И.М.ВИНОГРАДОВ
ОСОБЫЕ ВАРИАНТЫ
МЕТОДА
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
СУММ
ш

И. М. ВИНОГРАДОВ
ОСОБЫЕ ВАРИАНТЫ
МЕТОДА
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
СУММ
ш
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИ'1 ЕРАТУРЫ
МОСКВА 1970

517. 1
В 49
УДК 511.2
Особые варианты метода тригонометрических сумм.
И. М. Виноградов, изд-во «Наука», Главная редак-
редакция физико-математической литературы, 1976.
В книге рассматриваются центральные проблемы ана-
аналитической теории чисел, решающая роль в исследовании
которых принадлежит специальным вариантам извест-
известного метода автора, изложенного в монографии «Метод
тригонометрических сумм в теории чисел». Эти варианты
и сами являются мощным средством решения широкого
круга задач теории чисел.
Книга будет полезна студентам, аспирантам и науч-
научным работникам, желающим серьезно заниматься теорией
чисел.
Библ. 28 назв. Рис. 2.
20203-059
В ~ 36-76 © Главная редакция физико математической
053 @2)-7Ь литературы издательства «Наука», 1976

Оглавление
Обозначения 4
Введение . 5
Глава 1. О числе целых точек в области трех измерений ... 10
Глава 2. Оценка О (п) в проблеме Варингя .... 40
Глава 3. Приближения дробными частями значений целого мно-
многочлена 52
Глава 4. Оценки простейших сумм по простым числам 60
Глава 5. Асимптотическая формула в тернарной проблеме Гольд-
Гольдбаха 94
Глава 6. Об одном элементарном варианте метода тригономет-
тригонометрических сумм 104
Литература 118

Обозначения
Предполагается, что читатель хорошо знаком с текстом книги
и с помещенными гам обозначениями. Кроме того, будем пользо-
пользоваться следующими обозначениями:
С — постоянное число.
с —положительное постоянное число.
8 —произвольно малое положительное постоянное число, мень-
меньшее единицы.
б —число с условием |б | ^ 1
При положительном В символическое неравенство Л <^ В пока-
показывает, что при некотором с имеем | А | ^ сВ. При положительных А
и В то же самое показывает и символическое неравенство В > А.
При вещественном к символ (И) обозначает расстояние от к до
ближайшего целого числа, т. е.
тш({/г}, 1 — {Н}).
Символ 2 обозначает сумму, распространенную на точно ука-
а
зываемые при этом значения а.
Знак ; между двумя формулами читается словом где.

Введение
Найденный мною в 1934 г. новый метод в аналити-
аналитической теории чисел в дальнейшем быстро совершенство-
совершенствовался параллельно с расширением области его примене-
применения. В простейших вариантах этого метода существенную
роль играли оценки сумм вида
(«) Л (о) Ф («,»), 0)
где Ф (и, V) = е2п(?(и'1') с вещественной [(и,у) (в качестве
Ф (и, V) могут рассматриваться и функции некоторых
других видов). Двойное же суммирование распростра-
распространяется на целые точки заданной области п.
Именно таким путем в 1934 г. я добился решающего
сдвига в проблеме Варинга, получив вместо прежнего
0(п) = 0(п2п) новый результат О (п) = О (п\пп) (известно,
что получить результат, лучший чем О(п) — О(п), уже
нельзя). В том же году я добился значительного успеха
и в другом вопросе —в проблеме о числе целых точек
в области трех измерений, в частности, в асимптотичес-
асимптотической формуле Т"=У + /?, выражающей число Т целых
точек шара х2-{-у2-{-г2^а2 через его объем V; вместо
( \
прежнего 7? = 0 \а2) я получил новый результат # =
= 0(а1'4+8) (в 1963 г. улучшенный мною до /? =
= О \Ф Aп аN)) •
Опыт построения схемы решения проблемы Варинга
помог мне найти схему решения задачи о достаточно
очном приближении к любому б, подчиненному условиям
- 5 —

<1, посредством дробных частей значений целого
многочлена. А эта схема в свою очередь помогла мне
найти и близкую к ней схему вывода новых оценок сумм
Г. Вейля, т. е. сумм вида
№ Л B)
Мои первые новые оценки сумм Г. Вейля опубликованы
в 1935 г. При этом положенная в основу их вывода
довольно сложная оценка для степени
в 1938 г. была заменена мною весьма простою оценкой
для интеграла
1 1
71 (ал, ... , аг)\2Ь
о о
причем теорема, содержащая последнюю оценку, получила
название «теоремы о среднем». В дальнейшем как новые
оценки сумм Г. Вейля, так и теорема о среднем неодно-
неоднократно улучшались (последней значительной переработке
они подверглись в монографии^).
В 1937 г. я нашел новый метод разыскания нетриви-
нетривиальных оценок сумм вида
ф(р), C)
Р < N
основанный на том факте, что такие суммы могут быть
составлены путем только сложений и вычитаний из отно-
относительно небольшого (по сравнению с Ы) числа сумм
двоякого вида—-сумм вида A) и сумм вида
D)
т' < гп ^ т"
Такое составление сумм C) из более простых сумм дос-
достигается применением тождества (или же некоторых
— 6 —

обобщений этого тождества)
2И E)
где Я— любое число с условием 1 <Я^УМ, у пробе-
пробегает числа, не делящиеся на простые числа, не превос-
превосходящие Я, А пробегает произведения простых чисел
(включая пустое произведение, равное 1), не превосхо-
превосходящих Я, наконец, т пробегает натуральные числа.
Тождество E)—давно известное тождество. Крайне
простой его вывод покоится на идее решета Эратосфена.
Следствием этого тождества является знаменитое тождество
Эйлера (р пробегает все простые числа):
оо
2
(получаемое из него при Ф(т) = т~8 путем предельного
перехода), легшее, вместе с его обобщениями на ^ряды,
в основу современной теории функции С (я) и урядов. А
специальные видоизменения тождества E) послужили
основанием известного метода Бруна.
Мой метод 1937 г. открыл путь к решению широких
классов проблем теории простых чисел, прежним методам
не поддававшихся.
Первою таким путем я нашел A937 г.) нетривиаль-
нетривиальную оценку для суммы
Р
с помощью которой вывел асимптотическую формулу для
числа представлений нечетного числа N суммою трех
нечетных простых чисел (откуда, как частное следствие,
получалась и справедливость для всех достаточно боль-
больших N тернарной проблемы Гольдбаха).
_ 7 __„.

В том же 1937 г. я нашел нетривиальную оценку
ал я суммы
7"(а„, .... ах)= ^ е2я'(а/+-+У), F)
О
аналогичной сумме Г. Вейля, но с суммированием, идущим
по простым числам. Следствием этого явилась асимпто-
асимптотическая формула в проблеме Варинга в простых чис-
числах.
В дальнейшем с помощью того же метода были полу-
получены нетривиальные оценки разнообразных других сумм
по простым числам (в частности, суммы ^ х(Р + ^))-
Были также рассмотрены всевозможные применения най-
найденных оценок.
Возникла необходимость систематического изложения
полученных с помощью моего метода результатов. Важ-
Важным шагом в этом направлении явилась монография^,
целью которой, как указано во введении к ней, было
глубокое ознакомление с моим методом 1934 г. в его
применении к небольшому числу избранных важных
проблем аналитической теории чисел. При этом в каче-
качестве избранных были рассмотрены проблемы, решающая
роль в исследовании которых принадлежала вариантам
моего метода, опирающимся на теорему о среднем. Пос-
Последнее обстоятельство, в отношении метода изложения,
придало этой монографии большую однородность.
В предлагаемой новой монографии рассматриваются
проблемы, решающая роль в исследовании которых принад-
принадлежит более простым вариантам моего метода, не опираю-
опирающимся на теорему о среднем. В соответствии с разнооб-
разнообразием этих вариантов оказалось целесообразным разбить
эту монографию на шесть глав.
Глава 1 касается вопроса о числе целых точек
в области трех измерений.
Глава 2 дает оценку О (п) в проблеме Варинга.

Глава 3 посвящена вопросу о приближении к задан-
заданному числу б с условием 0 ^ б < 1 посредством дробных
частей значений целого многочлена.
Глава 4 содержит оценки сумм вида
к
= 1
Л/ р
а также некоторые применения этих сумм.
Глава 5 содержит вывод асимптотической формулы
Харди и Литтльвуда в проблеме Гольдбаха.
Глава 6 дает пример элементарного варианта моего
метода.
Более подробные сведения, касающиеся отдельных
глав, помещены в начале глав.

Глава 1
О числе целых точек в области трех измерений
На основе поставленной Гауссом проблемы о среднем
значении арифметических функций в первой половине
19-го века возникла проблема о разыскании асимптоти-
асимптотической формулы для суммы
где Р (п) — какая-либо арифметическая функция и N может
неограниченно расти. Эта проблема в свою очередь при-
привела к возникновению другой, к которой в большом ряде
случаев она сводилась, проблемы о разыскании асимпто-
асимптотической формулы для числа целых точек в той или
иной области двух, трех, или #>3, измерений.
Так, например, сам Гаусс рассматривал число Т целых
точек в области круга х2-\-у2^М и дал для Т формулу
Г = л# + /?; /? = О(УТУ). A)
А Дирихле рассматривал число 7" целых точек
в области равнобочной гиперболы х>0, #>0,
и дал для 7" формулу
B)
Е — постоянная Эйлера.
Более точные результаты были получены лишь в
начале 20-го столетия с помощью элементарного метода,
разработанного Вороным, причем сам Вороной^ A903 г.)
в формуле B) получил Я=0 \№ 1п /V/, а Серпинский
A906 г.) в формуле A) получил /? = О\Л^. Далее автор
— 10 —

этой монографии разработал свой элементарный методГ4!,
с помощью которого A917 г.) при единственном ограни-
ограничении
—постоянное и А может неограниченно расти), нала-
налагаемом на функцию / (х) в интервале д<.х^г, вывел
формулу
D)
позволяющую получать решение проблемы о числе целых
точек уже для весьма широкого класса двумерных областей.
В этот класс, как частные случаи, вошли (правда,
с несколько худшей оценкой для /?) и вышеупомянутые
области равнобочной гиперболы и круга. Как показал
впоследствии Ярник, формула D) для функции с усло-
условием C) с точностью до логарифмического множителя
неулучшаема.
Наряду с элементарными методами развивались и
аналитические. Некоторые сведения о них имеются
в известной монографии Хуа. Прямое отношение к этой
главе имеет метод, основанный на разложении функ-
функции {/(*)} (или функций, близких к ней) в ряд Фурье и
на оценке суммы вида
5т= V ^ш-т/и); т-целое,
же на приближенном выражении этой суммы через
более короткую. Основная идея этого метода была видна
уже в работе Вороного^; частный случай приближенного
выражения суммы 8т через более короткую был рассмот-
рассмотрен в работе Харди и Литтльвуда^; в грубом виде схема
метода была показана в применении к частным областям
двух и трех измерений в моей работе^.
— п -^

В применении к областям двух измерений, с доста-
достаточно точной для этой цели общей леммой о приближен-
приближенном выражении суммы 8т через более короткую, метод
был опубликован в работе Корпута^Ч При этом на при-
примере равнобочной гиперболы Корпут показал, что соеди-
соединение основной формы метода с оценкой более коротких
сумм по методу Г. Вейля позволяет вместо /? = О \УУз 1п
получить /? = О (№>33). В дальнейшем ученые улучшали
как эту оценку для /? в случае равнобочной гиперболы,
так и оценку для /? в случае круга. Наилучший резуль-
результат был достигнут в случае круга. Здесь Хуа^ получил
( \
= О\М40)' Доказано (Харди и Литтльвуд), что полу-
получить оценку, лучшую чем /? = 0 \Л/^ AпЛ^J/, уже нельзя.
В применении к областям трех измерений основная
форма описываемого метода, построенная по схеме, пред-
представляющей собою улучшение использованной в моей
работе^, обладает большою гибкостью. Она позволяет
рассматривать широкие классы случаев с довольно хоро-
хорошей степенью точности^10], например, таким путем в
асимптотической формуле
выражающей число Т целых точек в области шара х1 4-
вместо тривиального # = 0(Л^) получается
Известно, что получить результат, лучший
чем Я = 0 \Л^2 1п Л^], уже нельзя.
В 1934 г. я обнаружил, что соединение упомянутой
основной формы с простейшим вариантом только что
найденного мною тогда нового метода позволяет получить
и значительно более точные оценки^11^ В дальнейшем
первые, найденные на этом пути, новые результаты бы-
были усилены. В частности A963 г\)> в случае шара я
—' 12 —

2
получил^] # = 0\Ыг AпМN)- Вывод последней оценки и
является целью этой главы.
Леммы, участвующие в выводе, если они имеются
в книге^, или в монографии^, приводятся без доказа-
доказательств. Лемма о приближенном выражении суммы 5т
через более короткую доказывается в необходимой для
вывода весьма точной формулировке (достигаемой : а счет
наложения на функцию /(*) существенных дополнитель-
дополнительных ограничений).
В главе дается также краткое ознакомление с про-
простейшим вариантом основной формы метода (используют-
(используются только разложение функции ^)A(х)) в ряд Фурье
и несложно выводимая оценка суммы 8т) в примене-
применении к областям двух измерений. Это делается на при-
примере вывода моей формулы D) с уточненным остаточным
членом.
Области п>3 измерений в этой главе не рассматри-
рассматриваются. Однако, ради полноты очерка, я скажу несколько
слов и о них. Особо систематическому изучению подверг-
подверглись два класса таких областей.
К первому классу относятся многомерные рациональ-
рациональные эллипсоиды. Здесь, если за главный член асимптоти-
асимптотической формулы для числа целых точек области принять
ее объем, вопрос о порядке остаточного члена /? асимпто-
асимптотической формулы решается до конца \/? = О \№ ))»
если #>4, или почти до конца (/? = О (М 1п М)) при
предполагаемом окончательном /? = О(Л^), если п = 4, с
помощью надлежащего видоизменения аддитивного
метода Харди и Литтльвуда (Ландау, Вальфиш).
Ко второму классу относятся многомерные гипербо-
гиперболоиды Хг ...хп<Ы, *1>0, ..., *л>0. Здесь Харди и
Литтльвуд, существенно опираясь на теорию функции ^E),
для остаточного члена /? в асимптотической формуле,
выражающей число целых точек, получили оценку*1^
"■* 13 —в

3_\
= О\Л/Ж я+2/. А. А. Карацуба, существенно используя
сверх того и мой метод, получил принципиально новую
/ 1 С \
оценку^1*] д.-О\М п2/ъ)щ Предполагаемым окончатель-
( п~ * | с'
ным результатом является /? = п ^ л/ 2п
Лемма 1. Пусть в интервале ц < х ^ г функция /" (х)
непрерывна и удовлетворяет условию
"(х)
где к — постоянное и А^Ък. Пусть далее в том же
интервале функция ф(#) монотонна и подчинена условию
. Тогда для суммы
5= 2 Ф
справедливо неравенство
Доказательство. Ограничимся лишь случаем
)=1 (общий случай тривиально выводится из него
посредством преобразования Абеля). Не нарушая общности,
будем предполагать, что г — ц>Ьк}^А, что /"(х)>0 и
что в интервале ц<-х^г выполняется условие
(в противном случае, не меняя значения суммы 5, функ-
функцию [(х) можно заменить функцией /(*) — *[/' (г)]).
Пусть т = [4У3+1], а ф и # —наименьшее и наиболь-
наибольшее целые числа с условиями ^^B — 0,5,
Полагая
, зт лх
-0,5
'
- 11 -

