А М ЗУБКОВ

В.А.СЕБАСТЬЯНОВ

В. П. ЧИСТЯКОВ
A. M. ЗУВКОВ

В. А. СЕВАСТЬЯНОВ

II. П. ЧИСТЯКОВ

СБОРНИК ЗАДАЧ

ПО ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ

Дот1/

th

МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ литературы
1»&
I

ББК 22.171
3-91

УДК 519.21 (075.8)

Зубков А. М., Севастьянов Б. А., Чистяков В. П.
Сборник задач по теории вероятностей: Учеб, пособие для вузов.—
2-е изд., испр. и доп.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.— 1989.—
320 с,— ISBN 5-02-013949-1.

Содержит упражнения по всем разделам теории вероятностей,
включаемым в начальный курс. Тексты задач, указания, решения
и ответы помещаются раздельно.

Второе издание по сравнению с первым (1980 г.) существенно
переработано. Значительно увеличено общее число задач и, в част-
ности, число простых задач, предназначенных для упражнений по
начальному курсу теории вероятностей; в вводные части к основ-
ным темам добавлены примеры решения задач; добавлены задачи
по случайным процессам и математической статистике.

Для студентов математических и физических специальностей
вузов.

Табл. 9. Ил. 8. Библиогр. 13 назв.

Рецензент

кафедра теории вероятностей Московского института электрон-
ного машиностроения (заведующий кафедрой — доктор физико-ма-
тематических наук Г, И. Ивченко)

1602090000—110

3	053(02)-89	45-89

ISBN 5-02-013949-1

©Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1980;

с изменениями, 1989
ОГЛАВЛЕНИЕ

11 роди<лгнию

Ч А СТЬ I. ЗАДАЧИ................................................................................. 7

I пана	1. Простейшие пероятпостные схемы 		• 	7

| 1.	Классическое определение вероятности ....	13

| 2.	Геометрические >ероятности .......	22

Г к	л г а	2. Последовательности испытаний .....	*6

|	1,	Условные вероятности ...................................................................37

I	2.	Независимость событий ........	39

|	3,	Формула полной вероятности..............................................................41

$	4.	Схема Бернулли..........................................................................45

5 5.	Полиномиальная схема .	.................	48

Глава	3. Случайные величины ........	30

§	1.	Распределение вероятностей случайных величин	' ‘

$	2.	Математические ожидания............................................77

§	3.	Условные распределения..94

§ 4.	Нормальное распределение..................

Глава 4. Предельные теоремы. Производящие и характе-

ристические функции..................................  Юб

§ I.	Закон больших чисел. Лемма Бореля — Кантелли	113

§ 2.	Прямые методы доказательства предельных теорем	118

§ 3.	Характеристические и производящие функции . ,	126

§ 4.	Неравенства Бопферрони и сходимость к распреде-
лению Пуассона.....................................  135

§ 5.	Применения нейтральной предельной теоремы и ме-
тода характеристических функций......................138

Глава	5. Простейшие	случайные процессы ....	148

§ 1.	Разные задачи....................................154

§ 2.	Пуассоновские	процессы..........................160

§ 3.	Цепи Маркова.....................................163

Глава 6, Элементы математической статистики . . .	.	174
I*

Часть 11. УКАЗАНИЯ.......................	, . , .	186

Часть III. РЕШЕНИЯ.................................  ,	236

Часть IV. ОТВЕТЫ.......................................278

Таблицы................................................306

Нормальное распределение ......................... Зоб

Распределение Пуассона ............................308

Распределение Стьюдента ...........................309

Х2-распределение...................................310

Равномерно распределенные случайные числа	.	.	.	311

Нормально распределенные случайные числа	,	.	.	312

Программные датчики псевдослучайных чисел .	,	.	.	314

Список литературы....................................  319
ПРЕДИСЛОВИЕ

Dror сборник задач является учебным пособием по
ппчпльпому курсу теории вероятностей для студентов
упипорситетог. и технических вуаов. Математический ап-
IHIpin, используемый при решении большей части задач,
по выходит за пределы обычного курса математики в
ти\ и и веских вузах. Каждая из шести глав задачника
имоет введение, где приводятся краткие сведения о по-*
пигиях и утверждениях теории вероятностей, необходи-
мых для решения задач этой главы. Введения к первым
трем главам содержат, кроме того, примеры решения
простых стандартных задач. Конец каждого примера от-
мечен знаком А.

В сборнике имеются задачи разной степени трудно-
сти. С одной стороны, в каждой главе есть простые за-
дачи, решение которых сводится к прямому применению
основных формул и приемов. Номера таких задач отме-
чены знаком Эти задачи можно использовать на семи-
нарских занятиях как в технических вузах, так и в уни-
верситетах.

С другой стороны, в каждой главе есть достаточно
сложные задачи, решения которых содержат принци-
пиально важные идеи или связаны с аккуратным прове-
дением математических выкладок или рассуждений. Но-
мера таких задач отмечены знаком *, а их полные ре-
шения приводятся в части III.

Остальные задачи занимают промежуточное положе-
ние. Если первые попытки решения такой задачи не
приводят к успеху, то можно воспользоваться указания-
ми (см. часть II), которые практически для каждой за-
дачи в сжатой форме перечисляют все сколько-нибудь
нетривиальные соображения, на которых основано ее
решение. Иначе говоря, указания разбивают задачу
средней трудности на несколько более простых задач.

Авторы стремились сделать задачи интересными как
по форме, так и по содержанию и подбирали задачи так,
чтобы помочь учащимся освоиться с основными поняти-
ями и методами теории вероятностей. Особое внимание
уделяется тем элементарным методам, которые «работа-
ют» практически во всех областях применения теории
вероятностей, например: представлению исследуемой
случайной величины в виде суммы индикаторов, исполь-
зованию линейности математического ожидания, методу
моментов, представлению исследуемой случайной вели-
чины в виде суммы более простой случайной величины
и «малого» добавка, и т. и. Большая часть этих приемов,
как правило, не находит отражения в стандартных кур-
сах теории вероятностей и может быть усвоена только
ири самостоятельном решении задач.

При составлении задачника был использован ряд
отечественных и зарубежных источников (учебников,
задачников, журнальных статей и т. п.)т а также зада-
чи, возникавшие в научных и педагогических коллекти-
вах, хорошо знакомых авторам.

При подготовке второго издания были исправлены
вамсченные неточности и добавлены новые задачи.
Часть I. ЗАДАЧИ

Г л о в л 1

ПРОСТЕЙШИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СХЕМЫ

Мп тематические модели случайных явлений, рассмат-
риваемые в теории вероятностей, основываются на поня-
 пн iirfOHTiiocTHOZO пространства, т. е. тройки (Q,	Р),

1	Ц V

Q {(и} — непустое множество, элементы св которого
ин юрпротируются как взаимно исключающие исходы
изучаемого случайного явления;

а/ — набор подмножеств множества Q, называемых
событиями (предполагается, что множество Л? содержит
I? п замкнуто относительно взятия противоположного
события и суммы событий в не более чем счетном числе,
г. и является о-алгеброй);

вероятность Р — функция, определенная на событиях
Л 1 /и удовлетворяющая следующим условиям:

1)	Р(Л)> 0 при любом А е

2)	P(Q)= 1;	(1-1)

/ ОО	\	~

3)	р I и V =- _ Р (Лп), если AtAj = 0 при любых
\ 11=1	!	п=1

Символ 0 означает пустое множество (или невоз-
можное событие).

Определение операций над событиями, определение
алгебры и о-алгебры событий можно найти в учебниках
по теории вероятностей (см., например [2], [5]. [10] —
[13]). 'В этой главе рассматриваются два простейших
класса вероятностных пространств.

Пусть Q = (coi, юг,   wj. В а-алгебру событий а/
включаются все 2s подмножеств А =	ы^] мно-

жества Q. При классическом определении вероятности
полагают Р ((i)j )=... = P(<d4) = 1/$, поэтому вероятность
Р(Л) события А — [cojp ..., ы,А [ равна отношению числа
элементарных событий*) со,, входящих в А, к общему

*) Здесь и ниже число элементов любого конечного множест-
ва М будем обозначать [М |.
числу . 'Ц>м('1гн1|)ных событий в Q:

Р’Л>-Ж-Т-	<‘-2>

Тики я вероятностная схема является математической
моделью случайных явлений, для которых всходы опыта
в каком-либо смысле симметричны, и поэтому представ-
ляется естественным предположение об их равповоз-
можности.

Пример 1.1. Брошено две игральных кости. Пред-
полагая, что элементарные события равновероятны, най-
ти вероятность события А = {сумма выпавших очков де-
лится на 6).

Решение. Исход опыта можпо описать парой чи-
сел (t, /), где г — число очков, выпавших на 1-й кости,
а / — на 2-Й (г, ) = 1, 2,	6). Поэтому мы полагаем

Q = {(/, /): г=1, 2..б; /= 1, 2, ..., 6).

Нетрудно проверить, что общее число элементарных со-
бытий IQI « 36. Событие А соответствует подмножеству
Л *={(1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3), (6,6)) множества
Q. Так как [Л| = 6, то по формуле (1.2) получаем

Дадим описание двух часто встречающихся вероят-
ностных схем, в которых детализируется общее класси-
ческое определение. Обозначим через Ла множество из
N чисел: Л° = {1, 2, .; пусть ®=(i|, is, .in) —
упорядоченный набор из п элементен множества Л9. Ве-
роятностную схему, в которой

Q = {(d=(i1, г2, ...» in):	Л-1, 2, ..., га) (1.3)

и все элементарные события со равновероятны, называ-
ют схемой случайного выбора с возвращением.

Схемой случайного выбора без возвращения называ-
ют вероятностную схему, в которой

Q = (со =(ii, i2, ..in): ik<= ЛР, к = 1, 2, ..., п,

среди ii, .in нет одинаковых) (1.4)'

и элементарные события со равновероятны.

При вычислении вероятности по формуле (1.2) часто
оказываются полезными различные комбинаторные фор-
мулы. Приведем основные из них. Пусть дапо множест-
во Л° из \ элементов; Л9 = {ai, «2, ..а»). Подмножест-
 множества /С называют сочетаниями. Число сочета-

Hlt, KOH)|)i>ie можно образовать из Лт элементов ./V, вы-

и|iriп различными способами подмножества по пэлемен-
riiN, обозначают Су или Справедливы формулы

ги Л1*1

C/V = "7T

-V!

n! (7V — п)| »'

pJV-»

С у = ь у .

। нг и! "1 - 2 -	• л и

А1”1 = А(А- 1)...(А — и + 1).

'(1.5)

Упорядоченные цепочки щ . а,п, образованные из раз-
личных элементов Л3, называют размещениями. (Раз-
монщния^и являются, в частности, элементарные собы-
тия to =(ii, ..в схеме случайного выбора без воз-
вращения (1.4). Число размещений из А элементов по

W, т. е. число различных упорядоченных цепочек длипы
п из \ элементов Л3, обозначают Ду. Для имеем
формулу Л.у = .V 1 Размещения с п = \ называют
перестановками. Число различных перестановок, обра-
зованных из N элементов, равно А!

Пример 1.2. В урне лежат пять карточек, зану-
мерованных числами 1, 2, 3, 4, 5. По схеме случайного
выбора с возвращением из урны трижды вынимается
карточка. Какова вероятность того, что ровно в двух
случаях пз трех будут вынуты карточки с нечетными
номерами?

Решение. Вероятностная схема определяется фор-
мулой (1.3) с N = 3, п ~ 3; элементарное событие <о =
= (и, 1’2, fa) соответствует номерам вынутых карточек.
Так как ii, г'2, гзе (1, 2, 3, 4, 5), то существует ровно
5 • 5 • 5 = 5 - = 125 различных элементарных событий
о) =(п, f2,	Значит, |Й|= 53 = 125. Далее, В =

= {ровно в двух случаях из трех вынимаются карточки
с нечетными номерами} = {ы = (г{, t2, гз)^ й: ровно одно
из чисел i\, 1%, 13 четное! = Z?j U В2 U £?з, где события
Z?%« {<0 = (ii, f2,	число ih четное, а остальные

два числа нечетные), k = 1, 2, 3, попарно не пересека-
ются. При любом к = 1, 2, 3 число различных со =
“=(fi, «2,	Bh равно 2-3-3 = 18 (к-ю карточку можно

выбрать двумя способами, а каждую из двух осталь-
ных — тремя). Поэтому |Z?I = lZ?j U В2 U /?з1 = lZ?il +
ri- |tf2l + 1Яз! = 3 • 18 = 54 и

Р Ш = -Й5 = °>432-
Пример 1.3. Найти вероятность того нее события,
что в примере 1.2, для схемы выбора без возвращения.

Решение. Вероятностная схема определяется фор-
мулой (1.4) с N = 5, п = 3. В отличие от примера 12
элементарные события ы=(и, z*2, 1з) являются теперь
размещениями, т. е. | Q | = А'- = 5»4*3 = 60. Используя те
же обозначения, что в примере 1.2, находим, что

В — Bi U В2 U Вз, Вл Л Bi — 0 при к ¥» I,

и что | Bh | - Al>A* = 2*3*2 = 12 при любом Л = 1, 2. 3
(й-ю карточку можно выбрать А., — 2 способами, a napv
остальных—А< = 3-2 способами). Поэтому теперь j/?| =
-1^1+1^1+1^1 = 3.12 = 36 и

Р (5) = _Ш =^. = 06.	А

v > I U| 60	’

Часто оказывается полезной следующая классиче-
ская формула, известная как уточненная формула Стир-
линга (см. ]11], т, 1, с. 73, (9.15)):

___________	0п_
п\ — У 2пп ппе~пе12п,

*2п

12п + 1

<еп<1.

(1-6)

В формулировках некоторых задач используется вы-
ражение: «целое число а сравнимо с целым числом b но
модулю т» (т — целое), или, в символической записи,

а 6 (mod tn).

(1.7)

Сравнение (1.7) эквивалентно утверждению: существует
такое целое число t, что а — b — tm (т. е. а п b при де-
лении на m дают одинаковые остатки). В частности,
запись я «0 (mod m) означает, что а делится без остат-
ка на гп.

Целую часть действительного числа т (наибольшее
целое число, не превосходящее а:) будем обозначать [дф

Рассмотрим второй класс вероятностных пространств
(Q,	Р). Пусть Q — множество в n-мерном евклидо-

вом пространстве, объем p(Q) которого положителен и
конечен; о-алгебра 5# состоит из всех измеримых (т. е.
имеющих объем) подмножеств А cz Q. Вероятность Р оп-
ределяется равенством

Р<^-77ПР	А^-	(к8>
ирпдвлепив вероятности (1.8) называют геометриче*
 ним определением вероятности.

Пример 1.4. Коля и Петя договорились встретить-
 и ни остановке автобуса между 9 и 10 часами. Каждый,
приди на остановку, ждет другого 15 минут, а потом
» ходит. Найти вероятность встречи Коли и Пети, пред*

полагая, что моменты их при-
нта являются координатами
1ОЧКП, имеющей равномерное
распределение в квадрате
|9, 10] X [9, 10].

Решение. Пусть Коля
приходит ча остановку в 9 ч
и мин, а Петя — в 9 ч. v мин.
II качестве множества элемен-
тарных событий выберем

Q = {(п, у): 0 и С 60,
0^ у £ 601.

Тогда событие А — {встреча Коли и Пети происходит)
соответствует множеству

Л = {(и, у): |и — v\ < 15, О^и^бО, 0 у sS 60) <= Q,

изображенному на рис. 1. Так как

Р (Q) - 603, р (Л) = 60а - 452 = 60а • (1 - (-/ / - -1 • 602
f	I	I 4 I !	16	1

*	\	/

то по формуле (1.8) находим

р .	_ g U)	60а-7/16	7

И(й)’	602	= 11в’

Приведем формулы, которые часто используются при
решении задач. Пусть А обозначает событие, противо-
положное событию А. Для любых событий zlj, А2, ...
имеем

сю	ОО  	оо	ОО

U Ап = П АПг П .1„ = U д4п. (1А1

П~1	п~ 1	т^1	п=1

При любых А и В верна формула

Р(Л U £) = Р(Л)+ Р(Я)~ Р(4 П В),	(1.10)

в частности, при А Л В = 0 имеем

Р(Д UB)=P(4)4-P(S).	(1.11)
Вероятность объединения произвольных п событий на-
ходится но формуле

P(AUAU...(JA)= 2 Р(А)- 2 Р(А.ПА)+
Л-1	<h2<n

+	2 Р(Ак П4» ПЛ)-...

...+(- 1)’”-1Р(ЛПЛП.".'.ПА) =

-2(-t)'-1	2	Р(Л.П...Г1Л,). (1-12)

/ши1 *

Пример 1,5. Четыре поздравительных открытки
случайно разложены по четырем конвертам с адресами.
Найти вероятность того, что хотя бы одна открытка по-
пала в свой конверт.

Решение. Множество элементарных событий Q
состоит из всех расположений открыток но конвертам:
iQl = 4! = 24. Событие

А = {хотя бы одна открытка лопала в свой конверт)
можно представить в виде

А =41иЛ2и43иЛ4|

где А{ = {i-я открытка попала в свой конверт).

По классическому определению вероятности

р(А) = 4, Р И, п А) - V = ТТ-

р (Л л А Г) А) - р м, л А2 П а, Л 4.) = Д-.

Нетрудно проверить, что при любых попарно различ-
ных г, ;, к

₽ (Л) = р (А) = 4-, Р (А, л .4,) - Р (Л л А,) - -Д-,
Р(ЛПАПА)-Р(АПАП А) = ^-

По формуле (1.12) находим

P(AUAUAUA) =

WZ._{_Г2.	_1 Г'._	_Л1’. _	_ JL	*

4 4	"4	12 + ''* 24	24	8 ‘	*

Во всех задачах § 1 данной главы предполагается,
что элементарные события равновероятны; слова «слу-
12
МиЙц<ци, «случайно выбирается» нужно понимать как
Про пи тожспие о равновероятности элементарных СОбы-
1нп И Ц 2 выражение «точка равномерно распределена
Ни множество й» означает, что вероятности нужно вы-
ini in и. по формуле (1.8).

1.	Классическое определение вероятности

1.1	". Из ящика, содержащего три билета с номерами
I, !, 3, вынимают по одному все билеты. Предполагает-
। и, что все последовательности номеров билетов имеют
одинаковые вероятности. Найти вероятность того, что
мин бы у одного билета порядковый номер совпадает
г собственным.

1.2	°. Колода из 36 карт хорошо перемешана (т. е. все
и- 1можпые расположения карт равновероятны). Найти
вероятности событий:

А = {четыре туза расположены рядом),

В = {места расположения туэов образуют
арифметическую прогрессию с шагом 71.

1.3	. На полке в случайном порядке расставлено
’О книг, среди которых находится трехтомник А. С. Пуш-
кина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в по-
рядке возрастания слева направо (но не обязательно
рядом).

1.4	°. Брошено три монеты. Предполагая, что элемен-
тарные события равновероятны, йайти вероятности
событий:

А = {первая монета выпала «гербом» вверх),

В = {выпало ровно два «герба»),
С = {выпало не больше двух «гербов?)}.

1.5	°. Из множества всех последовательностей длины
л, состоящих из цифр 0, 1, 2, случайно выбирается одна.
Найти вероятности событий:

А = {последовательность начинается с 0),

В = {последовательность содержит ровно т + 2 ну-
ля, причем 2 из них находятся на концах по-
следовательности),

С *= {последовательность содержит ровно т единиц),
Г) — {в последовательности ровно то нулей, тп\ еди-
ниц, т2 двоек).
1.6	°. Из 28 костей домино случайно выбираются две.
Найти вероятность Р2 того, что из них можно составить
«цепочку» согласно правилам игры.

1.7	. В записанном телефонном номере 135—3. —..
три последние цифры стерлись. В предположении, что
все комбинации трех стершихся цифр равновероятны,
найти вероятности событий:

А = {стерлись различные цифры, отличные от 1,3,51,
В — {стерлись одинаковые цифры),
С = {две из стершихся цифр совпадают!.

1.8	°. Какова вероятность того, что четырехзначный
номер случайно взятого автомобиля в большом городе:
а) имеет все цифры разные? б) имеет только две одина-
ковые цифры? в) имеет две пары одинаковых цифр?
г) имеет только три одинаковые цифры? д) имеет все
цифры одинаковые?

1.9	°. Найти вероятность pN того, что случайно взя-
тое натуральное число из множества {1, 2, ..., N} де-
лится на фиксированное натуральное число к. Найти
Итн р

Л-,оо

1.10	. Из чисел {1, 2, ..., N} случайно выбирается
число а. Найти вероятность pN того, что: а) число а
не делится пи на ни па «2, где и а2 — фиксиро-
ванные натуральные взаимно простые числа; б) число а
не делится ни па какое из чисел а?, ..ah, где числа
af — натуральные и попарно взаимно простые. Найти
lim р в случаях а) и б).

1.11	. Из множества {1, 2, ..., 2V) случайно выбира-
ется число а. Пайти lim pN, где p# — вероятность того,
N-»no

что а2 — 1 делится на 10.

1.12	. Из множества {1, 2, ..., Л) случайно выбира-
ется число а. Найти вероятность дЛ того, что а при де-
лении на целое число г>1 дает остаток д. Найти
lim р

W-»co

1,13	. Целое число с, случайно выбирается из множе-
ства {0, 1, 2, ..., 10"— 11. Найти вероятность того,
что в десятичной записи это число /с-значно, т. е.
представимо в виде £ =	• 10ft-1 + ^_| • 10А~2 +

...+$2 • 10+£1, где 0	9 при всех г —1, ..., к и

^>U (к> 1)
Л Но схеме случайного выбора с возвращением
। множества натуральных чисел {1, 2. М, выбира-
ние и числа £ и т|. Найти вероятность qN того, что | и t|
.... просты. Найти lira qNt используя известное ра-

N-toc,
1	гг1

ШИН 1 Ito	—Г = —

О	П

1.1	о0. По схеме случайного выбора с возвращением
hi множества целых чисел {1, 2, N} выбираются чис-
III и ц. Обозначим pN вероятность события £2 + т]2

Л'< Найти И’П р .

N-*oo

1.16	. $0 схеме случайного выбора с возвращением
ни множества целых чисел {О, 1, 2, ..., 10п — 1} выби-
|1|но гея числа £• и ц. Обозначим рт вероятность того, что
гумма £ + ц будет m-значным натуральным числом
ri десятичной записи. Найти вероятности рп_*+1, к =
— О, 1, ..п, и qL = Иш в к = 0,1,2,...

’	’	’	’	1 П—’	5

П-^оо

1.17	. По схеме случайного выбора с возвращением
из множества целых чисел {О, 1, 2, ..., 10” — 1} выби-
раются числа £ и т]. Обозначим рт вероятность того,
Mio произведение с,ц будет щ-значным натуральным чис-
ти в десятичной записи. Найти gk = lini р2 t к =>
П->оо

о, 1, 2, ...

1.18	*. Из множества 11, ..., /V} по схеме случайного
равновероятного выбора с возвращением выбираются
элементы Vb ..., а по схеме равновероятного выбора
без возвращения — элементы	Показать, что

для любой совокупности	..., Лм), состоящей

из попарно различных Аг-элемоптных подмножеств
At = {a<_i, ..., a<.J с {1, ..N),

о<р([х;......х:)е^)-рцх;,

1.19	*. По схеме случайного выбора с возвращением
из множества натуральных чисел {1, 2, ..., Л7}, Л7 4,
выбираются числа X и Y. Что больше:

Р2 = Р (X2 — Y2 делится на 2)
или

Рз — Р {X2 — Y2 делится на 31?

1.20	. По схеме случайного выбора с возвращением
из множества натуральных чисел {1, 2, ..., /V}, 2V > 6,
выбираются числа X и У. Показать, что

Р (Л4 - K4 = 0(mod 2)} < Р {X4 -- У4 U (mod 3)1 <
<Р(Х4 - У4 0 (mod 5)1.

1.21	. Но схеме случайного выбора с возвращением
из множества {1, 2,	Л’} выбираются числа X и У.

Используя малую теорему Ферма {если р — простое,
число и целое число а не делится на р, то ар~1 =
- l(modp)), найти вероятность Qn(p) того, что число
Х₽_| — ур-1 делится на простое число р. Найти
lim 7Л- (р) = Q (р), iim QN (р) = Q.

1.22	*. По схеме случайного выбора с возвращением
из множества {1, 2, ..X} выбираются числа X и У.
Показать, что при Л'>4

Р {Х3+ У3 0 (mod 3)1 <Р{Х3 + У3  0(mod 7)).

1.23	°. Из совокупности всех подмножеств множества
£ “ И, 2, ..ЛЗ по схеме выбора с возвращением вы-
бираются множества /1], А%, Найти вероятность того,
что Ai П А2 = 0.

1.24	. Из совокупности всех подмножеств множества
5в(1, 2, ..., .V} по схеме выбора с возвращением вы-
бираются подмножества А^ А2, Аг. Найти вероят-
ность того, что множества 41, А2, ..., Аг попарно не пе-
ресекаются.

1.25	*. В урпе содержится (2п+1)2 карточек, па
каждой из которых написана упорядоченная пара целых
чисел (х, у) (х и у принимают значения от — п до п,
каждая пара чисел написана розно на одной карточке).
Из урны по схеме выбора без возвращения извлекаются
три карточки: (|ь rji), (£2, Лг)» (£з. Цз). Рассмотрим эти
пары как координаты случайных точек Sb S2, Е3 плос-
кости в декартовой системе координат. Найти вероят-
ность рп того, что Si симметрична 32 относительно S3.

1.26	. Брошено 10 игральных костей. Предполагает-
ся, что все комбинации выпавших очков равновероятны.
Найти вероятности событий:

а)	не выпало пи одной «6>>;

б)	выпало ровно три «6»;

в)	выпала хотя бы одна «6»;

г)	выпало хотя бы две «6».

1.27	. Из множества {0, 1, ..., X} по схеме равнове-
роятного выбора с возвращением извлекаются числа
16
Xi, .... X,„. Пусть

О -f%.+	+X.- ft}, 0<А<шЛГ.

и) Доказать, что 6 Гч =
б) Доказать, что

тЛ/

V ьйг» =

Л-0

1__и-Л+Ч™

(N + 1)т \ 1 “ z / *

0. ЧТО

h(m) —

[Л/( N + 1)]

____!__У

!»+!)• ~

1 Р	/А

1/ Ь А—ДДГ4-1)+тп— 1*- тц

к = 0, 1, ..., mN.

1.28	, Найти вероятность того, что в номере случайно
выбранного в большом городе автомобиля сумма первых
двух цифр равна сумме двух последних.

1.29	. Некоторые москвичи считают трамвайный, трол-
лейбусный или автобусный билет «счастливым», если
сумма первых трех цифр его шестизначного номера сов-
падает с суммой последних трех цифр. Найти вероят-
ность получить «счастливый» билет.

1.30	°. Из карточек разрезной азбуки составлено сло-
во «СТАТИСТИКА». Затем из этих 10 карточек по схе-
ме случайного выбора без возвращения отобрано 5 кар-
точек. Найти вероятность того, что из отобранных кар-
точек можно составить слово «ТАКСИ».

1.31	°. Из 30 чисел (1, 2, ..., 29, 30) случайно отби-
рается 10 различных чисел. Найти вероятности событий:

А = {все числа нечетные),

В — (ровно 5 чисел делится на 3),

С = {5 чисел четных и 5 нечетных, причем ровно
одно число делится на 101.

1.32	°. Из урны, содержащей М\ шаров с номером 1,
Мг шаров с номером 2, ..., MN шаров с номером Л\ слу-
чайно без возвращения выбирается п шаров. Найти ве-
роятности событий:

1)	появилось 7П1 шаров с номером 1, тп? шаров с но-
мером 2, ..., mN шаров с номером Л7;

2)	каждый из N номеров появился хотя бы один раз.

1.33 . Из множества чисел {1, 2, ..., N} по схеме
выбора без возвращения выбираются числа и Най-
ти Р {%2 > £1)- При выборе трех чисел найти вероятность
того, что второе число лежит между первым и третьим.

2 А. М. Зубков а др.	К
1.34°	. Из множества чисел (1, 2,	/V} по схеме

выбора без возвращения отобрано п различных чисел.
Расположим их в порядке возрастания: z(I> < z(2) < ...
...<z(n). Найти вероятность того, что z(m) С М < з(м+1,;
вычислить ее предел при N, М -> «>, M/.'V-+а е [О, 1J.

1.35.	Из множества U, 2, ..., 2V) случайно без воз-
вращения выбирается к + 1 чисел: х\, х2, ..Пер-
вые к чисел, расположенные в порядке возрастания, обо-
значим х{\) < Х(2} <....< x(h}. Найти

Р 1^(0	-*"*,4-1 <

1.36.	Десять рукописей разложены по 30 папкам (па
одну рукопись 3 папки). Найти вероятность того, что в
случайно выбранных 6 папках пе содержится целиком
ни одной рукописи.

1.37.	За круглый стол рассаживаются в случайном
порядке 2п гостей. Какова вероятность того, что гостей
можно разбить на п непересекающихся пар так, чтобы
каждая пара состояла из сидящих рядом мужчины и
женщины?

1.38°	. г частник лотереи «6 из 49» на первой карточ-
ке отметил номера (4, 12, 20, 31, 32, 33), а на второй —
(4, 12, 20, 41, 42, 43). Найти вероятность того, что
участник получит ровно два минимальных выигрыша,
т. е. что каждый из этих наборов имеет ровно 3 общих
элемента с набором номеров (оц, ..., <х6)е {1, 2, ..., 49},
появившихся при розыгрыше тиража.

1.39.	Найти вероятность того, что при случайной рас-
становке двух ладей на шахматной доске они не будут
угрожать друг другу.

1.40’	. Найти вероятность Pk того, что при случайной
расстановке к (2 С/с 8) ладей на шахматной доске
никакие две ладьи не будут угрожать друг другу. При
каких к эта вероятность меньше 1/2? Меньше 1/100?

1.41.	Собираясь в путешествие на воздушном шаре,
Пончик положил в каждый из 20 карманов своего кос-
тюма по прянику. Через каждые 10 минут полета у
Пончика возникает желание подкрепиться, и он начина-
ет в случайном порядке просматривать свои карманы до
тех пор, пока не найдет очередной пряник. Найти ве-
роятность того, что поиск к-го пряника начинается с
пустого кармана.

1.42.	В условиях задачи 1.41 пайти вероятность Рк
того, что первые к пряников Пончик найдет с первой
18
попытки. Вычислить эти вероятности при к = 1, 2,
3, 4, 5, 6.

1/13*. Решить задачу 1.42 в случае, когда число кар-
манов в костюме Пончика равно 10, и в каждый карман
Попчик положил по 2 пряника. Найти численные значе-
ния вероятностей при к — 1, 2, 3, 4, 5, 6.

1/4. По 20 карманам своего костюма Пончик разло-
жил 18 пряников и 2 конфеты (но одному предмету в
каждый карман). Для той же схемы, что в задаче 1.41,
наити вероятность того, что первые два раза Пончик бу-
дот подкрепляться конфетами.

1.45.	Решить задачу 1.44 в случае, когда в костюма
Попчика 10 карманов и в один карман Пончик положил
2 конфеты, а в остальные — по 2 пряника.

1.46.	В каждой из трех урн лежит по три карточки.
На карточках в первой урне написаны числа ai, аг. Дз,
во второй урне — числа b\, Ь2, &з, в третьей —
числа ci, с?, сз. Из каждой урны наудачу вынимается
по карточке. Пусть а, р, у — числа на карточках,
вынутых из первой, второй, третьей урн соответствен-
но. Найти Р {«<[}}, Р {> < 7} и Р {у < а) в случаях,
когда:

а)	(«], п2, «з) = (^1,	*>з) = (сь с2, с3) = (1, 2, 3),

б)	(аь а2, аз) = (1, 2, 3), (6,, Ь2, б3)-(2, 3, 4),
(Ci, <?2, с3) —(3, 4, 5),

в)	(а,, а2, я3) —(1, 5, 9), (&., &2, &з) = (2, 6, 7),

(ct, с2, с3) = (3, 4, 8).

1.47*	. В условиях задачи 1.46 найти такой способ
расстановки чисел па карточках, при котором сумма
Р {а < [3} + Р {р < 'у) -I- Р {*у < а) принимает наибольшее
возможное значение. Чему оно равно?

1.48.	Пусть £2, |з, £4 — числа, выпавшие при одно-
временном бросании четырех игральных костей. Найти
Р<52>£1>, Р ^з>Ы, Р(Ь>Ы И Р{^>^} в двух
случаях:

а)	па гранях каждой кости написаны числа 1, 2, 3,
4, 5, 6;

б)	на гранях первой кости написаны числа 6, 7, 8,
9, 23, 24, па гранях второй — числа 10, 11, 12, 13, 14,
15, на гранях третьей — числа 1, 2, 16, 17, 18, 19, па
гранях четвертой — числа 3, 4, 5, 20, 21, 22.

1.49.	В условиях задачи 1.48 найти такой способ
расстановки чисел на гранях, при котором сумма
р Ц2 >	+ Р > Ы + Р > Ы + Р Ui > £4} прини-

мает наибольшее возможное значение. Чему оно равно?
1.50.	Равновероятной схемой размещения частиц по
ячейкам называют схему размещения, в которой по-
мора ячеек, последовательно занимаемых частицами,
получают посредством случайного выбора с возвраще-
нием.

Обозначим цг = цг(п, N) число ячеек, содержащих
ровно по г частиц после размещения п частиц по N
ячейкам. Найти вероятности следующих событий:

1)	ц0(«, N)> 0 (при п = N);

2)	цо(«, Л') = 0 (при п =«= N + 1);

3)	ц0(«, Л’'“1 (при п — N 4- 1);

4)	найдется ячейка, содержащая хотя бы две части-
цы (при любых соотношениях между п и N).

1.51.	(см. 1.50). Найти Р 1цо(«, Лг)=к0) при произ-
вольных и, N.

1.52.	По N различимым ячейкам размещается слу-
чайно п неразличимых частиц. (Элементарными событи-
ями являются наборы чисел (и, гг, • • •, rN), где rh —
число частиц в k-ii ячейке, k = 1, 2, ..., N.) Найти ве-
роятности событий:

1)	ц0(/г, 7V)> 0; 2) Ио(«, 7V)= 1.

1.53.	В первом ряду кинотеатра, состоящем из N
кресел, сидит п человек. Предполагая, что все возмож-
ные размещения этих п человек в первом ряду равно-
вероятны, найти вероятности следующих событий:

а)	Л= {никакие 2 человека не сидят рядом);

б)	Вп N = {каждый из п человек имеет ровно одного
соседа);

в)	Cn N {из любых двух кресел, расположенных
симметрично относительно середины ряда, хотя бы одно
свободно).

1.54.	В зале кинотеатра в первых двух рядах, каж-
дый из которых состоит из N кресел, сидит п человек.
Найти вероятности следующих событий:

а)	в первом ряду никакие 2 человека не сидят рядом;

б)	во втором ряду каждый человек имеет ровно од-
ного соседа;

в)	в первом ряду из любых двух кресел, расположен-
ных симметрично относительно середины ряда, хотя бы
одно свободно.

1.55°	. Из всех отображений множества {1, 2, ..., п}
в себя случайно выбирается отображение. Найти веро-
ятности событий:
а)	выбранное отображение каждый пз п элементов
Ш'|и'нодит в 1;

6)	элемент i имеет розно к прообразов;

и) элемент i переводится в /;

г) выбранное отображение элементы ii, •••♦ **
(I С <l i2 < ... < ih С /г) переводит в элементы Д, /г, • •»
..соответственно.

В задачах 1.56— 1.60 рассматриваются взаимно одно-
нначпые отображения множества {1, 2, п} на себя.
Такие отображения называют подстановками степени п.
Множество всех подстановок степени п обозначают Sn
Цели элементы гц is, • • •, 4 е И, 2, ..п) различны и
подстановка о из Sn переводит 1\ в 1'2, /2 в is, ..ift-i в
б и в ii (ii-* 1’2 ”*13 k-i "*• *\ “* М» то говорят,
•по элементы ilt is, ..., 61 образуют цикл длины к.

1.56	°. Из множества S„ случайно выбирается подста-
новка. Найти вероятности событий.

а)	выбрана тождественная подстановка

б)	выбранная подстановка элементы и, 1’2, .h
(б < i2 < ... < ik) переводит з элементы /ц /г, •••, 7*
соответственно;

в)	элемент I в выбранной подстановке образует еди-
ничный цикл, т. е. i I;

г)	элементы 1, 2, 3 образуют цикл длины 3: 1 -* 2 -*•

-* 3	1 или 1	3 -* 2	1;

д)	все элементы образуют один цикл.

1.57	. Найти вероятность Рп того, что в случайно вы-
бранной подстановке степени п найдется хотя бы один
цикл единичной длины. Найти lim Рп,

п-> ОО

1.58	*. Из множества 5П случайно выбирается подста-
новка о. Доказать, что если Xi — длила цикла подста-
новки о, содержащего элемент 1, то

j

Р {Лх = к} == — при любом /с = 1, 2, ..., п.

1.59	*. Из множества S„ случайно выбирается под-
становка. Найти вероятность того, что элементы 1 и 2
лежат в одном цикле.

1.60	. Обозначим символом [1“’2а2 ... ?;х?г| (см. [9J)
множество подстановок, у которых at циклов длины 1,...
..., а„ циклов длины п. Из множества jl i2a2,.,na«]
случайно выбирается одна подстановка. Найти вероятно-
сти событий:

а)	выбрана заранее указанная подстановка из
[1а12а2 ...

б)	элемент I образует единичный цикл;

в)	выбранная подстановка тереводит i в j {i j).

§ 2. Геометрические вероятности

1.61	°. Случайная точка А равномерно распределена на
отрезке [0, 1] и делит этот отрезок па две части. Пусть
— длина большей части и т]2 — длина меньшей части.

Найти Р {т) 1 < х\ Р {т)2 < я) при любом х.

1.62	°. Случайная точка А имеет равномерное распре-
деление в квадрате со стороной 1. Найти вероятности
следующих событий:

а)	расстояние от точки А до фиксированной стороны
квадрата не превосходит дг;

б)	расстояние от точки А до ближайшей стороны
квадрата не превосходит х;

в)	расстояние от точки А до центра квадрата не пре-
восходит х;

г)	расстояние от точки А до фиксированной верши-
ны квадрата не превосходит х.

1.63	’. Случайная точка А имеет равномерное распре-
деление в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. Найти
вероятности следующих событий:

а)	расстояние от А до ближайшей стороны прямо-
угольника не превосходит х;

б)	расстояние от А до любой стороны прямоугольни-
ка не превосходит я;

в)	расстояние от А до диагоналей прямоугольника
не превосходит х.

1.64	°. Случайная точка А имеет равномерное распре-
деление в квадрате со стороной а. Найти вероятность
того, что расстояние от А до ближайшей стороны квад-
рата меньше, чем расстояние от А до ближайшей диаго-
нали квадрата.

1.65	°. Случайная точка X имеет равномерное распре-
деление в квадрате А — {(я, у): Iя:I a, |i/| < Найти
вероятность того, что квадрат с центром X и сторонами
длины Ь, параллельными осям координат, целиком со-
держится в квадрате А.

1.66	. Случайная точка X равномерно распределена
в квадрате А = <(х, у): |я! + 1г/1	а). Найти вероят-
ность того, что квадрат с центром X и сторонами длины
Ь, параллельными осям координат, целиком содержится
а квадрате А.

1.67	, Случайная точка X равномерно распределена в
правильном треугольнике с вершинами (а, 0), (—а, 0),
(0 оУЗ). Найти вероятность того, что квадрат с центром
Л и сторонами длины б, параллельными осям коорди-
ц||т, целиком содержится в этом треугольнике.

1,68	. Случайная точка X равномерно распределена в
круге 5 = {(х, у}; х2 + у2 С /?2}. Найти вероятность того,
что параллельный осп абсцисс отрезок длины R с сере-
диной н точке А' целиком содержится в круге 5.

1.69	. Случайная точка А имеет равномерное распре-
деление в правильном n-угольнике. Найти вероятность
Рп того, что А находится ближе к границе многоуголь-
ника, чем к его диагоналям. Найти такие числа С
и а, что

Рп = Спа ( 1 + О ( 1 ) ) , И

1.70	°. Случайная точка
делена в единичном квадрате

Обозначим т] число
многочлена

£?) равномерно распре-
А = 1(ц, у): 0Cu< 1,
действительных корней

Найти вероятности

Р {ц — к}, к = 1, 3.

1.71	°. На паркет, составленный из правильных
/с-угольпиков со стороной а, случайно бросается монета
радиуса г. Найти вероятность того, что упавшая монета
не заденет границу ни одного из ^-угольников парке-
та для:

а) к = 3;

6} к =-4;

в) к = 6.

1.72*	. Случайно подброшена монета. Будем считать,
что толщина монеты равна 0 в что вектор нормали,
приложенный к стороне монеты с гербом, при вращении
образует конус (рис. 2). Ось конуса образует угол 0
I—л/2 < 0 < л/2) с горизоптальной плоскостью, а —
угол между образующей конуса и его осью (0 < cz <
С л/2). В момент падения монеты конец вектора норма-
ли равномерно распределен на окружности основания
конуса. Найти вероятность р(а, 0) того, что монета упа-
дет гербом вверх. При каких условиях р(а, 9)= 1/2?

1.73.	Парадокс Бертрана. В круге радиуса R
случайно проводится хорда. Обозначим | ее длину. Най-
ти вероятность Qx = Р {£ > т), если середина хорды рав-
номерно распределена в круге. Вычислить вероятности
и того, что длина хорды больше стороны пра-
вильного вписанного шестиугольника и треугольника со-
ответственно.

Результат зависит от того, как понимать слово «слу-
чайно». См. задачи 1.74 и 1.75.

1.74°	. Решить задачу 1.73, если направление хорды
задано, а ее середина равномерно распределена па диа-
метре, перпендикулярном ее направлению.

1.75°	. Решить задачу 1.73, если один колец хорды за-
креплен, а другой равномерно распределен на окрумшости.

1.76.	На плоскость, разлинованную параллельными
прямыми (расстояние между соседними прямыми равно
2а), брошена полуокружность радиуса г < а; точка
(ф, х) (х — расстояние от центра окружности до бли-
жайшей прямой, 0 х а; ф — угол между этой прямой
и диаметром, соединяющим концы дуги) равномерно
распределена в прямоугольнике [0, а] X [—л/2, л/2].
Найти вероятпость того, что прямая будет иметь к (к =
— О, 1, 2) пересечений с полуокружностью.

1.77°	. В интервале времени [0, Г] в случайный мо-
мент и появляется сигнал длительности Л. Приемник
включается в случайный момент и [0, Г] на время £.
Предположив, что точка (и, р) равномерно распределе-
пн и квадрате [О, Г]Х[0, 7], найти вероятность обнару-
Hiuiiiiii сигнала.

1.78"	. Пассажир может воспользоваться трамваями
уч маршрутов, следующих с интервалами Г], 72.
Miimihii прихода пассажира определяет на отрезках

7'||, 10, 7г] числа и и v, равные временам, оставшим-
< и ди прихода трамвая соответствующего маршрута.
Предполагал, что точка (и, н) равномерно распределена
ни □«={(«, и):	найти вероят-

iiiii и. того, что пассажир, пришедший на остановку, бу-
Д1ч ждать пе дольше I (0 < Z < minfT'i, Га)).

1.79.	Однородный прямой круговой цилиндр случай-
но бросается на горизонтальную плоскость. Найти ве-
рши посЛ того, что цилиндр упадет на боковую поверх-
цо( и,, если его высота Л, а радиус ^снования г. Вычис-
ли гь эту вероятность при h = 2г. При каких Лиг
вероятности упасть на основание и на боковую поверх-
iiih ti. одинаковы?

1.80.	Неоднородный прямой круговой цилиндр слу-
•IIIйно бросается на горизонтальную плоскость. Радиус
иг новация цилиндра г, центр тяжести расположен на
нги симметрии цилиндра на расстоянии а от одного
пгнования и Ь>а от другого основания цилиндра.
Найти вероятность того, что цилиндр упадет: а) на ос-
нование, расположенное ближе к центру; б) па основа-
ние, более удаленное от центра тяжести; в) на боковую
поверхность.

1.81.	Однородный прямой круговой конус с высотой
Л н радиусом основания г случайно бросается на гори-
понтальную плоскость, а) Найти вероятность того, что
он упадет на основание; б) вычислить эту вероятность
при г = h\ в) при каком отношении r/h эта вероятность
рвнпа 1/4?

1.82.	Однородное тело, ограниченное сферой и плос-
костью, проходящей через центр сферы (полушар), слу-
чим по бросается на горизонтальную плоскость. Найти
вероятность того, что полушар упадет па плоскую часть
своей границы.

1.83.	Длинный однородный брус прямоугольного
поперечного сечения размера а X b, b > а, случайно бро-
сается на горизонтальную плоскость так, что его ось
параллельна этой плоскости, а угол поворота относи-
тельно этой оси равномерно распределен в [0, 2л]. Най-
ти вероятность того, что он упадет на более широкую
грань.
1.84*	. На плоскости проведено п окружностей St, ...
..Sn с общим центром О; радиус окружности равен
к (к = 1, 2,	п). Случайная точка А имеет равномер-

ное распределение в круге, ограниченном окружностью
Sn; АВС — правильный треугольник, одной из вершин
которого является А, а центром — точке О, Найти веро-
ятность Рт того, что граница треугольника АВС пересе-
кает ровно т окружностей, т = 0, 1, .п.

1.85.	Найти вероятность Рп того, что случайная точ-
ка Е = (£ь .,., £п), имеющая равномерное распределение
в «-мерном кубе Кп •« |(zn ..., хп) е B'l> max

l<i<n

принадлежит «-мерному шару Sn == ((z1, . ..,тп)е В :

4- ... 4- -tn 11, вписанному в Кп. Вычислить Рп для
п = 2, 3, 10, 20.

Глава 2

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИСПЫТАНИЙ

В построении математической модели последователь-
ности испытаний важную роль играют понятия независи-
мости событий и условной вероятности. Условная веро-
ятность Р(5|Л) события В при условии, что событие А
произошло, определяется формулой

Р(В|Л)-^г-, Р(4)>0.	(2.1)

Это равенство может быть записано в виде «теоремы ум-
ножения»

Р(АЯ) = Р(А)Р(Я1А).	(2.2),

Обобщением (2.2) является формула

Р(А142...Лп)=Р(Л1)Р(А2|А1)Р(Аз1Л1А2)...

...Р(Д„|А1А2...А„_1). (2.3),
Равенство

Р(В1Л) = Р(Я)	(2.4)

естественно интерпретировать как независимость собы-
тия В от А. В качестве определения независимости
двух событий А и В принимается более симметричное
условие

Р(АВ) — Р(А)Р(В),	(2.5)

эквивалентное (2.4), если Р(А)>0. Из (2.5) следует не-
зависимость (см. задачу 2.18) еще трех пар событий:
26
। и В, А л В, А и 8. События Л2, ..А„ называют-
ся взаимно независимыми (или независимыми в совокуп-
ности, или просто независимыми), если для всех комби-
наций индексов 1 < I) < г2 < ... < ik < п (к = 2, .... п)
имеем

р(^А---^) = Р(Л-1)Р(А)---Р(Л'»)- <2fi>

/.ели (2.6) выполняется только при к •= 2, то события
1|, ..Ап называют попарно независимыми',.о связи по-
парной и взаимной независимости см. задачи 2.22 и 2.23.

Многие важные модели серии опытов со случайными

исходами часто описываются
г1ями, либо предположением
о независимости исходов
различных опытов и зада-
нием безусловных вероят-
ностей исходов. В таких слу-
чаях по формулам (2.3) или
(2 6) можно, используя за-
данные условные вероят-
ности или независимость,
вычислить вероятности эле-
ментарных событий.

Пример 21. Возмож-
ные превращения радиоак-

либо условными вероятно-

1ИВНОГО ядра палладия ЧпРс! можно представить в виде
графа, приведенного на рис. 3. В обозначениях ядер пило
ний индекс равен числу протонов в ядре, верхний ин-
декс — сумме числа протонов и числа нейтронов. Буква
m в верхнем индексе означает возбужденное состояние
ядра. Дугами обозначены возможные превращения ядер;

рядом с дугами указаны вероятности соответствующих
превращений. Найти вероятность того, что ядро палла-
дия '1Д* । превратится в ядро кадмия *8^(1.

Решение. Обозначим Л1, Ла, Аз события, состоя-
щие в том, что в превращениях участвовали ядра HiePd,
i?Ag, j.'Cd Тогда условия задачи можно записать в ви-
де P(AJ= 1, Р(Л2М1) = 0,73, P(^3lAt.42) = 0,915. Нужно
найти р = Р(Лр42Лз). По формуле (2.3) находим

/; = Р(Л1)Р(Л2|Д))Р(Л3|41Л2) = 0,73 0,915 = 0,66795. А

Схема случайного выбора без возвращения (см. гл. 1)
естественно определяется в терминах условных вероят-
ностей: если известен результат первых к испытаний, то
при (к + 1)-м испытании с равными вероятностями может
появиться любой из оставшихся элементов. Модель слу-
чайного выбора, сформулированная в терминах условных
вероятностей, совпадает с определением из гл 1. В тер-
минах независимости и равновероятности результатов от-
дельных испытаний может быть описана и схема случай-
ного выбора с возвращением, определенная в гл. 1.

Пример 2.2. Из урны, содержащей 3 белых и 2 чер-
ных шара, по схеме случайного выбора без возвращения
последовательно извлекаются шары Найти вероятность р*
того, что черный шар впервые появится при /с-м испы-
тании (к = 1, 2, 3, 4).

Решение. Обозначим С< событие, состоящее в том,
что в i-м испытании появился черный шар. Тогда со-
бытия

Вк — {впервые черпый шар появился при /с-м испытания},
fc = l, 2, 3, 4,
можно выразить через С* и Ге.

В\=С\У В%С\С%, В$ — B^ — CiCiC^Ci.

По формуле (2.3)

Р(Я,)« P(Ct), Р(52)= P^OP^ICi),
Р(^з)=Р(^1)Р(С21С1)Р(С31С1(72),
P(54)=P(Ci)P(C2l?i)P(C3lC’^2)P(^ilCAC3).

По классическому определению вероятности

Р(С,)-4' ₽(С‘> = 4

P(Ci+I |	( = 1,2.3.

В результате получим

Pl - Р (В.) = 4 = 0,4, рг = р (В,) = 44 = °>3*
р3=р(®з)=444“0’2'

а=р(й.)=4444=°-1-	*

Дадим определение последовательности, испытаний.
Пусть

Qn^{(ii, «г...in): Ъе<1, 2,	.V), к = 1, 2.п}.

(2.7)
ILkmi'iiтарное событие	f2. •••» u) интерпретиру-

»i г и кик цепочка исходов в п последовательных испыта-
нии', каждое из которых имеет Л несовместных исходов:
I, Л . .N. Если положить

Р (со) = р р....р ..	,	(2,8)

*i ’sPi	г‘я|’1’4а 4-1’	v

Л

*я" Чн,.........................(s_1..............

ь 1 (1, ..Л9, 1=^А*=^$), то на подмножествах множе-
< iiui 12п однозначно определяется вероятность

Р(Л)= 2 I’M, л = а„.

0>t А

Iнстроенное вероятностное пространство является мате*
мншческой моделью последовательности п испытаний.

Последовательностью независимых однородных испы-
I'lHuu является частный случай приведенной общей мо-
|Ц' in, в которой формулу (2.8) надо заменить формулой
Г (ш) —	... р.п (ifts {1, ..., 7V}, 1<А?<п), (2.9)

• но pi + Д2 + .  • + Pn = 1, Pi > О, I = 1, 2, ..., N.

Определение последовательности независимых испы-
||| и и й можно дать в форме произведения вероятностных
пространств. Положим Qo = {l, 2, ..., TV); тогда в
(2 7) можно записать в виде

= Qo X X ... X Ц> = Qo

и для любого А = Л} X А2 X ... X Ап, где Ль ..., Л„<=Йо,
имеем

Р(Л) = Р(Л1)Р(Л2)...Р(ЛЯ).

дгсь Р (Л^ = р + р + ... + р , если Л< = (и, г*2> • М-
’1	‘2	о

Обозначим Л|( событие, состоящее в том, что в 1-м
Испытании наступил исход В модели (2.7), (2.8)

рК)|л?)л^...л^;п = Лг .

1'12	I—1 /	' гфр'и.Ц—1

и и модели (2.7), (2.9)

Обозначим событие, состоящее в том, что в 1-м
испытании исход принадлежит множеству S, = {Ц .
 • м Для независимых испытаний события Мр
BsJ, ..fig”’ являются взаимно независимыми при лю-
бом выборе 51, ...» Sn.

Если в (2.8) положить рьч = р^^О, р\1} + ..»
... + р^' = 1, то получится последовательность неза-
висимых (неоднородных) испытаний, в которых вероят-
ности исходов зависят от номера испытаний (но не от
результатов предыдущих испытаний).

Вероятностную модель, определенную формулами
(2.7), (2.9), называют также полиномиальной схемой.

Обозначим через £п < число появлений исхода i в п
испытаниях полиномиальной схемы. При решении задач
полезна формула

Р {£п,1 в ^11 ^n,2 =	• • ч -*l,N = ™N} ~

fl!

m^.m I ... mN\ P2

my
• . PN

(2.10)

где > 0 (i = 1, 2, ..N) целые и n = m\ 4- m? +.. .•
... + mN.

Последовательность исходов полиномиальной схемы с
N — 10, в каждом испытании которой каждый из исхо-
дов 0, 1, 2, ..., 9 появляется с вероятностью 1/10, назы-
вают случайными числами.

Пример 2.3. Найти вероятность того, что среди 10
однозначных случайных чисел ровно 4 четных числа и
2 нечетных числа, кратных 3.

Решение. Однозначное случайное число четно с ве-
5	1

роятностью рх =	— у, нечетно и кратно 3 с вероят-

2	1

ностью р2 = 0 — -g • Вероятность остальных исходов
3

р3 = 1 — рх — р2 = Если — число четных чисел сре-
ди 10 случайных чисел, — число нечетных чисел, крат-
ных 3, то число остальных чисел £з = 10 —	— £2, и по

формуле (2.10) с 7V = n = 10 находим

Р{11 = «Л2 = 2} - Р{£, - 4,= 2, =;4} =

10! ( 1 * ( 1	/ 3 'l4 ЛДЧ7Й7 l

“аэтН) '5' \W 0,063787... д

Частный случай полиномиальной схемы с Лг = 2 на-
зывают схемой Бернулли. Ниже два исхода каждого ис-
пытания в схеме Бернулли будем обозначать символами
1 и 0 или называть успехом и неудачей, а соответствую-
щие им вероятности — буквами р и q — 1 — р. Если рп —
г ио успехов (или число единиц) в п испытаниях Вер-
цу и ни, то

I'||I,I от) = Рп(т, р) = Cnpmqn~m, т = 0, 1, . .., п.

(2.И)

Пример 2.4. Проводится п независимых опытов, со-
ЦГолщнх в одновременном подбрасывании к монет. Вы-
III пить вероятности событий:

/I (хотя бы один раз все к монет выпали гербами),
// (ровно т раз все к монет выпали гербами).

1’ишение. Появление к гербов в одном опыте будем
1

шыынать успехом, Вероятность успеха р =  • Проще
 «числить вероятность противоположного события

.1 — (за п испытаний все к монет ни разу одновременно
не выпали гербами).

1(оложим

Ci = {в Z-м испытании произошел успех).

Тогда А — С\С2.. .Сп, и по формуле (2.6) находим

1=1	\	2Р /

Для вычисления
пн । вся формулой

1---т- Таким

2й

Р(Л) можно было также воспользо-*
(2.11), положив в ней от = О, P—^t
образом,

Р(Л) = 1-Р(4) = 1-(1—1)".

Поролтность события В определяем по формуле (2.11)1

Р(В)-С» *

Если в формуле (2.11) параметр р = pn=knln, где
(U<X<<») при п -> °о, то согласно теореме Пу-
и гео на

~п) Р-т)

от = 0, 1, 2, ...	(2.12)

Нормильного приближения может увеличиваться из-за
дискретности допредельного распределения (см. зада-
чи 2.61, 2.62). Эта ошибка имеет порядок (?(1/Vrepg).
II ри веденные замечания очень приближенны и носят
скорее качественный характер.

Предельное выражение в (2.14) легко можно выра-
1111 н. через значения одной нз функций

X

Ф (г1) = —== Г с3-1' du,

V '	|/2л

— ОО

X

Ф.(х) = - -- ( e-y,'-du.

У •/

/(ля вычисления предельных выражений в (2.12) а
(2.14) можно использовать табл. 3 и 1.

В качестве примера, иллюстрирующего использование
интегральной теоремы, рассмотрим пример 2 5 с изменен-
ными значениями параметров.

Пример 2.6. В партии из п — 22 500 изделий, каж-
дое изделие независимо от других может быть бракован-
ным с вероятностью />=1/5. Найти вероятность того, что
число бракованных изделий заключено между 4380
и 4560.

Решени е. Значение npq = 3600 велико, поэтому
можно воспользоваться нормальным приближением
(2,14). Вычтем пр = 4500 из трех частей неравенства

4380 <	< 4560

н получившееся неравенство поделим почленно на
\iipq = 60:

2	<1.

V npq

Используя (2,14), получим

1 х*

Р{4380<И„<4560} = Р -2< -^-<1^- L (

(	у npq J \/ 2я

Так как

1 X2	1 X2	2 х2

r	— 2	О	О

то (см. табл. 1, с. 306—307).

Р14380< ц„< 4560) ~ 0,3413 + 0,4772 = 0,8185. А

Иногда в задачах требуется указать отрезок, в кото-
ром с заданной вероятностью лежат значения числа ус-

3 a. M. Зубков а др.

33
пехов рп. В этом случае нужно находить решения урав-
нений вида 1 —Ф(х) = а и строить но ним приближения
для искомого отрезка. В табл. 2 приведены величины иа,
определяемые равенством 1 —Ф(иа) = а. При наличии
микрокалькулятора для вычисления Ф(х) и иа можно
также пользоваться приближенными формулами*)

•. 00

Л = 2 (1 - Ф (х)) = I’ е~и’'г du -

1/2лс

exp —

(83r 4- 351) i 4- 562

703/z 4 165

О < X 5,5;

X

((4y H- 106) У 4 205) /
((21/4- 56) у 4 192) у 4 131

2 10"7^P,^l,



где у — —In Px. В указанных интервалах значений
х и Рх относительная ошибка первой формулы пе
превышает 0,042 %, а абсолютная ошибка второй —
0,00013. Для значений х и Рх, лежащих вне указанных
интервалов, можно использовать приближенные формулы

-|/ ((2у т 280) у 4 572) у
/ (у 4 144) у 4 603 *

10"112< Рх<2«10“7Л

где у = — In Рх.

Во многих задачах приходится рассматривать беско-
нечные последовательпостп испытаний. В этом случае
полагают

й. =	г2, ...):	2, .... А’Н, (2.15)

о-алгебра событий «я/ порождается событиями вида

й. I» 1

[01» 12> • • •)• гЙ, = /1>

lkn — ]тп !• (2.16)

В случае независимых испытаний

— Р^ • • • Pjn>

(2.17)

Равенства (2.17) однозначно определяют вероятность на
& (см. [5]).

•) См.: Derenzo S. Е. Approximations for hand calculators
using small integer coefficients Ц Math, Comput,— 1977 — V, 31.
№ 137 —P. 214-225.
Пример 2.7. Найти вероятность того, что в схеме
Гн’рпулли первый успех появится в /с м испытании, если
нпроятность успеха в отдельном испытании равна р.

Решение. Событие /4Л = {первый успех появился в
I и испытании} определяется исходами в- к первых ис-
II 1.1 та пиях. Пусть событие

Ci — {в i-м испытании наступил успех).

Тогда

4h — С1С2.. .С

о по формуле (2.17) находим

Р (4ft) = Р (С1) Р (С2)... Р (ГА_,) Р (G) = q'-'р.	А

Приведем еще две формулы, полезные в тех случаях,
когда заданы или могут быть легко вычислены условные
вероятности. Если события В], В2, ..Вп попарно не-
совместны и Bi U В2 U ... U Вп = Q, то для любого собы-
hi я Л имеем

Р(Л)= 2 Р(В4)Р(Л|В„)

(2.18)

(формула полной вероятности) и
Р (В\ Р (А | Вт)

Р (S„ I А) - „ '	, m - 1,..п, (2.19)

2 р («*) Р (Я | В„)

'(формула Байеса).

Пример 2.8. В ящик, содержащий 8 исправных из-
делий, добавлено 2 изделия, взятых со склада; известно,
что доля бракованных изделий на складе равна 5 %.
Найти вероятность того, что взятое наудачу из попол-
ненного ящика изделие не будет бракованным.

Решение. Определим события А, Во, В), В2:

А = {изделие, взятое из пополненного ящика,
не бракованное),

В* = {из двух изделий, добавленных в ящик,
к бракованных),

к = 0, 1, 2.

Очевидно, что Во U В\ U В2 = Q и BkBi= 3 (к^1).
Можно воспользоваться формулой полной вероятности
(2.18):

Р(4) = Р(йо)Р(4 |50) + Р(^)Р(4150 + Р(52)Р(А(В2).
Если произошло событие то в ящике из 10 изделий
А бракованных, следовательно,

При выборе малого числа изделий из большой пар-
тии схемы выбора без возвращения и с возвращением
имеют близкие вероятности исходов (см. задачу 1,18).
Считая поэтому, что каждое из добавленных изделий
независимо от другого может быть бракованным с веро-
ятностью 0,05, находим

Р(Яо) = О,952, Р(Bi) = 2 • 0,95 «0,05, Р(Я2) = 0,052.

Таким образом,

Р(Л) = 0,95‘С1 + 2.0,95.0,05.^+ 0,052-Д = 0,99. д
’pi ’	“

Пример 2.9. Из урны, содержащей 3 белых и 2 чер-
ных шара, по схеме выбора без возвращения отобрали
2 шара. Шар, взятый наудачу из этих двух, оказался
белым. Какова вероятность того, что второй шар тоже
белы й?

Р ешеии е. Определим события

/?* = {среди двух отобранных из урны шаров к белых},
к = О, 1, 2,



Р(5а|4)

Л={шар, взятый наудачу из двух отобранных, белый}.
Условную вероятность Р(£?г|у4), которую требуется най-
ти, можно вычислить по формуле Байеса (2.19):
р(52)рР1*2)

р (*о) Р (А । *о) + Р (В1) р И i *i) + р (В2) Р (Л |	*

Вероятности, связанные с извлечением двух шэров из
урны, найдем с помощью классического определения ве-
роятности:

z-2	гЧ

Р (Бо) = — = 0,1, P(Z/1) = ^ = 0,6, Р(53) = ^ = 0дЗ

Так же определяются условные вероятности, связанны •
с извлечением одного шара пз двух отобранных:

Р(ДШ0) = 0, Р(Л IZ?i) = 0,5, Р(4|Я2)-1.

Значит,

Р 2 I = 0,1.0 + 0,0.0,5+0,371 в 2 •	4
I 1. Условные вероятности

В сдачах 2.1—2.6 вероятностное пространство счита-
।г< и жданным; для вычисления условных вероятностей
Нужно использовать формулу (2.1).

2.Г	. Из множества чисел {1, 2, ..., ЛЗ по схеме слу-
пи иного выбора без возвращения выбираются три числа.
II и и <п условную вероятность того, что третье число по-
пн ни в интервал, образованный первыми двумя, если
Muiii'CTHO, что первое число меньше второго.

2.2	°. Брошено две игральные кости. Предполагается,
. .и все комбинации выпавших очков равновероятны.
I пни условную вероятность того, что выпали две пя-
терки, е(?ли известно, что сумма выпавших очков делит-
ся 11.1 пять.

2.3	°. Из 100 карточек с числами 00, 01, ..., 98, 99
Случайно выбирается одна. Пусть гц и цг— соответствен-
но сумма и произведение цифр на выбранной карточке.
IlniiTH P{i]i = i|i]2 = 0), i = 0, 1, ..., 18.

2.4	. Из урны, содержащей М белых и А — М черных
широв, последовательно без возвращения извлекают п ша-
||1Ш. Пусть А ' (Aj —событие, состоящее в том, что i-й
Шир был черный (белый). Используя классическое опрс-
дплепие случайного выбора (гл. 1), найти

е, = 0,1.

2.5	. Решить задачу 2.4 в случае выбора с возвраще-
нием см. введение к гл. 1, (1.3)).

2.6	’. Случайный ныбор двух подмножеств Ai и Аг из
множества 5 = {1, 2, ..., 7V) производится так же, как и
г, задаче 1.23. Найти условную вероятность P{|Ail=Zi,
I 1 = I2 | A] fl Аг = того, что множества Ai и Аз со-
стоят из li п I2 элементов соответственно при условии,
что А| и Аг не пересекаются.

В задачах 2.7—2.11 предполагаются заданными услов-
ные вероятности; при решении используются формулы
(2.2), (2.3).

2.7	°. Среди 25 экзаменационных билетов 5 «хоро-
ших». Два студента ио очереди берут по одному билету.
Найти вероятность того, что:

а)	первый студент взял «хороший» билет,

б)	второй студент взял «хороший» билет,
в) оба студента взяли «хорошие» билеты.

2.8	°. Два игрока поочередно извлекают шары (без
имшращения) из урны, содержащей М белых и .V — М
мирных шаров. Выигрывает тот, кто первым вынет белый
шар. Используя формулу (2.3), найти вероятность вы-
шрыша первого участника, если: а) УУ = 4, М = 1; б) /Vе
ь=5, в) Л’-7, М = 2

2.9	. Из урны, содержащей М белых и Л — М черных
шаров, по одному без возвращения извлекаются все ша-
ры. Используя определение случайного выбора в терми-
нах условных вероятностей, найти вероятности событий!

ЛА = {/с-п шар белый},
' «. 1 — и l-й шары белые),
Ск i = {k-й шар черный, а 1-й белый}.

2.10	°. Из урны, содержащей 3 белых шара, 5 черных
и 2 красных, два игрока поочередно извлекают по одно-
му шару без возвращения. Выигрывает тот, кто первым
выпет белый шар. Если появляется красный шар, та
объявляется ничья. Пусть .41 = {выигрывает игрок, на-
чавший игру}, As ж {выигрывает второй участник}, В =*
= {игра закончилась вничью}. Найти Р(Лi), Р(Л2), Р(2?).

2.1	Г. Из урны, содержащей Л’| белых шаров, N? чер-
ных и N3 красных, последовательно без возвращения из-
влекают шары до тех пор, пока не появится красный
шар Используя формулу (2.3), пайти вероятности сле-
дующих событий:

1)	выпуто П[ белых шаров и ns черных;

2)	пе появилось пи одного белого шара;

3)	всего вынуто к шаров.

2.12	. Из урны, содержащей а белых и Ь черных ша-
ров, два игрока извлекают шары по очереди. Выигрывает
тот, кому раньше попадается белый шар. Найти вероят-
ность выигрыша первого игрока в случаях, когда шары
извлекаются:

а) по схеме равновероятного выбора с возвращением,
б) по схеме равновероятного выбора без возвращения.

2.13	. Из урны, содержащей а белых и Ь черных ша-
ров, три игрока извлекают шары по очереди. Выигры-
вает тот, кому раньше попадается белый шар. Найти
вероятности Р^ Рз выигрыша 1 го, 2-го, 3-го игроков
в случаях, когда шары извлекаются:

а) по схеме равновероятного выбора с возвращением,
б) но схеме равновероятного выбора без возвращения.

2.14	. На остановку прибывают автобусы маршрутов
1, 2, ..., /с. Номера последовательно прибывающих авто-
бусов получаются по схеме равновероятного выбора с
возвращением из урны, содержащей шары с номерами
I) ? .к. Найти вероятность Р,. того, что до появления
игобуса маршрута 1 ни на одном из остальных маршру-
toii по придет более одного автобуса. При каком мини-
Мкльпом к 2 эта вероятность меньше 1/2?

I 2. Независимость событий

В задачах 2.15—2.19 предполагается, что задано ве-
рим i постное пространство; требуется выяснить, зависимы
Или независимы некоторые события.

2.15	. Брошены две игральные кости. Положим

Ai = {число очков, выпавшее на первой кости,

* делится на О,

В{ = {число очков, выпавшее на второй кости,
делится па Я,

С, — {сумма очков, выпавших на первой и
второй костях, делится па I).

Пгправляясь от классического определения вероятности,
ста повить, являются ли независимыми следующие пары
событий: a) ,4f, В* — при любых I, к', б) Дг, С 2", в) Л4, С4?

2.16	. Игральная кость брошена 2 раза, Х\ п Хг —
числа очков, выпавшие при этих испытаниях. Рассмот-
рим события

А\ = {X» делится на 2, Хг делится па 3},

А 2 = {Xi делится па 3, Хг делится на 2},

Аз '= {Xi делится па Хг),

Л4 = {Хг делится па XJ,

Аз = {X] 4- Хг делится на 2},
zl6 = {X] 4- Хг делится па 3}.

IIнити все пары {4f, 4Д, тройки {Аъ и т. д. взаим-
но независимых событий.

2.17	. Случайная точка (gi, £?) имеет равномерное
|1нс1[ределение в квадрате {(яд, я:?); 0 яд, хч 1). При
каких значениях г независимы события Ат =•
-{I&1 — £г1 >г) и Br = U, + |2 < Зг}?

2.18	. События А и В независимы. Являются ли неза-
висимыми события: а) А и В, б) А л В?

2.19	. Случайная точка £ = (^|, ^г) имеет равномерное
распределение в квадрате 0 С х, у < 1. Пусть


Показать, что любые два события из Л>, Ла, Лз незави-
симы, но все три события Л i, А2, Аз зависимы. Являют-
ся ли зависимыми события /ПЛ2 и Лд?

2.20	(см. 2.19). Обобщая пример, приведенный в пре«
дыдущей задаче, показать, что для любого целого п > 4
существует совокупность (Л],	Л„} событий, обладаю-

щая следующими свойствами:

а) события Л|, ..., А„ не являются независимыми,
б) при удалении из Лц ..., Ап любою события остаю-
щаяся совокупность состоит из независимых событий.

2.21	*. События Ль Лг, .Л„ удовлетворяют условпям

р Ии = Рь ₽ Г| Ai = Pi • • • Pi,
U-i J

i = 1, 2,

Является ли {Л1э Л„} совокупностью независимых
событий?

2.22	*. Пространство элементарных событий Q состоит
из п элементов. При каких к на подмножествах Q можно
определить вероятность Р и события Л|, ..., А„ так, что-
бы события Л1, ..., Ah были независимыми в совокупно-
сти и 0 < Р (Л,) < 1 (z = 1, 2, ..к) ?

2.23	*. Пространство элементарных событий Q состоит
из элементов. При каких к можно так определить
па подмножествах Q вероятность Р и события Лц ,Лм
что 0<Р(Л,)<1 (' = 1, ..., к) и события Л1, ..., Ла
попарно независимы?

В задачах с 2.24 по 2.28 предполагается независимость
некоторых событий; требуется вычислить вероятности
других событий.

2.24	°. Упрощенная система контроля изделий состоит
из двух независимых проверок. В результате А*-й провер-
ки (£ = 1, 2) изделие, удовлетворяющее стандарту, от-
браковывается с вероятностью [3ft, а бракованное изделие
принимается с вероятностью ак. Изделие принимается,
если оно прошло обе проверки. Найти вероятности со-
бытий:

а)	бракованное изделие будет принято;

б)	изделие, удовлетворяющее стандарту, будет отбра-
ковано.

2.	25°. Измерительное устройство состоит из двух при-
боров. Вероятность безотказной работы /с-го прибора за
рассматриваемый период времени равна 1-а, (к = 1, 2),
Оценить вероятность р того, что оба прибора будут ра-
ботать:
 I i'cjih поломки происходят независимо;

И) цели ничего не известно о зависимости между по-
LitoiiiiiMii этих приборов.

 1.21Г (см. задачу 1.38). Два человека купили по ОД-
ИН ккрточке лотереи «6 из 49» и независимо друг от
bril отметили по 6 номеров. Найти вероятности со-
ЬГИЙ:

I н| каждый получит минимальный выигрыш;

П) каждый получит какой-либо выигрыш.

[ 1.27. Электрическая цепь составлена из элементов Ah,
* I, 2, ..., 5, по схеме, приведенной на рис. 4. При

-? поди из строя любого элемента цепь в месте его вклю-
HI1II разрывается. Вероятность выхода из строя за дан-
период элемента ЛА равна рА, к = 1, ..., 5. Предпо-
Ц । пр гея, что элементы выходят или не выходят из строя
шнпшеимо друг от друга. Найти вероятность события
6’•= (за рассматриваемый период по цепи может
проходить ток}.

2.28	°. По цели производится п независимых выстре-
|нп Вероятность попадания при t-м выстреле равна р(,
I, ..., п. Найти вероятность того, что при п выстре-
ли я будет не менее двух попаданий.

D 3. Формула полной вероятности

2.29	°. В первой урне находятся 1 белый и 9 черных
Широн, а во второй — 1 черный и 5 белых шаров. Из
Каждой урны но схеме случайного выбора без возвраще-
нии удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссы-
liii.ilи в третью урну, Найти вероятность того, что шар,
m.iiiviT.iH из третьей урны, окажется белым.

2.30	°. В первой урне лежит 1 белый шар и 4 красных,
I» ни второй — 1 белый и 7 красных. В первую урну до-
бавляются два шара, случайно выоранпых из втор
урны.

а)	Найти вероятность того, что шар, выбранный I
пополненной первой урны, будет белым

б)	Пусть из пополненной первой урны по схеме сл
чайного выбора с возвращением извлекают к шаре
Найти вероятность тою, что все они будут белыми.

2.31	°. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных ш
ра, наудачу извлекают 2 шара и добавляют в урну од]
белый шар.

а)	Найти вероятность того, что после этого науда1
выбранный пз урны шар окажется белым.

б)	!усть из урны но схеме случайного выбора с

вращением извлекают к шаров. Найти
что все они белые.

в)	Найти ту /Ко вероятность, что в
выбора без возвращения.

2.32	", В пункте проката имеется 10
которых вероятность исправной работы

вероятность тог

п. б), для

телевизоров, дл

в течение месяц

равна 0,90, и 5 телевизоров с аналогичной вероятность»
равной 0,95. Найти вероятность того, что два телевизор
взятые наудачу в пункте проката, будут работать и
нравно в течение месяца.

2.33	°. В одной урне содержится 1 белый и 2 черны
шара, а в другой урне — 2 белых и 3 черны
шара. В третью урну кладут два шара, случайно Bbi6pat

ных из первой урлы, и два шара,
из второй.

а)	Какова вероятность того, что
третьей урны, будет белым?

б)	Найти вероятность того, что

случайно выбрааны

шар, извлеченный

при выборе с возвр

щепием из третьей урны двух шаров один из них буд|
белым, а другой — черным.

в)	Найти ту же вероятность, что в п. б), для схем
выбора без возвращения

2.34	'. Изделия поступают на проверку, описанную
задаче 2.24 Предполагая, что каждое изделие удовлетв
ряет стандарту с вероятностью р, найти следующие в
роятпости:

а)	вероятность тою, что поступившее на провер]
изделие не будет отбраковано;

б)	вероятность тою. что неотбраковэнное издел!
удовлетворяет стандарту.

2.35	°. Из урны, содержащей Л/ белых и N — М че
ных шаров, утеряно г шаров, Сравнить вероятности и
Mihiviiiiii белого шара: а) до утери; б) после утери при
> I, и) после утери при r> 1.

i 1,110. Отрезок [0, а] случайной точкой делится на две
Hbi^lii, и.| которых случайно выбирается одна часть. Обо-
HhiiMM i| длину выбранной части. Найти Plt|< х}, О С
| + а, предполагая, что координата £ случайной точки
*<-и<1Морпо распределена па отрезке [0, а] п вероятности
Мрорн любой из полученных частей отрезка одинаковы.

F 1,37. При переливании крови падо учитывать группы
НЬъции донора и больного. Человеку, имеющему четвертую
Дущеу крови, можно перелить кровь любой группы; че-
Кццку со второй или третьей группой крови можно пере-
йЧ1, кроиь либо той же группы, либо первой; человеку
 Пирной группой крови можно перелить только кровь
hi 11ю  группы. Среди населения 33,7 % имеют первую,
IГ % — вторую, 20.9 % — третью п 7,9 % — четвертую
ufuyinii.i кропи.

F п) Найти вероятность того, что случайно взятому
Шрп.ному можно перелить кровь случайно взятого донора.

о) Найти вероятность того, что переливание можно
ртущггтвить, если имеются два донора; три донора.

2.38	. Во время испытаний было установлено, что ве-
. пность безотказного срабатывания реле при отсут-
 •пип помех равна 0,99, при перегреве — 0,95, при вибра-
111	0,9, при вибрации и перегреве — 0,8. Найти веро-

.... и. Р{ отказа этого реле при работе в жарких странах
IЬироятиость перегрева равна 0,2, вероятность вибра-
ции 0,1) и вероятность Р% отказа при работе в передвиж-
лаборатории (вероятность перегрева 0,1, вероятность
Вибрации 0,3), предполагая перегрев и вибрацию неза-
висимыми событиями.

2.39	(см 2.38). Найти границы, в которых могут из-
виниться вероятности Р\ и 74 в предыдущей задаче, если
\ йип.шться от предположения о независимости перегрева
 ннбрации.

2.40	°. Имеется пять урн. В 1-й, 2-й и 3-й урнах на-
видится по 2 белых и 3 черных шара; в 4-й и 5-й ур-
и — по 1 белому и 1 черному шару. Случайно выби-
Ihh’ich урпа и из нее извлекается шар. Какова условная
|||<роитность того, что выбрана 4-я или 5-я урпа, если
и нитченпый шар оказался белым?

2.41	. В стройотряде 70 % первокурсников и 30 % сту-
.......... второго курса. Среди первокурсников 10 % деву-
мнчс. а среди студентов второго курса — 5 % девушек.
В» о девушки до очереди дежурят на кухне. Найти ве-
роятность того, что в случайно выбранный день па кухне
дежурят первокурсница.

2.42	°. По каналу связи передается одна нз последо-
вательностей букв ААЛА, ВВВВ, СССС с вероятностями
pi, Р2, рз (р\ + Р'2 + рз = 1). Каждая передаваемая буква
принимается правильно с вероятностью а и с вероятно-
1 1
стями — (1 — а) и (1 — а) принимается за каждую из
двух других букв. Предполагается, что буквы искажают-
ся независимо друг от друга. Найти вероятность того,
'что было передано АААА, еслп принято АВСА.

2.43	°. При рентгеновском обследовании вероятность
обнаружить заболевание туберкулезом у больного тубер-
кулезом равна 1 — (J. Вероятность принять здорового че-
ловека за больного равна а. Пусть доля больных тубер-
кулезом по отношению ко всему населению равна у.

а)	Найти условную вероятность того, что человек
здоров, еслп он был признан больным при обследовании.

б)	Вычислить найденную в п. а) условную вероят-
ность при следующих числовых значениях *): 1 — £ = 0,9,
а = 0,01, 7=0,001.

2.44	°. Отдел технического контроля (ОГК) проводит
сортировку выпускаемых заводом приборов. Каждый
прибор независимо от остальных имеет дефекты с веро-
ятностью р. При проверке в ОТК наличие дефектов об-
наруживается с вероятностью а; кроме того, с вероят-
ностью р исправный прибор при проверке может вести
себя как дефектный. Все приборы, у которых при про-
верке обнаружены отклонения от стандарта, бракуются.
Найти вероятность с? о того, что пезабракованный прибор
имеет дефекты, и вероятность q\ того, что забракованный
прибор имеет дефекты. При каких условиях qo> 91?

2.45	°. В урне находится 3 черных и 2 белых шара.
Первый игрок по схеме выбора без возвращения извле-
кает 3 шара. Обратно оп возвращает черный шар, если
среди вынутых шаров больше было черных; в противном
случае возвращается белый шар. Второй игрок после
этого извлекает один гиар и по его цвету должен угады-
вать число белых таро . среди трех шаров, вынутых пер-
вым игроком. Найти условную вероятность того, что у
первого игрока было: а) 0 белых, б) 1 белый, в) 2 бе-
лых шара,— если второй игрок вытащил белый шар.

*) Эти значения приведены в книге: Закс Л. Статистическое
оценивание.— М.: Статистика, 1976.— С. 49.
§ 4. Схема Бернулли

2.46	. Проведено 20 независимых испытаний, каждое
из которых заключается в одновременном подбрасывании
трех монет. Найти вероятность того, что хотя бы в одном
испытании появятся три «герба».

2.47	. При передаче сообщения вероятность искаже-
ния одного знака равна 1/10. Каковы вероятности того,
что сообщение из 10 злаков: а) не будет искажено, б) со-
держит ровно 3 искажения, в) содержит не более трех
искажений?

2.48	°. Испытание заключается в бросании трех иг-
ральных когтей. Найти вероятность того, что в пяти йе-
на висимых испытаниях ровно два раза выпадет по три
единицы.

2.49	°. Найти вероятность того, что в 2п испытаниях
схемы Бернулли с вероятностью успеха р и неудачи
// — 1 — р появится т + п успехов и все испытания с чет-
ными номерами закончатся успехом,

2.50	°. Из множества S = {1, 2, ..., ЛЧ случайно и не-
зависимо выбираются два подмножества и А2 так, что
киждый элемент из 5 независимо от других элементов с
вероятностью р включается в подмножество А{ и с ве-
роятностью q == 1 — р не включается. Найти вероятность
того, что А] А? = 0.

2.51	. По той же схеме выбора подмножеств из S =•
(1, 2, ..., TV), что в задаче 2.50, независимо выбирают-
ся г подмножеств А\, А21 ..., Аг, г 5^2. Найти вероят-
ность того, что выбранные подмножества попарно пе пе-
ресекаются.

2.52	J (см. 2.50). Из множества S = {1, 2, ..., /V} пе-
ппвисимо выбираются г подмножеств Л(, Л2, • • •, /1г. Ме-
ханизм выбора состоит в следующем: любой элемент мно-
жества S независимо от других элементов с вероятностью
/», включается в множество At и с вероятностью </< = 1 —
р{ не включается (1 = 1, ..., г). Найти вероятность
того, что подмножества Ai, А2, ..., Аг попарно не пере-
секаются.

2.53	(см. 2.50). Из множества S — {1, 2, ..., JV} слу-
чяйпо и независимо выбираются подмножества 41, ..., Аг.
Механизм выбора такой же, как в задаче 2.50. Найти:
к) Р (Mi П ... ПЛГ| =М; б) Р {|Л, U...U/1J =Н, где
I//I обозначает число элементов множества R.

2.54	. Каждую секунду с вероятностью р независимо
от других моментов времени по дороге проезжает авто-
машина. Пешеходу для перехода дороги необходимо 3 с.
Какова вероятность того, что подошедший к дороге пе-
шеход будет ожидать возможности перехода: а) 3 с;
б) 4 с; в) 5 с?

