D в данный момент и напряженностью
электрического поля во все предыдущие моменты времени:
D(r, О=Е(г, t)+ f f{t-t')E{r, t')Ut' =
t.'
E(r,
/(т)Е(г, *-
A4.14)
При написании A4.14) использован принцип причинности — ин-
индукция может зависеть только от напряженности поля в преды-
предыдущие моменты времени. Физически это означает, что для пере-
переменных полей в общем случае установление поляризации среды
не успевает мгновенно следовать за изменением напряженности.
Вещественная функция f(x) определяет как бы «память» систе-
системы о том поле, которое существовало в предыдущие моменты
времени. Формально выражение A4.14) может быть записано в
виде
D = ifet A4.15)
где е — линейный интегральный оператор. Разложив D(/) и Е(/)
в интеграл Фурье, из A4.14) получим связь между фурье-компо-
105

нентами D(co) и Е(со) в виде A4.7), где
s (ш) = 1 -|- f d-c/ (t) exp (/cot).
о
Записывая е(со) в виде
A4.16)
г2Н, A4.17)
имеем для вещественной и мнимой частей диэлектрической про-
проницаемости следующие выражения из A4.16):
DO
?l(u))=l-|-f (It/(t) COS cot.
A4.18)
е2 (ш) = Г dt/ (t) sin шт.
A4.19)
Видно, что вещественная часть диэлектрической проницаемо-
проницаемости— четная функция частоты, а мнимая — нечетная:
е,(—ш) = е,(ш), A4.20)
е2(— (о)=— s2(co). A4.21)
Соотношения A4.20) и A4.21) можно объединить:
в(-ш) = е(ш)*. A4.22)
О зависимости диэлектрической проницаемости от частоты гово-
говорят как о частотной дисперсии диэлектрической проницаемости.
При малых частотах е(со) можно разложить в ряд по степеням
со. Разложение е{ содержит лишь четные степени со, а ег — нечет-
нечетные. В пределе со-^0 в диэлектрике е(со) стремится к е@) —ста-
—статическому значению диэлектрической проницаемости. В провод-
проводниках с учетом того, что теперь в е включена и проводимость а,
при со-^0 диэлектрическая проницаемость имеет полюс
в2(ш) = -^, A4.23)
где а—обычная проводимость для постоянного тока.
Может возникнуть вопрос: существует ли вообще область
значений частот, в которой уже существенны дисперсионные яв-
явления, но еще допустимо макроскопическое описание? Наиболее
быстрый механизм установления электрической поляриза-
поляризации— электронный. Его время релаксации порядка a/vy где а
имеет величину порядка атомных размеров, a v — характерная
скорость движения электронов в атоме. Дисперсия становится
существенной, если
A4.24)
С другой стороны, условие применимости макроскопического
106
описания требует, чтобы длина, на которой существенно меняет-
меняется напряженность поля, значительно превосходила атомные раз-
размеры, т. е. с/со^а или
A4.25)
Так как характерная скорость движения v электронов много
меньше с (t^/c — 1/137), то неравенства A4.24) и A4.25) могут
выполняться одновременно и, следовательно, указанная область
частот существует.
При больших частотах диэлектрическая проницаемость всех
веществ стремится к единице. Это следует из того, что при до-
достаточно быстром изменении напряженности процессы, приводя-
приводящие к установлению отличной от Е индукции D, вообще не ус-
успевают происходить. Если со превышает все характерные часто-
частоты среды, то можно найти предельный вид функции е(<о), спра-
справедливый для любых веществ. Действительно, в этом случае при
вычислении плотности дипольного момента вещества электроны
можно рассматривать как свободные, так как нас интересуют
промежутки времени порядка 1/со. Путь и/со, проходимый элект-
электроном за это время, мал по сравнению с расстоянием с/со, на ко-
котором существенно меняется напряженность, поэтому при оп-
определении смещения электрона под действием поля поле можно
считать однородным. Из уравнения движения тг=еЕ, где т —
масса электрона, е — его заряд, а Е = Е(со)е~*и', получаем
т^= е-Е.
Тогда плотность дипольного момента
/Я 0J
A4.26)
где N — концентрация электронов. Из определения индукции D=
= E + 4jtP и выражения A4.26) находим
S(@)= 1 — O)p/lO2,
где
A4,27)
A4.28)
Частоту сор обычно называют плазменной, так как выражение
A4.27) используется для описания электродинамических явле-
явлений в плазме.
Итак, для описания быстропеременных полей в веществе в
случае произвольной зависимости напряженности от времени ис-
используется уравнение связи в виде A4.14), а вместо уравнений
A4.3) и A4.12)—уравнения
rotE=
с dt
rot H =
С dt
A4.3')
A4.12')
107

Выясним теперь физический смысл мнимой части диэлектри-
диэлектрической проницаемости. Напомним, что в нашем рассмотрении
мнимая часть е в проводнике в первую очередь связана с прово-
проводимостью и, следовательно, характеризует диссипацию энергии
электромагнитного поля — переход ее в теплоту. Можно ожи-
ожидать, что в общем случае величина Im e также связана с поте-
потерями энергии электромагнитного поля в веществе. Умножая обе
части уравнения A4.12') скалярно на Е, а A4.3') — на Н и выч-
вычтя одно из другого, получаем
A4.29)
divS =
где
A4.30)
— вектор Пойнтинга. Посмотрим, что представляет собой правая
часть A4.29) для полей, напряженность которых гармонически
зависит от времени. Так как это выражение квадратично по на-
пряженностям полей, то необходимо подставлять реальную часть
напряженностей, записанных в комплексной форме A4.1). В ре-
результате правая часть содержит осциллирующие слагаемые, про-
пропорциональные exp(rb2toO), и слагаемые, не зависящие от вре-
времени. Осциллирующие слагаемые описывают обмен энергией
между полем и средой: поле то разгоняет заряды, отдавая им
энергию, то заряды, тормозясь, излучают, отдавая энергию полю.
В среднем этот процесс не влияет на обмен энергией между сре-
средой и полем. Средний ход процесса такого обмена определяют
слагаемые, не зависящие от времени. Поэтому, проводя усред-
усреднение по промежутку времени Г^>1/о), получаем
divS= —~- Ер. A4.31)
8я ' * v '
Итак, в зависимости от знака мнимой части диэлектрической
проницаемости среда либо поглощает энергию электромагнитно-
электромагнитного поля, либо увеличивает ее. В состоянии термодинамического
равновесия среда всегда поглощает; следовательно,
е2>0 A4.32)
(здесь подразумевается со>О). В принципе, можно создать и та-
такое состояние среды, при котором ег<0, и она будет усиливать
проходящую электромагнитную волну. При некоторых значени-
значениях частоты 82=0 и среда является прозрачной для такого излу-
излучения. Вообще, области частот, в которых ег достаточно мала,
называются областями прозрачности вещества.
Между 8i(o)) и 82(о)) можно установить некоторые интеграль-
интегральные соотношения. Для этого рассмотрим диэлектрическую про-
проницаемость при комплексных значениях частоты o) = coi +
+ toJ. Отметим, что в верхней полуплоскости комплексной пере-
108
менной о)(оJ>0) функция е(о) не имеет особенностей, так как
интеграл A4.16) сходится из-за конечности функции f (т). Функ-
Функция е(о) не имеет особенностей и на вещественной оси, т. е. при
<о2=0, за исключением начала координат, где для проводников
имеется простой полюс. Поэтому интеграл, взятый по замкнуто-
замкнутому контуру С (рис. 6), равен
нулю:
Е(СО')-!
Ц> О)
= 0, A4.33)
С
Рис. 6. Контур интегрирования в фор-
формуле A4.33)
где о) — произвольная точка,
лежащая на вещественной оси.
С учетом того, что при о-^-оо
величина е(о)) — 1 достаточно
быстро стремится к нулю [см.
A4.27)], интеграл по беско-
бесконечно удаленной окружности
равен нулю и в A4.33) остается только интеграл по веществен-
вещественной оси с обходами точек о/=0 и а/=со. Рассмотрим диэлект-
диэлектрик, где а=0. Тогда точка о/=0 не является особой и из A4.33)
лолучаем
| Р+СО ОО
О)' — О) ' J О)' —
lim
р-Я)
Р+ы>
— in [e (ш)— 11=0,
A4.34)
где р — радиус бесконечно малой полуокружности, по которой
происходит обход точки о)/=о). Первые два слагаемых в A4.34)
есть интеграл по вещественной оси в смысле главного значения,
поэтому A4.34) запишем в виде
е (оО — 1 = ~Я
а>' — а)
A4.35)
где индекс Р перед интегралом указывает на то, что он бе-
берется именно в смысле главного значения. Разделяя в A4.35)
вещественную и мнимую части, получаем
A4.36)
s2(co) =
= Р \ —i-i '-
Я J to' — а)
A4.37)
Применительно к проводникам в правую часть выражения
A4.37) необходимо добавить слагаемое 4жт/со, обусловленное
полюсом при о/=0. Соотношения A4.36), A4.37) называются
109

дисперсионными соотношениями Крамерса — Кронига. Они поз-
позволяют, в принципе, найти реальную часть диэлектрической про-
проницаемости по мнимой, и наборот.
§ 15. Электромагнитные волны в изотропных
и анизотропных средах
Теперь рассмотрим электромагнитные поля, напряженность
которых зависит по гармоническому закону и от координат и от
времени, например
Е(г, О = Е0ехр(Лг — Ш). A5.1)
Для вакуума волновой вектор к и частота о) плоской электромаг-
электромагнитной волны связаны соотношением ® = ck9 а амплитуды Ео и
Но электромагнитного поля взаимно ортогональны и ортогональ-
ортогональны вектору к. Посмотрим, какие соотношения между характери-
характеристиками плоской электромагнитной волны возникают теперь при
ее распространении в веществе. Как и прежде, ограничимся рас-
рассмотрением веществ, магнитными свойствами которых можна
пренебречь: ji=l. Вещество предполагается однородным, и сна-
сначала исследуются изотропные вещества, когда связь между на-
напряженностью электрического поля [см. A5.1)] и индукцией
D(r, O =
-Ш) A5.2)
дается соотношением
D=e(o,)E, A5.3)
где е(со) —комплексная диэлектрическая проницаемость (см.
§ 14). В этом случае операции дивергенции и ротора сводятся
к скалярным и векторным произведениям вектора ik на диффе-
дифференцируемую величину и уравнения A4.12), A4.13), A4.3) и
A4.6) принимают следующий вид:
[к, Н] = -— е(со)Е,
с
е(ш)(к, Е) = 0,
A5.4)
A5.5)
A5.6)
(к, Н) = 0. A5.7)
Из уравнения A5.7) следует, что векторы к и Н взаимно ортого-
ортогональны. Пусть
A5.8)
[к, Е] = —Н,
Тогда из A5.5) следует, что векторы к и Е также взаимно орто-
ортогональны, а из A5.4), A5.6) вытекает взаимная ортогональность
векторов Е и Н. Таким образом, в этом случае, так же как и в
ПО
вакууме, электромагнитные волны поперечные.
A5.4) выражение
Н = —[k, E]
О)
из A5.6), с учетом поперечности Е получаем
(V2--^- е(ю))Е=0.
Подставляя в
A5.9)
A5.10)
в
Из уравнения A5.10) следует, что электромагнитные волны
изотропной среде могут распространяться только если их волно-
волновой вектор связан с частотой соотношением
*2 = 4=W- A5-11)
В прозрачном для волны веществе [е2(о))=0] из A5.11) полу-
получаем
О)
A5.12)
Для волн оптического диапазона входящая в A5.12) величина
-j/e=yei является показателем преломления вещества. При г%Ф
=/=0 волновой вектор к становится комплексным:
k2, A5.13)
где kj и к2 — вещественные величины. В общем случае, если на-
направления векторов ki и к2 различны, нельзя говорить о плоской
волне в общепринятом смысле, так как поверхности постоянной
фазы ортогональны вектору кь а поверхности постоянной ампли-
амплитуды — к2. Из соотношения A5.11) следует, что для нормальных
сред (е2>0) угол между к[ и к2 должен быть острым. Действи-
Действительно, разделяя в A5.11) вещественную и мнимую части, имеем
2 и1
1(— «2=
°>
A5.14)
A5.15)
откуда и следует высказанное утверждение. Отметим, что для
двух векторов ki и к2 имеется всего лишь два скалярных уравне-
уравнения и, следовательно, большая свобода в выборе этих векторов.
Если векторы ki и к2 направлены одинаково, то соотношения
A5.14) и A5.15) однозначно определяют модули этих векторов.
Запишем вектор к в виде
к = е&, A5.16)
где е — вещественный единичный вектор, а комплексную величи-
величину k представим как
О)
A5.17)
111