находим
К т # + 0,5
= У] /„;/„ =
E)
Далее, замечая, что
0,5
апBт+1)шс , = ^
3 31П ЛХ '
-0,5
ВЫВОДИМ
0,5
Р 8Щ Bт + О
, 81П ЛХ
-0,5
Отсюда, интегрируя по частям, находим
0,5
V — С соз Bт+1) ял: у .
т 3 B/72+1) Л Х '
-0,5
= в2я/^м + ^2шГ(^
х
зт шс З1п2ял* *
F)
1
Рассмотрим интеграл
/Р = V
а
Пусть сначала 0<т]„(а)- Подстановкой цп(х) = и получим
ИЗ)
где цп (х) должно рассматриваться как функция от и.
Применяя известный прием, оба интеграла, как пред-
представляющий вещественную часть интеграла /Р, так и
служащий коэффициентом при I его мнимой части, выра-
выразим знакопеременными рядами. Убедимся, что каждый
из этих интегралов
15 —

Вместе с тем получим
1
Кроме того, при 0 ^ т\'п (а) будет справедлива и оценка
Действительно, при р-а<Ул последняя тривиальна,
а при Р — а > У^А она следует из 7^ = 7®
Пусть теперь г)'п (Р) < 0. Подстановкой х = — хг мы
приведем интеграл /Р к только что рассмотренному виду,
откуда убедимся, что
1 1
/3
Кроме того при т|я(Р)<0 будет справедлива и оценка
Действительно при Р — а<;"|/"<4 последняя тривиальна,
а при р~а>>/ЛЛ она следует из /аг=г/а^
Пусть, наконец, л«(а) <0</Пл(Р)« Тогда существует
хп с условием г]^ (хп) = 0. При этом имеем
а а " х
п
откуда, согласно доказанному выше, находим
Пусть $'— наибольшее, не превосходящее ф — 0,5 чис-
число с целым !' (О.'), а /?' —наименьшее, не меньшее
число с целым /' (/?'). Имеем
т
/„«Г + Г' + Г"; Г-
=- т
16

откуда, применяя найденные выше для 1п оценки, полу-
получим
) Г()
5=1 5=1
Из E) и F) теперь уже легко следует справедливость
леммы при Н — 1.
Лемма 1а (ослабленная лемма 3 гл. 2 монографии^).
Пусть в интервале д^х^г функция }(х) дважды диф-
дифференцируема, причем \" (х) знакопостоянна, | /" (х) | не
превосходит некоторого постоянного, /' (х) знакопостоянна
и при некотором положительном 8, меньшем 0,5,
летворяет условию
Доказательство. При условиях нашей леммы
повторим рассуждения леммы 1. Из формул E) и F)
легко найдем
т
е2я"и)= Ц /„ + 0A);
]п » ( ^Ля I*) Жг; Ля (X) - - ПХ +1 (X),
где при п — 0 берем до — д> го~г> а при других значе-
значениях п берем <7о — С-*-0,5, г0 — /? + 0,5. Тогда окажется
а (поскольку — 0,5 </' (х) <0,5) сумма
распространенная на оставшиеся значения п, будет
т
—я-т<1п(г — а) 4-1. Лемма доказана.
« — 0,5 ^ у 7/ '
— 17 —

Лемма 2. Пусть р — целое положительное, а и р—
вещественные, 0 < А < 0,1, А<Р~-а^;1—А. Тогда
существует периодическая функция г|) (х) с периодом 1
и со следующими свойствами:
1. г|; (л:) = 1 в интервале а+ 0,5 А^: х<= Р — 0,5 А,
2. 0<:г|) (л:)^ 1 в интервалах — 0,5 А ^лг^а + 0,5 А
и Р-0,5А^д:^Р4-0,5А,
3. г|)(х) = О в интервале Р + 0,5 А =^д:^ 1 +а — 0,5 А,
4. Ц(х) разлагается в ряд Фурье вида
00
где @т и Нт зависят только от /л, а, р, А, причем
1
— (—^-т") , если /п>А~1.
пт \лтЛ / * —
Доказательство. Эта лемма является видоизме-
видоизменением леммы 2 гл. 2 монографии^.
Лемма 3. Пусть 6Ь б2, ..., ^ — ряд чисел, подчинен-
подчиненных условию 0 <; б5 < 1, и пусть при заданных р и А и
некотором Я с условием /?>Дф функция ур(х) подчинена
условиям леммы 2, причем всегда для суммы
е
у (а, Р)= Л *(*«)
5=1
имеем неравенство
и (а, Р) —(Р —а)<г</г.
а) При любом а с условием 0<а^ 1 число Аа значе-
значений б5, подчиненных неравенству б5<а, выражается
формулой
б) Имеем
— 18 —

Доказательство. При 0<Р — а^ 1 символом
О (а, Р) будем обозначать число значений б5 с условием
а^б5<Р(тос11).
В случае 2А < Р — а =^ 1 — 2Д из очевидного неравен-
неравенства
,5Д)
и из условий леммы следует неравенство
О (а, Р)-(Р-а)<2</?. G)
которое легко распространяется и на оставшиеся случаи,
на случай 0 < Р — а < 2Д — с помощью тождества
О (а, Р) = 0(а, а+1-2Д)-Я(Р, а+1-2Д),
а на случай 1 — 2Д^Р — а^ 1 —-с помощью тождества
Полагая в неравенстве G) а = 0 и Р~а, мы и убедимся
в справедливости утверждения а).
Переходя к доказательству утверждения б), будем
предполагать, что /ЗД~1<;0,1 (в противном случае утвер-
утверждение тривиально). Полагая д = [B/?~1], V = —, согласно
утверждению а) находим
Сумма произведений правых частей равенств второго
столбца соответственно на числа О, V, 2V, ..., (п—\)ч
даст нижнюю границу для суммы ^ б5. А сумма произве-
б
дений тех же самых правых частей соответственно на числа
V, 2г, Зу, ..., пу даст верхнюю границу для той же суммы.
При этом как нижняя, так и верхняя границы легко
- 19 -

приводятся к виду 0,5^ + 0 (Я). Этим и доказывается справе-
справедливость утверждения б).
Лемма 4. Пусть в интервале д^х^г функция / (х)
дважды непрерывно дифференцируема, причем
где к — постоянное и А^Бк. Тогда имеем
Доказательство. Не нарушая общности, будем
считать, что д и г —целые. Взяв в качестве чисел б5 сла-
слагаемые {/(*)} суммы, стоящей в левой части доказываемого
_ \_
неравенства, и положив р= 1, А = А *9 применим б) леммы 3.
Наша лемма будет доказана, если мы установим, что
2 ♦(/(*)>-4
Согласно лемме 2 имеем
оо
т=1
Поскольку в интервале
, если
если т>Л
выполняется условие
■у
при
, согласно лемме 1, будем иметь
г- 20 —

Поэтому находим
У Ч> (/ (х)) - | (г - я)
2
1 ?
3 3 Ч
А <т^А А <т
откуда и убеждаемся в справедливости неравенства (8).
Лемма доказана.
Лемма 5 (формула Сонина). Пусть в интервале ф^
^ х ^ Я функция I (х) имеет вторую непрерывную произ-
производную. Полагая
X
р(х) = 0,5 — {*}, в(х) = \р (г) Ог,
о
будем иметь
- а (Д) Г (К) + о (<Э) Г (<2) + \° (х) Г (х) их.
Доказательство. См. решение вопроса 8 гл. 2
книги Ш.
Теорема 1. Число Т целых точек в области круга
х2 + у2^ а2
выражается формулой
Доказательство. Имеем
- 21

Полагая [(х) = Уа2—-х2, в интервале 0<х^— находим
а а
Далее, согласно лемме 4, выводим
У 2
А согласно лемме 5, находим
а
Кроме того, имеем
2=
2 ^2
Учитывая доказанное, из формулы (9) мы и убедимся
в справедливости утверждения теоремы.
Лемма 6. Пусть Н, II, А, <7> г — вещественные числа
с условиями
Я>0, 1/>Л>1, 0<г-<7<[/.
Пусть далее [ (х) и ф (д:) — вещественные алгебраические
функции, степени которых ограничены, и пусть в интер-
интервале д^х^г выполнены условия
Тогда имеет место формула
«2„ + О (ЯГ,+ ЯГГ +Я 1п (С/+1)),
определяя ха равенством ? (хп) = п, имеем
7
V 2
^- 22 —

причем Ь„= 1, если п отлично от /'(<7) и от ? (г), и Ьп=*
= 0,5, если п равно одному из этих чисел. Всегда имеем
. Наконец, 7^ = 0 при целом /'(<7) и равно
в противном случае, а Тг = 0 при целом /' (г) и равно
1
ГП1П
М'(г)У
в противном случае.
Доказательство. Будем предполагать, что г —
больше некоторого достаточно большого постоянного числа,
превосходящего 3, в противном случае лемма тривиальна.
Кроме того, будем предполагать, что в интервале ц^х^
^/•выполняется условие0^? (х), I'(х)^ЦА'1, в противном
случае, не меняя величины сумм, стоящих в левой и правой
частях доказываемого равенства, функцию [ (х) можно
заменить функцией /(*) + §* с целым ^, выбрав последнее
так, чтобы (/' (/')—/' (^) < ША'1) указанное условие выпол-
выполнялось.
Пусть т = [4/73+1], а ($ и /? — наименьшее и наиболь-
наибольшее целые числа с условиями д^С1 — 0,5,
Полагая
М ^ 81П ЛХ Т Х ' ' '
- 0,5
находим
Я т #+0,5
М =0} п — —пг ф—О,
Далее, замечая, что
0,5
С 31пBт+1)шс ^ = ^
8ШЯХ
-0,5
23

выводим
8Ш Bт+1) ял:
81ПЛХ
-0,5
X
откуда, интегрируя по частям, получаем
0,5
т/ _ Г созBт+1)ял: у ,
Ут~ ) Bт+1) я УхйХ>
— 0,5
у _ е2п1/ ш + х) (ф (М + х) 2т{' (М + х) + уг (М + х))
* зт пх
(Ф (М + х) е2л1' ш + *>-Ф(А1) е 2^ <^>) я соз ял:
зт2 пх
Отсюда находим
<р(АГ) *»«'/<">= 2
Л1=(? п=— т (?—0,5
Из последней формулы легко получаем следующую,
более удобную:
т г0
(ЛГ) е2я" <м> = 2 5ф(лг)в2ягт1«(дг^д: + О(Я), A0)
где <7о и го определяются так: пусть пд — ближайшее
к /'(<7) значение /г с условием /г^^=/'(^), а /гг — ближайшее
к /'(г) значение /г с условием пг^[г(г). Тогда в случае
Пд^п^пг полагаем ^о — 9» Го — г- В остальных же
случаях берем ^о —С^-0,5,
При т]п(а)Х) рассмотрим интеграл
а
— 24

Подстановкой г\п (х) — и мы приведем этот интеграл к виду
где ц'п(х) рассматривается как функция от и. Поскольку
Ф (и) — алгебраическая функция от и конечной степени,
интеграл /« можно разбить на конечное число интегра-
интегралов, к каждому из которых можно применить известный
прием. Получим оценку
* а
ч'п («) •
Кроме этой оценки, при т]^(а)^0 справедлива и другая
Действительно, при Р — а^УА последняя оценка три-
тривиальна, а при Р — а>У^Л она следует из /^ = /2
+
Итак, при у\п(а)>0 имеем
(а) У
Рассуждая аналогично, при цп (Р) < 0 получим
Теперь можно оценить как сумму Т значений Гд°0
с условием /Пл(9о)>О (#</'(<7о)), так и сумму V зна-
значений Гд°0 с условием Цп (г0) < 0 (/' (г0) < п). Находим
— пг
У т!п ^-, ЯТ^4 <
тт "
п — пц— 1
+ Я1п^. A1)
Путем аналогичных рассуждений также выводим
),/)+. A2)
_ 25 —

Далее остается рассмотреть лишь интегралы 1гд с усло-
условием /'(<7)^#^/'(г). Определяя хп равенством /'(хп) =
— п (ц'п(хп) = 0)> интеграл Гя представим суммою
При г>хп рассмотрим интеграл ГХп. Полагая х =
получим
ГХп = е2Шцп (хп) у§; Д = $ ф (Хп + г)
о
Далее подстановкой Х(г) = и интеграл /^ приведется
к виду
Мб)
о
где ^ ??(\ рассматривается как функция от и. Интег-
Интеграл /{* мы сравним с интегралом
А. F)
3
О
Найдем
л (б)
0-Г= [ Ф(и)е2Л[ийи;
о
Поскольку Ф (и) — алгебраическая функция от и конечной
степени, интервал О^а^Я(б) можно разбить на конеч-
конечное число интервалов, в каждом из которых функция
Ф(и) монотонна и не меняет знака. Обозначая буквою
К наибольшее значение модуля функции Ф(и) в интер-
интервале О^и^ Мб), с помощью известного приема получим
А поскольку К является наибольшим значением модуля
функции Ф(и), рассматриваемой и как функция от г
в интервале 0*^2^б, то из ф(у + г) — ф (у)
- 26 -

выводим
. Следовательно,
В свою очередь интеграл «Г мы сравним с интегралом
ь (б)
Получим
о
я, (б)
'-/* = <р (дгя)
откуда найдем
О
где Ь •— наибольшее значение модуля функции
рассматриваемой как функция от г в интервале
А так как
1 Ло
Р(и),
(X'
2Х (г)
1
21 (г) /.' (г)
то будем иметь У — У" < НАII-1,
А. F)
о
*). A4)
Далее, полагая и=^, получим
00
о
ОО
о
A5)
Кроме того, полагая О„ =
1
Мб)
,2Я/И
и пользуясь
уже применявшимся приемом, получим
21F)
*- 27 -~

Л2 ЬЛ
откуда, ввиду Л F)^^, Л'(б)^^-, найдем
А разбивая в случае А/F) <; Л ~0>5 интервал интегриро
вания на два: К(8)^и^./к(8)-\-1 и Я(б)+ 1
получим
Следовательно,
4г
Г]/1 (л)
Из A4), A5) и последнего неравенства выводим
о (н
где при пг = 1'(г) первое слагаемое справа заменяется
нулем. Отсюда находим
A6)
где при п = пг = [' (г) слагаемое у2Л заменяется нулем.
Совершенно аналогично (подстановка х — —х{) получим
A7)
где при п — пч—^(ц) слагаемое -^7.п заменяется нулем.
Из A0), (И), A2), A3), A6) и A7) и следует справедли-
справедливость нашей леммы.
- 28 —

Теорема ?. Число Т целых точек & области шара
+ у2~\-г2^а2 выражается формулой
4
= а* (\па)«
Доказательство. Плоскостями х = 09 у = 0> г = 0,
х — у, у = г, г — х область шара разбивается на 48 рав-
равновеликих областей. В качестве представителя этих обла-
областей мы будем рассматривать область й, ограниченную
неравенствами
А проекцию этой области на плоскость ХОУ — плоскую
область, ограниченную неравенствами
,2
мы будем называть областью П.
Каждой целой точке области П приведем в соответ-
соответствие длину 1 принадлежащего области Й отрезка аппли-
аппликаты этой точки, а также свое число у, равное 1 для
внутренних точек области, равное 0 для начала коорди-
—~, наконец, равное 0,5
для остальных точек контура области. Легко убедимся,
что распространенная на целые точки области П сумма
О — ^уТ, с ошибкой <^# равна объему V® области й.
п
Диофантово уравнение х2-\-у2 = а2 — г2 при заданном г
имеет<^ае решений. Поэтому число целых точек на поверх-
поверхности шара<[а1+8. Рассмотрим распространенную на целые
точки области й сумму Т® = ^ Iх» гДе Iх равно 1 для
внутренних точек, равно 0 для точек ребер и точек по-
поверхности шара, наконец, равно 0,5 для остальных точек
границы области. Нетрудно видеть, что Т& с ошибкой
— 29 —

