МАТЕМАТИКА
МАТЕМАТИКА в школе
Научно-методический журнал Министерства просвещения СССР
5l969
издательство
«просвещение»
содержание
Воспитывать убежденных патриотов-интернационалистов
К 100-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ В. И. ЛЕНИНА
Первые рабочие факультеты
Воспоминания о встречах с Н. К. Крупской
НАУЧНЫЕ ОСНОВЫ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ
Натуральные числа
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
В Министерстве просвещения СССР
О применении эвристических приемов в школьном преподавании
математики ~
Логическая грамотность и школьные учебники математики
РазвиваТТГспособности учащихся
О некоторых приложениях правил подсчета цифр
Введение параметра при решении некоторых уравнений
I К решению некоторых иррациональных уравнений
АОдин из приемов контроля и самоконтроля
Применение диафильмов на уроках математики ,
Новый диафильм по геометрии для IV класса
Кинофрагменты в V классе
В помощь начинающему учителю -""
J Решение задач в школьном курсе арифметики
с применением уравнений
Из опыта проведения факультативных занятий
Факультативные занятия в школах Латвийской ССР
Не связывать инициативу учителя
О факультативных и кружковых занятиях в школах
Узбекской ССР
Примерные программы — хорошая основа для плодотворной работы
О методике проведения факультативных занятий
"Пробуждать интерес учащихсй '	'
Факультативные курсы завоевали прочные позиции
Внеклассная работа
О строении периодов некоторых бесконечных десятичных дробей
О составлении упражнений по алгебре
Геометрическая интерпретация результатов исследования уравнений
второй и третьей степени
К вопросу об исследовании квадратного трехчлена
О недианах треугольника
Задачи
Занимательная страница
ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ
Александр Матвеевич Астряб
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Об учебном пособии по алгебре для школ с математической
специализацией
Математический календарь иа 1969/70 учебный год
Первые русские ученические математические журналы
ЗА РУБЕЖОМ
О болгарском журнале «Математика и физика»
По страницам болгарского молодежного журнала «Математика»
О «логических блоках» Дьенеша
ХРОНИКА
«Квант»
Новый журнал
Первая конференция математических кафедр педвузов Сибири
2
4	Б. В. Болгарский
6	Е. С. Березанская
8 А. Н Колмогоров
18
21	Г.	Д.	Балк
29	И.	Л.	Никольская
31	С.	И.	Векслер
33	Р	А.	Хабиб
36	В.	П.	Моденов
37	А А. Матюшкин-Герке
38	Л. Н. Лобанова
39	Т Л. Сытина
45	Э. Ю. Красс, Г. Г. Ле-
ви тас
47 Н. Л. Севастьянова
50 С А. Пономарев,
П. В. Стратилатов
5Ц Г. Ю. Граудоне,
П П. Зариньш
56	Б.	П.	Бычков
57	Д.	А.	Мавашев
58	С.	X.	Джаббарсв
Su	В	Д.	Степанов
60	И.	И.	Поздняков
62	В.	Я.	Векслер
65	Е.	А.	Шестакова
66	Э. А. Ясиновый
68	А. Я. Маргулис,
Б. А. Радунский
69	А. А. Бахтадзе
72 С. И. Зетель
75
82	Б.	А.	Кордемский
83	Э.	П.	Бережная
85	С.	Т.	Завало
86	А.	И.	Бородин
88	В.	К.	Смышляев
90	Б.	П.	Бычков
91	Ю. А. Белый
92	Л. Р. Вайнер, А. Л. Сто-
ляр
17 Н. Б. Васильев,
М. Л. Смоляиский
95	3. И. Турлакова
96 3. О. Шварцман
Воспитывать убежденных патриотов-интернационалистов
Международное Совещание коммунистиче-
ских и рабочих партий в Москве (1969) —со-
бытие величайшего исторического значения,
которое окажет длительное воздействие на
прогрессивное развитие человечества, на ак-
тивизацию борьбы против империализма, на
объединение действий коммунистических и ра-
бочих партий и всех антиимпериалистических
сил.
Совещание приняло программные докумен-
ты: «Задачи борьбы против империализма на
современном этапе и единство действий ком-
мунистических и рабочих партий, всех анти-
империалистических сил», а также имеющее
огромное принципиальное значение для ук-
репления единства мирового коммунистическо-
го движения на марксистско-ленинской основе
Обращение «О 100-летии со дня рождения
Владимира Ильича Ленина». Этот документ
нацеливает все революционные, все прогрес-
сивные силы на использование юбилея для
широкой пропаганды марксистско-ленинских
идей, усиления идеологической работы комму-
нистов среди различных слоев населения, осо-
бенно молодежи. Реализуя это положение Об-
ращения, июньский (1969 г.) Пленум ЦК
КПСС обратился ко всему советскому народу
с призывом: «Учитывая огромное значение ус-
пехов Советского Союза в строительстве но-
вого общества, ЦК КПСС призывает все пар-
тийные организации, всех коммунистов, весь
советский народ еще самоотверженнее бороть-
ся за осуществление великих планов комму-
нистического строительства, за достойную
встречу 100-летия со дня рождения основате-
ля нашей партии и Советского государства
В. И. Ленина».
Завещанный Лениным принцип пролетар-
ского интернационализма — могучее оружие
коммунистов в борьбе за сплочение револю-
ционных, антиимпериалистических сил, за до-
стижение высших целей трудового народа.
Московское Совещание дало богатейший
материал для анализа и оценки историческо-
го развития человечества на современном эта-
пе. Эти материалы были глубоко теоретиче-
ски и с полной ясностью обобщены на июнь-
ском (1969 г.) Пленуме ЦК КПСС, где было
принято постановление «Об итогах междуна-
родного Совещания коммунистических и ра-
бочих партий».
Советские люди с воодушевлением встрети-
ли постановление, которое вооружает их яс-
2
ным пониманием современного этапа и пер-
спектив борьбы за социальный прогресс и
мир, против империализма, реакции и угрозы
войны и одновременно указывает конкретные
задачи коммунистов, советского народа во
всемирной борьбе трудящихся против эксплу-
атации и войн. Констатируя обострение идео-
логической борьбы между двумя мировыми
общественными системами, социалистической
и капиталистической, и все более возрастаю-
щее значение идейно-теоретической, политиче-
ской работы нашей партии, Пленум ЦК КПСС
с особой силой подчеркнул, что в этих усло-
виях необходимо совершенствовать и резко
усилить идейно-политическое воспитание, не
забывая в то же время, что экономические ус-
пехи, научно-технические достижения и укре-
пление обороноспособности Советского Союза
имеют исключительное значение для строи-
тельства коммунизма в СССР, защиты социа-
листических завоеваний в странах народной
демократии, для успеха антиимпериалистиче-
ской борьбы и развития революционного про-
цесса. СССР — оплот всего прогрессивного
человечества, прочный заслон на пути ястре-
бов ракетно-ядерной войны. С мощью Совет-
ского Союза и стран социалистического содру-
жества связывают свое будущее трудящиеся
нашей планеты.
Идеи московского Совещания легли в осно-
ву деятельности всех организаций, призван-
ных вести идеологическую работу. Состояв-
шийся 15—16 июля VII пленум Центрального
Комитета Всесоюзного Коммунистического
Союза Молодежи обсудил вопросы:
1. Об итогах международного Совещания
коммунистических и рабочих партий в
Москве.
2. О работе комсомольских организаций по
выполнению постановления ЦК КПСС «О под-
готовке к 100-летию со дня рождения Влади-
мира Ильича Ленина».
На пленуме с докладом выступил член По-
литбюро ЦК КПСС, секретарь ЦК КПСС
М. А. Суслов. Он рассказал о задачах комсо-
мола, вытекающих из постановления июньско-
го Пленума ЦК КПСС. Ныне идеологи капи-
тализма стремятся разрушить интернацио-
нальное единство прогрессивных сил, маски-
руя свои темные замыслы флагами национа-
лизма, шовинизма и злобного антикоммуниз-
ма. Вот почему сегодня на первый план вы-
ступает воспитание советских людей в духе
интернационализма, советского социалистиче-
ского патриотизма, дружбы народов Совет-
ского Союза, воспитание чувства гордости за
свою великую Отчизну, за свою родную Ком-
мунистическую партию, готовности посвятить
себя делу строительства коммунизма, пони-
мания глубокого интернационального значе-
ния наших побед.
Следует впредь еще энергичнее работать по
сплочению международного демократического
юношеского движения, укреплению связей с
зарубежными юношескими организациями, в
особенности стран социалистического содру-
жества, проявлять постоянную и действенную
солидарность с борющимися за националь-
ную независимость странами.
Пристального внимания и заботы требует
идейное воспитание молодежи, так как, не
имея суровой закалки своих отцов, получен-
ной ими в борьбе за победу социалистической
революции и утверждение социализма в на-
шей стране, не имея жизненного опыта, не су-
мев в силу своего возраста выработать твер-
дое коммунистическое мировоззрение, моло-
дежь не всегда умеет правильно разобраться
в коварно-изощренНых аргументах идеологи-
ческих диверсантов.
По вопросам, обсужденным на VJI пленуме
ЦК ВЛКСМ, были приняты соответствующие
постановления, обязывающие все комсомоль-
ские организации принять самое активное уча-
стие в выполнении задач, поставленных пар-
тией перед комсомолом. Несомненно, что по-
становления окажут значительную помощь и
учительским коллективам в организации столь
актуальной работы по интернациональному
и военно-патриотическому воспитанию моло-
дого поколения.
Предъявляя более высокие требования к
деятельности комсомольских и пионерских ор-
ганизаций школ, напоминая о личной ответ-
ственности учеников перед нашим обществом
за их успехи в учебном труде, пленум потре-
бовал: «Комсомольским и пионерским орга-
низациям школ повысить ответственность
каждого ученика за выполнение своего основ-
ного долга—успешно овладевать знаниями.
Необходимо развивать у учащихся интерес к
науке и технике, растить идейно закаленных
борцов, воспитывать молодую смену на при-
мерах жизни и деятельности В. И. Ленина, на
героических традициях нашего народа. Боль-
ше вовлекать школьников и пионеров в об-
щественно полезную деятельность, готовить к
самостоятельной жизни, улучшать трудовое
воспитание, профессиональную ориентацию
учащихся, помочь им определить свой вклад
в коллективный подарок советской молоде-
жи к 100-летию В. И. Ленина».
Велика роль учителя в выполнении задач
по идеологическому воспитанию молодежи.
Проводя широкую систему мероприятий в на-
правлении, которое определено важнейшими
документами современности, учителя должны
донести до сознания каждого школьника глу-
бочайший смысл и значение Совещания в
Москве и документов, принятых на нем.
Опорой и лучшими помощниками учителей
в этом деле станут комсомольцы. Обращаясь
к ним, пленум записал в постановлении, что
он считает важнейшей задачей комсомоль-
ских организаций изучение, пропаганду и
разъяснение документов международного Со-
вещания коммунистических и рабочих партий,
июньского (1969 г.) Пленума ЦК КПСС среди
комсомольцев, всех юношей и девушек нашей
страны. Они должны привить школьникам
живой интерес к ленинскому наследию, к
марксистско-ленинской теории.
Долг учителя обстоятельно и постоянно бе-
седовать со школьниками о текущих событиях
в стране и за рубежом и, не обходя «острые»
вопросы, помогать им оценивать события и
факты с классовых, партийных позиций.
Следует больше уделять внимания воспи-
танию молодежи в духе дружбы народов
СССР, горячей любви к своей социалистиче-
ской Родине, готовности к защите ее священ-
ных рубежей от любых посягательств врагов.
Готовить молодежь к защите Родины — почет-
ная обязанность школы. Советская Армия с ее
грозной современной техникой требует до-
стойного пополнения.
В подготовке юношей к службе в Совет-
ской Армии неоценимый вклад вносят и учи-
теля математики. Твердые знания предмета
необходимы для овладения основами военной
техники, военного искусства, многими про-
фессиями, нужными в армии.
Школы накопили значительный опыт патри-
отического и интернационального воспитания.
Формы этой работы разнообразны. Это воспи-
тание ведется учителями как на уроках, так
и в системе внеклассной работы. В новых ус-
ловиях крайне важно координировать усилия
учителей всех предметов. Здесь немалую роль
могут сыграть совместные обсуждения наме-
ченных планов на школьных и районных ме-
тодических объединениях.
Советский учитель был и остается верным
помощником партии, проводником ее полити-
ки в массах. Учителя с энтузиазмом выпол-
нят почетное задание родной партии по воспи-
танию убежденных патриотов-интернациона-
листов.
1
3
Б. В. БОЛГАРСКИЙ
(г. Казань)
И ЮО-летию
со дня рождения
В- И, Ленина
Первые рабочие факультеты
(Из воспоминаний)
«Основной задачей рабочих фа-
культетов является широкое вовле-
чение пролетарских и крестьянских
масс в стены высшей школы*.
Постановление СНК
от 17/1Х 1920 г.
Как известно, рабочие факультеты явля-
лись общеобразовательной школой для рабо-
чих и крестьян в СССР и имели своей целью
подготовить их к поступлению в высшую
школу.
2 октября 1924 г. народный комиссар про-
свещения А. В. Луначарский в речи, об-
ращенной к студентам рабочего факультета
при Казанском государственном университе-
те, указал на временный характер рабочих
факультетов. «Придет время, — говорил он,—
когда рабоче-крестьянская молодежь будет
получать и завершать свое образование есте-
ственным порядком через школы 1 и II сту-
пени».
Официально рабфаки были организованы
декретом Совета Народных Комиссаров
от 17 сентября 1920 г., но фактически первые
из них появились уже в 1919 г.
Рабочий факультет при Казанском госу-
дарственном университете был открыт 1 нояб-
ря 1919 г.; до него был открыт рабфак — при
Московском коммерческом институте. Рабфак
при Казанском государственном универси-
тете сыграл значительную роль в деле про-
свещения. Его особое значение было в под-
готовке для поступления в вузы студентов из
коренных национальностей Татарии и приле-
гающих к ней Марийской, Удмуртской и Чу-
вашской республик, что было жизненно
необходимо в условиях прежней отсталости
населения этих республик.
Реакционная часть профессуры и студенче-
ства встретила «в штыки» новых пришельцев
«от станка и от сохи». Однако представители
отживающего мира просчитались. Рабфак
стойко выдержал атаку со стороны универ-
ситетской реакции. Такое «завоевание» раб-
факом университета проходило хотя и не без
трений, но довольно быстро, во-первых, бла-
годаря тому, что самый факт создания раб-
фака был фактом жизненным, а сопротивля-
лись ему силы отмирающие; во-вторых, этому
способствовало то, что среди прежних про-
фессоров и преподавателей университета бы-
ли лица, понявшие задачи рабфака и встре-
тившие его рождение сочувственно.
Среди научных работников университета
нашлось немало профессоров и преподавате-
лей и математических дисциплин, которые с
первых же дней существования рабфака ста-
ли оказывать ему посильную помощь. Осо-
бенно много энергии в этом деле проявил рек-
тор университета профессор Е. А. Болотов.
Профессор Н. Н. Парфентьев был даже
председателем организационной тройки по
созданию рабфака. Многие молодые научные
работники стали его преподавателями; среди
них были и математики П. А. Широков,
В. А. Яблоков, Н. П. Пономарев.
Вскоре же при рабфаке университета образо-
валась очень авторитетная физико-математи-
ческая предметная комиссия, которая состоя-
ла из наиболее опытных преподавателей ма-
тематики и физики университета и школ
г. Казани. Многие из них имели большой пе-
дагогический стаж, обладали прекрасным зна-
нием своего предмета и методики его препо-
давания. Кроме того, большинство членов
этой комиссии искренне желали отдать все
свои знания для достижения поставленной пе-
ред преподавателями цели: в трехлетний срок
4
передать студентам рабфака весь комплекс
тех знаний и навыков, которые в старой шко-
ле учащиеся получали в течение восьми лет.
Задача была трудная и требовала как от пре-
подавателей, так и от студентов огромных
усилий. И, надо отдать справедливость, с этой
задачей коллектив преподавателей и студен-
тов справлялся успешно. Когда по завершении
организации рабфака Н. Н. Парфентьев ото-
шел от непосредственной работы на рабфаке,
то во главе физико-математической комиссии
встал энтузиаст — математик С. Н. Собо-
лев, а затем его сменил опытный методист
В. А. Берсенев, работавший на рабфаке
до его ликвидации.
Первое время своего пребывания на рабо-
чем факультете студенты рабфака проявляли
мало инициативы. Они жадно прислушива-
лись к словам преподавателя и стремились
пунктуально выполнять все выкладки по дан-
ному им образцу. Преподавателю предстояло
проделать большую работу: пробудить у сту-
дента активность мышления, научить его соз-
нательно читать и разумно использовать про-
читанный материал.
По инициативе С. Н. Соболева при рабфа-
ке был организован математический кабинет,
созданы математические кружки, проводились
работы по изготовлению различных моделей
(эти работы назывались студийными работа-
ми по математике) — все это во многом спо-
собствовало развитию самодеятельности сту-
дентов. Математические кружки сыграли не-
малое значение для развития математическо-
го мышления слушателей. Их было два: один
имел целью дать углубленное понимание изу-
чаемого по математике материала, а другой,
повышенного типа, значительно расширял
математический кругозор рабфаковцев.
Но в основном работа по активизации мыш-
ления слушателей проводилась, конечно, на
занятиях. При этом учитывалась особенность
аудитории.
Физико-математической предметной комис-
сии рабфака на первых же порах пришлось
выработать особую методику изучения мате-
матики, которой и руководствовались все пре-
подаватели.
Однако бурное течение жизни в первые го-
ды после Октябрьской революции и резкое
изменение педагогических и методических на-
правлений в жизни советской школы оказы-
вали большое влияние на методические иска-
ния и в среде преподавателей рабфака. К че-
сти математической комиссии рабфака, надо
признать, что случайные вредные течения в
педагогике встречали отпор среди преподава-
телей математики. Так, например, математики
рабфака никогда не отказывались от классно-
урочной системы преподавания, а когда в
советской школе широко распространился
дальтон-план, то применялась смешанная сис-
тема: к классно-урочной системе присоединя-
лась работа студентов в аудитории без препо-
давателя, по заранее составленным заданиям.
Хорошо методически составленные и дета-
лизированные официальные программы по
математике для рабочих факультетов, издан-
ные в 1925 г., не вызвали никаких существен-
ных возражений, касавшихся общего располо-
жения материала и методики его изучения.
При строгой критике этих программ все заме-
чания сводились лишь к указаниям отдель-
ных дефектов, не нарушавших общих принци-
пов, положенных в основу их построения, а
касавшихся только деталей, исправление ко-
торых всегда возможно в процессе работы.
Однако в скором времени при применении
этих новых программ обнаружились трудно-
сти, которые объяснялись главным образом
специфическим характером рабфака при Ка-
занском государственном университете. Перед
рабфаком встала большая задача: приспосо-
бить официальную программу к условиям ра-
боты со студентами, выделенными в особые,
национальные группы, составившие нацио-
нальные отделения. Опыт первых лет обуче-
ния студентов национальных отделений раб-
фака показал, что на эти отделения поступа-
ли в большинстве случаев крестьяне, слабо
подготовленные по математике.
Нам было поручено разработать принципи-
альные методические установки для проведе-
ния занятий по математике в национальных
группах и создать соответствующую програм-
му. Подробная программа курса математики
для национальных групп, рассчитанная, в со-
ответствии с полученными указаниями, на че-
тыре года обучения, была положена в осно-
ву официальных программ для национальных
групп рабфаков во всесоюзном масштабе.
Главной целью программы было поднятие в
первые же годы обучения математического
развития студентов национальных групп до
достаточно высокого уровня.
Программа предусматривала расположение
изучаемого материала по концентрам как на
младших, так по возможности и на старших
курсах обучения.
Представители университета каждый год
присутствовали на выпускных экзаменах раб-
фака, предлагали свои задания для письмен-
ных работ, а затем давали обстоятельные от-
зывы о результатах обучения. Так, в 1927 г.
в отзыве профессора физико-математического
факультета Казанского государственного уни-
5
верситета Н. Н. Парфентьева отмечалось, что
ответственное и трудное дело обучения и вос-
питания в короткий срок кадров для высших
учебных заведений выполнялось достаточно
успешно. Хотя знания и навыки кончавших
рабфак еще оставляли желать лучшего, но
удовлетворительное разрешение этой пробле-
мы было все же найдено.
Главным фактором в деле достижения ус-
пехов было, конечно, сознательное стремле-
ние самих учащихся к усвоению знаний. Сту-
денты рабфака, воодушевленные желанием
включиться в активную работу по созданию
нового, социалистического общества, с герои-
ческим упорством преодолевали трудности,
возникавшие на их пути.
Много воспоминаний сохранилось у меня
о студентах рабфака. За время своей более
чем полувековой работы в различных школах,
от начальной до высшей, мне нигде больше не
приходилось встречать такого, я бы сказал,
самоотверженного стремления к овладению
знаниями, как у рабфаковцев, и таких искрен-
них отношений, какие устанавливались между
ними и их преподавателями. Многие воспи-
танники после окончания рабфака выполняли
ответственную работу в тяжелые годы строи-
тельства первого социалистического государ-
ства и его обороны. Некоторые из них еще во
время учебы на рабфаке настолько заинтере-
совались математикой, что и по окончании его
сохранили свой интерес к научной работе.
Воспоминания
Е. С. БЕРЕЗАНСКАЯ
(Москва) О встречах с п. К. Крупской
Мне выпало счастье встречаться с Надеж-
дой Константиновной Крупской в течение
многих лет, и, хотя это были деловые встречи
(они касались в основном преподавания ма-
тематики), с ее стороны всегда я видела мно-
го внимания и сердечного отношения. Так бы-
ло со всеми, кто встречался с Надеждой Кон-
стантиновной.
Человеком большой души была Н. К. Круп-
ская— этот замечательный педагог, друг и
соратник Великого Ленина!
Как я встретилась с Надеждой Константи-
новной?
Вскоре после победы Великой Октябрьской
социалистической революции была создана
опытная школа, которая известна как школа-
коммуна Народного Комиссариата Просвеще-
ния (НКП}. Организатором этой школы был
старый член Коммунистической партии Пан-
телеймон Николаевич Лепешинский, друг
В. И. Ленина и Н. К. Крупской. В эту школу
Надежда Константиновна и сестра В. И. Ле-
нина Мария Ильинична направляли детей,
которые остались без родителей, детей рево-
люционеров-большевиков; для них эта школа
становилась вторым домом. В 1920 г. школа-
коммуна еще только организовывалась как
школа II ступени (V—IX классы). Мне пору-
чили обучать учеников этой школы матема-
тике.
Много внимания уделяла Надежда Кон-
стантиновна школе-коммуне НКП, в которой
она хотела видеть новую, советскую трудовую
школу.
Впоследствии я неоднократно заходила к
Надежде Константиновне в НКП, в основном
по вопросам постановки преподавания мате-
матики. Она привлекала меня к разработке
программы и других документов по препода-
ванию математики. Как известно, Н. К. Круп-
ская в молодости поступила на математиче-
ское отделение Высших женских курсов (Бес-
тужевских), но, как она всегда говорила,
стремление «принять поскорее участие в рабо-
чем движении» побудило ее оставить курсы.
В дальнейшем в своей многогранной педагоги-
ческой деятельности Надежда Константинов-
на уделяла много внимания постановке пре-
подавания математики в школе. Она под-
черкивала большую роль математики в вос-
питании «нового человека», умеющего увязы-
вать теорию и практику, умеющего логически
мыслить и делать обобщающие выводы. Не-
однократно говорила, что сущность образова-
ния в том, чтобы учить молодежь самостоя-
тельно мыслить, максимально развивать их
инициативу и самодеятельность. «Жизнь тре-
бует знаний», — говорила Надежда Констан-
тиновна,— «знания нужны в жизни как вин-
товка в бою», «обучать ребят надо так. чтобы
научить их применять знания в жизни».
6
Помню, с каким интересом и одобрением
слушала она сообщение о выполнении учени-
ками школы-коммуны топографических работ
и составлении плана сельской местности, ку-
да школа выезжала на лето. Надежда Кон-
стантиновна прежде всего интересовалась, не
слишком ли много времени ушло у ребят на
ту или иную практическую работу, не было
ли это для них перегрузкой.
Она помогала своими советами, вниматель-
но следила за достигнутыми результатами в
вопросах обучения, организации труда, само-
управления, взаимоотношения педагогическо-
го коллектива и комсомола и др. Мне выпало
счастье лично от Надежды Константиновны
слышать о том, каким должен быть советский
учитель, как надо растить советскую моло-
дежь, каким должен быть гражданин Совет-
ского Союза.
Н. К. Крупская ставила перед школой, пе-
ред самими учащимися ответственные задачи.
Она говорила: «...прежде всего надо дружной
совместной работой всего школьного коллек-
тива, учащихся и учителей, растить подлин-
ных коммунистов, строителей социалистиче-
ского общества».
Вскоре после того, как я начала работать
в школе-коммуне, мне предложили участво-
вать в работе научно-педагогической секции
ГУСа (Государственного ученого совета
НКП). Этот совет был создан для того, что-
бы разрабатывать программы, методы препо-
давания в новой трудовой школе. Председа-
телем его была Н. К. Крупская. После перво-
го же заседания, когда я шла по длинному
коридору НКП, неожиданно меня остановила
Надежда Константиновна. Внимательно и теп-
ло расспросила она, в каких условиях мне
приходится жить и работать, любят ли ребята
заниматься математикой, и сказала о том, как
важно, чтобы наша молодежь изучала мате-
матику.
Мне посчастливилось видеть и слышать На-
дежду Константиновну и в Академии комму-
нистического воспитания, куда она системати-
чески приезжала и где я преподавала мате-
матику с 1922 по 1936 г. (до переезда акаде-
мии в Ленинград). Каждый раз, когда ожи-
дался приезд Н. К. Крупской, радостное на-
строение охватывало весь коллектив. Она бе-
седовала не только с преподавателями и сту-
дентами. Ее окружал обычно и весь техниче-
ский персонал. С каким вниманием к людям
Надежда Константиновна вела беседу, отве-
чала каждому на его вопросы, которых в те
годы возникало немало! Незабываемы встре-
чи с Н. К. Крупской, ее беседы и советы!
В каждом советском молодом человеке На-
дежда Константиновна желала видеть безгра-
ничную преданность тому делу, которым он
занимался. Всем, кто встречался с ней, хоте-
лось всегда в жизни, работе оправдать то до-
верие, которое оказывала людям мудрая и
простая Надежда Константиновна Крупская.
А. Н. КОЛМОГОРОВ
(Москва)
НАУЧНЫЕ ОСНОВЫ
ШКОЛЬНОГО КУРСА
МАТЕМАТИКИ
Вторая лекция1
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
1.
Будущие учителя в педагогических институ-
тах обычно знакомятся с двумя способами по-
строения арифметики натуральных чисел. Не
предрешая пока вопроса об их сравнительном
значении для школьного преподавания, я на
первое место поставлю аксиоматический под-
ход, который обычно связывают с именем Пе-
ано 2. При этом подходе натуральным рядом
называют структуру
91 = (N, 1, А),
состоящую из 1) множества N, элементы ко-
торого называются натуральными числами,
2) выделенного в этом множестве элемента I,
называемого единицей, 3) определенного на
N отношения
у),
читаемого «у непосредственно следует за х»,
которая подчинена следующим требованиям
(аксиомам):
I.	Единица не следует ни за каким другим
натуральным числом.
II.	Для любого натурального числа суще-
ствует одно и только одно непосредственно
следующее за ним натуральное число.
III.	Любое натуральное число непосредст-
венно следует не более чем за одним нату-
ральным числом.
IV.	(Аксиома индукции.) Подмножество М
множества N, которое содержит элемент 1 и
вместе с элементом х всегда содержит и эле-
мент у, следующий непосредственно за х, сов-
падает со всем множеством N.
Аксиомы I—IV независимы друг от друга.
На рисунке 1 изображены наглядно (отиоше-
1 См.: «Математика в школе», 1969, № 3, стр. 12—17.
2 В действительности немного ранее аксиоматиче-
ская характеристика натурального ряда была дана в
1888 г. Дедекиндом,
ние непосредственного следования символизи-
руется стрелкой) примеры структур, для ко-
торых выполняются по три из четырех аксиом.
Но все структуры, удовлетворяющие всем
высказанным выше требованиям, устроены
«совершенно одинаково» — изоморфны друг
другу. Я надеюсь, что мои слушатели имеют
о понятии изоморфизма достаточно ясные
представления, позволяющие понимать даль-
нейшее изложение. Мы, впрочем, вернемся к
уточнению этого понятия в одной из следую-
щих лекций. В интересуюшем нас сейчас слу-
чае дело идет просто о том, что для двух
структур
91 = (N, 1, А), 91* = (N*, 1*. F*),
обладающих перечисленными свойствами, мно-
жество N отображается на множество А * вза-
имно однозначно и с сохранением отношения
непосредственного следования. Род структур.
Рш_. 1
8
определяемый аксиомами Пеано, мономор-
фен. Можно из структур этого рода выбрать
какую-либо одну (все равно какую!) за ос-
новную и при помощи ее элементов «нумеро-
вать» элементы любой другой.
При последовательном проведении аксио-
матического подхода так и говорят: природа
элементов, из которых составлен натураль-
ный ряд, не существенна; математики просто
уславливаются называть натуральными чис-
лами элементы множества N какой-либо оп-
ределенной, раз навсегда выбранной струк-
туры 9i, удовлетворяющей аксиомам Пеано.
Введенные таким образом натуральные чис-
ла могут получить много разных применений.
Одним из применений является их употребле-
ние для обозначения числа элементов в том
или ином конечном множестве, т. е. для обо-
значения мощностей конечных множеств.
Для дальнейшего нам существенно проде-
лать этот путь: ничего не говоря об эквива-
лентности произвольных множеств и их мощ-
ностях, но предположив известными простей-
шие свойства натурального ряда
1, 2, 3, 4.
получить определение конечного множества и
поставить в соответствие каждому конечному
непустому множеству М натуральное число
л(М) —число его элементов.
1.	Отрезком натурального ряда будем на-
зывать любое собственное подмножество мно-
жества N, которое вместе с х #= 1 непременно
содержит и число, непосредственно предшест-
вующее х.
2.	Можно доказать, что непустой отрезок
натурального ряда полностью определяется
своим «последним элементом», т. е. принад-
лежащим ему числом п, для которого непо-
средственно следующее число уже не входит
в отрезок. Отрезок с последним элементом п
будем обозначать [1; п].
3.	Множество будем считать конечным, ес-
ли 'оно может быть взаимно однозначно от-
ображено на отрезок натурального ряда.
4.	Можно доказать, что конечное множест-
во может быть взаимно однозначно отображе-
но только на один-единственный отрезок на-
турального ряда.
5.	Если множество М отображается взаим-
но однозначно на отрезок [1; п], то по опреде-
лению
п(М) = п.
Ясно, что таким образом каждому непусто-
му конечному множеству М мы поставили в
соответствие вполне определенное натураль-
ное число п(М) —число элементов множе-
ства М.
2.
Другое построение арифметики натураль-
ных чисел связывается с именем Кантора.
Здесь понятие числа элементов конечного
множества воспринимается просто как част-
ный случай общего понятия мощности любого
множества. Мощности называют, следуя Кан-
тору, также кардинальными числами. Напом-
ню вкратце способ их введения.
1.	В основе лежит понятие взаимно одно-
значного отображения одного множества на
другое. Если множество М может быть вза-
имно однозначно отображено на множество
М', то М эквивалентно М':
М ~ М'.
2.	Отношение эквивалентности обладает
свойствами рефлексивности, симметричности
и транзитивности:
а)	М М,
б)	если М ~ М', то М' ~ М,
в)	если Л4) ~ М2 и Л42 ~ Л43, то ~ Л43.
Из этого делается вывод, что любому мно-
жеству М можно приписать характеристику
Card (Л4), обладающую тем свойством, что
Card (Л4) = Card (ЛК),
если М и М' эквивалентны, и
Card (Л4) =/= Card (Л4'),
если М и М' не эквивалентны. Card (М) и
есть мощность М
Замечание. При желании заменить такое описа-
тельное, косвенное определение Card (Л1) прямым гово-
рят, что Card (Л1) есть просто класс всех М', эквива-
лентных М. Я не настаиваю на этом замечании, так как
его полное понимание требовало бы разъяснения разли-
чия между множеством и классом. Как известно, «Мно-
жество всех множеств» противоречиво. При формали-
зации математики употребляются и другие способы яв-
ного определения понятия мощности3.
3.	Мощность пустого множества 0 называ-
ют кардинальным числом нуль-.
О = Card (0).
Мощности непустых конечных множеств в
этой концепции натурального числа по опре-
делению и являются натуральными числами.
Как видим, при таком построении теории
натуральных чисел мы нуждаемся в том или
ином определении понятия «конечное множе-
ство». В этом отличие второго пути от пер-
вого, названного выше аксиоматическим, при
следовании которому, имея уже готовый нату-
ральный ряд чисел, мы называем конечными
множества, эквивалентные отрезкам натураль-
ного ряда (по данному выше определению к
их числу относится и «пустой» отрезок, ко-
торый есть не что иное, как пустое множест-
во 0).
3 В «Теории множеств» Н. Бурбаки (гл. III, § 3.1)
Card (Л1) =Tz(Eg(Al, Z)).
9
Я не буду здесь останавливаться на разных
возможных формальных определениях поня-
тия конечного множества, не опирающихся
на уже готовое представление о натуральном
ряде, так как не знаю среди них такого, ко-
торое могло бы служить опорой построения
начального школьного курса арифметики.
В наше время считается возможным требо-
вать от школьников понимания различия ме-
жду конечными и бесконечными множества-
ми очень рано. (О нем говорится в учебниках
для IV класса, претендующих на то, чтобы в
ближайшем будущем сделаться у нас массо-
выми.) При этом говорится либо, что конеч-
ные множества — это те, все элементы кото-
рых можно «выписать», «указать» один за
другим, либо, что это множества, элементы
которых можно «сосчитать». В первом случае
мы имеем дело с весьма приблизительным
описанием, а во втором — ссылаемся на пере-
счет, т. е. на сопоставление элементов мно-
жества с последовательными натуральными
числами, т. е. предполагаем уже сформиро-
ванным понятие о натуральном ряде.
С точки зрения выбора идейной основы для
начального курса подход к числам как к мощ-
ностям множеств обладает одним неоспори-
мым достоинством. Естественное при этом
подходе определение сложения и умножения
достаточно адекватно отображает основной
круг практических применений этих действий
над натуральными числами и числом нуль. Об
этом я еще буду говорить далее.
В заключение замечу, что представляющие
интерес для школьного курса математики бес-
конечные множества имеют одну из двух мощ-
ностей: х0—мощность множества натураль-
ных чисел, или х — мощность множества дей-
ствительных чисел4. На рисунке 2 напоми-
Рис. 2
нается важная особенность бесконечных мно-
жеств: они эквивалентны некоторым своим
правильным частям.
3.
К Кантору восходит и третья возможность:
воспринимать натуральные числа как частный
случай порядковых типов. Для полноты кар-
тины нам полезно познакомиться и с ней.
Два упорядоченных множества 5
= (Д„ —|) и ЗП2 = (Ж2, — |)
называются подобными, если множество М\
можно взаимно однозначно отобразить на
множество Л12 с сохранением порядка, г. е.
так, что отношение
Xi —I У1
равносильно отношению
х2 —1У2
4 Мощность множества всех числовых функций
больше X , но по существу это множество в школьной
математике не используется. Множества же непрерыв-
ных или кусочно-непрерывных функций имеют уже
только мощность х .
5 На одном и том же множестве М можно многими
способами ввести отношение порядка -з , поэтому на-
зывать упорядоченное множество (М -I ) просто «упо-
рядоченным множеством М» можно только в порядке
«вольности речи».
для образов х2 и у2 элементов и От-
ношение подобия рефлексивно, симметрично
и транзитивно. Поэтому для упорядоченных
множеств можно ввести характеристику
Ord (ЭИ), обладающую тем свойством, что
Ord (901,) = Ord (SH2)
в том и только в том случае, когда 2% по-
добно зи2.
Ord (ЗП) и есть порядковый тип упорядо-
ченного множества М. На рисунке 3 изобра-
жены упорядоченные множества порядковых
типов 3, и, ы -4- 2, о*. Смысл многоточий на
схематических изображениях упорядоченных
множеств типов ш, <о + 2 и ш*, надеюсь, до-
статочно понятен.
Вводя в одном и том же множестве отноше-
ние порядка разными способами, можно полу-
чить различные упорядоченные множества,
которые не обязаны быть подобными. На ри-
сунке 4 показано, как при различных упоря-
дочениях множества N всех натуральных чи-
сел возникают упорядоченные множества ти-
пов <£>,(£>+ 1 и (О* + (О.
Но такого рода осложнения невозможны в
случае конечного множества М. Упорядочен-
ное множество (М,—называется конеч-
ным, если конечен его носитель. Для конеч-
ных упорядоченных множеств их порядковый
тип Ord (Л4,—|) полностью определяется
мощностью Card (М) их носителей. Поэтому
последовательность конечных порядковых ти-
пов
О, Г, 2, 3, ...
находится в естественном взаимно однознач-
ном соответствии с конечными мощностями
в смысле п. 2 этой статьи:
6, 1, 2, 3,....
4.
Таким образом, перед нами имеются на вы-
бор по крайней мере три возможности: счи-
тать «натуральными числами по преимуще-
ству»
1)	мощности
Г, 2°, 3, 4,...,
2)	порядковые типы
Г, 2, 3, 4,...,
H2-I3-I4-'-
2-13-14 —1,5—1;  -1 ’
-----1 g _। 4 _। 2 —11 —1 3 —• 5 • -
Рис. 4
со
си + 1
Со* + С0
3)	произвольно выбранную последователь-
ность
1, 2, 3, 4,...
элементов структуры, подчиненной аксио-
мам Пеано.
Начну с исторической справки. Кантор, соз-
давший теорию мощностей и порядковых ти-
пов, как уже было сказано, называет мощно-
сти кардинальными числами. Ординальными
числами Кантор называет не любые порядко-
вые типы, а только порядковые типы вполне
упорядоченных множеств, т. е. таких упорядо-
ченных множеств, у которых каждое подмно-
жество имеет первый элемент. Так как Кан-
тор не признает пустого множества, то его
трансфинитный ряд кардинальных чисел на-
чинается с 1:
Г, 2, 3,... , х0, х ь ....
На неизвестном месте в этом ряду находится
«мощность континуума» — кардинальное чис-
ло к.
Трансфинитный ряд ординальных чисел на-
чинается с ординального числа 1:
1, 2, 3, ...,<», <о 1, <u -f- 2,..., ш-2,
w • 2 +	1,..., <о2,..., S2.
В этом ряду очень много порядковых типов
упорядоченных множеств, носители которых
имеют одну и ту же мощность н. Таковы
порядковые типы
<0, U) -f- 1, ID -f- 2, ... , <И-2, <И-2 -f- 1, ...
... , U)2, ... , <1)“ , ...
и вообще все предшествующие «первому
ординальному числу третьего класса» S.
Конечные кардинальные и конечные орди-
нальные числа, конечно, по Кантору, оказы-
ваются тоже объектами различной природы,
но он говорит несколько неопределенно, что
они «совпадают по своим свойствам». После
рассмотрения свойств конечных кардиналь-
ных чисел Кантор объявляет, что тем самым
указан самый естественный путь построения
обычной традиционной арифметики натураль-
ных чисел. Кантор мог бы сказать то же самое
и по поводу конечных ординальных чисел.
Предпочтение, отданное в этом отношении
кардинальным числам, может быть объяснено
просто тем, что они рассмотрены первыми.
Дедекинд, по-видимому, был первым, кто
при сравнении очерченных выше трех подхо-
дов к построению теории натуральных чисел
сознательно отдал предпочтение аксиомати-
ческому пути, который мы рассмотрели пер-
вым, а при перечислении в начале этого пунк-
та поставили третьим. В письме Веберу (24/1
11
1888 г.) он довольно подробно говорит об
этом. Употребление натуральных чисел для
обозначения мощностей конечных множеств
он считает лишь одним из их применений.
С этой дедекиндовской точки зрения естест-
венно считать другим применением тех же на-
туральных чисел обозначение конечных поряд-
ковых типов. Третьим применением, хотя и
тесно связанным со вторым, является упо-
требление натуральных чисел для нумерации
элементов конечных упорядоченных множеств
и упорядоченных множеств типа ©, как чаще
говорят — для нумерации элементов последо-
вательностей.
5.
Следует, однако, вспомнить то, что было
сказано в первой лекции: аксиоматическое
рассмотрение структур какого-либо рода бес-
содержательно, если не установлена совмест-
ность аксиом, т. е. существование хотя бы од-
ной структуры данного рода.
Теория множеств обладает и более просты-
ми средствами для построения модели, в ко-
торой выполнены аксиомы Пеано, чем упот-
ребление для этой цели конечных мощностей
или конечных порядковых типов. Довольно
популярен такой способ:
1 = {0}, 2 = {{0}}, 3={'{0}}},... .
Единицей объявляется множество, единствен-
ным элементом которого служит пустое мно-
жество. Отношение непосредственного следо-
вания сначала определяется для любого мно-
жества: за множеством М непосредственно
следует множество
единственным элементом которого служит
множество М. Натуральный ряд определяет-
ся как наименьшее множество множеств, со-
держащее 1 = {0} и вместе с М содержащее
М' = {М}.
Однако для логического оправдания любо-
го такого построения нужны, конечно, некото-
рые допущения. У Н. Бурбаки одним из таких
допущений является аксиома существования
хотя бы одного бесконечного множества. Мы
условились в первой лекции не входить слиш-
ком глубоко в вопросы логических оснований
математики. Но, примыкая к сказанному в
первой лекции, заметим, что неограниченно
продолжающиеся последовательности сущест-
венно входят в основные рассмотрения мате-
матики. Поэтому мы сейчас находимся как раз
в той области, где никакая формализация не
может нас избавить от содержательной ин-
терпретации понятий. Мы должны сделать со-
держательные допущения, позволяющие гово-
рить о неограниченно продолжающихся после-
довательностях, т. е. по существу о моделях
натурального ряда.
Идея последовательности элементов, обла-
дающей свойствами, выраженными аксиома-
ми Пеано, столь проста, что представляется
законным допущение о существовании такой
последовательности и сделать непосредственно
исходным допущением, рассматривая его как
известное обобщение данных опыта и наших
наглядных представлений. Я думаю, что ни-
чего не изменилось со времен Кронекера и
Пуанкаре, которые считали, что известные
возможности замены этого допущения каки-
ми-либо другими не содержат в себе сущест-
венного прогресса. Например, для того чтобы
убедиться в законности допущения о сущест-
вовании бесконечного множества, по-видимо-
му, проще всего опереться на представление
о возможности построения бесконечной после-
довательности при помощи перехода от каж-
дого ее элемента к непосредственно следую-
щему.
Подведем итог наших общих рассмотрений.
Математикам, по существу, нужен один на-
туральный ряд чисел, который может обслу-
живать все их нужды. Свойства этого нату-
рального ряда, существенные для математи-
ков, полностью описываются аксиомами Пеа-
но. С научной точки зрения представляется
законным считать существование модели, в
которой эти аксиомы выполнены, исходным
допущением, являющимся непосредственным
обобщением данных опыта и наших нагляд-
ных представлений (мысленного эксперимен-
та). Модель, в которой натуральные числа яв-
ляются мощностями конечных множеств, по
способу ее построения не является самой про-
стой, и делать ее исходной логически не обя-
зательно.
6.
Ясно, что начальное обучение арифметике
натуральных чисел должно быть наглядным,
и не обязательно следовать ни аксиоматиче-
скому, ни какому-либо другому разработанно-
му математиками последнего столетия спо-
собу логического построения теории натураль-
ных чисел. Но это не значит, что начальный
курс арифметики не должен иметь ясного ло-
гического строения, которым сознательно ру-
ководствуются авторы учебника и учителя.
Формирование представлений о натураль-
ных числах в сознании детей начинается за-
долго до школы» а в школьном возрасте ре-
гулируется не только школьным обучением,
но и непосредственным участием детей в
практической жизни. Поэтому крайне жела-
тельно, чтобы лежащая в основе школьного
12
курса логическая схема была по возможно-
сти близка к реальным путям формирования
первых представлений о натуральных числах.
Если бы народная традиция здесь оказалась
в противоречии с наиболее совершенными на-
учными концепциями, то еще следовало бы
основательно подумать, чему отдать предпоч-
тение. Возможность такого конфликта между
требованиями науки и традицией наметилась
в последнее время потому, что некоторые ме-
тодисты слишком уверовали в логическую обя-
зательность очерченного выше, в п. 2, пути, в
котором четкое оформление понятия эквива-
лентности множеств предшествует счету. Мы
уже видели, что наука вовсе не требует при-
знания за концепцией, идентифицирующей на-
туральные числа с конечными мощностями,
какого-либо исключительного и преимущест-
венного положения.
По данным же истории культуры и наблю-
дениям за развитием детей дошкольного воз-
раста можно установить, что прямое формиро-
вание понятий о мощностях, не опирающееся
на процесс последовательного пересчета, ос-
танавливается на самых первых шагах. Чтобы
продвинуться дальше, люди обращаются к
той или иной заранее заготовленной последо-
вательности знаков.
Наличие во многих языках «двойственного
числа» показывает, что формирование пред-
ставления о сходстве всех множеств мощно-
сти 2 могло быть самостоятельным этапом че-
ловеческой мысли, на котором различались
лишь «один», «два» и «много». О том же го-
ворит особое положение в русском языке сло-
ва «пара», которое логически должно было
бы быть первым членом последовательности
пара, тройка, четверка, ...,
но не похоже по способу образования на сле-
дующие члены этой последовательности (мы
говорим упорно «пара лошадей», а не «двой-
ка лошадей», хотя последнее и соответство-
вало бы дальнейшим «тройке лошадей» и
«шестерке лошадей»). Особенности согласо-
вания русских числительных говорят о том,
что такое индивидуальное отношение сущест-
вовало и к мощностям 3 и 4.
два стула,
три стула,
четыре стула,
пять стульев,
шесть стульев,
Только с пяти стульев устанавливается еди-
нообразие, продолжающееся неограниченно:
десять стульев,
сто стульев,
тысяча стульев.........................
Специалист по теории множеств Иван Ива-
нович Жегалкин утверждал даже в своих
лекциях 1920—1921 гг., что у детей иногда
представление о четырех предметах формиру-
ется ранее, чем представление о трех предме-
тах, по той причине, что дети часто встречают-
ся с четырьмя лапами у кошки, четырьмя
ножками у стола6 и т. п., но не имеют вокруг
себя стандартных троек предметов.
Но это мнение И. И. Жегалкина, кажется,
не было подтверждено точными наблюдения-
ми. Во всяком случае и здесь гипотеза фор-
мирования понятий о начальных мощностях
без обращения к счету по порядку относится
лишь к начальным мощностям 4.
Наблюдения психологов над восприимчиво-
стью человека к ритму говорят о том, что без
пересчета и без разбиения на подгруппы лю-
ди легко различают группу последовательных
четырех ударов от группы из пяти, а разли-
чение группы из пяти ударов от группы из ше-
сти уже лежит на пределе их возможностей.
Лишь при привычке отбивать такт, например
тройками, легко отличается
ООО, 000, 000, 000, 000
от
ООО, 000, 000, 000, 00
и т. п. Не случайно шестистопный классиче-
ский ямб в отличие от пятистопного реши-
тельно нуждается в цезуре.
Там, где отказывает способность интуитив-
но схватывать «равночисленность» множеств,
помогает, как уже говорилось, счет.
Так как мы не учим теперь детей продол-
жать счет с пальцев рук на пальцы ног, то
вполне естественно, что и родители и дети с
удовольствием заготовляют заранее последо-
вательность слов
один, два, три, четыре, пять, шесть,
семь, восемь, девять, десять, один-
надцать, двенадцать, тринадцать, че-
. тырнадцать, пятнадцать......	(1)
Сопоставление элементов произвольного мно-
жества с элементами начального отрезка этой
последовательности является более простой,
а к моменту поступления в школу уже и бо-
лее привычной для ребенка операцией, чем
непосредственное -сопоставление элементов
двух множеств.
Особенно же существенно, что каждый ре-
бенок в самом деле на многократном опыте
убеждается в основном положении, что пере-
счет элементов одного и того же множества,
проводимый в различном порядке, всегда за-
канчивается на одном и том же члене стан-
дартной последовательности слов (1).
6 В 1920 г. столы еще имели, как правило, четыре
ножки.
13
При овладении общим понятием «числа эле-
ментов множества» люди поступают по Деде-
кинду, а не по Кантору. Независимое же от
счета непосредственное овладение понятием
мощности на достаточно обширном материале
и мысленных экспериментах является, по-ви-
димому, лишь созданной теоретиками фик-
цией (кроме, как уже говорилось, быть может,
самых первых мощностей 1, 2, 3, 4).
Независимое от счета овладение общим по-
нятием мощности, хотя бы и только в при-
менении к конечным множествам, требовало
бы обращения к обширному запасу наблюде-
ний, подтверждающему транзитивность экви-
валентности и невозможность эквивалентно-
сти множества своей части. Можно достаточ-
но уверенно утверждать, что в действитель-
ности понимание обоих этих фактов дости-
гается лишь через обращение к счету при по-
мощи стандартной последовательности слов
ли, пальцев ли, безразлично.
7.
Теперь мы, по существу, уже достаточно
подготовлены к тому, чтобы наметить логиче-
скую схему, могущую служить для препода-
вателя путеводной нитью при начальном
обучении арифметике в младших классах,
быть постепенно доведенной до сознания уча-
щихся в средних классах, а в старших — под-
вести и к настоящему научному обсуждению
природы натурального числа. Но перед этим
полезно еще одно замечание относительно
терминологии. В грамматике различают ко-
личественные и порядковые числительные. Но
это различение не имеет прямого отношения
к различию между кардинальными и орди-
нальными числами Кантора.