2.55	. В одном из матчей на первенство мира по шах-
матам ничьи не учитывались, и игра шла до тех пор,
пока один из участников матча не набирал 6 очков (вы-
игрыш — 1 очко, проигрыш и ничья — 0 очков). Считая
участников матча одинаковыми по силе, а результаты
отдельных игр независимыми, найти вероятность того, что
при таких правилах в момент окончания матча проиг-
равший набирает к очков, к — 0, 1, ..., 5.

2.56	. Обрабатываемые на станке детали сортируются
по размерам па две группы. Каждая очередная деталь
независимо от предыдущих с равными вероятностями
попадает в первую или вторую группу. Пусть в начал »
смены для каждой группы деталей приготовлепо по ящи-
ку емкости г. Какова вероятность того, что в момент,
когда очередную деталь будет некуда класть, в другом
ящике будет т деталей?

2.57	°. По каналу связи передаются сообщения из ну-
лей и единиц. Из-за помех вероятность правильной пере-
дачи знака равна 0,55. Для повышения вероятности пра-
вильной передачи каждый знак сообщения повторяют
п раз. Полагают, что последовательности из п принятых
знаков в сообщении соответствует знак, составляющий в
ней большинство. Найти вероятность правильной пере-
дачи одного знака при n-кратном повторении, если п = 5.

2.58	° (см 2.57). Подобрать и так, чтобы вероятность
правильной передачи знака была не меньше 0,99.

2.59	°. По каналу связи передается 1000 знаков. Каж-
дый знак может быть искажен независимо от остальных
с вероятностью 0,005. Найти приближенное значение ве-
роятности того, что будет искажено не более трех знаков.

2.60	°. В таблице случайных чисел цифры сгруппиро-
ваны по две. Найти, приближенное значение вероятности
того, что среди 100 пар пара 09 встретится не менее
двух раз.

2.61	*. Пусть — число успехов в п независимых ис-
пытаниях Бернулли с вероятностью успеха, равной 1/2.

а)	С помощью теоремы Муавра — Лапласа найти при-
ближенные значения

р[ 11	п	pit ZL

1 I	2 |	I	~ 2

при n = 100.
б)	Вычислить те же вероятности, что в п. а), с по-
грешностью 10“ь, используя уточненную формулу Стир-
линга.

Сравнить результаты пи. а) и б) и истолковать их.
2.62*. Решить предыдущую задачу, полагая п — 128.
2.63°. Найти приближенное значение вероятности то-
го, что число «девяток?) среди 10000 случайных чисел
заключено между 940 и 1060.

2.64	'. На таблицы случайных чисел отбирают числа,
делящиеся на 3, до тех нор, пока не наберется 1025 та-
ких чисел. Найти приближенное значение вероятности
того, что потребуется таблица, содержащая не меньше
2500 чисел.»

2.65	. Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два раз-
ных входа. Около каждого из входов имеется свой гар-
дероб. Сколько мест должно быть в каждом из гардеро-
бов для того, чтобы в среднем в 99 случаях из 100 все
зрители могли раздеться в гардеробе того входа, через
который они вошли? Рассмотреть два случая: а) зрители
приходят нарами; б) зрители приходят поодиночке. Пред-
положить, что входы зрители выбирают с равными ве-
роятностями.

2.66	. В поселке 2500 жителей. Каждый из них при-
мерно 6 раз в месяц ездит па поезде в город, выбирая
дни поездок по случайным мотивам независимо от ос-
тальных. Какой наименьшей вместимостью должен обла-
дать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще
одного раза в 100 дней (поезд ходит раз в сутки).

2.67	°. Пусть ц.у — суммарное число появлений «5» и
«6» в 2V бросаниях игральной кости. При /V — 1800 найти
вероятность того, что > 620.

2.68	\ Две монеты подбрасывают 4800 раз. Найти
приближенное значение вероятности того, что событие
«герб — герб» появится меньше 1140 раз.

2.69	°. Вероятность попадания в цель при одном вы-
стреле равна 0,01. Найти приближенное значение вероят-
ности того, что при 100 выстрелах будет пе больше трех
попаданий.

2.70	. Из урны, содержащей 1 белый и 4 черных ша-
ра, по схеме случайного выбора с возвращением прово-
дят 2500 извлечений шаров. Найти приближенное зпа-
пепие вероятности того, что число появлений белого гаара
заключено между 480 и 540.

2.71	°. На одной странице 2400 знаков. При типограф-
ском наборе вероятность искажения одного знака равна
1/800. Найти приближенное значение вероятности того,
что на странице не менее двух опечаток.

2.72	°. Вероятность успеха в каждом испытании схе-
мы Бернулли равна р. Найти вероятность того, что /с-й
по порядку успех происходит при Z-м испытании.

В задачах с 2.73 по 2.78 рассматриваются бесконеч-
ные последовательности испытаний. Воспользоваться
частным случаем вероятностного пространства, который
определяется формулами (2.15) — (2.17) при N = 2.

2.73	°. Две игральные кости бросают до выпад лшя «6»
хотя бы на одной из них. Найти вероятность того, что
впервые «6» появляется при к-м. бросании, к = 1,2, 3,...

2.74	°. Двое по очереди бросают монету. Выигрывает
тот, кто первым получит «герб». Найти вероятности со-
бытий:

а)	игра закончится до 4-го бросания;

б)	выиграет начавший игру (первый игрок);

в)	выиграет второй игрок.

2.75	. В схеме Бернулли р — вероятность исхода 1 и
q = 1 — р — вероятность исхода 0. Найти вероятность то-
го, что цепочка 00, состоящая из двух 'нулей подряд,
появится раньше цепочки 01. В частности, вычислить
эту вероятность при р = 1/2.

2.76	. Пусть выполнены условия задачи 2.75. Найти
вероятность того, что цепочка 00 (два пуля подряд) по-
явится раньше цепочки 10. В частности, вычислить эту
вероятность при р = 1/2.

2.77	. Пусть выполнены условия задачи 2.75. Найти
вероятность Роопн того, что цепочка 00 появится раньшэ
цепочки 111. В частности, вычислить эту вероятность
при р — 1/2.

2.78	. Движением частицы ио целым точкам прямой
управляет схема Бернулли с вероятностью р исхода 1:
если в данном испытании схемы Бернулли появилась 1,
то частица из своего положения переходит в правую
соседнюю точку, а в противном случае — в левую. Найти
вероятность того, что за п шагов частица из точки 0
перейдет в точку т.

§ 5. Полиномиальная схема

2.79е	. Отрезок [0, 10] точками 1, 2, 3, 4, 7 разделен
па 4 отрезка длины 1 и 2 отрезка длины 3. Пусть
Л1, ..., As— независимые случайные точки, имеющие
равномерное распределение на отрезке [0, 10]. Какова ве-
48
роятность того, что из этих точек в два каких-либо от-
резка длиной 1 попадет но 2 точки, а в каждый из остав-
шихся отрезков — но одной точке?

2.80.	При прохождении одного порога байдарка но
получает повреждений с вероятностью p[t полностью
ломается с вероятностью р-2, получает серьезное повреж-
дение с вероятностью рз (pi + ра + рз — !) Два серьез-
ных повреждения приводят к полной поломке. Найти
вероятность того, что при прохождении п порогов бай-
дарка не будет полностью сломана.

2.81.	Сообщения, передаваемые по каналу связи, со-
ставляются из трех знаков А, В, С. Из-за помех каждый
знак принимается правильно с вероятностью 0,6 и при-
нимается ошибочно за любой из двух других знаков с
вероятностью 0,2 Для увеличения вероятности правиль-
ного приема каждый знак передается 5 раз. За передан-
ный знак принимается знак, который чаще всего встре-
чается в принятой пятерке знаков. Если наиболее частых
знака два, то из них выбирается равновероятно один.
Найти вероятность правильного приема знака при ука-
занном способе передачи.

2.82.	Пусть £п ( — число появлений исхода i в п пер-
вых испытаниях полиномиальной схемы (см. введение
к гл. 2). Найти Р{£п, 1 = тиД.

2.83.	В схеме, описанной в задаче 2.82, найти услов-
ную вероятность

Р{£„.2=™2, .Вп. №	= щД.

2.84.	В А ячейках, разбитых на две группы по N\
и А2 ячеек соответственно (Ai •+ А2 = А), независимо
одну от другой размещают п частиц; пусть р* (t = 1, 2;
7 = 1, 2, ..., А,) — вероятность попадания частицы в ?-ю

•	-	"ш)

ячейку г-и группы, а Ц.; — число частиц, попавших в
;-ю ячейку i-й группы после размещения я частиц. Найти:

а)	Р =/с-ij, i = l,2, /*=1,...,А}»

6)	Р {'Пн* + »• • + Л2Л2 =

в)	р|Пив*и, 7 = 1,	... +П2^ = 'М-

2.85.	В А ячейках независимо размещают п частиц.
Вероятность попадания каждой частицы в г-ю ячейку
равна 1/А, i = 1, 2, ..., А. Обозначим Цо(я, А) чис-
ло ячеек, оставшихся пустыми. Найти Р(цо(^, А)=» к},

2.86,	Игральную кость бросают до первого появления
на ней меньше пяти очков. Какова вероятность получить
при последнем бросании не меньше двух очков?

4 а, м, Зу&ков и др,	49
2.87.	Исходы 0-, Ог, ••• последовательности испытаний
с Л' — 3 возможными исходами 1, 2, 3 и вероятностями
ИСХОДОВ Pi, Р2, рз объединяются В тройки (8за+1, 03h+2,
Озы-з). Из первой тройки (03v+i, O3V+2, 9зу+з), в которой
все исходы различны, выбирается 63v+i. Найти P{03v+i в
= В.

2.88.	Испытания в полиномиальной схеме с исходами
1, 2, 3, имеющими вероятности pi, р?, рз соответственно,
закапчиваются, когда впервые не появится исход 3. Най-
ти вероятность того, что испытания закончатся исхо-
дом 1.

2.89.	Игрок А подбрасывает 3 игральные кости, а иг-
рок В — 2 кости. Эти испытания они проводят вместе и
последовательно до первого выпадения «6» хотя бы на
одной кости. Найти вероятности событий:

а) А — {впервые «С» появилось у игрока А, а не BI;
б) В — {впервые «6» появилось у игрока В, а не А};

в) С = {впервые <<6» появилось одновременно у А
и В].

Глава 3

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Пусть задано вероятностное пространство (Q, j/, Р).

Случайной величиной называется действительная
функция от элементарного события ^ = ^(ш),	для

которой при любом действительном х множество
{(о: £(й))О} принадлежит «и£ (т. е. является событием)
и для него определена вероятность Р{о>: £(со)Ся:}, запи-
сываемая кратко Р{£ < Эта вероятность, рассматри-
ваемая как функция х, называется функцией распреде-
ления случайной величины £ п обозначается обычно
либо либо F(z) (иногда функцией распределения
называют вероятность Р{£ < т)).

С помощью функции распределения можно од-
нозначно определить вероятности Р{д^£?) для борелев-
ских множеств В на числовой прямой (определение бо-
релевскнх множеств см. в [5], с. 32, или в [2], с. 28—29).
В частности, борелевскими множествами являются интер-
валы вида (х\, X2L ki, а?2], kb ^2), (xi, «2), их конечные
и счетные суммы. Вероятность Р{£ В}, рассматриваемая
как функция от борелевского множества В, называется
распределением вероятностей случайной величины £ и
50
обозначается Pj(£). Иногда Р?(/?) называют .законом рас-
пределения случайной величины | или просто распреде-
лением £. Таким образом, распределение вероятностей
Ре(^) можно задать функцией распределения /^(z).

Важным классом распределений вероятностей явля-
ются абсолютно непрерывные распределения, задаваемые
плотностью вероятности ръ(х) = р(х), т. е. такой неотри-
цательной функцией р(х), что для любого борелевского
множества В

Р (с е В} = 1 р (х) dx\
в

п общем случае рассматривается интеграл Лебега, кото-
рый совпадает с интегралом Римана (собственным или
несобственным), если последний существует. Другой
класс составляют дискретные распределения, задаваемые
конечным или счетным набором вероятностей Р{g = 4rh},
для которых

1.

/•

Функция распределения А\(л:) в этом случае ступенчатая
и задастся суммой

V Р {&-**}.

k: xh<x

Если распределение случайной величины абсолютно не-

прерывно или дискретно, то говорят также, что сама слу-
чайная величина или ее функция распределения соответ-

ственно абсолютно непрерывны или дискретны.

Пример 3.1. Пусть точка (u, v) равномерно
распределена в квадрате Q = {(w, v): 0<иС1,
С 1} (см. формулу (1.8) из введения к гл. 1). Положим

-= £i(u, p)=u,

^2 == >2 («, 0 = [	|

при
при

U^v,
и <С и.

Найти; а) функцию распределения и плотность распре-
деления вероятностей случайной величины £i; б) функ-
цию распределения и вероятности значений дискретной
величины

Решение. Событие {gi х} = {(и, и): и^х, (и,и)*з
sQ} при х>1 совпадает с Q, а при я <0 — с 0.
Г. ри 0 < х < 1 множество точек, определяющих событие
{£t С х), образует прямоугольник со сторонами 1 и х.
Таким образом,

(4 = р Ui < 4 =

О при х О,
х при 0 < х < 14
1 при X 1.

Производная F* 1х) в ее точках
ег с плотностью распределения:

непрерывности совпада-

[О, I],,
х<= [0, 1].

I 0 при
РЦ (4 = [ !

при

Функция распределения £2 находится аналогично. Если
то	= Q; {£1<я} = 0 при гт<-1, а при

- 1 < х < 1

Значит,

{£2<4 = {(и, р): и < р, (w, p)eQ}.

О при х < — 1,

(J f — р (£3	4

1/2

1

при
при

Случайная величина & дискретна; ее распределение со-
средоточено в двух точках: — 1 и 1. Действительно,

РЦ2 = И — Pt (и, р): «>Р, («, P)eQ) = l/2,

Р{§2 = — 1) = Pt (и, р): р<р, (u, p)^Q}«1/2. а

В задачах обычно говорится о случайной величине £
и о ее распределении Р^( ) без явного указания того
вероятностного пространства, на котором она определе-
на. Это означает, что соответствующее утверждение или
вычисление справедливо для любого вероятностного про-
странства (Q, -3-А Р), па котором можно определить слу-
чайную величину £в£(ы) с заданным распределением
Pt(-); в частности, таким вероятностным прострапством
можно считать (/?, Р-J, где Л = {4 — числовая пря-
мая, 4 — борелевская о-алгебра ее подмножеств, Pj —
распределение вероятностей случайной величины £, ко-
торая задается функцией £ (<£)=£.

Если на одном п том ясе вероятностном пространстве
(Q, Р) определены случайные величины £2, . •, £г,
то иногда говорят, что задан случайный вектор £=(||, ...
..., |г). Многомерной функцией распределения (или
совместной функцией распределения) £1, £5, ..., %, назы-
вается вероятность P{£»^xi, ...,	рассматривае-
мая как функция от точки ж =	хг] г-мерного

евклидова пространства /?г и обозначаемая Гц.(зф ...

...,хг) (кратко F^x)} или F(xi, хг) (кратко F(x)).
С помощью функции распределения однозначно опреде-
ляются вероятности Р{£ е В} для r-мерпых борелезских
множеств В. Функция множеств Р5 (В} = Р{£ «= В} назы-
вается г-мерным распределением вероятностей Абсо-
лютно непрерывное r-мерное распределение вероятностей
задается r-мерной плотностью р$ (х) =	, (-Гц . .хг),

т. е. такой неотрицательной функцией р<(х), что для лю-
бого борелевского множества В <= R'

Р В} — С ... I р, (xt, ..., xr) dxt ... dxr.
4 в

Дискретное r-мерное распределение задается с помощью
конечного или счетного набора вероятностей Р{£ = х(к')
x(k)<^Rr, так что для любого борелевского множества В

П;=«) = 2 рц = х(О}-

fe: х(7реВ

Пример 3.2. Найти распределение величины ц =
= £и где случайная величина |i та же, что в приме-
ре 3.1.

Решение. Функция распределения т| при 0 С х С 1
определяется следующей цепочкой равенств:

/„ (х) =	= р {£'О1 — р I— Уж <У£1 =

= ^1(/ж)-^1(-Уж) = /£

Очевидно, что Fn(2?) = 0 при я СО и	при z>l.

При 0 < х < 1

Рп (*) = ^ ( /*) = —
1	2. \ х

рп(х)“0 при х < 0 и при х > 1. Таким образом, величи-
на т] абсолютно непрерывна и ее плотность распределе-
ния определяется формулой

p„(z) = 1/(2Vx) при х е (0, 1),

дп(л;) = 0 при ж <£((), 1).	А

Пример 3.3. Случайная величина ё имеет плот-
ность распределения рДх)—е~х (д?>0), Ре(л:) = О (я С
<0). Найти распределение случайной величины ц —
= Т|(ь) = [S,]2, где |&] обозначает целую часть
Решение. Так как {ц — к2} = {к ' £ < к + 1}, то
вероятность Р{т) — к2} определяется равенствами

Р{Г] = к2} = Р{к^<к + 1} =

fe+i	fe+i

= j (х) dx =  e~xdx—e~k (1—е-1), £=0,1,2, д
Л	h

Пример 3.4. Случайная величина Bi принимает
значения 0 и 1, а случайная величина Вг— значения —1,
0 и 1. Вероятности P{Bi = г, Вг = /) задаются следующей
таблицей:

i	-1	0	1
0	1/16	1/4	1/16
1	1/16	1/4	5/16

Найти распределение случайной величины т] = “цВг*
Решение. Произведение В1£г равно нулю, если ра-
вен нулю хотя бы один из сомножителей:

{п = о) = {^=о, ь = -1)и

U {^1 = £2 = 0} U di =0, Вг“0иЦ| = 1, В2 = 0Ъ
Отсюда

Р {ц _ 0} — Jg +	+ jg + у — -g.

Оставшиеся два значения (1,-1) и (1, 1) пары величин
(Bi, £2) приводят к двум значениям ц: —1 и 1. Следо-
вательно,

Р{ц = —1} = 1/16, Р{ц = 1} = 5/16.

Таким образом, величина ц дискретна; ее распределение
сосредоточено на значениях —I, 0, 1, и вероятности этих
значений равны соответственно 1/16, 5/8, 5/16.	А

Если s-мерный случайный вектор n = g(£) есть
функция от r-мерного случайного вектора В> т. е. ц?, =
= gft(|i, .... |r), £ = 1, s, g(-) = (gi(),	g.(’)), то

Р{це £} = ₽{£ = £_! (5)},	(3.1)

где g-i (В) — прообраз борелевского множества В при
отображении g. В частности, если г — s = 1, а функция
54
У g(x) непрерывна и строго возрастает, то F^y) —
=	(^) ) Если, кроме того, g(x) дифференцируема

и распределение & имеет плотность p«(z), ти распреде-
ление т] имеет плотность

Р,, W — РЬ <g-, (И> —

Если г = $, отображение у

, „ 1

яко би ап J %\ы—тут



^g(x) взаимно однозначно и

Sr)

—- не ооращается в нуль, то
Г/

плотность рл(.г) можно вычислить по плотности р^(у) с

помощью равенства

Л, (У) = Pz (g-i (У))---------= Pl (g-i (*/)) i (У) I-

(3.2)

В общем случае, как правило, удобнее сначала вычис-
лить функцию распределения ц по формуле (3.1), а за-
тем пайти плотность распределения ц дифференциро-
ванием.

Случайные величины £|, ..., называются независи-
мыми, если для любых борелевских множеств /?1, .Вг
имеет место равенство

......=	(3.3)

Ь=1

Следующие определения независимости равносильны
определению (3.2):

в общем случае', для любых #1, ..., xT^R

(^1’ • • •’ ) “ П '' 1л (^^

для абсолютных непрерывных распределений', для лю-
бых л' = (Т], .жг)с=/?г (кроме, может быть, точек, об-
разующих множество меры нуль)

Г

(^i’ • • -»	= И Р* (^ь)?

для дискретных распределений'. для всех х =•
“ (Л), ..., Xr) R

Р U1   '!> • • ЪГ = £г} = П Р {£/< ““

ft=l
Если случайные величины |i, ..независимы, то
функции от них Ца = (|п), к = ], ..г, также будут
независимыми случайными величинами.

Пример 3.5. Случайные величины и £2 незави-
симы; их плотности распределения определяются фор-
мулами

(1 при ;г€=ГО, 1],	X при же [0, 2]

Найти функцию распределения и плотность распределе-*
нпя величины г] =

Решение. Так как величины gi и & независимы,

то двумерная плотность распределения вектора

Рис. 5

= 0 при х <, 0 и £>*
х^2; следовательно,

есть Р5Л(и, О=РЕ1(н)Р5г(0.
Найдем сначала функцию рас-
пределения гр

= j J Г\ (и) (”) du dva
Vx

где 7\=((и, и): ih/Ci) Отсюда

М =" 4 J f du dv’

где D* = Dx П {(и, и): 0<п<1й
0^р^2}. Очевидно, что D* =
= {(ц, у): 0 и «С 1, О v 2} при

Р{т)^я} = 0 (j<0), Р(ц^Я = 1 (а; >2).

При 0 <а:<2 (рис. 5)

।
dudv~2-^+ I ^du-x-x\n~.

'Й	1/2 ”

Таким образом,

q I3-)

при х О,
при 0 <; х < 2,
при х^2.
Отсюда находим плотность распределения

О при х (0, 2],
AiG7) 	1 , х

---~1п — при же (0,2].	А

Если £ и 1] — независимые случайные величины, то
ПО ПЛОТНОСТЯМ Р\(х), рДж). можно вычислить плотность
Р{+П(ж) их суммы с помощью формулы композиции (илп
свертки):
ос	ос

^+4^)= J Pi О/) Рп — У) dy = f lT (x — y)p^{y)dy.
— or	—ОС

(3.4)

Полезны также формулы композиции для функций
распределения
04?

Fi+V} (ж) = j (х — у) рц (у) dy,

Г	(3.5)

F^Vi (х) = J Л (х — у) db\ (у)

(последний интеграл в общем случае надо понимать как
инчеграл Лебега — Стилтьеса).

Пример 3.6. Найти плотность распределения вели-
чины т] = £] + £2, где £i, независимы и каждая из них
равномерно распределена на отрезке [О, 1].

Решение. По формуле (3.4)

ОО	I

рп(х) = ’	— V)dy = \p^x~y)dy.

—оо	О

Подынтегральная функция р--, (х— у) положительна и
равна 1, если 0=^ж — у < 1. Отрезок интегрирования [О, 1]
и отрезок [ж —1, ж] значений у, при которых р^(ж — у)>
J>0, не пересекаются, если ж<0 или ж > 2. В этих слу-
чаях рч(ж) = О. Если 0«5ж^1, то [0, 1]П[ж—1, ж] «=»
•= 10, ж] и

(ж) = Г dy = ж.

о

Если 1 С ж 2, то [0, 1] Л [ж — 1, ж] = [ж — 1, 1] и

1

(ж) = j dy = 2 — ж.

А-1
Таким образом,

Рп 00 =

О,

х,
z2 — х,

если

если

если

х < 0 или
0<х<1,.

1	х^. 2.

х> 2-
«₽

Математическим ожиданием случайной величины ;
называется число

М£ = J £ (®) Р (с?о>),

о

если интеграл Лебега, стоящий в правой части этого
равенства, существует (см. [5], с. 60, или [2], гл. 4, § 1).

Если | имеет плотность, то Mg может быть вычисле-
но по формуле

хр^ (х) dx.	(3.6)

— ос

Для случайной величины £ с дискретным распреде-
лением

Mg-2xkP(a = xs},	(3.7)

h

если ряд (3.7) сходится абсолютно. В общем случае

ОО

J xdF^x),	(3.8)

— ОО

где интеграл понимается как интеграл Стилтьеса.

Если Ц=£(В), т0 Для вычисления Мт] = Mg(£) мож-
но применять следующие формулы, аналогичные (3.6)—-.
(3.8) (также с оговоркой об абсолютной сходимости):

Мг| = Mg (£) = \ g (х) р* (х) dx,	(3.9)

Мт] = Mg (|) = V g Ы Р {В =	(3.10)

ь

Ml] = Mg (*) = \ g (х) dFt (х)	(3.11)

— ОО

(в формуле (3.11) в общем случае интеграл понимается
как интеграл Лебега — Стилтьеса). Формулы (3.9) —
(3.11) обобщаются па случай, когда rj=if(£.i, .  •, V),
где g _ функция, отображающая RT в fi1. D частности,
формула (3.9) в этом случае превращается в

=	ё(х11 •••, ^r)Pt £ (*!, ..., Xr)dXL ...dxr.

(3.12)

Для действительной случайной величины & матема-
тическое ожидание М*' называется к-м моментом или
моментом k-го порядка, Mj||A называется абсолютным
моментом k-го порядка, M(£“MB;)ft— центральным мо-
ментом k-го порядка, М|£ — М£|й — абсолютным цент-
ральным моментом k-го порядка. Факториальным момен-
том k-го порядка называется = Mg (£—1 )..,(£ —
— k + 1). Второй центральный момент называется дис-
персией и обозначается D£ = M(£ — Mg)2. Корень квад-
ратный из дисперсии называется средним квадратиче-
ским отклонением.

Пример 3.7. Для случайной величины т], опреде-
ленной в примере 3.2, найти Mq и Dq.

Решение. Если плотность распределения известна,
то для вычисления Mq удобно воспользоваться формулой
/3.6), а для вычисления Dp формулой

ОО

Dq — (ж — Mq)2pn (ат) dx,

которая является частным случаем (3.9) с £(#)=
«(x — Mq)2 Подставляя в эти формулы плотность рас-
пределения рп(х), вычисленную в примере 3.2, получим

Можно было также воспользоваться формулами (3.9)
при g(z)= х2, g{x) = (x— Mq); с заменой р$(х) на плот-
ность р., (х), определенную в примере 3.1:

* 1

Mq = M£i = х2р^ (х) dx = j x2dx — | £

— ос 1	о
Математическое ожидание M|q произведения двух
случайных величин g и q называется смешанным, вторым
моментом. Смешанный центральный второй момент
М(£ — М£) (q — Mq) называется ковариацией случайных
величин | и q и обозначается cov(£, q). Коэффициентом
корреляции | п q называется отношение Р(£, q)==
= U'V ' , нгагдл ip(£, q) I < 1. Случайные величины

VD>Dn

£ и q некоррелированы, если р(£, q)=0. Ковариацион-
ной матрицей случайного вектора £=(£i, ..., £») назы-
вается матрица

C = C'(^) = !|cov(U £,) ",в1.

Матрица С(£) неотрицательно определена.

Отметим важные свойства математических ожиданий:

1.	Свойство аддитивности', для любых ~ и q с конеч-
ными Мд и Mq

М(£+q) = M£ + Mq. ’	(3.13)]

2.	Свойство линейности', для любого чпсла с

М(сд) = сМ£.	г(3.14)

3.	Свойство мультипликативности', для любых неза-
висимых £ и q с конечными М£ и Mq

M£q=M£Mq.	(3.15)'

С помощью этих свойств легко получаются следующие
формулы для вычисления дисперсии и ковариации:

Dg = MV - (М-)2 = MV21 + М£ - (М£)2,
cov(£, q)==M£q — MfcMq;

для независимых ||, ..

О (?!+...+ 5„) = 3 DU COV (£,. у = О (I J). (3.16)
h=L

В общем случае

О (£j 4- ... + %>п) — 2	+ 2	2 cov (£fci

Если векторы g(1) = (V?', •••, йг))>	£<n>e(£in), ...

независимы и Cf:1'),	— соответст-

вующие им матрицы ковариаций, то

+...+р.17)
Если имеются две дискретные случайные величины Е
и р, то условная вероятность события U = при усло-
вии т) = pj определяется равенством

p{S = ;tllT1 = ^Li L-1L.	(3.18)

г V - УИ

(3.19)

веро-
нс л о~

Совокупность условных вероятностей (3.18) при всех i
задает условное распределение случайной величины
при условии р = у}. Условное математическое ожидание
t при условии р — у, определяется формулой
м (И П == Уз) = X ДЧр V = *d П = У;} =

t	= V *Р {'~ Ч = у.)

р V1 = М

Формулы (3.18) и (3.19) определяют условные
лтности п условные математические ожидания при

вии р * уг Условные вероятности Р{^вх,!р} и условные
математические ожидания М(^!р) при условии р опре-
деляются как случайные величины, принимающие на
каждом множестве {(о: р(со) = у) <= Q значения (3.18) и
(3.19). Общие определения условных распределений и
условных математических ожиданий можно найти в кви-
iax А. А. Боровкова [2], А. Н. Колмогорова (5], Б. А. Се-
вастьянова [10].

Вычисляя математическое ожидание от условного ма-
тематического ожидания	получаем полезную

формулу

М£М[М{£|р}].	[(3.20),

В частности,

PU=aJ = MP{£ = ^|p}.	'(3.21)

Для вычисления D£ можно использовать формулу

D| =* М [D{||p]] 4-D [М{||р}],	'(3.22)

где условная дисперсия D{? Iр} определяется формулой

D U In} = 3 (^i — м {£ I n})2p U = xi I n}-	(3.23)

Аналогичные формулы верны и для абсолютно непре-
рывных распределений. Условная плотность Е при усло-
вии q = у определяется формулой

П	(Т\ -	 {Х' у} «

г 61П=У - '	(у)	«

1 Р^{и> У)^и

(3.24)
а условное математическое ожидание — формулой

ОО

ОО	f и dX

M{s|n = //}= f	-------------

-0°	J* PgFTi (*, У) dx

— oo

Рассматривая условную плотность рцл(х) как случайную
величину, которая при i] = у принимает значение
, получаем

ос

M{£|n}= J *р61л(*)<4

— оо

ОО

D (I I n) = J (z — м -1 n})2Pgbl (*) dx.

— ОО

Формулы (3.20) и (3.22) остаются справедливыми и
в этом случае, а (3.21) заменяется формулой

^(х) = Мр61п(я).

Перечислим основные способы вычисления математи-
ческого ожидания. При подходящем способе задания за-
кона распределения случайной величины наиболее удоб-
ным может оказаться прямое вычисление по формулам
(3.6), (3.7) или (3.9), (3.11), (3.12).

Иногда легко вычисляются или имеют простой вид
условные математические ожидания. Тогда для вычисле-
ния безусловных математических ожиданий используется
формула полного математического ожидания (3.20).

Использование свойств аддитивности и мультиплика-
тивности математического ожидания позволяет свести
вычисление М£ к более простым вычислениям математи-
ческих ожиданий величин, через которые удается выра-
зить £. Наиболее частым среди таких приемов является
прием введения сумм индикаторов. Индикатором события
А называется случайная величина = Хд(ы), принима-
ющая значение 1, если	и значение 0, если ш Л.

Часто оказывается, что можно указать такие события
4Ь 4г, ..4N, что интересующая нас величина пред-
ставляется в виде

£ = Хл, + Хла+ ••• + Хлу
Особенно удобно то, что свойство аддитивности верно
и для зависимых слагаемых. Таким образом,

N	7V

*4- 2мх =2р{л„}.

. = 1	1 fe Ч

Пример 3.8. Пусть — число переходов от успеха
к неудаче или обратно в п испытаниях схемы Бернулли,
в которой вероятность успеха в отдельном испытании
равна р. Найти Mq,. и Di]n.

Решение. Представим qn в виде суммы инди-
каторов

•	Пп=|1 + Ь + --- + Вп-|,

где £« = 1, если исходами i-ro и (г + 1)-го испытаний бы-
ли соответственно «успех» и «неудача» или «неудача» и
«успех». В противном случае == 0. Тогда

М£, = Р{& = 1} = р(1 — р) + (1 — р)р = 2р(1 — р)
и, следовательно,

Мт]п =	.. + М£п_1 = 2(п - 1)р(1 - р).

Найдем теперь Mqn. Так как

П — 1	п —1	Л—1	П—2	71—1

ч! = 2 Й +	2 йй =	2 5. + 2 2 ^1+1 +	2	Ы»

1=1	ij=l	t-1	1=1	ij=l

И—

И

MUi+i = Р (1 — Р) Р + (1 — Р) Р (1 — Р) = Р (1 — Р),
= 4р*(1~р? (I i - /1 > 2),
то

мп- = 2р (1 - р) (п - 1) + 2 (п - 2) р (1 - р) +

+ 4р2 (1 — р)2 (п2 — Ъп + 6).

Отсюда, используя обозначение q — 1 — р, получаем

D)|n = Mq2 — (Mqn)2 = 4pq (1 — Jpq) n — 2pq (3 — lOpg). д

Способы вычисления математических ожиданий с по-
мощью производящих и характеристических функций
рассматриваются в гл. 4.

При вычислении математического ожидания можно
пользоваться также теоремой о монотонной сходимос-
ти (если ^^En+11 п=1х24 ,, lim En в £ и ' М;

П-*хз
конечны, то Mz — lim М£п) и теоремой о мажорируем

П-»Оо

мой сходимости (если j£n|^H, МП < оо, и £ = lim £п

П->ос

с вероятностью 1, то М£ = lim М£„). В частности, если
п-* ОО

£=2 In, где U>0 и сходится, то

п=1	п

м| = 3 Mjn.

П=1

Приведем в заключение часто встречающиеся законы
распределения. Сначала перечислим некоторые дискрет-
ные распределения.

1.	Вырожденное распределение:

Р{^ — а) = 1, а — постоянная.

2.	Гипергеометрическое распределение (параметры: /V,
М, п — натуральные числа, М < /V, п С Лг):

^п^г.—ш

P{t = m} = -2L2—!# т = 0, 1, ..ш п (Л/, п).

3.	Биномиальное распределение (параметры: п—на-
туральное число, О С р «5 1):

P(t =	-р)п~\ А* = 0,1,

4.	Распределение Пуассона с параметром X. > 0;

*-0,1,2,...

5.	Геометрическое распределение с параметром

Р(|=*)=р(1-р)‘, * = 0,1,2,...

Далее перечисляются некоторые абсолютно непрерыв-
ные распределения, определяехмые плотностью р(х).

1.	Равномерное распределение па отрезке [а, й], а <
< Ь: р(z) — , если а а С Ь, р(х) = 0, если х [а, 6].

2.	Нормальное (или гауссовское) распределение с па-
раметрами а, о1, —00 < а < °°, 0 < о < °°:

1	|	(т — д

^ = -ДТ7ехрГ ’ -тс<1<0°-
Нормальное распределение с параметрами (0, 1) назы-
вают такясе стандартным нормальным распределением.

3.	Показательное распределение с параметром X > 0:
р(я) = Хе-кх (#>0), р(х)=0 (х<0).

4.	Гамма-распределение с параметрами X > О, а > 0:

= (*>°)> ^ = 0 <*<°)

здесь Г (а) = I

ха 'dx— гамма-функция .
i о	/

5.	Распределение Коши с параметром b > 0:

p<«)=s-

— оо <Z х <Z, оо.

1 4 ь2х2 ’

Введем еще многомерное нормальное распределение.

Если случайные величины	независимы

п имеют нормальные распределения с параметрами
Ц, nJ, k = 1, 2, ..., г, соответственно, то г-мерпая
плотность нормального распределения имеет вид

..М*1’ Хг) =

i птп । — 1 V
(2л)г/2о1 ... ог I 2 а’

(3.25)

Если в (3.25) Я] = а2 = ... = ат = 0 и Oj = 02 = ...
... s а, = о, то мы имеем плотность сферически симмет-
ричного нормального распределения

.	1 I 1 V1 9

\...i/r‘..Хг) =(2я)'Чг ехр|~J?"**

(3.2G)

Эта плотность инвариантна относительно ортогональных
преобразований пространства R', оставляющих на месте
начало координат.

В общем случае говорят, что вектор ц=(т|1, .... Цг)е
G Rr имеет нормальное распределение с вектором матема-
тических ожиданий а = (Мгр, ..., Мцг) и матрицей кова-
риаций В = ||cov (т)ъ	(короче: с параметрами

l(a, /?)), если он распределен так же, как вектор

(н	k	\

МП1 + S • • М мЧг + 2 к (3.27)
t=i	i=i	/

*J А. М. Зубков и др.

65
где случайный вектор s=(£i, ..£h) имеет сферически
симметричное нормальное распределение с щ = ... =
= oh = 1, а прямоугольная матрица

A =

a	a

11	12

a	a

21	22

а1Г

a2T

%! ak2

akr

такова, что матрица ковариаций вектора т)*, равная А’А
(см. задачу 3.274) совпадает с матрицей В. Параметры
(а, В) определяют многомерное нормальное распределе
ние однозначно.

Если матрица ковариаций В положительно определе





В l, а нормальное распре

на, то ее определитель det В положителен и существует
обратная матрица В* = !| Ь*} || —

деление с параметрами (а, В) имеет r-мерную плотность

__________1

~ (2n)r/2VdeTff 6XP

Ьц fitj) (Xj dj) I

Если же матрица В вырождена (detB = O), то нор
мальное распределение с параметрами (а, В) сосредото
чено на гиперплоскости, размерность которой равна ран
гу В (см. задачу 3.159,6), и поэтому такое нормальное
распределение r-мерной плотности не имеет.

§ 1. Распределение вероятностей
случайных величин

В задачах 3.1—3.15 рассматриваются одномерные рас-
пределения; в 3.16—3.38 — законы совместного распреде
пения нескольких случайных величин; в 3.49—3.53 —
случайные величины, связанные с последовательностями
испытаний.

З.Г	. Распределение дискретной случайной величины
£ определяется формулами

PR-0-4-, 1 = -2,-1,0,2.

Найти распределения величин тр = — тр = Ifcl.

3.2	°. Распределение случайной величины | определи
ется формулами Р{£ = к} = С/к(к + 1), й«1, 2, ... Най
ти: а) постоянную С\ б) Р{| < 3); в)
3,3	. Распределение дискретной случайной величины
£ определяется формулами: Р{| = к} = С/к{к + 1) (А: + 2),
к = 1, 2, ... Найти: а) постоянную С; б) Р{£>3/;
в) PUi < £ п2}.

3,4	°. Плотность распределения случайной величины g
падала формулами:

Pi (х) — С/х4 при х>1;

/ч(*) = О

при

X < 1.

Найти: а) постоянную С; б) плотность распределения
ц = 1/J; в) Р(ОД < т] <0,31.

3.5	°. Случайная величина £ имеет показательное рас-
пределение ct параметром а: Р{£ =5 х) = 1 — е-ак (х>0).
Найти плотности распределения случайных величин:
а) 1]1 = 1б) Т|2 = £2; и) Пз = 4"1п

3.6	°. Случайная величина £ распределена так же, как
и задаче 3.5. Найти плотности распределения величин:
а) П1 = U) (<£} — дробная доля §); б) т)2 = 1 —

3.7	. Случайная величина £ равномерно распределена
па отрезке [0, 1]. Найти плотности распределепия вели-
чин: aj г)1 = 2^-Н1;б) г)2 =*-1п(1 - £).

3.8	°. Случайная точка В имеет равномерное распреде-
ление па окружности х2+(ц — а)2 = г2 с центром в точке
/1 =(0, д), а случайная точка С = (£, 0) является пере-

сечением оси абсцисс с прямой, проходящей через А и В.
Найти функцию распределения и плотность распределе-

ния случайной величины

ется распределением Коши.)

3,9	. Случайная величина
/ ч 1
ши с плотностью pj (х) =----

(Распределение g называ-

g имеет распределение Ко-

-----2.Наити плотность рас-
1 4- т

нределепия величин т| = £2/(1 + £2), ; — 1/(1 + g2).

3.10	. Случайная величина g имеет такое же распреде-

ление, как в задаче 3.9. Найти плотность распределения
случайных величин ц = 2^/(1 — £2), = 1/£.

3.11	. Пусть h(х) — плотность распределепия случай-
ной величины В; функция g(x) дифференцируема и па
интервале (0, 1) монотонно возрастает от —00 до +°°.
Найти: а) такую функцию <р(х), что случайная величина
||=<р(£) имеет своей плотностью распределения /(х) =
- h(g(x) )g* (х); б) распределение случайной величины
t £(П)«

3.12	°. Случайная величина | имеет непрерывную
функцию распределения F(x) = P{g<x). Показать, что
случайная величина т] = г (£)
деление на отрезке [0. 1].

имеет равномерное

распре

3.13.
[О, 1], а

Пусть ц имеет равномерное распределение



(у) = sup (х: F(x)^y),	O=^f/=C1,

— функция, обратная к функции распределения F(x) (

обязательно непрерывной!). Доказать, что случайная ве
личина £ = /',_](т|) имеет функцию распределения F(x)

3.14. Построить пример такого абсолютно неирерыь

него распределения случайной величины £
Pt(x) и такой непрерывной функции g(x),
ленпе случайной величины t] = £(s) не

с плотностью

что

распреде

вырождено

дискретно.

3.15	. Функция распределения F(x) непрерывна в каж
дой точке. Доказать, что она равномерно непрерывна н<
всей прямой — < х <

3.16	. Совместное распределение ру —• P{£i = i, = /
случайных величин £]. £2 задано таблицей:

\ 7 i \	—1	0	1
—1	1/8	1/12	7/24
I	5/24	1/6	1/8

Найти: а) одномерные распределения^;. “ Р“ г}
p.j = Р {Н2 = у};б) совместное распределение д« = Р{тр = i
Г|2 = Р случайных величин тр = £t + £2, Цг = Ыг’, в) од-
номерные распределения <Ц. = р{П1 = О, р{п2= 71

3.17	. Случайные величины £ и ц независимы. Найти
Р{£ = ц), если: а) £ и ц имеют одно и то же дискретное
распределение Р{£ = ад) = Р{ц =	= pft, к = 0, 1, ...

б) функция распределения | непрерывна.

3.18	. Совместное распределение g, т] является равно
мерным в единичном круге х2 + у2 1. Найти Р(|£| < 3/4|

3.19	’, Плотность совместного распределенпя величш
В, т] определяется равенствами: рЕ 4(u, v) = 1 npi
(w, p)eG, pUn(u, v) = Q при (и, vj&G, где G (wt p)
1 1

О ’ * и ^2, О v <Z 1 —2~и^' Чайти плотность распределен
пня pt(x) случайной величины £.

3.20	, Плотность совместного распределения р (u, р)
величин £i, |2 определяется равенствами Рз (w, р) —
•= С (и 4- р) при 0 < и < 1, 0 < р < 1 и pg] ,g (u, и) = О,
в остальных случаях. Найти: а) постоянную С; б) одно-
мерные плотности распределения и £2; в) плотность
распределения T] = max(£i, £2).

3.21	°. Плотность совместного распределения величин

2

£2 определяется равенствами: pi (и, и) *=---------

при и2 + р2 1 и р j (и, р) = 0 в остальных случаях..
Найти плотность распределения ц = V Е, + В,2-

3.22	. Случайные величины £ и р имеют плотности
распределения /(х) и g(x) и функции распределения
/г(х) и G(x) соответственно. Случайный вектор £ =
£2) имеет плотность распределения

y) = f(x)g(y) (1 + г(Г(я), G(y))),
где функция г(х, у) удовлетворяет условиям

min г (и,	— 1,

O<U<1

0<V<l

1	1

г	f

\ г (и, v)dv = | г (и, р) du =0.
о	о

Найти плотности р\ и р% распределения компонент и
^2 вектора £.

3.23	. Неотрицательные случайные величины fci, £2 не-
зависимы и имеют одну и ту же плотность распределе-
ния р(х), х > 0. Найти плотность д(и, р) совместного
распределения случайных величин T)i==,*i — ^2, Th =
- >Z;t+ ll

3.24	. Случайные величины ^2 независимы и имеют
одну и ту же плотность распределения р(х). Найти сов-
местную плотность распределения д(г, ср) полярных
координат (г, <р) точки (£ь £2).

3.25	°. Случайные величины и £2 независимы и име-
ют одно и то же показательное распределение: Р{£,- <

— е~х, х 0, i — 1, 2. Найти P{|£i — £2! < 11

3.26	°. Случайные величины £ и т] независимы и име-
ют равномерное распределение на отрезке [0t а]. Найти
плотности распределения случайных величин: а) £ + 14;
б) в - п; в) г) Vn-
3.27	. Случайные величины | и г] независимы и име-
ют показательное распределение с плотностью е~я (,г>0)
каждая. Найти плотность распределения: а) £ + т];
б) В - п; в) |£ - т)1; г) £/1].

3.28	°. Найти плотность распределения суммы | + ц,
если £ и г] независимы, £ имеет равномерное распреде-
ление в отрезке [0, 1], а т] — равномерное распределение
в отрезке [О, 2].

3.29	'. Найти плотность распределения суммы незави-
симых случайных величин £ и . т|, если | равномерно
распределена в [0, 1], а т| имеет показательное распре-
деление с плотностью е~х (х > 0).

3.30	°. Случайные величины £i, £з независимы и
имеют равномерное распределение в [0, 1].

Найти плотности распределения сумм: а) £1 + £2!
б) |1 + £г + £з.

Найти Р{0,5 < |] + £2 +	2,5).

3.31	°. Точка (£|, £2) имеет равномерное распределе-
ние в квадрате {(я, у): 0 х < а, 0 < у < а). Показать,
что распределения случайных величин l£i —£г1 и
пип {£], £2) совпадают, т. е. что для любого t

P{lL-bl sU) = Ptmin {£ь

3.32	°. Найти распределение суммы двух независимы»
слагаемых £1 и |г, если слагаемые распределены:

а)	показательно с одним и тем же параметром а}

б)	по закону Пуассона с параметрами Ai и Аг.

3.33	°. Случайные величины £1, ..., независимы и
распределены показательно с одинаковым параметром а,
Найти плотность распределения величин:

• a) t]i = maxUi, ..., £„},

б)	T|2-min{g], .£„}.

3.34е	. Случайные величины £1 и £2 независимы и
имеют гамма-распределения: £1—с параметрами (А, а)(
£2 — с параметрами (A, р). Пользуясь формулой

о

=Г(а)Г(Р)
al Г (а + Р) f

найти плотность распределения случайной величины
£1 + ^2-

3.35°	. Случайные величины £1, ..., независимы}
случайная величина имеет гамма-распределение с па-
70
раметрами (A,, a,), i = 1, ..., п. Найти плотность рас-
пределения случайной величины & +

3.36	. Случайные величины ..., независимы и
имеют показательное распределение с параметром р.
Найти плотность распределения суммы !( + ... + £„.

3.37	. Найти плотность распределения случайной ве-
личины t)-» г- 'у, если £], независимы и равномерно
*’1 '

распределены в отрезке [0, 1].

3.38.	Случайные величины |j, £2, • • £п, п > 2, неза-

висимы

ностыо

и имеют показательное распределение с плот-
Е

е~* (я>0). Обозначим Т| =-----------—. Найти

।	-1 п” • • • ‘эп

плотность распределения т).

3.39.	Величины |t, независимы; Р{£| = 0} = P{£i =»
11= 1/2, £2 равномерно распределена на отрезке [0, 1].
Найти закон распределения величины + 12-

ЗЛО. Пусть случайные величины £ и т) независимы,
£ имеет функцию распределения F(x), а ц равномерно
распределена в интервале [а, &]. Показать, что В + ц

F (х - а) — F (х — Ь)
имеет плотность  ---—г---------—

о — а	•

3.41°	, Сумму двух независимых равномерно распреде-
ленных па {0, 1, ..., 9} случайных однозначных чисел £
и ц можно записать в виде £ + ц = 10£2 + t>i (0 С 9).
Найти законы распределения и £?. Зависимы ли
Ci и С2?

3.42°	. Произведение двух независимых равномерно
распределенных па {0, 1, ..., 9} однозначных чисел £ и
Т] можно записать в виде £т| — 10^2 + £1, где tb £2 —
целые числа, принимающие значения от 0 до 9. Зависи-
мы ли и £2?

3.43.	Случайная точка Л=(£1,	Вз)*=Я3 имеет рав-

номерное распределение на сфере х2 + у2 + z~ *=> 1. Найти
распределение проекции (|i, £2) точки А на плоскость
(х, у) и проекции точки А на ось х.

3.44.	Свести па сфере в качестве координат широту
и долготу, считая их изменяющимися в отрезках [— л/2,
л/2] и [—л, л] соответственно. Найти плотность Р\(х)
распределения широты £ случайной точки, имеющей рав-
номерное распределение на сфере.

3.45.	Пусть |i, £2, £з— независимые случайные вели-

чины, имеющие равномерное распределение на множе-
ство целых чисел от — п до п. Подберем многочлен вто-
рой степени А (х) = «о^2 + «1# + «2, принимающий при
х = — 1, О, 1 значения £|,	соответственно. Найти

вероятность Рп того, что числа ао. ai, ot2 целые.

3.46.	К переговорному пункту с двумя кабинами по-
дошли три клиента: 1-й и 2-й клиенты заняли соответ-
ственно кабины № 1 и № 2, а 3-й клиент остался ждать.
Предполагая, что времена Ti, тг, тз разговоров клиентов
независимы и распределены показательно с параметром
X, найти: а) вероятность того, что 3-й клиент попадет
в кабину № 1; б) плотность распределения времени
ожидания 3-го клиента; в) вероятность того, что 3-й
клиент закончит разговор раньше 1-го или 2-го клиентов.

3.47.	В переговорном пункте телефоны-автоматы рас-
положены в трех залах: в r-м зале п{ автоматов (1 =
= 1, 2, 3; п = п\ + «2 + из). После перерыва посетители
одновременно заняли все автоматы. Введем события —
= {посетитель, закончивший разговор первым, находился
в i-м зале), i = l, 2, 3. Найти вероятности событий 4<т
i = l, 2, 3, если времена разговора посетителей являются
независимыми одинаково распределенными случайными
величинами с непрерывной функцией распределения.

3.48.	Случайная величина $ с равномерным распре-
делением на [О, 1] записывается в виде бесконечной де-

Ос

сятичпоп дроби: g = S МО' ’, где	— целые, О С < 9.

п-1

Доказать, что случайные величины gi, ••• независимы.

3-49 . В схеме Бернулли с вероятностью успеха р обо-
значим через (к — 1, 2, ...) номер испытания, при
котором происходит к-й успех, и положим Tj = vj, =
(к —2, 3, ...). Найти совместное распределе-
ние величин Т|, тд. Являются ли эти величины неза-
висимыми?

3.50	°. В полиномиальной схеме с исходами (1,2, ...,7V)
вероятность i-го исхода в каждом испытании равна рц
1 = 1, 2, ..N. Положим

(1, если в s-м испытании появился i-й исходА

£ S , 1 == ' ГЛ

(О в противном случае.

Являются ли независимыми случайные величины:

a)	ee, <, е*,! (s, i, j — фиксированы);

б)	е.’<, et,j

В) С] t> С'2 f, . • •, 8», <j
N	N	N

Г)	••• I — ®nA^-A, еСЛИ Cj, C2, . . . ,Сд’- —

A—1	A=J

некоторые постоянные?
3.51	°. Игральную кость бросают до того момента, ког-
да впервые выпадает меньше пяти очков. Обозначим че-
рез 8 число очков, выпавших при последнем бросании
игральной кости, и через v — число бросаний кости. Най-
ти совместное распределение 0 и v. Являются ли случай-
ные величины 0 и v зависимыми?

3,52	. В ячеек независимо бросают частицы; для
каждой частицы вероятность попадания в г-ю ячейку
равна Pi — ]/N (i ~ 1, 2, ..N). Обозначим через vi <
< V2 < ... < vw номера бросаний, при которых частицы
попадают в пустые ячейки; положим ti=Vj = 1, тл =»
c=vM —vk_i (к > 2) и обозначим через 0А номер ячейки,
в которую чопадает частица при va-m бросании. Найти:
а) совместное и одномерные распределения величин
Т2, т3;

б)	совместное и одномерные распределения величин
та, Тз, ..., Tjv (являются ли эти величины независи-
мыми?) ;

в)	совместное распределение 0ц 02, ..., 0jv.

3.53	. В схеме размещения частиц, описанной в зада-
че 3.52 (с pt^ i/N), найти совместное распределение
Uj, . . ., 0jy.

3.54	°. Из урны, содержащей М белых и ’ — М черных
шаров, по схеме случайного выбора без возвращения вы-
нимаются все шары. Пусть gi — число черных шаров,
извлеченных до появления 1-го белого шара, £, — число
черных шаров, извлеченных между (I — 1)-м и i-m
U=2, ..., М) белыми шарами, £w+i — число черных
шаров, появившихся после последнего белого. Найти:

а)

б)	Р{Ь~А,

в)	Р'~	62 = ^2, • • •» £м+1 = км+\},

3.55°	. Дана функция распределения F (х, у) пары слу-
чайных величин £, г]. Найти P{zt < £ «С z2,	< ц у2),

< ^2, У1 < г/2.

3.56.	Двумерное распределение случайных величин
Е, ц задано функцией распределения

у) ~

о,
min (х, у),

1,

если
если
если

min (z, у) < О,
0^. min (z, у) 1,
min (z, у) > 1.

Найти Р{(£ - 1/2)2+(т] - 1/2)2 < 1/4).
3.57.	Построить пример непрерывной в точке (т(,, Уо)
двумерной функции распределения	у), для кото-

рой одномерные функции распределения F^(x) и г'л(у)
разрывны в точках то и уо соответственно.

3.58.	Построить такой пример непрерывной во всех
точках двумерной функции распределения	у),

чтобы функция распределения F± (t)j U, у), где cj = J- + ц,
гр = £ — тр имела точки разрыва.

3.59.	Доказать, что двумерная функция распределе-
ния Fi1t(x, у) непрерывна в точке (хо, уо), если соответ-
ствующие одномерные функции распределения F^(x),
Г,,(у) непрерывны в точках х$ и уо соответственно.

Пусть £i, £г,	— независимые одинаково распре-

деленные случайные величины. При каждом coeQ рас-
положим числа	к — 1, ...» га, в порядке возраста-
ния и перенумеруем их заново: Bd, С £(2>	< £<»)• По-

лученная последовательность случайных величин называ-
ется вариационным рядом, а сами случайные величины
£(Ь) — членами вариационного ряда. Таким образом,
в частности, ьи) ~ m,n Вл» — птах £й. Задачи 3.60—
3.66 связаны с вариационным рядом.

3.60.	Случайные величины	(га >2) не-

зависимы и одинаково распределены с функцией распре-
деления F(x). Найти: а) функцию распределения
б) функцию распределения |(п); в) двумерную функцию
распределения |fbl' |(ж).

3.61.	По независимым одинаково распределенным слу-
чайным величинам ..., имеющим функцию распре-
деления F(х) и плотность р(х), построен вариационный
ряд В(и £<2) < ... < |(п). Найти: а) плотность распреде-
ления |(т); б) совместную плотность распределения
и £(-ч (к< т).

3.62.	Случайные величины ..., £K+j независимы
и имеют одну и ту же непрерывную функцию распреде-
ления. Пусть £(1)	^(2) < ..  <	— вариационный ряд

величин £i, ..., Найти

е	™ 1, ...» А — I,

P(Bfc+l <	 £* + 1

3.63.	Случайные величины £t, ..., независимы и
имеют одинаковое распределение с плотностью р(х).
Найти га-мерную плотность pn(^i, ..хп) распределения
членов вариационного ряда В(1>» £(2>, • • •> £(*)•
3.64*	. Случайные величины	независимы

и имеют показательное распределение с параметром а:

Р{£< < х} — 1 — е~ая, х > 0, i = 1, ..., п,

« £(i) < ^(2) < .. •	£(М — значения ||, ..располо-

женные в порядке неубывания (вариационный ряд). По-
казать, что случайные величины

Al 1 и — £(>)	— 2, ..., п,

независимы и что

Р{Л, х} = 1 - е-“(п-'+1)х, (=1,..., п.

3.65*	. Случайные величины £2, ..., независимы
и имеют одно и то же показательное распределение с па-
раметром А. Доказать, что случайные величины

max {£п |2, ..., £п} и 11 +	4—у- 4- ...' 4—~

одинаково распределены.

3.66.	Пусть	..., ^пл), и = 1, 2, .после-

довательность независимых векторов, у которых коорди-
наты 1, ..., $п А — независимые случайные величины,
имеющие одну и ту же непрерывную функцию распре-
деления F(x). Положим

^n e /min	D 1, * • , & I •

I l<m<n	J

Доказать, что при к > 2

Р

1

2А~3.3‘

3.67.	Случайные величины £1, £2, ... независимы и
имеют одну и ту же непрерывную функцию распределе-
ния. Доказать, что события

Вп “	< min Ui, ..., |n-iD, «’2,3, ... ,

независимы.

3.68.	Пусть выполнены условия задачи 3.66. Найти

Р {и Д

I П=2 J

3.69.	Случайные величины £ и ц независимы. Дока-
вать, что если функция распределения £ непрерывна, то
функция распределения £ 4- ц тоже непрерывна.
3.70*	. Случайная величина распределена по зако-
ну Пуассона с параметром Хь

P{£i-fc} = Th-4. * = 0, 1,2, ....

э случайная величина £2 распределена по закону Пуас-
сона с параметром Ха > Хь Доказать, что при любом це-
лом к

PUi^Ar}> Р{д2<И.

3.71.	Функции распределепия F\(t) и удовлет-
воряют условию

Fi (£)	для любого t.

Показать, что можно так задать на одном вероятностном
пространстве случайные величины |i и £2 с функциями
распределения F\(t) и F2(t) соответственно, что

PU1 > £2} = 1.

3.72.	Случайные величины £ и р независимы и имеют
равномерное распределение на отрезке [0, 1], а случайная
величина £ удовлетворяет условиям

Р{^}Хр{^} = 1/2.

Найти максимально и минимально возможные значения
р 1%	1 I Д

г £----указать, при каких совместных распре-

делениях т] и £ эти значения достигаются.

3.73.	Случайные величины £ и р независимы и имеют
одно и то же распределение с непрерывной функцией
распределения F(x), а случайная величина £ удовлетво-
ряет условиям

Р{£ = |} = Р{£ = т|} = 1/2.

Пусть тг = gup {z: Р{£ С z} «S 1/2} — медиана распределе-
ния £. Найти минимальное и максимальное значения т*
и указать, при каких совместных распределениях £, q и
£ эти значения достигаются.

3.74.	Пусть X, У — независимые целочисленные слу-
чайные величины, Z X 4- У,

«*ш1п{п; P(Z = n}>0),
b = max{n: P{Z=n}>0}.

Доказать, что

ruin {P{Z = al, P{Z = d}}	1/4.
§ 2. Математические ожидания

В задачах 3.75—3.112 используются прямые способы
вычисления математических ожиданий; задачи 3.113—
3.131 иллюстрируют возможности метода индикаторов
(см. введение к гл. 3). Задачи 3.132—3.138 содержат по-
лезные формулы для математических ожиданий различ-
ных функций от случайных величин. Разными методами
решаются задачи 3.139—3.188.

3.75	°. Распределение дискретной случайной величины
£ определяется формулами Р{£ = Я = 1/5, i — — 2, —1, О,
1,2. Найти математические ожидания величин Ц1 = -<.
*12 =* Ц-

3.76	°. Распределение дискретной случайной величины
определяется формулами Р {£ = Л} = —=
= 1,2, ... Найти математическое ожидание случайной ве-
личины

3.77	°. Плотность распределения случайной ве-
личины £ задана формулами Pi(^) = 0 при z<l, Р\(^) =
— 3/'ха' при а?>1. Найти математические ожидания и
дисперсии случайных величин £ и т] = 1/£.

3.78	°. Найти М£, D£, (к = 1, 2,...), если:

1 т

а)	РД = т) =	т — О, 1, 2,

б)	PJs - т} = CJ'pV-’", ?= 1 - р, m - 0, 1, 2, ..

3.79	°. Плотность совместного распределения Pt g2(w, г)
величин |2 определяется равенствами । {и, V) +
+ и при	1,	1; pi । (и, п)=Ь в остальных

случаях. Найти М£ь М|2, D|x, d|2i cov(£x, g2).

3.80	°. Совместное распределение £i, £2 определяется
условиями = 01 = 1, P{gi = 11 = Р{^ = —1) = 1/4, i =
“1,2. Найти M£t, М^2, D£i, D§2, cov(|i, £2).

3.81	°. Случайная величина g равномерно распределе-
на на отрезке [0, 2л]; Tp=cos£, т|2 = sin £. Найти Мтр,
Mr]2, cov(qi, Tjj)• Являются ли T]i и т|2 независимыми?

3.82	°. Случайная величина £ равномерно распределе-
на на отрезке [—л, л].

а)	Найти Msin£, Mcos£, Dsm£, Dcos|.

б)	Найти	Mcos при любом целом к 1 и

асимптотику М sin ft£, М cos при к -* «>.

3.83	 Случайная величина £ равномерно распределена
на отрезке [0, л].

а)	Найти Msin£, Mcos&, L)sin£, Deos?..
б)	Найти М sin ftg, М cos при любом делом к > 1 и
их асимптотики при к-+ <*>.

3.84	°. Плотность совместного распределения случай-
пых величин £2 определяется равенствами/)^^ (и, р) =
= л (Цц + </)* прИ	и /ЧГММ’^ = О в осталь-

ных случаях. Найти М V |. +

3.85	. Случайная величина £ имеет показательное рас-
пределение: P(^>z) = e-X при х > 0. Найти М£(1—e"at).

3.86	". Случайная точка А имеет равномерное распре-
деление в круге радиуса R, Найти математическое ожи-
дание и дисперсию расстояния £ точки А от центра круга.

3.87	°. Случайная величина £ имеет равномерное рас-
пределение па отрезке [0, 1]. Найти коэффициент корре-
ляции случайных величин гр, цг, если:

а)	Ц1 = о£, т]2 =	(а, &>С),

б)	т]2 = ^ (а<0<Ь),

в)	П2-Ч2.

\ Т 1	1 V

г)	m --= & — —, т]2 =	— ~2-),

д) 1Ь = sln(f

Па = cosf-С

3.88	°. Пусть (£, г]) — координаты случайной точки,
имеющей равномерное распределение в области D с: /?2
Найти коэффициент корреляции р(£, г|), если:

a)	D — часть единичного круга, лежащая в первом
квадранте: х + у2 С 1, х > 0, у 0.

б)	D — треугольник: х + у С 1, я >0, г/ > 0,

3.89	. Пусть £1, ^2, £п — независимые случайные
величины, имеющие равномерное распределение на от-
резке [0, 1], а £(1) С £(2; ^ ...< £(П) — построенный по
£1, ..., вариационный ряд, т. е. значения .... £п,
расположенные в порядке неубывания. Найти плотность
pt(x) распределения |{, (к = 1, 2, ...), D£(i).

3.90	. Пусть < £(2)	. «S £(п> — вариационный ряд,

построенный по независимым случайным величинам £1,
£2, . • •, £п, имеющим равномерное распределение на от-
резке [0, 1] (см. задачу 3.89). Найти ковариацию и коэф-
фициент корреляции р (£(<), £щ). При каких условиях
1»™ Р(1(Щ Ы = 0?

Г »<х

3.91	\ Доказать, что если случайные величины
£ и г] независимы, М| = Мт| = 0, М|£|3<<ю, М|т]13<
то М(£ + т|)3 = MV + Мць.
3.92	. Случайные величины £ и ц некоррелировапы.
Доказать, что М^т^М^Мт].

3.93	. Случайные величины %, г| и £ попарно некор-
релированы. Верно ли равенство = М£Мг|М£?

3.94	. Случайные величины т], £ имеют нулевые ма-
тематические ожидания, дисперсии о2 и попарно некор-
релированы. Чему равны минимальное и максимальное
значения

3.95	°. Найти ковариационную матрицу случайного век-
тора £ =(В1, £2, Вз), если:

а)	£ь £2, 1з независимы и имеют стандартное нормаль-
ное распределение;

б)	векуор Е, имеет равномерное распределение в кубе
{(^1,-^2, х3): max	)/31;

'	l<i<3	J

в)	вектор £ с вероятностью 1/6 принимает каждое из

6 значений (0, 0, ±73), (0, ±73, 0), (±73, 0, 0).

3.9б	\ Какие из приведенных ниже матриц могут,
а какие не могут быть ковариационными для случайного

вектора £	= (£i> £2»		£з’							
/1 0	0\		/0	1	1\		/ 1  I-1		1	1\
а) 0 1	0 1.	б)	I 1	0	1	1 в) '			1	
\0 0	1/		\1	1	0J	г	’	\-1	—	1	V
/1 1	1\		/1	2	3'	i	1	1	1	—	1\
г) 1 1	1L	д)	2	3	4	1 е) 1	1	1		1
\1 1	V		\3	4	5/		-1	1		1/

/1-1 1\

ж) | — 1 1 — 1 I?

\ 1—1 1 /

3.97	. При каких значениях ж существует случайный
вектор S, —(^i, £2, £з) с ковариационной матрицей:

(1 х х\	1 X — х\

х 1 X	б) ( X 1	а: |?

х х 1 !	\—ХХ 1 /

8.98. Случайный вектор (£], £2, £а) имеет коварна-

У1 !1з °1э i

ционную матрицу I Р12 1 Р23 ! Доказать, что

,₽и Раз 1

I Раз Р12Р23 I ' Р (1	Р12) (1 Раз)*

3.99	. а) Показать, что если распределение случайного
вектора (£ь £2) совпадает с распределением вектора
(-U -h) И Mi;’ + M^<oo, то

cov(U ^) = 2М(^тах(0, £2))’.

б)	Пусть (£t, t]i) и (^2, Л2)—независимые одинаково
распределенные векторы, М 4-ц^) < оо. Доказать, что

cov(£i, rp) = M( (qt - r]2)max(0T £t-£2)).

3.100	. Случайные векторы t = (£п ..., £n) s Rn и £* =
— (ъъ ...,£я)еЯп независимы, М£ = (тг, . .., тнп) = т,
М^* = (m*, . .., тп) = т*, матрицы ковариаций с, и |*
равны о=|(ац|| и <у* = ||а*|| соответственно.

Найти: а) математическое ожидание и дисперсию слу-
чайной величины £ = 4-... + б) математическое
ожидание и дисперсию случайной величины ц=(£, а) =
~	. + а„£„, где fl=(at, ..., ап)—данный неслу-

чайный вектор; в) математические ожидания и ковариа-
ционные матрицы векторов 2;-+-£♦, £ — £*, а 1= + Ьс? (а,
b — постоянные).

3.101	°. Пусть [т] обозначает наибольшее целое число,
не превосходящее х (целую часть аг), а {х}^х — [аг] —
дробную часть х. Доказать, что если случайная величина
Z; такова, что распределение {£} равномерное на отрезке
[0, 1], то

М [С] = м; - 1/2.

3.102	°. Случайные величины |t, £2, ... независимы и

Р(|< = 1} = PU< = -1) = 1/4,
Р{|(= о) = 1/2,	1=1,2,...

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной
величины Sn — £1 + ... 4-

3.103	°. Случайные величины ei, ез, ... независимы и
одинаково распределены:

Р{&< = 0) = Р{ е. = 1} = 1/2,	1 = 1,2......

а = 8j — Ei+2, 1 = 1,2, ...

а)	Показать, что случайные величины б|, 62, ... рас-
пределены так же, как случайные величины £1, £2, ... в
задаче 3.1(12, и что при любом 1 = 1, 2, ... случайные ве-
личины 6i+J независимы, если / > 0 — целое, / ¥= 2.

б)	Найти математическое ожидание и дисперсию слу-
чайной величины /?л = fit + ... + 6n, п > 2.
3.104	°. Случайные величины £i, £2, . независимы и
имеют равномерное распределение на отрезке [0, 1]. Най-
ти математическое ожидание случайной величины

п

Ли= S I £1+1 * I*
i«=l

3.105	°. Найти дисперсию случайной величины т]я, вве-
денной в задаче 3.104. Сравнить ее с иЭ1^2 — £< =
= Щ1£е — £11 + |£а —£з1 + .. .4- |£2п — £2п-11).

3.106	. Случайные величины £i, ..., £и, Ль •••» Л» не"
зависимы. Положим

Сп = £1 + . •. 4~ £п, £п ™ 11Л14- ... 4- £п£п-

Найти M£n, М£*, D£n, cov (£n, £*), если

M£ft = a, D£ft = о2, P{n-=1)=P,
P{rjh = 0) = 7 = 1,-p (& = 1, 2, .. .,n).

3.107	°. В экспедиции, рассчитанной на п дней, еже-
дневно от запаса продуктов нужно отделять соответст-
вующую часть: в 1-й день—1/п-ю часть, во 2-й день —
1/(« —1)-ю часть от остатка и т. д. В действительности
нужная часть продуктов отделяется с ошибкой. 11усть
Ли (к = 1,2, ..., п—1)—часть от остатка продуктов, ко-
торая отделяется в А'-й день. Предполагается, что величи-
ны л» независимы, Мц*! = а* = - д. р Найти математи-
ческое ожидание случайной величины равной части
продуктов, оставшейся к последнему дню:

С ==(1 — Л>) (1 — Ла). • .(1 — Л^-1).

3.108	°. Случайные величины £2, ••• независимы и
имеют одно и то же математическое ожидание а и одну
и ту же дисперсию о2. Положим л<, j = £<“£». Найти ма-
тематическое ожидание и дисперсию случайных величин

£? ) — Л1.2 +	Лзл 4" Лб.в	4-	...	4- Лзп-ьгпд

£п2) = Л1.2 4"	Лг.З 4- Лз,4	4-	...	4- Лп,п + 1,;

Ст = Л1.2 4-	Л1.з 4- Л1.4	4-	...	4- Л1,п+и

£п* — Л1,2 4~	Лг.з 4- Лзл	4-	...	4- Лп—i,n 4- Лпд-

3.109	°. Случайные величины £1, £2, ... независимы и
имеют пулевое математическое ожидание и дисперсию

$ А М. Зубков и др.
о2. Найти математические ожидания и цисперсии случай-
ных величин £пП, С , Йг3), й4>, определенных в задаче
3.108, если т](, , =

3,110	°. Решить задачу 3.109 в случае, когда

независимы и имеют равномерное распределение па от-
резке [0, 1].

3.111	’. Решить задачу 3.109 б случае, когда £>,	...

независимы и имеют математическое ожидание а п дис-
персию п2,

3.112	. Случайные величины |i, g2, ... независимы

=	0, D£t = о2 < оо, 1 = 1,2, ... Найти математическое
ожидание и дисперсию случайных величин

<1	~ Si + .. и Тп — Svj I- By, + ... +

где vi, v?, ...— независимые п не зависящие от £2, . . •
случайные величины, имеющие равномерное распределе-
ние на множестве (1, 2, ..., к}.

3.113	. Обозначим через 0, число циклов длины г в
подстановке, случайно выбранной из множества всех п\
подстановок степени п. Найти: a) MOt, Dth; б) Mfh;
в) М0г 1).

3.114	°. В урне содержится М\ шаров с номером 1,
шаров с номером 2, ..., Мя шароь с номером /V. По
схеме случайного выбора без возвращения выбирается п
шаров. Найти математическое ожидание числа вепоявив-
шнхся номеров.

3.115	’. Из урны, содержащей М белых и N — М чер-
ных шаров, по схеме выбора без возвращения извлекает-
ся выборка объема п. Число белых шарол £ в выборке
имеет гипергеомстрическое распределение: Р — т} в
tn

_ м ^~M. Найти М£ и Dg,

с N

3.116	°. В N ячейках случайно размещаются п частиц.
Каждая частица независимо от остальных с вероятностью
1/7V может попасть в любую фиксированную ячейку.
Обозначим через ро(^, Д') число пустых ячеек. Найти
Мцо(и, N), Dpo(«, W) и асимптотические формулы для
них при п, N -*• n/N a s (0, °°).

ЗЛ17”. Пусть выполнены условия задачи 3.116 и
рг(л, Л7)— число ячеек, в которые попало ровно г частиц.
При г — 1, 2, ... найти Мр, (л, N) и асимптотические фор-
мулы для МрЛ(п, Л7) при г = const, п,  -> со, n/N -*as
е(0, ~).
3.118	°. В группе учится 25 студентов. Предполагая,
что дни рождения студентов независимы и равномерно
распределены по 12 месяцам года, найти математическое
ожидание числа ц, тех месяцев, на которые приходится
г дней рождения, для всех таких г, что Мцг>0,01.

3.119	. По Д' ячейкам случайно размещаются п нераз-
личимых частиц (см. задачу 1.52). Все размещения пред-
полагаются равновероятными. Обозначим через р.г число
ячеек, содержащих ровно г частиц. Найти Мцг и асимп-
тотические формулы для Мцг при п, Л -* оо, n/N -* а е
е(0, ос-). Сравнить с результатами задач 3.116 и 3.117.

3.120	'. Пусть <—число появлений /-го исхода в п
независимых испытаниях с N несовместными исходами и
вероятностью pj появления /-го исхода в s-м испытании
(/ = 1, ../V; s = 1, ..., п\ pi + р№ 1). Найти:
а) М£п,<; б) D£„.(; в) cov(Bn3, £n>j) (i¥=/).

3.121	. Сопоставим описанной в задаче 3.120 последо-
вательности п независимых испытаний процесс, размеще-
ния п частиц по N ячейкам, интерпретируя появление
7-ю исхода в /с-м испытании как попадание /с-й частицы
в /-ю ячейку. Обозначим через	/ц, ..., pN) чис-

ло ячеек, в которых после размещения п частиц оказа-
лось ровно по г — 0, 1, ... частиц. Найти: а) Мщц б) Мцг;
в) min Мц0(м; р(, .. ., рЛ).

3.122	°. В N ячейках последовательно размещают ча-
стицы. Каждая частица независимо от остальных попа-
дает в любую фиксированную ячейку с вероятностью i/N.
Обозначим через vA минимальный номер частицы, после
размещения которой число занятых (т. е. не пустых)
ячеек станет равным к. Найти MvA, Dvh и асимптотиче-
скую формулу для Mvw при N -* оо,

3.123	. По маршруту ходит ’ автобусов без кондукто-
ра. В каждом автобусе имеется касса, в которой перед
выходом в рейс было г билетов. Всего эти автобусы пере-
везли п пассажиров. Найти математическое ожидание
числа £ пассажиров, которым не досталось билетов, пред-
полагая, что каждый пассажир независимо от остальных
может сесть в любой из автобусов с одной и той же ве-
роятностью 1/7V.

3.124	°. Из 30 чисел (1, 2, ..., 29, 30) по схеме равно-
вероятного выбора без возвращения отбирается 10 чисел.
Найти математическое ожидание суммы выбранных чисел.

3.125	. В схеме Бернулли р — вероятность исхода 1
и q — 1 — р — вероятность исхода 0. Будем считать, что
6*	83
при г-м испытании (i>2) появилась цепочка 00. если
при (/ — 1)-м и при г-м испытаниях исходами были нули.
Найти формулы для математического ожидания и диспер-
сии числа цоо появлений цепочек 00 в п испытаниях
(«-*<»). Сравнить их с формулами для математического
ожидания и дисперсии числа рв появлений исхода 0 в
п— 1 независимых испытаний Бернулли, когда вероят-
ность исхода 0 равна q2.

3.126	°. В схеме Бернулли задачи 3.125 найти форму-
лы для математического ожидания и дисперсии числа put
появлений цепочки 111. (Цепочка 111 появляется при i-м
испытании, если исходами (г—2)-го, (с—1)-го и t-ro ис-
пытаний были единицы.) Сравнить их с формулами для
математического ожидания и дисперсии числа pi появ-
лений исхода 1 в п — 2 независимых испытаниях схемы
Бернулли, когда вероятность исхода 1 равна р3.

3.127	°. Пусть проведено п испытаний по той же схеме
Бернулли, что в задачах 3.125 и 3.126. Назовем серией
единиц цепочку исходов последовательных испытаний
вида 011. ..110 (при этом считается, что исходами до-
полнительных испытаний с номерами 0 и п + 1 были ну-
ли). Пусть т|п — число серий единиц. Найти: а) Р{ть = 0};
б) Р{цп==1); в) г) lim п~Ют]п.

3.128	. На бесконечный лист клетчатой бумаги (сто-
рона клеточки равна 1) случайно бросается круг единич-
ного радиуса. Считая, что центр круга равномерно рас-
пределен на том единичном квадрате, па который он по-
пал, найти математическое ожидание числа g точек с
целочисленными координатами (х, у), покрытых этим
кругом.

3.129	*. Каждую целочисленную точку числовой оси
независимо от остальных назовем белой с вероятностью р
и черной с вероятностью q — i—p. Пусть S — множество
всех таких целочисленных точек ж, что расстояние от х
до ближайшей черпой точки (включая ж, если точка х
черная) не меньше расстояния от х до начала коорди-
нат. Найти математическое ожидание чпсла 151 элемен-
тов множества S.

3.130	*. Точки G, ..., Сч независимы и имеют равно-
мерное распределение в круге К с центром О и радиу-
сом 1. Пусть случайное множество А состоит из тех и
только тех точек круга, которые находятся ближе к цент-
ру О, чем к границе круга и к любой из точек Ci, ..., С,,,
Найти математическое ожидание площади £ множества Л.
3.131	. На плоскость независимо брошено  кругов ра-
диуса гЛ- так, что центры этих кругов равномерно распре-
делены в круге радиуса 1. Обозначим через площадь
множества точек плоскости, покрытых ровно тп кругами.
Найти

lim ——, если	С оо.

К-»оо П

3.132	. Случайная величина £ принимает только це-
лые неотрицательные значения. Доказать, что

М5= s

Ь=1

3.133	. Случайная величина | принимает только це-
лые неотрицательные значения. Доказать, что для лю-
бого целого к > 2

Mg (I - 1) ... (| - к + 1) = к nl*-np {£ > н}.

П-—1

3.134	. Пусть 41, Яг, ...— совокупность событий, %,—
индикатор события At (i = 1, 2, ...), т. е.

 1, если событие 4, происходит,

— ( 0 в противном случае,

и | = Xi + Ха	.— число одновременно происходящих

событий из 41, 4г, . •. Доказать, что

= м 2 Р{А< Аг • ••	=

= S p {хц ••• =Xift=s1].

3.135*	. Неотрицательная случайная величина | имеет
функцию распределения

F(z)=P{£^z}.

Доказать, что

М£ — J (1 — F (ж)) dx.
о

3.136.	Случайная величина | имеет функцию распре-
деления F (х) = Р{$ < я). Доказать, что если М||| <
то

М£ = 1 (1 — F (a;)) dx — F (х) dx.
о	—ос
3.137.	Неотрицательная случайная величина £ имеет
функцию распределения F(z)= Р{| < z}. Доказать, что
для любого действительного а 'А О

М£а = | а | J ха~г (1 — F (z)) dx.
о

3.138.	Случайная величина £ имеет функцию распре-
деления F(x) = Р(£ < л). Показать, что если

F_] (г/)— sup {z: F(z)^y),
то для любой интегрируемой функции h(x)
1

М/г (g) = j h (Р_г (г/)) dy,
и

При решении задач 3.139—3.143 можно использовать
следующее простое замечание.

Если случайные величины £i, ..., £п независимы и
одинаково распределены, а число к < п, то наборы
Ц, Цт ....	1 С й < i2 < ... < г\ п, одинаково

распределены и для любой измеримой функции /(zb ...
..., xh) случайные величины Цц......ц в / (£1^ • • •,

где 1 < й, • •ir ¥= it (r^s), тоже одинаково рас-
пределены.

3.139.	Пусть вероятностное распределение Р на пло-
скости R2 таково, что если точки Х\, Хг, Хзе Я" неза-
висимы и имеют распределение Р, то

Р{Х], Хг, Хз лежат на одной прямой} = 0.

Найти математическое ожидание угла Х1Х2Х3.

3.140*	. Случайные точки Л1, Аг, 4з, Ai независимы
и имеют равномерное распределение в выпуклой плоской
фигуре С с R2, площадь которой равна 1. Доказать, что
вероятность того, что выпуклая оболочка точек Л1, Аг,
Аз, А 4 есть треугольник, в 4 раза больше математиче-
ского ожидания площади треугольника Л14г*4з.

3.141*	. Пусть вероятностное распределение Р на пло-
скости R2 таково, что если точки Хц Хг, Xj^/i неза-
висимы и имеют распределение Р, то

Р{Xi, Х2, Хз лежат на одной прямой} = 0.

Показать, что если точки Xi, Хг, Х3е F' независимы и
имеют распределение Р, то

Рз = Р{один из углов ДХ1Х2Х3 не меньше 120 ) > 1/20»
3.142*	. Пусть вероятностное распределение Р на пло-
скости такое же, как в задаче 3.141. Показать, что если
точки Xi, Хг, Хз, Х4 е /?2 независимы и имеют распреде-
ление Р, то

Р4 — Р (Xi, Х2, Хз, Х4 образуют

выпуклый четырехугольник) > 1/5.

3.143.	Независимые случайные величины £i, |2, •••» о»
положительны и имеют одинаковое невырожденное рас-
пределепие. Обозначим Т]а = — --------. Найти: а) ма-

f I •  " । «л

тематическое ожидание б) коэффициент корреляции
Л» и тр; р) коэффициент корреляции rji + ... + т]* и
Т]1 + ... + тр.

3.144.	Из урны, содержащей М белых и N — М чер-
ных шаров, по схеме случайного выбора без возвраще-
ния вынимаются все шары. Обозначим ti число шаров,
извлеченных до появления 1-го белого шара (включая
этот шар), т< — число шаров, извлеченных после (i — 1)-го
белого до появления 2-го белого включительно, tm+i —
число шаров, извлеченных после Л/-го белого шара. Най-
ти Мт,.

3.145.	Обозначим через 5(Л1, ..., Лл) площадь выпук-
лой оболочки точек Лц . . ., ЛА /?2. Установить тожде-
ство

25(Ль Л2, Лз, Л4)в

= 5(Л., Л2, Л3)+5(Л!, Л2, Л4)+£(Л1, Лз, Л4) +

+ 5(Л2, Лз, Л4)

и вывести из него, что для независимых одинаково рас-
пределенных случайных величин |2, £3, S4 е №

М5(^, U Ъ, ^)=2М5аь ^2, £3).

3.146.	Случайные величины £, г| (возможно, зависи-
мые) обладают конечными дисперсиями: '	Qq =

•«а’. Указать пределы, в которых может изменяться
D(| + n).

3.147.	Пусть ё =(gi, ..£*)<= /?* — векторная случай-
ная величина. Доказать, что если М||,-| < <», г = 1, ..., /с,
то

!м$!

где|я| = । ^ + ... + 4 при х = (хь ..xh) е= Rh.
3.148.	Пусть £ = £ + ir] — случайная величина, при-
нимающая комплексные значения. Доказать, что если
М|£| < ос, Mil-]! < °0, то lM£I С MICJ.

3.149.	Показать, что если £ и ц — независимые слу-
чайные векторы в /?’, а (х, у) = х\у\4-... + xdyd—ска-
лярное произведение векторов a;=(zi, ..., xd) и у =
= (1/1, Ун), то

М(|, п) = (М£, МП).

3.150.	Пусть £i, ^2, • .— случайные величины с
нулевыми математическими ожиданиями и единичными
дисперсиями. Доказать, что если все эти величины оди-
наково коррелированы, т. е. р(£0 ^) = С при любых /,
j е {1, ..., п), i ¥= 7, то --— •

Д — 1

3,151.	Доказать, что если Ml£lh < со, то
lim { | £ 12^ rr} = 0.
Х^ОС

3,152.	Показать, что если £ — действительная случай-
ная величина с конечным математическим ожиданием и
/(я) —- функция, выпуклая вниз, то

М/(£)>/(М£),

а если f(x) выпукла вверх, то

3.153.	Показать, что для любых случайных величин
11, ^2, ..., с конечными r-ми (г>1) моментами спра-
ведливо соотношение

М|^ + ... +|АГ С F"1 (М1^Г + ... + MIU')'.