При таком определении п имеет смысл показателя преломления,
а к — коэффициента поглощения вещества. Для них нетрудна
получить следующие выражения:
i)/2, A5.18)
где
A5.19)
A5.20)
Обсудим теперь, какого типа решения системы A5.4) — A5.7)
возможны, если вместо A5.8) при некотором значении частоты
со = соо имеем
в(шо)=О. A5.21)
Нетрудно видеть, что при условии A5.21) рассматриваемая си-
система допускает решение с Н = 0 и вектором Е, параллельным
вектору к. Следовательно, в среде могут существовать чисто эле-
электрические переменные поля, называемые продольными волнами.
Отметим, что в нашем рассмотрении не возникает никакой свя-
связи между волновым вектором к и частотой о>о- Такая связь воз-
возникает, однако, если наряду с частотной дисперсией диэлектри-
диэлектрической проницаемости учесть еще и ее пространственную диспер-
дисперсию (см. § 18). Тогда диэлектрическая проницаемость будет
функцией не только частоты, но и волнового вектора к, и усло-
условие A5.21) превратится в
е(к, шо)=О, A5.22)
откуда и следует связь частоты и волнового вектора в продоль-
продольной волне.
Рассмотрим теперь электромагнитные волны в прозрачных
анизотропных диэлектриках. В анизотропной среде вместо урав-
уравнения связи A5.3) имеем
A- = s/ft(co)?ft, A5.23)
где в общем случае тензор га* комплексный. Можно показать,
что условие прозрачности вещества, т. е.
divS=0, A5.24)
сводится к требованию вещественности тензора диэлектрической
проницаемости. Поэтому ниже тензор гиг считается веществен-
вещественным. В случае анизотропной среды уравнения A5.6) и A5.7) со-
сохраняют свой вид, а вместо уравнений A5.4) и A5.5) из A4.12)
и A4.13) получаем
D=—c-[k, H],
О)
(k, D)=0.
A5.4')
A5.5')
112
Таким образом, векторы k, D, Н образуют тройку взаимно орто-
тональных векторов, но так как при наличии связи A5.23) на-
направления D и Е в общем случае не совпадают, то векторы к и
Е не взаимно ортогональны. Следовательно, направление векто-
вектора Пойнтинга S, ортогонального плоскости Е, Н, не совпадает
с направлением к и угол между векторами к и S равен углу меж-
между векторами D и Е (рис. 7).
Для установления связи между час- . Ь D
тотой и волновым вектором к введем Е
обозначение
к =
О)
П.
A5.25)
Используя A5.25) и A5.6), из A5.4')
получаем соотношение
D=n2E-n(n, E), A5.26)
н
откуда, используя уравнение связи
A5.23), приходим к системе трех од-
однородных уравнений для компонент Рис 7> взаимное распо-
вектора Е: ложение векторов Н, D,
Р л Е, К и S при распростра-
(л fyfc—лх^й — s/fc)?fc — "• нении поперечных элект-
электромагнитных волн в ани-
Как известно, система однородных ал- зотропной среде
гебраических уравнений имеет нетри-
нетривиальное решение только если
det I пЪ1к-п,пк-*1к I =0- A5*27)
Уравнение A5.27) и определяет связь частоты с волновым век-
вектором. Оно определяет модуль вектора п при заданном его на-
направлении по отношению к фиксированным осям, например глав-
главным осям тензора е<й. Это алгебраическое уравнение относитель-
относительно /г2, старшие члены которого есть /г4 (члены /г6 сокращаются).
Следовательно, в общем случае есть два решения, отвечающие
двум независимым поляризациям электромагнитной волны. Так
как модуль п играет роль показателя преломления среды, то в
кристалле в данном направлении могут распространяться два
типа волн, каждому из которых соответствуют свой показатель
преломления среды и своя поляризация. Отметим, что в общем
случае показатель преломления зависит от направления распро-
распространения волны.
Рассмотрим для примера одноосный кристалл, тензор ди-
диэлектрической проницаемости которого в главных осях опреде-
определяется двумя величинами (см. § 6):
eJCjc = ew = sx, e«=si. A5.28)
Из уравнения A5.27), записанного в главных осях тензора ег'ь
имеем
= 0. A5.29)
113

Отсюда непосредственно видно, что в одноосном кристалле мо-
могут распространяться два типа волн. Для одного из них показа-
показатель преломления не зависит от направления распространения
волны и равен
¦±
A5.30)
Такие волны называются обыкновенными. Для волн второго ти-
типа показатель преломления зависит от направления распростра-
распространения волны. Вводя угол 0 между осью кристалла и направле-
направлением распространения волны, из A5.29) получаем, приравнивая
нулю выражение в квадратных скобках,
A5.31)
Такие волны называются необыкновенными. Отметим, что при
распространении вдоль оптической оси @ — 0) показатели пре-
преломления для обоих типов волн одинаковы.
§ 16. Рассеяние электромагнитных волн
в веществе
В § 15 было показано, что в однородной прозрачной среде мо-
могут распространяться электромагнитные волны. При этом пред-
предполагалось, что среда находится в состоянии термодинамическо-
термодинамического равновесия и все ее макроскопические характеристики соот-
соответствуют термодинамически средним значениям. Из статистиче-
статистической физики известно, что макроскопические величины испыты-
испытывают флуктуации — отклонения от термодинамически средних
значений. Существование этих флуктуации при распространении
монохроматических электромагнитных волп через макроскопи-
макроскопически однородную прозрачную среду приводит к явлению рассея-
рассеяния, которое заключается в появлении в ней слабых волн, час-
частоты и направления которых отличаются от соответствующих
величин проходящей волны.
Микроскопический механизм рассеяния состоит в изменении
движения зарядов среды под действием поля проходящей волны
и излучении ими рассеянных волн. На языке квантовой механи-
механики это означает поглощение кванта основной волны /гсо и испус-
испускание другого кванта /гсо'. Принято называть рассеяние стоксо-
вым, если g/<co, и антистоксовым, если со'>со. Например, при
рассеянии в газе на отдельных молекулах изменение частоты мо-
может происходить за счет перехода молекулы на другой уровень
энергии или за счет изменения кинетической энергии ее движе-
движения как целого. Кроме таких возможны еще процессы, когда
под влиянием кванта /гсо система излучает два кванта: /но и
/го/, т. е. происходит вынужденное излучение. При этом у среды
отбирается большая по сравнению с предыдущим случаем энер-
энергия й(со + <о'), и в обычных условиях такие процессы маловеро-
маловероятны. По характеру изменения частоты различают два типа рас-
114
сеяния: комбинационное рассеяние (Рамана-—Мандельштама),
приводящее к возникновению в рассеянном свете новых линий,
смещенных по частоте относительно падающего излучения, и рэ-
леевское рассеяние, происходящее без существенного изменения
частоты. Изучением микроскопического механизма рассеяния
занимается квантовая механика. Мы ограничимся лишь макро-
макроскопическим описанием рассеяния электромагнитных волн.
Пусть монохроматическая волна проходит через прозрачную
однородную и изотропную среду. Через со, Е, Н, D обозначим ха-
характеристики этой волны (магнитными свойствами среды пре-
пренебрегаем: ^1=1). В состоянии термодинамического равновесия
индукция и напряженность электрического поля связаны соотно-
соотношением
D==e((o)E. A6.1)
Обозначим Е', Н', D' характеристики рассеянной волны с часто-
частотой со7. Появление рассеянной волны, как отмечалось выше, связа-
связано с отклонением свойств среды от термодинамически равновес-
равновесных значений. Поэтому при написании соотношения типа A6.1)
для рассеянной волны следует предполагать, что термодинами-
термодинамическое усреднение выполнено не полностью, в частности не про-
проведено усреднение по переменным, ответственным за рассеяние.
Например, газ — однородная среда, средняя плотность которой
p=N/Vy где V — объем, занимаемый газом, а N — число молекул
газа. Мгновенное значение плотности в окрестности точки г от-
отличается от этой величины на бр, причем 6р=0, где черта сверху
означает термодинамическое усреднение. Мгновенное значение
плотности определяется расположением молекул в пространстве
и, следовательно, зависит от их движения. Поэтому в данном
примере переменные, описывающие движение молекул в прост-
пространстве, и являются переменными, ответственными за рассеяние.
Если газ состоит из анизотропных молекул, то существуют и ло-
локальные отклонения его свойств от свойств изотропной среды —
флуктуации анизотропии. Переход к термодинамически равно-
равновесному изотропному распределению осуществляется в этом слу-
случае усреднением по переменным, характеризующим вращение
молекулы как целого. Итак, пусть q — совокупность переменных,
ответственных за рассеяние. Тогда для рассеянной волны вместо
соотношения A6.1) запишем
г,
A6.2)
где беги — локальное отклонение диэлектрических свойств среды
от равновесного значения за счет флуктуации плотности, анизо-
анизотропии и т. п., причем бегй=О. Второе слагаемое в A6.2) описы-
описывает связь рассеянной волны с проходящей. При написании это-
этого соотношения пренебрежено процессами вынужденного излу-
излучения.
Из системы уравнений Максвелла, учитывая гармоническую
115

зависимость всех величин от времени, получаем уравнение
rotrotE' = (-^2D\ A6.3)
Из соотношения A6.2) выразим Е' через D' и подставим в A6.3).
В результате приходим к уравнению, определяющему вектор ин-
индукции рассеянной волны:
Д D' + (?'JD'= _ rot rot (be Е). A6.4)
При получении A6.4) использовано уравнение divD'=0 и вве-
введены обозначения (k'J= (oO^Je(co/), (8eE)i — 6zikEh. Правая
часть уравнения A6.4) играет роль источника рассеянного из-
излучения. Она отлична от нуля в тех областях среды, где имеются
отклонения ее свойств от равновесных значений, т. е. там, где
происходят флуктуации плотности, ориентации молекул и т. п.
Между флуктуациями в различных областях среды обычно от-
отсутствует какая-либо корреляция, поэтому рассеянное излучение,
исходящее из отдельных участков среды, некогерентно. Следова-
Следовательно, можно рассматривать рассеяние от одного участка, пола-
полагая, что в остальном объеме волна распространяется без рассея-
рассеяния.
Частное решение уравнения A6.4), затухающее на больших
расстояниях от области среды, где происходит флуктуация, име-
имеет следующий вид:
D'(r)=— fdl" e J7—rotr'rotr'(8sE). A6.5)
Считая, что точка наблюдения находится на расстоянии, боль*
шом по сравнению с размерами флуктуирующей области, и вы-
выделяя из A6.5) поле излучения, получаем
Jk'r
D' (Г)= — f d V е"' k'r' rotr< rotp, (8 e E),
4яг J
A6.6)
где k'=k'r/r— волновой вектор рассеянной волны, направлен-
направленный на точку наблюдения. Дальнейшие преобразования состоят
в интегрировании A6.6) по частям с использованием тождества
<protA = rot(<pA) — [grad?, A]
и того факта, что на границе объема, в котором происходит
флуктуация, 6еЕ=0. В результате из A6.6) получаем
D'(r)=
4лг
[k'
A6.7)
Напряженность поля падающей волны запишем в виде
и введем вектор G, характеризующий рассеивающие свойства
среды:
G=
A6.8)
jib
где x=k'—к. Окончательно для напряженности электрического
поля рассеянной волны имеем следующее выражение:
Знание этой величины позволяет рассчитать интенсивность рас-
рассеянного излучения.
Рассеяние принято характеризовать коэффициентом экстинк-
ции /г, равным отношению полной интенсивности рассеянного пс
всем направлениям излучения к плотности потока падающего из-
излучения, отнесенному к единице объема среды:
1
, ¦ d2r2 |E'
V\E\* J
A6.10)
где V — объем рассеивающей среды.
Рассмотрим для примера рэлеевское рассеяние,
jo/—со| <Ссо. Используя A6.9) и заменяя о/ на со, получаем
когда
0L
где 6 — угол между G и к7.
Рассмотрим отдельно выражение для
A6.8) имеем
A6.11)
G|2. Из определения
, q). A6.12)
При написании A6.12) учтена прозрачность среды, т. е. вещест-
вещественность величины 6eift. Функция
. Я)
A6.13)
характеризует корреляцию между флуктуациями в различных
точках рассеивающей среды и зависит только от расстояния
между рассматриваемыми точками, т. е. от г= | гх—гг|. Обычно
она затухает на расстояниях а порядка межмолекулярных. Поэ-
Поэтому показатель экспоненты в выражении A6.12) мал для тех
значений переменных интегрирования, которые существенны при
вычислении интеграла:
где К — длина волны излучения. С учетом этого в дальнейших
вычислениях экспонента заменяется единицей. Затем, переходя
при интегрировании от т{ и г2 к переменным r=ri—r2 и (п +
+ г2)/2, получаем
A6.14)
где множитель V возник от интегрирования по переменной (
+ г2)/2, от которой подынтегральная функция не зависит. Учтем
117

еще, что тензор fim характеризует свойства изотропной среды, а
потому имеет вид
где
Вводя для сокращения записи обозначение
1 (
получаел!
V
A6.16)
A6.17)
Так как в данном приближении |G|2 не зависит от направления
распространения рассеянной волны, то, выполняя в A6.11) ин-
интегрирование по углам, получаем
A6.18)
Отметим, что в рассматриваемом приближении коэффициент экс-
тинкции не зависит от поляризации падающего излучения и рас-
рассеяние происходит на неоднородностях среды, возникающих за
счет флуктуации.
Рассмотрим рассеяние на флуктуациях плотности. Флуктуа-
Флуктуации плотности и температуры являются независимыми. Поэтому
при флуктуации плотности 6р флуктуация диэлектрической про-
проницаемости равна
д&
8р.
Учитывая, что
получаем
Среднеквадратичная флуктуация плотности равна
A6.19)
dp):
A6.20)
где р —давление. В результате для коэффициента экстинкции
получаем выражение, найденное А. Эйнштейном:
= То
6tC» Г
A dp )т
A6.21)
118
Подчеркнем, что h от объема системы не зависит. Для газа от-
отличие е от единицы мало, поэтому имеем приближенно
р(-Т-) «в-1=л2-1те2(л-1), A6.22)
\ д? )т
где п — показатель преломления газа. Подставляя A6.22) в
A6.21), получаем
\ dp
Воспользовавшись уравнением состояния идеального газа для
вычисления производной {др/др)т, приходим к формуле Рэлея
где Мо — концентрация молекул газа. Обратим внимание, что за-
зависимость коэффициента экстинкции от частоты излучения оп-
определяется в основном множителем со4. Поэтому в видимой об-
области сильнее всего атмосферой рассеивается фиолетовая часть
спектра излучения Солнца, с чем и связан голубой цвет неба.
§ 17. Электромагнитное поле быстрой
заряженной частицы в среде.
Излучение Черенкова
Рассмотрим задачу о нахождении характеристик электромаг-
электромагнитного поля, создаваемого быстрой частицей с зарядом е при
ее движении в прозрачной изотропной среде. Будем считать, что
скорость v частицы постоянна и близка к предельно допустимо-
допустимому значению с. На самом деле ее скорость изменяется, так как
частица тратит энергию на возбуждение, ионизацию атомов сре-
среды, на излучение и т. п. Однако если потери энергии частицы до-
достаточно малы по сравнению с ее энергией, то в первом прибли-
приближении ее движение можно считать равномерным. Таким обра-
образом, электромагнитное поле создается равномерно движущимся
сторонним зарядом:
A7.1)
A7.2)
Для нахождения напряженностей Е(г, t) и Н(г, t) электро-
электромагнитного поля разложим все величины в интеграл Фурье по
г и ?, например
Е(г'0=1(^1^е/(кг^)Е(к'№)- <17-3>
Для фурье-образов получаем
Рст(к, ш)=2яе8(ш-~ку), A7.4)
jCT(k, ш) = 2яеуй(ш-ку). A7.5)
119
jCT(r, *)=*vB(r-

