И. М. ВИНОГРАДОВ
МЕТОД
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
СУММ
В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 197 1

517.1
В 49
УДК 511.2
Метод тригонометрических сумм в теории чисел.
И. М. Виноградов, изд-во «Наука», Главная
редакция физико-математической литературы, 1971.
В книге на ряде фундаментальных проблем
аналитической теории чисел дано систематическое изложение
основ известного метода автора. Эти проблемы
подобраны так, чтобы в возможно более простой форме и
достаточно полно отразить существо метода и позволить
читателю быстро и основательно усвоить этот метод.
Книга будет полезна студентам, аспирантам и
научным работникам, желающим серьезно заниматься
теорией чисел.
Библ. — 16 назв.
2-2-3
131-70

Оглавление
Orp
Обозначения 4
Введение б
Глава 1. О числе делителей \&
Глава 2. Тригонометрические ряды и интегралы £3
Глава 3. Рациональные тригонометрические суммы 3^
Глава 4. Суммы Вейля 43
Главл 5. Распределение дробных частей значений многочлена . #2
Глава 6. Асимптотическая формула в проблеме Варинга ... дО
Глава 7. Суммы по простым числам \0б
Глава 8. Распределение дробных частей значений многочлена
в случае, когда аргумент пробегает простые числа 14?
Глава 9. Асимптотическая формула в проблеме Варинга с
простыми числами 1б*
Литература 15 9

Обозначения
Предполагается, что читающий книгу хорошо знаком с текстом
моего курса теории чисел и с помещенными там обозначениями.
Кроме того, мы будем пользоваться следующими обозначениями:
с — положительное постоянное число,
9 — число, модуль которого не превосходит единицы,
8 — произвольное малое положительное постоянное число,
меньшее единицы,
Р — целое число, превосходящее единицу.
При постоянных Л, hi, ..., Нк равенство h = h(hu ..., hk)
показывает, что значение h полностью определяется значениями
hu ..., hh.
Если символ А обозначает величину, зависящую от других
величин, то этот символ мы иногда будем писать в более подробном
виде: Л(аи ..., ап), указывая в скобках те из этих величин, которые
в рассматриваемом вопросе могут меняться.
При положительном В обозначение А -С В показывает, что
| А | ^ сВ. Тот же смысл имеет и обозначение А = О(В).
(h) — расстояние вещественного числа h до ближайшего целого
числа, т. е. наименьшее из чисел {/*}, 1 — {/*}.
При вещественных а и b обозначение а н= Ь показывает, что
а — b + /, где / — целое число. При этом говорим, что а сравнимо
с b или что а и b сравнимы между собою.
1
п — целое положительное число, v == — .
п
Две точки n-мерного пространства назовем сравнимыми между
собою, если их соответствующие координаты сравнимы между собою.
Целою точкой назовем точку, все координаты которой суть целые
числа.
При 0<В — А^\ обозначение А < g < В (mod 1)
показывает, что g сравнимо с некоторым числом gi, удовлетворяющим
условию А < g\ < В.
Символ 2 обозначает сумму, распространенную на указанные
а
значения а.
М
2// обозначает произведение положительного числа А на сумму
не более чем В слагаемых Я указанного вида при условии, что
А В — М. В частности, этот символ может обозначать сумму не
более чем М слагаемых И указанного вида.
Знак ; между двумя формулами читается словом: где.

Введение
Гаусс первый стал рассматривать простейшие
тригонометрические суммы; в частности, он исчерпывающим
образом исследовал важнейшие свойства носящей его
имя «суммы Гаусса»:
s(-£-) = £e2*^; <e.P)-i.
Гаусс первый показал и пользу тригонометрических
сумм как средства решения задач теории чисел; в
частности, используя свойства суммы Гаусса, он построил
одно из своих доказательств закона взаимности
квадратичных вычетов.
В дальнейшем тригонометрические суммы, правда
гораздо более общего вида, стали мощным средством
решения ряда важных вопросов теории чисел. При этом
основной в отношении таких сумм стала проблема
разыскания их возможно более точной оценки (т. е.
возможно более точной верхней границы их модуля).
Для суммы Гаусса эта проблема была полностью
решена Гауссом; он дал следующие точные выражения
для модуля этой суммы:
V*P, если Р=\ (mod2);
О, если Р = 2 (mod 4);
V2P, если Р = 0 (mod 4).
Идея вывода этих выражений весьма проста; для ее
пояснения мы рассмотрим случай Рн=1 (mod 2). Здесь
5

находим
а (у2-х*) Р-}
s(^)!-llew-^-^sh,
у=\ х-1 А-0
где Sh обозначает сумму слагаемых двойной
с условием y = x + h (mod Я) и, следовательно,
быть представлено в виде
суммы
может
2Ш
a(2xh+h2)
Очевидно, 5Л = Р,если й = 0, и 5Л = 0, если /г>0. Поэтому
<PW
(i)
Сумма Гаусса является частным случаем более
общей «рациональной тригонометрической суммы»:
где у{х) = апхп + ... +а{х — многочлен степени п>\
с условием (а„, ..., а,, Р) = 1.
В случае простого Р = р Морделл дал для этой суммы
оценку
5(^)
<яр
1-v
которую А. Вейль (следуя одной идее Хассе) заменил
следующей:
\s(*®)\<nVp.
Оценка А. Вейля в смысле порядка роста (при
постоянном п) с возрастанием р, вообще говоря, неулуч-
шаема —можно указать неограниченное число случаев,
когда модуль суммы будет не меньше, чем |/р.
Действительно, при п = 2 модуль, равный Ур, имеет
всякая сумма Гаусса с условием p^l (mod2). А при
любом п>2 и каждом р с условием п\р— 1 модуль
даже больший, чем |/р, непременно имеет по меньшей
мере одна из сумм вида
S[*f); 0<a<p.
- 6 -

Доказательство последнего утверждения весьма
несложно; оно таково: легко выводим тождество
р-1
SNv)
р Р р а (уп-хп)
а-1
а-1 i/ = l %=1
Р%
откуда, замечая, что сравнение уп = хп (mod/?) при
заданном л: имеет м решений, если л: не делится на р,
и имеет одно решение, если х делится на /?, получим
Р~1 2
а~\
Следовательно, по меньшей мере для одного значения а
с условием 0<а<р будем иметь
s(-f-)f>p(«-i), \s(tf)\>V(^W>Vp.
Наилучшую оценку суммы (1) в общем случае дал
Хуа. Он установил неравенство
s (*£>.) |<в<«)р
1-V
Это неравенство замечательно тем, что при постоянном п
в смысле порядка роста правой части с возрастанием Р
оно, вообще говоря, уже не может быть заменено
существенно лучшим. Последнее следует из наличия при
всяком простом р с условием (пу р) = 1 сумм
S (-£?■); (а, р)=1,
каждая из которых, как это мы сейчас покажем, равна
P1-*v; Р = рп. Действительно, полагая х = y + zpn~\
получим
I/-1 2=0 #=1
= 2л Sy>
Р-1 2*1 (-2«£н
г-0
flftrr

Ho Sy=p, если у делится на р> и S^ = 0 в противном
случае. Поэтому
Рациональная тригонометрическая сумма входит как
частный случай в еще более общий класс сумм вида
Т = Т(ап,..., о,)- 2 e*'fW; (2)
0<х<Р
/ М = адА:71 + ... + щх9
где ад, ..., щ — любые вещественные числа. Первый
общий метод нахождения нетривиальных оценок сумм (2)
дал Г. Вейль (задолго до упомянутых результатов Мор-
делла и Хуа). Поэтому этим суммам присвоено
название: «суммы Г. Вейля».
Идея метода Г. Вейля весьма проста. Она основана
на тождестве (полагаем y=*x + h)
р р р-1
у-*\ х=\ Л--Р+1
sh= 2 ew(f(x+h)-f(x))t
max(l, l-A)<*<min(P, P-A)
которое заменяет | Г |2 суммою <2Р слагаемых Sh9
причем 5Л является суммою, аналогичной сумме Г,
но более простой. Действительно, число слагаемых
суммы Sh не превосходит Р, а в показателе каждого
слагаемого вместо f(x) стоит разность
f(x + h)-f{x) = nanhxn~l + ...,
равная нулю при й = 0 и являющаяся многочленом
степени м-1 в противном случае.
Оценка суммы Т9 получаемая с помощью метода
Г. Вейля, может быть дана следующей теоремой:
Пусть
Oi.= f+-Jr; (a,q)=l9 0<q^Pn; K|/|<?.
Тогда при некотором с(п9 е), превосходящем единицу,
-г- 8 —

будем иметь неравенство
| Г | < с (я, е) Р,+е О"' + tq~l + tp-n+l + qP-nf°;
l (3)
Существенным недостатком этой оценки является быстрая
потеря ее точности с возрастанием п. Действительно,
правая часть неравенства (3) значительно превосходит
степень р{~~9\ показатель которой с возрастанием п
весьма быстро приближается к единице, поскольку р0,
являясь величиною порядка 2~" относительно п, весьма
быстро приближается к нулю.
Тем не менее эта оценка сыграла заметную роль
в развитии ,теории чисел:, она позволила дать первые,
хотя и далеко не совершенные решения ряда важных
проблем этой области математики.
Одною из таких проблем явилась проблема
распределения дробных частей значений многочлена f{x) =
= апхп + ... +а{х. Решение ее было получено в виде:
Пусть
a« = f+7; fa'*)-1' °<я<Рп> ,
и пусть а —любое число с условием 0<а<1. Тогда,
представляя число D(o) чисел ряда 1, ..., Р с условием
О<{f(*)}<<? в виде
0(а) = Ра + Л(а), (4)
для числа Я (а) будем иметь неравенство вида
\l{o)\<c(n)Pi+tip-] +д-> + дР-пТ; Po-^ir-
Другою проблемой, решению которой помогла оценка
(3), является проблема Варинга. Варинг в 1770 г.
высказал утверждение, что при каждом целом п>\
существует такое г = г(п), что всякое целое положительное
число N может быть представлено в виде
N = хпх + ... + хпг (5)
с целыми неотрицательными хь ..., хт. Это
утверждение получило название «проблема Варинга». Оно было
доказано Гильбертом в 1909 г.
- 9 -

Харди и Литльвуд в 1919 г. разработали новый
метод решения проблемы Варинга, несравнимо более
общий и точный, чем метод Гильберта. Существенную
роль в их методе играли оценки суммы Г, полученные
по методу Г. Вейля. Разработанный Харди и Литльвудом
метод позволил рассматривать проблему Варинга в
гораздо более полной и совершенной постановке, чем
только как проблему существования представлений
числа N в виде (5).
В частности, Харди и Литльвуд рассмотрели
функцию G(n), представляющую собою наименьшее
значение г, при котором все целые N, начиная с некоторого,
представляются в виде (5). Для этой функции они вывели
неравенства
п< G (n)^n2n-lh; lim h = 1. (6)
Я=»оо
Самым же важным было то, что Харди и Литльвуд при
г>(п-2)2п~1 + 5 (7)
для числа I(N) представлений числа N в виде (5) нашли
асимптотическую формулу вида
/(АО ={Т%?)Г ЛГ~1@ + 0Хм"-1-е{я-г)), (8)
где © — некоторый «особый ряд», сумма которого, как
они показали, превосходит некоторое число сх{п, г).
В дальнейшем схема доказательства Харди и Литльвуда
была заменена близкой по идее, но более простой моей
схемой. При этом был исследован ряд новых
аддитивных задач, которым можно дать название «обобщения
проблемы Варинга». В числе таких задач, в частности,
оказалась и сформулированная Гильбертом в 1900 г.
проблема о разрешимости системы
хп+ ... +x? = Nni )
[ О)
в целых неотрицательных хь ..., хг (разумеется, при
достаточно большом г = г(п) и при наличии довольно
жестких естественных неравенств, ограничивающих числа
Nni ..., Wj). Асимптотическую формулу для числа
решений этой системы при г >22nnl {n+ 1)3 впервые нашел
Марджанишвили в 1937 г. (существование решений
при достаточно большом r = r{ri) раньше этого, в 1921 г.,
-Ю-

доказал Камке с помощью обобщения метода Гильберта
в проблеме Варинга).
Наконец, оценка (3) для суммы Г, а также
найденные Корпутом (путем надлежащего видоизменения
метода Г. Вейля) оценки для обобщений суммы Т на
случай, когда функция /(*), не являясь многочленом
степени м, в некотором отношении близка к такому
многочлену, получили применение и в других вопросах
теории чисел. Например, эти оценки были использованы
в теории распределения простых чисел: в вопросе о
попадании простых чисел в интервал малой длины
(углубление доказанного Чебышевым постулата Бертрана
о том, что при N>\ между N и 2N всегда имеется
простое число) и в вопросе о числе л(Ы) простых чисел,
не превосходящих N (улучшение известной
асимптотической формулы Балле Пуссена для n{N)).
В 1934 г. я нашел новый метод в аналитической
теории чисел. Этот метод не только позволил коренным
образом усовершенствовать решения проблем, уже
рассматривавшихся ранее с помощью других методов,
но и открыл широкий путь к решению новых.
В разработке моего метода и в его применениях
приняли участие ван дер Корпут, Чудаков, Хуа и др.
Удачный р-адический вариант этого метода,
усовершенствованный впоследствии Карацубой и др., дал Линник.
Весьма важными теоремами, получаемыми с помощью
моего метода, являются две теоремы (теоремы 1 и 4
гл. 4), дающие при достаточно большом целом 6,
превосходящем 0,25л (м+1), оценку интеграла
t 1
/= J ... j\T\2bdan ... da,.
о о
Первая теорема дает такую оценку для значений Ь
некоторого общего вида, вторая —для частного
значения 6. Вторая теорема очень проста; она
формулируется так. Пусть п — постоянное, м>12, 6 = 2гь
г, = [п2 (2 In n +In In я+ 2,6)].
Тогда имеем
2Ъ-П{П + Х)
КР 2 .
— и —

Следствием первой из этих теорем являются новые
оценки суммы Г. Вейля. При выводе таких оценок нет
надобности применять мой метод в точках (аПУ ..., а]),
принадлежащих определенным малым областям,
окружающим точки
I an a\ \
\Яп ' "" их)*
имеющие координатами несократимые дроби с общим
знаменателем, не превышающим Pv, так как в таких
точках сумма Т = Т(ап, ..., а{) может быть оценена
с помощью более простых средств. Для точек же
области Ну остающейся после выделения из области
м-мерного пространства указанных малых областей,
мой метод дает единообразную оценку вида
\Т\<,с(п)Р ; Y= 8az2 (In л+ 0,5 In In я+ 1,3) '
Сравнивая эту оценку с недосягаемой для метода
Г. Вейля оценкой
мы видим, что при возрастании п первая из них хотя
и ухудшается (в смысле порядка роста с возрастанием Р),
но делает это гораздо медленнее, чем вторая (поскольку y
стремится к нулю гораздо медленнее, чем Yo)-
Следует, однако, отметить, что мой метод начинает
давать лучшие, чем метод Г. Вейля, оценки суммы Г,
лишь начиная примерно с п=12. Поэтому мой метод
обычно и принято применять, лишь начиная с п=12.
Естественно, что новые оценки сумм Г. Вейля
преобразовали в той или иной степени все прежние
решения проблем, исследованных ранее с помощью метода
Г. Вейля.
В первую очередь это коснулось проблемы
распределения дробных частей значений многочлена. Для
остаточного члена Х(о) асимптотической формулы (4)
в области Н теперь получается оценка вида
\\{о)\<Ф)Р1-*; Pi=8n2(,nra+0,5lnln« + l,4)'
примерно в той же степени лучшая прежней, в какой
новые оценки сумм Г. Вейля лучше прежних.
- 12 -

В проблеме Варинга с помощью только самых простых
соображений нового метода для функции G {п)
получается неравенство вида
G (n)<2nInп(1 + бя); lim b'n = 0.
Это неравенство, ввиду G(ri)>n, в смысле порядка
роста правой части с возрастанием п уже не может
быть существенно улучшено.
А с помощью сформулированной выше второй
теоремы об оценке интеграла / и новых оценок сумм
Г. Вейля (а если не заботиться о точности остаточного
члена, то и оценок по методу Г. Вейля) доказывается,
что асимптотическая формула (8) Харди и Литльвуда
справедлива при условии вида
г>4п2\пп{\+6п); lim б£ = 0. (10)
га=оо
Однако и это условие в смысле порядка роста правой
части с возрастанием п едва ли является даже близким
к окончательному. Его, вероятно, можно заменить
условием вида г>сп1+е или же еще более точным условием.
При условии вида щ(Ю) с помощью моего метода
выводится и асимптотическая формула для числа
решений системы (9), причем здесь такое условие в смысле
порядка роста правой части с возрастанием п уже
не может быть заменено существенно лучшим (правая
часть не может быть заменена величиною порядка
ниже п2). Было бы интересным при том же условии
доказать и существование решений.
В теории распределения простых чисел в вопросе
о попадании простых чисел в интервал малой длины
с помощью моего метода доказано существование (со
слабой асимптотической формулой для их числа) простых
чисел р в интервале N^p^N + N6(N достаточно велико)
при 6= у (с помощью метода Г. Вейля это было
32 999 \
установлено лишь при б = 33 QQQ J. А в асимптотической
формуле
N
2
— 13 -

вместо найденного Балле Пуссеном (1895 г.) R —
— o(Ne~cyr**~N) мой метод позволил получить R =
= o(Ne~CiilnN)0'6) (с помощью метода Г. Вейля было
лишь установлено, что R = o(N~C2VlnNln lnN)).
Однако если допустить справедливость гипотезы
Римана, следствием которой явилось бы R~0{\fN lnAf),
то и этот результат крайне далек от окончательного,
и в этом отношении он не очень далеко ушел от
первоначального результата Балле Пуссена. Более того,
если бы даже в лемме 11, гл. 4 этой книги было
!--£. 1 !_
|S|<2a п вместо |S|<2a 30000*\
то и тогда мы могли бы получить (сохраняя в
остальном прежнее доказательство) лишь результат
R = 0\Ne-c*<lnNn,
опять-таки принципиально немногим лучший
предыдущего. По-видимому, добиться существенных сдвигов
в решении вопроса о порядке R (хотя бы найти R =
= 0(Nl~c)> пусть даже с с = 0,000001) с помощью только
улучшения оценок сумм Г. Вейля без
дополнительных существенных сдвигов в теории функции £(s)
трудно.
В 1742 г. из переписки Гольдбаха с Эйлером возникла
«проблема Гольдбаха», представляющая собою гипотезу,
согласно которой всякое четное число, не меньшее шести,
есть сумма двух нечетных простых чисел (бинарная
проблема Гольдбаха), а всякое нечетное число, не меньшее
девяти, есть сумма трех нечетных простых чисел
(тернарная проблема Гольдбаха). Очевидно, из
справедливости бинарной проблемы Гольдбаха тривиально
следовала бы и справедливость тернарной.
В 1919 г., пытаясь решить бинарную проблему
Гольдбаха, Брун разработал метод, представляющий
собою особое видоизменение решета Эратосфена. С
помощью этого метода Брун показал, что всякое
достаточно большое натуральное число есть сумма двух
слагаемых, каждое из которых является произведением
не более чем девяти простых чисел. В дальнейшем этот
— 14 —

результат Бруна был улучшен. Но решить бинарную
проблему Гольдбаха не удалось.
Тем не менее метод Бруна (а в дальнейшем и
различные видоизменения этого метода) получил широкое
применение в теории распределения простых чисел и
позволил получить в этой области ряд важных теорем.
В 1930 г. Шнирельман, присоединив к методу Бруна
свои соображения о плотности последовательности,
состоящей из целых положительных чисел, доказал,
что всякое целое число, превосходящее 1, есть сумма
ограниченного числа простых чисел.
Харди и Литльвуд первые стали рассматривать
тернарную проблему Гольдбаха в более широкой
постановке, чем только как проблему существования
представлений нечетного числа суммою трех нечетных
простых чисел. Эти ученые поставили вопрос об
асимптотической формуле для числа представлений. В 1923 г.
они дали условный (опирающийся на некоторые
недоказанные теоремы, относящиеся к теории L-рядов) вывод
такой формулы с помощью метода, близкого по своей
схеме к их методу вывода асимптотической формулы
в проблеме Варинга.
В 1937 г. я обнаружил, что многие суммы по простым
числам могут быть составлены путем только сложений
и вычитаний из сравнительно небольшого числа других
сумм, хорошие оценки которых могут быть получены
с помощью соображений моего метода и средств, не
имеющих какого-либо отношения к теории функции £(s)
(или L-рядов). В частности, такою суммой оказалась
сумма
Г= 2 е2я/Ир),
аналогичная сумме Г, но с суммированием,
распространенным лишь на простые числа, не превосходящие Р.
Первою была найдена оценка суммы
2 еШар,
р<р
являющейся простейшим (при п==1) видом суммы Т'.
Эта оценка в соединении с теоремами, касающимися
распределения простых чисел в арифметических
прогрессиях, имеющих разность, не превосходящую некоторой
- 15 -

медленно растущей с возрастанием Р функции ф(Р)
(теорема Пейджа или же более точная, но основанная
на известной лемме Зигеля теорема Вальфиша),
позволила впервые строго вывести асимптотическую формулу
Харди и Литльвуда для числа представлений нечетного
числа N в виде N = р{ + р2 + р3. Из этой формулы, как
частное следствие, было выведено и существование
представлений для всех достаточно больших А'.
Далее, в том же 1937 г. с помощью указанных моих
соображений, существенно используя метод Г. Вейля,
я получил и оценку суммы V (для я>1), сходную
с оценкой суммы Т по методу Г. Вейля (несколько менее
точную). А в 1948—1956 гг. с помощью тех же моих
соображений, но используя вместо метода Г. Вейля
средства моего метода, я получил и общую теорему (при
п ^12) об оценке суммы Г', принципиально близкую
к моей общей теореме об оценке суммы Г.
С помощью же второй теоремы об оценке
интеграла / и оценки по методу 1948 г. (или же по методу
1937 г.) суммы V при условии вида (10) получается и
асимптотическая формула для числа представлений
целого положительного числа N в виде
N = p«+ ... + pnr ^
с простыми рь ..., рг.
Предлагаемая монография имеет своей задачей
ознакомление с моим методом в аналитической теории чисел
(найденным в 1934 г. и разрабатывавшимся в
последующие годы). Не ставя целью ознакомление с моим
методом во всех его тонкостях и в применении ко всем
решенным с его помощью вопросам, эта монография
возможно более глубоко знакомит с моим методом в его
применении лишь к небольшому числу избранных
важных проблем аналитической теории чисел.
Одною из таких проблем является проблема оценки
суммы Т. Этой проблеме посвящена вся гл. 4. Она
содержит доказательства двух важных теорем об оценке
интеграла /, а также вывод общей теоремы об оценке
суммы Т. С гл. 4 тесно связана гл. 5. Она содержит
вывод асимптотической формулы, характеризующей
распределение дробных частей значений многочлена /(#).
В гл. 6 дается применение теорем гл. 4 к выводу
асимптотической формулы в проблеме Варинга о пред-
16

ставлении целого положительного числа N суммою
слагаемых вида хп.
Глава 7 посвящена выводу общей теоремы об оценке
суммы Т'. С гл. 7 тесно связана гл. 8. Она содержит
вывод асимптотической формулы, характеризующей
распределение дробных частей значений многочлена f(p)
при условии, что р пробегает простые числа.
Наконец, в гл. 9 дается применение второй теоремы
гл. 4 об оценке интеграла / и теоремы 2 гл. 7 к выводу
асимптотической формулы в проблеме о представлении
целого положительного числа N суммою слагаемых
вида рп, где /? —простое число.
Следует отметить, что все теоремы гл. 4 — 9 монографии
доказываются в предположении, что п^ 12(или, иногда,
что п^ 11). Интересующимся случаем п< 12
(рассматриваемым с помощью видоизменения метода Г. Вейля)
мы можем рекомендовать монографию Хуа [15].
Леммы и теоремы вспомогательного характера,
существенно используемые в монографии, доказательства
которых, однако, не связаны с моим методом, собраны
в отдельные, по возможности в однородные главы.
Предложения, касающиеся функции т(а), выражающей
число делителей числа а, собраны в гл. 1.
Предложения, касающиеся тригонометрических рядов и
интегралов, собраны в гл. 2. Наконец, гл. 3 посвящена дока-
зательству теоремы Хуа об оценке общей рациональной
тр&гонометрической суммы и некоторым следствиям этой
теоремы.
В монографии сделаны ссылки лишь на основную
литературу, связанную с затронутыми в ней вопросами.
В ней указаны также и отдельные статьи, содержащие
доказательства первых, пусть ^аже грубо
сформулированных, вариантов важных теорем, а также статьи,
содержащие первые формулировки или применения тех
или иных важных соображений, используемых в
дальнейшем. Более подробный перечень литературы по
вопросам, решенным с помощью моего метода (как
вошедшим, так и не вошедшим в монографию), можно найти
в монографии Хуа [16].
В заключение выражаю глубокую благодарность
доктору физико-математических наук Анатолию
Алексеевичу Карацубе за помощь в подготовке этой
монографии к печати.

