/
Автор: Рябушко А.П. Бархатов В.В. Державец В.В. Юруть И.Е.
Теги: математика высшая математика задачи по математике сборник задач
ISBN: 5-339-00326-4
Год: 1990
Текст
СБОРНИК
ИНДИВИДУАЛЬНЫХ
ЗАДАНИЙ
ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
Под общей редакцией
доктора физико-математических наук,
профессора А. П, Рябушко
Часть 1
Допущено Министерством
народного образования БССР
в качестве учебного пособия
для студентов инженерно-технических
специальностей вузов
Быстрый переход
№ИДЗ: 1.1, 1.2, 2.1, 2.2,
3.1, 3.2, 4.1, 4.2,
5.1, 5.2, 6.1, 6.2,
6.3, 6.4.
> ГОХ-КуаЬивЬко.Ки <
Подробный решебник к ИДЗ Рябушко!
ББК22.11я73
С23
УДК 51 (076.1) (075.8)
Авторы: А. П. Рябушко, В. В. Бархатов, В. В. Дер-
жавец, И. Е. Юруть
Рецензенты: кафедра высшей математики Московского энер-
гетического института; зав. кафедрой высшей математики Минского
радиотехнического института, д-р физ.-мат. наук, проф. Л. А. Черкас
1602010000—098
С-----------------10—90
М304(03)—90
18ВЫ ^339-00326-4 (ч. 1)
I8В^ 5-339-00483-Х
© Коллектив авторов
1990
ПРЕДИСЛОВИЕ
В Основных направлениях перестройки высшего и
среднего специального образования в стране, приказах
Государственного комитета СССР по народному образо-
ванию и других документах подчеркивается необходимость
перехода от пассивных форм обучения к активной
творческой работе со студентами, от «валового» обучения
к усилению индивидуального подхода, к развитию твор-
ческих способностей обучаемых путем расширения их
самостоятельной работы. Такой путь развития и пере-
стройки высшей школы предполагает новое методическое
обеспечение учебного процесса: создание современных
методик проведения лекционных, практических и лабора-
торных занятий, подкрепленных соответствующими мето-
дическими и учебными пособиями, разработку новых
форм самостоятельной работы, методов ее контроля и т. д.
Имеющиеся в настоящее время сборники задач и
упражнений по общему курсу высшей математики для
втузов не дают возможности индивидуализировать обуче-
ние из-за своей структуры (малое количество однотипных
задач и упражнений, неудачный с методической точки
зрения подбор задач). Активизация познавательной
деятельности студентов, выработка у них способности
самостоятельно решать достаточно сложные проблемы
может быть достигнута, по мнению авторов, при такой
организации учебного процесса, когда каждому студенту
выдаются индивидуальные домашние задания (ИДЗ)
и достаточно часто проводятся самостоятельные (конт-
рольные) работы во время аудиторных занятий (АЗ)
с обязательным последующим контролем их выполне-
ния и выставлением оценок. Это мнение подкрепляется
личным опытом авторов и педагогическими эксперимен-
тами, проведенными в последние годы в ряде втузов,
например в Белорусском институте механизации сельского
хозяйства, Белорусском и Дальневосточном политехни-
ческих институтах.
Данная книга является первой частью комплекса
учебных пособий под общим названием «Сборник инди-
видуальных заданий по высшей математике», написанного
в соответствии с действующими программами курса
высшей математики в объеме 380—450 часов для инже-
нерно-технических специальностей вузов. Этот комплекс
также может быть использован в вузах других профилей,
в которых количество часов, отведенное на изучение выс-
шей математики, значительно меньше. (Для этого из
предлагаемого материала следует сделать необходимую
выборку.) Кроме того, он вполне доступен для студентов
вечерних и заочных отделений втузов.
Предлагаемое пособие адресовано преподавателям и
студентам и предназначено для проведения практических
занятий и самостоятельных (контрольных) работ в ауди-
тории и выдачи ИДЗ по всем разделам курса высшей ма-
тематики.
В первой части данного комплекса содержится мате-
риал по линейной и векторной алгебре, аналитической
геометрии и дифференциальному исчислению функций
одной переменной.
Авторы выражают искреннюю благодарность рецен-
зентам — коллективу кафедры высшей математики Мо-
сковского энергетического института, возглавляемой
членом-корреспондентом АН СССР, доктором физико-ма-
тематических наук, профессором С. И. Похожаевым, и за-
ведующему кафедрой высшей математики Минского ра-
диотехнического института, доктору физико-математиче-
ских наук, профессору Л. А. Черкасу, а также сотрудникам
этих кафедр кандидатам физико-математических наук,
доцентам Л. А. Кузнецову, П. А. Шмелеву, А. А. Карпу-
ку—-за ценные замечания и советы, способствовавшие
улучшению книги.
Все отзывы и пожелания просьба присылать по
адресу: 220048, Минск, проспект Машерова, 11, изда-
тельство «Вышэйшая школа».
Авторы
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
Охарактеризуем структуру пособия, методику его ис-
пользования, организацию проверки и оценки знаний, на-
выков и умений студентов.
Весь практический материал по курсу высшей мате-
матики разделен на главы, в каждой из которых даются
необходимые теоретические сведения (основные определе-
ния, понятия, формулировки теорем, формулы), исполь-
зуемые при решении задач и выполнении упражнений.
Изложение этих сведений иллюстрируется решенными при-
мерами. (Начало решения примеров обозначается симво-
лом $►, а конец—4.) Затем даются подборки задач
с ответами для всех практических аудиторных занятий
(АЗ) и самостоятельных (мини-контрольных) работ на
10—15 минут во время этих занятий. И, наконец,
приводятся недельные индивидуальные домашние зада-
ния (ИДЗ), каждое из которых содержит 30 вариантов
и сопровождается решением типового варианта. Часть
задач из ИДЗ снабжена ответами. В конце каждой главы
помещены дополнительные задачи повышенной трудности
и прикладного характера.
В приложении приведены одно- и двухчасовые конт-
рольные работу (каждая по 30 вариантов) по важней-
шим темам курса.
Нумерация АЗ сквозная и состоит из двух чисел:
первое из них указывает на главу, а второе — на порядко-
вый номер АЗ в этой главе. Например, шифр АЗ-2.1 озна-
чает, что АЗ относится ко второй главе и является
первым по счету. В первой части пособия содержится
27 АЗ и 14 ИДЗ.
Для ИДЗ также принята нумерация по главам. На-
пример, шифр ИДЗ-5.2 означает, что ИДЗ относится
к пятой главе и является вторым. Внутри каждого ИДЗ
принята следующая нумерация: первое число означает
номер задачи в данном задании, а второе — номер
варианта. Таким образом, шифр ИДЗ-5.2 : 16 означает,
что студент должен выполнить 16-й вариант из ИДЗ-5.2,
который содержит задачи 1.16, 2.16, 3.16, 4.16. При
выдаче ИДЗ студентам номера выполняемых вариантов
можно менять от задания к заданию по какой-либо
системе или случайным образом. Более того, можно при
выдаче ИДЗ любому студенту составить его вариант,
комбинируя однотипные задачи из разных вариантов.
Например, шифр ИДЗ-З.1 : 1.2; 2.4; 3.6 означает, что
студенту следует решать в ИДЗ-З.1 первую задачу из
варианта 2, вторую — из варианта 4 и третью — из
варианта 6. Такой комбинированный метод выдачи ИДЗ
позволяет из 30 вариантов получить большое количество
новых вариантов.
Внедрение ИДЗ в учебный процесс некоторых вту-
зов (Белорусский институт механизации сельского хозяй-
ства, Белорусский политехнический институт, Дальне-
восточный политехнический институт и др.) показало,
что целесообразнее выдавать ИДЗ не после каждого
АЗ (которых, как правило, два в неделю), а одно недель-
ное ИДЗ, включающее в себя основной материал двух
АЗ данной недели.
Дадим некоторые общие рекомендации по органи-
зациям работы студентов в соответствии с настоящим
пособием.
1. В вузе студенческие группы по 25 человек, прово-
дятся два АЗ в неделю, планируются еженедельные
необязательные для посещения студентами консультации,
выдаются недельные ИДЗ. При этих условиях для систе-
матического контроля с выставлением оценок, указанием
ошибок и путей их исправления могут быть использованы
выдаваемые каждому преподавателю матрицы ответов
и банк листов решений, которые кафедра заготавливает
для ИДЗ (студентам они не выдаются). Если матрицы
ответов составляются для всех задач из ИДЗ, то листы
решений разрабатываются только для тех задач и вариан-
тов, где важно проверить правильность выбора метода,
последовательности действий, навыков и умений при вы-
числениях. Кафедра определяет, для каких ИДЗ нужны
листы решений. Листы решений (один вариант распола-
гается на одном листе) используются при самоконтроле
правильности выполнения заданий студентами, при взаим-
ном студенческом контроле, а чаще всего при комбини-
рованном контроле: преподаватель проверяет лишь пра-
вильность выбора метода, а студент по листу решений —
свои вычисления. Эти методы позволяют проверить
ИДЗ 25 студентов за 15—20 минут с выставлением оценок
в журнал.
2. Студенческие группы в вузе по 15 человек, проводят-
ся по два АЗ в неделю, в расписание для каждой группы
включены обязательные два часа в неделю самоподготовки
под контролем преподавателя. При этих условиях (кото-
рые созданы, например, в Белорусском институте механи-
зации сельского хозяйства) организация индивидуальной,
самостоятельной, творческой работы студентов, оператив-
ного контроля за качеством этой работы значительно
улучшается. Рекомендованные выше методы пригодны и в
данном случае, однако появляются новые возможности.
На АЗ быстрее проверяются и оцениваются ИДЗ, во время
обязательной самоподготовки можно проконтролировать
проработку теории и решение ИДЗ, выставить оценки
части студентов, принять задолженности по ИДЗ у от-
стающих.
Накапливание большого количества оценок за ИДЗ,
самостоятельные и контрольные работы в аудитории
позволяет контролировать учебный процесс, управлять
им, оценивать качество усвоения изучаемого материала.
Все это дает возможность отказаться от традицион-
ного итогового семестрового (годового) экзамена по
материалу всего семестра (учебного года) и ввести так
называемый блочно-цикловой (модульно-цикловой) метод
оценки знаний и навыков студентов, состоящий в следую-
щем. Материал семестра (учебного года) разделяется на
3—5 блоков (модулей), по каждому из которых выпол-
няются АЗ, ИДЗ и в конце каждого цикла — двухчасо-
вая письменная коллоквиум-контрольная работа, в кото-
рую входят 2—3 теоретических вопроса и 5—6 задач.
Учет оценок по АЗ, ИДЗ и коллоквиуму-контрольной
позволяет вывести объективную общую оценку за каждый
блок (модуль) и итоговую оценку по всем блокам (мо-
дулям) семестра (учебного года). Подобный метод
внедряется, например, в Белорусском институте механиза-
ции сельского хозяйства.
В заключение отметим, что пособие в основном ориен-
тировано на студента средних способностей, и усвоение
содержащегося в нем материала гарантирует удовлетво-
рительные и хорошие знания по курсу высшей матема-
тики. Для одаренных и отлично успевающих студентов
необходима подготовка заданий повышенной сложности
(индивидуальный подход в обучении!) с перспективными
поощрительными мерами. Например, можно разрабо-
тать для таких студентов специальные задания на весь
семестр, включающие задачи настоящего пособия и допол-
нительные более сложные задачи и теоретические упраж-
нения (для этой цели, в частности, предназначены допол-
нительные задачи в конце каждой главы). Препода-
ватель может выдать эти задания в начале семестра,
установить график их выполнения (под своим контролем),
разрешить свободное посещение лекционных или прак-
тических занятий по высшей математике и в случае
успешной работы выставить отличную оценку до экзамен
национной сессии.
1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
1.1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА. ВЫЧИСЛЕНИЕ
ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Определителей п-го порядка называется число Дл, записываемое
ввиде квадратной таблицы
ан 012 01з • • • Он
021 022 023 ••• #2л
ОЛ1 Ол2 ОцЗ ... Олп
и вычисляемое, согласно указанному ниже правилу, по заданным числам
(I, ] I, п\ которые называются элементами определителя (всего
их о2). Индекс I указывает номер строки, а / — номер столбца квад-
ратной таблицы (1.1), на пересечении которых находится элемент
о/у. Любую строку или столбец этой таблицы будем называть рядом.
Главной диагональю определителя называется совокупность элемен-
тов Оц, 022, •••, Ялд.
Минором Мц элемента ац называется определитель (п — 1)-го
порядка Ал—I, полученный из определителя п-го порядка Дп вычерки-
ванием гй строки и /-го столбца.
Алгебраическое дополнение А,, элемента а^ определяется равенством
Ло-= (-!/+%.
Значение определителя Ап находится по следующему правилу.
Для п = 2
Д2=|д"
I Й21
012
= 011022 — 012021-
022 I
(1-2)
Для п — 3
Оц 012 013
Аз — 02! 022 023
= О! 1А н 012^4 12 О1зЛ 13,
(1-3)
Оз1 032 Озз
где
Ли =(—1)1+1Л11| = (—1)' + 1 I °22 а231;
I 032 ОЗЗ I
Л12 = (-1)'+2М12 = (-1)’+2|а2' “231;
I Оз1 Озз I
Л1з = (—1)‘+3М|з = ( —1)‘+3 I °2‘ 0221.
I 031 О32 |
Величины Ап, А12, А13 —алгебраические дополнения, а Мп, М12,
Л413— миноры определителя Аз, соответствующие его элементам оц,
012, 01з. Эти миноры являются определителями второго порядка,
получаемыми из определителя А3 вычеркиванием соответствующих
строки и столбца. Например» чтобы найти минор М12, следует в опре-
делителе Аз вычеркнуть первую строку и второй столбец.
Для произвольного п
п
Ая — 2 а1кЛцс,
к= 1
(1.4)
где Д1* = ( — 1)1+*М1а, а миноры Л11й, являющиеся определителями
(л — 1)-го порядка, получаются из А« вычеркиванием первой строки и
&-го столбца.
Например,
д2=Р 4 = 3.5 —(—2). 1 = 17;
| 1 О I
= 4(-7)_ 7(21 —25) — 2*5 = —10;
1
4
-3
О
-2
О
4
4 1 —2
-3 —1 О
0 0 4
= — (4(—4) + 3 * 4 - 2 • 0) - (0(—4) - 4 - 2 • 5) + 2(0(-12) —
— 4.4—2*15) = —74.
Замечание. Если элементами определителя являются некото-
рые функции, то данный определитель, вообще говоря, тоже функция
(но может быть и числом). Например,
| соз х
| 31П х
8Ш X |
СОЗ X I
= соз2 х — 51гАх = соз2х;
соз х
зш х
— ЗШ X
соз X
= соз2 х 4- зш2 х = 1;
ре*
11/2
— 1 =о.
Правило вычисления определителя Аз равносильно правилу тре-
угольников (правилу Саррюса):
Аз = Пп &22&33 “Ь Л 12^23^31 4" ^21^32^13 —
— (#13^22^31 + Я12Й21ПЗЗ 4“ #23^32^1 г). (1-5)
Схематическая запись этого правила приведена ниже:
Например,
А3 = 4
2
2
6
— 1
-3
5
1
= 1 ‘6* 1 + 2-5-2 + 4(-1)(-3)-
-((-3)- 6*2 + 2.4 - 1 -4- 5(—1)1) = 71.
Перечислим основные свойства определителей:
1) сумма произведений элементов любого ряда определителя и
их алгебраических дополнений не зависит от номера ряда и равяа
этому определителю:
п п
Ап = X аньАя — 5 ал/Л*/. 1.6)
А=1 А=1
Эти равенства можно было бы (как и формулу (1.4)) принять за
правило вычисления определителя. Первое из них называется раз-
ложением Ап по элементам 1-й строки, а второе — разложением Ал
по элементам 1-го столбца;
2) значение определителя не меняется после замены всех его
строк соответствующими столбцами, и наоборот;
3) если поменять местами два параллельных ряда определителя,
то он изменит знак на противоположный;
4) определитель с двумя одинаковыми параллельными рядами ра-
вен нулю;
5) если все элементы некоторого ряда определителя имеют общий
множитель, то последний можно вынести за знак определителя.
Отсюда следует, что если элементы какого-либо ряда умножить на
число X, то определитель Дя умножится на это же число X;
6) если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю,
то определитель также равен нулю;
7) определитель, у которого элементы двух параллельных рядов
соответственно пропорциональны, равен нулю;
8) сумма всех произведений элементов какого-либо ряда опреде-
лителя и алгебраических дополнений соответствующих элементов дру-
гого параллельного ряда равна нулю, т. е. верны равенства:
п п
2 ацсА}к — О, а%Ац = 0 (/ /);
А = 1
9) если каждый элемент какого-либо ряда определителя пред-
ставляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель равен
сумме двух определителей, в первом из которых соответствующий ряд
состоит из первых слагаемых, а во втором — из вторых слагаемых:
ап . .. ап + 6н .. • • Д1н
021 .. о?, + 6 2/ . • . О2п
а«1 . •. @п1 4~ Ьп1 > • Опп
Оц ... Ьц
Я21 ... &2/
ап ... ан ... 01л
Й21 ... &21 ... &2п
Оп 1 ... аЛ(
• • • 01л
•. • и>2п
Япп
Ьп} ... апп
Например,
2 -1+2 4
7 3—13
4 2 + 3 5
2
7
4
2 4
-1 3
3 5
10) определитель не изменится, если ко всем элементам какого-
либо его ряда прибавить соответствующие элементы другого парал-
лельного ряда, умноженные на одно и то же произвольное число 1.
Например, для столбцов определителя это свойство выражается равен-
ством
ан ... аи ... а»/ ... а[П
Й21 ... 02, ... Й2/ ••• й-2п
ап\
011
021
ап1 • - • Ол/ ... аПп
Ои + Лй!/ ... 0(/ ... ап
02/ + Хаз; . - - 02/ . • - 02я
0л1 ... Ощ + Лол/
йп/ ... опп
Рассмотрим основные методы вычисления определителей.
1. Метод эффективного понижения порядка. В соответствии со
свойством 4 вычисление определителя п-го порядка сводится к вычисле-
нию п определителей (д — 1)-го порядка. Этот метод понижения порядка
не эффективен. Используя основные свойства определителей, вычисле-
ние Ап 0 всегда можно свести к вычислению одного определителя
(п — 1)-го порядка, сделав в каком-либо ряду А« все элементы, кроме
одного, равными нулю. Покажем это на примере.
Пример 1. Вычислить определитель
30 —10 120 80
— 5 3 —34 —23
А<= 1 1 3 —7 ’
— 9 2 8 —15
► По свойству 5 определителей из первой строки вынесем
множитель 10, а затем будем последовательно умножать полученную
строку на 3, 1, 2 и складывать соответственно со второй, третьей и
четвертой строками. Тогда, согласно свойству 10, имеем:
3
А4 = 10
— I 12 8
О 2 1
О 15 1
О 32 1
По свойству 1 определителей (см. второе из равенств (1.6)) полу-
ченный определитель можно разложить по элементам второго столбца.
Тогда
4 2 1
Л4 = Ю 4 15 1
-3 32 I
Получили определитель третьего порядка, который можно вы-
числить по правилу Саррюса или подобным же приемом свести к вы-
числению одного определителя второго порядка. Действительно, вычитая
из второй и третьей строк данного определителя первую строку, получаем
Л4= 10
2 1
13 0
30 0
= ю| ’З | = 10 • 7 13 = 910.
4
0
— 7
2. Приведение определителя к треугольному виду. Определитель,
у которого все элементы, находящиеся выше или ниже главной диаго-
нали, равны нулю, называется определителем треугольного вида. Оче-
видно, что в этом случае определитель равен произведению элементов
его главной диагонали. Приведение любого определителя А„ к тре-
угольному виду всегда возможно.
Пример 2. Вычислить определитель
5 8 7 4 — 2
-1 4 2 3 1
Аэ = 9 27 6 10 — 9
3 9 6 2 -3
1 3 2 8 — 1
► Выполним следующие операции. Пятый столбец определителя
сложим с первым, этот же столбец, умноженный на 3,— со вторым,
на 2 — с третьим, на 8 — с четвертым столбцом. В итоге получим опре-
делитель треугольного вида, который равен исходному:
3 0 2 7 3 4 -12 11 — 2 1
А5 = 0 0 — 12 -62 — 9
0 0 0 — 22 -3
0 0 0 0 -1
= —3-7 - 12-22 = —5544. «
Приведение определителей к треугольному виду будет использо-
ваться в дальнейшем при решении систем линейных уравнений методом
Жордана — Гаусса (его называют также методом Гаусса).
АЗ-1.1
1. С помощью правила треугольников (правила Саррю-
са) вычислить определители:
а)
-13 2
2 8 1
1 1 2
-5
— 2
8
-2 1
1 -5
2 5
{Ответ: а) —36; б) 0; в) 87.)
2. Методом понижения порядка вычислить опреде-
лители:
а) 15 325 15 323 37 527 б) 2 4-12
23 735 23 735 17 417 > -12 3 1
23 737 23 737 17 418 2 5 14
12 0 3
(Ответ: а) -22 198; б) 16.)
3. Вычислить определители методом приведения их
к треугольному виду:
а) 1 2 3 4 б) 1 -2 5 9
0 2 5 9 1—17 4
0 0 3 7 1 3 3 4
-2 -4 -6 0 1 2 3 4
(Ответ: а) 48; б) 20.)
4. Вычислить определители,
стив их:
а) х1 2 + а2
у2 + а2
_2 । ~2
ах 1
ау 1 ;
аг 1
б)
7
10
5
6
7
предварительно
8 5 5 3
И 6 7 5
3 6 2 5'
7 5 4 2
10 7 5 0
упро-
(Ответ: а) а(х — у) (у — г) (х — г); б) 5.)
Самостоятельная работа
Вычислить определители.
1. 2 1 5 1 2. 1 2 3 4
3 2 1 2 2 3 4 1
1 2 3 —4 • 3 4 1 2
1 1 5 1 4 1 2 3
(Ответ: 54.) (Ответ: 160.)
1
-3
2
4
1 8
-6 9
2 -5
6 0
0
1
(Ответ: —27.)
1.2. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
Прямоугольная таблица, составленная из т X л элементов а,/
(/= 1, т, / — 1, и) некоторого
и записывается в виде
множества, называется матрицей
ан 012 а\п “
А = П21 022 •• 02а
От1 От2 • • Отп
или А =
012
022
О/и2
Элементы матрицы нумеруются 2 индексами. Первый индекс /
элемента ац обозначает номер строки, а второй / — номер столбца,
на пересечении которых находится этот элемент в матрице. Матрицы
обычно обозначают прописными буквами латинского алфавита: А, В, С,...
Если у матрицы т строк и п столбцов, то по определению она имеет
размерность т X о. В случае необходимости это обозначается следую-
щим образом: АтХг1. Матрица называется числовой, если ее элементы
а$ — числа; функциональной, если а(/- — функции; векторной, если а^ —
векторы, и т. д. Матрицы А и В называются равными, если все их соот-
ветствующие элементы а^ и равны, т. е. а(/- = 6/р Следовательно,
равными могут быть только матрицы одинаковой размерности. Матри-
цы, у которых т = н, называются квадратными. Если I — 1, то получаем
матрицу-строку', если / = 1, имеем матрицу-столбец. Их также называют
вектор-строкой и вектор-столбцом соответственно.
Перечислим основные операции над матрицами.
1. Сложение и вычитание матриц. Эти операции определяются
только для матриц одинаковой размерности. Суммой (разностью) мат-
риц А и В, обозначаемой А + В (А — В), называется матрица С, эле-
менты которой С// = 01, ±2 Ьц, где ау и Ьц — соответственно элементы
матриц А и В. Например, пусть
Тогда
2. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А и
числа X, обозначаемым ХА, называется матрица В той же размер-
ности, элементы которой — Хоц, где ац — элементы матрицы А, т. е. при
умножении матрицы на число (числа на матрицу) надо все элементы
матрицы умножить иа это число. Например, пусть
Тогда
3. Умножение матриц. Произведением матриц АтХп и ВпХр на-
зывается матрица СтХр — А *В (нли проще ДВ), элементы которой
п
Сц = X а^кЬк}, где а($, Ьк, — элементы матриц А и В. Отсюда следует,
6=1
что произведение АВ существует только в случае, когда первый
множитель А имеет число столбцов, равное числу строк второго мно-
жителя В. Далее, число строк матрицы АВ равно числу строк Д, а число
столбцов — числу столбцов В. Из существования произведения АВ
не следует существование произведения ВА. В случае его существования,
как правило ВА АВ. Если АВ —ВА, то матрицы А и В называются
перестановочными (или коммутирующими). Известно, что всегда
(ДВ)С = Д(ВС).
Пример 1. Найти АВ и ВА, если:
д — Г4 $ 81 з —
11 з -1 г
-1
— 2
3
5
-3
4
► Имеем:
дв = с2х2 = с“
IС21
С12 |
С22.Г
где си= 4(-1) + (-5)(-2) + 8.3 = 30; с12 = 4 • 5 + (-5) (-3)+
+ 8 • 4 = 67; С21 = 1 (_ 1) + 3( —2) + (- 1)3 = — Ю; с22=1.5 +
+ 3(—3) + (—1)4 = —8.
о ло Г 30 671
В результате АВ = | I.
Далее находим
ВД = С3х3 =
^11 С12 С13
С21 С22 С23
С31 С32 С33
где Гц — (— 1) 4 + 5 • 1 = 1; = (— 1) ( — 5) + 5 • 3 = 20; С13 =
= (— 1) 8 Ч- 5 (— 1) = -13; С21 = (-2)4 + (-3) 1 = - И; ^22 =
= (-2)(-5) + (-3)3= 1; с2з = (—2) 8+(—3) (—1) = —13; с3! =
= 3 - 4 + 4 • 1 = 16; сз2 = 3( —5) +4 -3 = —3; с33= 3-8 + 4(— 1) =
= 20. Имеем:
1
-И
16
20 —13
1 -13
-3 20
Итак, АВ ВА. 4
Пример 2. Даны матрицы: А =
1 “Я и •
2|- Наити
АВ и ВА.
► Имеем:
В А =
Г3.1+5(-1) 3(-5) + 5.21 _ Г - 2 -51
[1 . 1 + 2(-1) 1 (-5) + 2 * 2] ~ I - 1 -1]*
ВЛ = ГЬЗ + (_5)1 Ь5 + (-5)
[(-•1)3-Ь2.1 (-1)5 + 2.:
Следовательно, АВ — ВА. 4
Пример 3. Найти (АВ)С и А (В С), если:
-2 -5]
-1 -1]
-6
3
Я. с =
-1
2
4
ав =
, \АВ)С =
— 7
11
-15
5
- 1
9
3
9
3
— 2
— 2
— 3
вс = [ Д(ВС) =
т. е. (ДВ)С = 4(ВС). 4
АЗ-1.2
1. Даны матрицы А и В. Найти: А + В, 2А, А — ЗВ,
если:
3
7
2. Даны матрицы А и В. Найти АВ и ВА, если:
а)
б)
7
2
-3
1
-4
5
Л =
А =
7
4
О
В = [5 —2 3];
-7
6
-13
21
15
в) ВА = [13],
АВ = 20
-6 9
— 8 12
-4 6
г) АВ = ВА —
14
10
— 7
-2
3
30
-8
18
35
20
0
3. Для матрицы А найти все перестановочные (комму-
тирующие) с ней квадратные матрицы В. Проверить
выполнимость равенства АВ = В А, если:
а) А =
х п ЗЬ —Ь „ Га + & 5а
(Ответ: а) В — , ; б) В = . , где а,
' ' 16 26 у ' [ а о
Ь — любые числа (параметры).)
4. Даны матрицы А, В и С. Найти Л (ВС), (ЛВ)С и по-
казать, что (ЛВ)С = Л(ВС), если:
а)
А= 5
1
-6
-8
-1 г_ 5 14
4.Г |_~2 ~30
3
7
В =
2
3
: Ответ: а) АВС =
96
758
1030
б) АВС =
—468
171
-156
57
Самостоятельная работа
1. Даны матрицы:
0
0
О
Найти те из произведений АВ, ВА, АС, СА, ВС, СВ, кото-
рые имеют смысл.
Ответ: ВА =
-2 О
3 -1
-2
5
, ЛС =
2. Для данных матриц
4 5 5
2 6 6
(Л + ЗВ)2
0
О '
если:
А =
Ответ:
А
и В найти
1
2
—3
96
-18
51
и Л (ВС), если:
1
0
-1
2
0
3. Найти (АВ)С
1.3. ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. РАНГ МАТРИЦЫ.
ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА — КАПЕЛЛИ
Квадратная матрица порядка п
Оц 012 ...
021 022 ••• О2п
(1-8)
Оп1 Оп2 ... Опп
называется невырожденной, если ее определитель (детерминант)
ан П12 ... ащ
021 022 ... 02п
(1-9)
а«1 Оп2 .. • Опп
В случае, когда де( А ~ 0, матрица А называется вырожденной.
Только для квадратных невырожденных матриц А вводится понятие
обратной матрицы Д~*. Матрица А~1 называется обратной для квад-
ратной невырожденной матрицы А, если ДД~1=Д“1Д — Е, где Е—
единичная матрица порядка п:
0 ... о"
О 0 ... 1
Известно, что для А существует единственная обратная матрица
Д~\ которая определяется формулой
А п Дг1 . - • АП1
А~' = Л*3-, А* = А'2 Аг2 • Л"2 . (1.11)
А,„ А2п ... Апп|
Матрица Д* называется присоединенной, ее элементами являются алгеб-
раические дополнения Д(/ транспонированной матрицы А т, т. е. матрицы,
полученной из данной матрицы А заменой ее строк столбцами с теми
же номерами:
Оц 021 ... 0п1
012 022 ... Оп2
(112)
0\п 02п • • • Опп
Пример 1. Дана матрица Д. Убедиться, что она невырожденная,
найти обратную ей матрицу Д~! и проверить выполнимость равенств
ДД“' = Д’!Д = Е, если:
а) Д = [ *
2]
з]
— 12 1
= —5^0. Далее находим алгеб-
I V I
раические дополнения: Лц=3, А12~ — 1, Л21 — — 2, Л22 = — 1.
Следовательно,
. Л1 - —
-21 Г-3/5 2/51 . Г1
-11 I 1/5 1/51’ 10
0
'Л;
б) Вычисляем бе! А = —8^0 и алгебраические дополнения Ли =
— --2, Л 12 — 2, А 13 = 4, Л21 — 3, Л 22 — 1, А23 ~ -2, Л 31 — —7, Л 32 —
— —5, Лзз= —6. Тогда
Л“’
— 2 3 — 7
2 1 -5
4 -2 —6
ЛЛ-|=Л~’Л — Е. «
Введем понятие ранга матрицы. Выделим в матрице Л к строк
и к столбцов, где к — число, меньшее или равное меньшему из чисел
т и п. Определитель порядка к, составленный из элементов, стоящих
на пересечении выделенных к строк и к столбцов, называется минором
или определителем, порожденным матрицей А. Например, для матрицы
-7 — 1 4 5
18 13
4-20—6
при к — 2 определители
I7 -1 I I 1 3 I I -1 5 1
I 1 8 Г | 0 —6 Г | —2 —6 |
будут порожденными данной матрицей.
Рангом матрицы А (обозначается гап^Л) называется наиболь-
ший порядок порожденных ею определителей, отличных от нуля. Если
равны нулю все определители порядка к, порожденные данной матри-
цей Л, то гап^ А <С к.
Теорема /. Ранг матрицы не изменится, если:
1) поменять местами любые два параллельных ряда;
2) умножить каждый элемент ряда на один и тот же множитель
X 5^ 0;
3) прибавить к элементам ряда соответствующие элементы любого
другого параллельного ряда, умноженные на один и тот же множитель.
Преобразования 1—3 называются элементарными. Две матрицы
называются эквивалентными, если одна матрица получается из другой
с помощью элементарных преобразований. Эквивалентность матриц А и В
обозначается Л — В.
