Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) - Шрейдер Ю.А., Бусленко Н.П., Соболь И.М., Голенко Д.И., Срагович В.Г.

Автор: Шрейдер Ю.А. Бусленко Н.П. Соболь И.М. Голенко Д.И. Срагович В.Г.

Теги: физика математика прикладная математика

Год: 1962

Похожие

Численные методы Монте-Карло

Метод Монте-Карло

Метод статистического моделирования

Текст

ПРАВОЧНАЯ
АТЕАШИЧЕСШ
БЛИОТЕКА
МЕТОЛ
СТАТИСТИЧЕСКИХ
ИСПЫТАНИЙ
(МЕТОЛ МОНТЕ-КАРЛО)

Цена 94 коп.
СПРАВОЧНАЯ
МАТЕМАТИЧЕСНАЯ
БИБЛИОТЕКА
ВЫШЛИ ИЗ ПЕЧАТИ
1. ДАНИЛОВ В. Л. и др., Математический
анализ (функции, пределы, ряды, цепные
дроби).
2. АРАМАНОВИЧ И. Г. и др., Математи-
Математический анализа (дифференцирование и инте-
интегрирование).
3. ДИТКИН В. А. И ПРУДНИКОВ А. П.,
Интегральные преобразования и операцион-
операционное исчисление.
4. МИШИНА А. П. и ПРОСКУРЯКОВ И. В.,
Высшая алгебра (линейная^алгебра, много-
многочлены, общая алгебра).

v Г- . .

СПРАВОЧНАЯ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
БИБЛИОТЕКА
ПОД ОБЩЕЙ РЕДАКЦИЕЙ
Л. А. ЛЮСТЕРНИКА
и
А. Р. ЯНПОЛЬСКОГО

h
H. П. БУСЛЕНКО, Д. И. ГОЛЕНКО, И. М. СОБОЛЬ,
В. Г. СРАГОВИЧ, Ю. А. ШРЕЙДЕР
МЕТОД
СТАТИСТИЧЕСКИХ
ИСПЫТАНИЙ
(МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО)
Под редакцией Ю. А. ШРЕЙДЕРА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1962

517.8 @3)
Б92
АННОТАЦИЯ
В книге описаны особенности метода стати-
статистических испытаний, состоящего в моделирова-
моделировании случайных процессов на цифровых вычисли-
вычислительных машинах. Отдельные главы посвящены
наиболее важным областям применения метода:
нейтронной физике, теории передачи сообщений
и теории процессов массового обслуживания.
Подробно рассмотрены методы вычисления мно-
многомерных интегралов. Описаны методы получения
и преобразования случайных и псевдослучайных
чисел.
Справочник предназначен для математиков,
физиков и инженеров, занимающихся решением
прикладных задач, а также для студентов и аспи-
аспирантов, изучающих метод Монте-Карло. Для чте-
чтения книги требуется знание основных понятий
теории вероятностей и элементов статистики.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 7
Глава I. Основы метода Монте-Карло 11
§ 1. Определение и простейшие примеры применения
метода Монте-Карло 11
§ 2. Точность метода Монте-Карло и его основные осо-
особенности 18
§ 3. Выработка случайных чисел 25
§ 4. Решение систем линейных алгебраических уравнений 32
§ 5. Проблема блужданий и решение краевых задач . . 37
§ 6. Метод Монте-Карло и реализация марковских про-
' цессов в вычислительной машине 46
Глава И. Вычисление определенных интегралов .... 55
§ 1. Простейшие приемы метода Монте-Карло ..... 55
§ 2. Некоторые способы понижения дисперсии 61
§ 3. Вычисление многомерных интегралов . 76
§ 4. О вычислении континуальных интегралов 89
§ 5. О применении неслучайных точек в схеме метода
Монте-Карло 93
Глава III. Применение метода Монте-Карло в нейтрон-
нейтронной физике 100
§ 1. Метод Монте-Карло в задачах об элементарных
частицах 100
§ 2. Простейшие взаимодействия нейтронов с ядрами и
их моделирование , 109
§ 3. Прохождение нейтронов сквозь пластинку 122
§ 4. Некоторые методы расчета критичности ядерных
реакторов 136
Глава IV. Применение метода Монте-Карло к исследова-
исследованию процессов массового обслуживания 146
§ 1. Общие сведения о задачах массового обслуживания 146
§ 2. Математическое описание потока заявок, поступаю-
поступающих на обслуживание 149
§ 3. Системы массового обслуживания 154
§ 4. Формирование случайных потоков заявок 159

б СОДЕРЖАНИЕ
§ 5. Структура алгоритма для решения методом Монте-
Карло задач массового обслуживания 171
§ 6. Замечания об обработке результатов моделирования 177
Глава V. Применение метода Монте-Карло к теории
передачи сообщений 180
§ 1. Статистические свойства сигналов и шумов .... 181
§ 2. Формулировка основных задач теории обнаружения 194
§ 3. Методика решения основных задач теории обнару-
обнаружения 210
§ 4. Другие задачи 214
Глава VI. Получение равномерно распределенных слу-
случайных величин иа электронных вычислительных
машинах 222
§ 1. Сравнение различных методов получения случай-
случайных величин 222
§ 2. Получение равномерных псевдослучайных величин
иа электронных вычислительных машинах 224
§ 3. Критерии проверки качества равномерных псевдо-
псевдослучайных чисел 236
§ 4. Физическое генерирование равномерных случайных
величин 248
§ 5. Тестовые проверки работы датчиков случайных
чисел 268
Глава VII. Преобразование случайных чисел 274
§ 1. Свойства квазиравномерных величин 274
§ 2. Моделирование независимых случайных событий. 278
§ 3. Особенности моделирования событий в случае ис-
использования малоразрядиых случайных чисел . . . 282
§ 4. Способы получения случайных чисел с заданный
законом распределения 283
§ 5. Моделирование случайных векторов и случайных
функций 297
§ 6. Моделирование некоторых многомерных величин . . 298
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Таблица случайных цифр 305
II. Таблица нормальных величин 308
Библиография 313
Алфавитный указатель 328

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий выпуск серии «Справочной математической
библиотеки» посвящен так называемому методу статисти-
статистических. испытаний (методу Монте-Карло). В отличие от ра-
ранее вышедших выпусков, посвященных классическим раз-
разделам математики со строго очерченным кругом вопросов,
установившейся терминологией и традициями изложения,
в этом выпуске рассматриваются математические методы,
получившие развитие за последние 13 лет*).
Эти методы, применяющиеся в самых разных областях
вычислительной математики, объединены одной общей идеей.
В основе их лежит моделирование статистического экспе-
эксперимента с помощью средств вычислительной техники и ре-
регистрация числовых характеристик, получаемых из этого экс-
эксперимента. Поэтому все эти методы объединяются под общим
названием метода статистических испытаний или метода
Монте-Карло. Решение численных зада«г этим, методом по
духу своему ближе к физическому эксперименту, чем к клас-
классическим численным методам.
Действительно, ошибка метода Монте-Карло не может
быть достаточно хорошо оценена заранее и, как правило,
находится путем определения средних квадратичных для мо-
моделируемых величин. Решение не может быть в ряде слу-
случаев в точности воспроизведено. Решение устойчиво по от-
отношению к единичным ошибкам в работе используемой вы-
вычислительной машины.
Задача этого выпуска — показать основные особенности ме-
метода, дать достаточно полное представление об используемых
*) По существу о применении метода Монте-Карло можно го-
говорить только после работы Н. Метрополиса и С. Улэма {203],
вышедшей в 1949 г. В этой работе впервые появился термин
«Монте-Карло».

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
в методе Монте-Карло средствах и типичных приемах и по-
показать основные области применения метода Монте-Карло.
Этим замыслом и объясняется построение книги.
В главе I (автор Ю. А. Шрейдер) излагаются основные
особенности метода и рассматриваются типичные примеры
его применения в чисто математических вычислительных
задачах.
В главе II (автор И. М. Соболь) очень подробно рас-
рассматривается в некотором смысле основная область приме-
применения метода — вычисление многомерных интегралов.
В ней разобраны многообразные приемы статистического
моделирования интегралов и исследуется точность вычис-
вычислений.
Глава III (автор И. М. Соболь) и глава V (автор В. Г. Сра-
гович) посвящены применениям метода Монте-Карло в тех
областях физики и техники, где он особенно широко
и успешно используется. (Самые первые шаги метода Монте-
Карло были как раз связаны с применениями в нейтронной
физике.) Это обусловлено тем, что в них исследуются слу-
случайные процессы (прохождение пучка нейтронов через рас-
рассеивающую среду, флюктуации радиосигнала и т. п.) на-
настолько сложные, что их аналитическое описание практически
невозможно. Однако статистическое моделирование таких
процессов в цифровых вычислительных машинах позволяет
с успехом проводить исследование. Эти процессы обладают
специфическими особенностями, при их моделировании было
выработано много специальных приемов, которые оказалось
полезным выделить в отдельные главы.
Глава IV (автор Н. П. Бусленко) посвящена применению
метода Монте-Карло к исследованию процессов массового
обслуживания. Эта отрасль, развивавшаяся за самые по-
последние годы, связана с моделированием сложных систем упра-
управления и исследованием операций и имеет большие пер-
перспективы в математической кибернетике.
В главах VI (автор Д. И. Голенко) и VII (§§ 1, 2, 3, 5
написаны Н. П. Бусленко, § 6 написан В. Г. Сраговичем,
§ 4 написан Н. П. Бусленко и В. Г. Сраговичем совместно)
рассмотрена методика организации статистического экспе-
эксперимента на универсальных цифровых вычислительных ма-
машинах. Рассмотренные в этих главах вопросы существенны
при любом применении метода статистических испытаний.

ПРЕДИСЛОВИЕ 9
Из крупных прикладных областей, где применяется метод
Монте-Карло, остались не освещенными две: применение ме-
метода Монте-Карло к исследованию самообучаемых систем
и к исследованию надежности сложных радиоэлектронных
комплексов (например, вычислительных машин). Однако
и та и другая область еще находятся в начальной стадии
развития; поэтому соответствующий материал трудно пока
поместить в справочное издание. Вопросы, относящиеся
к первой из них, частично освещены в книге Р. Буша
и Ф. Мостеллера «Стохастические модели обучаемости», пер.
с англ., Физматгиз, 1962.
Ввиду того, что библиография по отдельным главам
в ряде случаев совпадает, и для удобства справок, в конце
книги приведена обширная единая библиография по методу
Монте-Карло, составленная И. М. Соболем. Все ссылки
в тексте относятся к этой библиографии. Литература общего
характера, не относящаяся непосредственно к методу Монте-
Карло, приведена после этой библиографии и имеет с ней
общую нумерацию.
Общие вопросы метода Монте-Карло освещены в недавно
вышедшей книге Н. П. Бусленко и Ю. А. Шрейдера [11].
Настоящий выпуск отличается от нее более элементарным
и подробным изложением материала и показом более ши-
широкого класса приложений.
В справочнике совсем не рассматриваются вопросы, свя-
связанные с особенностями структуры электронных цифровых
вычислительных машин (ЭВМ), предназначенных для реше-
решения задач по методу Монте-Карло и, в частности, вопросы
конструирования специализированных ЭВМ.
В создании выпуска участвовал большой коллектив авто-
авторов. Несмотря на проделанную работу по согласованию глав,
остались некоторые неизбежные перекрытия в содержании
и разностильность изложения.
Выпуск рассчитан на разнообразный круг читателей — от
людей, знакомящихся с основами применения метода, до лиц,
интересующихся сравнительно тонкими вопросами особен-
особенностей моделирования физических процессов. Если не учи-
учитывать главы III и V, рассчитанные на читателей, знакомых
с некоторыми общими сведениями из нейтронной физики
и радиотехники, то для понимания большей части изложен-
изложенного в книге материала от читателя требуется математическая

10 ПРЕДИСЛОВИЕ
подготовка в объеме втузовского курса математического
анализа, а также знание основ теории вероятностей, так
как вероятностные понятия проходят красной нитью через
всю книгу. Предполагается, что читатель знаком с основ-
основными сведениями о случайных событиях и величинах и
их вероятностных характеристиках (вероятность наступле-
наступления события, математическое ожидание, дисперсия). Кроме
того, нужно иметь представление о нормальном законе рас-
распределения, теореме Ляпунова и, для некоторых глав, об
элементах математической статистики. Очень желательно
также иметь понятие о марковских процессах.
Авторы надеются, что данный справочник окажется по-
полезным лицам, занимающимся методом Монте-Карло и его
приложениями и, что не менее важно, наведет многих чита-
читателей на идею о полезности применения метода Монте-Карло
в решаемых ими задачах. Авторы выражают свою благо-
благодарность В. Д. Розенкнопу, давшему ряд ценных советов
по существу изложения.
Ю. Шрейдер

ГЛАВА I
ОСНОВЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
§ 1. Определение и простейшие примеры применения
метода Монте-Карло
Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло)
состоит в решении различных задач вычислительной матема-
математики путем построения для каждой задачи случайного про-
процесса с параметрами, равными искомым величинам этой за-
задачи. При этом приближенное определение этих величин
происходит путем наблюдения за случайным процессом
и вычисления его статистических характеристик, прибли-
приближенно равных искомым параметрам.
Например, искомая величина х может быть равной ма-
математическому ожиданию MS некоторой случайной величины.
Тогда метод Монте-Карло для приближенного нахождения
величины х состоит в ЛА-кратной выборке значений вели-
величины ? в серии независимых испытаний: ?х, Е2, .... Z.N и вы-
вычислении среднего значения
По закону больших чисел при достаточно большом значе-
значении N с вероятностью, достаточно близкой к единице,
? = х.
Следовательно, определенная из наблюдения над случайным
процессом величина % приближенно равна искомой вели-
величине х.
Приведем простейший пример.

12 ГЛ. I. ОСНОВЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
Пусть вычисляется вероятность w того, что суммарное
число попаданий в «яблочко» стрелком при десяти выстре-
выстрелах является четным. Если вероятность попадания в яблочко
при одном выстреле равна р, то искомую вероятность w
можно вычислить по формуле
(i-РГ . (l.i)
ft=O
Формула A.1) очевидна, если учесть, что общий член
под знаком суммы есть вероятность того, что число попа-
попаданий в точности равно 2k.
Если воспользоваться готовой таблицей для сочетаний С\о,
то подсчет вероятности по формуле A.1) требует 20 умно-
умножений и 6 сложений.
Вместо этого можно было бы выполнить N серий по 10
выстрелов в каждой и сосчитать величину L, равную коли-
количеству случаев, когда в очередном десятке выстрелов было
четное количество попаданий. При достаточно большом зна-
значении N частное LIN будет давать хорошее представление
об искомой вероятности w. Ниже будет показано, что для
того, чтобы достаточно надежно получить значение w с двумя
знаками после занятой, нужно провести около 10 000 серий
испытаний по 10 выстрелов.
В данном случае проще провести несложный счет по
формуле A.1), чем производить 100000 выстрелов.
Этот пример есть просто определение неизвестной вели-
величины из реального эксперимента. В более строгом смысле
методом Монте-Карло называют построение искусственного
случайного процесса, обладающего всеми нужными свой-
свойствами, но реализуемого в основном с помощью обычных
вычислительных средств: карандаша, бумаги, таблиц, вычи-
вычислительных машин и иногда простейших средств генериро-
пания случайных величин (так называемых датчиков случай-
пых чисел (см. гл. VI)).
Практически метод Монте-Карло получил широкое
распространение только в процессе эксплуатации мощных
вычислительных машин. Ниже мы увидим, что свойства этого
метода делают его особенно удобным для реализации на
цифровых вычислительных машинах. Как правило, для реа-
реализации метода Монте-Карло используют универсальные вы-

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ 13
числительные машины, но в ряде случаев имеет смысл кон-
конструирование специализированных машин для отдельных
классов задач.
Опишем теперь решение приведенной выше задачи вы-
вычисления вероятности w с помощью простейших вычислитель-
вычислительных средств. Вместо стрельбы осуществим процесс, в
котором, кроме карандаша и бумаги, будут использоваться
юла и часы с секундной стрелкой. Для простоты пред-
предположим, что р = -г . Вместо серии из десяти выстрелов
О
будем десять раз запускать юлу. В момент, когда юла
падает на пол, смотрим на часы и отмечаем положение
секундной стрелки. Если секундная стрелка показывает зна-
значение т в интервале 0<^т< 12, то фиксируем «попада-
«попадание». Если в течение серии из десяти запусков наблю-
наблюдалось четное число попаданий, то такую серию считаем
«удачной». Проделаем N серий таких опытов, каждую
из десяти пусков юлы. Пусть из них L являются удачными.
Тогда случайная величина LjN будет распределена точно
так же, как описанная выше аналогичная величина для
случая реальной стрельбы и, следовательно, будет прибли-
приближенно равна искомой вероятности w.
Эксперимент с пуском юлы, хотя и требует меньших
затрат, чем проведение стрельбы, не является, однако,
более быстро выполнимым, чом реальная стрельба. Для
ускорения решения нужно было бы использовать электронную
вычислительную машину.
Для определения характеристик случайного процесса
моделируется с помощью вычислительной машины этот слу-
случайный процесс, и вычисляются его статистические характе-
характеристики, которые выдаются машиной на печать как резуль-
результат решения задачи.
В частности, разбираемый нами пример может быть
реализован на вычислительной машине следующим образом.
Во многих машинах имеются датчики случайных чисел
(см. гл. VI), позволяющие на каждом такте получать зна-
значение ? случайной величины, равномерно распределенной
в интервале [0, 1]. Вместо выстрела в цель или пуска юлы
выберем из датчика значение % и проверим, выполняется ли
неравенство % < р. Если оно выполнено, то мы будем счи-
считать состоявшимся «попадание». Нетрудно видеть, что

14 ГЛ. I. ОСНОВЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
вероятность выполнения неравенства ? < р, равная вероят-
вероятности «попадания», есть р.
Выберем серию из 10 чисел ? и, если в этой серии
наблюдалось четное число «попаданий», будем считать ее
удачной. Пусть среди N серий наблюдалось L удачных.
Относительно величины L/N можно повторить все то, что
было сказано раньше. Имитация одного выстрела по ука-
указанному методу занимает в машине «Стрела» две опе-
операции.
Таким образом, имитация всего процесса с 7V= 10 000
повторениями серий занимает порядка 200 000 операций, т. е.
100 секунд работы машины «Стрела». Это уже намного
быстрее, чем может занять фактическое осуществление
10 000 выстрелов, но гораздо больше, чем 26 операций,
необходимых для счета по формуле A.1).
Для задач, связанных с определением эффективности
артиллерийской стрельбы из многих орудий, моделирование
процесса на вычислительной машине занимает уже намного
меньше времени, чем аналитическое вычисление искомых
величин на той же машине. В этом случае метод статисти-
статистических испытаний большей частью является единственным
приемлемым средством достижения результата.
Иногда исходной является аналитическая постановка за-
задачи (например, краевая задача для уравнения Лапласа),
затем находится случайный процесс (например, процесс
блужданий, описанный в § 5 настоящей главы) и изучается
этот процесс. В других случаях исходным является задание
некоторого случайного процесса, аналитическое описание
которого практически бесполезно или вообще никогда не
рассматривается. Сюда относится, например, уже упомянутое'
вычисление вероятности поражения цели при определенных
правилах стрельбы или определение параметров некоторого
процесса массового обслуживания.
В приведенном примере речь шла о точном моделиро-
моделировании случайного процесса. В действительности чаще при-
приходится некоторому изучаемому процессу ставить в соответ-
соответствие упрощенный искусственный процесс, моделируемый
в вычислительной машине и в некотором смысле прибли-
приближающий исходный процесс. Так, при решении методом
Монте-Карло краевой задачи в области G для уравнения
Лапласа соответствующий случайный процесс есть броуновское

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ 15
движение в области О с непрерывным временем и оседа-
оседанием на границе области.
Моделируется же обычно процесс блуждания по решетке,
вписанной в область О с дискретным временем! так что
в каждый момент происходит «лерескок» броуновской ча-
частицы из узла решетки в соседний (см. § 5).
Необходимость такого упрощения обычно диктуется как
неполными сведениями о реальном процессе, так и огра-
ограниченными возможностями машины, не позволяющей в при-
приемлемое время воспроизвести слишком сложный процесс.
Наибольшие успехи метод Монте-Карло принес в тех
областях, где основная математическая задача состоит в ис-
исследовании того или иного случайного процесса. Так, сами
задачи нейтронной физики ставятся вероятностным образом,
выделение сигналов на фоне случайных шумов является ве-
вероятностной задачей и т. д. Однако существуют вычисли-
вычислительные задачи,* которые в своей постановке не связаны
с теорией вероятностей, но к которым хорошо применим
метод Монте-Карло. Наиболее типичный пример — это крае-
краевые задачи для эллиптических уравнений (например, для
уравнения Лапласа) и родственные им задачи для параболи-
параболических уравнений (основной пример — уравнение теплопро-
теплопроводности).
Решения этих уравнений тесно связаны с характе-
характеристиками некоторых случайных процессов диффузионного
типа. Поэтому решение этих уравнений удобно сводится
к моделированию таких процессов. Способ такого сведения
рассмотрен в § 5. Интересно отметить* что когда связь
между краевыми задачами и случайными процессами была
впервые отмечена, то основной интерес к этому факту со-
состоял в том, что возможно было применить методы теории
дифференциальных уравнений к исследованию широкого
класса случайных - процессов. В методе Монте-Карло эта
классическая ситуация оказалась обращенной в противопо-
противоположную сторону. Именно, здесь моделирование случайных
процессов оказывается очень удобным методом для фак-
фактического нахождения решений дифференциального урав-
уравнения.
Второй пример — это решение систем линейных алгебраи-
алгебраических уравнений. В § 4 приведен пример на статисти-
статистическое моделирование процесса, характеристики которого

16
ГЛ. I. ОСНОВЫ МЕТОДА МОН1Е-КАРЛ.О
используются для нахождения неизвестных в системе линей-
линейных алгебраических уравнений вида
х— Ах-\-Ь,
где А — матрица, близкая к единичной.
Методы, применимые к более общим системам, рассмот-
рассмотрены в [68].
Особую роль играет развитие теоретике-вероятностных
методов вычисления интегралов. Так как вероятность всегда
может быть рассматриваема как мера, то задача определе-
определения вероятностей тех или иных событий или математических
ожиданий Dcci-да сводится к
вычислению некоторого инте-
, грала. Рассмотрим задачу вы-
.D^! числения интеграла
ff(x)dx.
Рис. 1.
Будем считать, что значения
функции / (х) заключены между
О и 1, т. е. 0</(х)<1
при 0<;х< 1.
_^_ Надо найти (рис. 1) пло-
z щадь 5 области G, ограничен-
ограниченной кривой у = /(х), осью х
и ординатами х = 0. х=1.
Нужно заметить, что ограничение на функцию /(х) несуще-
несущественно ввиду возможного изменения масштабов.
Пусть в квадрат 0 <; х <; 1, 0 < у < 1 случайно попа-
попадает точка, координаты которой независимы и равномерно
распределены в интервале (О, I). Какова вероятность р того,
что точка попадет в область под кривой? Пусть взятая
наугад точка будет (?, tj). Эта точка заведомо попадет
в квадрат, так как 0 ^!; <; I. O-^tj^I. Ясно, что ве-
вероятность р равна площади S или искомому интегралу.
Пусть имеется какой-то способ получения независимых
равномерно распределенных величин Е и tj. Берем первую
пару величин % и t\ и проверяем условие
f® <
A.2)

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ й ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ-ПРИМЕНЕНИЯ J7
'Если это условие выполнено, то выбранная случайная
точка (?, 7j) попала в область О под кривой. Далее берем N
пар случайных величин и для всех этих пар проверяем,
выполнено ли неравенство A.2).
Пусть для L пар из этих N выполнено неравенство A.2).
Тогда величина L/N приближенно равна вероятности того,
что случайная точка попадет в область О, т. е.
1
о
Оценка погрешности вычисления интеграла таким мето-
методом, как и в предыдущем примере, зависит от количества
испытаний N.
В обоих рассмотренных примерах при моделировании
процесса оценивалась вероятность некоторого события А.
Более общий случай состоит в том, что при моделировании
процесса оценивается неизвестное математическое ожидание
некоторой случайной величины -ц. Простейший пример по-
лучается при вычислении того же интеграла Г f(x)dx.
о
Пусть % — равномерно распределенная на отрезке [0, 1]
величина. Тогда величина т} = /(?) имеет математическое
ожидание
а = Мт] = Г / (х) dx.
Таким образом, для вычисления интеграла надо выбрать N
независимых значений ?i, t2, .... ^ величины ? и образо-
образовать среднее арифметическое
Величина г\ является приближенным значением искомого
интеграла.
Заметим, что если, мы ошиблись в нескольких значе-
значениях /(у, то эта ошибка может быть «сглажена» при боль-
большом N, иными словами, метод является тшехоустайчивым
к случайным сбоям машины.
2 Зак. 250. Н, П. Бусленко и др.

18 ГЛ. I. ОСНОВЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
Примеры, рассмотренные в этом параграфе, дают общее
представление об особенностях метода Монте-Карло: необ-
необходимость выполнения больших однотипных серий вычисле-
вычислений, сглаживание ошибок. В дальнейшем будут выявлены
еще такие особенности метода, как использование сравни-
сравнительно малых объемов памяти для промежуточных резуль-
результатов, приспособленность к многомерным задачам. Все эти
особенности делают метод Монте-Карло перспективным для
вычислений на мощных цифровых вычислительных машинах.
§ 2. Точность метода Монте-Карло и его основные
особенности
Выясним, как оценивать точность метода Монте-Карло.
Пусть моделируется событие А, имеющее вероятность
появления р. Обозначим через ?, величину, равную единице,
если на /-ом испытании произошло событие А, и равную
нулю, если событие А не произошло. Таким образом, общее
количество испытаний, в течение которых событие А прои-
произошло, равно
N
где N—общее число испытаний. Отдельные испытания будем
предполагать независимыми.
Частота появления события А равна L/N и является слу-
случайной величиной, имеющей математическое ожидание
и дисперсию
N
N2
При этом мы использовали тот факт, что для каждой вели-
величины %, математическое ожидание

§ 2. ТОЧНОСТЬ И ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ 19
а дисперсия равна
Согласно закону больших чисел (теорема Бернулли) ча-
частота появления события А, равная L/N, приблизительно
равна вероятности р. Точнее говоря, для всякого е > 0 и
всякого 8 > 0 существует такое число испытаний N, что
с вероятностью большей, чем 1—е, частота появления собы-
события А будет отличаться от вероятности р появления этого
события меньше, чем на 8:
L
N-P
<8. A.3)
Так как р—искомая величина, а -тт — ее приближенное зна-
значение, получаемое по методу Монте-Карло, то разность
-дт — /мгееть ошибка метода Момте-Карлю.
Из сказанного ясно, что эта ошибка может быть оце-,
не«а лишь вероятностно с определенной степенью достовер-
достоверности 1 — 8. (В дальнейшем, будем обычно брать степень
достоверности 0,99 или 0,997.)
Надо отметить, что применение электронных вычисли-
вычислительных машин в каком-то смысле стирает разницу между
методом Монте-Карло и обычными вычислительными мето-
методами. Действительно, при решении сложной вычислительной
задачи на Электронной вычислительной машине всегда при-
приходится считаться с возможностью случайной ошибки (про-
(происходящей из-за сбоя или из-за округления), а, следовательно,
считать ответ достоверным/ лишь с некоторой вероятностью,
близкой к единице. Кроме того, в сложных вычислительных
задачах ошибка может быть оценена только по результатам
расчета. v
Левая часть неравенства A.3) может быть всегда оце-
оценена при помощи неравенства Чебышева
Jf—P
где e есть, как. и выше, вероятность невыполнения оценки
A.4). Эта оценка приводится в учебниках по теории вероят-
вероятностей. Самое существенное в ней то, что она имеет
2*

20 ГЛ. I. ОСНОВЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
порядок 1/у N. Иными словами, погрешность о метода Монте-
Карло при вычислении вероятности события А имеет порядок
e 1 A-5)
Хотя оценка A.4) может быть существенно улучшена,
соотношение A.5) является во всех случаях справедливым.
Из него вытекает очень важное следствие о точности метода
Монте-Карло и возникающих ограничениях в применимости
метода.
Из A.5) видно, что уменьшение ошибки 8 приближенного
решения задачи, получаемого методом Монте-Карло, связано
со значительным увеличением числа испытаний ./V, а значит
и с увеличением времени вычислений; например, увеличение
точности на порядок приводит к стократному удлинению вре-
времени решения задачи. Поэтому метод Монте-Карло не может
дать решения с очень высокой точностью. В практических
задачах метод Монте-Карло (если не применяются специаль-
специальные приемы ускорения) дает точность порядка 0,01—0,001
от максимального значения.
Как видно из дальнейшего, метод Монте-Карло хорошо
приспособлен к решению многомерных задач. Обычно эти
задачи и не требуют очень больших точностей, поэтому от-
отмеченный недостаток метода не столь существен, как это
могло бы показаться с первого взгляда.
Кроме того, нужно отметить, что при вычислении вероят-
вероятностей по методу Монте-Карло (например, вероятностей по-
поражения цели, вероятностей прохождения нейтрона через
защиту реактора и т. п.) получение большой точности часто
бессмысленно по самому характеру задачи. Так, практически
безразлично, будет ли цель поражаться с вероятностью
0,901 или 0,902.
Пусть моделируется процесс, в котором при каждом из N
независимых испытаний получается некоторая величина tt.
Предположим, что эта величина обладает конечными мате-
математическим ожиданием М^ = а и дисперсией D=j = °2. Тогда
среднее арифметическое
N
N~ N

§ 2. ТОЧНОСТЬ И ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ 21
является приближенным значением искомого математического
ожидания а. Величина Е есть результат решения некоторой
задачи по методу Монте-Карло. Отклонение этой величины
от искомого математического ожидания |Е—а\ и есть ошибка
метода.
Оценка величины ошибки, как и выше, производится
с достоверностью 1 — е. Это значит, что с вероятностью,
не меньшей 1 —е, имеет место оценка
8= |1- с|< a Ytn' (L6)
получаемая, как и A.4), из неравенства Чебышева. Соотно-
Соотношение
справедливо со всеми вытекающими отсюда следствиями и
в этом случае.
В формуле A.6) ясно видна роль не только числа испы-
испытаний, но и дисперсии величины ?г. Всегда выгодно стремиться
к уменьшению этой дисперсии, пользуясь, если надо, спе-
специальными способами, которые обычно называются прие-
приемами ускорения сходимости. Действительно, уменьшение о
в оценке A.6) позволяет ограничиться меньшими значе-
значениями N, т. е. уменьшить время решения задачи.
Теперь уточним оценку A.6) и как частный случай по-
получим отсюда оценку A.4). Для этого заметим, что вели-
величина Z- == Ёг —|— Ё2 —|— ... -{"?м есть сумма большого количе-
количества независимых случайных величин. То же самое справед-
справедливо и относительно величины
Поэтому закон распределения величины \ может быть полу-
получен из предельных теорем теории вероятностей. Пусть
га — такая величина, что с вероятностью а имеем
тогда га может служить оценкой ошибки, вообще гоьоря,
лучшей, чем A.6).

22 ГЛ. I. ОСНОВЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
Наиболее важный ^случай— когда закон распределения
величины ? нормален (? распределена по закону Гаусса). Тот
факт, что величина if распределена почти по закону Гаусса,
следует из весьма общих свойств величин ^. Этот факт
обеспечивается, например, если величина
A.8)
достаточно мала, где Ъ — так называемый третий момент
величины \t. Так как в методе Монте-Карло обычно исполь-
используются значения N порядка 103-ь-105, то, как правило,
можно применять закон Гаусса. Исключение представляет, на-
например, моделирование событий, возникающих с малой вероят-
вероятностью р. В этом случае для целочисленной величины L
часто появляется распределение Пуассона. Условием появле-
появления в качестве предельного закона для L распределения
Пуассона является соотношение
A9)
Иначе говоря, нужно, чтобы величина pN не была бы слиш-
слишком большой.
В этом случае соотношение A.8) приобретает вид
A-рKР
что, в силу A.9), не близко и нулю, т. е. противоречит
условию нормальности.
Рассмотрим теперь основной случай, когда ? распреде-
распределена по закону, близкому к гауссову. Выбирая достовер-
достоверность оценки для ошибки, равную а = 0,997, получим зна-
значение га = 3<з0, где о0 — среднее квадратичное уклонение
величины ? (правило трех сигм!).
Дисперсия с0 среднего арифметического 5 связана с дис-
дисперсией а2 величины \t следующим образом:

§ 2. ТОЧНОСТЬ И ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ 23
Отсюда следует такая оценка для ошибки метода Монте-
Карло:
f^ A.11)
Оценка A.11) является точной. Если величину в правой части
A.11) уменьшить, то достоверность оценки уменьшится.
Выражение A.11) показывает, что точность метода Монте-
Карло определяется только количеством независимых испы-
испытаний и дисперсией. В частности, при переходе от одномер-
одномерных интегралов к многомерным количество операций растет
только вследствие увеличения сложности подынтегральной
функции и количества используемых равномерно распреде-
распределенных величин, т. е. в практических случаях прямо про-
пропорционально размерности. В то же время для обычных
квадратурных формул количество операций увеличивается
как К", где п — кратность интеграла. Это показывает хоро-
хорошую приспособленность метода Монте-Карло к многомерным
задачам. Это обстоятельство будет видно на ряде примеров.
Формуле A.11) можно придать еще такой смысл. Пусть
8 — необходимая точность вычислений, a v — среднее коли-
количество машинных операций, приходящихся на одно испыта-
испытание, тогда полное число Р операций в задаче определяется
по формуле
Fttthtt—-. A.12)
а полное время решения задачи равно
y«tfvr«i!?L. A.13)
где т — машинное время одной операции. Из этой формулы
явно видно, что увеличение точности на- порядок увеличи-
увеличивает время 7* решения на два порядка. •
Обычно бывает довольно трудно заранее (до решения
задачи) оценить дисперсию о2. Получаемые теоретические
оценки, как правило, сильно завышены. При решении кон-
конкретных задач для оценки ошибки можно в правую часть
A.11) подставлять вместо теоретического значения о2 стати-
статистическую оценку дисперсии
__

24 ГЛ. I. ОСНОВЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
получаемую в процессе моделирования значений случайной
величины.
Таким образом, точность, достигаемая в методе Монте-
Карло, может быть хорошо оценена только в процессе ре-
решения.
Этот факт аналогичен тому, что точность физического
эксперимента может быть надежно определена только по
результатам самого эксперимента.
Предыдущие оценки относились к абсолютным ошибкам.
Вернемся к случаю моделирования события А, наступающего
с вероятностью р, и оценим относительную точность опре-
определения р с помощью частоты L/N. В этом случае оценка
v.1.11) имеет вид:
8= -?
Г
У
р(\-р)
Отсюда для относительной ошибки получается оценка
Тем самым требуемое число испытаний определится через
допустимое значение d относительной ошибки по формуле
- Ы^И^Л. (...5,
которая показывает, что число испытаний увеличивается
обратно пропорционально искомой вероятности р.
Это значит, что определять по методу Монте-Карло очень
малые вероятности практически невозможно. В задачах, где
величина N, получаемая из A.15) (а вернее, время T=N\z
решения задачи), неприемлемо велика, надо стараться пре-
преобразовывать задачу в другую с разумными значениями ве-
вероятности р.
Отметим, что в A.14) использовалась оценка, основанная
па предположении, что закон распределения является нор-
нормальным, хотя здесь имел место случай малой вероятности р.
Дело все в том, что при pN¦—¦ 1 принципиально невозможно
получить малую относительную ошибку и поэтому необходимо
требовать выполнения условия pN^>l, что уже приводит
к закону распределения частоты MjN, близкому к нормаль-
нормальному.

§ 3. ВЫРАБОТКА СЛУЧАЙНЫХ". ЧИОЕЛг 25 :•
§ 3. Выработка случайных чисел
Чтобы решать задачи по методу Монте-Карло, нужно
иметь источник случайных чисел с достаточно разнообразным
запасом законов распределения.
В этом параграфе разбираются различные способы полу-
получения случайных событий и случайных чисел. Более подробно
эти вопросы рассмотрены в главах VI и VII.
, Оказывается, что основную роль играют случайные вели-
величины, распределенные по равномерному закону. С их помощью
можно моделировать случайные события и случайные вели-
величины, подчиняющиеся различным законам распределения.
Пусть имеется равномерно распределенная в интервале
[О, 1] случайная величина ?.
Выясним, как с помощью величины !• моделировать со-
событие А, возникающее с вероятностью р.
Для этого определим А как событие, состоящее в том,
что выбранное значение величины ? удовлетворяет неравен-
неравенству
К Р.
Нетрудно видеть, что вероятность события А равна
fdX-
Таким образом, событие А наступает с заданной вероятно-
вероятностью р.
Из равномерно распределенных случайных величин 5
можно получить величины, имеющие практически любой за-
заданный закон распределения F(x). Для этого нужно вместо
значения величины % брать значения некоторой монотонной
функции от нее ч\ = f (?). Величина г\ подчинена закону
распределения
F(x)= f h{t)dt, A.16)
г1
гдв-/г1(лг) — функций, обратная к f(x), a h(t) — функция,
равная единице при 0 < х < 1 и равная нулю вне [0, 1].

26 ГЛ. I. ОСНОВЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
Так, чтобы получить экспоненциальный закон распреде-
распределения, для которого
{О при х <; О,
1 — е~ах при х > О,
достаточно взять
-х). A.17)
В самом деле, функция, обратная /(х), имеет вид f~l(x)~
= 1 — e~wX, и согласно A.16)
-7
— e~wX при х > О,
так как при х 5> 0 верхний предел интегрирования лежит
внутри отрезка 10, 1].
Величина ¦»] в данном случае распределена по экспонен-
экспоненциальному закону.
Для получения величин, распределенных по закону Гаусса,
можно еще воспользоваться другой конструкцией. Согласно
теореме А. М. Ляпунова при достаточно большом п вели-
величина
)—6.
где Ех, ?2> • • • • ?п — независимые равномерно распределенные
величины, является распределенной почти по нормирован-
нормированному закону Гаусса. Практически вполне достаточно взять
случай п = 5. Значения соответствующего эмпирического
распределения, полученные этим приемом с помощью вычи-
вычислительной машины «Урал», приведены в таблице 1. В этом
случае выбиралось 1000 значений величины % и строился
эмпирический закон распределения.
Таким образом, основная задача состоит в отыскании
способа получения равномерно распределенных случайных
величин. Попробуем свести задачу получения равномерно
распределенных случайных величин к более простой.

§ 3. ВЫРАБОТКА СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
Таблица 1,
27
X
-2,7
-2,4
-2,1
—1,8 '
-1,5
-1,2
-0,2
—0,6
—0,3
0,0
0,3
0,6
0,9
1,2
1,5
1,8
2,1
2,4
2,7
Эмпирический
закон
0.003
0,012
0,023
0,045
0,068
0,114
0,183
0,279
0,396
0,503
0,611
0,720
0,815
0,879
0,932
0,970
0;988
0,994
0,999
Нормальный
закон
0,002
0,007
0,017
0,035
0,066
0,114
0,183
0,273
0382
0,500
0,618
0,727
0,817
0,886
0,934
0,965
0,983
0,993
0,998
Откло-
Отклонение
0,001
0,005
0.006
0,010
0,002
0,000
О.000
0,006
0,014
0,003
—0,007
—0,007
—0,002
—0,007
—0,002
0,005
0,005
0,001
0,001
Рассмотрим дискретную случайную величину xt> прини-
принимающую только два значения:
1, с вероятностью -г.
0, с вероятностью
-к-.
Например, бросая монету, можно получить д:4=1, если
выпал герб, и xf = 0, . еоиг выпала решетка.
Возьмем бесконечную последовательность значений х
х.
х2
xt
х
и будем рассматривать эту последователь-
последовательность нулей и единиц как двоичные знаки некоторого числа
Число Е — случайное число, оно лежит в пределах 0<1-^1.
Вероятность попадания ? в интервал @, 1/2) равна г/2,
в интервал @, 1/i) равна */4, в интервал @, 7в) равна 1fs.
Вообще, вероятность попадания числа % в любой интервал

28 ГЛ. I. ОСНОВЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
/k k+l\ 1
вида у-^-, - 2Л - j равна его длине -^. Следовательно,
k — равномерно распределенная случайная величина. Отсюда
получается такой способ моделирования равномерно распре-
распределенной случайной величины. Нужно взять бесконечную
последовательность независимых случайных величин [л-.} и
считать их двоичными знаками некоторого числа ;.
Фактически придется обрывать эту последовательность
на конечном номере п и получать величину ?*, закон рас-
распределения которой имеет вид ступенчатой функции Fn(x).
Функция Fn(x) аппроксимирует равномерный закон распре-
распределения, задаваемый функцией F {х), определенной так:
10 при х < 0,
х при 0<лг<1,
1 при х ^>1.
Отклонение при этом оценивается неравенством
J.
2"
\F{x)—Fa(x)\ <~.
Имеются два основных вида физических источников для
выработки случайных чисел xt. Первый способ получения
случайных величин основан на излучении радиоактивных
веществ, второй — на собственных шумах электронных ламп.
Рассмотрим первый способ. Пусть имеется какой-то
источник излучения радиоактивных частиц. Счетчик считает
радиоактивные частицы в течение времени Д?. Если их
число нечетно, то величина xt полагается равной единице.
Если же число радиоактивных частиц четно, то величина xt
считается равной пулю. Для этого можно снимать показания
с младшего двоичного разряда счетчика радиоактивных
частиц.
Выясним, какова вероятность wk того, что счетчик
за время Ы зафиксирует к частиц.
Обычно считается, что эта вероятность определяется
по закону Пуассона
k\

§ 3. ВЫРАБОТКА СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ 29
Вероятность того, что будет сосчитано четное число
частиц, равна тогда ,
ft=O ft=O
Найдем эту сумму; полагая z = XAt, имеем
Отсюда видно, что вероятность появления за время At чет-
четного числа частиц равна
Ро =
Если значение \At достаточно велико, то это выражение
близко к 1/2.
Величина \At равна математическому ожиданию коли-
количества частиц, зафиксированных за время At. Отсюда видно,
что на получение одного двоичного знака должно тратиться
такое время At, что за это время среднее количество сосчи-
сосчитанных частиц будет достаточно велико. Если положить
е-хд/_-о,О1, то получим At — -i-In 100. Отсюда XAt ~ In 10,
что соответствует примерно трем частицам.
Если же требуется получить т двоичных знаков, то время
соответственно в т раз возрастет. Считая, что при обычно
используемой точности число % берется с 15 двоичными зна-
знаками, можно отсюда вывести, что на получение одного равно-
равномерно распределенного числа тратится время т, в течение
которого счетчик фиксирует около 40-^50 радиоактивных
частиц. При необходимости получать еще и нормально рас-
распределенные числа это время соответственно увеличивается.
С этим связаны ограничения в применимости данного метода
получения случайных чисел.
Рассмотрим второй способ получения случайных величин.
В электронных лампах всегда имеются собственные шумы,
которые при надлежащем усилении могут обеспечить доста-
достаточные флуктуации выходного, напряжения. Не представляет
принципиальных трудностей сконструировать электронную

30 ГЛ. I. ОСНОВЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
схему, выходное напряжение U (t) которой будет случайной
величиной. Значения этой случайной величины можно выби-
выбирать в достаточно удаленные друг от друга моменты вре-
времени tv t2, .... tk, .... чтобы можно было уверенно считать
величины U (tfj), U (t2), ..., U (tk) независимыми.
Определим теперь величину xt условием:
О при t/(^)<a,
при U(tl)>a. (M9)
Значение а, называемое обычно «уровнем отсечки», ста-
стараются подобрать так, чтобы вероятность равенства xt= 1
была равна V2- Основная трудность состоит в том, чтобы
правильно выбрать величину а. Чтобы обеспечить вероят-
вероятность возникновения единицы (нуля), возможно более близкую
к 1/2> используют различные приемы уточнения. Наиболее
простой прием состоит в том, что проверяется пара значе-
значений xt и х1+1 и строится величина yt по правилу:
{1, если xl=l. xl+1~0,
0, если хг = 0, лг/+1 = 1,
если же xt = xl+v то для определения yt берется первая
из следующих пар xl+k, xl+k+1, принимающих разные зна-
значения. Если обозначить вероятность равенства xt -= 1 через w,
то вероятность того, что yt= 1, составляет
w A —w) 1
w A—w)-\-(\—w) w 2
Легко видеть, что процесс поиска подходящей пары х1+ь,
xi+k+i c вероятностью единица заканчивается в конечное
число шагов и занимает в среднем
w2 + A — wJ [1 + 2д> A — w)}
2w A — w)
шагов. При значениях вероятности -даяа'/г эт0 соста-
составляет 3/2 шага.
Второй прием особенно удобен, когда значение w близко
к половине. Обозначим w — -~--\-e. Определим величины yt
по правилу:
[ I,
\ 0,
если хгФ x
t_v
1 \ 0 если д:г = хг_1

§ 3. ВЫРАБОТКА СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ 81
В этом случае вероятность того, что yt == 1, составляет
т. е. гораздо ближе к половине, чем w, если е<^-^. Этот прием
можно итерировать, учитывая 2т идущих подряд значений xt.
В случае использозания в качестве источника шумов триг-
герной схемы описанный прием означает, что используется
выходной сигнал попеременно с различных выходов триггера
в зависимости от значений предыдущего выходного сигнала.
Если в вычислительной машине не предусмотрены датчики
случайных чисел, то используются так называемые квази-
квазислучайные последовательности чисел. Квазислучайной после-
последовательностью называется последовательность ?,, Е2> ...
..., ?„,..., определяемая по какому-либо рекуррентному
правилу
«„ = /«„-!. «„-а- -••>?„-*) 0-20)
так, что получаемая последовательность при l^ra^/V
обладает статистическими свойствами последовательности
независимо выбранных значений равномерно распределенной
(или распределенной по другому известному закону) слу-
случайной величины.
Ниже приведен пример образования квазислучайных после-
последовательностей первого порядка (т. е. в A.20) А=1),
который проверялся с помощью вычислительных машин.
Правило состоит в следующем. Пусть in_x есть те-раз-
рядное двоичное число вида
Тогда квадрат его имеет вид
Вырежем середину этого числа (считая т четным) и
положим в качестве A.20)
Пзвестно, что таким образом можно получать удовлетвори-
удовлетворительные последовательности при N порядка нескольких тысяч.

32 ГЛ. I. ОСНОВЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
Можно получить удовлетворительные квазислучайные
последовательности большего объема, если использовать
последовательности высших порядков (k = 2 или 3). Суще-
Существуют и другие способы построения квазислучайных после-
последовательностей, используемые в электронных вычислительных
машинах. Некоторые из этих способов основаны на особен-
особенностях операций в тех или иных вычислительных машинах
(см. гл. VI).
§ 4. Решение систем линейных алгебраических
уравнений
Решение систем линейных алгебраических уравнений имеет
иажное значение для целого ряда областей, где применяется
вычислительная математика. Уже поэтому рассмотрение еще
одного класса методов решения линейных систем — методов,
сснованных на моделировании случайных процессов, пред-
представляет интерес. Ниже приводится один из таких методов.
Другие методы решения систем линейных алгебраических
уравнений приведены в книге [11].
Рассмотрим систему линейных уравнений, записанную
в векторной форме
Ах = Ь. A.21)
Здесь А— n-мерная матрица, а х и Ъ—/г-мерные век-
векторы. Пусть имеет место случай, когда пригоден метод
простых итераций, т. е. матрица А представима в виде
А = Е — В,
где Е — единичная матрица, а В имеет собственные числа,
по модулю меньшие единицы.
Система A.21) эквивалентна, таким образом, системе,
записанной в «итеративной» форме
A.22)
Решение системы A.21) можно записать в виде
Х=А~1Ь. A.23)
При сделанных предположениях обратная матрица может
быть выражена рядом
А~х=Е-\-В-+-Вг-\- ... +5"+ ... A.24)

§ 4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 33
Этот ряд сходится в том и только в том случае, если
собственные числа матрицы В по модулю меньше еди-
единицы *), т. е.
\\(В)\<\.
Подставим теперь выражение A.24) в формулу A.23),
представляя решение в виде ряда
.. A.25)
Частные суммы последнего ряда можно получить известным
итерационным приемом, полагая последовательно:
х " ^ Ь,
-\-Ь,
Сходимость метода простых итераций эквивалентна схо-
сходимости последовательности л;*1', лB>, ..., л;**', ...
Для вычисления х перейдем к координатной записи.
Будем обозначать элементы матрицы В через Вц. Тогда т-я
координата хт вектора X равна:
••• +. 2 . BmiB,ltt ¦ ¦ ¦ Bir_xibtt- A-26)
'г 'г' """' 1т
Этим выражением мы будем пользоваться дальше. Вопрос
состоит в том, чтобы найти метод вычисления этой суммы.
Рассмотрим сначала случай, когда элементы матрицы по-
положительны и сумма элементов по каждой строке равна
1 **), т. е.
2 Bmi = 1 ¦
*) Что и является условием сходимости метода простых
итераций.
**) Этот случай приводится лишь для уяснения вероятностной
.модели. В действительности при этих условиях ряд A.25) расхо-
расходится, так как получающаяся матрица обязательно имеет собствен-
собственное значение Л = 1.
3 Зак. 250. Н. П. Бусленко и др.

34 ГЛ. I. ОСНОВЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
Тогда величины Вт1 можно рассматривать как набор вероят-
вероятностей для полной системы несовместимых событий.
В предыдущем параграфе рассматривались приемы моде-
моделирования случайных событий. В данном случае приходится
моделировать системы случайных событий.
Выберем п Независимых значений ?х, Е2, ?„, равно-
равномерно распределенной на отрезке [0, 1] величины. Рассмо-
Рассмотрим п разбиений отрезка [0, 1] на отрезки длины: Вт1.
Вт2, .... Втп (от=1, 2, ... и). Если величина %т принад-
принадлежит г-му отрезку (длины Вт1), то положим
Тем самым определились п случайных величин у1§ у2 уп.
Математическое ожидание величины ут есть
ут2Я1А
т. е. равно второму слагаемому ряда A.26).
Постараемся теперь получить случайную величину, мате-
математическое ожидание которой равно третьему слагаемому
ряда A.26).
Для этого проверим значение величины \т. Если 1т при-
принадлежит Jj-му отрезку, то проверим значение величины ?^.
Если Etl принадлежит ?2"МУ отрезку, то положим
Тем самым определены случайные величины Zm.
Вероятность, с которой случайная величина Zm принимает
значение bt, равна
н
а математическое ожидание величины Zm равно
Рассмотренная конструкция допускает простое обобщение,
позволяющее получить случайную величину т]т, математи-
математическое ожидание которой равно сумме ряда A.26), т. е.

§ 4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 35
Тогда, моделируя процесс получения величины т\т N раз
и получая при этом последовательность значений г^т, г^т, ...
.... tj^, можно принять в качестве приближенного значения
искомой величины хт среднее арифметическое
Оценка ошибки производится указанным в § 2 приемом.
Конструкция случайной величины -цт состоит в следую-
следующем. Представим каждый элемент BmJ матрицы В в виде
произведения двух сомножителей
BmJ = FmfPmf. A.27)
где 0 < Pmj < 1 *). Координаты векторов правой части A.21)
представим в виде bj = fjPj, где 0 < Pj < 1 **).
При этом будем предполагать, что выполнено равенство
Тогда равенство A.26) можно представить в виде
= fmPm Ч~ 2 F
...Pl tpt + ... A-29)
Рассмотрим теперь п разбиений отрезка [0, 1], каждое
на л+1 часть. Длины частей те-ro разбиения равны соот-
соответственно
Р р Р р
'ml1 гпй* «*•» rmtv rm"
Пусть f,,, Ej, .... ?г, ... — значения независимых равно-
равномерно распределенных величин. Будем определять вели-
величину у\т следующим образом.
Сначала выберем те-е разбиение отрезка и посмотри:^,
в какую его часть попадает величина Ео. Если ср попала
*) Ниже будет видно, что для Bmj = 0 удобно принять Pmj = 0.
**) При bj — 0 удобно полагать Pj — 0.
3*

36 . ГЛ. I. ОСНОВЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
в (пт\- 1)-ю часть (длины jom), то полагаем
•Пт — fm- A-30)
Если Ео попала в ?гю часть разбиения (длины PmIl), то
берем 1г-е разбиение и смотрим, в какую часть этого раз-
разбиения попадает величина ijj. Опять-таки, если ^ попала
в (и-(- 1)-ю часть разбиения, то полагаем
Если же Ej попала в /2-ю часть разбиения, то береч
величину Е2 и проверяем., в какую часть /2-го разбиения она
попала. Этот процесс продолжается либо до первого попа-
попадания одной из величин %t в (п-(-1)-ю часть /-го разбиения,
либо до бесконечности.
Можно, однако, показать, что с вероятностью, равной
единице, второй случай (бесконечное зацикливание) не встре-
встретится. Это следует из общих свойств марковских цепей,
рассматриваемых в § 6 этой главы.
Величина т\т принимает, таким образом, значения, опре-
определяемые историей процесса. Именно, величина rim прини-
принимает значение
Fm. Flt ... F. t /. A.32)
с вероятностью
Это значит, что величина т\т принимает значение A.32),
если Eq попала в /,-ю часть /и-го разбиения, Ej попала в /2-ю
часть /j-ro разбиения и т. д., a cfc попала в (и+ 1)-ю часть
&-го разбиения.
Математическое ожидание величины ч\т равно, как это
следует из A.32) и A.33),
2
Сравнивая A.34) с выражением A.29) для m-й коорди-
координаты неизвестного вектора х, приходим к тождеству
Щ ==х A.35)

§ 5. ПРОБЛЕМА БЛУЖДАНИЙ И РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 37
которое позволяет вычислять хт путем моделирования слу-
случайной величины 7jm по методу статистических испытаний.
Тем самым получился некоторый монтекарловский процесс
для решения систем линейных алгебраических уравнений.
Существуют и другие процессы такого рода, где статисти-
статистическая модель годится для нахождения обратной матрицы или
для решения системы A.21) с произвольной матрицей А.
Преимущество изложенного метода решения состоит в сле-
следующем: при обычном методе решения систем линейных
уравнений для вычисления одного неизвестного нужно опре-
определять и все остальные неизвестные; в приведенном же спо-
способе этого делать не нужно, каждый раз определяется одна
координата хт. Это проявляется в том, что число арифмети-
арифметических операций пропорционально числу уравнений, а не
кубу этого числа, как в стандартных численных методах.
Отсюда видно, что здесь проявляется одна из основных черт
метода Монте-Карло — его приспособленность к многомерным
задачам.
§ 5. Проблема блужданий и решение
краевых задач
Краевые задачи и задачи с начальными условиями для
линейных дифференциальных уравнений являются одной из
интереснейших областей приложения метода Монте-Карло.
Связь между решением этих задач для некоторых классов
уравнений и случайными процессами типа «блужданий» была
известна давно (см. [232]). Однако возможность применения
этой связи для фактического отыскания решений уравнений
появилась лишь в связи с развитием вычислительных машин.
Метод Монте-Карло особенно перспективен, как мы уви-
увидим дальше, для многомерных задач, так как время на опре-
определение значения неизвестного решения в одной точке зависит
только от диаметра области.
Для пояснения основной идеи метода рассмотрим задачу
Дирихле для уравнения Лапласа. Пусть имеется некоторая
односвязная плоская область О, на границе которой задана
функция f(Q). Требуется найти такую функцию и (Р), кото-
которая внутри данной области G удовлетворяет уравнению
Лапласа:

38
ГЛ. I. ОСНОВЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
и на границе области Г принимает заданные значения
|
Обычно эту задачу сводят к некоторой конечно-разно-
конечно-разностной схеме.
Проведем в плоскости квадратную сетку с некоторым
шагом Л. В дальнейшем рассматриваются только те узлы
сетки, которые попали
внутрь области. Узлы сет-
сетки делятся на два сорта.
Узлы, имеющие четыре
соседних узла, лежащих
в области G, называются
внутренними; узлы, чис-
число соседних к которым
меньше четырех, называ-
называются граничными (рис. 2).
В граничных узлах
функция и принимает за-
заданные значения: и (Q) =
= /(Q). Значения функ-
функции и переносятся с
контура на граничные уз-
узлы по специальным пра-
правилам.
Во внутренних узлах ищем значения функции и (Р), исходя
из системы уравнений
Здесь Pv P2, Ру Pi означают четыре узла, соседние к вну-
внутреннему узлу Р и лежащие в области или на границе. Система
уравнений A.36)—это обычная система в конечных разно-
разностях.
Рассмотрим связанную с этой системой теоретико-вероят-
теоретико-вероятностную схему.
Эту схему принято рассказывать в виде так называемой
«задачи о пьяных». Будем рассматривать стороны решетки
как городские кварталы, а узлы — как перекрестки. Пред-
Предположим, что из узла Р выходит «пьяный», который с рав-
равной вероятностью (а именно г1А) может попасть в любой из
• Внутренние узлы
Рис. 2.

§ 5. ПРОБЛЕМА БЛУЖДАНИЙ И РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 39
соседних узлов. Аналогично, попав в очередной узел (войдя
на очередной перекресток), «пьяный» с равной вероятностью
идет по одному из примыкающих к этому перекрестку квар-
кварталов, пока не выйдет на следующий перекресток. Будем
считать, что город обнесен глубоким рвом; это сказывается
в том, что войдя на границу города (т. е. граничный узел
решетки) «пьяный» остается в этом узле, так сказать, свалив-
свалившись в ров. Возникает вопрос об отыскании вероятности
того, что «пьяный», выйдя из узла Р, окончит блуждание
в граничном узле Q.
Можно показать, что с вероятностью, равной единице,
«пьяный» в конце концов окажется на границе города.
Найти искомую вероятность в явном виде сложно. Однако
нетрудно вывести соотношение для вероятности и(Р, Q).
Заметим, что событие, заключающееся в том, что «пья-
«пьяный» попадет из точки Р в точку Q, равносильно тому, что
он либо попадет из точки Р в точку Рх, а оттуда в Q, либо
попадет из Я в Р2, а оттуда в Q, либо попадет из Р в Р3,
а оттуда в Q, либо, наконец, попадет из Р в Q через Р4.
Здесь опять через Pv P2, Ръ, Р4 обозначены четыре сосед-
соседних к Р узла. Так как вероятности попадания из Р в Р1
раоны 1/4, то по теореме сложения вероятностей
4
и (P. Q)=42«(/V Q). A-37)
Таким образом, мы фактически пришли к конечно-разно-
конечно-разностному уравнению A.36). Кроме того, вероятность и(Р, Q)
удовлетворяет следующим краевым условиям:
где Q и Q' — внешние узлы.
Известно, что существует единственная функция, удовле-
удовлетворяющая уравнениям A.36) при данных краевых условиях.
Если промоделировать блуждание «пьяного» N раз, заста-
заставляя его каждый раз выходить из точки Р, и сосчитать коли-
количество L испытаний, при которых путь «пьяного» оканчи-
оканчивается в точке Q, то будем иметь

40 ГЛ. I. ОСНОВЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
Таким образом, получим приближенное решение уравне-
уравнения A.37) с краевыми условиями A.38).
Чтобы решить задачу Дирихле с общими краевыми усло-
условиями, нужно немного обобщить нашу вероятностную схему.
Предположим дополнительно, что после того как «пьяный»
сваливается в ров во внешнем узле Q, с него взимается штраф,
равный /(Q)*). Ясно, что величина штрафа Ъ(Р), заплачен-
заплаченного «пьяным», вышедшим из точки Р, является случайной
величиной.
Величина штрафа может принимать значения
где {Qv Q2 Qs] — совокупность всех внешних узлов. .
Вероятность заплатить штраф / (Q?) равна и (Р, Qt). Матема-
Математическое ожидание штрафа определяется по формуле
w (Р) = IVU (Р) = S / (Qt)u (p- Q0- О -39)
Ясно, что величина w (Р) зависит от точки выхода Р. Функ-
Функция w{P) удовлетворяет разностному уравнению
4
да (**) = ! 2 *W 0-40)
i=\
Действительно, подставив в A.37) Q=Q. и умножив обе
части на f(Qi), получим после суммирования по всем внеш-
внешним узлам Qt равенство A.40).
Для внешних узлов w (P) удовлетворяет требуемым крае-
краевым условиям. В самом деле, если представить Р — Q в A.39),
то, в силу условий A.38), в правой части A.39) пропадут
все слагаемые, кроме одного
Таким образом, найденная функция -w(P) принимает на гра-
границе заданные значения, т. е. является решением задачи
Дирихле.
*) Штраф зависит от того, в каком месте границы найден
валяющийся «пьяный».

§ 5. ПРОБЛЕМА БЛУЖДАНИЙ И РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ .41
Выясним от чего зависит время решения рассматриваемой
задачи. Пусть узел Р имеет координаты (х0, у0). Тогда со-
соседние узлы имеют координаты (h = 1)
/>1 = (*о+1, у0).
Обозначим текущие координаты «пьяного» через (jc, у\
В начальный момент х = х0, у — у0. Переход «пьяного» из
узла Р в соседний узел соответствует прибавлению (или
вычитанию) единицы к одной из координат (х или у). После
того, как «пьяный» перейдет из узла Р в узел Pt, процесс
повторяется. Только каждый раз необходимо проверять, не
попал ли уже «пьяный» на границу города.
В процессе решения надо всегда помнить величины (лг0, у0)
— координаты начальной точки и (х, у) — текущие коорди-
координаты «пьяного».
Определим, сколько всего понадобится операций, число
которых определяется тем, сколько нужно пройти перекре-
перекрестков, чтобы выйти на границу. Пусть число пройденных
узлов при /-м блуждании равно v?. Тогда время решения Т
определится по формуле
где t — время одного перехода в соседний узел, а N—пол-
N—полное число блужданий, которое надо промоделировать, чтобы
достичь нужной точности решения. Величина Л/ определяется
из закона больших чисел обычным способом и равна
9ГЛ(^ 9ma*|/(Q)|' „
где е — погрешность решения, D?(p) — дисперсия величины
t(p), a max|/(Q)| берется по внешним узлам решетки. Не-
Неравенство A.42) следует из несложной оценки для дисперсии
величины %(р).
Действительно,
DUP) = М?(р)~ [М;(/>)]2< М?(р) < max \f(Q) p.
так как все значения | ? (р) | не превосходят max | / (Q) |.

42 ГЛ. I. ОСНОВЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
Число узлов, проходимых «пьяным» за одно блуждание,
есть тоже случайная величина. Поэтому сумма этих величин
приближенно равна математическому ожиданию величины v,
умноженной на N, т. е. время решения задачи равно
Среднее число шагов при блуждании ?\» зависит от формы
решетки и от шага h.
Оказывается, что число блужданий зависит только от
линейных размеров решетки, если принять, как выше, А=1.
Если г — радиус области О, то Еч*~->г2 *). Существенно, что
этот, факт верен при любой размерности решетки, т. е. для
любого числа независимых переменных, от которых зависит
искомая функция и (р). Вообще говоря, время решения задачи
имеет порядок
Точность решения зависит еще и от того, насколько мелкой
выбрана решетка. Например, если мы хотим получить реше-
решение с точностью е = 0,01 от максимального значения f(Q),
то г — 100, N~ 10 000 и Т~ t • 108.
Если считать, что вычисления ведутся на электронной вычис-
вычислительной машине, где один шаг можно выполнить за время
t-—'100 мксек, то полное время решения оказывается равным
Т— 101 сек — 3 часа.
Существенно также, что при решении нужно помнить
малое число промежуточных результатов (только величины
х, у, лг0, у0). На этом основана идея построения простых
специализированных электронных вычислительных машин
с малой памятью и простой структурой, приспособленных
к решению краевых задач по методу Монте-Карло **,).
Время вычисления значения w(P) в одном узле практи-
практически не зависит от размерности решетки. Если необходимо
вычислить значения w (P) во всех узлах, то время решения
возрастает. Но часто бывает вовсе не нужно находить зна-
значение функции in (P) со всех узлах, а лишь в некоторых
критических узлах.
*) Эта оценка доказана в [11].
**) См. [11], гл. IX.

§ 5. ПРОБЛЕМА БЛУЖДАНИЙ И РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 43
На этой задаче также проявляется основная особенность
метода Монте-Карло — приспособленность к многомерным
задачам.
С решением общего линейного уравнения эллиптического
типа 2-го порядка
связана обобщенная задача блуждания.
В этом случае вероятности перехода «пьяного» из узла
в узел различны и зависят от того узла, в котором в на-
настоящий момент находится «пьяный».
Можно также рассматривать и более общие краевые
условия. Так, условие вида
получится, если при попадании в ров, ограничивающий город,
«пьяный» с некоторой вероятностью может выкарабкаться
обратно и продолжать блуждание *).
В качестве примера нестационарной задачи рассмотрим
уравнение теплопроводности
^ = Д«. A-43)
решением которого является функция и, зависящая от про-
пространственных координат и от времени.
Можно считать, что в область D, в которой ищется реше-
решение, вписана решетка шага Н.
Требуется найти значение функции и{Р, t) в узлах
решетки в каждый момент времени t. Эта функция должна
удовлетворять краевому условию
и|г = /(<?) A-44)
i: начальному условию
0-45)
*) Специфический вид имеет процесс блужданий для случая
условий — |г = 0. Этот случай (задача Неймана) разобран в § 6.

44 ГЛ. I. ОСНОВЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
Возьмем последовательность моментов времени
* = 0, 1, 2 /г, ...
Если выбрать разумное соотношение между масштабом вре-
времени и шагом решетки, то придем к уравнению
Н (Р) = \ [и*_, (Л) + иЛ_, (Я2)+«й_, (Р3) + Ч-i (РпI A-46)
где Ру, Р2, Р3, Р—четыре соседних к Р узла. Если сте-
стереть в A.46) индекс k, то получится уравнение Лапласа.
Построим теперь следующий случайный процесс, для того
чтобы найти значение ик (Р) в точке Р в момент времени к.
Решетку можно считать такой же. как в предыдущей
задаче, но теперь «пьяный» должен проходить за единицу
времени ровно один квартал.
Предположим, что «пьяный» выходит из перекрестка Р
и с равной вероятностью попадает в один из соседних пере-
перекрестков; оттуда он аналогично передвигается дальше, при-
причем, если он попадет на границу, то там остается. Весь
процесс разрешается продолжать не более k шагов. Если
за k шагов «пьяный» не успел свалиться в ров, а оказался
во внутреннем узле Р, то он платит штраф
Если же он свалился в ров до истечения срока, то он пла-
платит штраф %=zf(Q), где Q — точка границы, куда свалится
«пьяный».
Всего таких блужданий пусть будет N. Суммарный штраф,
поделенный на N, есть приближенное значение решения
конечноразностного уравнения теплопроводности A.46), удо-
удовлетворяющее условиям A.44) и A.45). Чтобы это показать,
вычислим математическое ожидание штрафа.
Обозначим через vk (P, Q) вероятность того, что
через k шагов «пьяный» выйдя из точки Р, окажется в точке Q,
граничной или внутренней. Легко найти условие, которому
удовлетворяет эта вероятность,
"* (р. <?) = \ К-1 (Л. О)+"*-1 (р2- Q) +
и-1<Р*ОЯ- 0-47)

§ 5. ПРОБЛЕМА БЛУЖДАНИЙ И РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 45
Величина vk(P. Q) удовлетворяет следующим граничным
условиям:
(при Q Ф Q', где Qr и Q — граничные узлы), и начальным
условиям: •
vo{P.P)=\. vQ(P.Q) = Q,
где Р и Q — несовпадающие узлы. (Узел Р — внутренний,
a Q — любой).
Найдем математическое ожидание штрафа, заплаченного
«пьяным» при выходе из точки Р. Величина штрафа
принимает значения g (Pj), g (P2), ..., g (Pr), f (Qy),
f(Q2) /(Qs)- Следовательно, математическое ожидание
штрафа равно
wk {P)=E%{P)^vk (P. />,.)g(РЛ-S «* (P. Qj)f (Qj)- A-49)
Подставим теперь в A.47) Q = Qj и помножим обе части на
f(Qj). Затем подставим в A.47) Q — P[ и помножим на g(Pi).
Сложив все произведения, получим
т. е. математическое ожидание штрафа есть решение конечно-
разностного уравнения теплопроводности A.46). Краевые и
начальные условия для wk(P) легко проверяются, исходя
из A.48). Действительно, положим P^=Q., где Q- — внешний
узел. Тогда в правой части A.49) остается один ненулевой
член
wk (Qj) = vk (QjQj)/(Qj) = f(Qj). A.51)
Если же положить P = Pt и k = 0, то в A.49) также
остается один член
A-52)

46 ГЛ. 1. ОСНОВЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
Так как решение уравнения A.50), удовлетворяющее
условиям A.51) и A.52), единственно, то изложенный метод
позволяет его получить.
Важной особенностью описанного метода является еще
и то, что можно решать задачу, определяя только значения w
в какой-то одной точке. (При решении уравнения A.36)
известным итерационным методом мы обязаны искать значе-
значения w во всех точках решетки). При этом оказывается, что
время, затрачиваемое на отыскание одного значения w (P),
не зависит от количества независимых переменных в задаче.
§ 6. Метод Монте-Карло и реализация марковских
процессов в вычислительной машине
Общую математическую схему метода Монте-Карло можно
описать с помощью так называемых марковских процессов.
В дальнейшем рассматриваются только дискретные марков-
марковские процессы с конечным множеством состояний (см. [52]),
называемые цепями Маркова.
Цепью Маркова называется система 5, обладающая конеч-
конечным множеством состояний М [slt s2 st\. В каждый
из дискретных моментов времени ? —0, 1,2 п система S
находится в Одном определенном состоянии st.
Состояние st определяет набор условных вероятностей
рп, ра ри. Величина рц есть вероятность того, что
система, находясь в n-й момент времени в состоянии st,
в (n-f- 1)-й момент перейдет в состояние Sj. Иными сло-
словами, Рц есть вероятность перехода si-^Sj. Важно, что
вероятность перехода зависит лишь от исходного состояния st,
а не связана с предысторией системы. В этом состоит свой-
свойство «марковости» процесса.
Совокупность всех условных вероятностей рц образует
матрицу P = {Pij), полностью определяющую свойства дан-
данной цепи. Состояние st называется особым, если с вероят-
вероятностью единица система S остается в этом состоянии,
однажды в него попав.
В терминах условных вероятностей это значит, что
{1, если / = j,
0, если / + j.