Глава 1
О числе делителей
Эта глава содержит ряд лемм, касающихся
функции г (а), представляющей собою число делителей
натурального числа а. Эти леммы получат применение
в дальнейших главах. Леммы, принадлежащие к
числу общеизвестных или же являющиеся "тривиальными
следствиями последних, приведены нами без
доказательств.
Лемма 1. При N^2 имеем
S т (а) = N In N + (2Е - 1) N + О (\ГЯ)>
0<a<N
где Е = 0,577 ... — постоянная Эйлера.
При iV>2 « N^^g^N также имеем
2 T(a)<glntf.
N-g<a<N
Первое утверждение леммы общеизвестно. Второе
же является тривиальным следствием первого.
Лемма 2. При N ^ 2 и целом положительном
постоянном I имеем
2 (T(a))l<N(\nNfl~l.
0<a<N
Доказательство. Предварительно мы докажем
неравенство
2 ^«(ШМ/. (1)
0<a<N
Доказательство этого неравенства мы будем вести с
помощью метода индукции.
- 18 -

Напишем ряды дробей:
1,
1
2 '
1
2 '
1
3 '
1
3 '
1
4 '
1
4 '
1 1
5 ' 6
1
6
1
6
5-й сверху ряд включает дроби со знаменателями, не
превосходящими N, кратными 5. Дробь — с условием
0<a^N встретится в т(а) рядах. Поэтому сумма всех
членов, содержащихся во всех рядах, равна
у т(а)
0<а<ЛГ
С другой стороны, сумма членов 5-го ряда
<-1пЛГ.
s
Поэтому та же сумма всех членов, содержащихся во
всех рядах, будет
<ClnW Jj у<(1пЛ02,
0<s<AT
и мы убедимся в справедливости неравенства (1) при
Далее, допустив справедливость неравенства (1) при
каком-либо /, докажем, что оно останется верным и
после замены / на /+1. Напишем новые ряды дробей:
(т(1))' (т (2) )1 (т (3) )1 (т (4) )1 (т (5) )1 (т(б))'
1» 2» 3» 4» 5 > 6 ' * " '
(т (2) )1 (т (4) )1 (т (6) )1
2 4 6
(т (3) )1 (т (6) )1
3 ' 6
опять-таки включая только дроби со знаменателями, не
превосходящими ЛЛ Здесь член, содержащий т (а),
встретится в т{а) рядах, и, следовательно, сумма всех
— 19 —

членов, содержащихся во всех рядах, будет равна
0<а<ЛГ
С другой стороны, ввиду известного неравенства r(st)^.
^т(5)т(/) сумма членов 5-го ряда будет
^(t(s))' ((х(\))1 (х(2))1 (r([Ns-*]))l\
[Ns
< vt7; (In АО2'
(Т (5) )' ,. ЛЛ2/
Поэтому та же сумма всех членов, содержащихся во
всех рядах, будет
«(1п Nfl 2 iiWL<{{nNf+\
0<5<ЛГ
и мы убедимся, что неравенство (1) останется верным
и после замены / на /+1.
Теперь переходим к доказательству неравенства
нашей леммы. В случае /=1 это неравенство является
тривиальным следствием леммы 1.
Далее, допустив справедливость неравенства леммы
при каком-либо /, докажем, что оно останется верным
и после замены / на 1+1. Напишем ряды:
(т(1))', (т(2))', (т(3))г, (т(4))', (т(5))', (т(6))',...
(т(2))', (т(4))', (т(6))', ...
(т(3))г, (т(6))г, ...
опять включающие только члены, содержащие
значения т(а) с a^N. Здесь член, содержащий т(а),
встретится в г (а) рядах. Поэтому сумма всех членов,
содержащихся во всех рядах, будет равна
2 (т(а))ж.
0<а<ЛГ
С другой стороны, сумма членов 5-го ряда в силу
неравенства т (5/Х т (5) т (/) будет
<(т(5))/((т(1))Ч(т(2))Ч ... +(т([ЛГ5-Ч))<)<
<(t(s))'7 ОпЛО2'"1.
- 20 -

Поэтому в силу неравенства (1) сумма всех членов, со-
держащихся во всех рядах, будет
«л/ОпЛО2'-' J -^-«^(in^)2'+,-!.
Лемма 3. Пусть N^2, Q — натуральное число, не
превосходящее j/Ov, v удовлетворяет условиям 0^v<Q,
(v, Q)=l и g подчинено неравенствам QY~N<g ^N.
Тогда имеем
2 %(Qu + v)<^lnN.
N-g<Qu + v^N
Доказательство. Для каждого слагаемого суммы,
стоящей в левой части, имеем
%(Qu + v) = 2t{(Qu + v)-6,
где Tt (Qu + v) — число делителей числа Q« + y, не
превосходящих j/Qw + o, a 6=1, если Qw + у — квадрат
целого числа, и 6 = 0 в противном случае. Отсюда,
ввиду следует неравенство
T{Qu + vX,2x2(Qu + v)t
где т2 {Qu + v) --^число делителей числа Qu + v, не
превосходящих YN. Поэтому
S t(Qh+iO< Ц %2(Qu + v).
N-g < Qu + v< N N-g < Qu + v < N
А так как каждое s, не превосходящее |/Л/\ является
делителем не более чем
чисел вида Qu + v с условием N — g<Qu + v ^.N, то
правая часть последнего неравенства будет
что и доказывает нашу лемму.
- 2i —

Лемма 4. Пусть а — число различных простых
делителей числа q и е<1. Тогда имеем
2а<22У.
Доказательство. Пусть q = р^1 ... р*° —
каноническое разложение числа #• Находим
Каждый сомножитель грубо заменим числом 2, если
знаменатель <2, и числом 1, если знаменатель ]>2.
Пусть рг — наибольшее из чисел р,, ..., ра, при котором
знаменатель <2. Находим
рг<2е, 2Г<2Р'<22\
Лемма доказана.
Лемма 5. Имеем
%{q)<c(z)q\
Доказательство. Пусть q = р^1 ... р®<* —
каноническое разложение числа q. Имеем
но отношение
в
случае
Ps>*
<?8
' будет
<
ai + 1
ea, • • •
Pi
as + l
ea.
P,S
2 5
ag+1
ea
>
а в случае ps<2e будет
< as + * ^ <*<? + ! <-
Поэтому
Лемма доказана.
28as eas In 2 ^* e In 2
(—V
Vein 2/
т(<?) </ 2 ^2«

Глава 2
Тригонометрические ряды и интегралы
Эта/чглава содержит необходимые для дальнейших
глав леммы из теории тригонометрических рядов и
интегралов.
Лемма 1 (ряд Фурье). Пусть F(x) = Р (х) + /Q (*) —
периодическая функция с периодом 1 и интервал 0<jc<!1
может быть разбит на конечное число интервалов, внутри
каждого из которых Р{х) и Q{x) непрерывны и
монотонны. Пусть, далее, в точках разрыва функции имеем
р(И = F(x-0) + F(x + Q) ^
Тогда
оо
F {х) = ~y + 2„l (am cos 2nmx + bm sin 2nmx);
m=*\
1 1
am = 2 J jF (I) cos 2nm\ d\, bm = 2 J F (£) sin 2ят£ d£.
о о
Эту лемму, как известную из обязательного
университетского курса, мы приводим без доказательства.
Лемма 2. Пусть г — целое положительное, а и р —
вещественные,
0<Д<0,25, Д<р-а<1-Д.
Тогда существует периодическая функция ty(x) с
периодом 1 и с условиями:
1) -ф(х)=1 в интервале а + 0,5Д <л: <р — 0,5Д;
2) 0<г|э(л:)< 1 в интервалах а — 0,5Д<х<а + 0,5Д
и р-0,5Д<л;<р + 0,5Д;
3) ${х) = 0 в интервале р + 0,5Д ^л: < 1+а — 0,5Д;
4) $(х) разлагается в ряд Фурье вида
оо
ф(х) = р - а + 2 (gme2nimx + hme-™**), (I)
m=l
- 23 -

где имеем
' ^ ' < 4m VmnK) ' 'Лт,<7^Г17^л) #
Доказательство. Рассмотрим периодическую
функцию у^о(х) с периодом 1, определяемую равенствами
i|50(x)=l в интервале а<х<$>
^0(a:) = 0,5 при х = а и при # = р,
ty0(x)=*0 в интервале Р<х<1-Ьа.
Согласно лемме 1 получим
оо
Фо (*) = "^ + ^ (^m, о cos 2птх + 6m> о sin 2лтх)9
m-I
%о = 2 J d| = 2(p-a),
a
3
0 Г Л - ,fr sin 2я/пР — sin 2лта
am,o = 2J COs2jtmg^ = — E_j ,
a
R
«. л f • n * j* cos 2ята — cos 2я/п8
bmt0 = 2 J sin 2nm\ dl = — £.
a
Далее, положив Д = 2/-6, рассмотрим функции i|?| (л:),...
•.., i|?r (л:), последовательно определяемые равенством
б
Ь(Х) = 1Е |*P-i (* + *)**•
-6
Нетрудно видеть, что каждая из этих функций
обладает свойствами:
1) iM*)=l в интервале а + рб^*<р —рб;
2) 0<г|)р(л:)< 1 в интервалах а — рб<л:<а + рб и
р — рб < л: < р + рб;
3) Фр(*) = 0 в интервале р + рб^л: ^ 1 + а — рб;
- 24 -

4) фр(*) разлагается в ряд Фурье вида
оо
^РМ = Р — а + 2 (ат, р cos 2птх + bm> p sin 2птх),
где имеем
_ sin 2я/пр — sin 2ята ( sin 2я/п6 \р
а"*.р- ят \ 2ят6 j »
а _ cos 2ята — cos 2я/пр / sin 2я/п6 \р
*™.Р""" ш \ 2лт6 J '
Действительно, перечисленными четырьмя свойствами,
очевидно, обладает функция ф0М- А если р>0 и
перечисленными четырьмя свойствами обладает функция
%-\(х)у то справедливость трех первых свойств и для
функции i|)p(x) очевидна, а справедливость четвертого
свойства следует из соотношений: из
1 1 / б v
T=J4te)*6=J Nf J+p-ift + s)** d£-
о о \ -6 /
б 1
= -^- j dzj *p-i(S + *)dg =
-5 О
б 1 1
-5.0 0
из (при га>0)
i/б ,
ат,Р = 2 J -^- J fy-^l+ z)dz cos2jimgd£ =
о \ -б /
б 1
= j j dzj %-.l(l + z)cos2nm%d£> =
-б о
б 1
= | JdzJvift)cos2jl/wte-2)rf| =
-б О
б
= ~2б" dz (amt9-{ cos 2лтг + Ьт>9-1 sin 2nmz)-==
— sin 2ят6
25 —

и из выводимого аналогичным способом (при т>0) ц
1\
и __ и sin 2ят6
Последнюю из этих функций — функцию г|)г (х) и [
можно взять в качестве функции i|)(#), указанной
в лемме. Действительно, ввиду гб = 0,5Д функция г|)(л:)= |
= tyr(x) удовлетворяет трем первым условиям леммы.
Придав же с помощью известных формул Эйлера ее
разложению в ряд Фурье вид (1), получим для gm и hm \
значения
а>т, о , Ьт,0 1 / ft . ft , a. /sin2n/n6\r I
а — р р — (p-2nima _ />-2я/т|3\ / I
#т 2 ^ 2/ ~" 2шт 1 ' \ 2ят6 / » |
"т 2 2/ 2т'т^ * Ч 2ят6 / ' ° ~ 2r ' J
I
удовлетворяющие, как это нетрудно проверить, всем ц
неравенствам, указанным в условии 4) леммы. I
Лемма 3 (лемма ван дер Корпута). Пусть f(x) I
в интервале М<х*^М' — вещественная дифференцируе- И
мая функция, причем внутри интервала ее производи ||
ная f {х) монотонна и знакопостоянна и при постоян- |
ном б с условием 0 < б < 1 удовлетворяет неравенству |
\Г {х) I ^ *• Тогда имеем |
2 **«'<*> = J* е2я<№> rf* + е (з + -^у. 1
М<Х<;М' М I
Доказательство. Будем предполагать, что ин- 11
тервал М< х ^ М! содержит не менее двух целых чисел, |
так как в противном случае лемма тривиальна. Пусть 1
Мх — ближайшее к М целое число, превосходящее М, I
а М[ —ближайшее к М* целое число, не превосходя- 1
щее М'. Пусть х обозначает одно из чисел М\, ..., М\— 1. I
Рассмотрим периодическую функцию F(z)c периодом 1, 1
определяемую в интервале 0<г<1 равенством I
Г(г) = е2л1^х+г). I
- 26 - I

Применяя к этой функции лемму 1 (роль числа х леммы
теперь играет число г) и полагая затем г = 0, получим
2 "" 2 ~*~^ ат''
1
ат = 2 J б?2я*7(*+l) Cos 2ят| dg,
о
откуда найдем
1
ЛШНх) rfi2nif(x+l)
±1 J e*ilf(x+l)dl~
о
1
= _ ^ J- (e2niml _e-2nlml)e2ntf(x + l)f'(x + |) rf|e
m~l 0
Суммируя последнее равенство по всем х = М\, ...
..., Mi — 1, получим
Mj<x<m[
м[
£/т = Г (в2я*т*_е-2я*тх) е2я//(*)р ДО rfjc =
Mi
м[
Mi
+iJ^7W^'(-m^f<'r)>-
Применим вторую теорему о среднем значении к
вещественной и к мнимой части каждого интеграла в от-
- 27 -

дельности, получим
VT / б , 6 \ . Vs 6
U
1 ^ 2л \ w + 6 ^ /я - 6 J ^ я
^ ' 9тт \ m -I- Л ' аи — А/ гг ^ — 5*
26
\-L\u |<_5_+у 5 <-
^ ml^mls Ь5+Л m(w-l) ^ 1-6 '
откуда легко убедимся в справедливости леммы.
Лемма 4. Пусть ф (я) = «„л:" + ... + WjX, где
иП9 ..., щ — вещественные числа, наибольший из модулей
которых обозначим символом и. Тогда для интеграла
1
1= J eWWdx
о
справедливо неравенство
|/|<min(l, Q2nu~v).
Доказательство. Мы ограничимся случаем п> 1,
и>(62п)п, так как в противном случае лемма тривиальна.
Интервал 0^х< 1 интегрирования можно подразделить
на ^2м —2 интервала, в каждом из которых ф'(лг)
монотонна и знакопостоянна. Пусть х{ <^х^х2 — один
из таких интервалов и /' — отвечающая ему часть
интеграла /. Не нарушая общности, ограничимся случаем,
когда q/ (л:) — возрастающая функция в этом интервале.
Полагая ф(лг) = и, <p{xl) = vl, ф(лг2) = у2, легко найдем
I' = U+iV\
V2
и-1
cos 2яи—ггт > У =
V2
dv
sin 2nv
<P'W
где у'(х) рассматривается как функция от v.
Рассмотрим интеграл £/. Интервал v{^v ^v2 при
помощи лежащих внутри него чисел вида 0,5/4-0,25
с целыми / подразделим на интервалы с длинами, не
превосходящими 0,5, в соответствии с чем интеграл
U представится знакопеременным рядом. Отсюда будет
следовать, что при некоторых v0 и а с условиями v{ ^
'^v0^v0 + a ^v2, а<0,5, будем иметь
28 -

Пользуясь значениями функции ? (х):
Ф(х'), <р(*' + 0. ..., ф(-^ + (л-1)0, Ф(*")5 t-^~>
при 5, равном любому из чисел 1, ..., пу составим
разность Д5ф0О. Так как указанные значения функции ф(лг)
удовлетворяют условию 0 <ф(л:) — ф(лг') <<х, то всегда
имеем
|Д5Ф(х')|<23-'. (2)
При т, равном любому из чисел 1, ..., я, из хорошо
известной из университетского курса формулы
t ф [х ) = атЛ у\х ) + ат А Ф \х ) + ... + атА Ф [х ),
где всегда |ctm|<2s, применяя неравенство (2), получим
Г\у(т)(х')\<22\ (3)
Пусть u = \uk\. Согласно формуле Тейлора имеем
откуда ввиду неравенства (3) и неравенства /<v выводим
ft!„<2*'(r»+-^+...+7^jr)<n2
(n-*)! '
tn<knf-ky.u> t<$u-\x"-x'<Beu-\\U\<8eu-\
Рассуждая аналогично, такую же верхнюю границу
мы получим и для | V I. Поэтому будем иметь
\Г\<8еУ^и-\ |/|<16* У 2"nu~v <Ь2пи~\
Замечание. При постоянном п неравенство леммы,
очевидно, можно записать в виде / < min(l, u~~v).
Лемма 5. Пусть при Р^2, постоянном п,
превосходящем единицу, и вещественном z
р
Г e2nizxn
JM = )-wr-dx-
2
Тогда, полагая г=*6Р~п, и = 1пР,
D1 = min(l, | 5 |~v), если 0<|6|<Р^1,
0{ = и\дГ\ если Рп~1<\6\9
- 29 -

будем иметь
J(z)<^D{.
Доказательство. Не нарушая общности, будем
рассматривать лишь случай z^O. При б<1 лемма
тривиальна; поэтому будем предполагать, что б>1.
Находим
J{z) = U{z) + iV(z);
г2П z2n
Рассмотрим интеграл U (z). Множитель при cos23ty
в подынтегральной функции является убывающей
функцией от v. Интервал интегрирования при помощи
лежащих внутри него чисел вида 0,5 / + 0,25 с целым /
подразделим на интервалы с длинами, не
превосходящими 0,5, в соответствии с чем интеграл U (z)
представится знакопеременным рядом. Отсюда будет
следовать, что при некоторых v0 и а с условиями z2n ^ v0 ^
<22ft + a<zPrt; a<0,5, будем иметь
0о + (Т 22*40,5 Г^+ОЧу"1^
При б^Р**"1 последний интеграл будет
z~v Р
При Рп~'<6<Я'г он будет
Наконец, при Рп<6 он будет
Следовательно, при 6>1 всегда имеем
£/(z)<4Di-
- 30 -

Рассуждая аналогично, такую же оценку получим
и для V {z). Поэтому при 6>1 будем иметь
/(*)<-£-£•,.
Лемма доказана полностью.
Лемма 6. Пусть N — целое число. Тогда
[e*4mdaJ 1,еслиЫ-0.
О
О в противном случае.
Лемма 7. Пусть пг — целоеу превосходящее 1,
а — целое. Тогда
т~{ 2ш — ( /п, если а делится на т,
£Го I 0 в противном случае.
Лемма 8. Пусть а — вещественное и не целое. Тогда
при любых Nx и N2 с условием N{<N2 будем иметь
S
W,<x<Ar2
<
2(a)'
Лемма 9. При целом Р, превосходящем 1, и
вещественных аПУ ..., а! примем обозначение
р
2
JC=1
Т (ая, ..., ах)=%еш№+-+а1*).
Если при заданном t ряд а„, ..., а{ получен из ряда
ап, ..., а! заменой некоторых пх его членов новыми,
удовлетворяющими условию | а£ — as | ^ /Р~5, то
справедливо неравенство
|Г«, ..., а1)-Г(ая, .... а^^гяп^Р.
Доказательство. Находим
| с£*п + ... + а\х — а„лг* - ... — а,* | < /t,f.
Отсюда, применяя известное, справедливое при любом
вещественном I неравенство | e2nil— 1 | ^ 2я| 11, уже легко
убедимся в справедливости леммы.

Глава 3
Рациональные тригонометрические суммы
В этой главе будут рассматриваться специальные
«рациональные тригонометрические суммы» вида
т-ъ
е о
1
где q — целое число, превосходящее 1, и ф(х) = апхп + ...
... + ахх + а0 — целый многочлен степени п с целыми
коэффициентами.
Основною задачей главы является разыскание
достаточно точной для потребностей дальнейших глав
верхней границы модуля для таких сумм.
При решении этой основной задачи, не вредя
общности, на суммы можно налагать некоторые
ограничения. Во-первых, коэффициент а0 = ф(0) многочлена ф(лг)
можно считать равным нулю (поскольку модуль суммы
от него не зависит). Во-вторых, можно предполагать,
что (аП9 ..., аи <7)=1, так как в противном случае
можно произвести надлежащее сокращение дроби 2-Н1.
В-третьих, при наличии обоих указанных ограничений
можно считать, что п>\\ действительно, при/г=1,
а0 = 0, (аи q)=l имеем.
*(^)-sm-i'"*-»-
Теорема, решающая указанную основную задачу,
формулируется так:
Пусть {аПУ ..., а{1 q)=L Тогда имеем
Sp&.)\<c(n, sjq
1-v-Ko
Я
Полное доказательство этой теоремы дал Хуа.
— 32 —

Как указано во введении, Хуа дал и другой, более
точный вариант той же теоремы, содержащий оценку
вида
' Ф (*) \
)\<c(n)q^.
Однако, поскольку этот другой вариант не вносит
существенных улучшений в основные главы моей книги, а его
доказательство крайне громоздко, мы его не излагаем.
Лемма 1. Пусть q = qx ... qk — произведение поло-
окительных попарно простых чисел, причем
соответственно каждому qs число Qs определено равенством
q = qsQs. Тогда при а0 = 0 имеем
Доказательство. Если xu...,xk независимо
друг от друга пробегают полные системы вычетов
соответственно по модулям qu ..., qk, то QiXx+ ... +QkXk
пробегает полную систему вычетов по модулю q.
Поэтому
Ф (Q,*,+ ••• +Qkxk)
*(*Г)-2-2" '
-s-s
2ni
e
{-
Ж , Q?*(QkxkV
4
4
откуда лемма следует тривиально.
Замечание. Если в сумме, стоящей в левой части
равенства леммы, коэффициенты числителя и
знаменатель взаимно простые, то тем же свойством обладает
и каждая сумма, входящая в правую часть.
Лемма 2 (лемма Морделла). Пусть р — простое,
а0 = 0, (аП9 ..., а{9 р)=1. Тогда имеем
s(^)
<пр
l-v
Доказательство. Мы будем предполагать, что
р>пп, так как в противном случае лемма тривиальна.
Пусть каждое ап, ..., аи хи ..., хп, у{, ..., уп
2 И. М. Виноградов — 33 —

пробегает значения 1, ..., р. Полагая
Xs = x*+ ... +х'п, Ya = y\+ ... +уп,
получим
...£
ei *! хп У\
2п. an(Xn-Yn)+-+ai(xi-Yi)
е р - pnN,
Уп
где N обозначает число решений (хи ..., хп> уи ..., #„)
системы
Xn^Yn(modp)f ..., ^-^(modp). (1)
Пусть Is обозначает простейшую s-ю симметрическую
функцию от jci, ..., хп, a r\s обозначает простейшую 5-ю
симметрическую функцию от уи ..., уп. Согласно
известным формулам Ньютона система (1) влечет за собою
систему
£яэ8Т|л(1Ж><1р), ..., liss^imodp).
Поэтому числа хи ..., хп образуют перестановку чисел
уь ..., уп. А так как каждое ys независимо от
остальных пробегает р значений, то N^.n\ pn, и, следовательно,
2---2И^)Г«»"""- и»
ап а1
Далее мы будем рассматривать лишь те из сумм,
стоящих в левой части, где старший коэффициент ап
многочлена ср(л:) не делится на р. Два многочлена,
у которых соответственные коэффициенты сравнимы
между собою по модулю р, назовем одинаковыми по
модулю р. Многочлен <р(&л; + /) — <р(/), где k — одно из
чисел 1, ..., р — 1, а / — одно из чисел 1, ..., р,
назовем многочленом, преобразованным из ф(лг). Старший
коэффициент такого многочлена равен ankn и,
следовательно, не делится на р. Модуль суммы 5 ( ф w ] не
меняется от замены ф(лг) преобразованным многочленом
— 34 -

(если х пробегает полную систему вычетов по модулю р,
то kx + l также пробегает полную систему вычетов по
модулю /?). Нетрудно оценить число h многочленов,
преобразованных из ср(лг), одинаковых с каким-либо
определенным из них. Действительно, для того чтобы
многочлен у (kx + l) — cp(/) был одинаков с каким-либо
заданным многочленом ф (kQx + lQ) — qp (/0), необходимо
выполнение двух следующих сравнений:
ankn^anko (rnodp),
nankn~xl + an-ikn~l = nanko"[l0 + an-\ko~l (modp).
Первому сравнению удовлетворяет не более чем п
значений k, а при заданном k второму сравнению
удовлетворяет лишь одно значение /. Поэтому h^.n. Отсюда
заключаем, что среди всех [р—\)р многочленов,
преобразованных из ф(лг), число неодинаковых и,
следовательно, входящих в различные слагаемые левой части
равенства (2) будет не меньше, чем
(р-1)р
Поэтому равенство (2) дает
(р-Ор
п
s(^-)\n<n\p^ |s(^)|<c(«)p'-v,
0,5V
c{n) = {2nn\rbV<n.
Определение. Рассмотрим коэффициенты
пйПУ ,.., sas, ..., й\
функции ф'(лг) и показатели
*Л> • • • > ^5»
и
(3)
наивысших степеней числа р, делящих эти
коэффициенты. Пусть / — наименьшее из чисел, входящих
в ряд (3), и пусть ts — первое (слева) число ряда (3),
равное /. Число 5 назовем индексом многочлена у(х)
и будем обозначать символом indqp(A;).
Лемма 3. При целом X имеем
ind ф (х + X) = ind ф (х).
2*
- 35 -

Доказательство. Пусть
*п> .. *, ts, ..., t\
— показатели наивысших степеней р9 делящих
коэффициенты многочлена
*Ф(; + Я) =паа{х + Ь)п-1+ ... +sas(x + k)s-l+ ... +aIf
приведенного к каноническому виду. Коэффициент при
ха~1 получится сложением ааа с числами, каждое из
которых обязательно делится на одно из чисел пап, ...
..., (а+1)аа+1. Поэтому ta>tSi если o>s, /a = /s, если
or = s, и ta^tsy если a<s. А это и доказывает лемму.
Лемма 4. Имеем
indy(px)^indq)(x).
Если же
ind ф (рл:) == ind ф (л:)
и какое-либо значение х удовлетворяет сравнению
qp'(x)eO(modp'+1),
то
ind(p(je)> 1
и указанное значение х кратно р.
Доказательство. Замена ср(*) на у(рх) влечет
за собою замену ряда (3) рядом
n + tn, ..., s + t8t ..., l+f„ (4)
причем при a>s имеем а + ta>s + ts. Поэтому верно
первое утверждение леммы.
Далее докажем второе утверждение. При a>s из
определения индекса следует, что /0>/. При a<s из
условия indq>{px) = indq)(x) и из рассмотрения ряда (4)
следует, что
<У + U > 5 + tS9 t<ita + <J-S<tG.
Таким образом, все коэффициенты функции ф'(лг),
отличные от sasy делятся на p*+I. Поэтому делимость <f'{х)
на pt+l влечет за собою делимость sa8xs~l на р*+19 что
возможно лишь при s>l и ху кратном р.
- 36 -

Лемма 5. Пусть (ап, ..., аи р)=1 и р* —
наивысшая степень числа р, делящая все коэффициенты
многочлена ф (К + рих) — ф (X). Тогда имеем
и <!|я <!дш.
Доказательство. Имеем
q>(k + pttx)-q>(X) = an{l + pax)n+ ...
... +ах(К + рихУ+ ... +а1(Х + р*х)-<р(Ь).
Правая часть приводится к многочлену степени п от х,
все коэффициенты которого делятся на ра. Поэтому
u^\i. Пусть ах — первый коэффициент многочлена ф{#),
который, согласно условию (ап, ..., аи р)=1, не
делится на р. Коэффициент при хх многочлена ф(Я + рих) —
— ф(А,) получается сложением ахрих с числами, каждое
из которых обязательно делится на одно из чисел
априх, ..., ах+1рих и, следовательно, делится на риХ+{.
Поэтому указанный коэффициент делится на риХ9 но не
делится на риХ+{. Следовательно, ц^то^ш/.
Лемма 6. Пусть р — простое, I — целое,
превосходящее 1, и пусть (ап, ..., аи р)= 1. Тогда имеем
w
<n2np'{l-v\
Доказательство. Пусть (/ — наименьшее из
чисел, входящих в ряд (3))
* = *,! (mod pt+l), ..., x = Kh (modp'+I)
— все различные решения сравнения
ф'(*) —О (modp'+I),
причем представители Хи .,., kh этих решений выбраны
среди чисел 1, ..., pt+l.
Так как число решений сравнения р-у(х)^0 (modp)
не превосходит я—1, то имеем 1г<р'{п— 1).
Согласно условию {ап, ..., аи р)= 1 среди коэффициентов
ап, ...,«! найдется некоторый ах, не делящийся
на р. А так как тах делится на р\ то т должно делиться
на р*. Поэтому р*^п, и, следовательно, h<rp.
Сначала рассмотрим случай /<2/ + 1. Здесь имеем
S №Щ \<pl< P2t+l < п2р </*У
- 37 -

Далее рассмотрим случай />2/+1. Имеем
Р*+1 „„ . Ф (X)
Если £ не равно ни одному из чисел %и ..., ЯЛ> то
находим
si- 2 2 « "' =
tf-|(modp'+')
= S 2 в ' -
*-.6(modp'+l)
= 2 в о' 2 е ' = 0.
Поэтому равенство (5) дает
Сначала рассмотрим случай /^/г(/+ 1). Здесь имеем
s/^)|<*2p'<»-*>. (7)
Теперь рассмотрим случай />м(/ + 1).
Сначала предположим, что ind ф {рх) = ind ф (я). Пусть
ЯГ —любое из чисел ки ..., АЛ. Так как суммирование
в сумме Sxr распространяется на значения х,
удовлетворяющие сравнению ф'(л;) = 0 (modpt+l), то (лемма 4)
все эти значения х кратны /?. Добавив к правой части
равенства (6) и все те суммы S|, где | кратно р9 но
не совпадает ни с одним из Хи ..., Ял, мы, не изменяя
значения этой правой части, обратим ее в сумму всех
слагаемых суммы S ( ф * ), отвечающих значениям х,
кратным р,
_ 38 -