равно 2тB—{2}+0,5) = С— 2] у ({2}-0,5) и, еледова-
п п
тельно, с ошибкой </? равно V® — 2у({2} —0,5). С дру-
п
гой стороны, нетрудно видеть, что складывая значения 7^,
отвечающие всем 48 областям Й, мы с ошибкой <^/? полу-
получим Т.
Следовательно, если для каждой области Й нам удастся
доказать неравенство
п
теорема 2 будет доказана. Это неравенство, поскольку
{2} = {г} = [У а2 — у2 — х2}> может быть заменено равно-
равносильным
2 ({/}) A8)

(По)
где суммирование распространено на целые точки близ-
близкой к П области По, ограниченной неравенствами
а
Число целых точек области По обозначим буквою ф.
Чтобы доказать неравенство A8), применим Ь) леммы 3.
В качестве чисел б5 возьмем дроби {У^а2 — у2 — х2}, вхо-
входящие в левую часть неравенства, а функцию ^(б^) рас-
сматриваем при р = 6, А = а 3. Неравенство A8) будет
доказано, если нам удастся установить, что
2
(По)
Применяя же свойство 4 леммы 2, убедимся, что для
этой цели, полагая
= V е~~ 2з1(т Уа2 — у2—
(По)
со со
=1 т=\
— 30 —

и учитывая при этом неравенства
V /727А6
достаточно доказать неравенства
1
—, если
/72
, если ш> Д~\
Мы докажем лишь второе неравенство. Первое неравен
ство доказывается аналогично.
Рассмотрим И7т при условии т^а0»8. Находим
; ^ = 2*2ш'т/а2-^2-
К сумме ^ применим лемму 6. Получим
(а2 — у2 — х2) 2 (а2 — у2 — .
Положив # = 1, и = а> А = —, убедимся, что условия
леммы 6 соблюдены. После несложных вычислений по-
получим
т @М 4 е"
ту
2_
т Га2 — и*) 4 в"
Т
B/п2) 4
Теперь оценим сумму
- 31

Все значения у можно разбить на <^т последователь-
последовательностей с условием, что для чисел одной и той же после-
последовательности при некотором к будем иметь
Сумма значений 7\ отвечающих числам какой-либо задан-
заданной последовательности, будет
Л/ —Ь / -<- па.
т
Поэтому будем иметь
Далее мы оценим сумму
ж, тг/1> — мЯЪ4 „-2я* V (а« - *«) 2т«
О =
о < у < Л Bт2) 4
/з
Полагая
III
убедимся, что в отношении этой суммы выполнены усло-
условия леммы 1. Поэтому
В результате всего доказанного будем иметь
а
7ъ
X 21 з +0(а1паL
32

Отсюда, меняя порядок суммирования, получим
0< и
_1_
т(а* — !/*)Те-2Ш1Г{а2-"
аи
Полагая
а
т
убедимся, что в отношении суммы ШШч и выполнены все
условия леммы 6. После несложных вычислений получим
т1па)'
Отсюда найдем
О < и <ш 0 < V ^.и
В частности, будем иметь №'т<^ат,
Переходим к выводу неравенства для V. Пусть Мо =
а3 AпаJ] и ^ — наименьшее целое число с условием
и
Мо ■ 2к* > а15. Находим
О < т ^ М о [_
а 9
т
(При выводе первого и второго неравенств берем
<о/п + а1па; при выводе третьего берем
2 И. М. Виноградов — 33 —

Поэтому
КпУ'п
т ™ т<
Сумму Уо можно разбить на кх сумм вида
Полагая Яг =
Ум '===-
М
= тх?' легко найдем
16Л42
Л1
X
2 2
ште
2та
2
X
х
\х (и
Пусть
= г и пусть 1^, г> 4
обозначает число решений уравнения т?-\-и
обозначает часть
отвечающую
данной паре значений г и 5. Находим
2
/
Ш [М, 7^-^
\ (К)
\
X
X
2
5
Отсюда, суммируя по всем значениям г и 5 и заменяя
при этом в сумме по г число |ы5 тем его значением |ы,
при котором модуль этой суммы получает наибольшее
значение, получим
— 2т (|ыо -Ь а /г + V2)
V
г-\-ь<
откуда, учитывая неравенство
(г))

найдем
Е =
211
V*
(г
Часть суммы Е, отвечающая случаю ю = у1, очевидно,
М. Оставшаяся часть разбивается на две суммы —
сумму Ех с условием V < У\ и сумму Е% с условием
V>V1. При этом
. Поэтому
Далее находим
12/М2 Ег =
х
— V) + а \/ Я, + 02 — уз _ а Уё )
X
= 12М2
у
4-
2
где ц(() — число решений уравнения у? — ^2 = / и
Р7 —а/й)
При натуральных к рассмотрим числа вида т = 4М22
А
Пусть т; с & = &! — наименьшее т с условием
а т/; с к = /г0 — наименьшее т с условием т"
2* — 35 -
1 5

Часть суммы 17/, отвечающая случаю /^т', очевидно,
2
О < / < Т'
)ставшуюся часть разобьем на кг^\па сумм вида
$т = 2 Л(О1Я/|.
Сумма /?/ имеет вид, рассмотренный в леммах 1 и 6.
Здесь, полагая
будем иметь
3
К случаю т'^т^т" применим лемму 1. Получим
11 _Л _1—1 —1
2М 2,
откуда найдем
■С < т < т"
Наконец рассмотрим случай х/;^т^2М2. К сумме
применим лемму 6. Определив §„9 г равенством /' (§„9 с) = но
и полагая
/+« к °(й;?/2
(а;, /) = 7/^». / + а (Кг». / +'
— 36 —

будем иметь
1-4-
1
Ч
откуда получим
0= % г! (О
т < г < 2т
При этом следует отметить, что
1 1 3
Ф(о;,
Оценим сумму О. Очевидно, ^! = щ (I) и щ = щ (!) —.
убывающие функции от ^. Поэтому функции Г (о^) и I" (ш2),
обратные указанным, будут также убывающими функци-
функциями (от ш± и от щ). При этом т может принимать лишь
значения с условием щ Bт) <С.№ =^^2 (т), а ^ при задан-
заданном хю лишь значения с условиями
шах (т, V (о;)) < / ^ тш Bт, г" (о;)).
Находим (возвышая в квадрат и затем меняя порядок
суммирования)
Bт) <ш' ^ш2 (Т) гюх Bт) < т ^ ш2 (Т)
Фо @ = Ф (а)', о Ф (ш, о, 4% @ = Ч' (да', 0 -^ (ю, 0;
/' = тах (х, *' (а»'), Г (м>)), Г = тт Bх, Г (да'), /"
Далее для суммы Вда<, ш получаем
Поскольку ^ (т) — и»1 Bт) ^<зтМ~3, сумма всех | Вш-,
с условием ы)' = а> будет
атУИ 3Я^У <
— 37 =

Рассмотрим сумму Вт\ & с условием до' > до (очевидно,
. Ш' = ВШ', а,). Воспользовавшись равенством
о
найдем (беря частные производные по /)
1
Далее, воспользовавшись тем же равенством, найдем (беря
частные производные по до)
г 4 1
и также
Отсюда получим
дг2 4 ь<
) а
7 (^, 0
■Ю, 1 \ *)
3
а
~ д(р и-\-
1-0
1
А 2
0
а
4
3
2
I
3
3
А так как
1 1
г» о
8 / 1 _з \2 а^
_!_ _1
3
^- = й(до, 0;
Ъ&AВ), 1)—~2~1 3 ЗТТ 3 3~
». * -(8„. г + 0 2 / \(**, / + 0 2 -4
го, применяя формулу Лагранжа, при некотором до
с условием до < до'" < до' будем иметь
-, 0 д^ (щ () _ , п ,,,
г п
— за —

Отсюда, полагая до' — до = а, Л =т2/И~2сг1, выводим
А ^ ^2 ^ А *
Применяя же лемму 1, находим (здесь Н = а~1т;-1М~*9
откуда убедимся, что сумма всех |ВШ',Ш| с
до' > до- будет
условием
1 3 3 19
(т) - щ Bт))
0<а<ш2(т)
Следовательно,
3 3 19
] 1 3
1\ -^^А^1
*)AпаJ+а 2М 2,
19
1\ I
2;AпаL.
Поэтому при М<^а3 будем иметь
а при М>а3 будем иметь
19
Ул1<-7гAпа)* •
М 2
Отсюда найдем
23
23
Теорема доказана.

Г лава 2
Оценка 0{п) в проблеме Варинга
В этой главе дано применение моего метода к выводу
оценки для функции О (п) Харди и Литтльвуда, пред-
представляющей собою наименьшее натуральное число /*, кото-
которому можно привести в соответствие какое-либо положи-
положительное число Л/о с условием, что уравнение
N =
будет разрешимо в целых положительных х19 ..., хг при
любом целом Л/, не меньшем чем Мо.
В 1919 г. Харди и Литтльвуд нашли для О (п) верхнюю
границу вида
О (п) ^ п2п~2Н\ Пт й=
п -*■ оо
растущую с возрастанием п как величина порядка п2п.
В 1934 г. с помощью своего метода я нашел принци-
принципиально новую верхнюю границу^15'
Эта граница растет с возрастанием п как величина
порядка пЫп и (ввиду известного неравенства О(п)>п)
уже не может быть заменена границей существенно более
низкого порядка. В дальнейшем мне удалось снизить
лишь коэффициент при 1п/г в скобках и получить
О(й)<йC1пй+11)П6],
С (п)< п B 1п п + 4 1п 1п п + 21п 1п 1п п + 13) пл.
Вывод второй из последних оценок и является целью
этой главы. Приступая к выводу, будем предполагать
п> 170 000, поскольку в противном случае вторая оценка
всегда хуже первой.
- 40 -

Лемма 1. Пусть к0 — целое, #0 ^ 6, к — 2к0, г = 2г0,
г0 = [к2 B 1п к + 1п 1п к -\- 2,6], Ко — ^елое положительное
число, Ух, ..., #г независимо друг от друга пробегают
значения 1, ..., Уо» наконец, \ = У\-\~- .-\-у"г — у).+1—...
... — у*. Тогда для числа Т решений системы
имеем неравенство
г—
Доказательство. Эта лемма является тривиаль-
тривиальным видоизменением теоремы 4 гл. 4 монографии
Лемма 2. Пусть /(х) в интервале М^
вещественная дифференцируемая функция, причем внутри
интервала /' (х) монотонна и знакопостоянна и при
постоянном б с условием 0 < б < 1 удовлетворяет нера-
неравенству |/' (х) | ^ б. Тогда
(*) =
й* + б C + -у^
Доказательство. Эта лемма есть лемма 3 гл.
монографии 14
Лемма 3. Пусть Р > 1, г — вещественное,
Тогда имеем
I = ^ е2п1гхП с1х.
о
-
г !~\ если
Я-/г
»
Доказательство. Случай \г\^Р~п очевиден.
Поэтому рассмотрим лишь случай \г\>Р~п, причем, не
нарушая общности, будем предполагать, что г>0. Введя
^- 41 —

подстановку гхп~и, получим
о
/ = ц + / V; и = ^ г|з (и) СО5 2пи
о
V = $ г|) (и) 81п 2пи йи, о = гРп, Ц (и) =
о
где г|) (^) — убывающая функция от и. Рассмотрим интег-
интеграл О\ Интервал 0^и-<^а его интегрирования с помощью
чисел вида 0,25 + 0,5/ с целым / мы разобьем на части,
в соответствии с чем интеграл I] представится знакопе-
знакопеременным рядом. Отсюда будет следовать, что
1
о
Рассуждая аналогично, получим
Поэтому
Лемма 4. Пусть
5 1 ^^ л\—V
а, д I ^ Ч
Доказательство. Эта лемма есть лемма вопроса
116 гл. VI книги Ш.
Лемма 5. Пусть Ыо — целое положительное число и
За%д имеет значение, указанное в лемме 4. Тогда, полагая
а
(а,
0
будем иметь
Доказательство. Эта лемма есть лемма И гл. 6
монографии I2-!.
- 42 —

Лемма 6. Пусть г — целое положительное число,
Л/х1>0, Кг (А\) — число решений в целых положительных
хъ ... 9 хг неравенства
Тогда
Доказательство. Эта лемма есть лемма 2 гл. 6
монографии №.
Специальные обозначения. Пусть Л^о — целое число
с условием 0,5Л^#0^#, Р = [Л^+1],
[/] -Х?-°'5, 7 = 0,25A^0»,
р
Всякое число а интервала —т <: а ^ 1 — тг1 мы пред-
представим (что всегда возможно) в виде
а = 4 + г> (а, ^)==1, 0^;а<<7, 0<?^т, |г|<—-.
A)
При этом мы назовем основным интервалом, отвечающим
дроби —, всякий, где выполнено условие
ч
очевидно, основные интервалы не перекрываются. Интер-
Интервалы, оставшиеся после выделения основных интервалов,
мы назовем дополнительными интервалами.
Лемма 7. Пусть Л^ — целое,
1
// / \г \ Г г 4л —2ои(х/у1 *
(УУх) = ^ Ьа е ш
о
и пусть /Л(^1) — часть интеграла V (Л^), распространен-
распространенная, на основные интервалы. Тогда
П (Л/о) > л^3.
Доказательство. Пусть М = [О,5РП~Л7+ 1], А7о — 2М <^
Л/о. Пусть Нпл д (Д\) — часть интеграла /'
— 43 -

распространенная на основной интервал, отвечающий
а
дроби —, и пусть а ■— какое-либо число этого интервала.
Преобразовав сумму Ьа подстановкой х = д(-\-8, где 5
пробегает числа 0, 1, ..., ц— 1, а / при заданном 5 про-
пробегает целые числа интервала —$<7~1<;/^(Я — 5) цх,
получим
2т
Но в указанном для I интервале имеем
з)"
1
У*
Поэтому, согласно лемме 2, получим
О (г)
-1
О
О (г);
+ 8>л Л + 56 = I гр + 56;
о
но, согласно леммам 3 и 4, находим
р,
если г
г \~у, если | г > Р~п
Очевидно,
> д; поэтому
Отсюда выводим
. а
-]
О
44 —

Далее, легко выводим
—(ЦТ) 1 ОО
5
—ОО
Следовательно,
О
оо
—оо
Но находим
-1
х
где левая часть есть число представлений числа Л^ в виде
*1' + ..- + *4я с Целыми положительными х1у ..., х4/1, а пер-
первое слагаемое правой части равно
Поэтому
м м
уу = 1 Л^" = 1
где
Т
и, согласно лемме 6, левая часть равна 4Г4пЛ^3М2
х2 М2). Отсюда следует, что
...,
Просуммировав это равенство по всем а, отвечающим
данному ц, и затем результат —по всем ц=\
получим
/5 (#о) = 4Г4,^? ^ Л (д) + О (Р^).
45