Из уравнения A4.3') имеем связь между Н(к, со) и Е(к, со):
Н(к, <¦>)*= i-[к, Е(к, со)]. A7.6)
Так как теперь рСт=?0 и jCt=7^0, to в правой части уравнений
A4.12') и A4.13) появляются слагаемые 4к]Ст/с и 4ярст. В ре-
результате получаем
(oD(k, <й)=— с [к, Н(к, (о)] —
(к, D(k, ш)) = — 8л2/^((о — kv).
— kv),
A7.7)
A7.8)
Используя уравнение связи A4.7), которое для фурье-образов
имеет вид
D(k, ш)=в(ш)Е(к, ш),
из A7.7), A7.8) и A7.6) получаем
Е(к, а)=
е (ш)
A7.9)
A7.10)
Формула для Н(к, о) следует из A7.6) при подстановке в него
выражения A7.10). Для нахождения координатной и временной
зависимости напряженностей необходимо подставить получен-
полученные выражения в соотношения типа A7.3).
Используем полученные выражения для нахождения потери
энергии частицы на черенковское излучение. Излучение Черен-
кова происходит при движении заряженной частицы в прозрач-
прозрачной среде со скоростью
A7.11)
где я—Ye — показатель преломления среды. Оно представляет
собой излучение атомов среды, поляризованных проходящей час-
частицей, и не связано с ускорением самой частицы, как при тор-
тормозном излучении, и, следовательно, не зависит от массы части-
частицы, а определяется ее скоростью, зарядом и свойствами среды.
Рассчитать потери энергии частицы на черенковское излуче-
излучение можно разными способами. Например, найти асимптотиче-
асимптотические выражения для Е(г, t) и Н(г, t) на больших расстояниях
от частицы. Вычисляя затем вектор Пойнтинга, получим интен-
интенсивность электромагнитного излучения — черенковского излуче-
чения. Здесь мы поступим иначе. Потери энергии частицы опре-
определяются работой силы, которая действует на нее со стороны
индуцируемого ею поля. Пусть ось z выбрана по направлению v,
тогда потери энергии на единицу пути
dz
=vt, t\
A7.12)
120
где напряженность поля берется в точке нахождения частицы.
Используя A7.10) и A7.3), получаем
A7.13)
dz J
X S ((о — kzv).
J
Для вычисления интеграла по к переходим к цилиндрическим ко-
координатам kZy ?Иф, причем dk=dkzqdqdq>. Интеграл по kz опре-
определяется благодаря наличию S-функции, интеграл по ф дает мно-
множитель 2я, так как подынтегральное выражение от <р не зависит.
В результате получаем
dz л J J
A7.14)
Нас будет интересовать не просто потеря энергии на единице пу-
пути, а потеря энергии на черенковское излучение в единичный ин-
интервал частот в окрестности данного значения частоты со, кото-
которую обозначим
(со)
dz
Эта величина связана с dW/dz соотношением
dW С
A7.15)
Разбивая в A7.14) интеграл по со на интервалы от —оо до 0 и
от 0 до оо и делая замену со->—со в интеграле по отрицательным
значениям со, получаем
1/2
A7.16)
При вычислении интеграла в A7.16) нужно иметь в виду сле-
следующее. Среда предполагается прозрачной, т. е. мнимая часть
е(со) считается достаточно малой. Поэтому в множителях перед
интегралами в A7.16) е(со) можно заменить на Ree(co) и вос-
воспользоваться соотношениями из § 14 и 15:
Re e ((o) = Re e (—<о) = я2(<о). A7.17)
Что касается е(со) и е(—со), входящих в подынтегральные выра-
выражения в A7.16), то в случае пренебрежения Ime подынтеграль-
подынтегральные функции имеют особую точку
,2
A7.18)
121

при
V2
A7.19)
Если условие A7.19) не выполнено, то особая точка отсутствует
и слагаемые в фигурных скобках A7.16) тождественно равны
друг другу. Тогда
— черенковское излучение отсутствует. Поэтому условие A7.19)
или эквивалентное ему A7.11) играет роль порогового условия
для возникновения черенковского излучения.
Пусть условие A7.19) выполнено. Тогда результат зависит
от того, как совершается обход особой точки, лежащей на пути
интегрирования. Для правильного обхода необходимо вспомнить
о знаке малой мнимой части диэлектрической проницаемости
е2(со). Для среды, находящейся в состоянии термодинамического
равновесия, е2(со)>0 при <о>0 (см. § 14). Поэтому особая точка
подынтегральной функции первого слагаемого в A7.16) не ле-
лежит на вещественной оси, а смещена вверх:
С* \ V2) '
с2
где величина б>0 и связана с е2(со) соотношением 6 =
= со2е2(со)/с2. С учетом того, что е2(—со) =—е2(со), видим, что
во втором интеграле особая точка лежит ниже вещественной оси:
Вводя вместо q новую переменную х соотношением
С* \ 1/2 ]
получаем из A7.16) с учетом сделанных замечаний выражение
dW(<*>) —ie2°>_(\ с'2 \{С dx i' с(дг
dw dz
Пользуясь тем, что
dx „ r* dx
хЪ i
получаем
dW (to)
= P
±
X
dto dz
1 -
A7.20)
Как следует из A7.20), интенсивность излучения не зависит
от массы пролетающей частицы, а определяется только ее ско-
скоростью и зарядом, а также оптическими свойствами среды. Из-
122
лучение, возникающее в данной точке траектории, распространя-
распространяется под углом 9 по отношению к скорости частицы, где
nv
A7.21)
Соотношение A7.21) вытекает из того, что модуль k в случае
A7.19) определяется особой точкой знаменателя в выражении
A7.13)
? = ^Л(ш)> A7.22)
с
а значение kz=k cos 8 — из б-функции: kz=a)/v.
Условие v>c/n означает, что скорость движения частицы
превышает фазовую скорость распространения электромагнит-
электромагнитных возмущений в среде. Частица как бы отрывается от созда-
создаваемого ею поля, порождая свободное электромагнитное поле —
излучение. Так как условие возникновения черенковского излу-
излучения может быть выполнено только при /г(<о)>1, то оно прихо-
приходится на видимую и ультрафиолетовую части спектра, посколь-
поскольку именно для этих частот л(<о)>1. Специфические свойства че-
черенковского излучения, о которых говорилось выше, привели, в
частности, к созданию детекторов быстрых частиц — черенков-
ских счетчиков, позволяющих определять модули и направление
скорости быстрых частиц, их заряд.
§ 18. Пространственная дисперсия
диэлектрической проницаемости
При рассмотрении полей, напряженность которых изменяется
во времени, была показана необходимость интегральной связи
между индукцией и напряженностью электромагнитного поля.
Как правило, напряженности таких полей существенно меняются
и в пространстве. При этом если характерная длина L, на кото-
которой изменяется напряженность поля, станет, например, порядка
длины свободного пробега электрона в веществе, то локальная
связь между индукцией и напряженностью электромагнитного
поля нарушается. Индукция зависит тогда не только от напря-
напряженности поля в точке г, но и от напряженности поля в некото-
некоторой окрестности этой точки, размеры которой определяются ха-
характером установления поляризации вещества. В рамках линей-
линейной электродинамики общая связь между D(r, t) и E(r, t) для
однородной среды может быть записана в виде
D,(r, t)=E,(r, 0+f dt j dV'fik(r-r', r)Ek(r', t-x),
A8.1)
где вещественная функция fife (г—г', т) определяется свойствами
среды. Если характерная длина I изменения ftk мала по сравне-
123

нию с расстоянием L, то в первом приближении в A8.1) можно
вынести Е из-под знака интеграла по г' в точке г'=г и мы при-
придем к локальной связи типа A4.14). При написании A8.1) учте-
учтена анизотропия среды. Дело в том, что когда нелокальность ста-
становится существенной, т. е. когда Е изменяется достаточно быст-
быстро в пространстве в указанном выше смысле, то даже для изо-
изотропной среды функция fik оказывается тензором, не сводящимся
к fbik из-за того, что направление наиболее быстрого изменения
напряженности поля в пространстве является выделенным для
микроскопического механизма установления поляризации.
Проводя разложение D(r, t) и E(r, t) в интеграл Фурье по
координатам и времени [см. A7.3)], получим из A8.1) уравне-
уравнение связи между фурье-образами D(k, со) и Е(к, со) в виде
Д. (к, ш)=г/;-(к, ш)?;-(к, ш), A8.2)
где
A8.3)
Зависимость диэлектрической проницаемости ец от к называ-
называется ее пространственной дисперсией. Соотношение A8.3) явля-
является обобщением выражения A4.16) на случай нелокальной про-
пространственной связи между индукцией и напряженностью.
При разложении в интеграл Фурье поля, напряженность ко-
которого меняется в пространстве на расстоянии L, существенны
фурье-образы со значениями k^l/L. Поэтому если
///.«1, A8.4)
то в A8.3) при вычислении интеграла по г можно разложить
ехр(—/кг) в ряд. Так будет получено выражение для гц(к, со) в
виде ряда по степеням компонент вектора к. Отметим, что по-
поправки, связанные с учетом пространственной дисперсии в ецг
могут приводить к качественно новым эффектам при распростра-
распространении, например, электромагнитных волн в прозрачных средах.
Так, естественная оптическая активность изотропного тела, при-
приводящая к тому, что при распространении в нем линейно поля-
поляризованной волны плоскость ее поляризации поворачивается,
объясняется учетом в Eif членов, пропорциональных первой сте-
степени к.
В оптически неактивных средах разложение начинается с
квадратичных по k слагаемых. В кубическом кристалле, напри-
например, это приводит к появлению оптической анизотропии — воз-
возможности существования двух волн с одинаковым направлением
к, но различными поляризациями и показателями преломления.
В случае изотропной среды с центром инверсии тензор вц мо-
может быть составлен из 8ц и компонент вектора к:
е„(к, ш) = е,(Л, ш)(8,у тг" +е«<*' ш> — ' A8-5>
124
где функции et и е; зависят только от модуля k и со. Они называ-
называются поперечной и продольной проницаемостями соответственно,
так как если E_Lk, то
D(k, ш)=е,(?, ш)Е(к, ш),
а при Е||к
D(k, <й)=е/(Л, ш)Е(к, ш).
Вернемся теперь к результатам § 15, относящимся к распро-
распространению плоских волн в изотропной среде. Фигурирующая там
величина е(со) связана с е/ и е/ соотношением
е(<й)=е/@| (о) = е/@, ш). A8.6)
Для поперечных волн роль диэлектрической проницаемости иг-
играет, как указано выше, величина Et(kf со), которую в случае сла-
слабой пространственной дисперсии можно заменить на е(со). Тог-
Тогда связь волнового вектора с частотой волны определяется по-
прежнему соотношением A5.11). Для продольных волн роль
диэлектрической проницаемости играет величина е/(&, со), поэто-
поэтому вместо уравнения A5.22), определяющего связь волнового
вектора и частоты волны, имеем
,, а))=0.
В случае слабой пространственной дисперсии, записывая
A8.7)
получаем уравнение для определения со(&):
Отсюда следует, что групповая скорость распространения волны
д(д/дк пропорциональна к.
Диэлектрическая проницаемость с учетом пространственной
дисперсии широко используется при рассмотрении, например,
различных электромагнитных явлений в плазме, так как элект-
электроны плазмы обладают большой подвижностью и легко может
реализоваться ситуация, когда их свободный пробег станет срав-
сравнимым с характерной длиной изменения электромагнитного
поля.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ
В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
§ 19. Нелинейная поляризация вещества
В этой главе рассмотрены явления в прозрачных диэлектри-
диэлектриках, обусловленные нелинейной связью между плотностью ди-
125

