/
Текст
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«М И Р»
THE ROTATION OF THE EARTH
A geophysical discussion
by WALTER H. MUNK
and GORDON T. F. MACDONALD
University of California
CAMBRIDGE
AT THE UNIVERSITY PRESS I960
У. МАНК,
Г. МАКДОНАЛЬД
ВРАЩЕНИЕ ЗЕМЛИ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО В. В. НЕСТЕРОВА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ П. Н. УСПЕНСКОГО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1964
УДК 52 + 550.3
В книге подробно изложено современное состояние
вопроса о геофизических причинах, вызывающих наб-
людаемые особенности вращения Земли, именно коле-
бания полюсов и неравномерность вращения.
Особое внимание уделено проблеме векового движе-
ния полюсов и вековому замедлению вращения Земли,
вызываемого приливным трением. Рассмотрены упругие
характеристики Земли как целого и их связь с коле-
баниями полюсов.
Книга представляет большой интерес для геофизи-
ков, астрономов, климатологов, работников служб вре-
мени и геодезистов — как специалистов, так и студен-
тов.
Редакция космических исследований, астрономии
и геофизики.
Предисловие к русскому изданию
Вращение Земли дает нам основу как для определения
координат точек на земной поверхности (положение оси
вращения Земли определяет систему широт и долгот), так
и для определения и хранения времени (период вращения
Земли дает естественную единицу и естественный стандарт
времени).
Однако вращение Земли оказывается весьма не простым
процессом.
Прежде всего, ось вращения Земли не сохраняет своего
положения ни в пространстве, ни по отношению к телу
Земли. И если первое явление, объясняемое прецессией
и вынужденной нутацией земной оси, известно уже давно и
достаточно хорошо изучено, то явление колебания полюсов,
смещающих положение оси вращения относительно самой
Земли, изучено гораздо хуже; практическое же значение его
весьма велико. Вследствие колебания полюсов широты всех
точек земной поверхности периодически изменяются на не-
сколько сотых долей секунды дуги, что в линейной мере
соответствует двум-трем десяткам метров. Больше того, не
исключена возможность, что полюс имеет вековое движение,
т. е. смещается по земной поверхности все время в одну
сторону; нетрудно представить себе, как это могло бы по-
влиять, скажем, на распределение климатических зон
Земли.
К еще более серьезным последствиям приводит уверенно
установленная неравномерность вращения Земли. Эта
неравномерность включает вековое замедление вращения
Земли (сутки увеличиваются примерно на 0,015 сек в сто-
летие), небольшие сезонные изменения скорости вращения
(быстрее всего Земля вращается в августе и медленнее
всего в марте) и, наконец, неправильные скачкообразные
изменения скорости вращения (доходящие до 0,034 сек)
6
Предисловие к русскому изданию
Тем самым теперь уже невозможно определять единицу
времени как определенную долю суток: сутки непостоян-
ны, и период вращения Земли уже не может служить эта-
лоном времени. Недаром сутки сейчас определяются как
1/365,2422 • 86 400 доля года. Однако положение не-
возможно исправить простым отказом от Земли как эталона-
хранителя времени. Хотя современные кварцевые или
атомные часы в течение коротких промежутков времени (до
года) хранят время точнее, чем Земля (часы идут равно-
мернее), Земля оказывается «вне конкуренции» в отноше-
нии промежутков времени, измеряемых десятилетиями,
а тем более столетиями. К тому же любые созданные че-
ловеком часы когда-нибудь останавливаются, чего нельзя
сказать о Земле. Вот почему, хотя Земля и неточный
хранитель времени, задача измерения и хранения времени
не может быть решена без тщательного изучения и учета
всех особенностей вращения нашей планеты.
Итак, чисто практические потребности вынуждают нас
тщательно изучать колебания земных полюсов и неравномер-
ность вращения Земли. Но чем вызываются эти особенности
вращения Земли? И здесь астрономия встречается с гео-
физикой: колебания полюсов и неравномерности вращения
Земли вызываются десятком причин, таких, как сезонное
смещение воздушной массы, перемещение материков, таяние
ледников, упругие свойства Земли и конвективные движе-
ния в жидком ядре Земли! Именно подробному обзору
геофизических причин особенностей вращения нашей плане-
ты посвящена книга У. Манка и Г. Макдональда «Вращение
Земли», носящая многозначительный подзаголовок «Гео-
физическая дискуссия».
Авторы достаточно подробно раскрыли цель и задачи
своей книги в предисловии и во введении. Поэтому разбор
содержания книги здесь вряд ли будет уместным. Мы ограни-
чимся лишь несколькими замечаниями о круге читателей,
для которого предназначена эта книга. Она предназначена
прежде всего геофизикам и астрономам, но далеко не
только им. Богатство материала, собранного авторами,
уменье авторов показать физическую суть сложного явле-
ния, не прибегая к сложной математике, меткие замечания,
там и сям разбросанные в книге, делают эту книгу нужной
и полезной для всех интересующихся изучением планеты, на
Предисловие к русскому изданию 7
которой живет человечество, — а таких, разумеется, боль-
ше, чем «чистых» геофизиков и астрономов.
По словам самих авторов, «разнообразие предмета чудо-
вищно». Конечно, это сильно затрудняло перевод.
Книга содержит большую библиографию основных работ,
насчитывающую свыше трехсот названий. Однако ее надо
пополнить рядом важных работ советских авторов. Здесь
прежде всего надо назвать книгу К. А. Куликова «Изменяе-
мость широт и долгот» (Физматгиз, 1961) и обширную
библиографию работ на русском языке, приведенную там.
Полезные сведения читатель найдет и в книге К. А. Кули-
кова «Фундаментальные постоянные астрономии» (Гостех-
издат, 1956), особенно гл. 1, 2 и 10. Кроме того, совершенно
необходимо включить работы М. Л. Молоденского, привед-
шие к открытию свободной нутации Земли (они опублико-
ваны в «Известиях АН СССР», сер. геофизическая), а также
обзорную статью Н. Н. Парийского («Вестник АН СССР»,
№ 5, 1963).
Приливное трение (см. гл. 11): фрагменты из Варки [204]
Предисловие
«Взволнованный предположением Ньюкома о нерегуляр-
ностях Земли как хранителя времени, я не мог думать ни
о чем другом, кроме прецессии и нутации, приливах и мус-
сонах, опускании экваториальных областей и таянии поляр-
ных льдов» (президентский адрес Кельвина, 1876 г.).
Кельвин только что возвратился из заграничной поездки и
должен был произнести президентский адрес перед Бри-
танской ассоциацией наук. Он подготовил речь о современ-
ном научном прогрессе в Америке, однако вместо этой речи
он все свое выступление посвятил вращению Земли. Этот
предмет представляет непреодолимый интерес и для нас.
Настоящая книга содержит описание некоторых не-
правильностей вращения Земли, обычно не включаемых
в гравитационные теории. Неправильности эти создают
неудобства для астрономов, усложняя шкалу времени и
ограничивая точность, с которой он может предсказать
затмения и другие астрономические явления. Сейчас
астроном обходит эту проблему путем уловки: определе-
нием единицы времени через продолжительность года,
а не через продолжительность суток.
В настоящее время становится все яснее, что неправиль-
ности вращения вызываются широким кругом явлений как
на Земле, так и в ее недрах; и наоборот, эти явления могут
быть успешно изучены при помощи измерений нерегуляр-
ностей вращения Земли. Цель книги — сделать этот метод
изучения доступным для геофизиков и получить что-то
ценное для них из того, что причиняет неприятности аст-
рономам. Первыми попытались геофизически интерпрети-
ровать обнаруженные нерегулярности вращения Земли
открывшие их астрономы. Самые ранние работы обычно
появлялись в виде коротких геофизических приложений
10
Z7 редис лови е
к астрономическим статьям. Эти добавления отражали
уверенность в том, что относительная простота методов
небесной механики может являться основой для примене-
ния их с целью интерпретации данных наблюдений. Не-
правильности вращения Земли аппроксимировались не-
сколькими гармониками, говорилось о «собственном движе-
нии» обсерваторий и «неожиданном поднятии Гималайского
комплекса на один фут». К несчастью, механика Земли
более сложна, чем небесная механика: «... Руководящими
для нас больше не будут простые соотношения небесной
механики, и мы уже находимся здесь в запутанных об-
ластях геофизики» [139].
Предмет этот был весьма модным в конце XIX в. и раз-
рабатывался Раусом, Дж. Дарвином, Кельвином и другими
крупными учеными той эпохи. В ту эпоху физики еще интере-
совались тем, что их непосредственно окружает, и ими не
владела навязчивая идея об атоме. Первое систематическое
изложение предмета содержится в последней части «Трак-
тата по натуральной философии» Томсона и Тэта. В свете
новейших геофизических данных проблема вращения Земли
была заново поставлена Джеффрисом, работы которого
явились основным вкладом.
В настоящее время астрономические факты ставят дю-
жину связанных друг с другом проблем; краткий обзор
их сделан в гл.Л. Семь из них изучались с некоторым успе-
хом только в течение последних 10 лет,.а еще для двух
появились новые данные. Некоторые проблемы, считавшие-
ся в 20-х годах решенными, теперь поставлены вновь.
Необходимо рассмотреть весь предмет в целом. Делая так,
мы не считаем, что прогресс в этой области ограничен.
Наоборот, мы ожидаем еще более быстрого появления
новых задач и того, что «решенные» задачи в скором вре-
мени потребуют нового решения. Введение в практику
служб времени цезиевого стандарта частоты в конце 1955 г.
уже дало первые плоды; лунные камеры, искусственные
спутники и вычислительные машины открывают новые го-
ризонты.
Разнообразие предмета чудовищно. Он затрагивает все
разделы геофизики. Информация непрерывно накапливает-
ся: она включает данные о ветрах и воздушных массах,
атмосферных, океанских и земных приливах, уровне моря,
/7 р е д и с л о в и е
11
жесткости и неу пр угости мантии Земли и движении в ее жид-
ком ядре. В каждом случае информация ограничивается
определенными интегральными величинами, взятыми по все-
му земному шару. В этом заключается слабость метода —
и в этом же его сила. В принципе такие интегральные вели-
чины могут быть определены подходящим суммированием
данных индивидуальных станций. С точки зрения повыше-
ния точности считают, что станции распределены слишком
неравномерно и что их слишком мало. В настоящее время
это так; мы сомневаемся в том, что когда-либо будет по-
другому.
В отношении астрономических инструментов и методов
в этой книге мы пытались дать лишь ту информацию,
которая требуется для разумного использования данных.
В вопросах геодинамики мы сформулировали основные пред-
положения, наметили выводы и дали формулы для фак-
тических вычислений. Ссылки на литературу могут
оказаться полезными при дальнейшем развитии теории.
Геофизическое обсуждение проводилось в расчете на чита-
теля, не обладающего специальными сведениями в различ-
ных областях этой науки. К сожалению, наверняка будут
обнаружены ошибки и описки. Мы будем благодарны
указавшим их.
Считаем своим приятным долгом выразить признатель-
ность тем, кто прочел рукопись и сделал полезные замеча-
ния: Ф. Бирчу, Г. Бонди, Дж. Клеменсу, К. Эккарту.
У. Эльзассеру, Р. Джильберту, Р. Хобриху, У. Марковицу,
Р. Ревеллу, Л. Сличтеру и Г. Юри. Мы благодарны Грет-
хен Чамберс и Дженис фон Херцен за подготовку рукописи.
Элизабет Стронг приняла наиболее активное участие во
всех стадиях создания книги. Нашим исследованиям (без
которых не могла родиться мысль о написании этой книги)
великодушно помогали руководство морских исследований,
Национальный научный фонд, Фонд Гугенхейма и Институт
геофизики Калифорнийского университета.
Обозначения
Здесь приведены лишь те символы, которые употребля-
ются по всей книге; если обозначения употреблялись в от-
дельных главах, то это специально оговорено. Некоторые
символы имеют различное значение в разных частях книги.
Этого невозможно избежать при рассмотрении предмета,
объединяющего динамику, геофизику и астрономию.
Когда следовало сделать выбор между установившимся
обозначением и некоторой долей двусмысленности, мы
останавливались на общепринятых обозначениях.
Употреблялись декартовы тензоры; для этой цели от-
ведены индексы /, /, k, I, т. Следовательно, обозна-
чает mv т2, т3. Но Un — это потенциал порядка п, а
не тензор. То же относится и к деформации от нагрузки
и к взаимной корреляции Ruv. Жирным шрифтом
обозначены комплексные числа: Некоторые
параметры встречаются в формах размерной, безразмер-
ной, комплексной, операторной; например, р— (размерная)
жесткость, р — безразмерная жесткость, р — р^ + /р7 —
комплексная жесткость, ар — оператор жесткости.
Л, В, С главные моменты инерции
С. тензор инерции (3.1.4)
D оператор d/dt
Е энергия
ЕТ эфемеридное время
G постоянная тяготения,
6,670-10-8 см3/г-сек2
Н постоянная прецессии
3,273-10“3 (2.3.1)
напряженность магнитного поля
14
Обозначения
Н(х)
L&, Lq
Lq,
M, Mff,
M
0
T
UT
V
x<
a
aij
a™, C
ab C(l
Q
7?
S
b
абсолютный момент количества дви-
жения (3.1.3)
ступенчатая функция Хевисайда
кинетическая энергия
общий лунный коэффициент (7.4.3)
модель Кельвина—Фойхта (§ 11 гл. 5)
момент внешних сил
момент L3, обусловленный Солнцем
и Луной соответственно
невязки долгот Солнца, Луны и
Меркурия [(11.2.1), (11.2.3)]
масса Земли, 5,976-1027 г
модель Максвелла (§ 11 гл. 5)
символ порядка величины; у = 0(х)
означает lim | у/х | < сю
(§ 3 гл. 4)
автокорреляция (приложение, § 2)
поверхность; dS — элемент поверх-
ности; энергетический спектр
(приложение, § 2)
поверхностная сферическая гармо-
ника порядка п (5.10.1)
продолжительность записи
вектор скорости относительно не-
вращающихся координат
всемирное время
объем; dV — элемент объема
невращающиеся координаты
радиус Земли, 6,371 -108 см
неупругие напряжения (§ 1 гл. 4)
коэффициенты сферических гармо-
ник степени п и порядка т
члены в долготе Луны; аналогично
для Солнца и Меркурия [(11.2.3),
(11.2.6)]
приливный амплитудный фактор
(7.4.2)
комплексный коэффициент сфериче-
ской гармоники йп + lb™
Обозначения
15
f
Fn
f(b f®’ fv
g
Si/
h, h'
hi
j, k, I. tn
k, I, k\ /'
tn
tnt
(fn\
\n /
n^ tl(7)f
П1
Pn
p
Plj
q
rj)
возмущения тензора инерции (6.1.1)
полная скорость деформации (§ 1
гл. 4)
частота в циклах в единицу вре-
мени; как индекс обозначает
«жидкий»
кориолисова частота 2Qcos6
резонансная (чандлерова) частота
х/14 цикла в месяц
частота Найквиста [приложение,
(2.15)]
невязки в долготах Луны, Солнца
и Меркурия [(11.2.3), (11,2.4)]
ускорение силы тяжести, 980 см/сек?
метрический тензор напряжений
материала в релаксированном со-
стоянии (§ 1 гл. 4)
числа Лява
относительный момент количества
движения
мнимая единица
тензорные индексы
числа Лява
масса
направляющие косинусы оси вра-
щения
обозначения порядка (т) и степени
(п) сферических гармоник
орбитальные скорости Луны, Солн-
ца и Меркурия
сферическая гармоника порядка пг
и степени п [приложение, (1.1)]
гидростатическое давление
тензор напряжений
поверхностная нагрузка, а/сж2;
угловая скорость Земли относи-
тельно «среднего Солнца»: — 15°
за 1 средний солнечный час
расстояние от центра Земли
шаговое окно (приложение, § 2)
16
Обозначения
s ds=sinQdQdK — элемент поверхно-
сти на единичной сфере; частота,
деленная на резонансную частоту
касательные напряжения
t время
Д^ интервал времени между табули-
рованными (или наблюденными)
величинами;
ui вектор скорости относительно вра-
щающихся координат
X; вращающиеся координаты
Г продолжительность средних сол-
нечных суток, 86 400 сек
модифицированная возбуждающая
функция
Q . среднее суточное вращение
7,292-10-5 рад /сек
а, р, у коэффициенты затухания
Р (X, t) приливная фаза (7.4.2)
б/7- дельта-функция Кронекера
S (х) дельта-функция Дирака
8 эксцентриситет
упругие напряжения
альтернативный тензор
т] динамическая вязкость
6 дополнение широты до 90°
i изостатический фактор
х трансформирующая функция (§ 4
гл. 6); электропроводность
% восточная долгота; постоянная Ляме
[1 жесткость
v кинетическая вязкость; степени
свободы [приложение (2.8)]
% превышение поверхности моря над
средним уровнем
р плотность; р = 5,53 г/см? — сред-
няя плотность Земли, pw =
= 1,025 г/см3—плотность мор-
ской воды
ст частота в радианах в единицу вре-
мени
Обозначения
17
<?о
а,
*0
и
Ф;
Ф/, Ф/ (О> Ф/ (D)
со;
S
«> ®, т, е
а
®
<х)
резонансная (чандлеровская) ча-
стота, 2л/14 рад в 1 месяц
резонансная (эйлерова) частота,
2л/10 рад в 1 месяц
постоянная времени; величина за-
медления Земли
конечная жесткость
упругие усилия
поверхностное натяжение
возбуждающая функция (§ 1 и 3
гл. 6)
возбуждающие функции для абсо-
лютно твердой Земли деформа-
цией от нагрузки и от вращения
угловая скорость
глобальная функция, определенная
в приложении, § 1
индексы, означающие Луну, Солн-
це, Меркурий, Землю
долгота «средней Луны»
долгота «среднего Солнца», изме-
ренная от начала года (а не
от 21 марта)
осреднение х по времени
2 Вращение Земли
ГЛАВА 1
О содержании книги
Знакомство с кратким содержанием книги, приводимым
ниже, может оказаться полезным.
После качественного рассмотрения неправильностей
вращения Земли (гл. 2) следующие четыре главы посвящены
основным принципам. Решение любой задачи должно удов-
летворять, во-первых, динамическим уравнениям движе-
ния вращающихся тел и, во-вторых, уравнениям, определя-
ющим связь между напряжениями и деформациями. В гл. 3
динамические уравнения представлены в форме, достаточно
общей, чтобы не накладывать каких-либо ограничений на
деформации. Соотношения между напряжениями и деформа-
циями рассматриваются в гл. 4. В большинстве задач эти
соотношения могут быть введены в форме безразмерных па-
раметров — так называемых чисел Лява (гл. 5). Методы
теории возмущений описываются в гл. 6. Для чтения по-
следующей части книги, имеющей дело с наблюдениями и
их интерпретацией, предварительное изучение глав об ос-
новных принципах не обязательно.
В остальных главах рассматриваются неправильности
во вращении Земли. Эти неправильности разделяются на
две категории: 1) движение полюсов Земли и 2) изменения
скорости ее вращения, или, проще говоря, изменения про-
должительности суток. Некоторые данные, относящиеся
к движению полюсов, приведены на рис. 1, а; относящиеся
к изменениям продолжительности суток, — на рис. 1, б.
2*
a
Междун. служба широты
Лалеома ънетизм
loo
воздушная Движения в ядре,
масса уровень моря
Движение полюса
?—
1оОО ГО3 Ю6 109 лет
Движение континентов
Осадки
Оледенение
Часе/ и астрой
время
Соер, покрытия
Древн.
затмения
Земные
приливе»
Ветер
10-летние
вариации
Эм пир. член
Ньюкома
Вековое
10
Движения в ядре
100
Уровень
моря
ЮОО лет
Приливное
трение
£
I
Рис. 1. Спектр вращения. Компоненты колебания оси (а) и компоненты вариаций продолжитель-
ности суток (б) в соответствии с их характерными временами (в годах). Вертикальные линии
обозначают дискретные частоты, заштрихованные области — непрерывный или шумовой спектр.
Основные источники наблюдений указаны сверху, предполагаемая геофизическая причина —
снизу.
Гл. 1. О содержании книги
21
Возможно, из-за значительного различия методов наблюде-
ний проблему движения полюсов обычно рассматривают
отдельно от проблемы изменений продолжительности суток.
Эти два вопроса, однако, друг с другом связаны весьма
тесно, и очень многое выигрывается при совместном их
изложении.
Методам наблюдений посвящены гл. 7 и 8, в остальных
же главах рассматриваются неправильности вращения
Земли в зависимости от их частот. Гл. 9 знакомит читателя
с неправильностями вращения с периодами порядка года и
менее. Данные о движении полюсов получаются из наблюде-
ний Международной службы широты — теперь Междуна-
родной службы движения полюса (гл. 7), а об изменениях
скорости вращения — из сравнения времени, задаваемого
астрономическими наблюдениями, с показаниями высоко-
точных часов (гл. 8). Годичные колебания полюсов в ос-
новном вызваны сезонными перемещениями воздушных
масс. Годичные же вариации продолжительности суток
вызываются действиями ветров, а вариации более коротких
периодов — земными приливами. В гл. 10 рассматрива-
ется чандлеровское 14-месячное колебание полюсов, период
которого определяется трехосностью и жесткостью Земли;
колебание это возбуждается случайными импульсами неиз-
вестного происхождения и затухает вследствие некоторой
вязкости Земли (или несовершенной упругости), природа
которой еще не вполне ясна, или ряда других причин.
Неправильности более долгих периодов рассматриваются
в гл. 11. Здесь данных широтных наблюдений недостаточ-
но. Данные о вариациях продолжительности суток столь
больших периодов получаются из данных современных
наблюдений покрытий и наблюдений затмений, веду-
щихся с глубокой древности. Весьма значительные непра-
вильные колебания длины суток с десятилетним периодом
могут вызываться электромагнитными эффектами связи
оболочки Земли с ее турбулентным жидким ядром. Флуктуа-
ции же скорости вращения с периодами около 100 лет
(ньюкомовы эмпирические члены), возможно, обусловлены
изменениями момента инерции Земли. Вековые изменения
скорости вращения за последние несколько тысячелетий
представляют собой главным образом результат приливного
трения, но и тут изменения момента инерции (связанные,
22
Гл. 1. О содержании книги
как предполагается, с переменным уровнем моря) должны
играть существенную роль.
Гл. 12 знакомит читателя с движением полюсов Земли
в течение интервалов времени, сравнимых с длительностью
геологических эпох. Палеомагнетизм и другие косвенные
данные иногда интерпретируются как свидетельство об
очень значительных перемещениях полюсов в течение по-
следних нескольких сотен миллионов лет. В качестве при-
чин таких перемещений предлагаются вертикальные смеще-
ния континентов и конвективное движение в оболочке
Земли. Для рассмотрения этой проблемы динамические
уравнения должны быть обобщены на модель неупругой
Земли.
Четкое различие, делаемое в литературе между правиль-
ными вариациями коротких периодов (годовой, полугодо-
вой и т. д.) и неправильными вариациями более долгих пе-
риодов, не приемлемо с точки зрения геофизики. Коротко-
периодические «спектральные линии» должны быть со-
ставной частью непрерывного спектра колебаний, вызыва-
емого атмосферными условиями, а долгопериодические
«спектральные линии» (например, связанная с 18,6-годовы-
ми приливами) должны накладываться на непрерывный
спектр изменений вращения Земли. Эта концепция «спек-
тра» является центральной в нашем изложении. Краткое
упоминание об этом методе содержится в приложении.
Литература по вопросу о вращении Земли весьма об-
ширна, но как будто еще не предпринималось попыток дать
совместное описание спектров движения полюсов и скоро-
сти вращения. Первые систематические изложения пробле-
мы движения полюсов имеются в сочинениях Томсона и
Тэта [279] и Клейна и Зоммерфельда [139]. Книга Джеф-
фриса [126] содержит обобщение результатов изучения
короткопериодического движения полюсов и влияния при-
ливного трения на долгопериодические колебания длины
суток. Сущность тех же вопросов изложена Ламбертом и
др. [140, 150]. Изменения длины суток любых периодов
рассматривались Спенсер Джонсом [138] в гл. 1 сборника
[143] и Гондалачем [90]. Наиболее же современная сводка
по проблеме движения полюсов дана Мельхиором [183].
ГЛАВА 2
Прецессия, нутация и движение
полюсов
§ 1. Прецессия и движение полюсов
Рассмотрим фотографии звезд, сделанные с некоторой
экспозицией камерой, направленной вертикально вверх Ч
На этих фотографиях следы звезд имеют вид дуг концентри-
ческих окружностей, которые для двух положений на
Земле — полюсов вращения — будут располагаться вокруг
двух соответствующих центров — полюсов мира. Последние
находятся на вертикали над полюсами вращения на Земле.
Звезды, находящиеся на полюсах мира, не имеют суточного
движения. (Полярная звезда расположена близ северного
полюса мира.) Ось вращения, или ось мира, проходит через
полюсы вращения от одного полюса мира к другому.
Если определить положения полюсов вращения через
месяц, то обнаружится, что они сместились на несколько
метров относительно своих предыдущих положений. В тече-
ние года полюсы движутся по траекториям, близким к эл-
липтическим, со средним поперечником около 6 м.
Где-либо на поверхности Земли вблизи центра этого
эллипса помещают некоторый средний полюс. Через него
из центра Земли проходит средняя ось вращения. Вокруг
среднего полюса обращается мгновенный полюс враще-
ния. По отношению же к наблюдателю на неподвижной
звезде мгновенная ось вращения остается неподвижной,
а средний полюс движется вокруг полюса вращения.
х) Небольшой эффект приливных уклонений отвеса будет рас-
смотрен в § 4 гл. 7.
24
Гл. 2. Прецессия, нутация и движение полюсов
До сих пор мы принимали, что полюс мира занимает
неизменное положение вблизи Полярной звезды 1\ Однако
в действительности за длительные периоды он заметно
смещается. Через 5000 лет он будет вблизи а Цефея,
5000 лет назад он был вблизи а Дракона и Южный Крест
Рис. 2. Прецессия (а) и колебание полюса (в); б—невозмущенное
положение. Сечение сделано перпендикулярно плоскости экватора,
через центр Земли О; 5— некоторая звезда, А—некоторая точка
на Земле, Z — ее зенит; Р — северный полюс мира, М — относитель-
ный полюс, R— полюс вращения.
мог быть видим на широте Англии. Эти изменения ориенти-
ровки оси вращения в пространстве называются прецес-
сией] с ними связано предварение равноденствий. Имеются
также и короткопериодические изменения положения
полюса мира — вынужденная нутация. Оба эти изменения
направления оси вращения Земли в пространстве коренным
образом отличаются от колебаний Земли относительно
этой оси.
Было бы весьма неудобно, если бы прецессия и измене-
ния положения Земли относительно оси вращения могли об-
наруживаться только из наблюдений на полюсе. Но на
самом деле необходимые углы могут быть измерены на любой
широте. Этими углами являются склонение звезды и широта
места. Рис. 2 изображает ситуацию в том идеальном случае,
если бы существовало либо только изменение положения
Земли относительно оси вращения, либо только прецес-
сия (или вынужденная нутация). Полюс мира Р находится
х) Если пренебречь его колебаниями, рассматриваемыми
в § 6 гл. 6.
§ 2. Причины прецессии и вынужденной нутации
25
около Полярной звезды; S — некоторая звезда с полярным
расстоянием SOP, А—заданное место наблюдения на Земле
и ZA—местное направление отвесной линии. Полярное рас-
стояние зенита точки А (дополнение ее широты до 90°)
определяется углом POZ между полюсом мира и зенитом.
Рис. 2, а иллюстрирует явление прецессии — полюс мира
сдвинулся от Полярной, что изменило склонение звезды,
но не широту места. На рис. 2, в изображено явление
изменения положения Земли относительно оси вращения.
Средний полюс М сместился влево от полюса вращения R,
вследствие чего широта места изменилась, склонения же
звезд остались неизменными. Следовательно, прецессия
определяется из наблюдений склонений а изменения
положения Земли относительно оси вращения — из наблю-
дений широт * 2). Соответствующим инструментам и методам,
применяющимся в настоящее время, посвящена гл. 7.
§ 2. Причины прецессии и вынужденной
нутации
Изменения положения оси вращения Земли в простран-
стве обусловлены в основном действиями притяжения Луны
и Солнца на экваториальное вздутие Земли. Этот эффект
отсутствовал бы в случае сферической Земли; не могло бы
его быть и в случае, когда плоскость экватора совпадает
с плоскостью орбиты Солнца (плоскостью эклиптики) и
плоскостью орбиты Луны. В действительности же плоскость
экватора наклонена на 23 1/2° к эклиптике, а наклонение
этой плоскости к плоскости орбиты Луны не намного от-
личается от этой величины. Если бы Земля не вращалась,
воздействия Луны и Солнца стремились бы привести эти 1
плоскости к совпадению. Однако из-за гироскопическо-
го эффекта вращения это квазидействие направлено под
прямым углом к ожидаемому при отсутствии вращения.
Наклонение эклиптики к экватору остается равным при-
мерно 231/2°, и полюс мира описывает вокруг полюса эклип-
х) Вообще говоря, прецессия может быть определена из наблюде-
ний любых координат звезд. — Прим, перев.
2) Изменения положения оси вращения в теле Земли определя-
ются из наблюдений не только широт, но также долгот и азимутов. —
Прим, перев.
2В. Вращение земли
26 Гл. 2. Прецессия, нутация и движение полюсов*
тики окружность за 26 000 лет; это движение называется
предварением равноденствий. Из наблюдаемой прецессии
и значения массы Луны может быть вычислена постоян-
ная прецессии (динамическое сжатие. — Перев.)
Н = = 0,00327293 ± 0,00000075, (2.2.1)
С/
где А, А и С — моменты инерции Земли относительно ее
главных осей, причем С — наибольший момент инерции
[126].
Существует также незначительная дополнительная пре-
цессия, обусловленная действием других планет. Сложное
взаимодействие солнечной и лунной орбит связано с коле-
баниями относительно коротких периодов, в том числе
с 19-летней лунной нутацией. Эти более короткие периоды
включают в основном колебания полюса мира относитель-
но полюса эклиптики, носящие общее название нутации Х).
В дальнейшем мы не будем рассматривать явления пре-
цессии и вынужденной нутации. Эти вопросы изложены
во многих руководствах (например, Раус [228]); см. гл. 11.
Не следует считать, однако, что вопросы прецессии и нута-
ции не представляют никакого интереса с точки зрения
геофизики. Например, имеющее место несогласие на-
блюденной амплитуды 19-летней нутации с вычисленной
для абсолютно твердой Земли на 1/600 ее величины объяс-
няется жидким состоянием ядра, а также соответствующими
изменениями упругих свойств мантии Земли [131, 132].
§ 3. Движение полюсов и продолжительность
суток
Вращение может быть представлено вектором, парал-
лельным оси вращения, длина которого пропорциональна
скорости вращения. В системе_отсчета, жестко связанной
с Землей (§ 2 гл. 3.), изменения компонент этого вектора по
осям Xi и х2 представят тогда изменения положения Земли
относительно оси вращения (колебания полюсов), а ком-
понента по оси х3 (приблизительно параллельная оси
х) Термин «вынужденная нутация» не следует смешивать с чанд-
леровским движением полюса (гл. 10), которое часто называют также
«свободной нутацией», или «эйлеровской нутацией».
£ 3. Движение полюсов и продолжительность суток
в системе отсчета, связанной со средним полюсом) будет
связана с продолжительностью звездных суток. Изменения
положения Земли относительно оси вращения могут быть
выражены или как угловое перемещение оси вращения
относительно оси, проходящей через средний полюс, или
как линейное перемещение полюса вращения относительно
среднего полюса. Для сравнения:
О",01 и 1,01 фута (30,8 еж)
(2.3.1)
эквивалентны, т. е. можно употреблять сотые доли секунды
дуги и футы линейного перемещения как взаимозаменяемые
единицы.
Звездные сутки определяются как интервал времени
между двумя последовательными одноименными прохожде-
ниями звезды через меридиан (большой круг на небесной
сфере, проходящей через полюса мира и зенит). Измерения
продолжительности суток требуют хороших часов и
специального телескопа. Изучение же движений полюсов
требует лишь измерения углов. Вообще говоря, проблемы
измерения длительности суток и движения полюсов со-
вершенно независимы, но на практике такое разделение не
всегда возможно [см. формулы (7.4.8) и (8.3.5) ].
2В*
ГЛАВА 3
Основные динамические принципы"
§ 1. Основные уравнения
Возьмем систему координат (Z= 1, 2,3), вращающуюся
с угловой скоростью (Di относительно неподвижной в про-
странстве системы Xt и в некоторый момент совпадающую
с ней. В этой системе эйлеровы уравнения движения записы-
ваются так:
= (3.1.1)
Здесь Lz — компоненты момента внешних сил, Hi — ком-
поненты момента количества движения, ае^— тензор,
определяемый следующими соотношениями:
8//л=0, если какие-либо два индекса равны,
i=j, i_=k, j=k;
= 4-1, если индексы расположены
в четном порядке: 1, 2, 3, 1,
=—1, если индексы расположены
в нечетном порядке: 1, 3, 2, 1 .... (3.1.2)
Согласно общепринятому правилу, если выражение
содержит повторяющиеся индексы, то им должны быть
приданы все возможные значения, а результаты просумми-
рованы.
4 Для более подробного изучения вопроса читатель отсылается
к классическим работам Оппольцера [294], Тиссерана [282], Клейна
и Зоммерфельда [139]. Полезной является также и работа Вуларда
[302].
§ 2. Системы отсчета
29
Уравнения (3.1.1) являются совершенно общими. На-
пример, они могут быть отнесены к системе отдельных
движущихся относительно друг друга материальных частиц.
Удобно разделять момент количества движения на две
части:
= С/у (/) н-(0. (3.1.3)
где
Ctj= f — XiX^dV (3.1.4)
V
— переменный тензор инерции для массы, заключенной
в объеме V, а б/у-— символ Кронекера, причем 6/у=1,
если /=/, и если i=£j. Второй член правой
части (3.1.3) обозначает относительный момент количест-
ва движения
hi = (3.1.5)
V
обусловленный движением щ относительно системы хР
Подстановка (3.1.3) в (3.1.1) приводит к уравнениям
^^'dt ^kl (3-1 -6)
Все последующее рассмотрение различных нерегулярностей
вращения Земли связано с частными решениями урав-
нения (3.1.6). Это уравнение было получено Лиувиллем
в 1858 г. [228, § 22] и называется уравнением Лиувилля.
§ 2. Системы отсчета
Раус [228, § 22] и авторы других руководств делают
различие между системой вращающихся осей в эйлеровых
уравнениях (3.1.1) и осями, связанными с вращающимся
телом, в которых могут быть описаны изменения в самом
теле [уравнения (3.1.4) и (3.1.5)]. Однако с учетом симметрии
эти две вращающиеся системы осей можно объединить без
потери общности.
Выбор вращающейся системы координат xlt вообще го-
воря, произволен. Например, она может вращаться с не-
30
Гл. 3. Основные динамические принципы
которой скоростью в направлении, противоположном враще-
нию Земли. Удобно оси координат каким-то образом
связать с Землей.
В большинстве работ обычно просто указывается, что
система координат вращается «вместе с Землей». Если
считать Землю абсолютно твердой, то трудностей дальше
не возникает. Но ветры, океанские течения и жидкое
ядро Земли вносят осложнения, для преодоления которых
координатные оси могут быть связаны с «твердой Землей».
Однако существуют приливные искажения формы Земли,
кроме того, для очень длительных процессов (сравни-
мых с геологическими эпохами) следует допустить воз-
можность конвективных движений в мантии Земли. Во всех
этих случаях мы сталкиваемся с относительным движением
различных частей земной коры. Такие движения происходят
вдоль разломов коры; они были постулированы Вегенером
как перемещения целых материков по отношению друг1
к другу.
Ясно, что нам необходимо выбрать жесткие оси, кинема-
тически определенные так, чтобы на деформации Земли не
накладывалось никаких ограничений. Здесь имеется не-
сколько возможных вариантов.
1) Тиссерановы средние оси определяются так, чтобы
= 0. Следовательно, если ветры, океанские течения и
другие относительные перемещения масс прекратятся, то
эти оси будут вращаться вместе с «застывшим» телом Земли.
Поучительно другое, эквивалентное определение: для аб-
солютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
o)z, скорость какой-либо его частицы в пространство есть
(dXjldt) = Для деформируемого же тела из coz
можно выделить некоторую величину coz, которая обращает
в минимум выражение
f (dXi yr \2 lx г
Jр dV’
V
Для осей wz можно показать, что ht — 0, так что coz оказы-
вается угловой скоростью средних осей. Джеффрис [126]
относит свои вычисления к этим средним осям.
2) Главные оси инерции, или оси фигуры, определяются
так, чтобы произведения инерции CZy-, i j, обращались
§ 2. Системы отсчета
31
в нуль. Дарвин [55] выбирал для своих исследований движе-
ния полюсов систему главных осей.
Производная в § 1 настоящей главы относится к
произвольному выбору жестких вращающихся осей и вклю-
чает, следовательно, средние и главные оси как частные
случаи.
Условия hL = 0 или Си — 0, i ф j, приводят к значи-
тельным упрощениям уравнения (3.1.6). Эта математическая
простота является очевидным основанием для выбора таких
систем осей. Но у этих фундаментальных осей имеются и
свои неудобства. Ветры и другие относительные перемеще-
ния масс приводят в медленное вращение средние оси
относительно пунктов наблюдений, и вследствие этого
может оказаться необходимым исправление данных наблю-
дений. Главные оси также смещаются относительно пунк-
тов наблюдений. Более того, сделанный Джеффрисом
выбор системы средних осей привел к появлению в его ре-
зультатах эффектов относительных движений, которыми
Джеффрис был вынужден пренебречь. Меняющийся мо-
мент количества движения атмосферы смещает средние оси
относительно экваториального избытка масс, и вследствие
этого должны возникать вариации в С/у даже в том случае,
если бы Земля была абсолютно твердой.
Мы находим подходящими для использования
3) «Географические» оси, которые связаны некоторым
предписанным образом с пунктами наблюдений. В этом
случае имеются трудности, обусловленные относительными
перемещениями пунктов. Однако при решении многих
задач этими перемещениями можно пренебречь. Станции
Международной службы широты, например, перемещаются
довольно согласованно, поскольку их пытались располо-
жить вдали от активных разломов земной коры.
Если эффектами взаимных движений нельзя пренебречь,
мы выбираем жесткие оси, привязанные заданным способом
к пунктам наблюдений. К этим осям относят геофизиче-
ские и астрономические наблюдения, относительные пере-
мещения обсерваторий, а также уравнения (3.1.1)—(3.1.6).
Можно считать, что эта система координат задается средним
полюсом, который определяется методом наименьших
квадратов за подходящие интервалы времени по всей Зем-
ле — способом, позволяющим избежать систематической
32
Гл. 3. Основные динамические принципы
ошибки местоположения обсерваторий и освободить ре-
зультаты от приливных возмущений первого порядка.
Для всех трех рассмотренных систем было определено
лишь движение осей. Необходимо определить и их положе-
ния. Как правило, начало помещается в центр масс Земли,
так что оказывается равным нулю; ось х3 на-
правляется вдоль оси вращения, ось — на Гринвич-
ский меридиан, а ось х2 — на 90° к востоку от него.
§ 3. Дальнейшее исследование уравнения
Лиувилля
Легко найти с полдюжины работ, в которых были полу-
чены некорректные результаты из-за неправильной интер-
претации или неоправданного пренебрежения теми или ины-
ми членами основного соотношения (3.1.6). Во избежание
таких ошибок имеет смысл подробнее рассмотреть, что пред-
ставляют собой члены этого фундаментального уравнения.
1) — момент внешних сил, действующих на тело
объема V. Поверхность, заключающая в себе этот объем,
может быть выбрана произвольно. Например, при рассмот-
рении эффекта ветров можно исключить атмосферу — в этом
случае Lt окажется моментом внешних сил, появляющихся
вследствие действия ветра; или же можно рассматривать
Землю целиком — тогда получим = 0. Конечно, оба
эти подхода приведут к идентичным результатам (см.
гл. 6, § 9 с примерами вычислений); выбор зависит от налич-
ных инструментальных возможностей: что легче измерить —
напряжения, создаваемые ветром, или момент количества
движения атмосферы?
2) Существенно то, что Lt — компоненты момента
внешних сил, вычисленного относительно вращающихся
осей xL. Момент, возникающий от действия ветров, по-
стоянно дующих вдоль фиксированной параллели, содержит
компоненты, не зависящие от времени; Ll ф f(t). С другой
стороны, момент внеземных сил создает меняющиеся со
временем компоненты с суточной частотой Q. Например,
давление излучения звезд должно незначительно различать-
ся на двух полушариях Земли, и результирующий момент
будет содержать переменные компоненты вида Lz = cos Q /,
L2 = sin Q t.
£ 3. Дальнейшее исследование уравнения Лиувилля
33
3) Производная относится только к моменту времени О,
когда вращающаяся система xi и неподвижная система XL
совпадают. В этот момент компоненты Lh hL и CZy- в системах
Xi и XL одни и те же, и производная может относиться к не-
подвижной системе отсчета Xt обычным образом. Но в любой
последующий момент времени V производная аналогично
предыдущему относится к неподвижной системе X'., ес-
ли только последняя выбрана так, что в момент /' она сов-
падает с вращающейся системой xt. При условии, что ком-
поненты моментов внешних сил, инерции и количества
движения всегда берутся в системе xz, уравнения (3.1.6)
всегда справедливы.
4) Интерпретация dC^ldt и dhjdt также требует
обсуждения. Легче и надежнее вначале выполнить инте-
грирования (3.1.4) и (3.1.5), определяющие CZy-и hl9 а затем
дифференцировать эти зависящие от времени интегралы.
Как было ранее установлено, эти интегралы берутся по
некоторому объему, ограниченному поверхностью S. Если
вначале производится дифференцирование, то возникают
некоторые осложнения, обусловленные искажениями S со
временем. Если ограничивающая поверхность зафиксиро-
вана относительно системы отсчета, т. е. S = S(xz), то
должна быть сделана поправка на изменения момента
инерции и относительного момента количества движения
по границе S.
5) Величины hi и CZy- зависят от полей плотнос-
ти q(xk, t) и относительных скоростей щ(Хк, t). В наших
уравнениях q и zvz входят как независимые переменные.
Конечно, имеются некоторые ограничения, налагаемые
законами сохранения энергии, массы и количества движе-
ния и уравнениями состояния. Например, изменений в поле
плотности q(0 не может быть без наличия некоторого движе-
ния Можно так преобразовать уравнения, что законы
сохранения будут выполняться автоматически. Мы стоим на
той точке зрения, что для каждого случая геофизического
применения поля q и должны быть заданы в соответствии
с законами физики, и, однако, ничто не может предупредить
разработку читателем таких примеров, в которых подразу-
мевается, скажем, возникновение вещества или его ис-
чезновение.
34 Гл. 3. Основные динамические принципы
6) С уточненным таким образом физическим смыслом
Lz, hL и Су наши уравнения могут быть решены относительно
угловой скорости coz(/) системы xt по отношению к непод-
вижной системе Пусть yt обозначают координатную
систему, вращающуюся с той же угловой скоростью
Q ~ как и система xz, но с той разницей, что
ось у3 направлена всегда вдоль мгновенной оси вращения.
Тогда
xt = Уз> (3.3.1)
т. е. o)z/Q суть направляющие косинусы вращающихся
осей относительно системы отсчета. Во всех задачах, ис-
ключая вековое движение полюса, будем направлять ось
х3 приблизительно параллельно оси у3, так что d®3/dt
будет примерно равным ускорению суточного вращения,
а о)! и (о2 — компонентам изменения положения Земли
относительно оси вращения.
ГЛАВА 4
Деформации
Основная трудность нашей задачи заключается в описа-
нии деформаций Земли под действием заданных сил. В зада-
чах об изменениях положения Земли относительно оси вра-
щения с периодами порядка года или короче принято учиты-
вать только абсолютно упругие деформации путем введения
соответствующих чисел Лява. Этой теме посвящена следую-
щая глава. Введение чисел Лява значительно облегчает ре-
шение разнообразных задач, однако эта легкость обманчива,
так как для определения чисел Лява вначале должны быть
решены соответствующие задачи теории упругости. Важ-
ность вопроса о деформациях становится очевидной при изу-
чении затухания чандлеровского движения полюса и задач,
посвященных длительным (более года) процессам, при реше-
нии которых может потребоваться учет некоторых уклонений
от абсолютной упругости оболочки Земли. Выбор целесооб-
разной неупругой модели связан с многочисленными, за-
частую спорными допущениями. Точные решения здесь
едва ли возможны и, вероятно, вряд ли имеют смысл
при современном состоянии наших знаний. Однако не-
которые общие положения, касающиеся устойчивости
вращения, могут быть получены из энергетических сооб-
ражений.
Проблема связи напряжений и возникающих деформа-
ций привлекала внимание Кельвина и Дж. Дарвина.
Кельвин предполагал, что Земля может рассматриваться
как упругое тело даже для деформаций весьма большого
36
Гл. 4. Деформации
периода, в то время как Дарвин считал Землю пластич-
ной даже для малых напряжений. С 1900 г. и по сей день
положение не изменилось, и обе эти точки зрения имеют
сторонников. В геофизике существует очень немного проб-
лем, в решении которых был бы достигнут столь малый
прогресс.
§ 1. Напряжение и деформация
Представим себе нить, растягиваемую внешней силой.
По прекращению действия этой силы нить может сразу же
вернуться к первоначальной длине или же возвращаться
к ней очень медленно; она может также принять новую
длину, большую прежней. Если нить сразу возвращается
к прежней длине по прекращению действия силы, то ее
поведение называется упругим. Заметим, что поведение
нити зависит не только от ее материала, но также и от
величины приложенной силы и, возможно, от длительности
ее действия.
При исследовании общей задачи о деформации твердых
тел существенно различать упругую (или обратимую) де-
формацию и полную деформацию [69]. В одномерном случае
(деформация нити) под влиянием внешних сил, действую-
щих вдоль нити, упругая деформация 8 определяется выра-
жением
где s—расстояние между двумя точками растянутой нити,
a g — то же расстояние через некоторое время после пре-
кращения действия внешних сил.
Скорость одномерной упругой деформации равна
d^= (1 + е)(- — - d/\. (4.1.1)
dt v 1 7 s dt g dt ) v 7
Здесь dsldt — фактическая скорость, с которой изменяется
расстояние между данными точками нити, a dgldt —
скорость изменения расстояния между этими точками при
отсутствии внешней силы. (l/s)(ds/d/) называется скоростью
полной деформации, (1 /g)(dg!dt) — скоростью неупругой
деформации. Скорость полной деформации примерно равна
$ 1. Напряжение и деформация
37
скорости упругой деформации при условии, что величина и
скорость неупругой деформации малы, т. е.
de 1 ds
dt^-Г dt
е « 1,
1 dg „ 1 ds '
g dt s dt 1
классическая теория малых деформаций основывается на
этих двух положениях.
Скорость упругой деформации (4.1.1) равна нулю, если
скорости полной деформации и неупругой деформации обе
равны нулю или же равны между собой:
1 ds__ 1 dg
s dt~~g dt '
В последнем случае длина нити меняется с конечной ско-
ростью, хотя упругая деформация остается постоянной.
Скорость полной деформации может быть ничтожной, так
что не будет происходить никакого перемещения, хотя
упругая деформация может изменяться при условии, что
скорость неупругой деформации будет конечной.
Основные представления о скорости неупругой дефор-
мации могут быть распространены и на трехмерный случай
[69, 141]. Соотношения получаются сравнительно простые,
если упругие деформации малы по сравнению с единицей.
Для Земли полное упругое напряжение часто очень велико
вследствие высокого гидростатического давления. Однако
большое полное напряжение можно предполагать состоя-
щим из двух частей — большого начального напряжения,
обусловленного взаимным притяжением частиц, и неболь-
шого добавочного напряжения, возникающего от небольших
изменений сил, действующих на систему. Мы будем интересо-
ваться лишь эффектом налагающихся небольших напряже-
ний. Поскольку концепция полной деформации не играет
никакой роли в разработке проблемы нерегулярностей
вращения Земли, величина деформации не ограничивается;
требуется лишь, чтобы налагающиеся упругие деформации
были малы.
В трехмерном случае скорость полной деформации dy
спределяется следующим образом:
Н - 1 X —Л
2 \dxj дх J ’
38
Гл. 4. Деформации
где r/z — компоненты скорости, a dtJ — симметричный
тензор. Упругая деформация определяется выражением
“ ~2 8ljh
где gtj — метрический тензор материала в состоянии ре-
лаксации, свободном от внешних сил. Скорость неупру-
гой деформации равна тогда
аИ = dii---7Г
lJ dt
при условии, что упругие деформации малы. Материал
называется неупругим, если 0.
Полное напряжение pijy действующее на вещество
внутри Земли, состоит из трех частей:
Pij = - P^j +Л; + sir
Здесь р — гидростатическое давление; rZ;-— упругое на-
пряжение, задаваемое выражением
То- = Ае^ + 2ftez7,
где X и р — постоянные Ляме; szy — касательные напряже-
ния. Форма s/y зависит от принятой модели касательных
напряжений. Например, в модели Кельвина — Фойхта
(§ 11 гл. 5) напряжения sZy- предполагаются зависящими от
скорости деформации таким образом:
sij = ^K-V dkk 6Z/ + 2pK_v dijt
Единственной силой, действующей на Землю в гидро-
статическом равновесии, является гидростатическое давле-
ние. Величина его в любой точке внутри Земли зависит от
распределения плотности в теле Земли. Во всех задачах
мы будем предполагать, что Земля первоначально находи-
лась в состоянии гидростатического равновесия pLj =
= —и затем исследовать малые отклонения от усло-
вия равновесия
Pij = — Ро + ^kk + 2pszy + szy.
Описание соотношения между напряжением и деформа-
цией было бы неполным без описания зависимости скорости
§ 1. Напряжение и деформация
39
неупругой деформации от напряжения. Природа этой за-
висимости не вполне ясна, однако имеются некоторые
предельные условия, выявленные экспериментально.
Бриджмен [211 показал, что в случае однородного матери-
ала под влиянием гидростатических сил не могут возник-
нуть неупругие деформации. Следовательно, скорость не-
упругой деформации не должна зависеть от гидростатиче-
ского давления. Если же приложенные силы не гидростати-
ческого происхождения, то поведение материала зависит от
разности напряжений. Для разности напряжений, не превос-
ходящих некоторую критическую величину (для скальных
пород от 102 до 104 бар), кристаллические тела в условиях
кратковременного лабораторного эксперимента оставались
упругими. Напряжения, превышающие критическую раз-
ность напряжений, приводили к разломам или к пластиче-
скому течению. Поведение кристаллических материалов
при длительных малых напряжениях является предметом
дискуссий, и существование конечного удлинения при
подобных длительных напряжениях не может считаться
установленным экспериментальным путем.
Для модели Максвелла (§ 11 гл. 5) соотношение между
скоростью неупругой деформации и упругим напряжением
таково:
^ij =
Налагаемое экспериментами требование аи=0 приводит
к условию Хм=—2/зНм, и, следовательно,к соотношению
aij==^M (^ij • (4.1.2)
Из этого соотношения следует, что даже при пренебрежимо
малых негидростатических напряжениях возможна не-
прерывная или пластическая деформация. Если материал
дает конечное удлинение, то соотношение (4.1.2) имеет
место лишь для разности напряжений, превосходящих
некоторую критическую величину. Мы условимся обозна-
чать три главных напряжения тензора т0- через тх, т2, т3,
считая тх < т2 < т3. Для материалов, обладающих конеч-
ным удлинением т0, тензор деформации задается соотно-
шением (4.1.2) только в том случае, если | т3 — | > т0,
в противном же случае — 0. Этот простой критерий яв-
40
Гл. 4. Деформации
ляется достаточным в задачах, рассматриваемых в настоя-
щей книге. Возможны, однако, и многие другие критерии
[202].
§ 2. Энергия и устойчивость
Кинетическая энергия Земли как планеты равна
V
где (7Z — компоненты скорости относительно неподвижных
координат Xz, а V — объем, заключающий ту часть Все-
ленной, которую мы считаем Землей. В компонентах ско-
рости uL относительно вращающихся осей х1 выражение
для кинетической энергии записывается так:
К = т J ?ui uidV + J ui &ijk xk dV +
V V
+4 Jp —dV =
V
+ + (4.2.1)
где Cik(Ck^x= by В задачах об устойчивости в качестве
основных выбираются тиссерановы оси (§ 2 гл. 3), для ко-
торых coz/zz равно нулю и вся энергия относительного движе-
ния совпадает с относительной кинетической энергией k —
положительно определенной величиной. Увеличение не-
упорядоченности системы непосредственно проявляется
в увеличении k.
Если бы Земля не подвергалась действию внешних сил,
то полный момент количества движения был бы постоянным
и полная кинетическая энергия могла бы изменяться только
вследствие изменений величины k и момента инерции Су.
Закон сохранения энергии в применении к вращающему-
ся телу, свободному от внутренних источников тепла и
термически и механически изолированному от остальной
Вселенной, приводит к соотношению
{k + W) = - J Т(7 atj dV - J Sij dti dV, (4.2.2)
V v
§ 2. Энергия и устойчивость
41
причем
F=/fz77z(Cy)-4-P + E.
Здесь Р — потенциальная энергия, обязанная массовым
силам, а Е—упругая энергия. Скорость изменения упругой
энергии включает две части:
fl dp г I ( jit
= — \— Po-^-dV + ^ц-TrdV.
dt J p ro dt J t} dt
V V
Первая часть выражает эффекты сжатия, вторая — эффект
возмущающих напряжений т/у.
Члены в правой части (4.2.2) описывают энергию, рас-
сеянную соответственно неупругими деформациями и со-
противлением трения. По второму началу термодинамики
оба эти члена являются положительными, и, следовательно,
Это выражение определяет характеристики устойчивости
вращающихся тел. Перечисленные ниже следствия из него
мы приводим без доказательства.
1. Свободно вращающееся твердое тело. Касательные
напряжения, обязанные трению, отсутствуют, вращение
происходит с такой угловой скоростью, что максималь-
ная разность напряжений не превышает прочности тела.
Тогда Sjj = 0, aLj- = 0; следовательно, (d/dt)(k + W) = 0
и k + w — const. При равновесии относительная кинети-
ческая энергия k равна нулю, a W также все время пос-
тоянно, например равно нулю, т. е. при равновесии
k - 0, W - 0.
Движение будет возмущаться действием внешних сил или
внутренних источников тепла. В этом случае k, или W,
или оба вместе не обращаются в нуль, т. е.
k 4- W = const.
W имеет абсолютный максимум при условии, что ось враще-
ния совпадает с осью наибольшего момента инерции;
k — положительно определенная величина и не может
возрастать без соответственного уменьшения W. Неболь-
шие возмущения могут приводить лишь к гармоническим
колебаниям, причем энергия периодически преобразуется
42
Гл. 4. Деформации
в кинетическую, вращательную, потенциальную и упругую.
Система полностью является устойчивой.
2. Система с трением при абсолютном минимуме W.
Закон сохранения энергии для малых перемещений дает
k + W = const — а/,
где а — положительная постоянная. Эффект трения при-
водит к затуханию возмущений, и движение можно назвать
имеющим вековую устойчивость [168]. Неупругость не
меняет условия вековой устойчивости, а лишь усиливает
рассеяние энергии.
3. W не имеет абсолютного минимума (например,
вращение вокруг оси с наименьшим моментом инерции).
При существовании упругости слабые возмущения при-
ведут к колебаниям (быть может, затухающим) около поло-
жения равновесия; движение может быть названо просто
устойчивым. При отсутствии же упругости возмущения
будут расти со скоростью, первоначально описываемой
соотношением
k -р W = const — р/,
где |3 — положительная постоянная, a W уменьшается до
достижения абсолютного минимума. Такая вековая не-
устойчивость (в смысле, употребляемом Литтлтоном)
может возникать в неупругих материалах, если данные
возмущения ведут к не обращающимся в нуль упругим
напряжениям и скоростям неупругой деформации.
Как простой пример рассмотрим планету, свободно вра-
щающуюся вокруг наибольшей оси инерции, так что W не
имеет абсолютного минимума.
Предполагается, что внешняя форма планеты соот-
ветствует угловой скорости вращения. На планету падает
метеорит в точку, не совпадающую с ее экватором. Среднее
положение оси вращения слегка изменится, a W перестанет
быть минимальной (момент инерции будет максимальным
только в том случае, если добавочная масса находится на
наибольшем возможном расстоянии от оси вращения).
Это малое смещение оси вращения создаст напряжение
в теле планеты, и в дальнейшем не будет происходить ни-
каких смещений оси, если упругие напряжения нигде не
превосходят твердости вещества, т. е. везде atj = 0. Если
£ 3. Обобщение функций
43
же даже для небольших напряжений atj =/-- 0, тогда планета
обладает вековой неустойчивостью и будет происходить
значительное движение вследствие наличия экваториаль-
ного избытка масс, соответствующего изменению положения
оси вращения (по отношению к средним осям) (см. § 6 и 8
гл. 12).
§ 3. Обобщение функций Q
Во многих задачах мы будем использовать «удельное
рассеяние»
о.3'1)
как безразмерную меру скорости рассеяния энергии в ко-
лебательных системах. В этом выражении $(dE!dt)dt —
энергия, рассеянная системой в течение полного цикла,
а Е — максимум энергии, накопленной системой за цикл.
Величина 1/Q часто используется при анализе данных на-
блюдений, так как она не зависит от деталей механизма
рассеяния энергии.
Рассмотрим случай линейного затухающего осциллятора:
d2 X . п dx , 2 2 .
+ 2а — 4- о х ~ по a cos at.
dt2 1 dt 1
«Удельное рассеяние» оказывается равным
1 ____ 2а а
Q ~~ <?о ао
(4.3.2)
и, следовательно, зависит от
вынужденных колебаний на
получаем
1 _
Qo
частоты. Для особого случая
резонансной частоте о — сг0
(4.3.3)
что соответствует обычному определению теории замкнутых
электрических цепей. Произведение Qo а представляет собой
резонансную амплитуду. Острота резонанса определяется
соотношением
1 __ 2 Дет
Qo с0 ’
(4.3.4)
44
Гл. 4. Деформации
где сг0 ± Ла — круговая частота в точках с половинной
интенсивностью (амплитуда Qoa/pr2). Сдвиг фазы <р за-
дается формулой
2
<4Л5>
Свободное колебание затухает согласно закону
e~at cos огоЛ
(4.3.6)
ГЛАВА 5
Числа Лява и связанные с ними
коэффициенты
Если бы Земля была абсолютно твердой, то можно было
бы сразу же применить уравнение Лиувилля (3.1.6) для вы-
числения вариаций ее вращения, возникающих вследствие
различных геофизических явлений. Это уравнение пригодно
и для деформируемой Земли, однако в этом случае необ-
ходимо вносить поправки на вторичные эффекты, такие,
как текучесть Земли под влиянием поверхностных нагрузок
и смещения экваториального вздутия вследствие изменений
вращения. Подобные смещения масс должны учитываться
вместе с теми специфическими смещениями, которые и
явились причиной этих возмущений. При решении этих
сложных вопросов сравнение данных геофизических и
астрономических наблюдений должно дать сведения об
упругих (и вязких) свойствах Земли.
Деформации возникают от массовых сил, например
приливных или центробежных (связанных с вращением),
или от поверхностных напряжений, скажем атмосферного
давления или воздействия ветров. Внезапное приложение
нагрузок к поверхности вызывает упругие волны со скоро-
стями порядка нескольких километров в 1 сек. Основные
«тона» («моды») свободных колебаний Земли, связанные с
этими волнами, имеют периоды порядка 1 час. Если период
возмущающей функции велик по сравнению с указанным
периодом, тогда можно принять, что упругие деформации
возникают немедленно и определяются из статических
соображений. Для океанов и жидкого ядра время релакса-
ции гораздо больше, чем период свободных колебаний,
46
Гл. 5. Числа Лява
и существуют сомнения в правильности частот, даваемых
статической теорией.
§ 1. Числа Лява й, k и
Рассмотрим реакцию Земли на возмущающий потенциал
являющийся сферической функцией 2-го порядка;
градиентами этого потенциала можно представить прилив-
ные воздействия Луны и Солнца, а также центробежные си-
лы, возникающие при вращении.
Возникающие деформации определяют числа Лява
следующим образом: поверхность Земли поднимается или
опускается на hUnQ^Jg, а дополнительный гравитацион-
ный потенциал на смещенной поверхности, возникающий
исключительно вследствие этого перераспределения масс,
равен kU. Поэтому множитель 1 + k учитывает притя-
жение экваториального вздутия, а в радиальном смеще-
нии это самопритяжение уже учтено в выражении hUlg.
Жидкая поверхность, покрывающая шар, останется экви-
потенциальной и будет смещена на (1 + tyUlg относительно
центра Земли и на (1 + k — h)Ulg относительно уровня
моря.
Кроме вертикальных перемещений твердой поверхности
на hUlg, будут иметь место и горизонтальные перемещения
с компонентами
L 1 дЯ /е ] п
g дв * g sin О' dk ’ (0.1.1)
где 0 — дополнение широты до 90°, а % — восточная дол-
гота.
Числа Лява суть безразмерные параметры, которые
весьма изящно суммируют некоторые упругие свойства
Земли. Определение значений чисел Лява относится к тео-
рии упругости. Данные о них могут быть получены из
самых разнообразных источников. Введение в уравнения
этих параметров имеет большое преимущество, так как
х) Все перечисленные числа относятся к деформациям, которые
описываются сферическими гармониками 2-го порядка, так что
k = А72. Именно эти числа наиболее существенны. Но могут пона-
добиться также и числа kn, k'n, hn, 1пп т. д., которые описывают воз-
мущения порядка п. Обозначение I было введено Ламбертом, но
неявно использовались в работе Тоси Сида.
§ 2. Деформация вследствие вращения
47
в этом случае уравнения легко могут быть приспособлены
к любым изменениям наших данных об упругих свойствах
Земли.
Наиболее подробные вычисления чисел Лява были про-
изведены Такеучи [271 ] на основе принятых им распределе-
ния плотностей внутри Земли и упругих свойств недр
Земли, выведенных из сейсмических и других данных.
Для двух моделей Земли, предложенных Булленом, Такеучи
получил (см. [126])
k - 0,290, h - 0,587, / - 0,068;
0,281, h - 0,610, /-0,082.
Как будет показано ниже, существуют другие методы опре-
деления чисел Лява, однако в силу различных причин
результаты непосредственно не могут быть сравнены (см.
§ 4 и 8 гл. 10).
§ 2. Деформация вследствие вращения
Будем рассматривать деформацию Земли, обусловлен-
ную некоторым потенциалом U (см. § 1). Согласно опре-
делению k, эта деформация вызывает внешний гравитацион-
ный потенциал k(cPlrb)U. Но, с другой стороны, гравитацион-
ный потенциал вблизи тела, слегка уклоняющегося от
сферически симметричного, дается формулой Мак-Кулло
[126]. В нашем случае деформация определяется сфериче-
ской гармоникой 2-го порядка, и соответствующие члены
формулы Мак-Кулло можно записать как
где
У ~ 2r& — 2xi) + — 6С12 х2 — ...] =
= k^U. (5.2.1)
г5
Точки обозначают еще два члена, получаемых цикличе-
ской перестановкой индексов.
48
Гл. 5. Числа Л я в а
Рассмотрим частный случай центробежного потенциала,
который равен произведению 1/2со2 на квадрат расстояния
от оси вращения, или
у [ш2г2 —(cozxz)2], (02 = C0z(0z, r2 = xzxz.
Эти выражения могут быть сведены к членам вида
+ где
U = (х22 +4-2%1) + ... — бсохсоа^х^ —•••] (5.2.2)
— сферическая гармоника 2-го порядка. Член 1/3со2г2 опре-
деляет чисто радиальные деформации, которые сводятся
к сжатию вещества вблизи центра Земли и расширению
вещества во внешних областях [166]. Подстановка (5.2.2)
в (5.2.1) дает
kcft
сij = G)y + const, (5.2.3)
где
1 “ у (^11 + ^22 + С33)
— момент инерции сферы при отсутствии деформаций
отвращения. Это и дает возможность определить постоян-
ную, так что окончательно получаем
С/Л-="'7 + з4(“-“/-Тш1М' (5'2'4)
§ 3. Вековое число Лява
Число Лява k в формуле (5.2.4) может быть интерпрети-
ровано как мера реакции Земли на центробежную деформа-
цию в течение ее эволюции примерно за последние 5 мил-
лиардов лет. Без ограничения общности можно направить
ось х3 вдоль вектора момента количества движения. Тогда
о»! = 0, со2 = 0, со3 — Q и
А1 с аъ
С*11 = ^22 = Л = / 93 Q2,
(5.3.1)
Oh v 7
с33 = с = / + ^й2,
§ 4. Числа Лява для модели жидкой Земли
49
так что
ь — 3GHC
s а* П2 ’
(5.3.2)
где Н — постоянная прецессии (2.2.1). Если бы вся масса
была сосредоточена в центре, то С = 0 и, следовательно,
ks — 0. Для однородной сферы С= 2/5Л1а2, и, принимая для
массы М = 5,08-10~27 г, получаем k$ ~ 1,14. Истинная
величина Н лежит между этими пределами. Из значения Н
и параметров международного эллипсоида имеем [126]
С- 0,3336 Ма? (5.3.3)
в сравнении с С = 0,4/Иа2 для однородной Земли, и,
следовательно,
^ = 0,96. (5.3.4)
§ 4. Числа Лява для модели жидкой Земли
Предыдущие вычисления k были связаны с наблюден-
ной скоростью прецессии и моделью эллипсоида, основан-
ной на данных гравиметрических измерений, без каких-
либо предположений о соотношении между напряжениями
и деформациями внутри Земли.
Вычислим теперь число Лява kf для модели жидкой
Земли в предположении, что Земля находится в гидростати-
ческом равновесии, т. е. что она имеет форму вращающегося
жидкого сфероида с распределением плотности, соответст-
вующим действительной Земле. С точностью до первого
порядка малости сжатие поверхности определяется выра-
жением
(5'4J)
Если бы вся масса Земли была сосредоточена в ее
центре, то 1, а 8 = Кельвин показал, что для
однородной Земли hf = 5/2, так что е = 1/232. Наблюдае-
мое сжатие, равное 1/297, лежит между этими значениями.
С наблюденной величиной 8 получаем
^ = ^=1,96. (5.4.2)
3 Вращение Земли
50
Гл. 5. Числа Лява
Но для жидкой поверхности = 1 ± (§ 1 гл. 5), так
что
^ = 0,96, (5.4.3.)
что численно совпадает с вековым числом Лява ks.
Более убедительными являются результаты Булларда
[26]. Из наблюдаемой прецессии и данного Булленом рас-
пределения плотностей внутри Земли Буллард получил
(в предположении гидростатического равновесия)
8-1 —297, 338 ±0,050.
С другой стороны, сжатие может быть получено из грави-
метрических наблюдений и данных о движении Луны без
предположения о гидростатическом равновесии. Результаты
(296,17 ± 0,68 и 296,72 ± 0,65 соответственно) не отлича-
ются существенным образом от предыдущего значения.
Последние анализы наблюдений силы тяжести [104, 105]
дают значения от 297,0 до 297,2; эти числа находятся в еще
лучшем согласии с величиной, полученной в предположе-
нии гидростатического равновесия. В соответствии с этими
наблюдениями можно считать, что форма реальной Земли
в пределах точности измерений не отличается от эквивалент-
ной модели жидкого вращающегося сфероида. Возможное
различие не превосходит х/3%, что подтверждается и на-
блюдениями при помощи спутников (см. § 3 гл. 12). Такая
разность, если она реально существует, могла бы явиться
мерой конечной жесткости Земли по отношению к напряже-
ниям независимо от длительности воздействия этих напря-
жений (§8 гл. 12). При отсутствии конечной жесткости kf
точно равно ks для длительно действующих сил, и нет ни-
какой устойчивости в рассмотренном выше смысле. Естест-
венно, что вопрос о приближенном или точном равенстве
kf « ks или kf = ks исключительно важен.
§ 5. Эффективно-приливные числа Лява
Результаты изучения земных приливов и чандлеровского
движения полюсов дали значения h = 0,59 и k = 0,29.
Хорошее согласие их с величинами (5.1.2), выведенными
Такеучи из данных сейсмических наблюдений, может дать
повод к ошибочным выводам (§ 3 гл. 10), поскольку эти
§ 5. Эффективно-приливные числа Лява
51
значения резко отличаются от чисел hs — 1,96 и ks ~ 0,96,
полученных путем исследования фигуры Земли. Существует
много гипотез, которые могли бы объяснить такое рас-
хождение, и неизвестно, какая из них правильна. Одни
гипотезы опираются на относительные величины напряже-
ний и относят вековые числа Лява к разностям напряжений
превосходящим критическое значение, а эффективно-при-
ливные числа Лява — к разностям напряжений, меньшим
этого значения. Другие гипотезы учитывают относитель-
ные длительности напряжений, относя вековые числа Лява
к воздействиям напряжений, длительность которых намного
превышает некоторую критическую продолжительность,
а. эффективно-приливные — к воздействиям напряжений,
длительность которых намного короче ее. Еще одна воз-
можность заключается в том, что Земля была первоначально
расплавленной и фигура ее теперь такова, как во время
затвердевания. В этом случае близость значений ks и kf
ведет к заключению о незначительности или полном отсутст-
вии изменений скорости вращения. Это представляется
крайне маловероятным (§ 9 гл. 11). Однако несомненно, что
реакции Земли на действия обычных приливных потенци-
алов и годичные колебания оси вращения значительно от-
личаются от реакции на суточное вращение. Можно
считать h и k асимптотическими значениями обобщенных
чисел Лява для высоких частот и бесконечно малых воз-
мущений, a hs и ks — асимптотическими значениями для
низких частот и больших амплитуд. Пример подобного
обобщения чисел Лява рассматривается в § 11.
Эффективно-приливные числа Лява выводятся из общей
реакции планеты Земли на действия возмущающих потен-
циалов, и они уже учитывают сложность строения и свойств
ядра, оболочки и действия океанов. Изменения момента
инерции, обусловленные деформациями вследствие враще-
ния, определяются формулой (5.2.4). Важное значение
приобретают произведения инерции
i + i. (5.5.1)
Если воспользоваться определением^ (5.3.2) и положить
ks — kp то соответствующие выражения для моментов
инерции получаются из формул (5.2.4), (5.3.1) и (5.3.2).
52
Гл. 5. Числа Л ява
§ 6. «Эквивалентная» Земля
Как показал Кельвин (см. [126]), для несжимаемой одно-
родной сферы с жесткостью р имеют место следующие соот-
ношения:
А 5/s /сап
^"“l + fi’ k 1 + fi ’ Z 1+fi’ 2 pga • (5.6.1)
Решение Кельвина дает значения чисел Лява для жид-
кой Земли hf = 2,5 и kf = 1,5, сравнимые с наблюденными
величинами 1,96 и 0,96 соответственно (наблюденного зна-
чения нет). Для лучшего приближения к действитель-
ности проще всего принять следующие соотношения:
Л = т4“- * = (5-6-2)
1 + р- 1 + р-
которые имеют ту же форму, что и решения Кельвина, но
в которых используются наблюденные значения hf = 1,96
и kf = 0,96. Польза этой модели «эквивалентной» Земли
зависит от того, насколько хорошо две известные величины
h и k могут быть вычислены с помощью целесообразного
выбора параметра р. Числа
р - 2,3, h = 0,59, k = 0,29 (5.6.3)
находятся в отличном согласии с наилучшей оценкой эф-
фективно-приливной жесткости. Далее, величина р = 2,3
удовлетворительно оценивает эффективно-приливную жест-
кость Земли 1>. В заключение для модели жидкой Земли
можно грубо оценить lf = 0,23 (в сравнении с 3/4 для одно-
родной Земли); с этим значением и с р = 2,3 получается
=0,07, (5.6.4)
1 + р< 7
что согласуется с вычислениями Такеучи.
-1) Знаменитый вывод Кельвина, что эффективная жидкость
Земли примерно равна жесткости стали, основывается на значении
{х = 4,1.
§ 8. Деформации от нагрузки и коэффициенты h' и k' 53
§ 7. Числа Лява n-го порядка
Нам придется дальше обратиться к числам Лява лю-
бого порядка п. Их определения получаются путем
простой подстановки1) Un вместо {/(= U2) в § 1. Для одно-
родной несжимаемой сферы формулы таковы:
h ^п + у2_____1 k 3/2___________L_
п п — 1 1 + pJV ’ п
<. = ,r<Hh>T+W'
где
+ + (5.7.2)
Для п = 2 N = 1 и формулы (5. 7.1) переходят в (5.6.1).
§ 8. Деформации от нагрузки и коэффициенты
h' и k'
Рассмотрим эффект переменной поверхностной нагрузки
q(t) г/см2, например, снежного покрова. Мы будем иметь
дело с членом qn порядка п разложения q по сферическим
функциям. Внутренний потенциал, возникающий вследст-
вие тяготения слоя qn, равен
IJ = ( г у
" 2п + 1 \ a J ’
(5.8.1)
Деформация вызывается двумя противоположными эф-
фектами. Первый представляет собой направленную по
нормали силу (положительную от центра Земли) рп = —gqn,
которая сдавливает поверхность. Кроме того, имеет место
гравитационное притяжение Земли снегом, которое дейст-
вует противоположным образом. Комбинированное дейст-
вие давления и притяжения смещает поверхность на hnUjg,
а дополнительный гравитационный потенциал, возникающий
от этого возмущения, равен knUn- Это определяет числа hnr и
k'n. Как и следовало ожидать, действие давления несколько
х) Таким образом, Un — не тензор, а п— не индекс тензора.
54
Гл. 5. Числа Лява
превышает противоположно направленное действие при-
тяжения и, следовательно, hn и kn отрицательны.
Простым примером может служить случай однородной
несжимаемой сферы. Как показал Кри [41], эффект произ-
вольного радиального напряжения рп эквивалентен эф-
фекту собственного потенциала сферы Un = рп/р. Полагая
рп = —gqn, 3g = 4лОпр, получаем суммарный потенциал
гравитирующего слоя в результате деформаций, возника-
ющих вследствие «потенциала нагрузки» рп/р и вслед-
ствие гравитационного притяжения:
Un+knpf + kn = +
Г
откуда
— (р(7л + ( 3 + ~
(5.8.2)
Аналогичная формула имеет место для hn. Следовательно,
если получены числа Лява kn и hn, обусловленные потен-
циалом, который не нагружает Землю и тем отличается
от воздействия вращательного и приливного потенциалов,
то реакция Земли задается следующим образом:
Г 2 ~|
hn, k'n= —-3 (я — 1) hn, kn.
(5.8.3)
Учитывая также формулы (5.7.1), получаем отсюда
, 2 / 1 \ 1 ' 1
hn — УГ + 2") 1+цЛГ = ~ 1 + ^ ’ <5-8-4)
гт< <5А5>
На первый взгляд кажется удивительным, что два проти-
воположных эффекта — вдавливания под нагрузкой и
гравитационного поднятия — являются величинами одного
порядка, а именно —5/3 и +1 для случая п = 2. Местные
нарушения, вызываемые нагрузкой, сосредоточенной на
ограниченной площади и соответствующей гармоникам вы-
£ 9. Деформации от нагрузки 2-го порядка
55
соких порядков п, определяются скорее вдавливанием под
нагрузкой, чем гравитационным поднятием; их отношение
составляет 2/3п. Это может быть причиной того, что грави-
тационное поднятие при п = 2 считается несущественным.
Эти два противоположных эффекта взаимно уничтожаются
при и = 1; это тесно связано с фактом, что в разложении
силы тяжести для сфероида по сферическим функциям нет
члена с п = 1 [126]. Указанный член эквивалентен смеще-
нию абсолютно твердого тела и не влияет на силу тяжести
на поверхности. Для п = О N становится неопределенным;
следовательно, йо= 0 и kQ = 0, т. е. постоянная поверх-
ностная нагрузка на несжимаемую Землю не вызывает де-
формаций.
§ 9. Деформации от нагрузки 2-го порядка
Выше было отмечено, что для жидкой Земли р = 0 и
kf = —1. Следовательно, потенциал поверхностной нагруз-
ки равен
(1 +kf)U = O.
Инерционные члены пропорциональны (1 + kf) U и
также обращаются в нуль. Но и потенциал и момент инерции
не могут быть одновременно равны нулю. Так, момент
инерции океана, покрытого айсбергами, больше, чем после
таяния этих глыб. Необходимо внести поправки на незначи-
тельные разности расстояний от оси вращения Земли для
айсбергов и вытесненной воды.
Вообразим невозмущенную поверхность на расстоянии
а от центра Земли (рис. 3). Блок из материала, имеющего
плотность поверхностного слоя, дает возрастание массы на
единицу площади на р'//'. Центр масс блока находился
на расстоянии а + 1/2//' от центра Земли до начала прогиба
поверхности. Будем рассматривать лишь сферические
гармоники 2-го порядка, так что q2 = pfH<2 = р7Г. Внеш-
ний потенциал до начала прогиба был равен
4 / 1 ггЛ4
U, = lnGr-^?'H')(a +ТН J .
При (//'/а) = 0 это выражение сводится (с точностью до пер-
вого порядка) к выражению (5.8.1) для п — 2. После про-
56
Гл. 5. Числа Лява
гиба на величину Н (рис. 3, в) остается нагрузка (положи-
тельная или отрицательная) р' (//' — Н) на среднем рас-
стоянии а + 1 */2Я'—1/2Н и нагрузка (р' — р)Н на расстоя-
нии а— b— 1/2Я от центра Земли. Соответствующим потен-
циалом 2-го порядка будет
/ 1 \ 4‘
+ (Р' — Р)н (а — ь — у Н \
Рис. 3. Слой с плотностью р' простирается от поверхности г— а
до г = а — Ь(а). Утолщение на Н'(б) приводит к смещению слоя
на величину Н (в).
Но, по определению hf и k', на расстоянии г = а
h'Ur
«UF=(U k') U'.
Для однородной Земли (исключая поверхностную на-
грузку)
3g 4лGap
и
заметим, что by Н и Hf малы по сравнению с а, а Н и
Н' — по сравнению с Ь. Отсюда после некоторых преоб-
разований находим
1 — i
1 + р
1 = 44(1 ——Y 1 +Н =Р-^- (5.9.1)
а \ р у ’ г рл2 4 7
£ 10. Модель жидкой Земли
57
В том случае, когда нагрузка имеет ту же плотность, что и
ниже лежащие породы, коэффициент изостазии i равен
нулю, и kf = —(1 + и)-1,, что согласуется с оценкой первого
порядка (5.8.5). Заметим, что численный коэффициент в вы-
ражении для i не применим точно к Земле из-за предпо-
ложения об однородности. Точные формулировки, явным
образом отвечающие требованиям закона сохранения масс,
развиваются в §5 гл. 12.
§ 10. Модель жидкой Земли с учетом
поверхностного натяжения
Другой случай, представляющий интерес, — жидкая
Земля, покрытая тонкой упругой корой. Эта модель может
быть представлена жидкой сферой с поверхностным натяже-
нием □ (сверх возникающего вследствие сферичности);
предполагается, что при отсутствии деформаций натяжения
в коре нет.
Пусть t/2 — некоторый возмущающий потенциал
второго порядка. Деформированная поверхность находится
на расстоянии г ~ а(\ + eS2) от центра сферы, где
Sn =- Pn(cos 6) (cos т X, sin mZ) (m от 0 до ri) (5.10.1)
— поверхностные сферические функции, а р™ — присо-
единенные функции Лежандра [см. приложение, формула
(А. 1.1)]. Потенциалы, возникающие вследствие появивше-
гося дополнительного поверхностного натяжения и вслед-
ствие искажения сферы, будут соответственно
Q.T 4 /11 За2 eS2\
V = -^asS2, W = ^Ga3^ + -^).
Для однородной сферы
3g =
отсюда
t/2+V2 + ^2- const
на деформированной поверхности и члены, содержа-
щие S2, дают
1 (t/2/£)поверх (^2 ^2)поверх 5/2
azS2 gClzSz 1 4“ 0 *
6 = (5.10.2)
1 -4- о
ЗВ. Вращение Земли
58
Гл. 5. Числа Лява
где
= °
“ 2 pga2
(5.10.3)
является безразмерным поверхностным натяжением, ко-
торое вводится аналогично безразмерной жесткости ц
в (5.6.1). Формулы для К и k' получаются из (5.8.5) простой
заменой ц на и.
§ 11. Операторы Лява и комплексные
числа Лява
При изучении векового движения полюса и затухания
чандлеровского колебания нам понадобятся решения,
в которых Земля рассматривается в виде моделей Максвелла
и Кельвина — Фойхта (М или К—V). В модели Максвелла
(упруго-вязкой) полная скорость деформации записывается
как сумма упругих и вязких членов (§ 1 гл. 4):
1 ds _ 1 d 1
s dt ~ 2pT dt (тупр) + 2^м (W (5.11.1)
где p — жесткость, т] —динамическая вязкость, а тупр—уп-
ругое напряжение. В модели Кельвина — Фойхта (твердо-
вязкой) полное напряжение записывается как сумма упруго-
го напряжения и вязкого напряжения:
~ ~ de
тупр = 2ре + 2цк_у di • (5.11.2)
Модель Кельвина—Фойхта отличается тем, что в ней от-
сутствуют непрерывные напряжения, связанные с деформа-
циями. Диссипация происходит из-за дополнительного на-
пряжения, пропорционального скорости деформации;
в модели же Максвелла диссипация происходит из-за
непрерывной деформации.
Модель Максвелла часто представляют как соединен-
ные последовательно рессору и амортизатор, а модель
Кельвина — Фойхта — как рессору и амортизатор, сое-
диненные параллельно. Операторы Лява могут быть на-
писаны для любых комбинаций таких элементов.