Порядковые числительные, подобно прила-
гательным, не являются именами каких-либо
новых предметов. Математик может употреб-
лять слова
первый, второй, третий, ...,
чтобы, например, наименовать первый, вто-
рой, третий член какой-либо последователь-
ности
Ci, а%, аз, ... «
Но эти словоупотребления не, дают ему пово-
да для введения особых «порядковых чисел».
Количественные числительные
один, два, три, четыре, пять, .... сто, ..., тыся-
ча, .... миллион, ...
имеют два основных значения:
а)	В соединении с наименованием рода
предметов они обозначают множество соответ-
ствующей численности:
два мальчика,
пять яблок,
тысяча яиц и т. п.
б)	Они являются именами чисел.
Так как существует только одно число
«пять» и одно-единственное число «тысяча»,
то при употреблении во втором смысле коли-
чественные числительные по самому их смыс-
лу не допускают множественного числа.
У большинства из них вообще нет множест-
венного числа, хотя при употреблении числи-
тельных в смысле а) с точки зрения логики
его наличие было бы естественно, как это име-
ет место для тысячи, миллиона и миллиарда.
Для других количественных числительных
множественное число образуется не от них не-
посредственно, а от слов
пара, тройка, .... десяток, .... сотня, ....
Мы говорим
три пары лошадей,
много десятков яблок,
две тысячи яиц,
много миллионов птиц
и т. д.
Одной из важных задач при начальном обу-
чении арифметике является доведение до пол-
ной ясности употребления числительных в ка-
честве собственных имен чисел. Известно, что
выражение «пять взять четыре раза» еще
долго кажется детям более понятным, чем
«пять умножить на четыре». Из-за архаично-
сти грамматики задача эта довольно деликат-
на. Школьник должен понимать, что сущест-
вует только одно число «тысяча», но имеется
и число «три тысячи», а три тысячи яиц ре-
ально могут состоять из трех тысяч — «первой
тысячи» в одном ящике, «другой тысячи» — во
втором ящике и «третьей тысячи» в третьем
ящике.
Эти неизбежные терминологические труд-
ности были бы еще осложнены при попытке
вводить в элементарный курс арифметики
различение «количественных» и «порядковых»
чисел. К счастью, оно совершенно не нужно в
школе и совсем не обязательно при научном
построении арифметики натуральных чисел.
8.
Дошкольная стадия овладения арифмети-
кой натуральных чисел неизбежно синкретич-
на. Семилетний ребенок, приходящий в шко-
лу, конечно, уже много раз пересчитывал
предметы, пользуясь начальным участком по-
следовательности слов
один, два, три, четыре, пять, ...;
привык говорить о числе тех или иных пред-
метов; видя три яблока и две груши, пони-
мает, что яблок больше, чем груш, и т. п.
В реальном общении с окружающими эти на-
выки образуются без строгой системы и часто
основаны лишь на частичном понимании.
14
Я не специалист по дошкольному воспита-
нию, но думаю, что здесь с некоторой бессис-
темностью и не надо бороться.
Но в школе начинается формирование опре-
деленной системы знаний о натуральных чис-
лах. Эта система, как уже говорилось, будет
лишь постепенно осознаваться все более пол-
но, оставаясь по существу достаточно твер-
дой.
1. Порядок. Часто приходится распола-
гать предметы в определенном порядке: бук-
вы в алфавите, люди в очереди, цифры
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Расположенные по порядку буквы или циф-
ры можно употреблять для обозначения рас-
положенных по порядку предметов другой
природы: в школьном коридоре один за дру-
гим расположены
класс А, класс Б, класс В, класс Г,
на улице — дома с номерами
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Букв или цифр может не хватить для обозна-
чения расположенных по порядку предметов.
После буквы Я можно пустить в употребление
пары букв
АА, АБ, АВ, ....
после цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9—номера
10, 11, 12, 13 ....
Пользуясь номерами, составленными из
цифр, говорят о нумерации, или пересчитыва-
нии, предметов.
2. Натуральные числа. Нельзя ли
распорядиться так, чтобы номеров хватило во
всех случаях, как бы много предметов ни
пришлось пересчитывать? Для этого надо,
чтобы ряд номеров продолжался «неограни-
ченно». Этого люди и достигли, создав нату-
ральный ряд чисел. Не важно, из чего он сос-
тавлен. Слова разных языков
один, два, три, четыре, ...
ein, zwei, drei, vier, ...
или записи при помощи цифр
1, 2, 3, 4, ...
можно считать лишь разными названиями по-
следовательных натуральных чисел.
Рис. 5
i 4 й <
12	3	4	5	6	7
4 • 4
12	3
Рис. 6
3.	Численность множества. Элемен-
ты множества можно нумеровать числами (пе-
ресчитывать) в разном порядке. Пересчет за-
канчивается всегда на одном и том же числе
(рис. 5). Получаем число элементов множе-
ства (его численность)
п(М).
Замечание. Позднее учащиеся познако-
мятся с множествами, пересчет которых ни-
когда не закончится.
4.	Сложение чисел естественно с самого
начала связывать с операцией соединения не-
пересекающихся множеств:
п = «1 + п2,
если
«1 = п (Mi), п2 = п (М2), Mi ПЛ12 = 0,
п — п (Mi UM2),
считая последовательное присчитывание
(рис. 6) лишь способом его выполнения.
Только при таком подходе коммутативность
и ассоциативность достаточно очевидны.
5.	Умножение без нарушения принятой
логической концепции могло бы проявиться
тремя способами:
а)	п — km как численность соединения m
непересекающихся множеств численности
k каждое,
б)	как результат сложения m слагаемых,
равных k,
в)	как число пар (х, у), где х берется из
множества численности k, а у — из множест-
ва численности т.
Последний из этих способов имеет то до-
стоинство, что делает наглядно убедитель-
ным коммутативность умножения, но попыт-
ки положить его в основу первого знакомства
с умножением мне кажутся методически не-
убедительными. Наглядная убедительность
коммутативности умножения легче достигает-
ся не обращением к общей идее множества
пар, а непосредственно на геометрической
модели со счетом по строкам и столбцам
(рис. 7).
Что касается первых двух способов, то са-
мо различие между ними в младших классах,
вероятно, останется незамеченным, хотя логи-
чески оно и несомненно: первый подход требу-
ет установления независимости результата от
выбора множеств, а второе определение уже
15
о о о о о
О О О О О 3*5 =5*3
о о о о о
Рис. 7
по форме доставляет непосредственно опера-
цию над самими числами.
Следование этой схеме в первых классах
не предполагает обязательного введения сло-
ва «множество». Тем более не обязательны
обозначения. Но уже в п. 3 естественно рас-
ширение системы чисел введением нуля.
При постепенном углублении представлений
об основах арифметики в средних и старших
классах без всякой ломки общей схемы про-
исходит следующее:
1.	Вводится явное определение порядка и
упорядоченного множества. Находится число
разных способов п! ввести порядок на конеч-
ном множестве из п элементов.
2.	Объясняется, что само множество нату-
ральных чисел есть частный пример упорядо-
ченного множества. Его устройство характе-
ризуется полностью теми или иными свойст-
вами, равносильными аксиомам Пеано. По-
дробно излагается история формирования
идеи бесконечности натурального ряда.
В IX классе при прохождении темы «Прин-
цип математической индукции» в основу
кладется аксиома IV из первого пункта этой
статьи. Желательно здесь и более широко
рассказать об аксиоматической характеристи-
ке устройства натурального ряда «с точностью
до изоморфизма», произнося или не произнося
само слово «изоморфизм».
3.	Устанавливается, что конечные множест-
ва тогда и только тогда взаимо однозначно
отображаются друг на друга, когда они име-
ют одно и то же число элементов п. Устанав-
ливается, что число отображений равно п\
В факультативном порядке в старших клас-
сах дается понятие об эквивалентности и
мощностях бесконечных множеств. Мощнос-
ти конечных множеств остаются просто чис-
лами п(М). Мощности бесконечных множеств
можно назвать трансфинитными, числами,
подчеркнув своеобразие этого направления
обобщения понятия числа7. Термин «карди-
нальные числа» и здесь остается излишним 8,
хотя на этом этапе на факультативных заня-
тиях с любителями математики знакомство с
различными, не согласованными между собой
вариантами терминологии уже не страшно, а
может быть, и полезно.
4	и 5. При прохождении темы «Принцип
математической индукции» естественными
примерами индуктивных определений могут
явиться индуктивные определения
а) сложения
а + 1 = а',
а 4- Ь' — (а + Ъ)г,
б) умножения
а • 1 = а, «ОС
а • Ь' = а • b +
В связи с этим естественно рассказать о воз-
можности последовательного развития теории
натуральных чисел непосредственно из акси-
ом Пеано. Впрочем, фактическое проведение
этого замысла громоздко и мне кажется не
особенно благодарным даже для занятий со
школьниками — любителями математики.
7 Как известно, не существует разумной системы чи-
сел, в которую вместе входили бы действительные чис-
ла и числа Ко или К .
8 Для Кантора наименование мощностей «карди-
нальными числами» служило для фиксации внимания
на их отличии от его «ординальных чисел».
OOqp о.... | Си
OOlOOOo».-
2	оо
ии+-2 2+си =иэ
ОО|ОО| ОО|оо|оо|...
QO ооо
| ОоО ° * • •
Рис. 8
Если в факультативном порядке школьни-
ков знакомят с мощностями, то естественно
применить к ним те же определения сложе-
ния.
При занятиях комбинаторикой естественно
указать на логичность и изящество определе-
ния произведения как числа пар.
Если в факультативном порядке школьни-
ки знакомятся с мощностями бесконечных
множеств, то естественно для них определить
сложение и умножение (здесь уже сразу как
мощность множества пар).
6. Понятие порядкового типа упорядочен-
ного множества — благодарная тема для фа-
культативных и кружковых занятий. Очень
живо проходит знакомство со сложением и
умножением порядковых типов, на которых
сразу обнаруживается нарушение коммута-
тивности этих действий (рис. 8). Тема эта не-
сколько изысканна, но поучительна для на-
стоящих любителей математики, в частности,
и тем, что по-новому освещает различные воз-
можности построения арифметики обычных
натуральных чисел.
Собственно ординальных чисел Кантора,
т. е. специального изучения порядковых типов
вполне упорядоченных множеств я здесь ка-
саться не буду, так как это увело бы нас уже
слишком далеко от основной темы этой лек-
ции.
«КВ АНТ>
В январе 1970 г. издательство «Наука» выпустит для
молодежи первый иомер нового научно-популярного
ежемесячного физико-математического журнала «Квант»
Академии наук СССР и Академии педагогических наук
СССР.
Журнал предназначен в первую очередь для старше-
классников. Но он будет полезен и учителям, особен-
но тем, кто ведет кружки и факультативные занятия
по физике или математике, студентам, а также всем
тем, кто интересуется математикой и физикой.
Журнал будет публиковать статьи и заметки по фи-
зике и математике, написанные доступно и на высоком
научном уровне.
Основное место в журнале займут материалы, помо-
гающие читателю расширить активный запас знаний и
знакомящие с понятиями и методами современной ма-
тематики и физики. Регулярно будут печататься мате-
риалы для подготовки к экзаменам в вузы, рецензии
на новые книги.
В журнале будут публиковаться обзорные статьи, рас-
сказывающие о достижениях науки и проблемах, кото-
рые еще ждут своего решения, рассказы об ученых
и рассказы самих ученых о том, как «делается наука»,
как появляются научные открытия, о специфике от-
дельных профессий, связанных с математикой и физи-
кой, о новых приложениях этих наук.
В журнале будет много задач как в специальном от-
деле «Задачник Кванта», так и в виде упражнений
к отдельным статьям; среди них будут публиковаться
олимпиадные задачи, задачи, предлагавшиеся на всту-
пительных экзаменах в вузы, и т. д.
Основные авторы — известные советские и иностран-
ные ученые, педагоги, молодые научные работники и,
наконец, сами школьники и другие читатели, которым
журнал предоставит страницы для решения интересных
задач, описания приборов и опытов, научных за-
меток.
Главный редактор журнала — академик И. К. К и-
коин, первый его заместитель—академик А Н. Кол-
могоров. Объем одного номера—6 п. л., цена —
30 коп.
На журнал принимается подписка; индекс 70465.
Н. Б. Васильев, М. Л. Смолянский
МЕТОДИЧЕСКИЙ
ОТДЕЛ
В Министерстве просвещения СССР
Коллегия Министерства просвещения
СССР 25 июля с. г. рассмотрела вопрос о ра-
боте по новому учебнику математики для
IV класса под редакцией А. И. Мар куш е-
в и ч а.
Как известно, в соответствии с решением
Коллегии от 15 марта 1968 г. в 1968/69 учеб-
ном году проводилась опытная проверка но-
вой программы по математике для IV класса
по пробным учебникам четырех авторских
коллективов: И. В. Барановой и 3. Г. Вор-
чу го в ой; Н. Я. Виленкина, К. И. Пеш-
кова и др., под редакцией А. И. Марк у-
шевича; С. А. Пономарева, П. В. Стра-
тилатова и Н. И. Сырнева, под редак-
цией В. И. Левина; Н. А. Пр инцев а,
Л. Н. Принцевой и М. И. Ягодов-
с к о г о.
Проверка проводилась во всех школах трех
районов Российской Федерации (Суздальском
районе Владимирской области, Тосненском
Ленинградской области, Белоярском Сверд-
ловской области), во всех четвертых классах
Севастополя, в некоторых школах Москвы,
Новосибирска, Куйбышева и др., в небольшом
числе классов почти всех союзных республик.
Опыт работы по новым программам, отзывы
большого числа учителей, методистов и уче-
ных, заключения программной комиссии и
комиссии по отбору учебников позволили
отобрать для продолжения опытной проверки
новой программы в 1969/70 учебном году из
четырех пробных учебников учебник коллекти-
ва авторов под редакцией А. И. Маркушевича.
Этот учебник в наибольшей степени соответ-
ствует задачам современного математического
образования и полностью отвечает требова-
ниям новой программы. В нем найден наибо-
лее рациональный путь введения основных
понятий программы IV класса: числа, выра-
жения (числового и содержащего перемен-
ное), уравнения и неравенства, теоретико-
множественных представлений (множества,
элемента множества, принадлежности), на-
чальных элементов математической логики
(справедливого и несправедливого высказыва-
ния) и символики. Обеспечена логическая по-
следовательность изложения теоретического
материала — наряду с прохождением опреде-
ленной темы даются подготовительные упраж-
нения для формирования новых понятий, ре-
шения сложных задач.
Обучение учащихся решению задач состав-
лением уравнений и отказ от разграничения
задач «по типам» дают возможность решать
их осмысленно, предупреждают от механиче-
ского натаскивания. Среди упражнений боль-
шое число устных. До минимума сведен ма-
териал для заучивания, а также упражнения,
не требующие рассуждений.
Отличительная черта учебника — доступ-
ность изложения. Язык учебника четкий, ла-
коничный.
В прошлом учебном году по новой програм-
ме и учебнику математики под редакцией
А. И. Маркушевича работали около трехсот
учителей, в том числе около ста учителей на-
чальной школы.
Абсолютное большинство учителей отме-
чают доступность новой программы и учеб-
ника по математике для учеников IV класса.
Новая программа, по их мнению, обеспечивает
более высокий теоретический уровень изуче-
ния материала, способствует развитию мыш-
ления учащихся, ликвидирует разрыв между
арифметикой, алгеброй и геометрией. Это же
подтверждается и успеваемостью учащихся
экспериментальных классов в течение года.
Вместе с тем в ходе экспериментальной ра-
боты имели место определенные трудности,
особенно при изучении таких вопросов, как
«Числовой луч», «Шкалы», «Раскрытие ско-
13
бок», «Распределительный закон деления»,
«Сокращение частного». Затруднения учите-
лей вызвала необходимость самостоятельного
распределения геометрического материала
между уроками. К слабым сторонам учебника
отнесено недостаточное количество трениро-
вочных упражнений на формирование вычис-
лительных навыков.
При доработке учебного пособия к изданию
в качестве стабильного авторами были учте-
ны результаты опытной проверки, а также
многочисленные замечания учителей и рецен-
зентов. Значительно улучшена система и ме-
тодика изложения материала учебника. Даны
более корректные в научном отношении фор-
мулировки математических предложений;
трудные для понимания учащихся упражнения
заменены более доступными. Из пособия
исключены такие вопросы: «Как раскрывать
скобки?», «Сокращение частного», «Распреде-
лительный закон деления», «Геометрия вокруг
нас», «Измерение величин», «Правила и фор-
мулы». Уточнены и даны в более совершен-
ном изложении геометрический материал,
метрическая система мер, понятия перемен-
ной, уравнения, множества. Геометрический
материал распределен равномерно по всему
курсу. В текст учебника включены историче-
ские сведения и материалы прикладного ха-
рактера. Учебное пособие дополнено вопроса-
ми, перенесенными из программы I—III клас-
сов: измерения на местности и единицы пло-
щади — ар и гектар. Сокращено количество
упражнений с 1613 до 1368. После доработки
объем учебного пособия сократился на 1,5 пе-
чатного листа. Результаты опытной проверки
новой программы по математике потребовали
внесения и в нее некоторых изменений и уточ-
нений. В тему «Десятичные дроби» включен
вопрос «Обыкновенные дроби. Основное свой-
ство дроби». Из программы III класса пере-
несена тема «Меры площади земельных уча-
стков. Ар и гектар». Термин «геометрическое
тело» заменен более общим — «геометрическая
фигура». Исключены вопросы: «Поверхность,
линия», «Окружность, центр, радиус, диаметр,
хорда» (эти вопросы изучаются в начальной
школе). В целях облегчения программы
исключены вопросы «Полный угол», «Осевая
симметрия». (Изучение осевой симметрии
перенесено в V класс.)
Указанные изменения программы учтены
авторским коллективом при доработке учеб-
ника.
Комиссия по определению содержания сред-
него образования Академии наук и Академии
педагогических наук СССР рекомендовала
доработанную рукопись к изданию в качестве
стабильного учебника.
Коллегия Министерства просвещения
СССР приняла решение утвердить рукопись
авторов Н. Я. В и л е н к и н а, К- И. Пешко-
ва, С. И. Шварцбурда, А. Д. Семуши-
на, Т. Ф. Нечаевой, А. С. Чеснокова,
под редакцией А. И. Маркушевича в ка-
честве общесоюзного стабильного учебника.
На 1970/71 и 1971/72 учебные годы утвержден
дополнительный материал, написанный авто-
ром А. С. П ч е л к о.
Одновременно с учебником утверждена про-
грамма IV класса по математике, доработан-
ная в соответствии с результатами опытной
проверки.
В 1970/71 учебном году вводится новая про-
грамма по математике в IV классе, V—
X классы работают по ранее действующей
программе.
ПРИЛОЖЕНИЕ
IV КЛАССА ПО МАТЕМАТИКЕ^А 1970/71 УЧЕБНЫЙ
ГОД
(7 часов в неделю, всего 245 часов,
из них 30 часов на геометрию)
ОБЪЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Предполагается, что из первых трех классов
учащиеся вынесли твердые навыки в выпол-
нении четырех арифметических действий с на-
туральными числами, кроме наиболее трудных
случаев, таких, как деление на трехзначное
число и др., умение решать несложные зада-
чи на применение всех действий.
В курсе ар тфметикн и начал алгебры про-
водится повторение и систематизация ранее
полученных учащимися сведений о натураль-
ных числах. Основой систематизации служит
осмысление понятия «число» и операций над
числами с привлечением понятий «множест-
во», «элемент множества», «принадлежностъ».
Содержание перечисленных понятий разъяс-
няется на конкретных примерах множеств и
усваивается в процессе выполнения упраж-
нений.
Техника выполнения арифметических дей-
ствий к концу курса должна быть доведена до
полной отчетливости (безошибочности резуль-
тата) и уверенности в способности справиться
с вычислениями со сколь угодно большими
числами. Однако, как правило, достаточно
ограничиться вычислениями с 3-, 4-, 5-значны-
ми числами, выходя за эти пределы лишь
в отдельных упражнениях.
Раннее введение уравнений позволяет по-
новому организовать обучение решению тек-
стовых задач. На достаточно убедительных
19
примерах раскрываются преимущества алгеб-
раического способа перед арифметическим.
В дальнейшем учащемуся самому предостав-
ляется право выбора метода решения задачи.
Тождественные преобразования основыва-
ются на законах арифметических действий.
С введением понятий выражения, содержа-
щего переменную, положено начало формиро-
ванию понятия функции.
Во всем курсе используются знаки нера-
венств, знакомые учащимся из начальных
классов Навыки в обращении с неравенства-
ми приобретаются постепенно.
ПОЯСНЕНИЯ К ОТДЕЛЬНЫМ ТЕМАМ
АРИФМЕТИКА И НАЧАЛА АЛГЕБРЫ
Тема 1. Эта тема в курсе IV класса вре-
менная. На ее изучение выделено дополни-
тельно 35 часов. Она будет снята, когда
в IV класс придут учащиеся, прошедшие курс
обучения в I—III классах по новой програм-
ме. В этой теме рассматриваются те вопросы
новой программы I—III классов, которые не
содержались в старой программе этих же
классов. Особое внимание уделяется более
трудным случаям умножения и деления мно-
гозначных чисел в пределах миллиарда, по-
рядку выполнения действий, понятию о пло-
щади и единицах ее измерения.
Учащиеся знакомятся с окружностью и кру-
гом, их центром, радиусом, диаметром. При
изучении этого материала основное внимание
обращается на практическое использование
изученных понятий: ученик должен уметь вы-
черчивать окружность, проводить в ней ра-
диус и диаметр.
Тема 2. В этой теме наряду с повторением
и систематизацией сведений о натуральных
числах начинают формироваться понятия
выражения, уравнения, неравенства. При этом
широко используются графические иллюстра-
ции, основанные на изображении натураль-
ного ряда чисел последовательностью точек
на луче.
Изучение арифметических действий позво-
ляет развивать и закреплять вычислительные
навыки учащихся. Особое внимание уделяется
трудным случаям умножения и деления, дей-
ствиям с нулем и единицей.
Повторение коммутативного и ассоциатив-
ного законов умножения связывается с вы-
числением площади прямоугольника и объе-
ма прямоугольного параллелепипеда (послед-
ний вопрос —новый для учащихся). Законы
арифметических действий применяются к
обоснованию действий с многозначными чис-
лами, используются для преобразования вы-
ражений. Более глубокому пониманию поряд-
ка выполнения действий способствуют упраж-
нения в составлении выражений.
Тема 3. Работа над темой начинается
с формирования понятий обыкновенной дроби
как результата деления и как результата из-
мерения. При этом рассматривается выпол-
нение (по соображению) действий с обыкно-
венными дробями в простейших случаях.
Десятичные дроби вводятся как способ за-
писи дробей со знаменателем вида 10п,
где п — натуральное число, и далее внимание
сосредоточивается на выработке прочных на-
выков сложения, вычитания, умножения и де-
ления десятичных дробей. В итоге учащиеся
должны легко и быстро справляться с вычис-
лениями типа
28,6 — 0,27 • 8 + 10,4 — 17,6 : 2,5.
Умножение числа на десятичную дробь
органически связано с задачей вычисления
площади прямоугольника.
ГЕОМЕТРИЯ
В IV классе изучаются основные геометри-
ческие понятия примерно в том же объеме,
что и в курсе VI класса по публикуемой для
этого класса программе. Однако методика
изложения этого материала в IV классе суще-
ственно отличается от методики изучения это-
го же материала в VI классе. При изучении
геометрии в IV классе должно преобладать
наглядное рассмотрение и опытное обоснова-
ние фактов. Значительное число выводов де-
лается учащимися как обобщение измерений
и построений, выполняемых с помощью чер-
тежных инструментов. Как средство убежде-
ния учащихся в правильности высказываемых
положений широко используются построения
с листом бумаги, моделирование. Известную
роль при изучении геометрии играет и обоб-
щение жизненного опыта учащихся.
Изложение материала в IV классе ведется
без использования понятий «определение»,
«теорема», «доказательство». Однако система
изложения всего материала строится так,
чтобы содействовать развитию логического
мышления учащихся. В конце IV класса уча-
щимся фактически дается дедуктивное обос-
нование свойства вертикальных углов.
Измерение длин и вычисление площади
прямоугольника, построение прямого угла
находят свое приложение в измерительных
работах на местности.
ПРОГРАММА
Арифметика и начала алгебры
1.	Многозначные числа — 35 часов.
Нумерация многозначных чисел до милли-
арда. Умножение и деление многозначных
20
чисел на двузначные и трехзначные числа.
Порядок выполнения действий.
Площадь прямоугольника. Формула для
вычисления площади прямоугольника.
Окружность и круг. Центр, радиус и диа-
метр.
2.	Натуральные числа — 105 часов.
Чтение и запись многозначных чисел. Изо-
бражение чисел точками на луче. Сравнение
чисел. Неравенство.
Законы арифметических действий: комму-
тативный, ассоциативный и дистрибутивный.
Сложение, вычитание, умножение и деление
многозначных чисел.
Числовые выражения. Выражения, содер-
жащие переменные. Числовое значение выра-
жения Преобразование выражений на основе
законов арифметических действий.
Применение уравнений к решению задач.
Замечание. В связи с рассмотрением
законов действий изучается объем прямо-
угольного параллелепипеда и вводится фор-
мула для вычисления объема прямоугольного
параллелепипеда.
3.	Десятичные дроби — 75 часов.
Измерение величин. Десятичная система
мер. Обыкновенная дробь. Основное свойство
обыкновенной дроби. Десятичная дробь. Срав-
нение десятичных дробей.
Сложение, вычитание, умножение и деление
десятичных дробей. Округление чисел. Сред-
нее арифметическое. Понятие процента.
Геометрия
(30 часов, распределены в течение года)
Основные геометрические понятия —
30 часов.
Геометрическая фигура. Прямая линия.
Луч. Отрезок. Ломаная линия. Сравнение
длины ломаной с длиной отрезка, соединяю-
щего ее концы. Соотношение между сторона-
ми треугольника.
Угол. Сравнение углов. Биссектриса угла.
Развернутый угол. Прямой угол и его по-
строение при помощи чертежного угольника.
Градусное измерение углов. Транспортир.
Смежные и вертикальные углы.
Перпендикуляр к прямой и его построение
при помощи чертежного угольника. Расстоя-
ние от точки до прямой.
О применении эвристических приемов
Г. Д. БАЛК
(г. Смоленск) в школьном преподавании математики
Хорошо известно, что эвристические прие-
мы— и прежде всего аналогия и индукция —
играют важную роль в творческой работе ис-
следователей любой специальности.
Наука, техника, народное хозяйство ставят
сейчас перед математикой большое число раз-
нообразных задач, не стандартных по своей
форме и содержанию. Поэтому и важно при-
учать учащихся к применению общих приемов
поиска решения задач, пригодных к любым —
в том числе и «нетиповым», нестандартным
задачам.
Нельзя сказать, чтобы наши учащиеся не
прибегали к эвристическим приемам при ре-
шении задач или при доказательстве теорем.
Однако они пользуются ими обычно «стихий-
но», неосознанно. Осознанное применение этих
приемов давало бы во много раз больший эф-
фект. К сожалению, до сих пор вопрос о при-
менении эвристики при обучении математике
в условиях нашей средней школы еще недо-
статочно разработан.
В данной заметке мы намерены остановить-
ся лишь на некоторых упражнениях, позво-
ляющих ознакомить учащихся старших клас-
сов с основными эвристическими приемами.
АНАЛОГИЯ
В математике часто оказывается, что анало-
гичные, сходные условия приводят к сходным
заключениям. Чтобы этим соображением уча-
щиеся могли пользоваться при изучении ма-
тематики, следует прежде всего приучить
школьников хотя бы на небольшом числе
упражнений формулировать математические
предложения по аналогии. При этом с самого
начала необходимо подчеркнуть, что сравне-
ние не есть доказательство, что предложения,
сформулированные по аналогии, могут ока-
заться и ошибочными. Например, по аналогии
с истинными предложениями: «Если сумма
цифр числа делится на 3, то и число делится
на 3» и «Если сумма цифр числа делится на
9, то и число делится на 9», можно сформули-
ровать такое предложение: «Если сумма цифр
числа делится на 27, то и само число делится
на 27». Однако оно ошибочно. Чтобы убедить-
21
ся л этом, можно рассмотреть число 2799 —
сумма его цифр делится на 27, а само число
на 27 не делится.
Приведем два упражнения для школьников:
1) Верно такое предложение: «Если в тре-
угольнике все углы равны, то и стороны рав-
ны». Сформулируйте аналогичное предложе-
ние для шестиугольника. Верно ли оно?
2) Справедливо предложение: «Сумма рас-
стояний от любой точки, лежащей внутри
правильного треугольника (или на его конту-
ре) до его сторон, есть величина постоянная».
Сформулируйте аналогичное предложение для
многоугольника. Верно ли оно?
Хотя предложения, сформулированные по
аналогии, могут оказаться ошибочными, все
же часто оказывается, что такие предложения
истинны. Именно это и оправдывает привле-
чение аналогий для получения новых матема-
тических результатов.
Но не только для формулировки новых (для
школьников) правдоподобных математических
фактов полезно привлекать аналогию. Пожа-
луй, еще более ценно воспитать у школьника
привычку сознательно привлекать аналогию
при поиске способа решения предложенной
ему трудной задачи или способа доказатель-
ства сложной теоремы.
Вспомогательная задача (№ 2)
1. Соединим центр О вписанной окружности с вер-
шинами Л АВС (черт. 1).
Черт. 1
2- ^Д АВС — * SA АОВ + 5 А АОС + 5 А ВОС -	(О
3. Обозначим площадь Л АВС через S, тогда по
формуле Герона
S = / р(р —	—с>-
4- 5Д АОВ “ — сг’
АОС = — Ьг’
с 1 -
•^^.вос —
Расскажем об одном поучительном экспери-
менте. В одной из школ г. Смоленска нами
была предложена учащимся IX класса сле-
дующая задача:
Задача № 1. Зная стороны а, Ь, с тре-
угольника АВС, вычислите радиус rt вневпи-
санной окружности, касающейся стороны ВС
и продолжений сторон АВ и АС.
В течение 20 минут ни один из школьников
не мог найти способа решения этой задачи.
Тогда мы предложили им сформулировать
более простую или известную им аналогич-
ную задачу.
Учащиеся привели задачу:
Задача № 2. Зная стороны а, Ь, с тре-
угольника АВС, вычислить радиус г вписан-
ной окружности.
Затем рассмотрели решение этой задачи
(см. ниже), разбили его на отдельные про-
стейшие «шаги». После этого учащиеся легко
обнаружили, что решение исходной задачи
(№ 1) можно получить по аналогии с реше-
нием вспомогательной задачи (№ 2). Для
этого им было достаточно провести аналогию
на каждом «шаге» решения.
Окончательная запись выглядела так.
Исходная задача (№1)
1. Соединим центр О, вневписанной окружности
с вершинами Л АВС (черт. 2).
Черт. 2
2- 5 А АВС = SA АО,В + 5Д АО,С ~ SA ВО,С-	'
3. То же.
4- SAAO,B:----2-С**’
S&.AO,C “ -5- ir*'
с	1
Л£,ва,с “ ~2~а*'*-
22
5. Из (1) следует
S - -1- (с + b + а)г = рг,
откуда
г = —
р ’
или
г = 1/ (Р~ Д)(Р~ с>
У	р
5. Из (I) следует
5 =- (с + b — а) гх = (р — а) гъ
откуда
или
Г -1/ Р(Р~6)(Р~С>
Г	р — а
Задача решена.
На этом примере мы проследили за одним
весьма полезным приемом поиска решения
задач. Он сводится, как мы видели, к сле-
дующему:
I. Подбираем задачу, аналогичную исход-
ной, т. е. такую, что у нее и у исходной зада-
чи сходные условия и сходные заключения.
Вспомогательная задача должна быть проще
исходной или ее решение должно быть нам
известно.
II. Решив вспомогательную задачу, мы про-
водим аналогичные рассуждения для решения
исходной задачи.
Естественно применять аналогию к реше-
нию стереометрических задач (при этом каж-
дый раз ученик самостоятельно формулирует
для себя и решает аналогичную планиметри-
ческую задачу), особенно при решении задач
на отыскание геометрических мест точек
в пространстве.
Полезно привлекать аналогию и при дока-
зательстве теорем. Так, например, теорему
о биссектрисе внешнего угла треугольника
учащиеся могут доказать самостоятельно,
прослеживая «по шагам» доказательство тео-
ремы о биссектрисе внутреннего угла тре-
угольника.
Приведем несколько задач, которые можно
предложить учащимся в качестве упраж-
нений.
3)	Постройте точку Р, делящую внешним
образом отрезок АВ в данном отношении
m : п, еде тип — данные отрезки, m >• п.
Иными словами, точка Р должна лежать
АР
на продолжении отрезка АВ, причем =
_ П1
п
Указание. Предварительно следует сфор-
мулировать аналогичную, более простую за-
дачу (деление отрезка в отношении m: п
внутренним образом) и вспомнить ее решение.
4)	Найдите ГМТ пространства, для которых
разность квадратов расстояний от концов
данного отрезка равна постоянной вели-
чине с2.
Указание. Предварительно сформулиро-
вать и решить аналогичную задачу на пло-
скости; воспользоваться ею для решения ис-
ходной задачи.
5)	Применяя аналогию, найдите способ до-
казательства теорем: а) в трехгранном угле
сумма двух плоских углов больше третьего;
б) в трехгранном угле разность двух плоских
углов меньше третьего. ,
6)	Докажите: сумма расстояний от любой
точки, лежащей внутри равногранного тетра-
эдра, до плоскостей его граней есть величина
постоянная.
7)	Боковые ребра некоторого тетраэдра вза-
имно перпендикулярны и равны а, Ь, с. Най-
дите высоту тетраэдра.
8)	Выразите радиус шара, вписанного
в тетраэдр, через высоты тетраэдра.
Нам представляются также желательными
систематические упражнения на использова-
ние аналогии при определении новых понятий.
Можно предложить учащимся самостоятельно
сформулировать (используя аналогию) опре-
деления понятий «центр шара», «диаметр ша-
ра», «касательная плоскость к шару», «пер-
пендикуляр (и наклонная) к плоскости», «па-
раллельные плоскости», «правильный много-
гранник», «площадь боковой поверхности ко-
нуса», «эквивалентные системы уравнений»,
«средняя линия четырехугольника» и др.
ИНДУКЦИЯ
Важность применения индукции при поиске,
угадывании математических закономерностей
не раз подчеркивалась в нашей методической
литературе. Такие упражнения используются
и в школьном преподавании математики
(вспомните, например, как находится или,
точнее, угадывается формула для общего чле-
на арифметической или геометрической про-
грессии). Увеличение числа подобных упраж-
нений в школьном курсе математики несом-
ненно желательно; большое число таких за-
дач можно найти, например, в книгах [41, [6J.
Здесь же мы хотели обратить внимание на
применение индукции для поиска способа ре-
шения уже предложенной задачи или для
23
доказательства уже сформулированной теоре-
мы. Суть дела заключается в том, что пред-
варительное рассмотрение частных случаев
задачи может привести нас к методу решения
задачи в общем случае. Встретившись
с трудной для нас задачей, мы начинаем
поиск ее решения с вопроса: «Для какого
частного случая мы сумеем решить эту
задачу?» После того как нам удалось нащу-
пать такой частный случай, мы ставим перед
собой уже новый вопрос: «Нельзя ли вос-
пользоваться этим решением (или приобре-
тенным нами опытом), чтобы решить задачу
в каком-либо более общем (но, быть может,
тоже частном) случае?» Такие рассуждения
повторяем достаточное число раз, пока не до-
беремся до решения исходной задачи.
Ограничимся здесь двумя примерами.
Пример 1. Учащимся юношеской матема-
тической школы, готовящимся к математиче-
ской олимпиаде, была предложена задача:
В двух ящиках имеются шары: в одном tn,
в другом п (т> п). Двое играющих пооче-
редно вынимают шары из ящиков. Каждый
раз игроку разрешается взять любое число
шаров, но только из одного ящика. Выиграв-
шим считается тот, кто вынет последний шар.
Как должен играть первый (тот, кто начинает
игру), чтобы выиграть?
Так как школьники с этой задачей не суме-
ли справиться, то мы им предложили само-
стоятельно сформулировать и затем рассмот-
реть последовательно частные случаи нара-
стающей сложности; после этого задача была
быстро решена. Ученики выделили такие слу-
чаи: n = 0, /п = 1; /1=0, m=2; n = 0, m— лю-
бое; /1=1, ш — любое; п=2. m— любое; п —
любое, пт — любое (/п>п). В итоге школь-
ники пришли к правильному ответу на по-
ставленный вопрос: первый игрок должен
каждым своим ходом уравнивать число шаров
в ящиках.
Пример 2. Членам математического круж-
ка седьмых классов была предложена задача:
Докажите, что сумма расстояний от любой
точки М, лежащей на контуре правильного
треугольника АВС или внутри него, до сторон
треугольника есть величина постоянная, не
зависящая от положения этой точки.
Извести® что эту задачу легко решить с по-
мощью фор-мулы для площади треугольника,
но семиклассники эту формулу не знали. За-
дача вызвала серьезные затруднения; однако
она была легко решена после того, как мы
напомнили ученикам о возможности приме-
нения индуктивных соображений. Ребята
предложили рассмотреть такие случаи: а) точ-
ка М — вершина треугольника; б) точка М —
на стороне треугольника (скажем, на стороне
ВС); этот случай сводится к предыдуще.му,
если через М провести прямую МАЛИ С, поло-
жить A'=MNxAB, тогда М — вершина
/\А'ВМ; в) (общий случай) М — произволь-
ная точка внутри /\АВС. Этот случай сводит-
ся к случаю б, если провести прямую Л4М||ДС,
рассмотреть точки A'=MNxAB, C'=.MNy,
XВС и /\А'ВС'.
Стоит обратить внимание на то, что при
решении этой задачи мы вначале (в случаях
а и б) выбирали точку М на контуре
треугольника. Это не случайно. При поиске
способа решения задачи с помощью индукции
особую ценность представляют именно раз-
личные «крайние» случаи.
Ряд полезных упражнений можно найти
в книгах [1]. [2], [4].
ПРЕДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ
Часто поиск решения предложенной задачи
значительно упрощается, если предварительно
решить такую вспомогательную задачу, кото-
рая имеет сходное условие с данной задачей,
но в которой условие или некоторые данные
получаются из условия или из данных исход-
ной задачи путем предельного перехода. Ска-
жем, некоторые из фигур, о которых говорится
в исходной задаче, заменяются их предель-
ными положениями. Например, если в исход-
ной задаче идет речь о секущей к окружности,
то мы вместо нее во вспомогательной задаче
рассматриваем касательную (предельное по-
ложение секущей, когда расстояние ее от
центра стремится к радиусу); если в условии
задачи говорится о четырехугольнике, то во
вспомогательной задаче можно рассматри-
вать треугольник (предельное положение че-
тырехугольника, когда длина одной из его
сторон стремится к нулю). Разумеется, что
для одной и той же задачи можно подобрать
различные предельные случаи. Рассмотрение
предельного случая полезно также при выяс-
нении правдоподобия того или иного готового
результата (ответа к задаче, данной форму-
лы), а также для построения опровержения.
К сожалению, в школе этим ценным прие-
мом, близким к индукции, почти никогда не
пользуются.
Рассмотрим несколько характерных при-
меров.
Пример 1. В четырехугольнике ABCD
(черт. 3) две стороны AD и ВС не параллель-
ны. Что больше: полусумма этих сторон или
отрезок (MN), соединяющий середины двух
других сторон четырехугольника?
Поиск решения. Спросим себя снача-
ла, как будет обстоять дело в предельном слу-
24
Черт. 3
Так как по условию AD #. ВС, то М, К
и N — не на одной прямой. Из £\МДИ вид-
но, что АШСТИ/С Ь KN^~{AD-]-BC).
Замечание. Если мы при поиске реше-
ния пойдем по другому пути и будем стя-
гивать в точку сторону АВ, то придем к дру-
гому предельному случаю (MN — медиана
треугольника CMD), который подскажет нам
другой путь решения (параллельный перенос
отрезков AD и ВС так, чтобы А и В пере-
шли в точку Л!)
Пример 2. Д'ана окружность радиуса
Д (черт. 6). Из точки А, лежащей вне
чае, когда одна из сторон четырехугольника
стягивается в точку. Можно стягивать в точку
либо ВС (или AD), либо АВ (или CD). Выбе-
рем первый путь: пусть ВС стягивается в точ-
ку В (черт. 4) В предельном положении
точка N совпадает с серединой Д отрезка BD,
и MN становится средней линией МД тре-
угольника ABD-, в предельном случае полу-
чаем такую вспомогательную задачу: что
больше, половина стороны AD треугольника
ABD или отрезок МД, соединяющий середины
двух других сторон? Ответ общеизвестен:
МД= -±-AD.
Черт. 4
Черт 5
окружности и отстоящей от центра О
на расстоянии а, проведена секущая.
Точки В и С ее пересечения с окруж-
ностью соединены с центром О. Пусть
.И. ВО А и <Д.СОА обозначены соответ-
ственно через ₽ и у. Найдите tg -|~-tg-g-.
Поиск решения. Требуется найти ве-
личину tg —-tg-^~ в зависимости от данных,
т. е. от и а, причем ответ должен быть
одним, и тем же при любом выборе секущей.
Теперь спрашиваем себя: нельзя ли к этому
предельному случаю свести решение задачи
в общем случае? Нетрудно усмотреть, что
можно.
Решение. Пусть К (черт. 5) —середина
диагонали BD четырехугольника ABCD. Из
£\ABD имеем МК =^-AD и МК |] AD, из
Д BCD имеем K-N = ВС и ДИ || ВС.
25
Правдоподобно, что этот же ответ должен
получиться и в предельном случае, когда
секущая вырождается в касательную. По-
этому сначала рассмотрим этот предельный
случай. Тогда ₽ = ? (черт. 7).
,_А
_ 1 — cos т а   а — R
1 + cos т	R	а + R'
а
Итак, в предельном случае
ё 2 ё 2	« + /?
Попытаемся теперь доказать, что и в об-
щем случае имеет место то же самое соот-
ношение. Наличие в этой формуле отрезков
а + R и а — R подсказывает нам, что эти
отрезки желательно ввести в чертеж (черт. 8),
т. е. желательно рассмотреть отрезки АЕ
и AM, где Е и М — точки пересечения пря-
мой АО с окружностью.
Черт. 8
Используя эти предварительные соображе
ния, можно уже сравнительно легко решить
задачу.
Ре ше-ние. Ясно, что /СЕМ :
,/ВЕМ = (черт. 8). А так как £\ВЕМ
. г, с	.	₽ ВМ
и /\ СЕМ — прямоугольные, то tg-^- =	;
7	СМ ж
tg 2	СЕ ’
.	₽ , 7 ВМ СМ	...
tg -Tj- tg 2 — ВЕ СЕ .	(1)
Четыре отрезка ВМ, BE, СМ, СЕ или их
отношения попытаемся выразить через отрез-
ки а + R и a — R. Отрезки СМ и a — R
входят в Л AM С, последний подобен £\АВЕ
(^ А — общий, х' AM С =/. АВЕ). Следова-
СМ AM а — R Z-,	г-
тельно, -Б-тг =	. Отрезки СЕ и
’ BE АВ АВ
а + R входят в ДАСЕ; ДАСЕ со ДАМ В
(/А — общий и / АВМ — /. АЕС). Поэтому
МВ АВ
СЕ ~ а + R'
Теперь ясно, что
, Р , 7 а — R АВ	а — R
tg 2 •*£ 2 ~ АВ ‘ а + R — а + R'
Задача решена.
Пример 3. Известно, что в треугольнике
каждая медиана меньше суммы двух других
медиан. Верно ли аналогичное предложение
для биссектрис треугольника? Для высот тре-
угольника?
Указание. Рассмотрим равнобедренный
треугольник АСВ. Не меняя его основания
АВ, будем неограниченно увеличивать его
биссектрису СД. При этом две другие его
биссектрисы остаются ограниченными (их сум-
ма не превосходит 2ABf2). Отсюда следует,
что при достаточно большом СД получим
ДАСВ, у которого одна биссектриса (CCi)
больше суммы двух других его биссектрис.
Аналогично решается задача с высотами.
СООБРАЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ
Математики часто делают заключение об
истинности или правдоподобии того» или иного
математического предложения, исходя из
соображений непрерывности. Можно только
сожалеть, что до сих пор соображения непре-
рывности (во всяком случае, в явном виде) не
используются в школьном преподавании. Ви-
димо, причина здесь в том, что строгое, фор-
мальное опоеделение непрерывности весьма
трудно для школьников, в школьном курсе
математики оно обычно не вводится и поэто-
му использование этого понятия в ходе дока-
зательства делает доказательство нестрогим.
Однако при поиске правдоподобных ответов
на какие-то возникающие перед школьником
математические вопросы привлечение сообра-
жений непрерывности вполне допустимо и,
более того, весьма желательно.
Сама идея непрерывного изменения интуи-
тивно достаточно ясна школьникам старших
классов, особенно если ограничиться ради
простоты случаем, когда аргумент функции
интерпретируется как время. Наглядное пред-
ставление о величинах, меняющихся непре-
рывно с течением времени, имеет каждый.
2S
Можно привести немало примеров, когда мы,
опираясь на эти наглядные представления,
скажем, что та или иная величина меняется
непрерывно с течением времени: путь, прой-
денный какой-либо движущейся точкой, не-
прерывно растет со временем; непрерывно ме-
няется со временем величина угла, заметае-
мого каким-либо лучом; непрерывно меняется
площадь, заметаемая каким-либо движущим-
ся отрезком.
Отправляясь от таких наглядных представ-
лений, мы можем дать математическое опре-
деление того, что значит, что какая-то вели-
чина U менялась с течением времени непре-
рывно: это значит, что при любом выборе мо-
мента t0 в течение достаточно малого проме-
жутка времени (to — h, to + h) значения этой
величины отличались от ее значения в момент
t0 меньше, чем на наперед заданное допусти-
мое отклонение d. Следует иметь в виду, что
допустимое отклонение d задается здесь за-
ранее и может быть выбрано как угодно ма-
лым; утверждается, что при любом таком вы-
боре d можно в зависимости от этого d для
каждого момента to подобрать настолько ма-
лый промежуток времени (t0 — h, to + h),
чтобы значения величины U в любой момент
из этого промежутка отличались от его значе-
ния в момент to меньше, чем на d. В конкрет-
ных случаях бывает обычно достаточно ясно,
можно ли считать, что та или иная величина
меняется непрерывно.
При решении задач особенно полезно сле-
дующее интуитивно очевидное свойство непре-
рывно меняющейся величины (в школе это
свойство следует принять без доказательства):
Если какая-либо величина (например, длина,
угол, сумма углов, площадь и т. п.) менялась
непрерывно в течение какого-либо отрезка
времени и в начальный момент она была
меньше какой-то постоянной величины а, а в
конечный момент больше, чем а, то в какой-то
промежуточный момент она была равна а.
Проиллюстрируем применение этого свой-
ства на одном примере.
Учащиеся X класса школы № 6 г. Смолен-
ска встретились со следующей задачей:
Доказать, что в конус нельзя вписать четы-
рехугольную пирамиду, стороны основания
которой пропорциональны числам 5, 4, 3, 6.
Школьники легко сообразили, что задача
сводится к следующей:
Верно ли, что нельзя вписать в окружность
четырехугольник, у которого стороны пропор-
циональны числам 5, 4, 3, 6?
Для получения правильного ответа на этот
вопрос удобно воспользоваться соображения-
ми непрерывности.
Вообразим себе шарнирный четырехуголь-
ник ABCD со сторонами, равными 5, 4, 3, 6
единицам (черт. 9). Так как АВ + ВС =
= CD + DA, то можно деформировать (сплюс-
нуть) четырехугольник таким образом, чтобы
все его вершины оказались на одной прямой
(черт. 10). В этом начальном положении че-
тырехугольника
Z_A + /С = 0°<: 180°.
Черт. 10
Будем теперь сжимать четырехугольник
(черт. 10) в направлении АС до тех пор, пока
вершина С не окажется на отрезке BD
(черт. 11). В этом конечном положении
Z.A + С >180°.
Так как из начального положения мы пришли
к конечному положению, непрерывно меняя
сумму / А + / С, то в какой-то промежу-
точный момент величина суммы У А + У С
была равна 180°. Следовательно, существует
такое положение четырехугольника ABCD,
Черт. П
27
при котором около него можно описать окруж-
ность. (Отсюда следует, что упомянутая выше
задача о пирамиде, вписанной в конус, содер-
жит ошибочное утверждение.)
Приведем еще несколько упражнений по-
добного типа.
1)	Легко догадаться, что уравнение
2х = 4х имеет корень х = 4. Имеет ли
оно еще хотя бы один корень?
Указание. При х = 0 2х — 4х0, а при
х = 1 2х — 4л: <0; поэтому найдется между
0 и 1 такое промежуточное значение х, что
2х — 4х = 0.
2)	В астрономии важную роль играет
уравнение Кеплера: х + е sin х = М. Вы-
ясните, имеет ли это уравнение при
е = 0,3 и 7И = 6,7 корень в промежутке
(2к, Зк).
Указание. Величина л + ^81пл: меньше
6,7 при х *= 2к и больше 6,7 при х = Зк.
Поэтому при каком-то промежуточном зна-
чении х0 будем иметь х0 4- 0,3-sin х0 = 6,7.