Базисным минором матрицы называется всякий отличный от нуля
мииор, порядок которого равен рангу данной матрицы.
Рассмотрим основные методы нахождения ранга матрицы.
1. Метод единиц и нулей. С помощью элементарных преобразований
любую матрицу можно привести к виду, когда каждый ее ряд будет
состоять только из нулей или из нулей и одной единицы. Тогда число
оставшихся единиц и определит ра^рчц^рдной матрицы, так как полу-
ченная матрица будет эквцрат^Йтна исходной.
Пример 2. Найти ранг матрицы
"1 12 3 -Г
2—10—4 —5
-1 -1 0 -3 -2
6 34 8—3
► Умножим третий столбец матрицы А на 1/2. Далее, полученную
первую строку умножим на 2 н вычтем ее из четвертой строки. Теперь
третий столбец содержит три нуля и единицу (в первой строке). Легко
делаем нули в первой строке на первой, второй, четвертой и пятой
позициях. Имеем
" 0 0 1 0 0"
А 2-10-4-5
-1 -1 0—3—2
4 10 2-1
Теперь четвертую строку последней матрицы складываем со второй
и третьей, получая прн этом еще два нуля во втором столбце, после
чего делаем нули в четвертой строке всюду, кроме единицы на пере-
Получили три единицы. Следовательно, гап^Л=3.
За базисный минор можно взять, например, определитель третьего
порядка, который находится на пересечении первой, третьей* четвер-
той строк и второго, третьего и четвертого столбцов (на пересечении
этих строк и столбцов в последней матрице стоят единицы). Так как
перестановка рядов матрицы ие производилась, то один из базисных ми-
норов матрицы А следующий:
1 2
— 1 0
3 4
3
— 3
8
=7*0. «
2. Метод окаймляющих миноров. Минор МА+1 порядка й + 1, содер-
жащий в себе минор Мъ порядка называется окаймляющим мииор
М*. Если у матрицы А существует минор Мъ =# 0, а все окаймляющие
его миноры Мъ+1 = 0, то гап^Л = к.
Пример 3. Найти ранг матрицы
— 3 5 4
— 6 4 3
— 9 3 2
1
Л = 2
3
__3 51
„ . =7^ 0. Для М2 окаймляющими будут только
— о 4 |
два мииора:
Л1з —
— 3 5
-6 4
-9 3
1
2
3
-3 5
М= -6 4
-9 3
4
3
2
каждый из которых равен нулю. Поэтому гап$ А =2, а указанный
минор М2 может быть принят за базисный. ◄
Теорема 2 (Кронекера — Капелли), Для того чтобы система т
линейных алгебраических уравнений относительно п неизвестных хь
*2, ...» Хп
«11*1 + 012*2 + — + «1Я*Я = Ь[,
«21*1 + «22*2 + — + «2п*Я — &2,
«т!*1 + «т2*2 + ... + «тп*я = Ьщ
была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг
основной матрицы
Оц О12 ... «1л
__ «21 022 ... «2я
От! 0/п2 • •. атп
системы (1.13) и ранг так называемой расширенной матрицы
системы (1.13) были равны, т. е. гап& А = гап^ В = г. Далее, если
ган^Л— гап^В и г — п, то система (1.13) имеет единственное ре-
шение; если г <п, то система (1.13) имеет бесконечное множество
решений, зависящее от п-г произвольных параметров.
Система (1.13) называется однородной, если все ее свободные
члены Ьс (/ = 1, пг) равны нулю. Если хотя бы одно из чисел отлично
от нуля, то система называется неоднородной. Для однородной системы
уравнений гап^Л—гап^В, поэтому она всегда совместна.
Пример 4. Выяснить, совместна ли система уравнений
4*! + 3*2 — 3*з — *4 = 4,
3*1 — х2 + 3*з — 2*4 — 1, >
3*1 + *2 — *4 = О,
5*1 + 4*2 — 2*з + *4 = 3. >
► Выпишем расширенную матрицу данной системы и найдем ранги
основной и расширенной матриц. Имеем:
‘4 з —з —1 4'
3 — 1 3—2 1
3 1 0-10*
5 4—2 13
Не будем переставлять столбец свободных членов с другими столб-
цами матрицы, чтобы сразу определить ранги основной и расширенной
матриц. Второй столбец матрицы В умножим на 3 и вычтем из первого,
а также сложим второй столбец с четвертым. В результате в третьей
строке получим все нули, кроме единицы во втором столбце. Тогда
легко можно обратить в нули все остальные элементы второго столбца.
Получим
5 0 —3 2 4~
60 3-31
01 0 00'
—70—2 53
Теперь вторую строку прибавим к
полученной матрице первый столбец
первой и четвертой, а затем в
сложим с четвертым. Имеем:
1
6
0
В -
— 1
0.0 о
0 3 3
1 о о
0 1 1
5
1
о
4
Далее третий столбец последней матрицы вычтем из четвертого, рав-
ного ему, и прибавим к первому. Полученный первый столбец, умножен-
ный на 5, вычтем из пятого. Тогда
Получили гап§ А = 3, гап^ В = 4, откуда гап^ А гап^ В, т. е. исход-
ная система уравнений несовместна. <4
АЗ-1.3
1. Найти матрицу А \ обратную данной матрице Л,
если:
’з 1 — б’
а) А = 1 2 4 ; б)
3 2 -1
’ —10
Ответ: а) А 1 = -|- 13
_ -4
~ —7
б) а~' = т5 -13 18
2, Найти ранг матрицы А
с помощью элементарных
преобразований или методом окаймляющих миноров и
указать какой-либо базисный минор, если:
—7 —5 —5
-3 —1 -1
-1 1 1
1 -1
3 —2
-4 3
3 -4
2 -1
в) А =
-1
1
2
4 2
8 2
7 1
О
1
(Ответ: а) 2; б) 2; в) 3.)
3. Зная основную матрицу А и расширенную матри-
цу В, записать соответствующую им систему линейных
алгебраических уравнений и решить вопрос о ее совмест-
ности или несовместности, пользуясь теоремой Кроне-
кера — Капелли:
(Ответ: а) гап§ А — 2, гап§ В — 3, т. е. система несовмест-
на; б) гап§ А = гап^ В = 3, т. е. система совместна.)
Самостоятельная работа
1. 1) Найти матрицу Л-1, обратную матрице
3
5
— 3
7
Л = 1
6
-2
2
—3
2) найти ранг матрицы А с помощью элементарных
преобразований и указать какой-либо ее базисный минор,
если
3 1 2
7 3 5
15 7 11
115 8
1
3
9
Ответ: 1) А 1 =
4
-8
— 14
2) гап§ А = 2.
2. 1) Для матрицы А найти матрицу А 1 и убедиться,
что А А _ 1 =Е, если
2
1 3
О 2
О 4
А
2) найти ранг матрицы
базисный минор, если
1 -1 -1 5 Г
А = -2 0 1 I 2
_—3 1 2 - 4 1
’ 0 —4 2
^Ответ: 1) А~1 = _ I -2 5 -1 ; 2)
0 1 -1
гап§ А = 2.
и указать какой-либо ее
3. 1) Найти матрицу А *, если
0 2 —Г
А - -2-1 2 »
3 —2 -1
2) найти ранг матрицы А и указать какой-либо ее
базисный минор, если
4 — 1 2 О
д- -1 11 1
л~~ 1 3 2-1
0 4 3 О
5 4 3
4 3 2
7 6 4
2) гап^ А = 3.
1.4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Матричный метод. Пусть для системы (1.13) т=п и основная
Матрица А вида (1.14)—невырожденная, т. е. бе( А 0. Тогда для
А существует единственная обратная матрица Л”1, определяемая
формулой (1.11). Введем в рассмотрение матрицы-столбцы для неиз-
вестных и свободных членов:
(1.16)
Тогда систему (1.13) можно записать в матричной форме: АХ — В.
Умножив это матричное уравнение слева иа Л“\ получим А~хАХ =
= А~ХВ, откуда ЕХ = Х = Л“1В. Следовательно, матрица-решение X
легко находится как произведение Л”1 и В.
Пример 1. Решить систему уравнений матричным методом:
2х — 4г/ + 2 = 3,
х — 5г/ + Зг = — 1
X — у+ 2=1.
► Имеем:
Л =
2
1
1
-4
-5
-1
1 X
3 , Х = у , В =
, бе( Л = —8.
2
3
— 1
1
Обратная матрица
— 2 3 — 7~
2 1 -5
4 -2 -6
(см. пример 2 из
§ 1.3). Находим:
—2-3 4-3(— 1) — 7-1
2-3 +1(— 1) —5-1
4-3 —2(—1) —6* 1
т. е. х = 2, у = 0, 2 = — 1 — решение данной системы. Ч
Формулы Крамера. Если для системы (1.13) т~п и Ие1 А О,
то верны формулы Крамера для вычисления неизвестных х, (/=1, п):
х1 — Д^/Дл (I — 1, п\
(1-17)
где Д„ = с!е( Л, а Д? являются определителями га-го порядка, которые
получаются из Д« путем замены в нем /-го столбца столбцом свободных
членов исходной системы.
Пример 2. Решить систему уравнений с помощью формул
Крамера:
2X1 — Х2 — Зхз — 3,
3x1 4- 4x2 — 5х3 = —8,
2х2 + 7х3 = 17.
>> Вычислим
2 —1
— 3
Д3 = (1е1 А =
— 5 = 56— 18 + 20 + 21 =79.
7
Последовательно заменив в Дз первый, второй и третий столбцы
столбцом свободных членов, получим:
= 395, XI = -^1
Дз
395
-79“ ^5’
-8
17
— 5 = —158, х2= -+-
-7 Д3
158 _
79 “
2 -1
3 4
0 ‘ 2
— 8 =237, х3 = -+~
1-7
237
79
◄
Метод последовательных исключений Жордана — Гаусса. Если
основная матрица А системы (1.13) имеет ранг г п, то расширенная
матрица В этой системы с помощью элементарных преобразований
строк и перестановок столбцов всегда может быть приведена к виду
1 а\2 ... а\г аиг-щ •••
0 1 ... а2г Ягг-н ••• аъп &2
0 0 ... 1 агг+1 ... агп Ьг
0 0 ... 0 0 ... 0 Ьг+1
0 О ... О О ... О
(118)
Матрица (1.18) является расширенной матрицей системы
Х| + Д12Х2 + ... + а\гХг + 1Хг+1 + ... + а\пхп — Ьц
Ха + ... + а2г^г + О2г-Ь1Хг+ 1 + ... + О2лХл = 6г, •
о —6г+1, V. 19)
О = Ьт, )
которая эквивалентна исходной системе (т. е. имеет те же самые ре-
шения, что и исходная система). Если хотя бы одно из чисел Ьг+1,
Ьт отлично от нуля, то система (1.19) и, следовательно, исходная
система (1.13) несовместны. Если же Ьг + 1 = ... = Ьп = 0, то система
(1.13) совместна, а из системы (1.19) можно последовательно выразить
в явном виде базисные неизвестные хг, хг_ц ..., х2, Х| через свободные
неизвестные хг+1, ..., хп, т. е. решить систему (1.13). Если г = п, то
решение этой системы единственно.
Пример 3. С помощью метода последовательных исключений Жорда-
на — Гаусса решить вопрос о совместности данной системы и в случае
совместности решить ее:
2х| 4“ 3x2 4~ 11х3 5х4 = 2, х
Х[ 4- х2 4“ 5хз 4* 2x4 — 1,1
3x1 + Зх2 4* 9хз 4~ 5x4 = —2, /
2Х( 4- х2 4" Зхз + 2x4 = —3, I
4* х2 4" Зхз + 4x4 = —3. *-
► Составим расширенную
элементарные преобразования строк:
матрицу
и проведем необходимые
"2
1
3
2
1
5
9
3
3
5
2
5
2
4
2“
1
-2
-3
-3
1
1
2
2
3
5
3
11
3
9
2
4
5
2
5
Г
-3
2
— 3
-2
соответствует
система.
1
О
2
7
-5
Последней матрице
эквивалентная исходной:
В =
3
1
3
В
1
3
3
X] 4~ х2 4- $хз 4“ 2x4 —
Х2 4~ Хз 4" х4 ==
Хз — Х4 =
Х4 =
О,
2,
1.
Из нее, двигаясь снизу вверх, последовательно находим: х4 = — 1, Хз =
— 24-Х4~2-“1 = 1,х2=—Хз — Х4=—-14-1~0,Х1=1—х2 — 5хз —
— 2х4 = 1 -54-2= -2.
Итак, система совместна, ее решение единственно (г = п = 4): хх =
— —2, Х2 = 0, х3 = 1, = — 1. Проверкой легко убедиться в правиль-
ности найденного решения.
Пример 4. Методом Жордана — Гаусса показать, что данная си-
стема имеет бесчисленное множество решений, зависящих от двух па-
раметров, и найти эти решения:
Х1 -|~ 2х2 Хз “р Х4 = 5,
хг -}* х3 -|- Х4 = 3, г
Х[ -|- ха = 2. )
► Составляем расширенную матрицу системы В и находим гап^Л
и гап&В с помощью элементарных преобразований строк:
Следовательно, гап^Л = гап^В = 2<п=4. Поэтому система сов-
местна и имеет бесчисленное множество решений, зависящих от двух
(п — г = 4 — 2 = 2) параметров.
Последней матрице, эквивалентной данной матрице В, соответст-
вует система уравнений
Хх 2X2 “Ь Хз -|- Х4 = 5, )
Х2 “|~ Хз Х4 = 3, /
эквивалентная исходной. Так как Аг = К Д = 1 0, то в качестве
базисных неизвестных берем х1 и х2, а х3 и х4 принимаем за свободные
неизвестные (параметры). Тогда из второго уравнения последней си-
стемы имеем х2 = 3 — х3 — х4. Подставив выражение для х2 в первое
уравнение, найдем
хх — 5 — 2(3 — х3 — х4) — хз — х4 = — 1 + Хз + х4. ◄
Замечание. За базисные неизвестные можно было бы принять
также Х|, х3, или хь х4, или хг, х3, или х2, х4, ио не х3, х4, так как опре-
делитель, составленный из коэффициентов при хз и х4, равен нулю
П । 11 ~ и ПОЭТОМУ и х4 невозможно выразить через Х1 и х2.
АЗ-14
1. Доказать совместность систем с помощью теоремы
Кронекера — Капелли, записать системы в матричной
форме и решить их матричным способом:
{2X1— х2 = — 1, (4X1 +2X2 — Х3 = О,
Х1 4" 2x2 Хз=== 2, б) < х 1 4" 2x2 4“ хз = 1,
х24-Хз=— 2; , ( х2 — Хз=-3.
(Ответ: а) Х1 = х2 =х3 = — 1; б) Х1 = 1, х2 = — 1, х3 = 2.)
2. Решить системы уравнений, используя формулы
Крамера:
{(2X1 + Зх2 + 8x4 = О,
х2—хз + 3х4= О,
Х3 + 2X4 = 1,
Х1 + х4 — —24.
(Ответ: а) Х\ = 1, х2 — — 2, х3 = 0; б) х\ = —19, х2 — 26,
х3 — 11, х4 = —5.)
3. Решить системы методом Жордана — Гаусса:
(3X1 — 2х2 + х3 — х4 — 0,
3x1 — 2х2 — х3 + х4 = 0,
Х1 — х2 + 2х3 +-5х4 = 0;
{4x1 И- 2х2 — Зх3 + 2х4 = 3,
2X1 + Зх2 — 2хз + Зх4 = 2,
Зх 1 —2х2 — Зх3 —|— 4х4 — 1.
(Ответ: а) Х1 = 14/, х2 = 21/, Хз ~х4 = 1(1 — любое число);
б) Х1 = —10/ +10, х2 = /, х3=— 16/+15, х4 — 4 — 5/
(/ — любое число).)
4. Исследовать систему уравнений на совместность
и в случае совместности решить ее:
2x1 + 5х2 — 8х3 — 8,'
4X1 + Зх2 — 9х3 = 9, >
2X1 + Зх2 — 5х3 — 7,
Х1 + 8х2 — 7хз 12.
(Ответ: Х1 =3, х2 = 2, х3 = 1.)
5, Решить однородную систему уравнений:
Х1 —|— 2х2 —|— 4х3 — Зх4 = 0,>
3X1 + 5х2 + 6x3 — 4х4 0, >
4X1 + 5х2 — 2хз + Зх4 — 0,
3X1 + 8х2 + 24хз — 19х4 О.-'
(Ответ: Х1 = 8х3 — 7х4, х2 = — 6х3 + 5х4.)
Самостоятельная работа
I. Решить систему уравнений матричным способом
и сделать проверку:
2Х( х2 + 5хз == 4,
3X1 — х2 + 5хз 0,
5X1 + 2х2 + 1 Зх3 = 2.
2. Решить
проверку:
систему по формулам Крамера и сделать
— 2х2 — хз — —2,)
2X1 — хг = --1, г
Х2 +х3——2.)
3. Решить систему методом Жордана — Гаусса и сде-
лать проверку:
Х1 — 4x2 Зх3 = —22,
2x1 Ж 3x2 5хз = 12, ?
3X1 — Х2 — 2хз = 0.)
1.5. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 1
ИД31Л
Решения всех
вариантов тут
/. Для данного определителя Л найти миноры и
алгебраические дополнения элементов аз/. Вы-
числить определитель Д: а) разложив его по элемен-
там г-й строки; б) разложив его по элементам /-го столбца;
в) получив предварительно нули в /~й строке.
1.1. 1 1 -2 0 1.2. 2 0 -1 3
3 6 -2 5 6 3 -9 0
1 0 6 4 0 2 -1 3
2 3 5 -1 4 2 0 6
1 — / = 1. 1 = 3, / = 3.
1.3. 2 7 2 1 1.4. 4 - -5 -1 -5
1 1 -1 0 -3 2 8 -2
3 4 0 2 5 3 1 3
0 5 -1 -3 -2 4 -6 8
1 — 4, ] = 1. /=1, / = 3.
1.5. 3 5 3 2 1.6. 3 2 0 —5
2 4 10 4 3-5 0
1-2 2 1 10—2 3 >
5 1-2 4 0 1-3 4
1 = 2, / = 4. /=1, / = 2.
1.7. 2-12 0 1.8. 3 2 0 - 2
3 4 1 2 1 -1 2 3
2-10 1 4 5 1 0
1 2 3-2 -1 2 3- 3
/ = 2,/ = 3. г = 3, / = 1.
1.9. 0 4 1 1
—4 2 1 3
0 1 2 — 2
1 3 4 -3
1.= = 4, / = 3.
1.11. 5 -3 7 -1
3 2 0 2
2 1 4 -6
3 —2 9 4
1 = 3, / = = 4.
1.10.
1.12.
1.13. 1 8 2-3
3-2 0 4
5-37-1
3 2 0 2
1=1, ] =4.
1.14.
1.15. 3 1 2 3 1.16.
4 -1 2 4
1 -1 1 1
4 -1 2 5
1 = 1, / = 3.
1.17. 1 — 1 0 3 1.18.
3 2 1 - -1 >
1 2 -1 3
4 0 1 2
1 = 3, / = 1.
1.19. 6 2 -10 4 1.20.
т5 —7 —4 1
2 4 -2 -6
3 0 —5 4
1 = 2, / = 3.
1.21. 1 2 3 4 1.22.
-2 1 —4 3
3 —4 -1 2
4 3 — 2 - -1
1=1, / = 2.
0-2 1 7
4-8 2-3
10 1-5 4
-8 3 2 -1
I = 4, / = 2.
4-1 1 5
0 2-23
3 4 12
4 11-2
1=1, / = 2.
2-341
4-232
3 0 2 1’
3-143
1 = 2, / = 4.
3 1 2 0
5 0-61
-22 13’
-13 2 1
I = 3, / = 2.
5 0 4 2
Г -1 2 1 ,
4 12 0
1 111
1 = 2, / = 4.
-1-2 4 1
2 3 0 6
2-2 1 4
3 1-2-1
1 = 4, / = 3.
-11-23
12 2 3
-23 10’
2 3-20
1 = 3, 1 = 2.
1.23. — 1 2 0 4 1.24. 4 1 2 0
2—311 -1 2 1 - -1
3—124 3 -1 2 1 ’
2 0 13 5 0 4 2
1 = 4, / = 4. / = 3, . 1=2.
1.25. 43-2-1 1.26. 3 -5 1 2
-2 1-4 3 0 1 - -1 — 2
0 4 1-2 3 1 - -3 0 ’
5 0 1-1 1 2 - -1 2
1 = 2, ] = 3. 1 = 4, / = 1.
1.27. 2 -2 о : 3 1.28. 6 0 -1 1
1 сч ео 1 2 —2 0 1
1 1 —2 1 ’ 1 1 -3 2 ! ’
3 4-41 3 4 1 — 1 2 >
г = 3, / = 4. * = 1, / = 2.
1.29. -1-23 4 1.30. — 4 1 2 1 э
2 0 1-1 2 -1 2 ; 3
3—3 1 0 — 3 0 1 1 ’
4 2 1—2 2 1 —2 : 3
1 = 4, / = 4. 1 = 2, } = 2.
2. Даны две матрицы А и В. Найти: а) АВ; б) В А;
в) Д ; г) АА~'; д) А~'А.
Г 2 -1 - 3 2 —1 —2~
2.1. А 1=! 8 -7 — 6 , в = : 3 -5 4
— 3 4 2 1 2 1
3 5 -6~ 2 8 - 5
2.2. А 1= 2 4 3 В = = — 3 - -1 0 .
-3 1 1 4 5 — 3
—
2 1 -Г ~3 6 о’
2.3. А 1= 2 -1 1 , в = 2 4 — 6 .
1 0 1 1 -2 3
Ь— — —*
“—6 1 и" “з 0 г
2.4. А 1= 925, в = 0 2 7 .
0 3 7 1 —3 2
2.7. А = 6 3 2 7 1 2 з’ 0 1 , в = ~2 4 _4 0 — 1 3 5' —2 7
-2 3 4 ’з 3 Г
2.8. А = 3 — ] 1 -4 , В = 0 6 2
- -1 2 2 1 9 2
1 7 з' "6 5 2~
2.9. А = -4 9 4 > в = 1 9 2
0 3 2 4 5 2
~2 6 Г 4 -3 2*
2.10. А = 1 3 2 , в = —4 0 5
0 1 1 3 2 — 3
6 € ) 4 "1 1 Г
2.11. А = -1 - 1 1 , В — 3 4 3 *
1° 1 ! 7_ о 5 2.
"1 0 з‘ г 3 5 4
2.12. А = 3 1 7 в = —3 0 1
2 1 8 5 6 —4
5 1 2 3 5 5'
2.13. А = 1 3 1 . в = 7 1 2
8 4 1 1 6 0
*—
1—
2 2 5 1 1 1
2.14. А = 3 3 6 » в = 2 3 3
4 3 4 1 2 — 1
1 -2 5 1 1 1
2.15. А = 3 0 6 , в = 2 3 3
4 3 4 1 - 2 - 1
5 4 2 ’5 4 —5'
2А6. А = 1 2 4 > в = 3 —7 1
3 0 5 1 2 2
’з 1 о" 2 7 о"
2.17. А = 4 3 2 , В — 5 3 1 .
2 2 - 7_ 1 -6 1
8 -1 -1 3 2 5
2.18. А = 5 -5 -1 , в = 3 2 1
ю 3 2 1 0 2
__ — и» ^4
—»
’з — 7 2“ ~0 5 - -3
2.19. А = 1 -8 3 , в = 2 4 1 .
_4 -2 3_ _2 1 - -5
3 — 1 О' 1 0 2*
2.20. А = 3 5 1 , в = 1 - 8 5
_4 — 7 5 3 0 2
**
2 — 1 4 0 0 —4
2.21. А = 4 —9 3 , В = 5 -6 4
2 — 7 1 7 —4 1 и
1-^
1—^1
8 5 — г 4 —7 -б'
2.22. А = 1 5 3 , в = 3 2 -1
1 1 0 0 1 2
’1 1 — 11 '1 0 —4'
2.23. А = 2 — 4 1 , в = 2 5 -3
4 -3 1 4 -3 2
—
~5 -8 — 4 ’1 5 5’
2.24. А = 7 0 — II «5 1Л 1 2 1
_4 1 0 2 —1 -3
>
’1 2 1 ~7 5 1
2.25. А = 1 — 2 4 , в = 5 3- -1 .
3 -5 3 1 2 3
2.26. А =
-3
1
о
2
3
2
4
— 5
1
4
3
1
4
2
2
2.27. А =
-3
4
-2
4
5
3
О
1
3
2.28. А =
—3
1
5
4
2
0
—3
3
— 1
2.29. А =
-1
2
3
О
3
7
2
2
2.30. А =
4
2
1
1
—4
2
— 4
6
— 1
1 7—1
В= 0 2 6
2 -1 1
2 — 2 О"
В= 5 41.
_1 -1 2
' 3 О Г
В = -3 1 7 .
1 3 2
’О -1 Г
В = 2 50.
1 -12
Решение типового варианта
I. Для данного определителя
— 3 2 10
2—2 14
4 0—12
3 1-14
найти миноры и алгебраические дополнения элементов
«12, «32- Вычислить определитель Д4: а) разложив его по
элементам первой строки; б) разложив его по элементам
второго столбца; в) получив предварительно нули в пер-
вой строке.
► Находим;
4-4-16= -18,
Л4з2 =
1
1
-1
= -12 4- 12- 12-8 = -20.
2
3
0
4
4
Алгебраические дополнения элементов «12 и «32 соот-
ветственно равны:
Л12 =(—1)1+2Л112 = —(—18) = 18,
Л32 = (-1)3+2Л1з2= — ( —20) = 20.
а) Вычислим
&4 — Я11А11 + Я12А12 + ^1зА13 4“ <214^14 =
— 2 1 4 2 1 4 2—2 4
= -3 0-12 -2 4-12 + 1 4 0 2
1—14 3-14 3 1 4
= -3(8+ 2+ 4-4) — 2( —8 — 16 + 6+ 12 + 4-16) +
+ (16 — 12 — 4 + 32) = 38;
эле мента м второго
б) Разложим определитель по
столбца:
> II 1 ьэ 2 1 4 4—12 3-14 1 — 3 1 0 4-12 3-14
= —2( — 8 + 6- 16+ 12 + 4 - 16) — 2(12 + 6 —
-6 — 16) + ( —6 + 16 — 12-4) = 38;
-3 1 0
+ 1 2 1 4
4 -1 2
в) Вычислим Д4, получив предварительно нули в пер-
вой строке. Используем свойство 10 определителей (см.
§ 1.1). Умножим третий столбец определителя на 3 и при-
бавим к первому, затем умножим на —2 и прибавим ко
второму. Тогда в первой строке все элементы, кроме одно-
го, будут нулями. Разложим полученный таким образом
определитель по элементам первой строки и вычислим его:
= -(-56+ 18) = 38.
В определителе третьего порядка получили нули в
первом столбце по свойству 10 определителей. <4
2. Даны две матрицы:
О
— 1
2
А =
3
Я Г 1 2
3 , В = 2 О
2 —2 1
-3
1
3
Найти: а) АВ; б) ВА; в) А~'; г) АА~'; д) А~'А.
> а) Произведение АВ имеет смысл, так как число
столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Нахо-
дим матрицу С = АВ, элементы которой Сц = ацЬц +
+ а<2&2/ + ацЬз; + ... + атЬп!. Имеем:
—4 + 0 —2
2-2-6
3 + 4—4
-8+0+1
4 + 0 + 3
6 + 0 + 2
" — 6
= —6
3
12 + 0 + 3
-6-1+9
-9+2+6
-7 15'
7 2 ;
8 —1
б) Вычислим
1 2 —3
2 0 1
2 1 3
В А =
—4 0 1
2—13
3 2 2
—4+4—9
-8+0+3
8 + 2 + 9
0-2-6
0 + 0 + 2
0—1 +6
1+6-6
2 + 0 + 2
—2+3+6
— 9 —8 1
—5 2 4
19 5 7
Очевидно, что АВ + ВА;
в) Обратная матрица А~‘ матрицы А имеет вид (см.
формулу (1.11))
где
<1е1 А =
Д-1- 1
де! А
— 4
2
3
О
-1
2
1
3
2
Л п
Л 12
Л 1з
Л21 Л31
Л22 Л32
Л23 Л33
= 8 + 4 + 3 + 24 = 39^0,
т. е. матрица Л — невырожденная, и, значит, существует
матрица Л-1. Находим:
Л|| =
-1
2
3
2
= —8,
Л21 = —
0
2
1
2
= 2,
Л 12 -
2
3
Л13 =
2
3
Тогда
Л “‘ = —
Я 39
г) Имеем:
ЛЛ“' =
— 4
2
3
4С
Л31 =
3
2
О
-1
= 5,
Л 32 = —
— 1
2
= 7,
Л33 =
-8
5
7
1
3
= 1,
Л 22 =
—4 1
2 3
-4
3
= 14,
Л 23 = —
—4 О
2 —1
2
1
-11
14
8
4
1
2
—4
3
= 4.
_ 8
39
__5_
39
7
39
= —И
0
2
= 8,
_2_
39
11
39
8
39
1
39
14
39
4
39
О
-1
2
= Е;
д) Имеем:
Л~'Л = ^
8 2 1
5 -11 14
7 8 4
—4 О 1
2-13
3 2 2
1 О О
О 1 О
О О 1
т. е. обратная матрица найдена верно. ◄
ИДЗ-1.2
Решения всех
вариантов тут »>
1. Проверить совместность системы уравнений и в слу-
чае совместности решить ее: а) по формулам Крамера;
б) с помощью обратной матрицы (матричным методом);
в) методом Гаусса.
{2x1 + х2 + Зхз = 7, Г2Х1 — Х2 + 2хэ = 3,
2x1 4" Зх2 4" Хз = 1, 1.2. < Х1 4" 4" 2хз = — 4,
3X1 4" 2x2 4" хз = 6. 1^4x1 4" ^2 4" 4хз = —3.
{3X1— хг 4" хз=12, Г2Х1 — х24"3хз=—4,
Х1 4" 2x2 4" 4хз = 6, 1.4. < Х14-ЗХ2— хз=11,
5x1 4“ *2 4“ 2хз = 3. ( Х1 — 2х2 4“ 2*з = — 7.
Г3%| — 2х2 4~ 4хз = 12,
1.5. 1 Зх| 4- 4x2 — 2хз = 6, ^2х)— хг— Хз = — 9. Г 8x1 4- Зхг — бхз = — 4,
1.6. 1 1О ей । стГ II II II СП Л ГО Н Н Н со со 1 1 1 еч еч еч н н н 4-4- 4- й й й тГ* тГ* /
1.7. Х1 4- Х2 — Хз = —2, 1^8X1 4" Зхг — бхз = 12. Г2Х14-ЗХ2 4- 4хз = 33,
1.8. <! । 7x1—5x2 =24, Их1 4- 11хз = 39. Г 2x1 4" Зхг 4" 4хз = 12,
1.9. <! 7X1 — 5х2 + Хз = —33, 14x1 4" х3=—7.
Г Х| 4- 4х2 — Хз = 6,
1.10. 1 5х2 4-4х3 = — 20, (.Эх, -2х2 4-5х3= —22.
Г3X1 — 2x2 + 4хз = 21,
1.11.1 । 3x1 + 4хг — 2хз = 9, <2X1 — Х2 — Хз = 10. Г 3X1 — 2хг — 5хз = 5,
1.12. 4 2x1 + Зх2 — 4х3 = 12, 1x1— 2х2 + Зхз = — 1. Г 4x1 + х2 +4хз= 19, Г2х1 — х2 + 2хз = 0.