Следовательно,
„(„vf шЯШ
х=\
W\
»t-l
JC=1
2л i
, Ф(рх)-Ф(0)
о/
Пусть рц — наивысшая степень числа р, делящая все
коэффициенты многочлена <р(рлг) — ср(0). Согласно лемме 5
имеем 1^|я<м. Полагая ф (рх) — ср (0) = p^g (x)>
убедимся, что общий наибольший делитель коэффициентов
многочлена g(x) и р равен 1 и что
w
= я^-1
или
!(Т)
<PH(1-V)
х-1
2я/
g(*)
р'-Ц
g(*)
2ЯГ ,
е J"»
(8)
Далее предположим, что т(1ф(рл;)<т(1ф(л;). Пусть
Sx —одна из сумм 5^, ..., 5я,л, имеющих наибольшее
значение модуля. Из равенства (6) следует:
5(^)1<-'1Ч1-
При этом находим
pl-t-i <р(У+р*+'«)-ф(М
Пусть /А — наивысшая степень числа р, делящая все
коэффициенты многочлена ф(Лг + pt+xx) — ф(Яг). Согласно
лемме 5 имеем
Полагая ф(лг + pt+lx) — ф(Лг) = р|Лг£г(*)> убедимся, что
общий наибольший делитель коэффициентов многочлена
gr{x) и р равен 1 и что
41 = /'-'"
/-Hr grU)
Р т 2Я/ г —
о'-»г
</A(l-v)
m
— 39 —

и, следовательно,
■■т
<«v
,ur(l-v)
ol gr (*)
(7^
(9)
Кроме того, применяя лемму 3, первое утверждение
леммы 4 и неравенство ind ф (рл:) < ind ф (л:), получим
ряд соотношений:
ind gr (х) = ind p*rgr (x) = ind (cp {xr + pt+lx) - ф {Кг)) =
= indф(p^+1л:X ... <^ф(р2лг)<^ф(рл:)<^ф(л;),
откуда найдем
ind gr (x) < ind ф (x). (10)
Применяя то или иное из неравенств (8) (при
ind<p(px) = indq){x)) или (9) (при ^ф(рл;)< indф(л:)),
мы каждый раз будем сводить сумму вида S(-^p-)
к аналогичной сумме, но с меньшим значением /, пока,
наконец, не придем к сумме со значением /, не
превосходящим n{t+\), к которой применим неравенство (7).
При этом множитель п2 появится не более п— 1 раза
в связи с применением неравенства (9) (каждое
применение этого неравенства снижает индекс многочлена
не менее чем на единицу) и не более одного раза в связи
с применением неравенства (7).
Из всего сказанного справедливость леммы следует
тривиально.
Теорема 1 (Хуа). Пусть (аПУ ..., а{, q) = 1. Тогда
имеем
\s(^)\<c(ntt0)q^+*>.
Доказательство. Не нарушая общности,
предполагаем, что ф(0) = 0. Пусть
— каноническое разложение числа q. Согласно лемме 1
находим равенство вида
f Фа (*)
5 / ф (х) \ = s J yi (х) \
. S
рУ
причем, согласно замечанию к лемме 1, в выражении
каждой суммы, входящей в правую часть, коэффи-
- 40 -

циенты числителя и знаменатель дроби взаимно просты.
Применяя к каждой такой сумме лемму 2 или лемму 6,
получим
Но согласно лемме 4 гл. 1 находим
2п In n
/ i \
2п In n
п2пв = 2 1п2 а<
откуда, положив
/ 1 уПГГ"
\22V/ ,
2п In n
е0 = е-
In 2 »
мы и убедимся в справедливости теоремы.
Теорема 2. Пусть m — целое число с условием
0<m<q. Пусть у{ — число, взаимно простое с qy и у
пробегает приведенную систему вычетов по модулю q.
Тогда при постоянном п и при условии
имеем неравенство
q mBn(yn-yf)xn+ ... +mBl(y-yl)x
2Ш-
IS*
<(m, ?)V
-v-i-e'
Доказательство. Полагая
(m, q) = dt m = mld> q = qxd, mxBs = Ds,
получим для дроби, стоящей в показателе, выражение
Дв(У-УУ)х"+...+0,(У-У,)х.
— , \иПУ ..., l^i, <7iJ—*•
Далее, положив
<7, = <72s> D8{y-y})=EJb9
получим для той же дроби выражение
^+;;•+*«., №...... *,.*)-i.
Поэтому, согласно теореме 1, слагаемое, отвечающее
- i\ -

данному у> будет
<.q2 <. а о q
Но так как б делит все числа вида D5(t/5 — у*); s<tt,
то оно делит и число у" — у]0; sQ = n\. А так как
сравнение j/5<>--j/[°=sO (mod б) имеет <С б8" решений, то
ему удовлетворяет <С <7д~1+е" значений у. Поэтому сумма
всех слагаемых, отвечающих данному б, будет
< q6-l+e"dv6vq-v+e> < rf7~V+V-1+e".
Сумма же слагаемых, отвечающих всем б, делящим q,
будет (лемма 5 гл. 1)
<A'~v+84<7)<dV-v+e'.
Теорема 3. Пусть m — натуральное число и
где л: пробегает приведенную систему вычетов по модулю q
и выполнено условие (аПУ ..., аи q) = l. Тогда при
постоянном п будем иметь
S'<(m, ?)у-у+в'.
Доказательство. Имеем
S' = S |i(d)Srf; S„ = S e
d\q 0<dz^q
Пусть б — общий наибольший делитель всех
коэффициентов функции my(dz) и q. Очевидно, б делится на d.
Находим
О < dz < q
откуда, применяя теорему 1, будем иметь
что, ввиду 6\(m, q)dn, будет
< (m, <7) (7
Поэтому, применяя лемму 5 гл. 1, мы и убедимся
в справедливости теоремы.

Глава 4
Суммы Вейля
Обозначения. При п > 10 и вещественных
ап, ..., а{ полагаем f{x) = anxn + ... +щх.
Буквою Р обозначаем целое число, превосходящее 1,
буквою т — целое положительное число. Полагаем
Т = Т1 = Т{ап,...,щ)= 2 еШ!М,
0<*<P
Tm-=T{man, ..., mcti).
При целом положительном Ьу целом р с условием
0<р^2& и произвольно выбранных целых Ап> ..., Ах
число решений системы диофантовых уравнений
vtt -L -L уп — Уп — — v*rt — А
ххт ... -гхр лр+1 ... х2Ь — /1Л,
где каждое л:/ независимо от остальных пробегает
значения 1, ...,Р, мы будем обозначать символом
fab,$,An л. А значение этого символа при р = &,
Л„= ... =Л1 = 0 мы будем обозначать символом 12Ь
или же просто символом /.
Весьма важной для теории чисел является проблема
разыскания верхней границы числа fab, $, ап аг Но
из легко выводимых представлений чисел fab, p, ап, .... д,
и / в виде интегралов
fab, р, д„ .... л, =
= / ... jWb^r2*'(W"-+V.)dae...daif
о о
1 1
1= j ... l\T?>dan...dax
о о
— 43 —

тривиально находим неравенство
hb. э. ап а1 </•
Поэтому проблема разыскания верхней границы числа
/2ft, р, л ,.... д, может быть заменена более простой —
проблемой разыскания верхней границы числа /.
Решению последней проблемы и тесно связанного с нею
вопроса о верхней границе модуля суммы Т и
посвящена эта глава.
Очевидно, не меняя значения интеграла /, в качестве
области его интегрирования можно взять любую область
вида
А„<а„<А„+ 1, ..., A,<ai<A, + l.
Эту область мы обозначим символом ПЛ или, более
подробно, символом
ПЯ(АП1 ..., hx).
Она замечательна тем, что всякая точка га-мерного
пространства сравнима с одной и только одной ее точкой.
Мы дадим два варианта верхней границы интеграла/:
«общую верхнюю границу» (в теореме 1) и «упрощенную
верхнюю границу» (в теореме 4). Однако здесь мы
сначала скажем об упрощенной верхней границе, как
о более простой.
Если п^ 12 и
Ь > b0; bQ = [п2 (2 In п + In In n + 2,6)],
то упрощенная верхняя граница дается неравенством
вида
/<с(л)Р 2 .
Нетрудно видеть, что здесь число bQ в смысле
порядка роста с возрастанием п уже нельзя заменить
существенно лучшим. Являясь величиною порядка п21пп, оно
не может быть заменено даже числом 0,5м2, являющимся
величиною порядка я2.
Действительно, интеграл / можно рассматривать как
число решений системы уравнений
упд- 4- хп = хп 4- 4- хп
Х\~\- ... Л-Хь — Хь+\+ ... + X2t>,
— 44 —
(1)

где каждое xf независимо от остальных пробегает
значения 1, ..., Р.
Каждой совокупности значений *,, ..., хь отвечает
не менее одного решения системы (1). Поэтому 1^РЬ,
и если наша граница для / верна при каком-либо
b<b0> то
gft Я(Я+1)
Р*</<с(м)Р 2 .
Выбрав Р настолько большим, чтобы стало с {п) < P°'5/\
получим b > 0,5м2.
Нетрудно, далее, показать, что сама указанная
граница в смысле порядка роста с возрастанием Р является
точной верхней границей.
Действительно, выбрав для большей ясности в
качестве области Пп область ПЛ( —0,5, ..., —0,5), рассмотрим
область у, ограниченную неравенствами
р~п ^ p~n p~l ^ ^ fiL
13л ^а^< Ш > '••' 13л ^ai ^ 13я *
Объем области у равен
-п(п+1)
сМР 2 ; с, (п) — (б,бл)"я.
Область у включает начало координат со значением Г,
равным Р. Поэтому (лемма 9 гл. 2) значение Т в любой
точке этой области отличается от Р числом, по модулю
не превосходящим
2jtAiT|^P<0,5P,
и, следовательно, численно превосходит 0,5Р.
Поскольку же область y является частью области ПЛ, то
из сказанного легко выводим
1>с2(п)Р " 2 ; <%(«)-с, (л)(0,5)*.
В то время как упрощенная верхняя граница
применяется в случаях, когда при неограниченном
возрастании Р число п остается неизменным, общая верхняя
граница может применяться и в случаях, когда при
неограниченном возрастании Р может, хотя и медленно,
расти и п.
- 45 -

Пусть п^ 12 и при целом положительном / число Ьг
определено равенством
6|»„/+[»i«+ii+i].
Тогда при b^bi эта общая верхняя граница дается
неравенством
п(п+\) , 0. п(п+1) , п (лг+1) „ f
/ < (20я)"Т"' Р2&"—+— °-V) .
Особенностью этой границы является наличие целого
положительного /, которое можно выбирать произвольно,
руководствуясь условиями решаемой проблемы,
учитывая, что увеличение числа /, уточняя множитель,
зависящий от Р, одновременно с этим увеличивает нижнюю
границу bt числа 6, а также множитель, зависящий
только от п.
Этот множитель, зависящий только от /г, является
весьма быстро растущей функцией от п, вследствие чего
граница может оказаться нетривиальной лишь в случае,
если п ограничено сверху достаточно медленно растущей
функцией от Р.
Действительно, наша граница отличается от
тривиальной границы Р2Ь множителем
п(п + \) , п(п+\) , п{п+\) „ / п(п+\) ,
(20гСП~ Р -2-+-^-(I-v) >(20/iP~v)^~/
и, следовательно, может оказаться нетривиальной лишь
при (20п)п<Р, т. е. при n In 20n < In P. Определив щ
равенством n{ In 20^ == InP, найдем:
n^n{> 1п20я1<м1,
n{>VtoP, 1п20/г,> jlnlnP, Щ<^ПГ
и, следовательно,
п <
InlnP
Замена множителя, не зависящего от Р, другим,
являющимся более медленно растущей функцией от п,
была бы ценным усовершенствованием общей верхней
границы.
Непосредственным следствием теоремы 1, дающей
общую верхнюю границу интеграла /, является
теорема 2. В упрощенном виде она формулируется так:
- 46 -

Пусть k ^9. Из области n„ можно выделить такую
область Q с объемом I/, не превосходящим
п(п+\) к_ п(п+\) п{п + \) 4 In fe-0,5
У0 = (20П) 2 rtln4p- 2 + 2 * f
что для точек оставшейся области будем иметь
|Г|<Р1"Т.
Ограничиваясь ради простоты случаем постоянного п,
мы можем представить V0 в следующем упрощенном
виде:
П (/2+1)
Ко-с К *)Р" 2 *\
где gki оставаясь меньшим единицы, неограниченно
приближается к единице (правда, за счет
неограниченного возрастания с{п, k)) при неограниченном
возрастании k.
При этом нетрудно показать, что замена V0 каким-либо
V'0 = c'(nyk)P 2 Ч
того же вида, но с grk>\ уже невозможна.
Действительно, вернемся к рассмотренной нами выше
области Y- Для любой точки области у справедливо
неравенство |Г|>0,5Р, которое при Р^2к имеет
следствием неравенство |Г|>Р *. Поэтому при Р>2*
область y будет частью области Q, и, следовательно,
будем иметь
п{п+\)
У0>сЛп)Р 2 •
С теоремою 2 полезно сравнить следующую
элементарную лемму:
Лемма а). Пусть 1{ и % — любые числа с условием
0<Я,<Я<0,5.
Тогда из области Пп можно выделить такую область Q'
с объемом V, не превосходящим
- 47 -

что для точек оставшейся области будем иметь
\Т\^Р1~К\ (2)
Доказательство. Тривиально находим
1 1
j ... \\T?dan ... da{ = P.
о о
Область Пп можно разбить на одинаковые м-мерные
кубы со столь малой стороной, что модуль разности
значений Г, отвечающих двум точкам одного и того же
куба, будет меньше, чем Р1""*" — Р1~\ Под областью Q'
мы будем разуметь область, покрытую кубами,
содержащими каждый по меньшей мере одну точку, не
удовлетворяющую условию (2). Тогда для любой точки
области Q' будет справедливо неравенство | Г | > Р'^^.
А для объема V этой области получим неравенство
У'Р2-2^<Р, откуда найдем V' <Уо-
Коренное отличие теоремы 2 от леммы а) состоит
в том, что при неограниченном возрастании Р число V0
в теореме 2 стремится к нулю несравнимо быстрее, чем
число V'Q в лемме а) (VQ стремится к нулю как величина
п(п+\)
порядка Р 2 *, тогда как Vo стремится к нулю
всего лишь как величина порядка Р2А,~!>Р~1)- Поэтому,
несмотря на то что в теореме 2 говорится о верхней
границе для | Т | значительно худшей, чем в лемме а),
теорема 2 является мощным орудием для решения ряда
важных проблем теории чисел, тогда как лемма а) для
такой цели бесполезна.
Вопрос о верхней границе модуля суммы Г, учитывая
потребности гл. 5, мы будем рассматривать как частный
случай вопроса о верхней границе модуля суммы Тт.
Здесь мы подробно остановимся только на общем
решении этого вопроса, содержащемся в теореме 3 и
рассчитанном на применение к случаям, где при
неограниченном возрастании Р число п остается неизменным.
Эта общая теорема вполне достаточна для целей
дальнейших глав. Она такова:
Пусть п^ 12. Точки ^-мерного пространства мы
разобьем на два класса. Точкою первого класса Mbj
- 48 -

назовем точку
te+* t+4
где первые слагаемые — рациональные несократимые
дроби с положительными знаменателями, имеющими
общим наименьшим кратным число Q, не
превосходящее Pv, вторые же слагаемые удовлетворяют условию
Точкою второго класса мы назовем точку, не
являющуюся точкою первого класса.
Тогда, полагая
Р 8«2 (In « + 0,5 In In лг + 1,3) '
мы при т^Р29 для точек второго класса будем иметь
тт<р1-р.
А полагая
6o = m*x(\zn\Pn9 ..., |z,|P),
мы при m^P4v2 для точек первого класса будем иметь
rm«P(m,Q)vQ-v+E
или также
Тт < PQ~v+8o60"v, если б0>1.
Большим удобством этого общего решения является
то обстоятельство, что область точек первого класса
составляет крайне ничтожную часть области П„;
тривиальный подсчет показывает, что объем этой части
«С Р 2 . Для всей же оставшейся части области
П„ — области точек второго класса — верхняя граница
модуля суммы Т дается единообразным неравенством
Т < Р1_р.
Мой метод позволяет получить нетривиальные оценки
сумм, являющихся обобщениями суммы Т на случай,
когда функция f(x)> не будучи многочленом степени п,
в некотором отношении близка к такому многочлену.
Учитывая потребности современной теории
распределения простых чисел, я поместил в конце главы лемму 11,
дающую оценку одной такой суммы. Эта лемма такова:
- 49 -

Пусть п^20, а и а{ — целые, a<al^:2ai t~an-d,
0<9<1. Тогда для суммы
5= 2 e2Jt''F(tt); F{u)=~ Ппи
а<и<а1 2л
имеем неравенство
1 —
|5|<2а 30000"2.
Из двух моих вариантов доказательства этой леммы
(один дан в 1957 г., другой —в 1965 г.) я здесь выбрал
второй, как более простой.
Лемма II (в соединении с оценками по методу
Г. Вейля и леммами из теории функции £(s))
позволила вывести новые оценки для £ (0,5 + It) и для £ (1 + //),
получившие применение, первая — в вопросе о попадании
простых чисел в интервал малой длины, вторая —
в вопросе о порядке остаточного члена в
асимптотической формуле для я(Л0 (см. введение).
Переходим к изложению содержания главы.
Лемма 1. Пусть m и г —целые положительные и
х{9 ..., хг —неотрицательные. Тогда
(хх+ ... + xr)m^rm-l(x'« + ... +xf).
Л е м м а 2. Пусть г — целое положительное, хи ..., хГ —
неотрицательные uh — ux среднее арифметическое. Тогда
Х\ ... хт ^^ h .
Лемма 3. Пусть m — целое положительное и
Uo> • • •» Um "~ неотрицательные. Тогда
I m \2 т-1
Доказательство. Согласно случаю т = 2 леммы 1
имеем
/ m \2 /т-1 \2
(Д2"^] <2[/о2 + 2-^Д2-и+,],
/т-1 \2 /т-2 \2
2 2"sf/s+I <2£/f+ 2"1 2 2"U+2 ,
\s=0 / \s = 0 /
(ilo2"si/s+m-.) <2t/^-1 + 2-,^)
откуда уже легко выводим нашу лемму.
- 50 -

Лемма 4. Пусть Р>(2п)\ Н —целое с условием
4п<Я<Р, R определяется равенством /7/? = Р, 2п<
^С<2,Ы> наконец, vu ..., 0rt пробегают целые числа
интервалов
где
0<Х„ XX + R = YU Yl + R<iX29 ..., *Я + /?«УЯ, K„<P.
Гог(Эа «/«ело /^ систем значений vu ..., оп, яры которых
суммы
vx+ ... + 0Я, v]+ ... + *„, ..., o» + ... +vl (3)
лежат соответственно в каких-либо интервалах с длинами
С9СР,..., СРп~1, (4)
удовлетворяет неравенству
п(п-\)
£,<0,5# 2 .
Л число Е систем значений v{9 ..., vn$ при которых
суммы (3) лежат соответственно в каких-либо
интервалах с длинами
СРХ~\ CP2(1~V), ..., CP"(1-V),
удовлетворяет неравенству
П(П~\) А2 — 1
£<# 2 Р 2 .
Доказательство. Сначала оценим £1в Пусть
s —целое число с условием Ks^n. Если при
заданных vs+\, ..., vn суммы (3) лежат соответственно в
некоторых интервалах с длинами (4), то суммы
v{ + ... + v8, ..., v\+ ... +vss,
очевидно, лежат соответственно в некоторых
интервалах с длинами
С ..., cps~1.
Пусть T|i! • • •» Ъ и Л1 + Бь • • ■» Ъ + Is - Две системы
значений v{, ..., vs с таким свойством и с наименьшим т]5.
- 51 -

Тогда имеем
(n. + i.)-n.||+ _ +l2k+Mzikls = eA
(n. + i.r-n?
£.+ ••• +
Sis
, = — CP
s-l
откуда находим
A =
A£s-A' = 0;
dli + Ii> —ni (% + is) - П?
Il ' ' ' Is
(5)
A' =
(ni + I,)-n,
6,
_(4i+6i)»-n? (n, + 6,),-nJ
's-l + %s
*6l
(%
.)
«Is
-Is-1
(ni + Ei)'-t|f
•Б.
^s-1
«6.-1
e.c
CP
s-l
Далее к равенству (5) применим следующее
преобразование. Оба стоящих в нем определителя разложим по
элементам первого столбца и к результату применим
формулу Лагранжа, рассматривая его как разность
значений некоторой функции от z при г^\\{+^\ и z = x\x.
Получим новое равенство, где элементы первого столбца
каждого определителя заменятся соответственно числами
1, xv ..., х\~х с некоторым xv удовлетворяющим
условию Хх <х{ < Yt. Проведя далее аналогичные
преобразования последовательно в отношении элементов второго,
третьего и т. д., наконец, предпоследнего столбца,
а затем еще в отношении последнего столбца, но только
для первого определителя, получим равенство
Ms-K=b
1
1
А =
1
1
е,с
г« — 1
vs-l
CPS
где
Xj < Х\ <С Y\, ..., Xs < xs < Ys
- 52 —

Далее находим
r=0
где Ur есть коэффициент при xrs в разложении Л5 по
степеням xs. Поэтому, замечая, что
<±s = {xs-Xi) • •• (*e-*s-i)Ae-i,
убедимся, что
где D5-i-r есть сумма произведений чисел — х[у ..., —jte_lf
взятых по 5 — 1 — г. Отсюда находим
iD,-wi<(s7l)p'-'-M,<is,r+„l:t',,)
г=0
ps-ic
1) (*s-*i) ... (*5-**_!)'
откуда, ввиду справедливости при t^\ неравенства
*а+*-*аХ2*-1)Я,
находим
s-i И "Мея5"1
£s ^^j (r+1) i .3... (2s_3) ^0/7 ' bs- 1.3... (2s-3)s '
r=0
Таким образом, и5 при данных vs+u ..., u„ не может
иметь более чем
LSCHS"1 + 1
различных значений. Это утверждение верно и при s=l,
если положим L,= l. Действительно, число случаев,
когда Vi при данных v2,.-.,vn лежит в интервале
с длиною С, будет
Из доказанного следует, что
п
-(1+т)(^+^)---('-+^)с"я'
- 53 —
я(я-П
2

Далее находим
и, ввиду справедливого при s^6 неравенства
L*+^<
2 U/ '
ВЫВОДИМ
0,03jJ(Ls + ^r.) < 0,03 Щ (|у<0,5(2,1 n)-n<0,5C-n.
s=«6 s—Q
Поэтому
£,<0,5tf 2
Отсюда, ввиду
_£ '
£" (Pl~y ,\/P2(1~v) \ /p(«-i)d-v) \ JLl
находим также
n (дг—1) я-1
E<H 2 P 2 .
Таким образом, лемма доказана полностью.
Лемма 5. Пусть I — целое полооюительное,
Пусть каждому t = 0, ..., / — 1 отвечают свои
системы (Utf\y .♦., f/f.rc), состоящие из целых чисел, не
превосходящих по модулю соответственно nPt, ..., /zPf,
причем можно указать число Ft такое, что, каковы бы
ни были число С с условием 2п^.С<2,1п и интервалы
с длинами
СР}'\..., CPVX"V\
число таких систем с числами, соответственно
попадающими в эти интервалы, не превосходит Ft.
Выбрав для каждого t одну из отвечающих этому t
систем и полагая
Us = UQtS+ ... +£/,-,,„
составим системы (Ult ..., Un).
— 54 —

Тогда, каковы бы ни были г{9 ..., гл, число систем
(Uu ..., Un) с условием
U{ = z{9 ..., Un = zn (6)
будет
<Р0 •■• Ft-X.
Доказательство. При наличии равенства (6) для
каждого t и для г, равного любому из чисел 1, ..., п,
имеем
Но сумма, стоящая в скобках, при t = l—\ равна нулю,
а при t<l— 1 эта сумма не превосходит по модулю
n(Pf+i + P?+2+ ... + P/-i)<
< *p?+1 (i + рти + рг-V +...)< ^4
l-(6n)_1
Следовательно, i/,, r при заданных [/0,r>---> ^*-i.r
лежит в интервале с длиною
cp,n-v>. С = —^
1 — (6rt)
и потому при заданных системах (U0tU ..., f/0,n), ...
... ,(Ut-uu ..., !/*-!.«) числа системы (UitU ..., £/,,„)
будут лежать в интервалах соответственно с длинами
ср\-\ ..., cp?(,~v).
А число таких систем, согласно условию леммы, не
превосходит Ft. Поэтому число систем (Uu ..., Un) с
условием (6) будет
<Р0...Л-1.
Теорема 1. При целом неотрицательном t положим
-55 -

Тогда при / > 0 и целом b^bt будем иметь
1 1
J ... \\T?bdan ... da{<DtP
26-^±JL+JLl^tiL (,-v)
Доказательство. Очевидно, достаточно
рассматривать лишь случай Ь = Ь{. При / = О, ..., / введем
обозначения
Р,-Ж'"< % = [bg2l]
Сначала мы рассмотрим случай Pi^(6n)n. Полагая
/?,,s = Pt(Qn2sr[; 5 = 0, 1, ..., ль
очевидно, будем иметь
{рк&йЧР?, /?*..>pJ-v.
При />0 символом Г(^) будем обозначать всякую
сумму вида
T{t) = %ewfWt
где л: пробегает какой-либо ряд последовательных целых
чисел, лежащих в интервале вида
со < х < ш + Pt. (7)
Символом Г(0) мы будем иногда, ради единообразия,
обозначать сумму Т. При /</, взяв любое число s
ряда 0, ..., %, мы разобьем интервал (7) на 6n2s
интервалов вида
<» + (£-l)Rt.3<x<<u + gRt.sm, g=l, .... 6/tf*. (8)
Тогда rf/) разобьется на сумму (6я2*)&| произведений Z/iS:
ГЙ = 2 Z,,,; Z,, , = Z,l5,i... Z,, s, &1; Z,,,,, = 2 е2^ <*>,
где интервал суммирования для ZttStJ — один из
интервалов (8); соответствующее этому интервалу значение g
назовем номером Zt)Sti.
(6/г25)л~~*
Из чисел 1, ..., 6n2s можно < , _ П| способами
выбрать возрастающие последовательности п—1
различных чисел, И если произведение ZttS связано с одной
- « -

из таких последовательностей так, что номер любого
из его сомножителей или равен числу
последовательности, или же превосходит число последовательности
на единицу, то такое ZttS назовем неправильным. Число
неправильных ZttSy связанных с одной и той же
последовательностью, будет ^(2/г — 2)Ь]. А общее число
неправильных Zt s будет
Произведение ZttS, не принадлежащее к числу
неправильных, назовем правильным произведением. Очевидно,
среди номеров сомножителей Zt>s%i правильного ZUs
найдется п таких, что разность между любыми двумя
из них численно будет > 1. Всякое правильное
произведение Ztt0 будем обозначать символом Z't,o. При 0<s^t\t
каждое неправильное ZUs-x представляется суммою <J2&1
произведений ZiyS. Каждое правильное из последних
будем обозначать символом Zt, 5. Каждое неправильное Zt, n
будем обозначать символом Z"^. Из сказанного
следует, что число произведений Zt, s при s = 0 будет ^(Qn)b\
а при 5>0 будет
Нетрудно проверить, что обе эти оценки (несколько
ухудшив вторую из них) можно объединить одною
формулой, сказав, что число произведений ZttS всегда будет
<2~s(Gn)bl2sn.
Число произведений Zt\ будет
На основании доказанного находим
irW)i6'<S2-s 2 \z't.s\ +
/(6n)bl2V (te)»l 2V-1""" \
+ 2~\ 2 \z^t\+ 2 |#„,|j.
— 57 —