3)	На плоскости начерчен квадрат
и неперекрывающийся с ним треуголь-
ник. Существует ли такая прямая,
которая разделила бы одновременно
каждую из этих фигур на две равнове-
ликие части?
Указание. Проведем через центр (О)
квадрата произвольную прямую (Z), не пере-
секающую треугольник; будем затем равно-
мерно вращать эту прямую вокруг точки О,
пусть U = U (/) — заметенная ею (к моменту
времени t) часть площади треугольника.
Вначале U =0<^-±-S (S—площадь треуголь-
ника); наступит такой момент, когда будет
U = S^> — S. Поэтому в какой-то промежу-
точный момент t0 величина U будет равна
-£-S. В этот момент прямая I делит и тре-
угольник и квадрат на две равновеликие
части.
4)	Диаметры двух кругов равны соот-
ветственно 1 дм и 0,5 дм. Существует
ли прямая, параллельная линии их
центров, из которой, эти круги высе-
кают две хорды суммарной длины
1970
I41970 дм?
Указание. Рассмотреть произвольную
прямую I, параллельную линии центров Оф)2
и не пересекающую данные окружности;
равномерно перемещать ее параллельно са-
мой себе по направлению к линии центров
до слияния с прямой ОгО2. Пусть U =
= U (t) — суммарная длина хорд, высекаемых
данными кругами на прямой I в момент t.
1970__
Вначале U = 0< V1970, в конце U = 1,5>
1970____ ✓	1970__ 1970___
> У1970 ^заметим, что V1970 < ]/298S =
= 1^2 <1,5^. Поэтому в какой-то промежу-
1970_______________________
точный момент /0 U =	1970 дм, т. е. в этот
момент прямая I является искомой.
Доступные школьникам задачи на примене-
ние свойств непрерывных функций к изуче-
нию выпуклых фигур можно найти в § 3 кни-
ги [5].	___,
Нам кажется, что приведенные выше сооб-
ражения и примеры достаточно убедительно
показывают, насколько полезно для учащихся
средней школы ознакомление с основными
эвристическими приемами.
Литература
[1]	. Дж. П о й а, Математика и правдоподобные рас-
суждения, М., Изд. иностр, лит., 1958.
[2]	. Дж. П о й а, Как решать задачу, М., Учпедгиз,
1959.
[3]	. G. Polya, Mathematical Discovery, v. 1—2, 1962.
[4]	. Л. И. Головина, И. М. Я гл ом. Индукция в
геометрии, М., Физматгиз, 1961.
[5]	. И. М. Я г л о м и В. Г. Болтянский, Выпук-
лые фигуры, М.— Л., Гостехиздат, 1951.
[6]	. А. А. Колосов, Книга для внеклассного чтения
по математике в старших классах, М., Учпедгиз, 1963,
гл. 8.
Логическая грамотность и школьные
И. Л. НИКОЛЬСКАЯ
(Москва) учебники математики
Слово «логика» и производные от него
стали чрезвычайно модными. В различных
статьях то и дело встречаешь выражения:
«логика успеха», «логика таланта», «...этот
поступок логически следует из всей его
жизни».
На вступительных экзаменах в вузы от
абитуриентов требуют свободного владения
такими логическими понятиями, как «следо-
вание», «равносильность», «необходимость»,
«достаточность» и др.
Повышение интереса и требований к логи-
ческой стороне знаний, даваемых школой,
вполне закономерно и связано с общей тен-
денцией повышения требований к качеству
школьного обучения. Безусловно, логическая
грамотность — необходимая составная часть
образовательного минимума, и притом важ-
нейшая его часть; отсутствие таковой ведет
к непоследовательности, противоречивости
мышления.
Однако вопросы логического характера вы-
зывают, как правило, наибольшие затрудне-
ния, а логические ошибки допускают даже
хорошо подготовленные по математике вы-
пускники средних школ. Часто они не могут
понять, в чем их ошибка даже после указа-
ния на нее.
В 1968 г. на выпускных экзаменах по кур-
су «Алгебра и элементарные функции» была
предложена задача: «Дан общий член неко-
торой последовательности. Доказать, что эта
последовательность является прогрессией
(арифметической — в одном варианте, геомет-
рической — в другом)».
По имеющимся у нас данным около 60%
выпускников рассуждали по такой схеме:
1. Если данная последовательность — про-
грессия, то она имеет свойство Р.
2. Данная прогрессия действительно имеет
свойство Р.
Следовательно, эта последовательность —
прогрессия.
Указание на ошибку в рассуждении вызы-
вало недоумение и недоверие: ведь результат-
то верен!
Исследования психологов показали, что ло-
гические понятия и действия, формирующиеся
у ребенка стихийно, как правило, неполны и
часто искажены. Таким образом, логическим
понятиям и действиям нужно специально
обучать.
Как это сделать в рамках школьного обу-
чения — вопрос особый. Но каково бы ни было
решение этого вопроса, очевидно, что учить
мыслить логически должен всякий школьный
учебник, и в особенности учебник мате-
матики.
В этой статье мы хотим указать на некото-
рые недостатки школьных учебников матема-
тики, которые создают предпосылки для фор-
мирования неверных логических понятий и
представлений.
Школьник впервые встречается со словом
«теорема» в VI классе. В учебнике геометрии
Н. Н. Никитина на странице 29 говорится:
«Суждения, справедливость которых надо до-
казывать, называются теоремами». Не будем
обсуждать правомерность этого определения;
вполне строгое определение термина «теоре-
ма» (равно, как и термина «доказательство»)
можно дать только на очень высоком уровне
абстракции, конечно же, недоступном шести-
класснику. Заметим только, что методически
такое введение понятия «теорема» крайне
неудачно.
Ученику совершенно непонятно, что значит
«надо доказывать» и почему одни суждения
надо доказывать, а другие (какие именно?) —
нет (понятие «аксиома» появляется только на
странице 65). Да и сам термин «суждение»
едва ли понятен шестикласснику.
Еще хуже обстоит дело со словом «опреде-
ление», введенным на той же странице 29.
Оказывается, дать определение вертикальных
углов — значит объяснить, какие углы явля-
ются вертикальными. Нигде далее на протя-
жении всего курса математики смысл термина
«определение» не уточняется, хотя такое уточ-
нение, с одной стороны, совершенно необхо-
димо, с другой же — может быть сделано на
уровне, вполне доступном ребенку 11—12 лет.
В результате выпускники школ в ответ на
просьбу дать определение, скажем, ромба
«объясняют», что «ромб — это такая фигура,
у которой все стороны равны» или «ромб —
это параллелограмм, у которого все стороны
равны, а диагонали взаимно перпендикулярны
и делят углы пополам», не понимая, что опре-
деление должно содержать совокупность при-
знаков определяемого понятия, необходимую
и достаточную для его характеристики.
Нередко можно услышать и такие, напри-
мер, два определения одновременно;
29
• 1. «Прямые, пересекающиеся под прямым
углом, называются взаимно перпендику-
лярными».
2. «Угол, стороны которого взаимно перпен-
дикулярны, называется прямым».
Порочный круг, образуемый этими опреде-
лениями, совершенно не смущает ученика.
Сведения о взаимно обратных теоремах и
их неравносильности содержатся в тексте,
набранном петитом (стр. 65), что само по се-
бе создает у ученика представление о мало-
важности для него этих сведений. Но хуже
всего то, что неравносильность взаимно обрат-
ных теорем в дальнейшем нигде не подчер-
кивается; больше того — учебник приучает
ученика мыслить так, словно никакой нерав-
носильности вообще нет, и делать различие
между доказанной теоремой и теоремой, об
ратной ей, излишне. Так, например, многие
задачи, связанные с теоремой Пифагора, тре-
буют ссылок на теорему, ей обратную Одна-
ко об этой теореме в учебнике Н. Н. Никити-
на (и в других учебниках геометрии) даже не
упоминается. При попытке выяснить существо
дела возникает дополнительная трудность
учащийся не может сформулировать нужную
теорему, так как не умеет привести теорему
Пифагора к форме условного суждения
(«Если А, то В»),
Для иллюстрации приведу характерный
диалог (из своей практики) между абитуриен-
том и экзаменатором.
Э. Стороны треугольника равны 3,4 и 5 еди-
ницам. Что вы можете сказать об углах этого
треугольника?
А. Этот треугольник — прямоугольный.
Э. На основании какой теоремы вы это
утверждаете?
А. На основании теоремы Пифагора.
Э. Сформулируйте теорему Пифагора.
А. Квадрат гипотенузы равен сумме квад-
ратов катетов.
Э. Сформулируйте теорему, обратную теоре-
ме Пифагора.
А. (после заминки). Сумма квадратов ка-
тетов равна квадрату гипотенузы.
Э. Сформулируйте теорему Пифагора в фор-
ме «Если... то...».
А. (Формулируетепомощью экзаменатора.)
Э. Сформулируйте теперь обратную тео-
рему.
А. Формулирует (обычно без труда).
Э. Какой же теоремой вы пользовались,
утверждая, что треугольник со сторонами 3,
4, 5 прямоугольный?
А. Теоремой, обратной теореме Пифагора.
Э. Всегда ли верна теорема, обратная вер-
ной теореме?
А. Всегда.
Э. Верна ли теорема, обратная теореме
«Если число делится на четыре, то оно делит-
ся на два»?
А. Нет! Значит, не всегда.
Примеры, когда в учебнике отсутствует
теорема, обратная данной, а в то же время
предлагаются задачи на ее применение, мож-
но умножить. Так обстоит дело, например,
с теоремами о средней линии треугольника
и трапеции, с теоремами о свойствах вписан-
ных и описанных четырехугольников; для
теоремы о свойстве вписанного четырехуголь-
ника доказывается обратная, а для теоремы
о свойстве описанного четырехугольника —
нет. Последнее обстоятельство лишает уча-
щегося критерия возможности вписания
окружности в четырехугольник и толкает его
к логической ошибке (ссылке на теорему, об-
ратную той, которая позволяет заключить,
что такая возможность имеется).
Ни в одном школьном учебнике по матема-
тике не вводятся термины «необходимое усло-
вие», «достаточное условие», однако авторы
вузовских учебников пользуются этими терми-
нами так, как будто они хорошо известны
студенту из курса средней школы. На вступи-
тельных экзаменах в вузах также требуется
достаточно свободное владение этими тер-
минами.
До недавнего времени слово «теорема»
прочно связывалось в сознании учащихся
с геометрией; большинство из них были убеж-
дены, что «в алгебре теорем не бывает». Те-
перь о том, что теоремы бывают не только
в геометрии, знают все (или почти все)
школьники. Но только очень немногие из них
знают, что понятия «следование» и «равно-
сильность», вводимые в курсе алгебры при
изучении уравнений и неравенств, и понятия
«следствие из теоремы», «равносильные тео-
ремы» имеют один и тот же логический
смысл. Всякий достаточно подготовленный
абитуриент сумеет грамотно ответить на воп-
росы:
1. Какие уравнения (неравенства) называ-
ются равносильными?
2. Когда одно уравнение (неравенство) сле-
дует из другого?
Но вопросы о том, что такое равносильные
теоремы, что значит «следствие из теоремы»,
обычно остаются без ответа. Это не удиви-
тельно, так как ни в одном школьном учеб-
нике математики никаких разъяснений по
этим вопросам не дается. Поэтому выпускник
школы часто не разбирается в специфике
употребления слова «следует» в математике.
На вступительных же экзаменах в вузах не-
редко дают задания, предполагающие это
за
знание. Например: Найти все значения а, при
которых из неравенства х2 — я(1+я2)х+а4<0
следует неравенство х2+4х+3>0.
Решение этой задачи обычно вызывает за-
труднения в связи с тем, что абитуриент не
знает, как понимать в данном случае слово
«следует».
Отсутствие понятия о равносильности тео-
рем является, в частности, одной из причин
непонимания сущности косвенных методов до-
казательства, широко применяемых в мате-
матике.
Ни в одном школьном учебнике ни слова
не говорится о правилах построения отрица-
ний сложных предложений. В результате да-
же те школьники, которые знают, что такое
«взаимно противоположные теоремы» (а мно-
гие этого не знают), формулируют теорему,
противоположную теореме «Если А и В, то С
или D» так: «Если не А и не В, то не С или
не D» (вместо «Если не А или не В, то не С
и не D»).
Абитуриенты, как правило, не умеют фор-
мулировать отрицания-предложений, содержа-
щих кванторы «все» и «существует», и вслед-
ствие этого не понимают, что для опроверже-
ния утверждения общего характера достаточ-
но привести один контрпример. Отсутствие
навыка в построении отрицаний сложных
предложений и предложений с кванторами
становится особенно ощутимым при изучении
любого вузовского курса математического
анализа.
Наслаивание трудностей, связанных с недо-
статочностью логического развития, давае-
мого школой, на специфические трудности
изучения высшей математики в вузах отрица-
тельно сказывается и на качестве высшего
образования.
Сейчас в связи с введением новых -программ
для средней школы пишутся новые учебники
по математике. Нужно, чтобы они полностью
соответствовали возросшим требованиям
к логической грамотности школьников и все-
мерно способствовали повышению культуры
их мышления.
С. И. ВЕКСЛЕР
(г. Одесса)
Развивать способности учащихся
Характер человека, способности, привычки,
интерес формируются в процессе его деятель-
ности. Экспериментально доказано, что многие
учащиеся, которых считали неспособными к
математике, попадая в новые условия, когда
необходимо самостоятельно действовать, мыс-
лить, искать, под влиянием этих новых усло-
вий успешно овладевают математическими за-
конами, правилами, теоремами. Именно такие
условия обеспечивают умственное развитие
школьника, в том числе развитие такого каче-
ства ума, как критичность.
Нет необходимости доказывать важность
данного качества ума. Но возникает вопрос:
какими средствами можно добиться достиже-
ния цели?
Мы изучали пути решения данной проблемы
в одесской школе № 56, в классах, где мате-
матику преподавали Тамара Назаровна Р о-
гачевская и Лидия Афанасьевна Ни кит-
чина. По математике успевали все ученики.
Учащимся предложили задание: подумайте
над следующими суждениями и запишите, что
вы о них можете сказать. 1) Равным наклон-
ным соответствуют равные проекции. 2) Если
произведение двух чисел четное число, то и
сумма этих чисел — четна. 3) Биссектриса
угла в равнобедренном треугольнике есть од-
новременно его медиана и высота. 4) Если про-
изведение трех чисел — четное число, то и сум-
ма их четное число. 5) В цветочном магазине
было 87 гвоздик. Красных было больше, чем
белых, на четыре. Сколько было красных
гвоздик?
Работу писали 29 учащихся. Из них не об-
ратили внимания на ошибки в первом сужде-
нии— 18 учащихся, во втором — 16, в треть-
ем— 16, в четвертом — 19, в пятом — 8 уча-
щихся. Эти данные свидетельствуют о том,
что большинство учащихся не приучены кри-
тически осмысливать суждения.
В чем же причина этого явления? Прежде
всего в том, что учителя почти всегда предла-
гают учащимся задания, в которых ошибки
исключаются. Это вырабатывает у школьника
чрезмерное доверие ко всем сообщениям, ука-
заниям, заданиям. А ведь в чертежах, схемах,
идеях, советах, расчетах и т. д., с которыми
школьники в будущем встретятся, могут быть
и ошибки. Если их сознательно не анализиро-
вать, то могут быть и аварии, и брак, и серь-
езные упущения. Естественно, чтобы этого из-
бежать, необходимо формировать у школьни-
ков определенную критическую направлен-
31
ность, способность обнаружить встречающиеся
ошибки и обосновать ошибочность этого поло-
жения.
С этой целью, как показал опыт, необходи-
мо обучать школьников постепенно: сначала
уметь определить суждение (математическое
выражение), в котором имеется ошибка; за-
тем подобрать аргументы для обоснования
ошибки и, наконец, развернуто и последова-
тельно построить опровержение.
Проводя такую работу с учащимися, наряду
с неправильными суждениями следует предла-
гать и правильные суждения, учить учащихся
отбирать ложные и истинные суждения.
При проведении нашего опыта обучение уча-
щихся началось с выяснения некоторых поло-
жений: а) опровергнуть суждение — значит
установить его ложность; б) аргумент должен
быть истинным, точно соответствовать матема-
тическим законам, правилам, формулам;
в) именно из данных аргументов должно выте-
кать установление ложности суждения, кото-
рое является ошибочным. Пояснения сопро-
вождались примерами и их анализом.
После этого учащимся предложили следую-
щие суждения:
1)	Ученица VI класса хотела купить в мага-
зине девять тетрадей и три карандаша. Про-
давец выписал чек на 58 копеек. Сколько стоит
одна тетрадь и один карандаш?
2)	Если две стороны и угол одного треуголь-
ника равны двум сторонам и углу другого
треугольника, то эти треугольники равны.
3)	Чтобы а3 = а2, а должно равняться еди-
нице.
Многие учащиеся давали развернутый ана-
лиз ошибок. Так, ученица С. пишет относи-
тельно первой задачи: «Чек выписан непра-
вильно, так как если цену одной тетради умно-
жить на 9, то получим число, делящееся на 3,
и стоимость карандашей (цена одного каран-
даша, умноженная на 3) тоже делится на 3.
А раз оба слагаемых делятся на 3, то и сум-
ма должна делиться на 3, а 58 не делится на 3.
Поэтому стоимость карандашей и тетрадей
узнать нельзя». Такие же подробные объясне-
ния даны по второму и третьему суждениям.
Если принять во внимание только обнару-
жение ошибок, то подавляющее большинство
учащихся после проведенной психологической
подготовки по выполнению такого рода зада-
ний с ним справилось. Но не все ученики мог-
ли доказать ошибочность суждений.
В дальнейшем инструктаж сменялся практи-
ческой работой. Ее анализ предшествовал вы-
полнению новых подобных заданий.
В последующей аналогичной работе только
2 ученика дали неправильные ответы на один
32
из четырех вопросов (суждений) такой же
трудности, как и прежние. Данные этой экспе-
риментальной работы свидетельствуют о том.
что проведение практической работы по выяв-
лению учащимися суждений с ошибочным
содержанием может обеспечить развитие кри-
тического отношения к высказываемым суж-
дениям, развить способность опровергать лож-
ное в рассуждении. Бесспорно, что необходи-
мо данную работу продолжать с тем, чтобы
закрепить сложившиеся навыки и новые спо-
собности.
На наш взгляд, система упражнений, на-
правленных на развитие у школьников способ-
ности обнаружить ложные суждения и дока-
зать их ложность, должна охватывать задания
с ошибками и смешанные задания (с ошибка-
ми и правильные) для развития дифференци-
рованного подхода к ним.
Ошибочные задания предусматривают:
а) правило, теорему, в которые внесена ошиб-
ка; б) правило, теорему, изложенные неполно;
в) задачи, где данные противоречат друг дру-
гу; г) несоответствие содержания задачи опре-
деленным условиям.
Для успешного решения задачи развития
критичности ума школьника очень ценно
использовать на уроке и другие средства, о
которых забывают некоторые учителя. К ним
относится организация взаимопроверки вы-
полненного учащимися задания. Но как орга-
низовать эту работу?
Так, в одном из восьмых классов на уроке
математики была предложена задача, которую
решали все ученики. На взаимопроверку было
отведено всего 1—2 минуты. К чему же своди-
лась так называемая взаимопроверка? Лишь
к сопоставлению ответов, без всякого анализа
хода решения задачи. Конечно, в данном слу-
чае учитель преследовал цель выяснить, реши-
ли или не решили ученики задачу, но ведь не
менее важно знать и как они ее решали. Нам
кажется, на взаимопроверку следует выделять
больше времени, чтобы школьник мог осмыс-
лить работу товарища, именно на это необхо-
димо направить усилия учащихся. Высказы-
вая свое мнение о работе товарища, учащий-
ся внутренне проделывает целый ряд логиче-
ских операций — определяет правильность вы-
ражения и толкования математических поня-
тий; определение связи между отдельными
составными частями выполненного задания;
правильность использования ранее изученных
теорем, формул; составление вывода.
J Успешно проходит такая работа, когда
школьники выполняют задания, которые могут
быть решены различными способами. В про-
цессе взаимопроверки определяется, какой из
вариантов решения наиболее эффективен
В этом случае школьник вынужден не только
просмотреть работу товарища и сравнить ее
со своей, но и глубоко изучить новый вариант
решения задания, рассмотреть его со своей
точки зрения. Внутренняя работа мысли на-
правлена на сопоставление особенностей каж-
дого варианта решения, на обоснование его
преимуществ или недостатков Активной фор-
мой является взаимопроверка заданий, в про-
цессе выполнения которой школьник должен
выдвигать свои суждения, гипотезы и их обо-
сновывать. Такие работы нужно практиковать
в процессе изучения нового материала.
к На основании ранее изученных тем уча-
щийся может высказать некоторые соображе-
ния и по существу новой темы урока. В седь-
мом классе школьники изучили ромб и прямо-
угольник. Могут ли они самостоятельно вы-
вести свойства квадрата? Да! Обычно такую
работу школьники выполняют устно. Отдель-
ные учащиеся, наиболее подготовленные, вы-
сказывают свои соображения. Но работают ли
при этом все учащиеся?^С целью выяснения
этого рационально проводить на уроке само-
стоятельные письменные работы, которые за-
ставят каждого ученика задуматься над про-
блемой по теме нового материала, записать
относительно этой проблемы свои суждения.
Бесспорно, не все они будут истинными. Это
даст возможность активизировать критиче-
скую мысль учащихся, направленную на опре-
деление истинного и ложного суждения. Уча-
щимся предлагалось ставить вопросы, записы-
вать их в скобках в процессе рассуждения.
Некоторые школьники свои замечания выска-
зывали неуверенно. Это, очевидно, можно
объяснить отсутствием опыта в проведени-.
анализа и в оценке работ товарища. Развитие
наблюдательности, способности проследить и
дать оценку ходу рассуждения другого учени-
ка, а главное — развитие способности обосно-
вывать свое мнение — вот те задачи, которые
должна решать взаимопроверка.
Требование ставить вопросы в процессе
анализа работы товарища сделало записи уча-
шихся о результатах взаимопроверки более
развернутыми. Можно было рассмотреть весь
ход растуЖДёний, которые вели к выводу.
Можно проследить порядок мыслительных
операций, качество знаний, умение использо-
вать прошлый опыт.
Хочется обратить внимание еще на одно
обстоятельство в процессе организации взаи-
мопроверки. В ряде случаев слабые ученики
соглашаются с выводами сильных, даже не
вникая в их содержание.^-С этим можно и
нужно постепенно вести борьбу^^развивая у
учащихся стремление объективно рассматри-
вать работу и отличника и слабого ученика,
самостоятельно дать им оценку
Обучение школьников проведению взаимо-
проверки требует от учителя продуманного
плана такой работы.
Проведенный эксперимент свидетельствует
о несомненной пользе включения в работу
заданий с ошибками, а также проведения
взаимопроверки выполненного задания.
О некоторых приложениях правил
Р. А. ХАБИБ
(г. Ташкент) ПОДСЧеТО Цифр
Изучение правил подсчета цифр отнесено
новыми программами по математике к курсу
VIII класса. Поэтому важное значение при-
обретает показ приложений правил подсчета
цифр к вычислениям на алгебраическом мате-
риале и вообще на том материале, который
изучается учащимися в этот период.
1. В VII классе школьники познакомятся с
извлечением квадратных и кубических корней
«методом проб». Правило извлечения квад-
ратного и кубического корня из приближен
ного числа (результат имеет столько знача-
щих цифр, сколько их имеет подкоренное чис-
ло) позволяет определить точность любого
значения, полученного «методом проб» *.
Примеры. 1)	]/2513 := |/2500 = 50,0.
Утверждаем, что результат можно записать
с тремя значащими цифрами, так как под-
коренное число 2500, которым мы заменили
1 Напомним, что правила подсчета цифр имеют веро-
ятностный характер: погрешность последней значащей
цифры, оставляемой в записи приближенны» чисел со-
гласно рекомендациям этих правил, несколько неопре
деленна и в большинстве случаев ие превышает 1—2
единиц разряда этой цифры.
2 Математика в школе М 5
33
первоначальное значение 2513, имеет по-
грешность в третьей значащей цифре, и по-
тому три значащие цифры должен иметь
и ответ 50,0;
2)	V 625,077 ~ 1/62^0 = 25,00;
з	з
3)	/63,94^ J<64,0=4,00;
з 	 з______________
4)	КО,0271 % У 0,0270 =0,3000.
Таким образом, оценка точности ответа по-
лучается из оценки точности замены данного
подкоренного числа новым, более удобным
для извлечения корня. Результат достаточно
высокой точности дают подкоренные числа,
близкие к точным квадратам (кубам).
В других случаях понадобятся дополнитель-
ные вычисления; это, однако, окупается тем
обстоятельством, что, применяя указанный
прием, ученик получает возможность, не знач
других алгоритмов извлечения корней, с по-
мощью одних проб вычислять результаты лю-
бой требуемой точности.
з____
Пусть требуется вычислить У 67,5. Так как
43 = 64, а 53= 125, то ясно, что искомое
значение заключено между 4 и 5 (при этом
сразу можно заключить, что 4 — это при-
ближенное значение корня с точностью по
меньшей мере в одну значащую цифру).
Находим 4,13 = 68,921. Если заменить дан-
ное число 67,5 числом 68,921 (с погрешностью
замены во второй значащей цифре), то полу-
чим приближенное значение искомого корня
4,1 также с двумя значащими цифрами.
Увеличим точность ответа. Для этого надо
подобрать такое число, куб которого был бы
близок к подкоренному числу 67,5. Проба
числа 4,073 дает приблизительно 67,4 (осталь-
ные десятичные знаки нет смысла приводить),
эта замена совершается с погрешностью
в третьей значащей цифре, и потому прибли-
з___________________
женный ответ У67,5^ 4,07 также получен
с точностью до трех значащих цифр.
Таким образом подбирается сколь угод-
но близкое к подкоренному числу его прибли-
женное значение, приводящее к известному
для вычислителя результату, и по точности
этой замены оценивается (по правилам под-
счета цифр) точность полученного ответа.
Легко доказать, что, вычисляя корень с чис-
лом значащих цифр на одну больше, чем их
требует искомая точность или чем их имеет
приближенное подкоренное число, а затем, от-
брасывая эту «лишнюю» цифру по правилам
округления, получим результат извлечения
квадратных и кубических корней, записанный
с помощью одних верных цифр. Указанный
прием в сочетании с правилом запасной циф-
ры может поэтому применяться в ответствен-
ных вычислениях, где требуется гарантия точ-
ности ответа.
2. Рассмотренный выше прием может найти
применение при решении квадратных уравне-
ний.
Особый интерес представят при этом урав-
нения, коэффициенты которых дают возмож-
ность упростить вычисления. Два таких урав-
нения приводит В. К. Смышляев в числе
задач, предлагавшихся на школьной матема-
тической олимпиаде («Математика в школе»,
1960, № 6):
0,00005 х2 — 4 х + 1 = 0; ,
х2 — 79 537 х + 20 437 = 0.
Несмотря на некоторую искусственность
числовых данных, уравнения, один или два
коэффициента которых значительно больше
остальных коэффициентов, могут встретиться
учащимся при решении физических задач.
Например, находя время движения заданного
-	,	, at*
объекта из формулы s = vGt------можно
рассмотреть случай, когда $ (путь) числен-
но значительно меньше начальной скорости v0
и ускорения а (например, s — путь, прой-
денный пулей в земляной насыпи, считая
с момента попадания).
Рассмотрим вкратце теорию этого вопроса.
Пусть дано уравнение вида ах2 + Ьх + с = 0,
имеющее действительные корни.
Можно рассматривать шесть случаев, допу-
скающих упрощения при вычислении корней:
первые три случая, когда два коэффициента
значительно больше (по абсолютной величи-
не), чем третий; другие три случая, когда
один из коэффициентов значительно больше,
чем два остальных. Рассмотрение этих случаев
приводит к шести приближенным формулам.
Пусть, например, имеем |а|^>|6|; |п|^>|с|
(этот знак означает «значительно больше»,
т. е. отношение b к а и отношение ска близко
к нулю). Деля на а, получаем (а > 0, с <2 0)
*г+-1Г* + -Г-0:
К этой формуле пришли из таких сообра-
жений: свободный член близок к нулю,
поэтому первые два слагаемых левой части
уравнения в сумме также дают значение,
близкое к нулю, т. е. решение уравнения
близко к нулю; поэтому вторым слагаемым
можно пренебречь — это произведение двух
значений, каждое из которых близко к нулю.
34
Получаем уравнение л2^-----что и при-
водит к указанным формулам для и л2.
Пример.
530л2 4- 0,041л — 0,0323 = 0.
± /	~ ± V0.609-10-4 =
= + ]/ 60,9- IO”6 ~ + 7,80  IO-3.
Аналогично рассуждая, получаем при
и]6|^>|с|^делим члены уравнения на а
и отбрасываем близкий к нулю член
приближенные формулы: л^0 и л^-------
Пример.
89л2 + 733л + 0,04 = 0;
*i~0; л2==-^^-8,2.
Таким образом, можно рассмотреть все
шесть приближенных формул, учебное и прак-
тическое значение которых, однако, заметно
снижается из-за неизвестной точности полу-
ченного приближения.
Ниже излагается способ решения таких
уравнений, исходящий из приложения правил
подсчета цифр. Этот способ заключается в
том, что правила подсчета цифр применяются
к числовым выражениям для корней квадрат-
ного уравнения. Поэтому излишен предвари-
тельный анализ и заучивание получаемых
приближенных формул — общий подход ока-
зывается более полезным, чем исследование
частных особенностей уравнения.
Возьмем то уравнение, которое предложил
В. К. Смышляев,
х2 —79 537x4- 20 437 = 0.
Оно приводится им для рационализации
вычислений к виду х2 — 80 000 х 4- 20 000 = 0,
а затем делением на 20 000 — к виду
0,00005 х2 —4 х 4-1=0.
Последнее решается отбрасыванием первого
слагаемого: л, = 0,25.
Второй корень находится по теореме Виета:
л9^ 20 000: 4-= 80 000.
2	4
Теперь покажем решение при помощи пра-
вил подсчета цифр, рассматривая формулу
корней этого уравнения
Х12 = -L (79537 + К79 5372- 4-20 437).
Подсчитываем, какую точность будет иметь
подкоренное выражение, если отбросить
4 • 20 437, так как очевидно, что уменьшаемое
значительно больше вычитаемого
79 5372 = (7,9537 • 104)2 « 82 • 108	6 • 109 =
= 60000- 10s.
Как видим, пренебрегая вычитаемым, мы
обеспечиваем точность подкоренного числа
5 значащих цифр (так как 4-20 437<Z 106),
т. е. по правилам подсчета цифр результат
извлечения корня также имеет 5 значащих
цифр. Получаем Л1.2~-у- (79 537+79 537).
Складывая, получаем Xi 79 537 (отсюда
следует, что значение 80000 было найдено
В. К. Смышляевым только с двумя верными
цифрами).
Если вычислить второй корень при помощи
непосредственного вычитания, то сталкиваем-
ся с потерей точности (ответ 0 — с точностью
до разряда единиц). Используя теорему Вие-
та, второй корень также можно вычислить с
5 значащими цифрами: х2 = 20 437 : 79 537 ~
~ 0,25695, откуда следует, что корень 0,25,
найденный В. К. Смышляевым, имеет 2 зна-
чащие цифры (и всего 1 верную).
Если решается уравнение с приближенными
коэффициентами, то использование предвари-
тельной прикидки тем более оправдано, так
как точность коэффициентов ограничивает
точность вычислений.
Рассмотрим, к примеру, следующее уравне-
ние с приближенными значениями b и с:
л2 + 59л + 0,59 = 0.
^.2=-4±У<4У-0’59-
Даже если бы все коэффициенты уравне-
ния были точными, отбрасывание вычитаемо-
го 0,59 обеспечивало бы замену подкорен-
ного числа приближенным значением, имею-
щим 3 значащие цифры. Действительно,
прикидка дает:	~ 302 = 900*
Такая точность тем более устраивает нас
для случая приближенных коэффициентов,
так как точность извлечения корня в данном
случае — 2 значащие цифры (это точность
числа -у, первого слагаемогоJ.
тл	„	59	59 г-о
Итак, л1 =---------2~= — 59.
Второй корень находим по теореме Виета:
х2 = —0,59 : 59 = —0,010.
Аналогичные упрощения возникают при вы-
числении корней следующих уравнений:
а)	81,Зл2 + 592л — 0,0017 — 0;
2*
35
б)	715л2 + 0,58л — 208 = 0;
в)	0,00023л2 + 258л -f- 423 = 0;
г)	5,6-106л2 +2,61л-327 = 0;
д)	1,15л2 + 0,27л-914 = 0;
с) 2,57л2 — 879л + 3,34 = 0.
При решении хотя бы некоторых из этих
уравнений целесообразно рассмотреть два
случая: когда коэффициенты уравнения числа
точные и числа приближенные.
3. Рассмотренный выше прием с успехом
может быть применен также при оценке точ-
ности результатов вычислений по различным
приближенным формулам. Значительный ин-
терес здесь представляют те формулы, для
которых не дается точного значения погреш-
ности результата.
Введение параметра при решении
В. П. МОДЕНОВ
(Москва) некоторых уравнений
Рассмотрим уравнение
/(лг,/) = О,	(1)
где л X, at£T. Выберем и фиксируем из
множества Т какое-нибудь определенное
значение переменной I. Тогда левая часть
уравнения f(x,t) станет функцией одной
переменной л, определенной на множестве X.
Решение этого уравнения, вообще говоря,
зависит от выбранного нами значения пере-
менной t, получает определенное значение
при каждом таком выборе и, вообще говоря,
изменяется при изменении t. Оно является,
таким образом, функцией от t, определенной
на множестве Т. Обозначим это решение
через х0(/), так что
/€Г.	(2)
Переменную t, от которой зависит функ-
ция f (л, Z), но которая при решении урав-
нения считается постоянной величиной, назы-
вают параметром. От выбранного значения
такого параметра зависит решение ло(О
уравнения (1).
Возможны случаи, когда левая часть урав-
нения
/(л,= 0	(3)
представляет собой функцию целого ряда
параметров flt t2,..., tn. В этом случае реше-
ние л0(Л> *2» —>*«) уравнения (3) является
функцией всей совокупности этих пара-
метров.
Пусть теперь дано такое уравнение, кото-
рое само никаких параметров не содержит,
но для его решения целесообразно рассмат-
ривать это уравнение в связи с некоторым
другим, содержащим один или несколько
параметров, и из решения этого последнего
находить решение данного.
Проиллюстрируем сказанное следующим
примером. Рассмотрим уравнение
л4 — 2/2л2 - х + 2 — ]/2 =0.
Введем параметр, для чего будем рас-
сматривать левую часть данного уравнения
как функцию
/(л, t) = л4 - 2/л2 - л + /2 - t
при t — \^2. Уравнение /(л,/) = 0 является
относительно параметра t квадратным. Его
корни = х2 + х 4-1 и t2 = л2 — х. Следо-
вательно, имеется разложение
f (х, О = (I - х2 - х — 1) (t - х2 + х),
или при / = 1^2
/ (х, /2) = (1S2 - х2 - х - 1 )(/2- х2+х).
Поэтому для получения корней исходного
уравнения достаточно решить два квадрат-
ных уравнения:
л2 + х + J _ у2 = 0 и х2 — х — /2 = 0.
Отсюда
—1 + И4/2 — 3
xi.2 --------2-------’
v 1 + /4/2 +1
•*3,4 =------2-----•
Метод введения параметра, безусловно,
можно применять и при решении неравенств,
а также других задач.
Упражнения
Решить уравнения (в скобках указан ре-
комендуемый параметр; в уравнении 2 до-
36
статочно найти действительный корень;
в квадратных скобках даны ответы).
1.	л3-(/2+1)х2 + 2 = 0; (Z = /2);
/2- 1 ± 4 2 +1
2.	2x3-f- х + /2 = 0; (t = ЛА Г- -Ц.
\	/ 2/’ L /2J
3.	х4 - 2 /Зх2 + х + 3 - /3= 0; (*=/3);
— 1 ± / 4 + 3+1	— 1 ± И* I 3—3
2	2
4.	3+Кз + /х = х; (Z = 3); р + 2> 13
5.	j/ /5 + К/5 + х = х; (Z = /5);
I +/4/5 +1 ]
2 J'
6.	sin2 x + sin2 3x = sin x • sin2 3x;
(Z = sin x);	(—1)"-^- -f- лтг,
где k и n — любые целые числа .
А. А. МАТЮШКИН-ГЕРКЕ
(Ленинград)
К решению некоторых
иррациональных уравнений
1.	Одним из методов решения (в области
действительных чисел) уравнений вида
+	=/MxJ (i)
является следующий. Возводим обе части
данного уравнения в куб
/ (X) + g (х) + 3 К/(Х)-^(Х)Х
3 ____ 3 _____
*(/7ГА+/ £(х)) = Л(х).	(2)
3 ___
Заменяем выражение в скобках на ]/ Л (х)
и получаем
f (х) + g (х) -|- 3 V f(x)-g{x) • А(х) = h (х),
(3)
откуда после очевидных преобразований
и вторичного возведения в куб имеем
27/(x)-g(x)-A(x) = |А(х)—/(х)— £(х)]3. (4)
Заметим, что при переходе от уравне-
ния (2) к уравнению (3) могут появиться
посторонние корни.
Например, решая этим методом уравнение
з	з
/2х-1 +/х-1 = 1,	(5)
имеем
з ___________________________
Зх-2 + 3/(2х — 1)(х— 1)Х
х (/2х - 1 + /х- 1) = 1,	(6)
з ____________
3/(2х — 1)(х — 1) = 3 — Зх,	(7)
(2х — 1)(х — 1) = (1 — х)3.	(8)
Уравнение (8) и равносильное ему уравне-
ние (7) имеют корни Xi = 0 и х2=1, а урав-
нение (5) имеет только один корень х=1.
В то же время потеря корней при пере-
ходе от уравнения (2) к уравнению (3) не-
возможна. Действительно, если при некото-
ром х мы имеем равенство (1), то из этого
равенства вытекает и справедливость равен-
ства (3). Заменяя в процессе решения выра-
з____________ з_______ з_______
жение V J (х) + У g (х) на V А (х), мы рас-
суждаем следующим образом: если х удов-
летворяет уравнению (1), то он удовлетво-
ряет и уравнению (3). Но нет никаких
оснований утверждать обратное. Более того,
как показывает приведенный пример, это
обратное утверждение неверно.
2.	При решении (в области действитель-
ных чисел) уравнений, приводящихся к виду
а V/(x)-Z(x) + Ъ /g(x)-Z(x) +
+ с ]/A(x)-Z(x) = 0,	(9)
иногда используют такую замену
\ГЦх) • [а /?(х) + b Vg(x) +
+ с Vh\xj] = 0.	(Ю)
Однако при этом возможна потеря корней,
так как при условии, что
/(х)<0; g(x)<0; Л(х)<0; Z(x)<0, (11)
37
где хотя бы одно из этих неравенств—стро-
гое, левая часть уравнения (9) имеет смысл
(и может оказаться равной 0), а левая часть
уравнения (10) не имеет смысла.
Так, например, уравнение
/х2 —7х+ 10 + / х2 — Зх ф- 2 —
-2/2х2-7х + 6 = 0	(12)
имеет корни хг = -у-, х2 = 1, х3=2.
Это уравнение можно записать как в виде
/(х-2)(х-5) 4- К (х-2)(х-1) -
- 2 /(х - 2) (2х — 3) = 0,	(13)
так и в виде
У (2 — х) (5 — х) 4- К(2 — х) (1 — х) —
- 2 /(2— х)(3 —2х) = 0.	(14)
Однако, переходя от уравнений (13) и (14)
к уравнениям
Ух —2(/ х^5 + /х~1 —
—	2 /2х — 3) = 0,	(15)
/2^х (/5^“х+ У f^x —
—	2 У 3 — 2х) =• 0,	(16)
видим, что произошла потеря корней. Дей-
ствительно, уравнение (15) вообще не имеет
корней, а уравнение (16) имеет лишь корни
Xj =» 1 и х2 ==* Ц-. В частности, х= 2 не явля-
ется корнем как уравнения (15), так и уравне-
ния (16), потому что при этом значении х
теряют смысл вторые сомножители левых
частей этих уравнений.
Решая уравнение (9) обычным методом
(уединяя один из радикалов и возводя обе
части уравнения в квадрат и т. д.), мы
придем к уравнению
Z2(х) {[с2/(х) + b*g(х) - c*h(х)]2 -
-4a2^/(x)g-(x)}=0	(17)
Разумеется, при этом могут появиться
посторонние корни, однако потери корней
не произойдет.
Решая же вытекающие из уравнения (10)
уравнения
/7(xJ=0	(18)
и
аУ7Ц) + ЬУё(х) + сУк&У~Ъ, (19)
мы придем к уравнениям
Z(x)=0	(20)
и
[а2/(х) + ^(х)-с2А(х)]2-
-4a2ft2/(x)g-(x) = 0.	(21)
Сравнивая уравнения (20) и (21) с уравне-
нием (17), видим, что переход от уравне-
ния (9) к уравнению (10) не только может
привести к потере корней, но в дальнейшем
требует тех же преобразований, которые не-
обходимы при обычном методе решения ир-
рациональных уравнений рассматриваемого
типа.
Уравнения типа (12) лучше всего решать,
приведя их предварительно к виду уравне-
ния (13), а затем уединять радикал и возво-
дить обе части уравнения в квадрат и т. д.
Важно только при этом до определенного
момента сохранять / (х) (в нашем примере
х—2) отдельным множителем.
Один из приемов контроля
Л. Н. ЛОБАНОВА
(Ленинград) И СОМОКОНТрОЛЯ
Большое значение для успешного обучения
имеет своевременный контроль со стороны учи-
теля за ходом и качеством усвоения изучае-
мого материала.
Поэтому в последнее время в школах Ленин-
града стали появляться такие средства про-
верки знаний (в дополнение к традиционным),
которые позволяют контролировать работу
всего класса одновременно и дают возмож-
ность учащимся проверить результаты своей
работы в процессе ее выполнения. Эти сред-
ства предполагают небольшую затрату време-
ни на подготовку, проведение и проверку вы-
полненных заданий и доступны всем учителям.
Одним из таких средств является использо-
вание работ с зашифрованными ответами, в
которых числовые и словесные результаты вы-
ражены шифрами (кодами).
Наиболее распространенными видами ра-
бот, при которых используются зашифрован-
ные ответы, являются кратковременные дик-
танты или самостоятельные работы для про-
за
верки и закрепления теоретического материа-
ла и задания по решению задач с самоконтро-
лем. В тех случаях, когда учитель решит про-
вести самостоятельную работу с зашифрован-
ными ответами в двух или более различных
по содержанию вариантах, он заранее готовит
задания на переносных досках или плакатах.
Некоторые ленинградские учителя считают,
что, используя принцип выборочных ответов,
не следует включать неправильные ответы.
Это сокращает запись, дает возможность ра-
ботать без карточек по задачникам или напи-
санным на доске заданиям.
Приведем пример подобной работы.
I вариант
1.	Точка А лежит в
30 см от центра окруж-
ности, радиус которой
18 см. Найти расстояние
точки А до ближайшей
к ней точки окружности.
2.	Отрезок АВ длиной
12 см разделен точкой С
на два отрезка. Точка D
делит пополам отре-
зок АС; точка Е делит
пополам отрезок СВ.
Найти длину отрезка DE.
3.	Из вершины угла,
равного 150°, к его сто-
ронам восставлены пер-
пендикуляры, располо-
женные между сторона-
ми угла. Найти острый
угол между перпенди-
кулярами.
4 Какой угол состав-
ляют биссектрисы смеж-
ных углов?
Ответы
6
12
30
55
90
160
180
II вариант
1.	Из вершины тупого
угла к его сторонам
восставлены перпенди-
куляры, расположенные
между сторонами угла;
угол между перпендику-
лярами 20°. Чему равен
данный угол?
2.	Точка В лежит в
40 см от центра окруж-
ности, радиус которой
15 см. Найти расстояние
точки В до самой дале-
кой от нее точки окруж-
ности.
3.	Отрезок АВ длиной
24 см разделен точкой С
на два отрезка. Точка D
делит пополам отре-
зок АС; точка Е делит
пополам отрезок СВ.
Найти длину отрезка DE.
4.	Какой угол состав-
ляют биссектрисы верти-
кальных углов?
Шифр
I
2
3
4
5
6
7
В перечне ответов наименования можно не
писать. При заданиях по решению задач, так
же как и при проведении диктантов, на класс-
ной доске пишут ответы и рядом их цифровые
обозначения — шифр. Для удобства числовые
ответы лучше записать в возрастающем по-
рядке, а словесные — в алфавитном.
После решения каждой задачи учащийся
сверяет свой ответ с перечнем ответов на до-
ске и в тех случаях, когда находит ответ, сов-
падающий с его решением, выписывает шифр
ответа и переходит к следующей задаче. В слу-
чае неправильного ответа решает задачу сно-
ва, обращается за справками в учебник или
получает консультацию учителя.
Для удобства проверки учителем выполнен-
ных заданий учащийся на определенном месте
в тетради пишет шифрованные ответы. В дан-
ном случае: I вариант — 2135, II вариант —
6427.
Еще удобнее применять данный метод при
решении задач, в которых действия взаимно
связаны. Допустим, в задаче, решение которой
состоит из пяти действий и рассчитанной на
целый урок, учащийся в первом действии сде-
лал ошибку, которая соответственно привела
к ошибке в окончательном результате. Если
бы он пользовался зашифрованными ответами,
то, выполнив первое действие, обнаружил бы
свою ошибку, так как его ошибочный ответ
отсутствовал бы в перечне зашифрованных
ответов и ошибка была бы вовремя устранена.
Разумеется, предложенный метод не может
заменить традиционные формы проверки зна-
ний и является дополнительным весьма эффек-
тивным средством. Использование зашифро-
ванных ответов на отдельных этапах работы
дает возможность чаще проводить уплотнен-
ный опрос, своевременно контролировать
усвоение учащимися учебного материала, а
также позволяет учащимся проверять свою
работу в ходе ее выполнения.
Применение диафильмов на уроках
Т. Л. СЫТИНА
(Москва) математики
В настоящее время создано много удачных
диафильмов и диапозитивов по математике,
которые сказывают большую помощь учителю
в его работе в V—X классах. В нашем журна-
ле за 1968 и 1969 гг. даются регулярно инфор-
мации о выпускаемых диафильмах и диапози-
тивах с краткими характеристиками их содер-
жания.
В статье В. Г. Болтянского «Новые
веяния в оснащении школьных математиче-
ских кабинетов» («Математика в школе»,
1969, № 2) в список типового школьного обо-
39
рудования по математике включены также
диафильмы и диапозитивы.
Работая с диафильмами, нужно помнить,
что на урок нужно отбирать только необходи-
мые кадры, не более 10—12 на урок. Нельзя
просматривать на уроке подряд все кадры
диафильма. Работу с кадрами диафильма на-
до обязательно чередовать с самостоятельной
работой учащихся и другими видами работы.
Для работы с диафильмами и диапозитивами
необходимо иметь: 1) диапроектор «Свет» с
экраном; 2) диатеку в школе; 3) план работы
с диафильмами по каждому классу с распре-
делением диафильмов по урокам и темам учеб-
ного материала; 4) фильмоскоп (детский) для
просмотра диафильмов при подготовке учите-
ля к уроку.
В публикуемом здесь плане работ с диа-
фильмами, проверенном мной в школе № 589
Москвы, номера уроков (с начала учебного
года), на которых использовались диафиль-
мы, соответствуют методическим рекоменда-
циям Московского городского ИУУ в брошю-
рах «Примерное планирование работы по ма-
тематике» для V—VI и для VII—VIII классов
(М., 1966), составленных в полном соответ-
ствии с действующей программой по мате-
матике.
V КЛАСС
Название диафильма	Номера уроков
I четверть	
Как люди научились считать	2—3
Меры и метрическая система мер	7—9
Измерения на местности, ч. I	11—12
Прямоугольник, его периметр и пло-	19—20
щздь	21—23
Объем прямоугольного параллелепипеда	
Доли величины. Дроби'	'	39—48
II четверть	
Геометрический материал в курсе	88—90
арифметики Углы и их виды (кадры 19, 24, 27). Окружность и круг (кадры 3, 6). Углы (кадр 36)	91—94
III четверть	
Изображение чисел фигурами (кадры	103—106
26—31)	
IV четверть	
Диаграммы	165—173
Измерения на местности	182—185
История метра	193— ’04
В течение года для устной работы в начале
урока были использованы диафильмы: «Счи-
тай, отгадывай, решай» и (в конце III четвер-
ти) «С. Ковалевская».
VI КЛАСС	
Название диафильма	Номера уроков
Алгебра III четверть	
Изображение чисел фигурами	11—13
Геометрия 1 четверть	
Геометрические фигуры и их взаим-	1—2
ное расположение Отдельные кадры диафильма для	1—2; 17—18
II класса «Геометрический мате- риал»	5—6
Углы и их виды	
Углы	7—9
Измерения на местности	Ц—12; 15—16
Окружность и круг	13—14
II четверть	
Осевая симметрия, ее свойства и при-	21—23
менение. Осевая симметрия в при- роде и технике	
III четверть	
Геометрические места точек на пло-	43—44
СКОСТИ Н. И. Лобачевский	47—50
IV четверть	
Измерения на местности	64—65
VII класс	
Алгебра	
III—IV четверти	
Прямоугольная система координат	88—98
и простейшие графики Графическое решение уравнений и си-	107—108
стем уравнений	
Г еометрия I четверть	
Центральная симметрия	3—7
Практическое применение геометрии	12—13
11 четверть	
Измерения на местности	24—25
III четверть	
Изображение геометрических тел	37—38
Стереометрический материал в курсе	38—44; 50—51;
геометрии	79—80
Геометрический материал в курсе	48—49
арифметики Объем прямоугольного параллелепи-	48—49
педа Дуги, хорды и зависимость между	55—58
ними	
IV четверть	
Измерения на местности	83—84
VIII к л ас с	
Алгебра	
III—IV четверти	
Графическое решение уравнений и си-	45—48; 62—66;
стем уравнений. Степенная функция с целым показателем	69—74
40
П родолжение
Название диафильма
Номера
уроков
Прямоугольная система координат
и простейшие графики
Счетная техника
Г ео мет рая
III—IV четверти
Измерения на местности
Внисание и описание окружности
Изображение геометрических тел.