1.13. .2X1—Х2 + 2хз=11, 1.14. < 4X1 + хг 4" 4хз = 6, ( Х1 4~ х2 4~ 2хз = 8. \ Х1 4" ^2 4" 2хз = 4. Г2x1 — х24"2хз = 8,
1.15. ] । Х1 4~ %2 4" 2хз = 11 > (4x1 4- *2 4- 4хз = 22. Г2x1 — х2 — Зх3 = —9,
1.16. Х1 4- 5x2 4" *з = 20, ( 3x1 4" 4х2 4" 2х3 = 15. Г 2x1 — Хг — Зх3 = 0,
1.17.1 । Зх 1 4~ 4x2 4“ 2хз = 1, ( Х1 4~ 5x2 4~ х3== —3. Г — 3x1 4-5х2 4~ бхз = — 8,
1.18.< : 3x1 4- *2 4- *з = — 4, 1 Х1 — 4х2 —- 2х3 = —9. ( 3x1 4" х2 4" хз = —4,
1.19. < - 3X1 4- 5x2 4- бхз = 36, ( Х1 — 4х2 — 2х3 = — 19. Г 3X1 — х2 4~ Хз == — 11,
1.20. ъ 5x1 4~ х2 4~ 2хз = 8, \ Х1 4~ 2х2 4~ 4хз = 16. ( Зх 1 — х2 4~ Хз — 9,
1.21. । 5x1 4" х2 4~ 2х3 11, 1 Х1 4~ 2х2 4~ 4хз = 19. Г 2x1 4~ Зх2 4~ хз = 4,
1.22. ] । 2x1 4~ х2 4* Зхз = 0, Зх 1 4" 2X2 4“ Хз = 1.
(2X1 “I- Зхг 4" Хз = 12,
2X14- х2 4-Зх3=16,
3X1 4" 2хг 4" Хз = 8.
(Х1 — 2хг 4- Зхз =14,
2x14-3x2 —4хз= —16,
3X1 — 2х2 — 5х3 = — 8.
{3X1 4- 4х2 — 2хз =11,
2X1 — Хг — Хз = 4,
3X1 — 2хг 4- 4хз =11.
(Х1 4- 5х2 — бхз = — 15,
3X14- х2 4-4хз =13,
2X1 — Зхг 4- Хз = 9.
{4X1 — х2 = —6,
3X1 4-2хз 4-5х3 = —14,
Х1 — Зхг 4- 4хз = — 19.
{5x1 4* 2хг — 4хз = — 16,
Х1 +Зхз=_б,
2X1 — Зхг 4- Хз = 9.
{Х1 4~4х2— Хз =—9,
4X1 — х2 4- 5хз = — 2,
Зх2 —7хз= —6.
{7X1 4“ 4хг— Хз=13,
ЗХ] 4" 2хг -}- Зхз = 3,
2х 1 — Зхг -}- Хз = —10.
2. Проверить совместность системы уравнений и в слу-
чае совместности решить ее: а) по формулам Крамера;
б) с помощью обратной матрицы (матричным методом);
в) методом Гаусса.
{3x14-2x2—4хз = 8, Г Х14-№4- хз = 1,
2x14-4x2—5хз=Н, 2.2. < Х1—Хг4-2хз=—5,
Х|— 2x24- х3=1. 1.2X1 4~3хз=— 2.
{2X1— Хг4-4хз=15, ГЗХ1—Зхг4-2хз = 2,
3X1— Хг4- Хз = 8, 2.4. <4X1—5хг4-2хз = 1,
5X1—2хг4-5хз = 0. ( Х1—2х2 =5.
'5X1— Хг — 2х3=1, Г2Х1+8хг— 7хз
2.26. < 3X1—4хг + хз = 7, 2.27. < 2X1—5хг + 6хз
2x1 + Зхг—Зхз = 4. 1^4x14-3x2— Хз
го
кэ
4*
го
кэ
СП
II II II
“-4 О
СП гор
ю со
ччч
ч ч ч
+ + +
Ю 00
ч ч ч
00 ы ы
II II II
го го го
5° Г4 Р
+*> СО _ Д \э ГО +2 Ъз го СО5
ччч ччч 4><4
III 1 + 1 I ++ +1 I
0^0 ГО № ГО 4*- 1О
ччч ччч ччч ччч
1+1 III +++
СО (О СП 4^ со ^4 СП 4^ Ю
ччч ччч ччч
МЮЮ № кэ М ЮкэМ
I + + I I III
Ч Ч (О 4^ Ю СО СЛ 4^
ччч ччч
II II II II II II
• - * ГО СП о ГО 00
-4 СО “Ч — Ю ГО со — СП со го
{3X1 + 4%2 И- х3—2, Г 2x1—Зхг + 2хз — 5,
Х1+5х2 — Зх3 = 4, 2.29л 3X1 + 4х2 — 7х3 = 2,
2X1 — хг + 4х3 = 5. 5x1 + Хг — 5хз = 9.
{4X1—9хг+5х3 = 1,
7X1 —4x2+ Хз= 11,
3X1 + 5хг — 4хз = 5.
3. Решить однородную систему линейных алгебраиче
ских уравнений.
(Х1 + Хг+ Хз = 0,
2X1— Зхг + 4хз = 0,
4X1 — 11х2 + 10*з = 0.
{Х1 +Зхг + 2хз = 0,
2x1— Х2-+Зхз = 0,
3X1 — 5хг + 4хз = 0.
(2x1+5х2 + Хз = 0,
4х 1 + 6x2 + Зхз= 0,
Х1— Хг —2хз = 0.
(Х1— Хг + 2х3 = 0,
2X1 +хг — Зхз О,
Зх 1 + 2хз = 0.
{5X1 — 5хг + 4х3 = 0,
3X1+ Хг+Зхз = 0,
Х1+7хг— Хз = 0.
{2x1+ Хг + Зхз = 0,
3X1— Хг + 2х3 = 0,
Х1 +Зхг+4х3 = 0.
{2X1+ Хг— Хз = 0,
3X1—2хг+ 4х3 = О,
Х1 — 5хг+Зхз = 0.
{Х1 +4хг —Зхз = 0,
2х1+5хг+ Хз = О,
Х1 —7хг+2х3 = 0.
(3X1— Хг + 2хз = 0,
Х1 + Хг+ Хз = О,
Х1 + Зхг + Зхз = 0.
(4X1 — Хг + 1 Охз = О,
Х1+2х2— Хз = 0,
2X1—Зхг+ 4хз = 0.
{3X1— Хг — Зхз = 0,
2X1 + Зхг + Хз = О,
Х1 + Хг + Зхз=0.
{2X1 — Хг — 5хз = О,
X] + 2хг — Зхз = 0,
5x1 + хг + 4хз = 0.
{Х1+Зх2— Хз = 0,
2X1+5хг —2хз = 0,
*|+ Хг + 5хз = 0.
{Х1 — 2хг— Хз = 0,
2х1+Зхг + 2х3 = 0,
3X1 — 2хг + 5хз = 0.
{4X1+ Хг + Зхз = 0,
8x1— Хг+7хз = 0,
2X1 + 4хг — 5хз = 0.
{Х1—2хг+ Хз = 0,
3X1+ Хг + 2хз = 0,
2X1 — Зх2 + 5хз = 0.
( Х1 +2хг+3хз = О,
3.17. <2x1— Хг— Хз = 0,
(3X1 + Зхг + 2хз = 0.
{Зх । + 2хг == О,
Х1— Хг+2хз = 0,
4X1 —2хг + Зхз = 0.
(2X1— Х2 + Зх3 = 0,
Х| +2х2 —5хз = 0,
3X1+ Х2 + Хз = 0.
(Х1 — Зхг —4хз = 0,
5x1— 8х2 — 2х3 = 0,
2X1+ Х2— Хз = 0.
(3X1—2x2 + х3 = 0,
2x1— Зх2 + 2х3 = 0,
4x1+ х2 —4х3 = 0.
(Х1 +2х2 —4х3 = 0,
2X1— х2 — Зхз = 0,
Х1+Зх2+ х3 = 0.
{5x1 —4х2 + 2хз —0,
Зхг — 2х3 = 0,
4x1+ хг —Зхз = 0.
{8x1+ х2 —Зхз —О,
Х1+5хг+ Хз = О,
4X1 — 7х2 + 2х3 = 0.
3.20. [Зх1+2х2— Хз = 0, 12x1 — х2+ Зх3 = 0, 14x1 +Зх2 + 4хз = 0.
3.22. Г 3x1 +5х2 —хз = 0, 12x1 +4х2 — Зхз = 0 1 XI — 3X2+Хз = 0.
3.24. | '7Х|+ х2 — Зхз = 0, 3X1 — 2х2+Зхз = 0, Х1 — Х2 + 2Хз = 0.
3.26. < Г7Х1 — 6x2+ Хз = 0, 4x1 +5х2 =0, 1 Х1 — 2х2 + Зх3 = 0.
3.28. < '6x1 +5x2 —4хз —0, Х1 + х2— х3 = 0, <3x1 +4x2 + 3хз = 0.
3.30. Г Х1 +7х2 —Зх3 —0, 3x1—5x2 + Хз = 0,
3X1 +4х2 — 2хз = 0.
4. Решить однородную систему линейных алгебраиче-
ских уравнений.
(5x1 — Зх2 + 4х3 = 0,
3X1+2х2— Хз = 0,
8x1— х2 + Зхз = 0.
(5X1 —6х2 + 4хз = 0,
3X1—Зх2+ х3 = 0,
2х 1 — Зх2 + Зхз 0.
{Х1 +2х2 — 5х3 = 0,
2x1—4х2 + Хз = 0,
3X1 —2х2 —4х3 = 0.
{Х1 + х2+ Хз = 0,
2X1 — Зх2-|-4хз = 0,
3x1 —2х2 +5*з = 0.
{Х1 +2х2 + 4хз = О,
5X1+ х2-|-2хз = 0,
4X1— Хг —2хз = 0.
(3X1— х2+ х3 = 0,
2x1 + Зх2—4хз= О,
5X1 +2х2 — Зхз = 0.
{Х1— 2х2 + х3 = 0,
3X1 + Зх2 + 5х3 = 0,
4X1 + Х2 + бхз = 0.
(2х| + х2 — Зхз = О,
Х1 +2х2—4х3 = 0,
*1— х2+ х3 = 0.
!2х1— х2 + 2х3 = 0,
4x1+ Х2 + 5хз = 0,
2X1 +2х2 + Зхз =0.
{4X1 + х2 + 4хз = 0,
3X1—2х2— х3 = 0,
7x1— х2 + Зхз = 0.
{3X1—2хг+ *з = 0,
2X1 + Зх2 — 5х3 = О,
5x1+ х2 — 4х3 = 0.
!5х1 + х2 + 2хз — О,
3X1 4"2х2 —Зхз —О,
2x1 — Хг + Хз = 0.
4.13. ( Х1 4* 2хг — 5хз = 0, { Х1—2хг — 4хз = 0, ( 2х| — 9хз = 0. 4.14.] Г Х1—Зх2 4-5хз = 0, । Х14~2хг—Зхз = 0, (2X1— Хг4*2хз = 0.
4.15. ( 2X1 — Хг + 2хз — 0, < Зх 1 “I- 2хг—Зхз = 0, ( 5X1 4* х2 — Хз = 0. 4.16. < (2X1— Хг4-Зхз = 0, ! Х1—Зхг4*2хз = 0, ( Х1 4*2хг + Хз = 0.
4.17. ( Х1—Зхг—2хз = 0, <3X1— Хг + 4Хз = 0, (2x1-2x2 4- Хз = 0. 4.18. (5X14- *2—2хз = 0, ! 3X1 — Хг 4- Хз = 0, (2x14-2x2-3x3 = 0.
4.19. (ЗХ14-2х2—Зхз = 0, <2x1-3x24- Хз = 0, (5X1— Хг —2х3 = 0. 4.20. < ( 4X1 — Хг 4* 5хз = 0, । 2X1 — Зхг + 2хз = 0, (2X1 4* 2хг 4“ Зхз = 0.
4.21. ( Х1 4~3хг 4" *з = 0, < 2X1 — Зхг — 7х3 = 0, (3X1 4-2x2 —6хз = 0. 4.22. (3x14*4x2— Хз = 0, ! Х1 — 5хг4-2х3 = 0, (4X1— Хг+ х3 = 0.
4.23. (2x1 4* 4хг — Зхз = 0, < Х1—Зх2 4-2хз = 0, (3X14- х2 — Хз = 0. 4.24. (7X1—6X2— Хз = 0, | 3X1 — Зхг 4- 4хз = 0, (4X1 — Зхг — 5хз = 0.
4.25. (5x1 — Зхг 4- 2хз = 0, < 2x14- 4хг—Зхз = 0, ( 3x1 — 7х2 4- 5хз = 0. 4.26. ( Х1 — 8x2 4*7x3 = 0, {3X1 4* 5хг — 4хз = 0, (4x1 — Зхг 4* Зхз = 0.
4.27. ( 5x14-8*2 — 5хз = 0, | 7x14*5x2— Хз = 0, (2x1 — Зхг 4- 4хз = 0. 4.28. ] ( 5X1 4* *2 — бхз = 0, 4x14*3x2 — 7хз = 0, ( Х1—2хг4- *з = 0.
4.29. (2x1— х24-4хз = 0, < 7x1—5х24*Зхз=0, (5x1—4хг— Хз = 0. 4.30.] Г 2x1 4*2x2— Хз = 0, 5х14-4х2—6хз = 0, ( 3x14- 2хг—бхз = 0.
Решение типового варианта
1. Дана система линейных неоднородных алгебраиче-
ских уравнений
Х1 + 5хг — Хз = 3,
2x1 + 4х2 — Зх3 = 2,
3X1 — Хг — Зхз — — 7.
Проверить, совместна ли эта система, и в случае совмест-
ности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью
обратной матрицы (матричным методом); в) методом
Г аусса.
► Совместность данной системы проверим по теореме
Кронекера — Капелли. С помощью элементарных преоб-
разований найдем ранг матрицы
5 —1
4 —3
-1 —3
данной системы и ранг расширенной матрицы
Для этого умножим первую строку матрицы В на —2 и
сложим со второй, затем умножим первую строку на —3 и
сложим с третьей, поменяем местами второй и третий
столбцы. Получим
5
4
— 1
3
—4
— 16
1-1 5 3
0—1 —6—4
0 0 -16 —16
Следовательно, гап§ А = гап§ В = 3 (т. е. числу не-
известных). Значит, исходная система совместна и имеет
единственное решение.
а) По формулам Крамера (1.17)
XI = Л^/Дз, х2 = Д*»2)/Дз, хз = Д^3)/Д3,
где
1
2
3
— 1
-3
-3
= —16;
3 5 -1
А^> = 2 4 — 3 = 64;
— 2 — 1 -3
находим: Х1 =64/(— 16) = —4, х?— — 16/(— 16)= 1,
Хз = 32/(-16) = -2;
б) Для нахождения решения системы с помощью
обратной матрицы запишем систему уравнений в матрич-
ной форме АХ = В.~ Решение системы в матричной форме
имеет вид х = А “1 В. По формуле (1.11) находим обратную
матрицу А~' (она существует, так как Д3 = с1е1Л =
= —16=/=0):
л 4 3 I - л _ I 5—11
Л||— —1 —з|~ 5’ Л2|~ |—1 —з| —16,
5
4
= 0,
— 15
-3
— 14
16
0
16
-11
1
—6
Решение системы:
л-1 - 1
А -16
16
0
16
'(-45 + 32 + 77)/(-16)
( —9 —7)/(—16)
~( —42 + 32 + 42)/(—16)
—4
1
-2
Итак, Х1 = — 4, Хг = 1, Хз — —2;
в) Решим систему методом Гаусса. Исключим Х1 из
второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение
умножим на 2 и вычтем из второго, затем первое уравне-
ние умножим на 3 и вычтем из третьего:
Хг + 5X2 — Хз = 3, )
— 6x2 — Хз = —4, }
— 16X2 = — 16.7
Из полученной системы находим Х1 ——4, Х2=1, Хз =
= —2. 4
2. Дана система линейных неоднородных алгебраиче-
ских уравнений
2x1 — Зхг "I” Хз — 2,)
3X1 4“ Хг — Зх3 — 1, ।
5x1 — 2хг — 2хз = 4. )
Проверить, совместна ли эта система, и в случае совмест-
ности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью
обратной матрицы (матричным методом); в) методом
Гаусса.
► Проверяем совместность системы с помощью теоре-
мы Кронекера — Капелли. В расширенной матрице
2
В= 3
5
1 2
— 3 1
-2 4
меняем третий и первый столбцы местами, умножаем
первую строку на 3 и прибавляем ко второй, умножаем
первую строку на 2 и прибавляем к третьей, из второй
строки вычитаем третью:
Теперь ясно, что гап§Л = 2, гап§В = 3. Согласно
теореме Кронекера — Капелли, из того, что гап§ А
=/= гапц В, следует несовместность исходной системы. Ч
3. Решить однородную систему линейных алгебраиче-
ских уравнений
2x1 — 4x2 + 5хз = 0,
Х1 + 2x2 — Зхз = 0, ?
3x1 — х2 + 2х3 = 0.)
► Определитель системы
А
2 —4
1 2
3 -1
= И =/=0,
поэтому система имеет единственное нулевое решение:
XI = Х2 = Хз — 0. ч
4. Решить однородную систему линейных алгебраиче-
ских уравнений
3X1 + 4x2 — Хз = 0,
XI — Зхг + 5хз = 0, ?
4X1 + Х2 + 4X3 = 0.)
► Так как
Аз —
3
1
4
то система имеет бесчисленное множество решений. По-
скольку гап§ А = 2, п = 3, возьмем любые два уравнения
системы (например, первое и второе) и найдем ее решение.
Имеем:
3X1 + 4х2 — Хз = 0,1
XI — 3X2 + 5хз = ОД
Так как определитель из коэффициентов при неизвест-
ных XI и хг не равен нулю, то в качестве базисных
неизвестных возьмем Х[ и хг (хотя можно брать и другие
пары неизвестных) и переместим члены с хз в правые части
уравнений:
3X1 + 4х2 = Хз,
XI — 3X2 = — 5хз>,
Решаем последнюю систему по формулам Крамера (1.17):
XI = А^/Дг, х2 = А^/Аг,
где
3
1
4
Д2 =
„ = —9 —4= —13;
о
д^>=
Хз
— 5хз
4
-3
= — Зхз + 20хз = 17%з;
Отсюда находим, что х\ = —17хз/13, ха = 16хз/13. По-
лагая Хз=13А, где к— произвольный коэффициент
пропорциональности, получаем решение исходной си-
стемы: Х1 — — 17А, Хз = 16А, Хз= \3к. ◄
1.6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 1
1. Доказать, что
1 Х\ XI
1 Х2 Х2
1 Хз Хз
— (х2 — Х1) (х3 — Х1) (х3 — Хг).
2. Вычислить определитель и-го порядка:
1а 0 ... 0 0 1 1 +а а ... 0 0 0 1 Ц-а ... 0 0
0 0 0 ... 14-а 00 0 ... 1 х + 1 1 1 ... 11 — 1 х 0 ... 0 0 0 —1 х ... 0 0 а 1+' >
0 0 0 ... х 0 0 0 0 ... -1 х
в) а +1 х х ... х х г) х а а ... а
1 а х ... х х Ь х 0 ... 0
1 0 а ... х х * Ь 0 х ... 0 ;
1 0 0 ... а х Ь 0 0 ... х
д) 1 2 0 0 0 0 е) 12 3 15
3 8 0 0 0 0 0 10 5 1
-2 32-10 0 * 2 12 3 2-
7 2 3 2 0 0 0 3 0 13
5-13 57- -5 3 2 13 4
2 3 7 2 2 - -1
(Ответ: а) 1; б) (хл+1— 1)(х — 1 ); в) ап + (а — х)л~';
г) Xя — (л — \)аЬх? 2; д) 42; е) 168.)
3. Решить данную систему уравнений при всех возмож-
ных значениях параметра /:
2х — у + Зг = — 7,1
х-\-2у— — ?
/х + 51/— 15г — 8. )
(Ответ: при /=/=—! и / =/= 5 система несовместна; если
I = 5, то х == —9/5, у =(15а + 17)/5, г = а; если / = — 1,
то х=—3, г/ = За+1, х = а, где а — произвольное
число.)
4. При каких значениях X однородная система урав-
нений
— + Х2+...+ хя — О,
XI — Х%2 + • •« + Хя О,
XI + %2 + • • • — Ххл == О
имеет ненулевые решения? (Ответ: Х = л —1, X ——1.)
5. Показать, что если одна из квадратных матриц
л-го порядка А и В — особенная, то их произведение
АВ — также особенная матрица.
6. Найти
7. Решить систему матричных уравнений
2Х + ЗГ =
1
О
1
О
(12 3 1
Ответ-. о 2 ’ Г==
8. Установить число линейно независимых уравнений
в данной системе и найти ее общее решение:
XI + XI — Хз — 2X4 — 2X5 = 0, '
2X1 + 3X2 — 2хз — 5X4 — 4X5 =- О,
Х1 — Хг — Хз — 2X5 = О,
Х1 — 2х2 — Хз + х4 — 2х3 = 0.,
(Ответ: Х1 = хз + Х4 + 2хз, хг = х*.)
9. Привести к каноническому виду уравнение линии
х2 + у2 + Зху + х + 4у = 0 и указать соответствующее
(5 2
Ответ: —-уХ7 +
+ ±/ = 1. х=-2+^±Г, 9=1 + ^ДЛ
2 -х/2 л/2 '
10. Убедиться, что линия, определяемая уравнением
9х2 — бху + у2 — х — 2у — 14 = 0, является параболой.
11. Доказать справедливость равенства
1 1 1
® 0 у
1§2а 1^20
51п (а — р) 51'п (р — у) 51п (у — а)
СО52 а СО52 р СО52 у
12. Решить уравнения:
1 3 X 3 X —4
а) 4 5 — 1 = 0; б) 2 — 1 3 = 0.
2 — 1 5 х-|- 10 1 1
(Ответ: а) = — 3; б) Х1 = —10, х2 = 2.)
13. Решить неравенства:
-2 1
х —2
2 -1
<1; б)
2 ’ х + 2
1 1
5 —3
— 1
-2
(Ответ: а) х > 3,5; б)
-6<х< -4.)
х
14. Доказать, что если система уравнений
в1Х + + С\г + с1\ = О?
а2Х -|- Ь2у И- С2% И- — 0, ►
а3х &зУ Н- Сз2 -|- б?з = О,
и^х -|~ Ь$у И- С42 сЦ "= 0
совместна, то
Я1 Ь1 С\ с1х
а2 С2 = 0.
аз Ьз Сз
С4 ($4
15. Исследовать данную систему уравнений и найти ее
общее решение в зависимости от значения параметра к:
5%! — 3X2 + 2х3 + 4X4 = 3,
4x1 — 2x2 “Н Зхз “I- 7Х4 = 1, >
3X1 — 6x2 — Хз — 5X4 ~ 9,
7X1 — Зх2 + 7х3 + 17х4 = к. ,
(Ответ: при к 0 система несовместна; при к = 0 система
совместна и ее общее решение: Х1=( — 5хз—13x4 —
— 3)/2, х2 = (-7хз-19х4-7)/2.)
16. Указать, при каких к данная система уравнений
имеет решения или несовместна:
ХХ1 -|~ Х2 “1“ Хз Ц- Х4 = 1,
XI -|~ кХ2 “И Хз -|~ Х4 = 1,
XI -|- Х2 “И ХХз ~|~ Х4 == 1,
XI -|- Х2 “И Хз -|~ кХ4 = 1. >
(Ответ: если к = —3, то система несовместна; если X =/= 1,
к^ —3, то Х1 = Х2 — хз — Х4 = 1/(Х + 3); если 1, то
4
решения определяются одним уравнением 2 х(= 1.)
1= I
17. Найти решения системы при всех значениях к:
XXI -|- Х2 “И Хз = 0,1
Х1 -|~ кХ2 “1“ Хз 0, г
Х[ -|- Х2 “I- кХз = 0. I
(Ответ: если (к + 2) (Л — 1) 0, то х1=х2 = х3 = 0; если
к= — 2, то XI =х2 = х3; если к — 1, то решения опреде-
ляются одним уравнением Х1 Н-Х2 + хз = 0.)
18. Найти необходимые и достаточные условия для
того, чтобы сумма двух решений системы линейных урав-
нений также была ее решением. (Ответ: однородность
системы.)
19. Найти необходимые и достаточные условия для то-
го, чтобы произведение решения системы линейных уравне-
ний и числа X 1 также было ее решением. (Ответ: одно-
родность системы.)
20. При каком условии некоторая линейная комбинация
любых решений данной неоднородной системы линейных
уравнений будет решением этой системы? (Ответ: сумма
коэффициентов линейной комбинации равна 1.)
2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
2.1. ВЕКТОРЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.
ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора
находится в точке А, а конец — в точке В, то вектор обозначается
—>•
АВ. Если же начало н конец вектора не указываются, то его обознача-
ют строчной буквой латинского алфавита а, Ь, с, ... На рисунке направ-
ление вектора изображается стрелкой (рис. 2.1).
Через В А обозначают вектор, направленный противоположно век-
тору АВ. Вектор, у которого начало н конец совпадают, называется
нулевым и обозначается 0. Его направление является неопределенным.
Другими словами, такому вектору можно приписать любое направление.
Длиной или модулем вектора называется расстояние между его началом
н концом. Записи 1АВ| (или АВ) н |а| (или а) обозначают модули векто-
ров АВ и а соответственно.
Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной
прямой, и компланарными, если они параллельны одной плоскости.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одина-
ково направлены и равны по длине. На рнс. 2.2 изображены пары
равных векторов АВ и СО, а н Ь: АВ = СО, а—Ь. Из определения
равенства векторов следует, что векторы можно переносить параллельно
самим себе, не нарушая нх равенства. Такие векторы называются
свободными.
К линейным операциям над векторами относятся: умножение век-
тора на число н сложение векторов.
Произведением вектора а и числа а называется вектор, обозна-
чаемый аа (нли аа), модуль которого равен |а||а|, а направление
совпадает с направлением вектора а, если а > 0, и противоположно
ему, если а<0.
Суммой векторов а/ (/=1, п) называется вектор, обозначаемый
п
Я1 4~ а2 +••+ &п = 2 а/, начало которого находится в начале первого
/=1
вектора аь а конец — в конце последнего вектора а* ломаной линии,
составленной нз последовательности слагаемых векторов (рис. 2.3). Это
Рис. 2.3
правило сложения называется правилом замыкания ломаной. В случае
суммы двух векторов оно равносильно правилу параллелограмма
(рнс. 2.4).
Прямая I с заданным на ней направлением, принимаемым за поло-
жительное, называется осью I.
Проекцией вектора а на ось I называется число, обозначаемое
пр/ а и равное |а| соз ф, где ф (О^ф^л) — угол между положительным
направлением оси I н направлением вектора а, т. е. по определению
пр/а = |а| соз ф. Геометрически проекцию вектора а можно охаракте-
ризовать длиной отрезка ММ, взятой со знаком « + », если О ф л/2,
и со знаком «—если л/2<ф^л (рнс. 2.5). Прн ф = л/2 отрезок
ММ превращается в точку н пр/ а = 0.
Рис. 2.5
Координатами вектора а называются его проекции на осн координат
Ох, Оу, Ог. Они обозначаются соответственно буквами х, у, г. Запись
а = (х, у, г) означает, что вектор а имеет координаты х, у, г.
Для равенства векторов необходимо и достаточно, чтобы их соот-
ветствующие координаты были равны. Если М1(хь у\, 21) н Мг(хг, (/г, 2г),
то М1М2 — (х2 — Х1, у2 — У1, г2 — 21).
Линейной комбинацией векторов а* называется вектор а, опреде-
п
ляемый по формуле а= 2 Х,а/, где —некоторые числа. Если век-
/=1
торы а< определяются координатами х(, (/<, 2/, то для координат вектора а
/ Г‘ П П \
имеем: а = ^ 2 ^х/, 2 ^у^ 2
Линейные операции над векторами удовлетворяют свойствам, по
форме аналогичным свойствам умножения н сложения чисел. На-
пример,
а + Ь — Ь 4- а, (а + р)а = аа + ра, а(а + Ь) — аа + аЬ,
а + (— 1)а— а — а = 0, 1а = а, 0а=0
н т. д.
Если для системы л векторов % равенство
2 А*а,= 0 (2.1)
1=1
верно только в случае, когда 1, = 0, то эта система называется линейно
независимой. Если же равенство (2.1) выполняется для к/, хотя бы
одно из которых отлично от нуля, то система векторов а, называется
линейно зависимой. Например, любые коллинеарные векторы, три ком-
планарных вектора, четыре и более векторов в трехмерном пространстве
всегда линейно завнснмы.
Три упорядоченных линейно независимых вектора еь ег, е3 в про-
странстве называются базисом. Упорядоченная тройка некомпланарных
векторов всегда образует базис. Любой вектор а в пространстве
можно разложить по базису ег, ез, т. е. представить а в виде ли-
лейной комбинации базисных векторов: а = хе1-|-#ег + гез, где х, */, г
являются координатами вектора а в базисе ег, е3. Базис называ-
ется ортонормированным, если его векторы взаимно перпендикулярны
и имеют единичную длину. Обозначают такой базис 1, к.
Пример 1. Даны векторы а, Ь, с (рис. 2.6, а). Изобразить на рисунке
их линейную комбинацию —2а-|- —Ь4-4с.
> Выбираем на плоскости произвольную точку О н откладываем от
нее вектор —2а (рис. 2.6, б). Затем от конца вектора —2а откладываем
Рис. 2.6
1 к ,
вектор -г-Ь и, наконец, строим вектор 4с, выходящий из конца вектора
О
Ь. Искомая линейная комбинация изображается вектором, замы-
О
кающим полученную ломаную, начало которого находится в точке О. ◄
Пример 2. Векторы заданы в ортонормироваином базисе I, ], к
координатами: а = (2, —1, 8), е1 — (1, 2, 3), ег = (1, —I, — 2), е3—
= (1, —6, 0). Убедиться, что тройка еь ег, ез образует базис, и найти коор-
динаты вектора а в этом базисе.
► Если определитель
1 2 3
А = 1 —1 — 2
1 -6 О
составленный из координат векторов еь е2, ез, не равен 0, то векторы еь
е2, ез линейно независимы и, следовательно, образуют базис. Убежда-
емся, что А——б —4Ц-3—12=—19у=0. Таким образом, тройка
еь е2, ез — базис.
Обозначим координаты вектора а в базисе еь е2> ез через х, у, г.
Тогда а = (х, у, г) = хе1 + уъ + гез. Так как по условию а == 21 — ] 4-
4~8к, е 1 — 1 + 2] 4- Зк, е2 = 1 —] —2к, ез = । — 6], то из равенства а =
= хе1 -|- (/е2 + ?ез следует, что 21 — ] 4* Зк = х| + 2*] 4* Зхк 4- у! — У\ —
— 2г/к 4- Я — 6г] = (х 4- у 4- г)1 4* (2х — у — 6г)] 4* (Эх — 2у) к. Как вид-
но, вектор в левой части полученного равенства равен вектору в правой
его части, а это возможно только в случае равенства их соответствующих
координат. Отсюда получаем систему для нахождения неизвестных
х, у, г:
х4- у+ г = 2, )
2х— у — бг= — 1, >
Зх — 2у =8. I
Ее решение: х = 2, у — — 1, г — 1.
Итак, а = 2е] — е2 4-ез = (2, —1, 1). ◄
АЗ-2.1
1. По данным векторам а и Ь построить следующие их
линейные комбинации: а) 2а + Ь; б) а — ЗЬ; в) — а + 4-Ь;
о Л
Г) —За —2-Ь.
2. Векторы АВ = с, ВС = а, СА — Ь служат сторо-
нами треугольника АВС. Выразить через а, Ь, с векторы
АМ, ВЫ, СР, совпадающие с медианами треугольника
АВС. ( Ответ: АМ = 2- а + с или АМ = 2- (с — Ь), ВЫ =
= а 4~ 2- Ь или ВЫ = 2- (а — с), СР = Ь + 2- с или СР =
= Т<Ь—)•)
3. В треугольной пирамиде 8АВС известны векторы
5Л = а, ЗВ = Ь, 8С = с. Найти вектор 50, если точка О
является центром масс треугольника ЛВС. (Ответ: 80 =
= 2.(а + Ь + с).)