§ 12. Дальнейшее развитие идей этой главы
59
Когда задача теории упругости решена, необходимые ре-
шения для моделей Максвелла и Кельвина —Фойхта могут
быть найдены заменой безразмерной жесткости1) |л опера-
торами:
Hk-v = h(1+tD) (5.11.3)
U -j- т
соответственно. Здесь т = т]/[А — характерное время зада-
чи, a D — оператор d/dt [130, гл. 7 и 8]. Общепринятые
обозначения операторов Лява
A kf Л 1—1
= (5.11.4)
Для случая простых гармонических движений ем опе-
ратор D становится равным io, и р, k, k' превращают-
ся в комплексные числа р, к, к'.
Для упругих волн обобщенная функция Q (см. § 3
гл. 4) становится равной
§ 12. Дальнейшее развитие идей этой главы
Джеффрис [1261 подчеркнул необходимость системати-
ческого изучения поправок чисел Лява. Джеффрис [118]
и Розенхед [226] рассмотрели влияние неизобарической
поверхности моря, а Швейдар [242] изучал модель Земли
с непостоянной массой.
Обычно величины вертикальных смещений поверхно-
сти Земли, добавочного потенциала, вызванного дефор-
мацией, и потенциала Un записывают в виде
-^, knVn, (l+kn)Un, (5.12.1)
х) Эти операторы относятся к безразмерной жесткости р. из
(5.6.1), а не к размерной жесткости р. Мы не будем пользоваться
такими операторами, как р (1 + xb).
ЗВ*
60
Гл. 5. Числа Лява
выражая их через начальный заданный потенциал Un, если
последний не связан с нагрузкой на поверхность Земли.
Для потенциала, нагружающего Землю, вводятся обоз-
начения
h'U' , , , , ч
knun, (Ц-^)(7„. (5.12.2)
Приливный потенциал t/2 или потенциал нагрузки, созда-
оо
ваемой снеговым покровом, U' = ^U'n могут служить при-
п = 0
мерами этих двух случаев.
Трудность заключается в том, что искажения поверх-
ности морского дна изменяют океанские приливы, что
вызывает появление дополнительного потенциала и допол-
нительной деформации от нагрузки, сложным образом свя-
занных с первоначальным возмущением. Возможно, все
явления лучше относить к «окончательным» потенциалам
Vn и Vn (включающим и начальные потенциалы Un и l/'n) и
определять числа Лява Кп, Нп, Кп, Нп таким образом,
чтобы выражения
, кп Vп, , Кп V’n, V'n (5.12.3)
имели тот же смысл, что и величины (5.12.1) и (5.12.2).
Отсюда следует, что
(5.12.4)
Вследствие действия произвольного начального воз-
мущающего потенциала поверхность Земли поднимается
на величину
оо
2 [Hnvn+H'nv'n],
п—0
а поверхность моря относительно центра масс Земли — на
00
g-1 2 k + v'n],
п=0
£ 12. Дальнейшее развитие идей этой главы
61
так что
оо оо
2 =g-1 ® (вл 2 [(1—//„> +(1—v;
n=0 n = 0
(5.12.5)
есть возвышение поверхности моря над его дном; здесь
@(0, X) — «океанская функция» (см. приложение), опре-
деляемая соотношениями
@(0, X) = 1 для морей,
@ (9, X) = О для континентов.
Окончательный потенциал Vп определяется потенциа-
лом, вызванным начальным возмущением, и дополнитель-
ным потенциалом деформации
= + (5-12.6)
в то время как Vn зависит также от смещения поверх-
ности моря:
v'n ^Un + Kn v; + 2^ri^. (5.12.7)
Потенциал Vn должен рассматриваться как неизвестный,
так как он зависит от океанского прилива который в свою
очередь” сложным образом зависит от возмущающих потен-
циалов.
Уравнения (5.12.6) и (5.12.7) разрешаются относительно
Vn и Vn\ подстановка решений в (5.12.5) дает
00 00 у
2^ = g-xs(e, х)2
n=0 r=0
где
л =4^ = i+^-^, л=4—= 1+^-А-
1 Ar 1 — Дг
Уравнение (5.12.8) описывает сложную зависимость океан-
ского прилива от начальных возмущающих потенциалов
Ur и Допустим, что мы хотим получить решение для
$ + 1 гармоник от п = 0 до п = s. Тогда уравнение
JrUr + J'rU'r^-1 4 gl (5.12.8)
62
Гл. 5. Числа Лява
(5.12.8) дает $4-1 уравнение с s-f- 1 неизвестным от g0 до
Соответствующие потенциалы получаются по формулам
(5.12.6) и (5.12.7). Все 4($ 4- 1) чисел Лява предполагаются
заданными на основании известных свойств Земли.
При использовании уравнений (5.12.8) общепринято
разлагать <5(0, X) в ряд по сферическим функциям [см. при-
ложение, формула (А. 1.2)]
@(6, X) = 2 2 4- bn Рп sinmX) (5.12.9)
n=»0 m = 0
и аналогично
£ = S S (yaPaCOsM +ZaP*sinWv),
a—Q b — 0
Ur = 2 № P™ cos mk 4- v?p™ sin mX).
tn = Q
Сходным образом записывается разложение U' через и' и
v'. Для получения коэффициентов уьа и zba требуется вычисле-
ние тройных произведений присоединенных функций р™
(см. приложение).
Как важный частный случай рассмотрим начальный
потенциал
и2 = ^2 Р2-
Коэффициенты океанского прилива задаются в виде
gyl = J2 ^2 ^0 4- у ^2 4~ у +
+ 3gV2 у2 ^2й!о 4- ^2 4“ у ^4 ) +
+ У2 CL2 + ?2 “Ь У (у2 ^4 + ?2 b\) 4~
, 2 / 2 2 , 2 1 2\1
4“ у \У2 СЦ 4~ %2 ^4/|
и аналогично для у2, yL ^2, г2. Эти пять уравнений опре-
деляют все компоненты % второго порядка. Коэффициен-
£ 12. Дальнейшее развитие идей этой главы
63
ты не являются независимыми, так как закон сохране-
ния массы воды требует
Уо = О.
Для возмущения р2 мы имеем
£Уо = У ^2 ^2^2 +100^2^У2^2 + -|-(У2^2 + ^2^2) +
+ б(у22а22 + г22Ь22)].
Для других возмущающих потенциалов требование со-
хранения масс Земли удовлетворяется автоматически.
ГЛABA 6
Решения приближенного уравнения
Лиувилля
Уравнение Лиувилля можно значительно упростить при
помощи метода возмущений, который пригоден для трак-
товки всех рассматриваемых в этой книге проблем, кроме
векового движения полюса. При этом деформации Земли
учитываются различными числами Лява.
§ 1. Возмущения
Следующая схема применима в тех пределах, пока по-
люса фигуры и полюса вращения не удаляются далеко от
среднего полюса:
£ц = А схх, С22 — А -)- с22, £зз = £ с33,
£12 = £12, С13 “ £13» £23 “ £23, (6.1.1)
сщ — Qmx (о2 = Qm2, со3 — Q(l + m3),
где Л, Л, С — главные моменты инерции, Q — средняя
угловая скорость вращения Земли (0,729-10~4 рад
в 1 звездную секунду), czy/C, и hjQC — малые безраз-
мерные величины, произведениями и квадратами которых
можно пренебречь. С учетом (6.1.1) уравнение Лиувилля
(3.1.6) преобразуется к следующей простой форме:
7-4-т2--Ф2, ~ — mi = — <flt (6.1.2)
m3 = <p3, (6.1.3)
§ 2. Свободные колебания
65
где вг и <pz определяются формулами
<7Г=^Й, (6.1.4)
Q2 (С — /1) = Q2 Cj3 -j- ^^23 “Ь Ч~ Z^2 — Т>2,
Q2 (С — Л) <р2 — Й2с23 — йс13 + Q/i2 — hr + (6.1.5)
i
Q2 Сф3 =- — Q2 c33 — QA3 + Q [ L3 dt.
0
Точка обозначает df dt. Левые части уравнений (6.1.2) опре-
деляются при помощи астрономических наблюдений, а пра-
вые части — при помощи геофизических. Безразмерные
возбуждающие функции ср/ охватывают зависимость дви-
жения Земли от всех возможных геофизических явлений1 \
Изучение и оценка значений ф/ является основной зада-
чей книги.
Вариации длительности суток описываются уравнением
(6.1.3), колебания полюса — уравнениями (6.1.2); т19
т2, 1 — направляющие косинусы оси вращения [см. форму-
лу (3.3.1)]. В комплексной форме
m = т1 + i т2, ср = + Z<p2 (6.1.6)
имеем просто
+ (6.1.7)
§ 2. Свободные колебания
В случае свободной нутации абсолютно твердой Земли
Ф =-= 0, и решением уравнения (6.1.7) является выражение
ехр (ш/). Период 2л/сгг — около 10 месяцев. Период свобод-
ной нутации существенно увеличивается за счет влияния
деформации Земли (примерно на 40%). Этот эффект, вообще
х) Именно в такой форме эти уравнения были даны Юнгом [305].
Ранее возбуждающая функция рассматривалась Клейном и Зом-
мерфельдом [139, стр. 712—715], которые в свою очередь ссылались
на более ранние работы Вольтерра [293], Вангерина (1899 г.) и Янке
(1899 г.).
66
Гл. 6. Решения уравнения Лиувилля
говоря, далеко не очевиден, и существование его не пред-
полагалось до открытия Чандлером 14-месячного периода
в колебаниях широты (§ 1 гл. 7). Качественное объяснение
удлинения периода таково: для абсолютно твердой Земли
частота свободной нутации пропорциональна экваториаль-
ному избытку масс (6.1.4), для деформируемой же Земли
эта частота зависит только от той части экваториального
избытка, положение которой не соответствует положению
мгновенной оси вращения.
Рассмотрим отличную от нуля обусловленную лишь
вращательными деформациями возбуждающую функцию.
Произведения инерции, возникающие от этих деформаций,
определяются формулой (5.5.1); их можно выразить так:
h k
с1я^(С-А)^т1, с23--(С-А)^т2. (6.2.1)
Подставив эти выражения в формулы (6.1.5), получаем
для возбуждающей функции
^d — i£l-' $d> (6.2.2)
где
b
(6.2.3)
Тогда уравнение (6.1.7) после подстановки выражения
для ф принимает вид
— iQ-1 (6.2.4)
Точность приближения зависит от малой величины =
= (С — А)! А (ошибка порядка 0,1%). Следовательно,
выражение (6.2.3) может быть интерпретировано как часть
функции возбуждения ф, обусловленная деформацией
вследствие вращения. Уравнения (6.2.3) и (6.2.4) могут
быть записаны в виде
zrn -4~ сг0 m = 0,
который отличается от соответствующего уравнения для
абсолютно твердой Земли [уравнение (6.1.7) с ф = 0]
zm + (5r m = 0
§ 3. Вынужденные колебания
67
тем, что частота свободной нутации уменьшилась от вг
до величины
<го = а/-^. (6-2.5)
Для «эквивалентной» Земли (§ 6 гл. 5) отношение частот
равно
-°- = = 2-4 = 0,70. (6.2.6)
l + fx 3,3 v 7
Геометрическая ось фигуры Земли с моментами и произ-
ведениями инерции А, Л, С, С12, С13, С23 наклонена (при-
близительно) на с13/(С — Л), с23/(С — Л) относительно
средней оси х3. Из формул (6.2.1) и (6.2.3) следует, что
фр определяет наклонение главных осей экваториального
вздутия, возникшего вследствие деформации от враще-
ния,— «осей деформации». Точки пересечения оси фр с по-
верхностью Земли называются полюсами деформации.
Поучительны три модели в табл. 1. В случае жидкой
Земли экваториальное вздутие полностью соответствует
вращению и нет никакой вращательной устойчивости и
никакой нутации: <у0 = 0. Известную устойчивость обеспе-
чивает только та часть экваториального избытка, которая
остается «замороженной» в течение колебания оси враще-
ния (около 70%).
Таблица 1
Модель Эффектив- но-прилив- ное число Лява Ось дефор- мации Частота нутации
Твердая Земля k = 0 Фо =0 а0 = = 1 ЦИКЛ за 10 мес.
Жидкая Земля k = kf Фо = т а0 =о
Реальная Земля k = 0,29 $£>=0,30 т со = Л = 1 цикл за 14 мес.
§ 3. Вынужденные колебания
Рассмотрим колебания, вызванные каким-либо произ-
вольным явлением. Сначала необходимо вычислить воз-
68 Гл. 6. Решения уравнения Лиувилля
буждающую функцию ф(/), как если бы Земля была абсолют-
но твердой. Влияние деформации от вращения порождает
добавочное возмущение:
~ ш, (6.2.3)
которое должно быть принято во внимание в дополнение
к начальному возбуждению. Если первоначальное воз-
мущающее явление не создает нагрузки на Землю (на-
пример, ветер), то полная функция возбуждения состоит
из двух частей:
Ф = ф + $d, (6.3.1а)
а если начальное возмущающее явление создает нагруз-
ку на поверхность Земли, то
ф = Ф + + фд, (6.3.16)
где в соответствии с § 8 гл. 5
фь - k' ф (6.3.2)
— дополнительное возбуждение, возникающее вследствие
деформации от нагрузки1).
Эффект деформации от вращения порождает тогда
большее возбуждение (и колебание полюса), чем это имело
бы место в случае абсолютно твердой Земли; эффект же
деформации от нагрузки уменьшает общее возбуждение
(kf отрицательно). Можно представить себе деформацию от
вращения как положительную обратную связь, а деформа-
цию от нагрузки как отрицательную обратную связь.
Принято определять «модифицированное возбуждение»
следующим образом:
Ф = ^колеб ф, (6.3.3)
где хК0Леб — «трансформирующая функция», или функция
передачи, равная
х) Оси «возбуждения» тогда суть обобщение «главных» осей
или «осей фигуры». Если начальное возбуждение полностью обуслов-
лено относительным движением, то «ось деформации» будет ОД'
повременно главной осью; если же начальное возбуждение пол-
ностью обусловлено сдвигами вещества, то «возбужденная» ось ср
будет главной осью.
§ 4. Трасформирующая функция 69
^колеб — fa > (6.3.4а)
или
kf
*Колеб = (1 +6')атА (6-3.46)
л, £ ‘ " К>
в зависимости от того, создает или не создает начальное
возмущающее явление нагрузку на поверхность Земли.
С учетом сказанного уравнение (6.1.7) может быть записано
в следующих эквивалентных формах:
m = zor (m — 9), (6.3.5)
m = zo0 (m — Ф), (6.3.6)
которые различаются частотами и возбуждающими функ-
циями. Полное возбуждение ср включает и деформацию
от вращения и если последнее объединяется с m в
смысле § 2, то ог превращается в о0, а ф— в Т
§ 4. Трансформирующая функция
Трансформирующая функция х для «эквивалентной»
Земли получается из определений k и k', задаваемых соот-
ношениями (5.6.2) и (5.8.5) соответственно. Значения этой
функции таковы:
хК0Леб = ^±= 1,43, (6.4.1а)
^колеб = 1 (6.4.16)
в зависимости от того, создает или не создает начальное
возмущающее явление нагрузку на поверхность Земли.
В последнем случае возрастание колебаний вследствие
деформаций от вращения гасится вследствие уменьшения
их из-за деформаций от нагрузки и возбужденное колебание
оси будет таким же, как и в случае абсолютно твердой
Земли. На первый взгляд этот результат может показаться
удивительным. Но действие деформаций от давления входит
лишь постольку, поскольку они вызывают появление
произведений инерции, которые являются сферическими
70
Гл. 6. Решения уравнения Лиувилля
функциями 2-го порядка и, следовательно, совпадают по
форме с деформациями от вращения1*.
Что же касается проблем изменения продолжительности
суток, то здесь деформации от вращения, как и деформации
от нагрузки, ведут к уменьшению полного возбуждения по
сравнению с их действием в случае абсолютно твердой
Земли. Можно показать, что деформации от вращения пре-
небрежимо малы. Аналогично обозначениям, используемым
при рассмотрении колебаний полюса, принято писать
<Рз = ^3 = Хп. с.Фз, (6-4.2)
где
хп. с. = 1, (6.4.3а)
Хп.с.= 1 + *' = (6.4.36)
1 т Р-
Для получения модифицированного возбуждения 4fz сле-
дует вычислять возбуждающую функцию как если бы
Земля была абсолютно твердой, и умножить затем ее на
коэффициент х из табл. 2. Результат может быть легко
Таблица 2
Трансформирующая функция х
Никакой нагрузки Нагрузка
Колебания полюса 1,43 1,00
Продолжительность суток 1,00 0,70
сравнен с астрономическими наблюдениями через посред-
ство соотношений
ш = ш0 (т — Ф), (6.4.4а)
т3 = Ф3, (6.4.46)
которые следуют из (6.3.3), (6.3.6) и (6.4.2).
х) Эта тесная связь между деформациями от нагрузки и от враще-
ния обычно оставляется без внимания. Метод состоял в определении
возрастания колебаний, возникающих вследствие деформации от
вращения, и затем в соответствии с работой Розенхеда [226] умноже-
нии результата на числовой коэффициент 0,69 для учета деформации
от нагрузки.
$ 5. Геометрическая интерпретация
71
Численные значения х из табл. 2 должны использоваться
с осторожностью. Эти числа основываются на значении
эффективной приливной жесткости, полученной из анализа
чандлеровского колебания полюса (§ 3 гл. 10). Для высоких
частот они могут оказаться неподходящими вследствие
возможной частотной зависимости реакций океанов и ядра
(§ 4 гл. 10); для очень низ-
ких частот могут играть
существенную роль неуп-
ругие деформации оболоч-
ки — трансформирующая
функция тогда не будет
больше просто числом
(§ 4 гл. 5, § 6 гл. 12).
§ 5. Геометрическая
интерпретация
Теперь познакомимся с
геометр ическо й и нтер пр е-
тацией эффектов деформа-
ций от вращения и от наг-
рузки на колебания полю-
Рис. 4. Координаты и х2
отсчитываются от невозмущен-
ного полюса в направлении
гринвичского меридиана и на
90° от него к востоку соответст-
венно. Возмущенный возбуж-
денный полюс ф сместился в
направлении 19° в. д. а — ре-
зультирующий путь полюса вра-
щения m для абсолютно твер-
дой Земли; б — для деформи-
руемой Земли в случае воз-
буждения не от поверхностной
нагрузки; в—для поверхностной
нагрузки. Начальное возбуж-
дение ф одно и то же для всех
трех случаев. Показаны также
положения полюсов деформа-
ции фд, нагрузки ф£, общего
возбуждения ф и модифициро-
ванного возбуждения Ф.
Т1
Гл. 6. Решения уравнения Лиувилля
са (рис. 4). В начальном положении полюса возбуждения
и вращения находятся в начале координат, следователь-
но, ф = 0, m = 0. В момент времени t — 0 полюс воз-
буждения внезапно смещается (на рис. 4 в направлении
19° в. д.) вследствие некоторого возмущающего явления.
На рис. 4, а Земля считается абсолютно твердой, и по-
люс вращения m обращается вокруг полюса возбуждения
(ф = ¥= ф). На рис. 4, б введена поправка на деформацию
для случая, когда возмущение вызывается явлением, которое
не создает поверхностной нагрузки на Землю (ф£=0).
Новая черта явления заключается в том, что экваториаль-
ное вздутие приспосабливается к возмущенному положе-
нию полюса вращения; плоскость, в которой расположено
экваториальное вздутие, стремится принять положение,
перпендикулярное оси вращения; однако из-за упругости
Земли это осуществляется только примерно на 1/3, т. е.
фр ~ m = 0,30 m.
kf
Полное возмущение полюса
? = Ф +^D
состоит из части ф, которая вычисляется в предположении
абсолютной твердости Земли, и добавочной части фг>, воз-
никающей от деформаций. Полюс вращения m обращается
вокруг среднего положения ¥ возмущенного полюса на
расстоянии, увеличенном в kfl(kf — 7г) = 1,43 раза по
сравнению со случаем абсолютно твердой Земли, но удаление
m — ф полюса вращения от мгновенного возмущенного
полюса остается таким же, как и в случае абсолютно твердой
Земли. Скорость блуждания полюса вращения пропорцио-
нальна m— ф [см. уравнение (6.3.5)] и, следовательно, не
х) Тот факт, что результирующее положение полюса возбужде-
ния V совпадает со средним положением мгновенного полюса ф,
может быть доказан следующим образом. Предположим, что Ф на-
ходится в центре концентрических окружностей, определяемых m
(радиус Л} и ф; можно написать т^Ф+aJ?, ф=Ф+a(&/fy)J?,
где a — единичный вектор. Образуя (/?Ду)т— ф и учитывая фор-
мулу (6.2.3), получаем фп — ф = Ф [(£/£/)—1]. Далее, используя
выражения (6.3.1), (6.3.2) и (6.3.4), получаем Ф = хф, что согла-
суется с определением Ф согласно формуле (6.3.3).
§6. Качания
73
меняется в зависимости от деформаций, но период полного
обращения увеличивается с 10 до 14 месяцев вследствие
соответствующего увеличения радиуса.
Положение осложняется, если источник возбуждения —
это нагрузка на поверхность Земли (см. рис. 4). Возбу-
ждение ф + фл после учета деформаций от нагрузки оказы-
вается меньше, чем возбуждение ф, обусловленное перво-
начально заданной поверхностной нагрузкой. Это умень-
шение возмещается увеличением возбуждения, обусловлен-
ным деформациями от вращения, так что радиус окруж-
ности, описываемый полюсом вращения, оказывается в итоге
таким же, как для абсолютно твердой Земли. Как и в пре-
дыдущем случае, скорость движения полюса пропорцио-
нальна m — ф. Она уменьшается в 1,4 раза по сравнению со
случаем абсолютно твердой Земли, и период обращения
увеличивается с 10 до 14 месяцев.
§6. Качания
Мы делали основное ударение на движении оси вращения
относительно системы отсчета. При отсутствии внешних мо-
ментов именно та ось, которая остается строго неподвижной
в пространстве, совпадает с вектором абсолютного момента
количества движения HL и потому называется «неизменной
осью». Ось вращения совершает незначительные покачи-
вания относительно неизменной оси, и вследствие этого
полюс мира не является абсолютно неподвижным относи-
тельно Полярной звезды, даже если бы прецессия отсутст-
вовала. С точки зрения наблюдений это колебание неот-
делимо от прецессии и вынужденной нутации; все они
включают изменения полярного расстояния (или склонения)
звезды. Согласно же нашей терминологии, эти колебания
включают только те изменения, которые целиком обуслов-
лены явлениями на Земле, в то время как прецессия и нута-
ция зависят от притяжения Солнца, Луны и планет.
Положение неизменного полюса по отношению к сред-
ней оси задается следующей формулой:
н = H1 + iH2
CQ СЙ
Прямая, проходящая через центр Земли и неизменный
полюс, сохраняет свое положение в пространстве. После
74
Гл. 6. Решения уравнения Лиувилля
деления обеих частей выражения (3.1.3) на С Q и введения
обозначений (§ 1 гл. 6) получаем
-Ду = m + Я(<р —т). (6.6.1)
Постоянная прецессии Н (не путать с Н) есть малая ве-
личина, откуда следует, что неизменный полюс и полюс
вращения разделены расстоянием меньшим, чем смещения
каждого полюса, кроме случая, когда | m | < | у |. Условие
| ш | < 19 [ относится к частотам, большим частоты сво-
бодной нутации.
§ 7. Решения для различных возбуждающих
функций
Решение уравнения (6.4.4а) для колебания полюса,
вызванного произвольным возбуждением Ф (/), имеет вид
m (Z) = eZcr°z
t
m0 — f (T) T dx
— OO
(6.7.1)
где m0 — произвольная комплексная постоянная.
Рассмотрим сначала случай Ф(/) = 1 Н (I), где Н (/)—
ступенчатая функция Хевисайда. Тогда для I <0 т0~ О,
т = 0, так что
ш- J(l — ez^z), />0. (6.7.2)
Полюс вращения m описывает окружность вокруг моди-
фицированного возбужденного полюса J с периодом
Т = 2л/о0 (рис. 5).
Направление движения с запада к востоку (такое же,
как и направление суточного вращения) и положительно
в принятой системе координат.
Во втором примере положим Ф(/) = М6(/), где д —
функция Дирака. Решение в этом случае имеет вид
m = — ш0 Nez’oz, / > 0. (6.7.3)
Полюс вращения внезапно смещается в момент t = 0 и
затем обращается в положительном направлении с опере-
жением по фазе на 90° по сравнению с предыдущим реше-
нием (см. рис. 5).
£ 7. Решения для различных функций
75
В качестве третьего примера возьмем случай гармони-
ческого возбуждения с частотой о:
Ф ФГ cos о/ 4" Ф* sin at. (6.7.4)
Четыре числа Yi, Y], ¥2 определяют фазу и ампли-
туду возбуждения. Часто применяется другая форма:
Ф = ф+ + ф- е-м = I ф+1 е1 +
+ | Ф | .
(6.7.5)
Рис. 5. Положения полюса вращения в моменты 0;
х/4 Т, 1/q Т\ 3/& Т\ обусловленные (а) возбуждением
V-W) и (б) Ф-№(/)•
Первый член каждого выражения обозначает положитель-
ное (с запада к востоку) движение полюса возбужде-
ния по кругу радиусом | Ф+ |; восточная долгота полюса
в момент t = Q определяется соотношением
/Л = arg Ф+.
Второй член представляет собой соответствующее проти-
воположно направленное круговое движение. Линейная
и круговая компоненты связаны формулами
фС = ф+ + ф- фб = i (ф+ _ ф~) (6.7.6)
76
Гл. 6. Решения уравнения Лиувилля
Движение (6.7.5) эллиптическое. Большая и малая полу-
оси эллипса будут соответственно равны
|ф+| + |ф-|, Iф+ I— Iф-|,
а эксцентриситет составляет
2 | Ч»~ |
|Ф+| + |Ф~|-
Восточная долгота большой оси эллипса равна
i/2(X++V), а положение полюса в момент t определяет-
ся аргументом o7 = i/2(Z,“— 2с+). Аналогичные формулы
могут быть написаны и для т.
Решение уравнения (6.4.4а) состоит из двух частей:
частного решения
m = m0 eZao(6.7.7)
описывающего движение в положительном направлении
с частотой о0 свободной нутации, в то время как выну-
жденное колебание полюса определяется соотношениями
m = e-‘ai (6.7.8)
ао—а <*о + а
с частотой вынужденных колебаний о. Складывая и вы-
читая свободное и вынужденное движения, можно по-
строить более сложные модели колебания полюса. Это
удобно в тех случаях, когда частоты свободного и вы-
нужденного движений близки друг к другу, как это имеет
место для чандлеровского движения и годового колеба-
ния полюса. Различные примеры подобного рода были
разработаны Банахом [297], часть из которых приведена
в работе Ламберта [149]. Более поучительно рассмотреть
отдельно вынужденное движение. При этом можно счи-
тать, что свободное движение затухло вследствие эффек-
тов сопротивления или выделено из общих данных путем
соответствующего анализа.
Рис. 6 изображает вынужденное колебание в случае
плоской поляризации | Ч?*4 | = | 4е” |. -Для низких частот
(рис. 6, а) полюс вращения описывает эллипс с большой
осью, располагающейся вдоль оси эллипса колебаний воз-
бужденного полюса. В асимптотическом случае а О
оба полюса колеблются вместе, m Т. Когда частота
a
Рис. 6. Возбужденный полюс колеблется с частотой а — 2л/Т вдоль некоторой долго-
ты, занимая в моменты 0; г/^Т; 3/4 Т положения, показанные на диаграмме в цент-
ре. Показан эллиптический путь полюса вращения для: а — а = з0/4; б — а = 1,16а0 =
= 2тг/1 год} в — а = 4а0, где а0 = 2к/1,2 год — частота свободной нутации.
в
78 Г л. 6. Решения уравнения Лиувилля
приближается к резонансной, сг <г0, траектория полюса
вращения приближается к окружности, а радиус становится
бесконечно большим (если нет диссипации). Рис. 6,6
изображает движение полюса вращения с частотой, со-
ответствующей годовому периоду (эта частота немного
больше резонансной). Для еще более высоких частот воз-
буждения (рис. 6, в) эксцентриситет m траектории полюса
вращения ЧГ вновь возрастает, но в этом случае большая
ось эллипса располагается под прямым углом к оси эл-
липса колебаний полюса возбуждения. При сг -> оо колеба-
ние полюса вращения становится исчезающе малым. Во
всех случаях движение полюса вращения совершается в по-
ложительном направлении (с запада к востоку).
В случае круговой поляризации полюса возбуждения
[положительной (ЧЛ~ = 0) или отрицательной (4?*+ ~ 0)1
полюс вращения обращается по круговой траектории так же,
как и полюс возбуждения. При оба полюса всегда
в фазе. Радиус окружности, описываемой полюсом вращения
при очень низких частотах возбуждения, равен радиусу
окружности, описываемой полюсом возбуждения; они
уменьшаются наполовину при резонансе и обращаются
в нуль для очень высоких частот возбуждающей функции
(6.7.8). При ЧГ+ оба полюса будут в фазе на низких частотах
и не в фазе на высоких частотах со скачкообразным пере-
ходом при достижении резонанса. Радиус окружности,
описываемой полюсом вращения при очень низких частотах
возбуждения, также равен радиусу окружности, описывае-
мой полюсом возбуждения; он бесконечно мал при очень
высоких частотах возбуждения и становится бесконечно
большим в момент резонанса.
Желательно представить амплитуды колебания полюса
вращения в виде непрерывной функции частоты возбужде-
ния. Средние квадраты амплитуд колебания полюса равны:
^(ф| + ф2) = | ф+ |2 + | ф- |2,
(| m |2) = (nif + m2) - I m H 2 + I m- |2,
где ( ) обозначает среднее по времени. Но, согласно
формуле (6.7.8),
§ 7. Решения для различных функций 79
где s = o/Oq. Следовательно,
( | m |2) = (1^){|Ф|2)+2з(|Ф+|2-|Ф-Р) .
(1 S2)2
Характеристическая функция
;= Г( I ™21 )Г/а (6.7.10)
|_{|Ф|2)] V
принимает следующие значения для различных частных
случаев:
круговое движение в положительном 1 .
направлении V Ф+, 1 — s ’
круговое движение в отрицательном 1 .
направлении ФФ, 1 + s ’
I _ 1 _к s2
плоская поляризация (Ф^^Ф |,
случайная поляризация (| Ф |2) =
= 2 (| Ф+ |2) = 2 ([ Ф~ |2),
]/1 + S2
1 —- S2
Эти случаи показаны на рис. 7. Для очень низких ча-
стот характеристическая функция I равна единице во всех
трех случаях. Напомним, что функция I была определена
для модифицированной возбуждающей функции Ф*. Асим-
птотическая величина соответствующего отношения для
немодифицированного возбуждения ф равна 07/О0 = 1,40.
Возможно, что наиболее распространенным с точки зре-
ния геофизики является случай, когда плоскости поляри-
зации возбуждающей функции и ее фазы распределены
случайно. В этом случае функция / задается той же форму-
лой, как и для плоской поляризации, что может быть
показано следующим образом. Полюс возбуждения и
полюс вращения описывают колеблющиеся траектории.
Они могут быть подвергнуты спектральному разложению,
и для каждой компоненты частотного спектра тогда можно
будет вычислить среднюю амплитуду при помощи (6.7.9).
Рассмотрим данные, разбитые по десятилетиям. Будем вы-
числять спектральные составляющие и образуем общие
средние за все десятилетия. Поскольку, вообще говоря,
80
Г л. 6. Решения уравнения Лиувилля
нет предпочтения для положительной или отрицательной
круговой поляризации, то | Т+ | должно равняться | Чг~ |
для всех имеющихся средних. Тогда и уравнения (6.7.9)
сводятся к случаю плоской поляризации J).
Рис. 7. Амплитуда «передачи» / в функции безраз-
мерной частоты s = а/а0. Сплошные кривые: круговая
(положительная и отрицательная) поляризация; пунктир-
ные—плоская и случайная поляризации.
§ 8. Возбуждающая функция
Уравнения (6.1.5) определяют полное возбуждение,
включающее и возбуждения, вызываемые деформациями
от вращения и от нагрузки. При решении всех возникаю-
щих в практике проблем мы вынуждены сначала вычислить
возбуждение ф, для абсолютно твердой Земли, а затем
вносить поправки на вторичные эффекты деформаций
с помощью трансформирующей функции (см. § 4). При таком
подходе уравнения (6.1.5) могут использоваться в той же
форме, в какой они записаны, с заменой <pz на \|)z.
х) Проще сказать, что в силу случайного распределения пло-
скостей поляризации | и т. д. — Прим, перев.
§ 8. Возбуждающая функция
81
Уравнения (6.1.5) весьма удобны для вычисления воз-
буждающей функции всегда, когда изменения относитель-
ного момента количества движения четко отделены от из-
менений произведений инерции. Это имеет место в тех
случаях, когда то или другое из этих изменений равно нулю.
Например, закрепленный относительно Земли маховик,
вращающийся с переменной скоростью, изменяет относи-
тельный момент количества движения, но не момент инер-
ции. В случае же таяния снегового покрова гор момент
количества движения текущей воды пренебрежимо мал,
в то время как изменения момента инерции могут быть су-
щественными.
Уравнения (6.1.5) неудобны, если необходимо разде-
лить эффекты, обусловленные перераспределением масс,
и эффекты, вызванные относительными перемещениями.
Причина этого заключается в том, что как Сц, так и ht
включают относительное движение; более того, они имеют
одинаковый порядок величины. Уравнения в «разделенной»
форме были применены Манком и Гровсом [194] для
оценки годового колебания полюса, вызванного влияниями
ветров и океанских течений.
Уравнения (6.1.5) могут быть переписаны в виде
Q2(C— Л)<р =
= J Др F (перераспределение) dV +
v
+ р F (движение) dV + F (момент),
v
й2Сф3 —
= J ДрГз (перераспределение) dV j-
v
+ J pfз (движение) dV + F3 (момент),
v
где Др (xz, f) — изменение плотности, связанное с воз-
буждающей функцией ФЛ(/), а функции F определяются
следующим образом:
4 Вращение Земли
82
Гл. 6. Решения уравнения Лиувилля
для перераспределения масс
Fi = — Й2*1 х3, F2 = — Q2х2х3, F3 = — Q2 (л? + xf);
для относительных движений, ускорений и скоростей
Fi = — 2Qx3 u2 + х3 — хг и3,
F2 — 2Qx3 Ui + х3и2 — х2 и3,
F3 — Q(— и2 + х2 ^);
для момента внешних сил
t
F^- L2, F2 = Lj, F3 = Q J L3 dt.
0
Для исследования этих уравнений удобно применить сфери-
ческие координаты. Пусть иг обозначают направлен-
ные на восток, юг и вертикально вверх компоненты скоро-
сти, a dV = r2sinftdrdQdK — элемент объема. Тогда
для перераспределения масс
Fi = — г2 Q2 sin 0cos 0 cos X, F2 = — г2 Q2 sin 0 cos 0 sin X,
F3 = — r2Q2sin2 0;
для относительных движений
Fi = — 2Qr cos 0 (u\ cos % + cos 0 sin X + ur sin 0 sin X) +
+ r (— u\ cos 0 sin Az + cos 2i),
F2 = 2Qr cos 0 (— u\ sin % + fZQ cos 0 cos A, + ur sin 0 cos Az) +
4- r cos 0 cos A, + we sin Az),
F3 = — Qr sin 0rz\.
Момент внешних сил может быть записан в виде сум-
мы двух членов
= J ?^ijk %j f k “Ь J Pkm Пт dS*
V s
Первая часть обусловлена массовыми силами fkt например
гравитационным действием экваториального избытка масс.
$ 8. Возбуждающая функция
83
Второй член обусловлен поверхностными напряжениями pkm
в направлении kt приложенными к элементу поверхности,
перпендикулярному к пт. В качестве частного случая рас-
смотрим сглаженный геоид, поверхность которого всюду
Рис. 8. Компонента напряжения ртт,
нормальная к геодиду; имеет составляю-
щую Ртт (^2 a/g) sin0 в плоскости,
перпендикулярной оси х3.
нормальна к направлению силы тяжести. Радиальные ком-
поненты поверхностных напряжений не создают момента
вращения. Нерадиальные компоненты (рис. 8) суть
Р1т ~ РЧ'П cos 0 cos А — Р)М sin А + ртт sin 0 cos
р2т ~ Р9т COS 0 sin А + р-кт cos А + ртт ( — \ sin 0 sin А,
Рзт ~ — Рчт Sin 0,
где ртт — нормальная к геоиду компонента напряжения
(правило суммирования здесь не применяется). Следова-
тельно,
Л1 = a J — рьт sin % — р кт cos 0 cos X —
s
— Ртт ® C0S ® S*n ^1
4*
84
Гл. 6. Решения уравнения Лиувилля
^2
= а
т cos А, — pim cos 0 sin A, +
4" P mm
22a\ . n л л
—~ i sin 9 cos 0 cos л
g /
L3 = a j* [pxmSinO] dS.
s
dS,
Движение к В
Напряжение В
Напряжение Напряжение
Ю " C
Напряжение 3
2
i
• dm/dt
Рис. 9. Возмущения возбужденного полюса на мери-
диане Гринвича (ф1 > 0, ф2 = 0). Возмущения момента
инерции, вызванные массой т на меридиане 180°, соз-
дают такой же эффект, как увеличение dm/dt в направ-
лении меридиана 270° в. д. Показаны также эффекты
относительного момента количества движения h и скоро-
сти его изменений со временем dh/dt. Движение в нап-
равлении х2 и напряжения в направлении хх смещают воз-
бужденный полюс в направлении Хх независимо от того,
в какой четверти они происходят.
$ 9. Несколько идеализированных примеров
85
Предыдущее изложение о влиянии различных явлений
на возбуждение полюса подытожено на рис. 9. Видно, что
направленное против часовой стрелки локальное вращение
влияет аналогично локальному дефекту масс; оба эти
обстоятельства характерны для циклонов в северном полу-
шарии.
§ 9. Несколько идеализированных примеров
Рассмотрим карусель, вращающуюся с переменной
угловой скоростью на экваторе на меридиане Гринвича.
Тогда /г2 = О, Л3 = 0, и из уравнений (6.1.5) имеем
= а (с—Л) ’ ^2 = — ц2(С_л) > ^з = 0.
Этим определяется немодифицированное возбуждение, вы-
численное путем рассмотрения момента количества движе-
ния.
Момент силы, приложенной к опоре, включает момент
сил Даламбера = —hlf связанных с угловым ускорением
карусели, и гироскопический момент L2 = —Если
подставить эти компоненты в (6.1.5), то мы, конечно,
получим приведенные выше выражения для
Различие между методом момента количества движения
и методом момента внешних сил в данном примере не имеет
значения. Однако в геофизических вопросах дело обстоит
не так. Так, например, две работы о влиянии эффектов
движения в ядре Земли на длительность суток, одна из
которых опиралась на метод момента количества движения,
а другая — на метод момента внешних сил, привели к ре-
зультатам, различающимся в 105 раз (см. § 12 гл. 11).
Выбор здесь целиком зависит от наличных наблюдательных
средств: что легче и удобнее — измерять меняющуюся ско-
рость или же момент сил, приложенных к опоре.
В качестве второго примера рассмотрим колебание
полюса, вызванное танцовщицей с массой т, исполняющей
танец хула на северном полюсе. Будем считать, что при
танце центр массы танцовщицы перемещается на величину
l± = b sin at (не обязательно малую) вдоль гринвичского
меридиана. Тогда с23 = 0, hx = 0 и
с13 — — mab sin о/, h2 = mabo cos at.
86
Гл. 6. Решения уравнения Лиувилля
Возбуждающая функция задается следующим образом:
= = С^А STCOS Ot- <6-9Л)
Этот пример интересен в двух отношениях. Три члена из
(6.9.1) относятся как I : (o/Q): (o/Q)2, и для возбуждающих
частот, небольших по сравнению с Q, преобладающим явля-
ется член, зависящий от распределения масс. Во-вторых,
с13 и h2 дают одинаковый вклад в ф2, что еще раз подтвержда-
ет наше замечание о том, что в уравнениях (6.1.5) эффекты
перераспределения масс плохо отделяются от эффектов
относительных движений. В данном случае возбуждающая
функция и колебание полюса выводятся из рассмотрения
момента количества движения системы Земля — танцов-
щица. Можно получить те же результаты, считая, что
танцовщица находится вне Земли, и вводя переменный
момент внешних сил в соответствии с ее движениями.
В третьем примере вычислим эффект выстрела артил-
лерийским снарядом со скоростью, достаточной для ухода
из поля притяжения Земли. Предположим, что орудие на-
ходится на меридиане Гринвича на широте 90° — би выстрел
производится касательно к поверхности Земли в южном
направлении. Тогда X = 0, и\ = 0, иг = 0 и
с13 = — та2 sin 6 cos 6 Н (/); с13 = — та2 sin 6 cos 96(Z).
Величина prz0 равна нулю непосредственно перед выстре-
лом, когда снаряд является частью планеты Земля; после
выстрела, когда снаряд уже не является частью Земли,
рг/о также равно нулю. Следовательно,
h2 = mativ б (/).
В результате соответствующих подстановок в уравнении
(6.1.5) приходим к следующим формулам для возбуждающей
функции:
. та2 sin 6 cos 6 и . tnau^
=---------С=А~ Н ® + ^(С-Л)5
. tna2 sin 0 cos 6 & z
= 2(С_Л) 6(0-
§ 9. Несколько идеализированных, примеров
87
Отношение ф2 ко второму члену выражения для
равно Q a sin 0 cos 0/i/e и мало вследствие того, что скорость
ускользания снаряда щ = 11,3 км/сек значительно пре-
восходит величину Q а == 0,46 км/сек. Поэтому функцией
ф2 можно пренебречь. Каждый из членов выражения для
//(/) дает круговое движение полюса вращения. Первый
член, содержащий H(f), представляет вращение полюса по
окружности радиусом R вокруг оси, смещенной на R от-
носительно начального положения; второй же дает вращение
по окружности радиусом R' вокруг первоначального поло-
жения полюса. С учетом формул (6.7.2.3) имеем
р___ma2 sin 0 cos 0 р'_ а° ти® а
К “ С^~А ’ К " П2(С-А) ‘
Отношение этих радиусов равно
~7 = — — sin 0 cos 0 = 0,041 • 420 sin 0 cos 0 = 17 sin 0 cos 0
R “в
и велико везде, за исключением мест, очень близких к эк-
ватору или полюсам. Следовательно, если мы стреляем
снарядом со скоростью ускользания, то наиболее эффектив-
ным с точки зрения смещения полюса будет размещение
орудия на широте 45° и выстрел наибольшим из возможных
снарядов, который можно было бы вывести из поля притя-
жения Землиг). Но тогда столь же эффективно, однако
х) Жюль Верн подробно рассмотрел проблему «опрокидывания»
Земли этим способом в романе «Вверх дном». Мы весьма обязаны
Эйрье из Центральной географической службы, который , предоста-
вил нам копию этого романа из Французской национальной библио-
теки. Жюль Верн рассказывает о большом интересе членов «Ва-
шингтонского правительства» к проекту инженеров «Арктической
промышленной компании» выстрелить 180 000-тонным снарядом для
перемещения полюса на 23° и тем самым привести в совпадение
эклиптику и экватор. Впоследствии французский инженер Пьердэ
нашел, что при вычислении результатов такого выстрела пренеб-
регли экваториальным вздутием Земли. Введя соответствующую
поправку, он получил для смещения полюса величину всего 3 мк.
Полагая /n=l,8*10lx г и 6=45°, получаем
1/2 та3
Rtf — 0,1 мк,
или 1/30 результата Пьердэ. Эта история имеет современное про-
должение. Во время президентских выборов 1956 г. кандидат в
вице-президенты сенатор Эстес Кефовер указал, что в результате
88
Г л. 6. Решения уравнения Лиувилля
легче, выстрелить снарядом к экватору (или полюсам).
К тому же существуют более дешевые способы перемещения
масс, чем артиллерийская стрельба. Изменение положения
полюса (в радианах) будет порядка отношения смещенной
массы к массе экваториального вздутия, т. е. достаточно
мало.
испытаний водородных бомб ось Земли может сместиться на 10°.
Допустим, что для придания космической скорости снаряду ис-
пользована энергия 1024 эрг. Масса снаряда равна 1024Луи2~ 1,6Х
X Ю12 г, или, грубо говоря, в десять раз больше массы снаряда из
романа Жюль Верна. Результирующее смещение полюса тогда ока-
зывается равным 1 мк. И через 70 лет после Жюль Верна члены
«Вашингтонского правительства» все еще отказываются признать
существование и значение экваториального избытка масс Земли!
ГЛАВА 7
Наблюдения широты
§ 1. Исторический обзор 9
После того как в 1765 г. Эйлер указал, что у Земли
должно наблюдаться явление свободной нутации с перио-
дом Л/(С— Д) звездных суток, Петерс в 1841 г., Бессель
в 1842 г. и Максвелл в 1851 г. пытались обнаружить измене-
ния широт с 10-месячным периодом. Результаты этих по-
пыток оказались разочаровывающими: довольно неуверенно
были найдены вариации широт с амплитудой менее 0",1.
Тем не менее Кельвин считал эти результаты заслуживаю-
щими внимания. Его оптимизм основывался на геофизиче-
ских соображениях: одни только перемещения воздушных
масс, по его оценкам, должны были бы вызывать колебания
полюса от 0",05 до 0",5. Проанализировав по просьбе
Кельвина наблюдения широты Вашингтона в 1862—1865 гг.
с целью выявить 10-месячные колебания, Ньюком нашел
амплитуду этих колебаний 0",05 ± 0",03. Об этом резуль-
тате Кельвин в 1876 г. объявил в президентской речи перед
Британской ассоциацией как о достаточно убедительном
доказательстве существования свободной нутации. Сам же
Ньюком был настроен скептически.
Как выяснилось впоследствии, Кельвин был прав отно-
сительно наличия эффекта и ошибался относительно его
х) Большая часть приведенного в обзоре материала заимствована
нами из работы Ламберта и др. [150]; использованы также статьи
Мельхиора [183] и Лармора [155]. Подробная библиография работ
об исследованиях широт (1761 название) составлена Шеварличем
[245].
4В Вращение Земли
90
Гл. 7. Наблюдения широты
периодичности. Правильное решение проблемы, быть может
качественное, было получено при исследованиях, которые
были предприняты с совершенно иными целями и без каких-
либо предположений о колебаниях широты определенной
частоты.
В 1884 г. Кюстнер в Берлине начал короткий ряд на-
блюдений для определения постоянной аберрации, наблю-
дая малые разности зенитных расстояний звезд по способу,
предложенному американским военным геодезистом Таль-
коттом. Кюстнер был удивлен, обнаружив вариации этой
постоянной с периодом около года. Тщательно проанализи-
ровав все возможные источники ошибок, Кюстнер пришел
к выводу, что изменения постоянной аберрации обусловлены
колебаниями широты порядка 0",2. Этот результат был
доложен в 1888 г. на конгрессе в Зальцбурге, что побудило
к действию Международную геодезическую ассоциацию.
Решающее испытание последовало в 1891 г. Одновременные
наблюдения широты были предприняты в Уайкики и
в Берлине. Кривые колебания широты этих двух отстоящих
по долготе на 180° станций должны были бы быть противо-
положными по фазе. Это ожидание уверенно подтвердилось.
Амплитуда колебания широты оказалась около 0",5. В со-
ответствии с этим профессор Фёрстер из Берлина информи-
ровал Кельвина о том, что высказанная последним в 1876 г.
мысль подтверждена и «что нерегулярные перемещения оси
Земли, достигающие половины секунды дуги, могут вы-
зываться изменениями уровня моря, обусловленными метео-
рологическими причинами» х).
В то же время Чандлер, преуспевающий коммерсант из
Кембриджа (Массачусетс, США), уже начал свои исследо-
вания вариаций широты. Он сумел проследить колебания
широты по наблюдениям со времен Брадлея, т. е. более
чем за 200 лет, и показал, что многие из необъясненных
противоречий в наблюдениях были обусловлены колеба-
ниями широты. В одной из первых опубликованных работ
Чандлера [35] было показано, что наблюдения дают в допол-
нение к годичному члену еще и член с периодом 428 суток,
что на 40 % превосходит длину классического эйлеровского
х) Президентская речь лорда Кельвина в Королевском обществе
30 ноября 1891 г.
§ 1. Исторический обзор
91
периода. Этот вывод был совершенно неожиданным и вызвал
сомнения в полноценности наблюдений. Однако всего через
год Ньюком сумел доказать, что упругие свойства Земли
и океанов могут вызывать как раз такое увеличение пе-
риода с 10 до 14 месяцев [205]. Он приписал четвертую
часть увеличения периода влиянию подвижности океана,
а остальную часть — упругости Земли. С замечательной
прозорливостью Ньюком указал1), что наблюдения широт
могут оказаться одним из наилучших средств определения
жесткости Земли.
С самого начала Чандлер [36] обсуждал возможность
обнаружения в изменениях широты вековой член, однако
не смог выявить подобного изменения. Это положение, по
существу, сохранилось и до настоящего времени. Чандлер
[37] также сообщил об обнаружении реальных колебаний
периода негодового члена. Мнение Ньюкома [205] об этом
сохранило свое значение в связи с новым взглядом на
концепцию переменного периода свободной нутации (§ 2
гл. 10): «... возникает вопрос, насколько мы вправе пред-
полагать, что период (колебания полюса. — Перев.) должен
быть переменным? Я считаю, что, если исключить воз-
мущения, любое изменение периода находится в столь
прямом противоречии с законами динамики, что мы обязаны
считать подобные изменения невозможными».
Большой интерес к этому открытию привел к организа-
ции Международной службы широты (МСШ). Для использо-
вания одних и тех же звезд станции МСШ были расположены
на одной параллели (39°08' с. ш.) и по возможности равно-
мерно распределены по долготе (рис. 10). К концу столетия
все станции начали наблюдения широт. В настоящее время
продолжают работу только четыре из первоначально орга-
низованных станций: Мицузава (Япония), Карл офорте
(Италия) — на маленьком островке близ Сардинии, Юкайя
(Калифорния, США) и Гейтерсберг (Мэриленд, США).
Последняя не работала в период 1914—1931 гг. вследствие
нехватки средств. Станция Чарджоу (СССР) из-за изменения
русла Аму-Дарьи была перенесена в Китаб, примерно на За
к западу. В южном полушарии наблюдения производятся
х) В письме к Кельвину, цитированном Кельвином в президент-
ской речи в Королевском обществе 30 ноября 1892 г.
4В*
92
Гл. 7. Наблюдения широты
в настоящее время в Ла-Плате (Аргентина). Замечательной
особенностью программы была непрерывность наблюдений.
В течение первой мировой войны станции МСШ вели свою
Рис. 10. Основные станции Международной службы
широты; они расположены на указанных долготах, на
широте 39°08' с. ш.
работу при поддержке «Геодезической ассоциации нейтраль-
ных стран», организованной для продолжения геодезиче-
ских работ во время конфликта.
К сожалению, программа наблюдений МСШ и редукций
данных отчасти изменилась. Деятельность МСШ разбивается
на три больших периода: «германская эра» с 1900,0 до
1922,7 г., когда работами руководили Т. Альбрехт, Б. Ва-
нах и Маккопф; «японская эра» с 1922,7 до 1935 г. — под
руководством X. Кимура и, наконец, с 1935 г. по настоящее
время — «итальянская эра» под руководством Л. Карнера
и Дж. Чеккини. Изменения программ подходящих зенитных
£ 2. Методы наблюдений
93
звезд привели к неоднородности наблюдений, что весьма
затруднило их анализ и интерпретацию.
До недавнего времени все наблюдения МСШ производи-
лись при помощи визуальных зенит-телескопов. В 1912 г.
в Гринвиче вступил в действие плавающий зенит-телескоп
Куксона, а в 1915 г. в Вашингтонской морской обсервато-
рии —фотографическая зенитная труба (ФЗТ)г) (несколько
позднее ФЗТ была установлена в Ричмонде, Флорида.
Впоследствии начали наблюдать с ФЗТ и в Гринвиче. В на-
стоящее время ФЗТ имеется и в Мацузаве, и хочется ве-
рить, что и остальные станции МСШ будут оборудованы
так же.
Сейчас широко распространены и безличные астролябии
Данжона, дающие результаты того же порядка точности,
что и ФЗТ. В течение Международного геофизического
года в дополнение к наблюдениям МСШ производились
наблюдения с помощью 22 визуальных зенит-телескопов,
10 ФЗТ и 16 астролябий Данжона более чем на 30 обсерва-
ториях, в то числе: Канберра (Австралия), Херстмонсо
(Англия), Уккль (Бельгия), Потсдам (ГДР), Дера Дун
(Индия), Милан (Италия), Оттава (Канада), Тяньцзин,
Шанхай (КНР), Тананариве (Мадагаскар), Веллингтон
(Новая Зеландия), Боровиц, Познань (Польша), Благо-
вещенск, Казань, Горький, Иркутск, Полтава, Пулково,
Москва (СССР), Невшатель (Швейцария), Кито (Эквадор),
Белград (Югославия) и Токио (Япония).
§ 2. Методы наблюдений
Как было отмечено выше, для определения колебаний
полюса необходимы точные измерения широты. Абсолютный
фундаментальный способ определения широты дает мери-
дианный круг. Этот инструмент состоит из телескопа-ре-
фрактора, который может вращаться вокруг горизонталь-
ной оси, ориентированной в направлении запад — восток.
Наблюдая зенитное расстояние Zy звезды в момент ее верх-
ней кульминации (когда звезда ближе всего к зениту) и
зенитное расстояние Zl той же звезды в момент ее нижней
*) Возможности применения фотографических методов на стан-
циях МСШ обсуждались еще в 1896 г.; даже тогда считалось, что они
превосходят визуальные.
94
Гл. 7. Наблюдения широты
кульминации через 12 звездных часов, можно получить
(рис. 11)
0 = , Р “ 2"(^L % и) • (7.2.1)
Первое выражение дает дополнение широты 0 до 90°
(90° —0), а второе — полярное расстояние звезды р (90° —6).
Рис. 11. Р — полюс мира, Z — зенит. В фундаментальном методе
(а) измеряются зенитные расстояния z^ и zL звезды S в двух ее
кульминациях. В способе Талькотта (б) измеряется разность зенитных
расстояний г и г' звезд с полярными расстояниями р и р'.
Этот метод называется абсолютным методом определения
широты и склонений, поскольку эти величины определяются
независимо друг от друга.
Способ Талькотта заключается в измерении малой раз-
ности- зенитных расстояний звезд, кульминирующих одна
к северу, а другая к югу от зенита (и недалеко от него)
с интервалом в несколько минут. В моменты кульминаций
звезд имеют место такие соотношения (рис. 11, б):
0 = p' + z', 0 = р — z,
складывая которые, получаем
9 = +P)+|(Z'-Z), (7.2.2)
£ 2. Методы наблюдений
95
где среднее полярное расстояние пары звезд предполагается
известным, а полуразность их зенитных расстояний измеря-
ется в процессе наблюдений. Способ Талькотта, следова-
тельно, не является абсолютным. Тем не менее этот способ
является одним из наиболее распространенных вследствие
двух важных преимуществ: 1) измерение малого угла
z — z' с помощью микрометра производится гораздо точнее,
чем величин Zu и z^ при помощи разделенного круга, и
2) использование близзенитных звезд сводит к минимуму
ошибки вследствие рефракциих). Для наблюдений по
способу Талькотта классическим инструментом является
зенит-телескоп. С помощью точного уровня телескоп уста-
навливается на заданное зенитное расстояние звезды, куль-
минирующей первой. Когда звезда пересекает параллельные
меридиану нити микрометра, измеряются микрометром ее
расстояния от центральной нити, направленной с востока
на запад. Затем телескоп поворачивают на 180° относительно
вертикальной оси, и он оказывается направленным на север
(если он первоначально был направлен на юг); если необхо-
димо, телескоп выравнивают, чтобы уровень оставался го-
ризонтальным. Основное условие заключается в том, что
угол между визирной линией инструмента и уровнем дол-
жен оставаться неизменным. В результате телескоп оказы-
вается установленным на то же зенитное расстояние, что и
при наблюдении первой звезды, но в противоположную
от зенита сторону. Далее повторяются измерения микро-
метром второй звезды, и разность отсчетов микрометра не-
посредственно дает разность зенитных расстояний наблюда-
емых звезд г' —z без использования отсчетов разделенного
круга.
Существуют и другие инструменты, кроме зенит-теле-
скопа. В фотографической зенитной трубе уровень заменя-
ется свободной поверхностью ртути; изображения звезд,
отражаясь от нее, попадают на фотографическую пластинку,
которая может поворачиваться вокруг вертикальной оси.
Производится по нескольку экспозиций одной звезды до и
после поворота пластинки; расстояние 2г между этими
изображениями звезды получается на измерительной
х) Точнее, при наблюдениях по способу Талькотта результаты
измерений искажены лишь дифференциальной рефракцией и свобод-
ны от нормальной рефракции. — Прим* перев.
96
Гл. 7. Наблюдения широты
машине. Величина 9 = 90° — ф равна р + г, если звезда
кульминирует к северу от зенита, и р — z, если звезда куль-
минирует к югу от зенита. Из ряда подобных экспозиций
может быть также определено время прохождения звезды
через меридиан.
«Безличная астролябия» работает на совершенно иной
основе. Прямой луч от звезды и луч, отраженный от ртут-
ного горизонта, попадая в объектив после прохождения
призмы с углом 60°, образуют два изображения. В момент
совпадения изображений зенитное расстояние звезды равно
30° [54]. Определения времени и широты с помощью без-
личной астролябии взаимозависимы (в отличие от ФЗТ),
и необходимо знать не только склонения звезд, но и их
прямые восхождения.
§ 3. Методы редукций
Амплитуда колебаний полюса составляет величину по-
рядка 0",1. Вероятная ошибка одного наблюдения одной
звезды, выведенная по внутренней сходимости, — вели-
чина того же порядка. В ежемесячные средние широты
станции входит около тысячи наблюдений, так что эти сред-
ние оказываются точнее 0",01, если ошибки наблюдений
случайны. Сравнение наблюденных в Вашингтоне широт
с вычисленными по данным МСШ указывает на наличие
расхождений порядка 0",1 (см. рис. 13). Эти и другие данные
позволяют считать, что в наблюдениях имеются значитель-
ные систематические ошибки.
Редукции наблюдений МСШ производятся по установ-
ленной схеме. Основные трудности здесь заключаются
в определении цены оборота винта микрометра и склонений
широтных звезд. Априори ни то, ни другое не известно
с достаточной точностью, и в конечном счете различные
необходимые поправки выводятся из самих широтных на-
блюдений. Поправки цены оборота винта микрометра
включают годовой член, иногда столь же значительный,
как и годовое движение самого полюса. Не удивительно, что
Мельхиор [183] предостерегает: «Геофизики должны от-
давать себе полный отчет о влиянии неточностей цены обо-
рота винта... и относиться к предварительным результатам
с осторожностью».
§ 3. Методы редукций
97
Для уменьшения ошибок, обусловленных влиянием
неточностей цены оборота винта, группы «широтных звезд»
(объединенных в «пары Талькотта») должны выбираться
так, чтобы сумма измеряемых в ночь разностей зенитных
расстояний пар звезд была бы сколь возможно малой. К со-
жалению, координаты широтных звезд подвержены влиянию
прецессии, так что по прошествии примерно десятилетия
некоторые пары Талькотта становятся уже неподходящими
и должны заменяться. Изменения программы звезд Между-
народной службы широты производились в эпохи 1912,0;
1922,7; 1935,0 и 1955,0.
В каталоге Кона, который употреблялся при редукциях
с 1899 до 1935 гг., склонения некоторых звезд оказались
ошибочными. С 1935 г. использовался более точный каталог
Босса, но и он содержал неприятные ошибки. Наконец,
число работающих станций МСШ менялось от трех
(с 1922,7 по 1935,0) до шести (с 1901,7 по 1906,0). Все эти
изменения внесли серьезные неоднородности в наблюдатель-
ный материал.
Окончательные координаты полюса, публикуемые с за-
держкой в несколько лет после предварительных координат,
включают поправки на неточности принятых цены оборота
винта и склонений звезд и, по мнению Мельхиора, «заслужи-
вают большего доверия, чем думают». Для более детального
ознакомления читатель отсылается к работе Уокера и
Янга [295] и последнему обзору Мельхиора.
В принятых Международной службой широты обозна-
чениях вычисленное изменение к ошироты1) А0и станции и на
западной долготе определяется как
— Д6и (/) = X (/) cos % + у (I) sin % + z (/), (7.3.1)
где x( mt) — перемещение полюса вращения вдоль грин-
вичского меридиана, у(= —тч) — перемещение полюса
в направлении на 90° к западу от Гринвича, a z— по-
правочный член, введенный Кимурой. Координаты х, у, z
определяются методом наименьших квадратов из наблю-
денных изменений широт всеми станциями.
х) Так авторы называют дополнение широты до 90°. — Прим,
ред.
98
Гл. 7. Наблюдения широты
Член, введенный Кимурой, представляет собой неполяр-
ное изменение широты, такое, как если бы широты всех
станций МСШ увеличивались или уменьшались одновре-
менно; его величина порядка 0",03. Этот член включает
ошибки принятых собственных движений и склонений на-
блюдаемых звезд, эффект не принимаемых во внимание
параллаксов и ошибок принятых фундаментальных по-
стоянных (аберрации и нутации). Этот член не исключается
заменой зенит-телескопа на ФЗТ.
Отмечено, что z(t) обычно имеет один и тот же знак
в обоих полушарйях. (Член Кимуры в широте оказывается
противоположного знака в северном и южном полушариях.)
Это можно ожидать в случае смещений центра масс Земли,
происходящих, например, вследствие постоянных сезонных
потоков масс через экватор. Эта проблема требует дальней-
шего изучения.
Оставшиеся вариации, не коррелирующие от станции
к станции, иногда называются местным членом Кимуры;
это просто наблюденная широта минус вычисленная по
формуле (7.3.1). Такие местные вариации зависят от дей-
ствия ветра, давления и других меняющихся метеорологи-
ческих параметров.
Влияние рефракции весьма мало вследствие того, что
наблюдаются зенитные звезды, но даже «рефракция в зените»
может вносить неприятные ошибки. Возможно, что полезно
отделять «зальную рефракцию», вызываемую непосредст-
венным воздушным окружением телескопа, от всей осталь-
ной атмосферной рефракции. Пшибыллок [220] сравнил
наблюденные широты Морской обсерватории (Вашингтон)
с наблюдениями широты МСШ и нашел расхождение, кор-
релирующее с местным направлением ветра: при северо-
западных ветрах широта Вашингтона больше на 0",02, при
юго-восточных ветрах — меньше на 0",02. Обнаруженный
эффект Пшибыллок объяснил влиянием зальной рефракции.
Он предположил, что среднемесячные широты станций
могут отклоняться до 0",25, а среднегодовые — до 0",1.
В течение последних 2 лет работы первоначальной широтной
станции в Чарджоу было найдено, что ее средняя широта
колеблется в пределах до 0",1. Ламберт [147] приписал
эти аномалии наблюдений изменениям рефракции, обуслов-
ленным колебаниями атмосферных условий вследствие
§ 3. Методы редукций
99
того, что русло реки Аму-Дарьи сместилось на 3 км в сто-
рону от первоначального (удивительно, что это не повлияло
на направление местной отвесной линии).
При обычных обстоятельствах следует ожидать, что
большая часть сезонных колебаний рефракции будет
включена в z-член Кимуры, и корреляция между зальной
рефракцией и z-членом была действительно обнаружена
[150]. Однако нет никакой уверенности в том, что в вычи-
сленных годовых вариациях широты не остаются значи-
тельные ошибки, обусловленные действием рефракции.
Возможно также, что имеют место медленные изменения
годовой средней «рефракции в зените», вызываемые измене-
ниями климата в XX в. Этот вопрос требует дальнейшего
изучения.
Широтные наблюдения обычно исправляются на ряд
небольших астрономических эффектов, таких, как эффект
Баттермана в аберрации и малые члены нутации, вызывае-
мые возмущениями орбиты Земли притяжением Юпитера и
Сатурна. Склонения звезд также искажаются из-за неболь-
ших колебаний оси вращения относительно неизменной
оси (гл. 6). Всякое геофизическое явление, вызывающее
колебания оси Земли, должно быть связано с изменением не
только широт, но и склонений. При вычислениях широт
в соответствии с формулой Талькотта (7.2.2) склонения
звезд не исправляются за колебания оси вращения Земли
относительно неизменной оси. Но этот эффект есть величина
порядка изменения широты, умноженного на постоянную
прецессии Н(— 0,003), и, следовательно, пренебрежимо
мал. Чандлер [37] эмпирически искал это явление, однако
ничего не обнаружил: «...сравнение абсолютных и относи-
тельных определений показывает, что это явление целиком
объясняется изменениями отвесной линии и ни в какой
степени не будет частью одновременных вариаций отвесной
линии и астрономического полюса».
§ 4. Приливные возмущения широты
Приливные возмущения приводят к уклонениям отвеса
до 0",02, а приливные искажения тела Земли приводят
к перемещениям пунктов наблюдения относительно полюса
до нескольких сантиметров. Такие возмущения не связаны
100
Гл. 7. Наблюдения широты
с колебаниями полюса, однако они представляют собой
реальные изменения астрономической кошироты, определяе-
мой как угол между осью вращения Земли и направлением
местной отвесной линии. Для наших целей более полезным
будет такое определение широты, при котором направление
местной отвесной линии определяется как направление
прямой, проходящей через центр масс Земли и данный
пункт. Эта геоцентрическая широта все же подвержена
влиянию приливных возмущений вследствие перемеще-
ния пунктов относительно полюса, однако такой эффект
уже гораздо меньше (порядка 0",001). При вычислениях
положения полюса по формуле (7.3.1) большинство при-
ливных возмущений исключается вследствие применения
метода наименьших квадратов или же включаются в z-член;
возможно, еще надежнее будет сначала вычитать приливы
по широте, и это действительно может быть сделано, так
что вся проблема заслуживает дальнейшего изучения.
Приливные эффекты в широте проявляются следующим
образом. Пусть U — гравитационный потенциал, обуслов-
ленный действием Луны или Солнца. Приливообразующая
сила имеет компоненту (1/а) (<ДЖ0) в направлении 6
(в южном направлении), а образующийся в результате дей-
ствия этой силы приливный избыток массы обладает допол-
нительной компонентой (kld)(dUldty (см. § 1 гл. 5). Вызыва-
ющее прилив тело и приливный избыток масс притягивают
к себе груз отвеса (рис. 12), и в соответствии с этим
направление отвесной линии меняется на величину
14-6 ди
® ga дО ’
На рис. 12 dUldft положительно, а а — отрицательно.
Но наличие приливного выступа указывает на то, что
вещество растягивается по направлению к выступу. На
рис. 12 пункты оказались смещенными к югу на величину
(Ug)(dUldty, а расстояние между полюсом и зенитом увели-
чилось на (Иga)(dU7dQ). Общее увеличение кошироты равно
59 = (7.4.1)
ga дО х 1
Поскольку 1 + k — 1 = 1 + 0,29 — 0,07 = 1,22 — вели-
чина положительная, то общее уклонение отвеса про-
4. П риливные возмущения широты
101
исходит в направлении от вызывающего прилив тела и при-
ливного избытка. Систематическое изложение этого во-
проса дано Джеффрисом [126].
Общепринятые формулы для вычисления статических
приливов можно найти в руководстве [66]; см. также табл. 3.
Рис. 12. Вызывающее прилив тело т и результи-
рующий приливный выступ В оба притягивают
отвес, поэтому отвесная линия отклоняется на
угол а в противоположном направлении. В изоб-
раженной ситуации широта увеличивается на а.
Выражение для приливного потенциала записывается следу-
ющим образом:
£/ = £ад(0)со5 10(МЬ (7-4.2)
где
= = см <7-4-3)
— «главный лунный коэффициент», —масса Луны,
М — масса Земли, — расстояние до Луны, а а — радиус
Земли. Принято как солнечные, так и лунные приливы от-
носить к этому коэффициенту /Q. Для ряда более значи-
тельных приливных компонент в табл. 3 приведены амп-
литудный множитель Ь, функция широты /(6) и фаза |3(Z, /),
которая зависит от восточной долготы % станции и грин-
вичского среднего времени t.
Параметры статических приливов
Таблица 3
Вид при- лива Обозна- чение Период b 7(0) ₽(X. t)
Долго- Лунный 18,6 лет 0,066 3/ 1 \ -—I ——cos^fi 1
период- Sa 1 год 0,012 4I 3 сиъ и у ® — 1°,8
ный Ssa Уч года 0,073 2(® — 79°,8)
MSm 31d,85 0,016 S — ® + Pg
Mm 27d,55 0,083 « —Pg
MSf 14d,77 0,014 2( d — ® + 79°,8)
Mf 13d,66 0,156 2 d
— 13d,63 0,065 2d + Wg - Wg0
Суточ- Oi 25h,82 0,377 sin 0 cos 6 7/ ® ® — 2i —
ный —169°,8 + X
Pi 24h,07 0,176 ?/-®-10°,2 + X ;
Ki 23h,93 0,531 1 <?/ + ® + 10°,2 + X
Nz 12h,66 0,174 7)Sin20 /' 3 „
2( Qt + ®— 2
+| pg - 79°,8 + X )
Полусу- Mz 12h,42 0,908 2(7/ + ®-d-
точный —79°,8 + X)
S2 12h,00 0,423 2(7/)
Kz 1lh,97 0,115 2(?Z +®~79°,8+X)
© — долгота среднего солнца, возрастающая на 0°,0411 за
1 ср. солн. час;
d — средняя долгота Луны, возрастающая на 0°,5490 за
1 ср. солн. час;
р([ — средняя долгота перигея Луны, возрастающая на
0°,0046 за 1 ср. солн. час;
— средняя долгота восходящего узла Луны, возрастаю-
щая на —0°,0022 за 1 ср. солн. час;
q — угловая скорость Земли относительно среднего солн-
ца, 15° за 1 ср. солн. час;
d®
О — q Д- —угловая скорость Земли относительно звезд, 15°,0411
за 1 ср. солн. час.
£ 4. Приливные возмущения широты
103
Для компоненты Л42 увеличение кошироты имеет ам-
плитуду
60 = (1 -J- k — /) sin 6 cos 6 cos 2Х =
= 0", 0192 sin Ocos 0 cos2X, (7.4.4)
тогда как для годового и полугодового членов
66 - 0", 0003 sin 6 cos 0, 66 - 0",0023 sin 0 cos 0 (7.4.5)
соответственно.
Годовой и полугодовой члены малы, и их влияние учи-
тывать не нужно. Однако имеются дополнительные ослож-
нения. Предположим, что широты измеряются каждую ночь
точно в одно и то же время. Пусть первое наблюдение сов-
падает с максимумом прилива (период 24h,07). Наблюде-
ние, произведенное в следующую ночь, опережает мак-
симум уже на 0h,07. Примерно через 180 дней момент
наблюдения будет совпадать с низшим уровнем прилива,
а через год вновь совпадет с максимумом. Наблюдения
выглядят так, как если бы имелась годовая волна с амп-
литудой компоненты Р±.
В этом заключается явление перекрывания (см. прило-
жение). Из рассмотрения возмущений годичных приливов
(частота f) по наблюдениям, произведенным с суточным ин-
тервалом А/, имеем
f = ® , (Л/)-1 = ,
/ 27С 2тс
где ® = d®!dt и q—угловые скорости среднего солнца и
Земли относительно Солнца (см. табл. 3). В соответст-
вии с формулой (А. 2.12) из приложения в годичные при-
ливы войдут тогда следующие приливы:
Ki — угловая частота q + q ,
Pi » » q — q.
Следовательно, и Pr являются «синодическими»
приливами с годовым периодом. Для полугодового при-
лива с частотой 2® синодической будет полусуточная
компонента
/С2 — угловая частота 2q + 2®,
104
Гл. 7. Наблюдения широты
для лунно-солнечных приливов с частотой 2(^ — @)
М2 — частота 2q ± 2 (а — ®).
В дополнение к долгопериодическим приливам необхо-
димо учитывать вышеуказанные поправки на синодические
приливы; если последние велики, то их влияние более
существенно. Тот факт, что широтные программы состоят
не из единичных ночных наблюдений, а из серии наблюде-
ний вблизи фиксированных моментов, скрадывает эффект
налагающихся приливов, но не исключает его. Амплитуда
годичной компоненты около 0",1, эффекты наложения могут
достигать предположительно до 0",01. Значительные мор-
ские приливы в районе станции могут дать дополнительный
вклад в этот эффект. Амплитуда для полугодовых при-
ливов много меньше, но тоже наблюдается в вариациях
широты. Эта проблема заслуживает дальнейшего изучения.
Известны многочисленные попытки отделить короткопе-
риодические вариации в широте как средство для вычисле-
ния 1 ±/г— /. Анализ Нишимуры [207] приливов ТИ2
на станциях МСШ дал следующие величины:
Карлофорте 1,08 ±0,06 Чарджоу 1,31 ±0,19,
Юкайя 1,06 ±0,06, Цинциннати 1,66 ±0,18,
Среднее 1,20 ±0,10
Заинтересовывает разность между континентальными
и океанскими станциями.
В табл. 4 приводятся результаты анализов для Вашинг-
тона и Гринвича. При анализе наблюдений в Гринвиче
было принято во внимание гравитационное притяжение
прилива в Темзе. Вашингтонские наблюдения были ис-
правлены на влияние океанских приливов и несколько
меньший эффект реки Потомак. В табл. 4 приводятся ам-
плитуды вариаций широты, обусловленных только водными
приливами, и амплитуды всей наблюденной вариации,
включая и водные приливы.
Рассмотренные выше величины не отличаются сильно
от числа 1 ± k — I = 1,22, полученного Такеучи [271] из
совершенно иных соображений (см. гл. 5). Представляется,
что широтные приливы дают наиболее точную оценку числа
§ 4. Приливные возмущения широты
105
Таблица 4
Место Ссылка Годы Инструмент Набл. Водн. прилив 1 + k- 1
Г ринвич [137] 1911 — 1936 Телескоп Куксона 0",0050 0",0021 0,92±0,17
Вашингтон [171] 1916— 1940 ФЗТ 0",010 0",0014 1,4±0,2
I (в предположении, что k известно). Измерения меняющего-
ся расстояния между двумя точками дают менее точный
способ определения /, но поскольку они так или иначе про-
водятся, ими не следует пренебрегать.
Из табл. 4 видно, что водные приливы достаточно сильно
влияют на наблюдения широты. В труде Томсона и Тэта
[278, § 818] рассматривается работа Робинсона об отклоне-
ниях отвеса из-за влияния больших приливов в заливе
Фанди. Этот эффект существенно зависит от расстояния до
уровня воды. Рассмотрим притяжение, вызванное беско-
нечно длинной полосой воды плотностью р, глубиной
Л, простирающейся от берега (х = а) на расстояние b в от-
крытое море:
оо «4-^
pG/z I i -------?—jy- dx dy = 2aGh In ( .
J J (л2 + Л/2 \ a J
— co a
Угловое отклонение отвеса равно этой величине, деленной
на g. Для а = 10 км, b = 1000 км и приливной амплитуды
h = 100 см уклонение равно 6,3-10~8 рад, или 0",013.
В заключение надо заметить, что изменения скорости
вращения также вызывают изменения местного направления
отвеса и, следовательно, изменяют широту. Потенциал,
возникающий от деформаций от вращения, аналогичен при-
ливному потенциалу. Поэтому любое колебание полюса
вызывает дополнительное изменение широты, которое
можно вычислить по (7.4.1), если положить U равным
потенциалу деформации от вращения (5.2.2):
U " — сох со3 х3 — (о2(о3х2х3 = — a2 Q21 m | sin 26,
106
Гл. 7. Наблюдения широты
где
| m | = т1 cos X + ^2 s^n
— мгновенное смещение полюса вращения для станции
с координатами 9, %. Поправка
60 = (1 +k — /)^|tn|cos2O = O,OO422|m|cos20 (7.4.6)
пренебрежимо мала по сравнению с колебаниями широ-
ты станции Im]1). Для изменения т3 продолжительности
суток имеем
U -- Q2 а2 т3 sin2 9, (7.4.7)
69 - — (1 + k — /) — ms sin 29, (7.4.8)
или 69 — 0", 000010 sin 29 при —0,865-108, что со-
ответствует изменению продолжительности суток на
1 мсек.
§ 5. Общие итоги наблюдений
Наиболее детальный анализ наблюдений МСШ был
сделан Уокером и Янгом [296]. Наилучшие результаты
получаются по несглаженным среднемесячным значениям
(табл. 1а их работы) в согласии с (7.3.1). Первые три кривые
на рис. 13 основаны на этих данных. Более ранние анализы
Ледерштегера [159], Джеффриса [124] и Поллака [215],
основанные на сглаженных величинах, приведены в табл. 1в
работы Уокера и Янга [296].
Единственная другая сравнимая серия наблюдений—
наблюдения в Гринвиче, сведенные в единую систему
Спенсер Джонсом2), и в Вашингтоне (работа Марковица
[170] и последующие статьи в Astronomical Journal).
х) Но эти незначительные возмущения, связанные с годовыми пе-
ремещениями полюса примерно на 3 м, на самом деле значительнее,
чем те, которые связаны с годичными изменениями расстояния до
Солнца на 2%! Последний эффект приводит к появлению годового
прилива Sa и упоминается во всех руководствах по данному предме-
ту (см. [196]).
2) Королевская обсерватория, Гринвич, 1939 г. Наблюдения
с плавающим зенит-телескопом Куксона.
1.400 1410 1920 1930
1900
1950
Рис. 13. Компонента тг несглаженных наблюдений МСШ до (/) и после (2) исключения сезонных вариаций;
компонента — т2 несглаженных наблюдений МСШ после исключения (5) сезонных вариаций и соответствующие
несезонные вариации широты Вашингтона по наблюдениям с ФЗТ (4).
108
Гл. 7. Наблюдения широты
Хорошие инструменты этих станций и однородность про-
грамм наблюдений компенсируют тот недостаток, что стан-
ции расположены на разных широтах. Последние две
кривые на рис. 13 изображают компоненту —/п2, полу-
80
ченную по несглаженным на-
блюдениям МСШ (соответст-
вующую вариации широты на
90° в. д.) и широте Вашингто-
на (77° в. д.); в обеих кривых
исключен сезонный членх).
Основные особенности повто-
60
И
О
iljbH .- X 1 I _ ! 1 I » а J, 1
0,8 1,0
Цикл/год
Рис. 14. Спектр колебаний широты по Руднику [230]. а — поло-
жительное (от запада к востоку) движение, б — отрицательное дви-
жение полюса вращения (см. § 7 гл. 6). Для обоих движений пока-
заны гармоники 40—62 с соответствующей шкалой частоты (нижняя
шкала). Высота спектральных линий — в единицах (0", 01 )2. Масштаб
оси ординат отрицательного движения увеличен в 10 раз. Кривая
получена методом максимального правдоподобия (приложение, § 2).
Первые две кривые на рис. 13 показывают, что колеба-
ния широты содержат сезонный член и 14-месячную
г) Полученный по уклонениям среднего январского значения
от среднего по всем январям и т. д.
§ 5. Общие итоги наблюдений 109
вариацию с переменной амплитудой. Вычисленный Руд-
ником [230] спектр колебаний широты (рис. 14) может
служить общей картиной основных особенностей любых
наблюдений широты1). Основные результаты таковы:
1. 98,5% всей энергии приходится на положительное
(от запада к востоку) движение.
2. 93% энергии приходится на частоты в интервале
0,74—1,14 цикл/год.
3. 22% энергии в этом интервале приходится на годо-
вую «линию» без различимой структуры (в анализах она
оказывается между гармониками 54 и 55).
4. 78% энергии в этом интервале приходится на
чандлеровский пик, который центрирован на частоту
0,85 цикл!год и показывает заметную полосчатую структуру.
Все анализы со времен Чандлера приводят к выводу
о реальном отсутствии движения в отрицательном направле-
нии и о том, что почти вся энергия приходится на годовую
линию и чандлеровский пик, хотя применяемая номенкла-
тура различается иногда весьма широко.
Нет полного согласия по следующим вопросам:
1. Какова ширина (или Q) чандлеровской полосы? Эта
величина связана с периодом затухания колебания полюсов.
2. Существует ли вековое изменение «средней широты»?
Это явление связано с возможным наличием некоторой
энергии в низких частотах спектра.
Возможно, что данные широтных наблюдений не дадут
удовлетворительного ответа на эти вопросы.
х) Рудник использовал данные Куликова [145] широтных на-
блюдений с 1891 по 1945 гг. через 0,1 года, которые воспроизведены
у Струве [268]. Этот материал несколько хуже, чем использованный
Уокером и Янгом.
ГЛАВА 8
Наблюдения продолжительности
суток
Моменты времени, в которые звезды с известными пря-
мыми восхождениями проходят через меридианы, измеряют-
ся в единицах колебаний кристаллов кварца. Если период
колебания кристалла кварца точно сохраняется, а про-
должительность суток неизменна, то последовательные
прохождения звезд будут происходить через некоторое
определенное число колебаний кварца, всегда в один и тот
же момент по кварцевым часам, показывающим истинное
звездное время. На самом деле эти прохождения отмечаются
на 30 мсек позже весной и примерно на 20 мсек раньше
в конце лета при определении моментов кварцевыми часами,
хранящими точное звездное время в течение всего года.