§ 6. РЕАЛИЗАЦИИ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ 47
Состояние st называется связанным с состоянием s,, если
отлична от нуля вероятность того, что система 5, попав
в состояние st, через некоторое конечное число k моментов
времени попадет в состояние s,.
Марковская цепь называется останавливающейся, если
любое ее состояние связано с некоторым особым состоя-
состоянием. Оправданием такого названия может служить
Теорема. Если марковская цепь является оста-
останавливающейся, то с вероятностью единица система S
перейдет через конечное число моментов времени в одно
из особых состояний.
Доказательство. Обозначим через qt(t) вероятность
того, что через время t система перейдет из состояния st
в одно из особых состояний. Ясно, что qi(t) может только
возрастать с ростом t.
Тогда по условию найдется такое значение t — t0, что
для всех / имеем qt (t0) > 0. То есть всякое состояние
системы может за время /0 с ненулевой вероятностью перейти
в особое.
Обозначим
/o>. A-53)
Ясно, что q > 0. Вероятность того, что за время t0 система
не перейдет в особое состояние, не превосходит величину
\-q.
В силу того, что вероятности перехода не зависят от
Предыстории, вероятность 'того, что система S не перейдет
в особое состояние за время vt0 (целое кратное /0), не пре-
превосходит
При V—>оо эта величина стремится к нулю.
Это означает, что с вероятностью единица- система S
перейдет в особое состояние за конечное время.
Замечание. Обозначим через т время жизни системы,
то есть время ее прихода в особое состояние. Время т есть
случайная величина, математическое ожидание которой оце-
оценивается через величину q.

48 ГЛ. I. ОСНОВЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
Действительно, если исходное состояние равно sr то
математическое ожидание
оо
t=i
Сумма последнего ряда вычисляется путем почленного
дифференцирования геометрической прогрессии, откуда по-
получается оценка .,
М?<^|. A-54)
Из A.54) ясно, что среднее время перехода в особое со-
состояние тем больше, чем меньше вероятность перехода в осо-
особое состояние.
Все рассмотренные выше и рассматриваемые в остальных
главах настоящей книги алгоритмы решения задач по методу
Монте-Карло могут быть описаны следующим образом.
Моделируется некоторая останавливающаяся цепь Маркова.
Процесс последовательных переходов этой цепи из состояния
в состояние протекает по схеме
где s, — одно из особых состояний. При этом определяется
значение некоторой функции F(X), зависящей от последо-
последовательности переходов A.55). Функция F(X) является слу-
случайной величиной. После того, как зафиксировано значение
F(X), система 5 возвращается в исходное состояние si() и
процесс переходов начинается заново. Всего выполняется Л/
независимых пробегов данной марковской цепи из состоя-
состояния st в одно из особых состояний. В результате получается
сумма
взятая по всем реализованным последовательностям переходов
A.55). Сумма A.56) приближает величину М F(А), явля-

§ 6. РЕАЛИЗАЦИЯ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ 49
ющуюся искомой в данной задаче. Полное время решения
задачи составляет
T^N(Mx)TQ, A.57)
где |Vk — математическое ожидание числа переходов в по-
последовательности A.55), а То — среднее время реализации
одного из переходов в вычислительной машине.
Так в схеме решения системы линейных уравнений, рас-
рассмотренной в § 4, основная марковская цепь имеет я-f-l
состояние. Состояния соответствуют разбиениям отрезка.
Вероятности перехода из /-го состояния в у-е равны Р{.
(при i^C'i, J~-^.n). Вероятность перехода из /-го состояния
в особое равна pt. Исходное состояние обозначалось номе-
номером т. Функция F(X) определяется как
В схеме с блужданиями (§ 5) состояния марковской цепи
отождествляются с узлами решетки. Переход блуждающей
частицы из узла' в узел соответствует переходу системы из
состояния в состояние. Граничные узлы соответствуют осо-
особым состояниям цепи, так как после попадания точки на
границу переходы больше не происходят. Исходное состоя-
состояние соответствует тому узлу, из которого начинается блу-
блуждание. Функция F (X) в этом случае зависит только от
номера особого состояния (граничного узла), а не от истории
блуждания. Для оценки времени блуждания можно было бы
использовать Оценку A.54), но в данном случае в § 5 была-
приведена лучшая оценка. Ясно, что время жизни системы
зависит от размеров области. Если исходная точка лежит
далеко от границы, то только через много шагов возможен'
ее выход на границу.
В случае решения задачи с начальными и краевыми
условиями (уравнение теплопроводности) состояния цепи
Маркова соответствуют узлам пространственно-временной
решетки. Иначе говоря, состояние цепи Маркова опреде-
определяется парой (Р, t), где Р — узел пространственной решетки,
а / — время, прошедшее с начала блуждания.
Особыми состояниями являются такие пары, в которых Р
есть граничный узел, и такие, в которых t = k*).
Таким' образом, через k шагов процесс заканчивается на-
наверняка, если ранее блуждающая точка не попала на границу.
*) Если ищется значение v^ (Я).
4 Зак. 250. Н. П. Бусленко и др.

50 ГЛ. I. ОСНОВЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
В этом случае F (X) также определяется лишь номером
особого состояния, а не историей переходов.
Наряду с останавливающимися марковскими цепями
в методе Монте-Карло можно использовать и цепи другого
типа — так называемые эргодические цепи Маркова
(см. [52]). Эргодические цепи Маркова не имеют особых
состояний и для любой пары состояний st и s, существует,
такое число шагов k, что вероятность перехода из sL в s,
за k шагов отлична от нуля. В этом случае для каждого
состояния si существует предельная вероятность р попадания
системы в это состояние. Это значит, что за достаточно
большое число N шагов количество случаев Mt, когда
система окажется в состоянии st, удовлетворяет условию
§-~А A-58)
независимо от начального состояния системы. Условие A.58)
выполняется тем точнее, чем больше N. Иными словами,
A.58) можно рассматривать как обобщенный вариант закона
больших чисел для случая зависимых испытаний. Более
общий вариант этого закона выглядит так. Пусть O(s) —
функция, зависящая от состояний марковской цепи *),
а история процесса за N шагов описывается последователь-
последовательностью переходов
*~ stB -* «I, -+sh-*•...-> siN.
Тогда с вероятностью сколь угодно близкой к единице при
достаточно большом TV будет иметь место приближенное
равенство
N
Соотношения A.58) и A.59) позволяют использовать для
решения задач по методу Монте-Карло эргодические цепи
Маркова. (Конечно, в действительности можно брать только
конечную последовательность переходов, задавая заранее
величину N.)
Пример использования эргодических цепей Маркова по-
получается, если рассмотреть задачу о блуждании, в- которой
*) Можно рассматривать и некоторые классы функций, завися-
зависящих от последовательностей переходов.

§ 6. РЕАЛИЗАЦИЯ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ 51
при выходе точки на границу не происходит остановки про-
процесса, а точка отражается от границы *).
В отличие от рассмотренного в § 5 этот вариант про-
процесса блужданий связан не с задачей Дирихле, а с задачей
Неймана (второй краевой задачей). Эта задача состоит
в отыскании решения уравнения Ди = 0, удовлетворяющего
ди \ _ ,
условию -g- = О (производная по нормали к границе равна
нулю). Для того чтобы приближенно определить значение
искомой функции и (Р) в некотором внутреннем узле Р,
нужно осуществить указанный процесс блуждания и следить,
сколько раз блуждающая точка попадает в узел Р. Если
число попаданий равно МР, а полное число шагов (пере-
.. МР ,„.
ходов) равно N, то —гт- т и (Р).
При этом можно одновременно следить за количеством
попаданий в несколько узлов, определяя МР сразу для не-
нескольких Р. Отметим, что вторая краевая задача опреде-
определяет искомую функцию и(Р) с точностью до константы.
Рассматриваемый метод определяет функцию и (Р), удо-
удовлетворяющую дополнительному условию
2и(Р)=1. A.60)
р
где сумма берется по всем внутренним узлам решетки.
Условие A.60) вытекает из очевидного условия
где pt — предельные вероятности попадания в состояния
марковской цепи (попадания блуждающей точки во внутрен-
внутренние узлы решетки).
Приведенный выше пример показывает, что эргодиче-
ские марковские цепи также могут быть использованы для
статистического моделирования, как и останавливающиеся
цепи, хотя в настоящее время в подавляющем большинстве
случаев используются последние.
Отметим, что при использовании цифровой вычислитель-
вычислительной машины мы принципиально не можем получить ничего,
выходящего за рамки конечных марковских процессов.
*) То есть город вместо рва обнесен стеной, наткнувшись на
которую, «пьяный» поворачивает обратно.
4*

52 ГЛ. 1. ОСНОВЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
Поэтому, если, скажем, возникает необходимость в модели-
моделировании непрерывного стационарного процесса, то это
окажется успешным лишь постольку, поскольку этот про-
процесс можно будет хорошо приблизить цепью Маркова.
Действительно, процесс работы вычислительной машины,
решающей обычную задачу, можно описать как процесс по-
последовательных переходов конечного автомата из состояния
в состояние.
На каждом такте состояние машины определяется содер-
жимым регистров машины и ячеек памяти. Для простоты
Предположим, что после ввода в машину исходных данных
новая информация в машину не поступает. Тогда состояние
машины в следующий такт полностью определяется ее пре-
предыдущим состоянием. Пусть теперь на каждом такте машина
получает информацию от датчика случайных чисел. Тогда
последующее состояние машины определяется не только
предыдущим, но ^и' некоторой случайной величиной. Ясно,
что теперь вероятности перехода в то или иное новое со-
состояние определяются предыдущим состоянием и распреде-
распределением вероятностей различных значений случайной величины.
Так как обычно величины, поступающие от датчика случай-
случайных чисел на каждом такте, независимы, то вероятности
переходов определяются только предыдущим состоянием,
а не предысторией процесса.
Если бы удалось в датчике случайных чисел моделиро-
моделировать сложные случайные процессы с последействием, то и
возможности машин были бы расширены. В настоящее время
такое последействие в датчиках ввиду его нерегуляр-
нерегулярности является вредным явлением, с которым приходится
бороться.
В § 1 уже отмечалось, что наиболее успешно (и наибо-
наиболее часто) по методу Монте-Карло решаются те задачи,
которые в самой постановке уже связаны со случайными
процессами. Наиболее важная часть в этом случае состоит
в выборе разумного приближения процесса конечной цепью
.Маркова. Как правило, эта проблема сводится к аппрокси-
аппроксимации некоторой очень сложной марковской цепи с помощью
более простой цепи Маркова. Иными словами, имеется
система 5 с набором состояний {sv s2. .... sk\. матрицей
вероятностей переходов (р/;-) и функцией F(X), зависящей
от послгдовательноетей переходов. Требуется построить

§ 6- РЕАЛИЗАЦИЯ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ 53
систему S* с меньшим набором состояний s*. s*. ..., s*.
более простой матрицей вероятностей переходов (р* }, более
просто вычисляемой функцией F*(X*) и (по возможности)
меньшим средним временем жизни Мх* (для останавливаю-
останавливающихся цепей), так чтобы
MF(X). A.61)
Рассмотрим основные приемы, лежащие в основе такси
аппроксимации.
Первый прием состоит в склеивании состояний. В ряде
случаев целесообразно склеивать некоторые состояния систе-
системы S. Состояния системы S* являются в этом случае клас-
классами состояний системы 5. Это склеивание возможно, если:
а) функция F(X) мало меняется, если в последователь-
последовательности состояний X заменять отдельные состояния состоя-
состояниями, принадлежащими тому же классу;
б) вероятность р1К того, что состояние st перейдет
в одно из состояний данного класса К, почти одинакова для
всех состояний st одного и того же класса Н.
Тогда можно положить р1К рк: рнк — вероятности пере-
перехода из класса Н в класс К*).
Примером такого склеивания могут служить задачи о про-
прохождении частиц через вещество. Там состояние частицы
обычно описывается тремя координатами и вектором ско-
скорости (х, у, z, vx, vy, vz). Однако в ряде задач, например
при прохождении частиц в плоском слое, можно считать
одинаковыми (объединять в один класс) состояния с одина-
одинаковыми значениями х и vx.
Второй прием состоит в замене матрицы вероятностей (р,-)
близкой к ней матрицей, где очень малые значения р~ за-
заменяются нулями.
Третий прием состоит в изменении масштаба времени.
Этот прием состоит в том, что система S заменяется систе-
системой S* с теми же состояниями, рассматриваемыми лишь
*) Можно было бы также принять
I
где усреднение ведется по г состояниям, образующим класс Н.

54 ГЛ. I. ОСНОВЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
в моменты времени, кратные v:
О, v, 2v
Матрица переходов (рф заменяется v-й степенью той же
матрицы.
Четвертый прием состоит в аппроксимации функции F (X)
функцией F*(X*). Например, при решении задачи Дирихле
(см. § 5) значения функции f(Q) в граничных узлах могут
быть заменены аппроксимирующим ее в среднем полиномом.-
Существуют и некоторые более сложные приемы,
являющиеся по существу комбинацией описанных.
В настоящее время еще нет по существу общей теории,
позволяющей эффективно строить аппроксимацию сложного
процесса конечной цепью Маркова, подобно тому как
с помощью известных квадратурных формул можно эффек-
эффективно аппроксимировать одномерные интегралы. Обычно для
каждого класса задач применяются специфические приемы
упрощения. В значительной мере эти приемы являются со-
содержанием глав II и VI.

ГЛАВА II
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Одна из важнейших областей применения метода Монте-
Карло — вычисление многократных интегралов.
Для вычисления однократных интегралов имеется много
различных квадратурных формул. Однако в многомерном
случае таких формул сравнительно мало; кроме того, во мно-
многих случаях реализация их (вычисление узлов и весов) со-
сопряжена со значительными трудностями. Часто такие инте-
интегралы выгоднее вычислять более грубыми, но более простыми
приемами (метод Монте-Карло).
§ 1. Простейшие приемы метода Монте-Карло
В этом параграфе рассмотрены два простых способа, по-
позволяющих вычислять методом Монте-Карло интеграл
ь
J= / f(x)dx.
В первом из них вычисляется среднее значение функции / (х);
второй основан на геометрической интерпретации интеграла
как площади.
Здесь показаны также способы оценки погрешности, до-
допускаемой методом Монте-Карло, и его эффективность.
I. Вычисление среднего значения функции. Обозначим
буквой % случайную величину, равномерно распределенную
(р. р.) в интервале (а, Ь) с плотностью вероятностей
определяемой равенствами
[ -т , если X принадлежит (а, Ь),
(О в противном случае»

56 ГЛ. II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Математическое ожидание функции /E) равно
[2
Предположим, что проведены N испытаний и получены зна-
значения ?j, ?2, .... kN случайной величины ?. Так как при
больших N
У n
то приближенной оценкой инте-
интеграла J может служить величина
На практике, по очередному
значению ?г вычисляют / (ct), на-
накапливают сумму /(^i)-f-/(«2) +
+ . .. +/(?/) и после проведения
всех N испытаний вычисляют 6j.
Рис. 3.
2. Вычисление площади. Для
простоты рассмотрим ограничен-
ограниченную подынтегральную функцию 0^Cf(x)^c. Пусть (?, у}) —
случайная точка, р. р. в прямоугольнике R
Плотность вероятностей ее
( 1
/?={а< х<Ь, 0<у<с}.
(х, у) равна
, если (х, у) принадлежит R,
в противном случае.
Пусть найдены N точек EР Tjj), (s2, yj2) (^. fiN). при-
принадлежащих /?. Геометрически очевидно (рис. 3), что если
N' точек из них лежат под кривой y = f(x), то отношение

3] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО 57
площадей равно ABDC : ABFE t^N': N или
dx
Г f(.x)
_ _
c(b — a) ~ N '
Следовательно, в качестве приближенной оценки интеграла J
можно взять величину
02 = сф — а)^-. B.2)
На практике для каждой точки (?г, т)г) проверяют усло-
условие т]г < / (?,); если оно выполнено, то в счетчик для N'
добавляют единицу, в противном случае — нуль. После того
как проведены все N испытаний, вычисляют 62.
Далее будет доказано, что оценка B.2), как правило,
хуже оценки B.1). Тем не менее в ряде книг (напри-
(например, [63], [39]) для вычисления интегралов методом Монте-
Карло указывается лишь оценка B.2).
3. Статистическая оценка погрешности. Вопрос об
оценке погрешности метода Монте-Карло рассмотрен в главе I
(§ 2).
В дальнейшем будем считать, что моделируемая случай-
случайная величина 6 имеет почти нормальный закон распределения:
где Ф(л-) — закон Гаусса:
X
1 Г -— !
Ф (х) = -—г / е 2 rf^,
позволяющий оценивать вероятность отклонения 6 от мате-
математического ожидания Мб.
Выберем произвольный уровень достоверности р и пусть
хр — корень уравнения
Вероятность неравенства
|б —ме
приблизительно равна р.

58 ГЛ. II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [3
Часто рекомендуется применять значение х — 3, кото-
которому соответствует р > 0,99. Однако на практике такая
оценка оказывается завышенной. Поэтому многие авторы
используют 95%-ный уровень достоверности /7 = 0,95, кото-
которому соответствует хр = 1,96.
Вероятной ошибкой называют величину
КеР = 0,675
Значение хр~ 0,675 соответствует 50%-ному уровню
(р=0,5) так что вероятности неравенств
|6 —М6|<8вер и |6 —М6|>8вер
равны между собой. Значение 8вер с успехом используется
на практике для характеристики порядка ошибки. Для той же
цели используется стандартная ошибка
Большинство оценок, применяемых при вычислении инте-
интегралов методом Монте-Карло, представляет собой среднее
арифметическое
N
одинаковых случайных величин Ct, математическое ожидание
которых равно искомому значению интеграла
Пусть DCf = DC. Математическое ожидание и дисперсия слу-
случайной величины 6 равны .соответственно
ме=/, D0 = -^.
Из центральной предельной теоремы теории вероят-
вероятностей [23] сразу же вытекает, что при больших N закон
распределения 6 приближенно нормальный. Поэтому с вероят-
вероятностью zap имеет место неравенство

4] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО 59
Для практики очень важно, что дисперсию DC легко
оценить в ходе вычисления 6. Для этого достаточно наряду
с Сг вычислять также их квадраты С?:
4 = 1
Так как для DC не требуется большой точности (достаточно
одной или полутора значащих цифр), то при N > 30 исполь-
используют более простую формулу
N
1=1
4. Погрешность простейших способов. В пунктах 1 и 2
указаны два различных способа для вычисления интеграла
ь
J= J f{x)dx.
а
приводящие к оценкам 6Х и 62. Чтобы сравнить точность
этих оценок, вычислим их дисперсии.
Оценка B.1) представляет собой среднее арифметическое
одинаковых величин СA) — ip — с)/(|). Поэтому
пп
lJ°i — ~Ж~г
где
ь
DCA) = {Ъ -г- a) J f (*) их — Р.
Оценку B.2) также можно рассматривать как среднее
арифметическое одинаковых величин СB) = с ф — a) g (I, rj),
где
1. если y<f{x).
Отсюда
{1, если у
О, если у:

60 ГЛ. 1Г. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [4
где*)
= cF — a)J — Л.
Так как, по предположению, 0<^/(х)^с, то
J /2(x)dx<CcJ.
а
Следовательно, всегда
DCA)<DCB).
Пример. Вычислить интеграл
1
J= jexdx.
о
Точное значение этого интеграла известно:
./=<?—1 = 1,71828 ...
Применяя оценку B.1), найдем его приближенное значение
N
где fi> Т2- • • • —значения случайной величины, р. р. в интер-
интервале (О, I). Дисперсия усредняемой величины равна:
DCA) = 4- (е2 — 1) — (е — IJ = 0,2420.
Для вычисления того же интеграла можно применить
оценку B.2), выбрав с = е. Получим значение **)
N
Л = дГ^ ё \\2i-1 ¦ Т2/)>
где
при еу < е*.
при еу ^- ?¦*.
*) Этот же результат легко получить, если учесть, что рас-
распределение СB) биномиальное.
**) Вместо g (•%_!> T2i) можно брать g^^ fN+l) и др. Вели-
Величина ij, р. р. в интервале @, е), получается умножением f на е.

5] § 2. НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ ПОНИЖЕНИЯ ДИСПЕРСИИ 61
Дисперсия усредняемой величины равна
DCB)=eJ—/ = 1,7183.
Численные расчеты для этого примера приведены
в конце § 2.
5. Оценка эффективности. Рассмотрим два каких-либо
способа вычисления интеграла J по методу Монте-Карло.
Естественно считать более эффективным тот из них, который
позволяет быстрее достигнуть заданной вероятной ошибки.
Пусть 6' и б" —оценки этих способов, так что
Обозначим через x' и x" время, затрачиваемое соответ-
соответственно на реализацию (вычисление) величин С и С". Так как
речь идет о сопоставлении способов, то можно считать х
в любых условных единицах. Время счета, необходимое для
достижения заданной вероятной ошибки, пропорционально
произведениям т' • DC' и t" • DC"- Следовательно, эффектив-
эффективность метода обратно пропорциональна произведению xDC.
Оценку величины х (так же как и DC) можно произвести
эмпирически по небольшому числу испытаний.
Сопоставляя в п. 4 оценки B.1) и B.2), мы видели, что
всегда
Поэтому, как правило, оценка В1 лучше чем оценка б2.
Однако может оказаться, что ^2<dxi (например, если
функция y = f(x) задана алгебраическим уравнением
F (х, у) = 0, неразрешимым в радикалах); тогда метод ^2.2)
окажется выгоднее метода B.1).
§ 2. Некоторые способы понижения дисперсии
Скорость сходимости обычного метода Монте-Карло срав-
сравнительно невысокая. Она имеет порядок l/\^N. Чтобы уве-
увеличить точность в 10 раз, нужно N (т. е. объем вычисле-
вычислений) увеличить в 100 раз. Добиться значительного повышения

62 ГЛ. II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [6
точности таким путем, очевидно, невозможно. Поэтому важ-
важное значение имеют рассматриваемые ниже приемы пони-
понижения дисперсии, позволяющие улучшить точность оценок,
не увеличивая числа испытаний.
6. Выделение главной части. Простейшие способы
Монте-Карло дают сравнительно большую ошибку. Поэтому
в тех случаях, когда это возможно, очень выгодно главную
часть результата сосчитать обычными методами и только
поправку оценить методом Монте-Карло. Этот принцип верен
для всех задач, считаемых методом Монте-Карло.
Рассмотрим возможность его применения при вычислении
интеграла
= f f{x)dx.
Допустим, что мы нашли функцию g (х) яз / (х), инте-
интеграл которой известен
J
Так как математическое ожидание функции
по-прежнему равно J, то для отыскания его приближенного
значения можно воспользоваться оценкой
N
где ?j. Е2, .. .—значения случайной величины %, р. р. в (й, Ь).
Дисперсия равна
ь
DCC) = (* — в) J If (х) — g (х)? dx — (J~ If.
а
причем, если \g(x) — f(x)\->0, то и DC<3)->0.

§ 2. НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ ПОНИЖЕНИЯ ДИСПЕРСИИ 63
Особенно наглядно выделение главной части при вычисле-
вычислении методом Монте-Карло B.2) площадей (или объемов).
Пусть на рис. 4 вычисляемая площадь ABDC равна J.
Обозначим площади прямоугольников ABFE и A'B'FE соот-
соответственно через 5 и S'.
Выбирая случайные точки в ABFE и подсчитывая число
попаданий в ABDC, мы получим следующее значение ди-
дисперсии:
Если же мы будем подсчи-
подсчитывать число попаданий в
площадку A'B'DC, выбирая
случайные точки в A'B'FE,
то получим другое значение
дисперсии
Пример.
интеграл
1
— J).
Вычислить
Г
exdx.
Ь х
Рис. 4.
Так как ех =\-\-х-\- ...
части выберем g (х) -¦
чение
то для выделения главной
1+лг.' Согласно B.3) получим зна-
где -fj, f2> ... —значения случайной величины, р. р. в @, 1).
Дисперсия усредняемой величины будет равна
=-!(<,_ i)E_е)
J
12
= 0,0437.
Ранее указывалось, что при вычислении этого же инте-
интеграла методами B.1) и B.2) соответствующие значения ди-
дисперсии равны 0,2420 и 1,7183. Численный расчет для этого
примера приведен в п. 11.

64 ГЛ. II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЧОВ [7
- 7. Существенная выборка. Этот прием основан на из-
изменении характера выборки ([173—175], [38], [193]). Основ-
Основная идея этого приема заключается в следующем: в «более
существенных» частях области интегрирования следует вы-
выбирать больше точек.
Пусть ?— любая случайная величина, плотность вероят-
ь
ностей которой />(х)>0 при а < х < Ь; С р (х) их = 1.
а
Искомый интеграл можно преобразовать:
ь ь
J= f fix) их = / ??L
а а
Введем функцию
ГD) _ /F)
Ее математическое ожидание равно J:
Следовательно, в качестве оценки искомого интеграла можно
использовать величину
N
1Ш (Ч А\
где %х, ?2, ... —значения случайной величины %. В частности,
когда % р. р. в интервале {а, Ь), то р(х)= ь__а » и Ф°Р"
мула B.4) переходит в B.1).
Дисперсия функции С равна
dx
Выясним теперь, как следует выбирать случайную величину
чтэбы эта дисперсия была минимальной.

7] § 2. НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ ПОНИЖЕНИЯ ДИСПЕРСИИ 65
Минимум DCD) реализуется тогда, когда случайная вели-
величина ?=? распределена в (а, Ь) с плотностью
/ I/ (дг) |
а
В этом случае
Г ь I2
DC<4)= /|/(*)|d* -Л
У а .1
причем, если подынтегральная функция f {х) не меняет знака,
то DCD)=0.
В действительности, использование случайной величины ?
не имеет смысла, так как для этого нам необходимо вычи-
ь
слить интеграл С \f(x)\dx, что практически равносильно
а
вычислению J (в случае знакопостоянной функции f(x) —
ц точности равносильно).
Практический вывод: желательно выбирать 5 так,
чтобы отношение ее плотности р(х) к |/(л)| мало
менялось:
pW ~ const
~ const-
Пример. Вычислить интеграл
1
J= J exdx.
о
Так как е* = 1 -j- x +- .... то выберем случайную вели-
2
чину 5 с плотностью /?(лг)=-о-A + лг). Согласно B.4) полу-
получим значение
з \Н
4 ~ "глГ 2и Т
5 Зак. 250. Н. П. Бусленко и др;

66 ГЛ. II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [8
Дисперсия усредняемой величины будет равна*)
nr4_3 f*»dx
о
= -|е-*[Е1D) — Е1 B)]— (е— 1J = 0.0269.
Значения $ можно получить по формуле
где у р. р. в @,1). Численный расчет для этого примера
приведен в п. 11.
Замечание. Пусть требуется вычислить интеграл
где р(х) — плотность вероятностей некоторой случайной вели-
величины ?. И в этом случае часто применяют существенную
выборку: вместо оценки У=М/(?) оценивают
где 7j — случайная величина с плотностью р(х).
8. Выборка по группам. Этот прием хорошо известен
в статистике [33]. По идее он близок к существенной вы-
выборке (в «более существенных» областях следует выбирать
больше случайных точек).
1 Г1—J ' " ' Г* а Однако в практике метода
г г 3 Монте-Карло чаще исполь-
Рис. 5. зуется существенная вы-
выборка.
Разобьем отрезок {а, Ь) на т отрезков (ak, bk), длины
которых обозначим через lk (k=l, 2, .... т; рис. 5):
*) Ei(jc) — интегральная показательная функция. См. СМБ,
Математический анализ (функции, пределы, ряды, цепные дроби),
Физматгиэ, 1961, стр. 379.

8] § 2. НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ ПОНИЖЕНИЯ ДИСПЕРСИИ 67
Каждый из интегралов под знаком суммы
J7 (*)</* = J Jf(x)dx
будем вычислять простейшим методом Монте-Карло B.1),
используя Nk значений величины ?(й) р. р. в (cfe, bk). Получим
оценку
Легко подсчитать, что
fcl B.5)
*=1
где Dk = D/ (?( ') *)•
Общее число используемых в счете значений /(лг) обо-
обозначим через N
Нетрудно доказать, что минимум дисперсии D6s дости-
достигается тогда, когда Nk = Nll пропорциональны V
В этом случае
( 2
2у^;
(т
Однако значения Dk в начале счета, как правило, неизвестны.
Поэтому часто выбирают Nk пропорциональными lk:
*) Очевидно,
b
5*

68 ГЛ. II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [8
Тогда
k=l
Из неравенства
видно, что в обоих рассмотренных случаях выборка по груп-
группам эффективнее оценки 6Х (время реализации т,я=;т5).
Очевидно, что область интегрирования целесообразно
разбивать на части, в которых подынтегральная функция
меняется медленно. В многомерном случае за границы этих
частей часто имеет смысл принимать линии уровня некоторой
простой функции g(x), имеющей те же характерные особен-
особенности, что и подынтегральная функция.
Пример. Вычислить интеграл
Разобьем @, 1) на две равные части и выберем 4 точки
в (О, V2) и 6 точек в Gг. 1). Получим значение
4 A) 6
J6—T2de' +12
Дисперсия У5 будет равна
где
Чг Г Чг 12
Dl — 2[e2xdx — 12 j"exdx\ —
о L о J
— е __ 1 _ 4(l/F— l)z = 0,03492;
Г Г Г Г
D2 = 2 I e2Xdx — J 2 I в rfjc j =
«a L y, J
— e2 _ e _ 4 (e _ у еJ — 0.09493.

9] § 2. НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ ПОНИЖЕНИЯ ДИСПЕРСИИ
Саедовательно, D-4 — 0,006138 и
8ве,, = 0,675 1/0.00614 = 0,053.
69
Значения SA и ?<2) можно вычислить по значениям
Численный расчет для этого примера приведен в п. 11.
9. Симметризация подынтегральной функции. Предпо-
Предположим, что вычисляется интеграл
J=ff(x)dx.
о
Рассмотрим на примерах, как можно использовать информа-
информацию О поведении f (х) для уменьшения дисперсии выборки.
А. Пусть известно, что функция f(x) монотонна (или
приблизительно монотонна). Можно ожидать, что «симметризо-
ваиная» функция
= 4-[/(*)-+-/О — х))
Т(х)
изменяется меньше чем f(x)
(рис. 6), и поэтому дисперсия
величины
с F) 1
будет меньше дисперсии Dv G).
Соответствующая оценка инте-
интеграла равна
N
„ м О
B.6)
f(t-x)
Рис. 6.
где у,, 72, ... —значения случайной величины -у. р. р- в @, 1).
Легко доказать, что всегда
Отсюда, однако, еще не следует, что опенка B.6) всегда
выгоднее оценки B.1). Время счета по формуле B.6)

70 ГЛ. II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [9
примерно в два раза больше времени счета по формуле B.1):
Поэтому оценка B.6) эффективнее оценки B.1), лишь если
DCF) < 0,5 DCA)
о
или
о
Пример. Вычислить ин-
интеграл
J=fexdx.
о
По формуле B.6)
г,а
Дисперсия усредняемой функции (рис. 6) равна
DCF) = \ [2е + (е — 1) E — 3e)J = 0,00392.
Численный расчет приведен в п. 11.
Б. Пусть известно, что функция /(а:) имеет один экстремум
в окрестности точки х — -,?. Применение формулы B.6)
в этом случае только ухудшило бы положение. Однако можно
ожидать, что функция
интеграл которой по-прежнему равен J. окажется монотонной
(рис. 7), и затем «симметризировать» ее согласно B.6).
Получим функцию

9] § 2. НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ ПОНИЖЕНИЯ ДИСПЕРСИИ 71
Соответствующая ей оценка интеграла J равна
Эта оценка эффективнее оценки B.1) при D?(?)-<0,25|
Пример. Вычислить интеграл
J = I sin пх ах — —
./ тс
О
при помощи оценки B.7).
Так как в этом примере (рис. 7)
- __ У 2 П ^\ •
/7 2CS7V\4 2)'
то дисперсия равна
В то же время
1
DCA)= f sitfKxdx — ^J^j— ^-=0,09472,
так, что DC(': DCG* = 24,5. Отсюда следует, что в рассмат-
рассматриваемом примере оценка B.7) в 6,1 раз эффективнее
оценки B.1).
В отличие от способов, указанных в пунктах 6—8, кото-
которые непосредственно переносятся на вычисление интегралов
по многомерным областям, применение симметризации в много-
многомерном случае не столь наглядно. К тому же предварительно
требуется преобразовать область интегрирования в единичный
куб (соответствующего числа измерений).

72 ГЛ. II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ПО
В частности, в трехмерном единичном кубе аналог функции
= -g-!/(*)+/О—
содержит 23 = 8 слагаемых:
/6(*. У- z) = -j[f(x, у,
1—у. 1_
Некоторые методы симметризации указаны в рабо-
работах [208] и [3].
10. Использование зависимых величин. Применения
зависимых величин на практике обычно ограничиваются оцен-
оценками типа B.3), B.6) или B.7), которые можно рассматри-
рассматривать как частный случай использования зависимых величин.
Пусть требуется вычислить интеграл
ь
J=ff(x)pi(x)dx.
а
где рг (х) —- плотность вероятностей случайной величины ?
в интервале (о, Ь). Иначе говоря, М/(?) = •/• Выберем пока
произвольную случайную величину -ц и обозначим совместную
плотность распределения точки E. tj) через р^Ах, у), так что
Р. (*) = / Рц (х. У) йу, рч (У) = J р^ (х, у) dx
а
(область определения -ц записывать не будем). Независимость ?
и ij не предполагается, так что р^(х, у) ф д (х)рГ[(у).
Рассмотрим теперь случайную величину
где функция g- (у) тоже произвольная. Если / = М g (yj), то

10J § 2. НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ ПОНИЖЕНИЯ ДИСПЕРСИИ 73
Если ввести коэффициент корреляции величин /(?) и
г_
то можно записать
DC = D/ + Dg — 2r 1AD/-DS-. B.8)
Как известно [23], |/-|<1. Если % и ч\ независимы,
то г^=0.
А. Будем выбирать такие tj и g(rf), для которых матема-
математическое ожидание / известно. Так как
то для отыскания J достаточно оценить МС. Из формулы B.8)
видно, что DC будет меньше при больших положительных
значениях г (абсолютный минимум DC = 0 достигается при
7j = ? и g — /). Следовательно, выборка С вместо выборки ?
выгодна тогда, когда g(f}) и /(?) имеют большую положи-
положительную корреляцию. В частности, она выгодна при ч] = < и
g(xO^if{x), как это было в п. 6.
Б. Будем теперь выбирать такие г\ и g (fj), для которых
/ — — У. И в этом случае оценка МС позволяет найти J.
так как
II в этом случае использование С вместо ^ выгодно, если g (r,)
и /(Е) имеют большую положительную корреляцию.
Например, если р^(х)=1, как это было в п. 9 (А), то
можно выбрать ¦») = ? и g(y) = — /A—у).
Дальнейшее развитие этих методов привело к рассмотре-
рассмотрению «случайных» квадратурных формул. В самом деле,
осредняемая в B.7) функция
при каждом 5 есть некоторая квадратурная формула. Можно
подобрать и более сложные функции вида

74
ГЛ. II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
П1
где все ht (?) представляют собой- некоторые линейные функ-
функции (¦• Исследования таких оценок имеются в [149] и [147J*).
Нужно отметить, что для достаточно гладких функций сходи-
сходимость по т оказывается быстрее сходимости по N и стано-
становится выгодным использовать большие т и малые N
(даже N= 1).
Построению аналогичных оценок в многомерном случае
посвящены работы [208] и [3]. Пока эти оценки большого
практического значения не имеют из-за своей сложности
(см. [11]).
Другой подход к построению «случайных» квадратурных
формул использован в статье [35].
11. Численный пример. В предыдущем изложении в каче-
качестве примеров рассматривались разные способы вычисления
интеграла
= 1,718.
Здесь этот интеграл вычисляется с использованием всех
изложенных шести приемов при N =10**). В качестве зна-
значений случайной величины -[, Р- Р- в @- ')• использованы
группы случайных цифр из таблицы I (см. стр. 305). Значения
случайных величин с другими законами распределения полу-
получаются преобразованием тех же значении f-
Таблица 2
h
Jk-J
"вер
1
1,901
0,183
0,10
2
1,359
— 0,359
0,28
3
1,798
0,080
0,044
4
1,782
0,064
0,035
5
1,804
0,086
0,053
6
1,729
0,011
0,013
*) В частности, метод А называется control variate method,
а метод Б — antithetic variate method.
**) Обычно в статистике считают, что центральная предельная
теорема применима при N > 30, так что при N = 10 оценка стати-
статистической ошибки может оказаться весьма далекой от истины. Зна-
Значение N =10 выбрано лишь для простоты расчета.

П] § 2. НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ ПОНИЖЕНИЯ ДИСПЕРСИИ 75
Выпишем все полученные выше формулы для вычисления J:
ю
к_\ 1 при еу <
О при еу ^-1
10
10
10
I.
/ ~ 3 V - t
J* — 20 jU T+Ti. • где ч:
10
Результаты вычисления приведены в таблице 2. Здесь же
для сопоставления указаны значения вероятных ошибок.
Из таблицы видно, что действительные ошибки имеют поря-
порядок Ввер.
Таблица 3
к
i
0,0242
153
3,70
2
0,1718
179
30,7
3
0,00437
157
0,69
4
0,00270
402
1,09
5
0,00614
161
0,98
6
0,000391
295
0,12
Таблица 3 позволяет сопоставить эффективность всех этих
оценок Jb по отношению к электронной вычислительной
машине «Стрела» (со средней скоростью 3000 операций
в секунду); ik — время вычисления интеграла Jk на машине
«Стрела» в миллисекундах.

76
ГЛ. II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
[12
Весь ход вычислений легко восстановить при помощи
таблицы 4, в которой указаны промежуточные величины.
Таблица 4
I
1
2
3
4
5
6
8
9
10
Сумма
0,86515
0,90795
0,66155
0,66434
0,56558
0,12332
0,94377
0,57802
0,69186
0,03393
6,03547
2,3754
2,4793
1,9378
1,9432
1,7604
1,1312
2,Е6Эо
1.7K25
1,9974
1,0345
19,0113
о
0,42502
0,99224
0,88955
0,53758
0,91641
0,18867
0,41686
0,42163
0,85181
0,3?937
о
«и
1
0
0
1
0
1
1
]
0
0
5
0,89fi!7
0,92973
0,72761
0,73004
0,64217
0,17045
0,95737
0,65350
0,75373
0,04965
2,4502
2,5338
2,0701
2,0752
1,9005
1,1858
2,6049
1,922с
2,1249
1,0509
1,2922
1,3130
1,1982
1,1995
1,1574
1,0131
1,3308
1,1626
1,2116
1,0012
11.8796
s
0,43257
0,45398
0,33077
0,33217
0,78279
0,56166
0,97188
0,78901
0,84593
0,51697
1,5412
1,5746
1,3920
1,3940
2,1875
1,7536
2,6429
2,2012
2,3301
1,6769
I
1,1443
1,0964
1,4028
1,3989
1,5441
2,4029
1,0579
1,5250
1,3609
2,6276
15,5608
§ 3. Вычисление многомерных интегралов
12. Простейшие методы. Все методы и оценки § 2 без
труда переносятся на многомерные интегралы вида
ff(P)dP,
B.9)
где G — произвольная область rf-мерного пространства; точки
Р — (aTj xd) принадлежат области G; dP — dx1 dx2 ¦ ¦ • dxd.
Пример. Некоторые интегралы, встречающиеся в мате-
математической физике (теории потенциала, теории рассеяния
и др.), можно привести к виду
=^f f
где точки Р и Q принадлежат единичному шару S. а р
стояние между ними
рас-

121
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
77
Фактически это трехкратный интеграл, однако можно рас-
рассматривать его как шестикратный и учитывать симметрию
во время реализации случайных
испытаний.
Пусть Р и Q — независимые
случайные точки, p.p. в шаре
5, т. е. плотности их внутри 5
равны
Воспользуемся сферической си-
системой координат (г, ср, (J.), где
p = cos6 (рис. 8). Элемент объе-
объема в этих координатах равен:
dP = r2drd<?dp. В силу симметрии можно выбрать точку Р
на оси Ог по закону
Рис. 8.
3//¦**¦ = Tl.
Точку Q можно выбрать в плоскости Oxz (<р — 0) по за-
законам
-1 О
Получаем расчетные формулы
Приближенное значение интеграла равно
N
B.10)
где р4 — значения р, полученные при выполнении /-го испы-
испытания. ; :

78 ГЛ. II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [13
13. Методы понижения дисперсии. Кроме приемов
понижения дисперсии, указанных в § 2, необходимо иметь
в виду следующее правило: если выполнить аналитически
интегрирование по некоторым из переменных, то дис-
дисперсия уменьшается.
Более подробно, допустим, что требуется вычислить
интеграл
J= f f f(P, Q)p(P. Q)dPdQ,
vP vQ
где Р и Q — точки, принадлежащие соответственно простран-
пространствам Vp и Vq, причем размерности этих пространств могут
быть различными, р(Р, Q) — плотность вероятностей.
Предположим, что интегрировать no Q мы умеем анали-
аналитически и можем найти частную плотность вероятностей
р(Р)= J p(p> Q)aQ
Vq
и функцию f(P), определяемую соотношением
, Q)p(P, Q)dQ.
VQ
Очевидно,
J= ff(P)p{P)dP.
Vp
Значит, вместо того чтобы вычислять среднее М/ по плотности
р(Р> Q). можно вычислять среднее М/ по плотности р(Р).
При этом всегда *)
D/-D/= / fp(P,Q)p(P,Q)dPdQ-
Vp VQ
f
vP
*) Эта разность равна среднему значению условной дисперсии Dp/
(характеризующей разброс по Q при фиксированном Р):
D/-D/= f
Vp

14] § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 79
В частности, если плотность р(Р, Q) постоянна в Vp X VQ,
то и плотность р{Р) постоянна в Vp,
14. Интегралы с особенностями. А. Предположим, что
область О конечна, а функция f{P) имеет особенность
внутри О или на границе. Требуется сосчитать интеграл B.9)
ff(P)dP.
В этом случае рекомендуется применять существенную
выборку, взяв плотность р(Р) с той же особенностью, что
и у подынтегральной функции f(P). Иногда этот прием
называют включением особенности в плотность.
Простейший метод Монте-Карло применим к интегралу B.9)
лишь тогда, когда сходится f p(P)dP; в противном слу-
о
чае D6i = оо. Однако и в случае, когда дисперсия D6,
конечна, включение особенности в плотность приводит обычно
к снижению дисперсии.
Б. Если область G не ограничена, то для приближенного
вычисления интеграла B.9) можно:
1) Отбросить часть интеграла по достаточно удаленной
части О и рассматривать интеграл по оставшейся конечной
области; или
2) преобразовать интеграл к случаю А; или
3) использовать существенную выборку с плотностью
вероятностей, достаточно быстро убывающей на бесконеч-
бесконечности.
По-видимому, наиболее естествен последний путь. При
этом также можно «включать особенность в плотность»:
в данном случае выбирать плотность вероятностей, которая
убывает на бесконечности с той же скоростью, как и подын-
подынтегральная функция.
Пример. Предположим, что в интеграле
s s

80
ГЯ. U. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
[14
(обозначения см. п. 12) подынтегральная функция имеет осо-
особенность типа 1/р2. Ожидать хорошего результата от оценки 7)
в этом случае нельзя, так как
D6~= со *).
Пусть случайная точка Р
(по-прежнему) равномерно рас-
распределена в S: р (Р) — Dir/3)-1.
Постараемся выбрать случайную
точку Q так, чтобы ее плотность
была пропорциональна 1/р2.
Удобно воспользоваться сфе-
сферическими координатами (р, <р, ц)
С центром в точке Р (рис. 9);
jj. — cos 0. Выберем произволь-
произвольное направление j* в плоскости
Oxz (<р = 0). Пусть / = / (гр, ja) —
расстояние от точки Р до границы шара по этому направле-
направлению (PL на рис. 9). Затем выберем р равномерно распреде-
распределенным в интервале @, I). При такой выборке плотность
равна
1 **л
Расчетные формулы
Рис. 9.
Приближенное значение интеграла
B.11)
где pj и tt — значения р и/, полученные при t-ом испытании.
*) Интеграл / / /2 (р) dPdQ ~ I j —^— расходится.
s б- i i
**) Правильнее было бы писать р {QIP), так как это условная
плотность вероятностей.

,15] § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 81
15. Численный пример. Используем оценки 6 ив, по-
построенные в пп. 12 и 14 для приближенного вычисления
интегралов
/ — J_ С С dPdQ
'" — к* J J рт '
S S
при /и=1 и т = 2. Здесь 5—единичный шар трехмерного
пространства; точки Р и Q принадлежат 5; р — | Р — Q\ —
расстояние между точками Р и Q.
' Интегралы 1т могут быть вычислены аналитически *),
В частности,
А. Различные оценки и их дисперсии. По фор-
формуле B.10) получим оценки:
'1
1 = 1
j _ D/3J v _L
2~ » ft
' дисперсии которых равны
4\2/ /21 2'56
По
формуле
*) При т
т —
D/2 =
B.11)
= оо.
получим
*2 ~
< 2 справедлива
' B-'
32
чг) F — т)
оценки
Л'
1=1
Лг
формула
у /2-ш\ 1
где Е(х) — целая часть х.
6 Зак. 250. Н. П. Бусленко и др.

82 ГЛ. II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [15
дисперсии которых равны:
64 / /21_ 8-452
7 7 J
32 / /21 6-756
Интересно отметить, что D/j > D/p отсюда видно, что
если подынтегральная функция /(р> в примере пункта 14 не
имеет особенности типа 1/р2, то оценка 6 может оказаться
хуже, чем 6 **).
Далее, легко заметить, что для вычисления /2 не нужно
разыгрывать р. Иначе говоря, можно считать, что интегри-
интегрирование по переменному р в интеграле /2 произведено ана-
аналитически. Можно получить аналогичную оценку и для инте-
интеграла /,:
*) Приводим подробный расчет:
0-10 OS
dPdQ 32
~ 3 8*2 J J
8 8 P
**) На этом примере видно, что неудачное применение суще-
существенной выборки может ухудшить результат (по сравнению с про-
простейшей оценкой 0).

15] § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 83
В самом деле,
-1
-1
Дисперсия этой оценки равна
16 ,
5,201
N
Очевидно, D/i < 01 \-
Б. Вычисления. Интегралы /j и/2 вычислялись всеми
указанными методами при N= 10 (ср. сноску**) на стр. 74).
В качестве значений случайных равномерно распределенных
в @, 1) величин т использовались группы цифр из таблицы I
(стр. 305).
Формулы счета:
Р =
10
10
J6 V_I_
90 ^j 2
I* =2T2
Р =
16
7 - 16
—1-2,A
ю
10
ю
8 V/2
i= 1
Результаты выписаны в таблицу 5. Здесь же указаны
значения вероятных ошибок 8вер.

84
ГЛ. II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [15
Таблица 5
Результат . .
Ошибка . . .
Ввер
/.
1,78
—0,35
0,34
1,67
—0,46
0,62
1,48
—0,65
0,49
h
1,94
—2,06
со
Т,
3,37
—0,63
0,55
Промежуточные величины, по которым можно проследить
за ходом вычислений, сведены в таблицу 6.
Таблица 6
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Сумма
Т1
0.86515
0,66434
0,94377
0,03393
0,88955
0,18867
0,85181
0,72664
0,86522
0,89342
h
0,90795
0,56558
0,57802
0,42502
0,53758
0,41686
0,38967
0,53807
0,47171
0,67248
Т3
0,66155
0,12332
0,69186
0,99224
0,91641
0,42163
0,33181
0,00607
0,88059
0,09082
ТР
0,9529
0,8726
0,9809
0,3237
0,9617
0,5735
0,9479
0,8990
0,9529
0,9531
V11
0,8159
0,1312
0,1560
—0,1500
-0,0752
-0,1663
-0,2207
0,0761
— 0,0566
0,3450
0,8713
0,4978
0,8844
0,9974
0,9713
0,7499
0,6923
0,1824
0,9585
0,4495
1
Р
1,789
1,057
0,824
0,914
0,761
0,983
0,775
1,107
0,720
1,097
10,027
1
Р2
3,201
1,117
0,679
0,836
0,579
0,967
0,600
1,225
0,518
1,204
10,926
1
1,612
0,616
0,401
0,893
О,35€
O.72S,
0,172
0,512
0,254
0,760
6,311
Р
2,598
0,380
0,160
0,808
0,127
0,532
0,030
0,262
0,065
0,577
5,539
Тз*г
1,719
0,047
0,111
0,802
0,116
0,224
0,010
0,002
0,057
0,052
3,140
В. По значениям таблицы 6 можно попытаться эмпири-
эмпирически оценить дисперсии оценок /j и /2 (см. п. 2):
[10
1 /16\2
)
[10 -1
1 /16\2\ч 1 уг
Истинные значения равны соответственно 0,26 и 0,68. Точ-
Точность эмпирического значения D/2 вполне достаточна для
оценки 8вер. Однако эмпирическое значение D^i неудовле-
неудовлетворительно (из-за малой точности /2).

16] § 3. вычисление многомерных интегралов. 85
16. Метод Монте-Карло с повышенной скоростью схо-
сходимости. Рассмотрим задачу о вычислении интеграла
J=ff(P)dP. B.12)
где К — единичный куб d-мерного пространства 0 ^ xv
*г ¦^d<1: точка Р = (х1, xd) принадлежит К\
UP = dxl dx2 .. ¦ dxd. Простейшим приемом метода Монте-
. Карло B.1) интеграл B.12) можно вычислять тогда, когда
подынтегральная функция f (P) интегрируема с квадратом.
Порядок сходимости при этом равен 1/N' .
Построить квадратурные формулы для столь широкого
класса функций нельзя (ср. п. 17). Однако для более узких
классов функций известны квадратурные формулы, дающие
более быстрый порядок сходимости. При построении этих
формул используется некоторая информация о свойствах
функций данного класса. Естественно ожидать, что, используя
эту же информацию, можно построить и приемы метода
Монте-Карло, дающие более быстрый порядок сходимости.
Рассмотрим множество функций, у которых все частные
производные первого порядка
df df df
dxt ' дх2 ' '''' dxd
непрерывны и ограничены в К- Существуют квадратурные
формулы, которые для рассматриваемого класса функций
обеспечивают порядок сходимости l/Nd . Существуют также
методы Монте-Карло, обеспечивающие для любой такой функ-
иии порядок сходимости l/Nd 2 *). Как доказал Н. С. Ба-
Бахвалов [3], оба эти порядка не улучшаемы. Различие между
ними вызвано различным характером оценок: в случае ква-
квадратурных формул оценивается наибольшая ошибка для рас-
рассматриваемого класса функций; в случае метода Монте-Карло
оценивается вероятность ошибки для одной (какой-нибудь)
функции из этого класса.
*) В обоих случаях интеграл оценивается по значениям функ-
функции в N точках.

86
ГЛ. II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
[16
В качестве примера квадратурной формулы, обеспечиваю-
обеспечивающей порядок схрдимости l/Nd, можно указать формулу
N
B.13)
в которой узлы Pt образуют равномерную (кубическую) сетку
в К. Это значит, что куб К делится на N~nd равнове-
равновеликих кубов К; (рис. 10) и точ-
точка Pt выбирается в центре Kt.
Рассмотрим теперь туже фор-
формулу B.13), но точку Р1 будем
считать случайной точкой, равно-
равномерно распределенной в Кс. Не-
Нетрудно подсчитать, что
•
•
•
•
•
•
е
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Рис. 10.
где постоянная А зависит лишь от d и от максимума мо-
I d \
дуля частных производных hpr
Из неравенства Чебышева следует, что
N
А/г
7 = 1
11
2 d
N
Следовательно, порядок сходимости этого метода Монте-
Карло оказывается 1/N2 d .
При больших d такой способ счета вряд ли целесообра-
целесообразен, так как -^--^-тРг^-д-; лучше использовать простейший
прием B.1) метода Монте-Карло.
*) A—VskLd, где L = max sup -~
' F № j к dxj

17] § 3. вычисление многомерных интегралов 87
Пока в вычислительной практике метод Монте-Карло
с повышенной скоростью сходимости используется редко.
Вероятно, по той причине, что сами многомерные квадра-
квадратурные формулы, на базе которых должны строиться эти
методы, весьма сложны.
17. Замечания практического характера. А. Неко-
Некоторые особенности метода Монте-Карло. Пер-
Первой особенностью является вероятностный характер сходи-
сходимости. Это обстоятельство иногда отпугивает вычислителей
и зачастую без достаточных оснований. Порядок сходимости
1/У"лГ хотя и не высок, но зато не зависит от кратности
интеграла d (ср. ниже замечание Б). Кроме того, вероятную
ошибку вычислений легко оценить в ходе самих вычислений.
Если результат нужен с небольшой точностью (порядка 5%),
то такая сходимость обычно вполне приемлема.
Второй особенностью является его простота. Имеется
в виду, главным образом, единообразие процесса счета, об-
облегчающее программирование для быстродействующих счет-
счетных машин.
Б. О применении равномерных сеток. В вы-
вычислительной практике для нахождения значений многомерных
интегралов по единичному кубу К часто прибегают к помощи
равномерных сеток B.13). Эти сетки достаточно просты и
являются естественным обобщением обычной (одномерной)
формулы прямоугольников.
Однако в случае больших d равномерные сетки суть
плохие сетки [56]. На первый взгляд это утверждение
противоречит п. 16: там указано, что равномерные сетки
обеспечивают наилучший порядок сходимости \N ^) для клас-
класса функций, имеющих непрерывные и ограниченные частные
производные первого порядка. Можно, однако, несколько
сузить класс функций и требовать непрерывности и ограни-
ограниченности всех частных производных, содержащих не более
одного дифференцирования по каждому переменному *). Для
iff
*) Иначе говоря, производной -т—з л— и всех тех ПР°"
ОХ\ ОХ^ . . . ОХд
взводных, из которых она может быть получена дифференциро-
дифференцированием.

88 ГЛ. II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОЗ A7
такого класса в кубе К можно построить сетки, обеспечи-
пающие порядок \nd-xNjN, в то время как порядок сходи-
сходимости равномерных сеток по-прежнему N~5\ При больших d
разница очень значительна!
В. О применении метода Монте-Карло. Рас-
Рассмотрим три случая:
1) Функция /(Р) «достаточно гладкая» и область G «до-
«достаточно хорошая» *). Такие интегралы на практике вычи-
вычисляют методом Монте-Карло при d у> 4 (иногда при d ^> 3).
Однако это, по-видимому, явление временное: для различных
классов таких функций можно построить квадратурные
формулы с более быстрым порядком сходимости. Если
будут найдены такие достаточно простые и достаточно уни-
универсальные формулы, то они вытеснят методы Монте-Карло
(ср. §5).
2) Функция f(P) «кусочно гладкая»**). Интегралы от
таких функций вычисляют методом Монте-Карло уже при
d>>2. В самом деле, в случае функции одной переменной
легко разбить область ее определения на несколько интер-
интервалов гладкости и в каждом из них применить какую-нибудь
хорошую квадратурную формулу. Однако при d = 2 разбить
квадрат на, вообще говоря, криволинейные фигуры и каждую
из них преобразовывать в стандартную область, для которой
известны хорошие кубатурные формулы, — дело весьма слож-
сложное и крайне неудобное для вычислительных машин. В то же
время процесс вычислений простейшим вариантом метода
Монте-Карло не зависит от положения линий разрыва.
Для таких интегралов пока нет практически более удоб-
удобных методов, чем Монте-Карло.
3) Функция f(P) «очень плохая». Можно указать столь
широкие классы функций, что для них нельзя построить
квадратурную формулу с порядком сходимости лучшим, чем
1/У~77. В случае функций одной переменной таким классом
является, например, класс функций /(х), удовлетворяющих
*) Можно представить себе, что область G легко преобразуется
в единичный rf-мерный куб К, а функция f{P) имеет непрерывные
частные производные до порядка d включительно.
**) Сюда относится также случай «плохой» ограниченной обла-
области О, так как ее всегда можно заключить в куб, доопределив
функцию нулем.

18] § 4. О ВЫЧИСЛЕНИИ КОНТИНУАЛЬНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 89
условию Липшица порядка а при а<—:
\f(x)-f(x')\4CL\x'-x\a.
Для функций многих переменных аналогичные классы На
указаны в [60].
Если про функцию f(JP) известно лишь то, что она при-
принадлежит некоторому классу, более широкому, чем На при
о < 2" (и в этом смысле она «очень плохая»), то, как пра-
правило, вычислять интеграл от нее лучше методом Монте-
Карло (даже при d=l).
§ 4. О вычислении континуальных интегралов
Многие важные задачи квантовой физики и теории вероят-
вероятностей сводятся к вычислению континуальных или винеров-
ских *) интегралов
JF[x]dwx, B.14)
с
где С — функциональное пространство всех непрерывных на
отрезке [0, Т] функций х — х (t), удовлетворяющих условию
х @) = 0; F [х] — произвольный (непрерывный и ограничен-
ограниченный) функционал, заданный на С.
18. Два способа вычисления винеровских интегралов.
Для приближенного вычисления интеграла B.14) можно за-
заменить его конечномерным интегралом достаточно высокой
кратности d. В самом деле, разделим отрезок [0, Т] на d
равных частей точками
*) Здесь будут рассмотрены только интегралы по мере Винера.
При определении этой меры [22] коэффициент диффузии положен
равным '/4 (этого всегда можно добиться изменением масштаба
времени). Таким образом, плотность распределения значений х ф
равна

90 ГЛ. II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [19
Каждую кривую x(t) условимся заменять ломаной x(t), сов-
совпадающей с x(t) во всех точках деления
Значение функционала F(x) на таких ломаных можно рас-
сматривать как функцию d переменных
| I {Ху Xd).
Тогда
d d
d со со _5.^,
v J ••• JF{Xi Xd)e =
—оо —оо
Многомерные интегралы, стоящие в правой части, можно
вычислять любыми методами, в том числе и методом Монте-
Карло.
Возможен и несколько иной подход. Мера Винера в про-
пространстве С задает распределение вероятностей траекторий
броуновской частицы, удовлетворяющей начальному условию
х@) = 0. Поэтому интеграл B.14) представляет собой мате-
математическое ожидание (среднее значение) функционала F\x\
на множестве всех таких траекторий. Для приближенного
вычисления интеграла B.14) методом Монте-Карло нужно
реализовать достаточно большое число iV броуновских траек-
траекторий х'1' (f), хB) @. • - •, xW(t), вычислить значение функ-
функционала по каждой из них и усреднить результат
/
N
Реализацию броуновских траекторий также осуществляют
приближенно, заменяя их ломаными.
19. Приближенное построение броуновских траекторий.
Во всех приведенных ниже формулах Ср Cj, ... — это нор-
нормальные случайные величины со средними 0 и с диспер-
дисперсиями 1.

20] § 4. О ВЫЧИСЛЕНИИ КОНТИНУАЛЬНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 91
Первый способ основан непосредственно на определении
броуновского движения. Отрезок [0, Т] делят на й равных
частей точками B.15). Значения x(tt) разыгрывают последо-
последовательно по формуле
х (/?) = х (/._,) +1/^- С,. /=1.2 й.
Полученные точки траектории соединяют отрезками прямых.
Второй способ [20] основан на том, что если значения
х (Sj) и х (s2) известны, то условное распределение значения
х ( S' 9 Sg ) ноРмально со средним -н- [х (s() + х (s2)] и дис-
дисперсией "о" | «2 Sl I-
Формулы счета:
(т)=^
Сосчитав некоторое число 2т точек траектории, соединяют
их отрезками прямых.
20. Численный пример. Вычислить интеграл
где
||*||а=/*»(/)*.

92 ГЛ. II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [20
Так как
с
то при /V=10 вероятная ошибка равна
8вер = 0,675 V 0,00833 =
= 0,062
(кроме этой статистической ошиб-
ошибки, будет еще ошибка от замены
непрерывных траекторий лома-
ломаными).
Броуновские траектории бу-
будем строить вторым способом по
рис ц четырем точкам, используя нор-
нормальные случайные величины
{таблица Петр. 308). Число траекторий N=10. Формулы
счета:
хA) = 0,7071 Id;
* 0/а) = 0.5* A)+0,35355С2;
* 0/4) = 0.5*0/8)+0.25Сз;
х (з/4) = 0,5 [х О/а) +*(!)! + 0,25С4;
+ х О/4) х О/а) + х 0/2) х C/4) + * C/4) * О)} ;
ю
Результаты вычислений приведены в таблице 7; первые
три траектории построены на рис. 11.
*) Использована следующая формула: если функция f(x) ли-
линейна на (а, Ь), то
ь
J> {х) dx = -—- I/2 (я) +/(fl)/(*) +/46I-

21] § 5. О ПРИМЕНЕНИИ НЕСЛУЧАЙНЫХ ТОЧЕК 93
Таблица 7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1,1922 —0,0077
-1,8149
0.2005
1,0423 _.
1,1609 —0,6690
1,8818
0,5864
,1147
0,1425
0,6379
0,9516
1,4664
0,7390
-0,9245
0,2776
—0,2863
—0,4428
—1,7708
1.685Г
1,1803
1,5893
•0,2736
0,0904
0,1012
1,2809
0,0348
0,0033
0,2443
0,1585
0,5816 —0,3104
1,0828
1,5068
-1,3566
0,4043
0,3949
—0,0372
—0,1227
0,2948
—2,3006 —0,6446 —0,5406
2,8854
—0.96S0
0,4686
—0,0831
0,5766
0,3149
0,4924
-0,2732
0.1739
0,9266
-0,1196
-0,2960
-0,0508
0,0690
-0,2896
1,1142
0,3258
0,2327
0,6428
1,3993
0,5242
-0,8812
0,1261
0,0989
0,3088
1,0548
0,1418 0,0970 0 0094
0,7370 0,0763 0,0058
0,8209 0,1949 0,0380
1,3306 0.9367 0 8774
0,4146 0,0760 0 0058
—0,7882 0.2809 0 0079
0,10()8 0,0177 0,0003
0,4511 0,0693 0,0048
0,6729 0,1190 0,0142
1,0369 0,7168 0,5138
2,5846
1,4774
Полученное значение 0,2585 случайно оказалось исклю-
исключительно хорошим. Если бы мы ограничились, например,
всего девятью траекториями, то получили бы значение 0,2075,
ошибка которого имеет порядок 8Вер-
По данным таблицы 7 легко оценить дисперсию:
:~ A.4774
10-0,25852) = 0,090,
1
в то время как точное значение равно -^ — 0,083.
§ б. О применении неслучайных точек в схеме метода
Монте-Карло
В § 3 (п. 17) отмечено, что для «хороших» функций
существуют многомерные квадратурные формулы, обеспечи-
обеспечивающие лучший порядок сходимости, чем метод Монте-
Карло. В настоящем параграфе указан один достаточно про-
простой способ построения таких формул, предложенный Хэм-
мерсли и Холтоном ([141], [60]). Этот способ обобщается на
бесконечномерные задачи [61]. Он позволяет сохранить схему
вычислений метода Монте-Карло, заменяя лишь случайные
величины некоторыми детерминированными величинами.
Прежде чем перейти к изложению метода, необходимо
определить числа pr(i)-
21. Числа pr(i)- Фиксируем натуральное число г^>2.
Приведем три эквивалентных определения чисел pr(i).

94 ГЛ. II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [21
Определение 1. Если в r-ичной системе счисления
1~атат-1 ••• clG0>
то (также в r-ичной системе)
A.(Q = O.«o«i ... era_,em.
Величины as это r-ичные цифры, т. е. целые числа
0<в,<г—1 *).
Например, пусть г — 2, /=11. Так как в двоичной си-
системе f—1011, то pr(i) = 0,1101 или (в десятичной системе)
ft*11) —Тб'
Определение 2 (рекуррентное).
а) ЛA)-7;
б) если в r-ичной системе
Рг@= 0. «0Gl • • • am-lam00 ••••
то для получения />r(i-f-l) необходимо найти наименьший
номер k такой, что ak<.r — 1; затем заменить ак на 1 -j- ak,
а все цифры с меньшими номерами (если они есть) заменить
нулями; цифры с номерами, большими чем k, остаются без
изменения.
Это правило может быть записано в виде формулы
Например, в двоичной системе р2A1) = 0,П01. В этом
случае & = 2. Следовательно, р2A2)= 0,0011 или р2A2) =
= 3/16.
Определение 3 (рекуррентное по группам).
а) Рг(Гп) = г-" при и = 0, 1, 2, ...;
б) Рг(Гп + j)= РТ(га) + prU) при
/=1, 2 гв+1 —гв—
*) Подробная запись: если
i = amrm + am_lrm~l + ..
то
я 24- -I-
> ' •' > rm+i *

22]
§ 5. О ПРИМЕНЕНИИ НЕСЛУЧАЙНЫХ ТОЧЕК
95
Все числа pr{i) рациональны и заключены между нулем
и единицей. При фиксированном г последовательность точек
РгA)' Рг&)- •••• РгA)< ••• равномерно распределена в ин-
интервале @, 1) (в теоретико-числовом смысле) *).
Некоторые числовые значения приводятся в таблице 8.
Таблица 8
i
p3(l)
Ръ{1)
1
7*
7з
75
2
7«
7з
2/5
3
7«
Ч,
3/5
4
7в
4/е
4/5
5
6/в
7»
725
3/8'
2/.
725
7
7в
5/е
'725
8
7,6
%
'725
22. Вычисление многомерных интегралов. Пусть по-
прежнему К—единичный d-мерный куб, Р=(х1, х2 xd) —
точка этого куба, a dP=dxtdx2 ... dxd. Выберем d попарно
простых целых чисел rv г2, .... rd.
Последовательностью Холтона назовем последователь-
последовательность точек Р\, Р\, .... P*i, ... куба К, координаты кото-
которых определяются формулой
Я! = (рг (/), Рг (/) РгаЩ-
Эта последовательность равномерно распределена в кубе К
(в теоретико-числовом смысле).
В приводимой ниже теореме оценивается погрешность
квадратурной формулы
N
К
Определение. Классом Wt(L) называется множество
функций f{P), все частные производные которых, содержа-
содержащие не более одного дифференцирования по каждой коор-
*) Последовательность ргA), р2B),.... />2@ по-вндимому,
впервые была указана Ван дер Корпутом и независимо от него
в [56]. Обобщение на произвольное г принадлежит Хэммерсли.

96 ГЛ. II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [22
динате *), кусочно-непрерывны и ограничены постоянной L:
(Здесь 1<*г<*2< ... <lm^d; m=l, 2 d).
Теорема. Существует постоянная В (зависящая
от /-j, г2, .... rd) такая, что для любой f(P) из класса
Wr(L) при всех натуральных N справедлива оценка
N
N '
B.16)
К « = 1
Пока еще неясно, как лучше выбирать константы
/•j, r2 rd. Из известных оценок величины В следует
только, что выгоднее небольшие
константы.
Если рассматривать оценку B.16)
лишь для достаточно больших N,
то можно положить
d
7
'=1
Пример. Вычислить интеграл
1 1 1
р„г 19 J= Г Г Г f(x- У< z)dxdydz.
ГИС. li.. J J J
0 0 0
где f = g(x)g(y)g(z), а функция g(x) (рис. 12) опреде-
определяется формулами:
Ах. " ' " 1
2—4x, -i-
4х~2, -J'
4 — Ах, 4-
4'
*) Среди производных, входящих в это определение, старшей
является hxdJlfdx-.