3.154.	Доказать, что при 1 С г «3 2 справедливо не-
равенство

1л: + г/|г + |л — у\г 2(ЫГ + lylr)\ —оо<^, у < <ю,
и с его помощью показать, что если случайные величи-
ны £ и г] независимы и распределение т| симметрично
(т. е. распределения г) и —т] совпадают), то при любом
г, 1 г 2,

Ml^ + pl' СМ|^1г + М|ц|г.

3.155.	Показать, что если случайные величины |i, ...
..., независимы, имеют симметричные распределения
и M|g4|r<«>, i = l, ..., п, для некоторого г е [1, 2], то

MlB14-... + £n|'^Ml£1l*4-... + M|£j'.
3.156*	. Показать, что если случайные величины | и
I] независимы, Мц = О, и М|£|г<о°, М|ц|г<ос для не-
которого действительного г > 1, то

3.157.	Используя задачи 3.153—3.156, доказать, что
если £i, ...,	— независимые случайные величины,

M£i = 0, MlgJr<oo, i — 1, ..., п, для некоторого г, 1 С
г С 2, то

м|^ +... +BJ' < 2- (МI в, I - +... + MIU’)’.

3.158.	Случайный вектор	..., £Л) принимает

значения а У?", и существует такой набор чисел

(«о, ai, ..сд)^(0, 0, ..0),

что P{aiE,i +... +	+ a0 = 01 = 1. Доказать, что если все

элементы матрицы ковариаций В — Нсг^И компонент век-
тора £ конечны, то:

а)	det В = 0;

б)	(an ..., afc) В = (В (an ..а*)’г)т = 0, где т — знак
транспонирования.

3.159.	Случайный вектор £=(£i, ..., |ft) принимает
значения в У?Л и имеет математическое ожидание т е RK
и матрицу ковариаций В = IIfrjl. Доказать, что:

а) матрица В неотрицательно определена, т. е.

А

2 b^a^j•,= (а, Ва)^0 для любого ае/Г;
ij=l

б)* если ранг матрицы В равен г, то существует
r-мерная гиперплоскость LT <= R\ для которой е
е LT} — 1, и Pig е Lr-\} < 1 для любой (г—1)-мерной
гиперплоскости Lf_\ с R\

3.160.	Случайные величины £i, £2, ...» £я независимы
и равномерно распределены в отрезке [0, 1]. Найти
Р{^ + Ь +	Я при 0Ся<1.

3.161.	Случайные величины |i, £2, ... независимы и
равномерно распределены в отрезке J0, 1]. Определим
случайную величину v равной тому значению /с, при ко-
тором впервые сумма Bi-Ь £? + ... +E,ft превзойдет 1.
Найти Mv.

3.162.	Случайные величины |i, ..., |п независимы;
!)£, = Gj, i = 1, ..., п. При какпх cj, .. ., сп, удовлетво-
ряющих условиям Сц 0. ci 4-... + сп = 1, случайная ье-
личина г]л = cigi 4- cn|n имеет минимальную диспер-
сию? Найти минимальную дисперсию.

3.163.	По известному «правилу трех сигм» вероят-
ность отклонения случайной величины от своего матема-
тического ожидания белое чем на три корня из диспер-
сии мала. Найти РЩ — M£l<3/D£}, если £ имеет:

а)	нормальное распределение;

б)	показательное распределение;

в)	равномерное распределепие па отрезке [—1, 1];

г)	Р{£ = -О = Р{£ = 11 = 1/18, р{| = 0) = 8/9;

д)	распределепие Пуассона с М£ = 0,09

3.164,	Вычислить математическое ожидание и диспер-
сию определителя Д = I lol	элементы которого

— независимые случайные величины с = 0 и
= о2.

3.165.	Пусть матрица 2 = I	где ...,	—

независимые случайные величины, имеющие симметрич-
ные распределения (т. е. распределение совпадает с
распределением —1=1, ..., п). Показать, что если
ЛА l^r I * < °°, г = 1, ..., н, для целого к > 1, то ME* — диа-
гональная матрица.

3.166.	Неотрицательная случайная величина В имеет
монотонно убывающую выпуклую вниз плотность рас-
пределения /(х), f" (я)>0. Что можно сказать о знаках
величин М sin %, М cos £?

3.167.	Обозначим т]„ = max {цп, п — где р„ — чис-
ло успехов в схеме Бернулли с п испытаниями и с ве-
роятностью успеха р, Найти Jim nU1Mi]n,

3.168.	По последовательности £|, £2, ... испытаний
Бернулли (Р{£« *= 1} = р > О, Р{£, = 0) = q = 1 — р > О,
£1, £2, • •  независимы) построим последовательность пар
£2), (£3, £4), ... п вычеркнем из этой новой после-
довательности все пары вида (0, 0) и (1, 1). Для к =
— 1, 2, ... положим т]* равным первому члену /с-п не-
вычёркнутой пары.

а)	Показать, что тр, ца, ...— последовательность не-
зависимых случайных величин, Р{т]й = 01 = P{r|fc = 1) =
= 1/2, к = 1, 2, ...

б)	Найти математическое ожидание числа v членов
исходной последовательности, использованных для того,
чтобы определить значение тц.

3.169.	По той же последовательности £2, ..., что
в задаче 3.168, построим последовательность троек
(sn ь2, 1з), (ъ4, Is, Вб), ... и вычеркнем из нее все трой-
ки вида (О, О, 0) и (1, 1, 1)'. Для к — 1, 2, ... положим
т]й равным 1, 2 или 3 в соответствии с номером того
члена /с-й невычеркнутой тройки, который отличается от
двух остальных.

а)	Показать, что Г|», г|2, ...— последовательность не-
зависимых случайных величин, Р{т]л = Д == 1/3, i = 1, 2,
3, для к ~ 1, 2, ...

б)	Найти математическое ожидание числа членов ис-
ходной последовательности, использованных для того,
чтобы определить значение тр.

3.170°	. В партии п изделий, каждое из которых не-
зависимо от остальных с вероятностью р удовлетворяет
стандарту, а с вероятностью q — 1 — р — не удовлетво-
ряет ему. Изделия проходят проверку, описанную в за-
даче 2.24. За каждое изделие, удовлетворяющее стандар-
ту и прошедшее проверку, предприятие получает а руб.;
за изделие, прошедшее проверку, но не удовлетворяющее
стандарту, уплачивается штраф Ъ руб; за изделие, не про-
шедшее проверку (забракованное), уплачивается штраф
с руб. Найти математическое ожидание прибыли пред-
приятия, полученной за партию из п изделий.

3.171.	Координата £ случайной точки А на действи-
тельной прямой имеет непрерывную функцию распреде-
ления. Найти на этой прямой такую точку В, для кото-
рой математическое ожидание длины отрезка А В мини-
мально.

3.172.	Случайные величины т| имеют непрерывную
двумерную плотность распределения. Как выбрать точку
В = (х, у)еЯ2, чтобы величина ф(я,	+

i+ Iт| — y|} была минимальной?

3.173.	Случайная величина £, имеет конечный второй
момент М£2. Найти minM(£— х)2 и то значение х, при

X

котором этот минимум достигается.

3.174.	Математическое ожидание квадрата расстояния
случайной точки X е В2 от начала координат конечно.
Для какой точки А минимально Ml А XI2?

3.175*	. Уровень весеннего паводка на реке является
случайной величиной | с непрерывной функцией распре-
деления F(x) = Р{£ < х). Плотина рассчитана так, чтобы
выдерживать паводок уровня не выше z. Предполагая,
что уровни паводков в разные годы независимы и оди-
наково распределены, найти:

а)	минимальное значение z, при котором математи-
ческое ожидание времени до разрушения плотины па-
водком будет не меньше Т = 100 лет;
F

б)	минимальное значение z, при котором вероятность
разрушения плотины паводком за Т = 100 лет будет не
больше а = 1/100.

3.176*	. Наблюдения за уровнями весенних паводков
в течение Т лет дали значения £i, ..., |г- На реке по-
строена плотина, которая может выдержать паводок,
если только его уровень не превосходит £г = max Ub • • •
.... £г}. Пусть тг = min (t: |r+e >	— время до разру-

шения плотины паводком. Предполагая, что случайные
величины £2, ••• независимы и имеют одну и ту же
непрерывную функцию распределения, найти формулы
для Мтг, PItjsCu} и численные значения этих величин
при Т = 100, и = 10.

3.177.	Случайные величины £i, Вз независимы и
имеют одно и то же распределение с конечным матема-
тическим ожиданием, £(ij < £(2> С £{з> — их вариацион-
ный ряд (см. задачу 3.60).

а)	Доказать, что

ч

М|£, -1.

б)	Доказать, что

ЛА {min (£(2) — £(1), £(3) — |<2))} < м 1	— В21-

3.178.	Будем говорить, что случайная величина | со-
средоточена па отрезке [а, д], если Р{а < | < Ь} — 1 и при
любом е > 0

P{tz < £ < а + е) > 0 и PU-e<^M>0.

Доказать, что дисперсия случайной величины, сосредото-
ченной на отрезке длины I, по превосходит Z2/4.

3.179.	Доказать, что если случайные величины гр, т|2
независимы и ц{ сосредоточена на отрезке длины ?>, i ~
ж 1, 2, то сумма гр +1)2 сосредоточена па отрезке длины
I = h -I-12.

3.180.	Говорят, что случайная величина | имеет без-
гранично делимое распределение, если при любом нату-
ральном п ее можно представить в виде суммы ..
... + £„ независимых одинаково распределенных случай-
ных величин. Доказать, что невырожденное безгранично
делимое распределение не может быть сосредоточено на
конечном отрезке.

3.181.	Пусть события Л1, А21 ..., Ап таковы, что
Р{Д) = р, г = 1, ..п, и событие В.п = {происходит не
92
менее т из событий Л1, .4„). Показать, что

Гл Я/?— ffl 4-11	L r‘P]

max J 0,----—- у	P {Bm} <mjn 1, — k

I ’ n — m -f- 1 !	1 J	I’m]

3.182.	Случайная величина имеет функцию распре-
деления F} (ж) = P{^i < Н, а случайная величина В?—
функцию распределения Fzfx). Доказать, что если
Fi{x)^Fz(x) при всех я—(—°°, °°), то MEji > М£з-

3.183.	Случайные величины £ и г) заданы на одном
вероятностном пространстве. Описать множество возмож-
ных значений Р{£ < тр в следующих случаях:

а)	ME, = 1, М>1 = Ю;

б)	£ ц р одинаково распределены;

в)	£ распределена равномерно на [0, 1], а г| — равно-
мерно на [0, а], а=# 1.

3.184.	Случайные величины | и т) имеют равномерное
распределение на отрезке [0, 1]. Доказать, что при любом
характере зависимости между £ и р

М|§ - т]1 <1/2.

3.185.	Случайные величины | и т] независимы и име-
ют равномерное распределение на отрезке [0, 1], а слу-
чайная величина £ удовлетворяет условию

Р(£ = |}М Р{£ = ц} = 1/2.

Указать совместные распределения £, г), £, при которых
достигаются экстремальные значения Mt, п найти мак-
симальное и мипимальпоо возможные значения М£.

3.186.	Случайная величина £ имеет непрерывную
функцию распределения F(x), случайная величина %
принимает только значения 0 и 1: Р {х =!)=«,
— 01 = 1 — а. Указать совместные распределения и %,
при которых достигаются экстремальные значения АА£,х>
и найти эти экстремальные значения.

3.187.	Случайные величины | и Т| независимы и име-
ют равномерное распределение на отрезке [0, 1], а слу-
чайная величина £ удовлетворяет условию

Р{£ =	== р < 1/2,	Р{£ = п} = 1 -р.

Указать совместные распределения -ц, %, при которых
достигаются экстремальные значения М£, и найти эти
экстремальные значения.

3.188.	а) Векторы £ = (Ед, £2) и ц = (тр, ц?) незави-
симы и cov(£i, £2) =#= 0, cov(t]i, 42)^0. Могут ли комно-
ненты £i 4- г)। и + ф вектора g + ц быть некоррелиро-
ванными?

б) Векторы £=(£|, £2) и ц =(Ль ф) независимы и
имеют зависимые компоненты:

PUi & С х2) г Р{£| <31}Р{£?<я2},

Р { П [ Х|, Т|2 < #2} Р{ П 1 <	Р{Г|2

Могут ли быть независимыми компоненты + т]| и £2 +.

4- т|2 вектора £ 4- д?

§ 3. Условные распределения

3.189°. Случайные величины с и ц независимы;

Р{Е, = к} = Р(г) = к} — рдк~',
q = 1 — р, 0<р<1,	А'=1,2,...

Найти:

а) Р1£ = Т|>; б) Р(|>п); в) Р^Сг,);

г)Р(£ = Щ>11); д) РК-Ш<П>;

о) Р{£ = Л:|£ - г)}; ж) Р{£ = А|£ 4- т) = П;

з)	M(^i£ + q=/}, I > 2.

3.190	. Найти распределение целочисленной неотри-
цательной случайной величины *, если:

а)	Р{0<£<оо) = 1,	P{|=4 + llB>fc}=p, к —

= 0, 1, ...;

б)	Р{£>0} = 1, PU = /f + 1|£е {Ат, к + ID = с< 1/2,
А = 0, 1, ...;

в),Р {£ > 0} = 1, Р = к + 11	{А, к + 1)НИ /+1-

г > 0, к = 0v 1, ...

3.191°	. Случайные величины ц независимы и оди-
наково распределены. Найти условную плотность
Рщ+п=г(я) распределения В при условии £ + ц = z в сле-
дующих случаях: а) g и ц имеют показательное распре-
деление с плотностью р (я) = ке~Ух, аг>0; б) £ и ц рав-
номерно распределены в [0, 1]; в) £ и ц имеют распре-
деление с плотностью к2хе~Кл, х 0.

3.192°	. Найти условную дисперсию D(|l£ + т] = г) в
случаях а), б), в), определенных в предыдущей задаче.

3.193'	. Случайные величины ц независимы и оди-
наково распределены. Найти ЛЛ (£|£ + ц = z). Разобрать
отдельно случаи, когда g имеет дискретное распределе-
ние или положительную плотность.

3.194°	. Плотность совместного распределения величин
т] определяется равенствами: рь.л(и, v)=l при (u,
^G,

<2,

(u, p) G, где G = Hu, u): 0 и <1
Найти плотность pnlt=rx(x) услов-

Pu(u, p) = 0 при
0 < v < 1---2' u {•

ного распределения т) при условии £ = z.

3.195.	Пусть £i, |t, .— результаты n последова-
тельных испытаний Бернулли, Р{£< = 1} = р7 Р{^ = 0} =
= g = 1 — р. Доказать, что для любого к (0 к^ п) ус-
ловное распределение набора	|п) при условии

|1 + ... + |п = А? является равномерным на мноягестве
всех С,, наборов, состоящих из к единиц и п— к нулей.

3.196.	Случайная величина Х\ имеет биномиальное
распределение с параметрами (л, />), случайная величи-
на Х'2 при условии Xi имеет биномиальное распределе-
ние с параметрами (Х\, р), Хз — при условии X? имеет
биномиальное распределение с параметрами (Х%, р), ...

Xh при условии имеет биномиальное распределе-
ние с параметрами (Xft_i, р). Доказать, что безусловным
распределением Xk является биномиальное распределе-
ние с параметрами (и, /?).

3.197.	Случайные величины £],	;.v независимы

и распределены по закону Пуассона с параметрами
Х2,	Найти: a) ?Ui + ... + - т\+ .., +	=

»п); б) М(|1 + ... + ад|^, + ... + ВЛ=п}.

3.198.	Из урны, содержащей М белых и N — M чер-
ных шаров, сначала извлекается без возвращения выбор-
ка объема п, а затем из этой выборки извлекается без
возвращения выборка объема по < п. Найти закон рас-
пределения числа * белых шаров во второй выборке. За-
висит ли этот закон от л?

3.199.	Случайные величины |i, :з, |з независимы и

распределены
а = 0. о = 1;

нормально с одинаковыми

положим Т]

Найти

Vi + 53

параметрами

распределе-

ние Т].

3.200.	На отрезок [0, а] брошено три точки, их коор-
динаты |i, |з независимы и равномерно распределены
на отрезке [0, а]. Найти двумерную функцию распреде-
ления $2, |з при условии, что £1 = z С пли {^2, |з), 0 <
< z < а.

3.201*	. Пусть It =(|п, I12), ...» |n=(|ni, |п2)—неза-
висимые случайные точки, имеющие равномерное рас-
пределение в квадрате 0 С xi, х2 < 1. Назовем точку =
= (|щ, |«,з), граничной, если для любого j = 1, ..., п вы-
пилняется хотя бы одно из условий
tjl	В/2 с £.2,

и обозначим через хп число граничных точек. Найти Мип.

3.201'	. Пусть £2, ...— последовательность незави-
симых одинаково распределенных случайных величин с
математическим ожиданием а>0 и дисперсией о2 < °°,
случайная величина v не зависит от $•], |2, ... и прини-
мает целые положительные значения, Mv — Ь, а

т =	+ |2 + ... + Bv.

Найти Мт и (при дополнительном условии Dv = 62) Dr.

3.203.	Случайные величины £, ц независимы. Дока-
зать, что при любом х

Р{£ > тах(т], х)} > Р{* > т]}Р{| > х).

3.204.	Случайные величины |, тр £ независимы. До-
казать, что

PU >шах(т], £)) > PU > ц}РЦ >

3.205.	Случайные величины £|, |2, ... независимы и
имеют равномерное распределение на отрезке [0, 1].
Пусть б; = 1, и если 2, то

( 1 при ~n < min {Si, ..., 5n-i},
I 0 в противном случае.

Построим последовательность тА моментов появления ми-
нимальных значений £п и последовательность их величин
Пл, т. е. положим г.) — 0, r)o = l, r* = min{zi: и > т»-ь
= 1), цА — к = 1, 2, ...

а)	Доказать, что при любых к > 1 и х е [0, 1] услов-
ное распределение цА при условии тр-1—з: является рав-
номерным па [0, х].

б)	Найти математическое ожидание и дисперсию слу-
чайной величины = —In цА.

в)	Найти условное распределение, математическое
ожидание и дисперсию случайной величины Ай = тА —
— Tfi-1 При УСЛОВИИ T]ft—1 = х.

г)	Найти Мт„ при 1.

д)	Доказать, что случайные величины 6[, 62, ... не-

зависимы и Р {бп — 1} = —, n = 1, 2, ...

3.206.	Пусть £2, ...— независимые случайные ве-
личины, имеющие показательное распределение с пара-
метром А: Р{£< t) = 1 - е'” и S0 = 0, Si = Sb & =•
96
=	+ ^2, ... Пусть, далее, случайные величины Ч.

£2, • •независимы, имеют равномерное распределение
на отрезке [0, al, а > 0, и fco» < £<2»	< £(П) — их ва-

риационный ряд, т. е. перестановка £|, ..., в порядке
неубывания. Доказать, что условное совместное распре-
деление (5i, S2, .. >» 5П) при условии Sn^a<Sn+i сов-
падает с совместным распределением (£(1), $<2>, .. ., £(«>).

3.207.	Случайная величина £ имеет нормальное рас-
пределение с математическим ожиданием 0 и дисперси-
ей ст2. Показать, что при любых х > 0, С > 0

• '	I J

3.208.	В схеме Бернулли с вероятностью р исхода 1
и вероятностью q = 1 — р исхода 0 найти математиче-
ское ожидание числа voo испытаний до первого появле-
ния цепочки из двух нулей. В частности, вычислить
Mvqo при р = 1/2.

3.209,	В схеме Бернулли предыдущей задачи найти
математическое ожидание числа vjh испытаний до пер-
вого появления цепочки из трех единиц. В частности,
вычислить это математическое ожидание при р = 1/2.

3.210.	В схеме Бернулли задачи 3.208 найти матема-
тическое ожидание числа voi испытаний до первого появ-
ления цепочки 01. В частности, вычислить это матема-
тическое ожидание при р = 1/2.

3.211.	Точки 1|, Аг, ..., Ап независимы и имеют рав-
номерное распределение на окружности единичной дли-
ны. Найти вероятность того, что длппа наименьшей ду-
ги, содержащей все эти точки, не больше х < 1/2.

3.212.	Точки 41, ..., Ап независимы я имеют равно-
мерное распределение на окружности S с центром О.
Найти вероятность того, что О лежит внутри выпуклого
многоугольника с вершинами А}, ..., Ап.

3.213.	Точки Л], . .., Ап независимы и имеют равно-
мерное распределение на окружности с центром О,
а случайная величина v равна наименьшему п, при ко-
тором выпуклый многоугольник с вершинами At, . .., Ап
содержит О. Найти Mv и Dv.

3.214.	Точки At, . . ., Ап независимы и имеют равно-
мерное распределение на окружности радиуса R. Найти
вероятность того, что выпуклый многоугольник с вер-
шинами At, ..., Ап имеет непустое пересечение с окруж-
ностью радиуса г = R/2, концентричной исходной окруж-
ности.

7 а. М. Зубков и др.

97
3.215.	Точки .., Ап (п > 2) независимы и име-
ют равномерное распределение на окружности радиуса
г. Пусть Ли) == Л5, А(2), Л(зь ..Л(п) — точки Ль ..Ап,
расположенные в том порядке, в котором они встреча-
ются при обходе окружности по часовой стрелке. Найти
закон распределения длины £ дуги	и значения

Mg, Dg;

3.216.	Пусть выполнены условия задачи 3.215 я g( —
длина дуги Л(^Л(<+|). Найти совместное распределепие л
коэффициент корреляции gi, £г.

3.217.	Пусть выполнены условия задачи 3.216. Найти
закон совместного распределения gi, ..., g, при к п.

3.218.	Пусть выполнены условия задачи 3.216. По-
казать, что совместное распределение	с

1	С и < i2 < ... h я совпадает с распределением
11» • • gfc-

3.219.	Пусть выполнены условия задачи 3.216 и v —
число дуг Л(<)Л(<+1> длины больше Л, О «S Д < 2лг. Найти
Mv, Dv и асимптотические формулы для них при г =
= и/2лХ, п -> ои.

3.220.	Пусть выполнены условия задачи 3,216. Най-
ти закон распределения случайной величины

T|n = max{gi, ..., gj.

3.221.	Пусть выполнены условия задачи 3.220. Найти
Мц„ и асимптотическую формулу для Мц„ при п -*

3.222.	Точки А, В, С независимы и имеют равномер-
ное распределение па окружности единичного радиуса.
Пусть 5—площадь &АВС, р — его периметр, г—ради-
ус вписанного круга. Найти М5, Мр, Мг.

3.223.	Стороны прямоугольника ABCD параллельны
осям координат. Найти математическое ожидание пло-
щади о прямоугольника ABCD в следующих случаях:

а)	координаты (аь а2) точки А фиксированы, 0<ai,
«2< 1, а точка С имеет равномерное распределение па
диагонали единичного квадрата, соединяющей его вер-
шины (0, 0) и (1, 1);

б)	точки А и С независимы; точка А равномерно рас-
пределена в единичном квадрате [0, 1] X [0, 1], а точка С
имеет то же распределение, что в п. а).

3,224*	. Батарея из п орудий производит залп по цели,
находящейся в точке а&(—&□), Если i-e орудие на-
ведено на точку {},<=(—оо, оо), то выпущенный из него
снаряд попадает в точку + j, + g, где — естественное
рассеяние для i-ro орудия, а £ — одинаковый для всех
орудий снос из-за ветра. Цель оказывается пораженной,
если хотя бы один снаряд попадает на отрезок [а — е,
а + е]. Пусть £i, ,.—независимые случайные ве-
личины, имеет равномерное распределение на отрезке
[—с, с], а £ — равномерное распределение на отрезке
[—d, d], 0 < с < d. Найти и сравнить вероятности пора-
жения цели (и их пределы при «-*<») в следующих
случаях:

а)	все орудия точно наведены па цель — ^2 = . ..
... —	= а, с 4- е < d);

б)	точки прицела выбираются случайно (Pi, ..., рп —
независимые случайные величины, имеющие равномер-
ное распределение на отрезке [а — Ь, а + £], b > с + d + е) .

§ 4. Нормальное распределение

3.225°	. Случайная величина | имеет нормальное рас-
пределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией
1. Какое из двух событий: {|£| ^0,7} или {|Е-|>0,7} —
имеет большую вероятность?

3.226°	. Случайная величина § имеет нормальное рас-
пределение с параметрами (0, 1). Что больше:

Р{—0,5	С -0,1} или Р(1< £ < 2}?

3.227°	. Случайная величина | имеет нормальное рас-
пределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией
о2. Найти М^А, к == 1, 2, ...

3.228.	Случайная величина В имеет нормальное рас-
пределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией
о2. Показать, что при любом х > 0

х3

1------

1 р 20

У2я

а______а’

х ~ х3.

1

1 а

3.229°	. Случайная величина £ распределена нормально
с параметрами (а, о2). Найти:

а)	плотность распределения величины тр = |2 при
а = 0;

б)	плотность распределения величины тр “ е! при про-
извольных ау а.

3.230°	. Случайные величины и независимы и име-
ют нормальное распределение с параметрами (0, о2). Най-
ти функцию распределения случайной величины- т) ==
= Й + &
3.231.	Случайные величины gj, ,.|п независимы и

имеют нормальное распределение с математическим ожи-
данием 0 и дисперсией 1. Распределение случайной вели-
чины т|п =	+ ... + £п называется %2-распределением

с п степенями свободы. Найти плотность распределе-
ния Т]п.

Какое из распределений, перечисленных в конце вве-
дения к гл. 3, при соответствующем выборе параметров
совпадает с распределением цп?

3.232°	. Случайная величина цп имеет ^-распределе-
ние с п степенями свободы (см. задачу 3.231). Найти

Drjn.

3.233°	. Найти и D£, еслп In | имеет нормальное
распределение с параметрами (а, о2) (в этом случае го-
ворят, что £ имеет логарифмически нормальное распре-
деление) .

3.234°	. Для случайной величины определенной в
задаче 3,233, найдите точку, в которой максимальна
плотность распределения £ (эта точка называется модой
распределения). Найдите отношение математического
ожидания | к ее моде.

3.235°	. Некоторая категория людей имеет средний вес
т кг и среднее квадратическое отклонение веса 3 кг.
Для случаев т = 60 и т = 10 определить вероятность
того, что вес случайно взятого человека отличается от
т не более чем на 5 кг; если: а) вес имеет нормальное
распределение; б) вес имеет логарифмически нормальное
распределение.

3.236°	. Для случайных величин гр, т)2, определенных
в 3.229, найти Мг^.

3.237°	. Случайная величина В имеет нормальное рас-
пределение с нулевым математическим ожиданием и

единичной дисперсией. Найти М£ cos£,

t

М sin £.

3.238.	Случайная величина £ имеет нормальное рас-
пределение с математическим ожиданием 0 и дисперси-
ей 1. Найти М cos £, D cos £.

3.239.	Случайная величина | имеет нормальное рас-
пределение с математическим ожиданием 0 и дисперси-
ей 1. Что больше: D sin | или D cos

3.240.	Случайная величина | имеет нормальное рас-
пределение с математическим ожиданием 0 и дисперси-
ей 1/2. Найти Mcos(V)» Msin(^),
3.241°	. Случайные величины Вь Е2 независимы и нор-
мально распределены с параметрами (0, 1). Являются
ли независимыми величины тр = Bi + В2, Ц2 = Bi — Вг?

3.242°	. Случайная величина с, нормально распределе-
на с параметрами (0, 1). Положим

если

если



а)	Найти закон распределения т].

б)	Имеет ли величина В + т] нормальное распределе-
ние?

3.243°	. Случайные величины Е и п независимы и име-
ют нормальное распределение с математическим ожида-
нием 0 и дисперсией 1. Найти

Р(1В - ц1 1}.

3.244°	. Случайные величины Вь Вз независимы и
нормально распределены с параметрами (1, 1), (2, 5),
(О, 7) соответственно. Найти: а) Р{2Е> — Вг < 0),
б) Р{—3 < 2|i — Вг < 5}, в) Р{1 <2^1-Ь + 1з<4).

3.245.	Случайный вектор (Вь В2) имеет сферически
симметричное нормальное распределение с Dgi = DB2 = о2.
Найти распределение вектора (Вь £2), если

Bt = Bi cos $ + £2 sin ср, Вг = — |i sm ср + B2 cos <p.

3.24G.	Случайный вектор (Вь B2) имеет сферически
симметричное нормальное распределение с DBi = DB2 = 1.
Доказать, что случайные величины В1В2 и-..-(В1—&.)
одинаково распределены.

3.247°	. Случайные величины Bi и S2 независимы п
имеют нормальное распределение с параметрами (0, 1).
Найти совместное распределение случайных величин Bi “
-= аВ 1 +	В2 = «Bi ~ при а, b =# 0.

3.248°	. Случайный вектор (тц, ц?) имеет нормальное
распределение с Мтр = Мт|2 = 0 и матрицей ковариаций

. Найти распределение вектора (ciip, С2Л2) при

С(, С2 ь" 0-

3.249.	Случайный вектор (Ei, В2) имеет нормальное
распределение с MBi = МВ2 = 0 и матрицей ковариаций

Случайные величины Bi и £2 независимы и име-

О1 у

V

о“ у
И о?


гот нормальное распределение, М£, - Ми2 = 0, D$i -
^0^2=1. Доказать, что случайные величины |i%2 и
Y (й (nia2 + У) — С2 — ?)) одинаково распределены.

3.250.	Случайные величины и £2 независимы и име-
ют нормальное распределение с математическим ожида-
нием 0 и дисперсией а2. Случайные величины гр и цз
определяются соотношением

211 1Г|!'

где 1 = 1/ — 1, а к '> 0 — целое число. Найти совместное
распределение величин тц и ф.

3.251.	Случайные величины £1, £2 независимы и имеют
нормальное распределение с параметрами (0, 1). Найти
математическое ожидание величины

n _ eG?+t-)A(i + g +

3.252.	Случайные величины £, ц независимы и нор-
мально распределены с параметрами (0, о!), (О, о?) со-
ответственно. Вычислить при щ = 1, 02 = 2 вероятность
попадания случайной точки (£, г]) R в следующие об-
ласти: а) прямоугольник [_r|	1, у( 2; б) прямоуголь-

ник 0 < х 2, |у| < 2; в) прямоугольник О С х С 2,
О < у 4; г) трапецию х + у < О, 1x1 =С 1, у > —2; д) об-

•' । У* л

ласть —	ограниченную эллипсом, вписанным

а о

2	2

в прямоугольник |х| Cl, lyl 2; е) область -^ +	< 1*

с \с

01 раниченпую эллипсом, описанным около прямоугольни-
ка 1x1 < 1, |у|	2.

3.253.	Мост через реку представляет собой прямо-
угольник, координаты которого в декартовой системе ко-
ординат удовлетворяют неравенствам: |х1 «5 10, |у| С 100.
При артиллерийском обстреле моста точка попадания
снаряда (£, ц) в той же системе координат имеет дву-
мерное нормальное распределение с независимыми коор-
динатами и со средними квадратическими отклонениями

== Ю, Он = 40. «Точкой прицеливания» назовем (М|,
Mq). Определить вероятность попадания в мост при од-
ном выстреле, если точка прицеливания равна: а) (0, 0):
б) (10, 0); в) (5, 20).

3.254.	Случайные величины £, т] имеют сферически
симметричное нормальное распределение с D£ = Dq-=4.
1»<2
Найти вероятность попадания точки (£, q) в прямо-
угольник с вершинами (0; 3), (4, 0),	(1,8; 5,4),

(5,8; 2,4).

3.255.	Случайные величины q имеют двумерное
нормальное сферически симметричное распределение с
Mg = Mq = 0, Dg —= Dq = 1. Найти вероятность попада-
ния случайной точки (£, q) в:

а)	треугольник	с	вершинами	(0;	0),	(1;	1),	(2;	0);

б)	треугольник	с	вершинами	(0,	2),	(2,	0),	(2,	2);

в)	треугольник	с	вершинами	(2,	0),	(1,	1),	(1,	2).

3.256,	Случайная	точка (£, q)	имеет сферически сим-

метричное нормальное распределение с Dg = Dq = 1.
Найти совместную плотность распределения ее полярных
координат,

3.257.	Случайная точка (д, ц) имеет сферически сим-
метричное нормальное распределение с Dg = Dq = 1. Най-
ти вероятность попадания (Е,, q):

а)	в квадрат С =*= {(х, у): 1x1	3, !у 31;

б)	во вписанный в С круг;

в)	в описанный около С круг.

3.258.	Случайные величины £, q независимы и нор-
мально распределены с Mg == Mq = 0, Dg = Dq = 4. Най-
ти вероятность того, что случайная точка (£, q) попа-
дет в:	___________________ _

а)	кольцо {(я, у): 2 < Ух2 + у2 < 3};

б)	область {(х, у): 2 С шш(Ы, |z/l), тах(Ы, |г/1)-- 3);

в)	область {(х, у)1. 2*5 1л?1 +	3).

3.259.	Случайные точки >4i = (£i, qi) и Л2 = (^г5 q2) па
плоскости 7?2 независимы и имеют сферически симметрич-
ное нормальное распределение с единичной матрицей ко-
вариаций. Найти функцию распределения длины отрезка
4]А2-

3.260*	. Случайные точки А\ = (£i, qi), А* =(£2, qa),
243=(^3i Пз) На плоскости Н2 независимы и имеют нор-
мальное распределение с нулевым вектором математиче-
ских ожиданий и единичной матрицей ковариаций. Найти
функцию распределепия длины медианы AiM\ треуголь-
ника А'.АяАз.

3.261*	. Доказать, что в условиях задачи 3.260 длина
стороны AqA3 и длина медианы	треугольника

А 1АгАз — независимые случайные величины.

3.262*	. В условиях задачи 3.260 найти вероятность то-
го, что треугольник Л1Л2Л3 — тупоугольный.

3.263.	Случайные точки Ai, Аг, Лз независимы и имеют
равномерное распределение на окружности единичной
длины. Найти вероятность того, что треугольник
Л1Л2Я3 — тупоугольный.

3.264	, Случайный вектор £ =(£i, 52)^ /?2 имеет дву-
мерное нормальное распределение с пулевым вектором
математических ожиданий, область А — угол с вершиной
в начале координат и раствором а. Доказать, что если
область А' симметрична области А относительно начала
координат, то Р{£ &Л'} = Р{£	Л}.

3,265.	Случайный вектор ^=(^1, £2) = Л2 имеет дву-

мерное нормальное распределение с нулевым вектором ма-

тематических ожиданий и матрицей ковариаций

Найти P{|£i I >al£2|}, а > 0.

(°1

3.266.	Случайный вектор В=(£ц ёа)е R2 имеет невы-

рожденное двумерное нормальное распределение с пуле-
вым вектором математических ожиданий и матрицей ко-
вариаций ||	iO1212 < СцО22. Найти

Poo - PUi > 0, £2 > 0}, poi = PUi > 0, £2 *• 0},
Pio-PUiCO,	pn = PUi<0,

3,267О Случайный вектор |	52)*= R2 имеет дву-

мерное нормальное распределение с нулевым вектором
/ о2 а >
математических ожиданий и матрицей ковариаций I 2 I.
\а о /
а | < оа. Найти

Р{0<^<^2},

х > 0.

3,268°	. Случайный вектор & =(£i, £о)е/?2 имеет не-
вырожденное нормальиое распределение с нулевым век-
тором математических ожиданий и матрицей ковариаций
/а11 °12 п „

Наити:

°22

а)	Р(|, >	— ОО < а < оо;

б)	Р{§,1 >	+ 5), —оо < а, Ь < °°.

3.269.	Случайный вектор (^, £2) имеет нормальное
распределение с нулевым вектором средних и коварпа-
„ ’ р

ционной матрицей  j. Показать, что функция т(х) —

“ М(£ 11£2 х} линейна, a s(x) =-- D{|=iI£2 — z} постоянна.

3.270.	Случайные величины |i, |2, £з независимы и
имеют стандартное нормальное распределение, а

’ В<2) < 1(3) — их вариационный ряд (см. задачу 3.60).
104
а)’ Найти распределение вектора (Ег ~ th £з — D*

б)	Найти плотность р(х\, xz) распределения вектора
(В(2) — G< 1>Т 1(3) — £(1))-

в)	Найти распределение случайной величины £ =
М£(2) — 1(1))/(В(3) — ?(!))•

3.271.	Случайные величины |2, ез и £(Ь	£(2) < В<3)

те же, что в задаче 3.270.

а)	Найти распределение вектора (£2 —	£з~ £г).

б)	Найти плотность р(х^ хг) распределения вектора
(^(2) ~ £(1), £(3) ~ |<2>).

в)	Найти распределение случайной величины £ =
= (?(2) - £(1))/(В<3> “ В(2>).

3.272.	Случайные величины £t, £2, ч независимы и
имеют стандартное нормальное распределение. Положим
| С,	если	= 0,

' " I I СI sgn (^В2), если	ф О,

где sgn(jr) = ж/!х| при х 0.

а)	Найти вектор математических ожиданий и матрицу
ковариаций вектора (£i, £2, £з).

б)	Найти распределение £з и совместные распределе-
пия векторов (£i, £3) и (|2, £3).

в)	Найти плотность р(хь х%, хз) распределения вектора
(£1, £г, Вз). Является ли оно нормальным?

3.273.	Используя предыдущую задачу, построить при-
мер случайного вектора (£i, £2, ..., £п), распределение
которого не является нормальным, но любые п — 1 его
координат взаимно независимы и имеют нормальное рас-
пределение с математическим ожиданием 0 и диспер-
сией 1.

3.274°	. Случайный вектор	..., |k) имеет сфе-

рически симметричное нормальное распределение с пуле-
вым вектором математических ожиданий и единичной ко-
вариационной матрицей. Найти распределение вектора
и = М, где А — действительная матрица с к строками
и т столбцами.

3.275.	Случайная величина £=(£1, ..., £п), имеющая
нормальное распределение в Rn с нулевым математиче-
ским ожиданием и невырожденной матрицей ковариаций
А = Иа^Н, не зависит от случайной действительной вели-
чины т], имеющей функцию распределения F(x), М*)2 =
= 1. Найти математическое ожидание и матрицу ковариа-
ций случайной величины Це = (ц£ь ..., Цдй).

3.276.	Случайные величины £>, |2, ..|п, ц незави-
симы и имеют стандартнее нормальное распределение.
Найти распределепие вектора

£ = 1ъ1 I 1 — CCj 4- JX1( |2 ]/ 1 — «2 +	.

... ,L | 1 — a? + T]C4n),

где ai, «2, ..., a„ — числа из отрезка [0, 1).

3.277.	Случайные величины |2, ...» независимы;

имеет нормальное распределение с параметрами (0, о2),
i — 1, 2, ..., п. Найти распределение вектора

л =(£i, £i + £s, &1 + В2+В3..Bi + £2 +.+ |п).

3.278.	Случайные величины |i, |2, ... независимы ц
имеют нормальное распределение с параметрами (0, 1).
Найти минимальное значение к, при котором

Р{тах{|Ь |,||2|....1М>2}>4’

3.279.	Случайный вектор |=(|i, ..., I*) имеет А'-мер-
ное нормальное распределение с математическим ожида-
нием а е lih и ковариационной матрицей А. Что больше:
In |М£] ... gj, Mln Hi... |А| илп In Ml|i... $J?

3,280.	Случайный вектор (|t, |2)e /?2 имеет дву-
мерное нормальное распределение с нулевым вектором
математических ожиданий и ковариационной матрицей
I °11 ' 12 1 „

I	.Наити условное распределение |i при уело-

\П21	22

вии |2 =

3.281.	Распределение случайного вектора

ее R2 таково, что при любом д-е( — oof оо) условное рас-
пределепие при условии |2 — г и условное распреде-
ление |г при условии — х нормальны. Является ли нор-
мальным распределение вектора

Глава 4

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ. ПРОИЗВОДЯЩИЕ

И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

В курсе математического анализа рассматриваются
различные виды сходимости последовательностей функ-
ций: равномерная сходимость, сходимость почти всюду,
сходимость в среднем квадратичном и т. п. По аналогии
с этим и в теории вероятностей рассматриваются раз-
106
личные виды сходимости последовательностей случайных
величин (как функций, заданных на пространстве эле-
ментарных событий), а также последовательностей
функций распределения,

Приведем определения тех видов сходимости последо-
вательностей случайных величин, которые используются
в задачах этой главы. Пусть на вероятностном простран-
стве (Й, j/, Р) заданы случайные величины £п = £п(со)
(со <= Q, п = 1, 2, ...) и случайная величина £ = %(со),
w е Q.

Последовательность £i,	... сходится к случайной

величине % с вероятностью 1 (почти наверное), если

Р (со & Q: lim (ы) = % (<o)t =1.

I	П-*оо

Последовательность |i, £2, ... сходится к случайной
величине В п° вероятности, если для любого е > О

lim Р {| £:1 — В | > е) = 0.

Последовательность |i, £2, ... сходится
величине £ в среднем квадратичном, если

к случайной

lim М | £п — £ ]2 = 0.

Последовательность функций распределения Fn(x)=*
= Р{£„^я}, и~1, 2, ..слабо сходится к функции рас-
пределения F(x) = Р{£	я), если для любой точки х, где

F (х) непрерывна, выполняется соотношение

lim Fn (х) = F (х)
п-юо

(в этом случае говорят также, что последовательность
случайных величин £1, £2, ... сходится к S. по распреде-
лению; при этом £j, £2, ... могут быть заданы на раз-
личных вероятностных пространствах).

Все эти определения естественным образом распро-
страняются и на случайные величины ||, £2, ... и В,
принимающие векторные значения.

Понятие сходимости по вероятности чаще всего
используется, когда предельная случайная величина £
имеет вырожденное распределение (Р{£ = а} = 1 для не-
которого числа а) и

t _ri+C2+

ьп - ———-	.«
где £i, ^2, ...— случайные величины (не обязательно не-1
зависимые или одинаково распределенные): если

lim Р I ’ + • • •	_ а е _ q

7WO U П	I J

для любого е>0, (4.1)

то говорят, что последовательность £2, ... удовлетво-
ряет закину больших чисел. Из неравенства, Чебышева
Р{15-МЦ>е)<^
р.

нетрудно вывести, что если случайные величины £t,
£2, ... не коррелировать!, M£n = a, D£n = о2 < « (п —
= 1, 2, ...), то (4.1) выполняется; однако закону боль-
ших чисел удовлетворяют и другие последовательности
случайных величин (см. задачи § 1).

Если вместо (4.1) выполнено соотношение

р( 1. н (“) 4- • • • + £n (w)	)

Р ।со: Jim --------------- - = а = 1£	(4.2)

v П-»оо	П	1

т. с. последовательность---------------- сходится к числу

а с вероятностью 1, то говорят, что последователь-
ность £1, £2, ... удовлетворяет усиленному закону боль-
ших чисел. Соотношение (4.2) выполняется, например,
если случайные величины £1, £2, ... не корродирова-
ны, М^п = !7, D£n = o2<<*> (n = 1, 2, ...), см. задачи
4.22-4.24.

Пример сходимости по распределению дает
Центральная предельная теорема. Если
£1, £2, ...— независимые одинаково распределенные слу-
чайные величины, М£„ = а, D£re = о2 < «= (п — 1, 2, ...),
то для любого х, —оо<х<°°,

I 4_... '^п — па 1	1 С 2/

lim Р < —--------------х = - — ' е~и l2du = Ф (.г).

7i-»oo I ст |/ п	)	"| 2л, «.

Сходимость распределений центрированных и норми-
рованных сумм случайных величин к стандартному нор-
мальному распределению имеет место и при других
предположениях о случайных слагаемых (см. задачу
4.134 и другие задачи из § 5).

Другим важным примером сходимости по распреде-
лению являются теоремы о сходимости к распределению
Пуассона (см. задачи 4.105 и 4.113).
Практическое значение предельных теорем состоит в
том, что они позволяют аппроксимировать распределения
допредельных случайных величин £„ (при достаточно
больших п) распределением предельной случайной вели-
чины это особенно полезно в тех случаях, когда ана-
литическая запись функции распределения £ проще вы-
ражения для функции распределения £п. Следует иметь
в виду, однако, что вопрос о том, достаточно ли велико п
для того, чтобы обеспечить нужную точность приближе-
ния, в каждом случае требует особого исследования; см.,
папример, задачи 2.61, 2.62, а также 4.107, 4.123, 4.12 ц

Доказательства предельных теорем могут использо-
вать как» прямые вероятностные методы (изучение рас-
пределений допредельных случайных величин или их
моментов, см, задачи из § 2), так и аналитические мето-
ды, основанные на использовании свойств производящих
или характеристических функций распределений допре-
дельных случайных величин (см. задачи из § 5).

Если случайная величина £ принимает только целые
неотрицательные значения, то производящей функцией
распределения £ называется функция комплексного пе-
ременного Z

= V	OKI;

производящую функцию можно рассматривать и в слу-
чае, когда £ принимает и отрицательные значения, если
область сходимости ряда в правой части последнего ра-
венства отлична от окружности \z I = 1,

Если случайная величина принимает действитель-
ные значения, то характеристической функцией распре-
деления £ называется функция действительного перемен-
ного t

/1 (/) = Me'1,	— оо<£<оо;

в частности, если распределение £ абсолютно непрерыв-
но и имеет плотность рДя), то

М0 =

(.г) dx.

Перечислим важнейшие свойства производящих и ха-
рактеристических функций.

1.	Если Р(1£1 < оо) = 1, то функции A(?) = Me/,s и
q?£(z) = Mz5 непрерывны и Л(0) =	1) = 1.
2.	Если Ml^|ft<oo для некоторого целого к > 1, то



- <*Ms’,

1=0

Фб (2)
dz

(по поводу обращения этих утверждений см. задачи
4.67, 4.95, 4.96).

3„ Если случайные величины £г, £г, ...» независи-
мы, то

А1+.,+еп(О» А, (О ...Ап(О,

%Ч-..,+5п(2) ~ фц(2) ... (pgn(z)

(обратное утверждение неверно, см. задачу 4.157)’.

4.	Если производящие (или характеристические)
функции распределений случайных величин £i и & сов-
падают, то совпадают и функции распределения и Ь?.

5.	Оеорема вепрерыввостн.) Последователь-
ность Еп(д-) = P{|n «5 z) (п — 1, 2, ...) функций распре-
деления слабо сходится к функции распределения F (х)«
= Р{£ я) тогда и только тогда, когда существует не-
прерывная функция

/(О - Нт /п(0,

п-»ос

где /п(/) = ЛЛе',!п. В этом случае /(i) = Me,<e, и сходимость
/п(0_>/(<) равномерна на каждом конечном интервале
значений t.

6.	(Формулы обращения.) Если функция
/(?)=Ме • абсолютно интегрируема, то распределение
случайной величины f имеет ограниченную непрерывную
плотность р(х) и

03

J е-'‘Ч(ОЛ.

— ОС
♦

Если х и x + h — точки непрерывности функции распре-
деления F(x) = С х}, то

F (х 4- Л) — F (л)	1, С . ..	Л2.г/„ 1 — e~^h ,

--------------= 2л^0 J а' 2—e-'^dx.

— ОО

Производящие и характеристические функции вектор-
ных случайных величин &e(£i, ..определяют-
110
ся формулами

h (*n ..., М = м exp {i + ... +
cpj (Zj, ..., zk) = ЛЦ1 ... zk\

Их свойства аналогичны свойствам производящих и ха-
рактеристических функций одномерных случайных вели-
чин. Например, если М |	| 1 , .. | £h| h < оо для целых

ги • • •>	то

л «1....ад	- Г'+"'+w?...

/.+-+г»	,	,	_ м4М гСМ

-------— Фг	, zk)	=	• • • ъ/t .

Таблицы А и Б содержат формулы для производя-
щих и характеристических функций наиболее часто
встречающихся распределений.

Отметим, что приведенная в табл. Б формула для
плотности многомерного нормального распределения в
/?* имеет смысл , лишь в случае, когда матрица ковариа-
ций В не вырождена (т. е. определитель В отличен от
0), поскольку распределения с вырожденными матри-
цами ковариаций не являются абсолютно непрерывными.
Однако формула для характеристической функции много-
мерного нормального распределения справедлива при
любой матрице ковариаций В.

Многомерные нормальные распределения с вырож-
денной матрицей ковариаций естественным образом появ-
ляются как предельные распределения в многомерном
варианте центральной предельной теоремы-, если ti,
£2, ...— независимые одинаково распределенные случай-
ные векторы со значениями в /с-мерном евклидовом про-
странстве /?А, с математическим ожиданием a s Rh и мат-
рицей ковариаций В (не обязательно невырожденной),
то последовательность распределений случайных величин

4- . •. 4* Сп — па

У'п

при п -* оо слабо сходится к многомерному нормальному
распределению в Вк с нулевым вектором математических
ожиданий и матрицей ковариаций В.
Таблица Л. Производящие функции

Название	Формула для Р{£^й}	Производящая
распррдрлр! ия		функция

	J	1-Л
Равномерное	~. 1=1,2, ..., Я	1 -Z Ъ
		1 — р
Г еометрическое	(1 — р) р\ к = 0, 1, ...	1 — pz
Биномиальное	Chph (1 — p)n~\fc =0,1, ,..,п	(1 4- p{z - 1))п
Пуассоновское	ah  ~тге~\ /г = 0, 1, ...  Хг!	’	’	

Таблица Б. Характеристические функции

Название распределения	Формула для плотности	Характеристическая функция
Равномерное	1  —0 ' I ' а а 1	eint - 1
		iat
Равномерное	1  2а ’ — а х а	sin at at
Показательное	ае“‘\ х^О	1
		1 — it/a
Гамма-распределение	га-1е-х	1
	Г (а) ’	(1 — it)a
Нормальное распре- деление	fx-o)2  1	.	2О2	lta—  e	i
	О	
	— зо < х < оо	
Распределение Коши	1 Ь	e-bU|
	л /' 4- Г2’	
	— оо < х < оо	
Многомерное нор-	е — (х—а, Р~ Пх— ))/з	Uo
мальное распределе- пие в Rk	(2л)л^2 V det Х(= Rh	e
§ 1. Закон больших чисел.
Лемма Бореля — Кантелли

4.1	°. Пусть функция g(x), х^О, иеотрипательпа и
монотонно возрастает. Показать, что для любой действи-
тельной случайной величины S справедливо неравенство



(| ЕI)
g(x)

4.2	й. Пусть случайная величина равна сумме оч-
ков, появившихся при и бросаниях симметричной играль-
ной кости. Используя неравенство Чебышева, оценить
сверху f

Р [|----3,5 > е|, е > 0.

II п ’ I Г

4.3	°. Пусть |i, $2, ..., Еп+1 ~ результаты п + 1 испы-
таний схемы Бернулли (Р{£.= 1} = р, Р{^ = 0) = 1 — р)
и случайная величина цп равна числу таких г, 1 i С п,
что =	= Используя неравенство Чебышева, оце-

пить сверху

р{|т-₽*|>4 е>°’

4.4	. Последовательности g2, ... и тц, ц2, ... обпа-
пованы одинаково распределенными случайными вели-
чинами, независимыми внутри каждой последовательпо-
। in (случайные величины £< и ц, могут не быть незави-
симыми), М|<“Мть = л, D3, = Dt]j < <». Выполняется ли
дпкоп больших чисел для последовательности £i, £2, .

£2A-l = Cit, Ь2а = Цн, /с~1, 2, ...

4.5	°. Случайные величины £i, |2, ... независимы и
имеют стандартное нормальное распределение,

Т|п = COS s-, п = 1, 2, ...

^п + 1

Удовлетворяют ли последовательности тц, т^з, т]5, ... и
i|i, Ц2, цз, ... закону больших чисел?

4.6	°. Последовательность £|,	... образована неза-

висимыми случайными величинами, имеющими нормаль-
ные распределепия,

М^ = 0, Dg* = C/c«, ОО, а>0. /с = 1, 2, ...
Вписать множество тех значений ос, при которых пэсле-
£ А. М. Зубков и дг>,	ИЗ
довательпость ^2, • •• удовлетворяет закону больших
чисел.

4.7	. Последовательность gi, £2,
спмыми случайными величинами,
мь = о, = о о,

. образована незави

* = 1, 2, .

При каких значениях а последовательность £i, £2, ..
может удовлетворять закону больших чисел и при каких
значениях а может не удовлетворять ему?

4.8	. Последовательность Вь Ъ»  • • состоит из незави
симых одинаково распределенных случайных величин
М£ь = 0, DBft = o2<°°, &==1, 2, ... Удовлетворяют ли за
кону больших чисел последовательности случайных ве
личин

[nt/3]

Л «-о



£п+й} п в 1 | «-) • ♦ • ?

4.9.	Случайные величины

MB,-a, D*( =

Пусть

1,	^2,

независимы
fcil,-. Пока

зать, что последовательность £п
больших чисел: для каждого е>0

удовлетворяет

закон

lim Р

4.10с	Показать, что утверждение предыдущей

задач

останется справедливым, если в
нить условие независимости |i,
коррелированное™:

М(|<-а)(^-а) = 0,

ее формулировке заме
&г, ... условием их не

4.11.	Пусть функция	1, ограничена и и

тегрируема, a £i, £2, ...— независимые случайные вел
чины, равномерно распределенные па отрезке [0, 1].

а) Доказать, что при любом е > 0

lim Р

б) Найтп

lim Р

е =0.

।	р

— \ f(x)dx -

С’п



п

Г

J

о

о
4.12.	Пусть ограниченная интегрируемая функция
i(x)<	< х < со, имеет период 1, а случайные величи-

ны £ и Г] независимы и равномерно распределены на
отрезке [0, 1]. Построим последовательность случайных
величин

=	+	* = 1. 2, ...

а)	Доказать, что случайные величины £|, £2, . • • по-
парно независимы и одинаково распределены. Найти
М£., DU

б)	Показать, что для любого 8 > О

Jinf Р
fl-* ос

О

в) Показать, что если

I (У) “ J / (*)	>

при всех

у <s la, b с (0, 1), то при любом п = 1, 2, ...

Ct 4-... 4- Cw
п

4.13.	Пусть случайный вектор £ ’ = (Bi”'. «..,£пп))
имеет нормальное распределение в /?" с нулевым векто-
ром математических ожиданий и единичной матрицей
ковариаций, а Вт,е — множество всех таких точек х =>
“= (огц ..., xn)<^FT, что

(1 — e)r<;|x|; = (х* 4- ... 4- 4)1/2<(1 4- e)r.

Показать, что при любом е >0

lim PU<n)sB/5 1 = 1.

П-.0О

4.14*	. Пусть случайный вектор |<п) тот же, что в пре-
дыдущей задаче, а Сг,«— множество всех таких точек
a = (xi, ..., хп)& Ип, что

(1 -е)г^	4-...4- hn| ^(14-е)г, е > 0.

Показать, что при любом 8 > 0



Сравнить с результатом задачи 4.13.

I*
4.15.	Случайные величины |i, £2, ... независимы, оди-
наково распределены, имеют математическое ожидание а
и для некоторого е, 0 < е < 1,

те-М|^-а!1+г<^.

Показать, что для любого 6 > 0
н™ Р(|Ь
„ II п

0.

4.16.	Лемма Бореля — Кантелли. Пусть Л1,
А2, ..события, заданные на одном вероятностном про-
странстве, и случайная величина v равна числу одновре-
менно происходящих событий. Показать, что:

а)	еслп 1Р{Лп}<о°, то Р {v < 00} = 1,
п=1

б)	если события Л1, Дг, ... попарно независимы и

V, р = оо, то Р {v = 00} — 1.
п=1

4.17.	Пусть Д1, А2, ...— события, заданные на одном
вероятностном пространстве, и случайная величина v
равна числу одновременно происходящих событий. По-
казать, что если Р{Лп}>а>0, и = 1, 2, ..., то P{v
= «} > д,

4.18.	Последовательность чисел сп удовлетворяет ус-
ловиям 0=^сп<1, Нт сп = 0. Всегда ли существует та-

Л -.ОО

кая последовательность событий .41, Аг, ..., что Р{ДП) =
= сп и для числа v одновременно происходящих событий
справедливо соотношение Plv < °°} = 1?

4.19.	Последовательность £1, |г, ... случайных вели
чин и случайная величина ч удовлетворяют условию

ОО

2 ?{|Ь.-?!>«}< оо для любого е >> 0.
п = 1

Показать, что Р llim = -i =1.

1 П~»ос	I

4.20.	Последовательность |i, £2, ... случайных велг
чин и случайная величина £ удовлетворяют условию

2 м(£„-г;)»<оо.

ПС.-1

I16

Показать, что
4.21.	Случайные величины £i, £2, ... независимы и
имеют одно и то же показательное распределение с па-
раметром X:

Р{|п < а:} = 1 -

а; > 0, п «= 1, 2, ...

Пусть е — произвольное число из интервала (О, 1/Х),
случайная величина ve равна числу одновременно про-
исходящих событий /Гт ={ 1^7 >--+е а — числу
одновременно происходящих событий

«

1	₽

max -j-	1----е

,z- In к &
г

а)	Показать, что P{vt < <»} = Р(ре < <»} = 1 при лю-
бом е е= (О, 1/Х).

б)	Вывести из результата п. а), что последователь-
ность случайных величин = j п -1, 2, удов-
летворяет условию

_ 1

>п---Г-

л

- 1.

4.22.	Случайные величины £2, •.. имеют матема-
тическое ожидание а и дисперсию о2 < оо и не коррели-
рованы:

М (£f — а) (£t — а) = 0 при любых I

Доказать, что

Р 'lira

п*

= а

4.23.	Случайные величины ^2, ... имеют математи-
ческое ожидание а и дисперсию а3 < и нс коррелиро-
ншы, а

Л" = max I |n2+1 4- ?n2+a + ... + £й — (к — n2) a I,
n2<A<(n+ir

n = 1, 2,...

Доказать, что Р him — = 0 = 1.

1п-*оо л I

4.24*	. Усиленный закон больших
Доказать, что если случайные величины |j,
^тематическое ожидание а, дисперсию о2 < оо

Визированы, то

чисел.
... имеют
и не кор-

Р him
(п->оо

"* bn „I I

------------- я < = 1
п
§ 2. Прямые методы доказательства
предельных теорем

В этом параграфе задачи 4.25—4.32 связаны с на-
хождением предельных распределений с помощью ана-
лиза свойств допредельных распределений, задачи 4.33—
4.44 — с применениями закона больших чисел, в задача^
4.45—4.57 изучаются свойства различных видов сходи-
мости последовательностей случайных величин.

4.25. Случайные величины £[, ?2, ..независимы
и имеют одно и то же геометрическое распределепие с
параметром /?, О < р < 1:

Р(£< = к} =(1 - р)р\ k = Q, 1, 2, ...

а) Показать, что

pr, + ... + i„ = *}-c,;+Ui(t-p)"₽\ *-о, 1,2,..

б) Найти

q(k} = lira Р {£i + . .. + In — т = к |	4- ., ( + L >

т > ос

= 0, 1, 2, ...

4.26	(см. задачу 1.53). Первый ряд кинотеатра состо
ит из  кресел. Зрители один за другим заполняют это1
ряд, причем каждый из них может с равной вероятностью
занять любое из кресел, свободных в момент его прихо-
да. Пусть Ti(/V)—порядковый номер первого зрителя

который сел в кресло, находящееся рядом с уже заняты
креслом, Т2(ЛГ) — порядковый номер первого зрителя, кс

торый сел в кресло, симметричное относительно середи
ны ряда одному из занятых кресел. Найти законы ра<
пределения ri (ZV) и Т2(Л/) и предельные при /V-*• « ра<
пределения случайных величин , i = 1, 2, т. е. фун]

„ .	.. JM") . I

цииС,ОТ = и;пг|Ту<я|

4.27	°. Плотность рг(х} случайной величины | пепр
рывна и ограничена па отрезке [д, Ь] и равна 0 вне [a, I
Положим л* = где — дробная часть числа
Найти

lim Р х},

4.28	. Показать, что утверждение предыдущей зада’
справедливо для случайной величины g с кусочно-непр
рывной плотностью.
<1.29. Случайная величина | имеет непрерывную плот-
ность распределения р(х). Найти предельное распреде-
ление случайной величины 1g при п -+ «>.

4.30	(см. задачи 4.28 и 4.29). Случайная величина g

имеет непрерывную плотность распределения р(х). Най-
ти предельное распределение случайных величин =

1 (i + t£C-(i-iE)n
i (И-	+ (1 - ф”

п -> оо (здесь i = V — 1).

4.31*	. Случайная величина | имеет нормальное рас-

пределение с математическим ожиданием а и дисперсией
о2. Найти предельное (при л?-»-со) распределение для
условного распределения случайной величины (| — х)х
при условии £>« (ср. с задачей 3.228).

4.32.	Пусть gi, £2, ...— независимые одинаково рас-
пределенные случайные величины с функцией распреде-
ления F(x'), а х„ = шах {|ь ..., |я}. Найти такие последо-
вательности чисел ап и Ь„, что последовательность апхп +
+ Ьп сходится по распределению при п оо к невырож-
денной случайной величине х, и найти функцию распре-

делепия х в случаях, когда:

a)	F(x) = 0 (z<l), /’(х) = 1— ~ (г>1, а>0),

б)	F(x)= max {0, 1 — |лг1а} (х< 0, а>0), /7(ж)=1
{(л^О),

в)	/'’(£)= max Ю, 1 — е-х1.

4.33.	Последовательности ||, £2, ... и r|i, Ц2, ... слу-
чайных величин таковы, что

Jim Р {| |п |<>} = 1 для любого е>»0,
71-»оо

и существует функция распределения F(x), для каждой
точки непрерывности которой выполняется соотношение

lim Р {т]п х} = F (я).

П-»оо

Доказать, что при любом характере зависимости меж-
ду и цп для каждой точки непрерывности F{x) спра-
ведливы равенства:

a)	lim Р{цп + 1п^х} = F (х);

б)	lim Р {цп (1 4- |п) ^х} = F (х).
П-> оо

4.34.	Случайные величины £2, ... независимы,

Р{|< = 11 = р, Р{^ = 01 = 1-р,	1=1,2,...
Положим |-ft) = Ц (1 — |i+1|i+2 .  • li+fe),. Пп } = йй) +_• • •
... 4- ъ» В случае когда 0 <" р < 1, Ига p^r,J ]/ п = 0я

П-*ос
найти

,. Dl Tlnft(n))-RP
lim г —	.	-

П-*оо I Vnp (1 — p)

4.35.	Пусть $2, и Ль Л2, •••—такие последовав
телыюсти случайных величии, что для некоторых чисел
а, b для любого е > О

Hm Р { [ |п — а | > в) = 0, Нт Р {| r]n — b | > е} «0.

П-юа	П-»ао

Доказать, что при любом характере зависимости между I
|п и и™ Для любого 8 > 0:

a)	lim Р {| In — а | < е, | vjn — b | < в} =» 1}
п-»оо

б)	если функция /(я, у) непрерывна в точке (а, &),
то для любого е > 0

lim Р {| / (|п, Ля) — / (а, Ь) | < 8} == 1.

П->оо

4.36.	Пусть |(,) = (|V\ й°), i = 1, 2, ..независимые
одинаково распределенные векторы в R2,

M^4)-ai>0, М^ = а2>0, г = 1,2, ...

Доказать, что последовательность случайных величин

5<1>+vi2, + ...+^)
й_____*	тт 4	)

*” pU) I t(2) I .к t(n) 4	’

»2	< 5 2 г • • • ‘ *>2

сходится по распределению к ai/«2, если либо a) <
<оо, D^<oo, либо б) M|^|1+e<oof М|^{)!1+е<;
< оо для некоторого 8 >» 0.

4.37°	. В последовательности случайных величин
|i, |г, ... случайная величина |п при любом п — 1, 2, .. J
имеет геометрическое распределение с параметром Qn,
q„ 0 (п-*«»). Найти предельное распределение слу|
чайных величии

|п = ЯЛп при п -> оо.

4.38°	. Время | безотказной работы прибора имеет
математическое ожидание а>0 и дисперсию о2 < При
каждом отказе прибор подвергается ремонту (и тогда
время до следующего отказа не зависит от предыстория
и распределено так же, как |), после к го отказа прибоя
120
списывается как негодный. Пусть тА — суммарное время,
которое прибор проработал до списания.

а)	Найти МтА, Dta-

б)	Показать, что для любого е>0

lim Р

—-1

е

4.39.	Пусть £i, ^2, . • •— последовательность независи-
мых одинаково распределенных случайных величии с
математическим ожиданием а > 0 и дисперсией о2 <
случайная величина v но зависит от £2, ... и прини-
мает целые положительные значения, Mv = Ъ и

т = £1 + Ь + • • • +

Найти Мт и предельное распределепие случайной вели-
чины т/(Мт), когда распределение v изменяется так, что
Mv -> «г и существует непрерывная функция распреде-
ления F(x), удовлетворяющая условиям F(0) = О,

lim Р|тт-^ = F(x). 0^.x<Zo°.
Mv	v '

4.40.	Время E безотказной работы прибора имеет ма-
тематическое ожидание а>0 и дисперсию о2 < оо. Каж-
дый отказ прибора независимо от предыстории и длин
периодов безотказной работы с вероятностью р является
несущественным (прибор требует только наладки),
а с вероятностью q — 1 — р — существенным (прибор
нужно ремонтировать). Пусть tq — время от начала ра-
боты прибора до его ремонта.

а)	Найти Мтд, Dtg.

б)	Найти предельное распределение случайной вели-
чины тг/ЛЛт3, когда параметры а > 0 и о2 < «з фиксиро-
ваны, a q -* 0.

4.41*	. На одном вероятностном пространстве заданы
гпбытие А, Р{4} -= р. и случайная величина имеющая
м.| те магическое ожидание а и дисперсию о2<<^. Дока-
пать, что при любом характере зависимости между £ и А



гг2

р (х — а)'

Vi-p'
р J’
4.42*	. Последовательность (|t, ej), (£2, 62), ... состо-
ит из независимых нар случайных величин (внутри пар
случайные величины могут быть зависимыми),

М*. = a, D& С о2,
Plci=l} = l-P(el = O) = g.

Положим v = min {г >1: Et — 1},

Т1 = ^ + ... + ^-1	(Т1 =0 при v - 1),

Т2 =	. + Iv.

Найти предельные распределения случайных величин
</Т1, ?Т2, когда параметры а > 0 и oz < 30 фиксированы,
а q -*• 0.

4.43.	Процесс работы прибора состоит из независимых
одинаково распределенных циклов; длина £ цикла имеет
математическое ожидание а > 0 и дисперсию о2 < Ве-
роятность того, что за один цикл прибор не сломается,
равна р, вероятность поломки прибора на любом фикси-
рованном цикле равна q — 1 — р (поломка прибора может
зависеть от длины цикла). Пусть т— время до первой
поломки прибора.

Найти предельное распределение случайной величи-
ны qxla, когда q -* 0, а -+ ао > 0, o2->of(<Coc.

4.44.	В бункер помещается не более V = 150 деталей.
Ежеминутно в бункер поступает случайное число дета-
лей, имеющее распределение Пуассона с параметром
Л. = 2; числа деталей, поступающих в бункер в непере-
секающиеся интервалы времени, независимы. Через каж-
дый час все находящиеся в бункере детали перегружа-
ются в тележку и отправляются па дальнейшую обра-
ботку. В начальный момент времени бункер свободен.
Пользуясь предельными теоремами, указать приближен-
ное значение вероятности того, что за время Т = 100 ча-
сов не произойдет пи одного переполнения бункера.

4.45.	Показать, что если последовательность случай!
ных величин £1, |г, сходится к £ с вероятностью 1
или в среднем квадратичном, то опа сходится по вероят
ности и по распределению. Привести пример последовав
тельности ^2, .... сходящейся к £ по вероятности, п<
пе сходящейся ни в среднем квадратичном, пи с вероят
ностью 1.

4.46.	Последовательность случайных величин £t,
В2, ..сходится к | по распределению. Показать, что
можно задать на одном вероятностном пространстве слу-
122
чайные величины £2, ... и | так, что для всех х
Р {£' < ж} = Р{£<4, Р = Р{|п<4,
n = 1, 2, ...,

и последовательность £15 £2>. • сходится к V с вероят-
ностью 1.

4.47.	Пусть f(x)— непрерывная функция, х^(—°0, <»),
а последовательность случайных величин £i, |г, ... схо-
дится к случайной величине ' (с вероятностью 1, по
вероятности или по распределению).

а)	Сходится ли (в тех же смыслах) последователь-
ПОСТЬ /(!,),'/(Ы, ••• к /(?)?

б)	Сходится ли (в тех же смыслах) последователь-
ность /(^i), /(|а), ... к /(£), если f(x) кусочно-непре-
рывна (имеет конечное число разрывов на любом конеч-
ном интервале), а функция распределения £ непре-
рывна?

4.48.	Последовательность £[, |г, ... случайных вели-
чин удовлетворяет условиям

Р {£п+1	£п) “ 1 ДЛЯ любого И = 1, 2, . . .,

lim M£n = a < оо.

П-юо

Доказать, что существует случайная величина с, для
которой

Р г lim In = U “ 1.

(n-.oo	J

Верно ли равенство = а?

4.49.	Последовательность точек |i, 52, ... па отрезке
[О, 1] строится по следующему правилу: имеет равно-
мерное распределепие на [0, 1], и если значения fcj, ...
...,	(Zc>2) определены, то точка имеет равномер-

ное распределепие па минимальном по длине из к от-
резков, на которые |0, 1] разбивается точками ...,

а)	Доказать, что существует случайная величина
удовлетворяющая условию P/lim £Tl = Bl — 1.

I, П-»ос	J

б)	Найти Dg.

4.50.	Последовательность точек ^o> $1, I2, ... па от-
резке [0, 1] строится по следующему правилу: = 0, £1
имеет равномерное распределение на [0, 1], а при лю-
бом п > 2 имеет равномерное распределепие на интер-
вале, образованном и £„-2.
а)	Доказать, что существует случайная величина
удовлетворяющая условию Р 1 lim gn =	= 1.

In-.»	/

б)	Найти M£, D^.

4.51	*. Последовательность случайных величин
^2, .. последовательности чисел {ап}, и случайная
величина g удовлетворяют условиям

Jim а» = a, |aj<oo, lim Ьп = О, Р{ J £| < оо} = 1,
71—>Оо	71—>оо

ft л

lim р
71^»оо I



в каждой точке непрерывности функции F(x) — R{£ С х}.
Функция g(x} непрерывно дифференцируема в окрестно-
сти точки а и g'(«)=^0. Доказать, что в каждой точке
непрерывности F (х)

Ит

Г.-Юо I UZ1^> (^n)

= Fix').

4.52	. Последовательность случайных величин |i,
£2, . •последовательности чисел {ап1, {6„1 и случайная
величина t удовлетворяют тем же условиям, что в за-
даче 4.51. Функция g(x) имеет к >2 непрерывных про-
изводных в окрестности точки а и

ё'^У^ё" (а) = ... = g’i-L («) = 0, gw(a)^=0.

Доказать, что

ЬтрГ(У~*(^<г =Р(В"<я)

П-оо j W (%)

в каждой точке непрерывности функции Fh(x) = P{gh С х).

4.53	. Случайная величина цг. равна числу успехов в
п независимых испытаниях Бернулли с вероятностью
успеха р, 0 < р < 1.

а)	Иаити lim г<——-----

б)	Пусть 0 < z < 1, z Ф р. Найти такие последова-
тельности чисел Ar(z) и Вп(z), п = 1, 2, ..., для кото-
рых

f(M« — л»)2-Л„(г)	1

lim Р ’---------- — -С = Ф (^),	—со<,г<оо.

,woo ( Вп (2)	j

4.54	*. Случайная величина цп равна числу успехов в
п независимых испытаниях Бернулли с вероятностью
успеха р; функция g(x) определяется

£(*) =

X In X + (1 — х) In (1 —
О, х = 0 или х = 1.

а)	При р = 1/2 найти

lim Р I п 1 g(— / 4- In 2 ; < а:

П^ОО I \°\ п /	/ J’

соотношениями

О <Zx <Z, 1,

х 0.

б)	При 0<р<1, р1/2, указать такую последова-
тельность Вп(р), тг==1, 2, ..., что

lim Р ; Вп (р) I g ,	1 — g (р).	д = ф (х),

П-»оо	s \ rt /	1

—00 < X < 0°.

4.55.	Последовательность случайных величии ...
я последовательности чисел «1, а.*, ... и bi, Ь2, ... удов-
летворяют условию

1^	д	1

—-^а4 = Ф(:г) для любого х} |z|<oo,<
°п	J

Пусть аь а2, ... п b2, ... —две другие последователь-
ности чисел. Рассмотрим три группы условий:

a)	lim — = lim ,-= L
'	Д,	'

71->Оо П П-+со П

б)	lim (ап — ап) = lim — Ьп) = О,
7i-»oo	П-»ос

\ ]• an ап Л Т	J

в)	lim —-----= 0,. liin — = 1,

П-»оо пп	п-»оог’п

Какие из условий а), б), в) обеспечивают выполнение
соотношения

Jim Р Pn	=Ф(;г) для любого х, |я1<оо?

П-»оо 1 Ьп	|

4.56.	Последовательность случайных величин |i, £2,...
сходится к случайной величине В по распределению.

а)	Пусть существуют и конечны величины
т = М|? тп = r)ix = lim тп.

П-»эо

Какие из соотношений т < т = т > та могут,
и какие не мигут выполняться?

б)	Ответить на вопрос п. а) при дополнительном ус-
ловии М£2 < 00, lim Мс <_ ос.

П ". 50
4.57.	Последовательность случайных величин |j,	.

сходится к случайной величине £ до распределению,

а)	Пусть существуют и конечны величины

м =	М„ = М&, моо = lim Мп.

П-»оо

Какие из соотношений И < М = Л/<», М>Мав мо-
гут, а какие не могут выполняться?

б)	Пусть существуют и конечны величины

о2 = о, = D£n, ol = lim о£.

Какие из соотношений о2 < о£>, о2 = ст > oL могут,
а какие не могут выполняться?

§ 3. Характеристические и производящие функции

В этом параграфе задачи 4.58 — 4.83 связаны с вы-
числением производящих функций, моментов случайных
величин и характеристических функций, в задачах
4.84—4.99 рассматриваются различные свойства характе-
ристических функций, а в задачах 4.100—4.104 вычис-
ляются характеристические функции специальных рас-
пределений и исследуются свойства многомерного нор-
мального распределения.

4.58	е. Найти производящие функции целочисленных
распределений:

а)	пуассоновского: Р {£ = к} = е~‘, к = 0, 1, 2, ...
0 <Z X <Z оо;

б)	геометрического: Р {% — к} = pqk, к = 0, 1, 2, ...;
р, g > 0, р + з =* 1;

в)	биномиального: Р {с = к} -= Cr)pkqn~h, к = 0, 1, ...
..., п; р, 7>0, р + д = 1.

4.59	°. Найти производящую функцию qp(z) числа £п
успехов в п независимых испытаниях, если вероятность
успеха в каждом испытании равна р. Используя этот ре-
зультат, найти формулы для М£п,	(к = 1, 2, .. .),-

Dgn.

4.60	°. Производящая функция распределения слу-
чайной величины £, принимающей целые неотрицатель-
ные значения, равна <p(z)= Мс\

а)	Найти М£, D£, М(£ —М|)3.

б)	Найти производящие функции qp,(z)=Mzci случай-
ных величин £i = £/2, С2 = 2|, £з = —| и £4==£i — £г,
где £i и £2 — независимые случайные величины, имею-
щие то же распределение, что

в)	Доказать, что при b > а > О

1
о
1	2

1 f f

М-7—------X /е .	=•  z71-0-1 I Ua-"(p (w) du dz.

(I + «) (5 4-6) J	J

0	0

4.61	°. Пусть ti — порядковый номер первого из ис-
пытаний cxexftj Бернулли (т. е. последовательности не-
зависимых испытаний), которое окончилось успехом
(вероятность успеха в каждой! испытании равна р, не-
удачи — q = 1 — р). Найти Mti, DTi,Mzxf.

4.62	°. В схеме Бернулли обозначим через 0Ч поряд-
ковый помер испытания, в котором появился Л-й успех;
считая вероятность успеха в каждом испытании равной
р, найти:

1)	MUft, D0A;

2)	<peft(z) = M2e-.

4.63.	Закон распределения случайной величины
определяется формулой

Р {£ = «} = С.,^ 1 pmqn тк п = пг, т + 1, ...,

где т — целое положительное число, 0 < р < 1, q =
= 1—р. Найти производящую функцию распределения
£ и М£, DS, Показать, что распределение I- совпадает с
распределением суммы т независимых одинаково рас-
пределенных случайных величин.

4.64.	Найти закон распределения Ц =	+ £2 + £з,

если £1, £2, £з независимы и при к — 1, 2, 3; 0 < р < 1,
Ч = 1 — Р’

Р {th =	= C^~\m*ql-”\ I _ mkl mh + 1, ...

4.65.	Случайная величина v распределена по закону
Пуассона с параметром Л и не зависит от результатов
испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха р.
Обозначим число успехов в первых v испытаниях
схемы Берпулли. Найти:

а) Фц/(з) = М’"\

б) Mpv, Dpv.
4.66.	Производящая функция совместного распреде-
ления величин £i, £2 равна

4>6,.ц(*) -

где pi 4- р2 + рз — 1, Р> 0, i — 1. 2, 3. Найти:

а)	одномерные распределения Ед и £2;

б)	M|i, М^2, D^i, DU cov(|i, Ь).

Являются ли величины £1 и Е,г независимыми?

4.67.	Целочисленная неотрицательная случайная ве-
личина £ имеет производящую функцию фЦз). Дока-
зать, что если для целого к 1

lim — фг (z)

« 11 а2

= Шц <. 00 >

то = МЦ?-1)...(|-Н1)=т,

4.68.	Пусть — число появлений г-го исхода в и
независимых испытаниях с несовместными исходами
и вероятностью pj появления /-го исхода в каждом ис-
пытании (/ — 1, ..., /V). Найти

\	\ ЛА п,1	n.N

а)	ср (z1? .. ., z_v) = ?\Zj .. . z.v ’ ,

б)	мй‘1,	k, 7 = 1,2,

4.69.	Пусть выполнены условия предыдущей задачч
и N = 4,

Лп.1

1]п,2	£п,2 4" ^л,$» Лп.З £п,4,

г,( 4-	(+1 (I — 1, 2, 3) .

Найти производящие фумкции распределении векторов
(Цп.1, Пл,2, Пп.з), (Сп,1, ^п,2, U) и коэффициенты корре
ляции р(Цп,1, Цп.г), р(£пд, £п.г).

4.70.	Пусть величина v имеет распределение Пуассо-
на с параметром Л. и не зависит от исходов пспытаниг
полиномиальной схемы, описанной в задаче 4.68.

а)	Найти производящую функцию
случайного вектора |v = (£v,i, .Bv.jv).

б)	Найти производящую функцию
числа щ компонент вектора £v, равных к.

распределения

распределепия

дробно-линей

4.71.	При каких значениях параметров
ная функция ср (z) = будет производящей функци





ей целочисленной случайной величины?

4.72.	Производящая функция целочисленной случай
пой величины £ равна cp»(z). Нантп характеристическую
функцию £.
4,73.	Найти характеристические функции распре-
делений:

Хт

а)	пуассоновского: Р {£ = nt} = —: е~\ т = 0, 1, ..

б)	биномиального: Р{ = т} — CnPmqn~™, 0,1,...,п;

в)	показательного: р* (х) = ае~м, х > 0.

4.74.	Случайные величины £г, независимы и
имеют показательное распределение с параметром а:

Р х) = 1 — е~ах, х^ 0, i = 1, 2, ...

Найти M(£i 4- ... + £n)ft при любых значениях fc, п =
= 1,2,...»

4.75.	Случайные величины ||, дг, ... независимы,
одинаково распределены и имеют характеристическую
функцию /(£) = ЛАе’ * (производящую функцию ф($) =
= Ms'-), случайная величина v не зависит от £1,
принимает только целые неотрицательные значения и
имеет производящую функцию g(s)=Msv. Найти харак-
теристическую функцию (производящую функцию) слу-
чайной величины

_ pl + Ъ2 + ... +‘^V При V>le

1	0	ври v = 0.

4.76.	Производящая функция распределения случай-
ной величины принимающей целые неотрицательные
значения, равна tp(z] — Mz*. Выяснить, при каких усло-
виях следующие выражения являются производящими
функциями вероятностных распределений, и если явля-
ются, то указать, как соответствующие распределения
связаны с распределением £:

а- Ч> “ 541)’ 6> Ч> (z) = ч,-\и ,*1 -

в> Ч- W - «АауЦ. г> ч> w = i -

д)

4.77.	Случайная величина £ имеет биномиальное рас-
пределение с параметрами (п, р), т. е.

₽{£ = *}=* С,‘р« (1 - Р)"-\ к = 0, 1, .... п.

9' А. М. Зубков и др.

129
При каких условиях можно представить £ в виде
£ =*£1 + £2 +• ./+Imj

где .... tm независимы и при любом i = 1, ...» т
случайная величина |< имеет биномиальное распределе-
ние с параметрами (п{, pt) (nJ 1, 0 < /Л < 1)?

4.78,	Случайная величина £ принимает только целые
значения, и /(£)—Ме’н— характеристическая функция
распределения

а)	Доказать, что при любом целом к 1

p{& = e(mo(U)} =	/(У

j=0

б)	Найти формулу для Р (Е»m(mod к)} при
т » 1, 2, ..к — 1.

4.79.	Независимые случайные величины £1, £2, ...
имеют равномерное распределение на множестве
{1, 2, ..., 3Zc}. Найти

max Р | К + ... + Й®0(mod 3)}Л
n^l

miaP^i 4- ... + £n®0(mod3)}.
n^l

4.80.	Случайные величины £i, £2, •независимы.
Доказать, что для любого действительного X, удовлетво-
ряющего условиям

Mr ' OOf I « lf а . nt

справедливо равенство

м№+1,,+|«) «= П
i-i

4.81.	Случайная величина | принимает действитель-
ные значения. Доказать, что для любого действитель-
ного х

Р {£	а?)	inf

х>о

Р	z)	inf

£>о

4.82.	Пусть рп обозначает число успехов в п незави-
симых испытаниях с вероятностью р успеха в каждом
130
испытании. Доказать, что при а < р

Найти аналогичную оценку для Р {> {JnJ при 0 > р и
для Р (р.„ < п/2) при р > 1/2.

4.83.	Случайные величины £2, ... независимы и
одинаково распределены. Доказать, что если
и при некотором б > О

sup Mt/ i 00,
<х<о

то М₽. = —I <00 и для любого е > 0 сущест-
&Л	1Л.«=О

вуот такое осе е (0, 1), что

Р	+	п-1,2,...;

.. _хь -

аналогично, если sup гЛе ‘1 <; 00, то
о<я<в

рр1_	Е<аГ, п = 1,2, ...