Но А (?)<г3- Поэтому 2 А (Ч)<р~2у*
(Л/о) + О
Следовательно,
/о (Л/о) > ЛР
и, таким образом, лемма 7 доказана.
Теорема. При целом п с условием п > 170 000 имеем
О (п)< п B 1п п + 4 1п 1п п + 2 1п 1п 1п п + 13).
Доказательство. Пусть
о ' о а ^— о— »^ I, о
= лг, г = /г0, о=—^0 ^—, /г2 = о/г.
Полагая
ил 1К;] /=о кг-и

рассмотрим переменные А) и Л/, независимо друг от
друга пробегающие значения
Далее рассмотрим переменные А/г1 и Лу>2» независимо
друг от друга пробегающие значения А} —А], и, нако-
наконец, рассмотрим переменное Л,, пробегающее значения
Л/, 1 — Л/, 2- Нетрудно видеть, что все значения Л/, 1
(и Аи 2) подчинены неравенствам —го/гХ/~1Угу< Лл х<
<;го/гХ/— У/, а все значения Л,- подчинены неравенст-
неравенствам — гпХ^У, < Л; < гпХ1-1У,.
Теперь рассмотрим переменные И?х и \^2, независимо
друг от друга пробегающие значения
и переменное й^, пробегающее значения 1^! —
Очевидно, при некотором с2 все значения й^х (и
подчинены неравенствам —с2^о~"°'5< 4^1 <с2Х7~0'5, и
если для любого х, лежащего в интервале —о5
обозначает число решений уравне-
уравнения ^^л:, то распространенная на все значения х этого
- 46 —

интервала сумма
2 (I
равна числу решений уравнения 1^ = 0; оценим это число.
Переменное I?7 можно представить в виде
1Р = Ло + ... + Л*,-1, • B)
где, очевидно,
(каждое у7>, пробегает значения 1, ..., У;). При этом
1/*8) подчинено неравенствам — гоп*У) < 1/)8) <г0я5У/ и,
согласно лемме 1, число решений системы 11{р ~ 1{{\ ...
- /</> будет
...,
г
Рассмотрим сумму
где //8) пробегает целые числа интервала — го/г8У/<//8-<
<г0п5У). Нетрудно видеть, что в интервале длиною Х"~~*
лежит
у2 уЪ \гк к(к-\- \)
1*1* л 9 —————————«- ' * ■ *
/ ; / . -
Х7- X/ •*• Ху ~
значений 5/. Поэтому в интервале длиною Х/~*^о—°'5
лежит
2 "
. /\] I .
значений Лу. Отсюда и из B) следует, что в интервале
длиною Х/?,1Д0"-0'5 лежит
г у—(п —0,5) A —
V
о • • • ' К — \
значений \^. Тем более число решений уравнения
будет <О.

Пусть /? = [А'01"'5у] и V пробегает простые числа интер-
интервала /'<^^2/? (известно, что при некоторых с3 и с4
для числа Ко таких простых чисел будем иметь
Пусть далее до пробегает числа
Рассмотрим сумму
Находим
У =
V
т
где V может быть представлено в виде
V = 22 *2ш'а^ = Ц 2 2 (*)
V У V X
Представив а в виде а = — + г, (а, ^) = 1, 0 ^ а < ^,
, оценим сумму фа для значений а,
принадлежащих дополнительным интервалам. При этом
(очевидно, не нарушая общности) будем считать, что
Сначала рассмотрим случай дТ^Я. Находим
где 0=^г|з(г/)<1 и ц(у) — число
ц" = г/(тос! ^). При этом имеем
решений сравнения
Далее находим (ух независимо от у пробегает те же зна-
значения, что и у)
V2 <€? й V V V п (и) г) (и-,) е2пиф(у> у^%
у ^*% ^-/ ^^ ^^ 4_± Ч \У) Ч \У1) с »
* У Ух
Ф(у9 уг) = а(У-У1)+Ъ(У)-*(У1) ^
1
— 48

Пусть р при заданном уг обозначает абсолютно наи-
наименьший вычет числа А{у — У\) по модулю ц. Тогда
Поэтому, расположив слагаемые суммы по у в порядке
неубывания значений |р|, мы не уменьшим значения этой
суммы, если не более чем три первых слагаемых заменим
числом Х^~0'5, не более чем два следующих — числом у,
не более чем два следующих —числом -~ и т. д. Получим
D)
где ф' = (Ко. •• ^2—О^о есть число слагаемых суммы
Далее рассмотрим случай !/"/?<; <7^^- Здесь с незна-
незначительными изменениями пригодно доказательство, данное
для предыдущего случая; именно в неравенстве D) теперь
вместо </38 надо взять -^ ^Е» а вместо 7?0 надо взять
Получим
в соответствии с чем прежнее а теперь заменится новым
0,5A-0» —(я —0,5) б*8+ в'
Наконец, рассмотрим случай <7<]/О?. Здесь имеем
Часть суммы C), отвечающая при заданном 5, взятом из
ряда 0, ..., <7—1, значениям V вида ^ + 5 (с целым I)
может быть представлена в виде
2 21 {х) л (/) еШХФ(/); ф (/)=т"
2
49

где / пробегает целые числа с условием
а 1} (/) разно 1 или 0, в зависимости от того, является
+ 5 простым числом, или нет. Отсюда выводим
и
тт(хп-°>5
г х
Но при переходе / от какого-либо значения к значению,
на единицу большему (если такое имеется), функция ф (/)
возрастает на число вида
ж (д1 + цЬ + я)* д,
не выходящее из границ
и
которые в свою очередь не выходят из границ
1 1
я и хол-°'5-°'5л7-
Поэтому, располагая слагаемые суммы Р в порядке не-
неубывания значений (Ф (/) — Ф ({г)), мы не ул^еньшим зна-
значения этой суммы, если не более чем три первых слага-
слагаемых заменим числом Х"~ ' , не более чем два следую-
А ,, л
щих — числом у, не более чем два следующих — числом ~-
и т. д. Получим
3=1
Таким образом, всегда имеем
Пусть Р0 = [0,25/>],
= [0,5Рл,~<2], Аз = [лAпл + 21п1пл+1п1п1па1 + 3)] и ^
пробегает значения Р", (Р3+1)п, ..., BР3—\)п. Соста
вим числа
50

Эти числа не равны между собою. Они удовлетворяют
условию
Р!? < и < BРО)Л;
число V этих чисел равно Ро Р±. ..Рья—[. Оно удовлетво-
удовлетворяет условию
{У
Рассмотрим интеграл
/(Л0 =
о
Р
х= 1 и
В соответствии с данным выше делением интервала инте-
интегрирования на основные и дополнительные интервалы
интеграл / (Ы) разобьется на сумму двух слагаемых:
Сначала оценим /х (Л^). Находим (при некотором ^
и (ло<Р4%г^/2Р~'г~а1+'1A~^8 <Р4ч?'^2р~/гр~Сб-
Далее оценим /о(Л^). Очевидно (иг пробегает те же
значения, что и и),
V и) и их
где 0,5М <М — уш — и—•и1<ЛЛ Поэтому, применяя
лемму 7, найдем
/о
Из доказанного следует, что /
следовательно, Л/ представляется суммою
4л + /?2 + 263 < л B 1п п + 4 1п 1п п + 2 1п 1п 1п п + 13)
слагаемых вида хп с целым положительным х. Теорема
доказана.

Глава 3
Приближения дробными частями
значений целого многочлена
В этой главе дается применение моего метода к во-
вопросу о приближении к заданной правильной дроби по-
посредством дробных частей значений целого многочлена 118\
Полученная теорема замечательна тем, что при малом
количестве § значащих членов из нее в рассматриваемом
вопросе можно извлечь результаты, значительно более
точные чем те, которые можно извлечь из теоремы 1 гл. 5
монографии №.
Специальные обозначения. Пусть [(х)=анхн+.. .-\-апхп—
вещественный многочлен с § значащими членами, с поло-
положительными показателями, расположенными в возрастаю-
возрастающем порядке, с /г>4 и с суммою к-\-...-\-п показателей,
равной О. Пусть / — один из показателей и приняты обо-
обозначения
1 1 1 усру 1п О
1п (й 1п й + й) '
Пусть а/ представлено в виде
где с0 достаточно велико. Тогда положим
2
Пусть, наконец,
где 81 выбрано достаточно малым.

Выбрав возрастающий ряд положительных меньших
единицы постоянных с19 ..., с^ с неравным нулю опре-
определителем
—1
—1
8
• 8
и полагая
=1, ..., 6, 5=1,
обозначим символом х^8 переменное, пробегающее целые
числа интервала
и 8 — Ъ < -*7,
, 5
Символом О^5 обозначим число 2^ чисел
лом 0 обозначим число систем (х1Д, •-., х^
1в). Очевидно,
8, а симво
..., хьл, ..
..,
,^ ... Оьл ... 5
Взяв при каждом /=1, ..., 6 какие-либо свои целые
, полагаем
с условие л
Vи г = ти гх'и,+... + ти
1. Число решений некоторой системы уравнений. На
метив некоторые интервалы с длинами
?-\ ..., МрГ\
оценим число Ф\ систем (х^ъ ..., х^ш), при которых
^,л» •••» ^,л соответственно лежат в этих интервалах.
Пусть (хъ ..., дгв), (^! + Сь ..., дсв + ?„) — две такие
системы. Тогда
—1
53 —

что приводится к виду
П
где при достаточно большом со = со(е, п) все |3Л5 будут
настолько близки к единице, что определитель
будет ^> 1. Отсюда легко найдем
; 5=1,
Поэтому
Далее, наметив некоторые интервалы с длинами
оценим число Ф, систем (лг/л, ..., хи?), при которых
^/,л» •••♦ ^л/г соотьетственно лежат в этих интервалах.
В силу
Л—1 **• лл„п — 1
будем иметь
мрг;
М8р~
Для чисел Ц^г также имеем неравенство
Пусть я|) Bл, ..., г„) обозначает число решений системы
С/ Л ^' » ■ ■ < ^ и ^л •
— 54 —

При заданных системах
числа системы A//§л, ..., {//§л) будут попадать в опреде
ленные интервалы с длинами соответственно
и, следовательно, число различных таких систем будет
. Поэтому
Для числа /7Г также имеем неравенство
1/г<Л1рг. B)
2. Оценка основной суммы. Оценим сумму
где 2о обозначает сумму, распространенную на все О
систем (хх.ь ..., х1#5, ..., х6д, ..., *&,§)» т. е. на все О
систем F/л, ..., [/„). Находим
р
где системы ((/л, ..., (/л) — те же, что и системы ((/Л, ...
• • •»
Пусть 4я (г/л, ..., ип) — число решений системы
11н — 1)н = ин, ..., 1]'п-~Ип = ип. C)
В силу A), очевидно, имеем
Согласно B) существуют с(Л), ..., с{п) с условием, что
система C) возможна лишь при ин, ..., иП9 лежащих

соответственно в интервалах
Заставляя ин, ..., ип пробегать целые числа этих интер
валов, находим
иН ип
Из доказанного следует
"Л ип
«А
У У У
«I "Г
ип
р
е
1/=)
где введено дополнительное переменное и}> пробегающее
целые числа интервала
— 2б}Шр} ^ и) ^
Отсюда находим
2
У У тт
При заданном #х разность 1 = у[—у) пробегает неко-
некоторые целые числа интервала — 0,5? + 1 <: ^ <: 0,5? — 1,
причем, обозначая буквою г абсолютно наименьший вычет
числа аг по модулю ?, мы приведем (а^) к виду
Здесь при |г|>0 всегда будет (а^)> 'г'~ ' . Поэтому,
заменяя слагаемое двойной суммы числом УИ2р2/» если
— 56 —

= 0, и числом
, если |г|>0, будем иметь
11
г4
^^
\Т
е ... тьл ... ^
Теорема. Существует с = с(п) с условием, что при
любом вещественном А можно удовлетворить системе не-
неравенств
| / B) - V - А |< сд-р9 0 < г < р2
целыми г и V.
Доказательство. Согласно лемме 2 гл. 1 суще-
существует функция К (г) с периодом 1 и со свойствами:
1. 0^;Мг)^1 в интервале А— Д^г^Л+Д.
2. А,(г) = О в интервале Л+Д^г^1+Л— Д.
3. Я (г) разлагается в ряд Фурье вида
00
(г); Хо (г) =
причем Вт и В'т зависят только от т, А и Д и удовле
творяют неравенствам Вт<^Р(т), Вт<^Р (т), где
если
если т > —.
' А
Рассмотрим сумму
X...
'ы
... X
57 -

Здесь имеем
Поэтому
оо
оо
оо
оо
ОО
• • • /\
. D)
где Т —сумма, рассмотренная в начале этого пункта.
Ввиду
ОО
Р(т)
т> М
сумма слагаемых правой части неравенства D) с условием,
что по меньшей мере одно т^8 превосходит М> будет
а сумма оставшихся слагаемых будет
рОд
ь
где показатель степени ц также отрицательный. Поэтому
при некоторых сг и с2 будет
Отсюда следует, что при некотором у и некоторых I и
имеет место неравенство (с0 достаточно велико)
7,5
ч.