23]
§ 5. О ПРИМЕНЕНИИ НЕСЛУЧАЙНЫХ ТОЧЕК
97
Точное значение интеграла равно
\г Т
I g(x)dx = 0.53 —0,125.
U J
Выберем /-,. г2, гъ равными 2, 3, 5 и оценим J по восьми
точкам Р], Р\ Ре. Используя значения pr (i), приве-
приведенные в п. 21, найдем значения g{pT{i)), собранные в таб-
таблице 9.
Таблица 9
?(Р2(О)
?(Рз@)
g(PbW)
1
0
7з
Ve
2
1
7з
2/s
3
1
Ve
2/s
4
'/2
2/.
V5
5
Чг
4/25
6
V.
%
и/м
7
'/2
7е
•/«
в
'/«
4/В
"/25
Приближенное значение 7 равно
8
= 0.125-1.120 = 0.140.
23. Вычисление бесконечномерных интегралов. В этом
пункте буквой К обозначен бесконечномерный единичный куб
точка Р этого куба определяется счетной последователь-
последовательностью координат
" —— \Х\г Х%, . . • • Xs, . • • )',
наконец, dP = dx, dx2 ... dJcs... — бесконечное произведение.
Перенумеруем все простые числа: г1 < г2 < ... < Г, <
< ... (т. е. г, = 2. г2 = 3. /-3=5, г4=7 ).
Обобщенной последовательностью Холтона назовем по-
последовательность точек Р*. Р2, .... Pi' ... куба /С, коор-
координаты которых определяются формулой
7 Звк. 250. Н П. Буслечко и др.

98 ГЛ. II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [23
С помощью этой последовательности можно вычислять
некоторые бесконечномерные интегралы. Не приводя точ-
точного определения класса функций, укажем, что мало требо-
требовать кусочной непрерывности и ограниченности всех частных
производных, содержащих не более одного дифференциро-
дифференцирования по каждой координате *). Приходится еще ввести
условие, согласно которому зависимость функций /(Р) от xs
достаточно быстро убывает с ростом номера s**).
Для выделенного таким образом класса функций доказана
оценка
где е > 0 — сколь угодно малая постоянная.
24. Точки P*i в роли детерминистических псевдослу-
псевдослучайных точек. В вычислительной практике Монте-Карло
реализация значений любых случайных величин обычно осу-
осуществляется путем преобразования значений случайной вели-
величины f, равномерно распределенной в интервале @, 1) (см.
гл. IV). При этом вместо вычисления /(?lm ?2, •¦¦• ?<*)• где
случайная точка (?j, ?2 ?<*) имеет некоторый заданный
закон распределения, вычисляется какая-то другая функция
f (? ,% ? ) — F ("сA), "ГB), • • •»Т(п))»
в которой yA), ТB) Т(п) — одинаковые случайные величины,
равномерно распределенные в интервале @, 1). Вообще го-
говоря, п~^-й.
Таким образом, вместо вычисления среднего значения от
функции / (по заданной rf-мерной области) мы вычисляем
среднее значение от функции F по «-мерному единичному
кубу. Точка
Г = (yA), тB)' .... т(п))
— случайная точка, равномерно распределенная в этом кубе.
Согласно п. 22 среднее значение от функции F по «-мер-
«-мерному единичному кубу можно вычислять по точкам последо-
*) В это требование уже входят производные сколь угодно вы-
высокого порядка.
**) На необходимость условия такого типа впервые, по-види-
по-видимому, указал Н. Н. Ченцов.

24] § 5. О ПРИМЕНЕНИИ НЕСЛУЧАЙНЫХ ТОЧЕК 99
вательности Холтона. Поэтому в некоторых расчетах можно
точками Р\, Р%, ... заменять последовательность случайных
точек Гг Г2 равномерно распределенных в единичном
кубе. Если функция F при этом окажется достаточно гладкой,
то такой способ может обеспечить более быстрый порядок
сходимости вычислений: In" N/N вместо l/)Av.
Решение методом' Монте-Карло ряда физических задач
связано с моделированием траекторий элементарных частиц
(см. гл. III). Теоретически, каждая такая траектория опре-
определяется счетной последовательностью значений
и может рассматриваться как точка единичного бесконечно-
бесконечномерного куба [20], хотя на практике счет траектории где-то
обрывается. Вычисляемые величины суть функции от траек-
траектории; они считаются для каждой траектории, а затем
усредняются по всем траекториям.
Очевидно, вместо случайных бесконечномерных точек
(•^(н, -^2>, ..., ~[№, ...) в некоторых случаях можно исполь-
использовать точки обобщенной последовательности Холтона. Это
значит, что для построения г-й траектории вместо псевдослу-
псевдослучайных чисел -[V 72- • • • • Ъе • ¦ • СУДУ7 использованы числа
Рг @. Рт (')• • • ¦ • Рт (*)• • • • Из п. 23 следует, что в некото-
некоторых задачах такой способ вычислений позволяет уменьшить
необходимое число траекторий.

Г Л А В А III
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
В НЕЙТРОННОЙ ФИЗИКЕ
§ 1. Метод Монте-Карло в задачах об элементарных
частицах
1. Введение. Во многих физических задачах приходится
учитывать результат взаимодействия большого числа частиц.
Законы элементарных взаимодействий (микроскопические за-
законы) известны из опыта или определяются теоретически.
Однако для практических целей нужно знать макроскопические
характеристики вещества (например, плотность).
Классический путь решения основан на уравнениях, кото-
которым удовлетворяют макроскопические характеристики. В не-
некоторых задачах такими уравнениями оказываются уравнения
диффузии, численные методы решения которых довольно
хорошо развиты. В других задачах приходится использовать
уравнения переноса или кинетические уравнения, для которых
численные методы решения разработаны только в простейших
случаях. Наконец, немало задач, для которых макроскопи-
макроскопические уравнения вовсе не выведены.
Метод Монте-Карло позволяет приближенно вычислять
нужные характеристики, не прибегая к помощи макроскопи-
макроскопических уравнений.
Методом макроскопических уравнений, вообще говоря,
можно получить много различных сведений об исследуемой
задаче: асимптотику, приближенные соотношения и т. п. Метод
Монте-Карло — это численный метод и его следует сравнивать
не с методом макроскопических уравнений, а с численными
методами решения макроскопических уравнений. Во многих,
главным образом, сложных задачах метод Монте-Карло имеет

2] § 1. ЗАДАЧА ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦАХ 101
ряд преимуществ перед классическими численными методами,
не говоря уже о тех задачах, для которых макроскопические
уравнения неизвестны.
2. Моделирование физического процесса. Пусть в инте-
интересующую нас область G вещества попадает поток частиц.
Рассмотрим одну из них. Предполагая, что закон распреде-
распределения длин свободных пробегов известен, можно, в соответ-
соответствии с этим законом, выбрать случайную длину пробега и
найти точку столкновения частицы с атомом вещества, на-
находящимся в области G. Эту процедуру называют розыгры-
розыгрышем длины пробега.
Если в области G содержатся разные вещества, то можно
разыграть, с атомом какого из них произошло столкновение:
вероятности столкновения, очевидно, пропорциональны коли-
количествам различных атомов.
При столкновении частица может перестать существовать
(поглотиться); может рассеяться (т. е. получить новое на-
направление и новую энергию). Если частица — нейтрон, то
при столкновении с ядром делящегося вещества она может
вызвать распад ядра и появление нескольких новых нейтро-
нейтронов; если частица — фотон, то она может привести к обра-
образованию пары электрон — позитрон или к появлению свобод-
свободного электрона (фотоэффект)
и т. д. Вероятности различных
взаимодействий частиц данного
вида с атомами известны: они
характеризуются так называе-
называемыми сечениями взаимодей-
взаимодействий или парциальными се-
сечениями. Следовательно, тип
взаимодействия при данном
столкновении также можно ра-
разыграть.
Историю каждой вновь по- рис_
явившейся частицы можно про-
проследить точно таким же образом. В результате в области О
получается ветвящаяся траектория, которую иногда называют
деревом. На рис. 13 для простоты дерево изображено без
учета пространственной картины; это, так сказать, генеало-
генеалогическое дерево (обозначения: р — фотон, е~ — электрон,

102 ГЛ. Ш. ПРИМЕНЕНИЕ В НЕЙТРОННОЙ ФИЗИКЕ [3
е+ — позитрон). Вообще говоря, такие деревья могут ока-
оказаться бесконечными. На практике, однако, подсчитывают
только конечное число ветвей. Где кончать дерево—обычно
ясно из условий задачи.
Возвращаясь к исходному потоку, выберем достаточно
большое число частиц так, чтобы они давали хорошее пред-
представление о его части, попадающей в область G. Для каждой
из частиц построим дерево. По этой совокупности деревьев
можно приближенно определить все интересующие нас харак-
характеристики: количество частиц того или иного вида в разные
моменты времени, количество тех или иных взаимодействий,
распределение частиц по энергиям и в пространстве, количе-
количество выделенной энергии н т. д.
Это и есть основная схема для применения метода Монте-
Карло в физике элементарных частиц. Более подробное рас-
рассмотрение требует учета элементарных (микроскопических)
законов, характерных для задач конкретного типа. В настоя-
настоящей главе рассматриваются некоторые задачи нейтронной
физики, которая составляет на сегодняшний день, пожалуй,
главную область применения метода Монте-Карло в физике.
Однако методы § 3, где рассматривается задача без деления,
полностью применимы, например, /при изучении прохождения
фотонов: лишь элементарные взаимодействия и их законы
будут другими.
3. Организация вычислений. В процессе вычислений мож-
можно полностью записывать каждое дерево *), и после того, как
все деревья сосчитаны, обрабатывать их (т. е. просматривать
их, выбирая все нужные данные и проводя нужные вычисления).
Достоинство этого метода состоит в том, что полностью
сохраняется вся информация, полученная при счете деревьев;
всегда можно «досчитать» еще какую-нибудь понадобившуюся
характеристику. Недостаток метода заключается в необхо-
. димости запоминать очень много величин (задачи, в которых
число деревьев меньше 50—100, встречаются крайне редко).
Так как все современные электронные вычислительные
машины имеют сравнительно небольшую внутреннюю (быструю)
память, то указанный метод для них, как правило, неудобен.
В самом деле, каждое дерево строится независимо от других;
*) Т. е. записывать координаты и моменты всех столкновений,
типы частиц, их происхождение, скорости, энергии и т. п.

3] § 1. ЗАДАЧА ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦАХ ЮЗ
сосчитав одно дерево, можно тут же обработать его, а затем
перейти к следующему дереву, накапливая результаты об-
обработки. При такой организации счета количество обраще-
обращений к внешней (медленной) памяти значительно уменьшается.
Более того, как правило, вовсе не обязательно сперва
строить все дерево, а затем производить обработку: можно
вести обработку дерева по мере его счета, так что во внут-
внутренней памяти даже необязательно хранить целое дерево.
Приведем два алгоритма для такого постепенного об-
обсчета дерева.
А. Обработка дерева по поколениям. Этот
способ удобен в тех случаях, когда ветви дерева длинные,
по не слишком сильно ветвящиеся. Схема счета очевидна:'
по частицам одного поколения вычисляем частицы следую-
следующего поколения и одновременно производим обработку по-
построенной части дерева. Хранить в памяти приходится не более
двух поколений.
Необходимо отметить, что к поколению можно отнести
любые частицы, не являющиеся «предками» друг друга.
Например, можно считать поколением частицы, соединенные
пунктиром а на рис. 14. Следующее поколение при этом
определяется однозначно (пунктир Ь на рис. 14).
Б. Лексикографическая обработка дерева.
Этот способ удобен в тех случаях, когда ветви не очень
длинные, но сильно ветвятся. Схема счета такова: движемся
по одной (какой-нибудь) ветви, производя обработку и за-
запоминая все ответвления; достигнув конца ветви, возвращаемся
на одно колено назад и уничтожаем это колено; затем на-
начинаем двигаться по какому-нибудь из записанных ответвлений.
Если записанных ответвлений в этой точке нет, то возвра-
возвращаемся еще на колено назад (опять уничтожая его). Счет
заканчивается, когда все дерево уничтожено.
Номера на рис. 14 указывают порядок лексикографиче-
лексикографического обхода изображенного дерева. Ясно, что в любой момент
в памяти машины сохраняется лишь одна полная или неполная
ветвь дерева с записанными ответвлениями. На рис. 15 изо-
изображена часть того же дерева, сохраняющаяся в памяти
к моменту перехода // *).
*) Схема программы, реализующей лексикографический обход
дерева, приведена в [25].

104
ГЛ. Ш. ПРИМЕНЕНИЕ В НЕЙТРОННОЙ ФИЗИКЕ
13
Рис. 14.
J 7 9 W,
Рис. 15.

4] § 1. ЗАДАЧА ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦАХ 105
4. Об оценке точности. В обычной вычислительной
практике оценить погрешность сложного расчета по теорети-
теоретической формуле почти никогда не удается. О точности слож-
сложных расчетов судят по разным дополнительным соображениям.
Такими соображениями могут служить: сопоставление резуль-
результатов, полученных при разных сетках; сопоставление резуль-
результатов, полученных различными методами; просчет модельных
задач, точные решения которых известны. Теоретические
оценки погрешности (в частности, порядок сходимости) также
обычно играют роль дополнительных соображений.
Если вычисления проводятся методом Монте-Карло,
то строгая оценка погрешности невозможна. Однако все
те дополнительные соображения, о которых говорилось выше,
сохраняют свою силу. И в этом смысле метод Монте-Карло
не так уж сильно отличается от классических вычислительных
методов, в которых возможна (только возможна!) строгая
оценка ошибки.
Метод Монте-Карло зачастую имеет даже преимущество
перед классическими способами вычислений, так как даже
в очень сложных расчетах нередко удается получить стати-
статистическую оценку погрешности. В самом деле, большинство
вычисляемых методом Монте-Карло результатов представляют
собой математические ожидания некоторых случайных вели-
величин ? (функций дерева). Нетрудно оценить вероятную отно-
относительную ошибку:
Я __ 0,67 Г D5
°вер — т У N .
где D? — дисперсия, ./V — число испытаний (деревьев). Эта
величина довольно хорошо характеризует порядок статисти-
статистической ошибки (см. гл. II)*).
В случае, когда вычисляемая величина носит более слож-
сложный характер (например, йэфф в § 4), главную роль в суждении
об ошибке играет установление результата при росте /V.
Делались попытки оценивать ошибку по ходу установления
(например, допуская, что уклонение от точного значения
нормально распределено при N^-No [84]). Однако они,
по-видимому, недостаточно обоснованы.
) Для оценки DE нужно одновременно со счетом 2$ считать

106 ГЛ. Ш. ПРИМЕНЕНИЕ В НЕЙТРОННОЙ ФИЗИКЕ [5
5. Введение статистических весов. При расчетах траек-
траекторий частил методом Монте-Карло часто используют стати-
статистические веса (называемые иногда фиктивными массами).
Строгая математическая схема введения весов (см. п. 6) мало
наглядна. Чаще всего на практике вводят веса, руководствуясь
элементарными физическими соображениями, которые можно
проиллюстрировать на примере весов, учитывающих вылет
частицы из конечной области.
Предположим, что нас интересует траектория частицы
в конечной выпуклой области G. Длину / свободного пробега
частицы будем считать случайной величиной с плотностью
вероятности р(х), пропорциональной е~х/а при 0^л:<сс.
Обозначим через х* расстояние от точки рождения частицы
до границы области G (по направлению полета).
При обычном способе построения траектории длина /
разыгрывается по формуле
где y—^очередное значение случайной величины, равномерно
распределенной в интервале @,1). Если окажется, что / > л:*,
то частица считается вылетевшей из G.
Можно, однако, вычислить вероятность вылета частицы
из области G, равную
р (х) dx = е-*''",
х*
и затем рассуждать так: если бы у нас летела не одна
частица, а «пакет», состоящий из большого числа w частиц,
то из них we'**'" частиц вылетели бы из области G; внутри
области остались бы всего w' = w(l—е~х*/а) частиц. Для
оставшегося «пакета» можно разыграть длину пробега / внутри
области G, т. е. считать плотность по-прежнему пропорцио-
пропорциональной е~х<а, но распределенной лишь при 0 ^ х ^ х*.
Формула для розыгрыша / имеет вид
f p(x)dx~*( f p(x) dx.

6] § 1. ЗАДАЧА ОЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦАХ 107
Такие рассуждения (с «пакетом» частиц) используются
обычно на практике. «Число частиц» w н есть статисти-
статистический вес.
С точки зрения изложенного очевидно, что вместо одной
частицы с весом w можно (начиная с любой точки траекто-
траектории) считать, что у нас имеются т однотипных частиц, веса
которых равны w/m, и разыгрывать дальнейшую историю
каждой нз них. Иначе говоря, всегда можно искусственно
разветвлять траекторию и увеличивать число частиц.
Возможно и обратное действие: можно разыграть фиктив-
фиктивное столкновение, при котором частица либо с вероятностью
1 «гибнет», либо с вероятностью — приобретает
вес mw. Этот прием используют в тех случаях, когда вес
частицы становится настолько малым, что за ней следить
«невыгодно».
Другой пример введения весов при помощи таких рас-
рассуждений приведен в п. 14.
6. Математическая схема введения статистических
весов. Математическая основа введения весов — это метод
существенной выборки (см. гл. П). В самом деле, предполо-
предположим, что разыгрывается случайная величина % с плот-
плотностью р(х), а^х^СЬ. Требуется вычислить среднее зна-
значение некоторой функции /(?) на отрезке [а, Ь\
Вместо с, можно разыгрывать любую другую случайную
величину t\ с положительной плотностью р(х) при а^х^.Ь.
При этом придется вычислять среднее значение другой
функции
ибо
ь ь
М/Сч) = / /(*) P(x)dx = ff (х) р (х) их = М/ ©.

108 ГЛ. Ш. ПРИМЕНЕНИЕ В НЕЙТРОННОЙ ФИЗИКЕ |6
В то же время дисперсии этих величин различны, так как
ь
= f Р (*) [4^1 р (х) их
'I \-Р С*) J
М/2
Если в той части интервала (а, Ь), которая обеспечивает
основной вклад в М/2(?)• отношение р(х)/р(х)< 1, то
можно надеяться, что замена розыгрыша ? розыгрышем tj
приведет к уменьшению дисперсии и, стало быть, к повы-
повышению точности счета.
При моделировании траектории частицы нужно последо-
последовательно разыгрывать случайные величины Ej, Е2, ... с плот-
плотностями Pi(x), р2(х), ... *). По полученным траекториям
оценивают среднее значение некоторой функции/(Е], Е2 \tv\.
Можно на каждом этапе построения траектории вместо слу-
случайной величины %к разыгрывать любую другую случайную
величину т)й (с положительной плотностью рк(х)). При этом
будут получаться другие траектории, а усредняемая функция
будет приобретать множители
Можно сказать, что «вес» частицы меняется по закону
я усредняется та же функция
Приведенное выше рассмотрение дисперсий позволяет
дать практическую рекомендацию: если при движении ча-
*) Строго говоря, это — условные плотности вероятностей
Но здесь мы избегаем-вводить в изложение более сложные поня-
понятия теории вероятностей (цепи Маркова).

7| § 2. ПРОСТЕЙШИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НЕЙТРОНОВ С ЯДРАМИ 109
стицы по траектории вес ее убывает, то способ взвешивания
выгоден.
В примере предыдущего пункта
Поэтому отношение
Необходимо, однако, заметить, что в этом примере интервалы
определения р(х) и р(х) различны. Приведенные в настоящем
лункте рассуждения применимы только потому, что усредняе-
усредняемые функции равны нулю при х > х* (т. е. вне области О).
§ 2. Простейшие взаимодействия нейтронов с ядрами
и их моделирование
7. Эффективные нейтронные сечения. В нейтронной
¦физике взаимодействие ядер с нейтронами принято описывать
лри помощи эффективных сечений.
Пусть на одноатомный плоский слой вещества (пло-
(площадью 1 см2) по нормали к нему падает однородный поток
нейтронов. Обозначим через и число атомов в слое (в 1 см2).
Если доля нейтронов, принимающих участие в некотором
взаимодействии, равна d, то эффективное поперечное сече-
сечение а ядра по отношению к данному взаимодействию равно
d
о — —¦ •
п
В атласе нейтронных сечений [2] приведены эффективные
поперечные сечения ядер (называемые иногда микроскопиче-
микроскопическими сечениями) по отношению к различным взаимодей-
взаимодействиям с нейтронами. Как правило, эти сечения зависят от
энергии нейтронов. Наиболее часто встречаются:
cs{E) —сечение рассеяния (scattering), as = ase-\-asl;
о„(?) — сечение упругого рассеяния (elastic scattering);
orf (E) — сечение неупругого рассеяния (inelastic scattering);
оекЕ) —сечение захвата (capture);
af{E) —сечение деления (fission);
oe(?) —сечение поглощения (absorption), ca = ce-\-ay,
о,(Е) —полное сечение (total), at=<ss-^-ac-{-y.

ПО ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ В НЕЙТРОННОЙ ФИЗИКЕ [7
Макроскопическими поперечными сечениями называются
произведения
Е==ро,
где р — ядерная плотность вещества, т. е. количество ядер
в 1 см3.
Обычно с измеряются в барнах:
1 барн=\0~2* см2.
Поэтому размерность Е есть см.
Пример вычисления Y,t приведен в п. 12. В случае смеси
т вешеств имеем
Отношения различных поперечных сечений к полному
сечению характеризуют вероятности различных взаимодей-
взаимодействий при столкновении нейтрона с ядром вещества. Они
используются для розыгрыша типа взаимодействия, когда
моделируется история нейтрона.
I 1 1 1
Рис. 16.
Например, при столкновении нейтрона с ядром вещества,
для которого
Е, = Ej-f- Ec -f- E^,
вероятности рассеяния, захвата и деления равны соответ-
соответственно
Ъ. Jk h.
или длинам интервалов на рис. 16 *). Чтобы разыграть тип
*) Порядок этих интервалов может быть произвольным, но он
должен быть фиксирован до розыгрыша.

8] § 2. ПРОСТЕЙШИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НЕЙТРОНОВ С ЯДРАМИ 111
взаимодействия, находим очередное случайное число -j и
определяем, в который из трех интервалов оно попало. Если
то имеет место рассеяние;
если
- » »¦
то имеет место захват; если
<ъ
Рис. 17. Рассеяние нейтрона в си-
системе центра масс.
- - Л \
то имеет место деление.
8. Упругое рассеяние. , .,
Рассмотрим упругое рассея- ~Ч"чрл
ние нейтрона ядром с мае- ч^
совым числом А. Такое рас-
рассеяние определяется двумя _ ,„ _
„ Рис. 18. Рассеяние нейтрона в ла-
случайными величинами, в бораторной системе координат,
качестве которых удобно
выбрать угол рассеяния 6 в системе координат, связанной с
центром масс пары нейтрон — ядро (рис. 17), и азимуталь-
азимутальный угол рассеяния у:
Используя законы сохранения импульса и энергии, не-
нетрудно вычислить угол ф (рис. 18 и 19), на который откло-
отклоняется нейтрон От своего первоначального движения, и энер-
энергию Е', которую он сохраняет:
A cos §"+1
cos^ =
Е
Лг + 2Л cos (Г+ 1
(А + 1)*
C.1)
C.2)
А. Обычно рассеяние предполагается изотропным в си-
системе центра масс: cos 6 распределен равномерно в ин-
интервале (—1, -f~l). а угол х распределен равномерно

112
ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ В НЕЙТРОННОЙ ФИЗИКЕ
в интервале @, 2я). При этом в лабораторной системе кооч-
динат х, у, z (рис. 19) различные направления рассеяния
Рис. 19.
не равновероятны. Из формулы C.2) видно, что энергия Ег
оказывается равномерно распределенной в интервале
Правило розыгрыша упругого рассеяния, изотропного
в системе центра масс, состоит в следующем: находим два
случайных числа Ti й Т2 и полагаем
затем по формулам C.1) и C.2) находим совф и Е' *).
*) Так как нам нужен не угол х> а лишь cos f, то обычно
используют ¦ прием Нейманна, позволяющий разыграть сразу cos x
(см. п. 10, формулы для cos <f').

8] § 2. ПРОСТЕЙШИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НЕЙТРОНОВ С ЯДРАМИ ИЗ
Б. В случае анизотропного рассеяния формулы C.1) и C.2)
сохраняют свою силу.. Азимутальный угол % по-прежнему пред-
предполагается равномерно распределенным на интервале @. 2и).
Однако плотность распределения cos 6 оказывается непо-
непостоянной: она пропорциональна дифференциальному сечению
упругого рассеяния в системе центра масс оеF). Формула
для розыгрыша величины \l — cos 6 имеет вид
ii
2тг J ае F) rfp. = То„. 13.3)
-1
При ае F) = const из формулы C.3) вытекает формула
предыдущего раздела А. В самом деле, из условия норми-
нормировки плотности вероятностей следует, что ае F) = -^-.
Подставив это значение в C.3), получим ^=2f—1.
Необходимо заметить, что дифференциальное сечение пра-
правильнее было бы обозначать ое(ц), так как нормировка про-
проводится по ц.
Употребляется также дифференциальное сечение упругого
рассеяния в лабораторной системе ое(ф). Связь между аеф) и
вв(ф) легко устанавливается при помощи формулы C.1):
ае F) й cos 6 = ае (ф) й cos ф.
В. В случае упругого рассеяния на тяжелых ядрах А~^> 1.
Из формул C.1) и C.2) следует, что
Экспериментальные данные показывают, что большинство
тяжелых ядер рассеивает нейтроны анизотропно: соответ-
соответствующие дифференциальные сечения ае (ф) ф const. Эти сече-
сечения и надо использовать для розыгрыша направления, пола-
полагая при этом Е' = Е.
Однако во многих расчетах эффектом анизотропности
рассеяния на тяжелых ядрах пренебрегают. Тогда это рас-
рассеяние оказывается изотропным в лабораторной системе
координат, и для розыгрыша направления можно использо-
использовать формулы п. 10.
8 Зак. 250. Н. П. Бусленко и др.

114 ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ В НЕЙТРОННОЙ ФИЗИКЕ [9
9. Неупругое рассеяние. Законы неупругого рассеяния
весьма сложны. Обычно предполагают, что неупругое рас-
рассеяние изотропно в лабораторной системе координат. Поэтому
для розыгрыша направления можно использовать формулы
п. 10.
Распределение неупруго рассеянных нейтронов по энер-
энергиям задается эмпирическими или полуэмпирическими кри-
кривыми. Энергию неупруго рассеянного нейтрона также нужно
разыгрывать.
Во многих случаях, когда рассматривается неупругое рас-
рассеяние на тяжелых ядрах, считают распределение энергии Е'
рассеянных нейтронов максвелловским: плотность распреде-
распределения пропорциональна Е'е-Е'1т, где Т—пУе, а — постоян-
постоянная, зависящая от рода вещества, О^Е' <<^Е. Формула для
розыгрыша Е' может быть приведена к виду
Следовательно, при каждом розыгрыше Е' приходится
решать трансцендентное уравнение
в котором у = Е'1Т, а е= 1 — ? 1 — е т \Л -\--f\ • По-
Последнее уравнение при 0 < е < 1 имеет единственный поло-
положительный корень, который можно вычислить методом ите-
итераций.
у@) *> о — любое;
_ in e.
10. Формулы для вычисления направления рассеяния
Единичный вектор, направленный вдоль скорости нейтрона
до рассеяния, обозначим через ю. В декартовых координатах
В сферических координатах
ш, = sin 6 cos <р, <о2 = sin 6 sin <p, u>3 — cos в.
Единичный вектор, направленный вдоль скорости ней-
нейтрона после рассеяния, обозначим через о>', а его коорди-
координаты — через «)j, to^, to^, 6', cj/.

10] § 2. ПРОСТЕЙШИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НЕЙТРОНОВ С ЯДРАМИ 115
Выражение новых сферических координат через старые
имеет вид:
cos 6' = cos 6 cos ф-+- sin 6 sin ф cos/,
. . . . sin ф sin v
Sin (cp' — cp) == 7 '- ,
4T T/ sin U
. , . cos ii — cos 0 cos 0'
cos(c? -9) = ^ПП^ •
Выражение новых декартовых координат через старые
запишется в виде
Шд = u)g cos ф -f- sin ф cos хУ 1 — u)|,
Ц>2 — 2~ [Ш2 (COS 4* ""з""^) ~f~ S'n Ф S'n /-Wl * ^ — Шз]»
1 Cflg
1
">i = , 2 t1»! (cos Ф ~ тзшз) — sin * sin Zm2 V ! — •»!].
1 №g
В этих формулах jj — азимутальный угол рассеяния,
а ф — угол между векторами to' и to (см. рис. 19, где Р —
плоскость рассеяния, проходящая через векторы to' и to,
плоскость Q перпендикулярна к to, плоскость R проходит
через ось Oz и to, угол % отсчитывается от линии пересече-
пересечения плоскостей Q и R).
Если рассеяние изотропно в лабораторной системе коор-
координат, то новое направление to' не зависит от to. Удобнее
разыгрывать его сразу.
1) Берем случайное число ? и полагаем
cos 6'=. 2-у—1.
2) Берем два случайных числа f, и i2. Если
BTl-lJ4-Ti>l.
то эту пару отбрасываем и берем другую; если
то
/ Bfi — If 7J . ,
COSCp' — тг R". Sin<p' —
8*

116 ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ В НЕЙТРОННОЙ ФИЗИКЕ [Ц
В декартовых координатах
0>j = У 1 — COS2 6' COS <p\
u>; = V'l— cos2 6' sin <p'.
u); = cos6'.
11. Деление. Число v нейтронов, образующихся при деле-
делении ядра, есть случайная величина. Как правило, известно ее
среднее значение v. Для каждого из нейтронов деления все
управления скоростей равновероятны. Энергия нейтронов
деления также представляет собой случайную величину. Для
простоты обычно предполагают, что спектр нейтронов деле-
деления не зависит от энергии делящего нейтрона.
Например, в случае урана U235 среднее значение vsa2,5.
а плотность распределения нейтронов по энергиям прибли-
приближенно равна
тг (Е) = \ ~ sh V~2E e~E
(энергия в Мэв).
Как разыгрывается деление? Пусть т <С v < т -+- 1
(т ¦— целое). При построении дерева часто предполагают,
что v может принимать два значения м1 = т и v2 = m -f- 1
с вероятностями pl = m-\-\—v и P2==:v—т- Следова-
Следовательно, нужно выбрать случайное число f. и если f < рл. то
считать v = vj, а если рх < -j, то считать v = v2. Затем для
каждого из нейтронов деления разыгрываются направления и
энергии. Формулы для розыгрыша равновероятных направле-
направлений указаны в п. 10. Формула для розыгрыша энергии Е'
имеет вид
J K(E)dE = f
В ряде случаев, когда в счете используются статистиче-
статистические веса, случайная величина v не разыгрывается. Вместо
этого вес делящего нейтрона умножается на v и для него
од«ого разыгрываются направление и энергия Такой способ
счета позволяет избежать ветвящихся траекторий.

12] § 2. ПРОСТЕЙШИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НЕЙТРОНОВ С ЯДРАМИ 117
12. Длина свободного пробега. Длина / полного сво-
свободного пробега нейтрона — случайная величина. Закон ее
распределения записывается в виде
р{/<
X
XL.-//'
где s — расстояние (от предыдущего столкновения) по на-
направлению движения нейтрона. Плотность распределения равна
Л
ds
В однородной среде, когда Е, не зависит от s, средняя длина
полного свободного пробега l—l/%t.
Пример. Вычислить среднюю длину свободного про-
пробега нейтронов в бериллии (Be).
В Атласе нейтронных сечений находим о, = 6 барн (при
температуре 300° К для энергий от 0,1 до 104eV). Чтобы
определить число атомов Be в 1 см3, умножаем его плот-
плотность 1,84 г/см3 на число Авогадро 6,02- 1023 и делим на.
массовое число А = 9. Получаем р = 1,23 - 1023 см~3. Сле-
Следовательно, ?/= рс, = 0,74 см'1 и /=1,3 см.
В однородной среде длину свободного пробега разыгры-
разыгрывают по формуле
/= — -^ In т. C.4)
где Y — случайное число. Если в качестве единицы длины
выбрать среднюю длину / свободного пробега, то / — — In -j-
Если пробег нейтрона разыгрывается внутри конечной
однородной области, а возможность вылета учитывается путем
изменения веса нейтрона (п. 5), то формула C.4) заменяется
формулой
l^-^lnll-til-e-^t)]. C.4')
где s* — расстояние до границы области по направлению по-
полета нейтрона. Новый вес нейтрона равен

118
ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ В НЕЙТРОННОЙ ФИЗИКЕ
[13
Можно рассматривать длину свободного пробега нейтрона
по отношению к какому-либо взаимодействию (например, по
отношению к рассеянию). В этом случае действительны все
прежкиз формулы, но вместо Е^ нужно подставить сечение
соответствующего взаимодействия (?, в случае рассеяния).
13. Моделирование свободного пробега в неоднород-
неоднородной среде. Будем рассматривать область, состоящую из ко-
конечного числа однородных областей. Фактически любую не-
неоднородную область можно разбить
на небольшие области, в пределах
которых состав вещества считается
постоянным.
Границы областей на практике
обычно состоят из плоских, сфери-
сферических или цилиндрических поверх-
поверхностей. Чтобы найти пересечение
любого луча с такими поверхно-
поверхностями, используют формулы анали-
аналитической геометрии. Приводимая
ниже схема расчета позволяет моде-
моделировать пробег нейтрона практи-
практически при любой геометрии.
Для наглядности, схема расчета
иллюстрируется на примере (рис. 20),
в котором цилиндрическая область /
(активная зона реактора) окружена
цилиндрическим слоем // (отражате-
(отражателем) и двумя цилиндрами /// и IV
(крышками).
Пусть нейтрон, находящийся в
точке г0, вылетает по направлению
единичного вектора ы'. Уравнение траектории (луча) запи-
запишется в виде;
s>0.
Правила для разыгрывания длины пробега.
1) Находим расстояния {по лучу) до всех граничных по-
поверхностей в данной геометрии. В нашем примере это будут
семь чисел:
Рис. 20.

13] § 2. ПРОСТЕЙШИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НЕЙТРОНОВ С ЯДРАМИ 119
si < S2 — расстояния до внутренней цилиндрической поверх-
поверхности;
s3 — расстояние до внешней цилиндрической поверх-
поверхности;
s4 — расстояние до плоскости 2 = //j;
s5 — расстояние до плоскости z = И2;
s6 — расстояние до плоскости z = — И^,
s7 — расстояние до плоскости z = — Н2.
2) Находим расстояние (по лучу) s* до внешней гра-
границы — это наименьшее положительное число среди расстоя-
расстояний до поверхностей, составляющих внешнюю границу.
В нашем примере s*—наименьшее положительное среди чи-
чисел s3. ss, s7.
3) Все положительные значения sm, не превосходящие s*.
располагаем в порядке возрастания:
и находим длины отрезков луча:
'<Л = Я(Л— *»-«¦ j=i. 2. .... к.
Каждый из этих отрезков целиком лежит внутри одной из
областей.
4) Находим значения Z<=l(/-), соответствующие отрез-
отрезкам /(у). Для этого достаточно определить, какой области
принадлежит точка *)
5) Выбираем очередное случайное число f и находим
номер / такой, что
¦ • • 4-?(i-i)/(i-i) < — in 7 < ?(i)/(i) + • • • + -uAi)>
длина свободного пробега равна
, -lnT-(S
*) Очевидно, программа вычислений должна содержать блок,
определяющий, какой области принадлежит любая заданная точка г.

120 ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ В НЕЙТРОННОЙ ФИЗИКЕ A3
Если нет номера /, удовлетворяющего этому условию,
т. е. если
то нейтрон считается вылетевшим из области.
После того, как длина I найдена, новое положение ней-
нейтрона находится по формуле
В нашем примере для луча, построенного на рис. 20,
s* = s5. Далее,
S(l) == Sl' SB) — S4« SC) ~ S2' SD) — S •
Отрезок /(jj принадлежит области //, отрезок /B> — области /,
отрезок /(з) — области /// и отрезок /D) — также области ///.
Часто количество вычислений по этой схеме может быть
уменьшено путем учета конкретных особенностей рассматри-
рассматриваемой геометрии. Например, в приведенном примере, если
ss > 0, то s-j можно совсем не вычислять, и т. п. При этом,
однако, усложняется логическая схема вычислений и, следо-
следовательно, усложняется процесс программирования (за исклю-
исключением случаев совсем простой геометрии).
Рассмотрим теперь, как разыгрывается пробег нейтрона
внутри области, когда возможность вылета учитывается при
помощи весов (п. 5). В этом случае схема вычислений со-
состоит из тех же пунктов 1). 2), 3), 4). Затем поступаем так:
5) Выбираем очередное случайное число -у и вычисляем
величину
r=i — T[i— e-(W(.>+-+W№))j.
Находим номер / такой, что
i A/-0 < — In Г < ?A)/A) + •
длина пробега равна
/ = /AL- . - • -r-/(j-i)H
Новый вес нейтрона равен
да' = w [l — <r(

14] § 2. ПРОСТЕЙШИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НЕЙТРОНОВ С ЯДРАМИ 121
14. Статистические веса, заменяющие розыгрыш
взаимодействий. Укажем два наиболее часто встречающихся
способа введения таких весов. Для простоты полагаем, что
имеет место лишь один вид рассеяния (упругое или не-
неупругое).
А. Предположим, что летит «пакет», состоящий из боль-
большого числа w нейтронов. Из них при столкновении да(Ес/Е<)
нейтронов поглотятся, да (Е^/Е,) нейтронов рассеятся и да (Е^/Е,)
нейтронов вызовут деления, в результате которых появятся
vw(EJE<) нейтронов деления. Можно считать, что после
столкновения получаются два нейтрона: один — рассеянный
с весом
да' = даА, C.5)
а другой — нейтрон деления с весом
да' = да_^. C.5')
Б. Снова предположим, что летит «пакет», состоящий
из большого числа да нейтронов. Будем считать, что на всем
протяжении пробега из этого «пакета» непрерывно погло-
поглощаются нейтроны. Так как вероятность поглотиться в интер-
интервале (х, x-\-dx) для одного нейтрона равна Sce~ ** dx,
то на всем пути из «пакета» будет поглощено w\\—е~ с)
нейтронов.
Далее, так же как в случае А. часть нейтронов рассеется,
часть вызовет деления. Можно считать, что получаются два
нейтрона: один — рассеянный с весом
да' =г we~ V д* C.6)
L + Lf
и один — нейтрон деления с весом
да' = даС-У *** .' C.6')
Ls~r bf
При втором способе счета длину пробега следует опре-
определять не по Sji a no ?s-f- 2y.

122
ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ В НЕЙТРОННОЙ ФИЗИКЕ
[15
В обоих рассмотренных случаях тип взаимодействия при
столкновении не разыгрывается, траектория каждый раз раз-
разветвляется на две (если бы мы хотели таким же путем учи-
учитывать и упругое, и неупругое рассеяние, то пришлось бы
траекторию каждый раз разветвлять на три).
Для среды без делящихся веществ, когда ?у, = 0, фор-
формулы C.5) или C.6) очень удобны: не нужно разыгрывать
поглощения и получается неветвящаяся траектория.
§ 3. Прохождение нейтронов сквозь пластинку
Настоящий параграф посвящен методам расчета прохож-
прохождения однородного потока нейтронов через плоскую пла-
пластинку Н. Предполагается, что пластинка однородна, не
содержит делящихся веществ и ее полное сечение Tit=T,c-\-Ts.
Задачи такого типа очень часто встречаются на практике,
в частности при расчете защиты от излучений реактора. Им
посвящено значительное число
работ. В разных задачах тре-
требуется определить количество про-
проходящих нейтронов, их спектраль-
спектральный состав, отражательную спо-
способность пластинки (альбедо),
спектральный состав поглощен-
поглощенного излучения и др.
О
Н
Рис. 21.
¦*- 15. Моделирование физиче-
z ских траекторий. Выберем ось
Oz перпендикулярно к плоскости
пластинки. Пусть Н= {0<^,г<^Л},
а поток нейтронов падает из обла-
области z < 0. Расчет существенно
облегчается тем, что геометрия задачи одномерная и состоя-
состояние нейтрона характеризуется всего тремя величинами: коор-
координатой z, энергией Е и направлением полета [a —cos6
(рис. 21).
Как выбираются начальные значения для траекторий?
Очевидно, начальная координата z0 всегда берется равной
нулю. Начальное направление и энергия зависят от свойств
падающего потока.
Отметим несколько частных случаев.

15] § 3. ПРОХОЖДЕНИЕ НЕЙТРОНОВ СКВОЗЬ ПЛАСТИНКУ 123
а) Моноэнергетический поток. Значение Ео задано.
б) Задан энергетический спектр п{Е) падающего потока.
Тогда значение Ео разыгрывается по формуле
ттах
Г n(E)dE.
в) Направленный поток. Значение ^0 задано.
г) Пространственно изотропный поток. Значение \х0 ра-
разыгрывается по формуле ц.о =7-
Дальнейший расчет траектории производится так.
1)Разыгрываем координату n-гостолкновения(«=: 1,2,...)
2) Проверяем выполнение условий:
А) не пролетел ли нейтрон сквозь пластинку
Zn-h>0;
Б) не отразился ли нейтрон обратно
При выполнении каждого из этих двух условий траектория
заканчивается (а в соответствующем счетчике делается запись).
3) Если 0 ^ zn <1 h, то разыгрываем «судьбу» нейтрона
v
р
v
—
при этом столкновении: находим очередное -у. и, если f < —.
то нейтрон считается поглощенным; траектория его заканчи-
заканчивается (и в соответствующем счетчике делается запись об этом).
4) Если оказалось, что -^- < f, то нейтрон испытывает
рассеяние, и нужно разыграть его направление и энергию.
В частности, если рассеяние упругое и изотропно в си-
системе центра масс, то
costT=27—1, ^ = 2--^,
, 1 + A cos 8"
costy = —
En = En-\
{A + IJ
V-n == V-n-icos Ф + cos X V(l — V-l-1) C1 — cos2 Ф)-

124 ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ В НЕЙТРОННОЙ ФИЗИКЕ [16
Таким образом, из состояния (zn_1. [>-n_v ?„_,) нейтрон
переходит в состояние (zn, ц„, Еп). Расчет траектории про-
продолжается до тех пор, пока не окажется выполненным одно
из трех условий ее окончания: прохождение, отражение или
поглощение. Затем снова выбираются (или разыгрываются»
значения z0, |х0, Ео, с которых начинается расчет следующий
траектории.
16. Использование статистических весов, учитываю-
учитывающих поглощение. Если доля проходящих нейтронов мала
(а это как раз типичный случай при расчете защиты), то,
очевидно, описанный метод расчета будет мало эффективным.
Например, если вероятность прохождения порядка 10~5, то
для получения примерно десяти прошедших нейтронов по-
потребуется реализовать около 106 траекторий *). В таких
случаях отказываются от моделирования физических траек-
траекторий и вводят статистические веса.
Каждое состояние нейтрона описывается теперь четырьмя
величинами (г„, ц„, Еп, wn). Начальные значения z0, \l0, Eo
выбираются так же, как в п. 15, w0 обычно полагают рав-
равным 1. Дальнейший расчет траектории происходит так же,
как в п. 15, за исключением 3); поглощение нейтрона не
разыгрывается, а вместо этого изменяется его вес
Такой способ построения траекторий позволяет «сохра-
«сохранить» большое число траекторий в тех случаях, когда по-
поглощение велико.
17. Вычисление вероятности прохождения. Пусть,
например, требуется определить вероятность p(h) прохож-
прохождения нейтронов через пластинку Н. При физическом моде-
моделировании (п. 15) следует прибавлять единицу в счетчик
каждый раз, когда траектория заканчивается прохождением
(zn — h > 0). Если из общего числа N историй N' закончи-
закончились прохождением, то искомая вероятность
-Щ-. C.7)
*) Вероятная ошибка в определении вероятности прохождения
при этом будет около 20%.

17] § 3. ПРОХОЖДЕНИЕ НЕЙТРОНОВ СКВОЗЬ ПЛАСТИНКУ 125
При счете с весами (п. 16) в счетчик прибавляются числа
"Wn — веса прошедших нейтронов. Искомая вероятность
равна
n
1=1
где 2* берется по всем вылетам, a J по всем траек-
траекториям; У=1. 2 N—номера траекторий, п = 0, 1,
2, .... Пу — номера столкновений внутри Н для траекторий
с номером у. Иначе говоря, rij — число звеньев траектории
с номером у.
При дао= 1 знаменатель в последней формуле равен N.
Чтобы пояснить, почему второй способ, как правило,
оказывается лучше первого, рассмотрим две простые слу-
случайные величины ?„"и т)л; весь расчет заключается в реали-
реализации таких величин. Пусть Qn — вероятность прохождения
без столкновений для нейтрона из n-го состояния, которое
предполагается известным.
Эту вероятность легко вычислить по формулам п. 12
fc-z_
-Ь(Еп)~~
е п , если \хп > 0;
0, если \хп ^ 0.
Первому способу счета p(h) соответствует случайная
величина
A с вероятностью (Lsf?t)Qn,
О с вероятностью 1—(LjI>f)Qn,
второму способу — случайная величина
I -—- с вероятностью Qn,
[ 0 с вероятностью 1 — Qn.
Математические ожидания этих величин равны:

126 ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ В НЕЙТРОННОЙ ФИЗИКЕ [18
Чтобы сравнить их дисперсии, достаточно сравнить матема-
математические ожидания квадратов этих величин:
Очевидно, всегда Nhn < Mfn и, следовательно *),
С точки зрения приведенных рассуждений еще более
выгодным должно быть прямое вычисление величины (S^/S,) Qn
при каждом столкновении. Таким образом, мы приходим
к третьему способу оценки p(h):
N "J
S S w»Q»
ji±^=° . C.9)
Последняя формула требует больших вычислений при
каждом столкновении (счет экспоненты). Тем не менее, как
правило, она дает значительную экономию по сравнению
с формулой C.8), если добиваться одинаковой точности
в результате. Используя формулу C.9), мы извлекаем больше
информации из каждого столкновения.
18. Дальнейшие замечания об использовании траек-
траекторий. При построении траекторий с весом не обязательно
доводить каждую траекторию до вылета нейтрона из слоя:
траекторию можно заканчивать и в том случае, когда вес wa
становится меньше некоторого заданного числа е. Конечно, е
выбирается в соответствии с физическим смыслом задачи.
При решении конкретных задач возникают и другие спе-
специфические условия окончания траекторий.
Например, если нас интересует поглощение нейтронов
в заданной полосе спектра, то траекторию можно закончить
как только энергия нейтрона окажется ниже энергии полосы.
*) Величины 5Я (а также т1П) при разных п зависимы. Поэтому
приведенное рассуждение не есть строгое доказательство преиму-
преимущества второго способа перед первым.

18] § 3. ПРОХОЖДЕНИЕ НЕЙТРОНОВ СКВОЗЬ ПЛАСТИНКУ 127
Из каждого столкновения в ходе расчета траектории можно
извлечь еще много полезной информации. Например, чтобы
найти вероятность q(Ji) отражения нейтронов пластинкой Н.
можно при каждом столкновении вычислять вероятность
отражения
^л , если ц.„ < О,
О, если г^л^-О.
Формула для q(h) вполне анало-
аналогична формуле C.9)
N "J
, / = 1 /1=0
N
1
'о
N
г
\
7
8
\ J
>
\
\
—^
Л'
V
Л*
А
г
Рис. 22.
Можно заодно рассчитать вероятность прохождения (или
отражения) для пластинки Н' любой меньшей толщины h' < h.
По отношению к пластинке И' нейтрон является прошедшим,
если zn — W > 0. Даже если в результате последующих
столкновений нейтрон возвратится в И', его учитывать уже
не надо. Например, нейтрон, траектория которого изобра-
изображена на рис. 22, отражается пластинкой Н, tij = 8. Однако
по отношению к Н' он является проходящим и n'j = 3.
Следовательно,
N 1
I1 "f
где 2^ берется по всем вылетам по отношению к И',
а П) — номер последнего столкновения в Н\ Можно, конечно,
воспользоваться и формулой вида C.9):
_ . 1 = 1 в=0
N

128
ГЛ. 111. ПРИМЕНЕНИЕ В НЕЙТРОННОЙ ФИЗИКЕ
[19
где
при |х„ > О,
О при jxn ^ О,
Все эти формулы фактически являются частными случаями
формулы C.10). Правда, в п. 20 траектории строятся не
по ?/t a no ?j и поглощение учитывается весами другого
типа (ср. п. 14), но это не меняет существа дела.
19. Метод подобных траекторий. К. Мортон предложил
другой способ,, позволяющий полностью использовать траек-
траектории, построенные в однородной
пластинке Н, для расчетов по
такой же пластинке Н' толщины
Л'=аЛ. В работе [210] этим ме-
методом построена кривая р— р (Л)
для одной задачи и произведена
оценка производной (-зтН
Меняя масштабы в а раз,
т. е. полагая z' = az, можно каж-
каждой траектории в И поставить
в соответствие подобную траек-
траекторию в Н' (рис. 23). Направле-
Направления и энергии новой траектории
разыграны так, как нужно (по
отношению к Н'); их можно отнести к соответствующим столк-
столкновениям. Однако длины звеньев ломаной разыгрывались в
соответствии со старым масштабом. Согласно п. 6, это иска-
искажение можно компенсировать введением дополнительных
весов. В этом и заключается метод подобных траекторий.
Наряду с новыми весами w'n удобно ввести веса v'n, с ко-
которыми нейтрон приходит'в точку z'n. Веса w'n соответствуют
весам wn, по которым считались исходные траектории в Н,
они учитывают поглощение. Можно считать, что в Н имеем
¦v =w ,, но v' Ф w' ., так как v' учитывает искаженный
п п—1 п ti—1 и J
розыгрыш длины пробега.
Рассмотрим первое звено ломаной И длиной
Рис. 23.

19] § 3. ПРОХОЖДЕНИЕ НЕЙТРОНОВ СКВОЗЬ ПЛАСТИНКУ 129
где величина в /0 выбиралась из плотности
(для краткости пишем ?0 вместо Е, (?¦„)). Для ломаной Н'
длина первого звена равна
где величина l'Q также должна была выбираться из плотности
Однако вместо такого розыгрыша положили l'Q = al(V Так
как плотность произведения al0 есть
то вес, который нужно ввести (п. 6), равен
Д =а
f 1 ('о)
Считая, что •w'0 = wQ, получаем
-w'x
Аналогично выводятся общие формулы для новых весов:
K = fnWn-V Wn==fnWn'
где
Для вычисления /л можно использовать равенство /0= 1 и
рекуррентную формулу
В пункте 17 были указаны формулы для оценки веро-
вероятности прохождения нейтронов p(h) через пластинку Н.
Чтобы установить аналогичные формулы для пластинки Н',
заметим, что при [а„ > 0 имеем
9 Зак. 250. Н. П. Ёусленко и др«

130 ГЛ. HI. ПРИМЕНЕНИЕ В НЕЙТРОННОЙ ФИЗИКЕ [20
Учитывая это, получим формулы *)
N
и соответственно
Метод подобных траекторий позволяет одновременно
рассчитывать серию пластинок: после каждого столкновения
вычисляется серия весов (для всех интересующих нас а),
которые накапливаются по мере счета всех траекторий.
Предположим теперь, что требуется рассчитать прохо-
прохождение нейтронов через пластинки толщиной hv Л2 hu.
Какую из них принять за основную (//)? Есть основания пола-
полагать, что выгоднее выбирать в качестве Н самую толстую
пластинку, чтобы все рассматриваемые множители а были
меньше единицы. Тогда точность вычислений для всех пла-
пластинок окажется одного порядка.
20. Моделирование плотности рассеяний. Обычно при-
принято считать, что в машинах, используемых для расчетов по
методу Монте-Карло, большая внутренняя память не нужна:
каждая траектория моделируется независимо от других.
Однако при наличии большой памяти можно эффективно
моделировать плотность рассеяний (collision-density), т. е.
запомнить все состояния всех нейтронов. Это позволяет потом
аналитически по одним и тем же траекториям считать много
родственных задач. Таким путем достигается наиболее пол-
полное использование информации, полученной при реализации
*) Сумма весов прошедших нейтронов равна
N N
Jjvni+l=a Z^fn,+\wn,-

20] § 3. ПРОХОЖДЕНИЕ НЕЙТРОНОВ СКВОЗЬ ПЛАСТИНКУ 131
траекторий нейтрона. Схема для такого расчета была пред-
предложена Каном и реализована Бергером при изучении про-
прохождения f-излучения [78], [79].
Пусть на плоскость z = 0 из области z < 0 падает моно-
моноэнергетический поток нейтронов с начальной энергией Ео и
углом падения 60 = 0. Таким образом, начальное состояние
каждого нейтрона zo — Q, ^0— 1, ?0.
Траекторию каждого из N нейтронов будем строить без
учета поглощения *) и без учета граничных условий:
1) разыгрываем координату n-го рассеяния (п= 1, 2, ...)
_ - Р-п—\ in v.
zn — zn-\ уГТР 7 ''
^s\Cdn—\)
2) разыгрываем новое направление \хп и новую энергию Еп
(как в п. 15);
3) проверяем условие окончания траектории **).
Все состояния записываются, так что для нейтрона номер j
получаем ряд состояний
*о(Л ft, (Л ЗД);
ZiU). \hU). E.U);
y=l, 2 N. Эти состояния можно рассматривать как
эмпирическую выборку из плотности рассеяний g(z, \i. E),
которая представляет собой плотность вероятностей рассея-
рассеяния нейтрона в точке z по направлению ц. с энергией Е.
Так как большинство интересующих нас величин в таких
задачах выражаются через интегралы, содержащие g(z, \x, ?),
то приближенное нахождение этих величин сводится к вычи-
вычислению некоторых сумм по записанным состояниям.
А. Вычислим величину plk (Л) — вероятность прохождения
сквозь пластинку 0 ^ z -^ h нейтронов, направление и энер-
энергия которых при вылете находятся в некоторых фиксиро-
фиксированных интервалах Д^ и k-Ek. Знание всех pik (Л) даст спектр
проходящих нейтронов.
*) Если все состояния записаны, то веса можно учесть потом.
**) В качестве условия окончания часто удобно выбирать усло-
условие Ьп < ?, где число ? задано.
9*

132 ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ В НЕЙТРОННОЙ ФИЗИКЕ [20
Составим сумму:
N П)
Pik (Л) « я ]? 2 Вя U) wn (У) Qa (/. h) ft " (у). C.10)
У = 1 n=0
В этой сумме:
а) Bn(J) учитывает геометрические граничные условия
задачи. В случае нашей пластинки Bn{J)=\, еслиО^
*Czm(jL^.h при всех т = 0, 1, 2 п; в противном
случае Bn(j) = 0.
б) Веса wn(J) учитывают поглощение
га=0
Это произведение равно вероятности избежать поглощения
на всем пути от начала траектории до «-го рассеяния
(ср. п. 14Б).
в) Функция Qn(j\ К) — вероятность того, что нейтрон
из re-го состояния пересечет плоскость z = h, не испытав
больше рассеяний. Очевидно,
, если ^i? > 0,
О , если
г) Наконец, величина /„' (у) осуществляет классификацию
по спектру
если |*я(/)€ Дц,. En(j)?bEk,
i.k . _[ 1-
п \ ) |ов противном случае.
Б. Совершенно так же вычисляется спектр нейтронов,
отраженных пластинкой
'„С/. 0)/^(У).
У = 1 п=0
Все величины в этой формуле сохраняют прежний смысл.

X
21] § 3. ПРОХОЖДЕНИЕ НЕЙТРОНОВ СКВОЗЬ ПЛАСТИНКУ 133
В. Формулы такого же типа можно записать для потока
нейтронов и ряда других физических величин.
Слагаемые, соответствующие п~0 в формуле C.10),
•относятся к нерассеянному потоку. Эти слагаемые иногда
выгодно заменить аналитическим
выражением.
. Замечание. Вместо того
чтобы моделировать прохождение
нейтронов при различных углах
падения 60, можно ограничиться
одним начальным углом 60=0,
но считать все траектории в про- \| \h_ ^
странстве. Если записаны полные
состояния xn(J), У„(Д zn(J).
MA <?nU). EnU), то легко
рассчитать прохождение сквозь
пластинку заданной толщины h,
располагая ее в пространстве Рис. 24.
под требуемым углом (рис. 24).
Вместо Zn и \хп в формуле C.10) придется использовать
величины
1п — хп sin eo+ zn cos e0,
^n —cos6ncos60-f-sin 6nsin 60coscpn.
21. Численный пример. Для сопоставления некоторых
численных методов решения кинетического уравнения рас-
рассчитывалась задача о прохождении нейтронов через пластинку
бериллия (Л = 9; ofl = 0; at = as = cse); рассеяние предпола-
предполагалось изотропным в системе центра масс *). Толщина пла-
пластинки h = 5 длин свободного пробега (см. пример в п. 12).
В качестве переменной вместо энергии Е была выбрана так
называемая летаргия и = In (EJE). Плотность падающего
потока нейтронов предполагалась постоянной при 0 < [л < 1
и 0<«< 12.
Методом п. 20 вычислялось количество Ilh проходящих
нейтронов с направлениями и летаргиями, принадлежащими
заданным интервалам, отнесенных к единичной площадке,
*) Расчеты проведены О. Б. Москалёвым, И. Г. Крутиковой
и В. А. Чуяновым под общим руководством Е. С. Кузнецова.

134 ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ В НЕЙТРОННОЙ ФИЗИКЕ [21
перпендикулярной к направлению вылета. Так как плотность
вычисляемой величины равна
л
/ft- z , _h_
g(z. ц, u)e~ v- —+/@, t*. u)e v-,
о -"
то расчетная формула была взята в виде
где |хг = о,5([1г+[1г+1). Рассматривались пять интервалов
(групп) по летаргии:
0<к<3; 3<к<6; 6<к<9; 9<к<12; 12<к<со
и 20 интервалов по jx:
Формулы расчета траекторий*).
Начальные значения: 20 = 0. 1\> —Т' и0 = 12f •
Переход от re-го столкновения к (я-{- 1)-му:
1 ПРИ Условии, что Tfi+Tf! < *;
cos ф =
= 51
1;
1 + Л cos
У 1+2^-cos
= 1*и cos ф-Ь cos х
Результаты (полученные по 9000 траекто-
траектория м). На рис. 25 приведены гистограммы углового рас-
распределения прошедших нейтронов для каждой из энергети-
энергетических групп, а также значения, полученные многогрупповым
методом расчета кинетического уравнения [44].
*) При этом были использованы псевдослучайные числа {¦{},
предложенные в статье [57].

21] § 3. ПРОХОЖДЕНИЕ НЕЙТРОНОВ СКВОЗЬ ПЛАСТИНКУ 135
0,5
Рис. 25.

136
ГЛ. Ш. ПРИМЕНЕНИЕ В НЕЙТРОННОЙ ФИЗИКЕ
[22
В таблице 10 приведены значения потока, осредненного
по телесному углу *).
Таблица 10
Метод
Монте-Карло . . .
Многогрупповой .
Группа
0<и<3
0,0494
0,1084
3<и<С
0,189
0,192
6<u<9
0,230
0,240
9<u<!2
0,250
0,264
12<и<сю
0,337
0,340
§ 4. Некоторые методы расчета критичности
ядерных реакторов
22. Постановка задачи. Рассмотрим некоторый объем' R,
содержащий делящееся вещество (например, уран). Попавший
в этот объем нейтрон может: 1) вылететь из /?, не испытав
столкновения с ядрами вещества; 2) столкнуться с ядром
вещества и при этом или поглотиться, или рассеяться, или
вызвать деление ядра, которое приведет к появлению v новых
нейтронов. В результате большого числа таких элементарных
актов среднее число нейтронов в R может меняться.
Объем R называется критическим, если среднее число
нейтронов в нем остается неизменным; если число нейтронов
убывает, то объем называется подкритическим, а если число
нейтронов возрастает — надкритическим.
В подкритическом объеме цепная реакция затухает. В над-
надкритическом объеме цепная реакция развивается и приводит
к взрыву. Регулирование реактора, грубо говоря, заключается
в поддержании критического состояния.
Обычно в реакторе активная зона, содержащая делящиеся
вещества, окружена отражателем — веществом, слабо погло-
поглощающим нейтроны (графит, бериллий). Наличие отражателя
уменьшает вылет нейтронов из системы и позволяет до-
достигнуть критичности при меньшем количестве горючего
(ср. рис. 20). Кроме того, в реакторе имеются регулирующие
*) Первая группа 0 <! и < 3 «слишком велика» для многогруп-
многогруппового метода. Этим и объясняется расхождение результатов именнэ
в этой группе.

23] § 4. МЕТОДЫ РАСЧЕТА КРИТИЧНОСТИ ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ 137
стержни. Они содержат вещество, сильно поглощающее ней-
нейтроны (бор). Регулировка реактора осуществляется вводом
Этих стержней в активную зону или выводом их.
Эффективным коэффициентом размножения &9фф ней-
нейтронов в реакторе называют среднее число вторичных ней-
нейтронов деления, приходящихся на один первичный нейтрон
деления. Подробнее, пусть п1 — число всех родившихся ней-
нейтронов одного поколения; проследим за «судьбой» каждого
ИЗ этих нейтронов до его вылета из реактора или до тех
пор, пока он не поглотится (с делением или без деления);
при этом возникнут п2 нейтронов второго поколения; в этом
Случае &9фф = и2/и1 (более точное математическое определе-
определение &Эфф приведено в п. 24).
Очевидно, реактор находится в критическом состоянии,
если &эфф= 1. При &эфф > 1 состояние будет надкритическим,
При &Эфф <С 1 —подкритическим.
23. Моделирование физических траекторий. Поместим
в реактор некоторое конечное число п0 нейтронов. Жела-
Желательно, чтобы распределение их было близким к истинному,
однако фактически оно может быть произвольным. Выберем
интервал времени Д?, в несколько раз больший, чем среднее
время Т жизни нейтрона в реакторе. Разыгрывая историю
каждого из этих нейтронов за время Д?, получим п1 новых
нейтронов. После достаточно большого числа j таких шагов
по времени отношение nf+l: n} устанавливается по формуле
Лк1)
По величине этого отношения можно судить о критичности
реактора.
Однако фактическая реализация такого расчета оказывается
довольно сложной. Истинное распределение нейтронов в реак-
реакторе зависит в общем случае от шести переменных: г—коор-
г—координаты нейтрона и v — его скорости (чаще вместо v рас-
рассматривают единичный вектор ы — vlv и Е — энергию
нейтрона).
Требуется большое число п нейтронов, чтобы правильно
отразить особенности этого распределения.

138 ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ В НЕЙТРОННОЙ ФИЗИКЕ [24
24. Счет поколений. Предположим, что спектр нейтро-
нейтронов деления не зависит от скорости делящего нейтрона.
В этом случае удобно определять критичность путем под-
подсчета поколений.
Поместим в реактор пх нейтронов, которые будем счи-
считать нейтронами первого поколения. Разыгрывая историю
каждого из этих нейтронов до его «гибели» (захвата, погло-
поглощения с делением или вылета), получим второе поколение
нейтронов п2. После достаточно большого числа / поколе-
поколений, отношения ni+l: nt устанавливаются:
В этой схеме счета моделируется не распределение всех
нейтронов в реакторе, а только распределение нейтронов
деления. По предположению, истинная плотность нейтронов
деления (плотность рождений) есть произведение л (о) п (г).
Спектр нейтронов деления л (о) известен. Таким образом,
моделируется только плотность п(г), зависящая в общем
случае от трех переменных. Очевидно, в отражателе п (г) = 0.
Выясним математический смысл такого способа счета.
Пусть g(r, r') — плотность среднего числа вторичных нейтро-
нейтронов в точке г, порождаемых одним первичным нейтроном из
точки г'. Тогда плотность вторичных нейтронов равна
п2ir)=fg(г. г')я,(*")dr'. C.11)
Переход от поколения к поколению равносилен итерации
начальной плотности щ{г) при помощи интегрального опе-
оператора C.11). Ядро этого оператора g{r, r') весьма сложно,
однако выписывать его аналитически нет никакой надобности:
оно приближенно реализуется в ходе счета историй. Ядро
это положительно для активной зоны.
Теперь можно дать строгое определение эффективного
коэффициента размножения нейтронов в реакторе: требование
п2 (г) = &Эфф щ (г) равносильно требованию
g (г. г') пх (г') dr' = /еэфф щ (г).
Последнее равенство означает, что плотность «j(r) должна
быть собственной функцией интегрального оператора C.11),
а ^эФФ — соответствующим ей собственным значением опера-
В работе [19], где метод моментов использован впервые,
вычислялась матрица, аппроксимирующая не оператор C.11),
а сопряженный оператор (собственные значения сопряженных
операторов совпадают). Выберем точку г^ и рассмотрим
историю нейтрона, родившегося в этой точке. Пусть
v (г<^) — число вторичных нейтронов, порожденных этим ней-
нейтроном в конце у-й истории в точке г<^ (в случае вылета
или захвата v — 0). Сосчитав N таких историй, начинающихся

25] § 4. МЕТОДЫ РАСЧЕТА КРИТИЧНОСТИ ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ 139
тора. Так как nj(r)>>0 (по физическому смыслу), то &эфф
является наибольшим собственным значением оператора C.11).
Из теории интегральных уравнений известно, что при
весьма широких предположениях относительно положитель-
положительного ядра итерации срг (/•) любой неотрицательной функции
<?0(г) приближаются (при надлежащей нормировке) к первой
собственной функции ядра я^г), а отношения срг+1 (/")/<рг(г)
в каждой точке стремятся к первому собственному значению.
На этом и основан способ расчета, изложенный в этом пункте.
Вместо оценка &ЭффЯйгег+1/гег в [148] предложено использо-
использовать оценку методом максимума правдоподобия: если мы счи-
считаем, что при I = s отношение «уже установилось», а счет
поколений продолжаем до значения г = /, то
где n — ns-\-ns+l-\- ... + nv Соответствующая оценка дис-
дисперсии имеет вид
(ЙЛ2 ' '
n~ni) Yn — ns 4(n — t
(v — среднее число нейтронов на одно деление).
25. Метод моментов. Сущность метода моментов заклю-
заключается в построении конечной матрицы, аппроксимирующей
интегральный оператор C.11), и отыскании ее наибольшего
собственного значения k, которое можно приближенно при-
принять за &эфф.
Поясним, что значит аппроксимировать интегральный опе-
оператор матрицей.
Пусть выбрана полная система функций /j (г), /2 (г), ...
Тогда любая функция п(г) может быть разложена в ряд
п (Г) = q/i (r) + cj2 (/•)+...
Таким образом, каждой функции «(/") соответствует беско-
бесконечный вектор {Cj, c2, •..} *)•
*) Эти постоянные с,. с2, ... называются коэффициентами
Фурье функции п (г) относительно полной системы fx (г), /2 (г),...

140 гл. ш. применение в нейтронной физике [25
Пусть, далее, интегральный оператор К'. ,
n(r)±=jK(r. r')n{r')dr'
переводит функции /Дг) в функции f^r):
fi(r) = fK(r,r')fi(r')dr',~
и пусть
?1(г)^апМг)-\-ав/2(г)-\-.... / = -1. 2. ...
Очевидно, что бесконечная матрица \\а^\\ равносильна
интегральному оператору К, так как, зная ее, можно по
вектору {cv c2, ...} найти {cv c2, ..,}, соответствующий
функции п(г)
Если в разложениях всех функций ограничиться конеч-
конечным числом т координат {cv .... ст), то можно рассматри-
рассматривать конечную матрицу ||ву||. 1<[/, j^.m, котррая пре-
преобразует вектор {с, ст} в вектор {cv .... ст). Это и
есть конечная матрица, аппроксимирующая интегральный опе-
оператор К. Она переводит функции вида
в функции
«(/¦)=ViC-)+ ••• -\-cmfm(r).
так, что
cl=^au-cl-\- ... -\-amicm. /=1. 2 т.
В работе [19], где метод моментов использован впервые,
вычислялась матрица, аппроксимирующая не оператор C.11),
а сопряженный оператор (собственные значения сопряженных
операторов совпадают). Выберем точку /¦<*> и рассмотрим
историю нейтрона, родившегося в этой точке. Пусть
vCif) — число вторичных нейтронов, порожденных этим ней-
нейтроном в конце у-й истории в точке г^ (в случае вылета
или захвата v = 0). Сосчитав N таких историй, начинающихся

26] § 4. МЕТОДЫ РАСЧЕТА КРИТИЧНОСТИ ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ 141
из одной и той же точки г<*>, найдем приближенные значе-
значения интегралов
N
Г
Они вычисляются одновременно для всех /=1, 2 т.
Выбрав р точек r?>(s=l, 2 р, где р~^> т) и со-
сосчитав для каждой из них значения ft№p), подберем мат-
матрицу а1} так, чтобы
Подбор пц можно осуществлять, например, методом наи-
наименьших квадратов, требуя, чтобы
рту т -i2
??i i-iDis L ' /=i " i ° J
Дисперсии Dfi оцениваются по тем же историям.
Затем остается найти наибольшее собственное значение
матрицы ||аг.-||. что делается чисто алгебраическими методами.
26. Нормировка числа нейтронов. При попытке реали-
реализовать методы, • указанные в пп. 23 и 24, можно столкнуться
со следующей трудностью: если &эфф заметно больше 1, то
число нейтронов быстро возрастает и может переполнить
запоминающее устройство машины прежде, чем профиль
плотности установится; наоборот, если Аэфф значительно
меньше 1, то число нейтронов может быстро уменьшиться
или даже обратиться в нуль.
Если требуется подобрать какой-либо параметр реактора
так, чтобы обеспечить критичность, то такое «вырождение
счета» не является катастрофическим: оно показывает, в
какую сторону нужно изменить этот параметр. Однако те-
теряется возможность интерполировать по найденным значе-
значениям /г9фф.