Стереометрический материал в курсе
геометрии
57—61
77—86
39—40; 51—53
54—59
67—72
Теперь я покажу примеры двух уроков с
демонстрацией диафильмов.
V класс
Урок: Диаграммы (с применением диа-
фильма).
Оборудование урока; диафильм
«Диаграммы» (А. Пышкало), диапроектор
«Свет» и экран к нему. В кабинете (классе)
частичное затемнение (одно окно около экра-
на). У каждого ученика тетрадь, линейка и
цветные карандаши.
В начале урока повторяем пройденное о
масштабе. Проверяю домашнее задание.
Сообщаю ученикам тему урока: «Знаком-
ство с практическим применением масштаба
для построения диаграмм».
Что такое диаграмма?
Показываю кадр 3 и работаю с текстом
кадра.
Чтобы «прочитать» готовую диаграмму или
самому «построить» диаграмму, надо знать,
что такое масштаб. Знакомлю учеников с
Дтя изображения чисел часто используют
чертежи различных геометрических фигур, кото-
рые дают наглядное представление о величинах.
Такие чертежи называются диаграммами.
Отрезок а изображает путь длиной в 2 км.
Будем называть этот отрезок масштабом.
Какова длина пути, изображенная отрезками
k, о; т; е? Каким отрезком можно изобразить
путь длиной в 12 км?
Кадр 6
применением масштаба к диаграммам по
кадру 6.
После того как по тексту кадра 6 выяснено
понятие масштаба, устно выполняется зада-
ние с отрезками о, т, е.
В тетрадях учащиеся выполняют следую-
щую работу: 1) изображают отрезок а (мас-
штаб), 2) изображают отрезками пути длиной
в 4 км, 7 км, 14 км. По окончании работы уча-
щихся в тетрадях я показываю ученикам кад-
ры 8, 10, 18 и веду по этим кадрам решение
устных задач, условия которых даны в кад-
рах.
Закончив устную работу и убедившись, что
ученики разобрались с новым материалом, я
Квадрат и прямоугольник представляют число
учащихся — мальчиков и девочек Пользуясь дан-
ным масштабом, определите, сколько мальчиков
и девочек учится в классе.
Кадр 3
Кадр 8
41
ДИАГРАММА СБОРА МЕТАЛЛОЛОМА
Пользуясь данным масштабом, назовите коли-
чество металлолома, собранного каждым классом.
Кадр 10
Пользуясь диаграммой, определите, какое ко-
личество гектаров земли обработали бригады.
На сколько гектаров каждая бригада перевы-
полнила план?
Кадр 18
даю самостоятельную работу по кадру 13, где
есть текст задачи.
Во время выполнения работы учащимися в
тетрадях я просматриваю качество выполне-
ния работы и помогаю тем ученикам, у кото-
рых задание вызвало затруднение.
В заключение урока я снова показываю
учащимся кадр 3 и выясняю вопрос о том, что
же ученики узнали о диаграммах, для чего
они используются. Учащиеся объясняют содер-
жание каждой диаграммы (кроме секторной).
На примерах кадра 3 устанавливаем, что
диаграммы бывают различные: линейные,
столбчатые, секторные. С секторными диа-
граммами ученики познакомятся на следую-
щем уроке, поэтому в домашнем задании я
даю указание принести к следующему уроку
циркули.
VIII класс
Урок: Графическое решение систем урав-
нений, содержащих одно уравнение второй
степени и одно первой степени (с применением
диафильма и диапозитивов).
Оборудование урока: диафильм и
диапозитивы «Графическое решение уравне-
ний и систем уравнений» (А. Пышкало),
диапроектор «Свет» и экран к нему. В каби-
нете (классе) затемнено одно окно около эк-
рана.
На уроке я работаю с доской и кадрами
диафильма одновременно. Часть доски в каби-
нете разлинована (или краской, или расчер-
чена по линолеуму доски каким-либо острым
предметом, например шилом, гвоздем) для
постоянного пользования при построении гра-
фиков. Имеется набор шаблонов — у = х2.
Прочитайте данные диаграммы. Как графиче-
ски изобразить количество спортсменов II и III
разряда, если II разряда — 8 спортсменов, а III
разряда — 10.
Кадр 13
Кадр 13
42
у = 2х2, у =» 0,5л2— для работы на доске и
цветной мел, у каждого ученика набор таких
же шаблонов и цветных карандашей.
На дом к данному уроку я задавала учени-
кам работу по повторению пройденного в
VII классе (§ 81 из учебника по алгебре
А. Н. Барсукова. Графическое решение
системы двух уравнений). Показываю кадр 13.
Что значит решить графически систему двух
уравнений?
Добиваюсь от учеников четкого понимания
того, что решить графически систему двух
уравнений — это значит найти координаты об-
щих точек графиков первого и второго урав-
нений. Обращаю внимание класса на то, что
в начале работы мы решаем графически такие
уравнения, которые легко можно решить ана-
литически, но в конце урока будут рассмотре-
ны системы, для которых графическое реше-
ние будет единственно возможным. Показы-
ваю кадр 20.
Установите соответствие между графиками на
рисунках I, II и III и следующими системами
уравнений;
[ х 4- 5у — 5.
а) <
I 2х + 10у------10;
( Зх + 4 у - 12,
б)
1 1,5л: 4- 2у — 6;
I х4-5у —5,
1 Зх — Зу -- — 3.
Кадр 20
По этому кадру выясняем с учащимися воп-
рос о возможном числе решений системы двух
уравнений первой степени с двумя неизвест-
ными. I, в) единственное решение (единствен-
ная общая точка графиков): ~ или
короче (0; 1). II, а) нет решений (графики не
имеют общих точек). III, б) бесконечное мно-
жество решений (графики совпадают): любая
точка, координаты которой удовлетворяют
уравнению у = —0,75x4-3. Например: (0; 3),
(—1; 3,75), (4; 0) и т. п.
Перехожу к рассмотрению графического
решения систем уравнений, содержащих одно
уравнение второй степени и одно первой сте-
пени.
Показываю кадры 23 и 24.
Даны графики функций
у = х2 и у — —х + 6. Сколь-
ко решений имеет уравне-
ние у - - х2? у — —х + 6?
Назовите общие решения
этих уравнений. Сколько
общих решений имеют эти
два уравнения?
Кадр 23
Кадр 24
Кадр 25
По этим кадрам повторяю с классом, что
значит графически решить систему двух урав-
43
Назовите уравнение пара-
болы и прямой. Рассматри-
вая эти уравнения как си-
стему, скажите, сколько она
имеет решений? Дайте
объяснение, используя гра-
фик.
жащей одно уравнение второй степени и одно
первой. Дальнейшую работу провожу с диапо-
зитивами «Графики функций», серия 320, ав-
торы О. А. Б о к о в н е в а и А. М. П ы ш-
к а л о.
Напоминаю учащимся, что в начале урока
мы говорили о возможности графического
решения более сложных систем. Показываю
диапозитивы 39, 41, 40. Учащиеся записыва-
ют системы и ответы к ним, которые они про-
чли по кадрам.
Даю систему, несколько измененную по
сравнению с системой в кадре 41, и предлагаю
решить ее аналитически:
Кадр 26
нений, сколько решений имеет одно уравнение
с двумя неизвестными. Вопрос о количестве
решений системы, содержащей одно уравне-
ние второй степени и одно первой, выясняю
с учащимися по кадрам 24, 25 и 26.
Предлагаю учащимся решить графически
систему
| х2 + у = 4,
I х + у = 2
(имеющую два решения).
Работа идет одновременно на доске, где ее
выполняет вызванный ученик, и в тетрадях у
учащихся. Работа ведется с применением шаб-
лона. Меняю второе уравнение данной си-
стемы:
( х2 + у = 4,	( х2 + у — 4,
a)	A Ч	б)	Л
( у = 4,5.	I у = 4.
Система а) не имеет решений, система б) —
только одно решение. Таким образом графи-
чески рассматриваются все случаи, возникаю-
щие при решении системы уравнений, содер-
у =Х3+ 1,5,
у — 0,5х2 = 1.
Учащиеся быстро убеждаются в том, что ре-
шить ее аналитически они не могут.
Решаем данную систему графически. Осо-
бое внимание обращаю на то, что ответ в
данном случае — числа приближенные, сте-
пень точности зависит от того, насколько точ-
Кадр 39
44
Кадр 40
Кадр 41
но построены графики. Указываю, что сначала
выполняется набросок, который часто дает
возможность выяснить, есть ли решения, а
потом с достаточной точностью строятся от-
дельные участки графиков, близких к ожи-
даемой точке их пересечения (см. чертеж).
График показал, что одно решение на участке
от — 1 до 0 будет.
Если теперь построить графики каждого
уравнения для —1 < х < 0, взяв за единицу
50 мм, можно получить с достаточно высокой
степенью точности решение (—0,65; 1,22).
Вывод из урока прошу сделать учеников.
Без графического способа нам обойтись нель-
зя, так как Сеть много уравнений, где только
графический способ дает нам возможность
найти их решения. В домашнее задание вклю-
чаю — решить графически уравнение х3 —
— 1,5 х + 0,5 = 0.
Применение диафильмов и диапозитивов,
как показал мой опыт, значительно экономит
время и дает возможность давать учащимся
разнообразные упражнения различной степе-
ни трудности.
/
э. ю. красс, Новый диафильм по геометрии
Г. Г. ЛЕВИТАС
(Москва) для IV класса
Студией «Диафильм» выпущено более 50
учебных диафильмов по математике. Одна из
последних работ студии — диафильм «Мураш-
кина геометрия» (авторы Э. Красс и
Г. Сашин, консультант А. Пышкало.
художник Е. Мигунов, художественный
редактор А. Морозов, редактор В. Чер-
нина). Это несколько необычная лента для
учебных диафильмов. Изложение системати-
ческого курса геометрии, которое вводится по
новой программе в IV классе, ведется в диа-
фильме от лица ученого муравья Муравина.
Главный герой диафильма — маленький му-
равей Мурашка — постигает смысл начальных
понятий геометрии: плоскость, точка, прямая,
луч, отрезок. Диафильм доводит учащихся до
темы «Сравнение отрезков».
Занимательный, сказочный сюжет выбран
авторами не случайно. Дети, как показывают
многочисленные психолого-педагогические
эксперименты, могут усваивать значительно
больший обьем информации, чем это полага-
лось по старой программе. Но при этом долж-
но соблюдаться одно непременное условие: им
должно быть интересно учиться. В старших
классах этот интерес может и должен идти от
самого предмета. Там играют роль такие фак-
торы, как интересная задача, изящное доказа-
тельство и т. д. А пока, на первых порах, в
младших классах интерес к изучаемому пред-
мету нужно стимулировать Одной из форм
такого стимулирования и является занима-
тельный сюжет.
В первых 8 кадрах диафильма происходит
знакомство с понятием плоскости. Делается
это так.
Подслушал Мурашка разговор муравьев-
строителей:
— Плоскость основания муравейника зали-
вают дожди.
Никогда он до этого не слышал слова
«плоскость». Заинтересовался. Спросил об
этом слове муравья-строителя. Задумался
взрослый муравей: «Как объяснить малышу?»
И пошел муравей-строитель к Муравину за
консультацией.
— Что если показать Мурашке крышку
стола и сказать, что это плоскость?
— Нет, Мурашка может подумать, что пло-
скость делается из дерева.
— А я покажу ему еще оконное стекло и
поверхность пруда.
— Но при этом нужно пояснить, что все же
это не плоскости. Ведь плоскость бесконечна.
— Где же я возьму пример бесконечной
Плоскости?
— Такого примера и не найти. Плоскость
можно только вообразить.
Вообразить бесконечную плоскость помо-
гает маленькому зрителю Е. Мигунов, кото-
рый нашел оригинальное иллюстративное ре-
шение этого кадра.
Первые 8 кадров дают материал для обсуж-
дения, материал для серьезной беседы с
учащимися о сущности описываемого матема-
тического понятия. Учитель может, например,
показать (или предложить это сделать уча-
щимся) другие модели плоскости, подчерк-
нуть, что приведенные примеры отличаются
от идеальной плоскости конечной протяженно-
стью, шероховатостью, толщиной и т. д. Мож-
но даже заставить учащихся пораоотать со
45
свойством бесконечности плоскости. Напри-
мер, взяв лист бумаги, спросить у учеников,
пересекает ли плоскость этого листа стены,
пол, потолок класса и т. д.
В таком же плане решены в диафильме и
следующие вопросы программы. Муравин рас-
сказывает Мурашке о двух тропинках в даль-
нем лесу, которые пересекаются в двух точ-
ках, и спрашивает, могут ли обе эти тропинки
быть прямыми. А так как Мурашке страшно
бежать в дальний лес, он пытается решить
этот вопрос на бумаге.
Далее Муравин проводит с Мурашкой и
его другом Муравчиком работу на местно-
сти — провешивание прямой. С этим в диа-
фильме связывается введение понятий луча и
отрезка. Закрепление этих понятий проводит-
ся на задачах.
Заключительная часть диафильма посвяще-
на сравнению отрезков: муравьи сортируют
веточки во время строительных работ.
Мы еще раз отмечаем блестящую работу
художника Е. Мигунова, сумевшего решить
кадры диафильма таким образом, что они
оказались эмоционально насыщенными и в
то же время дают простор для серьезной и
разносторонней работы с ними в классе. На-
пример, в кадре 22, где вводится понятие от-
резка, изображены игла, ветка, кусочек про-
вода, спичка, масштабная линейка и, кроме
того, отрезок, нарисованный на листе бумаги
с обозначением его концов буквами А и В.
По поводу этого кадра учитель может задать
большое число разнообразных вопросов, в
частности спросить, сколько отрезков изобра-
жено на линейке.
Несколько слов о методике использования
диафильма «Мурашкина геометрия».
Для того чтобы занимательность сюжега не
перебивала интереса к рассматриваемому гео-
метрическому материалу, имеет смысл пока-
зать диафильм в классе дважды. В первый
раз он показывается целиком для ознакомле-
ния с сюжетом Учитель не преминет при этом
сделать вывод о практической полезности гео-
метрии. Затем диафильм показывается по
фрагментам, в соответствии с изучаемым ма-
териалом. Здесь уже проводится углубленная
работа над каждым кадром.
Показ кадров 9—15 (или 9—20), посвящен-
ных понятию прямой, имеет смысл вести
задавая в каждом случае вопросы учащимся.
Каждый из этих вопросов решается в следую-
щем кадре, но еще до знакомства с решением
ученики должны в ряде случаев самостоятель-
но прийти к нему. Поэтому нужно после каж-
дого кадра проводить соответствующую рабо-
ту с классом, даже прерывая в некоторых
случаях демонстрацию диафильма.
В кадрах 21—22 даются определения луча
и отрезка. В конце кадра 22 содержится воп-
рос: что толще, луч или отрезок? Учитель при
желании может сразу перейти к кадру 23, в
котором дан ответ на этот вопрос, или обсу-
дить проблему в классе.
В кадрах 23 и 24 говорится об условности
всякого изображения прямой, луча и отрезка.
Этот материал должен быть хорошо понят.
Ему посвящены задачи в кадрах 25—30. Каж-
дую из эгих задач нужно решать в классе,
ориентируясь не только на сильных, но и на
средних и слабых учеников. По сути дела, за-
дачей для четвероклассников является и воп-
рос кадра 31: все ли отрезки равны между
собой?
Фрагмент, посвященный сравнению отрезков
(кадры 32—38), заканчивает диафильм. Этот
фрагмент естественно показать на уроке, на
котором устанавливаются понятия равенства
и неравенства отрезков Отметим, что идея
Мурашки, высказанная в кадре 37, относи-
тельно возможности отломить от больших ве-
точек веточки нужной длины является мости-
ком к материалу о сложении и вычитании
отрезков. Учитель может дополнить эту
мысль, спросив, нельзя ли использовать ко-
роткие веточки (связывая их).
Экспериментальные уроки с диафильмом
«Мурашкина геометрия» проводились нами в
разных классах, с I по VI. Они дали обнаде-
живающие результаты: дети охотно смотрят
диафильм и (в меру своего развития) пра-
вильно реагируют на поставленные в нем ма-
тематические проблемы. В частности, для уча-
щихся IV класса диафильм оказывается впол-
не посильным. Занимательность фабулы не
заслоняет (при вышеописанной методике по-
каза) сути программного материала.
Н. Л. СЕВАСТЬЯНОВА
(г. Воронеж) Кинофрагменты в V классе
Рассмотрим пример установления функцио-
нальной зависимости между величинами с по-
мощью кинофрагмента «Зависимость между
расстоянием, скоростью и временем движе-
ния». Он является первым из серии пяти
фрагментов фильма «Задачи на движение»
(Ленинградская студия научно-популярных
фильмов, 1960 г. Автор сценария Г. Селивер-
стов, консультант А. Бронникова, режиссер
П. Шмидт).
Фрагменты этого фильма отличаются эмо-
циональностью и живой подачей учебного
материала. Фрагмент 1 дает очень хороший
материал для раскрытия функциональной за-
висимости между расстоянием, скоростью
и временем движения. Каждый следующий
фрагмент помогает учащимся лучше разо-
браться в решении задач определенного типа:
фрагмент 2— задач на встречное движение;
фрагмент 3 — на движение двух тел из одного
пункта в одном и том же направлении; фраг-
мент 4 — из разных пунктов в одном и том же
направлении и фрагмент 5 — на движение по
течению и против течения реки.
Фрагмент 1 труден для работы без подроб-
ного к нему описания, так как за короткий
промежуток времени подается очень насыщен-
ный и разнообразный материал.
За несколько уроков до работы с фрагмен-
том 1 с учащимися повторяется изменение
произведения при изменении множителей, из-
менение частного (дроби) при изменении ком-
понентов.
Перед показом этого фрагмента надо ска-
зать учащимся, чтобы они обратили внимание
на те тела, о движении которых будет рас-
сказано в начале фильма, и запомнили опре-
деление скорости, данное диктором. Это бу-
дет необходимо для понимания мульткадров
этой части фрагмента и для дальнейшей бесе-
ды с учащимися.
Фрагмент начинается показом и следующим
рассказом о движении различных тел:
«Всюду мы видим движение различных тел.
Одни из них движутся медленно (пешеход),
другие быстро (велосипедист), третьи — еще
быстрее (поезд), т. е. все они движутся с раз-
личной скоростью.
Скорость движения показывает длину пути,
проходимую телом в единицу времени, напри-
мер: за одну секунду, за одну минуту, за один
час.
Длина пути, пройденного телом, зависит от
скорости движения и от времени, т. е. от про-
сдмолет
ЮОкм
80 км
800 км
Ю км
Черт. 1
велосипедист 30 км
должительности движения. Так, при одном и
том же времени, но разной скорости движе-
ния тел длина пройденного ими пути будет
различной».
Далее следуют мульткадры (черт. 1).
«Пути, пройденные различными телами
с различной скоростью за одно и то же время,
будут различными».
Прерывается показ фильма, и проводится
с учащимися беседа, при этом используется
таблица с запечатленными на ней мульткад-
рами (черт. 1).
1.	Что показывает скорость?
2.	Какое время были в пути все тела?
3.	Какие пути были пройдены каждым те-
лом за 2 часа?
4.	Найдите скорость каждого тела.
5.	Каким образом зависит длина пути от
скорости движения при постоянном времени?
Далее показываются следующие кадры
фильма.
«Рассмотрим случай, когда движение про-
исходит с одинаковой скоростью. Тогда пути,
пройденные телами с одной и той же скоро-
стью, но за различное время, будут различны.
За 1 час — 15 км,
за 3 часа — 45 км.
По скорости и времени движения всегда
можно определить длину пути.
Допустим, скорость автомобиля — 50 км в
час, время движения — 3 часа. Какой путь
прошел автомобиль?
50-3 = 150 (км).
Путь, пройденный телом, всегда равен про-
изведению скорости на время движения».
Выключается проектор перед словом «про-
изведению» в последнем предложении дикто-
ра, так как промежуток между последними
словами этого предложения и следующей
47
частью кинофрагмента очень мал. Закончить
это предложение смогут сами учащиеся. Затем
вводятся обозначения: s— путь, пройденный
телом, v — скорость его движения, t — время
его движения. Записывается формула s = vt,
и проводится с учащимися беседа о зависимо-
сти пути а) от времени движения при одной
и той же скорости и б) от скорости движения
при одном и том же времени.
Далее снова включается кинопроектор.
«В свою очередь и время движения зависит
от длины пути и от скорости движения.
Путь в 40 км автомобиль прошел за один
час, а на путь в 200 км автомобиль затратит
при той же скорости 5 часов. Чем длиннее
путь, тем больше ему надо времени на про-
хождение этого пути 200:40 = 5 (час.).
Время движения всегда равно частному от
, s
деления пути на скорость движения, т. е. t = —.
При одинаковом расстоянии, но различной
скорости время движения будет различным.
Так, путь в 150 км при скорости в 30 км
в час автомобиль пройдет за 5 часов:
150:30 = 5. Если же скорость автомобиля
будет 75 км в час, то путь в 150 км он прой-
дет за 2 часа: 150:75 = 2».
Теперь с учащимися дополнительно на ряде
других примеров рассматривается изменение
времени движения с изменением s при посто-
янной V, с изменением и при постоянном s.
Затем рассмотрим выражение скорости v
через s и t. Ставим вопросы: как зависит ско-
рость движения тела а) от пройденного им
пути за один и тот же промежуток времени,
б) от времени движения при одном и том же
пройденном пути; как изменяется v при изме-
нении s и t?
Для проверки полученных выводов демон-
стрируется оставшаяся часть фрагмента.
«Зная длину пути и время (продолжитель-
ность) движения, можно найти скорость дви-
жения.
Расстояние в 1200 км надо пройти за 24 ча-
са. Какой должна быть скорость поезда?
200 :24 = 50 (км в час). А если этот путь
надо пройти за 2 часа? Какой должна быть
скорость самолета? Она будет равна 600 км
ь час. 1200:2 = 600 (км в час).
Скорость движения всегда равна частному
от деления пути на время движения, т. е.
Время движения, скорость и расстояние по-
стоянно находятся в зависимости Друг от
друга. Зная две величины, всегда можно най-
ти третью».
После просмотра фрагмента 1 учащимся
предлагается привести конкретные примеры
на движение и рассмотреть изменение одной
из величин s, v, t в зависимости от двух дру-
гих.
В заключение для устного решения пред-
лагается, например, следующая задача:
«На каникулах ученик поехал к дедушке.
По железной дороге он ехал 8 часов, а на ло-
шадях— 4 часа. Всего он проехал 440 км.
С какой скоростью он ехал по железной доро-
ге, если на лошадях он ехал со скоростью
10 км в час?»
Перед показом фрагмента 2 «Задачи на
встречное движение» учащихся предупрежда-
ют, чтобы при просмотре они обратили внима-
ние на сходство и различие данных в кино-
фрагменте задач, так как после просмотра
отдельных частей фрагмента будет проведено
их сравнение, сопоставление.
Включается кинопроектор.
«Задача 1. В час дня из Горького в Мо-
скву со скоростью 70 км в час вышла автома-
шина «Победа». В то же время из Москвы
в Горький со скоростью 80 км в час вышла
автомашина «Чайка». Расстояние между го-
родами составляет 450 км. Через сколько ча-
сов встретятся автомобили?»
В кинофрагменте предлагается следующее
решение:
«1. На сколько км в час машины сближа-
лись друг с другом?
70 + 80 = 150 (км в час).
2. Через сколько часов автомашины встре-
тятся?
450 : 150 = 3 (час.).
Ответ: автомашины встретятся через
3 часа».
После просмотра этой части фрагмента уча-
щимся предлагается решить устно следующую
задачу: «Из Москвы в Ленинград выехал гру-
зовой автомобиль со скоростью 30 км в час.
Одновременно из Ленинграда в Москву выле-
тел вертолет со скоростью 100 км в час. Через
5 часов вертолет пролетел над грузовым авто-
мобилем. Каково расстояние от Москвы до
Ленинграда?»
С учащимися выясняется, чем отличается
эта задача от задачи, данной в кинофраг-
менте
Далее вновь включается аппарат.
«Задача 2. Из Ленинграда в Москву со
скоростью 60 км в час вышел скорый поезд.
Одновременно из Москвы в Ленинград со ско-
ростью 70 км в час вышел курьерский поезд.
Через сколько часов расстояние между
поездами будет составлять 260 км, если рас-
стояние между городами 650 км?
48
^Победа >—«-
70 КМ/ЧАС
Л ----------- ------- ----------------
—*----«-	260км	—------<—<
60км/час	7Окм/час
Черт. 2
1 Сколько км надо пройти поездам, чтобы
они приблизились друг к другу на 260 км?
650 — 260 = 390 (км). Это и будет путь, кото-
рый им нужно пройти.
2. На сколько километров в час сближают-
ся поезда?
60 4- 70 = 130 (км в час).
3.390:130 = 3 (часа). Значит, расстояние
между поездами в 260 км будет через столько
часов, сколько раз число 130 содержится
в числе 390. Расстояние между поездами в
260 км будет через 3 часа после выхода поез-
дов из Москвы и Ленинграда».
Просмотрев эту часть фрагмента, поль-
зуясь заранее приготовленными на доске или
бумаге чертежами, соответствующими мульт-
кадрам фрагмента (черт. 2), проводится срав-
нение условий и решений задач 1 и 2.
После такой работы учащимся предлагает-
ся для решения следующая задача: «Два па-
рохода вышли одновременно навстречу друг
другу из двух пунктов, расстояние между ко-
торыми 200 км. Первый пароход в каждые
3 часа проходит 75 км, второй в каждые 2 ча-
са проходит 45 км. Какое будет между ними
расстояние через 4 часа?»
Затем заканчивается просмотр кинофраг-
мента.
«Задача 3. В 7 часов утра из Таллина
в Ленинград вышел теплоход. Через 4 часа,
в 11 часов утра, навстречу ему из Ленинграда
вышел катер. Через сколько часов после выхо-
да катера они встретятся, если скорость тепло-
хода 46 км в час, скорость катера 37 км в час,
а расстояние между портами составляет
350 км?
1.	Какое расстояние прошел теплоход к мо-
менту выхода катера, т. е. за 4 часа?
46-4 = 184 (км).
2.	Какое расстояние было между теплохо-
дом и катером к моменту выхода катера на-
встречу теплоходу? 350—184 = 166 (км).
3.	На сколько километров в час они сбли-
жаются друг с другом? 464-37=83 (клгвчас).
1 Через сколько часов после выхода катер
встретится с теплоходом? А встретятся катеп
с теплоходом через столько часов, сколько раз
—< .Чайка*
80 КМ/ЧАС
„ПС5ЕДА"|—>
70 км/час
-л---- „ЧАЙил"
£О км/час
60 км/час
ЛА
260км
7Окм/Ч4 г-
Черт. 3
число 83 содержится в числе 166, т. е. через
2 часа после своего выхода в море».
Проводится сравнение задачи 3 с первыми
двумя с помощью чертежей (черт. 3).
Выясняется, что в задачах 2 и 3 определить
сразу время движения до встречи двух тел,
зная сумму их скоростей, нельзя, так как не-
известен путь их совместного (одновременно-
го) движения.
Поэтому сначала и определяется этот путь.
Во второй задаче он находится сразу вычита-
нием, а в третьей — предварительно надо най-
ти тот путь, который прошел теплоход до вы-
хода ему навстречу катера.
Эти сравнения проводить необходимо, так
как они позволяют учащимся лучше понять
способы, приемы решения задач такого типа.
В конце урока можно предложить решить
из школьного задачника задачи № 144 (1, 2)
или 819 (1, 2).
При работе с помощью фрагментов 3 и 4
также полезно предложить учащимся решить
задачи.
После демонстрации фрагмента 3:
1. По шоссе едут два велосипедиста в одну
и ту же сторону. Расстояние между ними 9 км.
Первый едет со скоростью 15 км в час, второй
догоняет его со скоростью 18 км в час. Через
сколько часов второй догонит первого5
2. Два теплохода вышли одновременно из
одного порта и идут в одном и том же направ-
лении. Первый теплоход каждые 3 часа про-
ходит 120 км, а второй — каждые 2 часа
72 км. Через сколько часов первый теплоход
будет находиться на расстоянии 20 км от
второго?
После работы с фрагментом 4:
1. Из Воронежа в Липецк в 7 часов утра
вышел автобус со скоростью 40 км в час. Рас-
стояние между Воронежем и Липецком 120 км.
Некоторое время спустя из Воронежа вышло
такси со скоростью 80 км в час; в Липецк
автобус и такси прибыли одновременно. Через
49
сколько часов после выхода автобуса вышло
такси?
2. Из Л в В выехал велосипедист со ско-
ростью 20 км в час. Спустя некоторое время
из Л в В выехал мотоциклист со скоростью
60 км в час и через 2 часа догнал велосипе-
диста в пункте В. Сколько часов спустя после
выезда велосипедиста выехал мотоциклист?
Работа с помощью фрагмента 5 ведется
аналогично; заметим, что в конце его дикто-
ром предлагается учащимся задача для само-
стоятельного решения.
В помощь начинающему учителю
с. а. Пономарев, Решение задач в школьном курсе
П. В. СТРАТИЛАТОВ
(Москва) арифметики с применением уравнений
Новая программа по математике для сред-
ней школы рекомендует при решении задач
в курсе арифметики использовать наряду
с традиционными способами и способ______со-
с тавления урав нений. В 51эъяснитель-
ной записке к программе говорится: «Раннее
введение уравнений позволяет по-новому орга-
низовать обучение решению текстовых задач.
На достаточно убедительных примерах рас-
крывается преимущество алгебраического спо-
соба перед арифметическим. В остальном
учащемуся самому предоставляется право вы-
бора метода решения задач».
Напомним, что при обсуждении проекта но-
вой программы относительно применения
уравнений при решении задач в курсе ариф-
метики в некоторых письмах, присланных
в редакцию, высказывалось опасение, что при
решении задащсоставлением уравнений в_кур-
се арифметики снизится развити£__мышления
учащихся^Однако большинство авторов пи-
сем поддерживали предложение использовать
уравнения в курсе арифметики. В связи
с этим представляется целесообразным выяс-
нить значение и ценность как традиционных
способов решения задач в курсе арифметики,
так и применения уравнений с тем, чтобы учи-
тель смог правильно ориентироваться по это-
му вопросу в своей практической работе.
Необходимо отметить, что решение задач
при помощи составления уравнений является
у н и в е р с a-jrbTi H м способом. Он может быть
применен для~решенй~я “очень многих~~запач.
Учащийся в курсе алгебры восьмилётнёй шко-
лы имеет возможность в этом убедиться при
решении различных задач, включая задачи
из геометрии, физики и т. д.
Однако следует иметь в виду, что решение
уравнения первой степени с одним неизвест-
ным, к которому сводится решение арифмети-
ческих задач, может быть выполнено в IV—
V классах на основании зависимостей между
результатами и компонентами действий, хотя
такой способ решения уравнений в ряде слу-
чаев может вызвать у учащихся затруднения.
Только в V классе, в связи с введением в но-
вую программу темы «Положительные и от-
рицательные числа», решение уравнений мож-
но будет проводить, используя перенос членов
уравнения из одной части в другую, как это
и указывается в объяснительной записке к но-
вой программе.
Современная методическая мысль выдвига-
ет как проблему построение обучения матема-
тике в школах на задачах-проблемах, подво-
дящих к необходимости рассматривать соот-
ветствующие вопросы теории (см., например,
доклад С. Крыговской на Международ-
ном конгрессе математиков в Москве в ав-
густе 1966 г., напечатанный в нашем журнале,
№ 6 за 1966 г.). Рассматриваемые с учащими-
ся задачи призваны развивать мышление уча-
щихся, обучать их правильно, логически обос-
нованно мыслить и уметь находить оптималь-
ный способ решения.
Способы решения задач, применяемые
в курсе арифметики, могут быть связаны
с соответствующим теоретическим материалом
и часто проще решения с помощью составле-
ния уравнений. Для решения некоторых задач
можно использовать специфические особенно-
сти и зависимости между данными условия,
которые позволяют упростить нахождение
искомой величины. Объяснительная записка
правильно ориентирует учителя, рекомендуя
предоставить право ученику выбирать способ
решения. Нам_бы представлялось желатель-
ным приучить ученика обосновывать—нечему
именно такой способ решения он_предпочел
другим при решении той или иной задачи.
50
Арифметические способы решения задач бу-
дут применяться не только при решении про-
стых задач, т. е. задач, решаемых одним
действием, но и при решении составных задач,
в которых искомое непосредственно выра-
жается через данные задачи. К таким задачам
относятся задачи на нахождение среднего
арифметического, значительное число задач на
движение, на куплю-продажу, на время, зада-
чи на вычисление периметров, площадей
и объемов некоторых геометрических фигур,
задачи на проценты, задачи на пропорцио-
нальное деление и другие задачи, планы реше-
ния которых легко усматриваются учащимися.
В пояснение к сказанному приводим решение
нескольких задач.
Задача. «Мальчики пошли на реку ку-
паться. Сначала 8 человек из них переплыли
на другой берег, потом переплыла еще поло-
вина оставшихся, после чего переплывших на
другой берег оказалось вдвое больше, чем
оставшихся. Сколько мальчиков пошло ку-
паться?»
Сопоставим два способа решения этой за-
дачи: без применения уравнений и с примене-
нием уравнений.
Непосредственный анализ условия задачи
показывает, что всего мальчиков было 24.
Действительно, вся группа мальчиков разде-
лилась на три части: одна часть — 8 человек —
и еще две, равные между собой, причем одна
из них и 8 мальчиков вместе оказались вдвое
больше третьей, значит, 8 — это */з числа всех
мальчиков.
Решим эту задачу с помошью уравнения.
Руководствуясь вопросом задачи, обозначим
общее число мальчиков через х; после того
как 8 человек переплыло, осталось (х — 8)
человек; потом переплыла половина остав-
х — 8
шихся: —g— человек и столько же оста-
лось; всего переплывших оказалось
) человек. Составляем уравнение
8+ 2	2	'2*
Решение этого уравнения в IV классе будет
сопряжено с большими трудностями. При со-
ставлении уравнения можно рекомендовать
введение вспомогательного неизвестного (на-
пример, принять за х число мальчиков, пере-
плывших во второй раз), но для начинающих
решение этой задачи составлением уравнений
все же не будет легким. Конечно, такие зада-
чи можно исключить и не рассматривать их
с учащимися. Однако нельзя забывать, что
при решении задач не следует «натаскивать»
ученика на определенных типах задач, а сле-
. х — 8
’	2~
х — 8 х — 8
дует развивать мышление ученика, догадку
и смекалку. В этом отношении способы реше-
ния задач в курсе арифметики, отличные от
применения уравнений, представляют интерес.
Рассмотрим задачу на нахождение двух чи-
сел по их сумме и разности.
Задача. «Сумма двух чисел 65. Одно из
них больше другого на 17. Найти каждое
число».
Арифметический способ решения этой зада-
чи общеизвестен. Он сводится к предположе-
нию, что каждое из чисел равно меньшему
или каждое из чисел равно большему.
Решим эту задачу с помощью уравнения.
Пусть меньшее число х. Тогда большее равно
х+ 17; сумма их составит (х + х + 17); мож-
но составить уравнение: х + х + 17 = 65. Ре-
шение этого уравнения затруднений не вы-
зовет.
Большая простота решения с помощью
уравнений может быть продемонстрирована
и при решении такой задачи.
Задача. «46 школьников отправились на
10 лодках в туристский поход. Часть лодок
были четырехместные и остальные — шести-
местные. Сколько было четырехместных лодок
и сколько шестиместных, если все места
в каждой лодке были заняты?»
Не будем приводить известный арифметиче-
ский способ решения этой задачи.
Решим эту задачу, составив уравнение по
ее условию. Пусть шестиместных лодок было х.
Тогда четырехместных было (10 — х); в ше-
стиместные поместилось 6-х человек, а в че-
тырехместные— 4-(10 — х) человек, и всего
разместилось 6-х+ 4-(10— х) человек. Со-
ставим уравнение: 6-х+ 4-(10— х) = 46. Ре-
шение его связано с увеличением разности
двух чисел в 4 раза: нужно увеличить в 4 ра-
за уменьшаемое и в 4 раза вычитаемое. Таким
образом, получим: 6-х+40— 4-х = 46, или
2-х+ 40 = 46; решение этого уравнения за-
труднений не вызовет
Уже при решении последних двух задач
многие учащиеся предпочтут способ решения
с применением уравнений. Нельзя забывать,
что при решении задач без применения урав-
нений ученик часто должен проявить большую
изобретательность для постановки смыслово-
го вопроса для каждого производимого дей-
ствия, что вызывает у учашихся большие
затруднения. Если при решении задач учитель
будет подчеркивать, что способ с помощью
уравнений является более общим, может быть
применен при решении многих задач и в даль-
нейшем будет являться основным способом
при решении задач в курсе математики, фи-
зики, химии и т. д., то учащиеся будут стре-
51
миться овладеть этим способом. Учитывая, что
задачи в темах «Натуральные числа», «Обык-
новенные дроби» и «Десятичные дроби»
в основном однотипны, можно рекомендовать
в каждой теме рассматривать решение как
с применением уравнений, так и без примене-
ния уравнений, указывая для некоторых задач
определенный способ решения, а чаще пре-
доставляя учащемуся право выбора способа
решения.
Вводя способ составления уравнений при
решении арифметических задач, надо заранее
подготовить учащихся к преодолению возни-
кающих при этом трудностей.
Для обеспечения лучшего усвоения способа
решения задач составлением уравнения сле-
дует обратить внимание в работе с учащими-
ся на следующее: 1) более широкое введение
буквенной символики в курс арифметики;
2) формирование понятия уравнения и 3) ре-
шение уравнений, главным образом, на осно-
ве зависимостей между результатами и ком-
понентами действий. Дадим краткие методи-
ческие рекомендации по каждому из указан-
ных вопросов.
1.	БУКВЕННАЯ СИМВОЛИКА
Введение буквенной символики следует на-
чинать сразу же при систематизации изуче-
ния натуральных чисел. Следует ввести обо-
значение любого натурального числа в виде
буквы (например, п) и записать число, сле-
дующее за ним: п + 1,— предшествующее
ему: п—1. Следует ввести понятие числового
выражения: числа и поставленные между ни-
ми знаки действий составляют числовое вы-
ражение. Так, 124 + 415 — числовое выраже-
ние, представляющее сумму двух чисел. 539 —
значение этого выражения, этой суммы. Если
данные числа обозначить буквами а и Ь, то
получим а + Ь — выражение с переменными;
оно также называется суммой.
Затем рассматриваются различные выраже-
ния, содержащие все четыре действия. Среди
компонентов действий будут и переменные
и данные числа, а среди них могут быть
и 0, и 1.
При вычислении значений того или иного
выражения с переменными выяснится, что
в некоторых случаях, когда выражение со-
держит разность или частное, числовые зна-
чения могут быть найдены не при любых на-
туральных значениях переменных. Особенно
полезно рекомендовать применение буквенной
символики для записи правил вычисления
периметров и площадей квадрата, прямоуголь-
ника, треугольника, а также для объема пря-
моугольного параллелепипеда. При записи
правила вычисления периметра квадрата уча-
щийся столкнется с преобразованием выраже-
ния с переменными: Р = а + а + а + а = 4-а.
Аналогично, приведение подобных членов
в простейших случаях придется производить
при вычислении периметров прямоугольника,
правильного и равнобедренного треуголь-
ников.
Для закрепления понятия выражения мож-
но рекомендовать различные упражнения,
включая запись решения задач формулой.
1.	Записать сумму переменного а и числа 5.
2.	Записать сумму произведения чисел 12
и 6 и переменного Ь.
3.	Записать разность переменного а и чис-
ла 7.
4.	Записать произведение числа 5 и пере-
менного х.
5.	Записать сумму произведения числа 4 и
переменного у и числа 10.
6.	Урожай пшеницы составляет 20 ц с гек-
тара.
Сколько центнеров пшеницы будет собрано
с п гектаров?
7.	Самолет ИЛ-18 за один рейс перевозит
80 пассажиров. Сколько человек он перевезет
за k рейсов?
8.	Два поезда отошли от одной станции
одновременно в противоположные стороны;
один шел со скоростью 70 км в час, другой —
65 км в час. Какое расстояние между поезда-
ми будет через 1 час после выхода, через
3 часа, через х часов?
9.	Миша имеет 100 марок, а Саша имеет
у марок. На сколько марок у Саши больше,
чем у Миши? Во сколько раз у Миши больше
марок, чем у Саши? Записать ответы в общем
виде и вычислить, если у — 200; у — 400.
10.	Найти числовое значение выражения:
а)	526 — а + 120 при а= 340;
б)	х: 32 + 47 при х = 160.
Аналогичные упражнения надо предлагать
и с дробными числами.
2.	ПОНЯТИЕ ОБ УРАВНЕНИИ
Учащиеся уже в начальных классах имели
дело с уравнениями, рассматривая такие за-
дачи: «Сумма двух чисел равна 100; одно из
них 20. Чему равно другое число?» Учащимся
приводились такие упражнения: 13 + 58 = 71
и х + 58 = 71; 14-3=42 и х-3 = 42; 96:6= 16
и 96 : х = 16 и т. п.
Сравнивая равенства попарно, учащиеся
делали вывод, каким числом является неиз-
вестный компонент х. Затем можно рас-
смотреть такие задачи: «Периметр квадрата
равен 160 см. Чему равна его сторона^» Если
обозначить сторону квадрата х см, то
52
Р = 4-х (см). Так как Р = 160, то имеем
равенство: 4-х =160,— откуда неизвестный
сомножитель равен 160:4 = 40 (см). Следует
дать учащимся определение уравнения как
равенства, содержащего букву, обозначающую
неизвестное число. Можно рекомендовать дать
учащимся некоторые упражнения на составле-
ние и запись уравнений, оперируя результа-
тами и компонентами отдельных действий
и используя основные задачи, решаемые каж-
дым действием. Например, целесообразно
рассмотреть упражнения:
1.	Если неизвестное число увеличить на 15,
то получим 40. Чему равно неизвестное чис-
ло? Как записать условие задачи с помощью
уравнения, обозначая неизвестное число бук-
вой?
2.	Я задумал число. Если к нему прибавить
105, то получится 1005. Какое число я заду-
мал? Как записать условие задачи в виде
уравнения, обозначая задуманное число бук-
вой?
Аналогичные задачи рекомендуем решать
на каждое из действий, меняя формулировку
условия, исходя из различного вида основных
задач, решаемых каждым действием.
3.	РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Как было указано выше, решение уравнений
в IV и в начале V класса проводится на осно-
ве зависимостей между результатами и компо-
нентами действий. Следовательно, на изуче-
ние этих зависимостей нужно обратить боль-
шое внимание при систематизации действий
с натуральными числами. Упражнения на ре-
шение уравнений следует начинать с самых
простых примеров, постепенно их усложняя.
Покажем на примере решение сравнительно
сложного (для V класса) уравнения:
13-(12—А5-х) — 17 = 9.
Учащийся выясняет, что левая часть урав-
нения— разность, уменьшаемое содержит пе-
ременное (неизвестное); находит уменьшаемое.
Полученное выражение — произведение, в ко-
тором неизвестен один множитель. Находится
этот множитель и т. д. Решение уравнения
записывается следующим образом:
13-('12 — 5-х) = 9 + 17;
13(12 -5-х) = 26;
12 —5-х = 2;
5-х = 10;
х = 2.
В дальнейшем числовые данные в уравне-
ниях будут и дробные.
Нам представляется целесообразным пока-
зать учащимся способ проб для реше-
ния уравнений. Допустим, дано уравнение:
2-х — 4 = 32. Как найти то числовое значение
переменного х, при котором получится верное
равенство, т. е. при котором выражение
(2-х — 4) примет значение 32? Способ проб
состоит в подстановке вместо буквы х нату-
ральных чисел, выбор которых может быть
произволен. Однако нужно показать, что
в данном случае, наверное, число х не может
быть больше 32. Сразу можно взять вместо х
число 10. Тогда числовое значение выражения
(2-х — 4) будет равно 16. Если взять вместох
число 20, то числовое значение будет равно 36.
Это покажет, что 20 нужно несколько умень-
шить. Теперь можно пробовать х= 19, и на-
конец получим, что искомое значение х рав-
но 18.
Параллельно рассмотрению указанных уп-
ражнений надо применить и составление урав-
нений по условию задач. Важно и здесь вы-
держать постепенное наращивание трудно-
стей. Приводим примеры таких задач:
1.	Мальчик купил 3 карандаша по 5 коп.
каждый и 4 тетради. За покупку он уплатил
23 коп. Сколько стоит тетрадь?
2.	В классе 40 учащихся, причем девочек
на 4 больше, чем мальчиков. Сколько девочек
и сколько мальчиков учится в классе?
3.	Из двух пунктов, расстояние между кото-
рыми 42 км, одновременно навстречу друг
другу выехали два велосипедиста. Через 2 ча-
са они встретились. Найти скорость каждого
велосипедиста, если один из них проезжал на
1 км в час больше другого.
4.	На трех полках находится 150 книг. На
первой полке книг вдвое больше, чем на вто-
рой, а на третьей на 10 книг меньше, чем на
первой. Сколько книг на каждой полке?
Использовать способ составления уравнений
при решении арифметических задач можно ре-
комендовать уже в текущем учебном году, не
дожидаясь введения новой программы.
В заключение укажем номера тех задач из
школьного сборника задач по арифметике,
для решения которых более удобно применять
составление уравнений: 113—139, 142—150,
166, 167 (из главы!); 497—500, 522—541, 578,
800, 805, 806, 808 -810, 813—816. 899—901 (из
глав II, III, IV); 950—955, 965—974, 997—1002
(из главы V) и 1278—1284, 1287—1293, 1303—
1310 (из главы IX).
1234567890
Из опыта проведения
факультативных занятий
ОТ РЕДАКЦИИ
Факультативные курсы по выбору вошли в жизнь школы и завое-
вали общее признание.
Многие читатели журнала сообщают в своих статьях и письмах
о накопленном первом опыте проведения факультативных курсов по
математике в своих республиках, областях, отдельных школах. При
этом отмечают как имеющиеся успехи, так и существенные трудности,
которые приходится преодолевать школе и учителю в решении некото-
рых методических и организационных вопросов.
Многие сообщения авторов заслуживают внимания. Высказанные
предложения и рекомендации интересны, но не всегда бесспорны. Об-
суждение этих вопросов и коллективные поиски их решения помогут
найти пути дальнейшего совершенствования новой и важной формы
учебной и воспитательной работы в средней школе.
Публикация поступающих материалов об опыте проведения фа-
культативных занятий будет продолжена в ближайших номерах нашего
журнала.
ФАКУЛЬТАТИВНЫЕ ЗАНЯТИЯ В ШКОЛАХ
ЛАТВИЙСКОЙ ССР
Г. Ю. ГРАУДОНЕ, П. П. ЗАРИНЬШ
(г. Рига)
В школах нашей республики факультатив-
ные занятия в более широком масштабе вве-
дены с 1968/69 учебного года.
Возможность 1—2 часа в неделю дополни-
тельно работать с учениками, проявившими
интерес и желание углубить свои знания по
математике, явилась хорошим стимулом для
развития способностей учащихся, а также для
внедрения новой формы дифференцированно-
го обучения математике. Учитывая то, что
средняя школа республики является одиннад-
цатилетней, в программу, утвержденную Ми-
нистерством просвещения СССР, внесены не-
которые изменения.
Конкретно это относится к программе для
IX—XI классов.
Своевременно была продумана подготовка
учителей к ведению факультативных занятий.
Институт усовершенствования учителей в пе-
риод летних каникул 1967 и 1968 гг. организо-
вал курсы по подготовке учителей. Лекции по
вопросам программы читали преподаватели
Латвийского государственного университета,
Лиепайского и Даугавпилсского педагогиче-
ских институтов, сотрудники НИИ школ и ве-
дущие учителя республики.
Многие учителя с большим интересом и эн-
тузиазмом начали проводить факультативные
занятия. В 1968/69 учебном году во всех шко-
лах республики, где проводились факультатив-
ные занятия, изучали «Дополнительные главы
и вопросы математики». Специальные же кур-
сы будут изучаться в следующие годы, когда
сумеем обеспечить школы учебной, методиче-
ской литературой и проведем соответствую-
щую работу по подготовке кадров.
Многие учителя в своей работе строго при-
держиваются программы. Однако большин-
ство учителей отступили от основной про-
граммы.
Здесь наблюдается два направления:
1. Одни учителя предлагают меньше давать
теории, а больше внимания уделять выработ-
ке навыков.
Так, например, учительница X класса шко-
лы № 50 г. Риги М. Дамбите по одному
часу в неделю уделяет углублению вопросов
общеобразовательной программы. Остальные
темы выбирает так, чтобы они были близки
темам общеобразовательной программы: «Дей-
54
ствия с иррациональными числами» (10 ча-
сов), «Уравнения и системы уравнений»
(15 часов), «Решение задач по планиметрии
с применением тригонометрии» (10 часов).