Отсюда, применяя Лемму 3, затем лемму 1 (с т = 2)>
получим
irW)r<ssu;,s|2+f|z"s|2, о)
5 = 0
где
Le = 2,-e(6*)2*'22wi, L^t = L^2-2b\
Далее находим
|z;,s|2=u(,si2|z;:;i2(
где lt,s — произведение тех п сомножителей
произведения ZttSy которые характеризуют это произведение
как правильное (если таких произведений несколько,
то берется произвольное из них). Кроме того, находим
|^11^2 = |1?.Ч|2|г:/Я12'
где ^ л —произведение п произвольно выбранных
сомножителей произведения Z/^.
Умножая неравенство (9) почленно на | T{i) \2п{1~*-1\
получим
ITit)i2*'-<<So2\UsfNttS + 2|&'Ч/|2^, v do)
где Л
at I i"' |2i т \2n{l-t-\)
M, S = I Zf, 5 J | T(t) I
Число \z"'s\2 является произведением 2b0 сомножителей
вида \ZttStj\, причем каждое ZttStf представляется
суммою
<^>sPr+Ii + l<2P?(6n25)"1
слагаемых Tit+l). Поэтому NttS не превосходит суммы
не более чем
(2Р1(Ъп2ГТ°(Р1+1)2п{1~'-1)
произведений, каждое из которых состоит из 2bt-t-x
сомножителей вида |Г(,+ !)|. Согласно леммам 2 и 1
- 58 —

каждое из этих произведений будет
<2|7-(<+1)|26«-^.
<(2&г_,_,г26'-'-11 2 l^+ol/
Поэтому из неравенства (10) выводим
ч/ Mt.s
5 = 0
+ s |i;,,j2ir,+1)r^-, (id
где
M,,s = 2l-(bnfl 228П(2Р1(6п2ГТ°(Р? + lr^"'"0.
л^-ль,^2-*.
Полагая в неравенстве (11) последовательно / = 0, ...
..., /—1, мы напишем такое неравенство для каждого
I Т(0) |2Ч ..., | T^-d |26|f причем последнее упростим,
заменив грубо число |Г(о|2&0<(Р/+1)2Ь° числом 2Pf\
В результате последовательных подстановок получим
неравенство вида
где S — сумма различного вида слагаемых, получаемых
из выражения
/- 2 ... 2 2*(*..... *-,),
в котором
Af<2P»-Alo,ee...Af/.!..|.|l
/C(s0, ..., S|-i)=-|6o.t0|2 ••• |&/-i.*,_, |2»
заменой любого числа пар вида Af,ttl, ||,><n j2 парами
вида Af, , li^l2. В частности, слагаемым суммы S
будет и само число / (где число заменяемых пар равно
нулю). Рассмотрением этого слагаемого мы и займемся
в первую очередь.
- 69 -

Возьмем какое-либо определенное K(sQy ..., S/_,) и
преобразуем его подстановкой x = xQ + v, где х0 —
значение х> отвечающее одному из слагаемых суммы
£/_! s • Пусть |^ I —один из сомножителей числа
К(sQi ..., S/~i). Новые переменные суммирования
сомножителей произведения lt s, расположенные в
порядке возрастания номеров, мы обозначим символами
i>i, ..., vn. Тогда легко найдем
\h,Stf = %e2ni(x>u>+-+xnun); Xr =
/(г) (хр)
где Ur = Vr— Wn причем суммирование
распространяется на все системы (Vu ..., Vn)> определяемые
условиями
Vr = v\+ ... +vrn; r = l, ..., п,
и, независимо от этого, на все системы (W{, ..., Wn),
определяемые так же, как и системы (К,, ..., Vn).
Нетрудно видеть, что Uu . .♦, Un не превосходят по
модулю соответственно nPt, ..., пР?. При С леммы 5
оценим число Ft систем ((/,, ..., Un) с условием, что
Ub ..., Un лежат в наперед заданных интервалах с
длинами
СР1Г\...9 CP?{l~v).
Из леммы 4 следует, что число систем (К,,..., Vn)
е условием, что Vu ..., Vn лежат в каких-либо
интервалах с такими длинами, будет
п(п—\) п—\
<(б/г25>) 2 Pt2 .
Кроме того, находим, что число всех систем (Wu ..., Wr)
не превосходит
(Rt,st+l)n<2R?,St.
Поэтому
«(Д+0 2 2п__ п + \
Ft<Ft,S(; F,,St = 2(6n2st) 2 Pt 2 .
Попутно отметим, что в случае, когда пара Mt,t\t,
lir] заменена парою Щц, 1'иц, для Ft мы получим
-60-

другое неравенство. Действительно, тогда грубая оценка
дает
Fl<(Rt,^+\fn<2Pri(Qn2^)~2n =
п(п+\) п+1
-Л.лДб/й4')" 2 Pt 2 ,
откуда, ввиду б/й*1'> у Р}\ получим
Из доказанного и леммы 5 следует, что
K(s0 e^-Se^Ci^-^-),
где суммирование распространяется на системы
(Уь •••> #м)> состоящие из целых чисел, причем число
таких систем с условием y\ = zu ..., yn = zn будет
< F, F = Fo, 50 ... F/-i, s^j.
Далее рассмотрим интеграл
1 i
G = J ... J /С (s0> • • • > S/-i)^«« • • • Лщ-
о о
Сумму Хху\ + ... + А'яУд можно получить, заменяя
в разности
f(*o + У) ~f(xo) = «„(К + У)" -*$+-..+ «, (К + </)-*„)
степени г/ г/га числами уи ..., г/„. Поэтому
Ххух+ ... +Хпуп = апАп+ ... +щА{;
Ап-(1)хо~%+ ••• +(1)хоУп-1 + У«>
А* - ( J) *o#i + J/2.
Интеграл G, очевидно, равен числу систем (Л,, ..., Ап)
с условием Л, = ... =Л„ = 0. Следовательно, он равен
числу систем (г/,, ..., #„) с условием ух = ... = t/„ = Q.
- 61 —

Поэтому G<F, и, следовательно,
J ... \ldan ... da{< J ... j A1F,
0 0 s0=0 ^_i=0
где
MF<2Pf°Af0,s/o,5o ... ^/-i.^./z-i,^,.
Далее, вспомнив данное выше определение суммы 5
и замечая, что
Mi. „ Д щ < 2~Х , Д v (1 + 2~3)' < eJ,
получим
f ... JSda№ ... rfa!<2 ••• S *7AfF'
причем с помощью легко выводимого неравенства
sft. st '■
Mt, sft, s, <
<24-2в'(12пГ^_(1+РГТ<'"'",)РГ'-'-,+^"~г"
-2&A„ _ _ ->-2sn- ... -2s,.
найдем
e8Mf <2e8Pr°BSiS22^5o" - ~^->;
/-1 Д(В+1) /-1 0„„ , n
Б = П * <12n)—, В, = П (1+ РГТ' °,
в,-ПрГ'-'-,+а""^.
Отсюда, суммируя по всем s0, ..., S/_1? получим
1 1 t
j ... j S dan ... йщ < } e*P?'BBiB2,
откуда, ввиду соотношений
_л_(л+1) , я/ 0 ..(. л(п+1)
£ = 24'(12я) 2 , В,<е31пвЛ, ^^8SB,<(20n)
_, п(п+\) , лг (гг + 1) , J
PfA-p"'—5-+-т_(,",,1
- 62 -

и убеждаемся в справедливости теоремы в случае
Pi>(bn)n.
Теперь рассмотрим случай Pt<(bn)n. Применим
v метод индукции. Пусть теорема полностью верна при
/ = й. Тогда из полностью верного неравенства
| Г|26л+1^р2я| Tfbfl
следует, что всегда
11 oh. n(n+\) , п(п+\) „ шЛь
J ... ^\T?bh+*dan...dax<DhP
»Л+1-^5^+^5^(1-^
При РЛ+1 <(6/г)" отношение правой части этого
неравенства к той, которая должна быть согласно теореме,
будет
п(п+\) п
(6«) 2 "-' ^,
(20n) 2
что полностью доказывает теорему и для случая
/ = Л+1. Но теорема полностью верна при / = 1, так
как при /^(бм)" она следует из
1 1
f ... J | 7* |2bl rfa« .. - da,<P2\
Э&, je^_ 2 ft-i
<;-i^ < i
2»l-i!i£bli.+-*Ш a-v) "^ " «Mil"
D^ 2 2 (20/г) 2
Следовательно, теорема верна всегда.
Только что доказанная теорема 1 верна и для
некоторых гораздо более общих сумм Г0. Это вытекает из
нижеследующей леммы.
Лемма 6. Пусть
1 1
/' = J ... J | Го I26 dan ... da,; Го» J * M еШ( w»
0 0 0<Х<Р
где ф(л:) для рассматриваемых значений х
удовлетворяет условию | г|э (л:) | ^ 1. Тогда имеем
— 63 —

Доказательство. Интеграл V равен сумме
2 ... 2*(*i) .-• *(**)*(**+i) ••• Ф(*2*).
*2&
распространенной на все решения той самой системы (1),
числом решений которой является интеграл /.
Теорема 2. Пусть С — положительное постоянное
число. Пусть k^9. Из n-мерной области Нп,
ограниченной неравенствами О ^ ап < 1, ..., 0 < с^ < 1, можно
выделить такую область Q с объемом, не превосходящим
1(20/1) 2 (Г2") С I 4 + ix
/г(гс+1) я(я+1) 4 In fe-0,5
X Р 2 2 * ,
'/то для точек (а„, ..., щ) оставшейся области будем
иметь
|Г|<СР *. (12)
Доказательство. Область ITft можно разбить на
одинаковые n-мерные кубы со столь малой стороной,
что модуль разности значений | Т \2Ь, отвечающих двум
точкам одного и того же куба, будет меньше разности
между правой и левой частями неравенства теоремы 1.
Под областью Q мы будем разуметь область,
образованную теми кубами, которые содержат по меньшей
мере одну точку, не удовлетворяющую условию (12).
Полагая
A = ln-j» l = [nh], a = {nh)
и обозначая объем области Q символом R, согласно
теореме 1 будем иметь
Л l\oh oh rc(tt+l) , п{п + \) (]_v)l
Rc2bipV~)2b'<Dlp2bi—r-+-T-( \
Отсюда следует неравенство
п(п+\) , n (/i+l) , .,
R<Dfi-»'p-—+—\ Я-^^. + 0-v)',
- 64 —

которое, ввиду
I < 1 /1 -f 4(/г/?~р) j_ 4v 4- 4 \ < 4 ln k - °>5
^ £ V л+1 /г-И (I -v)a/ к
и доказывает теорему.
Замечание. В силу леммы 6 теорема 2 и ее
доказательство останутся верными, если мы сумму Т
заменим суммою Г0 леммы 6.
Лемма 7. Каждому целому у отвечает своя'точка
(Уя-1, ..., Yx) п~ 1-мерного пространства, определяемая
разложением
f{x + y)-f{y) = anxn+Yn-xx«-{ + ... + Y{x
разности f(x + y) — f(y) no степеням х.
Пусть Y — целое положительное число меньшее, чем Р.
Необходимым условием того, чтобы точка, отвечающая
какому-либо числу у ряда О, ..., У, путем добавления
к ее координатам слагаемых, численно соответственно
не превосходящих
J — p~n+l г — Р""1
могла быть сделана сравнимой с точкой, отвечающей
какому-либо определенному числу у0 того же ряда,
является выполнение при s = n, ..., 2 неравенств
/з \n~s
- (п ... sas(y-y0))^n ... (5+ O^g-zij i*-i-
Доказательство. Находим
>Vi = (")<*«# +<*„_,,
Yn-2 = ( 2 ) апУ2 + ( П 7 ! ) а«- I» + а"-2,
^-з = (з)а^3 + (Аг^1 ) а«_, г/2 + ( ^ 7 2 ) а«-2^ + а«~з,
^-i - («-2+1)««У-—1"1 + (^Zi) «»_1Лг«— -н
Полагая
/а, (У ~ %) = Д., */'-> + у/-2% + ... + у/-1 = А,_р
3 И. П. Виноградов -— 65 —

убеждаемся, что следствием требования леммы являются
следующие сравнения:
^п~з^п-з= [ 3) -JtAn + [ 2 )тгг^-1 + 4-2.
е,_',.,.',-(';_;+',)¥^+(;:')-^л-,+"
+(."-Ti.)JS?-^-+-+CV)7$r^.+^
Умножая эти сравнения соответственно на числа
D„=l, Dfl_, = n, ..., D5 = n ... (s + 1),
получим
8/1-2^/1-1^1-2=^ j J ~2 "5ЦГ П ^~ ^n~l n~l>
D П / —{n-\ \ h2 Dn-2 n л ,
Здесь коэффициенты при произведениях DfAf являются
целыми числами (DsD7l делятся на t> если s</).
Поэтому наши сравнения не нарушатся от замены этих
произведений числами, с ними сравнимыми. Последнее
обстоятельство в соединении с соотношениями
~r<PJ 0>0), P'L,-I«-* (s>i)
— 66 -

и позволит нам доказать неравенство леммы, которое,
как нетрудно видеть, можно записать так:
(DSAS)<(± of'* DSLS-.U
Действительно, первое сравнение сразу дает
(DnAn)^DnLn_u
Применяя это неравенство, из второго сравнения находим
(Dn_H„-.) < Dre_,Lre_2 + ( п ~' ) PDn^Ln-x =
Следовательно (применяем метод индукции), остается,
сделав при s<n~ 1 предположение, что лемма верна
для всех (DS'As>) с s'>s, доказать, что она верна и
для (DSAS). Но при указанном предположении
последнее из наших сравнений дает
(D.A.) <DSLS.{ + (nnZ\) P*~°DsLn-x +
•••+(l)P(frt)" ^ DSLS<DSLS-X{^n)n \
((2\n~s mre-s-1 /2\n~s~2 _2\
x [Ш i u) ■ ш | +JL <
A V (n-s)l ^ (rt-s-1)! ^ (ra-s-2)! T ••' T 1|/ v
< DSLS_,(| «)""' (Д - l) < (4 rt)""' D.L,_,.
Лемма 8. Пусть m — целое положительное, X —
вещественное,
ф{у) = тЖ±*±; (a,q)=l, q>0,
причем у пробегает ^ Y последовательных целых чисел.
Тогда при V ^ О число значений у с условием
(Ф(у)) <W* (13)
3* — 67 —

не превосходит
XYm + m + 2V, если Y<?>
ov
{KYm + m + 2V) -~ , если Y >q.
ч
Доказательство. Будем предполагать, что X ^ О,
так как при к < О можно рассматривать функцию — Ф(#),
обладающую свойством ( — Ф (у)) = (Ф (у)).
Сначала рассмотрим первый случай, и пока лишь
при т= 1. Пусть у0 — наименьшее значение у> Б —целая
часть, а р —дробная часть числа Ху0. Обозначая
буквою z наименьший неотрицательный вычет числа ау + В
по модулю q и полагая $ + к(у — Уо) = <р(г), получим
(ф(у)) = (£±^); Р<Ф(г)<р + яг.
Нетрудно показать, что число значений у с условием
(13) будет
ОУ+1 + 2У.
Действительно, при q ^ЯУ + 1 + 2V это утверждение
очевидно, а в противном случае оно следует из того
обстоятельства, что случаями, когда неравенство (13)
возможно, могут быть лишь такие:
z = q-[$ + W + V], ..., </-1, О, 1, ..., [У-р].
Телерь рассмотрим первый случай при любом т.
Пусть (m, q) = d9 m = m{d, q = qxd. Находим
ау + Ху _ тхау-\-тхХу
Я Я\
Среди Yi^q{ последовательных значений у число
удовлетворяющих условию
согласно доказанному, будет
^mlXY[+l+2Vd-1.
Следовательно, среди всех значений у число
удовлетворяющих этому условию будет
< m{KY + d + 2V < XYm + m + 2V.
— 68 —

Второе утверждение нашей леммы является
тривиальным следствием первого.
Лемма 9. Пусть Р ^ пп\ m — целое положительное
ч число, не превосходящее P4v, и каждому целому числу у
отвечает своя точка (mYn-U ... , mY{), определяемая
разложением
mf{x + y) — mf{y) = manxn + mYn_lxn-l+ ... +mYlx
многочлена mf(x + y) — mf{y) no степеням х. Каждому
s ~ п, ... , 2 приведем в соответствие свое число т5 = Р5-°»5,
причем (что всегда возможно) as представим в виде
и символом Q0 обозначим общее наименьшее кратное
чисел qn, ... , <72-
Пусть G--число тех из точек, отвечающих чирлам у
ряда 0, ... , Р7-1, которые путем добавления к их
координатам чисел, численно не превосходящих
соответственно
т __ р—/г + 1 / — p-i
могут быть сделаны сравнимыми с точкой, отвечающей
какому-либо определенному числу у0 того же ряда.
Тогда будем иметь
G < шп2п -2 Р0»5 + °'4\ если Q0 > .P^-w ^
G < mn2n ~2 PQ~1, если QQ < Р°«5~ °«4v.
Доказательство. Сначала допустим, что имеется
по меньшей мере одно qs с условием ^s^P°'5~°'4v (тогда
Q0^ po.5-o.4v)e Согласно лемме 7 число G не
превосходит числа значений у■ = у — у0 с.условием
i.-i
(n...smasy'+n... smQsTsly'\-^ /3 ' \л~"
Поэтому для определения верхней границы числа G
можно воспользоваться леммой 8. Получим- --
G «л ... sm(Pl-s+°*+ \) + 2n ... (5+1)(| п)П~*qsLG-x)H\
# = 1 в случае P^qs,
2Р
//= в случае P>qs
- 69 -

А так как в первом случае имеем
а во втором случае имеем
то в обоих случаях находим
G < тп! (2 + (-| пУ ~2) Р°>5 + °»4v < тм2* -2 Р0»5 + °»4v.
Теперь допустим, что каждое qs не превосходит po.s-o,4ve
Тогда при s = п> ... , 2 находим
|n...smeet7I/|<0flln...(s+l)({n),l"2flfIp-' + J<0>l.
Поэтому я ... smz/' делится на каждое из
рассматриваемых qs и, следовательно, делится на Q0. Пусть
(л ... sm, Q0) = d, Q0 == Qjd.
Поскольку yf должно делиться на Qu то имеем
°<£+1-£+«•
где в случае Q0^P°'5""°'4v последняя сумма будет
< р0,5 + 0,4V d+l< 2dP0'5 + °'4v,
а в случае Q0<P°'5~°'4v последняя сумма будет
Отсюда и из
2d^2mnl<mn2n-2
убедимся, что лемма верна и при последнем допущении.
Лемма 10. Пусть п ^ 12 и каждому s = n, ... , 2
приведено в соответствие свое число т5 = Р5-°»5, причем as
представлено в виде
Яри эгол« предполагаем, что общее наименьшее кратное
Q0 чисел qny ... , q2 удовлетворяет условию Q0 > P°»5-°»4v.
Пусть, далее,
Р = 4"> ,k = 8n2 (Inn + 0,5 In Inn +1,3).
- 70 —

Тогда при целом положительном т, не превосходящем Р2р,
имеем
\Tm\<c(n)pi-e; с(п) = (20п)т.
Д ок.аз ател ьств о. Ограничимся предположением
Р^пп\ так как в противном случае лемма очевидна.
Положив
y-[pi-p]f
мы каждому у, взятому из ряда 0, ... , У, приведем в
соответствие область (#)' точек (цп_р ... , r]Q п—
1-мерного пространства, ограниченную неравенствами
(обозначения леммы 9)
ту*-!-0,5 1^1р-р<г]^1<тУ^1+0,5 Ln^P^y
тУ,-0,5 11р-р<т][<тУ1 + 0,5 LxP~e.
Область точек (Ли-1, -. - > Ц\)> сравнимых с точками
этой области, но лежащих в области Лп (см.
предисловие к главе), назовем областью {у). Согласно лемме 9
число областей {у), пересекающихся с заданной
областью {у0)9 будет
<mn2n-2P°>5 + °>4v.
Поэтому среди всех областей {у) найдется
у + J p0,5-3p-0,4v
> mn2n-2P°>5+0'4v > Т^2
непересекающихся. Область, покрытую последними,
назовем областью Q. Объем V области Q, очевидно,
удовлетворяет неравенству
p0,5-3p-0,4v _n(n-l)
V> гп-2 Р 2 >п~2»+2Р
Полагая
fly)— у etoM(mf(x+y)-mf(y))
х=\
при любом у, взятом из ряда 0, ..., У,
\ТМ-?$\<2У.
— 71 —
_£i^IL+0,5-0,5v
(14)
находим

Далее, для суммы Г(т£_Р • • •> лО> отвечающей любой
точке области (у)'у согласно лемме 9 гл. 2, имеем
\Т%-Т(г1'п_1>...,ч'М<л(п-\)Р>-е.
Поэтому для любой точки (Лп-1» • • •! *h) области Q
справедливо неравенство
\Тт-Т{цп-и...,г\1)\<япР1-р.
Теперь предположим, что
\Тт\>(20п)^Р1^.
Тогда для всей области Q будет
|Г(чЛ_„...,т11)|>(20(л-1))'*Р,-р,
и, следовательно, согласно теореме 2 (замечание к ней
с г|) (л:) = в2я,тая* ), для объема V области Q получим
неравенство
п2(п-\) n(n-l) n(n-\) 4Infe-0,5
V<{20{n-l)) 8 P 2 2 * .
Сравнивая его с неравенством (14) и замечая, что
множитель при степени Р его правой части меньше
соответствующего множителя правой части неравенства (14),
получим
nt л с ^ п (я— 1) 4 In & — 0,5 « . 9 4 In/г —0,5
0,5 - 0,5v < —^—- 1 , Kn2 g—-,
что, как нетрудно проверить, неверно. Поэтому неверно
сделанное нами предположение, а верно
противоположное.
Теорема 3. ПустьЬ — постоянное число с условием
п^12. Точки n-мерного пространства мы разобьем
на два класса — точки первого класса и точки второго
класса. Точкою первого класса мы назовем точку
(t.+* *+*)•
где первые слагаемые — рациональные несократимые
дроби с положительными знаменателями, имеющими
- 72 —

общим наименьшим кратным число Q, не
превосходящее Pv, вторые же слагаемые удовлетворяют условию
\zs\<P~s+\
Точкою второго класса мы назовем точку, не
являющуюся точкою первого класса.
Тогда, полагая
= 1
р 8/22(In/2 + 0,51nlnn+l,3) '
мы при m ^ Р2р для точек второго класса будем иметь
I Tm |< Р1~р.
А, полагая
6s = zsPs, 60 = max(|6J, ..., |6,|),
мы при m^P4v2 для точек первого класса будем иметь
\Tm\<P(myQ)vQ'v+Eo
или также
I Tm К PQ~V+%~V, если б0> 1.
Доказательство. Не нарушая общности, будем
предполагать, что Р^пп\
Сначала докажем теорему для точек первого класса.
Вводя подстановку
* = QE + ri,
где г\ пробегает значения 1, ..., Q, а £ при заданном ц
пробегает целые числа интервала
Q ^ь5^ q >
получим
Tm = l>e \qn «, )W .
дет = y*e2ni(mzn(Ql + i\)n'+... +m2l<Ql + i\))
Производная по £ от многочлена, стоящего в скобках
показателя в выражении для W^ численно не
превосходит
-^^mQP-"I+v<0,01.
— 73 -

Поэтому сумму W^ можно разбить на не более чем 2п
сумм, к каждой из которых можно применить лемму 3
гл. 2. Получим
Р-Ч)
W = Г ^(тгл^ + Ч)Я+...+тг1((гб+т|))^+0^^ =
Q
откуда уже легко выводим
Tm=UV + 0(Q); и = ±£е U «i >,
1
V == р Г еш-(тЬп*п+ ••• +mV)^.
Применяя теорему 1 гл. 3, а в случае б0^1 также и
лемму 4 гл. 2, мы и убедимся в справедливости
теоремы для точек первого класса.
Теперь докажем теорему для точек второго класса.
Каждому s = пу ..., 1 мы приведем в соответствие свое
число ts = р5"""0,5, причем число <xs представим в виде
ct5 = V- + z5; (a8, qs)=U 0 < ?5 < т5, \zs\<-
4S HS^s
Общее наименьшее кратное чисел qn, ..., q2 мы
обозначим символом Q0.
В случае Q0>P0,5"0,4v справедливость теоремы
следует из леммы 10.
В случае Q0<P0'5~0,4v мы преобразуем сумму Тт
подстановкой х = Q0| + л» где т] пробегает значения
1, ..., Q0, a £ при заданном т] пробегает целые числа
интервала
Qo^e^ Qo '
- 74 —

Получим
( ап п а\ \
2^Hm^/1(Q0i+n)ft+ ... +me2(Q0S + t|)4(-^ + me1Q0J5 + '«2iil)
I
причем а\ обозначает ближайшее к нулю число,
сравнимое с mfliQo по модулю q{. Производная по | от
многочлена, стоящего в скобках показателя в выражении
для W^y численно не превосходит
0,5 + ^^mQ0p--1+v<0,51.
Поэтому сумму W^ можно разбить на не более чем 2п
сумм, к каждой из которых можно применить лемму 3
гл. 2. Получим
= I е V Vi / -dl +
JL
+ 0(1),
^Biff+0,,);
Я= J в V W' 0/ Qo ' /Л>
0
Допустим сначала, что mQ^ не делится на q{. Тогда
коэффициент при первой степени / многочлена,
стоящего в скобках показателя, численно
/1 mQo \ Р Р > P°>4V
U, q.P0'5) Qo 2qiQa ^ 2
Поэтому, применяя лемму 4 гл. 2, получим
| Н |<62м(^)"" < P~°'4v2 < Р"р.
— 75 —

дтсюда будет следовать:
Допустим, наконец, что tnQ0 делится на qx. Тогда легко
найдем
Tm=UV + O{Q0);
1
V = p ( e2nt (w6^+ ' *' +mV) dt.
. о
Применяя теорему 1 гл. 3, а в случае б0>1 также и
лемму 4 гл. 2, получим | Тт К Р (т, Qo)vQo"v+e° или также
|rj<PQ~v+E°60~v, если б0>1. В случае Q0>P°'{V
первое неравенство при т ^ Р2рдаст | Тт | <С Р1-р, а в случае
&о^ РУ второе неравенство при m <Р2р даст | Тт |<Р1~Р.
Остается случай, когда одновременно QQ<P°'ly и
60<PV. Но в этом случае при т^Р4у\ ввиду
делимости mQQ на qu имеем Q^mQ0<Pv, а поскольку
одновременно Q<PV и 60<PV, то этот случай входит в
случай точек первого класса.
Теорема доказана полностью.
Теорема 4. Пусть п — постоянное, п^ 12, г—
целое, г^2гг,
г{ = [м2 (2 In п + In In n + 2,6)].
Тогда, полагая
1 1
/r=J ... JlTTA*» -... d«i,
О О
будем иметь
'г<^ 2 ...... г
Доказательство. Не нарушая общности, будем
предполагать, что Р^пп\ Рассмотрим интеграл/2г„
положив
п2 + h , , , / , Г ^ (« + 1) . л
^0 = —2— + &/; &/ = /!/+[ 4 + Ч»
- 76 -

где h = 0 при четном п и h = 1 при нечетном п> причем
в качестве / выберем возможно меньшее целое число
с условием
»J«+!L(i-v)'<»«p; P~8„4,nn + 0jlnlnra+1)3)- (15)
Очевидно, в качестве такого I можно взять
In (4/2 (n+1) (In п + 0,5 In In n + 1,3))
.2 «3 +
. v , v .
'■
При этом легко найдем
1<п{\ - у)(1п4+-21пгс + 1п1пд +
+ ln(l+ Q-51ni;;+U3) + v)+Kn(21nAz + lnlnAz+l,8>.
Поэтому при выбранном / будем иметь
г0<я2(21пя + 1п1пд+1,8) + -£+я("4+1) +1,5<
<n2(21nn + lnlnn + 2,6).
Заменив область интегрирования следующей:
-p-"+v<an<-P-"+v + l,...
...,-Р-1+у<Щ<-Р-1+ч+1,
мы разобьем эту йовую область на области первого
класса и область второго класса. Областью первого
класса мы будем называть область, ограниченную
неравенствами
.St-p-H-^a<°n+p-"+\ ...
Яп Яп
где выполнены условия
причем общее наименьшее кратное Q чисел <7и> •••, q\
не превосходит Pv. Нетрудно видеть, что области
первого класса не налегают друг на друга.
— 77 —