142 ГЛ. Ш. ПРИМЕНЕНИЕ В НЕЙТРОННОЙ ФИЗИКЕ [27
В работе [84] был использован метод п. 24. Чтобы
избежать «вырождения счета», была введена пространствен-
пространственная сетка, позволяющая нормировать число нейтронов в каж-
каждом поколении. Активную зону разбивали на области (диа-
(диаметром около 0,1 длины свободного пробега), и все нейтроны,
рождавшиеся в некоторой области, помещали в ее «центр».
Вместо начальной плотности рождений щ{г) задавали числа
рождений пп, пи пи во всех областях так, что
ren + re,2-f- ... ~\-nls=M. После нахождения количества
вторичных нейтронов п2Х, п^, .... n2s определяли искомое
отношение
«21 + «22 + ... + Щ3
М '
1
а затем число нейтронов нормировали: новые tu,j получали
умножением старых ге2у на обратную величину полученного
отношения: M/fai -(-...+ n2s).
При таком способе счета числа п1;- оказываются дроб-
дробными и играют роль весов (масс). Можно из каждой области
строить одну траекторию и умножать веса получающихся
в следующем поколении нейтронов на Пц. Более рационально
из тех областей, где т — 1 ^ tntj < т, начинать т историй
и умножать веса получающихся нейтронов на п^/т (т — целое
число; t выбирается в зависимости от М).
27. О применении весов. Очевидное преимущество метода
подсчета поколений по сравнению с моделированием физи-
физических траекторий состоит в том, что вместо ветвящихся
траекторий рассматривают обыкновенные траектории. При
этом можно использовать различные способы введения стати-
статистических весов, о которых говорилось выше. Особенно
часто используют веса для учета поглощения (п. 14) и веса,
указанные в конце п. 26. Несколько реже веса применяют
для учета вылета (п. 5), что позволяет разыгрывать траек-
траектории внутри R. Одновременно с применением весов можно
использовать и более сложные формулы для оценки поколе-
поколений (типа формулы C.9)). Например, вместо простого под-
подсчета «потомства» нейтрона, т. е. количества нейтронов,
родившихся в конце истории, можно в каждой точке стол-
шее собственное значение интегрального уравнения C.13)*).
Если Xj > 1, то объем R—подкритический; если \ < I, то
объем — надкритический.
Таким образом, определение критичности в односкорост-
ном приближении сводится к нахождению наименьшего соб-
собственного значения интегрального уравнения C.13).
*) Т. е. 1 А, —наибольшее собственное значение интегрального
оператора ?/(.

28] § 4. МЕТОДЫ РАСЧЕТА КРИТИЧНОСТИ ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ 143
кновения оставлять «потомство» в. количестве
где vn — вес, с которым нейтрон приходит к и-му столкно-
столкновению. Аналогично для оценки интегралов C.12) может быть
использована формула
в которой wQ—\.
28. Нахождение критических значений параметров
реактора. Методы пп. 23—25 позволяют вычислить &Эфф для
заданной области R. Однако часто модель реактора содержит
какой-нибудь параметр х, критиче-
критическое значение которого нужно
определить. Таким параметром мо-
может служить, например, концентра-
концентрация урана в активной зоне или тол-
толщина отражателя и др.
Критическим значением х=*крИТ
называется то значение х, которому
соответствует &Эфф— 1. Таким обра-
образом, для определения хкрит необходимо
найти несколько значений функции
^эфф = ^(х) и проинтерполировать
F (хкрит) = 1. Конечно, , на хороший
результат интерполяции можно рас-
рассчитывать только тогда, когда сре-
среди сосчитанных значений есть и
?Эфф > 1 и Аэфф < 1.
Как правило, можно использо-
использовать одни и те же истории для
нахождения нескольких вначений функции F (%). Пусть,
например, х—толщина отражателя, которую нужно опре-
определить. Фиксируем несколько значений х = хх < х2 < ... < хг
(рис. 26) и во время счета истории «запоминаем» максималь-
максимальный номер слоя, в который залетел нейтрон. Если нейтрон
_ хг
Рис. 26.

144 ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ В НЕЙТРОННОЙ ФИЗИКЕ " ' [29
побывал в слое номер j, а затем возвратился в активную
зону и выэаал там деление, то нейтроны деления не засчиты-
ваются в следующее поколение для x = kv .... r.j_v Этот
способ вполне аналогичен изложенному в п. 18.
29. Расчет критичности в односкоростном приближе-
приближении. Иногда, главным образом при изучении реакторов на
быстрых нейтронах, используют так называемое односкорост-
ное или одногрупповое приближение: энергия всех нейтронов
предполагается постоянной. Укажем еще один метод расчета
критических параметров в рамках односкоростного прибли-
приближения (методы пп. 23—25 остаются в силе).
В рассматриваемом, случае условие критичности может
быть выражено в форме интегрального уравнения относи-
относительно объемной плотности нейтронов п(г). Это уравнение
называют обычно уравнением Пайерлса. Запишем его для
случая изотропного рассеяния:
л .(г) = \f$(r')K (r, r') n(r') dr\ C.13)
где
интеграл I ads берется по отрезку прямой, соединяющей
точки г и г'.,
\г'-г\
J ads = j a
Условие критичности имеет вид: Xj = 1, где Xj — наимень-
наименьшее собственное значение интегрального уравнения C.13)*).
Если Xj > 1, то объем R — подкритический; если Xj < I, то
объем — надкритический.
Таким образом, определение критичности в односкорост-
односкоростном приближении сводится к нахождению наименьшего соб-
собственного значения интегрального уравнения C.13).
*) Т. е. 1/Х, —наибольшее собственное значение интегрального
оператора §К-

2&] § 4. МЕТОДЫ РАСЧЕТА КРИТИЧНОСТИ ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ 145
Однако, если геометрическая структура /? сложная, то
обычными численными методами очень трудно найти Xj.
В. С. 'Владимиров [16] предложил вычислять Xj методом
Монте-Карло., Такие расчеты были успешно осуществлены
в работах [18] и [59]. Так как использованные методы отно-
относятся к решению произвольных интегральных уравнений, то
здесь их подробно рассматривать не будем. Отметим только,
что закон построения случайных траекторий, реализованный
в [18], равносилен использованию весов, учитывающих и
вылет и розыгрыш взаимодействия*):
*
*я-1
- j «•(/•п_1+<.п_,*)
Для вычисления Xj в упомянутых работах применялась
схема последовательных приближений Келлога. Можно исполь-
использовать также вариационный метод. И в том и в другом
случае приходится вычислять некоторые сложные интегралы,
что может быть осуществлено методом Монте-Карло.
*) Нейтроны деления и рассеянные нейтроны равноправны,
так как энергии их равны и рассеяние предполагается изотропным.

ГЛАВА IV
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
К ИССЛЕДОВАНИЮ ПРОЦЕССОВ
МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
§ 1. Общие сведения о задачах массового
обслуживания
В течение последнего десятилетия потребности практики
стимулировали интенсивное изучение специфического класса
задач, относящихся к массовому обслуживанию. Характерной
особенностью таких задач, возникающих наиболее часто в об-
области физики частиц, телефонии, организации производства,
планирования, автоматического управления сложными агре-
агрегатами и т. д., является наличие обслуживающей системы, на
которую в случайные моменты времени поступают заявки.
Обслуживающая система имеет линии (каналы), выполняющие
совокупность операций, подразумеваемых под словом «обслу-
«обслуживание». В качестве обслуживающей системы может, на-
например, рассматриваться автозаправочная станция. Заявки на
обслуживание возникают тогда, когда на станцию прибывают
автомобили для пополнения запасов горючего. Отдельными
линиями (каналами), самостоятельно обеспечивающими полный
цикл операций, связанных с обслуживанием заявок, являются
бензоколонки, при помощи которых операторы производят
заправку автомобилей.
Предметом теории массового обслуживания являются те
временные режимы, которые возникают в процессе обслужи-
обслуживания потока заявок, поступающих в систему. Поток — это
последовательность заявок со специальным чередованием
моментов их появления во времени.
Если с точки зрения обслуживания все заявки данного
потока оказываются равноправными, то играет роль лишь сам

§ 1. общие сведения 147
факт наступления или ненаступления в данный момент времени
события, состоящего в появлении заявки. Такие потоки, назы-
называемые потоками однородных событий, в настоящее время
обстоятельно изучены и имеют изящное и удобное матема-
математическое описание.
При решении практических задач иногда существенно
учесть неоднородность событий потока. В этих случаях может
оказаться недостаточным использование потоков однородных
событий в качестве математических схем для описания потоков
заявок. Ниже мы особо остановимся на некоторых случаях
такого рода.
Идеи и методы теории массового обслуживания приме-
применяются для постановки и решения важных прикладных
задач. Это послужило причиной интенсивной разработки ана-
аналитических зависимостей, позволяющих вычислять значения
показателей качества обслуживания по известным парамет-
параметрам потока заявок и характеристикам обслуживающей сис-
системы.
Однако результаты, рассматриваемые в литературе по
этому вопросу, посвящены, главным образом, изучению сра-
сравнительно простых случаев.
Это относится как к строению потока заявок, поступаю-
поступающих на обслуживание, так и к свойствам обслуживающих
систем. Поэтому имеющийся в настоящее время аналитический
аппарат не может полностью удовлетворить возрастающие
запросы практики.
Как показывают исследования, многие задачи, связанные
с массовым обслуживанием, могут быть решены методом
Монте-Карло.
Сравнивая возможности известных в настоящее время ана-
аналитических методов теории массового обслуживания и метода
Монте-Карло с точки зрения вычисления показателей качества
обслуживания, необходимо отметить следующее.
Формулы и уравнения для вычисления показателей качества
обслуживания (вероятность отказа, математическое ожидание
длины очереди и т. д.), как правило, имеют асимптотический
характер и справедливы для моментов времени, достаточно
удаленных от начала обслуживания. С практической точки
зрения такое решение задач не всегда оказывается удовле-
удовлетворительным. Дело в том, что реальные процессы массо-
массового обслуживания имеют переходные режимы от состояния
10*

148 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОЦЕССАМ МАССОВ. ОБСЛУЖИВАНИЯ
полной незанятости линий к стационарному состоянию, опи-
описываемому асимптотическими формулами. Длительность пере-
переходных режимов не всегда является пренебрежимо малой,
а иногда соизмерима с длительностью цикла обслуживания,
характерного для исследуемой системы.
Метод Монте-Карло позволяет получить оценки для пока-
показателей качества обслуживания, относящиеся к любым интер-
интервалам времени, в том числе и к интервалам, на которых
протекают переходные процессы.
Существующие аналитические методы решения задач
теории массового обслуживания исходят из весьма узких
предположений о законах 'распределения потоков однород-
однородных событий, представляющих потоки заявок: абсолютное
большинство результатов относится к простейшему (пуассо-
новскому) потоку. Метод Монте-Карло позволяет получить
эффективное решение задачи в заведомо более широких пред-
предположениях о природе потока заявок. Особенно удобными
оказываются в этом отношении потоки с ограниченным
последействием.
Аналогичное замечание можно сделать и в связи со строе-
строением систем массового обслуживания. Класс таких систем,
поддающихся обследованию при помощи, метода Монте-
Карло, является существенно более обширным, чем сово-
совокупность систем, охватываемых известными аналитически-
аналитическими методами.
Метод Монте-Карло позволяет более полно, по сравнению
с аналитическими формулами, характеризовать зависимость
качества обслуживания от параметров потока заявок и об-
обслуживающей системы. Это объясняется тем обстоятельством,
что при решении задач теории массового обслуживания мето-
методом Монте-Карло может быть использована более обширная
информация о процессе, чем это обычно удается сделать,
применяя аналитические методы. Например, для систем
с отказами употребительные формулы теории массового
Обслуживания дают лишь среднее значение доли отказов.
Метод Монте-Карло в этом случае позволяет получить оценку
не только для средней доли отказов, но и для любого пара-
параметра закона распределения доли отказов.
Важную роль на практике играют многофазные системы
и многофазные процессы обслуживания. В настоящее время
нет доступных аналитических методов исследования много-

§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПОТОКА ЗАЯВОК 149
фазных систем. Метод Монте-Карло позволяет получить реше-
решение задач для многофазных систем при весьма общих пред-
предположениях об их структуре.
Сущность метода Монте-Карло применительно к задачам
массового обслуживания состоит в следующем. При помощи
специальных алгоритмов вырабатываются реализации заданных
потоков однородных событий, а также моделируются процессы
.функционирования обслуживающих систем. Эти алгоритмы
используются для многократного воспроизведения реализации
случайного процесса обслуживания при фиксированных усло-
.виях. Информация о процессе, накапливаемая при воспроиз-
воспроизведении набора реализаций, подвергается статистической
обработке с целью оценки показателей качества обслужива-
обслуживания. В настоящей главе кратко излагаются сведения о пото-
потоках заявок и обслуживающих системах, необходимые для
решения задач методом Монте-Карло; кроме того, рассматри-
рассматриваются способы формирования реализации случайных потоков
заявск и построения алгоритмов, моделирующих процесс
обслуживания.
§ 2. Математическое описание потока заявок,
поступающих иа обслуживание
Начнем рассмотрение вопроса о математическом описании
потока заявок с простейшего случая, когда этот поток
можно считать потоком однородных событий.
Каждое событие потока в этом случае характеризуется
моментом времени tv в который оно наступает. Чтобы
описать поток однородных событий как случайный процесс,
достаточно задать закон распределения, характеризующий
последовательность случайных величин tv t2, . • ¦, tm, ...
Обычно бывает удобным вместо величин tv t2, ..., tm, —
рассматривать случайные величины ?1( ?2. • • • > ?т> • • • > являю-
являющиеся длинами интервалов времени между последовательными
моментами tt.
D.1)

150 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОЦЕССАМ МАССОВ. ОБСЛУЖИВАНИЯ
В дальнейшем будем рассматривать только непрерывные
случайные величины \t и характеризовать совокупность их со-
совместной функцией плотности распределения /(гг; z2; ...; zk).
В приложениях важную роль играют некоторые специаль-
специальные классы потоков однородных событий. Одним из такого
рода классов является класс потоков с ограниченным после-
последействием.
Случайный поток однородных событий называется пото-
потоком с ограниченным последействием, если случайные вели-
величины \-ь являются независимыми.
Очевидно, что для потоков с ограниченным последей-
последействием совместная функция плотности f(zlt z2, .... zk)
представляется в виде
/С*1. z2 zk) = fx(Zl)/2(z2) ...fk(zk). D.2)
Функции ft(z?) при / >> 1 являются условными функциями
плотности величин \t при условии, что в начальный момент
интервала \t (i > 1) поступила заявка. В отличие от этого
функция fi(z{) является безусловной функцией плотности,
так как относительно появления или непоявления заявки
в начальный момент времени не делается никаких пред-
предположений.
Большой теоретический и практический интерес пред-
представляют так называемые стационарные потоки, для которых
вероятностный режим не зависит от времени.
Более точно поток однородных событий называется ста-
стационарным, если вероятность появления k событий за про-
промежуток времени (t0, to-\-f) не зависит от t0, а зависит
только от t и k.
Для стационарных потоков с ограниченным последей-
последействием имеет место соотношение
Это значит, что при i > 1 интервалы %t одинаково рас-
распределены.
Рассмотрим математическое ожидание М случайной вели-
величины ?j при I > 1

§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПОТОКА ЗАЯВОК 151
Величина М имеет смысл средней длины интервала между
последовательными заявками.
Легко видеть, что для стационарных потоков с ограни-
ограниченным последействием величина
имеет смысл среднего количества событий, наступающих за
единицу времени. Параметр X носит название плотности
потока.
В качестве примера стационарного потока с ограничен-
ограниченным последействием можно привести поток с равномерным
распределением интервалов времени между заявками. Функция
плотности f(z) в этом случае имеет вид
=4 @ <><?). D-5)
Поскольку математическое ожидание величины ? равно bj2,
то плотность потока, задаваемого функцией плотности D.5),
равна
Х=4- D-6)
Другим примером стационарного потока с ограниченным
последействием может служить так называемый простейший
поток (поток Пуассона или поток без последействия). Для
простейшего потока
Хе-Ч D.7)
Параметр X является плотностью простейшего потока.
Для стационарных потоков с ограниченным последей-
последействием имеет место соотношение (формула Пальма, см. [10]),
связывающее функции плотности f^iz^ и f(z),
D.8)
¦ \l~ff(u)du\.
Пользуясь D.8), можно получить функции плотности /х (^j)
для различных стационарных потоков с ограниченным
последействием. Например, для потока с равномерным

152 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОЦЕССАМ МАССОВ. ОБСЛУЖИВАНИЯ
распределением интервалов
или
Для простейшего потока
= X I— XJV*«rf«
или
/1(г1) = Хв-^. D.10)
Из D.10) следует, что в случае простейшего потока
имеем /i(?i) = /(z). Как легко видеть из предыдущего при-
примера, в общем случае это неверно.
Заметим, что закон распределения стационарного потока
можно задать в виде закона распределения P(k, t) числа
k событий, наступающих в течение интервала времени длины t.
Для простейшего потока:
P{k, f) = QS?-e-u D.11)
имеет вид закона Пуассона с параметром \t.
В качестве примера нестационарного потока рассмотрим
пуассоновский поток с переменным параметром. Закон рас-
распределения P(k, t0, t) числа событий, наступающих в те-
течение интервала времени (t0, to~\-t) для такого потока,
имеет вид
Р(A, t0, f) =i [A(^°;t)] е-* С»- О. D.12)
Величина Л(?о, t) представляет собой математическое
ожидание числа событий, наступающих в течение интервала
времени (*„, *0+0- Функцию Л(*о, t) можно представить
в виде
to+t
A(t0, 9 = j* 4u)du. D.13)

•§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПОТОКА ЗАЯВОК 153
Величина \(t0) является мгновенной плотностью потока
в момент t0, a l/tA(t0, f) — средней плотностью потока
в интервале времени (t0, to-\~t).
Можно показать, что функция плотности fi(z{) для
первого интервала Ijj имеет вид
/,(«,) = Л;@.г1)е~А№в1). D.14)
а в случае произвольного интервала
<p(f. z) = K(t. z)e-A{t'z\ D.15)
До сих пор рассматривались так называемые ординарные
потоки однородных событий. Поток называется ординарным,
если вероятность ф(.'о, t) появления двух и более событий
за промежуток времени (t0, to-\-t) при любом t0 является
величиной малой по сравнению с t, т. е. если
В приложениях иногда приходится сталкиваться с задачами,
связанными с обслуживанием групповых заявок, создающих
сгустки событий, т. е. рассматривать неординарные потоки
однородных событий. Для того чтобы описать неординарные
потоки, необходимо помимо моментов tt задать распределе-
распределение количества заявок, поступающих в каждый из моментов
времени tt. В частном случае, когда количество наступающих
событий является случайной величиной, независимой от мо-
моментов tt, достаточно задать вероятность pk того, что в про-
произвольный момент tt наступает ровно k событий.
При решении некоторых, весьма важных, прикладных
задач реальные потоки заявок не могут быть безоговорочно
сведены к потокам однородных событий. Для получения ре-
решения задач с достаточной для практики точностью при-
приходится считаться с существенной неоднородностью заявок
потока.
Например, изучая процесс функционирования автомобиль-
автомобильного парка как системы массового обслуживания перевозок,
необходимо учитывать те свойства заявок, которые оказывают
существенное влияние на режим перевозок. К таким свой-
свойствам (помимо требуемого момента начала обслуживания)
могут относиться: координаты пунктов погрузки и выгрузки,

154 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОЦЕССАМ МАССОВ. ОБСЛУЖИВАНИЯ
определяющие величину холостого и производительного про-
пробегов автомобилей, характеристики грузов (весовые, габа-
габаритные и т. д.), определяющие типы и количество автомо-
автомобилей, необходимые для обслуживания заявки, характеристики
сроков доставки и т. д.
Аналогичные особенности возникают и при рассмотрении
других реальных процессов, связанных с массовым обслужи-
обслуживанием.
Поэтому в общем случае каждую заявку необходимо ха-
характеризовать моментом ее поступления в обслуживающую
систему t, а также рядом параметров ар otj, .... ak. Совре-
Современный аппарат теории вероятностей располагает средствами
для математического описания случайных потоков заявок
в столь общем случае.
Однако это не требуется теми конкретными задачами, ко-
которые рассматриваются в настоящей главе. Поэтому мы огра-
ограничимся частными случаями, доступными при решении ряда
практических задач.
Представим случайный поток моментов tt поступления
заявок в систему обслуживания как поток однородных собы-
событий. Остальные случайные параметры заявок cij, o^, .... ak
можно задать при помощи условного совместного закона рас-
распределения cp(aj, a2 a^j).
Поскольку такой способ задания потока заявок оказы-
оказывается сравнительно сложным, иногда целесообразно пойти
на дальнейшие упрощения. Эти упрощения обычно состоят
в том, что для моментов tt используются потоки однородных
событий с ограниченным последействием, а некоторые из па-
параметров ctj, a2 ak полагаются независимыми от tt и
между собой. Несмотря на эти существенные ограничения,
такие приемы задания потока заявок оказываются пригодными
для решения многих практических задач.
§ 3. Системы массового обслуживания
При решении практических задач приходится заниматься
исследованием процессов функционирования разнообразных
систем и агрегатов, связанных с массовым обслуживанием
заявок. Естественно, что все многообразие особенностей,
присущих реальным процессам, не может быть учтено при
¦их математическом описании. Необходимо учитывать только

§ 3. СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 155
основные факторы, определяющие течение процесса, прене-
пренебрегая второстепенными влияниями, несущественными с точки
зрения поставленной задачи. Другими словами, в основу мате-
математического описания процесса функционирования реальной
системы должна быть положена некоторая формализованная
схема, отражающая основные черты реального процесса.
В общем случае система массового обслуживания может
состоять из п линий, способных одновременно и независимо
друг от друга обслуживать заявки. В любой момент времени
линия находится в одном из двух состояний—линия свободна
или линия занята.
Предположим, что в некоторый момент времени в обслу-
обслуживающую систему поступает заявка. Если в этот момент
времени имеются свободные линии, то заявка принимается
к обслуживанию. В противном случае, т. е. когда все линии
заняты, заявка остается в системе в течение некоторого вре-
времени (тп — время пребывания заявки в системе) как претен-
претендент на обслуживание. За интервал времени тп заявка должна
быть принята к обслуживанию, в противном случае она счи-
считается потерянной (получает отказ).
В зависимости от величины тп системы массового обслужи-
обслуживания делятся на три существенно различных класса, имею-
имеющих свою специфику как в строении процесса обслуживания,
так и в математической формулировке относящихся к ним
задач. Если тп = 0, то поступившая в данный момент вре-
времени заявка либо немедленно принимается к обслуживанию,
если имеются свободные линии, либо получает отказ, если
все линии заняты. Такие системы массового обслуживания
называются системами с отказами. Для систем с отказами
показателями качества обслуживания обычно считаются вероят-
вероятность отказа, среднее число отказов за данный интервал вре-
времени и т. д.
В другом крайнем случае, когда тп = со, поступающие
в систему заявки отказов не получают, а ожидают (если все
линии заняты) в очереди до того момента, когда они будут
приняты к обслуживанию. Такого рода системы массового
обслуживания называются системами с ожиданием. По-
Показателями качества обслуживания в этом случае могут быть
среднее время ожидания заявки, средняя длина очереди и т. д.
Наконец, если 0 < тп < оо, заявка, заставшая все линии
занятыми в момент поступления, ожидает в течение т„

156 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОЦЕССАМ МАССОВ. ОБСЛУЖИВАНИЯ
в очереди, а по истечении этого времени получает отказ. Такие
системы массового обслуживания называются смешанными
системами. Качество обслуживания в этом случае оцени-
оценивается вероятностными характеристиками как количества
Отказов, так и времени ожидания, а иногда более сложными
показателями, учитывающими обе эти стороны качества
обслуживания.
Помимо параметра тп, для характеристики свойств обслу-
обслуживающей системы необходимо задать также t3—время
обслуживания заявки или, как его иначе называют, время
занятости линии. Заявка, принятая к обслуживанию, за-
занимает одну из линий на время т3; по истечении этого вре-
времени линия освобождается и может приступить к обслужива-
обслуживанию новой заявки.
Обычно величины т3 и тп считаются случайными величи-
величинами с заданными законами (или совместным законом) распре-
распределения. Иногда может быть сделано предположение, что
одна из них, или обе, фиксированы.
Перейдем к рассмотрению распространенных вариантов
порядка занятия линии заявками, поступающими на обслужива-
обслуживание. Если в системе массового обслуживания имеется очередь
заявок, то освобождающиеся линии занимаются немедленно
в порядке их освобождения. В случае, когда очереди заявок
нет и имеются свободные линии, появившаяся заявка может
занимать одну из свободных линий в соответствии со спе-
специальными правилами. Наиболее часто на практике исполь-
используются следующие правила.
1. Линии занимаются в порядке их номеров. Линия
с большим номером не может быть привлечена к обслужива-
обслуживанию заявки, если имеется свободная линия с меньшим но-
номером.
2. Линии занимаются в порядке очередности их освобож-
освобождения. Освободившаяся линия поступает в очередь и не
может быть привлечена к обслуживанию заявки, пока сво-
свободны линии, освободившиеся ранее данной.
3. Линии занимаются в случайном порядке в соответствии
с заданными вероятностями.
Если в данный момент поступления очередной заявки
• имеется k свободных линий, то должны быть заданы вероят-
вероятности рГ1, рГ2 рГк занять ггю, г2-ю, .... гк-ю линии
соответственно.

§ 3. СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 157
Аналогичные предположения могут быть сделаны и от-
относительно порядка обслуживания заявок, находящихся в
очереди. Например, естественно использовать следующие
правила.
1. Заявки принимаются к обслуживанию в порядке очереди.
Освободившаяся линия приступает к обслуживанию той заявки,
которая ранее других поступила в систему.
2. Заявки принимаются к обслуживанию в порядке оче-
очередности возможного получения отказа. Освободившаяся линия
принимает к обслуживанию ту заявку, которая в наибольшей
степени исчерпала тп и в кратчайшее время получит отказ,
если не будет принята к обслуживанию. Заметим, что второе
правило совпадает с первым в том случае, когда тп фикси-
фиксировано.
3. Заявки принимаются к обслуживанию в случайном по-
порядке в соответствии с заданными вероятностями. Если в мо-
момент освобождения линии в очереди имеется т заявок, то
должны быть известны вероятности рГ1, рТг, ..., рг при-
принять к обслуживанию заявки с номерами rv r2 rm
соответственно.
Изложенными сведениями может быть ограничено описа-
описание вариантов элементарных формализованных схем функцио-
функционирования систем массового обслуживания. На практике
могут встретиться и другие аналогичные схемы, формализа-
формализацию которых читатель сможет выполнить по аналогии.
Перейдем к рассмотрению особенностей, которые харак-
характерны для более сложных неэлементарных схем функциони-
функционирования систем массового обслуживания.
Реальные процессы массового обслуживания часто оказы-
оказываются многофазными. В этом случае обслуживающая система
состоит из некоторого количества подсистем, работающих
последовательно. Как правило, при этом соблюдается такой
порядок, при котором следующая подсистема может при-
приступить к обслуживанию заявки лишь тогда, когда обслужи-
обслуживание на предыдущей фазе полностью закончено.
Встречаются процессы, для течения которых характерно
поступление на следующую фазу обслуживания всех заявок,
в том числе и тех, которые получили отказ на предыдущей
фазе. Однако, как правило, заявка, получившая отказ на
одной из фаз обслуживания, с дальнейшего обслуживания
снимается.

158 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОЦЕССАМ ЛАССОВ. ОБСЛУЖИВАНИЯ
Простейшим примером многофазного обслуживания может
быть обслуживание покупателей в магазине. Покупатель на
первой фазе обслуживается работником прилавка, демонстри-
демонстрирующим товары и оформляющим товарные чеки. На второй
фазе покупатель оплачивает чеки в кассе. Лишь после этого
покупатель поступает на третью фазу — в отдел контроля и
выдачи покупок.
В реальных процессах многофазного обслуживания не
всегда соблюдается правило, упомянутое выше, по которому
операции обслуживания на различных фазах производятся
последовательно. Иногда эти операции оказываются полностью
или частично совмещенными во времени.
В качестве дальнейшего обобщения элементарных схем
массового обслуживания необходимо отметить следующее.
В случае, когда приходится считаться с неоднородностью
заявок, поступающих на обслуживание, обычно законы распре-
распределения параметров тп, т3 и других характеристик обслу-
обслуживающей системы оказываются зависящими от величин
а,, а2 ak, описывающих неоднородность заявок (см.
конец предыдущего параграфа) или от их вероятностных
характеристик. Это обобщение хотя и не является прин-
принципиальным, так как, строго говоря, рассматриваемый случай
может быть приведен к элементарному, однако оно суще-
существенно влияет на методику решения задач.
Совершенно аналогично, может оказаться, что вероят-
вероятности, определяющие порядок привлечения линий и порядок
принятия заявок к обслуживанию, не остаются постоянными,
а зависят от параметров тп, т3, olv а2, ..., afe или их вероят-
вероятностных характеристик.
Иногда целесообразно вместо двух возможных состояний
линии — свободна и занята — рассматривать большее коли-
количество возможных состояний. Например: линия свободна и
готова к обслуживанию заявок, линия занята, линия свободна,
но не готова к обслуживанию заявок и т. д.
Для некоторых систем массового обслуживания необ-
необходимо считаться с возможностью появления брака по при-
причинам, не связанным с режимом занятости линий. В этом
случае вероятностные характеристики количества отказов
будут существенно зависеть от вероятности появления брака q,
которая является в общем случае функцией парамет-
параметров гп, т3, ctj, aj ot и т. д.

§ 4. ФОРМИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПОТОКОВ ЗАЯВОК 159
Наконец, существенным фактором, сопровождающим про-
процессы функционирования многих реальных систем массового
обслуживания, является режим надежности аппаратуры и обо-
оборудования.
В простейшем случае каждая линия с точки зрения на-
надежности в данный момент времени может быть либо исправ-
исправной, либо неисправной. Надежность линии можно характери-
характеризовать вероятностью безотказной работы R— R(f), зависящей
от времени. В некоторых случаях линия, вышедшая из строя,
выбывает из процесса обслуживания, а в других—она может
быть введена в строй (отремонтирована) за время тр. Время
ремонта тр обычно считается случайной величиной с заданным
законом распределения. В общем случае ?р может зависеть
от параметров потока и системы обслуживания.
Сделаем замечание относительно судьбы заявки, при обслу-
обслуживании которой произошла поломка линии. Наиболее рас-
распространенными предположениями можно считать: заявка
получает отказ; заявка остается в системе (с общим временем
пребывания в системе не более тП) как претендент на обслу-
обслуживание вне очереди; заявка поступает в очередь и т. д.
Здесь перечислены лишь основные обобщения элементар-
элементарных схем обслуживания, встречающиеся при исследовании
реальных процессов. Эти обобщения позволяют охватить ряд
существенно важных практических задач. При использовании
метода Монте-Карло они не являются препятствиями на пути
эффективного решения задач, а лишь приводят к некоторым
усложнениям моделирующих алгоритмов.
§ 4. Формирование случайных потоков заявок
Существенным элементом исследования процессов массо-
массового обслуживания методом Монте-Карло является формиро-
формирование случайных потоков заявок. Простота и компактность
алгоритмов, используемых для формирования потоков заявок,
зачастую является фактором, определяющим реальную осу-
осуществимость предпринимаемого исследования.
Рассмотрение способов формирования потоков заявок
начнем с простого случая, когда поток заявок представляет
собой поток однородных событий.
Будем считать заданным совместный закон распределе-
распределения / (zx, z2, ... i zk) случайных величин ?х, ?2 S*i

160 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОЦЕССАМ МАССОВ. ОБСЛУЖИВАНИЯ
являющихся интервалами времени между последовательными
моментами появления заявок D.1). Для того чтобы получить
реализацию потока однородных событий tx, t2, ..., tk, не-
необходимо сформировать реализацию zx, z2, ..., zk ^-мерного
случайного вектора %v ?2, ..., %k и вычислить значения tt
в соответствии с D.1). Способы формирования случайных
векторов рассматриваются в главе VII. Как известно, для
больших k эта операция оказывается весьма громоздкой.
Это обстоятельство существенно ограничивает использование
потоков однородных событий общего вида при решении
задач теории массового обслуживания методом Монте-Карло.
Процедура формирования реализаций потоков однородных
событий значительно упрощается для случая стационарных
потоков с ограниченным последействием.
Пусть стационарный ординарный поток с ограниченным
последействием задан функцией плотности f(z) D.3). В со-
соответствии с D.8) найдем функцию плотности fx{zx) для
первого интервала zx. Теперь можно по правилам, рассмат-
рассматриваемым в главе VII, сформировать случайное число zx,
соответствующее функции плотности fx (z{), и получить мо-
момент появления первой заявки tx — zx. Далее формируем
ряд случайных чисел, соответствующих функции плотности
f (z), и при помощи соотношения D.1) вычисляем значения
величин t2, tz, ..., tk. Ниже описанная процедура иллюстри-
иллюстрируется рядом примеров. Рассматриваемые в качестве при-
примеров потоки однородных событий могут быть использованы
как типовые математические схемы для приближенного опи-
описания различных потоков, встречающихся при решении
практических задач.
В дальнейшем будем считать, что в нашем распоряжении
имеются случайные числа Rt с равномерным распределением
в интервале @,1). Как известно (см. гл. VII), для того чтобы
получить случайные числа xt с функцией плотности f (х),
необходимо разрешить относительно xt уравнение
f(x)dx = Rt. D.16)
Соотношением D.16) мы будем пользоваться, наряду
с другими способами, при формировании потоков однород-
однородных событий.

§ 4. ФОРМИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПОТОКОВ ЗАЯВОК 161
Простейший поток. Функция плотности f(z) интервалов
между вызовами ?, при i > 1 для простейшего потока имеет
вид
/Сг) = Хе-Ч D.7)
В силу D.10) такое же выражение сохраняется и для
функции плотности fl(zl) первого интервала ^. Поэтому
построение реализаций простейшего потока однородных со-
событий может быть, в частности, сведено к формированию
последовательности независимых случайных чисел, имеющих
показательное распределение D.7).
Для этой цели можно воспользоваться соотношением D.16)
о
или
1_е-Хг* = /?.. D.17)
Разрешая уравнение D.17) относительно z{, получим
zt = - 4 In (I -/?,). D.18)
Далее, для получения последовательности моментов по-
появления вызовов /j, /2, ..., /ft, ... воспользуемся D.1).
Заметим, что для вычисления значений zt в соответствии
с D.18) требуется выполнить сравнительно много операций
на электронных цифровых машинах универсального назначе-
назначения. Это объясняется тем обстоятельством, что вычисление
логарифмов на универсальных цифровых машинах связано
с использованием стандартных программ, основанных на
разложениях в степенные ряды. Поэтому для формирования
последовательности случайных чисел с показательным законом
распределения часто используют приближенные методы (см.
гл. VII).
В частном случае простейшего потока можно рекомендо-
рекомендовать и некоторые другие приемы формирования реализаций.
Например, для малых значений X (практически при X < 0,5)
оказывается удобным следующий приближенный прием, идея
которого основана на моделировании условий соответствую-
соответствующей предельной теоремы.
11 Зак. 250. Н. П. Бусленко и др.

162 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОЦЕССАМ МАССОВ. ОБСЛУЖИВАНИЯ
Используемые в данной задаче единицы времени (напри-
(например, минуты) будем нумеровать числами 1, 2, ..., /га,
Разобьем каждую единицу времени на равные части длины
т=6/Х, где 0<6<Х<1 и Х/6— целое число. Внутри
каждой единицы времени введем нумерацию полученных
интервалов: 1, 2, ..., j Х/6. Затем используем следую-
следующую процедуру случайных испытаний. Из совокупности слу-
случайных чисел с равномерным распределением в интервале
(О, 1) выбираем случайное число Rt и проверяем справедли-
справедливость неравенства
#г<6- D.19)
Если неравенство D.19) выполнено, считаем, что заявка
поступила в момент времени
_l).c+|/?,. D.20)
Если неравенство D.19) не выполнено, то считаем, что
заявка не поступила, и переходим к очередному случайному
числу Rl+1.
Начиная с нулевого момента времени (/га=1; j = 1),
проверяем, при помощи описанных выше испытаний, посту-
поступает ли заявка в течение первого интервала длины t первой
единицы времени. Если неравенство D.19) выполнено, то мо-
момент поступления первой заявки
Если неравенство D.19) не выполнено, то переходим
ко второму интервалу длины т первой единицы времени
(т= 1, у = 2) и т. д., пока будут исчерпаны все интервалы
первой единицы времени. Тогда переходим ко второй еди-
единице времени (/га = 2; /'—1) и т. д.
Для обеспечения более точного соответствия закона распре-
распределения формируемого таким образом потока закону распре-
распределения Пуассона необходимо стремиться уменьшить 6. Пре-
Препятствием этому служит увеличение объема вычислений, ко-
которое при очень малых т = 6/Х (практически т < 0,05) делает
процедуру не менее громоздкой, чем расчет zt в соответствии
с D.18).
При решении задач, связанных с массовым использова-
использованием реализаций простейшего потока, практически наиболее

§ 4. ФОРМИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПОТОКОВ ЗАЯВОК 163
приемлемым способом формирования реализаций оказывается,
обычно, способ, основанный на кусочной аппроксимации / (z).
рассмотренный в главе VII.
Поток с равномерным распределением интервалов
между вызовами. Функция плотности f(z) для интервалов ?,,
при / > 1 такого стационарного потока с ограниченным после-
последействием имеет вид D.5)
а функция плотности f1 (zt) первого интервала Ej имеет
вид D.9)
где
Заметим, что математическое ожидание длины первого
интервала
Процедура формирования реализаций потока с равномер-
равномерным распределением интервалов между вызовами сводится
к следующему.
Для получения значений первого интервала zl восполь-
воспользуемся соотношением D.16)
-^f (b-z)dz=Rr
Тогда
D.21)
где R, — случайные числа с равномерным распределением
в интервале @, 1).
Затрата сравнительно большого количества операций ма-
машины на вычисления по формуле D.21) не имеет значения,
так как это приходится делать весьма редко — один раз на
каждую реализацию потока.
11*

164 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОЦЕССАМ МАССОВ. ОБСЛУЖИВАНИЯ
В качестве возможных значений z,(t> 1) используются
случайные числа, имеющие равномерное распределение в ин-
интервале (О, Ь). Очевидно, они могут быть получены преоб-
преобразованием
ztJ = bRr D.22)
Поток с равномерным распределением интервалов между
вызовами просто и удобно реализуется на электронных
цифровых вычислительных машинах универсального назна-
назначения.
Потоки Эрланга. Потоком Эрланга порядка т называется
ординарный стационарный поток с ограниченным последей-
последействием, для которого функция плотности интервалов между
вызовами ^ при i > 1 имеет вид
Можно показать, что плотность потока Эрланга равна
х=4- <4-24>
Для получения случайных значений ztj первого интер-
интервала ?j в общем случае рекомендуется воспользоваться при-
приближенными методами, рассматриваемыми в главе VII.
Получение же значений Zy для интервалов ^ при I > 1
можно упростить, если учесть следующее обстоятельство.
Интервалы ^ при / > 1 потока Эрланга порядка т пред-
представляют собой суммы т независимых слагаемых ^, каждое
из которых имеет показательное распределение с параме-
параметром X*.
Таким образом, интервалы zt] для потока Эрланга можно
получить суммированием т последовательных значений kt.
Заметим, что формирование реализаций потоков Эрланга
на электронных цифровых машинах оказывается достаточно
громоздким.
Ниже рассмотрены некоторые потоки, зависящие от двух-
тре* параметров, имеющие существенные преимущества перед

§ 4. ФОРМИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПОТОКОВ ЗАЯВОК 165
потоками Эрланга с точки зрения удобства формирования
реализаций на электронных цифровых машинах.
Первое обобщение потока Эрланга. Рассмотрим орди-
ординарный стационарный поток с ограниченным последействием,
для которого интервалы %t между вызовами при / > 1 являются
суммами двух случайных величин, подчиняющихся показа-
показательному закону распределения с параметрами \ и \.
Можно показать, что функция плотности f(z) для такого
потока будет иметь вид
D.25)
Плотность потока выражается соотношением
Й D26)
Функция плотности для первого интервала имеет вид
А (*.) = гйгЧг" (V"Mi ~ V^*)- D-27)
Для получения возможных значений z-tj интервалов Е(. при
/ > 1 можно воспользоваться процедурой суммирования по-
последовательных случайных чисел с показательным распреде-
распределением, приведенных к соответствующим значениям X.
Чтобы получить случайные значения zXj первого интер-
интервала %х, необходимо в D.16) подставить D.27). Тогда полу-
получим соотношение
То Го~ & * J ===1 Ki \ Го Го" ^ ' '» \fi.ZCj)
которое можно разрешить относительно Zy методом последо-
последовательных приближений.
Если интервалы между вызовами ?, при I > 1 предста-
представляют собой суммы трех слагаемых, имеющих показательное
распределение с параметрами \, \ к \ соответственно, то
соотношения, аналогичные D.25), D.26) и D.27), будут иметь

166 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОЦЕССАМ МАССОВ. ОБСЛУЖИВАНИЯ
ВИД
(l2 _ Xj) (Х3 -
Xj) (Х3 -X.) + (X, -Х2) (Х3 - Х2)
Л nzr -
D.29)
D.30)
Г Х2Х3е-х'*'
»^з L(X. —Х,)(Х, —
X.X2g-Vl 1 '
, -Х3) (Х2 - Х3) J '
' (^.-^2)(^-Х2) ^(Х
Второе обобщение потока Эрланга. Рассмотрим ста-
стационарный ординарный поток с ограниченным последействием,
для которого интервалы ?г при / у> 1 являются суммами двух
независимых случайных величин, имеющих равномерное рас-
распределение в интервалах (О, Ь{) и (О, Ь2) соответственно.
Если Ь± < Ь2, то функция плотности / (z) для интерва-
интервалов ?j при / >> 1 имеет вид
@ < 2 < Ьх),
D.32)
Плотность потока такого типа равна
Функция плотности для первого интервала имеет вид
2F,-*)
b2 F, + b2)
fti < z <
6]62 Fj -j- b2) btb2
bl — b2
btb2
\ D.34)

§ 4. ФОРМИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПОТОКОВ ЗАЯВОК 167
Процедура получения возможных значений zl} интерва-
интервалов %t при / > 1 сводится к суммированию случайных чисел,
имеющих равномерное распределение в интервалах @; Ь{)
и @; Ь2) соответственно.
Для формирования значений первого интервала ^ можно
использовать приближенные методы, рассматриваемые
в главе VII.
Поток с фиксированным минимальным интервалом.
Для решения прикладных задач иногда необходимо рассма-
рассматривать потоки, для которых интервалы ?4 при I > 1 являются
суммами постоянной а и случайной величины \.
Например, если % имеет показательное распределение
с параметром X*, то функция плотности / (z) для интер-
интервала \г при i > 1 имеет вид
0 при 0 < z -^ a
*e~X*(z-a) ПрИ z У> а.
Плотность такого потока равна
X*
Функция плотности для первого интервала имеет вид
D-37)
I
(Zl~a
при
Процедура формирования величин zV] при I > 1 для
такого потока очевидна: необходимо суммировать постоян*
ную а и возможные значения Хц случайной величины \,
имеющей показательное распределение с параметром X*. Ве-
Величину X* можно вычислить из соотношения D.36), если
требуемая плотность потока X задана.
Для получения реализаций zl} первого интервала ^
с функцией плотности D.37) можно поступить следующим
образом: найти вероятности р@, а) и р(а, оо) попадания ве-
величины ?j в соответствующие интервалы и применить к D.37)
соотношение D.16). Получаются следующие выражения

168 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОЦЕССАМ МАССОВ. ОБСЛУЖИВАНИЯ
Для вероятностей р@, а) и р(а, оо):
D-38)
р (a, oo) = T-i-r. D.39)
Используя D.16), будем иметь
г,
u^Rt @</?f<p@. я)). D.40)
= Лг (р @> а) < л* <1)-
D.41)
Разрешая уравнения D.40) и D.41) относительно zx, по-
получим
. D.43)
Процедура формирования величин гХу состоит в следую-
следующем. Из совокупности случайных чисел с равномерным рас-
распределением в интервале @, 1) выбираем случайное число Rt
и сравниваем его с /7@, а). Если
Ri<P@> a)- D-44)
ТО вычисляем Zy в соответствии с D.42). Если неравенство
D.44) не выполнено, то для вычисления zxj используем D.43).
Поток с переменным параметром. Рассмотрим один из
возможных способов формирования реализаций для пуассо-
новского потока с переменным параметром D.12).
Чтобы получить возможные значения zt интервалов между
вызовами, воспользуемся соотношением D.16). Применим
его к функции плотности D.15). Тогда
А(*. г) = — In A — Rj), D.45)

§ 4. ФОРМИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПОТОКОВ ЗАЯВОК 169
где Rj — случайное число, имеющее равномерное распреде-
распределение в интервале @, 1).
Легко показать, воспользовавшись функцией плотности
D.14), что соотношение D.45) справедливо не только для zt
при /> 1, но и в случае первого интервала ?,, если поло-
положить t = 0.
Разрешая уравнение D.45) относительно z, можно полу-
получить искомую последовательность величин zv
Остановимся подробнее лишь на одном из простейших
примеров. Пусть мгновенная плотность потока \{f) линейно
зависит от времени
\{f) = at-\-b. D.46)
Тогда, в силу D.13)
A(f. z) = ~ + z{at + b), D.47)
а выражение D.45) принимает вид
аг2
-~2—b z {at + ft)==_in (l—Rj). D.48)
Полагая для первого интервала ?р что t = 0, получим
/?/) D.49)
или
6 + /2а1пA R)
Zl== Т _ \ Ч. D.50)
Для второго интервала ^ полагаем t==zv Тогда
^ + ( + ft) -ln(I-;/?J) D.51)
ИЛИ
Ь) + У (аг1 + бJ - 2а Ш A -
1-1
Для интервала с номером / полагаем t = ^zt. Тогда
?t +y (% \ -2a\n(l-Rf)
D.52)

170 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОЦЕССАМ МАССОВ. ОБСЛУЖИВАНИЯ
Аналогично можно получить последовательность г, и при
других выражениях для \{t), отличных от D.46).
Замечание о неординарных потоках. Если количество
вызовов, поступающих в момент времени tt, является слу-
случайной величиной, независимой от tt, то можно предложить
следующую процедуру получения возможных значений коли-
количества вызовов k. Пусть вероятность того, что в момент tl
поступает k вызовов, равна pk\ ^,pk=l. Тогда величина k
k
должна быть выбрана по жребию в соответствии с вероят-
вероятностями рк. Для этого выбираем случайное число Rjt имею-
имеющее равномерное распределение в интервале @, 1), и срав-
сравниваем его с последовательными суммами pk.
Количество вызовов равно k в том случае, когда
k-i k
HPi<Rj<HPv D.53)
i=0 1-0
где /?0 = 0.
Замечание о потоках более общего характера. Если
заявки характеризуются не только моментом поступления tt
в систему, но и параметрами aW, aBt a(m\ то форми-
формирование реализаций потока оказывается более сложным.
Пусть поток моментов tt будет потоком с ограниченным
последействием, а параметры a'1', od2' a<™) представляют
собой случайные величины, независимые от tt. Будем счи-
считать, что некоторые из величин а1*) фиксированы, другие —
независимы от остальных, а некоторые — взаимно зависимы.
При этом предположении необходимо задать законы распре-
распределения для независимых параметров a(ft) и совместные законы
распределения для зависимых.
Формирование реализаций потока такого вида состоит
в следующем. Поток моментов tt как поток однородных
событий с ограниченным последействием формируется по
правилам, рассмотренным выше. Для каждой заявки, посту-
поступающей в момент времени tt, выбираются случайные значе-
значения параметров dp, c^2», .... a(f). При этом используются
приемы получения случайных чисел и многомерных случай-
случайных векторов с заданными законами распределения, рассма-
рассматриваемые в главе VII.

§ 5. СТРУКТУРА АЛГОРИТМА 171
§ 5. Структура алгоритма для решения методом
Монте-Карло задач массового обслуживания
Решение задач массового обслуживания методом Монте-
Карло в рассматриваемом виде по существу представляет
собой моделирование на электронных цифровых машинах
универсального назначения процесса обслуживания заявок,
поступающих в систему.
В настоящее время еще нельзя указать общих правил
для построения моделирующих алгоритмов. Однако имеются
разнообразные приемы, позволяющие представить формали-
формализованный процесс обслуживания в виде последовательности
операций (или групп операций), выполняемых машиной.
Структуру алгоритма, моделирующего работу типичной
системы массового обслуживания, рассмотрим на конкретном
примере.
Пусть система массового обслуживания состоит из п
линий, на которые в случайные моменты времени tt посту-
поступают заявки. Заявки образуют ординарный стационарный
поток однородных событий с ограниченным последействием.
Если в момент t1 имеются свободные линии, то заявка при-
принимается к обслуживанию и занимает одну из линий на
время т3. Заявка, заставшая все линии занятыми, остается
в системе в течение времени тп. Если в течение этого вре-
времени ни одна из линий не начнет обслуживать заявку —
заявка получает отказ.
Поступающие в систему заявки занимают свободные ли-
линии в порядке освобождения линий; данная линия не может
быть занята до тех пор, пока остаются свободными те ли-
линии, которые освободились ранее данной.
Если в момент освобождения линии имеются заявки в оче-
очереди, то к обслуживанию принимается та заявка, которая
ранее других получит отказ, если не будет принята к обслу-
обслуживанию.
На рис. 27 представлена логическая блок-схема алго-
алгоритма, моделирующего процесс обслуживания заявок опи-
описанной выше системой. Каждый оператор представляет собой,
как правило, подалгоритм, реализующий в процессе модели-
моделирования определенную функцию системы. Логические опера-
операторы изображены кругами. Если условие, проверяемое данным
логическим оператором, выполнено, стрелка, обозначающая

172 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОЦЕССАМ МАССОВ. ОБСЛУЖИВАНИЯ
передачу управления, снабжена индексом 1, в противном слу-
случае— индексом 0.
Последовательность операций при реализации такого
алгоритма выглядит следующим образом.
21 Т
5? Ц
Шкчет тичестМ
опквтв
Рис. 27. Блок-схема моделирующего алгоритма.
Оператор 1 формирует моменты tt поступления заявок
в систему обслуживания. Способы формирования потоков
заявок рассмотрены в предыдущем параграфе.
Предположим, что оператор 1 сформировал очередное
значение tt. Управление передается оператору 2. Сравнивая
значение k — количества заявок в очереди, формируемого

§ 5. СТРУКТУРА АЛГОРИТМА 173
операторами // и 13— с нулем, оператор 2 вырабатывает
признак, равный 1, если очередь есть, и равный 0, если
очереди заявок нет.
Рассмотрим сначала ветвь алгоритма, соответствующую
отсутствию очереди. В этом случае управление передается
оператору 3, который сравнивает величину tt с постоян-
постоянной Т—длительностью интервала времени, на котором произ-
производится исследование процесса обслуживания. Если tt < Т,
то заявка принадлежит той части потока, которая подвер-
подвергается исследованию, в противном случае заявка не рассма-
рассматривается.
Пусть 11 < Т. Тогда управление передается оператору 4,
который сравнивает между собой моменты освобождения
всех линий, вырабатываемые оператором 8, и определяет
наименьший из них. Управление передается оператору 5, при
помощи которого выясняется справедливость условия, что tt
меньше минимального значения f0CB. Выполнение этого усло-
условия означает, что в момент поступления заявки все линии
оказываются занятыми; в противном случае имеется по край-
крайней мере одна свободная линия.
Рассмотрим сначала случай, когда имеется свободная ли-
линия. Управление передается оператору 6, который выбирает,
в соответствии с заданным правилом, линию для обслужи-
обслуживания данной заявки. Далее производится формирование слу-
случайного значения времени обслуживания т3 (оператор 7) как
случайного числа с заданным законом распределения; вы-
вычисление времени освобождения линии (к моменту tt, кото-
который в этом случае является моментом начала обслуживания,
прибавляется т3; оператор 8), а также подготовка алгоритма
к моделированию процесса обслуживания следующей заявки
(оператор 9).
Переход к очередной заявке может происходить двумя
путями. В первом случае от оператора 10 по стрелке с ин-
индексом 0 переходим к оператору 1, если момент поступле-
поступления следующей заявки не сформирован. Второй случай имеет
место тогда, когда момент поступления очередной заявки
был сформирован и зафиксирован ранее: либо за время между
последовательными моментами освобождения линий посту-
поступило несколько заявок (t* фиксируется оператором 14),
либо очередная заявка имеет tt большее, чем момент осво-
освобождения данной линии, и поэтому как претендент на

174 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОЦЕССАМ МАССОВ. ОБСЛУЖИВАНИЯ
Обслуживание данной линией не рассматривается (t* фиксирует-
фиксируется оператором 25). Если окажется, что значения t* или Jt уже
имеются (факт проверяется оператором 10), то управление
от оператора 10 по стрелке с индексом 1 передается опе-
оператору //. Задача оператора //—обновить значение вели-
величины k — количества заявок в очереди.
Необходимость в этом возникает в связи с тем, что зна-
значения t*t или t переписываются в ячейки, где обычно хра-
хранятся моменты поступления заявок tt (оператор 12). Далее
управление передается оператору 2. На этом по сути дела
заканчивается рассмотрение последовательности операторов
(начиная от оператора 2) для случая, когда в момент tt оче-
очереди заявок нет.
Возвратимся к оператору 5. Предположим теперь, что
условие, проверяемое оператором 5, выполнено. Это значит,
что в момент поступления заявки tt все линии оказались
занятыми. Тогда необходимо учитывать следующие обстоя-
обстоятельства. Хотя в момент tt очереди заявок не было, но за
интервал времени между tt и моментом освобождения линии
может поступить еще некоторое количество заявок и тогда*
к моменту освобождения линии, образуется очередь. Поэтому
от оператора 5 по стрелке с индексом 1 мы переходим
к оператору 13, который прибавляет единицу к величине
k — количеству заявок в очереди; фиксируем tt под
обозначением t* (оператор 14) и переходим к опера-
оператору / для формирования очередного момента поступления
заявки.
Поскольку теперь в очереди имеется по меньшей мере
одна заявка, работа алгоритма может быть продолжена от
оператора 2 только в направлении оператора 22. Однако
прежде, чем рассматривать цепь операторов для случая на-
наличия очереди заявок, возвратимся к оператору 3.
Пусть условие tt < Т, проверяемое оператором 3, ока-
оказывается невыполненным. Это означает, что заявка, посту-
поступившая в момент tt, не принадлежит к части потока, под-
подвергающейся исследованию, и поэтому не рассматривается.
Вместе с тем, это означает, что данная реализация потока
исчерпана и необходимо переходить к очередной реализации,
если данная не является последней. Поэтому от оператора 3
по стрелке с индексом 0 переходим к оператору 15. Если

§ 5. СТРУКТУРА АЛГОРИТМА 175
N=N* (условие, проверяемое оператором 15, не выпол-
выполнено; данная реализация оказалась последней), то от опера-
оператора 15 по стрелке с индексом 0 переходим к обработке
(оператор 18) и выдаче (оператор 19) результатов модели-
моделирования.
В случае, если N < N*, работа алгоритма продолжается
(от оператора 75) в направлении стрелки с индексом 1.
Здесь производится подготовка алгоритма к моделированию
процесса обслуживания новой реализации потока заявок (опе-
(оператор 16), фиксируется количество N обследованных реали-
реализаций (оператор 17), а затем управление передается опера-
оператору 1.
Перейдем к рассмотрению ветви алгоритма для случая,
когда имеется очередь заявок.
Если k > О (оператор 2), то переходим к оператору 22.
Предположим, что условие, проверяемое оператором 22,
выполнено. Тогда остается сравнить tt с наименьшим вре-
временем освобождения линии (оператор 24), которое форми-
формируется оператором 23. Если tt меньше времени освобожде-
освобождения линии, то может оказаться, что еще некоторое коли-
количество заявок обладают тем же свойством, т. е. поступают
ранее, чем линия освободится. Поэтому от оператора 24 по
стрелке с индексом 1 переходим к рассмотренной ранее це-
цепочке операторов G3, 14 и 7). Работа алгоритма будет про-
протекать циклически (операторы 7, 2, 22, 23, 24, 13, 14, 1
и т. д.) до тех пор, пока очередное tt окажется больше,
чем время освобождения линии. В этом случае накопление
очереди прекратится, а последнее значение tt будет зафик-
зафиксировано под обозначением tl оператором 25. Заметим, что
заявка, поступившая в момент tt (после освобождения данной
линии), не является претендентом на обслуживание данной
линией. Таким образом, в момент освобождения линии
имеется некоторое количество k* заявок в очереди, являю-
являющихся претендентами на обслуживание данной линией. Мо-
Моменты t* их поступления в систему зафиксированы опера-
оператором 14.
Оператор 26 для всех заявок, поступивших в моменты t\,
формирует случайные значения времени пребывания в си-
системе inpj-, как случайные числа с заданным законом рас-
распределения.

176 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОЦЕССАМ МАССОВ. ОБСЛУЖИВАНИЯ
Прибавляя значения тпр/ к t* (оператор 27), получим мо-
моменты времени tnl, в которые заявки могут получить отказ,
если они не будут приняты к обслуживанию.
Оператор 28 сравнивает значение k* с единицей. Если
в момент освобождения линии оказалось несколько заявок
в очереди (k* > 1), то необходимо определить наименьшее
значение tnl (оператор 29), так как освободившаяся линия
должна приступить к обслуживанию заявки с наименьшим
значением tn. Если k*=l, то управление передается непо-
непосредственно к оператору 30. Оператор 30 сравнивает зна-
значения tnl с временем ?осв освобождения линии. Время пре-
пребывания в системе заявок, для которых условие, проверяе-
проверяемое оператором 30, выполняется, истекает прежде, чем линия'
освободится. Поэтому такие заявки не будут обслужены
(получат отказ).
Количество отказов фиксируется оператором 31. Далее,
заявка, получившая отказ, исключается (оператор 21) из
числа претендентов на обслуживание, и управление пе-
передается оператору 20. Работа алгоритма протекает цикли-
циклически (операторы 30, 31, 21, 20, 28, 29, 30 и т. д.) до
тех пор, пока либо все заявки, получающие отказ, будут
исключены из рассмотрения и для следующей заявки усло-
условие, проверяемое оператором 30, окажется невыполненным,
либо k* станет равным нулю.
Пусть tn = ?осв, тогда есть возможность обслужить заявку.
В этом случае оператор 30 по стрелке с индексом 0 пере-
передает управление оператору 6 и работа алгоритма проте-
протекает по рассмотренной ранее цепи.
С другой стороны, может оказаться, что k* = О (опера-
(оператор 20). Это означает, что все заявки — претенденты на об-
обслуживание данной линией — получают отказ. Тогда по стрелке
С индексом 0 управление передается оператору 9 для пере-
перехода к рассмотрению очередной заявки.
Заметим, наконец, что если условие, проверяемое опе-
оператором 22, не выполнено (т. е. заявка, поступившая в мо-
момент t:, исключается из рассмотрения), то по стрелке с ин-
индексом 0 переходим к обработке тех заявок, которые
имеются в очереди (операторы 26 и далее).
Аналогично могут быть построены алгоритмы, модели-
моделирующие процессы обслуживания заявок, и для других видов
систем массового обслуживания.

§ 6. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ 177
Структура моделирующего алгоритма для случая, когда
заявки обслуживаются в порядке очереди и имеют место
поломки аппаратуры вследствие недостаточной ее надежно-
надежности, рассматривается в 1П]-
В заключение отметим, что для процессов обслуживания
заявок с существенной неоднородностью, когда каждая заявка
характеризуется, помимо tt, еще рядом параметров av Oj, ...
.... aks. можно использовать те же принципы построения
моделирующих алгоритмов. Характерными особенностями
этих алгоритмов обычно являются наличие операторов, вы-
числяющих значения величин хп, т3, тосв, tn и т. д. как функ-
функций параметров а,, с^, :.., aft, a также более сложные пра-
правила, определяющие порядок обслуживания заявок и порядок
чередования используемых линий.
Алгоритмы, моделирующие процесс обслуживания заявок,
достаточно эффективно реализуются на современных элек-
электронных вычислительных машинах универсального назначения.
§ 6. Замечания об обработке результатов моделирования
Метод Монте-Карло позволяет провести достаточно об-
обстоятельные исследования процессов массового обслужива-
обслуживания заявок, данного потока. При постановке задачи исследо-
исследования процессов обслуживания должны быть указаны вели-
величины, являющиеся показателями качества обслуживания, так
как от набора искомых величин часто зависит структура
моделирующего алгоритма и методика решения задач.
Например, для систем с отказами обычно используют
параметры закона распределения доли отказов. Простейшим
и наиболее употребительным показателем такого рода является
среднее значение доли отказов R(tb, ty-ая промежуток вре-
времени (г*0> td-\-t). Остановимся кратко на выяснении смысла
этой величины. Рассмотрим совокупность реализаций про-
процесса обслуживания на интервале времени (^0, to-\-t). Коли-
Количество заявок, поступающих в систему за этот интервал
времени для наудачу выбранной реализации, является слу-
случайной величиной. •
Пусть среднее значение этой случайной величины будет
N(t0, t). Среднее количество отказов за тот же интервал
времени обозначим через m(t0, t). Тогда
12 Зак. 250. Н. П. Бусленко и др.

178 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОЦЕССАМ МАССОВ. ОБСЛУЖИВАНИЯ
В случае стационарного потока заявок величина N(t0, t)
не зависит от t0 и может быть записана в виде
N = lt, D.55)
где X — плотность потока заявок.
Для систем обслуживания с неизменными параметрами и
моментов времени, достаточно удаленных от начала обслу-
обслуживания, величина m(t0, t) также не зависит от t0 и может
быть представлена как
m = W. D-56)
где Хотк—плотность потока заявок, получивших отказ.
Тогда средняя доля отказов R является постоянной ве-
величиной
Заметим, что для случая, когда справедливо соотноше-
соотношение D.57), величина R имеет также смысл вероятности от-
отказа для заявки, поступившей в систему в произвольный
момент времени.
Для систем с ожиданием показателями качества обслу-
обслуживания обычно считают среднее значение времени ожида-
ожидания или среднее значение длины очереди. Для смешанных
систем массового обслуживания используются обычно обе
группы величин.
По результатам многократного моделирования могут быть
получены оценки для показателей качества обслуживания.
Рассмотрим, например, формирование оценок, связанных
с законом распределения количества отказов. Будем считать,
что в процессе моделирования ведется учет количества об-
обследованных реализаций N и, кроме того, для каждой реа-
реализации фиксируется количество поступающих заявок nt и
количество заявок, получивших отказ.
По последнему признаку можно подсчитать количества
реализаций ти0, mv /и2, .... mk, при обследовании которых
имели место 0, 1, 2, .... k отказов соответственно. Оче-
Очевидно, что в качестве оценок для вероятностей pv задаю-
задающих закон распределения количества отказов, можно взять
величины

§ 6. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ 179
Используемые обычно показатели качества обслуживания
могут быть выражены через эти величины. Так, например,
доля реализаций, при обследовании которых имел место
хотя бы один отказ, имеет вид
Р«1 <459>
Среднее значение количества отказов, приходящихся на
одну реализацию, можно вычислить, как
i
где суммирование распределено на все значения Z.
Оценкой для среднего количества заявок, поступающих
в систему в течение одной реализации, будет
N
1=1
Наконец, средняя доля отказов равна
Я»-™. D.62)
В случае, когда искомым показателем качества обслу-
обслуживания является только средняя доля отказов, процедура
фиксации и обработки результатов моделирования может
быть упрощена. В самом деле, будем фиксировать только
количество заявок «*, поступивших в систему в течение
всех N реализаций потока, и количество т* из них, полу-
получивших отказ. Тогда
Д^~. D-63)

ГЛАВА V
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
К ТЕОРИИ ПЕРЕДАЧИ СООБЩЕНИЙ
Развитие связи, телеметрии, радиолокации и других от-
отраслей техники вызвало необходимость теоретического ис-
исследования статистических явлений, связанных с приемом
и расшифровкой передаваемых сообщений. В результате воз-
возникла новая дисциплина, название которой еще не стало
общепринятым (встречаются различные названия — «стати-
«статистическая теория связи», «теория случайных сигналов и шу-
шумов» и т. д.)- Эту дисциплину мы будем называть теорией
передачи сообщений.
Задачи теории передачи сообщений являются одной из
важных областей приложения метода Монте-Карло. В на-
настоящей главе отобраны типичные задачи, требующие ис-
использования этого метода. Здесь сколько-нибудь систе-
систематического изложения теории передачи сообщений не при-
приводится.
Основное внимание уделено аналитической стороне задачи,
подсказывающей выбор метода Монте-Карло для решения,
ибо простое рассматривание соответствующих выражений,
например интегралов, убеждает в непригодности класси-
классических методов.
Большая часть настоящей главы посвящена вычислению
кратных интегралов, встречающихся в теории обнаружения —
раздела теории передачи сообщений.
В последнем параграфе рассматриваются методы модели-
моделирования некоторых процессов передач сообщений, трудно
поддающихся исследованию известными аналитическими
приемами.

§ 1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СИГНАЛОВ И ШУМОВ 181
§ 1. Статистические свойства сигналов и шумов
Есе разнообразие систем связи можно объединить в ти-
типичную схему, представленную на рис. 28. Передача по-
полезной информации *) осуществляется в технике с помощью
электромагнитных, акустических и т. п. явлений. При любом
выборе физических носителей информации на передающем
конце линии связи вырабатываются соответствующие коле-
колебания (электромагнитные, акустические и т. д.), которые
Источник
Источник
сообщения Капал сйми емый сигнал сспИщения
Рис. 28. Схема общей системы связи.
направляются по каналу связи **). Виды используемых коле-
колебаний весьма разнообразны, от простейших монохроматиче-
монохроматических до сложных с произвольно широкими и сложными
спектрами.
Проходя по каналу связи, полезный сигнал искажается
помехами, а в приемном устройстве на него налагаются еще
флюктуационные шумы усилителей. Суждение о сообщении,
содержащееся в принятом сигнале, производится на выходе
лриемника путем измерения значений одной или нескольких
физических величин.
Простейшим и часто применяемым способом передачи
сигналов является возбуждение монохроматических колеба-
колебаний, когда передаваемая величина s зависит от времени сле-
следующим образом:
где А — амплитуда сигнала, X — частота и ср — начальная фаза.
Передача такого сигнала позволяет получателю сообщения
*) Под этим термином понимаются не только смысловые сооб-
сообщения, но и произвольные сведения, представляющие интерес для
получателя, например, сам факт наличия сигнала.
**) Каналом связи может быть любая среда, в которой рас-
распространяются колебания, несущие полезную информацию.

182 ГЛ. V. ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ПЕРЕДАЧИ СООБЩЕНИЙ
в лучшем случае измерить три параметра. Поэтому для
того, чтобы передавать разнообразные сообщения, при-
приходится менять во времени один или несколько из них (как
говорят, модулировать сигнал). Наблюдая за ходом этого
процесса, получатель сообщения должен выделить переда-
передаваемое сообщение. Обратимся лишь к способу дискретной
модуляции, состоящей в том, что передаваемое сообщение
сначала кодируется в виде последовательных отрезков
синусоидальных колебаний, различающихся друг от друга
теми или иными параметрами, например амплитудами. Ка-
Каждый из таких отрезков будем именовать компонентой сиг-
сигнала, а сам сигнал будем рассматривать как временную
последовательность таких компонент. Физические компоненты
интерпретируются как изменения электрического напряже-
напряжения. Числовые характеристики синусоидального импульса за-
задаются четырьмя величинами: длительностью, амплитудой,
частотой и начальной фазой. Длительность импульса в даль-
дальнейшем в расчет не принимается, так как во многих зада-
задачах она не играет существенной роли.
Монохроматическое колебание можно записать, видоиз-
видоизменив E.1):
s (t) = х cos \t -f- у sin \t, t1^.
где x=Acosy, y = ^sincp являются проекциями функ-
функции s(t) на ортогональные функции cosX?, sinX^. Подобно
амплитуде А и фазе ср, величины х и у однозначно определяют
вид колебания. При сложении двух колебаний с одной и
той же частотой проекции х и у складываются, при умно-
умножении E.1) на число проекции также умножаются • на
это число. Отсюда следует, что проекции х и у могут рас-
рассматриваться как составляющие вектора, описывающего дан-
данное колебание *). Таким образом, каждая компонента сигнала
представляет собой двумерный вектор, а сигнал с п компо-
компонентами описывается совокупностью п двумерных векторов.
*) Эквивалентное описание использует комплексную запись
где и — Ае1<! — комплексная амплитуда. Реальный колебательный
процесс характеризуется вещественной частью функции s if).