2. Другие учителя считают необходимым по-
знакомить учащихся, особенно старших клас-
сов, по возможности с большим числом тем,
т. е. расширить математический кругозор уче-
ника. Например, учительница Р. Померан-
це (средняя школа № 6 г. Лиепаи) в XI клас-
се рассматривает темы: «Арифметическое
устройство электронно-вычислительных ма-
шин» (8 часов), «Принцип математической
индукции» (4 часа), «Функции и графики»
(12 часов), «Производная и ее применение»
(9 часов), «Определенный интеграл и его при-
менение» (9 часов).
Материалы проверки показывают, что в
VII—VIII классах более распространены те-
мы: «Метод координат», «Симметрия», «Функ-
ции и графики», а в IX—XI классах: «Про-
изводная и ее применение», «Определенный
интеграл», «Алгебраические уравнения любой
степени».
Видимо, эти темы, по мнению учителей,
представляют особый интерес в общеобразо-
вательном отношении и более доступны для
большего числа школьников.
f- Главные формы работы — лекции, собеседо-
вания, решение задач. Однако лекционная
форма проведения факультативных занятий
более эффективна в старших классах. Во мно-
гих школах проводятся семцнары. Некоторые
учащиеся готовят рефераты как по теорети-
ческим вопросам, так и'по решению задач.
Г Качество проведения факультативных заня-
тий зависит и от времени их проведения.
В основном по республике факультативные за-
нятия проводятся по расписанию нулевыми
или последними уроками. Но есть школы,
в которых факультативные занятия проводят-
ся в вечерние часы.
Расходятся мнения учителей~и в том, как
лучше проводить занятия — по 2 часа в один
день или по 1 часу два раза в неделю:
Оценка знаний учеников, посещающих фа-
культативные занятия, еще далеко не решен-
ный вопрос. Большинство учителей высказы-
ваются за выставление текущей оценки с по-
следующим зачетом после каждой изученной
темы.
Можно сделать некоторые предварительные
выводы о недостатках и трудностях проведе-
ния факультативных занятий.
Главный недостаток — не хватает соответ-
ствующих учебных пособий как для учителей,
так и для учащихся. Готовясь к каждому за-
нятию, учитель очень много времени тратит
на отыскание в специальной литературе нуж-
ного материала. В национальных же школах
много времени уходит еще и на перевод тек-
ста с русского языка на родной, чтобы этот
материал продиктовать ученикам.
Серьезные затруднения у учителя вызывает
работа по подбору соответствующих задач.
Как показала проверка, эта важная работа
по правильному подбору задач для факульта-
тивных занятий не всегда под силу каждому
учителю.
Отсутствие нужных учебных пособий огра-
ничивает выбор методов и форм занятий
и снижает эффективность работы.
Дискуссионным остается вопрос о том, по-
лезно ли вводить факультативные занятия
с VII класса. Многие учителя высказываются
за более раннее введение факультативов, от-
мечая, что у учеников уже в этом возрасте
появляется интерес к любимому предмету,
и этот фактор необходимо учитывать.
Желательно, чтобы при составлении учебни-
ков для факультативных занятий больше да-
валось методических указаний о ведении за-
нятий по каждой теме. Практика показывает,
что ученики теряют интерес к занятиям, когда
много времени уделяют углублению одной
темы. Поэтому важно, чтобы на факультатив-
ных занятиях учитель умел заинтересовать
учащихся выбранной темой, поддержать в них
стремление знать больше, знать лучше люби-
мый предмет.
Необходим разнообразный дидактический
материал. Только при наличии таких пособий
возможна самостоятельная и творческая ра-
бота ученика.
В помощь учителю и ученикам НИИ школ
и институт усовершенствования учителей
в ближайшее время намечают издать пособия
для факультативных занятий по математике
в VII—VIII классах.
В пределах республики полезно организо-
вать факультативные занятия в один день
и в одно время. Тогда в целях улучшения про-
ведения факультативных занятий могло бы
быть использовано телевидение.
г Первый опыт показывает, что, несмотря на
трудности, факультативные занятия по мате-
матике оправдывают себя и помогут дать
стране людей, влюбленных в математику.
НЕ СВЯЗЫВАТЬ ИНИЦИАТИВУ УЧИТЕЛЯ
Б. П. БЫЧКОВ
(г. Кишинев)
Содержание факультативных занятий по
математике в 1967/68 и 1968/69 учебных го-
дах определялось в основном программой,
опубликованной в журнале «Математика в
школе» № 2 за 1967 г. Наблюдения за про-
ведением факультативных занятий на протя-
жении этих двух лет дают возможность сде-
лать некоторые выводы как относительно
'содержания, так и формы их проведения. Вы-
воды, предлагаемые вниманию читателя, яв-
ляются результатом личных наблюдений ав-
тора, поэтому, не претендуя на общность, а
тем более на окончательность, возможно, по-
служат предлогом для обмена мнениями по
этому злободневному, но далеко не решенно-
му вопросу.
Рассматривая содержание занятий, нужно
прежде всего определить их цель. Вопрос
этот, по нашему мнению, не решен однознач-
но ни в одном документе, определяющем со-
держание и направление факультативных
занятий. В них говорится о расширении мате-
матического кругозора учащихся, об углуб-
лении школьной программы, об опыте, кото-
рый нужно накопить в связи с изложением
тем новой программы и который можно бы-
ло бы затем перенести в массовую школу.
Что касается опыта, накопленного при изу-
чении новых тем, то заранее можно сказать,
что в условиях массовой школы его почти
нельзя будет использовать. Действительно, в
массовой школе при осуществлении всеобще-
го обязательного десятилетнего обучения эти
темы должны будут излагаться всем учени-
кам, в то время как на факультативных за-
нятиях собираются наиболее способные или
во всяком случае такие ученики, которые за-
нимаются серьезно математикой, имея в виду
поступление в вуз. Выводы, сделанные на
основании занятий с таким отборным контин-
гентом учащихся, безусловно, не будут дей-
ствительны в условиях массовой школы.
Во всех документах, касающихся факуль-
тативных занятий, довольно единодушно зву-
чит предупреждение, чтобы не превращать
факультативные занятия в курсы подготовки
в вуз, в натаскивание по решению конкурс-
ных задач. Но хотим мы того или нет, в ко-
нечном итоге в старших классах идут на фа-
культативные занятия в основном учащиеся,
которые намерены поступать в вуз с серьез-
ными требованиями по математике. Они по-
сещают факультативные занятия, пока чув-
ствуют, что это помогает им в подготовке к
поступлению в вуз, но как только начинается
преподавание тем, которые никакого отноше-
ния к программе вступительных экзаменов не
имеют, эти ученики перестают посещать за-
нятия. При поступлении в вуз конкурсы бу-
дут расти из года в год, следовательно, тре-
бования к поступающим будут повышаться.
Эти требования не должны выходить за рам-
ки школьной программы, но должны предпо-
лагать более глубокое ее понимание. Поэтому
подготовка в вуз должна быть учтена при
определении цели и содержания факультатив-
ных занятий.
Еще одно соображение, которое должно
быть принято во внимание,— это бюджет вре-
мени учеников IX—X классов. Известно, с ка-
кой перегрузкой работает часть учеников IX и
особенно X классов. Причем большая пере-
грузка ложится на плечи лучших учеников,
которые в основном и посещают факульта-
тивные занятия. Часть из них пойдет на спе-
циальности, которые включают более или ме-
нее солидный курс высшей математики, и
сможет в вузе познакомиться с производной,
интегралом, теорией вероятностей, словом, с
теми вопросами, которые выходят за рамки
существующей школьной программы. Причем
смогут изучать их в более полном объеме и
при более квалифицированном изложении.
Наконец, еще одно соображение, которое
необходимо учесть при определении цели и
содержания факультативных занятий,— это
право учителя на свободный выбор тематики.
Это соображение, хотя и поставлено нами
последним по порядку, играет первостепенную
роль в постановке и проведении факультатив-
ных занятий. Действительно, в большинстве
районов, да и городов приняли программы,
изданные отдельным тиражом издательством
«Просвещение», как указание на дословное
их выполнение. В результате создалось по-
ложение, при котором некоторые учителя от-
казались от проведения факультативных за-
нятий, чувствуя свою неподготовленность по
большинству программных вопросов. Есть,
что греха таить, и такая категория учителей,
которые взялись за проведение занятий, огра-
ничиваясь в подготовке лишь материалами,
опубликованными на страницах журнала, не
имея более солидной подготовки и не распо-
лагая необходимой литературой. От таких
занятий тоже проку мало. Лучше пусть учи-
тель сам составит программу, включив в нее
вопросы, которые ему хорошо знакомы и ко-
торые он будет излагать с огоньком, сумев
зажечь и учащихся.
56
Учитывая вышеизложенное, мы приходим к
выводу, что цель и содержание факультатив-
ных занятий должны определяться углубле-
нием и расширением программного материа-
ла. Используя знания учащихся, необходимо
расширять их математический кругозор, вво-
дить их в круг доступных обобщений и при-
ложений. Следовательно, производная, инте-
грал, начала теории вероятностей не могут
составлять основное содержание факульта-
тивных занятий в IX—X классах до тех пор,
пока в школе действует нынешняя програм-
ма. Программу факультативных занятий сле-
дует привести в соответствие с действующей
школьной программой. Она должна носить
необязательный характер, учителю нужно
предоставить право* заменять те или иные те-
мы программы темами, которые он сочтет
более подходящими, более необходимыми в
рамках данной школы или даже данного
класса. Факультативные занятия должны,
кроме углубления и расширения школьного
материала, привить учащимся вкус к серь-
езным занятиям математикой, должны за-
жечь в них огонек математических исследо-
ваний.
Методика проведения факультативных за-
нятий не должна копировать методику обык-
новенного урока. Нужно учесть, что коэффи-
циент полезного действия на факультатив-
ных занятиях более высокий. На этих заня-
тиях необходимо осуществлять переход от
школьных методов к вузовским: чередование
лекций с практическими занятиями—пример-
но один час лекция и один час практические
занятия. Вызов к доске в основном добро-
вольный, но учеников, не желающих по тем
или иным причинам выходить к доске, нуж-
но приглашать с таким расчетом, чтобы обес-
печить активное участие всех учащихся в
проведении занятий. Основной упор нужно
делать на самостоятельную работу, поэтому
должны быть и домашние задания.
Оценку не обязательно ставить после каж-
дого вызова к доске. Ученик должен чувство-
вать себя у доски свободно, проявлять ини-
циативу, искать оригинальные решения, а
угроза оценки может сковывать его. Для на-
копления же оценок лучше проводить конт-
рольные работы и зачеты.
О ФАКУЛЬТАТИВНЫХ И КРУЖКОВЫХ
ЗАНЯТИЯХ В ШКОЛАХ УЗБЕКСКОЙ ССР
Д. А. МАВАШЕВ
(г. Ташкент)
Вопросы содержания и организации фа-
культативных и кружковых занятий по мате-
матике и другим предметам неоднократно
подвергались всестороннему рассмотрению на
Коллегии Министерства просвещения Уз. ССР,
на расширенном совещании актива по народ-
ному образованию.
В связи с введением факультативных кур-
сов республиканский, областной, Самарканд-
ский, Андижанский и Ташкентский городские
институты усовершенствования учителей ор-
ганизовали специальные курсы для учителей,
ведущих факультативные занятия. Для чте-
ния лекций и спецкурсов были привлечены
ученые педагогических вузов, методисты и
передовые учителя республики.
На факультативных занятиях изучают в
основном вопросы, входящие в примерные
программы факультативов. Решение задач
по всем разделам общего курса, предусмот-
ренное программой, обеспечит более глубо-
кое общее развитие учащихся, более прочное
овладение соответствующими знаниями, уме-
ниями, навыками. Однако в некоторых шко-
лах факультативные занятия превратились в
своеобразные курсы по подготовке к кон-
курсным экзаменам в высшие учебные заве-
дения, что явно недопустимо. Мы считаем,
что необходимую подготовку для экзаменов
в вузы должна дать обязательная школьная
программа.
На высоком уровне проводятся факульта-
тивные занятия в ряде школ городов Анди-
жана, Намангана, Самарканда, Ташкента и
многих других.
Особое значение в проведении факульта-
тивных занятий, по нашему мнению, имеет
правильное комплектование факультативных
групп, которое проходит в школах обычно в
начале учебного года. С учениками парал-
лельных классов проводятся беседы по со-
держанию факультативных занятий. При
комплектовании факультативных групп учи-
тывается не только желание ученика, но и
рекомендации учителя.
Опыт показывает, что там, где не прово-
дят соответствующих бесед с учащимися и
не учитывают рекомендаций учителя, часто
факультативные группы распадаются. Это
происходит потому, что школьники переоце-
нивают свои возможности.
57
Иногда бывает и так, что лекторы, при-
глашенные из вузов для проведения факуль-
тативных занятий, не всегда умело, на до-
ступном для учащихся языке излагают тему.
Утомительные лекции не вызывают интереса,
и учащиеся перестают посещать факульта-
тивные занятия.
Главной же причиной недостаточной орга-
низации факультативных занятий и незначи-
тельного числа факультативных групп мы
считаем отсутствие для учителей и учащихся
литературы, методических пособий, в особен-
ности для школ с узбекским языком обуче-
ния. Учителя много затрачивают времени на
подбор материала для занятий, что и служит
причиной отказа некоторых из них от веде-
ния факультативных занятий.
Так, в Ленинском районе г. Ташкента в
1967/68 учебном году были организованы
факультативные группы в восьми школах, в
1968/69 учебном году в пяти из этих школ
уже не стали организовывать факультативные
группы, но зато они были открыты в трех
других школах. Из 18 дневных общеобразо-
вательных школ этого района факультатив-
ные группы открылись по седьмым классам
только в шести школах, по восьмым: в двух
школах организовано 3 группы (50 учащих-
ся), по девятым: в трех школах — 4 группы
(60 учащихся), по десятым: в пяти школах —
6 групп (107 учащихся).
Приведем некоторые сведения по отдель-
ным областям республики. В Хорезмской об-
ласти по VII—X классам организованы фа-
культативные занятия по математике в 104
группах из 933 классов, в Самаркандской об-
ласти открыты 432 группы из 2564 классов,
в Кашкадарьинской — 216 групп из 1369 клас-
сов, в Сурхандарьинской — 253 группы из
1182 классов. Из приведенных данных вид-
но, что организация факультативов в этих об-
ластях требует коренного улучшения.
Внеклассной работе как одному из средств
воспитания школьников в нашей стране всег-
да уделяется большое внимание. К сожале-
нию, в некоторых школах в связи с организа-
цией факультативных занятий постепенно
замирает внеклассная кружковая работа.
В новых условиях внеклассные занятия
должны получить еще более широкий размах.
Учителям необходимо уделять особое внима-
ние всем учащимся, воспитывать у. них ин-
терес к математике.
Успех в деле привлечения учащихся во
внеклассную кружковую работу зависит от
мастерства учителя. Только творческая по-
вседневная продуманная работа учителя мо-
жет дать ожидаемые результаты.
ПРИМЕРНЫЕ ПРОГРАММЫ — ХОРОШАЯ
ОСНОВА ДЛЯ ПЛОДОТВОРНОЙ РАБОТЫ
С. X. ДЖАББАРОВ
(г. Куйбышев)
В настоящей статье обобщается небольшой
опыт организации и проведения факультатив-
ных занятий по математике в VII—X клас-
сах школ нашей области. Высказанные ниже
соображения надо считать предварительны-
ми, так как опыт работы пока невелик и
1 многие вопросы содержания, организации и
методов ведения факультативных занятий
требуют проверки и уточнения.
В текущем учебном году были организова-
ны и работали в школах нашей области 1050
факультативных групп — 27% от общего ко-
личества групп, организованных по всем
предметам.
При организации и проведении этих заня-
тий, стремясь осуществить две основные це-
ли, мы исходили из следующих соображений:
а)	Расширить и углубить знания учащихся
по тем разделам программы «Дополнитель-
ные главы и вопросы математики», которые
были рекомендованы АПН СССР.
б)	Подготовить учителей к работе по но-
вой программе, так как «Дополнительные
главы» включают главным образом те вопро-
сы, которые вошли в новые программы.
Мы полагаем, что такой подход даст воз-
можность выработать определенную тради-
цию изложения новых вопросов математики,
которые потом будут изучаться всеми учащи-
мися класса.
Как и в любом новом начинании, в органи-
зации и проведении факультативных занятий
учителя школ встретились со многими труд-
ностями в вопросе понимания содержания
программных тем того или иного класса, в
методике ведения занятий, в методике до-
машних заданий и их проверки, в постановке
учета знаний учащихся и др. По всем этим
вопросам требовалось оказать помощь учите-
лю. В этом плане и хотелось бы поделиться
нашим небольшим опытом.
В целях расшифровки содержания про-
граммы кабинетом математики института
усовершенствования учителей было состав-
лено «Информационно-методическое письмо о
некоторых вопросах ведения факультативных
курсов по математике в 1967/68 учебном го-
ду», в котором были помещены материалы в
помощь учителям, ведущим факультативные
занятия.
58
1) Рекомендации поурочного распределе-
ния программного материала того или иного
класса.
Мы стремились по возможности полнее
отразить в наших рекомендациях содержа-
ние всех тем программы факультативных кур-
сов по математике. Такая расшифровка по-
могала учителю отобрать теоретический ма-
териал по каждому конкретному вопросу и
продумать систему упражнений.
2) В течение последних двух лет через
специальные одно- двухнедельные, годичные
очно-заоччые и трехнедельные летние курсы,
а также через систематически проводимые
семинары нами было подготовлено к ведению
факультативных занятий более 650 учителей
математики. На этих курсах и семинарах чи-
тались лекции по всем программным темам
факультативных курсов с приглашением про-
фессорско-преподавательского состава ряда
институтов г. Куйбышева — педагогического,
авиационного, строительного и др.
Кроме того, почти по каждой теме про-
граммы факультативных курсов мы разраба-
тывали методические указания в помощь учи-
телю, где конспективно излагались вопросы
теории и давались систематизированные
упражнения, тесно связанные с основным
курсом и помогающие в углублении и расши-
рении знаний учащихся по той или иной теме.
Решение этих задач шло в плане обобщения
знаний учащихся по рассматриваемым во-
просам.
В школах нашей области факультативные
занятия, как правило, проводились в виде
(двухчасовых уроков. Форма занятий — лек-
| ция и упражнения. По мнению учителей, эта
форма занятий вполне соответствует навы-
кам работы учащихся VII—X классов.
Мы считаем методически более правильным
такое построение урока, когда лекция соче-
тается с беседой и самостоятельной работой
учащихся. Большое значение придаем проб-
лемной, поисковой форме обучения, так как
настоящий факультатив начинается только
там, где в творчестве развиваются способно-
сти учащихся.
На основании годового опыта работы учи-
телей нами рекомендовались следующие
формы учета знаний учащихся: итоговые
I письменные работы по темам, на изучение
(которых отводилось не менее 10—12 часов;
текущий устный опрос (эта форма учета зна-
ний учащихся в школах практикуется широ-
ко); выборочное выставление оценок за ори-
гинальное выполнение домашних заданий или
решение задач и примеров; оценки за резуль-
таты, показанные на олимпиадах (школьной,
районной, областной); за удачное выступле-
ние ученика с докладом и т. д.
Во многих школах нашей области факуль-
тативные занятия сочетаются с внеклассной
работой: решение трудных задач, особенно
олимпиадных; выпуск математических газет
или бюллетеней; математические вечера; уча-
стие учащихся в оформлении математическо-
го кабинета и т. д.
О МЕТОДИКЕ ПРОВЕДЕНИЯ
ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ
В. Д. СТЕПАНОВ
(г. Стерлитамак)
В журнале «Математика в школе» (1968,
№ 4) помещены статьи, освещающие первый
опыт проведения факультативных занятий по
математике. В статье И. Ф. Тесленко «Фа-
культативные занятия в школах УССР» от-
вечается, что «урок-лекция является наибо-
шее распространенной формой сообщения
учащимся нового материала» (стр. 56). Но
лекция, как известно, плохо развивает само-
стоятельности и творчество учащихся, пре-
пятствует проявлению их активности. Учащие-
ся же, посещающие факультативные занятия,
. дсаждут самостоятельности, хотят проявить
активность, показать свои способности учите-
лю и товарищам. Копирование вузовской ме-
I тодики может лишь отпугнуть, и уже отпуги-
вает учащихся от факультативов. Между тем
М. Л. Гервер и др. в статье «Задачи по ал-
гебре и анализу, предлагавшиеся учащимся
IX и X классов», помещенной в сборнике
«Обучение в математических школах» (М.,
изд. «Просвещение», 1965, стр. 41—87), изло-
жили методику изучения новых математиче-
ских курсов, предполагающую активное уча-
стие учащихся и способствующую развитию
их самостоятельности и творчества. Суть ее
в том, что изучаемый курс состоит из серии
задач. Решая последовательно все задачи
самостоятельно или при незначительной по-
мощи преподавателя, школьники постепенно
изучают курс при большом личном участии,
проявляя активность и самостоятельность,
овладевая техникой математического мышле-
ния. Теоремы имеют вид задач. Если теоре-
ма, которую учащиеся должны доказать, яв-
ляется большой или трудной, то она разби-
вается на несколько задач так, что решение
предыдущей помогает решить последующую.
Определения либо включаются преподавате-
лем в текст задачи, либо сообщаются особо.
В необходимых случаях преподаватель про-
водит предварительную беседу или делает
59
обобщения. Листочки с заданиями, размно-
женные на машинке, на каждое занятие вы-
даются всем ученикам Последнее особенно
важно сейчас ввиду отсутствия необходимой
учебной литературы для учащихся по тема-
тике факультативов.
В течение двух лет мы использовали при-
веденную методику на практике в школе
№ 10 г. Стерлитамака и в сельской Баймак-
ской школе и можем говорить о ее примени-
мости в обычной школе (а не только в мате-
матической).
В статье С. М. Гуль «Первый опыт прове-
дения факультативных занятий по математи-
ке в школах Москвы» («Математика в шко-
ле», 1968, № 4, стр. 56—59) отмечается, что
тема «Метод координат» усваивается учащи-
мися сравнительно слабо и с трудом. Мы же
особых трудностей при изучении этой темы не
испытывали, так как учащиеся в процессе
решения задач сами как бы создавали тео-
рию изучаемого вопроса.
Занятия проходили обычно по следующему
плану. Ставилась проблемная задача. Для
ее решения предлагалось рассмотреть серию
задач, решение каждой из которых способ-
ствовало бы успешному решению последую-
щей. В совокупности они давали решение
проблемной задачи и некоторые теоретиче-
ские сведения.
Решения задач могут сопровождаться разъ-
яснением учителя. После серии задач прово-
дится беседа, с тем чтобы привести теорети-
ческие сведения, полученные в ходе их реше-
ния, в систему, сделать обобщения.
Учащиеся убеждаются, что они в состоя-
нии самостоятельно выводить общие законо-
мерности, находить свои, оригинальные реше-
ния. Это способствует поддержанию их инте-
реса к математике, вызывает желание зани-
маться ею, проявлять активность и индиви-
дуальное творчество, что, в конечном итоге,
повышает математический уровень и матема-
тическое развитие учащихся.
ПРОБУЖДАТЬ ИНТЕРЕС УЧАЩИХСЯ
И. И. ПОЗДНЯКОВ
(г. Коммунарск)
Начиная с 1963/64 учебного года автор
статьи вел в IX—X классах следующие фа-
культативные курсы: «Множества», «Функ-
ция», «Метод координат», «Введение в про-
граммирование», «Производная и интеграл»,
«Группа, кольцо, поле» — в различных школах
г Коммунарска Луганской области.
Целью настоящей статьи является описание
некоторых наблюдений и выводов, подсказан-
ных нашим опытом преподавания факульта-
тивных курсов по выбору в старших классах
средней школы.
Мы ведем широкую разъяснительную рабо-
ту среди учащихся и их родителей по вопро-
сам: зачем вводятся факультативные занятия,
кому из учащихся они были бы более полезны,
какие трудности с бюджетом времени ожи-
дают тех учащихся, которые будут посещать
факультативные занятия.
Такая работа ведется на уроках математи-
ки и на специально организуемых собраниях
учеников и родителей параллельных классов.
На уроках математики учитель при изучении
той или иной темы указывает учащимся на
возможности углубления и расширения рас-
сматриваемых вопросов на внеклассных заня-
тиях. Этим интересующиеся учащиеся и при-
влекаются на факультативные занятия.
Очень полезно перед учащимися раскрыть
содержание программы факультативных кур-
сов в виде доступных устных аннотаций. Же-
лательно, чтобы программы курсов висели
в классе для обозрения учащимися, это соз-
дает им возможности выбора: ведь одну тему
ученик может изучать, а другую — нет. Пред-
полагается, и это подтвердил опыт, что состав
учащихся от одного курса к другому меняет-
ся: ученик изучает факультативно те вопросы,
которые его интересуют.
Для изучения факультативных курсов орга-
низуется небольшая группа учащихся на доб-
ровольных началах. Сюда приходят учащиеся
с различными математическими способностя-
ми, интересами и склонностями Проведенный
анкетный опрос и наблюдения над учащими-
ся показали, что основным стимулом, привле-
кающим учеников на занятия, является стрем-
ление подготовиться к экзаменам в вузы. Это
не значит, однако, что факультативные заня-
тия следует превращать в обычные дополни-
тельные занятия или репетиторство. Факульта-
тивные занятия предполагают интенсивную
познавательную деятельность учащихся. Уча-
щиеся со слабой математической подготовкой,
а также учащиеся с неустойчивыми интереса-
ми, которые ожидают занимательных и раз-
влекательных упражнений, вскоре перестают
посещать факультативные занятия.
Иногда некоторые способные ученики,
имеющие необходимые возможности для изу-
чения дополнительных вопросов, не приходи-
ли на факультативные занятия. Мы советова-
ли им посетить несколько занятий, и часто
после этого такие ученики становились актив-
ными участниками факультативов.
Для проведения факультативных занятий
мы выбирали день, мало насыщенный матема-
тикой. Занятия проводили раз в неделю, на 7
и 8 или на 6 и 7-м уроках, если в расписании
на этот день было 5 уроков.
Специфика факультативных курсов — их не-
обязательность. А потому в работе приходится
выбирать наиболее привлекательные формы
изложения нового материала, самостоятельной
работы учащихся.
При выборе методов изложения нового ма-
териала мы руководствовались возрастными
особенностями учащихся и специфичностью
той или иной темы.
Пользуясь различными методами изложе-
ния, нельзя отдавать предпочтение какому-
нибудь одному. Если учителю надо сообщить
учащимся много новых понятий и сведений,
доказательств теорем — он прибегает к лек-
ции; если новый материал содержит факты,
которые должны быть известны учащимся,—
учитель ведет беседу, если же новый материал
носит преимущественно практический харак-
тер («Метод координат», например) — его
можно облечь в систему задач.
При изложении нового материала учитель
диктует учащимся новые определения, теоре-
мы, свойства; учит их вести конспект. Конспект
учащегося является его основным учебным по-
собием, а потому надо заботиться, чтобы он
велся хорошо.
Одной из важных задач факультативных
занятий является выработка у учащегося на-
выков самостоятельной работы. Эта работа
должна вестись на факультативных занятиях
глубже и шире, чем на уроках. Здесь на пер-
вый план выступают самостоятельные и конт-
рольные работы (классные и домашние), ре-
фераты, доклады, семинары-дискуссии, изго-
товление таблиц и наглядных пособий, чтение
научно-популярной и учебной литературы.
Для проведения семинара-дискуссии в клас-
се вывешивается план с указанием литерату-
ры, в котором содержится перечень вопросов
и нескольких задач, поставленных в логиче-
ской последовательности. Этот план отражает
небольшую изученную тему. На семинаре уче-
ники опрашиваются по этим вопросам не
только по желанию, но и по вызову учителя.
Различные способы решения задач обсуж-
даются, учитель подводит итоги. Семинар-дис-
куссия проводится по трудно усваиваемым те-
мам (например, «Понятия группы, кольца,
поля» и др.).
Рефераты учащихся могут посвящаться раз-
личным темам, например: «Мощность множе-
ства», «Производная», «Полярная система ко-
ординат» и др.
Разумеется, что рефераты на одну и ту же
тему могут быть написаны разными учащими-
ся на разном уровне. При работе над рефера-
том у учащихся развиваются навыки работы
над литературой и навыки письменного изло-
жения мыслей.
Доклады мы поручаем более слабым учени-
кам. Лучшие рефераты и доклады читаются
в классах для всех учеников, при этом необхо-
димо, чтобы материал реферата был доступен
и интересен учащимся. Это популяризует
в среде учащихся факультативные занятия и
содействует привлечению к ним новых уче-
ников.
" Для создания условий эффективности само-
стоятельной работы важно сообщить учащим-
ся план факультативного курса и перечень ли-
тературы к нему, тексты контрольных работ,
темы докладов, рефератов в самом начале за-
нятий. Это возбуждает у учащихся интерес
к изучаемому курсу, создает возможность са-
мостоятельной работы над книгой и т. п. На-
блюдается, как на экзаменах такие учащиеся
показывают знания, самостоятельно добытые
из рекомендованных книг.
Следует связывать отдельные темы факуль-
тативных занятий с обязательной программой,
указывать на эту связь учащимся, иногда по-
лезно рассмотреть задачу, вызвавшую затруд-
нения на уроке.
Значительна роль учителя в активном руко-
водстве чтением учащимися математической
литературы; надо указывать, что читать, в ка-
кой последовательности, и всячески поощ-
рять работу с книгой.
В настоящее время издано и издается боль-
шое число различных пособий, справочников,
задачников — конкурсных, олимпиадных, для
подготовки к поступлению в вуз. Учитель дол-
жен помочь каждому ученику разобраться
в этом многообразии книг и выбрать подходя-
щий материал для каждого ученика.
При проведении факультативных курсов
должен вестись учет успеваемости и посещае-
мости в специально заведенных для этого
журналах. Формы и виды текущего и итогово-
го учета успеваемости могут быть различны.
Однако всякий учет должен быть тщатель-
ным, строгим и гибким, чтобы он не отпуги-
вал учащихся от факультативных занятий.
В нашем опыте текущий учет ведется или
с выставлением оценок, или без них в зависи-
мости от состава группы. В последнем случае
все виды работы учащегося: небольшие до-
машние задания, письменные (домашние и
классные) самостоятельные контрольные рабо-
61
ты, ответы с места и у доски — не должны
проходить мимо внимания учителя и получать
устную оценку.
Но в конце изучения курса мы проводим за-
чет (если курс небольшой) с оценкой. Зачет
проводится в различных формах: классная
контрольная работа, домашняя контрольная
работа и последующее собеседование. Ино-
гда по курсу проводим экзамен (когда курс
в 16—30 часов). Целесообразно, чтобы экза-
мену предшествовала домашняя контрольная
работа по всему курсу или семинарские заня-
тия, цель которых состоит в систематизации
знаний. Экзамены проводятся по билетам. Би-
лет нами рассматривается не только как фор-
ма опроса, но и как повод для обстоятельной
беседы с учащимися по основным вопросам
курса. И при опросе в процессе изучения кур-
са и на экзаменах от учащихся не требуется
выучивания наизусть, на память (хотя это то-
же не исключается) определений, правил, тео-
рем и т. п„ а делается упор на развитие мыш-
ления учащихся.
Методам учета успеваемости на факульта-
тивных занятиях мы придаем большое значе-
ние. Здесь мы руководствуемся принципом
дифференцированного, индивидуального под-
хода к учащимся. Так, например, нельзя тре-
бовать, чтобы все учащиеся написали реферат,
подготовили доклад, учащимся с различной
степенью способностей и математической под-
готовки выдаются и различной трудности са-
мостоятельные и контрольные работы по кур-
су. Если ученик подготовил реферат, доклад
по вопросам курса, он может быть освобож-
ден от зачетов, экзаменов и т. п. Важно, что-
бы учитель сумел дать каждому учащемуся
все для использования всех его возможностей
и удовлетворения интересов.
Одной из трудностей проведения факульта-
тивных занятий является недостаток времени
у учеников, в этом, впрочем, и одна из причин
отсева.
В этой связи нам кажется, что надо снача-
ла заниматься факультативно (I четверть или
I полугодие) по 1 часу, с тем чтобы только
впоследствии увеличить занятия до 2 часов,
и то судя по обстоятельствам и ходу дела.
Привлечение учащихся на факультативные
занятия основывается и на обсуждении на
внеклассных занятиях и на уроках тех про-
блем науки и ее практических приложений, ко-
торые доступны пониманию учащихся и вол-
нуют их воображение. Когда же тема уже за-
интересовала учащихся, то увеличение време-
ни занятий не будет казаться обременитель-
ным для них.
Большой помехой в проведении факульта-
тивных занятий является отсутствие учебных
пособий для учащихся и учителей. Материал
приходится выискивать из разных источников,
это уплотняет и без того перегруженный ре-
жим времени учителя. Основным пособием
для учащегося является его конспект, а это
снижает общеобразовательные возможности
факультативного курса. В связи с этим возни-
кает и еще одна трудность: не всякий учитель
математики может взяться за чтение факуль-
тативного курса.
Еще одно затруднение состоит в отсутствии
необходимых наглядных пособий. Опыт пока-
зал, что такие пособия на факультативных за-
нятиях, как и на обычных уроках, также не-
обходимы.
ФАКУЛЬТАТИВНЫЕ КУРСЫ ЗАВОЕВАЛИ
ПРОЧНЫЕ ПОЗИЦИИ
В. Я. ВЕКСЛЕР
(г. Горький)
Факультативные занятия завоевывают все
более прочные позиции в жизни школы.
В нашей школе № 40 г. Горького осуществ-
ляется углубленное изучение математики и
вычислительной техники, физики и радио-
электроники. В соответствии с учебным пла-
ном (см.: сборники приказов МП РСФСР
№ 26, 27 за 1967 г.) часы факультативов вхо-
дят в сетку обязательных занятий. Организа-
ция и проведение таких занятий в нашей шко-
ле является уже давно установившейся тради-
цией, начало которой совпадает с началом су-
ществования школы в качестве «физико-мате-
матической» (как ее порой называют неофи-
циально), т. е. с 1961/62 учебного года.
За эти годы у нас было прочитано много
разных факультативных курсов; вряд ли есть
необходимость все их перечислять. Отметим
лишь, что, если большинство факультативов
мьрс успехом повторяем из года в год (из ма-
тематических курсов, например, «Элементы
математической логики», «Теория функций
комплексного переменного», «Неевклидовы
геометрии», «Решение нестандартных задач»
и др.), то некоторые не выдерживали более
двух-трех занятий, разваливались. На наш
взгляд, это часто объясняется не столько со-
держанием курса, сколько тем, кто его изла-
гает. Так, например, курс «Элементы матема-
тической логики» читался неоднократно раз-
ными преподавателями, но группа учащихся,
желавших заниматься этим факультативом,
62
всегда сохранялась неизменной только у учи-
теля В. А. Евстифеева. Много желающих
было слушать факультативный курс и по тео-
рии автоматов, который читал старший препо-
даватель Горьковского государственного уни-
верситета (ГГУ) А. М. Б л а н к. В разные го-
ды он дважды повторил свой курс и оба раза
с большим успехом.
Традиция проведения факультативов в на-
шей школе насчитывает уже 8 лет. До
1966/67 учебного года, когда школа работала
в составе IX—XI классов, учебная нагрузка
на учащихся была хотя и значительно более
серьезной, чем в других (не «математиче-
ских») школах, но все же не такой большой,
как стала теперь, когда она достигает 38 ча-
сов в неделю. Поэтому сейчас мы не стремим-
ся к полному охвату факультативными заня-
тиями всех учащихся. Теперь еще в большей
степени успех дела решается именно методи-
ческим мастерством руководителя курса. Все-
го факультативами по математике в текущем
учебном году охвачено около 100 учащихся IX
и X классов, что составляет 23% от общего
числа старшеклассников.
Несколько замечаний о выборе факультати-
вов.
В сборнике «Программы факультативных
курсов в средней школе» (М., изд. «Просвеще-
ние», 1967) изложены примерные программы
«Дополнительных глав и вопросов математи-
ки» и «Специальных курсов». Но, во-первых,
все эти вопросы у нас входят в обязательную
программу, а во-вторых, почему вообще не
расширить несколько круг вопросов, выноси-
мых на факультативы? Наш опыт показал, что
учащимся интересны такие факультативы, как
«Неевклидовы геометрии», «Элементы вектор-
ной алгебры и механики» (т. е. с приложения-
ми), «Методы геометрических построений»,
«Теория автоматов». Некоторые из них входят
в качестве отдельных вопросов в,' опублико-
ванные программы факультативных курсов.
Например, среди тем по выбору в IX классе
указана тема «Геометрические преобразова-
ния», а в X—«Заключительный обзор курса
геометрии. Понятие о неевклидовых геомет-
риях и об аксиоматическом методе в геомет-
рии»; на каждую из этих тем отводится
Ю—12 часов. Однако, если даже и добавить
некоторое число часов из времени, отведенно-
го на решение задач по всему курсу, все равно
этого явно мало для того, чтобы учащиеся
могли получить достаточное представление об
этих вопросах. Нам кажется, что надлежит
разработать программы названных нами спе-
циальных факультативных курсов часов на
40—50 каждый. С нашей точки зрения, инте-
ресной была бы и тема «Избранные главы
истории математики». Вряд ли можно переоце-
нить общеобразовательную и воспитательную
ценность такого курса.
'•Мы вполне разделяем мнение, что главной
целью факультативов является повышение об-
щеобразовательной и политехнической подго-
товки школьников, развитие их мыслительной
деятельности, расширение кругозора, приви-
тие навыков самостоятельной работы, работы
с книгой, воспитание любви к науке. Назван-
ные нами для примера (именно для примера,
ибо мы отнюдь не считаем, что только предло-
женные нами курсы отвечают этим целям)
факультативы пользовались популярностью
среди учащихся и, как нам кажется, решали
те задачи, которые мы ставили перед этими
факультативами.
Опубликованное пока содержание «Допол-
нительных глав и вопросов математики»
включает в себя те разделы математики, кото-
рые в дальнейшем будут входить в обязатель-
ную программу. Поэтому пора уже подумать
и о следующем этапе развития факультативов.
Именно с этой точки зрения наши заметки,
быть может, представят какой-то интерес и не
только для школ с углубленным изучением
математики.
Мы очень активно привлекаем к руковод-
ству факультативами преподавателей и науч-
ных сотрудников шефствующего над школой
ГГУ и его научно-исследовательских институ-
тов (кстати, это не только по математике).
Наряду с этим все наши учителя математики
ведут факультативные занятия.
Успехи учащихся в факультативных курсах
в IX и X классах мы не оцениваем баллами,
однако об усвоении прослушанного курса
можно судить по их активности на занятиях,
их посещаемости, а также по некоторым меро-
приятиям, проведение которых тесно связано
с темами факультативных занятий. Например,
итогом занятий по неевклидовым геометриям
был вечер и организация музея, посвященные
Н. И. Лобачевскому.
Безусловно, учащиеся, занимавшиеся реше-
ниями нестандартных задач, оказались более
подготовленными к участию в математических
олимпиадах, как в школьной (в I туре участ-
вуют по существу все учащиеся школы — это
тоже традиция, которая существует все
8 лет), так в районной и областной.
С 1966/67 учебного года школа стала пол-
ной десятилеткой, и мы стали вести факульта-
тивные занятия по математике в восьмых,
а с последующего года и в седьмых классах.
Если в 1966/67 учебном году из 134 восьми-
классников занимались факультативно мате-
63
матикой 60, то в этом году уже 119 из 149. Се-
миклассников в этом учебном году, занимав-
шихся дополнительными главами и вопросами
математики, также стало больше, чем в про-
шлом.
Вводя в 1966/67 учебном году факультатив-
ные занятия в восьмых классах, мы прежде
всего руководствовались стремлением распро-
странить существовавшие в школе традиции
на новые для нас классы. В то время еще не
было руководящих материалов по содержа-
нию программ и поэтому мы вели занятия
в этих классах по программам, разработан-
ным в школе. Они почти совпали с опуб-
ликованными позднее рекомендациями. Встре-
тились, правда, и некоторые расхождения.
В настоящее время мы привели свои про-
граммы в соответствие с опубликованными ре-
комендациями. В седьмых классах мы это сде-
лали полностью (занятия проводятся по 2 ча-
са в неделю в течение 25 недель, т. е. с 15/IX
до 1 /V), в восьмых классах мы позволили се-
бе несколько шире взять исследование функ-
ций и сохранить небольшую тему «Векторы и
действия над ними», зато не включили тему
«Дополнительные главы арифметики» и «Но-
мограммы». Дело в том. что наши восьми-
классники, изъявившие желание заниматься
факультативами по математике, встретятся
с этими вопросами в IX классе в курсе вычис-
лительной математики. Занятия в восьмых
классах мы проводим все 35 недель по 2 часа
в неделю.
Ученики седьмых и восьмых классов прояв-
ляют большую заинтересованность в оценках,
поэтому их успехи мы оцениваем по пяти-
балльной системе, успеваемость здесь весьма
высокая: примерно 50% имеют «5», редко
кто «3» и остальные «4».
Если факультативные занятия в девятых и
десятых классах у нас ведут как сотрудники
ГГУ и его институтов, так и учителя школы,
то в седьмых и восьмых классах — только учи-
теля школы.
Все факультативы введены в расписание
занятий в единое время: понедельник — «по-
следняя пара» часов (в старших классах на-
шей школы давно уже стали обычными
сдвоенные уроки почти по всем предметам).
Это сделано с той целью, чтобы ученики раз-
ных классов, желающие слушать один какой-
то факультатив, могли бы после окончания
своих обязательных занятий собраться вместе.
В день факультативных занятий уже не пла-
нируются никакие общешкольные мероприя-
тия.
Организация и проведение факультативных
занятий по математике представляет интерес
не только для слушателей, но и для препода-
вателей, требуя от каждого из нас творческо-
го подхода к решению многих, пока еще не
окончательно ясных вопросов. Мы их уже упо-
минали: это и выбор самого факультатива, и
содержание курса, и подбор руководителя, и
создание методики проведения занятий, и си-
стема учета знаний и т. д.
Хочется обратить внимание и на такую про-
блему, как связь факультативных занятий
с развитием, если так можно выразиться, са-
мостоятельной творческой работы учащихся.
Два года назад предполагалось, что в атте-
стате о среднем образовании будет графа для
указания факультативного курса, прослушан-
ного выпускником. Это было бы, пожалуй, не-
плохо (не ущемляя интересов тех, кто не слу-
шал факультативный курс, был бы дополни-
тельный стимул для тех, кто слушал). Однако
пока этого нет.
Иногда появляются предложения, смысл
которых сводится к преобразованию факуль-
татива в репетиторскую группу. Думаем, что
такие предложения вряд ли могут быть при-
емлемыми, ибо они противоречат самой идее
факультативных занятий, рассчитанных на
интерес учащихся к любимому предмету,
к науке, к знаниям.
И, наконец, хочется отметить, что надо
больше выпускать литературы и для учащих-
ся и для учителей, больше методических раз-
работок, различных наглядных пособий, диа-
фильмов и т. п.
Наше общее впечатление сводится к тому,
что факультативные занятия и в условиях
«математической» школы оправдывают себя.
ВНЕКЛАССНАЯ
РАБОТА
Е. А. ШЕСТАКОВА
(г. Винница)
О строении периодов некоторых
бесконечных десятичных дробей
Содержание факультативных занятий по матема-
тике необходимо увязывать, по возможности, с рабо-
той школьных математических кружков.
Для учащихся VIII класса рекомендуется тема № 5
по дополнительным вопросам арифметики [1]. Эту
тему учащиеся усвоят глубже, если на кружковых
занятиях подкрепить ее соответствующими исследо-
ваниями.
Цель настоящей заметки, во-первых, заставить «ра-
ботать» понятие сравнения по модулю т и, во-вто-
рых, дополнить в некоторой мере материал о строе-
нии периодов бесконечных десятичных дробей, опуб-
ликованный в источниках [2] и [3].
При делении числа 1 на 13 получим:
1:130,076923.
1
Видим, что период дроби -уд- состоит из шести
цифр: 076923. Обозначив левую,и правую его половины
соответственно через А к В, будем иметь
А 4- В - 076 + 923 = 999.
Период дроби -уд- состоит из 18 цифр:
052631578947368421.
Тогда А + В - 052631578 4- 947368421 -= 999999999.
Известно, что для периодов дробей-^-, где р—
простое число, это свойство суммы обеих половин
периода сохранится во всех случаях, когда период
состоит из четного числа знаков [3].
Обобщим этот случай и рассмотрим свойства пе-
риода дроби —, где т — любое натуральное число.
взаимно простое с числом 10, причем а < т.
Напомним читателю, что длина периода Б для дро-
а
би —- есть наименьший положительный показатель.
т	1
при котором имеет место сравнение
10s =1 (mod т) 	(1)
Рассмотрим только те случаи, когда Б = 2(.
О	а
Пусть дробь — такая, что т =	. .рп" = Q/?,
где Q и R взаимно простые числа; при этом в Q со-
берем все те и только те p°l (Z -= 1, 2,..., п), для ко-
торых имеет место сравнение
10'= — 1 (modQ).	(2)
Докажем, что при этих условиях
10'— 1
R
a+ rt
“ Q
A -L- В
(3)
где г/— остаток от деления а-Ю' на т.
При обращении дроби в десятичную мы каж-
дый раз приписываем к делимому справа нуль. По-
этому, повторив операцию деления t раз, получим
в частном число А — первую половину периода
и в остатке число гр
а-10' •=	+ mA.	(4)
Продолжая процесс деления числа Г/ на т, мы через t
знаков получим в остатке айв частном число В:
rt- 10' = а + тВ.	(5)
Складывая равенства (4) и (5), получим
(а + rt) 10' = а 4- rt 4- т (А + В),
откуда следует (3).
п	ь a+rt	10'—1
Покажем, что сомножители Л — —q— и к— ———
натуральные числа.
В самом деле, из (4) имеем:
а • 10' = г/ (mod т).	(6)
Прибавим к обеим частям последнего сравнения по а.
тогда а (10' 4- 1) = а 4- rt (mod т).
Поскольку по условию теоремы 10' 4- 1 = 0 (mod Q\
то и а + rt 0(modQ), т. е. Л — число натуральное.
Из сравнения (1) следует, что
(10'—1).(10'4- l) = 0(modQR).
По условию теоремы 10'4- 1 делится на Q, ио не де-
лится ни на один из сомножителей, входящих в R,
поэтому 10'—1 делится на R, значит, k—число на-
туральное.
Из формулы (3) вытекают следующие следствия:
1.	Если Q = т, то R = 1 и 10' =— 1 (mod т). Умно-
жив последнее сравнение на а и прибавив к правой
части сравнения число т, получим
fl-10'=m — a (mod т),
откуда rt — т — а.
Формула (3) дает
V	К
т- е. сумма половин периода будет состоять из t де-
вятом
К этому случаю относится и тот случай, когда т *-
_ ра , где р — простое число и а> 1.
3 Математика в школе Д& 5
Пример. Рассмотрим дробь Здесь а — 4, т=
='П~1Л\. Путем последовательных вычислений
устанавливаем, что 10’= 1 (mod 77), значит, 6 = 6
и / = 3. Поскольку 10’ = —1 (mod 77), то
А + В = 10’ — 1 - 999.
Действительно, = 0,051948, откуда
А + В ~ 051 + 948 = 999.
2.	Если т =0= Q, но а + rt = т, то
и опять получим число, состоящее из t девяток.
3.	Если Л изображается одинаковыми цифрами, a k
является однозначным числом или наоборот, то при
некоторых комбинациях таких Лий число А + В
будет тоже изображаться одинаковыми цифрами.
20831
Пример. Для дроби 90009 а 20831’ т
= 90009 = 9-73-137, 6 = 8, t - 4. Здесь	10*
=£ — 1 (mod 90009), но 104 = — 1 (mod 73),	10» =
= —1 (mod 137), 104	—1 (mod 9), поэтому Q = 73 X
X 137= 10001, R = 9.
По формуле (6) остаток г4 = 29174, так как
20831 • 104 = 29174 (mod 90009).
„	20831 +29174	104—1
Тогда А + В —	10001	"	9	= 5-1111
= 5555.
20831 Л ----------
Действительно, дрдцд ~ 0,23143241, откуда
2314 + 3241 = 5555.
4.	Из формулы (3) видно, что, вычислив А, мы мо-
жем, не продолжая процесса деления, найти число В,
а
а следовательно, и весь период дроби
212
Пример. Для дроби ggggg а = 212,
т = 30303 = 7-9-13-37, 6 - 6, t - 3.
Здесь 10’^—1 (mod 30303), но 10’ =—1 (mod (7-13)),
следовательно, 0 = 7-13 = 91,	/? = 9-37 = 333.
При выборе Q надо помнить, что Q наибольший мо-
дуль, при котором имеет место сравнение (2). Оста-
ток га= 30182, так как 212-10’=30182 (mod 30303).
Найдем А + В = 212-+30182 . 1 Г 1 -334.3- 1002.
У1	ооо
В процессе вычисления га мы нашли и число А = 006,
поэтому
В - 1002 — 006 = 996.
Действительно, “4 = 0,006996.
Как видно из последнего примера, сумма половин
периода не всегда выражается одинаковыми цифрами.
Литература
1.	Содержание факультативных занятий по матема-
тике в 1967/68 и 1968/69 учебных годах, «Математи-
ка в школе», 1967, № 2, стр. 33—38.
2.	Фербер К., Арифметика, М. — Л.,	1925,
стр. 121—137.
3.	Радемахер Г. и Теплиц О., Числа и фи-
гуры, изд. «Наука», 1966, стр. 174—191.
4.	Бухштаб А. А., Теория чисел, Учпедгиз, М.,
1960.