4. Дана прямоугольная трапеция АВСВ, длины осно-
ваний АВ н ВС которой соответственно равны 4 и 2, а угол
В равен 45°. Найтн проекции векторов АВ, АВ, ВС, АС
на ось I, определяемую вектором СВ. (Ответ: пр/ЛД =
= 2^2, пр/ЛВ=—д/2, пр/ВС = ~у/2, пр/ЛС = 0.)
5. Вектор а составляет с координатными осями Ох и Оу
углы а = 60°, р=120°. Вычислить его координаты, если
Iа| = 2. (Ответ: а = (1, — 1, у2) или а = (1, — 1, — у 2).)
6. Даны векторы а = (3, — 2, 6) и Ь = ( —2, 1,0). Найти
координаты векторов: 2а— у Ь; у а — Ь; 2а + ЗЬ. (Ответ:
(20/3, -13/3, 12); (3, -5/3, 2); (0, -1, 12).)
7. Найти координаты единичного вектора е, направлен-
ного по биссектрисе угла, образуемого векторами а —
= (2, -3, 6) и Ь = (-1, 2, —2). (Ответ: е = /----
V \ \42
8. В некотором базисе векторы заданы координатами:
а = (1, 1,2),е1=(2, 2, -1), е2 = (0, 4, 8), е3 = (-1, -1,3).
Убедиться, что векторы еь е2, е3 образуют базис, и найти в
нем координаты вектора а. (Ответ: а = (1, 0, 1).)
Самостоятельная работа
1. Найти длины диагоналей параллелограмма, постро-
енного на векторах а = (3, —5, 8) и Ь = (— 1, 1, —4).
(Ответ: |а + Ы—6, |а —Ы —14.)
2. Векторы АВ = (2, 6, —4) и ЛС = (4, 2, —2) опреде-
ляют стороны треугольника АВС. Найтн длину вектора
СВ, совпадающего с медианой, проведенной из вершины С.
{Ответ: |СР|=УТо.)
3. Найти координаты вектора с, направленного по
биссектрисе угла между векторами а = ( —3, 0, 4) и Ь =
= (5, 2, 14). {Ответ: с = Х(-2, 1, 13), Х>0.)
2.2. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ.
скалярное ПРОИЗВЕДЕНИЕ
ВЕКТОРОВ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Отношением, в котором точка М делит отрезок М}Мг, называется
число А, удовлетворяющее равенству М\М = кММ2. Связь между ко-
ординатами делящей точки Л4(х, у, г), точек Л4|(хь у^ 2|), Мг(хг, У2, 2 г)
и числом Л задается равенствами:
X] 4-^*2 1/14-А02 2] 4-Л22
х 1 +Л ’ у 1 +Л ’ г~ 1 4-Л *
Деление отрезка Л1|Л12 будет внутренним, если Л>0, и внешним,
если Л < 0. При Л= 1 точка М будет серединой отрезка М 1Л1г, X =/= — 1*
Пример 1. Концы однородного стержня находятся в точках
Л4|(3, —5, 8) и Л42(7, 13, —6). Найти координаты центра масс стержня.
► Центр масс С(х, у, г) однородного стержня находится в его
середине. Поэтому Х = 1 и
+ х2 _ 3 4-7 _ у\ у2 ______________ -5 4-13 _____ .
л о п У о о %
Скалярным произведением двух векторов а и Ъ называется число,
обозначаемое с = а • Ь и равное произведению модулей данных век-
торов на косинус угла между ними:
а • Ь = |а||Ь| соз (^\),
где (а^Ь) обозначает меньший угол между направлениями векторов
а и Ь. Отметим, что всегда 0 (а^Ь) л.
Перечислим основные свойства скалярного произведения векторов:
1) а-Ь = Ьа;
2) (Ла) • Ь = Л(а • Ь) = а • (ЛЬ);
3) а • (Ь + с) ~ а • Ь + а • с;
4) а• Ь = |а| праЬ — |Ь| прь а;
5) а • а = |а|2;
6) а-Ь — 0оа1Ь.
Если а = (хь у\, 2|), Ь = (х2, У2, 22), то в базисе 1, ], к:
а • Ь = Х|Х2 4- у\у2 4- 2122,
I а| = + У? 4- г?, IЬ| = ~\/х22 4- й + г2
Обозначим через а, 0, у углы, которые образует вектор а =
= (хь Уъ 21) с осями координат Ох, Оу, Ог соответственно (или,
что то же самбе, с векторами 1, ], к). Тогда справедливы следующие
формулы:
соз а = -5-1. = — Х‘ —, соз 0 = * , У' =^,
а' 4? + </? +2? а 4? 4- </? 4- г?
а * к 21 о 2л 2 *
соз у = -т—г- = — -----, соз а 4- соз 0 -|- соз у — I.
а| I 2 I ,,2 I ,2
Vх* 4-1/1 4-*1
Величины соз а, соз 0, соз у называются направляющими косину-
сами вектора а.
Работа А силы Р, произведенная этой силой при перемещении
тела На пути |з|, определяемом вектором з, вычисляется по формуле
А — Р • з — | К|| $| соз (Р, з).
Пример 2. Вычислить работу равнодействующей Е сил Е| —
= (3, —4, 5), Е2 = (2, 1, —4), Е3 ~ 1, 6, 2), приложенных к материаль-
ной точке, которая под их действием перемещается прямолинейно из
точки М1 (4, 2, —3) в точку Л42(7, 4, 1).
► Так как Е = Е1 + Е2 + Ез = (4, 3, 3), М1М2 — $ = (3, 2, 4), то
Д = Е • 8 = 4 • 3 + 3 • 2 + 3 • 4 = 30. «
АЗ-2.2
1. Даны две вершины А (2, —3, —5), В(—1,3, 2) парал-
лелограмма АВСО и точка пересечения его диагоналей
Е(4, —1, 7). Найтн координаты остальных вершин парал-
лелограмма. (Ответ: С(6, 1, 19), 0(9, —5, 12).)
2. Отрезок, ограниченный точками А(—1, 8, —3) и
В(9, —7, —2), разделен точками М\, М2, Мз, М4 на
пять равных частей. Найтн координаты точек М\ н Мз.
(Ответ: М1(1, 5, —2), М3(5, —1, 0).)
3. Определить координаты концов А и В отрезка, кото-
рый точками С(2, 0, 2) и 0(5, —2, 0) разделен на три
равные части. (Ответ: Л(—1, 2, 4), В(8, —4, —2).)
4. Векторы а н Ь образуют угол <р = 2л/3, и |а| =3,
|Ь| = 4. Вычислить: а2; Ь2; (а + Ь)2; (а —Ь)2; (За —
— 2Ь)-(а + 2Ь). (Ответ: 9; 16; 13; 37; —61.)
5. Даны векторы О А = а, ОВ = Ь, для которых |а| =2,
|Ь| =4, (а, Ь) = 60°. Вычислить угол <р между медианой
ОМ и стороной О А треугольника АОВ. (Ответ: соз<р =
= 2/77, Ф«41°.)
6. Определить работу силы Р, |Р| = 15 Н, которая,
действуя на тело, вызывает его перемещение на 4 м под
углом л/3 к направлению действия силы. (Ответ: 30 Дж.)
7. Даны векторы а = (4, —2, —4) Ь = (6, —3, 2). Вы-
числить: а-Ь; а2; Ь2; (а + Ь)2; (а—Ь), (2а — ЗЬ)• (а + 2Ь).
(Ответ: 22; 36; 49; 129; 41; —200.)
8. Даны вершины треугольника АВС: Л(—1, —2, 4),
В( —4, —2, 0), С(3, —2, 1). Вычислить внешний угол при
вершине В. (Ответ: Зл/4.)
9. Под действием силы Р = (5, 4, 3) тело переместилось
из начала вектора 5 = (2, 1, —2) в его конец. Вычислить
работу А силы Р и угол ф между направлениями силы
и перемещения. (Ответ: А = 8, созф^0,38, <р« 1,18 рад
или ф^67°40'.)
Самостоятельная работа
Ь Даны вершины четырехугольника Л(1, —2, 2),
В(1, 4, 0), С(—4, 1, 1), 1)(—5, —5, 3). Вычислить угол ф
между его диагоналями. (Ответ’. ф = 90°.)
2. При каком значении а векторы а = си — 3] + 2к и
Ь = 1-|-— сск взаимно перпендикулярны? (Ответ: а =
--6.)
3. Найти координаты вектора Ь, коллинеарного век-
тору а = (2, 1, — 1), при условии а*Ь = 3. (Ответ: Ь =
= (1, 1/2, -1/2).)
2.3. ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов а, Ь, с с общим
началом в точке О называется правой, если кратчайший поворот от
вектора а к вектору Ь наблюдается из конца вектора с происходящим
против движения часовой стрелки (рис. 2.7, а). В противном случае
данная тройка называется левой (рис. 2.7,6).
Рис. 2.7
Векторным произведением векторов а и Ь называется вектор с, обо-
значаемый с==аХЬ, который удовлетворяет следующим трем условиям:
1) |с! = |а||Ы ат (а?Ь);
2) с ± а, с ± Ь;
3) тройка а, Ь, с — правая (рис. 2.8).
Перечислим основные свойства векторного произведения векторов:
1) аХЬ= -(ЬХа);
2) (Ха) X Ь = Х(аХ Ь) - аХ (ХЬ);
3) аХ(Ь + с) = аХЬ + аХс;
4) аХЬ = 0оа||Ь;
5) |аХЬ| = $, где 5 — площадь параллелограмма, построенного
иа векторах а и Ь, имеющих общее начало в точке О (см. рис. 2.8).
Если а = (хь у\, 2|), Ь — (х2, у?, то векторное произведение
аХЬ выражается через координаты данных векторов а и Ь следующим
образом:
аХЬ =
з
XI
Х2
1 »<
У\ 2»
У2 22
С помощью векторного произведения можно вычислить вращающий
момент М силы Г, приложенной к точке В тела, закоепленног^ д
—>-
точке А: М = ЛВХГ(рис. 2.9).
Пример 1. Вычислить координаты вращающего момента М силы
Р = (3, 2, 1), приложенной к точке 4(—1, 2, 4), относительно начала
координат О.
Имеем
М = О А X Г =
1
2
2
к
4
1
-1
3
= (-6, 13, —8). <4
Смешанным произведением векторов а, Ь, с называется число
(аХЬ)-с.
Перечислим основные свойства смешанного произведения векторов:
1) (а X Ь) • с = а • (Ь X с), поэтому смешанное произведение можно
обозначать проще: аЬс;
2) аЬс = Ьса = саЬ = — Ьас = — сЬа = — асЬ;
3) геометрический смысл смешанного произведения заключается
в следующем: аЬс=±К где V — объем параллелепипеда, построен-
ного на перемножаемых векторах, взятый со знаком « + », если тройка
векторов а, Ь, с — правая, или со знаком « —», если она левая (см.
рис. 2.7);
4) аЬс = 0оа, Ь, с компланарны.
Если а=(хь У1, 2|), Ь = (ха, Уъ г2), с = (х3, Уз, г3), то
аЬс —
X!
Х2
Хз
У2
Уз
21
22
2з
Пример 2. Даны векторы а = (1, 3, 1), Ь = (—2, 4, —1), с =
= (2, 4, —6). Требуется установить, компланарны ли данные векторы,
в случае их некомпланарности выяснить, какую тройку (правую или
левую) они образуют, и вычислить объем построенного на них парал-
лелепипеда.
► Вычислим
1 3
— 2 4
2 4
аЬс —
1
— 1
-6
= -78.
Из значения смешанного произведения следует, что векторы нскомпла-
нарны, образуют левую тройку и V — 78. <4
АЗ-2.3
1. Векторы а и Ь взаимно перпендикулярны, |а| =3,
|Ь|=4. Вычислить: |аХЬ|; |(а + Ь)X (а — Ь)|; |(3а —
-Ь)Х(а-2Ь)|. (Ответ: 12; 24; 60.)
2. Даны векторы а = (3, —1,’ —2), Ь = (1, 2, — 1).
Найти координаты векторов: аХ Ь; (2а + Ь)Х Ь; (2а—Ь)Х
Х(2а + Ь). (Ответ: (5, 1, 7); (10, 2, 14); (20, 4, 28).)
3. Вычислить площадь треугольника АВС, если из-
вестно, что: Л(1, 2, 0), В(3, 0, 3), С(5, 2, 6). (Ответ: 2^13)
4. Сила Р = (2, 2, 9) приложена к точке А (4, 2, — 3).
Вычислить величину и направляющие косинусы момента
М этой силы относительно точки В (2, 4, 0). (Ответ: |М| =
= 28, соз а = 3/7, соз р = 6/7, соз у = —2/7.)
5. Даны вершины пирамиды .Л (2, 0, 4), В(0, 3, 7),
С(0, 0, 6), 5(4, 3, 5). Вычислить ее объем V и высоту //,
опущенную на грань Л 05. (Ответ: |/ = 2, 77 = 2/-д/з.)
6. Лежат ли точки А(1, 2, —1), В (4, 1,5), С( — 1, 2, 1),
0(2, 1, 3) в одной плоскости? (Ответ: лежат.)
7. Компланарны ли следующие векторы: а) а — (2, 3, 1),
Ь = (1, -1, 3), с = (—1, 9, -11); б) а = (3, -2, 1),
Ь = (2, 1, 2), с = (3, —1, —2)? (Ответ: а) компланарны;
б) не компланарны.)
8. Выяснить, правой или левой будет тройка векторов
а = (3, 4, 0), Ь = (0, —4, 1), с = (0, 2, 5). (Ответ: левой.)
Самостоятельная работа
1. 1) Дано: |а| = 10, |Ь| — 2, а-Ь = 12. Вычислить
|а ХЬ| (Ответ: 16.)
2) Вычислить площадь параллелограмма, построен-
ного на векторах а —(0, —1, 1) и Ь = (1, 1, 1). (Ответ: 6.)
2. СилаР = (3,2, —4) приложена к точке Л(2, —1, 1).
Найти вращающий момент М этой силы относительно
начала координат. (Ответ: М= (2, 11, 7).')
3. Вычислить объем V треугольной призмы, построен-
ной на векторах а = (7, 6, 1), Ь = (4, 0, 3), с = (3, 6, 4).
(Ответ-. V = 24.)
2. 4. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 2
ИПЗ-2 1 Решения всех
вариантов тут »>
/. Даны векторы а = ат + рп и Ь = ут + 6п, где
|т| = к; |п| = /; (т?п) = ф- Найти: а) (Ха + рЬ) • (у а 4- тЬ);
б) прв(уа4-тЬ); в) соз(а^тЬ).
1.1. а = —5, р = —4, 7 = 3, 6 = 6, к = 3, / = 5, ф =
= 5л/3, X = —2, р = 1 /3, V = 1, т = 2. (Ответ-, а) 2834.)
1.2. а = —2, р = 3, у = 4, 6 = — 1, /г = 1, / = 3, <р = л,
Х = 3, р = 2, у =—2, т = 4. (Ответ: а) —950.)
1.3. а = 5, р=—2, 7=—3, 6=—1, й = 4, I = 5,
ф = 4л/3, X = 2, р = 3, V = — 1, т = 5. (Ответ: а) — 1165.)
1.4. а = 5, р = 2, 7=—6, 6=—4, к = 3, I = 2, ф =
= 5л/3, Х = — 1, р = 1/2, у = 2, т = 3. (Ответ: а) 416.)
1.5. а = 3, р= — 2, 7= —4, 6 = 5, к =2, 1 = 3, ф =
= л/3, Х = 2, р=—3, у = 5, т=1. (Ответ: а) 750.)
1.6. а = 2, р= -5, 7= —3, 6 = 4, к =2, 1 = 4, <р =
= 2л/3, X = 3, р = — 4, V = 2, т = 3. (Ответ: а) —2116.)
1.7. а = 3, р = 2, 7=—4, 6=—2, к = 2, 1 = 5, ф =
= 4л/3, X = 1, р = —3, V = 0, т = — 1/2. (Ответ: а) 165.)
1.8. а = 5, р = 2, 7=1, 6= —4, к = 3, 1 = 2, ф = л,
Х= 1, р=—2, V = 3, т= — 4. (Ответ: а) —583.)
1.9. а = —3, Р= —2, 7=1, 6 = 5, к.= 3, 1 = 6, ф =
= 4л/3, Х=—1, р = 2, у=1, т=1. (Ответ: а) 1287.)
1.10. а = 5, Р=—3, 7 = 4, 6=2, к = 4, 1=1, ф =
= 2л/3, X = 2, р= —1/2, у = 3, т = 0. (Ответ: а) 2337.)
1.11. а = — 2, р = 3, 7 = 3, 6 = -6, к = 6, I = 3, <р =
= 5л/3, Х = 3, р = —1/3, V = 1, т = 2. (Ответ: а) —936.)
1.12. а = —2, Р=—4, 7 = 3, 6=1, к = 3, I = 2,
Ф = 7л/3, Х = —1/2, р = 3, V = 1, т = 2. (Ответ: а) 320.)
1.13. а = 4, р = 3, 7=—1, 6 = 2, к = 4, 1 = 5, <р =
= Зл/2, Х = 2, р= —3, у= 1, т = 2. (Ответ: а) 352.)
1.14. а= —2, Р = 3, 7 = 5, 6 = 1, к = 2, 1 = 5, ф = 2л,
Х= — 3, р = 4, у = 2, т = 3. (Ответ: а) 1809.)
1.15. а = 4, р= —3, 7 = 5, 6 = 2, к = 4, 1 = 7,
ф = 4л/3, Х= —3, р = 2, у = 2, т=—1.. (Ответ:
а) -5962.)
1.16. а = —5, р = 3, у = 2, 6 = 4, к = 5, I = 4, ф = л,
7=—3, р. = 1/2, у=—1, т = 1. (Ответ: а) 3348.)
1.17. а = 5, р=—2, у = 3, 6 = 4, к = 2, 1 = Ъ, <р =
= л/2, к = 2, ц = 3, у= 1, т=—2. (Ответ: а) —2076.)
1.18. а = 7, Р=— 3, 7 = 2, 6 = 6, к = 3, I = 4, ф =
= 5л/3, 7 = 3, |л= —1/2, \ = 2, т = 1. (Ответ: а) 1728.)
1.19. а = 4, Р=— 5, 7=— 1, 6 = 3, к = 6, 1 = 8,
<р = 2л/3, 7 = 2, р = — 5, V = 1, т = 2. (Ответ: а) 1044.)
1.20. а = 3, р=— 5, 7=— 2, 6 = 3, й=1, I = 6,
Ф = Зл/2, 7 = 4, ц = 5, V = 1, т = —2. (Ответ: а) 1994.)
1.21. а= — 5, Р= —6, 7 = 2, 6 = 7,й=2,/ = 7,ф = л,
7=—2, ц = 5, у = 1, т = 3. (Ответ: а) 29 767.)
1.22. а=—7, р = 2, 7 = 4, 6 = 6, к = 2, 1 = 9, ф =
= л/3, 7=1, ц = 2, у =—1, т = 3. (Ответ: а) 20758.)
1.23. а = 5, р = 4, 7=— 6, 6 = 2, к = 2, 1 = 9, ф =
= 2л/3, 7 = 3, ц = 2, V = 1, т = — 1/2. (Ответ: а) 2751.)
1.24. а= — 5, Р= — 7, 7 = —3, 6 = 2, к = 2, 1 = 11,
Ф = Зл/2, 7=—3, ц = 4, у =—1, т = 2. (Ответ:
а) 38 587.)
1.25. а = 5, р = —8, 7= —2, 6 = 3, к = 4, I = 3, ф =
= 4л/3, 7 = 2, ц =—3, у=1, т = 2. (Ответ: а) 1048.)
1.26. а= —3, р = 5, 7=1, 6 = 7, к = 4, 1 = 6, ф =
= 5л/3, 7= — 2, р = 3, у = 3, т=—2. (Ответ: а) —2532.)
1.27. а= — 3, Р = 4, 7 = 5, 6= — 6, к = 4,1 = 5, ф = л,
7=2, р = 3, у=—3, т=— 1. (Ответ: а) 21156.)
1.28. а = 6, р=—7, 7=—1, 6= — 3, к = 2, 1 = 6,
Ф = 4л/3, 7 = 3, |х = —2, V = 1, т = 4. (Ответ: а) — 12 200.)
1.29. а = 5, р = 3, 7= —4, 6 = — 2, к = 6, I = 3, ф =
= 5л/3, 7=—2, ц =—1/2, V = 3, т = 2. (Ответ:
а) —2916.)
1.30. а = 4, р= —3, 7= —2, 6 = 6, к = 4, I = 7, ф =
= л/3, 7 = 2, р. = —1/2, V = 3, т = 2. (Ответ: а) —801.)
2. По координатам точек А, В и С для указанных
векторов найти: а) модуль вектора а; б) скалярное произ-
ведение векторов а и Ь; в) проекцию вектора с на вектор д;
г) координаты точки М, делящей отрезок I в отношении
а: р.
2.1. Л(4, 6, 3), В(-5, 2, 6), С(4, -4, —3), а = 4Св-
— АС, Ь = АВ, с = СВ, 4= АС, 1 = АВ, а = 5, р = 4.
(Ответ: а) V4216! б) 314; г) (—1, 34/9, 14/3).)
2.2. Л(4, 3, —2), В(-3, -1, 4), С(2, 2, 1), а =
= — 5ЛС4-2СВ, Ь = АВ, с = АС, 4 = СВ, 1 = ВС, а = 2,
Р = 3. (Ответ: а) ^82; б) -50; г) (-1, 1/5, 14/5).)
2.3. Л (-2, — 2, 4), В(1, 3. — 2), С(1, 4, 2), а = 2ЛС-
— ЗВЛ, Ъ = ВС, с=ВС, д = АС, 1 = ВА, а = 2, 3=1.
(Ответ: а) ^/1750; б) -53; г) (-1, -1/3, 2).)
2.4. А(2, 4, 3), В(3, 1, -4), С(- 1, 2, 2), а = 2ВА +
4-4ЛС, Ь = ВЛ, с = Ь, 4 = АС, 1 = ВА, а=1, 0 = 4.
(Ответ: а) д/зОО? б) 78; г) (14/5, 8/5, -13/5).)
2.5. Л(2, 4, 5), В(1, —2, 3), С(— 1, -2, 4), а = ЗЛВ -
— 4АС, Ъ — ВС, с = Ь, <1 = АВ, 1 = АВ, а = 2, 0 = 3.
(Ответ: а) 11; б) —20; г) (8/5, 8/5, 21/5).)
2.6. Л( —1, —2, 4), В(-1, 3, 5), С(1, 4, 2), а = ЗЛС-
— 7ВС, Ь — АВ, с = Ь, д = ЛС, / = ЛС, а=1, 0 = 7.
(Ответ: а) -^410; б) 70, г) ( — 3/4, -5/4, 15/4).)
2.7. Л(1, 3, 2), В(-2, 4, - 1), С(1, 3, -2), а = 2ЛВ +
+ 5СВ, Ь = ЛС, с = Ь, а = АВ, 1 = АВ, а = 2, 0 = 4.
(Ответ: а) б) 4; г) (0, 10/3, 1).)
2.8. Л(2, — 4, 3), В(-3, — 2, 4), 6(0, О, — 2), а = ЗЛ6 —
— 4СВ, Ь = с = ЛВ, д = СВ, 1 = АС, а = 2, 0=1.
(Ответ: а) д/1957; б) -29; г) (2/3, -4/5, -1/3).)
2.9. Л(3, 4, -4), В(—2, 1, 2), 6(2, -3, 1), а = 5СВ +
4-4ЛС, Ь=Ъ = ВА, д = АС, 1 = ВА, а = 2, 0 = 5.
(Ответ: а) д/’265; б) —294; г) (-4/7, 13/7, 2,7).)
2Л0. Л(0, 2, 5), В(2, -3, 4), 6(3, 2, -5), а= — ЗАВ +
+ 4СВ, Ь с = Л6, а = АВ, 1 = АС, а = 3, 0 = 2. (Ответ:
а) V !646; б) - 420; г) (9/5, 2, - 1).)
2.11. Л( —2, -3, -4), В(2, —4, 0), С(1, 4, 5), а =
= 4ЛС — 8ВС, Ь = с = АВ, с! = ВС, 1 = АВ, а = 4, 0 = 2.
(Ответ: а) -у/\777; б) 80; г) (2/3, -11/3, -4/3).)
2.12. Л(-2, —3, —2), В(1, 4, 2), С(1, -3, 3), а =
= 2АС-4ВС, Ь = с=ЛВ, д=ЛС, / = ВС, а = 3, 0= 1.
(Ответ: а) д/856; б) 238; г) (1, -5/4, 11/4).)
2.13. Л(5, 6, 1), В(-2, 4, -1), С(3, -3, 3), а = ЗЛВ-
— АВС, Ь = с = ЛС, й = АВ, 1 = ВС, а = 3, 0 = 2.
(Ответ: а) д/2649'- б) —160; г) (1, —1/5, 7/5).)
2.14. Л(10, 6, 3), В(—2, 4, 5), С(3, -4, —6), а =
= 5АС — 2СВ, Ь = с = ВЛ, д=АС, 1 = СВ, а= 1, 0 = 5.
(Ответ: а) д/9479! б) —298; г) (13/6, —8/3, -25,6).)
2.15. Л(3, 2, 4), В( —2, 1, 3), С(2, -2, -1), а=4ВС —
— ЗЛС, Ь = ВЛ, с = ЛС, <1=ВС, 1 = АС, а = 2, 0 = 4.
(Ответ: а) ^В2\ б) 94; г) (8/3, 2/3, 7/3).)
2.16. Л( —2, 3, -4), В(3, -1, 2), С(4, 2, 4), а = 7ЛС +
+ АСВ, Ь = с = АВ, <1 = СВ, I = АВ, а = 2, 0 = 5. (Ответ:
а) -д/41"; б) 554; г) (-4/7, 13/7, -16/7).)
2.17. Л(4, 5, 3), В( —4, 2, 3), С(5, -6, -2), а = 9ЛВ —
— АВС, Ь = с = АС, а = ЛВ, 1 = ВС, а = 5, 0=1. (Ответ:
а) V12089; б) —263; г) (7/2, -14/3, -7/6).)
2.18. Л(2, 4, 6), В(-3, 5, 1), С(4, -5, -4), а =
= —6ВС + 2ВЛ, Ь = с = СЛ, д = ВА, 1 = ВС, а = 1,
0 = 3. (Ответ: а) ^/5988; б) 986; г) (-5/4, 5/2, —1/4).)
2.19. Л( —4, —2, -5), В(3, 7, 2), С(4, 6, -3), а =
= 9ВЛ + ЗВС,Ь = с = А С, 4 = ВС, I = В А, а = 4, 0 = 3.
(Ответ: а) V16 740; б) —1308; г) (—1, 13/7, —2).)
2.20. Л(5, 4, 4), В( —5, 2, 3), С(4, 2, — 5), а = 11ЛС —
— 6ЛВ, Ь = ВС, с=ЛВ, д = ЛС, 1 = ВС, а = 3, 0=1.
(Ответ: а) д/11 150; б) 1185; г) (7/4, 2, —3).)
2.21. Л(3, 4, 6), В( —4, 6, 4), С(5, -2, -3), а =
= — 7ВС + АСА, Ь = ВЛ, с = СЛ, б = ВС, 1 = ВА, а = 5.
0 = 3. (Ответ: а) л/>8666; б) —487; г) (3/8, 19/4, 21/4).)
2^22. Л(_-5, —2, -6^, В(3,Д 5), С(2, -5, 4), а =
= 8ЛС-5ВС, Ь = с = АВ, <1 = ВС, 1 = А С, а = 3, 0 = 4,
(Ответ: а) д/11 387; б) 1549; г) ( — 2, —23/7, —12/7).)
2.23. Л(3, 4, 1), В(5, —2, 6), С(4, 2, -7), а= -7АС+
+ 5ЛВ, Ь = с = ВС, а = АС, 1 = АВ, а = 2, 0 = 3.
(Ответ: а) V6826; б) -1120; г) (19/5, 8/5, 3).)
2.24. Л(4, 3, 2), В(—4, -3, 5), С(6, 4, —3), а = 8ЛС-
— 5ВС, Ь = с = ВЛ, д = ЛС, 1 = ВС, а = 2, р = 5.
(Ответ: а) д/1885; б) ~434; г) (~8/7. -С 19/7).)
2.25. Л(-5, 4, 3), В(4, 5, 2), С(2, 7, —4), а = ЗВС +
+ 2ЛВ, Ь = с = СА, а = АВ, I = ВС, а = 3, р = 4. (Ответ:
а) д/бов- б) ~248; г) (22/7-41/7- ~4/7)-) г
2.26. Л(6, 4, 5), В( — 7, 1, 8), С(2, -2, —7), а = 5СВ —
— 2АС, Ь = АВ, с —СВ, 6 = АС, 1 = АВ, а = 3, 0 = 2.
(Ответ: а) д/11 899; б) 697; г) (-9/5, 11/5, 34/5).)
2.27. Л (6, 5, — 4), В(-5, — 2, 2), С(3, 3, 2), а = 6ЛВ -
— ЗСВ, Ь = с = АС, 6 —СВ, 1 = ВС, а = 1, р = 5. (От-
вет: а) д/3789; б) 396; г) (-11/3, -7/6, 2).)
2.28. Л(-3, -5, 6), В(3, 5, -4), С(2, 6, 4), а = 4ЛС-
— 5ВЛ, Ь = СВ, с = ВЛ, <1 = ЛС, / = ВЛ, а = 4, 0 = 2.
(Ответ: а) д/14 700; б) 470; г) (—1, —5/3, 8/3).)
2.29. Л(3,5,4), В(4, 2, -3), С(-2, 4, 7), а = ЗВЛ-4ЛС,
Ь = ЛВ, с = ВЛ, д = ЛС, / — ВЛ, а = 2, р = 5. (Ответ:
а) д/539; б) —85; г) (26/7, 20/7, —1).)
2.30. Л(4, 6, 7), В(2, —4, 1), С(-3, -4, 2), а = 5ЛВ-
— 2АС, Ь — с — ВС, (1 = АВ, 1 = АВ, а = 3, 0 = 4. (От-
вет: а) д/1316; б) —40; г) (22/7, 12/7, 31/7).)
3. Доказать, что векторы а, Ь, с образуют базис, и
найти координаты вектора д в этом базисе.
3.1. а = (5, 4, 1), Ь = (-3, 5, 2), с = (2, —1, 3), (1 =
= (7, 23, 4). (Ответ: (3, 2, -1).)
3.2. а = (2, —1, 4), Ь = ( —3, 0, —2), с = (4, 5, —3),
<1^=(0, 11, —14). (Ответ: (—1, 2, 2).)
3.3. а = (-1, 1, 2), Ь = (2, -3, — 5), с = (—6, 3, -1),
<1 = (28, —19, —7). (Ответ: (2, 3, —4).)
3.4. а = (1, 3, 4), Ь = ( —2, 5, 0), с = (3, -2, —4),
<1 = (13, —5, —4). (Ответ: (2, —1, 3).)
3.5. а = (1, -1, 1), Ь = (-5, -3, 1), с = (2, -1, 0),
а = (—15, —10, 5). (Ответ: (2, 3, —1).)
3.6. а = (3, 1, 2), Ь = ( —7, —2, -4), с = (-4, 0, 3),
<1 = (16, 6, 15). (Ответ: (2, —2, 1).)
3.7. а = ( —3, О, 1), Ь = (2, 7, -3), с = (-4, 3, 5),
а = ( — 16, 33, 13). (Ответ: (2, 3, 4).)
3.8. а = (5, 1, 2), Ь = ( —2, 1, -3), с = (4, —3, 5),
а = (15, —15, 24). (Ответ: (—1, 28, 4).)