§ 1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СИГНАЛОВ И ШУМОВ 183
Обозначим передаваемый сигнал через 5, его компоненты
через sv s2 sn, а проекции й-й компоненты на сину-
синусоидальную и косинусоидальную составляющие s'k, s". Тогда
сигнал 5 можно записать в виде либо вектора
s = (si- «2 *я).
либо прямоугольной матрицы
s2 ... s
ч"
В технике широко используют более сложные процессы,
среди которых важное значение имеют процессы амплитудной
модуляции, когда амплитуда меняется со временем по закону:
s(t) = A (t) cos (It -f- <р).
фазовой модуляции, когда от времени зависит фаза:
s(t) = A cos [It ¦+¦ у (t)],
частотной модуляции,
а также другие процессы, получающиеся комбинированием
перечисленных. Их спектры состоят уже не из одной частоты,
как в случае монохроматического колебания, а из полосы
частот, охватывающей «несущую» частоту X. Интерпретация
напряжений подобных сигналов как двумерных векторов ока-
оказывается затруднительной, однако в распространенном случае
«узкополосных» процессов, когда соответствующая модули-
модулируемая величина — амплитуда ^4@ или фаза ср(г) — изме-
изменяется значительно медленнее, чем осциллирует функция cos АД
такая интерпретация возможна.
Передаваемая информация заключена в характеристиках
сигнальных напряжений — либо в амплитуде, либо в фазе,
либо в той и другой. Изменение этих характеристик в сиг-
сигнале от компоненты- к компоненте может осуществляться
многими способами, в зависимости от избранного метода
возбуждения колебаний и от содержания информации. Важно
отметить лишь, что во всех способах изменением физических
характеристик управляют путем надлежащего задания пара-
параметров а, р. -у, .... которые регулируют характеристики

184 ГЛ. V. ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ПЕРЕДАЧИ СООБЩЕНИЙ
напряжения; их конкретный выбор определяет содержание
передаваемой информации. Поэтому подробное обозначение
сигнала должно иметь вид
_/*Ка« Р- т.—)...*>. р. т. •
8 а, р, т. ... -^,/(а> р> ^ _} _ ^ ^ ^
Различные виды сигналов разделим на два класса: детер-
детерминированные и случайные. К первому классу отнесем такие
сигналы, у которых зависимость компонент от параметров
имеет определенный функциональный вид, а сами параметры
принимают фиксированные значения. Второй класс соста-
составляют сигналы, зависящие от параметров стохастически. Это
означает либо случайный характер связи компонент и пара-
параметров, либо случайность значений параметров, либо, наконец,
и то и другое вместе.
Среди случайных сигналов рассматриваются независимо
флюктуирующие и коррелированные. Допускается существо-
существование постоянной составляющей, которая в общем случае
меняется от компоненты к компоненте.
Основное значение имеют распределения вероятностей
смеси сигнала и шумов, а также одних шумов. Среди раз-
различных видов смешения сигналов и шумов наиболее часто
встречается аддитивное смешение. Обозначая через N шум,
выражающийся либо вектором
7V=(/ilt щ «„)
с компонентами nv n2, .... «„. либо прямоугольной матрицей
(п\ ги ... п'\
„ „ Л* С5-3)
где п[, п\ п'п, п"п — составляющие векторов «шумовых»
напряжений, имеем на выходе приемного устройства сум-
суммарное напряжение S, равное сумме соответствующих ком-
компонент сигнала и шума
или

§ 1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СИГНАЛОВ И ШУМОВ 185
которое в матричном виде представляется так:
U+< <<<]• E-4)
?
В дальнейшем предполагается, что сигнал и шум статисти-
статистически независимы. Выражение E.4) удобно записать иначе,
введя для краткости обозначения: *2ft-i = s'k + п'ь и
2fti k
*» = ** + »*• Обозначим «ft = sft+nft = (*„_!. x2k). В ре-
результате суммарный сигнал изобразится в одном из видов:
— (nt ty ty \
' — 1*1. Z2 Zn),
. / Л-f Л о Ле ¦ ¦ «
' I * О О
'~\x x x
Х
2п
Иногда мы будем сигнал ? представлять как 2п-мерный
вектор:
X~(xv x2, х3, .... х2п). E.5)
Даже если сигнал детерминирован, перед получателем
сообщения возникает вопрос о присутствии полезного сигнала
в выходном напряжении приемника. В случае положительного
ответа требуется возможно более точно измерить параметры
сигнала. Особенно трудной эта проблема оказывается при
высоком уровне шумов, маскирующих полезный сигнал.
Поэтому знание статистических свойств шумов играет особо
важную роль. Многочисленные теоретические и эксперимен-
экспериментальные исследования приводят к заключению, что соста-
составляющие векторов шумовых напряжений, как правило, рас-
распределены по нормальному закону. Мы будем различать два
случая: коррелированные шумы, когда компоненты шума
связаны стохастически, и независимые шумы. В дальнейшем
предполагается, что математические ожидания составляющих
шума равны нулю, т. е. что шум не содержит постоянных
составляющих.
Известно, что сумма многомерных нормальных величин
есть также нормальная величина, а ее матрица вторых мо-
моментов, в предположении независимости слагаемых, равна
сумме таких матриц-слагаемых. Таким образом, при адди-
аддитивной смеси независимых сигнала и шума имеем для

186 ГЛ. V. ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ПЕРЕДАЧИ СООБЩЕНИЙ
2я-мерной плотности вероятностей выражение
где введены следующие обозначения: 2Я = 2WS-Ь-ЗЯ^— ма-
матрица вторых моментов суммы сигнала и шума EKS и
SKyy — матрицы соответственно сигнала и шума); D — опре-
определитель матрицы Ш; ХШ~1Х— квадратичная форма отно-
относительно 2я-мерного вектора X; А = (а1, а2, .... а2п) —
вектор, равный математическому ожиданию вектора X.
Плотность вероятностей шума в этих обозначениях пред-
представляется формулой
йгв4м"х> <5-7)
отличающейся от E.6) матрицей вторых моментов (*BlN вме-
вместо Ш), ее определителем и тем, что математические ожи-
ожидания равны нулю. Если сигнал детерминирован, то матрица Ш
является матрицей вторых моментов одного лишь шума,
а вектор А изображает составляющие напряжений полезного
сигнала. Поэтому плотность E.6) характеризует все рассматри-
рассматриваемые виды сигналов и шумов. В частном случае, когда
составляющие выходного напряжения независимы, имеем
1
Плотность E.6) дает исчерпывающее описание статисти-
статистических свойств выходного напряжения и зависит от всех
параметров полезного сигнала. Математическое исследование
возможностей и качества обнаружения состоит в разного
рода операциях над нормальным распределением E.6). Однако
для некоторых распространенных сигналов предварительно
необходимо преобразовать плотность E.6) к иному функцио-
функциональному виду. Это объясняется тем, что зачастую полезная
информация передается при помощи не всех характеристик
напряжения (амплитуды, фазы, частоты), а только некоторых
из них и даже какой-либо одной, например, амплитуды.
Аналитически переход к амплитудам означает замену пере-
переменных в E.6), а именно переход от декартовых координат

§ 1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СИГНАЛОВ И ШУМОВ 187
к полярным, с последующим усреднением по полярным углам
(на радиотехническом языке — усреднение по фазам). В ре-
результате такого преобразования функциональный вид плот-
плотности вероятностей для многих типов сигналов и помех ока-
оказывается чрезвычайно сложным, и задачи, которые для
сигналов с нормальным распределением решаются в замкнутой
форме, становятся в этих случаях необозримыми.
Перечислим теперь те модификации нормальной плотности
вероятностей, с которыми будем иметь дело в последующем
изложении.
Начнем с простейшего случая, когда последовательные
компоненты передаваемого сообщения, образованные адди-
аддитивной смесью полезного сигнала и шума, независимы,
составляющие каждой из компонент также независимы и
имеют равные дисперсии. Соответствующая плотность вероят-
вероятностей имеет вид
„2 2
x2k-\+x2k
IIie 2л| • <5-8>
/4*1 *2«) =
Переходя к полярным координатам
¦*2*-1=г»АСО8(Р*- | k=l n> E9)
x2k = rft sin cpft, J
получим
P ('"l» "Pi' Г2' 92> • " • > rn' 9n) ==
О, если по крайней мере одна из rk < 0.
Усредняя по фазам <рх, .... ср„ на интервалах @, 2к), при-
приходим к плотности совместного распределения амплитуд
сигнала
k = 1 re,
0, если хоть одна
из rft < 0,
E.10)

188 ГЛ. V. ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ПЕРЕДАЧИ СООБЩЕНИЙ
являющейся произведением одномерных плотностей, назы-
называемых релеевскими. Это выражение будем именовать плот-
плотностью распределения шумоподобного сигнала. Получатель
сигнала с подобным распределением судит о содержании
сообщения по амплитудам принимаемых напряжений, вели-
величины которых характеризуются значениями параметров с2
равных сумме дисперсий сигнального и шумового напряжений.
Несколько более сложным оказывается выражение плот-
плотности амплитуд напряжений, если сигнал строго детермини-
детерминирован. Составляющие векторов сигнальных напряжений для
простоты запишем в виде
(sv0). (*j, 0), .... («„, 0).
Тогда совместная плотность распределения напряжений на
выходе приемника будет равна
\ TT ! 2ci
P \XV • • •' X2n> J I no
к = 1 <"ш*
Снова переходя согласно E.9) к полярным координатам и
усредняя по фазам, получим плотность распределения амплитуд
П
0, если по крайней мере
одна из rk < 0,
E.11)
которая оказывается произведением плотностей так называе-
называемого распределения Раиса*). При выводе E.11) имелось
*) Функция /<)(•*) называется модифицированной бесселевой
функцией первого рода нулевого порядка и определяется равен-
равенством /0{x) = J0{ix). Она представляется степенным рядом
(х) = V.
/о (х) =
п=0
IIх
ъг • Асимптотическое поведение на бесконечности:
т
Y2-
-KX

§ 1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СИГНАЛОВ И ШУМОВ 189
в виду, что сигнал не является случайным. Однако эта фор-
формула сохраняет силу также и в случае случайного сигнала
с не равным нулю математическим ожиданием. Величина
каждой амплитуды характеризуется двумя параметрами sk
и cft, один из которых, sk, относится только к сигналу,
а другой, с|, является суммой дисперсий полезного сигнала
и шума. Наличие в сигнале постоянной составляющей (что
выражается в неравенстве нулю математических ожиданий
составляющих вектора сигнального напряжения) влечет
за собой усложнение вида распределения вероятностей ампли-
амплитуд. В его аналитическом выражении появляются функции
Бесселя. Еще более значительные усложнения возникают
при статистической зависимости между компонентами сигнала.
Рассмотрим пример сигнала с корреляцией между ком-
компонентами входного напряжения. Пусть компоненты сигнала
имеют вид
где Аи Л2, .... Ап — матрицы второго порядка, a s — дву-
двумерный случайный вектор с независимыми составляющими.
Относительно преобразований Ак = * * предполагается,
II c d II
II ck dk II
что векторы с независимыми составляющими они переводят
в аналогичные векторы. Легко проверить, что для этого
элементы матриц Ak должны удовлетворять соотношениям
= 0' k—l. 2 п.
Подобного вида сигналы встречаются в некоторых задачах
радиолокации, причем в них
где hk—последовательность положительных чисел, U—орто-
U—ортогональная матрица. Суммарный выходной сигнал образован
сложением сигнала 5 с шумом, компоненты которого неза-
независимы. Для вычисления совместной плотности амплитуд
суммарного напряжения зафиксируем значение вектора-сиг-
вектора-сигнала 5. Тогда, из-за независимости шумов, амплитуды сум-
суммарного сигнала оказываются независимыми и каждая из них
распределена по закону Раиса. Таким образом, совместная
условная плотность распределения амплитуд при условии,

190 ГЛ. V. ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ПЕРЕДАЧИ СООБЩЕНИЙ
что амплитуда полезного сигнала имеет значение s, оказы-
оказывается равной
где afe —
||s|| . Безусловную совместную плотность рас-
распределения вероятностей амплитуд получим, усреднив это
выражение по всем возможным значениям s. Модуль вектора
сигнального напряжения s распределен, как обычно, по ре-
леевскому закону
После несложных преобразований приходим к следующему
окончательному выражению искомой плотности:
при /-j >0, .... а„>0.
О при прочих /¦[, .... /¦„,
E.12)
которая зависит от 2/г—|— 1 параметров ах ап, о^, ...
..., о2, 92- Вид этой плотности, которая изображается инте-
интегралом, не выражающимся в элементарных функциях (исклю-
(исключение составляют малоинтересные случаи и— 1, 2), приводит
к убеждению в том, что расчетные задачи, связанные с плот-
плотностью такого вида, как правило, не поддаются обычным
численным методам решения. Заметим, что при отсутствии
сигнала совместная плотность распределения шумов дается
выражением E.10), а при наличии сигнала выражением E.12),
в которое входит интеграл от комбинации показательных и
бесселевых функций.
Отметим, что распределение вероятностей амплитуд E.12)
возникает также в задачах, связанных с прохождением помехи

§ 1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СИГНАЛОВ И ШУМОВ 191
через многоканальные системы, в которых полосы частот от-
отдельных каналов перекрываются, вызывая тем самым появле-
появление стохастической связи между компонентами помехи.
Рассмотрим теперь суммарный сигнал с произвольными
корреляционными соотношениями между составляющими век-
векторов напряжений. Для простоты предположим, что матема-
математические ожидания составляющих равны нулю, поэтому
2п-мерная плотность вероятностей составляющих имеет вид
ie 2 я" "х. E.13)
В рассматриваемых ниже задачах теории обнаружения ма-
матрицы вторых моментов 9JJ= ||/Ky||t где ml}= Мхьх.— сме-
смешанный второй момент составляющих xt и Xj. характери-
характеризуются следующими соотношениями между элементами:
mij=mji>
m2k-\,2l-\= m2k,2V E-14)
're2ft —1,21 ^^ m2l-l,2k'
Первое из них означает симметричность матрицы вторых
моментов SOt. Второе соотношение означает, что корреля-
корреляционные зависимости обеих групп составляющих хх, х3, ...
.... *2П-1 и х2, х4, .... х2п одинаковы, а следовательно
дисперсии обеих составляющих вектора суммарного напря-
напряжения равны
o2ft = Mx\k_l= Mx\k.
Из последнего соотношения E.14) следует независимость
этих составляющих (при k = l):
-lX2k == m2k-U2k — m2k-U2k ~
т. е.
m2k- 1,2ft
= 0.
Найдем n-мерную плотность распределения амплитуд сиг-
сигналов. С этой целью заметим, что элементы обратной ма-
матрицы 2Й = || «у|| удовлетворяют соотношениям вида E.14).

192 ГЛ. V. ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ПЕРЕДАЧИ СООБЩЕНИЙ
Поэтому E.13) более подробно можно переписать так:
р{хх л:2й) =
( 2п
1 I 1 V г
еХ] ^ ( + x2kX2l)
~Ь C2fc-1, 2l(X2k-lX2l X2l-lx2k>\
Перейдем в этом выражении к полярным координатам, пола-
полагая *) a2k_V2l_1 = bklcosbkl, a2k_h21 = ЬЫsin6Ы. Тогда квад-
квадратичная форма в показателе окажется равной
л
2 , Я-lVj C0S (?I — «Pft) + Й2й-Ь 2^*'! X
я
X sin (<p, — <pft)] = 2 ^ft*/-* +22
ft=l ft < /
Усредняя полученную совместную плотность амплитуд и фаз
по фазам, приходим к изображению интересующей нас плот-
плотности одних амплитуд с помощью кратного интеграла
r
X^Xnl ¦•- I expl— 7j GmViCOsOpj — ?ft —
Г
О L k<l
Записывая такой интеграл в виде ряда повторных и используя
известную формулу теории бесселевых функций
СО
= 2 (— 1)"/я(г)е'>.
я=— со
*) При этом будут справедливы равенства

§ 1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СИГНАЛОВ И ШУМОВ 193
где In(z) — модифицированная бесселева функция первого
рода и порядка п, получаем после преобразований следую-
следующее окончательное представление искомой плотности вероят-
вероятностей амплитуд:
p(rv .... rn) = y=-ri... rne *-i X
П
k=l
ln-\ к
X ФиГМ) cos I 2 5] v«e« • E-
f
\
где
1 при vftJ = 0,
2 при vft,>0.
Приведенное выражение является обобщением плот-
плотности E.12) при произвольных корреляционных связях на-
напряжений сигналов и помех. Ясно, что в обоих случаях на-
наличие явных аналитических изображений плотностей не дает,
вообще говоря, надежд на элементарную выполнимость рас-
расчетов вероятностных характеристик. Именно это обстоятель-
обстоятельство и требует применить метод статистических испытаний
к задачам теории обнаружения.
В заключение этого раздела рассмотрим еще один вид
сигналов, появляющийся, когда на выходе приемника ставится
«пороговое устройство». Его действие состоит в том, что
всякое напряжение, превысившее пороговый уровень с, воз-
возбуждает стандартный единичный сигнал, а напряжение, ока-
оказавшееся меньше уровня с, не регистрируется, т. е. дает
«нулевой» сигнал. Таким образом, в результате прохождения
сигнала через пороговое устройство сигнал как бы «кван-
«квантуется», принимая лишь два значения, которые можно име-
именовать «нулем» и «единицей». В этом случае наблюдаемый
на выходе приемника сигнал представляет собой последова-
последовательность нулей и единиц. Вероятностное описание «кванто-
«квантованного» сигнала производится либо заданием вероятностей
появления того или иного из двух возможных символов, если
13 Зак. 250. Н. П. Бусленко и др.

194 ГЛ. V. ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ПЕРЕДАЧИ СООБЩЕНИИ
последовательные компоненты суммарного сигнала независимы,
либо вероятностей комбинаций нулей и единиц при коррели-
коррелированное™ компонент сигнала. В первом случае обозначим
через pt вероятность превышения амплитудой / компоненты
порогового уровня с, а через qt = 1 —/^—вероятность «про-
«пропадания» этой компоненты. Поскольку амплитуды напряже-
напряжений распределены по релеевскому закону, то интересующие
нас вероятности выписываются явно:
Р(,>.=/
dx =
Вероятности различных комбинаций нулей и единиц находятся
без труда. Вероятность того, что сигнал с п компонентами
образован единицами на местах /j, /2, ..., 1а и нулями на
остальных, равна
Pix ie =
" * 1 "И
Более сложная картина имеет место при коррелирован-
ности компонент. В этом случае описание сигнала произ-
производится путем задания совместной вероятности появления
единиц и нулей на соответствующих местах, обозначаемой
p(iv i2 ia; j\ Ур), где о-f-p = п. Вычисление такой
вероятности производится путем интегрирования плотности
амплитуд по соответствующей области:
p{ij< .... /„; У] Ур)==
оо со с с
'Г, р(гу .... Г„). E.16)
§ 2. Формулировка основных задач теории обнаружения
В этом параграфе формулируются задачи оценки качества
различных методов выделения полезного сигнала на фоне
шумов.
Всякое передаваемое сообщение, проходя канал связи и
усиливаясь в приемном устройстве, обрастает помехами канала,

§ 2. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ОБНАРУЖЕНИЯ 195
шумами приемника и в таком искаженном виде поступает
к получателю, который судит о содержании сообщения по
амплитудам напряжения. Во многих случаях, например при
дальней связи, интенсивность сигналов оказывается настолько
слабой, что само присутствие их становится сомнительным
и первый вопрос, возникающий перед получателем сообще-
сообщения, состоит в том, содержится ли в наблюдаемом напряже-
напряжении полезный сигнал или же оно порождено одними шумами.
Случайный характер амплитуд напряжений, заключающих
в себе поступающие сообщения, означает, что полная их
характеристика содержится в законах распределения. Эти
законы будут различными при наличии полезного сигнала,
когда на выходе приемного устройства присутствует смесь
сигнала и шума, и в случае, когда имеется один лишь шум.
В предыдущем параграфе указывалось, что в задачах теории
обнаружения это различие проявляется в значениях парамет-
параметров распределений. Так исходное 2п-мерное нормальное рас-
распределение составляющих векторов напряжений задается ма-
матрицей вторых моментов Ш, которая при наличии сигнала
равна сумме матриц вторых моментов, относящихся к сигна-
сигналам Ш3 и к шумам ЗЯдг. В отсутствие сигнала эта матрица
равна 5Ядг. Естественно, что распределения амплитуд, полу-
получаемые из этих нормальных распределений, также разли-
различаются значениями параметров; полагая с соответствующей
плотности pSN смеси сигнала и шума параметры, порожден-
порожденные элементами матрицы 9fs, равными нулю, мы придем
к плотности pN распределения шумов.
Таким образом, проблема обнаружения сигналов на фоне
шумов сводится к проверке по наблюдаемым значениям при-
принятого сигнала гипотез о значении параметров его распре-
распределения. Такие задачи изучаются в математической статистике
(см. [12], [29] и [43]).
Рассмотрим два способа решения этой задачи. Один из них
разработан Нейманом и Пирсоном, другой—Вальдом. Исход-
Исходные идеи обоих подходов одинаковы и состоят в следующем.
Пусть ? — случайная величина, которая в общем может
быть многомерной ? = (?i ?m). с плотностью р(Х; а),
зависящей от параметра а *). Функциональный вид плотности
*) Для простоты записи мы предполагаем а одномерной вели-
величиной. Теория очевидным образом распространяется на случай не-
нескольких параметров.
13*

196 ГЛ. V. ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ПЕРЕДАЧИ СООБЩЕНИЙ
определен, но значения параметров неизвестны. Относительно
возможных значений параметров допускаются две гипотезы Ио
и HY, которые могут быть одного из двух типов: простые,
когда гипотеза Ио состоит в том, что а~а0, а гипотеза
Нх — в том, что a = aj, и сложные, когда по крайней мере
одна из гипотез разрешает принимать параметру а несколько
значений. Примером последней из ситуаций является следую-
следующая альтернатива: согласно гипотезе Но имеем a = 0, а со-
согласно гипотезе Нх имеем a > 0. Дальнейшее изложение
относится к простым гипотезам.
Суждение об истинности той или иной из гипотез вы-
выносится по результатам выбора из генеральной совокупности
с данной плотностью р(Х; а). Обозначим выборочную точку
через X—(xv ..., jcm); совокупность всех таких возможных
точек принадлежит те-мерному пространству выборок. Рас-
Рассматриваемые статистические методы проверки гипотез со-
состоят в разбиении пространства выборок на подмножества
(в теории Неймана — Пирсона их два, а в последовательном
анализе Вальда — три) такие, что если выборочная точка
оказывается в одном из них, то гипотеза Ио отвергается
(оно называется критическим множеством), в другом — она
принимается и, наконец (в последовательном анализе), по-
попадание выборочной точки в третье подмножество ведет
к продолжению эксперимента из-за недостаточности данных.
Случайный характер выбора точки может привести к сле-
следующим видам ошибочных суждений о справедливой гипо-
гипотезе: принять за истинную гипотезу Hv хотя в действитель-
действительности имеет место Ио (ошибка первого рода), или отвергнуть
гипотезу Нг, несмотря на то, что она справедлива (ошибка
второго рода).
Поясним сказанное в терминах теории обнаружения: полу-
получатель сообщения, измерив амплитуды напряжений на выходе
приемного устройства, должен выяснить, вызваны ли они
действием одних шумов (гипотеза Но) или же кроме шумов
содержат полезный сигнал (гипотеза Н{). Пусть в действи-
действительности сигнал присутствует, поскольку получатель сооб-
сообщения об этом заранее не знает, он может ошибочно отвер-
отвергнуть правильную гипотезу, не обнаружив сигналя. С другой
стороны, если сигнала нет, он может ошибочно принять шум
за сигнал, «прочитав» несуществующее сообщение. Добиться
одновременной малости вероятности обоих ошибок нельзя.

§ 2. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ОБНАРУЖЕНИЯ 197
Поэтому естественно зафиксировать вероятность ошибочного
восприятия шума в качестве сигнала (т. е. ошибки первого
рода) и пытаться так подобрать критическую область, чтобы
вероятность пропуска сигнала (т. е. ошибки второго рода)
была минимальной. Решением этой задачи занимается теория
Неймана — Пирсона.
Итак, конкурируют две гипотезы: одна из них, Ио, со-
состоит в том, что выборка произведена из генеральной сово-
совокупности с плотностью р(Х; а0), т. е. параметр а, одно-
однозначно определяющий плотность, принимает фиксированное
значение а0; другая гипотеза, Hv предполагает, что параметр
равен о,. Зафиксируем вероятность ошибки первого рода pi.
Определим критическую область как совокупность точек X,
для которых справедливо неравенство р (X; а()^> ср (X; а0),
где постоянная с, именуемая нами в дальнейшем порогом,
находится из условия заданной вероятности рг. Можно по-
показать, что такой выбор критической области является наи-
наилучшим в том смысле, что вероятность ошибки второго рода
будет минимальной.
Введем обозначение
p(X;aD)'
которое в статистике называется.отношением правдоподобие.
Тогда сформулированный критерий наилучшего различения
гипотез, составляющий содержание основной теоремы теории
Неймана — Пирсона, выглядит так: если
то принимается гипотеза Hv в противном случае принимается
гипотеза Но.
Вероятности ошибок, возникающих в результате приме-
применения этого критерия, изображаются интегралами
= J p(X;ao)dX, Л,= f p{X; ax)dX, E.17)
J
ЦХ)>с
в которых областью интегрирования является подмножество
соответствующего пространства выборок, определяемое одним
из неравенств: 1{Х)~^с, либо 1(Х)<с. Кратности интегра-
интегралов равны, разумеется, размерности случайной величины X.

198 ГЛ. V. ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ПЕРЕДАЧИ СООБЩЕНИЙ
Рассмотрим приложения теории Неймана—Пирсона к про-
проблеме обнаружения сигнала на фоне шумов. Получатель
сообщения располагает п амплитудами напряжений, по ко-
которым, зная статистики сигналов и шумов, он должен решить
вопрос о наличии или отсутствии полезных сигналов. Наи-
Наилучший способ его решения, согласно Нейману и Пирсону,
состоит в том, чтобы, подставив наблюденные значения ам-
амплитуд в отношение правдоподобия, сравнить его величину
с порогом с. Это означает, что оптимальный приемник дол-
должен в своем составе иметь устройство, выполняющее над
входными напряжениями операции, указываемые функциональ-
функциональной формой отношения правдоподобия. В результате приме-
применения этого алгоритма мы при заданной вероятности ошибки
первого рода (которую в технических приложениях называют
вероятностью ложной тревоги), добьемся наименьшей вероят-
вероятности ошибки второго рода, т. е. пропуска сигнала. При-
Принято вместо этого последнего события рассматривать допол-
дополнительное ему — обнаружение сигнала. Вероятности ложной
тревоги и обнаружения будем обозначать соответственно F
и D. С помощью плотностей вероятностей шума PN{X) и
смеси сигнала и шума PSN(X) они выражаются следующим
образом:
F= f PN(X)dX, D = J PSN(X)dX. E.18)
ЦХ)>с ЦХ)>с
Рассмотренная процедура ведет к тому, что при фиксирован-
фиксированной вероятности F достигается максимальное значение вероят-
вероятности D.
Оценка оптимальных способов выделения сигнала из шу-
шумов требует вычисления этих вероятностей; эта потребность
возрастает, когда вместо оптимального способа приходится,
из-за его сложности, прибегать к иным методам. Трудности
расчета величин F и D связаны, в основном, со сложной
структурой области интегрирования, определяемой как сово-
совокупность точек, для которых отношение правдоподобия 1(Х)
больше порога с, а также высокой кратностью интегралов.
Выше был рассмотрен ряд характерных видов плотностей
вероятностей амплитуд напряжений. Теперь выпишем соот-
соответствующие отношения правдоподобия, которые и позволят
выяснить особенности интегралов, изображающих вероят-

§ 2. формулировка основных задач теории обнаружения 199
ности F и D. Выделим сначала тот параметр плотности,
значения которого отличают различные гипотезы друг от
друга. В качестве такого параметра при случайном сигнале
примем q — отношение среднеквадратических уклонений сиг-
сигнала as и шума aN (кратко, отношение сигнал/шум); если же
сигнал детерминирован, то параметром будет s — отношение
амплитуды сигнала к среднеквадратическому уклонению шума.
Тогда гипотеза Но состоит в том, что сигнала нет (q = О
либо s = 0), а наблюдаемое напряжение вызвано одними шу-
шумами. Согласно конкурирующей гипотезе сигнал есть и харак-
характеризуется фиксированным значением параметра: qx для слу-
случайного сигнала и sx для детерминированного. В действитель-
действительности величина параметра получателю сообщения, как правило,
неизвестна и поэтому, строго говоря, необходимо проверять
простую гипотезу Но {q = 0} относительно сложной Нх {<7> 0}.
Однако соответствующая теория разработана слабо и для
многих видов сигналов неприменима. Допустимость в указан-
указанной ситуации использовать теорию проверки простых гипотез
можно обосновать следующим рассуждением: пусть из неко-
некоторых соображений назначена минимально удовлетворяющая
нас вероятность обнаружения Dx (в разных приложениях ее
величина колеблется от 0,1 до 0,99). Назовем пороговым
сигналом значение отношения сигнал/шум, обеспечивающее
эту вероятность, и обозначим его ql (либо, для детермини-
детерминированного сигнала, Sj). Если теперь приемник настроить так,
чтобы он наилучшим образом реализовал эту вероятность, то
соответствующий пороговый сигнал будет наименьшим *). При
больших значениях отношения сигнал/шум (а только они нас
теперь интересуют) приходящий сигнал интенсивнее и наи-
наименьшая допустимая вероятность обнаружения Dx обеспечена,
хотя приемник такие сигналы обрабатывает не наилучшим
образом. Приведенные соображения интуитивного характера
не являются, разумеется, строгим доказательством возмож-
возможности применения теории проверки простых гипотез. Однако,
как показывает опыт, их достаточно для известных техни-
технических приложений.
Определение пороговых сигналов не является единствен-
единственной вычислительной задачей теории обнаружения. Не меньшее
*) Минимизация порогового сигнала для техники важна потому,
что позволяет уменьшить энергию, затрачиваемую в передатчике
для возбуждения колебаний, несущих полезный сигнал.

209 ;РЛ^Т, ПРИМВИЕНИЕ К ТЕОРИИ ПЕРЕДАЧИ СООБЩЕНИЙ
значение имеет построение «кривых обнаружения», т. е.
зависимостей вероятности обнаружения D от отношения сиг-
сигнал/шум. Для этого, выбрав приемник, оптимальным образом
обеспечивающий обнаружение сигнала с вероятностью D1 при
заданной вероятности ложной тревоги, и тем самым фикси-
фиксировав параметр q1 (либо Sj), рассматривают обнаружение сиг-
сигналов, плотности которых характеризуются иными значениями
параметра q. В ряде простейших случаев такие зависимости
D==D(q\ F) могут быть получены в явной форме. Однако
многие задачи для получения численных решений требуют
большой вычислительной работы. С подобными примерами
мы неоднократно встретимся в дальнейшем.
В обозначение плотности вероятностей ' смеси сигнала и
шума введем явно параметр q (либо s для детерминирован-
детерминированных сигналов),, так что
= p(X; q);
тогда плотность вероятностей одних шумов
Р„(Х) = р(Х; 0).
Отношение правдоподобия также зависит от отношения сиг-
сигнал/шум:
Перечисление рассматриваемых отношений правдоподобия
начнем со случая шумоподобных сигналов, описываемых
плотностью E.10). Приняв дисперсию шума за единицу, пред-
представим дисперсию о| в виде
сй = 1 ~т~ аУ1 • E.19)
где ak — «огибающая» последовательности амплитуд полез-
полезного сигнала. Тогда плотность вероятностей амплитуд смеси
сигнала и шума
а плотность одних шумов

§ 2. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ОБНАРУЖЕНИЯ 201
Поэтому отношение правдоподобия равно
4
. „ ,2
2 >Ч , . _2 J2 к
1 'Z Ля^ у 9
•• гп;д) = ~—± е «=1 1+а>* . E.20)
k=
Гипотеза о существовании сигнала принимается, если отно-
отношение правдоподобия удовлетворяет неравенству
Логарифмируя и производя элементарные преобразования,
приходим к эквивалентному неравенству
ft=i
Правую часть этого неравенства для краткости назо-
назовем cq.
Таким образом, обнаружение шумоподобного сигнала
наилучшим способом осуществляется суммированием (с ве-
весами) квадратов амплитуд. Такая обработка сигналов назы-
называется квадратичной. Вероятности F и D выражаются несоб-
несобственными re-кратными интегралами, распространенными по
области вне эллипсоида:
at \
Т. е.
г\
Пороговый сигнал qx и соответствующий пороговый уровень С,
обеспечивающий заданную вероятность ложной тревоги.

202 ГЛ. V. ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ПЕРЕДАЧИ СООБЩЕНИЙ
следует находить, решая систему уравнений
F(qi;c) = F, D(ql;c) = Dl. E.22)
Для определения зависимости вероятности обнаружения D
от отношения q сигнал/шум надо вычислить интеграл
Заметим, что
& @; 9l; c) = F; ® (<?,; <?,; с) = Dv
Нетрудно убедиться, что приведенные интегралы могут
быть выражены в элементарных функциях" в виде комбинации
у2-распределений с четным числом -степеней сво&Оды. Если
огибающая сигнала постоянна (т. е. ak = al при всех k и I),
то вероятности D и F представляются х2-РаспРеДелением
с 2» степенями свободы.
Поэтому применять для расчета характеристик квадра-
квадратичной обработки метод Монте-Карло нецелесообразно, но
ввиду того, что существует простое а«алитическое предста-
представление искомых вероятностей, эту задачу можно использо-
использовать для оценки возможностей метода Монте-Карло: про-
проверки качества псевдослучайных чисел, оценки скорости
сходимости и т. д.
Рассмотрим теперь обнаружение сигналов, различающихся
от одной компоненты к другой на постоянный множитель ak,
причем шумы в разных компонентах независимы. Плотность
вероятностей амплитуд смеси сигнала и шума для «-компо-
«-компонентного сообщения
г\
а плотность одних шумов
"ПЦ-е 2°*. ; E.23)

§ 2. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ОБНАРУЖЕНИЯ 203
Отношение правдоподобия представляется интегралом
/(г,, .... гп; д) =
Оптимальный приемник, реализующий наивыгоднейший прием
согласно E.24), вычисляет для каждого принятого импульса
—— s ], J = 1 п, и затем их произведение
°/ /
s \ ( х , V^ 4 N s2 \
усредняет с весом —е*р1—I-—"~г~ 2j~~?1—I* Возни-
кающие при таком приеме ошибки характеризуются вероят-
вероятностями F и D, равными соответственно
F =
/(г,,
"- /•••/П
1(г,...., г„;,)>е*=1
X
Как и в случае квадратичной обработки, пороговый сигнал ql
и пороговый уровень с определяются из системы уравне-
уравнений E.22). Зависимость вероятности обнаружения D от q
находится вычислением интеграла
Р(ГХ rn: q)dri...drn. E.25)
Сведение необходимых расчетов к элементарным или табу-
табулированным функциям в этом случае оказывается уже не-
невозможным, а применение кубатурных формул затруднительно

204 ГЛ. V. ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ПЕРЕДАЧИ СООБЩЕНИЙ
ввиду высокой кратности интегралов. Поэтому здесь в ка-
качестве единственно приемлемого способа расчета, выступает
метод Монте-Карло.
Рассмотрим вид отношения правдоподобия при произ-
произвольных корреляционных связях между составляющими на-
напряжений шумов и сигналов, когда последовательные сигналы
в сообщении связаны не функционально, а стохастически.
Соответствующая совместная плотность вероятностей ампли-
амплитуд была получена в § 1, формула E.15). Снабдим индек-
индексом 1 величины, относящиеся к смеси сигнала и шума, и
индексом 0 — к одному шуму. Тогда . отношение правдопо-
правдоподобия окажется равным
l(ri /•„; q) =
2<-l)SE'«
X
ь=\ i>
В важном частном случае, когда шумы независимы, это вы-
выражение несколько упрощается:
л~1
Х.П'П%/'«0«г*г«>СО8
B2-«<
Вероятности ложной тревоги F и обнаружения D изобра-
изображаются с помощью соответствующих плотностей обычным
образом.
Перейдем к другому способу обнаружения сигнала
в шумах, основанному на разработанном в математической
статистике последовательном анализе. В последние годы этот
способ привлекает к себе широкое внимание и его приме-
применению к интересующему нас кругу задач посвящено большое
количество работ. В отличие от теории Неймана — Пирсона,
в последовательном анализе объем выборки-, по которой
производится суждение о статистической гипотезе, заранее
не фиксируется, а определяется результатом произведенных

§ 2. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ОБНАРУЖЕНИЯ 205
испытаний. Целесообразность применения этого метода осно-
основана на уменьшении количества опытов, что приводит к эко-
экономии времени, затрачиваемого на эксперимент.
Реализация метода последовательного анализа в пробле-
проблемах обнаружения состоит в следующем: конкурируют гипо-
гипотеза Яо (сигнал отсутствует и поэтому отношение сигнал/шум,
параметр, от которого зависит плотность амплитуд напряже-
напряжений, равно нулю), и гипотеза Н1 (согласно которой наблю-
наблюдаемые напряжения порождены совокупным действием шумов
и сигнала, характеризуемого фиксированным значением отно-
отношения сигнал/шум). Обозначим через
Л (Т. Ч)- p2(rv гъ Ч)< ••<• pk(ri rk; q), ...
и
Pv{r< 0), P2(rv r2; 0), .... Pk{rx rk; 0), ...
^-мерные совместные плотности вероятностей амплитуд смеси
сигнала и шума и одного шума. Отношение правдоподобия
будем обозначать
, (г г . „ч_ pk(rx rk; q)
I'Vl ГЬ, Я> П I, ^"б)"'
Зададимся положительными числами А и В (А > В). Испы-
Испытания, преследующие цель установить, какая из двух гипо-
гипотез Яо или Н1 справедлива, производим следующим образом:
на первом шаге, измерив амплитуду гг, вычисляем значе-
значение lx(rx; q).
Если окажется /Д^; q) > А, то принимаем гипотезу Нх.
если справедливо неравенство В > lx (rx; q), то принимаем
гипотезу Яо, если же, наконец, В < Zt (/у, q) < А, то сужде-
суждения о справедливости той или иной гипотезы не делается и
производятся дальнейшие испытания. Это означает, что изме-
измеряется следующая амплитуда г2 и вычисляется /2(ri» r2- ?)•
Снова представляются три возможности:
h CV r2. Ф > А, 12 {гх. г2; 9)< В и В < Z2 (rj, r2; 9) < Л.
При реализации любой из этих возможностей поступаем
аналогично указанному выше. Если в k— 1-м последователь-
последовательном испытании решение не было принято, т. е.
B<lu{rl iy. q)<A, n=l. 2 Л—1.

206 Гй. V. ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ПЕРЕДАЧИ СООБЩЕНИЙ
то на &-м шаге к имеющимся амплитудам rv .... rk_1 до-
добавляется rk и вычисляется lk(rl rk; q), которое снова
сравнивается с обоими порогами А а В. Выбор порогов
А а В производится так, чтобы вероятности ошибок первого
и второго рода (т. е. вероятности ложной тревоги и про-
пропуска сигналов) были фиксированы, а именно:
л — р , jj — j р •
Доказывается, что для многих важных типов распределений
с вероятностью единица процесс последовательных испыта-
испытаний закончится принятием одной из двух гипотез. Это верно,
в частности, для независимых наблюдений, когда fe-мерная
совместная плотность представляется в виде произведения
плотностей, относящихся к каждому аргументу. •
Pk ('i '*: Я) = Л 0V Я) Л (r2; g) ...P, {rk; q).
В связи с тем, что последовательный анализ применяется
для сокращения объема выборки (или, что то же самое,
времени наблюдения), основной характеристикой качества
метода является распределение вероятностей номеров окон-
окончания процесса, т. е. номера шага, на котором в результате
анализа наблюдаемых амплитуд принята одна из двух кон-
конкурирующих гипотез. В некоторых случаях бывает доста-
достаточно ограничиться первыми двумя моментами этого рас-
распределения.
Есть четыре возможности окончания последовательного
анализа на v-м шаге: принять или отвергнуть гипотезу Но,
когда она верна, и принять или отвергнуть гипотезу Нг,
когда она неверна. Обозначим соответствующие вероятности
символами
v; q)
в первом случае и
РЧ(У> Я)> Рц(У\ 0)
во втором, памятуя о том, что согласно гипотезе Нх в на-
наблюдаемом напряжении присутствует сигнал интенсивности q.
Рассмотрим более подробно события, вероятности кото-
которых описываются /?0 (v; 0) и jt?0(v; Я)- Наступление любого
из них означает, что последовательность амплитуд rv .... rv.

§ 2. ФОРМУЛИРОВКА 'ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ОБНАРУЖЕНИЯ 207
с совместными плотностями /jft(r, rk; g), k~l v.
такова, что выполняются следующие неравенства: либо
B<lk(fx , rk;q)<A, k=l v—1
и
lv(rv .... rv; q)<B
(при реализации первого из событий), либо
B<lkCi rk; q)<A. k=\ v—1,
/s(r1( .... rv; q)>A
(при реализации второго). Аналогично можно пояснить смысл
событий, имеющих вероятности р„(у\ 0) и р„(у; q).
Для уяснения специфических трудностей вычисления пере-
перечисленных вероятностей обратимся к простейшему варианту,
когда амплитуды rv r2 гп, ... независимы и отношение
правдоподобия представляется в виде
В этом случае удобно перейти к логарифмам, в результате
чего процесс последовательного обнаружения сводится к сум-
суммированию случайных величин СА = In lx (rk; q). Если на пер-
первых v — 1 шагах выполняются неравенства
1пВ<С1 + С2Ч- ¦.. -К„<1пЛ, к=\ V—1,
а на v-м шаге выполняется какое-либо из неравенств
то процесс заканчивается принятием одной из двух гипотез.
Ввиду статистической зависимости между последовательными
суммами d-f- ... -f-Cn и Cj-f- ... +^m. m > ге= 1, 2
нахождение интересующих нас вероятностей сводится к вы-
вычислению re-кратных интегралов.
В качестве примера выпишем формулы для вероятностей
номеров окончания последовательного анализа шумоподобного
сигнала. Для простоты ограничиваемся случаем постоянной
огибающей сигнала:
к
t=i

208 ГЛ. V. ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ. ПЕРЕДАЧИ СООБЩЕНИЙ :
Верхний и нижний пороги величин 21п^ выражаются через
An В и оказываются зависящими, после элементарных пре-
преобразований, от номера испытания:
«* = 2~Ь2_[1пЛ-{-?.1п
ь _oi±iinn
* — q2 '
так что процесс анализа продолжается до тех пор, пока
выполняются неравенства
к
заканчиваясь принятием соответствующей гипотезы, когда
на v-м шаге In l,(rv .... /у, q) выйдет из-интервала (ft,, д„).
Величины г\ распределены по показательному закону
1 --
е ". х^-0
0 , х<0,
где d=\, если присутствует один шум, и й—\-\-д2, если
имеется смесь сигнала с шумом. Отсюда получается выра-
выражение вероятности окончания процесса на v-м шаге приня-
принятием гипотезы Нх о присутствии сигнала ро(у; q) или pq{v, q):
Ра Ь: Ч) \ =
Pq (У\ q) I
СО
;
-Xt-x, а^-х^ a,
f P(x3)dx3 f P (x2) dx2 f P {x{) dxv E.26)
ь
Аналогично можно выразить вероятности принятия гипо-
гипотезы Яо об отсутствии сигнала. Очевидно, что вычисление
таких интегралов принципиальных затруднений не встречает,
однако с ростом п расчет становится чрезвычайно трудоем-
трудоемким. Для других плотностей распределения такие вычисле-

$ 2. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ОБНАРУЖЕНИЯ 209
ния могут оказаться невыполненными. В качестве примера
рассмотрим отыскание распределения вероятностей величины v
детерминированного сигнала, описываемого плотностью E.11).
В этом случае вид интегралов E.26) существенно услож-
усложняется. Действительно, .отношение правдоподобия на один
шаг имеет вид
l(r; s) = e~/0(rs),
где амплитуда г распределена по закону Раиса
ps(x)~xe 2 I0(rs),
если передан сигнал, или по закону Релея
если присутствуют только шумы.
Испытания продолжаются до тех пор, пока сумма
In /0 (/-js) + In /0 (r2s) + ... + In /0 (rks)
не выйдет за пределы интервала (bk, ak). где
aft = ln
Плотности вероятностей величины С = In /0 (rs), где г рас-
распределено либо по релеевскому, либо по райсовскому закону,
могут в принципе быть получены по известным правилам
вычисления распределения функции случайной величины.
Однако ясно, что нет надежды на возможность написания
явных аналитических выражений этих плотностей. Поэтому
вычисление распределения v в замкнутой форме оказывается
невозможным и только метод Монте-Карло позволяет полу-
получить численные результаты.
Аналогичным образом могут быть рассчитаны характе-
характеристики последовательного обнаружения других видов
сигналов.
14 Зак. 250. Н. П. Бусленко и др.

210 ГЛ. V. ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ПЕРЕДАЧИ СООБЩЕНИЙ
§ 3. Методика решения основных задач теории
обнаружения
В § 2 было показано, что решение основных задач тео-
теории обнаружения сводится к вычислению кратных интегралов.
В качестве примера рассмотрим методику расчета харак-
характеристик обнаружения шумоподобного сигнала при квадра-
квадратичной обработке. Вероятности ложной тревоги F и обна-
обнаружения D выражаются следующим образом:
/=• = 0@; ?,; с),
D = ®(g\ qx; с), q > 0,
где
область интегрирования
I у 4
""У1 '*' ki+tf
порог ограничения cQl равен
Вычисление таких интегралов методом Монте-Карло осу-
осуществляется путем моделирования последовательности серий
релеевских псевдослучайных чисел
ГП' Г12' • • •» Г1п'
г
21" '22>
rNV rN2 rNn<
с параметрами либо 1 -j- a2kq2 (для смеси сигнала и шума),
либо 1 (для одного шума). Из элементов каждой строки,
имитирующих принимаемые амплитуды, составляются суммы
4
к-1

§ 3. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ОБНАРУЖЕНИЯ 21 1
которые сравниваются с порогом cqi. Если выполняется не-
неравенство
то в счетчик успешных испытаний v добавляется единица.
После N повторений этой процедуры искомые интегралы
отождествляются с величиной
N '
Указанный способ может быть упрощен, если вспомнить,
что квадрат величины, распределенной по закону Релея,
имеет показательное распределение. Поэтому, вырабатывая
псевдослучайные числа с этим распределением, мы избегаем
взаимно обратных операций извлечения корня и возведения
в квадрат, которые производятся над каждым «релеевским»
числом. Сказанное относится к способу вычисления одного
интеграла, обозначающего F или D. В действительности
приходится искать много подобных интегралов, так как
в большинстве задач требуется найти пороговый сигнал q^
и порог с так, чтобы вероятности F и D были равны за-
заданным величинам. Рассмотрим сначала более простой слу-
случай, когда фиксируются ожидаемый сигнал qx и вероятность
ложной тревоги F. С этой целью, как указано выше, в ЭВМ
вырабатываются случайные числа
где г| распределены по показательному закону с плотностью
е 2
и изображают квадраты амплитуд шумов. Каждое из чисел С
засылается в гистограмму и после достаточно большого ко-
количества испытаний, когда форма эмпирической плотности
вероятностей определена с приемлемой точностью, опреде-
определяется порог cQl (а с ним и с), вероятность превышения
которого величиной С равна заданной вероятности ложной
тревоги F. После этого остается вычислить вероятности об-
обнаружения О)(д; Ц\, с) в области рассматриваемых значений
14*

212 ГЛ. V. ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ПЕРЕДАЧИ СООБЩЕНИЙ
параметра q, в частности при q = qx. Благодаря тому.
что порог c9l определяется по гистограмме, а не путем не-
непосредственного решения уравнения
удается сократить затрату машинного времени.
Обратимся теперь к способу расчета пороговых сигналов.
Заданы вероятности F и D:
<7Х; с), 3s — D(qx; <7i; с),
требуется найти соответствующие значения ql и с, а затем
подсчитать 3>(Я\ q\, с)- Эта задача представляет по сравне-
сравнению с предыдущей значительные трудности, проистекающие
из-за того, что отношение правдоподобия /(г, qx), характе-
характеризующее область интегрирования в обоих интегралах
(для F и D), зависит от неизвестного qx. Поэтому решение
системы уравнений, определяющей qx и с, осуществляется
подбором: задается значение qx и составляется гистограмма
величины С (моделируемой в предположении присутствия
одних шумов), по которой выбирается пороговый уровень cq ,
а с ним и с. Затем вычисляется <&(дх\ qx\ с); если результат
оказался больше заданной вероятности D, то qx уменьшается,
а если меньше, то qx увеличивается. Естественно, что осу-
осуществление этого процесса весьма трудоемко и достижение
удовлетворительной точности определения ?, и с требует
значительного количества машинного времени. В отдельных
частных случаях, например для шумоподобного сигнала с по-
постоянной «огибающей» {ak = al при всех k и /), отно-
отношение правдоподобия не зависит от qt и тогда, определив
порог ограничения, отыскиваем пороговое отношение сиг-
сигнал/шум, решая уравнение Q) (дх; qx; с) = D.
Выше рассмотрен расчет пороговых сигналов и харак-
характеристик обнаружения при квадратичной обработке шумо-
подобных сигналов. Основные черты применения метода
Монте-Карло сохраняются и при иных видах сигналов, от-
отличие состоит только в способах моделирования соответ-
соответствующих случайных величин. Эти способы рассмотрены
в главе VII, в которой § 6 посвящен многомерным распре-

§ 3. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ОБНАРУЖЕНИЯ 213
делениям, встречающимся в теории обнаружена. Если,
например, составляющие сигналов и шумов коррелированы,'
то счет начинается с построения матрицы А, преобразующей
независимые нормальные величины в коррелированные с за-
заданной матрицей вторых моментов Ш. С помощью последо-
последовательных независимых нормальных величин, подвергнутых
преобразованию с этой матрицы, находятся амплитуды; они
подставляются в отношение правдоподобия, которое сравни-
сравнивается с порогом и т. д.
Рассмотрим, наконец, порядок выполнения расчетов харак-
характеристик последовательного анализа. Как мы видели в § 3,
цель расчета — найти распределение вероятностей номеров
окончания процесса. Эта цель осуществляется моделирова-
моделированием последовательности случайных величин
с совместными плотностями
Pi(r{), P2(ri г2), .... pn(rv .... /-„), ...
одного из двух типов: либо относящихся к смеси сигнала
и шума, либо к одним шумам, и подсчетом частот выпол-
выполнения неравенств
В<1к(гх rk)<A, k=l, .... v— 1,
/,(ri. .... #ч)> А.
либо
/,Ci rv)<B.
Это означает, что на каждом шаге последовательного анализа
вычисленное значение отношения правдоподобия сравнивается
с порогами А и В, и когда оно выходит за пределы интервала
(В, А), номер этого шага заносится в гистограмму. Затем
процесс повторяется сначала. При независимых амплитудах
с вероятностью единица анализ заканчивается на конечном
шаге (аналогичное утверждение при коррелированных ампли-
амплитудах неверно). Может оказаться, что оперативной памяти
машины не хватит для гистограммы. Для обхода этого за-
затруднения следует задаться номером v0 и все испытания,
продолжающиеся дальше v0-— 1 шагов, считать оконченными
на шаге v0. Тогда вычисляемая вероятность jt?v оказывается
равной сумме вероятностей окончания процесса на v0, v0 -\- 1, ...
шагах.

214 ГЛ. V. ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ПЕРЕДАЧИ СООБЩЕНИЙ
§ 4. Другие задачи
В теории передачи сообщений обширный круг задач,
кроме рассмотренных выше, требует применения метода
Монте-Карло. Ниже рассматриваются наиболее характерные
из них.
Обнаружение цели и определение ее положения при
помощи счетчиков квантованных сигналов [486]. Рас-
Рассмотрим задачу радиолокационного обнаружения цели на
азимутальной развертке (секторе на фиксированной дальности
обзорного радиолокатора). В области, не содержащей цели,
присутствуют лишь шумовые импульсы, амплитуды которых
распределены по закону Релея. Амплитуды сигналов, отра-
отраженных от цели, предполагаются постоянными (сигнал «не
флюктуирует») и поэтому амплитуды смеси сигнала с шумом
оказываются независимыми и распределенными по закону
Раиса.
Пусть приемное устройство осуществляет квантование,
т. е. вырабатывает единичный сигнал, если напряжение на
входе превышает уровень х0 и вырабатывает нулевой сигнал,
если напряжение на входе не превышает х0. В результате
азимутальная развертка оказывается заполненной последова-
последовательностью нулей и единиц.
Вероятность появления шумового импульса обозначается
через рш. Принимая дисперсию шума за единицу, имеем
со
E.27)
Вероятность появления сигнального импульса рс зависит от
амплитуды сигнала s и равна
со
Рс(.*>)= fxe 2 jo(SX)dx. E.28)
Так как рс > рш, то появление цели приводит к увеличению
количества единиц в соответствующей области азимутальной
развертки. Это обстоятельство наводит на мысль обнаружи-
обнаруживать цель и определять ее азимут, подсчитывая плотность
единиц на участках развертки. Можно предложить не-

§ 4. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ 215
сколько критериев, основанных на этом соображении. Укажем
два из них.
а) Критерии типа серии. На выходе приемного устройства
становится счетчик импульсов. До тех пор, пока на развертке
имеются одни нули, счетчик остается установленным на нуль.
Когда на развертке впервые появляется единица, то в счет-
счетчик засылается единица. Дальнейшие правила мы сформули-
сформулируем, обозначив через jift исход биномиального испытания
в k-ft позиции развертки, и через 1Ь значение счетчика,
соответствующего k позиции. Если имеет место одно из
условий:
f либо {*„_#„ oV-n itin = 0100, )
1. 0</„<3 И I Vn-ZVn-Ъ п-Ь п
I либо |1Я_211Я_^Я = 000.
2. 3</„<6 и Vn^n-iV-n- ЛЛЛ Н }
.3. 6</„ и 1*Л_3|1.Я_2|1.._,
то счетчик сбрасывается на нуль (/и+] — 0), т. е. фиксируется
конец области сигналов, отраженных от цели. При осталь-
остальных комбинациях нулей и единиц на развертке и значениях
счетчика к последнему прибавляется единица 1„+х = 1„-\-1.
Цель считается обнаруженной, когда 1п > 6. Критерий начала
области сигнала — /„ — 1 и конца — 1п > 6, 1п+1 — 0. Азимут
цели определяется как полусумма азимутов, отвечающих
началу и концу области сигналов.
б) Критерий типа последовательного наблюдения. В на-
начальном положении установим счетчик в нуль. При появле-
появлении в некоторой позиции единицы к счетчику добавляется 4,
при появлении нуля вычитается единица. Принимается, что
если /п>-16, то /п+] = 0, и цель считается обнаруженной.
Если /„<; — 4, то /л+1 = 0 и дается сигнал об отсутствии
цели. Область цели отсчитывается от первого импульса, по-
полученного от цели до первого импульса, показывающего
отсутствие цели.
Определить качество обоих критериев — значит вычислить
вероятности обнаружения и ложной тревоги, а также найти
распределение ошибок измерения азимута цели (отсюда на-
находятся математическое ожидание и дисперсия ошибки).
Определить вероятности обнаружения (и ложной тревоги)
аналитически для критерия типа серий можно путем реше-
решения системы рекуррентных уравнений относительно величин р^.

216 ГЛ. V. ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ПЕРЕДАЧИ СООБЩЕНИЙ
означающих вероятности того, что в момент п на счетчике
записано значение k.
Подсчитать распределение ошибок элементарным образом
не удается. Применение метода Монте-Карло позволяет одно-
одновременно решить обе задачи.
Обычно для решения этих задач используются ЭВМ.
В памяти машины отводятся ячейки для хранения содержимого
позиций азимутальной развертки: единицы, если сигнал (по-
(полезный или шумовой) присутствует, и нуль в противном
случае. Осуществляется метод следующим образом: отведен-
отведенные под азимутальную развертку К ячеек заполняются нулями
либо единицами, в соответствии с биномиальными распре-
распределениями— с параметром рш в области шума и с парамет-
параметром рс в области сигнала *). Полученная реализация наблю-
наблюдаемой развертки анализируется с помощью соответствующего
критерия, т. е. если фиксируется наличие цели, то опреде-
определяется ее азимут и сравнивается с истинным. Величина ошибки
заносится в гистограмму. Многократное повторение процесса
моделирования позволяет определить требуемые характери-
характеристики с желаемой точностью. Правильность расчета можно
отчасти проконтролировать, сопоставляя экспериментальные
вероятности обнаружения с теоретическими, полученными
решением системы рекуррентных уравнений для критериев
типа серий. Такая проверка будет свидетельствовать о ка-
качестве модели биномиального распределения.
Расчеты характеристик обнаружения этими методами
обычно требуют проведения около 1000 испытаний для одного
варианта (см. [486]).
Оценка азимута методом максимального правдоподобия.
Совместное распределение вероятностей последовательности
амплитуд напряжений на выходе приемного устройства зависит
при фиксированной дальности от азимута цели а, т. е. за-
записывается в виде р{гх гп, а). Следовательно, задачу
измерения азимута цели можно сформулировать как опреде-
определение неизвестного параметра распределения. В статистике
разработан метод решения этой задачи, называемый методом
максимального правдоподобия. Согласно методу максималь-
*) Мы считаем, что область сигнала с обеих сторон окружена
областями шума.

§ 4. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ 217
ного правдоподобия оценкой параметра служит такое его
значение а, при котором р(г" /¦", а) достигает макси-
максимума. Здесь г\ /-JJ—наблюдаемые значения соответ-
соответствующих случайных величин (в нашем случае амплитуды
напряжения). Предположим, что приемник радиолокатора
имеет в своем составе пороговое устройство, квантующее
сигнал на два значения, а сам сигнал шумоподобен, т. е.
его амплитуды распределены по релеевскому закону и не-
независимы. Тогда вероятность появления ft-го импульса
в «пакете» отраженных сигналов равна
А = ехр! ~ Щ+?Ш^Ш!' E-30>
где х0 — уровень квантования, q — отношение сигнал/шум,
g(a)— нормированная (^(О)—1) диаграмма направленности
антенны, bk — азимут k импульса, а — истинный азимут цели.
Обозначим еще через \>.к результат квантования амплитуды
в k-Pi позиции, который может быть единицей или нулем.
Уравнение для отыскания азимута цели методом максималь-
максимального правдоподобия имеет вид
п
2вд(«-еА) = о, E.3D
й = 1
где
— весовые коэффициенты, зависящие от определенной
оценки а. Для отыскания требуемой оценки азимута следует
набор «весов» t\k = tj (a — 0ft) двигать вдоль последователь-
последовательности нулей и единиц—результатов квантования сигналов
в рассматриваемом секторе обзора, т. е., сопоставив веса
Tjj, .... т}и крайним слева элементам развертки, составляем
сумму тех весов, против которых стоят единицы, затем
сдвигаем веса на одну позицию вправо и снова находим
взвешенную сумму и т. д., до тех пор, пока не будет до-
достигнут минимум (близкий к нулю) взвешенных сумм
и
2ра+Ж« — ей)- Азимут позиции, соответствующей при
*=i

218 ГЛ. V. ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ПЕРЕДАЧИ СООБЩЕНИЙ
этом весу ri@), т. е. имеющему аргумент нуль, принимается
за азимут цели.
Для расчета эффективности метода максимального прав-
правдоподобия достаточно найти распределение вероятностей
оценки а. Ясно, что аналитическое решение этой задачи
встречает весьма большие затруднения, поэтому естественно
применение метода Монте-Карло. Вычисления методом Монте-
Карло протекают по следующему плану: моделируется ази-
азимутальная развертка с последовательностью нулей и единиц *),
затем на эту последовательность «накладываются» веса {-rjft} и
отыскивается корень уравнения E.31), который заносится в ги-
гистограмму. В [486] указывается, что 100 испытаний давали удо-
удовлетворительную точность построения функции распределения.
Заметим, что таким же способом можно определить точ-
точность измерения азимута при иных видах флюктуации сигнала.
Распределение вероятностей мощности шума на вы-
выходе радиорелейной линии ([54], [55]). Надежность функ-
функционирования радиорелейной линии связи определяется суммар-
суммарной интенсивностью шумов, возникающих на отдельных участ-
участках линии между приемнопередающими станциями. Поэтому
для правильного проектирования таких линий необходимо знать
статистические характеристики суммарных шумов и в первую
очередь распределение вероятностей мощности шума на вы-
выходе линии. Особый интерес представляет поведение функции
распределения при больших значениях аргумента (для инже-
инженерных целей требуется оценить пороговую мощность шумов,
вероятность превышения которой равна заданному малому
числу рпорог-=0,01; 0,001).
Математически задача формулируется следующим образом:
дана последовательность случайных величин \х, Е2, ..., ?я
с распределениями F1(x), F2{x) Fn(x). Найти функцию
распределения суммы
Из-за большого числа слагаемых в ней естественно было бы
пользоваться предельными теоремами теории вероятностей.
*) Вероятность появления единицы в А-позиции определяется
А
формулой C0), а вероятность шумового выброса—рш — е 2 ,

§ 4. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ 219
Однако этот очевидный, на первый взгляд, путь в ряде
случаев встречает серьезные вычислительные трудности.
Объясняются они тем, что предельное распределение оказы-
оказывается иногда не нормальным. Ограничимся простейшим
случаем, когда случайные величины ?ft независимы и распре-
распределены одинаково.
Согласно экспериментальным данным функции распреде-
распределения имеют вид
E.32)
О, х*<<р(х),
где аA < а < 4)—параметр, а ср(л:)->с(>0) при лг->оо.
В теории вероятностей доказывается, что предельное рас-
распределение для сумм независимых случайных величин, рас-
распределенных по одному и тому же закону E.32), оказывается
нормальным лишь в том случае, если а ^> 2. Ясно, что рас-
расчет пороговой мощности в этом случае элементарен. Затруд-
Затруднения появляются, когда параметр а удовлетворяет нера-
неравенству а < 2. Предельные распределения оказываются тогда
относящимися к классу устойчивых распределений, относи-
относительно которых известен лишь вид характеристической функции
Л@ = ехр [/т* - с\ 11"{l + /C -L ш (/. а)}],
где |р|<1. с>0, и
2> "!.«=!.
Нетрудно написать функцию распределения, представив ее как
преобразование Фурье характеристической функции. Однако
для вычисления вероятностей больших отклонений необходимо
вычислить интегралы от очень быстро осциллирующей функ-
функции. При этом трудно достичь удовлетворительной точности
расчета даже при использовании ЭВМ.
Применение метода Монте-Карло позволяет получить не-
необходимые результаты надежным, стандартным способом:
вырабатывается последовательность п случайных чисел
?j, ?2 \п, распределенных согласно E.32), и сумма

220 ГЛ. V. ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ПЕРЕДАЧИ СООБЩЕНИЙ
засылается в гистограмму. Согласно [54] и [55] для обеспе-
обеспечения приемлемой точности- определения функции распреде-
распределения на хвостах распределения (имеются в виду аргументы х0,
для которых р {С> х0) = рпорог) требуется не менее 5000
испытаний.
Распределение вероятностей слагаемых чаще всего берется
в виде закона Парето
l0. x<\.
Если шумы на соседних участках не одинаково распреде-
распределены (и быть может зависимы), то, внеся надлежащие коррек-
коррективы в методику получения модели случайных величин, можно
найти распределение вероятностей суммы ?. Аналогично, мож-
можно рассматривать и более сложные функции от |j ?п.
Методы декодирования сообщений [8]. Перед тем как
передать сообщение, необходимо закодировать его, а на
приемном конце линии для определения содержания приня-
принятого сигнала следует подвергнуть его обработке (декодиро-
(декодированию). Кодированию могут подвергаться буквы смыслового
сообщения (т. е. каждое «слово», образованное п символами
кода, означает одну из букв алфавита). В других случаях
«слова» из п символов кода являются самостоятельными
сообщениями (таким способом возможно передать -[" различ-
различных сообщений, -f-значность кода, т. е. количество входящих
•в него символов). Присутствующие в линии связи и прием-
приемнике шумы искажают символы кода и поэтому восстановле-
восстановление первоначального сообщения производится с ошибками.
Возникают задачи построения помехоустойчивых кодов и
отыскания способов надежного декодирования.
Ограничимся бинарными кодами, символы которого при-
принимают лишь два значения — 0 и 1. Передаются эти символы
двумя электрическими сигналами S0(t) и Sx(t), различаю-
различающимися одним или несколькими параметрами (амплитудой,
длительностью и т. п.). Проходя по каналу связи и поступая
в приемник, сигналы искажаются, и на выходе приемника
появляются сигналы z(t), не совпадающие ни с S0(t), ни с
Si(t). Тем или иным способом можно отождествить каждый
принятый сигнал с одним из двух возможных: либо 50.

§ 4. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ 221
либо Sj. Для выявления и исправления ошибок к я-значным
кодовым «словам», несущим полезную информацию, доба-
добавляются еще k проверочных символов. В коде Вагнера это
делается следующим образом: подсчитывается сумма всех п
символов в слове; в случае ее четности на п-\-1 позиции
помещается нуль, а при нечетности — единица. Поэтому
в каждом принятом п -j-1 -значном слове сумма символов
должна быть четной. Если в принятом сообщении это усло-
условие оказалось ¦ нарушенным, то одиночную ошибку можно
исправить, например,-.следующим образом. По известным
статистическим свойствам шумов для каждого символа в слове
подсчитываются р0 — р (S0/z) и р1 = р (Srfz) — апостериор-
апостериорные вероятности появления So и Sv при условии, что на
этой позиции появился сигнал z. Принимается, что пришел
сигнал Sl(i = 0, 1), если отвечающая ему апостериорная
вероятность *) pi больше другой вероятности. Для каждой
позиции составим разность hp=p0—pv Суждение о по-
положении ошибочного символа в принятом «слове», если оно
оказалось нечетным, делается из рассмотрения совокупностей
разностей Др. а именно ои находится в той позиции, для ко-
которой \&р\ наименьшая. В результате становится возможным
корректировать, с некоторой вероятностью, одиночные ошибки.
Известны другие способы кодирования и отождествления
принятых сигналов с переданными сообщениями. Качество спо-
способов кодирования оценивается вероятностью ошибки в приеме
сообщения. Сравнить эти вероятности можно, имитируя на
ЭВМ передачу «слов», вырабатывая псевдослучайные числа,
изображающие передаваемые символы, искаженные шумами
канала (для этого следует задаться распределением вероят-
вероятностей шумов). Многократно моделируя прием различными
методами, подсчитываем частоту правильного отождествления
принятого сообщения для каждого из сопоставляемых мето-
методов. При условии независимости символов моделирование
достаточно осуществить лишь для одного «слова» (например,
состоящего лишь из нулей).
*) Так можно поступать, если допустимы все комбинации сим-
символов кода, а корреляционные связи между словами отсутствуют.