Область, оставшуюся после выделения областей
первого класса, назовем областью второго класса.
Соответственно разбиению области интегрирования
на области первого класса и область второго класса
интеграл hr, разобьется на сумму двух слагаемых:
hn — hn + hro-
Сначала рассмотрим /£0. Согласно теореме 3 (при т=1)
в области второго класса имеем
I j, ,n2+h ~, pn2+h—n2Q
Следовательно,
£§<р*+»-«* J ... j]Tfbidan. ..do,,
О О
откуда, применяя теорему 1 и пользуясь неравенством
(15), выводим
п(п+\)
it.«Р2Г°-^-.
Теперь оценим интеграл 1^ Сначала оценим его
часть Я, отвечающую какой-либо определенной области
первого класса с заданным значением Q. Согласно
теореме 3 в такой области имеет место неравенство
|Г|< PQ"v+8°min(l, 60-v)>
которое мы заменим более грубым, но более удобным
|r|<PQ-v+8° min(l, |6„Г2)... min(l, | б, Г); б5 = zsP\
после чего легко найдем
р-Я + V
\Н\< p*-Q-**+*'. j* min (l, б„-^«) dzn...
О
p-l + v
... J min(l, &?**•)dzi =
о
= p2roQ-2vr0 + 2e0rop j- J m.n (1> й-2*г.)Ля ^ ^ _
0
nV
... J mind, 6r2vro)rf6,<P ° ~д-*г,+2в^
о
— 78 —

так как
pv х pv
J min(l, 672vVo)d65 = J d6s+ J 672v2rod6s < 1.
0 0 1
Результат суммирования этой границы для | Н | по всем
областям первого класса с заданным значением Q будет
<^- р2го- 2 Q-2vr0 + 2E0r0 + l
Поэтому
/г(п+1) я (/1 + 1)
0<Q<Pv
Теорема доказана полностью.
Лемма 11. Пусть п ^ 20, а и а{ — целые, а<а{^ 2а,
t = а*"9, 0 < 9 < 1. Тогда для суммы
t In и
S== JJ e2^F(„). /?(tf)e_
имеем неравенство
2я
a<«<ai
| 5 |<2а 30000tt\
Доказательство. Мы ограничимся лишь
случаем а>е20Шп\ так как в противном случае лемма
очевидна. Пусть Р = 1а3\, и пусть х и у пробегают
значения 1, ..., Р. Пусть
nQ = Sn, r = 2&, fr = 5n02 + [no(^+1) +l].
Заменяя и на м + *#, легко найдем
2_
X У
Далее, вводя обозначение
- 79 —

получим
2 е2П1(А\Г\Х+>--+АП)УпохП°)
(16)
iser<p'-' 2
Пусть & = 100, х = 0,01, причем каждому 5 = м0, ..., 1
отвечает свое
где Cs —число с условием 12,6 <!CS<] 13, выбранное
так, чтобы знаменатель был целым числом. Область П„о
мы разобьем на малые м-мерные параллелепипеды со
сторонами dn, ..., d{.
Пусть в области какого-либо из этих
параллелепипедов имеется точка (аЯо, ..., аг) с условием
|Г(*ч, .... си) | >/>'-*. (17)
Для любой точки (а^о, ..., а[) того же параллелепипеда,
согласно лемме 9 гл. 2, получим
1т>;о)..., о-гк аМ<2ппо-&£^<0*р1~"'
1П< аО|>0,5Я,-и.
Поэтому, обозначая буквою М число различных малых
параллелепипедов, имеющих каждый не менее одной
точки с условием (17), согласно теореме 2 будем иметь
Md„l\..dl-M(C....Ct)-lnfP 2 ' <
По
k
I tujih+l) \ftoln-j n0(n0+l) no(n0+\) Mttp+l) 41nfe-0,5
<1(20яо) 2 2*к) 2 2 P 2 2 * ,
откуда после несложных упрощений получим
AI<(20/io) 2 P 2 * .
Значениями Ys могут быть лишь целые числа r\s
интервала — bPs<r\s<bP\ причем, согласно теореме 1, число
решений системы ^о = Л„0» •••> Y^^ne превосходит
no(n0+\) /го(/г0+1) , /to(tto+l) 5
U = (20n0)~T-M°P2" ~*~~ e ■
— 80 —

з
При yn<s<3rt-4 все значения Asr\s лежат в
интервале с длиною 26. Число значений {Л5т]5},
попадающих в интервал с длиною ds, не превосходит
2b[ds\As Г1 + l)<2bPsPs~3n+\
При n<s^-^n — 2 имеем \As\>ds и число
значений {A8i\8}, попадающих в интервал с длиною ds, не
превосходит
2bPs\As\+\<2bPsPSn~Ss.
Наконец, при любом из оставшихся значений s число
значений {А^Л» попадающих в интервал с длиною ds>
не превосходит 2ЬР\ Следовательно, общее число точек
({ЛлЛ> •••»{^iTli})» попадающих в заданный малый
параллелепипед, не превосходит
/io(/to+l)
(2Ь)По Р—§— П ps-3/l+3 ТТ рЗп-з5<
3 3
~rt<s<3rc-4 /г<5< —rt—2
<(2йГр 2 2 2 <(2&ГР ^ (! °*\
Умножив последнее выражение на верхнюю границу для
М и на U, для числа 11? систем (У„0, ..., Г г) с условием
ШЛЛ, .... A{YX)\>PX~* (18)
получим неравенство
W<{20noJ——n°«M\2br P — ("-Т- 5)<
2
<(2(Ц) 2 Р 2 <РГ-1.
Если мы заменим модуль суммы Т(ЛгХг, .."., A\Y\)
числом Р в каждом из W случаев (18) и числом Р*~к
в каждом из Pr — W оставшихся случаев, то из
неравенства (16) получим
\Sj<2P2r^y |SJ<27P2~^,
1--
\S\<2raP r +2a3<2a a>«»»2.

Глава 5
Распределение дробных частей
значений многочлена
Обозначения, п — постоянное число с условием
л>12;
аЛ, ..., а! — вещественные; f(х) = апхп + ... +а{х;
Р — целое положительное число.
И = Пп сохраняет значение, указанное в гл. 4.
С рассмотренной в гл. 4 проблемой о верхней
границе модуля суммы Тт тесно связана проблема
распределения дробных частей {/(*)} значений многочлена / (л;),
отвечающих значениям х=1, ..., Р. Общее решение
этой проблемы здесь дается в теореме 1.
Если сохраним то же самое подразделение точек
(аП) ..., щ) м-мерного пространства на классы, какое
было принято в теореме 3 гл. 4, то это общее решение
можно сформулировать так:
Пусть а —любое число с условием 0<а^1 и число
D(a) чисел ряда х=1, ..., Р с условием {f(x)}<a
представлено в виде
D(o) = Po + l{o).
Тогда будем иметь Л(а)^РА0, где, полагая
1
Ро"~ 8/г2 (In « 4- 0,5 In In « + 1,4) *
мы для точек второго класса будем иметь
А, полагая 60 = min(|zjP", ..., \z{\P), для точек
первого класса будем иметь
A0 = Q~v+e", если б0<1,
A0 = Q-v+e'V+e", если б0>1.
- $2 -

Большим удобством этого общего решения является
то обстоятельство, что область точек первого класса
составляет крайне ничтожную часть области ПЛ. Для
всей же оставшейся части области П„ — области точек
второго класса — верхняя граница модуля числа Я(сг)
дается единообразным неравенством |Л(ст)| < Р1_"Ро.
Важным дополнением к теореме 1 является теорема 2.
В частности, из нее следует, что при &0^15,
некотором с(п, kQ) и некотором j(kQ) с условием 0,03</(&0)< 1,
неограниченно приближающемся к 1 при
неограниченном возрастании k0, из области Ип можно исключить
область Q' с объемом, не превосходящим
с(п, k0)P 2
такую, что для любой точки оставшейся области
независимо от выбора числа а будет справедливо
неравенство
|Я(ог)|<6Р *.
Взяв для простоты £0=15, отсюда убеждаемся, что
в теореме 1 для всех точек второго класса области ПЛ,
кроме, быть может, принадлежащих области Q' с
объемом, не превосходящим
с (п) Р 2
неравенство
Я(л)< Р1"*
крайне грубо и может быть заменено несравнимо более
лучшим неравенством
1--1
|Л(л)|<6Р 15.
Теорема 1. Пусть п^12. Точки n-мерного
пространства мы разобьем на два класса —точки первого
класса и точки второго класса. Точкою первого класса
мы назовем точку
(*+* f+4
— 83 —

где первые слагаемые—рациональные несократимые дроби
с положительными знаменателями, имеющими общим
наименьшим кратным число Q, не превосходящее Pv;
вторые же слагаемые удовлетворяют условию
i*si<p-s+v.
Точкою второго класса назовем точку, не являющуюся
точкою первого класса.
Пусть а — любое число с условием 0<сг<1 и число
Dia\.чисел ряда х = 1, ..., Р с условием {f(x))<P пред-
ставлено в виде
D(o) = Po + X{a).
Тогда будем иметь
Л(а)<РА0,
еде, полагая
1_
Ро 8я* (In л + 0,5 In Inn+1,4)'
мы для точек второго класса будем иметь
До = Р-рв.
А, полагая
&o = max(\zn\Pn, ..., [*, |Р),
для точек первого класса будем иметь
или также
A0 = Q-v+eVv+e", если\>\.
Доказательство. Для точек второго класса
положим
А = Р"Р; Р = ;
1
8я2(kin+0,5In In я+ 1,3)'
А для точек первого класса положим
A = Q~v+% если б0<1,
А = Q~v+8°60~v, если б0>1.
Полагая
р
— 84 —

при т<!Д"Л согласно теореме 3 гл. 4, будем иметь:
|Гт|<РА для точек второго класса,
|ГтК(т, Q)VPA для точек первого класса или
также
|ГтКРД для точек первого класса при б0^1.
Не нарушая общности, будем предполагать, что
Д ^0,1, так как в противном случае теорема
тривиальна.
Взяв любые аире условием Д^р — а<^1— Д, и
положив г=1, рассмотрим периодическую функцию
ф(лг) с периодом 1, указанную в лемме 2 гл. 2. Тогда
будем иметь:
^(/(л:)) = 1, если а + 0,5Д</(*)<р-0,5Д(тосП),
0<ф(/Ч*))< 1,если а-0,5Д< f(x)<a + QM(modJ)
или р - 0,5Д < / (х)< ,} Н- 0,5Д (mod 1),
ф (/ (х)) = 0, если р + 0,5Д < / {х) < 1 + а - 0,5Д (mod 1),
оо
iK/W) = p-a+2 (8теШт!{х) + hme-™ <*>), (1)
т=1
где
Полагая ради краткости
U (а, р)= 2 ф(/(*)),
0<х<Р
мы из (1) выводим
£/(<*, p) = P(p-a) + tf;
я<< £ Ш+ £ i^4
2j -ж
А~2<т
В случае, когда (а„, ..., а^ —точка второго класса,
отсюда легко найдем
Л< 2 1Г + S ^ + ^<^А1п(Д-0<РДо.
0<т<А~1 Д_1<т<Л~2
- 85 —

В случае, когда (ап, ..., а^ —точка первого класса
с условием 60^1, очевидно, получим тот же самый
результат.
Наконец, в случае, когда (ап, ..., а^—точка
первого класса с условием б0<1, получим
Часть суммы первых двух слагаемых справа,
отвечающая случаю (m, Q) = rf, будет
«рл/V-1 £ -^+<г-2 s -цл«
-1 -1 т1 -1-12 1 ЛШ1
<p^dv-l infA-1).
А поскольку d может быть лишь делителем числа Q,
то, применяя лемму 5 гл. 1, отсюда получим
#<РД0.
Следовательно, во всех случаях справедлива формула
£/(а,р) = Р(р-а) + О(РА0). (2)
При 0<р — а<!1 символом D(a, р) мы будем
обозначать число чисел ряда #= 1, ..., Р с условием а^
</(*)<p(modl).
В случае 2Д ^ р — а ^ 1 — 2Д из очевидных неравенств
U (a + 0,5Д, р - 0,5А) < D (a, p)< U (а - 0,5А, р + 0,5Д)
и из (2) следует равенство •
. D(a,p) = P(p-a) + O(PA0), (3)
которое легко распространяется и на оставшиеся случаи,
на случай О^р — а<2А — с помощью тождества
£(a, pH£(a, a+ 1 - 2A)-D(p,a + 1 -2Д),
а на случай 1— 2Д<Ср — a^l— с помощью тождества
D(a, p) = Z?(a, a + 2A) + £(a + 2A, p).
Положив в равенстве (3) а = 0, р = а, мы убедимся
в справедливости теоремы.
Теорема 2. Пусть возрастающая последовательность
(х) состоит из Р{ чисел, взятых из ряда 1, ..., Р. Пусть
о — любое число с условием 0<а^1 и число D(a)
— 86 -

чисел последовательности (х) с условием {f (x)} < а
представлено в виде р{а) = Р1а + Х{о).
Тогда при k0^\5 из области Ип можно исключить
такую область Q' с объемом, не превосходящим
п{п+\)
!Я1П4 -^(,.21^)
(20л) 2 P
что для всякой точки (аПУ ..., а{) оставшейся области,
независимо от выбора числа сг, будем иметь
\Х{в)\<ЪР1~~~^.
Доказательство. Рассмотрим сумму
т' = Se2nif {х) •
(Л)
Поскольку эта сумма является частным случаем суммы
леммы 6 гл. 4 (-ф(д:)= 1, если х принадлежит
последовательности (х), и i|)(x) = 0 в противном случае), то к ней
может быть применена теорема 2 гл. 4 (согласно
замечанию к этой теореме). Именно при k = -^k0 из
области Un «-мерного куба 0^<хп<1, ..., 0<aj<l
может быть выделена область Q с объемом, не
превосходящим
п(п+\) . k п(п+\) Л 4 In fc-0,5 4
(20пГТ~пЫ1р — У *—),
такая, что для всякой точки оставшейся области будем
иметь
|Г|<Р *.
Взяв целое положительное т, при целых gn, ...
. .., gu рассмотрим области njj^ ...t g и Q(^, ...,e ,
получаемые из областей П„ и Q путем преобразования, пере-
водящего точку (аПУ ..., а,) в точку ^ п т*п , ..., т ) •
Заставляя каждое gs независимо от остальных
пробегать значения 0, ...,т—1, получим тп областей
П^!..,, 8, которые полностью (и без перекрытий)
покроют область П^. Область, покрытую
соответствующими тп областями Q^ ..., gl, мы назовем областью Q(m).
Объем области Q(m), очевидно, равен объему области Q,
- 67 -

Пусть P>6kot т. к. в противном случае теорема
тривиальна. Положив М = Pky мы область, включающую все
области Q(m)c условием т^М2, и назовем областью Q'.
Объем области Q' не превосходит произведения М2 на
указанную выше верхнюю границу объема области Q
и, как это нетрудно проверить, действительно не
превосходит границы, указанной в теореме.
Из самого способа построения области Q' видно, что
в случае, когда точка {ап, ..., щ) не принадлежит
области Q', всякая сумма вида
Т'т=%е2"^ы,
(х)
где т — целое, численно не превосходящее Af2,
удовлетворяет неравенству
\Т'я\<Р1-\
Положим Д = Л1Г~1 = Р *. Тогда будем иметь Д<тг.
Взяв любые аире условиями Д<р — а<1 — Д и
полагая г=1, рассмотрим периодическую функцию г|)(л:)
с периодом 1, указанную в лемме 2 гл. 2 (см.
доказательство теоремы 1). Тогда будем иметь
со
+ (f(*))=»p-a+2! (gme2nimfM + hme-2nimf^).
m=l
Отсюда, заставляя х пробегать числа
последовательности (л:), полагая ради краткости (2 распространяется
на числа последовательности (х))
£/(а,Р)- 2' гИ/W),
a<f UXP(modl)
в случае, когда точка (аПУ ..., щ) не принадлежит
области Q', получим
|£/(а,р)-ф-а)Р,|<
0<m<M Af<m<Ai2 M2<m
М М2
^рА 1 . 1 fj^.-1- Г rfm ■ 2 .2 Г ^m]^
% UTJl J /If "*" Я2Д J m2 "Г я2Л14Д2 "Г Я2Д2 J m2 I <ч
4 1 Af Af2 /
<Pд(i: + Aln^f + ±)<Pд|(lnM + l,б4)<l,7P,"^,
— 88 —

откуда найдем
{/(а,р) = (р-а)Р| + в1,7Р'~ Ч (4)
Пусть при 0<р —а<1 символ £>(а, р) обозначает
число чисел последовательности (х) с условием а^
<f(jc)<P(modl).
В случае 2А ^ р — а ^ 1 — 2А из очевидных неравенств
U (a + 0.6Л, р - 0.5Д) < D (a, p)<t/ (а - 0,5Д, р + 0.5Л)
и из (4) следует равенство
D(a,p) = (p-a)P1 + 9(l,7P'"^+PA) =
1--L
= (p-a)P, + G'3P *..
В случае О^р —a^2A ввиду тождества
D (а, р) = D (а, а + 1 - 2А) - D (р, а + 1 - 2Д),
а в случае 1—2А^р —a^l ввиду тождества
D (а, р) = D (а, а + 2А) + D (а + 2Д, р)
выводим равенство вида
D(a, p) = (p-a)P, + 9"6P *•.
Следовательно, всегда
i-l
D(a, p) = (p-a)Pl + 0"6P *•.
Положив здесь a = 0, р = а, мы и убедимся в
справедливости теоремы.

Глава в
Асимптотическая формула в проблеме Варинга
Обозначения, м-постоянное, я> 12; г—
постоянное целое, N — целое.
В этой главе дается применение результатов гл. 4
к проблеме Варинга. А именно доказывается (теорема 1),
что асимптотическая формула Харди и Литльвуда
^=(Г(;й>г^+о(^""^)
для числа IN представлений целого положительного
числа N в виде
N = xnx + ... +хпт
с целыми положительными хи ..., хг справедлива при
г > г2; г2 = 2 [п2 (2 In п + In In n + 3)].
Далее путем, указанным Харди и Литльвудом,
доказывается, что © превосходит некоторое положительное
постоянное. Отсюда выводится (следствие)
существование такого числа N0 = N0 (пу г), что при N^N0 (n, г)
имеется 3> Nrv~l представлений числа N в указанном
выше виде.
Результаты гл. 4 с успехом можно применять к
решению и других аддитивных задач теории чисел,
которые можно назвать «обобщениями проблемы Варинга».
К числу таких задач относится, например, задача
о представлении числа N суммою значений многочлена
степени лг ^ 12, принимающего для целых значений
аргумента целые значения, проблема об одновременном
представлении чисел Nn, ..., N\ в виде
Nn = xf+ ... + *?,
N{ = *, + ... +xr
с целыми положительными хи ..., хг и др.
- 90 —

Лемма 1. Пусть
г > г0; г0 = 2гх\ тх = [п2 (2 In п + In In n + 2,6)].
Тогда имеем
1 р
j\Sjda<Pr°-n; Se-2**'<
Доказательство. Пусть каждое *,, ..., хГо
независимо от остальных пробегает значения 1, ..., Р.
Рассматриваемый в лемме интеграл выражает число
решений уравнения
хпх+ ... + *?,-*?,+,- ... -*?=0. (1)
Одновременно с ним при заданных целых Nn-i, ..., Nx
рассмотрим интеграл
J ... j\S\r°e-2nian-tNn-i---ma>N>dan...dal;
Р
S
х-1
s==2 e21" (v"+-+ei*),
(2)
выражающий число решений системы
yft J- 4- г" — Гп — — АГП = О
х, -f ... -гхГ| *Г|+1 ... лГо и,
x{ + ... +xri xri+1 ... xu -w„_p
xf + ... + *г, —*ri+i — ... -Xr^Nu
Этот интеграл численно не превосходит интеграла
1 1
| ... JlSTrfa» ... da,
о о
и, следовательно, согласно теореме 4 гл. 4, будет
л(п+1)
« Р*-~5-.
Но система (2) может оказаться разрешимой лишь в
случае, когда каждое Ns удовлетворяет условию
-r0Ps<Ns<rQPs.
- 91 -

Поэтому число различных систем значений Nn-{, N{,
п{п-\)
при которых система (2) разрешима, будет <Р 2 .
И поскольку число решений уравнения (1) складывается
из чисел решений всех различных систем (2), то оно будет
п(п+\) п(п — \)
го ——
<Р 2 р 2 вр^-»в
А это и доказывает нашу лемму.
Замечание. Лемма 1, очевидно, останется верной,
если мы сумму 5« заменим аналогичной, но
распространенной лишь на какую-либо часть чисел ряда
1, ..., Р, например на простые числа этого ряда.
Лемма 2. Пусть г — целое положительное, N>0,
Kr (N) — число решений в целых положительных хи ..., хт
неравенства
х*+ ... +*»<#.
Тогда
KAN) = TrN™-erN"-v; Тт- ^O+ffi , 6>0.
Доказательство. Очевидно,
и, таким образом, лемма верна для К\ (N).
Далее применим метод индукции. Допустим, что
при каком-либо г^ 1 лемма верна для Kr{N)- Находим
(6">0, е'">0)
Kr+i(N)= J ^r(Af-^) =
Q<x<Nv
0<*<JVv
о
l
tv T- Г/i \rv v-i * «, r(rv + l)r(v) ^
r = 7>J(l-z) z dz = Trv r{rv + [+\J =Tr+l.
0
Следовательно, лемма верна и для /(r+1(Af),
- 92 -

Лемма 3. Пусть
r>r0; r0 = 2[tt2(21nn + lnlntt + 2,6)], P0 = NV,
/.-Je»^rfx, /= J 1Га,е-2лШ da.
0 —oo
Тогда имеем
т __ (Г(1 +V))r Dr-n , n /Dr-rt-0,25\
Доказательство. Пусть Р = [Р0], N{ = [ЛГР"0'25].
Число G решений в целых положительных хи ..., хГ
неравенства
N-Nx<xnx+ ... +*»<W;
согласно лемме 2, можно представить в виде
Кг (N) -Kr{N- Nxj = TrrvNrV-lNi + О (N'^NiPo0'*) -
Но то же самое G можно представить и в виде (лемма б
гл. 2)
J 2 tie-2*™-* da;
D0,5—n . m=*.0
Sa = j *2*<<
*-l
А так как (применяя сначала лемму 8 гл. 2, затем
лемму Л)-легко найти
J J Sk"2"" (^m) da « J I Sa Г -ВД <
р0,5-я m=0 р0,5-я
l-p0,5-ft
<pre-o>5 J \Sa(da<Pro-nNlPo°-'5,
p0,5-n
— 93 —

/
то, сравнив оба наших выражения для G, получим
ira+.v).)' ..pr-nNism
T(rv)
^0 Ny-l
= J* ^Srae-23llaW-m)da + 0(Pro-"NlPo0-25). (3)
D0,5-rc m=0
К сумме Sa применим лемму 3 гл. 2. Так как при
I a|<Ро5~п в интервале 0<х<Р0 имеем |(ахп)' \ ^пРо°'5
(что при Р0^4п2 не превосходит 0,5), то, согласно этой
лемме, находим
Ро
S«-/e + 0(l); 1ъ= \ ё****dx. (4)
о
Положив а^бР^" и преобразовав интеграл /а
подстановкой # = P0£, применим затем лемму 4 гл. 2. Получим
/a<P0D; D-min(l, |d Г).
Теперь из (4) будет следовать
Srae'2nia{N-m) = /k-*w*-«> + о (PJ-'D^1),
откуда, ввиду (а = бР^"Л)
р0,5-л р0,5
р0 р0
J P5-'Z)r-1rfa<P5-',-7 тт(11б-Л,(г-1))^<^-п-1,
D0,5-tt 0
найдем
D0,5-/z D0,5-n
| Sa^2^a(iV-m)da= J Гае-ШаШ-т)4а+0(Рго~пЛ
D0,5-« D0,5—/г
~p0 ""p0
Но разность между интегралом правой части и
интегралом
D0,5-rc
р0
/ae «a,
i)0,5-ft
— 94 -

очевидно (a —6Portj,
р0,5-/г
< j ProDr\eWam-l\da<
p0,5
< Pro~n J min(l, 6-rv)min(l, bPo^db,
0
где подынтегральная функция
<Po"0,25, если 0<6<1,
-rv+lDr0,25 ^пп„ i ^ А ^ D0,25
о Р0 , если 1 < о ^ Р0 ,
6~rv, если Р°о'25<6<Р°о'5
Поэтому указанная разность <Pj " °'25. Ввиду этого
правая часть равенства (3) принимает вид
р0,5-«
_ро,5-ге
А так как каждый из интегралов
_р0,5-»
D0,5-/i
очевидно,
оо оо
< J P5Drda<PS-" J 6"rv d6 < PS"""1,
nO,5-fi D0,5
то эта правая часть преобразуется в
N, \lrae-2MaNdo. + 0{N,Pro-n-^),
— оо
что и убеждает нас в справедливости леммы.
Теорема 1. Пусть
п^12, r>r2; r2 = 2[rc2(21rm + lnlrm + 3)].
~ 95 —

Тогда число IN представлений целого положительного N
в виде
N = xn{ + ... + xj?
с целыми положительными хи ..., хт выражается
формулой
A(Q)- Ц (^V*'*". Sa,Q= J e-K.
0<a<Q 0</<Q
(a, Q)=l
Доказательство. Полагая P = [iVv], находим
i-p-«+v p
-p-n+v x
Интервал интегрирования разобьем на интервалы двух
классов. Представляя а в виде
<х = -|+г; z = 6P~"; (a, Q)=l, 0<a<Q,
мы к первому классу отнесем интервалы, содержащие
значения а с условием
Q<PV; |6|<PV.
Нетрудно видеть, что интервалы первого класса не
пересекаются.
Ко второму классу мы отнесем интервалы,
оставшиеся после выделения интервалов первого класса.
Соответственно указанному разбиению интеграл IN
разобьется на сумму двух слагаемых:
In — In, i +'л!, 2-
Если а принадлежит интервалу второго класса, то,
согласно теореме 3 гл. 4, находим
Sa « Р{-р; р 1
8я2 (In я+ 0,5 In In я + 1,3) '
Полагая г0 = 2[я2(21пм + 1п1п п + 2,6)] и учитывая
тривиальное неравенство г —г0>0,78я2, отсюда выводим
Сг~Го <£" рг—го-0,78п2р
- 96

Поэтому, применяя лемму 1, находим
! _ 1
h. 2 < Pr-r°-°'78*2p J | Sa Г da < p'-"-0-*»* < P" П~ *°In » .
0
Если а принадлежит интервалу первого класса,
включающему дробь -тг, то находим
5«= 2 5(°; 5(/) = ^Я^/П S e*w+*n.
/=1 0<Qw+/<P
Но имеем
| -£- г (Q« 4- 0" | < 1?- « Р V~' < Р""°'8-
Поэтому, согласно лемме 3 гл. 2, находим
S(i)=e2ni^1 j* е2я'*ю«+/>яА/ + 0(1Н
-/<Г
«T1"
= g " /(g)+ 0(1);
/(z) = j ew™ndx, P0 = N\
0
Следовательно,
Sa = ^-/(2) + 0(Pv).
При этом, согласно лемме 4 гл. 2 (замечание), имеем
I{z)<Z', Z = P0min(l, |6fv).
Далее находим
5;e-2J"'aW = (%^)Г е"2"' Т " (/ (z) У е~2яш + О (Zr~] Pv),
откуда, замечая, что
pV—П pV
J Zr-'Pvd2 < Pr-l-n+v J mind, fi-^-'Vfi <
«pv-rc О
<pr-"-1+v,
4 И. М. Виноградов — 97 —