3.9. а = (0, 2, -3), Ь = (4, -3, -2), с = (-5, -4, 0),
а = (-19, -5, -4). (Ответ: (2, -1, 3).)
3.10. а = (3, —1, 2), Ь = ( —2, 3, 1), с = (4, —5, —3),
а = (-3, 2, -3). (Ответ: (-1, 2, 1).)
3.11. а = (5, 3, 1), Ь = (— 1, 2, -3), с = (3, -4, 2),
а = ( —9, 34, -20). (Ответ: (2, 4, -5).)
3.12. а = (3, 1, -3), Ь = (—2, 4, 1), с = (1, -2, 5),
а = (1, 12, —20). (Ответ: (2, 1, -3).)
3.13. а = (6, 1, -3), Ь = (-3, 2, 1), с = (-1, — 3,4),
а = (15, 6, -17). (Ответ: (1, —2, -3).)
3.14. а = (4, 2, 3), Ь = (-3, 1, -8), с = (2, —4, 5),
а = (—12, 14, —31). (Ответ: (0, 2, —3).)
3.15. а = ( —2, 1, 3), Ь = (3, -6, 2), с = (-5, -3, - 1),
а = (31, —6, 22). (Ответ: (3, 4, —5).)
3.16. а = (1, 3, 6), Ь = (-3, 4, -5), с = (1, -7, 2),
а = ( —2, 17, 5). (Ответ: (12, 1, —1).)
3.17. а = (7, 2, 1), Ь = (5, 1, -2), с = (-3, 4, 5),
а = (26, И, 1). (Ответ: (2, 3, 1).)
3.18. а = (3, 5, 4), Ь = ( — 2, 7, -5), с = (6, -2, 1),
а = (6, —9, 22). (Ответ: (2, —3, -1).)
3.19. а = (5, 3, 2), Ь = (2, —5, 1), с = (-7, 4, —3),
а = (36, 1, 15). (Ответ: (5, 2, -1).)
3.20. а = (11, 1, 2), Ь = (—3, 3, 4), с = (—4, —2, 7),
а = (-5, 11, -15). (Ответ: (-1, 2, -3).)
3.21. а = (9, 5, 3), Ь = (—3, 2, I), с = (4, -7, 4),
а = (- 10, -13, 8). (Ответ: (-1, 3, 2).)
3.22. а = (7, 2, 1), Ь = (3, -5, 6), с = (-4, 3, —4),
а = (-1, 18, -16). (Ответ: 2, -1, 3).)
3.23. а = (1, 2, 3), Ь = ( —5, 3, -1), с = (-6, 4, 5),
а = (-4, 11, 20). (Ответ: (3, —1, 2).)
3.24. а = ( —2, 5, 1), Ь = (3, 2, -7), с = (4, -3, 2),
а = (-4, 22, -13). (Ответ: (3, 2, -1).)
3.25. а = (3, 1, 2), Ь = ( —4, 3, -1), с = (2, 3, 4), а =
= (14, 14, 20). (Ответ: (2, 0, 4).)
3.26. а = (3, -1, 2), Ь = ( —2, 4, 1), с = (4, -5, -1),
а = (-5, 11, 1). (Ответ: (-1, 5, 2).)
3.27. а = (4, 5, 1), Ь = (1, 3, 1), с = (—3, —6, 7), а =
= (19, 33, 0). (Ответ: (3, 4, —1).)
3.28. а = (1, -3, 1), Ь = ( —2, -4, 3), с = (0, -2, 3),
а = ( — 8, —10, 13). (Ответ: ( — 2, 3, 2).)
3.29. а = (5, 7, -2), Ь = (-3, 1, 3), с = (1, -4, 6),
а = (14, 9, —1). (Ответ-. (2, —1, 1).)
3.30. а = (—1, 4, 3), Ь = (3, 2, -4), с = (-2, -7, 1),
а = (6, 20, —3). (Ответ-- (1, 1, —2).)
Решение типового варианта
1. Даны векторы а=—т + 6п и Ь = 3т4-4п, где
|т|=2; |п|=5; (т^ п) = 2л/3. Найти: а) а-Ь;
б) прь(4а — 5Ь); в) соз(2Ь— а^4Ь).
► а) Вычисляем
а • Ь = (— т 4- 6п) • (Зт + 4п) =
= —Зт2+ 14 |т| |п| соз (пСп) + 24п2 =
= -3-22+ 14 • 2 - 5(— 1 /2) + 24 - 52 = 518;
б) Пусть с = 4а — 5Ь = — 19т + 4п. Тогда
с • Ь
прьС ГьГ ’
с • Ь = (— 19т + 4п) • (Зт + 4п) =
— —57т2 — 64|т| |п|соз(пОп) + 16п2 = — 148,
|Ь| = д/ь2 =-д/(Зт 4-4п)2 =
= у 9т2 + 24 | т | |п| соз(й1СЧп) -|- 16п2 =-\/316.
Окончательно получаем
прь (4а - 5Ь) = - 148/д/зТб;
в) Пусть <1 = 2Ь — а = 7гп2п, е = 4Ь = 12т + 16п.
Тогда
соз(/\) — ,ее| ,
д • е — (7т + 2п) • (12т + 16п) =
= 84т2 + 136 |т| |п| соз(пСЧп) + 321п|2 = 456,
|а| =У(7т + 2п)2 =
^49т2 + 28|т| |п|соз(тСЧп) + 4п2
I е | = -\/(12т + 16п)2 =
=?/156^
= у 144т2 + 3841т| |п| со8(пСп) + 256п2 =-\/5056.
В результате имеем:
соз(2Ь — аЛь) = 456/^/788736 « 0,5. 4
2. По координатам точек Д( —5, 1, 6), В(1, 4, 3) и
' - > 1
С(6, 3, 9) найти: а) модуль вектора а = 4АВ + ВС; б) ска-
лярное произведение векторов а и Ь = ВС; в) проекцию
вектора с = Ь на вектор <1 = АВ; г) координаты точки М,
делящей отрезок 1 = АВ в отношении 1:3.
—
► а) Последовательно находим ЛВ=(6, 3, —3),
ВС = (5, —1, 6), ААВ + ВС = (29, И, -6),
|4ЛВ + ВС\ =-\/292 + 112 + (-6)2 = д/998;
б) Имеем а = (29, И, —6), Ь = (5, —1, 6). Тогда
а - Ь = 29 - 5 + 11 (— 1) + ( —6)6 = 98;
в) Так как
пр<,с = ЛдГ’ а = (6’ 3’ ~3)-
с • <1 = 30 —3—18 = 9, |<|| =^/36 + 9+9=754/
ТО
пр^ ВС = 9/д/54;
г) Имеем: Л, = 1/3, гм = -Г/| Следовательно,
1 Л
_ -5+1/3-1 _ _ 7 _ 1 + 4 - 1/3 _ 7
м 1 + 1/3 2 ’ Ум 1 + 1/3 4 ’
^ = -61±+113/33 М(~7/2’ 7/4’ 21/4)’ ◄
3. Доказать, что векторы а = (3, —1, 0), Ь = (2, 3, 1),
с = (— 1, 4, 3) образуют базис, и найти координаты вектора
<1 = (2, 3, 7) в этом базисе.
► Вычисляем
аЬс =
3
2
-1
-1 0
3 1
4 3
= 22 =+ 0.
Следовательно, векторы а, Ь, с образуют базис, и вектор б
линейно выражается через базисные векторы:
д = аа + рЬ + ус
или в координатной форме
За + 2р — у = 2,1
— а + Зр + 4у = 3, >
р + Зу = 7.)
Решаем полученную систему ; по формулам Крамера.
Находим: А = 22,
2 2-1 3 2—1
Д(а) = 3 3 4 =66, А(р) = -13 4 = —44,
7 1 3 0 7 3
2 2 2
Д(у) = 3 3 3 = 66,
7 1 7
а = Д(а)/А = 3, р = Д(р)/Д = — 2, у = Д(у)/Д = 3,
поэтому <1 = (3, — 2, 3) = За — 2Ь 4- Зс.
ИДЗ-2.2
Решения всех
вариантов тут
/. Даны векторы а, Ь и с. Необходимо: а) вычислить
смешанное произведение трех векторов; б) найти модуль
векторного произведения; в) вычислить скалярное произ-
ведение двух векторов; г) проверить, будут ли коллинеар-
ны или ортогональны два вектора; д) проверить, будут ли
компланарны три вектора.
1.1. а = 21 — 3] +к, Ь = 1 + 4к, с = 51 + 2] — Зк; а) а,
ЗЬ, с; б) За, 2с; в) Ь, —4с; г) а, с; д) а, 2Ь, Зс.
(Ответ: а) -261; б) -д/19 116; в) 40.)
1.2. а = ЗЦ-4] + к, Ь = 1-2] +7к, с = 3| —6| + 21к;
а) 5а, 2Ь, с; б) 4Ь, 2с; в) а, с; г) Ь, с; д) 2а, — ЗЬ, с.
(Ответ: а) 0; б) 0; в) 6.)
1.3. а = 21 — 4] — 2к, Ь = 71 + ЗЬ с = 31 4-5] — 7к;
а) а, 2Ь, Зс; б) За, —7Ь; в) с, —2а; г) а, с; д) За, 2Ь, Зс.
(Ответ: а) —1840; б) Уб12108; в) 0.)
1.4. а = —714-2к, Ь = 21 — 6] 4~ 4к, с = 1 — 3] 4- 2к;
а) а, —2Ь, —7с; б) 4Ь, Зс; в) 2а, —7с; г) Ь, с; д) 2а, 4Ь,
Зс. (Ответ: а) 0; б) 0; в) 42.)
1.5. а =-414-2]-к, Ь = 314-5] —2к, с = ]-|-5к;
а) а, 6Ь, Зс; б) 2Ь, а; в) а, —4с; г) а, Ь; д) а, 6Ь, Зс.
(Ответ: а) -2538; б) -д/3192; в) 12.)
1.6. а = 31 — 21 +к, Ь = 21 — Зк, с=—31 + 2] —к;
а) а, —ЗЬ, 2с; б) 5а, Зс; в) —2а, 4Ь; г) а, с; д) 5а,
4Ь, Зс. (Ответ: а) 0; б) 0; в) 56.)
1.7. а = 41 — ] + Зк, Ь = 21 + 3] — 5к, с = 71 + 2] + 4к;
а) 7а, — 4Ь, 2с; б) За, 5с; в) 2Ь, 4с; г) Ь, с; д) 7а, 2Ь, 5с.
(Ответ: а) —4480; б) -\/78750; в) 0.)
1.8. а = 41 +21 — Зк, Ь = 21 + к, с = —121 — 6| + 9к;
а) 2а, ЗЬ, с; б) 4а, ЗЬ; в) Ь, —4с; г) а, с; д) 2а, ЗЬ, —4с.
(Ответ: а) 0; б) д/\7 280; в) 60.)
1.9. а = —1 + 5к, Ь = —31 + 2] + 2к, с= — 21 — 41 +
+ к; а) За, — 4Ь, 2с; б) 7а, —Зс; в) 2Ь, За; г) Ь, с; д) 7а,
2Ь, —Зс. (Ответ: а) -1680; б) -д/219177; в) 78.)
1.10. а = 61 —4]+6к, Ь = 91 — 6]+9к, с = 1 —8к;
а) 2а, —4Ь, Зс; б) ЗЬ, —9с; в) За, —5с; г) а, Ь; д) За,
— 4Ь, —9с. (Ответ: а) 0; б) -д/б488829; в) 630.)
1.11. а = 51 — 3] + 4к, Ь = 21 — 4] — 2к, с = 31 + 5] —
— 7к; а) а, —4Ь, 2с; б) — 2Ь, 4с; в) —За, 6с; г) Ь, с;
д) а, —2Ь, 6с. (Ответ: а) —464; б) д/127488; в) 504.)
1.12. а =-41 + 3]-7к, Ь = 41 + 61 — 2к, с = 61 +
+ 9] — Зк; а) —2а, Ь, —2с; б) 4Ь, 7с; в) 5а, —ЗЬ;
г) Ь, с; д) —2а, 4Ь, 7с. (Ответ: а) 0; б) 0; в) —240.)
1.13. а= — 51 + 21 — 2к, Ь = 71 — 5к, с = 21 + 31 — 2к;
а) 2а, 4Ь, —5с; б) —ЗЬ, Ис; в) 8а, —6с; г) а, с;
д) 8а, -ЗЬ, Ис. (Ответ: а) 4360; б) 33д/б82; в) 0.)
1.14. а = —41 — 6] + 2к, Ь = 21 + 3] — к, с=— 1 +
+ 5]—Зк; а) 5а, 7Ь, 2с; б) —4Ь, Иа; в) За, —7с;
г) а, Ь; д) За, 7Ь, —2с. (Ответ: а) 0; б) 0; в) 672.)
1.15. а= -41 + 2] - Зк, Ь = — 31 + 5к, с = 61 + 61 —
— 4к; а) 5а, —Ь, Зс; б) —7а, 4с; в) За, 9Ь; г) а, с; д) За,
— 9Ь, 4с. (Ответ: а) —1170; б) 56д/б38; в) 567.)
1.16. а = —31 +8], Ь = 21 + 3] — 2к, с = 81 + 12] — 8к;
а) 4а, —6Ь, 5с; б) —7а, 9с; в) ЗЬ, —8с; г) Ь, с; д) 4а,
— 6Ь, 9с. (Ответ: а) 0; б) 252-^917? в) —1632.)
1.17. а = 21 — 4] — 2к, Ь = —91 + 2к, с = 31 + 5] — 7к;
а) 7а, 5Ь, —с; б) —5а, 4Ь; в) ЗЬ, —8с; г) а, с; д) 7а,
5Ь, —с. (Ответ: а) —10430; б) -д/40389; в) 984.)
1.18. а = 9| — 3] + к, Ь = 31— 15] +21к, с = 1 — 51 +
+ 7к; а) 2а, — 7Ь, Зс; б) —ба, 4с; в) 5Ь, 7а; г) Ь, с;
д) 2а, — 7Ь, 4с. (Ответ: а) 0; б) -д/3365604; в) 3255.)
1.19. а = — 21 + 4) — Зк, Ь = 51’ + ) — 2к, с = 71 + 4) —
— к; а) а, —6Ь, 2с; б) —8Ь, 5с; в) —9а, 7с; г) а, Ь;
д) а, — 6Ь, 5с. (Ответ: а) 1068; б) д/478400; в) —315.)
1.20. а = —91 + 4) — 5к, Ь = 1 -2) + 4к, с=-51 +
+ 10) — 20к; а) —2а, 7Ь, 5с; б) —6Ь, 7с; в) 9а, 4с;
г) Ь, с; д) —2а, 7Ь, 4с. (Ответ: а) О; б) ^52611300;
в) 6660.)
1.21. а = 21 — 7) + 5к, Ь = -1 + 2) - 6к, с = 31+2) -
— 4к; а) —За, бЬ, —с; б) 5Ь, Зс; в) 7а, —4Ь; г) Ь, с;
д) 7а, — 4Ь, Зс. (Ответ: а) 2196; б) V126900; в) 1288.)
1.22. а = 71 — 4) — 5к, Ь = 1 — 11) +3к, с = 51 + 5) +
+ 3к; а) За, —7Ь, 2с; б) 2Ь, 6с; в) —4а, —5с; г) а, с;
д) —4а, 2Ь, 6с. (Ответ: а) 28728; б) -д/870912! в) 0)
1.23. а = 41 — 6) — 2к, Ь = —21 + 3) + к, с = 31 — 5) +
+ 7к; а) 6а, ЗЬ, 8с; б) —7Ь, 6а; в) —5а, 4с; г) а, Ь;
д) —5а, ЗЬ, 4с. {Ответ: а) 0; б) 0; в) —560.)
1.24. а = 31 —) + 2к, Ь = — 1 + 5) — 4к, с = 61 — 2) +
+ 4к; а) 4а, —7Ь, —2с; б) ба, —4с; в) —2а, 5Ь; г) а, с;
д) ба, —7Ь, —2с. (Ответ: а) 0; б) 0; в) 160.)
1.25. а = —31 —) —5к, Ь = 2| — 4) + 8к, с = 31 + 7) — к;
а) 2а, —Ь, Зс; б) —9а, 4с; в) 5Ь, —6с; г) Ь, с; д) 2а,
5Ь, —6с. (Ответ: а) 0; б) д/2519424: в) 90° )
1.26. а = —31 + 2) + 7к, Ь = 1’ 5к, с = 61 + 4) — к;
а) —2а, Ь, 7с; б) 5а, —2с; в) ЗЬ, с; г) а, с; д) —2а, ЗЬ, 7с.
(Ответ: а) 1260; б) 1Од/2997; в) 33.)
1.27. а = 31 —) + 5к, Ь = 21 — 4) + 6к, с = 1 — 2) + Зк;
а) —За, 4Ь, —5с; б) 6Ь, Зс; в) а, 4с; г) Ь, с; д) —За,
4Ь, —5с. (Ответ: а) 0; б) 0; в) 80.)
1.28. а = 41 — 5) — 4к, Ь = 51 —), с = 21 + 4) — Зк; а) а,
7Ь, —2с; б) —5а, 4Ь; в) 8с, —За; г) а, с; д) —За, 4Ь, 8с.
(Ответ: а) 2114; б) 20д/в57; в) 0.)
1.29. а= — 91 + 4к, Ь = 21 — 4) + 6к, с = 31 — 6) + 9к;
а) За, —5Ь, —4с; б) 6Ь, 2с; в) —2а, 8с; г) Ь, с; д) За, 6Ь,
— 4с. (Ответ: а) 0; б) 0; в) —144.)
1.30. а = 51 — 6)— 4к, Ь = 41 + 8) —7к, с = 3)-4к;
а) 5а, ЗЬ, —4с; б) 4Ь, а; в) 7а, —2с; г) а, Ь; д) 5а, 4Ь,
—2с. (Ответ: а) 11940; б) 4д/9933; в) 28.)
2. Вершины пирамиды находятся в точках А, В, С
и Р. Вычислить: а) площадь указанной грани; б) площадь
сечения, проходящего через середину ребра / и две верши-
ны пирамиды; в) объем пирамиды АВСР.
2.1. Л(3, 4, 5), В(1, 2, 1), С( —2, —3, 6), 0(3, -6, —3);
а) АСР; б) / = АВ, С и О. (Ответ: а) л/2114; б) л/4426/2;
в) 42.)
2.2. А(-7, -5, 6), В(-2, 5, -3), С(3, -2, 4), 0(1,
2, 2); а) ВСО; б) I = СО, А и В. (Ответ: а) 71350;.
б) -V8937/2; в) 77/3.)
2.3: А(\, 3, 1), В(—\, 4, 6), С( — 2, —3, 4), 0(3, 4,
—4); а) АСО; б) 1 = ВС, А и О. (Ответ: а) 7891/2;
б) Зд/2/2; в) 3.)
2.4. Л (2, 4, 1), В(-3, — 2, 4), С(3, 5, -2), 0(4, 2, -3);
а) АВР; б) 1 = АС, В и Р. (Ответ: а) Тз95; б) 7205/2;
в) 25/3.)
2.5. Л(—5, -3, -4), В(\, 4, 6), С(3, 2, -2), Р(8,
— 2, 4); а) АСО; б) 1 = ВС, А и О. (Ответ: а) ^6\37/2;
б) 77289/2; в) 304/3.)
2.6. А(3, 4, 2), В( — 2, 3, -5), С(4, -3, 6), 0(6-5, 3);
а) АВО; б) 1 = ВО, А и С. { Ответ: а) 8^26; б) 7 1826/2;
в) 40.)
2.7. Л(—4, 6, 3), В(3, -5, 1), С(2, 6, -4), 0(2, 4,
—5); а) АСО; б) 1 = АР, В и С. (Ответ: а) Т9^
б) 71554/2; в) 100/3.)
2.8. Л(7, 5, 8), В( — 4, —5, 3), С(2, -3, 5), 0(5, 1, -4);
а) ВСО; б) 1 = ВС, А и О. (Ответ: а) 71150; б) ^4\0\;
в) 202/3.)
2.9. Л(3, — 2, 6), В(-6, — 2, 3), С(1, 1, -4), Р(4, 6,
— 7); а) АВР; б) 1 = ВР, А и С. (Ответ: а) 7504°;
б) 7212;в) 52.)
2.10. Л( —5, -4, -3), В(7, 3, -1), С(6, -2, 0),
Р(3, 2, —7); а) ВСР; б) 1 = АР, В и С. (Ответ:
а) 71422/2; б) 7504; в) 44.)
2.11. Л(3, -5, -2), В( — 4, 2, 3), С(1, 5, 7), О( — 2,
—4, 5); а) АСО: б) / = В0, Ли С. (Ответ: а) Уб986/2;
б) У1261; в) 202/3.)
2.12. А(7, 4, 9), В(1, — 2, -3), С(-5, -3, 0), 0(1,
— 3, 4); а) ЛВО; б) / = ЛВ, Си О. (Ответ: а) V11791
б) 17; в) 50.)
2.13. Л( —4, — 7, -3), В( —4, -5, 7), С(2, -3, 3),
0(3, 2, 1); а) ВСО; б) 1 = ВС, А и О. (Ответ: а) -у/ЙЬ,
б) д/1393; в) 148/3.)
2.14. Л( —4, —5, -3), В(3, 1, 2), С(5, 7, —6), 0(6,
— 1, 5); а) Л СО; б) 1 = ВС, А и О. (Ответ: а) 77281;
б) Т2726;в) 46.)
2.15. Л(5, 2, 4), В( —3, 5, -7), С(1, —5, 8), 0(9,
-3, 5); а) ЛВО; б) / = ВО, Л и С. (Ответ: а) 2д/266;
б) д/1405/2; в) 286/3.)
2.16. Л(—6, 4, 5), В(5, —7, 3), С(4, 2, —8), 0(2, 8,
-3); а) Л СО; б) / = ЛО, В и С. (Ответ: а)
б) 25Уз8/2; в) 150.)
2.17. Л(5, 3, 6), В(-3, —4, 4), С(5, -6, 8), 0(4, 0, -3);
а) ВСО; б) 1 = ВС, А и О. (Ответ: а) ^2294; б) 27406;
в) 332/3.)
2.18. Л(5, —4, 4), В(—4, -6, 5), С(3, 2, -7), 0(6,
2, —9); а) ЛВО; б) / = ВО, Л и С. (Ответ: а) 74140;
б) 7405; в) 82/3.)
2.19. Л( —7, —6, -5), В(5, 1, -3), С(8, -4, 0),
0(3, 4, -7); а) ВСО; б) / = ЛО, В и С. (Ответ: а) Т^88/2;
б) 72266/2; в) 86/3.)
2.20. Л(7, —1, —2), В(1, 7, 8), С(3, 7, 9), О( —3,
— 5, 2); а) ЛСО; б) / = ВО, Л и С. (Ответ: а) 759571
б) 71361; в) 124/3.)
2.21. Л(5, 2, 7), В(7, -6, —9), С(-7, —6, 3), 0(1,
-5, 2); а) ЛВО; б) / = ЛВ, Си О. (Ответ: а) 73194;
б) 1972/2; в) 76.)
2.22. Л( —2, -5, -1), В(-6, —7, 9), С(4, -5, 1),
0(2, 1, 4); а) ВСО; б) 1 = ВС, А и О. (Ответ: а) V1802;
б) -/2142/2; в) 226/3.)
2.23. 4(-6, -3, -5), В(5, 1, 7), С(3, 5, -1), 0(4,
— 2, 9); а) АСО; б) 1 = ВС, А и О. (Ответ: а) -/24101/2;
б) -/2969; в) 4/3.)
2.24. А(7, 4, 2), В(-5, 3, -9), С(1, -5, 3), 0(7 -9, 1);
а) АВО; б) 1 = ВО, А и С. (Ответ: а) ->/11161; б) -/5629/2;
в) 186.)
2.25. 4( — 8, 2, 7), В(3, -5, 9), С(2, 4, -6), 0(4, 6, —5);
а) АСО; б) 1 = АО, В и С. (Ответ: а) -/584; б) -/9754/2;
в) 296/3.)
2.26. 4(4, 3, 1), В(2, 7, 5), С(-4, -2, 4), 0(2, -3,
-5); а) АСО; б) / = 4В, Си О. (Ответ: а) -/1666?
б) -/9746/2; в) 80/3.)
2.27. 4( —9, —7, 4), В( —4, 3, -1), С(5, -4, 2),
0(3, 4, 4); а) ВСО; б) 1 = СО, А и В. (Ответ: а) -/1346?
б) -/13250/2; в) 120.)
2.28. 4(3, 5, 3), В( —3, 2, 8), С( — 3, —2, 6), 0(7, 8,
—2); а) АСО; б) 1 = ВО, А и С. (Ответ: а) -/785/2;
б) -/58/2; в) 26/3.)
2.29. 4(4, 2,3), В(—5, —4, 2), С(5, 7, —4), 0(6, 4, —7);
а) 4ВО; б) 1 = АО, В и С. (Ответ: а) ^3086; б) -/501?
в) 178/3.)
2.30. 4( —4, —2, -3), В(2, 5, 7), С(6, 3, -1), 0(6,
— 4, 1); а) 4СО; б) 1 — ВС, 4 и О. (Ответ: а) -/1469;
б) -/1964; в) 116.)
3. Сила Р приложена к точке А. Вычислить: а) работу
силы Р в случае, когда точка ее приложения, двигаясь
прямолинейно, перемещается в точку В; б) модуль мо-
мента силы Р относительно точки В.
ЗЛ. Р = (5, — 3, 9), 4(3, 4, -6), В(2, 6, 5). (Ответ:
а) 88; б) -/6746.)
3.2. Г=(-3, 1, -9), 4(6, -3, 5), В(9, 5, -7). (Ответ:
а) 107; б) -/8298.)
3.3. Р = (2, 19, —4), Л(5, 3, 4), В(6, —4, —1). (Ответ:
а) 111; б) -\/16254.)
3.4. р = ( —4, 5, -7), Л(4, — 2, 3), В (7, О, -3). (От-
вет: а) 40; б) ~\/2810.)
3.5. Р = (4, 11, -6), Л(3, 5, 1), В(4, —2, -3). (Ответ:
а) 49; б) 7^017.)
3.6. Р = (3, —5, 7), Л (2, 3, -5), В(0, 4, 3). (Ответ:
а) 45; б) -\/2819.)
3.7. Р = (5, 4, 11), Л(6, 1, —5), В(4, 2, -6). (Ответ:
а) 17; б) -\/б83?)
3.8. Р = ( —9, 5, 7), Л(1, 6, —3), В(4, —3, 5). (Ответ:
а) 16; б) -д/23614.)
3.9. Р = (6, 5, -7), Л(7, -6, 4), В(4, 9, -6). (Ответ:
а) 127; б) 720611.)
3.10. р = ( —5, 4, 4), Л(3, 7, -5), В(2, -4, 1). (Ответ:
а) 15; б) 78781.)
3.11. р = (4, 7, -3), Л(5, —4, 2), В(8, 5, -4). (Ответ:
а) 93; б) 1573.)
3.12. Р = (2, 2, 9), Л(4, 2, -3), В (2, 4, 0). (Ответ:
а) 27; б) 28.)
Даны три силы Р, Ц, И, приложенные к точке А.
Вычислить: а) работу, производимую равнодействующей
этих сил, когда точка ее приложения, двигаясь прямо-
линейно, перемещается в точку В; б) величину момента
равнодействующей этих сил относительно точки В.
3.13. Р = (9, —3, 4), О = (5, 6, -2), Р = (-4, -2, 7),
Л( —5, 4, -2), В(4, 6, -5). (Ответ: а) 65; б) 712 883.).
3.14. Р = (5, -2, 3), О = (4, 5, -3), К == (-1, -3, 6),
Л(7, 1, -5), В(2, -3, -6). (Ответ: а) 46; б) гТ^Е)
3.15. Р = (3, -5, 4), О = (5, 6, -3), Я = (-7, -1, 8),
Л(-3, 5, 9), В(5, 6, —3). (Ответ: а) 100; б) 71306.)
3.16. Р = (—10, 6, 5), О = (4, -9, 7), К = (5, 3, —3),
Л(4, —5, 9), В(4, 7, -5). (Ответ: а) 126; б) 273001.)
3.17. Р = (5, —3, 1), О = (4, 2, -6), К = (-5, -3, 7),
Л( —5, 3, 7), В(3, 8, —5). (Ответ: а) 4; б) 712 389.)
3.18. Р = (—5, 8, 4). 0 = (6, — 7, 3), К = (3, 1, -5),
Л (2, —4, 7), В(0, 7, 4). (Ответ: а) 8; б) Лд/Тэт?)
3.19. Р = (7, —5, 2), О = (3, 4, —8), Р = ( —2, —4, 3),
Л( —3, 2, 0), В(6, 4, —3). (Ответ: а) 71; б) V4171-)
3.20. Р = (3, —4, 2), О = (2, 3, —5), « = (-3, — 2, 4),
Л(5, 3, — 7), В(4, —1, —4). (Ответ: а) 13; б) У195?)
3.21. Р = (4, —2, -5), О = (5, I, -3), К = (-6, 2, 5),
Л( —3, 2, —6), В(4, 5, —3). (Ответ: а) 15; б) 2^262?)
3.22. Р = (7, 3, -4), О = (9, —4, 2), Р = ( —6, 1, 4),
Л(—7, 2, 5), В(4, — 2, 11). (Ответ: а) 122; б) V3108-)
• 3.23. Р = (9, — 4, 4), О = (—4, 6, —3), Р = (3, 4, 2),
Л(5, —4, 3), В (4, -5, 9). (Ответ: а) 4; б) -V4126-)
3.24. Р = (6, -4, 5), О = (—4, 7, 8), К = (5 1, -3),
Л(—5, — 4, 2), В(7, -3, 6). (Ответ: а) 128; б) -^Ю 181.)
3.25. Р = (5, 5, -6), О = (7, -6, 6), К = (-4, 3, 4),
Л(—9, 4, 7), В(8, —1, 7). (Ответ: а) 126; б) Юд/105.)
3.26. Р = (7, -6, 2), О = (-6, 2, -1), Н = (1, 6, 4),
Л(3, —6, 1), В(6, —2, 7). (Ответ: а) 44; б)
3.27. Р = (4, -2, 3), О = ( —2, 5, 6), К = (7, 3, -1),
Л( —3, — 2, 5), В(9, -5, 4). (Ответ: а) 82; б) -^21 150.)
3.28. Р = (7, 3, -4), О = (3, -2, 2), К = (-5, 4, 3),
Л(—5, 0, 4), В(4, -3, 5). (Ответ: а) 31; б) 4д/230?)
3.29. Р = (3, —2, 4), О = ( —4, 4, -3), К = (3, 4, 2),
Л(1, —4, 3), В(4, 0, —2). (Ответ: а) 15; б) 5-д/89^)
3.30. Р = (2, -1, -3), О = (3, 2, — 1), К = ( —4, 1,3),
Л(— 1, 4, —2), В(2, 3, -1). (Ответ: а) 0; б) -д/ббО
Решение типового варианта
1. Даны векторы а = 41 + 4к, Ь = — 1 + 3] + 2к и с =
= 31 +5). Необходимо: а) вычислить произведение векто-
ров а, Ь и 5с; б) найти модуль векторного произведения
Зс и Ь; в) вычислить скалярное произведение векторов
а и ЗЬ; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортого-
нальны векторы а и Ь; д) проверить, будут ли компланарны
векторы а, Ь и с.