а при некотором частном значении х^8 также и неравенство
которое и доказывает нашу теорему.
Пример. Пусть а —вещественное,
Разложив У2 в непрерывную дробь, рассмотрим ту пару
соседних подходящих дробей, знаменатели д и д' которых
удовлетворяют условию д ^ ]/"т < д''. Ввиду ограничен-
ограниченности неполных частных имеем д' <^д. Поэтому, применяя
теорему, убедимся в возможности удовлетворить целыми г
и V системе
I / (г) — V — А \ < сттр, 0 < г < т;

Глава 4
Оценки простейших сумм по простым числам
В этой главе, с помощью указанных во введении сумм
вида A), выводятся оценки для ряда простейших сумм по
простым числам. Схема вывода является тем или иным
видоизменением схемы, впервые примененной мною A937 г.)
к выводу оценки для суммы
V1 рЪЛгкар
в работе, посвященной разысканию асимптотической фор-
формулы в тернарной проблеме Гольдбаха. Напомню также,
что систематическое изложение наиболее сложного варианта
этой схемы в применении к выводу оценки для суммы
дано в гл. 7 монографии^.
Ввиду разнородности рассматриваемых сумм я счел
полезным разбить эту главу на три раздела I, II и III.
Раздел I включает общие теоремы, дающие оценки сумм
к
N к=\
и некоторые применения этих оценок.
Раздел II посвящен оценке суммы^21]
и применению этой оценки к выводу закона распределения
значений дроби:
60

Наконец, раздел III посвящен оценке суммы^
Следует отметить, что соединение моего метода с резуль-
результатами, полученными по методу Хассе —Вейля, позволяет
найти нетривиальную оценку этой суммы и при более
широких условиях ^23' 24].
к
I. Оценки сумм 2 е2п1а^ и
V1
Лемма 1. При вещественном а, подчиненном условиям
— ± 4- -
а) для суммы
неравенство
б) а для суммы
Л
(аг)
О <<05
имеем неравенство
V ^д\пд.
Доказательство. Не нарушая общности, будем
предполагать, что ц ^ 6.
а) Вводя подстановку г = § + / и представляя
в виде В + 0', где В-целое, а 0'<О при 0^0 и 0'
при 0<О, получим
где р —наименьший неотрицательный вычет числа В~\-а(
по модулю ц. Сумма V% примет вид
— 61 —

Здесь слагаемые с р = # — 1,р = 0, р = 1 заменим числом
а при 0<5<0,5? слагаемые с р = # — 1 — $ и с р = 5
(не учтенные при меньшем 5) заменим числом - . Тогда
получим
б) Имеем
р+0,5ер
где р — наименьший неотрицательный вычет числа аг по
модулю ц. Сумма V принимает вид
° 1
р I
\ Я
При 0<<5<с0,5<7 слагаемые ср = ^ — 5 и с р = 5 заменим,
каждое, не меньшим числом —7г-=. Тогда получим
< ^ 1п
Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть и и V пробегают возрастающие
последовательности натуральных чисел и пусть
5- 2 2 е2п'аи1>
Тогда имеем
Доказательство. Находим
2
< / < С/' (V < Л/
где
ные
, в указанных границах, / пробегает все натураль-
г числа. Меняя порядок суммирования (сначала при
— 62 «-

заданных V и V1 суммируем по /), выводим
1П *
л/
Часть выражения справа, отвечающая заданному юи со
гласно лемме 1, а), будет
Поэтому
откуда и убеждаемся в справедливости нашей леммы.
Теорема 1. Пусть Н = е°>5}Гг; г = 1п
5 < Мг 1п г
Доказательство. Пусть Р — произведение всех
простых чисел, не превосходящих Я2, А пробегает дели-
делители числа Р, т пробегает натуральные числа, а у про-
пробегает произведения различных простых чисел, превосхо-
превосходящих Я2. Находим
^ A)
Правую часть равенства A) представим в виде Т'-\-Т"у
где Т' содержит слагаемые с условием й > ЫН~2, а Т" — сла-
слагаемые с условием й^ЫН~2.
Оценим Г'. Пусть к — число простых делителей числа й>
входящего в V. Тогда найдем
63 ^

Поэтому, учитывая неравенства
" 1
(неравенство A) гл. 1 монографии^), получим
Далее оценим Т". Пусть 50 — наибольшее целое 5 с усло-
условием (80 —0,5) ^<:NН-2' Находим
Разбивая правую часть последнего неравенства на сла-
слагаемые по схеме
/^ Г" • • •
О,5<7 < й ^ 1,5<7
4- V 4- 4- V
E — 0,5) я < й < (« 4- 0,5) я Ы~0,5)я<а^ ЫН-*
и применяя к первому слагаемому оценку б) леммы 1,
а к остальным слагаемым —оценку а) той же леммы,
получим
Г<<71п<7 +
0 < 5 < «о
Наконец, рассмотрим левую часть равенства A). Обо-
Обозначив символом ук произведение у, имеющее ровно к
простых сомножителей, рассмотрим сумму
Пусть к> 1. Сумму Тк сравним с суммой
Т'к— V у е2п1аУ1Уь-1
И2 < ул < МН~2 '*-!> ухукх < N
Число слагаемых суммы Т'и с УхУи-г, делящимся на отлич-
отличный от единицы квадрат, очевидно, <^Л///~2. А остальные
- С4 —

слагаемые —те же, что и у суммы Тк, но каждое слагае-
слагаемое суммы Тк входит в сумму Т'ь ровно к раз. Поэтому
Оценим Т'к. Интервал Н2 < уг < ЫН~2 {к'г) мы разобьем
на <^г интервалов вида
Согласно лемме 2 часть суммы 71*, отвечающая интервалу
такого вида, будет
I./
К 7
Оценку для Тк получим, умножив последнее выражение
на г. Следовательно, будем иметь
Просуммировав это неравенство по всем ^ г значениям к
и учтя, что 7\ = 5 + О (Я), убедимся, что левая часть
неравенства A) равна
Собирая все доказанное, мы и убедимся в справедливости
нашей теоремы.
Лемма 3. Пусть е^0,01, Ь0 = ег1~е, Ь = вг1~28,
Р — произведение простых чисел, не превосходящих Ь и не
делящих ц, Л пробегает произведения различных простых
чисел, не превосходящих Ьо и не делящих ?. Тогда имеем:
а) Число Т чисел вида цх-\-1% взаимно простых с Ръ
лежащих в интервале
удовлетворяет условию
1/„3 И. М, Виноградов ** •*= 65

б) Справедливо неравенство
Г28
2
а
в) Справедливо неравенство
2
Доказательство. Утверждение а) следует из
леммы 9 гл. 7 монографии^. Утверждение б) следует из
оценки
р\ц
Докажем утверждение в). При й>№'8 имеем
Й (й) > 0,8г8. Пусть ръ ..., р0о — все простые числа, не
превосходящие Ьо и не делящие ц. Находим
Ал
5!
-+ + —V
р ' " Р I (е(с+\пг)У .
2
Теорема 2. Пусть е<0,01,
а ==-^ + 2, 6 = | еЛ/1, (а, 9)=
суммы
5=
или также
8 < #г-1+8^-°'58-°'5,
1~е
Док азательство. Пусть Ь0 — ег1~е, Го — произволе-
произволение простых чисел, не превосходящих 60 и не деЛящьл ^.
«- 66 —

Пусть й пробегает делители числа Ро, т пробегает нату-
натуральные числа, взаимно простые с ^, наконец, у пробе-
пробегает натуральные числа, взаимно простые с Род. Находим
B)
Правую часть равенства B) представим в виде V
где V содержит слагаемые с условием с1>№>8, а
содержит слагаемые с условием Л^№>8.
Сначала оценим V. Применяя утверждение в) леммы 3,
получим
Далее оценим {/". Полагая т = ^5 + '» где / пробегает
числа с условиями (/, ^) = 1, 0^/<^, а 5 при задан-
заданном / пробегает числа с условием 0 <95 + '^^~1» полу-
получим (лемма 3 гл. 2 монографии^)
. а ..
П.1. - -
о ((б
1
1= \е2л1г^^, I <ттA, б-1).
о
Отсюда найдем (б) и в) леммы 3):
Наконец, рассмотрим левую часть равенства B). Обо-
Обозначая символом ук произведение, имеющее ровно к про-
простых сомножителей, рассмотрим сумму
При к>\ эту сумму сравним с суммой

Число слагаемых суммы Т'ь с у^уь-г* делящимся на отлич-
отличный от единицы квадрат, очевидно, <^М?~\ Остальные
слагаемые —те же, что и у суммы Тк, но каждое сла-
слагаемое суммы Тк входит в Т'ь ровно к раз. Поэтому
Оценим сумму Г'. Интервал 6о<й^Л^&7"(Л"~1) мы
разобьем на <^г интервалов вида
причем примем обозначение
П(Х)=* ^З 2
1—2в
Положив Ь = ег , мы разобьем первый координатный
угол на квадраты:
C)
с целыми 5 и т)(#1*- абсцисса, а ук.г — ордината точки).
Каждой целой точке (уг, ук^х) квадрата C) мы сопоставим
уже не степень
1ауукЛ ^
а новую степень е \* /, где / и Л —наименьшие
неотрицательные вычеты чисел ух и уЛ_х — по модулю ц.
Эта новая степень отличается от прежней слагаемым,
которое <^8Ь*Ь~г. Следовательно, новая сумма Тк(Х),
в которую обращается сумма Т'к(Х), отличается от послед-
последней слагаемым, которое
Сумму Ть(Х) мы заменим приближенно суммою Тк(Х)у
содержащею слагаемые того же вида, как и сумма Тк(Х),
цо распространенной на все целые точки (уи ун х)

квадратов C), у которых точка F5, Ъг\) принадлежит
области суммирования суммы Т"к (X). Очевидно, Т'ь (X)
отличается от Т\ (X) слагаемым, которое
Рассмотрим часть ^(^, ч\) суммы 7Т(Х), отвечающую
квадрату C). Пусть ^(/) —число значений уг вида цх-\-1,
удовлетворяющих первому из неравенств C), а НЦ(Н) —
число значений уъ-\ вида ?*/ + Л, удовлетворяющих второму
из неравенств C). Тогда, согласно а) леммы 3, имеем
= О при (/, <7)>1 и НЦ(Н) = О при (Л, </)>!)
Поэтому
1
Сумма Т% принимает вид
2
Отсюда находим
П" (X)
2
Н=0
тс
"
Т|
/I Л,
где % пробегает те же значения, что и г|, а их—те же
значения, что и Н. Отсюда, суммируя по / (при задан-
заданных значениях остальных букв), получим
I2 < ХЧ*К2%Ц 2 е***ьг\ ^-^) ^ Я (й) ЯЛ1 (Л),
3* И. М. Виноградов
69 —^

Далее изменим порядок суммирования, учтя, что г\ и
удовлетворяют условием 0 < г| ^ МгХ^,
а I при заданных ц и щ пробегает натуральные числа
с условием
• г)
Цросуммировав затем по | (при заданных значениях
остальных букв), после тривиальных упрощений получим
Г (X)
Сначала рассмотрим случай 6^1. Здесь, заменяя
каждое слагаемое стоящей справа суммы числом Х19
получим
Далее рассмотрим случай б>1. Здесь, положив
найдем
Дз полученных для 7^ (&>1) оценок и равенства
5 = Тг + О (г1-8)
следует, что левая часть равенства B) отличается от 5
слагаемым, которое
<#г-|+*?-0-й гп1п A, б~0'5). и
Отсюда и из полученных ..ранее оценок для О' и II"
мы и убедимся в справедливости нашей теоремы.
— 70 -:- ■- Лг

Лемма 4. Пусть ео<О,ОО1, №<*<сН^№'*, Р
произведение простых чисел с условием р^Н. Тогда,
полагая
делители й числа Р, не превосходящие Ы, можно распре-
распределить среди <2Э совокупностей со следующими свойст-
свойствами:
а) Числа й, принадлежащие одной и той же совокуп-
совокупности, обладают одним и тем же числом р простых
сомножителей, а следовательно, одним и тем же значе-
значением 1х(й) = (— 1)р.
б) Одна из совокупностей, которую мы будем называть
простейшей, состоит из единственного числа й—1. Для
этой совокупности полагаем ф«=1 и, следовательно, имеем
Ф = Л = 1. Каждой из оставшихся совокупностей отвечает
свое ф такое, что все числа этой совокупности удовлет-
удовлетворяют условию
в) При этом при любом II с условием
существуют две такие совокупности чисел Л\ числа 6! и
числа сГ (совокупность чисел $' может оказаться и про-
простейшей) с соответствующими ф' и ф", удовлетворяющими
условиям ф'ф" = ф, V ^ ф' < ПН, что при некотором
натуральном В все числа й выбранной совокупности, каж-
каждое В раз получим, если из всех произведений й'й" выбе-
выберем лишь удовлетворяющие условию (с1'у (Г)=\.
Доказательство. Все простые делители числа/7
мы распределим среди т +1 интервалов вида
которые получим, заставляя число I (номер интервала)
пробегать значения 0, 1, ..., т, где т обозначает наиболь-
наибольшее целое число с условием
е~ /1

Из этого условия легко убедимся, что число т+1 всех
интервалов удовлетворяет неравенству
\пг— 1п2 - 1п г— 1
+ 1<
A+е0) ' ^ 1пA+е0Г
Каждый делитель й числа Р с условием 1<й<с/У мы
свяжем с неубывающим рядом /0, /ь ..., /т, где /, обо-
обозначает число простых сомножителей числа й, лежащих
в интервале с номером Л Совокупность значений А, свя-
связанных с одним и тем же таким рядом, и будет тою
совокупностью, о которой говорится в нашей лемме.
Так как каждое рассматриваемое й является произ-
произведением не более чем г простых сомножителей, то7/^сг
для каждого / = 0, 1, ..., т. Следовательно, число раз-
различных совокупностей не превосходит
Свойство а) совокупности следует из данного ее опре-
определения.
Рассмотрим какую-либо не простейшую совокупность.
Пусть с1 = Рх ... рр — число этой совокупности с сомножи-
сомножителями, расположенными в возрастающем порядке. Пусть
ф5 —левая граница интер ала, ограничивающего р5, тогда
правую границу можно представить в виде ф^80. Поэтому
при любом 5 = 1, ..., р будем иметь
А отсюда, полагая ф = фх ... фр, получим
Пусть V — число с условием 0<[/<ф. Обозначив
буквою X наименьшее число, удовлетворяющее неравен-
неравенству (/<Ф1 ... Фа,, рассмотрим две совокупности — чисел
д!', пробегающих произведения вида рх ... Рх, и чисел сГ\
пробегающих произведения вида рх+1 ... рр. Тогда сово-
совокупности чисел д! будет отвечать число ф' == Ф1 ... фь
а совокупности чисел Л' будет отвечать число
— 72 ^

" = фх+1 ... фр. При этом будем иметь
Равенство й = д!&' возможно лишь в случае F!\
причем в этом случае оно имеет
решений, где А^ — число сомножителей ф5 произведения ф',
равных фь а к2 — число сомножителей ф5 произведения ф",
равных фь
Лемма б. Пусть при х^М функция Ф(х) подчинена
условию |Ф(#)|^Ф0. Пусть р пробегает простые числа,
обозначает произведение простых чисел с условием
наконец,
У г • • • 0
Тогда при некоторых постоянных Яь ^2, Я3, Я4 будем
иметь
Доказательство. Пусть
где гл пробегает делители числа С}, имеющие ровно Н
различных простых сомножителей. Среди входящих в №5
произведений уг ... у$ число делящихся на отличный от
единицы квадрат будет <^ЛГ°'8, а число равных данному
гн равно 5Л. Поэтому
Полагая в этом равенстве 5=1, 2, 3, 4, получим систему
четырех уравнений с четырьмя неизвестными 5Ь 52, 53,
54 с определителем, составленным из коэффициентов при
них, не равным нулю. Отсюда (учтя равенство 5 = 5!-(-
+ 0(№'2Ф0) мы и убедимся в справедливости нашей
леммы»
- 73 -

Лемма 6. Пусть при дг</У функция Ф{х) подчи-
подчинена условию | Ф (х) | ^ Фо. Пусть р пробегает простые
числа, С} обозначает произведение простых чисел с усло-
условием №*2<.р^Л/, наконец, при натуральном 5^4, имеем
= 2! •••
Тогда
где суммирование распространяется на ^Л/"8 слагаемых
двух видов.
Слагаемое \ Т \ первого вода удовлетворяет неравенству
где б пробегает возрастающую последовательность нату-
натуральных чисел. Иногда последовательность сводится к един-
единственному числу 6 = 1 и тогда слагаемое называется про-
простейшим.
62ху < N
При этом х и у пробегают неубывающие последователь-
последовательности натуральных чисел с условием, что х — х0 при
заданном х0 имеет ^Ыг решений, а у = у0 при заданном
у0 имеет <^8 решений.
Слагаемое | Т | второго вида представляется равенством
1 + е Л1
5/пол« х пробегает неубывающую последовательность
натуральных чисел с условием, что х = х0 при заданном х0
имеет <^№ решений, а т пробегает последовательные
натуральные числа.
Кроме описанного «основного» подразделения слагае-
слагаемых \Т[ на два вида, иногда будем применять «особое»
, 74 -