Эти сезонные отклонения указывают на переменность про-
должительности суток, или на переменность частоты колеба-
ний кристаллов кварца, или на оба эти явления. Тот
факт, что различные кварцевые часы дают примерно одинако-
вые данные, свидетельствует в пользу сезонной вариации
продолжительности суток. С другой стороны, различные
кварцевые часы дают совершенно различные отклонения
от года к году и, следовательно, непригодны в качестве
стандарта времени для периодов более года. Для измерения
подобных долгопериодических вариаций подходящим
стандартом являются так называемое эфемеридное время
(определяемое в основном по движению Луны) и (с недавних
пор) атомные стандарты частоты.
$ 1. История вопроса
111
§ 1. История вопроса
К 1930 г. определение моментов прохождений звезд уже
могло производиться с точностью лучше 0s,02, и выявление
сезонной вариации суток задерживалось вследствие не-
совершенства часов. Первое убедительное сообщение о се-
зонных вариациях суток поступило от Стойко [263, 264] из
Международного бюро времени в Париже. Стойко основы-
вался на исследовании маятниковых часов. Он нашел, что
продолжительность суток в январе превосходит их про-
должительность в июле на 2 мсек. С 1950 г. определения
с использованием кварцевых часов были опубликованы
Шайбе и Адельсбергером [238], Финчем [77] и Стойко [265].
Опубликованные двойные амплитуды годовой вариации
суток составляли 2,6; 1,8 и 2,8 мсек и прекрасно подтверж-
дали выдающееся открытие Стойко, сделанное с маятнико-
выми часами1). В настоящее время мы имеем все основания
считать, что предыдущие числа завышены в 2—3 раза.
Вероятно, совпадение независимых данных французских,
немецких и английских исследователей заставило отнестись
к этим данным с большим доверием, чем они того заслужи-
вали.
Таким образом, определенная до 1950 г. амплитуда
годового члена составляла ~1 мсек. После 1950 г. грин-
вичские наблюдения дали лишь 0,53 мсек, и эта величина
была уменьшена до 0,38 мсек после учета поправок каталога
т) Недостаток маятниковых часов по сравнению с кварцевыми
не в точности: суть дела в том, что показания маятниковых часов
должны быть исправлены за изменения силы тяжести g [122, 266].
Типичное значение годового потенциала U —500 см*/сек?, оно обу-
словлено (примерно в равной степени) годовым колебанием полюса
и годовым приливом Sa [196]. Вариации g имеют амплитуду [126]
, / 3 \
^g — 2а 4 1 — ~2 k + h \ U;
для £7=500 см2/сек? это дает Ag—2 мкгал, a &g!g — 0,2-10“8. Ре-
зультирующая вариация суток, определяемая из колебаний маятника
(частота колебаний пропорциональна V'g), равна
у (0,2- 10~8) -0,865-108^ 0,1 мсек,
что по порядку величины сравнимо с наблюдаемой величиной
0,5 мсек.
112
Гл. 8. Наблюдения продолжительности суток
FK3 [253]. В 1951 г. сезонные вариации были определены
также и в Вашингтоне; для периода с 1951 по 1954 г.
Марковиц [173] нашел 0,52 мсек. Программа наблюдений
Марковица включала звезды, распределенные по всем часам
прямых восхождений. Это допускает определение «ошибки
замыкания», так что звездные положения внутренне согласу-
ются, и не требовалось пользоваться каталожными прямыми
восхождениями. Величина амплитуды вариаций суток
<^0,5 мсек сейчас общепринята. Уменьшение годового члена
начиная с 1950 г. отчасти остается загадочным. Предполага-
лось, что это изменение реально, но с уверенностью этого
сказать нельзя (§ 4 гл. 9). Прежние наблюдения включают
большие случайные ошибки и, возможно, некоторую систе-
матическую сезонную ошибку часов; подобные ошибки
увеличивали бы амплитуду любой гармоники.
Для величины полугодового члена Смит и Такер
[253] первоначально дали ~0,20 мсек\ это значение было
увеличено до 0,38 мсек после учета ошибок каталога
FK3. Марковиц [173] получил 0,34 мсек. Сейчас для ам-
плитуды полугодового члена повсюду принята величина
х/3 мсек.
Расчеты Андерсона [2], Стойко [266] и Минца и Манка
[189, 190] указывают на то, что полугодовой член обуслов-
лен, по крайней мере частично, приливами в теле Земли.
Это предполагает существование еще более короткопериоди-
ческих членов вариации суток, коррелирующих с лунными
месячными и полумесячными приливами. Вычисленные ам-
плитуды этих вариаций оказались равными 0,23 и 0,43 мсек
соответственно, т. е. того же порядка, как годовые и полу-
годовые вариации.
Но то, что наблюдается, является наложением различ-
ных эффектов замедления Земли, которые для коротких
периодов очень незначительны. Оказывается, что макси-
мальный накапливающийся эффект составляет ~1 мсек
для обоих приливных членов. До 1953 г. любое определение
казалось нереальным из-за ограничений, налагаемых аст-
рономическими методами определения времени. Однако
за 2 года наблюдений, выполненных с ФЗТ в Вашингтоне и
Ричмонде, из общего числа 1500 ночей выявились месяч-
ный и полумесячный члены с предсказанными амплитудой и
фазой [173].
§ 2. Методы наблюдений
ИЗ
В настоящее время созданы два инструмента, позволя-
ющих на порядок повысить точность определения вариаций
суток с периодом более года. Применение лунной камеры
[172] дает возможность определения эфемеридного времени
за одну лунацию с точностью до 0s, 1. Атомные стандарты
частоты были разработаны Эссеном в Англии в 1955 г.
[74, 75] и Гастингсом в США в конце 1956 г. Постоянство
хода кварцевых часов относительно этих стандартов может
удерживаться с точностью нескольких единиц 10~10. Такая
же точность была достигнута в Невшателе с молекулярными
аммиачными часами [15, 16].
§ 2. Методы наблюдений
С нашей точки зрения, Земля является геофизической,
лабораторией, а не хранителем времени. «Ошибок» в ее
переменной" скорости вращения^ m3t не существует, есть
лишь ошибки «отсчетов» m3t по астрономическим наблюде-
ниям. Продолжительность суток определяется путем срав-
нения с независимым стандартом времени. Точность этого
определения зависит как от точности астрономических на-
блюдений, так и от точности стандарта времени. В свою
очередь точность стандарта времени зависит от двух причин:
точности хода часов и точности отсчета часов. Точность всех
этих характеристик ограничена. Так, отсчет времени по
наручным часам не станет более точным, если заострить
кончик секундной стрелки часов.
Точность определения продолжительности суток зависит
поэтому от: 1) ошибки отсчета 2) ошибки отсчета
часов и 3) ошибки часов как стандарта времени. Эту точность
невозможно выразить каким-либо одним числом, она в зна-
чительной степени зависит от частоты. Поэтому говорят
о короткопериодических (от месяца к месяцу) и долгопе-
риодических (от года к году) характеристиках кварцевых
часов. Удобно (хотя не общепринято) описывать это в виде
спектра «помех», присущих различным методам определения
продолжительности суток (рис. 15). Лишь в случае, когда
наблюдаемый спектр уверенно располагается выше уровня
помех, есть надежда получения точных результатов.
Начнем с ошибок отсчета m3t. Вероятная ошибка 8
получения времени (за одну ночь наблюдений) есть величина
5 Вращение Земли
114
Гл. 8. Наблюдения продолжительности суток
около 5 мсек [173]. Средняя квадратическая ошибка для N
ночей равна s2/7V в предположении независимости ошибок
(имеются указания на то, что ошибки могут повторяться
в течение нескольких дней). Значения звездного времени
задаются на интервалах в М суток, и каждое значение есть
среднее наблюдение за N ночей (Af не обязательно равно 7И).
Рис. 15. Распределение дисперсии т3 на единицу частоты в зави-
симости от частоты (цикл/год) для четырех основных типов наблю-
дений.
Наблюдаемый спектр изображен широкой лентой с выступами,
зачерненной там, где он расположен выше уровня инструментальных
помех.
В этом простом случае мы можем изучать флуктуации
в ошибках времени, период которых превосходит 2/И суток,
т. е. спектр в области частот от 0 до частоты Найквиста
2МГ-1, где Г — продолжительность суток (приложение,
§ 2). Средняя квадратичная ошибка на единичный интер-
вал частот, т. е. спектральная плотность, тогда равна
e2/W _ 2МГе2
(2Л4Г)-1 ~ N *
§ 2. Методы наблюдений
115
Для иллюстрации положим N = М (например, недельные
средние за недельные интервалы). Спектральная плот-
ность будет
2Гь2 = 2-86 400s • (0,005)2 5 сек*. (8.2.1)
Это спектральная плотность ошибки времени т(/). Спект-
ральная плотность ошибки продолжительности суток равна
произведению Г на спектр dx!dt; спектр ошибки т3(/)
такой же, как у dx!dt, и по формуле (А.2.13) приложения
получаем
(2л/)2 • 2Ге2 - (2л/)2 • 5 сек, (8.2.2)
где / — рассматриваемая частота (см. рис. 15, звездное
время). В случае годовой частоты / = 0,32-10~7 гц спектр
помех равен 2-10~13 сек. Эти величины характерны для всех
новейших методов.
Первый стандарт, с которым можно было сравнить
звездное время, появился с введением эфемеридного времени
(ЕТ). Оно базируется на орбитальном движении планет,
включая Землю, вокруг Солнца или спутников вокруг
своих планет. Положения этих тел определяются относи-
тельно звезд; гравитационная теория дает их небесные коор-
динаты в функции эфемеридного времени. Дальнейшие
подробности см. в гл. 11. Применимость эфемеридного
времени в качестве стандарта несколько ограничивается
ошибками отсчета. Луна — наиболее быстро движущееся
по небосводу светило (ее небесная долгота меняется на
0",55 в секунду) и, следовательно, является наиболее под-
ходящим объектом для определения эфемеридного времени.
Ошибку отсчета в этом случае можно оценить в 2 сек за
лунацию. Это дает при
(2л/)2-2Ге2 - (2л/)2-1,9-107 сек (8.2.3)
для спектра ошибки т3 и лежит выше значения 4 • 106 для
спектра ошибки (8.2.2), обусловленной определением звезд-
ного времени.
Усовершенствование лунной камеры [ 1721 может снизить
вероятную ошибку до 0,5 сек и соответственно снизить
уровень помех, как показано на рис. 15. В этой камере
Луна и окружающие ее звезды экспонируются одновременно
в течение 20 сек. Луна удерживается неподвижной на пла-
116
Гл. 8. Наблюдения продолжительности суток
стинке среди звезд с помощью специального приспособле-
ния, снабженного фильтром, так что получаются резкие
снимки и Луны и звезд. Но даже при этом ошибки эфемерид-
ного времени примерно на порядок превышают ошибки
звездного времени, что создает ограничения для любого
определения продолжительности суток путем сравнения
эфемеридного и звездного времен.
При описании эфемеридного времени как независимого
стандарта времени молчаливо предполагалось, что точность
ограничивается ошибкой отсчета. Если эфемеридное время
(например, положение Луны) может быть отсчитано с не-
вероятной точностью, тогда точность будет ограничиваться
ошибкой часов (например, вследствие неполноты гравита-
ционной теории, обусловленной приливным трением; гл. 11).
Возможно, что наблюдения быстро обращающегося ис-
кусственного спутника позволят сделать ошибки отсчета
эфемеридного и звездного времен сравнимыми, но тогда
весьма неприятным образом скажутся различные ошибки
часов.
Вернемся теперь к кварцевым часам. Очень важным яв-
ляется характерная индивидуальность их показаний. На
рис. 16 приведены данные о двух лучших часах американ-
ской службы времени [174]. Кривые дают поправку часов —
величину т(0, на которую замедляется Земля. Величина
т(/) разделяется на два члена: «дрейф» вида
А + Bt + Ce~kt
и остаток. Кривые дрейфа расходятся на десятки секунд за
несколько лет. Из сравнения звездного и эфемеридного
времен известно, что непостоянство вращения Земли при-
водит к изменениям на доли секунды в несколько лет. Это
делает беспочвенным все надежды на определение векового
замедления Земли при помощи кварцевых часов. С другой
стороны, две остаточные кривые различаются весьма не-
значительно в сравнении с величинами самих остатков.
Это свидетельствует в пользу того, что остатки вызываются
изменениями скорости вращения Земли, а не ошибками
часов.
Важная особенность состоит в том, что вариации ча-
стоты кварца от месяца к месяцу достаточно регулярны и
дают возможность выявить годичную вариацию, в то время
$ 2. Методы наблюдений
117
как вариации от года к году полностью маскируют долго-
периодическую вариацию продолжительности суток. Ины-
ми словами, спектр хода часов в подходящих единицах
расположен ниже спектра вариаций суток для частот выше
1 цикл!год и значительно выше него для частот, меньших
Рис. 16. Характеристические кривые часов R3 и R2
(по Марковицу [174]).
Кривые изображают поправки часов в мсек, включа-
ющие «дрейф» (а) и остаточные уклонения (б).
0,1 цикл!год. На рис. 16 мы приняли, что спектр хода часов
именно такой, опираясь на предварительные записи, предо-
ставленные Смитом [252]. Выделение сезонных вариаций
достигается применением хорошего фильтра высоких ча-
стот. Вычитание «дрейфа» часов является одним из методов
«отфильтровывания» высоких частот. Некоторые авторы
используют для представления дрейфа экспоненту, дру-
гие — степенные ряды. Известные данные о структуре
118 Гл. 8. Наблюдения продолжительности суток
кристаллов кварца не позволяют отдать предпочтение тому
или иному типу уравнений [175]. Во всех случаях необхо-
димо исправлять средние через каждые несколько лет.
Возможно, что применение высокочастотного фильтра более
предпочтительно, нежели выбор вида дрейфа часов В.
Три основных недостатка кварцевых часов состоят
в следующем: 1) с течением времени изменения внутренней
структуры (изученные совершенно недостаточно) приводят
к дрейфу собственной частоты; 2) для хорошей работы
часов требуется исключительно строгий температурный
режим; 3) невозможно сделать абсолютно идентичными
даже пару кварцевых часов, так что, если первоначальный
стандарт выбывает из строя, нет никакой возможности
точно воспроизвести его.
Совершенно иной стандарт времени дается частотами
собственных колебаний атомов. Эта частота неизменна,
воспроизводима и лишь в весьма слабой степени зависит
от внешних условий (существует слабая зависимость от
напряженности магнитного поля). Заключение о том, что
спектральные линии могут служить стандартами времени,
восходит к эпохе зарождения спектроскопии. Проблема
заключалась в том, чтобы найти средство для подсчета на
очень высоких частотах. Открытие относительно более
медленных колебаний и развитие микроволновой техники
сделало это возможным. Первая попытка состояла в исполь-
зовании линии 23 870,1 Мгц спектра поглощения молекул
аммиака [167 ]. Вследствие столкновений и тепловых движе-
ний линия аммиака оказывается довольно широкой, и ча-
стота определяется лишь с точностью 1 • 10~7. Для цезиевых
часов [74, 75, 306] Q в 300 раз больше, чем для аммиачных.
В них используется пучок атомов цезия, вылетающий из
печи в вакуумную камеру к детектору.
Все астрономические измерения относятся к показаниям
кварцевых часов, которые периодически сравниваются
с цезиевым стандартом. В этом смысле кварцевые часы
служат в качестве вторичных часов. Уровень их помех на
х) Спектр маятниковых часов гораздо богаче высокими часто-
тами, чем спектр кварцевых; именно по этой причине маятниковые
часы не пригодны для измерения годичного члена. Подробное
сравнение ошибок маятниковых и кварцевых часов было сделано
Гривсом и Самсом [94].
$ 2. Методы наблюдений
119
высоких частотах так низок, что они не вносят заметных
погрешностей в ход цезиевого стандарта. Нет никакой не-
обходимости пользоваться цезиевым осциллятором не-
йрерывно. Недооценка этого обстоятельства может при-
вести к задержке на несколько лет применения атомных
стандартов частоты в астрономических измерениях.
Цезиевый стандарт частоты можно использовать для
калибровки кварцевых часов с точностью до 1 -10“10 путем
сравнения двух цезиевых пучков в течение примерно часа.
Если интервал гораздо короче, калибровка будет менее
точной; однако точность почти не повышается и при
увеличении этого интервала. Последнее утверждение требу-
ет некоторого уточнения. Если неопределенность обуслов-
лена лишь случайными процессами, например связанными
с конечной шириной линии поглощения, то разность по-
казаний двух цезиевых осцилляторов в течение времени t
в среднем увеличивается как и ошибка измеренной ча-
стоты уменьшается как tr'l* [283]. Однако отсчет показаний
неизбежно оказывает обратное влияние на систему, что
жестко лимитирует повышение точности стандарта частоты.
Если цезиевый осциллятор связан с кварцевыми часами
сервомеханизмом, то обратная связь оказывается более
жесткой и точность уменьшается примерно до 5-10~10.
Если цезиевый стандарт частоты является единствен-
ным источником неточности, то последовательные ежеднев-
ные измерения (в предположении их независимости)
m3(Z) окажутся распределенными вблизи «истинной»
величины 10~10 и средняя квадратическая ошибка будет
порядка 10“20. Спектр такого временного ряда окажется
«белым» (приложение, § 2); спектральная плотность его
будет равна
= 2Ге2 = 2-86400-10“20~ 1,7- 101- сек. (8.2.4)
(2Л41) 1 v '
Рис. 15 построен специально для случая Л4 = М, т. е.
интервалы между записанными величинами равны времени
осреднения. Это не является обязательным. Могут быть ис-
пользованы недельные средние через месячные интервалы
или месячные (перекрывающиеся) средние через недельные
интервалы. В первом случае происходит потеря точности,
во втором периоды значительно короче месяца сглажи-
ваются и часть данных теряется.
120
Гл. 8. Наблюдения продолжительности суток.
Уровень наблюденного спектра изображен на рис. 16
широкой полосой. Для частот меньше одного цикла з|а
десятилетие оценка основывается на рассмотрении «точед
поворота» (§ 5 гл. 11); в отношении частот порядка одного
цикла в год и выше см. § 9 гл. 9. Четыре спектральные
линии, отчетливо выделяющиеся на фоне непрерывного
спектра, представляют годовой, полугодовой, месячный
и полумесячный члены. Для любой конечной длины записи
Т необходимо учесть сглаживание, обусловленное разреше-
нием зависящим от длины записи. Гармоника т3 =
= /И3соз2яД/ амплитуды 7И3 и частоты fa имеет среднюю
квадратическую величину 7Из/2, которая распространяется
на интервал частот Следовательно,
или
S(f)=±M23 от до / = /а+1т-1,
(8.2.5)
где S(f) — эквивалентная спектральная плотность. Годовая
вариация т3 равна 0,5 мсек за сутки, или грубо 6-10~9.
Величина S(f) на протяжении 4 лет записи равна
2,1 • 10—9 сек, как показано на рис. 15. Для полугодового
члена соответствующая спектральная плотность равна
0,9-10-9 сек. Эти величины уверенно располагаются выше
уровня помех. Определение Марковицем месячной и полу-
месячной линий по материалам 2 лет наблюдений относится
примерно к тому же уровню S, и обе линии лежат выше -
ошибок спектра (обязанных в основном определениям
звездного времени).
До 1950 г. сезонные уровни S составляли четверть
нынешних; они определялись по годичным данным вместо
четырехлетних; одновременно общая спектральная плот-
ность ошибок кварцевых часов и определения звездного
времени могла в 1000 раз превышать нынешний уровень.
В этом случае анализ частот включали бы столь же значи-
тельные помехи, как и сам годовой эффект, и кажущаяся
амплитуда была бы слишком большой. В последующем раз-
решение увеличилось, уровень помех уменьшился, что и
§ 3. Приливные возмущения
121
могло быть причиной непрерывного уменьшения годового
члена после его открытия.
Рис. 15 может служить для резюме следующих извест-
ных характерных особенностей:
1. Для периодов несколько короче года ограничивающим
фактором является точность определения звездного вре-
мени. Это мешает определению нерегулярных вариаций
(континуума) с периодом короче 6 месяцев.
2. Для периодов больше года резко возрастает спектр
ошибок кварцевых часов, что мешает определению нерегу-
лярных вариаций в этом интервале частот.
3. Указанные низкочастотные помехи резко уменьша-
ются при использовании цезиевого стандарта частоты.
4. Для периодов значительно короче 10 лет эфемеридное
время дает менее точную основу счисления времени, чем
кварцевые часы; для периодов более 10 лет эфемеридное
время оказывается точнее и пригодно для определения
изменений продолжительности суток.
5. До введения атомных стандартов максимум спектра
ошибок приходился на период около десятилетия в области,
где эфемеридное время и кварцевые часы имеют одинаковую
точность; этот максимум мешал изучению вариаций суток
с периодами от 10 лет до года. Цезиевые часы позволяют
изучить этот неизвестный участок спектра.
§ 3. Приливные возмущения продолжительности
суток
Движение полюса вращения вдоль меридиана обсерва-
тории вызывает вариацию по широте. Движение полюса
под прямым углом к меридиану смещает меридиан и оказы-
вает влияние на хранение времени. В связи с этим звездное
время должно исправляться за движение полюса.
В соответствии с перемещением полюса m станция
с широтой 90° — 0 и восточной долготой X смещается
к западу (по отношению к звездам) на угол
cos 9 (tn1 sin К + т2 cos %) = cos XR (i m ezx), (8.3.1)
где R обозначает действительную часть комплексного
аргумента. Поскольку
1 секунда времени и 15 sin 0 секунд дуги (8.3.2)
5В. Вращение Земли
122 Гл. 8. Наблюдения продолжительности суток
эквивалентны, то, если ш задано в секундах дуги, за-
паздывание звезд (замедление вращения Земли) в секун-
дах времени равно
т = jgCtg6R (ztnezx) сек. (8.3.3)
Это приводит к кажущемуся изменению продолжитель-
ности суток
А (п. с.) = ~ х п. с., (8.3.4)
которое следует вычесть из наблюдаемой вариации.
Годовое колебание полюса (с частотой о) сводится
почти полностью к положительному (от запада к восто-
ку) движению, поэтому можно написать
ш = П1+ ем,
T = ^ctg0R[im+^^)]) (835)
ctg 0R | m+ (а/+Х) j.
Подставляя | m+1 ~ 0";084 (см. табл. 5, стр. 125) и 2л/о —
365,24 средних солнечных суток, получаем 5,6 ctg 9 мсек для
амплитуды т и 0,096 ctg0 мсек для амплитуды А(п. с.-).
На широте 0 = 45° колебание полюса объясняет четвертую
часть наблюденной годовой вариации продолжительности
суток. Чандлеровское движение дает 14-месячный член
с амплитудой, вдвое превосходящей амплитуду годового
колебания полюса. Марковиц (личное сообщение) дейст-
вительно нашел 14-месячный член амплитудой .10 мсек
из сравнения наблюдений на ФЗТ в Ричмонде и в Вашинг-
тоне. В результате в настоящее время на этих двух стан-
циях в наблюдения вводятся индивидуальные поправки.
Вследствие различных причин, указанных в гл. 7, затруд-
нительно определить широту точнее 0",01 о Это приводит
к неточности хранения времени примерно 1 мсек.
Земные приливы смещают отвесную линию и смещают
станции друг относительно друга и потому искажают мест-
ное звездное время. Этот эффект определяется из наблюде-
ний прохождений звезд с известными прямыми восхожде-
ниями через местный меридиан. Положение здесь анало-
гично рассмотренному в § 4 гл. 8 влиянию приливных воз-
§ 3. Приливные возмущения
123
местоположения станции на
мущений на широту. Приливный потенциал U вызывает
смещение к западу отвеса и
величины
i — k dU
gasin 0 дХ ’
соответственно. Замедление
I ди
gsin 6 дХ
вращения Земли тогда будет
? i+k — l dU /О О
2я ga sin О дХ ' 7
Если £ выражено в секундах дуги, то т равно g/(15 sin 0)
секунд времени, согласно (8.3.2).
Долгопериодические приливы не оказывают влияния на
продолжительность суток, поскольку они не зависят от
долготы. Но здесь вновь (как и в случае широты) должен
быть принят во внимание эффект «двойников». Годовой
эффект (с частотой о), обусловленный приливами и
Ръ вычисляется следующим образом в предположении,
что наблюдения ночные (§4 гл. 7):
b = ]/0,5312 + 0,1762 = 0,56 ,
I = bA (1 + k — /) cos 0 = 0", 0119 cos 0 cos ot,
Л(п. с.) = — X п. с. = (0,0114 ctg 0 sin ot) мсек.
Это сравнимо с наблюдаемыми вариациями продолжитель-
ности суток величины 0,5 мсек. Полугодовой эффект,
обусловленный приливом К2, дает
Л (п. с.) “ 0,0056 cos2o7 мсек
— величину, сравнимую с наблюдаемой — 0,3 мсек.
Эффект океанских приливов может быть большим, но во
всех случаях приливы-двойники могут объяснить лишь не-
сколько процентов наблюдаемой вариации суток.
Ошибки т, вызванные неопределенностью колебаний
полюса и восточно-западными смещениями отвеса, за счет
приливов и зенитной рефракции суть величины порядка
1 мсек и сравнимы с ошибками измерений современными
методами. Перечисленные геофизические явления опреде-
ляют пробелы в наших знаниях, что ограничивает точность
определения времени (и движения полюсов).
5В*
ГЛАВА 9
Сезонные и другие
короткопериодические вариации
Эта глава в основном касается годовых, полугодовых,
месячных и полумесячных вариаций вращения Земли.
Здесь же кратко рассматривается непрерывный спектр, на
который накладываются эти четыре спектральные линии.
Обстоятельства благоприятствуют выделению низких ча-
стот как для колебаний полюса, так и для вариаций про-
должительности суток; остальные факторы при этом не
изменяются. Годовые колебания полюса усиливаются
вследствие их близости к резонансному периоду в 14 ме-
сяцев. Выделение вариаций продолжительности суток
зависит от общей дисперсии этих вариаций, а это опять
благоприятствует выявлению низких частот. Годичные ва-
риации вращения Земли обусловлены метеорологическими
явлениями. Последние мы исследуем путем рассмотрения
баланса количества движения и массы для Земли в целом.
По-видимому, полугодовые изменения продолжительности
суток вызываются атмосферой и приливными возмущения-
ми тела Земли. Основными же причинами месячных и полу-
месячных вариаций продолжительности суток являются
приливные эффекты.
§ 1. Данные астрономических наблюдений
Колебания полюса. Табл. 5 объединяет данные астроно-
мических наблюдений о годовом и полугодовом членах в оп-
ределениях широты. Значком ® здесь обозначена долгота
Таблица 5
Сезонные компоненты колебаний полюса, в 0",01
Дисперсия в последнем столбце относится ко всем шести амплитудам в той же строке таблицы
Ссылка Годы т2 ш+ т—
Г о д о в ы е
[126] 1892—1938 —3,6 cos ® — —8,5 sin® 7,0 cos® — 2,9 sin® 8,4 exp i (® + 113°)* 0,83 exp — i (® 4- П4°)* ±0,8
[215] 1890—1924 —3,7 —8,9 7,0 —3,9 8,8 [ 116* 0,96 84
[230] 1891 — 1945 —3,2 —8,2 6,7 —2,8 8,0 112 0,78 108
[296] 1899—1954** —6,4 —7,1 7,0 —4,6 8,9 128 0,90 177 ±1,1
1900—1934 —5,5 —7,0 7,5 —4,6 8,8 125 0,52 209 ±1,1
1900—1920 ^4,8 —6,0 6,6 —3,7 7,6 124 0,57 195 ±1,6
[124] [170[ 1912—1935] 1916—1940/ —3,2 —7,8 5,6 — 1,6 7,1 110 1,36 126
По Л у Г О Д О в ы е
[296] 1899—1954** —0,1 +0,6 0,5 +0,0 0,56 exp 2i(®—48°) +0,07 exp—2i ±0,2
(®~ 67°)
1900—1934 —0,2 0,7 —0,6 —0,3 0,70 —55 0,07 —22 ±0,3
1900—1920 —0,3 0,8 —0,8 —0,6 0,92 —59 0,15 0 ±0,3
[230] 1891 — 1945 — — — — 0,46 — 0,26 — —
* Исправленные результаты Рудника (не прежняя поправка Рудника к значениям Джеффриса).
*♦ Годовой и полугодовой коэффициенты для 1899—1954 гг. проверены нами и найдены правильными.
126
Гл. 9. Сезонные вариации
среднего солнца, отсчитываемая от начала года. Переход от
координат полюса к векторам смещений сделан по формулам
(6.7.6). Оценка Джеффриса — Марковица годового члена
получена по наблюдениям в Гринвиче и Вашингтоне;
к сожалению, эти наблюдения не покрывают одного и того
же промежутка времени. Наблюдения в Гринвиче дают
тг колебания широты в Вашингтоне (77° в. д.) дают
т1 cos 77° — т2 sin 77°,
что и определяет m2. Результаты Уокера и Янга, основан-
ные на несглаженных данных (см. рис. 13), дают большие
годовые коэффициенты.
Значения полугодового члена гораздо сомнительнее.
Например, Рудник нашел сравнимые по величине амплитуды
и для периода 0,8 года. Все, что можно сказать с уверен-
ностью,—это то, что полугодовой член значительно мень-
ше годового.
На рис. 17 изображен годовой эллипс, описанный по-
люсом вращения твердой Земли (по анализам Джеффриса).
Параметры эллипса легко вычисляются по формулам (6.7.6):
большая полуось равна 0,092. Это значение приходится
на долготу Гринвича при ® = —113°, +67°, т. е. в начале
сентября и марта.
Табл. 6 и рис. 17 дают соответствующие величины для
модифицированной возбуждающей функции (6.3.3). Они
получаются через m из формулы (6.3.6)
• 1 б/m .
i — -гг + т = ЧГ
а0 dt
Но оУ1 есть период чандлеровского движения, т. е. 1,2 го-
да, a d/dt = (d/d®)x(d®/б//), где dQjdt — скорость изме-
нения долготы среднего солнца, т. е. 1 цикл,/год. Тогда
предыдущее уравнение принимает вид
1,20^ + т+Ф, (9.1.1)
и компоненты Ф могут быть легко определены.
Положительное движение полюса вращения имеет ам-
плитуду | т+1, примерно в десять раз превосходящую
величину |т~|.
§ 1. Данные астрономических, наблюдений
127
Это, однако, не подразумевает наличия того же отно-
шения и для возбуждающей функции. В самом деле, | ¥+ (
и | Т-1 примерно одинаковы, а отношение | т+1 к jm“|,
ожидаемое в соответствии с (6.7.8), равно
I m+ I „ g + qo __ 1 +0,85 __ -Jп о
|т~| ~~ а — а0 “ 1 —0,85 ’°’
Рис. 17. Годовое движение полюсов вращения
(сплошная кривая) и возбуждения (пунктир) в
системе координат с центром в среднем полюсе.
Ось х{ направлена вдоль гринвичского мериди-
ана; ось х2 — в направлении на 90° к востоку
от Гринвича. Показаны положения полюсов в
моменты 0=0 (янв. 1); 0 = 90° (апр. 2); ® =
= 180° и ® = 270°. Шкала амплитуд в секундах
дуги отложена по оси 0",01 эквивалентна 1
футу смещения полюса.
Но хотя 4^+ и имеют примерно одинаковую величину,
западно-восточный член Т+ выводится из значительно
лучше известной части спектра m и, следовательно, опре-
деляется гораздо точнее, чем 4е-!). Иными словами, как
х) Для амплитуд тг и т2 Джеффрис дает среднюю квадратичес-
кую ошибку zb 0,0076. Это же значение справедливо и для m
и щ- Тогда |¥+| = 1,68 zb 0,15; |^“| = 1,82 ± 1,67.
Таблица 6
Сезонные компоненты модифицированного возбужденного полюса, в 0",01
Ссылки Годы w2 u+
Г о д о в ы e
[126] 1892—1938 —0,1 cos®—0,1 sin® —3,2 cos® + 1,4 sin® 1,68 exp i(® + +293°) 1,82 exp — i (® + 114°)
[230] 1891—1945 0,2 -0,2 —3,1 1,0 1,60 292 1,72 108
[124] [170] 1912—19351 1916—1940] — 1,3 — 1,1 —3,2 2,2 1,42 290 2,99 126
[296] 1899—1954 —0,9 + 1,3 —1,5 3,1 1,78 308 1,98 177
По Л у г О Д 0 в ы e
[296] 1899—1954 —0,1 CCS 2® — —0,6 sin 2® 0,9 cos 2® + +0,2 sin 2® 0,78 (® + exp 2t 42°) 0,24 exp 2i (® — 67°)
1900—1934 0,5 —0,7 1,1 0,2 0,98 45 0,24 —22
1900-1920 1,1 -1,1 1,1 0,1 1,29 31 0,51 0
1, Данные астрономических наблюдений
129
отметил Рудник, величина большой полуоси годичного эл-
липса возбужденного движения известна гораздо точнее,
чем его ориентировка и эксцентриситет. Это ограничение
необходимо принимать во внимание при привлечении для
интерпретации этого эллиптического движения различных
геофизических явлений.
Продолжительность суток. В табл. 7 приводится сводка
определений продолжительности сутокт). Наблюдаемые
месячный и полумесячный члены приведены в левом столбце
табл. 7.
Из наблюдаемой сезонной вариации т колебания про-
должительности суток вычисляются по формулам
= с-)’
0,0172---------------- - 1,99-10-7 сек-1.
dt ср. солн. сутки
Если т и Д (п. с) выражены в одних и тех же единицах
(мсек в табл. 7), то
Д(п. с.)-^- X 0,0172.
«Скорости» изменения агрументов месячного и полумесяч-
ного членов составляют 0,228 и 0,230 рад!сутки соот-
ветственно, так что
А (п. с.) = dz ч X 0,228; А (п. с.) = X 0,230.
х) В соответствии с международным соглашением все службы
времени теперь вводят поправки за сезонный эффект по годовым
и полугодовым значениям Международного бюро времени (см.
табл. 7). Эти округленные величины находятся в хорошем согла-
сии с результатами Марковица [174]. Комиссия Международного
астрономического союза приняла следующие обозначения: UT0 —
всемирное время; UT1 — всемирное время, исправленное за движе-
ние полюса (по данным Срочной службы широты); UT2 — это UT1,
исправленное за сезонные вариации (по формуле Международного
бюро времени; см. табл. 7.).
Таблица 7
Вариации величины т (Земля замедляется) и продолжительности суток,
в мсек*
Ссылка । Место Годы т А (п. с.)
Г о д о в ы е
[253] Гринвич . . 1951—1952 —8,1 cos ®+16,6 sin® = = 18,5 sin (®—26°) 0,285 cos ® + 0,139 sin® = = 0,318 cos (® —26°)
Канберра 1951—1952 0,4 23,9 23,9 —359 0,411 -0,007 0,411 —359
Вашингтон 1951—1952 —12,8 18,3 22,3 — 35 0,315 0,218 0,384 - 35
Ричмонд . . 1951-1952 —13,5 18,6 23,0 — 36 0,320 0,232 0,396 - 36
Межд. бюро времени Вашингтон и Ричмонд . 1951—1958 1956—1958 -17,5 — 17 21,5 22 27,7 28 — 39 — 38 0,370 0,39 0,301 0,31 0,477 0,50 — 39 — 38
П о л у г О Д О в ы е
[253] Гринвич . . 1951—1952 1—1,5 cos 20- = 10,5 sin —10,4sin2® = 2(®—86°) —0,358cos2®+0,052sin2 ® = =0,361 cos(®—86°)
Канберра 1951—1952 —2,1 —8,2 8,5 — 83 —0,282 0,072 0,292 — 83
Вашингтон 1951—1952 8,9 -6,5 11,0 — 117 —0,224 -0,306 0,378 — 117
Ричмонд . . 1951—1952 6,5 —8,3 10,5 —109 —0,286 —0,224 0,361 — 109
[174] Межд. бюро времени Вашингтон и Ричмонд . 1951 — 1958 1956-1958 6,5 6 —6,8 —7 9,4 9,2 —112 — ПО —0,232 —0,24 —0,223 —0,21 0,332 0,32 — 112 -ПО
I
* Все значения исправлены за движение полюса в соответствии с окончательными координатами Международной служ-
бы широты.
Таблица 8
Наблюдаемые и вычисленные вариации в периоды замедления Земли, т,
в мсек
Наблюдения Вычисления
месячные полумесячные месячные полумесячные
1951,7—1952,7 1952,7—1953,7 —1,0(3 +0,4 sin 0,6 —+ (« - ) 0,9 —0,2 с. ' +1,0: 0,5 as 2 Я + sin 23 1,5 0 COS (1 +0,7 sir 0 —Р([) + 1(3 — Pq ) 0,7 4 0,2 с< + 1,0: 0,2 ds 21 + sin 21 0,9
1953,7—1954,7 —0,2 0,5 1,3 0,7 0 0,8 0,3 0,8
1955 0,4 1,1 0,0 0,5 0 0,8 0,3 0,7
1956 0,5 2,7 0,3 0,3 0 0,8 0,3 0,6
1957 0,1 1,6 1,0 —0,4 0 0,9 0,2 0,5
1958 —1,1 0,2 1,5 +0,3 0 0,9 0,2 0,5
132
Гл. 9. Сезонные вариации
§2. Приливы
Существуют небольшие добавочные выступы в районе
экватора (за счет полярных районов), и момент инерции
Земли несколько увеличен по сравнению с тем, который
был бы при отсутствии Солнца. Основными эффектами
здесь будут вариации приращения момента инерции, обус-
ловленные а) изменениями расстояния от Земли до Солнца и
б) изменениями склонения Солнца из-за наклона эклиптики
Рис. 18. Приливной выступ во время равноденствий
(а) и солнцестояний (б) [190].
к экватору. Первая причина вызывает появление неболь-
шого годового члена, вторая — полугодового с максимумами
момента инерции (и, следовательно, продолжительности
суток) во время весеннего и осеннего равноденствий и
минимумами во время летнего и зимнего солнцестояний
(рис. 18). Аналогичные эффекты вызываются движением
Луны. Первым задолго до обнаружения этого эффекта
обратил внимание на влияние наклона эклиптики к эква-
тору на продолжительность суток Джеффрис [122].
В последующем делали расчеты Андерсон [2],
Стойко [266] и Минц и Манк [189, 19011). Наиболее подроб-
ный анализ сделал Вулард [303], опираясь на свое собст-
венное систематическое исследование приливного потенци-
ала [302].
х) В основу выводов Минца и Манка было положено число
Лява /г, а не k. Это привело к правильным значениям; однако сам
их метод был недостаточен, на что указал Мельхиор [183, стр. 439].
£ 2. Приливы
133
Рассматриваемый эффект удобнее всего выводится из
формулы Мак-Кулло (§ 2 гл. 5). Искажение фигуры Земли,
обусловленное возмущающим приливным потенциалом U,
приводит к вариациям произведений инерции С/у (через
посредство с/у). В среднем с22; далее,
С11 + С22 + f33 ~ 0.
Используя эти условия и уравнения (5.2.1), получаем
kU = V = ~ (c,i3 - Си) (4 + 4 - 2x1) =
= (9.2.1)
Представляя приливный потенциал U согласно (7.4.2) и
сравнивая члены, находим для возмущений характеристик
инерции
kbg Кп а3
С33 = —cos р. (9.2.2)
Возникающие вследствие этого вариации продолжитель-
ности суток получаются из формул (6.1.3), (6.1.5) и
(6.4.2):
А <п- с) ___ _ ГОо „ ш _ ^33 _
—пТТТ" — — ~~~ Фз — — тз — ~с
kbKa
= —<Icos[P(M)]. (9.2.3)
Здесь
3g = fatGap, С = \м.а\ /И = 4-ла3Р-
о <э
Вычисленные величины для долгопериодических при-
ливов собраны в табл. 9. Фаза р приведена в последнем
столбце табл. 3 (стр. 102). Амплитуды основаны на эффектив-
но-приливном числе Лява k = 0,29 (§ 5 гл. 5), выведенном
из частоты чандлеровского колебания. На первый взгляд
здесь все ясно. Приливные искажения, которые меняют
продолжительность суток, и искажения фигуры вследствие
вращения, удлиняющие чандлеровское колебание, пред-
ставляются сферическими гармониками второго порядка,
134
Гл. 9. Сезонные вариации
причем оба возмущения охватывают Землю в целом, вклю-
чая океаны, аналогичным образом; однако имеются сущест-
венные различия. Частоты указанных явлений не совпа-
дают. Далее, искажения вследствие чандлеровских колеба-
ний имеют тип р' и включают колебания оси; все же долго-
о
периодические приливные искажения имеют тип р2 и не
смещают оси вращения. Для объяснения 14-месячных
колебаний оси необходима динамическая теория, для
14-дневных приливов достаточна статическая теория.
Джеффрис и Висенте [131, 132] показали, что наличие
жидкого ядра у Земли уменьшит величину k, соответст-
вующую колебаниям оси, на 20% в сравнении с величи-
ной k для полумесячных приливов.
Таблица 9
Вычисленные вариации т и Д(п.с.), вызванные приливами
Обозначения Период т, мсек Д(п.с.), мсек
Лунные 18,6 года 149 sin? 0,14 COS?
Sa 1 год 1,41 sin? 0,025 cos?
Ssa ....... % года 4,33 sin? 0,15 cos?
Мт 27d,55 0,762 sin? 0,17 cos?
MSf ...... 14d,55 0,062 sin? 0,027 cos?
Mf 13d,66 0,775 sin? 0,33 cos?
— 13d,63 0,296 sin? 0,14 cos?
Сравнение данных табл. 7 и 9 показывает, что наблюден-
ный полугодовой член несколько больше, а годовой значи-
тельно больше соответствующих вычисленных членов.
Можно думать, что этот результат объясняется влиянием
метеорологических факторов. Для месячного и полумесяч-
ного членов наблюдения не являются достаточно длитель-
ными для разрешения соседних частот, таких, как частоты
MSf, Mf и 13,63-суточного прилива. В связи с этим
Марковиц [174] объединил их в один член и сравнил теорию
и наблюдения по годам (см. табл. 8). Наблюдаемый полу-
месячный член примерно согласуется с вычисленной ве-
личиной, наблюдаемый же месячный член оказывается
§ 2. Приливы
135
больше вычисленного1). Что касается фазы, то здесь со-
гласие вполне приемлемое. Вычисленные и наблюденные
вариации продолжительности суток будут лучше согла-
совываться, если принять, согласно Марковицу [174],
k = 0,30 ± 0,07, k = 0,38 ± 0,07
для полумесячного и месячного членов соответственно.
Детальное рассмотрение чисел Лява, выведенных из раз-
личных наблюдений, мы отложим до разбора чандлеров-
ского колебания полюса.
Таково влияние приливов на продолжительность
суток. Этот эффект мог бы оказаться единственным, если бы
океан равномерно покрывал Землю или менялся, только
по широте. Асимметрия распределения суши и моря долж-
на быть связана с колебаниями полюса. Мы рассмотрим
только статические приливы. Океаны при этом поднимаются
относительно земли на величину
в (6, /) = (1 + k - h) = g0 (/) (Ц- - cos2 e), (9.2.4)
к которой необходимо прибавить поправку прилива (/)
(введенную Дж. Дарвином), чтобы общий объем прилива
J В (О, о ds +(/) J ds,
Океан Океан
проинтегрированный по всей поверхности океана, обратился
в нуль, несмотря на неправильности распределения суши
и моря. Этот интеграл может быть выражен в явном виде
через члены гармоник океанской функции (приложение,
§ 1). Если это сделать, то член — cos2 6) в (9.2.4) за-
меняется на
-т «о + Аа2
------15------ cos2 9 - 0,31 — cos2 6. (9.2.5)
«о
При этом мы не учитываем деформации от нагрузки и
влияния самопритяжения приливов, что может быть сделано
методом обобщенных чисел Лява (§ 12 гл. 5).
г) Возможно, потому, что его величина лишь чуть выше уровня
помех (см. рис. 15).
136
Гл. 9. Сезонные вариации
Возбуждающая функция находится непосредственно
из § 8 гл. 6:
а4
С^А
Pw (океан) (£ -ф £') cos 6 sin fields —
9(l+£ — h)
H
63 C4
(9.2.6)
где pw = 1,025 г! cm3—плотность морской воды, a p —
= 5,53 г!см? — средняя плотность Земли. Полагая k ~
~ 0,29, h — 0,59, Н = 0,00327, /<([=53,7 см, получаем
<рх = 0",010 b cos р, <р2 = 0",002 b cos р.
Приливный амплитудный фактор b — величина самое
большее порядка 0,1, и возбуждение полюса тогда менее
0",001, или менее 1 дюйма смещения полюса.
§ 3. Обратная барометрическая задача
В этом параграфе мы покажем, что океан реагирует на
сезонные изменения атмосферного давления примерно как
«обратный барометр». При повышении атмосферного давле-
ния на каждый миллибар относительно среднего по всей
поверхности океана его поверхность прогибается в данном
месте на 1 см.
Пусть Qwgz—возмущение атмосферного давления; здесь
z — эквивалентная высота водяного барометра. Реакция
океана выражается величиной %. Полное изменение давле-
ния непосредственно под поверхностью воды будет
Pwg (z + Ю = pwgt,-
Для замерзшего океана £ = z (рис. 19, а); если океан реа-
гирует на изменение давления противоположно барометру,
то £ — —z и £ = 0 (рис. 19, б). Однако возможны и другие
устойчивые равновесные конфигурации: например, анти-
циклональная геострофическая циркуляция (направленная
по часовой стрелке в северном полушарии, как показано
z
р;и с. 19. Реакция океана на коническое то-
чечное давление на поверхность моря; точки
обозначают движение в плоскость чертежа;
крестики—из плоскости.
138
Гл. 9. Сезонные вариации
на рис. 19, в). Возможны комбинации случаев (б) и (в).
Расслоенный океан допускает и другие классы равновес-
ных реакций, например показанный на рис. 19, г. Ситуации
(б) и (в) называются баротропными, (г) — бароклинной
(поверхности равных давления и плотности пересекаются).
Рассмотрим эффект создаваемого ветром переменного
напряжения, следуя Чарни [39] и Стоммелу и Веронису
[2881. Пусть их, иу — компоненты скорости в направле-
ниях х (с запада к востоку) и у (с юга к северу). Уравне-
ния движения однородного океана записываются так:
дих г дС
диу д'С,
+ ?с Ux ~ ду ’
где fc = — 2Q cos 6 — параметр Кориолиса (кориолисова
частота). Уравнение, неразрывности для слоя воды глу-
биной h имеет вид
(9.3.1)
диЛ
~dt~ п\дх дуг
(9.3.2)
Дифференцирование уравнений движения дает:
д2 их д2 иу fc _
~dydt dx~dt ^иУ + Т У
(9.3.3)
где р = dfc/dy. Если ограничиться частотами о, малыми по
сравнению с кориолисовой частотой fc, то компоненты
ускорения в (9.3.1) также будут малы по сравнению
с компонентами ускорения Кориолиса fu. В соответствии
с этим (Э.З.З)может быть переписано в виде
л 2 о у* । о л9 дС, dz
где X2 = gh/fc. Для колебаний в точке типа г, С = (г0> £о) X
X cos/у у cos (/v of) получаем
(Э'3'4’
Для протяженных возмущений (/ мало) высокой частоты
(о велико) получается £0 = z0: океан не реагирует на воз-
$ 3. Обратная барометрическая задача
139
мущение давления. В случае умеренно низких частот
Со = 0: океан реагирует как обратный барометр. Это и есть
ожидаемое асимптотическое поведение.
Положим fc = Ю~4 сек~х, h = 5-105 см\ тогда |3 =
= 2--сек~х, Х2=5-1016 см2. Рассмотрим области
возмущения давления в форме ячеек размером 6 000 км2.
Тогда 1Х — /у = 10~8 см~х и Х2(/2 + = Ю. Для КРИ“
тической частоты
г 01 1 X2 р/v 1 1 /п о к\
/1 = = 6-------rv—9Г ~ "F суток-1 (9.3.5)
71 2тс 2л; 1+х2(/2 + /2) 8 у V 7
знаменатель (9.3.4) обращается в нуль. Для частот между
Д и fc (периоды от 2 дней до недели) поверхность моря реаги-
рует противоположно барометру, давая примерно 90%
реакции обратного барометра. При критической частоте
имеет место смена фазы, а для частот, значительно меньших
/у, реакция моря опять противоположна реакции барометра,
слегка превосходя ее по величине. Гровс [95] указал на
эмпирическую закономерность, заключающуюся в том, что
изменение уровня моря составляет, грубо говоря, 2/3 измене-
ния обратного барометра при возмущении давления вслед-
ствие отдельных бурь (типичная частота — 2 цикла в не-
делю). Эта закономерность согласуется с изложенной выше
моделью. Следовательно, возможно, что для годовой ча-
стоты модель обратного барометра оправдана.
Однако в этой модели есть свои трудности. Критический
период может совпадать с временем, необходимым для про-
хождения области возмущения давления баротропной
волной Россби (или планетарной). Для двухслойного
океана имеется другой критический период, связанный
с бароклинными волнами Россби. По сравнению с баро-
тропными волнами фазовая скорость бароклинных волн
уменьшится в отношении разности плотностей между двумя
слоями воды к разности плотностей между водой и воздухом.
Это отношение есть величина порядка 10~3. Критичес-
кий период для бароклинических волн равен тогда 8000 су-
ток! Следовательно, для десятилетних вариаций в рассмот-
ренной схеме возмущений давления ожидаемая реакция
такова, как на рис. 19, г.
Мы пренебрегли неприятными особенностями задачи,
возникающими из-за пересечения изобарами береговой
140
Гл. 9. Сезонные вариации
линии. Эта проблема еще не решена. Работы Чарни и
Стоммела и Верониса дают возможность предполагать, что
наличие границ моря и суши благоприятствует реакции
моря как обратного барометра.
§ 4. Геострофическое и негеострофическое
движения
Ниже будет показано, что геострофическое движение не
оказывает никакого влияния на колебания полюса (впрочем,
с некоторыми оговорками), а влияние негеострофического
движения на колебание полюсов и продолжительность
суток мало по сравнению с влиянием переноса масс.
При геострофическом приближении движение происхо-
дит вдоль изобар, и кориолисова сила уравновешивается
горизонтальным градиентом давления.
Всеми остальными силами: центробежной, инерционны-
ми, силой трения — можно пренебречь. Сезонные вариации
момента количества движения связаны с ветрами и течени-
ями, которые в первом приближении являются геострофи-
ческими.
Для движения в горизонтальном направлении вблизи
поверхности Земли возбуждающая функция может быть
записана в виде
2а С
—Л)' Р cos 6 (ых~ ги9 cos е)е>}'
(9.4.1)
Фз = — [ Р sin dV.
При геострофическом движении изменение давления р
и скорость связаны соотношениями
— 1 др __J др (Q д
2аО, cos 0 дО ’ 2л2 cos 0 sin 0 d'K ’ '
что после подстановки в (9.4.1) дает
__ а2
ф ~ "~22(С-Л)
я2
“ Р-2(С —Л)
С fsin 6 д~ + i cos 6 eiX М dK dr =
J L do эк
f Д (P sin 6 + i Д (p cos 9егх) X
X dk dr = 0.
£ 4. Геострофическое движение 141
Первое выражение обращается в нуль после интегрирова-
ния по 6, поскольку sin 6 обращается в нуль при обоих
пределах 6 = 0, 6 = л; второе выражение также обра-
щается в нуль, как это видно из интегрирования по X.
При этом не учитывались два обстоятельства: 1) геостро-
фический ветер на экваторе имеет особенность (но не подын-
тегральное выражение для 6); 2) пересечение уровенных
поверхностей с горами исключает некоторые области 0, X
из интегрирования. Последнее обстоятельство не играет
особой роли для движений в нижней атмосфере, примени-
мость же предыдущих рассуждений к океанским приливам
сомнительна.
Для ф3 мы сравним вклады, даваемые меняющимся рас-
пределением масс и соответствующими вариациями геостро-
фического движения. Возвращаясь к § 8 гл. 6, находим,
что подынтегральное выражение в интеграле по объему
будет
pF3 (движение) — pQr sin 6zz\,
ApF3 (масса) = — ApQ2r2 sin2 6.
Полагая dP = — pg dr и интегрируя вертикально вверх
от поверхности Земли (Р = Ро) до границы атмосферы
(Р = 0), получаем
оо Р
J pF3 (движение) dr = — U\(P)dP =
о
Q.a sin 6 Pq -
оо
pF3 (масса) dr
о
_ о.«. ? «
pg J 7 g 1
о
где и\ — усредненное по вертикали движение (с плот-
ностью в качестве весовой функции), а р — отклонение
давления на уровне земли.
Для сравнения этих двух членов ввецем отношение
V(0)
«х (0)
UX(PO, 0)
(9.4.3)
142
Гл. 9. Сезонные вариации
между усредненным движением и движением на поверх-
ности. Для ветров в нижней атмосфере Y<§; 1; для воз-
мущений в верхних слоях у > 1. В первом грубом при-
ближении мы не будем учитывать качаний оси, т. е.
будем предполагать, что щ (9) и щ (Ро, 0) одинаково зави-
сят от 0, так что у не зависит от 0. Учитывая геострофи-
ческие соотношения (9.4.2), получаем отношение эффектов
движения и переноса массы в таком виде:
Л)/Ро
У а2 22
1 1 др
2s in 26 р дб
(9.4.4)
Первый член этого выражения (на поверхности Земли)
есть отношение термической энергии на единицу массы к ки-
нетической энергии вращения. Это отношение равно 0,8.
Оставшаяся часть (9.4.4) (без у) — число также порядка
1 для исследуемых нами крупномасштабных движений.
Следовательно, относительная роль движения и вещества
(массы) указывается значением у.
Рассмотрим теперь движение, нормальное к изобарам.
Дивергенция этой негеострофической компоненты приво-
дит к появлению изменений в распределении масс. В океане
и атмосфере эта негеострофическая компонента мала по
сравнению с геострофической для движений рассматри-
ваемого здесь масштаба.
Возвращаясь вновь к § 6 гл. 8, можно заметить, что
каждая из трех составляющих пропорциональна Qux и
Q2x2 для движения и масс соответственно. Если смещение х
некоторой частицы зависит от времени как еы, то скорость
частицы и меняется как ох, и отношение эффектов масс
и движения равно о/2. В случае ускорения отношение равно
(o/Q)2. Эта задача и полученный результат аналогичны
задаче о танце хула [см. формулу (6.9.1)].
§ 5. Распределение воздуха и воды
Сезонные вариации распределения воздушных масс мо-
гут быть оценены по наблюдениям давления на поверхности
земли. Действие ветров будет рассмотрено в следующем
параграфе. Оно состоит в том, что наименьшее движение,
требуемое для появления наблюдаемых вариаций атмосфер-
£ 5. Распределение воздуха и воды
143
ного давления, пренебрежимо мало в сравнении с на-
блюдаемыми ветрами (которые, грубо говоря, направлены
вдоль изобар). Это оправдывает раздельное рассмотрение
действия ветров и воздушных масс. То же самое справед-
ливо и для океанских приливов и водных масс.
Для изменений распределения масс вблизи поверхности
Земли \г — а | <<^ а возбуждающая функция (§ 8 гл. 6)
может быть записана в виде
ф = — f 7(9, 0 sin 9 cos 9 ds,
4 J (9.5 Л а)
ф3 = — — j q (О, X; /) sin2 9 ds,
где
q (О, X; t) = J [p (r, 6, M) — P (r, 9, X)] dr (9.5.2)
— сезонное отклонением нагрузке на поверхность (г/см2),,
a ds = sin 0 dO dh.
Данные о функции q(Q, X; f) получаются из различных
источников. Как и можно было ожидать, наблюдательный
материал неоднороден, но в общем достаточен для вычисле-
ния ф/. Разумно наложить определенные ограничения на на-
блюдения, чтобы гарантировать сохранение при сезонных
вариациях следующих величин: 1) полной массы, 2) об-
щего количества сухого воздуха, 3) общего количества
воды.
Всегда можно разделить нагрузку на два члена.
7 АО + 7(9 A; t),
где qE (/) — среднее по Земле. Первое условие выполняет-
ся автоматически при вычислении ф, поскольку интеграл
от qE равен нулю (ибо qE не зависит от 0 и Z). Одна-
ко это не справедливо для ф3. Можно достигнуть этого,,
положив
ip3 = — J- f q (6, X; t) /sin2 0 — ds. (9.5.16)
г) В соответствии с принятой нами методикой мы сначала вычис-
ляем возбуждающую функцию ф/ в предположении абсолютной твер-
дости Земли. Уравнения для ф/ таковы, как и для полного возбужде-
ния ср/ (§ 8 гл. 6), если считать, что деформациями от вращения и от
нагрузки можно пренебречь.
144
Гл. 9. Сезонные вариации
Мы оценим вклад в от атмосферы, океанов и твердой
Земли. В отношении любого сезонного чистого переноса
массы от одной к другой из этих трех составляющих планеты
Земли можно поступать двояким образом: 1) пренебрегая
этим чистым переносом для всех трех составляющих, и,
следовательно, предполагая, что влияние на вращение,
скажем, любой потери воды из океанов компенсируется
равным и противоположным эффектом увеличения общего
количества грунтовых вод, или 2) включая эти вклады в та-
булированные величины Ф; для каждой из трех составляю-
щих Земли. Нами был избран первый путь.
Воздушные массы. Через 10 лет после открытия Чанд-
лером годового колебания полюса Шпиталер [254] попытал-
ся объяснить это колебание наблюдаемыми сезонными
смещениями воздушных масс. С этой пионерской работой
были связаны известные трудности, которые отметил
Джеффрис [118], но основной вывод остается тем же, что и
в наше время, — смещения воздушных масс вследствие высо-
кого давления зимой над Сибирью имеют фазу и величину,
объясняющие наблюдаемое колебание полюса. Последующие
вычисления Джеффриса [118] основывались на более
полных метеорологических данных из метеорологического
атласа Бартоломью. Джеффрис разработал полную теорию
и учел поправки за снег, растительность и подвижность
океанов. Вычисления Швейдара [242] в общем привели
к тем же результатам, что и у Джеффриса. Розенхед [226]
использовал последующие наблюдения, собранные в руко-
водстве по метеорологии Шоу. Наши вычисления основыва-
ются на данных Розенхеда. О (Huaux) [111] провел вы-
числения, опираясь на среднемесячные данные Лорана
о давлении между 65° с. ш. и 65° ю. ш.
Рассмотрим наблюденное уклонение р(0, %; t) давления
на уровне станции (не на уровне моря) от годового среднего
на этой станции. Имеем
оо
7 J ^?dr = gq (9.5.3)
а
в соответствии с гидростатическим приближением. Исполь-
зуя океаническую функцию (приложение, § 1), можно на-
писать . nx п
<7£(0 = (1-4)^(0 +ао <7о(0 (9.5.4)
§ 5. Распределение воздуха и воды
145
для сезонного уклонения атмосферной нагрузки, осреднен-
ной по всей Земле, континентам и океанам. Джеффрис и
Розенхед полагают qE — 0. Однако закон сохранения масс
применим лишь к сухому воздуху (сезонными вариациями
СОз и Ог, происходящими вследствие фотосинтеза, можно
пренебречь). Если бы атмосфера была насыщена, она со-
держала бы 15-Ю18 г воды; действительное содержание
воды в атмосфере ненамного меньше — в среднем
12,2-1018 г [222] и в июле на 1,4- Ю18 г больше, чем в ян-
варе. По данным Бэнона и Стила [5] о сезонном распреде-
лении водяных паров находим
qE (0 -= J q (6, к 0 ds =- — 0,17 cos ® —
— 0,08sin® г/см2, (9.5.5)
что дает для уклонений в январе 0,19 г!см2, по сравнению
с 0,27 г/см2 по данным Райхеля.
Следуя работе Джеффриса, мы находим полезным сразу
ввести поправку за приспособление океана к поверх-
ностному давлению К сезонным вариациям применимо
обратное барометрическое правило (§ 3). Поэтому океан
реагирует так, чтобы уничтожить горизонтальные гра-
диенты давления; сезонные отклонения полной нагрузки
на поверхность дна моря везде одинаковы, но меняются
со временем вследствие сезонных вариаций лежащей над
океанами доли атмосферы. Интегралы
ф (0 — —а л! f <7 (9, X;/) sinO cos6ezx ds+
G — Л । v
^Суша
+ [ sin 9 cos 9ezx ds,
Океан
'Фз(0 = — J <7(6, (sin2 9— ds +
^Суша
+ <70/J (sin2 9 —
Океан * 6
(9.5.6.)
х) Необходимость этой поправки была указана Лампом [151L
6 Вращение Земли
146
Гл. 9. Сезонные вариации
предполагают, что массы сухого воздуха и воды сохра-
няются. Интегралы, взятые по всей Земле, обращаются
в нуль; следовательно, их можно записать в виде
ф (0 = — С^_А J [<7 (О, X; f)—q0 (/)] sin 6 cos 6 ei!- ds,
at ГСУШЭ 7 2\ <9‘5-7)
4"3 (0 = - с J <0’ V- (sin2 0 -1) ds’
Суша
эти выражения совместно с (9.5.4) и (9.5.5) позволяют вы-
числить возбуждающую функцию в зависимости только от
наблюденного давления на суше.
Почти все метеорологические данные включают давление
на уровне моря Ро, которое вычисляется из наблюденных на
станциях значений давления Р по формуле Лапласа (или
какой-либо другой аналогичной формуле):
z = l,8.10e[l (9.5.8)
где z — высота станции над уровнем моря в см, Т — (пе-
ременная) температура на высоте z в градусах Цельсия,
То — соответствующая температура на уровне моря.
В любой момент топография поля давления на уровне
станции Р = const столь мало отличается от топографии на
высоте z = const, что они не представляют никакого ин-
тереса, и все карты изображают изобары на уровне моря
(PQ = const). Нам необходимы уклонения Р — Р давления
на уровне станции от годового среднего, а не PQ — PQ.
Джеффрис и Розенхед вводили поправки (впрочем, скорее
отбрасывали ранее сделанные неправильные) по сезонам:
сначала вычислялось ф по сезонным картам Ро, а затем —
поправка возбуждающей функции ф' в соответствии
с (9.5.8), используя сезонные карты температуры и учитывая
известные высоты континентов.
*) На ошибку, возникающую от использования давления на
уровне моря, которое приводится на климатических картах, указал
Анго. См. Annuaire de la societe meteorologique, 35 (1887).
$ 5. Распределение воздуха и воды
147
На основе данных Розенхеда1) (рис. 20) мы получили
в единицах 10~8
гр! = — 1,58 cos ® — 1,56 sin ®,
ф2 = — 25,40 —6,77,
ф3 = + 0,0433 + 0,0248,
фх 4- ip! = — 1,68 cos ® — 0,94 sin ®, (9.5.9)
ф2 + ф2 = — 16,28 — 1,61,
ф3 + Фз = + 0,0246 4- 0,0186.
Эти числа характеризуют возбуждающую функцию по
значениям давления на уровне моря (ф^) и на уровне стан-
ции (ф/ + ф/). Все компоненты выражаются теперь через
одни и те же безразмерные отношения. Наибольший вклад
в ф дает Азия, где разность между Р и Ро очень велика. На
0 = 50°, % = 80°, например, Ро = 25 мб, а Р = 2 мб\
Это объясняет большие разности между исправленной и не-
исправленной возбуждающими функциями. Наибольший
член в колебании полюса уменьшается с 25,4 до 16,3, а для
продолжительности суток с 0,043 до 0,025. Необходимы
новые вычисления, основанные непосредственно на необра-
х) Величины фх и фг не могут непосредственно сравниваться с ве-
личинами Хо и р0 Розенхеда по следующим причинам: 1) аргумент
(время) был изменен с 0° для 21 марта, 90° для 21 июня и т. д. на 0°
для 1 янв., 90° для 1 апр. и т. д.; 2) величины Розенхеда были умно-
жены на 4,85» 10“6, чтобы заменить секунды дуги на радианы [зна-
чения в формуле (9.5.9) даны в единицах 10~8 рад]; 3) все величины
были разделены на 1,41, чтобы скомпенсировать их увеличение,
обусловленное деформацией от вращения. Розенхед разработал
теорию деформации от нагрузки на поверхность и в соответствии
с ней умножил свои видоизмененные величины на 0,60 для получе-
ния Хх, р.х, которые можно уже сравнивать с величинамиА2, р.2, вы-
веденными из данных астрономических наблюдений. Однако мы по-
казали (§ 6 гл. 6), что эффект деформаций от вращения и от поверх-
ностной нагрузки выпадает в первом приближении и что можно
достаточно надежно оперировать с возбуждающей функцией ф Для
абсолютно твердой Земли; 4) наконец, были исправлены ошибки,
в частности Розенхед рассматривал Северный Ледовитый океан как
сушу.
6*
-1Я0 .uo -140 -НО -100 . 80 -M -40 -20 • W 40 W 80 100 120 <40 UO ISO
-400 -UO -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0
20 40 «0 80 100 «20 «00 «60 (80
Рис. 20. Разность давлений на поверхности земли в мб «январь минус
июль» (а) и «апрель минус октябрь» (б) [226]. Данные относятся к средним
условиям в площадках 10°х20°, центры которых имеют координаты 0 = 10°,
20° ... 130° и Х = 180°, 200° ... 0°, 20° ... 180° в. д. Разности на уровнях
станций могут быть интерпретированы как 2q, т. е. вдвое больше, чем от-
клонения нагрузки на поверхность в январе (а) и апреле (6), в единицах
г/сл!2. Для площадок, расположенных большей частью на суше, приводится
давление на уровне станции Р (нижнее число) и давление на уровне моря Ро-
§ 5. Распределение воздуха и воды
149
ботанных данных наблюдений давления При этих об-
стоятельствах мы можем с успехом использовать таблицы
Розенхеда, несмотря на то что в последнее время появились
новые данные о давлении на уровне моря в северном полу-
шарии.
Джеффрис и Розенхед рассматривали лишь задачу
о колебании полюса и поэтому вычисляли ф. Результаты,
суммированные в табл. 14 (стр. 170), грубо согласуются
с астрономическими наблюдениями. Для задачи о продол-
жительности суток необходимо знание компоненты ф3.
В отличие от предыдущего случая имеет место значительная
компенсация вкладов в ф3 от двух полушарий Земли, и ко-
нечный результат оказывается даже еще более неопределен-
ным, чем для ф. Первая попытка оценить сезонные вариа-
ции суток была предпринята ван ден Дунгеном, Коксом и
ван Мигемом [285]. Совершенно естественно, что они
искали необходимое объяснение в меняющемся распределе-
нии воздушных масс. Вычисления были сделаны лишь для
северного полушария (давление на уровне моря) и дали
ф3- ~0,2.10“8cos(® — 15°).
Манк и Миллер [198] показали, что эта амплитуда умень-
шится в четыре раза, если принять во внимание оба полуша-
рия; кроме того, если устранить поправку за уровень
моря, то изменится знак2'); подвижность же океанов еще
более уменьшит эффект. Влияние на наблюдаемые вариа-
ции суток здесь весьма незначительно.
х) В настоящее время это уже сделано. Хассан [100] вычислил
месячные средние величины ф/ за период 1873—1950 гг. на основе
данных о давлении на местах из таблиц «Clayton’s World Weather
Records», публиковавшихся Смитсонианским институтом в Вашинг-
тоне, а ныне публикуемых Бюро погоды США. На основе этих ря-
дов сезонные и неправильные вариации были пересмотрены Манком
и Хассаном [195]. Наша лучшая оценка сезонных вариаций теперь
такова:
Ф1 = — 1,8 cos О+ 0,2 sin Q+ 0,4 cos 2 Q—0,8 sin 20,
ф2 = — 12,9 —1,0 +1,8 +1,4,
ф3 = — 0,0028 + 0,0085 —0,0017 —0,0006
вместо значений (9.5.9).
2) Письмо к редактору: Tellus, 2, 319—321 (1950).
150
Гл. 9. Сезонные вариации
Водяной пар. Бэнон и Стил [5] собрали материалы по
всей Земле относительно распределения водяных паров по
сезонам1). Максимум влажности бывает в июле в долине
Ганга (6,5 г!см2). Над северо-западной Атлантикой и Тихим
океаном наблюдались сезонные вариации влажности до
3—4 г!см2. По данным указанной работы нами была вы-
числена функция qE(t) в форме (9.5.5) и получены следую-
щие значения компонент возбуждающей функции (в еди-
ницах 10~8):
фд = — 0,75 cos ® + 0,39 sin ®,
ф2 = 1,50 cos © + 0,15 sin ®, (9.5.10)
ф3 = — 0,0058 cos ® — 0,0026 sin ®.
Измерения атмосферного давления на земле включают вес
водяных паров. Следовательно, приведенные выше числа
уже вошли в (9.5.9). Влияние водяных паров объясняет
около 10% эффекта воздушных масс.
Снег. Джеффрис [118] указал на недостаточность имев-
шихся в то время данных для оценки глобального распре-
деления снега. Его собственные оценки опирались на заме-
чание Шоу о том, что снег в Сибири начинает накапливать-
ся в октябре и покров достигает максимального уровня
—1 м в марте.
Среднюю плотность снега можно принять 1/3г!см3. Снего-
вую нагрузку можно рассматривать как возрастающую
равномерно от нуля во время осеннего равноденствия
до до(0, 2) г/см2, во время весеннего равноденствия и затем
уменьшающуюся равномерно до нуля к 21 мая. Гармо-
нический анализ соответствующей асимметричной пило-
образной кривой дает
7
q (6, Л; /) = (9, X) cos (® - 79°,8) -
У- sin (®- 79°, 8)
(9.5.11)
!) Независимо от них данные по северному полушарию были
собраны Старром, Пеиксото и Ливадасом [256] в их работе по изу-
чению потока паров воды.
$ 5. Распределение воздуха и воды
151
Распределение qQ, приведенное в табл. 10, было вы-
брано так, чтобы получить значение Джеффриса
J q0 sin 0 cos 6ezx ds = (3,06 ф- i 1,63) г/с м2-
Отсюда
f qQ (sin2 0 —ds == — 5,6 г/ см2.
Мы учли поправку за перемещение вод из других источ-
ников, поэтому отрицательный знак имеет физический
Таблица 10
70 (г/см3), вызванные снеговым покровом
0° 20° 40° 60° 80° 100° 240° 260° 280°
30° 0 — 30 35 50 40 20 10 20 45
40° 15 25 35 45 35 15 — 25 30
смысл [см. замечания относительно (9.5.16)]. Результиру-
ющая возбуждающая функция в единицах 10~8:
фх = — 6,14 cos ® — 5,77 sin ®,
ф2 — 3,27 cos ® — 3,07 sin ®, (9.5.12)
= 0,036 cos ® + 0,034 sin ®.
Если бы снег был распределен равномерно по всей Земле,
это создало бы среднюю нагрузку
qE = 0,44 cos ® + 0,41 sin ® г/см2. (9.5.13)
Наши результаты несколько отличаются от результатов
Джеффриса вследствие того, что мы не учитывали деформа-
ции от вращения. Данные табл. 14 показывают, что влияние
снега составляет около х/3 влияния массы атмосферы. Поэто-
му влияние снега играет важную роль в возбуждении колеба-
ний полюса, но им можно пренебречь при изучении про-
должительности суток. Весьма желательно сделать новые
расчеты по данным последних наблюдений. В данных
табл. 14 влияние снега включено в раздел грунтовых вод.
152
Гл. 9. Сезонные вариации
Значения для грунтовых вод получены из других со-
ображений (см. ниже) и не зависят от предыдущих оценок.
Что касается льдов, то полярными льдами мы пренебре-
гали. Плавающие льды не оказывают влияния, так как их
масса на единицу площади остается неизменной. Некоторую
небольшую роль могут играть льды у краев континентов
(припай). Необходимо было бы принять во внимание меня-
ющуюся площадь ледников Антарктики и Гренландии, но
относительно сезонных вариаций этой площади данных нет.
Во всяком случае они также играют небольшую роль,
поскольку имеют место в очень высоких широтах.
Растительность. Имеется еще один дополнительный
источник влияния меняющегося характера — раститель-
ность. По Джеффрису [118]:
«Летом вегетативная масса растений увеличивается
двояким образом. Большое количество соков переходит
из почвы в деревья; эти соки поднимаются, древесина
становится тяжелее. У лиственных деревьев появляют-
ся листья. У травянистых растений ежегодно вновь раз-
виваются все наземные части. С течением времени, обыч-
но в конце лета или в начале осени, наземные части
травянистых растений частично засыхают и в конечном
итоге вянут и опадают на землю, а лиственные деревья
сбрасывают листву. Опавшие части растений продолжа-
ют терять в весе и в конце концов полностью разруша-
ются. Таким образом, можно считать, что масса деревь-
ев, кустарников и трав подвержена периодическим из-
менениям с максимумом летом и минимумом зимой».
Джеффрис оценивает эту изменяющуюся нагрузку на
поверхность до 2 г/см2 (по данным для Англии) и полагает
q = 3,3 cos 0 cos (® — 194°) г/см2 (9.5.14)
по всей поверхности суши. Множитель cos 9 указывает, что
эти вариации на экваторе обращаются в нуль, поскольку
там вегетация не имеет годового периода. Полюса порождают
небольшой эффект вследствие наличия членов с sin2 0 в вы-
ражениях для ф и с sin3 9 в выражении для ф3. Для вы-
нужденных колебаний полюса Джеффрис получил ве-
личину несколько менее 0",01 — эффект небольшой, но
достаточный, чтобы ему уделить внимание. Эти любопыт-
§ 5. Распределение воздуха и воды
153
ные подсчеты, вероятно, являются единственным геофизи-
ческим приложением ранней деятельности сэра Гарольда
Джеффриса как ботаника.
Независимая оценка может быть сделана из соображе-
ний, опирающихся на фотосинтез:
СО2 + Н2О Ч-1С6Н12О6 + 02. (9.5.15)
В первой строке табл. 11 приведена оценка Райли [2251
полного годового выхода органического углерода на суше
(20 млрд, т) и в море (120 ± 80 млрд. т). Но на каждый
атом углерода (атомный вес 12) образуется 1/6 молекулы
С6Н12О6 (грамм-молекулярный вес 30), и, следовательно,
полный выход углеводов найдем, умножив число, отвеча-
ющее органическому углероду, на 30/12 (вторая строка
табл. 11), Это дает количество сухой растительной массы
в 1018 г. Наиболее обильная растительность в океане
(фитопланктон) в живом виде превосходит свою сухую
массу в 16 раз. Для картофеля это отношение равно 10:1.
Третья строка табл. 11 получена перемножением чисел вто-
рой строки на эти отношения (общая масса/ сухая масса).
Разность живой массы и сухой массы дает то количество
воды, которое растения поглощают из окружающей среды
(четвертая строка). Дополнительная молекула воды объе-
диняется с каждым атомом углерода, который участвует в
процессе фотосинтеза (пятая строка).
Таблица 11
Годовое производство (+) и убыль (—) вследствие фотосинтеза,
в 1018 г
Отношение Океан Суша Поли.
1. Углерод органического про- исхождения 12Лз 0,12 0,02 0,14
2. Сухая масса растений . . . 30/]2 0,30 0,05 0,35
3. Влажная масса растений — 4,80 0,50 —
4. Разность — Остается в -0,45 —
5. Вода — «/12 море То же —0,03 —
6. Полное количество .... -— — —0,48 —0,48
7. СО2 -44/12 Извлекается —0,07 —0,07
8. О2 33/12 из моря 0,32 0,05 0,37
6В. Вращение Земли
154
Гл. 9. Сезонные вариации
Таким образом, сумма чисел четвертой и пятой строк
дает полное количество воды, поглощаемое растениями
в течение года (шестая строка). Последние строки дают
соответствующие числа, характеризующие роль СО2 и О2
в бюджете атмосферы. СО2 в изобилии содержится в морях,
и необходимо рассмотреть лишь то его количество, которое
растения извлекают из почвы. Большая же часть образо-
вавшегося в море О2 переходит в атмосферу.
Полное годовое потребление воды растениями —
0,48 • 1018 г — распределяется в основном в следующих
климатических зонах:
от 20° с. ш. до 60° с. ш. площадь 0,66-1018 сж2
от 20° ю. ш. до 60° ю. ш. площадь 0,19-1018 сж2
0,85-1018 сж2.
Это дает 0,48 • 1018 а/0,85 • 1018 сж2 = 0,6 г!см? за год
в среднем. Такая же величина отдается растениями окружа-
ющей среде. Сезонные же вариации должны быть меньше
этой величины, полученной из рассмотренной выше таблицы
как верхний предел, когда продукция фотосинтеза выделя-
ется вся сразу, а возвращаемая растениями вода распределя-
ется равномерно в течение всего остального года. Учитывая
это, мы принимаем для всей Земли
q (t) = 0,5 cos 0 cos (® — 194°) а/сж2
вместо значения Джеффриса (9.5.14). Результирующая
возмущающая функция (весьма грубо) может быть записана
так (в единицах 10”8):
ipi = 0,2 cos ® + 0,1 sin ®,
ф2 = 0,3cos® + 0,1 sin ®, (9.5.16)
ф3 = 0,0006 cos ® + 0,002 sin ®
и дает менее 2% наблюдаемого колебания полюса и
менее 1 % вариаций продолжительности суток. Нагрузка на
поверхность от растительности, осредненная по всей поверх-
ности Земли, будет
= i J q^A’,t)ds=
Суша
= —0,033 cos ® — 0,008 sin ® г!см\ (9.5.17)
£ 5. Распределение воздуха и воды 155
Как и в случае снежного покрова, эта оценка не влияет
на общую оценку, приведенную в столбце 5 табл. 14.
Грунтовые воды. Приведенная здесь методика пригодна
для учета влияния влаги, запасенной как на поверхности
(снег,- растительность), так и в почве. Сезонная вариация
Грунтовых вод— величина порядка 10 г/сж2; это важное об-
стоятельство. Подробное изучение многих участков вполне
доступно, и оно показывает наличие значительной местной
изменчивости. Общую же оценку по всему земному шару
дать затруднительно.
Многие авторы рассматривают раздельно запас воды:
1) между поверхностью и самым близким к поверхности
уровнем грунтовых вод, 2) между ближайшим к поверхности
и мгновенным уровнями и 3) ниже мгновенного уровня грун-
товых вод. Наиболее важным для сезонных вариаций
является (1). Но любые попытки оценить эти вариации по
всему земному шару представляются ограниченными сооб-
ражениями о балансе воды, в силу которого почвенная
влага на всех глубинах вместе с надпочвенной водой (снег,
растительность, озера) объединяется в единственный
член qxK «Уравнение водного баланса» записывается в виде
P — E^R+q, (9.5.18)
с переменой знака для атмосферы
-(P-E) = R' + q'. (9.5.19)
Здесь Р — осадки, Е — парообразование, включающее
испарение растениями, R — потеря воды (не в атмосферу),
обусловленная в основном переносом воды реками. Соот-
ветствующий член R' — расход водяного пара вследствие
адвекции, qu q' обозначают влагосодержание почвы и атмо-
сферы, a- q = dq/dt, q'= dq'ldt. Все члены этих уравнений
в единицах г!см2 • сек.
Мы хотим решить уравнение (9.5.18) относительно q(t).
Труднее всего определить из наблюдений Е. Цля того чтобы
г) Размерность q здесь г!см2. Гидрологи используют размер-
ность см, что следует понимать как 1 см3 воды на 1 см2 площади и не
путать с уровнем грунтовых вод (тоже см). Если почва насыщена
влагой ниже уровня грунтовых вод и суха над ним, то поднятие
уровня грунтовых вод на z см увеличивает q в (г) раз.
6В*
156
Гл. 9. Сезонные вариации
обойти эту трудность, применяются два метода. Складывая
(9.5.18) и (9.5.19), получаем
q^R + R'+q'; (9.5.20)
тогда, зная вектор ветра и и содержание водяного пара
v (г/см3), можно вычислить R' по формуле
оо
= Jdiv(iw)dr. (9.5.21)
а
На практике для каждого из членов (9.5.20) используются
месячные (или сезонные) средние. Тогда необходимо ин-
терпретировать величину R' как среднюю дивергенцию
(uv), а не как дивергенцию среднего значения (uv). Пред-
ставляется, что ежедневные карты погоды дают подходящую
простую модель, учитывающую все существенные вклады
от турбулентных процессов. Этот метод использован Бен-
тоном и Эстоком [12]. Они нашли, что между маем и ав-
густом североамериканский континент теряет 4,5 г/см2,
в атмосферу, в то время как между сентябрем и апрелем по-
лучает 16 г!см2. Разность 11,5 г!см2 теряется в течение
года путем стока. Если бы указанный сток был равномер-
ным, то избыток накопления в апреле превосходил бы на-,
копление в сентябре на 8,3 г!см для Северной Америки.
Недавно был закончен детальный анализ этой проблемы
для северного полушария Старом и его сотрудниками [255—
257]. К удивлению, получились очень большие числа для
расхода водяного пара из атмосферы над некоторыми пу-
стынями. Источник этой воды остается невыясненным.
Имеет место значительная конвергенция в окрестностях
истоков рек и бассейнов многих больших рек с некоторыми
любопытными исключениями (например, река Инд). Этот
метод обеспечивает возможность получения более убе-
дительных средств для выяснения роли грунтовых вод.
Наиболее желательно распространение этого метода на
южное полушарие.
Рис. 21. Накопление почвенной воды в г/см? для «январь минус
июль» (а) и «апрель минус октябрь» (б).
Данные относятся к средним условиям в площадках 10° X 10° с ко-
ординатами центров 0 = 15°, 25°, ...» 155° и Х=185°, ... 355°,
5° ... 175° в. д. Среднемесячные данные Хилкамы (в граммах во-
ды) были разделены на площадь и округлены. Для сравнения с воз-
душной массой см. рис. 20.
-175 -155 -135 -115 - 95 - 75 - 55 - 3$ -15 15 35 55 7$ 95 115 135 155 tW
15$ OQO 0-1 -1 -1 Q -i -1 -1 -1 -1 -1-1’ о)
d
158
Гл. 9. Сезонные вариации
Второй метод опирается на работу Торнтвейта [281].