ГЛАВА VI
ПОЛУЧЕНИЕ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭЛЕКТРОННЫХ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИНАХ
§ 1. Сравнение различных методов получения
случайных величин
Успех вычислений методом Монте-Карло на электронной
вычислительной машине (ЭВМ) определяют два основных
фактора:
а) качество источника случайных чисел,
б) выбор рационального алгоритма счета.
Вопрос о выборе метода получения случайных чисел является
первостепенным, ибо от его успешного решения во многом
зависит успех решения всей задачи.
Для моделирования какого-либо наперед заданного слу-
случайного процесса необходимо уметь достаточно экономно
строить последовательности случайных чисел, соответствую-
соответствующих некоторым фиксированным законам распределения. За-
Заметим, что для того, чтобы получить значение случайной
величины с заданным законом распределения, обычно исполь-
используют одно или несколько значений равномерно распределен-
распределенных случайных чисел. Поэтому вопрос получения равномер-
равномерных случайных чисел на ЭВМ имеет особое значение.
Проблема получения на ЭВМ равномерно распределенных
(р. р.) случайных величин может быть решена различными
способами.
Первый способ получения р. р. случайных чисел, широко
распространенный в настоящее время, заключается в сле-
следующем. Случайные числа получаются в ЭВМ программным
способом с помощью некоторого рекуррентного соотноше-
соотношения. Это означает, что каждое последующее число а-+1

§ 1. СРАВНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ МЕТОДОВ 223
образуется из предыдущего а. (или группы предыдущих
чисел) путем применения некоторого алгоритма, состоящего
из арифметических и логических операций. Такая последо-
последовательность чисел, не будучи случайной, тем не менее может
удовлетворять различным статистическим критериям случай-
случайности. Поэтому такие числа называются псевдослучайными.
К основным достоинствам программного способа полу-
получения случайных чисел относится возможность контроля
работы ЭВМ в процессе решения задачи (возможность про-
проведения двойного счета), а также простота алгоритма вы-
выработки псевдослучайного числа.
Главным недостатком псевдослучайных чисел является
трудность теоретической оценки их статистических свойств.
Особенно это проявляется при формировании из последо-
последовательности р. р. псевдослучайных чисел различных много-
многомерных распределений. Помимо этого, все выработанные
программным способом последовательности псевдослучайных
чисел являются периодическими и поэтому, даже с практи-
практической точки зрения, очень длинные последовательности не
будут случайными. Существует ряд методов «улучшения»
последовательности псевдослучайных чисел, о которых будет
подробно сказано ниже. Однако эти методы могут несколько
снизить скорость работы машины.
Способы получения р. р. псевдослучайных чисел описы-
описываются в § 2.
Второй способ получения случайных чисел заключается
в использовании специального приспособления к ЭВМ —
«датчика» случайных чисел, который преобразует результаты
случайного физического процесса в последовательность дво-
двоичных разрядов в машине, т. е. получает случайную вели-
величину. Обычно регистру, куда попадает эта случайная вели-
величина, присваивается адрес в общей системе адресов памяти
ЭВМ. Тогда обращение к датчику случайных чисел (ДСЧ)
сводится к обращению к памяти машины.
Использование ДСЧ повышает скорость вычислений, ибо
в каждый такт работы ЭВМ в фиксированную стандартную
ячейку памяти выдается новое случайное число.
Недостатком такого метода является некоторая неустой-
неустойчивость датчиков случайных чисел, вследствие чего они
нуждаются в периодической профилактической проверке.
К недостаткам применения ДСЧ следует отнести также

224 ГЛ. VI. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ
и невозможность точного воспроизведения результатов счета
задачи (двойной счет на машине не может быть проведен).
Обычно считается, что если метод Монте-Карло приме-
применяется на данной ЭВМ систематически, то наличие прове-
проверенного ДСЧ является более предпочтительным, нежели
использование псевдослучайных чисел. Если же метод Монте-
Карло применяется на ЭВМ эпизодически, то целесообразнее
применение программных способов, ибо эксплуатация ДСЧ
и поддержание его в рабочем состоянии требует немалых
затрат труда.
Конструкция и эксплуатация датчиков случайных чисел
описывается в § 4.
Последним, сравнительно редко применяемым способом
является ввод таблиц р. р. случайных чисел в оперативную
память ЭВМ.
Использование части оперативной памяти ЭВМ для хра-
хранения таблиц случайных чисел обычно невозможно вследствие
загруженности памяти ЭВМ различного рода информацией,
относящейся непосредственно к моделируемому процессу.
Что касается ввода р. р. случайных чисел в оперативную
память ЭВМ с барабанов или лент, то обращение к мед-
медленнодействующим запоминающим устройствам существенно
уменьшит скорость работы.ЭВМ. Помимо этого, для реше-
решения больших задач нередко требуются сотни тысяч и даже мил-
миллионы случайных чисел, что во много раз превосходит объем
имеющихся в настоящее время таблиц р. р. случайных чисел.
Все сказанное выше позволяет сделать вывод, что спо-
способ ввода р. р. чисел в память ЭВМ может иметь лишь
вспомогательное значение. Этот способ обычно применяется
при счете небольших задач.
§ 2. Получение равномерных псевдослучайных величин
на электронных вычислительных машинах
Выше уже указывалось, что под термином «последова-
«последовательность псевдослучайных чисел» понимается последова-.
тельность аг функций целочисленного аргумента I, которые
по своим свойствам аналогичны последовательности случай-
случайных чисел и удовлетворяют определенной системе принятых
статистических критериев. Псевдослучайные р. р. числа обра-
образуются на ЭВМ по специальной программе..

§ 2. ПОЛУЧЕНИЕ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ 225
При построении программы вычисления р. р. псевдослу-
псевдослучайных чисел необходимо учесть следующие основные тре-
бования.
а) Программа должна вырабатывать числа с весьма
слабой статистической корреляционной связью. Выработан-
Выработанная программой выборочная совокупность псевдослучайных
чисел должна отвечать установленным критериям проверки
«случайности».
б) Распределение вырабатываемых программой псевдо-
псевдослучайных чисел должно возможно лучше аппроксимировать
равномерное распределение.
в) Программа должна быть устойчивой. Это означает,
что во время работы программы распределение псевдослу-.
чайных чисел не должно меняться.
1 Рассмотрим некоторые приемы получения равномерно
распределенных псевдослучайных чисел.
I. Аналитические способы получения псевдослучай-
псевдослучайных чисел, а) Ряд способов получения р. р. псевдослу-
псевдослучайных чисел основан на выборе «середины произведения».
Этот метод, который в 1951 г. впервые был предложен
Дж.. фон Нейманом [223], заключается в следующем: в начале'
рекуррентного процесса берется произвольное число а0,
состоящее из 2k двоичных цифр. Величина а0 возводится
в квадрат. Величина а<* состоит из 4/s цифр и с помощью
них выбирается число ау, состоящее из 2k средних двоич-
двоичных цифр (от (й+1)-й до C&)-й). Далее процесс повто-
повторяется в той же последовательности.
Такого рода рекуррентный процесс не дает удовлетво-
удовлетворительной последовательности случайных разрядов, а рас-
распределение полученных этим способом псевдослучайных
чисел отклоняется от равномерного.
Значительно лучшие результаты дает некоторое видоиз-
видоизменение способа Неймана, состоящее в том, что произвольно
выбирается пара чисел, например, а0 и av Составляется их
произведение с^с^ и его средние цифры используются в ка-
качестве числа а2. Процесс повторяется для av а2 с получе-
получением а3 и т. д. Такого рода рекуррентный процесс дает
меньшее отклонение образуемых псевдослучайных чисел от
равномерного распределения, нежели способ «середины
квадрата» Неймана в первоначальном виде.
15 Зак. 250. Н. П. Бусленко и др.

226 ГЛ. VI. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ
Ряд аналогичных приемов для получения равномерных
псевдослучайных чисел был предложен Лемером [189]. Они
заключаются в следующем. Сначала выбирается начальное
число а0, состоящее из 2k цифр (на ЭВМ — из 2/г двоич-
двоичных разрядов). Составляется произведение с^ и выбираются
последние 2k цифр этого произведения, т. е. получается
новое число с^. Производится умножение числа а'о на по-
постоянный множитель С и выбираются первые 2k цифр этого
произведения, что дает в результате величину а'' Выби-
Выбираются первые 2k цифр произведения о?0 — образуется вели-
величина а™. Производится умножение а'? на С и выбираются
последние 2k цифр произведения Са.'^' —- получается число
alQv. Поразрядным (или обычным) сложением величин с? и а.™
получается следующее псевдослучайное число at.
Описанные выше методы (именуемые также способами
усечения псевдослучайных чисел) дают в итоге периоди-
периодическую последовательность с периодом, не превышающим 2 .
б) Ряд приемов получения псевдослучайных чисел осно-
основан на использовании вычетов. На электронной вычисли-
вычислительной машине ЭНИАК*) Лемер [189] использовал рекур-
рекуррентное соотношение
ап+\ — Ып (mod Ж),
где /г=23, М=108-+-1.
Такой способ позволяет получить последовательность
восьмизначных десятичных чисел с периодом 5882352 **).
В работе [251] для образования псевдослучайных чисел,
распределенных равномерно в интервале [0, 1], использова-
использовалось следующее рекуррентное соотношение:
Py+i = 517P;. (mod2«), po=l.
Такая совокупность имеет период, равный 240^~ 1012.
*) В машине ЭНИАК используется десятичная система счи-
счисления.
**) Длина периода была подсчитана эмпирическим путем.

§ 2. ПОЛУЧЕНИЕ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ 227
Совокупность псевдослучайных чисел, образуемых с по-
помощью рекуррентного соотношения [247],
Py+, = 5«fy (mod 236), C0=1,
имеет период 234 ~ 2 • 1010, а совокупность с применением
рекуррентного соотношения
имеет период 5 • 107.
Первый способ используется на машине СВАК, а вто-
второй — на машине ОАРАК.
На электронной вычислительной машине ЮНИВАК при-
применяется рекуррентное соотношение следующего вида [212]:
Образуемая последовательность псевдослучайных чисел имеет
период 5 - 108.
Ряд способов образования равномерно распределенных
псевдослучайных чисел разработаны с помощью ряда типа
Фибоначчи. Например, хорошие результаты были получены
с использованием последовательности
« -If
где
Fn+2=[Fn+i + Fnl (modЖ).
Для машины СЕАК применялось М = 244. При этом длина
образуемого периода равна примерно 2,5 • 1013.
Ван Вейнгарден [251] предложил некоторое видоизмене-
видоизменение только что описанного способа. Выбирается произ-
произвольно группа чисел а0, av а2, ., ., ар, из них составляется
линейная комбинация с целыми коэффициентами. Ее дробная
часть и есть число «р+1. Процесс повторяется на мно-
множестве a.v а2 ар, ар+1 и т. д. Если числа а0, .... ар
15*

228 ГЛ. VI. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ
равномерно распределены на интервале [0, 1], то из элементар-
элементарного положения, что сумма двух равномерно распределен-
распределенных величин, приведенных по модулю 1, распределена
равномерно, следует, что ар+1 также распределено равно-
равномерно. Для р — 1 легко доказать, что любые две величины
этой последовательности независимы. Этого нельзя сказать
о тройках, так как в некоторых случаях они находятся в ли-
линейной зависимости.
По этой схеме получаются более длинные периоды, так
как прежде, чем начнется повторение, все множество р-\- 1
чисел должно опять принять первоначальные значения.
Отметим, что при получении псевдослучайных равномер-
равномерных чисел, образуемых по формуле
7-1
2 ckan+k (mod Ж).
большую роль играет выбор начальных значений а0 а/-2-
Так удачным выбором первых двух начальных величин а0, а1
удалось получить последовательность псевдослучайных чисел
на машине СЕАК, удовлетворяющей системе различных ста-
статистических критериев [105]. Псевдослучайные числа обра-
образуются по формуле
к7+1 ~ [«/+ «y-il (mod 4)-
где
в) Ряд методов получения р. р. псевдослучайных чисел
основан на способе Лемера [251]. Последний основан на
известном факте, что для иррационального числа 6 мно-
множество чисел вида {пЩ (где {х} обозначает дробную долю
величины х) содержит числа, произвольно близкие к любому
числу в интервале [0, 1], так как всюду плотны в [0, 1]:
Способ Лемера сводится к построению последовательности
ап={«6} неслучайных коррелированных чисел, распреде-
распределение которых (в теоретико-числовом смысле этого слова)
строго равномерно. Этот способ целесообразно применять
в тех случаях, когда основное значение имеет распределе-
распределение образуемых чисел (равномерность этих чисел), а нали-
наличие корреляционной связи не играет большой роли.

§ 2. ПОЛУЧЕНИЕ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ 229
Ряд способов образования псевдослучайных последова-
последовательностей, основанных на теоретико-числовых приемах,
предложен Н. М. Коробовым и И. И. Шапиро-Пятецким [39].
II. Получение равномерных псевдослучайных чисел
способом перемешивания. Существует несколько способов
получения равномерных псевдослучайных чисел на электронных
вычислительных машинах «Стрела», БЭСМ, «Урал» и др.,
использующих особенности этих машин. Эти методы,
основаны на имитации случайного, хаотического перемеши-
перемешивания содержимого разрядов мантиссы псевдослучайных
чисел. Наиболее полно разработаны такого рода методы
для ЭВМ типа «Стрела». В качестве типовых программ при-
приводим программы образования псевдослучайных чисел для
машины «Стрела», разработанные И. М. Соболем и Д. И. Го-
ленко. Оба этих рекуррентных способа реализуются с по-
помощью трехкомандной программы.
В программе, разработанной И. М. Соболем [57], число
ait+i получается из числа ak тремя операциями:
1) число ak умножается на 1017,
2) изображение произведения ak • 1017 сдвигается на семь
разрядов влево (так что в разрядах с 36 по 42 окажутся
нули),
3) берется абсолютная * величина полученного числа (при
этом число нормализуется). Это и будет aft+1.
Необходимо заметить, что свойства последовательности
{ак\ зависят не только от заданного <х0, но и от способа
округления, принятого на машине.
Далее, число 1017 и число для определения величины
сдвига имеются в устройстве выдачи констант (УВК) ма-
машины. Таким образом, для счета ak нужна всего одна ячейка
оперативной памяти.
Наконец, опасность вырождения последовательности, т. е.
обращения какого-либо ak (а следовательно, и всех даль-
дальнейших) в нуль, практически чрезвычайно мала. В самом
деле, для того чтобы ak обратилось в нуль, необходимо,
чтобы
0,5<aft_1. 1017< 1;
в противном случае в порядке произведения aft_j • 1017 будут
цифры, отличные от нуля, и при сдвиге эти цифры попадут

230 ГЛ. VI. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ
в мантиссу <xft. Значит, последовательность может выро-
выродиться только тогда, когда <xft_j принадлежит очень З'зкому
интервалу значений.
При решении разных задач использовалось несколько
десятков значений <х0. Случаев вырождения последовательно-
последовательностей во время счета не было.
При реализации ряда задач методом Монте-Карло неодно-
неоднократно использовалась также трехкомандная программа, раз-
разработанная Д. И. Голенко [24].
Равномерно распределенные в интервале [0, 1] псевдо-
псевдослучайные числа образуются тремя однотактными операциями
машины. Предварительно в ячейку а, в которой в дальней-
дальнейшем будут образовываться числа, засылается начальная за-
заданная величина <х0 Ф 0 (ofta может быть и случайной).
Псевдослучайные числа вычисляются рекуррентно; число
aft+i образуется из ak по следующей программе.
1. Изображение числа ak в ячейке а сдвигается на 7 раз-
разрядов влево («очищаются» разряды с 36 по 42) и засылается
в ячейку Ъ.
2. Производится специальное сложение *) (операция 02)
содержимого ячеек Ъ и а, причем первым слагаемым является
содержимое ячейки Ъ. Это приводит к тому, что в разрядах
с 36 по 42 возникают нули, а содержимое разрядов ман-
мантиссы ячеек а и Ь хаотически перемешивается. Результат
засылается в ячейку а.
3. Вычисляется абсолютная величина содержимого ячейки а
(с нормализацией). Результат посылается снова в ячейку а
(операция 04). Этот результат и представляет собой число
ak+\-
Записанная на языке кода команд машины «Стрела» эта
программа выглядит так:
Код операции 1 адрес 2 адрес 3 адрес
1 14 а 4007 Ъ
2 02 baa
3 04 а — а
*) Команда специального сложения осуществляет логическое
поразрядное сложение содержимого первого и второго адресов с со-
сохранением порядка первого слагаемого. Результат засылается по
третьему адресу.

§ 2. ПОЛУЧЕНИЕ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ 231
Таким образом, для получения псевдослучайных чисел
необходимы две ячейки накопителя — основная (а) и вспо-
вспомогательная (Ь). Последняя в промежутке между образова-
образованием псевдослучайных чисел может быть использована в ка-
качестве рабочей ячейки.
Подобно описанной выше программе псевдослучайных
чисел, возможность «выхода на нуль», т. е. вырождения
последовательности образуемых чисел, практически малове-
маловероятна. Вырождение произойдет лишь в том случае, если
содержимое ячейки b после сдвига является дополнением
разрядной сетки содержимого ячейки а. Только в' этом слу-
случае результат применения специального сложения даст нуль
в ячейке а. Случаев вырождения последовательностей не
наблюдалось ни разу, хотя псевдослучайные числа исполь-
использовались в течение 'ряда лет в большом числе задач с раз-
различными <х0.
Первая из описанных выше программ имеет отрезок апе-
апериодичности (см. § 3) порядка 80 000, вторая — порядка
300 000. Длина образующегося периода цикличности соста-
составляет для первой программы 50 000 чисел, -для второй —
около 100 000 чисел. Программа получения равномерно рас-
распределенных в интервале [0,1] псевдослучайных величин на
машине БЭСМ содержит почти те же машинные операции, что
и соответствующие программы для машины «Стрела». Приво-
Приводим четырехкомандиую программу для машины БЭСМ [50]:
№ команды
k
А + 1
k+2
к + 3
Код
операции
, <~
, <-
ск
|ПЧ|
•
а
а
а + 1
а + 2
Адрес
"
0047
0007
а + 2
0000
...
а+1
а + 2
а + 2
а
Содержание операции
Сдвиг на 7 раз-
разрядов вправо
Сдвиг на 7 раз-
разрядов влево
Специальное сло-
сложение
Передача модуля
числа с норма-
нормализацией
Программа отличается от соответствующих программ для
машины «Стрела» ввиду различного машинного кода опера-

232 ГЛ. VI. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ
ций у «Стрелы» и БЭСМ. Так, второй сдвиг в программе
для машины БЭСМ необходим потому, что без него про-
происходит вырождение программы' псевдослучайных чисел с по-
последующим «выходом на нуль».
Длина отрезка апериодичности для этой программы не
превышает 50 000. Что касается длины периода последова-
последовательности псевдослучайных чисел, то он для ряда начальных
значений <х0 близок к 5000. В процессе решения некоторых
задач методом Монте-Карло в программу для БЭСМ был
внесен ряд изменений — число сдвигаемых разрядов было
увеличено до 8 и т. д. Это позволило увеличить длину от-
отрезка апериодичности до 100 000—150 000, однако качество
образующихся при этом псевдослучайных чисел заметно
ухудшилось [50].
Что касается одноадресной электронной вычислительной
машины «Урал-1», то для нее программа получения равно-
равномерных в [0, 1] псевдослучайных чисел является более гро-
громоздкой, чем описанные выше программы.
Полученные с помощью описанных выше программ псев-
псевдослучайные числа, взятые в виде последовательности доста-
достаточно большого объема, обычно удовлетворяют системе при-
принятых статистических критериев^для проверки равномерности
распределения. Последние будут подробно описаны нами
ниже, в § 3. Однако применение статистических критериев
согласия не решает задачу оценки распределения псевдослу-
псевдослучайных чисел до кониа. Соответствие статистическому кри-
критерию означает лишь то, что у нас нет оснований отвер-
отвергать гипотезу о том, что распределение псевдослучай-
псевдослучайных чисел равномерно. Однако это отнюдь не является
гарантией истинности этой гипотезы.
Помимо этого, для ряда статистических критериев согла-
согласия (например, ffl наше суждение о достоверности близости
эмпирического распределения к равномерному может зависеть
от объема выборки п. Поэтому для одного и того же эмпи-
эмпирического распределения мы можем при одном п принять
гипотезу о равномерности распределения, а при другом п —
отвергнуть ее.
Сказанное выше отнюдь не является отрицанием важности
и полезности применения статистических критериев согласия
для оценки эмпирического распределения последовательности
псевдослучайных чисел. Критерии согласия являются весьма

§ 2. ПОЛУЧЕНИЕ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ 233
эффективным методом анализа качества псевдослучайных
чисел. Это особенно справедливо в тех случаях, когда
используется не один, а система статистических критериев,
взаимно дополняющих и усиливающих друг друга. Необхо-
Необходимо лишь помнить, что в ряде отдельных случаев, подобно
другим методам статистического анализа, применение крите-
критериев согласия может оказаться малоэффективным, либо
вообще быть затруднено.
Степень близости эмпирического распределения р. р.
псевдослучайных чисел к теоретическому равномерному можно
исследовать и без применения статистических критериев со-
согласия, если проанализировать распределение отдельных со-
составляющих псевдослучайные числа разрядов.
Будем в дальнейшем считать, что речь идет о псевдо-
псевдослучайных числах, полученных с помощью описанных выше
программ из начального случайного числа а0. В противном
случае мы не имели бы права применять к псевдослучайным
числам такие теоретико-вероятностные понятия, как случай-
случайность, вероятность, распределение и т. д.
Рассмотрим распределение значений отдельных разрядов
для нескольких образованных друг из друга (то есть после-
последовательно полученных) псевдослучайных чисел. Если полу-
получаемое псевдослучайное число представить в виде ненорма-
ненормализованного и-разрядного двоичного числа с нулевым поряд-
порядком, то, в случае равномерного распределения, вероятность
появления нуля (или единицы) в любом разряде мантиссы
равна 0,5. В действительности для каждого разряда эта
вероятность отлична от 0,5.
Предположим, что образуется последовательность псевдо-
псевдослучайных чисел и обозначим символом Йй) i-й разряд
в й-м по счету псевдослучайном числе ak. Тогда вероятность
появления нуля в kf] может быть написана в виде 0,5A -f-o).
Рассмотрим связь между распределением значений отдель-
отдельных разрядов псевдослучайного ненормализованного числа и
распределением вероятностей псевдослучайных чисел. Обо-
Обозначим
р = max pMft) = 0} =
и оценим относительное отклонение А распределения псевдо-
псевдослучайных чисел, все разряды мантиссы которых имеют

234 ГЛ. VI. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ
«перекос вероятностей», равный 8тах, от равномерного рас-
распределения. Мы не будем учитывать корреляционную связь
между разрядами, и все разряды мантиссы считаем незави-
независимыми. Обозначая через т число нулей в рассматриваемом
псевдослучайном числе, нетрудно убедиться, что
А = A + ВтахГ A — Вшах)"" — 1 = Bl« — в) Втах + О (Йтах).
Следовательно, при m ~ -^
Д~0,
а при т = О или т = п
|Д|— nSmax.
Если мы зафиксируем число Д0A>Д0>0) и зададимся
целью найти 6тах, для которого |Д| < \, то
Мы показали, таким образом, что для любого наперед
заданного До существует значение 8тах такое, что если для
всех разрядов мантиссы псевдослучайного числа о < отах,
то|Д| < До. Остается выяснить значение 8шах для разрядов
псевдослучайных чисел, полученных с помощью описанных
выше программ, и тем самым гарантировать относительное
отклонение от равномерного распределения, не превышающее
значения пошах.
Нетрудно заметить, что последней командой во всех трех
описанных выше программах получения р. р. псевдослучай-
псевдослучайных чисел (для машин «Стрела» и БЭСМ) является команда
образования модуля с нормализацией. Поскольку иссле-
исследование распределения разрядов псевдослучайного числа
ak+l после его нормализации весьма затрудняется из-за де-
детерминированности отдельных разрядов (значение первого
разряда, например, есть всегда единица, а последнего —
нуль), целесообразно оценить значение 8тах для разрядов
мантиссы псевдослучайного числа до его нормализации.
Как уже указывалось выше, в качестве начального числа <х0,
из крторого в дальнейшем образуется последовательность
псевдослучайных чисел (это начальное число не используется
в качестве псевдослучайного), берется случайное число со

§ 2. ПОЛУЧЕНИЕ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ 235
всеми разрядами *), независимыми, случайными и равномерно
распределенными. Нетрудно убедиться в том, что для пер-
первого псевдослучайного числа ах 8тах = 0. Расчет значения
йщах для ап при k Г> 2 значительно более сложен. Хотя все
расчеты проведены лишь для второй из описанных выше
трехкомандных программ псевдослучайных чисел на ЭВМ
«Стрела», предлагаемая методика расчета отах может быть
применена и для других способов получения псевдослучай-
псевдослучайных чисел.
Произведенные вычисления показали, что для разрядов
с первого по двадцатый формула расчета вероятностей для
l^ft.^15**) имеет следующий приближенный вид:
|р {%{Р = 0} — 0,51 < 0,0001 A < i< 20).
Иными словами, для первых двадцати разрядов отах < 0,0001,
при к —20 имеем Д < 0,002.
Сделаем одно важное замечание. Проведенные расчеты
гарантируют равномерность распределения лишь первых
двадцати (из 35) разрядов мантиссы псевдослучайного числа.
Это означает, что распределение вероятностей всего всевдо-
случайного числа может иметь периодические отклонения от
равномерности с периодом, не превышающим 2 20.
Таким образом, анализ распределения значений разрядов
нескольких последовательно полученных псевдослучайных
чисел дает гарантию равномерности на интервале [0,1]
с точностью до 0,5% по меньшей мере 15 последовательно
полученных псевдослучайных чисел.
Если при решении задачи методом Монте-Карло исполь-
используется последовательность псевдослучайных чисел, заранее
проверенная с помощью системы статистических критериев,
целесообразно использовать одну лишь программу равномер-
равномерных псевдослучайных чисел без какого-либо улучшения.
В противном случае следует периодически, через каждые
Ю-г-15 последовательно образованных псевдослучайных
чисел, производить случайное «возмущение» разрядов в раз-
разрядной сетке псевдослучайного числа.
*) Количество разрядов равно числу разрядов соответствую-
соответствующей ЭВМ.
**) Для k > 15 расчеты не проводились.

236 ГЛ. VI. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ
Хорошие результаты дает, например, совместное приме-
применение двух программ, построенных следующим образом: сна-
сначала выбранное начальное число <х0 посылается в ячейку а
и начинается образование псевдослучайных чисел по первой
программе. После выработки 10-f- 15 псевдослучайных чисел
однократно обращаются ко второй программе, которая из
последнего псевдослучайного числа — содержимого ячейки а—
образует новое псевдослучайное число, используемое в ка-
качестве начального первой программой, и т. д. Такое исполь-
использование двух программ позволяет резко увеличить длину
периода *).
Переходим к описанию системы статистических критериев
проверки качества псевдослучайных чисел.
§ 3. Критерии проверки качества равномерных
псевдослучайных чисел
а) Критерий проверки периодичности последователь-
последовательности псевдослучайных чисел. Получаемая программным
способом последовательность псевдослучайных чисел имеет сле-
следующий вид. Первые L последовательно полученных псевдо-
псевдослучайных чисел, начиная с начального av будут все раз-
различны, a (L-j~\)-e псевдослучайное число <х?+1 совпадает
Длина отрезка
апериодичности
v- -7~ v "v Порядковый
Длина периода Длина периода Длина периода номер числа
Рис. 29. Схема последовательности псевдослучайных чисел.
с одним из ранее полученных чисел аг (l-^i-^L) (рис. 29).
В дальнейшем подпоследовательность псевдослучайных чисел,
начиная с а1 и кончая aL, будет периодически повторяться.
Число L принято называть длиной отрезка апериодичности.
а число (Z. — г+1) — длиной периода. Разумеется, для раз-
различных значений начальной величины ctj длины отрезка апе-
апериодичности и периода будут различными.
*) Если производить «возмущение» через каждые т чисел, то,
как показал И. М. Соболь, средняя длина периода увеличивается
в Y*n раз.

§ 3. КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ КАЧЕСТВА 237
Необходимо отметить, что при решении задач методом
Монте-Карло на ЭВМ желательно, чтобы количество исполь-
используемых псевдослучайных чисел не превосходило числа L.
В противном случае вероятностный процесс моделировался бы
с помощью повторяющихся псевдослучайных чисел, что, как
правило, приводит к неправильным результатам.
Рассмотрим вопрос относительно определения длины от-
отрезка апериодичности.
В электронной вычислительной машине может быть пред-
представлено лишь конечное число N различных псевдослучайных
чисел. Для псевдослучайных чисел, распределенных на от-
отрезке [0,1] N—21, где I — количество разрядов в ман-
мантиссе ЭВМ.
Предположим, что вместо /V псевдослучайных чисел мы
имели бы TV обычных случайных чисел, с равной вероят-
вероятностью появления любого из них. В этом случае длина от-
отрезка апериодичности L была бы случайной величиной, рас-
распределение которой задавалось бы вероятностями
Рассмотрим асимптотическое распределение случайной
I2
величины 7j = -^j- при Л/->оо. Можно показать, что
ЛГ-»оо I iV
Последнее означает, что случайная величина т; = -jt- распре-
распределена асимптотически как /2 с двумя степенями свободы
(см. § 3, п. в).
Пусть ($>, .... aW — различные начальные значения, ко-
которыми начинается образование последовательности псевдо-
псевдослучайных чисел, а Lv ..., Lm — соответствующие длины
отрезка апериодичности. Применяя аналогичные рассуждения,
можно показать, что случайная величина
распределена асимптотически как у? с 2т степенями сво-
свободы. Последнее обстоятельство позволяет использовать

238 ГЛ. VI. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ
критерий у? для оценки эмпирических значений длины от-
отрезка апериодичности.
В качестве примера приводятся данные получения псевдо-
псевдослучайных чисел на машине «Стрела» по программе, опи-
описанной на стр. 230. При проведении расчетов получались
следующие значения отрезков апериодичности:
?1 = 2,3-105, Z.2=3,5-105. L3=2,8-l05.
Для «Стрелы» 7V=235. Отсюда
,2 , ,2 , ,2
Ч + Ч + ?з Q 7
л =8-7-
В нашем примере т = 3, что соответствует распределению у2
с 6 степенями свободы. Значение 8.7 не выходит за пределы
5%-ного доверительного интервала для у% (см. § 3, п. в).
Таким образом, экспериментальные данные приведенного при-
примера показывают, что псевдослучайные числа по параметрам
периодичности хорошо имитируют случайные.
б) Критерии проверки случайности. В статьях Кендалла
и Бабингтон-Смита [1, 2, 4] разработана система тестов, слу-
служащая для проверки «случайности» распределения. Система
состоит из четырех тестов: а) проверка частот (frequency
test), б) проверка пар (serial test), в) проверка интервалов
(gap test), г) проверка комбинаций (poker test).
Множество псевдослучайных цифр, удовлетворяющих всем
этим тестам, называется локально случайным ([57], [179]).
Все упомянутые выше тесты характеризуются одним и
тем же общим свойством: испытываемые псевдослучайные
числа (или разряды в них) классифицируются по некоторым
признакам (различным для каждого теста), и полученное эмпи-
эмпирическое распределение сравнивается с теоретическим. Для
сравнения обычно используются критерий у2, критерий Кол-
Колмогорова и критерий «о2.
Ниже описывается система тестов Кендалла.
Тест проверки частот (frequency test) сводится к подсчету
количества выборочных объектов совокупности псевдослучай-
псевдослучайных чисел, попавших в интервалы разбиения области опре-
определения псевдослучайных чисел, т. е. отрезка [0, 1]. Обычно
отрезок [0, 1] разбивается на 10—20 равных интервалов.

§ 3. КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ КАЧЕСТВА 239
Следует заметить, что тест проверки частот с успехом
применяется и в случае многомерного распределения. В этом
случае многомерный куб 0 <1 xf <^ 1, l<^t^/i разбивают
на элементарные кубики с равными гранями, а затем произ-
производится подсчет количества псевдослучайных чисел, попавших
в каждый из кубиков из выборки достаточно большого ко-
количества псевдослучайных чисел. Практически объем иссле-
исследуемой совокупности псевдослучайных чисел редко меньше
10 000, а обычно равен 50 000—100 000 чисел. Разумеется,
при исследовании равномерных псевдослучайных чисел, сопо-
сопоставляемое с эмпирическим теоретическое распределение
является равномерным, и ожидаемое количество попавших
в любой интервал псевдослучайных чисел равно NmesVit
где /V — объем выборочной совокупности, a mesV? — длина
интервала разбиения (или объем элементарного кубика).
Тест проверки пар (serial test) наиболее прост и сводится
к подсчету нулей или единиц в разрядах совокупности псевдо-
псевдослучайных чисел, для которой производится проверка. В случае
равномерно распределенных в интервале [0, 1] псевдослучай-
псевдослучайных чисел математическое ожидание содержимого каждого
разряда мантиссы псевдослучайного числа равно 112, ибо ве-
вероятность появления нуля или единицы равна 0,5 *).
Проверка комбинаций (poker test) сводится к подсчету
числа различных комбинаций двоичных разрядов содержимого
псевдослучайных чисел в большой по объему выборочной
совокупности. Пусть, например, проверке подвергается 14 000
псевдослучайных чисел по 10 двоичных разрядов в каждом.
В таблице 11 приводится эмпирическое распределение коли-
количества различных комбинаций двоичных разрядов в сопоста-
сопоставлении с теоретическим равномерным распределением **).
Тест проверки интервалов обычно заменяется тестом про-
проверки серий [33].
Метод серий предусматривает разбиение всех чисел
в исследуемой совокупности псевдослучайных чисел на два
класса — класс а и класс Ь.
Серией называется любой отрезок последовательности,
состоящий из следующих друг за другом чисел одного и
*) Имеются в виду ненормализованные псевдослучайные числа
с нулевым порядком.
**) Журнал Math. Tables and Other Aids Cornput., v. 10, № 53.
1956.

240
ГЛ. VI. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ
Таблица 11
10 нулей
9 нулей
8 нулей
7 нулей
6 нулей
5 нулей
4 нуля
3 нуля
2 нуля
1 нуль
1 единица
2 единицы
3 »
4 »
5 единиц
6 »
7 »
8 »
9 »
10 »
Данные
испытаний
12
149
607
1662
2922
3468
2763
1633
627
143
14
Теоретически подсчи-
подсчитанные данные
13,67
136,72
615,23
1640,63 -у2 = 7,372
2871,09
3445,31 Р = 0,69
2871,09
1640,63
615,23
136,72
13,67
того же класса. Количество чисел в серии называется ее
длиной:
В теории серий обычно используются следующие понятия,
применяющиеся при контроле «случайности»:
ги — число серий класса а длины /,
г21 — число серий класса b длины /,
Rlk = 2 ги — общее число серий класса а с длиной, рав-
ной или большей k (nt — максимальная длина серии класса а).
f}2k — 2 r2i — общее число серий класса Ь, длина кото-
которых не меньше k,
/?i = 2 гш — общее число серий класса а,
/?2 = 2 гчь — общее число серий класса Ъ;
/? = /?х -|- ^2 — общее число серий.
При контроле «случайности» методом серий необходимо
сопоставить теоретическое и эмпирическое распределения
величин Rlk, R2k, Rv R2> R по большой выборке псевдо-
псевдослучайных чисел. При этом необходимо задать доверитель-
вую вероятность р.

§ 3. КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ КАЧЕСТВА 241
Для исследования псевдослучайных чисел, распределенных
равномерно в интервале [0, 1], разбиение чисел на классы
обычно делается следующим образом.
К первому классу а относятся числа, меньшие половины,
к классу Ъ — большие половины. Выборочные значения числа
серий и длин серий чисел первого и второго класса сравниваются
с их теоретическими пределами, определяемыми по следую-
следующим формулам: при достаточно больших и (практически при
и>-20) и /? = 0,95 нижний предел общего количества серий
равен
z = -i- (и -j- 1 — 1,65 уг/Г=7 )
(при и =10 000 z =4918); нижний предел количества серий
из чисел первого (или второго) класса равен
1
z (/?,) = z (Я2) = -?¦(«—1.65
(при «=10 000 «v<4,2
Что касается распределения величин Rik и R2k и опре-
определения предельных значений длины серий /г, то методы ком-
комбинаторики показывают, что предельное верхнее значение
длины серии k составляет
г(Л) = -
(при «=10000 и /> = 0,95 z(ft)=15).
Это значит, что всего лишь в 5% случаев в случайной
последовательности из 10 000 случайных чисел можно встре-
встретить хотя бы одну серию длины 15 или более (для каждого
из классов).
Ниже описываются критерии, используемые для сравнения
эмпирического распределения с теоретическим.
в) Критерии проверки равномерности. Проверка послг-
довательности псевдослучайных чисел на «равномерность» про-
проводится обычно по трем критериям — критерию у^, критерию
Колмогорова и критерию ш2.
Основным, наиболее часто используемым критерием
является критерий х2-
16 Зак. 250. Н. П. Бусленко и др.

242 ГЛ. VI. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ
Критерий yj основан на статистике
i
"Pi
1 = 1
где v(- — количество выборочных объектов в г-м интервале,
а пр1 — математическое ожидание величины vt- при гипотети-
гипотетическом распределении (в данном случае гипотетическим
является равномерное распределение на отрезке [0, 1]).
Если отрезок [0, 1] разбить на I равных интервалов и.
взяв выборку достаточно большого объема га, вычислить сумму
i
то в случае равномерности теоретического распределения эта
сумма будет приближенно распределена как yj с I — 1 сте-
степенями свободы.
Гипотезу относительно распределения псевдослучайных
чисел следует отвергнуть, если у} превосходит верхний до-
доверительный интервал x?_i(P)> где Р— задаваемая довери-
доверительная вероятность и / — 1 — число степеней свободы. Под
доверительной вероятностью р подразумевается такая ве-
вероятность, близкая к 1, что, в случае верности гипотезы
относительно равномерного распределения псевдослучайных
чисел, с вероятностью р полученное значение /2 не превы-
превышает у2(р). Если же это не так, то это значит, что мера
расхождения у2 дает существенное отклонение, и гипотезу
относительно равномерного распределения следует забра-
забраковать.
Чрезмерно малые значения yj следует считать сигналом
о нарушении случайности, ибо в случае истинности гипотезы
вероятность принятия случайной величиной слишком малых
значений крайне мала. Поэтому критическую область «не-
«непринятия гипотезы» целесообразно делать двухсторонней.
Нижний предел для yj может быть установлен по следую-
следующему принципу:
Р {х2 > x?_i Щ = Р \t < xf-i A - />)}.
где x?_i(l — Р) обозначает нижний доверительный предел.

§ 3. КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ КАЧЕСТВА 243
Однократное попадание величины у? в интервал \Д_г A—р>
Z?_i (Р)] еще не дает уверенности в истинности гипотезы,
равно как однократный выход /2 за пределы интервала (осо-
(особенно при р = 0,8-т-0,9) еще не означает уверенности в ее
ложности. Чтобы быть уверенным в суждении относительно
гипотезы, следует провести расчет х2 несколько раз и посмо-
посмотреть, насколько эмпирическое распределение величины со-
согласуется с теоретическим. Так, в случае р = 0,95 однократ-
однократный выход за пределы интервала маловероятен, но отнюдь
не невозможен. В случае истинности гипотезы такой выход
будет иметь место в среднем в одном случае из десяти.
Однако, если в результате двукратно проведенной выборки
дважды имел место случай выхода за пределы интервала,
то это событие имеет вероятность 0,01 и должно считаться
практически невозможным. Результаты испытаний псевдослу-
псевдослучайных чисел с использованием критерия у? представлены
в табл. 13 на стр. 247.
Если при многократном испытании с использованием кри-
критерия Пирсона величина у2 не превысит значения ~Д_х{р), но
каждый раз будет мало от него отличаться, то это свиде-
свидетельствует о необходимости проведения дополнительных иссле-
исследований, ввиду недостаточного согласия гипотетического рав-
равномерного и эмпирического распределения.
Весьма эффективной мерой расхождений служит также
критерий Колмогорова, основанный на статистике
Dn = max\Fn(x)-F(x)\,
где Fn(x)— эмпирическая функция распределения, равная
p=i—— (п — объем выборки, тх — количество объектов
в выборке, не превышающих величины х), a F (х) =
= Р [X <С х)—теоретическая функция распределения [33].
Какова бы ни была непрерывная функция распределения F (х),
вероятность.
при и->оо стремится к пределу*)
*<Х)=1 —2S(-1
. . >=¦
*) См. [33].
16*

244 ГЛ. VI. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ
Значения функции 1—К(к) приведены в таблице 12.
Проверка согласия эмпирического распределения псевдо-
псевдослучайных чисел и теоретического равномерного распределе-
распределения на отрезке [0, 1] проводится по выборке объема /гяьЮОО.
Использование выборок большего объема чрезвычайно за-
затруднительно, ибо образование вариационного ряда при
/г = 1000 даже в случае применения быстродействующих
электронных машин является весьма трудоемкой операцией.
Например, построение вариационного ряда и вычисление ве-
величины Dn Yn производились на машине «Стрела», причем
полное время проверки по критерию Колмогорова составляло
15—20 минут. Гипотеза «равномерности» отвергалась, если
величина Dn \fn превышала 1,5. Весьма нежелательным
является также результат Dn ]/н < 0,5. Осуществление чрез-
чрезмерно «хорошего» согласия указывало бы на то, что «слу-
«случайность» псевдослучайных чисел является сомнительной.
Оптимальным интервалом значений величины Dn \Лг в дан-
данном случае целесообразно считать промежуток @,7—1,0).
Наряду с критериями Колмогорова и /2 нередко приме-
применяется критерий «о2, который выгодно отличается от крите-
критерия у? тем, что основывается только на индивидуальных
значениях выборки, а не на данных о разбиении по интервалам.
Основой критерия о>2 является статистика
+ ОО
где F(X)— теоретическая функция распределения, Fn(x)—
эмпирическая функция распределения (и— объем выборки).
Если расположить выборочные значения хх, ..., хп в вариа-
вариационный ряд, то в случае непрерывной функции F(x) имеем
Распределение случайной величины ш2 не зависит от F(x).
Поскольку критерии Колмогорова и «о2 требуют построе-
построения вариационного ряда, то при сколько-нибудь значительном
объеме выборки п для вычисления статистик Dn Y^ и ш2
целесообразно применять быстродействующие счетные машины!

§ 3. КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ КАЧЕСТВА 245
Таблица 12
Таблица значений функции 1 — АГ(X) = 2 (—\)ье~2тг
к
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
1-R- (X)
0,000001
0,000004
0,000009
0,000021
0,000046
0,000091
0,000171
0,000303
0,000511
0,000826
0,001285
0,001929
0,002808
0,003972
0,005476
0,007377
0,009730
0,012590
0,016005
0,020022
0,024682
0,030017
0,036055
0,042814
0,050306
0,058534
0,067497
0,077183
0,087577
0,098656
0,110395
0,122760
0,135718
0,149229
0,163225
0,177753
0,192677
0,207987
0,223636
X
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1-К (X)
0,239582
0,255780
0,272189
0,288765
0,305471
0,322265
0,339113
0,355981
0,372833
0,389640
0,406372
0,423002
0,439505
0,455857
0,472041
0,488030
0,503808
0,519366
0,534682
0,549744
0,564546
0,579070
0,593316
0,607270
0,620928
0,634286
0,647338
0,660082
0,672516
0,684636
0,696444
0,707940
0,719126
0,730000
0,740566
0,750826
0,760780
0,770434
0,779794
X
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1-К (Л)
0,788860
0,797636
0,806128
0,814342
0,822282
0,829950
0,837356
0,844502
0,851394
0,858038
0,864442
0,870612
0,876548
0,882258
0,887750
0,893030
0,898104
0,902972
0,907648
0,912132
0,916432
0,920556
0,924505
0,928288
0,931908
0,935370
0,938682
0,941848
0,944872
0,947756
0,950512
0,953142
0,955650
0,958040
0,960318
0,962486
0,964552
0,966516
0,968382

246 ГЛ. VI. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ
Продолжение
л
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
i-#<>.) !
0,970158
0,971846
0,973448
0,974970
0,976412
0,977782
0,979080
0,980310
0,981476
0,982578
0,983622
0,984610
0,985544
0,986426
0,987260
0,988048
0,988791
0,989492
0,990154
0,990777
0,931364
0,991917
0,992438
0,992928
0,993389
0,993828
0,994230
0,994612
0,994972
0,995309
0,995625
0,995922
0,996200
0,996460
0,996704
0,996932
0,997146
1
у.
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88 •
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1.98
1,99
2,00
2,01
2,02
2,03
2,04
2,05
2,06
2,07
2,08
2,09
2,10
2,11
2,12
2,13
2,14
2,15
2,16
2,17
2,18
1-К (а)
0,997346
0,997533
0,997707
0,997870
0,998023
0,998145
0,998297
0,998421
0,998536
0,998644
0,998744
0,998837
0,998924
0,999004
0,999079
0,999149
0,999213
0,999273
0,999329
0,999380
0,999428
0,999474
0,999516
0,999562
0,999588
0,999620
i 0,999650
0,999680
0,999705
0,999723
0,999750
0,999770
0,999790
0,999806
0,999822
0,999838
0,999852
X
2,19
2,20
2,21
2,22
2,23
2,24
2,25
2,26
2,27 ,
2,28 .
2,29
2,30
2,31
2,32
2,33
2,34 :
2,35
2,36
2,37
2,38
2,39
2,40
2,41
2,42
2,43
2,44
2,45
2,46
2,47
2,48
2,49
2,50
2,55
2,60
2,65
2,70
2,75
1-К (А)
0,999864
0,999874
0,999886
0,999893
0,999904
0,999912
0,999920
0,999926
0,999934
0,999940
0,999944
0,999949
0,999954
0,999958
0,999962
0,999965
0,999968
0,999970
0,999973
0,999976
0,999978
0,999980
0,999982
0,999984
0,999986
0,999987
0,999988
0,999989
0,999990
0,999991
0,999992а
0,9999925
0,9999956
0,9999974
0,9999984
0,9999990
0,9999994
По критерию со2 (л= 1000) гипотеза «равномерности» должна
отвергаться, если ю2 > 0,0005.
В таблице 13 приводятся результаты испытаний псевдо-
псевдослучайных чисел с использованием одновременно трех крите-
критериев — х2» Колмогорова и ш2. Испытываемые псевдослучайные

§ 3. КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ КАЧЕСТВА
247
числа распределены равномерно в интервале [0,1] и образо-
образованы на машине «Стрела» с помощью трехкомандной про-
программы. Испытания проводились для 10 различных начальных
значений а^. Объем проверяемой совокупности п равен 10 000.
Таблица 13
значений
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X2
15,4
14,6
20,1
17,2
17,4
24,1
12,8
19,4
16,5
26,7
DnV~n
0,84
0,69
1,10
0,74
0,62
1,04
0,91
0,87
0,79
0,65
0,00039
0,00013
0,00027
0,00009
0,00019
0,00014
0,00007
0,00015
0,00044
0,00011
Из таблицы видно, что для всех <х0 имеем 10 < yj < 30,
и, таким образом, оснований для отказа от гипотезы нет.
Помимо этого можно заметить, что распределение десяти
выборочных значений х2 в общем следует закону распреде-
распределения yj с 19 степенями свободы.
Так, в интервал [15, 25] при этом распределении должно
попадать большинство (около 50%) значений величины и это
вполне согласуется с данными опытов. Это может служить
основанием для принятия гипотезы о равномерности распре-
распределения псевдослучайных чисел.
Распределение представленных в таблице величин Dn yn
согласуется с предельным распределением критерия Колмо-
Колмогорова. В оптимальный интервал [0,7; 1,0] попадает большин-
большинство значений, что соответствует теоретическим расчетам.
Данные по критерию Колмогорова подтверждают истинность
гипотезы.
При проверке «случайности» и распределения псевдо-
псевдослучайных чисел целесообразно проверить правильность
работы программы в целом. Этого можно достигнуть вычисле-
вычислением какого-либо параметра в контрольной задаче, значение
которого известно априорно. Разумеется, расчет величины
параметра производится методом случайных испытаний

248 ГЛ. VI. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ
с использованием псевдослучайных чисел. Если вычисленный
результат не отклоняется от априорного значения больше,
чем на теоретически подсчитанную статистическую погреш-
погрешность, то это означает, что недостатки псевдослучайных чисел
не оказывают влияния на ход вычислений и их можно
принять. В противном случае необходимо изменить программу
и повторить контрольные вычисления до получения положи-
положительного результата. Так, например, в качестве контрольной
задачи может быть выбран расчет объема н-мерной гипер-
гиперсферы. Объем «-мерной гиперсферы, как известно, равен
о -пр. '-
v.=--
Если Еп — гиперкуб — 1 ^ xt ^ 1 A ^ I ^ га), то отношение
объемов Vn и Еп
"О„
может быть вычислено по методу Монте-Карло.
В заключение необходимо отметить, что удовлетворитель-
удовлетворительные результаты в случае однократного применения какого-
либо критерия согласия при проверке псевдослучайных чисел
еще не гарантируют хорошего качества этих чисел. Лишь
многократное исследование псевдослучайных чисел с помощью
того или иного критерия согласия, основанное на сравнении
теоретического распределения с эмпирическим распределе-
распределением статистики, на которой основан критерий (т. е. х2.
Dn ]/~n или ш2). может дать основание считать данный метод
получения последовательности псевдослучайных чисел вполне
удовлетворительным.
§ 4. Физическое генерирование равномерных
случайных величин
Получение равномерно распределенных на интервале [0, 1]
случайных чисел можно производить посредством случайного
физического процесса. Для этого разрабатываются и конструи-
конструируются специальные «приставки» к электронным вычисли-
вычислительным машинам—датчики случайных чисел (ДСЧ). Использо-

§ 4. ФИЗИЧЕСКОЕ ГЕНЕРИРОВАНИЕ ' 249
вание ДСЧ на электронных счетных машинах позволяет
получать комбинацию случайных двоичных разрядов в разряд-
разрядной сетке представленного в ЭВМ случайного числа.
Имеются два основных способа получения случайных чисел
с помощью физического процесса. Первый способ основан на
излучении радиоактивных веществ, второй — на шумах
электронных ламп. В соответствии с используемым
физическим процессом датчики случайных чисел делятся на
радиоактивные и радиошумовые.
Переходим к рассмотрению радиошумовых датчиков слу-
случайных чисел. Сначала опишем наиболее часто применяемые
источники шумов радиошумовых ДСЧ, после чего перейдем
к описанию схем самих датчиков случайных чисел.
Основой работы каждого радиошумового ДСЧ является
источник шумов — генератор шумов. В ряде электронных
схем имеются собственные флуктуационные шумы, которые
при надлежащем усилении могут обеспечить достаточную
флуктуацию выходного напряжения. К таким внутренним
источникам флуктуации относятся
а) тепловой шум. вызванный движением электронов в про-
пространственном заряде лампы.
б) дробовой эффект, обусловленный неравномерностью
во времени количества электронов, вылетающих с поверх-
поверхности катода, и ряд других источников.
К внешним источникам флюктуации относятся переменные
электрические и магнитные поля генераторов, космический
радиошум, газоразрядные приборы и т. д. Все перечисленные
источники флюктуации могут быть использованы при проекти-
проектировании генераторов шумов.
Разработано несколько типичных схем генераторов шумов,
дающих хорошие результаты в датчиках случайных чисел.
Приводимые ниже схемы генераторов шумов предложены
В. П. Смирягиным в Вычислительном центре АН СССР [26, 28].
На рис. 30 представлена схема генератора шумов с шумо-
шумовым элементом — германиевым триодом С1 Д. Генератор шумов
вырабатывает серию из случайного количества импульсов, ко-
которые усиливаются и формируются в стандартные импульсы.
Из этих импульсов в ДСЧ в последующих преобразованиях
образуется двоичный код случайного числа.
На рис. 31 показана схема генератора шумов, шумовой
элемент которого собран на газотроне с магнитом. При соот-

250 ГЛ. VI. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ
Рис. 30. Генератор шумов с германиевым триодом.
Рис. 31. Генератор шумов на газотроне с магнитом.

§ 4. ФИЗИЧЕСКОЕ ГЕНЕРИРОВАНИЕ 251
ветствующей ориентации магнита непосредственно с газотрона
можно получить шумовые импульсы порядка нескольких
десятков милливольт. Выходные сигналы с газотрона посту-
поступают на вход усилителя, а на выходе схемы получаются
рабочие сигналы с амплитудой 25-4-40 в.
Из рассмотренных схем генераторов шумов практически
лучшие результаты в работе ДСЧ дают схемы генераторов
шумов на газотроне с магнитом.
Из промышленных образцов генераторов шумов следует
рекомендовать генератор шумов ГШН (диапазон частот
50 гч-^-6 мгц, эффективное значение выходных сигна-
сигналов 0,75 вольт, выходное сопротивление 75 ом-\- \%).
Схемы радиошумовых датчиков случайных чисел.
В соответствии с различными схемными построениями датчики
случайных чисел можно разделить на три группы:
1. Схемы датчиков случайных чисел, в которых исполь-
эуется случайное состояние системы (схемы) после возмущения
(включение, выключение, пуск, останов).
2. Схемы датчиков случайных чисел, в которых регистри-
регистрируются случайные (по длительности) отрезки времени. В эти
различные (и случайные) интервалы формирования на счетчик
или триггер посылаются стандартные импульсы фиксированной
частоты.
3. Схемы датчиков случайных чисел, в которых регистри-
регистрируется число случайных импульсов за фиксированный интервал
времени At.
Приводим несколько примеров ДСЧ, относящихся к раз-
различным перечисленным выше группам.
1) Одним из наиболее типичных ДСЧ случайного состоя-
состояния системы является датчик случайных чисел, разработанный
В. В. Чавчанидзе [64]. Этот датчик случайных чисел является
электромеханическим и представляет собой небольшой электро-
электромотор со скоростью вращения около 3000 оборотов в минуту.
Для устранения резонансных колебаний мотор устанавли-
устанавливается на массивном основании. На оси мотора закрепляется
круглый диск диаметром 10 см. Окружность диска разделена
на 100 равных частей, занумерованных от 0 до 99. Против
диска неподвижно закрепляется стрелка-указатель. Мотор
включается на 2->3 секунды, потом выключается и остана-
останавливается при помощи тормоза. При этом стрелка указывает

252 ГЛ. VI. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ
некоторое деление на остановившемся диске. Соответствующее
случайное число (деление) записывается в таблицу, а мотор
включается снова для получения следующего случайного числа.
Ввиду того, что из соображений симметрии стрелка
с равной вероятностью останавливается против любого из
делений (от 0 до 99), такой ДСЧ вырабатывает равномерно
распределенные случайные числа, принимающие дискретные
значения от 0 до 99. На получение одного случайного числа
в электромеханическом ДСЧ тратится несколько секунд.
По сравнению с работой электронных вычислительных машин
этот процесс образования случайных чисел является очень
медленным. Небольшая ско-
скорость и ручные операции (пуск,
стоп, запись делений диска) де-
делают такого рода ДСЧ неприем-
неприемлемыми для электронных вычи-
вычислительных машин. Зато его
очень удобно применять в тех
случаях, когда необходимо по-
получить сравнительно большое
количество случайных чисел
без использования ЭВМ.
2) Интересной схемой ДСЧ
случайного состояния систе-
системы является датчик случайных
чисел, разработанный 3. Пола-
ком (Польская Народная Респу-
Республика) [228]. В ДСЧ Полака ис-
используется случайное состояние
электронной схемы, а не элек-
электромеханической, как в предыдущем примере. На рис. 32 изо-
изображена приведенная в [228] схема Полака — схема триггера
с ключом К включения его анодного питания.
Каждое включение ключа К ставит триггер (случайная уста-
установка) в одно из возможных состояний: А или В. С помощью
этой схемы можно получить Ik случайных элементов, где
ключа К ставит триггер
Рис. 32. Схема триггера.
[ А, если j-e включение
в положение А,
В, если у-е включение
в положение В.
ключа К ставит триггер

§ 4. ФИЗИЧЕСКОЕ ГЕНЕРИРОВАНИЕ 253
Таким образом, можно получить конечную совокупность
статистически независимых положений А и В. Ниже приво-
приводится одна из совокупностей положений триггера после
включения:
ААВЛАВВАВВААВВВАВВАВ.
Пусть *[k — совокупность k пар элементов X2k таких, что
Т« == X2t-v Х2р где 1 -С' -С *• Опуская в последователь-
последовательности 7а все элементы АА и ВВ, получим третью совокуп-
совокупность, элементы которой есть только пары вида АВ и В А.
Обозначим эти пары соответственно через 0 и 1.
Пусть Pj(A) и Р](В) — вероятности того, что у-е вклю-
включение контакта К ставит триггер в положение А или В.
Предполагая, что триггер асимметричен
PJ(A)>PJ(B).
и полагая неизменными свойства триггера между двумя вклю-
включениями, можно написать
Из F.1) и F.2) имеем
^21-1 И) Pil (В) = Pit И) Р21-1 (В).
F.
F.
F
F
1)
2)
.3)
•4)
F.5)
F
.6)
Так как
и
то
где Р?@) и РгA) — вероятности получить значение 0 и 1
на i-м месте совокупности ^й. Нулем @) или единицей A),
как указывалось выше, обозначаются пары последователь-
последовательных состояний триггера, соответственно вида АВ и ВА.
Схема такого триггера дает возможность получить случай-
случайное состояние одного двоичного разряда. С помощью N та-
таких включающихся триггеров можно собрать датчик слу-
случайных чисел на N двоичных разрядов.

254 ГЛ. VI. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ
3) На машине БЭСМ-Н в Вычислительном центре АН СССР
разработан макет ДСЧ, в котором используется схема Полака.
Этот датчик случайных чисел относится ко второй группе
датчиков случайного интервала формирования.
На рис. 33 приведена блок-схема этого датчика случай-
случайных чисел. Шумовые сигналы вырабатываются генератором
шумов, собранным на газотроне ТПП с выходной форми-
формирующей лампой. Импульсы с генератора шумов поступают
! гш
т,
л.
_ ?¦
Т-Г
л.
1_г
1
К
Импульсы сдвига
импульсы m 32 разряди
(сумматор числа ОВЗСЧ-И)
.ЛЛЛЛ-
Рис. 33. Упрощенная блок-схема ДСЧ
на БЭСМ-И.
в узел коррекции на триггер Тг. Шумовые импульсы пере-
перебрасывают триггеры 7\ и Т2 в случайной последовательности,
в интервалы формирования которых могут проходить им-
импульсы фиксированной частоты /=200 кгц. Триггер 7\ мо-
может иметь два возможных состояния А или В. При работе
ДСЧ получается случайная совокупность положений триг-
триггера 7\ следующего возможного вида:
АВВАВВВААВААА.
Специальная схема коррекции исключает из случайной сово-
совокупности положений триггера элементы вида АА и ВВ и с по-
помощью второго триггера Т2 образует новую последователь-
последовательность, элементы которой суть только пары вида АВ и ВА.
Обозначим эти пары соответственно через 0 и 1.
Совершенно аналогично приведенным выше соображениям
можно показать, что

§ 4. ФИЗИЧЕСКОЕ ГЕНЕРИРОВАНИЕ
255
Другими словами, вероятность того, что /-й импульс поста-
поставит триггер Г, в нулевое положение, равна вероятности по-"
становки его в положение единицы.
Приводимая схема коррекции, таким образом, дает воз-
возможность получить равновероятные случайные двоичные
разряды. Узел коррекции формирует случайные кодовые
импульсы (которые поступают на младший разряд сдвигового
регистра) и импульсы сдвига, которые по общей шине посту-
поступают на все 32 разряда сумматора числа.
4) Датчики случайных чисел, основанные на регистрации
случайного количества импульсов в фиксированный интервал
времени, используются в настоящее время в ряде научных
организаций Советского Союза. Приводим схемное построе-
построение датчика случайных чисел, построенного на электронной
вычислительной машине «Стрела» в Вычислительном центре
АН СССР. Подробное описание схемы и работы датчика
приведено в [26].
Источником шумовых сигналов является генератор шумов,
собранный на газотроне ТПП с магнитом (см. схему на
рис. 31). Блок-схема датчика случайных чисел дана на рис. 34.
Рис. 34. Блок-схема ДСЧ на машине «Стрела».
Лицевая сторона Д€Ч на машине «Стрела» изображена на
рис. 35. Датчик случайных чисел предназначен для одновре-
одновременного получения двенадцатиразрядных двоичных чисел.
Все 12 разрядов работают независимо друг от друга от

256 ГЛ. VI. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ
индивидуальных генераторов шумов. Каждый разряд датчика
содержит генератор шумов, клапан, формирователь, триггер
и выходной инвертор.
В каждый такт работы машины «Стрела» датчик случай-
случайных чисел вырабатывает случайное число, которое поступает
в фиксированную ячейку накопителя констант (ей присвоен
Рис. 35. Фотография ДСЧ на машине «Стрела».
номер 7757). Пересылка случайного числа из ячейки 7757 в рабо-
рабочую ячейку а производится по команде | 77571 — | а | О 1131 .
Переходим к описанию работы ДСЧ. Случайное коли-
количество импульсов с генератора шумов проходит через клапан
и формирователь на счетный вход триггера. Схема клапана
представлена на рис. 36. Клапан имеет два управляющих
входа. На один вход поступают импульсы от генератора
шумов, а на второй — разрешающие положительные импульсы
с одновибратора. Чтобы обеспечить выдачу случайных чисел
с каждым тактом работы машины, одновибратор в начале
такта запускается специальным импульсом, подаваемым с
устройства управления машины «Стрела». На выходе клапана

§ 4. ФИЗИЧЕСКОЕ ГЕНЕРИРОВАНИЕ
257
импульсы появляются при совпадении широкого разрешаю-
разрешающего сигнала одновибратора с импульсами от генератора
шумов.
Импульсы с клапана через формирователь поступают на
счетный вход триггера, схема которого представлена на
Рис. 36. Схема клапана ДСЧ.
рис. 37. Триггер регистрирует случайное количество посту-
поступивших на его вход импульсов (четное или нечетное), при-
принимая после окончания поступления импульсов одно из двух
случайных состояний — нуль @) или единица A). Случайные
состояния всех 12 триггеров @ или 1) через инверторы
передаются в соответствующие разряды ячейки 7757 накопи-
накопителя констант. Схема инвертора показана на рис. 38. Две-
Двенадцать разрядов ДСЧ закоммутированы в 12 старших раз-
разрядах мантиссы числа.
Конструктивно все элементы ДСЧ выполнены иа стан-
стандартных съемных блочках.
Ф. Штерцер (Англия) сконструировал датчик случайных
чисел, использующий субгармонические генераторы [245].
Датчик случайных чисел представляет собой электронное
устройство непрерывного действия, способное вырабатывать
случайные двоичные знаки со скоростью порядка 3 • 107 зна-
знаков в секунду. Скорость выработки может быть увеличена
путем параллельного включения нескольких устройств.
17 Зак. 250. Н. П. Бусленко и др.

258
ГЛ. VI. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ
Принцип работы устройства состоит в следующем. Два
субгармонических генератора возбуждаются общим источником
ft?
еп
Рис. 37. Схема триггера ДСЧ.
С/0 (Д)
Рис. 38. Схема инвертора ДСЧ.
колебаний частотой около 4000 мгц. Выходные сигналы
генераторов имеют половинную частоту около 2000 мгц.

§ 4. ФИЗИЧЕСКОЕ ГЕНЕРИРОВАНИЕ 259
Благодаря наличию шумов фазы выходных сигналов являются
случайными во времени величинами. Случайное устройство
сравнивает фазы выходных сигналов генераторов и выраба-
вырабатывает последовательность двоичных сигналов. Единицы
появляются в случае совпадения фаз, а нули — если сигналы
находятся в противофазе. В устройстве используются кли-
стронный генератор, волноводы, кристаллические диоды.
Упомянем также о датчике случайных чисел, разработан-
разработанном II. А. Данильченко. Математические основы этой при-
приставки к электронной вычислительной машине «Стрела» опи-
описаны в [30]. Идея конструкции состоит в выравнивании
вероятностей появления двоичных цифр в разрядах ДСЧ
совмещением прямых и инверсных представлений. Датчик
случайных чисел получает случайные двоичные разряды
с вероятностью появления нуля, близкой к 0.5, и отличается
стабильной и устойчивой работой.
Переходим к описанию радиоактивных датчиков случайных
чисел. Радиоактивные ДСЧ обычно состоят из источника
излучения радиоактивных частиц и счетчика. Последний счи-
считает отмеченные за некоторый интервал времени At радио-
радиоактивные частицы. Если это число четно, то случайный,
связанный с соответствующим счетчиком разряд ДСЧ пола-
полагается равным нулю. Если же число частиц нечетно, то зна-
значение случайного разряда считается равным единице. Нетрудно
подсчитать, что если вероятность излучения радиоактивным
веществом k радиоактивных частиц за время Ы: равна
то вероятность появления четного числа частиц за время
равна
Если ~>-&t достаточно велико, то значение р близко к 0,5.
Хорошим источником излучения радиоактивных частиц
является радиоактивный кобальт. На рис. 39 представлена
схема счетчика радиоактивного датчика случайных чисел,
работающего от р-частиц, излучаемых радиоактивным кобаль-
кобальтом. Счетчик р-частиц типа СТС-2 подключался на вход
17*

260 ГЛ. VI. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ
трехкаскадного усилителя. Этот счетчик изображен на рис. 40.
Использование безвредных для человека датчиков частиц
давало сравнительно низкие частоты. Например, светящийся
циферблат часов давал случайные импульсы с частотой повто-
повторения в несколько герц. Более интенсивные источники р-частиц
позволяют получить хорошие результаты работы датчика
случайных чисел.
Датчик, использующий счетчик радиоактивного излу-
излучения, установлен на электронной вычислительной машине G-2
<D
Рис. 39. Схема счетчика радиоактивного ДСЧ.
в Геттингене, в институте Физики им. Макса Планка. Блок-
схема этого датчика представлена на рис. 41. В нем исполь-
используется одноразрядный счетчик радиоактивного излучения
-f-квантов. Случайные состояния «0» и «1» поступают с триг-
триггера на вход вентиля. Триггер перебрасывается после каждой
регистрации f-кванта. Датчик дает 800 случайных знаков
в секунду при числе регистрации до 4000 -у-квантов в се-
секунду.
Целью работы ДСЧ является получение случайных чисел,
равномерно распределенных в интервале [0, 1]. Поэтому
проверка качества получаемых чисел есть одновременно и
контроль работы самого датчика. Ввиду необходимости
периодической оценки образуемых с помощью ДСЧ случай-
случайных чисел необходимо установить критерии его хорошей
работы и выработать соответствующую методику проверки
ДСЧ.

§ 4. ФИЗИЧЕСКОЕ ГЕНЕРИРОВАНИЕ
261
Одной из наиболее важных характеристик датчика слу-
случайных чисел является оценка вероятности появления нуля
или единицы в каждом разряде
случайного числа или, иными сло-
словами, оценка максимального от-
отклонения вероятности появления
нуля или единицы от номиналь-
номинального значения, равного 0,5. Ве-
Вероятность, равная 0,5. может
иметь место лишь в случае иде-
идеального ДСЧ, дающего точное,
строго равномерное распределе-
распределение. На практике, однако, такое
положение никогда не имеет ме-
места. Непостоянство параметров
схемы, потеря лампами эмиссии и
другие причины влекут за собой
разлаживание ДСЧ, причем рас-
распределение вырабатываемых им
случайных чисел отклоняется от
равномерного. Примем, поэтому,
что вероятность появления нуля
r кяжлпм пячпяпр панна не 0 Ч Рис- 40- Фотография счет-
в каждом разряде равна не и,й, чика радиоактивного ДСч
а 0,5A+6), а вероятность по- с пластинками радиоактив-
явления единицы — соответствен- иого кобальта,
но 0,5A—8).
Существует ряд эффективных способов уменьшения вели-
величины смещения 8. Так, хорошие результаты, например,
Выход случай-
случайных знвкоВ
Опрашивающие
импульсы
„Рис. 41. Датчик случайных чисел на машине
G-2 в Геттингене: / — радиоактивный пре-
препарат, 2—счетная трубка, 3 — триггер,
4 — вентиль.
дает замена последовательности случайных двоичных чисел
ДСЧ (У другой случайной последовательностью {•»],}. где
18 Зак. 250. Н. П. Бусленко н др.

262 ГЛ. VI. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ
2). Значение ^ равно единице, если значе-
значения Ej_j и ?, различны, и равно нулю в противном случае.
При этом
Соответственно Р{^=1} равно уA—о2). При этом сме-
смещение 8 получается с большим порядком малости (82 вместо 8)
(см. [30]).
Практически такой способ может быть реализован путем
суммирования случайных разрядов по модулю два в счетной
ячейке ДСЧ.
Проанализируем более подробно некоторые характери-
характеристики работы ДСЧ. Допустим, что последовательность неза-
независимых случайных двоичных чисел {<;,-}, полученных с по-
помощью ДСЧ, имеет неравномерное распределение нулей и
единиц. Примем вероятность появления нуля для любого
элемента \t равной 0,5A -\-8)= р, а единицы — соответ-
соответственно 0,5A—8). Предположим, что длина этой последо-
последовательности п достаточно велика.
Одной из наиболее важных статистических характеристик
последовательности {^} является оценка числа нулей (или
единиц) для достаточно большого объема п.
В частности, представляет интерес оценка относительного
отклонения Р{п, т, р) от Р(п, т, 0,5) при большом п, где
Р{п, т, р) = С?рт{1-р)п-т
— вероятность появления т нулей (или единиц) в и-значной
последовательности двоичных чисел.
Пользуясь локальной теоремой Муавра — Лапласа, можно
показать, что
где С — константа, которая при достаточно большом п может
быть сделана сколь угодно малой. Относительное отклоне-
отклонение Д прямо пропорционально 8 и у п.