-пооразоеление на два вида, причем первый особый вид от*
личается от первого основного вида лишь условием
1 1
N3 < X < Nз {вМесто №-* < X <^°>).
А второй особый вид отличается от второго основного
вида лишь условием
Х<#3, М>Ы* (вместо Х<№-\ М>№>2).
Доказательство. Пусть Р — произведение простых
чисел, подчиненных условию р*^№>2. Тогда справедливо
тождество
\ 1 8 8
А^т^... й8т>8 ^ N
где каждое й/ пробегает делители числа Ру а каждое т1
пробегает натуральные числа. Действительно, свяжем
слагаемые правойг части доказываемого тождества с це-
целыми точками 5-мерного гиперболоида Нг > 0, ..,-, й5>0,
кг ... Н3^Ы9 отнеся к точке (А1э ..., Н5) слагаемые
с условием й1/п1 = А1, ..., с18т8 = И8. Сумма слагаемых
с таким условием равна произведению
как раз принимающему вид слагаемого суммы №5 тогда
и только тогда, когда все Ни ..., Н8 взаимно просты с Р,
и обращающегося в нуль, если это не так*.
Не нарушая общности, мы ограничимся лишь слу-
случаем 5 = 4. Согласно лемме 4 при каждом /=1, 2, 3, 4
значения й распределятся среди <О совокупностей
(# = №'2). А значения т/ распределятся среди
интервалов вида
Пусть
т2 т3 тх
^ N
— 75

где суммирование распространяется на четыре совокуп
ности значений йь й2» ^з» ^4» ограниченные неравенст-
неравенствами
ФD)
и на четыре совокупности значений ть т2, т3, т4, огра
ниченные неравенствами
М1^т1<: М'и
М3^т3<
Находим
где суммирование распространяется на все
суммы Т.
Сначала рассмотрим «тривиальную» сумму Т с усло-
условием
Для такой суммы, очевидно, имеем | Т\^№>ь+еФ0. Далее
рассмотрим суммы Т с условием
Пусть / — наименьшее число с условием фA) ... ф
и пусть
(при /==1 множитель при Му считаем равным 1). Нахо
дим ф(/)>^. Поэтому (лемма 4) существует натураль
ное В и две совокупности — чисел й! и чисел д!! с соот
ветствующими числами ф' и ф", удовлетворяющими усло
виям
такие, что все значения й/, взятые каждое В раз, полу
чим, если из всех произведений й'й" выберем лишь удов
летворяющие условию (й\ сГ) = 1. Полагая
и « их ... й/_1, V =
- 76

будем иметь
8° ф"У < й"ь < (ф"
Отсюда находим
яг-2 Мб) П;
б
о V <
где б пробегает натуральные числа, а йц и й? при задан-
заданном б- пробегают частные от деления на б чисел й' и сГ,
кратных б. Полагая (/ф' = Х, ийо — х, й№ = у, убедимся,
что Т является слагаемым первого вида.
Теперь рассмотрим сумму Т с условием
Не нарушая общности, будем предполагать, что числа
Мху М2у М3, М4 расположены в неубывающем порядке.
Пусть сначала /И4<№'2. Пусть / — наименьшее число
с условием
фA)ф(«)ф(8)фD)Д|1 ЛЩ.
Тогда, полагая
X =
будем иметь
2 2 ф(*. у).
откуда убедимся, что Г является суммою первого вида
(при 6 = 1).
Пусть, наконец, УИ4>№'2. Тогда, полагая
т
- 77 ^

будем иметь
Г* 2 2 -' Ф(хт);
хт <- #
отсюда убеждаемся, что Т является суммою второго вида.
Лемма для основного распределения слагаемых \Т\
на два вида доказана. Обращаемся к особому распреде-
( - *\
лению. Очевидно \ввиду #3 < №*4 < №-6 < N3 /г пер-
первый вид основного распределения является и первым
видом особого. Поэтому перераспределим по-новому лишь
слагаемые второго вида. Итак, пусть
Если Мх>Л^3, то (М = М^) \Т\ является слагаемым вто-
1 1
рого особого вида. Если же ЛР ^М4<;ЛР, то, положив
Х = М, убедимся, что \Т\ является слагаемым первого
1
особого вида. Пусть М^<сЫ3. Если М3^№*29 то, поло-
положив Х=^М3М^ убедимся, что \Т\ является слагаемым
первого особого вида. А если М3<Л^0'2, то, взяв в каче-
качестве X наименьшее число вида фA>фBV3^^Шх • • • Му»
превосходящее №'4, убедимся, что \Т\ является слагае-
слагаемым первого особого вида. Лемма доказана полностью.
Обобщение. Лемма б останется верной, если пере-
переменные суммирования х9 у, б, т будут пробегать лишь
значения, взаимно простые с каким-либо заданным нату-
натуральным числом <7» не превосходящим N.
Доказательство. Обобщение доказывается анало-
аналогично лемме 6, но предполагается, что переменные й/,
/Иу, Л/ пробегают лишь целые числа, взаимно простые
С указанным натуральным числом.
Лемма 7. Пусть К —целое, /С^М, Ф(г) =е2Шакг,
а — вещественное,
«=^ + ^» (а, Ф = и о<^<N,

и пусть \ Т \ — слагаемое первого вида леммы 6. Тогда,
полагая
к
1
будем иметь
Доказательство. Имеем
Заставляя I пробегать последовательные натуральные
числа, получим
8
У<
N
П
- у)
где ^1 пробегает те же значений, что и у. Меняя поря
док суммирования (при заданных уг и у суммируем сна
чала по I), получим
.„ х
1
ГП1П(-*-,
I///
N
где т] пробегает последовательные натуральные числа.
Не нарушая общности, будем считать, что А^^
где с0 — достаточно большое, превосходящее единицу
^ 19 ^р

Имеем
Г^-и*^ /^^ / I /^^//, Т^ ^
Г
I/"
г
Интервал 0<б^А~1 разобьем на
Бида
интервалов
причем положим
Находим
(Г
г )
2 2
2
1
0<и<
16/) ЛГ
2
. /X
Ш1П -о ,
0<и<
Л
— 80 -

Отсюда, применяя лемму 1, а), получим
1 + 1
к
+ ?) +
к
А',
к=\
Лемма доказана.
Лемма 8. Пусть К —целое,
а — вещественное,
, Ф(г) = е2п1ак2
а пусть Т —слагаемое второго вида леммы 6. Тогда, по
лагая
к
4
Т\ А1 =— 4- —
/V
будем иметь
Доказательство. Не нарушая общности, будем
предполагать, что Д^^Сь где Сх—достаточно большое,
превосходящее единицу. Имеем (пишем х^сХ1+г° вместо
2
2
у2Л1акхт
суммируя по т при заданных (; и х, находим
В случае /С^Х1+8°^0,5?, согласно лемме 1, б) будем
иметь
— 81

А в случае /С^У1+е°>0,5^, согласно лемме 1,а), будем
иметь
В обоих случаях лемма верна. .
Теорема 3. Пусть К — целое, К^М9 а — вещест
венное,
Тогда, полагая
= 21
Доказательство. Справедливость теоремы сле-
следует из лемм 5, 6, 7 и 8.
Теорема 4. Пусть а — вещественное,
|^, (а, <7)=
Тогда при любом о с условием О < о ^ 1 число Ао значе-
значений {ар}\ р^М, подчиненных условию {ар}<о, выра-
выразится формулой
Доказательство. Считая А < 0,1 (что не нару-
нарушает общности), применим обозначения леммы 3 гл. 1,
положив р=1 и взяв в качестве ряда 6Ь ..., 8р ряд дро-
бей_{оф^ р^М (следовательно, <2 = л(УУ)).ч, Пгименим
утверждение а) леммы 3, гл. 1. Тогда для суммы
Л^ Л/
82 —*

найдем неравенство
и <«. Р) - (Р - «) я
—, если т ^ -т-
- если т
Числа /п мы распределим среди интервалов вида
К^т<2К; К = 2» (/г = 0, 1, 2, ...),
причем, полагая
2/С —1
убедимся (теорема 1), что при К^-^ будет
при д- < /С ^ у Л^ будет
Кроме того, тривиально найдем, что при ^ N <.К будет
При этом получим
к
откуда, согласно указанному утверждению, и следует
справедливость нашей теоремы.
Теорема 5. Пусть ц — целое число, 0<^<^» иР(р)
обозначает остаток от деления р на д. Тогда при любом
целом цг с условием 0<^1^д число ВЯх значений р(р),
^ с условием р (р)<^1 выражается формулой .
. Доказательство. Эта теорема является следствием
теоремы 4 при а=1, 6 = 0, а = —.
*- 83. п»

II. Оценка суммы
Лемма 9. Пусть \Т\ — слагаемое первого особого вида
леммы 6, причем ф(г)=е2лШ^г, где к — натуральное и
— положительное постоянное. Тогда имеем
Доказательство. Будем писать 8х^с1Х1+е° вместо
6л:<Л:1+8° и 8у^с2У1+е° вместо 6*/<К1+8°. Находим
Заставляя I пробегать
числа, получим
последовательные натуральные
X
X
V
V
2
где #! пробегает те же значения, что и у. Меняя поря-
порядок суммирования, т. е. сначала при заданных уг и у
суммируя по 5 в границах
X г . I Х1+е° N Л
согласно лемме 1 гл. 1, получим
х
2
Ш1П
11 1
х(кЧ*\У7,-Уу\2
б
\
— 1 1
— 84

откуда, ввиду |Уу1-Уу\=* ' <77=>
УУ1+УУ УУх
найдем
п<м'% 2 2
11
X* X*
(
\
Х4У*
,58' —1 I
1 1
Лемма доказана.
Лемма 10. Пусть | Т \ — слагаемое второго особого
вида леммы 6, причем Ф (г) =* е2п*к? ^, где к —натураль-
—натуральное и [ — положительное постоянное. Тогда имеем
Доказательство. Находим
откуда, согласно лемме 1 гл. 1, выводим
I I
1 1
Лемма доказана.

Теорема 6^ Пусть к —натуральное число,
— положительное постоянное и
8к=
Тогда имеем
Доказательство. Справедливость теоремы следует
из лемм 6, 9 и 10.
Теорема 7. Пусть [ — положительное постоянное.
Тогда при любом а с условием 0<ог<с 1 число А0 значе-
значений {[У^р}', р^№, подчиненных условию {/Т^р} <а> вы"
ражается формулой
Доказательство. Примем обозначения леммы 3
гл. 1. Взяв произвольно большое натуральное /, кратное
10, положим 8(о) = -7-, А = №'1 + 8'о>, р = 0,П. Приняв в
качестве чисел 8Ь ..., бр дроби {[У^р}\ р^-М (следова-
(следовательно, <2 = я(М)), применим утверждение а) леммы 3 гл. 1.
Здесь для суммы
получим неравенство
(а, р) - (р -г- а) л (Ы) < ^ Я (к) \8к\; 8к = ^ <?2яОД У'р:
-г
,
если к ^ Д,
, если &>Д~1,
1 1
всегда.
Отсюда находим
и, следовательно, согласно утверждению а) леммы 3 гл. 1,
теорема справедлива.
- аа -

Пример. Полагая / = 72, <7==1/2» Для числа Ъ (Ы)
простых чисел с условиями
иными словами, для числа Д (#) простых чисел, не пре-
превосходящих N и попадающих в интервалы вида (п — целое)
B#J =^ р < Bд + IJ, будем иметь формулу
Насколько эта формула отражает действительность,
видно из следующей таблицы, где в качестве значений
для N взяты числа вида BтJ— т.
N
2п(Ы)
п(Ы)
N
2п(Ы)
п(Ы)
N
2п(Ы)
п(Ы)
N
2п(Ы)
я(#)
N
2Я(Л0
п[Ы)
3
0
2
473
94
91
1743
276
271
3813
528
529
6683
866
861
14
4
6
564
108
103
1914
294
293
4064
562
560
7014
>
904
902
33
10
11
663
126
121
2093
316
316
4323
590
590
7353
938
937
60
18
17
770
140
136
2280
336
338
4590
620
620
7700
980
972
95
'26
24
885
158
153
2475
366
366
4865
654
651
8055
1016
1007
138
36
N.
38
1008
174
168
2678
388
388
5148
696
686
8418
1056
1046
189
46
42
1139
192
189
2889
420
418
5439
726
718
8789
1094
1090
248
54
58
1278
210
206
•3108
446
442
5738
760
754
9168
1132
1131
315
68
65
1425
228
224
3335
470
470
6045
804
788
9565
1180
1178
390
80
77
1580
252
249
3570
496
499
6360
840
828
,9950
1222
1221
87

III. Оценка суммы
Лемма 11. Пусть д — простое нечетное, (к, <7)=1,
X (а) —- неглавный характер по модулю д, \(х) и т] (у) — не-
неотрицательные,
-2 2 1(х)п<у)%(ху+Ь);
х—Оу—О
(*))" < *о, 2 (ч
Тогда имеем
Доказательство. Находим
(слагаемые с хух-\-к, или с .М/ + &, кратным ^» равны
нулю). Часть правой части, отвечающая случаю Уг — у,
не превосходит ХоУод. Часть, отвечающая паре не равных
между собою уг и у, но с одним из них равным нулю,
численно ^Хог\(у)г\(у1). А часть, отвечающая паре не
равных между собою и не равных нулю у и у19 будет
что численно ^А>)(#1)т] (у). Из доказанного и из
5
мы и убеждаемся в справедливости леммы.
Лемма 12. Пусть ц — простое нечетное, (к, д) —
X (а) -т неглавный характер по модулю д, I (х) и ц (у) —
неотрицательные, М и N — неотрицательные целые, а X

и У — положительные целые,
М + Х Л/ + У
5= 2 2 I (*) л ДО х
Тогда имеем
я.
XV
Доказательство. Применим лемму 11. Число Хо
при Х^<7 заменяем числом а2Х, а при Х><7 заменяем
числом (а —) 9- Число У о при *'^<7 заменяем числом
Р2У, а при К><7 заменяем числом (Р—) Ц- Таким путем
и убеждаемся в справедливости леммы.
Лемма 13. Пусть ц — простое нечетное, (к, ?) = 1,
X {а) — неглавный характер по модулю ^,
б пробегает некоторую последовательность натураль
ных чисел, и Ть —сумма вида
*
X и У— числа с условиями №3 <Х<ЛР, Х7>Л^3>
причем х=х0 при заданном х0 имеет <^Л^8' решений и
также у = у0 при заданном у0 имеет <^УУ8' решений. Тогда
имеем
Доказательство. Не нарушая общности, ограни
чимся случаем А^^» где с0 — достаточно большое по
стоянное, превосходящее единицу.
Будем считать также, что У>М^ (иначе
4 И. М. Виноградов — 2Л «^- 89 —

Можно ограничиться только значениями б с условием
б < Д-\ так как
2 т.к 2
А поскольку тогда будет б2<<7 и, следовательно, б2
не будет делиться на ц, то слагаемые %(82ху + к) можно
заменить слагаемым %{ху-\-к')\ 82к' = к (той ^).
Полагая
получим
Разбив интервал Хб^А:^Хб^ на ^г интервалов вида
положим
У
При этом область суммирования суммы Т1 мы заменим
областью О, ограниченной неравенствами
считая в точках, не удовлетворяющих условию
< Уб, число решений у=-Уо равным нулю. Область Й раз-
разбивается на две области — область &ъ ограниченную не-
неравенствами
и область Й2, ограниченную неравенствами
— 90