Основное предположение здесь сводится к тому, что (если
только почва не сухая) растительный покров приспосабли-
вается так, чтобы испарение зависело только от температуры
и широты. Это «потенциальное испарение» Ер (Т, 6) задается
эмпирической формулой. Интегрирование уравнения
(9.5.18) производится в соответствии со следующими прави-
лами (с некоторыми упрощениями):
1) если почва насыщена,
q == gs и Р Ер, тогда Е = ЕР и q = 0;
2) если почва сухая,
7 = 0 и Р^Ер, тогда Е^ЕР и 7 = 0;
3) если почва влажная,
0 < q < qs, тогда Е = Ер и q = Р — Е.
Следовательно, Е Ер, если почва несухая. Применимость
этих гипотез сильно зависит от сравнения с наблюдениями и
другими методами. Для Северной Америки метод Торнтвейта
хорошо согласуется с вычислениями Бентона и Эстока [12].
Используя методТорнтвейта, Хилкама [112] вычислил
для каждого месяца q по всей Земле в 10°-ных площадках
(рис. 21). Для возбуждающей функции в обоих полушариях
гармонический анализ дал (в единицах 10~8):
Север — -1,44 cos ® — 2,85sin 04" 0,58 cos 2®- — 0,40sin 2®
Юг 0,73 2,73 0,09 0,16
Сумма —0,71 —0,12 0,67 -0,24
(9.5.22)
Север ф2 — 6,15 6,58 —0,28 -1,20
Юг 0,26 —0,67 —0,17 0,28
Сумма 6,41 5,91 —0,45 -0,92
Север ф3 = 0,032 0,076 —0,005 -0,014
Юг —0,005 —0,031 0,000 -0,003
Сумма 0,027 0,045 —0,005 -0,017
§ 5. Распределение воздуха и воды 159
Средний запас воды (в г/см2) имеет составляющие:
Север ^£ ==0,15cos ®+ 0,46 sin®— 0,08cos 2® — 0,05 sin 2®
Юг ‘ 0,04 0,31 0,00 0,02 (9.5.23)
Сумма 0,19 0,77 —0,08 —0,03
Эти члены включают влияние снега и растительности. В со-
ответствии с (9.5.23) континенты содержат на 7,5 -1018 г
воды больше весной, чем осенью. Предыдущие данные о по-
тере из океанов —6-Ю18 г — были получены [192] на
основе вычислений Патулло. Ввиду незаконченности обоих
этих анализов их согласие не должно приниматься слишком
серьезно.
Океаны. В предыдущих вычислениях для определения
возбуждающей функции (9.5.9) предполагалось, что океан
под действием атмосферной нагрузки на его поверхность
реагирует как обратный барометр. Полученные результаты
содержат действие переменной водной нагрузки —
—</(9, %; t) — и результирующая возбуждающая
функция будет1*:
a|® = 5,11 cos © + 1,57 sin ®,
ф2 х= 5,Ю cos ® + 0,55 sin ®, (9.5.24)
ф3 = 0,012 cos ® — 0,019 sin ®.
Подвижность океанов является причиной заметного умень-
шения величин (t|)z + ф/ (9.5.9) и заслуживает самого тща-
тельного изучения.
Метод Розенхеда [226] заключается в прибавлении
утроенных предыдущих величин ф к возбуждающей функ-
ции, уже исправленной по обратному барометрическому
правилу.
Следовательно, если р — отклонение давления на по-
верхности моря, то, по Розенхеду, отклонение давления
х) При этих вычислениях несколько лучше было определить
q$(t) непосредственно из данных о давлении над океаном, чем
вычитанием qL(t) H3qE (/), как это мы сделали раньше (9.5.4).
160
Гл. 9. Сезонные вариации
на дне моря равно —3 р. Этот метод основан на сравнении
высоты приливов с записями барографов в Японии, которое
показало, что уровень моря понижается, когда атмосфер-
ное давление высоко; это понижение в четыре раза пре-
восходит реакцию обратного водяного барометра.
При такой интерпретации этих записей имеются две
трудности [208]. Исследование сезонных вариаций уровня
моря, основанное на всех доступных записях высоты при-
ливов, обнаруживает, что эта пропорциональность 4:1
между уровнем моря и давлением ограничена, за одним
исключением, окружающими Японию морями [211, фиг. 5].
Но даже если бы ситуация в Японии была типична для
всей Земли, то записанная вариация уровня моря g еще
не подразумевает нагрузку на поверхность q = г/см2.
Важно также делать различие между зарегистрированными
отклонениями уровня моря, которые получаются по за-
писям высоты приливов, и отклонениями вследствие объем-
ного расширения, которые выводятся по измеренным измене-
ниям объема столба воды. Последние зависят почти целиком
от температуры, и с 1940 г. уже накоплены многочисленные
данные путем измерений с батитермографами. В Бенгаль-
ском заливе существенна соленость воды; возможно, это
имеет место и на высоких широтах. Превышение зарегистри-
рованных отклонений над отклонениями вследствие объем-
ного расширения является мерой изменения поверхностной
нагрузки. На низких и средних широтах зарегистрирован-
ные вариации и изменения объема примерно одинаковы, и
величина массы на единицу площади в течение года практи-
чески не меняется. Если бы эта величина была точно по-
стоянной, то эффект влияния уровня моря на колебание
полюсов Земли сказывался бы лишь во втором порядке
(§ 9 гл. 5) и его можно было бы вообще отбросить. Аналогич-
ным образом были введены в заблуждение Лоуфорд и
Вели [156] при вычислении эффекта влияния уровня моря
на продолжительность суток. Поправка Розенхеда составля-
ет 2/3 наблюдаемого колебания полюса! Согласие вычислен-
ных и наблюденных величин в пределах 10% следует рас-
сматривать как случайное.
Остается неясным вопрос о сезонных уклонениях на-
грузки на поверхность океана сверх той, которая должна
быть согласно правилу обратного барометра. Существенной
§ 5. Распределение воздуха и воды
161
причиной могут быть вариации силы ветра. На этот счет
можно делать лишь самые грубые догадки. Табл. 12 основана
на результатах анализа Патулло и др. [211] по всему земно-
му шару. В апреле океаны северного полушария имеют де-
фицит воды, океаны же южного полушария обладают
некоторым избытком массы, но дефицит превосходит этот
избыток на 3 • 1018 г.
В это время года содержание воды в почве максималь-
но. Хилкама [112] оценивает этот весенний избыток в почве
в 4 • 1018 г. Неопределенность данных об океанах такова,
что указанный весенний дефицит может быть вдвое больше
приведенного в таблице или же может вообще отсутствовать.
В январе субтропическая и субполярная зоны выходят из
софазности в обоих полушариях и дефицит уменьшается.
Таблица 12
Сезонные расхождения объема океана, 1018 см3
Расхождение
Сев. полярн.......
Сев. троп.........
Южн. полярн. . . .
Южн. троп.........
Полное..........
6 январь апрель
запись объем раз- ность запись объем | раз- ность
30° 1 0 1 — 1,5 —0,5 -1
65° —8 -6 —2 —7,5 —5 —2,5
115° 0 0 0 4 4 0
150° — 1 —0,5 —0,5 1 0,5 0,5
— 1,5 —3,0
Соответствующая поверхностная нагрузка воды (осреднен-
ная по всей Земле) равна
qE (0 = — 0,14 cos О —0,66 sin ® г 1см2.
Мы вычислили ф; по данным табл. 12 в предположении, что
уклонения поверхностной нагрузки сосредоточены на
четырех указанных широтах. Но зарегистрированные от-
клонения в таблице включают и эффект реакции на атмо-
сферное давление, поэтому значение (9.5.24) необходимо
162
Гл. 9. Сезонные вариации
вычесть. Результат таков:
гр! = — 9,8 cos ® — 5,4 sin ®,
= — 4,6 cos ® — 8,2 sin ®, (9.5.25)
ф3 = 0,009 cos ® + 0,030 sin ®.
Для того чтобы сбалансировать общий бюджет воды
из разных источников, требуется добавление еще одного
члена (см. табл. 14):
qE (0 0,12cos® — 0,03sin® г I см2. (9.5.26)
Сходимость водного баланса оказалось лучше, чем мы вправе
были ожидать. Компенсирующий член (9.5.26) может быть
ассоциирован с постоянным океанским приливом с ампли-
тудой 2 мм, возбуждающая функция которого (в 10~8)
2л: я4 с2
5 С — А ао (О ~=
«о
= (0,13 + 0,21 i) cos® +(— 0,03—0,05z) sin ®, 5 27)
i 8тс а' а2
“ ~~ и ~сГ То 9е (0
а0
= — 0,0008 cos ®+ 0,0002 sin ®.
§ 6 Ветры и течения
После появления заметки Стара [255] о том, что сезонные
вариации момента количества движения атмосферы должны
вызывать «практически незаметные нерегулярности скоро-
сти вращения Земли», Манк и Миллер [198] вычислили ком-
поненту h3 и нашли, что продолжительность суток в январе
должна превосходить их продолжительность в июле на
1,8 мсек. Нерегулярности такой величины и фазы были
действительно обнаружены (но не интерпретированы)
Стойко, Финчем и Шайбе и Адельсбергером ( § 1 гл. 8).
Большая часть момента количества движения атмосферы,
как было выяснено, может быть объяснена струйными тече-
ниями и западными ветрами, которые были уверенно выяв-
лены лишь в последние два десятилетия.
§ 6. Ветры и течения
163
Повторные расчеты Минца и Манка [189] с включением
новых данных по южному полушарию и распространением
вычислений в северном полушарии на все долготы привели
к уменьшению разности январь — июль примерно до
0,6 мсек. Манк и Миллер использовали лишь опубликован-
ные данные по разрезам вдоль меридианов 100° з. д. и 80°
в. д., где, как оказалось, вариации существенно больше, чем
на других долготах. На основе новых расчетов было выясне-
но, что только от 1/3 до х/2 наблюденных вариаций может быть
приписано влиянию ветров. Аналогичные результаты были
получены Парийским и Берляндом [210]. Распространение
вычислений с двух на четыре сезона [190] не привело к су-
щественным изменениям числовых результатов. Однако
новые оценки, основанные на астрономических наблюде-
ниях, оказались существенно меньшими частично из-за
ошибок каталога FK 3. С уменьшением втрое атмосферного
и астрономического членов (каждого по своей причине)
в настоящее время вывод оказывается таким, что годовые
изменения продолжительности суток обусловлены в основ-
ном влияниями ветров.
Пусть
2к Ро
и (°) = i р? f fМ0.dK dP <9-6Л>
о b
— средний зональный ветер, осредненный по всем дол-
готам и между поверхностью (Р = Ро) и верхней границей
атмосферы (Р = 0). На рис. 22 изображена зависимость /7(6)
от широты. В интервале широт между 20° с. ш. и 20° ю. ш.
данные основаны на довольно скудных результатах бал-
лонных исследований и радарных наблюдений; в других
местах ветры были рассчитаны по наблюденным значениям
давления в соответствии с геострофическим приближением
[188, 190]. Наблюдениям доступны уровни до 100 мб, и,
следовательно, в вычисления вошли 90% массы атмосферы.
Возбуждающая функция
= J и Sin2 eje
(9.6.2)
о
164
Гл. 9. Сезонные вариации
и связанный с западными ветрами момент количества движе-
ния Л3 = —ф3 С были получены численным интегрировани-
ем (табл. 13). Данные этой таблицы хорошо согласуются
Рис. 22. Кривые показывают относительные западные зональные
ветры, осредненные по всем долготам и по всем нижним 90% массы
атмосферы в функции J sin2 QdQ. Для этой функции площадь
о
под каждой кривой пропорциональна относительному моменту коли-
чества движения; единица площади (квадрат со стороной 6 мм)
равна 1032 г-см2,/сек. Возрастание на такую величину соответствует
увеличению продолжительности суток на 0,16 мсек [190].
с гринвичскими наблюдениями и неважно — с данными
Международного бюро времени (см. табл. 14).
Ясно, что влияние атмосферы на годовые изменения
продолжительности суток обязано своим существованием
неполной компенсации между двумя полушариями Земли.
Основная разница заключается в большей величине момента
количества движения в южном полушарии южным летом
в сравнении с соответствующей величиной в северном полу-
шарии северным летом (6,5-1032 против 3,0 • 1032 г • см21 сек).
Для получения более детальной картины сезонных
вариаций Минц и Манк вычислили момент количества движе-
ния по месяцам севернее 20° с. ш. для уровней 700 и 500 мб,
§ 6. Ветры и течения
165
Таблица 13
Относительный западный момент атмосферы h3 и его сезонное
изменение b/i3, в единицах 1032г-сж2 сек, и сезонное расхождение
ф3, в единицах 10~8
Январь Апрель Июль Ок- тябрь
От 90° с. ш. до 20° с. ш. ... 10,5 8,1 3,0 6,6
От 20° с. ш. до 20° ю. ш. ... —1,0 —2,2 — 1,7 — 2,8
От 20° ю. ш. до 90° ю. ш. ... А3 6,5 9,0 10,5 9,7
От 90° с. ш. до 90° ю. ш. ... + 16,0 14,9 11,8 13,5
От 90° с. ш. до 90° ю. ш. ... Ыг3 1,95 0,85 —2,25 —0,55
От 90° с. ш. до 90° ю. ш. ... фз 0,33 0,14 —0,38 —0,08
для которых данные наиболее достоверны. Результаты
вычислений показывают максимум в начале февраля и
минимум в конце июля. Обобщение результатов по этим
уровням дает (в единицах 10~8)
ф3=—0,31 cos®—0,20 sin®+0,03 cos 2® +0,01 sin2® (9.6.3)
Имеется расхождение между вычисленной годовой ам-
плитудой 0,37 • 10~8 и наблюденной годовой амплитудой
0,58-Ю"8 даже после учета земных приливов и других эф-
фектов (см. табл. 14). Существует несколько возможностей.
Дженкинсон [133] и Палмер (личное сообщение) обнару-
жили существенные сезонные вариации момента количества
движения, оказавшиеся такой величины и фазы, что они
объясняют расхождение. Наблюдения экваториальных
ветров, приводящие к числовым значениям (9.6.3), не вполне
удовлетворительны. Более того, ветры со скоростью
100 м/сек наблюдаются на уровне 25 мб, свидетельствуя
о том, что значительная доля момента количества движения
атмосферы может быть отнесена за счет стратосферных
ветров, что не было принято во внимание Минцем и Манком.
Таким образом, проблема годичных вариаций продолжитель-
ности суток окончательно еще не решена.
166
Гл. 9. Сезонные вариации
В отношении полугодового члена найдено, что данные
наблюдений, полученные Международным бюро времени
(см. табл. 14), примерно наполовину могут быть объясне-
ны приливами в теле Земли.
Полугодовой член (9.6.3) слишком мал, чтобы объяснить
остающееся. Палмер обратил внимание авторов на по-
следние данные об экваториальных ветрах на уровне
300 мб. Величины их того же порядка, что и годовые ветры
на этой высоте, а фаза примерно такая, какая необходима
для объяснения полугодового расхождения. Могут также
играть роль и стратосферные ветры. Было замечено, что
сезонные перемены всякого рода могут происходить столь
резко, что можно ожидать значительного влияния их на
полугодовой член и другие высокочастотные гармоники х).
В § 1 гл. 8 мы указывали на возможное уменьшение на-
блюденных годовых вариаций с 1950 г. Изучая этот вопрос,
Минц и Манк вычислили обусловленный западными ветрами
момент количества движения атмосферы севернее 20° с. ш.
на уровне 700 мб, беря пятидневные средние с января
1949 г. по апрель 1950 г. Когда полученные кривые были
сравнены с соответствующими нормальными месячными
величинами на этих уровнях (по данным нормальных карт
Бюро погоды США), то оказалось, что они не различаются
существенным образом.
Важность влияния ветров на сезонные изменения про-
должительности суток привела Манка и Гровса [194] к изу-
чению влияния ветров на сезонные колебания полюса * 2).
Они численно рассмотрели роль геострофических ветров,
не приняв во внимание того, что интегрированный по всей
Земле эффект должен равняться нулю (§ 4). Как и следовало
ожидать, результаты оказались неубедительными.
Океаны. Основными элементами океанической циркуля-
ции являются: 1) антарктическое циркумполярное течение,
которое является главным образом зональным течением;
2) экваториальная циркуляция; 3) субтропическое и суб-
х) Швердфегер [239, 240], анализируя наблюдения в Антарктике
и других пунктах южного полушария, нашел ярко выраженные по-
лугодовые колебания масс атмосферы южнее 60° ю. ш. Фаза их сов-
падает с требуемой для объяснения расхождений, величина — тоже
примерно необходимая.
2) Аналогичный эффект уже рассматривался Вольтерра [293]
§ 6. Ветры и течения
167
полярное кольца в «пограничных» бассейнах Северной Ат-
лантики, северной части Тихого океана, Южной Атлантике,
южной части Тихого океана. Обзор их характеристик можно
найти в [191, 266].
Антарктическое циркумполярное течение является на-
иболее важным движением вокруг всей Земли (арктический
океан имеет пренебрежимо малую зональную циркуляцию).
Это течение в некоторой степени напоминает струйное тече-
ние в атмосфере. Его момент количества движения может
быть оценен из выражения
Л3 = 2тш3 sin2 6 х перенос. (9.6.4)
Свердруп и др. [269, стр. 164, 710] оценивают полный пере-
нос величиной 1014 г!сек. Средняя величина sin2 б равна при-
мерно sin2 35°. Это дает /г3 = 1032 г • смЧсек, или около
10% момента количества движения каждого атмосферного
струйного течения. Сезонный диапазон явления, вероятно,
составляет около 20%, что дает 0,02-10“8 для величины ф3
в сравнении с числом 0,38-10“8 для ветров.
Может показаться удивительным, что атмосфера влияет
на вращение Земли значительно сильнее океанов, особенно
если учесть, что масса атмосферы соответствует лишь 10 м
воды, тогда как океаны достигают глубины 4000 м. Однако
средняя зональная скорость океанской воды равна примерно
2 см/сек, в то время как зональная скорость ветра (взвешен-
ная по распределению плотности) равна 20 м/сек. Следова-
тельно, отношение масс 400:1 более чем компенсируется
отношением скоростей 1:1000. Дополнительным фактором
являются большие относительные флуктуации атмосферной
циркуляции над их средней величиной.
Экваториальная циркуляция оказывает еще меньший
эффект, чем антарктическое циркумполярное течение.
Перенос момента этой циркуляцией достигает лишь чет-
верти антарктической, к тому же большая часть его ком-
пенсируется восточными противотечениями. Кроме того,
сезонные вариации в экваториальной области малы.
«Барьерное» влияние континентов разбивает остающиеся
течения на ряд колец. Несомненно, наиболее важным
является субтропическое кольцо Северной Атлантики,
включающее систему Гольфстрима, и Северное Тихоокеан-
168
Гл. 9. Сезонные вариации
ское, включающее систему Куросиво. Влияние их должно
быть относительно мало по сравнению со свободной зональ-
ной циркуляцией в южных океанах. Так же незначительно
и их влияние на колебание полюсов 1194].
§ 7. Метод момента
Возбуждающая функция, возникающая вследствие мо-
мента силы, обусловленного напряжениями на поверх-
ности, может быть записана так (§ 8 гл. 6):
С Г
" П2(-С_г-Лу J \Ры + ip.m COS 6 +
+ sin ® cos® eiXds, (9.7.1a)
'Фз = — ~Пс A3 = a3 J sin Ods. (9.7.16)
Напряжения на поверхности суши и моря дают другой ме-
тод расчета влияния атмосферы, включая ветры и смещения
воздушных масс. Напряжения на поверхности суши и на
дне моря дают комбинированный эффект атмосферы и
океана.
Рассмотрим эффект нормальных напряжений ртт
(или просто р), действующих на гладкий геоид в направле-
нии, противоположном силе тяжести. Тогда фз = 0 и
ф = — J -у sin 0 cos 0ezx ds (9.7.2)
представляет собой в точности возмущение, обусловленное
распределением массы в гидростатическом приближении
(9.5.1), (9.5.3). Это вновь демонстрирует эквивалентность
метода момента количества движения и метода момента сил.
Но то, что измеряется, — это давление на поверхности
Земли, и .настоящая интерпретация является более есте-
ственной.
Полные напряжения дают колебание оси вращения,
обусловленное изменениями воздушных масс и ветров.
Нормальные к геоиду напряжения соответствуют измене-
ниям воздушных масс. Поэтому остаточные напряжения
§ 8. Обсуждение сезонных, колебаний
169
соответствуют эффектам ветров. Компоненты этих оста-
точных напряжений не известны с достаточной степенью
точности, чтобы можно было определить ф/ непосредствен-
но. Но функция ф должна быть пренебрежимо мала вслед-
ствие того, что эффект ветров на колебание оси вращения
весьма мал1). С другой стороны, ф3 никоим образом не
может быть пренебрежимо малым. Вопрос этот рассматри-
вается в § 8.
§ 8. Обсуждение сезонных колебаний
Обзор эмпирических данных. В табл. 14 сведены астроно-
мические и геофизические данные, относящиеся к годовым
и полугодовым вариациям. Результаты астрономических на-
блюдений даны в тех же безразмерных единицах (10~8рад),
что и геофизические, что дает возможность не раздумывать,
были ли наблюдения сделаны в сотых секунды дуги или
тысячных секунды времени.
Модифицированная возбуждающая функция была вы-
ведена из ф/ через посредство функции переноса (6.3.3).
В случае земных приливов в результаты уже вклю-
чены деформации от вращения и от нагрузки на поверх-
ность, так что Т/ = ф/. Весь этот комплекс данных может
рассматриваться как сезонный баланс всей планеты Земля
(включая атмосферу, океаны и недра планеты) в зависи-
мости от четырех меняющихся со временем величин:
компонент момента количества движения и массы воды
(выраженной через среднюю плотность на поверхности qE).
Рассмотрим вначале годовое колебание оси вращения.
Астрономические наблюдения не оставляют сомнений в том,
что Тг больше ¥i, но фаза определяется плохо. По Уокеру
и Янгу [296] максимум ¥2 достигается на 40° раньше,
чем по данным Джеффриса [126]. Другие исследования,
включая и основанные на независимых наблюдениях
Гринвич — Вашингтон, лучше согласуются с результатом
Джеффриса.
В первом приближении годовое колебание оси вращения
объясняется смещениями воздушных масс. Эти величины
приведены в разд. 2 геофизических данных табл. 14,
г) Это лишает основания утверждение Манка и Гровса [194]
о том, что давление муссонов на Гималаи может вызвать заметное
колебание оси вращения.
Т а б лица 14
Модифицированная возбуждающая функция в единицах 10“ 8
и средняя нагрузка от водного покрова
деч 6 г/см2.
ЧЧ Ч-2 w8 яе
Г о д о в ы е
Астрономические наблюдения Джеффрис Уокер и Янг Межд. бюро времени . . . Смит и Тукер —0,5cos®—0,5sin® — 15,5cos®+6,8sin® —0,45 cos®—0,36 sin®
—4,8 6,3 —7,3 15,0
—0,33 —0,16
Геофизические наблюдения
1. Приливы (0,05) (0,05) —0,03 —0,00
2. Воздушная масса . . . —1,7 —0,9 —16,3 —1,6 0,02 0,01
2.1. Поправка давления —0,1 0,6 9,1 5,2 —0,01 —0,00
2.2. Водяной пар . . . —0,8 0,4 1,5 0,2 -0,00 —0,00 —0,17 cos®—0,08 sin®
2.3. Изостатические оке- аны 5,1 1,6 5,1 0,6 0,01 —0,01
3. Грунтовые воды .... —0,7 —о,1
3.1. Снег —6,1 —5,8
3.2. Растительность . . 0,2 0,1
4. Океаны —9,6 —5,5
4.1. Изостатические (2.3) (5,1) (1,6)
4.2. Неизостатические . —9,8 —5,4
4.3. Баланс 0,2 —0,1
5. Ветры ........ 6. Течения Сумма — 12,0 —6,5
Пол
Астрономические
наблюдения
Уокер и Янг..............
Межд. бюро времени . . .
Смит и Тукер ............
Геофизические наблюдения
1. Приливы .............
2. Грунтовые воды . . . .
3. Ветры................
—0,5cos2®—
—2,9sin20
(0,3)
0,7 —0,2
6,4 5,9 0,02 0,03 0,19 0,77
—3,3 —3,1 0,02 0,02 0,44 0,41
0,3 0,1 0,00 0,00 -0,03 -0,01
—4,4 (5,1) —4,6 -8,3 (0,6) —8,2 0,01 (0,01) 0,01 0,02 (—0,01) 0,02 —0,14 —0,66
0,2 —0,1 —0,00 0,00 0,12 —0,03
— 14,3 —4,0 -0,31 —0,20 (0,02) —0,29 —0,14 0,00 0,00
угодовые
4,4cos2®+1,0sin2®
0,28cos2® +
+0,24sin2®
0,41 —0,06
(0,1)
—0,4 —0,9
0,16
—0,00
0,03
-0,06
—0,01
0,01
172 Гл. 9. Сезонные вариации
а отдельные их составляющие — в разд. 2.1—2.3 таблицы.
Без учета поправки за давления и поправки за изостатпче-
скую податливость океанов вычисленное колебание оси
вращения оказалось бы слишком велико. Эффекты наземных
вод (включая снег и растительность) и неизостатические
движения океанов еще больше нарушают сбалансирован-
ность бюджета момента количества движения. Мы считаем
разд. 4.2 табл. 14 наименее точным; исключение этого
члена улучшает согласие1). Водный баланс, отражающий
сезонные взаимодействия между атмосферой, океанами и
накапливающейся на почве и в почве воды, получается
лучше, чем можно ожидать. «Равновесные приливы» (4.3)
не оказывают заметного влияния на последующие рас-
четы. Эффект океанских течений пренебрежим. Наибо-
лее очевидной причиной сезонных вариаций оказывается
указанное еще в 1901 г. Шпиталером уменьшение массы
воздуха зимой над Северной Атлантикой и северо-восточ-
ной частью Тихого океана и соответствующее увеличение
ее над азиатским континентом. Новые наблюдения лишь
запутали этот вопрос. Важными проблемами в настоящее
время являются сезонные вариации грунтовых вод и сме-
щения океанских масс, вызываемые силой ветра. В отно-
шении полугодового колебания оси вращения и астро-
номические и геофизические наблюдения настолько неопре-
деленны, что не позволяют сделать никаких заключений.
Возможно, что с вариациями продолжительности суток
(компонента ТС) дело обстоит более определенно, хотя эти
вариации были обнаружены сравнительно недавно. Данные
Международного бюро времени, основанные на всех на-
блюдениях, можно рассматривать в качестве достаточно
убедительных. Конечно, сезонные вариации распределе-
ния массы оказывают лишь небольшой эффект. Было бы
удивительным, если бы они составляли более 20% наблюден-
ных вариаций. И здесь океанскими течениями можно пре-
небречь. Но вычисленный эффект ветров хорошо согласует-
ся с наблюденными вариациями, что внушает нам некоторое
г) Примечание в корректуре. Анализы наблюдений МГГ Лиси-
цин (готовятся к изданию) и Патулло (1960 г.) показывают, что
член (4.2) слишком завышен. В полярных океанах объемные откло-
нения малы, а зарегистрированные отклонения весьма близки
к согласию с обратным барометрическим правилом.
£ 8. Обсуждение сезонных колебаний
173
доверие к данным о ветрах южного полушария, полученным
на нескольких удаленных друг от друга станциях. Расчеты
влияния ветров не включают недавно обнаруженных страто-
сферных ветров такой силы, что их эффект может быть зна-
чительным, хотя плотность воздуха в тех слоях и мала.
Представляется вполне возможным, что влияние экватори-
альных ветров значительнее, чем указано в табл. 14. Следо-
вательно, возможно, что объединенное влияние экватори-
альных и стратосферных ветров может объяснить тот факт,’
что наблюденные вариации вращения Земли в 1,5 раза
превосходят вычисленные.
В случае полугодового члена расхождения еще больше.
Данные табл. 14 показывают, что наиболее существенный
член обусловлен земными приливами, что дает только по-
ловину наблюдаемой величины. Здесь уместно вновь за-
метить, что учет экваториальных и стратосферных ветров
может существенно изменить картину. Не исключено, что
некоторый фиктивный полугодовой член вводится в ре-
зультаты наблюдений при исправлении их за движение
полюса (§ 2 гл. 8).
При интерпретации этих результатов поучительно рас-
смотреть и обратную задачу: определить ту простейшую ме-
теорологическую схему, которая могла бы объяснить на-
блюденные вариации вращения Земли.
Воздушная масса. Предположим, что отклонение давле-
ния разложено по сферическим поверхностным гармоникам.
Тогда выражения
~ sin 9 cos 0 (alcosX fr^sinX), (9.8.1a)
a^|cos2e — (9.8.16)
являются единственными членами разложения, для которых
(9.5.1а) и (9.5.16) соответственно не обращаются в нуль;
это дает
пр 2^ а4 1 . 8 тс а4 о /г\ q q
4 ”“Т?(С-Л)сг; “ ns ёс (9.8.2а, <3)
По наблюденной возбуждающей функции (Т по данным
Джеффриса, ф3 по данным Международного бюро време-
174
Гл. 9. Сезонные вариации
ни; табл. 14) мы вычислили с2 и а®, что после подста-
новки в (9.8.1) дает
р = sin 9 cos 6 [0,14 cos X cos (® — 45°) +
+ 3,20 sin X cos (® — 336°)], (9.8.3)
p = — 16,6 cos2 9 — cos (® — 38°)
для простейшей картины распределения давления (в мб),
которая вполне удовлетворительно объясняет наблюденные
колебания полюса и вариации продолжительности суток
(рис. 23). Требуемые изменения давления для объяснения
колебаний полюса — 3,2 мб от лета к зиме на широте
45° — не являются чем-то чрезмерным: местное изменение
давления над Азией достигает 20 мб. Сходство с наблюденной
ячейкой высокого давления над Азией в течение лета видно
сразу (см. рис. 20). Северо-западный квадрант, центральная
часть которого располагается над Америкой, является
доминирующим летом за счет областей высокого давления
в восточной части Тихого океана и у Бермудских островов
и зимой — за счет областей низкого давления над Алеут-
скими островами и Исландией. Эти особенности, которые
затеняют относительно слабый противоположный эффект
американского континента, опять находятся в согласии
с требуемой схемой. В южном же полушарии сходства
с наблюденными особенностями нет.
Чтобы объяснить наблюдаемые вариации продолжи-
тельности суток, необходимо, чтобы во время зимы в се-
верном полушарии на экваторе было высокое давление,
а на полюсах — низкое, причем годовой диапазон измене-
ния давления на экваторе должен составлять 33 мб! Есте-
ственно, что это исключается наблюдениями.
Геострофические ветры. Аналогичный метод может
быть применен и при изучении ветров. Для геострофических
ветров необходимо рассматривать лишь ф3. Рассмотрим слой
Рис. 23. Уклонения давления на поверхности в мб от годового
среднего, которые могут объяснить наблюдаемое колебание полюса
(а) и вариации продолжительности суток (б). Данные представляют
собой крайние значения. Нулевая изобара 14 декабря проходит
по меридиану 1° з. д. (не нуль).
176
Гл. 9. Сезонные вариации
атмосферы, содержащийся между поверхностями с давле-
ниями Р — 1/фР и Р + 1/26Р. В разложении по сферическим
гармоникам единственными компонентами зонального вет-
ра, для которых ф3 не обращается в нуль, будут компо-
ненты, связанные с распределением давления:
1Й2 (3 cos2 е— 1) + у al (35 cos4 6—30 cos29 +3) + ...; (9.8.4)
это дает
трзб/5 =
8л: а4 \ / 15 ЪР \ / о 4 о .
15 gC Д 2~ а2 22 р0 Д^ 3-Щ + ...
(9.8.5)
Таким образом, необходимо рассматривать лишь гармо-
ники четной степени; как воздушные массы, так и вет-
ры дают вклад в р°; только ветры — в рО, ••••
В случае неколебательных (non-tilting) отклонений давле-
ния возбуждение от всей атмосферы в целом равно
уР0ф3, гАе У определяется формулой (9.4.3). Сравнивая
с (9.4.2), замечаем, что для гармоник р® влияние ветра
превышает влияние воздушной массы в
15 Рот
4 |а2Й2Ро
= 2,8 у раз.
(9.8.6)
Годичные вариации больше всего на уровне 200 мб и соот-
ветственно незначительны у почвы; у заключено между
3 и 4, и это объясняет преобладание эффекта ветров. Для
возмущений на низком уровне эти эффекты могут быть ближе
друг к другу, и наличие гармоник высшего порядка может
приводить к взаимной компенсации.
Тангенциальные напряжения. Мы остановимся только
на влиянии напряжений восточного направления р\т на
продолжительность суток. Соответствующего влияния от
р9П1 не существует. В разложении р\т единственные члены,
для которых (9.7.16) не обращается в нуль:
+ cos2 9 — ^ + .... (9.8.7)
Это дает
§ 8. Обсуждение сезонных колебаний
177
Беря только первый член, находим, что напряжение
рХт=—0,017 cos @ + 0,021 sin ® дин/см2 (9.8.8)
может объяснить все наблюдаемые вариации продолжитель-
ности суток.
Напряжения возникают от сдвигов на границах и от не-
больших избытков давления на наветренной стороне над
давлением на подветренной стороне препятствий (горы,
волны, травинки). На практике принято рассматривать
отдельно напряжения, возникающие при действии ветров
на большие горные цепи (определяются по измерениям
давления на метеорологических станциях по обе стороны
гор), и «поверхностное трение» ветра о мелкие местные
предметы (определяются по данным о поверхностных ветрах
из статистических соображений). Эти нормальные напряже-
ния здесь заменены эквивалентными тангенциальными
напряжениями на геоиде.
Для иллюстрации рассмотрим американский континент.
Эффект гор обусловливается в основном давлением ветров
на Скалистые горы и горы Сьерра-Невада. Минц [187] по-
казал, что мы ненамного ошибемся, заменив Скалистые горы
стеной в 3 км высотой, простирающейся вдоль меридиана
110° з. д. от параллели 30° с. ш. до параллели 60° с. ш.,
причем разность давлений на ее западную и восточную сто-
роны в январе на 3,5 мб больше, чем в июле. Это дает при-
мерно (в единицах 10“8):
ф3= 1,2 sin (О — 15°), (9.8.9)
или вдвое больше значений, выведенных по наблюдениям
Международного бюро времени! Общие законы циркуляции
атмосферы показывают, что к большим областям поверх-
ности Земли прилагаются напряжения порядка 1 дин/см2.
Минц [187] нашел, что зональные усилия между парал-
лелями 35° с. ш. и 90° с. ш. в среднем составляют 1 дин!см2\
от 1/3до1/2 этой величины объясняется поверхностным тре-
нием, остальное— влиянием ветров на горы.
Мы приходим к выводу, что величины напряжения от
ветров на поверхности Земли в 100 раз превосходят мини-
мальные величины (9.8.8), требуемые для объяснения на-
блюдаемых вариаций продолжительности суток. Это озна-
7 Вращение Земли
178
Гл. 9. Сезонные вариации
чает, что должна иметь место взаимная компенсация при-
мерно равных западных и восточных напряжений.
Рис. 24 представляет схематически средний поток
относительного западного момента количества движения.
В соответствии с предположением, впервые высказанным
Рис. 24. Схематическое представление
среднего потока относительного момен-
та количества движения потока запад-
ных ветров.
Джеффрисом [121, 123], направленный на север поток по-
перек ОВ ассоциируется с линиями гребней и ложбин
атмосферных волн: pu\u$ отрицательно. В области
западных ветров, севернее В, имеется поток в грунт,
на востоке же, наоборот, — из грунта в атмосферу.
Твердая Земля раскачивается таким образом, что точки
севернее В слегка смещаются к востоку, а точки южнее
В — к западу против того, что имело бы место в отсут-
ствие ветровых напряжений.
Западный момент количества движения атмосферы есть
величина порядка 1033 г-смЧсек', момент сил, обусловлен-
ный напряжениями ветров на АВ, равен 1027 г-смЧсек-,
разделив первое число на второе, мы получаем 106 сек
для постоянной времени атмосферной циркуляции. Если
поток через ВС внезапно прервать (или удвоить через АВ),
то момент количества движения атмосферы должен сильно
уменьшиться за 10 суток.
$ 8. Обсуждение сезонных колебаний
179
10%-ные вариации напряжений должны вызывать
соответственно значительные вариации момента количества
движения за 100 суток. Последний случай существен
для объяснения природы годичных вариаций. Чтобы вы-
явить 25%-ную вариацию, восточные и западные напряже-
ния должны быть известны каждое с точностью 1/100. При
этих обстоятельствах метод момента количества движения
более точен, чем метод момента силы, и поэтому более
подходит для определения годичных вариаций продолжи-
тельности суток. Расчеты методом момента силы сдела-
ны ван ден Дунгеном, Коксом и ван Михемом [285].
Вернемся теперь к (9.8.9). Предположим, что ветры над
Скалистыми горами (или каким-либо другим хребтом)
внезапно усилились. Тогда это немедленно скажется на
продолжительности суток, но продолжительность этого
воздействия будет ограничена самое большее несколькими
неделями из-за влияния общего момента количества движе-
ния атмосферы. Следовательно, можно ожидать появления
высокочастотных вариаций продолжительности суток ве-
личины порядка годового члена. Однако из наблюдений по-
лучается интеграл от ошибки времени J Д(п. c.)dt,
и эффект высокочастотных вариаций оказывается относи-
тельно малым.
Распределение континентов. Сезонные вариации враще-
ния Земли должны также зависеть от распределения суши
и моря по Земле. Если бы Земля была покрыта полностью
или континентами, или океаном, то это не вызывало бы
сезонных вариаций вращения. Как должны быть распреде-
лены континенты, чтобы это приводило к максимальному
влиянию на сезонные колебания оси вращения и продолжи-
тельности суток?
Рассмотрим сначала действие воздушной массы. Извест-
но, что зимой (и на севере и на юге) давление над континен-
тами высокое. Рис. 25 представляет то распределение кон-
тинентов, которое соответственно должно привести к мак-
симальным колебаниям оси вращения и вариаций продол-
жительности суток. Обе диаграммы относятся к январю,
когда фаза явления примерно соответствует наблюдаемой.
Необходимо заметить, что ветры, связанные с распре-
делением давления на рис. 25,6, еще более увеличивают про-
должительность суток в январе.
7*
180
Гл. 9. Сезонные вариации
Однако уже было показано, что давление играет неболь"
шую роль в образовании вариации суток. Распределение
континентов на рис. 25,в может быть более эффективным.
При этом предполагается, что давление у почвы не меняется
Рис. 25. Заштрихованные площади представляют собой располо-
жение континентов, которое ассоциируется с сезонными атмосфер-
ными вариациями, вызывающими максимальные вариации скорости
вращения. Распределение массы обозначено площадями высокого (//)
и низкого (L) давления. Стрелки показывают ветры, действующие
вокруг всего земного шара.
и что ветры усиливаются по вертикали в соответствии
с «термическим уравнением ветра»:
дих __ i 1 дТ
~дТ ~ 22 sin 0 Т дО *
(9.8.10)
Континенты продолжаются не точно до экватора, и с рез-
ким увеличением температуры на границах континента
связаны восточные ветры (струйные течения). Дополни-
тельные восточные ветры имеют место вследствие падения
температуры в полярной шапке.
Действительное распределение суши и моря в неко-
тором отношении представляет собой смесь северного кон-
тинента рис. 25,в и восточного рис. 25,а. В первом случае
имеет место сходство только для северного полушария.
Южное полушарие не играет особой роли в образовании
колебания полюсов.
8. Обсуждение сезонных колебаний
181
Реакция ядра. Работы Пуанкаре [214], Бонди и Литтл-
тона [18] и Джеффриса и Висенте [131, 132] показали,
что необходимо динамическое изучение ядра Земли. Для
годового колебания полюсов имеется то преимущество,
что вследствие близости его частоты к частоте 14-месячной
нутации можно ожидать, что для обоих этих колебаний
пригодны будут одни и те же эффективно-приливные числа
Лява. Для учета реакции ядра, статического или динамиче-
ского, необходимо только выразить соответствующие урав-
нения через наблюдаемую частоту нутации (70, что и было
сделано. Для учета влияния ядра на полугодовое колебание
полюса требуются другие числа Лява [131, стр. 161].
В случае вариаций продолжительности суток положе-
ние обстоит совершенно по-другому. Электромагнитное
сцепление между ядром и мантией (вязкое сцепление пре-
небрежимо мало) зависит от удельной электропроводности
мантии (§ 12 гл. 11). Ядро может неполностью принимать
участие в годовых вариациях. Момент инерции ядра Сс, со-
ставляет около 10—12% момента инерции Земли С, по-
этому вариации продолжительности суток увеличились бы
в отношении
Дт7 = 1’1> (9-8.ii)
если только ядро вообще принимает в этом участие. Го-
довое скольжение (с частотой о) между ядром и мантией на
экваторе равно (2л/о) асЧИз ж 23 ж, где ас — радиус ядра.
Проблема эта остается открытой, и за влияние ядра мы не
вносили никаких поправок.
Неравновесная реакция. Бонди предположил, что если
определить сдвиг фаз между наблюденным и вычисленным
колебаниями полюса, то это позволит судить о неупругих
свойствах мантии1). Эта задача может быть рассмотрена
путем замены в (6.7.7) и (6.7.8) о0 комплексной частотой
+ ia-
Тогда амплитуда свободного движения (чандлеровское
колебание) будет уменьшаться по закону е~~а/и в вынуж-
г) The Observatory, No. 902, 12 (Febr. 1958).
182
Гл. 9. Сезонные вариации
денном движении появится «сдвиг» фаз:
Ф = — .—-— = ~--------------— рад, (9.8.12)
сто а — ао 2Q а — а0 г ' 7
где Q предполагается большим числом. Изучая чандлеров-
ское колебание, находим Q = 30 (см. табл. 15, стр. 193),
однако имеются данные, указывающие на то, что Q может
достигать ^100 (§ 4 гл. 10). Отставание по фазе будет тогда
равно 6 или 2° соответственно. Эта величина неуверена и
мала в сравнении с существующими расхождениями вы-
численных и наблюденных фаз.
Вариации постоянной тяготения. Дикке [61, 62]
изучил вероятность годичных изменений радиуса Земли
вследствие возможных вариаций постоянной тяготения G.
Согласно принципу Маха, силы инерции являются результа-
том гравитационного взаимодействия с удаленной материей.
Отсюда следует, что G должно изменяться в зависимости от
скорости относительно удаленной материи. По Дикке, годо-
вые вариации G лежат в пределах 1 • 10“7 — 1 • 10 8, что
приводит к того же порядка результирующим вариациям g
в данном месте. Прямая экспериментальная проверка этого
явления пока не представляется возможной, так как в на-
стоящее время G определяется лишь с точностью до 1 • 10~4,
a g — до 1 • 10~6.
Возможный эффект таких вариаций G на продолжитель-
ность суток исследовал Хесс [107]. Пусть Go обозначает
постоянную тяготения в специальной системе координат,
в которой вселенная в целом представляется однородной.
Тогда, по Дикке,
G-Go
1+2^-V]
\ с J J
где v — скорость по отношению к выбранной системе,
ас — скорость света. Предположим теперь, что Галактика
находится в покое относительно этой системы координат.
Хесс полагает
V = Vq + yxcos(® + 29°),
где vQ — соответствующая галактическая компонента ско-
рости Солнца, a — средняя орбитальная скорость Зе-
$ 8. Обсуждение сезонных колебаний
183
мли. Принимая 100 км/сек, и ^ = 30 км/сек, получаем
G = Go [ 1 + 1,47-10~7 cos (® + 29°)].
На основе различных упругих моделей Земли Хесс по-
лучает оценку
4Я = -о,12 4^
с о
и находит А(п.с.) = —1,5 cos (® + 29°) мсек в сравнении с ве-
личиной Международного бюро времени + 0,5cos (®—38°).
Таким образом, наблюдаемые вариации продолжитель-
ности суток не подтверждают предположение Дикке.
Однако выбор Хессом фазы (29°) и скорости зависит
от произвольного предположения о том, что наша Галак-
тика находится в покое относительно специальной си-
стемы координат. Возможно, что если выбрать v на по-
рядок меньше, что вполне вероятно, то противоречий с на-
блюдаемыми вариациями не будет.
Другие соображения. Сезонные вариации распределения
твердого вещества Земли рассматривались лишь в пробле-
мах, связанных с земными приливами. Возможно влияние и
других факторов. Краткий обзор сезонных колебаний по-
верхности Земли, выведенных из обычных нивелирных ра-
бот, можно найти в IUGG News Letter (Jan. 1953, р. 177).
Измерения Кнайсля [140] не свидетельствуют о каких-
либо короткопериодических перемещениях.
Эффект деятельности человека пренебрежимо мал в срав-
нении с наблюдаемыми эффектами. Если бы все автомобили
США перегнать из Аляски в Мексику, момент инерции
Земли изменится всего лишь на 1-10~14.
Ландсберг [152, 153] предположил, что напряжения, ас-
социируемые с годовыми колебаниями оси вращения,
могут возникать вследствие землетрясений. Он собрал не-
которые данные, свидетельствующие о том, что частота
глубокофокусных землетрясений максимальна в периоды
равноденствий и минимальна в периоды солнцестояний.
Эти данные, однако, крайне недостаточны.
Годовое колебание оси вращения меньше по амплитуде,
чем чандлеровское, поэтому дальнейшее изучение этих
явлений должно основываться на общем эффекте 12- и
14-месячного членов.
184
Гл. 9. Сезонные вариации
§ 9. Непрерывный спектр
До сих пор мы ограничивались дискретным спектром,
в частности двухнедельными, месячными, полугодовыми и
годовыми вариациями. Эти спектральные линии накладыва-
ются на непрерывный спектр вариаций вращения, появля-
ющийся вследствие нерегулярных движений атмосферы и
Рис. 26. Продолжительность суток, выведенная из наблю-
дений с ФЗТ (Вашингтон и Ричмонд), по отношению к це-
зиевым часам Национальной физической лаборатории в Тед-
дингтоне (N. Р. L.) и Морской исследовательской лаборато-
рии в Вашингтоне (N. R. L.). Величины для 1955, 1956 и
1957 гг. приведены по [75]; последующие величины были лю-
безно переданы нам Марковицем. Ординаты—превышение в
мсек значения 86 400 сек эфемеридного времени (UT2).
океана. В силу многих причин большой интерес представ-
ляет именно континуум. Изучение непрерывного спектра
может дать содержательную информацию относительно
постоянных аномалий погоды.
К сожалению, сколько-нибудь уверенных записей не-
прерывного спектра колебаний оси вращения для частот
выше чем 1 цикл!год нет. Возможно, усовершенствование
цезиевого стандарта частоты (§ 1 гл. 8) позволит получить
непрерывный спектр колебаний продолжительности суток.
На рис. 26 изображены колебания суток после исключения
годового, полугодового, месячного и двухнедельного членов.
£ 9. Непрерывный спектр
185
Наиболее интересной и важной характерной особенностью
является средний «дрейф» продолжительности суток
в 1956 и 1957 гг. Этот рисунок дает первое подробное пред-
ставление о вековой вариации за историческое время
(гл. 11), ранее известное лишь из редких определений
эфемеридного времени. Имеются также сомнительные ко-
роткопериодические флуктуации, но аномалия 1958 г.
слишком велика, чтобы ее можно было исключить из
рассмотрения.
Когда в начале 1958 г. указанная аномалия была заме-
чена, она была интерпретирована как аномальное умень-
шение продолжительности суток примерно на х/з мсек.
Естественно, были подвергнуты анализу все метеорологи-
ческие явления как возможные источники такого умень-
шения. Постоянство характера уклонений с того времени
указывает скорее, что эта аномалия явилась поворотным
пунктом в вековой вариации (§ 5 гл. 11), по-видимому,
неметеорологического происхождения. Анализ метеороло-
гических явлений весной 1958 г. включен только с целью
показать, какой можно ожидать непрерывный спектр
от нерегулярных вариаций атмосферы х).
Первоначально положение выглядело благоприятным.
Весна 1958 г. характеризовалась как суровая ситуация
с «низким индексом зональной» циркуляции. Западные
ветры высокого уровня переместились на юг в субтропи-
ки; нормальные восточные ветры в верхних слоях были
заменены сильнейшими западными ветрами. Аномалии
погоды такого типа содержат противоположные элементы.
Смещение западных ветров к экватору должно было бы
само по себе привести к увеличению продолжительности
суток, ослабление же, западных ветров и перемещение воз-
душных масс к полюсу будеть уменьшать продолжитель-
ность суток.
В «геострофических широтах» весенняя аномалия 1958 г.
хорошо представляется функцией
р(0, Р) = ^(Р)/(0)-^ (Р) sin 56 cos 1,28 0, 0 < 0 < 72°,
где р(0, Р) — аномалия давления на данной высоте (зада-
ваемой поверхностью среднего давления Р), осредненная
г) За эти вычисления мы выражаем свою признательность
проф. Палмеру.
7 В. Вращение Земли
186,
Гл. 9. Сезонные вариации
по всем долготам. Ясно, что имеет место небольшое «рас-
качивание» оси, что делает возможным использование оди-
наковой зависимости от широты /(0) для всех Р. Для. весны
1958 г. у = 1,5 (9.4.3). В геострофическом приближении
объединенный эффект смещения воздушной массы и ветров
может быть записан как сумма двух членов
цг _ 2тш455(Р0)Г j Ро 7 г zq q |\
[/1+ 2^й2р0
где
72° 72°
/г = J/(©)sin3ede, /2= J-^^-sinetgedo.
О о
Отклонение давления на уровне моря дает <^(Ро)=1О мб;
по формуле (9.1.1) получаем
Д (п. с.) =—0,056 мсек; Д(п. с.) = +0,066 мсек,
обусловленные смещениями воздушной массы и ветрами
соответственно. Сравнение с предполагаемой аномалией
—0,3 мсек показывает, что оба указанных эффекта малы,
сумма их пренебрежима и имеет обратный знак.
В предыдущих вычислениях не учитывался момент ко-
личества движения стратосферы. Оказывается, что измене-
ние на 50 м!сек действительно имело место в январе 1958 г.;
это дает Д(п.с.) = —0,2 мсек, но эффект этот не отличается
от имевшего место в предыдущие годы. С другой стороны,
в тропиках осредненный зональный ветер указывает на
ярко выраженную отрицательную (восточную) аномалию
весной 1958 г., которая не была обнаружена весной 1957 г.
Эффект этот по знаку и величине объясняет предполага-
емую аномалию продолжительности суток, показывая тем
самым, что экваториальная атмосфера может играть актив-
ную роль в образовании непрерывного спектра. При образо-
вании непрерывного спектра могут быть существенны и
другие факторы, в частности весной 1958 г. уровень Тихого
океана был аномальным от Мексики до Аляски.
Теперь уже не остается никаких необъяснимых нерегу-
лярных уклонений продолжительности суток больше не-
скольких единиц 10~9. Будем считать, что средняя квадра-
§ 9. Непрерывный спектр
187
(9.9.2)
тическая вариация 10~18 обязана равному участию всех
частот между 1 циклом в год и 1 циклом в месяц. Интер-
вал частот тогда будет 0,3-10~7 —3,6-10“7 цикл!сек, а спек-
тральная плотность равна
1Q—18
-----------------3 - ГО-12 сек,
3,3-10 цикл/сек
Эта величина лежит над наблюдаемым уровнем помех
(который в основном появляется из-за ошибок определе-
ния звездного времени; см. рис. 15) для частот меньше
10“7 цикл!сек. Отсюда можно сделать вывод, что резкие
метеорологические аномалии, существующие в течение
сезона, могут быть ожидаемой причиной ощутимых вариа-
ций продолжительности суток; для определения месяч-
ных аномалий точность определения звездного времени
должна быть повышена на порядок.
В отношении весенней аномалии 1958 г. Марковиц от-
метил, что европейские наблюдения явно указывают на
резкое уменьшение скорости изменения продолжительности
суток в конце 1957 г. (скорее ABDE, чем ABCDE\ рис. 25)
как на возможную интерпретацию астрономических дан-
ных. В этом случае метеорологические аномалии не имеют
отношения к данной вариации продолжительности суток.
Интерпретация ABCDE требует случайного наложения
двух геофизических явлений
г) Согласно Марковицу, можно отметить дальнейшее уменьше-
ние продолжительности суток весной 1959 г., что дает значение суток
(0,9 мсек на рис. 26), которое было летом 1955 г.
7в*
ГЛАВА 10
Чандлеровское колебание полюсов
§ 1. Данные астрономических наблюдений
Широтная компонента т1 (х — координата полюса) до
и после исключения сезонных колебаний показана на
рис. 13 (стр. 107). Несезонные невязки обнаруживают
Ягг(О)
Рис. 27. Ненормированная автокорреляционная (т) (сплошная
кривая) и взаимная корреляционная /?12 (т) функции (пунктир) для
несглаженных наблюдений МСШ.
Абсциссы дают т, число месяцев т2 сдвинуто. Ординаты в едини-
цах (0", 01)2. 7?22 (т) аналогична /?ц(т), но чуть больше; показана
лишь одна точка 7?22 (0)-
14-месячные колебания в форме «волновых пакетов», со-
держащих около 10 циклов. Это видно более ясно из не-
нормированных автокорреляционной /?и(т) и взаимной
корреляционно?! /?j2(t) функций (рис. 27), где
Ruv(x) = — т)); (10.1.1)
угловые скобки означают усреднение по времени t.
£ 1. Данные астрономических наблюдений
189
Амплитуда автокорреляционной функции уменьшает-
ся примерно на 10% за шаг т, равный одному периоду
волны, и это указывает, что время затухания равно,
грубо говоря, десятилетию. График взаимной корреляци-
онной функции /?12 позволяет сделать заключение, что ко-
лебания будут в фазе, если т2 сдвинуть вперед на х/4
периода. Это и есть ожидаемое соотношение для положи-
тельного (с востока на запад) движения.
Рис. 28 изображает сглаженные спектры несглаженных
широт Международной службы широты и широты Ва-
шингтона по вычислениям Рудника. Для сравнения при-
веден несглаженный спектр Рудника, однако результаты
не вполне сравнимы. Прежде всего данные Рудника дают
спектры S+ и S" положительного и отрицательного вра-
щения х). С помощью (6.7.6) можно показать, что
S± = 4[Su-bS23±2(-S'I2)]. (10.1.2)
Мы нашли, что Su, S22 и —Si2 приблизительно равны,
так что
S+^Sn, S’«Sn. (10.1.3)
Если данные однотипны, то и спектры на рис. 28 будут очень
похожими.
Другое различие заключается в том, что спектр Рудника
не сглажен. В несглаженных спектрах энергию, связанную
с одной гармоникой, следует рассматривать как случайную
переменную, имеющую релеевское распределение, и, сле-
довательно, дисперсия их тем больше, чем больше ожида-
емое значение. Целью сглаживания является комбиниро-
вание многих близких гармоник в одну оценку с малой дис-
персией. Проигрывая в разрешении, мы увеличиваем на-
дежность. Количество данных настолько ограниченно, что
х) Опубликованные результаты Рудника относятся к
в единицах (0", 01)2. По принятому нами соглашению мощность на
гармонику соответствует среднеквадратичной амплитуде (т+)2/2,
а спектральная плотность s+= Т(т^~)2/2, где Т =54,4 года — про-
должительность регистрации. Поэтому значения Рудника были
умножены на 27,2, чтобы получить S+ в (0", 01)2 на 1 цикл в год.
190
Гл. 10. Чандлеровское колебание полюсов
последствиями сглаживания можно пренебречь. Единствен
Рис. 28. Энергетический спектр колебаний широты.
Сплошные линии: Sn и 5 (1900—1954 гг.) по данным МСШ.
Пунктир и светлые кружки: 1/2S+ (1891 —1945 гг.) по дан-
ным Куликова (расчеты Рудника). Пунктир и точки: широта
Вашингтона за 1916—1952 гг. Ординаты дают спектральную
плотность в (0", 01 )2 на цикл в год.
что вычислительная процедура достаточно проста. В сгла
женном спектре одна гармоника единичной энергией раз
делена на три близких, содержащих V4, г/4 единицы энер
гии.
§ Л Данные астрономических, наблюдений
191
В свете этих рассуждений различия в формах спектров не
превосходят ожидаемого. Следовательно, даже полстолетия
наблюдений весьма ограничены в их способности опре-
делить форму спектра. Разности же площадей под кривыми
значительны и могут быть вызваны по крайней мере частич-
но недостаточным перекрытием данных.
Будем описывать пики спектра тремя параметрами:
1) площадью, 2) центральной частотой и 3) некоторой мерой
отклонения от спектральной линии.
Процедура Рудника заключается в замене частоты ну-
тации комплексной частотой
<г0 = (То + za> (10.1.4)
где <т0 и а — действительные положительные постоянные.
Соответственно необходимо заменить
~ — /о0 m = — ш0 Т (6.3.6)
на
гаот = —/ст0Чг, (10.1.5)
которое содержит добавочный член ат, приводящий
к затуханию свободного движения по закону
m = = е~Л* (cos(i0/ + Zsina0/). (10.1.6)
Для круговой положительной поляризации передача
энергии (см. 6.7.10) равна
г2
/2 (/) = / ,оЛ2 = ~4 , (10.1.7)
где So” (/) и (/) — входной и выходной спектры для
положительного движения. Эта функция достигает мак-
симума при f=fQ и половины максимума при /0±а/2л.
Площадь под кривой, включая и отрицательные частоты,
равна
о
Остроту пика удобно определять безразмерным пара-
метром Q
Q = 4 = 4' (Ю.1.9)
192 Гл. 10. Чандлеровское колебание полюсов
Можно считать, что входной спектр постоянный за пре-
делами узкого участка частот чандлеровского колебания.
Записанный спектр тогда имеет вид S^(f0)/2(/), и пол-
ная мощность чандлеровского колебания дается выраже-
нием
2к2/о 4
(10.1.10)
Постоянные параметры /0, а и могут быть опре-
делены применением (10.1.7) к вычисленным спектрам.
По предложению Джеффриса (личное сообщение), это
было сделано методом «максимума правдоподобия». Ре-
зультаты вычислений даны в табл. 15, а одна из резуль-
татов такой аппроксимации — на рис. 14 (стр. 108)1).
Анализы Джеффриса [124] и Уокера и Янга [295,
296] близко примыкают к нашему анализу. Рудник вывел
спектральную плотность стационарного процесса из спек-
тральной плотности 54-летней выборки. Эти вывод состоит
в основном в сглаживании необработанного спектра
с должным учетом значительных относительных вариа-
ций каждой спектральной линии. Джеффрис, Уокер и
х) Суммирование [приложение, формула (А.2.8)] распростра-
няется на все гармоники чандлеровского пика. Указанные в табл. 15
вероятные пределы соответствуют значениям, при которых ср имеет
величину, равную половине максимальной. Интервалы для /0 и $+
получены изменением параметров /0 и А по отдельности: для а па-
раметры А и В изменены противоположным образом, так что А2/В
сохраняет то же значение, что и для максимума ср (полная энергия
остается постоянной).
Для сглаженных спектров соседние гармоники не независимы,
но все другие гармоники можно считать независимыми, согласно
формуле (А.2.6) приложения. Ввиду этого для наблюдений Между-
народной службы широты был проведен отдельный анализ для
гармоник четного и нечетного порядков. Более того, сглаживание
понижает и размазывает спектры. Если несглаженный спектр имеет
вид (А.2.7) приложения, то сглаженный будет
- А (1+2г2)
B(l+4^) + (fn-/0)2’ (Ю.1.11)
где 1/е = 2тоа/к — число гармоник (оно предполагается большим)
между точками половинной мощности. Для данных МСШ 1/е =2,2
и 1,2 для гармоник четного и нечетного порядков и никакие по-
правки невозможны. Величины 1/а тогда могут быть приняты за
нижние пределы. Для широты Вашингтона 1/е = 2,9; исправленные
величины включены в табл. 15.
Таблица 15
Параметры чандлеровского колебания полюса
Годы Г fQ лет а * , лет s+(0",01)2 цикл/год Энер- гия (0",01)2 Q
Данные МСШ, сглаженные Куликовым; спектр по [230]*
1891—1945 | 1—544 | 1,193±0,011 | 11,4 (+5,3,—4,2) | 0,58 (+0,25, —0,16) | 96 1 30
Несглаженные данные МСШ; сглаженный спектр для четных и нечетных гармоник
1899—1954 (чет.) 1 1—480 I 1,183±0,013 | 11,4 (+5,6, —4,7) 1 0,86 (+0,45, — 0,27) 1 143 1 30
1899—1954 (нечет.)| 1—480 1 1,178+0,008 1 22,4 (4-11,1, —8,7) 0,61 (+0,31, — 0,18) 1 196 60
Широта Вашингтона; несглаженный спектр
1916—1952 1 1—360 | 6,7 (4-3,1,—2,7) 1 1,02 (+0,41, — 0,27) 1 18
(по 10.1.11) ! | 1,183±0,016 | 8,4 (-3,8,—3,4) 0,76 (+0,31, — 0,20) | 99 | 23
Сглаженные значения МСШ
1908—1921 0,3,6 1,202 + 0,016 I 15,2±1,6 1
1 1 | 40
Несглаженные значения МСШ
1899—1954 1, 2 1,287±0,26 2,27±0,49 6
1 — 16 1,198
6—16 1,179
1900—1934 1, 2 1 ,267±0,041 2,81+0,86 7
1—16 1,202
6—16 1,186
1900—1920 1, 2 1,238 + 0,033 4,18±1,94 11
1 — 16 1,201
6—16 1,193
Уровень помех 0,06 (0",0 1 )2 был исключен
до представления спектра.
194
Г л. 10. Чандлеровское колебание полюсов
Янг вычисляли автокорреляционную функцию и аппро-
ксимировали ее гладкой кривой. Спектральная плотность
аппроксимировалась кривой типа (10.1.7), автокорреля-
ционная функция с помощью (10.1.6). Эти приемы сов-
местимы и прямо следуют из допущения комплексности
частоты чандлеровского колебания полюса.
Если имеется достаточно данных, то оба метода сходятся
к одному и тому же времени затухания а-1. Если же данных
недостаточно, то работа Рудника [229] позволяет считать,
что ошибки обоих методов сравнимы в предположении, что
в автокорреляционной функции использованы все воз-
можные сдвиги фаз.
Использование меньшего, чем нужно для автокорреля-
ции, числа данных ведет, согласно Руднику, к ухудшению
результата. В табл. 15 сведены результаты для различных
выборов сдвигов фаз. Наши результаты и Рудника получены
со всевозможными сдвигами фаз. Работа Джеффриса су-
щественно основывается на аппроксимацию способом наи-
меньших квадратов функции R(r) для г = 0; 3; 6 (едини-
ца — 0,1 года), что дает период 14х/2 месяца, а время затуха-
ния 15 лет. В своей статье Уокер и Янг [295] применяли
R(r) для г = 1, 2 (единица — 1 месяц). Они получили период
между 15 и 15х/2 месяцами и время затухания 2,3 и 4,2 года.
Эти результаты не кажутся вполне надежными. В работе
1957 г. они выбрали метод наименьших квадратов для г =
= 1,..., 16 и 6,..., 16. Результаты расходятся для разных эпох.
Подходящие результаты получены ими для периода вре-
мени 1900—1920 гг., если брать наибольшие значения г;
авторы считают 1,193 года наилучшей оценкой чандлеров-
ского периода. Это значение отлично согласуется с величи-
нами 1,202 года (Джеффрис) и 1,193 года (Рудник). Относи-
тельно времени затухания авторы позволяют себе лишь
сделать вывод, что он заключен между 10 и 30 годами;
Джеффрис находит его равным 15 годам, Рудник—11 годам.
Гутенберг [99] выразил сомнение в том, что время затуха-
ния может быть меньше 10 периодов. Он полагает, что не-
возможно отделить эффект затухания от явления биений
между чандлеровским колебанием и годовым членом. Од-
нако в спектральной плотности годовая линия четко вы-
ходит из расширенного пика 16-месячного колебания, и
эти линии в спектре достаточно разделены.
$ 2. Концепция мгновенного периода
195
Мельхиор [183, стр. 234] обратил внимание на то, что
примененная Уокером и Янгом схема авторегрессии «пред-
полагает существование математической зависимости между
идеей упругости (чандлеровский период) и идеей вязкости
(время затухания), и это соотношение как раз есть закон
Максвелла». Процедура вычислений, примененная Рудником
и Уокером и Янгом, вводит только комплексную частоту,
а это в свою очередь ведет только к затухающей линейной
системе. Модель Максвелла — лишь только одна из не-
ограниченного числа возможных линейных комбинаций
пружин и амортизаторов. Более того, сам метод аппрок-
симации при помощи кривой не указывает с уверенностью
на преимущество линейной модели над другими.
Все, что можно сказать в заключение, — это то, что ли-
нейная модель не противоречит данным наблюдений. Но
даже и для нелинейных моделей параметры табл. 15
сохраняют свое значение, а величина Q остается характери-
стикой ширины спектра.
§ 2. Концепция мгновенного чандлеровского
периода
В литературе встречаются два типа моделей. Мы будем
называть их а) «затухающей моделью» и б) «моделью с не-
постоянным периодом». В предыдущих разделах мы имели
дело с «затухающими моделями» (Джеффрис, Рудник, Уокер
и Янг). Конечная ширина спектра (или какая-либо другая
характерная особенность) связывалась с затуханием случай-
но возбуждаемого настроенного осциллятора. Неабсолют-
ная упругость земной мантии ведет к появлению подобного
затухания, так же как и диссипация на границе мантии и
ядра, если ядро обладает вязкостью.
Большинство работ, посвященных исследованию чанд-
леровского колебания, указывает, что его период не остается
постоянным во времени, и это предполагает соответству-
ющие вариации некоторых физических параметров (жест-
кости, сжатия и др.). Это — работы самого Чандлера,
Кимуры, Берга, Баклунда, Уола, Штумпфа, Уайтинга,
Ледерштеггера, Хатторы, Николини и Мельхиора. Изменя-
ющийся период связывают с переменной амплитудой со-
гласно эмпирическим закономерностям, сформулирован-
ным Мельхиором [181]:
196
Гл. 10. Чандлеровско е колебание полюсов
1. Период чандлеровского движения подвержен флукту-
ациям; максимальное отклонение от среднего около ±4%.
2. Период и амплитуда чандлеровского движения пропор-
циональны; коэффициент корреляции, по Николини, +0,88.
3. Увеличение периода чандлеровского колебания кор-
релирует с малой амплитудой годового движения.
Разница между указанными выше моделями заключается
в понимании термина «период» и в методах определения его
из серии наблюдений. Мгновенный период (или обратная
ему мгновенная частота — МЧ) может быть определен как
время между соседними прохождениями кривой колебания
широты через нуль при условии предварительного исключе-
ния годового члена. Соответственно мгновенная амплитуда
(МА) есть высота кривой над средней широтой. Мгновенные
значения параметров, приводимые в литературе, были полу-
чены методами, вытекающими из данных выше определений.
С другой стороны, частоты Фурье (ЧФ) получаются пу-
тем представления кривой записи суммой (или интегралом)
гармонических функций. Спектральная функция чандле-
ровского колебания — пример использования ЧФ. Энергия
этого колебания выражается в виде суммы примерно де-
вяти величин, соответствующих различным ЧФ. По самой
сути анализа Фурье эти величины фиксированы для любой
данной записи. Мгновенные величины меняются со време-
нем внутри записи.
Достаточно простые записи колебательных процессов
могут быть очень хорошо описаны величинами МЧ и МА,
но и ЧФ удовлетворительно описывают изменчивые записи
стационарного процесса. МЧ и ЧФ не идентичны, но с не-
которыми предосторожностями могут быть связаны друг
с другом. Вообще говоря, чем пики шире (Q меньше) в
представлении ЧФ, тем больше флуктуации МЧ на про-
тяжении записи. Отмеченные флуктуации чандлеровской
частоты, не превосходящие 4%, примерно сходны с Q=25
из ЧФ +
Ч Распределение интервала т между чередующимися нулевыми
сечениями для узкого спектра, образованного помехами с гауссо-
вым спектром, было рассмотрено Лонге-Хиггинсом [164]. Положим
оо
= J fn s (/) df
—00
§ 2. Концепция мгновенного периода
197
Защищая модель (б), Мельхиор опирается на третий
эмпирический закон и привлекает уравнение колебаний
(6.3.6). Но это уравнение получено при четком предположе-
нии, что сг0 не меняется со временем. Гипотеза Мельхиора
о модели с непостоянным периодом и пренебрежимым за-
туханием позволяет ему надеяться приложить результаты,
полученные для установившегося движения, через замену
сг0 на сго(0, при условии, что время вариации велико сравни-
тельно со временем затухания а-1.
Однако наблюденные флуктуации быстры и выпадают
из его представления. Уменьшение затухания только уве-
личивает время, необходимое для достижения равновесия,
и больше ничему не помогает. Мельхиор имеет право
рассматривать подобные быстрые изменения зависящих от
времени параметров, которые могли бы объяснить флук-
туации МЧ, однако он не приводит доводов в пользу
предполагаемых характеристик модели.
Нынешнее положение вещей может быть подытожено
так: отмеченные флуктуации МЧ (первый эмпирический за-
кон) находятся в согласии с результатами, полученными
из спектрального анализа (или аналогичных методов,
основанных на автокорреляции). Флуктуаций МЧ недоста-
точно, чтобы отдать предпочтение модели Мельхиора перед
моделью затухающего линейного осциллятора. Второй и
третий эмпирические законы не нашли объяснения ни в од-
ной модели. Физические соображения говорят против
— момент /г-го порядка спектральной плотности S (f). Средний
интервал т приблизительно равен Ро/^. Половинное значение вели-
чины т заключено в пределах
-/ 2 \ / 2 X
0ТТГ7Г )Д0Ч1+ТТ7-
Р-0 Н
82== — —
1*1
предполагается малой. Для спектральной функции (10.1.7) т = f^[ ,
как и предполагалось. Для этого частного вида функции р.2 и от-
сюда 5 неограничены, и приближение неприменимо. Но если заме-
тить, что В — по существу среднеквадратичная величина ширины
спектра, то, как можно оценить, она будет иметь значение около
Q”1, или от 0,02 до 0,10. Уклонения мгновенного периода порядка
4%, как указывалось, не являются неожиданными.
где величина
198
Гл. 10. Чандлеровское колебание полюсов
модели (б); в природе не находится физических изменений,
которые коррелировали бы с изменением чандлеровского
периода на 4%. Мы предпочитаем линейную затухающую
модель в силу ее простоты и удобства, и, кроме того, нет
сколько-нибудь убедительных причин считать более под-
ходящей усложненную модель (б).
§ 3. Эффективно-приливные жесткость
и вязкость
На основе данных табл. 15 мы принимаем
fa' = 1,195 ±0,015 года (10.3.1)
в качестве оценки периода чандлеровского колебания.
Эффективно-приливное число Лява оказывается равным
£-0,29±0,01 (10.3.2)
в соответствии с (6.2.5). Сравнение этой величины с оценкой
Такеучи будет дано в § 8. Для эквивалентной модели Земли
(§ 6 гл. 5) эффективно-приливная жесткость (безразмерная
и размерная), как это следует из (5.6.1)—(5.6.2), будет
р-2,31 ±0,10, р-(8,35±0,36). 1011 дин/см2. (10.3.3)
Отметим, что жесткость стали равна примерно (8 4- 9) х
X 1011 дин/см2. Комплексная частота ог0 — а0 ± /а, есте-
ственно, требует введения комплексного числа Лява
к = ^(1-/2^) (Ю.3.4)
в соответствии с (6.2.5) и (5.6.2). Для модели Максвелла
(5.11.5)
k=±—i-£-----------(10.3.5)
\ °о^м/
причем р/а0т]м считается малой величиной. Приравнивая
мнимые части и используя (10.1.9) и (5.11.3), мы полу-
чим
“-'“О+иЛ. (10.3.6)
3. Эффективно-приливные жесткость и вязкость
199
где т= т]м/р — характеристическое время. Для Q = 30
эффективно-приливная вязкость цм = 1020 г/сМ'Сек и вре-
мя затухания а-1 = 13 лет.
Эта интерпретация затухания не согласуется с вре-
менной постоянной изостатической теории. Для однород-
ной Земли с характеристиками тела Максвелла оператор
нагрузки по (5.8.4), (5.11.3) и (5.7.2):
kn=-------2-L2-^...+4п + 3>. (5.7.2)
1 + г D + т-1 19n v 7
Нагрузка, внезапно приложенная в момент t = 0, умень-
шается вследствие деформации в соответствии с соотно-
шением
(1 + == «w• (юз.?»
где
Уп 1 = (1 + Л'|1)т
(10.3.8)
— время компенсации. Операторное решение следует
правилам, данным в [130]. Коэффициент Л/р/(1 + Мр)
введен для прямого учета эффекта упругой деформации.
Для нагрузки второго порядка N = 1 и у?1 = а~1,
так что время компенсации равно времени затухания чанд-
леровского движения — 13 годам. Для нагрузок более
высоких порядков время компенсации соответственно
больше: уТо = 90 лет, узо = 300 лет. Но аномалии силы
тяжести, связанные с древними геологическими, образова-
ниями ограниченной горизонтальной протяженности, ука-
зывают на периоды приспособления в миллионы лет! Пре-
дыдущее использование тела Максвелла служило лишь для
иллюстрации того или иного вопроса, но не для построе-
ния близкой к действительности модели Земли.
Аналогичным образом недостаточна модель Кельвина —
Фойхта. По (5.11.3) можно написать
к-/г fl — i~~ . (10.3.9)
\ 1 + Iх 1Л /
200
Гл. 10. Чандлеровское колебание полюсов
где о0 i|K v/(i — малая величина. Приравнивая мнимые
части (10.3.9) и (10.3.4), получим
~ _ (1 +
'К-V " 2Q<
(Х i Д
со *4 К—V
(10.3.10)
Для Q = 30 вязкость равна 2,6 • 1017 г!см-сек. Кнопов и
Макдональд показали, что если в этой модели вязкость
превышает 10 г!см-сек, то это будет несовместимо с наблюда-
емым затуханием сейсмических волн.
Модель Кельвина — Фойхта неудовлетворительна для
высоких частот, а модель Максвелла — для низких частот.
Недостатки этих моделей были обсуждены Джеффрисом
[119] и Бирчем и Банкровтом [13].
§ 4. Полюсной прилив и числа Лява
«Море начнет колебаться, уровень одного океана под-
нимется, уровень другого опустится...». В этих словах
Кельвин1) выразил мысль о том, что колебания полюса
должны вызывать океанские приливы. Кельвин упустил
из виду тот факт, что такие приливы будут заметно удли-
нять период колебания полюса, оставляя на момент
в стороне любые эффекты упругой деформации Земли, иначе
он не ограничился бы в своем исследовании эйлеровским
10-месячным периодом.
Вывод статического полюсного прилива и его влияния
на движение полюсов следует непосредственно из уже
полученных уравнений [76, 196]. Уравнения движения
для полюса вращения согласно (6.3.5), имеют вид
dm
*dF
z'c^m — — zcrr<jp,
(10.4.1)
где
Ф =
С13 + iC23_
С-Л “
ai рш ( $ sin 0 cos 0е(Х ds
(10.4.2)
С —А
— возбуждение полюса, происходящее от произведений
инерции полюсного прилива £(0, X; /), рда — плотность
1) Президентский адрес 1876 г.
§ 4. Полюсной прилив и числа Лява
201
морской воды, а сге — частота упругих колебаний полюса
(как если бы океаны были замерзшими).
Решение (10.4.1) даст наблюденную частоту сг0.
Статистический прилив можно определить как (1 +
+k—h)Ulg, где
U — — СО 1 (О3 хг х3 — (О2 (О3 х2 х3 —
—- — Q2a2 sin 9 cos 9 (mx cos К + m2 sin X)
— потенциал, созданный колебаниями полюса. К этому мы
должны прибавить поправку Дарвина (§ 2 гл. 9) для
обеспечения сохранение массы океана. Когда это сделано,
результирующий прилив может быть записан в ей де
( sin 29 cos %—
+ т2
Z>9 \
sin 29 sin X-------
ч° Л
(10.4.3)
где а™ и Ь™ — коэффициенты функции © (приложение,
§ 1). Комбинируя (10.4.1) — (10.4.3), можно получить
уравнения движения в форме
+ (<^ - Та Й) - RQmt 0,
(10.4.4)
где
R _ 4rQ2 Pwa6 'J - 3 _ 35 + 63 = — 0,11 - io-4
1 -j- k — h Ag 100Ug
Л 4rtS22 pwa6 / _°0 , °2 \ 15 + 10* 4a° \ +
Г k- -!i ~~ Ag ’315 /
/ a2 + \-3fT +1 = 3.36-10-4,
83 / 100 a°
202
Гл. 10. Чандлеровское колебание полюсов
Т2 4 й2р№ о'8 [ / а0 , а° 4а°
14-й — h ~ Ag \ 15 105 315 у
к
100 ag
= 2,16-Ю“4.
Решением этих уравнений будет
т1 = M1cosoat, m2 = M2sin(o0Z 4-Р), (10.4.5)
причем
a02 = а2 - (7\ + Т2) аое - - 7\ Т2) Q2, (10.4.6)
QR _ Га 2
ао * 2 Т1 &
(10.4.7)
Следовательно, частота уменьшится с ве до сг0 в соот-
ветствии с (10.4.6). Так как R « Tlf выражение для Т
можно переписать так:
аоЖОе_|(Т1 + Т2)£2 + о(-^-)2. (10.4.8)
Наблюденная частота есть о0 42/437. Для обычно при-
нятых величин чисел Лява (1+А—Л^-0,68) это дает
ое = Q/404, так что океаны увеличивают период с 404 суток
до 457г). Без океанов годовой член будет в два раза ближе
к резонансу, чем с океанами, а годовое колебание полюса
возрастет вдвое.
Но мы имели дело еще не с частотой нутации Земли
без океанов; наше внимание привлекло упругое эффек-
тивно-приливное число Лява, которое является подходя-
щим при этих условиях. По аналогии с выражением
h * _ h
(6.2.5)
х) Преобладающий коэффициент в выражении для 7\ + Та —
это Пд. Поэтому уменьшение частоты зависит в первом приближении
от доли земной поверхности, покрытой океанами. Это было отмечено
Лармором [154], который первым рассчитал этот эффект.
£ 4. Полюсной прилив и числа Лява
203
мы напишем
Zj f -
(10.4.9)
Kf
Тогда (10.4.8) может быть записано в одной из следую-
щих форм:
<т0 = ае — ^ог, k = ke + kw, (10.4.10)
Rf
если мы определим kw так:
+ = (10.4.11)
где р — средняя плотность Земли и
s =.*(«j + 4 аЧ-4а;)- К4)!+ (йа)2] - 1.20.
Следовательно, kw— та часть числа k Лява, которая опре-
деляется действием океанского полюсного прилива.
Задача состоит в оценке ke. Мы можем принять k = 0,29
как известное значение из частоты чандлеровского колеба-
ния. Имеются два варианта:
1. Примем h = 0,61 как данное, затем по (10.4.10) и
(10.4.11) получим
- = 404, /1 = 0,610, k,. -- 0,235, kw- 0,055. (10.4.12)
2. Для «эквивалентной» Земли (§ 6 гл. 5) отношение
he/ke зависит только от распределения плотностей, но не от
жесткости. Тогда
~ = ^ = 2,05, (10.4.13)
где he U/g — упругая деформация твердой Земли, а
keU/g— потенциал этой деформации. При отсутствии
нагрузки h = he. Мы имеем
- = 396, /г=0,457, /ге=0,223, &w = 0,069; (104.14)
204
Гл. 10. Чандлеровское колебание полюсов
эти значения отличаются от (10.4.12) главным образом
из-за различия h.
Основной результат состоит в том, что эффективно-при-
ливное число Лява изменилось с 0,29 на 0,22 после по-
правки за статическую реакцию океанов. Результаты не
меняются ощутимо при введении поправок первого порядка
за деформацию от нагрузки [196]. Полных исследований в
направлениях, указанных в § 12 гл. 5, не предпринималось.
Асимптотические характеристики совпадают с ожи-
даемыми. Для pw=0 имеем kw=0 и о0=(те, что является
приемлемой частотой для Земли без океанов. Для твердой
Земли (ke=0, /г=0), полностью покрытой океаном,
5":|5 И " 5 ^ ’ ; ~~ kjY
3 pw
Для однородной Земли (§ 4 гл. 5). Следовательно,
когда плотность океана приближается к плотности Земли,
pw-*p, ось вращения становится неустойчивой.
Для реального распределения плотностей k? — 0,96, так
что устойчивость достигается при pw = 4,5 г/см3.
Предыдущие вычисления подчеркнули большое влия-
ние полюсного прилива на чандлеровское колебание в пред-
положении, что прилив определяется статической теорией.
Но еще не ясно, применима ли эта теория. Даже если она
годится для р2-приливов относительно короткого периода
(таких, как двухнедельные, месячные, полугодичные и
годичные), отсюда не вытекают с необходимостью аргументы,
доказывающие статическое происхождение /^-потенциала
полюсного прилива. Фактически работы Джеффриса и
Висенте по динамике жидкого ядра показывают, что эта
теория не применима к коре (даже когда эти авторы исполь-
зуют статические поправки за океаны).
Изучение суточных приливов (также вызываемых рх2-
потенциалом) ведется весьма тщательно, но оно обычно
ограничивается с самого начала предположением о суточной
частоте. Эта проблема тесно связана с возможностью
установившегося движения (с нулевой частотой) типа
Лаплас показал, что для океанов постоянной глубины,
покрывающих всю Землю, не должно быть никаких суточ-
$ 4. Полюсной прилив и числа Лява
205
ных приливов [146]. В связи с этим полюсной прилив вряд
ли будет заметным по сравнению со статической реакцией,
если только пограничный слой, связанный с вязким те-
чением вдоль морского дна не будет иметь толщину,
сравнимую с глубиной океана.