§ 4. ФИЗИЧЕСКОЕ ГЕНЕРИРОВАНИЕ 263
Интересно согласовать этот результат с аналогичной
оценкой в случае малых п. Заметим, что все приводимые
ниже оценки сверху относятся к абсолютной величине откло-
отклонения Д.
Будем, как и прежде, считать, что вероятность появления
нуля в каждом разряде ДСЧ равна /? = 0,5A -f-8), а вероят-
вероятность единицы соответственно 9 = 0,5A —8). Предположим,
что датчик случайных чисел вырабатывает случайные числа
на п разрядов. Оценим относительное отклонение вероят-
вероятности Р(п, т, р) того, что случайное число ДСЧ содержит т
нулей, от номинальной Р{п, т, 0,5).
Пользуясь теоремой Бернулли, получаем
Если требуется найти такое 8, для которого | Д | < До
A > Дц > 0 — заданное число), то соответствующее |80| сле-
следует выбрать равным A -|-Д0)" — 1.
Действительно, полагая A+|80|)"—1 равным До, полу-
получаем искомый результат.
Таким образом, |Д|<Д0, если |8|<|8О|.
Заметим, что при малых 8 для |Д| существует простая
линейная оценка сверху.
Пусть 0 < 8 < ~ . Тогда
Д<8(ге + 0,5).
Итак, при малых п оценка сверху для относительного
отклонения Д пропорциональна п. а не Yn> как в случае
больших п. Дело в том, что отклонение Д имеет одинаковый
порядок малости с Ьп только для т, находящихся на концах
интервала [0, га]. Для т~-к- значение Д близко к нулю.
При больших п частные отклонения Д, накладываясь
друг на друга, дают в результате суммарное, общее откло-
отклонение. Это суммарное отклонение лежит между наибольшим
и наименьшим частными отклонениями и поэтому пропор-
пропорционально не п, а только У п. Оценим относительное откло-
отклонение функции распределения числа нулей (или единиц) для
случая р = 0,5 A -\- 8) сравнительно с р = 0,5 при небольших п.
18*

264 ГЛ. VI. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ
Имеем
Относительное отклонение Д будет в этом случае иметь сле-
следующий вид:
Чг
Г slt-m-1(l—s)mds
V.
Г sn-m-i A — ^
о
можно показать, что
Д<8(л — т)
или, так как я— т^.п,
Приведенная оценка Д показывает, что отклонение Д
с ростом т убывает и равно нулю при т = п.
Для того чтобы значение величины 8 в каждом разряде ДСЧ
было достаточно мало, необходимо предусмотреть ряд кон-
конструктивных требований к отдельным элементам ДСЧ. Разу-
Разумеется, такого рода требования должны быть теоретически
обоснованы.
Рассмотрим датчики случайных чисел, построенные по
наиболее простой схеме: генератор шумов — клапан—триг-
клапан—триггер — инвертор, и найдем зависимость между величиной 8 и
некоторыми параметрами триггера. Хорошо известно, что
именно асимметрия последнего играет главную роль в неравно-
неравномерности соответствующего случайного разряда.
Генератор шумов в датчике случайных чисел состоит из
шумового элемента и усилителя. С усилителя импульсы по-
поступают через клапан и формирователь на триггер ДСЧ.
Как известно, триггер может принимать два противопо-
противоположных состояния — состояние А (которому в счетной ячейке

§ 4. ФИЗИЧЕСКОЕ ГЕНЕРИРОВАНИЕ 265
присваивается значение нуль) и состояние В (которому при-
присваивается значение единица).
Для того чтобы перебросить триггер из одного состояния
в другое, на его счетный вход необходимо подать импульс
определенной амплитуды. Предположим, что минимальная ам-
амплитуда импульса, способного перебросить триггер из состоя-
состояния А в состояние В, равна с,. При этом импульс, перебрасы-
перебрасывающий триггер из одного состояния в другое, может быть
недостаточным для обратной переброски триггера.
Без всякого ограничения общности мы можем предполо-
предположить, что минимальная,амплитуда импульса, способного со-
совершить обратную переброску триггера из положения В
в положение А, равна а2 и я2 > а\- Импульс с амплитудой,
большей а2, осуществляет, таким образом, переброску триг-
триггера в обоих направлениях.
Импульсы с весьма большой амплитудой отличаются
свойством осуществлять двойную переброску триггера — из
одного положения в другое и обратно. Пусть минимальная
амплитуда подобного импульса равна а3 > а2.
Пусть вероятность того, что импульс будет иметь ампли-
амплитуду, меньшую уровня с,, равна рг:
. Р {« < «ij = Pi-
Обозначим через р2 вероятность того, что амплитуда нмпулься
будет лежать в пределах от аг до а2:
Р{а, <и<о2}=/?2.
Пусть р3 — вероятность того, что амплитуда импульса будет
лежать в пределах от а2 до а3:
Р {«2 < и < аз) = /V
Обозначим через /?4 вероятность того, что амплитуда
импульса не будет меньше а3
Р {и > а3} = р4.
Вероятность того, что после прихода re-го импульса триг-
триггер займет положение А, обозначим через Рп. а вероятность
противоположного события — через Qn.
Если триггер до начала работы ДСЧ находился в поло-
положении А, то вероятность такого события обозначим Р^,
а противоположного события — Qo.
19 Зак. 250. Н. П. Буеленко и др.

266 ГЛ. VI. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ
Разумеется, нам необходимо оценить вероятность появле-
появления нуля (или единицы) в разряде ДСЧ при стационарном,
установившемся процессе получения случайных двоичных раз-
разрядов с соответствующего триггера. Для этого необходимо
изучить поведение Рп в процессе установления стационарного
режима работы ДСЧ.
Применяя элементарную теорию марковских процессов,
можно доказать следующее:
Пусть pj — вероятность несрабатывания триггера после
прихода импульса с генератора шумов, а р2, рг, р4-—вероят-
р4-—вероятности, соответственно, односторонней, двухсторонней и двоич-
двоичной перебросок триггера. Тогда вероятность появления нуля
в соответствующем разряде при установлении стационарного
режима работы ДСЧ выражается формулой
где рп — вероятность принятия триггером нулевого положе-
положения после прихода «-го импульса, а Ро — вероятность того же
события до начала работы ДСЧ.
Для достаточно большого п можно считать Рп равным
р^. Рз
Отсюда
Если р2<^ръ, то
Если рассматривать срабатывание от всех импульсов, то,
полагая Pi = 0, получим
Если />2<С/>з и />4<СРз> т0 />з~1 и отсюда
Если положить разность Q — Р равной 0,001, то р2 — 0,002.

§ 4. ФИЗИЧЕСКОЕ ГЕНЕРИРОВАНИЕ 267
Так как Q — Р = 8, то
Если напряжение генератора шумов равно УГш вольт, то
в случае использования формулы /?2:=^28 напряжение раз-
разности срабатываний, приведенное ко входу усилителя, должно
быть
Если коэффициент усиления усилителя равен k, то разброс
уровней срабатываний триггера должен быть не более
Если k = 40, Д = 0,01. Vru, = 2,5 в и п = 12. то
Д1/яй0,2 в.
Если средний уровень срабатывания триггера равен, на-
например, 15 в, то необходимо в триггере предусмотреть такую
стабильность сопротивлений и напряжений, чтобы относи-
относительный коэффициент разности срабатываний не превышал
— • 100% «1.3%.
Такие теоретически полученные условия накладывают на
параметры ДСЧ весьма жесткие ограничения. Более того,
подавляющее большинство удовлетворительно работающих
в настоящее время датчиков случайных чисел не удовлетво-
удовлетворяют этим условиям. Но в этом нередко нет никакой нужды,
ибо качество образованных с помощью ДСЧ случайных чисел
в основном оценивается с помощью системы принятых ста-
статистических критериев, которым совокупность случайных
чисел должна удовлетворять*).
Ряд датчиков случайных чисел, работающих в настоящее
время стабильно и достаточно качественно, удовлетворяет
системе статистических тестов, хотя в отдельных случаях
отклонения вероятностей появления отдельных комбинаций
в разрядной сетке и превышают критические значения.
Для характеристики возможностей ДСЧ приведем в ка-
качестве примера некоторые данные датчика случайных чисел,
*) Кроме того, вероятности в отдельных разрядах могут урав-
уравниваться с помощью ряда специальных приемов, описанных в гл. I
(§ 3), а также в- [26, 28, 30].
19*

268 ГЛ. VI. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ
работающего на машине «Стрела» в Вычислительном центов
АН СССР 126].
На основании решения ряда задач с помощью этого
датчика и многократных тестовых проверок можно сделать
следующие выводы:
1) ДСЧ дает относительную погрешность результатов, не
превышающую 10—12%, однако для подавляющего большин-
большинства задач эта погрешность меньше 10% и находится в пре-
пределах 4—10%.
2) Вероятность появления единицы или нуля в любом
двоичном разряде числа, образованного с помощью ДСЧ,
колеблется в интервале 0,44 < рь < 0,56. Эта оценка полу-
получена в результате ряда проверок в течение длительного
времени.
3) Для большинства задач, решенных с помощью ДСЧ,
результат отклоняется от результата, достигнутого с помошью
псевдослучайных чисел, менее, нежели на исчисленную стати-
статистическую погрешность в размере одной а.
§ 5. Тестовые проверки работы датчиков
случайных чисел
Проверка качества случайных чисел, получаемых с ДСЧ,
должна производиться периодически. Это необходимо для
профилактической проверки работы установки, ибо процесс
образования случайных чисел может выйти из-под контроля —
«датчик» разладится.
Поэтому на всех электронных вычислительных машинах,
имеющих в своем составе датчики случайных чисел, перио-
периодически, несколько раз за сутки, производится просчет тесто-
тестовых программ для проверки качества ДСЧ. Тестовые про-
программы, как правило, включают [26]:
а) Тест-программу для проверки по критерию «случай-
«случайности» с использованием метода «серий» (см. § 3). Обычно
испытания по этому критерию дают вполне хорошие резуль-
результаты.
б) Тесты для проверки отклонения эмпирического рас-
распределения от равномерного. В качестве критерия согласия
обычно используется критерий х2 или критерий А. Н. Кол-
Колмогорова, хотя нередко используются и другие связанные
с этим методы. Так, в Вычислительном центре АН СССР

§ 5. ТЕСТОВЫЕ ПРОВЕРКИ РАБОТЫ ДАТЧИКОВ
269
проверка распределения по критерию у2 производится для k
групп чисел по 10 000 в каждой (?я^5—7).
Если для любой испытанной группы значение у* превы-
превышает 30, то распределение считается несовпадающим с равно-
равномерным независимо от результатов испытаний остальных групп.
В этом случае достоверность нашей гипотезы относительно
равномерности распределения меньше 0,05. Помимо этого
установлен дополнительный, еще более жесткий критерий
проверки распределения. Для любого j(l^CJ^k) среднее
число попавших в любой /-й интервал случайных чисел
A-^/^20) не должно выйти из пределов
500 — 2 у ~
(для любого / и у), где vp(/) — количество попавших в /-й
интервал объектов при р-м испытании.
Последний критерий основывается на тривиальном вероят-
вероятностном соотношении: с вероятностью 0,95
р=1
где о2 — генеральная дисперсия количества элементов в j-m
интервале. Но
a2=npq = 10 000 • Дг|!~ 500 (° ~ У^Щ-
Только в случае одновременного удовлетворения обоим кри-
критериям распределение после проведения k испытаний счи-
считается равномерным.
В качестве критерия проверки распределения в разрядах
ДСЧ можно предложить оценку распределения эмпирической
энтропии по всем разрядам.
Пусть k — число двоичных разрядов ДСЧ и пусть т, —
число нулей, полученных при п испытаниях в 1-м разряде.
Обозначим через Нь эмпирическую энтропию в i-м разряде

270 ГЛ. VI. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ
Можно показать, что если вероятность появления нуля во
всех разрядах равна 0,5, то случайная величина
V
k \
-Я"-)
при п->оо распределена асимптотически как х|.
Проверка распределения энтропии С должна производиться
при достаточно большом п (например, п =10 000). Эмпири-
Эмпирическое распределение полученных значений С сравнивается
с распределением yjk. В случае удовлетворительных резуль-
результатов сравнения распределение разрядов ДСЧ считается доста-
достаточно близким к равномерному.
в) Должен непременно быть просчитан тест, связанный
с вычислением параметров контрольной задачи. В качестве
такой контрольной задачи может, например, быть выбран
расчет и-мерной гиперсферы.
В случае удовлетворительных результатов по всем тестам
датчик случайных чисел может считаться нормально работаю-
работающим и пригодным для эксплуатации. Однако в случае не-
неудовлетворительных результатов по какому-либо тесту необ-
необходимо произвести более детальное исследование работы
датчика. Следует рассчитать ряд других статистических
характеристик. К ним в основном относятся данные по
спектральной структуре случайного процесса производства
чисел с ДСЧ.
Получение с помощью ДСЧ равномерно распределенных
в интервале [0, 1] случайных чисел можно рассматривать
как стационарный случайный процесс x(t) с дискретным
временем.
Случайная величина x(t) имеет для любого, момента вре-
времени одно и то же равномерное распределение. Следовательно,
математическое ожидание Mx(t) и дисперсия Dx(t) для
любого момента времени постоянны и равны соответственно
У2 и Via-
Известно, что вероятностный процесс x(t) называется
стационарным в широком смысле, если
при всех t и
В (т) = М {[х (t + т) — Мх (/)] [х «) — Мх @1}

§ 5. ТЕСТОВЫЕ ПРОВЕРКИ РАБОТЫ ДАТЧИКОВ 271
не зависит от t. Функция B(t) называется корреляционной
функцией процесса.
В случае случайного процесса получения чисел с ДСЧ
все эти условия имеют место, более того, корреляционная
функция /J(t) не должна зависеть от т и имеет постоянное
значение, равное нулю.
Определение и проверку статистических оценок случай-
случайного процесса целесообразно производить путем усреднения
данных, полученных в результате реализации случайного про-
процесса за достаточно большой отрезок времени.
Известно, что дисперсия среднего (Значения х {() равна
Dx(t)
—, где п—число реализаций, по которому производи-
производилось осреднение. Отсюда нетрудно построить доверительные
интервалы для выборочной средней x(t).
2 Г --
С вероятностью Ф(&) = -у= / е 2 dt
для /7=0,997 имеем & —3.
Следовательно, с вероятностью 0,997
0,47 <л: (О < 0,53.
При k—2, /7=0,95 и с вероятностью 0,95
0,48<х(*)< 0,52.
Статистическая оценка корреляционной функции В(т)
определяется по формуле
где x(tt) — значение реализации случайного числа во время
/-го по счету такта работы ЭВМ, а х — среднее значение
случайных чисел (—^0,5).
Весьма полезным испытанием при проверке качества ДСЧ
является расчет взаимной корреляционной функции Вх^ (т)

272 ГЛ. VI. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ
для стационарных процессов образования нулей и единиц
в различных разрядах случайного числа.
Если содержимые разрядов в образованных с помощью
ДСЧ случайных числах зависят друг от друга, то функция
Вху(х) будет либо изменяться во времени, либо примет зна-
значения, отличающиеся от теоретически подсчитанных.
Величина Вху (т) оценивается по формуле
п
вху to=тг 21* Уд—х @1 [у Ci+t)—у @1.
где лг(^) и у(?/+т) — содержимые двух проверяемых разрядов
случайного числа, образованного на у"-м такте работы ЭВМ,
jc(f) и у(^)—величина 0,5, а й—объем выборочного обследо-
обследования (ияаЮОО).
Подтверждением отсутствия корреляции является стати-
статистическая оценка показателя степени связи между разрядами.
Расчет эмпирического значения коэффициента корреляции г
на основании данных выборки объема п производится по
формуле
1\
-/=1
[IH
Для выяснения вопроса о том, являются ли получен-
полученные из наблюдений коэффициенты корреляции г значимыми
и не объясняется ли их отклонение от нуля случайностями
выборки, требуется проверить гипотезу р = 0 (р — теорети-
теоретический коэффициент корреляции). В качестве проверочного
критерия используется эмпирический коэффициент корреля-
корреляции г. Выбирая коэффициент доверия р, строим область
вида
\r\>tfPr
и если полученное значение эмпирического коэффициента
корреляции г выходит за эти пределы, то гипотеза р = 0
отвергается.

§ 5. ТЕСТОВЫЕ ПРОВЕРКИ РАБОТЫ ДАТЧИКОВ 273
Здесь tp определяется из соотношения
2
I e 2 dz=p,
о
1 —г2
Иными словами, если
р
то мы считаем, что корреляционная связь между разрядами
имеет место. В качестве коэффициента доверия р прини-
принимается величина jo—0,99. Отсюда tp = 2,58.
Такого рода испытания должны являться составной частью
общей программы проверки работы ДСЧ.

ГЛАВА VII
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
§ 1. Свойства квазиравномерных величин
Построение алгоритмов для решения задач методом Монте-
Карло тесно связано с конструированием различных случай-
случайных экспериментов. При этом часто возникает необходимость
в формировании случайных объектов разнообразной природы.
Сюда в первую очередь относятся независимые и зависимые
случайные события, цепи Маркова, случайные величины с за-
заданными законами распределения, случайные векторы, стацио-
стационарные и нестационарные случайные процессы с заданными
вероятностными характеристиками и т. д.
В главе VI было показано, как образовывать последователь-
последовательность равномерно распределенных случайных величин с по-
помощью специальных подпрограмм (псевдослучайные числа)
или с помощью датчиков случайных величин.
В настоящей главе описываются алгоритмы преобразова-
преобразования равномерно распределенных величин, позволяющие полу-
получать случайные величины или случайные векторы с практи-
практически любым законом распределения. Тем самым образование
случайных величин в электронных вычислительных машинах
(ЭВМ) сводится к получению независимых величин с равно-
равномерным законом распределения и последующему преобразо-
преобразованию с помощью специальных программ преобразования.
Можно было бы использовать и специальные датчики для
величин с различными законами распределения (например,
с нормальным или пуассоновским законом), но этот путь
практически не используется в универсальных ЭВМ.
Итак, предположим, что в нашем распоряжении нахо-
находится совокупность \R{} (/= 1, 2, 3, ...) случайных чисел RL,
имеющих равномерное распределение в интервале @, 1). Эту

§ 1. СВОЙСТВА КВАЗИРАВНОМЕРНЫХ ВЕЛИЧИН 275
совокупность называют исходной. Над числами Rt необхо-
необходимо произвести такие операции, чтобы в результате полу-
получить совокупность {St} значений случайной величины с задан-
заданным законом распределения. В связи с ограниченной
разрядностью чисел, перерабатываемых ЭВМ, мы, строго
говоря, не будем иметь возможности оперировать со случай-
случайными числами R{, имеющими равномерное распределение
в интервале @, 1). Фактически в нашем распоряжении будет
совокупность \Ri] случайных чисел /?*, имеющих так назы-
называемое квазиравномерное распределение.
Как известно, при равномерном распределении в интер-
интервале @, 1) непрерывная случайная величина \ имеет функцию
плотности
1 при 0 < х < 1,
при х < 0 и
f
Математическое ожидание случайной величины Z равно
мш=4* G2)
дисперсия равна
Dro = g. G.3)
а среднее квадратическое отклонение равно
о?=—W- G.4)
Случайные числа R* являются реализациями случайной вели-
величины С, отличной от ?.
Изучим распределение С. Случайные числа R*i образуются
так (см. гл. VI), что в каждом разряде ^-разрядного числа
появляется нуль или единица с одинаковой вероятностью,
равной 0,5. Поэтому возможными значениями дискретной
случайной величины С будут числа R\
п 1 2 i 2k — I
1 2"' 2* 2*
вероятность каждого из которых равна
2*' 2* 2* 2"
^o-fc

276 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
Математическое ожидание величины С равно
2ft-l 2ft-l
МС= V 1.1=1. f t=*P^±=:l(l-
IVI4 Li 2ft 2* 22* Li l 2^6+1—11 &}¦
i=0 i=0
Дисперсия легко вычисляется из равенства
С= 2 8,2-'. G.6)
где е?—независимые бернуллиевы величины, принимающие
с равной вероятностью значения нуль и единица.
Тогда дисперсия величины С равна
k=S"-"^ = tS»-"=-tt^4-=-b("-
G.7)
При малом числе & разрядов может оказаться существен-
существенным смещение математического ожидания G.5) от значе-
значения -=-. Поэтому часто удобно рассматривать величину ij вида
oft
Ч = =/-Г^ G-8)
Эта величина принимает значения
О, 1 , _?_..... 1.
2* — 1 2* — 1
Математическое ожидание случайной величины •»} равно
2ft-l 2fe-l
,=o Z l Z l «=o
Ho
2i I==—2—•
поэтому
Mhl = i. G.9)

§ 1. СВОЙСТВА КВАЗИРАВНОМЕРНЫХ ВЕЛИЧИН 277
Дисперсия равна
Учитывая, что
2к-1
получим
G.10)
Среднее квадратическое отклонение будет равно
1 / ok I 1
c*=W*V*=i- G11)
Когда k—з»оо, то о^->—т=-. Порядок приближения можно
проследить по таблице 14.
ft
2
3
4
DM
0,1389
0,1071
0,0945
0,3727
0,3274
0,3073
k
5
6
7
Dfo]
0,0887
0,0860
0,0846
0,2979
0,2933
0,2910
А;
8
9
10
DM
0,0840
0,0837
0,0835
0,2898
0,2893
0,2889
k
12
15
20
Т а б л и
DM
0,0834
0,08334
0,08333
ца 14
0,2888
0,28870
0,28868
Заметим, что D [?] =
1
; 0,08333, а оЕ =-4=^0,28868.
5 21^3
J2' —,-^««^, с -,. — .
При большой разрядности перерабатываемых в машине чи-
чисел для решения большинства вычислительных задач можно не
считаться с отличием последовательности {Щ\ от равномерно
распределенных случайных чисел. Однако существуют задачи,
при решении которых с этим отличием необходимо считаться.
В дальнейшем мы, если не оговорено противное, будем
считать, что исходная совокупность чисел {/?г} равномерно
распределена в интервале @, 1).

278 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
§ 2. Моделирование независимых случайных
событий
Пусть необходимо осуществить случайное событие А.
наступающее с заданной вероятностью р. Пусть \ — случай-
случайная величина, имеющая равномерное распределение в интер-
интервале @, 1). Принимаемые этой величиной значения обозна-
обозначаются, как и выше, Щ.
Определим событие А как событие, состоящее в том,
что выбранное значение Rt случайной величины ? удовлетво-
удовлетворяет неравенству
Ъ<Р- G-12)
Легко видеть, что вероятность события А равна
р
Р(Л) = J dx=p. . G.13)
о
Противоположное событие А тогда состоит в том, что
и его вероятность равна Р(Л)=1 — р.
Процедура моделирования испытаний рассматриваемого ви-
вида состоит в выборе значений /?г и сравнении их с величиной р.
Если при данном сравнении условие G.12) выполняется, зна-
значит исходом испытания является событие А. Если условие
G.13) не выполняется, то исходом испытания будем считать
событие А.
Изложенные соображения могут быть обобщены на группу
событий.
Пусть Alt А2, .... Ау — полная группа событий, насту-
наступающих с вероятностями pv p2, .... ps. Как известно,
в этом случае
Р1 + Р2+ -•• -\~Ps=l-
Определим событие Ат как событие, состоящее в том,
что выбранное значение /?. случайной величины ? удовлетво-
удовлетворяет неравенству
/«-1<Л,</т. G14>
где
/г= 2 Pi- G-15)

§ 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ 279
Аналогично G.13) можно записать
in
f dx =
'm-1
Процедура моделирования испытаний в этом случае со-
состоит в последовательном сравнении случайных чисел Rt
с величинами 1Г. Исходом испытания оказывается событие Ат,
если выполняется условие G.14).
Эту процедуру иногда называют определением исхода
испытания по жребию в соответствии с вероятностями pv
р2, ¦ ¦ ., ps. Часто бывает необходимо осуществить такие
испытания, при которых искомый результат является слож-
сложным событием, зависящим от двух или нескольких простых
событий.
Пусть, например, независимые события А и В имеют ве-
вероятности рА и рв соответственно. Возможными исходами
совместных испытаний, в этом случае, будут события
АВ. АВ, АВ, АВ G.16)
с вероятностями
РаРв- О—Ра)Рв- Ра^—Рв)- О~Ра)A—РвУ GЛ7)
Очевидно, что для моделирования совместных испытаний
могут быть использованы два варианта процедуры. Первый
из них состоит в последовательной проверке условия, ана-
аналогичного G.12), относительно событий А и В. Однако
можно поступить и по-другому. Второй вариант процедуры
можно построить по аналогии с G.14) как определение
одного из исходов G.16) по жребию в соответствии с ве-
вероятностями G.17).
Первый из рассмотренных вариантов требует использова-
использования двух чисел Ri и двух сравнений—проверок условия G.12).
При втором варианте можно ограничиться одним числом Rt.
однако сравнений в общем случае может потребоваться
больше. При практическом решении задач выбор того или
другого варианта процедуры определяется соображениями
удобства построения алгоритма и экономии количества тре-
требуемых операций машины и количества ячеек оперативной
памяти. В среднем первый вариант оказывается более эко-
экономным, чем второй.

280 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
Рассмотрим случай, когда события Л и В не являются
независимыми. Пусть, по-прежнему, вероятности событий А
и В обозначаются через рА и рв. Кроме того, будем считать
заданной условную вероятность р(В/А) события В при усло-
условии, что событие А произошло.
Первый вариант упомянутой выше процедуры в этом слу-
случае будет выглядеть следующим образом.
Из совокупности {R^ извлекается очередное число /?„ и
проверяется справедливость неравенства
Rn<PA- GЛ8)
Если неравенство G.18) оказалось справедливым, значит
наступило событие А. Поэтому для испытания, связанного
с событием В, используется вероятность р(В/А). Из сово-
совокупности {/?;} берется очередное число Rn+i и проверяется
условие
Rn+1<P(B/A). G.19)
В зависимости от того, справедливо или нет неравенство G.19),
исходом испытания является АВ или АВ.
Если неравенство G.18) оказалось несправедливым, то
это значит, что наступило событие А. Поэтому для испыта-
испытания, связанного с событием В, необходимо использовать ве-
вероятность р(В/А). Эту вероятность можно определить по
теореме о полной вероятности
р(В) = р (Л) р (В/А) +р{А)р {В/А),
откуда вытекает
в - p.p(B/A)
р (В/Л) =Рв ^ . G.20)
Выберем из совокупности {Rt) число Rn+l и проверим спра-
справедливость неравенства
Rn+1<P(B/A).
В зависимости от того, справедливо или нет это неравен-
неравенство, мы получим результаты испытания АВ или АВ. Можно
использовать и второй вариант процедуры моделирования.
Для этого достаточно заметить, что события
АВ; АВ; АВ и АВ

§ 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ 281
составляют полную группу и имеют вероятности
рА.р(В/А);
A — Ра)Р(в1аУ'
где р(В/А) определяется соотношением G.20).
Аналогично можно построить и более сложные алгоритмы,
укажем лишь на принцип моделирования простых цепей Мар-
Маркова.
Простая однородная цепь Маркова определяется матри-
матрицей перехода
Ри Рп •¦• Р\ъ
Р2\ РП • • • P2k
Ph\ Phi ¦¦• Pkk
Возможными результатами испытаний являются события
Av А2, .... Ak. Вероятность ptj есть условная вероятность
наступления события Aj в данном испытании, при условии,
что результатом предыдущего испытания было событие At.
Моделирование такой цепи Маркова состоит в последо-
последовательном выборе событий Aj по жребию в соответствии
с вероятностями рц. Она состоит в следующем.
Сначала выбирается начальное состояние, задаваемое на-
начальными вероятностями pov р^, ..., pok.
Для этого из совокупности чисел {Rt\ берется число Rn
и сравнивается с величинами /,. G.14), где в качестве pt
в G.15) используются величины /?01, /?02 рОк.
Этим путем определяется номер т0, для которого оказы-
оказывается справедливым неравенство 1то </?„^ /rao+i-
Тогда начальным событием данной реализации цепи будет
событие Ато. Затем выбираем следующее случайное число/?п+1,
которое также сравниваем с величинами 1Т. Однако здесь
в качестве вероятностей р{ для определения 1Г используются
элементы матрицы перехода р1щГ /?Шо2, .... pm^k. Путем
сравнения устанавливается номер тх, для которого справед-
справедливо проверяемое условие. Тогда следующим событием дан-
данной реализации цепи будет событие Атг Аналогично посту-
поступаем и далее. Очевидно, что каждый номер mt определяет
собой не только очередное событие Ат формируемой реали-
20 Зак. 250. Н. П. Бусленко и др.
законом распределения
Существует основное соотношение, связывающее случай-
случайные числа St с заданным законом распределения и числа Rt,
имеющие равномерное распределение в интервале @, 1).
Возможность получения такого соотношения вытекает из
следующей теоремы (см., например, [33]): если случайная
величина ? имеет плотность распределения / (х), то распре-
распределение случайной величины
Е
G.25)
является равномерным в интервале @, 1).
На основании этой теоремы можно прийти к следующему
правилу. Чтобы получить число, принадлежащее совокупно-
совокупности случайных чисел {S,\, имеющих функцию плотности /(х),
20*

282 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
зации, но и распределение вероятностей v n n
mil Fmi2 pm.k
для выбора последующего номера mi+1.
Заметим, что для эргодических цепей Маркова влияние
начальных вероятностей быстро уменьшается с ростом номера
испытания. Поэтому в качестве величин р01, рт pOk
могут быть выбраны произвольные величины, например,
Ал = Рев = • • • = Рок = -? •
Рассмотренная процедура в своей идее сохраняется и для
более сложных случаев цепей Маркова, например для не-
неоднородных цепей.
§ 3. Особенности моделирования событий
в случае использования малоразрядных случайных чисел
Рассмотренные выше правила оказываются справедливыми
лишь в том случае, когда для испытаний используются слу-
случайные числа Rt, имеющие равномерное распределение в ин-
интервале @, 1).
Однако при реализации алгоритмов на электронных циф-
цифровых машинах имеется возможность пользоваться только
случайными числами R\ с квазиравномерным распределением.
В этом случае возникают особенности, на которых целе-
целесообразно кратко остановиться.
Рассмотрим сначала определение результатов испытаний
путем проверки справедливости условия G.12).
Пусть в нашем распоряжении имеются ft-разрядные числа
с возможными значениями
(/ = 0, 1, 2 2ft—1). G.21)
Подставим теперь в неравенство G.12) вместо Ri число /?*•
Тем самым моделируемое событие А* определено как собы-
событие, состоящее в том, что
R*i<p. G.22)
Вероятность Р(А*) может быть найдена как отношение коли-
количества п чисел вида G.21), меньших или равных р, к коли-
количеству N всех чисел вида G.21). Как известно, N = 2k.

§ 4. СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ 283
Таким образом,
Р(Л*)=-А. G.23)
Из соотношения G.23) можно сделать следующий вывод:
если вероятность р события А изменяется в пределах
2*
Отсюда следует, что использование чисел R* вместо Ri
приводит к ошибке в значении вероятности события, равной
п .
—- — р — Д р.
Ясно, что максимальное значение ошибки Др не превос-
превосходит
2к — 1
Аналогичные положения имеют место и в более сложном
случае, когда результаты испытания определяются путем про-
проверки справедливости условий G.14).
§ 4. Способы получения случайных чисел с заданным
законом распределения
Существует основное соотношение, связывающее случай-
случайные числа St с заданным законом распределения и числа Rlt
имеющие равномерное распределение в интервале @, 1).
Возможность получения такого соотношения вытекает из
следующей теоремы (см., например, [33]): если случайная
величина ? имеет плотность распределения /(х), то распре-
распределение случайной величины
Е
yi=ff(x)dx G.25)
о
является равномерным в интервале @, 1).
На основании этой теоремы можно прийти к следующему
правилу. Чтобы получить число, принадлежащее совокупно-
совокупности случайных чисел {St}, имеющих функцию плотности / (х),
20*

284 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
необходимо разрешить относительно St уравнение
/
f(x)dx=Rr G.26)
Для обоснования этого правила рассмотрим случайную
величину 7j, имеющую равномерное распределение в интер-
интервале @, 1), и случайную величину ?, связанную с tj соотно-
соотношением G.25).
Мы будем предполагать, что f (х) ни на одном интер-
интервале не обращается тождественно в нуль. Тогда т; является
согласно G.25) монотонно возрастающей функцией от ?, а ?
соответственно может быть выражена как функция от tj:
G.27)
Легко видеть, что обратная функция
4 = 9-'©
в данном случае выражается соотношением G.25). Имея это
в виду, найдем плотность распределения случайной вели-
величины ?. Эта плотность распределения F$(x) равна вероятно-
вероятности того, что % < х
: х). G.28)
Подставим в G.28) вместо % его значение из G.27)
С х]. G.29)
Поскольку функция ? = ср(т]) монотонно возрастающая,
неравенство
Эквивалентно неравенству
7}<?-1(х).
Поэтому
F^x)^=P[y}<f-l(x)}. G.30)
Вероятность, фигурирующую в соотношении G.30), можно
вычислить, так как функция плотности Д (у) случайной вели-
величины •»] известна: мы приняли, что tj имеет равномерное рас-

§ 4. СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ 285
пределение в интервале @, 1). Поэтому
<Р~' (X)
или
G.31)
Подставляя в G.31) вместо <р 1(х) его выражение из G.25',
получим
X
= ff(x)dx.
Последнее соотношение показывает, что случайная величина \
имеет функцию плотности f (х).
Соотношение G.26) в ряде случаев может быть непо-
непосредственно использовано для практических целей. Рассмот-
Рассмотрим некоторые примеры.
Пусть требуется получить случайные числа с показатель-
показательным знаком распределения
= 1е-Хх (х>0). G.32)
В силу соотношения G.26) получим
xi
if e->jedx = R,
6
или, после вычисления интеграла,
1_е-**1=Я4.
Разрешая это уравнение относительно xt, будем иметь
xi = ~~ln(l~-Rl). G.33)
Если в нашем распоряжении имеются случайные числа Rt
с равномерным распределением в интервале @, 1), то, вос-
воспользовавшись формулой G.33), можно вычислить последо-

286 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
вательность случайных чисел xt, имеющих показательное
распределение G.32).
Пусть требуется получить случайные числа xL с законом
распределения
(l—g-*) (о<*<у). G.34)
которые находят применения при решении некоторых задач
теории массового обслуживания.
Воспользовавшись соотношением G.26), можно получить
Отсюда
В качестве следующего примера рассмотрим функцию
плотности
Соотношение G.26) в этом случае имеет вид
l + bxi —1<1'
Поэтому
„ _ *i
Аналогично можно показать, что величины
Sl = aV— In Rt
распределены по релеевскому закону с параметром а:
[ 0, х < 0.
Случайные числа, распределенные по этому закону, играют
существенную роль в радиотехнических задачах.

§ 4. СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ 287
В некоторых задачах приходится оперировать со случай-
случайными величинами т\, распределенными по закону Парето
I 0, *<1.
Из равномерно распределенных псевдослучайных чисел
такие величины получаются по формуле
которой особенно легко пользоваться, если а = —,
где k — целое число.
Выше рассматривались примеры преобразования случай-
случайных чисел, являющихся возможными значениями непрерывных
случайных величин.
Рассмотрим приемы моделирования дискретных случайных
величин. Пусть дискретная случайная величина ? принимает
значения xt с вероятностями Р(х~ xt) = pt. Появление воз-
возможного значения х{ назовем событием At. Если их конечное
число, то можно прямо воспользоваться приемами предыду-
предыдущего параграфа. Эти же приемы часто применимы и для бес-
бесконечного множества значений xt.
Пусть, например, необходимо получить случайные числа,
имеющие распределение Пуассона
Я(«) = -^-е-° (я = 0. 1. 2, ...)• G.36)
Для этого будем брать случайные числа Rt и проверять
справедливость неравенств вида G.11)
где
т
/г=ае-сУ~ (/" = 0, 1, 2, ...); /_, = 0. G.38)
Если неравенства G.37) оказываются выполненными, то оче-
очередное случайное число i\ принимается равным п. Ясно, что
величина -q имеет распределение Пуассона.

288 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
Правила преобразования случайных чисел, основанные на
соотношении G.26), обеспечивают получение последователь-
последовательности случайных чисел xt. в точности следующих заданному
закону распределения, лишь в том случае, когда числа Rt
имеют равномерное распределение в интервале @, 1).
Практически вместо чисел Rt обычно используются слу-
случайные числа R*i. имеющие квазиравномерное распределение.
В связи с этим заданный закон распределения реализуется
лишь приближенно.
Если разрядность чисел R* равна k, то преобразованию
при помощи соотношения G.26) подлежит 2* несовпадающих
между собой чисел /?*. Поэтому количество несовпадающих
между собой значений xt не может превышать 2*. Если
числа xt должны быть представлены с к разрядами, то для
изображения всех 2к чисел xt, в общем случае, может по-
потребоваться число разрядов k* > k. Это объясняется как не-
неравномерностью расположения чисел xt на числовой оси, так
и возможными выходами чисел х1 по абсолютной величине
за пределы, изображаемые ^-разрядными числами.
Перейдем к рассмотрению способов преобразования слу-
случайных чисел, не связанных с решением уравнения G.26).
Один из них состоит в том, что из равномерной сово-
совокупности {/?,-} отбираются случайные числа xf, удовлетво-
удовлетворяющие некоторому условию, таким образом, чтобы Xj под-
подчинялись заданному закону распределения.
Пусть требуется получить случайные числа xt, имеющие
функцию плотности Д(х). Если область возможных значений
случайной величины ? не ограничена с одной или с обеих
сторон, необходимо перейти к соответствующему усеченному
распределению. Предположим, что областью возможных зна-
значений для усеченного распределения будет интервал (а, Ь).
Заменой переменных
перейдем к случайной величине tj с функцией плотности
/чО0 = Ф — а)Ма-+-ф — а) у]. G.40)
Случайная величина tj имеет областью возможных значе-
значений интервал @, 1). Пусть максимальное значение /п(у)

§ 4. СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
289
в этом интервале равно /т. Изменением масштаба на оси
1°- /,,001 приведем интервал @, fm) к длине, равной еди-
единице. Тогда
G.41)
Полученная функция плотности /* (у) может быть впи-
вписана в единичный квадрат, как показано на рис. 42.
Выберем пару чисел R21-1, /?2/ из последовательности
равномерно распределенных величин. Она определяет случай-
случайную точку в единичном квадрате (рис. 42).
Г(у)
1
J/, Уг
Рис. 42.
В качестве значений yt будем принимать только те
числа R2i из совокупности {/?2,}. которые удовлетворяют
условию
или
G.42)
G.43)
Итак, возникает следующая процедура образования случай-
случайной величины, имеющей плотность распределения Д(х).
Из совокупности случайных чисел /?,-, имеющих равно-
равномерное распределение в интервале @,1), выбираются пары
чисел /?2«-i> /?2i- Для чисел Ra-i, /?2» проверяется

290 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
справедливость неравенства G.43). Если неравенство G.43)
оказывается выполненным, то очередное число х> опре-
определяется из соотношения
Xj = a + {b~a)Rn. G.44)
Если неравенство G.43) не выполнено, то пара чисел
Rzi-v Rii отбрасывается и выбирается следующая.
Можно показать, что полученные таким образом случай-
случайные числа X/ имеют плотность распределения Д(х).
Приведенные выше приемы преобразования случайных
чисел требуют для своей реализации значительного количе-
количества операций. Это играет особенно существенную роль
в тех случаях, когда уравнение G.26) не может быть решено
точно, или расчет правой части неравенства G.43) оказы-
оказывается чрезмерно громоздким. В частности, ни один из этих
приемов не является практически приемлемым для получения
последовательности случайных чисел, имеющих нормальное
распределение.
Рассмотрим приемы преобразования случайных чисел,
основанные на приближенном моделировании условий, при
которых оказываются справедливыми предельные теоремы
теории вероятностей.
Пусть необходимо получить совокупность случайных чи-
чисел {Sj], имеющих нормальное распределение с математиче-
математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением о,
G.45)
В силу центральной предельной теоремы теории вероят-
вероятностей суммы большого числа случайных слагаемых, при
выполнении некоторых весьма общих условий, имеют асим-
асимптотически нормальное распределение. Поэтому для прибли-
приближенного моделирования нормально распределенных случайных
чисел можно воспользоваться суммированием чисел исходной
совокупности.
Поскольку в этом случае слагаемые имеют равномерное
распределение в интервале @, 1), будем находить из пре-
предельной теоремы для одинаково распределенных случайных
величин: если независимые случайные величины ?,, Ё2 \k
имеют все одно и то же распределение вероятностей и если

§ 4. СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ 291
каждое ц имеет математическое ожидание а* и среднее ква-
дратическое отклонение а*, то сумма
асимптотически нормальна с математическим ожиданием
и средним квадратическим отклонением
0 = 0* У п.
Можно показать, что сумма ? имеет распределение, близ-
близкое к нормальному, уже при сравнительно небольших п. Для
решения прикладных задач обычно п выбирается равным
4 — 8.
Как известно, для случайной величины, имеющей равно-
равномерное распределение в интервале (О, 1), математическое
ожидание равно 112, а среднее квадратическое отклонение —
Поэтому сумма п таких величин будет иметь мате-
математическое ожидание
«=¦2- G.46)
и среднее квадратическое отклонение
Посмотрим теперь, что будет в том случае, когда для фор-
формирования нормально распределенных случайных чисел сум-
суммированием используются квазиравномерные числа R*.
В § 1 было показано, что случайные числа, имеющие
квазиравномерное распределение в интервале @,1), харак-
характеризуются математическим ожиданием, равным 1/2, и сред-
средним квадратическим отклонением
0* =
2*-1
Поэтому математическое ожидание суммы \ выражается
соотношением G.46), а среднее квадратическое отклонение
G.48)

292
ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
Соотношением G.48) необходимо пользоваться лишь в том
случае, когда для суммирования применяются малоразрядные
случайные числа R*.
Естественно, что увеличение количества слагаемых п.
в сумме Е приводит к более точному совпадению закона
распределения ? с нормальным. Однако это приводит также
к увеличению количества операций, необходимых для пре-
преобразования случайных чисел.
Как показано в [7], для улучшения асимптотической нор-
нормальности суммы \ можно воспользоваться специальными
преобразованиями.
Например, если t\—нормированная сумма
G.49)
случайных величин Ег, имеющих равномерное распределение
в интервале (— Л, -j- Л), то величина
будет иметь распределение, достаточно близкое к нормаль-
нормальному при п существенно меньших, чем при простом сумми-
суммировании. Закон распределения случайной величины Е будет
заведомо близким к нормальному уже при п=5 (см. [7]).
Если использовать другое преобразование
то для практических целей достаточно иметь п — 2.
Проведение такого рода преобразований требует боль-
большего количества операций, чем простое суммирование. По-
Поэтому суждение о целесообразности выбора определенного
количества слагаемых п и применения того или другого пре-
преобразования можно получить только в результате оценки
затрат машинного времени при решении данного класса
задач.
Случайные нормальные числа могут быть использованы
для получения из них функций нормально распределенных

§ 4. СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ 293
величин. В качестве примера укажем способ выработки чисел,
распределенных по закону Раиса
а
где 10(х)—бесселева функция.
Ясно, что обший прием получения чисел, основанный на
обращении функции распределения, здесь использован быть
не может. Обходной путь основан на том факте, что закон
Раиса описывает распределение вероятностей абсолютной
величины (модуля) случайного вектора на плоскости с неза-
независимыми нормально распределенными составляющими с ди-
дисперсиями о2 и математическими ожиданиями, отличными от
нуля. Для определенности можно считать, что математиче-
математическое ожидание первой из составляющих равно S, а второй—
нулю. Обозначая эти нормальные величины \х и Е2, выразим
через них искомую райсову величину tj:
Другой способ создания на ЭВМ распределенных по
Раису величин базируется на их физическом смысле как
абсолютной величины замыкающей (т. е. векторной суммы)
двух векторов — постоянного длины s и случайного, имею-
имеющего длину С, распределенную по релеевскому закону *).
Рассматривая треугольник, образованный этими векторами,
и обозначая угол между векторами — слагаемыми через »,
имеем на основании теоремы косинусов
-yj = V s2 -f- Е;2 — 2sUoscp-
Аналогичную идею можно применить для получения случай-
случайных чисел, имеющих распределение Пуассона
с математическим ожиданием а.
Для этого воспользуемся предельной теоремой Пуассона:
если рп — вероятность наступления события А при одном
*) Первый вектор имитирует напряжение постоянного сигнала,
а второй — напряжение шума,

294 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
испытании, то вероятность наступления k событий при п
независимых испытаниях при /г—>оо и рп—>0 асимптоти-
асимптотически равна Р{к).
Выберем достаточно большое п таким образом, чтобы
*n = if G-52)
было заведомо меньше единицы (на практике обычно требуют,
чтобы /?„ = 0,1 -ь-0,2). Если моделировать серии по п неза-
независимых испытаний, в каждом из которых событие А прои-
происходит с вероятностью рп, то в качестве случайных чисел xL,
имеющих распределение Пуассона, необходимо выбирать
количества случаев фактического наступления события А.
В заключение рассмотрим один достаточно универсальный
приближенный способ преобразования случайных чисел, осно-
основанный на кусочной аппроксимации плотности распределения.
Этот способ допускает весьма простую машинную реализа-
реализацию и во многих случаях обеспечивает необходимую точность
преобразования. Поэтому он имеет широкое практическое
распространение.
Предположим, что необходимо получить случайные числа
с плотностью распределения f^(x) и ограниченной областью
возможных значений (с, d). Если область возможных значе-
значений не ограничена, то переходим к соответствующему усе-
усеченному распределению. Разобьем (с, d) на п интервалов.
Обозначим левую границу k-то интервала через ak.
Можно принять следующую схему процедуры преобра-
преобразования случайных чисел:
1) случайный выбор интервала из п возможных интерва-
интервалов (определение величины ak),
2) случайный выбор числа yki из интервала (ak, ak+l),
3) формирование случайного числа xt в соответствии
с соотношением
G.53)
Наиболее удобно, с точки зрения машинной реализации,
выбрать вероятности попадания во все интервалы (ак, cft+1)
одинаковыми.
В этом случае выберем количество интервалов п доста-
достаточно большим с целью обеспечить требуемую точность
преобразования случайных чисел. Число п удобно выбирать

§ 4. СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
295
таким, чтобы п — 2т, где т — целое число, меньшее или
равное количеству двоичных разрядов случайных чисел исход-
исходной квазиравномерной совокупности.
В простейшем, наиболее распространенном случае, в пре-
пределах каждого интервала функцию плотности f$(x) аппрок-
аппроксимируем постоянной величиной fk. Это значит, что случай-
случайная величина 7jft имеет равномерное распределение в интер-
интервале (ak, ak+i).
Величины fk и ak вычисляются заблаговременно и поме-
помещаются в память машины перед началом вычислений, связан-
связанных с преобразованием случайных чисел. Для расчета
величии ак и fk можно поступить следующим образом. Если
Рис. 43.
количество интервалов (рис. 43), на которые разбивается
область (с, d), равно п, то вероятность попадания случайной
величины % в интервал (ak, ak+1) должна быть равна —.
Поэтому
"ft+i
/
п
G.54)
Поскольку Cj известно и равно с, соотношение G.54) поз-
позволяет вычислить последовательно все необходимые значе-
значения аь. Теперь для каждого интервала легко вычислить
значения fk из соотношения

296 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
То обстоятельство, что нахождение величин ak иногда свя-
связано с громоздкими вычислениями, не является очень суще-
существенным, так как эти расчеты, проводимые заблаговременно,
не сказываются на количестве операций в программе преоб-
преобразования случайных чисел.
Процедура преобразования случайных чисел сводится
к следующему. Из совокупности квазиравномерных случайных
чисел извлекаем число /?2/-i и первые m = \og2n разрядов
этого числа используем в качестве адреса для выбора из
таблицы- значений ak и ak+l. Затем извлекаем следующее
случайное число R*2} и определяем х1 из соотношения
t+i — ak)Rlj. G-56)
Рассмотренный прием приближенного преобразования слу-
случайных чисел является весьма компактным с точки зрения
требуемого количества операций. Он оказывается особенно
удобным в том случае, когда число п может быть выбрано
сравнительно небольшим (например 16, 32 или 64). Заметим,
что количество операций, затрачиваемых на преобразование
случайных чисел при помощи этого приема, не зависит от п,
т. е. не зависит от точности аппроксимации закона распре-
распределения. Точность аппроксимации определяет только объем
таблиц, содержащих величины ак.
В качестве недостатка рассматриваемого приема преобра-
преобразования случайных чисел следует отметить то обстоятель-
обстоятельство, что точность аппроксимации функции Д(х) не одина-
одинакова во всей области (с, й). Она зависит от величины fk,
при малых fk точность аппроксимации падает. Поэтому при-
приходится выбирать число интервалов п с учетом обеспечения
заданной точности на интервале с наименьшими значе-
значениями fk.
Равенство G.53) позволяет получать на машине значение
величины, распределенной по Раису, с помощью двух равно-
равномерных величин. Одна из них необходима для выработки
релеевского распределения для С, а другая, будучи умножена
на 2тс, представляет фазовое смещение ер шума относительно
сигнала. При программном методе выработки равномерных
чисел оба описанных способа генерации райсовских величин
требуют приблизительно одинаковой затраты машинного вре-
времени.

§ 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕКТОРОВ 297
§ б. Моделирование случайных векторов и случайных
функций
В практике решения задачи методом Монте-Карло часто
возникает необходимость в формировании реализаций слу-
случайных векторов и особенно дискретных реализаций стацио-
стационарных и нестационарных случайных процессов. Рассмотрим
некоторые связанные с этим приемы преобразования случай-
случайных чисел, доступные с точки зрения вычислений на ЭВМ.
Пусть двумерный случайный вектор (?, ¦*)) задан совме-
совместной функцией плотности f{x, у). Располагая совокуп-
совокупностью случайных чисел {/?;}, имеющих равномерное рас-
распределение в интервале @, 1), необходимо получить после-
последовательность реализаций случайного вектора (?, -ц).
Найдем частную функцию плотности случайной величины т\
G.57)
Из совокупности случайных чисел {Rt} выберем число /?2/_i
и одним из способов, рассмотренных в предыдущем пара-
параграфе, определим соответствующее ему число ур имеющее
плотность распределения /Лу).
Рассмотрим теперь условное распределение случайной
величины ?
= ff(X; У . G.58)
Из совокупности случайных чисел {/?;} выберем число R2j-
и определим соответствующее ему число х=, имеющее услов-
условную плотность распределения f^(x/yj).
Можно показать, что получаемая таким образом после-
последовательность пар чисел (ху-, yj) имеет совместную функцию
распределения f(x, у).
В случае трехмерного вектора имеют место аналогичные
соотношения.
Пусть задана совместная функция плотности f(x, у, z)
составляющих ?, tj и С. Если случайные числа xt, yt, zt

298 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
имеют распределение, соответственно,
Д(г)= J J /С^г. У. z)dxdy
— СО —СО
+ СО
G.59)
то случайный вектор (?, tj, С) будет иметь совместную плот-
плотность распределения составляющих f(x, у, z). Процедура
генерирования xt, yt, zt аналогична двумерному случаю. Рас-
Рассматриваемые приемы моделирования случайных векторов
оказываются весьма громоздкими. В случае, когда интегралы
от функций плотности G.57) и G.58) или G.59) соответ-
соответственно вычисляются в конечном виде, для формирования
реализаций можно воспользоваться соотношением G.26).
В противном случае приходится прибегать к приближенным
приемам. Использование приближенных приемов затрудняется
тем обстоятельством, что в процессе моделирования необ-
необходимо учитывать зависимость условных плотностей распре-
распределения от фактически полученных значений составляющих-
§ 6. Моделирование некоторых многомерных величин
Рассмотрим метод моделирования «-мерных случайных
векторов, распределенных по нормальному закону. Обозна-
Обозначим компоненты случайного вектора Tjj, щ ч\п. Совмест-
Совместная плотность распределения этих величин равна
где Ш—матрица вторых моментов, Х = (х1,х2 хп),
a D = det Ш. Основная идея излагаемого способа моделиро-
моделирования состоит в том, чтобы, выработав п независимых нор-
нормально распределенных величин lv ..., ?„ с нулевыми ма-
математическими ожиданиями и единичными дисперсиями, под-
подвергнуть их такому линейному преобразованию А, после ко-
которого полученные величины vj,, ..., у\п имели бы наперед

§ 6. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ МНОГОМЕРНЫХ ВЕЛИЧИН 299
заданную матрицу вторых моментов 9Й = ||/Иу||. Заметим, что
свойство нормальности распределения сохраняется при ли-
линейных преобразованиях. Теперь мы укажем, как выбрать
линейное преобразование А так, чтобы оно переводило ве-
величины ?lt ..., \п в t\v ..., 7jn с заданными корреляцион-
корреляционными связями.
Будем считать матрицу преобразования треугольной:
ее элементы а,} найдем из условия, что
Согласно сделанным предположениям
( 1, k-
поэтому
т. е.
«п = Vmn.
Определим элементы второй строки матрицы А
т. е.
далее
= а\хт.\ + 2а21а22М^2 + е&Щ = а\ + а\2 =
т. е.
Действуя подобным образом, можно последовательно опре-
определить все элементы матрицы А: после нахождения ее

300
ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
первых к строк следующая (&-{-1)-я строка вычисляется с
помощью &+1 уравнений, получающихся из условий
Выбор преобразования с треугольной матрицей выгоден,
во-первых, потому, что такая матрица занимает в памяти ЭВМ
всего п— ячеек (а не /г2, как было бы, если матрица
не была треугольной), во-вторых, сокращается количество
арифметических операций при образовании чисел т;, у\п.
Обозначая через Sj = (?j ?„) вектор с компонен-
компонентами — независимыми нормальными псевдослучайными чис-
числами, а через 7} = (ifjI, .... 7]л) вектор, компоненты которого
имеют заданную матрицу вторых моментов Ш, можно про-
процедуру получения вектора t] кратко выразить соотношением
Отметим, что получение совокупности нормальных вели-
величин с ненулевыми математическими ожиданиями а1 ап
осуществляется сложением f\y-\-ах, .... -qn-\-an.
В задачах теории обнаружения (см. главу V) нормально
распределенные величины имитируют составляющие векто-
векторов напряжений. При числе компонент в сообщении, рав-
равном п, необходимо моделировать 2я-мерные распределения.
В ряде случаев оказывается возможным^ограничиться двумя
независимыми группами величин, каждая из которых имеет
размерность п и изображает соответствующий набор одно-
одноименных составляющих.
Амплитуды напряжения изображаются как модули дву-
двумерных нормальных векторов. Рассмотрим способы моде-
моделирования многомерных распределений амплитуд, когда
имеются корреляционные связи между векторами напряжений.
Будем моделировать величины, задаваемые плотностью
E.12), относящейся к случаю, когда независимые шумы скла-
складываются с сигналом, изменяющимся от компоненты к ком-
компоненте на постоянный множитель
со

§ 6. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ МНОГОМЕРНЫХ ВЕЛИЧИН 301
(Мы считаем, что интенсивность шумов в каждой из компо-
компонент одинакова и принята за единицу.)
Первый из предлагаемых методов моделирования по су-
существу повторяет вывод этой плотности, приведенный в § 1
гл. V: вырабатывается п райсовских величин tj, \п,
причем k-я из них имеет плотность
pk(x)=xe 2 lo(aksx),
где параметр s. общий для всех величин, сам является
случайным и распределенным по закону Релея
Такая процедура обеспечивает желаемую структуру про-
процесса: полезный сигнал, оставаясь постоянным в пределах
данной выборки, флуктуирует от опыта к опыту, а скла-
складываемые с ним последовательные шумы независимы.
Другой метод моделирования оперирует с составляющими
векторов напряжений: получив 2ге нормальных величин с ну-
нулевыми математическими ожиданиями и единичными диспер-
дисперсиями, распределим их на пары
*i. Чи Ъ< У2> •••". ?„: "V
изображающие составляющие последовательных векторов
шумовых напряжений. Затем вырабатываем еще два нор-
нормальных числа st и s2, математические ожидания которых
снова равны нулю, а дисперсия — ф. Эти числа имитируют
составляющие вектора напряжения полезного сигнала. Обо-
Обозначая через аь множители, отличающие сигналы в одной
компоненте от другой, выпишем формулы для амплитуд
смеси сигнала и шума
-\- aks2J, k~\ п.
Отметим, что в рассмотренной задаче совокупность 2п со-
составляющих суммарных напряжений образует многомерную
нормальную величину с недиагональной матрицей корреля-
корреляции. Аналогично можно рассмотреть процедуру моделирова-
моделирования совокупности, имеющей в качестве плотности E.15).
21 Зак. 250. Н. П. Бусленко в др.

302 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
Оценка качества получаемых на ЭВМ случайных чисел
производится с помощью ряда статистических критериев.
Для одномерных величин некоторые из таких критериев
приведены в гл. VI. Рассмотрим способы проверки качества
моделей многомерных величин.
Для нормальных векторов нет необходимости специально
исследовать согласие одномерных экспериментального и тео-
теоретического распределений. В самом деле, если исходные
независимые нормальные числа, из которых линейным пре-
преобразованием получаются требуемые коррелированные, вы-
выдержали испытания по критериям согласия, то их линейные
комбинации должны удовлетворять этим критериям, как
суммы независимых величин. Внимание следует обратить на
определение матрицы вторых моментов реализованного нор-
нормального вектора, ибо даже слабая зависимость исходных
равномерных псевдослучайных чисел может заметно повлиять
на корреляционные связи компонент этого вектора. Сужде-
Суждение о близости теоретической и выборочной матриц вторых
моментов делается на основании обычных статистических
правил. Таким образом, простейшая проверка качества мо-
модели многомерной нормальной величины состоит в вычисле-
вычислении выборочных вторых моментов и сопоставлении их с за-
заданными значениями.
Более аккуратный способ проверки модели нормального
вектора заключается в вычислении1 вероятности попадания
в эллипсоид, определяемый неравенством
или, подробнее,
л
где at,—элементы матрицы ffl~*, обратной к матрице вто-
вторых моментов. Для указанной вероятности нетрудно дать
точное выражение (через х.-РаспРеделение)' которое сопо-
сопоставляется с экспериментальным значением. Последнее опре-
определяется следующим образом: выработав п компонент моде-
моделируемой многомерной величины, вычисляем
п
2 aljxlxj'
llJ-^

§ 6. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ МНОГОМЕРНЫХ ВЕЛИЧИН 303
и если значение квадратичной формы не превзошло С, то
считаем опыт удачным, прибавляя к счетчику числа успеш-
успешных исходов v единицу, в противном случае испытание счи-
считается неудачным. Повторив такой опыт достаточно боль-
большое число раз N (порядка нескольких тысяч), находим
искомое значение частоты как ~. Этот прием позволяет
убедиться одновременно и в должной нормальности каждой
компоненты псевдослучайного вектора и в существовании
заданных корреляционных связей. Его недостаток состоит
в том, что большая часть памяти ЭВМ занята под матрицу
Ш =||а,-у||(—^—r— ячеек! и треугольную матрицу преоб-
преобразования 5 (еще столько же), и это лимитирует размер-
размерность испытуемых величин. Другой, более простой способ
проверки качества модели нормального вектора \=(-ц1, ...,ч\п)
основан на том, что величина
является нормальной со средним значением 0 (если
==...= Ег}п = 0) и дисперсией
Осуществление этого способа состоит в проверке согласия
по критерию х2 эмпирического распределения величины Ц„
с нормальным распределением с параметрами @, |ЛОч„).
Сложнее проводится проверка качества модели много-
многомерных распределений амплитуд, которые не определяются
однозначным способом вторыми моментами и даже никаким
конечным набором величин. Модели таких распределений
можно испытывать, вычисляя частоты превышения каждой
амплитудой ряда уровней, а также частоты одновременного
превышения различными парами амплитуд заданных уровней.
Выбор именно этих, а не других характеристик вызван
тем, что их можно сравнить с известными теоретическими
значениями: одномерными вероятностями (задаваемыми рас-
распределением Релея) и двумерными вероятностями (задавае-
(задаваемыми двумерной плотностью амплитуд Раиса). Последняя
отнссится к амплитудам rv r2, построенным из нормальных
21*

304
ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
величин Ё„ ?2, ?3, 1А
рых моментов
Обозначим D = det!
Раиса имеет вид
0 с2
а —Ь
b a
— Ъ а
с2 0
0 с2
с матрицей вто-
тогда совместная плотность амплитуд
'Г2
Yd
ехр
; гх. г2 > о
0, г, ¦ г2 < 0 или г, < 0, г2 < 0,
а соответствующее распределение
^(х, у) = f f p(rv rjdrxdr2
о о
легко табулируется разложением в степенной ряд функции /0.
Совместные распределения трех и более зависимых амп-
амплитуд выглядят значительно более сложно, и их табулирова-
табулирование представляет значительные затруднения, поэтому подсчет
частот одновременного превышения заданного уровня более
чем двумя амплитудами нецелесообразен, так как отсутствуют
теоретические вероятности.
Исследование качества псевдослучайных чисел можно
производить также путем моделирования задач, допускаю-
допускающих точное решение. В качестве примера можно указать
расчет характеристик обнаружения при квадратичном сумми-
суммировании амплитуд (см. § 2 гл. V).

ПРИЛОЖЕНИЯ*)
I. Таблица случайных цифр
86515
6918G
41686
86522
72587
52452
76773
04825
B7II3
84754
75593
73244
23974
32373
59598
В1682
87653
79429
85444
S5739
84637
59575
ЫЗОЗ
29833
32795
90795
03393
42163
47171
93000
42499
97526
82134
84778
57616
51435
61870
14783
05312
56774
12904
98088
66186
39453
44326
76154
32764
58846
35801
54313
66155
42502
85181
88059
89688
33346
27256
80317
45863
38132
73189
28709
17932
94590
08749
29142
75162
Б9157
67981
91641
14150
91090
69558
23472
39072
66434
99224
38967
89342
78416
83935
66447
75120
24520
64294
64448
38238
66686
22561
43448
65877
974S6
95114
49687
40837
07876
66515
41675
22700
16809
56558
88955
33181
67248
27589
79130
25731
45904
19976
15218
31276
76208
64254
70177
28484
64517
59297
16021
36801
93030
41899
05498
88898
39976
22148
12332
53758
72664
09082
99528
90410
37525
75601
04925
49286
70795
76575
57S98
03569
16325
31466
79636
30890
38666
03675
69207
51512
23775
21279
60102
94377
91641
53807
12311
14480
45420
16287
70492
07824
89571
33071
53163
26623
21302
62766
02555
74364
21656
50055
18788
66783
16107
30649
36694
18465
|
57802
18867
00607
90316
50961
77757
66181
10274
76044
42903
S6929
58481
91730
17381
31466
52905
16796
93662
11244
91332
87225
52141
86545
85970
87650
*) Пояснения к таблицам 1 и И см. на стр. 311.