польного момента вещества и напряженностью электромагнит-
электромагнитного поля.
В предыдущих главах эта связь предполагалась линейной,
что соответствует первому члену разложения функции Р(Е) в
ряд по степеням малого параметра
1, A9.1)
где ?ат — напряженность характерного внутреннего поля, опре-
определяющая движение зарядов в веществе при отсутствии макро-
макроскопического поля Е. Использование термодинамической теории
возмущений (см. § 6) позволяет, в принципе, найти не только ли-
линейную плотность дипольного момента вещества, но и часть, не-
нелинейно зависящую от Е.
Таким образом, если условие A9.1) выполнено, то Р можно
представить в виде ряда по степеням Е:
=2 Р<Л>(Е),
A9.2)
Л-1
где
A9.3)
Напряженность Еат характерного внутреннего поля зависит от
типа вещества. Например, если поляризация среды обусловлена
деформацией электронных оболочек атомов, из которых построе-
построено вещество, то
2 — 1010 В/см, A9.4)
где а — боровский радиус (см. § 6).
При таком подходе предполагается, что нелинейная часть
плотности дипольного момента среды мала по сравнению с ли-
линейной, поэтому учитывать ее нужно лишь тогда, когда она при-
приводит к качественно новым эффектам. Отметим, что в некоторых
моделях можно найти зависимость Р от Е и не используя малый
параметр A9.1). В дальнейшем, как правило, условие A9.1) бу-
будет предполагаться выполненным и в этом приближении рас-
рассмотрены эффекты, связанные с существованием в веществе не-
нелинейной части плотности дипольного момента Р(га) (п^2). '
Отметим, что некоторые нелинейные эффекты, например эле-
электрооптический эффект Поккельса (зависимость показателя пре-
преломления проходящих через кристалл световых волн от напря-
напряженности статических полей, приложенных к нему), были извест-
известны еще в прошлом столетии. Однако бурное развитие нелинейной
электродинамики началось только в 60-х годах нашего века пос-
после появления лазеров, излучение которых используется для ис-
исследования свойств различных веществ. Началом этих исследо-
исследований можно считать эксперимент группы Франкена (Fran-
ken Р. А., 1961), в котором при прохождении через кристалл
кварца луча рубинового лазера было обнаружено излучение с
частотой, равной удвоенному значению лазерной частоты. Это
126
явление получило название генерации второй гармоники (ГВГ)
и широко используется в настоящее время для увеличения часто-
частоты когерентного электромагнитного излучения. Для объяснения
эффекта ГВГ достаточно учесть в A9.2) слагаемое с п=2.
Рассмотрим более детально связь между плотностью диполь-
дипольного момента и напряженностью Е. В пренебрежении простран-
пространственной дисперсией выражения для Р{п) могут быть записаны в
виде
P{in)(t)= f
6
dt
..., хп) х
A9.5)
где вещественные функции f{n)aj2...in являются тензорами (п-\-
+ 1)-го ранга и характеризуют отклик среды на приложенное
поле. Напомним, что по дважды повторяющимся индексам под-
подразумевается суммирование. При я=1 A9.5) согласуется с вы-
выражением A4.14), записанным в линейном приближении для
связи индукции
0 = Е+4лР A9.6)
с напряженностью Е. При написании A9.5) учтен принцип при-
причинности: поляризация в данный момент может зависеть только
от напряженности поля в предшествующие моменты времени.
Функции fin) характеризуют память среды о напряженности по-
поля в моменты времени, предшествующие рассматриваемому.
В моделях, имеющих физический смысл, все интегралы в A9.5)
сходятся, так как E(t)—ограниченная функция для всех ty a
функции fw достаточно быстро стремятся к нулю с ростом тг-
(/=1, 2,...,«). Это означает, что действовавшие достаточно дав-
давно поля дают пренебрежимо малый вклад в поляризацию среды
в данный момент. О затухании /<я> с ростом т* говорят как о ко-
конечной во временном смысле памяти системы, что связано с на-
наличием диссипативных процессов в среде. Из A9.5) следует, что
функции f(n) не меняются при любой перестановке аргументов с
одновременной перестановкой соответствующих тензорных ин-
индексов.
В линейной электродинамике фурье-прео.бразование по вре-
времени существенно упрощало вычисления. В нелинейной электро-
электродинамике оно также приводит к некоторым упрощениям. По-
Поскольку такое преобразование не затрагивает тензорных индек-
индексов, ниже для сокращения записи они опущены. Итак, из A9.5)
получаем следующую связь между фурье-образами плотности ди-
дипольного момента P<rt)(<o) и напряженности ?(со):
do),
X
X Е (<&х) Е {<&2)...
A9.7)
127

где f(ra)(coi, 0J, ...,con) — фурье-образ функции Цп){ти тг, ...,тп) по
всем аргументам:
ее ее / П
/(л)(«1, «2,-,«n)=fdT1 fdtn/(n)(Ti, т2,...,т„)ехр /
s « V
A9.8)
При написании A9.8) учтено, что функции Цп) определены только
для tt^O (f<ra)=0, tt<0). Из A9.7) следует, что Р<Я>(©) выра-
выражается через Е(ы) посредством (п— 1)-кратного интеграла.
В частности, в линейном случае имеем алгебраическую связь
ЯA)(ш)=/A)(ш)?(ш), A9.9)
приводящую с учетом A9.6) к соотношению A4.7). Величина
/ называется линейной восприимчивостью вещества (см. § 2),
(^2) —нелинейными восприимчивостями.
Рассмотрим важный для приложений случай, когда E(t)
представляет собой суперпозицию полей, напряженность которых
гармонически зависит от времени:
A9.10)
где Е(о)/) —комплексная амплитуда соответствующей гармоники
напряженности. Начнем со случая, когда в A9.10) имеется толь-
только одно слагаемое с o)i. Фурье-образ тогда равен
(@+0H =
Е (ш) = -L Ё (toj) 2я8 (ш — (Oj) +— Ё (
«=-i- Ё(ш,)
(о) -m^ + I-
A9.11)
где для сокращения записи через [—coi] обозначено выражение,
получающееся из предыдущего заменой coi на — ом, причем
'ЁЁ)*. A9.12)
i
Для линейной части плотности дипольного момента в этом слу-
случае, подставляя A9.11) в A9.9), имеем
A9.13)
о) —
При написании A9.13) использовано соотношение
1)», A9.14)
вытекающее из вещественности функции ftl)(x). Таким образом,
плотность дипольного момента P(l)(t) также колеблется с час-
частотой (oi и комплексной амплитудой
ЯA)(аI)г=/A)(аI)?(аI). A9.15)
128
Рассмотрим теперь нелинейный член низшего порядка Ж2)(со).
Чтобы охватить общий случай, предположим, что E(t) содержит
два слагаемых в A9.10) с частотами coi и а>2. Тогда для фурье-
образа
1-1
или
где введены обозначения со3=—соь ы4 = —
A9.16)
A9.17)
Подставляя A9.16) в A9.7), получаем
4
A9.18)
Учитывая обозначения A9.17), видим, что Р<2) содержит слагае-
слагаемые с пятью частотами: 2a>i, 2a>2, coi + oJ, coi—C02 и 0 (говоря о
колебании с частотой со/, мы имеем в виду со/>0; здесь для оп-
определенности считаем a>i><D2). Из A9.18) нетрудно получить вы-
выражения для комплексных амплитуд РB> на соответствующих
частотах. Например,
A9.19)
@) = 4"
Итак, при прохождении через кристалл волн с частотами сог и
0J в нем за счет нелинейности низшего порядка возникает поля-
поляризация с другими частотами, которая и является источником
электромагнитного поля, отличного от проходящего. Здесь воз-
возможны генерация второй гармоники на частотах 2coi и 2со2, волн
с суммарной coi + oJ и разностной o)i—0J частотами, образование
стационарного поля (о)=О, эффект детектирования).
Выражения A9.19), связывающие комплексную амплитуду
нелинейной поляризации РB>(со) с комплексными амплитудами
5—1514
129

?((oi) и ?(@2) вызывающих ее полей, записывают обычно в виде
а)> A9.20)
где частота со колебания поляризации связана с он и «2 соотно-
соотношением
@ = 0).
Функция х*2>(со; соь сог) определена для всех значений toi и сог-
Если частота со может быть получена разными способами, то от-
отдельные слагаемые типа A9.20) должны складываться. Напри-
Например,
2)». A9.21)
Сравнивая выражения A9.20), A9.21) с A9.19), нетрудно уста-
установить, ЧТО фуНКЦИЯ ХB)(со; @ь 0J) С ТОЧНОСТЬЮ ДО ЧИСЛОВОГО
множителя совпадает с fB)(cob 0J). Например,
— оJ)=/<2)(оI, —ю2),
ш,),
поэтому функция х<2) также называется нелинейной восприимчи-
восприимчивостью вещества. Хотя эта функция введена для частного слу-
случая зависимости напряженности полей от времени вида A9.10),
сна широко используется на практике, так как именно этот слу-
случай обычно реализуется в эксперименте. Преимуществом соот-
соотношений типа A9.20) является отсутствие числовых множителей,
что привело к их широкому использованию.
Возвращаясь теперь к общему случаю, запишем связь между
комплексными амплитудами Р<я>(©) и Е(со/) (/=1, 2,...,л) в
виде
...у
(ш; ш
х
причем
A9.22)
|Л A9.23)
Функции rtn)ijj2...fn c точностью до числовых множителей совпа-
совпадают с f(n)ijlj2...fn(<du 0J,... ,о)п) и также называются нелинейны-
нелинейными восприимчивостями вещества. Из вещественности Р(/) и Е(/)
следует, что
п
A9.24)
130
Восприимчивость я-го порядка х(п) является тензором (
+ 1)-го ранга, имеющим 3<л+1> компоненты. Благодаря симметрии
кристалла не все эти величины являются независимыми. Напом-
Напомним, что тензор №п)щ*"Ы> а следовательно, и к(я)</,/а.../л (со; coi,
(о2,..., (ога) не меняются при перестановке аргументов ®и сог, ...,ыга
с одновременной перестановкой соответствующих тензорных ин-
индексов, например
.../ V^\ ^9» ^11 ^Ч»»'М ®п)* llV.Z,Of
Посмотрим, какие связи между компонентами тензора нелиней-
нелинейной восприимчивости к{п) возникают из-за свойств симметрии
среды. Пусть матрица Sik осуществляет некоторое преобразова-
преобразование симметрии (вращение, инверсия, отражение). Обозначая Хг
(t=l, 2, 3) декартовы координаты радиуса-вектора точки г, име-
имеем связь координат в штрихованной и нештрихованной систе-
системах:
Stbxb. A9.26)
Тензор K{n)ijj2...jn при таком преобразовании переходит в
Если преобразование, осуществляемое матрицей Sik, является
преобразованием симметрии рассматриваемой среды, то
откуда и получаем связь между компонентами тензора восприим-
восприимчивости:
'
A9.29)
п
Если известны все преобразования симметрии рассматриваемой
среды, то, подставляя в A9.29) соответствующие матрицы пре-
преобразований, получаем все связи между компонентами тензора
восприимчивости. В качестве примера рассмотрим операцию ин-
инверсии
A9.30)
—8
»
Подставляя A9.30) в A9.29), получаем
п„1а. A9.31)
Отсюда следует, что в средах с центром инверсии нелинейные
эффекты отсутствуют в четных порядках. Для таких сред
3 определяет нелинейные эффекты низшего порядка. Микро-
Микро131

скопически неупорядоченные системы — жидкости и газы, а так-
также 11 классов кристаллов — обладают центром инверсии, поэто-
поэтому в них нелинейные явления имеют место только в нечетных
порядках. Не имеют центра инверсии кристаллы 21 класса. В них
нелинейные эффекты низшего порядка описываются тензором
третьего ранга кB)*/*. Именно такие эффекты наиболее широко
исследованы экспериментально и теоретически. Обратим внима-
внимание, что пьезоэлектрический эффект, давно известный и широко
используемый в науке и технике, также описывается тензором
третьего ранга. Поэтому между компонентами тензора у62)цк су-
существуют такие же соотношения, как и между компонентами
тензора, описывающего пьезоэлектрический эффект. Отметим,
что хотя кристаллы с кубической решеткой класса 432 (по Шен-
флису — класс 0) не обладают центром инверсии, все компонен-
компоненты тензора yS2)ak у них равны нулю из-за других (помимо ин-
инверсии) преобразований симметрии.
Влияние других элементов симметрии на соотношения между
компонентами тензора т62)цм разберем на примере величин
xB),7ftBco; со, со), определяющих генерацию второй гармоники
проходящего через кристалл излучения с частотой со. Рассмот-
Рассмотрим широко используемые в нелинейной оптике кристаллы KDP
(КН2РО4 — первичный ортофосфат калия) и ADP (NH4H2PO4 —
дигидрофосфат аммония). Они обладают группой симметрии
42т (по другим обозначениям D2d или Vd). Эта группа содержит
три взаимно ортогональных оси симметрии второго порядка, по
которым и направим оси х, у, z системы координат. Кроме того,
группа содержит две плоскости симметрии, проходящие через
одну из осей (для определенности ось г) и делящие пополам
угол между двумя другими осями. При вращении на 180° вокруг
осей симметрии изменяются знаки двух координат. Так как тен-
тензор yS2)uk преобразуется как произведение координат XiXjXk, то
отличны от нуля только компоненты, у которых все три индекса
различны. Например, xS2)Xxz=0f так как при повороте вокруг оси
симметрии х изменяет знак координата z и, следовательно, долж-
должно выполняться равенство хB)***=—хB)***, что и означает ра-
равенство этой компоненты нулю. Итак, наличие осей симметрии
приводит к тому, что из 27 компонент тензора отличны от нуля
только шесть:
хугу
По свойству A9.25) имеем следующие соотношения между ними:
_мB) „B) _
— Кухму "zxy—
_ B)
Мы еще не использовали следствия, вытекающие ^з наличия
плоскостей симметрии. При отражении относительно одной из
плоскостей координаты х и у переходят друг в друга, a z сохра-
сохраняется. Поэтому должны быть равны компоненты, которые пе-
132
реходят друг в друга при перестановке индексов х и у:
лжуг — Kyxzi лхгу— лугх* \ iv.oo}
Отражение относительно другой плоскости симметрии не дает
новых соотношений. Итак, независимыми в данном примере яв-
являются только две компоненты тензора:
B) _,
xzу
,B)
,B)
,B)
,B)
A9.34)
В работах по нелинейной оптике часто используют сокращен-
сокращенные обозначения Фойхта для компонент тензора хB)*/^Bсо; со, со).
Два последних тензорных индекса jk, по которым тензор симмет-
симметричен вследствие A9.25), заменяются одним — п, пробегающим
значения от 1 до 6. Приводимая таблица устанавливает соответ-
соответствие между обозначениями:
п
jk
1
XX
2
УУ
3
ZZ
4
*У
У*
5
zx
XZ
6
ху
уХ
Вместо обозначения хB)г/^ используют для этих величин обо-
обозначение dmnB(о; со, со), где т=\, 2, 3. Тогда независимые от-
отличные от нуля компоненты A9.34) тензора нелинейной воспри-
восприимчивости низшего порядка кристаллов KDP и ADP обознача-
обозначаются как
du = d2Si d36. A9.35)
Нелинейные восприимчивости второго порядка в литературе
обычно приводятся в относительных единицах, причем за едини-
единицу принимается значение d3e кристалла KDP. Отметим, что из
результатов эксперимента с кристаллами KDP следует прибли-
приближенное (с точностью в несколько процентов) равенство
^14 = ^25—^36- A9.36)
Как отмечалось выше, в средах с центром инверсии хс2)*/?=0
и нелинейные эффекты низшего порядка определяются тензором
четвертого ранга x{3)ijki. Рассмотрим соотношения между компо-
компонентами этого тензора в случае изотропных сред. Для простоты
ограничимся случаем, когда векторы напряженности поля и
плотности дипольного момента среды находятся в одной плоско-
плоскости ху. Тогда каждый из индексов тензора K^hiki принимает
только два значения и всего имеем 16 компонент. Для изотроп-
изотропной среды тензор должен быть инвариантен относительно лю-
любых вращений и отражений системы координат. Рассмотрим сна-
сначала некоторые выделенные вращения и отражения, что позво-
позволит установить компоненты, равные нулю. Для отражения отно-
относительно плоскости уг матрица преобразований имеет вид
S22=-SU=I, 512=521 = 0. A9.37)
133