Фактически полюсной прилив накладывается на другие
движения гораздо более крупного масштаба, и это увеличи-
вает трение между океанами и твердой Землей.
Обозначим через и скорость движения воды в полюсном
приливе, U — максимальную скорость короткопериодиче-
ского приливного течения и h — глубину воды. Силу тре-
ния на единицу массы можно записать как уи, где
у - - 0,0025
1 к /I
по Баудену [19].
Праудман (личное сообщение) предположил, что ста-
тическая концепция зависит от малости отношения /0/У
(см. [218]). Полагая h = 4 км и U = 6 см!сек, получим
2л/у ~ 1540 суток, что не является малым по сравнению
с /-1 = 435 суток. Но в районах с очень большими при-
ливными течениями статические условия могут быть
приемлемыми.
Для океанов постоянной глубины, ограниченных парал-
лелями (включая Северный Ледовитый океан) Голдсбро
[88, 89] показал возможность резонанса при периодах
порядка чандлеровского. В случае меридиональных границ
такие долгопериодические резонансы невозможны [45].
Работа Праудмана [217] показала, что эти результаты не
могут быть применимы в случае постепенных уклонов бе-
регов океанов.
Таким образом, теория еще не установила применимость
статической теории к полюсному приливу. Могут ли на-
блюдения указать направление поисков?
Записи приливов снимаются каждый час с точностью
около ±1 см. Типичная амплитуда статического полюсного
прилива равна примерно 0,5 см. Следовательно, поиски
полюсных приливов находятся на границе доступности,
даже если мы будем основываться на усреднении ежемесяч-
ных записей. Имеются несколько попыток: Кристи [42],
Бахузена [4], которые изучили измерения уровня моря
206
Гл. 10. Чандлеровское колебание полюсов
у Амстердама, начиная с 1700 г., Пшибыллока [219], Бос-
сана [9] и Максимова [177]. Данные по возможности раз-
делялись на семилетние серии, в каждой из них путем гар-
монического анализа находились амплитуды и фазы шести
гармоник, соответствующих точно 14-месячному периоду.
Хобрих и Манк [196] определили спектры уровней моря
всех приливных станций, которые работали в начале сто-
летия. Это позволило исключить какие-либо неявные пред-
положения о частоте полюсного прилива и, более того,
позволило оценить уровень помех близких частот. Уровень
помех оказался очень велик, так что прежние исследова-
тели нашли амплитуды для периодов 15 и 13 месяцев лишь
немногим меньшие, чем для 14 месяцев.
Рис. 29 показывает средний спектр И записей (шесть
нидерландских станций объединены в одну). Сезонные
члены были предварительно исключены. Наиболее выделя-
ющийся пик между частотами 0 и 1 год приходится на
0,86 цикл!год, что дает период 1,19 года и отлично
согласуется с величиной 1,195 ± 0,016 года из широтных
наблюдений. Для каждой станции уровень статического
прилива был вычислен помесячно вдоль всей серии по дан-
ным сглаженных широтных наблюдений (см. рис. 13,
стр. 107) по формуле (10.4.3). Взаимный спектр (или софазная
компонента) показывает положительный максимум в соот-
ветствующей частоте, в то время как квадратурный спектр
(или противофазная компонента) не дает ничего. Это ожида-
емые результаты для статического прилива или для ста-
тического прилива, умноженного на положительную по-
стоянную; указания находятся на границе достоверности.
Но имеется также несколько неожиданных результатов.
Сравнивая площади под пиками спектра, связанными с
фактическим приливом и записанным приливом (после
исключения уровня помех 10 см3 за 1 цикл!год), легко об-
наружить, что наблюденная мощность вчетверо больше
вычисленной и, следовательно, наблюдаемая амплитуда
вдвое больше статической.
В дальнейшем было обнаружено, что Свинемюнде
(нидерландская группа), Марсель и Бомбей дали наиболь-
ший вклад в этот пик; более того, более ранние свинемюнд-
ские записи (1811—1906 гг.) не дают соответствующего пика.
Возможно, современные автоматические самописцы более
§ 4. Полюсной прилив и числа Лява
207
♦/г в
1о,з о,е о,7 о,8 1 д,з ' 1,0 ' /У'1“7г
Цикл/год
Рис. 29. а — энергетический спектр уровня моря (светлые
кружки) и равновесных приливов (точки) в см2/цикл/год.
Данные основаны на осреднении результатов 11 станций
(шесть голландских станций объединены) за период 1900 —
1954 гг.; 6 и в — нормированный взаимный спектр и квадра-
турный спектр. Пунктирные прямые обозначают уровень 95%
мощности.
точны. Измерения в XIX в. ограничивались в основном
приливными вехами, что могло быть и недостаточным для
выявления полюсного прилива
1) В оригинале игра слов: tide pole — веха для измерения вы-
соты прилива, pole tide — полюсный прилив. — Прим. ред.
208
Гл. 10. Чандлеровское колебание полюсов
Статический спектр основывается на величине 1 + k-
— h ~ 0,68. Для «эквивалентной» модели Земли (10.4.13)
мы нашли 1 + k — h = 0,84, и тогда различие значительно
уменьшается. Но суть дела в том, что предыдущее сравне-
ние опиралось на статическую концепцию, а для этого
предположения нет оснований. Наблюдения земных при-
ливов не подтверждают этого.
Пик спектра наблюдаемых приливов гораздо уже, чем
пик спектра статического прилива. Трехточечный пик как
раз обладает ожидаемой особенностью линейного спектра
[см. приложение, формула (А.2.5)]. Учитывая это, находим,
Q > 100 в сравнении с Q 35 из широтных наблюдений.
Это наиболее удивительный результат. Одно из возможных
объяснений заключается в предположении, что океаны име-
ют острый резонансный пик как раз на этой частоте, но
это представляется очень малоправдоподобным: такое
объяснение также влечет за собой степень резонанса,
не обнаруживаемую в колебаниях океана.
Всегда имеется реальное сомнение относительно того,
насколько существен пик в спектре полюсного прилива.
Следуя предложению Такеучи, Манк и Хобрих [196]
проанализировали данные следующим образом. Обозначим
через Sfg вычисленную спектральную плотность для частоты
f на станции g. Вычисляются две следующие схемы регрес-
сии по способу наименьших квадратов:
(1) Sfg — ag + sin20gcos20gS/,
(2) Sfg = bg+ sin2 0g. cos 0g S'f"~
Здесь ag и bg—уровень помех станции g; sin20g cos20g. S'f —
спектр статического полюсного прилива на станции g,
основанный на наблюдаемом широтном спектре Sf, sin20gx
X cos2 0О. Sf" — то же в предположении, что частота линии
0,84 год~х. Для всех станций (1) лучше, чем (2), но для
европейских станций дело обстоит наоборот. Здесь
имеется намек на то, что истинный спектральный пик
может быть уже вычисленного (на что как будто указы-
вают широтные наблюдения), но лишь дальнейшие работы
прольют свет на этот вопрос.
§ 6. Возбуждение колебания
209
§ 5. Эллиптичность чандлеровского колебания
Лармор [154] отметил, что полюсной прилив делает
кривую, описываемую полюсом вращения, слабо эллиптич-
ной. Эксцентриситет равен
8=1 -£ = Та7(Г1”Т2)==0’017; t10-5’1)
большая ось направлена вдоль меридианы %0 в. д., причем
tg2X0 = ±± = -0,20; Х0 = -6°. (10.5.2)
Для сравнения было взято отношение амплитуд и т2
из анализов несглаженных широтных данных 1899—1954 гг.
Результат
8 -0,01 ±0,05,
что несовместимо с вычисленным эксцентриситетом. Федоров
[76], вычисляя подобным же методом, получил 8 — 0,01.
Он установил, что эта величина не согласуется с наблюден-
ной эллиптичностью. Ламберт [147] попытался оценить эл-
липтичности из шестилетних серий широтных наблюдений
1900—1917 гг. Его значения 8 колебались от 0,02 до 0,20,
а направление главной оси — с 59° з. д. до 116° з. д.
Эллиптичность колебания полюса может быть объяснена
разностью экваториальных моментов инерции. Из геодези-
ческих измерений Гельмерт [106] нашел разность 230 м
между экваториальными полуосями. Пусть Л, В, С —
главные моменты инерции. Из оценок Гельмерта Швейдар
[242] получил
В —А = 1
1 46 ’
С± 2~(Д ±В)
что дает эллиптичность 8 = 0,016. Новейшие измерения ни
подтвердили, ни отвергли степень трехосности, определен-
ной Гельмертом.
§ 6. Возбуждение колебания
Результатом возбуждения Ф (/), которое не является чи-
стой гармоникой, будет резонансная реакция. Любая
8 Вращение Земли
210
Гл. 10. Чандлеровское колебание полюсов
подвижная часть Земли в этом отношении подозрительна,
и обычно легче исключить причины, чем подтвердить их.
Предпринимались многочисленные попытки связать
изменения чандлеровского периода с землетрясениями и
извержениями вулканов [32]. В частности, увеличение ак-
тивности около 1907 г. приписывалось большому сан-
францисскому землетрясению. Однако количественное рас-
смотрение отвергает эту возможность. Рассмотрим блок
100 х 100 км и 30 км высоты, простирающийся от основания
земной коры до поверхности. Его общая масса tn — величина
порядка 1021 г. Предполагается, что блок находится в
состоянии сжатия и во время землетрясения расширяется
так, что его поверхность поднимается на h = 1 м. Возбужде-
ние полюса тогда будет порядка (пренебрегая широтными
и долготными коэффициентами)
m (a j-ft)2 - 2mah 4>б; 10_ц 0",00001,
и того же порядка будет результирующее колебание по-
люса. Но наблюденные колебания — порядка 0",1. Для
горизонтальных скользяще-скалывающих смещений при-
менима та же формула, если считать h горизонтальным
перемещением. Даже положив его равным 10 м, а размеры
блока 1000 х 100 км, мы и тогда получим пренебрежимо
малый результат.
Вероятное объяснение дает атмосфера, на что указали
Вольтерра [293] и Джеффрис [124]. Согласно Джеффрису,
«распределение масс воздуха над поверхностью Земли, не-
смотря на общую периодичность, все же не строго перио-
дично и не точно повторяется каждый год, поэтому возмож-
но, что свободная нутация широты поддерживается не-
регулярными вариациями произведений инерции, наклады-
вающимися на среднюю годовую вариацию». Требуемая
величина нерегулярной вариации оказывается правильного
порядка, как указал Рудник [230].
Для первой оценки рассмотрим клиноподобные отклоне-
ния Ф (/) от нормальной сезонной вариации. Предположим,
что продолжительность каждого из них т мала по сравне-
нию с 14 месяцами. Можно применить решение (6.7.3). Для
определенности положим т = = 2,2 месяца. Индуци-
рованные свободные колебания будут иметь амплитуду
§ 6. Возбуждение колебания 211
сгот|Ф| =-= |Ф|. Наблюдаемое увеличение свободного движе-
ния между 1906 и 1908 гг. может быть вызвано одним
таким пиком с амплитудой |Ф) ^0",1.Это шестикратная
амплитуда годовой возбуждающей функции! Пики такого
порядка величины, случайно появляющиеся на протяже-
нии нескольких десятилетий, могут поддерживать чандле-
ровское колебание полюса на наблюдаемом уровне.
Но пики — неэффективное средство для изучения воз-
бужденных колебаний полюса. Для количественной
оценки мы предположим, что годовая возбуждающая
функция модулируется так, что ее амплитуда иногда не-
сколько больше, иногда несколько меньше. Предполагается,
что модуляция включает все частоты меньше 0,5 год~~х\
для определенности выберем треугольный спектр модуля-
ции, как показано пунктиром на рис. 30, а. Сумма и раз-
ность частот между годовой кривой и кривой модуляции
дает входной спектр, содержащий годичную кривую и
полосу для стороны треугольника между 1 ± 0,5 год~{.
Согласно табл. 15, входной спектр для чандлеровской
частоты имеет плотность —0,6 (0",01)2 год~[. При этой ве-
личине площадь треугольника равна 0,43 (0",01)2. Мощ-
ность годовой возбуждающей функции для положительного
движения равна 1/2 (0",0168)2 = 1,4 (0",01)2, поданным
Джеффриса для модифицированного возбуждения (см.
табл. 6, стр. 128). Мощность, приходящаяся на полосу ча-
стот, определяемую стороной треугольника, равна 30% годо-
вого члена, а среднеквадратичные вариации в амплитуде по-
рядка 50 %. Численные значения могут измениться при изме-
нении спектра модуляциисограничением,что входной спектр
должен пройти через точку (0,85) = 0,6(0",I)2 цикл [год,
как показано на рис. 30. Мощность боковых полос может
быть уменьшена вдвое, но не больше, если избегать спект-
ров с модуляцией искусственного характера. Требуемые
от года к году изменения годового возбуждения как будто
велики, но все же не являются немыслимо большими.
Пока требуемые входные спектры основывались на
анализах широтных наблюдений. Если данные анализа
полюсного прилива приемлемы, то вычисленные величины
а будут слишком велики, и необходимый входной спектр
может быть соответственно уменьшен. Для энергии чандле-
ровского колебания требуемая входная плотность меняется
8*
212
Гл. 10. Чандлеровское колебание полюсов
как а (или Q—1) по (10.1.12)—(10.1.13); если Q^> 100, то
для треугольного спектра модуляции энергия боковой по-
лосы менее чем 10%, а ошибки в амплитуде около 30%.
Рис. 30. а — входной спектр, схематически представ-
ленный годичной линией плюс сторона треугольника;
б — передача мощности Земле с максимумом на чанд-
леровской частоте 0,85 цикл/год\ в—энергетический
спектр полюса вращения; эта кривая получена по двум
верхним [230].
Непосредственный подход состоял бы в оценке воз-
буждающей функции месяц за месяцем из геофизических
данных и вычислении спектральной плотности чандлеров-
ского колебания. Еще более прямой метод состоял бы в срав-
нении с широтными наблюдениями при помощи (6.7.1).
$ 7. Диссипация
213
Попытка в этом направлении (без определенных результа-
тов) была предпринята Кауэном [47].
Вывод таков, что нерегулярные вариации атмосферы
имеют правильный порядок величины, чтобы объяснить
наблюдаемую величину чандлеровского колебания полюса.
Для Q 30 (из широтных наблюдений) требуемые атмо-
сферные вариации несколько превышают возможность, но
для Q 100 (из полярного прилива) величины бодее
приемлемы. Землетрясения не могут считаться воз-
можной причиной. Нерегулярные движения в ядре не
могут быть исключены (§ 12 гл. 11).
В заключение мы может оценить величину колебания,
если резонансный период приближается к периоду в 1 год.
Как указал Ламберт [149, стр. 97], резонансная частота
С— А ~
СГ0 “ д й
могла бы быть больше на нужную величину в эпоху, от-
стоящую на несколько сотен миллионов лет назад, если
теперешнюю скорость приливного замедления в Q экстра-
полировать в прошлое (§ 6 гл. И).
Максимальное увеличение колебаний полюса равно
Q-0",0168 в сравнении с усилением 7-0",0168 при суще-
ствующих обстоятельствах. По-видимому, годичное сме-
щение полюса не будет превосходить нескольких со-
тен метров в любых условиях.
§ 7. Диссипация
Величины Q для чандлеровского колебания полюса
получаются из спектральных анализов широтных и прилив-
ных наблюдений. По этим величинам судить о диссипации
энергии в Земле на частоте чандлеровского колебания
в предположении, что кажущееся затухание не обуслов-
лено возбуждающими импульсами неслучайного характера.
Выявление того, где теряется энергия, существенно в проб-
леме движения полюса. Если энергия рассеивается в ман-
тии, то результирующая вязкость может определять
скорость векового перемещения полюса. Если же за за-
тухание ответственны океаны или кора, то подобное
определение уже невозможно.
214
Гл. 10. Чандлеровское колебание полюсов
Предварительно мы должны оценить скорость диссипа-
ции энергии. Кинетическая энергия твердого тела, свободно
раскачивающегося около средней оси х3, равна
К = *2‘(Л(01 4~ ^^2 “Ь Ссоз);
кинетическая энергия находящегося в состоянии устано-
вившегося вращения твердого тела, обладающего тем же
моментом количества движения, равна
Меняющаяся со временем часть кинетической энергии тогда
будет
—М0^1//ЛЙ2(т? +та). (10.7.1)
Вследствие того что Земля не является абсолютно
твердым телом, всякое вычисление полной энергии, связан-
ной с чандлеровским движением, должно включать упругую
энергию деформаций и потенциальную энергию, возникаю-
щую при перераспределении масс.
Если бы наша Земля была абсолютно упругой, то
тогда средняя кинетическая энергия равнялась бы среднему
от суммы упругой и потенциальной энергий. Энергия не
распределена в точности равномерно, если в системе имеет
место диссипация. Энергия, рассеянная за цикл, в 2n/Q раз
превышает пиковую энергию. До членов порядка Q-1 ки-
нетическая энергия колебания полюса равна потенциальной
и упругой энергии
ДК = ДР ++
а полная энергия с той же степенью точности равна удвоен-
ной средней кинетической энергии.
При среднеквадратичном значении амплитуды 0,14 для
средней энергии чандлеровского движения получаем
2ДК = 8-1021 эрг = 4 -10-15 К, (10.7.2)
а для средней скорости диссипации энергии
2ДКо0 Q-1 = 1015 Q-1 эрг/сек. (10.7.3)
§ 7. Диссипация
215
Эта величина весьма мала в сравнении со скоростью дис-
сипации 3-1019 эрг/сек для приливов (§ 6 гл. 11) или
2,5-1020 эрг!сек для потока энергии из недр Земли, в основ-
ном обязанного радиоактивности.
Проблема объяснения затухания чандлеровского движе-
ния имеет свою долгую и сложную историю. Джеффрис
[118] впервые отнес затухание за счет приливного трения
в океанах. В более поздней работе Джеффрис [125] пришел
к выводу, что приливного трения недостаточно, и предложил
в качестве подходящего источника уменьшения энергии
упругое последействие мантии, что поставило ряд проблем
перед интерпретацией сейсмических данных. В третьем
издании книги «Земля» Джеффрис добавил и ядро как
возможный источник уменьшения энергии; Бонди и Голд
[17 ] отвергли ядро и океаны как источник уменьшения энер-
гии, поскольку в их модели Земли земное ядро и океаны
не обладали достаточным моментом инерции, чтобы воздей-
ствовать на мантию. В работе [127] Джеффрис вновь отнес
затухание к последействию мантии. Проблема эта, видимо,
как будто решена, но нам хотелось бы вновь поставить ее.
Колебания полюса ведут к появлению движений в
океанах и ядре, и поэтому наблюдаются океанские приливы.
Любое трение на дне океана или на границе ядра и мантии
будет препятствовать движению твердой Земли — реакции
на колебание мгновенной оси вращения. Для случая воз-
буждения, целиком обусловленного моментом Lz, уравнения
движения (6.1.2), (6.2.3) будут
т1 1
~ + т2 ‘ й2 (С — А ) ’
т.>
-- — тл
^2
Q2(C — Л)
т — —
Прием, использованный Бонди и Голдом, заключается
в том, что Li принимается равным —тс момент сил трения
берется относительно мгновенной оси вращения. Однако это
не единственная возможность. Мы может положить
Lt &ijk mj dt »
момент сил трения действует относительно оси, перпен-
дикулярной плоскости, определяемой мгновенной осью
216
Гл. 10. Чандлеровское колебание полюсов
вращения и вектором dm^dt, и непосредственно противо-
действует движению твердой Земли — как реакция на
колебание мгновенной оси вращения. Момент сил трения
действует тогда относительно оси, перпендикулярной на-
правлению его действия для случая, рассмотренного Бонди
и Голдом. Эта модель явно показывает, что колебание
полюса возбуждает меридиональное движение, в то время
как момент, введенный Бонди и Голдом, может возник-
нуть вследствие зональных движений относительно мгно-
венной оси вращения
Уравнения колебания полюса могут быть тогда записаны
в виде
+ т2 К т3 — т2) ~
'г . . (10.7.4)
« Хтх,
где X — постоянная, характеризующая фрикционное взаи-
модействие. Решение этих уравнений
m = М ехр [(— X -Г t) <зг t}
представляет собой типичное затухающее колебание. Для
пренебрежимо малых фрикционных взаимодействий
т1 — cr2 m2; m2 с2 mv
и фрикционные члены приближаются к —в соот-
ветствии с моделью Бонди и Голда. Однако для значитель-
ного затухания рассмотренные модели ведут себя совер-
шенно различно.
Ядро. Для интерпретации у необходимы подробные
расчеты. В случае затухания, вызываемого ядром, верхний
предел может быть получен при использовании метода
Бонди — Голда. Рассмотрим оболочку с моментами инерции
О К данному вопросу имеет отношение и исследование Клейна
и Зоммерфельда [139, стр. 588, 727]. Их решение о затухании дви-
жения волчка из-за сопротивления воздуха аналогично модели
Бонди — Голда в предположении о бесконечном моменте инерции
ядра. Относительно затухания, обусловленного полярными прили-
вами, «можно представить себе, что в данном случае трение противо-
действует изменению оси вращения». Их решение вполне аналогично
нашему.
£ 7. Диссипация
217
А, А и С, окружающую шар с моментом инерции А. Оба
эти тела приведены во вращение; будем теперь исследовать
движение, предполагая, что момент сил связи задан в виде
Q"1 уе/^(о/(со& — соД
где (0^ — угловая скорость оболочки, со& — угловая ско-
рость внутреннего тела, а у — постоянная взаимодействия.
Нормальное колебание системы включает затухающее ко-
лебание оси вращения. Это колебание имеет нулевое затуха-
ние при у = 0 и у = оо; в последнем случае тела жестко
скреплены. Затухание максимально: а) при
А
и б) в частном случае, когда колебание оси затухает
по закону
ехр у у?1 Q/j = exp , (10.7.5)
где Os— частота колебания твердой оболочки. Максималь-
ная скорость затухания не зависит от момента инерции ядра.
Соответствующее решение, по Бонди и Голду, содержит
временной множитель
expf-l^1 ’
который зависит от момента инерции ядра А и имеет период
затухания в (1 4* т1/А') больше, чем по (10.7.5).
В соответствии с (10.7.5) амплитуда уменьшается в 1/е
раз по сравнению со своей первоначальной величиной за
промежуток времени jt~1(2jt/crs); для =сг0 этот промежуток
равен 100 суткам. Следовательно, максимальная скорость
затухания более чем достаточна для объяснения наблюда-
емого периода затухания, равного по меньшей мере 10 го-
дам. Вопрос заключается в том, может ли реальное рас-
сеяние энергии в ядре объяснить наблюдаемое время за-
тухания.
Можно исследовать данный вопрос путем применения
теории пограничного слоя к вязкому ядру. Толщина no-
SB Вращение Земли
218 Гл. 10. Чандлеровское колебание полюсов
граничного слоя1) равна (2t]/Q)V«, а скорость диссипации
энергии на единицу площади — величина порядка q V2 * * * *(t]Q)1/2j
где V — относительная скорость ядра и мантии на границе.
Джеффрис и Висенте (131, 132] показали, что в первом
приближении ядро остается неподвижным; при этом пред-
положении мы получаем для верхнего предела относи-
тельной скорости
Рассеяние для всей Земли в целом происходит со ско-
ростью
4лаядРа pva (цЙ)1/г 2 • 108 * * т]1/* эрг!сек. (10.7.6)
Исследование Джеффрисом [127] вязкости ядра указывает
на величину 108 см!сек как верхний предел для т]. Соответст-
вующая толщина пограничного слоя будет 15 км, а скорость
рассеяния по (10.7.6) равна 2-Ю12 эрг!сек, по сравнению
с «наблюдаемой» скоростью Ю1^”1 эрг/сек (10.7.3).
Мантия. Потеря энергии может происходить также в ман-
тии. Лабораторные и сейсмические данные показывают, что
Q для неорганического неферромагнитного твердого тела
является величиной, не зависящей от частоты в области ча-
стот от 107 до 10“1 цикл!сек (141 ]. Для любой модели с ли-
нейным сопротивлением Q зависит от частоты. Кнопов и
Макдональд (141 ] объяснили нелинейным трением затухание
в упомянтутой выше области частот; для Q они получали
значение между 100 и 250 (для мантии). Если эту картину
1) Джеффрис обратил наше внимание на тот факт, что для
периодов, много больших суток, приложима теория пограничного
слоя, если заменить величину а на Й. Мы занимаемся движениями,
близкими к горизонтальным: к — их + iuy. Для простых гармони-
ческих колебаний уравнения движения
/д*и\
izu + ifcu = ц I -g~i \ ,
и кориолисова частота fc подавляет частоту колебаний а. Этот ре-
зультат неявно получен в работе Бонди и Литлтона [18]. Поток •
в пограничном слое представляет собой спираль Экмана.
§7. Диссипация
21§
экстраполировать до частоты 10~7 цикл!сек (вероятное значе-
ние Q по полярным приливам), то можно сделать вывод,
что за затухание чандлеровского колебания ответственны
те же процессы, которые вызывают затухание волн земле-
трясений. Меньшие значения Q (как это показывают широт-
ные наблюдения) требуют для своего объяснения другого
механизма, нежели твердое трение, если движение должно
затухать в мантии. Здесь можно принять модель Максвелла
с кинематической вязкостью 2,5- Ю19 смЧсек (§ 3 гл. 10).
Джеффрис [127] установил, что если нижняя мантия имеет
такую вязкость, то взаимодействие ее с материалом, имею-
щим жесткость 300 бар в верхних 700 км, может объяснить
как затухание, так и гравитационные аномалии. В более
поздней работе [128] Джеффрис придает особое значение
модели, основанной на экспериментах Ломница [162, 163]
по выявлению конечной прочности горных пород. Однако
применимость результатов Ломница к рассматриваемой
задаче не очевидна.
Океаны. В нашей модели максимальная скорость затуха-
ния не зависит от инерции ядра, и это приводит к тому, что,
по крайней мере в принципе, затухание может также воз-
никать вследствие движения океанов относительно дна.
Эту возможность исследовал Джеффрис [126, стр. 245] и
нашел ее несущественной. Его аргументы сводились к следу-
ющему.
1. Скорость диссипации для полусуточного прилива —
величина порядка ЧО19 эрг!сек. Если скорость диссипации
пропорциональна квадрату статической амплитуды, то за
счет полюсного прилива рассеивается примерно
/ • ю19 = 3 • 1015 эрг! сек.
^30 см j г
2. Однако с диссипацией связано лишь отклонение от
статической реакции. Подобное отклонение для однородной
Земли, целиком покрытой океаном, Джеффрис оценивает
в 2,5% для полюсного прилива. Для полусуточных прили-
вов он полагает такое отклонение равным 100% и получает
(бУо/3’ 1016 = 2-1912 эРг/сек-
8В*
220
Гл. 10. Чандлеровское колебание полюсов
3. Но диссипация со скоростью 1019 эрг/сек для полу-
суточных приливов имеет место в мелководных морях, где
может оказаться существенным увеличением рассеяния из-за
местных явлений. Нельзя предполагать, что такое увеличе-
ние имеет место для полюсного прилива. Это приводит
к дальнейшему уменьшению «в несколько сотен раз», так что
окончательная величина оказывается порядка 1О10 эрг/сек
по сравнению с «наблюдаемой» величиной lO^-Q"1 эрг/сек.
Пункт 1 основывается на сравнении приливов р\ и р%,
что требует обоснования; п. 2 следует из теории глобального
океана, но в соответствии с замечаниями в § 14 наличие
континентальных шельфов может полностью изменить
результаты; что же касается п. 3, то здесь мы имеем основа-
ния сомневаться в справедливости данных о диссипации,
происходящей в мелководных морях (§ 8 гл. 11), а кроме
того, имеются данные о том, что полюсные приливы увеличи-
ваются (§ 4). Это приводит к выводу, что океаны не должны
исключаться из рассмотрения как возможный источник
диссипации.
В заключение можно сделать следующие выводы.
1. Если Q находится между 100 и 200, как это не вполне
уверенно получается из анализов приливов от движения
полюса, то затухание может объясняться твердым трением
в мантии.
Для значений же Q между 30 и 50, получаемых из
анализов широтных наблюдений, имеется много возмож-
ностей:
2. Затухание может происходить в океанах.
3. Вероятной причиной диссипации энергии являются
процессы в нижней мантии; следовательно, модель с макс-
велловской вязкостью не подтверждается лабораторными
и сейсмическими данными.
4. Затухание вследствие вязкости ядра, по-видимому,
следует исключить из рассмотрения: единственная воз-
можность— электромагнитное затухание [127].
5. Импульсы неслучайного характера (в ядре, океа-
нах или атмосфере) могут как гасить, так и возбуждать
колебания полюса. Вычисляемое значение Q в этом случае
обусловлено не затуханием, а взаимодействием между этими
слабо связанными компонентами.
Картина в целом чрезвычайно неясна.
$ 8. Число Лява k
221
§8. Число Лява k
Основываясь на распределении Буллена плотности и
упругости в Земле, Такеучи [271] получил значение
ke - 0,29.
Однако не следует обольщаться совпадением этого числа
с наблюденной величиной эффективно-приливной жесткости
£-0,29 ±0,01. (10.3.2)
Во-первых, величина ke существенно зависит от поверхност-
ной плотности р. Для одной и той же модели Земли Такеучи
[272] получил
££? —0,281 для р — 3,0 г/см3,
kp — 0,256 для р = 2,7 г/см3.
Далее, параметры ke и k не могут сравниваться непосред-
ственно; ke и k определяются статической реакцией ядра без
учета эффекта влияния океанов на колебания полюса. Для
указанного сравнения необходимо прежде всего принять
во внимание реакцию ядра и океана, которая обуслов-
ливается фрикционным взаимодействием между телом
Земли и жидкой ее оболочкой. Гравитационные же эф-
фекты, отличные от классических приливов, суть величи-
ны второго порядка.
Колебания, возбуждаемые движением полюсов, лишь
частично передаются жидкому ядру, так что инерция
ядра имеет второстепенное значение при определении пери-
ода. Конечно, если бы ядро было полностью жидким и за-
нимало сферический объем в твердой оболочке, то оно бы
вообще не принимало никакого участия в образовании
движения полюса. Доля участия ядра в возникновении дви-
жения полюса зависит от эллипсоидальное™, распределе-
ния плотности и вязкости ядра и сил электромагнитного
взаимодействия между ядром и мантией. В настоящее время
исследованы [131, 132] лишь влияние эллипсоидальное™ и
распределения плотности в их зависимости от упругости
оболочки. Вычитание инерции ядра уменьшает период
для динамической модели по сравнению со статической
во столько раз, во сколько инерция ядра меньше общей
222
Гл. 10. Чандлеровское колебание полюсов
инерции ядра и’оболочки. Для твердой оболочки Земли это
отношение равно 1/10, а соответствующее уменьшение пе-
риода — 30 дней.
Точно так же невязкий океан, целиком покрывающий
Землю, должен был бы укорачивать период, хотя и на
очень небольшую величину, поскольку момент инерции
такого океана весьма мал. Если, с другой стороны, уровень
океана всегда выровнен в соответствии с положением ко-
леблющейся оси, то это должно привести к удлинению пе-
риода. Удлинение, обусловленное таким статическим при-
ливом, составляет 33 дня.
Если, отвлекаясь от фактических данных, мы будем
считать колебания полюса зависящими от статического по-
люсного прилива, то совпадение поправок числа Лява k,
обусловленных ядром и океанами, приведет их к взаимной
компенсации. Колебания полюса от равновесных приливов
уменьшают величину k с 0,29 до 0,23. Джеффрис и Висенте
[131, 132] показали, что динамические эффекты ядра увели-
чивают k примерно на 0,08. Учтя эту компенсацию, мы
получаем близкое согласие между теоретическим эффектив-
но-приливным числом Лява.
k - ke — 0,06 + 0,08 = 0,31
и наблюденной величиной 0,29. Однако точность теоретиче-
ской величины k значительно хуже, чем kej вследствие
наличия упомянутых выше больших и плохо определенных
поправок.
§ 9. Заключение
Статистические свойства рядов широтных наблюдений
связаны с моделью затухающего осциллятора, возбуждаемо-
го случайно. Максимум реакции попадает на период 1,2 года:
Q определяется плохо, но предположительно лежит между
30 и 40 1 >. По значению периода, на который приходится
1) Замечание, добавленное в корректуре. В настоящее время в пе-
чати находится весьма полный анализ Фелгетта (Monthly Notices),
основанный на методе максимального правдоподобия. Вот его ре-
зультаты: Fo = 1,180 ± 0,012 цикл!год, а-1 = 12,4 года, чандлеров-
ская мощность равна 259,2 (0",01)2. Под данным Фелгетта, значение
а”"1 «неопределенно по крайней мере в 10 раз, и периоды затухания
§ 9. Заключение 223
пик, определено значение k = 0,29 для эффективно-
приливного числа Лява, что согласуется с оценкой Такеучи,
исправленной за реакции ядра и океанов (впрочем, эти
поправки не вполне точны). Величина Q может объясняться
значением вязкости 1020 г/см-сек ддя модели Земли Макс-
велла и 3 • 107 г!см • сек для модели Земли Кельвина —
Войта. Обе эти модели имеют очень серьезные недостатки, и
проблема диссипации энергии не может считаться решенной.
Наиболее вероятной причиной колебаний полюсов явля-
ются нерегулярные вариации атмосферы.
короче 2х/2 лет или длиннее нескольких сотен лет не исключены».
Такие оценки были получены им из рассмотрения искусственно по-
строенных рядов случайных чисел.
ГЛАВА 11
Вековые вариации
§ 1. Астрономические наблюдения колебаний
полюса
Мы сосредоточим внимание на вековом смещении полюса
вращения после исключения годового члена и чандлеров-
ского колебания. Исключение этих двух членов производит-
ся обычно вычислением скользящих средних с периодом
6 лет —промежутком времени, равным пяти чандлеровским
и шести годичным периодам. Исключение было бы полным,
если бы чандлеровский спектр состоял из одной линии
с 1 циклом за 1,2 года, однако спектр в действительности
обладает полосчатой структурой (§ 5 гл. 7).
На первый взгляд (рис. 13. стр. 107) данные наблюдений
не обнаруживают никакого векового смещения. Согласно
Руднику, годичный и чандлеровский члены вместе состав-
ляют 93% энергии записи.
Остаток мал, и его роль сомнительна. Тем не менее име-
ются некоторые количественные оценки векового смещения
полюса. Их желательно рассмотреть в связи с тем влиянием,
которое невольно оказывают на геофизиков любые числа,
связанные с априорной правдоподобностью векового смеще-
ния полюса. Данные, полученные из широтных наблю-
дений, в основном могут служить для установления верх-
него предела этого смещения. Но даже это имеет геофизи-
ческое приложение, ограничивая слишком смелые гипотезы.
Подробное обсуждение данных первых 15 лет широтных
наблюдений было сделано Ламбертом [147]. Его результаты
совместно с результатами Банаха, опубликованными через
несколько лет, приведены в табл. 16 (в 0",01 на год).
Вычисления Ламберта указывают на вековое смещение
полюса в 2,7 м по направлению к Чикаго в течение
£ 1. Наблюдения колебаний полюса
225
Т а б ли ц а 16
Источник Период dtnjdt dtnjdt
[147] 1900—1911 —0,02±0,10 —0,63±0,09
[147] 1900—1914 -f-0,05±0,04 —0,62±0,04
[297] 1900—1926 ±0,35±0,06 —0,31 ±0,08
1900—1914 гг.; согласно Банаху, оно составляет 3,6 м по
направлению к Гренландии в течение 1900—1925 гг.
Некоторое указание на вековое смещение полюса по
направлению к Северной Америке дало также кажущееся
уменьшение европейских широт в течение XIX в., сопро-
вождающееся увеличением американских широт. Несмотря
на имеющееся согласие, по меньшей мере относительно
направления движения полюса, астроном Шлезингер
считает эти данные неубедительными. Шлезингер пришел
к выводу, что наблюдаемые изменения широты обязаны
ошибочному собственному движению звезд совместно с не-
которыми остаточными собственными движениями обсерва-
торий (приятное упрощение геологической сложности
астрономической терминологией). За дальнейшими под-
робностями мы отсылаем читателя к упомянутой работе
Ламберта и работе Марковица [171].
Можно было бы думать, что последующие 30 лет широт-
ных наблюдений внесли ясность относительно реальности
наблюдаемого смещения полюса. Однако это не так. На
рис. 31 приведено вековое движение полюса согласно
Секигучи [244], исправленное Мельхиором [182]. Разрывы
в направлении смещения отмечаются в 1912,1923, 1953 гг.—
годах, когда изменялись каталоги. Секигучи считает эти из-
менения реальными, однако, как отметил Мельхиор [183],
кажется маловероятным, что эти возмущения как раз сов-
пали по времени с изменениями каталогов. Мельхиор за-
ключает, что эти изменения в основном показывают собст-
венные движения каталожных звезд. Анализ Цеччини
[33] подчеркивает скорее зависимость результата от стан-
ции, выбранной для анализа. Единая редукция всех
наблюдений производится сейчас в Королевской обсерва-
тории в Бельгии под руководством Мельхиора и Бека.
В настоящее время лучшие оценки с использованием всех
имеющихся широтных наблюдений, по-видимому, таковы:
226
Гл. 11. Вековые вариации
Цеччини [34]: бтх = 0",072, Sm2 = —0",056;
Комсток [46]: б/л3 = 0,075, Sm2 = — 0,0195.
Эти значения относятся к смещению от среднего положения
в 1900—1950 гг. к среднему положению в 1949—1950 гг.
Рис. 31. Смещение полюса по Секигучи [244].
Каждая точка соответствует среднегодово-
му положению. Указаны положения для
1906,0; 1912,0; 1922,7; 1935,0; 1946,0. В
оригинальной статье использованы коорди-
наты МСШ х — у = — х2;
Это соответствует смещению примерно в 3 м по направлению
к Гренландии в течение первой половины XX в.
Наблюдения в Гринвиче и Вашингтоне не противоречат
этим значениям, однако и не дают указаний в их пользу.
Спенсер Джонс [136, 137] считает, что в течение 25 лет
(с 1912 по 1937 г.) «средняя широта Гринвича изменилась не
более чем на 0",10». Согласно Марковицу [170], за период
с 1916 по 1940 гг. «средняя широта Вашингтона постоянна
$ 2. Наблюдения продолжительности суток.
22 7
в пределах ошибок наблюдений и ее изменение составляет
около 0",001 за год». Таким образом, наблюдения в Грин-
виче и Вашингтоне примечательны отсутствием всякого
наблюдаемого векового смещения.
§ 2. Современные наблюдения продолжительности
суток
На основе гравитационной теории орбитальное движение
планет вокруг Солнца (и в том числе Земли) и спутников
вокруг планет может быть вычислено в функции времени.
Время, которое входит в уравнения движения, называется
ньютоновским или эфемеридным временем (ЕТ@, ЕТ^,...).
Время, определяемое вращением Земли, есть всемирное вре-
мя. За единицу всемирного времени UT берутся средние
солнечные сутки, т. е. промежуток времени между двумя по-
следовательными прохождениями через меридиан среднего
солнца над точкой на поверхности Земли. На практике
наблюдаются прохождения через меридиан зенитных звезд.
Табулированные согласно ньютоновской механике по-
ложения Солнца, Луны и планет называются эфемеридами.
Независимой переменной в эфемеридах является ЕТ®.
Если бы вращение Земли было равномерным и выполнялись
бы некоторые другие условия, то наблюдаемые положения и
эфемериды согласовывались бы друг с другом. Однако на
практике обнаружены определенные расхождения. Для
целей навигации сделана попытка учесть эти расхождения
включением эмпирических членов в исправленные эфеме-
риды. Для наших целей эти эмпирические поправки должны
быть исключены из эфемерид, чтобы можно было сравнить
наблюдаемые положения и (неисправленные) эфемериды.
Расхождения могут возникать по различным причинам:
1. Гравитационная теория, применяемая для расчета
эфемерид, неполна. Дикке [62 ] предложил теорию, в кото-
рой изменяется гравитационная постоянная, что и вы-
зывает расхождение между ЕТ@ и UT (§ 8 гл. 9).
2. Луна и планеты считаются твердыми телами. Вследст-
вие деформируемости реальных планет возникают процессы
(например, приливное трение), не учитываемые в классиче-
ской гравитационной теории. Вообще говоря, эти процессы
будут изменять среднее движение планет.
228
Гл. И. Вековые вариации
3. Точность численных методов может быть недостаточ-
ной по сравнению с точностью наблюдений. Вулард [302],
используя электронную вычислительную машину, показал,
что погрешности в лунных таблицах Брауна достаточно
велики, чтобы возникли наблюдаемые расхождения. Эти
погрешности обусловлены тем, что в нескольких членах
дважды учитываются долгопериодические вариации орбиты
Луны. Хотя эти ошибки доступны наблюдениям, они ма-
лы по сравнению с другими неопределенностями. Мы бу-
дем считать, что все расхождения обусловлены не недо-
статками гравитационной теории и численных расчетов,
хотя будущее может обнаружить их существенность.
4. Вращение Земли переменно. Вследствие этого по-
ложения Солнца, Луны и планет, наблюдаемые в данный
момент всемирного времени, не совпадают с эфемеридными
положениями. Если скорость вращения изменяется вековым
образом, то наблюдаемые положения отклоняются от своих
эфемерид на постоянно возрастающие величины. Главный
эффект заключается в невязке средних долгот, хотя долго-
периодические вариации могут вызвать также наблюдае-
мые невязки в перигелиях и узлах. Пусть
ДГ0-а0 + 60Т + /0(7) (11.2.1)
(Т — эфемеридное время) обозначает разницу между на-
блюдаемой и теоретической долготой Солнца. Т = ЕТ0,
измеряемому в юлианских столетиях (36 525 средних сол-
нечных суток), отсчитываемых от 0 января 1900 среднего
гринвичского полудня. Средняя тропическая долгота
Солнца возрастает со скоростью Г за 24,349 сек. Невязка
во времени связана тогда с невязкой в долготе соотноше-
нием
Д/ - ЕТ0 — UT - 24,349 Д£0. (11.2.2)
Постоянные а® и Ь0 произвольны; они определяют начало
отсчета и скорость возрастания эфемеридного времени.
Они выбраны таким образом, чтобы сделать Д£0 как
можно меньшей за период наблюдений, рассмотренный
Ньюкомом; ДЬ0 не обращается в нуль в 1900,0.
Луна имеет наибольшее движение в эклиптической дол-
готе (0",55/сек) и поэтому является наиболее удобным объ-
ектом для определения эфемеридного времени. В своем
§ 2. Наблюдения продолжительности суток
229
движении к востоку среди звезд она покрывает несколько
ярких звезд, не обладающих заметным средним движением
или параллаксом. Покрытие неподвижных звезд фиксирует
эклиптическую долготу Луны. Долгота Луны может быть
определена также из наблюдений прохождения через ме-
ридиан при помощи меридианйого круга. Эти два метода
приводят к согласующимся друг с другом результатам от-
носительно всех главных особенностей лунной невязки
(см. рис. 38, стр. 242), хотя имеются некоторые различия,
величина которых превосходит случайные ошибки [24]. Ис-
точником различий может быть неровность лунного лимба.
Покрытия обычно считаются более точным методом, осо-
бенно по старым наблюдениям.
Разность наблюдаемых и теоретических средних долгот
Луны можно записать в виде
+ + (11.2.3)
где и bq — также эмпирически определяемые постоян-
ные. Их значения подбираются так, чтобы для 1900 г.
В.Р.Н. = 0, jy(B. Р.Н.) = 0, (11.2.4)
где В.Р.Н. — «взвешенная разность невязок» (weighted
discrepancy difference), определяемая согласно (11.2.4).
На рис. 32 приведены графики лунной невязки по данным
покрытий При интерпретации этого рисунка следует
1) Численные значения были получены по формуле
(Т) = Осс — (Th — 5,,,22Т2)>
где величина Осс взята у Спенсер Джонса [135, табл. 5] для пе-
риода с 1680 по 1908 г. и у Брауэра [23, табл. Villa] с 1908 по
1950 г. (см. также [136, табл. 1]). Теоретические значения Th
взяты из таблицы Брауна, которая включает большой эмпирический
член
Б. Э. Ч. = 10",71 sin (140°,ОТ + 240°,7)
для поправки на «горб» между 1680 и 1900 гг. Спенсер Джонс и
Брауэр определяют Th следующим образом:
Th = таблица Брауна —Б. Э. 4.-4'',65+12*,96T+5',22T2,
т. е. исключают большой эмпирический член, но вводят эмпириче-
ское вековое изменение 5,22Т2 (на основании изучения античных
наблюдений, сделанных де Ситтером). Взяв Th — 5,22 Т2 вместо
Th, мы исключили из теории все эмпирические члены (кроме про-
извольных постоянных и ^), включив их в функцию невязки
230
Гл. 11. Вековые вариации
напомнить, что приведены годовые средние долготы и что
данные были сглажены различными способами. Характерны
следующие три черты: 1) «вековое» уменьшение; 2) гладкий
горб между 1680 и 1900 гг., который представлен большим
Рис. 32. Невязка долготы Луны
(по данным затмений).
эмпирическим членом Ньюкома, и 3) относительно высоко-
частотный скачок между 1900 и 1950 гг. Характер последне-
го отрезка кривой (~20%) резко отличается от остального
участка, и кажется соблазнительной возможность при-
писать это улучшение техники наблюдений. Однако такие
черты показывают и меридианные наблюдения Луны и,
как мы увидим далее, кривые невязок для Солнца и Мер-
курия. Кроме того, никаких существенных изменений
в программе наблюдений с 1900 г. не было.
§ 2. Наблюдения продолжительности суток
231
На рис. 33 приведены кривые невязок для Солнца и
Меркурия умноженные на отношения
Пл Пп
-4=13,37, -4 = 3,22
«® «7 ’
среднего движения Луны к среднему движению Солнца и
Меркурия соответственно. Если неравномерное вращение
Земли является единственной причиной невязок, то вслед-
ствие расхождения Д/ между UT и ЕТ® возникает расхож-
дение в долготе AL, которое будет пропорционально сред-
нему движению тел (наблюдаемых с Земли). В этом случае
невязки Луны, Солнца и Меркурия на нашем графике долж-
ны быть одинаковы. И на самом деле обнаруживается близ-
кое сходство. Впервые на это обратил внимание Глауерт
[85]. Спенсер Джонс [136, 137] с несомненностью установил
это соотношение, а исчерпывающее исследование Меркурия
Клеменсом [44] принесло дальнейшее подтверждение.
Однако это сходство неполное. Имеется расхождение
с долгим периодом между лунной невязкой, с одной стороны,
и невязками Солнца и Меркурия — с другой. «Взвешенная
разность невязок»
В. Р. Н. = (Т) — (П (11.2.4а)
О Приведены графики величин
nd
-— f® (L) = Наблюдения — (Таблицы Ньюкома)+ й® + 6® Т ~
= В@ + 16",71 Т2;
па
—— — Наблюдения — (Таблицы Ньюкома) + Ь^Т =
"® ? ? т
= 16",39 Т2,
где Bq и — флуктуации, приведенные в табл. II и IV соответ-
ственно работы Спенсер Джонса [136]. Квадратичный член устра-
няет вековое изменение 1,23Т2 (основанное на изучении античных
наблюдений де Ситтером), введенное Спенсер Джонсом в теорети-
ческие значения Ньюкома. В соответствии с этим вековое смещение
на графике сохранено.
40
30
го
w
о
-ю
-го
1700 1800
Рис. 33. Кружки с точкой — значения (^/^@) (Г); крестики —
значения (Т).
Имеются расхождения для Солнца и Меркурия (ноябрьские про-
хождения), усредненные по их среднему движению. Наблюдения
солнечных долгот для промежутка с 1680 до 1740 г. отсутствуют.
Приведение наблюдений Меркурия за этот период зависит от экстра-
полированной долготы Солнца.
$ 2. Наблюдения продолжительности суток 233
определяет это смещение в явном виде. Выпишем вторые
производные невязок в долготе для Луны и Солнца:
= , 5 = 0.0366,
u (11.2.5)
f&(Л = «® (Г) - "5 й (Г), = °-00274.
с учетом калибровочных членов а + ЬТ. Эффекты, возника-
ющие из-за неравномерного вращения Земли, целиком
заключены во вторых членах. Отсюда
d2(B. Р. Н.) • n(f • /1 i о
——-= МЛ — —тя® (Л (П.2.6)
зависит только от взвешенной разности орбитальных уско-
рений; эффект неравномерности вращения Земли устранен.
Далее, если считать орбитальные ускорения величинами
постоянными, то
В.Р. Н. = — сТ\ -2с = п(1—-^п@. (11.2.7)
Существенно то, что как для Солнца, так и для Меркурия
В.Р.Н. представляется параболой О (рис. 34)
В. Р.Н. = — 11",2 Т2, (11.2.8)
что подтверждает предположение о постоянстве орбиталь-
ных ускорений и определяет значение с. Ответственным за
это является приливное лунное трение. График В. Р. Н.
не показывает никаких признаков большого эмпирического
члена и скачка в XX в., так что Луна участвует в этих флук-
туациях наравне с Солнцем и Меркурием. Следовательно,
они возникают из-за изменения скорости вращения Земли.
Характерное время для большого эмпирического члена —
столетия, а изменений с 1900 по 1950 г. — десятилетия.
Если допустить, что, исключая известный квадратич-
ный член, расхождение в долготе Солнца точно равно
1) Значение численного коэффициента—П",2 основано на рас-
чете Спенсер Джонса [136, 137] по методу наименьших квадратов.
Комбинируя (11.2.5) с значениями де Ситтера для античных затмений
(fy = 5",22 Т2), Спенсер Джонс получает путем исключения для
векового ускорения Солнца в настоящее время величину
/@(Т) = Г',23 72.
Однако необходимо отметить, что предыдущее значение —11,2 Т2
для разности невязок не зависит от античных наблюдений.
234
Гл. 11. Вековые вариации
Рис. 34. Взвешенные разности невязок для Солнца (®) и
для Меркурия (+); значения до 1740 г. зависят от экстрапо-
лированной долготы Солнца.
Кривая, обозначенная «Совр.», соответствует В. Р. Н. —
— 11",2 Т2; «Древн.» — 18,85 Т2 (§ 3 гл. 11).
расхождению в долготе Луны, умноженному на отношение
их средних движений, то мы можем перевести измерения
лунных покрытий в разности между эфемеридами и всемир-
ным временем:
Д/- ЕТ® — UT = 24,349 [а® + b& Т —
__®сл+/^(7) ,
"а "а J
(11.2.9)
$ 2. Наблюдения продолжительности суток
235
Рис. 35. Кривая невязки времени М (Т) (а) и ее производная по
времени (б) d^t/dT. Кривая с 1930 по 1950,5 г. построена по
эфемеридному времени с использованием сглаженных значений
Брауэра [23]. Кривая с 1955,5 по 1958 г. построена по цезиевым
часам [75]. Кружки соответствуют песглаженным данным наблю-
дений с лунной камерой [174].
где Т — ЕТ@. Это уравнение можно разрешить относи-
тельно ЕТ@, используя значения определяемые по-
крытиями. Этот метод, использованный на графике, зависит
от величины с и предположения о том, что с постоянная.
Кроме того, считается, что любая флуктуация угловой
скорости Луны, не обусловленная гравитационными эф-
фектами, мала по сравнению с точностью наблюдений. Мы
вынуждены принять эти допущения вследствие практиче-
ских ограничений наблюдений долготы Солнца.
236
Гл. It. Вековые вариации
Рис. 35 заимствован из работы Марковица [174], где
была сделана попытка объединить результаты наблюдений
покрытий, наблюдений с лунной камерой и данные цезиевых
часов. Кривая невязки Д/(Т) получена из данных покрытий
согласно (11.2.9); поэтому производная соответствует уве-
личению или уменьшению продолжительности суток, сравни-
ваемых со средними солнечными сутками эпохи 0 января
1900. Предполагаемое линейное возрастание продолжитель-
ности суток с 1955,5 по 1958 г. соответствует прямой линии
на рис. 26 (стр. 184). Объединение эфемерид и атомного
времени не дало определенных результатов.
§ 3. Античные затмения
Современные наблюдения указывают на вековое увели-
чение продолжительности суток. Предположим, что сутки
равномерно удлиняются на 1 мсек в столетие. За последние
20 столетий средние сутки должны быть на 10 мсек короче
средних солнечных суток современной эпохи. Накопившаяся
разность времен из-за такого равномерного замедления
Земли должна составлять
Д/ = 10-10-3----— • 365 суток • 20 веков ^7300 сек.
сутки‘век, и
Поэтому античное затмение должно было иметь место
на несколько часов раньше времени, вычисляемого по гра-
витационной теории, и в месте, смещенном на несколько
десятков градусов по долготе. Таким образом, сведения
о времени и (или) месте лунных и солнечных затмений со-
держат информацию относительно ДЛ^ — ДЛ®. Записанное
время лунного покрытия дает ДЛ^, а равноденствия Д£®.
Величина затмений для данного места зависит только от
геоцентрических положений Солнца и Луны, но не от
вращения Земли, и потому может быть использована для
определения ДЛ^ — (п /п®) Д£®.
При интерпретации данных об античных затмениях и по-
крытиях возникают осложнения. Медленная вариация
среднего движения Луны обусловлена только гравитацион-
ными эффектами. Развитие теории этого векового измене-
ния является любопытным образчиком неспособности
§ 3. Античные затмения
237
ученых воспринимать новое. Галлей в 1695 г. сравнил со-
временные ему наблюдения Луны с положениями, получен-
ными из античных затмений, и пришел к выводу, что Луна
имеет ускоренное движение. Астрономы, работавшие в пер-
вой половине XVIIIв., подтвердили открытие Галлея. Эйлер
и Лагранж безуспешно пытались получить это ускорение
в рамках ньютоновской механики. Наконец, в 1787 г.
Лаплас объявил, что он нашел объяснение: возмущения
планет приводят к вековому уменьшению эксцентриситета
орбиты Земли, которое влияет на возмущение Луны Солн-
цем и приводит к вековому увеличению орбитальной скоро-
сти Луны. Окончательный результат был представлен
в виде математического ряда. Вычислив первый член, Лап-
лас получил значение 10", 18 Г2, сравнимое с наблюда-
емым значением 10"Т2. Дамуазье, Плана и Ганзен вы-
числили следующие члены ряда и подтвердили результат
Лапласа. Это считалось одним из крупнейших научных
достижений XVIII в.
В 1853 г. Адамс сообщил, что он переработал теорию и
выяснил, что пренебрежение отброшенными членами неза-
конно; он получил величину 5",70Т2, т. е. около половины на-
блюдаемого ускорения. Делонэ подтвердил результаты Адам-
са, однако новые результаты не были приняты в астроно-
мическом мире, включая Леверье и Ганзена. Даже учебные
руководства по небесной механике начала XX в. ссылались
только на Лапласа. Основной причиной непризнания
работы Адамса было то, что она разрушала широко приня-
тую теорию. Признание пришло лишь после того, как
выяснилось, что приливное трение в океанах может удли-
нять сутки.
Были проанализированы многие античные наблюдения.
Несколько удивительно, что преобладают греческие и вави-
лонские наблюдения. Имеется лишь одна запись о наблюде-
ниях древних египтян, но и та подвергается сомнению [204].
Китайские наблюдения вообще не использовались [48]; об-
условлено ли это отсутствием техники наблюдений у древних
китайцев или отсутствием современных китайских данных,
неясно. Возможно, одно значение невязки может быть
получено из солнечного затмения, наблюдавшегося в Лояне,
Восточный Китай, 16 декабря 65 г. н. э. [84, стр. 460].
Майя и другие цивилизации в Центральной Америке создали
238
Гл. 11. Вековые вариации
достаточно развитую астрономию, однако нам неизвестно
ни одного исследования этих наблюдений, касающихся рас-
сматриваемой нами проблемы.
Поскольку для изучения античных наблюдений необхо-
дима компетентность как в астрономии, так и в истории, эта
область никогда не страдала от избытка исследователей.
Вплоть до 1906 г. несколько астрономов, занимавшихся
в этой области, были мало в чем согласны друг с другом и
часто достаточно сердито выражали свое недовольство
другими работами. С 1906 по 1926 г. Дж. К. Фотерингэм
[79—81], специалист по классической филологии, ставший
астрономом, обработал много старых наблюдений и в ос-
новном явился автором значения АЛ, принятого в литера-
туре. Согласно Нейгебауэру [204], с того времени был до-
стигнут существенный прогресс в изучении античной аст-
рономии, однако полученные новые результаты еще не ис-
пользовались для определения АЛ.
Таблицы значений АЛ и их дисперсий не содержат ни
привлекательности, ни неопределенности античных наблю-
дений. Проблемы, с которыми сталкивается «классик»-
астроном, лучше всего проиллюстрировать примером. Вот
утверждение, заимствованное из вавилонской таблички:
«На двадцать шестой день месяца Сиван в седьмом году день
обратился в ночь и пламень посреди небес...» Требуется
идентифицировать описанное затмение (если это на самом
деле затмение) и установить место и (или) время наблюде-
ния. Фотерингэм [81] подробно обсуждает приведенный
отрывок. Имеется неопределенность в упомянутой дате и
даже в символе, использованном в дате. Упоминание
о «пламени среди небес» вызывает большие трудности. Озна-
чает ли это, что была корона, или это была гроза, или паде-
ние метеора? Некоторые склонны приписывать весь отрывок
скорее жрецу, чем астроному. Фотерингэм [81, стр. 107 ] при-
ходит к выводу, что 31 июля 1062 г. до н. э. в Вавилоне
имело место полное солнечное затмение.
Как Фотерингэм, так и де Ситтер придают большой вес
солнечному затмению, которое предположительно наблюда-
лось Гиппархом в 128 г. до н. э. Цитируем дословно:
«Однажды оно (Солнце) наблюдалось полностью закрыто
в Геллеспонте, когда в Александрии оно было закрыто за
исключением одной пятой его диаметра...» Птолемей не
§ 3. Античные затмения
239
дает никаких указаний для идентификации затмения, за
исключением имени Гиппарха и величин затмения в Гел-
леспонте и Александрии. Только два затмения могут удов-
летворять этим условиям, одно в 309 г. до н. э. и другое
Рис. 36. Сводка согласующихся значений fqjT2 и f^lT2 для раз-
личных античных солнечных затмений, по Фотерингэму [81]. В ори-
гинальной статье величина fqjT2 включает гравитационный член
6",1 век~~2, который здесь исключен. Пунктирные линии соответ-
ствуют значениям В. Р. Н. =—11",22 Т2 для современных наблю-
дений и — 18",85 Т2 для античных наблюдений. 1 — Фукидид; 2 —
Агафокл; 3—Вавилон; 4 — Пиндар; 5 — Плутарх; 6 — Флегон; 7 —
Гиппарх; 8 — де Ситтер; 9 — закон Эпонима; Ф1 — Фотерпнгэм 1;
Ф2 — Фотерпнгэм 2.
в 128 г. до н. э. Обычно оно относится к 128 г. до н. э. на
том основании, что, вероятнее всего, Гиппарх сравнивал
два современных наблюдения, чем список прежних на-
блюдений. Фотерингэм [79] получил три возможных по-
лосы полного затмения (рис. 36). На основе этого де Ситтер
[59] вычислил fd и приведенные на рис. 36. Пределы
240
Гл. 11. Вековые вариации
неопределенности отражают зависимость значений от этих
трех полос полного затмения.
Фотерингэм [81] исследовал ряд других солнечных
затмений. Как видно из рис. 36, разброс значений очень
велик. Фотерингэм считает треугольник, определяемый
затмениями Гиппарха, Плутарха и канона затмений Эпо-
нима, наилучшими пределами. Однако последние два наи-
более неопределенны. Плутарх опирается на диалог Де Фаси,
начало которого утеряно. Цитируем текст: «Поверь мне,
ни одно из явлений, связанных с Солнцем, не похожи так
друг на друга, как затмение на заход Солнца; это недавнее
совпадение Солнца и Луны, которое, начавшись сразу
после полудня, показало нам множество звезд во всех частях
неба и вызвало похолодание, как во время сумерек. Если
вы забыли об этом...» К сожалению, рассказчик нам неиз-
вестен, равно как и адреса его собеседников.
Фотерингэм [80] изучил 20 наблюдений Гиппарха равно-
денствия, перечисленных Птолемеем в его «Альмагесте».
Метод наблюдений неизвестен, но возможно, что Гиппарх
производил интерполирование между наблюдаемыми про-
хождениями через меридиан. Времена указаны для ближай-
шей четверти дня; возможно, что именно это дает наиболь-
ший источник неопределенности. Значение, полученное
Фотерингэмом, приведено на рис. 37 вместе с дисперсией.
Покрытия звезд, перечисленные в «Альмагесте», изуча-
лись Фотерингэмом и Гертрудой Лонгботтом [82]. Описания
покрытий удивительно точны в отношении покрываемой
звезды, хотя положение Луны не всегда ясно. Ранее Ньюком
принципиально исключил покрытия, так как Птолемей
использовал их для подтверждения ошибочного значения
Гиппарха для постоянной прецессии. Кажется, что возника-
ющие ошибки малы. Окончательные данные Фотерингэма п
таковы:
/а = 4",7Т2, = 1",5Т2.
Де Ситтер пересмотрел данные Фотерингэма и получил
значения
fd = (5",22 ± 0",30) Г2, - (Г',80 ± 0,16) Г2.
1 После вычитания гравитационного члена = 6",1Т2 [138].
£ 3. Античные затмения
241
Они лежат выше средних значений Фотерингэма, так как де
Ситтер придает наибольший вес лунному затмению в Вави-
лоне в 424 г. до н. э. Приведем для сравнения обработанные
Рис. 37. Лунные и солнечные невязки ^(T)h/q (7) (не (па/п@) f 0 1^
согласно следующим античным наблюдениям:
1 — лунные затмения; 2 — затмение Гиппарха; 3— солнечные затме-
ния (включая гиппархово); 4 — наблюдения равноденствия, по Гип-
парху; 5 — лунные затмения. Вертикальная шкала линейна относи-
тельно |/| так что графики вековых ускорений суть прямые
линии. Приведены значения = 5",22 Г2, = Г',80 Г2, получен-
ные де Ситтером из античных наблюдений. Результат Спенсер
Джонса для современных наблюдений (f® = 1 ",23 Т2) приведен для
сравнения. Схематически изображены наблюдаемые невязки с 1680 г.
Спенсер Джонсом данные современных наблюдений:
(5",22 ± 0",30) Т\ - (Г',23 ± 0",04) Т\
Кривые, соответствующие данным де Ситтера и Спенсер
Джонса, включены в рис. 34, 36 и 37.
9 Вращение Земли
242
Гл. 11. Вековые вариации
§ 4. Спектры современных наблюдений
На рис. 38—40 показаны различные спектры функции
(t) — 5\22T2,
т. е. разности лунной невязки и «векового» члена. Приведен-
ные данные охватывают примерно два столетия; показаны
Рис. 38. Спектры лунных невязок, полученных из затмений (точки)
и меридианных наблюдений (кружки) для промежутка времени
с 1751,5 до 1908,5 г.
Пределы 95% неопределенности отмечены вертикальными стрелками.
Нижняя диаграмма дает когерентность между записями (см. прило-
жение, § 2); горизонтальный пунктир — приближенный уровень зна-
чимости когерентности при 2№^2 =0,36 для v = 32 степеней свободы
и сдвиг фазы меридианных наблюдений относительно затмений.
Отрицательная часть полосы спектра при очень низкой частоте
ответственна за подъем при 0,15 цикл[год, и значения при этой
частоте несущественны.
§ 4. Спектры современных наблюдений
243
годовые значения, сглаженные в различной степени. Ран-
ние наблюдения публиковались за более продолжительные
интервалы, и годичные значения из них мы получали при
помощи линейной интерполяции. Для таких коротких и
Рис. 39. Спектры долгот Луны, полученных из покрытий (см.
рис. 32) для 1820,5—1885,5 гг. и 1886,5—1950,5 гг.
95%-ный предел неопределенности указан вертикальной стрелкой.
Низшая точка при 0,15 цикл/год обусловлена побочной полосой и
несущественна.
неоднородных временных рядов применимость статистиче-
ских методов явным образом ограничена; рис. 32 ясно пока-
зывает, что предположение о стационарных временных ря-
дах не годится.
Кривые лунных невязок были получены из двух источ-
ников: покрытий и меридианных наблюдений. Согласно
рис. 38, спектры обеих кривых практически тождественны
для частот, превосходящих 0,1 цикл!год, так как когерент-
ность почти равна единице, а разность фаз почти равна нулю.
9*
244
Гл. 11. Вековые вариации
Это серьезно свидетельствует о значимости низких частот.
Но даже при высоких частотах спектры не очень далеки
друг от друга, и когерентность значительна.
Отдельные спектры для ранних и поздних наблюдений
приведены на рис. 39. Последняя запись имеет меньшую
Рис. 40. Спектр первых разностей годичной невязки долготы Луны,
построенный на основе затмений в период с 1751,5 по 1950,5 г.
Этот спектр примерно пропорционален спектру продолжительности
суток. Годичная разность на 1" соответствует разности Is,82 за год
(Луна проходит 1" в Is,82) или Is,82/3,16-107 за 1 сек. Верхний
спектр (в единицах Is,82/3,16-107)2 = (3s,3* 10~15) дает вклад (на еди-
ничный интервал частоты, цикл/год) в среднеквадратичную частич-
ную вариацию продолжительности суток. В низкочастотном интервале
при избытке надежности спектра было использовано более высокое
разрешение, как показано стрелками, дающими 95%-ную неопре-
деленность. Пунктир — предполагаемый спектр ошибок наблюдений.
§ 5. Точки поворота
245
спектральную плотность при всех частотах. Это обстоятель-
ство немедленно порождает сомнения относительно зна-
чимости наблюдений, поскольку такое изменение мо-
жет быть следствием улучшения техники наблюдений
[14, стр. 560—562]. В области высоких частот погрешность
наблюдений, несомненно, является важным фактором; для
погрешности 1" за лунный месяц ожидаемый спектральный
уровень погрешности наблюдений равен, согласно (8.2.3),
1,9 • 107 сек3 = 0,2 (")2/цикл/год
в согласии с результатами для 1886,5—1950,5 гг. Однако
при частотах менее 0,1 цикл!год из прекрасной когерент-
ности между меридианными наблюдениями ц наблюдениями
покрытий следует, что уменьшение реально и связано со
скачком в XX в. (см. рис. 32).
На рис. 40 приведен спектр первых разностей О
6[/а(Т) —5",22 Т2]
годичных невязок покрытий для всего периода наблюде-
ний с 1751,5 по 1950,5 г.
Согласно (11,2.9), эта величина тесно связана с произ-
водной невязки по времени Д/, и спектр можно считать
спектром продолжительности суток. Характерным является
минимум при частоте примерно 0,15 цикл!год. Подъем
в области высоких частот обязан в основном эксперименталь-
ным погрешностям. Можно считать, что низкочастотный
подъем реален.
§ 5. Точки поворота
Кривая лунной невязки (см. рис. 32) на определенных
промежутках имеет довольно постоянный наклон с «точками
поворота» примерно в 1785, 1898 и 1920 гг. Точки поворота
соответствуют изменениям продолжительности дня на не-
сколько миллисекунд. Острота точек поворота явилась
1) Его можно получить из спектра невязки, умножив по-
следний на sin2(1/2^///n), где/д, = 0,5 цикл/год—половина пробной
частоты [приложение, формула (2.3)]. Вследствие быстрого роста
спектра невязки надежнее сначала вычислить первые разности, а за-
тем образовать спектр этого временного ряда.
246
Гл. 11. Вековые вариации
предметом существенных разногласий. Браун [25, рис. 1 ]
считает, что кривая лунной невязки может быть аппроксими-
рована отрезками прямых, т. е. что «изменения происходят
d2(&t)/dtz
d(At)/dt
।—।—।—।—।—। ।_।__।_1__i_।
1880 1330 1880 1330
Рис. 41. Промежуток времени А/, за который замедляется
Земля, и две первые производные этой функции.
Первая производная пропорциональна продолжительности
суток, вторая — угловому ускорению (отрицательному). Два
столбца схематически иллюстрируют объяснения изменений
за 1880—1930 гг., данные Брауном и Брауэром.
скорее скачком, чем постепенно, если единицей времени яв-
ляется год». Внезапные изменения продолжительности
суток требуют скачкообразных изменений относительного
момента количества движения или момента инерции. Де
Ситтер [59] аппроксимирует кривую невязок прямыми
линиями, заменяя точки поворота дугами парабол, охваты-
вающими интервалы порядка нескольких лет. Брауэр
[22, 23] представляет кривую невязок отрезками дуг пара-
болы. Это соответствует внезапным изменениям углового
ускорения, обязанного скачкообразным изменениям либо
Д, либо dC/dt. В схеме Брауэра изменения углового ускоре-
ния происходят за промежутки времени, меньшие года.
Рис. 41 иллюстрирует схемы Брауна и Брауэра.
£ 5. Точки поворота
247
Брауэр [22, 23] предложил также четвертую схему
аппроксимации кривой. В 1950 г. Спенсер Джонс обратил
внимание на сходство кривой невязок с кривыми погреш-
ностей часов, ход которых подвержен частым малым
случайным изменениям. Брауэр и ван Верком изучили
свойства функций, представляющих накопление случайных
чисел. Обозначим через б2(А/) вторые разности между по-
следовательными годовыми значениями расхождения АЛ
Брауэр и ван Верком провели эксперименты со случайными
числами для 62 и смогли воспроизвести синтетические кри-
вые А/, которые в значительной мере напоминают наблюдае-
мые кривые невязок. Брауэр приходит к заключению, что
кривая невязки может быть с достаточной точностью пред-
ставлена отрезками дуг парабол, охватывающих интерва-
лы от 4 до 15 лет, однако накопление многих случайных
мелких событий также может привести к согласию с наблю-
дениями.
Проблема представления кривой заключается в допол-
нении наблюдаемого спектра (см. рис. 40) до спектра, про-
порционального спектру ошибки, плюс спектр одной из
схем представления. Простейшим предположением относи-
тельно ошибок А/ является их независимость (т. е. пренебре-
жение сглаживанием). Спектр А/ тогда белый, а спектр
S2(A/) пропорционален (приложение, § 2) величине
Sln (W'
где ~ 0,5 цикл/год — половина пробной частоты. Этот
спектр приведен на рис. 42, а.
Две схемы Брауэра касаются коррелирующих и некорре-
лирующих флуктуаций б2(А/), как это было выяснено Блэк-
маном и Туки [14, стр. 249—252, 555—563]. В случайной
модели последовательные значения 62(А0 не коррелируют
друг с другом, и потому спектр 62 должен быть по-
стоянным (рис. 42, в). Неслучайная модель характеризуется
«блоками» постоянных значений 62, причем значения, при-
писываемые каждому блоку, являются независимыми.
Спектральная плотность для пяти постоянных по блокам
была вычислена Блэкманом и Туки; она включает острый
низкочастотный пик и нескольких горбов (рис. 42, д). Если
схема включает восемь независимых блоков, то низкоча-
248
Гл. И. Вековые вариации
стотный пик будет значительно острее, а горбы — выше.
Для случайного распределения длин блоков, все еще без
зависимости между ними, результирующий спектр бу-
дет соответствующим средним спектра фиксированных
блоков.
Рис. 42. а — в', энергетические спектры В2 (Д/) в предположении,
что значения (а) Д/, (б) В Д/ и (в) В2 (Д/) некоррелированы; а, д:
энергетические спектры В2 (Д/) для случая, когда (г) В (Д/) и (д) ДВ2 (Д/)
объединены в блоки по пять, но с независимостью между блоками;
е — наблюдаемый спектр (сплошная кривая) и предполагаемый
спектр ошибок наблюдений (пунктир).
Аналогичным образом можно построить спектры, соот-
ветствующие флуктуациям первых разностей б(Д/). В не-
коррелирующем случае спектр белый, а спектр 62 пропор-
ционален sin2(1/23rf/fA^); в коррелирующем случае мы полу-
чаем брауэровский неслучайный спектр, умноженный на
sin-2(1/2n//^) (рис. 42, бив). Последний случай соответст-
вует схеме Брауна, в которой кривая невязки аппрок-
симируется прямыми линиями и острыми углами.
На рис. 42 приведен наблюдаемый спектр 62[/д (Т) —
— 5",22 Т2], или, приближенно, величины б2(А0. Он
должен состоять из спектра, пропорционального спектру
§ 5. Точки поворота
249
погрешностей (как показано пунктирной линией), и еще
какого-либо одного. Следует заметить, что при малых ча-
стотах остаток обращается в нуль. Это как будто отвергает
неслучайную схему Брауэра, однако это несовместимо и со
случайной моделью Брауэра. Довольно точно остаток
аппроксимируется случаем коррелированных флуктуаций
б(А0 при условии, что мы сгладили горбы, введя блоки
переменной длины. Другими словами, наблюдаемый спектр
может быть представлен независимыми погрешностями
А/ плюс довольно внезапные изменения б(А/), т. е. про-
должительности суток, причем эти изменения происходят
за промежутки времени, малые по сравнению с длиной
блоков. Это весьма похоже на интерпретацию, выдвину-
тую Брауном и де Ситтером, и мы не очень далеко удали-
лись от пункта, с которого мы начали обсуждение
записи.
Статистическое обсуждение было сделано несколько под-
робнее, так как оно образует важную часть современной
литературы по интересующему нас вопросу. Упор на пред-
ставление кривых (возникший, вероятно, из аналогии с по-
грешностями часов), по всей видимости, окажется не очень
плодотворным. Возможно, спектр продолжительности суток
(см. рис. 40) является столь же удовлетворительным ста-
тистическим выводом, как и любой другой. Предполагаемый
спектр погрешностей снова изображен пунктирной линией.
Он представляет функцию sin2(V2^/7/jv), которая является
ожидаемым спектром 6(Д/) при независимых погрешностях
АЛ Тем самым определяется форма спектра погрешностей,
однако расстояние до оси абсцисс остается произвольным.
Во всяком случае остаточный спектр обладает резко вы-
раженным максимумом при низких частотах и слабым мак-
симумом при высоких.
Высокая разрешающая способность по времени, обес-
печиваемая цезиевым стандартом частоты, вселяет надежду,
что в ближайшем будущем проблема точек поворота будет
разрешена. Что касается наблюдательных данных (см.
рис. 26), то интерпретация ABDE благоприятствует раз-
рыву брауэровскоготипа, тогда как интерпретация ABCDE
будет соответствовать комбинации разрывов брауновского
и брауэровского типов.
9В Вращение Земли
250
Гл. 11. Вековые вариации
§ 6. Диссипация приливной энергии
Наблюдаемые невязки в движении Луны и Солнца ин-
тересовали в равной степени ученых и философов. На роль
приливного трения впервые обратил внимание Кант в 1754 г.
в сочинении, озаглавленном «Исследование вопроса о том,
могли ли произойти изменения во вращении Земли вокруг
своей оси, вызывающем смену дня и ночи, с первых дней ее
возникновения и как об этом можно узнать». Лаплас отверг
эту гипотезу, поскольку она предполагала вековые ускоре-
ния при движении Солнца и планет, а также Луны, которые
еще не были подтверждены наблюдениями. В 1865 г.
Делонэ вновь выдвинул эту гипотезу для объяснения веко-
вого ускорения Луны, но только в 1905 г. Коуэлл обнаружил
соответствующее ускорение Солнца. Впервые роль океан-
ских приливов обсуждалась в «Трактате по натуральной
философии» [278, стр. 191].
Необходимо отметить, что при объяснении кривых не-
вязок можно продвинуться довольно далеко, не обращаясь
к геофизическим наблюдениям. Это оказывается возможным
благодаря процедуре, предложенной Мурреем [201], ко-
торая заключается в том, что часть невязки, обусловленная
орбитальным ускорением, отделяется от части, обусловлен-
ной угловым ускорением Земли. Величина В.Р.Н. (11.2.7)
зависит только от орбитального ускорения. Мы покажем
сначала, что величиной можно пренебречь по срав-
нению с т. е. что величина В.Р.Н. определяет п^Т).
Потом мы вычтем первый член из лунной невязки
f(j(T)= n^T)dT + ^-^(T)dT, (11.6.1)
т. е. оставим только эффекты, связанные с переменным враще-
нием Земли Q(T). Зная величину п^Т), мы можем вычислить
член Q((, зависящий от приливного момента Луны, и вычесть
его вклад из ^(Т). Для заданного отношения приливных
моментов Луны и Солнца мы можем вычесть из оставшейся
величины лунной невязки вклад члена Q0, обусловленного
солнечным приливным моментом. Наконец, мы вычитаем
величину обусловленную известным действием
солнечного момента на атмосферу. Таким образом мы
последовательно вычитаем из наблюдаемой лунной невязки
§ 6. Диссипация приливной энергии
251
приливные эффекты и получаем остаточную лунную невязку,
уже не содержащую никаких приливных членов.
Если океан обладает конечной вязкостью или если Земля
не ведет себя как абсолютно твердое тело, то лунный и сол-
нечный приливы сдвигаются по фазе (рис. 43). Максимум
Рис. 43. На верхней диаграмме изображена приливная вы-
пуклость при отсутствии трения. Если же имеется трение,
момент наивысшего прилива запаздывает, и искажение при-
ливного выступа приводит к уменьшению скорости вращения
Земли и ускорению орбитального движения Луны.
подъема или опускания воды в данном месте запаздывает
во времени относительно времени прохождения Луны (или
Солнца) через местный меридиан. Гравитационное притяже-
ние выпуклостей асимметрично относительно линии центров
и приводит к появлению момента, тормозящего вращение
Земли. Момент количества движения сохраняется, и момент,
9В*
252
Гл. 11. Вековые вариации
потерянный Землей, должен проявиться в орбитальном
движении.
Из качественных соображений видно, что приливное
трение может привести к уменьшению угловой скорости
Земли и одновременному ускорению Луны и Солнца. Дарвин
приписал наблюдаемые невязки земным приливам, однако
требуемая степень твердости или пластичности Земли от-
вергается сейсмологией (§ 7). Дарвин понимал эти трудности
и в нескольких местах намекал на важную роль океанских
приливов. Вязкость воды слишком мала, чтобы объяснить
требуемую диссипацию энергии в ламинарном движении.
Тейлор [273] установил важность турбулентной диссипации
от приливов в мелких морях, и вскоре после этого Джефф-
рису удалось количественно объяснить наблюдаемое уско-
рение Луны и Солнца.
Нам понадобится оценка (по порядку величины) отноше-
ния лунного момента к солнечному. Момент пары, возника-
ющей вследствие притяжения Луной или Солнцем элемента
объема dV Земли, равен
(11.6.2)
где ф — разность долгот элемента и тела, вызывающего
прилив, и U — потенциал, вызывающий прилив. Прилив-
ный момент равен
(п.б.з)
где интеграл берется по объему, заключенному в пределах
поверхности, ограничивающей тело. Внутри Земли плот-
ность является (приближенно) функцией только радиуса
и широты (если пренебречь земными приливами), и интеграл
вплоть до среднего уровня моря не вносит вклада в момент.
Обозначим высоту океанского прилива через Тогда ин-
теграл по объему, заключенному между истинной поверх-
ностью океана и средним уровнем моря, равен
Z. = — J Р®dS, (11.6.4)
где О — океанская функция (приложение, § 1). Потен-
циал U, вызывающий прилив, и статическая высота $ при-
§ 6. Диссипация приливной энергии
253
лива пропорциональны величине Mqlr3. Периоды при-
ливов М2 и S2 примерно равны. При условии, что законы
приливов линейны по амплитуды приливов будут
пропорциональны величинам возмущающих потенциалов.
Наблюдения приливов на океанских островах подтверждают,
что эмпирическое отношение близко к отношению, следу-
ющему из статической теории. Отношение солнечного
момента к лунному вследствие океанского прилива равно
L/7 \ г3 / 5,1’
Аналогичные рассуждения справедливы также в случае
статических земных приливов. Отношение (11.6.5) несколько
возрастает, если учесть лунно-солнечные члены [96].
Джеффрис [126] показал, что наличие нелинейного трения
в океанах увеличивает отношение (11.6.5) до значения
(11.6.5)
Ld 3’4
(11.6.6)
Теперь мы оценим отношение орбитальных ускорений
Луны и Солнца. Пусть — геоцентрический радиус
Луны; тогда
M© rd
M®+Md
(11.6.7)
будет расстоянием от Луны до центра тяжести системы
Земля — Луна. Приливной выступ, образовавшийся вслед-
ствие лунного прилива, даст момент сил L, действующий на
Луну. Уравнения движения Луны и Земли в системе коор-
динат, отнесенных к центру масс, имеют вид
м® Мд ,
+ Мд dt ф
d (CQ) . ,
~аГ~ = = — м-
(11.6.8)
(11.6.9)
Комбинируя уравнения движения и третий закон
Кеплера
г 5 «д = G (М© + Мд) = const, (11.6.10)
254
Гл. 11. Вековые вариации
получаем
/га =
3 (М@ + Мд) d(C2) = _ 3 (М(+) + Мд)
dt ~ rlM®Md
и аналогичные выражения для п@. Учитывая, что
Л4®,
получаем приближенно
п® Л ~ ю—8
"а r® Ld
(11.6.12)
ц (11.6.11)
Отношение n^ln^ еще меньше. Орбитальным ускорением
Солнца и Меркурия вследствие приливных сил можно
полностью пренебречь по сравнению с ускорением Луны.
Это согласуется с результатом наблюдений; невязки Солнца
и Меркурия одинаковы (см. рис. 37). Разность невязок Луны
и Солнца обусловлена тогда только орбитальным ускорением
Луны:
d2 (В. р. н.) • оо„ , 9
dt2 ц
= — 1,09-10~23 рад/сек*. (11.16.13)
Согласно третьему закону Кеплера, это соответствует уве-
личению радиуса орбиты Луны со скоростью 1,0 • 10~7 см/сек.