306
ПРИЛОЖЕНИЯ
Продолжение
37837
58394
Т4543
77338
21157
46747
65087
31523
3I05I
B2I12
16364
48752
21440
08051
23601
46351
10145
22896
58479
04510
32882
86678
45406
66178
00385
32767
92934
17106
34586
62265
27700
70221
28191
65318
78069
41219
10049
34098
06810
81495
12507
96952
46849
59570
50634
15614
17420
70I8I
78489
45793
91017
72467
77078
778S8
33322
98006
24503
04821
11756
93838
44475
06118
03247
94899
04954
45035
57660
13031
40984
99652
63524
49927
84929
12664
49921
99848
75413
25973
01522
67384
54594
12I8I
95714
29277
16432
57723
79559
60580
46105
01251
77362
12333
54895
76323
27768
68132
45377
78192
40940
99861
62628
05562
72727
39761
41398
14305
32300
30146
63908
35244
01708
01538
06817
10543
82444
51620
19045
91865
97114
98286
30814
11641
70358
82041
44292
14233
71028
66259
63541
43918
47792
25578
95743
33133
63779
47103
82639
51085
79909
41Ю7
52985
20241
19163
76018
17221
13280
84302
18590
92255
07823
77312
90184
70649
40249
02888
08823
60702
68605
62039
87008
23277
83373
95873
06923
20030
26300
11105
45475
51391
98647
26455
38302
12820
97236
07284
39792
95363
27249
59279
55904
97184
08113
05251
44756
17577
96298
04683
52577
53697
28474
78805
21571
33028
39158
97849
98062
85072
14518
69120
07131
99497
14726
94136
01795
38547
80126
43860
23232
62321
32045
56339
40607
53855
33847
64203
20469
22033
90973
65440
30897
75243
89133
63010
08177
63470
17838
94781
42083
28837
64579
06778
73597
24007
12202
25016
44173
15636
48420
79248
25669
11037
23Г.41
83991
77022
67134
23963
64737
38489
94557
24312
40125
09174
43806
19881
47631
03412
09662
33421
59937
51144
38108
55420
23874
70297
02495
19095
46083
44904
67279
49830
13283
71368
14863
66946
26861
70712
34982
10643
60948
91275
63718
25774
77299
17443
95995
67018
29415
36152
63413
32913
64329
04703
09473
28066
98591
22394
93227
86581
10832
20190
49598
42586
65161
09954
S9I34
32573
40014
054 IS
44882
32783
57338
1Ш7
73577
77806
09521
87692
75562
20715
00820
09093

I. ТАБЛИЦА СЛУЧАЙНЫХ ЦИФР 307
Продолжение
48498
6H78
13314
83359
92230
94963
82419
14586
10750
25165
62146
99230
97630
77456
29391
51950
Э5186
17230
77916
S3622
83-563
47322
18874
93884
S2928
26722
94624
68792
38521
49780
66828
47312
56294
71891
05688
87125
89284
4354;)
72526
80713
84032
17571
64748
93058
23434
74314
74419
63828
62790
19981
49899
16830
46940
93441
50490
93994
45099
79187
40720
78753
59891
27427
48419
78887
26759
59833
53333
45357
58043
60150
89132
31388
10917
32624
51625
50453
40386
79772
11007
57014
91916
40943
98270
04513
33907
83348
24470
19246
01034
85596
01616
04507
34102
32937
05504
S6658
47478
39413
00552
56688
04764
55350
18324
13397
81964
82636
12249
60728
47618
39264
83816
36579
71396
56130
08070
74467
81516
76663
01014
95782
57831
68585
56043
30181
99969
57837
26119
06711
13229
28215
09704
09945
39925
61626
72118
30765
81898
91229
59380
75496
56768
64148
07146
89114
39814
14536
45116
48298
27883
64860
21519
46587
41691
09695
52065
80685
51880
33372
23840
77992
50342
84037
36371
36046
59315
44518
17982
69123
18305
23947
01665
33690
83750
26413
54076
18373
71577
40374
53997
53496
51856
55303
56770
49188
15297
S6326
07083
12224
59045
81513
37571
76678
68941
01106
47126
80961
41343
97965
43638
94837
82640
32216
07726
97874
52309
20589
10074
94081
04039
90368
67557
39054
57347
65397
13728
40016
58556
04602
27699
84805
89886
67523
60338
52277
91252
82168
47188
07315
71153
39063
23793
59674
90055
10053
73890
30763
66292
32464
37326
28824
93678
94790
29952
11872
93342
33640
05881
73021
30663
49677
90142
51933
31686
53297
13948
77970
01777
61162
35537
09304
23608
7004т
14268
26665
99719
59947
33755
37971
74143
12496
14528
55405
94387
61291
40346
37246
02121
63394
87030
87884
64517
38819
11523
58211
21433
33858
80362
25354
99537
30608
97074
79347
27094
28931
81906
4580Э
58752
87186
29701
54066
54650
38048
54342
90439
99399
89263
65621
55539
36200
52088
00820
65813
16156
83350
05698
92137
14364
04344
68210

308
ПРИЛОЖЕНИЯ
42281
00226
18022
19104
68251
09236
86058
98654
24230
83760
16070
65772
77384
78120
73325
26453
84451
14786
47904
39322
05177
67052
89101
89645
26253
65687
55744
31271
02041
48336
В8566
28976
59106
63979
04458
48826
80733
85391
97167
89151
68910
12793
09949
04823
81542
99595
01628
93089
22592
89010
23294
54974
95769
39085
25636
50357
51978
28II6
87158
73891
21809
80539
52569
86417
98017
29732
60154
91432
73570
41179
48608
53750
94443
12164
89350
66819
99816
71989
36103
63876
24999
96900
15280
93256
22338
02164
76141
73210
55838
15624
61162
68663
16357
32556
28926
85259
96777
51460
27949
99274
Продолжение
86568
29195
21053
74417
24297
29355
33877
46338
19176
55978
18826
94619
99405
13427
23348
97684
69889
99376
51309
85497
77188
76460
75883
25270
96442
67021
73149
40570
33471
91734
10094
16582
60130
29805
98963
70052
64682
65904
59285
15690
02130
85299
73989
06569
24748
79078
52Н93
75134
37223
09731
87310
08993
16686
65147
00053
81361
91635
88517
52608
97412
II. Таблица нормальных величин
0,2005
1,1609
0,5864
0,1425
0,9516
—0,5863
1,1572
—0,4428
—0,3924
0,8319
0,9780
0,4083
0,2506
—0,6155
2,1961
1,1922
-0,6690
—0,9245
—0,2863
—1,7708
0,8574
0,9990
—0,5564
1,7981
0,4270
-0,7679
0,1172
0,1451
— 1,6600
0,8373
—0,0077
-1,5893
0,0904
1,2809
2,8854
-0,5557
—0,1032
—0,5098
0,6141
-0,8888
0,8960
0,4380
-0,1072
0,6499
0,8334
0,0348
0,5816
1,5068
0,4043
0,4686
0,8115
0,5405
—1,1929
—1,3596
0,4167
0,5154
0,2153
1,5161
—1,1385
0,0836
1,0423
1,8818
—1,1147
0,6379
1,4664
—0,2676
-0,6022
—0,0572
1,4943
—0,8513
—0,7165
0,2471
—0,1149
-0.0786
0,5572
—1,8149
0,7390
0,2776
—0,4428
1,6852
—1,2496
0,0093
-0,5061
—0,4406
1,1054
0,8563
1,2222
1,7168
0,0723
-0,8472
1,1803
—0,2736
0,1012
—2,3006
—0,9690
—1,2125
0,2119
—0,1557
—0,2033
1,2237
—1,1630
-0,5332
—0,4254
—2,1401
0.6057
0,0033
1,0828
—1,3566
—0,6446
—0,0831
1,3876
—1,4647
—1,2384
—0,1316
—0.7003
1,8800
0.6769
—0,4328
—0,5111
—0,2271

П. ТАБЛИЦА НОРМАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН 309
Продолжение
0,5955
0,8878
1,3596
0,3961
1,3996
0,6103
1,0572
—0,7934
0,7095
0,4189
0,9204
1,0469
0,0373
0,8325
— 1,0980
0,8285
0,5849
—1,2394
-1,8795
—1,4345
—0,2127
0,4394
— 1,7181
—1,1714
—1,4312
—0,5767
—1,7750
0,6989
1,4573
— 1,9278
—0,0307
1,9745
—0,6722
0,8308
—0,9590
0,3326
0,6549
-1,2105
0,5716
—0,0708
-0,9567
1,4399
0,6264
0,3172
-0,5412
0,2143
0,0863
1,4052
—0,8784
—1,1017
—1,1859
1,3231
1,0704
0,3653
-0,5706
—0,9246
—1,2114
-0,86.90
2,1241
0,8420
—0,6388
0,6535
1,0547
2,3965
—1,3493
—0,1932
-1,3836
—0,9137
—0,5137
1,3322
0,2432
-0,9768
—0,8153
2,5666
-0,0971
-0,7979
0,1661
-2,3642
0,2217
1.3550
—0,4525
—0,1673
0,7770
1,3063
-0,3513
-1,7647
—0,5204
1,5732
—0,4474
—0,3966
0,6551
-1,4720
0,6511
0,9094
—0,9678
0,2817
1,9777
—0,6200
—1,0324
—2,1421
0,5343
—1,4222
1,1764
—0,1719
1,2580
-0,3199
0,5768
0,8286
—0,8159
1,7982
0,1295
-0,6119
0,3077
0,4702
0,4413
—1,5355
-2,4684
—1,1261
0,5378
-0,8212
¦ 1,7141
1,9888
—0,4714
1,7748
0,0959
0,8872
0,1195
0,0606
-1,6972
0,2764
-1,1844
-1,5188
0,0283
-1,2804
-0,2011
-1,4527
—0,7401
0,8522
—0,5972
0,3184
0,9895
0,5028
0,9064
—1,4232
1,5037
-1,2330
0,8314
-0,6841
1,6976
—0,2411
0,9592
-2,3175
—0,4988
0,0564
-1,6344
-1,3690
—0,8117
0,1402
0,1267
—0,3456
0,1166
1,3912
—1,8767
-0,7831
-1,2982
1,2249
0,4177
2,8545
1,7019
—0,8211
—0,0327
0,1818
1,3351
—0,3766
-2,6891
-1,8206
—2,1394
0,3989
-0,5367
1,7609
—0,1026
—0,9808
—1,6218
0,6767
—0,2647
1,1220
0,4712
0,2309
1,6808
0,0470
1,1758
-1,5597
-1,3960
0,2810
0,5451
2,0035
—0,1016
0,4794
1,3062
0,2366
-0,3035
1,1409
—0,3315
1,1407
—0,2092
0,2244
—1,3384
0,1878
-0,0541
-2,1006
2,6107
—0,3886
—0,0447
0,1126
0,7349
—0,9273
—0,1418
—1,6043
—1,1800
—1,3321
0,4739
—0,7944
0,5456
0,1161
—1,2482
—0,1292
-1,8326
0,8760
—0.E6J7
0,7516
-0,2544
0,1089
—1,9540
0,0845
—0,4258
0,8132
0,8073
-0,8293
0,7560
1,1349
-0,8648
0,1408
—0,4552
-1,2317
1,4988
1,3989
-1,1699
-0,0843
0,7496
0,3755
— 1,5307
— 1,1073
1,0698
—0,7246
—0,2401
0,1009
0,5652
1,3361
1,2464
—1,7729
—1,5747
—0,1824
—0,2568
0,5588
—0,3690
—1,9742
0,0974
—1,3196
1,6192
—1,2719
- —0,3663
-0,8989
0,1807
0,4265
-0,5102
0,1999
—0,0469
—0,1925
1,3532
0,2758
—0,2762
1,1103
0,5407
-1,5495
-0,8433
0,217.3
— 1,5144
0,7661
0,8885
0,5803
0.2634
0,2446
1,7287
—0,6078
2,1936
0,4673
-0,2171
-0,3627
—0,9108
—0,7298
0,2136
—1,2026
-0,0006
-0,1572
1,4047
—0,2299
0,0229
0,8593
— 1,5036
-1,1642
1,8976
0,4925
-0,5275
0,7492
0,3929
-0,3996
-2,2602
—1,5751
0,5975
0,0464

310
ПРИЛОЖЕНИЯ
-1,1670
—1,7540
—0,1531
0,0814
1,0686
—0,9519
—1,2364
0,2610
—1,1613
0,6500
1,6165
0,0475
-1,4437
0,8907
—1,1346
1,4385
0.232S
0,2062
—1,5345
—0,4928
-0.5R41
0,1518
0,3180
1,1551
0,1320
—0,4705
0,6670
— 1,4820
1,1444
11,0293
0,3489
—0,7011
0,9104
1,4756
1,3478
—0.5155
0,4917
1,5164
—0,4471
l),926t)
—0,2764
1,4139
1,3783
—0,6202
0,4729
2,4481
—0,4280
0,7267
—2,1545
0,8222
-0,7251
—0,0944
0,9985
0,4311
—0,8556
-0,4879
0,2764
0,5703
0,2521
0,6253
2,6767
-0,7753
0,0787
-0,1413
—0,7459
1,8856
0,6316
0,2212
1,5919
-1,4862
1,2612
1,4512
—0,0423
0,4546
2,3351
0.8359
0,8378
—0,7221
0,2909
-0,4778
—0,9646
-0,6992
—0,0558
—1,5163
0,0907
—1,2937
—0,5502
1,0333
-0,1767
1,7626
-0,8607
0,6800
—0,2006
0,4879
—1,5648
—0,0615
0,5612
—0,7782
0,0286
-2.3459
1,7088
—1,4071
—0,9492
—1,9574
0,2789
-1,3087
0,9936
1,0139
-0,4227
—1,5943
1,6360
—0,1605
—0,6756
—0,7222
0,1138
0,6713
0,2625
-0,6674
0,0715
0,7206
—0.4Й25
—0,0217
0,5885
—0,5086
0,6189
-0,3668
—1,1491
0,4426
—0,3837
—0,0396
1,1737
0,2583
1,5134
-0,5611
-1,4676
3,3023
1,2642
-0,3347
—1,0374
—0,6131
—0,6897
—0,3088
0.86У0
0,8299
—0,4731
—0,4818
—0,3840
1,6695
—1,0081
0,4494
1,1331
1,2953
0,0033
—0,5631
—0.1341
0,4304
-0,6391
—0,6961
1,3707
0,7800
0,9841
—0,8669
—1,1431
0,3290
2,1538
0,3879
0,0441
—0,5912
0,2718
—1,4831
1,9487
—1,3042
—0,1220
—0,4382
—0,5550
0,0828
0,0228
0,6958
—0,3167
-0.7769
0,4119
—0,7625
—0,2502
0,0078
—0,8643
0,0037
0,0104
0,6186
—0,3190
1,6794
0,7388
0,446В
—0,8384
0,4012
1,3255
0,2434
0,4374
—0,4910
—1,6617
- 0,0541
п
0,9214
1,3461
—1,5575
—2,6179
—1,5846
—0.4519
—0,1506
—0,6600
1.0682
0,7821
1,3683
—0,5009
—1,2408
—0,0232
1,9783
—0,4150
—0,0113
—1,6643
0,0337
—0,8436
0,7105
1,2727
-0,2786
0,3747
1,1979
—0,1947
—1,8476
1,0103
—1,4802
1,4924
0,2482
2,6422
0,1191
-0,4609
0,1626
—0,4370
0,4508
0,9222
-0,9242
—0,9749
эодолжение
—0,9516
0,3*107
—0,0893
1,3521
0,0904
—0,7694
0,5166
—1,3500
0,7272
0,7722
0,1228
1,5905
0,9547
0,7202
-0,6002
—0,3619
—1,1525
—0,1400
—1,5653
0,0709
1,5529
—1,1864
—0,10."«
0,4133
0,6021
0,5400
1,0431
—0,1774
—1,1290
0,3306
—0,9710
—0.5301
-0,9857
—0,3180
0,4069
1,9007
2,0110
0,1287
0,4884
—0,3148
0,2055
—1,6222
0,9620
0,9347
—С.8897
1,4488
0,4555
-1,1604
— 1,9370
—0,1627
1,7110
0,2739
0,9419
—1,6899
—0,8623
—1,1449
0,8575
-0,4758
—0.3404
1,6279
—0,8765
O.5S24
0,9414
-0,0213
0,1031
0,2916
-0,7333
0,7496
1,2259
—0,6443
—0,0743
—0,3351
0,0763
—0,6076
0,4443
2,3921
1,0462
—0,3559
0,8732
—1,7382

II. ТАБЛИЦА НОРМАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН
311
Продолжение
1,1780
—0,8993
0,6425
0,4918
0,6104
0,4524
1,3386
0,3578
- 0,0893
-ii,7l67
-0,9094
—2,1042
— 1,2015
-1,1590
-0,1053
—0,1567
0,8239
1,6095
— 1,8891
0,2825
— 1,2549
0,6437
0,8561
—0,7138
-0,3168
—0,5841
—0,0420
0,4347
0,0955
—0,8127
—1,6038
0,1293
0,1769
—0,7745
-0,7964
—0,3759
—0,9384
—0,0375
1,5757
—1,9664
-0,3657
-0,3644
—0,4216
1,3998
—0,6711
1,5014
0,5671
—1,4104
-2,4284
0,1674
1,8023
1,2778
—0,2334
1,7661
—0,2093
1,0182
—0,1988
0,4712
1,0883
0,2933
0,3676
0.3592
1,1089
0,5588
-1,0848
—1,1044
0,9778
—0,2984
0,9775
—2,8695
0,0288
-0,0820
1,2343
—0,7100
-0,5184
2,2306
—0,8463
0,9356
-0,3966
—0,5899
—0,4091
0,8326
2,1016
0,3209
—0,0818
—0,1987
1,3127
—0,6811
1,0695
0,8815
0,2777
-0,6395
1,0447
-0,2296
1,0418
—0,7922
0,5967
—0,2797
—0,6173
—0,7468
—0,4141
0,1336
0,7220
0,4390
0,4196
0,1521
—0,8796
—0,5948
—0,0619
—0,0527
0,7098
—0,5625
0,1617
-1,2491
0,4804
1,0343
1,5628
1,8966
-1,6493
0,9142
—0,6000
0,2762
1,6418
0.7240
-2,3357
—0,3908
0,0569
—1,2492
2,0789
0,1990
1,7280
0,2047
-1,0582
0,3926
—0,7284
—1,3206
—0,4575
—1,4605
0,8885
—0,6281
—1,1160
0,9745
—0,0937
—0,1967
0,6276
1,1264
2,3005
—0,9681
1,2889
1,2547
—0,3385
0,2523
1,3131
—0,7744
—2,2113
0,5027
-0,4893
0,4011
—0,5821
—0.2504
1,7529
0,6016
-1,6844
0,0069
0,3841
0,2484
0,8009
0,3091
0,2336
1,8808
0,3299
0,9824
0,7040
—0,8866
—0,5237
1,7410
2,8135
1,8779
—0,6178
1.6200
—0,1781
—0.4792
—0,4279
1,0331
-0,2154
-0,8777
-0,1772
-2,9682
0,4185
—0,6488
1,2843
0,0180
1,3734
-0,9308
0,2318
— 1,0647
0.1745
-0,7754
—0,6679
0,3292
-1,3397
—0,0795
-2,1222
0,1061
2,0092
-1,2655
0,4605
0,2103
0,9129
—0,1370
0,0006
—1,9707
-0,2146
-0,3648
—0.4277
0,8350
—0,1316
—0,3262
—1,1778
—0,6661
-2.5891
1,6723
2,2182
0,4610
0,4297
1,3832
0,8412
—0,3175
—0,9313
-0,5599
—0,4159
0,8991
0,6033
—0,0075
-2,1167
—0,5511
0,2354
0,9124
—0,1627
0 0929
Пояснения
Случайные цифры имитируют результаты последовательности
одинаковых опытов, в каждом из которых из совокупности цифр
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 извлекается «наудачу» цифра (т. е. вероят-
вероятность появления любой из цифр равна 1/10). Опыты между собой
независимы.
5000 цифр, приведенных в таблице I (стр. 305), представляют
собой первые десятичные знаки псевдослучайных чисел {¦{}, ис-
используемых на машине «Стрела». Описание и результаты испыта-
испытаний этих чисел «на случайность» имеются в статье [57]. Для
удобства цифры разбиты на группы — по пять цифр в каждой.

312 ПРИЛОЖЕНИЯ
Нормальные величины имнтируют последовательность значений
нормально распределенной (гауссовской) случайной величины со
средним значением 0 и с дисперсией 1.
1000 чисел, приведенных в таблице II (стр. 308), сосчитаны на
машине «Стрела» по псевдослучайным числам {•(} согласно методу,
предложенному в статье [7] по формуле
где
(каждое С вычисляется по пяти значениям '().

БИБЛИОГРАФИЯ
1. Аккерман А. Ф., Каипов Д. К., Применение метода Мон-
Монте-Карло для расчетов по прохождению ?-квантов через ве-
вещество, Труды Ин-та ядерной физики АН КазССР, 1960, 3,
106—114.
2. Атлас нейтронных сечений, изд. 2, Атомиздат, 1959.
3. Бахвалов Н. С, О приближенном вычислении кратных ин-
интегралов, Вестник МГУ, сер. мат., мех., астр., физ., 1959, Л° 4,
3-18.
4. Б а ш а р и н Г. П., О статистической оценке энтропии последо-
последовательности независимых случайных величин, Теория вероятн.
и ее примем., 4, № 3, 1959.
5. Благовещенский Ю. А., Об эффективности метода Мопте-
Карло при решении некоторых задач, Вопросы теории математ.
машин, Сб. 2, 1962.
6. Большев Л. Н., Об оценках вероятностей, Теория вероятн. и
ее примен., 5, № 4, 1960.
7. Большев Л. Н., О преобразованиях случайных величин, Тео-
Теория вероятн. и ее примен., 1959, 4, № 2, 136—149.
8. Бородин Л. Ф., Идеальное устройство отождествления для
сложных сигналов, Радиотехника, 15, № 8, 1960.
9. Браун Дж. В., Метод Монте-Карло, Сб. «Современная ма-
математика для инженеров» под ред. Э. Бекенбаха, ИЛ, 1958.
10. Б у с л е н к о Н. П., Решение задач теории массового обслужи-
обслуживания методом моделирования на электронных цифровых вы-
вычислительных машинах. Проблемы передачи информации, 9,
1961.
11. Б у с л е н к о Н. П., Ш р е й д е р Ю. А., Метод статистических
испытаний (Монте-Карло) и его реализация в цифровых ма-
машинах, Физматгиз, 1961.
12. Вальд А., Последовательный анализ, Фнзматгиз, 1960.
13. В а н - дер-В а р ден Б. Л., Математическая статистика, ИЛ,
1960.
14. Варфоломеев А. А., Голенко Д. И., Светлоло-
б о в Г. А., Характеристики электромагнитных каскадов в фото-
фотоэмульсии с учетом влияния среды на процессы излучения, ДАН
СССР, 1958, 122, № 5, 785—787.
15. В е н т ц е л ь Е. С, Теория вероятностей, Фнзматгиз, изд. 2,
1962.
16. В л а д и м и р о в В. С, О применении метода Монте-Кярло
для отыскания наименьшего характеристического числа и

314
БИБЛИОГРАФИЯ
соответствующей собственной функции линейного интеграль-
интегрального уравнения, Теория вероятн. и ее примен., 1956, 1, № 1,
11о—1оО.
17. Владимиров В. С, О приближенном вычислении винеров-
ских интегралов, УМН, 1960, 15, № 4, 129—135.
18. В ладимиров В. С, Соболь И. М., Расчет наименьшего
характеристического числа уравнения Пайерлса методом Монте-
Карло, Вычислит, математика, 1958, № 3, 130—137.
19. Г е л ь ф а н д И. М., Ф е й н б е р г С. М., Фролов А. С, Чен-
ц о в Н. Н., О применении метода случайных испытаний (метода
Монте-Карло) для решения кинетического уравнения, Труды
2-й Междунар. женевской конф. по примен. атомной энергии
в мирных целях, 1958, № 2141.
20. Г е л ь ф а н д И. М., Фролов А. С, Ч е н ц о в Н. Н., Вычисле-
Вычисление континуальных интегралов методом Монте-Карло, Известия
вузов, сер. матем., 1958, № 5, 32—45.
21. Гельфанд И. М., Ченцов Н. Н., Численное вычисление
континуальных интегралов, ЖЭТФ, 1956, 31, № 6, 1106—1107.
22. Гельфанд И. М., Я г л о м А. М., Интегрирование в функцио-
функциональных пространствах и его применение в квантовой физике,
УМН, 1956, 11, № 1, 77—114.
23. Г н е д е н к о Б. В., Курс теории вероятностей, изд. 3, Фнзмат-
гиз, 1961.
24. Г о л е в к о Д. И., Образование случайных величин с произволь-
произвольным законом распределения, Вычислит, математика, 1959, № 5,
83—92.
25. Г о л е н к о Д. И., Расчет характеристик некоторых стохастиче-
стохастических процессов методом Монте-Карло, Вычислит, математика,
1959, № 5, 93—108.
26. Г о л е н к о Д. И., С м и р я г и н В. П., К а п л а н с к и й В. Я.,
Ш и в а Л и н Ю. М., Датчик случайных чисел на электронной
вычислительной машине «Стрела», ВЦ АН СССР, 1960.
27. Г о л е н к о Д. И., Некоторые вопросы расчета вероятностных
процессов методом Монте-Карло. Труды Всесоюзной конферен-
конференции «Новые разработки вычислительной математики ц вычисли-
вычислительной техники», Киев, 1960.
28. Г о л е н к о Д. И. и Смирягин В. П., Датчики случайных
чисел, Труды Математического института Венгерской Академии
наук, серия А, 15, № 3, 1960.
29. Давенпорт В. Б. и Рут В. Л., Введение в теорию случай-
случайных процессов и шумов, ИЛ, 1960.
30. Д а н и л ь ч е н к о Й. А., Выравнивание вероятностей появления
двоичных цифр совмещением прямых и инверсных представле-
представлений, Вопросы теории математ. машин, Сб. 2, 1961.
31. Длин А. М., Математическая статистика в технике, «Советская
наука», 1953.
32. Дуб Д., Вероятностные процессы, ИЛ, 1956.
33. Д у н и н - Б а р к о в с к и й И. В., Смирнов Н. В., Теория ве-
вероятностей и математическая статистика в технике (общая
часть), Гостехиздат, 1955.
34. Д 9 в н с о н Б., Теория переноса нейтронов, Атомиздат, 1960.

БИБЛИОГРАФИЯ 315
35. Ермаков С. М., Золотухин В. Г., Полиномиальные при-
%=^елни?, \ м™од Монте-Карло, Теория вероятн. и ее примен.,
19оО, 4, № 4, 473—476.
36. Зубарев Т, Н., Введение в теорию ядерных реакторов, МАИ,
1У59.
37. Кадыров М., Таблицы случайных чисел, Изд, Среднеазиат-
Среднеазиатского Гос. ун-та, Ташкент, 1936.
38. К ер тисе Д., Методы Монте-Карло для итерации линейных
операторов, УМН, 1957, 12, Кг 1, 149—174.
39. К и т о в А. И., К р и н и ц к и й Н, А., Электронные цифровые
машины и программирование, изд. 2, Физматгиз, 1961.
40. К о р о б о в Н. М., Приближенное вычисление кратных инте-
интегралов с помощью методов теории чисел, ДАН СССР 115,
№ 6, 1062—1065, 1957.
41. Коробов Н. М., О приближенном вычислении кратных инте-
интегралов. Вестник МГУ, № 4, 1959.
42. Коробов Н. М., О некоторых вопросах равномерного распре-
распределения, Изв. АН СССР, сер. матем., 14, 1950, 215—238.
43. Крамер Г„ Математические методы статистики, ИЛ, 1948.
44. Марчук Г. И., Численные методы расчета ядерных реакторов,
Атомиздат, 1958.
45. М а т ы а ш И., Ш и л х а н е к Я., Генератор случайных процес-
процессов с заданной матрицей спектральных плотностей, Автоматика
и телемеханика, 1960, 21, № 1, 29—35.
46. Милн В. Э., Численное решение дифференциальных уравне-
уравнений, ИЛ, 1955.
47. М о р т о н К., Вычисление вероятности избежать резонансного
захвата методом Монте-Карло. Труды 2-й Международной же-
женевской конференции по применению атомной энергии в мирных
целях. Избранные доклады иностранных ученых, 2, Нейтронная
физика, 594—599.
48а. Постников А. Г., Арифметическое моделирование случайных
процессов, Труды Математ. ин-та им, В. А, Стеклова, 57, Изд-во
АН СССР, 1960.
486. Прием сигналов при наличии шума. Сб. статей под ред.
Л. С. Гуткина, ИЛ, 1960.
49. Пугачев В. С, Теория случайных функции и ее применение
к задачам автоматического управления, Гостехиздат, 1957.
50. Р а к о в Г. К., Выработка случайной величины на быстродей-
быстродействующих счетных машинах, Автоматическое управление и вы-
вычислительная техника (сборник трудов), ГИТЙ, М.—Л., 1958.
51. Рамеев Б. И., Шрейдер Ю. А., Решение прямой задачи
теории каротажа сопротивлений на специализированных вычи-
вычислительных машинах, Вопросы теории математ. машин, Сб. 1,
1958, 172—180.
52. С а р ы м с а к о в Т. А., Основы теории процессов Маркова, Гос-
Гостехиздат, 1954.
53 Севастьянов Б. А., Теория ветвящихся случайных процес-
процессов, УМН, в, № 6 D6), 1951.
54. С и н д л е р Ю. Б., Об использовании цифрозых вычислительных
машин для решения задач радиорелейной связи УКВ методом

БИБЛИОГРАФИЯ
статистических проб, НДВШ, Радиотехника и электроника.
1Уо8, J\2 I, 81—80.
55. С и н д л е р Ю. Б., Приближенный расчет и моделирование на-
накопления шумов в радиорелейных линиях связи, Сб трудов
научно-технич. об-ва им. А. С. Попова, 1960, № 2, 227—255.
56. Соболь И. М., Многомерные интегралы и метод Монте-Кар-
Монте-Карло, ДАН СССР, 1957, 114, № 4, 706—709.
57. Соболь И. М., Псевдослучайные числа для машины «Стрела»,
Теория вероятн. и ее примен., 1958, 3, № 2, 205—211.
58. Соболь И. М., Точные оценки погрешности многомерных ква-
квадратурных формул для функций классов W, и Hi. Журнал вы-
вычислит, математики и математической физики, 1961, 1, № 2.
59. Соболь И. М., О решении интегрального уравнения Пайерлса
методом Монте-Карло, Теория вероятн. и ее примен, 1960, 5,
№ 3, 361—366.
60. Соболь И. М., О вычислении многомерных интегралов, ДАН
СССР, 1961, 139, № 4, 821—823.
61. Соболь И. М., О вычислении бесконечномерных интегралов,
Журнал вычислительной математики и математической физики,
1961, 1, № 5, 917—922.
62. Фишер И. 3., Применение метода Монте-Карло в статистиче-
статистической физике, УФН, 1959, 69, № 3, 349—369.
63. Хаусхолдер А. С, Основы численного анализа, ИЛ, 1956.
64. Ч а в ч а н и д з е В. В., Метод случайных испытаний (метод
Монте-Карло), Труды ин-та физики АН ГрузССР, 1955, 3, 105.
65. Ч а в ч а н и д з е В. В., Применение метода случайных испыта-
испытаний к расчету внутриядерного каскада. Изв. АН СССР, сер.
физ., 1955, 19, № 6, 629—638.
66. Чавчанидзе В. В., Ш а д у р и Р. С, К у м с и ш в и л и В. А.,
Расчет методом Монте-Карло электронно-фотонного каскада в
свинце, ЖЭТФ, 1958, 34, № 4, 912—915.
67. Ш р е й д е р Ю. А., Метод статистических проб (Монте-Карло))
и его использование в цифровых машинах, Приборостроение,
1955, № 7, 1—5.
68. Шрейдер Ю. А., Решение систем линейных алгебраических
уравнений по методу Монте-Карло, Вопросы теории математ.
машин, Сб. I, 1958, 167—171.
69. Ядерные реакторы. Часть 1. Физика ядерных реакторов, ИЛ,
1956.
70. A k a ike H., Monte Carlo method applied to the solution of
simultaneous linear equations, Ann. Inst. Statist. Math., Tokyo,
1956, 7, 107—113.
71. А к a ike H., On optimum charakter of von Neumann's Monte
Carlo model, Ann. Inst. Statist. Math., Tokyo, 1956, 7, 183—193.
72. А к a i к e H., S a i g u s a Y. [Статистический анализ явлений,
происходящих в некоторой последовательности] (японск.) [То-
кэй сури кэнкюсе ихо], 1957, 5, № 1, 58—65.
73. Albert G. E., A general theory of stochastic estimates, of the
Neumann series for the solutions of certain Fredholm integral
equations and related series, Symposium on Monte Carlo methods,
1956, 37—46.

БИБЛИОГРАФИЯ 317
74. Arnold H. J., В и с h e r В. D., Trotter H. F., T u к е у J. W.,
Monte Carlo techniques in a complex problem about normal'
samples, Symposium on Monte Carlo methods, 1956, 80—88.
75. В a s s J., G и i 11 о и d J., Methode de Monte-Carlo et suites uni-
formement denses, Chiffres, 1958, I, 149—155.
76. Bauer W. F., The Monte Carlo method, J. Soc. Industr appl
math., 1958, 6, 438—451.
77. Beach L. A., T h e и s R. В., Stochastic calculations of gamma
ray diffusion, Symposium on Monte Carlo methods, 1956, 103—122.
78. Berger M. J., Reflection and transmition of gamma radiation
by barriers, Monte Carlo calculation by a collision-density method,
J. research NBS, 1955, 55, № 6, 343—350.
79. Berger M. J., An application of the Monte Carlo methods to
a problem in gamma ray diffusion, Symposium on Monte Carlo
methods, 1956, 89—102.
80. В e r g e r M. J., Cooper J. W., Reflection of fast neutrons
from water, J. research. NBS, 1959, 63A, 101—144.
81. BergerM. J., Raso D. J., Monte Carlo calculations of gamma-
ray backscattering, Radiation research, 1960, 12, 20—37.
82. В о f i n g e r E., В о f i n g e r V. J., A periodic property of pseudo-
pseudorandom sequences, J. Assoc. Comput. Machinery, 1958,5,261—265.
83. В о и с к а е г t L., Les methodes de Monte-Carlo, Rev. questions
sci., 1956, 17, 344—359.
84. Bouquet G., F e i x M., N i с о и r d P., S a j a 1 о 1 i C, Emploi
de la methode de Monte Carlo pour la determination du volume
critique d'un cylindre, С. г. Acad. Sci., 1958, 246, №9, 1382—1384.
85. Brooks S. H., A discussion of random methods for seeking ma-
maxima, Operat. Res., 1958, 6, № 2, 244—251.
86. Brown G. W., History of RAND's random digits, NBS appl.
math series, 1951, № 12, 31—32.
87. Butler J. W., Machine sampling from given probability distri-
distributions. Symposium on Monte Carlo methods, 1956, 249—264.
88. С a m p b e 11 L. L., Two properties of pseudo-random sequences,
IRE Trans., Inform. Theory, 1959, 5, № 1, 32.
89. С a n s a d о Е., Sobre la inversion de matrices de Leontief, Trab.
estadist., 1958, 9, № 3, 203—264.
90. С ash well E. D., Everett С J., A practical manual on the
Monte Carlo method for random walk problems, Pergamon
Press, 1959.
91. Certaine J. E., On sequences of pseudo-random numbers of
maximal length, J. Assoc. Comput. Machinery, 1958, 5, 353.
92. Cerulus F., Hagedorn R., A Monte Carlo method to calcu-
calculate multiple phase space integrals, I. Nuovo Cimento, 1958, 9,
Suppl. № 2, 646—658.
93. Cerulus F., Hagedorn R., A Monte Carlo method to calcu-
calculate multiple phase space integrals, II, Nuovo Cimento, 1958,
9, Suppl., № 2, 659—677.
94. С h a r 1 e s J., Vandenplas P., La methode de Monte-Carlo,
I, Schemas stochastiques associes a un probleme de mesure a
donnees incompletes, Bull. Assoc. ingrs. issus Ecole applic. artill.
et genie, 1959, 37, N° 2, 1—6.
22 Зак. 250. И. П. Бусленко и др.

318
БИБЛИОГРАФИЯ
95. Cook J. M., Rational formulae for the production of a sphe-
spherically symmetric probability distribution, MTAC, 1957, II, № 58,
81—82.
96. Cove you R. R., Serial correlation in the generation of pseudo-
pseudorandom numbers, J. Assoc. Comput. Machinery, 1960, 7, № 1,
72—74.
97. Crew J. E., Hill Y. D, Lavatelli L. S., Monte Carlo cal-
calculation of single pion production by pions Phvs. rev 1957
106, 1051—1056.
98. Crone 1., Einige Anwendungsmoglichkeiten der Monte-Carlo-
Methode, Fortschritte der Physik, 1955, 3, № 3, 97—132.
99. С ti e r P., Combe J., Sur la realisation d'un technique de
Monte-Carlo pour etudier le passage de nucleons de grande ener-
gie a travers les noyaux, C. R. Acad. Sci., 1954, 238, 1799—1801.
100. С u r t i s s J. H., Sampling methods applied to differential and
difference equations, Proc. seminar on sci comput, IBM New
York, 1949.
101. Curtiss J. H., A theoretical comparison of the efficiencies of
two classical and a Monte Carlo method for computing one com-
component of the solution of a set of linear algebraic equations,
Symposium on Monte Carlo methods, 1956, 191—233.
102. Cut ко sky R. E., A Monte Carlo method for solving a class of1
integral equations, J. research NBS, 1951, 47, № 2, 113—115.
103. Dahlquist G. Monte-Carlo-metoden, Nord. Mat. tidskr., 1954,
2, 27—43.
104. Da v i s D. H., Monte Carlo calculation of molecular flow rates
through a cylindrical elbow and pipes of other shapes, J. appl.
phys., 1960,31, 1169—1176.
105. Davis P., R a b i n w i t z P., Some Monte Carlo experiments
in computing multiple integrals, MTAC, 1956, 10, № 53, 1—8.
106. D i a m a n t i d e s N. D., Analogue computer generation of proba-
probability distributions for operations research, Commun. and Electro-
Electronics, 1956, № 23, 86—91.
107. p i 1 w о r t h R. P., А с к e r 1 i n d E., The analysis of post detec-
detection integrition systems by Monte Carlo methods, JRE Nat. Con-
Convent. Rec, 1957, 6, № 2, 40—47.
108. D i s m u к е N.. Monte Carlo computations, Symposium on Monte
Carlo methods, 1956, 52—62.
109. D о d d E. L., Certain tests for randomness applied to data grou-
grouped into small sets, Econorr.etrica, 1942, 10, 249—257.
110. Dodd E. L., A transformation of Tippett random sampling num-
numbers into numbers normally distributed, Boletino maternat., 1942,
15, 73—77.
111. Donsker M. D., Kac M., A sampling method for determining
the lowest eigenvalue and the principal eigenfunction of Schrodin-
ger's equation, J. research NBS, 1950, 44, 551—557.
112. D о s t г о v s к у J., R a b i n о w i t z P., В i v i n s R., Monte-
Carlo calculations of nuclear evaporation processes, I, Systematics
of nuclear evaporation, Phys. rev., 1958, 111, № 6, 1659—1676.
113. Dostrovsky J., Fraenkel Z., Rabinowitz P., A Monte-
Carlo calculation of fission-spallation competition, Труды 2-й

БИБЛИОГРАФИЯ 319
Междунар. женевской конф. по примен. атомной энергии в мир-
мирных целях, 1958, № 1615, 1—27.
114. Dostrovsky J., Fraenkel Z., Friedlander G., Monte
Carlo calculations of nuclear evaporation processes, III, Appli-
Applications to low-energy reactions, Phys. rev., 1959, 116. № 3,
683—702.
115. Dostrovsky J., Fraenkel Z., Winsberg L., Monfe Carlo
calculations of nuclear evaporation processes, IV. Spectra of
neutrons and charged praticles from nuclear reactions, Phys. rev,
1960, 118, №3, 781—791.
116. Dostrovsky J., Fraenkel Z., Rabinowitz P. Monte
Carlo calculations of nuclear evaporation processes, V. Emission
of particles heavier than He4. Phys. rev., 1960, 118 № 3 791—
793.
117. Dupac V., Stochasticke pocetni methody, Cas. pro pest, mat.,
1956, 81, 55—68.
118. Durand D., Greenwood J. A., Random unit vectors, II,
Usefulness of Gram-Charlier and related series in approximating
distributions, Ann. math, statistics, 1957, 28, 978—986.
119. E d m u n d s о n H. P., Monte Carlo matrix inversion and recur-
recurrent eyents, MTAC, 1953, 7, № 41, 18—21.
120. E h r 11 i с h L. W., Monte Carlo solutions of boundary value pro-
problems involving the difference analogue of
-+iw+Ky V=o
J. Assoc. comput. machinery, 1959, 6, № 2, 204—218.
121. Engeler E., Uber die Monte-Carlo-Methode, Verein. Schwelz.
Versich.—Math., 1958, 58, 67—76.
122. Fickett W., Wood W. W., Shock Hugoniots for liquid argon,
Phys. fluids, 1960, 3, 204—209.
123. Forsythe G. E., Generation and testing of random digits at
the National Bureau of Standards, Los Angeles. NBS appl. math,
series, 1951, № 12, 34—35.
124. Forsythe G. E., Generation and testing of 1217370 random
binary digits on SWAC, Bull. Amer. math, soc, 1951, 57, 304.
125. Forsythe G. E., L e i b 1 e r R. A., Matrix inversion by a Monte
Carlo method, MTAC, 1950, 4, 127—129.
126. Fortet R., On the estimation of an eigenvalue by an additive
functional of a stochastic process, with special reference to the
Kac-Donsker method, J. research NBS, 1952, 48, № 1, 68—75.
127. Franc kx Ed., La methode de Monte-Carlo, Assoc. actuair.
Beiges, 1956, № 58, 89—101.
128. Franckx E., La methode de Monte Carlo, II, Remarques sur
une probleme de Monte-Carlo, Bull. Assoc. ingrs issus Ecole
applic. artill. et genie, 1959. 37. № 2, 7—9.
129. Franklin J., On the equidlstribution of pseudo-random num-
numbers, Quart, appl. math., 1958, 16, № 2, 183—188.
130. F г a s e r A. S., Monte Carlo analyses of genetic models, Nature,
1958, 181, № 4603, 208—209.
22*

320
БИБЛИОГРАФИЯ
131. Gani J., Мог an P. A. P., The solution of dam equations by
Monte Carlo methods. Austral. J. appl. sci., 1955, 6, 267—273.
132. G о e r t z e 1 G., KalosM. H., Monte Carlo methods in transport
problems, Progress in nuclear energy, ser. 1. Phys. and math.,
2, 315—369, Pergamon press, 1958.
133. G о I d b e r g e r M. L., The interaction of high energy neutrons
and heavy nuclei, Phys. rev., 1948, 74, № 10, 1269—1277.
134. Good I..J., The serial test for sampling numbers and other
tests for randomness. Proc. Cambridge philos. soc, 1953, 49, № 2,
276-284.
135. Good W., Johnston R., A Monte Carlo method for criticality
problems, Nuclear sci. and eng., 1959, 5, 371—375.
136. Green B. F., Smith I. E. К., К 1 e m L., Empirical tests of an
additive random number generator, J. Assoc. comput. machinery,
1959, 6, № 4, 527—537..
137. Greenwood R. E., Coupon collector's test for random digits,
MTAC. 1955, 9, № 49, 1—5.
138. Gruenberger F., Tests of random digits, MTAC, 1950, 4,
№ 32, 244—245.
139. Gruenberger F., Mark A. M., The d2 test of random digits,
MTAC, 1951, 5, № 34, 109—110.
140. Haitsma A., Monte-Carlo en nabootsing, Statist, neerl., 1959,
13, № 3, 395—406.
141. H a 11 о n J. H., On the efficiency of certain quasi-random
sequences of points in evaluating multi-dimensional integrals,
Numerische Math., 1960, 2, № 1—2, 163—171.
142. Halton J. H., Handscomb D. C, A method for increasing
the efficiency of Monte Carlo integrations, J. assoc comput.
machinery, 1957, 4, № 3, 329—340.
143. Hamaker H. C, A simple technique for producing random
sampling numbers, Proc. Nederl. Akad. Wetensch., 1949, 52, 145—
150.
144. Hammer P. C, Calculation of shielding properties of water for
high energy neutrons, NBS appl. math, series, 1951, № 12,
21—23.
145. Hammer P. C, The mid-square method of generationg digits,
NBS appl. math, series, 1951, № 12, 33.
146. Harnmersley J M., Conditional Monte Carlo, J. assoc. com-
comput. machinery, 956, 3, № 2, 73—76.
147. Hammersley J. M., M a u 1 d о n J. G., General principles of
antithetic variales, Proc. Cambridge philos. soc, 1956, 52, № 3,
476—481.
148. Hammersley J. M., Morton K. W., Poor man's Monte-
Carlo, J. Royal statist, soc, ser. В., 1954, 16, № 1, 23—38.
149. Hammersley J. M., Morton K. W., A new Monte Carlo
technique: antithetic variates. Proc. -Cambridge philos. soc, 1956,
52, 449—475.
150. Hammersley J. M., NelderM. A., Sampling from an iso-
tropic Gaussian process. Proc. Cambridge philos. soc, 1955, 51,
652—662.

БИБЛИОГРАФИЯ 321
151. Hardy J., Smith G. G., Klein D., Experimental check of
a Monte Carlo-calculated distribution of resonance neutron cap-
capture in a gold rod, Nuclear sci. and eng., 1960, 7, 263—267.
152. Harling J., Simulation techniques in operational research,
Operat. research, quart., 1958, 9, № 1, 9—21.
153. Harmuth H., Ein Statistisches Verfahren zur Losung dcr
Laplaceschen Differentialgleichung durch elektronische Rechen-
maschinen, Acta phys. austriaca, 1954, 9, № 1, 27—32.
154. Hayward R. K-, В u b b E. L., Fensom H. W., Computer
selects premium bond winners. Electronics, 1957, 30, № 7, 138—
143.
155. Heinhold J., Rechenautomaten und matematische Statistik, II,
MTW—Mitt., 1956, 3, № 6, 265—279.
156. Hicks J. S., Wheeling R. F., An efficient method for gene-
generating uniformly distributed points on the surface of an n-dimen-
sional sphere, Communs Assoc. comput. mach., 1959, 2, № 4,
17—19.
157. H о e r n e r S., Herstellung von Zufallszahlen auf Rechenautoma-
Rechenautomaten, ZAMP, 1957, 8, № 1, 1—88.
158. Hoffman J., Metropolis N.. Gardiner V., Study of
tumor cell populations by Monte Carlo methods, Science, 1955,
122, № 3167, 465—466.
159. Horton H. В., A method for obtaining random numbers, Ann.
Math, statistics, 1948, 19, 81—85.
160. Horton H. В., Smith R. Т., III. A direct method for produ-
producing random digits in any number system, Ann. math, stati-
statistics, 1949, 20, № 1, 82—90.
161. Householder A. S., Neutron age calculations in water, grap-
graphite and tissue, NBS appl. math, series, 1951, № 12, 6—8.
162. Isaaksson H., Generator for tilfaeldige tal, Teleteknik, 1958,
9, № 4, 175—186.
163. I si da M., Iked a H., Random number generator, Ann. Inst.
Statist. Math. Tokyo, 1956, 8, 119—126.
164. 11 о h Т., М u s h а Т., Monte Carlo calculations of the motions
of electrons in helium, J. appl. phys., 1960, 31, 744—745.
165. Jennings N. H., Dick ins J. H., Computer simulation of
peak hour operations in a bus terminal, Manag. sci., 1958, 5,
№ 1, 106—120.
166. J e s s о p W. N., Monte Carlo methods in industrial problems,
Appl. statistics, 1956, 5, 158—165.
167. Johnson D. L., Generating and testing pseudo-random numbers
on the IBM type 701, MTAC, 1956, 10, № 53, 8—13.
168. Johnson P. C, U f f e 1 m a n F. C, A punched card application
of the Monte Carlo method, Proc. seminar on sci. comput. IBM,
New York, 1949.
169. Jones H. L., How many of a group of random numbers will
be usable selecting a particular sample, J. Amer. statist, assoc,
1959, 54, № 285, 102—122.
170. J u d s о n H., Jr., Smith G. G., Klein D., Experimental check
of a Monte Carlo-calculated distribution of resonance neutron
capture in a gold rod, Nucl. sci. and eng., 1960, 7, № 3, 263—267.

322
БИБЛИОГРАФИЯ
171. Juncosa M. L., Random number generation on the BRL high-
highspeed computing machines. [Рецензия: Math, reviews, 1954 15,
№ 6, 559.]
172. Kahn H., Modification of the Monte Carlo method, Proc. semi-
seminar on sci. comput. IBM, New York, 1949, 20—27.
173. Kahn H., Random sampling (Monte Carlo) techniques in neu-
neutron attenuation problems, 1. Nucleonics, 1950, 6, № 5, 27—33.
174. Kahn H., Random sampling (Monte Carlo) techniques in neut-
neutron attenuation problems, II. Nucleonics, 1950, 6, № 6, 60—65.
175. Kahn H., Use of different Monte Carlo sampling techniques
Symposium on Monte Carlo methods, 1956, 146—190.
176. Kahn H., Harris Т. Е., Estimation of particle transmission
by random sampling, NBS appl. math, series, 1951, № 12, 27—30.
177. Kahn H., Marshall A. W., Methods of reducing sample size
in Monte Carlo computations, J. Oper. research soc. Amer., 1953,
1, № 5, 263—278.
178. Kalos M. H., Importance sampling in Monte Carlo calculations
of thick shield penetration, Nuclear sci. and eng., 1959, 2, Suppl,
№ 1, 34—35.
179. К a 1 о s M. H., W i 1 f H. S., Monte Carlo solves reactor problems,
Nucleonics, 1957, 15, № 5, 64—68.
180. Kendall M. G., Smith В. В., Randomness and random samp-
sampling numbers, J. Royal, statist, soc, 1938, 101, № 1, 147—166.
181. Kendall M. G., Smith В. В., Second paper on random sam-
sampling numbers, J. Royal, statist, soc, 1939, 6, suppl. № 1,
51—61.
182. Kendall M. G., Smith В. В., Random sampling numbers,
Tracts, for computers, 24, London, 1939.
183. Kennet T. J., В ol linger L. M., The multiple scattering of
neutrons at resonances, Nuclear phys., 1959, 12, 249—260.
184. King G. W., Stochastic methods in quantum mechanics, Proc.
seminar on sci. comput. IBM, New York, 1949.
185. King G. W., Further remarks on stochastic methods in quantum
mechanics, Proc. seminar on sci. comput. IBM, New York, 1949,
92—94.
186. К i n g G. W., Monte Carlo method for solving diffusion problems,
Industr. Eng. Chemistry, 1951, 43, 2475.
187. King G. W., Stochastic methods in statistical mechanics, NBS
appl. math, series, 1951, № 12, 12—18.
188. King G. W., The Monte Carlo method as a natural mode of
expression in operation research, J. Oper. research, soc. Amer.,
1953, 1, 45—51.
189. L e h m e r D. H., Mathematical methods in large-scale computing
units, Proc. sympos. on large-scale digital calcul. machinery, Har-
Harvard Univ. press, 1949, 141—146.
190. L у 11 e E. J., A description of the generation and testing of a set
of random normal deviates, Symposium on Monte Carlo methods,
1956, 234—248.
191. Mantel N.. An extension of the Buffon needle problem, Ann.
math, statistics, 1953, 24, 674—677.

БИБЛИОГРАФИЯ 323
192. Marcus W. С, Nelson L, Methods of probabilities in chains
applied to particle transmission through matter, NBS appl math
series, 1951, № 12, 9—11. FP
193. Marshall A. W., The use of multi-stage sampling schemes
in Monte Carlo computations, Symposium on Monte Carlo met-
methods, 1956, 123—140.
194. Marti no M. A., On the acceleration of Monte Carlo calcula-
calculations, Nuclear sci. and eng., 1959, 2, Suppl. № 1, 236—237.
195. M a 11 h e s W., Berechnung des Fermi-Alters und des Leckfak-
tors von heterogenen Leichtwasser-Reaktoren mit der Monte-Car-
lo-Methode, Nukleonik, 1960, 2, № 1, 21—31.
196. Mayer M., Report on a Monte Carlo calculation performed with
the Eniac, NBS appl. math, series, 1951, № 12, 19—20.
197. McCracken, The Monte Carlo method, Scient. American, 1955
192, № 5, 90.
198. Metropolis N., Phase shifts — middle squares-wave equation,
Symposium on Monte Carlo methods, 1956, 29—36.
199. Metropolis N., Bivins R., Storm M., Turkevich A.,
Miller J. M., F r i e d 1 a n d e г G., Monte Carlo calculations
on intranuclear cascades, I. Low-energy studies. Phys. rev., 1958,
110, 185—203.
200. M e t г о р о 1 i s N.. Bivins R., Storm M., Miller J. M.,
Friedlander G., Turkevich A., Monte Carlo calculations
on intranuclear cascades, II, High-energy studies and pion pro-
processes. Phys. rev., 1958, 110, 204—219.
201. Met ropol is N., Reitwiesner G., Neumann J., Stati-
Statistical treatment of first 2000 decimal digits of e and я calculated
on the Eniac, MTAC, 1950, 4, 109—111.
202. Metropolis N., Rosenbluth A. W., Rosenbluth M. N..
Teller A. H., Equation of state calculation by fast computing
machines, J. Chem. phys., 1963, 21, № 6, 1087—1092.
203. Metropolis N., U 1 a m S., The Monte Carlo method, J. Amer.
statistical assoc, 1949, 44, № 247, 335—341.
204. Miyatake N., Mikami Т., Hirai H., Sugiyama H.
[Программирование метода Монте-Карло на вычислительных ма-
машинах] (японск.), Сугаку, 1958, 9, № 4, 238—240.
205. Monte Carlo method (Proceedings of a symposium), NBS appl.
math, series, 1951, № 12.
206. Moore R. G., A sequential test for randomness. Biometrika,
1953, 40, 111—115.
207 M о r g e n s t e r n D., Statistische Begriindung numerischer
Quadratur, Math. Nachrichten, 1955. 13, № 3—4, 161—164.
208. Morton K- W., A generalization of the antithetic variate tech-
technique for evaluating integrals, J. Math. Phys., 1957. 36, № 3,
289—293.
209 Morton K. W., On the treatment of Monte Carlo methods in
text books, MTAC, 1956, 10, 223—224.
210 Morton K. W., Scaling neutron tracks in Monte Carlo shielding
calculations, J. nuclear energy, 1957, 5, № 3/4, 320—324.
211. M о s h m a n J., The generation of pseudo-random numbers on
a decimal calculator, J. Assoc. comput. machinery, 1954, 1, 88—91.

БИБЛИОГРАФИЯ
212. Moshman J., The application of sequential estimation to com-
computer simulation and Monte Carlo procedures J Assoc comput
machinery, 1958, 5, № 4, 343—352.
213. Mo too M., Some evaluations for continuous Monte Carlo met-
method by using Brownian hitting process, Ann. Inst statist math
Tokyo, 1959, 11, 49—54.
214. Motooka, Yamasita [О методах получения случайных чи-
чисел при помощи электронной цифровой вычислительной машины]
(японск.), J. Inst. electr. eng. Japan, 1954, 74, № 5, 579—588.
215. M о t z k i n T. S., Neighbour sets for random walks and diffe-
difference equations, Symposium on Monte Carlo methods, 1956,
47—51.
216. M u 11 e r M. E., Some continuous Monte Carlo methods for the
Dirichlet problem, Ann. math, statistics, 1956, 27, № 3, 569—589.
217. M u 11 e r M. E., An inverse method for the generation of ran-
random normal deviates on large-scale computers, MTAC, 1958,
12, 167—174.
218. M u 11 e r M. E., A note on a method for generating points
uniformly on N-diniensional spheres, Communs Assoc. comput.
mach., 1959, 2, № 4, 19—20.
219. Muller M. E., A comparison of methods for generating nor-
normal deviates on digital computers, J. Assoc. comput. machinery,
1959, 6, № 3, 376—383.
220. Musk F. J., A Monte Carlo simulation of a production planning
problem, Comput. J., 1959, 2, № 2, 90—94.
221. N a i r K. N.. On Tippett's random sampling numbers, Sankhya,
1938, 4, 65—72.
222. Neovius G., Artificial traffic trials using digital computers,
Ericsson Techn., 1955, 11, № 2, 279—291.
223. Neumann J., Various techniques used in connection with ran-
random digits, NBS appl. math, series, 1951, № 12, 36—38.
224. О p 1 e r A., Application of computing machines to ion exchange
column calculations, lndustr. and engineering chemistry, 1953,
45, 2621—2633.
225. О p 1 e r A., Monte Carlo matrix calculations with punched card
machines, MTAC, 1951, 5, № 35, 115—120.
226. Page E. S., The Monte Carlo solution of some integral equa-
equations, Proc. Cambridge philos. soc, 1954, 50, № 3, 414—425.
227. Page E. S., Pseudo-random elements for computers, Appl. sta-
statist., 1959, 8, № 2, 124—131.
228 Pawlak 2., Flip-flop as a generator of random binary digits,
MTAC, 1956, 53, № 10.
229. Peck L. G., On uniform distribution of algebraic numbers, Proc.
Amer. Math. Soc, 4, 1953.
230. Perkins J. F., Monte Carlo calculations of gamma-ray albedos
of concrete and aluminium, J. appl. phys., 1955, 26, № 6, 655.
231. Perkins J. F., Some Monte Carlo calculations of gamma-ray
penetrations, J. appl. phys., 1955, 26, № 11, 1372—1377.
232. Petrowsky 1. G., Over das Irrfahrtproblem, Math. Ann., 1934,
109, 425.

БИБЛИОГРАФИЯ 325
233. Q u e n о u i 11 е M. H., Tables of random observations from stan-
standard distributions, Biometrika, 1959, 46, № 1/2, 178—202.
234. RAND Corporation, A million random digits with 100 000 nor-
normal deviates. The free press, 1955.
235. Richtmyer R. D., van Norton R., Wolfe A., The Monte
Carlo calculation of resonance capture in reactor lattices. Труды
2-й Междунар. женевской конф. по примен. атомной энергии
в мирных целях, 1958, № 2489.
236. Rosenbluth M., Rosenbluth A., Further results on Monte
Carlo equations of state, J. Chemical phys., 1954, 22, № 5
881.
237. Rotenberg A., A new pseudo-random number generator,
J. Assoc. comput. machinery, 1960, 7, № 1, 75—77.
238. Rotenberg A., Lapidus A., Wetherell E., A Monte
Carlo calculation of thermal utilization, Nuclear sci. and eng.,
1959, 6, № 4, 288—293.
239. Rothenstein W., Some Monte Carlo and analytical results
for resonance capture in lattices, Nuclear sci. and eng., 1960,
8, 122—127.
240. S с h e i d F., Radial distribution of the center of gravity of ran-
random points on a unit circle, J. research NBS, 1958, 60, № 4,
307—308.
241. Schneider D. O., Ccrmach D. V., Monte-Carlo calculations
of electron energy loss, Radiation research, 1959, II, 418—429.
242. Shoor B. A., Nelson L., Marcus W, Echols R. L., A
Monte Carlo technique for estimating particle attenuation in
bulk matter, NBS appl. math, series, 1951, № 12, 24—26.
243. Spencer G., Random numbers and their generation. Computers
and automation, 1955, 4, № 3, 10—11.
244. Spinard B. J., Goertzel G. H., Snyder W. S., An align-
alignment chart for Monte Carlo solution of the transport problem,
NBS appl. math, series, 1951, № 12, 4—5.
245. S t e r z e r F., Random number generator using subharmonic oscil-
oscillators, Rev. scient. instrum., 1959, 30, № 4, 241—243.
246. Sugiyama H., Miyatake O., Design of «Random walker»
for Monte Carlo method, I. Theory, J. Inst. polytech. Osaka city
univ., ser. A, 1959, 10, 35—41.
247 Symposium on Monte Carlo methods, ed. H. A. Meyer, New
York, Wiley, 1956.
248. T a u s s k у О., Т о d d J., Generation and testing of pseudoran-
pseudorandom numbers, Symposium on Monte Carlo methods, 1956, 15—28.
249. Thomas L. H., A comparison of stochastic and direct methods
for the solution of some special problems, J. operat. research, soc.
America, 1953, 1, 181—186.
250. T i p p e 11 L. H. C, Random sampling numbers. Tracts for
computers, 15, London, 1927.
251. Tocher K. D., The application of automatic computers to sam-
sampling experiments, J. Royal statistical soc, ser. B, 1954, 16, № 1,
39—61.
252. Todd J., Experiments on the inversion of a 16X16 matrix,
NBS appl. math, series, 1953, № 29, 113—115.

326 БИБЛИОГРАФИЯ
253' IOCLd J> ExPeriments in the solution of differential equations
by Monte Carlo methods. J. Washington acad sci 1954 44
№ 12, 377—381. ' '
254. Trotter H. R, Tukey J. W., Conditional Monte Carlo for
normal samples, Symposium on Monte Carlo methods 1956,
64—79.
255. Tukey J. W., Antithesis or regression? Proc. Cambridge philos.
soc, 1957, 53, Ms 4, 923—924.
256. U 1 a m S., On the Monte Carlo method, Proc of a 2nd Sympo-
Symposium on large scale digital calculating machinery, Harvard univ.
press, 1949, 207—212.
257. U1 a m S., Random processes and transformations, Proc. Inter-
Internal Congress of Math., 1950, 264—275.
258. U 1 a m S., Application of Monte Carlo methods to tactical games.
Symposium on Monte Carlo methods, 1956, 63.
259. V i с к е г у С. W., On drawing a random sample from a set of
punched cards, J. Royal statistical soc, 1939, Suppl., 6, 62—66.
260. V о t a w D. F., R a f f e r t у J. A., High speed sampling, MTAC,
1951, 5, Ks 33, 1—8.
261. Walsh J. E., Concerning compound randomization in the binary
system, Ann. math, statistics, 1949, 20, 580—589.
262. Walsh J. E., Questionable usefulness of variance for measuring
estimate accuracy in Monte-Carlo importance sampling problems.
Symposium on Monte Carlo methods, 1956, 141—144.
263. Walsh J. E., A Monte Carlo technique for obtaining tests and
confidence intervals for insurance mortality rates, Symposium on
Monte Carlo methods, 1956, 265—277.
264. W a 11 h e r A., Experiments and models for the Monte Carlo
method, Symposium on Monte Carlo methods, 1956, 278—282.
265 Wasow W., A note on the inversion of matrices by random
walks, MTAC, 1956, 5, № 38, 78—81.
266. Wasow W., Random walks and the eigenvalues of elliptic
difference equations, J. research NBS, 1951, 46, 65—73.
267 W a s о w W., On the mean duration of random walks, J. research.
NBS, 1951, 46. 462—472.
268. Wasow W., On the duration of random walks, Ann. math,
statistics, 1951, 22, 199—216.
269. Wasow W., Metodi probabilistic! per la risoluzione numerica
di alcuni problemi di analisi, Atti 4 congr. Unione mat. ital.,
1953, 2, 248—250.
270. Wasow W., Metodi probabilistici per la risoluzione numerica
di alcuni problem di analisi e di algebra. Rend. mat. e appl.
Univ. Roma, 1953, 11, 336—346.
271 Wen del J G., Groups and conditional Monte Carlo, Ann. math,
statistics, 1957, 28, 1048—1052.
272. Wilson R. R., The range and straggling of high energy elec-
electrons, Phys. rev., 1951, 84, № 1, 100—103.
273. Wilson R. R., Showers produced by low-energy electrons and
photons, NBS appl. math, series. 1951, № 12, 1—3.
274 Wilson R. R., Monte Carlo study of shower production, Phys.
rev., 1952, 86, № 3, 261—269.

БИБЛИОГРАФИЯ 327
275. Wood W. W., J а с о b s о n J. D., Preliminary results from a
recalculation of the Monte Carlo equation of state of hard
spheres, J. chem. phys., 1957, 27, 1207—1208.
276. Wood W. W., Parker F. R., Monte Carlo equation of state
of molecules interacting with the Lennard-Jones potential,
I. Supercritical isotherm at about twice the critical temperature,
J. chem. phys., 1957, 27, 720—733.
277. Wood W. W., P a r к e r F. R., J а с о b s о п J. D., Recent Monte
Carlo calculations of the equation of state of Lenard-Jones and
hard sphere molecules, Nuovo ciinento, 1958, 9, suppl. Л° 1. 133—
143.
278. W о о d b u г у W. W., Monte Carlo calculations, Proc. seminar on
sci. comput. IBM, New York, 1949.
279. Y о u n g L C, On randomness in ordered sequences, Ann. math,
statistics, 1941, 12, 293—300.
280. Y о we 11 E. C, A Monte Carlo method of solving Laplace's
equation, Proc. seminar on sci. comput. IBM, New York, 1949.
281. Yule G. U., A test of Tippett's random sampling numbers,
J. Royal statistical soc, 1938, 101, № i, 167—172.
282 Z i e r 1 e r N., Linear recurring sequences, J. soc. industr. and
appl. math., 1959, 7, № I, 31—48.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Азимут цели 216
Азимутальный угол 111, 115
Алгебраические линейные си-
системы 32
Анизотропное рассеяние 113
Апериодичности отрезок 236
Барн ПО
Бахвалов И. С. 85
Бергер Л1. 131
Бериулли теорема (закон боль-
больших чисел) 19
Бесконечномерные интегралы 97
Блуждание по решетке 37, 49
Брауновские траектории 15, 89
, приближенное построение
90
Вальд А. 195
Ван Вейнгарден 227
Вероятная ошибка 58, 124
Вероятность ложной тревоги 198,
210
— обнаружения сигнала 198,210
— отражения 127, 132
— перехода 281
— прохождения 124, 127, 131
Включение особенности в плот-
плотность 79
Владимиров В. С. 145
Время жизни системы 47, 49
— занятости линии 156
Выбор случайного направления
115
Выборка по группам 66
— существенная 64, 107
Выделение главной части 62
Выработка случайных чисел 25
Газотрон 250
Гаусса закон 26
Генератор субгармонический 257
— шумов 249
Гиперсферы объем 248
Главной части выделение 62
Данильченко И. А. 259
Датчик случайных величии 28
223, 249
чисел для машины БЭСМ
254
С-2 260
— ¦ «Стрела» 255,
259, 268
Декодирование сообщении 220
Дерево 101, 103
Детерминистические псевдослу-
псевдослучайные точки 98
Дирихле задача 37
Дифференциальное сечение упру-
упругого рассеяния 113
Длина свободного пробега 117,
121
Длительность блуждания 42,49
Доля отказов 177
Дробовой эффект 249
Задача Дирихле 37
— Неймана 51
Закон больших чисел (теорема
Бериулли) 19
— Гаусса 22, 26
— Пуассона 28, 152, 162
— распределения доли отказов
177
Заявок потоки см. Поток заявок
Изотропное рассеяние 111, 113
Интегралы бесконечномерные 97
— винеровские (континуальные)
89
— многомерные 76, 95
Кан Г. 131
Квадратичная обработка щумо-
подобных сигналов 210

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
329
Квазиравномерное распределе-
распределение 275
Квазислучайная последователь-
последовательность чисел 31
Келлог О. 145
Кендалл М. Г. 238
Кинетического уравнения реше-
решение 133
Кодирование 220
Континуальный интеграл 89
Корреляции коэффициент 73, 272
Корреляционная функция 271
Краевых задач решение 37
Кривые обнаружения 200
Критерий Колмогорова 241
— «2 241
— серий 239
— у2 241
Критические параметры реакто-
реактора 143
Критический объем 136
Лабораторная система коорди-
координат 111
Лексикографическая обработка
дерева 103
Лемер Д. 226, 228
Летаргия-133
Линейные алгебраические систе-
системы 32
Ложной тревоги вероятность
198, 210
Локально случайное множество
чисел 238
Ляпунов А. М. 26
Макроскопическое поперечное
сечение ПО
Маркова цепи 46, 281
Матрица переходов 52, 281
Мгновенная плотность потока
153
Метод «возмущений» 235
—• кусочной аппроксимации 294
¦— максимального правдоподо-
правдоподобия 139, 216
— моментов 139
— «перемешивания» 229
— подобных траекторий 128
— «середины квадратов» 225
— «середины произведений» 225
Микроскопическое поперечное
сечение 109
Многомерных интегралов вычис-
вычисление 76, 95
Моделирование плотности рас-
рассеяний 130
— распределения нейтронов де-
деления 138
— свободного пробега 118
— системы случайных событий
278
— случайных векторов 297
¦ событий 25
— физического процесса 101
122, 137
— цепей Маркова 48, 281
Мортон К. 128
Надкритический объем 136
Нейман Дж. 225
Неймана задача 51
Нейтрон деления 121
Неравенство Чебышева 19, 21
Неслучайные точки в схеме ме-
метода Монте-Карло 93
Неупругое рассеяние 114, 122
Нормальная величина 312
Нормальное многомерное рас-
распределение 298
¦— (Гаусса) распределение 290
Нормировка числа нейтронов 141
Обнаружения сигнала вероят-
вероятность 198, 210
Обобщенная последовательность
Холтона 97
Обработка дерева 103
Объем гиперсферы 248
— критический, надкритический,
подкритический 136
Особое состояние 46
Останавливающаяся цепь Мар-
Маркова 47
Отношение правдоподобия 197
Отрезок апериодичности 236
Оценка погрешности статисти-
статистическая 19, 57, 105
Ошибка вероятная 58, 105
— метода Монте-Карло 19, 105
— стандартная 58

330
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Пайерлса уравнение 144
Пальма формула 151
Парето распределение 220, 287
Парциальные сечения 101
«Перекос вероятностей» 234
Периодичность псевдослучайной
последовательности 236
Пирсон К. 195
Плотность вероятностей ампли-
амплитуд 190, 193
• шумов 186
— потока 151, 164
— рассеяний 130
Площади вычисление 56
Повышенная скорость сходимо-
сходимости 85
Погрешность метода Монте-
Карло 19, 57, 105
Подкритический объем 136
Поколения 103, 138
Полак 3. 252
Пороговый сигнал 199
Последовательность Холтона 95
Последовательный анализ 204, 213
Поток заявок 146
— неординарный 170
— однородных событий 149,154,
159
— ординарный 153, 164
— простейший 151, 161
— с ограниченным последей-
последействием 150, 160, 164
— с переменным параметром 168
— с равномерным распределе-
распределением интервалов 163
— с существенной неоднород-
неоднородностью 177
— стационарный 150, 163
— Эрланга 164
Правдоподобия отношение 197
Приближенное построение брау-
новских траекторий 90
Приближенные вычисления ин-
интегралов 81
Пробега длина 117
Проверка гипотез 196
Псевдослучайные числа 31, 98,
223, 311
для машины БЭСМ 231
ОАРАК 227
СВАК 227, 228
Псевдослучайные числа для ма-
машины СЕАК 227
«Стрела» 229
• «Урал-1» 232
ЭНИАК 226
ЮНИВАК 227
Пуассона закон 28, 152, 162
, моделирование 287, 293
Равномерная (кубическая) сет-
сетка 86, 87
Радиоактивный датчик случай-
случайных чисел 259
Радиолокационное обнаружение
цели 214
Радиорелейная линия 218
Распределение квазиравномер-
квазиравномерное 275
— нормальное (Гаусса) 26, 290
многомерное 298
— Парето 220, 287
— Пуассона 287, 293
— равномерное 275
— Раиса 188, 293, 304
— Рэлея 188, 286
Рассеяние неупругое 114, 122
¦— упругое анизотропное 113, 122
изотропное 111, 123
Реактор 136
Решение кинетического уравне-
уравнения 133
— краевых задач 37
— систем линейных алгебраиче-
алгебраических уравнений 15, 32
Свободного пробега длина 117,
121
Серии 239
Сечение взаимодействий 101
¦— деления 109
— дифференциальное упругого
рассеяния 113
— захвата 109
— нейтронное эффективное 109
— парциальное*"' 101
— поперечное (поглощения, пол-
полное) ПО
— рассеяния 109
Сигнал 181
¦— «квантованный» 193
Симметризация 69

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Система координат лаборатор-
лабораторная 111
, связанная с центром масс
111
— массового обслуживания 154
• с ожиданием 155
— с отказом 155
смешанная 156
Склеивание состояний 53
Скорость сходимости метода
Монте-Карло 61
Случайное направление 115
«Случайные» квадратурные фор-
формулы 73
— события 25
— цифры 311
Случайных величин датчик 12,
223, 249
— чисел выработка 25
Смирягин В. П. 249
Смит Б. 238
Состояние особое 46
— связанное 47
Спектр нейтронов 132
¦ деления 116, 138
Средняя доля отказов 179
Стандартная ошибка 58
Статистическая оценка погреш-
погрешности 19, 57, 105
Статистический вес (фиктивная
масса) 106, 121, 124, 128,142
• , заменяющий розыгрыш
взаимодействий 121
» учитывающий поглоще-
поглощение 124
Стационарный поток 150, 163
— случайный процесс 270
Субгармонический генератор 257
Существенная выборка 64, 107
Счет поколений 138
Таблица нормальных величин,308,
312
— случайных цифр 224, 305,311
Теорема Бернулли (закон боль-
больших чисел) 19
— Ляпунова 26
Теория обнаружения 194
— передачи сообщений 180
Точность метода Монте-Карло
12, 42, 105
Траектории брауновские 89
Триггер 252
Угол азимутальный 111, 113
Упругое рассеяние 111, 113, 122,
123
Уравнение Лапласа 37, 51
— Пайерлса 144
•— теплопроводности 43
¦— эллиптического типа 43
Фибоначчи ряд 227
Фиксированный минимальный
интервал потока 167
Фиктивная масса (статистиче-
(статистический вес) 106, 121, 124, 128, 142
Формирование случайных пото-
потоков заявок 161
Формула Пальма 151
Фотон 101
Фотоэффект 101
Холтона последовательность 95
— ¦— обобщенная 97
Цепь Маркова 46, 281
останавливающаяся 47
¦ эргодическая 50
Цифры случайные 311
Чавчанидзе В. В. 251
Чебышева неравенство 19, 21
Числа псевдослучайные 31, 98,
223, 311
Штерцер Ф. 257
Шумов генератор 249
Шумы 181
Эмпирическая энтропия 269
Эргодические цепи Маркова 50
Эрланга поток 164
Эффект дробовой 249
Эффективность метода Монте-
Карло 61
Эффективные нейтронные сече-
сечения 109
Эффективный коэффициент раз-
размножения нейтронов 137, 138

Справочная математическая библиотека,
под общей редакцией
Л. А. Люстерника и А. Р. Янпольского.
Метод статистических испытаний
(метод Монте-Карло).
М., Физматгиз, 1962 г., 332 стр. с илл.
Редактор В. Д. Розенкноп.
Техн. редактор В. Н. Крючкова.
Корректор Л. О. Сечейко.
Сдано в набор 20/П 1962 г. Подписано к печати
21/VI 1862 г. Бумага 84х108'/82. Физ. печ. л. 10,375.
Усл. псч. л. 17,02. Уч.-иэд. л. 16,76. Тираж 22 000 экз.
Т-07706. Цеиа книги 94 к. Заказ N> 250.
Государственное издательство фнзико-математнческой
литературы. Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Типография К» 2 им Евг. Соколовой УПП
Ленсовнархоза. Ленинград, Измайловский пр., 2S.