► а) Так как 5с = 1514-25], то
4
(а X Ь) • 5с = — 1
15
О
4
3 2 =—100—180 —200=—480;
25
0
б) Поскольку Зс = 914- 15], то
1 ] к
ЗсХЬ = 9 15 0 = 3014-27к-|- 15к — 18] =
-1 3 2
= 301 - - 18]4-42к,
I Зс X Ь | = -д/302 4-(- 18)24- 422 = -д/2988;
в) Находим: ЗЬ =—314-9]4~6к, а-ЗЬ = 4(— 3)4-
4-0-9 4-4-6= 12;
г) Так как а = (4, 0, 4), Ь = (— 1, 3, 2) и у =/=
=/= у, то векторы а и Ь не коллинеарны. Поскольку
а - Ь = 4( — 1) 4- 0 • 3 4- 4 • 2 =# 0,
то векторы а и Ь не ортогональны;
д) векторы а, Ь, с компланарны, если аЬс = 0. Вы-
числяем
4
— 1
3
0 4
3 2
5 0
аЬс =
= -20-36-40 0,
т. е. векторы а, Ь и с не компланарны. ◄
2. Вершины пирамиды находятся в точках 4(2, 3, 4),
В(4, 7, 3), С(1, 2, 2) и /)( —2, 0, —1). Вычислить: а) пло-
щадь грани АВС', б) площадь сечения, проходящего через
середину ребер АВ, АС, Ай\ в) объем пирамиды АВСй.
► а) Известно, что 8АВС = у |ЛВХ АС |. Находим:
АВ = (2, 4, -1), ЛС = (—1, -1, — 2),
АВХАС =
1
4
-1
к
— 1
—2
= — 914- 5]4-2к.
Окончательно имеем:
Завс = ул/924-52 4-22 = У 7Й0;
б) Середины ребер АВ, ВС и АО находятся в точках
Х(3; 5; 3,5), М(1,5; 2,5; 3), 7У(0; 1,5; 1,5). Далее имеем:
5сеч = -1-|ЛМхЛЛ/|, ЛМ = (—1,5; —2,5; —0,5),
КЫ = (—3; -3,5; -2),'
КМХМ=
। ) к
— 1,5 —2,5 —0,5
— 3 -3,5 -2
= 3,251 — 1,5]-2,25к,
5сеч = у^3>252+ 1,52 3 + 2,252 = у-д/17,875;
в) Поскольку УПИр = |(ЛВ ХАС)- АО1, АО = ( — 4,
—3, -5),
(АВ X АС) • АО =
то У= 11/6. «
3. Сила р = (2, 3, —5) приложена к точке Л(1, —2, 2).
Вычислить: а) работу силы Р в случае, когда точка ее при-
ложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из по-
ложения А в положение В(1, 4, 0); б) модуль момента
силы Р относительно точки В.
> а) Так как А = Р • 8, 8 = АВ = (0, 6, —2), то
Р • АВ = 2 • 0 + 3 • 6 4- (-5)( —2) = 28, Л=28;
б) Момент силы М = ВЛ X Р, ВЛ=(0, —6, 2),
0
ВА ХР =
1 к
-6 2
3 -5
2
= 2414-4)4- 12к.
Следовательно, | М | = -\/242 4- 42 4- 122 = 4~\/46. 4
2.5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 2
1. Даны три вектора: а = 21 — ] 4-Зк, Ь = 1 — 3) 4~ 2к,
с = 314- 2] — 4к. Найти вектор х, удовлетворяющий сле-
дующим условиям: ха =—5, х-Ь=—11, х-с = 20.
(Ответ: х = 214- 3]—2к.)
2. Вектор х, перпендикулярный к оси Ог и вектору
а = (8, — 15, 3), образует острый угол с осью Ох. Зная, что
|х| =51, найти координаты х. (Ответ: х = (45, 24, 0).)
3. Два трактора, идущие с постоянной скоростью по
берегам прямого канала, тянут барку при помощи двух
канатов. Силы натяжения канатов |Р1| =800 Ни | р2| =
= 960 Н, угол между канатами равен 60°. Определить
сопротивление воды, испытываемое баркой, если она дви-
жется параллельно берегам, и углы а, 0 между канатами
и направлением движения. (Ответ: |$| « 1530 Н, а ^33°,
0^27°.)
4. Даны три силы Р = (2, —1, —3), О = (3, 2, — 1)
и Р = ( —4, 1, 3), приложенные к точке С(~ 1, 4, —2).
Определить величину и направляющие косинусы момента
равнодействующей этих сил относительно точки 4(2, 3,
— 1). (Ответ: -д/бб"; соза=1/д/бб^ соз 0 = — 4/д/бб^
соз у = — 7/д/ббГ)
5. Объем тетраэдра V = 5, три его вершины находятся
в точках 4(2, 1, —1), В(3, 0, 1), С(2, —1, 3). Найти ко-
ординаты четвертой вершины 2), если известно, что она
лежит на оси Оу. (Ответ: 2)1(0, 8, 0), 2)г(0, — 7, 0).)
6. Стороны ромба лежат на векторах а и Ь, выходя-
щих-из общей вершины. Доказать, что диагонали ромба
взаимно* перпендикулярны.
7. Даны разложения векторов, служащих сторонами
треугольника, по двум взаимно перпендикулярным ортам:
4В = 5а + 2Ь, ВС = 2а —4Ь и С4 = —7а-}-2Ь. Вычис-
лить длины медианы АМ и высоты АО треугольника АВС.
(Ответ: \АМ] =6, ]ЛР| = 12д/б/5.)
8. Доказать компланарность векторов а, Ь, с, зная,
что аХЬ4-ЬХс + сХа = 0. __
9. В трапеции АВСО отношение основания |42)| к
основанию |ВС| равно X. Полагая 40 = а, ВО = Ь,
выразить через а и Ь векторы 42), ВС, СО и 2)4.
(Ответ: АВ = = ~ОА =
к 1 -р Л, 1 л 1 л
= *(а + Ь) \
14-Ь 7
>-
10. Дан тетраэдр ОАВС. Выразить через векторы 04,
ОВ, ОС вектор ЕР с началом в середине Е ребра 04
и концом в точке Р пересечения медиан треугольника
АВС. (Ответ: ЕР = (2ОВ + 2ОС-ОЛ)/6.)
11. Даны четыре вектора а = (1, 2, 3), Ь = (2, — 2, 1),
с = (4, 0, 3), <1 —(16, 10, 18). Найти вектор х, являющийся
проекцией вектора <1 на плоскость, определяемую векто-
рами а и Ь, при направлении проектирования, параллель-
ном вектору с. (Ответ: х = ( —4, 10, 3).)
12. В прямоугольном треугольнике АВС на гипотенузу
АВ опущен перпендикуляр СН. Выразить вектор СН
через векторы СА, СВ и длины катетов |ВС| = а, \СА | —
= Ь. (Ответ: СН = (а2СА + Ь2СВ)/(а2 + Ь2).)
13. Даны две точки 4(1, 2, 3) и В(7, 2, 5). На прямой
АВ найти такую точку М, чтобы точки В и М были распо-
ложены по разные стороны от точки А и отрезок АМ был
в два раза длиннее отрезка АВ. (Ответ: М( — 11, 2, —1).)
14. Векторы а = ( — 3, 0, 4) и Ь = (5, —2, —14) отло-
жены из одной точки. Найти координаты единичного
вектора е, который, будучи отложен от той же точки,
делит пополам угол между векторами аиЬ. (Ответ: е =
=(-2/76,1/7б, -1/д/б).)
15. Три последовательные вершины трапеции находят-
ся в точках А( — 3, —2, —1), В(1, 2, 3), С(9, 6, 4). Найти
четвертую вершину О этой трапеции, точку М пересече-
ния ее диагоналей и точку Н пересечения боковых сторон,
зная, что длина основания АО равна 15. (Ответ: 0(31/3,
14/3, 2/3), М(9/2, 3, 17/8), Л^(7, 8, 9).)
16. К вершине куба приложены три силы, равные по
величине соответственно 1, 2, 3 и направленные по диаго-
налям граней куба, выходящих из данной вершины. Найти
величину равнодействующей этих трех сил и углы, обра-
зуемые ею с составляющими силами. (Ответ: 5; агссоз-^,
агссоз-^, агссоз-^.)
17. Даны два вектора а = (8, 4, 1), Ь = (2, —2, 1).
Найти вектор с, компланарный векторам а и Ь, перпендику-
лярный к вектору а, равный ему по длине и образующий с
вектором Ь тупой угол. (Ответ: с=( — 5/д/2, 11 /д/2,
-4/У2).)
18. Убедившись, что векторы а = 71-}-6] — 6к и Ь =
= 61 4~ 2| + 9к можно рассматривать как ребра куба,
найти его третье ребро. (Ответ-. ± (61 — 9 ] — 2к).)
19. Даны три вектора а = (8, 4, 1), Ь = (2, —2, 1),
с = (4, 0, 3). Найти единичный вектор <1, перпендикулярный
к векторам а и Ь и направленный так, чтобы упорядочен-
ные тройки векторов а, Ь, с и а, Ь, й имели одинаковую
ориентацию. (Ответ: & = ( ——
X х 3 л/2 3-\/2 3^/2 / /
20. Даны три некомпланарных вектора ОА = а, ОВ =
>
-Ь, ОС = с, отложенные от одной точки О. Найти вектор
ОО = й, отложенный от той же точки и образующий с
векторами ОА, ОВ, ОС равные между собой острые углы.
(Ответ: д = ±(|а|(ЬХс) + 1Ь|(сХа) + |с|(аХЬ)).)
з. плоскости и прямые
зл. плоскость
< Основная теорема. В декартовых прямоугольных координатах урав-
нение любой плоскости приводится к виду
Ах 4~ Ву 4- С*2 4" В) — 0, (3.1)
где Л, В, С, й — заданные числа, причем А2 4~ В2 4~ С2 > 0, и обратно,
уравнение (3.1) всегда является уравнением некоторой плоскости.
Уравнение (3.1) называется общим уравнением плоскости. Коэф-
фициенты А, В, С являются координатами вектора п, перпендикуляр-
ного к плоскости, заданной уравнением (ЗЛ). Он называется нормаль-
ным вектором этой плоскости и определяет ориентацию плоскости в
пространстве относительно системы координат.
Существуют различные способы задания плоскости и соответст-
вующие им виды ее уравнения.
1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Если
плоскость проходит через точку А4о(хог Уъ, и перпендикулярна к вектору
п = (Л, В, С), то ее уравнение записывается в виде
Л (х — Хо) 4- В (у — уо) 4- С (г — 2о) = 0.
(3.2)
2. Уравнение плоскости в «отрезках». Если плоскость пересекает
оси координат Ох, Оу, Ог в точках Л41(а, 0, 0), М2(0, Ь, 0), Л1з(0, 0, с)
соответственно, то ее уравнение можно записать в виде
а Ь т с
(3.3)
где а =/= 0; Ь =?*= 0; с =/= 0.
3. Уравнение плоскости по трем точкам. Если плоскость проходит
через точки Мдра, уь г) (I— 1,3), не лежащие на одной прямой, то ее
уравнение можно записать в виде
X —XI У—У1
Х2 — Х1 У2 — У\
ХЗ — X! УЗ—У1
2—21
22 —21
2з —21
(3.4)
Раскрыв данный определитель по элементам первой строки, придем к
уравнению вида (3.2).
Уравнения (3.2) — (3.4) всегда можно привести к виду (3.1).
Рассмотрим простейшие задачи.
1°. Величина угла <р между плоскостями Л(х 4~ В1у 4~ 4- = 0
и Агх 4- В%у 4~ С>2 4~ В>2 — 0 вычисляется на основании формулы
СОЗ ф = СО5(П1, п2) =
П1 • п2
|П1 | |п21
Л1Л2 4~ В1В2 4~ С1С2 /о г\
Г -- ---------(3.5)
\А2 4- В? + С? уА? 4- В? 4-
где ш=(Ль В(, С1), п2 = (Л2, В2, С2)— нормальные векторы данных
плоскостей. С помощью формулы (3.5) можно получить условие перпен-
дикулярности данных плоскостей:
п 1 • п2 = 0 нлн А1А2 -р В\В2 ”Ь С1С2 — 0.
Условие параллельности рассматриваемых плоскостей имеет вид
А1 В\ С\ Р1
Д2 В2 С2 Р2
2°. Расстояние д от точки Мо(хо, уо, 2о) До плоскости, заданной
уравнением (3.1)., вычисляется по формуле
__ Мхр + Вур -|- Сгр РI
-\4*2 + в2 + с2
АЗ-З./
1. Записать уравнение и построить плоскость:
а) параллельную плоскости Охг и проходящую через
точку Мо(7, —3, 5);
б) проходящую через ось Ог и точку Л( — 3, 1, —2);
в) параллельную оси Ох и проходящую через две точки
ЛЛ(4, 0, —2) и Л42(5, 1, 7);
г) проходящую через точку В(2, 1, —1) и имеющую
нормальный вектор п = (1, — 2, 3);
д) проходящую через точку С(3, 4, —5) параллельно
двум векторам а = (3, 1, —1) и Ь = (1, —2, 1).
(Ответ: а) у-\-3 = 0; б) х-\-Зу — 0; в) 9г/— г — 2 = 0;
г) х- 21/ + 324-3 = 0; д) х 4-41/4-7г4- 16 = 0.)
2. Составить уравнение одной из граней тетраэдра,
заданного вершинами Л(5, 4, 3), В (2, 3, —2), С(3, 4, 2),
О(—1, 2, 1). Проверить правильность полученного урав-
нения.
3. Составить уравнение плоскости:
а) проходящей через точки 7141(1, 1, 1) и Л42(2, 3, 4)
перпендикулярно к плоскости 2х — 7у 4- 5г 4~ 9 = 0;
б) проходящей через точку Л40(7, —5, 1) и отсекаю-
щей на осях координат равные положительные отрезки.
(Ответ: а) 31х + у — 11г — 21 = 0; б) х 4- у 4~ г — 3 = 0.)
4. Вычислить угол между плоскостями х— 2у 4- 2г —
— 3 = 0 и Зх — Ау 4-5 = 0. (Ответ: соз ср =11/15, <р«
«42°5Г.)
5. Вычислить расстояние между параллельными пло-
скостями Зх 4* 61/ + 2г — 15 = 0 и Зх 4- 61/ 4~ 2г 4~ 13 = 0.
(Ответ: 4.)
6. Записать уравнения плоскостей, делящих пополам
двугранные углы между плоскостями Зх — у~\-1г — 4 = 0
и 5х 4~ Зг/ — 5г + 2 = 0. (Ответ: х + 2у — 6г -}- 3 = 0,
4х + у + г— 1 =0.)
Самостоятельная работа
1. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку Р(1, 0, 2) перпендикулярно к двум плоскостям
2х — у + Зг — 1 =0 и Зх 4~ 6г/ 4~ Зг — 5 = 0. (Ответ: 7х —
— У — 5г + 3 = 0.)
2. Составить уравнение плоскости, параллельной
вектору 5= (2, 1, — 1) и отсекающей на осях Ох и Оу от-
резки а = 3, Ь—— 2. (Ответ: 2х — Зу + г — 6 — 0.)
3. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной
к плоскости 2х — 2г/4~ 4г — 5 = 0 и отсекающей на осях
Ох и Оу отрезки а = — 2, Ь = 2/3 соответственно. (Ответ:
х — Зу — 2г + 2 = 0.)
4. Найти координаты точки 0, симметричной точке
Р( — 3, 1, —9) относительно плоскости 4х — Зу — г — 7 =
= 0. (Ответ: <2(1, -2, -10).)
3.2. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ
В зависимости от способа задания прямой в пространстве можно
рассматривать различные ее уравнения.
1. Векторно-параметрическое уравнение прямой. Пусть прямая про-
ходит через точку Мо(хо, 20) параллельно вектору 8 = (пг, п, р),
а М(х, у, г) — любая точка этой прямой. Если г0 и г — радиусы-векторы
точек Мо и М (рис. 3.1), то справедливо векторное равенство
Г = Го + /5 ( — ОО < I < + ОО ), (3.6)
которое получается по правилу сложения векторов. Уравнение (3.6) на-
зывается векторно-параметрическим уравнением прямой, з — направ-
ляющим вектором прямой (3.6), I — параметром.
2. Параметрические уравнения прямой. Из уравнения (3.6) полу-
чаем три скалярных уравнения:
х = хо + тЛ,
У=^У$-\-п1> I
г — го 4- р(, )
(3.7)
которые называются параметрическими уравнениями прямой.
3. Канонические уравнения прямой. Разрешая уравнения в системе
(3.7) относительно / и приравнивая полученные отношения, приходим к
каноническим уравнениям прямой:
х — х0 у~уо г — го
т п р
(3.8)
Отметим, что, зная одно из уравнений (3.6) — (3.8), легко полу-
чить другие уравнения.
4. Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две точки.
Если прямая проходит через точки (хь г/ь г\) и М2(х2, у?, г2), то ее
уравнения можно записать в виде
X —Х| _ У~~У\ = 2 — 2}
Х2—Х1 У2 — У1 22 —г/
(3.9)
5. Общие уравнения прямой в пространстве. Две пересекающиеся
плоскости
А}Х + В\у + С\2 4- О\ = 0, | П| = (Ль В1, С]), .
А2х 4- В2у 4" С22 4" — 0, / П2 = (А2, В2, С2),
где П1НП2, определяют прямую. Уравнения (3.10) называются общими
уравнениями прямой в пространстве.
Направляющий вектор в прямой, заданной уравнениями (3.10),
определяется по формуле
5 = П1 ХП2 =
I
Ах
Л 2
в,
в2
к
С)
с2
а координаты какой-либо точки А1о(хо, !/о, г0), лежащей на этой прямой,
можно найти как решение системы (3.10). Тогда уравнения данной
прямой можно записать в канонической форме (3.8).
Пример 1. Прямая задана общими уравнениями
х — {/4-2г 4-4 = 0,|
Зх 4- у — 5г — 8 = 0. /
Записать ее канонические уравнения.
► Находим
5 = П1 X П2 =
-1
1
= (3. 11, 4).
Полагая в исходной системе г = 0 и складывая данные уравнения,
получаем х=1, г/ = 5. Точка Л4о(1, 5, 0) лежит на данной прямой. Ее
канонические уравнения имеют вид
х — \ _ у — 5 г
---------ГГ_=Т- 4
Рассмотрим случаи взаимного расположения двух прямых в прост-
ранстве. Две прямые в пространстве или скрещиваются, или пересе-
каются, или параллельны, или совпадают. В любом случае они образуют
некоторый угол (между их направляющими векторами 51 и 52). Если
прямые заданы каноническими уравнениями:
X — Х| _ У~У\ _ 2 — Х\ и X — Х2 _ у — У2 __ 2 — 22
т\ п\ р\ т2 п2 р2
то величина угла ср между ними определяется из формулы
СО5 (р = СОЗ (51, 52) =
51 ' 52
|51| |52|
Щ|/П2 4~ И|/г2 4~ Р1Р2
~^т2х 4- /г?-4-р? 4-«2 4-рг
(3.11)
(3.12)
Теперь можно записать условие перпендикулярности прямых:
51'52 = 0 ИЛИ Щ1Щ2 4" Л|/12 4-Р1Р2 = 0.
Условие параллельности прямых (3.11) имеет вид 51 |) 52КЛ4|Л42,
а условие их совпадения — 51 || 52 ЦМ1М2, где точки Л4|(хь у\, 2|) и
ЛЬ(х2, у?, 22) принадлежат прямым (3.11).
Запишем необходимое и достаточное условие пересечения непарал-
лельных прямых (51 И82), заданных уравнениями (3.11):
Л!|Л!2 • 5| • 52 = 0 или
Х2 — Х1 у2 — У\
ГП\ П{
ГП2 П2
22 —
Р1
Р2
(3.13)
Если условие (3.13) не выполняется, то прямые (3.11) - скре-
щивающиеся.
Расстояние К от точки М1(хь у\, 21) до прямой (3.8), проходящей
через точку М0(х0, у0, 20) в направлении вектора 5 = (щ, /2, р), вычисляет-
ся по формуле
15 X МрМ 11
|5|
(3-14)
Рассмотрим случаи взаимного расположения прямой и плоскости.
Прямая (3.8) и плоскость Ах 4- Ву 4- Сх 4- 7) = 0 могут пересекаться,
быть параллельными либо прямая может лежать в плоскости.
Перейдем от канонических уравнений (3.8) к параметрическим (3.7)
и подставим значения х, у, х из уравнений (3.7) в уравнение плоскости.
Получим уравнение относительно неизвестного параметра /:
(Аш 4~ Вп 4~ Ср)1 4~ Ихо 4~ Вуо 4~ Сх$ 4~ = 0- (3.15)
Возможны три случая.
1. При Ат 4- Вп 4- Ср 0 уравнение (3.15) имеет единственное
решение: / — — (Лхо 4~ Ву^ 4" Схй 4- В)/(Ат 4- Вп 4- Ср). Подставив это
значение / в параметрические уравнения прямой (3.7), найдем ко-
ординаты точки пересечения М (рис. 3.2).
2. При
Ат 4- Вп 4~ Ср = 0, Лх0 4~ Ву$ 4~ Сх$ 4~ В) 0 (3.16)
уравнение (3.15) ие имеет решения, и прямая не имеет общих точек
с плоскостью. Формулы (3.16) являются условиями параллельности пря-
мой и плоскости.
3. При
Ат 4~ Вп 4~ Ср = 0, Ахо 4~ Ву$ 4~ С20 4~ С) — 0 (3.17)
любое значение I является решением уравнения (3.15), т. е. любая
точка прямой принадлежит плоскости. Равенства (3.17) называются
условиями принадлежности прямой плоскости.
Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой
и ее ортогональной проекцией на плоскость.
Величина угла <р между прямой и плоскостью вычисляется по
формуле
, - \АпгВпСр\
|СО8(П, 8)| = 81П <р = _——— .--
уд2 + В2 4- С2 ут2 -}- п2 р2
(3.18)
АЗ-З.2
1. Составить канонические уравнения прямой, прохо-
дящей через точку 7Ио(2, 0, —3):
а) параллельно вектору 8 = (2, —3, 5);
б) параллельно прямой +
(Ответ: а) =-^- = г±?.. ; б) -*~2. = -О— =
V 7 2 —3 5 7 11 -17
__ 4~ 3 \
-13 )
2. Установить взаимное расположение прямой и пло-
скости и в случае их пересечения найти координаты точки
пересечения:
а) = = + и Зх-Зу + 2г-5 = 0;
б) = и х + 2у - 4г + 1 = 0;
в) 2+11 = и Зх — у + 22-5 = 0.
(Ответ: а) параллельны; б) прямая лежит в плоскости;
в) пересекается в точке М(2, 3, 1).)
3. Найти координаты точки ф, симметричной точке
Р(2, —5, 7) относительно прямой, проходящей через точки
М1(5, 4, 6) и М2("~2, — 17, -8). (Ответ: <Э(4, -1, -3).)
4. Вычислить угол между прямой
х — 2у + 3 = 0,1
Зу + 2 — 1 = 0 /
и плоскостью 2х + Зг/— 2 + 1 = 0. (Ответ: 51пд) = 5/7,
Ф^45°36'.)
Самостоятельная работа
Л. Записать уравнение плоскости, проходящей через
прямую—-—перпендикулярно к плоско-
сти х + 4г/— Зг + 7 = 0. (Ответ: 11х — \7у — 192 + 10 =
= 0.)
2. Вычислить расстояние между прямыми *~~2 =
О
У 4-1 2 .. х — 1 у — 1 ’ г —3 .л
= = у и —5— = . (Ответ: (1 = 3.)
3. Пересекаются ли прямые - + 2 =-^~3 =
и “Г “"М— — г Г— ? (Ответ: нет.)
о Л □
3.3. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
Основная теорема. В декартовой прямоугольной системе координат
Оху на плоскости любая прямая может быть задана уравнением первой
степени относительно х и у:
Ах + Ву + С = 0,
(3.19)
где А, В, С — некоторые действительные числа, причем 42 + В2>0,
и обратно, всякое уравнение вида (3.19) определяет прямую.
Вектор п — (Л, В) перпендикулярен
к прямой (3.19) и называется нормаль-
ным вектором прямой. Уравнение (3.19)
называется общим уравнением прямой.
Если В 0, то уравнение (3.19)
можно разрешить относительно у и
представить в виде
у = Кх + Ь (к = а)- (3.20)
Последнее уравнение называется
уравнением прямой с угловым коэффи-
циентом Л. Угол а, отсчитываемый от
положительного направления оси Ох до
прямой против хода часовой стрелки,
называется углом наклона прямой, число Ь определяет величину отрез-
ка, отсекаемого прямой на оси Оу (рис. 3.3).
Существуют и другие виды уравнений прямой на плоскости:
1) уравнение по точке Л1о(хо, Уо) и угловому коэффициенту к
У — уо = к(х — Хо); (3-21)
2) параметрические уравнения
х~ Хо + щ/, |
г/ = уо + н/, ]
(3.22)
где а = (пг, п) — направляющий вектор прямой, а точка Мо(хо, у0) лежит
на прямой;
3) каноническое уравнение прямой (получаем его из уравнений
(3-22))
х — х() _ У ~ Уо .
т п
(3.23)
4) уравнение прямой в «отрезках»
а Ь
(3-24)
Рассмотрим случаи взаимного расположения двух прямых на плос-
кости.
1. Если прямые заданы общими уравнениями А\х + В\у + С1 = О
и Л2х -Ь В2у + С2г = 0, то угол ф между ними находится из формулы
П| ’П2 А1Л 2 4- В\В2 0 .
соз <р= п———г = —1 . — . (3.25)
|П|1 |П21 Ул? + в1 -у/А1 + в1
Условие перпендикулярности этих прямых имеет вид
Л!Л2 + В1В2 = 0, (3.26)
а условие их параллельности
А\ В} С]
а2 в2 с2
(3.27)
2. Если прямые заданы уравнениями вида (3.20) у{ ~ к\х +
и У2 = к2х Ь2, то угол ф между ними находится по формуле
1еч>=ттй"- (3-28)
1 ~Г #1*2
Для того чтобы прямые были параллельны, необходимо, чтобы выпол-
нялось равенство к\ — /г2, а для их перпендикулярности необходимо
и достаточно, чтобы к\к2 ~ — 1.
Расстояние (1 от точки Л1о(*о, Уо) До прямой (3.19) вычисляется
по формуле
</ = |Л*° + 7>+..С!. (3.29)
-012 + В2
АЗ-З.З
1. Поданным уравнениям построить прямые, найти их
угловые коэффициенты и отрезки, отсекаемые ими на
осях координат: а) 2х — 3 — 0; б) 5х + 2у — 8 = 0;
в) Зх Ч-8у + 16 = 0; г) Зх — у = 0.
2. Записать уравнения прямых, на которых лежат
стороны равнобедренной трапеции, зная, что основания
ее равны 10 и 6, а боковые стороны образуют с большим
основанием угол 60°. Большее основание лежит на оси
абсцисс, а ось симметрии трапеции — на оси ординат.
(Ответ: у = 0, у — 2^3, у ~х/3х + 5д/з, у= — ^/Зхф-
+ 5^/з.)
3. Сила Г = (/и, п) приложена к точке Мо(*о, уо\ За-
писать уравнение прямой, вдоль которой направлена эта
сила. (Ответ: пх — ту туо — пхь = 0.)
' А. Записать уравнения прямых, которые проходят
через точку Л(3, —1) и параллельны: а) оси абсцисс;
б) оси ординат; в) биссектрисе первого координатного
угла; г) прямой (/ = 3x4-9. (Ответ: а) у = — 1; б) х = 3;
в) у=^х~4\ г) г/—Зх— 10.)
4'5. Записать уравнение прямой, проходящей через
точки /4( — 1, 3) и В(4, 5). (Ответ: 2х-5у-\- 17 = 0.)
6. Луч света направлен по прямой у = ~ х — 4. Найти
координаты точки А4 встречи луча с осью Ох и уравнение
отраженного луча. {Ответ: А/(6, 0), у= — ух + 4.^
3'7. Точка А( — 2, 3) лежит на прямой, перпендикуляр-
ной к прямой 2х — Зу 8 — 0. Записать уравнение этой
прямой. (Ответ: Зх + 2у~ 0.)
8. Точка Л(2, —5) является вершиной квадрата, одна
из сторон которого лежит на прямой х — 2у — 7 = 0. Вы-
числить площадь квадрата. (Ответ: 5.)
Самостоятельная работа
1. Записать уравнение прямой, проходящей через
точку Р(5, 2) и отсекающей равные отрезки на осях ко-
ординат. (Ответ: х + У — 7 = 0.)
2. Найти уравнение прямой, параллельной прямой
12х + 5у — 52 = 0 и отстоящей от нее на расстоянии 2.
(Ответ: 12%4- Ьу — 26 = 0 или 12x4-5^ — 78 = 0.)
3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку
Л1о(4; —3) и образующей с осями координат треугольник
площадью
3. (Ответ: А _|_ = 1 или 4 + Нж = ~
у О “т О / /
4. Записать уравнение прямой, проходящей через на-
чало координат и образующей угол 45° с прямой у =
= 2% + 5. {Ответ: Зх у = 0.)
5. Вычислить величину меньшего угла ф между пря-
мыми Зх-|-4г/— 2 = О и 8х + 6//+ 5 = 0. Доказать, что
точка >4(13/14, —• 1) лежит на биссектрисе этого угла,
и сделать рисунок. {Ответ: соз ср = 24/25 = 0,96, ф~
«16°15'.)
3.4. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 3
ИД3 3.1
Решения всех
вариантов тут »>
1. Даны четыре точки Л|(х|, у\), А2(х2, у2), Аз(хз, Уз)
и Л4(Х4, у\). Составить уравнения:
а) плоскости А1А2А3; б) прямой Л|Л2;
в) прямой Л4Л4, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
г) прямой А3Ы, параллельной прямой А |Л2;
д) плоскости, проходящей через точку А4 перпенди-
кулярно к прямой Л|Л2.
Вычислить:
е) синус угла между прямой Л1Л4 и плоскостью
А |Д2Дз>
ж) косинус угла между координатной поскостью Оху
и ПЛОСКОСТЬЮ А1А2А3.
1.1. Л((3, 1, 4), Л2(-1, 6, 1), Л3(-1, 1, 6), Л4(0,
4, -1).
1.2. Л,(3, -1, 2), Л2(—1, 0, 1), Л3(1, 7, 3), Л<(8, 5, 8).
1.3. Л,(3, 5, 4), Л2(5, 8, 3), Л3(1, 2, -2), Л4( — 1, 0, 2).
1.4. А|(2, 4, 3), Л2(1, 1, 5), Л3(4, 9, 3), Л4(3, 6, 7).
1.5. Л|(9, 5, 5), А2(-3, 7, 1), Д3(5, 7, 8), Л4(6, 9, 2).
1.6. Л,(0, 7, 1), А2(2, -1, 5), Л3(1, 6, 3), Л4(3, -9, 8).
1.7. Л,(5, 5, 4), Л2(1, -1, 4), Л3(3, 5, 1), Л<(5, 8, -1).
1.8. Л 1(6, 1, 1), Л2(4, 6, 6), Л3(4, 2, 0), Л4(1, 2, 6).
1.9. Л|(7, 5, 3), Л2(9, 4, 4), Л3(4, 5, 7), Л<(7, 9, 6).
1.10. Л,(6, 8, 2), Л2(5, 4, 7), Л3(2, 4, 7), Л<(7, 3, 7).
1.11. Л|(4, 2, 5), Л2(0, 7, 1), Л3(0, 2, 7), Л4(1, 5, 0).
1.12. Л1(4, 4, 10), Л2(7,10, 2), Л3(2, 8, 4), Л4(9, 6, 9).
1.13. Л|(4, 6, 5), Л2(6, 9, 4), Л3(2, 10, 10), Л4(7, 5, 9).
1.14. Л|(3, 5, 4), Л2(8, 7, 4), Л3(5, 10, 4), Л4(4, 7, 8).
1.15. Л1(10, 9, 6), Лг(2, 8, 2), Л3(9, 8, 9), Л4(7, 10, 3).
1.16. Л 1(1, 8, 2), Л2(5, 2, 6), Л3(5, 7, 4), Л<(4, 10, 9).
1.17. Л,(6, 6, 5), Л2(4, 9, 5), Л3(4, 6, 11), Л4(6, 9, 3).