Момент сил, с которым приливной выступ действует на Лу-
ну, определяется по (11.6.8) и оказывается равным
Lj = 3,9-Ю23 дин-см, (11.6.14)
и работа, производимая этим моментом в единицу време-
ни, равна
— Ё = - п$ = 2,7-Ю19 эрг! сек. (11.6.15)
Если опережение долготы Луны объясняется приливным
трением, то в среднем внутри земного шара или в океанах
должно диссипировать 2,7-1019 эрг!сек. Это значение не
зависит от наблюдений и интерпретации античных затмений,
£ 6. Диссипация приливной энергии
255
а определяется целиком из наблюдений положений Солнца,
Луны и Меркурия с 1680 г. О.
Рис. 44. а—наблюдаемая сглаженная кривая лунной невязки (Т).
Остальные кривые изображают остаточные расхождения после учета
различных приливных эффектов (см. табл. 17).
Рис. 44 иллюстрирует различные составляющие кривой
лунной невязки. На рис. 44, а изображена величина Д?(Т),
повторяющая рис. 32; на рис. 44, б приведен график величи-
1 Джеффрис [126, стр. 228] получает Ё = —1,4-1019. Эта ве-
личина основана на античных наблюдениях. Его метод определения
лунных и солнечных моментов отличается от использованного нами.
256
Гл. 11. Вековые вариации
ны /д(Т) — 11",2 Т2, т. е. лунной невязки после исключения
действия лунного приливного трения на орбитальное движе-
ние Луны. Мы еще не вычли из невязки член, обусловленный
замедлением Земли вследствие лунного приливного трения.
Он определяется из (11.6.9):
йа = — = — 9",86-102 =
= — 4.8Ы0-22 рад/сек, (11.6.16)
что соответствует увеличению продолжительности суток на
1,8 мсек в столетие. Невязка, обусловленная совместным
действием орбитального ускорения Луны и замедления
вращения Земли, равна
П 7
/ДТ) = — 22",4 — (— 986") = 13",7 век-2,
и соответственно
(Т)— 6",85 Т2
— лунная невязка, возникающая только за счет вне-
лунных эффектов (рис. 44, в). Все значения собраны
в табл. 17.
Угловая скорость Земли уменьшается также вследствие
солнечного приливного момента, и это замедление дает
дополнительный вклад в лунную невязку. Используя зна-
чения отношения = 1/5,1 и 1/3,4, соответствующие
моделям Джеффриса с линейным и нелинейным трением
соответственно, получаем значения, приведенные в табл. 17.
На рис. 44, г приведены значения
f^— 10",40 Т\ — 12",15Г2.
Это лунные невязки после вычитания тормозящих эффектов
лунных и солнечных приливов для двух значений отношения
L(JL([. Эта кривая не так близка к наблюдениям, как кривая
рис. 44, в. Лунный тормозящий момент определяется не-
посредственно астрономическими наблюдениями; величина
солнечного момента зависит от предположений относительно
отношения амплитуд солнечных и лунных приливов.
Для дальнейших ссылок (§ 9) мы включили в табл. 17
невязки, обусловленные ускоряющим моментом, с которым
£ 6. Диссипация приливной энергии
257
действует Солнце на атмосферу Земли. На рис. 44, д при-
ведена лунная невязка после исключения всех известных
лунных и солнечных эффектов.
Интерпретация современных наблюдений основывается
на предположении, что приливные тормозящие и ускоряю-
щие моменты оставались постоянными в течение 270 лет
наблюдений. Соответственно разность невязок на рис. 38
аппроксимировалась параболой; наблюдения не исключают
малых членов более высоких степеней по Т. В § 9 и 11
приводятся геофизические данные в пользу постоянства мо-
ментов. Однако представляется, что античные затмения
требуют коренных изменений моментов сил в течение про-
шедших 2000 лет [201]. Величины невязок для Луны и
Солнца, полученные де Ситтером из античных наблюдений,
приводят по (11.6.12) к значению
2
Ьд /б",22 — 1",8) =6,6-1023 дин-см
« 3(МЙ + МЙ)\ n& J
для среднего лунного тормозящего момента за прошедшие
2000 лет; величины, полученные Фотерингэмом [81], дают
5,3-1023 дин-см,
тогда как, согласно современным наблюдениям, имеем по
(11.6.14)
3,9-1023 дин-см.
Кривые, соответствующие современным наблюдениям и
античным наблюдениям, обработанным де Ситтером, при-
ведены на рис. 33, 36 и 37. Значения де Ситтера опреде-
ленно не согласуются с современными наблюдениями.
В §4 мы специально обратили внимание на неопреде-
ленность интерпретации античных наблюдений. Разность
между современными наблюдениями и значениями Фотерин-
гэма не превосходит разности между значениями, получен-
ными де Ситтером и Фотерингэмом при обработке по су-
ществу одинаковых данных. Действительно, точка, обоз-
наченная «Фотерингэм 2» на рис. 36, совместима с совре-
менным значением = 3,9• 1023 дин-см и в то же время
попадает в предпочтительный треугольник невязок. Астро-
номические наблюдения свидетельствуют в пользу измене-
ния приливного момента, однако этот довод не слишком на-
дежен.
Обозначения Единицы Ри- сунки
1. Лунная невязка . . . (") • век~~2 33
2. Солнечная невязка . . (") • век~2 34
3. Взвешенная разность невязок / Пл \ / Г2 (") • век~2 35
4. Лунный приливной мо- мент — 1023 дин, • см —
5. Диссипация тА dE/dt 1019 эрг/сек, —
6. Замедление Земли . . — (") • век~2 —
7. Лунная невязка после
поправки за ускорение Луны в орбите .... — (") • век~2 45, а
8. Лунная невязка после
исключения всех лун- ных приливных эффектов — (") • век~2 45, в
9. Предполагаемое отно- шение моментов сил — —
10. Солнечный океанский приливной момент . . . — 1023 дин/см —-
11. Диссипация ^0 -Т-р dE/dt 1019 эрг/сек —
12. Замедление Земли . . — (") • век~2 •—
Таблица 17
Современные Древние
Де Ситтер «Фотерингэм 1» «Фотерингэм 2»
— 5,22 4,7 4,25
— 1,80 1,5 1,18
— 11,2 —18,85 —15,2 —11,2
3,9 6,6 5,3 3,9
2,7 4,6 3,7 2,7
—986 — 1670 —1340 —986
(/а/Л)-11,2 —13,63 — 10,5 —7,0
Щ/Т2) - 6,85 -6,4 —4,6 —2,6
5,1 3,4 5,1 3,4 5,1 3,4 5,1 3,4
0,76 1,10 1,29 1,94 1,04 1,56 0,76 1,10
0,55 0,80 0,93 1,41 0,75 1,13 0,55 0,80
— 193 —290 -326 —511 264 —412 — 193 —290
Обозначения Единицы Ри- сунки
13. Лунная невязка после исключения всех лунных и солнечных океанских приливных эффектов 14. Солнечный атмосферный момент сил 15. Диссипация 16. Замедление Земли . . 17. Лунная невязка после исключения всех лунных и солнечных эффектов . dE/dt й'|® (") век~2 1023 дин • см 1019 эрг/сек, (") • век~2 (") • век~2 45, г 45, д
18. Диссипация энергии океанскими и земными приливами (5)+ (11) 19. Полное приливное уско- рение (6) + (12) + (16) . 20. Неприливное ускорение 21. Относительное измене- ние скорости вращения Земли после исключения всех известных прилив- ных эффектов, со времени наблюдения (Т ~ — 19) —dE/dt Й 2 В 2 2 1019 эрг/сек 10“22 рад/сек2 10“22 рад/сек2 10“7 50
Продолжение табл. 17
Современные Древние
(/«/г2)- — 10,4 (fa /Т*)- — 12,15 —12,4 —15,8 1 —9,4 —12,1 —6,25 —7,9
—( ),30 —0 ,30 —С 1,30 —( >,30
—0,22 —0,22 —0,22 —0,22
'6 76 76 7 '6
(/а /т2) - -8,9 (/а /712) - — 10,7 —Н,4 —14,3 —7,9 —10,6 —4,7 -6,5
3,2 3,5 5,5 6,0 4,5 4,8 3,2 3,5
—5,3 —5,8 —9,4 —10,1 —7,4 -8,1 -5,3 —5,8
— — 2,8 3,0 2,2 2,4 1,6 1,7
— — 2,6 3,3 1,8 2,4 1,0 1,4
262
Гл. 11. Вековые вариации
В табл. 17 подведены итоги современных и античных
наблюдений. В последнем столбце («Фотерингэм 2») при-
ведена обработка античных наблюдений при условии, что
приливной момент оставался постоянным. Отсюда следует
неприливное возрастание Q на величину 1,0-10“7 или
1,4 -10“7 в течение последних 2000 лет (в зависимости от
значения L^/L® = 5,1 или 3,4).
С точки зрения геофизики должны быть объяснены
следующие факты:
1) диссипация в океанах примерно 3-1019 эрг/сек энер-
гии приливов, причем возможны большие значения в ан-
тичное время;
2) кажущееся увеличение относительной угловой скоро-
сти (уменьшение продолжительности суток) на (1 4- 2) • 10~7
с античных времен, обусловленное иными причинами, не-
жели приливное трение;
3) остаточная кривая невязок (рис. 44, 5), свидетельст-
вующая о наличии неприливных флуктуаций с 1680 г.
§ 7. Земные приливы
Если бы Земля и Луна были абсолютно упругими, то
работа, производимая Луной над Землей в течение прилив-
ного цикла, была бы точно равна работе приливов, совер-
шаемой над Луной. Усредненная по времени работа об-
ращалась бы в нуль, так же как и средняя скорость dE/dt
потери механической энергии системой Земля — Луна:
/ dW 4 лч / dE __ хч
\dt / ~~ U’ \ 1Л / U*
Если же Земля неупругая, то существует поток механи-
ческой энергии орбитального движения Луны и вращатель-
ного движения Земли, превращающейся в тепловую энергию
Земли. Луна совершает работу над Землей, {dWldt) > 0
и система Земля — Луна теряет механическую энергию
/^\=
\dt / \dt / '
Работа в единицу времени, производимая объемной
силой Ft с потенциалом U, равна
J й;dv = J р«/UdS + J й UdV- о1 -7- о
£ 7. Земные приливы
263
В случае однородной несжимаемой Земли интеграл по
объему в правой части обращается в нуль.
Для приближенной оценки диссипации допустим, что
земной прилив описывается статической теорией, за исклю-
чением сдвига фаз на 2ср (ср называется «лунно-приливным
интервалом»). Тогда имеем приближенно (см. табл. 3,
стр. 102)
U = 4- (14-А?) sin2 0 cos 2а([
(11.7.2)
£ = у hKa sin2O cos 2 (<ra t — <p),
где
2<та = 2 (Q — ng) = 2n/12h,42
— частота. Средняя мощность на единицу площади, по-
ступающая от Луны, для однородной Земли равна
= — у (1 +k) (/Q 6Й)2 Ogsin4 9 х
X (sin 2 (стд t — <p) cos 2<T(j t) =
= у pgh (1 + k) (/Cd ftg)2 oysin4G sin 2q>.
Интегрируя по поверхности Земли, получаем для энер-
гии, превращающейся в тепло (диссипации),
— / = +§Р£'Л<1 + (^«М2Pg«2sin2(Р =
= 2,39-1020 sin 2qp эрг!сек. (11.7.3)
Использованные численные значения таковы: поверхно-
стная плотность р = 2,75 г/сж3; h = 0,59; k — 0,29; /Q =
= 53,7 см] bq = 0,908; = 7,02-10~5 сек~х. Вычисление
IpUiiiiUdS для всех внутренних слоев и учет сжимаемо-
сти может удвоить вычисленное значение диссипации.
Для больших Q имеем приближенно 2qp ж 1/2Q. При-
ведем численные примеры:
264
Гл. И. Вековые вариации
Q 2 <р \ dt'
9 3°,2 2,7 • 1019 эрг/сек
40 0,7 0,60 • 1019
100 0,3 0,25 • 1019
Первый случай соответствует «наблюдаемой» скорости
диссипации (11.6.15), обусловленной лунными приливами.
Требуемое значение Q очень мало. Изучение сейсмических
данных и полюсных приливов приводит к значению Q =
= 100 4- 200, а широтный анализ 14-месячного движения
полюса — к значению Q = 30 4- 40. Полусуточные при-
ливы занимают промежуточное положение по частоте между
сейсмической частотой и частотой движения полюса, и
значение Q, справедливое для приливов, должно нахо-
диться внутри интервала между значениями, определяе-
мыми указанными выше источниками, даже если механизм
диссипации зависит от частоты. Мы приходим к заключению,
что земные приливы могут объяснить только от 10 до 25%
наблюдаемой диссипации энергии [вычисление второго
члена в (11.7.1) может удвоить эти значения]. Если для дис-
сипации использовать значение Джеффриса 1,4-1019 эрг!сек,
то соответствующие величины будут от 18 до 43%. Ско-
рость диссипации 0,6-1019 эрг!сек соответствует стационар-
ному потоку тепла 4-10~8 кал/см2,-сек. Наблюдаемая вели-
чина потока порядка 10~6 кал/см2-сек.
Вычисленная нами величина потери энергии раз в сто
превосходит значение, полученное Джеффрисом. Джефф-
рис [117, 118] рассмотрел частные случаи, при которых Q
изменяется прямо пропорционально или обратно пропор-
ционально частоте. Из теории и наблюдений следует, что
величина Q для Земли по существу не зависит от частоты;
затухание движения полюса, сейсмическое затухание и
приливная диссипация совместимы со значением Q, из-
меняющим в 4 раза в интервале частот от 1 до 3 • 10~8 цикл/сек.
§ 8. Океанские приливы
Рис. 45 иллюстрирует поток энергии приливов в океанах,
Rd и — средние мощности на единицу площади поверх-
ности, которые подводятся к воде вследствие гравитацион-
ного притяжения Луны и Солнца. Обычно предполагается,
£ 8. Океанские приливы
265
что диссипацией внутри океана можно пренебречь. В этом
случае при стационарных условиях поступающий поток
должен был бы равняться работе, совершаемой приливными
потоками на дне моря (Rb эрг/см2-сек). Однако, как будет
показано, почти по всей поверхности океанов донные при-
ливные потоки очень слабы, а диссипация пренебрежимо
Рис. 45. Схематическое изображение потока энергии
приливов. Справа указана энергия, диссипируемая в
мелких морях.
мала. Следовательно, диссипация существенна лишь в не-
скольких мелких морях. Площадь этих мелких морей мала
по сравнению с полной площадью океана, и соответственно
мала работа, совершаемая Солнцем и Луной на этих ограни-
ченных площадях. Почти вся энергия, диссипируемая
в мелких морях, переносится в эти области приливными
потоками. Обозначим через Ra поток через единичную вер-
тикальную площадку, • расположенную у входа (входов)
в мелкое море.
Оценить энергию диссипации можно одним из трех
методов:
J (R<i + R®)dS, (11.8.1а)
Полная
поверхность
моря
266
Гл. 11. Вековые вариации
~~= J RadS, (11.8.16)
Пролив
(проливы)
в мелкие
моря
= J RbdS. (11.8.1b)
Площадь
мелких
морей
Воспользуемся всеми тремя методами. Пусть
ga = 4cos2(ffa/— Фа)
обозначает наблюдаемый подъем прилива М2 над сред-
ним уровнем моря в обозначениях (11.7.2). Тогда
Rt = = 4 ?g Ka^aCTMasin29sin2<P«> (11-8.2)
R® = 4 Р^зb® °® A®sin20 sin 2<P®>
где
2п/од == 2n/12h,42, bq = 0,908; 2^/0® = 2n/12h, b® = 0,423
соответствуют M2- и 52-приливам.
Скорость диссипации энергии при трении равна произ-
ведению касательного напряжения трения на относитель-
ную скорость поверхностей, между которыми действует
трение. Для напряжения на дне имеем ypz/2, и диссипация
энергии на единице площади в единицу времени равна
flft=YP<l«3l> = 34yp«o, (11.8.3)
где и = uQcos(yt, а 4/3л—среднее значение |cos3o/1. Эмпири-
ческая формула для напряжения ^pzz2, где у = 0,002,
имеет широкую область применимости. Возможно, что она
применима к расчетам напряжения ветра на почву и рек
на их ложе.
Относительно приливных течений наиболее подходящи-
ми являются исследования Тейлора [273], на которые мы
сошлемся, и измерения Боудена и Фейрбойрна [20] турбу-
лентности, связанной с приливными течениями. Измерив
§ 8. Океанские приливы
267
одновременно горизонтальную и вертикальную компоненты
турбулентной скорости на расстоянии 75 см над дном моря,
они вычислили напряжение Рейнольдса и нашли, что оно
согласуется со значениями коэффициента сопротивления,
изменяющимися от у = 0,0020 до 0,0025.
Рассмотрим теперь перенос энергии приливными по-
токами. Пусть и(/), Др(/) обозначают скорость прилива и
разность давлений соответственно. Поток энергии через
вертикальную площадку единичной площади, ориентиро-
ванную нормально к и, равен Ари. Цля бегущей приливной
волны
Ap-p^g, u^CI-Jh, (11.8.4)
где h — глубина, а С — фазовая скорость. Поток энергии
в среднем равен
(Лр«> h - pg <£*) С = 4 РМ2С = ЕС, (11.8.5)
где А — амплитуда на поверхности, а Е — энергия волны,
приходящаяся на единичную площадку. Для длинных волн
фазовая скорость равна групповой, и мы получаем хорошо
известный результат — поток энергии равен произведению
энергии на групповую скорость.
В предыдущем примере с бегущей волной максимальное
течение (в направлении движения волны) имеет место под
гребнем. Этот случай реализуется при движении океанской
зыби по направлению к пологому берегу. Его можно при-
менить к приливным волнам, входящим в залив, в том
случае, если вся их энергия поглощается. Если вся энергия
отражается, то в возникающих стоячих волнах течение
внутрь залива будет максимальным в момент времени по-
середине между моментами низкой и высокой воды. В дей-
ствительности обычно максимальное течение наблюдается
ближе к среднему приливу, что лучше соответствует стоя-
чим, чем бегущим волнам. Для учета частичного отражения
положим
Др = pg-Д cos 2о7, и = (СД//г) sin 2 (pt + ф),
(Apu) h = у $gA*C sin 2ф = ЕС sin 2<р.
Можно рассуждать следующим образом: падающая волна
приносит в бухту энергию ЕС эрг/см-сек, а отраженные
268
Гл. 11. Вековые вариации
волны несут энергию ЕС из бухты. Потеря энергии равна
ЕС (1 — г2), так что
sin 2<р = 1 — г2. (11.8.7)
В случае полного отражения г = 1 и 2<р = 0; в случае пол-
ного поглощения г = 0 и 2ф = 90°.
Пусть S означает площадь поверхности залива или про-
лива. Тогда выражение
Ra= у- ~ pgCdx (11.8.8)
представляет среднюю диссипацию, где интеграл берется
по входу (входам). Во многих случаях удовлетворительным
приближением является формула для мелководья С = ]/gh,
и неизвестными остаются лишь амплитуды прилива и отно-
сительная фаза высоты и скорость течения на входе
(входах).
Вследствие трения и вращения Земли формула для мел-
ководья может оказаться неприемлемой. В этом случае
необходимо знать величину и фазу как высоты прилива,
так и скорости течения.
Теперь необходимо подтвердить справедливость того,
что диссипацией на дне глубокого моря можно пренебречь.
Скорость С по порядку величины равна оа = 5-104 см!сек,
А = 25 см и и = CA/h = 3 см!сек самое большее. Сваллоу
[270] измерял скорости в глубоком море по наблюдениям
буев нейтральной плавучести и нашел, что приливные ком-
поненты имеют порядок 1 см!сек. Поэтому Rb^ 0,002 эрг/см2, •
-сек, а—dE/dt порядка 1016 эрг/сек', этой величиной можно
всегда пренебречь по сравнению с «наблюдаемой» диссипа-
цией 3 • 1019 эрг/сек.
Окаймляющие континенты шельфы (глубина менее 200 м)
занимают 5,5% земной поверхности, или 2,8-1017 см2.
Если вся наблюдаемая диссипация происходит на шельфах,
то в среднем получаем 114 эрг/см2 • сек. Приравняв эту ве-
личину 0,002ри2, получаем для средней скорости течения
на шельфе величину 33 см/сек, или3/4 узла. Максимальная
скорость в течение цикла составляет Зл/4 этой величины.
Эти значения по порядку величины совпадают с наблюдае-
мыми скоростями приливов, хотя они представляются за-
вышенными. Во всяком случае диссипация на мелководье
заслуживает тщательного изучения.
§ 8. Океанские приливы
269
В интересной работе [273] Тейлор исследовал приливную
диссипацию в Ирландском море. Он получил 6,4 -1017
и 5,1-1017 эрг!сек, используя методы потока и придонного
трения соответственно. Мощность, поступающая от Луны
в Ирландское море, равна 6,4-1017 эрг/сек и, как и пред-
полагалось, относительно невелика. В работе Стрита [267],
предшествовавшей работе Тейлора, диссипация оценива-
лась по методу ламинарного пограничного слоя. Получен-
ные значения оказались меньше 1/150 приведенных выше.
Согласие между методами потока и придонного трения
подтверждает правильность расчетов Тейлора, и численное
значение 2% полной приливной диссипации) свидетель-
ствует о важной роли, которую играют океанские приливы
в вековом ускорении Луны.
В течение года после опубликования Тейлором оценки
приливной диссипации Джеффрис [120] и Хейсканен
[103] обобщили эту оценку на все океаны. Джеффрис по-
лучил величину 1,Ы019 эрг/сек, что составляет 80% от
значения, полученного им при объяснении астрономических
наблюдений (только 34% согласно нашей оценке); оценка
Хейсканена (пересмотренная Ламбертом [148]), основан-
ная на тех же данных, составляет 1,9 • 1019 эрг/сек. Оба значе-
ния получены в основном методом (11.8.1в) учета придон-
ного трения в мелких морях. Хейсканен вычислил также
мощность, поступающую от Луны и Солнца (11. 8.1а), и
получил значение 1,0 -1019 эрг/сек (по пересмотренной
оценке Ламберта). Вследствие непонимания Хейсканен
сложил эти две величины, тогда как на самом деле они
являются эквивалентными оценками одного и того же
процесса, как подчеркнул Ламберт. Во всяком случае,
имеется удовлетворительное согласие между геофизиче-
скими и астрономическими оценками, чтобы считать про-
блему решенной уже в течение 40 лет. Однако мы хотим
пересмотреть ее.
В табл. 18 мы приводим сводку данных Джеффриса и
Хейсканена. Опубликованные значения приливных скоро-
стей относятся к максимальным течениям во время сизигий-
ного прилива. В этом случае в них необходимо внести две
важные поправки. Мы должны умножить значения на 4/Зл,
чтобы получить среднюю диссипацию в течение приливного
цикла согласно (11.8.3). Это было сделано при составлении
270
Гл. И. Вековые вариации
Таблица 18
Диссипация энергии, в 1019 эрг/сек
Джеффрис Хейсканен
Европейские водоемы:
Ирландское море 0,06 0,04
Английский канал 0,11 0,23
Северное море 0,07 —
Другие моря — 0,16
—
0,24 0,43
Азиатские водоемы:
Желтое море 0,11 ——
Молуккский пролив 0,11 0,18
Другие моря 0,01 0,73
0,23 0,91
Северо-американские водоемы:
Северо-западный проход . . 0,16 —
Залив Фанди* 0,04 0,05
Другие моря — 0,30
—
0,20 0,35
Южно-американские водоемы . . — 0,40
Австралийские водоемы — 0,34
Африканские водоемы — 0,08
Арктические водоемы — 0,13
Берингово море 1,50 0,96
Полный весенний пролив .... 2,17 3,60
Временной множитель 0,51 . . . 1,1 1,9
* В заливе Фанди самый высокий прилив из известных, но
диссипация относительно мала. Новые расчеты [179] дают
0,027 • 1019 эрг/сек по методу потока, 0,029 по методу трения
(при 0,002 рн3) по сравнению со значениями Джеффриса 0,04 и
Хейсканена 0,05.
табл, 18. Однако во время сизигийного прилива приливные
течения максимальны, и поэтому необходима еще одна по-
правка. Джеффрис [126, стр. 230] получает множитель 0,51,
на который были умножены суммарные значения. Хейска-
нен просмотрел необходимость этой поправки, и поэтому
опубликованные им значения в 2 раза больше. Одну треть
$ 8. Океанские приливы
271
половины значения полной диссипации, полученного Хей-
сканеном, вносят открытые береговые линии континентов,
тогда как Джеффрис игнорирует эту возможность. Мы
полагаем, что значения Хейсканена в общем слишком ве-
лики. Например, он считает, что приливное течение от
устья Калифорнийского залива до о-ва Ванкувер составляет
1,5 узла. Измерения скорости течения на шельфах дают
значения, не превосходящие 0,5 узла [246]. Систематиче-
ские измерения в Лос-Анжелосе [259] дают максимальные
приливные скорости от 0,1 до 0,25 узла во время сизигийных
приливов (глубина воды 30 м). Для глубин вплоть до 45 м
наиболее надежным источником информации являются
наблюдения водолазов. На основе их многочисленных
сообщений значения приливных скоростей, превышающие
0,5 узла, должны быть отвергнуты, по крайней мере для
открытой береговой линии Калифорнии.
Патагония. Вдоль берега Патагонии простирается
шельф шириной около 500 км и протяженностью около
2000 км. Приливные амплитуды уменьшаются от значения
3,5 м при 50° ю. ш. до 0,3 м при 37° ю. ш. Из формулы (11.8.4)
следует, что максимальные значения скорости на шельфе
будут несколько меньше 102 см!сек. Результаты современных'
измерений, проводимых на девяти прибрежных станциях
Гидрографической службы Аргентины, были любезно
предоставлены в наше распоряжение Луисом Капурро.
Максимальные значения меняются от 2х/2 узлов в Фолкленд-
ском проливе до 1 узла вблизи Рио-де-Плата, что подтверж-
дает нашу оценку 102 см/сек. Диссипация составляет при-
мерно 0,2-1019 эрг/сек с учетом редукций. Это значение
согласуется с оценкой Хейсканена для этого района. Для
оценки можно применить также метод потока. Редфилд
(личное сообщение) предлагает в качестве возможного объя-
снения наблюдений приливов следующий путь прилив-
ной волны: от антарктических морей через проход между
Фолклендскими о-вами и о-вом Эстадос, причем при дви-
жении к северу волна над шельфом ослабляется. Положим
А = 1,5 м, h = 50 м и ширину входа 500 км. Величина при-
тока энергии равна
у р^М2 V gh-500 км^ 1018 эрг/сек,
что по порядку величины согласуется с предыдущей оценкой.
272
Гл. 11. Вековые вариации
Берингово море. В восточной части Берингова моря
имеется большой район, размерами примерно 1000 х 1000 км,
с глубинами, не превосходящими 60 м. Как Джеффрис,
так и Хейсканен согласны относительно большой важности
этого шельфа как стока приливной энергии. По Джеффри-
су, 3/4 диссипации всего земного шара происходят здесь.
Теория основана на выборе подходящего значения и о для
этого шельфа. Согласно Джеффрису, «установлено, что
максимальная скорость воды, проходящей в проливах
между Алеутскими о-вами, составляет обычно около 2г/2 уз-
лов при глубинах меньше 100 саженей»1). Оба автора учи-
тывают сообщения о скоростях 2х/2 узла у о-ва Св. Матвея
и о-вах Прибылова. Джеффрис полагает uQ равным 21/2 уз-
лам, а Хейсканен — 2 узлам.
Береговой и геодезический обзор «Береговой путеводи-
тель» для Аляски и «Таблицы течений Тихого океана»,
хотя они лишены ясности в этом пункте, не дают сведений
о наличии обширной системы приливных течений на шель-
фе. Имеющиеся данные относятся к пунктам вблизи суши,
что пытаются учесть Джеффрис и Хейсканен. Прошло
40 лет, но до сих пор не опубликованы точные данные о при-
ливных течениях в открытом море. Во время дрейфа ледо-
кола «Нортвинд» (Гидрографическая служба США, 1958 г.)
не было отмечено сильных приливных течений в северной
части шельфа, восточнее о-ва Св. Лаврентия. В самом
Беринговом проливе наблюдалось сильное постоянное се-
верное течение со скоростью около 1 узла, однако скорость
налагающихся приливных колебаний не превышала х/4 узла.
Южнее было проведено много якорных океанографических
станций, однако измерения течений не производились2).
Судно на якоре при течении со скоростью 2 узла должно
заметно натягивать якорную цепь. Среди членов экспеди-
ций имеется единодушное мнение о том, что скорость при-
ливных течений не превышает 1 узла, поскольку такого
натяжения не наблюдалось. Мы имели возможность ознако-
миться с отчетом о плавании атомной подводной лодки
«Наутилус» в погруженном состоянии под полюсом в ав-
х) Морская сажень — 1,8 м. — Прим. ред.
2) В июле 1960 г. Ревель произвел два измерения с судна во вре-
мя якорной стоянки в восточной части Берингова моря и получил
значения 0,9 и 0,1 узла соответственно.
£ 8. Океанские приливы
273
густе 1958 г. Наличие приливного течения со скоростью
2 узла привело бы к существенному расхождению между
проложенным и действительным курсом, но такие расхож-
дения не наблюдались. Мы полагаем, что верхней границей
для и0 является 1 узел; так как диссипация пропорциональна
и$, то это приводит к уменьшению ее рассчитанного значе-
ния на порядок.
Разумеется, данные о том, что якорные цепи не были туго
натянуты или что «Наутилус» прошел по намеченному курсу,
вряд ли являются наиболее желательными источниками
информации. Однако имеются соображения, связанные
с методом потока энергии (11.8.16), которые также показы-
вают, что диссипация на порядок величины меньше значе-
ний, приведенных в табл. 18. Из приливный таблиц следует,
что высокая вода при приливе и максимум северного тече-
ния происходят одновременно вдоль части Алеутской гряды,
образующей южную границу шельфа. Это согласуется
с предположением о бегущей волне, распространяющейся
к северу на шельф, где она в конце концов поглощается.
Полусуточные амплитуды равны ~ 25 см у Алеутских
о-вов и уменьшаются к северу (за исключением Бристоль-
ского залива). В проливе амплитуды равны примерно 10 см.
Возможность большой стоячей волны с узлами на южной
границе отмели исключается. Полагая С = \/ gh, h = 60 км
и А = 25 см, получаем при помощи (11.8.8)
1 000 км
— W = = 4 f A2dx = 0,8‘ 1017 эрг/сек,
о
или 1/100 требуемой величины. Применение в этом расчете
формулы мелкой воды для С предполагает, что орбитальная
скорость r/0 = CA/h = 20 см/сек = 0,4 узла согласно
(11.8.3). Это, разумеется, намного меньше значения, при-
нятого Джеффрисом и Хейсканеном. Однако даже если мы
допустим, что все Берингово море поднимается синхронно,
требуемый приток (в пренебрежении островными препятст-
виями) вряд ли может превосходить величину
__ 4AL2
hL ’
10 Вращение Земли
274
Г л. 11. Вековые вариации
где Л2—площадь поверхности, a h—глубина севернее Але-
утских о-вов. Если положить L = 1000 км, получим и0 =
= 60 см/сек и —dEldt = 2,4-1017 эрг!сек.
Метод момента сил. Для оценки величины —dE/dt
воспользуемся независимым методом, вычислив работу,
совершаемую Солнцем и Луной. Амплитуды А (%, 0) и
фазу (ср, X, 0) можно определить по котидальным картам1),
вычислить /?(Х, 0) согласно (11.8.2) и рассчитать диссипа-
цию, проинтегрировав (11.8.1) по всем океанам. Трудности
метода иллюстрируются рис. 47: значительным непостоян-
ством фазы, связанным с амфидромическими точками. По-
ложительные и отрицательные вклады в —dE/dt разли-
чаются не сильно, и сумма имеет очень неопределенное
значение. Кроме того, амплитуды и фазы на больших про-
странствах открытых морей известны весьма приблизитель-
но. Все это находится в разительном контрасте с атмосфер-
ным приливом (см. рис. 47), где фазы лежат в пределах
от —60 до —75° на большей части Земли.
Расчет для всего земного шара был предпринят Хейскане-
ном, который использовал котидальные карты, опубли-
кованные Стернеком в 1920 г. Гровс и Манк [96] произвели
новый расчет, в котором были использованы карты, состав-
ленные Дитрихом [63], причем число станций в 3 раза пре-
вышало число станций, доступных Стернеку. Улучшение
оказалось значительно меньшим, чем можно было бы
ожидать из этого соотношения, потому что это последнее
не было связано с пропорциональным ростом станций
в южных морях, а именно там они были всего нужнее. Воз-
можно, станции на островах в южном полушарии, установ-
ленные во время МГГ, дадут необходимую информацию.
х) Фактически на котидальных картах приведены линии равной
фазы, 2а — 0, 30, ... 330° относительно прохождения Луны через
меридиан Гринвича. Так, линия 2а — 30° соединяет все пункты,
в которых наибольший подъем прилива происходит через
30° h
"300o' 12 ,42 = 1,035 солнечного часа, или 1 лунный час после
прохождения Луной гринвичского меридиана. Меридиан с восточ-
ной долготой X Луна проходит на 2Х° (или 2Х°/30° лунных часов)
раньше, чем гринвичский, и сдвиг фаз относительно местного про-
хождения Луны составляет
2фа (X, 0) = 2а (X, 6) — 2 (— X) = 2 (а + X),
Аналогичные замечания относятся также и к 52-приливу.
§ 8. Океанские приливы
275
Итоги этих расчетов приведены в табл. 19. Положитель-
ные и отрицательные значения приведены отдельно, чтобы
подчеркнуть степень неопределенности; согласно нашим
оценкам, окончательные данные могут быть или намного
меньше, или в 2 раза больше полученных нами.
Т а б л и ц а 19
Работа, совершаемая приливными силами Луны и Солнца
в океанах, в единицах 10J9 эрг/сек
Значения Хей- сканена для Луны (полу- суточные) Луна Солнце Общая
полусу- точная суточная общая полусу- точная суточное общая
Тихий океан: + 3,8 2,8 о,6 3,4 0,7 0,2 0,9 4,3
— —2,5 —1,9 —0,0 —1,9 —0,5 -0,0 -0,5 —2,4
общая 1,3 0,9 0,6 1,5 0,2 0,2 0,4 1,0
Атлантический океан: + 1,8 2,1 0,1 2,2 0,5 0,0 0,5 2,7
— — 1,2 —1,1 —0,1 —0,2 -0,2 —0,0 -0,2 —1.4
общая 0,6 1,0 0,0 1,0 0,3 0,0 0,3 1,3
Индийский океан: + 1,8 1,5 0,2 1,7 0,4 0,1 0,5 2,2
— —1,6 —0,9 -0,1 —1,0 -0,2 —0,0 -0,2 —1,2
общая 0,2 0,6 0,1 0,7 0,2 0,1 0,3 1,0
Общая 2,1 2,5 0,7 3,2 0,7 0,3 1,0 4,2
Утешительным является то, что полуденные нами окон-
чательные значения положительны для всех океанов (т. е.
энергия рассеивается). Для лунных членов—dE/dt
гает значения 3,2-1019 эрг/сек, что сравнимо с полученным
астрономическим значением 2,7-1019 эрг/сек (см. табл. 17);
для солнечных членов имеем 1,0 и 0,6-1019 эрг/сек.
Согласие лучше, чем мы имеем право ожидать.
Значение Q для океанов. Скорость диссипации энергии,
как указывают астрономические наблюдения, является
ю*
276
Гл. 11. Вековые вариации
важным фактором в проблемах, связанных с теорией и
предсказанием океанских приливов. За исключением мест-
ных резонансов, полная энергия океанских приливов в лю-
бой момент не может отличаться от значения, полученного
из статических соображений, более чем на множитель
Q-1. Если бы Земля была целиком покрыта океанами, то
подсчитанная статически энергия лунного прилива рав-
нялась бы
pgj k2na2 I (4 sin20)2 sin0dO =
0
= ±р£а*/фй2 = 8-102з эрг.
Для реальных океанов мы полагаем 5-Ю23 эрг. Из астро-
номических данных мы получаем тогда
2=_2я ,2„_____^..........2.4
Q 2°([Ь (1,4-10“4) (5-1023)
для относительной диссипации за период. Каждые 10 час
вся приливная энергия диссипирует! Если взять оценку
Джеффриса 0,51 • 1,5-1019 = 0,77• 1019 эрг/сек для дисси-
пации на шельфе в Беринговом море, то оказывается, что
каждые 18 час вся глобальная приливная энергия переходит
в Берингово море. Обращает на себя внимание величина
диссипации энергии, однако концентрация такого большого
количества на этой площади еще более примечательна.
Сам Джеффрис был обеспокоен этим обстоятельством;
в недавнем обзоре [129] он писал, что «всегда было трудно
понять, каким образом вообще такое количество энергии
попадает в мелкие моря» г).
Если океанский прилив аппроксимируется статической
конфигурацией (на самом деле это не так, см. рис. 47), то
значение максимальной диссипации можно получить, по-
лагая 2<р =• 90° в (11.8.2); в результате получаем
11,2-1019 эрг/сек, что превосходит значение 2,7 • 1019 эрг/сек,
полученное из астрономических соображений. Статические
амплитуды и сдвиг фаз 14° дают требуемую величину. По-
этому исключить диссипацию в океане невозможно.
х) См. также «The Observatory», 78, 93—95 (1958).
$ 8. Океанские приливы
277
Желательно получить независимое доказательство суще-
ствования высокой скорости приливной диссипации в оке-
анах. Задачей с аналогичными начальными условиями
являются цунами (приливные волны). Большое цунами,
например последовавшее за камчатским землетрясением
4 ноября 1952 г., выносит в Тихий океан энергию такого же
порядка величины, как энергия, связанная с приливами
в Тихом океане.
Цунами — волны, длина которых много больше глуби-
ны океана, и донные течения, связанные с ними, могут
быть сравнимы с приливными при условии сравнимости
энергий. Оказывается, что большая часть энергии цунами
диссипирует в течение суток, хотя активность может быть
выше фоновой в течение недели. Это обстоятельство не
противоречит указанному выше значению скорости при-
ливной диссипации.
Обсуждение. Астрономические наблюдения требуют
значения приливной диссипации 3-1019 эрг!сек, и данные
табл. 19 свидетельствуют, что не так уж трудно найти такое
большое количество энергии в океанах. Относительно ло-
кализации и механизма диссипации мы поставлены перед
дилеммой. Если наши оценки для Берингова моря верны,
то диссипация в мелких морях должна составлять самое
большое 1019 эрг!сек. Всегда имеется возможность, что мы
не учли каких-либо областей диссипации. Однако любой
район повышенной диссипации маловероятен по причинам,
указанным выше. Нам необходим процесс, приводящий
к более равномерно распределенной диссипации. Единст-
венная остающаяся у нас возможность заключается в том,
что большая часть диссипации связана с внутренними (ба-
роклинными) приливами. Регулярные наблюдения темпера-
туры океана почти неизменно показывают, что глубина
данной изотермы флуктуирует с частотами приливов.
Типичные амплитуды для прилива /И2 составляют 10 м.
Это значение на один-два порядка превышает статическое
значение. С другой стороны, разность плотностей порядка
10~3 от разности плотностей на поверхности, и работа, со-
вершаемая непосредственно Луной и Солнцем через посред-
ство внутренних приливов, соответственно уменьшается.
Удовлетворительной теории того, как могут возникать
внутренние приливы такой величины, не существует. Фазо-
278
Гл. 11. Вековые вариации
вая скорость свободных внутренних волн (без учета враще-
ния Земли) составляет примерно 20 км/час в открытом море,
что необходимо сравнить с величиной 1500 км/час для
статического приливного выступа. Дефант [58] выдвинул
гипотезу о том, что несоответствие может быть устранено
учетом влияния вращения на фазовую скорость и что ре-
зультирующая связь может привести к большой внутренней
реакции на приливообразующие силы. Современные на-
блюдения не подтверждают эту гипотезу. Одновременные
наблюдения в двух пунктах, отстоящих на 100 км [223], не
обнаруживают каких-либо фазовых соотношений; если бы
внутренние приливы были обязаны приливообразующим
силам, то фазы на двух станциях должны быть примерно
одинаковыми. Кокс (личное сообщение) предположил, что
в областях переменной глубины внутренние (бароклинные)
и внешние (баротропные) колебания не являются независи-
мыми и что должен иметь место поток энергии от каждого
колебания ко всем остальным. Более определенно, степень
связи зависит от того, в какой мере спектр топографии
морского дна обладает мощностью при локальной длине
волны приливов.
Результаты, полученные в 1950 г. Ридом [223], согласу-
ются с предположением о том, что внутренние приливы воз-
никают вдоль всей береговой линии, причем степень перехо-
да зависит от локальной топографии дна. По оценке Кокса,
переход энергии от поверхностных к внутренним колебаниям
может достигать 5 эрг/см2-сек для глубоководных областей
на севере Атлантического океана. Может иметь место также
значительный переход обратно к поверхностным колеба-
ниям, так что величина 5 эрг/см2-сек— это некий верхний
предел. Если принять эту величину, то глобальный переход
может составить 1,5 • 1019 эрг/сек. Во всяком случае, по-
рядок этой величины не исключает возможности того, что
энергия поверхностных приливов эффективно переходит
в энергию внутреннего волнового движения и затем дис-
сипирует в объеме океана. В этом случае наша ссылка на
диссипацию цунами ничего не дает.
Наконец, рассмотрим изменение приливной диссипации
в прошлом. Де Ситтер и Муррей считают, что во времена
древних египтян диссипация была в 2 раза больше, чем
сейчас, хотя, как мы показали, данные об этом не являются
§ 9. Атмосферные приливы
279
абсолютно убедительными. Поскольку мы не понимаем дис-
сипации, идущей сегодня, обсуждение диссипации в прош-
лом вряд ли может быть сколько-нибудь определенным.
Допустим, что величина диссипации зависит (посредством
того или иного механизма) от размера и протяженности
континентального шельфа. Исследование частотного рас-
пределения поднятий [180] дает для максимума поднятий
величину в пределах нескольких сот метров от нынешнего
уровня моря, так что общая площадь диссипации чувстви-
тельна к изменению уровня моря. Из общей площади по-
верхности Земли примерно 7% лежит от 0 до 200 м над
уровнем моря, 5% —в соответствующем интервале ниже
уровня моря и 1 % между глубинами от 200 до 400 ж.
Подъем уровня моря на 200 м приведет к увеличению пло-
щадей, покрытых водой глубиной менее 200 ж, на 40%,
при условии, конечно, что топография останется неизменной.
Опускание на 200 м изменит эти площади в отношении 5:1.
Изменение на 1 м имеет тогда порядок 1 %. С времен Древне-
го Египта уровень моря мог измениться на несколько мет-
ров. Трудно усмотреть, каким образом такое изменение мог-
ло бы привести к существенным изменениям диссипации.
§ 9. Атмосферные приливы
Изменения атмосферного давления в тропиках замеча-
тельны своей регулярностью. За исключением, тропических
Рис. 46.
Барометрическая запись (в
на тропической станции
мб) в течение 5 дней
(Джакарта).
штормов, барометр регистрирует регулярные посуточные
изменения. Максимумы наблюдаются приблизительно
в 10ь утра и 10h вечера по местному времени, а минимумы —
в 4h утра и 4h вечера (рис. 46). Амплитуда вблизи экватора
280
Гл. И. Вековые вариации
равна 1,2 мб. Аналогичные изменения, но меньшей ам-
плитуды наблюдаются в средних широтах в периоды уста-
новившейся погоды. Прохождение фронтов вызывает го-
раздо большие изменения атмосферного давления, но полу-
суточные колебания могут быть обнаружены при анализе
достаточно длинного периода наблюдений. На высоких
широтах ситуация иная. Максимумы и минимумы насту-
пают в фиксированные моменты всемирного времени, а не
в 10h и 4h местного времени.
Объяснение было предложено Шмидтом в 1890 г.
Полное колебание состоит из двух главных компонент:
бегущей волны р%, которая следует за Солнцем вокруг
Земли и соответствует приливу S2, и стоячей волны р%-
Тщательный анализ [102, 250] подтверждает гипотезу
Шмидта. В тропиках бегущая волна pl имеет удивительно
постоянную фазу (рис. 47). Стоячая волна pf, по всей
видимости, обладает переменной фазой на широтах, пре-
восходящих 60°.
Стоячая волна не оказывает влияния на скорость враще-
ния Земли, однако бегущая волна приводит к появлению
момента сил точно таким же образом, как земные приливы
и океанские приливы. Нам понадобится фаза и амплитуда.
Согласно Симпсону [250] и Гаурвицу [102], прилив S2
выражается формулами
Лр = 1,25 sin36 cos 2 (<j@ t + 32°) мб,
Ар = 1,16 sin36 cos2 (a@ t + 34°) мб
соответственно, где t —время после прохождения (среднего)
Солнца через местный меридиан (12h пополудни по местному
времени), а = 2л/12h. Значения Гаурвица основаны
на данных 296 станций. Численные значения надежны.
Рис. 47. Вверху, полусуточные колебания атмосферы S2 [102].
Сплошные линии: сдвиг фазы на 2ср относительно местного прохожде-
ния Солнца (2ср = 0° означает максимальное давление в 12 часов
дня и 12 часов ночи по местному времени; 2^ = — 30° — в 11 часов
дня и 11 часов ночи и т. д.). Пунктир: амплитуда в мб. В/ изу:
полусуточное колебание океана М2', 2ср = 30° обозначает макси-
мальный прилив за 1 лунный час (1,035 солнечного часа) после
прохождения Луны и антилуны через местный (не гринвичский)
меридиан. По Дитриху [63].
10В. Вращение Земли
282
Гл. 11. Вековые вариации
Существенной особенностью является то, что атмосфер-
ный прилив происходит с опережением по фазе, т. е. что
давление в каждой точке Земли становится максимальным
на 2 час раньше прохождения через меридиан Солнца
или антисолнца.
Максимальное давление соответствует избытку массы,
поэтому, согласно Кельвину [277], со стороны Солнца на
атмосферу Земли действует ускоряющий момент силы
(ситуация, противоположная изображенной на рис. 43).
Скорость, с которой этот момент увеличивает механиче-
скую энергию системы Земля — Солнце, получим из (11.18),
полагая pgA = Др и используя (11.9.1):
~ = + 2,2 • 1018 эрг/сек. (11.9.2)
Эта величина определяется из наблюдений и ни в какой
мере не зависит от теории атмосферного прилива.
Холмберг [108] выдвинул интересную теорию относи-
тельно нынешнего значения продолжительности суток,
основанную на предположении, что в среднем ускоряющий
атмосферный момент уравновешивается замедляющим
океанским моментом. Этой теории было уделено значитель-
ное внимание (см., например, [НО]). Основой теории
Холмберга является концепция острого атмосферного ре-
зонанса при периоде 12 час. Сейчас имеются серьезные сом-
нения относительно существования этого резонансного
пика. Обсуждение этих вопросов требует углубления
в дебри теорий, связанных с колебаниями атмосферы.
Изменение давления на фиксированном уровне вследст-
вие статического гравитационного прилива равно Др = pU,
где р — плотность воздуха. Вычисленные и наблюдаемые
амплитуды осцилляций давления на экваторе и наблюдаемые
сдвиги фаз таковы:
S2............
м2...........
Период
12h00m
12h42m
Статич.
0,013 мб
0,028 мб
Набл.
1,16 Мб
0,08 мб
Сдвиг фаз
—68°
+ 18°
Наблюдаемая амплитуда лунного полусуточного прилива
примерно в 3 раза больше статической амплитуды, но со-
ставляет всего 7% наблюдаемой амплитуды солнечного
£ 9. Атмосферные приливы
283
полусуточного прилива1). Для объяснения этого расхожде-
ния было выдвинуто предположение о существовании
острого резонансного пика вблизи полусуточной частоты.
Р.ис. 48. Реакция атмосферы на внешнее возбуждение.
а — требуемая реакция, если атмосферный 52-прилив гравитацион-
ного происхождения; максимальное увеличение составляет 100:1;
b — получена из наблюдаемой амплитуды и фазы прилива А42.
Это иллюстрируется кривой а на рис. 48. Резонансная
кривая для линейного затухающего осциллятора была
подобрана к соответствующим возрастаниям при 12h00m и
12h42m. Результирующая кривая обладает усилением
в максимуме около 100 (Q = 100) при частоте, довольно
неточно определяемой имеющимися данными, составляющей
около 12 час с неточностью в пределах нескольких минут.
х) Лунный атмосферный прилив обнаруживает сдвиг фаз и по-
тому вызывает действующий на Землю тормозящий момент. Этот
момент составляет около 1/2о ускоряющего солнечного момента.
Фаза Mi обладает загадочной годовой вариацией. В обоих полуша-
риях фаза в декабре отстает от фазы в июне примерно на 1 час. Это
месяцы максимального и минимального моментов атмосферы, как это
следует из годовой вариации продолжительности суток (§ 6 гл. 9).
ЮВ*
284
Гл. 11. Вековые вариации
Перед резонансной теорией стоит ряд трудностей.
1. Тейлор [274] показал, что период свободных ко-
лебаний атмосферы можно определить по скорости длинных
атмосферных волн. Извержение Кракатау в 1883 г. и паде-
ние Тунгусского метеорита в 1908 г. дают значения скоро-
стей, согласующихся с периодом свободных колебаний
около 101/2 час. Период свободных колебаний, очень близ-
кий к 12 час, требуемый возрастанием прилива S2, не со-
гласуется с этими наблюдениями. Однако Пекерис [212,
213] указал, что атмосфера может обладать двумя резонанс-
ными периодами: Ю1^ и 12 час (соответствующими нулевой
и одной вертикальной плоскостям узлов). Ему удалось
обнаружить некоторые (хотя и косвенные) свидетельства
вторичного прихода волны после извержения Кракатау,
соответствующего периоду 12 час. Однако многочисленные
японские наблюдения волн* давления от атомных взрывов
не подтверждают гипотезу о вторичном приходе волн.
2. Колебания, возбуждаемые тяготением, должны за-
паздывать по фазе (по крайней мере в случае баротропного
колебания), тогда как для S2 наблюдается опережение по
фазе.
3. ТИ2 действительно запаздывает по фазе, однако вели-
чина запаздывания не согласуется с рассчитанной для линей-
ного осциллятора с таким большим значением Q.
Основываясь на наблюдаемом значении опережения по
фазе в случае прилива S2, Лаплас в 1823 г. выдвинул пред-
положение о том, что колебания давления имеют тепловое
происхождение. Тепловая энергия Солнца преобразуется
в механическую энергию вращения, причем атмосфера иг-
рает роль тепловой машины. В результате Земля получает
ускорение, равное 3,7 • 10~22 рад!сек2. Увеличение момента
количества движения вращения Земли происходит за счет
уменьшения орбитального момента Земли. Таким образом,
атмосферный момент играет роль механизма для преобразо-
вания тепловой энергии Солнца в механическую энергию;
этот механизм связан с переходом момента количества
движения обращения Земли по орбите во вращение. Кельвин
[277] отметил, что в случае теплового возбуждения суточ-
ная вариация должна быть при прочих равных условиях
больше полусуточной, тогда как наблюдаемая суточная
амплитуда в среднем несколько меньше полусуточной.
§ 9. Атмосферные приливы
285
И в этом случае противоречие устраняется предположением
о 12-часовом резонансе, а ограничения оказываются го-
раздо менее жесткими, чем в случае гравитационного проис-
хождения. Отношение амплитуды основной (24-часовой)
гармоники к первой (12-часовой) предполагаемой тепловой
функции возбуждения неизвестно, однако отношения по-
рядка от 3:1 до 10:1 кажутся приемлемыми. Требуемое
возрастание 12-часовых колебаний относительно 24-часо-
вых должно лежать в этих пределах.
Резонансная кривая для линейного затухающего ос-
циллятора с наблюдаемыми возрастанием и фазой прилива
Л42 приведена на рис. 48 (кривая б). Трудность (3) в этом
случае устраняется. Максимум кривой приходится на
10h,2, вблизи значения, полученного Тейлором. Фаза и
амплитуда прилива S2 относятся теперь к неизвестной
функции возбуждения и не вызывают немедленных затруд-
нений. Возрастание при 12h равно 3,3, и отсюда следует, что
тепловое возбуждение должно превосходить гравитацион-
ное возбуждение в отношении 30:1. Зиберт [248 ] утверждает,
что это действительно имеет место, и без всяких затруднений
объясняет амплитуду и фазу S2 процессами радиационного
возбуждения.
Вернемся теперь к гипотезе Холмберга. Он считает, что
вращение Земли постепенно замедлялось океанским трением
до тех пор, пока полупродолжительность суток не при-
близилась к периоду атмосферного резонанса. Дальнейшее
замедление сопровождалось увеличением прилива S2 и
соответствующим увеличением ускоряющей пары сил,
связанным с этим приливом, до тех пор, пока не установи-
лось равновесие между этими двумя парами сил. Таким
образом объясняется близость полупродолжительности
суток с атмосферным резонансным пиком вблизи 12 час
(если таковой существует). Необходимости в постоянном
суточном равновесии между парами нет. Например, в на-
стоящее время продолжительность суток несколько велика
для равновесия и океанский замедляющий момент превос-
ходит атмосферный ускоряющий момент в отношении 10:1.
В другие эпохи в геологическом прошлом ситуация была
обратной. Согласно этой статистической интерпретации, со-
временное значение возрастания атмосферного прилива S2,
286
Гл. 11. Вековые вариации
равное 100, необычно мало; в среднем оно должно равняться
1000, а временами, возможно, и 10 000.
Сам Холмберг не уточняет, имеет ли прилив тепловое
или гравитационное происхождение. Однако в случае
теплового возбуждения эта гипотеза много теряет в своей
привлекательности. Для того чтобы достигалось стати-
стическое равновесие между океанским и атмосферным
приливными моментами, первый должен быть в среднем
меньше (или второй больше), чем их современные значения:
это должно достигаться не за счет подъема по острой резо-
нансной кривой, а изменением океанских приливов или
теплового возбуждения. Резонансный максимум широк и
значительно удален от нынешнего значения полупродолжи-
тельности суток. Острый атмосферный резонанс в пределах
2 мин вблизи 12 час нуждается в объяснении; резонанс
в пределах 2 час от полупродолжительности суток нужда-
ется в объяснении не более, чем резонанс колебаний полюса
в пределах 2 месяцев от продолжительности года.
§ 10. Межпланетный момент
Может оказаться, что некоторые нерегулярности враще-
ния Земли обязаны своим происхождением электромагнит-
ному взаимодействию Земли и межпланетной плазмы.
Изучение этого вопроса только начинается, и делать вы-
воды пока еще рано.
Космические лучи взаимодействуют с магнитным полем
Земли на далеких расстояниях и могут быть использованы
для изучения внешнего магнитного поля. В работе Симп-
сона и др. [2511 было показано, что эффективный геомагнит-
ный экватор для космических лучей определяется диполем,
имеющим такое же наклонение, как и диполь, определяемый
магнитными измерениями на поверхности, но который
смещен по долготе к западу на 40—45°. Этот диполь можно
разложить на две составляющие: одну вдоль оси вращения
и другую в экваториальной плоскости, вращающуюся
с угловой скоростью О. В этом представлении внешний
«экваториальный диполь» (определяемый по измерениям
космических лучей) отстает по фазе на 45° относительно
внутреннего экваториального диполя (определяемого по
магнитным измерениям на поверхности).
§ 10. Межпланетный момент
287
Бейзер [10] объясняет запаздывание внешнего экватори-
ального диполя наличием дополнительного индуцирован-
ного диполя, возникающего вследствие вращения Земли.
Обозначим через Mi магнитный момент внутреннего эква-
ториального диполя. Так как этот диполь вращается, он
должен создавать в межпланетной среде электрическое
поле. Если эта среда проводящая, замкнутые линии тока
будут располагаться в плоскостях, содержащих диполь
и ось вращения. Эти токи индуцируют в межпланетной
среде магнитное поле, которое могло быть вызвано эквива-
лентным диполем с величиной
МИНД = 4ЛХЙМ (f2 — (11.10.1)
где х — проводимость межпланетной среды, аг — рас-
стояние от Земли, за которым рассеянное поле преобладает
над полем, созданным М. Индуцированный диполь лежит
в той же плоскости, что и внутренний диполь, но смещен на
90° к западу. Если мы положим
М -Л4ИНД, (11.10.2)
то полный внешний экваториальный диполь, равный вектор-
ной сумме внутреннего и индуцированного экваториальных
диполей, будет сдвинут на 45° к западу от внутреннего, что
и наблюдается.
Аналогичное объяснение западного смещения внешнего
магнитного поля также было дано Бейзером. Проводящая
межпланетная среда оказывает сопротивление силовым
линиям вращающегося внутреннего диполя. Работа, со-
вершаемая для преодоления сопротивления, производится
за счет энергии вращения. Момент количества движения
Земли уменьшается, а момент межпланетной среды воз-
растает. Можно приближенно оценить скорость потери
Землей механической энергии. Энергия индуцированного
поля равна
Е= (11.10.3)
Мы показали, что Л4ИНд^ М = 1,59-1025 г-см3 (эквато-
риальная составляющая геомагнитного диполя). Следо-
вательно, £~ 3,26-1023 эрг. Постоянная времени свобод-
288
Гл. 11. Вековые вариации
кого затухания поля в теле с линейным размером L рав-
на [49]
4лхЛ2. (11.10.4)
Из (11.10.1) (11.10.2) имеем
=флх (г2 — а2)^ уЛх/А (11.10.5)
так что энергия затухает за время порядка суток:
— ~^f~2-1019 эрг/сек, Q [м--=
= — 3,3-10~22 рад/сек*. (11.10.6)
Это соответствует моменту LM^2,7-1023 дин-см.
Расчет магнитного момента содержит несколько не-
определенных пунктов. Западное смещение внешнего диполя
зависит в какой-то мере от начальных геомагнитных коор-
динат, использованных для редукции данных. В частности,
Бейзер рассматривал только компоненты магнитного поля
центрированного диполя. Смещение магнитного экватора
космических лучей можно объяснить не только при помощи
диполя (можно учесть, например, полное поле). Стори и др.
[262] встретили трудности при объяснении с помощью ги-
потезы диполя измерений космических лучей в Австралии.
Квенби и Вебер [221] и Ротвелл [227] рассмотрели вопрос,
нужно ли вообще возмущенное внеземное поле для объяс-
нения наблюдений космических лучей. Остается открытым
и вопрос, является ли ступенчатый метод Бейзера удовле-
творительным приближением к соответствующей магнито-
гидродинамической краевой задаче. Маэда [169] исследовал
задачу, исходя из уравнений для полностью ионизован-
ной плазмы. В первом приближении поле распространяется
в окружающей среде со скоростью альфвеновских волн.
Маэда предполагает, что плазма вращается вместе с Землей
на расстоянии до 10 земных радиусов, а далее неподвижна.
В рамках этой модели можно объяснить запаздывание по
фазе внешнего диполя. Для убыли вращательной энергии
Земли вследствие излучения альфвеновских волн Маэда
получил значение 2-1016 эрг/сек, что составляет 10~3 зна-
чения, полученного Бейзером.
§ 10. Межпланетный момент
289
Результат Бейзера (11.10.6) имеет такой же порядок
величины, который дают античные затмения (см. табл. 17),
и он полагает, что магнитный момент может давать вклад
в наблюдаемое вековое замедление. Однако замедление
Рис. 49. Неприливные вариации продолжительности суток.
Вплоть до 1800 г. изображена сглаженная кривая.
Земли вследствие этого момента будет сопровождаться
ускорением межпланетной среды, а не орбитального движе-
ния Луны. Эффект магнитного воздействия следует срав-
нивать с астрономическими данными только после исключе-
ния всех солнечных и лунных эффектов. Если солнечные
и лунные эффекты исключены, то оказывается, что скорость
вращения Земли скорее возрастает, чем убывает (см.
табл. 17 и рис. 49). Таким образом, астрономические данные
не свидетельствуют в пользу предположения о наличии
магнитного момента постулированной величины, и если он
существует, то он должен перекрываться другими процес-
сами.
290
Гл. И. Вековые вариации
Межпланетный момент может вносить известный вклад
в невековое изменение продолжительности суток. Флуктуа-
ции излучения Солнца могут сопровождаться изменениями
проводимости х и соответственно момента сил. Постоянные
времени этих процессов очень малы, и можно предположить,
что «точки поворота» в XX в. (§ 15) вызваны угловыми
импульсами, сопровождавшими солнечные вспышки. Зна-
чения Q в точках поворота имеют порядок 10~20 рад/сек2,
и необходимые моменты должны в 100 раз превышать значе-
ния, полученные Бейзером. Другая трудность заключается
в том, что магнитный момент может лишь тормозить враще-
ние Земли, между тем астрономические наблюдения свиде-
тельствуют об одинаково быстрых возрастаниях и убыва-
ниях продолжительности суток. Разумеется, модель Бейзера
является слишком упрощенной. Например, если межпланет-
ная среда более или менее увлекается Землей, то условия
будут совершенно иными.
В качестве другого примера межпланетного момента
можно рассмотреть давление излучения. Допустим, что
имеется систематическое различие между альбедо в ранние
утренние и поздние вечерние часы. Как предельный слу-
чай положим альбедо равным нулю от 6 до 12h местного
времени и единице от 12 до 18h. Отталкивательная сила
Солнца, действующая на Землю, равна р= 4,5 • 10 5 дин!см2.
На отражающей стороне давление излучения равно 2р,
на поглощающей стороне равно р, и возникает пара за
счет ±г/2Р-
Пусть % — восточная долгота, отсчитываемая от мест-
ного полудня. Элемент поверхности будет dS = a2 sin QdQdK.
Его проекция на направление, нормальное к солнечным
лучам, равна sin 9 cosXdS (в равноденствии), и дифференци-
альный момент сил равен
~ ра | sin К | sin 0 cos X dS.
Полный момент равен
к/2 к/ 2
L3 = 2~ pa3 J [ sin36 sin XcosX d9 dX =
~ ob
= 4- pa3 4 • 1021 дин * см,
О
§ 11. Инерция
291
тогда как приливный момент Луны равен 4-Ю23 дин-см.
Эффект оказывается пренебрежимо малым даже в этом
предельном случае, но несколько удивительно, что он
оказывается столь большим.
§11. Инерция
В этом параграфе мы рассмотрим изменение момента
инерции Земли в историческом масштабе времени. Задача
заключается в объяснении неприливной невязки вращения.
При этом мы оставляем в стороне то обстоятельство, что
полная геофизическая теория приливных невязок пока от-
сутствует. Отделение этих двух невязок следует непосред-
ственно из астрономических наблюдений. Астрономические
данные приведены в строке 20 табл. 17, а на рис. 49 приве-
дено (неприливное) увеличение угловой скорости, которое
составляет примерно 10 • 10~8 за последние 2000 лет; это чис-
ло может быть больше или меньше в 3 раза и около 4-10-8
с 1700 г. На эти вариации накладываются «десятилетние
флуктуации» очень большой амплитуды. Изменение с 1870
по 1905 г. составляет около 9-10 -8 — примерно столько же,
сколько с начала н. э. Сезонные вариации порядка 10~8
столь малы по сравнению с этой амплитудой, что можно
почти полностью пренебречь факторами, игравшими боль-
шую роль для сезонных вариаций: перемещениями воз-
душных масс, ветрами и земными приливами.
Томсон и Тэт [279, стр. 418] отметили, что выпадение
метеоритной пыли на Зёмлю может вызвать замедление
ее вращения, однако они сочли его пренебрежимо малым.
Современные оценки подтверждают это предположение.
Полный приток составляет самое большее 1000 т в сутки,
в основном от микрометеоритов [176, стр. 241]. Соответст-
вующая скорость возрастания момента инерции равна
С 3 • 1021 г-см2!сек. Если пренебречь импульсом выпада-
ющих частиц, то
Q = — q(A) = _ 3'-10-28 рад/сек\
что нужно сравнить с «наблюдаемой» скоростью +3-10~22
рад/сек2 (см. табл. 17, строка 20). Точно так же к пренеб-
режимо малым значениям ускорения приводят любые
разумные значения скорости сжатия Земли.
292
Гл. 11. Вековые вариации
Очевидным источником вековых изменений момента
инерции является переменное количество воды в мировых
океанах, с одной стороны, и ледники и ледяные поля, с дру-
гой, как подчеркивалось Кельвином (Collected Papers,
vol. Ill, p. 337). Эта проблема обсуждалась в последнее
время Хосоямой [109], Манком и Ревелем [199, 200],
Юнгом [305] и Мельхиором [181].
Рассмотрим влияние на скорость вращения подъема
уровня мирового океана вследствие таяния льда в Гренлан-
дии и Антарктиде соответственно. Обозначим через q
переменный вес воды в г/см2, и через qf вес льда. Пусть
теперь функция <5 (О, Z) равна 1 на океанах и 0 в остальных
местах; коэффициенты разложения а™, Ь„ этой функции
по сферическим гармоникам приведены в § 1 приложения
в колонке @ (океаны). Положим
/72 tn , т
С /г — d/г -р •
Пусть аналогично S' (0, X) равно 1 в областях, где происхо-
дит таяние (которое предполагается равномерным), и 0
в остальных местах. Нам понадобятся следующие коэффици-
енты разложения:
4°
'0
2
'0
2
b
6' (Гренландия)
(5' (Антарктика)
........ 0,00414 0,0168 0,0088 —0,0080
........ 0,0282 0,129 —0,0056 —0,0160
Функцию возбуждения (9.5.1) можно записать в виде
, а4 8л Г / о 1 о\ . / / /0 1 /0 \
Фз =— 7ГТ <7 (а° — у fl2 j + <7 о—у а 2)
(11.11.1)
Вследствие сохранения массы воды имеем
^-Н'а'о = О. (11.11.2)
Для частот, малых по сравнению с чандлеровской частотой,
mt = Т/ согласно (6.4.4); учитывая деформации от нагрузки
и вращения согласно табл. 1 (стр. 67), получаем для подъ-
ема уровня моря на 1 см
§ 11. Инерция
293
Таяние пц т2 та q ,
IQ—8 г [см*
Гренландия.............. 13,1 9,9 —0,094 —178 (Н.11.3)
Антарктика.............—0,0 —1,9 —0,107 —25
Таким образом, таяние 178 г/см2, в Гренландии вызывает
повсеместное повышение уровня . моря на 1 см, а полюс
смещается в сторону Гренландии на величину
[(13,1)2 + (9,9)2] 1/2. ю-8 _ 16,4. Ю-8 рад = 0",034 = 1,03 м.
Таяние льдов в Антарктике смещает полюс по направле-
нию к Чикаго. Полюс вращения является довольно чувст-
вительным указателем места таяния льда. Значения, при-
веденные в (11.11.3), дают следующие отношения:
Таяние mjm2 т2/т3
Гренландия —140 106
Антарктика 0 18
Эти отношения зависят от места таяния льда и позволяют
нам проверить справедливость гипотезы уровня моря.
С 1910 по 1940 г. пи возросло на 6-10~8. Если это увеличе-
ние обусловлено изменением уровня моря, то эта вариа-
ция продолжительности суток должна сопровождаться
смещением полюса на 6 • 10~8 [(140)2 + (105)2]1/2 =
= 1,05 • 10~5 рад = 75 м от Гренландии или на 6,7 м от
Чикаго в зависимости от места таяния льда. Астрономиче-
ские данные (§ 1) свидетельствуют о наличии смещения
примерно 3 м по направлению к Гренландии, однако эти
данные ненадежны. Во всех случаях смещения больше
3 м исключаются, что, возможно, опровергает гипотезу
уровня моря, за исключением того, что источники таяния
льда случайно расположены так, что гасят влияние асим-
метричного распределения моря и суши. Это доказатель-
ство имеет то преимущество, что оно ведет от одного астро-
номического наблюдения к другому, причем из данных наук
о Земле используются только сведения о распределении
суши и моря и расположения Гренландии.
Прямое сравнение с регистрацией уровня моря вводит
множество неопределенностей. На рис. 50 приведены раз-
ности среднего уровня моря в течение первого и второго и в
течение второго и третьего десятилетий нашего века, основан-
ные на всех доступных сведениях о величине приливов. На
294
Гл. 11. Вековые вариации
любой выбранной станции эти два значения обычно очень
различны и имеют в некоторых случаях противоположные
знаки. Для любого десятилетия вариации изменяются от точ-
ки к точке. Большинство различий во времени обязано метео-
рологическим явлениям, так как океан является своего рода
обратным барометром при изменении атмосферного давлёния
Рис. 50. Изменения зарегистрированного уровня моря между пер-
вым и вторым десятилетиями (стрелка влево) и между вторым и
третьим десятилетиями (стрелка вправо) нашего века.
Масштаб слева в см [199].
(§ 3 гл. 9). Были зарегистрированы изменения атмосфер-
ного давления 5 мб в десятилетие в районах Северной Ат-
лантики, и ожидаемая реакция уровня моря 5 см имеет
тот же порядок величины, что и наблюдаемое изменение.
Частично наблюдаемое колебание может быть обусловлено
движением коры. Получение среднего по земному шару
является тогда неопределенной задачей. Однако в любом
случае понижение уровня моря на 75 см с 1910 по 1945 г.,
как это требуется наблюдаемым изменением продолжитель-
ности суток, может быть исключено. Колебания за этот пе-
риод возникают не из-за изменений уровня моря.
§ 11. Инерция
295
Однако этот вывод не исключает возможности того, что
среднее смещение полюса за последние несколько сотен
или тысяч лет связано с флуктуациями уровня моря. Ис-
следуя записи величины приливов, Гутенберг [97] пришел
к выводу, что в настоящее время наблюдается подъем
уровня моря на 10 см в столетие; Куэнен [142, стр. 533—
534] получил примерно вдвое большее значение, а Дисней
[64] — 15 см в столетие. Все эти расчеты основаны на
примерно одних и тех же данных, и относительно неплохое
согласие может ввести в заблуждение. Имеется трудность,
связанная с тем, что наблюдаемые изменения уровня моря
могут быть связаны с охлаждением или нагреванием океан-
ских вод. Нагревание всего объема воды на 1°С вызовет
подъем поверхности на 60 см\ Эта часть изменения уровня
моря не меняет нагрузку, и ей можно пренебречь, если
рассматривается влияние на вращение Земли1). С этой же
проблемой связана трудность проблемы изостазии. В случае
постоянного увеличения нагрузки от океана мы должны
ожидать компенсирующего потока вещества мантии из-под
океанов под континенты. Преимуществом непосредственного
сравнения наблюдаемого астрономически движения полюса
с наблюдаемой астрономически продолжительностью суток
является возможность проследить за этими источниками
бароклинности в системе океан — кора. Другим методом
исследования является изучение изменений запаса льда и
снега. Большая часть запаса приходится на Антарктиду и
Гренландию. Сейсмические измерения, проведенные во
время МГГ, дают для антарктической ледяной шапки ве-
личину 2,4 • 1022 г, что достаточно для повышения уровня
моря на 67 м. Тораринссон [280] экстраполировал среднюю
величину потери 37 г!см2 за год для пяти европейских и
арктических ледников на все ледниковые области, кроме
Гренландии и Антарктиды. Результирующий подъем
уровня мирового океана составляет 5 см в столетие. Бауэр
[8] попытался составить баланс гренландского ледяного
купола, основываясь на результатах измерений француз-
ских полярных экспедиций (Т. Е. Виктор). Его результаты
таковы:
*) Задача является критической в случае годичной вариации
(§ 5 гл. 9, океаны).
296
Гл. 11. Вековые вариации
Накопление . . 0,45- 1018 см?/град
Таяние .... —0,32
Потери с лед-
ников . . . —0,21
Итого . . —0,08
Это соответствует подъему уровня моря на 3 см в столе-
тие. Разумеется, эти значения весьма неопределенны. В на-
стоящее время относительно баланса Антарктики ничего
нельзя сказать. Согласно оценкам Лоэва [161], примерный
баланс таков:
Накопление . .
Унос айсбер-
гами . . . .
Снос ветрами .
1,6- 1018сл13 / год
—0,04
—0,3
т. е. имеет место прирост, составляющий 1,3-1018 см31год
(опускание уровня моря на 36 см в столетие). Однако это
значение исключается наблюдениями величины приливов,
измерений продолжительности суток или движения
полюсов. Свердруп на антарктической базе Маудхейм
обнаружил, что протекание теплой воды подо льдом при-
водит к значительному таянию. Этот процесс может при-
вести к перемещению 1018 г льда в год, т. е. сбалансировать
бюджет [300], однако детальные вычисления еще не про-
ведены х).
Таким образом, оценки таяния вне Антарктики приводят
к подъему уровня моря на 8 см в столетие, что составляет
примерно половину среднего значения оценок, основанных
на величинах приливов. Оба метода являются крайне не-
точными, и согласие оказывается лучше, чем мы вправе
были ожидать. Если мы примем для увеличения нагрузки
океана значение 10 г!см2, в столетие, то для смещения полюса
х) А. П. Крейри сообщил нам, что наблюдения во время МГГ
в районе базы Мак-Мердо показали незначительные изменения (или
отсутствие таковых) объема льда со времени посещения Скотта и
Шелктона. В Маудхейме были обнаружены лишайники, растущие
вплоть до снеговой линии на изолированных скатах, что можно объ-
яснить лишь постоянством уровня льда по крайней мере в течение
нескольких последних десятилетий.
$ 11. Инерция
297
можно ожидать значения около 3—5 м за 50 лет, в среднем
в направлении места таяния льда. Наблюдаемая величина
смещения на 3 м в сторону Гренландии не противоречит
этим оценкам. В течение последних 200 лет следовало бы
ожидать увеличения продолжительности суток примерно
на 1,5 мсек, тогда как в действительности она уменьшилась
на 4 мсек1).
Сведения о прошлом являются еще более неуверенными.
Лоуренс [157] считает, что современный подъем уровня
моря начался в 1750 г. Вплоть до этого момента, начиная
с климатического оптимума, имевшего место примерно
3000—6000 лет назад, уровень моря понижался. Согласно
оценкам Дели [52, 53] и других авторов [142, стр. 448,
537], уровень моря во время оптимума на 5 м превышал
нынешний уровень моря и на 2 м — уровень моря в начале
нашей эры [307, стр. 93—94]. На основе метода радиоугле-
родного датирования Шепард и Зюсс [247] расширили
шкалу времени до 10000 лет до н. э. Согласно этим данным,
имел место подъем со скоростью 50—100 см в столетие вплоть
до 1000 г. до н. э.; последующее понижение уровня, которое
предполагалось выше, не подтверждается, но и не опровер-
гается радиоуглеродными данными.
Для сравнения с античными астрономическими наблюде-
ниями мы можем предположить, что имело место некомпен-
сированное опускание на 2 м. Это дает ёт3 = 4-16-10“8.
Астрономические оценки (см. табл. 17, строка 20) меняются
от +Ю до +33-10“8. Во всяком случае, эти значения не
противоречат друг другу, и более высокий уровень моря
в античные времена может быть ответствен за неприливные
невязки в античных наблюдениях.
Имеются также другие возможности. Юри [284, стр. 80—
87], который первым обратил внимание на то, что античные
неприливные невязки совпадают с угловым ускорением2 * * *),
выдвинул гипотезу о том, что ускорение обусловлено по-
х) Согласие между наблюдениями и оценками, о которых сооб-
щает Юнг [305,] основывается на том, что сравнивались полные
(приливные и неприливные) вариации продолжительности суток.
2) Его метод разделения приливных и неприливных вариаций
отличается от нашего, однако численные результаты согласуются.
Сейчас Юри не считает рост ядра возможной причиной векового
ускорения.
298
Гл. 11. Вековые вариации
током железа из мантии в ядро. Согласно этой гипотезе,
масса ядра возрастает со скоростью 101] г!сек, время же его
образования с такой скоростью составляет 0,6-109 лет.
Манк и Ревель [199] рассмотрели «турбулентность»
континентов. Земля разделена на блоки, каждый из кото-
рых движется как целое; предполагается, что соседние бло-
ки не обладают тенденцией двигаться совместно. Для Земли
общая величина опускающихся масс равна общей величине
поднимающихся, однако тензор инерции должен флуктуи-
ровать, потому что средние широта и долгота поднимающих-
ся блоков не должны, вообще говоря, быть равными сред-
ним широте и долготе опускающихся блоков. Пусть г обо-
значает среднеквадратичное смещение блоков, a q = pcz —
соответствующее изменение нагрузки; рс = 2,75 г!см? —
плотность пород коры. Можно показать, что среднеквадра-
тичные значения вектора вращения равны
— 4ir а4 _ _1/2 _ 8~ —1/2
где п — число блоков. В этих вычислениях 1.
Рассмотрим прежде всего отношение колебания полю-
са к продолжительности суток
Ш = 4-/ЗЯ-1 = 260.
Согласно данным о колебаниях полюса, можно считать
|т|<5-10~7. Из флуктуаций XX в. следует, что т3—
= 5 • 10~8. Наблюдаемое отношение I m |/m3 < 10, т. е.
намного меньше того, которое следует из модели хаоти-
ческого движения блоков коры. Это снова является сви-
детельством в пользу высокой осевой симметрии процес-
сов, ответственных за колебания в XX в.
Положим п = 21, что соответствует размерам блоков
порядка Северной Америки. Тогда m = l,2-10-7z,
ш3 = 4,6-10~10 z, где z — в см. Можно считать значение
5 см приемлемым для вертикального смещения континентов
за последние 50 лет. Большие значения маловероятны из-за
наблюдаемой величины приливов (см. рис. 50); меньшие
значения возможны. Отсюда получаем jm] =6 -10-7 рад =
§ 11. Инерция
299
= О” 12 4 м для смещения полюса и т3 = 4,6- 10“9 для
вариации вращения. Последнее значение крайне мало по
сравнению с наблюдаемыми; первое согласуется с верх-
ним пределом, накладываемым наблюдениями движения
полюса. Мы можем считать, что наблюдаемое смещение
полюса к Гренландии может быть обусловлено движением
континентов, но не изменением в продолжительности суток.
Наблюдения движения полюса накладывают заметные огра-
ничения на возможную величину движения континентов.
В течение последних 2000 лет «наблюдаемое» значение т3^
10~7 приводит к величине z = 2 м. Это не невозможно;
движение континентов может играть роль в вариации про-
должительности суток с античных времен.
Накопление осадков играет небольшую роль. В дельте
Миссисипи ежегодно откладывается 1015 г наносов, что
составляет 1 % от предполагаемой потери массы за год
ледяным куполом Гренландии.
Во многих районах мира уровень грунтовых вод по-
низился на десятки метров из-за деятельности человека
и засух. В Калифорнии уровень понизился на 60 м на
площади 300x100 км. Пористость грунта равна 0,15, и
масса потерянной воды составляет 100 -300-1010 • 6000 х
х0,15 = 0,27-1018 г. Результирующее изменение уровня
моря составляет 3 мм, и смещение полюса имеет порядок
0,01 по направлению к юго-западу Тихого океана. Эта
величина лежит на пределе чувствительности, и если бы
другие, более существенные эффекты отсутствовали, то
понижение уровня грунтовых вод являлось бы единственным
известным случаем, когда деятельность человека может
вызвать наблюдаемое смещение полюса.
До сих пор мы неявно избегали вопроса об изостатической
компенсации. Не может быть сомнений, что в течение до-
статочно больших промежутков времени любое изменение
искусственной нагрузки компенсируется изостатическим
выравниванием и влияние вращения существенно уменьша-
ется (но не обращается в нуль; см. § 9 гл. 5). В течение
достаточно коротких промежутков времени выравнивание
незначительно. Традиционной является ссылка на «постоян-
ную» времени 10 000 лет на основании финно-скандинавско-
го выравнивания, однако положение ни в коей мере не яв-
ляется выясненным до конца. Мы предпочитаем предоставить
300
Гл. 11. Вековые вариации
читателю множество различных возможностей, возникающих
при комбинировании нашего рассмотрения с различной
степенью изостатического компенсирования.
§ 12. Ядро
Нам еще предстоит найти источник ярко выраженных
больших флуктуаций продолжительности суток с периодом
в десятилетия, имевших место в течение нескольких по-
следних столетий. Характерное время мощных явлений
в море и атмосфере гораздо меньше десятилетия; продолжи-
тельность геологических явлений намного больше. Един-
ственно возможным источником остается ядро. Оно доста-
точно велико, достаточно пластично и достаточно удалено
для того, чтобы не быть легко исключенным. Более того,
магнитное поле на поверхности в какой-то мере свидетель-
ствует (если предположить его магнитогидродинамическое
происхождение) о том, что движение в ядре является слож-
ным и переменным, а характерное время является проме-
жуточным между масштабами атмосферных и геологических
явлений. Первыми рассмотрели «электромагнитную связь
мантии с турбулентными движениями в ядре» Буллард
и др. [29]. Они показали, что наблюдаемые вариации про-
должительности суток требуют очень большой (в 100 раз
больше) связи. Как мы увидим, с известными усилиями ве-
личину этого множителя можно уменьшить, однако затруд-
нение остается непреодоленным.
Равномерное движение в ядре, имеющее осевую сим-
метрию и обусловленное внутренним источником энергии,
не будет приводить к вариациям продолжительности суток
или смещению полюса. Рассмотрим последствия нарушения
какого-либо из этих условий.
Магнитная диссипация. Вековое замедление Земли воз-
никает в том случае, если в энергию магнитного поля преоб-
разуется каким-либо образом кинетическая энергия враще-
ния. Энергия магнитного поля равна
Е = (1/8л) pH/dV, (11.12.1)
где интегрирование производится по всему объему Земли.
Экстраполяция поля на поверхности дает
Е 3-1026 эрг.