( п	1	)

4.84*	. Случайные величины gi, £2 и х независимы,
характеристические функции || и £2 равны f\(t) и /г(0
соответственно, Р {х = 1} = 1 — Р {х = 2} = р е (0,1). Най-
ти характеристическую функцию случайной величины

(распределение ц называется смесью распределений
Ь и |2).

4.85.	Показать, что если Р{!£| <«}==!, то функция
/(f) = Ме<ц, — 00 < t < 00, равномерно непрерывна.

4.86.	Характеристическая функция /(£) = Мещ ПРИ"
нимает только действительные значения. Доказать, что
при любом действительном t

/(*)-/(-*).

4.87.	Найти характеристическую функцию:

а)	равномерного распределения на отрезке |0, а];

б)	«треугольного» распределения с плотностью

(а (1—а | х |) при

О при |x|;>a_I;
и) распределепия с плотностью

/1	* ° 1 л	*• 1

— оо <; х <С оо.

В случае в) вайти значение Са, при котором <?а(х) ока-
зывается плотностью вероятности.

4.88.	Случайная величина £ имеет нормальное рас-
пределение с параметрами (0. о2). Установив тождество

1 f Лж2 х’/2и!
-------- 1 - е
и у 2л J

у 1 — 2Ла2

найти с его помощью формулы для Mq и Dq, где
П = б**6’.

4.89.	Функция /(f), —с» < I < «>, обладает следую-
щими свойствами:

а)	/(0) = 1» /(f) $ для любого t;

б)	/(f)=/(—t) для любого t;

в)	графиком /(f), 0^f<°°, является выпуклая вниз
ломаная линия, состоящая из конечного числа звеньев.

Является ли /(f) характеристической функцией рас-
пределения вероятностей?

4.90.	Функция /(f), —оо < f < оо, обладает следую-
щими свойствами: /(0)=1, /(t)>0, /(0“/(—0 Для
любого f, /(f) непрерывна и /"(f)>0 для любого 1=^0.
Является ли /(f) характеристической функцией распре-
деления вероятностей?

4.91.	Пусть а > 0 и функция /i (t) имеет период 4й,

11 i < 2а.

/1{f) = l-7,

а)	Является ли /i(f) характеристической функцией?

б)	Является ли характеристической функцией функ-
ция /2(f)= l/i (t) I?

4.92.	Случайные величины £j, ..., (к > 1) незави-
симы и имеют функцию распределения F(x), случайные
величины qi, ..., q* независимы и имеют функцию рас-
пределения G(x). Следует ли из условия

Р {|1 + . . . +	< х} = " <Т|| + . . . +	< х)

для каждого х совпадение функций распределения F(x)
и G(x)?

4.93.	Изменится ли ответ на вопрос предыдущей за-
дачи, если дополнительно потребовать, чтобы Р{|£| + ...
...+<<»}== 1 и характеристическая функция рас-
пределения нигде не обращалась в нуль?

4.94.	Показать, что если характеристическая функ-
ция /(t)= Me"' удовлетворяет условиям

ЛМ = /(М=1,

то при любых целых тп, п — 0, ±1, ±2, ...

f(mtt + nt2) = 1.

4.95*	. Характеристическая функция /(t)=Me"4 диф-
ференцируема при I = 0. Верно ли равенство

/' (0)?

•	*	.	.т .	-

Рассмотреть случай, когда £ имеет плотность распреде-
ления р(х), причем

Р (*) — Р (— *), Р № =	(* -*• оо).

х In х

4.96*	. Характеристическая функция /(1)=Ме”4 удов-
летворяет условию If" (0) I < «о. Показать, что

М£2 = -Л(0).

4.97.	Показать, что если характеристическая функ-
ция /(г)-Ме'11 дважды дифференцируема при < = 0и
I/ (0) I < оо? то I/'(/) | < V |/" (0) I при любом t.

4,98.	Являются ли характеристическими функциями
вероятностных распределении следующие функции:

a)	e2(eit~l); д) |cosZ|2'3;

б)	соз(Г2); е) Ц1--(г=/=О),	1 (t = 0);

в)	cos21; ж) е“21 (/	0), — — (t 0);

г)	cos (Itj2/3); з) е“:<|?

4.99,	Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины g, характеристическая функция
/(t) = МеП| которой равна:

а)	- - sin at (а =£ 0),

б)	~ cosi sln2-|-, в) — sin2

Г) /2e-«W>sin(i +ЩД (о>0).
д) (1 -tty-’ti + it}-"	(pl9>0),

C' «»>(0,“), 0<6<l
' arcsi n 6	""

4,100.	Случайные величины £2, .независимы и
имеют одно и то же нормальное распределение с пара-
метрами (0, 1), Распределение случайной величины

Х?»Й f 8 + • • • + £

называют ^-распределением с г степенями свободы.

а)	Найти функцию распределения и характеристиче-
скую функцию х2_РасаРеДеления с Двумя степенями
свободы,

б)	Найти характеристическую функцию и формулы
для моментов к-го (к = \, 2, ...) порядка х2-распреде-
ленпя с г степенями свободы.

4.101.	Исходя из формулы для плотности гамма-рас-
пределения (см. введения к гл. 3 и 4), проверить, что
если случайные величины и £2 независимы, £1 имеет
гамма-распределение с параметром а, а — гамма-рас-
пределение с параметром р, то |i + £2 имеет гамма-рас-
пределение с параметром а + Используя это свойство
семейства гамма-распределепий, найти характеристиче-
скую функцию /a(f) И формулы ДЛЯ МОМвЯТОВ
mV (к = 1, 2, ...) А-го порядка гамма-распределения с па-
раметром а > 0.

4.102.	Случайный вектор (£ь ..., £ь) имеет много-
мерное ппрмальпое распределение в Я* с вектором ма-
тематических ожиданий	..., аА) и матрицей

ковариаций В. Найти распределение случайной вели-
чины

£ = С1£1 + ... +

где ci, ..., cft — действительные числа.

4.103.	Случайный вектор (£], ..., £А) имеет много-
мерное нормальное распределение в В* с вектором ма-
тематических ожиданий a = (ai, ..., ah) и матрицей
ковариаций В; матрица С — llcjl (iel, ..., j = 1, ...
..., А) состоит из действительных чисел. Найти распре-
деление случайного вектора (£1, ..., где

=	+ ... + ctt£ft, 1=1, ..., m.

4.104.	Случайный вектор |=(Bi, ..имеет мно-
гомерное нормальное распределение в Я* с вектором
134
математических ожиданий а=(Я1, .а*) и невырож-
денной матрицей ковариаций В Показать, что существу-
ет такое ортогональное преобразование С пространства
/С* в себя, что вектор т)=(ц1, ..цЛ) = С£ имеет много-
мерное нормальное распределение с независимыми ком-
понентами.

§	4. Неравенства Бонферрони

и сходимость к распределению Пуассона

4.105.	Случайные величины	незави-

симы,

Р (&п> = 1) = 1 - Р |йп) = 01 - р„ (и), к = 1, 2.п.

Пусть при п '* 00

max р (ri) -*-0, р, (п) 4- ... + р (ri) -> X, 0 <Z X с оо.

Используя метод производящих функций, доказать, что

limP||(1")+ ... + ЙГ’ = т|=-^-е-\ т = 0,1,2,...

4.106.	Случайная величина | принимает значения
1 и 0 с вероятностями р и q 1 — р соответственно,
а случайная величина ц имеет распределение Пуассопа
с параметром р: Р (ц ==-/с} = -^- е~р, к — 0, 1, 2, .... Дока-
зать, что £ и ц можно задать на одном вероятностном
пространстве так, что Р гр < р2.

4,107.	Случайные величины £i, ..., £„ независимы,
Р = 1} = 1 — Р {£< = 01 = р„ i = 1, ..., п. Используя
результаты задачи 4.106, доказать, что

оо

-т.2 р^ +

_ (Pi+--; + Pn)ft c-(Pi + -+Pn)l	У „2

4.108.	Пусть 4i, А2, ..., Aw — совокупность событий
и событие £fr состоит в том, что одновременно происхо-
дит ровно г из событий 41, ..., Дл. Доказать, что при
любом г — 0, 1, ...,7V

я

S (-
A«=r

где 50 = 1, Sk =	2	РИ<1Л<2 • • * л*лЬ

4.109*	. Случайная величина £ принимает только це-
лые неотрицательные значения. Доказать, что еслй
mk = M£[*J = МЦ£ — !)...(£-к + 1), А-=1, 2, ...» и для
целого 1 величина /ngd-i < то

2d	2d—1

2 <- п*-1 -£ < р а > 0} < 2 (- о*-
А = 1	Л=1

4.110.	Пусть выполнены условия задачи 4.109. Дока-
вать, что
n+2d—1	n+ad

A»»n	h=n

если п = 0, 1, ... и mn+2d-i < °°.

4.111.	Пусть выполнены условия задачи 4.109.
Доказать, что при любом п«1, 2, ...

n+2d—1	n+2d

2 (- 1)‘-п er;	< р и >»} < 2 (-1)4-” cr:

fc=n	fc=n

если mn+2d-\ < °°.

4.112.	Метод моментов. Пусть £|, £2, ...— по-
следовательность неотрицательных целочисленных слу-
чайных величин и

ml’’-М^1 (n, i = l,2, ...).

Доказать, что если существует такая целочисленная не-
отрицательная случайная величина £, что при любом
А = 1, 2, ...

lira wiAl) = М£|А‘ = mh <Z 00

и mh »= о (А! А“г)> “* °°» Для любого г < то
lim Р{£„ = А} = Р{£= к}, А = 0, 1,2, ...
П-»ос

4.113.	Пусть ||,	—последовательность неотри-

цательных целочисленных случайных величин. Доказать,
что если при любом к — 1, 2, ...

1йпМЙч- V, 0<х<оо,
«—♦ос

то lim Р {£п = т] *= ~ — е для любого т = 0, 1, 2, ..

т.,, е. .распределение, сходится к распределению Пуас-
сона с параметром Л при п -* с».

,4.Ц4. Пассажирский поезд состоит из /V вагонов по
я мест в каждом вагоне. В момент отправления в поезде
находилось п пассажиров. Обозначим символом =
— y<(n, N, s) число вагонов, в которых при отправлении
поезда находилось ровно i пассажиров, i — 0, 1, ...,
Предполагая, что все n!C]ve = (Ns)lnl вариантов разме-
щения Пассажиров в поезде равновероятны, найти фор-
мулы для факториальных моментов величин р0, Pi, ...
..., у,. Проанализировать поведение математических
ожиданий ц, при изменении п от 0 до Ns.

4.115.	Пусть выполнены условия задачи 4.114. Найти
явное выражение для Р{у.,(п, N, $)= к}.

4.116.	Пусть выполнены условия задачи 4.114. Пока-
зать, что если s и i фиксированы, an, N -* ос так, что
Mp<(n, N, s)-+ Ае(0, о»), то при любом к = 1, 2, ...

M(p.(n, N, s))[*]->

Вывести отсюда, что тогда для любого № О, 1, ...

1 т

4.117.	Пусть п частиц размещаются ио  ячейкам,
причем каждая частица независимо от остальных с оди-
наковыми вероятностями (равными 1/Л7) может попасть
в любую из ячеек. Обозначим через цг(п, N) число
ячеек, в которых находится ровно по г частиц. Найти
формулу для МцДп.ЛОи доказать, что еслп г = 0,1, 2,...
фиксировано, а п, N -► «= так, что Myr(n, Л7)-* X,
О < Л < 00, то

п ТП

Р {цг (п, Д') = 'т} -> т = 0, 1, ...

4.118.	Пусть частицы последовательно и независимо
друг от друга размещаются по N ячейкам так, что г-я
(ie 1, 2, ...) частица попадает в у-ю (/= 1, ..., N)
ячейку с вероятностью 1/7V. Положим

vr(7V)= nun {nt pr(n, N)> 0>, г = 2, 3, ...,
где цг(л, N) — число ячеек, содержащих после размеще-
ния п частиц ровно по г частиц. Найти такую последо-
вательность чисел bi, &2, что распределения случай-
ных величин Vr(2V)/£»x при Л7и фиксированном г
сходятся к невырожденному закону, и сам предельный
закон.

4,119.	Пусть п частиц независимо размещаются по
N2 ячейкам, расположенным в виде квадратной таблицы
размером  X N. Назовем ячейку свободной, если после
размещения п частиц ни в нее, ни в ячейки, находя-
щиеся с ней в одной строке или в одном столбце, не по-
пало ни одной частицы. Найти предельное распределе-
ние числа x(n, 2V) свободных ячеек, когда

n = 7V(lnA7V + o(l)), N-™.

§	5. Применения центральной
предельной теоремы

и метода характеристических функций

4.120	(см. 4.2). Случайная величина цп равна сумме
очков, выпавших при п независимых бросаниях симмет-
ричной игральной кости. Используя центральную пре-
дельную теорему, выбрать п так, чтобы

р |2h_35|^o,ll<O,l.
п ’ I

4.121	. Складывается 104 чисел, округленных с точ-
ностью до 10"т. Предполагая, что ошибки округления
независимы и равномерно распределены в интервале
(—0,5 • 10”"*, 0,5 10""*), найти пределы, в которых с ве-
роятностью, не меньшей 0,99, будет лежать суммарная
ошибка.

4,122	. Случайные величины	... независимы и

одинаково распределены:

Pg, = I)-P{5l = lj-l г#=1' г =

а)	Найти пределы математического ожидания и дис-
персии случайной величины = (&i ... £п)1,Г|/п при
л -* 00.

б)	Доказать, что прп п -> °° распределение т]п схо-
дится к логарифмически нормальному распределению
(см. задачу 3.233). Найти параметры а, о2 предельного
логарифмически нормального распределения.
в)	Сравнить найденные в п. а) значения lim Мт|п и

П->ОО

Ilin Dqn с математическим ожиданием и дисперсией слу-
Н *СО

чайной величины т), имеющей логарифмически нормаль-
ное распределение из п. б).

4.123	*. Случайные величины cj, |2, ... независимы и
одинаково распределены:

Pg, = 1,25} = Р g, = 0,8} =-|-> (=1,2,...,

11 *!" ъ! • • •

а)	Найти Мтрсоо, Dipooo, Mlnrpooo, D In щооо.

б)	Пользуясь асимптотической нормальностью In ru
яри п -* #», найти приближенные значения Р {rjiooo *3
< 0,001), Р {riiooo < О, Р {*]юоо < О, Р {Пюоо < 1041.

в)	Пользуясь формулой Стирлинга, найти Р {*1юоо <•
< 1 1, Р (*11000	11.

4.124.	Случайные величины £2, ... независимы и
одинаково распределены:

Pg, = 1,25}= Pg,-0,75} = |,	1 = 1,2, ....

И Tin = fci...

а)	Найти AAqiooo, D*)woo, Mln Т|]ооо, Din vjiooo.

б)	Пользуясь асимптотической нормальностью In *]л
при п -* найти приближенные значения

Р{Л1ооо^1О"2о>,

Р{*11000 < 1,25501 • 0,75499 « 1,6 • 10-14),

Р {*1юоо 1,25501 • 0,75499}, Р {rjiooo НГ7}.

в)	Пользуясь формулой Стирлинга, найти

Р {*Цооо <1,25б0] -0,75495},

Р {*iicoo С 1,25501 • 0.75499}.

4.125.	Случайные величины fei, £2, ««. независимы и
имеют стандартное нормальное распределение. Распре-
деление случайной величины

Й = «Ъ..+?п

называется распределением %2 (хи-квадрат) с п степеня-
ми свободы.

е> 0.

а) Доказать что lim Р
П-»оС

!?-1
п

>е =0

при любом
б) Найти lim Р

X* - МХП*
/°Х„

4.126.	Случайная точка £=(£ь ...,	имеет

равномерное распределение на единичной сфере в И",
т. е. на множестве точек 5’’ 1 = {(л-ь ..., zn) е R I

4-	... + хт. = 1]. Найти М|( и при 1 С 1, / < п.

4.127.	Случайный вектор £ =(£i, ...,	имеет

сферически симметричное нормальное распределение с

нулевым вектором средних и
вариаций. Равенство

| = рв, р =|^|,

единичной матрицей ко-

1 Е

где | £|

— длина вектора дает пред-

ставление в виде произведения скалярной случайной
величины р и вектора е. Доказать, что рве пезависи-

мы и что е имеет равномерное распределение на еди-
ничной сфере в Rn (см. задачу 4.126). Найти распреде-
ление, математическое ожидание и дисперсию р2.

4.128.	Пусть вектор в =(&i, ..., en)s Rn имеет рав-
номерное распределение на единичной сфер* в Rn. Ис-
пользуя результаты задач 4.127 и 4.125, доказать, что

при п -*

а)	распределение ъ\Уп сходится к стандартному нор-

мальному распределению,

б)	распределение вектора (sjVn, ..., екУп), А-== const,
сходится к совместному распределению к независимых
случайных величин, имеющих стандартное нормальное
распределение.

4.129.	Случайные величины |i, £2, ... независимы
и имеют стандартное нормальное распределение. Распре-
деление случайной величины

тп —



называется распределением Стьюдента с п степенями
свободы. Найти

lim Р (тп я}4	— оо <с х <z 00.

71-*00

4.130.	Пусть обозначает число появлений i-ro
исхода в п независимых испытаниях с  несовместными
.’сходами; вероятности появления этих исходов в каж-
дом из испытаний равны р\, pi, ..., рн > 0 соответствен-
по, pt + ... 4- р„ ~ 1. Далее, пусть ai, ...» aN — действи-
т< льные числа и

Нп =	। 4-... + Лм|я N.

Т]„ -

Найти Mnn, Dn» и предельное распределение —

У^л
при п->оо,

4.131.	Случайные величины £|, £2, ... независимы и
идинаково распределены; M£fc = a,	к = 1, 2, ...

Положим ть = £* +	+ fc*+2, Лг = 1, 2, ... Найти:

а)	Мти, cov(T]h, т]г)	Drb;

б)	итРГ> + - |;2.»-3м<И.

П-too I	b у 3n

4.132.	Случайная величина распределена по закону
Пуассона с параметром X. Найти

hm Р
к-*оо

4.133,	Два игрока заняты азартной игрой, состоящей
и подбрасывании несимметричной монеты, которая па-
дает «гербом» с вероятностью p>Q и «решкой» с вероят-
ностью q » 1 — р > 0. Ставки игроков в каждом туре рав-
ны соответственно а\ > 0 и а2>0 руб.; если монета
надает «гербом», то выигрыш а\ + а2 получает первый
игрок, если «решкой» — то второй. Предположим, что ис-
ходные капиталы игроков бесконечны, и обозначим через
Ли суммарный выигрыш первого игрока за п туров,
• через S\£' (= —S-nР) — второго. Показать, что:

а)	существует только одно такое значение х > 0, что
при а\/а2~х для любого у, |у| <.°с,

lim	и

lim Р{Л1)>у] <1.

б)	если а\ = Л2Х, где значение х то же, что в п. а), то

lim Р (5ku >5k2’) = Вт Р (5k1’ < 5k2’) - 4-
П-»оп	П-»оо

4.134.	Последовательность случайных величин
1а, ... такова, что при любом п = 1, 2, ...

— £п, 1 + £п. 2 + • . • + я,
где i, ..., tn,, —независимые случайные величины,
< = О, i — 1, .... в,

7»	П

4» 2 «>&..»< со,	1йп±2м|С„д|а-О.

... I	Л-*ю *Л '•1

Доказать, что распределепия случайных величин
при п -* «> сходятся к стандартному нормальному рас-
пределению.

4.135.	Случайные величины £<, £2, ... независимы,

n « 1, 2f

.О < а < 1.

Найти предельное распределение случайных величии

Ц+.--+Ь-м<Ь+•••+!») п^те.

/D(Ej+...+5п)

4.136. Пусть для каждого в«1, 2, ... случайные ве-
личины £п), ...,ЙпП) независимы и одинаково распреде-
лены:

при любом / —1, ..., п. Найти МВ , и предельное
распределение случайной величины

f(n) .1 .	I

Г1 =	'	 при л-*-оо.

4.137*	. Пусть для каждого пв1, 2, ... случайные
величины £,J , ...,£я независимы и одинаково распре-
делены:

р (_ /„) - р । й"» - - /й j -

р(^> = 0)-'^!

при любом У «= 1,
142

п. Найти M^n)4 D^T' в пределыюо
рпспределение случайной величины

iS’l, + ...+Un)

Пп = ----. '	---- при п—> оо.

4.138.	Случайные величины £1”’. ••<&.* 1 независимы,
Р(Й”’-1)-й”,

Р|?Г> = О) = 1-рГ> (1 </<»),

и С»=Л<1"’+ ... + йп).

а)	Найти Mt„, 0£„.

б)	Доказать, что если D£n -> 30 при п -* <», то пре-
дельное при п -* оо распределение случайной величины

является стандартным нормальным.

в) Положим mn^=f(p[1 ’) + ... +/(р(п ), где /(х)=0
при х^ 1/2 и /(х)= 1 при х> 1/2, Найти предельное при
и -* 00 распределение случайной величины £п — тк, если

2 Р,' ->4»	2 Pi '

Р|П)<1/2	£.'' >1/2

max min [j i tl—p. |->0.

4.139. Случайная величина имеет распределение
о дробно-линейной производящей функцией <pn(z)==
ап 4- (1 — dn — а) 3

=------4---7-----—, О «S an < 1, О ’С dn < 1. Какие невы-

1 апг

рожденные законы распределения F(x) могут быть пре-

дельными для последовательности^ (х) =	где

(An J

И„-*оо — некоторые нормирующие константы? Какие
условия надо наложить на последовательности ant d„, Ап,
чтобы lim Fn (х) « F (х)£ х > О?

71—> оо

4,140. Случайные величины 51” &г, ... независимы, не-
отрицательны и одинаково распределены:

Р{|, 0) - 1,	М^«|1>0,

D£i = o2,	0<a2<«j;

пусть A'i e max {n > 0:	+ * /»+ £n < t), t > 0 (если Ei >

t> f, то .V, — 0).
а) Доказать, что для любого е > О

lim Р

-N,-

0.

б) Доказать, что для любого х,

X

4.141.	Случайные величины £,2, .£д независим!
и имеют показательное распределение с параметром а:

Р{£< С х} - 1 - е-ая х 0, i =- 1, 2, ..п,

— значения ...,



женные в порядке неубывания (вариационный
пользуя результаты задачи 3.64, показать,
п, т -* <*> и n — m то:

располо
ряд). Иг
что еслл

т

а) М|(т) =

б) lim Р ] —

14-0(1). п nt 1 -ь о (1)

— м*

I7*1)

п (п —
т

п (п — гп) *

1М(.П>

X

*

4.142.	Случайные величины £i, .... независимы
одинаково распределены:

P{£<s£x) = F(x),

a £(i) -S3 ... С £(я) — их вариационный ряд (см. задачу
4.141). Доказать, что если в некоторой окрестности точ
ки x = zo существует непрерывная производная р{х] 
= F' (х) > 0, то при т/п -* F (z0), п -> °°,

lim Р

(ГС) '!

/Фо)

Ф (х).

)

4.143.	Частицы последовательно размещаются в N
ячейках так, что вероятность попадания у-й (/ = 1, 2, ...
частицы в £-ю (i«=l, 2, ..., N) ячейку равна 1/N и номер
ячейки, в которую попадает частица, не зависит от но
меров ячеек, в которые попали предыдущие частицы
Пусть v* — порядковый номер частицы, после раамеще
144
иия которой впервые число занятых (т. е. не пустых)
ячеек становится равным к, и t» = v» —vft-i (vo = O).

а)	Найти производящую функцию распределения тт
и Р(тт > vA — V/}, т. > к > I.

б)	Найти

lim max Р (тт vm_i — vm_r), г — 2, 3, ...
IV->oo

4.144.	Пусть случайная величина vM та ясе, что в за-
даче 4.143. Найги предельное распределение случайной
величины' vh — к, когда N -* 00, k2/N X. О < Л < 00.

4.145.	Пусть выполнены условия задачи 4.143. Найти
асимптотические формулы для Mvm, Dvra и предельное
распределение —, - w, когда М-*°° и оцЛ СпгСааЛ’
И * тп

при некоторых as, 0<ai <ots< 1.

4.146.	Производящая функция (p(z) = Mi1 случайной
величины £ является многочленом степени /V, причем все
корни Z|, ..., уравнения cp(z) = O вещественны. Дока-
зать, что распределение £ совпадает с распределением
суммы £ = £| 4-... + £Л, где случайные величины £i, ...
..., независимы и

Р{^1}=р() р^. = о} = 1-р<, i=l, ..., N.

Найти значения рь ..., pN.

4.147*	. Производящая функция <p(z)= Mzl случайной
величины £ является многочленом степени /V, причем
все корни zi, ..., zN уравнения tp(z) = O имеют неполо-
жительные вещественные части: ReZf^O, i = l, ..., N.
Доказать, что распределение £ совпадает с распределе-
нием суммы £ = £i 4-... 4- E.W, гдр случайные величины
£i, ...» £,м независимы и

Р(£< = 2} = г<, Р{£<=1}=ръ р{£( = 0}'=4-^-г<,

i = l....М.

Найти значения М, p(t rt (i — 1, ..., М).

4.148.	Последовательность целочисленных неотрица-
тельных случайных величин £i, £2, такова, что при
любом п = 1, 2, ... производящая функция

(z) — MzSn

является многочленом степени п, все корни которого ве-
щественны. Доказать, что если D£n — 00 при п -► то

М А. М. Зубное и др.

145
распределение случайной величины —г~т— БРИ п'	00

У =т>

сходится к стандартному нормальному распределению.

4.149.	Доказать, что если выполнены условия зада-

чи 4.148, но D|r. —- X < °° ври п-> оо и, кроме того,
lim max zn^ = — оо,
П-»оо 14i<n

где z„, i, ..., zn>w —корни уравнения q)n(z) = O, то рас-
пределение |я при п -* «J сходится к распределению
Пуассона с параметром X.

4.150*	. Пусть выполнены условия задачи 4.143 и
/n,N (г) = MzW'™ — производящая функция числа пустых
ячеек. Найти рекуррентное уравнение, связывающее мно-
гочлены /n,w(z) и /п-н. лг(з), и вывести из него, что вез
N — 1 корней уравнения /n,w(z)e0 вещественны при
любом /г > 1.

4.151.	Пусть выполнены условия задачи 4.143 и
go(w, Д')— число ячеек, оставшихся пустыми после раз-
мещения п частиц. Доказать, что если п, -> «- так, что
Мцо(п, Л7)-> оо и iV — Мцо(и, Л)-» «>, то предельное рас-
пределение случайной величины

ц0(», Л)-МИа(п,Л)

/Dp0 (n,N)

является стандартным нормальным.

4.152.	Случайные величины	••• независимы и

имеют одно и то же распределение с характеристической
функцией /(<). Доказать, что если при некоторых С>0,
0 < а 2,

/(O=1-CUI°(1 + о(1)),	t-+0,

то при п -> °° существует предельное распределение слу-
чайных величин

Ц + + ••• +ЕП

“ п1/а

Найти его характеристическую функцию.

4.153*	. Случайная величина | имеет абсолютно не-
прерывное симметричное распределение с плотностью
р(х) ~ C'kl“w([x! -> °o)t где С > 0, 1<а<3. Доказать,
что
00

= 1 — 2С 1t l«-i (1 + о(1)) • 1	- dua t -> 0.

J u1
о
4.154.	а) Доказать, что решение <p(s) функциональ-
ного уравнения

„ н _	+ Фа <«))

т \'1/ —	2	*

удовлетворяющее условию 0^<p(s)Cl при 0 s < 1,
является производящей функцией неотрицательной цело-
численной случайной величины Найти асимптотиче-
скую формулу для ! — /(<) при t -* 0, где /(О-Ме"’—
характеристическая функция

б)	Случайные величины £1, Е.а, ... независимы и рас-
пределены так же, как случайная величина £ из п. а).
Прь каком значении а предел

lim Р + ... +	= (Цх),	0<я<оо,

п+оо |П	J

существует и является функцией невырожденного соб-
ственного распределения? Найти характеристическую
функцию

оо

g(t) - I eitxdG (i).
в

4.155.	Случайная величина £ имеет распределение
Коши с параметром а, т. е. имеет плотность распреде-
ления

Р(х)

а 1

* а2 4- г”

— ОО <Z X <Z ОО.

Показать, что характеристическая функция Ме"в распре-
деления | равна е”“|П. Вывести отсюда и из задачи 4.153,
что

4,158. Независимые одинаково распределенные слу-
чайные величины «а, ... имеют абсолютно непрерыв-
ное симметричное распределение с плотностью р(х), не-
прерывной в точке х = 0, 0<р(0)<~. Используя
результаты задач 4.152—4.155, найти предельное распре-
деление последовательности случайных величин

при п—* оо.



147
Г

4.157.	Случайные величины |i, £2, Ъ имеют распре-
деление Коши с параметром а; при этом Ец и £2 незави-
симы, а Р (£3 ==	~ 1- Сравнить характеристические

функции и функции распределения суммы || + £2 неза-
висимых и суммы £1 + зависимых одинаково распреде-
ленных случайных величин.

4.158.	Используя результат задачи 4.155, вычислить

(а2 + и2) (b2 + (х - и)2) ’

Глава 5

ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

В предыдущих главах .рассматривались случайные
величины (т. е. измеримые функции, определенные на
вероятностном пространстве (Q,	Р)), принимающие

действительные или векторные значения. Случайная ве-
личина, значениями которой являются бесконечные по-
следовательности, называется случайным процессом с
дискретным временем-, если же значениями случайной
величины являются функции действительного аргумен-
та, то опа называется случайным процессом с непрерыв-
ным временем. Реализации случайного процесса (после-
довательности или функции) называют его траекториями.
Существует много способов задания распределений па
множестве траекторий случайного процесса (см., напри-
мер, задачи § 1).

Задачи § 2 связаны с пуассоновскими процессами и
потоками. Пуассоновский поток точек на действительной
прямой—это не более чем счетная случайная совокуп-
ность точек Т = {тл> <= ( — ооэ 00)=/?’, удовлетворяющая
следующим условиям:

а)	существует такая неотрицательная измеримая
функция А (я), х^Н1, что для любого измеримого мно-
жества В <= Нх число £(S) точек совокупности Т, попав-
ших в множество В, имеет распределенй! Пуассона с па-
раметром А (В) = 1 А (х) dx,

в

б)	для любых двух непересекающихся измеримых
множеств Вя^Н1 числа £(#t) и	независимы.

Функция К(х) называется интенсивностью пуассонов-
ского потока.
В ряде случаев более удобным оказывается другое
(эквивалентное) определение пуассоновского потока: для
любого я <= 7?1 при h I О

Р{№, х + Л])- 1) - Цх)Ь + o(h),

PU([x,x+ft]) = 0) = 1 -А(х)Л + о(Л),
и для непересекающихся интервалов (х, x + h), (у, у + g)
(h, g > 0) случайные величины ^([хг, х+Л]) и £([е/, у +
+ £]) независимы.

Если X, т. е. пуассоновский поток однородный,
а Т| < та < .. •— все точки пуассоновского потока на
[0, <»), то случайные величины ть та — т(, Тз — тг, •••
независимы и имеют показательное распределение:

P{ti С т) = Р{тЛ+1 — тк х} = 1 — е~^	(х > 0) .

Пуассоновский процесс Е, (t > 0) с интенсивностью
А, (г) —это случайный процесс, связанный с пуассонов
ским потоком с интенсивностью 'h(x) равенством =г
({О, £]), т- в. — это число точек потока, попавших
в отрезок [0, £]. Таким образом, при любом t>0 значе-
ние пуассоновского процесса с интенсивностью 'к(х)
имеет распределение Пуассона с параметром A(t) —

I

= * (х) dx, приращения £(+Л — и	(s, t, й, g^

>0) имеют распределения Пуассона с параметрами
A(t¥h) — A(t) и A(s + g) —Л($) соответственно (и не-
зависимы, если интервалы (t, i + й) и (s, s + g) не пере-
секаются) .

Важным классом случайных процессов являются цепи
Маркова.

Во введении к гл. 2 была определена общая схема
последовательности зависимых испытаний с исходами
1, ..., А, в которой вероятность появления цепочки исхо-
дов ii, ik в испытаниях с номерами 1, к пред-
ставлялась в виде

Р(/ь i*) = p(/i)p(<2lfI)...p(/Jfi ...ц-Д),	(5.1)

где ... if-1)>0 — функции, удовлетворяющие усло-
виям

ч N

S Р (ч I 4 • • • Ь-1) = 1	(5.2)

ij-i

для любого />1 и любых ii, ..., if-i^sd, ..., А}.
В предыдущих главах, как правило, рассматривался
частный случай однородной последовательности незави-
симых испытаний, когда функции p(i)\i].. •	p{i})

не зависели ни от /, ни от 1|, .... i}—\. В § 3 этой главы
рассматривается другой важный частный случай общей
схемы (5.1), в котором для любого /^2 и любых
ii, ..ij-i

J G ... ij—i)	Pij—(5.3)

если выполнено (5.3), то говорят, что последовательность
испытаний образует однородную цепь Маркова. Условие
(5.3) часто называют марковским свойством-, оно озна-
чает, что если исход какого-то испытания фиксирован,
то результаты испытаний, следующих за выбранным, не
зависят от результатов испытаний, предшествовавших
ему. При построении математических моделей ряда ре-
альных явлений предположение (5.3) оказывается до-
вольно естественным.

Для цепей Маркова начальному испытанию припи-
сывают номер 0 (а не 1, как в (5.1)), исходы 1, ..., N
называют состояниями цепи, вектор

р1”...,р(Л0)

— вектором начальных вероятностей, а матрицу

,Ь — И Pij 11 }

/Р11	Р12	P1N \

[ ^21	^23	Р^ |

\...............’

\pNl	pN2	pNN/

— матрицей вероятностей перехода. В силу (5.2) все
элементы матрицы Р неотрицательны и сумма элементов
каждой строки равна 1; матрицы, обладающие этими
свойствами, называют стохастическими.

Отметим, что все введенные здесь определения легко
распространяются на бесконечные последовательности
испытаний (цепи Маркова) с бесконечным множеством
исходов (состояний) {1, 2, ...}.

Из определений (5.1), (5.3) следует, что если —
состояние цепи Маркова в момент t и

— вероятность перехода из состояния i в состояние / за
t шагов, то матрица
а векторы p(0 = (p\", .,p". ), где p/1 = P(£( == /), удо-
влетворяют соотношению

=p(»)pr.

далее для любых О С to < ti <...</*, io,..₽= (1,..Л}

Р l£«f) *“ lUl -<! = <1, • •	= M =

= P = го) П	fy-lh

Таким образом, с формальной точки зрения исследова-
ние многих свойств цепей Маркова сводится к изучению
соответствующих свойств степеней матриц вероятностей
перехода (об одном из способов получения явных фор-
мул для элементов степеней матриц см. задачи 5.79—
5.81).

Важную роль при изучении цепей Маркова играет
классификация их состояний. Говорят, что состояние /
следует за состоянием I (i-+j), если pu(t)> 0 для неко-
торого целого t > 0; если i — / и / -> t, то состояния г и /
называют сообщающимися (г ;). Если для состоя-
ния г найдется такое состояние 7 = /(0» что J, п0
//* г (т. е. Px(t)sO), то состояние i называется несуще-
ственным; в противном случае состояние г существенное.
Множество всех существенных состояний с помощью
отношения *-+ (нетрудно проверить, что это отношение
является отношением эквивалентности) разбивается на
классы сообщающихся существенных состояний; перехо-
ды траектории цепи из одного такого класса в другой
невозможны. Множество несущественных состояний то-
же разбивается на классы сообщающихся состояний;
траектория цепи Маркова может выходить из любого
такого класса, но, выйдя из такого класса, вернуться в
него уже не может. Если множество состояний цепи Мар-
кова конечно, то с вероятностью 1 траектория цепи рано
или поздно выходит из множества несущественных со-
стояний и после этого остается в одном из классов су-
щественных сообщающихся "состояний.

Говорят, что класс сообщающихся состояний пе-
риодический с периодом d> 1, если для состояния

{t: р«(1) > 0) с (d, 2d, 3rf, ...)

(5.4)

и любое число d\ > d не удовлетворяет (5.4); определен-
ное ио формуле (5.4) число d зависит от класса «$£, по
ие от выбора элемента г е ,я/. Если (5.4) выполняется
только при d — 1, то класс называют апериодическим'

Пусть все состояния цепи Маркова с матрицей ве-
роятностей перехода Р образуют один апериодический
класс сообщающихся состояний. Тогда существует такое
целое число to, что при любом t > t0 все элементы мат-
рицы Р* положительны и справедлива следующая

Теорема. Если для цепи Маркова с N < °° состоя-
ниями при некотором to > 0 все элементы матрицы Р 0
положительны, то существуют

Птру (Z) = Л;>0, I, {1, ..N};

величины jtj, ..лиг являются единственным решением
системы линейных уравнений

к

2лгРу>=ЛЬ У «= 1т ...,2V,	+ . . . -г Лгу •= 1.

<=]

Распределение Я = (Я1, ..., лх) не зависит от началь-
ного состояния i цеди и называется предельным или
финальным распределением Кроме того, распределе-
ние л стационарно, т. е. пР* = я для любого t — 1, 2, ...
В случае, рассмотренном в теореме, стационарное распре-
деление единственно и совпадает с предельным; если
цепь Маркова имеет несколько апериодических классов
существенных сообщающихся состояний, то существует
много стационарных распределений и предельное распре-
делепие зависит от начального; если цепь содержит не-
существенные состояния, то соответствующие им пре-
дельные вероятности равны 0.

Наконец, если все состояния 1, ..., 7V цепи Маркова
fir образуют один класс периода d > 1, то предельного
распределения при условии £о = i и t -> оо не суще-
ствует; однако существуют такие распределения л(‘ =»
= 1 л- , ....., л ;==(Л1	л^'), что для любого

i е {1, ..., Л} и любого целого к 0

lim ру (td + к) =	у=1, ..., Nt

t- »оо

где функция m(i, к) принимает значения 1, ..., d и при
любом /е{1, ..N} лишь одно из чисел п/\ ...,л
отлично от 0.

Цепью Маркова £, с непрерывным временем и мно-
жеством состояний {1, ..., 7V) называют случайный про-
152
цесс, траектории которого являются кусочно-востояины-
ми функциями, принимающими значения 1, ..А, и при
любых I, /е{1, ..AO, t и h>0 вероятности перехода
иэ,состояния i в состояние / за время h

Pa(h)— P{^t+ft =	= i) —	“ j =*= i, {£u)u<i}

не зависят от поведения процесса |u до момента t и удов-
летворяют условиям

Pii(h)=^ aijh + o(h)

Pu(h)= 1 — a,th + о (h),

N

h | 0, ctt==X aii. i,/e {1t .. .^A*}.
»	j= j

Функции	i>0, являются решением систем диф-

ференциальных уравнений Колмогорова — Чепмэна

n

Pij (0 = — «iPtj (0 4- X «iAAj
A-l

(5.5)
И

N

Pa (0 ₽ — aiPn (0 + 2 Pih (0 aAJs

s=l
ЛА#

/,	{1,	A’},	(5.6)

с начальными условиями ptl(0)  1, ptj(0)«0 i,
e= {1, ..,, Al).

Классификация состояний описанных здесь цепей
Маркова с непрерывным временем отличается от случая
дискретного времени лишь тем, что состояния (и их
классы) не могут быть периодическими. Если все состоя-
ния 4, ..Л цепи Маркова с непрерывным временем
сообщаются, то существуют

lim ру (t) —	>> 0, i, ; е {1, ..., А},

t->oo

и предельное распределение л=(л], ..nN) является
единственным решением системы линейных уравнений

.L ^k^kj = JljOfj, / = 1 , • • ч

ЛА»

лг +... + лл = L
§ 1. Разные задачи

5.Г. Случайные величины (t = 0, ±1, ±2, ...) не-
зависимы, = a, D&» = о2. По действительным числам
со, С], .,., ch, удовлетворяющим условию со + с» + ...
... 4- ch = 1, построен случайный процесс

+ c^t-i + ... +	£ = 0, ±1, ±2, ..

Найти Mrp, Dtp, cov(rp, тр). Показать, что cov(ip, tj,) =

•= Z?(ls — f|), т. e. зависит только от Is — tl.

5.2	’. Пусть выполнены условия задачи 5.1.

а)	Доказать, что последовательность случайных ве-
личин

= 4 Oh + ... + Пп)

при п -+ со сходится по вероятпост к а = М£<.

б)	Сходится ли цп к а с вероятностью при п -*

5.3	. Пусть выполнены условия задачи 5.1 и, кроме
того, а = 0, М? J = с < оо.

а)	Доказать, что для любого целого s>0 последова-
тельность случайных величин

Сп* = “(Л1Л1+« + T121l2 + S + • • • + 'ПпГ|п + «)

при л -► оо сходится по вероятности к R(s).

б)	Сходится ли С/ к Z?(s) с вероятностью 1 при
Л оо?

5.4	°. Случайный процесс £е, £ = (), ±1, ±2, ..., опре-
деляется формулой

£г = asin(z4£ + р)+ е(,

где a, J}» {et}t~-=»— независимые случайные величины,
Ma = 0, Da = l, р имеет равномерное распределение на
отрезке [—л, л], Met = 0, De( — о2. Найти М£<, D£i,
cov(B<, £.).

5.5	. Случайный процесс	—°° < t < °°, задан фор-

мулой

£< =31Н(« + ПЦ1)+ sin л(« 4- q2)t

где т>1 и т)2 независимы и имеют равномерное распреде-
ление па отрезке |—1, 1]. Найти M|f, D^,, cov(£(, В,).

5.6	. Случайный процесс	— <» < £ < °0, задан фор-

мулой

— £, sin £4-£2 sin л£,
где £| и £2 независимы и имеют равномерное распреде-
ление на отрезке [—1, 1]. Найти плотность распределения
случайной величины т] «= sup Ед.

i

5.7	*. Случайные величины он, аг, • независимы и
одинаково распределены, Ма4 = 0, Da.e 1. Случайные
величины &}т рг, ... независимы, не зависят от ai, аз, ...
и имеют равномерное распределение на отрезке [—л, л).
Последовательность случайных процессов тщ (£), ЛгЮ, •••
определяется равенством

п

Пп (0 = i СЦ cos (t + pft).

V П k = l

а)	Найти предельное распределение т)„ (£) при п -* <»,
t = const.

б)	Доказать, что т|п(£) = 0псоз(£ + уп). Найти предель-
ное распределение вектора (^п, 0П) при п-*<*>.

5.8	°. Случайный процесс ег, 0 ^ £ < °°, с вероятностью
1 имеет непрерывные траектории, Ме(^0, Der < «\
ccv(et, er) — R(\t — $|) при любых t, $5*0. Пусть t|i =

e	t5*0. Найти Мтр, Drp, cov(r|f, т],).

о

5.9	е. По траектории случайного процесса £ 5? 0,
определяется случайная величина

tw = inf {£ >0: £,5= AL

Найти функцию распределения FN (х) = P{t1V х} при
Л7 > 0 в следующих случаях:

а)& = ££, где Р{£<х} — 1 —	. (z>0, Л > 0),

б)	= £2 - 2tt, где Р(£ < х) = 1 - (х > 0),

в)	£< = £еа1, гДв а>0 и Р{£ Сх) — 1 — е-Ул (аг 5*0).

5Л	0. По последовательности до, ... независимых
одинаково распределенных случайных величин построен
случайный процесс ц* = £ft+1 — Ви, Лв0, 1, ... Положим

Ti = inf {к > 0: Т]„ < 0),

та == inf {к > 0: тр < 0).

Найти Mtj и Мтз в следующих трех случаях:

а)	P{to = n-P{^o = 21 = l/2,

б)	Р = 1} = Р {£0 = 2J = ... = Р{^0 = d) = 1/4

в)	имеет равномерное распределение аа отрезке
10, 1|.
5.11.	Найти распределение корпя т случайного, урав-
нения £х + ц = 0, где £ и ц — независимые случайные ве-
личины, имеющие стандартное нормальное распределение.

5.12.	По последовательности £i, £2» ... независимых
случайных величин, имеющих стандартное нормальное
распределение, строится траектория случайного процесса

(t > 0): £о = О, £* = £) + ... + при любом целом fc >
> 1, а при /с+1), к — 0, 1, ..., графиком траекто-
рии является отрезок, соединяющий точки (к, и
(fc+ 1, £ft+i), т. е.

=(к + 1 — Г) С* + (« — &)|Л+1.при к < t < к + 1.

Найти математическое ожидание числа ц» нулей процес-
са на полуинтервале [0,/с) (к > 1 — целой) и ас и мп-
готику МцЛ при к -* «к».

5.13.	Случайный процесс £п(х), —«><ж<00, опреде-
ляется равенством

£п(я)в £0 + £iz + S2*2 + ... +С„х",

где случайная величина Со не зависит от случайного век-
тора (£i, ..., £„) и имеет непрерывную функцию распре-
деления, Доказать, что при любых фиксированных х и а

Р{Ь(х) = а)=0.

5.14.	Доказать, что если выполнены условия задачи
5.13, то с вероятностью 1 все действительные корни мно-
гочлена |п (а:)—простые.

5.15.	Случайный процесс £„($), —	опреде-

ляется равенством

Вп(я) “ Со+ £1^ + ... + £пхя,

где £о, Сь ...» Zn — независимые случайные величины,
имеющие нулевое математическое ожидание и единич-
ную дисперсию. Найти М£„(х), D|n(x), cov(|„(x),

5.16.	Доказать, что если выполнены условия задачи
5.15, а случайные величины Сь •••» £„ независимы и
имеют стандартное нормальное распределение, то при лю-
бых действительных Xi, ...» xh вектор (£«(£1), ...» В-(х»))
имеет многомерное нормальное распределение.

5.17*	. Случайный процесс |п(х), —опре-
деляется равенством

(х) = Со + Zlx + . . + ZnXn,

где Со, Сь • • •, Сп — независимые случайные величины.
имеющие стандартное нормальное распределение. Исполь-
зуя результаты задач 5.15, 5.16 и 3.266, доказать, что
lira 4- Р {£n (*) In + h) < 0} •=
л -»о я

_ Тн^/Н(" + 1М”Г^4-

1	т/'я<" + 2> lrl = 1

На рис. 6 приведены графики функций gio(*), #2о(*),
#4о(*). Доказать, что при п t «> функции g,(x), монотон-
но возрастая, стремятся к функции	= —j-тр

Рис. 6

5.18.	Случайные величины &|, £2, ... независимы и
имеют одно и то же распределение на множестве {—1, 0,
1, 2, ...} с производящей функцией / (s) = Ms6i. По слу-
чайному блужданию

ро — 0, рп = В» +  • • + £»	(» > 1),

построим случайные величины Xi, Т2, ...:

(min {n: pn = — Л}, если inf Р" < “

Ть = 1	«>0

(оо в противном случае.

а)	Доказать, что производящие функции <рА (ж) = Мл'’А
связаны соотношениями фА (s) — <р* (s), а производящая
функция ф! ($) является решением уравнения s/(q>i (s) )= 1.

б)	Найти функцию <pi(s), если

Р{^ в к} = (1 - р)/+‘, /с = -1* 0, 1, ...
в)	Найти функцию <pi($), если

Р{^с=1} = Рэ	0<р<1.

5.19.	По случайному блужданию рп, определенному а
задаче 5.18, построим случайную величину р = inf рп.

п>0

а)	Найти распределение ц.

б)	Доказать, что Р{ц > — °°} — 1 тогда и только тогда,
когда М^| > 0 или P(£t — 0) = 1.

5.20.	Показать, что если ро в 0, рп «- + ... +	—

случайное блуя«дапие, построенное по независимым оди-
наково распределенным случайным величинам £i,	. •!

Р{£„ = 1} = Р{|„ -= -1) - 1/2, п = 1, 2, ...,

то справедливы следующие соотношения:

а) Мрп = 0, Орп = м, Р {Р2п+1 = 0} = О, Р \Ргп — 0}==
-СТ„2"2П-------L, »-»»!

у пп

п-1	<__

б)M|pn| = 2p<p'>“°}~l/v-

'< = 0

5.21.	Случайные векторы £t, £2, ... в d-мерном евкли-
довом пространстве независимы и при любом к = 1, 2, ...

= М]^р = о^<оох

где ||J — евклидова длина Построим случайное блуж-
дание ро = 0,	= £1 4 <.. +	('<>!). Доказать, что

Мрп = 0t М | рп |2 = о® 4- .., 4- On.

5.22.	Случайные векторы £»•"(&*, ь ...» £*.<0 (&"
= 1, 2, ...) в d-мерном евклидовом пространстве незави-
симы и имеют равномерное распределение на единичной
сфере

3d-1 «= ((хь ..., xd) Rd: х[ 4- ... + x'd = 1).

Пусть рп — £1 + ... 4 |п и |ри1 — евклидова длина векто-
ра рп. Найти М|рп|2, Dlpnl2.

5.23.	Пусть выполнены условия задачи 5.22. Доказать,
что при любом а > 3/2

P{]im 1^1 _ 0} — t.

1П-»оо п	]

5.24*	. Случайные величины £1, £2, ... независимы,
принимают значения 1 и —1 с вероятностями р и qв
158
= 1 — р соответственно, и

5о = О, 5п = |14-...+ |п, п=1,2, ...

Обозначим через v число таких п, что SB = 0.

а)	Показать, что если р^ q, то P{v<°°)“l;

б)	показать, что если р = q = 1/2, то P{v = «>} = 1.

5.25*	. Независимые случайные векторы |n = (|n,i, •••
..., |п	п = 1, 2, ..., имеют независимые компонен-

ты и Р {|n i=l}=P{|nJ = _ 1} = 4-,1 п = 1, 2, ...
Положим Sn —'|| +... + |n, n=l, 2, ..., и обозначим че-
рез v число таких п, что 5п=(0, ..., 0). Показать, что
Ptv = оо} = 1 црп s = 2 и что Plv < оо} = 1 при s > 3.

5.26.	(Тождество Вальда.) Пусть случайные ве-
личины |i, |s, ... независимы, М|< = а, M||J^C' < «
(г > 1). Пусть Bi с /?’, Вч <= В\ В, Я3, ... — произволь-
ная последовательность измеримых множеств, и случай-
ная величина v определяется равенством

v = inf{?i: (|i, ..., |n)^fln}

(v = оо, если (|i, ..., |„)sfin при любом гс<°°). Исполь-
зуя равенство

V	«	оо

2 а. = 2 U{v>0 = 2 Ь(1 -x{v<i}>
1=1	:«=i	i=i

(где хЫ} — индикатор события Л), доказать, что если
Mv < о°, то

М |i = aMv.
i=i

5.27.	Проверить справедливость установленного в за-
дач© 5.26 равенства в следующих случаях:

а)	Р(|< = 11 = Р(|< = -!>== 1/2, v = min{n>0: |, + ...
... + !„ = !},

б)	Р{|< = 1) = Р{|< = —2} = 1/2, v = minU^0:

Объяснить результаты.

5.28.	Случайные величины |i, |г, ... независимы и
одинаково распределены, а = M|i >0 и P{||il С С) = 1
при некотором С < «>. Пусть ро = О, рп == |i + ... + |п
(н>1) и /Vt“inf{n>0: 5’п^П. Доказать, что при лю-
бом t > 0

t afANt ^t + C.
5.29.	Случайные величины pi, pj, при любом целом
n > 1 удовлетворяют условию

M(pn+ilp], pj >рп.

Доказать, что при любых целых к, п > 1

M{pn+Jpi, ..pj > pn.

5.30’	* Неотрицательные случайные величины pi, р2, ...
при любом целом п > 1 удовлетворяют условию

M{pn+ilpt, ..., pj >pn.

Доказать, что для любого 6 > 0 и любого целого п > 1

Р{тах{Р1, рп)>6}^^.

5.31.	Случайные величины Si, £2, ... независимы,
М£( -0, z = 1, 2, ... Доказать, что для любого б > 0 и
любого целого п > 1

Р/max |Е, + ... +

5.32.	(Неравенство Колмогорова.) Случайные
величины £i, £2, ... независимы, Mg,-0T — о? <4 со
0в1,2, ...). Доказать, что для любого б>0 и любого
целого п > 1

о5. 4- ... 4-

Р / max |	+ ... + h I > 6J < -----------2-------

§	2. Пуассоновские процессы

5.33	°. Найти cov(St, Su-Д при s >0, если:

a)	|t — пуассоновский процесс на [0, с интенсив-
ностью А,

б)	St — пуассоновский процесс на [0, ») с интенсив-
ностью МО-

5.34	. Пусть {Tft}£=i (0 < Xi < т2 < ...) — положения то-
чек пуассоновского потока на [0, 00) с интенсивностью X.
Доказать, что при любом Т > 0

2 Р{тд<7’} = А7’.
й==1

5.35	. Пусть выполнены условия задачи 5.34. Найти
МтА, Dxft и плотность рл{х) распределения тй.

4G0
5.36	. Пусть выполнены условия задачи 5.34. Найти:
а) плотность p(#i, .xh) совместного распределения
случайных величин Ti, 12, ..1л,

б)	Р{т!<а?1'С2>Г},

в)	P{xi С xlТ| < 71 < Т2^> 0 < х С Т.

5.37	. Пусть выполнены условия задачи 5.34, Найти
условную плотность рт(%1, • Хъ) совместного распреде-
ления случайных величин т>, ..., тА при условии, что
тл^71<та+ь Сравнить pr(xi, ..., xh) с плотностью
gT(#i, ..., xk) совместного распределения членов вариа-
ционного ряда |(i) < ё(2) <  • • < построенного по не-
зависимым случайным величинам Ел, ..Вл» имеющим
равномернее распределение на отрезке [0, 71],

5.38	°. Найти математическое ожидание числа точек
пуассоновского потока с интенсивностью X, принадлежа-
щих интервалу (О, Т) и таких, что справа от каждой из
них в интервале длины А нет других точек этого пуас-
соновского потока.

5.39	. Найти математическое ожидание числа точек
пуассоновского потока с интенсивностью Z,, принадлежа-
щих интервалу (О, Т) и таких, что расстояния от каж-
дой из них до ближайших точек пуассоновского потока
не меньше А.

5.40	°. Пусть {TfcjftU-oo—положения точек пуассоновско-
го потока на (—°°, °°) с интенсивностью X. Перенумеруем
случайные величины тА так, чтобы они удовлетворяли
условиям 0 С Iт(0) I < 1т{1)1 =5 ...

а)	Как можно описать последовательность {| T(k) |}й“=0?

б)	Что можно сказать о последовательности 0ц
«= Т(ц)/1т<А)1, fc=»0, 1, 2, ..., знаков чисел r(ft)?

5.41”	, Пусть 0 < Ti < та < ...— положения всех точек
пуассоновского потока на [0, «>) с интенсивностью X.
«Проредим» этот поток, исключая из него каждую точку
независимо от остальных с вероятностью р, где р — дан-
ное число, 0 < р < 1. Доказать, что прореженный поток
является пуассоновским. Чему равна его интенсивность?

5.42	. Пусть р (х) — кусочно непрерывная функция,
принимающая значения из отрезка [0, 1], a 0<ii<
< 12 < ...— положения всех точек пуассоновского потока
па [0, с интенсивностью Х(ж). «Проредим» этот поток,
исключая из него каждую точку ift независимо от
остальных с вероятностью /?(ift). Доказать, что прорежен-
ный поток является пуассоновским. Чему равна его ин-
гнсивность?

И Л. М. Зубков и др.

161
5.43°	. Моменты поступления требований в систему мас-
сового обслуживания образуют пуассоновский поток на
(—оо, ос) с интенсивностью Л. Каждое требование неза-
висимо от остальных находится в системе случайное
время т с Р(т < х} =-> G(a;), Мт < «, Найти распределе-
ние числа требований в системе в момент t.

5.44.	Для системы массового обслуживания, описан-
ной в задаче 5.43, найти функцию /(£) = Р{£< =»01 £о-«01.
Убедиться в том, что /(i) монотонно не возрастает
по t.

5.45.	Случайно расположенные на плоскости точки
образуют пуассоновское поле с интенсивностью Л, т. е.
число точек в любой квадрируемой области S имеет пуас-
соновское распределение с математическим ожиданием
XliS’l, где 151—площадь области 5, и числа точек в не-
пересекающихся областях независимы. Пусть pi
С р2 <...— упорядоченные по возрастанию расстояния
от начала координат до точек этого поля.

а)	Как можно описать последовательность {рл}Дн?

б)	Найти плотность рп(х) распределения ря, точную
формулу для Мрп и асимптотику Мрп при »-*•«>.

5.46.	Случайно расположенные в пространство R3 точ-
ки образуют пуассоновское поле с интенсивностью Л,
т. е. число точек в любой измеримой области V имеет
пуассоновское распределение с математическим ожида-
нием A.IVI, где (VI — объем области V, а числа точек в
непересекающихся областях независимы. Ответить на те
же вопросы, что в задаче 5.45.

5.47.	Автобусы прибывают на остановку в случайные
моменты времени Т1<Тз<... Случайные величины ц,
12, ... независимы и тп имеет равномерное распределение
в интервале (n — 1, п).

а)	Найти плотность р(х) распределения интервала
б„ = Tn+i — между автобусами.

б)	Найти плотность ph(x\, £2) распределения двумер.
ного вектора (бя, 6Я+Л) при к — 1, 2, ...

в)	Моменты £| и прихода двух пассажиров на оста-
новку независимы и имеют равномернее распределение
на интервале (0, 1). Найти вероятность того, что опи
поедут на ^дпом и том же автобусе.

г)	Моменты и прихода двух пассажиров на оста-
новку независимы, имеет равномерное распределение
на интервале (0, 1), а £-j— на интервале (1, 2). Найти
вероятность того, что эти пассажиры поедут на одном
автобусе.
д)	Пассажир приходит на остановку в случайный мо-
мент £, имеющий равномерное распределение на интер-
вале (0, 1). Найти математическое ожидание, дисперсию
и плотность	распределения времени ожидания

автобуса.

5.48,	Решить задачу 5.47 в случае, когда последова-
тельность Ti < та < ... моментов прибытия автобусов на
остановку образует пуассоновский поток с интенсив-
ностью 1. Сравнить полученные результаты с результа-
тами решения задачи 5.47.

§ 3.	Цепи Маркова
*

5.49.	Цепь Маркова имеет множество состояний
(—6, —5, .... О, 1, ..., 6}. Переходные вероятности р^ж
 = P{^t+] =	=— i) при i 0 определяются соотношениями

__ /1, если у = i + 1 CZ 0 или ] = i — 1^0,

' (Ов остальных случаях.

Провести классификацию цепи Маркова и множества ее
состояний, если:

а)	ро, 6 = 1, Ро, i = 0 (i=^6),

б)	ро, 6 = Ро, -6 = 1/2, ро, t = 0 ([ Н=/=6),

в)	Ро, 6 = Ро. -5 = 1/2, ро, < = 0 (г ^-5, i =# 6).

5.50.	Матрица вероятностей перехода цепи Маркова
имеет вид

/0,1 0,5 0,4\

Р = | 0,6 0,2 0,2 .

\о,3 0,4 0,3/

Распределение по состояниям в момент времени t — О
определяется вектором (0,7; 0,2; 0,1). Найти:

1)	распределение по состояниям в момент t = 2;

2)	вероятность того, что в моменты t = 0, 1, 2, 3 со-
стояниями цепи будут соответственно 1, 3, 3, 2;

3)	стационарное распределение.

5.51.	Пусть £, — номер состояния в цепи Маркова в
момент времени t', Р(£о = 1)=1, и матрица вероятностей
перехода имеет вид

/3/7	3/7	1/7 \

( 1/11 2/11 8/11 I;

\1/11 4/11 6/11/
положим

_ fl, если = 1,

(2t если 1.
Показать, что последовательность является цепью Мар-
кова. Найти ее матрицу вероятностей перехода.

5.52.	Случайные величины 1—1, 2, ..незави-
симы и

P(L = 1) = P. =

Положим i]o = O; ф+1 — Л» + Является ли последо-
вательность ф цепью Маркова? Найти Р(тр = иг), т =
= 0, 1, 2, ...

5.53.	Пусть 1=1, 2, ...,— независимые случайные
величины, = 1) = 1 — р(£4 = -1) = р являются ли це-
пями Маркова последовательности случайных величин:

а)

б)	ц» =

в)	et+1)» где <P(“t	1)==2,

<р(1, —1) = 3, <р(1, 1)=4?

Для цепей Маркова найти вероятности перехода за
один шаг,

5,54.	В /V ячейках последовательно независимо друг
от друга равновероятно размещают частицы. Пусть
цо(л)—число ячеек, оставшихся пустыми ьосле разме-
щения п частиц. Показать, что последовательность р-о(п),
п = 1, 2, ..., является цепью Маркова. Найти вероятно-
сти перехода.

5.55.	В 7V ячейках независимо друг от друга разме-
щаются комплекты, состоящие из т частиц. Частицы
одного комплекта размещаются в ячейках по одной, и все
возможные выборы т мест из имеют одинаковые ве-
роятности. Обозначим через цо(^) число ячеек, остав-
шихся пустыми после размещения п комплектов. Пока-
зать, что последовательность Цо(и), п=1, 2, ..., является
пенью Маркова. Найти вероятности перехода.

5.56.	Урна вначале содержит /V белых шаров. За 1
шаг из урны по схеме случайного равновероятного выбо-
ра вынимают 1 шар и заменяют его новым, который —
независимо от предыстории процесса — является черным
с вероятностью р и белым с вероятностью q — 1 — р. Обо-
значим через число белых шаров в урне после л-го
шага.

а)	Найти р0 = P(|n+i =/1|„ = О, i, / <= {0, 1,	/V}.

Является ли последовательность цепью Маркова?

б)	Найти limP{En =/с} = nft, Ae{0,

П-* ос

5.57.	В бесконечной последовательности занумерован-
ных шаров каждый шар независимо от остальных явдя-
164
ется черным с вероятностью р и белым с вероятностью
q = 1 — р. Будем считать, что в момент времени п е
е {0, 1, ...} урна содержит шары с номерами п + 1,
п + 2, ..., п + N, и обозначим через число белых ша-
ров в урне в момент п. Ответить на те же вопросы, что
в задаче 5.56.

5.58.	Матрица Р — || рц о неотрицательными эле-
ментами называется дважды стохастической^ если р<\ +

Р<2 +  • • +/An вРи + р2<+...+ Pn<^ 1 ДЛЯ ЛЮбоГО ? =
= 1, 2, ..., N. Показать, что если цепь Маркова с со-
стояниями 4, ..., N имеет дважды стохастическую'матри-
цу вероятностей перехода Р —1| Po-||ij=i, то равномерное
распределение на множестве {1, ..., N) является стацио-
нарным для цени £е.

5,59.	Пусть £о,	—цепь Маркова о множеством

состояний {1, 2, 3), матрицей вероятностей перехода
и стационарным распределением л,. Показать, что если
Рн “ р22 = рзз = О И Л] == Лг = Лз = 1/3, ТО р12~Р23=Р31
и Р13 = р2) — Р32-

5.60.	Пусть гр, т|2,	—последовательность независи-

мых одинаково распределенных случайных величип, п
/(я, у)— функция, принимающая значения в множестве
(1, ..., М. Является ли последовательность случайных
величин

М р (U - - й”), U1 = / (Ь, Ч(+1),

Г = 0, 1, 2, ....

цепью Маркова?

5.61.	Пусть T]0i “Ль т]г, • ••—последовательность неза-
висимых случайных величин, имеющих равномерное рас-
пределение на отрезке [0, 1]. Показать, что для любого
начального распределения р ° = (pi”, ..., pn' ) и для лю-
бой матрицы переходных вероятностей Р = || рц ij-i мож-
но указать такие функции /(х, у) и g(y) (хе {1, ..., N},
у«=[0, 1]), что последовательность ^o = g('nc), £t+t =

Ц«+1), t — 0, 1, ...» будет цепью Маркова с на-
чальным распределением р(й) и матрицей вероятностей
перехода Р.

5.62.	Игральная кость последовательно перекладыва-
ется с одной грани равновероятно па любую из четырех
соседних независимо от предыдущего. К какому проделу
стремится при £ о© вероятность того, что при J-м пере-
ьладыванпи кость окажется на грани «6>>, если сначала
она находилась в этом же положении?
5.63.	Цепь Маркова имеет два состояния: 1 и 2 —
и матрицу вероятностей перехода	4 б) * * * * 11). Пусть т **

= min Ц > 1:	— 2).

а)	Найти условное распределение т при условии
£о=1.

б)	Как изменится ответ, если матрица вероятностей
перехода будет равна

1 — р

f 22

о< Р22 <

5.64.	Матрица вероятностей перехода llpjl цепи Мар-
кова £,f с п + 1 состояниями имеет вид: pti = 1 — а, I =
— 1, 2, ..п + 1; ру = а/п, В процессе, начавшемся
из состояния /с, А:=й=п+ 1, обозначим через тп момент пер-
вого попадания в состояние п+1. Подобрать последова-
тельность Лп	при п -*• «•) так, чтобы существо-

вал предел

lim Р (тпМп> х)(

и найти его.

5.65.	Матрица вероятностей перехода цепи Маркова
£ с множествам состояний {1, 2, 3) имеет вид

/ 1 — р р	о >

I 1 — р — а р е I
\	0 г2 1 —в2?

где 0<р<1 — еС1. Предполагая, что £0 = 1, рассмот-
рим случайную величину тх (е) = min {nl> 1: £n ' = 1} —
время возвращения в состояние 1.

а) Доказать, что при любом 1*1, 2, ...

lim Р {тА (е) = t} = Р{tj (0) — I}.
t-»0

б) Показать, что МтЦ0)< но limMTjfe) = сю.
Е-»0

в) Найти производящую функцию q>F(s) = MsTi(e).

5.66. Цепь Маркова £я имеет начальное состояние
|ь = 0 и переходные вероятности

P<Ui “ А; + ll|n = Al = р, PlUi «	“ Л} = 1 - р,

где к, п = 0, 1. ... к 0<р<1. Найти распределение

математическое ожидание и дисперсию
5.67.	По пепи Маркова описанной в задаче 5.66,
построим последовательность случайных величин

то = 0, тА = mm {«: £п = к}, к = 1, 2, ...

а)	Доказать, что {тА}“=0—тоже цепь Маркова. Найти
ее переходные вероятности.

б)	Найти МтА, Di/t, (s) = Ms1 .

5.68.	Цепь Маркова имеет начальное состояние
|о = 0 и переходные вероятности

Р{|п+1 = к + Ц|„ = к} = р, PU„+1 = 0l£„ = к} = 1 - р,
где к, п е {0, * 1, ...} и 0 < р < 1. Положим

то — 0, Th = mln {n > 1: £„ = к), к = 1, 2, ....

а) Найти производящую функцию (s) = и МтА,
б) Найти предельное распределение случайной вели-

lk

ЧИПЫ T]ft =

при к -> оо, пользуясь результатом п. а)

и методом характеристических функций.

5.69.	Переходные вероятности цепи Маркова при
любом п •» 0, 1, ... определяются равенствами

Р U„+i = 1 I = 0) = р, Р{|п+1 = 01£„ = 0) = 1 - р,

PUn+i = *+ll£n =

P{Ui“fc-H^ = Н = 1-р, /с=1, 2, ...

Пусть Tj j — время перехода цепи из состояния i в со-
стояние /:

Р{т{ j = t) = P{min {п >1: £n == Ц = d|o =

t = l,2, ...

а)	Найти производящую функцию cpc, j ($) = Ms'0*1 и
Мто. i .

б)	Найти рекуррентные формулы, связывающие про-
изводящие функции фХй-м (s) = Ms М+1 (к = 0, 1, ...).

в)	Используя результаты пп. а) и б), составить и ре-
шить рекуррентные уравнения для MiAift+i, А*=0,1, ...
Найти асимптотические формулы для Мто, А при к -* оо.

5.70.	Пусть £i, с,2, ...— независимые одинаково рас-
пределенные случайные величины, р{£ i = 1} — Pl^ =
= —11 = 1/2; zq = 0, zk = zk-i+t», к = 1, 2, ... Положим
Тя = min {п 1: IznI = ЛО. Найти Mri, Мта, Мтз.

5.71.	Пусть последовательность zo, zi, ... определена
как в задаче 5.70. Показать, что МтЛ = Л7?.
5.72.	Движение частицы по целым точкам отрезка
[С, Лг] описывается цепью Маркова с Л^ + 1 состояниями
и вероятностями перехода за один шаг poi=Pww = l|
/4<+i=P, R<-j“1-p = g Gel, ...» N-l). Пусть
%(t)—положение частицы в момент t и т — min {£: £(/) =
— iV). Показать, что

тд = М{тН(0) = к} =

|	// Я \N ( Я V\ N — k

- 7~VW'	{р^ч>'

\(N — k)(N+ к)	(P = q= 1/2)..

5.73.	Движение частицы по целым точкам отрезка
[О, /V] описывается цепью Маркова с 7V+1 состояниями
и вероятностями перехода за один шаг poo “ Pnn “ 1,
Pi,i+i=P, Pi,(i = l, .... Л-1). Пусть со-
положение частицы в момент t, рц(1)= P{^(t) = /1М0)ж
Найти вероятности поглощения частицы в точках 0 и /V:

Л/(о) = lira ph6 (0, я* ’ “ lim phN (t).
i—»on	t~»oo

5.74.	Вероятность появления брака при изготовлении
изделия равна р. При каждой проверке в О i К наличие
брака обнаруживается с вероятностью q\ в случае обна-
ружения брака изделие возвращается на доработку. После
доработки изделие независимо от предыстории может ока-
заться бракованным с вероятностью г. Доработанное из-
делие снова поступает в ОТК, и цикл повторяется до тех
пор, пока ОТК не пропустит пзделие как бездефектное,
Построив цепь Маркова, соответствующую описанному
процессу, найти:

а)	распределение числа | раз прохождения изделия
через ОТК;

б)	вероятность того, что изделие, признанное ОТК
бездефектным, в действительности является бракованным.

5.75.	В городе /V каждый житель имеет одну из трех
профессий: А, В, С, Дети отцов, имеющих профессии А,
В, С, сохраняют профессии отцов с вероятностями 3/5,
2/3, 1/4 соответственно, а если пе сохраняют, то с рав-
ными вероятностями выбирают любую из двух других
профессий. Найти:

1)	распределение по профессиям в следующем поколе-
нии, если в данном поколении профессию А имело 20 %
жителей, В — 30" %, С — 50 % ;

2)	предельное распределение по профессиям, когда
число поколений растет;
3)	распределение по профессиям, не меняющееся при
смене поколений.

5.76.	По двум урнам разложено N черных и N белых
шаров так, что каждая урна содержит Л7 шаров. Число
черных шаров в первой урне в момент t = 0, 1, 2, ...
обозначим В каждый целочисленный момент времени
случайно выбирают по одному шару из каждой урны и
меняют их местами. Показать, что является цепью
Маркова со стационарным распределением

= (cj,)7c^v. fc-0, 1.......N.

5.77.	Матрица вероятностей перехода Р и распределе-
ние q по состояниям в момент t = 0 цепи Маркова
имеют вид

Э/12	2/12	1/12	3/12	1/12	2/12

1/12	1/12	3/12	1/12	4/12	2/12

р	0	0	3/4	1/4	О	О

Г	0	0	1/2	1/2	0	0	«

О	0	0	0	1/3	2/3

О	0	0	0	2/3	1/3

д = (1/2, 1/2, О, О, О, Q).

Найти:

а)	несущественные состояния;

б)	математическое ожидание времени т до выхода из
множества несущественных состоянии;

(a)

в)	вероятности pt , pi попадания в классы состоя-
ний а = 13; 4), р = {5, 6), если начальным состоянием
является i {1, 2);

г)	предельное при t -> оо распределение по состояниям,
т. е. величины = Иш Р = /с).

t“»O0

5.78.	Цепь Маркова £я имеет начальное состоянии
£о = 0 и переходные вероятности

P«n+i-*+l|U = *l--4’

Pft.+i = *lb. = *}-l-4»

а

где к, {0, 1, ...} и а > 1. Составить рекуррентные
уравнения для величин р- = Р (£п •= к} и с их помощью
найти и Da?4.

5.79.	Показать, что если все собственные числа К|, ...
..., Хи матрицы А =	различны, то элементы
матрицы А™ = l|ajl) представляются в виде

/1=1

5.80.	Показать, что если матрица А = | ац
имеет собственные числа Ль ..Лг, причем кратность А/

Л т
г_____ =

= ||atJ	представляются в виде

г	sh~*1

аЙ*> - 2 № 2 ci?'"'"', m - 1, 2, ...

й=1	1^0

5.81.	Используя задачи 5.79 и 5.80, показать, что по-
лучение формулы для вероятности перехода за п шагов
из состояния I в состояние j в цепи Маркова с Л’ со-
стояниями может быть сведено к нахождению собствен-
ных чисел матрицы Р >= || рц ||i =i вероятностей перехода
за один шаг, вычислению Р, Р\ ..., PN~' и решению си-
стемы линейных уравнений-

5.82.	Матрица вероятностей перехода Р = UpJI цепи
Маркова с состояниями 1 и 2 определяется формулами

рц= 1 Pl2 — а, р21 = fk р22 = 1 —

Найти вероятности p(J(t) перехода за время t и стацио-
нарные вероятности nt.

5.83.	Для цепи Маркова £*, рассмотренной в аадаче
5.82, обозначим через vi(i) число попаданий в состоя-
ние 1 за время t. Показать, что для любого / == 1, 2 при
t -* сю

MMI?,-/)-; ,'-рГ(1 +0(1»,

D(v,(i)lb = /> = 002)-

5.84.	Пусть выполнены условия задачи 5.83. Показать,
что для любого е > 0 и любого j == 1, 2

г>

«4-р

5.85.	Пусть выполнены условия задачи 5.83. Положим
то = 0 и введем случайные величины

тм = min И > £г = 1), к = 1, 2, ...»

т. е. т* — момент fc-ro попадания в состояние 1. Тогда
Vi (i) = max {/r: xh< fl —число попаданий в состояние 1
за первые t шагов.

а)	Доказать, что случайные величины 6* = тА+1 — тА,
к =* 1, 2, независимы, не зависят от 6u = Ti и что

P(fiA = тп} = Р(6С = ni\^v = 1), к, тп = 1, 2, ...

Найти Мйь D6b М{601 Во = 21, D{6olBo = 2}.

б)	Используя п. а) и задачу 4.140, найти такие чис-
ла di и bt (i = l, 2, ...), что распределение случайной
v

величины =» ——-------- при $->•<» сходится к стандарт-

ному нормальному распределению.

5.86.	ПуЪть цепь Маркова с состояниями 1, ..., V
имеет матрицу вероятностей перехода Р~
удовлетворяющую условию

N

wax У Ру —-тт

Показать, что если л== (Л1,
пределеяие цепи то

..., л^) — стационарное рас-

Iя'-41

< Е.

5.87.	Пусть и В/ — цепи Маркова с матрицами
вероятностей перехода Р— ||рц ^=1 и Р = |	соот-

ветственно, а л = (лп ..., njv) и л = (лп ..., л«) —
стационарные распределения этих цепей. Следует ли из
близости элементов матриц Р и Р' (например, из малости

Д'

величины S | Ру — Рц I) близость векторов л и л'?
t ,7=1

5.88*	. Частица совершает случайное блуждание по
множеству точек плоскости с целочисленными координа-
тами. За единицу времени частица перемещается на еди-
нично^ расстояние параллельно одной из осей координат.
После прохождения каждого единичного отрезка частица
выбирает направление дальнейшего движения: либо про-
должать движение в том же направлении, либо повернуть
налево, .либо направо (каждый из этих вариантов выби-
рается с вероятностью 1/3 независимо от предыдущих
движений частицы). Пусть 'п = (£n \	—положение
частицы в момент п. Найти М£„ при условии, что —
= (0, 0), fcF=(l, 0).

5.89.	Вероятность того, что атом радиоактивного эле-
мента, существующий в момент i, распадется на интер-
вале (£, t + h), при АтО имеет вид ah + o(h) и не за-
висит от предыстории процесса. Наити:

а)	вероятность того, что время т до распада атома
будет больше t,

б)	период полураспада, т. е. такое число 7\ что Р{т >
> Т} = 1/2,

в)	плотность pn(t) распределения времени до распада
хотя бы одного из п существующих в момент t — 0 и
независимо ведущих себя атомов.

5.90.	Пусть — цепь Маркова с непрерывным вре-
менем и множеством состояний {1, 2). Вероятности пере-
хода piS(h) = P<|(+h =	= I) удовлетворяют условиям

Pi2(/i) = аД + о(А),	р2\ (h)** $h + o(h), h 'I 0.

Найти t>0, i, /^{1 2}.

5.91.	Пусть	(f)| — матрица вероятно-

стей перехода за время t цепи Маркова описанной

(а	о.

1	12 I — стохастическая матрица.

а2 t а22 /

Доказать, что для любого фиксированного числа и>0
цепь Маркова удовлетворяющая условию

/>«.₽) (и) = А,

существует тогда, и только тогда, когда ац + <222>1.

5.92.	Для цепи Маркова определенной в задаче
5.90, обозначим через rfc(i) (к — 1, 2) суммарную дли-
тельность пребывания цепи в состоянии к за время t.
Найти	M(ti (i) 1|q =« i} и главный член асимпто-

тической формулы для bi (t)= О {тх (t) | £0 = 1} при
t -* <х>.

5.93.	Движением точки по прямой управляет цепь
Маркова, определенная в задаче 5.90; если цепь Маркова
находится в состоянии 1, то точка движется в положи-
тельном направлении со скоростью пц а если пепь Мар-
кова находится в состоянии 2, то точка движется в от-
рицательном направлении со скоростью vz. Пусть т], —
координата точки в момент t. Найти

ЛД(Г, х) = М{ц»|г)о = х, £о = i), Z 0, i = 1, 2,
и асимптотику (t, х) = D | rj0 = x, t0 = ф i = 1, 2,
при t oo.

5.94.	На телефонную линию могут поступать вызовы
двух типов: простые и срочные. Любой вызов, поступаю-
щий па свободную линию, занимает ее. Простой вызов,
поступающий на занятую линию, получает отказ и теря-
ется. Срочный вызов, поступающий на занятую линию,
обрывает ведущийся в этот момент разговор и сам зани-
мает линию. Моменты поступления фостых и срочных
вызовов образуют пуассоновские потоки с интенсивностя-
ми ai и аз соответственно. Вероятность того, что разго-
вор, ведущийся в момент Г, окончится на полуинтервале
(t, t + ft], нЙ зависит от предыстории процесса и от типа
вызова и имеет вид + o(h) при h I 0.

Построить цепь Маркова с тремя состояниями, соот-
ветствующую описанному процессу. Найти ее матрицу
интенсивностей переходов и предельные вероятности Л|,
ла и лз того, что линия соответственно свободна, занята
простым вызовом и занята срочным вызовом.

5.95.	Цепь Маркова с непрерывным временем име-
ет множество состоянии {О, 1, ..., N), а вероятности
в = z> перехода из состояния ; в со-
стояние у за время h удовлетворяют при h 10 ус-
ловиям

Pw(h) = 1 — ah + o(h), pNN (Л)= 1 — рй + о(/г),

/>«(&)- 1 — (a + Р)Л + о(/?),	- 1,

р<-1,<(&)== ah + o(h),

+o(h), i < i /V,

Pa(h)— o(h), если |z — /I > 1,

где a, 0 — фиксированные положительные числа.

а)	Составить систему дифференциальных уравнений
для Pij(t), О С i, / «5 N, t > U.

б)	Найти Л4 = lira р, (t), j <= 0, 1, ..,, как функ-
t-»or. J

ции от 6 = a/p. Показатьл что если 0 — 1, то л^ = . . *

в)	В случае 0 < 1 найти л,- — lim nf. , J 0. 1, ...,
N-*oc

а в случае 0 > 1 найти л — lim / = 0, 1, ..,

Г.'
Глава 6

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

В математической статистике исследуются способы
получения выводов на основе эмпирических данных. Слу-
чайной выборкой объема п (или просто выборкой) назы-
вается случайный вектор

Хц, ..хп,	(6.1)

где Xi обычно предполагаются независимыми и имеющими
одну и ту же функцию распределения F(x) = Р(я( < х).
Случайная выборка (6.1) является математической мо-
делью последовательно проводимых измерений или на-
блюдений. Возможны другие способы получения эмпири-
ческих данных, приводящие к другим математическим
моделям (См., например, задачи 6.16, 6.26, 6Л2.)

Обычно для выборки (6.1) известен только тип рас-
пределения (например, нормальный), но неизвестны па-
раметры, от которых зависит распределение В этом слу-
чае по выборке требуется каким-либо образом опреде-
лить приближенные значения неизвестных параметров.

Пусть Р (ж* х) = F$ (х, 0). Оценкой неизвестного па-
раметра 0 назовем произвольную функцию 0П =
= 0*(а,1, хп). Оценка 0* является несмещенной оценкой
0, если М0* = 0. Если О,'. при п -> <» сходится по веро-
ятности к 6, то оценка 0* называется состоятельной.

Может оказаться, что существуют такие функции
6»e£n(^l, хп) и 0л = 0п(х(, .... Жп), что Р(0п<0<
< 9n)= 1 — 2а одинакова при всех значениях неизвестно-
го параметра 0. В этом случае интервал (8П, 0Ч) назы-
вают доверительным интервалом, и вероятность 1 — 2а
того, что интервал (0П, 0„) накроет неизвестный пара-
метр 0, называют доверительной вероятностью.

Если при л ->

Р(9_и <0 < е„)-> 1 - 2а,

где значение а пе зависит от 0, то интервал (8П, 8„) на-
зывают асимптотически доверительным интервалом.

В качестве примера рассмотрим выборку (6.1), обра-
зованную независимыми случайными величинами, имею-
щими нормальное распределение с неизвестными пара-
метрами! математическим ожиданием а и дисперсией о2.
Покажем, как для неизвестных параметров а и а2 можно
застроить доверительные интервалы.

Пусть Йь .<•.»	— независимые случайные величи-

ны, имеющие стандартное нормальное распределение. По-
ложим

$Сп = £1 + ♦ •« + In*	,

И Хп/П

Законы распределепия этих величин называют соответ-
ственно распределением %2 и распределением Стьюдента
с п степенями свободы. Определим величины ia.« и Ха,п
как решения уравнений

Р {Тп ^а,п) “ СС, Р | Xn Xafnl &

Построим по выборке (6.1) величины

п

Я == v (*1 + * • - + Хп^ & 7Г~€ 2 <т* ” х)3-
k-1

Д'огда (см. [7])

Р( X — 1а,п— 1 г- *С, Л? + ^a.n—1 , >- ] > 1 —• 2at
I	I n	V n J

P f 1" ~ '	< O2 <	1	= I _ 2a.

I Ла,п—i	—a,n—1

Отметим, что в рассмотренном случае (т. е. когда Xi, .*«
.х„ независимы и имеют одно и то же нормальное
распределение) случайные величины ж и s' независимы.

Случайные величины (6.1), расположенные в порядке
неубывания их значений:

Я(|)	Х(2)	.	Я(п),

(6.2)

называют вариационным рядом. В частности,

= min Ui, ..., ха}, х(Я) -= шах (д?1, ..яв).