В соответствии с этим сумма Т& разбивается на сумму
двух слагаемых:
Гц гг\т/ I ггнг
б = * б, й, + ' б, й2.
Сначала оценим сумму Ть, п». Применяя лемму 12, за-
^й2
менив в ней X и У числами XI — Х'ь и —1Г$ а а и р, каж-
дое, числом
П. о,
получим
Л6
"Г ^ "Г
Дальнейшей нашей задачей является получение оценки
близкого порядка точности и для суммы Те, п2- При этом
мы будем предполагать, что /^
меньше достаточно малого положи-
положительного постоянного, меньшего
единицы; в противном случае
оценка такого же порядка точ-
точности тривиальна. Пусть 5 = 50 —
наибольшее целое число с усло-
условием 25<;/7б1. Из области й2
выделим одну «первую», 2 = 23
«вторых», 4 = 22«третьих» и т. д.,
наконец, 25» «50-х» областей, со-
согласно схеме, указанной на прила-
прилагаемом чертеже. Здесь 5-я область
представлена прямоугольником
-х6
с основанием
и с высотою,
N
точный порядок которой
б2
. Согласно лемме 12 часть
суммы Тб, й2, отвечающая одной из 5-х областей, будет
б2
225
X
7 +
ЛЛ
Следовательно, часть суммы Тб, й2, отвечающая всем 5-м
областям, будет <^Ыь2М2г'Р&. Отсюда, учитывая, что часть
4* — 91 —

суммы Тб, й„ отвечающая оставшейся части области Оа,
получим оценку
Последняя, в соединении с найденной выше оценкой для
Тб, пх9 дает
П < Л^Л/2еТб.
Отсюда и из Хб<Хь§<^Х3№° находим
б
.Л/2е'+0'5ео 1/ - 4- — 4- — 4- -2-
откуда, вспомнив, что сумма Та состоит из <^г сумм вида
Гб, и заменив Хб и #в* указанными выше их выраже-
выражениями, получим
Просуммировав это неравенство по б и учтя условие
I 1
ЛР <^<./У3, мы и получим указанную в лемме оценку
для Т.
Лемма 14. Пусть д — простое нечетное, (к, д) = 1,
X (а) — неглавный характер по модулю д и
1
,х пробегает неубывающую после-
довательность целых чисел с условием, что х — х0 при за-
данном х0 имеет <^М8' решений, а т пробегает нату-
натуральные числа. Тогда имеем
/
1.1-
д ~т~ ЛГ
Доказательство. Пусть Тх — сумма членов суммы
Т с заданным х. При ху не делящемся на д, согласно
— 92 —

известной теореме о сумме значений характера (см., на
пример, вопрос 12а гл. 6 книги^), будем иметь
А при х, кратном ?» тривиально найдем
Поэтому
Теорема 8. Пусть ц — простое нечетное, (к, ц) = 1,
% (а) — неглавный характер по модулю ц и
Тогда имеем
Л7
Доказательство. Эта теорема является следствием
лемм 6 (особое подразделение), 13 и 14.
Следствие. Пусть </ — простое нечетное, (к, <7) = 1.
Число квадратичных вычетов (невычетов) той ц вида р-{-ку
равно
где

Глава 5
Асимптотическая формула
в тернарной проблеме Гольдбаха
Краткая история возникшей в 1742 г. из переписки
Гольдбаха с Эйлером проблемы Гольдбаха изложена во
введении к монографии^. Эта проблема представляет
собою гипотезу, согласно которой всякое четное число, не
меньшее шести, представляется суммою двух нечетных
простых чисел— бинарная проблема Гольдбаха, а всякое
нечетное число, не меньшее девяти, представляется сум-
суммою трех нечетных простых чисел— тернарная проблема
Гольдбаха. Харди и Литтльвуд первые стали рассматри-
рассматривать проблему Гольдбаха в гораздо более широкой поста-
постановке, чем только как проблему существования представ-
представлений,—эти ученые поставили вопрос об асимптотической
формуле для числа представлений. В частности, они дали
условный вывод такой формулы для тернарной проблемы
Гольдбаха.
Найденный мною в 1937 г. метод оценки сумм по про-
простым числам позволил^19' 20] в первую очередь найти оценку
простейшей из таких сумм, а именно оценку суммы вида
Эта оценка в соединении с известными ранее теоре-
теоремами, касающимися распределения простых чисел в ариф-
арифметических прогрессиях, имеющих разность, не превосхо-
превосходящую некоторой медленно растущей функции г|) (Л/) (тео-
(теорема Пейджа, или же гораздо более точная в отношении
порядка остаточного члена, но основанная на лемме Зи-
геля, теорема Вальфиша), дала возможность безусловно
- 94 -

доказать асимптотическую формулу Харди и Литтльвуда
в тернарной проблеме Гольдбаха.
В приводимом з есь доказательстве, помимо примене-
применения моих оценок (теоремы 1 и 2 гл. 4), я пользуюсь
лишь простейшим вариантом теоремы Пейджа, причем
доказательство строю так, чтобы область применения этого
простейшего варианта была возможно меньшей. Усложнив
вариант и несколько расширив область его применения,
можно получить значительно более точный остаточный
Лемма 1 (Пейдж). Пусть при заданном е0 заданы
произвольно большие Сх и с. Тогда число л (Л/, ц, I) про-
простых чисел, не превосходящих N, заключенных в арифме-
арифметической прогрессии
выражается формулой
N
я
где для всех ц, кроме, быть может, ряда исключитель-
исключительных, кратных какого-то одного ^^^о» удовлетворяющего
условию
2
имеем неравенство
н
Доказательство. Эта лемма является следствием
известной теоремы английского математика Пейджа^.
Лемма 2. Пусть N ^2, 1п Л/' = г, г — вещественное,
N N
I (г) = ^ —у— их,
2 2
Тогда имеем
(
= 1
Г1 г"
^- 95 -

Доказательство. Для интеграла I (г) оба случая
ассматриваются три-виально. Для интеграла Л (г) первый
случай также рассматривается тривиально, поэтому рас-
рассмотрим лишь второй случай, причем, не нарушая общ-
общности доказательства, будем предполагать, что г>0.
Применяя известное преобразование (ср. доказатель-
доказательство леммы 3 гл. 2), найдем (подстановка 2гх — и)
^(г) = ^-\-^V\ С/=\^ (и) сов пи Ли, V =
СГ0 СГо
1
о0 = 4г, о = 2Ыг, г|) (и) =
сГо+1 2+Bг)-"
Отсюда и следует справедливость леммы для второго слу-
случая интеграла ^ (г).
Лемма 3. Пусть т = Л^г~с, где с ^4, и пусть
где У (г) имеет значение, указанное в лемме 2. Тогда имеем
Доказательство. Применим обозначения леммы 2,
Интеграл /? сравним с интегралом
0.5
—0.5
находим
К - #о = I «У (г)K - (/ (г)K) г-»«™ ^ +

Здесь первое слагаемое правой части, ввиду леммы 2 и
неравенства
N
будет
г-1 ЛГ-* г-»
N
Второе же слагаемое правой части, ввиду леммы 2, будет
0,5 0,5
\ )
Г Г"»
Следовательно, ^? — /?0 ^ Л^2г~4. Далее, полагая
0,5
' = 5 E (г)K е-**™ Лг; 8 (г) =
согласно лемме 2 гл. 2, будем иметь / (г) — 5 (г)
0,5 Л7-« 0,5
5 ^ ^ С ^
Поэтому /? — /?'<^Л/2г~4. Легко видеть что г3У?' выражает
число представлений числа # в виде
с целыми хъ хъ х3, презосходящими 2. При каждом #1 = 3,
4, ..., Л/ —6 равенство х2-\-Хъ = М — Хх осуществляется
— Ь раз; следовательно,
=3
откуда и убеждаемся в справедливости леммы.
Теорема. Число I [Щ представлений нечетного по
ложительного N в виде суммы
- 97 —

с нечетными простыми ръ р%, рг выражается формулой
причем ]Д распространяется на все простые числа, а ^|—
р
лишь на простые делители числа N. При этом имеем
5(Л0>1.
Следствие (тернарная проблема Гольдбаха). Сущест-
Существует с0 с условием, что всякое нечетное N', не меньшее
чем с0, есть сумма трех нечетных простых чисел.
Доказательство. Полагая т = Л^г~7, имеем
Интервал интегрирования интеграла / (Л^) мы разобьем
на интервалы первого и второго классов. Интервалами
первого класса мы назовем интервалы, включающие все
значения а вида
а = ~ + г; (а, <7)=1, —т-^жтг1, 0<?^г3.
ч
Очевидно (с0 достаточно велико), интервалы первого класса
друг на друга не налегают. Интервалами второго класса
мы назовем интервалы, оставшиеся после выделения интер-
интервалов первого класса. Всякое а, принадлежащее интер-
интервалу второго класса, можно представить в виде
а=—+ г; (а, я) =
Соответственно указанному разбиению интервала интегри-
интегрирования интеграл / (М) разобьется на два слагаемых:
— 98 —

1. Оценка /2(Л0. Согласно теореме 1 гл. 4 при
имеем
А согласно теореме 2 гл. 4 при г3<<7^/ имеем
Поэтому
о
1
О
2. Интервалы первого класса, отвечающие значениям ^,
не являющимися исключительными. Пусть 1а,д— часть
интеграла /х(Л/), отвечающая интервалу первого класса,
включающему дробь -^- со значением д, не являющимся
исключительным. Взяв какое-либо а——\-г этого интер-
интервала, сумму 5а мы разобьем на [г12] слагаемых вида
Для слагаемых суммы 5а> ^1 имеем | гЛ^х — гр \ ^ гА. Число
же этих слагаемых ^Лг. Поэтому
, л/,
а
2ш — р
Но (лемма 1 с с— 17) при заданном /с условием О
<С<7» (^» ^)== 1» число простых чисел вида цх-\-1, лежащих
в интервале Л^ — Л<р^Мь выражается формулой^
Поэтому
2
2Ш-/ 1
е
— 99 -,

Далее находим (обозначения леммы 2)
\—А
тгх
, 51—^Р-(Лг))* ,
Ч\ 41
—т-»
5
О
Заставляя а пробегать приведенную систему вычетов по
модулю 9» отсюда получим
2Я1 — N
откуда, ввиду леммы 3 и неравенства О (<7)<С<7Г% получим
3. Основные интервалы, отвечающие исключительным
значениям д. Пусть ц принадлежит к числу исключи-
исключительных. Тогда д = док, где к — целое с условием
г1 + е0 (поскольку ц^ г3 и ^о^^2""80)- Полагая
6) Л/1+8°'5. если
, если
100 —

согласно теореме 2 гл. 4, будем иметь 5а<<5(<7, б).
Вместе с тем получим
Г Г3
\ (о (о9 б)K д,2 *^ N \
о о
Заставляя а пробегать приведенную систему вычетов по
модулю <7, отсюда получим
а
или, ради единообразия (поскольку порядок первого
члена ниже порядка второго),
О (Я) + О (ЛГV" »+зег- 0.5
ид
а
4. Предварительная формула для /(Л^). Находим A, 2, 3)
- 2
2
Л 5 "'
5. Преобразование и исследование 5(Л0- Очевидно,
может быть отлично от нуля лишь в случае, когда
каноническое разложение числа ^ имеет вид ц = Р\ ... рк
(в частности, когда <7=1). При этом будет справедливо
тождество
С{рх) ...С(рк) = С(р1 ... рк).
— 101 -,

Действительно, в случае к = 2 справедливость этого тож-
тождества следует из равенства
л< л« -4— /т.п.*
N
0<а2<Р2
где а1р2 + а2р1 пробегает приведенную систему вычетов
по модулю ргр2. Обобщение же этого тождества на слу-
случай &>2 тривиально.
При х> 2 имеем
A+0(/»)) =2 С(д)+%'С(д),
где 2' распространяется на значения </» не делящиеся
на простые, большие х. Ввиду абсолютной сходимости
5 (Ы) при неограниченном возрастании х первое слагае-
слагаемое правой части стремится к пределу 5(Л0, второе —
к пределу нуль. Поэтому, заставляя р пробегать все
простые числа, будем иметь
Р
Далее легко находим
6 (р) = , _ 1 чз» если N не делится на р,
С(р) = — -/ гта, если N делится на р.
Поэтому
где ]^[' распространяется на значения р, не делящие N.
а П" —на значения р, делящие N.
Здесь первое произведение правой части превосходит
2, второе же, поскольку, ввиду нечетности Л/, в нем р = 2
отсутствует и всегда р ^ рг — 1, где рх — соседнее с р
простое число справа, будет
102

Отсюда найдем
Выражение для 5 (/V) можно представить и в виде
1
-П('+^)П
р
Теорема доказана.

Г лава б
Об одном элементарном варианте
метода тригонометрических сумм
Мой метод тригонометрических сумм допускает эле-
элементарные (построенные без применения средств анализа)
варианты. Например, интерес представляет вариант,
существенную роль в котором играют леммы 3 и 4 этой
главы (или их следствия). Форму такого варианта можно
придать, например, методу доказательства теоремы о рас-
распределении вычетов и невычетов степени п по простому
модулю р, примененному в моей старой работе 1925 г.
Тот же вариант (соединенный с леммой 8, позволяющий
сводить суммы по простым числам к суммам хорошо
изученного вида) был применен мною и в работе 1953 г.
к выводу теоремы о распределении простых чисел по
заданному модулю.
Ознакомление с указанным вариантом в применении
к доказательству несколько упрощенной теоремы моей
работы 1925 г., а также в применении к доказательству
теоремы моей работы 1953 г. и является целью этой главы.
Специальные обозначения. При 0<ст^1 символом
г|)(#) обозначаем функцию, определяемую условиями
г|) (х) = 1 — а, если {х} < а,
<ф (х) = — а, если {х} ^ а.
Лемма 1. Пусть т ^ 1. Тогда всякое вещественное
число а можно представить в виде
Доказательство. См. решение вопроса 4 в гл. 1,
книгиШ.
— 104 —

Лемма 2. Пусть т^1, а и §—вещественные, й,—
целое и
Тогда для суммы
2 {«*+Р1
справедливо равенство вида
Доказательство. При B*^2 лемма тривиальна.
Поэтому предполагаем, что B>2. Полагая х =
получим
Представив наименьшее значение функции /(*/) в виде
Л + х, где к и х—-его целая и дробная части, убедимся,
что наибольшее значение функции / (у) имеет вид
к + х + Н; Я = 11Ш^-11 (следовательно, 0«#<1).
Обозначая буквою г наименьший неотрицательный вычет
числа Ау + к по модулю B, получим
Далее, положим
Убедимся, что ^г = 0 для всех значений г, кроме, быть
может, г = Р — 1, когда, и то лишь при х + #^1, может
иметь место и случай §г= 1. Сложив почленно ф равенств,
получаемых из равенства A) при г = 0, ..., (С— 1), найдем
105 —

откуда уже легко убедимся в справедливости нашей
леммы как в случае к-\-Н< 1, так и в случае к-\-Н^\.
Лемма 3. Пусть т^1, а и р — вещественные, й —
целое,
Тогда для суммы
справедливо неравенство
Доказательство. Обозначим символом Тр сумму Т1
леммы 2. Поскольку
— а} — {ал: + р} = 1 — а, если
—а} — {ал: + Р} = — а, если
то имеем
ПГ ПГ О
1 3-а~" 1 3~~ *^»
откуда, применив лемму 2, мы и убедимся в справедли-
справедливости нашей леммы.
Следствие. Пусть й — целое, (А, </) = 1»
- 2 ♦(=).
имеем
Доказательство. Находим
2
6\<7
Лемма 4. Пусть ц — натуральное число, к —
л: пробегает Хо последовательных чисел ряда 1, ...,
106