1.18. Л,(7, 2, 2), Л2( —5, 7, -7), Л3(5, -3, 1), Л4(2, 3, 7).
1.19. Л 1(8, -6, 4), Л2(10, 5, -5), Л3(5, 6, -8), Л4(8,
Ю, 7).
1.20. Л,(1, -1, 3), Л2(6, 5, 8), Л3(3, 5, 8), Л4(8, 4, 1).
1.21. Л,(1, — 2, 7), Л2(4, 2, 10), Л3(2, 3, 5), Л4(5, 3, 7).
1.22. Л ,(4, 2, 10), Л2(1, 2, 0), Л3(3, 5, 7), Л4(2, —3, 5).
1.23. Л ,(2, 3, 5), Л2(5, 3, -7), Л3(1, 2, 7), Л4(4, 2, 0).
1.24. Л,(5, 3, 7), Л2( —2, 3, 5), Л3(4, 2, 10), Л4(1, 2, 7).
1.25. Л,(4, 3, 5), Л2(1, 9, 7), Л3(0, 2, 0), Л4(5, 3, 10).
1.26. Л1(3, 2, 5), Л2(4, 0, 6), Л3(2, 6, 5), Л4(6, 4, — 1).
1.27. Л|(2, 1, 6), Л2(1, 4, 9), Л3(2, —5, 8), Л4(5, 4, 2).
1.28. Л|(2, 1, 7), Л2(3, 3, 6), Л3(2, —3, 9), Л4(1, 2, 5).
1.29. Л,(2, —1, 7), Л2(6, 3, 1), Л3(3, 2, 8), Л4(2, -3, 7).
1.30. Л|(0, 4, 5), Л2(3, — 2, 1), Л3(4, 5, 6), Л4(3, 3, 2).
2. Решить следующие задачи.
2.1. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях
координат плоскостью, проходящей через точку М(— 2,
7, 3) параллельно плоскости х — 4у + 5г — 1=0. (Ответ:
-1/15, 4/15, -1/3.)
2.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через
середину отрезка Л4|Л42 перпендикулярно к этому отрезку,
если М1(1, 5, 6), Л42(—1, 7, 10). (Ответ: х — у — 2г +
+ 22 = 0.)
2.3. Найти расстояние от точки М(2; 0; —0,5) до
плоскости 4х — 4у + 2г + 17 = 0. (Ответ: (1 = 4.)
2.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку Л(2, —3, 5) параллельно плоскости Оху. (Ответ:
г — 5 = 0.)
2.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через
ось Ох и точку Л (2, 5, —1). (Ответ: у + 5г = 0.)
2.6. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точки Л(2, 5, —1), В( — 3, 1, 3) параллельно оси Оу.
(Ответ: 4х + 5г — 3 = 0.)
2.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку Л(3, 4, 0) и прямую —= г 1 . (Ответ:
у —г —4 = 0.)
2.8. Составить уравнение плоскости, проходящей через
две параллельные прямые 3 = у = г~— и -х + 1 =
= - ~ 1 — у. (Ответ: х + 2у — 2г — 1 =0.)
2.9. Составить общие уравнения прямой, образованной
пересечением плоскости Зх — у — 7г 4- 9 = 0 с плоскостью,
проходящей через ось Ох и точку Л(3, 2, —5). (Ответ:
Зх — у — 7 г + 9 = 0, Ъу + 2г = 0.)
2.10. Составить уравнение плоскости в «отрезках»,
если она проходит через точку Л4(6, —10, 1) и отсекает
на оси Ох отрезок а = — 3, а на оси Ог — отрезок с = 2.
(Ответу + у = 1.)
2.11. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку Л(2, 3, —4) параллельно двум векторам а =
— (4, 1, —1) и Ь = (2, —1, 2). (Ответ: х— 10// —6г 4-
+ 4 = 0.)
2.12. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точки Л(1, 1, 0), 5(2, —1, —1) перпендикулярно
к плоскости 5х + 2у 4~ Зг — 7 = 0. (Ответ: х + 2у — Зг —
— 3 = 0.)
2.13. Составить уравнение плоскости, проходящей
через начало координат перпендикулярно к двум плоско-
стям 2х — 3//4-2 — 1=0 и х —//4*5г 4*3 = 0. (Ответ:
14х 4* 9// — г = 0.)
2.14. Составить уравнение плоскости, проходящей че-
рез точки Л(3, —1, 2), 5(2, 1, 4) параллельно вектору
а = (5, —2, -1). (Ответ: 2х 4~ 9//- 8г + 19 = 0.)
2.15. Составить уравнение плоскости, проходящей че-
рез начало координат перпендикулярно к вектору АВ,
если Л(5, —2, 3), 5(1, —3, 5). (Ответ: 4хА~У— 2г = 0.)
2.16. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях
координат плоскостью, проходящей через точку М(2, — 3,
3) параллельно плоскости Зх4‘^/ — Зг = 0. (Ответ: — 2,
—6, 2.)
2.17. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку 2И(1, — 1,2) перпендикулярно к отрезку М»Л<2»
если Л41(2, 3, —4), М?( — 1, 2, —3). (Ответ: Зх + у —
— г = 0.)
2.18. Показать, что прямая 3 = — ~парал-
лельна плоскости х4-3// —2г—1 =0, а прямая х = /4~
+ 7, // = / — 2, г — 2/4~ 1 лежит в этой плоскости.
2.19. Составить общее уравнение плоскости, проходя-
щей через точку Л(3, —4, 1) параллельно координатной
плоскости 0x2. (Ответ: //4~4 = 0.)
2.20. Составить уравнение плоскости, проходящей
через ось Оу и точку 7И(3, —5, 2). (Ответ: 2х — Зг = 0.)
2.21. Составить уравнение плоскости, проходящей че-
рез точки М(1, 2, 3) и 7У( —3, 4, —5) параллельно оси Ог.
(Ответ: х + 2у — 5 = 0.)
2.22. Составить уравнение плоскости, проходящей че-
рез точку М(2, 3, —1) и прямую х = 1— 3, г/ = 2/4~5,
г = —3/+ 1. (Ответ: 10%+ 13г/ + 12г —47 = 0.)
2.23. Найти проекцию точки ЛД4, —3, 1) на плоскость
х — 2у — г — 15 = 0. (Ответ: ЛЬ(5, —5, 0).)
2.24. Определить, при каком значении В плоскости
х — 4у А- % — 1 = 0 и 2х 4~ Ву 4- Юг — 3 = 0 будут перпен-
дикулярны. (Ответ: В — 3.)
2.25. Составить уравнение плоскости, которая прохо-
дит через точку М(2, —3, —4) и отсекает на осях коорди-
нат отличные от нуля отрезки одинаковой величины.
(Ответ: х + ^ + ^ + 5 = 0.)
2.26. При каких значениях п и А прямая — = 5 =
3 п
= перпендикулярна к плоскости Ах 4~2у — 2г —
— 7 = 0? (Ответ: А = — 1, п = — 6.)
2.27. Составить уравнение плоскости, проходящей че-
рез точки А (2, 3, — 1), В(1, 1, 4) перпендикулярно к плоско-
сти х — 4у + Зг + 2 = 0. (Ответ: 7х + 4у + Зг — 23 = 0.)
2.28. Составить уравнение плоскости, проходящей че-
рез начало координат перпендикулярно к плоскостям
х + Ьу — г 4- 7 = 0 и Зх — #4-2г — 3 = 0. (Ответ: 9х —
— Бу — 16г = 0.)
2.29. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точки М(2, 3, —5) и 1, 1, —6) параллельно
вектору а = (4, 4, 3). (Ответ: 2х — Ьу 4- 4г 4~ 31 = 0.)
2.30. Определить, при каком значении С плоскости
Зх — 5г/4“Сг — 3 = 0их — Зг/4~2г4~5 = 0 будут перпен-
дикулярны. (Ответ: С= —9.)
3. Решить следующие задачи.
3.1. Доказать параллельность прямых ——
= 4^ = 4 и х — 2у 4- 2г - 8 = 0, х + 6г — 6 — 0.
3.2. Доказать, что прямая ‘ =~4~
х _ 2
параллельна плоскости 2х 4" У — 2 = 0, а прямая —-— =
= —= г~~4 лежит в этой плоскости.
3.3. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку Л4(1, —3, 3) и образующей с осями координат углы,
соответственно равные 60°, 45° и 120°. ^Ответ: ~ 1 —
3.4. Доказать, что прямая —-— = -^~— =—$—
перпендикулярна к прямой
2% + 4/ — 4г+ 2 = 0,1
4х — у — 5г + 4 = 0.1
3.5. Составить параметрические уравнения медианы
треугольника с вершинами 4(3, 6, —7), В( — 5, 1, —4),
С(0, 2, 3), проведенной из вершины С. (Ответ: х = 2/,
у = — 31 + 2, х = 17/ + 3.)
3.6. При каком значении п прямая * + 2 1 =
3 п
2
= -р параллельна прямой
X + У~ 2 =0)
х_у_5г_8 = 0.) {Ответ-. п=-2.)
3.7. Найти точку пересечения прямой -у— = —
— ~ и плоскости 2х + 3у + ?— 1=0. (Ответ: М(2,
-3, 6).)
3.8. Найти проекцию точки Р(3, 1, —1) на плоскость
х + 2у + 3х — 30 = 0. (Ответ: Р{(5, 5, 5).)
3.9. При каком значении С плоскости Зх — 5у +
+ Сг— 3 = 0 и х + Зу + 2г + 5 = 0 перпендикулярны?
(Ответ: С — 6.)
3.10. При каком значении А плоскость Ах + Зу —
— 5г + 1 =0 параллельна прямой х~ 1 = у + % = А ?
(Ответ: А = — 1.)
3.11. При каких значениях т и С прямая =
у + 1 2 — 5 о л I
= перпендикулярна к плоскости Зх — 2у +
+ Сг + 1 =0? (Ответ: т = —6, С = 1,5.)
3.12. Составить уравнение прямой, проходящей через
начало координат параллельно прямой х = 2/ + 5, у =
= — 3/4-1, г=—7/ —4. (Ответ- А =
3.13. Проверить, лежат ли на одной прямой точки
Д(0, 0, 2), В(4, 2, 5) и С(12, 6, 11). (Ответ: лежат.)
3.14. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку Л4(2, —5, 3) параллельно прямой 2х —#Д-Зг —
-1=0, 5х + 4у-г —7 = 0. (Ответ: =±±1 =
_ г-3 \
13 7
3.15. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку Л4(2, —3, 4) перпендикулярно к прямым * + 2 =
_ = „2^4. = |=^±. ГОтЖг:^.=
— 11 г. I — Оу г.
_ у + 3 _ г —4 \
5 3 7
3.16. При каких значениях А и В плоскость Ах-(-
4-Ву4-6г — 7 = 0 перпендикулярна к прямой =
= = .1+1 ? (Ответ: А = 4, В = — 8.)
3.17. Показать, что прямая парал-
лельна плоскости х Д- 3^ — 2г Д- 1 = 0, а прямая х = I Д- 7,
У — / _ 2, г = 2/ Д- 1 лежит в этой плоскости.
3.18. Составить уравнение плоскости, проходящей
через ось Ох и точку К(— 3, 1, —2). (Ответ: хД-3// = 0.)
3.19. Показать, что прямые -у- — ~ Т и
Д- у — 5г + 1 — 0, 2х + Зу — 8г Д- 3 = 0 перпендикулярны.
3.20. При каком значении О прямая Зх-—#Д-2г—
— 6 = 0, хД-4// —гД-2) = 0 пересекает ось Ог? (Ответ:
0 = 3.)
3.21. При каком значении р прямые
х= 21 Д-5,)
У = — / Д-2, г и
г= р1 — 7 )
х Д- Зу Д- г Д- 2 = 0, |
х — у — Зг — 2 = 0/
параллельны? (Ответ: р = —5.)
х______________________________________________7
3.22. Найти точку пересечения прямой —-— =
О
= — у— = -г~5 и плоскости Зх — у + 2г — 8 = 0. (Ответ:
М(2, 0, 1).)
3.23. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку Л(2, — 5, 3) параллельно плоскости 0x2.
(Ответ: у + 5 — 0.)
3.24. Составить общие уравнения прямой, образован-
ной пересечением плоскости х + 2у ~ г + 5 = 0 с плоско-
стью, проходящей через ось Оу и точку Л4(5, 3, 2). (Ответ:
х + 2у — 2 + 5 = 0, 2х — 5г = 0.)
3.25. При каких значениях В и О прямая х — 2у +
+ г — 9 = 0, Зх + Ву+ 2 + 0 = 0 лежит в плоскости Оху?
(Ответ: В = —6, О = — 27.)
3.26. Составить уравнение плоскости, проходящей че-
рез точку Мо(2, 3, 3) параллельно двум векторам а =
= (~1, —3, 1) и Ь = (4, 1, 6). (Ответ: 19х— 10г/ — 11г +
+ 25 = 0.)
3.27._____Составить уравнения прямой, проходящей через
точку Е(3> 4, 5) параллельно оси Ох. ^Ответ: -*-~Л =
_ у — 4 __ 2 — 5 \
о о 7
3.28. Составить уравнения прямой, проходящей через
х -I- 1
точку Л4(2, 3, 1) перпендикулярно к прямой —=
- ’ Л = Л - г)
3.29. Составить каионические уравнения прямой, про-
ходящей через точку Л4(1, —5, 3) перпендикулярно к пря-
мым у = —~2 = г и х = 3/ + 1, г/ = — / — 5, 2 =
= 2/4-3. (Ответ = 4+ )
3.30. Найти точку, симметричную точке М(4, 3, 10)
« х — 1 и — 2 2 — 3 /л
относительно прямой —-—=*4—=—5—•
М!(2, 9, 6).)
Решение типового варианта
1. Даны четыре точки А 1(4, 7, 8), Лг(—1, 13, 0),
Л3(2, 4, 9), Д4(1, 8, 9). Составить уравнения:
а) плоскости А1А2А3; б) прямой Д1Д2,*
в) прямой Л4М, перпендикулярной к плоскости Л1Л2Л3;
г) прямой Л4Л^, параллельной прямой Л1Л2.
Вычислить:
д) синус угла между прямой Д1Д4 и плоскостью
АIЛ 2Л з;
е) косинус угла между координатной плоскостью Оху
и ПЛОСКОСТЬЮ А1А2А3.
► а) Используя формулу (3.4), составляем уравне-
ние ПЛОСКОСТИ А1А2А3:
х — 4 у — 7
— 5 6
-2 -3
2 — 8
—8
1
откуда 6х — 7у — 9г + 97 = 0;
б) Учитывая уравнения прямой, проходящей через
две точки (см. формулу (3.9)), уравнения прямой А1А2
можно записать в виде
х — 4 у— 7 г — 8 .
5 ^6 8 ’
в) Из условия перпендикулярности прямой А$М и
плоскости Л1Л2Л3 следует, что в качестве направляющего
вектора прямой 8 можно взять нормальный вектор п =
= (6, —7, —9) плоскости Л1Л2Л3. Тогда уравнение пря-
мой Л4М с учетом уравнений (3.8) запишется в виде
у — 8 _ г — 9
—9 ’
6
— 7
г) Так как прямая АЛУ параллельна прямой Л1Л2, то
их направляющие векторы §1 и можно считать совпа-
дающими: 51=52 —(5, —6, 8). Следовательно, уравнение
прямой АЛУ имеет вид
д)
5 -6
По формуле (3.18)
У~ 8 _ г-9
8
51П ф = |6.5 + (-7)(-6) + (-9)8]
7б2 + (-7)2 + (-9)2 д/52 + (6)2 + 82
34
0,8;
В соответствии с формулой (3.5)
соз<р = П| 'Пг = о-б + 0-(-7) + 1 -(-9)
1П'1 1 ”21 -ф у/б2 + (-7)2 + (- 9)2
= ~Л~ » —0,7. ч
-л/166
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точки Л1(4, 3, 1) и М( — 2, 0, —1) параллельно прямой,
проведенной через точки Л(1, 1, —1) и В( —3, 1, 0).
Согласно формуле (3.9), уравнение прямой АВ
имеет вид
х- 1 _ у—\ _ 1
-4 о 1
Если плоскость проходит через точку М(4, 3, 1), то ее
уравнение можно записать в виде А(х — 4) + В(у — 3) +
4-С(г—1) = 0. Так как эта плоскость проходит и через
точку Л/(— 2, 0, —1), то выполняется условие
Л(-2-4) + В(0-3)+С(-1 - 1) = 0 или
6Л + ЗВ + 2С — 0.
Поскольку искомая плоскость параллельна найден-
ной прямой АВ, то с учетом условия параллельности
(3.16) имеем:
—4Л-ЬОВ + 1С = 0 или 4Л —С = 0.
Решая систему
6Л +ЗВ + 2С = 0Д
4Л — С = 0,/
находим, что С = 4Л, В=— у Л. Подставив получен-
ные значения Си В в уравнение искомой плоскости, имеем
Л(х-4)-Ид(у-3) + 4Д(г-1) = 0.
О
Так как А=^0, то полученное уравнение эквивалентно
уравнению
3(х —4)— 14(г/ —3)+ 12(г —1) = 0. ◄
3. Найти координаты х2, У2, ?2 точки М2, симметричной
точке Л41(6, —4, —2) относительно плоскости х + у +
+ 2 - 3 = 0.
► Запишем параметрические уравнения прямой М1ЛЬ,
перпендикулярной к данной плоскости: х — 6 + Л У =
= —4 + /, г — —2 + I. Решив их совместно с уравнением
данной плоскости, найдем / — 1 и, следовательно, точку М
пересечения прямой М1М2 с данной плоскостью: Л4(7,
— 3, — 1). Так как точка М является серединой отрезка
М\М%, то верны равенства (см. пример 1 из § 2.2):
7 _____ 6 + Х-2 ____о ______ —4 4" ___ 1 _____ —2 4" ^2
' 2 ’ 6 2 2
из которых находим координаты точки Мг'- Хг = 8, уг =
= — 2, г2 = 0. ◄
ИДЗ-З.2
Решения всех
вариантов тут »>
/. Даны вершины треугольника АВС: Л(%|, уС), В(х2,
У2), С(хз, //з). Найти:
а) уравнение стороны АВ;
б) уравнение высоты СИ;
в) уравнение медианы АМ;
г) точку пересечения медианы АМ и высоты СН;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину С
параллельно стороне АВ;
е) расстояние от точки С до прямой АВ,
1.1. Л(—2, 4), В(3, 1), С(10, 7),
1.2. Л(—3, —2), В(14, 4), С(6, 8),
1.3. Л(1, 7), В(-3, -1), С(11, —3),
1.4. Л(1, 0), В(-1, 4), С(9, 5),
1.5. Л(1, -2), В (7, 1), С(3, 7),
1.6. Л(—2, -3), В(1, 6), С(6, 1),
1.7. Л(—4, 2), В(-6, 6), С(6, 2),
1.8. Л (4, -3), В (7, 3), С(1, 10),
1.9. А (4, —4), В (8, 2), С(3, 8),
1.10. Л( —3, —3), В(5, -7), С(7, 7),
1.11. Л(1, —6), В(3, 4), С(-3, 3),
1.12. Л(—4, 2), В (8, -6), С(2, 6),
1.13. Л( —5, 2), В(0, —4), С(5, 7),
1.14. Л(4, — 4), В (6, 2), С(-1, 8),
1.15. Л( —3, 8), В(-6, 2), С(0, -5),
1.16. Л(6, — 9), В(10, —1), С(-4, 1),
1.17. Л(4, 1), В(-3, -1). С(7, -3),
1.18. Л( — 4, 2), В (6, -4), С(4, 10),
1.19. Л(3, —1), В(11, 3), С(-б, 2),
1.20. Л( — 7, —2), В(-7, 4), С(5, -5),
1.21. Л(-1, —4), В(9, 6), С(-5, 4),
1.22. Л(10, —2), В(4, -5). С(-3, 1),
1.23. Л( —3, — 1), В(-4, -5), С(8, 1),
1.24. Л( —2, —6), В(-3, .5), С(4, 0),
1.25. Л(—7, — 2), В(3, —8), С(-4, 6),
1.26. Л(0, 2), В(-7, -4), С(3, 2),
1.27. Л (7, 0), В(1, 4), С(-8, -4),
1.28. Л(1, —3), В(0, 7), С(-2, 4),
1.29. Л( —5, 1), В(8, —2), С(1, 4),
1.30. Л (2, 5), В(-3, 1), 0(0, 4).
2. Решить следующие задачи.
2.1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку
пересечения прямых Зх — 2у —7 = 0 и х + 3# — 6 = 0
и отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный 3. (Ответ:
х = 3.)
2.2. Найти проекцию точки Л ( — 8, 12) на прямую,
проходящую через точки В(2, —3) и С( — 5, 1). (Ответ:
Л1(- 12, 5).)
2.3. Даны две вершины треугольника АВС: Л(— 4, 4),
В(4, —12) и точка М(4, 2) пересечения его высот. Найти
вершину С. (Ответ: 0(8, 4).)
2.4. Найти уравнение прямой, отсекающей на оси орди-
нат отрезок, равный 2, и проходящей параллельно прямой
2у — х = 3. (Ответ: х — 2у + 4 = 0.)
2.5. Найти уравнение прямой, проходящей через точку
Л (2, —3) и точку пересечения прямых 2х —г/ = 5 и х +
+ у = 1. (Ответ: х = 2.)
2.6. Доказать, что четырехугольник АВСИ — трапе-
ция, если Л(3, 6), В(5, 2), С(~ 1, —3), Р( —5, 5).
2.7. Записать уравнение прямой, проходящей через
точку Л(3, 1) перпендикулярно к прямой ВС, если В(2, 5),
0(1, 0). (Ответ: х + 5// —8 = 0.)
2.8. Найти уравнение прямой, проходящей через точку
Л(— 2, 1) параллельно прямой МН, если М(~3, — 2),
#(1, 6). (Ответ: 2х —^4-5 = 0.)
2.9. Найти точку, симметричную точке Л4(2, — 1) отно-
сительно прямой х — 2у + 3 = 0. (Ответ: М\( — 4/5, 23/5).)
2.10. Найти точку О пересечения диагоналей четырех-
угольника АВСО, если Л(—1, —3), В(3, 5), С(5, 2), 0(3,
— 5). (Ответ: 0(3, 1/3).)
2.11. Через точку пересечения прямых 6х — 4у + 5 = 0,
2х + 5г/+ 8 = 0 провести прямую, параллельную оси
абсцисс. (Ответ: у= — 1.)
2.12. Известны уравнения стороны АВ треугольника
АВС 4х + у = 12, его высот ВН 5х — 4у~ 12 и АМ х +
+ е/ = 6. Найти уравнения двух других сторон треуголь-
ника АВС. (Ответ: 7х~7у— 16 = 0, 4х + 5г/ — 28 = 0.)
2.13. Даны две вершины треугольника АВС: Л(— 6, 2),
В (2, —2) и точка пересечения его высот Я(1, 2). Найти
координаты точки М пересечения стороны АС и высоты
ВН. (Ответ: АД10/17, 62/17).)
2.14. Найти уравнения высот треугольника АВС, про-
ходящих через вершины А и В, если Л(— 4, 2), В(3, —5),
С(5, 0). (Ответ: Зх + 5</ + 2 = 0, 9х + 2^/ —28 = 0.)
2.15. Вычислить координаты точки пересечения пер-
пендикуляров, проведенных через середины сторон тре-
угольника, вершинами которого служат точки Л (2, 3),
В(0, —3), С(6, -3). (Ответ: М(3, -2/3).)
2.16. Составить уравнение высоты, проведенной через
вершину А треугольника АВС, зная уравнения его сторон:
АВ — 2х — у — 3 = 0, АС — х + Зу — 7 = 0, ВС — Зх —
— 2у + 13 = 0. (Ответ: 2х + Зу — 7 = 0.)
2.17. Дан треугольник с вершинами Л(3, 1), В( — 3, —1)
и С(5, —12). Найти уравнение и вычислить длину его
медианы, проведенной из вершины С. (Ответ: 2хА-у-\-
4-2 = 0, 4 = 54/717’» 13,1.)
2.18. Составить уравнение прямой, проходящей через
начало координат и точку пересечения прямых 2х +
+ 5г/ — 8 = 0 и 2х + Зу + 4 = 0. (Ответ: 6х + 11 у = 0.)
2.19. Найти уравнения перпендикуляров к прямой
Зх + 5г/—15 = 0, проведенных через точки пересечения
данной прямой с осями координат. (Ответ: 5х— Зу —
— 25 = 0, 5х — Зу + 9 = 0.)
2.20. Даны уравнения сторон четырехугольника: х —
— У — 0, + Зг/ = 0, х — у — 4 = 0, Зх + — 12 = 0. Найти
уравнения его диагоналей. (Ответ: у — 0, х = 3.)
2.21. Составить уравнения медианы СМ и высоты СК
треугольника АВС, если 4(4, 6), В( — 4, 0), С(—1, —4).
(Ответ: 7х —й + 3 = 0 (СМ), 4х + Зг/+16 = 0 (СК).)
2.22. Через точку Р(5, 2) провести прямую: а) отсекаю-
щую равные отрезки на осях координат; б) параллель-
ную оси Ох; в) параллельную оси Оу. (Ответ: х + у — 7 =
= 0, у = 2, х = 5.)
2.23. Записать уравнение прямой, проходящей через
точку Л(— 2, 3) и составляющей с осью Ох угол: а) 45°,
б) 90°, в) 0°. (Ответ: х — ^ + 5 = 0, х + 2 = 0, у — 3 = 0.)
2.24. Какую ординату имеет точка С, лежащая на
одной прямой с точками Л(— 6, —6) и В( — 3, —1) и
имеющая абсциссу, равную 3? (Ответ: у = 9.)
2.25. Через точку пересечения прямых 2х — Зу — 1 =
= 0 и х + 4г/ — 7 = 0 провести прямую, делящую отрезок
между точками Л(4, —3) и В(—1, 2) в отношении Л =
= 2/3. (Ответ: 2х — у — 5 = 0.)
2.26. Известны уравнения двух сторон ромба 2х —
— Зу — 1=0 и , 2х — Зу — 34 = 0 и уравнение одной из
его диагоналей х-\-^У— 6 = 0. Найти уравнение второй
диагонали. (Ответ: Зх — у — 23 = 0.)
2.27. Найти точку Е пересечения медиан треугольника,
вершинами которого являются точки Л( —3, 1), В(7, 5)
и С(5, -3). (Ответ: Е(3, 1).)
2.28. Записать уравнения прямых, проходящих через
точку Л(—1, 1) под углом 45° к прямой 2х-|-34/ = 6.
(Ответ: х — 5у -|- 6 = 0, 5х + У + 4 = 0.)
2.29. Даны уравнения высот треугольника АВС 2х—
— Зе/ + 1 = 0, х + 2е/ 4-1=0 и координаты его вершины
Л(2, 3). Найти уравнения сторон АВ и АС треугольника.
(Ответ: 2х — у — 1=0 (ЛВ), Зх + 2</-12 = 0 (ЛС).)
2.30. Даны уравнения двух сторон параллелограмма
х — 2е/ = 0, х — у— 1=0 и точка пересечения его диаго-
налей М(3, —I). Найти уравнения двух других сторон.
(Ответ: х — у — 7 = 0, х — 2у — 10 = 0.)
Решение типового варианта
1. Даны вершины треугольника АВС: Л(4, 3), В(~3,
-3), С(2, 7). Найти:
а) уравнение стороны ЛВ;
б) уравнение высоты СН\
в) уравнение медианы Л7И;
г) точку Ы пересечения медианы АМ и высоты СН\
д) уравнение прямой, проходящей через вершину С
параллельно стороне ЛВ;
е) расстояние от точки С до прямой ЛВ.
а) Воспользовавшись уравнением прямой, прохо-
дящей через две точки (см. формулу (3.9)), получим
уравнение стороны ЛВ:
* —4 __ у — 3
— 3 — 4 — 3 —3 ’
откуда
6(х —4) = 7(е/ —3) или 6х — 7у — 3 = 0;
б) Согласно уравнению (3.20), угловой коэффициент
прямой ЛВ й|=6/7. С учетом условия перпендикуляр-
ности прямых ЛВ и СН (см. формулу (3.28)) угловой
коэффициент высоты СН кг = —7/6 (к\кг = — 1). По точке
С(2, 7) и угловому коэффициенту кг = —7/6 составляем
уравнение высоты СН (см. уравнение (3.21)):
у ~ 7 — — | (х - 2) или 7х + 6г/ — 56 = 0;
в) По известным формулам (см. § 2.2) находим ко-
ординаты х, у середины М отрезка ВС:
х = ( —3 + 2)/2 = — 1/2, у = ( —3 + 7)/2 = 2.
Теперь по двум известным точкам А и М составляем
уравнение медианы АМ:
~.Л±Т=424 или 2х-9У+19 = 0;
г) Для нахождения координат точки И пересечения
медианы АМ и высоты СН составляем систему уравнений
7х + бу — 56 = 0,1
2х — 9у+ 19 = 0.)
Решая ее, получаем И(26/5, 49/15);
д) Так как прямая, проходящая через вершину С,
параллельна стороне АВ, то их угловые коэффициенты
равны ^1 = 6/7. Тогда, согласно уравнению (3.21), по
точке С и угловому коэффициенту к\ составляем уравне-
ние прямой СО:
у — 7 = -|-(х —'2) или 6х —7^4-37 = 0;
е) Расстояние от точки С до прямой АВ вычисляем
по формуле (3.29):
Й-1СЯ1 = 1°-г-7-7-з| = ® „44
-д/б2 +.(-7)2
Решение данной задачи проиллюстрировано на рис.
3.4. <
2. Известны вершины 0(0, 0), Л( — 2, 0) параллело-
грамма О АСО и точка пересечения его диагоналей В (2,
— 2). Записать уравнения сторон параллелограмма.
► Уравнение стороны ОА можно записать сразу: у =
= 0. Далее, так как точка В является серединой диагонали
АО (рис. 3.5), то по формулам деления отрезка пополам
(см. § 2.2) можно вычислить координаты вершины О(х, у):
9 —2 4- х 9 0 + у
2 ’ 2 *
откуда х = 6, у — —4.
Теперь можно найти уравнения всех остальных сторон.
Учитывая параллельность сторон ОА и СО, составляем
уравнение стороны СО: у= —4. Уравнение стороны ОО
составляем по двум известным точкам:
но
х — О
6^0
у-о
— 4 —0 ’
Наконец, уравнение стороны АС находим, учитывая тот
факт, что она проходит через известную точку Л( — 2, 0)
параллельно известной прямой Ой (см. уравнение (3.21)):
у — 0 = — у (х + 2) или 2х + Зу + 4 = 0. ◄
3.5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 3
1. Составить уравнение биссектрисы того угла между
прямыми х — 7у=1 и х-\-у =—7, внутри которого ле-
жит точка Л(1, 1). (Ответ: Зх — у + 17 = 0.)
2. Составить уравнения сторон параллелограмма
АВСО, зная, что его диагонали пересекаются в точке
А4(1, 6), а стороны АВ, ВС, СО и О А проходят соответ-
ственно через точки Р(3, 0), ф(6, 6), /?(5, 9), 5( —5, 4).
(Ответ: х-(-2у —3 = 0, 2х— у — 6 = 0, х + 2у —23 = 0,
2х — у + 14 = 0.)
3. Дано* уравнение стороны ромба х + Зу —8 = 0 и
уравнение его диагонали 2х + ^ + 4 = 0. Записать урав-
нения остальных сторон ромба, зная, что точка А(—9,
— 1) лежит на стороне, параллельной данной. (Ответ:
х + Зу + 12 = 0, Зх — у — 4 = 0, Зх — у+ 16 = 0.)
4. Зная уравнения двух сторон треугольника АВС
2х + 3у — 6 = 0 (АВ), х + 2// —5 = 0 (Л С) и внутренний
угол при вершине В, равный л/4, записать уравнение
высоты, опущенной из вершины Л на сторону ВС. (Ответ:
х — 5у + 23 = 0.)