Эмпирической функцией распределения называется слу-
чайная функция FB(x), которая принимает прп х
я(А+1)) значение k/п (здесь к = 0, 1, .п и считается,
что в —	ж(я+1) “ «>). Нетрудно проверить, что РА{х)

является несмещенной и состоятельной оценкой F (я) при
любом X.
Одним из методов получения оценок является метод
наибольшего правдоподобия. Пусть (6.1)—независимая
выборка, соответствующая случайной величине которая
имеет плотность распределения p»(z; 0i, ..., 6*). Функ-
цией правдоподобия называется функция

п

 (^11 • • ’ » Л'п» ^1» • »	“ II /* (*$*’ ^1» * •

i-1 ’

Оценками наибольшего правдоподобия параметров 01, ...
..0* называется набор 0] =	(^i, . *У& =»

= 0*	^п)» максимизирующий значение L(xi, ...

..хп, 01, .... 0J при данных «1, .хп. Если плот-
ность рЕ(х; 0i, ..., О*) дифференцируема, то 0, t ...» Ва —
решение системы уравнений

1п = ()	, = 1	/.

J 11  • • j ,v’

При довольно общих условиях оценки наибольшего прав-
доподобия являются состоятельными и асимптотически
нормальными (см. [7]). Аналогично определяется функ-
ция L для дискретных случайных величин.

Другой круг задач математической статистики связан
с проверкой различных гипотез. Пусть предполагается,
что свойства выборки (6.1) соответствуют одной из двух
гипотез:

с.., хя) имеет распределении Pi,

Нг' x=(xi, ..., я,) имеет распределение Ра,
где Pi, Ра — два известных распределения.

Статистический критерий, на основании которого при-
нимается решение о том, какой из этих гипотез соответ-
ствует выборка (6.1), определяется множеством В <= Rn
и имеет вид: если (xi, ..., Хп)<= В, то принимается гипо-
теза Нг, в противном случае — Н\. Вероятность а ==
= Pi(jc«=#), т. е. вероятность принять гипотезу Нг, ког-
да в действительности верна Н\, называют ошибкой 1-го
рода. Вероятность	т. е. вероятность при-

нять Я1, когда верпа Нг, называют ошибкой 2-го рода.
Если множество В задано в виде

{(ari, ..., яй)е В) — {ц„ = т]л(Я1, .яЛ)> С},

то функцию Г]„ “	..м хп) называют статистикой

критерия. Например, пусть р\(х)—плотность распреде-
ления каждого х, при гипотезе //| и рг(х) — соотвегству-
176
ющая плотность при гипотезе Н%. Положим

W

Согласно критерию Неймана — Пирсона при цп > С (С —
некоторая постоянная, определяемая по ошибке 1-го ро-
да) принимается гипотеза //а, а в противном случае —
Hi. Этот критерий среди всех критериев с фиксирован-
ной ошибкой 1-го рода имеет наименьшую ошибку 2-го
рода (см. [7], с. 576, 577). Аналогично формулируется
критерий для дискретных распределений.

Иногда формулируется только одна гипотеза о выбор-
ке (6.1). Э1у гипотезу нужно либо принять, либо отверг-
нуть. Пусть, например, гипотеза состоит в том, что вы-
борка (6.1) соответствует случайной величине £ с
Р(£ =5 x)^F(x). Для статистической проверки этой ги-
потезы используется критерий у2. Разобьем числовую ось
па г+1 непересекающихся полуинтервалов Дц Дз, ...
г4 1

..., Дг+1, U	°°)« Положим р* = Р(| е ДА), к =

i=j

= 1, ..., г+1. Обозначим через mh число попавших
в Дд. Статистикой критерия %2 является величина

(т/ - nPi')2

npt

Оказывается, что если элементы выборки (6.1) незави-
симы и имеют функцию распределения F (х) (т. е. если
гипотеза верна), то (см. [10], § 57) для любого х при
П оо

Р{г|п,г<х}-ч-Р!хг<>).	(6.3)

По критерию х2 гипотеза отвергается, если т)П1Р > С. Ве-
личина С выбирается так, чтобы вероятность Р{т]п,Р>П =

а была мала. При таком выборе С в случае г > С
говорят, что гипотеза отвергается с уровнем значимости
а. Используя предельное распределение (6.3), можно по-
ложить С « Ха,г, где Р [Xr> Oto-.r) = а, и тогда в силу (6.3)

Р[цп г > С) -* а, п -> <*>.

Если распределение F(x) зависит от неизвестных пара-
метров 0 =(91, ..0А), то вероятности р;(б)-Р|^-А,}
вычисляют, заменяя параметры 0 их оценками (напри-
мер, оценками максимального правдоподобия). В этом
случае в предельном распределении (6.3) число степеней

1-	А. М. ЗуОков и др.

177
свободы г должно быть уменьшено на число оцениваемых
параметров (см. [7], с 460—463).

6.1.	Пусть Xi, ха, ..хп — случайная выборка с МхА =
•* a, Dxft = о2, АЛ (.т* — а)4 < <~, &=1, ..., п. Найти мате-
матическое ожидание величины

s,=TJ-T

Л«1	\	fc=l /

Является ли s2 состоятельной оценкой о2 ?

6.2.	Найти математическое ожидание и дисперсию
^4-..»4r®n
эмпирического момента тт в---------~----- независимой

выборки, соответствующей случайной величине £ с
М|* = ak, 1 к « 2г.

6.3.	По неоднородной выборке Xi, . *хп, где х*, к =»
= 1, га, независимы, Mxfc = a,	(оА известны),

найти несмещенную линейную относительно (fc»
= 1, ..п) оценку а* параметра а, которая имеет наи-
меньшую возможную дисперсию.

6.4*	. Пусть хи, ..., xin. (i = 1,	2) — независимые

нормально распределенные величины с параметра-
ми (а, о2|);

«г	ni

=4- 24 = -—j 2 (*<* ^)3- -

< »>=i	г /(«i

Является ли оценка

- ; - . ‘ <?

несмещенной оценкой параметра а?

6.5.	Пусть X|, ...t хя — независимые одинаково распре-
деленные случайные величины с Dxi >0, лЛх^< со. Поло-
жим

"х=т^х,“	=

fte=l	Й = 1

Найти

6.6.	Пусть (xi, pi), ..., (хп, ^—независимая выбор-
ка, соответствующая случайному вектору (fe, ц), т. а.
178
Р(дг(<яг, у<^ у)= Р х, 11С у]. Показать» что ве-
личина
п
fe=l
где

«-42®»» »= 4 2 й'

/г«1	fc-=l

является несмещенной и состоятельной оЦеПКОИ cov(£. tj),

6.7.	Пусть |ЛП — число успехов в п исоытапиях. схемы
Бернулли с «вероятностью успеха р в кая*Д0М испытании
Найти оценку наибольшего правдоподобия Р' паРаметрар.
Доказать ее несмещенность и состоятелыЮсть-

6.8.	Пусть цп — число успехов в п испытаниях схемы
Бернулли с вероятностью успеха р в ка#Д0М испытании.
Построить для р асимптотически доверительный интер-
вал с доверительной вероятностью 1—2а.

6.9.	Используя таблицу случайных чисел, получить
реализацию выборки xj, ..., хп, где хк равномерно рас.
пределены на отрезке [0, 1] (значения х* взять с тремя
знаками; п = 50). Найти:

а)	вариационный ряд Xji, С яг(2)

б)	эмпирическую функцию распределения (построить
ее график и график теоретической функции Распреде-
ления) ;

в)	х = -j- (xt + ... 4- хп) (сравнить с Mxk),

г)	s2 = _ £ 2 (х* ~~ (сравнить с

6.10.	Используя таблицу нормально распределенных
случайных чисел, получить реализацию выборки

.ха, где xk имеет нормальное распредеЛе11Пе с парамет.
рами а = Мд:* = 0,5, о2 e Dar* = 1; п » 50. Наити- а вариа.
ционный ряд, б) эмпирическую функцию распределения,
в) f, г) $2 (см. задачу 6.9).

6.11.	По выборке, полученной в задаче o»lU, построить
доверительный интервал для а (считая _а и ° неизВе.
стными) с доверительной вероятнотью 0,9э<

6.12.	Используя метод наибольшего правдоподобия,
найти по выборке art, ..., arn, где Р (Xk ~'т\ е =

в 0, 1, оценку X* параметра X. Будя * »ЛИП1Т,а 0Цейка
несмещенной и состоятельной? Найти > С"’-
6.13.	Пусть zi, Z2, ..., zn — выборка, соответствующая
показательному распределению с параметром Л. Найти
оценку максимального правдоподобия Л* для Л. Вычис-
лить М —• О—’—.

V Л

6.14*	. Для оценки параметров а, Ь, с имеются три
независимые выборки а\, ..ап; Ь\, ..., bn', Ci, .... сп.
Известно, что с = а 4- b и величины att ct распределены
нормально с Mat а, Мб, = 6, Мс< = с. Дисперсии вщ =
= Па, = аь, Dct = Ос известны. Найти-

а)	оценки наибольшего правдоподобия с*, 6*, с* пара-
метров а, Ь, с, используя для каждого параметра только
соответствующую ему выборку, а также найти Ma*, Мб*,
Me*, Da*, D6*, De’;

б)	оценки наибольшего правдоподобия а**, 6**, с**,
используя сразу три выборки и связь с = а + Ь, и также
найти Ma**, Мб**, Me**, Da**, D6**, De**.

6.	15. Пусть у<Л) = (?<*>, y^ft)), к = 1, ..., п, — незави-
симые нормально распределенные случайные векторы,

= «г, D0tfc) = i “ Л 2, cov (y<Al, y'i ) - рахо2. Па-
раметры (т2, р известны. Найти:

а)	оценку максимального правдоподобия (flj, a2) па-
раметров (ai, аг) по выборке у ..., р(я|;

б)	оценку максимального правдоподобия <ц парамет-
ра at по выборке у^\ . .., #|п);

в)	Maj, Dat, Ma**, DoJ*.

6.16	*. Пусть i/(A> =	p(h’), к = 1, .... и,— незави-

симые нормально распределенные случайные векторы,
Му/ = аи = a2, DyV* =- 1 (i = 1, 2), cov ^A)) =
= pA (Л-1,,..,п). Параметры pA известны. Найти:

а)	оценки максимального правдоподобия a1} а2 пара-
метров аь Л2 по выборке у(|), ..., y(n)'t

б)	оценку максимального правдоподобия йг парамет-
ра аг по выборке у<»>, .

в)	Ma*, Ma**, Da?, Pa**;

г)	доказать, что Da, .

6.17	*. Решить задачу 6.16 в случае, когда известно,
что параметр a2 =	= 0.

6.18	. Пусть £1, ...» ,£т независимые случайные вели-
чины, равномерно распределенные в области G с Rn. Для
оценивания интеграла а = J •••]/($)	(•£ =
«= (хъ . t., хп)) по методу Монте-Карло используется вели-
тп

чина = — 2 / &)•

i=i

а)	Найти Мт]т, Di]m.

б)	Построить несмещенную оценку Ь*2 дисперсии
D/(fc<) по реализациям /(£i), .... /(!«).

в)	Предполагая, что J..t  /4 (у) ^xi • •  ^хп <

G

построить при m «> асимптотически доверительный ин-
тервал для а с доверительной вероятностью 1—2а.

6.19	. Для величины А = а 4- $а + yb получены оценки

Л* = а 4-	+ yz3, Л* = а + 0z2 + yz3,

где а, fi, f — известные постоянные, zi, Z2, <з — независи-
мые оценки неизвестных параметров: Мзз = b, Mzi =•
= Mz2 = a; Dz{ = о*, i = 1, 2, 3. Подобрать постоянные
Ci, С2 так, чтобы оценка /4* — с,Л, Д- с2Л2 была не-
смещенной и имела среди несмещенных оценок наимень-
шую дисперсию.

6.20	*. Пусть zi, z2, z3 — несмещенные оценки парамет-
ра a; DZi = 1 (г=1, 2, 3), cov(zb z2)=p, cov(z4, z3)=0
(i=l, 2). Найти несмещенную линейную оценку z =»
= C1Z1 + C2Z2 + C3Z3 параметра а с наименьшей возможной
дисперсией и дисперсию этой оценки. Рассмотреть слу-
чаи: a) I pl < 1,' б) р = —1, в) о —1.

6.21	. Функция у = Ах измерена в точках a?j, ..., хп.
Пусть результаты измерений являются реализацией не-
зависимых случайных величин р2, .уп, у которых
М^ = у| = Лх(, Di/< = g <00 {t = l, 2, ..., п). Найти:

а)	оценку Ап параметра А, используя метод наимень-
ших квадратов, т. е. минимизируя по А выражение
> <Л) - 2 (», - л^)’;

б)	мд, dx;.

Доказать, что оценка Ап состоятельна, если Хп =
п

 2 Х^ ~* 00 ПРИ ГС—> ОО,
4=1

6.22*. Проведено п измерений значений функции у =
- Ах и ее аргумента х. Пусть результаты измерений яв-
ляются реализацией п независимых двумерных случайных
векторов (х<, iji) (I — 1, ..., н), у которых координаты
независимы, = xit = yt = Axt, — o2, Dyt — O2.
Найти:

а)	оценку Ац параметра Л„, минимизируя по Л и
Xi, ..., х„ выражение

71	71

I (Л, Хи . . ., Хп) = 2 (У{ — AxiY + 2 Й ~ Xi)2.
i-1' 1	' i=l

б)	Показать, что оценка Л* состоятельна, если при
п -* 00

2 ^->ОО, П/Х„->0.

i=l

6.23.	Функция у = Ах измерена п\ раз в точке яц ...
..nh раз в точке xh. Пусть результаты измерений уц
(j = 1, ..., i — 1, ..., к) некоррелированы и имеют вид

Ун = Axt + б<ь

где М60 — О, D6(> = о2.

а)	Найти оценку Л* параметра Л, используя метод
наименьших квадратов, т. е. минимизируя по Л выра-«
жение

h ni

=	(Уу-^О2-

б)	Найти МЛ* и ОЛ*.

6.24.	В предыдущей задаче обозначим

•Ч

Vi — “ 2й » = 1, - •

Подобрать ci, ..ск так, чтобы оценка

Л* = с}у\ + ауч + ... + скук

была несмещенной и имела наименьшую дисперсию. Най-
ти ОЛ* при наилучшем выборе сг, ..., ch.

6.25.	Из урны, содержащей N белых и черных шаров,
производится выборка объема п с возвращением. Пусть
цп — число белых шаров в выборке, а М — неизвестное
число белых шаров в урне. Для оценки величины р ж
== М/N используется статистика рп = ^п/п- Найти М/?П1
DpJ-

6.26.	Из урны, содержащей N белых и черных шаров,
производится выборка объема п без возвращения. Пусть
182
jin — число белых шаров в выборке, а М — неизвестное
начальное число белых шаров в урне. Для оценки ве-
личины р = М/N используется статистика рп ~Рп1п-
Найти Мр**, Dp* .

6.27.	Для сравнения точности оценок рж, р *, опреде-
ленных в задачах 6.25, 6.26, найти lim (Dp**/Dp*) в
п-*оо

следующих случаях: а) и->оо, —	(0<Ст<оо);

б) я —>оо, n/N-t-O.

6.28.	Из урны, содержащей неизвестное число шаров
IV (шары занумерованы), производится выборка объема
п с возвращением. Для оценки числа /V используется ве-
личина 1/т]п, где

л

пп = ТТГПУ 2 **	— !),

' .L =i

— число появлений шара с номером к в выборке. Най-
ти Мт|п и асимптотическую формулу для Dr|n прп п,
N -* n/N -> а (О, ос).

6.29*	. Пусть С ... ^ х(п} — вариационный ряд, по-
строенный по выборке ди, ..., хп, где xk независимы и
равномерно распределены на отрезке [а, ft]. Являются ли
оценки а*—ж(1), Ь* = х(п> несмещенными оценками а и
ft? Найти Ma*, Мб*, Da*, D6*, cov(a*, 6*).

6.30*	. Пусть 2(i)	а:(2) <... ^ Я(„) — вариационный

ряд, построенный по выборке аг2, .. хп, где хк не-
зависимы и омоют показательное распределенпе с плот-
ностью р(х)=- ae"“w (1!>0). Найти М2\ц, Мх(п), Dx^,
Dx(n), cov(x(11, х(п}).

6.31.	Пусть x(i) х,?) С ... ^ 2?(п) — вариационный ряд,
построенный по выборке х\, хг, .я». Положим

Д* _ - _ .	+ ”•	Л* ^(п+Лп)

---------а ’	41 ~ ---2----

Найти М9Д ОЭд (Л — 1, 2), если:

а)	выполнены условия задачи 6.29,

б)	выполнены условия задачп 6.30,

6.32,	Пусть г,!) < x(2f ^ ... -С 2\П) — вариационный ряд,
построенный по выборке х;, хг, ..., хп, где хл независимы
и имеют плотность распределения, равную ес“* при х >
> с > 0. Является ли оценка с* = д?и) —несмещенной
и состоятельной оценкой с? Найти Me*, De*.
6.33.	Чтобы оцепить ширину кольца, образованного
двумя окружностями с общим центром, измерялись их
радиусы Z? и г, т. е. была получена выборка i/i, ..ynt
Х\, ..хп, образованная независимыми случайными ве-
личинами, которые имеют нормальные распределения с
Myi = R, Mx, = r (Z?>r), D-t, = Dyt = о2, i=l, 2, ..., n.
Пусть x =(xi + ... + xn)/n и у =(yi +... +yn)/n. Для
оценок а — у — х, а* = max(0, у — х) ширины кольца а =
= R — г найти: Ma, Ma*, VM(d —а)2, УМ(а* — а)2. Вычис-
лить эти величины при R = 1001 м., г = 1000 м., о = 10 м.,
п - 200.

6.34.	Независимые наблюдения 0ъ . ..,0п имеют не-j
известные математические ожидания МО, == 0, и изве-
стные дисперсии 1Э0г = о1, 1 = 1,..., п. Для оценки ли-
нейной комбинации I = Ci 01 + ... + с„0п с заданными
Ci, ..с„ используются статистики

Zjv =	4- ... + cjvOjv (1 N п).

а)	Доказать, что 1п — несмещенная, a IN при N < п —
смещенная оценка Z.

б)	Найти M(ZN-Z)2. При каких условиях среднеквад-
ратическое отклонение смещенной оценки Zn-i меньше
среднеквадратического отклонения несмещенной оцен-
ки Zn?

6.35.	Используя критерий %2, проверить гипотезу о том,
что выборка,, полученная в задаче 6.9, соответствует рав-
номерному распределению на отрезке [0, 1]. Уровень зна-
чимости а = 0,05.

6.36.	Используя критерий %2, проверить гипотезу о том,
что выборка, полученная в задаче 6.10, соответствует
нормальному распределению; параметры а и а считать
неизвестными. Уровень значимости положить равным 0,05.

6.37.	Найти статистику цп критерия Неймана — Пир-
сона для различения по выборке х\, ..., хп гипотез

Н\'. xh распределены нормально с параметрами («1, и2),

Л/г- хк распределены нормально с параметрами (аг, а2).

6.38.	Найти статистику т]п критерия Неймана — Пир-
сона для различения по выборке Ль ..., хп гипотез

ff,:	<-1,2......N,

Я2: ?{□:» = 1}-М”, 1 = 1,2......N.

6.39*	. Статистика при гипотезе Я, (1 = 1, 2) имеет
нормальное распределение с M£n = nat, 0£п = п°Г> < а2.
Гипотеза Hz принимается, если > С, в противном слу-
чае принимается Hi. Найти: а) постоянную С — Са так,
чтобы ошибка 1-го рода была равна а; б) формулу, свя-
зывающую ошибки 1-го и 2-го рода а и 0П; в) lim
при п -> оо, а = const > 0.

6.40*	. Пусть Xi, ..хп — выборка. Гипотеза Н] со-
стоит в том, что Х{ равномерно распределены на интер-
вале (О, 1) и независимы, а гипотеза Hz — в том, что Xi
независимы и имеют непрерывно дифференцируемую
плотность распределения g(x)\ g(x)^ 1 при 0 < х < 1,
g(x) — 0 при х Ф [О, 1]. Разобьем [О, 1) на N полуинтер-

Гп 1 \ [ 1	2 Г дг-1 \

валов »U, —	..., ।—у—, 1J и обозначим через

цо число полуинтервалов, в которые не попало ни одно из
значений х<. При гипотезах Н\ и Hz найти aj =»
= Ит(Мц0/Л9> 7 ~ 1» 2, когда n/N -> у е(0, °°), n, N -* <».

6.41.	Пусть 0 < Ti < 12 < ...— положения точек пуас-
соновского потока с неизвестной интенсивностью Л. Най-
ти: а) оценку максимального правдоподобия Хя парамет-
ра X, построенную по тц ..., т„; б) MXn, DXn.

6.42.	Пусть Ti2(i)— число переходов в цепи Маркова,
определенной в задаче 5.82, из состояния 1 в состояние 2
за время t.

ч ТТ м V АЛ Т12 W V Ш т12

а)	Наити limM—Ц—ж hmD—.

t^DO	t^OO

б)	Является ли величина Т1а(0’Д состоятельной оцен-
кои параметра у == -—-j- при г-+-оог
Часть II УКАЗАНИЯ

Глава 1

1.3.	Предположить, что все расположения книг равновероятны.
Найти число расположений книг с фиксированным расположением
трехтомника,

1.4.	За множество £2 принять множество всех последователь-
ностей длины 3, составленных из символов Г — «герб», Р — «ре-
шетка».

1.8.	Для простоты считать, что в каждой буквенной серии име-
ются все 104 номеров от 0000 до 9999. (На самом деле помер 0000
не выдается. Кроме того, в некоторых сериях не все номера вы-
даны, а часть номеров отсутствует в связи со снятием автомобиля
с учета.)

1.10,	Положим At = {выбранное число а делится на а4, Вос-
пользоваться тем, что

( h _ )	~ j ( и 1

Р п ЛД=Р и 4 =l-p IJ Д
U=1 J	г1	1)

Далее применить формулу (1.12).

1.11.	Поскольку а1 = 1 (mod 10) тогда и только тогда, когда
«~l(mod 10) или а & 9(mod 10), надо подсчитать среди чисел
1, 2, ..., Л число тех, которые в десятичной записи оканчиваются
па 1 или 9. Положив Л’ = 10/r +1, рассмотреть следующие случаи;
I = 0, 1 < I < 9, / = 9.

1.12.	Если среди чисел 1, .N есть ровно тп чисел, дающих
при делении па г остаток д, то (т — l)r-J- д Л? < mr + q, т. е.
mr ZV + г — q < ( т 1)г.

1.14.	Введем обозначения для следующих событий;

Ал — {ь делится на к},
Bk •*- {р делится на £},
CN = {числа | и т) взаимно просты).

Тогда CN= U ,ИрПЯ#1). где объединение берется по всем
простым числам р, по превосходящим N. Вероятность Р(СЛ) на-
ходится по формуле (1.12). Воспользоваться решением задачи
1.10 и равенством Ар fl Ар П ... fi^,. = Ар р , верным для
1

любых простых /'д <	, < Рг. Показать, что ",	~	=
1.15.	Искомая вероятность pn = An/№, где Л*— число точек
плоскости с целыми координатами (л, у), удовлетворяющими ус-

ловиям х 1, у 1, г2 + у2 N2. Покааать, что	 А при

N -*• оо.

1.16.	Число £ + т] будет (п — к + 1)-значным тогда и только
тогда, когда

10"-*	£ + т] < 10“-*+’,	0 к п,

(1)

^n,h

поэтому рЛ_д+1 = “L—, где An,k — число точек плоскости с це-
лыми координатами (х, у), 0 х, у 10п — 1, для которых вы пол-
иены неравенства (1).

1.17.	Произведение £ и т] будет (2п — /г)-зпачпым тогда, и толь-
ко тогда, к о rfj а

lQ2n-k-l < ДО2""*,

(П

поэтому Р2п_А =

102П

t где Вп, к — число точек плоскости с целы-

ми координатами (г, у), 0 х, у 10” — 1, для которых справед-
ливы неравенства (!') Показать, что s ~ £л-10гп при и->оо,
где Bk — площадь части единичного квадрата 0 х, у 1. для
координат (г, у) точек которой справедливы неравенства 10~*_|

ху 10-А

1.18.	Представить указанную разность вероятностей в виде

м

2C(i^.....<1=л<)-р(и;.....xu=a)). и

t-l

убедиться • том, что Л /( Л-, что значения слагаемых в сум-
ме (*) не зависят от i, п оценить слагаемые в (*) сверху и снизу.

1.19.	Разность X2— У’ делится на 2 тогда и только тогда, ког-
да четность X и У одинакова; X2 — У2 делится па 3 тогда и только
тогда, когда X и У одновременно либо делятся, либо пе делят-
ся в а 3.

1.20.	При к — 2, 3, 5 имеем

— y«==0(mod fc)) = {X, У’М(то(! Л)} (J {X, У^О (mod к)}.

1.21.	Вывести из малой теоремы Ферма, что

(Хг-1 _ ур-« = 0(mod д)} =

= {X, У = 0(mod />)) U (X, У Ф 0(mod р)}.

1.22.	Чтобы получить явные формулы для указанных и усло-
вии вероятностей, воспользоваться соотношениями

(.Yb-b y3==0(mc>d 3)} «

= (X, У == 0(mod 3)} U {X ass 1, У s~l(mod 3)} U

U {Х^ —1, Уз l(mod 3)),

(№>+ У3 s 0(mod 7)} =

= (X, У S3 0(mod 7)) и {Хе Л/1, УеЛ/2} J {Хе= ЛЛ, У е ЛЛ},
где Mx — множество всех чисел вида Ik + 1, Ik + 2, 7Л4-4, М2 —
множество всех чисел вида 1к 4- 3, 7^4-5, 1k 4- 6. Для доказатель-
ства неравенства при ZV > 7 воспользоваться тем, что а2/4 — 1 <1

uv < в2/4 нри и + v — а. |и — у| 2, При 4 < /V 7 неравенст-
во проверяется непосредственно с помощью явных формул.

1.23.	Множеству Лс{1, ..., Л') взаимно однозначно соответ-
ствует составленная из нулей и единиц строка хЛ = (**, ...
..., где гА = 1, если i е А, и хА = 0, если i б* А; а слу-
чайным подмножествам 4Э, А с {I,..., Л'} соответствует пара

А, 4	А,-	А,- А„	А

строк х х =, элементы xt \	Xj а, ..., х^2 которых не-

зависимы и принимают значения 0 и 1 с вероятностью 1/2. На-
конец,

1	= 1, ..., Л').

1.24.	См. указание к задаче 1.23. Множества	Аг нопар-

А -	А

но ие пересекаются, если х‘ 1 4- ... 4- х. т < 1 при всех I е=
е{1,	/V}

1.25.	Разбить указанное в условии задачи событие на яепере-
секающиеся события по значениям разностей	и

Пз~ «11 = Г)2 — Пз.

1.26.	В пп. в) и г) найти вероятности противоположных со-
бытии.

1.27.	а) Заметить, что {А\ 4- ... 4- Xm = Zc} = {(/V — Х4 4-. ••
...4- (2V-XW) = m/V -А}.

б)	Число (1 4~Л')"гЬ‘|' 1 таких наборов xt, ..., xm е {0, ..., Л),

что 4-... 4-	— k, равно

• • •	-2 f ---- •

коэффициенту при zh в

Далее воспользоваться разложением

(1-2)

функции (1 —z)-m в степенной ряд,

1.28.	См. указание к задаче 1.8. Убедиться в том, что равно-
вероятный выбор номера автомобиля из множества 104 номеров
от 0000 до 9999 эквивалентен выбору чисел Х(, Х2, Хз, Х4 из мно-
жества 0, 1, ..., 9 по схеме равновероятного выбора с возвраще-
нием. Воспользоваться равенством

Р {X, + Х2 = Xs + х4} = 2 Р {X, + Х2 = Хэ + Х4 _ *} =

1’ .

= 2 70Т K(=I’ Х2' *3' Х< S 10' 1....9}'	11+*2=*э+1.=*}|=

fc=C

18 л

= 2 Ж I {Ь’ ^):	® {0’ 1..9)’ *1 + Х2 =* I2

и т 'V, что согласно задаче 1.27

I {(*г х2)1 ХГ х2 е <0’ 14 ’ •' ’ 9}’ *1 + *а = *} I =

= ^Qln(h,ie-ft) + l ~ 1 + т1П
1.29,	См. указание к задаче 1.28.

1.32,	2) Найти вероятность противоположного события .4, со-
стоящего в том, что хотя бы один номер не появился Событие А
представить в виде А = Ai (J ... U Л л-, где Аь (Л = 1, ..N) — со-
бытие, состоящее в том, что шар с номером к по появился.

1.35.	Воспользоваться равенством

Р < % < • ' ' <	= Р {г1 <	< • •  < *h + l}

np.i любых попарно различных

11, 1ъ ..., й+i е= {1, 2, ..., ^4-1}.

1.3G	. Найти вероятность противоположного события, состояще-
го в том, что в отобранных папках содержится целиком либо две
рукописи, либо ровно одна.

1.37.	В ^условии пе указаны числа женщин и мужчин среди
гостей. Задача имеет тривиальное решение, если эти числа не рав-
ны друг другу. Если же среди гостей имеется п женщин и в муж-
чин, то для подсчета искомой вероятности можно воспользоваться
формулой Р(Л U В) — Р(Л > 4-Р(В) —Р(АВ), где А = («пары» за-
нимают места (1, 2), (3, 4), ... (2л — 1, 2л)} (при некоторой ну-
мерации мест по кругу), В <= {«пары» занимают места (2, 3),
(4,5),..., (2/г — 2, 2* —-1), (2л, i)}.

1.38.	Шесть номеров, вышедших в тираж, выбираются без воз-
вращения из 49 померев. Предположим, что все возможные шес-
терки номеров равновероятны Если на данной карточке ровно
3 номера совпадут с номерами, вышедшими в тираж, то по дан-
ной карточке игрок получит минимальный выигрыш. Найти веро-
ятность события Л*, состоящего в том, что па каждой карточке
угадано ровно 3 номера, причем к — 0, 1, 2, 3 угаданных номеров
являются общими для двух карточек.

1.39.	Нужно считать равновероятными все С2^ расположений
двух ладей. Найти вероятность противоположного события.

1.40.	Ладьи не угрожают друг другу, если все они стоят на раз-
ных горизонталях и вертикалях. Выбрать сначала к горизонталей
и к вертикалей, а затем из к2 клеток па их пересечении выбрать А
клеток, удовлетворяющих нужному условию.

1,42.	Рассмотреть все исходы первых А просмотров карманов.

1.46.	Воспользоваться равенствами вида

1 41
Р(а<Р)=-д- V *{%<%)•
irt2-i

где х{а < ft} = 1, если а < ft, и x{fl < ft} = 0 в противном случае.

1.47.	См. указания к задаче 1.46. Заметить, что при любых
<Ь 12i •»

* 1% < \) + X |\< »<J + х [<4. < \) < 2.

1.48,	См. указания к задаче 1.46.

1.49.	См. указания к задаче 1.47.

1.50.	3) Рассмотреть заполнения деух типов: и)  одной из
ячеек нет частиц, в двух ячейках — но две частицы ив (/V — 3)
ячейках — по одной; б) в одной из ячеек пет частиц; к одной —
три частицы ив (/V — 2) ячейках — по одной частице.

4)	Найти вероятность противоположного события.

1,51.	Пусть At — событие, состоящее в том, что i-я ячейка ос-
талась пустой. Найти Р(Л, U Л3 J ... и Ддг).

1.52.	Рассмотреть строки из N + п — 1 символов: и частиц и
Л — 1 «перегородок» между ячейками. Число таких строк совпа-
дает, очевидно, с числом представлений числа п в виде и = ri +
+ Г2 4-... + fn, где все г* 0 — пелые числа.

1)	Событие рс = 0 происходит тогда и только тогда, когда все
Гк>1. Число наборов (гс, ..., rN), удовлетворяющих этому усло-
вию, равно числу представлений числа п — N в виде п — N =
= (Г| - 1) +... + (глг — 1), где Гк — 1	0.

2)	Фиксировать пустую ячейку, а в остальных разместить ча-
стицы, как б п.1).

1.53. а) Число таких вариантов размещения п человек в ряду
из Л' кресел, когда пикакие 2 человека пе сидят рядом, есть про-
изведение л! и числа решений уравнения хо + Х| + ... + хп =
=»/V — п + 2 в целых положительных числах (х< — расстояния
между занятыми креслами,	Последнее число есть

С 7„п+1. См. указания к задаче 1.52.

б)	Каждый человек имеет ровно одного соседа тогда и только
тогда, когда все сидят парами, изолированными одна от другой.
Поэтому при нечетном п искомая вероятность равна 0. При чет-
ном п рассуждать аналогично п. а).

в)	Если Dn, к — число таких способов размещения п человек в
ряду из N кресел, когда выполняется условие в), то при четном N
число Dn, n равно произведению 2” и числа размещений п человек
в N/2 креслах, При нечетном Л'

Dn, п = Dn, к-i + nDn~i, N-i.

1.54.	Использовать указания к задаче 1.53.

1.57.	Пусть А {—событио, состоящее в том, что в выбранной
подстановке i -* i. Найти Р(Л i (J А3 (J ... U Лп).

1.58.	Найти число подстановок с е Sn с м = к.

1.59.	Для каждого к — 2, ..., п найти число подстановок из 8п,
содержащих элементы 1 и 2 в одпом цикле длины к.

Г.alfla„ ап1

1,60.	а) Найтп число подстановок в классе [1 *2 - ... п J.

б)	Если исключить единичный цикл i t, то получится под-
1 «а1 —	1 d\<XFL—] 7

становка из множества И - i ... {п— 1) J.

в)	Показать, что события i->/	2, ..., n}\{t}) равно-

вероятны.

1.61.	Использовать равенства

{П| <х} =-{£<*) П И-£ <*}.

{Т)а > х) = {£ > Х} П {1 — g > Х},

где g — координата точки А.

1.69.	Проверить, что геометрическое место точек, расположен-
ных ближе к Гранине многоугольника, чем к его диагоналям, со-
стоит из равнобедренных треугольников, построенных на сторонах
многоугольника как па основаниях и имеющих при основании уг-
лы я/ (2 л).
Установить зависимость числа корней от значений много-
члена в точках максимума и минимума.

1.71.	Центр монеты можно считать равномерно распределен-
ным в том Л-угольнике, в который он попал. Монета не заденет
границу Л-угольника, если центр будет отдален от нее на расстоя-
ние, большее г,

1.72.	Монета падает гербом вверх, если конец вектора нормали
расположен выше его начала, т. е. середины стороны монеты с
горбом.

1.73.	Пусть (р, ф)—полярные координаты середины хорды.
Выразить | через Яир.

1.78.	Интересующее пас событие описывается подмножеством

Л = {(“, v)‘ mln (а, у) f}.

1.79.	Слова, «случайно бросается» здесь естественно понимать
как случайную равномерно распределенную ориентацию цилиндра
относительно вертикального направления. Так как цилиндр одно-
родный, то центр описанной вокруг него сферы совпадает с его
центром тяжести. Цилиндр упадет на боковую поверхность, если
вертикальный направленный вниз из центра тяжести луч пересе-
чет боковую поверхность. Соответствующая вероятность находится
как отношение площади сферического пояса описанной около ци-
линдра сферы, ограничивающего боковую поверхность цилиндра,
к площади всей сферы.

1.80.	(См. указание к задаче 1.79.) Вероятность того, что ци-
линдр упадет на какое-то основание, пропорциональна телесному
углу, под которым это основание видно из центра тяжести.

1.81.	(См. указания к задачам 1.79, 1.80.) Центр тяжести кону-
са расположен на его высоте на расстоянии Л/4 от основания.

1.82.	(См. указания к задачам 1.79, 1.80.) Найти центр тяжести
полугпара и определить величину телесного угла, под которым вид-
на плоская часть границы полушара из центра тяжести.

1.83.	Положение бруса определяется положением прямоуголь-
ника в плоском сечении, перпендикулярном оси бруса. Брус упа-
дет на ту грань, которую пересечет луч, направленный по верти-
кали вниз из центра тяжести прямоугольника. (Ср. с задачами
1.79, 1.80.)

1.84.	Если А находится между и 5л+ь то расстояние от 0 до
стерон & АВС находится в интервале (Л/2, (Ac -f- 1)/2), т. е. А. АВС
содержит внутри себя окружности 5* с 1 I < [Л/2], находится
внутри окружности к + 1 -g I п, и граница △ АВС пересекает
окружности St с |Л/2] < 1 Л.

1.85.	Найти п-мерный объем Vn(r) п-мерного шара радиуса г,
воспользовавшись рекуррентной формулой

= J f Vn~~2' ~ “2 ~ du dv =
U + В «Г

= 2л ! xVn_2 ( /г2 — x2 1 dx ~ 2л । uVn_2 (u) du
о	о

u равенствами Vi(r) = 2r, V2(r) — nr2.
Глава 2

2.3.	Вероятность выбора любой заданной карточки равна 0,01.

2.6.	Использовать определение условной вероятности и резуль-
тат задачи 1.23.

2.7.	Пусть событие 4< состоит в том, что t-й (i == 1, 2) студент
возьмет «хороший» билет. Положить £2 — {4i42, 4]4Z, AiA2, Л|Л2},
Р(4]) == 1/5, P(42|4i) =4/24, Р(Д2|41) = 20/24. Отсюда однозначно
определяются вероятности элементарных событий.

2.8.	а) Пусть событие С* = {появление белого шэра в i-м испы-
тании} (испытания с нечетными номерами относятся к игроку, на-
чавшему игру); событие 4 = {выигрыш игрока, начавшего игру}.
Воспользоваться равенствами 4 = (j GCjC», А = С{С2 U С\С2С2(\<
б, в) Решение аналогично а).

2.9.	Пусть [D}‘ )—событие, состоящее в том, что г-й
шар черный (белый). Воспользовавшись формулой (2.3), показать,
(1) 12)	(Л)

что все события Dt ZAS ... Мд- с et + 82 -р .., +	= М (ei =

= 0,1; i = 1, .,,, TV) равновероятны. Поэтому P(4ft) ~ P(4j,
Р (Bf |) = Р Р г) —Р (С( 2) Воспользоваться равенствами

2.10.	Цепочками ив букв к, ч, б будем обозначать появление
красного, черного, белого шаров в испытаниях, соответствующих
месту буквы в цепочке. Например, событие кчч = {в 1-м испыта-
нии появился красный шар, во 2-м — черный, в 3-м — черный}.
Использовать равенства

41 = 6 U ччб I) ччччб,

А-2 = чб U чччб (J чччччб,

В = К U ЧК U ЧЧК (J ЧЧЧК J ЧЧЧЧК U чччччк.

2.12,	Решается аналогично 2.10.

2.13.	Решается аналогично 2.10.

2.14.	Найти вероятность того, что до появления автобуса марш-
рута номер 1 н. явится t — 1, 2, ...^автобусов разных маршрутов.

2.18.	Использовать равенство АВ IJ АВ — А.

2.20.	Пусть (fci, .... fen-i) — координаты точки, равномерно рас-
пределенной в (п — 1)-мерном кубе {(хь ..., Xn-fi: 0з$Х1<1,
i = l,,.., п — 1}. Рассмотреть события

^ = {^<1/2},	1 = 1,2,

ij-i	1

п — 1,

2.21.	При п = 3 приписать вероятности 8 событиям 4i42.43,
41424», ..., 4i4243 так, чтобы условия задачи выполнялись, но со-
бытия 41 и 4з не были бы независимым и.

2.22.	Рассмотреть совокупность событий । П 4^', е4 = 0 илц

U-1

1 (1 = 1,	*)j, где 4jo) = 4р 4'/' = 4?
2.23.	Сопоставить каждому событию Ai cz {1, 2, ..., и} = Р век-
тор а, е 7?п, у которого /-я (/ ₽=а1, ..., п) координата равна 0 (если
}^Аг) или }р} (если }(=А{). Переходя к векторам bi, ..bk s
е= 7?w, ортогональным к До = (ТРь ..}рп): />( =	~Р(Л()а0

(i = 1, ..., к), показать, что события At, А* попарно незави-
симы тогда и только тогда, когда векторы bi, ...» bk попарно ор-
тогональны.

2.24.	Пусть At = {изделие прошло 4-ю проверку}, t — 1, 2. По
условию задачи события Л1 и Ао независимы в обоих случаях. _

2.25.	б) Воспользоваться неравенством Р(Л1Л2) Р (-4!)-]- Р(ЛГ),
где Л, и А2 — события, состоящие в том, что 1-й и 2-й приборы
будут работать.

2 26. Участник лотереи получает минимальный выигрыш, если
он угадал ровно 3 номера, и какой-либо выигрыш, если число уга-
данных им номеров не меньше 3. Положим Лл == {Л-й участник по-
лучает минимальный выигрыш}, Ви — (&-й участник получает ка-
кой-либо вь&грыгп), к = 1, 2. Найти Р(А^), Р(7?л), к 1, 2. _

2,27.	Положим A(k) — f/c-й элемент не вышел пз строя}, =»
= {/г-й элемент вышел пз строя}, к = 1, 2, ..5. По условию за-
дачи события любого набора, составленного из событий Л(*\ к =
= 1,..., 5, с попарно различными индексами, являются взаимно не-
зависимыми. Обозначим В событие, состоящее в том, что по участ-
ку, содержащему элементы Ai, Аг, Л4, может проходить ток. Вос-
пользоваться равенствами

В == (Л'1» U А <2>)Л«) = ди)Д(4) U 4~>4(2)Д^\

С = 4<5W> и

Заметим, что для вычисления вероятности Р(В) непосредственно
использовать равенство В — Л(J А<2}А’*> нельзя, так кая
Л(1)Л<4) и Л(2М14> не являются несовместными событиями.

2	28. Положим — {при i-м выстреле допущен промах},

= {при г-м выстреле происходит попадание}. По условию за-
дачи события Ле/, Л1 , Ле,/ (s4==0, 1; |я1, в) взаим-
но независимы. Найти вероятность того, что было меньше двух
попаданий.

2.34.	Пусть С *=- {изделие, поступившее па проверку, удовлет-
воряет стандарту}. В задаче 2.24 вычислены вероятности Р{Л 1Л2|С},
Р{Л|Л2|С}, где Л1 » {изделие прошло первую проверку}, Л2
= {изделие прошло вторую проверку}.

2.35,	в) Использовать равенства

м

{М — т) С™! =	~ ^N-r

П1-2.-С

2.37.	Введем события С = {перелить кровь можно}, At = {до-
нор имеет i-ю группу крови}, Вг = {больной имеет I ю группу кро-
пи}. Найти Р(Лi), Р(54), Р(С|В{) в предположении, что группы кро-
ви донора и больного независимы и распределены согласно при-
веденной в задаче статистике.

2.38.	Положим С = {вибрация}, В — {перегрев}. Найти вероят-
ности событий СВ, СВ, СВ, СВ,

13 д м. Зубков и др.

193
2.39.	Используем те же обозначения, что в указаниях к задаче
2.38. Положим Р(ВС) = х. Найти вероятности событий ВС. ВС, ВС
как функции от х, Р(Б), Р(С). Показать, что 0 х ттп
Р(С}).

2,40.	Положим А — {случайно выбранная урна содержит 2 бе-
лых и 3 черных шара}, В = {случайно выбранная урна содержит
1 белый и 1 черный шар}, С — {из выбранной урны извлечен бе-
лый шар}. Используя условие задачи, определить вероятности
Р(Л). Р(А), Р(<7|Л), Р(С|Ь').

2.42.	Введем следующие обозначения событий: А — {передана
последовательность АААА}, В = {передана последовательность
ВВВВ}, С — {передана последовательность СССС}, В — {принято
АВС А}. Так как при приеме А ВС А вместо АААА буква А была ис-
1 — а 1 — а
кажсна два раза, то нужно положить Р {D | А} — а—т,	л

Аналогично определяются вероятности P{D|Z?}, Р{П|6'}- Воспользо-
ваться формулой Байеса.

2,45.	Пусть А.' —событие, состоящее в том, что i-й игрок
(4 = 1, 2) извлек к белых шаров Из условия задачи естественно
определяются вероятности Р | АР' } (* = 0,1,2), П42)|ЛГ|
(Л = 0, 1; Z = 0, 1, 2). Найти Р {Л}.1* |	, к = 0, 1, 2.

2.46.	Найти вероятность противоположного события.

2.50.	Искомую вероятность можно пайти, используя то, что для
любого элемента х <= S

Р{г Л1Л2} = 1 — Р{т е Л|Л2} = 1 — Р{х е A J ₽{т <=А2}

и что отбор разных элементов в множества Л< происходит пе-
зависимо.

2.51.	Множества Л1, ..Ат попарно не пересекаются, если каж-
дый элемент х s S либо не включается ни в одно из г множеств,
либо включается ровно в одно множество.

2.52.	Решать так же, как и задачу 2.51.

2.53.	а) Каждый элемент х е S независимо от остальных вклю-
г

чается в Г) Л4 с вероятностью рт. б) Воспользоваться соотноше-
•ii=i

г	т

вием U А = П Ли свести задачу к п. а).

’=1	i = l

2.54.	Моделью исследуемого явления можно считать схему
Бернулли. Обозначим через At событие, состоящее в том, что в
момент t по дороге мимо пешехода проезжает машина, l = 1, 2,
8,... События Ai, А2,... независимы, P(Af) = д, Pi4t)= 1 — р = q.
Выразить интересующие пас события через Л|, Аг, ... Например:
{пешеход ожидает 4 с} =	АаЛ£А8А^.46Ав31^ использовать вза-

имную независимость событий.

2.55.	Результативные партии рассматривать как испытания Бер-
нулли с одинаковыми вероятностями исходов,

2.56.	Последовательно обрабатываемые детали по принадлежно-
сти к 1-й или 2-й группь образуют симметричную схему Бернулли.
Событие, вероятность которого мы ищем, можно записать в вице
Am, rC U Вт, ТС, где Ат, г —{из г + т первых деталей в 1-ю ем-
кость попало г деталей, а во 2-ю попало т деталей), Вт, г = {из
194
г + т первых деталей во 2-ю емкость попало г деталей, а в 1-ю по-
пало т деталей}, С = {(г + т + 1)-я деталь попала в 1-ю емкость}-
Предлагаемая задача является переформулировкой известной зада-
чи Банаха (см. [И]).

2.58.	Воспользоваться теоремой Муавра—Лапласа.

2.59.	Воспользоваться предельной теоремой Пуассона.

2.60,	Использовать теорему Пуассона.

2.G1. При рептеппи п. б) вывести равенство

р {|62, .-"|<‘} =

' a™ / j ,	2 m 11 , m - <

2anl \ tn + 1 \ tn -{- 2

t -b... (1 +

n затем применить уточненную формулу Стирлинга для вычисле-
ния 2-2%’™w.

2.63.	Использовать теорему Муавра—Лапласа. В ответе оста<
вить знаки, не меняющиеся при изменении границ 9404 1060 на
-(- 1. (См. введение к гл. 2, а также задачи 2.61, 2.62.)

2.64,	Пусть v — порядковый номер 1025-го числа, делящегося
па 3, цп — число чисел, делящихся па 3, среди первых п чисел таб-
лицы. Использовать равенство

P{v > 2500} = Р'ц2499 < 1025}.

13	ответе сохранить разумное число знаков. (См. указание к зада-
че 2.63.)

2.65.	а) Пусть в гардеробах по х мест; обозначим через ц чис-
ло пар, выбравших гардероб одного входа; тогда 500 — ц — число
пар, выбравших другой гардероб. Используя теорему Муавра —
Лапласа, подобрать х так, чтобы

Р{2ц < х, 1000 — 2ц •< ж} « 0,99.

2.66.	Воспользоваться схемой Бернулли с п — 2500, р = 6/30 =
= 0.2, q = 0,8

2.72.	Рассмотреть все цепочки исходов длины I, содержащие h
успехов, из которых один стоит на конце цепочки.

2.73.	Воспользоваться схемой Бернулли, в которой испытани-
ем является бросание двух костей; за два исхода каждого испыта-
ния принять выпадение или невыпадение хотя бы одной «8». Рас-
сматриваемая схема является частным случаем (2.15)-(2.17).

2.74.	Занумеруем подряд бросания монеты. Бросания с нечет-
ными номерами производятся первым игроком; остальные — вто-
рым. Пусть Ci — событие, состоящее в том, что в i-м бросании вы-
пал «герб».

а) Событие, состоящее в том, что игра закончится до 4-го бро-
сания, представляется d зиде С\ (J C’iC? (J С'/С/’з;

б), в) рассматриваются аналогично.

2.75.	Вероятностное пространство определяется формулами
(2.15) —(2.17) с N = 2, pt — р, р2 = q. Обозначим рассматриваемое
событие А. Положим Вь — {пуль впервые появился при А-м иены-

ОО

тапии}. Тогда Р (4) — 2р №)

Й=1

13*

195
2.7G.	(См. указанна к задаче 2.75.) Нетрудно установить, что
рассматриваемое событие может произойти лишь в том случае, ког-
да первые два испытания приводят к двум нулям.

2.77.	Обозначим рассматриваемое событие А. Исход i-ro испы-
тания (0 или 1) обозначим Для условных вероятностей до «
-PMIb-O},	2=1} МОЖНО,

пользуясь формулой полной вероятности, составить систему ли-
нейных уравнений. Решив ее, находим Роо|ш *= Р{/.} = ЗРи + РР1-
При составления системы использовать равенства вида

Р(Л 1ё1 - о, b " О - F{4|6, - 1}^ Ph

Р{А	?{Л 15. = 0} = р0>...

L78. Число единиц в п испытаниях схемы Бернулли однозла1;
во определяет положение частицы.

2JH. Найти вероятность противоположного события. Непра-
вильная передача происходит в следующих случаях: К *= {иска
жено пе менее 4 знаков}, L = (два знака принято правильно, а ос-
тальные знаки одинаковы}, М “ {два знака принято правильно;
среди остальных ровно два одинаковых: из двух пар частых вна-
ков выбирается дара неверно принятых знаков].

2182. Возможны два подхода.

L Воспользоваться формулами

tl |	тп	Г!-

Р 6».! = тГ ‘ ^n,N “= Г"Л'} “ й’1 ... f/*wl ₽1 1 • • ’ /'А ’Z

(п = тх4- ...4- mN),

(«1 + — + efc)*’=	2	-Т-^—гсг“’Х*‘

•1 + „.Ч-вЛ«И	*А*

2. Положим Б'^} » (в /-м испытании появился исход 1)
В?- {в /-м испытании не появился исход 1}. Тогда события

М**» Ч (* “ г-залмво независимы к Р [17^‘) “= pv

2,33. Использовать решение задачи 2.82.

1.84. Решается аналогично 2.82.

2.85.	ПолпжимА< = {t-я ячейка осталась пустой}. Тогда

p rn,.v)«=a«- п	/А. А ...А П Л ЗА

Из решения задачи 2.84 следует, что

Р } П Ajl -4. ».« Ai
совпадает с еероягяостью того, что поело размещения м частиц по
Л’ — к ячейкам, отличным от й, среди нтих ячеек нет пу
стых. Воспользоваться решением гадачи 1.38.
2,86.	Обозначим 0П число очков, выпавшее при пи бро-
сании; v — номер последнего бросания. Положим 4П = {0*5*5},
Вп = {2	0т. < 5}. Возможны два подхода к решению.

1)	Событие С, вероятность которого требуется найти, можно

представить в виде С = й (J Ц Л 4 An-iBn]<

2)	Доказать равенства

Р{(?}	+

Р{С’|Л1} = Р{С}.

2.87.	Найти вероятность того, что в А-й тройке все исходы раз-
личны. См. указания к задаче 2.86.

2.88.	См. указания к задаче 2.86.

2.89.	Обозначим через появление хотя бы одной «6* у игро-
ка 4 при г-у бросании; аналогично определяем Z?i для игрока В.
Можно воспользоваться любым из подходов, описанных в указа-
ниях к задаче 2.86.

Глава 3

3.2.	Воспользоваться формулами

ОО

р = к} = 1,	____’____=1 -

« 1	1	к(к^1) к Л 4-1

3.3.	Воспользоваться формулой

2	1	1

к (к 4 1)(Л4-2) М&4-.1)~(&-Н)(А {-2)*

3.8.	Угол между положительным направлением оси ординат и
лучом АВ имеет равномерное распределение на отрезка [0, 2л 1.

3.9.	Найти функцию распределения п.

3,10.	Найти сначала Р{|q| 5* аг}, Р{|£| z) и воспользоваться
тем, что распределения q и £ симметричны, т. е. ?{tj ==»—“
₽= P{q > ж), Р{£	—х} га Р{£ 5s ж}, —оо < х < со.

3.12.	Заметить, что P{F(g) F(z)} = F(x) для любого ж,
— оо < -Т < оо.

3.13.	Показать, что {P-i'p) < г} = {л	Для любого я,

—оо < я < оо.

3.14.	Распределение величины т] = ^(£) будет иметь атом в
точке у, т е. P{q = у] > 0, если, например, уравнению <(ж) -= у
удовлетворяют все точки интервала zi х хг и вероятность со-
бытия {xi g < ж2} положительна.

3.15.	Воспользоваться тем, что при достаточно больших N зна-
чения Л’(—У) я 1 — F (Л’) могут быть сделаны как угодно малыми,
а на любом замкнутом интервале [—N, N\ непрерывная функция
равномерно непрерывна.

3.17.	б) Оценить сверху вероятность Р{§ = q} суммой



JVn—1

М4- У рЦ<5<*±2,

« In	п п	п

k=—Nn
и показать, что за счет выбора достаточно больших п и Л эта
сумма может быть сделана сколь угодно малой.

3.23.	Использовать формулу (3.2).

3.24.	Использовать формулу (3.2).

3.25.	Убедиться в тем, что Р( |£i — ёг| С О = 2Р{0 < ы —

1)	. Воспользоваться равенством

ОО

г {Ос, Е, - I, < 1} = J < !, С « 4И)

О

3.26.	Найти сначала функции распределения, рассматривая па-
ру Л) как случайную точку, равномерно распределенную в
квадрате со стороной а. и вычисляя площади соответствующих
фигур.

3.27.	Воспользоваться тем, что двумерная плотность распреде-
ления (£, р) равна e~*~v, х Jr 0, у > 0. Вычислить сначала функ-
ции распределения.

3.29.	Воспользоваться формулой композиции (3 4). Учесть, что
плотности pi{x), Дп(у) на разных интервалах определяются раз-
ными аналитическими выражениями.

3.30.	См. указание к задаче 3.29.

3-31. Показать, чю при любом t <= [0, я]

(2а — П t

P{m)n(^,^)</} =	---=

3.35.	Воспользоваться результатом задачи 3.34.

3.36.	Воспользоваться результатом задачи 3.35.

3.37.	Найти сначала функцию распределения ц.

3.38.	Найти сначала Р{т] х], используя равенство

= f	+ 5„)} =

ОС

О

₽ результат задачи 3.36.

3.39.	Воспользоваться независимостью |i и £2 п равенством



3.40.	Использовать формулу композиции

3,43.	Площадь части поверхности сферы, лежащей в полупро-
странстве {xi х), равна 2л(1 — х) (|х|	1)

3.44.	Воспользоваться результатом задачи 3.43.

3.45.	Показать, что Рп = Р(£| 4-	— четное число).