для части интеграла INtU отвечающей выбранному
интервалу, получим выражение
pV-tl
_pV— П
Суммируя последнее выражение по всем
интервалам с заданным значением Q и далее по всем
значениям Q, не превосходящим Pv, получим
pV— П
Гц. 1 - 2 Л (Q) J (/ (г) У e-™zN dz+O (p'—0").
Q<pV _pV-rt
Согласно теореме 1 гл. 3 находим
4(Q)<Q'~vr+eir, @<1, 2 A(Q)<p-iinn.
Q>PV
Кроме того, находим
J Zrdz<Pr-\ j Zrdz<Pr~n-ilnn.
0 pV-ra
Поэтому, применяя лемму 3, получим
что в соединении с установленным выше для !Nt2 и
доказывает нашу теорему.
Обозначения. Далее мы сохраним обозначения
теоремы 1, но будем применять их при более слабых
ограничениях. Мы будем предполагать, что N>0, м^З,
г>0, а число © будем рассматривать при условии
сходимости определяющего его ряда. Кроме того,
символом М (q) мы будем обозначать число решений
сравнения
хпх+ ... +xnr^N (mod?),
где каждое х пробегает значения 0, ...,?— 1. Буквою р
будем обозначать простое число, символом ф(р)—число,
определяемое (в случае сходимости ряда) равенством
г|)(р) = 2Л(/А
- 98 -

Буквою х будем обозначать показатель, с которым р
входит в каноническое разложение числа п\ буквою
Y —число, определяемое равенствами
( х+ 1, если р>2,
\ т + 2, если р = 2.
При s^Y символом hs мы будем обозначать
наибольший из показателей, к которым числа, не делящиеся
на р, принадлежат по модулю р5, определяемый, как
известно, следующим образом:
ф(/Д если р>2 (рт(р- 1) при s = y)>
у<р(25), если р = 2 (2х (2-1) при s = y).
При этом буквою g будем обозначать число,
принадлежащее показателю hs по модулю р5.
Нетрудно показать, что число g будет принадлежать
показателю hSx по модулю pSl при любом si9 взятом
из ряда 5—1, ..., Y- Действительно, предположим,
что g принадлежит показателю а по модулю р91.
Находим (/, tu ...—целые числа)
g° в 1 (mod ps-), g1 = 1 + РЧ
g*p = (l+p4)p=l+ps>+4lf
g<4> = {l+p'*+4{)p=l + p''+42,
g°ps-Si=l + p%-s^l (modps).
Следовательно, ops"Sl делится на hs. А так как
hs = hSips"s\ то а делится на hSl, и поскольку a —
делитель числа hSl, то o = hSl, что и доказывает наше
утверждение.
При р>2 всякому N, не делящемуся на р, отвечает
свое единственное число Ь ряда 0, ..., hs — 1 с
условием
N = gb (modp5).
А при р = 2 всякому N вида 4т + 1 отвечает свое
единственное число Ь ряда 0, ..., hs — 1 с условием
N = gb (mod/*5)-
4* — 99 -
hs = <

Нашей ближайшей задачей является доказательство
того, что при г^4п число © превосходит некоторое
положительное постоянное.
Лемма 4. При г ^ 4га сравнение
хпх + ... +х?шжЫ (mod/Л) (5)
разрешимо с условием, что не все хи ..., хг делятся на р.
Доказательство. Не нарушая общности, мы
будем рассматривать лишь случай 0<N^py.
Если /? = 2, то 2Y = 2x+2<!4ft, и сравнению леммы
можно удовлетворить, взяв первые N значений Xj
равными 1, остальные же г — N значений —равными 0.
Если р>2, то сначала докажем разрешимость
сравнения (5) в предположении, что N не делится на р и
что г —какое-либо число ряда 1, ..., 2п—1. Для этой
цели рассмотрим наименьшее г = г(Л/г), при котором
сравнение (5) разрешимо. Определив Ь из условий (см.
обозначения) 0<&</гу, N = gb (mod/Я7), свяжем N
с наименьшим неотрицательным вычетом v числа Ъ по
модулю п. Если ЛГ —другое число, связанное с тем же
самым v, то, определив Ьх из условий 0^Ь{<ку9
N' = gbi (modpv), убедимся, что при некотором целом k
будет b{ = b + kn. Отсюда найдем
( gk, если &>0,
\ gk+hv, если k<0;
умножив же сравнение (5) почленно на zn, получим
(х{г)я + ... + (хгг)п = ЛГ (mod p%
откуда убедимся, что r(N')^r(N). Аналогично убедимся,
что r{N)^r(N'). Отсюда заключаем, что r(N') = r(N).
Следовательно, все рассматриваемые значения N можно
распределить среди пг^п совокупностей, относя к одной
совокупности значения с одним и тем же
соответствующим значением r(N). Пусть наименьшие представители
этих совокупностей, расположенные в порядке
возрастания, будут
Ni9 ..., Nm.
Наименьшим из рассматриваемых значений N будет
— 100 —

#=1 = 1" (mod/?Y). Поэтому, очевидно,
#, = 1, r(tf,)- 1-2-1.
Равенство г(М,) = 2- 1 — 1 представляет собою частный
случай соотношения
г(Л^)<2/-1,
которое оказывается справедливым и для всех
рассматриваемых Nft что можно установить методом индукции.
Действительно, допустим, что указанное неравенство
уже доказано для чисел Nu ..., Nh меньших Nm. Число
Л^/+1 является наименьшим представителем своей
совокупности, причем одно из чисел #/+1 — 1, W/+I — 2
наверно не делится на р, и, следовательно, для него наше
неравенство уже доказано. Поэтому
г(АГ/+1)<2/-1+2-20'+1)-1,
и наше неравенство верно для Nj+\. В частности, имеем
r(#m)^2m —1 ^2я—1, что и доказывает наше
утверждение.
Нетрудно видеть, что доказанное утверждение будет
верно всегда, если только условие г^2я—1 мы
заменим более широким условием г^2п. Действительно,
если N делится на р, то N — 1 не делится на р и из
хпх+ ... + **=N-1 (modpv); ri<2rc-l,
следует:
*? + ... +х1 + \пш*Ы (modpY).
Это и доказывает нашу лемму, поскольку к левой
части сравнения (5) можно добавлять любое число
слагаемых, равных 0 = 0ftr
Лемма 5. Если
f = a (modpY)
разрешимо при условии, что у не делится на р, то
сравнение
хп^а (modps); s>\,
разрешимо.
Доказательство. Заметим," что при р = 2 и у,
не делящемся на 2, сравнение уп ш* a (mod 2V) может
- 101 -

быть разрешимо лишь в случае, когда а имеет вид
Am + 1. Определив Ь сравнением (см. обозначения)
a^yngb (mod//) (6)
и пользуясь первым сравнением леммы, получим
#*;еее1 (modpY).
Поэтому при некотором целом неотрицательном Ь' будем
иметь (см. обозначения)
Ь = рЦр-1)Ь'.
А так как при любом целом положительном k
gPs-l(P-Dk==i (mod^),
то из (6) выводим
a=zyngP*(p-i)(b'+kps-i-*) (modp5).
Полагая п = рхпь ввиду («,, р)= 1, число & можно выбрать
из условия, что выражение, стоящее во вторых скобках
показателя, будет делиться на пи сам показатель
будет делиться на п и последнее сравнение примет вид
a = {ygf)n (modps)t
где / — целое. А это и доказывает лемму.
Лемма 6. Пусть s>y и г^4п. Тогда
iW(p')>P(5"~Y)(r-1).
Доказательство. Согласно лемме 4 существует
целое у у не делящееся на р, и целые у2, ..., уг с
условием
уп===м-у»- ... -# (modpv).
Заставляя каждое #/ ряда х2> ..., хт пробегать те числа
системы наименьших неотрицательных вычетов по
модулю ps, которые по модулю pY сравнимы с yh получим
p(s-y)(r-\) систем значений хъ *.., хг. Для каждой такой
системы справедливо сравнение
yn^N^.xn^ шшл __хп (modpY)
и, следовательно (лемма 5), разрешимо сравнение
xn = N— х\ — ... -xnr (modp5)-
А это и доказывает лемму.
— 102 -

Лемма 7. Пусть m — положительное целое число.
Тогда
2 A(q)**m-ir-lW(m).
q\m
Доказательство. Применяя лемму 7 гл. 2,
находим
тМ (т) = 2 S . • • 2 е
а=0 х,=0
где сумма слагаемых правой части, отвечающих одному
и тому же значению m{a,m)~~ =qt равна tnrA(q).
Отсюда лемма следует тривиально.
Лемма 8. Имеем
A{q)<qx-*r+™.
Доказательство. Эта лемма является
следствием теоремы 1 гл. 3.
Лемма 9. При qu ..., цъ попарно простых имеем
А(Ч\ ..- Чк)**МЧ1) ... A{qk).
Доказательство. Пусть, соответственно
каждому qSi число Qs определяется равенством qx ...qk~
= qsQs. Пусть аи ..., ak пробегают приведенные
системы вычетов соответственно по модулям qu ,.., qk.
Тогда Qia, + ... + Qkak будет пробегать приведенную
систему вычетов по модулю qx ... qk и мы получим
^■■■l(s{{Qiai+q;;.+qQ;ak)xn)Je
al Ч
Но согласно лемме 1 гл. 3 найдем
Ч"-Ч
J(Qlal+ ••• +<?>«>)*"> = s /fiQifM s№**"
и, кроме того, легко получим
Q,a.+ ... +Qkak (a. ak \
-2ni-±-± =-=-# -2Я/М-ЛГ+... +-Z-N\
Ч — Ч =e ^ ** /
— 103 —

Поэтому найденное для A {qx ... qk) выражение уже
тривиально сведется к A(q{) ... A(qk).
Лемма 10. При г>2м+1 ряды S и ^(р)
абсолютно сходятся, причем
© = Пф(р).
р
Доказательство. Абсолютная сходимость
рядов S и i|)(p) есть следствие леммы 8. Пусть, далее,
|>2. Согласно лемме 9 находим
1Ь(р) = П 2л(рО-2М(<7) + 2'л(<7),
Р<1 Р<1 5=0 <?<£ q>\
где вторая сумма содержит лишь слагаемые,
отвечающие значениям q, не делящимся ни на одно простое
число, превосходящее £. При неограниченном
возрастании I эта вторая сумма стремится к нулю, а первая
сумма стремится к ®.
Лемма 11. При г^Ап имеем
©> 1.
Доказательство. В силу лемм 7 и 6 имеем
2 A (q) > />-«('-D+<«-Y>Cr-D = p-Ytr-D.
<7\P5
Переходя к пределу при s-»oo, получим
Кроме того, согласно лемме 8 находим
оо
-ф(р)- К 2 ps({-vr+W < p-3+8or#
Следовательно, существует такое достаточно большое
постоянное р0, превосходящее 2, что при р>Ро всегда
будет
Жр)-ц<р~2, ъ(р)>1-р-2-
Поэтому, применяя лемму 10, получим
© = П *</>) П ф(р)> П p-Y<f-0 П (1 -р~2) > 1.
Р<Ро Р>Ро P<J^ - Р>Ро
— 104 -

Следствие (утверждение или проблема Варинга).
При любом целом r^rQ; r0 = [2п2(2\пп + \п\пп + 3)],
существует такое достаточно большое положительное
постоянное М0 = N0 (пу г), что всякое целое N^NQ можно
представить в виде
N = xnx + ... + хпг
с целыми положительными Х\у ..., хг.
Доказательство. В асимптотической формуле
нашей теоремы, согласно лемме 11, при некотором
с = с(п,г) мы будем иметь
&>с{п, г),
и, таким образом, главный член этой формулы будет
>4^-N^c(n,r)^N^\
а так как остаточный член этой формулы стремится
к нулю, как величина порядка ниже Nrv~\ то
действительно существует N0 = N0(n, г) такое, что при N^N0
выражение для /N, даваемое нашей формулой, будет
положительным. А это и доказывает указанное следствие.

Глава 7
Суммы по простым числам
Метод, примененный в гл. 4 к разысканию верхней
границы модуля тригонометрической суммы Гт,
распространенной на все целые числа интервала 0<л;<Р,
пригоден и для довольно широкого класса сумм,
распространенных на некоторую часть этих целых чисел.
Прекрасным примером может служить сумма
т' — V J-nimf(p)
1 т — £а сг *
Р<Р
сходная с суммою Тту но распространенная лишь на
простые числа.
В этой главе выводится верхняя граница для модуля
суммы Тт. В отношении точности эта граница
принципиально мало отличается от той, которая дана в гл. 4
для модуля суммы Тт.
Обозначения. При выводе ряда ближайших лемм
мы будем пользоваться следующими обозначениями.
Предполагаем, что п — постоянное,
п > 12, г = 2 [п? (2 In п + In In n + 2,6)],
1
Р 17n2(21n/i + InInn + 2,8) #
Координаты точки (<x„, ..., а!) ^-мерного
пространства мы будем представлять в виде
<*«--?- + *,; {а8, <7.)в1. 0<<7*.
ч$
где для qs и для | zs | будут указываться те или иные
верхние границы. Например, хорошо известно, что при
xs ^ 1 число as можно представить в указанном виде
с условиями
- ии-

Символом Q будем обозначать общее наименьшее
кратное чисел qn, ..., qx, а символом Q0- общее
наименьшее кратное чисел qnf ..., q2.
Число г5 будем представлять в виде zs = 6sP~s.
Положим
60 = тах(|6Д ..., \6Х\).
Будем считать, что Р0 превосходит 1 и выбрано
настолько большим, что при Р^Р0 выполняются все
дальнейшие неравенства, содержащие Р.
Буквою т будем обозначать целое положительное
число, для которого будет указываться та или иная
верхняя граница.
Мы будем рассматривать сумму вида
s = 2222^'mf(TO),
У\ U V Х\
где каждое из переменных */,, и, vy хх пробегает
свою возрастающую последовательность
положительных чисел, взаимно простых с Q, причем v пробегает
значения, взаимно простые с каждым значением хи
исключаются слагаемые с (и, v)>l и суммирование
распространяется лишь на область
С>0'244<^<С>0'5; yxuvxx^P.
Очевидно, сумму S можно представить в виде
S-S^(0Sw; ■ (1)
t
§W _. V у V у e^imf (^,и,о,х,)
У\ Ml Vi Х\
где t пробегает числа, делящие одновременно по
меньшей мере одно значение и и по меньшей мере одно
значение v. А в сумме S{t\ щ и vx пробегают частные от
деления на t значений и и vt кратных t> причем
суммирование распространяется на область
С'Р°'Ш < Ujxux < C"P°'\ t2yxuxvxxx < Р.
Далее, полагая ухщ = у, vxxx = x и обозначая число
решений уравнения ухих = у символом г|)(//), получим
у х
— 107 -

где у и х независимо друг от друга пробегают
некоторые возрастающие последовательности натуральных
чисел, взаимно простых с Q, причем суммирование
распространяется на область
СР%2"Г1<у«ГР™Г\ (2)
fyx < Р,
a i|?(#) для рассматриваемых значений у удовлетворяет
условию 0 < г|э (у) ^ т (у).
В частности, нам встретятся и вырожденные суммы S,
где и принимает единственное значение и=1. Тогда
t принимает единственное значение / = 1 и равенство (1)
обращается в такое:
s = s(l\
Лемма 1. Пусть для каждого s = ny ..., 1 имеем
qs<P%5s, \г,\<- '
qsP°>5s
Пуст by далее,
пг<РА
17д2 (2 In я + In In я+ 2,8)'
и выполнено одно из условий:
1°. Q>P^m;
2°. Q^P ,125, но по меньшей мере для одного s имеем
р0,5
Тогда справедливо неравенство
S < Р1~р.
Доказательство. Интервал (2) можно (Р0
достаточно велико) разбить на <С In P интервалов вида
cY<y^Y; 0,5<c<0,75. (3)
Часть суммы S{t\ отвечающую интервалу (3), обозна"
чим символом S(Y). Пусть pj = 1,02р. В случае t>Pp'
находим
cY<y<Y
О <^ч ^ Ш Г ^ fl.01pl.009p ^ Г *
— 108 —

Далее рассмотрим случай /<Р°'. Положив
мы разобьем интервал (3) на Н интервалов вида
У,-Уо<»<1г1. (4)
Часть суммы 5 (К), отвечающую интервалу (4),
обозначим символом S', а часть, отвечающую значению у,
взятому из интервала (4),— символом Sy. Полагая
у- р
мы для каждого у, взятого из интервала (4), будем иметь
t у t У,
s' = У e2Jlimf {Рух)
Вместе с тем получим
S'<£P*( S \s'v\ + YoXH-l\.
\Ki-Ko<*<Ki /
Далее, положив р7 = р; (у) = ma/f2V» будем иметь
s;=s'(Pn р,)= S в«(^+-+м).
Для суммы S// = S//(r]rt, ..., т!,), отвечающей какой-либо
точке (•»!„, ..., т^) области {у) м-мерного пространства,
ограниченной неравенствами
Р„ - 0,5Х""Р-Р' < ти < рл + 0, вДЛ"*-*,
ft -ОЗ*"1/*-* <тц <Pi + 0.5JT'/>-*,
легко находим (лемма 9 гл. 2)
Sy-S" <£ХР~Р\
откуда выводим
\S'y\r<\s"\' + Xrp-rp\ (5)
Далее находим
. I s' г < pv (П"1 s I s; г+да>-гр'). (6)
- 109 —

Умножая неравенство (5) почленно на
п{п+\)
X 2 Р"Р' Л|я . . . rf4l
и интегрируя по области (у), получим
| s'y Г« /^р*р' J ... J | s" Г au ... a,, + гя-"\
откуда тривиально выводим неравенство
< /^ Р"р1(? J ... J | s* Г dtb,... rft), + y0xrp-rpi,
0 0
где G обозначает максимальное число пересекающихся
областей (у), отвечающих значениям у, взятым из
интервала (4). Отсюда, применяя теорему 4 гл. 4, получим
25 I s' Г < xrpn*G + Y0xrp-rp\
Наконец, из (6) выводим
| S' Г < PerYrQXr (Pmy; + P"rpl). (7)
1°. Оценим G в предположении, что среди чисел qs
имеется по меньшей мере одно, превосходящее Я0-125.
Допустив, что (у) имеет общую точку с {у0)> находим
та/У~^ - - zsme° (ys -$ + е'Х-*р-р' - Ь-, (8)
Qs 4s
где As —целое число с условием Л5 < P(rt"I)Pl. Но при
каждом значении hs сравнению
m{ys-yo)^hs (mod<75)
в приведенной системе вычетов по модулю qs
удовлетворяет <С тРе значений у. Поэтому
G < тРг'[^ + l)p<-1)p« < Yop-OA25P{n+[)* < YQP-0A2\
— ПО —

Далее мы рассмотрим случай, когда для каждого 5
справедливо неравенство
но Q>P0,125. Допустив, что (у) имеет общую точку с (у0),
мы для каждого s будем иметь сравнение (8), где, ввиду
нового ограничения для qsy убедимся, что hs численно
меньше единицы и, следовательно, равно нулю. Поэтому
т (ys — #о) Делится на Qs- Число т (ys* — #*°), где s0 — общее
наименьшее кратное всех чисел s, делится на каждое qs
и, следовательно, делится на Q. Но сравнению
т {У8* ~* УТ) = ° (modQ)
в приведенной системе вычетов по модулю Q
удовлетворяет <С тРг" значений у. Поэтому
j-0,124
G<mP*"(^+ l)<Y0P'
n0.125,
2°. Наконец, мы рассмотрим случай, когда Q^P
но по меньшей мере для одного исключительного 5
имеем
р0,5
При наличии такого исключительного s мы все
значения у разобьем на qs совокупностей, относя к одной
совокупности те из них, которые при заданном t/',
равном одному из чисел 0,..., qs— 1, удовлетворяют
условию
y=t/ (mod^).
Допустив, что для у и у0, принадлежащих одной и
той же совокупности, области {у) и (*/0) имеют общую
точку, найдем
где правая часть численно меньше единицы и,
следовательно, равна нулю. Отсюда легко получим
P°'5mt2sYs-1 (у-у0) x~sP~91 У~Уо < Р""р1
что, ввиду делимости у — у0 на qSf возможно только
при у = Уо- Таким образом, пересечение областей {у)

и (г/0) возможно лишь в случае, когда у и у0
принадлежат различным совокупностям. Поэтому
G<^<P°'125<FoP-0,119///.
Теперь из (7) уже для обоих случаев 1° и 2° выводим
\S'f< РВГУ5Х'.(РЯР,-°'119Я/ + Р~т) <
<YroXr(p-°-n7rt + p-uolrp),
( 0.1177 J_ \
S'<€Y0X\P r t'+p-mp),
I 0,1177 1 \
S{Y)<p[p r tr + Р~шр) Г2.
И из формулы (1) найдем
S < PI_P.
Лемма 2. Пусть для каждого s = n, ..., 1
1*1<
/>'
,0,5
Пусть, далее,
Q<P0'125, m<P2p; p-
17я2 (2 In n + In In /2 + 2,8) *
Тогда при наличии хотя бы одного из условий
1° Q>P°'2\ 2° Q^P°'2\ но 60>PV
будем иметь
\s\<p{-p.
Доказательство. Интервал (2) можно разбить
на <ClnP интервалов вида
cY<y<Y; 0,5<c<0,75. (9)
Часть суммы отвечающую интервалу (9), обозначим
символом S'(Y). Полагая pt = 1 »2р и рассуждая, как и
в доказательстве леммы 1, при t>PQi получим
Далее рассмотрим случай t^P9'. Здесь мы разобьем
интервал (9) на интервалы вида
Yi-YoKy^Yu (10)

где, полагая
Я = [(1-с)£]+1, если Q>P°>2v,
tf = [(l-c)P°'4v]+lf если <Э<Р0»^
берем
Уо-УО-^я-1."
Часть суммы 5 (У), отвечающую интервалу (10), мы
будем обозначать символом S'. Тогда, полагая
х- р
tsYt '
мы для каждого у из интервала (10) будем иметь
t2y t2Y\
Вместе с тем получим
s'= 2 2 Ф0/)евд('зд + о(р%хя-').
Отсюда, переменив порядок суммирования, найдем
\S?f<LX 2 ItIi4(yH{yi)e2nmv'y,'x) + P'*YlX2H-2,
0<х<Х у ух
где Ф{у, уи x) = mf{t2yx) — mf{t2yxx), x пробегает уже
все целые числа указанного интервала, а у и ух
независимо друг от друга пробегают целые числа
интервала (10). Переписав последнее неравенство р виде
|S/P<Jr2S + (y) + (Ух) Wy, Ух + P2eY20X2H-2; (11)
У У\
Wy.y,- 2 е2п1Ф^^х\
0<х^Х
мы займемся сначала суммою Wy,yi. Имеем
Q
™у, ух —■ 2j Su> $v ~" JL e
V=»i 0<Qu + t><X
JXti<S>(y, ylt Qu+v)
*X
113 —

причем находим
Ф (У> !JuQu + v) = F {у, уи v) + k {y9 yu Qu + v)\
Чп 41
* (г/, yi9 Qu + v) = mz/n (yn - уп) (Qu + v)n+ ...
... +mzit2{y-yi){Qu + v).
Но из
m^'^y'-'KoX'-'Q mfopQ p-o,iv
следует:
■^■M». f/b QW + y)<P"°'IV<0,5.
Поэтому, согласно лемме 3 гл. 2, получаем
Q
Sv = e2n^(|f. |f„ о) Г ^2яа(//, у„ QM + u) rfW + О (1) =
V
= e*4F(y, уи v)JL е2ШХ(у, ylt XI) (Ц + 0{1).
О
Вместе с тем находим
wy,yx=uv+om
Q 1
t/ e -1.2 e*w (I/, у» о), К = Я f е2я д <*• уь Ю й\
v=l О
и из формулы (11) получим
| S' I2 < Р^Х 2 21 U 11 V | + Р*Г? (JtQ + Х2Я~2).
Пусть Q>P0,2V и, следовательно, 0,5Q<K0<Q. При
заданном у{ согласно, теореме 2 гл. 3, будем иметь
S|t/K(mf Q)VQ
- 114 -
v ^l-v+e'

Следовательно,
I s' I2 < p2ez2Уo2P2pv"0•2v2+e, < xYoP~0A*v\
S'<XYQp-°'mv\ S(Y)<XYP-°'mv\
m pl-0,07v* pl-p
S(0<-^— <C-V' S<P •
Пусть Q^P'V, но 60>pv и, следовательно, при
некотором 5 модуль коэффициента при |5 в многочлене
Л (#, ^!, XI) будет
Тогда, согласно лемме 4 гл. 2, найдем
y<<Xmin(l>(^iip>i)~V).
При заданном у{ число у\ = \у — у\\ пробегает целые
числа интервала 0^т]^Г0, каждое— не более двух
раз. Следовательно, сумма значений V, отвечающих
данному уи будет
«X ^ mln(li(pvfp<
< х + xp-vYvyJ"v < xk0p-°-6v2.
Теперь легко найдем
s (У) < xrp~°-25v2 <
pl-0,25v2
S("<-^, S<P'-p.
Лемма 3. Пусть при каждом s = n, ..., 1 имеем
1М<р\
/ци«ел< Q^P0'24 и m<P''2v2.
Гогда справедливо неравенство
S<P(lnP)2(m, Q)°'5Q"
- 115 -

Если же по меньшей мере для одного s имеем также
|б5|^1, то справедливо и более точное неравенство
S<P(lnP)2Q-°'5+E'|6J-°'5v.
Доказательство. Интервал (2) можно разбить
на <1пР интервалов вида
cY<y^Y\ 0,5 < с < 0,75. (12)
Часть суммы S{t\ отвечающую интервалу (12),
обозначим символом S{Y). В случае (>Р0,7^ находим (лемма 1
гл. 1)
cY<y<Y
* ^ J ^ ^и- •
Далее рассмотрим случай t^.P0JV\ Пусть Sx
обозначает часть суммы S(K), отвечающую данному
значению х. Находим
У
где суммирование, обозначенное символом 2', распро-
у
страняется на значения у, лежащие в интервале
cY<y<min(£9 Г).
Отсюда находим
\8х?=%'%'ъ(у)цШе™ф(У>У>.*;
У У\
Ф (У, Уъ х) = mf {Pyx) - mf {t2yxx)y
где ух независимо от у пробегает те же значения, что
и у. Далее выводим
0<x<WZy
где х пробегает все целые числа в указанных границах.
Но каждая пара чисел yf и у", выбранных среди
значений интервала (12), может служить парой значений
- 116 -

для у и уи входящих в какое-либо | $хр, тогда и только
тогда, когда х не превосходит наименьшего из чисел
Р Р
t2y' ' t2y" •
Поэтому, меняя порядок суммирования, получим
\S(Y)f^^v^i^(y)^(yl) 2 **'*<"■*.*>;
У Ух °<х<ху,У1
Хи. w. = min
^у. у\
\*2У* 12Ух)'
Но правую часть последнего неравенства можно
представить в виде суммы
Sj -f о2 + 53,
. где S, отвечает случаю # = yu S2 отвечает случаю у<уи
наконец, S3 отвечает случаю у>ух. Согласно лемме 2
гл. 1 находим
У
Замечая же, что 52 и S3 —сопряженные комплексные
числа, получим
I S(Y) р < ^ 2*Ы ^ + -^(lnP)3; (13)
У\
Wyi= 2 г|;(//)/С, /С= S €****-*-*>,
Далее находим
Q
где имеем
Ф(У, #i, Qu + v) = F(yt yl9 v) + X(y, yh Qu + v);
Чп Ч\
My, У\, Qu + v) =
= - рп {Qu + v) + ... + р {Qu + v).
- 117 —