Подставляя A9.37) в A9.29), получаем, что отличны от нуля
только компоненты с четным числом индексов х. Из отражения
относительно плоскости хг следует, что не равны нулю компонен-
компоненты с четным числом индексов у. Итак, из 16 компонент отличны
от нуля восемь:
|Л I I Л 1 [ О I
C)
C)
Вращение вокруг оси г на 90° переводит х-*у, у-+—х и приводит
к равенствам
,,C) _vC) vC) _vC) vC) _„C) vC) _„C)
ъхххх — Куууу > *^ххуу — куухх* ^хуху —
— "*ухху •
A9.38)
В итоге осталось четыре независимые величины. Рассмотрим те-
теперь вращение на произвольный угол <р вокруг оси z. Это преоб-
преобразование описывается матрицей
С* С* /ч*»»«С* С* _:и /1О*ЭО\
Подставляя A9.39) в A9.29), с учетом соотношения A9.38) по-
получаем, например,
sifl4cp)
cos2
Это соотношение должно выполняться для любого <р, что воз-
возможно, если
t^xxxx=='^'xxyy "I ^xyxy 'j'^xyyx* ( 1У.41 j
Итак, для изотропной среды независимыми являются только три
компоненты тензора xC)t-/w-
В нелинейной оптике важную роль играют прозрачные среды,
в которых процессы протекают без потерь энергии электромаг-
электромагнитного поля. Поступающая в единицу времени в элемент объ-
объема dV энергия электромагнитного поля равна
A9-42)
где S — вектор Пойнтинга.
Для полей, напряженность которых гармонически зависит от
времени, условие прозрачности имеет вид
divS=O, A9.43)
где проводится усреднение по промежутку времени, превышаю-
превышающему период изменения напряженности поля, что позволяет выя-
выявить средний ход процесса обмена энергией между полем и сре-
средой.
Если потери энергии электромагнитного поля отсутствуют, то
электромагнитные процессы в среде обратимы во времени, отку-
134
да следует вещественность тензоров линейной и нелинейной вос-
приимчивостей среды, т. е.
^•АЛ...;„(ш; <й1*®2>---*(»я)*=*1'}Ъг..]п(<*> Ш1* Ш2>-.., <йл). A9.44)
Уравнения Максвелла A4.12') и A4.3') позволяют установить
связь между дивергенцией S и характеристиками поля Е, D, Н
в виде соотношения A4.29). Для полей, напряженность которых
гармонически зависит от времени, усреднение A4.29) по време-
времени в указанном выше смысле приводит при учете A9.43) и
A9.44) к соотношению
0. A9.45)
Z-1
При получении A9.45) использовано соотношение A9.6), а плот-
плотность дипольного момента записана в виде
Р = Р<1)_|-Р<НЛ>, A9.46)
где в соответствии с A9.2) под Р<нл) понимается сумма слагаемых
с ть^2. Условие A9.45) после подстановки в него формул типа
A9.22) позволяет установить некоторые соотношения между
компонентами тензора к<"> (л^2). Заметим, что эти дополни-
дополнительные свойства симметрии имеют место только для процессов
без потерь, когда можно считать выполненными соотношения
A9.44).
Для примера рассмотрим нелинейную часть низшего порядка
плотности дипольного момента
и предположим, что в нелинейном процессе участвуют поля с
тремя частотами соь со2 и со3 такими, что
Ш1 = ^2+Шз- A9.47)
Тогда для комплексных амплитуд поляризации Р?2)(щ) (/=1,
2, 3) нетрудно написать выражения через Ек(щ), используя
A9.22). Например, для Р^2Ц<п2) имеем
Подставляя выражения для Jty2>(©/) в A9.45), после несложных
преобразований получаем
A9.48)
Равенство A9.48) должно выполняться для произвольных амп-
амплитуд напряженностей, что возможно, если выполнено соотноше-
соотношение
135

a)
2> 0)^ =
A9.49)
Подставляя в A9.49) вместо coi выражение A9.47) и пользуясь
тем, что частоты сог и со3 произвольны, приходим к следующим
соотношениям симметрии, справедливым в случае процессов без
потерь:
..B), ч B), ч
А
.; <*!, -Ы A9.50)
,; -<*>2* wi)- A9.51)
В отличие от предыдущих соотношений, A9.50), A9.51) устанав-
устанавливают связь между компонентами тензоров, описывающих раз-
различные физические процессы, так как первые аргументы тензо-
тензоров, характеризующие частоту поляризации среды, слева и
справа различны. Например, тензор, стоящий в левой части
A9.50), описывает процесс генерации излучения с суммарной
частотой coi = co2 + (o3, a тензор в правой части — излучения с час-
частотой co2=coi—соз. Условие A9.24) вместе с A9.44) позволяет из-
изменить знак всех частот в правой части A9.50), A9.51) и, напри-
например, переписать A9.50) в виде
«/ЙК; «>2. ^a)=«#*(—<°2; —<°i. шз)- A9.50')
Это позволяет сформулировать следующее правило перестановки
тензорных индексов в x<2>i/fe(coi; 0J, со3) для процессов без потерь:
тензор инвариантен относительно любых перестановок его индек-
индексов с одновременной перестановкой соответствующих частот,
причем если частоты разделены точкой с запятой, то при пере-
перестановке их знаки изменяются на противоположные. Если мож-
можно пренебречь дисперсией хB)*/*, т. е. зависимостью этой величи-
величины от частот, то тензор x<2>t7* будет инвариантен относительно
любых перестановок его индексов при сохранении порядка час-
частот. Такие соотношения называются соотношениями Клейнмана.
Если применить это для генерации второй гармоники в кристал-
кристалле KDP, то получим равенство всех отличных от нуля компонент
тензора х<2)г7*Bсо; со, со) или в обозначениях Фойхта выполнение
экспериментально установленного равенства A9.36).
Генерация второй гармоники представляет собой пример про-
процесса без потерь. В нем участвуют два поля с частотами со и 2со.
Получим соотношения, аналогичные A9.50), A9.51) для компо-
компонент тензора ^2)г/йBсо; со, со). Обозначая coi = 2co, w2 —со, из
A9.45) с учетом произвольности амплитуд напряженности поля
и частоты со получим
со
; 2<о, _
A9.52)
Это соотношение использовано при исследовании генерации вто-
второй гармоники.
136
В заключение параграфа приведем одну из моделей для рас-
расчета нелинейных восприимчивостей. В модели, использованной
Друде и Лоренцем, электроны рассматривались как гармониче-
гармонические осцилляторы. Их собственная частота колебаний выбира-
выбиралась так, чтобы она соответствовала наблюдаемой спектральной
линии. Отметим, что при надлежащей интерпретации констант,
входящих в классическую модель Друде — Лоренца, можно до-
достичь определенного соответствия между результатами этой тео-
теории и квантово-механическими результатами. Например, собст-
собственная частота со0 осциллятора отождествляется с квантово-ме-
ханической частотой электронного перехода в атоме. В видимой
области со0~1015 с. Константу трения у связывают с шириной
спектральной линии излучения. По порядку величины у~ 108 с,
так что
Y<Oo- A9.53)
Учет ангармонических поправок позволяет распространить мо-
модель Друде—Лоренца на случай нелинейной поляризации. Для
простоты рассмотрим одномерное движение и учтем следующий
член разложения в возвращающей силе в виде &2х2. Тогда урав-
уравнение движения электрона с учетом действующей на него силы
со стороны электрического поля Е имеет вид
В
m
m
m
A9.54)
где точкой сверху обозначено дифференцирование по времени,
т — масса, е — заряд электрона. Пусть напряженность действую-
действующего поля
—2
2
. с.
A9.55)
Вводя плотность дипольного момента соотношением
P(t)=nex(t), 'A9.56)
где п — концентрация электронов, из A9.54) получаем уравнение
т
пет
A9.57)
Его решение ищем в виде ряда по степеням Е [см. A9.2)]. В ли-
линейном приближении, записывая
Я
с,
A9.58)
находим
<о) =
)?-ш2
A9.59)
137

Сравнивая A9.59) с A9.22), имеем
; ш)
Ш (o)q — оJ —
A9.60)
Для определения PB)(t) заменяем Р в правой части A9.57) на
P(])(t). Нетрудно видеть, что при этом возникнут слагаемые, опи-
описывающие колебания с частотой 2<о, и не зависящие от времени
слагаемые. Поэтому будут отличны от нуля комплексные ампли-
амплитуды РB)(со/) с частотами со/=2<о и со/=0. Например, для
Р<2>Bсо) получаем
Bо>) =
A9.61)
откуда
>; ш, ш)=
2/п3
—2
— 4Ш2 —
A9.62)
Полученные выражения для x<J) и хB) показывают, что если час-
частоты со и 2со малы по сравнению с «о, то восприимчивости прак-
практически не зависят от частоты (слабая дисперсия). Дисперсия
проявляется, когда частота <о (или 2со) близка к резонансной
частоте соо. Полученные выражения позволяют оценить порядок
линейной и нелинейной восприимчивостей. Вдали от резонанса
/ПО)
Х<2>B
а)
со)
Поэтому получаем оценку
ek2B
т<4
A9.64)
Ангармоническую силовую константу можно связать с соо из тех
соображений, что сила k^x1 сравнивается по порядку величины
с линейной rncoo2* при смещении на величину порядка а (радиус
равновесной орбиты электрона):
2* A9.65)
Вводя напряженность характерного внутриатомного поля соот-
соотношением
еЕ
ат
получаем
A9.66)
A9.67)
'ат
Отметим, что если один из сомножителей в знаменателе хB)Bо>;
138
о, со) попадает в резонанс, то отношение A9.67) увеличивается в
coo/y Раз-
Рассматриваемая модель позволяет понять установленное эм-
эмпирическим путем правило Миллера, согласно которому нели-
нелинейная восприимчивость xB)fffe(coi; С02, со3) выражается через ли-
линейные восприимчивости хA),/(со/; со/) (/=1, 2, 3):
^^(^ ^ A9.68)
где Ацк не зависит от частоты; в то время как хB)г/й для различ-
различных веществ отличается на несколько порядков, Ацк меняется
всего в два раза от среднего значения. Это правило сыграло
важную роль в поисках новых перспективных нелинейных мате-
материалов, так как оно указывает, что большого значения нелиней-
нелинейной восприимчивости можно ожидать у веществ с большим зна-
значением линейной восприимчивости.
§ 20. Прохождение электромагнитных волн
через нелинейную среду: генерация гармоник,
преобразование частот, самофокусировка
Для описания нелинейных эффектов при прохождении элект-
электромагнитных волн через прозрачные среды используются урав-
уравнения Максвелла (см. § 14) с нелинейной связью между плотно-
плотностью дипольного момента среды и напряженностью поля. Из
уравнений A4.12') и A4.37) и определения A9.6) получаем
rot rot Е
с*
B0.1)
К этому уравнению необходимо добавить уравнение связи в виде
A9.5). В практических задачах обычно могут быть сделаны
предварительные предположения о зависимости Е от г и t. В ря-
ряде важных задач можно записывать Е как суперпозицию плос-
плоских волн с медленно меняющимися амплитудами:
. с. B0.2)
В выражении B0.2) связь волнового вектора к (со/) с частотой
to/ определяется, например, соотношением A5.12) для прозрач-
прозрачной изотропной среды или A5.25), A5.30) и A5.31) для проз-
прозрачного одноосного кристалла. В последнем случае волновой
вектор снабжается нижним индексом, указывающим тип прохо-
проходящей волны: ко — обыкновенная, ke — необыкновенная. В ли-
линейном приближении амплитуда Е' волны при прохождении че-
через прозрачную среду остается постоянной (см. § 15). Измене-
Изменение Е' в пространстве и во времени связано с нелинейными свой-
свойствами среды. Медленность изменения амплитуды означает, что
она существенно изменяется в пространстве на расстоянии L^>
^>1/?(со/) и за времена Г>1/со/. Что касается выражения для
Р(Е), то его представляют в виде A9.46), выделяя линейную
139