3.46.	а) Воспользоваться тем, что Т| — т2 и т2 —Ti одинаково
распределены и что (см. задачу 3.17,6) P{ti = т2) = 0; б) время
ожидания 3-го клиента равно min (ij, т2); в) событие, состоящее
в том, что 3-й клиент закончит разговор раньше 2-го, можно за-
писать в виде т, 4- т3 < т2. Найти сначала плотность распределе-
ния Ti 4- та.
ЗА1. Пусть т/, — время раз] опора А;-го посетителя. Вероятность
Рл того, что Л-й посетитель закончит разговор первым, равна

 ~~~  (Л — И, т* '	. • •• Та	Tb_f, Та Тач-1. »•	Тп}*

Показать, что Р( => ... =

3.51.	Пусть В* — число очков, выпавших в s-м испытании. Вы-
разить событие (0 =-= I, v = п) через события, связанные со слу-
чайными величинами £«, s = 1, 2, ...

3.52.	а) Найти P{0i = i, т2 = i2, 02 = /, т3 = I* Оз =	б), б)

Найти совместное распределение (Oi,..., O.>, Т|, .... тл).

3.53,	См. указание к задаче 3.52.

3.54.	а), б) Использовать равенства

= 4-J = Л^Л^ ... Л</г)Л<Л + 1),

= Аг, £ = /} = Л<° ... Aok)Л^ + 1)Л^+2) ... л(Л + *+1)д(Ы-*+2),

где Л^ = (А>й шар черный}, Л] ' = {Л-й шар белый}, в) Событие
= kv Ц = А“2.......£м+1 « £м + 1} однозначно определяет момен-

ты появления белых и черных шаров.

3.56.	Показать, что Е и ц равномерно распределены на [0, 1]
и Р{£ = г]} = 1. См. задачу 3.55.

3.57.	Рассмотреть распределение двумерной случайной вели-
чины (£, р): Р{£ = 0, г) = 1} i== Р{£ = 1, т] = 0} = 1/2, Поломшть
ж0 = Уо = 0.

3.58.	См. задачу 3.56.

3.59,	Воспользоваться при в| а2, 6| Ь3 соотношением

{»	«2, П М\{£	<*i, n М С= {tfi С £ < а2} и {bl	Ы-

3.60.	а) Использовать равносильность событий	и

п

П (^1 > х) и независимость £б) использовать равносильность

п

событий{£(П) я)и п -г) п независимость ; в) использовать

равносильность событий

1)} П П j

п

и независимость

3.61.	а) Пусть Вт = {значения и —1 величин из 5), .
попали в (—оо, г), одно значение — в [ж, х + Дт) и п — т значе-
ний в [х -Р Ах, -|-оо]}, Показать, что

P{{g(m) е (ж, х + Ах)) \Z?m} = о(\х) при Ах0.

Воспользоваться полиномиальной схемой.

б)	Решение аналогично п. а).

3.62.	Использовать равенства

Р |"i, <	1 ~ р {-^ < »а < • • • < «а+j}’

где (ii, i2, ..., 6i+i)—любая перестановка (1. 2. ,.к -р 1), п
учесть, что P(gj = ||) =0 при i j (см. задачу 3.17, б).
3.63.	Пусть tr{ < Ui C Till < !fi м 0 = 1.. n	—1). Пай~н

вероятность Р{х» <. fe<n yt, i — 1, ..., w}. Разделив эту вероят-
n

ность на JJ (i/; —и устремив к ж,-, I — 1, п, получаем
i=s

искомую плотность,

3.64.	Найти плотность совместного распределения Дь ..Дп,
преобразовав с помощью формулы (3.2) найденную при решении
аадачи 3.63 плотность совместною распределения Im. -.-i tin».

3.65.	Воспользоваться результатом задачи 3.64.

3.66.	Вывести из задачи 3.62, что Р(ЛП) = п-Л, « = 2, 3, ...,
и воспользоваться неравенствами

Пи лА<2р{лп}.

I П )	>,

1	:__4

"А 2А-2 I 2

V- 2

3.67.	См. указания к задачам 3.62 и 3.66.

3.68.	Использовать задачу 3.67 и указания к задаче 3.66.

3.69.	Использовать вторую из формул (3.5). Показать, что
вир |А (т 4- Е) —	(я) | -> 0 при Е I и.

3.70.	Воспользоваться результатом п. б) задачи 3.32.

8.71.	Выбрав любое вероятностное пространство, па котором
ацана случайная величина гр имеющая равномерное распределе-
ние на отрезке [0, 1], и воспользоваться задачей 3.13.

3.72.	Показать, что Р{£ = £ или £ = ц} = 1 и что поэтому

р

S 2

Далее заметить, что случайные величины и Сз (£i = L ?г '

1 |

1 I	1

— |. £ = ц, £? = I • противном случае)

удовлетворяют условиям Р{£, «=£}= Р(£, *=ц)V2, 1 = 1, I
Тем самым все сводится к вычислению функций распределени
случайных величин

шах

1

2

L_ 1 II
» И 2 Г



3.73.	Использовать соотношения

I

р 1$ < П‘| “р <1 > П)-= у.

Р{ппп (6, n) t < шах (£, п)} = 1

и указания я задаче 3.72.

3.74.	Заметить, что если = mfa {nt F(X*eu)>(
Ьл = max {л: Р(Х = п) > 0} и аналогично определены ау и Ь
то а = ах 4- ау, Ь = Ъх 4- Ьу- Вывести отсюда, Что

nun {P(Z = к), Р(2 = Ь)} nun {ху, (1 — я) (1 — I/)},
где х — Р{Х = д.у}. у = Р{ У = лу} Максимизировать правую часть
неравенства сначала по у (при фиксированном я), а затем по г

3.76.	См. указание к задано 3.2.

3.78,	б) Использовать формулу т*= п11,

3.81.	Заметить, что Р j ц • + Л*| — 1I = 1.

3.82.	а) При вычислении дисперсии воспользоваться равен-
ством sin2 z -f- cos2 х « 1; б) убедиться в том, что тн = М sin* £ =*
— М cos* g и составить рекуррентное уравнение для тк с помощью
интегрирования по частям. Затем использовать формулу Стирлинга,

3.83.	См. указание к задаче 3.82.

3.84.	Воспользоваться формулой (3.12).

3.85.	См. указание к задаче 3.84.

3.89.	Плотность распределения найдено в вэдаче 8.61, Для
интегралов, возникающих при вычислении моментов, получить
рекуррентные формулы с помощью интегрирования по частям.

3.90.	Показать, что для вычисления м{£<») I «=. я), 1 < । <2
< ] < п, можно воспользоваться результатом задачи 8.89, тан кан
совместное распределение £<d, t(l-i) при условии л
совпадает с распределением «т](П» •••• «Пи-D» ГД®

Tpf-i) — вариационный ряд, построенный по независимым слу-
чайным величинам т)>, •••> ’Ь-i» равномерно распредёленяыы на
отрезке [0, 1].

3.93.	Пусть %1, xs, Хз — индикаторы событий Л|, Лв1 опре-
деленных в задаче 2.19. Положить а «* xt — М%|, P^Xi — Мх>
1 = X' — МХз'

3.94.	Положить S х= 2ка, ц «=• 2х£. ( «=□ 2x7, где «, ₽, 7 — еду-
чайные величины, построенные в укаванпи к задаче 3.93, а слу-
чайная величина х не зависит от а, 7 ж удовлетворяет условиям
Мх2 == о2. Мх3 = со, Р(х >0} «И или Р{х 0} -= L

3.96.	Коварнацпонная матрица должна быть симметричной в
положительно определенной.

3.97.	См. указание к задаче 8.96.

3.98.	См. указание к задаче 8.96.

3.99.	а) Беди выполнены условия вадачи, то в правой чаегж
равенства

М51& = Mfr шах (0, Cj) 4- М(—Ci шах (0, £,))

качения слагаемых одинаковы.

б)	Использовать утверждение п. а) и формулу (8.17).

3.103.	б) Выразить Яй черва «|, а»,...

8,104.	Найти плотность распределения |6<+1—

8.105.	Найти Mtj’, пользуясь указанием к задаче 3.104 и фор-
мулой

.,1^

о а о

0.108. При вычислении дисперсии преобразовать г в сум-
щ независимых случайных величин, выразив через |«,
h

3,112.	Использовать формулу Л'дуЛу.23 У, M£r^xirxJS, где

1 1 r,s=l

Кхи = 1, если vx = у, и иХу = 0 в остальных случаях.

3.113.	а) Положить 0i =	+... + £п, где £, = 1, если

и = 0 в противном случае; тогда

0?= 2 5& = 2 Ei + S Wr

4.j=“1	i=l I?6)

б)	Положить 02 = A £{р где £<j = 1> еслп 1 n

j — 0 в остальных случаях.

в)	Написать для 0Г формулу, аналогичную случаям г = 1 и
г = 2.

3.114.	Пусть Цо — число непоявпвшихся номеров. Тогда ц0 =
= £1+ £» + ••+Влг» где = 1, если А-й номер не появился, и
Ь «О в противном случае.

3.115.	Представить £ в виде суммы индикаторов £=6i4-62-|-
4- ... 4- 6П, где б, = 1, если i-й шар в выборке белый, и б< = 0 в
остальных случаях (предполагается, что шары вынимаются из
урны поочередно). Воспользоваться тем, что

М _ М (М — 1)	,

Р(б{==1) = ^, Р (5р5; = 1) = N (N _	(<#>/»

3.116.	Воспользоваться равенством

Цо(п» ЛО = 01 + • • * + 0V,

где 0< = 1, если 1-я ячейка пуста, и 0j = 0 в противном случае.

3.117.	См. указания к задаче 3.116.

3.118.	Используя задачу 3.117, вывести рекуррентную формулу

ГТ — г 1

M|tr+1 = f+	rSsO.

3.119.	См. указания к задаче 3.116.

3.120.	Использовать равенство £п. i — Bi, < 4- • • • 4“ еп, <, где
ед,} = 1, если в А-м испытании появился /-й исход, и ед,} = 0 в
противном случае.

3.121.	См. указания к задачам 3.116 и 3.117. При решении п. в)
использовать выпуклость вниз функции хп.

3.122.	Использовать равенство vs = Ti 4- т*, где Ti — 1,
Xj —= у,- — V;_f (f = 2, 3,..п результаты задачи 3.52.

3.123.	Если б* — число пассажиров i-ro автобуса, которым но
досталось билетов, то

£ = 51 4“ •  • 4~ 6.V.

3.124.	Пусть (к = 1, 2, ..., 10) — к-е по порядку извлечения
число. Доказать, что £д (А = 1, ..., 10) одинаково распределены.

3.125.	Представить цоо в виде суммы индикаторов ц2 + Цз 4-
4- ... 4- т]п, где г;* = 1, если при А-м испытании появилась цепоч-
ка ОО, п т|а = 0 в остальных случаях. Найти Мц.оо,

3.126.	Решение аналогично решению задачи 3.125.
3.127.	Заметить, что у-е испытание является первым в серии
единиц тогда и только тогда, когда в этом испытании появилась
единица, а в (у—1)-м — нуль. Поэтому если 0j = 1, когда у-е
испытание является началом серии единиц, и 0у = 0 в противном
случае, то: 1)	= 0, -|- 02 + .• . + On! 2) MOi = р, М0,- = pq

() > 1); 3) P(0j0j+1 = 0) =1; 0j и О», независимы при |/ — Л| ^2.
Далее см. указания к задаче 3.125.

3.128.	Представить £ в виде суммы 01 4- 02 4- 0з 4* 0ь где
0, = 1, если i-я вершина квадрата, в который попал центр круга,
лежит в круге.

ос

3.129.	Представить |S| в виде |5|“ 2 ал> гДе а*

h — — ао
если к е S. и ал == 0, если к S.

3.130.	Определить на круге случайную функцию

।	f 1, если Р (г, ср) е А,

у (г, <р) « '

10,	если Р (г, <р) ф. А,

где Р(г, qp)—точка о полярными координатами г, ф. Тогда
В «=» , । х (*, ф) г dr dtp. В данном случае знаки математического
' к

ожидания и интеграла можно поменять местами, так как
] I М I X (г, Ф) I r dr йф < сю (см. [в], теорема Фубини),
'it

3.131.	Пусть Хт(®, у) = 1, если точка у) покрыта ровно
т кругами, и Хт(я, у) = 0 в остальных случаях. Тогда

ОО

“ ИXm (а!’ dy^

*оо

Воспользоваться тем, что

0 < Нт ~	1 J Хт (*, У) dx dy <

<с*+1/2<1—г#

< я (1 4r rw)a — л (1 — rN)* « 4л rN -> 0,	-*оо,

• вероятностью 1. По теореме Фубини

М '1 |	^(«.УИ^У-	( { Mxm(^,y)dxdy,

Пойти MXm(«, v) При в8 4- у’ < 1
П-»1

8.133.	Предварительно доживать, что * к т; Для
т=1

аюбых п, Л 2, где я*’1 » ж(» — 1)— р 4-1). а затем про-
образовать правую часть равенства
3.134.	Заметить, что если у «« т( 4- х2 -f-..., где все слагаемые
принимают только значения 0 и 1, то

= Лг|



3.135.	Использовать результат задачп 3.13, геометрическое пс-
оо	“

толкование интеграла и формулу | (1 — /’ (х)) dx = f F_j (у) dy.

*
о	о

3.136.	Использовать равенство £ — max (0, |) — max (0, — В) п
задачу 3.135.

3.137.	Рассмотреть отдельно случаи а > 0 и а < 0. Найти
функцию распределения и воспользоваться задачей 3.135.

3.138.	Использовать результат задачи 3.13.

3.139.	В треугольнике XiX2X3 углы XJt Х2 и Х3 одинаково рас-
пределены, а их сумма равна 180°.

3.140.	Событие {выпуклая оболочка А\, Л2, Ая, А<— треуголь-
ник) есть объединение четырех попарно непересекающихся собы-
тий = {Л< лежит в треугольнике, образованном тремя осталь-
ными точками), I = 1, 2,3,4.

3.141.	Рассмотреть независимые точки Х(......Хд е Л2, имею-

щие распределение Р. Показать, что если к8 — число треугольни-
ков XjXjXft, 1 i < / < к 6, имеющих хотя бы одни угол не
меньше 120°, то: а) Мхс = С^Р^, б) Р{х8^ 1} — 1. т. е. Мхб^ 1.
Доказательство п. б) сводится к рассмотрению двух случаев:

1)	точки Х|. ..., Х6 образуют выпуклый 6-угольник,

2)	одна из точек находится внутри треугольника, образован-

пого какими-то тремя другими.

3.142.	Рассмотреть совокупность Xi, Х2, Х3, Х4, ХБ независимых
случайных точек Я2, имеющих распределение Р. Показать, что
если из — число выпуклых четырех-
угольников, образованных точками
Xt, i = 1, ..., 5, то: а) Мх5 = 5Р4,
б) Р{к6^ 1} — 1, И поэтому Ми5

1. Прп доказательстве б) исполь-
зовать рис. 7.

3.143.	Воспользоваться тем, что



. + П" = 1 и распределения
одинаковы. Распределения

пар Щ» Ш	/) также одинаковы,

3.144.	Показать, что случайные
величины	..., ^м+1, определен-

ные в задаче 3.54, одинаково распре-
делены и что т, = £< + 1, 1=1, ...
..., Л/, Тм+1 = £м+ь Использовать
равенство 4~ £2 + .  • + Бм-м =
= W - Я/.

3.146.	Выписать явную формулу для D(£-|-r]) и заметить, что
коэффициент корреляции может принимать любое значение из

[-1, 1].

3.147.	При М| = т =/* (0, 0,
1
личину (£, ет), где ет = i

0) рассмотреть случайную Be-

rn, и заметить, что

I (£, ет} |	|£|,	|М(£, ет) | = |т|.
3.150	Выразить D(£i 4-... 4-5») через С и воспользоваться
неотрицательностью дисперсии.

3.151	. Заметить, что при < оо

х

М | - |Л = lira ufe t/P (| £ | < u},
X->oo V

0

ОС

j |®I*(2P {|£1<ы}>с*Р{|£|>*}.
x

3.152, Воспользоваться тем,
удовлетворяет неравенству

что выпуклая вниз функция /(х)

/w>/eo) + cXo(T-xo),

-- ОО < X < оо,

где Ига /' (х) «С Сх lim /' (х).

х t x(J	и X 1 xQ

3.153.	Йспользовать выпуклость вниз функции /(х) «= [х|г
(r^ 1) и задачу 3.152.

3.154.	При доказательстве первого неравенства показать, что
можно ограничить случаем 0 у СС х и что при 0 у х про-
изводная по у разности правой и левой частей неотрицательна.
Далее заметить, что при указанных в формулировке вадачи усло-
виях распределения случайных величин t 4- т] и £ — г; совпадают,
и поэтому М | £ 4- т] Г = (М | £ -|- Г) |г 4- М | £ — Т] Г).

3.155.	Применить метод математической индукции и задачу
3.154.

3.156.	Использовать задачу 3.152 и равенство

М|&4-п1" = М(М{|^ + г1Г|ё}).

3.157.	Показать, что если =» ti 4* • • • 4" 51 п случайная ве-
личина £а+1 не зависит от & и от 5*+| и распределена так же,
как £й+ь то распределение	симметрично и

М | S4+11’ ... М15„+1 + г„+1 - ?;+х < М I S„ Г + 2'М I |,+l I'.

3.158.	Утверждения п. а) следует из утверждения п. б), а эго
последнее следует ив линейности операции cov (£, 5) по каждой
из переменных.

3.159.	а) Показать, что (а, Ва) «= D(a, &).

б)	Воспользоваться тем, что условно {ранг В не больше 4
вквивалентно условию (сущьствуют линейно независимые венг-
ры ,.ч Ьч-n для которых ВЬ< =()}, условие {Dq «== 0} — ус
иию {Р( п *=* С) « 1 для некоторого С), а также п. б) задачи O.15S.

3.160.	Применить математическую индукцию и формулу (3.5).

3.161.	Воспользоваться соотношением P{v > п} «= P{£i 4*-«.4*
4- 5п С 1} и результатами вадач 8.132 и 8.160.

3.162,	Исполивовать метод неопределенных множителей Ла-
гранжа.

3J64. Воспользоваться формулой Л »	(+ £lct] .., £пп ,

°7 1 2 ... п \
где сумма оерется по всем подстановкам а =|

\ 1	£	И /
3.165.	Заметить, что если матрица Л =s Ц aj; jfj.i,т0

II	л	11п

A>i ~	-	а”\агTr2”' arh-2rh^larh_1j .

Pf....^-1”!	IliJ-l

Воспользоваться тем, что М?т == 0 для любого нечетного т к.

3.166.	Представить М sin £ и М cos Е в виде суммы интегралов
по [2л ft, 2л (к + 1)], ft = О, 1, ..., а затем показать, что каждый
из этих интегралов может быть представлен в виде интеграла по
(О, я/2) или по (0, я) от положительной функции.

8.167.	Если р = 1/2, то =-1 Ч~м — — - : далее вос-
п 2 In

пользоваться неравенством М

'п_1

п 2

т]л

например, при р >> 1/2, заметить, что — =

Л

d22 . При р^1/2,
и

где = 1, если Цп п — цп, и = 0, если > п — рп. Найти
(и { 1

Нт limР Г-2<4. с помощью теоремы Муавра—Лапласа.
( п 2 J

3.168.	а) Положить А^ = {S^-j = е #= l2h}, Bh = {?2h-i ~^2/J

и использовать разложение

.....Т1П=811}=

U

б)	Заметить, что {v == 2ft} = ((J ?Ц) В1 ... р

3.169.	См. указание к задаче 3.168.

3.170.	Прибыль предприятия ц представить в виде т| = fii +>’
•г Ь + •• . + где — прибыль за ft-e издслпе. Вычислить
Mg* с помощью задачи 2.24.

3.171.	Найти производную по х функции ф(х) = М|| — х\, где
х — координата точки В.

3.172.	Воспользоваться решением задачи 3.171.

3.173.	Воспользоваться равенством

М(| -х)2 •= М(| -М|)2+ (х-М|)2.

3.174.	Если (£, т]) — координаты точки X, (a, ft) — координаты
точки А, то М |ЛХ|2 =» М{— о)2 + (г) — ft)2}. Воспользоваться за-*
дачей 3,173-

3.175.	Если |1, Ь. ...— уровни весенних паводков в последова-
тельные годы, а т2 — время до разрушения плотины паводком, то

{%г > t}«= /	<*}’ СлУчайвая

величина тж при любом

t > 0 имеет геометрическое распределение

3.176.	Найти функцию распределения St. Воспользоваться фор-
мулой Р{тт > и} = М{Р(тт > и|£т)} и тем, что условное распре-
деление т при условии St == z — геометрическое при любом г.

3.177.	Рассмотреть случайные величины р</ = ||< — Sji, 1

с t < /	3, и воспользоваться соотношениями
я) pi: + Р13 4- р:з = 2(g(3) —

6)	min { (2) — <s,i), to) “&i2)} 'Msm — Id;)-

3.178.	Пусть P{a g b) = 1, b — a = l. Воспользоваться тем,
что	—(a-\-b)/2)2 (см. задачу 3.173).

3.179.	Воспользоваться тем, что при at bj

Mi < t]t < bj П{а2 < т]2 С Ы <= {«1 + «2< t|i 4- Л2 bi -г Ь3},

3.180-	Воспользоваться задачами 3.178, 3-179 и доказать, что
из предположения о том, что g сосредоточена на отрезке длины
I < оо, и из безграничной делимости распределения £ следует ра-
венство De =0, т. е. вырожденность распределения

3.181.	Вводя индикаторы Хп ..., событий Л|, ..., Л„, уста-
новить равенство

и	и

«Р=М(хг + ...+хп)^ 2Р(ВЛ)= 3 ЛР(5й\5Л+1)

»	/<=1	h^l

в вывести из него, что для любого m = 1, 2, ..., л
тР(В7П) ^пр т — 1 + (п — m-f- 1)Р(Вт)•

3.182.	Воспользоваться результатом вадачи 3.136.

3.183.	а) Рассмотреть случайные величины g = 1 и тр
Р(т] = 0) «= 1 — р, p(q = Ю/р) «= р, ре (0, 1].

б)	Рассмотреть случайные величины £ и т), имеющие равно-
мерное распределение на [0, 1] и такие, что Г) = {£ + р), т. е. о
равно дробной части числа £ + р.

в)	Показать, что Р(£	т|) < а ПРИ в < 1. Рассмотреть слу-

чай, когда

в {5 4- р} на множеств-: {со е Q: £	а}.

Случай а > 1 сводится к а < 1 делением на а: Р(§ < л) —
<= 1 — Р(Т|/Л < 1!а).

I 1 I I И

3.184.	Вычислить М ; —	1 и М q — и воспользоваться

неравенством |л: — р| < |х| 4- |у|.

3.185.	Показать, что случайные величины min (6, т|) 0
шах (£, т|) удовлетворяют условиям задачи и что

P(g — £ или £ == n) = 1.

8.186.	Если

f-l(y) «= sup {x: F(a:) с у} и {х ~ 1}	{$, > F_i(l — а)} => Л,

то для любой другой случайной величины х > р{х/ 1} “= а,
р{х' 0} — 1 — а и {х' = 1} “ А’ 4е А, справедливо неравенство
Мхб — М£х' 0, так как

M(g max (х — X'. 0)) > F-i(l — о)Р(Л\Л'),

М(& max (х' — X, 0)) < F_i (1 — в)Р (Л \Л)
и

Р(Л'М) = Р(л\л').

Минимальное вначение М(£х) достигается при {х = 1} =
Для вычисления экстремальных значений М(£х)
воспользоваться задачами 3.135 и 3.136.
ЗЛ87. Представить в виде I = л + (1'~ р)х, где случайна4
величина т принимает значения 0 и 1 и {7=6} = {£ = ц},
{X = 1} = {£ 1= £} Далее воспользоваться аддитивностью мате-
матическою ожидания и результатом задачи 3.18G (предваритель-
но вычислив функцию распределения | — ц).

3.188.	а) Воспользоваться свойством аддитивности матриц ко-
вариаций.

б)	Использовать результат п. а) и формулу для плотности
двумерного нормального распределения.

3.189.	а), б), в) Найти Р{| = р}; использовать равенство
p{s>T]} -р а<п}= (1-ра=т]})/2.

3.190.	Составить и решить рекуррентные уравнснля: в случае
а) — для Р{£ > А-}, в случаях б) и в) — для Р{| — к}.

3.191.	Использовать задачи: 3.32 — в случае а), 3.26 — в слу-
чае б), 3.34— в случае в).

3.192.	Использовать результаты задачи 3.191.

3.193.	Условные распределения £ и ц при условии £ 4- т] = z
совпадают. Если Р{|| + Л — г| < е} = 0 при некотором в > 0, то
условное распределение £ или ц при условии £4-т) = з не опре-
делено.

3.195.	Показать, что если х ж ..., хп) и у = (jri, ..у«) -у
любые два набора, состоящие из к единиц и п—-к пулей каждый,
то Р(| = 1) = Р(| = у).

3.196.	Доказать индукцией по к, что если (1 = 1» •••» л»
У = 1, 2, ...) —независимые случайные величины, Pfiij = 1} = Р,
Р{|и = 0} == 1 — р при любых I, /, то

%k = 111 • • • I IS + |?i •. •	+ •• • + £м1 ... |nb

3.198.	Обозначим через ц число белых шаров в первой выбор-
ке. Тогда по'формуле полной вероятности

Р (| - т) = V Р (т) = 1) Р {; = гп | ц = /}.
?*=о

3.199.	Найти условную плотность распределения р при фикси-
рованном |м.

3.201.	Вводя индикаторы событий, показать что Мип =*
= rtP{ljl |nt или В.12 ir.2 ДЛЯ j == 1, ...г П— 1}, И ВЫЧИСЛИТЬ
последнюю вероятность, используя независимость .... и
формулу полной вероятности (фиксируя множество 4(|п) =»
= {/;	или |пг} и значения |„i, |п2).

3.202.	Использовать условные математические ожидания и
формулу Dt = Мт2 — (Мт)2.

3.203.	Показать, что в равенстве

Р{| > max (11, х) || > х} = Mn{P(| > max (ц, х) ]| > г, rj)}

выражение под знаком математического ожидания можно оценить
снизу величиной Р{| л|ц} при любом фиксированном зна-
чении Т|

3.204.	Воспользоваться задачей 3.203,

3.205.	а) Заметить, что

Р{Ш С р|пл-| = т} = Р{|, С pili < *}•

б)	Вывести из п. а), что распределения рь и |,|2.. • сов-
в)	Воспользоваться равенством

Р{АЙ = т|г]л_| = х} — Р{£т < х, I, > х (г = 1, ..., т — 1)}.

г)	Заметить, что т* = Ai 4-... 4- А*, п, пользуясь результатами
пн. б) и в), найти MAfc.

д)	См. указания к задаче 3.67.

3.206.	Показать, что n-мерная условная плотность распределе-
пия (Si, ..., Ап) при условии a <S„+i равна 0 вне множе-
ства Dn(a) = {(i|, ..., xn): 0 xj ^ ... ^ хп а) и постоянна
па Dn(a). Плотность распределения .... Ln)) найдена в за-
даче 3.63.

3.207.	Представить Р Ч — x>C_j и Р{£ > г} в виде интегра-
лов по промежутку [х, оо).

3.208.	Положим = 1, если в испытании с номером t появи-
лась 1, и 0 в противном случае. Для условных математиче-
ских ожиданий т0 = M{voo|£i = 0}i mi — AA{vOo|Si = 1} составить
систему линейных уравнений, используя равенства

M{voo | £i ==	= 0} = 2,

M{v00| £1 = 0, £2 = 1} — 1 4-
M{voo| = 1, £2 = 0} = 1 4- то,
M{VooI £1 = £2 = 1} = 1 4-

и формулу (3 20). Найдя из этой системы то, mi, получаем Mvqo =
= ртп\ 4- qmo.

3.209.	Для условных математических ожиданий

то = M{vin|Ei = 0}, mi — M{vnt|§j = 1},
тп = M{vnt IВi = Ь — О

составить систему линейных уравнений. Найдя из этой системы
т0 и т(, получим Mvm = qm0 4- рт\. См. также указание к за-
даче 3.208.

3.210.	См. указание к задаче 3.208.

3.211.	Пусть Bi — {точки 4t, ..., Ап лежат на дуге А{С дли-
ны х (направление от 4< к С — по часовой стрелке)}. Искомое
событие есть Bi U ... U Вп. Показать, что Lh П В) == 0 при 1 у5’ /,
в найти P{Z?j|Ai = X}.

3.212.	Указанное в условии событие пе происходит тогда 
только тогда, когда длина дуги, содержащей 4i, ..., Ап, не пре-
восходит половины длины окружности. См. задачу 3.211.

3.213.	Если Вп — событие, описанное в задаче 3.212, то
г?} » Вп. Для вычисления Mv и Dv использовать задачи 3.132
и 3.133.

3.214.	Найти длину дуги, на которой должны быть сосредото-
чены точки 4j, ..., Ап, чтобы событие, указанное в условии вада-
чи, не выполнялось. Использовать результат задачи 3.211.

3.215.	Если длппа дуги AtB равна х, то {£ > х} = {Л2, Ап
не принадлежат Дуге A }В}.

3.216.	Использовать формулу полной вероятности

2лг

Р («1 > х, t2 > У) = j Р {s2 > У [	= 2}	(2) dzt

м
где Ft (г) — плотность распределения t :• и указания к запаян
3.215.

3.217.	Использовать формулу полной вероятности

(&J > Zp ... ,	> яй) —

2 яг

Р {^2 > Х2' * ’ * ’	> Xk i *1 ~ Z} j

X ,

метод математической индукции (по к) и результаты задач 3.215
и 3.216.

3.218.	Воспользоваться результатом задачи 3.217 и тем, что

''(«<,>^••••4 >*») =

= Р	= 1.....к),	Вт>0 (т .... QJ.

3.219.	Заметить, что v = Oi + ... + 0П, где {0t = 1} == {| > Л},
{0< = 0} = (£i <: Л}. Далее использовать задачи 3.132 и 3.133, 3.215
и 3.218

3.220.	Заметить, что {Tln->x}== U 1 > Использовать фор-
мулу (1.12) из введения к гл. 1 и результат задач 3.217, 3.218.

3.221.	Использовать задачи 3.220, 3.135 и равенство

V (_ 1^-1'_2 = ( 1	1 _J dx =- С.1 ** dx.

—	к ,! х	J 1-1

3.222.	Пусть а, у— длины дуг ВС, СА, АВ. Использовать
равенства

1

5 = ~2 ’ (sm a -f- sin р + sin у),

р = 2 1 sin . — sin + sin -) |,
2	2	2 /

2S а	В	у

— - -	_ лла ---- Т_	—2—' —Г ла —

результаты задачи 3.215 и свойство аддитивности математического
ожидания.

3.223.	а) Использовать равенство

I	гоах^,^)

Ма = \ (У~ (У — %) dy — 2	(у — 00 (у — а2) dy,

0	min(a1,a2)

б)	Подставить результат п. а) в формулу Мо = М(М(<т|4)},

3.224.	а) Найти вероятность поражения пели нри условии, что
v фиксировано; б) воспользоваться результатом задачи 3,40.

3.227.	Получить рекуррентную формулу для используя
интегрирование по частям.


3.228.	Представить каждую пасть неравенства в виде интегра-
ла по интервалу (х. сю) от ее производной и сравнить подынте-
гральные выражения.

3.230.	Записать Р{п х} в виде интеграла и вычислить его,
переходя к полярным координатам.

3.231.	Использовать результаты задач 3.35 и 3.229, а).

3.233.	Пользуясь тем, что интеграл от плотности нормального
распределения равен 1, пайти МсТ) и Me211, где случайная величи-
на г] имеет нормальное распределение с параметрами (a, oJ).

3.234,	Воспользоваться задачами 3.233 и 3.229, б).

3.235.	б) Заметить, что

In b — М In £ \

I )

Р	= Ф

In а—М In
"уоТв!” /

Пайти М 1п*£ и D In Е, используя результаты задачи 3.233.

3.236,	См. указания к задачам 3.227 и 3.233.

3.237.	Воспользоваться тем, что случайные величины £ и —£

одинаково распределены.

3,238.	Разложить cos £ в ряд Тейлора по £ и с помощью ре-
зультатов задачи 3.227 найти математическое ожидание каждого
слагаемого. При вычислении М cos2 £ предварительно перейти к
функции от двойного угла.

3.239.	Воспользоваться результатами задач 3.237 и 3.238 и ра-
венством М sin2 £ = 1 — М cos2 £.

3.240.	Вычислить (Mcosl -|- iM sin	, запи-

сав эту величину в виде двойного интеграла и затем переходя к
полярным координатам. При определении квадратного корня най-

2	«

ти знак Im М<?1С , делая в интеграле замену переменных п = х1
и рассматривая интегралы по и от 2л& до 2n(fc-f-l), fc = 0, 1, ...

3.241.	Найти плотность совместного распределения тщ тр.

3.242.	а) Использовать равенство	Р(— | < х, |$| > 1) =

«= Р(| < х, |£| Ssl).

б)	Пайти Р(£ 4- р =• 0).

3.243.	Случайная величина 5 — р имеет нормальное распреде-
ление.

3.244.	Случайные величины 2£i — £21 2£, — имеют нор-
мальное распределение.

3.245.	Линейное преобразование с матрицей

ijeosep — зшф||
« sin ф cos <р в

ортогонально.

3.246.	Воспользоваться задачей 3.245 с <р = л/4.

3.249.	Используя задачи 3.247, 3.248, представить (||, £j) в ви-
до подходящего линейного преобразования случайного вектора

(Ci, £2), имеющего сферически симметричное нормальное распре-

деление с D£i = D'2 = 1.

3.250.	Записать отображение

>+ V.*

й

полярных координатах и воспользоваться сферической симметрич-
ностью совместного распределения и Еа.

3.252.	а) — в) Воспользоваться независимостью Е и р; г) вос-
пользоваться решением а) и симметричностью двумерной плотно-
сти распределения (£, р) относительно начала координат; д), е)
вычислить с помощью интегрирования двумерной плотности.
3.254.	Воспользовавшись тем. что плотность сферически сим-
метричного нормального распределения инвариантна отпоенj ель но
поворота вокруг начала координат, повернуть прямоугольник так,
чтобы его стороны стали параллельны осям, а вероятность попа-
дания в него не изменилась.

3.255.	Воспользоваться симметричностью двумерной плотности
относительно любой прямой, проходящей через начало координат,
и ее инвариантностью относительно вращений вокруг начала ко-
ординат.

3.257.	б), i) Пайти плотность (£, т]) в полярных координатах.

3.258.	а) Выразить искомую вероятность через плотность в
полярных координатах (см. задачу 3.256).

о), в) См. указания к задаче 3.254.

3.259.	Вектор (£i— £2, Hi — Лг) имеет нормальное сферически
симметричное распределение. Воспользоваться задачей 3.230.

3.260.	Вектор Л]Л/| = (—+ (£г + |з)/2, —гр + (цз + Пз)/2).
См. указание к задаче 3.259.

.2	61. Показать, что точка Mi и вектор J2.43 независимы. Вы-
вести отсюда независимость векторов >1hV| и А2А3 (и, значит, их
длин).

3.262.	Треугольник является тупоугольным тогда п только
тогда, когда одна из его сторон больше удвоенной медианы, про-
веденной к втой стороне. Эти события, относящиеся к трем разным
сторонам, несовместны и имеют одну и ту же вероятность. Найти
егу вероятность, используя результаты задач 3.260 и 3.261.

3.263.	Треугольник Л]Л2Л3 не имеет тупых углов тогда и
только тогда, когда оп не содержит внутри себя центр описанной
около него окружности. Использовать задачу 3.212.

3.264.	Заметить, что распределения случайных величин £ и —j=
совпадают.

3.265.	Ввести вспомогательный случайный вектор V«
“=(&	£2/°2).имеющий сферически симметричное дву-

мерное нормальное распределение.

3.266.	Из результата задачи 3.264 вывести, что достаточно най-
ти Рио. Подобрать числи й|, ft,. ft4 так, чтобы случайный вектор
5 “ (?ь Сс) -= (oiSi, fti£i + ft?{») имел сферически симметричное

нормальное распределение с плотностью r-;t	" * J и чтобы

(61 > ОЛг 0} -	0. Ъ > fti/aj.

Для вычисления рм воспользоваться последним равенством и сфе-
рической симметричностью распределедия С-

3.267.	Найти такие числа в и р, что случайные величины и
+ независимы и одинаково распределены. Записать
искомую вероятность в терминах вектора (|t, и) ж воспользо-
ваться сферической симметричностью его распределения.

3.268,	Найти распределений 5 — ag8.

3.270.	а) Вектор {£»-—£i,	£i) является разностью двух

лекторов (£ъ $з) н £t), имеющих нормальные распределения.
®) Распределение (gtf —	— 1н>) совпадает с условным

распределением (£2-	нрм усложни, что 6t Ь »8.

Вероятнооть события * о,	, не зависит от перестановки

(at, и2, с3) влемеятся (1, 2. 8). и) Воспользоваться задачей 8.267,

3.271.	См. указание к задаче 3.270.
3.272.	Ср. с задачей 2.19.

3.278.	Найти функцию распределения

3.279.	Воспользоваться соотношением |М£'	и резуль-

татом задачи 3.152.

3.281.	Рассмотреть распределение с плотностью

Р (xv xz) = C~l ехр Н (4 + 4 + 44) Ь

ОО

с = J ' ехр {- (4 + 4 + 44) 1 dxvdxr
— оо

е

Глава 4

4.1.	Заметить, что если fK(i) =0 при |f| < х, /х(0 =1 ПРИ
|t| >х, тоР{|£| ^х} = М/х(|) и g(0

4.4.	Показать, что для любых 6 > 0 и n = 1, 2,...

£1 +  - + 4(71-МУ"! _ а
[(n+l)/2J

(] ГЦ + ... + Л[П/2] _

[H/2J

и использовать приведенные во введении к гл. 4 условия выполне-
ния закона больших чисел.

4.5.	Применить результат задачи 4.4.

4.6.	Показать, что

D + •-+ Ь. = (1 + в (1)) 2.21, п оо,

•?	а + 1

папти распределение	. 4- £„)/п и использовать точную

формулу для Р{ | £| + ... +	е}.

4.7.	Воспользоваться неравенством Чебышева и результатом
задачи 4.6. Выяснить, при каких значениях а удовлетворяет закону
больших чисел последовательность случайных величин fcj, £2, ..ч
если они независимы и при А = 1, 2, ...

= 0} = 1-2-Л

Р{£й = 2hCk^} « Р{|= 2-*’1.

4.8.	Оценить сверху дисперсии £i4-... + £rt и тр+П» и
применить неравенство Чебышева.

4.9.	Вычислить математическое ожидание, дисперсию tn/^n
и воспользоваться неравенством Чебышева.

4.10.	Заметить, что

En"’4'((51+”-+V-('4+-- + 5»))
3.254.	Воспользовавшись тем. что плотность сферически сим-
метричного нормального распределения инвариантна относительно
поворота вокруг начала координат, повернуть прямоугольник так,
чтобы его стороны стали параллельны осям, а вероятность попа-
дания в него не изменилась.

3.255.	Воспользоваться симметричностью двумерной плотности
относительно любой прямой, проходящей через начало координат,
и ее инвариантностью относительно вращений вокруг начала ко-
ординат.

3.257.	б), в) Пайти плотность (£. р) в полярных координатах.

3.258.	а) Выразить искомую вероятности» через плотность в
полярных координатах (см. задачу 3.256).

б), в) См. указания к задаче 3.254.

3.259.	Вектор (£i — £2, Hi — Лг) имеет нормальное сферически
симметричное распределение. Воспользоваться задачей 3.230.

3.2(0.	Вектор Л]Л/1 = (—fct	(£2 + £з)/2, —гр + (цз + Цз)/2).

См. указание к задаче 3.259.

3.261.	Показать, что точка Mi и вектор А2АЭ независимы. Вы-
вести отсюда независимость векторов и Л2Л3 (и, значит, их
длин).

3.262.	Треугольник является тупоугольным тогда п только
тогда, когда одна из его сторон больше удвоенной медианы, про-
веденной к втой стороне. Эти события, относящиеся к трем разным
сторонам, несовместны и имеют одну и ту же вероятность. Найти
егу вероятность, используя результаты задач 3.260 и 3.261.

3.263.	Треугольник Л]Л2Л3 не имеет тупых углов тогда и
только тогда, когда он пе содержит внутри себя центр описанной
около него окружности. Использовать задачу 3.212.

3.264.	Заметить, что распределения случайных величин £ и —£
совпадают.

3.265.	Ввести вспомогательный случайный вектор V«
“=(&	£2/°2).имеющий сферически симметричное дву-

мерное нормальное распределение.

3.266.	Из результата задачи 3.264 вывести, что достаточно най-
ти Рм. Подобрать числа й|, ft,. так, чтобы случайный вектор
r “= (?ь Сс) -= (oiti, fci£i + Ь?5») имел сферически симметричное
нормальноа распределение с плотностью г-;	“ * * и чтобы

(61 > о, 2» 0} - {Ct 0. Сз 2» fti/ai}.

Для вычисления рм воспользоваться поел одним равенством и сфе-
рической симметричностью распределения t.

3.267.	Найти такие числа в и а, что случайные величины Ji и
Ч —	+ независимы и одинаково распределены. Записать

искомую вероятность в терминах вектора (It, и) н воспользо-
ваться сферической симметричностью его распределения.

3.268,	Найти распределение J — agg.

3.270.	а) Вектор (£»-—£i,	является равностью двух

лекторов (|а, j ) и £j), имеющих нормальные распределения.
®) Распределение —S(i), lb»*—Vd) совпадает с условным
распределением (£2- 6з» Ь — fej прн условии, что 6t Ь
Иероятнооть события Jo,	I j,	, не зависит от перестановки

(oi, а2, о3) влементсв (1, 2. 8). в) Боонользоваться задачей 8.267,

3.271.	См. указание к задаче 3,270.
3.272.	Ср. с задачей 2.19.

3.278.	Найти функцию распределения

3.279.	Воспользоваться соотношением |М£'	и резуль-

татом задачи 3.152.

3.281.	Рассмотреть распределение с плотностью

Р (xv xz) = C~l ехр Н (4 + 4 + 44) Ь

ОО

с = J ' ехр {- (4 + 4 + 44) 1 dxvdxr
— оо

е

Глава 4

4.1.	Заметить, что если fK(i) =0 при |f| < х, /х(0 =1 ПРИ
|t| >х, тоР{|£| ^х} = М/х(|) и g(0

4.4.	Показать, что для любых 6 > 0 и n = 1, 2,...

£1 +  - + 4(71-МУ"! _ а
[(n+l)/2J

(] ГЦ + ... + Л[П/2] _

[H/2J

и использовать приведенные во введении к гл. 4 условия выполне-
ния закона больших чисел.

4.5.	Применить результат задачи 4.4.

4.6.	Показать, что

D + •-+ Ь. = (1 + в (1)) 2.21, п оо,

•?	а + 1

папти распределение	. 4- £„)/п и использовать точную

формулу для Р{ | £| + ... +	е}.

4.7.	Воспользоваться неравенством Чебышева и результатом
задачи 4.6. Выяснить, при каких значениях а удовлетворяет закону
больших чисел последовательность случайных величин fcj, £2, ..ч
если они независимы и при А = 1, 2, ...

= 0} = 1-2-Л

Р{£й = 2hCk^} « Р{|= 2-*’1.

4.8.	Оценить сверху дисперсии £i4-... + £rt и тр+П» и
применить неравенство Чебышева.

4.9.	Вычислить математическое ожидание, дисперсию tn/^n
и воспользоваться неравенством Чебышева.

4.10.	Заметить, что

En"’4'((51+”-+V-('4+-- + 5»))
и что поэтому

Сп

+ „1(6,4-.. +£„VJ> „!

I и (п — 1)	3 J

Оцепить первое слагаемое в правой части (1) с помощью неравен-
ства Чебышева, а второе и третье — с помощью неравенства из
задачи 4.1 для функции g(a-) = | х |.

4.11.	Найти M/(£i) п	и воспользоваться законом

больших чисел.

б)	Использовать центральную предельную теорему.

4.12.	а) Если {х} обозначает пробную долю х, то {| + Лт)} и
{Zp} при любых целых Аг, I независимы и имеют равномерное рас-
пределение на [0, 11.

б)	Воспользоваться неравенством Чебышева.

в)	Заметить, что

если 4- г)},	+ пр) принадлежат отрезку [а, fc].

4.13,	Утверждение задачи можно вывести из закона больших
чисел.

4.14.	Применить закон больших чисел.

4.15,	Воспользоваться результатом задачи 3.157 и неравен-'
ством из задачи 4.1.

4.16.	а) Показать, что Mv с оо.

б)	Ввести случайные величины vn =	. 4- Xm п » 1, 2,.,

где %; = 1, если происходит событие .lj, и xj = 0 в противном слу-
чае. Показать, что P{v> уп} = 1, п — 1, 2, ...; вычислить матема-»
тическое ожидание и дисперсию vn и с помошью неравенства Че-<
бышева убедиться в том. что для любого N •< со

lim Р {v > Л) = 1.

П-->О0	'	*

4.17.	Рассмотреть случайную величину совпадающую о
v при ТУ и равную 0 при v > ТУ. Очевидно,	Л,' Пока-*

вать, что предположение «существует такое У сю, что
P{v > N) < а — е < а» приводит к противоречию, если вычислять
математическое ожидание v v по формуле

ОО	оо

м4 “ 2 F {Ап п IV < Л}| > 2 (р {AJ -р {V > Л?).

П=1	п=1

4.18,	Связать события Ап со значениями одной и той же слу«
чайпой величины, имеющей равномерное распределение на отрея*
ке [0, 1].
4.19.	Показать, что если vf — число одновременно происходя-
щих событий {|	> е), п —- 1, 2, ,.., то

/lim	U (lib | ?„-£!> А |= IJ {v1/ft=°o},

Щ-»оо	j 4-1 чП-кж	' )

п применить лемму Бореля — Кантелли (задачу 4.16).
4.20. Показать, что выполняются условия задачи 4.19.
4.21. а) Показать, что

р1<1=^та. р1^1<°ч>{-й'

и применить лемму Бореля — Кантелли (задачу 4.16).
б) Использовать соотношение

1

(Т^А- А|>С ^{ve=°°}U {Не=~}.

1	П-»ОО I	Л I )

4.22.	Найти D ((м + ”• +	применить неравенстве

Чебышева и результат задачи 4.19.

4.23.	Найти D [ + 1+lj)2+2+ ••• попользовать оценку

м

р{тах{С1, С2, ...,СМ}>е}<2 р {С. > »}•

1=1

неравенство Чебышева и результат задачи 4 19.

4.24.	Вывести усиленный закон больших чисел из результатов
задач 4.22 и 4.23.

4.25.	а) Применить метод математической индукции (по в).

б)	Найти

Р(Е, + ...+Е„=Л-+1}

Р{5,+ ---+6„“Р ’

4.26.	Воспользоваться результатами задачи 1.53 и равенствами
Р(Т] (JV) > и) = Р{4„ д), Р{т2(Лг) > и} = Р{СЯ,

При нахождении предельных распределений полезно соотношение
In (1 — х) =—я-}-О(х2),	®->0.

4.27.	Представить вероятность Р{т|п х) (0 < х < 1) в вида
.Л (fe + x)/n

р{%<4 = 2	)

h--oa h/n

к каждому слагаемому применить теорему о среднем.

4.28.	Показать, что для любого в > 0 можно найти такой на-
бор {6], ..., 6lrt} непересекающнхся отрезков, что

Р Ue= U бЛ>1-&

I	г — 1 J
т

и плотность pi(x) на lj 6f непрерывна и ограничена. Далее
г -1

воспользоваться решением задачи 4.27.

/ t

4,29,	Воспользоваться равенством л< = tg л <п—н п резуль-
1, I л ) !

татами задач 4 28 и 3.8.

4,30.	Используя тригонометрическую форхгу записи комплекс-
ных чисел, показать, что £n = tg (»? arclg £), и применить резуль-
таты задач 4.28 и 3.8.

4.31.	Использовать неравенства из задачи 3.228 и определение
условной вероятности,

4,32.	Использовать равенство Р{хп^я} =Fn(x) п асимптоти-
ки _

ческое соотношение lim 1 — — . — е .

71—»чс \	П )

4.33.	а) Воспользоваться справедливыми прп любом в > 0
включениями

{Чп С -г — е, |Ь«| < е} = {п« +	< Ъ 1Ы < е} s

£ {т]., С * + е, lri| < е}
и тем, что

Р{Л} — Р{£} Р{ЛЯ} Р{4}.

б)	Доказывается аналогично а).

4.34.	Использовать теорему Муавра—Лапласа и п. а) зада-
чи 4.33.

4.35.	а) Воспользоваться неравенством

Р{Л7?} min {Р{4}, Р{Д}},

справедливым для любых двух событий А, В.

б)	Использовать определение непрерывности функции двух
переменных и результат п. а).

4.36,	Показать, что при каждом I1, 2 последовательность

= (т й + ••• +	сходится по распределению к с*, ког-

да п-*оо. и применить результат яадачи 4.35. В случае а) сходи-
мость к at следует из вакопа больших чисел (см. введение
к гл. 4), в случае б) — из задачи 4.15.

4.37.	При вычислении Р(£п <С 57} воспользоваться соотноше-
нием lim (1 — s)1**6 = е"1.

е-»о

4.38.	Заметить, что т& можно представить в зиде суммы Ь не-
вавнеимых случайных величин, распределенных так же, как £.
Воспользоваться неравенством Чебышева.

4.39.	Значение Мт вычислялось в вадаче 3.202. Чтобы найти
распределение т, заметить, что

А. « ,_L •	(1J

Мт Mv v
используя оценку
р( -t-...+ёу
I V

Н F _1_ f_ В I 'I

< р {V < п] 4- вор р ,, -1--1 -22. - а | > Г

.71
показать, что второй сомножитель в (1) сходится по вероятности
к 1, и воспользоваться п. б) задачи 4.33

4.40.	Заметить, что случайная величина имеет такое же рас-
пределение, как сумма £i4-...£v, в которой	... и v не-

зависимы, jj, £2, ... распределены так же, как с, a v имеет гео-
метрическое распределение с параметром q. Далее мри рспгеячп
п. а) использовать задачу 4.37, а при решении п. б) — задачу 4.39.

4.41.	Первая оценка следует из неравенства Чебышева. Для
доказательства второй можно ввести индикатор хл события z в
воспользоваться результатами задач 3.186, 3.138, неравенством Ко-
пт — Бунлковского и переходом к дополнительному событию.

4.42.	Используя задачи 4.41 и 4.39, показать, что нахождение
предельного распределения qxi сводится к применению задачи
4.37. Затем с помощью задач 4.33 и 4.41 показать, что предельные
распределения $Ti и qxt совпадают.

4.43.	Убедиться в том, что процесс работы прибора удовлетво-
ряет схеме, описанной в задаче 4.42, и что для искомой случайной
величины т и случайных величин и т2 из задачи 4.42 справед-
ливо соотношение

P(ti< т^т2) = 1.

4.44.	Применить результат задячп 4.43. Использовать аппрокси-
мацию пуассоновского распределения нормальным.

4.45.	Использовать определения указанных видов сходимости.
При построении примера рассмотреть такие независимые случай-
ные величины 6», что

'{Ь. = 0-‘—Т- 4IU-4—}-*'»

Вычислить М(£„ — t)1 т использовать лемму Бореля — Кашел лж
(вадачу 4.16) для доказательства того, что

&-,|-о}-=о.

4.46.	Если F(r) и Г* (х) — функции распределения I U
. (п •= 1, 2, ...) соответственно, F*(x) и F* (ж) — обратные функции,
а случайная величина С имеет равномерное распределение на от-
резке [0, 1], то последовательность случайных величин =

сходится ж V— £•(£) с вероятностью 1,

4.47.	а) В случае когда сходится ж £ по верстгпости, вэо-
пэльзоватьсн равномерной жепрерывностью /(ж) на любом конеч-
ном отразиг а включением

>е} = (Ш>Л 0(Ш <Г, U.-fej >вЪ

справедливым для любых в >0, Т< оо при некотором в' = е'(8, Т),
Случай сходимости с вероятностью 1 рассматривается аналогично,
а случай сходимости по распределению сводится к любсму из
рассмотренных с помощью результатов задач 4.45 и 4.46.

б)	Рассуждения проводятся так же, как в п. а), но прк ио-
строении множества, на котором /(ж) равномерно непрерывна,
нужно исключить из отрезка [—Т, Тj окрестности всех точек раз-
рыва /(ж).
4.48.	Существование величины £ = lim Вп следует из моно-
11-> оо

точности последовательности £п, а равенство = а — яз инте-
грального представления Мс (см. задачу 3.138) и из теоремы о мо-
нотонной сходимости (см. введение к гл. 3).

4.49.	а) Показать, что если А* (А 2)—минимальный по
длнпе отрезок из тех, па которые отрезок [0, 1] разбивается точ-
ками £|, ..., £*-1, а (Аа| — его длина, то Дл+) сАь (А = 2, 3, ...)
и М |Afcj —> 0 при А -+ ос.

б)	Вычислить М£ и М£2, пользуясь тем, что условное распре-
деление * при условии £| = х совпадает с распределением
если х s? 1 /2, и с распределением 1 — (1 — я)*, если х > 1/2.

4.50.	а) Показать, что? 1 lim । £п — |п_]1 = 0 =1, и воспольао-
I а-»оо	)

ваться леммой о вложенных отреаках.

б)	Воспользоваться тем, что условное распределепие £ при
условии ъ1=х совпадает с безусловным распределением
*(!-£)

4.51.	Показать, что случайные величины ал, определенные ра-
венствами

g (^.) — g (ап) ~п —°п
f'n" ,ап)

(i +

удовлетворяют условию

Нт Р |\ ъп I > е} = 0 при любом с > 0.

Далее воспользоваться задачей 4.33. б).

4.52.	См. указания к задаче 4.51. В отлично от задачи 4.51
определить случайные величины ал равенствами

£(%) —1

(«„)  *1



4.53.	а) Распределение случайной величины —---------

V пр (f — Р)
при п—>оо сходится к стандартному нормальному распределению.
Ц	2

б)	Использовать задачу 4.51 с еп “= — — 2> g, (*) = *"•
и

4.54.	а) Использовать задачу 4.52.

б)	Использовать задачу 4.51.

4.55.	Показать, что для любого е "> 0

1Н1' г	,	— f

11-*к	( °п	”

если выполнены условия п. в). При построении примеров, дока-
зывающих, что условия а) и б) не обеспечивают совпадения пре-
~П ап Т-П ап

дельных распределений---------п ---------, рассмотреть случай-

на

ныо величины £п = ЬД + ал, где случайная величина £ имеет
стапдартвое нормальное распределение, и подобрать соответствую-
щим образом последовательности ап, Ьп, ап, bv.

4.56.	а) Рассмотреть случайные величины

=- J* (1 ~ Хп}Сп, п = 1, 2,...,
где хь Хз« • ••— случайные величины, по зависящие от £,
PfXn = 0} + F{X« = Л = 1-

б) Сравнивая

00	оо

Mg = zdP {g < г} И Mgn == , xd? (gn < Ж),
— ОО	— ОО

показать, что за счет выбора достаточно большого Т интегралы
 |х|<2Р {g< х) и ’ |x|dP{gn<x}

|х|>Т	1х|‘>Т

можно сделать сколь угодно малыми, а разность интегралов по
области {|х| < Т} при п -+ со стремится к 0

4.57.	а) Рассуждая так же, как в п. б) задачи 4.56, пока-
зать, что

ОО

lim —	— lim lim I z'dP {] gn [	0.

n -> oO	‘ T-»OO h-»OO t1.

Построение примера, в котором Мх > Л/, провести аналогично
п. а) задачи 4.56.

б)	Случайные величины gn— Mgn и g — Mg удовлетворяют
условиям п а).

4.	59. Случайная величина gn имеет биномиальное распределе-
ние с параметрами (п, р).

4.	60. а) Использовать равенство Mg'*J =	(1).

б)	См. определение производящей функции и ее свойства.

1

в)	Использовать равенство I dz —	*—-. а > —

о

4.62.	Показать, что 0ь — ti + ... + тй, где тд, ..Th — независи-
мые случайные величины, распределенные так же, как случайная
величина tj в задаче 4.61.

4.63.	Сравнивая ряды

СО

м3* = у C^pm4n~mzn И Lzl^m2\

м	pz

п=пг

составить рекуррентное уравнение, связывающее производящие
функции Mz5 при соседних значениях т, и найти его решение.

4.64.	Пользуясь результатами задачи 4.63, найти производящие

функции распределений gj, g2, £з и их суммы тр

4.65.	а) Воспользоваться формулой полного математического
ожидания

б) Использовать результат п. а).
4Ж Найти P{£t - ?, = 0}, Р(Ь == 0), Р{Ь « 0}.

4.67.	Представить <pj(z) в виде степенного ряда. Воспользовать-
ся правилами почленного дифференцирования рядов и неотрица-
тельностью коэффициентов ряда для 4’1 (z).

4.68.	Сопоставить ft-му испытанию вектор (е». ь ..., ел я), % в
“ 1* 2, ..., где Ek, j « 1, если в fc-м испытании появился /-й ис-
ход, и е*. j = 0 в противном случае. Воспользоваться равенством

п

(бп,1« •••! 1Лдг)- 5 («к.1’ •• •’ еЬ.л)

Ы

и свойствами производящих функций векторных случайных
величии.

4.69.	Использовать результат задачи 4.68.

4,70.	а) воспользоваться формулой полного математического
ожидания и результатом задачи 4.68,

б)	Вывести из результата п. а), что компоненты и ..£v, .v
независимы н £v. ( имеет распределение Пуассона с параметром Kpt.

4.71.	Воспользоваться тем, что <p(z) — аналитическая функция
ь круге {|:|	1), что ф(1) = 1 и что <р(з) разлагается в ряд Тей-

лора. но степеням z с неотрицательными коэффициентами.

4.74.	Вычислить характеристическую функцию £i+...+

4.75.	Использовать формулу полного математического ожидания
в свойства характеристических функций (производящих функций).

4.76.	в) б) Представить ip(z) в виде степенного ряда по 2.

в), д) Представить ф(г) в виде степенного ряда по <p(z) и ис-
пользовать результат задачи 4.75.

г) Выразить ф(з) через ф(з) и использовать результат зада-
чи 4.75.

4.77.	Вычислить производящие функции Mz^, MzE/, 1 = 1, ...
.... т, и заметить, что если выполняются условия задачи, то

Mz& = Mz*i ... MzSm.

4.78.	а) Использовать соотношение

й-i L-J

S-0

к,

О

если п делится на к,
в противном случае.

S' ‘

1

б) Заметить, что при делении на к дает остаток т) =•'
= {{j— т ss 0(mod Л)}, и воспользоваться утверждением п. а).

4.79. При каждом < = 1, 2, ... заменить *2 случайной вели-
чиной v* — остатком от деления £ на 3. Найти распределение и
характеристическую функцию >< и воспользоваться задачей 4.78.

4.80. Использовать независимость |i, ....

4.81. Представить Ме±к< в виде интеграла и оценить его сни-
ву, пользуясь положительностью и монотонностью показательной
функции.

4.82. Использовать задачи 4.80 и 4.81.

4.83. Использовать задачи 4.80 и 4.81.

4.84. Применить формулу полного математического ожидания.
4.85.	Воспользоваться неравенством

— М»и"г|<м1в“5 — е"«е|<

<Т|»-10|Р(1М<П+»Щ1>Л.

4.8G	. Представить f(t) в виде суммы действительной и мнимой
частей. Воспользоваться условиями задачи и четностью функ-
ции cos х.

4.87.	б) Показать, что ра(х)—это плотность распределения
суммы двух независимых случайных величин, одна из которых име-
ет равномерное распределение па отрезке [0. 1/а], а другая — рав-
номерное распределение па отрезке [—1/а, 0].

в) Использовать формулу обращения для преобразования
Фурье (см. введение к гл. 4) и результат п. б).

4.88.	Для доказательства тождества сравнить подынтегральное
выражение С плотностью соответствующего нормального распре-
деления. Так как распределение Г| симметрично, то Мц — 0, если
только ЛА | г] | < ос Для вычисления Di] = Мц2 продифференциро-
вать обе части интегрального тождества но Л.

4.89.	Показать, что описанная в условии задачи функция f(t)
может быть представлена п виде

k

/ (0 Ро + У Pl max {1 - а{ |1|, 0},

1=1

где к — число звеньев ломаной (графика функции /(£) на полуоси
(0, во)), числа в1,	а*,	.... ри положительны. 0 и ₽о +

+ Pi +... 4- Рк = 1. Далее воспользоваться результатами вадсч
4.84 в 4.87.

4.90.	Рассмотреть последовательность /1(0, /з(^), . характе-
ристических функций, удовлетворяющих условиям задачи 4.89 я
таких, что lim fn (t) “ / (t) для любого t, |t| < <». Затем вос-
пользоваться теоремой непрерывности для характеристических
функций (см. введение к гл. 4).

4.91.	В; Разложить /i(t) в ряд'Фурье и убедиться в том, что
коэффициенты втого разложения определяют распределение ва-
роятностсй.

1	+ Л (20

б)	Заметить, что / (i) —--------, и получить разложение

МО.в ряд Фурье с помощью результата п. а),

4.92.	Использовать результат задачи 4.91.

4.93,	Заметить, что функции / (i) = ЛЛе 1 и g (1) =
—	связаны соотношением Л(0 •= g(t) и что со-

гласно задаче 4.SS функции g(t) и /(1) непрерывны.

4,94.	Показать, что Ме<г' «= 1 тогда и только тогда, когда
 1е{С, ±2п, J^4n, ...}} 1.

4.95.	Показать, что если g имеет плотность р(х), указанную 
условии задачи, то

ОС

1	— / (j) -= 2 (1 — cos tx) р (х) ds =₽ с (| 0 ) при t -+ О,

с
г поэтому /'(0) = 0. Для оценки интеграла разбить его на два: от
0 до Т и от Т до ос; использовать неравенства 1 —cosy у2/2 и
асимптотическую формулу для р(ж), $-+<*>.

4.96.	Использовать равенство

f (X) = lim 4- (/ (х - /) - 2/ (х) + f (X + 0)

t->o 1

2 СОЗ /S — I

и следующее из него соотношение f'! (0) = lim М/ ——j——.

t-*0	(^ь) /2

4.97.	Воспользоваться результатом задачи 4.96 и оценкой
(М|В|)2 -г

4.98.	Использовать результаты задач 4.86, 4.94. 4.97.

4.99.	Найти начальные члены разложений указанных фуикпип
в ряды Тейлора.

4.100.	а) При вычислении функции распределения 7.^ перей-
ти в интеграле к полярным координатам.

б)	Воспользоваться результатом п. а) и задачей 4,93 для вы-

ла К*1
числения Me \

4.10f	. Найти сначала характеристическую функцию гамма-рас-
пределения с параметром а = 1, затем (пользуясь задачей 4.93)
с а = 1/q, q = 1, 2, ..затем с а = p,!q (р, 5=1,2,...) и, нако-
нец, с помощью теоремы непрерывности — для произвольно-
го а > 0.

4.102.	Найти характеристическую функцию

4.103.	Найти характеристическую функцию распределения век-
тора (U ..., U).

4.104.	Воспользоваться теоремой из курса линейной алгебры о
приведении симметричной квадратичной формы к диагональному
виду с помощью ортогональной замены координат, .

4.105.	Используя формулу Тейлора для in(1 — х), найти предел
логарифма производящей функции -|- ... 4- при п оо.

4.106.	Рассмотреть случайную величину *. имеющую равномер-
ное распределение на отрезке [0, 1], и построить такие функции
/Р(х), £р($)| же [0, 1], что случайная величина /₽(£) распределена
так же, как gp&) — так же, как ц, и при 4 = 0, 1,...

= Яг(ъ) = Ч == min {PU = 4}, P{Y] = 4)}.

4.107.	Тем же способом, что в задаче 4.106, построить по незави-
симым случайным величинам £Jf ..., £п, имеющим равномерное
распределение на [0, 1], случайные величины	&п и макси-

мально совпадающие с ними независимые случайные величины
тр, ...» On, имеющие распределения Пуассона с параметрами ...
..., рп соответственно. Далее воспользоваться соотношением

{^1 4* • • • 4*	11 j 4~ • • • 4~	£ U I-< =^= Mj}*

'==1

и свойствами распределения Пуассона (см. также книгу [2]).
4.108.	Рассматривая пепересекающиеся события вида ...
... 4. 4, ... \	, где {ii,..., i4} U {л,...,/л-д} =	Л'}

п А — событие, дополнительное к А, показать, что

Л?

q^h

Подставить эти выражения в правую часть равенства, указанного
в условии задачи, и привести подобные члены, изменяя порядок
суммирования.

4.109,	Разложить производящую функцию qi(z) = Mz* по фор-
муле Тейлора (с остаточным членом в форме Лагранжа) в точке
z = 1 и заметить, что <р(0) = Р{| = 0), гр* *(1) = гм* и <р**) (ж)	0

для любых z е [0, 1] и к — 0, 1, 2, ...

4.110.	Заметить, что если rp(z) =» Mz*, то tp*n,(z) = M£[nlis~n,
г. е. гр*п)(О) = 5г!₽{| = п}. Далее рассуждать так же, как в за-
даче 4.109.

4.111.	Если <р(г) = MzE, то

Далее рассуждения аналогичны проведенным в задачах 4.109 ж
4.110. Равенство

j? 1 — <р fz) ।	_ <p(fe+1) (1)

dzk i—s |г=1	«4-1

установить, используя формулы Лейбница и Тейлора.

4.112.	Воспользоваться неравенством ил задачи 4.110.

4.113.	Применить утверждение задачи 4.112, выбрав в качестве
t случайную величину, имеющую распределение Пуассспа о на»
раметром К.

4.114.	Представить случайную величину р< (n, N, s') в виде сум-
мы индикаторов

Pi (", АГ, «) н. %}” + х|а)+ ... 4- У.’"

и воспользоваться формулой задачи 8.134 для факториальных мо-
ментов. Исследовать функцию /<(«) = Мр,(л, N, t), рассматривая
отношение fi(n 4-1)//,(и),

4.115,	Использовать задачу 4.108.

4.116.	Вывести иа результатов решения задачи 4.114, что при
указанном предельном переходе выполняется соотношение
min{n, N— л} «=* o(7V). Далее использовать явные формулы Для
факториальных моментов и, (л, /V, •) и задачу 4.113.

4.117.	Представить М», TV) в виде р.г(п, /V) «= %, 4-... 4- x.v,
где == 1» если <-я ячейка содержит ровн-j г частиц, и 0 ж
противном случае. Вычислить факториальные моменты Цг(п, Л’),
используя результат задача 8.184, и применить утверждение зада-
чи 4.113.

4.118.	Так как

{Иг(л, Л) 4- Нг+1(п» /V) +... = 0} = {vr(2V) > n} G {М«, /V) - 0),
то при условиях

Р(|1Г<". ЛГ)-О)-е,

р! S Рц (л. *)=o|-l
1ft—г+1	J

выполняется соотношение P(vr(ZV) > и}-*-Г. Значение С п связь
между значениями п и /V, при которой выполняются условия (1),
найти с помощью задачи 4.113.

4.119.	Если p'n (п, N) — число строк, в которые не попало
ни одной частицы, а р,;' (и, .V) — число таких же столбцов, то
случайные величины р0' (п, и ц г (п, N) независимы и пх
предельные распределения можно найти с помощью результата
задачи 4.117, а х (и, Л)=р‘/ (n, N) p^2i (п, N),

4.121.	Применить центральную предельную теорему.

4.122.	Прп любом к — 1, 2, ,..

/ X"+
мПп = ----

П

/ eV»

Пспользс” ать соотношение lim 1 4- — | = е .

б)	Случайная величина In цп является нормированной суммой
независимых слагаемых

4.123.	а) Воспользоваться задачей 4.122.

б) Заметить, что

4»'а t	1

Р {^юоо <	~ 2j £Поо'б?1ооо 2’

Л * /^06

2 nxooo viooo'

4.124,	См. указания к задаче 4.123.

4.125.	Применить закон больших чисел и центральную пре-
дельную теорему.

4.126.	Так как сфера Sn~l переходит в себя при любой пере-
нумерации координат "1 при отражениях относительно координат-
ных гиперплоскостей, то величины	Bn одинаково распреде-

лены и при любых i =/= / вектор (£<, £/) имеет такое же распреде-
леппе, как —В;). Для вычисления MJ, нужно использовать
еще аддитивность математического ожидания и уравнение сферы.

4.127.	Из сферической симметричности распределения вектора
£ следует, что условное распределение вектора е — Е/1BI ири ус-
ловии р = г является равномерным на единичной сфере, т. е на
зависит от г.

4.128.	Ввести случайную величину рп, которая не зависит от
вектора е и такова, что р'“ имеет х2-РаспРеДеление с « степенями
свободы, Мр2 = п, Dp'2 = 2п. В силу задачи 4.127 случайный век-
тор рп1 имеет «.-мерное нормальное распределение с нулевым век-
тором математических ожиданий и единичной матрицей ковариа-
ций. Предельные распределения случайных векторов (ефп, . .
.еярп) и (е||п, ..., ей}п) при 4 — const, п->- со совпадают в силу
того, что

>6 <р

для любого б > О (см. задачу 4.33, б).

4.129,	Использовать результаты п. а) задачи 4.125 я п. б) за-
дачи 4.33.

4.130.	Ввести случайные величины ej. < (1 I N, 1 = 1, 2,,..):
е< < = 1, если в i-м испытании появился t-й исход, и в<, < «= 0 
n / N \

противном случае. Тогда “ 2 I в<8М * Далэ* воспользо-
;=i \ i=i ’ /

ваться независимостью внутренних сумм и центральной предель-
ной теоремой.

4.132.	Найти* предел логарифма характеристической функции

4.133.	Представить 5'., в виде суммы п независимых одинаково
распределенных случайных величин и воспользоваться централь-
ной предельной теоремой.

4.134.	Используя независимость £n. i. .*ч п, равенство

е« = 1 + „4 + !Ц‘£

и опенку M[SI3>(Dj)3/2 (из которой следует, что ~ max D*
— 0, «->-00), показать, что для любого t, |/| < оо,
Me«Wsn_^-f72 п->ОО.

4.135.	Воспользоваться утверждением задачи 4.134.

4.136.	Воспользоваться утверждением задачи 4.134.

4.137.	Для нахождения предельного при п->-оо распределе-
ния случайной величины использовать метод производящих
функций.

4.138.	б) Использовать задачу 4.134.

в) Представить в виде £п =	\ где

г(о)

2

Ki4:n
(n) ,
Pj <1/2

?«’ = S (‘-Г)-
l<i<n
(n)

P| >1/2

Предельные распределения и найти с помощью зада-
чи 4.105.

4.139.	Характеристическая функция случайной величины е>п/Лп
при п-^оо должна сходиться к характеристической функции пре-
дельного распределения.

4.140.	а) Воспользоваться равенством

{/V/</v}-{^ + ...+ b>0

и законом больших чисел.
б)	В отличие от п. а) воспользоваться центральной предель-
ной теоремой

4.141.	Используя утверждение задачи 3.64, представить
в виде суммы т независимых случайных величин. Для доказатель-
ства асимптотической нормальности случайной величины (£<«.) —•
—	показать, что выполняются условии задачи 4.134

(яри этом удобно применить результаты задачи 4.74). Второе ут-
верждение п. б) вывести из результата п. а) и задачи 4.55.

4.142.	Заметить, что если /<-i (у) — функция, обратная к Fix),
то, согласно задача 3.13, распределения £(т) и F_j(l— ехр{— а£ mi})
совпадают (здесь |ц)	£(т) — те же случайные величины,

что в задаче 4.141). Далее воспользоваться утверждениями п. б) за-
дачи 4.141 и задачи 4.51.

4.143.	а) Вычислив Р{тт > n|vo, V|, ..., vm-i), показать, что
тт не зависит от v0, vb ..., vm_b Для нахождения Р{тт > Vk — *V|}
воспользоваться формулой полной вероятностг по значениям
v* — vj и равенством v* = Т| Н- ... + тй.

б) Из точной формулы для Р{тт > vro_i —Vm-r) получить дву-
сторонние неравенства, воспользовавшись оценкой

1	1 — х 1

J l 4	”	.	.	У	1 

1	-|- х 1 — ху 1+у	э

4.144.	Используя результаты задачи 4.143, найти предел лога-
рифма производящей функции тч — А.

4.145.	Для нахождения предельного распределения использовать
утверждение задачи 4.134, а для вычисления моментов — получен-
ные в решении задачи 4.143 равенства vm =• Ti -|- ... 4- тт (где
11, ..., т,ч— независимые случайные величины) и формулу для
производящей функции тй.

4.146.	Показать, что zi, .... in =< 0. Отсюда и пз равенства
<р(1) *= 1 вывести, что

Л

<Р (2) = {J (1 — Z'i + PjZ), где pi = 1/(1 — 2Д,
1=1

4.147.	Многочлен <p(z), удовлетворяющий условиям задачи, мо-
жно представить в вице произведения jV — М квадратных трехчле-
нов п 2М — Л линейных двучленов, причем коэффициенты всех
сомножителей неотрицательны, а при z ~ 1 каждый из них при-
нимает значение 1.

4.148.	Использовать задачи 4.146 и 4.134.

4.149.	Использовать задачи 4.146 и 4.105.

4.150.	Для составления рекуррентного уравнения использовать
формулу полной вероятности, связывающую распределения
ро(п. Л') и	Цо(п + 1, N). Показать, что если	zn, лг—i	zn, n-z =£2	-..

... ^ zn, i	0 — корни уравнения /n, n(z)=0, to	zn+i, jv-i

in, N-l	z«+l. JV-2 tn JV-2 . .. ^ Zn-J-1, 1	Zn, 1	0	и Zn, <+l	<

%п+1, t	Za, <, еСЛИ ТОЛЬКО Za. /4-1 -n <

4.151.	Воспользоваться задачами 4.148 и 4,150.

4.153.	Пользуясь симметричностью распределения £, предста-
вить 1 —Me’'5 в виде интеграла от 0 до <ю. Чтобы исследовать
асимптотическое поведение 1—Me1'5 при Z —0, разбить этот ин-
теграл на два: от 0 до Т = Т(t) и от Т до оо — и оценить первый
интеграл по модулю, а при исследовании второго использовать
асимптотическую формулу для /Дх) при х->оо.
4.154.	а) Получить явную формулу для <p(s) и разложить <р(з)
в ряд Маклорена. При нахождении асимптотики 1—f(t) при £->0
проследить за изменением arg(l —<p(z)), когда z = 1 — tefI, —я
tg ж л, t 0.

б)	Воспользоваться справедливым для любого комплексного
числа с соотношением (1—сп_|)п е-е, п -► оо, и теоремой не-
прерывности для характеристических функций.

4.155.	Используя формулу обращения для характеристических
функций, приведенную во введении к гл. 4, показать, что распре-
деление с характеристической функцией е-в1<| имеет плотность
а 1

Р (х) = 77 2 ।	2-

п а х

4.156.	Показать, что плотность распределепия случайной вели-
чины l/^i удовлетворяет условиям задачи 4.153 с а  2 и С =
= лр(0), Использовать задачи 4.152, 4.155 и теорему непрерывно-
сти для характерис,|ических функций.

4.157.	Воспользоваться свойствами характеристических функ-
ций и тем, что = 2£i.

4.158.	Заметить, что 1а,ъ(х) лишь постоянным множителем от-
личается от плотности суммы двух независимых случайных ве-
личин, имеющих распределения Коши с параметрами а я Ь. Рас-
сматривая характеристические функции, показать, что эта сумма
сама имеет распределение Коши.

Глава 5

5.2.	а) Показать, что D£n-*-0 при п-> оо.

б)	Представить £п в виде линейной комбинации случайных
величин k, £2-л, ...» и воспользоваться усиленным законом
больших чисел.

5.3.	а) Вычислить мй> и показать, что 11 -*• 0 при п -* оо.

б)	Представить в виде квадратичной формы от

|2-h, ...» В«+» и разбить эту форму па сумму конечного числа сумм
независимых слагаемых. Далее воспользоваться усиленным зако-
ном больших чисел.

5.4.	При вычислении ковариации gt и использовать равенст-
во 2 sin х sin у — cos (х — у) — cos (х + у).

5.5.	Показать, что если t + ЛП1 = 2&1Л 4- <Xi (t), n(t + r|j) =
== 2/с2л + a2(f), где числа и /г2 целые, a cci(f)» aj(0 е [0, 2л),
то сц(0 и a2(f) независимы и имеют равномерное распределение
в отрезке [0, 2л], и = sin он (f) 4-sina2(0. См. также указание
к задаче 5.4.

5.6.	Так как число л иррационально, то т] = |^| + |£а|.

5.7.	а) Воспользоваться центральной предельной теоремой.

б)	Представить цп(0 в виде

Пп(О = КеЬчД=- V

I v ft-i J

Применить многомерную центральную предельную теорему к
сумме
п

Я/Г 2 (ал С03 siD ₽*)•
5.8.	Обосновать возможность перестановки знаков интеграла
я математического ожидания.

5.9.	Если траектория процесса монотонно воарастает, то
{tn % } = (fex AQ.

5.10.	Для вычисления Мт< использовать формулу из задачи 3-132.
Доказать, что число строго ’^врастающих последовательностей
<о, .хт, составленных из чисел 1, ,,л d, равно Cj+1, а число
таких же неубывающих последовательностей равно	В слу-

чае в) использовать указание к задаче 3.62.

5.11.	Найти сначала функцию распределения ч «= поль-
зуясь сферической симметричностью распределения вектора (I, ц).

5.12.	Представить ц* в виде р* -= Цо + П» +...+ <U-1» ГДЙ ш *=*
«= 1, если на полуинтервале Г/, /4-1) имеется нудь процесса
и tjj d 0 в противном случае, При вычислении

Р{ц^ *= 0} «= Р{|£j+i| > ICi +... 4- СЛ» Cj+i(Ci 4-...4-Ci) < 0}

воспользоваться задачей 3.266.

5.13.	Применить задачу 3.17 и формулу полной вероятности

Р(ЬЮ - «} - МР{£„(х) = а|£1, ..и С"}.

6.14	Многочлен |п(*) имеет кратные действительные корни
тогда и только тогда, когда существует такое число и, что

d

dx Gl= 4 . 4* •••4" tnx ) 'x=u ~	(О

to — —(tiw 4- t?t<' 4-... 4* tnHn).	(2)

При условии (1) число значений правой части (2) на превышает
л — 1. Далее воспользоваться формулой полной вероятности по зна-
чениям С» (см. указания к задаче 5.13).

5.16.	Найти характеристическую функцию распределения век-
тора

(^n(xi)» •••»	•••’жЛ*)£т»

т=о

5.17.	Кроме задач, указанных в условии, воспользоваться асим-
птотической формулой

arcsin /1 — у2» -тг — у (14-о(1)),	у|0.

5.18	Случайные величины tj, т2 — tj, хз — t2, ... независимы
в одинаково распределены. При выводе уравнения для q>i($) вос-
пользоваться тем, что случайные величины ti и 1 4* т одина-
ково распределены (здесь ть 0).

5.19.	а) Используя указания к задаче 5.18, доказать, что
Р(р < —/с|р	—А) «= ф1(1).

б)	Из условия <р,(0) =0, непрерывности <pi(s) в уравнения
</(ф1(з))	1 вывести, что

1

I
т. е. что (pi (1) < 1 тогда и только тогда, когда уравнение f(s) = 1
имеет корень $, 0 < s < 1.

5.20.	а) Использовать формулу Стирлинга (1.6) из введения
к гл. 1,

б)	Заметать, что M{|pn+J |pn « ft} » |кj при k v 0 и
М{|pn+i| |р. = 0) = 1, и составить рекуррентное уравнение для
М|рп|, используя формулу полного математического ожидания.

5.21,	Составить рекуррентное уравнение для М^р»!1, используя
равенство

I pn+i |2 = (р» + ?п+ь р» Ч- 5*+t) «• fpnl* + I Se+il* + 2(p*, 5»+i).

5.22.	См. указания к задаче 5.21. При выводе рекуррентной
формулы для М | рп | * использовать соотношения

Р{Ы «= 1} = 1, М(рп, Ь+1) =0,

• М (Рп’ £п+1)2 =	| Рп | ^п+1Л

1

и ! “ 7 (см. задачу 4,126).

5.23.	Испо. >зовагь результаты задачи 5.22, неравенство Чебьь*
шевэ п лемму Бореля — Кантелли (задачу 4.16).

5.24.	а) Использовать лемму Бореля — Кантелли (п. а зада-
чи 4.16) и формулу Стирлинга.

б)	Убедиться в том, что п. б) задачи 4.10 неприменим. Вычис-
лить Mv двумя способами: вводя индикаторы событий {р» “ 0} и