При каждом s находим
Поэтому
du
-£rb(y,yuQu + v)<p-°'3<0t5,
и, согласно лемме 3 гл. 2, будем иметь
X-v
Q
ftv = e2niF(y,yu v) Г е2ШК{у,уи Q" + ") flftf + О (1) =
и_
"Q
= ^iF (у, уи v) * Г е2яа и/, у,, ад dz + O (1).
V с/
о
Далее найдем
Q
/C=t/V + 0(Q); f/ = Uу, У1 = -i- J]е2*"7<*> *">"\
1
о
Теперь будем иметь (лемма 1 гл. 1)
WV= 2 «(0)C/y + O(QKlnP),
откуда, наконец, получим
Wy>= 2 L4 + О (Q7 In P); L4=t/4,yi 2 *(y)V.
0<ti<Q cY<y<yl
(т). QHl //^Ti(modQ)
Сначала докажем первое утверждение нашей леммы*
Имеем (лемма 3 гл. 1)
cY<y<yi
y = r\(modQ)
0<ti<Q
Г-П. Q)-l
118 —

откуда, согласно теореме 2 гл. 3, получим
Wy^XY In Р{т, Q)vQ~v+e'.
Теперь из (13) найдем
\S(Y)?<-~^(yi)XY\nP(m,Q)vQ-v+'' +
+ w (ln p)3«£ On P)2(m,Q)vQ-v+e',
S (Г)< -£ In P (m, Qf5V Q-°'5v+e',
Sw < -£ (In P)2(m, Q)°'5vQ-°'5v+e',
S < P (In P)2(m, Q)°'5VQ^5V+8'.
Далее докажем второе утверждение нашей леммы.
Пусть |б5|>1; тогда модуль Коэффициента при zs
многочлена Х{у> уи Xz) будет
> Р* > m | 6SI —у—.
Следовательно, согласно лемме 4 гл. 2 будем иметь
K<Xmin(l, (m|6J-^)~V).
Пользуясь этим неравенством, выводим
Ln<\Uru*\XRl R- S ^(f/)min(l,(m|6J^)"V).
cY<y<yi V ' '
l/sTi(mod Q>
Пусть 6 — наименьшее целое число с условием
у12"ь<У(/п|6в1Г1. Рассмотрим интервалы
0<у<у{^у{2-\
У1-уё~[<У<У1-Уё~\-^>У[-у12-ь+]<у^у1-'у12-'ь,
У1-Уё Ь<У<ух.
Среди значений у, лежащих в этих интервалах, найдутся
все значения у интервала сУ<^у<у{.
Пусть
Ух-У^Х<У<Ух-У^ (14)
- 119-

— один из этих интервалов, отличный от последнего.
Находим
yi-yi2-p-(gi-yi2-P+l) ^ V7T2-0 ^ VY ^ Do,oi
>Р'
и, кроме того,
min (l, (m| в, | -^р) < (m| 6S |)"v 2pv.
Поэтому для части /?p суммы /?, отвечающей
интервалу (14), применяя лемму 3 гл. 1, получим
*э< S *(i/)(m|SjrV2Pv<
t/sBTifmod Q)
«-JlnP(m|6J)-v2-fl-v)p.
Далее для последнего интервала находим
Q ^i Q
и, кроме того,
min(l, (m|d,|-bf£) V)<1.
Поэтому для части /^ суммы /?, отвечающей этому
интервалу, применяя лемму 3 гл. 1, получим
Яь< S *(y)<-g-lnP2"*<|-lnP(m|A,irl.
l/s'ntmod Q)
Из доказанного выводим
#<S-§lnP(m|6s|)-v2-(1-v)4
P-i
+ -JlnP(m|6J)-v<|-inP(m|6sirv.
- 120 -

Теперь имеем
и<\и^У1\Х^\пР(т\68\Г\
Wyi< J] \U^yi\X^lnP(m\6s\yv + QY\nP9
0<t\<Q
(ti,Q)=1
откуда, согласно теореме 2 гл. 3, выводим
Wyi<XYlnPQ-v+*'\bs\-v.
Далее из неравенства (13) получаем
\S(Y)f<^^(y{)XY\nPQ^^\6sr + ^{\nP)\
откуда, согласно лемме 1 гл. 1, находим
| S(Y) F< | (In P?XYQ~V+*' | 65 fv< £ (lnP)2Q""v+e,| 65 fv,
S(K)<£ lnPQ"°'5v+e'|65r°'5v,
S(0<-J(lnP)2Q-°'5v+8,|6sr0'5v,
S<P(lnP)2Q~°'5v+e/|6sr°'5v.
Лемма доказана полностью.
Лемма 4. Точки n-мерного пространства мы
разобьем на два класса —точки первого класса и точки второго
класса. Точку назовем точкою первого класса, если
Q^p0,2v u каждое Zs удовлетворяет условию
\zs\<P
-S + V
Точку назовем точкою второго класса, если она не
является точкою первого класса.
Тогда при пг^Р2? для точки второго класса будем
иметь
S < Р*~р.
А при m^Pl2vi для точки первого класса будем иметь
S < Р (In P)2 (m, Q)°'5v Q-°*5v+e' всегда,
S < P(lnP)2Q-°'5v+8V'5v, если б0> 1.
— 121 —

Доказательство. Справедливость леммы для
точек второго класса следует из лемм 1 и 2, а
справедливость ее для точек первого класса следует из
леммы 3.
Обозначения. При выводе ряда дальнейших лемм
мы будем пользоваться прежними обозначениями, но
с одним исключением: буквою S теперь будем
обозначать сумму
S = 2 e2nimf {dk)
k
где d — положительное число, взаимно простое с Q,
удовлетворяющее условию d <P ,25, и k пробегает числа,
взаимно простые с Q, удовлетворяющие условиям
#<£</(', 0<dk^P,
причем /С и /Сх удовлетворяют неравенствам
ро.75 <^к<Ру 2К<К'<:4К.
Очевидно, сумму 5 можно представить в виде
t\Q Wc<w^W
Ф (w) = bnwn + ... + b{w, bs = masdsts,
lT,--f, ip_min (-£■,-£).
Лемма 5. Пусть для каждого s = п, ..., 1
qs<P°-5s, \zs\<-j^.
Пусть, далее,
и выполнено одно из условий
1°. Qo>P0'125;
2°. Qo^^0,125» н0 п° меньшей мере для одного s>l
имеем
р0,5
Тогда справедливо неравенство
pi-p
— 122

Доказательство. При d/«P1"p лемма очевидна;
поэтому будем предполагать, что dK>Pl"p.
Оценим сумму S{t\ Положим рх = 1,2р. При />PPl
будем иметь
Далее будем рассматривать случай /<PPl. Взяв У = [р0,496]
в случае Г и У = [Р0'746^"1] в случае 2° и определив
Yn-\, ..., У\ разложением
0(y+w)-0{y) = bnwn + Yn-lwn-l+ ... + У,ш,
мы при # = 0, ..., У—1 будем рассматривать сумму
s,-s(y.,....y1)- 2 ^^n+W-,+ -+^)
Г о < оу < W
и область (#)', ограниченную неравенствами
У„ - 0,5Г^Р"р' < Y« < Уя + 0,бИ7"пР"Р|,
У, - 0,5 ИГ'Р""* < Yi < ^i + 0.5ИГ'Р'*,
а также соответствующую этой области часть (у)
области Ип (ср. доказательство леммы 10 гл. 4).
Нетрудно видеть, что при любом из указанных
значений у будем иметь
I S^> |-| SJ< К.
А при заданном у для любой точки (уп, ..., Yi)
области (у)', полагая S' = S(yn> ..., Yi), будем иметь
(лемма 9 гл. 2)
|SJ-|s'l<№P~Pl
и, следовательно,
I s{t) | < | s'I + грЛ | s{t) Г < I s'Г + Гр-"\
Умножая последнее неравенство на
п(п+1)
Г 2 PnQx dyn ... dy{
и интегрируя по области ({/), получим
| S(0 Г < «Г^Р*Р« J ... J | s' Г dyn ... rfYi + ^~'P' •
(у)
- 123 -

Написав такие неравенства соответственно всем у = 0,...
..., 7—1 и сложив их почленно, получим
п(п+\) 1 1
Y\S{t)\r<W 2 PmG J* ... j\s'\rdyn...dy{ + YWrp-rp\
о о
где G — максимум числа областей (у), пересекающихся
с заданной областью (у0). Отсюда, применяя теорему 4
гл. 4, находим
S(t) |Г < pttPl |. Г + rrp-rp, < wr |ряр, _G + p-rp,j ^ (15)
Для оценки G применим лемму 7 гл. 4, согласно
которой G не превосходит числа решений системы неравенств
(Cibe{y-yo))<CiC2W-+l; С, «л ... s, Ca-s-^f/i)11"*
(s=/i, ...,2),
где, ввиду
w ^ t ^ dt •
неравенство, отвечающее заданному 5, влечет за собою
где числитель второго слагаемого в скобках
численно < 0,1.
Рассмотрим случай 1°. Предположим сначала, что
среди чисел qn, ..., q2 имеется по меньшей мере одно qs,
превосходящее р0,125. Допустив, что qs<^P°tm, получим
и, следовательно, Cxmts{y — yQ) делится на qs. Отсюда
выводим
Допустив же, что qs>P(),m, получим
c1c^(p1-prf-,r,r+1«^251,
- 124 —

откуда выводим, что mts(y-y0) может быть сравнимо
по модулю дш лишь с < Р0'2514-2^'^0'252 числами.
Следовательно,
Далее предположим, что каждое из чисел qn} ..., q2
не превосходит Р0,125, но Q0>P0'125. Находим
Следовательно, C{mts(y — y0) делится на qs. А поскольку
это обстоятельство имеет место при каждом s = n,..., 2,
то C\tnts{y — y0) делится на Q0. Следовательно,
Рассмотрим случай 2°. Сначала ограничимся
значениями у, принадлежащими какому-либо классу
y=t/(modQ0) чисел по модулю Q0. Для чисел у и у0
этого класса условие (16) дает
(Cxzsmdsts(y-y0j) < CA(P,"Prf"lrI)-'+l.
Здесь выражение, стоящее в скобках левой части, как
мы уже видели выше, численно меньше единицы.
Разность же значений этого выражения, отвечающих
соседним значениям у, численно
P°*dsts
^ ps •
Правая часть нашего неравенства
ds-\ts-l
Поэтому число значений у, удовлетворяющих этому
неравенству, будет
./s-hs —1 ps n0,501
^ а ■ 1 £__ ^ £
^p(s-l)d-P) pO£dsts ^ d •
Следовательно (if пробегает Q0 значений),
G<<i^°, 0.<<P-o..2<
— 125 -

Теперь в обоих случаях Г и 2° неравенство (15) дает
15(0 Г < W (Р-°-ш + Р-Гр|), S(0 < Wp-p-°' < f^p.,
где сх — положительное постоянное число; отсюда уже
легко найдем
pi-p
S<V-
Лемма 6. Пусть при каждом s = пу ..., 1
р0,5
'2* ' ^ qsPs *
Пусть, далее,
Qo<P°'125, m<P2p.
Тогда я/ш наличии хотя бы одного из условий
Q0>P°-2\ 60>PV, ^>P°'3V
будем иметь
pi-P
s«V-
Доказательство. Рассмотрим сумму S*'}. При
/>Р1,2р имеем
Далее рассмотрим случай /^Р1>2р. Находим
о(/) в у у 2я^Ф(о)+ЯЮви + о)+-^--]#
0<u<Qe r0<Qow + u<W
% (Q0u + v) = mzndntn (Q0u + v)n+ ... + mz, rf/ (Q0w + у),
причем a[ обозначает ближайшее к нулю число, сравни-
мре с maidtQo по модулю qx. При каждом 5 находим
±- mzsdr (Q0u + vf « ^g- « P-0'124.
Поэтому
-Lx(Q0u + v)<p-°>™,
4k to*+*)+%*)
<0,6.
Следовательно, к слагаемому суммы S(i>,
отвечающему любому значению v, можно применить лемму 3
— 126 -

гл. 2. Получим
5«>= 2
*ф(*) е v * ' du + 0{QQ) =
О < о < Qo U?o-P
Qo
__ _L V1 ^2л/Ф (о)
Qo ^™
0<t)<Qo
При этом находим
г 2яПМ£)+— 7Г1 л* т/ т/
1 / a. Wi\-v\
у = w J е ^ * Qo 7 *ь
о
1 / а[ Wtf\-v\
dx\.
о
Если tnQ0t не делится на #,, то aj не равно нулю
и коэффициенты при rj в скобках показателей
выражений для V и VQ будут, каждый,
W
>7ТГ-
QiQo
Поэтому, согласно лемме 4 гл. 2, каждое из
произведений V и V0 будет
<w\i&) <^Ьш ^тЫж) <—т-*
Отсюда следует, что
nl—0,124V pi—p
Если mQ0* делится на qv то а[ = 0 и мы получим
1 1
о о
S^ = U(V-V0) + O(Q0)) t/--^- S в2"1Ф(1,)-
— 127 —

коэффициент при xf многочлена X (Wt)) равен mzsdstsWs.
Поэтому, согласно лемме 4 гл. 2, получим (если | б51 = б0)
V < №min(l, (m\zs\dYWTv)<{f тт(1 m^Vv).
Такое же неравенство мы получим и для V0. Оценив,
кроме того, U с помощью теоремы 1 гл. 3, найдем
S«> <|.(Wi Q0)vQo-v+e'min(l, m-%"),
откуда при наличии по меньшей мере одного из условий
Qo>P°'2v, 60>PV
легко найдем
5«V-
В частности, последнее неравенство верно при qx >
> P0,3v, так как, ввиду mt<P0,lv, из делимости mQ0t
на qx следует, что Q0>P°'2v. Утверждение леммы
доказано полностью.
Лемма 7. Точки n-мерного пространства мы
разобьем на два класса — точки первого класса и точки
второго класса. Точку назовем точкою первого класса, если
Q^p0,2v u каждое Zs удовлетворяет условию
Точку назовем точкою второго класса, если она не
является точкою первого класса.
Тогда при m ^ Р2р для точек второго класса будем
иметь
pi-p
5«-V'
А при m ^ P3v2 для точек первого класса будем иметь
S <-j(my Q)vQ-v+e" всегда
или также
S < Ч Q~V+eV\ если б0> 1.
Доказательство. Применим леммы 5 и 6. После
применения леммы 5 останется рассмотреть лишь слу-
— 128 —

чай, когда Q0<P0,125 и когда при s = n, ..., 1 имеем
р0,5
|2,1<-
ЯзРъ
(при s= 1 последнее неравенство входит в условие
леммы 5). После применения леммы 6 остается
рассмотреть лишь случай, когда
Q0<P02V, 6„<PV (|2S|<P-S+V ПРИ ! = Л 1),
qi<P°'3\
Но, поскольку при Q>P0,5v или первое, или третье из.
последних неравенств выполнено не будет, этот случай
входит как частный случай в такой:
Q<P°'5V, 60<PV,
который нам и остается рассмотреть. Итак, при
последних предположениях рассмотрим сумму S{t). При />Pi,5v2
имеем
pl-l,5v2
S<'><
d
Пусть теперь t^Pl'5v\ га<Р3Л Находим
4n Q\
X(Qu + v) = mzndntn(Qu + v)n+ ... + mz{dt(Qu + v).
Здесь при каждом 5 находим
-f mzjet (Qu + vY « 2gg- « Я"0'4.
Поэтому
-^-A(Q« + y)<p-°'4.
5 И. М. Виноградов — 129 —^

Следовательно, к слагаемому суммы S{t), отвечающему
заданному v, можно применить лемму 3 гл. 2. Получим
SW - J] emo(v) Г e2na^u+v)du + 0{Q) =
0<o<Q Wo-v
Q
= U(V-V0)+O(Q); U = ^ 2 в8яМ>('*'
! 1
К = Я7 J e2*'* <™ rftj, У0 = W0 J* e9-na (^) dT|.
о о
Коэффициент при if многочлена X(Wv\) равен mzsdstsWs.
Поэтому, согласно лемме 4 гл. 2, получим (если | б51 = б0)
V < Г min(1, т\ zs\ dstsWs)"y < ^ min (l, т"%"у).
Такое же неравенство мы получим и для V0. Оценив,
кроме того, U с помощью теоремы 1 гл. 3, найдем
S<<> < -£-(m, Q)vQ~v+e° min (l, m~Vv),
что, очевидно, верно и в случае t > Pl,5v. Поэтому
5 < -J(/n, Q)vQ-v+8'min (1, m"-v6o"v).
Отсюда утверждения леммы, касающиеся точек первого
класса, а также оставшихся точек второго класса
(p°.2v < q < р0»5у)э следуют тривиально.
Лемма 8. Я усгб е2 ^ 0,001, F — произведение
простых чисел с условием р^Р ,25. Тогда, полагая
In In P-l
D = (lnP) ln<1+e'> ,
делители d числа F, не превосходящие P, можно
распределить среди <D совокупностей со следующими
свойствами:
а) Числа d, принадлежащие одной и той же
совокупности, обладают одним и тем же числом (3 простых
сомножителей и, следовательно, одним и тем же
значением \x(d) = (— 1).
- 130 —

b) Одна из совокупностей, которую мы назовем
простейшей, состоит из единственного числа d=l. Для этой
совокупности положим ф=1 и, таким образом, будем
иметь d = ф = 1. Каждой из оставшихся совокупностей
отвечает свое ф такое, что все числа этой совокупности
удовлетворяют условию
ф<Й<ф1+82.
c) Для всякой совокупности, отличной от простейшей,
при любом U с условием 0 ^ V < ф существуют такие
две совокупности чисел d: чисел d' и чисел d" с
отвечающими им числами ф' и ф", удовлетворяющими уело-
виям
л ^ ' ^ 11 г»0,25 г н
£/<ф < UP , фф =ф
(вторая совокупность может оказаться простейшей), что
при некотором натуральном В все числа d выбранной
совокупности, каждое В раз, получим, если из всех
произведений d'd" выберем лишь удовлетворяющие
условию (d'f d")=l.
Доказательство. Все простые делители числа F
мы распределим среди т + 1 интервалов вида
которые получим, заставляя число t (номер интервала)
пробегать значения / = 0, 1, ..., т, где т обозначает
наибольшее целое число с условием
g(l+e2)T р0,25
Из этого условия легко найдем, что число т+1 всех
интервалов удовлетворяет неравенству
л. 1 -г ln ln p ~ln 4 i I ^ In In Я -1
т+ l<~ ln(l+e8) + | ^ 1п(1+е2) *
Каждый делительdчисла Fс условием Kd^P мы
свяжем с неубывающим рядом 10,1и ..., 1Х, где lt обозначает
число простых сомножителей числа d, лежащих в
интервале с номером /. Совокупность значений d,
связанных с одним и тем же таким рядом, и является тою
совокупностью чисел d, о которой сказано в лемме.
Так как каждое рассматриваемое d является
произведением менее чем 1пР — 1 простых сомножителей, то
5* - 131 -

//^lnP—1 для каждого t = 0> ..., т, и, следовательно,
число различных совокупностей не превосходит
(lnP)T+I <D.
Из данного определения совокупности чисел d
следует, что числа d> принадлежащие одной и той же
совокупности, действительно обладают одним и тем же
числом р простых сомножителей и, следовательно, одним
и тем же значением \i(d) = (— l)e.
Далее рассмотрим какую-либо одну, но не
простейшую совокупность чисел d. Пусть d = р{ ... р^ —
каноническое разложение какого-либо ее члена, написанное
в порядке возрастания сомножителей. Обозначая номер
интервала, содержащего ps, символом /s, а число
символом ф5, будем иметь
Приведя в соответствие выбранной совокупности
число Ф = Ф1 ... Фр, получим
Ф<<2^Ф1+82.
Пусть [/ — число с условием 0^[/<ф. Обозначив
буквою к наименьшее число, удовлетворяющее
неравенству [/<ф!...фЛ, рассмотрим две вспомогательные
совокупности — чисел d\ пробегающих произведения
вида рх ... ръ и чисел d"y пробегающих произведения
вида р^+1 ... рр (совокупность чисел d" может
оказаться и простейшей). Тогда совокупности чисел d'
будет отвечать число ф' = ф! ... фЛ, а совокупности
чисел d" будет отвечать число ф" = Фл,+ 1 . • • фр« При
этом будем иметь
£/<ф'<£/Р0»25; ф'ф" = ф.
Если d — любое число выбранной нами совокупности,
то равенство d = d'd" возможно лишь в случае (d't d") = 1,
причем в этом случае оно имеет
- 132 -

решений, где k{— число сомножителей %
произведения q/, равных фъ a k2 — число сомножителей qps
произведения ф", равных ф^.
Теорема 1. Тонки (ап, ..., а{) n-мерного
пространства мы разобьем на два класса — точки первого класса
и тонки второго класса. Точкою первого класса мы
назовем точку, если
Q<P0,2V, 60<PV.
Точкою второго класса назовем точку, не являющуюся
точкою первого класса.
Для точек второго класса положим
а для точек первого класса положим
Ai = (/n, Q) Q
или также
Aj^Q oo , если o0^l.
Тогда, полагая
In In P
Я = (1П P) 1П U+S^
/г/ш m^Af2 будем иметь
fm < ЯРА,.
Доказательство. Мы будем пользоваться
леммами 4 и 7. При этом результаты этих лемм, огрубив
некоторые из них, мы запишем в более единообразной
форме. Именно: результаты леммы 4 мы запишем
в форме
S<PA,(lnP)2,
а огрубленные результаты леммы 7 запишем^ в форме
Для наилучшего понимания доказательства
необходимо отметить, что всегда
р0,995 < р^
Пусть F — произведение всех простых чисел, не
превосходящих Р0,25 и не делящих Q,-пусть g пробегает
- 133 -*

положительные числа, взаимно простые с FQ, d
пробегает делители числа F, наконец, k пробегает
положительные числа, взаимно простые с Q. Находим
^ e2nimfie)=ZZti{d)e2nimfm. (17)
g^P dk<:P
Пусть gj пробегает значения g, имеющие ровно /
простых сомножителей. Тогда левая часть равенства (17)
представится в виде
Т'т + Т'т.2 + Т'т,з + 0{1*'*)\
7^2= 2 e2nimfis\ Г;,з= 2 е2яШ*Ш.
g*<P gi^P
Сначала оценим Тт, 2. Очевидно,
Тщ,2 =утт,2 + о\р4/, Tm,2= 2u2ue >
glg{<p
где g[ пробегает те же значения, что и glm Находим
С2=22 в"""' (gl8° + 22 •"*"' (81г° •
Я1</я gi>Vp
S\g\<P 8\g\<P
К суммам, стоящим в правой части, можно применить
лемму 4, так как обе эти суммы суть вырожденные
"случаи суммы 5 леммы 4 (ylsBgv x = g[ для первой
суммы и #! = £[, * = g, для второй суммы). Получим
Тт, 2 = PAl (1П Р)2, Г^, 2 < РА, (1П Р)2.
Далее оценим сумму Tmt 3. Очевидно,
Т'т. з - } С з + О (рт); Г;, з = ^ 2 ^ <8'г1>-
К сумме Тт, з опять_ можно применить лемму 4, так
как, ввиду ^2>УГ^>, здесь g{ пробегает значения
с условием
P°'25<gi<P0,5.
Получим
Тт, з < PAi (In Р)2, Г^, з < PAi (In P)2.
- 134 —

Далее, воспользовавшись леммою 8, оценим правую
часть равенства (17), причем, не нарушая общности,
ограничимся только той ее частью £, которая содержит
совокупности значений d с условием jj,(d)=l.
Интервал 0<fe<P мы разобьем на <1пР
интервалов вида
*<*<*'; 2K</('<4K, (18)
причем часть суммы £, отвечающую интервалу (18),
обозначим символом Uк. А часть суммы UKi
содержащую значения d, принадлежащие какой-либо
совокупности значений d с соответствующим ей числом ср,
обозначим общим символом UK,r
Сначала рассмотрим случай /С<Р0,244.
Если при этом <р<Р0,994/(~1, то имеем
^.q><P0'"5<PAl-
Далее рассмотрим случай, когда
ф>ро'99ч-1
и, следовательно, (р>Р0,75. Полагая
U = Р°>тК~\
согласно лемме 8 мы построим две совокупности
значений d: чисел d/ и чисел d" с указанными в этой
лемме свойствами. В частности, совокупности чисел d'
будет отвечать число <р' с условием
^VW^p0'491*-1,
и, следовательно, все значения d' будут лежать в
интервале
p0-2<iK-'<d^{p°-mK-iy+t!-
Поэтому мы можем написать
k &' d"
где k пробегает значения, лежащие в интервале (18),
исключаются слагаемые с условием (d',d")>l и
суммирование распространяется на область
р0,244 < Ы> ^ 4Р0'495, kd'd" < Р,
— 135 —

Сумма, стоящая в правой части, является частным
случаем суммы S леммы 4. Поэтому
и, следовательно,
UK<DPA{{\nP)2.
Теперь рассмотрим случай
рЭ,244 < К ^ р0,5в
Здесь все значения k лежат в интервале
Р°'244<£<4РЭ-5,
и, таким образом, Uк является вырожденным случаем
суммы S (y = k, x = d). Поэтому
UK < PA, (In Р)2.
В случае
Р°>5<К<Р0Л
мы представим Uк в виде суммы
_ _ / t ^ I) 944
где и # — сумма слагаемых с условием а^Р' ,
а £//( — сумма слагаемых с условием d>P0,24\ Очевидно,
г г' ^ р0,75+0,244 __ р0,994
В сумме же £/#, ввиду Р0,5</С, достаточно
рассматривать лишь значения d с условием
P°'244<d<P0'5.
Поэтому сумма £/# является вырожденным случаем
суммы S леммы 4 (y = d, x = k), откуда следует, что
Uк < PAi On P)2.
Наконец, рассмотрим случай
Р°>75<К<Р.
Часть суммы Uк> отвечающая данному значению d,
согласно лемме 7 будет
— 136 -

Поэтому
ик< Ъ ^"Ai</5A1lnP.
d<p^
Учитывая все доказанное и то обстоятельство, что
имеется <1пР интервалов (18), получим
Гт< DPA, (In Р)3<ЯРД,.
Лемма 9. Я#сгб е<0,01, « = 1пР, b0 = eul~e,
& = ^1-28, 0<(7<^м, 0</<^7, (/,?) = 1, £/>0, U7>60,
Pi, • ••> р0 —простые, не превосходящие b и не
делящие q, F — ux произведение.
Тогда число Т чисел вида qx +1, взаимно простых
с F и лежащих в интервале
U<qx + l^U + W, (19)
удовлетворяет условию
Т < и
щ(я)
Доказательство. Применяем упрощенный
вариант метода Бруна (см. введение). Пусть Q{s)
обозначает число различных простых делителей числа s.
Согласно известной теореме теории чисел, полагая
/п = 2[21пы+1],
найдем
Т< 2 Md)Sd9
d\F
QidXm
где Sd — число чисел вида qx + l, кратных d, лежащих
в интервале (19). Но легко находим
Поэтому
W
qd
5<* = -^г+е</-
d\F.
s=0
137 -