э. а. ясиновый О составлении упражнений по алгебре
(г. Куйбышев)
В данной статье на нескольких примерах
покажем приемы составления некоторых за-
дач, оставив незатронутым вопрос о распре-
делении задач по классам, темам и о рас-
пределении их по трудности.
1.	Известна такая задача: Доказать, что
дробь 21fe "-4 при всяком целом значе-
нии k несократима. Учитель, желая за-
крепить прием ее решения, может составить
подобные задачи. Пишем два линейных отно-
сительно k двучлена, например: Л, = ЮЛ +
-f-Г] и Л2 = 15Лг2- Составляем разность
рЛ, — qA2 = 5k (2р — 3q) 4- рг} — qr2 и под-
бираем такие целые значения р и q, чтобы
эта разность не зависела от k. Для этого
достаточно взять р = 3, q = 2.
Получим: ЗЛ, — 2Л2 = ЗГ] — 2г2. Если до-
пустить. что Л) и Л2 имеют общий дели-
тель d^=\, то и разность Згх — 2г2 должна
делиться на d. Если удалось бы подобрать
такие целые г, и г2, что 3rj — 2г2 = 1
(или —1), то отсюда следовало бы, что 1
делится на d 1. Полученное противоречие
будет означать, что числа Л1 = 10Л4_^1
и Л2 = 15£4-г2 взаимно просты и, значит,
дробь =;-* несократима. Значения гх и г2
“Г
могут быть найдены как целые решения
неопределенного уравнения ЗГ] — 2г2 = 1 (или
Зг! — 2г2 = — 1). Эти решения легко найти
подбором или способами, рассматриваемыми
на факультативных занятиях. Так, например,
Г] —5,	г2=7(3-5 — 2-7=1) или г1 = 7,
г2 = 11 (3-7 —2-11 = — 1). Следовательно,
дроби . \ы + 1Г несократимы при лю-
бом целом k.
.	„	,	20й —6
Аналогично найдем, что дроби	,
66
5 + 19fe	,
15fe 4 и t. n.— несократимы, каково бы ни
было целое k.
2.	Составим задачи по образцу следую-
щей: Доказать, что число 4п2—1 не
является точным квадратом никакого
целого числа.
Найдем такие целые значения р и q, что-
бы а) 9/г2 + р и б) 16/z2+ q не представляли
точных квадратов ни при каких целых п.
а) Пусть 9л2 р = (3k 4- г)2, где г = 0;
+1. Отсюда: 9л2 — 9Л2— 6/гг = г2 — р.
Теперь видно, что если г2 — р не кратно 3,
то полученное равенство противоречиво.
Каждая из разностей 0 — р и 1 — р будет
не кратна 3, например, при р = — 4; —1; 2
и т. д. Итак, каждое из чисел 9л2 — 4,
9л2 — 1, 9л2 4 2 и т. д. не может являться
точным квадратом никакого целого числа.
б) Рассматривая аналогично 16л2 4- q —
«=(4Л-]-г)2, где г = 0; +1; ±2, найдем зна-
чения q, удовлетворяющие поставленной
задаче, например, при 7 =—2; —1; 2; 3
каждое из чисел 16л2 —2, 16л2 — 1, 16л2-}-2,
16л2+ 3 не является точным квадратом ни-
какого целого числа.
3.	Задача. Число ах2 4- 9х-f-1 ни при
каких целых х и а 4=0 не делится на 7.
Найти а.
Решив эту задачу, мы получим, что ее
условию удовлетворяют следующие значе-
ния а:« = 7л4-2, а =1п -4-3, л=7л-|-5,
где л = 0; -J-1; -4-2... . Полученный резуль-
тат можно использовать для составления
однотипных задач, заменив коэффициент 9
при х на 2 (или на 16 или на —5): «дока-
зать, что 2х2 4-2x4*1» 5х2 4- 2х 4-1» 10х24*
4-2л: 4-1,	— 4л:2 4-2л: 4-1,	10х2 — 5х 4-1
и т. п. не делятся на 7 ни при каком целом х».
Подставляя 7k, 7k 4-1, 7k 4-2,7k 4-3 вместо x,
учащийся каждый раз убедится, что числен-
ные значения данных многочленов не делятся
на 7 ни при каком целом значении х.
Можно предложить учащимся доказать»
что вместо выражений 7k, 7Л4;1» ^А+2,
7k +3 достаточно подставить 0; 4~1; Ч?2;
4.	Известна такая задача: Доказать, что
число ab(a4 — Ь4) кратно 30 при любых
целых значениях а и Ь.
Принимая Ь = 1; 2; 3; 5; 6; 10, получим
следующие задачи на доказательство (а—лю-
бое целое число):
а)
б)
в)
Г)
a (a4— 1) кратно 30;
a (a4 — 16) кратно 15;
a (a4 —81) кратно 10;
a (a4 — 625) кратно 6;
д)	а (а4 — 1296) кратно 5;
е)	a (а4— 10000) кратно 3.
Каждая из этих задач может быть решена
путем разбиения всех целых значений а на
классы по остаткам от деления на 2, или
на 3, или на 5. Но возможны и другие спо-
собы, например, при решении первой задачи:
а (а4—1) == (а — 1) а (а 4- 1) (а2 4- 1). Изве-
стно, что произведение трех последователь-
ных чисел кратно 6. Остается доказать, что
данное выражение кратно 5. В самом деле,
при a=5k; 5А4;1; 5А +2 один из четырех
множителей делится на 5.
5. Покажем некоторые приемы составле-
ния задач по теме «Метод координат».
а)	Пусть надо найти такие целочисленные
координаты двух точек, чтобы расстояние
между ними выражалось целым числом. Для
этого надо использовать известные формулы
пифагоровых троек чисел: а = 2т, b = т2—1,
c==zn24-l- Подбирая координаты точек
A (jcj; yj, В (х2; у2) так, чтобы | х2 — xt | = а,
I у„ — уг I = Ь, получим АВ = с. Например:
а) А(1; 1), В (А- -3); б) Л(1; 5), В (0- —10);
в) А (—7; 13), Д(0; -11).
б)	Теперь поставим задачу: подобрать ра-
циональные координаты вершин треугольника
A(Xj,- у,), В(х2; у2), С(х3; у3) так, чтобы
все стороны были выражены рациональными
числами. Есл. подберем числа так, чтобы
выполнялись равенства
I х2 _ Xl = 2р,	( х, - х3 = 2q,
I У2-И = Р2- 1» I У1-Уз = 72-1»	'
где р и q — рациональные числа, то сторо-
ны АВ и АС будут выражены рациональ-
ными числами.
Из равенств (1) получаем:
( х2-х3^=2(р+q),
I У2-Уз = Р2 + <72-2.
Из формул пифагоровых чисел следует, что
сторона ВС выразится рациональным числом,
если, например, будет иметь место равенство
р2 4- q2 — 2 = (р 4- q)2 — 1, откуда
2р<7 = —1.	(3)
Итак, если А (Хр у,), В (х{ 4- 2р; yj4-
4-р2—1), C(Xi~2q; у, 4-1 — 9'2)» где хг
и yi — произвольные рациональные числа,
а рациональные р и q удовлетворяют усло-
вию 2pq =— 1, то длины сторон выражают-
ся рациональными числами. Полезно пред-
ложить учащимся доказать: а) из отрезков
с концами в точках А, В и С наибольший
ВС и б) АВ + АС^> ВС. Заметим, что усло-
вие (3) является достаточным, но не необ-
з’
67
ходимым для того, чтобы длина стороны ВС
выразилась рациональным числом. В самом
деле:
ВС = К4(/; + ^)2+(р2 + ^2-2)2
будет рациональным при р = — q. Можно
предложить учащимся доказать, что в этом
случае треугольник АВС — равнобедренный.
Выражение под корнем будет точным квад-
ратом также при p = q, но тогда ВС =
= АВ + АС, что не удовлетворяет постав-
ленной задаче.
Числовые примеры:
1)	л?! =2, yj = 1, р=1, q =----тогда
Д(2; 1), Z?(4; 1), (?(3; 1-L).
2)	хг = 0, yt =2, р = 2, q =---; тогда
Д(0; 2), /?(4; 5), С (-±-; 2-g-).
3)	= 1, Vi = — 1, р = — q = — 5; тогда
Д(1; -1), В(—9; 23), С (—9; -25).
А Я. МАРГУЛИС, Б. А. РАДУНСКИЙ
(Москва)
Геометрическая интерпретация
результатов исследования уравнений
второй и третьей степени
В квадратном уравнении ах2 + Ьх + с — О
коэффициент с=/=С. Поэтому любое квадратное урав-
нение всегда можно привести к виду
х2 + рх + q — 0.	(I)
Его дискриминант D — р2 — 4q.
Введем декартову систему координат с осями Ор и
Oq и установим взаимно однозначное соответствие меж-
ду множеством всех приведенных квадратных уравне-
ний вида (1) с действительными коэффициентами и
множеством точек плоскости pOq (черт. I). Тогда, на-
пример, уравнению х2 + х + 2 = 0 с эответствует точка
А (1; 2); уравнению х2— 4х + 4 = 0 — точка В (—4;
4); точка С (—3; —1) соответствует уравнению
х2 — Зх — 1 =0; точка D (—4; 2) — уравнению
х2 — 4х + 2 = 0 и т. д.
Построим в плоскости pOq параболу q = -4- р2.
1)	Очевидно, что для точек, расположенных ниже
этой параболы, q <-^р2. Тогда дискриминант уравнения
(I) D > 0 и корни уравнения действительны и различ-
ны. Точки, расположенные в нижней полуплоскости.
Черт. 1
соответствуют уравнениям, в которых q < 0; их корни
имеют разные знаки, что на чертеже 1 отмечено запи-
сью XiX2 < 0.
Примером такого уравнения может служить уравне-
ние х2 — Зх — 1=0.
Точки на оси Ор соответствуют уравнениям, имеющим
9 = 0, значит, их корни X] = 0, х2 = —р.
Точкам, расположенным между осью Ор и параболой
?=^"Р2 (0<9<-4-р2), соответствуют уравнения (1),
имеющие корни одного знака, противоположного знаку
р: при р > 0 X] < 0 и х2 < 0, при р < 0 xt > 0 и
х2 > 0.
Пример: корни уравнения х2 — 4х + 2 = 0 действи-
тельные, оба положительные. Корни уравнении
х2 + 4х + 2 = 0 — действительные, оба отрицательные.
2)	Для точек самой параболы q = ^р2 соответству-
ющие уравнения имеют 0 = 0, корни их действительны
и одинаковы. При этом знаки корней противоположны
знаку р, а при р = 0 (вершина параболы) xt = х2 = 0.
Пример: уравнение х2— 4х 4-4=0. Ему соответст-
вует точка В, принадлежащая параболе, следовательно,
X] = х2 > 0, так как р = —4 < 0.
3)	Точки, расположенные над параболой, соответст-
вуют уравнениям, имеющим q > ^р2, т. е. D < 0, сле-
довательно, эти уравнения ие имеют действительных
корней. Соответствующая область координатной плос-
кости заштрихована.
Пример: уравнение х2 + х + 2 = 0 не имеет дейст-
вительных корней, ему соответствует точка А.
Таким образом, пользуясь чертежом 1, не надо в каж-
дом конкретном случае вычислять дискриминант урав-
нения вида (1) и проводить исследование; достаточно
лишь посмотреть, где находится точка (р; q), соответ-
ствующая данному уравнению.
Кубическое уравнение р3 4- ар2 + by + с = 0
с действительными коэффициентами подстановкой
а
у = х — -g-всегда можно привести к виду
х3 + рх + q = 0,	(2)
причем р и q тоже будут действительными числами.
63
Дискриминаитом этого уравнения называют выражение
D = —4Р3 — 27 q2.
Возможны случаи (см., например: А. Г. Курош,
Курс высшей алгебры, или другие курсы высшей ал-
гебры) :
I.	D < 0—уравнение (2) имеет один действитель-
ный и два сопряженных комплексных корня;
II.	D — 0 — все три корня уравнения действительны,
причем два из них равны между собой;
III.	D > 0 — уравнение (2) имеет три действитель-
ных различных корня.
Построим в плоскости рОд полукубическую пара-
болу q2 — —(чеРт- 2). Тогда указанным воз-
можным случаям соответствуют следующие области
на плоскости рОд.
I.	D < О, или q2 >---— р*. Этому условию, оче-
видно, удовлетворяют все точки плоскости рОд, ле-
жащие правее параболы q2 -= —А. р*. Если при этом
д — 0, то уравнение (2) имеет вид х3 + рх — 0 (р > 0),
а потому xt = 0, xtt — + iy^ Р' что и отмечено на
чертеже 2 соответствующей надписью. Если же р =0,
д / 0, то уравнение (2) принимает вид х* + q = 0.
Корнями этого уравнения являются все три значения
кубического корня из —q- одно действительное и
два сопряженных комплексных.
II.	D -= 0, или q2 = —р*. Этому условию в пло-
скости pOq соответствуют точки самой параболы
q2 — —	р*. В этом случае уравнение (2) имеет три
действительных корня, из которых два равны между
собой. Тогда, если xt = хг, то xs = —2xt (по обоб-
щенной теореме Виета сумма всех корней равна вто-
рому коэффициенту с противоположным знаком, а в
уравнении (2) этот коэффициент равен нулю). Если
при этом q > 0, то xt = х2 > 0, а х, = —2xt < б.
два случая отмечены на чертеже 2 соответствую-
щими надписями.
Началу координат (р = 0, q — 0) соответствует
уравнение х* — 0, корни которого xt — х3 = х, — 6.
III.	D > 0, или q2 <—р3. Этому
видно, удовлетворяют точки плоскости pOq, лежащие
слева от параболы q2 — —р*. При
оси Op(q
х3 + рх — 0; их корни х, = 0, х.
отмечено на чертеже 2.
условию, оче-
этом точкам
0, р < 0) соответствуют уравнения вида
г,« = +V — Р' что и
Таким образом, на чертеже 2 указаны все возможные
случаи, которые могут встретиться при решении урав-
нения (2). Например, если задано уравнение
х3 — 6х — 9 = 0, то без всяких вычислений можно
сразу сказать, что это уравнение имеет один
действительный и два сопряженных комплексных
корня; данному уравнению иа чертеже 2 соответствует
точка (—6; —9),	лежащая справа от параболы
4
= —27-рЗ.
А если нам понадобится составить кубическое урав-
нение, имеющее три действительных корня, два из ко-
торых одинаковы и положительны, то для этого доста-
точно в качестве р и q взять координаты любой точки
верхней половины параболы иа чертеже 2. Например,
точке (—3; 2) соответствует уравнение х3 — Зх + 2 = 0,
удовлетворяющее условиям задачи.
В заключение отметим, что предлагаемая методика
не TOjfbKO дает возможность геометрической иллюстра-
ции всех возможных случаев, возникающих при иссле-
довании решений квадратных и кубических уравнений
с действительными коэффициентами, но и расширяет
кругозор учащихся, давая им первый опыт в установ-
лении «необычного» соответствия между уравнениями
(функциями) и точками плоскости.
А. А. БАХТАДЗЕ
(г. Тбилиси)
К вопросу об исследовании квадратного трехчлена
I. В школьном курсе математики изучаются неко-
торые функции действительного переменного. Част-
ным случаем является квадратная функция
У ” ах2 + Ьх + с,	(1)
где а, Ь и с — действительные числа, причем а у- 0.
При исследовании функции (1) в соответствии с
установившейся практикой рассматриваются только
действительные значения аргумента х.
Если дискриминант квадратного трехчлена ах1
+ Ьх + с D = Ь2 — 4ас^0, то, как известно, функ-
ция (1) принимает значение, равное нулю при х — xt
69
и х = х2, где .г, н х2 корни функции (1). При всех
остальных действительных значениях х функция (1)
принимает также действительные значения.
Если D <0, то функция (1) принимает действи-
тельные значения, и притом не равные нулю при всех
действительных значениях х. Возникает вопрос: нет
ли в множестве комплексных чисел х = и 4- lv
(— оо < и < оо, — co<v<oo) таких мнимых значе-
ний х, при которых функция (1) имеет действитель-
ные значения, и в том числе равные нулю? Этот по-
следний частный случай в школе рассматривается,
когда при изучении комплексных чисел находятся
корни квадратного уравнения (с действительными
коэффициентами) при отрицательном дискриминанте.
В этом случае, как известно, корни выражаются дву-
мя сопряженными комплексными числами х12 = т +
±1п(п=^0).
Нам представляется возможным или в порядке вне-
классной работы, или на факультативных занятиях
провести исследование функции (1) при таких комп-
лексных значениях аргумента х, для которых функция
имеет действительные значения, и дать соответствую-
щую геометрическую интерпретацию.
Представим функцию (1) в виде
(2)
При любых комплексных значениях х « и + lv
имеем

При произвольном и и v “ 0 у принимает действи-
тельные значения:
(2)
В данном случае мы имеем практикуемое в школе
исследование, широко освещенное в различных кур-
сах математики.
Если же а =— -Д- и произвольное о=^=0, то
2а
у -а(/V)2 + —-------—------av2 4- 4flc~fc3 ,	(3)
т. е. значения у и в этом случае — действительные
числа.
Итак: функция
у = ах1 4- Ьх + с.
рассматриваемая
рассматриваемая иа множестве комплексных чисел
х = и -}- lv, имеет действительные значения: 1) при
х = и (— со < и < оо, v — 0) и 2) при х = —-}-
4- lv (— со < v < оо).
И. На основании этих утверждений можно по-
строить геометрическое место точек в пространстве,
координаты которых и, V, у удовлетворяют соотно-
шению (1), т. е. график функции (1).
Построенный график послужит наглядной опорой
в дальнейшем процессе исследования.
Покажем, что этот график представляет собой со-
вокупность двух конгруэнтных парабол, из которых
одна расположена в плоскости v = 0, а другая —
b
в плоскости и = — ——
2а
Действительно, в случае v = 0 х = и имеем (2),
k	4ас — Ь3
причем при и — — —— получим у —----------------
2а	4а
Графиком этой функции является парабола, распо-
ложенная в плоскости uOy(v = 0) с вершиной в точ-
ке —JL-; 0; ^ас~Ь причем прн а > 0 пара-
бола направлена в сторону положительных значе-
ний у.
Не ограничивая общности, везде в последующем
будем полагать а > 0.
Если и = —-А_, —оо < v < со, то имеем (3), при-
Дл/2 _ Л®
чем при v = 0 получим у — —--------.
4д
Нетрудно видеть, что график функции (3) пред-
ставляет параболу, конгруэнтную параболе (2); она
расположена в плоскости и = —-А. с вершиной в
2а
..	/ b п 4ас — Ь3 \
той же точке пространства Р I—~2~’	' 4-----)
и направлена в сторону отрицательных значений у.
Из проведенного рассуждения непосредственно сле-
дует:
а)	построенные параболы лежат во взаимно пер-
пендикулярных плоскостях v = 0 и и —-----—;
2а
б)	они имеют общую вершину в точке
р(_______________ b . 0. 4ас — Ь3\
\	2а' ’ 4а )
(	6
и общую ось симметрии )	2а
I v = 0	’
в)	этн параболы направлены в противоположные
____________________________А 8
стороны ОТ ПЛОСКОСТИ у “	’
III. Следуя традиционному порядку исследования
квадратной функции при различных знаках дискри-
минанта, можно провести аналогичное исследование
функции (1) при значениях аргумента х — и и
При этом исследовании выяснится, что, когда
D > 0, D = 0 и £) < 0, во всех случаях функция у
будет принимать как положительные, так и отрица-
тельные значения, а также значения, равные нулю.
Заметим, что нули квадратной функции суть точки
пересечения ее графика с плоскостью uOv.
Рассмотрим различные случаи.
1)	D > 0, тогда	<0.
4а
Следовательно, общая вершина Р парабол распо-
ложена ниже плоскости uOv (черт. 1).
Как известно, в этом- случае при действительных
значениях х = и функция у принимает и положи-
тельные и отрицательные значения, что соответствует
верхней параболе нашего графика.
При всех значениях х — —-А.
к	2а
4- lv функция у при-
нимает отрицательные значения, так как в выраже-
— Л®
нии у — —av3 +----------- оба слагаемые отрица-
4а
тельны при — со < v < оо. Соответствующая пара-
бола будет расположена в плоскости и = —-А, под
плоскостью uOv и не будет иметь с ней ии одной
общей точки.
70-
Точки Л и В пересечения графика функции с пло-
скостью uOv принадлежат верхней параболе и лежат
на оси Ои. Это соответствует случаю различных дей-
ствительных корней xt и xt рассматриваемой функ-
ции.
2)	Когда D => 0, тогда ^ас =• 0, т. е. общая
4а
вершина Р парабол расположена на плоскости uOv,
а именно на оси Ои (черт. 2).
Вершина Р^—0; 0^ является единственной
общей точкой графика функции (1) с плоскостью
uOv. В этом случае трехчлен имеет два равных дей-
ствительных корня Л1 — х, = — ~-.
3)	Случай D < 0 представляет особый интерес, так
ь ।
как при значениях аргумента х и и х = —	-f- iv
график функции (1), пересекая плоскость uOv, дает
возможность геометрической интерпретации мнимых
корней:
b , j/ 4ас — b2 ,
-------------------S-----1
В этом случае -ас > 0, следовательно, общая
4а
вершина парабол расположена выше плоскости uOv
(черт. 3).
Известно, что в рассматриваемом случае при любом
действительном х = и значения функции у положи-
тельны (верхняя парабола).
Покажем, что при х = —	+ Iv функция у при-
2а
 I if ^ас — Ь2
нимает положительные значения при <_
. , V Ьас — Ь2
отрицательные прн | v | >----------
равные нулю, при
. । f 4ас — Ь2
и значения,
Совершенно очевидно что при всех действитель-
ных значениях х = и функция у принимает положи.
b . •
тельные значения, а при значениях х= ——---------}- iv
функция у отрицательна ^кроме х= —-f— , при
котором у = О
В самом деле, в выражении у = — av2
 4ас — Ь2
4а
второе слагаемое положительно, первое же отрица-
тельно при всех
Если
V 4ас — Ь2
2а
ТО V2 <
4ас — Ь2
4а*
От-
, , 4ас — Ь2 п
сюда у = — а«2 4----—----> 0.
71
Если же | v | > *	, то, рассуждая анало-
гично, убедимся, что у < 0.
Если | v | =	то у = 0.
2а
Таким образом, при х — —	4- iv графиком функ-
2а
ции (1) служит нижняя парабола, которая пересекает
плоскость uOv в точках А и В, лежащих на прямой
«--А,
2а
у = 0.
Точки А и В пересечения графика функции (I) с
плоскостью uOv принадлежат нижней параболе. Это
соответствует случаю мнимых сопряженных корней
х, и х, рассматриваемой функции.
IV. Основываясь на приведенном выше исследова-
нии, для получения отрезка, равного абсолютной вели-
чине мнимой части корней уравнения, когда £)<0,
можно предложить более простой способ, чем тот,
который дан в статье А. В. Михалевского
в журнале «Математика в школе» №4 за 1964 г.
А именно, ввиду конгруэнтности обеих парабол гра-
фика действительной функции (1) отрезок
АЕ - BE - ^c-b>
2а
(черт. 3), равный абсолютной величине мнимой части
корней уравнения, можно очень просто получить и в
том случае, если будет изображена только верхняя
парабола, т. е. парабола, соответствующая только
действительным значениям аргумента (черт. 4).
Для этого на прямой х = —отложим вверх
2а
от точки Р (вершина параболы) отрезок
РК — РЕ = 4ас ~ _
4а
Через точку К проведем прямую, параллельную оси
Ох, которая пересечет параболу в точках At и Bt.
Получим отрезки
AtK = KBt - АЕ- —
2а
(черт. 3 и 4), длина которых равна абсолютной вели-
чине коэффициента мнимой части комплексных кор-
ней уравнения (черт. 3 и 4).
V. Примеры нахождения комплексных значений
аргумента, при которых квадратный трехчлен с дей-
ствительными коэффициентами принимает действи-
тельные значения.
Пример I. у—х’—2х— 15.
у - (х — 1)г— 16 - [(и — 1) + Iv]1 — 16.
Вершина параболы Р(1;0; —16). Точки пересечения
с осью Ои: А(— 3; 0; 0) и В (5; О; 0). При и < — 3,
и — 0, а также при « > 5, v = 0 у принимает поло-
жительные значения. При — 3 < и < 5, t> = 0 значе-
ния у — отрицательные. Парабола расположена в пло-
скости уОи, ее ось и = 1, v =• 0.
При и = 1, — оо <2 v < оо значения у — отрицатель-
ные. Соответствующая парабола имеет вершиной
ту же точку Р н ту же ось и — 1, v = 0, она распо-
ложена под плоскостью у — —16 в плоскости и =— 1.
Пример 2. у = — 0,5х! + 4х — 10.
у-----0,5 (х — 4)' — 2--{0,5 [(и —4) + iv]x + 2}.
Вершина параболы М (4; 0; —2). Точек пересечения
с осью Ои нет. При — оо < ц < со, v — О значения
у — отрицательные. Парабола расположена в пло-
скости уОи под плоскостью uOv, ее ось и — 4, v —• О.
Если и — 4 и — 2 < v < 2, то у < 0. Если и — 4
и v — + 2, то у = 0 (т. е. 4 + 21 —мнимые корни дан-
ного квадратного трехчлена).
Если и — 4, а V > 2 или v < — 2, то у > 0.
Вершина параболы—та же точка 2И(4; 0; —2) и
та же ось и =- 4, v — 0. Парабола расположена в пло-
скости а — 4 и пересекает плоскость уОи в точках
(4; 2; 0) и (4; —2; 0).
С. И ЗЕТЕЛЬ
(Москва) О медианах треугольника
Отрезок прямой, выходящий из вершины треуголь-
ника и отсекающий противоположной стороны,
называется недианой При п - 2 получаем медиа-
ну (/п), при п — 3 — терциану (t). Из каждой вершины
выходят две недианы. На каждой из них выберем
положительное направление от вершины к основанию.
Получим шесть векторов (черт. 1): ААЬ АА7, ВВр
ВВг, СС„ ССЪ.
__Ориентируем треугольник АВС: АВ-\-ВС-}-СА — О.
AAi, BBi, CCi — недианы первой группы, ААг, ВВ„
CCt — недианы второй группы (при л = 2 — две не-
днаны, исходящие из одной вершины, сливаются
в медиану).
Докажем векторно четыре теоремы.
1)	Из недиан каждой группы можно построить
треугольник.
2)	Сумма квадратов недиан одной группы равна
сумме квадратов недиан другой.
72
вг
А.г
Черт 1
с
3)	Сумма квадратов недиан каждой группы рав-
п2 — п + 1 z , , ,, ,
на--------(а2 4 о 4- с2), где а, Ь, с — стороны
основного треугольника.
4)	Отношение площади треугольника, построен-
ного из недиан, к площади основного треугольника
п2— п+ 1
равно -.
Доказательство теоремы 1.
__	— ВС
ААХ~ АВ +
—	СА
ВВ1 = ВС+ —•
сС1-’ёл + 2ТГ>
отсюда:
ЛЙ, +ВВ, 4-СС, - " j/1 (ЙВ+ ВС + СЙ) - 0;
йй, + ВВг + СС3 = 0.
Доказательство теоремы 2.
_	___ ВС
ААХ- АВ+ —;
—	АВ
СС,~СА+
__	— СА
ВВ3 ВА-~,
AAt = АС
сс3 - СВ
АА2 - АВ1
АА2~АС‘ + —г-
ввх = вс ;
вс
п *
АВ
п ’
ВС8 2АВ-ВС
п2 п ’
ВС2 2АС-ВС
,.г ~ п
АА2 — АА22 = АВ2 — АС2 + - (АВ 4- ЛС) -
9	_ ___.
- АВ2 — АС2 + — (ЛС — АВ) (ЙС + АВ) =
2
- АВ2 — АС2 + — (ЛС1 — АВ2) =
п — 2
п (АЗ2 - АС2).
При п — 2 ААХ = АА3 = та.
Введем обозначения: AAt = da, AAS = da.
Имеем:
_ d'2 4- d2- d'2 4- d2- d'2 =
a a 1 t> d 1 с c
n — 2
= —— (c2 — b2 4- a2 — c2 4- b2 — a2) - 0.
Значит, d2a 4- d2 4- d2c - d'2 4- d'2 4- d'2.
Доказательство теоремы 3.
Определим d2a + dc + d2.
2	2	ВС2 AB-BC
AA2- d2 =- AB2 4-	4- 2--,
„22	СА2 2ВС-СЙ
BB2-d2-.BC2 + -^- + —--------
9	9	.. AB2 2CA-~AB
CC2 = d2-CA2-Y -^-4----------
Так как
2AB-BC
2ас cos В 2ВС  С А
п ’ п
2СА-АВ 2cb cos Л
п	п
2bacos С
п
п
то
АА2 4- ВВ2 4- СС2 - d2a 4- d2 4- d2 -
a2	b2	с2
-с2 + -^ 4- а3 * S * *4-7?г + *34--2- +
+	(Ь2 — а2 — с2 + С1 — Ь2 — а2 4- а2 — с2 — Ь2)
п2 — п + 1
“---^5——’ («’ + Ь2 + с2).
Доказательство теоремы 4.
—	—	-- _ АВ X СА ВС X СА
AAt X ВВг - АВ X ВС +----+ --~2--
п2 (АВ X ВС)-п(АВХАС) + (ВС X СЙ)
П‘
3
s,
а) п ==- 2;	—
б) л == о;	=*
К содержанию
4 ’
7
” 9 •
”	п2
Так как все векторные произведения имеют общий
знак, то
।—	--- । л3—л 4-1 „
| ЛЛ, X BBt | =----3---2S.
где S — площадь треугольника АВС.
Обозначив площадь треугольника, построенного из
S„ п2— л 4- 1
недиан Sn, получим ~<j~ «=--.
Следствие из теорем 3 и 4:
л .9	9
Sn da ~Ь db + dc Пг — п + 1
S = а2 -+• Ь2 4- с2 ”'
Рассмотрим частные случаи.
„2 f ^,2 I m2
тп + тс
а2 4- Ъ2 4- с3
+^4-
а2 4- Ь2 4- с2
заметки примыкает Задача 454.
предложенная М. И Левиным («Математика в шко-
ле», 1968. М 1).
На продолжениях сторон АВ, ВС, СА треуголь-
ника АВС взяты тонки М, N, Р так, что ВМ =
= АВ, CN =- ВС, АР == С А. Вычислить отношение
73
суммы квадратов сторон треугольника MNP
к сумме квадратов сторон треугольника АВС
(черт. 2).
В № 5 за 1968 г. приведена решение, из которого
следует:
т2 3 + л2 + р2
а2 + 62 + с2 ““ '•
Легко видеть, что, соединив вершины треугольни-
ка MNP соответственно с вершинами С, А, В тре-
угольника АВС, мы разобьем треугольник MNP на
семь равновеликих треугольников; АВС, РАВ, РВМ,
МВС, MCN, NCA, NAP.
Итак:
площадь A MNP
площадь А АВС ““
Продолжим PC, МА и NB до пересечения с MN,
NP и РМ (соответственно) в точках D, Е и F; про-
ведем СК D ME. Получим РЕ = EK — KN. Тогда
PN т	р	п
РЕ- —д- = -д- и аналогично: ND = -g-, MF — -g-.
Следовательно, в треугольнике MNP отрезки ME,
PD и NF — терцианы.
Попутно нами решена задача:
Найти отношение площади треугольника с вер-
шинами в точках пересечения терциан основного
треугольника к площади этого треугольника. Эта
задача приведена без решения в книге польского ма-
тематика Г. Штейнгауза «Математический ка-
лейдоскоп», изданной в переводе на русский язык
Учпедгизом в 1949 г.
Как видим, это отношение равно -у.
Проведем теперь в каждом из построенных семи
треугольников терцианы и в каждом треугольнике,
полученном после проведения терциан, — медианы.
Тогда получим 72 = 49 равновеликих треугольников.
Повторив аналогичные построения в каждом из по-
строенных 49 треугольников, получим 7* = 343 равно-
великих треугольника. В общем случае данный тре-
угольник разделится на 7* равновеликих треугольни-
ков (fe— натуральное число).
Докажем теорему. Если суммы квадратов
сторон двух треугольников пропорциональны пло-
щадям, то суммы биквадратов сторон пропорцио-
нальны квадратам площадей. Короче: если
а2 + Ь2 + с2 S	а* + 64 4- с* S2
al + bl+ с*	Т° а]+*] + с] =S2-
Предварительно преобразуем формулу Герона
l/"a + fc4-c b + c — а с + а — b а+Ь—с
S ” V 2	’	2	‘	2	’	2 ’
16S2 = [(6 Ц- с)2 — а2] [а2 — (с — 6)2] =
= 262с2 4-2с2а2 4-2а262 — а* — Ь* — с*.	(3)
Возведя в квадрат обе части равенства, данного
в условии, применяя равенство (3) и свойство равных
„ / х	а	х — а	а \
отношении ^из у = у следует ?	& = уJ, по-
лучим:
2а* + 2Ь* + 2с4 а* + b* + с* S2
2а] 4 26] -J- 2с] = а] 4 6] 4 с] ~ S] ’
Теорема доказана.
Рассмотрим частные случаи.
1. Треугольник и треугольник из медиан:
«д + ть + тс 3 т4 +т4 + т4 g
a2 + b2 + c2 = 4 :	a* + b* + c* = 16 ’
2. Треугольник и треугольник из терциан:
t2a+t2b+t2c 7	t4a+i4b + f4c 49
а2 4 Ь2 4 с2 ““ 9 :	а* + Ь* + с* " 8Г
3. Треугольник из медиан и треугольник из тер-
циан:
«а +	4 т2с 27 «д +т4 + т4 729
<д+^2+^ =28:	*4а+‘4ь + 74с =784-
Определим сумму котангенсов углов треугольника
АВС (а, р, 7) и треугольника, построенного из недиан,
MNP (M,N, Р):
cos а b2 4 с2 — а2 Ь2 4 с2 — а2
Ctg ° = sin а ”	26с sin а = 4S ’
о с2 + а2 — Ь2	а2 + Ь2 — с2
ctg₽-------4S-----’ ctg7--------4S-----’
ctg а + ctg ₽ + ctg 7 = ---------.
Следовательно, сумма котангенсов углов треуголь"
инка, построенного из недиан данного, равна сумме
котангенсов углов данного. В треугольнике MNP
в задаче М. И. Левина:
ctg М 4 ctgTV 4 ctg Р - ctg а + ctg ₽ + ctg7.
Возведем в квадрат обе части последнего равенства:
ctg2 а 4 ctg2 ₽ 4 ctg2 7 4 2 ctg a -ctg ₽ 4
-|-2ctga.ctg7 + 2ctg₽. ctg7 = ctg2Af 4 ctg2 TV 4
4 ctg2 P + 2 ctg M-ctg N 4 2 ctg M • ctg P 4
4 2 ctg N-ctg P.
Имея в виду, что во всяком треугльнике ctg a-ctg ₽-|-
4 ctga-cgt 7 + ctg ₽• ctg 7=1, получаем:
ctg2 a -j- ctg2 p 4- ctg2 7 = ctg2 M 4- ct g2 N 4 ctg2 P.
74
'WTn'm'm'im'm
Задачи для учащихся VI —VII классов
656.	Пусть а — нечетное натуральное число,
Ь — натуральное число. Доказать, что числа а
и ab 4- 4 взаимно простые.
С. А. Сергушов (г. Ярославль)
657.	Доказать, что п* 4~ Зл1 + 8л при любом на-
туральном п делится на 6.
А. Н. Смоляков (г. Затеречный
Ставропольского края)
658.	Найгри наименьшее значение дроби
**~3*+1 есмх<\.
1 — х
А. Н. Смоляков (г. Затеречный Ставропольского края)
659.	Описать около окружности радиуса R рав-
носторонний шестиугольник, один из углов кото-
рого равен а.
3. А. Скопец
(г. Ярославль)
660.	Дан квадрат ABCD; точки Р, Q, R, S — се-
редины его сторон АВ, ВС, CD и DA. Доказать,
что прямые AR, BS, СР и DQ своим пересечением
образуют квадрат, площадь которого состав-
ляет -jj- площади данного квадрата.
Задачи для учащихся VIII —X классов
661.	Доказать, что площадь прямоугольной тра-
пеции, в которую можно вписать окружность,
равна произведению ее оснований.
С. В. Василенко (г. Червонный Кут
Черкасской обл.)
662. Доказать, что площадь ровнобедренной
трапеции, в которую можно вписать окружность,
равна произведению среднего арифметического
и среднего геометрического ее оснований.
С. В. Василенко (с. Червонный Кут
Черкасской обл.)
663. В окружность вписан треугольник АВС-
Через середину М дуги АВ проведена прямая,
параллельная АС и пересекающая АВ в точке Р,
ВС — в точке Q, окружность — в точке S. Дока-
зать, что
PQ-.QS = СА:СВ.
3. А. Скопец (г. Ярославль)
664. Найти х:у:г, если
х	у	z	25
у	"*	г	"*	х	=	6 ’
х	z	.	У
Z	+	у	"Г	X	=	6 ’
Э. Г. Готман (г. Арзамас)
665. Решить уравнение
(х + 1)= 4- (х + 2)* 4- (х 4- 3)* = 2.
А. М. Падун (с. Любеч Черниговской обл.)
666. Из начала прямоугольной декартовой си-
стемы координат проведены лучи через точ-
ки (1; 1), (2; 1), (3; I) и т. д. Доказать, что каж-
дому углу, составленному двумя соседними лучами,
найдется равный ему среди углов, которые ось
абсцисс образует с проведенными лучами.
А. А. Пенкин (пос. Санчурск Кировской обл.)
667.	В окружность вписан треугольник АВС.
Биссектрисы углов треугольника пересекают ок-
ружность соответственно в точках At, Bt, Ct. До-
казать, что если s есть площадь треугольни-
ка ABC, a —треугольника AtBiC^, то s-<s,.
И. А. Кушнир (г. Киев)
668.	Касательные к вписанной в треугольник
окружности, параллельные его сторонам, отсекают
от него три треугольника, площади которых рав-
ны St, sa. s,. Доказать, что
1
si 4- ss 4* s» з -s -
где s—площадь данного треугольника.
В. И. Гридасов (г. Новый Оскол
Белгородской обл.)
669.	Около данного выпуклого четырехугольника,
площадь которого равна s, описан прямоугольник
наибольшей площади. Доказать, что
smax 2s.
В. И. Гридасов (г. Новый Оскол
Белгородской обл.)
670.	Дан параллелепипед ABCDAtBtCtDt. Дока-
зать, что
АС2 = АС2 4- АВ2! 4- AD2 — (АВ2 4- AD2 4- ЛЛ|).
3. А. Скопец (г. Ярославль)
75
ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ
Делимость чисел
671.	Пусть А (п) =• ав + atpn + а2ргп + ... + аьрпк,
где k — натуральное число, р, ав, ах.а^ — целые
чиска, Ь — натуральное число и г—показатель, ко-
торому принадлежит р по модулю Ь.
а) Доказать, что А(п) делится на b тогда
и только тогда, если А (т) делится на Ь где т =
= п (mod г).
б) Найти все натуралъные	п, для	которых.
1. Л (л) — — 2 + 2" + 4” делится 2. В(п) - 1 + 3" + 3м + 3*«		на 9 . 8
3. С (л) - 1 4-2-3« —3="+*	*	. ю
4. £>(л)- 1 + 2я+*+5-8"	N	. 7
5. Е(п)~ 1 +5"+ 2-25”	*	, 7
6. F (п) -6+5п + 25»	Я	. 12
7. Н (л) = 2 + 2" + 3"		. П
8. К (п) - 1 + 3" + 5»	N	. 7.
Р. В. Грозданов (г. Пловдив, Болгария)
Комбинаторика
672.	Доказать, что
п
(л + 1)а = 3 ( -	С«+1 (« ~ ^ + О2.
А=1
3. А. Скопец (г. Ярославль)
673.	Из двух одинаковых наборов натуральных
чисел 1, 2, 3,..., 19, 20 составить один набор из
двадцати числовых пар так, чтобы разности чи-
сел каждой пары были различны {от 0 до 19).
Сколько при этом возможно получить различ-
ных наборов, отличающихся один от другого хо-
тя бы одной числовой парой, если пары (а, Ь) и (Ь, а)
считать одинаковыми.
Т. Г. Мишакова (г. Тирасполь)
Неравенство
674.	Доказать неравенство
а —Ь	Ь —с	с — а
р — Ь + р — с + р— а
где а, Ь, с — стороны треугольника, 2р—его пери
метр.
С. Г. Губа (г. Вологда)
Предел
675.	Вычислить Ит хп, если
П~+ <*>
Хо—0, Х1 — 1. Хц — — (Xk-, +х*_а),
й->2, 3, 4................
М. И. Левин (г. Таллин)
Применение векторов
676.	Дана треугольная пирамида SABC
с прямыми плоскими углами при вершине S. До-
казать, что
1)	'SHi+~AH^BH = 0,
2)	COS ср = — tg a-tg₽.
sin т
3)	sin ф =--------
’ T cosa-cosp ’
где H — основание перпендикуляра, опущенного из S
на грань АВС, а — <^.SAH,$ =	= ^.SCH,
АН В.
Э. Г. Гетман (г. Арзамас)
Применение комплексных чисел
677.	В окружность вписан четырехуголь-
ник ABCD. Доказать, что прямые, проходящие
через вершину А перпендикулярно прямым АВ,
АС и AD пересекают соответственно прямые CD,
BD и ВС в точках, принадлежащих одной прямой.
Ф. Д. Безносиков (г. Сыктывкар)
Наибольшие и наименьшие значения
678.	В данный ромб с острым углом а вписать
прямоугольник наибольшей площади.
Э. Г. Готмаи (г. Арзамас)
679.	Пусть в & АВС АС — ВС> АВ. Для какой
точки М плоскости треугольника выражение
МА + МВ — МС принимает наименьшее значение?
И. М. Яглом (Москва)
Геометрические преобразования
680.	В плоскости даны точки А и В. Произволь-
ная точка М плоскости повернута около А и В
на углы по 90° в положительном направлении.
Около полученных точек Я, и В, другая произ-
вольная точка N повернута в положительном на-
правлении также на 90° в положение А, и Вс. До-
казать, что A2Bt — 2АВ.
В. М. Майоров (г. Ярославль)
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ
В № 1 ЖУРНАЛА ЗА 1969 г.
561.	Найти четырехзначное число, равное квад-
рату числа, выражаемого его двумя последними
цифрами.
Решение. Согласно условию задачи имеем
abed = (cd )2.
Отсюда
100 (10а + Ь) + (Юс + d) = (Юс + J)2,
нли
100 (10а + Ь) - (Юс + d) (Юс + d — 1).
Положим Юс + d — k. Очевидно, с=/=0, поэтому k —
двузначное число. Следовательно,
100 (10а + Ь) = k{k — 1).
Произведение k{k — 1) делится на 100, поэтому одно
76
из чисел k и k — 1 должно делиться на 4, а второе —
на 25. Легко убедиться, что k — 25, k — 1 = 24 или же
k - 76, k— 1 -75.
В первом случае имеем
10а + b — 6
и а—0, что противоречит условию задачи.
Во втором случае
10а + 5 —19-3
и а — 5, b — 7. Тогда 76 — Юс 4- d и с = 7, d — 6.
Итак, искомое число равно 5776.
562.	Ученик, идя по тротуару вдоль троллей-
бусной линии, через каждые 4,6 минуты встречает
троллейбус и через каждые 8 минут его нагоняет
троллейбус. Через какие промежутки времени
троллейбусы отходят от остановки?
Решение. Обозначив расстояние между двумя
последовательно идущими троллейбусами через а,
скорости троллейбуса и ученика соответственно че-
рез и и V, получаем систему уравнений
Г 4,6(и + г») = а,
I 8 (и— v) = а.
63а	а 368
Решая систему, находим и — -ggg- или =
Итак, троллейбусы отходят от остановки приблизи-
тельно через каждые 5 мин. 50 сек.
563.	Даны две последовательности
ak = 3,ft+1 + 3ft+* 4-4,	bfc - 32ft+* —3*+* 4- 4.
Доказать, что для любого натурального k в точ-
ности одно из чисел ak, Ьь, кратно 5.
Решение. Очевидно, разность
a*-6ft = 2.3*+*
ие делится на 5. Поэтому а* н 6* одновременно на 5
не делятся. Далее,
akbk - (32*+* 4- 4)2 — 32fc+= = 92ft+‘ 4-15-9* 4- 16.
При делении 92ft+* на 5 в остатке получаем 4, а при
делении 16 на 5 в остатке получаем 1. Следовательно.
a/i-bk • 5. Но в таком случае либо а*, либо Ь^ делится
на 5.
564.	Решить уравнение
9* —5-Г — 4Л _2у<2(Й.
Решение. Преобразуем уравнение
/	Л_\2
9х = Vх 4- 5 2 ) -> 3х = 2х 4- (/б)х->
Отсюда находим, что х = 2. Других решений (веще-
ственных) уравнение не имеет, так как прн х > 2 ле-
вая часть последнего уравнения меньше 1, а при
х<2—больше 1.
565.	Доказать, что если
сг + 2(аЬ — ас—6с) —0, b=f=c, a-\-b=£c,
то
а*-\-(а—с)2	а—с
Ь2 4- (5 — с)2 = b — с '
Решение. Из данного в условии задачи равен-
ства следует, что
а2 — (а— с)2 4* 26 (а— с),
62 — (6 — с)2 4- 2а(6 — с).
Поэтому
а2 4- (а — с)2	2 (а — с)2 4- 26 (а — с)
62 4- (6 — с)2 = 2 (6 — с)2 4- 2а (6 — с) =
(а — с) (а 4- 6 — с)	а — с
= (6 — с) (а 4- 6 — с) ~ 6 — с "
566.	Основание равнобедренного треугольника
равно а, биссектриса треугольника, проведенная
к боковой стороне, равна I. Доказать, что
1^2 а 3
Решение. Если 2a—угол при основании ВС рав-
ас
нсбедреиного треугольника АВС (черт. 1), то а <
Черт. 1
Далее, по теореме синусов имеем
a sin За	4 cos2 а — 1
I = Sin 2а =	2 cos а
Но 4 cos a-f-1 > 0, cos а—1 < 0. Поэтому
(4 cos а 4- 1) (cos а — 1) — 4 cos2 а — 3 cos а — 1 < 0.
Отсюда находим
4 cos2 a — 1	3
2 cos a < 2 *
Следовательно,
a 3
-Г <т-
yr2 а 3
Итак, ~2~ < —<—•
Замечание. Очевидно, знак в условии ре-
шенной задачи (см.: «Математика в школе», 1969, № 1,
стр. 74) следует заменить знаком
567.	На отрезке АВ дана точка С. Построены
полуокружности на диаметрах АВ, АС и СВ, рас-
положенные по одну сторону от прямой АВ. До-
казать, что R •<-§- АВ, где R— радиус окружно-
сти, касающейся всех трех полуокружностей.
Решение. Пусть О, Olt О, — центры полуокруж-
ностей, построенных соответственно на диаметрах АВ,
АС, СВ (черт. 2). Согласно теореме Стюарта, приме-
ненной к »реуг льнику 0/9,0,, имеем
О,О2-О,Оа - Ofil -OOt 4-osoloot-oot-oot-otos.
Но 0,0 = х 4- y—R, О,О2 — х4- У. О,О, = x + R,
0,0, — у 4- R- Следовательно,
(х 4- у — 7?)2 (х 4- у) — (х 4- 7?)2 х 4-
4- (У 4- R)2 У — ху (х 4- у).
77
Отсюда
ху (х + у)
к “ х2 4- ху + у2 ‘
Остается заметить, что х2 4- у2 > 2ху. Поэтому
ху(х4-у) х + у
н Зху “	3 *
Итак,
1 АВ	АВ
3’2’	6 ’
568.	Вычислить углы А и В треугольника АВС,
если
a2 — b2=2cR, ^С = 36°.
Решение. Из равенства а2 — b2 = 2cR по теореме
синусов следует
sin2 А — sin2 В = sin С.
Но
sin2 А — sin2 В — sin (Л 4- В)-sin (Л — В) =
= sin C-sin (Л — В),
поэтому
sin C-sin (Л — В) = sin С.
Но sinC=^=0, поэтому sin (Л — В) = 1. Отсюда
Л — В = 90°. С другой стороны, Л 4- В = 144°. Зна-
чит, 2Л = 234°, Л = 117°, В = 27°.
569.	Доказать, что отношение площади четырех-
угольника, образованного пересечением биссектрис
углов параллелограмма, к площади этого парал-
лелограмма не зависит от углов параллело-
грамма.
Решение. Пусть а и Ь — стороны параллело-
грамма ABCD (черт. 3), 2а и 2₽— его углы. Так как
а 4- р = 90°, то четырехугольник MNPQ, образован-
ный пересечением биссектрис параллелограмма, есть
прямоугольник (в частности, точка, когда ABCD —
ромб). Проведем через Q прямую, параллельную AD
и пересекающую биссектрису угла Л в точке R,
а биссектрису угла D — в точке В. Тогда
RQ = QS = ЕС = \а — b\, MQ = | а — b |sina,
PQ = | а — b | sin₽ = | а — b | cos a.
следовательно,
smnpq = (а — 6)г sln2“-
Так как SABCd = absln2a, то SMNPQ:SABCD =
(a — b)2 л
= —~2n6 ' Очевидно, полученное отношение от a
не зависит.
570.	Боковые ребра пирамиды, основанием кото-
рой служит правильный треугольник со сторо-
ной а, равны Ь, с и d. Доказать, что объем такой
пирамиды можно вычислить по формуле
V —	Vа2Ь2 4- Ь2с2 4- c2d2 4- d2a2 4- а2с2 4-~*
* 4- b2d2 — a* — bl — с* — d* .