вводя вспомогательные случайные величины

xt = тш{п 1: р„ ?=" 0), Ta+i =ш!п{п > uj р< — 0},

к — 1, 2, ...

(которые удовлетворяют условиям {v к} = {та < со).

5.25.	Заметить, что компоненты pn, ь .... ря,» вектора рм яв-
ляются независимыми реализациями величищ рассматривавшихся
к п. б) задачи 5.24. При 3 использовать лемму Ьороля —Кан-
телли, при s — 2 рассуждать так же, как в д. б) задачи 5.24.

5.26.	Случайные величины £« и x{v < 0 независимы. Обосно-
вать законность перестановки знаков суммирования и математи-
ческого ожидания.

5.28.	Применить тождество Вальда (задачу 5.26). Для доказа-
тельства тою, что M.V, < оо, использовать задачу 4.83 и соотно-
шение

M^v,= 2<’{ЛГ(>п}< 2 р{₽»<*}•
И = 0	П=0

5.29.	Использовать метод математической индукции (по А) и
формулу полного математического ожидания (по значениям p«+i).

5.30.	Ввести случайную величину

| «4-1, если шах {pt, ..рп| < б,
1,1	| пип {? > 1: р} > 6} п противном случае.

Используя задачу 5.29, оценить снизу

^п = 2lp{rn = Zf}M{yn!Tn^ft}-

fe=l
5.31.	Использовать задачу 5,30. Для доказательства неравенства

м{1+ • • • + £n+i| 151,..., £п} > |gi +...4* 5п|

использовать задачу 3.152.

5.32.	Воспользоваться задачей 5.30, равенством

Ч ж. 1+• • •+I > ЛЬр te„ &+• • •+> ч

и указаниями к задаче 5.31.

5.33.	Использовать равенство ~ Ег+ (£*+• —50 и незави-
симость случайных величин 5» я |i+« — (s > 0).

5.34.	Воспользоваться равенством {та sg Т) = {£т 2= А:}, зада-
чей 3.132 и свойствами пуассоновского процесса.

5.35.	Случайные величины Д, — Т|, Л2 = т2— Т|, Д3 = т3 — т2, •».
независимы и одинаково распределены:

Р{Aft я} = 1 — е~^ (х > 0, к = 1, 2, ...).

Воспользоваться формулой для плотности гамма-распределения.

5.36.	См указания к задаче 5,35. В случае в) вс '’пользоваться
тем. что {т, < Т < т2} = {Вт = 1}, где — пуассоновский про-
цесс с интенсивностью X

5.37.	См. указания к задаче 5.35 п задачу 8.63.

5.38.	Используя обозначения из задачи 5.34, ввести индикаторы
Г 1, если il{ < Т п тЛ ,, — Th > Д,
1_ 0 в остальных случаях.

ОО	ОС

При вычислении М V г|А == V Р = 1} заметить, что случай-
<t—1	*-1

еыс величины та и та+!—Та независимы.

5.39.	См. указания к задаче 5.38.

5.43.	Величина равна числу требований, которые поступили
в систему па (—оо, г] и не покинули ее к моменту t. Использовать
конструкцию, описанную в задаче 5.42, и свойства пуассоновского
потока.

5.44.	См. указания к задаче 5.43.

5,45.	б) Величина Р{рп > х} равна вероятности того, что в кру-
ге радиуса х имеется не болео п 1 точек пуассоновского поля.

5.46.	См. указания к задаче 5.45.

5.47.	а) Случайная величина бп есть сумма двух независимых
случайных величал, имеющих равномерное распределение па от-
резке [0, 1].

б)	Б случае к — 1 воспользоваться равенством

1
(*v a:2)==pi (xi-

о

где pi (zi, х2| и) — плотность условного совместного распределения
бп И бп+1 при условии, ЧТО Тп-Н = п + и:

j 1, если	+	1-и<ж <2— и,

1	2	0 в остальных случаях.

в)	Найти вероятность дополнительного события.
г)	События {ti SC |1} и {т2 > £2| независимы.

д)	При вычислении Мх и Мх2 воспользоваться равенством

X =%{Т1 >У(Т! — £) +%{Т| < £}(Т2 — В),

а при нахождении плотности q (х) — равенством q(x) = Mq(x[£),
где <?(x|u)—плотность условного распределения х при условии,
что £ = и:

q (х| и) =

1, если (J^x^t—и,
и, если 1 - и<х^2—и,
О в остальных случаях.

5.48.	Воспользоваться определением пуассоновского потока и
указаниями к задаче 5.47.

5.53.	а) Найти Л = Р{т]з = 1 |т)2 — —1}, Рз = Р{цз — 1 !Л1 — 1»
Т]2 = — 1}.

5.54.	Вычислить Р{ц0(в + 1) = ИЦо(л) = к), к, I = 0, 1, ...
..., N, и

P{pi0(n + 1) — /|Цо(«) — к, р.0(п — 1) = кь .... Цо(О) = кп}

при любых допустимых значениях к, к\, ..., кп, I.

5.55.	См. указания к задаче 5.54.

5.56.	б) Убедиться в том, что цепь Маркова удовлетворяет
условиям теоремы, сформулированной во введении к гл. 5. Прове-
рить, что биномиальное распределение с параметрами (TV, q) яв-
ляется стационарным.

5.57.	а) Для вычисления рц воспользоваться тем, что при ус-
ловии £n = i все ClN вариантов окраски шаров с поморами
п 4- 1, ..., п N равновероятны. Сравнить Р{£( = 1, £2 = 0| £0 = 0}
и PoiPio-

б)	Распределение £п не зависит от п.

5.59.	Показать, что матрица || pi} ||? J=1 — дважды стохастиче-
ская (см. задачу 5.58).

5.60.	Показать, что при фиксированном значении gt распреде-
ление £t+i не зависит от £1, ....

5.61.	Построить кусочно постоянные функции g(y) и f(x, у)
так, чтобы при любых i, /е{1, ..., N} мера множества тех значе-
ний у, при которых g(y) = / (/(/, у) — f), была равна Р(о) (Pi;)-

5.62.	За состояние принять число очков па той грани, на кото-
рой лежит кость. (Сумма очков на противоположных грапях рав-
на 7.) Выписать матрицу вероятностей перехода, применить тео-
рему о финальных вероятностях.

5.64.	Заметить, что п+> = ct/л для любого / = ли что
поэтому распределение тп совпадает с распределением тп =
=	Cf = l|i где £а, ... — последовательность Бер-

нулли;

р{^ = 1}=т- p{E< = °} = 1-V-	' = 1.2,...

Воспользоваться задачей 4.37.
5.65.	я) Использовать соотношения P{xi(0) < «>} = 1 и
Р (Е) = Г) > Р (= ...=££,= 2, $’> - I |	- 1).

б)	Заметить, что при е > О

Мт, (&)>P{^e’^3|£<e>~l]M{min{n>fc ^е)^3}Щ£)=3].

в)	Пользуясь формулой полной вероятности по вначепиям
f‘ сначала составить и решить уравнение для производящей
функции V’e (’) — sT’(E) | ’ о =	•

5.66.	Последовательность tj?, = £n+i — Sn состоит из независи-
мых одинаково распределенных случайных величин.

5.67.	б) Воспользоваться тем, что Р{тл+] — тл = а|т?г = t) пе за-
висит ни от к, ни от t.

5.68.	а) Составить уравнение для срь($), пользуясь формулой
полного математического ожидания (по значениям о «= min{n> Is
Sn = 0}).

5.69.	б) Использовать формулу полного математического ожи-
дания по значениям gi.

5.70.	Заметить, что P{ti = 1} = 1. Для вычисления то(Л’) =
₽= М{тд’|Г0 = 0), N — 1, 2, .. составить и решить системы линей-
ных уравнений для mh(N) = М{тх|£о — к), к — 0, ±1, ±2, ..
пользуясь формулой полного математического ожидания (разло-
женпем по значениям Si). Сократить число неизвестных, заметив,
что ттгй(Л’) = rn-k(N).

5.71.	Так же, как в задаче 5.70, составить систему линейных
уравнений для m*(7V), к — 0, 1, N—1. Рассмотреть значения
то(Л’) — ть(Л7), к — 1, 2, ..., N — 1 при Л’ = 2, 3.

5.72.	Используя формулу полного математического ожидания
(разложения по значениям g(l)), составить систему линейных
уравнений, которым должны удовлетворять mc, mi, •.., т»; убе-
диться в том, что указанные значения являются единственным
решением этой системы.

5.73.	Так же, как в задаче 5.70, составить систему линейных
уравнений, связывающих Рь, «(£ + 1), P*-i *(0. Р&+1, лг(О и, поль-
зуясь монотонностью по t велпчпн pkN\t), перейти от этой системы
к системе линейных уравнений относительно к — 0, 1,..., N,
n(W (М

„	ЛЛ ц ПА

Вывести из этой системы, что отношение---------не зависит

ПА “ ПА-\

от А, и воспользоваться равенствами — 0, л\' —1. Анало-
гично получить формулы для fr~l, ..., Л7.

5.74.	Рассмотреть цепь Маркова с тремя состояниями: Ео — {из-
делие исправно}. £i «= {при проверке в ОТК обнаружен брак),
£2 =а {изделие бракованное, но прошло через ОТК}.

5.76,	Найти матрицу Р вероятностей перехода цепи Маркова
и проверить, что лР = л, где л= (п0, ni, ..., лД и что Яо-}-
+ л* +«.. + Лк = 1. Использовать равенство Сл = С ( /! и ме-
тод производящих функций.

5.77.	б) С помощью формулы полного математического ожида-
ния (разложения по значениям в классе несущественных состоя-
вий) составить систему линейных уравнений для величин т* =
w М{т|£0 = I), I == 1, 2. Решить вту систему  аамотпть, что в
нашем случае

Мт = Р{£о = 1}/«1 + Р{1« - 2}ть

в)	Аналогично п. б) «оставить системы линейных уравнений
для р<а), р^а) и для р(/\

г)	Заметить, что если д^ = lim Р (", * / | ?0 — /), / “ 3, 4, 5,
б,— предельные вероятности для цепи, начальное состояние кото-
рой принадлежит существенному классу, то

", “ Р Р’“Ч + Р {6« " 2) I - 8’ *•

ni -р Сь - ‘} Л + "{£<,- 2} 4%

5.79.	Пусть си ., п сп — собственные векторы (векторы-столб-
цы) матрицы Аг воответствующие собственным числам п
•ектор-столбец в ' имеет координаты а|п), I и все коорди-
иаты вектора-столбца ej равны 0, кроме /-Й координаты, равной 1«
Если ej =	+ ... 4- Рп >сп» то

-Г = лт‘» = Ат 2 oV4 - 2	'»•

h*=l	h-=l

5.80.	Использовать указания к вадаче 5.79 и приведение матри-
цы А к жордановой нормальной форме.

5.81.	По собственным числам матрицы Р и по вначепиям Р,
Р2, ..., PN~l можно составить систему Л линейных уравнений от-
носительно коэффициентов сц в формулах вадач 5.79 и 5.80.

5.82.	Использовать результат задачи 5.81.

5.83.	Представить vi(f) в видо суммы индикаторов: V|(t)

-= 9, +...+ 0t, где = 1} = {£ft = 1}, {Oft = 0} - {Ь - 2}^k -
*=1,2,... Используя результат задачи 5.82: Рд (к) == а +
4- Ejh, где | Ejk 11 — а — р |Л, и равенства М0л= рд (Л), М9*9г —
•= рц(к) рц(1—к), 1 к I, установить приведенную в усло-
вии задачи асимптотическую формулу для M{vj(t)||0 — /}  дока-
пать, что при t со

м I v? (I) I =/! = (!+« Я)) (М {v, (I) I - /))!.

t

Пользуясь представлением v (Z) — MVj (I) = У (0Д — M0ft), мож-
ь=1
но показать, что

0^(0150 = /} =С1(1 +о(1)), t-+co.

5.84.	Использовать результат задачи 5.24 и неравенство Че-
бышева.

5.86.	Использовать равенство

N	N

1	V*	1 V

ni ~ N ~	“ № .2

й = 1	k—.
1	©	© I	rtf

5.87.	Рассмотреть матрицы P —	2	_ D ”

1	“ E 6 При 8 I 0«

’ F 1 — E

5.88.	Показать, что последовательность £и «= £n+i — обрязуе!
цепь Маркова с 4 состояниями. Найти явное выражение для к-
стспепи матрицы вероятностей перехода этой цепи, представляя
ее в виде разности коммутирующих матриц J и G (т е, таких,
что IG — G1). Далее вычислить и воспользоваться равенством

= Ео Ч~ Bi + • • • + £n-i.

5.89.	а) Состояние атома описывается разложимой цепью Мар-
кова с двумя состояниями.

5.90.	Решить в данном частном случае спетому уравнений (5,5)
или (5.6).

5>91. Используя результат задачи 5.90, рассмотреть систему
уравнений р'®’11’ (/) = и, Р(2“'Р) 0) = а22 относительно неот-
рспательных неизвестных а, р.

5.92. Положить

X(0 =

1, если = 1,

О, если Е, эЬ 1.

Тогда
* * *

Tj (0 = (% (s) ds, т2 (f) = 2 j % (sj x (^2) ds^ds^
о	0

Использовать результат задачи 5.90 и указания к задаче 5.83.

5.93,	Использовать равенство

T](i) — ?| (0) + щтДО — v2T2(0 == 0(0) — i'2t + (yj + Ps)Ti(f)

и результаты задачи 5,92.

5.94.	Составить систему дифференциальных уравнений для ве-
роятностей перехода до (0 за время t и перейти к системе урав-
нений для Ль л2, Лз, заменяя p<j(O па лДг) == лп / = 1, 2, 3.

5.95.	См. указания к задаче 5.94.

Глава 6

6.1. Положим —	—а, у^ —	у&. Показать, что

Ь=1

»	(уд— у)2,, Найти Ms2. Доказать, что Ds = О (1/п) при

Л-1
п —» сю.

6.3.	См. задачу 3.162.

6.4.	Использовать независимость rf п s?.

6.5.	Величина s2 является состоятельной оценкой Da-i (см. за-
дачу 6.1), т. е. s2 — Dxi при «->оо сходится по вероятности к 0.
Воспользоваться решением задачи 4.33.
6.6.	Выразить величину т черев «J •= Xj — М£, j/j = щ — мт|.
Пайти Мт. Доказать, что Dm *-» O(ifn) при «->•<»,

6.7.	Найти Мр*, Dp*. Использовать неравенство Чебышева.

6.8.	Используя теорему Му авраЛапласа и результаты вадач
С.7, 4.33, доказать, что если р*  то при «•*«>

р П/	, < «1 - ® «.

— р*)/п	)

6.14.	б) Найти максимум функции правдоподобия при условии
а + Ь — 9 «= 0.

6.18.	Воспользоваться результатом вадачи 6Д, центральной про-
дельной теоремой и яьдачей 4.33.

6.19.	Оценки Д* и А* зависят от общей оценки г» п, следо-
вательно, нельзя^воспользоваться решением вадачи 6.8. Из условия
несмещенности М.4* « А получим с, 4-с2 = 1. Отсюда Л* ш а Ь
•I- p[ciZ| + (1 — ci)z2] +fz3. Найти DA* и подобрать oi так, чтобы
дисперсия была минимальной.

6.22.	б) В формуле для А* положить	+ бю £« 	+

+ б2ь Использовать задачу 4.33.

6.26.	См. задачу 3.115.

6.28.	Воспользоваться формулами

д.2 д-IJ] _|_ хз а Д.И1 3xIJl Ч"

Г4 в + 6д431 + 7x1=1 -Ь х (x[fti = х{х — 1) ... (я — к + 1))
и решением задачи 3.116.

6.29.	Использовать результаты задач 3.89, 3.90.

6.30.	Использовать результаты задач 8.64, 8.65.

6.31.	Использовать результаты задач 6.29, 6.30.

6,32.	Использовать результат задачи 6.30.

6.33.	Использовать формулу (3.9) и формулу

к

6.39.	Использовать квантили иа нормального распределения:
1 — Ф(ив) = а.

6.40.	Воспользо'аться решением задач 3.116. 3.121 и формулой

\	/ А \	/ Г к к —- 11 \

е 1л’

к = 0, 1, ..., N — 1.

6,41.	Воспользоваться решением задачи 5.36.

6.42.	Использовать представление Ti2(t) в виде

T12U) = Т| 12(1) + ... + Л12(0»

где t)i2(s) = 1, если в момент s был переход из 1 в 2 (г. е. g(s) »
= 1 и ^(s + 1) = 2), и г|12(») = 0 в противном случае. Воспользо-
ваться задачей 5.82.
Часть III. РЕШЕНИЯ

Глава 1

1.18. При At Aj события |JCp Xj =4,в |XJt ...,	j-

™ Aj ne пересекаются. Ло формуле (1.12)

Al

₽(и;..............................4)=а)-

<"•1

То же верно и для {X , . ,.,Х J, Поэтому

р (К.....хР - •*) -р (и;...хр=^) =

м

= 2 (р ((*;........=	л,) - р (|х;.х‘) = л,)).

i=l

(1)

Для любого множества Ai, состоящего из к элементов,
м	AI

₽ (и;..о=а)=уг- р (Iх;.......41 - а)-

Так как 7V{ft1 №• при к 1, то
.	,	,Vh_

0<₽ (И1....x;i = A)-p(l<........X*J=A)<‘I- д^йт-

(2)

Далее,

/Л—1	\ 1/2

«= дг (ДГ —1)... (AT-fc-H)» П(N-I)(ДГ-Н-1-Н) | I
\ .=о	/

fh—1 Г /	L.  4 \2 / L 4	\31 11 з

= Ц|(А'-Ц-5

U-uIA " i	'Л

, l J—l'S/2	. / k(k— 1)

= JV‘|1----y-j >.V‘ 1- -a^).

Из (1), (2) и (3) п того, что M< С^, следует неравенство

., А й) g	) С

u<p(ix,..xu^^)-p(ix;.

< М/с!

7г (/с— 1)


1.19. Легко проверяется, что

1 /Г лр • / . Г У1Р\ t 2 У1 2 1 УТ»
р»“ (р I + (м-"р |1 } = 1~ л р J + л'г[ * J1

Покажем, что Р? < Р» при N ^4:

{.22. Нетрудно проверить, что

{Х3 + У» « 0 (mod 3)} •=

= Ye: 0(mod 3)} U {X = —Уже l(mod 3)} U

U {X = —У es —l(mod 3)),

т. в,
1 /[У I2 . лГУ+1] [\У + 21\ _

p{x3+y3s0(mod3)} = —+ 2[~Г Ц~а~]} (1)

Далее, если .1/1 — множество чисел, дающих при делении на 7
остатки 1, 2 или 4, Л/2 — множество чисел, дающих при делении
на 7 остатки 3, 5 или 6, то для любого п е М\ число п3 при деле-
нии на 7 дает остаток 1, а для п е число п} при делении на 7
дает остаток —1. Поэтому
{X3 + У3 = 0(mod 7)} =

= {X « У s O(mod 7)} ’J {X е Л/ь У р- Л/2} U {X е Л72, У е ЛЛ}
Пользуясь равенством в (2) п тем, что для любого N 1

получаем

. -	,	1 /ГЛ”Р

Р (X3 4~ У3	0 (mod 7)}	-7-

Л f |

+ 2(т(ЛГ-

(5)

±(^ Л2У1.±'*1‘ 2'
Ла \ 2 ~ Л j 7 + 2 7 J "" Л

Пз (3) и (5) следует, что

Ла (₽ (Xs 4- У 3 в О (mod 7}) — Р {X3 + У3 «а о (mod 3)}) >

при N > 7. Для V = 4, 5, 6, 7 соотношение Р{Х34- У’вв 0(mod 7)}>
> Р(Х8 + K3===0(mod 3)} проверяется непосредственно с помощью
формул (1) и (4).

1.25. Если Si симметрична S2 относительно S3, то

Bs — £i — £2 — |з = rfh Рэ — Pi = Пз — П* =	(О

для некоторых полых чисел dt и d2, не равных одновременно 0 и
удовлетворяющих условиям | d\ | n, |d2j п. При фиксирован-
ных <Л и d2 число троек карточек (£ь т|(), (ДУ, т|?)„ (Вз, п ), для
которых выполнено (1), равно (2n + 1 — 2jdi|) (2n + 1 — 2|d2|).
Суммируя по dt и d2l яахотым число троек попарно различных кар-
точек, для которых Е> симметрична S2 относительно S3;

п	»•

2	(2п + 1-2|^|)(2п + 1-2|^|) = (2п + 1)2 V (2п +

dt d~-if

a{+

n	/	71	\

<l-2d ) + 2 2 (2« + i“4) 2« + l+2 V '2n+l-2d3) | =

di-i	4	d,»i	:

= 2 (2n + 1) (n (2n -h 1) - n (n + 1)) 4- 2 (n (2n + 1) - n (n + 1)) X

X (2« 4- 1 + 2 (n (2n + 1) — n (n -f- 1))) = 4n2 (n 4- I)2.
Так как общее число упорядоченных троек попарно различных кар-
точек есть

(2п 4- l)2((2n + I)2 - 1) ((2 л + I)2 —2) «=

= 4п(я-Ь 1) (<4л(л + !))’-!),
то искомая вероятность равна

п (ft 1)

1,40.	Число способов выбора к горизонталей, занятых к лядыв*
ми, равно числу способов выбора к вертикалей и равно Ch. На к*
клетках, по которым пересекаются выбранные вертикали и гори-
зонтали, к клеток для расстановки ладей можно выбрать А! спо-
собами. Поэтому число расположений к ладей, не угрожающи!
друг др угу,» равно ( С' )4 Ч «(В j /к\. Значит,

„ _(С|!)*И _ 7 (ЦЦ-Ц)»

й С* 9 62Гй-а1'

7	1	14	1

и р2 = Т > Т’ рч"“31 <Т’ Р6 = 0,0493566 ... > 0,01, pt -

= 0,0075289 ... < 0,01.

1.43.	Пусть поиск /-го пряника Пончик начинает с кармана а
номером nj. Тогда число удачных вариантов начал поиска первых
к пряников равно числу таких последовательностей щ, .	я», со-

ставленных из символов 1, 2, ..10, что каждый символ встреча-
ется не более чем дважды. Число таких последовательностей, I во.

торых т символов встречается дважды, а к—2т символов — по

разу, равно С*т - п— 10L* Общее число вариантов начал
<2!) т\

поиска к пряников равно 10*. Значит, искомая вероятность равна

1 [ \;1

io* m^0 лй

1.47.	Пусть х(-4) = 1, если событие А выполняется, и х(Л) =»
= 0 в противном случае. Тогда

S = Р {а < 0} + Р {₽ < У) < Р < а) =

i 3

—j,. s («(% < Ч)+х (S < %)+х(% <%))•

° Ч’г2’Ч = 1

Но при любых {ftp bj, cj и любых ip f2, ij s (1, 2, 3}

Х(\<Ч)+Х(Ч<Ч)+Ч%<“‘1)<2>

1	.

Значит, 5 < —:'3*'2=-2. Если, например,

шах а; < min ЬР
1<U3 '	L«i<3

max b < min с.,

то 5 » 2.
1.58.	Цикл (ii  1, t2,...»М можно выбрать (п — спосо-
бами, а остальные п — к элементов можно переставлять (п — к)1
способами. Поэтому число подстановок о е <Sn о Ai « к равно
(и — l)th~4(n — к)\ — (п — 1)1 и P{Ai — Л} = (п— 1)!/п! — 1/п.

1.59.	Число циклов (i| = 1, h, ...» ik) длины к, содержащих
элементы 1 и 2, равно С£_т (п — 2)^ 2\ а общее чпсло подстано-
вок, содержащих 1 и 2 в одном цикле, есть

У (Л - 2)^-2] (л - *)| = п (п~ ' (п - 2)1 =

k^=2

т. е. 1 и 2 содержатся в одном цикле с вероятностью 1/2.

1.72, Так как по условию толщина монеты предполагается рав-
ной 0, то вероятность того, что монета после падения встанет на
ребро, тоже равпа 0. Будем считать, что монета ложится гербом
вверх, если в момент падения конец вектора норм ал п оказывается

Рис. 8

выше его начала, т. е. центра монеты. На рис. 8, а изображено со-
чопие вертикальной плоскостью л, проходящей через центр О мо-
неты и ось OS, вокруг которой вращается монета АВ; отрезки ONt
ONt — это положения вектора нормали ON в момент его прохожде-
ния через плоскость л, прямая ОХ — это линия пересечения л с го-
ризонтальной плоскостью 7.

Если 0 а, то весь конус, по которому скользит вектор ON,
расположен выше плоскости 7, и тогда р(а, 0) == 1. Если 0^ —а,
то конус расположен ниже плоскости 7, и р(а, 0) = 0. Если 0 =
= 0 < а < л/2 или а = л/2 > |0|, то плоскость 7 делит окруж-
ность, которую описывает конец N вектора ON, на две равные ча-
сти, и поэтому р(а, 0) в 1/2. В общем случае 0 < |0| $5 а < л/2,
изображенном на рис. 8, а, рассмотрим окружность, которую опи-
сывает конец N вектора нормали ON (рис. 8, 6). Искомая вероят-
ность p(ot, 0) равна отношению длины дуги MN^M' к длине всей
окружности. Из рис. 8, а находим:

O\NX = OXN2 = ОхМ == ООХ tg a, O\L = ООХ tg 0;

поэтому (см. рис. 8, б) угол MOxNi равен

1	tg 0

= 1 -- arccos,--.

tg 0

arccos	i. p (a, 0) =
1.84. Граница АЛ ВС пересекает ровно т окружностей, если А
находится между 52m-i и <?2m+i (при т => 0 — внутри 5t, при
2т — 1 < п < 2п» 4- 1 — между Sn и Sn-i}, и поэтому

1/п2,	т = О,

р	8т/п\	К т < [(л — 1)/2],

т	(2п — l)/n2,	m = п/2, п четное,

О,	tn > п/2.

Глава 2

2.21.	Если п = 2, то из условий задачи
P(A;)=pi,	Р(42)=ря,	?(4jAj) = pip»

следует независимость Ai и А2.

При л = 3 уже можно привести пример совокупности зависи-
мых событий, удовлетворяющих условию задачи:

Р(Л1Л2Л3) == Р(А(А2Х) = 1/8, РС4рМз) = PfAjAjA») = 1/8 — 8,
Р(41Л2Л) = Р(А?А2Л3) = 1/8 4-6,
Р(41А2Аз) = 1/8 4- 2е, Г(А1А24з) = 1/8— 2е,

где 0 <	1/16. В этом случае Р(А<) = 1/2; I = 1, 2. 3, Р(А1А3) =

= 1/4, P(AtA2A3) = 1/8, но P(AiA3) = 1/4 — е  P(Ai)P(4e).

2.22.	Пусть события At, .... Ац удовлетворяют условиям зада-
чи. Оцепим снизу число элементов множества Q Для любого на-
бора (б|,..., Efe), Ei — 0 или 1 (1 = 1, 2,	А), Р : П '	| > о,

* (В \

где А({0) = Att Л({п = Л{, т. о. f] А} 3. Так как при

efe)(Бг

(8Г

el) события П А<6 и А^ неперо-
й	t-j	i-1

секаются, и число различных наборов (еравно 2А, то
Аlog,, я. Экстремальным примером является Q = {(Ер ..ед):
£— О пли 1} с Р {(ер ..., едУ} = 2” 1 и А{ = {е^ =0}, 1=1, ..к,
2.23. Пусть Q = {(01, ..., (On}, Р(етД = Pi > ° (7 = 1, nh

Pi 4- • •  4- Pn — 1. Событиям At c: Q, 0 =?£ At Q (i = 1, ..., k)
сопоставим векторы в Rn

at = (X<if7i, . • X<nVpn), 1 = 1, .... A,

где y^i} = 1, если g At, u = 0 в противном случае, и поло-
жим во = (уPl, ...J'Pn) Тогда при i, / = 1, к (а0, с0) = 1,
(а0, at) = P(Af), (at, а}) = PCAfAj). Векторы bt = at — Р(4<)ас
(i = 1, .... А) удовлетворяют следующим соотношениям:

(bi, йо) = (at, а0) — P(A<) (a0, ac) = G (1 = 1,	(1)

(bi, b}) = (fl„ aj — P(Aj)(at, a<j) —Р(А<)(а0, Cj) 4-

4-	Р(Л<)Р(ЛД(а0, a0) = Р(АМ,) - Р(4,-)Р(ЛД

(i, j- = 1, ..., k).	(2)

16 л. M. Зубков и др

241
Равенства (1) означают, что векторы 6f, >.ч Ъь лежат в (н—!)-
мерной гиперплоскости {я е Rn: (х, а0) = 0}. В силу равенств (2)
события Ai, .... Ak попарно независимы тогда и только тогда, ког-
да векторы bi, Ьь попарно ортогональны. Следовательно, k <5
п — 1.

Если п 4, то пример п— 1 попарно независимых событий да-
ет следующая конструкция: £2 = {<щ, ..., (оД

п — 3	1

г<“;} “Г 17 = 1..............п-1)’

= {'Щ, <вп}, i =*= 1, ,.п — 1.

2.61, а) Согласно теореме Муавра — Лапласа

limP * ||п-41<Хд) = 2Ф (1) = 0,68269 ...

limPf - 4 ! >ХМ = 1-2Ф (1) = 0,31730 ...

П->ОС II	| й J

Эти предельные значения и являются приближениями для иско-
мых вероятностей.

б)	При р = д — 1/2 из формулы (2.11) находим

р {?„ = *} = ф-‘, k = o,i.п.	(I)

Отсюда и из равенств

р{ 1Б.00-50| <5} = Р{45с 6100	55},

Р{|5юо — 501 5? 5} = Р{&кх)<45} +P{Bioo>55} =

= 1-Р{46^11(Юс54}

находим

ь&	/	^.C60“ftA

Р /45 < £ < 55У = 2“100 У С* = 2-100C™ 1 + 2 V -41 =

r 6100	°0}	6	100	iwol ~	г&0 I

\ л-i юо /

Сьо t 50/	40/	48/	47 /,	4в\\\\\

" ^55(1 + 25Ц1 + й(1+ 53(‘+ m(‘ + 55 ))))) =

<^60

= 9,15635 -100. (2)

2юс

Используя уточненную формулу Стирлинга (см. стр, 10), на-
ходим

-----/100 V00	1 1	6.	1

100| = У200я(—j

,/----/50 \so fl 0.1

501 = У10оя(-) el,P(sijo--eoo^or}
где О С 0ь на < 1. Поэтому при некоторых 10* |	1, 4 = 3, 4, 5,

£12° =_____ехр ' - —

2100	51/2л I 400

1,8-105

!	1 ез___________ .	04 \	0,9975 -U05^O~>

ГЙА Ш 1>Ю6	2-3993 у бУ2л

Из (2) и (3) следует, что

Р{45 С £loo С 55} = 0,72874 + 9е-10-в,

|04| <1.

Аналогично находим, что

P{||fb0-~ 50| >5} = 0,36820 + 67Л0-\	|07|	1.

Отличие значений вероятностей, полученных в п. а), от истин-
ных значений объясняется двумя причинами: заменой допредель-
ных значений вероятностей предельными, а также тем, что собы-
тия dlioo — 501 ^5} и {!Вюо — 50>5} пересекаются.

2.	62. а) То жо, что в предыдущей задаче.

б) Аналогично решению задачи 2.G1 получаем

= 0,68906 + 0.1О-6,	|0|<lt

и так как 4f2 — число не целое, то

P{|Ue-64| ^4У2} =

= 1 _р{|£1й_б4| <4}2} == 0,33094 + 0  10_\	|0| С t

Глава 3

3.64.	Используя результат задачи 3,63, получим формулу для
плотности распределения д^(х), х — (xi, хп), вектора £ =
г= • • •> £><*))

р w = |П|Л-а<х1+-+х»’.	0<х,< ... <«„,

(0 в остальных случаях.

Плотность распределения т] = (Аь Ап) можно найти по фор-
муле (3.2) с функцией g(x) — (gr(x), ...» gn(x)), gi(x)=xi,
g, (x) — Xi — Xi-i, I == 2, ..n. Нетрудно проверить, что якобиав
Jg преобразования у = ?(х) тождественно равен f. Обратное пре-
образование x = g-i(y) определяется формулами x< = yi + .».
... + yt, t = 1, п. Подставляя в (3.2) приведенные выражения
для pi{x), g-i(z), Jg, получим

(V) =

nlaV"a(nwi+(n-1)J'«+‘‘‘+!/n)



Кп>°.

0, если min(jir, .... j/n) <0,
Плотность распределения рп(у) вектора п = (Aj, >.ч А») представ-
1яется е виде произведения одномерных плотностей показатель-
ных распределений:

Ч<Г)-

* _
й[а(-



Отсюда следует, кто случайные величины Ai, . ,ч Ам независимы к
Д< имеет показательное распределение с параметром а(п— i 4-1),
8.65. Согласно задаче 8.64 соответствующие вариационному рн-
ДУ ;<1) «5 5(2) «3 ... < £() (построенному по gi, ...» in) случайные
величины

Ai “ 5с>» А* “= £(*> — 5t*-ih >	2, 8, п,

независимы А* имеет показательное распределение в параметром
(л — к + 1)1, к = 1, ...» д. Остается заметить, что

шах{£ь »»•» 5я} в 6(»> ” Ai + Д» т * • • 4- An,

что случайные величины U/Х, к * 1, 2, п. независимы и Щк
имеет показательное распределение с параметром кк, ч. е. распре-
делено там же, как Ап-л+ь

3.70.	Введем вспомогательную случайную величину £», не за-
висящею от 5i и имеющую распределение Пуассона с параметром
Ха — Xi. Согласно п. б) задачи 3.32 распределение + *а совпадает
е распределением £г. Поэтому для любого 1 = 0, 1, 2, ...

’&<*)-<’(51 +&,<*) =

k

« 2 Р (53 ~ Р (*1 < * - m) р (£1 < *) р & < *) < р (^1 <*)•
т^о

3.129.	Начало координат Ре 5. Точка х &= 5(|х| Э’ 1), если при
г > 0 точки 1г 2, ..2т — 1 — белые и при т < 0 точки — 1,
—2, ..., —2х 4- 1 — белые. Пусть 0* = 1, если х е S, и & = 0, ес-
ли, х й & Тогда

ОО

|5|= 2 0х. М0О = 1’

Хт= —оо

М9Х « р2х-1

в, следовательно,

ОО

М| 51 = 14-2 2 Р2х-1 = 1 + ~ 2.
х=|

3.130.	Воспользуемся представлением £ = ( X, (г, ф) г dr dq ,
- w

К

предложенным в указаниях. Тогда х(г» ф) — 0 при г 1/2
и Х(г» ф) = 1» если г < 1/2 и в круг Kr.v чадиусом г с центром в
точке (г, <р) не попала ни одна из точек Сь ..., Сп. Для каждого
i = 1, ..., п вероятность того, что точка С{ попала в круг Кг, рав-
на лг2/л = г2 и, следовательно,

Мх(г, ф) = Р{х(г, ф) = 1} = (1 — г2)",

если г <. 1/2. Меняя местами знаки математического ожидания и
интеграла в правой части равенства

Mg --= М ' Г х (г, ф) г dr dtp,

‘ к

получим

2Л 1/2

М£ = '. * Мх (г, ф) г dr dtp = [ dtp (1 —> г j1 г dr “

’ К	о

л Г. П\п+1]
= » + 1р-^4) ]•

3.135. Пусть = snp{z: F(x)^y}\ тогда, согласно за-
даче 3.13,	•

1

М£ = \ F_r (у) dy,
о

т. е. Mg — площадь области {(ж, у):	о С х С F-i(y)}.

Но

1	°.

F-! (у) dy = (1 — F (т)) dr.
о	о

3.140.	Событие

D — {выпуклая оболочка Ль Л2, Л3, Л4 — треугольник}
есть объединение четырех попарно несовместных событий:
Р1={Л;лежит в треугольнике, образованном остальными точками},
i = 1, 2, 3, 4, вероятности которых одинаковы ввиду симметрично-
сти распределения набора Л1, Лг, Аз, At. Поэтому Р(Р) ^=4Р(54).
Так как точка Л< не зависит от Лц Л2, Л< п имеет равномерно*
распределение в области, площадь которой равна 1, то условная
вероятность Р(В1]41, А2, Аз) (при условии, что положения точек
A t, Аг, Аз фиксированы) равна площади Saaxa2a3 треугольника
41^2^3. По формуле полного математического ожидания получим

Р (О) = 4М Р {Д, | Л,, 4,, 4,} = 4М5лл f д А.

3.141.	Чтобы доказать неравенство Рз^ 1/20, воспользуемся сле-
дующим соображением. Пусть Х\, ,.ч Хп е Л2— независимые точ-
ки, имеющие одно и то же распределение Р, и хп — число таких
троек (f, /, к), для которых l^i<f<k^n и выполняется со-
бытие 41М = {одип из углов AXtXjAfc нс меньше 120°), В силу ад-
дитивности математического ожидания

мх„= У Р(Л,Й)-С’Р3.

Поэтому Р„ = Мхп/Сп. Для доказательства требуемой оценки
> 1/20 = Х/С t достаточно установить, что Мх9 1. Докажем бо-
лее сильное утверждение: Р{хь^1}=1. Действительно, любые
6 точек Хе, никакие три пз которых но лежат на одной пря-
мой, либо образуют выпуклый шестиугольник, либо одна из эгия
точек (скажем, А’1) содержится р треугольнике, образованном каки-
ми-то тремя другими (скажем, Х2, Х3, Х4). В нервом случае х6 1(
поскольку сумма углов шестиугольника равна 180°- (6—2) = 720’,
т. в. по крайней мере один из его шести углов не меньше 120°.
Во втором случае х8 1, поскольку углы Х2Х|Хз, Х3Хь¥4 и X<XiXt
треугольников XiX2X3, Х]Х3Х4, XiX2A4 в сумме составляют 360\

8.142. Рассуждения аналогичны проведенным в решении зада-
чи 8.141. Если Xt, Хп е К2 — независимые точки, имеющие рас-
пределение Р, и Хп—число выпуклых четырехугольников, обргзо-
ванпых точками Xi, ..., Хп, то в силу аддитивности математиче-
ского ожидания

Мха = С4Р , т. е. Р =Мх„/Са.

и для доказательства приведенной в условии задачи сцепки доста-
точно показать, что Мх8 > 1. Но Р{х3^ 1} = 1, поскольку 5 точек,
из которых никакие 3 не лежат на одной прямой, либо образуют
выпуклый пятиугольник (и тогда х5 1), либо одна из этих точек
(скажем, Х4) лежит внутри треугольника, образованного тремя
другими (скажем, Xt, Х2, Х3). Эта конфигурация изображена на
рис. 7 (см. указание к задаче 3.142). Отрезки и лучи, приведенные на
атом рисунке, разбивают плоскость на 9 областей. Легко проверить,
что в какую бы из этих областей пи попала точка Х5, из точек Xi,X2,
Х3, Xi можно выбрать 3 точки, которые вместе с Х5 образуют вы-
пуклый четырехугольник. Значит, и в этом случае х3 > 1, что и
требовалось доказать.

3.156. Так как функция /(т) = |я|г при г 5s 1 выпукла вниз,
то при любом действительном х, согласно задаче 3.152,

Mjar 4- Г| |г |М(ж + г])г = |х|г.

Поэтому при 1

М|^ + т1|'' = М(М{|| + цГ1^))>М|^Г.

с.159. б) Если ранг матрицы В равен г, то существуют такие
линейно независимые векторы ..., Ъь-Т е R*, что Bbt = 0, г =
«= 1, к — г. Поэтому D((&i, j)) = (bt, Bb<) = 0, i — 1,

., к — г, т. е. Р{ (6,, Е) — cj} = 1 для некоторых чисел <?». ...,с^_г.
Значит, существует г-мерлая гиперплоскость LT cz R\ ортогональ-
ная подпространству, натянутому на Ь\, ..&а-г, и удовлетворяю-
щая условию Р{₽ 4= Lt} — 1.

Обратно, если существует q мерная гиперплоскость La cz Rk,
для которой Р{£ ez Lq} = 1, то существуют линейно независимые
векторы 6|, ..., bk-q, ортогональные Lq, и числа сь ,.., Ck-q, удов-
летворяющие условиям

Р{(1, Ьг) = с.} = 1, j = l,...,fr-4.

Согласно п. б) задачи 3.158 тогда Bbf = 0, 1=1, ..., к — q, т. е.
ранг В пе превышает q. Так как по условию ранг В равен г, то
соотношение Р{£ Lr-i} = 1 пе может выполняться пи для какой
(г — 1)-мерноф гиперплоскости LT-\ cz R\

3.175.	Пусть fci, fcj, .., уровни зесенних паводков в последова-
тельные годы, а т2 — время до разрушения плотины паводком,
246
Тогда

max



п, следовательно, Р{тх > t} = FJ(z). Отсюда, используя результат
задачи 3.132, получим

“г=та-

t=l	i«=0	t₽0

В п. а) требуется найти минимальное значение ж, три котором
Мтг > Г, где Т — 100 лет. Такое ж удовлетворяв® уравнению

i-F(z)-T

♦

и, следовательно,

-т)=Р-1 (».")

где F_j(u.) = вир{л: F(x) С к} — функция, обратная к Fix),
В п. б) требуется найти минимальное ж, при котором Р(т» Г} <4
^а = 0,01, т. е. 1—Fr(z)<a или (1 — x)l/T F(z). Отсюда

z = F_i((l^-a)l/T) ₽= F-^O,^01) »F_i(0,9999).

3.176.	Приведем два решения, а) Пусть F(x) = Р{£< < х).
Тогда

{т > f, £г = z} = {dT+i	Sr+* tr == ж}

Р(т > *|ът == z} =» 7?е (х).

Кроме того, Р (£- < z\ = Р f max zl= F (z). Найдем теперь
P {Tr>uJ, воспользовавшись формулой полной вероятности (3.21)1
Р {Тг > u} = МР {тг > и | £т} = MFU (£т) =•

= ; Fu (z) d {FT (z)) = T \ Fa+T-1 (ж) dF («).
о	0

Отсюда, полагая s = F(z), получим

P {trj> “} = T
0

T
хи^т-Чх = -±-

Следовательно,

и

P {тг < u] = —YTf	(M>0), MTT = oo,

Р{их^ 10} = 1/11.

б) Случайные величины fci, ... по условию независимы и
имеют одну и ту же непрерывную функцию распределения F(x).
Построим по случайным величинам ||, .Ет+e их вариэппопный
ряд |	£(т+и>; в силу непрерывности F(л) с вероят-
ностью 1 все числа	|(T+U) различны. Тогда

{ТГ U} ™ {|(Т+и)	{&Т+1, *•-. £т+ш}}

(1)

При условии, что значения £<<>,	£(т+и) фиксированы, набор

(£ь ..£т+и) имеет равномерно© распределение па множество
всех (Г+п)! перестановок чисел |(ij,	|{т+«>. Иа втих

перестановок ровно для и(Г + и —1)1 выполняется событие э
правой части (1). Поэтому
utr + w —1)! и
г{хт<“}а (Г + пП — й г

3.201. Пусть х* *= 1, если точка £<—граничная, и х< в 0 в
противном случае. Тогда ип = Xi + X» и Мхп == пМ%п, по-
скольку точки gi, |п независимы и одинаково распределены.
Пользуясь формулой (3.21), получаем М%« = Р{£я < |nj или 5=5
< tnJ, /el, .  »—•!)“ A4Fn-1{ oil ОЯ1 ИЛИ |12 6пз| ih-l,
U) = M(1 - (l-|nl)(l-|n2))«-i	Пс. ус-

ловию случайные величины |ni и |п2 независимы и равномерно
распределены на отрезке [0, 1]. Значит,

Мхп =	«= пМ (1 - |п1|п2)п”1 =

п—1	п—1

=- 21)k А -п 21)Ь с‘-> ТТР =
Л = 0	ь==о

- (- =

4«-0	fl Л=О	о

“ f \ <Lt = f (1 + х + ... + хп J) dx = 2 4*

Y	к 1

8.224, а) По условию i-е орудие поражает цель, если

IPi + Ei + C-fll = 1£< + £1 Се.

Так как случайные величины	|п независимы, Р (К х) =

х 4- d

= ^2j—, |х| d, а £i, одинаково распределены, то вероят-
ность Qn поражения цели залпом из п орудий определяется фор-
мулой

<,п = 1-рШЖ1>е’ 1 = 1........") =

= I-МР{|ё| + С|>е, < = «...»Щ =

= i- ( Пр{р1+’-1>рН1><11 =
— <Х

Л

-d
Пспольэуя равномерность распределения g{
с + в чЗ 4, находим

на [—с, с] и условие

Р (1б + *1<в»

В ачот

&]ct	если

(• 4- • — | «| W2ct если

О,	если

| s | с — в,

<4 *•~f *

t

rf V

1 4m , —

Ze

с+«

I

л . 1

и Q* (с + e)/d < 1 при п -»> ос.

б) Введем вспомогательные случайные величины 0	— *i

i = 1, ., , п; эти случайные величины независимы и имеют равно-
мерное распределение на отревке [—Ь, Ь], Ъ > с + 4 + в. Условие
поражения цели /-и орудием ирмнимаот вид

|₽t + 5, + C- «I-!Р(' + 1, + С|<».

Аналогично п. а) получаем для Q* формулу
$ш==1_мр{|р;-н{-к|>вР <=-1...п|с, ц,.... М*

d е

—d —с

С И (1-р( |₽Г+?< +*|<Н) dut •••

(1)

Так как р' имеет равномерное распределение на отрезке [—Л, й]
и по условию ft>c + d+e^jy<|4-|z|+e при любых у< еэ
е [—с, сj, х е= [—d, d], то в подынтегральном выражении в (1)

р{|Pj-Mi +И = 11 = V’ ecjiui^il<c« ixl<d*

Значит,
if с е
9п=1-(‘-т)П^1 f
—d —с —с

( eV»

= 1 — 11 — у 1	1 при п со.

Сравнение результатов пп, а) и б) показывает, что при доста-
точно больших и введение искусственного рассеивания при при-
целивании увеличивает вероятность поражения пели. Этот неожи-
данный эффект (в более сложной ситуации, когда случайные в&-
личины С, Еь 0« имеют нормальное распределение), был отмечен
А. Н. Колмогоровым.

{ ъ2 С.Ч

3.260. Середина М стороны А2А3 имеет координаты (- ----»

,1? + пя\	/*2 + Ез . ^+^3	’ м

------J, а ректор A 5/t — 1 j— — ;t,  — т), - Из усло-
вий задэчи следует, что |r, £2, £3, Tij» Л2« Лд независимы и име-
ют стандартное нормальное распределение. Поэтому компоненты
вектора А М. независимы и имеют нормальное распределение с

1+1	3 о

нулевым средним и дпсперсиеи 1 -f----- =~2« Значит,, при лю-

бом х 0

3.2G1. Докажем более сильное утверждение: векторы А2А3 и
ApVi независимы. Имеем АгА3 = (ёз —£г, Лз —Лг) 0 (см. решение
/£2 -Г	112 4- р3

задачи 3.260) А, --------------------т—	Поскольку

наборы случайных величин {£i, 52, £з) 0 {т|ь Чг, Пэ) независимы и

одинаково распределены, достаточно доказать, что независимы слу-
чайные величины £з — и------------- — Случайные величины

&к &2v чо условию независимы и имеют стандартное нормаль-
ное распределение. Независимость случайных величин д3 — £2 и
(&2-t~b)/2 доказывается так же, как в задаче 3.241; вычитание из
(Ь+1з)/2 случайной величины не зависящей от £3—£2, не
нарушает независимости.

3.262. Так как треугольник А^Аз не может иметь более од-
ного тупого угла, то события {Z-А । "> 90й), (Z.A2 > 90°) и
{/ А3 > 9и°) несовместны. Из независимости и одинаковой распре-
деленности точек .4Ь <42, А3 следует, что вероятное™ этих собы-
тий одинаковы. Значит,

Р А А, Аэ - тупоугольный} =3 Р {z_ А > 90°) =

поскольку половина стороны треугольника больше проведенной
к ней медианы тогда и только тогда, когда противолежащий
угол — тупой. Вектор А2А3==(£3—£2, т)3— Цг) имеет нормальное
распределение с нулевым вектором средних и матрицей ковариа-
/2 0\

ДИЙ Q 2/т поэтому

р { I4AI < *}= р И Г < *'1 “

= ah f J е ^1+K2^, dx, dx, -	J 2n«-r!/) dr =

0C*+ X£ <x2

k®/4

и I c~u du cat— e~x'lt

J
о

Согласно задаче 3*261 случайные величины Цг43| и Mi-^i| неза-
висимы, и F ; j А{М^ К-= 1 ~^е~Х* согласно решению задачи
3.260. По формуле полной вероятности находим

OtJ

ф¥.1< ЬлЛ|)“р(ИЛ1<1'2ИШЛ1<’}~
О

=	(1—e~x^l2)~e' dx = 1 — । уе"1 dx =

о	о

- 1 “ J 4 e~U du = 4*

о

Следовательно, Р{ДЛ1/1?Лз — тупоугольный} ™ 3/4.

Глава 4

4.14.	Из определения множества Ст, е следует, что

р Д(,1) □ с v-

1	пЪ/л.е

Ю +... +|е<">|

	— 2

п yz2/ л

<е). (О

По условию случайные величины	|бтГ | независимы,

одинаково распределены п
ОО	оо	,_,

М|Й"’1=т4= [xe-^dx^-- \e—du^y 4.
|Ъ1 1 l/2nj	T/2nJ	r

о	0

D | V,”> | = M (S',"’)* - (M | Ц” | )a = 1 - 4 < =».

Из этих соотношений и закона больших чисел следует, что правая
часть (1) стреми гея к 0 при п -* оо для любого фиксированного
6 > U,
Ср&внепие результатов задач 4.13 и 4.14 (в учетом сфериче-
ской симметричности распределения вектора и множества
В у— j показывает, что при достаточно больших п гиперсфера

= I г a Rni к + ... +	«

У г».в	1

ж поверхность л-мерного «октаэдра»



бдивкн друг к другу, а именно: для любого в > 0 отношение
(л — 1)-мерного объема множества тех точек *&Ву- , для кото-
рых отрезок |(1 — е) ж, (1+&) *1 пересекается с ^ny7^P» 11
(л — 1)-мерпому объему By- ^т. а.н «площади поверхности» ги-
ерсферы By-^j стремится к 0.

4.24. Для любого л м 1, 2, .., справедливы следующие равен*
ст в а (в которых r|m — величина, введенная в задаче 4.23);

-+1.	*)+,"+(W 1пЛ)’

.	Г|г^1

+ “ 1У^

Иа результате- задач 4.22 и 4.23 следует, что

|	@1-в)+ ••• + (&[/ч]“4)П/^Г

Р < Ит-------------7----------г—

I П-tai

Р 1 lim

^-»оо [ |/п]

Vnl fVHs

3 п

1

= 0 =1,

Ш11 -ИТ,

что и требовалось доказать.

4.31. Согласно вадаче 3.228 при х > а
„	О’ 1	.	е-<»—>;/2Оа о

У2^	\~0-(1^а)»|<РЙ>11<	-[/2л	^-0'

т. е.

lim Р{£ > »)	= 1.

Х-»зо
Поэтому для любого

.	,	,,	Р {£ > я: 4-ит-1}

Jim Р ((J — г) s > у Ц > г)	lim-------₽7Т^—i---=

а-»ав	ас-»оо	J /

~ Uni ехг |-‘97и’+«’“ ° / — (ж —а)2^] =

-,00 I 2а \\ х J	/;

.. I у (2 + (у — 2лл) ж" ) ] _u,jt

₽ Ьш бхр —-------------~2-------} = е •" .

«-*оо

I	4’

4.41, Первое утверждении легко следует из неравенства Че-
бышева:

Р(В>«1<)= {ър{л} } ^7 р ^>жХр(а._а)2-

Дли доказательства второго утверждения введем индикатор собы-
тия А;

( 1, «ели А происходит,

7 л e 1

‘А 0 в противном случае.

Тогда

МЬ*х , j	f

=—;5- = -М|хЛ=а + 7М(5-»)хд.	<‘)

Пусть F_ (y) = sup{t: Р{£ — а<1}^у}— функция, обратная к
функций распределения случайной величины ;—а, Согласно за-
даче 3.186

р	1

F_! (<0 da < М (£ — а) < j р(и) du,
о	t'-P

а согласно задаче 3.138

(2)

1

о2 = D£ = М (g - а)2 = j* (и)	(3)

j

Применяя к (2) неравенство Коши—Буняковского п пользуясь (3),
получаем

у

j | F-1 (Я |

.0

| М — а) хл | С max

1

1-р

Отсюда и из (1) следует, что

|М{||Л}- а| о/}>.

(4)
Если р 1/2, то с помощью равенства

с = РМ{&|Л} + (i-p)M{g|Z}

в оценки (4), ирименеыпой к М{£|Д}, находим:

1 — р	1 — р а 1/7 — п

1м(Е|л)-»|—— |ма|т-.|<—• у==-а • р .

4.42.	Рассмотрим сначала случайную величину Ть Из условий
вадачи следует, что образующие Ti сла1аемые ^i- В 2, ••• независимы,
не зависят от числа слагаемых v — 1, распределение каждого сла-
гаемого совпадает с условным распределением £| при условии
в! = 0, и при q -» О

Р{ q (v — 1) х} —> 1 — е-я, х О,

Из задачи 4.41 следует, что

о 1/д

М^Иег = 0} = а + 0 —-	1®К <• * = 1,2,...;

кроме того,

D{5i|ei = 0}=M(^|e; = 0)-(M{J1|ei=C})2<

М??	«2 + о2

Г/	“1---- < ОО 1=1,2,...

1 — ?	1 — q	, , ...

Применяя задачи 4.39 и 4.37, получаем соотношение

limP я} = 1— е”х/о, х^О.
?-»0

Покажем теперь, что предельные распределения случайных ве-
личин qti и qi% при q —*• 0 совпадают. Согласно п. а) задачи 4.33
для этого достаточно показать, что при любом б > О

?{$&,< б|в|« 1}-1,	g-0.

Но из первого неравенства задачи 4.41 следует, что

Р {<& > 6 | е( = 1} < —7--2 - 0,	9-0.

' 1	1	1 q(o — aq)

4.51.	Пусть g'(x) непрерывна в отрезке 'а — 6, а 4- 6J, 5 > 0,
По теореме Лагранжа при х, ап st [а — о, а 4- 6|

g(x) — g(a„) = g'(an + (г — an)9i) (х ~ ап),

где функция 01 = 0i(.r, а„) удовлетворяет неравенству 0 С 9i С 1.
Для каждого « = 1, 2, ... определим случайную величину ап ра-

венством

S (^n) S (ап)	ап

ьпё‘(ап)	Ьп

(1)

(1 4- ап).

Из (f) следует, что если |а — ап|^б, то на множество
254
{ю: |£n —а| «5? fi}

I g (U) - g (ffn)	I « (“n + (?n - en) Gt)

“I---------~(V-------------1 <

<»(«)- eop |£§-.L
i«—,|<о I • W Г
а|<Л

Функция fc(fl) стремится я 0 при б 4 О, так как по условию j'(x)
непрерывна при я = * и f(a) 0. Значит, при любом е > О

р{|аЛ| > в} < Р{|£.-«| >б) + Р{|Вп-в| > Л_](е)}, (2)

если п достаточно велико, тин что |ай—а| < Л_{(в), где й_](.) —
функция, обратная к Л('). Но в силу условий вадачд при любом
i > О

Отсюда и иа (2) следует, что при любом е > О
lira Р {|a,J>e} = 0.

П->оо 1	1	*

(’)

Используя (1), (3) и задачу 4<33, б), получаем, что в каждой точке
непрерывности F(x)

lim р

П-»оо	(Лп)

<х| = F(x),

4.54.	а) Применим утверждение к задаче 4.52 с

£ _ 1 1
“„-у.

По теореме Муавра — Лапласа

f^n-V2 |

P(1T(2W	-»<1<оо,

где 5 имеет стандартное нормальное распределение. Далее,

/ i \	/ 1 \	х I

g yj = -ln2, g’	=0,

1	\ 4 J 1 —x |x=l/2	’
Согласно утверждению задачи 4.52

lim Р 4 ——---------—х < ®

<1/2)/(21/«)

- lim Р {g(?n)-h In 2) п < *}=>
П-»О0

Vm

- Р {«’ < 4 - M>,(Vz)-p|g J *-“’/2<fu-

О

б) Применим утверждение задачи 4.51 с

®П п 1 аП в Р*

.	1/р(* — р)

₽«=• V ~------<

По теореме Муавра — Лапласа при любом х, —оо < х < со.

(&п — р

УрЦ — р)/п

9 Ф (Ж) =

-U f в-«2/2

У2л J

du.

Далее, g* (р) «= In ¥» О при р=/=1/2, и согласно утверж-
дению задачи 4.51

(	g(£n) —е(Р) 1

11m Р —------т— =-^х| = Ф(д),	—оо<х-<оо.

n““ ( /(P)Vp(1-P)M I

 р i-х j / п Г

Следовательно, Вп (р) = I In | Г р(1 — р)’

4.83.	Из условий sup Me ”* <z оо, М | £ [ < оо и свойств про-
о<х<о	11	й

изводящих функций следует, что функция ф (X) — Me 1 опреде-
лена и дифференцируема в полуинтервале [0, 6) и что =а
= Ф' (0). Согласно задачам 4.81 л 4.80

Р {?, + ... + Е„ > «(MJ, + ф <	(М6*+е)Ч>" (1) =

= ( inf 1>(»«_4M51+e)Y*.

Ы>.<в	/

Из формулы Тейлора

ф (W » ф (0) 4- (1 + о (1)) ХФ' (0) = 1 + (1 + О (1)) %М^, А | о,

получаем, что Ф (Х)< е z(Mei+e) при достаточно малых Х>0, по-
этому

ае = inf Ф(Х)е x(M5i+e)< 1.

о<Х<б

Второе утверждение задачи следует из первого: достаточно заме-
нить на —
я.88, Сначала докажем тождество, указанное в условии гада
чи. Если 2tioici, то

_____г8 __
2о2/(1—27то2)

— плогпость
k._lL_
I 1 — 2/ю2

Если В имеет

Г) = £ch । то

нормального распределения с параметрами

поэтому

27ш2 < 14

(1)



нормальное распределение с параметрами (0, о2), а

Мт) =------₽ f Tehxie-x42(J~'dxf	(2)

о |/2я J
— оо

ОС

Ml]2	С хле2,1Х*е'‘‘х*^а* dx,	(3)

о р 2я J
----------ОС

В (2) под интегралом стоит нечетная функция, значит, Мт| =
= 0, если только интеграл (2) абсолютно сходится. Это аагедомо
имеет место при 2йс’<1, так как тогда

ехр < *“ IЛ — - ~2 I । = О (с “* ), а > 0, при | х | -> оо. (4)

Чтобы вычислить интеграл (3), продифференцируем по А обе ча-
сти тождества (1); в силу (4) дифференцирование псд знаком
интеграла в этом случае законно:

ОО

_____f х2 ftx2 -хг/2а^
/  । * I мСг С С	U w<

У^Л J
— оо

(1-2Ло2)^2Л

<1,

(5)

Сопоставляя (3) и (5), получаем:

2	°

Г”|=М’’ =(1-4Ла2)’«

2

при 4Лт <1«

Если 4Ьо2^1, то интеграл (3) расходится и Dp = оо.

4.95.	Если Ml £ | < оо. то (см введение к гл. 4) по свойствам
характеристических функций /'($) — *M$j. Покажем, что если рас-
пределение £ имеет плотность р(х), указанную в условии задачи,
10 l/z(U)| < °°, a M|£j = оо. Последнее соотношение легко

47 А. М. Зубков и др.

257
проверяется:

ао	2	°°

'	С	С сх (х) dx

M|g| = 2 xp(x)dx — 2 xp(x)dx + 2'----— = оо,

о	О	2

где О^а(х) < оо и а (л) -> 1 при х -*• оо. Для доказательства со-
отношения |/'(0)| < 00 покажем, что

|1 —/(() I = о(1) при t->0

(тогда f (0) = lim (1 — / (f))A “ ©V Действительно, па оценки 1—

— cos д<У212 следует-, что если
т-*оо, rid-^o,
то

сю

1 — / (!) = 2 f (1 — соя tx) р(х) dx =

О
(Т	оо	к

nc.f	С 1	—	спя lx	V

« / | р (х) dx | —у---dx -=

J	J	х	In I	I

а	Т	1

(ОО
п	Г 1 — СОЗ и , \

(»Г)24- UI 1 —--------du =

.1 и In (u/|f I) j
|t|T	/

(»	\

»	| i | C 1 — cos 11 . 1

0	*

Если T ~ (p| In |f|)",/2 при <->0, то последняя оценка дает
что и требовалось доказать.

4.96.	Если функция /(х) дважды дифференцируема в точ-
ке я, то

/(ж_П_2/(х) + /(х + П
/ (л) = h m---------7,---------,

t-*o	1'

Следовательно, в нашем случае

f (f)-24-7(n

f (0) = lim
t-»o

— li.n M
t-*o

e-it£ -2 4-eH6

Так как выражение под знаком математического ожидания веще-
ствен в о, то можно рассматривать только его действительную часть;'

f" (0) = 21imM
t-»o

cos /с — 1

= lim M^2
i-»o

cos !jj — 1

Pg)2Z2 ’
Функция

Kt (v) =

cos lu — 1
(i.¥)2/2

неположительна и для каждого

у |у| < оо, стремится к —1 при t->0. Поэтому из предположе-
ния М£2 = оо следует равенство

Г (0) = limMi\ (S)=-oo,
t-*o

которое противоречит условию задачи. Значит, М£2 С оо и
Г(0) = -м£2.

4.109.	Пусть <r(W)(l) < оо. Разложим производящую функцию

□О

<Г (z) = У Р = к} zh по формуле Тейлора в точке z = 1 с ос-

ft-’O

таточным членом в форме Лагранжа:

q>(z) =

(1)

Z. &!

ft*=0

„	tp(W+1>(i+ e(z —1))

(г—1) + (Л+ 1)1

(z —1)N + 1,

О < 6 < 1.

Полагая здесь z «= 0 и замечая, что <p(ft)(z)^{) при любом
z е [0, 1], получаем

(ft) л \

<р(0) = Р{£=0} = 2(-1)'‘^Ц^ + (-1)м+1^+1, ^+1>0.
ft—о

Отсюда и из того, что qp(ft) (1) = следуют неравенства, указан-
ные в условии задачи.

4.123. а) Из независимости £2, ... и равенств

1 /5	4\

^1=2(4 + Т) = ‘•°25’

1 /25	16\

М»? ” Т (16 + 2б) = 1’10125’

5

м In = О, D In = М ln2^ = In2 ж 0,0248965

следует, что

M4iMO-(MVo"o~5’2SS'lo,°.

MllU = (me;)*’” * 7.0899.10“ « On,,,,,
м In Т|,оо = 1000M In £| = 0, D In T)too = WOOD In « 24,8965.

б)	Так как In T]n = In £1 + ... + In слагаемые In In
пезависихмы, одинаково распределены и D In = In2 1,25 < o°, to
согласно центральной предельной теореме

f 1пт1л |	If

lim P -77---~-<i Ф (a;) = -7==-

г-» 00	[ у nD In £ I	l/2n J

1	—00

e~u"/2du.

Из этого соотношения следуют приближенные равенства

(Ina \	( In у \
Подставляя вместо у указанные в условии задачи значения п поль-
зуясь результатами п. а), находим:

Р{Пюпо < 0,001} да Ф{—1.384) да 0,0832,

Р{Цюоо < 1} « Ф(0) = 1/2, °{т],эоо^ 1) » Ф(0) = 1/2,
P{p1Wo < 1G6} да Ф(2,769) да 0,9972.

Сравнивая последний результат с найденным в п. а) значением
Мпюоо да 5,295  10'°, обнаруживаем, что почти вся масса распре-
делепия Tiiooo сосредоточена значительно левее его математического
ожидания.

в)	Событие {t)iooo < 1} происходит, если число значений ...
,1,00(1, равных 1,25, нз превосходит 499, а событие {треков 1} —
если это число не превосходит 500, т. е.

499	500

р{ч1т<‘} = 2",°М 2 ’чооо- р{’11м,<’) = 2-1№5: сю»о-
h=o	h-0

490	J 000

Так как V (*., = V 1	~	’»

h^O	Ь»=о01

Р | +

По формуле Стирлинга
, У2л ЮОО-ЮОО1000 /	/л)0	V
*•	'1000 —2	е1000	1ч У2Л-5О0-50О500 )
=	да 0,02523  Т 500л

Следовательно, Р{тргюо < 1} да 0,4874, Р{р10от О « 0,5126.

Отличие этих значений от приближения 0,5 из п. б) объяс-
няется, во-первых, тем, что распределение случайной величины
троив имеет атом в точке 1 (а нормальное распределение абсолютно
непрерывно), и во-вторых, заменой допредельного распределения
предельным.

4.137. Математическое ожидание и дисперсия : ;',L вычисляются
непосредственно: М£)п = 0, D^n) = 1. Найдем производящую
функцию т]п, пользуясь независимостью слагаемых:

/	2 __ 1 2-1 _ 1\п

“ V+ 2и + 2п ' •
Поэтому при любом фиксированном z

т ** ’in Ч f2~l “

11 ш Мг = ехр , —j— ( ехр 1-----— [.

7l-.ee	I / Iй
'Гак как е(г 1)/2— производящая функция случайной поличины
имеющей распределение Пуассона с параметром 1/2, а е1 /2 =»
= Мг‘ °, то распределение т]п при л-* со сходится к распределе-
нию разности двух независимых случайных величии, имеющих
распределение Пудссопа с параметром 1/2:

е-1/2	е-1/2

Р {1] п - Л) — 2ТП/п[ 2lA’+Tn(j *Н-/п)! 1
чг=О

к = 0, ±1, ±2, ...

4.147. Множество всех Л" корней многочлена ср (г) с действи-
тельными коэффициентами разбивается на множество {zi, ..., sv}
действительных (неположительных) корней и множество
(гл/ + 1, ..., zjv) пар комплексно сопряженных корней, т. е,

= zM+2j-i, Im Zflf+2j # 0, i — 1, ..., (Л’ — М)/2. Так как
ф(1) = 1, то

ф (Z) = м/ =

__1 Л —i ,kVt,/2 ~ 2гР^«+гг1-Н.-»Г

'-ъ Ml1-2;! У, l'-’M+2i|2

причем z 2z Re zAI+?j + |	== (г — гм+гт-О (г * 2M+aj) и

2 z; — многочлены с неотрицательными коэффициентами. Пер-
вые Л7 сомножителей являются производящими функциями слу-
чайных величин £1, ..., принимающих значения 0 и 1:

| 2, | 1

pft=o) = fr~-j. р{ъ=>}-= i~- / = 1...........л,

а последние (/V —Л/)/2 сомножителей — производящими функция-
ми случайных величин ..., £<к+м)/г, принимающих значе-
ния 0, 1 и 2;

РК = °) =

I гл/+г^ Г___

I 1 ~ ZM-r2j |2

Р{^=0 =

£ RC ZM+2j
| 1 ~ZAf+2j|2

P^ = 2} = 77LT7---pF- J =	(A’-W2.

I1 ZM + 2}\

Если так определенные случайные величипц fcj, ..., 5(Л'+«)/2 пе-
зависимы в совокупности, то распределение их суммы совпадает
с распределением

4.150, Гак как частицы размещаются но ячейкам независимо и
равновероятно, то нри любых целых п, N и к

к

р {Но (« + 1, V) = к [	(и, N) = Л} = 1 —

к

р {Мо (п + 1, А) = к - 1 | р0 (п, Л) = к^ = -у.
По формуле полной вероятности

Р{110 («+1’	= Ч =

= р 0% (* + 1, ЛГ) = *, цо (", ЛГ) = *} +

+ Р{М0 (п+1, #) = *, ц0(п, Д') = 4-1} =

=	Р{1%(ге’ ^) = Ч->-Цг Аг) = *+!}.

Умножая обе части этого равенства па zft и суммируя по к от 0
до оо, получаем:

z d

1 d

fn+i,N (г) Yn,,N (2) Л dz	N dt ^n,N *

1 — id v ,,ч
“ +л (z) + N Th.

Так как Р{цо(п. У) TV — 1} = 1 и Р{ц0(пЛ) = N - 1} =	> О,

то /п. n(z) — многочлен степени N— 1 при любом п 1. Докажем
теперь индукцией по п, что все корпи zn, i, ..., zn, n-i многочлена
/п к(г) вещественны и что если — оо = zn, N <. zn, x-i ...
• •  Zn, 2 Zn, 1 '-a; 0, TO 2n+l, V—1 4=5 Zn, TV — |5T Zn+|, A— 2^-_ Zn, TV—2	• •

... ^ 2n, 2 *S Zn+i, i z„, ] и, более того, гПг <+1 < zn+t, < < zn, <,
если только zn, < + i < zn, <• (Ясно, что отсюда следует утверждение
вадачи.)

При п = t и п == 2 имеем:	ч

Лл (z) = z2V-1’ Лл "= ^r^,v~2 + ^2‘v-1’

Т. е. 2|, п-1 = . . . = 2] ] = 0,	22, А-1 = —N + 1 < 22, ,v-2 = . . ,

... = 22^=0, и доказываемое утверждение справедливо. Допу-
стим теперь, что все N—1 корней многочлена /п, a(z) веществен-
ны и неположительны. Нетрудно проверить, что /п, a(z) >0 при
я > 0 и lim	/у (z) = Лг1“п > 0 и что если гп, j (1 С j <

Z-* — оо

< ] + А) — корень кратности Л, т. е.

^п, J—1 2ft, j = Zn, j + 1

^n,J+fc—1 > ^n,/+Л

(2)

(здесь мы считаем, что zn, л = —°о, zn, о == +<»), то

/п Л (Z”,?) = ^n.TV (2n j) = • • • е fn Л1 ’ (Zn,j) “ °’ fn,N (zn j)	°*

В силу (1) тогда

1 — z„ 7 ,
fn+l,N (2nj) = /V fn,N (zn,j) ПРИ k = *’

/п+1 Л (2nj) = ^п+1Л (2nj) ~ ’ * = ^п+1Л (2n.j) = °*

(2nj) = /V Л (2n,j) ПРИ '	2"

Иными словами, при переходе от /п N(z) к /п+1,а(2) кратность
каждого корня zn,} уменьшается на 1,
Далее, если z„, j+i < zn, ь то /п, дг(г) не меняет знак на интер-
вале (zn, л-i, zn, j) и равна нулю па его концах, a fn (z) имеет
на этом интервале ровно один корень (так как все корни много-
члена /п л (z) по предположению индукции действительны, то кор-
пи /„ Л'(г) и /п N (z) чередуются). Отсюда и из (1) следует, что
/п-ы.л(з) меняет знак на интервале (гп, у+ь zn,j), т. е. имеет па
нем корень (ровно один, поскольку в противном случае общее чис-
ло корней многочлена /n+1|iv(z) превысило бы Л’—1). Тем самым
индуктивный переход от п к п 4- 1 полностью обоснован.

4.153. Так как распределение g симметрично, т. е. p(z) ==•
= д(—г), то Mrif‘ = Ме’^ = Mcos/£,

□О	оо

= = I е 'х Р (х) dx ~ 2 р (х) COS tx dx.

— оо	о

t

Выберем е так, чтобы выполнялось условие 0 < е < 3 — а, тогда
при t | 0, используя соотношение 1 — cos и ~ н2/2	(ц-»-0), по-

лучим:

оо

1-Meff6 = 2 f(l— cos tx) р (х) dx —

о
i-e/2	ос

= 2	( (1 — cos tx) р (х) dx + 2		(1 — cos tx) p (x) dx —

о	f—e/2

- „ ..	f	f U\ du

= c?(f2 e) + 2 1	(1 — cos u) p ( — I	(1)

fl—e/2

| x | -> оо, имеем!

Cu~a

COS u)	dll =3

Далее, в силу условия р {х) ~ С | х | а.

С	( и \ du

I (1—COS«)P - I— = (1 + о (1))

V	\ /

f 1- e/2	—в/2

co

„ , С 1 — cos и

= (14-0(1))С/а-1 -----------du, ЦО. (2)

J и

0

Из (1), (2) и того, что 0(t2~*) — о(/“-1) при /^0 и 0 < е •<
< 3 — а < 2, следует, что

ОО

,	Г 1 соя и

= 1 — 2С | 11®”1 (14-о (1)) . ------du, I 11 -> 0.

J M
о

Глава 5

5.7. а) Так как о» и Рл независимы, то

Моц cos (t 4- рл) = Мс^М cos (t 4-	= О,

DaA cos (/ -j-	« Ма£м cos (t +	— ГЛ cos2 = 1/2.
Применяя центральную предельную теорему к независимым оди-
наково распределенным случайным величинам щ cos	& —

= 1, 2, .... получаем, что предельным распределением T)n(f) при
п -> оо, t — const является нормальное распределение с парамет-
рами (0, 1/2).

б) Используя тригонометрическую форму записи комплексных
чисел, находим

т. е, *]n (t) = еп cos (t 4- уп), где

*„ =

П

V ‘Pa

Vn = ar« 2, a2 •

><=1

Ip.

Рассмотрим случайные величины nhe л, к » 1, 2, .как

двумерные векторы (a^cosp*, aASLnp&). Так как ab а2, ... и
Pi. Р2, ... независимы. 6 Р» имеют равномерное распределение на
етрезке [—я, л], то распределение а^е' 1 4- ...	сфериче-

скп симметрично, т. е. 0П и независимы и у* имеет равномерное
распределение на отрезке [—л, л].

По условию векторы (a» cos asSinpij), к “ 1, 2, ..., неза-
висимы, одинаково распределены, ЛМс^соарл, aj, sin рЛ) « (0, 0),

• их матрица ковариаций, как нетрудно проверить, равна

1/2 О

О 1/2

Согласно многомерному варианту центральной предельной теоре-

мы предельное распределение вектора

; — —— V* COS й,
1'"

“л 6in ’*)

является асимптотически нормальным с нулевым вектором мате*
„ /1/2	0 \ гт

магических ожидании и матрицей ковариации [ ' I. Поэтому

\ 0	1/2/

lim Р{еп>а:}«= lim Р{[Ы>Х}- Шп Р{||я|»>«»}-
1-*оо	'	J П-»оо 1	тг-»оо

оо	ОС

•=. — J j* в" ,uS+r *rfu dv = 2 1 e.~T“r dr = j e“; dt — в ” .

5.17 В силу задач 5.16 и 5.15 вектор (^п(л’),	+ имеет

двумерное нормальное распределение с пулевым вектором ма гема-
204
тпчсскпх ожиданий п матрицей ковариаций

(xzn+*- 1	(.Tfr+/?.nn+l-1 \

г2 — 1	X (Х + А) 1	|

(т (.r+ft)P4't —1 (xjrfe)2n+2 -1 I

X (х + А) — 1 (я h)2 — 1	/

(П
(если х, х + h или х(х + h) равно 1, то значения дробей в правой
части определяются по непрерывности). Согласно задаче 3.266

Р{^	+ L

ф

t COV(|r (х),^, (z + ^)
arcsin —w —..........-

л У (x) Dgn (x + A)

(2)

Рассматривая разность между 1 в квадратном аргументе arcsinl

j _ (C0V(M*K £n(r-1-Л)))2

D£n(x)D ... (х + й)

((x (x + M)n+1 -1)2 ( г8 -1)((.г -M): - 1]

" : (x(x +й)-1)2(х2п+2-1)((х+й)2п+2-1)*

приведем ее к общему знаменателю и преобразуем числитель:

(х27г+2 _	+ А)2п+а _ j) (д, (х +	_

- ((х (х + fc))n+I - I)2 (? - 1) ((х + А)3 ~ 1) =

= [((х (х + й))п+1 - I)2 - (xn+1 - (® + Л)п+1)2] (х (х + h) - 1)а -
- «X (X + Л)}71+1 - 1)а [(X (х + Л) - 1)а - (х - (х 4- А.))а]

Л3((х (х+Л))"+1- I)2 “ (xn+1 - (х + й)п+1)3 (х (х + А) - I)2 -

>= h2 (х(х+ h) - I)2 1 ( V (x(x + A))b)a-f лЧ®+Л)П“А j •
L\а”	\fc=o	/ -

Отсюда и из асимптотической формулы

arcsin У\ — у2 =	— у (1 + о (1)), у | 0,	(3)

получаем при | х | =А 1J

рга1р{5пИ Е„(»+») <0} =
h-»o ft	>

•= — lim
я Л-»о

* П	/ n	\ 2 "11/2

2 (x (x + ft)*)2 —	x’’ (x 4- h)n~h . x

.k=o	\h=0	/ _

X (x2n+2 - l)((x + h)2n+2 - 1)“1/2^
1

л|х«т,+*- 1 I

] _(п+ 1)*хЗЛ =

Ж2П + 3 _ j

X2- 1

(«+ I) r"

1 —X2
j _ ж:п+а

Если [ x | = 1, то матрица ковариаций (1) принимает вид

7 „ + 1

* 1

I +fr)n+1 — 1 (1 + h)2n+2 - 1 J
' A	2h -r h2 I

и при Л —> О

4 (covjUn^d+A))^
о^(1)о^(14-л)

((1 + A)n+1 —1)2 А (2 + А) _ .	((1 + ^n+1 — 1) (2 + А)

“й2 (н-[-1)((1 +й)2П + 2_!)	~Л(п + 1)((1 4-й)Л + Ч0

1 + п h + п (п~ 9 Л2 + о (A2) i (2 + h)
= j _ _____2________о________________________

2 + (и 4- 1) h + —---- Л2 + о (h2)

1 17 н(п + 1) _ —Л К2 4- о Qi2)]=n^+.?j A’(l+o(t)).

2	2	3	2 /	j 12

Остается воспользоваться формулами (2) и (3).
1

Монотонная сходимость функций gn (х) к g (х) =	?

при п f оо следует из того, что последовательность функций

л 4 л r2T1-i-2	4

__2___L 1~х______ ______(г—п , *.-л+2 I I хп-2 I хп\

»+Ь» 1-? - »+1'	+••+* т

при п f оо монотонно стремится к оо для каждого х, |х|^=1.

5.2zi. а) Согласно лемме Бореля — Кантелли (см. задачу 4.16)
достаточно показать, что

ОС

2 Р{р„=<>}<-•

П=1

По Р{рп = 0} = 0 при любом печетном п,
формуле Стирлинга при к-*- оо

(1)

а если п = 2к, то по

P(Pn = o}=c‘2iPV

ТлТ (2/c)2ft
2nA-42/i

,	(4 p<7)ft

у --

При р имеем 4pq < 1, а отсюда следует (I).
266
б) Хотя, согласно (2), при р = q — 1/2

р{^=0!~уЬ ***“’	®

ОС

и, значит, J Р{РГ)=0| = ое> мы пе можем применить лемму
п—1

Бореля — Кантелли, поскольку события {рп — 0), п — 1, 2, .не
являются независимыми.

Введем случайные величины

Ti = min {п 1: рп — 0},

Tfe+i = min {n > Th: pn = 0}, к = 1, 2, ...

(в случае, еслр множество, стоящее под знаком min, пусто, следует
положить mm равным оо). Из независимости и одинаковой рас-
пределенности &2, • • • следует, что случайные величины т*-ц — тА,
к = 1, 2, ..., независимы, не зависят от Ti и распределены так же,
как Ti. Поэтому

Р {V > £} = Р {тд < оо} =

Л-1

= Р {Т1 < сю} П Р {Т;+1 - Т. < «>} = (Р {Тг < ос})*, (4)
7=1

и, согласно задаче 3.132,

Mv « V (Р {т < оо})* =----- *--------	(5)

Vil j' 1 — Р [Т. < оо!

Л=1	’ 1

С другой стороны, если %п «= 1 при рп = 0 и /п — 0 в осталь-
ных случаях, то v = Xi + %2 + • • • и в силу (3)

MV-3 Мх„= 2 P{p2S = 0}-~.	(Ч

П-=1	Л=1

Из (5) и (6) следует, что P{xi < оо} = 1, а тогда в силу (4) 
P{v к} » 1 при любом к < оо, т. е. P{v == оо} = 1.

5.25.	Заметим, что компоненты pn, ь .... Рп,« вектора рп яв-
ляются независимыми реализациями случайных величин, рассмат-
ривавшихся в п. б) задачи 5.24, и поэтому при п •= 2к

Р {Р„ “(0....»)}=	(Р{₽»,>= О})’ ~ (зУ . * -

вР{р„=(О, ..„0)}«0,если п нечетно. Значит,

2 Р{Рп"(°’ »м0)}<оо

П-1

при $>3, и в силу леммы Бореля — Кантелли P{v < оо} = 1 при
в > 3. В случае в = 2, повторяя рассуждения из п. б) задачи 5.24,
находим, что Mv = оо, и если т, « min {«: рп «« (0, «•„ 0)}, то
Значит,

= ('°{T1 <®})к = 1 при любом
5.30. Положим

Р{Т] < оо} — 1 и P{v А} —
к < ос, т. е. P{v = со} = 1.

п + 1, если max {р^ ..р„} < б,
mln {/35=12 р • > 6} в противном случае.

Тогда в силу неотрицательности рп

п+1

Мрп = 3 Р {Тп = /г) М {Рп I Тп “ к} >
h=l

> 3 Р{тп-^}М{М{рп1рг ...,р4|т/г=А}.

7? = 1

Согласно задачи 5.29 и определению тп

М{М{рп|р1, Pft} '|Тп = к} > M{pfe|rn == к} >б,
поэтому

МРп > 3 Р {тп = /с} 6 =*
к—1

= бР {тп О} = 6Р {max {Pj.....pn} > б}.

Это неравенство эквивалентно приведенному в условии задачи.

5.88. Обозначим через et и еа единичные векторы на осях коор-
динат и положим £n = £n+i — £п. Тогда 1, = £о 4- Б1 + • - • + &п-ь
1 е. M^B=Mg0+ ..-l-Mgn-i, и последовательность so, In
образует цепь Маркова с множеством состояний {еь е2, е3-=.
_ _e2i f4 = —ej, матрицей переходных вероятностей

/1/3	1/3	1/3	О \

1/3	1/3	О	1/3	_	1

1/3	О	1/3	1/3	~	3 u

X О	1/3	1/3	1/3

/1	1	1	1 \	/ О О О 1 \

( 1	1	1	1 |	(	0	0	1	О	I

I j	J	1	1)'	z	’	1	0	1	о	о	г

X1	1	1	1 /	’	1	о	о	с

п начальным состоянием :0 = г).	Чтобы	вычислить	заметим,

что при начальном условии = е,

(41» =',}/?-> ‘(‘.0,0, 0)Р\

Так как IG = G1 = 7, то

k -1

_ G)k = 2 Ст1к~т + (- 1)^ G\

172=0
далее, 7Г=4’~,7.	= G ори нечетном k п

G" = £=1

1
О
О
О

о о
1 о

О 1
о о

о

о \

0 /
1/

при четном

А-1

Учитывая равенство 2 (— l)m Cm4h~m — (4 — 1)*— (— 1)*, пахо-
щ=о

дим; 7- = А 7 — (— 1)й 1 ~ /<(L. I т, е. при ? = е

4 \	3*	‘	0	1

1	2—/—ip	j

Р *1} = 1 Х ^,3/<	> Р {»А = М = 4 *

1	1	2 — (— П*

Р{^=—2}=4’ Р&—J-T-- 4.3*

Отсюда следует, что

М Ln = е





п—I

2 ^=е

jn&O и

1 — 3“п	3

i-3-i Т*

\	з"/

Глава 6

6.4. Случайные векторы (х«, s<), I = 1,	7, независимы, по-

скольку являются функциями от независимых лекторов
V 41» •— 1,.I, соответственно. Кроме того при условиях
задачи 6.4 для любого I величины х* и jj независимы (см. введе-
ние к гл. 6), т. е. i( и с< независимы при каждом 1= 1.	7. Так

как Mfi = a, Ci + с/ = 1, то

х -	1	-	1	1

A*U= J М сгхг= V мс Мх.-~ а X' /и^=аМ У. с{ = а.

i=l	i=l	1=1	l^i

«ь

6.14.	а) Функция правдоподобия, соответствующая выборке
..йп, имеет вид

L(av„.

1
t?n; о» =-----------

}	(2na9a)^2

exp I- -L У (aft-a)2 .

I a ft=i

Приравнивая нулю производную ее логарифма по а, получим ли-
нейное уравнение относительно неизвестного параметра а

0 =

<9 In Ь___L V

да о®

а h=X

(°а-°; =

л '	Z 1

О
единственным решением которого является искомая оценка мак-
симального правдоподобия а* = а. Очевидно, Ма* = a, D«* = Ор / п.
Рассуждения для выборок {М и {гл} отличаются лишь обозначе-
ниями.

б) Функция правдоподобия, соответствующая подбой выборке
{%’	пмеет И’Д

L ({ак' bk' ch}k—1' a' c) —

______£ V ((“n-")2 , W <c>- -
8л’^ j“ \	2a3	2ag	2o* J

Чтобы найти точку максимума In L при условии а 4- Ъ — с = О,
используем метод неопределенных множителей Лагранжа, т. е.
приравняем нулю производные функции

In L — (а -г b — с)Х

по а, Ь, с и X. Получим систему линейных уравнений относительно
а, Ь, с и X:

п	п

(»*-“)=Л 2 (*' - ь>

°з /.=1	°Ь МН

п

А 2 (сл ~с)=“А’ л+ь -с=°’
Г-!

или

о —а = Хо2, b — b = /.oh, с — с = — Ха2, а 4- Ъ - с О,

(О

Вычитая из суммы первых двух уравнений третье, находим

а+6 —с = Х(о2 +	о^),

т. е. X — (а + 5 — с)/о2, где о2 = а2 4- а? 4- а2. Подставляя это
значение X в уравнения системы (1), получаем искомые оценки
максимального правдоподобия

о‘ z_ т
а** = а — — Н 4- b — с’,
о2
о? .

t** = Ь — —(а 4~ Ъ — с),
а2

с’* = с — — (а 4~ — с)'

G2
Поэтому Mo** » я, МЛ** = Ь, М ** =» с,

6.16. а) Функция правдоподобия L (у , ,,
имеет впд

Приравнивая нулю производные In £ по а1 и а , получим систему
уравнений для оценок максимального правдоподобия

2 г-Ч I- & ~ О *₽» ы* - *Ш “

Л‘-р»

2 ,-W-

Отсюда, положив

4=1/0- pD- г, - 2 ъ» гх = 2 ₽л>

Й= 1	Л-1

находим

“:г.-»;ч= iw-рЛ

<Г.—’Л- Sv,M«P»-»H-
Л=1

Решение этой системы определяется формулами

«: - 4 2 ь [<г« - ₽‘г-> *5М+~ ₽‘г°> ’-‘Ч’

Л=>1

°’=4 - । (г«₽‘ - г«) *1*’+(Г1₽" - г«>
а fc-1

где Д=г;-Г’.
б)	Оценкой максимального правдоподобия а** параметра л*
по выборке, образованной первыми координатами, является обыч-
ное среднее арифметическое (см. задачу 6.15, б);

п
«'•=-1 v и*’.
1 п т 1
Л-1

Отметим, что а* и а** совпадают лишь в случае одинаково рас-
пределенных у(1),	1/п). Если РЙЭР, то Г1 —р71Го=О, Го —

— рйГ1 = п, Д = п2 и, следовательно, а* = с**. Обратно, если
а = а**, то Tj — рЛГ0 = 0, £ = 1,.,., п, т. е. pftsp не за-
висит от к.

в)	Используя свойство линейности математического ожидания,
находим

п

м “>’= г 2 кго - рЛ) “i+<г1 - р»г») *.1-
Л=1

Отсюда и из равенств

2 ъ (Г„- рд,) - г; - г» - д, 2 V» (Г, - р„го) = °'
ft=l	fe=l

получим М а* = Oj. Так как векторы	^==1,

независимы, то

D<=72 2 [<г« ~ рл> +(Г>_ ₽‘г»> 4‘Ч-
Д Л=1

Отсюда, учитывая, что Dy^ — Dy^ ==• 1, cov (ур\ = Рл»
получим

° Кг« - ₽Л) р?1 + <Г1 - Р»го) =

= (го - РЛ)2 + (Г1 - РЛ)2 +	<Го - Р»Г1) (Г1 - рйГ<0 =

Значит,	= (1 — Pi) (го + ri — 2ГоГА).

. п	г>3_ Г Г2 ]’

°’’ = 722/»(г« +г--2рЛг1) = '°	- = 1 •

Для оценки о** непосредственно находим

Ma^ = av DaJ* =4
Т) Для доказательства неравенства =	~

умножим обе его части на иД:
пГ„<Г2-Г2 пли г;<го(го-п),
а затем воспользуемся определениями величин Гп п Г^:
(п	\«п	/п	. \ п	п ,.2

У р» i<v 1 у/ 1	1 У р-

A-ai  _ п2 |	I _ ,.2 I AMI I |	I / I____О??*"- 1 — Pj

Л«1’	Рд/	А-11	PfcXj^A1	Pj /J	/.=?	Phj-1’ Н

Остается заметить, что в левов части последнего неравенства стопт
квадрат скалярного произведения векторов

а в правой части — произведение квадратов их длин.

6.20,	Из условия несмещенности следует, что с3 « 1 — Ci — е2.
Дифференцируя Dz = с^ ф- с2 ф- (1 —	— с2)2 ф- 2^^ по с, и с2,

получим для определения ct, с2 систему уравнений

2с,+ (1 + р)е2’= 1,	(1 +р)е, + 2с2 == 1.	(1)

а)	Вычитая из первого уравнения второе, получим (1 —р)с, —
— (1 — р)с2 = 0, или с, = с2. Следовательно,

1	1 + Р 1 + Р

С1 “ с2 ~ 3 ф- р ’ сз “ 3 ф- р 11 Dz ~ 3 ф- р*

б)	Если р = —1, то из первого уравнения (1) получим с, —
= 1/2, а из второго с2 = 1/2. Следовательно, с3 = 0, т. е. в наилуч-
шую оценку включаются в этом случае только коррелированные
оценки z, и z2. При р ~ —1 величины z, и z2 имеют вид z, = а ф-
z2 = а — где М£ — 0, D; = 1. Таким образом, z = (z, ф- z2)/2 ==
ж a, Dz = 0.

в)	При p = 1 уравнения в (1) одинаковы: с, ф- с2 «= 1/2. В этом
случае z, = а ф- Jj, z2 = а + £, где ME = 0, D£ = 1. Таким образом,
очевидно, что при любых С|, с2 (с, ф- с2 — 1/2) и с3 — 1/2 получаем
одно и то же выражение г = (а + Е + z3)/2, и Dz — 1/2.

6.22.	а) Приравнивая пулю производные от 1 по А и Xk, полу-
чим систему уравнений

~ 2 2 ( У г - Ллч) xi = °’
i=l

— 2 (xft — xh) = 0,	*=1,

Отсюда xk~ xk, к = 1, ..., n, и
б) Преобразуем полученное в п, а) выражение, положив
Уг = У.	®i=;rit62i'

После очевидных преобразований получим

^п “Ь "ll,?l “Й	^3,П < ^4,71)’

где
п	п

"11.7» = ~2 2	хй Л21п = — 2

Лп 1=1	л п 1=1

п	п

1	V к	1 vi V»

' з.п ~ ~	х^2г'	"Ь.п -72 * ?<'

Л п 1=-1	Л п i=i

Используя утверждение задачи ,4.33, неравенство Чебышева и не-
равенство Р{&	М|/е (в > 0), верное для неотрицательных

случайных величин, нетрудно показать, что при п-^ ос. величины
и (к — 1> 2, 3, 4) сходятся по вероятности к 0. Отсюда следует
сходимость по вероятности к А.