$ 12. Ядро
301
Согласно оценке Эльзассера [70], время затухания поля
составляет около 15 000 лет. Результирующее угловое
замедление равно
Q ~~ 10-26 рад/сек2,
что разочаровывающе мало по сравнению с приливным
замедлением порядка 10~21 рад!сек2. Мы приходим к выводу,
что этот процесс, если только он вообще имеет место, не
приводит к наблюдаемому замедлению; в то же время враще-
ние Земли может быть источником энергии магнитного
поля.
Переменное движение. Галлей в 1762 г. заметил, что
магнитное поле Земли смещается к западу. Эльзассер [70]
и Буллард [29] объяснили это смещение предположением
о движении вещества внутри ядра. Отсюда следует возмож-
ность сравнения наблюдаемого западного смещения с вра-
щением мантии. Связь междумагнитными и астрономически-
ми наблюдениями обсуждалась в работах Вестина [289—291],
Манка и Ревеля [199] и Мура [201]. Изучение западного
смещения встречается с двумя главными трудностями.
1. Трудно оценить наличие действительных изменений
магнитного поля в разные эпохи. Измерения неполны, и
разные методы сравнения приводят к существенно различ-
ным результатам.
2. Интерпретация наблюдений через смещение к западу
неоднозначна. Существенно различающиеся по земному
шару характеристики магнитного поля и локализованные
центры «бурь» смещаются с различными скоростями.
Если разложить геомагнитный потенциал по сферическим
гармоникам, то обычно используются следующие члены
диполей, создающих эквивалентное поле:
V 0
аксиальный диполь р\
экваториальный диполь р\
м 0 1
центрированный диполь рь pi
» 0 10 12
эксцентрический диполь рь р2, р2, р2
недипольное поле р2, р2, Ръ рз, •••
Эксцентрический (или нецентральный) диполь параллелен
центрированному диполю и в настоящее время смещен от
302
Гл. 11. Вековые вариации
центра Земли на расстояние примерно 300 км по направле-
нию к Индонезии. Положение эксцентричного диполя в за-
висимости от времени определяет смещение квадрупольных
компонент поля, но не движение высших гармоник.
Вестин [290] определил положение эксцентрического
диполя с 1830 по 1945 г. Для интервала времени с 1905 по
1945 г. использовались 10-летние магнитные карты Вестина
и др. [292], которые однородны относительно наблюдатель-
ного материала и методов его обработки. Буллард и др.
[29] определили среднее западное смещение недипольного
поля с 1907,5 по 1945 г. на основании данных [292]. Таким
образом, вычисленное смещение усредняет движение всех
гармоник порядка 2 и выше по методу наименьших квад-
ратов. Для интервала времени с 1907 по 1945 г. Буллард
получает значение 0°,18± 0°,015 в год недипольного поля,
а Вестин — 0°,30 в год для эксцентрического диполя. Эти
значения характеризуют неопределенность интерпретации.
Таблица 20
Положение эксцентрического диполя
Источник Время В. д.
Гаусс 18h35m 186°,5
Эрманн—Петерсон .... 18 39 181,6
Адамс 18 45 181,1
Адамс 18 80 168,4
Фриче 18 85 168,5
Шмидт 18 85 168,0
Неймайер—Петерсон . . . 18 85 168,0
Вестин 19 05 163,3
Вестин 19 15 162,0
Дайсон—Фурнер 19 22 161,1
Вестин 19 25 160,2
Вестин 19 35 157,3
Афанасьева 19 45 156,2
Вестин 19 45 153,9
Обозначим через xt координаты эксцентрического диполя.
В табл. 20 приведены вычисленные заново восточные дол-
готы X = arctg (xjx^ с использованием обзора Вестина.
§ 12. Ядро
303
Рис. 51. Движение эксцентрического ди.
поля с востока на запад. Точки—данные
Вестина. Прямая соответствует западному
смещению со скоростью 0°,27 в год.
Уменьшение % соответствует смещению в западном направле-
нии.
Вестин отмечает, что имеет место явное изменение ско-
рости западного смещения в 1905—1925 и 1925—1945 гг.
Используя значения, приведенные в табл. 20, получаем
1 = —0,85-Ю-10 рад/сек для 1905—1925 гг.,
% = — 1,72-10—10 рад/сек для 1925—1945 гг.
Условный характер свидетельства в пользу этого измене-
ния не нуждается в комментариях (см. рис. 51). Тем не менее
304
Гл. 11. Вековые вариации
мы хотим сравнить это изменение с астрономическими дан-
ными о вращении мантии.
Простая модель состоит из мантии и ядра, вращающихся
как два твердых тела вокруг общей оси. Пусть См =
= 7,2 • 1044 г • см2 и Сс = 0,85 • 1044 г • см2 обозначают их
главные моменты инерции, a QM и — их угловые скоро-
сти. Из закона сохранения момента количества движения
следует, что величина
См + Сс й
должна оставаться постоянной, и поэтому скорость западно-
го смещения равна
_ СС
^м ^м ^м
Комбинируя эти выражения, получаем
— М - — (6QC — (Н. 12.2)
Уравнение (11.12.2) связывает (в рамках данной гипотезы)
измерения на астрономических обсерваториях с измере-
ниями на магнитных обсерваториях. Наблюдаемая вели-
чина западного смещения в промежутки времени с 1905
по 1925 г. и с 1925 по 1945 г. составляет 6Х = —0,87х
X 10~10 рад1сек\ из уравнения (11.12.2) следует, что
= 12,5-10~8. Астрономические наблюдения дают
для SQjw/Qai = 6-10-8 для промежутка времени с 1910 по
1930 г. (см. рис. 49), так что
(!Мнабл = 0>48_
(^^Л1)выч
(11.12.3)
Вычисление вариации основано на предположении, что все
ядро принимает участие в колебании, так что полученное
значение является верхним пределом. Мы приходим к за-
ключению, что наблюдаемые флуктуации в западном
смещении совместимы по знаку и величине с колебаниями
в XX в. при условии, что значительная часть внешнего
ядра является ответственной за флуктуацию. Так как боль-
шая часть ядра, кроме верхних 100 км, экранируется
(с магнитной точки зрения) электрической индукцией,
§ 12. Я д р о
305
наш метод расчета эквивалентен оценке момента количества
движения атмосферы по экстраполяции поверхностных
ветров. В результате годовое изменение продолжительности
суток должно быть ничтожным!
Приведенный расчет неявно предполагает, что существует
необходимая связь, вызывающая наблюдаемое изменение
угловой скорости. Угловое ускорение между 1910 и 1930 г.
равно приближенно 0,7 • 10“20 рад!сек2. Если ас обозначает
радиус ядра, среднее плечо рычага равно 1/2ас. Средняя
эффективная площадь равна 2лас, и среднее напряжение,
с которым ядро действует на мантию, составляет
= 0,03 дин/см*.
пас
Электромагнитное напряжение, возникающее вследст-
вие конечной проводимости мантии, по порядку величины
равно [72]
9
Э7С
где Нг — радиальная компонента основного дипольного
поля, а Н\характеризует тороидальное поле, проникающее
в мантию. Нг на границе мантии равно 4 гс, поэтому
Ях~0,1 гс для объяснения требуемого напряжения
0,03 дин!см2. Тороидальное поле в мантии возникает из-за
утечки в ядре. Согласно Эльзассеру, тороидальное поле
ядра должно иметь тот же порядок величины, что и полои-
дальное поле, так что значение 10 гс может быть достаточ-
ным, в то время как ранее постулировались гораздо более
сильные тороидальные поля в ядре. Напряженности торои-
дальных полей в мантии и ядре обратно пропорциональны
их проводимостям. Таким образом, для вычисления элект-
ромагнитного напряжения необходима оценка как торо-
идального поля в ядре, так и соответствующих проводи-
мостей. Согласно оценке Булларда [22], проводимость ядра
хс = 3-10~6 эл.-магн. ед. Это значение получено экстрапо-
ляцией лабораторных данных. Отсюда для постоянной вре-
мени дипольного поля получаем 4асХс/зт = 14 000 лет. На-
блюдаемое уменьшение на 5% в столетие предполагает мень-
шую проводимость; возможно, = 5• 10“7 эл^-магн. ед.;
11 Вращение Земли
306
Гл. 11. Вековые вариации
для нижних слоев мантии должно быть меньше
10-9 эл.-магн. ед. (Ранкорн, из анализа высокочастотного
спадания вековой вариации). Макдональд [178] получил
значение около 10~9 эл.-магн. ед. Хьюджес (личное
сообщение) считает возможным значение проводимости
10-8 эл.-магн. ед. вследствие повышения температуры
в нижних слоях мантии. В качестве приближенной оценки
мы берем значение
/и\ /тт\ 10~9 эл.-магн. ед. 1П _ п по
(Hi)m = —, (Н\)с = —6---------------10 гс = 0,03 гс
ЛС 3-10 эл.-магн. ед.
для тороидального поля в мантии, что дает всего лишь 1/3
величины, необходимой для получения напряжения
0,03 дин/см2. Положение может быть улучшено, если уве-
личить значение хм до 3 • 10~9 эл.-магн. ед. или умень-
шить значения хс до 10~6 эл.-магн. ед. По-видимому, эти
значения являются наиболее вероятными. Тороидальное
поле (Н\)с = 30 4- 35 гс может быть
можно, не приводит к неустойчивости
Некоторые трудности возникают
постоянной времени относительного
мантии. Буллард [28] показал, что
достаточным и, воз-
1224].
при рассмотрении
движения ядра и
время, необходимое
для уменьшения вращения в 1/е раз, равно ZqcIkmH2, где
Хм — проводимость мантии, а Н — напряженность поля
диполя. Если для проводимости мантии взять значение
10~9 эл.-магн. ед., то постоянная времени окажется равной
30 годам. В § 5 показано, что вращение мантии испытывает
резкие изменения за несколько лет. Это приводит к значе-
нию хм = 10"8 эл.-магн. ед., которое велико, но согласно
Хьюджесу не является невозможным.
Напряжение может возникнуть из-за вязкого сцепления.
Западное смещение порядка 0°,2 в год предполагает отно-
сительную скорость на экваторе
и = ас (Qc — &м) 0,04 см/сек
на границе. Пограничный слой имеет толщину
s = (2vc/Q)V2= 1,6-10Чс/2сж,
где vc — кинематическая вязкость ядра. Вязкое напряже-
ние равно
vcu/s = 2,5• 10“4vc2 дин/см2.
£ 12. Ядро
307
Необходима вязкость 104 смЧсек, а толщина пограничного
слоя равна 160 м.
Трудность с вязким сцеплением заключена в самом су-
ществовании западного смещения. Буллард [28] отмечает,
что вследствие вязкого сцепления может возникнуть лишь
восточное смещение. Так как угловая скорость мантии
уменьшается вследствие приливного трения, то в каждый
момент времени ядро вращается несколько быстрее мантии и
в восточном направлении относительно нее. Ситуация
в случае электромагнитного сцепления иная. Если имеет
место обмен (конвективный или иной) веществом между
внутренними и внешними частями ядра, то внутренняя
часть вращается несколько быстрее, а внешняя часть —
несколько медленнее, чем ядро как целое. Мантия электро-
магнитно сцеплена со всем ядром, и внешняя часть движется
по направлению к западу относительно мантии.
Подводя итоги, можно сказать, что мы обнаружили
слабые намеки в магнитных данных, что движения в ядре
связаны со скачками в XX в. Соображения, опирающиеся
на сохранение момента количества движения, показы-
вают, что предполагаемые движения ядра имеют правильные
знак и порядок величины. Метод момента сил встречается
с трудностями. Электромагнитный момент может быть удоб-
ным лишь при условии, что выбраны наиболее благо-
приятные значения неопределенных параметров.
До сих пор мы обсуждали лишь вариации с периодом
порядка 10 лет, наблюдаемые в течение последнего сто-
летия. Возможно, что ядро может объяснить вариации и
с большим характерным временем, «горб» XVIII в.
(большой эмпирический член Ньюкома; см. рис. 49) и даже
неприливные вариации с античных времен. Требуемый мо-
мент для этих низкочастотных членов намного меньше, и
трудностей при подыскании соответствующей связи не
возникает.
Неосевые движения. Если движение в ядре является
чисто широтным, изменяется только продолжительность
суток. Любая меридиональная компонента движения влияет
на положение полюса. Вестин [290] обнаружил северное
смещение эксцентрического диполя такого же порядка, как и
западное смещение, но с гораздо большей вероятной ошиб-
кой. Путем использования северного смещения как индика-
11*
308
Гл. 11. Вековые вариации
тора движения ядра были получены сильно различающие-
ся оценки результирующего смещения полюса:
Вестин [290] ...... 2 ж
Эльзассер и Такеучи [72] 0,002 см
Манк и Ревель [199] . . 100 м
Эльзассер и Манк [71] попытались обсудить эти расхожде-
ния.
Наиболее простой моделью является твердая мантия,
окружающая сферическое жидкое ядро. Для всех частот,
малых по сравнению с частотой свободной нутации, m = ф,
h < Qh; тогда имеем, согласно (6.1.5),
h
m = 12 (С —А) '
Пусть | сое | будет означать неосевую компоненту относитель-
ного вращения ядра. Северное смещение эксцентрического
диполя дает (о>с| = 0°,3 в год, или 2,7 • 10~10 рад!сек.
Если во вращении принимает участие все ядро, |hc| =
= 2,3 • 1034 эрг!сек и |т| = 1,2 • 10~4 рад, что соответст-
вует смещению полюса на 105 см. Момент, с которым ядро
воздействует на мантию, поддерживающую движение, равен
Q| h I, или 1,7 • 1030 дин/см2, что намного больше, чем макси-
мально возможное электромагнитное или вязкое напряже-
ние. Мы стоим перед двумя возможностями: 1) меридио-
нальная компонента смещения эксцентрического диполя не-
реальна; 2) только тонкий поверхностный слой ядра от-
ветствен за северное смещение. Если Сс — момент инерции
этого слоя, а Сс — полный момент инерции ядра, то
CclCc <С Ю“5; для зонального движения это отношение рав-
но 0,48 (11.12.3). В северном смещении должна участвовать
тогда значительно меньшая часть внешнего ядра, чем в за-
падном. Динамически такая ситуация не кажется очевид-
ной.
§ 13. Итоги
Астрономический материал содержит современные на-
блюдения с 1680 по 1950 г. и античные наблюдения с 1000 г.
до н. э. до 0. Для наблюдаемых лунных и солнечных невязок
с эфемеридными положениями удается отделить приливные
13. Итоги
309
и неприливные эффекты. Для античных наблюдений не-
определенность имеет такой же порядок величины, как и
сами невязки.
Проблема диссипации энергии в приливах считалась
в основном разрешенной после работы Джеффриса 1920 г.
[20], который показал, что приливная диссипация в Берин-
говом море может составлять .80 % наблюдаемой диссипации.
. Мы полагаем, что эта оценка приливного трения в Беринго-
вом море завышена на порядок, а оценка астрономической
невязки занижена в 3 раза; поэтому вопрос остается от-
крытым. Возможным выходом из положения являются
преобразование океанских поверхностных приливов во
внутренние колебания и диссипация во внутренних слоях.
Диссипация за счет земных приливов может быть в 100 раз
больше, чем оценка Джеффриса, и может объяснить значи-
тельную долю (но, очевидно, не все) наблюдаемой невязки.
Скорость rd отставания Луны от Земли пропорциональна
величине приливного момента. Поэтому увеличение момента
в 3 раза по сравнению с оценкой Джеффриса должно быть
связано с соответствующим увеличением современного
значения Без понимания природы современного прилив-
ного трения обсуждение истории орбиты Луны является
преждевременным.
Все астрономы, которые занимались обработкой на-
блюдений, сходятся во мнениях о том, что приливной эф-
фект в течение последних 200 лет равен половине того, каким
он был за последние 2000 лет. Такое изменение трудно объ-
яснить с геофизической точки зрения. Фактически современ-
ное значение скорости диссипации, которое установлено
довольно надежно, может быть увязано с античными наб-
людениями без особых трудностей. С другой стороны,
следует ожидать, что небольшие флуктуации приливного
трения имеют место-всегда; и поэтому эфемеридное время не
может основываться на Луне. Луна должна использоваться
только для сглаживания и интерполирования солнечных и
планетных наблюдений.
Неприливные невязки указывают на уменьшение про-
должительности суток как в течение последних 2000 лет,
так и в течение последних 200 лет. Не представляет особого
труда выявить процессы, возможно, ответственные за эти
310
Гл. 11. Вековые вариации
вековые изменения. Понижение уровня моря на 2 м с на-
чала новой эры может объяснить наблюдаемое уменьше-
ние суток, и возможно, что такое понижение уровня моря
действительно имело место. Уменьшение суток в течение
последних 200 лет противоположно по знаку ожидаемому
эффекту от наблюдаемого подъема уровня моря, но пере-
мещения континентальных блоков могут играть здесь су-
щественную роль.
Имеются некоторые данные о том, что полюс сместился
на 3 м по направлению к Гренландии в течение XX в.
Это ожидаемое смещение от подъема уровня моря на 10 см,
при условии что основным источником таяния льда явля-
ется Гренландия. Очевидно, это имеет место в действитель-
ности. Необходимо подчеркнуть, что геофизические и астро-
номические наблюдения ненадежны, однако если их при-
нять, то они согласуются друг с другом.
До сих пор основным затруднением для принятия оп-
ределенного решения является множество геофизических
процессов, могущих оказывать действие требуемого порядка
величины. Главным приложением астрономических на-
блюдений является то, что они налагают ограничения на
величину различных геофизических процессов, которые мож-
но предполагать. Однако положение меняется в случае на-
лагающихся короткопер иодных (с периодом в десятилетия)
флуктуаций продолжительности суток, амплитуда которых
имеет тот же порядок, что и вариация со времен Древнего
Египта. В этой связи Ньюком [206] писал: «Я считаю эти
флуктуации наиболее загадочным явлением, наблюдаемым
в движении звезд. Оно столь трудно для объяснения дей-
ствием любых известных причин, что нам не остается ничего,
кроме предположения, что они обусловлены действием до
сих пор неизвестных причин. Вариации изменения уровня
моря, континентальные перемещения, таяние льда в Антарк-
тиде и другие наблюдаемые процессы не могут быть, по всей
видимости, их причиной». Единственной известной надеждой
является ядро; мы пришли к этому заключению методом,
который Буллард1) назвал «шерлок-холмсовским методом»:
исключения одной возможности вслед за другой. Более того,
имеются некоторые основания (связанные со смещением
2) Symposium on Movements in the Earth Core, UGGI, Rome, 1954.
§ 13. И т о г и 311
к западу геомагнитного поля) полагать, что происходят
флуктуации вращения ядра, по порядку величины и знаку
достаточные для объяснения астрономических невязок.
То обстоятельство, что эти невязки не связаны с измеримыми
перемещениями полюса, свидетельствует в пользу процес-
сов высокой степени симметрии относительно оси вращения.
Характерно, что астрономические наблюдения до 1800 г.
не обнаруживают следов этих короткопериодных флукту-
аций, и они действительно являются загадочными.
ГЛАВА 12
Геологические вариации
Международная служба широты располагает данными о
движении полюса начиная с 1890 г. Для дальнейшего про-
движения в прошлое требуется новый подход, зависящий
от «ископаемых» сведений различного рода. По сравнению
с астрономическими наблюдениями их точность уменьша-
ется в 106 раз; соответственно перемещения полюса в гео-
логическом масштабе времени должны быть в миллион
раз больше, чтобы имелась возможность их обнаружения.
Имеется также дополнительная неопределенность, связан-
ная с датировкой данных прошлого. Не известно никаких
«ископаемых» данных относительно геологических измене-
ний продолжительности суток. С современным значением
скорости приливного замедления 5,3 • 10~22 рад/сек? (см.
табл. 17) сутки в начале палеозоя должны были бы состав-
лять 21 час.
§ 1. Исторические замечания
Возможность длительных движений полюса и смещений
континентов будоражила воображение многих геологов
в течение последних столетий. Причиной первоначального
интереса послужило обнаружение палеозойских леднико-
вых отложений вблизи современного экватора.
В XIX в. Бюффон основал «катастрофическую школу»
блуждания полюса. Люббук, де ля Беш, Эванс и другие
с энтузиазмом приветствовали эту теорию. Дарвин опубли-
ковал работу [55] с целью показать, что полюс «мог бы
£ 1. Исторические замечания
313
отклоняться неограниченно от первоначального положения»,
если бы Земля была «пластичной», и всего на несколько
градусов, если бы она была «достаточно твердой». Дарвин
поддерживал последнюю точку зрения, поскольку «сэр
Вильям Томсон показал, что Земля существенно твердая».
Некоторые аргументы Томсона оказались неверными [192].
Во всяком случае, работа Дарвина не умерила пыл защит-
ников теории блуждания полюса 46]. В 1901 г. Рейбиш
предложил теорию маятникообразного движения полюса:
за геологические промежутки времени полюс совершает
колебательное движение вдоль некоторого определенного
направления с размахом в несколько десятков градусов.
В 1908 г. Тейлор, а затем метеоролог Вегенер [298] ввели
еще одну степень свободы для объяснения климата про-
шедших эпох. Они впервые выдвинули гитотезу о крупно-
масштабных смещениях континентов. В частности, Вегенер
собрал множество фактов и высказываний, производящих
сильное впечатление. Некоторые данные Вегенера нео-
споримы, однако большая часть его аргументов целиком
основана на произвольных предположениях. Ввиду этого
ни гипотеза перемещения полюса, ни гипотеза движения
континентов не получили широкого признания, хотя группа
геологов южного полушария во-главе с дю Туа следовала
традициям Вегенера. Более того, физики, на которых гео-
логические и биологические аргументы не производят ни-
какого впечатления, привели убедительные доводы против
значительных перемещений земной коры.
В течение последних 10 лет вопрос был поставлен снова
в связи с успехами палеомагнетизма. Ориентация магнито-
чувствительных минералов в некоторых древних породах
позволяет предположительно определить положение маг-
нитного полюса в прошлом. Эти данные (а именно современ-
ные широты и долготы положения полюса в прошлом)
подсказывают мысль о крупномасштабных движениях по-
люса вращения и смещениях континентов друг относи-
тельно друга. Более того, Голд [87] показал, что движение
полюса не только возможно с физической точки зрения, но
что его следует ожидать при условии, что мантия обладает
неупругими свойствами, выведенными Бонди и Голдом
из анализа затухания чандлеровского движения полюса
(§ 7 гл. 10). В распоряжении физиков вместо данных о рас-.
ИВ. Вращение Земли
314
Гл. /2. Геологические вариации
пределении фауны теперь имеются числа, и их «континен-
тальные реконструкции» свидетельствуют о воображении, по
меньшей мере равном воображению геологов XIX в.
Манк [192] охарактеризовал сложившуюся ситуацию следу-
ющим образом: «Они (физики) привели неотразимые доводы,
что движение полюса невозможно, когда палеомагнитные
данные слабо его поддерживали; теперь же, когда появи-
лись весьма убедительные палеомагнитные данные, они
нашли не менее неотразимые причины, согласно которым
иначе и быть не могло». Работы последних лет вновь ставят
вопрос о надежности как палеомагнитных данных, так и
теоретического обоснования движения полюса.
§ 2. Палеомагнитные данные
Естественная остаточная намагниченность образца
породы — это намагниченность, остающаяся после обраще-
ния в нуль геомагнитного поля. Таким магнетизмом об-
ладает значительное число пород; нас будут интересовать
главным образом лавы и осадочные породы, для которых
возможно определение ориентации образца в предлагаемое
время намагничения.
Остаточным магнетизмом обладают главным образом
минералы, содержащие окислы железа (в основном магнетит
Fe3O4 и гематит Fe2O3). Были предложены и изучены раз-
личные механизмы приобретения минералами достаточной
намагниченности. Читатель отсылается к подробным об-
зорам Ранкорна [232—235] и Нагаты [203].
Имеются два основных механизма намагничения окислов
железа без химических изменений. Намагниченность, по-
лученная веществом при охлаждении в слабом поле ниже
точки Кюри, называется термоостаточной намагничен-
ностью. Многочисленные лабораторные исследования под-
тверждают наличие этого механизма. Если образец нахо-
дится в поле при постоянной температуре, намагниченность,
остающаяся после выключения поля, называется изотерми-
ческой остаточной намагниченностью. Термоостаточная
намагниченность намного больше и стабильнее изотерми-
ческой. Предполагается, что магнетизм лав вызван термо-
остаточной намагниченностью с налагающейся на нее изо-
термической намагниченностью.
£ 2. Пале о магнитные данные 315
Механизм намагниченности осадочных пород понят не
до конца. В некоторых случаях намагниченность возникает
из-за механической ориентации осаждающихся в воде
частиц в магнитном поле Земли. Джонсон, Мэрфи и Тор-
ресон [134] подробно изучили ленточные глины и показали,
что при переотложении глин в слабом магнитном поле
возникает остаточная намагниченность, совпадающая с по-
лем по склонению, но не по наклонению. Этот результат
указывает на тенденцию частиц осаждаться горизонтально
безотносительно к направлению приложенного поля. Многие
осадочные породы могут намагнититься в процессе кристалл
лизации. Рост минерала типа гематита в магнитном поле
влечет за собой ориентацию кристалликов гематита. Под-
робности процесса детально неизвестны.
Для изучения намагниченности образцов пользуются
двумя методами. Электромагнитный метод был разработан
в Отделении земного магнетизма Института Карнеги.
Образец цилиндрической формы вращается вблизи центра
измерительной катушки; амплитуда и фаза (усиленного)
переменного напряжения определяют интенсивность и
направление намагниченности. Блекетт в Англии разработал
астатический магнетометр. Образец цилиндрической формы
подводится под нижний магнит астатической пары, и из-
меряется отклонение. Эта процедура повторяется при
различных ориентациях образца. Применение астатиче-
ской пары (два магнита противоположной полярности,
расположенных один над другим) исключает влияние
магнитного поля Земли в первом порядке; катушки Гельм-
гольца, окружающие прибор, исключают это влияние во
втором порядке. Оба метода могут отметить наличие поля
порядка 10~10 гс и поляризации порядка 10~8 гс. Для из-
мерения направления поляризации напряженность поля
должна превосходить 10~6 гс. Напряженность поля лав
обычно имеет величину от 10-2 до 10~4 гс\ для осадочных
пород она, как правило, меньше 10~4 гс.
Использование естественной остаточной намагничен-
ности для определения положения оси вращения в геологи-
ческом прошлом решающим образом зависит от ответов на
два главных вопроса:
1. Является ли измеренная величина естественной оста*
точной намагниченности характеристикой магнитного
11В*
316
Гл. 12. Геологические вариации
поля во время образования или последующие изменения
поля (или образца) изменяют или уничтожают первона-
чальную намагниченность! Критерием стабильности яв-
ляется проверка, изменяется ли магнитное поле в склад-
чатых формациях ожидаемым образом [91]. Однако боль-
шинство измерений относится к горизонтальным пластам,
и этот критерий к ним неприменим. Влияние изотермиче-
ской намагниченности обычно может быть исключено
размагничиванием в переменном поле, однако определенного
критерия стабильности термоостаточной намагниченности
и кристаллизационной намагниченности не существует.
Определенную роль может играть магнитострикция; лабо-
раторные исследования Грехэма, Баддингтона и Белели
[93] показали, что направление намагниченности может
измениться под действием направленного напряжения.
Влияние захоронения и последующих искажений лав и
осадочных пород не изучалось. Однако Грехем и другие
авторы в результате своих исследований поставили под
вопрос возможность применения естественной остаточной
намагниченности для определения положения магнитного
полюса в прошлом.
2. Является ли положение магнитного полюса надежным
источником информации о положении полюса вращения!
Прежде всего возникает вопрос, насколько удовлетворитель-
но представление магнитного поля в прошлые эпохи полем
диполя. Постоянная времени магнитного поля равна 104
лет. Крир, Ирвинг и Ранкорн [51] показали, что имеется
мало указаний о присутствии квадрупольного поля за
прошедшие 50 миллионов лет (см. ниже), и, следовательно,
можно предположить, что поле было дипольным и в более
отдаленные эпохи. Если это поле диполя имеет магнито-
гидродинамическое происхождение, то можно ожидать, что
магнитный полюс будет находиться вблизи полюса враще-
ния при условии, что движение в ядре приближенно сим-
метрично относительно оси вращения. Такая симметрия
является общим следствием влияния вращения на движение
жидкости.. Однако Каулинг показал, что чисто осесиммет-
ричная циркуляция не может привести к какому бы то
ни было магнитному полю. Следовательно, возникает не-
которая неопределенность относительно того, в какой
мере можно опираться на соображение о совпадении.
j? 2. Палеомагнитные данные 317
Имеются некоторые данные (§ 10 гл. И) о том, что внешняя
часть ядра вращается медленнее мантии, отставая при-
близительно на один оборот за несколько тысяч лет. Если
это правильно и для геологических промежутков времени,
то любая компонента поля без осевой симметрии будет
«смазана» относительным движением, и среднее поле будет
совпадать с осью вращения. Другое доказательство осно-
вано на приводимых ниже данных о том, что оба полюса
были очень близки друг к другу в течение исторического
времени и в течение прошлых нескольких миллионов лет.
Последние 50 миллионов лет. Шевалье [40] тщательно
изучил потоки лавы Этны за историческое время. Он по-
казал, что все вариации начиная с 1600 г. удовлетворительно
согласуются с известными вековыми вариациями геомаг-
нитного поля. Глиняная посуда сохранила данные о маг-
нитном наклонении во время ее обжига (по всей видимости,
в вертикальном положении) вплоть до неолита и бронзового
века [78, 184]. Склонение и наклонение определялись также
по измерениям намагниченности стенок обжигательных
печей. Телье [275] приводит пять значений для печи,
заброшенной в Карфагене в 146 г. до н. э., которые согласу-
ются между собой и с величиной современного поля.
Доисторическое поле изучалось по ледниковым отложе-
ниям Новой Англии и Швеции. Полученные данные говорят
о том, что магнитный полюс оставался вблизи географи-
ческого на протяжении по меньшей мере 15 000 лет [134].
Изучение поздних третичных или ранних четвертичных
базальтов Исландии показывает, что северный магнитный
полюс находился или вблизи географического северного
полюса, или вблизи географического южного полюса
(рис. 52). Этот неожиданный результат указывает на из-
менения направления поляризации вдоль некоторой
выделенной магнитной оси на обратное. Эти взаимно обрат-
ные поляризации были обнаружены в породах вдоль про-
буренных колонок и представляют собой до сих пор не
разрешенную проблему палеомагнетизма. Сигургейрссон
[249] обнаружил также случайные направления поляриза-
ции в исландских^ базальтах, промежуточные между ориен-
тациями на северный и южный полюсы. Он приходит к вы-
воду, что диполь мог повернуться на 180° за время порядка
нескольких тысяч лет. Ассами [3] исследовал базальтовые
318
Гл. 12. Геологические вариации
лавы раннего плейстоцена в Японии и обнаружил как нор-
мальные, так и противоположные направления поляриза-
ции. Он полагает, что обращение направления обусловлено
Рис. 52. Распределение северных полюсов (точки) и южных полюсов
(кружки) в исландских базальтах. Большие кружки — средние
положения [249].
скорее изменениями кристаллического строения ферромаг-
нитного материала, чем переменной направления поля.
Кемпбелл и Ранкорн [31] показали, что миоценовые
базальты р. Колумбия обладают естественной остаточной
намагниченностью, параллельной направлению современ-
ного поля, с перемежающимися зонами нормальной и об-
ратной намагниченности. Они полагают, что эти обращения
обусловлены изменением направления поля.
§ 2. Пале о магнитные данные
319
Другие многочисленные исследования четвертичных
пород свидетельствуют в пользу предположения о том, что
в течение последних 50 миллионов лет поле Земли было
полем диполя, ось которого совпадает с осью современного
диполя, а ориентация совпадала не всегда. Единственным
исключением являются промежуточные направления, на’
блюдаемые в исландских базальтах.
Эоцен и более ранние эпохи. Крир, Ирвинг и Ранкорн
[51 ] подвели итоги палеомагнитных исследований американ-
ских и британских пород. Ирвинг и Грин [114] исследо-
вали большое количество австралийских пород. Итоги этих
исследований приведены на рис. 53. Первое существенное
отклонение полюса от его современного положения обнару-
жено в породах эоцена и мелового периода. Американский,
ирландский и австралийский полюса лежат в пределах
30° от современного полюса. Однако Клегг, Дейч, Эверит и
Штубс [43], исследовавшие нижние траппы Декана, в ос-
новном относящиеся к эоцену и меловому периоду, получили
указания на то, что индийский полюс расположен вблизи
Флориды (см. рис. 53). Самый древний (но еще находящийся
в эоцене) индийский полюс движется к северу по направ-
лению к современному положению. В юрский период ин-
дийский полюс находился к северу от экватора вблизи
берегов Венесуэлы [60], тогда как австралийский полюс
расположен в Северной Атлантике.
Как американский, так и английский полюса триасового
периода лежат в юго-восточной Азии, причем американский
полюс смещен по долготе примерно на 20° к востоку отно-
сительно английского. Клегг и др. [43] обнаружили, что
испанский триасовый полюс совпадает с современным;
очень разбросанные (возможно, стабильные только частич-
но) французские полюса сближаются с английским. Испан-
ский полюс нужно повернуть примерно на 35°, чтобы сов-
местить его с английским.
Результаты исследования пермских пород приведены на
рис. 54. Ранкорн и Грехэм [65, 92] исследовали супайские
глинистые сланцы Большого Каньона и получили согласу-
ющиеся с точностью до 15° по долготе положения полюса.
Английский, шотландский и норвежский полюса группиру-
ются в окрестности точки, удаленной на 40° к востоку от
полюса, полученного по данным Большого Каньона;
320
Гл. 12. Геологические вариации
французский пермский полюс [237] лишь слегка смещен к
востоку относительно американского полюса. Два пермских
полюса, определенных по различным районам Австралии,
находятся в Испании и Северной Африке.
90°В
90°3 ° 4
Рис. 53. Сводка положений полюса в различные геологические
эпохи по образцам пород из Англии, Австралии, Америки и Индии.
Траектория АВ, проходящая через современный полюс, построена
согласно теореме Миланковича (12.6.11), рассмотренной в § 6 и 7.
Момент инерции системы континент — океан обладает минимумом
относительно оси, проходящей через А, и максимумом относительно
оси, проходящей через В.
Определения'. 1 — английский полюс; 2— австралийский полюс; 3—
американский полюс; 4 — индийский полюс. Эпохи'. Е — эоцен;
А— меловой период; J — юрский; Тг — триасовый; Р — пермский;
С — угольный; D — девонский; S—силурийский; О — ордовик; Ст —
кембрийский; рСт — докембрийский.
2. Палеомагнитные данные
321
Бельше [11] подробно изучил породы Англии, относя-
щиеся к каменноугольному периоду. Его результаты при-
ведены на рис. 53. Клегг и др. [43] изучили дополнитель-
ные формации каменноугольного периода в Англии и Шот-
ландии. Полученные ими положения полюса отличаются от
90°В
90°3
Рис. 54. Положение полюса в пермскую эпоху по образцам пород
Европы, Америки и Австралии. 1 — Экстер; 2— Шотландия; 3—
Осло; 4 — Франция; 5— Гранд Каньон; 6 — Австралия.
значений Бельше для этих двух районов на 50° и 80° соот-
ветственно. Клегг перечисляет четыре возможные причины
этого расхождения: 1) породы намагнитились позднее камен-
ноугольного периода; 2) вследствие неизвестного процесса
направление намагниченности пород не совпадает с на-
322
Гл. 12. Геологические вариации
правлением поля Земли; 3) во время каменноугольного
периода имело место большое изменение положения британ-
ского массива суши; 4) поле не имело дипольного характера.
За исключением работы Ирвинга и Ранкорна [115] по
позднему докембрию, породы, образовавшиеся до камен-
ноугольного периода, подробно не изучались. Крайне
удивительной чертой данных по среднему палеозою яв-
ляется быстрое смещение австралийского полюса между
положениями в девонском и каменноугольном периодах
(см. рис. 53).
Крир, Ирвинг и Ранкорн [51 ] объясняют американские и
европейские данные смещением полюса и относительным
смещением Англии и Северной Америки примерно на 20°
во время триасового периода. По данным обоих континентов
получена постоянная скорость смещения полюса на
0°,4 за миллион лет, что считается веским доказательством
движения полюса. Клегг полагает, что данные по деканским
траппам объясняются быстрым движением Индии к северу.
Ирвинг и Грин [114] предполагают, что имело место связан-
ное с движением полюса перемещение Австралии как до,
так и после каменноугольного периода.
Выводы. Оценка палеомагнитных данных является
трудной и, возможно, опасной задачей в столь новой и
быстро развивающейся области. Некоторые моменты
очевидны из предшествовавшего обсуждения. Должна быть
разрешена проблема возникновения естественной оста-
точной намагниченности во многих породах. Причины ста-
бильности остаточной намагниченности при изменяющихся
химических и физических условиях неизвестны. Работы Гре-
хэма, обнаружившие неустойчивость под действием направ-
ленного напряжения, указывают на возможные осложнения.
Загадочным остается явление магнитного обращения. На-
личие обратных поляризаций означает, что любой полюс
может быть удален не более чем на 90° от любого места на
поверхности.
Относительное согласие результатов для данной мест-
ности в любые геологические эпохи и для различных мест-
ностей за последние 50 миллионов лет является веским
аргументом в пользу палеомагнитных методов. Продолжа-
ющееся возрастание числа степеней свободы, необходимых
для объяснения результатов палеомагнитных данных
§ 3. П а ле онто логические данные
323
свидетельствует против палеомагнитных методов. Ранние
измерения Ранкорна в Англии и Америке могут быть объ-
яснены движением полюса к северу через Тихий океан.
Последующие данные по Великобритании и Америке
требуют в дополнение к движению полюса относительного
движения двух континентов. Данные по Австралии и Индии
не согласуются друг с другом и с американскими и евро-
пейскими измерениями. Они могут быть согласованы лишь
введением дополнительных относительных движений. Сов-
ременные европейские данные требуют вращения Ис-
пании относительно Франции, Шотландии относительно
Англии и, возможно, вращения Англии относительно нее
самой. То обстоятельство, что число степеней свободы, не-
обходимых для объяснения результатов измерений, растет
пропорционально числу независимых определений, явля-
ется плохим предзнаменованием для любого метода.
§ 3. Палеонтологические и палеоклиматические
данные
Классические доводы за (и против) движения полюса
и смещения континентов опираются на геологические дан-
ные. Эти данные основываются главным образом на рас-
пространении ископаемых растений, животных, слоях
валунной глины и физических свидетельств ледникового
происхождения. Литература по этому вопросу неопределен-
на, запутана и противоречива (см. [68, 299]). Мы можем
лишь указать на некоторые проблемы.
Обзоры современного состояния палеонтологических
данных были сделаны Дурхэмом и Аркелом на симпозиуме
по проблемам движения полюса [57]. Согласно Дурхэму,
раннетретичная морская фауна имела тропический характер
в районах Лондона, Парижа и Волги, в северо-западной
Индии, Южной Африке, юго-западной части Австралии,
на юге Новой Зеландии и Патагонии, так же как и в совре-
менных тропиках. Эти данные согласуются с современным
положением полюса. Если положение полюса в эоцене
относительно Индии правильно указывается палеомагнит-
ными данными (см. рис. 53), то индийская тропическая
фауна должна была бы быть сосредоточена между 50 и 60°
широты.
324
Гл. 12. Геологические вариации
Аркел сообщает, что в юрском периоде в Северном Ледо-
витом океане развивалась богатая морская моллюсковая
фауна и океан не мог быть покрыт льдами в такой степени,
как сейчас. Аркел выбирает, возможно под давлением со
стороны палеомагнитологов, единственное возможное по-
ложение для полюсов юрского периода (при условии что
они были так же холодны, как и современные): северный
полюс в северной части Тихого океана, а южный полюс в юж-
ной Атлантике. Он утверждает далее, что этот выбор дикту-
ется скорее всего недостатком сведений об этих предполага-
емых полярных областях.
Обширные ледниковые отложения пермского или позд-
него каменноугольного периода обнаружена в тропической
Индии, Южной Африке и Бразилии. На последовательные
оледенения, надвигавшиеся с севера, указывают исштрихо-
ванные валуны, «бараньи лбы» и ледниковые отложения,
связанные с валунными глинами Дуейка в Южной Африке.
Если бы палеомагнитный пермский полюс находился в Юж-
ной Азии, то Южная Африка располагалась бы вблизи
экватора, а Индия и Бразилия находились бы вблизи
полюсов. Движение полюса само по себе не объясняет перм-
ских оледенений.
Стели [258] путем подробного изучения брахиопод и
фузулинид пермского периода определил их широтные
распределения (рис. 55). Эти распределения не согласуются
с предположением о полюсе, расположенном в Юго-восточ-
ной Азии. Достоинством метода Стели является отсутствие
необходимости включать зависимость фауны от температу-
ры. Более того, так как образцы палеомагнитных пород были
взяты из тех же формаций, абсолютная датировка при
сравнении этих методов не нужна. Малое количество
обнаружений пермских пород в южном полушарии не поз-
воляет сделать вывод за (или против) смещения южных
континентов к северу.
Имеются многочисленные свидетельства допермского
оледенения в Африке, возможно, имевшего место в докемб-
рии. Имеются также указания на докембрийские оледенения
в Австралии. Отсюда следует, что положение Австралии и
Африки относительно южного полюса оставалось относи-
тельно неизменным вплоть до определенного времени после
пермского периода.
Рис. 55. Распространение брахиопод (а) и фузилинид (б) в пермском
периоде по Стели [258].
а) 1 — Scacchinellidae; 2— Jisuina, Notothyris or Rostranteris;
3—Kiangsiella or Geyerella; 4 — Gemmellaroiidae; 5 —All Permian
groups absent.
б) 1 — Sumatrininae; 2— Verbeekininae; 3—Neoschwagerininae;
4 — Parafusulina, etc.; 5 — Ozawainella, etc.; 6 — All Permian
groups absent.
326
Гл. 12. Геологические вариации
Представляются, что палеоклиматические и палеонтоло-
гические данные дают мало свидетельств в пользу таких
движений полюса, которые следуют из палеомагнитных
наблюдений. Палеоклиматические данные не исключают
возможности движения континентов, однако это довольно
ненадежное свидетельство.
§4. Палеоветры
Песчаные дюны и выпадания пепла при определенных
условиях могут указать на господствующее направление
ветров во время отложения. В областях с постоянными за-
падными и восточными ветрами полюс расположен в направ-
лении, перпендикулярном направлению господствующих
ветров. Недавнее обсуждение1) показывает, что этот метод
оценки положения полюсов в прошлом дает еще более
скудные сведения, чем палеомагнитный и палеонтологиче-
ский методы.
Главная трудность заключается в идентификации на-
несенного ветром песка и определении типа дюны. Многие
нанесенные водой отложения очень напоминают эоловые
пески. В число критериев для определения эоловых отложе-
ний входят смерзаемость, большая однородность по разме-
рам, минеральная чистота и отсутствие гальки, однако
эти особенности неоднозначно связаны с эоловыми отло-
жениями. Крутой обратный склон барханов (дюн в форме
полумесяца) расположен с подветренной стороны, а об-
ратный (подветренный) склон продольных дюн располо-
жен под углом 90° к среднему направлению ветра.
Геологи обычно считают древние дюны барханами, хотя
основания для такого отождествления не всегда понятны.
Багнольд показал, что скорость песка пропорциональна
(и — где ип — пороговая скорость ветра для переноси-
мого песка, равная примерно 16 км/час на уровне анемомет-
ра. Таким образом, ориентация дюны может характеризовать
скорее сильные штормы, чем господствующие ветры. Баг-
нольд приходит к выводу, что надежные направления ветров
могут быть определены только по барханам в областях
постоянных пассатов.
!) The Observatory, 78, 65—68 (1958).
£ 5. Возбуждающая функция 327
Если пермский полюс был бы расположен в Юго-восточ-
ной Азии, то Англия и запад Северной Америки находились
бы в 20° от экватора и, по-видимому, находились бы в поясе
пассатов. Ранкорн и Шоттон находят, что ориентация пред-
полагаемых барханов пермского периода согласуется с этой
гипотезой.
§ 5. Возбуждающая функция
Сейчас мы рассмотрим различные причины, которые
могут привести к смещению полюса. Они распадаются на два
обычных класса: обусловленные распределением масс и
связанные с относительным движением. Соответствующая
возбуждающая функция вычисляется согласно формулам
§ 8 гл. 6. Движение полюса для Земли, обладающей свой-
ствами тела Максвелла, получено в § 6.
Допустим, что зависимость плотности е'(г) от глубины
одинакова для всех континентов и соответственно g(r)
одинакова для всех океанов. Положим
N = J (р'~ ?)г^г. (12.5.1)
Пусть С2 — комплексный коэффициент океанской функ-
ции (приложение, § 1). Тогда функция возбуждения
равна
(12.5.2)
Современные сейсмические исследования показывают, что
линия раздела между континентальной и океанской струк-
турами ближе соответствует изобате 1000 морских саже-
ней, чем береговой линии. Соответствующие коэффициенты
различаются не очень сильно:
©(глубокие океаны) а\ =—0,128, = — 0,173,
©(океаны) =—0,101, = — 0,158.
Величина А, вычисленная для случая стандартных
континентальных и океанских разрезов, предложенных
Ворцелем и Шурбетом [304], оказалась равной [193]
N = 1,78-1039 г-см2. (12.5.4)
328
Гл. 12. Геологические вариации
В этих стандартных разрезах масса, приходящаяся на
единицу площади, одинакова для континентов и океанов, и
результирующий эффект определяется лишь тем, что
континентальная масса расположена несколько дальше
от оси вращения, чем соответствующая масса океанского
слоя.
Джеффрис указал нам на тесную связь между предыду-
щим и силой Этвеша, которая вынуждает плавающее тело
двигаться по направлению к экватору. Эта сила составляет
основу теории Вегенера, рассматривающей смещение кон-
тинентов относительно друг друга. Здесь она появляется
в более респектабельном виде: имеется лишь момент сил,
действующих на кору в целом. Оказывается, что возбужда-
ющая функция, определяемая[моментом силы Этвеша, дейст-
вующей на континенты, в точности совпадает с возбужда-
ющей функцией, определяемой произведениями инерции
изостатически компенсированных континентов. Это об-
стоятельство является еще одним примером эквивалентности
метода момента количества движения и метода момента сил.
Из (12.5.1)—(12.5.3) имеем для ® (глубокие океаны)
ф1 = _0,86.10-4, ф2 - 1,16.10-4. (12.5.5)
Таким образом, распределение континентов и океанов
связано с возбужденным полюсом, смещенным на 1 км по
направлению к восточной части Тихого океана. Это не
означает, что возбужденный полюс для Земли в целом
смещен на 1 км от полюса вращения. В этом случае воз-
никли бы колебания с амплитудой 1 км. Это означает, что
система континент — океан сбалансирована вариациями
плотности в мантии или каким-то компенсирующим упругим
искажением экваториальной выпуклости (§ 7).
Гималаи имеют массу 3 • 1022 а, которая расположена
выше нормального уровня континентов, а масса Анд состав-
ляет около 1 • 1022 а. Масса Альп пренебрежимо мала. Со-
ответствующие возбуждающие функции имеют величину
4,9-10-6, 1,5-10—6
для Гималаев и Анд соответственно, причем снова предпо-
лагается наличие изостатической компенсации. По сравне-
нию с этими величинами другие эффекты малы. Если
§ 5. Возбуждающая функция
329
предположить, что имеет место компенсация по Эри, то
возбуждающая функция, обусловленная ледяным покровом
Гренландии, будет равна
= — 0,56-10-8, ф2-— 0,50-10—8. (12.5.6)
Для нахождения верхнего предела влияния движения
в атмосфере можно принять, что годичная возбуждающая
функция (см. табл. 14, стр. 170) полностью обусловлена вет-
рами (что на самом деле не так). Результирующая величина
имеет порядок 10~7. Момент количества движения одного
шторма может привести к возбуждающей функции, равной
в крайнем случае 10~8. В случае существенного изменения
атмосферной циркуляции возбуждающая функция равна
10~7. Влияние океанской циркуляции, по всей видимости,
на порядок меньше (§6 гл. 9).
Ранкорн [236] предположил, что причиной движения
полюса может быть конвекция в мантии. Рассмотрим цир-
куляцию типа баранки вокруг Земли в меридиональной
плоскости, простирающейся от ядра до поверхности. Сред-
нее расстояние от центра Земли равно а' = 5000 км, а ра-
диус кругового сечения равен b = 1500 км. Пусть рм =
= 4,5 г!см* — плотность мантии. «Баранка» вращается
относительно Земли с угловой скоростью со, равной 1 обо-
роту в 100 миллионов лет. Относительная линейная ско-
рость соа' составляет 30 см в год, что значительно прево-
сходит величину скорости конвекции порядка 1 см в год,
полученную Пекерисом (см. [126, стр. 325]). Относительный
момент количества движения «баранки» равен
|h | = (2jTtzz) (лЬ2) рм а'2 со^-5-1029 г-см^/сек',
соответствующая функция возбуждения равна
•Я 2,6-10-’
и пренебрежимо мала по сравнению с другими эффектами.
Однако конвекция в мантии может вызывать вариации
плотности, влияние которых уже не мало.
330
Гл. 12. Геологические вариации
§ 6. Движение полюса Земли как тела Максвелла; пример
Земля, рассматриваемая как тело Максвелла, является
простейшей математической моделью, пригодной для описа-
ния как свободной нутации, так и движения полюсов. Следо-
вательно, это будет полезное упражнение, если результаты
принимать не слишком всерьез. Недостатки модели обсуж-
дались в § 3 гл. 10.
Движение полюса по максвелловой Земле можно пред-
ставить в виде медленного волнообразного перемещения
экваториального выступа относительно Земли (географиче-
ские координаты). С точки зрения наблюдателя вне Земли
выступ остается неподвижным относительно плоскости
эклиптики и Земля медленно поворачивается под выступом.
Это не является скольжением коры по мантии! Скорее в ман-
тии и ядре возникает течение, компенсирующее сжатия и
разрежения, связанные с движением выпуклости. В этом
отношении имеется известное сходство с суточными движе-
ниями полюса, вызванными вариациями распределения воды
из-за суточных приливных потоков.
Первая попытка получения математически строгого ре-
шения содержится в обширной работе Дж. Дарвина [55].
Он предположил, что, начиная с момента времени t — 0,
возбуждающая функция линейно возрастает со временем.
Движение полюса (начальное) происходит с постоянным
ускорением, и поэтому возбуждающая функция Дарвина
является неоправданно сложной для рассмотрения движения
полюса. Во время написания работы Дарвина теория уп-
ругости еще не получила должного развития, и один из
динамических законов был сформулирован им неправильно.
Имеется также алгебраическая ошибка, обнаруженная
Ламбертом и упомянутая Джеффрисом [126, стр. 343].
Первоначальное решение Дарвина приводило к движению
полюса. Этот вывод был сменен на обратный поправкой
Ламберта и еще раз заменен на обратный после исправления
ошибки в динамике. Манк [192] проследил историю этих
ошибок. В этой связи довольно любопытна обширная, а вре-
менами горячая полемика вокруг работы Дарвина.
Дальнейшие аналитические решения этой задачи, по-
видимому, не публиковались до появления работы Бур-
герса [30] и обзора Инглиса [113]. Решение Бургерса
£ 6. Движение полюса Земли как тела Максвелла 331
подтверждает выводы, полученные Голдом [87] из качест-
венных соображений.
Моменты инерции упругого приливного выступа выра-
жаются формулой (5.2.4) через число Лява k. В случае
максвелловой Земли мы должны лишь заменить число
Лява k оператором (5.11.3)— (5.11.4):
kf Л , \
14-И- \ ' Dfa /
а-1 = (1 + ц) т = (1 + |1) ~ ,
и
(12.6.1)
где ц— безразмерная жесткость, Ь — оператор d/dt, а т
и а — характерные временные постоянные. В области
очень малых частот D а-1 и k соответствующе-
му числу Лява для жидкости; в случае высоких частот
D > а-1 и k ^у/(1 4- |л) = k, эффективно-приливному
числу Лява. Согласно § 2 и 3 гл. 5, мы полагаем
kf = ks = 3GHCa~5 Q“2, Н = .
Тогда из (5.2.4) получаем
Си - / + ^ (С — Л) ~ S(7) + ci}.
где ctj — некоторые определенные возмущения моментов
инерции. Положим coz coz ~ Q2; далее
Н, = CijQnij + hi
И
+т7 (т‘ - 4 М +4 >
где
Во всех предыдущих случаях мы могли считать,
что тъ т2<^ 1; в случае движения полюса это допуще-
3 32
Гл. 12. Геологические вариации
ние незаконно. Вместо этого положим
tni = mi + mt,
где mz—-смещение среднего подвижного полюса, а ггц —
нутация вокруг этого положения. Для задачи с началь-
ными условиями нутация, обусловленная переходным
процессом, затухает за время порядка а-1 (§ 3 гл. 10),
после чего мы рассматриваем только среднее смещение.
С этой оговоркой можно заменить m-L на mz.
В настоящей задаче с^/1, hJIQ, D/a (но не mz) яв-
ляются малыми безразмерными величинами. Заметим, что
/ + f (1 + И) J = с.
Тогда в первом приближении
Hi п 2 r Ь . . hi
= Cmi—-^J\h — ггц + т, + •
Уравнение Эйлера (3.1.1) для Lt = 0 можно записать
в операторной форме
= °-
Подставляя выражения из предыдущей формулы и пренебре-
гая произведениями малых величин, получаем
Crni -ф Q,£,ijkmj(ckl ml——mk + = 0, (12.6.3)
где mz— Ьт^ Рассмотрим теперь некоторые специальные
случаи.
Задача Гогеля — Ферми. Простым примером является
ступенчатая функция возбуждения, вызванная относитель-
ным движением, которое начинается в момент t = 0 и затем
поддерживается постоянным. Эта проблема обсуждалась
Гогелем [86] и Энрико Ферми в последние годы жизни (лич-
ное сообщение) в связи с вековым влиянием ветров и океанс-
ких течений на положение полюса, однако нам неизвестно,
были ли получены решения.
Положим Cki = 0 в (12.6.3) и запишем уравнения в новой
системе координат, выбранной так, чтобы в этой системе
£ 6. Движение полюса Земли как, тела Максвелла
333
компоненты hL относительного момента количества движе-
ния были бы равны 0; 0; h = Уhihl (см., например,
[130, 3.081). Так, если hb обусловлено отдельным циклоном
то ось х% проходит через циклон. Новые координаты явля-
ются главными осями для возбуждающей функции, но не
главными осями планеты Земля (за исключением заверше-
ния движения полюса при t = оо).
Нам понадобятся следующие определения и уравнения,
уже рассмотренные ранее. Частота чандлеровского колеба-
ния полюса равна
(6.2.6)
(6.1.4)
где огг — частота колебаний для твердой Земли. Время
затухания равно а-1, а величина Q для системы равна
°0
2а
(10.1.9)
Из определения J в (12.6.2) следует, что
^•^2qA~2Q.
(12.6.4)
Положим
h
2QC '
₽ =
Тогда в новой системе координат уравнения (12.6.3) имеют
вид
(У т1~ lrls ~ тз = °’
(отт )т2 — (т3т1—т1 т3) — = 0, (12.6.5)
Мы можем повернуть новую систему координат вокруг новой
оси х3 таким образом, чтобы начальное значение т2 = 0;
это означает, что ось х3 новой системы проходит через цик-
334
Гл. 12. Геологические вариации
лон, а современный полюс расположен в плоскости ххх3.
Как будет показано, расстояние между полюсом и этой
плоскостью в процессе движения всегда остается малым.
Схема возмущений такова:
mi = (порядок
/л2 = (порядок Q-1);
т3 = (порядок 1).
В первом и третьем уравнениях (12.6.5) все члены имеют
одинаковый порядок. Первый член во втором уравнении
имеет порядок Q~2 по сравнению с остальными членами,
так что приближенно
— т1 + т± т3 — ^т1 ~ 0.
Учитывая, что
1 2.2
mL гщ— 1 mi + /Из,
получаем
откуда
mx = sech (£ + р/), т3 = th (£ + Р0, (12.6.6)
где sech £ и th £—начальные значения и т3 соответст-
венно. При Z->oo. mx->0 и 1, как и следовало ожидать
для этих асимптотических значений. Коширота полюса
в новой системе равна
+ (12-6.7)
Из второго или третьего уравнений (12.6.5) можно полу-
чить
= (fir) (1 + sech (£ +
Эта величина всегда мала по сравнению с 1, как и пред-
полагалось.
§ 6. Движение полюса Земли как тела Максвелла 335
Задача Миланковича. Миланкович [186] исследовал
движение полюса, вызванное распределением континентов.
В качестве системы координат выберем главные оси си-
стемы океан — континент (§7). В этой системе Cki = 0 при
k =/=1. Введем обозначения
R — f 11
Г 2QC ’
t?22 п ______ С33 S2
~2QC ’ Рз “ 2QC
(12.6.8)
и выберем оси так, чтобы Уравнение (12.6.3)
принимает вид
1 1 dm,! . d In m2
2Q m2m3 dt dt
+ =0; (12.6.9)
остальные два уравнения получаются циклической пере-
становкой индексов. Теперь схема возмущений отличается
от предыдущей тем, что все mi порядка 1. Снова учитывая,
что порядка pmz, находим, что первые члены всех урав-
нений оказываются малыми (из-за множителя Q-1) по
сравнению с остальными членами. Уравнения (12.6.9) ин-
тегрируются немедленно, и мы получаем
= tg 60 cosX0 е-(03-31) t
т3 ь ° 0 ’
— = tg 0О sin Х0е“(Рз~z,
где 60, Хо — начальные координаты полюса в новой системе.
Комбинируя эти выражения с соотношением = 1,
получаем полное решение
tg^^tgV(32“wz-
nil
Г т2
tg2 0 = - 1 ; 2 = tg2 60 е-23= ' (cos2 2.0 е2₽-‘ +
т3
+ sin2V232T (12.6.10)
Как нетрудно показать, соотношение
tg6cosA-tgx% = const, х = "|3 , (12.6.11)
336
Гл. 12. Геологические вариации
является уравнением траектории полюса в новой системе.
Это соотношение называется теоремой Миланковича [239,
стр. 126—131 ]. Траектория, проходящая через современный
полюс, приведена на рис. 53.
Начальное решение. Полученные решения не налагают
никаких ограничений на величину полного перемещения
полюса. Начальное возмущение удобно изучать согласно
схеме возмущений, развитой в § 1 гл. 6, в которой пред-
полагается, что < 1. Это допущение справедливо для
перемещений полюса, не превосходящих 100 км, что до-
статочно для многих целей.
Рассмотрим вначале случай, когда источником возбужда-
ющей функции является циклон (деформация от нагрузки
отсутствует). Тогда, согласно (6.3.1а) и (6.2.3),
Ф = ф + фо==ф+^т,
так что (6.3.5) можно записать в виде
. m ,
m — ф.
Решение в операторной форме записывается сразу
m = — ior
Ь + а
b (b + a — za0)
(12.6.12)
Оно вычисляется согласно определенным правилам (см.,
например, [130, 7.051—7.08]). В результате имеем
Za г
а — za0
m = —
at — —(! — e~at e/o»z)l ф. (12.6.13)
Положим для определенности ф2 = 0 и Q>1. Тогда,
пренебрегая членами порядка Q-1, получаем
Ш1 — 1_+± (1 _|_ — e-at cos
Р'1 , (12.6.14)
т2 =-----фх e'~at sin a0t.
Сравним это начальное решение с точными решения-
ми, полученными ранее. Дифференцируя (12.6.7), полу-
§ 6. Движение полюса Земли как тела Максвелла
337
чаем для скорости движения полюса:
— 6 = 0cos2 0 csch (£ + 0/) cth (С + 0/) =
= 0 cos2 0 tg 0 sec 0 = 0 sin 0 = 1 + a4>1;
что согласуется с установившейся частью т1 по (12.6.13).
Аналогичное сравнение можно провести и для (12.6.10).
Рис. 56. Движение полюса «максвелловой Земли».
Положения полюсов вращения ш, начального возбуждения ф,
деформации ф^ и модифицированного возбуждения W показаны во вре-
мя первого колебания (от 0 до 1,2 года), 11-го колебания (от 12 до
132 лет); и 21-го колебания (от 24 до 25,2 года) от ступенчатого
возбуждения в момент t = 0. Ослабление характеризуется временем
затухания а"-1 = Ю годам; следовательно, Q равно 25. Для боль-
ших Q затухание уменьшается.
Геометрическая интерпретация приведена на рис. 56,
который нужно сравнить с рис. 4,6 (стр. 71). На обеих фигу-
рах полюс возбуждения расположен в точке, расположен-
ной на 19° восточнее оси хх, а не на самой оси. Вначале
полюс вращения ш обращается против часовой стрелки
вокруг среднего положения Т возбужденного полюса.
Однако имеются две новые особенности: колебания затухают
и имеет место непрерывная миграция полюса деформации
(и, следовательно, полюсов <р, Т и т) в направлении ф.
Коэффициенты полюса деформации, или смещенного полю-
са, равны
, k 1 D + т”1
ф £) = Т~ IB = 1—: — ----------- ГП,
Y kf 1 + Л D +«
12 Вращение Земли
338
Гл. 12. Геологические вариации
или, согласно предыдущему приближению,
Ф1 (D) — F1 Ф1 [ 1 +«(1 + нН — e~a/cos(j0/],
ф2 (£)) = — И-1 Ф1 e~at sin а0
Как смещенный полюс, так и полюс вращения движут-
ся со скоростью р"1 (1 + р) афх (если пренебречь началь-
ными колебаниями), причем смещенный полюс отстает
на величину m—= ф.
Ради простоты мы пренебрегли членами порядка Q”1.
В этом приближении компоненты m и фр, перпендику-
лярные к начальному возбуждению ф, обращаются в нуль
после затухания нутации. Однако, чтобы проследить за
движением полюса, мы возьмем еще один член разложе-
ния (12.6.13). Установившиеся компоненты, перпендику-
лярные ф, равны
Q~1 Ф1 f 1 4" у ,
/ 1 \
1 4- и ( "о 1 I
(D) =----Q-1 iPi 1^—iq~- 4- У .
Таким образом, m и движутся вдоль параллельных
линий под углом у Q"1 направо от направления ф
(см. рис. 57). Расстояние между этими двумя линиями
равно
т2— (О) = — у <2~1 (12.6.15)
Мы показали, что в общем случае
m iar (m — ср), ср = ф + фп.
Действительная часть в случае ф2 0 равна
/«i — У (т.2 — гр2 (о)-
Вековой член в т1 равен
р,-1 (1 + р) ip! at = (^4 TpjaZ = 4 ar Q“>
\a0/ Z
в соответствии с (12.6.14), что согласуется с (12.6.15)
£ 6. Движение полюса Земли как тела Максвелла
339
Интерпретация такова: полюс вращения расположен
справа (если смотреть по направлению движения) от воз-
бужденного полюса ф, причем расстояние между ними равно
произведению ^-Q”1 на величину начального возбуждения1)
ф. В обычной задаче теории упругости полюс m просто
Рис. 57. Решение после затухания начального переходного про-
цесса. Принято нереально малое значение Q (Q — 10), чтобы выявить
члены второго порядка, отсутствующие на рис. 56. В модели
Максвелла (а) полюс движется, в модели Кельвина — Фойхта (б) —нет.
вращался бы вокруг ф. Однако в настоящем случае ф не от-
стает от m и оба полюса движутся параллельно друг другу.
Ф движется потому, что экваториальный выступ обладает
вязкой текучестью (помимо начальной упругой текучести)
и стремится к положению перпендикулярно оси вращения.
Таким образом, смещенный полюс догоняет полюс враще-
ния, и возбужденный полюс ф = ф X фп также вынужден
перемещаться. Согласно Голду [87], ситуация аналогична
положению с «ослом и пучком моркови, подвешенным на
кнуте, который держит в руке седок».
В конечном счете смещенный полюс и полюс вращения
отходят на значительное расстояние от своих начальных
положений. Уменьшение кошироты циклона приводит
к экспоненциальному замедлению движения, которое описы-
вается решением (12.6.6). В пределе полюс настигает циклон,
и осел получает морковь.
х) Для континентальной функции возбуждения (12.4.5) угловое
расстояние между полюсом вращения и полюсом возбуждения (или
полюсом фигуры) составляет в этом случае 10~5 рад, или 2", что на-
ходится на пределеобнаружимости. Однако, вероятно, в действи-
тельности угол составляет 10“3 этой величины (§ 7).
12*
340
Гл. 12. Геологические вариации
Положение в общем не меняется и в случае, если заменить
циклон локальным недостатком массы (компенсированным
для учета деформации от нагрузки), за исключением
того, что замедление описывается несколько иным законом
[(12.6.10) вместо (12.6.6)1.
Задача Эри — Голда. Это задача о движении полюса
вследствие внезапного увеличения поверхностной массы.
В 1860 г. королевский астроном (Эри. — Ред.) рассмотрел
возможное влияние подъема горной массы, обусловленного
чем-то вроде взрыва газа [1 ], а Голд [871 исследовал случай
внезапного подъема Южной Америки на 30 ж1). Голд пре-
небрегает деформацией от нагрузки, но четко оговаривает,
что необходимо учесть компенсацию.
Мы рассмотрим только начальный случай. Чтобы учесть
деформацию от нагрузки (§ 9 гл. 5), требуется лишь за-
менить ф в (12.6.12) на
(1 + Y - гг—>
v 1 + р. т 1 + Р D + z (1+р)^
так что
Воспользовавшись тем, что i < р, и приближениями,
из которых следует (12.6.16), получаем
т1 = Ф1 (1 + yt — e~at cos or0 0,
т2 = — e~at sin о01.
Это выражение отличается от решения задачи Гогеля —
Ферми в двух пунктах: здесь не происходит усиления ко-
х) Далее следует отрывок из «Principia» Ньютона (цитируется
по переводу акад. А. Н. Крылова, Собрание трудов, т. VII, Изд-во
АН СССР, 1936, стр. 239—240): «Вообразим сперва совершенно одно-
родный и правильный шар, покоящийся в свободном пространстве;
...если где-нибудь между полюсом и экватором добавить некоторое
новое количество вещества, собранного как бы в виде горы, то оно
нарушит правильность движения шара и будет производить по его
поверхности перемещение полюсов, которые будут описывать по
поверхности шара круги около первоначального своего места.
Величина этого перемещения полюсов не может быть устранена ина-
че, как поместив сказанную гору в одном из полюсов... или же
экваторе...». Сферическая Земля Ньютона и Земля Максвелла
с экваториальным выступом достаточно похожи друг на друга,
что делает эту цитату уместной.
£ 6. Движение полюса Земли как тела Максвелла 341
лебаний полюса (т. е. они будут, как и в случае твердой
Земли) и скорость движения уменьшается из-за множителя
Н 1 (1 + и)
После начального переходного процесса движение полюса
происходит со скоростью, определяемой изостатически
компенсированной нагрузкой (как и в задаче Миланковича).
Это не является неожиданностью.
Модель Кельвина — Фойхта. Поучительно сравнить
предыдущее решение с моделью, имеющей конечное со-
противление. Простым случаем является модель Кель-
вина— Фойхта (или твердо-вязкая модель; § 11 гл. 5).
Имеем
Н = и (1 + ХО),
^К-У
D +
__ --- 1(У -
r D~ Ч- (/' - iar) D — 1вгт
а"
Положим
а'
1
«1.
Начальное решение имеет вид
ш = ф (1 — е~~а'z el°°z),
фо Ф (1 — е~«' t ei^0 ty
После затухания начального переходного процесса m
и у == ср + фр стремятся к значению (1 -J- jv1) ф, и дви-
жение полюса отсутствует.
Задача Дарвина. Эта задача включена из-за ее истори-
ческого интереса. Возбужденный полюс определяется следу-
ющим образом:
Ф1 = —Ut, ф2 = О при />0; ф = О при /<0,
342
Гл. 12. Геологические вариации
что соответствует начинающемуся при t — 0 подъему
Британских островов с постоянной скоростью. В статье
Дарвина вопрос о компенсации не поднимается. Проще
всего считать ф компенсированным возбуждением. Дарвин
не включает упругой текучести, и поэтому мы полагаем
ц ~ сю.
Необходимо заменить величину 4 в (12.6.12) (которая
не зависела от времени в предшествующих примерах) на
—Ut. Положим от ~ п0 + ш; после вычисления по-
лучаем
m = 'я U - 4-а/2 + — t — i а-| (1 — ем) .
<з 2 а а2 4 7
Член, содержащий Z2, описывает движение полюса с посто-
янным ускорением, тогда как в задаче Гогеля — Ферми оно
происходило с постоянной скоростью. Это различие обуслов-
лено тем, что Дарвин постулировал, что возбужденный
полюс движется с постоянной скоростью, тогда как в пре-
дыдущих случаях он имел постоянное смещение. Получен-
ное здесь решение не согласуется с решением Дарвина
[192].
§ 7. Современное положение полюса
Обычно исходным пунктом при любом рассмотрении
движения полюса (например, в §6) является предположение
о том, что Земля находится в равновесии, а затем
внезапно возмущается неким неправдоподобным перерас-
пределением масс. Затем последующее движение полюса
рассчитывается для Земли из материала, поведение которого
можно моделировать некой комбинацией поршней и пружин.
Наконец, выясняется, что рассчитанная траектория полюса
согласуется со сбивающей с толку совокупностью палеон-
тологических и более современных палеомагнитных данных.
Берч сообщил нам, что, возможно, было бы уместно
выяснить сначала, согласуется ли современное распределе-
ние вещества с современным положением полюса.
При обсуждении различных возможных источников
возбуждающей функции движения полюса (§ 5) было по-
казано, что распределение континентов и океанов превос-
ходит другие возможные источники примерно в 1000 раз.
£ 7. Современное положение полюса
343
По сравнению с экваториальным выступом континенты
являются небольшими отметками на поверхности, но они
могут играть определяющую роль, если распределение кон-
тинентов неизменно, а выпуклость достаточно неупруга.
Быстро вращающийся резиновый мяч будет ориентиро-
ваться относительно оси вращения в соответствии с очень
маленькими вмятинами на поверхности. Конечное положе-
ние полюса оказывается таким, что континенты располага-
ются наилучшим образом на вершине экваториальной
части Тихого океана. Время смещения зависит от неупруго-
сти; согласно оценке, полученной Бонди и Голдом [87] из
затухания чандлеровского колебания полюса, оно меньше
100 000 лет. То обстоятельство, что полюс не находится
в Тихом океане и не движется к нему с такой скоростью,
ставит нас в затруднительное положение.
Ориентация главных «континентальных осей» была рас-
считана Миланковичем [186], Кюйпером [144] и Манком
[193]. Исходим из известных значений компонент тен-
зора инерции в современной системе координат xz. Задача
заключается в том, чтобы определить ориентацию системы
х/, в которой недиагональные элементы тензора (произведе-
ния инерции)
СЦ = — j px'i x'j dV, i =/= j,
обращаются в нуль. Приравнивая нулю определитель
третьего порядка | — убполучаем кубическое урав-
нение относительно у. Можно показать, что в общем
случае три корня этого кубического уравнения суть
главные моменты инерции, т. е.
Y1 = С11 , Y2 = С22, Уз = сзз •
Положим x/ = /ZyXy, где 1^ — матрица преобразования
(не тензор). Мы можем выбрать оси таким образом, что
у3^>у2> Yi, т. е. чтобы момент инерции был максимален
для вращения вокруг оси хз. Направляющие косинусы
этой оси относительно современных осей X/ суть /3;-, и
их можно вычислить из уравнений
(С// ^уУ3)/3у = 0, Z3y Z3y = 1.
344 Гл. 12. Геологические вариации
Коширота 0 и восточная долгота X главного полюса си-
стемы континент — океан определяются формулами
cos 9 = Zoo, cos К = ~.
33 hi
В табл. 21 перечислены положения полюса и (безраз-
мерные) главные моменты океанской функции.
Таблица 21
Ориентация и главные моменты системы
континент—океан [193]*
е X ъ/и 7з/Л'
(5 (глубокие океаны) 76° 199° 2,69 3,14 3,47
(5 (океаны) 75 1 176 2,33 2,57 2,76
* Значения коэффициентов ап , Ьп , на основе которых получены эти зна
чения, несколько отличаются от значений, приведенных в приложении, § 1.
Значения для глубоких океанов предпочтительнее; во
всяком случае, результаты различаются не очень сильно и
примерно согласуются с значениями Миланковича и Кюй-
пера. Полюс находится вблизи Гавайских островов, почти
на максимально возможном удалении от современного по-
люса. В самом деле, полюс, соответствующий минималь-
ному моменту инерции, находится вблизи Архангельска,
0 = 20°, % = 66°, и ближе всего к современному полюсу.
На рис. 53 приведена траектория полюса, движущегося
согласно теореме Миланковича (12.6.11) от архангельского
полюса к гавайскому, проходящая через современное по-
ложение полюса. Нужно подчеркнуть, что эти результаты
не зависят от континентального и океанского распределений
плотности и значения интеграла N (12.5.4) при условии,
что эти распределения можно считать однородными для
континентов и для океанов.
Вычисленное смещение полюса направлено к основному
полюсу вблизи Гавайских о-вов. На основании «недвусмы-
сленных» палеоклиматических данных Миланкович ставит
стрелку на своей траектории полюса по направлению от
Тихого океана, и Ярдецкий [116], по-видимому, согласен
§ 7. Современное положение полюса
345
с этой интерпретацией. Отсюда следует, что интеграл N
отрицателен: момент инерции (на единицу площади) для
континентов меньше, чем для океанов. Такая трактовка
противоречит любой изостатической модели; ее критиковал
Гутенберг [98, стр. 203].
Однако предположение о движении в обратном направ-
лении требует дальнейшего рассмотрения. В изостатиче-
ской модели момент инерции зависит от членов второго
порядка, возникающих из-за несколько большего радиаль-
ного удаления континентов относительно океанов. Допу-
стим, что и изостатическое компенсирование выполняется
не совсем точно и что имеется нескомпенсированная эрозия
вещества континентов и отложения его на дне морей. Такой
эффект оказывается первого порядка, и он может изменить
знак N. Это интригующая возможность. Полюс, соот-
ветствующий максимальному моменту инерции, находится
тогда у Архангельска, относительно близко (но еще на
расстоянии 20°) от действительного местонахождения по-
люса.
Оказывается, что 15 м некомпенсированных данных
осадков могут изменить знак АЛ Результирующая гравита-
ционная аномалия в свободном воздухе равна 5 мгал.
Относительно большие локальные гравитационные анома-
лии делают невозможным определение знака N на основе
гравитационных наблюдений. Никакая компенсация
не приводит к аномалиям —390 мгал над океанами; и это
предположение неверно. Однако невозможно установить,
имеет ли место 100%- или 99%-ная компенсация, а именно
это нам необходимо знать. Проблема может быть разрешена
по наблюдениям орбит спутников.
Голд [87] указал другую возможность, а именно что
полюс «захвачен» Северным Ледовитым океаном. По мере
движения полюса к берегу в прибрежных районах от-
кладывается больше снега, в результате чего полюс дви-
жется от берега. Трудность заключается в том, что этот
«эффект снега» очень мал. Для оценки отметим, что воз-
буждающая функция от ледяного покрова Гренландии со-
ставляет 10“4 возбуждающей функции системы континент —
океан (12.5.5)—(12.5.6).
Рассмотрим далее скорость движения полюса по на-
правлению к Гавайским о-вам. В случае максвелловой
12В. Вращение Земли
346
Гл. 12. Геологические вариации
Земли полюс за время затухания а~! (12.6.13) проходит
расстояние р-1 (1 + (^)|ф]. Согласно (12.5.6) и § 7 гл. 9,
|ф| равно
1,41-(0,86)2+(1,03)2-10“4—1,89-10~4 рад-1,2 км;
Бонди и Голд получают из анализа затухания чандлеров-
ской составляющей значение or-1, равное 10—20 лет, по
различным трактовкам широтных наблюдений (см. табл. 15),
или более 50 лет, если верно значение Q, полученное из
анализа полюсного прилива (§ 4 гл. 10). Ожидаемая
величина смещения составляет от 20 до 100 м в год по
направлению к Ванкуверу. Это в 300—1700 раз больше
величины скорости, полученной по широтным наблюдениям
в течение XX в. (§ 1 гл. 11). Время, необходимое для
прохождения большей части пути к Гавайским о-вам,
составляет, согласно (12.6.1Q), по порядку величины
где
(12.6.8)
Используя значения для глубины 1000 саженей, приведен-
ные в табл. 21, совместно с (12.5.4) получаем 20 000 и
80 000 лет для Q = 25 и 100 соответственно. Палеомагнит-
ные данные свидетельствуют о том, что полюс в течение
последних 50 миллионов лет изменил свое положение не
более чем на 10° (§ 2).
Как всегда, из этого затруднительного положения имеют-
ся различные выходы. Если воспользоваться значением
вязкости, полученным из анализа финно-скандинавского
подъема и равным 4 • 10~22 г!см • сек, то время затухания
возрастет в 400 раз и соответственно уменьшится скорость
движения полюса. Движение к Гавайским о-вам с такой ско-
ростью уже не может быть исключено. Тогда наблюдаемое за-
тухание чандлеровского колебания полюса не имеет ничего
общего с максвелловской вязкостью мантии. Трудность
заключается в том, что существующие отклонения от изо-
статичности в других районах, помимо финно-скандинав-
ского, требуют увеличения а-1, но не в 400, а в несколько
миллионов раз (§ 3 гл. 10); мы исключаем слишком быстрое
движение полюса ценой полного пренебрежения им.
£ 8. Конечное сопротивление
347
Другая возможность заключается в том, что имеют
место вариации плотности в мантии, которые гасят
асимметрию системы континент — океан, и вследствие
этого суммарная возбуждающая функция равна нулю г).
Одно из таких распределений приводит к гравитацион-
ным аномалиям в свободном воздухе, в разложении ко-
торых крайние значения гармоник второй степени рас-
пределены следующим образом:
130° 3. д. 50° в. д.
Северное полушарие . . мгал —5 мгал
Южное полушарие . . . —5 мгал +5 мгал
Такое распределение не может быть исключено на основа-
нии современных гравиметрических данных.
Наконец, не исключена возможность того, что Земля
(или по крайней мере ее оболочка) обладает достаточным
конечным сопротивлением, чтобы противодействовать на-
пряжениям, обусловленным системой континент — океан.
Таким образом, мы можем устранить трудность, но опять-
таки ценой исключения движения полюса.
§ 8. Конечное сопротивление
Основным спорным пунктом в динамике движения по-
люса является проблема конечного сопротивления. Макс-
велловская Земля не обладает конечным сопротивлением, и
бесконечно малое напряжение (например, жук Голда) за
достаточное время может повернуть Землю. В модели Кель-
вина — Фойхта имеется конечное сопротивление и отсут-
ствует движение полюса. В § 2 гл. 4 было доказано в об-
щем виде, что Земля без конечного сопротивления обла-
дает вековой неустойчивостью.
Имеются многочисленные лабораторные данные, свиде-
тельствующие о том, что большое количество силикатных
материалов обладает сопротивлением или разрыву, или
избыточной деформации вплоть до некоторой конечной
величины разности напряжений. Если это конечное на-
пряжение превзойдено, материал разрушается или раз-
рываясь, или испытывая большую деформацию. Однако
х) См. примечание в § 10.
12В*
348
Гл. 12. Геологические вариации
лабораторные испытания непродолжительны, и их ре-
зультаты могут быть не применимы в геологических мас-
штабах времени. Свидетельством о конечном сопротивлении
материалов в Земле является существование континентов,
океанов и гор. Главные гравитационные аномалии связаны
с горными цепями палеозоя, так что разности напряжений,
возникающие из-за таких распределений масс, должны
существовать в течение очень долгого времени. Джеффрис
[126, стр. 199] приходит к выводу, что гравитационные
аномалии указывают на напряжения от 150 до 300 бар
в верхних 600 км] интервал значений зависит от того,
обладает ли вещество ниже 600 км каким-либо сопротивле-
нием. Трехосность фигуры Луны указывает на то, что
вещество Луны, которое может быть похожим на вещество
мантии, может выдерживать разность напряжений около
20 бар. Более того, тот факт, что современный полюс не
движется по направлению к главному полюсу системы
континент — океан, может быть объяснен предположением
о конечном сопротивлении (§ 7). Возникающее при этом на-
пряжение имеет порядок |ф||х = (1,3 • 10“4 рад) х
X (5 • 10~11 дин!см2) = 65 бар, что соответствует разности
напряжений порядка 10 бар. Минимальное сопротивление,
необходимое для того, чтобы воспрепятствовать движе-
нию полюса, составляет примерно 10 бар.
Против гипотезы о конечном сопротивлении свидетель-
ствуют в основном данные из двух главных источников:
1) подъем оледеневших ранее областей Финно-скандинавии
и Северной Америки считается свидетельством о конечной
вязкости (и нулевом сопротивлении). Джеффрис [126,
стр. 327 ] критикует эту точку зрения, так как имеются дру-
гие районы с аналогичными отрицательными аномалиями,
которые не поднимаются; 2) фигура Земли близка к фигуре
равновесия вращающейся жидкости. Этот аргумент против
конечного сопротивления не является неопровержимым,
скорее он устанавливает некий верхний предел. Вопрос
заключается в том, превосходит ли этот верхний предел
значение 10 бар, необходимое для воспрепятствования дви-
жению полюса из-за континентальной возбуждающей
функции. Максимально допустимое расхождение между
наблюдаемым сжатием и сжатием жидкой Земли составляет
около х/3% (§ 4 гл. 5). Допустим, что имеет место расхож-
£ 8. Конечное сопротивление 349
дение, равное максимально допускаемому наблюдениями:
de l • 10~5. Если бы Земля была однородным несжимае-
мым упругим телом, то максимальная разность напряжений,
возникающая из-за такого изменения фигуры, достигалась
бы в центре и равнялась (39/95) pgzzSe [126, стр. 367], или
около 12 бар. С другой стороны, мы можем оценить напря-
жение, возникающее из-за изменения угловой скорости,
приводящего к различию в сжатии 10~5 [261]. Так как
сжатие пропорционально квадрату угловой скорости, имеем
- =2^ =3- IO-3.