часть Р<!>, а в нелинейной части ограничиваются учетом нелиней-
нелинейности низшего порядка, необходимой для описания рассматри-
рассматриваемого эффекта. Связь комплексных амплитуд Е(т9 t, r) с
комплексными амплитудами Р определяется соотношением
A9.22), причем из A9.10) и B0.2) имеем
r)exp[/k(o)z)r].
B0.3)
Подставляя B0.2) и соответствующие выражения для Р(Е) в
B0.1) и учитывая медленность изменения амплитуд Е'(со/, t, r)
в указанном выше смысле, получим уравнения для их определе-
определения. Такие уравнения обычно называются укороченными, так как
при их получении отбрасываются слагаемые, содержащие вто-
вторые производные от медленно меняющихся амплитуд, или урав-
уравнениями генерации, так как они описывают, например, процессы
генерации гармоник.
В качестве примера рассмотрим стационарный случай, когда
медленно меняющиеся амплитуды Е от времени не зависят. Та-
Такой режим устанавливается при облучении кристалла излучени-
излучением лазера, работающего в стационарном режиме, спустя некото-
некоторое время после начала облучения. Для простоты считаем, что
волны распространяются в одном направлении z и линейно поля-
поляризованы в направлении х, причем вектор Р имеет одну отлич-
отличную от нуля компоненту Рх (например, изотропная среда). Для
сокращения записи индекс х у Е я Р опускаем. Итак, из уравне-
уравнения B0.1) в указанном выше случае получаем для медленно ме-
меняющихся амплитуд ?'(@/, г) уравнение
*
г].
B0.4)
При получении B0.4) использована связь волнового вектора с
частотой в виде A5.12). В правую часть уравнения B0.4) вмес-
вместо .Р(нл> следует подставлять выражения вида A9.22). Например,
для процесса, описываемого нелинейностью второго порядка, в
котором частота со; получается единственным способом из двух
других частот сор и со^ волн, участвующих в процессе, имеем
z) =
Подставляя B0.5) в B0.4), получаем
B0.5)
.• 2
X ехр[/г(ft(o),)-|-fc(o),)—?(«,))]. B0.6)
Записывая аналогичные уравнения для ?'(©/>, г) и Е'(щ, г), по-
получаем систему трех нелинейных уравнений для определения
амплитуд волн, участвующих в рассматриваемом процессе.
140
Выясним условия, когда функция, входящая в правую часть
B0.4), будет медленно меняющейся. После выражения р(нл> че-
через Е' в правой части в общем случае возникнет экспоненциаль-
экспоненциально зависящий от z множитель вида
ехр
где п— порядок нелинейной восприимчивости, а
п
B0.7)
О)
шг
B0.8)
Функция B0.7) будет медленно меняющейся, если дисперсия
достаточно мала, так что для всех частот ом, сог, ...,соп диэлект-
диэлектрическая проницаемость практически постоянна. Тогда можно
написать следующие соотношения, используя A5.12), B0.8) и
постоянство диэлектрической проницаемости:
я
V
У1
П
S
B0.9)
следовательно, функция B0.7) будет действительно медленно
меняющейся.
Уравнение B0.4) описывает нелинейные стационарные про-
процессы в среде, когда все волны распространяются в одном на-
направлении и одинаково поляризованы. Учтем теперь, что в крис-
кристалле в данном направлении могут распространяться два типа
волн с различными показателями преломления и различными по-
поляризациями. Предположим для примера, что обыкновенная вол-
волна поляризована по оси х. Обозначим через Егх(<йи z) ее ампли-
амплитуду, a k^ (со/) — волновой вектор ?о(<о/). Для необыкновенной
волны, поляризованной по оси у, введем соответственно обозна-
обозначения Е'у(<й1, г) и &у)(ш) вместо ke(m). Такие обозначения поз-
позволяют обобщить уравнение B0.4) на этот случай:
, z)
dz
B0.10)
где j=xy у, а вместо Р/нл> нужно подставлять выражения вида
A9.22).
Уравнения B0.10), записанные для всех полей, участвующих
в исследуемом процессе, служат основой для расчета генерации
и усиления волн в изотропной и анизотропной средах при одном
направлении распространения.
141

В качестве первого примера исследуем линейный электрооп-
электрооптический эффект, который заключается во влиянии сильного од-
однородного постоянного поля Ео=Е(О) на свойства среды по от-
отношению к распространению оптической волны с частотой со,
амплитуда которой может быть достаточно малой (эффект Пок-
кельса). Этот эффект наблюдается в средах без центра инвер-
инверсии, где отличен от нуля тензор нелинейной восприимчивости
низшего порядка хB)г-/А- Нас интересует нелинейная часть рB)(<о,
z)f возникающая за счет взаимодействия поля проходящей вол-
волны ?(со, г) и статического поля Е@):
а>, г)===ЯB>К г) = х$(а>; 0, (о) ?*<())?, К Z). B0.11)
При подстановке B0.11) в B0.10) получим уравнение для опре-
определения компонент вектора Е(<о, г). Величина Е@) играет здесь
роль параметра, позволяющего менять нелинейную часть РB).
Для простоты предположим, что волна линейно поляризована
по оси х и отлична от нуля только компонента РхB). Тогда, вво-
вводя обозначение
4
Ck
; 0,
из уравнения B0.10) получаем
?^(ш, z)=E'x(<»f 0)exp [/— Ьпг
B0.12)
B0.13)
где ?'*(«, 0) —амплитуда напряженности проходящей волны на
входе в кристалл (z=6). Для прозрачной среды величина бя ве-
вещественна, поэтому учет нелинейной поляризации приводит к до-
дополнительному набегу фазы волны, а величина 8п имеет смысл
добавки к показателю преломления п (см. § 15), связанному с
) соотношением
to
'= П
С
B0.14)
Таким образом, показатель преломления для проходящей волны
п + 8п линейно зависит от напряженности статического электри-
электрического поля. Меняя ее, можно управлять световым потоком.
В средах, где хB)г/* = 0 (например, изотропных средах), наблю-
наблюдается электрооптический эффект второго порядка (эффект Кер-
ра). В этом случае нелинейная часть Р<3> низшего порядка имеет
вид
Я}нл)(о>, z) = P<3)(co, z)=-.x$tm(«>; 0, 0, ^)Ёк@)Ё1ф)Ёт^)
и добавка к показателю преломления квадратично зависит от
напряженности статического поля. Эффекты Поккельса и Керра
широко используются для научных и прикладных целей.
В качестве следующего примера исследуем генерацию второй
гармоники. В этом случае в процессе участвуют два поля: поле
основной волны с частотой со и комплексной амплитудой Ё(<о, z)
142
и поле второй гармоники с частотой 2© и амплитудой ЕBш z)
Для медленно меняющихся амплитуд Е (©, z) и h B©, г) из
B0 10) с учетом A9.22) и B0.3) получаем уравнения
X exp \iz
z)X
X exp [tz
- kU)
B0.15)
H)].
B0.16)
Напомним, что верхний индекс у волнового вектора означает тип
волны — обыкновенная или необыкновенная. Если волны одного
типа, то его вообще можно снять. В том случае, если они разного
типа, например основная волна — обыкновенная, а волна гармо-
гармоники— необыкновенная, комбинация волновых векторов в экс-
экспоненте B0.15) имеет вид
АЛ = 2/г0 (ш) — fte Bo>), B0.17)
а в B0.16) входит та же величина с обратным знаком.
. Величина Ak определяет разность фаз между волной поляри-
поляризации на частоте 2со и электромагнитной волной гармоники. Она
существенно влияет на процесс генерации гармоники. Для выяс-
выяснения этого рассмотрим процесс с малым коэффициентом преоб-
преобразования основной волны в гармонику. Это означает, что толь-
только малая доля интенсивности основной волны преобразуется в
гармонику, а поэтому в первом приближении в правой части
B0.15) можно положить
0)-
B0.18)
Такое приближение называется приближением заданного поля.
Оно широко используется для исследования различных нелиней-
нелинейных процессов. Учитывая B0.18), из B0.15) нетрудно получить
зависимость амплитуды гармоники Е7B<о, z) от толщины z кри-
кристалла:
Отсюда следует, что при Д?#0 интенсивность гармоники в за-
зависимости от z испытывает периодические колебания
B0.20)
и достигает максимального значения при толщине z=lH, где
B0.21)
143

— фазовая когерентная длина. При z=2lK, как следует из
B0.20), интенсивность гармоники обращается в нуль. Напом-
Напомним, что речь идет о процессе без потерь, поэтому изменение ин-
интенсивности связано только с обменом энергией между волной
гармоники и основной волной. Такая периодическая зависимость
интенсивности гармоники от толщины кристалла наблюдалась
экспериментально.
Выражение B0.20) показывает, что для увеличения коэффи-
коэффициента преобразования основной волны в гармонику необходимо
уменьшать Ak. Условия, необходимые для обращения Ak в нуль,
называются условиями согласования фаз (условиями создания
пространственного синхронизма). Как следует из B0.20), при
Ak = 6 интенсивность гармоники растет пропорционально квад-
квадрату z. В этой связи напомним, что выражение B0.20) получено
в приближении малых коэффициентов преобразования. Поэтому
при Д?=0, если толщина кристалла достаточно велика, прибли-
приближение заданного поля становится неприменимым. Такой случай
точного согласования фаз рассмотрен ниже, а сейчас обсудим в
принципе возможность точного согласования фаз. Используя
B0.14), можно выразить через показатели преломления среды
величину Ak:
—^
с
B0.22>
В пределах области прозрачности показатель преломления воз-
возрастает с увеличением со (нормальная дисперсия). Поэтому если
основная волна и волна гармоники — одного типа, то выполнить
условие Д&=0 невозможно. Если они разного типа, то имеется
возможность точного согласования фаз путем выбора соответ-
соответствующего направления распространения волн в кристалле, так
как показатель преломления обыкновенной волны не зависит,
а необыкновенной — зависит от направления ее распространения
(см. § 15). Поэтому, в принципе, может существовать такое на-
направление, для которого
л,Bш)=ло(ш). B0.23}
Следовательно, в этом направлении возможно точное согласова-
согласование фаз, если основная волна распространяется как обыкновен-
обыкновенная, а гармоника — как необыкновенная. Для проведения экспе-
эксперимента пластинку из соответствующего материала вырезают
так, что нормаль к ее поверхности совпадает с направлением со-
согласования фаз.
При точном согласовании фаз достигаются высокие значения
коэффициента преобразования, поэтому приближение заданного
поля B0.18) становится неприменимым и нужно решать систему
уравнений B0.15), B0.16). Исследуем эту систему для линейной
поляризации основной волны и волны гармоники. Отличную от
144
нуля компоненту амплитуды ?'/(<*>, г) основной волны обозна-
обозначим Ei(z), причем
B0.24)
где Шх и ф1 — вещественные функции г. Для отличной от нуля
компоненты амплитуды гармоники ?"/Bсо, г), обозначаемой
?, запишем аналогично
где ё'2 и ф2 также вещественные функции г. Для компоненты
тензора x<2WBco; со, со) введем используемое обычно при рас-
рассмотрении ГВГ обозначение
rf-xJJU2»; •. «). <20-25>
Входящая в B0.16) компонента тензора xB)//m(w; 2<о, —со) свя-
связана с d соотношением A9.52):
B0.26)
Для сокращения записи обозначим также &(;)(со) =k\ и 6(>>Bсо) =
= k2 Используя введенные обозначения, для вещественных
функций gu #2, Ф1 я ф2 получим из B0.15) и B0.16) следующие
уравнения:
1
dz
сЩ
dz
dz
d?2
dz
2
X© 2
т 2
sin 0,
сЩ
1.'
COS б,
cos б,
B0.27)
B0.28)
B0.29)
B0.30)
где через 0 обозначена функция
е(г)=Д^г + 2ср1(г)-ср2(г), B0.31)
а Аи в используемых обозначениях имеет вид [см. B0.17)]
-ft2. . B0.32)
Видно, что изменение амплитуд <S\ и #2 зависит от поведения
функции 0(г), определяющей разность фаз между волной поля-
лизации на частоте гармоники и электромагнитной волной на
этой же частоте. Из уравнений B0.29) и B0.30) нетрудно полу-
получить уравнение для этой функции:
dz
B0.33)
Таким образом, уравнения B0.27), B0.28) и B0.33) образуют
145