6.29.	Чтобы упростить вычисления, перейдем от выборки яд, ,..
..., хп из равномерного распределения на [а, 61 к выборке у\ як
— f(xi), ..., yn~f(xn), где /(ж) == (ж — а)/(6 — «), из равномер-
ного распределения на отрезке [0, 1]. Ввиду монотонности фупк-
пии / члены вариационного ряда р(1> <... у1п\ удовлетворяют
соотношениям у(() =Пользуясь результатами задач 3.89,
3.90, находим

п 4-1 • M<,<n>-n + l'	-(л+1)г(„+2)>

“^М-(я + Х . у

Возвращаясь от у^ к исходной выборке, получаем окончательно
b — а	п	b — а

л'Л1)-а + ^+т. м*<„> = « + (»-«)^pr = ',-T=T-
n(b — я)2	(i — а)~

01(1 > °*<"> ” (п+4|2 (я+2)’ C0V	J.	(п+2)’

Таким образом, опенки а* = и h* = л(п) являются смещенны-
ми, но их дисперсия при п->оо убывает значительно быстрее, чем:
дисперсия среднего арифметического f — (ач + ,.гсп)/я.

6.39.	Из утверждений задач 3.64 и 3.65 следует, что жщ и ж1П)
можно представить в виде

+ •••+-7-

где Ъ. (fr “ 1,
274

п) — независимые случайные величины, имею-
гцис показательное распределепие с параметром а. Таким образом,

Е

ЛЦ,.=М — =
п

1

а/?’

^(п) = м «1 + - м ’2+ •' • + М *«“ ‘1	+ 1 +	+ »)’

~я 1

Dl<i> = D 7 =

П	И

Dx(n). = X p = ^2 2

lt=1	« h=i «

COV (X(1)> X(„y) = cov	+ ... + ± t.) = D = ^3-

6.33.	Очевидно, что Ma = -My — Mx — В — r — а и, следователь-
но, M(a — a)2 = Da. Статистики x и у независимы, и поэтому

_	2о2

Da = Dx + Dy = —.

Таким образом,
2a2	,м

Ma — а, М (a — a)2 =(1)

Статистику я, поскольку она имеет нормальное распределение
с параметрами (1), можно представить в виде а « а 4- Вц, где
В — )2о2/п, т] — случайная величина, имеющая стандартное нор-
мальное распределепие. Тогда

a* = max(0, а + Вг\), а* — а “ max (—а, Вт]).

Рассматривая а* и а* — а как функции от т], воспользуемся фор-
мулой (3.9):

ОО

Ма* = f птах (0, а + Вх) ф (х) dx,

— ОО
оо

М(а* —а)2= J [max (— а, Вг)]2 ф (х) <3х,
— 00

где ф(х) — плотность стандартного нормального распределения.
Отсюда, используя формулы

ОО

i Хф (х) С?х = ф ( I X I ),

X

ОО

\ Х2ф (х) dx =Х ф ( | X [)-{- I ф (х) dx,

X	X
получим

Md* =

J (а + Вх) <р (х) dx = a j ф (ж) ф- 2?ф J,

—о/В	—а,'В

-cJB

М (а* — а)2 ~ а“ (	ф (ж) dx -(- Z?2

ж 'ip (ж) dx —

-а/В

= fl2 | (Г (г) dx + В2

— ОО

I q (ж) dx— аВ<1

-а/В

Выражая оставшиеся интегралы через табличную функцию Фо (ж) =
X

= | Ф (v) du, получим следующие формулы:
о

;	! а ,	I а

Ма* = а 0,5 4 Фо I-7J-)) + В?

\	V / г	У •	f J

о/ I <* Л Д ( а И \ а

м (а*- а)2 = И 0,5 -Фо ' — I И-	О,5+Фо^j	— j.

Для указанных в задаче числовых значений имеем:

а = 1 м,

2.100 м2

200

/ 2
— 1 М ,

Фо(1) = 0,3413,	ф(1) « 0,2420.

Отсюда и пз формул (2) находим
Ма* = (0,5 + Фо(1)) + <р(1) = 1,0833 м,
M(d*-a)2= (0,5-Ф0(1)) + (0,5 + ФД1)) -qp(l) =
= -I — ф(1) = 0,7530 м2.
Таким образом,

Ma = 1 м,	УЛЛ(й — а)2 = 1 м,

Ма* = 1,0833 м,	?М(а* — а)2 = 0,870G М.

6.39.	Пусть верпа гипотеза tl\. Ошибка 1-го рода <х определяет-
ся формулой

I =п — па, С — пал I

« = рщ>с}=р-1ТГ>^Г1.

Величина (£п — г?й1)М1Уп имеет стандартное нормальное распреде-
ление и, следовательно, значение (С — па^/о^п » иа определя-

ОО

1

ется соотношением ~

V 2л

и,

1 !

е~х 2dx = а. Отсюда

Са — С = Г?Я| 4- WaOitw.

(1)
Пусть теперь верпа гипотеза Н». Тогда

| S,, — '< , с — па-

2

Величина (|n — па2)/с12Уп имеет стандартное нормальное распреде-
ление и, следовательно, К-Па2)/П2	uPn* Отсюда и из ра-

венства (1) получаем wa°i + црп°2 = (а2 ~ а1) п' Зпачи
иа -► оо при п —►оо, т. е. ,in 0 при п -> <х<.
1'п

6.40.	Выборке ад, . ., хп сопоставим процесс размещения п ча-
стиц по Л’ ячейкам: будем считать, что г-я частица попадает в

4-ю	ячейку, если х{ <= —, “ fc = 0,1,..., Л'— 1. При такой
интерпретации получается схема независимого размещения час  Щ
по ячейкам, а случайная величина Цо равна числу пустых ячеек.
При гипотезе 771 вероятности попадания частпь в ячейки 1, 2, • • •

JV одинаковы и равны 1/Л\ а при гипотезе /Л вероятность по-
падания в 4-ю ячейку определяется формулой

(Л+П/N

(	g(j-) dx = -1	+-₽,, <Ai,	(1)

k.N

где max | eft (.V) I = О поскольку по условию g(x) непрерыв-
но дифференцируема па отрезке [О, 1]. Математическое о. ;идание
и дисперсия величины Цо при гипотезах Н\ и Н2 определяют!.я Р0])"
мулами, полученными в задачах 3.116 и 3.121. При гипотезе II \
/ л \П /	4 \VAT(1 + d(1))	, и

Отсюда

Mti

а = lim —тА-е-7,	U <?<*=.

1 N-ОО Л
я/Л-»у
При гипотезе //2

МИО= 2(1-Рь)п.	(?)

Из формулы (1) следует, что при п, N -+ nlN~+ ; равномерно
по к

С1 — ^)п вехр г1п г “ g ~8ft =

(/	о ...	„ .-V^ft/N)(l+o(l))+o(l,^

= exp — Tg -уу-1 —	(Л) । (1	"f

Отсюда \i пз формулы (2), полагая в пей п = уЛг(1 + о(1)), по-
лучаем

„ Ит

$ Д -»оо	1	

n/N-V	о
Часть IV, ОТВЕТЫ

Глава 1

1.1.	2/3. 1.2. Р (Л) = 1/1735 = 0,0005602.,., Р (15) = 1/3927 =
= 0,0002546... 1.3. 1/6. 1.4. 1/2, 3/8, 7/8,

1.5.	Р (А) = 1 /3, Р (Б) = ст_^п-т-23-п (0<т<п_ 2)|

Р (С) = ст2п~т3~п (0 < т С «), Р (D) =	; — (т 4-

'	' 7 т 'т 1т J gn V'4> ~

+	+ «2 = п).

1.6.	7/18 = 0,38888... 1.7. Р (Л) = 0,21, Р (Б) =0,01, Р(С)=
= 0,27. 1.8. а) 0,504; б) 0,432; в) 0,027: г) 0,036; д) 0.001.

1.9.	^=-£	(Л’ + со).

Л' [ к J к

1.10.	a) pN = 1 — _L ( —1 -j- [—•
Л \ . ffi J I ai

х(1-4)

N	а, ... а.

г-1 KJ	L *1 ’г

* / < \

~п *-4)

1.11.	Если N = 10/с 4- Z, то pN = 2k/N при I = 0,	= (2к

Ч- 1)//V при 1 <; I < 9, pN = 2 (к + i)/N при I = 9;	-> 1/5

(Л -»► ос).

1.12.	PN^—------------(#-><»). 1.13. 9.10~(n~A+1).

1.14.	? ,у = I +

Л“1
мярсваппп производятся

(~ 1)"

V

Pf< <l>ft

сум-

по всем простым числам р2, .,,j

11m ?№П(1-'4') =

IV-® р \ Р /

6

—4 =0,607927 ....
л"

где прчпзведепие берется по зсем простым р,
1.15. л/4 = 0,7853981...
1	1	__99	__9__

i.tb. pn+1 = -y— ’ojo»’ r’n-H-i — 2-102fe	2-10ft’rn

1	99

= 1, ,,., n), <7a 3=3 2 >	~~ 2> io2k . 2, ...).

1.17,	q = 9-10-fe"1	(9Л—1)10 h 1lnlO, Л = 0, 1, ...

1.19.

2 I .

№ I t

1-24. (—

'2 < Pg при	1.21.

2	2	2

,	(?) = 1 ~	+ "^2’ Q = l- 1,23‘

\N r ____________ra(n+ 1)

(4n (n 4- I)}2 — 1

N

1.26.	a) (5/t)10 — 0,1615055..6)^-5^ 10 = 0,1550453..
e) 1 - (5/6)10 = 0,8384944...; r) 1 — (510 + 10-59)/610 = 0,5154833..

1.27.	0,055252. 1.28. 0,067.

1.31. 10005 = 0,00009995...,
0,1484257...

1.29. 0,055252.

620И»
4769» 15

1.30. 2/21.

99

= 0,1390384..., -fS)—

rm, rmx

*M u5f2-" 'Mn

1.32. 1) -----------------

— ni 4- ... -4- w jy, °1 { _ ~ 0;

.V

если	Л/2+-.. +Л^/у. m



s

1.33.	1/2; 1/3. 1.34.	C™am (1 - a)n m, m = °.

1	12546

1, 2..........1.35.	r -	1.36. 53195 = 0,9508147...

1.37.	0, если числа мужчин и женщин не равны друг
2П '________ 2

гу; --------, если число гостей каждого пола равно п.

^2П

2911	7 (б^“21)‘?

1.38.	J271256 = 0,00228986... 1.39. 7/9. 1.40.-jj-	при

Л>3; приА^б. 1.41. (A— D/20. 1.42.	Р 1, Р2=

20”

= 0,95, ?, = 0,855, Р, = 0,72675, Р, = 0,5314, Р = 0,43605.

1 V1

1.43. Р, >--------------------------

1Г,Л —i	2тт\

Р =1, Р, = 1, Р. = 0,99,

р =0,963, Р. =0,9144, Р = 0,8424.

1.44. 1/190. 1.45. 1/100. 1.46. а) 1/3, 1/3, 1/3; б) 2/3, 2/3, 0; в) 5/9,
5/9, 5/9 1.47. {1, 2. 3}, {4, 5, 6}, (7. 8, 9); 2. 1.48. а) 5/12, 5/12. 5/12,
5/12; б) 2/3, 2/3. 2/3, 2/3. 1.49. {1, 2, 3, 4, 5, 6}; {7, 8, 9, 10, 11, 12},
{13, 14, 15. 16, 17, 18}, {19, 20, 21. 22, 23, 24}; 3.
1.50.

TV!

jyW+1 ’
^Гп]

Лп ’

1) 1 - —
/V1V

2)

^±1..

V-V^ ’

4) 1, еслп п > Л’ 4- 1; 0, если

Л’

1.51. 2	(-1)!(1-

/«о

I \п

-} .1.52. 1)1-

1.53.

, (.v - n + I)["!	,

~; 0)

по, и 0, если n

__L W/v-iV”’
м«] г I. 2 /

Я /П?

/V+1G/V-1

п — 0 или п — 1;

fv-i

п~1,; 2)
z-N-l ’ ’

млУ— 2

Л п-1

[п™ (/у„ „4. 2^П/2^

- V+n-T

jVf«i

, если п чет-

2n / Л’ Vnl
почетно; в)	♦ если четно,

. m-JN-	яг

-f- n2	I —_— I v. если N нечетно*

\	2	/ J

n

1.54. a) —L_ У (JV _ * _}_ i)W .y^-M.

6)____L .

(27V/n1

Г-/2]

У (2k)W (ДГ —2A: + 2)[ft]

Л=0

2h

b)__L V
(2jV)1”) j"

Л b1, если четное}

1

Fv^1 —

2

2

X

1

я

если Л’ нсчстпос.

1.55.	a) n”n; 6) (n — 1)п~Лс£п~т в) и”1; г)

1.56.	а) 1/ч!; б) 0, еслп среди	есть одинаковые!

1/п , еслп все ,/г /fi различны; в) 1/п; г) 2/nf3^ д) l/rt.

1.57.	Рп= V (-1)^+1 ^-->1	(п->оо). 1,59.1/2.

1.61.	<*} = max (0, 2т — 1) (0<т<1),

р {л2 <	= min (2ж, 1) (0<х<1).

1.62.	a) min (г, 1)	(ж>0)!	б)4х(1 —а-)	(0<г<1/2),

1 (х > 1/2); в) лх2 (0^ х Ч 1/2), 1 (х > 1^/2), х2 / л-4 агссоз 4-"| +
х2/^- — агссоз -^ + ]А2 — 1 (1 С X < j/ ').

1.63.	а) х(3 —2^) (0<х<1/2), 1_(х>1/2); б) 0 (х<1),
min(x—1, 1)(т>1); в) 1 —(1—хТ/б)2 (0 < I < l/1/б), i
{х> 1/1/5).

1.64.	tg (л/8) = Д/2 — 1 = 0,4142135.

1.65.	(1-27?* 0СЬ<2а; 0, Ь>2а.

1.66.	fl — -7'1 , о < b с а; О, Ъ > а.

\ </

1.67.	(!-4^7гУ' 0<6<2аУз(2-УЗ)1

о, Ь>2а1/5(2-Уз).

1.68.	(4л — 3 У5)/6л = 0,39103 ....

1.69.	P„ = tg£-lg — = Д;<1 + «'1	(„-»).

/ г л \2	а Л _

1.70.	5/6, 1/6. 1.71. (1 — 2-tg—j, если г <yctg-^-; 0 при
ал	„ , „

r>-2-ctg-jr, к = 3, 4, 6.

1	1g Я

1.72.	1, если 0>а; 1	— arccos если | 01 < а} 0, если

0< — а| р(^-,В)=Р(а,0) = 4'

V ' / х \з 3	1

1.73.	<2я=1-(^), <?r=T* QrV^== 4‘

1.74.	1-(й)3' <?в-1г=0’86в025 -'

2	х	2	i_

1.75.	QK = 1 - - arcsin	QR » -31 x R/g= 3 •

1.76.	P0O)= 1-^ |y + 1? P0i)e^7* Р(Л2)’^^"’
— 1\ где A — событие, состоящее в том,что было к пересечении.

i I. л у 1 I. ‘У

1.77.	1-Т(1-Г) --2^1-rj-
/ и / и

1.78.	1-1 1 -jT-l |1-“ *

\	1 1 I \	* 2 /	_

1Л9> vj= 0’707109 -! •£=V=°’86eo25!-
1.80.

а)

1 b	а \

- \VT+7l 1'7^7)'

_1_ ___ Ь

2 ~ 2 /&ч7,:

в)

1	h

’•8L а) 2~ттж^;й

г 1/3

- =	= 0,4330127 ...

—1— = 0,378732 ...;
2У17

(И

13	2ft

1.82. — —	- =0,3244382 ... 1.83. — arctg —.

2	2 V 73	я ь «

1.84. Р„ = 1/п2, Pm = 8m/«2 (1 < т < п/2), Рп/2 = (2п - !)/п2
четкое), Рт = 0 (т > п!2).

1 /л у*	I	(Л|Л

 85,	2-4- ...-(2А И 2 1 ’ Р2М-1“ 1 -3.5- .. .  <2А , П (2/ ’

Рп = 0,785398 ..., Р =0,523598 .... Р = 2,49039 ... 1U"3, Р =
= 2,46113... ЛО"8.

1	а

2 ' 2	;

U)

2

(i = 1, 2, .. ., 9),
M

N •

6) 1/5; в) 1/30.

M {N — M)

Глава 2

2.1.	1/3. 2.2. 1/7. 2.3. 1/19 (i = 0), 2/19
М — е — ... — е,
О (г = 10, ..., 18). 2.4. ------ ----------. 2.5.

.VI	1

2’6,	-/.,)! '3/V' 2’7- а> 1/5;

2.8.	а) 1/2; б) 3/5; в) 4/7.

Л	м	м[2]

2.9.	Р{Л} = дГ,	?{Chl}

83	43

2.10.	P1A1-2W ~ 0,3952..., P{4J -	= 0,2047 .., Р{Я} =

= 2/5.

2.11.	1) С^.п/ Л'1П1Ц”21У у[П1+П2+11;

2)	2 7Vtm^3//V[m+1];

3)	(.Vx + A'3)tft-11A3 Л'1Ч Л = Лу + V2 + N3.

2.12.	a) 3 + t, 6)_!L V _______1___________

a + 2ft a 4- ft^-(a 6_	

(a ft)2	ft

2.13.	а) P =------5------------,	P„=—T-Г P . 7J =

1 (a -}- ft)2 + ft (a + 2ft)	a T ft 1	3

/ ft \2

+ P]-'

, . _ a X ft1 11 1 p =____________________aft_V (ft— l)t3*l

1 Q+ bi^0(«+ft-i)t3A]’ 2 (a + ft)t2]^0(a+ft-2)l3ftJ’
г	(h — 2)ГяМ

3	(7+ t)[31	{a + b - 3)t3kl ‘

2,14.	P = 7 — "—-------; при A =6.

A*

2^0

2.15.	я) Ai, В* независимы при любых l, к; б) Л2, Р? незави-
симы; в) Л4, Ct зависимы.

2.16.	Независимы пары At, 4j с I, j е {1, 2, 5, б}, и события па-
борон {Л1, Л5, Ле) и {Л2, Л5, Лб).

2.17.	Только при г 0. г 2/3 и г = 1/3.

2.18.	а), б) Являются 2.19. Л;Л2 и Л3 зависимы.

2.21.	Является при п = 2; не обязательно является при п > 3.

2.22.	к iC Iog2 п. 2.23. к и — 1.

2.24.	a)c'!Ot2; б) 1—(1—P0U — 0г)- а) Р— С1 а0 X
Х(1-а2); б) р>1-а,-а2.

2.26.	е)(С3С’3/С%)2=О,ОООЗИ5..., б) ( £ CjC^/c;, I =

\,‘[=3	/

= 0.0003473 ,..

2.27.	+ рзЧ4(qi 4- piqi)}, где <?< = 1 — Pi-

2.28.	1 - П (j ~ Pi) ( 1 + 2 Р/Л1 ” Ph) ’•
£±=1	\ h=l	/

2.29.	38/105 = 0,3619047 ...

3 / 1 \*	1 / 2

2.30.	а) 5/28; б) T[yj 4^ у) .

2.31.	а) 11/20;

б)	0,1(|у+0,б(4)', + 0,з(|)\ 4 = 1,2, ...;

4 [hl 2[М 3[ftl

”) °«1 ^тг + 0’6	л-°>3^йТ’ *=1*2’3’4

2.32.	0,87107... 2.33. а) 11/30, б) 47/120, в) 47/90.

2.34.	а) р(1 pi) (1 -М 4- (1 -р)а,а2;

б)	д(1 --0,)(1 -02)/[р(1 -£.)(! -М 4- (1 -р)а>а21.

2.35	а), б).'в) Лf/^ (г < У). 2.3G ria

2.37.	а) 0,573683; б) 0.7776й29..„ 0,8732712 ..

2.38.	Pi = 0,0282, Р? = 0,0428 2.39. 0,027 Р, < 0,033, 0,041

Р2 < 0,047.

2.40.	5/11. 2.41. 14/17 = 0,8235294... 2.42. 2ccpi/[2ot^i 4- (1 — а) X

X(?.4t a) a(l-f)/[<»(t-r> + r(j ₽)]. б) 0,9173 .

244.	«<,= ₽(1-«)/[/>(!-а) + (1-P)<1-0)1; II = “<’/[“4 +
4-6(1 -р)1, 9о ><?!-:=> 0 > а. 2.45. а) 2/11; б) 6/11; в) 3/11.

2.46.	1 - (7/8)20 = 0,930791 .

2.47.	а) 0,348678...; б) 0.057395...; в) 0,987204...

2.48.	Jr Г-0,00021137 ...

2.49.	С^рт^пдп~т. 2.50. (1 — P2)N. 2.51. (г?г-1р4-/)N-
2.52.

Мг .

2.53.	a) ChNprh (1 - pr)N *; 6) C^qr(N~^ (1 -

2.54.	a) p?3, б) (1- qb)pq3, в) (1 — q3 — pq3)pq3.

2.55.	qh = C.J+ft2“5~fe; ’ ?n = 1/32, ?I = 3/32, q2 = 21/128, q3 =
•= 7/32, q4 = 63/256, q5 = 63/256.

2.56.	C^+r2 r~m. 2.57. 0,593126... 2.58. 536. 2 59- 0,26502.
2.60. 0,26424 2.61. a) 0,68269, 0,31731; 6) 0,72874, 0,36820. 2.62. a)
0,68269, 0,31731; 6) 0,66906, 0,33094. 2.63. 0,95. 2.64. 0,846 2.65. a) 558;
6) 541. 2.66. 547. 2.67. 0,1587. 2.68. 0,0228. 2.69. 0,98101. 2.70. 0.8185.

2.71. 0,80085. 2.72. Cht^p*ql~h. 2.73. -	2.74, a) 7/8; 6) 2/3;

в) 1/3. 2.75. 9; 0,5 2,76. q\ 0.25. 2.77. ?(1 - p5)/(? + p3}- 0,7.

2.78.	если (п+.1п)/2_цел0С1’ о в

противном случае.

2.79.	С28! (2!)”2 (0,1)6 (0,3)2= 0,0054432 ... 2.80. р™ + npf1Ру

2.81.	0,76896. 2.82.	(1 -

ZAi	\ ь *а ь

2.84.	а) а! Ц *„! | Д

j = l	1	J-41	J=1

л!

б)------}1	где p^p.1+,,,+p.Ni, < = 1,2.

(n —ng)J

В	SivJ • Vi / ’ еСЛИ

=п — п2, 0 в противном случае.

,	, - N—k

 *	к	. / I \п

2.8э.	Су 11 - дг 1 CN-k | 1 — Л —к 1 '
г=о

2.ч6.	3/4. 2.87. Р {0w+1 = 1} = 1/3, г = 1, 2, 3.

2Л8. Р1/(Р1 + J9J. 2.89. а) 0,489142...; б) 0,295635...;

в; 0,215222...

Глава 3

3.1.	F'(hi = 0 = 1/5, i = —2, —1, 0, 1, 2; Р{п2 = 0} = 1/5.
Р{П2 = j} = 2/5, i = 1, 2.

3.2.	а) С •= 1; б) 3/4; в) (ч2 — «1 4- l)/(«i(«2 + 1)), nt п2.

8.3.	а) С = 4; б) 1/6. в) 2 [ —7---т; -  -----Г7Г7-----~Г '

^Ч(пг + !)	(% + 1)(па + 2)/

3.4.	а) С = 3: б) = Зх2 (0 < х < 1); в) 0,026.

3.5.	а) 2аже-ах2 (ж>0); б) ае~а1 х/(2	(®>0);

в) а2с-хр{—а(еаа: — а-)}	(—ос < х < ooj

3.6.	а) ае-о’/(1 — е~“) (0 х 1); б) 1 (г <= [0, 1]).
3.7.	a) 1/2 (x)= [1, 3J); б) e“« Гт > 0).

11 x 1 a

3.8.	-+-acctg-> -7—7 (-ob<x<=o).
XJ Л	 I 0	* J

3.9.	РпГт) = pt(z) = !/№(! -x)) (0 < x < 1).

3.10.	ръ(х) = pt(x) = pM.

3.11.	а) ф(х) = g_i(T); б) распределение £ совпадает с рас-
пределением

3.16.	a) p_, = Pj . = 1/2, p, = 1/3, p.„ = 1/4, p.л = 5/12;
6) <7_2i1 = 1/8, L110 = 1/12. 9o.-i'= 1/2’ *1,0 = 1/6’, ?2>1 = 1/81 °C‘
тальяые g^ = 0; в) g_r . = q2 . = 1/8, 9_lf. =1/12,
?Oj. =7.,_1 = l/2, -7.((, = 9.д = 1/4.

1/1/7	1/63^ лч.„

3.17.	а) У 6) 0. 3.18. I - —14 arclg-3--  j-.=0,7114...

1

3.19.	1—Tj-x (0<x<2).

1	2

3.20.	a) <7= 1; 6) Pt (*) = p7 (x) = т + 7 О < * < 1)! B>
(0<x< 1).

3.21.	4x“5 (t> 1). 3.22. p, (x) = /(x), P9 (x) = g(x).

и / /2у2—u24-u\ I V2v*—u -u\

3.23.	,(».„)= y===P| j	2  J,

0 I и 1 v.

3.24.	q (r, <p) = rp (r cos q) p(r Bin ф), г > 0, и^<р^2л.

3.25.	1 — e-1 = 0,6321 ...

3.26.	a) 7 fl — j " — 11 I (0 < x < 2a), 0 (x [0, 2a]);

б)	7(1-|т|)<|ж|<а)* °d*i>«); 7ln

О (x ф (0, a2)), r) 1/2 (0<т< 1), 1/(2т2)	(x>l), 0 (x<0).

3.27.	a) xe~x (z>0); 6) 7 ₽_|x’ (— oo<x<oo), в) е~л

(x> 0); r)	-

1 4- x

1	f

3.28.

3.29.

Tmin V- у

Q

7 j (0<x<3); 0 (z<£[0, 3J).

l-e~x

(0	1);

3.30. a) 1 — 11 — x| при (J<z<2, 0 в остальных точках;
z2	3	/	3?	(З-*)2

б) — прп 0 С х 1, ~г — । с — ~ I при 1 < х 2,	2 ПРИ

0 в остальных случаях. Вероятность F ^0,5^614-^2 +

4- С 2,5} = ^ = 0,95833 ...

3,32. a) pgj 4 (т) = а2тй-ал (т > 0); б) Р 4~ £2 =

(Ч+М™ -(Ч+М
ml е	’

m = 0,1, ...

(x>0).

3 I

e-(x-i)_e-x
3.33. а) апе’“апж (я > П); б) лае*"* (1 — е“ОсЛ')п"1 гх > Q),
Л а + РхаН-Р-1

3,341 Petf+e2^= г(а+’р) е

3.35.	Гамма-распределение с параметрами (X, о, 4- ... 4- ап).

„ „	ГВт)”—’	2

3-36- ₽ ё^Тл'	3-37-(ТТТГ^7|7,"<Г<,)'

о (Х^[О, 1]).

3.38.	(и — 1)(1 —Ж)”—2 (OCxCD, 3.39. Pt.B(z) = l/2
bl । So

(* e- (0, 2]).

3.41.	Р{^ = *};=* 0,1 (0<fc<9), P{S2 = 0} =0.55, P{t;2=l}=
= 0,45. Случайные величины £ и £ зависимы.

3.42.	Зависимы. 3.43. р6 е (х, у) — 1/(2л V1 — г2 — у2)
”1'®5

С*2 4" b‘ Cl Р^ (®) = 1/2	(|х[^1),	3.44. Pg (г) = -- cos х

(|*|С 7 I. 3.45. " +	72- 3.46. а) 1/2; б) 2^-м (I > 0);

\ А }	-2 [2п -1 If

в) 1/2. 3.47. Р (Л{) = п^п. i = l 2, 3.

3.49.	P(s-2r.,s=,y = /<+i!"V.	(3>>. ?=1-И

Р = ) = Р{т„ = /; = tf' !р, 1^1. Случайны; величины неза-
висимы. 3.50. а) зависимы; б), в), г) независимы.

3.51.	P(0 = Z, v= п) = fyj -0-О =1, 2, 3, 4; л = 1, 2,...).
Случайные величины v и 0 независимы.

3.52.	а), б) Р(т2 = /2, .... xN =/^ = JJp 0^=^); ЦтА=/^=

/к—	к — 1

= |-лГ1 И--ПП-

\ N / N

02 = г,, .... 0_N — iN) = 1/ЛЧ, если р ..различны.

3.53.	Р(01 = 11, 02=/2.0Л,=<^=рч—-Л—....

PiN

3.54.	а) М (N — M)[ki/N[h+1h б) Jf[2] (2V — Л/)'*+ /1Mr[*t + z+21;
в) М\ (N — Л/)(/Л1, если Pj 4- Р2 4- ... 4- ^м+1 = Л' —-	и 0 в

противном случае.

3.55.	F(x2, y2)-F(x2, Z/J-F^p У2) 4-

3.56.	1 — 1/2 /2 = 0,29289... 3.60. a) F. (х) = 1 — (1—F(x))n;

б> ^(n) = Fn ("г = ?’zt k)~№)-F

3.61.	а) 	F™-> WH-Fwr—pW;

|, Величины независимы, в) Р = i ,
« (t-J-DK»-».)!	~ F <4»**’*’*

X (1 - F ^2))"'™ P (*j) P (*2) (т1 < Ж2)-

3.62. 1/(Л 4- 1) во всех случаях. 3.63. п! p(xi)p(^g)	ес‘

ли Xi С та ... sS in, и 0 в остальных случаях.

3.67.

3.72.

п-г

4/3 < Р

3.73. F-, (1 - 1/)'2) < mr < F_!(l/V5j,
F(x) С И-

3.75. 0; 6/5. 3.76. 2. 3.77. Mg = 3/2;
Dr| = 3/80.

3.78. a) Mg = Dg = Л, Mgl*> = Aft;

б) Mg = пр, Dg — npq, MgIhl = n[ftlpft.

0< t < 1/2.

где F,i(y) = sup(x:

Mq = 3/4; Dg = 3/4;

7	11	1

3.79. Mg. = -j2  Dg| - i44 (i = 1, 2), cov (gp g2) = -

3.80.	Mg, = 0, Dg<*= 1/2 (i = 1, 2), cov(gi, g2) = 0.

3.81.	Mt]i = Mt|2= cov(t]i, Пв) — °! случайные величины
зависимы.

3.82.	а) М sin g = М cos g — 0, D sin g = D cos g ~ 1/2;

б)	м sln2ft+1 g = M cos2k+1 g = 0, м sm2ft g = M cos2r g =

(2*)!	1

'W2~Wnp“ '	4 4

3.83.	a) Msing= ~ =0,6366..., D sin g = тр —-^-=0,0947.,, |

M cos g = 0, D cos g = 1/2;

(2hfr|)3 2

6)	(at+7),	y=- ПРК ^oo,

моменты те же, что в задаче 3.82. 3.84. 4/3.

3.85.	1 — (1 4- «)“2 при or > —1; — оо при а —1.

3.86.	Mg = 2Й/3, Dg = /?2/18.

3.87.	а) 1; б) —1; в) --1/15 = 0,9682 ...; г) 0; д)

остальные

8 — 2л

Я — я3

= — 0,91827 ...

3.88. а) 2- 9Л,--32 =-0,300137 ...; б) -1/2. 3.89. pi (х)

9л — 64

(i-xf-{, Mg*.) =

(Z 4- к- 1)M	l(n-! + l)

+	’ DM = fR+1)2(n+2?

ь	i (n — / 4 1)

TO “V(g(i), S0)) =. (n + 1)2(„ + 2p

min

1 г (n — j +1)
’ ^(л) = Г / {n - i + 1)
1 п ~ / + 1)
j ’ п — 14-11

и Pfe’есла
3,93,	Равенство неверно. 3.95. ruin	~°0, »»axM£i|J =

/1 О О\

«=4-оо. 3.95. - О 1 О 1 во всех случаях. 3.96. а), г), ж) могут,
\0 0 1/

остальные — не могут. 3.97. а) х е [—1/2, 1]; б) хе [—1, 1/2],

3,100.	а) МГ = zr +m2+ ... + тп, D_ = £ c.j} б) Mq =
ij=i

= (m, a), Dr| — aoa'; в) zn {- zn*, rn — zzz*, am -f- bm*l о 4~ О ,
от<Л a?o + i2(J*.

3.102.	M5n = 0, D5M = n/2,

3.103.	M7?n = o, D/?jt=l, n>2. 3.104. zi/3. 3.105. Dq„ = (11л—
- 1)/1SO, nD | £ . - £2 | = n/18. ЗЛОЙ. M'n„ = na, = npa, =
= no2, = np (o3 + a2q), cov (ь,п, £*) = про2. 3.107.	= 1/n.

3.108.	= 0	(1 = 1, 2, 3, 4), D^J) = 2no2, D^2) = 2 a2,

D^=n(n+1) a2, d£*> = 0.

3.109.	= 0,Ъ^° = zjo4 (f= 1,2,*3,4).

3.110.	М^> = n/4 (i = 1,2, 3, 4), D^> = 7n/144, D^2> =fi3n-
— 6)/144, D£<M3) = (3»2 -f- 4n)/144, D^4) = 13n/144.

3.111.	М^Ъ = па2 (i = l,2, 3,4), D;(1’= но2(о2 + 2а2), D-(K2)=
= о2 [„	4- 4a2) - 2а2],	D^> = no2 (na2 4- o2 + a2),	D^> =

= no2 (a2 4- 4а3).

3.112.	M5 =МГ =0, DS = no , D71 , = o2n | 1-b “7~ J •

3.113.	MGr = l/r, r>l; DO. =1.

N

3.H4.	J (Л/ —Jf/t)tn]/.VLnl, где-М = Л/Г4-... 4-^n.

ft=i

/ \n

ЗЛ16. Mp0(n, 7V) = л;	= A>~a(14-5 (l)),Dli0(ra, ^)=

У 4-л71~— '(l-A 11-4/П = Ne"a

l «V /	Л J \	N I j

— (1 4- a) e~a) (I4-0 (1)), n/A -> a, N -> co.

3.117.	Mp (n, 2V) = - -? ‘ 1 - Г = N^.. e-a(l + о (1)),
'	Л’г \ Л /	r!

л

*s ' a, N —> oa.

3.118.	Мрэ = 1,3629..., Mp . = 3,0975..., Mu^ = 3,3791...,
Mp8 = 2,3551..., Mp4 = 1,1775...,	= 0,4496....	0,1362..

m/7 = 0,0.336...
3.119.	ЛЛр.г = ^С^+2_г_^'	—

(ЛН-П— l)lr+l]

a

' (a+l)rV1’
3.120. a) np.;

6) np{ (1 — p,);

в) — np^j.

N	N	.

3.121.	a) ^(1 - P,)n; 6) 2 cnPj 0 - ^Г-г; в) N \*
j-i	j-i

h-l	fe-i

3.122.	Mv; = N У ^—r, Dv = Л V —1------------,

£QN~l

(1 + о (1)) Л In TV, A7 -> tx>.

« \ n

“ Tv) *

Му^ =

3.123.	N У (к- r) fl — _LV .

e '	Nh\ N

3.124.	155. 3.125. Mpoo=(n-1) q2, Dpo(j = pg2 (n - 1 -f- q X
X (3n — 5)); Mp* = (n — 1) /, Dp* = (n — 1) pq2 (1 + q),

3.126.	Mp = (n-2) p3, Dp...j = p3g(n - 2 + (3n - 8) p +
+ (5n - 16) p2); MpJ = (n-2)p3, Dp* = (n-2)p3g(l + p+p2)i

3.127.	a) qn\ 6) (n —*+l)ph9n h =-----—5 (nqn(q — p)~>

— p (gn — pn)) при P^q, C2+12 n при p = q — 1/2; в) npq + p2;
г) pq (1 — 3p$),

2p

3.128.	Mg = n. 3.129. 1+---z.

1	— p"

3.130.	_л-fl—1-1/ I. 3.131.	3.139. 60°.

n + Ц \ 4 /	)	ml

3.143.	a) Mt]h = 1/n;	6) p	г»z) = — V(n — 1) (к Z);

в) Р^ + .-.+Па, ^ + ...4-^) = / 7-^.1

3.144.	(Л74-1)/(Л/+1) (i=l.Af). (.V-A/)/W4-l) (₽=M-H).

3.146. (ai-o,)2<D^+q)<(oi + a2)2. 3.160. xn/nl. 3.161. e =
= 2,71828... 3.162. cft==l/(XaJ), где A - (l/o2) + ... + (l/a2);
Di]n=i/x. 3.163. а) 0,99730...6) 0,93168... a) 1; c) 8/9 = 0,8888...,
p) 0,91393... 3.164. мд = 0, DA = МЛ2 = n\ a2”. 3.166. Msm|>
> 0, Mcos£>0. 3.167. max (p, 1 — p). 3.168. 6) 1Z(P?).
3.169. 6) 1/(pq). 3.170. »{P1(1 -FJ/1 -P2)«-(l-(l - ₽J(1 - P2))4~
-9[a1«2b+(! “ %a2)c]}.

3.171.	Координата b точки В — медиана распределения g,
т. е. Р(^<6)=Р^>-5)='1/2,

3.172.	х — медиана £, у — медиана п, т. е. Р(£ z) = Р(£ х) =
= р(») < у) = Р(п Ss У) = 1/2.

19 а. М. Зубков и др,

289
3.173.	min M (g — я)2 = Dg; минимум достигается при х = Mg.

3.174.	/=МХ.

3.175.	а) z = F__г И — -1) =F_X (0,99); б) z=F_j((l—а)1/г)=
= p_j (0,9999), где F_x (и) = sup {х: F (я) < и) — функция, обрат-
ная к F (я).

3.176.	Мтг=оо, Р{тгО} = Ф + Л, р{тюо<1О} = 1/11-

3.183.	а), б) Любое число из (0, 1J; в) любое число из (0, а]
при а<1; любое число из ((а — 1)/а, 1J при а>1. 3.185. 1/3^
<	< 2/3.

F-!(a)

3.186.	aF (а) — f F (х) dx < MgX < aF (1 — a) +

। l, (1 — F (x)) dx, где F_^ (у) = sup {x: F (x) < у}; мипи-
мальное значение Mgx достигается при {х = 1} = {£<Л-1 (й)}, а
максимальное — при {'/ ~1) = F_r (1 — а)}.

з.187.	— — р(1 — 4<mi<_L + p f1 —В
экстремальные значения достигаются при {х = 1} = U—Л > —1+
+ W} и {х = 1} = {| - Л > 1 ~ WK 3.188. а), б) Да.

3.189.	а) р/(1 + д); б), в) д/2 (1 + д); г) 2(1 + д) pqh~2 (1 —
-а*-1) (*>2); д) 2(l + g)pg2<ft“1) (Л>1); е) (1+д) pg2(fe~n
(*>1); ж) 1/(1-1) (Л-1.........../—1);	з)2/2.

3.190.	а) Р и = Л) = р(1-р)й~1; б) Р {g = Л) =	- —J X

xf-4-Г; в) Р {£ = *} = ^-е~г (* = 0,1,...).

\1 — cj	«I

3.191.	а) -^-(ж=[0, z]), 0(х& [0, z]);

б)	l/г (0 < х < z), если 0 < z < 1, 1/(2 — z) (z — 1 < ж < 1),
если 1 < z < 2; в) 6ж (z — x)/z3 (0 < х < z).

3.192.	a) z2/12; б) z2/12 при 0<z< 1; (2 — z)2/12 при 1 < г С
< 2; в) «2/20.

3.193.	М (g|g+ q = z) = z/2, если Р (£ + П = z) >0 или плот-
ность PE+n (z) > 0.

3.194.	(1 —(z/2))—1 (0<я<1- (z/2)) и 0(я^ [0, 1 - (z/2)|),
если 0 < z < 2.

3.197.	а) с^(1-рА)«-^, б) nPh, где Pk=^----——

(Л, *Г . • • "Г Ад)

ЗЛ98. Р (5 = и) = CBC«’Z;7Clf'

3.199.	Стандартное нормальное распределение.

3.200.	РДг<»2. Е,<»,|6(=г<п>1п{52, y}=F(xa) Г (»,),
где F(x) =0 при x^z, F (х) = min {(я — z)/(a — z), 1} нри x^z.
3.201,	1 + 1/2 + ... + 1/n. 3.202. Мт = ab, От = bn2 4- a262.

3.205.	б) М£л = D£ft = к; в) ?	= m |	=« (1—x)01-1,

M (Aft I nft-! =	= T* D {ДА I ПА-1 = Л) = (1 - X)/X2- Г) Мтл = 1,

MTft = oo, k'Pz 2.

3.208.	Mv0Q = (14- g)//, Mvn(j = 6 при p = 1/2.

3.209.	MVj 1 - (1 + p + ; ')/p Mv. i . = 14 при p = 1/2.

3.210.	Mvrl = i/(pq), Mvoi=4 при p = 1/2.

3.211.	nxn-1. 3.212. 1- n2x~nt 3.213. Mv = 5, Dv = 4.

3.214.	1 —n3-n+1.

3.215.	P(£ > x) = (1 — «/(Йлг))11-1 (0<г<2лг), M£ = 2nr/n,
DE = 4л2г2 (n - 1 J/n2 (n + 1).

3.216.	P {£. > x, E2 > У}=(1 ~ ((* + »)/(2лг))Г-\ 0 C x, y, r +
+ у < 2лг; p = — l/(n — 1).

/ x •	« "4“ -J*»,

3.217.	P {£,>»,. ....^-(l-L-j------------------L, , x(5.

^0, x -|-... + x. 2nr. 3.219. Mv= n 1—---------|	=.

1	\ 2nrJ

= ne' Хд (14-o(l)), Dv=Crri|l—Aj _|.Mv — (Mv)2=
= ne-^ [1 — (1 4- х2д2)	(14-0 (1)).

n

3.220.	Р{Пп<*} = 2	1 гдох>0и

ft=о	'	1 +

(a)+=max (a, 0).

3.221.	V A = (1 4- о (1)) — In n, n->cu.
n *" к	n

ft=l

3	12	12

3.222.	MS =2~ = 0,4774..Mp = — = 3,8197..., Mr = — -

1 = 0,2158...

I ' <	\	7

3.223, a)____4- I — — a I — — a i 4- _ I a — a 13; 6) —.

' 12	2 V \ 2	2J	3 1 1	2 1 ’ ’ 60

3.225. P (| E | < 0,7) = 0,5160... > P (| g f > 0,7) == 0,4839....

3.226. P(—0,5 <	0,1) = 0,1616... > P (1 < £ < 2) =

= 0,1359... 3.227. ME2ft'“1= 0,
= (2k— l)!lo2A, k = i, 2, ...

X

3.229. a) ---------e 26", x

о у 2лх

Mg2ft = t-3-5-...-(2Л-— 1) o2A

(lux—g)J

____:---e гог
ахД 2л
3.230.	1 —ехр(—a7(2o2)) (х > 0). 3.231. Гамма-распредсленпе
с х = 4"’ а = V* 3,232> п> 2"- 3’233, м* = ea+°a/2« d5 “

3.234.	еа-°‘; еМ.

3,235.	а) 2Ф0 (5/3)=0,9044... в любом случае; б) Ф (1,6268.. .)—
— Ф(— 1Д16... )=0,9050... при т=С0, Ф(1,527...)—Ф(—2,214.. .)=
= 0,9233.., при т — 10.

3.236.	MyjJ = 1-3-5-,..-(24 — 1), Mq* = exp аАг-f- JL о2/?2 .
3.237. 0. 3.238, М (cosg)=e“ ^2=0,6065..D(cos £)=-^-(1-t?-x)2 =
= 0,1997... 3.239. D (sin |) = — I - e~2) = 0,4323... > D (cos g) =
= -- (1 _ e~’)2 = 0,1997... 3.240. M cos *2= ; />24 i =
= 0,77688..., M sin I = ~2~ V^l/2— 1 = 0,32179... 3.241. Являют-

ся. 3.242. а)-Стандартное нормальное; б) нет. 3.243. ф(1/~1/2) —
-Ф (- 1/1/2) = 0,5204... 3.244. а) 1/2; б) 0,7928; в) 0,2426.
3.245. Распределения £2) и (£ , £2) одинаковы.

3.247.	Двумерное нормальное распределение
Ja24-^ а2 — fe2
ковариационной матрицей 2	2	2

|| а — Ь а b

с нулевым средним и

3.248.	Нормальное распределение с = Мс2тц =0 п

ко-



вариационной матрицей

SV

С2О2
t2U2

3.250.	Величины и г)? распределены так же, как и | .

3.251.	1. 3.252. а) 4Ф2(1) = 0,4660. ,;б) 2ФП(1)ФО (2) =0,3258^..;
в) Ф2 (2) = 0,2277 ...; г) 2Ф2 (1) = 0,2330 ...; д) 1 — e~\f» _
= 0,3934 ...; е) 1 — е-1 = 0.6321 ...

3.253.	а) 4Ф0 (2,5)Ф0(1) = 0,6742 ...; б) 2Ф (2.5) Ф (2) = 0,4713...;
в) (Фо (1,5) 4- % (0,5)) (Ф0 (3) + Фо (2)) = 0,6095 ... '

„ К /5,4\	/2,4\1[	/1,8\	/3,2\1

3.2.14	. |Ф0- 2 )—ФЦ 2 j (	2 ^1-Ф0'— J =0,0849...

3.255.	а) Ф2 (1/2)/2 = 0,08876 ...; б) Ф2 (2) - Ф2 (Д/2) =
= 0.05023 ...; в) (ф2 (2) - Ф2 С|/5)/2 = 0,02511 ...

3.256.	ге~г ! , (2л) (г^0, 0^<р^2л), 0 в остальных случаях,

3.257.	а) 22Ф2 (3) = 0,9946 ...; б) 1 - <?“9'2 = 0,9888 ...;

в) 1 —е-9 = 0,9998 ...

3.258.	а) е~2 — с-9/2 = 0,1242 ...; б) 4 (Ф‘ (3) - Ф2 (2)) =
= 0,0835...; в) 4 (Ф2(1/Ф2)-Ф2 (1/2/2)) = 0,1054 ...

3.259.	Р{| j < х} = 1 —
8.260.	= 1 — б~х /3.

2	0 

3.282. 3/4. 3.263. 3/4. 3.285. — arctg	3-26t>- Роо =

= РИ“ т + "ЙГагС81пр> Poi = Pio"T-^rarcsinp'
п

где р = -7=--— — коэффициент корреляции . и £2.
V а11а28

3.267. -Д- arctg—, ?	• —,	3.268. а) 1/2; б) 1 —

XV о — а

__ф(&/уГст -*2ас’13 + а: о22 )	3.270. а) Нормальное распре-
деление с нулевым 'вектором средних и матрицей ковариапий
/2 1	Д/3	х.к, )/3	п<--	п п

, s « б) ' е 4 1 2	12 при 0 < хх < х^ и 0 в ос-

3 х 1/3

тальных случаях; в) Р {с < ж} —— arctg—1-----(L'<ar<l).

z — X

3.271.	а) Нормальное распределение с нулевым вектором
средних и ковариационной матрицей -__<. j’,

e_(xi4 x2 1 xix2 ппи x , xa > 0 и 0 в остальных случаях;
л	* J

3 x 1 3
D) P {s <	— ^Ctg ------ (0	< OO).

/1 0 0\

3.272.	a) (0, 0, 0); 1 0 1 0 I. б) £2, £3 попарно независимы
\0 0 i

м имеют стандартно в нормальное распределение.

в) Р(^, *г, *3) =

(2л3) 1/2 ехр {— (х2 4- х2 + х2)/2},

если * га#8 > 0t

если ххо = 0,
1 -И

(2л) 3/2ехр {—з-2/2],

0 в остальных случаях.

3.273.	Положить

. С,	если	О,,

1"	| | £ | sgn . ^_г)! если ^ ... ^_х ¥= 0,

Где g ,	£,	, f независимы и имеют стандартное нормальное

распределение. 3.274. Нормальное распределение с параметрами
((0, ... 0), Л'А) 3.275. МП£= (0, 0, ...» 0), cov (т]^,	= «{ •

3.276. Нормальное распределение с параметрами ((0, ..., 0),
где	при  = / и Ьц ~ при г=5*=/. 3.277. Нормальное
распределение с параметрами ((0, . «, 0),	гДе Ь,, =*

mm(i.j)

“ 2 °h- 3-278- 15- 3-279- 1пМ1 *< ••• ьй|- 3.280. Нормальное

о.

распределение с М '	= х) — *у“ х и D । _ |-2 = z)~

/	о?2 \

t 1 _----—— I о . 3.281. Вообще говоря, нс является.

\	°г1°» 11

Глава 4

4.2.	Р

4.3.	F

Р3 (1 + Эр) (1 - Р)

4.4.	Выполняется. 4.5. Удовлетворяют. 4.6. 0<а<1.

4 7. а >0, а>1. 4.8. Удовлетворяют.
1 / 1 а

4.11.	б) 2Ф(—е/С), С= । f(x)dx- j f /(xldxj .
о	\Q J

1	1	/j

4.12.	a) <= f / (*) dx> “ ) (*)	| I / (*) d*

о	о	о

4.18.	Всегда. 4.25. 6) (1 — p) pb.

4.26. Р{т1(^)>п} = ПД1

6. (x) = 1 — ₽“Л

p<t2(JV)>n}= 1+—IK1" Л I’ где 5(yv) = 1
V	_ 21

при нечетном N n 6 (Л) = 0 при четном A’, G2(z) — 1 — e 1 A

4.27.	lim P (r|n<a-} = x,

4.29.	Распределение Коши с параметром 1. 4.30. Распределе-
ние Коши с параметром 1.

4.31.	lim Р{(£ -	1 СТ >

ЭС“>оо

4.32.	a) lim Р {хпп“1/а< х) = с“а (х > 0);
П-»ос.

б)	11 m p{xnn1/a<z} = e-(~xl (ж<0);
П->оо

в)	Inn F [xn — In n ar} = e~e .

4.34. Ф(т). 4.37. lim P {tn < x} = 1 — e~x, 0 < x < oo.
n-*oo

4.38. s) MTfc = A-a, ОтЛ = *а2. 4.39. Мт = aMv, pf-j^r < xj-> F (x).
a	a p -j- (J* q	\

4.4». a) =	---1 6) hmP^<x> =

и 1 — e~x, 0 sS~ X < oo.

4.42. limP(<?T < аД = lim P {дт < x} — 1 — e~x'a, x > 0.
g->o •	' q-o

4.43. P ~~ <x|-> 1 — e~x, x< oo. 4.44. 0,265.

4 47. а), б) Сходится. 4.48. Равенство верно.

4.49.	6) М£ = 1/2, D£ - 7'44.

4.50.	б) Mg = 1/3, Dg = 1/18.

4.53.	а) X2 — распределение с 1 степенью свободы, б) Ап (г) —
-= п1 (z - р)2, Вп (2) = 2 (р - z) V П9р(Г--р).	______

4.54.	а) 2Ф0(Уя), б) Вп(р) = In — I ]/ р (У-

4.55.	Условия в). 4.56. а) Любое соотношение может выпол-
няться. б) m =	4.57. а)	б) о 4.58. а) 1 ;

б) p/d—gz); B)(pz^g)n. 4.59. c₽(z) = (pz+9)n. M«n = np, Mg^1=nl/,lp\
Dgn = npq, где q = 1 - p. 4.60. a) Mg- <p' (1), Dg = <p" {!)-
— <p'(1) (<p'(1) — 1), M (g — Mg)3 = ф"'(1) + Зф'Ч!) (1 - Ф'(1)) +
4- ф' (1) (2ф' (1) -1) (ф' (D-1); б) ф1 (Z) = ф (у^, ф2 (Z) = ф (г2),
Ф8 (г) = Ф (V*)» Ф4 (г) = Ф (г) Ф (V*).

о т. pz	к ка

4.61.	м^--. Оз.-у, «•-т-тт. 4-К. 1>у. у;

(nz \ k	t / Рг \т	т	mff

^-1 . 4.63. Mz5=(-n^7) ’ ^“Т’ 0£=У-
4.64. Р {Г| =- 0 = C^pniq-~m,	т2 + тд, I > tn.

4.65.	а)	б) Хр, Ар.

4.66.	а) Е и g распределены по закону Пуассона с парамет-
рами A(f — Р2) и А(1 —Рг) соответственно; б)	—

= Х(1 - Р2),	= Ds2 = А (1 - Pj, cov (g3,	0; случайные ве-

личины и Е, зависимы.

4.68.	а) (р-Г Р№у)П! б) nlMpJ, л л+,]pjp{ (I чь j).

4.69.	^(РЛ + (р2 + рз) га + р?3)м,

= (piZi -1- p2zxz2 Н- р3г8гз Н- p^f,

1 РЛР^ Рз)

Р^пд. Лпл) 1

Р2 ~ (Р, + Р2) (Р2 + Р3)

Ptrn’l ,,2) “ /C44-P2)	W (1~Р2~Рз) '
4.70.	a) exp {A (jty, 4-... + P^zpj — 1)}5

6) IJ (1—- e~''P* (1 — e)j. 4.7b a/y = a, p/y =
i-1 X

» i — a — d, 6/y = — d, где 0 a 1, 0 d < 1. 4.72. cp$ (g,f)«

4.73.	a) exp {х(е{<—1)}» 6) (д<?1‘+ g)n; в)	.

4.74.	(п-Ц~1Яа"\ 4.75. M<?{^—g (/(*)), Ms- = g (<p ($)),
4.76. а) Р{С-=Л}=4|-(Л+1)Р{£ = *+1}, * = 0,1, ...

б)	P {£“*} = "/^ГР {£>*}, * = 0, 1, ...

в)	Г =	+ ... + £v, где fcp |2, ... независимы п распределе-

ны так же, как a v не зависит от £2, ... и Р {v = *}=(! —
— а) а\ к = 0, 1, ..

г)	4‘CZ) — производящая функция тогда и только тогда, когда
» T]i + ... 4- v)v, гДе Ль Hz»  независимы и одинаково распреде-
лены, a v не зависит от тц, Цг, ... и имеет распределение Пуассона;

д)	то же, что в п. в), но Р {v = А:} = V1 — а ак2~^Скк, к=*
-=0, 1, ...

4.77.	п 4- ... + пт = п, р^ = .., = pw = р.
k-i

4.78.	б) А"1 V /(2Л//А-) е-2л1^/А. 4.79. 11/27, 1/9.

j«^o

(/ 1 — Р \1~Р / Р

4.82.	Ш!’ Р<Р’

Р {рп<п/2)}С(21/р(1- р))п, р > 1/2.

4.84.	р/, (*) + (1 -/О/2 (*).
еИа _ !

4.87.	а) --—— (t =/= 0), 1 (t = 0);

б)	-^-^1 —cos—J (/ #=0), 1 {t = Q)\

в)Са=а/л, 1 — а |*| (1*| <а т), 0 (|*|>а ’).

при 2/го2<1, Мт) не определено при 2Ао2^1;
при 4Ла2 <1 и Dr| = оо при 4Ло2 1.

4.88. Мп = 0
а2

DT1 ~ (1 _ 4/го2)3/'2

4.89. Является. 4.90. Является. 4.91. а), б) Является. 4.92. Не

следует.

4.98.

4.99.

Д) Р— 9,

4.93.	Изменится. 4.95. Равенство верно, если М||| < оо.
а), в), е), в) Являются; б), г), д), ж) не являются,
а) 0, а2/3; б) 0, 7/6; в) 1, 1/6; г) 0, а2 (1 + 2 Д/2)/4;
________________6_________ 6_________________

Р+9;е) У1 _ е2 arcsin G ’ (1- ea)3/2 arcsine’

4.100. a) 1 —е“х/2 (л>0),

1

1 — 2**’
единственный
справа от ?i( 

(х>0).

1	1	f r « r> a* Z n \

6>	(1+'^яр1^ ar"₽2‘j’ “W’ =

= r(r 4-2) ... (r-f-2Л — 2).

4-,01‘ (t_1iji= (t+i^ 8ta”ctg', («+*-«).

4.102.	Нормальное распределение. == (a, «), D£ = (c, Be),

4.103.	Многомерное нормальное распределение в Я’7' с вектором
математических ожиданий С а и матрицей ковариаций СВС^-, где
’Р— знак транспонирования.

АДМ (Ср* cte*’

4,114.	M(p.(n, N,	-----*. Функция (п) «

t= Мцл (п, N, «) при любом 1=0,	имеет

максимум в* точке пп = ЛЧ и монотонна слева и
При фиксированных i и в

1	. 11(б-()3~*

lim -у- max (п) = С;------в----.

N-»oc х п	в

•Л N

4.Н5. 737-

4.117.	Мцг („, N) = Crn (N - l)n-r

( М*)	]	f	И

4.118.	lim Р	=1-ехрг —j

N->oo ( и	J	4

4.119.	Распределение произведения где случайные величи-
ны £i и ^2 независимы и имеют распределение Пуассона с парамет-
ром X.

4.120.	га $э 790. 4.121. (-74,36-10-™, 74,36-10"™).

4.122.	a) lim Mi)n = ехр [ 4- In2 a), 15m Dl1n(e,n**— 1);

n->OO	(.	J n-*00

1.2

6)	a = 0, о = -£ in a;

(i 1	(1	1/(1	11

— In2 z >, Dr] = exp J yin2 a.1 exp I у In2 a | — 11.

4.123.	a) MnI00G » l,025]W0 « 5,295-10’°, Dt]:ooo 7,6899-IO41.
M In niooo = 0, Din ipooo » 24,8965: б) Ф (-1.384) « 0,0832, Ф (0) =
= 0 5. Ф(0) = 0,5, Ф(2,769) ж 0,9972; в) 0,5126..., 0,4873...

4.124.	а) МЦпюс “ 1» Dt]i<>qo = 1,0625	— 1 aj 2,1327 10s ,

Mining « - 32,2693, Dlnrpooo « 65,2357. б) Ф(-1,7064)	0,0440,

Ф^0,0633) » 0,5252, Ф( 1,9996) » 0,9772; Ф (0,0633) « 0,5252,
в) 0,5126..., 0,5378...

4.125.	б) Ф(х), 4.126.	= М|,-^ = 0 (I & j), м^2 = V*-

4.127.	р2 = £2 + ... + т. е. р2 имеет %"-распределение сп
степенями свободы, ЛЛр2 » и, Dp' =2п. 4.129. Ф(х).

Л’	/ W	N \«\

4.130.	n V а{р., п	( 2 aipi I ста»ДаРтное Н0Р"

{=1	\(=i	\i=i / /

мальние распределение.
4.131,	a) Mtjft — За. Di]h = 3bz, covfi^, Пы-i) — 262, cov(T]ft, T]A4.2)—
= 6», cov(iU, ip) = 0 (|*-П >3), б) Ф(х/У3).

4.132.	Ф(я). 4.133. а) х = р/(1 — р). 4.135. Стандартное нормаль-
ное распределение.

4.136.	='О, D^n> 5=1; при я-*оо распределение rjn схо-

дится к стандартному нормальному распределению.

4.137.	Распределепие разности двух независимых случайных
величин, каждая из которых имеет распределение Пуассона с па-
раметром 1/2:

hjn ₽{»„ = *} = V	i = 0, +1. ±2,...

m«-o

4.138.	a) S 1р5П)’ S f ”)(1 — р;Л)); ь) распределепие
i=l	1=1

T](( —1| где т]0 и p независимы и имеют распределения Пуас-
сона с параметрами ? , и 7, соответственно.

4.139.	Fn (х) -> а + (1 — а) (1 - е“тх) (х>0), если 1 — dnAn

-> т е (0, оо), ап -к а 1 при п -> оо.

т ! т— 1 \ 11. /Н — 1 \
4.143. a) Ms™ ^11- —-—«I

/ т - i \h-l1 г/	rt \ //	п

P{Tm> vA - vf) = (—)	П । (* “ ~N )/ I 1 ~ A"

n — 1

4.144.	Распределение Пуассона с параметром 1/2.

Л' — Hi

4.145.	Mvm -(14-о (1)) A In----, Dvm - (1 + о (1)) N X

I m

/V — m

4.146.

— In

Pi =

N \

дГ— ]; стандартное нормальное распределение.
1

------ i = 1, N. 4.147. См. решение.

1 — Sj

4.150. /п+1>Л (2) — fn N \z) -f- N dz

4.152. exp {— C 1 1 |a).

4.154.	a) 1 —/(t) = (1 — i sgn i)}t (1 + o(l)), t -> 0, где sgn t ==
= t/\t\ (f^0).	6) a = 2; g(f) = exp{—(1 — i sgn

4.156.	Распределепие Коши с параметром лр(0).

4.157.	Mr +	= e~2aiil.

(а —I— Л

4.158.	1аЛ W =	+

Глава 5

k	ч й-ы-tl

5.1.	Mnf = a, 0т]г = ст22 c]t cov (t](, r|s) = ог

J=0	7= 0

при [tf—	COV (T),, T|s) = 0 при |s — I I > Zf.
5.2.	б) Сходится. 5.3. б) Сходится. 5.4. м‘р0, Г) = о" +•

cov(&P’fca) = у cos А	5’5*	= 0’ D’t-

cov (£р &,) = 4 <cos (« — О + соз л (* — *))•	5.6.	(г) = max (О,

1 _ |1 — х I}.

5.7.	а) Нормальное распределение с параметрами (0, 1/2);
б) 0 й V независимы, уп имеет разномерное распределение на
[— л, л], 1пп	х| = 1 — е II 0),

П^оо

5.8.	Mq/ 0, Dr]t - 2 f (I - и) /? (и) du, cov (Де, 1],) = -
о

+ Dna-^|t-a|)’

5.9.	а) (1 + 4) Ь’ ®^°; б) i-'exP

>1/Т; в) exp {— ХЛ^-дХ}, г>0.

1	f i\d f d \d

5.10.	а) Мт =y, Mt2=2; 6) Mtx« 1-|-^ I “~2’ Мтя=-. -у- । —2;

n) Mt = Mt. = e — 2.
'	1	55

5.11.	Распределение Коши с плотностью

1

л (1 -J- х2)’

Рт (*)

5.12.	Mftfe = 1 + л-1 V arctg (1/УГ) = (2 +о (1)) у к/п, Х->оо.
J	2П+2 __ 1

5.15.	М^(х) =0t D£n(x)=	-----р (|x|^l)f cov(|n(x),

М»>) =----------(Ч^Я. О’». (± 1) “ cov(s„ (х), 5„ (-)у =

= п + (.	___________________

5.18.	б) (1 —У1—4sр( 1—Р))/(2р); в)(1—У 1—4s2p(l—Рп))/(2$д).

5.19.	Р {ц =, — сс) == 1, если	фг(1) = 1,	Р{|1= —

= (1 —Ф1 (D) У (1), к = 0,1, .... если <р1. <1) < 1. 5.22. М| рп |2 =
= п, D | р„ I2 = 2п (п— !)/</. 5.27. В указанных случаях Mv = оо.

I

5.33.	a) Xt; б) Л (t) =. (* X (u) du. 5.35. MTft = L, DTft = 1,

о

n >ri_ аЛгЛ~1 -tx >0

5.36.	a) ..., t.) =	если 0<	zk,

Xx

P(X , ...,xfe) = 0 в остальных случаях; б)	ту-—’	(0<х< Г),

-?(х-Т)

"хГ+Т

(х>Г); в)
5.37.	р(хг, .,.,хк) = к!Г ft, если 0 < х^ < • •. С xk С Л
р(т , ..., ajj = О в противном случае; д (г^, ...,	,... ,xfe).

5.38.	ХТе-^. 5.39. ХГс-2ХЛ.

5,40. а) Пуассоновский поток на [0, со) с интенсивностью 2Х;
б) 0. независимы, Р (0^ = + 1} = Р {0Й =— 1} = 1/2.	5.41. Хр.

5.42.	X(2-)jo(^). 5.43. Распределение Пуассона с параметром
[	«	I

ХМт. 5.44 /(0 = ехр -К f (1-G(z))dj .

о

[0, эо) С

(х>0), Мрп

5.45.	а) Пуассоновский поток на
% (г) = 2А,ла:}

2Хлж (ini' )"'-1 _1ла.2

6)	p„w = —— '

интенсивностью

-j-1/2)

1/Хл(п—1)1

5.46.	а) Пуассоновский поток па [0, оо) с интенсивностью

Х(х) “ 4Хлж2;

п (т\ 4Хлх“ (4Хл.т3 '3)п~  е-4Хлх3/з (х >

о; /nw - ,п _ 1|(	- /-

,Мрп =

к Г(Н-1/з),У_Г ~ у_з£

Г(п) V 4Хл 1 4Хл

5.47.	а) р(ж)=тах{0,	1 —|1—х|), б) pi(xu гг2) —

= тах{1 — 11 — xi| — |1 — ягг|, (•} при 0 ад, х2 < 2, (1 — ад) X
X (1 — Тг) > 0, pi(«i, х2) = тах(0, minfxi, г2, 2 — ад, 2 — Л72}} при
0 с xi, г? 2, (1 — xi) (1 — х2) с 0, р1(хь х2) = 0 в остальных слу-
чаях; в) 5/6; г) 1/4; д) Мх = 7/12, Dx = 23/144, q(x) = 1 — т2/2 при
О с; х 1, q(x) — (2 — х)"1!! при 1 а: 2, д(х) — 0 при
|х-1| > 1.

5.48.	а) е~х (z > 0), б) ' 'з) (х^ х2 0), в) 2/е	0,73576,

г) (1 _ е-1)3 « 0,39958, д) Mx = 1, Dx = 1, q (х) — е~ J (л: > 0).

5.49.	а) Периодическая с периодом 6 (детерминированная), со-
стояния —6, ..., —1 несущественные, остальные — сообщающиеся;
б) периодическая с периодом 6, все состояния сообщающиеся;
в) непериодическая; состояние —6 несущественное, остальные —
сообщающиеся,

5 50. а) (0,385, 0,336, 0,279); 6)	(16/47, 17/47, 14/47). 5

5 51 (3/7	4/7 1.

U/и ю/11/

t+m f-|-m t—тп

5.52. Р{т]г = m| = Ct 2 р 2 q 2 , если t — m четно, | m | t,
p	0, если t — m нечетно или I m j> t.

5,53. а) Нет, если p q, да, если p = q = 1/2; б) да, рц =
= p_i,_i=p, pi, -i = p-i, i — 1—p\ в) да, рп = Р2з = Рз1 =
— P«3 = 1 - P, P12 = />24 = Pai == />44 = p-

5.54. P(p0(ra + 1) = /cl Цо(«) = /с}	/c/2V, 9{po(n + 1) « /t —

— l|p0(n) = к} — {N — Jc)/N.

5.55. P {Ho (» + 1) = к . 11	<n) = Jr) = CJ-'C;
5.56.	a) pn = p + {q — P)i/N, Pi, i-i — pi/N, Pi,«+i= q(N - i)/V,
pf} — 0, если |г —7'1 > 1; Ь —цепь Маркова; 6) nh = CkNp
* = 0, ... jV.

5.57,	а) рц те же, что в задаче 5.56, fcn — цепь Маркова при
N = 1 и пе пепъ Маркова при /V > 2; б) nfe = ChNpN~hq\ к =
= 0......N,

5.60.	Является. 5.62. 1/6.

5.63.	а) Р {т’= А| £0 = 1} = (1 — Pi{) Ph7'> Л=1« 2» б * * *) ответ

не изменится. 5.64. Urn Р{тп>л-п/оЛ= е (т^О).
п-*оо

5.65.	«{ р+ р(1 — Р — е) s | 1 — ps —----------------—_ I |.

1 ~ (1 — г2) s

5.66.	Распределение |)г — биномиальное с параметрами (и, р);
М* п = пр, D ,-п = пр (1 — р).

5.67.	а) Р{тЬ41=«Н-и|тм = /} = р(1-р)и~1, *>0, u>l;

б)	MTft = к/p, Dt„ _ к (1 - ?)/pa, <fft (,) = i .-i—

5.68. а) ф,, (s) =

pV (1 — ps)

1 — s (1 — (1 — p)pksh)'

- 1 ~ l>h

Mt. —---------------r;

k (1 — P) Ph

б)	P {T|. zj e x, к -> <ю, x 0.

ps	1

5.69.	a) cp0 j (s) =	(1 — /: v’ Mto.i = p’ ”1	^й,Л+1 <s) **

= ^ + (1-рРфй-1Л(«)<р^+1(«); в) MTftft+1 =

1 /	! t   n\ Й + 1 \ /	4 \

= 7тЛт r-// I"*I11 м^л+1 = 2(*+<).

/	1\	1 — p/1 — p\h t 1 \

MT0]ft=M* + 1)i P = -2-J;

5.70.	1; 4; 9. 5.73.	= (1 — V)/U — XN) при p^=q,

где X = qlp; — kjN при p = q = 1/2; л(й0) = 1 — n(kN\ к =.
= 0, 1 ..., N,

5.74.	a) P{£ = 1} = 1-pg, P{|=*}= pq(qr)k~2 (1 - qr) (k^2)-

6) o 5 75 Hi fe3 Ui- &C \ 6) I3 J'l

o)l — qr P' 	\400 ’ 400 ’ 400/	’ ' ’\414Г4'_/

5.77. a) {1,2}; 6) ^- = 1,42268 ...; в) = |^ = 0,5360 ...,

= 0,4123 ..., p;P) = 1 — p(f-\	/ = 1,2; г) = «2 = 0,

92	46	51

л3 = 2gj = 0,3161 ..., л4 =	~ 0,1580..., n&== JTtj=jgj= ‘1,2628 ..
5.78. p<n+’> = pjn) (1 — a“ft) + 4-1°”*: '* Mj’ = * («—1)4-1,
Dfl*n = (ff-l)3C2.

5 82.

a “4 л
- p Р/

1 fP
\P21U) P22 (‘)/ a+P'P

а ) i (1 + ct-p/

«/ а HP

1 a + p’

n2 = l-.V

5,85. a) М6г = 1 + |, D6i - "j (2 - a

-H), «Ж=2}=-|,

D(M5. = 2}=V,6) “'“Лт

/-Ф P- o-P) ,
(a + P)3

3

5.87. He следует. 5.88. _ e<

6) -J In 2; в) pn (0 = ane~ant

1 ; P а	e a+|j)<	« — a

а + P к P а/	а4-Р	P Р/

l~^i '	5.89. a) e-a«;

а /

(*>0).5.90. P»1 (l}	=

‘V21 (f) % W

pf а

5.92.

-^3(1-
(a-j-P)2

ej<«+W)t (,2(0=_221_ <+O(l), <-», i=1,2.

5.93.

M2 (f, x) =

M (t, x) =
рУ] - av2
« + ₽

I4 - aS .. ,	, a(yi + W2)/.

« + Р * + a:+ (a.+ p)2

, + s_!!±L.

(« + РГ

B2i (t, x) -

5.94.

M 4- v2r 1

(a4-P)3

Z-(ai+a2)	P

I ai - («2 + ₽)

%	%

я =__L_

ai 4* a2 4“ P’

X

₽

-<’+B‘).

P

0 ’

n.. — -—л. = 1 — n, — n_. 5.95. в) Если 0 < 1 то
о	“Г p	1	*

= 01 (1 — 0), если 0 > 1, то л — (0 —	j — 0, 1, ...



Глава 6

6.1.	М^2 == о2; > ’ — состоятельная оценка о*. G.2. 1^тг = лг,
a 2		71

Dm^	6’3, a*=2 сьхь'где ch=ar7(°r1+-”

fc»i

. ..4-a“2). 6.4, Является. 6.5. Ф(ж). 6.7, р* = Pzt/«<
6.8.	[₽•-«„ ]/''•J—'’-'1, ₽•+»„/ —f—] ГДв
it

p* = p, 1— Ф (wu) = a. 6.12. X* = — xftl оценка состоятель-
л=1

нам и несмещенная? MX* = X» DA* — X/n.

6.13e	* MV=VDF* = ^y*

6.14*	a) a*= a, b* = &, с* = с, где a, b, e —средние арифмети-
ческие по соответствующим выборкам; Ma* = a, Mb* = 5t Me* = е,
D«« = г D‘‘ = 4 °i °C‘ = 7 °=!

6)	a** = a-}- (c — a — b) k%,	b** = b + (c — a — b) A$,	c** =

= 7+fc-a — b)k2f, где X2 = o2/o2, А| = о£/(Д A2 =

= a:_j_ a2 + o2; Ma** = a, Mb** = b, Me** = c, Da** =

«	Я	2

Dft**=^-(i -A|),Dc** = Zf(l-A2).

n '	n	n

6.15.	a), 6) a* = a** = I У I /п; в) Ma* = a., Da’ = of/n.
\h=i /1
n

6.16.	a) < = | 2 VU(ro-Phri)«'<ift) + (ri-pAr{,)4ft>],
h=l

ГДО V# = 1/(1 - p2), Г,= V T1, Г = 2 p„T„ A = rj - r«;
fc=j	л=г

6) n** = - У в) Ma* = Ma** = a. Da* =Ь, Da**= 1
/ i n ив 1	1	1	>	д la

*«1

v «6Л) “ f'hl'-P

6.17. a) a1 =

1~Pa

\Л»1
n

6) «Г = 1У И*’; ») °< =
” h»t

n

У 1

(±1 1 - Рл

1	1 I

6.IB. a) a,

/2(x) dx ... dxn — a- ];

m

б) Ь*и =

m — 1

Г	b*	b* 1

в) ‘	“ “a ,-р. Пт + “a !’ ГДС 1 ” Ф (“a) = a’

‘ o"2	’ '

6.19.  I —	?	2  > I — 1, 	-I I -?•

O1 Ta2	U1 ‘ u2
6.20.	a) z = (Z] 4- z2 + (14- P) z3)/(3 4- P), Dz = (14- p)/(3 4- P);

6)	2 = (2j 4- z2)/2, Dz = °; B) 2 = 1Z1 •' Vs + T *3’ Cx + c2 =
= y; Dz = 1/2.

6.21.	а) Л* = ( 2 lxn’, б)М4* = Л, D4* = o2/Xn’

\i=l /I

6.22.	a) 4*= ( 2 ^)(|Z2 *2Л
\i=l /l\i«=l /

/ h	\ I/ n	X	j

6.23.	H* = V V nX j, мл* = л, ол* = £-х
М-1	Л М-1	/

(п	\ — 1	_

V ж® 2. j , где n=n1+n24-. • • 4-nft, Ui = (^ii+ ..  + ^in. )/n.
n I

1=1	/

(i = l....*).

6.24.	См. ответ к задаче 6.23. 6.25. p, p (i — p)/n.

6.26.	p, p(i-p) yzzy- 6-27- a) 6) 1.

6.28.	Mr)n = l//V, Dnn = 2/(a27V3) 4-О (l/W4), «/^->«(=(0, oo)f
Л’ -* OO.

6.29.	Ma* = e4- (b — a)/(n4-l), M6* = &— (6 — а)/(»4-1), Da* =

= Db* =--------2~------• WV (a*> b*) = ~ Da*>

(n4-l)2U4-2)	n

6.30.	Mx(1) = l/(an), Dr(1)= l/(an)2, Mx(n) = - p Dx(n)=

A-l

n

6.31.	а) MO* == M0* = (a + b)/2, DO* = (6 - л)2/(12п), DO’ =

e> ^4,	^-^(‘+4+-

•••+г41 + 4)’ D^=dr(1 + F + ?' + ",+ <« — i)2 +



6.32

1

Является; Me* *= c, De* = —a. 6.33. Ma = 1 Mt Ma* =
n

= 1,0833 m, /м(а-а)2= 1 и, ]/m (a* — a)2 =0,8706 m.

6.34.	б) M (JN - 7)2 = 2 c^i +	2 ci°i I : M(Zn-l- Z)?<

i=l	\i=JV+l /

< M (Zn - /)а, если o„ > 0n.
6.37.	n„ = (2 *») "• e-M' 2 6^ln
\h-i /

где f _ число величин aj, равных к.

6.39.	a) C = nai + «a<’iV4 6)“aai + w₽na2==(a2~ai)"l//H‘ °> U1

6.40.	«f = е~у, a2 = '	* iX\

о

6.41.	а) X* = тп/п; 6) X, X2/n.

6.42.

»

a)

gp

a + P'

0; 6) является.
ТАБЛИЦЫ

Нормальное распределение Я  1 С _ 2/2 Таблица 1. Значения функции ф (х) =	— i е	du  °	Д/2л J  0					
X	Сотые доли				
	0	1	V	3	4
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9  1,0 1.1  1,2 1,3  1,4 1,5 1,6  1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3  2,4 2,5 2,6 2,7  2,8 2,9 3,0	0,0000 398 793  0,1179  554 915  0,2257 580 881  0,3159 413 643 S49  0,4032 192 332 452 554 641 713  0,4772 821 861 893 918 938 953 965 974 981 987	0,0040  438  832  0,1217  591  950  0,2291  611  910  0,3186  437  665  869  0,4049  207  345  463  564  649  719  0,4778  826  864  896  920  940  955  966  975  982  987	0,0080 478 871  0,1255 628 985  0,2324 642 939  0,3212 461 686 888  0,4066 222 357 474 573  65G 726 0,4783  830 868  898 922  941 956  967 976 982 987	0,0120 517  910 0,1293  664 0,2019  357 673  967 0,3238  485 708 907 0,40»2  236 370 484 582 G64  732 0,4788  834 871 901  925 943 957  968 977 983 988	0,0160  557  948  0,1331  700  0,2054  389  703  995  0,3264  508  729  925  0,4099  251  382  495  591  671  738  0,4793  838  875  904  927  945  959  969  977  984  988

Таблица 2. Значения функции иа  Функция иа определяется равенством а —	1	ОО  j* е-Х^/2(1Х  «а
	1/2л	
а |	0,001	0,005	0,010	0,015	0,020	0,1)25
иа |	3,0902	2,5758	2,3263	2,1701	2,0537	1,9600
Сотые цоли					X
5	।	в 1	7 1	8	1	9	
0,0200	0,0239	0,0279	0,0319	0,0359	0,0
' 596	636	675	714	753	0,1
987	0,1026	0,1064	0,1103	0,1141	0,2
0 1368	406	443	480	517	0,3
736	772	808	844	879	0,4
0,2088	• 0,2123	0,2157	0,2190	0,2224	0,5
422	454	486	517	549	0,6
734	764	794	823	852	0,7
0,3023	0,Зи51	0,3078	0,3106	0,3133	0,8
289	315	340	365	389	0,9
531	554	577	599	621	1,0
749	770	790	810	830	1,1
944	962	980	997	С,4015	1,2
0,4115	0,4131	0,4147	0,4162	0,4177	1,3
' 265	279	292	306	319	1,4
394	406	418	429	441	1,5
505	515	525	535	545	1,6
599	608	616	625	633	1,7
678	686	693	699	706	1,8
744	750	756	761	767	1,9
0,4798	0,4803	0,4808	0,4812	0,4817	2,0
' 842	846	850	854	857	2,1
878	881	884	887	890	2,2
906	909	911	913	916	2,3
929	931	932	934	936	2,4
946	948	949	951	952	2,5
980	961	962	963	964	2,6
970	971	972	973	974	2,7
978	979	979	980	981	2,8
984	985	985	985	986	2,9
989	989	989	990	990	3,0

а	0,030	0,035	0,040	0,045	0,050
'«1	1,8808	1,8119	1,7507	1,6954	1,6449
Распределение Пуассона

X*

Таблица 3. Значения функции рк (k) = — е“х

X X  h \	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
0	0,90484	0,81873	0,74082	0,67032	0,60653
1	0,09048	0,16375	0,22225	0,26813	0,30327
2	0,00452	0,01638	0,03334	0,05363	0,07582
3	0.00015	0,00109	0,00333	0,00715	0,01264
4		0,00006	0,00025	0,00072	0,00158
5			0,00002	0,00006	0,00016
6					0,00001
X, Ь					
	0,6		0.7	0,8	0,9
h \					
0	0,54881	0,49659		0,44933	0,40657
1	0.32929	0,34761		0,35946	0,36591
2	0,09879	0,12166		0,14379	0.16466
3	0,01976	0,02839		0,03834	0,04940
4	0,00296	0,00497		0,00767	0,01112
5	0,00036	0,00070		0,00123	0,00200
6	0,00004	0,00008		0.00016	0,00030
7		0,00001		0,00002	0,00004
\ X					
Т^х	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0
					
0	0,36788	0,13534	0,04979	0,01832	0,00674
1	0,36788	0,27067	0,14936	0,07326	0,03369
.2	0.18394	0,27067	0,22404	0,14653	0,08422
3	0.06131	0,18045	0,22404	0,19537	0,14037
4	0,01533	0,09022	0,16803	0,19537	0,17547
5	0,00307	0,03609	0,10082	0,15629	0,17547
6	0,00051	0,01203	0,05041	0,10419	0,14622
7	0,00007	0,00344	0,02160	0,05954	0,10445
8	0,00001	0,00086	0,0(»810	0,02977	0,06528
9		0,00019	0,00270	0,01323	0,03627
10		0,00004	0,00081	0,00529	0,01813
11		0,00001	0,00022	0,00193	0,00824
12			0,00006	0,00064	0,00343
13			0,00001	0,00020	0,00132
14				0,00006	0,00047
15				0,00002	0,00016
16					0,00005
17					0,00001
Распределение Стьюдента

Таблица к. Значения функции tan

Функция t п определяется равенством
р(4>

где случайная величина тп имеет распределение Стьюдента с п степе-
нями свободы. Плотность распределения тп равна

	4 2а  п	—  0,10	0,05	0,02	0,01
5	2,015	2,571	3,365	4,032
6	1,943	2.447	3,143	3,707
7	1,895	2,365	2,998	3,499
8	1,860	2,306	2,896	3,355
9	1,833	2,262	2,821	3,250
10	1,812	2,228	2,764	8,169
12	1,782	2,179	2,681	3,055
14	1,761	2,145	2,624	2,977
16	1,746	2,120	2,583	2,921
18	1,734	2,101	2,552	2,878
20	1,725	2,086	2,528	2,845
22	1,717	2,074	2,508	2,819
30	1,697	2,042	2,457	2,750
ОО	1,645	1,960	2,326	2,576
Х2-распределение

Таблица 5. Значения функции Х^ п

Функция X2 т определяется равенством

где случайная величина X™ имеет yj-распределепие с т степеня-
ми свободы. Плотность распределения у г равна

Р <• № “

—-—   — е %

г(~Ът/2

к 2 >

\ а	0,10	0,05	0.02	0.01	0,005
1	2,7	3,8	5,4	6,6	7,9
2	4,6	6,0	7.8	9,2	11,6
3	6,3	7,8	9,8	11,3	12,8
4	7,8	9,5	11,7	13,3	14,9
5	9,2	11,1	13,4	15,1	16,3
6	10,6	12,6	15,0	16,8	18,6
7	12,0	14,1	16,6	18,5	20,3
8	13,4	15,5	18,2	20,1	21,9
9	14,7	16,9	19,7	21,7	23,6
10	16,0	18,3	21,2	23,2	25,2
11	17,3	19,7	22,6	24,7 v	26,8
12	18,5	21,0	24,1	26,2	28,3
13	19,8	22,4	25,5	27,7	29,8
14	21,1	23,7	26,9	29,1	31
15	22,3	25,0	28,3	30,6	32,5
16	23,5	26,3	29,6	32,0	34
17	24,8	27,6	31,0	33,4	35,5
18	26,0	28,9	32,3	34,8	37
19	27,2	30,1	33,7	36,2	38,5
20	28,4	31,4	35,0	37,6	40
21	29,6	32,7	36,3	38,9	41,5
22	30,8	33,9	37,7	40,3	42,5
23	32,0	35,2	39,0	41,6	44,0
24	33,2	36,4	40,3	43,0	45,5
25	34,4	37,7	41,6	44,3	47
Случайные числа

Таблица 6. Равномерно распределенные случайные числа

Приведенные в таблице цифры можно рассматривать кан реали-
зации независимых случайных величин, принимающих значения
0,1, ... , 9 с одной и той же вероятностью, равной 0,1.

10	09	73	25	33	76	52	01	35	86	34	67	35	48	76
37	54	20	48	05	64	89	47	42	96	24	80	52	40	37
08	42	26	89	53	19	64	50	93	03	23	20	90	25	60
99	01	90	25	29	09	37	67	07	15	38	31	13	11	65
12	80	79	99 ♦	70	80	15	73	61	47	64	03	23	66	53
80	95	90	91	17	39	29	27	49	45	66	06	57	47	17
20	63	61	04	02	00	82	29	16	65	31	06	01	08	05
15	95	33	47	64	35	08	03	36	06	85	26	97	76	02
88	67	67	43	97	04	43	62	76	59	63	57	33	21	35
98	95	11	68	77	12	17	17	68	33	73	79	64	57	53
34	07	27	68	50	36	69	73	61	70	65	81	33	98	85
45	57	18	24	06	35	30	34	26	14	86	79	90	74	39
02	05	16	56	92	68	66	57	48	18	73	05	38	52	47
05	32	54	70	48	90	55	35	75	48	28	46	82	87	09
03	52	96	47	78	35	80	83	42	82	60	93	52	03	44
И	19	92	91	70	98	52	01	77	67	14	90	56	86	07
23	40	30	97	32	И	80	50	54	31	39	80	82	77	32
18	62	38	85	79	83	45	29	96	34	06	28	89	80	83
83	49	12	56	24	88	68	54	02	00	86	50	75	84	01
35	27	38	84	35	99	59	46	73	48	87	51	76	49	69
22	10	94	05	58	60	97	09	34	33	50	50	07	39	98
50	72	56	82	48	29	40	52	42	01	52	77	56	78	51
13	74	67	00	78	18	47	54	06	10	68	71	17	78	17
36	76	66	79	51	90	36	47	64	93	29	60	91	10	62
91	82	60	89	28	93	78	56	13	68	23	47	83	41	13
65	48	И	76	74	17	46	85	09	50	58	04	77	69	74
80	12	43	56	35	17	72	70	80	15	45	31	82	23	74
74	35	09	98	17	77	40	27	72	14	43	23	60	02	10
69	91	62	68	03	66	25	22	91	48	36	93	68	72	03
09	89	32	05	05	14	22	56	85	14	46	42	75	67	88
73	03	95	71	86	40	21	81	65	44	91	49	91	45	23
21	И	57	82	53	14	38	55	37	63	80	33	69	45	98
45	52	16	42	37	96	28	60	26	55	44	10	48	19	49
76	62	И	39	90	94	40	05	64	18	12	55	07	37	42
96	29	77	88	22	54	38	21	45	98	63	60	64	93	29
68	47	92	76	86	46	16	28	35	54	94	75	08	99	23
26	94	03	68	58	70	29	73	41	35	53	14	03	33	40
85	15	74	79	54	32	97	92	65	75	57	60	04	08	81
И	10	00	20	40	12	86	07	46	97	96	64	48	94	39
16	50	53	44	84	40	21	95	25	63	43	65	17	70	82
Таблица 7. Нормально распределенные случайные числа

П риведенные в таблице 7 числа можно рассматривать как реали-
зации независимых, случайных величин, имеющих нормальное рас-
пределение с параметрами а = 0, оа= 1.

0,464	0,137	2,455	—0,323	—0,068	0,296	—0,288	1,298
0,000	—2.256	—0,531	—0,194	0,543	—1,558	0,187	— 1,190
1,486	—0,354	—0,634	0,697	0,926	1.375	0.785	-0,963
1,022	—0,472	1,279	3,521	0,571	—1,851	0,194	1,192
1.394	—0,555	0,046	0,321	2,945	1.974	—0,258	0,413
0,906	-0,513	—0,525	0,595	0,881	—0,934	1,579	0,161
1.179	—1.055	0,007	0,769	0,971	0,712	1,090	-0,631
— 1,501	—0,488	—0,162	—0,136	1,033	0,203	0,448	0,748
—0,690	0,756	—1,618	—0,345	—0,511	—2,051	-0,457	—0,218
1.372	0,225	0.378	0,761	0,181	—0,736	0,960	—1.530
—0,482	1,678	-0,057	—1,229	—0,486	0,856	—0,491	-1,983
—1,376	— 1,150	1,356	—0,561	—0,256	—0,212	0.219	0,779
—1,010	0,598	—0.918	1.598	0,065	0,415	—0,169	0,313
—0,005	—0,899	0,012	—0,725	1,147	—0,121	1.096	0,181
1,393	-1.163	—0,911	1,231	—0,199	—0,246	1,239	—2,574
— 1,787	—0,261	1,237	1,046	—0,508	—1,630	—0,146	—0,392
—0,105	—0,357	—1,384	0,360	—0,992	—0,116	— 1,698	—2,832
—1,339	1,827	—0,959	0,424	0,969	—1,141	— 1,041	0,362
1,041	0.535	0,731	1 377	0,983	— 1,330	1,620	—1,040
0.279	-2,056	0,717	-0,873	-1,096	—1,396	1,047	0,089
— 1.805	—2,008	—1.633	0,542	0,250	—0,166	0,032	0,079
—1,186	1,180	1,114	0,882	1,265	—0,202	0,151	—0,376
0,658	-1,141	1,151	-1,210	—0,927	0,425	0,290	—0,902
—0,439	0,358	—1,939	0.891	—0,227	0,602	0,873	—0.437
—1,399	—0,230	0,385	—0,649	—0,577	0,237	—0,289	0,513
0,199	0,208	—1,083	—0,219	—0,291	1,221	1,119	0.004
0,159	0,272	-0,313	0.084	—2,828	-0,439	—0,792	—1,275
2,273	0,606	0.606	—0,747	0,247	1.291	0.063	-1,793
0,041	—0,307	0,121	0,790	—0,584	0.541	0,484	—0.986
— 1,132	-2,098	0,921	0,145	0.446	— 1.661	1.045	—1,363
0,768	0,079	— 1,473	0,034	-2,127	0,665	0.084	—0,880
0,375	-1,658	—0,851	0,234	—0,656	0,340	—0,086	—0,158
—0,5.13	-0,344	0.210	—0,736	1,041	0,008	0.427	—0,831
0,292	—0,521	1,266	— 1.206	-0.899	0,110	—0,528	-0,813
1,026	2,990	—0,574	—0,491	—1,114	1,297	—1,433	—1,345
— 1,834	1,278	—0.568	—0,109	—0,515	—0,566	2,923	0,500
-0,287	-0,144	—0,254	0,574	—0,451	—1,181	—1.190	-0,318
0,161	-0,886	—0,921	—0,509	1,410	—0,518	0,192	—0,432
— 1.346	0,193	—1,202	0,394	—1,045	0,843	0,942	1,045
1,250	—0,199	—0,288	1,810	1,378	0,584	1,216	0,733
П родолженив табл. 7

0,630 —0,537	0,782	0,060	0,499 —0,431	1,705	1,164
0.375 —1,941	0,247	—0,491	0,665 -0,135	—0,145	—0,498
— 1.420	0,489-	—1,711	— 1,186	0,754 —0,732	—0,036	1,006
—0,151 —0,243	—0,430	—0,762	0,298	1,049	1,810	2,885
—0 309	0,531	0,416	—1.541	1,456	2,040	—0,124	0,196
0,424 —0,444	0,593	0,993 —0,106	0,416	0,484	—1.272
0.593	0,658	—1.127	—1,407 —1,579 —1,616	1,458	1,262
0 862 —0 885	—0,142	—0,504	0,532	1,381	0.022	—0,281
0,235 —0,628	—0,023	—0,463 —0.899 —0,394	—0,538	1.707
—0,853	0.402  1	0,777	0,833	0,410 —0,349	-1,094	0,580
0 241 —0,957	—1,885	—0,371 —2,830 —0,238	—0,627	0,561
0,022	0.525	—0,255	—0,702	0,953 —0,869	—1,108	—2,357
—0,853 —1,865	—0,423	—0,432 —0,973 -1,016	—1,726	1,956
—0,501 —0,273	0,857	—0,465 —1,691	0,417	0,524	—0,281
0.439 —0,035	-0,260	0,120 —0,558	0,056	—0.573	0,932
0,471 —1,029	—2,015	—0,594 —0,579	0,551	0,359	0,326
—0.310	0,479	—0,623	-1.047 —0,120	0,418	-0,094	1,114
0,610	2,709	—0,699	—1,347	0,191	0,074	1,501	1,068
—0,220 —0,057	0.481	0,996	0,071	0,524	0,031	0,772
0,738 —0.300	—0,586	—1,023 —3,001	0,479	0,402	0,226
0,884 —0,298	1,066	1,097 —1,752 —0,329	—1,256	0,318
0,457	1,064	0,736	—0.916 —0,291	0,085	1,701	—1,087
—0,798	0,162	—0.342	1,222 —ОМ 0,130	0,674	0.899
—0,768 —0,129	-0,188	—1,153 —0,450 —0,244	0.072	1,028
0,023 —1,204	1,395	1,298	0.512 -0,882	0 490	-1,304
1,531	0,349	—0,958	—0,059 0,415 — 1,084	—0,856	—0,063
—0,443 —0,292	—0,248	—0,539 —1,382	0,318	—0,276	—1,110
1,409 --0.883	—0,095	0,229	0 129	0,367	0,379	—0 440
1,730 —0,056	—1,488	—0,078 —2,361 —0,992	1,468	0,131
—0.266	0,757	—0,361	0,194 —1,078	0.529	—1,805	—0,772
ПРОГРАММНЫЕ ДАТЧИКИ

ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ

Теория вероятностей и математическая статистика
изучают свойства математических моделей случайных
явлений. Существование тех или иных свойств таких
моделей обосновывается, как и в других областях мате-
матики, строгими дедуктивными рассуждениями. Одна-
ко поиск этих свойств может проводиться путем экспе-
риментов с математическими моделями. Для постановки
таких экспериментов необходимо иметь в своем распоря-
жении последовательности чисел, которые, с той или
иной точки зрения, можно рассматривать как реализа-
ции последовательности независимых случайных вели-
чин (см., например, задачи 6.9 — 6.11). Другой важной
областью практических применений таких последова-
тельностей чисел являются методы Монте-Карло, про-
стейшие примеры которых содержатся в задачах 4.11
и 4.12.

В большинстве случаев необходимые для статистиче-
ских экспериментов последовательности чисел получа-
ются с помощью ЭВМ. Существует много различных
программ, вырабатывающих детерминированные после-
довательности чисел, которые имеют достаточно слож-
ную нерегулярную структуру и поэтому во многом по-
хожи на последовательности случайных чисел. Чтобы
подчеркнуть принципиальное отличие этих детермини-
рованных последовательностей от «настоящих» случай-
ных последовательностей, такие программы называют
датчиками псевдослучайных чисел.

Ниже приводится несколько датчиков псевдослучай-
ных чисел для программируемого микрокалькулятора
«Электроника БЗ-34». Каждую из этих программ можно
использовать как подпрограмму, если заменить стоящую
в ее конце команду БП безусловного перехода к началу
командой В/О возврата из подпрограммы.

Для тех, кто владеет основами программирования, пе
составит труда написать аналогичные программы для
других микрокалькуляторов или перевести их на какой-
нибудь язык программирования.

1.	Псевдослучайные числа с равномерным распреде-
лением на отрезке [0, 1].

Один из простейших способов построения последова-
тельности Vo, Pi, V2, ... псевдослучайных чисел из от-
резка [0. 11 с распределением, близким к равномерному,
дает рекуррентная формула

v„+i = {Kvn}, п = 0, 1, ...,	(1)

где {я} обозначает дробную долю числа х, а К — целое
число, определяющее свойства последовательности {рп}.
Чтобы последовательность {кп} имела достаточно боль-
шой период и не была слишком регулярной, целесооб-
разно выбирать в качестве К целое двузначное число,
дающее при делении на 8 остаток 4-3 или —3. Програм-
ма А реализует преобразование (1) числа ппе(0, 1),
находящегося на индикаторе и хранящегося в регистре
К = 37).

Программа А

случае, когда

00 ПС
01 3
02 7
03 X
04 1
05 4-

06 ПД 1
07 КИПД J

08 XY

09 ИПД
Ю -
11 с/п
12 ЕП
13 00 I

Вычисление А — 37vn 4~ 1.

Вычисление целой части [г ' ] числа i .

Вычисление еп+1 = {а*} = и* — [а*].

Выдача результата.

Переход к вычислению v 2.

Например, еслп перед началом работы программы
ввести на индикатор число Vo — 0,1357913, то получим
последовательность 0,0242781,	0,8982897,	0,236719,

0,758603,...
Если заменить в программе А число К = 37 числом
К = 93, то получим другую последовательность псевдо-
случайных чисел: 0,628591,	0,458963,	0,683559,

0,570987,...

Приведем еще один датчик псевдослучайных чисел,
соответствующий рекуррентной формуле ип+1 =
= {11р„ + л}, п = 0, 1, реализующая его программа
В отличается от программы А лишь несколькими пер-
выми командами.

Программа В

00 ПС	07 КИПД
01 1	08 XY
02 1	09 ИПД
03 X	10 —
04 Fn	11 С/П
05 4-	12 БП
06 ПД	13 00

Начиная работу программы В с того же числа t’o
= 0,1357913, получаем: 0,6352969, 0,129859, 0,5700416,
0,4120502,...

2.	Псевдослучайные числа с равномерным распреде-
лением на отрезке [а, &], с равномерным распределени-
ем на множестве 11, 2, ..., п} или с показательным рас-
пределением.

Датчик псевдослучайных чисел, имеющих равномер-
ное распределение на отрезке [0, 1], позволяет легко
получать последовательность псевдослучайных чисел,
имеющих заданную функцию распределения F(x), если
обратная к ней функция F-i (у) = supU: F(x)^y},
0 < у < 1, вычисляется достаточно просто (см. задачу
3.13). Например, естш F (х) — функция равномерного
распределения на отрезке [а, д], то F-i (у) = а +(Ъ — а) у\
если F {х}— функция равномерного распределения на
множестве {1, 2, ..., п}1 то F_i (t/) = 1 + [/??/]; если
F(x) = 1 —е-?1 — функция показательного распределе-
ния с параметром а, то	—а-1 In у.

Приведенные ниже программы С, 1), Е реализуют
указанные преобразования. Эти программы имеют общее
начало (команды 00 — 11) и используют регистр С для
хранения текущего значения псевдослучайного числа,
имеющего равномерное распределепие па отрезке |0, 1].
Перед пуском каждой из программ С —- Е в регистр С
следует заслать начальное значение 1>ое(О, 1) датчика
псевдослучайных чисел.
В программе С (равномерное распределение па [я. Ь])
регистр А должен содержать значение а, регистр В —
значение b — а. В программе D (равномерное распреде-
ление на {1, 2, .и)) регистр А должен содержать
значение п. В программе Е (показательное распределе-
ние) регистр А должен содержать значение а.

	С	Программы С — Е	
		D	Е
со ипс	12 ИПВ	12 ИПА	12 Fin
01	9	13 X	13 X	13 -
02	3 ’	14 ИПА	14 1	14 ИПА
03 X	15	+	15 4-	15 -
04	1	16 с/п	16 ПД	16 С/П
05	+	17 БП	17 КИПД	17 БП
06 ПД	18	00	18 ИПД	18 00
07 КИПД  08 XY  09 ИПД  10	-  И ПС  При одном и том же		19 С/П  20 БП 21 00  начальном значении Но =	
= 0,1357913	(заполнении	регистра С) эти	программы

выдают следующие результаты:

С(а = -Я, Ь = л): 6,8079611, -0,2578431,...

D(n = 12): 8, 6, 9, 7, 2, 6, 5, 4, 3, 12,...

Е(а = 1): 0,4642745. 0,7787857, 0,3804423,...

3.	Псевдослучайные числа с нормальным распре-
делением.

Для построения последовательности псевдослучай-
ных чисел с нормальным распределением метод, исполь-
зованный в и. 2, неудобен, потому что функция, обрат-
ная к функции нормального распределения, вычисляется
сложно. Здесь можно использовать утверждение (ср. с
задачами 3.230 и 4.127): случайные величины £| и $2
независимы и имеют стандартное нормальное распреде-
ление тогда и только тогда, когда независимы случай-
ные величины р" = I + Ё2 п ф = arg(£i + t£2), причем

Р {0 р2 ^7	= 1 — е 'х , Р {0 Ф "С = пип ' I,

0.

Поэтому если! случайные величины vi и v2 независимы
и имеют равномерное распределение на отрезке [0, 1],
317
то случайные величины

Bi = cos(2nvi) V—2 In V2,
_____________________	(2)
£2 — sin (2nvi) V—2 In V2

независимы и имеют стандартное нормальное распреде-
ление с M£i <= М§2 = 0, D|i = D^2 = 1. Переход от слу-
чайной величины имеющей стандартное нормальное
распределение, к случайной величине т|, имеющей нор-
мальное распределение с параметрами Mrj * a, D г| = о2,
осуществляется но формуле (3.27) из вводной части
к гл. 3:

т]—а + <т£:	(3)

Программа F реализует преобразования (2) и (3) и
выдает псевдослучайные числа парами. Регистр А дол-
жен содержать значение а, регистр В — значение п. ре-
гистр С — начальное значение Vq <= (0, 1) датчика псев-
дослучайных чисел, содержимое регистра 9 перед нача-
лом работы должно быть равно 0.

Например, при а = 5 и о = 1 получаем, начиная с
по = 0.1357913, последовательность 4,137646, 4,0978265,
4,5707727, 4,0322492, 5,9907414,...

Программа F

00	БП	14	1	28	2	42	ИП1
01	14	15	ИП9	29	X	43	F sin
02	ИПС	16	—	30	П1	44	ИП2
03	9	17	П9	31	F СОЗ	45	X
04	3	18	Fx V=0	32	XY	46	ИПВ
05	X	19	42	33	ПС	47	X
06	1	20	ПП	34	Fin	48	ИПА
07	+	21.	02	35	Hl	49	4~
08	ПД	22	ПС	36	2	50	С/П
09	кипд	23	ПП	37	X	51	БП
10	XY	24	02	38	F’V~	52	14
11	ИПД	25	ИПС	39	П2		
12	—	26	Fn	40	БII		
13	в/о	27	X	41	45		
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

4.	Боль ш.е в Л. Н., Смирнов Н. В, Таблицы математической
статистики.— 3-с изд.— М.: Наука, 1983.— 416 с.

2.	Боровков А. А. Теория вероятностей.— 2-е изд.—М.: Нау-
ка, 1986.—431 с.

3.	Б о р о в к о в А. А. Математическая статистика. Оценка пара-
метров. Проверка гипотез,—М.: Наука, 1984,—472 с.

4.	Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Математическая стати-
стика.—М.: Высшая школа, 1984.—248 с. '

5.	К о л м о г о р о в А. Н. Основные понятия теории вероятностей.—
2-е изд.—М.: Наука, 1974,—119 с.

6.	Колмогоров А. Н., Фомин С. В, Элементы теории функ-
ций и функционального анализа,— 6-е изд.— М.: Наука, 1989.—
543 с.

7.	К р а м е р Г. Математические методы статистики.— 2-е изд.:
Пер. с англ.— М.: Мир, 1976.— 648 с.

8.	П р о х о р о в А. В., Ушаков В. Г., У ш а к о в Н. Г. Задачи
по теории вероятностей. Основные понятия. Предельные тео-
ремы. Случайные процессы.— М.: Наука, 1986.— 327 с.

9.	Риордан Д. Введение в комбинаторный анализ.—М.: ИЛ,
1963,- 287 с.

.10	. С е в а с т ь я п о в Б. А. Курс теории вероятностей и математи-
ческой статистики.— М.: Наука, 1982.— 255 с.

11.	Феллер В. Введение ь теорию вероятностей и ее приложе-
ния: в 2 т. Пер. с англ.— М.: Мпр, 1984.— Т. 1.— 528 с. Т 2 —
752 с.

12.	Ч и с т я к о в В. П. Курс теории вероятностей.— 3-е изд.— М.:
Наука, 1987.— 240 с.

13	Ширяев А. Н. Вероятность,—2-е изд.— М.: Наука, 1989 —
576 с.
Учебное издаясе

Зубков Андрей Михайлович
Севастьянов Борис Александрович
Чистяков Владимир Павлович

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Заведующий редакцией А. П. Баева
Редактор И. Е. Морозова

Художественный редактор Т. Н Кольченко
Технический редактор Е. Б. Морозова
Корректор Н. Д. Дорохова

ИВ 32828

Сдано з набор 17.05.88 Подписано к печати 11.08 89. Формат
84X108/32. Бумага книжно-журнальная Гарнитура обыкно-
венная. Печать высокая. Усл. печ. л. 16.8 Усл кр.-отт. 16,8.
Уч.-изд. л. 19,85. Тираж 68 000 экз. Заказ № 195. Цена 1 руб.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15

4-я типография издательства «Наука»
OJ0077 Новосибирск, 77, Станиславского, 25