Решение. Пусть ребра АВ, ВС, С А пирами-
ды SABC равны а, ребра ВЛ, SB и ВС — соответ-
ственно Ь, с и d, точка О — основание перпендику-
ляра, опущенного из S на плоскость АВС, О А = Ьъ
OB = clt ОС = dt, SO = h (черт. 4). Известно, что
сторона а правильного треугольника и расстояния Ьъ
ct и dt любой точки, лежащей в его плоскости, от
вершин треугольника, связаны равенством:
а4 4- ft4 + С] 4- d4t = a2b\ 4- и2с\ 4-
4- a2di 4- ftfc? 4- c\d} 4- d\b\
s
Черт. 4
(см.: «Математика в школе», 1964, № 2, стр. 68).
Но
b\-b2 — h2,c\-=c2 — h2, d\~*d2 — h2.
Поэтому имеем
a' + (b2 — h2)2 4- (с2 — ft2)2 4- (<Р — h2)2 =
= a2 (b2 4- с2 4- d2 — 3ft2) 4- (& — ft2) (с2 — ft2) 4-
4- (с2 — ft2) (d2 — ft2) 4- (6‘ — ft2) (ft2 — ft2).
После упрощений получаем
ft2 = 3^5 (a2b2 4- b2c2 4- c2d2 4- d2a2 4- a2c2 4-
4- b2d2 — a*—b* — c* — d*).
Ho
78
Следовательно,
V = -jg-yfa2b2 + b2c2 4- c2d2 4- d2a2 4- a2c2 4-
+ b2d2 — a* — bt‘—ci — d\
571.	На двух прямых даны соответственно от-
резки АВ и CD. Точками М и Aft отрезок АВ
разделен в отношениях AC:BD и —(AC'.BD),
АС ф BD, а от резок CD точками N и АГ, разде-
лен соответственно в тех же отношениях. Дока-
зать, что отрезок MN перпендикулярен отрезку
MtNt.
Решение. Пусть О = ADf\BC; полагая О А =
— А, ОВ = В, 0D — Х,А, ОС = Х2В, будем иметь
ОМ = М = J + х А + J + х В,
— — Х2 _ XX, _
ON^N^ Г^В + г^А,
-- XX, —1 _ Х2 — X-
^“-Г+х-л + т+хв-
Аналогично,
--	1 _ X _
= 1 — Х Л — i_xB,
----- — XX, —1 _ Х2 + X _
—г=Г"л+т=хВ.
где
ч АС |а —х2в|
BD |х,А-в| •
Но тогда
_________Х2Х2—1_	X?— X2 _
MN  MtNt =	, А2 —  г В2 4-
Л — 1	Л -— 1
и так как
А24- Х2В2—2Х2А-В
X2----——-=-------=-==-,
Х,А2 4-В2 —2Х,А-В
ТО
ТЛИ-М.П,------------^-=—х
(X2 — 1) (Х,А —В)2 Х
х [(Х1Х2 — 9 Л2-В2 + 2Х, (1 — ХЛ) Я2- (А-В) 4-
4- (i — Х2Х2) А2-В2— 2Х2 (1 — Х,Х2) В2- (А-В) 4-
+ 2Х, (Х,Х2 — 1) А2-(Л-В) 4- 2Х2 (1 — Х,Х2) В2-(Л-В)]=0,
откуда следует, что MN л Af,JV,.
572.	На окружности, описанной около треуголь-
ника АВС, взята произвольная точка М. Прямые,
проведенные через точку М параллельно (перпен-
дикулярно) сторонам треугольника АВС, пересе-
кают окружность в точках А,, В, и С,. Доказать,
что треугольники АВС и А,В,С, равны, а их со-
ответствующие стороны (или их продолжения)
пересекаются в трех точках, расположенных на
одной прямой.
Решение. Если точкам А, В, С, М отвечают
комплексные числа а, Ь, с, т (данная окружность
единичная), то точкам А,, В„ С, будут отвечать комп-
лексные числа I- --.-, 4- —, + —- (черт. 5). Имеем
— т ’ — т — т '
Аналогично, В,С, = ВС и С,А, = СА. Следовательно,
Л АВС = Л AtBtCi.
be	ab	са
Далее, замечая, что 4-----а = 4- ~zr-c = 4- — -b,
— т — т — ш
приходим к выводу, что хорды АА,, ВВ,, СС, па-
раллельны. Пусть I — перпендикулярный к хордам
диаметр окружности, тогда треугольники АВС
и А,В,С, симметричны относительно Z; поэтому точки
пересечения прямых АВ и А,В,, ВС и В,С,, С А и С, А,
принадлежат одной прямой — диаметру Z.
Итак, доказано, что точки пересечения соответ-
ствующих сторон треугольников АВС н А,В,С, (или
их продолже» ий) лежат вместе с центром данной
окружности на одной прямой.
573.	В окружность радиуса R вписан правильный
14-угольник А,А2...А,3А,4. Доказать, что А,Ав —
— А,А*4-А1А2 = Я.
Решение. Пусть R = 1 и точкам АЛ (Z? = 1, 2,..., 14)
отвечают комплексные числа zk—1 (черт. 6). Легко
2п 2л
заметить, что z = cos -jy 4- Z sinуу удовлетворяет
уравнению z1 4- 1 — 0 или уравнению г" — гъ 4- г1 —
— z3 4- г2— г 4- 1 = 0; ио тогда
Черт. 6
79
^4|Дв	A, A* 4- A3A2 = A3Ae —— A2A3 4- A3 A4 =
— | z* — 11 — 13* — z I 1 z* — z21 =
— I zs — 1 — z* 4- z + z* — z21 = I ze I = 1 = R.
574.	Вычислить сумму
n
22п-Ч(А + 1)!
ft=l
Решение. Нетрудно заметить, что
k (k + 1)1 = (А + 2)! — 2(Л + 1)1
Тогда
2Л-*А (А + 1)! = 2"—* (А 2)! — 2"-s+* (А 4- 1)1,
л	л
2 2я-* А (А 4-1)1 - 2 2"-ft <Л + 2)' -
Л=1	Л=1
п
— 22“-*+* (А 4-1)1
Л=1
Отсюда
п
2 ^n~kk (А 4- 1)! - (п 4- 2)! — 2»+*.
й=1	—
575.	Доказать, что есги функция у = cos х 4*
4- cos ах периодическая, то а — рациональное число.
Решение. Пусть Т — период функции у = cos х 4-
4- cos ах\ при любом вещественном значении х имеем
cos х 4- cos ах = cos (х 4- Т) 4- cos а (х 4- Т).
Положим х — 0, тогда cos Т 4- cos аТ = 2. Отсюда
cos Г — cos аТ — 1 и
Г 7' = 2Аэт,
I аТ — 2Zn.
Z
Следовательно, а — рационально.
576.	Доказать неравенство
(sin х)2Я 4- (cos х)2П ЧУ~2П~г.
Решение. В известном неравенстве
Л _______
aA-b l/an + bk
~ 2~»	6>с
(см.: С. И. Новоселов, Специальный курс элемен-
тарной алгебры, М., изд. «Высшая школа», 1965.
стр. 216) положим а = sin2 х, b — cos2 х, А = 2я-1, по-
лучим
2я-1_____________________
U f (sinx)2" 4- (cos х)2П sin2 х 4-cos2 х 1
/ ----------2------------>-----2	“T-
или
(sin X)2» 4- (cos х)2Я >2-	= 2’-2”-1.
577.	При каких целых значениях х, у и г трех-
члены х3 — х— 5, у24-3у4*3, —z2— 5z — 5 прини-
мают равные значения?
Решение. Положим
х2 — х — 5 = А,
у2 4- Зу 4- 3 = А,
— г3— 5г— 6 — А,
где А подлежит вычислению. Очевидно что если А
существует, то уравнение
х2 — х — (5 4- А) = О
имеет вещественные корни и Л, = 1 4- 4 (5 4- А) > 0-
21
Отсюда А>—-j-. Аналогично находим из двух дру-
3	5
гих уравнений, что А>-4", А-^-^-. Таким образом,
возможно только А = 1. Найдем соответствующие
значения х, у, г.
х2 — х—5=1, xt = 3, х, — —2;
у24-3у4-3— 1, у, = —1, у2 = —2;
— г2— 5z—5=1, Zi=—2, zt •-—3.
Как видно, при найденных значениях х, у, г данные
трехчлены принимают одно и то же значение 1. (Все-
го восемь решений.)
578.	Даны две нескалярные матрицы второго
порядка А и В такие, что А2=*аЕ, В2 = ₽£, где
а и р—числа, Е—единичная матрица. Доказать,
что А-В 4- В-А — уЕ, где 7 — некоторое число.
(Матрица X называется скалярной, если X = сЕ, где
с — число, и иескаляриой — в противоположном слу-
чае.)
Решение. Пусть Р =	"s)~ произвольная мат-
рица второго порядка. Число р + s (след матрицы Р)
обозначим через ТгР. Имеем
Р2 ( Р2 + <1Г Я (Р + s)\
” V(p4-s) s2 + qr J'
а) Если ТгР = 0, то, очевидно, P2 — скалярная мат-
рица. б) Обратно, если Р2 — скалярная матрица, то
р2 -= s2, г (р 4- s) “ q (р 4- s) “ 0. так чт° либо ТгР—0,
либо Р — скалярная матрица.
Поскольку в условии задачи А и В — нескалярные
матрицы, то по а) ТгА = ТгВ = 0. Тогда и Тг (А 4* В) =
= ТгА 4- ТгВ =0, и по б) (Я 4- В)2— скалярная мат-
рица. Но тогда скалярной является и матрица АВ 4-
4- в А — (А 4- В)2 — А2 — В2, что и требовалось до-
казать.
Если одна из матриц А и В — скалярная, то матри-
ца АВ 4- В А не обязана быть скалярной (например,
при
579.	Записать в прямоугольных координатах
формулы преобразования плоскости, представляю-
щего собой отражение относительно прямой
у = Ах. Вывести формулы преобразования враще-
ния плоскости окою начала координат как про-
изведения двух отражений.
80
Решение, Пусть М' (х', у') — произвольная точка
плоскости, М"(х",у")— симметричная ей точка от-
носительно прямой у = kx (черт. 7). Если М (хе, у„) —
середина М'М", то
( 1
1 У,—У'------
Уо “ kx„\
отсюда находим
Х’ + ky'
х‘~ 1 4- k2 ’
k(x' + fey')
У‘~	1 + fe’ •
Но тогда
2
х' + X" = ,	(х' + fey'),
2fe
У' + У" ” г+т»(х' +
1 — ^ у 2fe ,
х - 1 + fe2 х + 1 + fe2 у •
2fe 1 —fe2	Ш
у' ” l+fe’x'_ n-fe2y 
Пусть <р > 0 — угол поворота; вращение на угол <₽
можно представить в виде произведения отражений
от оси х и от прямой I, составляющей с положитель-
<р
ной полуосью х угол если (х у') — произволь-
ная точка плоскости, то отражение от оси х перево-
дит точку (х', у') в точку (х', — у'). В свою очередь
отражение от Z переводит (х', — у') в точку (х", у"),
координаты которой находятся по формулам (1) с уче-
том того, что k — tg :
х" — х' cos <р — у' sin <₽,
у" — х' sin <₽ 4- у' cos <р.
580. В четырехмерном евклидовом пространстве
дан правильный четырехгранный угол, все шесть
плоских углов которого равны по 60° Вычислить
углы между его двумя двумерными плоскостями.
Решение. Отложим на ребрах четырехгранного
угла от вершины О единичные векторы А, В, С, D.
Согласно условию задачи
А-~В - А-С = А-D = В-С - В-D - C-D =
Пусть плоскость, перпендикулярная к О АВ и OCD,
пересекает О АВ по лучу 1,_& _плоскость_ОСО— по
лучу т. Положим L — А + ХВ, М — С 4- рО. где L с
cZ, Мет. В плоскости О АВ луч Z является орто-
гональной проекцией луча т. Если луч Z повернуть
около О на 90°, то получим луч Г и векторпри-
надлежащий ему, будет перпендикулярен к М. Ана-
логичным образом, поворачивая луч т в плоскости
OCD около О на 90°, получим на ием вектор М',
перпендикулярный L. Итак, L'-M = 0, L-M'-0. Вы-
числим L' и М'. Пусть L’ = А + \В. Тогда
(А 4- Х^) (А 4- ХВ) - 0.
Отсюда
1 4- X + “g- Xt	XX t 0
и
X -
А* 14-2Х-
Следовательно,
_	_	2 4- X __
U ” Л~14-2ХВ
И
2 -J- X —\	_
<А -ТТ2Х в)- °-
После раскрытия скобок получим
J.JL	1	1 (2 4-Х)р
2 + 2	2 ’1+ 2Х 2 ‘ 1 4-2Х “°-
или —1 4-X— р— Хр. = 0. Отсюда (Х4-1)(р — 1) — 0.
Аналогичным образом находим из условия L-M' — 0,
что (X — 1)(р 4- 1) = 0-
Следовательно, имеем два решения: X « — 1, р- = — 1
и X = 1, р. == 1. В первом случае
д_А —В, ЗЙ = С —D, Т-М - (А — В) (С-~D) -
Итак, один из углов между рассматриваемыми
плоскостями равен 90°. Во втором случае
L -А+'В.М	+ D, L-M-
1111
= 2 + 2 + 2 + 2 “2-
Отсюда
2	2	2
COS У LOM =-	. — —7=-7=г ™ -5-.
|£|-|Л1|	/3-/3	3
Второй искомый угол между плоскостями равен
2
arccos-g-. Угол между двумя гранями, пересекающи-
мися по ребру данного четырехгранного угла, изме-
ряется обычным образом, так как эти грани располо-
жены в одной гиперплоскости. В этом случае имеем
угол arccos -g-.
ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ
СТРАНИЦА
«РОГ ИЗОБИЛИЯ» РЕШЕНИЙ
Решить в целых числах уравнение хп 4- у" = zn+1.
Укажем лишь одну из возможностей получения це-
лочисленных решений.
Полагая, что натуральный показатель степени п
задан, берем два произвольных целых числа а и Ь
и вычисляем а" 4-6" = с, тогда х = а-с, у = Ь-с,
г — с.
Действительно, апсп 4- Ьпсп = сп (ап 4- 6") = сп-с =
= с"+*.
Пусть Xs 4- у2 = г3. Берем произвольно а = 4, Ь = 7,
тогда с = 42 4- 72 = 65 и х = 4-65 = 260, у = 7-65 =
= 455, г = 65.
НАГЛЯДНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Производная дифференцируемой четной функ-
ции — нечетная функция.
В соответствии с условием фигура II симметрична
фигуре I относительно осн Оу, следовательно,
“ 4- ₽ = К tg а = — tg ₽, или f (х) = — f'( — х).
Итак, f'(x)—нечетная функция.
ВСЕ РЕШЕНИЯ ПРАВДОПОДОБНЫ, НО ПРАВИЛЬНОЕ —
ОДНО
Перемешаны и сложены стопкой 6 карт: 3 — красной
масти (к) и 3 — черной масти (ч). Берем снизу три
карты
Сколько шансов за то, что все три карты окажутся
одной масти?
«Решение» 1. Перечислим возможные случаи:
а) Зк, б) Зч. в) 2к + 1ч, г) 1к 4- 2ч. Из четырех случа-
ев условию удовлетворяют а) и б). Следовательно, ис-
комое количество шансов характеризуется отношением
1 : 1.
«Решение» 2. Разложим 6 карт на две равные
кучки—правую и левую. Имеем следующие возмож-
ные случаи:
X и трн — масти не X. Следова-
характеризует возможность того,
снизу тоже масти X. Если так, то
а)	в левой кучке на одну карту черной масти боль-
ше, чем в правой,
б)	в левой кучке на одну карту красной масти
больше, чем в правой.
в)	в левой кучке 3 карты одной масти, в правой —
3 карты другой масти.
Случай в) удовлетворяет условию, случаи а) и б) —
нет.
Ответ. 1:2 (один шанс «за» и два «против»).
«Решение» 3. Есть только 8 случаев возможного
расположения трех нижних карт из шести:
а) ч ч ч, б) ч ч к, в) ч к ч, г) ч к к, д) к ч ч, е) к ч к,
ж) к к ч, з) к к к.
Удовлетворяют требованию задачи только случаи а)
и з).
Ответ. Два шанса против шести, или 1 :3.
«Решение» 4. По условию, масть безразлична,
лишь бы три карты были одной масти. Назовем X —
масть первой снизу карты. Из остальных пяти карт
две карты мастп
тельно, число —-
5
что вторая карта
из четырех остальных карт лишь одна масти X, воз-
можность которой быть третьей картой масти X ха-
рактеризуется числом -1-. Количество шансов для
второй и третьей карт быть той же масти, что и пер-
2 1
вая карта, характеризуется произведением —.— =
5 4
1	9
= -у^-. Остается за то, что не все 3 карты будут
масти X.
Ответ. Ожидаемое событие имеет один шанс про-
тив девяти, или 1 : 9.
Которое из этих четырех правдоподобных «решений»
дает правильный ответ? Не четвертое ли все-таки? Как
подправить остальные «решения», чтобы они приводи-
ли к одному правильному ответу?
ЛИТЛВУД —НЕ ХАРДИ
Как-то к знаменитому немецкому математику Эдмун-
ду Ландау приехал математик Литлвуд1. Ландау
со свойственной ему непосредственностью воскликнул:
— Так, значит, вы на самом деле существуете! А я-то
думал, что это псевдоним, которым Харди подписы-
вает свои работы, когда считает, что они недостаточно
хороши для него.
Б. А. Кордемский
1 Литлвуд — английский математик, большинство
основных работ которого выполнено совместно с ан-
глийским математиком Харди.
82
1234Щ
567890
ПЕДАГОГИ-
МАТЕМАТИКИ
Александр Матвеевич Астряб
(К 90-летию со дня рождения)
4 сентября 1969 г. исполнилось 90 лет со дня рожде-
ния известного советского ученого, педагога-математи-
ка, одного из ветеранов методической школы на Украи-
не, заслуженного деятеля науки Украинской ССР про-
фессора Александра Матвеевича Астряба.
А. М. Астряб принадлежит к ученым, сформировав-
шимся в лучших традициях дореволюционных деятелей
педагогической науки, но основную деятельность раз-
вернувшим уже в советское время, внесшим большой
вклад в строительство новой школы.
Деятельность А. М. Астряба, начавшаяся еще в до-
революционный период, неразрывно связана с созда-
нием и успехами советской методической науки на
Украине.
Начало педагогической деятельности А. М. Астряба
совпадает с тем временем, когда в России, как и иа
Западе, происходило движение за реформу преподава-
ния математики.
Большое влияние на формирование идей русской ме-
тодики математики оказали выступления революционе-
ров-демократов, а также сочинения и педагогическая
деятельность К. Д. Ушинского, труды выдающих-
ся методистов-математнков В. П. Шереметьевско-
го, П. С. Гурьева, В. В. Латышева, С. И. Ш о-
хор-Троцкого, А. И. Г ольденберга и других.
Их прогрессивные идеи получили свое дальнейшее раз-
витие в трудах К Ф. Лебединиева, К. М. Щер-
бины и А. М. А с т р я б а.
В конце XIX столетия в крупнейших городах России
возникли педагогические объединения-товарищества,
сыгравшие положительную роль в развитии методики
математики. На Украине эту роль сыграло Киевское
физико-математическое общество, членами которого бы-
ли такие ученые, как М. Е Ващенко-Захарчеи-
к о, В. П. Ермаков, К- М. Щербина, К. Ф. Ле-
бединцев, Л. Н. Володкевич, П. А. Долгу-
шин, А. М. Астряб и другие.
А. М. Астряб родился 4 сентября 1879 г. в г. Лубнах
Полтавской области в семье учителя. В 1899 г. после
окончания Лубенской гимназии он поступил иа физико-
математический факультет Киевского университета, ко-
торый окончил в 1904 г. с дипломом I степени. Педа-
гогическую деятельность Александр Матвеевич начал
в 1904 г. преподавателем математики и физики в Глу-
ховской гимназии, однако руководство гимназии по-
старалось поскорее избавиться от неспокойного препо-
давателя, доставлявшего много беспокойства своими
требованиями о пополнении учебных кабинетов нагляд-
ными пособиями и приборами, необыкновенным построе-
нием уроков и подбором задач, связанных с жизнью
и практикой, острыми критическими выступлениями
против закостенелого школьного уклада.
С 1905 г. и до Великой Октябрьской революции
А. М. Астряб работал в Киеве преподавателем мате-
матики и физики Киевского коммерческого училища,
преподавал математику и методику математики на Выс-
ших женских курсах, в Фребелевском институте, в на-
родном университете, на Киевских высших педагогиче-
ских курсах.
С самого начала своей педагогической деятельности
Александр Матвеевич особое внимание уделял пробле-
мам школы и вскоре стал одним из первых организа-
торов учебных заведений реального направления,
в частности коммерческой школы нового типа.
В 1906—1917 гг. А. М. Астряб принимал деятельное
участие в создании новых программ по математике для
гимназий; был участником Первого всероссийского
съезда учителей математики (1912) и разных конферен-
ций, совещаний, комиссий.
С первых дней Советской власти на Украине
А. М. Астряб вместе с К- Ф- Лебединцевым и
К. М. Щербиной активно включился в строительство
новой школы, в частности в разработку и реализацию
принципов преподавания математики в советской школе.
В 1917 и 1922, а затем в 1934 гг. ои был членом ко-
миссии по составлению украинской математической
терминологии.
Молодая советская школа нуждалась в новых кадрах
учителей, и А. М. Астряб отдает весь свой опыт и зна-
ния делу подготовки учителей математики, работая на
Лубенских, затем на Киевских педагогических курсах.
С 1925 по 1930 г. Александр Матвеевич работал в
Киевском институте народного образования, на базе
которого позже был организован Киевский педагогиче-
ский институт, В педагогическом институте он работал
по 1953 г. с перерывом только на время войны.
Большой заслугой А. М. Астряба является организа-
ция в 1947 г. при Киевском пединституте первой на
Украине кафедры методики математики, которой он и
заведовал до 1953 г., преподавая методику и историю
математики и руководя аспирантурой.
Вместе с С. К. Чавдаровым Александр Матвеевич
является одним из организаторов Украинского научно-
исследовательского института педагогики (1932), и до
1953 г. он был одним нз его ведущих сотрудников.
Здесь Александр Матвеевич руководил сектором физи-
ки и математики.
Как в пединституте, так и в Институте педагогики
Александр Матвеевич воспитывал смену научных ра-
ботников в области методики математики.
Под руководством Александра Матвеевича отдел ме-
тодики математики НИИ педагогики стал методико-ма-
тематическим центром УССР, вокруг которого с того
времени группируются лучшие методико-математические
силы и передовые учителя математики республики.
А. М. Астряб был прекрасным педагогом, активным
общественным деятелем, неутомимым борцом за даль-
нейший расцвет советской школы, за развитие совет-
ской педагогической науки. В своих работах он реши-
тельно выступал против любых извращений в методике
математики. Значительное место в его работах отве-
дено практической подготовке учащихся при преподава-
нии математики.
Плодотворной была работа Александра Матвеевича
как автора научно-методической литературы. За свою
83
жизнь он опубликовал более 130 печатных трудов из
различных отраслей методики математики, общим объе-
мом свыше 250 печатных листов.
Еще в самом начале XX столетия А. М. Астряб стал
одним из убежденных сторонников введения пропедев-
тического курса геометрии в школьные программы по
математике, активным исследователем и его пропаган-
дистом. В 1909 г. си опубликовал ceoto первую книгу
«Наглядная геометрия» (изд «Сеятель», Киев), кото-
рая в свое время была наиболее удачной книгой по
этому вопросу в русской учебной литературе и выдер-
жала 12 изданий.
В 1916 г. А. М. Астряб опубликовал «Задачник по
наглядной геометрии», который переиздавался 4 раза.
Многочисленные работы по вопросам пропедевтического
курса геометрии дают право считать А. М. Астряба
одним из творцов методики изучения этого курса.
Исключительно важна роль Александра Матвеевича
в создании учебных пособий по математике для новой
советской школы.
Широко известны не только на Украине, айв дру-
гих республиках нашего Союза такие фундаментальные
работы по методике математики, написанные авторски-
ми коллективами под руководством А. М. Астряба
и при его непосредственном участии, как «Очерки по
методике преподавания курса арифметики» (в 1954 г.
отмечены премией К- Д- Ушинского), «Теория и мето-
дика решения задач на построение» (1940), «Методика
стереометрии» (1939), «Решение стереометрических за-
дач» (1940), «Преподавание геометрии в средней шко-
ле» (1953).
Ряд работ Александра Матвеевича посвящен разра-
ботке вопросов истории математики, ее преподаванию
на Украине и в России, в частности развитию матема-
тического образования в России и иа Украине в XVII—
XVIII столетиях. В своих работах он исследует мето-
дические взгляды Л. Н. Толстого, К. Д. Ушинско-
го, Н В. Остроградского, историю преподавания
математики в школах Советской Украины, раскрывает
роль Евклида и Лежандра как основоположни-
ков учебников геометрии. Как отмечалось, наибольшее
внимание А. М. Астряб уделял вопросам преподавания
пропедевтических курсов i еометрич.
Несомненно, что в течение своей длительной творче-
ской деятельности он совершенствовал свои взгляды,
подвергал их критическому пересмотру, учитывая про-
гресс школы, обусловленный возникновением нового со-
циалистического строя в нашей стране. Однако свое
научно-методическое кредо он выработал и отразил еще
в первых изданиях своих работ и с тех пор до конца
жизни горячо отстаивал его.
О большой научно-методической ценности работ
A. М. Астряба. новизне идей, глубоко продуманной реа-
лизации их в работах и соответствии особым требова-
ниям новой советской школы говорит высокая оценка
этих работ педагогической общественностью страны.
Решением Г осударствениого ученого совета книги
Александра Матвеевича «Наглядная геометрия» и «Курс
опытной геометрии» (вышли в 1923 г.) были допущены
в качестве учебника для единой трудовой школы.
А. М. Астрябу принадлежит четкое определение целей
преподавания наглядной геометрии в советской школе.
Первая цель, по его мнению, заключается в том, что-
бы курс наглядной геометрии, «будучи подготовитель-
ным к изучению систематического курса, конкретизиро-
вал в младших классах в сознании учащихся все те
важнейшие геометрические понятия, какие в старших
классах эти учащиеся будут изучать в абстрактной фор-
ме в систематическом курсе» *.
* А. М. Астряб, Наглядная геометрия в IV—
V классах. Методическое пособие, изд. «Радянська шко-
ла», Киев, 1951.
Вторая цель изучения наглядной геометрии связывает-
ся Александром Матвеевичем с необходимостью свое-
временно вооружить учащихся теми практическими зна-
ниями геометрии, какие им необходимы при изучении
таких дисциплин, как география (представление о раз-
ных углах, о плане и масштабе), естествознание и фи-
зика (измерение площадей и объемов), рисование (зна-
комство с соответствующими геометрическими форма-
ми), военное дело (измерение расстояний к недоступ-
ным объектам).
Важнейшей особенностью всех работ А. М. Астряба
было глубокое обоснование своих методических реко-
мендаций в области обучения математике данными дру-
гих педагогических наук, в частности и особенно дан-
ными психологии.
Отстаивая необходимость учитывать «психологические
особенности детей 8—12 лет» и необходимость того, что-
бы курс наглядной геометрии был максимально нагляд-
ным, а на уроках использовались «разнообразные на-
глядные пособия», А. М. Астряб предостерегал: «Но эти
модели ни в коем случае не должны затемнять мате-
матическое содержание рассматриваемого вопроса, не
должны отвлекать своей сложной внешней конструкцией
внимание детей от той математической цели, для кото-
рой демонстрируется эта модель» 2
Большое внимание уделял А. М. Астряб тому, чтобы
изучение «наглядной геометрии» дало учащимся воз-
можность «конкретно осознать простейшие виды функ-
циональных зависимостей, подробнее и глубже изучае-
мых в систематических курсах математики»3.
В вопросах методики преподавания систематического
курса геометрии Александр Матвеевич уделял особое
внимание задачам на построение. Созданная под его
и профессора А. С. Смогоржевского руководст-
вом книга «Методика решения задач на построение»
(1940) является первым таким фундаментальным ис-
следованием и теории вопроса, и методики работы учи-
теля математики при изучении построений в школе.
А. М. Астряб сделал огромный вклад в разработку
вопросов методики преподавания геометрии, в первую
очередь ее пропедевтического курса, и арифметики.
Одиако многие вопросы преподавания алгебры и три-
гонометрии также значительно обогащены его идеями.
Александр Матвеевич хорошо знал историю матема-
тики, историю школы и методических идей. Ему при-
надлежит ряд ценных работ и в этих областях. Одна-
ко наиболее важным было то, что оп практически осу-
ществлял принцип историзма при построении каждого
своего методического пособия.
Глубокое знание предмета и его истории, всесторонний
учет состава аудитории, широта взглядов и суждений,
сочетавшиеся с ежедневными поисками наиболее совре-
менных путей реализации их на практике, вдумчивая
и тщательная отработка каждой рекомендации — тако-
вы важнейшие особенности трудов А. М. Астряба.
Любовь и уважение к себе Александр Матвеевич за-
служил у своих учеников, друзей, сотрудников и мно-
гих-многих учителей математики Украины и братских
республик, которые хорошо знали его иеиссякаемую
энергию и инициативу, юношескую вдохновленность и
упорство, вдумчивость и принципиальность, оптимизм
и необыкновенную чуткость.
Для огромного числа работников народного образо-
вания Александр Матвеевич Астряб был и остается
образцом гражданина, ученого, человека.
Э. П. Бережная
2 Та м же, стр. 11.
3 Та м же, стр. 16.
84
КРИТИКА
1/1 БИБЛИОГРАФИЯ
Об учебном пособии по алгебре для школ
С. Т. ЗАВАЛО
(г. киев) с математической специализацией
Школы с углубленным изучением математики сущест-
вуют уже около 10 лет. За это время накоплен боль-
шой опыт их работы, на основе которого разработаны
учебные планы и различные варианты учебных про-
грамм. Опубликован также ряд методических материа-
лов, посвященных преподаванию математики в этих
школах. Достаточно назвать хотя бы серию «Проблемы
математической школы», три выпуска которой изданы
АПН СССР. Однако до сих пор не было учебника или
учебного пособия по математике для учащихся этих
школ. Рецензируемая книга Н. Я. Виленкина,
Р. С. Гуте р а, С. И. Ш в а р ц б у р д а, Б. В. О в-
чинского, В. Г. Ашкинузе «Алгебра» (изд. «Про-
свещение», 1968) является первой попыткой создания
такого учебного пособия.
При внимательном прочтении книги легко заметить,
что она построена в трех планах. Основной текст ее
может быть использован не только в школах с матема-
тической специализацией, но и в практике преподава-
ния в обычных школах. Тот же текст вместе с мате-
риалом, набранным петитом, рассчитан на учащихся с
математической специализацией и на сильных учеников
обычных школ. Для них же предназначено большое
число упражнений. Наконец, задачи, отмеченные зна-
ком I-X-), относятся уже к третьему плану и рассчита-
ны на сильных учащихся математических школ.
Материал изложен в тесной связи с курсом матема-
тического анализа (соответствующий учебник нахо-
дится в производстве). Указаны выходы излагаемого
материала в смежные области математики и в при-
кладную математику. Так, в книге рассказывается об
использовании неравенств в линейном программирова-
нии, симметрических многочленов при решении систем
уравнений и иррациональных уравнений, цепных дро-
бей и метода Гаусса в вычислительной математике
и пр.
Книга написана на высоком научном и методическом
уровне, научным и вместе с тем доступным для уча-
щихся языком. Учебник естественно вводит учащихся в
круг идей высшей математики. Впервые в пособии для
школьников излагаются элементы теории множеств;
комбинаторика изложена в тесной взаимосвязи с тео-
рией вероятностей. В книге дается понятие об аксиома-
тике алгебры и затем с помощью сформулированных
аксиом доказываются теоремы, что, несомпенво, будет
способствовать изжитию довольно распространенного
среди учащихся средней школы взгляда, что аксиомы
и теоремы существуют только в геометрии. Введению
новых и обобщению старых понятий, как правило,
предшествует убедительная мотивировка, рассмотрение
задач.
При введении нового материала авторы не увлекаются
им, не теряют чувства меры, не пренебрегают навыками
и знаниями по элементарной математике, не отрыва-
ются от предшествующих традиций в преподавании
математики в школе; наоборот, они используют все
лучшее, что было накоплено в этой области.
Наряду с теоретическим материалом в книге много
внимания уделяется методам решения задач. При этом
рассматриваются не только традиционные задачи и ме-
тоды их решения, содержащиеся в большинстве учеб-
ников, но и новые. В частности, в книге рассмотрены
такие вопросы, как решение возвратных уравнений, ме-
тод Гаусса, решение систем линейных однородных урав-
нений, иррациональных неравенств и пр.
Достоинством книги является и то, что излагаемый в
ней материал удачно иллюстрирован геометрически.
В книге имеется большое количество интересных уп-
ражнений различной трудности для самостоятельной
работы учащихся.
Книга написана для учащихся школ, выпускающих
программистов, но она с успехом может быть исполь-
зована и для факультативных занятий в обычных шко-
лах.
Авторы книги не игнорируют того обстоятельства,
что многие выпускники школ с математической специа-
лизацией будут сдавать конкурсные вступительные
экзамены в вузы, где предъявляются повышенные тре-
бования к математической подготовке учащихся. В кни-
ге имеется соответствующий материал для подготовки
к таким экзаменам.
Однако при всех достоинствах книга не лишена не-
которых недостатков. В формулировке определений,
теорем и задач иногда авторы допускают небрежность.
Например, определяя уравнение с неизвестным *
(стр. 55), авторы пишут: «При такой постановке задачи
(Ж) называют уравнением с неизвестным х...» — под-
разумевая, по-видимому, под (>t<) равенство, отмечен-
ное знаком (•>?). а не символ (^<). Такое определение
нельзя признать четким.
Формулируя теорему 10 (стр. 77), авторы пишут:
«Равносильны и неравенства
0</(х)<Д(х)
и
о<_1_<_1_».
F(x) f(x)
Но ведь здесь речь идет о системах неравенств, а ие о
неравенствах.
85
На странице 182 имеется задача № 41 следующего
содержания: «Требуется огородить участок земли, при-
мыкающий одной стороной к морю, с помощью 200 м
проволоки. Какую форму должен иметь участок, чтобы
площадь его была наибольшей?» По всей вероятности,
авторы предполагают, что сторона участка, примыкаю-
щая к морю, представляет собой отрезок прямой. Но об
этом не лишне было бы сказать в условии задачи. К не-
достаткам книги следует отнести и то, что в ней нет
ответов и указаний к решению задач. А ведь среди за-
дач, помещенных в книге, имеются и приближающиеся
к олимпиадному уровню, решение которых представля-
ет значительные трудности.
Изложение учебного материала в книге, несомненно,
выиграло бы. если бы авторы ввели в употребление
символику математической логики. Это тем более не-
обходимо сделать, что книга предназначена для буду-
щих программистов.
Наконец, следует указать на наличие в книге значи-
тельного количества опечаток и издательских дефектов.
Книгу, после устранения имеющихся в ней недостат-
ков, несомненно, следует переиздать большим тиражом.
Ее приобретет и с успехом сможет использовать в сво-
ей работе каждый учитель математики, приобретет и
изучит каждый старшеклассник, интересующийся мате-
матикой.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
календарь на 1969/70 учебный год
НОЯБРЬ
4 ноября — 225 лет со дня
рождения Иоганна III Вернул-
л и (1744—1807). Иоганн III ро-
дился в Базале, он доводится
племянником знаменитого Дани-
ила Бернулли и сыном Иоганна II.
В Берлине был в звании ко-
ролевского астронома. В матема-
тике ему принадлежат работы
над периодическими дробями и
по теории вероятностей.
8 ноября — 250 лет со дня
смерти французского математика
Мишеля Ролля (см.: «Матема-
тика в школе», 1964, № 6).
10 ноября — 30 лет со дня
смерти немецкого математика
Иоганнеса Тропфке (1866—
1939). Тропфке работал в сред-
них школах, а затем занимал
различные учебно-администра-
тивные должности. Он широко
известен как автор семитомной
истории элементарной математи-
ки, переведенной на многие ино-
странные языки. На русский язык
переведена (в 1914 г.) лишь пер-
вая часть nepi го т ма. В этой
работе Тропфке подробнее, чем
где-либо в другой работе, дана
история возникновения понятий и
особенно терминов и символов
элементарной математики (см :
«Математика в школе», 1940,
№ 6).
12 ноября — 25 лет со дня
смерти американского матема-
тика члена национальной АН в
Вашингтоне Джорджа Давида
Биркгофа (1884—1944). Дж.
Биркгоф по национальности гол-
ландец. Он работал ассистентом,
а с 1912 г.— профессором Гар-
вардского университета. Дж.
Биркгоф — один из крупнейших
математиков США. Важную роль
в современной математике игра-
ют эргодические теоремы Дж.
Биркгофа. Ему принадлежат ра-
боты по асимптотической теории
дифференциальных уравнений,
качественной теории дифферен-
циальных уравнений, общей тео-
рии динамических систем, теоре-
мы о неподвижных точках. На
русский язык переведена моно-
графия Дж. Биркгофа «Динами-
ческие системы», М.— Л., 1941
(см.: Биографический словарь
деятелей естествознания и тех-
ники, т. 1, М., 1958; Н. Винер,
Я математик, пер. с англ., «Нау-
ка», М., 1964; Н. Данфорд и
Дж. Шварц, Линейные опера-
торы, ИЛ, М, 1962).
15 ноября —175 лет со дня
рождения немецкого математи-
ка Франца Адольфа Таурину-
с а (см.: «Математика в школе»,
1964, № 6).
15 ноября — 75 лет со дня
рождения русского математика
Михаила Яковлевича Суслина
(1894—1919) (см.: «Математика в
школе», 1964, № 6).
20 ноября—120 лет со дня
рождения русского историка ма-
тематики Виктора Викторовича
Бобынина (1849—1919)	(см.:
«Математика в школе», 1964,
№ 6).
26 ноября — 75 лет со дня
рождения американского учено-
го— «отца кибернетики» Нор-
берта Винера (1894—1964) (см.:
«Математика в школе», 1964,
№ 4).
27 ноября — 60 лет со дня
рождения советского математика
лауреата Ленинской премии ака-
демика АН СССР Анатолия Ива-
новича Мальцева (1909—1967)
(см.: «Математика в школе», 1964,
№ 6).
29 ноября — 90 лет со дня
рождения советского математика
академика Николая Митрофано-
вича Крылова (1879—1955).
Н. М. Крылов родился в Петер-
бурге. В 1904 г. он окончил Пе-
тербургский горный институт,
1912—1917 гг.— профессор в том
же институте, в 1917—1922 гг.—
профессор Крымского универси-
тета (г. Симферополь). В 1922 г.
Н. М Крылов был избран членом
АН УССР, в 1928 г.— членом-кор-
респондентом и в 1929 г.— дей-
ствительным членом АН СССР.
В 1939 г. Н. М. Крылову при-
своено звание заслуженного де-
ятеля науки УССР.
Труды Н. М. Крылова относят-
ся к основным проблемам тео-
рии интерполяции, приближенно-
го интегрирования дефференци-
альных уравнений математиче-
ской физики, нелинейной меха-
ники. С 1932 г. совместно со
своим учеником и сотрудником,
ныне академиком, Н. Н. Боголю-
бовым обратился к изучению
86
актуальных проблем нелинейных
колебательных процессов, где
Н. М. Крылову удалось заложить
основы нелинейной механики.
Работы Н. М. Крылова получили
значительное применение в ря-
де областей науки и техники
(см.: Биографический словарь
деятелей естествознания и тех-
ники, т. 1, М„ 1958; О. В. Ис а-
к о в а, Н. М. Крылов, М., 1945;
Украинский математический жур-
нал, 1955, т. 7, № 1; 1960, т. 12,
№ 2; Вестник АН СССР, 1955,
№ 6; История отечественной ма-
тематики, т. 3, Киев, 1968).
ДЕКАБРЬ
1 декабря — 60 лет со дня
рождения советского математи-
ка доктора физико-математиче-
ских наук, профессора Виктора
Иосифовича Левина.
4 декабря—90 лет со дня
рождения советского математи-
ка академика АН Узбекской ССР
Всеволода Ивановича Рома-
новского (1879—1954). В. И. Ро-
мановский родился в г. Алма-
Ате. Окончил Петербургский уни-
верситет в 1906 г. В 1911—1915 гг.
работал сначала доцентом, а за-
тем профессором Варшавского,
в 1915—1919 гг.— профессором
Донского (в г. Ростове-на-Дону)
и с 1919 г.— профессором Сред-
неазиатского (в г. Ташкенте)
университетов.
Основные научные труды
В. И. Романовского относятся к
математической статистике и тео-
рии вероятностей (цепи Марко-
ва). Ему принадлежат также ра-
боты по математическому ана-
лизу, интегрированию систем
дифференциальных уравнений в
частных производных. Он был
создателем и бессменным руко-
водителем Ташкентской матема-
тической школы. В. И. Романов-
ский вместе со своими учениками
выполнил ряд работ по приме-
нению математической статисти-
ки к контролю качества про-
мышленной продукции. За цикл
работ в области теории марков-
ских процессов и их приложе-
ний к синоптической метеороло-
гии В. И. Романовский, Т. А. Са-
рымсаков и их сотрудники были
удостоены Государственной пре-
мии. Всего В. И. Романовским
опубликовано около 140 работ.
Из них можно отметить моно-
графии «Основные задачи тео-
рии ошибок» (1947), «Дискретные
цепи Маркова» (1949), «Основы
теории процессов Маркова»
(1954), а также книги «Математи-
ческая статистика» (1938) и «Эле-
ментарный курс математической
статистики» (1939).
В. И. Романовский принимал
деятельное участие в организа-
ции университета в г. Ташкенте.
Его именем назван институт ма-
тематики АН Узбекской ССР (см.:
«Успехи математических наук»,
1959, т. V, вып. 3; 1955, т. X, вып.
1; В. И. Романовский, Из-
бранные труды, т. 1—2, Изд. АН
Уз. ССР, Ташкент, 1959—1964).
5 декабря—60 лет со дня
рождения советского математи-
ка Марка Ароновича Н а й м а р-
ка. М. А. Наймарк родился в
Одессе, окончил Одесский физ,-
хим.-матем. институт (1933), док-
тор физико-математических наук
(1941), профессор (1942).
В 1933—1938 гг. работал в
Одесском университете, в 1938—
1950 — в АН СССР, в 1950—1956 —
в Академии оборонной промыш-
ленности, с 1956 г. работает в
Московском физ.-тех. институте.
Основные работы М. А. Наймар-
ка относятся к функциональному
анализу и теории групп Ли (см.:
«Успехи математических наук»,
1960, т. XV, вып. 6).
7 декабря—150 лет со дня
рождения французского матема-
тика члена Парижской АН Жана
Клода Буке (1819—1885). Буке
был учеником О. Коши, он ра-
ботал профессором в Сорбоне
и Нормальной школе. Известны
его работы по дифференциаль-
ным уравнениям первого поряд-
ка и теории эллиптических функ-
ций; он занимался также алгеб-
рой, геометрией, теорией чисел
и др. Все лучшие и более важ-
ные работы написаны им сов-
местно с его другом Брио. По
выражению Ж. Бертрана, «ни-
когда союз во имя науки не
был более полон и более благо-
творен» (см.: Бобынин, Физи-
ко-математические науки в их
настоящем и прошедшем, т. II,
1886, стр. 9—11).
8 декабря — 75 лет со дня
смерти великого русского мате-
матика и механика, основателя
знаменитой Петербургской ма-
тематической школы академика
П. Л. Чебышева (см.: «Математи-
ка в школе», 1964, № 6).
12 декабря — 80 лет со дня
смерти выдающегося русского
математика академика В. Я. Б у-
н яковского (см.: «Математи-
ка в школе», 1964, № 6).
18 декабря —150 лет со дня
рождения французского матема-
тика и астронома Оссиана Б о н-
н е (см.: «Математика в школе»,
1967, № 2).
22 декабря—100 лет со
дня рождения почетного члена
АН СССР профессора Москов-
ского университета Дмитрия Фе-
доровича Егорова (см.: «Ма-
тематика в школе», 1961, № 5).
31 декабря—75 лет со дня
смерти нидерландского математи-
ка члена-корреспондента Петер-
бургской АН Томаса Иоаннеса
Стильтеса (см.: «Математика
в школе», 1961, № 6).
31 декабря — 70 лет со дня
рождения советского математи-
ка, члена-корреспондента АН
СССР, лауреата Государственной
премии Лазаря Ароновича Л ю-
с т е р н и к а. Л. А. Люстерник
родился в Здуской Воле (Поль-
ша), в 1922 г. окончил Москов-
ский университет. С 1931 г. ра-
ботает в Московском универси-
тете.
Его исследования относятся к
различным областям математики,
в частности к вариационному ис-
числению, дифференциальным
уравнениям, вычислительной ма-
тематике и др. Им написан ряд
учебников и учебных пособий:
«Основы вариационного исчис-
ления», т. !, ч. 1—2, М.— Л., 1935
(совместно с М. А. Лаврентье-
вым), «Элементы функциональ-
ного анализа», М.— Л., 1951 (сов-
местно с В. И. Соболевым),
школьный учебник «Тригономет-
рия» (1940) (совместно с
А. Ф. Бермантом).
Л. А. Люстерник явился одним
из организаторов журнала «Ус-
пехи математических наук», кото-
рый начал выходить в 1936 г.
(см.:	«Успехи математических
наук», 1960, т. XV, вып. 6).
Учитель с интересом прочита-
ет в томе XXII, вып. 1, 2, 4—
1967 большую статью Л. А. Лю-
стерника «Молодость Москов-
ской математической школы» и в
том же томе, вып. 6 статью
Л. А. Люстерника и А Ф. Лап-
ко «Из истории советской мате-
матики».
Л. И. Бородин
87
В К. СМЫШЛЯЕВ
(г. Йошкар-Ола)
Первые русские ученические
математические журналы
(Начало XX в.]
Благодаря усилиям передовых учителей математики,
на русском языке в дореволюционное время издавалось
несколько журналов для учащихся — любителей мате-
матики. Несмотря на весьма небольшой тираж, журна-
лы сыграли свою роль в деле развития математического
просвещения среди учащихся средних школ того време-
ни и заслуживают того, чтобы советский учитель зиал
о них.
Наиболее удовлетворительно в те времена математи-
ка преподавалась в реальных училищах. Поэтому ие
удивительно, что первые математические ученические
журналы стали издаваться именно в реальных учили-
щах.
I В конце 1905 г. в Оренбургском реальном училище
преподавателем Н. Н. Шемяновым был организован ма-
тематический кружок. Кружок получил разрешение из-
давать ученический журнал под названием «Записки
математического кружка при Оренбургском реальном
училище».
С 1906 по 1909 г. кружок издал 9 выпусков жур-
нала.
В 1909 г. из Оренбурга уехал Н Н. Шемянов. Хотя
кружок продолжал работу, но за 1909—1910 гг не бы-
ло издано ни одного выпуска. С приездом на работу
директором училища известного математика-педагога
К. А. Торопова 1 (1860—1933) издание «Записок» вновь
возобновилось, и в 1911—1913 гг. было выпущено 4 но-
мера.
Первые выпуски по объему были небольшие, содер-
жали в основном задачи и 3—4 статьи по математике,
физике, астрономии, написанные как преподавателями
училища, так и учащимися. Активное участие в выпус-
ке «Записок» принимал К. А. Торопов. Он опубликовал
ряд методических и математических работ.
О характере и насыщенности журнала можно судить
по содержанию двух выпусков «Записок».
Выпуск 4 (1906). Ф. Сачков, Прибор Маласснса
для измерения высот; В. Ильин, Теорема о пределе
частного. Решение задач. Задачи. Библиография.
Выпуск 7 (1912). Задачи; П. Свешников, Решение
кубических уравнений при помощи последовательных
вычитаний; К. Торопов, К вопросу о вычислении
корней кубических уравнений; П. Свешников, Об-
щий наибольший делитель и общее наименьшее крат-
ное целых алгебраических выражений.
Много внимания редколлегия журнала уделяла ре-
шению задач, печатая «конкурсные задачи», задачи,
предложенные на выпускных и вступительных экзаме-
нах. и т. п.
Несмотря на ряд недостатков, журнал явился выра-
зителем математического творчества учащихся, объеди-
нившим несколько десятков наиболее талантливых уча-
щихся и преподавателей математики Оренбурга. Многие
учебные заведения России выписывали этот журнал.
Заметим, что вместо прекративших существование
«Записок» в училище стали выходить «Труды досуга».
Во втором, последнем номере, вышедшем в феврале
1914 г. под редакцией А. Лазова и учащихся, в «На-
учном отделе» были напечатаны две статьи по физике,
статья К. А. Торопова «Решение одной тригономет-
рической задачи алгебраическим путем» (о вычислении
сторон треугольника по известным р, S, А), задача
К- Торопова на конкурс (решить в целых числах
уравнение х2 + у2 + z2 = /3) и три задачи-шутки. В от-
деле из «Архивной пыли» напечатаны два стихотворе-
ния ученика Пермского реального училища Алексея
Ар.. «Решение уравнения 1-й степени» и «Решение
квадратного уравнения».
II. Математический кружок, организованный в Ека-
теринбургском реальном училище преподавателем ма-
тематики М. Н. X и т р и н ы м, в 1909/10 учебном году
стал издавать журнал «Математические мысли».