замкнутую систему для определения S\% 82 и 0. Умножая B0.27)
на 2k\Su а B0.28) на k2&2 и складывая их, получаем
2kx
dz
dz
0.
B0.34)
Соотношения типа B0.34), связывающие изменение мощности на
длине волны для разных частот, называются соотношениями
Мэнли —Роу. Перепишем B0.34) в виде
B0.35)
2 2
2% 2{z)=kx&i @),
где учтено граничное условие
= 0. B0.36)
Обратимся теперь к случаю, когда Дй=0. Тогда соотношение
B0.35) превращается в закон сохранения энергии
S 1 (г) + 8 2 (г) ¦= 8 1 @),
а уравнение B0.33) допускает решение
6B)=const,
B0.37)
B0.38)
причем
cos9B)=0. B0.39)
Из B0.28) следует, что знак dSz/dz определяется знаком функ-
функции &in0, который при условии B0.38) и начальном условии
B0.36) должен быть отрицательным, и с учетом B0.39) имеем
sine(z)=— 1. B0.40)
Итак, уравнение B0.28) принимает вид
d §2
dz
B0.41)
Выражая 8\2 через &22 из B0.37), получаем уравнение для на-
нахождения амплитуды гармоники.
dz
@)
J
B0.42)
Решение уравнения B0.42) с учетом граничного условия B0.36)
имеет вид
//HJ1), B0.43)
где
I
НЛ
сЩ
(О)].
B0.44)
th х — гиперболический тангенс. Итак, при точном согласовании
фаз амплитуда гармоники монотонно возрастает с увеличением
z. Величина /нл играет роль характерной длины, на которой про-
146
исходит преобразование основной части энергии волны в гармо-
гармонику. Линейный рост амплитуды гармоники с толщиной z крис-
кристалла происходит только при 2<С/нл. Для практических целей
важно уменьшить /нл, чтобы уже для сравнительно тонких крис-
кристаллов получать высокие коэффициенты преобразования. Как
следует из B0.44), этому способствуют увеличение интенсивно-
интенсивности основной волны и подбор нелинейного кристалла с большим
значением нелинейной восприимчивости. В этой связи отметим,
что, например, для теллура соответствующая компонента тензо-
тензора нелинейной восприимчивости на три порядка превосходит ве-
величину d кристалла KDP.
Исследуем теперь взаимодействие трех электромагнитных
волн в веществе с учетом нелинейности низшего порядка. Пусть
частоты волн связаны соотношением
¦а. B0.45)
О)
1
Соответствующие медленно меняющиеся амплитуды обозначим
Е'(соь 2), E'(<D2, z) и Е'(©з» z)< Для примера рассмотрим эффект
генерации излучения с суммарной частотой сох при наличии на
входе в кристалл двух сильных волн с частотами сог и соз- Для
E'(©lf г) из B0,4) получаем уравнение
(<¦>!, z)
dz
Z)X
X
.K» z)exp[/z;(ft^)(co2)+*(/.)(aK)-ft^)(aI))]. B0.46)
К уравнению B0.46) нужно добавить аналогичные уравнения
для Е'(со2> z) и Е'(соз, z). В итоге получим систему трех нелиней-
нелинейных уравнений. При исследовании этой системы ограничимся для
простоты приближением заданного поля
Е'(«2, г)» Е'(ш* 0), Е>з> г) да Е'(«в. 0), B0.47)
справедливым, когда только малая часть интенсивности входя-
входящих в кристалл волн преобразуется в волну суммарной частоты.
В этом случае уравнение B0.46) решается независимо от осталь-
остальных и получаем
>2, 0) X
B0.48)
где А6 — величина, определяющая разность фаз волны поляри-
поляризации и электромагнитной волны на частоте со^
Д* = А<Л>(<оа) + #Л>(<Оз) — №Ншх). B0.49)
Видно, что, так же как и в случае генерации второй гармоники,
величина А& существенно влияет на нелинейный эффект. Поэто-
Поэтому при постановке соответствующего эксперимента нужно при-
147

нимать специальные меры по согласованию фаз электромагнит-
электромагнитных волн, участвующих в процессе. Генерация суммарных и
разностных частот используется для различных целей. В част-
частности, эксперименты со смешением частот позволяют обнару-
обнаружить интересующее нас излучение путем измерения в другой
спектральной области. Например, инфракрасное излучение СОг-
лазера можно обнаружить прибором, регистрирующим излуче-
излучение суммарной частоты СОг- и рубинового лазеров, принадлежа-
принадлежащее видимому диапазону.
Рассмотрим теперь процесс, который называется параметри-
параметрическим усилением. В нем участвуют три волны, частоты которых
по-прежнему связаны соотношением B0.45). На вход кристалла
подаются сильная волна (волна накачки) с частотой coi и слабая
(сигнальная) волна с частотой со2. За счет нелинейного взаимо-
взаимодействия в среде возникает волна с частотой со3, и при опреде-
определенных условиях происходит усиление слабых волн с частотами
0J и соз- Для понимания основных закономерностей параметриче-
параметрического усиления достаточно ограничиться приближением заданно-
заданного поля
0),
B0.50)
справедливым, если лишь малая часть интенсивности волны на-
накачки преобразуется в волны с частотами со2 и со3- Амплитуду
E'((oi, 0) будем считать вещественной величиной. Из B0.4) для
медленно меняющихся амплитуд Е'(со2, г) и Е'(ю3 z), учитывая
нелинейность низшего порядка, имеем уравнения
dz
0) X
B0.51)
/>
-«» «i)^A(«i. 0) х
где
B0.52)
K>- B0.53)
Граничные условия к этим уравнениям имеют вид
Е'(о>2, г=0)=Е'К»0)» Е'(<»з, г=0)=0. B0.54)
При решении системы B0.51), B0.52) для простоты считаем, что
каждая волна линейно поляризована вдоль одной из осей, так
что отличны от нуля только компоненты напряженности поля по
осям /i, /2 и /з для волн с частотами ©и 0J и соз соответственно.
Тогда в B0.51) и B0.52) входит только одна компонента тензора
x}i/t/i» так как вследствие соотношений симметрии для про-
процессов без потерь A9.50) и A9.51) имеем
148
Для сокращения записи введем обозначения
11/2
с*
2 2
2, о
? __
1/2
лК. °)> B0-55)
B0.56)
В этих обозначениях уравнение B0.51) принимает вид
B0.57)
B0.58)
Берем комплексное сопряжение от обеих частей B0.52) и с уче-
учетом вещественности х$,/, и Е'(соь 0) получаем уравнение
= — if\A2 exp( — i
B0.59)
Система B0.58), B0.59) сводится к дифференциальному уравне-
уравнению
^d=O, B0.60)
решение которого
где
B0.61)
B0.62)
а С, и С2 — постоянные. Функция A3(z) находится из B0.58):
a 2-
-/Ate).
B0.63)
Постоянные С\ и С2 определяются из граничных условий B0.54).
Выражения B0.61) и B0.62) показывают, что в том случае, если
разность фаз волн достаточно мала, так что
A*/Btj)< 1, B0.64)
происходит усиление слабых волн с частотами со2 и со3. Условие
B0.64) играет роль порогового для усиления сигнальной и вспо-
вспомогательной волн. При заданных характеристиках среды и ори-
ориентации кристалла оно представляет собой требование на интен-
интенсивность волны накачки, которая должна быть достаточно ве-
велика.
149

При облучении кристалла только одной сильной волной на-
накачки с coj в нем могут генерироваться волны с частотами со2 и
со3, связанными между собой условием B0.45). Такой процесс
называется параметрической генерацией. Волны с ©2 и со3 разви-
развиваются в результате усиления шума — некогерентного спонтан-
спонтанного излучения атомов среды на частотах со2 и со3. Параметрич-е-
ская генерация возникает при помещении кристалла между дву-
двумя зеркалами, отражающие поверхности которых обращены друг
к другу. Расположенные таким образом зеркала образуют прос-
простейший резонатор. Роль зеркал могут выполнять отполирован-
отполированные торцы кристалла с нанесенным на них специальным отра-
отражающим покрытием. Покрытие зеркал выбирается таким, чтобы
оно было практически прозрачным для волны накачки (коэффи-
(коэффициент отражения для нее rj^O), но полностью отражало волны
с частотами со2 и со3 (/*2,з^1). Пороговое условие для стационар-
стационарной генерации волн с со2 и со3 заключается в том, чтобы потери
при их прохождении по резонатору компенсировались усилением
на этом пути. Существование потерь связано, например, с тем,
что коэффициенты отражения зеркал г2 и г3 отличаются от еди-
единицы. Более того, так как вывод интересующего нас излучения
(например, с частотой со2) происходит через одно из зеркал, то
коэффициент отражения этого зеркала г2 специально делают от-
отличным от единицы. При заданных потерях, параметрах крис-
кристалла и резонатора пороговое условие определяет амплитуду
входного сигнала волны накачки. Параметрическая генерация
используется для создания перестраиваемых источников коге-
когерентного излучения.
Прохождение достаточно интенсивной волны частоты со по
среде вызывает изменение ее оптических характеристик на час-
частоте самой волны. Нелинейная часть плотности дипольного мо-
момента низшего порядка при этом
, -«>, о>) E
, (со)» Ёт (а)).
B0.65)
В этом выражении для сокращения записи опущена зависимость
амплитуд Е от координат. Для простоты рассмотрим линейно
поляризованную по оси х волну, распространяющуюся в проз-
прозрачной изотропной среде в направлении г, так что отлична от
нуля только компонента Рх. Тогда, снимая для сокращения запи-
записи тензорные индексы, можно записать выражение
; (о
— ш, со) | ?»
B0.66)
Как указывалось ранее, в линейной электродинамике для проз-
прозрачной среды величина
B0.67)
150
имеет смысл показателя преломления. Поэтому вклад нелиней-
нелинейной поляризации в B0.66) можно трактовать как добавку к по-
показателю преломления 6я(со), зависящую от интенсивности са-
самой волны:
(to).
л
Х<3>(а>; о), — со, о)) | Е (о) | 2 = я
?"(«))
B0.68)
где яB)(со) —величина, зависящая от нелинейной восприимчиво-
восприимчивости среды. Поверхность постоянной фазы волны с учетом этой
добавки определяется уравнением
2]z=const.
B0.69)
Обратим теперь внимание на то, что в лазерном излучении, па-
падающем на границу среды z=0, амплитуда напряженности поля
зависит от поперечных координат. Как правило, на оси лазер-
лазерного пучка (х=у=0) интенсивность излучения наибольшая, а
при удалении от оси она спадает на характерном размере пуч-
пучка Го. Поэтому с учетом зависимости амплитуды Е(х, у, г, со) от
пространственных координат уравнение поверхности постоянной
фазы в окрестности 2=0 имеет вид
, 0, о)) | 2Jz=const.
B0.70)
Речь идет именно о некоторой окрестности поверхности среды,
так как при удалении вглубь происходит изменение распределе-
распределения излучения в поперечном направлении. Соотношение B0.70)
позволяет понять тенденцию этого перераспределения на языке
геометрической оптики. Если интенсивность пучка на оси мак-
максимальна, т. е.
|?@, 0, 0, ш)| 2>|?(х, у, 0, ш)| 2 (х, уфО), B0.71)
то показатель преломления на оси пучка больше, чем при удале-
удалении от нее. Поэтому поверхности постоянной фазы искривляются
так [см. B0.70)], что среда работает как собирающая линза, фо-
фокусируя входящее излучение. Этот эффект наблюдался экспери-
экспериментально и получил название самофокусировки, так как сама
волна создает условия для его проявления. В экспериментах ис-
исходный пучок с характерным размером rQ фокусировался на
расстоянии tF (/f^/*o) и распространялся далее в виде тонкого
пучка с размером, значительно меньшим г0, вплоть до выхода из
среды. Для расчета этого явления необходимо использовать
уравнение B0.1), в правой части которого учтена добавка от не-
нелинейной поляризации третьего порядка. При получении уравне-
уравнения для медленно меняющейся амплитуды необходимо учиты-
учитывать и производные в поперечном направлении, так как мы инте-
интересуемся изменением распределения интенсивности пучка имен-
именно в поперечном направлении в зависимости от z. Решение полу-
полученного таким образом нелинейного уравнения в частных произ-
151

водных возможно только на ЭВМ. Такие расчеты выполнялись,
и результаты содержатся в соответствующих работах. Здесь мы
ограничимся оценкой длины самофокусировки h исходя из гео-
геометрической оптики. Примем, что показатель преломления среды
для крайнего луча пучка совпадает с «(со), а для центрального
луча равен
Ё @, 0, 0, а)) | 2.
B0.72)
Тогда набег фазы для крайнего луча до точки фокусировки z=
=h равен
а для центрального
[Я(а)) + /гB)(а))| ?@, 0, 0, ш) |
откуда, приравнивая их, находим
1%
2лB)(о>) | Я@, 0, 0. со) | 2
B0.73)
Выражение B0.73) показывает, что квадрат длины самофокуси-
самофокусировки обратно пропорционален интенсивности падающего излу-
излучения и нелинейной восприимчивости вещества. Отметим, что
имеются эффекты, например дифракция, противодействующие
фокусировке. Их действие приводит к тому, что самофокусиров-
самофокусировка становится возможной только если интенсивность падающего
излучения превышает некоторое пороговое значение. Для оцен-
оценки влияния дифракционной расходимости используем следую-
следующую модель: внутри пучка радиуса го показатель преломления
равен выражению B0.72), а вне — п(со). Тогда, так как вне пуч-
пучка среда имеет меньший показатель преломления, возможен эф-
эффект полного внутренного отражения для лучей, отклоняющихся
от оси г. Обозначим 0О угол полного отражения, отсчитывая его
от оси пучка. Из закона преломления получаем
cos0f
л
Л(о>)+ЛB>(о)|Я@, 0, 0, со) | 2
?@, 0, 0, «>)| 2.
ЛB) (со)
л О»)
Разложив cos Go в ряд, из B0.74) имеем
Угол дифракции по порядку величины равен
где Я —длина волны излучения. Поэтому если
152
B0.74)
B0.75)
B0.76)
B0.77)
то дифракционная расходимость будет подавлена за счет нели-
нелинейных эффектов, так что условие B0.77) можно рассматривать
как условие формирования стабильного световода. Подставляя
в B0.77) выражения B0.75) и B0.76), получаем ограничение на
интенсивность падающего излучения:
B0.78)
(ш) го
Выражение, стоящее в правой части B0.78), играет роль крити-
критического (порогового) значения интенсивности падающего излу-
излучения, выше которого возможен эффект самофокусировки.
В заключение приведем некоторые сведения об электромаг-
электромагнитном поле в лазере. В § 14 указывалось, что знак мнимой
части диэлектрической проницаемости ег(со) дает ответ на во-
вопрос: будет среда поглощать или усиливать проходящую через
нее электромагнитную волну с частотой со. В состоянии термо-
термодинамического равновесия среда поглощает электромагнитное
излучение (ег(со) >0). За счет внешнего воздействия можно
приготовить и поддерживать среду в таком состоянии, что для
определенной частоты со мнимая часть диэлектрической прони-
проницаемости будет отрицательна и, следовательно, среда будет
усиливать проходящую электромагнитную волну с такой часто-
частотой. Среду в таком состоянии называют инвертированной (или
активной). Она может не только усиливать проходящую через
нее электромагнитную волну, но и служить источником (генера-
(генератором) когерентного электромагнитного излучения в отсутствие
внешней электромагнитной волны. В этом случае первоначаль-
первоначальной затравкой, из которой в процессе усиления возникает мак-
макроскопическое когерентное электромагнитное излучение, являет-
является всегда существующее в среде тепловое излучение (электро-
(электромагнитный шум). Физическим явлением, лежащим в основе
такого процесса усиления, является вынужденное (индуцирован-
(индуцированное) излучение, открытое А. Эйнштейном в 1916 г. Оно заклю-
заключается в том, что квант электромагнитного излучения, частота
которого совпадает с частотой некоторого атомного перехода
(резонансный квант), вынуждает возбужденный атом излучить
квант с точно такими же, как и у него, характеристиками. Так
как макроскопическое электромагнитное поле содержит боль-
большое число квантов, то для его формирования необходимо, что-
чтобы появившиеся кванты не покидали среду, способствуя излуче-
излучению атомами таких же квантов. Это достигается путем помеще-
помещения среды в резонатор, представляющий собой в простейшем
случае два зеркала, коэффициент отражения которых для из-
излучения рассматриваемой частоты близок к единице. В этом
случае резонансные кванты, пробегая многократно между зер-
зеркалами через инвертированную среду, вызывают появление
множества себе подобных квантов, так что в итоге появляется
макроскопическое когерентное электромагнитное излучение, по-
получившее название лазерного (лазер от первых букв английско-
153