Если считать, что приливное замедление постоянно и
равно 5 • 10~22 рад/сек2, (табл. 17), то взятое различие
в сжатии возникнет за 10 миллионов лет. Образующееся
напряжение равно по порядку величины фзр = тз|т
— (1,5 • 10~3)(5 • 10й) 750 бар, а разность напряжений
равна примерно 100 бар. В связи с современной не-
точностью знания фигуры Земли конечное сопротивление
100 бар отвергнуть нельзя. Согласно этой гипотезе, мы
должны ожидать, что экваториальный выступ должен быть
больше равновесного. Согласно Булларду [26], фактическая
эксцентричность составляет (3,3764 ± 0,0077) • 10~3 по
гравитационным наблюдениям, (3,702 ± 0,0074) • 10~3 по
наблюдениям Луны; и эти значения действительно пре-
восходят равновесное значение (3,3632 ± 0,0006) • 10~3.
Предварительные данные, полученные с помощью спут-
ников, указывают на обратное1), т. е. что фактическая экс-
центричность составляет (3,355) • 10~3 [185] и (3,521 ±
±0,0006) • 10~3 [158].
Мы видим, что данные о положении полюса и эксцентрич-
ности не противоречат друг другу. Для объяснения данных
о положении полюса требуется минимальное сопротивление
порядка 10 бар\ из анализа эксцентричности следует, что
максимальное сопротивление составляет около 100 бар.
Более того, эти значения не противоречат данным, получен-
ным из гравитационных аномалий.
х) Согласно самым последним данным (не опубликовано), факти-
ческий эксцентриситет равен 3,354«Ю-3 и превышает равновесное
значение 3,336-10“3.
350
Гл. 12. Геологические вариации
Согласно гипотезе конечного сопротивления, движе-
ние полюса возможно только в том случае, если возбуж-
дающее напряжение превосходит «сопротивление»
(§ 2 гл. 4).
Теория движения полюса для неоднородного тела с конеч-
ным сопротивлением еще не построена. Неясно, будет ли
реакция Земли в основном пластическим течением или раз-
рывом. Из наличия землетрясений вплоть до глубин по-
рядка 600—700 км следует, что разрушение из-за разрыва
является основным механизмом. Неоднородность внешних
слоев выдвигает проблему о локальном (в противополож-
ность глобальному) ослаблении напряжений.
До сих пор движение полюса описывалось как волнооб-
разное движение, включающее Землю как целое. Альтер-
нативным предположением является представление о тонком
верхнем слое, скользящем по внутреннему. В этом случае
требуется слой смазки, отделяющий «оболочку» от ядра.
Если слой смазки является жидким и обладает толщиной,
превосходящей разность полярного и экваториального ра-
диусов, то устойчивость Земли не зависит от эллиптичности
ядра. В этом случае применимы результаты § 5 гл. 5.
Поверхностное натяжение имеет размерность произведения
модуля сдвига на толщину. Для оболочки толщиной 100 км
с модулем сдвига 4 • 1011 дин/см2 эквивалентное поверх-
ностное натяжение составляет 4 • 1019 г!сек2. Безразмерное
поверхностное натяжение равно в этом случае v =
= (15,2) v/(pga2) = 0,02. Усиление по сравнению со смеще-
нием упругого тела составляет 50: 1. В случае системы
континент — океан полюс должен сместиться на 50 км.
Максимальная разность напряжений, возникающих в обо-
лочке, имеет порядок 20 бар. Кюйпер [144], принимая
толщину коры равной 35 км, получил смещение порядка
400 км и соответствующую максимальную разность напря-
жений 160 бар. Напряжение во внешней оболочке имеет
порядок 1000 бар. Мы приходим к заключению, что система
континент — океан обусловливает смещение внешней
оболочки в лучшем случае на несколько градусов и что
возникающие разности напряжений слишком малы, чтобы
вызвать разрушение. Сейсмические данные исключают
возможность увеличить эти значения выбором намного
меньшей толщины оболочки.
§9. «П р а в и л а и г р ы»
351
§ 9. «Правила игры» для смещения континентов
и движения полюса
Рассмотрим закономерности, вытекающие из того, что
существуют и смещение континентов и движение полюса.
К счастью, вопрос о реальности такого смещения мы можем
обойти х).
При исследовании движения полюса любое движение
континентов друг относительно друга входит двояким
образом: 1) меняются широта и долгота обсерваторий (по-
мимо изменений, обусловленных неравномерным враще-
нием) и 2) изменяющееся распределение системы конти-
нент — океан приводит к переменной возбуждающей функ-
ции. В этих условиях невозможно определить однозначно
положение полюса без некоторых предположений о по-
ведении континентов остальной части Земли.
Нашими «обсерваториями» являются датированные об-
разцы пород с остаточной намагниченностью. Отсюда мы
получаем значения наклонения / и склонения D в момент
времени /* 2). В принципе эти сведения не отличаются от
записей широты и прохождений меридиана в журнале на-
блюдений астрономической обсерватории.
Рассмотрим п «отдельных» континентальных блоков.
Допустим, что вращение и искажение контуров континен-
тов отсутствуют. Предположение об отсутствии искажения
можно проверить сравнением результатов от многих образ-
цов пород с одного континента. Мы предполагаем, что это
х) Есть несколько сообщений об измеренном смещении. Напри-
мер, Джелструп в 1932 г. показал, что долгота Гренландии, опре-
деленная при помощи радио, превосходит на 5" значение долготы,
определенное Боргеном и Коуплендом в 1870 г. по наблюдениям
лунных кульминаций и покрытий. Марковиц [171] изучил это и дру-
гие сообщения о смещениях и приписал их экспериментальным
погрешностям. Если принять эти ранние определения, то они будут
означать, что «большие сдвиги континентов имели место до изобре-
тения телеграфа, средние сдвиги — до изобретения радио, а после
этого практически никаких сдвигов не наблюдалось».
2) Склонение северного полюса стрелки отсчитывается к востоку
от географического меридиана, наклонение отсчитывается от гори-
зонтальной плоскости, причем оно положительно, если северный
полюс стрелки расположен ниже горизонта. Предполагается совпа-
дение оси вращения с осью магнитного диполя.
352
Гл. 12. Геологические вариации
сравнение сделано и что результаты удовлетворительно со-
гласуются'друг с другом.
Пусть 9'(/), V (/) — координаты полюса вращения,
9Л (/) и (/) — координаты «обсерватории», представляю-
щей n-й континент, a In (t), Dn(t) — характеристики маг-
нитного поля, относящиеся к моменту времени намагни-
чения образца. Пусть 0n(0), %rt(0) — координаты точки,
где были получены образцы. Тогда для любого конти-
нента в любой момент времени имеют место следующие
соотношения между /, D и координатами полюса и кон-
тинента [51]:
sin О' — sin 6 cos ф 4- cos 0 sin ф cos £), ..
sin (X' — X) — sec Osin ф sin D, ' ‘ '
где
ctg<p = Г tgZ.
Имеем 2п уравнений относительно 2(rz + 1) неизвестных
On, O', %'. Если не сделать дальнейших предположений
решение может не существовать.
Рассмотрим два возможных предположения:
1) Отсутствует движение континентов
еп(о = е„(О), х„(о = х„(О).
2) Отсутствует движение полюса
6' (Z) = 6' (0) = 0.
В первом случае мы имеем 2п уравнений с двумя неиз-
вестными О', %' и можно применить обычные статистические
методы для определения согласованности и значений коор-
динат полюса в пределах (известной) экспериментальной
погрешности. Во втором случае мы имеем 2п уравнений
для 2п неизвестных и единственным критерием является
разумность результатов; например, перекрытие двух кон-
тинентов должно считаться неблагоприятным исходом.
Другим критерием в обоих случаях может быть разумная
непрерывность движения полюса и континентов во времени.
Допустим, что мы не хотим исключать ни смещение кон-
тинентов, ни движения полюса. В этом случае нужны допол-
§10. Итоги
353
нительные предположения. Допустим, например, что каж-
дый континент сохраняется и что ось вращения все время
совпадает с главными осями системы континент — океан1).
В этом случае уравнения
0'=0'1(4(0, 4(0, 4(0), 4(0)1,
v=W), 4(0, 4(0), 4(0)]
образуют совместно с (12.9.1) систему 2(n + 1) уравнений
с 2(n + 1) неизвестными.
Имеется несколько возможных правил. Вариациям
возможностей разыгрывания этой игры нет конца.
§ 10. Итоги
История движения полюса изменчива и сложна. Наш
основной вывод заключается в том, что эта проблема остается
неразрешенной.
С точки зрения динамических соображений и реологии
(§ 5—8) простейший выход из положения — считать, что
достаточное сопротивление вещества Земли препятствует
вековому движению полюса, и, с нашей точки зрения,
эмпирические данные еще не вынудили нас думать иначе.
Если же вековое движение полюса имеет место, то существу-
ют иные возможности, причем все они в какой-то мере раз-
работаны: 1) Континентальная возбуждающая функция
в значительной мере уравновешивается распределением
плотности в мантии, а конечное сопротивление Земли на-
столько мало, что небольшие перемещения могут вызвать
напряжения, превосходящие это конечное сопротивление.
2) Континентальная возбуждающая функция не уравнове-
шена распределением плотности в мантии, однако величина
конечного сопротивления такова, чтобы только воспрепятст-
вовать вековому движению полюса. Небольшие перемеще-
ния могут снова вызвать движение полюса. Интригующим
является следующее обстоятельство: есди полюс начал
движение к Гавайским о-вам, то континентальная возбужда-
ющая функция начинает возрастать, достигая максималь-
ного значения, равного (sin 707sin 45°) = 1,3 от современ-
х) Тем самым мы отвлекаемся от современного местонахождения
полюса системы континент — океан вблизи Гавайских о-вов.
354
Гл. 12. Геологические вариации
ного значения, в момент времени, когда Гавайский полюс
расположен на расстоянии 45° (современное положение
70°) от полюса вращения. Далее возбуждающая функция
начинает убывать, и движение, по-видимому, должно пре-
кратиться, когда Гавайские о-ва будут иметь кошироту
20°. 3) Возможно, что в мантии имеются неоднородности,
которые приводят к гораздо большей функции возбуждения,
чем континенты1). Предшествующие замечания справедливы
и в этом случае, за тем исключением, что конечное сопротив-
ление, необходимое для поддержания современного равно-
весия, должно быть больше.
Все эти предложения содержат дилемму «все или ничего»
относительно напряжений в теле Земли, что вряд ли пра-
вильно. Но если мы допустим неоднородность вещества
внутри Земли, проблема становится безнадежно запутанной.
Единственный случай, который нам удалось рассмотреть, —
это оболочка на жидком основании. Однако предполагаемое
сопротивление этой оболочки превосходит на порядок
величины разности напряжений, которые определяются
современной системой континент — океан, и имеющиеся
данные указывают на то, что современная «континенталь-
ность» аномально велика. Кора, скользящая по мантии, не
кажется разумной моделью для объяснения движения
полюсов.
х) Примечание при корректуре. О’Киф, Эккельс и Сквайре
[209] получили по данным орбит спутников высшие гармоники гра-
витационного потенциала. Наблюдаемые значения а® и а% в —62 и 34
раза соответственно превосходят значения, полученные для распре-
деления океан — континент. До сих пор не определялись гармоники,
зависящие от долготы, и ориентация главных осей остается не-
определенной. Однако простейшим является предположение о том,
что неоднородности мантии заполняют неоднородности в коре и
что ось вращения действительно совпадает с главной осью. Ве-
личина наблюдаемых коэффициентов показывает, что величина ко-
нечного сопротивления может быть превзойдена. Если в течение
какого-то прошедшего геологического периода неоднородности
в мантии были раейределены иначе, то возможно, что полюс принял
соответствующее положение.
П риложение
§ 1. Океанская функция
При изложении этого параграфа мы будем следовать в
отношении обозначений и основных предположений работе
Г. Джеффриса и В. Джеффриса [130, гл. 24], посвященной
сферическим гармоникам.
Присоединенные функции Лежандра p„(cos6) определя-
ются следующим образом:
p"(cose)= ; ”11 X
У I !Г1 m r(eosO-Hf_
(т Ц- г)! (п— г)! (п — т — г)! г! '
(А.1.1)
В большинстве же математических работ принимается
такое определение функции Лежандра
В геофизических работах часто употребляется определе-
ние Шмидта [38]:
(и — т)\ (п +
Функция f (6, X) кошироты 0 и восточной долготы X может
быть разложена в ряды по сферическим гармоникам:
356
Приложение
£ v т (а™ cos тЦ
О о /a}cosX
= aQ + а\ cos 0 + sin 6 r i . ,
\&i sin л
+ COS20 — + -^-cos0sin0 /a2C0S^ +
x / \b2sinZ/
. 3 2 a / ^2
4 ft sin 0 I 2
2 \bl
cos 2X
sin 2X
(A. 1.2)
в предположении, что эта функция имеет непрерывную
вторую производную. Особый интерес представляет случай,
когда функция f не удовлетворяет этому условию, но
может быть равномерно аппроксимирована по всей сфере,
кроме, быть может, множества произвольно малых площа-
док. В этом случае указанные выше ряды существуют
и аппроксимируют нашу функцию с точностью до сколь
угодно малых ошибок, кроме тех площадок, где она не
может быть равномерно аппроксимирована.
Используя условие ортогональности
тс 2тс
О О
cos2 nik
sin2 тК
2т:
2п + 1
(п — /и)! (п + т}\
кроме т — 0, когда правая часть равна 4л/(2/г + 1),
получаем
к 2к
о 2п —1 Г* Г р /q п \ о 1
ап = г[-- I J f (9, К) рп ds,
о о
тс 2к
(2" + П(»!)2 f Ь/0 П пт C0SmX\ л.
2п(п — т)! (п +т)! ) i ' Рп IsinfflX) aS’
0 0 х '
§ 1. Океанская функция
357
где 0 dQ d'k. Вот первые несколько коэффициентов:
а° = /cos 9 ds, (А. 1.3)
/а!\ 3 ff. . 0 /cosZ\ .
Д£Р(1СО&20 ~4) ds’
( й\) Д f f f cos 0 sin 0 (C°S? ) ds,
\b'J 3;: JJ ' 2 ysinA, J
/fll\ _ 5 (T f 3 . 2 Jcos2X\
/ 12rt J J 2 Sm \S*n / ^S'
Нам теперь потребуются коэффициенты, связанные
с «океанской функцией», <5 (океаны), определяемой
следующим образом:
© (О, А) -= 1 для морей,
© (О, А) 0 для суши. \ /
Разложение океанской функции по сферическим гармо-
никам было получено при помощи численного интегриро-
вания *); полученные коэффициенты до восьмого порядка
включительно приведены в табл. 1. Степень аппроксимации
можно найти, сравнивая © = 0,5 (контур) с реальной бере-
говой линией. При вычислениях с членами первого и вто-
рого порядков можно различить лишь Тихий океан и
евразийский континент; Южная Америка, Антарктика,
часть Африки оказываются под океаном, а Северная Ат-
х) Границы океанов были сняты с карты мира через каждые
5° широты. Принимались во внимание все части моря или суши,
если они имели протяженность с востока на запад более 2°,5. Числен-
ное интегрирование было выполнено на вычислительной машине
IBM-709 с округлением до пятого знака.
358
П р и л о же ни е
лантика на суше. Используя третий порядок, мы правиль-
но очерчиваем все значительные континентальные площади.
Океанская функция вместе с «континентальной функ-
цией» S (континенты), определяемой соотношениями
<S(0, X) -= 1 для суши,
© (0, %) = 0 для океанов, V • • /
являются взаимно дополнительными. Следовательно,
©(океан) + © (континенты) = 1,
а™ (океаны) = — а™ (континенты),
Ьп (океаны) ~ — Ь™ (континенты),
кроме случая п — 0, т — 0:
ао (океаны) = 1 —#о (континенты).
В табл. 1 включена также функция © (глубокие
океаны), определяемая так:
@(0, X) — 1 для глубин океана более 1000 саженей,
S(6, X) = 0 для глубин океана менее 1000 саженей.
Для сравнения мы привели к этой таблице функцию
Прея, которая определяется как расстояние от среднего
уровня моря до поверхности суши, где есть суша, и до
дна моря, где есть море.
Указанные гармоники, относящиеся к таким «фик-
сированным границам», были вычислены Лявом [165] до
3-го порядка и Преем [216]* 1) до 16-го. В таблице приве-
дены коэффициенты Прея, умноженные на [(п — m)!/n!]2
для приведения к определениям Джеффрисов и делен-
ные на — 8,597 • 103 для «нормировки» топографических
данных (взятых Преем в метрах). Это дает
ао (океаны) + ао (данные Прея) = 1,00,
а остальные коэффициенты становятся сравнимыми по
величине и знаку. На языке техники связи © (океаны) —
х) Прей вычислил гармоники для двух других поверхностей:
1) для «видимой» поверхности, которая совпадает с поверхностью
суши для суши; в остальных местах гармоники равны нулю; 2) для
дна моря; в остальных местах гармоники равны нулю. «Фиксирован-
ная граница» равна сумме этих функций.
Таблица 1
Коэффициенты разложения океанской функции по поверхностным
сферическим гармоникам
<5 (Океаны) 6 (Глубо- кие океаны) Данные Прея <5 (Океаны) 0 (Глубо- кие океаны) Данные Прея
а® 0,71436 0,62260 0,28658 Ь4 0,09491 0,08712 — 0,30369
0 2 Ь4 —0, 11532 —0, 14682 0,57627
а{ —0,21348 —0,27556 —0, 14748
1 b\ 0,00987 —0,00899 —0,69706
а{ —0, 18781 —0, 17923 —0,13184
1 Ь* —0,20560 —0,25300 —0,31847
Ь{ —0,09486 —0, 14588 —0,07753 3
а 6 —0,00552 — 0,04416 —2,71498
#2 —0, 12969 —0, 19336 —0, 13231 а$ —0,15003 —0,14788 — 10,18774
а2 —0, 10117 —0, 12842 -0,21101 5 aQ 0,06296 0,07095 6,45506
а 2 0,09994 0,15153 0,12203 af -0,00242 —0,01909 — 0,62312
&2 —0,15800 —0, 17288 -0,21168 b\ 0,09502 0,09567 0,36336
2 Ь2 —0,00691 0,08913 0,02987 b%—0,02434 0, 12460 1,44269
п bl—0,18552 —0,35941 —6,59656
а3 0,11587 0,08974 0,01435 4
1 bQ 0,12422 0,11974 9,25154
а3 0,14883 0,13233 0,05068 5
2 bQ 0,06637 0,09447 1 1,47028
а3 0.25675 0,26338 0,15893
3 bQ -0,01334 -0,00806 -0,08470
а3 —0,01426 -0,07082 -0,08006
Ь3 —0, 12782 —0,03904 —0,01966 a® 0,19709 0,20904 0,08782
2 Ь3 —0,36678 -0,40651 —0, 19122 a | —0,03099 0,00482 0, 14919
bl —0,21081 -0,25117 — 0,33518 2 a7 —0,20347 —0,22773 —3,03353
0 a7 0,12812 0,10865 0,36364
а4 -0,07762 —0, 19070 —0,10848 4
1 a7 0,19367 0,30853 42,49749
й4 0,15258 0, 16495 -0,31341 5
2 a7 —0,01909 -0,07751 -3, 11258
а4 0,47062 0,36954 1,42560
3 a7 0,01109 0,00079 1 1 , 11637
а4 —0,20737 —0,24928 — 1,54335 7
4 a7 0,00430 0,00403 1 ,54147
а4 0,03489 0,07074 0,09142
360
Приложение-
Продолжение табл. 1
<5 (Океаны) ©(Глубо- кие океаны) Данные Прея ©(Океаны) © (Глубо- кие океаны) Данные Прея
а® 0,32449 0,32791 0,15340 “0,00867 —0,02 559 —0,04959
«5 —0,03384 0,03914 0, 12886 2 ag —0,09444 —0,08060 —3,95542
2 «5 0,31448 0, 13190 0,29492 з ag —0, 15632 —0,03652 —6,21726
з а5 —0,21237 -0,08342 — 1 ,53596 —0,00036 0,01978 0,59946
«5 —0,34021 - 0,38432 — 7,20707 5 ag 0,14060 0,04098 45,21647
5 а5 0,00010 0,00447 0,22350 ag —0,04070 — 0,04115 -93,91 1 14
4 0,07910 0,03252 0,37119 а\ —0,04953 —0,04538 -161,45126
2 65 0,16681 0, 17430 0,98238 0,00711 0,00672 16,94195
з Ь$ —0,07088 —0, 19702 —0,86419 bg 0,14896 0,05192 0,19867
Z>5 0,09870 0,07405 0,90863 bl 0,11195 — 0,07223 —0,66826
к /)5 —0,07607 — 0,04217 -0,78982 bl -0,09239 —0,06708 —3,64024
Ь7 -0, 17721 —0,16175 -0,56428 Лб —0,11756 i —0, 11461 —0, 10085
9 Ь7 —0,00948 — 0, 12384 0,23509 a6 0,04501 2 0,00814 —0, 14776
Ь7 -0,09491 —0, 12980 -1,38543 aQ 0,12352 A 0, 12164 0,27402
Ь7 —0,04611 — 0,0054 1 - 0,54347 bg -0, 11283 r -0,27402 —38,53677
5 ь7 0,10569 0,04868 —0,0741 1 bg —0,00159 0,03261 24,45273
Ь7 0,05743 0,07635 27,92433 bg -0,06529 — 0,08038 —110,51159
Ь7 0,02072 0,01537 5,36550 b7g —0,02504 О -0,03325 —48,37846
bg 0,00888 0,00870 —29,29269
ag 0,03972 0,01835 -0,01142
это «усеченный» вариант «фиксированных границ» Прея.
Для малых волновых чисел оба спектра должны быть
сравнимы, что и имеет место. Для больших волновых
чисел эффекты топографии — на границе с воздухом и
подводной — увеличивают гармоники «фиксированных гра-
ниц» относительно функции ® (океаны). Для еще более вы-
§ 1. Океанская функция
361
соких гармоник операция «усечения» должна увеличивать
гармоники функции ©(океаны).
Однако общеизвестная порожистость континентальных
склонов фактически вводит определенное усечение, так
что этот эффект сравнительно несуществен. Все же некото-
рые гармоники из данных Прея подозрительно велики.
Интегралы произведений трех функций Лежандра. При
систематическом развитии теории чисел Лява (§ 12 гл. 5)
необходимы произведения трех присоединенных функций
Лежандра. Используя рекуррентные соотношения
Sin = (2га :'11/га [«(«+1) -
— (п — т)(п — т — 1) р???],
cos Op"' = [я (п + 1) р™+1 + (п + т) (и — т) i],
получаем интегралы тройных произведений, необходимых
для изучения возмущающих потенциалов второй степени:
С п п о • д 2 (А? — п)! (Aj -f- я)!
j Pk pk Ро sin 0 М = (2k р ,
С пп г/1 п° ст fi //А — 2 (# -{- п + 1)! (& п + !)♦
J pk+i pk Pi sin 0 dv + (2k + + j), ,
1Z
C nn „1 о /7А_________________ 2 (fe 4~ я 4~ 2)! (k га)! ,. i /?\
J Pk+i Pk pl sin6d0 — (2k + 3) (2k + I) (k + ip. k\ ’ (A-l-6)
C nn}1 nn n1 sin fi zffi — -2(fe + Я)! (k — ny.
J pk_i pk pi Sin 0 dti — (2fe + j)] k[ ,
nn nn rt° sin A z/fi_________3 (fe 2 — га)! (Z: + 2 + я)!______
Pk+2 Pk P2 ып 'JU'J - - (2й+5) (2&4-3) (2/г+1) (k+2) (^+1)! k\ ’
f n^1 nn n1 sin A zffl — 3 (fe + ra + 3)! (fe — га + 1)!
J Pk+2 pk p2 Sin 0 at) — (2Й + 5) (2fe + Ц + 2) (k + 1); .
362
Приложение
§ 2. Спектральные плотности1)
Рассмотрим временные ряды, статистические свойства
которых предполагаются не меняющимися при смещениях
вдоль оси времени. Пусть u(t) обозначает стационарный
временной ряд; далее, пусть среднее значение этого ряда
по времени равно нулю: <Х0> — 0. Автокорреляционная
функция (ненормированная)
Я(т)-<ц(/)и(/-т)) (А.2.1)
связана со спектральной плотностью S (/) соотношениями
00 оо
S (/) = 4 J 7? (т) cos 2rt/rdr, R (т) = J р (/) cos 2л/т dr, (А.2.2)
о о
где — частота. Заметим, что
00
7? (0) = (и2 (/)) = J (А.2.3)
О
— среднеквадратичное значение, или полная «мощность»
записи. Соответственно S (/) df — вклад в эту полную мощ-
ность за счет полосы частот от ~ df^ до + -g- df^.
Будем называть S (/) плотностью «мощности» или спект-
ральной плотностью мощности. Если S (/) постоянна в
некотором интервале частот
S(/) = S для Л</</2,
то все частоты равным образом участвуют в образовании
(А — /i) и спектр в этом случае называется «белым»
на этом интервале частот.
Можно доказать, что выражение (А.2.2) для спектраль-
ной плотности мощности по крайней мере формально
эквивалентно выражению
S (/) = lim
Т ->оо
£-2^7/
х) Для более детального изучения этих вопросов читатель дол-
жен обратиться к работам Бартлета [7], Давенпорта и Рута [56] и
Блекмана и Туки [14].
§ 2. Спектральные плотности
363
в которое прямо входит записанная последовательность
u(f). Если запись имеет конечную длину Т, то функция
S (/) может быть получена как преобразованием «полной»
автокорреляционной функции (используя ступенчатые ин-
тервалы т до т=Т), так и непосредственно из записи, воз-
водя в квадрат и суммируя амплитуды синусов и косинусов
для каждой гармоники. Каждый из методов дает оценки
спектральной плотности для частот О, Т-1, 2Т~1, .
Полученные для концов интервала записи числа будут
крайне неровными, поэтому желательно некоторое сгла-
живание. Употребляются два метода сглаживания.
1. Затухающая автокорреляция. Автокорреляционная
функция умножается на «шаговое окно» г (т), равное нулю
для всех т>т0; в общем т0 обычно выбирается между
0,01 Т и 0,1т. Применение преобразования (А.2.2) к такой
«затухающей» функции г(т)7?(т) дает вместо S (/)
00
S"(D = Js(T)S(/ + <p)dq>. (А.2.4)
- 00
Можно считать «спектральным окном» метода функцию
s (ср). Шаговое окно и спектральное окно составляют
пару функций Фурье. Мы использовали пару, предложен-
ную Туки:
г(т) ==|[1 + COS
для т<;т0; г(т) -О для т>т0;
(А.2.5)
5(“) (А'26’
Спектральное окно — приблизительно треугольник
s(0)^=ro; s(±l) ^т0, s(±2)=0; за пределами \и\= 2 име-
ются боковые полосы порядка и~3.
Основная проблема здесь заключается в выборе наиболее
приемлемого компромисса между разрешением и статисти-
ческой надежностью. Выбирая т0 меньшим, мы расширяем
спектральное окно, уменьшая тем самым разрешение, но
улучшая надежность. Вычисленная величина S(f) является
оценкой истинного спектра, имеющей ^-распределение и
364
Приложение
число степеней свободы, вдвое превышающее ширину спект-
рального окна, измеренного в единицах Р"1.
2. Метод максимума правдоподобия х). Пусть S„T“l
будет обозначать (несглаженную) мощность n-й гармоники
записи продолжительности T(fn = пТ~{). Будем предпо-
лагать, что гармоники в частотах, соседних с/(), дают пики,
и мы желаем представить их некоторыми аналитическими
функциями. Рассмотрим резонансную реакцию линейной
системы (§ 1 гл. 10). Каждая гармоника Sn предполагается
тогда независимой переменной со средним значением
S ________d____•
Л В + (Лг-/о)2 ’
(релеевская) плотность вероятности равна
(Sj-'expm.
\ /
Полная вероятность для всех Sn будет
<Р=П(5л)-1ехр(^). (А.2.7)
п \^п /
Она становится максимальной при выборе /1, В и /,
удовлетворяющих соотношениям
^г(1п(Р)=°> ^<1п(р) = о, 3F(ln(p) = 0
или
2[х - *]= °’ 2 ^n-s„)=o, - М-$„)=о.
Степени свободы. Степени свободы задаются отноше-
нием
где А/ — действительное разрешение сглаженной записи,
а (Д/% = — предельное разрешение для записи дли-
тельности Т. Следовательно, v равно удвоенному числу
гармоник, объединенных в оценки спектральной плот-
ности. Множитель 2 появляется при комбинациях членов
!) См. [46, гл. 33 и 34].
§ 2. Спектральные плотности
365
с синусами и косинусами (пренебрегая фазами). Можно
показать, что v = 2Т7т0, где т0 — продолжительность за-
тухающей автокорреляции.
Для несглаженных спектров данная спектральная линия
имеет стандартное отклонение, равное ее среднему зна-
чению; для сглаженных спектров она уменьшается в
f(v) раз. Для больших vf(v) приближается к v“1/2. Проти-
воречие между желательностью высокого разрешения
(малое А) и высокой надежностью (больщое v) ясно видно из
формулы (А.2.8).
Взаимный спектр. Все сказанное ранее может быть
обобщено на взаимную корреляционную функцию
— (А.2.9)
двух записей и(1) и v(t). При u-~=v имеем (т) = 7?(т),
как в формуле (А.2.1); для можно определить ко-
спектр и квадратурный спектр в соответствии со следу-
ющими соотношениями:
оо
suv (/) 2 J Ruv (т) cos 2nfxdx,
— ОО
00
Suvff) = 2 J 7?U0(T)sin2n/ra!T.
—ОО
(A.2.10)
Когерентность CQ(f) и разность фаз <р(/) определяются
как
Превышение Со(/) над 2v~1/2 указывает на существен-
ную связь фаз обеих записей в полосе f ±
«Маскировка». Использование дискретных (а не не-
прерывных) спектров вносит неприятную неоднозначность.
Гармонические колебания с частотами
/, (A/)-1-/, 2(А/)-1-Д ... (А.2.11)
выглядят все одинаковыми. Если, например, частота f
несколько ниже исходной частоты (А/)-1, то ее невоз-
можно отличить от низкой частоты (А/)-1 —f; это все равно,
366
Приложение
что смотреть на маятник в стробоскоп, который не-
достаточно точно синхронизирован. Следовательно, высо-
кая частота выступает здесь в качестве двойника1) низ-
кой частоты (А/)"1 — f.
Для того чтобы избежать этого, необходимо принять
меры к тому, чтобы частоты, более высокие, чем частота
Найквиста
fN -(2А/)-1, (А.2.12)
не несли заметной мощности. Это достигается или сглажива-
нием записи перед выборкой дискретных величин, или
выборкой достаточно малых интервалов АЛ Это может
оказаться затруднительным, но избежать этого невозможно,
поскольку этот недостаток присущ всякому дискретному
анализу.
Если спектр содержит все частоты в интервале от 0 до
то все частоты-«двойники» в последовательности
(А.2.11) отсутствуют; можно доказать, что в этом случае
запись однозначно определяется величинами, взятыми в
интервалах.
Дифференцирование и разности. Пусть S (/) обознача-
ет сглаженную спектральную плотность и (f). Тогда
сглаженная спектральная плотность производных du/dt,
d2u/dt2, ... задается соответственно следующим образом:
(2nf)2S(f), (2л/)4S (/),.... (А.2.13)
Предположим теперь, что ип — величина и в момент
п/\Л. Первые разности п2 — ulf и3 — и2 могут быть запи-
саны в виде
и 4 — и — 4’^)== J u(t + х)и (г) dx, (А.2.14)
— 00
где
х (т) = <5 (т — ~ АА — у* + у •
г) Этот описательный термин был введен Туки. Явление это
было обнаружено в дифракционной спектроскопии, когда периодиче-
ские повторения главного пика приводят к наложению порядков
друг на друга. Имеется также тесная связь с синодическими при-
ливами.
Литература
367
Применение преобразования Фурье к х(т) дает
0° ОО 1
Г х (т) cos 2лМт О, С х (т) sin 2nfdx — 2 sin ~ j
J * J \ IN j
—oo —oo
где — частота Найквиста (A.2.12). Путем преобразова-
ния Фурье обоих частей выражения (А.2.14) мы находим,
что спектральные плотности для первой, второй и т. д.
разностей равны спектральной плотности u(t), умножен-
ной на
2 sin
Х/2^\12
fN Л
2 sin
(А.2.15)
Спектр производной по
(А.2.15) путем деления на
к нулю. Результат таков:
времени du/dt получим из
(А/)2 и устремлением затем AZ
(А/)“2
L \ in J
2 m
как и в (А.2.13).
Литература
1. Airy G., Change of climate, Athenaeum, 7171, 384 (I860).
2. A n d e r s s о n F., Berechnung der Variation der Tageslange
infolge der Deformation der Erde durch fluterzeugende Krafte,
Ark. Mat., Astron. Fys., 26A, 1 (1937).
3. A s s a m i E., Proc. Japan Acad., 30, 102 (1954).
4. Bakhuyzen H., Uber die Anderung der Meereshohe und ihre
Beziehung zur Polhohenschwankung, Vierteljahrschrift Astron.
Ges., Leipzig, 47, 218 (1913).
5. Bannon J., Steele L., Average water-vapour content of
the air, Meteorol. Res. Committee, London, 1075 (1957).
6. В a r r e 1 1 J., The status of hypotheses of polar wanderings,
Science, 40, 333 (1914).
7. В a r t 1 e t t M. S., An Introduction to Stochastic Processes,
Cambridge Univ. Press, 1956.
8. Bauer A., The balance of the Greenland ice sheet, J. Glac., 2,
456 (1955).
9. В a u s s a n J., La composante de Chandler dans la variation des
niveaux marins, Ann. Geophys., 7, 59 (1951).
10. В e i s e r A., The external magnetic field of the Earth, Nuovo
Cimento, Ser. X, 8, 160 (1958).
11. В el she J., Palaeomagnetic investigation of carboniferous
rocks in England and Wales, Adv. Phys., 6, 187 (1957).
368
Литература
12. Benton G., E s t о q u e M., Water-vapor transfer over the
North American continent, J. Meteorol., 11, 462 (1954).
13. В i r c h F., Bancroft D., The elasticity of glass at high
temperatures, and the vitreous basaltic substratum, Amer. J.
Sci.,240, 457 (1942).
14. Blackman R., Tukey J., The measurement of power
spectra from the point of view of the communications engineer,
Bell System Tech. J., 37, 185 (1958).
15. В 1 a s e r J., В о n a n о m i J., Comparison of an ammonia
maser with cesium atomic frequency standard, Nature, 182, 859
(1958).
16. В 1 a s e r J., De Prius J.,Comparison of astronomical time
measurements with atomic frequency standards, Nature, 182,
859 (1958).
17. Bondi H., Gold T., On the damping of the free nutation of
the Earth, Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 115, 41 (1955).
18. Bondi H., Lyttleton R., On the dynamical theory of the
rotation of the Earth, Proc. Cambridge Philos. Soc., 44, 345 (1948).
19. Bowden K., Note on wind drift in a channel in the presence
of tidal currents, Proc. Roy. Soc., A219, 426 (1953).
20. Bowden K-, Fairbairn L., Measurement of turbulent
fluctuations and Reynolds stresses in a tidal current, Proc. Roy.
Soc., A237, 422 (1956).
21. В r i d g m a n P., The Physics of High Pressures, London, G. Bell
& Sons, Ltd., 1949.
22. Brouwer D., A new discussion of the changes in the Earth’s
rate of rotation, Proc. Nat. Acad. Sci., 38, 1 (1952).
23. Brouwer D., A study of the changes in the rate of rotation
of the Earth, Astron. J., 57, 125 (1952).
24. Brouwer D., Watts C., A comparison of the results of
occultations and meridian observations of the moon, Astron. J.,
52, 169 (1942).
25. Brown E., The evidence for changes in rate of rotation of the
Earth and their geophysical consequences, with a summary and
discussion of the deviations of the moon and sun from their gra-
vitational orbits, Trans. Astron. Obs. Yale Univ., 3, 207 (1926).
26. Bullard E., The secular change in the earth’s magnetic field,
Mon. Not., Roy. Astron. Soc. Geophys. Suppl., 5, 248 (1948).
27. Bullard E., The magnetic field within the Earth, Proc. Roy.
Soc., A197, 433 (1949).
28. В u 1 1 a r d E., The origin of the Earth’s magnetic field, Observa-
tory, 70, 139 (1950).
29. В u 1 1 a r d E., Fr e e d m a n C., G e 1 1 m a n H., N i -
x о n J., The westward drift of the Earth's magnetic field, Phil.
Trans. Amer , 243, 67 (1950).
30. Burgers J., Rotational motion of a sphere subject to visco-
elastic deformation, I, II, III, Nederl. Akad. Wet. Proc., 58, 219
(1955).
31. Campbell C., Runcorn S., Magnetization of the Colum-
bia River basalts in Washington and northern Oregon, J. Geophys.
Res., 61, 449 (1956).
Литература
369
32. Сес с h i n i G., Il problema della variazione delle latitudini,
Publ. Reale Oss. Astron. Brera, Milano, 61, 7 (1928).
33. С e с c h i n i G., Le variazioni di latitudine e il movimento del
polo di rotazione terrestre, Bull. Geod., 17, 325 (1950).
34. С e с c h i n i G., Le variazioni di latitudine e il movimento del pol э
di rotazione terrestre in base alle osservazioni fatte nelle Stazioni
Internazionali di Latitudine nel biennio 1949—50, Bull. Geod.,
26, 423 (1952).
35. Chandler S., On the variation of latitude, Astron. J., 11,
83 (1891).
36. Chandler S., On the supposed secular variation of latitude,
Astron. J., 11, 109 (1891).
37. C h a n d 1 e r S., On the variation in latitude, Astron. J., 12,
17 (1892).
38. C h a p m a n S., В a r t e 1 s J., Geomagnetism, Oxford Univ.
Press, 1940.
39. C h a r n e у J., The generation of oceanic currents by wind, J.
Marine Res., 14, 477 (1955).
40. C h e v a 1 1 i e r R., L’aimantation des laves de 1’Etna et
1’orientation du champ terrestre en Sicile du XIIе au XVIIе siecle,
Ann. Phys., 4, 5 (1925).
41. C h r e e C., The equations of an isotropic elastic solid in polar
and cylindrical co-ordination, their solution and application.
Trans. Cambridge Philos. Soc., 14, 250 (1889).
42. C h r i s t i e A., The latitude variation tide, Bull. Phil. Soc.,
Washington, 13, 103 (1900).
43. С 1 e g g J., Deutsch E., Everitt C., Stubbs P.,
Some recent paleomagnetic measurements made at Imperial
College, London, Adv. Phys., 6, 216 (1957).
44. С 1 e m e n c e G., Eirst-order theory of Mars, Astron. Pap.,
Amer. Ephem. and Nau. Alm., 11, part I.
45. С о 1 b о r n e D., The diurnal tide in an ocean bounded by two
meridians, Proc. Roy. Soc., 131, 38 (1931).
46. С о m s t о с к G. C., The secular variation of latitude, Astron. J.,
12, 24 (1954).
47. Cowan R., Polar wanderings and the shifting of the atmo-
spheric mass, M. S. Thesis, Massachusetts Inst. Technol., 1950.
48. Cowell P., Lunar theory from observation, Nature, 73, 80
(1905).
49. С о w 1 i n g T., Magnetohydrodynamics, New York, Intersci. Publ.
Inc., 1957.
50. Cramer H., Mathematical Methods of Statistics, Princeton
Univ. Press, 1946.
51. С г e e г K., Irving E., Runcorn S., Geophysical
interpretations of palaeomagnetic directions from Great Britain,
Philos. Trans. Roy. Soc., A250, 144 (1957).
52. Daly R., Sea level, Proc. Nat. Acad. Sci., 6, 246 (1920).
53. Daly R., The geology of St. Helena Island, Proc. Amer. Acad.
Arts Sci., 62, 31 (1927).
54. D a n j on A., The George Darwin lecture, Roy. Astron. Soc..
Observatory, 78, 107 (1958).
13 Вращение Земли
370
Литература
55. Darwin G., On the influence of geological changes on the
Earth’s axis of rotation, Philos. Trans. Roy. Soc., A167, 271
(1887).
56. Davenport W., J r., R о о t W., An Introduction to the Theory
of Random Signals and Noise, New York, McGraw-Hill, 1958.
57. Day A., R u n с о r n S., Polar wandering; some geological,
dynamical and paleomagnetic aspects, Nature, 176, 422 (1955).
58. D e f a n t A., On the origin of internal tide waves in the open
sea, J. Marine Res., 9, 111 (1950).
59. De Sitter W., On the secular accelerations and the fluctuati-
ons of the longitudes of the moon, the sun, Mercury and Venus»
Bull. Astron. Inst. Netherlands, 4, 21 (1927).
60. Deutsch E., Radakrishnamurty C., Sahasra-
b u d h e P., Remanent magnetism of some lavas in the Deccan
Traps Philos. Mag., 3, 170 (1958).
61. Dicke R., Principle of equivalence and the weak interaction,
Rev. Mod. Phys., 29, 355 (1957).
62. Dicke R., Gravitation, an enigma, J. Washington Acad.
Sci., 48, 213 (1958).
63. Dietrich G., Die Gezeiten des Weltmeeres als geographische
Erscheinung, Z. Ges. Erdkunde (1944).
64. D i s n e у L., Tide heights along the coasts of the United
States, Proc. Amer. Soc. Civil Eng., 81, 666 (1955).
65. Do ell R., Paleomagnetic study of rocks from Grand Canyon of
the Colorado River, Nature, 176, 1167 (1955).
66. D о о d s о n A. T., Warburg H. D.. Admiralty Manual
of Tides, London, H. M. Stationery Office, 1941.
67. Dupree A., Science in the Federal Government, Harvard Univ.
Press, 1957.
68. D u T о r r A., Our Wandering Continents, Edinburgh, Oliver
& Boyd, 1937.
69. E с к a r t C., The thermodynamics of irreversible processes,
IV, The theory of elasticity and anelasticity, Phys. Rev., 73,
373 (1948).
70. E 1 s a s s e r W., The Earth’s interior and geomagnetism, Rev.
Mod. Phys., 22, 1 (1950).
71. Elsasser W., Munk W., Geomagnetic drift and the ro-
tation of the Earth, Contributions in Geopysics: In Honor of Beno
Gutenberg, Pergamon Press, 1958.
72. Elsasser W., Takeuchi H., Nonuniform rotation of the
Earth and geomagnetic drift, Trans. Amer. Geophys. Union, 36,
584 (1955).
73. Энгельс Ф., Диалектик! природы, Госполитиздit, 1959.
74. Е s s е n L., Parry J., An atomic standard of frequency and
time interval, Nature, 176, 280 (1955).
75. Essen L., Parry J., Markowitz W., H и 1 1 R.,
Variation in the speed of rotation of the Earth since June 1955,
Nature, 181, 1054 (1958).
76. Ф e д о p о в E., О влиянии на движение полюсов изменений
уровня моря» вызванных движением полюсов, ДАН СССР, 67,
647 (1949).
Литература
371
77. Finch Н., On a periodic fluctuation in the length of the day,
Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 110, 3 (1950).
78. Folgheraiter M., Sur les variations seculaires de 1’incli-
naison magnetique dans 1’antiquite, J. Phys., 8, 660 (1899).
79. Fotheringham J., The eclipse of Hipparchus, Mon. Not.
Roy. Astron. Soc., 69, 204 (1909).
80. FotheringhamJ., The secular acceleration of the Sun as
determined from Hipparchus’s equinox observations; with a note
on Ptolemy’s false equinox, Mon. Not. Astron. Soc., 78, 406 (1918).
81. FotheringhamJ., Secular accelerations of sun and moon
as determined from ancient lunar and solar eclipses, occultations,
and equinox observations, Mon. Not. Roy. Asront. Soc., 80, 578
(1920).
82. Fotheringham J., Longbottom G., The secular
acceleration of the moon’s mean motion, as determined
from occultations in the Almagest, Mon. Not. Roy. Astron.
Soc., 75, 377 (1915).
83. Geologic Diving Consultants, Oceanographic Studies for Se-
wage Outfall, City of San Diego, California, 1956.
84. Ginzel F. K-, Handbuch der Mathematischen und Techni-
schen Chronologie, Leipzig, J. C. Henrichs’sche Buchhandlung,
1906.
85. G 1 a u e r t H., Rotation of the Earth, Mon. Not. Roy. Astron.
Soc., 75, 489 (1915).
86. G о g u e 1 J., Les deplacements seculaires du pole, Ann. Geo-
phys., 6, 139 (1950).
87. Gold T., Instability of the earth’s axis of rotation, Nature,
175, 526 (1955).
88. G о 1 d s b г о u g h G., The dynamical theory of the tides in
a polar ocean, Proc. London Math. Soc., 14, 31 (1913).
89. Goldsbrough G., The dynamical theory of the tides in
a zonal ocean, Proc. London Math. Soc., 14, 207 (1914).
90. G о n d о 1 a t s c h F., Erdrotation, Mondbewegung und das
Zeitproblem der Astronomie, Veroff. Astron. Rechen-Inst.,
Heidelberg, No. 5, 1953.
91. Gr a h a m J., The stability and significance of magnetism in
sedimentary rocks, J. Geophys. Res., 54, 131 (1949).
92. Graham J., Evidence of polar shift since Triassic time,
J. Geophys. Res., 60, 329 (1955).
93. Graham J., Buddington А., В a 1 s 1 e у J., Stress-
induced magnetizations of some rocks with analyzed magnetic
minerals, J. Geophys. Res., 62, 465 (1957).
94. Greaves W., S у m m s L., The short-period erratics of free
pendulum and quartz clocks, Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 103,
196 (1943).
95. Groves G., Day to day variation of sea level, Meteorol.
Monographs, 2, 32 (1957).
96. Groves G., Munk W., A note on tidal friction, J. Mari-
ne Res. (в печати).
97. G u t e n b e r g B., Changes in sea level, postglacial uplift,
13*
372
Литература
and mobility of the Eearth’s interior, Bull. Geol. Soc. Amer.,
52, 721 (1941).
98. Gutenberg B., Internal Constitution of the Earth, New
York, Dover, 1951.
99. Gutenberg B., Damping of the Earth’s free nutation, Na-
ture, 177, 887 (1956).
100. Hassan E. M., Fluctuations in the atmospheric inertia:
1873—1950, Meteorol. Monographs, 1960.
101. Haubrich R., Munk W., The pole tide, J. Geophys.
Res., 64, 2373 (1959).
102. H a u r w i t z B., The geographical distribution of the solar
semidiurnal pressure oscillation, Meteorol. Pap., 2, No. 5, New
York, Univ., College Eng. 1956.
103. Heiskanen W., Uber den Einfluss der Gezeiten auf die
sakulare Acceleration des Mondes, Ann. Acad. Sci. Fenn., A18,
1 (1921).
104. Heiskanen W., The Columbus geoid, Trans. Amer. Geo-
phys. Union, 38, 841 (1957).
105. Heiskanen W., Vening Meinesz F., The Earth and
Its Gravity Field, New York, McGraw-Hill, 1958.
106. H e 1 m e r t F., Neue Formein fiir den Verlauf der Schwerk-
raft im Meeresniveau beim Festlande, Sitz. Konigl. Preuss.
Akad. Wiss., 676 (1915).
107. Hess G., The annual variation of the length of the day as
evidence relating to a theory of gravity, Senior Thesis, Depart.
Phys., Princeton Univ., 1958.
108. Holmberg E., A suggested explanation of the present
value of the velocity of rotation of the Earth, Mon. Not. Roy.
Astron. Soc., Geophys. Suppl., 6, 325 (1952).
109. Hosoyama K., On secular change of latitude, Trans. Amer.
Geophys. Union, 33, 345 (1952).
110. Hoyle F., Frontiers of Astronomy, New York, Harper
Brothers, 1955.
111. H u a u x A., Sur des deplacements concomitants de 1’axe
instantane de rotation et de Гахе principal instantane d’inertie
de la terre, Bull. Acad. Roy. Belg., Class. Sci., 37, 53 (1951).
112. H у 1 с к a m a T., The water balance of the earth, Drexel
Inst. Technol., Lab. Climatol. Publ. Climatol., 9, 57 (1956).
113. Inglis D., Shifting of the Earth’s axis of rotation, Rev.
Mod. Phys., 29, 9 (1957).
114. I r v i n g E., Green R., Polar movement relative to Austra-
lia, Roy.-Astron. Soc. Geophys. J., 1, 64 (1958).
115. Irving E., R u n с о r n S., Analysis of the palaeomagnetism
of the torridonian sandstone series of northwest Scotland, Phi-
los. Trans. Roy. Soc., A250, 83 (1957).
116. J a r d e t z к у W., On the rotation of the Earth during its
evolution, Trans. Amer. Geophys. Union, 30, 797 (1949).
117. Jeffreys H., The viscosity of Earth, Mon. Not. Roy.
Astron. Soc., 75, 648 (1915).
118. Jeffreys H., Causes contributory to the annual variation
of latitude, Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 76, 499 (1916).
Литература
373
119. J е f f г е у s Н., The viscosity of the Earth, Mon. Not. Roy.
Asrton. Soc., 78, 116 (1917).
120. Jeffreys H., Tidal friction’in shallow seas, Philos. Trans.
Roy. Soc., A221, 239 (1920).
121. J effreys H., On the dynamics of geostrophic winds,
Quart. J. Roy. Meteorol. Soc., 52, 85 (1926).
122. J effreys H., Possible tidal effects on accurate timekeeping,
Mon. Not. Roy. Astron. Soc., Geophys. Suppl., 2, 56 (1928).
123. J effreys H., The formation of cyclones in the general
circulation, Proc. Intern. Meteorol. Assoc., Lisbon, 219, 1933.
124. J effreys H., The variation of latitude, Mon. Not. Roy.
Astron. Soc., 100, 139 (1940).
125. J effreys H., Dynamic effects of a liquid core, Mon. Not.,
Roy. Astron. Soc., 109, 670 (1949).
126. J effreys H., The Earth, Cambridge Univ. Press, 1952.
(Русский перевод 4 изд.: Г. Джеффрис, Земля, ее происхож-
дение, история и строение, М., ИЛ, 1960.)
127. J effreys Н., The damping of the variation of latitude,
Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 116, 26 (1956).
128. J effreys H., A modification of Lomnitz’s law of creep in
rocks, Geophys. J. Roy. Astron. Soc., 1, 92 (1958).
129. Jeffreys H., Review, J. Fluid Meeh., 4, 335 (1958).
130. Jeffreys H., Jeffreys B., Methods of Mathematical
Physics, Cambridge Univ. Press, 1950.
131. Jeffreys H., V i c e n t e R. The theory of nutation and the
variation of latitude, Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 117, 142(1957).
132. J effreys H., Vicente R., The theory of nutation and
the variation of latitude, The Roche model core, Mon. Not. Roy.
Astron. Soc., 117, 162 (1957).
133. Jenkinson A., Average vector wind distribution of the
upper air in temperate and tropical latitudes, Meteorol. Mag.,
84, 140 (1955).
134. J о h n s о n E., Murphy T., Torreson O., Pre-history
of the Earth’s mgnetic field, J. Terr. Mag., 53, 349 (1948).
135. Jones, Sir H. Spencer, Ann. Cape Obs., 13, Part 3
(1932). ‘
136. Jones, Sir H. Spencer, The tidal effect on the varia-
tion of latitude at Greenwich, Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 99,
196 (1939).
137. Jones, Sir H. Spencer, The rotation of the Earth, and
the secular accelerations of the sun, moon and plan ts, Mon.
Not. Roy. Astron. Soc., 99, 541 (1939).
138. J ones, Sir H. Spencer, The rotation of the earth, Handb.
Phys., 47, 1 (1956).
139. Klein F., Sommerfeld A., Theorie des Kreisels, Heft
III, Leipzig, Teubner, 1903.
140. К n e i s s 1 M., Nachweis systematischer Fehler beim Feinni-
vellement, Abh. Bayer. Akad. Wiss., Mat.-Naturw. Klasse,
Neue Folge, H. 68 (1955).
141. KnopoffL., Macdonald G., Attenuation of small ampli-
tude stress waves in solids, Rev. Mod. Phys., 30, 1178 (1958).
374
Литература
142. Kuenen Р., Marine Geology, New York, John Wiley & Sons,
Inc., 1950.
143. Kuiper G. (editor), The Earth as a Planet, Univ. Chicago
Press, 1954.
144. Kuiper H., Poolbewegingen tengevolge van poolvluchtkracht,
Doctoral Thesis, Univ, Utrecht, N. Hollandsche Uitg. Mij,
Amsterdam, 1943.
145. Куликов К- А., Движение полюсов Земли и изменение
широты, Успехи астроном, наук, 5, 111 (1950).
146. Lamb Н., Hydrodynamics, Cambridge Univ. Press, 1932.
147. Lambert W., The interpretation of apparent changes in
mean latitude, Astron. J., 34, 103 (1922).
148. Lambert W., The importance from a geophysical point
of view of a knowledge of the tides in the open sea, Bull. 11,
Sect. Oceanogr. Conseil Intern. Rech., Union Geodes, et Geo-
phys. Intern., 52 (1928).
149. Lambert W., Chapt. 5, Earth tides: Chapt. 6, Tidal fricti-
on, Bull. 78, Nat. Res. Council, 1931.
150. Lambert W., Schlesinger F., Brown E., The
variation of latitude, Bull. 78, Nat. Res; Council, 16, 245 (1931).
151. Lamp J., Uber Niveauschwankungen der Ozeane als eine
mogliche Ursache der Veranderlichkeit der Polhohe, Astron,
Nachr., 126, 223 (1891).
152. Landsberg H., Uber Zusammenhange von Tieferdbeben
mit anderen geophysikalischen Erscheinungen, Gerlands Beitr.
Ceophys. V. Conrad-Wien, 40, 238 (1933).
153. Landsberg H., Note on deep-focus earthquakes, pressure
changes, and pole motion, Geofis. Рига e Appl., 12, 177 (1948).
154. Larmor J., On the period of the earth’s free Eulerian
precession, Proc. Cambridge Philos. Soc., 9, 183 (1896).
155. Larmor J., The relation of the Earth’s free precessional
nutation to its resistance against tidal deformation, Proc. Rov.
Soc., A82, 89 (1909).
156. L a w f о r d A., V e 1 e у V., Variations in the lenght of day,
Nature, 167, 684 (1951).
157. Lawrence D., Glacier fluctuation for six centuries in
south-eastern Alaska and its relation to solar activity, Geogr.
Rev., 40, 191 (1950).
158. L e с a r M., Sorenson J., Eckels A., A determina-
tion of the coefficient J of the second harmonic in the Earth’s
gravitational potential from the orbit of satellite 1958 p2, J. Geop-
hys. Res. 64, 209 (1959).
159. Ledersteger K., Numerische Untersuchungen fiber die
Perioden der Polbewegung, Oster. Z. Vermessungswesen, Son-
derheft, 7, 1 (1949).
160. L i s i t z i n E., P a t t и 1 1 о J., The principal factors influ-
encing the seasonal variation in sea level, J. Geophys. Res., 1960.
161. Loewe F., Etudes de Glaciologie en Terre Adelie, 1951—52,
Act. Sci. et Industr. 1247, Exp. Pol. Fran., Paris, Hermann &
Cie, 1956.
Литер ат ура
375
162. L о m n i t z С., Creep measurements in igneous rocks, J. Geol.,
64, 473 (1956).
163. L о m ni t z C., Linear dissipation in solids, J. Appl. Phys.
28, 201 (1957).
164. Longue t-H i g g i n s M., On the intervals between succes-
sive zeros of a random function, Proc. Roy. Soc., A246, 99 (1958).
165. Love A., Note on the representation of the Earth’s surface by
means of spherical harmonics of the first 3 degrees,Proc. Roy.
Soc., A80, 553 (1908).
166. Love A.,A Treatise on the Mathematical Theory of Elastici-
ty, New York, Dover Publications, 1927.
167. Lyons H., Spectral lines as frequency standards, Ann. New
York Acad. Sci., 55, 831 (1952).
168. L у t t 1 e t о n R. A., The Stability of Rotating Liquid Masses,
Cambridge Univ. Press, 1953.
169. M a e d a K., Distortion of the magnetic field in the outer atmo-
sphere due to the rotation of the Earth, Ann. Geophys., 14, 154
(1958).
170. Markowitz W., The free polar motion, 1916,0—1940,0,
Astron. J., 50, 17 (1942).
171. Markowitz W., Redeterminations of Latitude and
Longitude, Trans. Amer. Geophys. Union, 26, 197 (1945).
172. Markowi tz W., Photographic determination of the moon’s
position, and application to the measure, Astron. J.,59,69 (1954).
173. Markowitz W., The annual variation in the rotation of the
Earth, 1951—4, Astron. J., 60, 171 (1955).
174. Markowitz W., Variations in rotation of the Earth, re-
sults obtained with the dual-rate moon camera and photographic
zenith tubes, Astron. J., 64, 106 (1959).
175. Mason W., Physical Acoustics and the Properties of Solids,
New York, Van Nostrand, 1958.
176. Massey H., Boyd R., The Upper Atmosphere, London,
Hutchinson, 1958.
177. Максимов И., Полярный прилив в земном океане, ДАН
СССР, 108, 799 (1956).
178. McDonald К., Penetration of the geomagnetic secular
field through a mantle with variable conductivity, J. Geophys.
Res., 62, 117 (1957).
179. McLellan H., Energy considerations in the Bay of Fundy
system, J. Fisheries Res. Board of Canada, 15, 115 (1958).
180. Meinardus W., Die bathygraphische Kurve des Tiefseebo-
dens und die hyposographische Kurve der Erdkruste, Ann. Hydr.
Marit. MeteoroL, 70, 225 (1942).
181. Melchior P., On the motions of the instantaneous axis of
rotation relative to the earth (Contribution a I’etude des mouve-
ments de 1’axe instantane de rotation par rapport au Globe ter-
restre), Obs. Roy. Belgique, Monogr. No. 3, 1954.
182. Melchior P., Deplacements seculaires du pole moyen et
catalogues d’etoiles, Obs. Roy. Belgique, Comm. 79 (1955).
183. Melchior P., Latitude variation, Progress Phys.
Chem. Earth, 2, Pergamon Press, 1957.
376
Литература
184. Merc an t on P., Magnetic inclination in prehistoric times,
Compt. Rend., 143, 139 (1906).
185. Merson R., К i n g-H e 1 e D., Use of artificial satelli-
tes to explore the earth’s gravitational field: results from Sputnik
2 (1957), Nature, 182, 640 (1958).
186. M i 1 a n к о v i t c h M., Der Mechanismus der Polverlage-
rungen und die daraus sich ergebenden Polbahnkurven, Gerlands
Beitr. Geophys., 42, 70 (1934).
187. Mintz Y., The geostrophic poleward flux of angular mo-
mentum, Tellus, 3, 195 (1951).
188. Mintz Y., The observed zonal circulation of the atmosphere,
Bull. Amer. Meteorol. Soc., 35, 208 (1954).
189. Mintz Y., Munk W., The effect of winds and tides on the
length of day, Tellus, 3, 117 (1951).
190. Mintz Y., Munk W., The effect of winds and bodily tides
on the annual variation in the length of day, Mon. Not. Roy.
Astron. Soc., Geophys. Suppl., 6, 566 (T954).
191. M u n к W., On the wind-driven ocean circulation, J. Meteo-
rol., 7, 79 (1950).
192. Munk W., Geophysical discussion, Roy. Astron. Soc., The
Observatory, 76, 56 (1956).
193. Munk W., Remarks concerning the present position of the
pole, Geophysica, 6, 335 (1958).
194. Munk W., Groves G., The effect of winds and ocean cur-
rents on the annual variation in latitude, J. Meteorol., 9, 385
(1952).
195. Munk W., Hassan E. M., Atmospheric excitation of the
Earth’s wobble, Geophys. J., 4, Jeffreys Jubilee number (1961).
196. Munk W., Haubrich R., The annual pole tide, Nature,
182, 42 (1958).
197. Munk W., MacDonald G., Continentality and the
gravitational field of the Earth, J. Geophys. Res., 1960.
198. Munk W., Miller R., Variation in the Earth’s angular
velocity resulting from fluctuations in atmospheric and oceanic
circulation, Tellus,. 2, 93 (1950).
199. Munk W., R e v e 1 1 e R., On the geophysical interpreta-
tion of irregularities in the rotation of the earth, Mon. Not. Roy.
Astron. Soc., Geophys. Suppl., 6, 331 (1952).
200. Munk W., Revelle R., Sea level and the rotation of
the earth, Amer. J. Sci., 250, 829 (1952).
201. Murray C., The secular acceleration of the moon, and the
lunar tidal couple, Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 117, 478 (1957).
202. N a d a i A., Theory of Flow and Fracture of Solids, 2nd ed.,
New York, McGraw-Hill, 1950.
203. Nagata T., Rock Magnetism, Tokyo, Maruzen, 1953.
204. Neugebauer O., The Exact Sciences in Antiquity, 2nd ed.,
Brown Univ. Press, 1957.
205. Newcomb S., Remarks on Mr. Chandler’s law of variation
of terrestrial latitudes, Astron. J., 12, 49 (1892).
Литература
377
206. Newcomb S., Fluctuations in the Moon’s motion, Mon.Not.
Roy. Astron. Soc., 69, 164 (1909).
207. Nishimura E., On earth tides, Trans. Amer. Geophys.
Union, 31, 357 (1950).
208. N о m i t s u T., Note on Dr. Rosenhead’s papers, «The annual
variation of latitude» and «Tides on a two-layer Earth», Mem.
College Sci., Kyoto Imp. Univ., A-15, 123 (1932).
209. О ’ К e e f e J., Eckels A., Squires K., The gravi-
tational field of the Earth, Astron. J., 64, 245 (1959).
210. Парийский H., Б e p л я н д О., Воздействие сезон-
ных изменений атмосферной циркуляции на скорость вращения
Земли, Труды института физики Земли АН СССР, 19, 103 (1953).
211. Pattullo J., Munk W., RevelleR., Strong E,
The seasonal oscillation in sea level, J. Marine Res., 14, 88 (1955).
212. Pekeris C., Atmospheric oscillations, Proc. Roy. Soc.,
A158, 650 (1937).
213. Pekeris C., The propagation of a pulse in the atmosphere,
Proc. Roy. Soc., A171, 434 (1939).
214. Poincare H., Sur la precession des corps deformables,
Bull. Astron., 27, 321 (1910).
215. Pollak L., Das Periodogramm der Polbewegung, Gerlands
Beitr. Geophys., 16, 108 (1927).
216. Prey A., Darstellung der Hohen- und Tiefenverhaltnisse der
Erde, Abh. Konig. Ges. Wiss., Cottingen, Math.-Phys. Klasse,
neue Folge, 11 (1922).
217. Proudman J., Limiting forms of long period tides, Proc.
London Math. Soc., 13, 273 (1913).
218. Proudman J., On the dynamical equations of the tides,
Proc. London Math. Soc., 18, 1 (1916).
219. P r z b у 1 1 о k E., Veroff. Preuss. Geodas. Inst., N. F., 80,
(1919).
220. P r z b у 1 1 о k E., Uber die Ursachen des nichtperiodischen
Teiles der Polhohenschwankungen, Schriften Konigsb. Gelehrten
Ges., 3, 43 (1927).
221. Quenby J., Webber W., Cosmic ray cut-off rigidities
and the Earth’s magnetic field, Philos. Mag., 8, 90 (1959).
222. R e i c h e 1 E., Zum Dampfgehalt und Wasserkbreislauf der
Atmosphare, Met. Rundschau, 2, 206 (1949).
223. Reid J., Observations of internal tides in October 1950,
Trans. Amer. Geophys. Union, 37, 278 (1956).
224. R i k i t a k e T., Growth of the magnetic field of the self-exci-
ting dynamo in the earth’s core, Tokyo Univ. Earthquake Res.
Inst. Bull., 33, 571 (1955).
225. Riley G., The carbon metabolism and photosynthetic effici-
ency of the earth as a whole, Amer. Sci., 32, 129 (1944).
226. Rosenhead L., The annual variation of latitude. Mon. Not.
Roy. Astron. Soc., Geophys. Suppl., 2, 140 (1929).
227. Rothwell P., Cosmic rays in the Earth’s magnetic field
Philos. Mag., 3, 961 (1958).
228. Routh E., Dynamics of a System of Rigid Bodies, Part II,
New York, Macmillan; Republ. Dover Publ., 1955.
378
Литература
229. R udnick P., The detection of weak signals by correlation
t • methods, J. Appl. Phys., 24, 128 (1953).
230. R udnick P., The spectrum of the variation in latitude,
Trans. Amer. Geophys. Union, 37, 137 (1956).
231. R uncor nS., The Farth’s core, Trans. Amer. Geophys. Union,
35, 49 (1954).
232. Runcorn S., Rock magnetism, geophysical aspects, Philos.
Mag. Adv. Phys., 4, 244 (1955).
233. RuncornS., The permanent magnetization of rocks, Ende-
avour, 14, 152 (1955).
234. Runcorn S., The Earth’s magnetism, Sci. Amer., 193, 152
(1955).
235. RuncornS., The present status of theories of the main geo-
magnetic field, Geol. en Mijnbouw, 18, 347 (1956).
236. RuncornS., Convection currents in the mantle and recent
developments in geophysics, Verh. Konink. Nederl.Geol.-Mijn-
bouwk. Gen., Geol. Ser., 18 (Gedenkboek F. A. Vening Meinesz)
(1957).
237. R u t t e n M., von Fverdingen R., Zijderveld J., Paleomagnetism
in the Permian of the Oslo Graven (Narway) and of the Esterel
(France), Geol. en Mijnbouw, 19, 193 (1957).
238. Schei be A., AdelsbergerU., Die Gangleistungen der
PTR-Quarzuhren und die jahrliche Schwankung der astronomischen
Tageslange, Z. Phys., 127, 416 (1950).
239. Scheidegger A., Principles of Geodynamics, Berlin,
Springer, 1958.
240. Schwerdtfeger W., The seasonal variation of the strength
of the southern circumpolar vortex, 1960.
241. Schwerdtfeger W., Prohaska F., Der Jahresging
des Luftdruckes auf der Erde und seine halbjahrige Komponente,
Meteorol. Rundschau, 9, 33 (1956).
242. SchweydarW., Die Bewegung der Erdachse der elastischen
Erde in Erdkorper und im Raume, Astron. Nachr., 203, 103
(1916).
243. Schweydar W., Zur Erklarung der Bewegung der Rotati-
onspole der Erde, Preuss. Akad. Wiss. Ber., 20, 357 (1919).
244. Sekiguchi N., On a character about the secular motion
of the pole of the earth. Publ. Astron. Soc. Japan, 5, 109 (1954).
245. S e v a r 1 i с B., Stir le probleme de la variation des latitudes
et du mouvement du pole instantane de rotation a la surface de
la Terre, Beograd, 1957.
246. Shepard F.,RevelleR., Dietz R., Ocean-bottom cur-
rents off the California coast, Science, 89, 488 (1939).
247. Shepard F., Suess H., Rate of postglacial rise of sea
level, Science, 123, 1082 (1956).
248. Siebert M., Zur Theorie der thermischen Erregung gezei-
tenartiger Schwingungen der Erdatmosphare, Naturwiss., 41,
446 (1954).
249. SigurgeirssonT., On the direction of magnetization in
Icelandic basalts, Adv. Phys., 6 240 (1957).
Литература
379
250. Simpson G., The twelve-hourly barometer oscillation,
’Quart. J. Roy. Meteorol. Soc., 44, 1 (1918).
251. S i m p s о n J., Fenton K., Katzman J., R о s e D.,
Effective geomagnetic equator for cosmic radiation, Phys. Rev.,
102, 1648 (1956).
252. Smith H., Quartz clocks of the Greenwich time service, Mon.
Not. Roy. Astron. Soc., 113, 67 (1953).
253. Smith H., Tucker R., The annual fluctuation in the
rate of rotation of the Earth, Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 113,
251 (1953).
254. Spit al er R., Die periodischen Luftmassenverschiebungen und
ihr Einfluss auf die Langenanderungen der Erdachse (Breiten-
schwankungen), Petermanns Mitt., Erganzungsband, 29, 137 (1901).
255. Starr V., An essay on the general circulation of the Earth’s
atmosphere, J. Meteorol., 5, 39 (1948).
256. Starr V., PeixotoJ., On the global balance of water va-
por and the hydrology of deserts, Tellus, 10, 188 (1958).
257. Starr V., PeixotoJ., Livadas G., On the meridio-
nal transport of water vapor in the northern hemisphere, Geofis.
Рига e Appl., 39, 174 (1958).
258. S t e h 1 i F., Possible Permian climatic zonation and its impli-
cations, Amer, J. Sci., 255, 607 (1957).
259. Stevenson R., T i b by R., G о r s 1 i n e D., The ocea-
nography of Santa Monica Bay, California, Report to Hyperion
Engineers, Inc. by Geol. Depart., Univ. Calif., 1956.
260. Stommel H., A survey of ocean current theory, Deep-Sea
Res., 4, 149 (1957).
261. S t о n e 1 e у R., The shrinkage of the Earth’s crust through
diminishing rotation, Mon. Not., Roy. Astron. Soc., Geophys.
Suppl., 1, 149 (1924).
262. Storey J., Fenton K., McCracken K., Effective
magnetic meridian for cosmic rays, Nature, 181, 34 (1958).
263. S t о у к о N., Sur I’irregularite de la rotation de la terre, Compt.
Rend. Seances Acad. Sci., 203, 29 (1936).
264. S t о у к о N., Sur la periodicite dans I’irregularite de la rota-
tion de la terre, Compt. Rend. Seances Acad. Sci., 205, 79 (1937).
265. S t о у к о N., Sur la variation saisonniere de la rotation de
la terre, Compt. Rend. Seances Acad. Sci., 230. 514 (1950).
266. S t о у к о N., La variation de la vitesse de rotation de la
terre, Bull. Astron., 15, 16 (1951).
267. Street R., Dissipation of energy in tides, Proc. Roy. Soc.,
A93, 349 (1917).
268. Struve O., The variation of latitude, Sky and Telescope,
11, 109, 142 (1952).
269. Sverdrup H., J о h n s о n M., Fleming R., The
Oceans, New York, Prentice-Hall, 1946.
270. Swallow J., A neutral-buoyancy float for measuring deep
currents, Deep-Sea Res., 3, 74 (1955).
271. Takeuchi H.,On the Earth tide of the compressible Earth
• of variable density and elasticity, Trans. Amer. Geophys. Union,
31, 651 (1950).
380
Литература
272. Takeuchi Н., On the Earth tide, J. Faculty Sci., Univ.
Tokyo, Sect. II, 7 (1951).
273. T а у 1 о r G. I., Tidal friction in the Irish Sea, Philos. Trans.
Rcy. Soc., A220, 1 (1919).
274. TaylorG. I., Waves and tides in the atmosphere, Proc. Roy.
Soc., A, 126, 169 (1929).
275. T h e 1 1 i e r E., Sur la direction du champ magnetique ter-
restre retrouvee sur des parois des fours des epoques punic et
romaine, a Carthage, Compt. Rend., 233, 1476 (1951).
276. Thomson Sir W., Presidential Address, British Associa-
tion, Repr. in Math, and Phys. Pap., 3, Cambridge Univ. Press,
1876.
277. Thomson Sir W., On the thermodynamic acceleration of
the Earth’s rotation, Proc. Roy. Soc. Edinb., 11, 396; см. также
Collected Works III, 341 (1882).
278. Thomson Sir W., Tait P., Treatise on Natural Philo-
sophy, Cambridge, Vol. 1, part 1, 1879.
279. Thomson Sir W., Tait P., Treatise on Natural Phi-
losophy, Cambridge, Vol. 1, part 2, 1883.
280. ThorarinssonS., Present glacier shrinkage, and eustatic
changes of sea level, Geogr. Ann., 22, 131 (1940).
281. ThornthwaiteC., An approach toward a rational clas-
sification of climate, Geogr. Rev., 38, 55 (1948).
282. TisserandF., Traite de Mecanique Celeste, Vol. II, Paris,
Gauthier Villars, 1891.
283. T о w n e s C., Atomic clocks and frequency stabilization, J.
Appl. Phys., 22, 1365 (1951).
284. Urey H., The Planets, Their Origin and Development, New
Haven, Yale Univ. Press, 1952.
285. Van den DungenF., CoxJ., van MieghemJ.,
Sur les fluctuations de period annuelle de la rotation de la terre,
Bull. Acad., Roy. Belg., Classe Sci., 35, 642 (1949).
286. Van den DungenF., Cox J., van MieghemJ.,
Sur les fluctuations saisonnieres de la rotation du globe terrest-
re, Bull. Acad. Roy. Belg., Classe Sci., 36, 388 (1950).
287. Verne J., Les Voyages Extraordinaires: Sans Desus Des-
sous, Paris, J. Hetzel et Cie, 1889 (Русский перевод: Ж. Верн,
Собр. соч., т. 10. Детгиз, 1956.)
288. V е г о n i s G., S t о m m е 1 Н., The action of variable wind
stresses on a stratified ocean, J. Marine Res., 15, 43 (1956).
289. V e s t i n e E., On variations of the geomagnetic field, fluid
motions, and the rate of the Earth’s rotation, Proc. Nat. Acad.
Sci., 38, 1030 (1952).
290. V e s t i n e E., On variations of the geomagnetic field, fluid
motions and the rate of the Earth’s rotation, J. Geophys. Res.,
58, 127 (1953).
291. V e s t i n e E., Discussion in symposium on the Earth’s core,
Trans. Amer. Geophys. Union, 35, 63 (1954).
292. Vestine E., Laporte L., Lange L, Cooper G.,
Hendrix W., Description of the Earth’s main magnetic
Литература
381
field and its secular change, 1905—1945, Washington, D. C.,
Carnegie Inst. Publ., 785, 1947.
293. V о 1 t e г г a V., Sulla teoria dei movimenti del polo-ter-
restre, Astron. Nachr., 138, 33 (1895).
294. Von OppolzerT., Traite de la determination des orbites
des cometes et des planetes, Vol. I, Paris, Gauthier Villars,
1886.
295. Walker A., Y oungA., The analysis of the observations of
the variation of latitude, Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 115,
443 (1955).
296. Walker A., Young A., Further results on the analysis
of the variation of latitude, Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 117,
119 (1957).
297. W a n a c h B., Die Chandlersche und die Newcombsche Periode
der Polbewegung, Zentralbureau Intern. Erdmessung, 34, 23
(1919).
298. Wegener A., Die Entstehung der Kontinente und Ozeane,
Petermanns Mitt., Erganzungsband, 58, 185, 253, 305 (1912).
299. Wegener A., The Origin of Continents and Oceans, New
York, E. P. Dutton & Co, 1924.
300. Wexler H., Some aspects of Antarctic geophysics, Tellus, 10,
76 (1958).
301. Wilkes M., Oscillations of the Earth’s Atmosphere, Cam-
bridge Univ. Press, 1949.
302. W о о 1 a r d E., Theory of the rotation of the earth around its
center of mass, Astron. Pap., Amer. Ephem. and Nau. Alm.,
15, part I (1953).
303. Woolard E., Inequalities in mean solar time from tidal
variations in the rotation of the earth, Astron, J., 64, 140 (1959).
304. W orzelJ., ShurbetG., Gravity interpretations from stan-
dard oceanic and continental section, Geol. Soc. Amer. Spec.
Pap., 62, 87 (1955).
305. Young A., The effect of the movement of surface masses
on the rotation of the earth, Mon. Not., Roy. Astron. Soc., Geo-
phys. Suppl., 6, 482 (1953).
306. Zacharias J., Y atesJ., Haun R., An atomic frequen-
cy standard, Proc. Inst. Radio Eng., 43, 364 (1955).
307. Z.euner F., Dating the past;-an introduction to geochronolo-
gy, London, Methuen, 1946.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию......................... 5
Предисловие ........................................... 9
Обозначения .......................................... 13
Глава 1. О содержании книги............................19
Глава 2. Прецессия, нутация и движение полюсов . . 23
§ 1. Прецессия и движение полюсов.................23
§2. Причины прецессии и вынужденной нутации .... 25
§ 3. Движение полюсов и продолжительность суток . . 26
Глава 3. Основные динамические принципы ...... 28
§ 1. Основные уравнения ..........................28
§ 2. Системы отсчета ........................... 29
§ 3. Дальнейшее исследование уравнения Лиувилля . . 32
Глава 4. Деформации....................................35
§ 1. Напряжение и деформация......................36
§ 2. Энергия и устойчивость.......................40
§ 3. Обобщение функций ....................... . 43
Глава 5. Числа Лява и связанные с ними коэффициенты . 45
§ 1. Числа Лява /?, k и I ...................... 46
§ 2. Деформация вследствие вращения...............47
§ 3. Вековое число Лява...........................48
§ 4. Числа Лява для модели жидкой Земли...........49
§ 5. Эффективно-приливные числа Лява..............50
§ 6. «Эквивалентная» Земля........................52
§ 7. Числа Лява n-го порядка......................53
§ 8. Деформации от нагрузки и коэффициенты hf, kf . . 53
§ 9. Деформации от нагрузки 2-го порядка..........55
§ 10. Модель жидкой Земли с учетом поверхностного
натяжения ...................................... 57
§ 11. Операторы Лява и комплексные числа Лява . . 58
§ 12. Дальнейшее развитие идей этой главы .... 59
Глава 6. Решения приближенного уравнения Лиувилля . 64
§ 1. Возмущения ..................................64
§ 2. Свободные колебания .........................65
§ 3. Вынужденные колебания .......................67
§ 4. Трансформирующая функция .................. 69
§ 5. Геометрическая интерпретация ............ . 71
§ 6. Качания......................................73
§ 7. Решения для различных возбуждающих функций . 74
§ 8. Возбуждающая функция . ......................80
Оглавление
383
§ 9. Несколько идеализированных примеров...............85
Глава 7. Наблюдения широты............................... 89
§ 1. Исторический обзор ...............................89
§ 2. Методы наблюдений............................... 93
§ 3. Методы редукций ................................ 96
§ 4. Приливные возмущения широты ................. . 99
§ 5. Общие итоги наблюдений......................
Глава 8. Наблюдения продолжительности суток . . .110
§ 1. История вопроса .................................111
§ 2. Методы наблюдений ...............................113
§ 3. Приливные возмущения продолжительности суток . 121
Г л а в а 9. Сезонные и другие короткопериодические вариации 124
§ 1. Данные астрономических наблюдений................124
§ 2. Приливы .........................................132
§ 3. Обратная барометрическая задача .................136
§ 4. Геострофическое и негсострофическое движения . 140
§ 5. Распределение воздуха и воды.....................142
§ 6. Ветры и течения .................................162
§ 7. Метод момента ................................. 168
§ 8. Обсуждение сезонных колебаний....................169
§ 9. Непрерывный спектр ............................ 184
Глава 10. Чандлеровское колебание полюсов.................188
§ 1. Данные астрономических наблюдений...........188
§ 2. Концепция мгновенного чандлеровского периода . . 195
§ 3. Эффективно-приливные жесткость и вязкость . . . 198
§ 4. Полярный прилив и числа Лява................200
§ 5. Эллиптичность чандлеровского колебания .... 209
§ 6. Возбуждение колебания ...........................209
§ 7. Диссипация ......................................213
§ 8. Число Лява k ....................................221
§ 9. Заключение ......................................222
Глава 11. Вековые вариации ...............................224
§ 1. Астрономические наблюдения колебаний полюса 224
§ 2. Современные наблюдения продолжительности суток 227
§ 3. Античные затмения ...............................236
§ 4. Спектры современных наблюдений...................242
§ 5. Точки поворота ..................................245
§ 6. Диссипация приливной энергии .................. 250’
§ 7. Земные приливы...................................262
§ 8. Океанские приливы ...............................264
§ 9. Атмосферные приливы . ......................... 279
§ 10. Межпланетный момент ............................286
§11. Инерция ........................................291
§ 12. Ядро ...........................................300
§ 13. Итоги ..........................................308
Глава 12. Геологические вариации .........................312
§ 1. Исторические замечания ..........................312
§ 2. Палеомагнитные данные ...........................314
§ 3. Палеонтологические и палеоклиматические данные 323
§ 4. Палеоветры ......................................326
384
Оглавление
§ 5. Возбуждающая функция........................327
§ 6. Движение полюса Земли как тела Максвелла;
пример ..........................................330
§ 7. Современное положение полюса................342
§ 8. Конечное сопротивление .....................347
§ 9. «Правила игры» для смещения континентов и движе-
ния полюса.......................................351
§ 10. Итоги .....................................353
Приложение ..........................................355
§ 1. Океанская функция . ........................355
§ 2. Спектральные плотности......................362
Литература ..........................................367
У. Манк, Г. Макдональд
ВРАЩЕНИЕ ЗЕМЛИ
Редактор Л, В. Самсоненко
Художник И. А. Литвишко. Художественный редактор Н. А. Фильчагина
Технический редактор А. В. Грушин. Корректор О. К. Румянцева
Сдано в производство 12/VI 1964 г. Подписано к печати 29/Х 1964 г.
Бумага 84 X 108 732 = 6,0 бум. л., 19,68 печ . л. Уч.-изд. л. 18,11
Изд. № 27/1729 Цена 1 р. 47 к- Зак. 504
ИЗДАТЕЛЬСТВО «М И Р»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Московская тип. ХЬ 4 Главполиграфпрома Государственного комитета Совета
министров СССР по печати
Б. Переяславская, 46
Сканирование - Беспалов, Николаева
DjVu-кодирование - Беспалов
л