Далее находим
m m
S = 0 5=0
ПК)
V <ri\ W - W *& ' Г ' ^ Г ^ VJ^
qd Я ТТЛ_1\ In bq>(<7) «<p(<7) '
i1 i£i Pa/
a
d\F s=m+ld\F s=»m+l
Q{d)>m Q(d)=s
«4
Отсюда и убеждаемся в справедливости нашей леммы.
Теорема 1а. Пусть е<0,01,
и«1пР, 60<б?"8, Q<e"8, m<e2v"8.
Тогда для суммы
S' = S e2nitnf{p)
р<р
имеем неравенство
S' < Р^1+9е (т, Q)°'5vQ-°*5v+e'
или также
S,<Pt/"1+98(m60)~°'5v, если 60>1.
Доказательство. Пусть 60 = е"1_"8, рь ...,
/Непростые, не превосходящие 60 и не делящие Q, F0 — hx
произведение. Пусть г пробегает положительные числа,
взаимно простые с F0Q, а k пробегает положительные
числа, взаимно простые с Q. Находим
^e2mmf{r)=z 2 |i(d)Sd; 5,= 2 e2nimfm. (20)
Сначала оценим сумму Dx слагаемых правой части
с условием d>P°*s. Здесь легко находим
Q(tf)>0,8tt8.
- 133 -

Поэтому (ср. доказательство леммы 9)
Q(d)>0,Sue 5>0,8«e Q(d) = s
(-L + ... + -LV
5>0,8w8
«я £ (£i£TML)s<<^(f^ru8<<^-0-5"8.
s>0,8tr
Далее оценим сумму D2 слагаемых правой части
с условием с?^Р°«8. Находим
5=2 e2nimQ>{dl)S{n- S{1) = У ^'^(rf(Qf+/))
0</<Q ' -Л ^ ^P-dl
l(d(Qv + l)) = mzndn(Qv + l)n+ ... + mz,rf (Qa + /).
Далее находим
Поэтому, применяя лемму 3 гл. 2, получим
dQ
s»_ J
2nl\(d(Q-
Теперь, полагая
Р
найдем
Поэтому
о+О)
je2na{Pl)dl-
0
Z)2 =
sd
uv
dv + 0{l) = £
= v,
UV
'~~T
SJ
? S '
0</<Q
(f.Q)-l
+ 0(Q).
i
,j><MPl>^
0
,2л *Ф (dl) .
1-^ + 0{Р°>*<Э).
-£/,
<p^!
139 —

П1
Но из доказанного вначале следует, что
rf>P0'8 Q(d)>0,8«8
Кроме того (ср. доказательство леммы 9),
ПК)
P<fto
ПК)
Поэтому
Применив к U теорему 3 гл. 3, отсюда получим
28
Применив же к К лемму 4 гл. 2, получим также
2е
D1 + D2<P-^-(m60)""v, если 60>1.
Теперь рассмотрим левую часть равенства (20).
Пусть Гх пробегает значения г, имеющие ровно к
различных простых сомножителей, и пусть
При н>1 легко находим
= 7 SS e2nlmf(r*r*-J +
r,<VP
rx>Y~P
rxW-x<p
Далее мы оценим лишь первую сумму правой части,
которую, положив для простоты г{ = у, Гъ-Х = х, мы за-
— 140 —

пишем в виде
50= 22е2я'тМ'*).
y<Vp
ух<Р
Вторая сумма правой части оценится аналогично и с тем
же самым результатом. _
Интервал b0<y^VP мы разобьем на «Си
интервалов вида
R<y<Ru 2R^RX^4R. (21)
Часть суммы 50, отвечающую интервалу (21), обозначим
символом S(R). Далее, положив bl = eul"2ei мы первый
координатный угол разобьем на квадраты
6||<*<МБ+1). {т
с целыми \ и т). Число целых точек каждого квадрата
будет <€.Ь\. Число целых точек всех квадратов,
пересекающихся с контуром области (G) суммирования суммы
S(R), будет
Пусть квадрат (22) полностью лежит в области (G),
и пусть S%tl]~- отвечающая ему часть суммы S(/?).
Пусть, наконец, при заданных / и /г, взаимно простых
с Q и взятых из ряда 0, ..., Q— 1, символ S(Z, /г)
обозначает сумму слагаемых суммы S%ty] с условием
x = l (modQ), yaA (modQ). (23)
Для слагаемого суммы S{lth) будем иметь
mf{xy) = F{lh) + l(xy);
F(lh)==^lnhn+ ... + -^/А,
Л (*//) = mznxnyn + ... + mzxxy.
И если в выражении для Л(**/) мы заменим числа х
и г/ числами Ь& и й^, то mzsxsys изменится на число
<m|бs|^-<e^v"e+we+«l■■2e^?-I<б2","2e^?-,,
—141 -

a tnf(xy) изменится на число
В соответствии с этим S(/, h) изменится на число
<^е*',-*/Г,«|-е-0'в"1-
и окажется равным
S (/, h) = ежкWs, (I, h) + О (£ в-№'-);
где L&, / и Я^, л — числа значений х и у с условиями (22)
и (23). При этом, согласно лемме 9 (2е вместо е), будем
иметь
Ц,1<К, #„,*<*; К^-1"46-
шр (Q) *
Теперь находим
Si,, = sU + o(^-°'5u,~e);
/ Л
sw-s.w + o^e-0'5»1-*); 5,(/?)= 22 sU
V e2ni{F(lh)-F(m)
Сначала рассмотрим общий случай. Здесь находим
Л /ii I f=u
откуда, согласно теореме 2 гл. 3, следует:
Ь2о88
I с' I ^ ^2^2 / n\0,5vn-0,5v+0,5e' ^ и1и £ллл ^xO.Sv^-
|5|,т||<*С Q \m> Q) Q <"-■tf-\rn>Q) Q
Поэтому
8&
S(*)<P-Jr(m,Q)wVMv+e',
5o<P^(m,Q)0-5vQ-0,5v+e'.
— 142 —

Умножая правую часть последнего неравенства на к-1 и
суммируя по всем <м8 значениям х, превосходящим 1,
получим число
98
<P^(m, Q)0l5vQ-°,5v+e'.
Далее рассмотрим случай 60^1. Здесь находим
s,(«K22lfl*.*l; Bi.*= 22 ця^^'*1»,
0<|tj<P,
где ради краткости положено
0, /'j P{
Пусть В\ — часть суммы БЛА, отвечающая данному
значению £. Находим
вг<к\
%Нпе2палы
где суммирование распространяется на значения т),
лежащие в интервале
/?2<T]<min(-^-,#3).
Отсюда выводим
I Вг I2 < К2 2' 2' НпНъе***^ *• «;
Ф(Л, Л^НМЕтО-М&лЛ-
Далее находим
где | пробегает все целые числа в указанных границах.
Но каждая пара чисел г|' и i\" может служить парой
значений для ц и ц{, входящих в какое-либо В|, тогда
и только тогда, когда % не превосходит наименьшего
из чисел
1'
—
Pi
143 -

Поэтому, меняя порядок суммирования, получаем
^.r„=min(-Y'^")-
№ИФ{г\, ti„ |).
Правую часть последнего неравенства можно
представить в виде
Oj + 02 + 03,
где S, отвечает случаю ti = t|i, S2 отвечает случаю
т]<т]1, наконец, S3 отвечает случаю т]>г|1. Но имеем
р\К2 V „о pi р2\К*
<2
11
Замечая же, что S2 и S3 —сопряженные комплексные
числа, получаем
Л. /?2<Т1<Т1,
Далее находим
^«■^(л'-лОб'<«|в.|Л-,Л.<р-,и.
-^ф(л,л..1)<Р"0,4.
Поэтому, согласно лемме 3 гл. 2, будем иметь
!T4it|l= J e2«№(t|. Т|1ш S) rfg + О (1) = |o JeW4>(,»^..W)rf/ + 0(l).
0 0
Пусть теперь 60 = |6Д Модуль коэффициента при ts
многочлена Ф(т], т),, i0t) будет
- 144 -

Следовательно, согласно лемме 4 гл. 2 будем иметь
Суммируя правую часть при заданном т], по всем зна-
< чениям т] интервала /?2<Tl<Tli> получим число
«!о(^р/?Г«Р.М>оГ.
Поэтому
| В,. Л I2 < -^- /?2Р, (tnb0)-v + Щ~< Р\К* (т60Г\
|В,.А1<Р,/С2(/пвьГ°'8у, S,(^)<(?(Q))2P1/(2(m6()r0-5v<
< Р ^ (т60Г°'5\ S (Р) < Р £ (m6)-0'5v,
88
So^P^imbo)-0^.
Умножая правую часть последнего неравенства на х-1
и суммируя по всем <С а8 значениям н,
превосходящим 1, получим число
9в
| «piL-^^-o.^
I Из всего доказанного относительно правой и левой
частей равенства (20) и следует справедливость нашей
I теоремы.
I Теорема 2. Пусть е<0,01. Точки (ап, ...,щ)
n-мерного пространства разобьем на классы следующим
образом.
( К классу 1 а отнесем точки, удовлетворяющие условиям
| QO"8, 60<e"e.
/С классу lb отнесем точки, не являющиеся точками
| класса la и удовлетворяющие условиям
\ ЖР™, 60<PV.
Наконец, к классу 2 отнесем все оставшиеся точки.
i Для Twe/c класса la положим
I Д = w Q : -, \i = (m, Q)
I или также
a 9s&—0,5v —0,5v s ^. i
Д = м Оо , ц = т , если o0 ^ 1.
I - 145 -

Для точек класса lb, взяв е3 = 2е', положим
д = Q-0,5v+b3> ^ = (w> Q)0.W ^ Q > ^
A = Q-°'5v+eV'5v+8i, |x— 1, если 60>е"8
(лри Q>e"e> б0>е"8 можно брать любую из указанных
пар значений Д и |я).
Наконец у для точек класса 2 положим
л -_ р-р«. п = ! „ __ 1
а ^ ' Pl 17n2 (2 In/г + In in/2+ 2,9) ' ** " к
Тогда /грм m ^ А""2 лш всегда будем иметь
Доказательство. Будем предполагать, что
Р^Р0, где Р0 — достаточно большое положительное
постоянное число.
Для точек класса 1а утверждение теоремы
непосредственно следует из теоремы 1а.
Для точек класса lb при Q>eu2 теорема 1 (первый
класс) дает
T'm<£-uHQ-0'5v+''(m,Qf5\
откуда, ввиду иН < еаЧ' < Q8, убеждаемся в
справедливости нашей теоремы для этого случая.
Для точек класса lb при 60>еи° теорема 1 (первый
класс) дает
Гт < — uHQ 6o
откуда, ввиду иН < еи 8' <С 6о\ убеждаемся в
справедливости нашей теоремы и для этого случая.
Наконец, для точек класса 2 теорема 1 (второй
класс) дает
Т'т<^иНР-р,
откуда, ввиду иН < Pp~Pl, убеждаемся, что наша
теорема справедлива и для точек класса 2,

Глава 8
Распределение дробных частей
значений многочлена в случае, когда
аргумент пробегает простые числа
Обозначения. Мы сохраним обозначения
теоремы 2 гл. 7 и, кроме того, положим
1
Р2 17rt2(2 1nn + lnln/2 + 3) *
С рассмотренной в гл. 7 проблемой о верхней
границе модуля суммы Тт тесно связана проблема о
распределении дробных частей {f{p)} значений многочлена
f(p)y отвечающих простым числам р, не
превосходящим Р. Общее решение этой проблемы здесь и дается
в следующей теореме.
Теорема. Точки (аПУ ..., а,) n-мерного пространства
мы разобьем на три класса. К классу la мы отнесем
точки с условием
Q<eu\ 60<ев8.
К классу lb отнесем точки, не являющиеся точками
класса la и удовлетворяющие условию
Q<P°'2v, 60<PV.
Наконец у к классу 2 отнесем все оставшиеся точки.
Для точек класса 1 а полагаем (е3 = 2е')
Д, = w">sQ-0,5v+e3
или также
* 10е* — 0,5v $ «. 1
Aj^h б0 ' , если б0> 1.
Для точек класса lb при е4 = 3е' полагаем
Ai = q-o,5v+b4> ecAU Q>e*9
"* -A^Q-0'5^-0»5^, если б0>^8.
- 147 —

Наконец, для точек класса 2 полагаем
А, = P'Q\
Пусть о — любое число с условием 0 < а < 1 и число D
простых чисел, не превосходящих Р, с условием {f{p))<o
представлено в виде
D = on (P) + Я.
Тогда имеем
Доказательство. Положим
Не нарушая общности, будем предполагать, что А, ^0,1,
так как в противном случае теорема тривиальна.
Взяв любые аире условием Д<р — а^1 — А и
положив г = 1-, рассмотрим периодическую функцию Ир(х)
с периодом 1, указанную в лемме 2 гл. 2. Тогда будем
иметь:
ф (/(*)) = 1, если а + 0,5 Д</(лг)<р-0,5 A (modi),
0<iHfM)< 1» если а-0,5 А </(*)< а + 0,5 A (modi)
или р - 0,5 А </(*)< р + 0,5 A (mod 1),
ф(/(*)) = 0, если p + 0,5A<f(*)<l+a-0,5 A (modi),
оо
Ф (/ (*)) = Р - а + S {Виё*ш {х) + hme-™mf <*>), (1)
где
Ят<
gm<
Полагая
мы из
•
Н<
1
"от'
1
Лт2 '
к
<-5Г«
hm<^T
t/(a,p)
(1) ВЫВОДИМ
2
0<т<Д~"
f/(o,
|Гт|
in
Р) =
f
л
если
, если
= S *(f(p)),
= (Р - а) л
■s
_1 <т<Д"
- 148 —
т<А \
т> А" .
(Р) + #;
Л/п2
-2
Г -J Лт2
Д~"2<т
(2)

Отсюда, применяя теорему 2 гл. 7, в случаях, когда
|х = 1, получим
"« 2 ~+ S
Рм-1 Л
m ^J Am2
0<тп<Л-1 А~!<т<Д~2
Л~2<т
В случаях же, когда jti = (m, Q)0,5V, • сумма членов
двух первых слагаемых правой части неравенства (2),
отвечающих условию (m, Q) = dy будет
Ри-*Ь (&*>-* 2 7S7 +
\ 0<m,<A~1rf""1
А поскольку число значений d не больше, чем t(Q) < Qe"
(лемма 5 гл. 1), то будем иметь
н<
Наконец, в случае, когда \i = m~0,5v, будем иметь
2
1 + 0,5V ' *ш* Ли12+ 0,5v
0<m<A-1 A_1<m<A-2 "'
A""2 < m
Следовательно, во всех случаях справедлива формула
U{а, р) = (р-а)я(Р) + 0(^-А1). (3)
При 0<;р —а< 1 символом D (а, р) мы будем
обозначать число значений р с условием
а</(р)<Р (modi).
В случае 2Д <р —а< 1 — 2Д из очевидных неравенств
U{a + 0,5Д, р - 0,5Д) < D (a, p)< U (а - 0,5Д, р + 0,5Д)
— 149 —

и из (3) следует равенство
0(а,р) = (р-а)я(Р) + 0(^А1), (4)
которое мы распространим и на оставшиеся случаи:
на случай 0<р — а^2А — с помощью тождества
D(a, p) = D(a, a+ 1 - 2А) - D(p, a+l-2A),
а на случай 1—2А^р —a^l—с помощью тождества
D (а, Р) = D (а, а + 2А) + D (а + 2А, р).
Полагая в равенстве (4) а = 0 и р = сг, мы и убедимся
в справедливости нашей теоремы.

Глава 9
Асимптотическая формула
в проблеме Варинга с простыми числами
В этой главе дается применение результатов гл. 7
к выводу асимптотической формулы для числа In
представлений целого числа N в виде
N = pnx+ ... + р»,
где /?!, ... , рг — простые числа.
Для решения этой задачи In представляется в виде
интеграла
/;= jsrae~2nimda; Sa = % еШарП; Р = [^],
J p^p
о
сходного с интегралом IN гл. 6. При этом большая
часть этого интеграла, отвечающая интервалам второго
и третьего класса, оценивается с помощью теоремы 2
гл. 7 и теоремы 4 гл. 4 весьма просто. Часть же,
отвечающая интервалам первого класса, из которой как
раз и выделяется главный член асимптотической
формулы, рассматривается с помощью леммы 1,
представляющей собою простейший вид известной формулы
английского математика Пейджа о распределении
простых чисел в арифметических прогрессиях.
Теорема Пейджа была опубликована незадолго до
появления моей работы о проблеме Гольдбаха. Будучи
присоединена к моим результатам, она вполне
достаточна для решения всех аддитивных задач с
простыми числами, которым по аналогии с указанными
в предисловии к гл. 6 можно дать название «проблема
Варинга с простыми числами и ее обобщения».
Наше доказательство умышленно построено с тем
расчетом, чтобы область применения теоремы Пейджа
была возможно меньшей. Этим мы добиваемся большей
стройности и ясности доказательства взамен лишь
151

некоторого ухудшения порядка остаточного члена
асимптотической формулы, но не увеличения числа ее слагаемых.
В отличие от гл. 6 здесь мы опускаем исследование
ряда ©', имеющее целью выяснить условия, при кото-
ных сумма ряда ©' превосходит положительное
постоянное число. Такое исследование может быть выполнено
средствами, близкими к тем, какими было выполнено
соответствующее исследование ряда © в гл. 6, и,
следовательно, большого интереса уже не представляет.
Лемма 1 (лемма Пейджа). Пусть с — произвольно
большое положительное постоянное число. Число я (W, Q, /)
простых чисел, не превосходящих N, заключенных в
арифметической прогрессии
Qx + l; 0<Q<(ln.V)2"80, (/, Q)=1, 0<J<Q,
выражается формулой
*(N.Q, «=^|1БТ + °(^ШГ0ПЮ-С); Q, = <p(Q).
2
Доказательство этой леммы мы не имеем
возможности здесь поместить, так как для этой цели пришлось
бы излагать достаточно длинный ряд предложений
современной теории L-рядов.
Теорема. Пусть га ^12, г —постоянное с условием
г>г2,
r2 = [2ra2(21nra + lnlnra + 3)].
Тогда число Гм представлений целого положительного
числа N в виде
N = p«+ ... +рпг
выражается формулой
оо
In = H(N)& + o(^^ ujm)\ H(N)= j(J(z))re-^^dz9
\ U0 I -oo
Po
*(*)= l^TTr**' po = N\ u0 = \nP0i
oo
©'= 2 A(Q); A(Q)- 2 (-^V2*^",
Q-l (a, <2) = Л Qi '
0<a<Q
(/. Q) - l
0</< Q
— 152 —

При этом
H{N) = K{N)^r-,
Доказательство. Полагая P = [NV], и = 1пР,
находим
1-р-п + v
/;= Г SU~2ni*N da\ Sa = 2 e2"^".
J p < p
_p-n+v
Интервал интегрирования разобьем на интервалы трех
классов. Представляя каждое а в виде
<x=-§- + z; 2 = ^тг, (а, Q)=l, 0<a<Q,
мы к первому классу отнесем интервалы, содержащие
значения а с условием
Q<tf2-80, |6|<t/2.
Ко второму классу отнесем интервалы, содержащие
значения, не входящие в интервалы первого класса, с
условием
Q<eu\ |6|<e"8.
Наконец, к третьему классу отнесем интервалы,
содержащие все оставшиеся значения с. Соответственно укат
занному разбиению интеграл In разобьется на сумму
трех слагаемых:
IN — In,\+ In, 2 + In, з . (1)
Оценку | 5« | будем производить согласно теореме 2
гл. 7 (при т=1), где теперь нужно брать а„ = а и
6П = б и также as = 0 = у и 65 = О, если s < п.
Следовательно, теперь Q нужно брать равным Q доказываемой
теоремы и б0 нужно брать равным |6|.
Поэтому для интервалов первого и второго класса
нашей теоремы будем иметь
Sa<Tw98Q~0,5v+e'
- 153 —

или также
Sa<-^u4j°'bv> если й0>1.
А для интервалов третьего класса будем иметь
Полагая г0 = 2 [м2 (2 In м-Ь In Inn+ 2,6)], в интервалах
третьего класса будем иметь
Sra < (L)r-roe<r-n) (-o,5v„4B3^) |5J^.
Поэтому, учитывая, что г2 —г0> 0,78м2, и применяя
лемму 1 гл. 6 (см. замечание к этой лемме), получим
/ з < (—Y~n eOJSn2(-'0>5vuB+**ut)pro~~n<
Пусть теперь а принадлежит интервалу второго
класса, включающему дробь у?. Тогда, выбрав ё', е0
(лемма 1) и е достаточно малыми (е'<! 0,05v, е0 ^ 0,1, 9е ^
s^(2 — e0)(0,lv — е')), будем иметь
Sa«~Q"04v, если 60<Q,
и
5«<-~бо > если 60>Q.
и
Следовательно, часть интеграла INt2, отвечающая
выбранному интервалу, будет
QP~n е»гР~П
<2Р-П
< j* \Sa\rdz+ J \Sjdz<P~nj\Sjdb0 +
n о
+ P~n J \Sa(d60<^-Q
0,4vr+l
Q
— 154

откуда, суммируя по всем а, отвечающим данному Q,
и затем по всем Q с условием и2~г° < Q < е"8> получим
/*.2 < 4^ ("2-8o)"°'4vr+3 « 4^ "-io«.
Пусть а принадлежит интервалу первого класса,
включающему дробь -д-. Взяв произвольно большое
постоянное число ft, превосходящее 1, мы разобьем сумму
Sa на «С иЛ сумм вида
5а.ж= 2 в2я'1£+2К; о<м1~м<Ри-Л, м>2.
Далее находим
0</<<? М<р<М,
(/. Q)-l pss/(modQ)
А так как при 0<x^Pu~h имеем
г{{М + х)п-Мп)<и>-*
и, кроме того, согласно лемме 1, число слагаемых
суммы S равно
Mi
м
то выводим
2я*-£/* Af, n
и\ * Q Г в2"'2* /Ри~с-1 JM \
/Mi я,
0</<Q
(/, Q)-!
откуда, просуммировав по всем < и* значениям Л1 и
взяв с = 2Л —2, получим (так как Р —Р0< 1)
S«-%-/(*) +О (Р0и'-*).
- 155 -

Но согласно лемме 5 гл. 2
Uq
D, = min(l, 6<TV), если бо^Ро""1,
D, = W(A) , если б0 > Po .
Следовательно,
S'ae-™aN = (£*£-)' е-2"'' f w (/ (2))'e-w*N + 0(Zr-1 Рои'~h).
Поэтому часть интеграла fNt,, отвечающая выбранному
интервалу, будет
и2Р~п
^]e-^iN | (Цг)У в'"™ dz +
и2?-п
+ 01 J Zr~lP0u
dz
Суммируя это выражение по всем значениям а с условием
0<a<Q; (a, Q)=1,
и далее по всем значениям Q с условием Q ^ ы2-Ео,
получим
/Sm- S л^> J (/ЮГ *"*'*"** + *; (2)
м2Р-П и*
R < a4 f ?~lP0ul-h dz < и4р-* f 4 £>r42-"d60<
рг~п рг-п
„г и ^ ,/ "О >
если положим ft =10г-Ьб.
Согласно теореме 3 гл. 3 находим
A(Q)<Ql-vr+e'r<Q-l7n;
- 156 -

Поэтому первый сомножитель главного члена
формулы (2) равен
©'+ О (и-10л); ©'< 1.
Далее находим
2
оо
u2P-"
Поэтому второй сомножитель главного члена формулы (2)
равен
H{N) + 0(^-u-**y,
рг-п
H(N)<-^r-.
На основании всего доказанного из формулы (2)
выводим , ■■/■ и
/Jr. i-H(N)& + 0 (^~- «jT10»).
Теперь формула (1) дает
Далее докажем указанное в теореме равенство для
Н {N). Полагая
Ро
о
при 0^z^u2P"n находим
Ри~2 Ре
2 Pu-*
2
_±JeWdjc<pu-2 + p^ + ±<pj™ ^Jif^
0
- 157 -

Далее находим
J (/ (z))r е~ 2ni*N dz- [ (/, (z))r e~ 2ni*N dz <
-игр-
о
Но согласно лемме 3 гл. 6 имеем
J ur и иг и
\ и,м<-«*ь-Ц?&.!К- + о1 РГ""°,!5
Г(rv) ttj
Кроме того, применяя неравенства
J(z)<&-Dl9 Ix{z)<£lD; D = min(l, |6Г)
(первое из которых уже применялось в этом
доказательстве, а второе следует из неравенства /а <С P0Dy
применявшегося в доказательстве леммы 3 гл. 6),
убедимся, что
оо оо
Г | / (z) Г dz < ^V- u-"«, f \I{(z) \rdz<^ »ъШ-
Из всего доказанного уже легко выводим указанное
в теореме равенство для Н {N).

Литература
И. М. В и н о г р а д о в.
1. Основы теории чисел, изд-во «Наука», Москва, 1965.
2. Некоторые теоремы аналитической теории чисел, Докл. АН СССР,
т. 4, стр. 185—187, 1934.
3. О верхней границе G (п) в проблеме Варинга, Изв. АН СССР,
серия физ.-матем. № 10, стр. 1455—1469, 1934.
4. О суммах Вейля, Матем. сб., т. 42, стр. 521-530, 1935.
5. Некоторые теоремы, относящиеся к теории простых чисел,
Матем. сб., т. 2 (44), № 2, стр. 179-195, 1937.
6. Некоторые общие теоремы, относящиеся к теории простых чисел,
Труды Тбилисского матем. института, т. 3, стр. 1—33, 1937.
7. Некоторые общие леммы и ик применение к оценке
тригонометрических сумм, Матем. сб., т. 3 (45), стр. 435-471, 1938.
8. Об оценках тригонометрических сумм, Докл. АН СССР, т. 34,
№ 7, 1942.
9. Улучшение оценок тригонометрических сумм, Изв. АН СССР,
серия матем., т. 6, стр. 33—40, 1942.
10. Метод тригонометрических сумм в теории чисел, Труды Матем.
института им. В. А. Стеклова, т. 23, стр. 1 — 109, 1947.
И. Избранные труды, Изд-во АН СССР, Москва, 1952.
12. Новая оценка £(1+/7), Изв. АН СССР, серия матем., т. 22,
стр. 161-164, 1958.
13. Некоторые проблемы аналитической теории чисел, Труды третьего
Всесоюзного математического съезда, т. 3, 1958.
14. К вопросу о распределении дробных частей значений
многочлена, Изв. АН СССР, серия матем., т. 25, стр. 749-754, 1961.
15. Л о-Кен X у а. Аддитивная теория простых чисел, Труды
Матем. института им. В. А. Стеклова, т. 22, стр. 1 — 179, 1947.
16. Loo-Keng Hu a. Abschatzungen von Exponentialssummen und
ihre Anwendung in der Zahlentheorie, Enzyklopadie der mathemati-
schen Wissenschaften mil Einschluss ihrer Anwendungen, Band I,
Teil 2, Heft 13, Teil 1, Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1959.
Русский перевод: Хуа Ло-Ген, Метод тригонометрических сумм
и его применения в теории чисел, изд-во «Мир», Москва, 1964.

Иван Матвеевич Виноградов
Метод тригонометрических сумм
в теории чисел
М„ 1971 г., 160 стр.
Редактор А, А. Карацуба
Техн. редактор В. Н. Кондакова
Корректоры Т. С. Плетнева, Т. А. Паньксва
Сдано в набор 20/VIII 1970 г. Подписано к печати 28/ХП 1970 г.
Бумага 84X108V32. Физ. печ. л. 5. Условн. печ. л. 8,4. Уч.-изд. л. 7,6.
Тираж 7500 экз. Т-15562. Цена книги 72 к.
Заказ № 752.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой
• Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР. Измайловский проспект, 29,