М. Н. Хитрив2 родился в 1880 г. в семье сельского
писаря. По окончании сельской школы М. Н. Хитрин
поступил в платную четырехклассную прогимназию,
после окончания которой учился в Нежинской гимназии
Безбородько при Историко-филологическим институте.
Несмотря на то что главными предметами считались
богословие, латинский и греческий языки (на математи-
ку отводилось всего три часа в неделю), М. Н. Хитрин
заинтересовался математикой. В 1901—1906 гг. он
учился на физико-математическом факультете Москов-
ского университета. Под руководством профессоров
В. К. Церасского и С. Н. Блажко написал кандидат-
скую работу по астрофизике «Исследование лучевых
скоростей и определение орбит». Работа получила по-
хвальный отзыв.
С 1907 г. работал преподавателем математики и фи-
зики в Екатеринбургском реальном училище. Здесь со-
вместно с талантливым учителем биологии К. В. Чема-
линым организовали физико-математический кружок, а
затем выпуск журнала.
С 1917 г. М. Н. Хитрин — приват-доцент Екатерин-
бургского отделения горного института. Затем переехал
в Москву; работал в институте инженеров транспорта
н научным специалистом (методистом) в Наркомпросе
(по рабфакам). С 1925 г. живет в Ленинграде, куда был
послан для организации заочного обучения в высших
учебных заведениях. Заведовал кафедрой математики в
Ленинградском политехническом институте
Чтобы выпустить первый номер, К. В. Чемалину и
М. Н. Хитрину приходилось читать платные лекции.
№ 1, 2—3 вышли в конце 1909 г., № 4 остался в зало-
ге у типографии и не был выкуплен. На этом издание
журнала прекратилось. Если не считать статьи
М. Н. Хитрина «Начало алгебры», все статьи бы-
ли написаны учениками реального училища, лишь одна
заметка была написана учеником Екатеринбургской
гимназии.
Приводим содержание второго выпуска журнала.
№ 2—3 (октябрь-ноябрь 1909 г.). 1. Г. К и бе ль.
Наша солнечная система. 2. В. Н и к о и о в. Решение
уравнений 3-й и 4-й степеней (статья составлена по по-
собиям Лоренца и Мзракуева). 3. В. Никонов, Ма-
тематические софизмы. 4. М. Н. Хитрин, Начало
алгебры (в популярном изложении) для III класса
(статья написана в виде живой и интересной беседы
ученика III класса со студентом университета. Статья
с методической точки зрения представляет определен-
ный интерес и в настоящее время) 5. Ф К р ы с и и.
Из мира растений 6. Токарев, Записки по практи-
ческим работам. 7. В. Андреев, Задачи по алгебре.
1 См.: «Математика в школе», 1955, № 1.
88
2 Биографические сведения печатаются впервые.
8 Решение некоторых уравнений и задач 9. Матема-
тические игры.
Как нам рассказывал М. Н. Хнтрин, «дирекция и по-
лиция и особенно священник училища стали косо
смотреть на занятия кружка и журнал». Кроме того,
возникли финансовые затруднения.
III. Третьим по времени журналом для школьников
является математический сборник под редакцией
Н П. Кнльдюшевского «Юным математикам», вышед-
ший в Казани в 1911 г.
В сборник вошлн статьи, подготовленные редактором:
1. Из «Арифметики» Магницкого. 2. Деление (статья
содержит разные исторические справки об этом дейст-
вии с выдержками из работ Рамуса, Ребьера, Даламбе-
ра, Магницкого, Лесли и др.). 3. Математическая веро-
ятность (в статье приведено решение задачи: Стек-
лянный прут длины I при падении разбивается на 3 ча-
сти Какова вероятность, что из этих трех кусков мож-
но составить треугольник^). 4. Графики (о применении
графиков в жизни). 5. Пчелиная ячейка. 6. Трисекция
угла (описание трисектора). 7. Осколок плоского зер-
кала в качестве измерительного прибора. 8 Математи-
ческий фокус (об отгадывании, кто что азял). 9. За-
дачи. 10. Шутки. 11. Vana (высказывание о математи-
ке известных ученых; ряд анекдотов о Ньютоне и Ам-
пере) .
Математическая общественность России доброжела-
тельно встретила появление сборника «Юным матема-
тикам». В «Педагогическом сборнике» (ноябрь 1911 г.)
была напечатана сочувственная рецензия на сборник
известного методиста М. Попру женко
Однако на первом выпуске издание сборника пре-
кратилось.
Таким образом, факт издания физико-математических
школьных журналов остается отражением стремлений
передовой части русского учительства того времени
творчески подходить к своей педагогической деятель-
ности, развивать интересы учащихся, повышать их ма-
тематическую культуру. Хочется верить, что традиции
русской ученической математической журналистики бу-
дут продолжены и советские школьники будут иметь
свой математический журнал.
СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 1 ЗА 1969 г.
Абремский Б. А. (г. Семипалатинск Каз.ССР) —
561—567, 569, 575—577. Аляев А. В. (г. Пачелма Пен-
зенской обл.)—561—566, 568, 569, 575, 577. Амирбаев
Кадирбай (Чимбайский р-н Каракалпакской АССР) —
562, 564—569, 572, 573, 575—577. Ангелов А. С. (Болга-
рия) — 561—566, 568, 571—573, 575, 576. Ахматов М. А.
(г. Ейск Краснодарского края) — 561—569. Багдаса-
рян С. С. (пос. Гадрут Аз.ССР)—561—569, 577. Барг-
штейн П. М. (Винницкая обл.) — 561—569, 572, 573,
575—577. Богомолов А. П. (г. Петропавловск
Каз.ССР)—561—577. Бортная М. И. (г. Тетиев Киев-
ской обл.) — 561, 563, 565, 567—569, 572, 573, 576—578.
Букобаев Н. (Восточно-Казахстанская обл.)—561,
563—569, 575—577. Будков Н. П. (Рязанская обл.) —
561—580. Ветров К. В. (г. Братск)—561—570, 573,
575—577. Владимиров А. С. (г. Асбест Свердловской
обл.) — 561—580. Волков А. Л. (с. Сусанине Костром-
ской обл.) — 561—570, 573, 576, 577. Воронович Л. М.
(Львовская обл.)—561, 562, 564, 566—569, 575. Гамо-
лич В. Я (г. Одесса) — 561—579. Головачев Е. А. (Бел-
городская обл.) — 561—579. Гордон В. О. (г. Пет-
ровск-Забайкальский) — 561—579. Готлер М. Ш.
(г. Вильнюс)—561—579. Давыдов У. С. (г. Гомель) —
561—579. Диденко Н. А. (г. Краснодар)—561—570.
Екшембеев Г. и Эрмалебетов Р. (г. Астрахань) — 562—
564, 566, 574, 575, 577. Зубилин Н. И. (ст. Нарышкино
Орловской обл.)—561, 563—569, 575—577 и 521—530
по № 5, 1968 г. Ивануна И. В. (с. Гвинтовое Сумской
обл.)—561—563, 565, 566, 568, 569, 575, 576. Ма-
нукьян М О (г. Петропавловск Северо-Казахстанской
обл.) —561—570, 573, 576, 577. Марченко А. В. (Днепро-
петровская обл ) — 561—579. Математический кружок
17-й школы г. Киева (руководитель Вайнман Б. Ш.) —
561, 563—569. Мельников 3. Н. (Оренбургская обл.) —
561—569, 572—577. Меншиков Л. Е. (г. Южно-
уральск) —561—565, 568, 569, 575, 577. Молибога И. Н.
(Луганская обл.) — 561—569. Мухамбеткалиев X. М.
(г. Гурьев Каз.ССР) — 561—570, 572, 573, 575. 577. Нер-
сесян П. Н. (пос. Гадрут Аз.ССР) —561—569, 577. Ни-
китин В. В. (Рязанская обл.)—561—569. Панченко
Я. Е. (г. Невинномысск Ставропольского края) — 561—
569, 573, 576—579. Полховский Н. Н. (Ленинград) —
561—566, 568—570, 575—578. Рачинский Г. Н. и Сла-
винский С. Ф. (Ставропольский край)—561—579 Рым-
шин А. П. (Северо-Казахстанская обл.)—561—569, 573,
577, Рыскалиев Б. (Гурьевская обл. Каз.ССР)—561—
565. Сагань А. К (с. Великое Краснодарского края) —
561—570, 575—578 Саргеян Г. А. (г. Иджеван
Арм.ССР)—561, 563—569, 575—577. Суконник Я. Н.
(г. Киев)—561—579 Сысуев Г. Я. (пос. Херпучи Хаба-
ровского края)—561, 563—570, 573, 576—578. Филип-
пов А. П. (Чамзинский р-н Мордовской АССР)—561—
569. Харченко А. Е. (Хмельницкая обл.) — 561—566,
568, 569, 575. Хребет Н. Ф. (г. Днепропетровск) — 561—
566, 568, 569, 575—577. Цубер Е. А. (г. Брест)—561—
565, 568, 569, 574—577. Цхай Т. Т. (г. Андижан
Уз. ССР)—561—579. Чваньков И. Т. (Гомельская
обл.) —561—570, 572, 573, 575—577, 579. Чепхасов Г. С
(г. Краснодар) — 561—570 573, 575—577. Чернов Н. М.
(г. Бельцы)—561—580. Шнипор Б. Н. (г. Литии Вин-
ницкой обл.) — 561—570 Юдаков В. А. (Томская обл.)—
561—571, 576—578.
89
ЗА РУБЕЖОМ
Б. П. БЫЧКОВ
(г. Кишинев)
О болгарском журнале
«Математика и физика»
Первым номером, вышедшим в 1968 г., болгарский
методический журнал «Математика и физика» начал
второе десятилетне своего существования.
С начала выхода в свет журнал имел 7 отделов:
«Научно-популярный», «Методика обучения», «История
и философия математики», «Внеклассная работа»,
«Критика», «Наши учителя и известные ученые», «За-
дачи». К этим отделам со временем прибавились: «Из
опыта учителя» (1960), «Осовременивание (модерниза-
ция) обучения математике» (1962), «За рубежом»
(1962), «Колонка инспектора» (1964).
Большинство статей носят методический характер.
Дадим краткий обзор содержания журнала за
1968 г.— первый год второго десятилетия.
В отделе «Модернизация обучения математике» опуб-
ликовано 6 статей, из которых 5 относятся к програм-
мированному обучению. В статье Д. Цветкова и
Е. Турулейковой «Сущность и значение програм-
мированного обучения» (№ 3) излагается в общих чер-
тах содержание программированного обучения и опи-
сываются формы его применения. Эти же авторы в
статье «Модели программированных текстов по алгеб-
ре и геометрии» (Кв 3) описывают результаты экспе-
риментальной работы, проведенной в 1966/67 учебном
году в четырех школах г. Софии с 350 учащимися.
Приводятся образцы программированных текстов по
алгебре на темы «Неравенства первой степени с одной
неизвестной», «Решение систем уравнений с помощью
определителей» н по геометрии на тему «Окружность».
В том же номере публикуются статьи, переведенные
с русского языка, «Программированное доказательство
геометрических теорем» И. Тесленко и «К вопросу
об эффективности используемых средств контроля и
самоконтроля знаний учащихся при преподавании ма-
тематики и физики в средней школе» Ю. Белого и
А. Мовчана.
Опыт программированного обучения по геометрии,
проведенный в техникуме и давший положительные ре-
зультаты, описан в статье Д. Михайлова и
Ц. Максимова «Опыт программированного обуче-
ния по геометрии в техникуме» (№ 4).
В этом же отделе помещена статья И П а ш о в а
«Логические задачи» (№ 6), в которой автор показы-
вает, как применяются элементарные знания математи-
ческой логики к решению логических задач.
Отдел «Из опыта учителя» открывается статьей
Ж. Лазаревой «Томографическая функция
= ах + b в эд классе» (№ 1), в которой описы-
сх + d
вается проведение урока на тему об исследовании
изменения дробно-рациональной функции с помощью
производной.
В статье «Тодор Кондаков» (№ 4) Б. Долапчиев
делится воспоминаниями о своем покойном учителе и о
некоторых его методических приемах, воспроизводя поч-
ти с фотографической точностью ход урока по объясне-
нию вывода канонического уравнения эллипса. Прове-
дение четырех экскурсий в сберегательную кассу и в
торговый, промышленный и сельскохозяйственный ко-
оперативы с учениками VI класса в течение 1967/68
учебного года описывается в статье С. Милтенова
«Математическая экскурсия» (№ 4).
В болгарской школе до VII класса изучается прак-
тический курс геометрии, с VII класса начинается из-
учение систематического курса геометрии, поэтому в
VII классе очень актуален вопрос о привитии учащим-
ся навыков доказательства теорем и решения задач.
Как это делается на уроке, показывают на примере
двух уроков («Углы со взаимно параллельными сторо-
нами» и «Упражнения на первый признак равенства
треугольников») И. Пашов и 3. Крайчева (№ 5).
В статье «Диафильмы и диапозитивы как средство
обучения математике» В. Панов и И. Чобанова
описывают ход одного урока на тему «Сечения много-
гранников плоскостью» с применением изготовленных
ими диапозитивов.
В отделе «Методика обучения» отметим статьи: «Ла-
бораторная работа по математике в V, VI и VII клас-
сах» (№ 4) К. Мояновой и «Способ решения ирра-
циональных неравенств с одной неизвестной» (№ 5)
И. Кучинова.
Три статьи этого раздела переведены с русского язы-
ка: «Позиционные задачи на построение в геометрии»
(№ 2) Л Л о по в к а, «Проблема постановки матема-
тической задачи в школьном курсе математики» (№3)
Ю. Колягина, «Замечание к одной теореме» (№ 4)
В. Гридасова.
В отделе «Колонка инспектора» помещена статья
М. М а н е в а «Воспитание мышления посредством об-
учения математике» (№ 2). В статье Д. Серафимо-
ва «Некоторые выводы из обучения математике» (Ns 2)
излагаются выводы, к которым пришел автор после
наблюдения и проверки учебно-воспитательной работы
в школе. Как правило, добиваются высоких показате-
лей учителя, которые варьируют формы и методы рабо-
ты; систематически прививают учащимся навыки и
умения самостоятельной работы, умело вводя элементы
программированного обучения; правильно применяют
наглядность, добиваясь активизации почти каждого
ученика; систематически развивают логическое мышле-
ние и пространственное воображение учащихся, воспи-
тывают нравственные качества и эстетические чувства.
Но есть еще и учителя, которые не совершенствуют
методику изложения, ие применяют современных форм
90
и методов обучения и воспитания; допускают неточно-
сти и ошибки научного характера; методически не-
правильно организуют и проводят уроки, делают боль-
шой упор на память, а не на развитие логического
мышления недооценивают проверку домашних зада-
ний. Основные недостатки в преподавании возникают
из-за того, что процесс обучения математике основыва-
ется на сообщении материала в готовом виде, оставляя
при этом учеников в положении пассивно воспринима-
ющей стороны.
В «Научно-популярном отделе» помещено 6 статей:
Р. Курант «Математика в современном мире» (№2),
перевод из Scientific American», 211 (3), 1964; Г. П ас-
кал е в «Метод доказательства некоторых соотноше-
ний, связывающих элементы треугольника» (№ 4);
В. Диновский «Метод вычисления значений тригоно-
метрических функций» (№ 4); М. Гаврилов «Клас-
сические задачи на построение, неразрешимые с помо-
щью линейки и циркуля» (№ 5, 6); Веселии Д и м и е в
«О геометрических местах замечательных точек тре-
угольника, описанных при движении двух его вершин,
сохраняющем его площадь» (№ 6).
В статье С. Будурова «Шестнадцатая математиче-
ская олимпиада» (№ 6), опубликованной в отделе
«Внеклассная работа», рассказывается о болгарской
математической олимпиаде, проведенной в 1966/67
учебном году.
В отделе «История и философия» опубликованы две
статьи (перевод с русского) И. Андронова «Меж-
дународное развитие предмета педагогики математики»
и Б Бычкова «Международное движение за рефор-
му преподавания математики в средней школе до пер-
вой мировой войны».
Тираж журнала постоянно растет: в 1958 г.—
2350 экз., в 1968 г.— 5600
Главным редактором со дня основания журнала яв-
ляется известный болгарский методист-математик, ини-
циатор создания журнала Петко Иванов.
По страницам болгарского молодежного
Ю. А. БЕЛЫЙ
(г. Николаев)
журнала «Математика»
Восьмой год ЦК Димитровского коммунистического
союза молодежи и Министерство народного просвеще-
ния НРБ издает молодежный журнал «Математика»!,
рассчитанный на учащихся старших классов средних
школ. Периодичность журнала — 6 номеров ежегодно.
О растущей его популярности свидетельствует тот факт,
что за три последних года тираж журнала вырос почти
в полтора раза (с 26 300 до 34 867 экз.).
Журнал представляет значительный интерес не толь-
ко для учащихся, но и для преподавателей математики,
так как содержит углубленное изложение различных
разделов и тем, предусмотренных программой, интерес-
ный и разнообразный материал для внеклассной и вне-
школьной работы.
Рассмотрим кратко содержание журнала за 1968 г.
Первые страницы каждого номера знакомят старше-
классников с жизнью и деятельностью выдающихся
представителей мировой и отечественной математики
В опубликованных очерках биографические данные пе-
реплетаются с доступным изложением основных откры-
тий и достижений данного математика и его школы.
В № 1 помещен очерк об академике БАН Кирилле
Попове (1880—1966), крупном специалисте по матема-
тическому анализу, небесной механике и баллистике,
в № 2 заметка К. Дикова знакомит школьников с
деятельностью первых представителей математики и
математического образования в освобожденной от ту-
рецкого нга Болгарии — Э. Иванова (1857—1925),
А. Шоурека (1857—1926) и Т. Монина (1858—1893).
Интересные материалы посвящены вкладу советских
математиков в развитие науки, их жизни и деятельно-
сти. Так, Е. С о л а к о в знакомит читателей с основны-
ми фактами жизни и направлениями научной деятель-
ности академика А. Н. Колмогорова (№ 3). К 30-ле-
тию со дня смерти Л. Г. Шнирельмана опубликован
рассказ К. Ч и м е в а об этом замечательном ученом
(№ 6).
Видное место отводится крупнейшим ученым других
стран. В № 2 помещен очерк Ст. Стойкова о Р. Де-
карте, в № 4 — статья Ив. Димовского о Г. Кан-
торе, в № 6 П. Димитров рассказывает о К. Вейер-
штрассе. К статье о жизни и деятельности Г. Кантора
прилагается перевод его мемуара «Понятие мощности
1 См.; «Математика в школе», 1963, № 2< 1965, № 3.
или кардиальное число». В № 5 опубликована статья
Шеннона «Машина. •, играющая в шахматы», а в № 1
известный американский ученый и писатель А. Ази-
мов в статье с броским названием «Конец вселенной?
А потом?» знакомит читателей с новыми космогониче-
скими гипотезами.
Мнотие опубликованные в журнале материалы по-
священы углубленному изложению основных вопросов
действующей программы по математике средней шко-
лы и на базе этого — введению новых понятий и идей.
В заметке о нахождении экстремальных значений
функции (№ 3) П. В л а е в рассматривает вопрос о
нахождении максимумов и минимумов рациональных
функций. Он доказывает, что если первая производ-
ная некоторой функции f (х) найдена, имеет вид
777—7 > (£(*)¥= °) и в точке х — х„ обращается в
нуль то функция имеет локальный минимум в х = х0,
если Р' (х0) и Q (_с0) имеют одинаковые знаки, если
же Р' (х0) и Q (х0) разных знаков, то в х — х0 име-
ется локальный максимум.
Таким образом, в рассмотренном случае вместо гро-
моздкого нахождения (второй) производной от дроби
при исследовании функции на экстремумы достаточно
ограничиться нахождением производной от ее числи-
теля.
Большое внимание уделяется журналом рассмотрению
вопросов, выходящих за рамки действующей программы,
но играющих важную роль в расширении математиче-
ского кругозора учащихся, в привитии им стойких ин-
тересов к математике.
Некоторые из материалов этого раздела публику-
ются в журнале в виде цикла взаимосвязанных статей
и очерков, переходящих из номера в номер. Так,
Сп. Манолов и Ив. Г а и ч е в публикуют серию ста-
тей по математической логике, в которых доступно, ио
с соблюдением достаточной строгости освещают основ-
ные понятия этой науки и ее приложения к различным
разделам математики, в том числе и элементарной..
Помещая этот материал, редакция замечает, что он
будет интересен н полезен не только учащимся, .но и
учителям математики средних школ в связи с модер-
низацией содержания школьной математики.
Отметим также цикл статей по алгебре А. Мате-
ев а: «О некоторых основных понятиях алгебры» (Ns 2),
91
«Группа, кольцо, поле» (№ 3). «Некоторые свойства
группы и кольца» (№ 4), «Квадратные матрицы второ-
го порядка и действия с ними» (№ 5), «Приложения
квадратных матриц второго порядка» (№ 6).
В № 3 К. Ч и м е в в статье «О двух действиях с
действительными числами» рассматривает свойства
«суммы» двух действительных чисел а и Ь, за которую
принимается большее из них в случае а =/= Ь, или одно
из них, если а = Ь, и «произведения» их, за которое
принимается меньшее из них, если а Ь, или одно из
них, если а= Ь. Устанавливается ряд экстремальных
свойств.
Из других материалов посвященных вопросам ал-
гебры и анализа, отметим следующие: «Некоторые
приложения числа е» (П Стам болов, № 1), «На-
хождение некоторых сумм» (К. Чимев и Ст. Стей-
ков, № 6).
Вопросам элементарной геометрии также посвящен
ряд статей.
В № 1 в статье «Об одном приложении площади
эллипса» В. В у ч к о в а, исходя из соотношения S =
= nab (которое установлено в № 3 за 1966 г.), ставит
и решает задачу об определении площади сечения кру-
гового конуса в зависимости от угла а, образованного
секущей плоскостью с плоскостью основания конуса,
расстоянием d секущей плоскости от вершины конуса,
и угла р между образующей и основанием конуса.
В № 5 X. Хитов рассматривает теорему Стюарта и
ее приложения для определения длин медиан и биссект-
рис треугольника, диагоналей трапеции и их отрезков
до точки пересечения, а также находит г.м.т., для ко-
торых сумма квадраюв их расстояний от двух данных
точек постоянна. В № 6 помещена статья В. Ко рт ей-
ской, посвященная свойствам окружности девяти то-
чек. Л. Л о п о в о к в № 4 рассматривает понятие бис-
сектрис плоских фигур.
В каждом номере журнала имеется раздел, посвя-
щенный решению задач. В первом полугодии каждого
года в этом разделе под рубрикой «Вашему вниманию,
выпускники!» помещаются материалы по подготовке к
экзаменам на аттестат зрелости и к конкурсным экза-
менам в вузы. Систематически проводится конкурс по
решению задач повышенной трудности, раз в год под-
водятся его итоги, публикуются фамилии участников
конкурса, набравших наибольшее количество очков,
а лица, занявшие призовые места, награждаются цен-
ными подарками.
Систематически помещаются материалы о проведении
математических соревнований в стране и международ-
ных соревнований.
Много интересных фактов и сведений читатели жур-
нала могут почерпнуть в разделах «Занимательная
математика», «Математический словарь», «Для вашего
математического вечера».
Под рубрикой «Новые книги» публикуются сведения
о новинках, представляющих интерес для любителя ма-
тематики.
Имеется раздел «Ученическое творчество», в котором
редакция предосгавляет место наиболее интересным ра-
ботам своих читателей.
Л. Р. ВАЙНЕР, А. А. СТОЛЯР л	_
(г. Могилев) О «логических блоках» Дьенеша
Известный исследователь в Области модернизации
начального обучения математике 3. П. Дьенеш уде-
ляет много внимания в своих экспериментах развитию
логики мышления детей дошкольного и младшего
школьного возраста.
Дети 5—7 лет, конечно, не могут изучать логику
прямым путем. Единственный путь — обучать их логике
посредством игр. Для этой цели Дьепешом создан ди-
дактический материал (The attribute Blocks, или Logi-
cal Blocks) — «логические блоки» — и разработаны спе-
циальные игры, в процессе которых дети обучаются
правильному выполнению логических операций, им
раскрывается смысл логических связей, выражаемых
словами «и», «или», «не», «если ... то» *.
Логические блоки Дьенеша могут эффективно ис-
пользоваться для обучения выполнению логических опе-
раций на теоретико-множественной основе не только
детей 5—7 лет, но и учащихся начальных классов.
Последующее изложение содержит краткое описание
логических блоков, а также некоторых игр и задач, ре-
шаемых с помощью этого дидактического материала.
1.	Множество логических блоков (универсальное мно-
жество) состоит из 48 деревянных фигурок. Каждый
блок обладает четырьмя свойствами — формой, цветом,
«величиной» и «толщиной». Имеются: четыре формы —
квадрат, треугольник, круг и овал (в используемом
1 Z. Р. Dienes, Е. W. Golding, Approach to mo-
dern mathematics, Sherbrooke, 1967. Z. P. Dienes,
Introduction a 1’axiomatique (Fiches de travail), Sher-
brooke, 1967.
нами комплекте логических блоков овал заменен пря-
моугольником); три цвета—красный, синий, желтый;
две «величины» — большой и малый; две «толщины» —
толстый и тонкий.
Каждая комбинация этих четырех свойств представ-
лена только одним блоком (имеется, например, только
один квадратный, красный, большой, толстый блок и
только один круглый, желтый, маленький, тонкий
блок н т. д.).
2.	Мы не будем рассматривать наиболее простые
игры, предназначенные для самых маленьких, цель ко-
торых — обучение распознаванию определенного свой-
ства и различных комбинаций свойств.
Важно научить различным способам «приведения в
порядок» множества произвольно разбросанных бло-
ков Например, можно потребовать, чтобы дети распо-
ложили блоки «в прямоугольную таблицу» (или матри-
цу) с тремя «строками» и четырьмя «столбцами» по
следующей схеме:
	Квадраты	Круги	Прямо- угольники	Треуголь- ники
Красные				
Желтые				
Синие				
92
Когда способ расположения избран, можно органи-
зовать игру: располагается только часть множества бло-
ков (заполняется только часть матрицы), а учащиеся
должны заполнить остальную часть матрицы в соответ-
ствии с правилами расположения, которые можно об-
наружить по заполненной части матрицы.
Один ученик или одна команда учащихся прндумы
вает схему расположения и применяет ее только ча-
стично. Другая сторона пытается разгадать и полно-
стью осуществить эту схему. За каждую неверно рас-
положенную фигуру команда наказывается потерей
очка, за каждый правильный ход команда награжда-
ется очком.
3.	Игра с одним обручем.
Предлагается выделить подмножество блоков, обла-
дающих каким-то свойством, например подмножество
всех желтых блоков. Это выделение можно практически
осуществить с помощью обруча. Внутри обруча распо-
лагаются блоки отобранного подмножества, вне обруча
остаются все остальные блоки. Когда все желтые бло-
ки оказались внутри обруча, учащимся (мы провели
эту и другие игры с учащимися III—IV классов) был
задан вопрос: какие блоки остались вне обруча? Сна-
чала дети ответили: синие и красные. Когда же их по-
просили свойство всех этих блоков назвать одним сло-
вом, то они назвали оставшиеся вне обруча блоки не-
желтыми.
Изменяя свойство, с помощью которого выделяется
подмножество блоков, получаем различные разбиения
множества всех блоков (универсального множества) на
два класса: желтых и нежелтых, квадратных и неквад-
ратных, круглых и некруглых, больших и небольших
и т. д. Вместе с этим постепенно формируется понятие
об отрицании предложения в связи с понятием о до-
полнении множества.
Можно предложить и более сложные задачи. На-
пример, требуется расположить внутри обруча все бло-
ки, которые являются желтыми и квадратными, и на-
звать оставшиеся вне обруча блоки.
Преодолевая (с помощью учителя) некоторые за-
труднения, учащиеся заключают, что вне обруча остались
все блоки, которые являются нежелтыми или неквад-
ратнымн.
Если же внутри обруча расположить все блоки, ко-
торые являются желтыми или квадратными, то вне об-
руча остаются все блоки, которые являются нежелты-
ми и неквадратными.
Решая подобные задачи (в игровой ситуации), уча-
щиеся обучаются переходить от отрицания конъюнк-
ции к дизъюнкции отрицаний и от отрицания дизъюнк-
ции к конъюнкции отрицаний, т. е. применять законы
де Моргана.
Допустим, что внутри обруча расположены все бло-
ки, которые являются нежелтыми или квадратными.
Тогда на вопрос, что можно сказать о блоке, находя-
щемся внутри обруча, если известно, что он желшй,
следует ответить, что этот блок квадратный. Этим вы-
ясняется эквивалентность высказываний «этот блок
нежелтый или квадратный» и «если этот блок желтый,
то он квадратный».
4.	Игра с двумя обручами.
Два обруча кладутся на стол (илн на пол) так, что-
бы онн пересеклись. Требуется расположить все блоки
так, чтобы внутри одного (белого) обруча оказались
все желтые блоки и только они, а внутри другого (зе-
леного) обруча — все квадратные блоки и только они
Сначала дети расположили все желтые блоки в той
части белого обруча, которая находилась вне зеленого.
Когда же затем онн пытались расположить все квад-
ратные блоки внутри зеленого обруча, онн заметили,
что все блоки, которые являются н желтыми н квадрат-
ными, должны располагаться в общей части двух об-
ручей.
После решения задачи была нарисована на доске и
в тетрадях схема расположения блоков.
Мы получили по существу диаграмму Эйлера, изоб-
ражающую разбиение множества всех блоков на четы-
ре класса с помощью двух свойств (быть желтым и
быть квадратным).
После решения этой задачи мы решили аналогичную
задачу уже без блоков. В спортивном зале нарисовали
на полу два больших пересекающихся круга и назвали
их соответственно «О» и «П». Учащимся предложили
расположиться следующим образом: отличники — внут-
ри круга «О», певцы (участники хора)—внутри круга
«П», все остальные — вне этих кругов. Затем учащимся
было предложено нарисовать в своих тетрадях схему
расположения учащихся класса.
Полученная диаграмма Эйлера была использована
для решения следующей задачи:
«В классе 36 учащихся. Из них 9 учатся отлично,
12 участвуют в хоре, причем из них 4 отличника. Оп-
ределить:
а)	Сколько учащихся являются отличниками или пев-
цами (хотя бы одно из двух)?
б)	Сколько учащихся являются только певцами (т. е.
певцами, ио не отличниками)?
в)	Сколько учащихся являются только отличниками?
г)	Сколько учащихся не являются ни отличниками,
ни певцами?»
5.	Игра с тремя обручами.
Быть желтым	Быть квадратным	Быть большим	Подмножество блоков	
да	да	да	желтых квадратных больших	(1)
да	да	нет	желтых квадратных небольших	(2)
да	нет	да	желтых Неквадратных больших	(3)
нет	да	да	нежелтых квадратных больших	(4)
да	нет	нет	желтых неквадратных небольших	(5)
нет	да	нет	нежелтых квадратных небольших	(6)
нет	нет	да	нежелтых неквадратных больших	(7)
нет	нет	нет	нежелтых неквадратных небольших	(8)
На полу разбросаны все блоки и имеются три попар-
но пересекающихся обруча — желтый, красный и синий.
Требуется расположить блоки следующим образом:
а) все желтые блоки (н только онн) внутри желтого
обруча; б) все квадратные блоки внутри красного об-
руча; в) все большие блоки внутри синего обруча.
Это более сложная задача, но после решения задачи
с двумя обручами она не вызывает затруднений (см.
фото).
Мы получили диаграмму Эйлера (см. черт.), изобра-
жающую разбиение универсального множества (всех
блоков) на 8 классов (попарно не пересекающихся
подмножеств) с помощью трех свойств (быть желтым,
быть квадратным и быть большим), и составили таб-
лицу всевозможных случаев.
В заключение следует отметить, что описанные выше
игры и задачи далеко не исчерпывают все возможности
использования логических блоков Дьенеша.
Вниманию читателей
Вышел из печати и поступил в продажу «Альбом по стереометрии» (демонстра-
ционное пособие для средней школы), автор П. А. Горбатый (М., изд. «Просве-
щение», 1969, 40 000 экз., ц. 2 р. 96 к.).
Альбом составлен применительно к действующей школьной программе и учеб-
никам, содержит 58 цветных демонстрационных таблиц по курсу стереометрии:
ш построение сечений геометрических тел (куба, параллелепипеда, призмы, пира-
миды) плоскостью (таблицы 1—16), вписанные и описанные геометрические тела,
комбинации тел (таблицы 17—22), вписанные и описанные шары, пирамида, призма,
конус (таблицы 23—47), тела вращения (таблицы 48—58).
К альбому прилагается краткое методическое указание об использовании его
на уроках. Даются советы о построении пространственных фигур, сечений и ком-
бинаций тел.
«Альбом по стереометрии» можно приобрести или выписать наложенным плате-
жом в специализированных магазинах учебно-наглядных пособий.
94
12345678910 •••
ХРОНИКА
з. и. турлакова Новый журнал
(г. Тирасполь)
В ноябре 1968 г. в Брюсселе вышел первый номер
нового журнала «Нико» (сокращение имени Николай
в честь Николая Бурбаки).
Тематика журнала — вопросы преподавания совре-
менной математики в средней школе. Языки журнала —
французский и фламандский.
Главный редактор журнала — Фредерик П а п и.
Кроме шести редакторов, существует редакционный ко-
митет из 31 человека. В его составе — деятели матема-
тического образования из различных стран, в частно-
сти: С. Крыговска (Польша), Г. Мойс ил (Ру-
мыния), А. Пескарнни (Италия), Т. Варга
(Венгрия), Г. Валусински (Франция), Тереза
Арелано (Перу). Среди шести редакторов отметим
профессора Брюссельского университета Ж. Папи, из-
вестного «апостола» реформы школьной математики в
духе современной.
Кроме методического раздела, состоящего из статей
методического характера и составляющего большую
часть журнала, есть разделы: «Задачи», «Рекоменду-
емая литература», «Новости центра» и, наконец, как
почти во всех зарубежных журналах, «Реклама».
Все напечатанное в журнале подчинено борьбе за
введение идей современной математики в школу, борь-
бе серьезной, упорной. На 25 страницах профессор Па-
пи критикует традиционно написанный французский
учебник по арифметике, алгебре и геометрии. Тонко,
иной раз саркастически высмеивает он ошибки, допу-
щенные авторами пособия, и показывает, к каким по-
следствиям они приводят. Но автор разбирает ошибки
не для того, чтобы посмеяться. В отличие от других
критикой Папи, говоря «так не надо», «так нельзя»,
тут же добавляет: «надо так», «можно так».
Для советских читателей представляет интерес статья,
посвященная вопросу о преподавании элементов стати-
стики в средней школе. В ней автор говорит о необхо-
димости серьезного изучения указанной темы с точки
зрения теории в противовес некоторым, стремящимся
свести все дело к практическим рецептам и натаскива-
нию учащихся в этом направлении. Задача средней
школы — сделать ясными тонкие понятия вероятности,
независимости, условной вероятности, описательной и
выводной статистики. Практические навыки придут по-
том. Для изложения предложенного далее материала
необходимо иметь, по мнению автора, 2 часа в неделю
в течение года.
Раздел задач озаглавлен «Ник?». Здесь предложено
шесть задач. Читатели могут прислать решения и пред-
ложить новые задачи. Интересно, что из шести задач
одна сообщена профессором В. И. Левиным (Моск-
ва), а другая — академиком С. Л. Соболевым (Но-
восибирск) .
Для примера приведем одну из них.
«6. (В ресторане Дома ученых в Бухаресте.)
Соболев (Новосибирск). В зале имеется 40 чело-
век. Велика ли вероятность того, что двое из присутст-
вующих отмечают свой день рождения в один и тот же
день?
Ревю (Париж). Велика!
Фройденталь (Утрехт). Очень велика!
Соболев. Я всегда думал, что она мала, а она
велика ... . Больше—?
Ревю. Больше^-!
Что думают наши читатели?» *
В разделе «Новости центра» журнал сообщает состав
бельгийского «Центра педагогики математики», расска-
зывает об участии Центра в подготовке преподавате-
лей к работе по-новому в самой Бельгии и за ее пре-
делами, сообщает, что будет издано.
Журнал красочно оформлен. Схемы, рисунки, фото-
графии— цветные. Печатается на хорошей бумаге.
1 Эта вероятность равна 0,891. (См. кн.: Д. Кемени,
Д. Снелл и Д. Томпсон, Введение в конечную ма-
тематику, М , изд. «Мир», 1965. Там приводятся веро-
ятности такого совпадения и при другом числе при-
сутствующих.)
95
3. О. ШВАРЦМАН
(г. Томск)
Первая конференция математических
кафедр педвузов Сибири
С 12 по 15 мая 1969 г. в г. Новокузнецке проходила
научная конференция преподавателей математических
кафедр педагогических институтов Сибири. В работе
конференции приняли участие 112 преподавателей ма-
тематических кафедр пединститутов и университетов из
24 городов СССР.
На пленарном заседании с интересом были заслуша-
ны и обсуждены доклады Р. Н. Щербакова
(г. Томск) «О неголономной геометрии» и К- А. Бар-
сукова (Москва) «Об особенностях преподавания
математики иа физических отделениях физико-матема-
тических факультетов пединститутов».
На конференции работали секции: функционального
анализа и теории функций, дифференциальных и ин-
тегральных уравнений, геометрии, алгебры, теории чи-
сел и логики, прикладной математики, методики препо-
давания математики.
На секции методики преподавания математики за-
слушали и обсудили 21 доклад. Вопросам улучшения
подготовки учителей математики были посвящены док-
лады И. Н. Алексеевой (г. Семипалатинск),
Б И. Богдашина (г. Красноярск), М. П. Лапчи-
к а, Р. И. Сикорского и В. П. Третьякова
(г. Омск).
В докладе Н. Я. Канторович и Г. А. Прон-
ск и х (г. Новокузнецк) излагались результаты экспе-
римента по изучению необходимых условий формиро-
вания у учащихся активного интереса к математике.
Проблемному обучению как одному из методов активи-
зации познавательной деятельности учащихся на заня-
тиях по математике посвящен доклад 3. О. Шварц-
мана (г. Томск).
Л. М. Л о п о в о к (г. Луганск) сделал интересные
доклады об эстетическом воспитании на уроках мате-
матики и системе позиционных задач на построение в
курсе геометрии. Интересными были также доклад
В. Л. Рабиновича (г. Петропавловск) о задачах,
развивающих эвристические навыки, доклад Г. В. Аса-
уляк и Л. Е. Семеновой (г. Кемерово), в кото-
ром приводятся результаты эксперимента и даются
рекомендации, позволяющие уменьшить субъективизм
в оценке письменных работ по математике на вступи-
тельных экзаменах.
Различные подходы к определению понятия функции
рассмотрены в докладе А. С. Бондаренко.
В. А. Г е р л и н г е р а и К. М. Кулинич (г. Новокуз-
нецк). Опыт обучения учащихся IV—V классов алгеб-
раическому способу решения задач в курсе арифмети-
ки изложила в своем докладе М. Ф. Мартынова
(г. Бийск). Некоторые методические рекомендации по
изучению параллельной проекции и ее свойств были
даны в докладе И. Н Ефимова и В. А. Герли н-
гера (г. Новокузнецк).
Опыту проведения факультативных занятий со школь-
никами были посвящены доклады В. В. Ветрова
(г. Орел), В. С. Федоровой (г. Томск),
П. К. Одинцова (г. Барнаул), И. Н Алексеевой
(г. Семипалатинск) и др. Учитывая актуальность проб-
лемы, па последнем заседании секции, кроме обсужде-
ния плановых докладов, был организован широкий
обмен мнениями по содержанию и методике проведения
факультативных занятий в школе
Вторую конференцию математических кафедр педву-
зов Сибирской зоны намечено провести в мае 1971 г.
в г. Красноярске.
Редакционная коллегия:
Главный редактор Р. С. Черкасов	Зам, главного редактора С. А. Пономарев
Члены редакционной коллегии: И. К. Андронов, В. Г. Болтянский, Н. Ф. Власик,
Б в. Гнеденко, Н. А. Ермолаева, А. С. Ильин, А. Н. Колмогоров, Г. Г. Маслова,
О. П. Орешина, И. С. Петраков, А. Д. Семушин, 3. А. Скопец, А. В. Соколова,
П. В, Стратилатов, 3. С, Сухотина, И. Ф- Тесленко, Н. Ф. Четверухин
Зав. редакцией 3. В. Шепелева	Художественный редактор В. Ф. Рябое
Технический редактор А. А. Шлихт	Корректор Г. И. Губинская
Адрес редакции: Москва, Г-117, Погодинская ул., 8. Телефон редакции 247-03-74
Издательство «Просвещение» Комитета по печати при Совете Министров РСФСР
Сдано в производство 22/VIII 1969 г.	Объем 6 (10,08) п. л.	Учетно-изд. л. 11,89
Цена 45 коп. Заказ 1068 Тираж 320 090 зкз. Бумага 84X108V16 Подп. к печ. 23/IX 1969 г.
Московская типография № 13 Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР. Москва, ул. Баумана, Денисовский пер., 30.
Вниманию читателей
Магазин № 8 «Техническая книга» (Москва, К-31,
Петровка, 15) иногородним покупателям высылает кни-
ги наложенным платежом (без задатка). В магазине
имеются следующие книги по математике.
Андронов А. А. и др., Теория бифуркаций дина-
мических систем на плоскости, «Наука», 1967, 487 стр.,
цена 2 р. 58 к.
Аткинсон Ф., Дискретные и непрерывные гранич-
ные задачи, «Мир», 1968, 749 стр., цена 3 р. 19 к.
Ауслендер Л. и др., Потоки на однородных про-
странствах, «Мир», 1966, 206 стр., цена 66 коп.
Бляшке В., Круг и шар, «Наука», 1967, 227 стр.,
цена 1 р. 05 к.
Боровиков В. А., Дифракции на многоугольниках
и многогранниках, Физматгиз, 1966, 453 стр., цена
1 р. 54 к.
Бурбаки Н., Интегрирование меры, интегрирова-
ние мер, «Наука», 1967, 395 стр., цена 1 р. 97 к.
Бурбаки Н., Общая топология. Основные структу-
ры, «Наука», 1968, 272 стр., цена 1 р. 43 к.
Былов Б. Ф. и др., Теория показателей Ляпунова
и ее приложения к вопросам устойчивости, Физматгиз,
1966, 569 стр., цена 2 р. 04 к.
В а з о в В., Асимптотические разложения решений
обыкновенных дифференциальных уравнений, «Мир»,
1968, 460 стр., цена 1 р. 97 к.
Виноград С., Коуэн Дж. Д., Надежные вычисле-
ния при наличии шумов, «Наука», 112 стр., цена 37 коп.
Гельфанд И. М. и др.. Теория представлений и ав-
томорфные функции, Физматгиз, 1966, 512 стр., цена
1 р. 77 к.
Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей,
изд. 3, испр., «Наука», 1967, 373 стр., цена 1 р. 03 к.
Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, «Наука»,
1969, 618 стр., цена 3 руб.
Демидович Б. П. и др., Численные методы ана-
лиза. Приближение функций, дифференциальные и ин-
тегральные уравнения, изд. 3, переработ., «Наука»,
1967, 367 стр., цена 94 коп.
Дербашян М. М., Интегральные преобразования
и представления функций в комплексной области,
«Наука», 1966, 671 стр., цена 3 р. 17 к.
Евграфов М. А., Аналитические функции, изд. 2,
испр. и доп., «Наука», 1968, 470 стр., цена 99 коп.
Карпов К. А., Таблицы функций в комплексной об-
ласти, Изд. АН СССР, 1954, 535 стр., цена 1 руб.
К о л л а т ц Л., Задачи на собственные значения
с техническими приложениями, Физматгиз, 1968,
500 стр., цена 2 р. 37 к.
Крейн С. Г., Линейные дифференциальные уравне-
ния в банаховом пространстве, Физматгиз, 1967,
449 стр., цена 1 р. 66 к.
Крылов В. И., Шульгина Л. Т., Справочная книга
по численному интегрированию, «Наука», 370 стр., це-
на 1 р. 67 к.
Леви П., Конкретные проблемы функционального
анализа, «Наука», 1967, 506 стр., цена 2 р. 14 к.
Лившиц М. С., Операторы, колебания, волны. От-
крыт >ie системы, Физматгиз, 1966, 293 стр., цена
1 р. 01 к.
Линдон Р., Заметки по логике, «Мир», 1968,
127 стр., цена 41 коп.
Майлс Дж. У., Потенциальная теория неустановив-
шихся сверхзвуковых течений, «Наука», 1963, 272 стр.,
цена 40 коп.
Макаров И. П., Дополнительные главы математи-
ческого анализа, «Просвещение», 1968, 306 стр., цена
67 коп.
Мандельбройт С., Теоремы замкнутости и
теоремы композиции. Изд. иностр, лит., 1962, 153 стр.,
цена 15 коп.
«Математика в современном мире», сб. ст., «Мир»,
1967, 204 стр., цена 1 р. 19 к.
«Математическая теория логического вывода», сб. ст.,
«Наука», 1967, 350 стр., цена 1 р. 79 к.
Михлин С. Г., Курс математической физики, «Нау-
ка», 1968, 575 стр., цена 1 р. 05 к.
Н а й м а р к М. А., Нормированные кольца, изд. 2,
переработ., «Наука», 1968, 664 стр., цена 2 р. 95 к.
Ней гебауер О., Точные науки в древности,
«Наука», 1968, 223 стр., цена 1 р. 39 к.
«Особенности дифференцируемых отображений», сб.
ст., «Мир», 1968, 265 стр., цена 85 коп.
Остроумов Г. А., Свободная конвекция в усло-
виях внутренней задачи, Гостехиздат, 1952, 256 стр.,
цена 20 коп.
П р а х а р К., Распределение простых чисел, «Мир»,
1967, 507 стр., цена 2 р. 25 к.
Привалов И. И., Гальперин С. А“., Основы
анализа бесконечно малых. Пособие для самообразо-
вания, изд. 4, испр., «Наука», 1966, 256 стр., це-
на 49 коп.
«Прикладная комбинаторная математика», сб. ст. под
ред. Беккенбаха, «Мир», 1968, 360 стр., це-
на 1 р. 74 к.
«Применение математики в экономических исследо-
ваниях», т. 2, под ред. Немчинова, Соцэкгиз, 1961,
530 стр., цена 50 коп.
«Псевдодифференциальные операторы», сб. ст.,
«Мир», 1967, 366 стр., цена 1 р. 41 к.
«Психологические измерения», сб. ст., «Мир», 1967,
195 стр., цена 62 коп.
С е р р Ж., Алгебраические группы и поля классов,
«Мир», 1968, 276 стр., цена 1 р. 15 к.
Сигал И., Математические проблемы релятивист-
ской физики, «Мир», 1968, 190 стр. цена 60 коп.
«Труды международного конгресса математиков»
(Москва, 1966), «Мир», 1968, 722 стр., цена 3 р. 43 к.
Хейман У. К., Мероморфные функции, «Мир»,
1966, 273 стр., цена 1 р. 12 к.
Хермандер Л., Введение в теорию функций не-
скольких комплексных переменных, «Мир», 1968,
279 стр., цена 1 р. 11 к.
Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф., Специальные функ-
ции, формулы, графики, таблицы, изд. 2, стереетипиое,
«Наука», 1968, 344 стр., цена 1 р. 97 к.
Москнига
Цена 45 коп.
73246
Хл<><Х><><>О<><Х><><>ОО<>ОО<>СЮ<><>О<Х><><><>Хи>»<>^
о
Принимается подписка на 1970 год
на журналы издательства «Просвещение»
<е<>соо<
Наименование журналов	Периодич- ность в год	Подписная плата на	
		6 месяцев	12 месяцев
«Народное образование» .......	12	3 р. 60 к.	7 р. 20 к.
«Советская педагогика»		12	3 р. 60 к.	7 р. 20 к.
«Семья и школа»		12	1 р. 50 к.	3 р. 00 к.
«Начальная школа»		12	90 к.	1 р. 80 к.
«Биологии в школе»		6	1 р. 35 к.	2 р. 70 к.
«Вечерняя средняя школа» ......	6	1 р. 35 к.	2 р. 70 к.
«Вопросы психологии»		6	3 р. 00 к.	6 р. 00 к.
«География в школе»		6	1 р. 35 к.	2 р. 70 к.
«Дошкольное воспитание»	  .	12	1 р. 50 к.	3 р. 00 к.
«Иностранные языки в школе»		6	1 р. 80 к.	3 р. 60 к.
«Литература в школе»		6	1 р. 35 к.	2 р. 70 к.
«Математика в школе»		6	1 р. 35 к.	2 р. 70 к.
«Преподавание истории в школе» ....	6	1 р. 50 к.	3 р. 00 к.
«Русский язык в национальной школе»	6	1 р. 05 к.	2 р. 10 к..
«Русский язык в школе* ....	6	1 р. 35 к.	2 р. 70 к.
«Физика в школе»		6	1 р. 35 к.	2 р. 70 к.
«Физическая культура в школе» ....	12	1 р. 80 к.	3 р. 60 к.
«Химия в школе»		6	1 р. 35 к.	2 р. 70 к.
«Школа и производство»			12	1 р. 80 к.	3 р. 60 к.
«Советский школьник» (для слепых детей,			
печатается точечным шрифтом) . . .	12	60 к.	1 р. 20 к.
«Воспитание школьников»....	6	1 р. 35 к.	2 р. 70 к.
«Дефектология»		6	1 р. 80 к.	3 р. 60 к.
отделениях связи, городских
Подписка принимается в пунктах «Союзпечати», (—"""-------- — ---------------
и районных узлах связи, почтамтах, а также общественными распространителями
печати на предприятиях, в школах, учреждениях и организациях.
Издательство «Просвещение»