Тогда имеем
4?
(У, Я) = 1
Доказательство. При ^^сбО лемма тривиальна.
Поэтому предполагаем, что ^>60. При Хо — # лемма яв"
ляется следствием леммы 3. Поэтому предполагаем, что
У_
Я
Оценим 5Г Для этой цели представим у1ц в виде
б0
(Л
о,
Пусть Хх —остаток от деления Хо на ^о• Если
то представляем у/д в виде%
и т. д., пока не придем к некоторому Хп+1 = 0. Приме-
Применяя лемму 3, убедимся, что
где сумма, стоящая в правой части (разумеется, и число п
ее слагаемых), полностью определяется значением у. От-
Отсюда находим
X
У У
Собранным из всех скобок слагаемым вида 2~ отвечает
каждому своя система условий вида
- B)
Пусть Вф — сумма тех из таких слагаемых, которым
вечает заданное значение С}. Пусть (д, ф) = 6, ^^
С} = С118. Первоз из условий B) влечет за собою сущест-
существование I с условиями
(той
107

причем одно и то же значение ( может отвечать не более
чем б различным значениям у. Далее находим
откуда уже легко выводим
Переходим к доказательству упрощенной теоремы моей
работы^27! 1925 г.
Лемма 5. Пусть р — простое нечетное число, р — 1 =
= /г/, /г и / — целые, 1 < /г < р — 1. Пусть к — ^глое с #сло-
аигж 1<А<р—1 « (т = г-. Пусть у пробегает числа
р 1
1-го класса (числа с условием \п& у н== / (тоА п)) и пусть
С( —число чисел 1-го класса в ряде 1, ..., Л. Тогда, полагая
0<у<р дг»1
будем иметь
р-\'
Доказательство. Справедливость теоремы следует
из того факта, что среди слагаемых <ф(~), отвечающих
принадлежащему ^-му классу числу х% с5+( равны 1—а,
а остальные равны —а.
Следствие. Полагая вообще
к
иметь
частности, при ь = 0 будет
[/ = 62 + 6? + . .. + б*_ь C)
Доказательство тривиально,
— 103 «г

Теорема. Имеем
В частности, при каоюдом 8 имеем
\88\<2Ур1пр.
Доказательство. Теорема является следствием
равенства C) и леммы 4.
Лемма 6. Пусть ц> 2, (а, ц)=-\,х пробегает X раз-
различных чцсел ряда 0, ..., ц — 1, каждое ^ а раз, а у про-
пробегает У разлииных чисел того же ряда, взаимно простых
с ц, каждое ^Р раз. Тогда для суммы
имеем неравенство
15 |< 2сф УХУц 1п д.
Доказательство. Не нарушая общности, предпо
лагаем, что <7>(Ю. Находим (уг пробегает те же значе
ния, что и у)
у У1
где я пробегает У чисел ряда 0, ..., <7~-> взаимно про-
простых с ^, каждое <; ($ раз. Разбивая сумму 5^ на две
суммы, в одну из которых включа м слагаемые с и < оц,
а в другую —слагаемые с и^оц, и применяя к каждой
из этих сумм лемму !, получим
5, |< Щ Aп яJ 2 A - а) а < 2р<? Aп
5 |< ар У<1ХУц 1п
Лемма доказана.
Лемма 7. Пусть ц>2, (а, <7) = 1, а: пробегает числа,
содержащиеся среди X последовательных целых чисел,
каждое ^ а раз, а у пробегает числа, содержащиеся среди
— 109 —

V последовательных целых чисел, взаимно простых с
каждое ^ р раз. Тогда для суммы
У
имеем неравенство
я
XV
Доказательство. Сумму 5 можно привести к виду,
рассмотренному в лемме 6, заменив х и у сравнимыми
с ними по модулю д числами х0 и у0 ряда 0, ..., ^—1.
Соответственно такой замене числа X, а, У, р заменятся
некоторыми Хо, а0, Ко, ро. При X ^ ц, очевидно, можно
оставить Х0 = Х, Оо = а, а при X > ц можно взять Х0 =
ао = 2аХ9~1. При У^д можно оставить Ув=У, ро =
а при' У>д можно взять Ко = ^» Ро = 2рК^-1. Всегда
будет
При этом
а0
аХ
у
при
при
при
— при
Отсюда уже легко убедимся в справедливости
леммы в каждом из четырех возможных случаев.
Лемма 8а. Пусть
нашей
х и у пробегают целые числа, принадлежащие двум
неубывающим последовательностям натуральных чисел
~ НО —

с условием, что х — х0 при заданном х0 имеет <^ Ме реше-
решений, а у = уо при заданном у0 имеет ^Nг решений, у
пробегает значения, взаимно простые с ц, и суммирование
распространяется на область
N N
(У —р /л X
Тогда имеем
D)
Р =
Доказательство. Пусть Р
чае лемма тривиальна). Пусть г0
число с условием 2Го</7. Из
области D) выделим «первую»,
«вторую», ..., го-ю области, со-
согласно схеме, указанной на черте-
чертеже; здесь г-я область представля-
представляется прямоугольником с основа-
основанием
и с высотою, имеющей точный
порядок ,
О
1
(в противном слу-
слунаибольшее целое
(левая и нижняя стороны прямоугольника к области не
причисляются). Число г-х областей равно 2Г~1. Согласно
лемме 7 часть суммы 5, отвечающая одной из г-х обла-
областей, будет
А
2Г
А
МА
/УА2
Р.
Часть суммы 5, отвечающая невыделенным областям,
будет
л/1 -Не'А д ^д/1 +е'д2
Р.
111 —

Поэтому
Лемма 86. Пусть, во изменение условий леммы 8а,
суммирование распространяется не на область D), а «а
Тогда имеем
Доказательство. Эта лемма является следствием
леммы 7.
Лемма 8. Пусть | 7* | — слагаемое первого особого вида
обобщения леммы 6 гл.4; Ф(г) = г|)(—|. Гог5а имеем
Доказательство. Имеем
; Г.-
Не нарушая общности, будем предполагать, что
Поскольку
в дальнейшем будем рассматривать лишь случай
X X
Интервал 1г<*^—§— мы Раз°бьем на
интервалов вида
— 112 -

в соответствии с чем сумма Гб разобьется на столько же
сумм вида
- 2
Разбивая область суммирования суммы Т6Ш) на две
области:
к суммам Гб(^) и Ть(Ц), отвечающим этим последним,
применим соответственно леммы 8а и 86. Получим
Отсюда следует, что
(I/)
Лемма доказана.
Лемма 9. Пусть | Т \ —■ слагаемое второго особого вида
обобщения леммы 6 гл. 4; Ф(г) = ^{~). Тогда имеем
Доказательство. Имеем
— из —

Интервал X < х<^Х] + е" мы разобьем на <^1пЛ^ интер-
интервалов вида
в соответствии с чем сумма Т разобьется на столько же
сумм вида
хпг
Для большей ясности доказательства мы разобьем сумму
Т {II) на два слагаемых: на сумму Т" ([/), распространен-
распространенную на область
и на сумму Т" (V), распространенную на область
Сначала оценим сумму Т'(II). Ее мы разобьем на
сумму Т\ (V), распространенную на область
и на сумму Т'ъ(и), расп остраненную на область
Сумма Т[A1) будет непустой только при Мх—
Но в этом случае ее часть, отвечающую данному л:, можно
разбить на — сумм, каждая из которых, согласно
следствию леммы 3, будет ^т(^). Следовательно,
,' (У) <Х№' -т
Сумму Т%A1) оценим, пользуясь леммой 7. Положив
- 114 -

(следовательно, У>д), получим
у
Поэтому
XV ]/"- + ^у ЛГе" < /V1 + «Т
Далее оценим сумму вида
хт
и покажем, что т
Пусть сначала (/^1/ —. Тогда сумма по т, отвеча-
ющая заданному л:, разобьется на полных
сумм (с интервалом суммирования длиною ^) и» быть
может, одну неполную сумму (с интервалом суммирования
длиною, меньшей </). Применяя к каждой полной сумме
следствие леммы 3 и оценивая неполную сумму триви-
тривиально, получим
Пусть теперь 1!>\/ —. Из интервала
—
выделим
V*1]
полных интервалов, каждому из
V . (ахт\
которых отвечает своя сумма / г|? (—] порядка не выше
т
. Сумма всех этих сумм будет <^ — т(^), причем
хц
1
щ
Оставшаяся часть Т'о суммы То распространяется на
область криволинейных треугольников [при уг — Мо<<7
— 115 —

эта область сводится к одному треугольнику — самой
области суммирования суммы Т). Пусть
Тогда каждому 5 = 0, ..., 50 отвечает свой криволинейный
N
треугольник, ограниченный кривою т = —, прямою т =*
, наконец, прямою х= м , ■ , п , если 5<50,
и прямою а: = 6/, если 5 = 50.
Основание Д треугольника удовлетворяет неравенству
Поэтому, согласно лемме 8а, часть 7*о,5 суммы Го, отве
чающая 5-му треугольнику, будет
1
G
А поскольку
то имеем
Отсюда, в соединении с доказанным раньше, находим
А поскольку сумма Т" (II) может быть представлена раз-
разностью двух сумм вида Т0AУ)9 то имеем
Из найденных для 7" ({/) и Г" (I/) неравенств следует
— 116 —

откуда, наконец, находим
Лемма доказана.
Теорема. Пусть р пробегает простые числа,
- 2 *
Тогда имеем
±
Доказательство. Теорема является следствием
обобщения леммы 5 гл. 4, а также лемм 8 и 9 этой главы.

Литература
[ПИ. М. Виноградов, Основы теории чисел, изд-во «Наука», 1971.
И. М. Виноградов, Метод тригонометрических сумм в теории
чисел, изд-во «Наука», 1971.
О. Уогопсм, 5иг ип ргоЫёте ди са1си1 с1ез (опс1юп5 азутр1о11-
Яиез, Л. Гиг Ма1п. 126, 241—282, 1903.
И. М. Виноградов, Новый способ для получения асимптоти-
асимптотических выражений арифметических функций, Изв. Российской
Академии наук, 6 серия, II, 1347—1378, 1917
О V о г о п о 1, Об одной трансцендентной функции и ее приложе-
приложениях к суммированию некоторых рядов, Аппа1е5 заегйШриез
с!е1 'Есо1е погта1е зирепеиге C) XXI, 207—267, 1904.
О. Н. Наг<3у ап<3 Л. Е. Ь \ I 11 е \у о о 6, ТЬе 1п&опоя]е1пса1
зепез а55ОС1*а1ес1 ш!Ь (Ье еШр^с Ф гипсИоп, Ас1а Ма!Ь. 37,
193—239, 1914.
И. М. Виноградов, О среднем значении числа классов чисто
коренных форм отрицательного определителя, Сообщения Харьк.
Матем. об-Еа, 1918 (оттиски вышли в свет в 1917 г и помечены
этим же годом).
3. О. уап с! е г Сотри!, Уег5С-ЬаНг*ип§ с!ег АЬзсЬаЧгип^еп Ье1т
ТеЛергоЫет, Ма1Ь. Апп. 87, 39—65, 1922.
I.. К- Н и а, ТЬе ЬаШсе ро1п!з 1п а С1'гс1е, Сиаг1. Л. Ма1Ь.,
ОхГогс!, 13, 18—29, 1942.
И. М. Виноградов, О распределении дробных долей значе-
значений функции двух переменных, Известия Ленинградского поли*
техн. ин-та 30, 31—52, 1927.
И. М. Виноградов, Число целых точек в шаре, Труды
Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 9, 17—38, 1935.
И. М. Виноградов, К вопросу о числе целых точек в шаре,
Изв. АН СССР 27, 957—968, 1963.
О. Н. Нагс1у апс! Л. Е. ЬППеигоос!, ТЬе арргох1та!е
гипсИопа! ециаНоп т 1пе 1Ьеогу оГ гЬе ге{а — ГипсН'оп ^ЛЬ
аррНса!юп5 1о 1Не <Лу15Ог ргоЫетя о? ОтсЫе! апс! РШг, Ргос.
Ьопс1оп та!Ь. 5ос. B) 21, 39—74, 1922.
— П8 -,

^14^ А. А. Карацуба, Оценки тригонометрических сумм методом
И. М Виноградова и их применения, Труды ордена Ленина
Математического ин-та им. В. А. Стеклова, СХП, изд-во «Наука»,
1971, 241—255.
П5] \\ М. Виноградов, Новая оценка 0 (п) в проблеме Варинга,
Докл. АН СССР 5, 249—253, 1934.
'-16-' И. М. Виноградов, Метод тригонометрических сумм в теории
чисел, Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова 23, 1—109, 1947.
[171 И. М. Виноградов, К вопросу о верхней границе для О (п),
Изв. АН СССР 29, 637—692, 1959.
^^ И. М. Виноградов, Новые результаты в вопросе о распреде-
распределении дробных частей многочлена, Докл. АН СССР 2, 355—357,
1936.
^191 И. М. Виноградов, Представление нечетного числа суммою
трех простых чисел, Докл. АН СССР 15, 291—294, 1937.
'■20^ И. М. Виноградов, Оценки некоторых простейших тригоно-
тригонометрических сумм с простыми числами, Изв. АН СССР 3, 391—398,
1938.
^21^ И. М. Виноградов, Некоторое общее свойство распределения
простых чисел, Матем. сб. 7, 365—372, 1940,
[221 И. М. Виноградов, Уточнение метода, оценки сумм с про-
простыми числами, Изв. АН СССР 7, 17—34, 1943.
^3^ И. М. Виноградов, Оценка одной суммы, распространенной
на простые числа арифметической прогрессии, Изв. АН СССР 30,
481—496, 1966.
^ А. А. Карацуба, Суммы характеров с простыми числами,
Изв. АН СССР 34, 299—321, 1970.
[25] А. Ра^е, Ргос. Ьоп^оп таШ. зос. B) 39, 116—141, 1935.
^ ^ К- К. Марджанишвили, К доказательству теоремы Гольд-
Гольдбаха—Виноградова, Докл. АН СССР 30, 681—684, 1941.
I-2 1 И. М. Виноградов, Элементарное доказательство одного
общего предложения из аналитической теории чисел, Известия
Ленинградского политехи, ин-та 29, 3—12, 1925.
^281 И. М. Виноградов, Элементарное доказательство одной тео-
теоремы теории простых чисел, Изв. АН СССР 17, 3—12, 1953.

Иван Матвеевич Виноградов
Особые варианты
метода тригонометрических сумм
М., 1976 г., 120 стр.
Редактор А. Л. Карацуба
Техн. редактор Е. В. Морозова
Корректор В. П. Сорокина
Сдано в набор 11/УШ 1975 г. Подписано к печати 9/1V 1976 г.
Бумага 84X108 */з« № 1- Физ. печ. л. 3,75. Условн. печ. л. 6,3.
Уч.-изд. л. 5,37. Тираж 6 500 экз. Т-05660. Цена книги в пе-
переплете 58 коп.; в обложке 34 коп. Заказ № 297.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское производ-
производственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени
А. М. Горького Союзполиграфпрома при Государственном коми-
комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли. 197136, Ленинград, П-136, Гатчин-
Гатчинская ул.4 26.
Отпечатано во 2-й типографии издательства «Наука» Заказ № 798.
Москва Г-99, Шубинский пер, 10.

34 коп.