го выражения—Light Amplification by Stimulated Emission of
Radiation). Отметим, что вместо термина «лазер» также
употребляется сокращение ОКГ — оптический квантовый ге-
генератор.
Как следует из сказанного выше, составными частями лазе-
лазера кроме активной среды являются источник накачки этой сре-
среды до рабочего (инвертированного) состояния и резонатор.
В качестве активной среды используются самые разнообразные
вещества: атомные и молекулярные газы, кристаллы и стёкла
с примесями, полупроводники, растворы красителей и т. д....
В соответствии с этим говорят о различных типах лазеров: га-
газовых, твердотельных, полупроводниковых и т. д. Разнообразны
и способы накачки: это и оптическая накачка — облучение ак-
активной среды светом лампы-вспышки или другим источником
электромагнитного излучения, и использование электрического
разряда в газе, когда в результате столкновений с ускоренными
полем электронами происходит возбуждение атомов на рабочие
уровни, и т. д.... Рабочими уровнями атомов среды называют
энергетические уровни а и Ь с энергиями Еа и Еь, излучательный
переход между которыми приводит к появлению лазерного из-
излучения с частотой со, близкой к частоте атомного перехода
соо=(?а—Еъ)/?1 (в пределах спектральной ширины линии излу-
излучения).
В качестве резонатора обычно используют два зеркала
(плоские или вогнутые), между которыми находится активная
среда. В первом лазере на рубине роль зеркал выполняли отпо-
отполированные и посеребрённые торцы рубинового стержня. Одно
из зеркал обычно полностью отражает лазерное излучение (ко-
(коэффициент отражения г\=1), а через другое производят вывод
его из резонатора. Поэтому коэффициент отражения этого зер-
зеркала Г2<1. Отличие гг от единицы не должно быть слишком
большим, так как с этой величиной связана доля энергии, теряе-
теряемая электромагнитным полем в резонаторе, которая должна
восполняться усилением активной среды. Величина усиления
определяется свойствами активной среды и параметрами накач-
накачки, а потери лазерного излучения связаны не только с отличием
коэффициента отражения зеркал от единицы, но и с конечно-
конечностью размеров зеркал, с дифракцией излучения на различных
элементах конструкции лазера и т. д.
Наряду с накоплением энергии лазерного излучения, резона-
резонатор формирует и его спектр. Роль резонатора в формировании
спектра лазерного излучения разберем на простейшем примере
двух плоских бесконечных зеркал, расстояние между которыми
равно L (L — длина резонатора). Ось z направим перпендику-
перпендикулярно плоскостям зеркал, так что 2=0 соответствует положе-
положению одного зеркала, z=L — другого. Собственные колебания
электромагнитного поля в таком пустом (без активной среды)
резонаторе представляют собой стоячие плоские волны
154
Еп(г, t)=Ens\n {knz) cos (oW + фп),
B0.79)
где Еп — постоянная амплитуда (для простоты взят случай ли-
линейной поляризации), <рп — постоянная часть фазы, а частота
волны оь и волновое число kn связаны соотношением (см. § 15)
©Я=<Л„. B0.80)
Дискретность спектра собственных частот следует из обращения
в нуль поля на зеркалах, что дает
knL=nn (я=1, 2,...).
К этому соотношению можно прийти следующими рассужде-
рассуждениями. Стоячую волну можно записать в виде суперпозиции
двух бегущих встречных волн. Они будут собственными колеба-
колебаниями поля в резонаторе, если для каждой из них набег фазы
за полный проход резонатора 2Lk будет кратен 2л. Только в
этом случае распределение поля сохраняет свой вид после воз-
возвращения волны в исходную точку.
Собственные колебания поля называются модами резонато-
резонатора, и их частоты равны
КС
= — П.
B0.81)
Расстояние между частотами соседних мод в рассматриваемой
модели не зависит от номера и равно Aco=nc/L. Часто вместо
частот со используют частоты v = co/Bn). Тогда расстояние Av
между соседними модами -Av=c/BL). Для типичного значения
размера резонатора газового лазера L=\ м имеем Av=l,5X
Х108 Гц=150 МГц. Напомним, что в оптическом диапазоне
частота излучения порядка 1014—1015 Гц и, следовательно, чис-
число я, определяющее частоту генерируемой моды, очень велико.
Разумеется, модовая структура реального резонатора с зер-
зеркалами конечных размеров и в общем случае конечных радиу-
радиусов кривизны отличается от рассмотренной. Основное отличие
заключается в том, что в поперечном направлении ху напряжен-
напряженность поля моды эффективно отлична от нуля только в некото-
некоторой области вблизи оси резонатора х=у=0. Кроме того, в ре-
реальном резонаторе моды с течением времени затухают. Расчет
модовой структуры реального резонатора представляет слож-
сложную математическую задачу. Она решалась рядом исследовате-
исследователей с использованием скалярной теории дифракции Кирхгофа.
В приближении a<tiL (а — размер зеркал, L — расстояние
между ними) и N<^(L/aJ, где N=a2(XL)—число Френеля
(Я, —длина волны излучения), задача сводится к решению
одномерного интегрального уравнения Фредгольма на собствен-
собственные значения. Спектр собственных значений определяет частоты
и затухание (потери) мод резонатора, а собственные функции —
распределение поля моды в поперечном по отношению к оси
резонатора направлении. Два целых числа т и I — поперечные
индексы моды — являются номерами собственных значений и
собственных функций (два, так как одно относится к распреде-
155

лению по х, а другое по у). Эти моды называют ТЕМт/-модами
(от англ. Transverse Electric and Magnetic). Индексы т = 0 и
/=0 отвечают моде с наименьшими потерями, С ростом т и I
потери быстро растут, так что имеет смысл рассматривать
только моды с небольшими значениями поперечных индексов.
ТЕМоо-мода называется основной, напряженность поля в ней
максимальна в центре зеркала и монотонно спадает к краям.
Собственная частота, кроме поперечных индексов т и /, зависит
еще и от продольного индекса я. Как и в простейшей модели
плоских волн, число п чрезвычайно велико для мод оптического
диапазона, О модах с разными значениями поперечных индек-
индексов т и / при заданном значении продольного индекса п гово-
говорят как о разных поперечных модах. О модах с заданными
значениями т и /, но разными я, говорят как о продольных
модах. Пользуясь тем, что потери мод с т, 1=Ф0 выше, чем у
ТЕМоо-мод, их можно подавить ч получить генерацию несколь-
нескольких ТЕМоо-мод, отличающихся друг от друга значением п. Рас-
Расстояние между частотами соседних ТЕМоо-мод с большой точ-
точностью определяется выражением B0.81), следующим из про-
простейшей модели, а распределение поля ТЕМ0о-моды — выра-
выражением
X ехр(/о),
К. С.
X
к. с,
B0.82)
где е„ — единичный вектор поляризации поля; wn — параметр,
характеризующий поперечный размер моды. Функция /„(г)
характеризует изменение поперечного размера и радиуса кри-
кривизны волнового фронта моды вдоль оси лазера:
(г ~ Zft). B0.83)
Здесь параметр гп определяет место перетяжки (шейки) моды,
где ее поперечный размер минимален. Например, для конфо-
конфокального резонатора
wn=(L[kn№ zn=L/2. B0.84)
Для оценки этой величины возьмем L=\ м и ?i=0,63 мкм
(красный Не — Ne-лазер). Учитывая, что kn=2n/Xy из B0.84)
получаем ^rt~0,3 мм. В случае конфокального резонатора раз-
размер моды на зеркале связан с wn соотношением wn@) =
^=Wn{L)=^2wn. Величина knwn2 играет роль характерной
длины, на которой изменяются поперечный размер моды и ра-
радиус кривизны ее волнового фронта. Поэтому с этой величиной
связана и угловая расходимость лазерного излучения.
Отметим, что переход из выражения B0.82) к полю плоской
волны происходит при wn-+oo.
156
ПРИЛОЖЕНИЕ
Выбор системы единиц диктуется соображениями удобства.
Этим особенно часто пользуются физики-теоретики в своих ис-
исследованиях. В то же время при регистрации физических вели-
величин используются приборы, градуированные вполне определен-
определенным образом. С 1948 г. в мире применяется Международная си-
система единиц (СИ), в которой одними из основных единиц явля-
являются метр, секунда, килограмм, ампер. С 1963 г. Государствен-
Государственный стандарт предписывает предпочтительное применение СИ,
Ниже приводятся формулы, записанные как в гауссовой системе
единиц, которая использована в книге, так и в СИ.
Единицей электрического заряда в СИ является кулон (Кл).
Элементарный заряд е=1,6-109 Кл. Закон Кулона в СИ
f =
/¦2
(П.1)
где е0 — электрическая постоянная. Она имеет размерность эле-
электрической емкости, отнесенной к единице длины, и равна ео=
= 0,885- Ю1 Ф/м A Ф = 9-10" см). Плотность дипольного мо-
момента изотропного диэлектрика в СИ связана с напряженностью
Е электрического поля соотношением
Р=хе0Е,
(П.2)
в котором безразмерная величина х — диэлектрическая воспри-
восприимчивость—в 4л раз больше соответствующей величины в гаус-
гауссовой системе. Вектор электрической индукции в СИ
(П.З)
Поэтому с учетом (П.2) можно написать
D = ee0E,
где безразмерная величина е — диэлектрическая проницаемость
среды в СИ — равна
•=1+х. (П.4)
Учитывая, что в гауссовой системе е=1+4лхгс , а 4лхгс =х,
находим, что значение е одинаково в этих системах.
Для тонких прямолинейных параллельных проводников сила
157

их взаимодействия, отнесенная к единице длины, в СИ записы-
записывается в виде
f*0
(П.5)
4я
где /ь /2 —силы токов, г —расстояние между проводниками,
^0 _ магнитная постоянная, численно равная ^ = 1,26 мкГн/м
(Гн — генри — единица индуктивности СИ). Введенные в СИ
величины е0 и ji0 связаны со скоростью с распространения элект-
электромагнитного взаимодействия в вакууме соотиошением
2. (П.6)
(П.7)
В СИ напряженность магнитного поля
1
н=—в-м,
1*0
где М — плотность магнитного момента вещества. Для изотроп-
изотропного магнетика
(П.8)
где х=4яхгс — магнитная восприимчивость. Из (П. 7) с учетом
(П.8) получаем
В=№оН, (П-9)
где
Р=1+Х (ПЛ°)
— магнитная проницаемость вещества. Ее значение в обеих си-
системах одинаково.
Сила, действующая на заряд, находящийся во внешнем элек-
электромагнитном поле, в СИ записывается в виде
, Bp.
(П.11)
Уравнения Максвелла, записанные в СИ, уже не содержат- с и
4я и имеют вид
rotE=
ot
Ot
div D = P>
. divB=0.
Поэтому в СИ вектор Пойнтинга и плотность энергии электро-
электромагнитного поля
S=[E, H], w=V
158
СПИСОК
РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред. М., 1982.
Л. Д. Ландау, Е. М. Лнфшиц. Статистическая физика. М., 1976.
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Квантовая механика. Нерелятивистская
теория. М., 1974.
М. И. Рязанов. Электродинамика конденсированного вещества. М., 1984.
М. Шуберт, Б. Вильгельми. Введение в нелинейную оптику. М., 1973,

Учебное издание
Виктор Михайлович Галицкий
Валерий Михайлович Ермаченко
МАКРОСКОПИЧЕСКАЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Зав. редакцией литературы по
физике и математике
Редактор
Мл. редакторы
Оформление художника
Художественный редактор
Технический редактор
Корректор
ИБ № 7147
?. С. Гридасова
Г. Н. Чернышева
И. /7. Майкова, Г. В. Вятоха
Г. 5. Куликова
В. Я. Пономаренко
Ю. А. X о рева
Г. И. Кострикова
Изд. № ФМ—904. Сдано в набор 03.06.87. Подп. в печть 07.01.88.
Формат 60Х90'мб. Бум. тип. № 1. Гарнитура литературная. Печать
высокая. Объем 10 усл. печ. л. 10,25 усл. кр.-отт. 8,71 уч.-изд. л.
Тираж 6000 экз. Зак. № 1514. Цена 30 коп.
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглннная ул.,
д. 29/14.
Московская типография № 8 Союзполиграфпрома при Государствен-
Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли, 101898, Москва, Центр, Хохловский пер., 7.