5. Составить уравнения сторон треугольника, зная
одну из его вершин Л (2, —4) и уравнения биссектрис двух
его углов: х + у —2 = 0 и х — Зу — 6 = 0. (Ответ: х +
+ 7у — 6 = 0, х — у — 6 = 0, 7х + у— 10 = 0.)
6. Составить уравнения сторон треугольника, зная
одну из его вершин Л( — 4, 2) и уравнения двух медиан:
Зх — 2г/ + 2 = 0 и Зх + 5у — 12 = 0. (Ответ: 2х + у — 8 =
= 0, х — Зу+ 10 = 0, х + 4у — 4 = 0.)
7, В треугольнике с вершинами Л( —3, — 1), В(1, —5),
С(9, 3) стороны АВ и АС разделены в отношении Х = 3,
считая от общей вершины Л. Доказать, что прямые,
соединяющие точки деления с противоположными верши-
нами, и медиана пересекаются в одной точке.
8. Прямые Зх + 4// —30 = 0 и Зх — 4у+ 12 = 0 ка-
саются окружности, радиус которой /? = 5. Вычислить
площадь четырехугольника, образованного этими каса-
тельными и радиусами круга, проведенными в точки ка-
сания. (Ответ: Зх 1,68.)
9. Даны две точки Л( — 3, 8) и В(2, 2). На оси Ох найти
такую точку М, чтобы ломаная линия АМВ имела наимень-
шую длину. (Ответ: А4(1, 0).)
10. Показать, что прямые * + 3 = 1 = —т—
и х = 3а —4, у = а + 2 пересекаются, и найти точку А
их пересечения. (Ответ: Л(—1, 3, 1).)
11. Найти расстояние от точки Р(7, 9, 7) до прямой
= = 4 • (Ответ: 422?)
12. Найти кратчайшее расстояние между двумя не-
х — 9 у + 2 х х
пересекающимися прямыми: —= -—— = — и —- =
4 " о 1 Л
= (°гвег: 7-)
13. Даны вершины треугольника Л (4, 1, — 2), В(2, 0,0),
С( —2, 3, —5). Составить уравнения его высоты, опущен-
ной из вершины В на противолежащую сторону. (Ответ:
х — 2 у __ х \
~74 57 “ —НО 7
14. Дан куб, длина ребра которого равна единице.
Вычислить расстояние от вершины куба до его диагонали,
не проходящей через эту вершину. (Ответ: (I =^2/3.)
15. На плоскости Оху найти такую точку Л4, сумма
расстояний которой до точек А( — 1, 2, 5)иВ(11, —16, 10)
была бы наименьшей. (Ответ: Л4(3, —4, 0).)
16. Точка М(х, у, а) движется прямолинейно и равно-
мерно из начального положения Л/о(15, —24, —16) со
скоростью о = 12 в направлении вектора $ — ( — 2, 2, 1).
Убедившись, что траектория движения точки М пересекает
плоскость Зх + 4у + 7а — 17 = 0, найти координаты точки
Л41 их пересечения. (Ответ: ЛЛ( —25, 16, 4).)
17. Доказать, что прямые 1 “"“у- = 27"' и
7 = -^-~2 = лежат в одной плоскости, и соста-
вить уравнение этой плоскости. (Ответ: 2х— 16у— 13а+
+ 31=0.)
18. Найти проекцию точки С(3, —4, —2) на плоскость,
проходящую через параллельные прямые =
__ У — & _ 2 + 3
1 -4
-3, -5).)
19. На плоскости Оху через точку Л4(4, —3) провести
прямую так, чтобы площадь треугольника, образованного
ею и осями координат, была равна 3. (Ответ: Зх + 2у —
— 6 = 0 или Зх + 8у + 12 = 0.)
= = (Ответ: С1(2,
20. Нужно восстановить границы квадратного участка
земли по трем сохранившимся столбам: один — в центре
участка, остальные—на двух противоположных границах.
На плане положение центрального столба определено
точкой Л4(1, 6), а боковых — точками Л (5, 9) и В(3, 0).
Составить уравнения прямых, изображающих границы
участка. (Ответ: х-^2у— 23 = 0, х-}-2у — 3 = 0, 2х —
-у-6 = 0, 2х-у+14 = 0.)
21. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей
через прямую х = х0 + //, у = уо + т/, г — а0 + перпен-
дикулярно к плоскости Ах + Ву + Сг + О = 0, может быть
представлено в следующем виде:
X — х0 1 У-Уо пг 1 * = 0.
А В С
22. Составить параметрические уравнения прямой,
которая проходит параллельно плоскостям Зх + 12у —
— За —5 = 0, Зх —4у + 9а + 7 = 0 и пересекает прямые
* + 5 = у — 3 __ г+ 1 х-3 _ у+ 1 __ г-2 (ПТЙРТ-
2 _4 з ’ __2 3 4 *
х = 8/-3, у= -31- 1, 2= —4/4-2.)
4. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
4Д. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Линией (кривой) второго порядка называется множество М точек
плоскости, декартовы координаты х, у которых удовлетворяют алгебра-
ическому уравнению второй степени
Лих2 + 2а\2ху + а221/2 + 2а(х + 2а2у + л0 = О, (4.1)
где ац, «12, Л22» Лгт Ло — постоянные действительные числа. Уравне-
ние (4.1) называется общим уравнением линии второго порядка.
Рассмотрим частные случаи уравнения (4.1).
1. ркружность радиусом К с центром в точке С(х0, у о) задается
уравнением
(х-х0)2+(^-^0)2=/?2. (4.2)
2. Эллипс с полуосями а и Ь, центром в начале координат н
вершинами А, А', В, В', расположенными на осях координат, опреде-
ляется простейшим (каноническим) уравнением
На рис. 4.1, а изображен эллипс, у которого а>Ь (а — большая
полуось, Ь — малая), а на рис. 4.1, б — эллипс, у которого а < Ь (а —
Рис. 4.1
малая полуось, Ь—большая). Точки Р\ н Гг называют фокусами. По
определению любая точка эллипса М удовлетворяет условию Р^М +
-|- р2М = 2а в случае а > Ь или Р{М + Р2М = 2д в случае а С Ь. Если
обозначить с = ОР\ = ОР2, то в первом случае Ь2 = а2 — с2, а во втором
а2 = Ь2 — с2. Прямые О\ и В2 называются директрисами эллипса; их
уравнения по определению имеют вид
х = ±а/е — ±а2/с,
если а > Ь, или
у = ±д/е = ±Ь2/с,
если а<1) (см. рис. 4.1). Оси координат являются осями симмет-
рии эллипса.
Число е, равное отношению расстояния между фокусами Г1Г2 к длине
большой оси, называется эксцентриситетом эллипса:
е = с/а (а> Ь) и е = с/Ь (а С Ь).
В любом случае 0 е < 1.
3. Гипербола с действительной полуосью а, мнимой полуосью 6,
центром в начале координат и вершинами Л и Л' на осн Ох имеет следу-
ющее каноническое уравнение:
х2_____у2
а2 Ь2
(4-4)
На рнс. 4.2 изображена гипербола с асимптотами С| и Сг
= эксцентриситетом 8 = с/а, директрисами О\ н (х =
— ±:а/е), фокусами Г|( —с, 0) и Р1(с, 0). Для гиперболы всегда спра-
ведливо равенство Ь2 = с2 — а2, и поэтому 8 = д/1 Ь2/а2 > 1. Для
любой точки М выполняется условие 1ЛМ — Г2М| ~2а, которое может
служить определением гиперболы.
Гипербола, уравнение которой имеет вид
а2 Ь2
(4.5)
называется сопряженной с гиперболой (4.4). Ее вершины находятся
в точках В и В' на оси Оу, асимптоты совпадают с асимптотами гипер-
болы (4.4), 8 = с/Ь (см. рис. 4.2). Как и в случае эллипса, оси координат
являются осями симметрии гиперболы.
4. Парабола с вершиной в начале координат, симметричная отно-
сительно осн Ох, имеет следующее каноническое уравнение:
у2 = 2рх.
Она изображена на рис. 4.3. Точка Г(р/2, 0) называется фокусом, а пря-
мая В, задаваемая уравнением х— — р/2,— директрисой параболы.
Для любой точки М параболы верно равенство РМ = ММ. Число р > 0
называется параметром параболы. Ось Ох является ее осью сим-
метрии.
Уравнения у2 = — 2рх, х2 = 2ру, х2 = — 2ру определяют параболы,
иначе ориентированные относительно осей координат (рис. 4.4, а—в).
Замечание. Уравнения вида
(х—Х0)2 , (у—уо)2 . ,.ч2 .. х
2 — 2 — Ь (1/ У о) — (х Хо)
определяют соответственно эллипс, гиперболу и параболу, которые
параллельно смещены относительно системы координат Оху таким обра-
зом, что центр эллипса и гиперболы и вершина параболы находятся
в точке С(х0, уо).
Директрисы, фокусы и точки эллипса, гиперболы и параболы облада-
ют одним замечательным свойством: отношение расстояния от любой точ-
ки М кривой до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей
выбранному фокусу директрисы есть величина постоянная, равная
эксцентриситету кривой. У параболы эксцентриситет следует считать рав-
ным 1. Это свойство можно принять за определение кривых второго
порядка.
Пример 1. Даны точка А (1, 0) н прямая х — 2. В декартовых коор-
динатах составить уравнение линии, каждая точка М(х, р) которой:
а) в два раза ближе к точке Л, чем к данной прямой; б) в два
раза дальше от точки Л, чем от данной прямой; в) равноудалена от точки
А н прямой х — 2.
► а) По условию 2А1Л — ЛМГ (рис. 4.5). Отсюда, так как Л''(2, у\ то
2 ~ О2 + У2 = “ 2)2, 4(х2 — 2х + 1 + у2) — х2 — 4х + 4,
Зх2 + 4р2 - 4х = 0, 3(х2 - (4/3) х + 4/9) + 4р2 == 4/3,
3(х - 2/3)2 + 4</2 = 4/3, + Т75- = 1 •
Следовательно, искомая линия — эллипс. Точка Л совпадает с правым его
фокусом, а прямая х — 2 — правая директриса;
б) Ло условию МА = 2МЫ (рис. 4.6). Следовательно,
-у/(х — I)2 + </2 = 2~\/(х — 2)2,
х2 — 2х + 1 + у2 = 4х2 — 16х + 16, Зх2 — у2 — 14х + 15 = 0,
3(х2 — (14/3)х + 49/9) — у2 = 49/3 — 15 = 4/3,
(х-7/3)2 у2
4/9 4/3
т. е. данная линия — гипербола. Точка А совпадает с ее левым фокусом,
х — 2 — левая директриса;
в) По условию МА — МЫ- (рис. 4.7). Следовательно,
*\/(х — I)2 + у2 = ^(х — 2)2, х2 — 2х + 1 + у2 — х2 — 4х + 4,
= -2х + 3, у2= — 2(х —3/2).
Получили уравнение параболы (см. рис. 4.7). Точка А совпадает с фо-
кусом, прямая х = 2— директриса. Ч
Если общее уравнение (4.1) определяет эллипс, гиперболу или пара-
болу, то поворотом около начала координат осей координат на угол а,
определяемый из уравнения 2а = 2012/(^11 —022), и параллельным пе-
реносом этих осей всегда можно добиться того, чтобы в новой си-
стеме координат уравнения данных кривых стали каноническими.
Особенно простым является приведение уравнения (4.1) к канони-
ческому виду в случае 012 = 0, когда можно применить метод выделения
полных квадратов.
Пример 2. Привести к каноническому виду уравнение линии 4х2 +
+ 9//2 + 32% — 54г/ + 109 = 0 и построить ее.
> Дополним члены, содержащие х, и члены, содержащие у, до пол-
ных квадратов. Получим
4(х2 + 8х+ 16) + 9((/2 - бу + 9) = 64 + 81 - 109 = 36,
4(х + 4)2 + 9(1/ - З)2 = 36, -{Х + = 1,
т. е. имеем эллипс, центр которого лежит в точке С( — 4, 3), большая
полуось а = 3, малая полуось 6 = 2 (рис. 4.8). «4
АЗ-4.1
1. Дан эллипс, каноническое уравнение которого имеет
ВИд -р = 1. Найти координаты его фокусов,
Ло У
эксцентриситет, уравнения директрис. Сделать рисунок.
(Ответ: —4, 0), ^(4, 0), е = 0,8, х= ±25/4.)
2, По каноническому уравнению гиперболы^ — =
= 1 найти ее полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения
асимптот и директрис. Сделать рисунок.
3. Построить параболу, ее директрису и фокус, зная
каноническое уравнение параболы: х2 = Ьу.
4. Составить каноническое уравнение эллипса, если
известно, что:
а) его малая ось равна 24, расстояние между фоку-
сами равно 10;
б) расстояние между фокусами равно 6, эксцентри-
ситет равен 3/5;
в) расстояние между фокусами равно 4, расстояние
между директрисами равно 5;
г) расстояние между директрисами равно 32, эксцен-
триситет равен 0,5.
5. Составить каноническое уравнение гиперболы, если
известно, что:
а) расстояние между вершинами равно 8, расстояние
между фокусами равно 10;
б) действительная полуось равна 5, вершины делят
расстояние между центром и фокусом пополам;
в) действительная ось равна 6, гипербола проходит
через точку Л (9, —4);
г) точки Р( —5, 2) и С(2^5, 2) лежат на гиперболе.
6. Составить каноническое уравнение параболы, если
известно, что:
а) парабола имеет фокус Г(0, 2) и вершину в точке
0(0, 0);
б) парабола симметрична относительно оси абсцисс и
проходит через точки 0(0, 0) и Л4(1, —4);
в) парабола симметрична относительно оси ординат
Оу и проходит через точки 0(0, 0) и ДО (6, —2).
7. С помощью выделения полных квадратов и пере-
носа начала координат упростить уравнения линий, опре-
делить их тип, размеры и расположение на плоскости
(сделать рисунок):
а) х2+ у — 4х + бу + 4 = 0;
б) 2х2 + 5у2 + 8х-Юу-17 = 0;
в) х2 — бу2 — 12х + Збу — 48 = 0;
г) х2 —8х + 2у + 18 = 0.
Самостоятельная работа
1. Найти уравнение окружности, если концы одного из
ее диаметров находятся в точках Л(3, 9) и В (7, 3). (Ответ:
(х-5)2 + (у-6)2=13.)
2. Составить уравнение гиперболы, имеющей вершины
в фокусах эллипса - = 1, а фокусы в его вер-
шинах. (Ответ: —-п-г = 1Л
\ о! 144 /
3. Составить уравнение траектории движения точки
М(х, у), если в любой момент времени она остается равно-
удаленной от точки Л(8, 4) и оси ординат. (Ответ: (у—
— 4)2 = 16(х — 4) — парабола.)
4. Записать уравнение траектории движения точки
Л4(х, у), если в любой момент времени она находится в 1,25
раза дальше от точки Л (5, 0), чем от прямой 5х — 16 = 0.
(Ответ: = 1.)
5. Ракета, пуск которой произведен под острым углом
к горизонту, описала дугу параболы и упала на рас-
стоянии 60 км от места старта. Зная, что наибольшая
высота, достигнутая ракетой, равна 18 км, записать урав-
нение параболической траектории, приняв место старта за
начало координат, а место падения — лежащим на поло-
жительной полуоси Ох, и определить параметр траекто-
рии. (Ответ: (х — 30)2 = — 50(у— 18), р = 25 км.)
4.2. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Поверхностью второго порядка называется множество точек про-
странства, декартовы координаты х, у которых удовлетворяют алгеб-
раическому уравнению второй степени
ацх2 + а22у2 + озз^2 + 2о12хг/ + 2о13хг + 2о23г/г + 2о]Х +
+ 2о2г/ + 2а3г + о0 = О,
где коэффициенты Оц, о22, До— постоянные числа. Это уравнение
называется общим уравнением поверхности второго порядка.
Существует девять классов невырожденных поверхностей второго
порядка, канонические уравнения которых можно получить из общего
уравнения с помощью преобразований системы координат (параллель-
ного переноса и поворота в пространстве осей координат). В результате
этих преобразований получаем следующие канонические уравнения:
+ о КЭ КЭ + Чэ II (эллипсоиды), (4.6)
II ^1% 1 см см + см 1см * I о (однополостные гиперболоиды), (4.7)
*2 . у2 _ г2 __ _ а2 Ь2 с2 1 (двуполостные гиперболоиды), (4-8)
о II 1 см см + см см I 0 (конусы второго порядка), (4-9)
х2 и2 а2 + Ь2 (эллиптические параболоиды), (4.Ю)
9 2 — =2г а2 Ь2 (гиперболические параболоиды), (4.Н)
О 1 * ю| кэ + СГ 1ч- КЭ кэ II (эллиптические цилиндры), (4.12)
о 1 * к?! м 1 о 1ч: кэ кэ II (гиперболические цилиндры), (4-13)
х2 = 2ру (параболические цилиндры). (4.14)
Здесь параметры а, Ь, с, р — постоянные и положительные числа,
характеризующие в определенном смысле свойства поверхностей.
Получение канонического уравнения из общего является довольно
сложной процедурой, но в случае отсутствия членов с ху, хг, у г
(О12 = 013 = а2з = 0) приведение общего уравнения к каноническому виду
достигается (как и в случае линий второго порядка) методом выделения
полных квадратов и параллельным переносом осей координат.
Пример 1. Привести к каноническому виду уравнение х2— 2у2 +
+ 4г2 + 2х—12г/— 8г — 3 = 0, выяснить тип, свойства и расположение
заданной этим уравнением поверхности относительно системы координат
Охуг.
► Выделив полные квадраты при входящих в уравнение перемен-
ных (т. е. сгруппировав члены уравнения указанным ниже образом),
имеем:
(х2 + 2х + 1 - 1) - 2(^ + Ьу + 9 - 9) + 4(г2 - 2г + 1 - 1) - 3 = О,
(х+1)2-2(^ + 3)2 + 4(г-1)2 = 3+1-18 + 4--10,
(*+1)2 _ (У+З)2 (г-1)2 _
10 5 *" 5/2
При параллельном переносе осей координат, задаваемом фор-
мулами: х'=х-|-1, у' = у + 3, г' —г—1, начало координат новой сн-
Р и с. 4.9
стемы окажется в точке О'(—1, —3, 1), а уравнение поверхности
примет канонический вид
9 4 9 * 9 *
10 5 5/2
Следовательно, данная поверхность — двуполостным гиперболоид, кото-
рый имеет а = д/1д Ь = с = д/5/2, вытянут вдоль новой оси О'у',
а центр его находится в точке О'(—1, —3, 1) (рнс. 4.9).
Форма и свойства всех перечисленных выше поверхностей второго
порядка (4.6) — (4.14) устанавливаются с помощью метода параллель-
ных сечений. Суть метода состоит в том, что поверхности пересека-
ются плоскостями, параллельными координатным плоскостям, а затем
по виду и свойствам получаемых в сечениях лнннй делается вывод
о форме и свойствах самой поверхности.
Пример 2. Установить форму и свойства однополостного гнпер-
л О2 22
болонда -гт- -|- —----— = 1. Сделать рисунок.
1о 4 9
Будем пересекать поверхность горизонтальными плоскостями
г = й. Из системы уравнений
16 4
2 = К
А2
9 ’
видно, что в любом таком сечении получается эллипс с полуосями
= 4 д/1 4* А2/9, Ь\ = 2дА 4- А2/9. Сечение плоскостями х — к дает ги-
перболы:
У2 г2 , А2 )
16 9 — 4 ’ Г
х = Л, '
а сечение плоскостями г/ = А— гиперболы:
х2 г2 Л2
Тб “ "9“ = 1 “
у = К
(только с другими полуосями).
При А = О получим сечения поверхности (одиополостного гипербо-
лоида) координатными плоскостями г = 0, или х = 0, или у = 0. Эти
сечения называются главными (рис. 4.10). Размеры главных сечений оче-
видны: в плоскости г = 0 эллипс имеет полуоси а = 4, Ъ = 2; в плоскости
х = 0 гипербола имеет действительную полуось 6 = 2, мнимую с = 3;
в плоскости у = 0 гипербола имеет действительную полуось а — 4,
мнимую с — 3. Координатные плоскости являются плоскостями симмет-
рии поверхности.
В инженерных задачах часто встречаются различные поверх-
ности вращения, т. е. поверхности, получаемые вращением некоторой
плоской линии вокруг заданной прямой (называемой осью поверхности
вращения), лежащей с этой линией в одной плоскости.
Если линия лежит в плоскости Оуг и имеет уравнения Р(у, г) = О,
х = 0, то при вращении ее вокруг оси Ох получаем поверхность вращения,
уравнение которой имеет вид Г(± д/х2 4“ у\ г) = 0; если вращение
совершать вокруг оси Оу, то уравнение поверхности вращения (дру-
гой!) запишется в виде р(у, ± Др2 4~ г2) = 0.
Пример 3. Записать уравнение поверхности вращения, полученной
и2 22
при вращении гиперболы —-------г = 1: а) вокруг оси Ог; б) вокруг
а Ь
оси Оу.
► а) Согласно изложенному выше правилу, в уравнении гиперболы
заменяем у на
вращения:
± ух2 4“ У2 и получаем уравнение поверхности
х2 + у2 г2
а2 Ь2
Это однополостный гиперболоид вращения, у которого в горизон-
тальных сечениях вместо эллипсов лежат окружности (см. пример 2);
б) При вращении данной гиперболы вокруг оси Оу следует в ее
уравнении заменить г на ± д/х2 4- г2. Тогда имеем:
у2 X2 + г2
а2 Ь2
2 2 2
х у* , г
Это двуполостным гиперболоид вращения, вытянутый вдоль оси Оу
(см. пример 1), сечения которого плоскостями у = й > а представляют
собой окружности, а не эллипсы, как в примере 1. 4
Пример 4. Составить уравнение поверхности, полученной вращением
дуги синусоиды ? — зт у, х = О (0 у 2л) вокруг оси Оу.
► Имеем:
г = 81П (± Vх2+ ^2)’ г — ±81п д/*2 + г/2
(рис. 4.11). 4
АЗ-4.2
1. Методом параллельных сечений исследовать форму
поверхности и построить ее:
а) х2 + 2у2 4- 4г2 = 2; б) 2х2 — 9у2 — г2 = 36;
в) — 2х2 + Зу2 + 4г2 = 0; г) 2у2 4- г2 = 2х;
д) г2 — у2 = х; е) 2х2 4- 4г2 = 4; ж) у2 — 6г = 0.
2. Определить вид поверхности и построить ее:
а) х2 + у2 + г2 — 3%4-5у — 4г = 0;
б) 36х2+ 16у2 — 9г2 4- 18г = 9;
в) х2 4- У2 4- г2 = 2г;
г) 5х2 4- У2 4- 10* ~ бу—Юг 4-14=. 0;
д) х2 + Зг2 — 8х 4- 18г 4- 34 = 0.
3. Построить тело, ограниченное поверхностями:
а) х2 = 2, г = 0, 2х — у = 0, х 4- у = 9;
б) г2 = 4 — у, х2 4-У2 = 4у;
в) г = у2, х2 4- у2 = 9, 2 = 0;
г) г = у, г = 0, у=л/4 —х, у = у (х — 1).
Самостоятельная работа
Построить тело, ограниченное указанными поверх-
ностями.
1. г = 4 — х2, 2 = 0, х2 + у2 = 4.
2. 2 = 2х2 + у2, г = 0, х = 0, и = 0, х + у = 1.
3. х2 + у2 + г2 = 9, 2 + 1 == х2 + у2 (г > — 1).
4. х2 + у2 = г, х2 + У2 = 4, 2 == 0.
4.3. ЛИНИИ, ЗАДАННЫЕ УРАВНЕНИЯМИ В ПОЛЯРНЫХ
КООРДИНАТАХ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ
Полярные координаты точки и уравнение линии в полярных ко-
ординатах. Положение некоторой точки М на плоскости в прямоуголь-
ной декартовой системе координат Оху определяется числами х и у,
т. е. М(х, у) (рис, 4.12). Эту точку можно задать и другим способом,
например с помощью расстояния р=|ОЛ1| и угла ф, отсчитываемого
против хода часовой стрелки от оси Ох, называемой полярной осью, до
' >
радиуса-вектора ОМ. В этом случае используется запись Л1(р; ф). Рас-
стояние р называется полярным радиусом, ф — полярным углом точки
М, а точка О — полюсом.
Связь между декартовыми х, у и полярными р, ф координатами
1 >
точки М при указанном расположении осей Ох н Оу, вектора ОМ и угла
Ф выражается формулами:
х = р соз ф, р 0,
У = р 81П ф, 0 ф < 2л
(4.15)
(см. рис. 4.12). С помощью формул (4.15) можно находить декартовы
координаты точки М по ее полярным координатам. Если эти формулы
разрешить относительно р и ф, то получим формулы:
р = -д/г2 + V2, СО5ф= — х - 51П ф =— У (4.16)
Vх2+у2 V*2+у2
с помощью которых по декартовым координатам точки М легко найти
ее полярные координаты.
Формулы (4.15) и (4.16) дают также возможность переходить от
уравнений линий, заданных в декартовых координатах, к их уравне-
ниям в полярных координатах, и наоборот.
Пример 1. Построить точки, заданные полярными координатами:
М,(2; л/6), М2(1; Зл/4), М3(3; 5л/4), М4(2; 5л/6), М5(3/2; л/2),
АГ&(4; 0), Л47(3; 7л/4).
> Вначале проведем луч под углом ср к полярной оси Ох, затем
на построенном луче отложим от полюса О отрезок длиной р. В итоге най-
дем все семь точек (рис. 4.13). Отрезок ОЕ определяет единицу
ДЛИНЫ. <4
Пример 2. Найти декартовы координаты точек Л17, заданных
в примере 1.
>> В соответствии с формулами (4.15) имеем: 1),
М2(—д/5/2, д/5/2). М3(— Зд/5/2, — 3^2/2), Мл (— -у/з, 1), Лк(0,3/2).
М6(4, 0). М7(3-у/2/2, -Зд/5/2). <4
Пример 3. Точки заданы декартовыми координатами: А
— \/2~), 3(0, —3), С^, 1). Построить эти точки и найти их полярные
координаты.
> Согласно формулам (4.16), получаем: для точки А р = 2, ф =
= — 1, ф = 7л/4, т. е. А (2; 7л/4); для точки В р = 3, 51п ф = — 1,
ф — Зл/2, значит, В(3; Зл/2); для точки С р = 2, ф = 1/д/з~= д/§/3,
ф —л/6, т. е. С(2; л/6) (рис. 4.14). <4
Пример 4. Записать уравнение линии (х2 + у2)3/2 = 4 (х2 — Зу2) в
полярных координатах.
► Воспользовавшись формулами (4.15), подставим в данное урав-
нение вместо х и у их выражения. Получим
р3 = 4(р2 СО82 ф — зр2 81П2 ф).
Считая р 0, преобразуем последнее уравнение:
Р = 4(соз2 ф — 51П2 ф — 2 81П2 ф),
р = 4(со5 2ф — 1 + соз 2ф), р = 4(2 соз 2ф — 1). <4
Пример 5. Записать уравнение линии р2 = 8$1п22ф в декартовых
координатах.
► Так как 81п 2ф = 2в1п ср сое ф, данное уравнение можно перепи-
сать в виде р2 = 32 81п2 ф сое2 ф и заменить р, 81п ф и сое ф их выраже-
ниями (см. формулы (4.16)). Тогда найдем:
(х2 + ^2)2 = 32хУ. «
2 / г \2
Пример 6. Построить кривую, заданную уравнением р = 2 +
+ СО8? ф.
► Составим таблицу, в которой указаны значения ф, и соответ-
ствующие им значения р, (1 — 1, 16):
ф< р< р‘ <р1 р< р< ф» Р1 <Р1 р*
л 9 3 5 7 11 3 11 11
0 3 — л » —— л - тг -х- л 2 -X- л
3 4 4 2 6 4 2 6 4
л 11 л . 5 11 5 5 5 9
Р ! 2 Л — л ~— л 2л 3
6 4 2 6 4 4 2 3 4
л 5 2 9 4 9 7 5
—~ Л л 3 Л — л
4 2 3 4 3 4 4 2
Построив найденные точки М(рг, Ф<) (см. пример 1) и соединив их
плавной линией, получим достаточно точный график искомой кривой
_(рис. 4.15). <4
Параметрические уравнения линии. Уравнения вида
х = Л (0.
у = Л(<), Л
х = 1з(1),
(4 17)
где /2(/), /з(0—некоторые функции параметра /, называются
параметрическими уравнениями линии в пространстве. В частном случае,
когда /3(/) = 0 (или /1(/)^0, или |2(/) = 0), получаем параметрические
уравнения линии на плоскости г — 0 (или х = 0, или у = 0). Следует отме-
тить, что уравнения (4.17) задают не только линию, но и «закон движе-
ния» точки Л4(х, у, г) по этой линии: каждому значению параметра /
соответствует определенное положение точки на линии.
Пример 7. Выяснить, какая линия определяется параметрическими
уравнениями
х = а1 сое /,
у = а1 51п /, а > 0, д > 0, / > 0.
г = Ы,
► Это спиральная винтовая линия, проекция которой на плоскость
г = 0 является спиралью Архимеда р — оф (рис. 4.16).
Пример 8. Выяснить, какую линию задают указанные параметри-
ческие уравнения
х = а зш2 а > О,
у = Ь соз2 /, Ь > О,
г = О,
ОО </
> Это отрезок прямой, концы которого лежат на осях координат
в точках Д(а, 0) и В(0, Ь). При изменении I в интервале (— оо; +оо)
точка М(1) отрезка АВ бесчисленное множество раз «пробегает» этот
отрезок (рис. 4.17).
Если из параметрических уравнений (4.17) удается исключить пара-
метр /, получают уравнения линии в декартовых координатах. Для
пространственной линии имеем пару уравнений, каждое из которых опре-
деляет цилиндрическую поверхность, а их пересечение дает саму линию.
Например, спиральную винтовую линию (см. пример 7) можно пред-
ставить следующей парой уравнений цилиндрических поверхностей
(/ = г/Ь):
а г а • г Л
х — — г соз —, у = — г зш —, г > 0.
о о оо
Для плоской линии, лежащей в некоторой координатной плоскости,
исключение параметра I также приводит к паре уравнений в декартовых
координатах, но одно из них всегда является уравнением коорди-
натной плоскости, в которой лежит сама линия. Уравнение координатной
плоскости часто опускают. Так, в примере 8 уравнение отрезка АВ
можно представить следующей парой уравнений в декартовых коорди-
натах:
— = 1, г = 0, 0 х < л, 0 < г/ < 6.
а Ь
Пример 9. Построить линию, заданную параметрическими уравне-
ниями:
х = О,
г = /+ 1/7 - 3.
Данная линия лежит в координатной плоскости Оуг. Придавая
различные значения параметру /, можно получить достаточное количество
точек линии, по которым она строится. Чтобы более точно изучить эту
линию, воспользуемся методом исключения параметра. Перенесем числа
2 и —3 во втором и третьем уравнениях системы в левую часть.
Возведем обе части уравнений в квадрат и из (г + З)2 вычтем (у—• 2)2.
Тогда:
(г + З)2 - (у - 2)2 = (/ + I//)2 - (/ - 1 //)2-= 4,
(г + 3)2 (</-2)2
4 4
Следовательно, в координатной плоскости х — 0 имеем равнобочную
гиперболу (а = Ь~ 2) с центром в точке С(0, 2, —3), изображенную
на рис. 4.18. <4
АЗ-4.3
1. Построить линии, заданные уравнениями в полярных
координатах. Записать их в декартовых координатах:
1) р = 5; 2) ф = л/3;
3) р = шр (спираль Архимеда)',
4) р = 6со5(р; 5) р=10з1П(р;
6) рсо5ф = 2; 7) р 51П ф = 1;
8) Р== 1-СОЗф (ПйРабОЛа)^
9) р = а(1 — соз <р) (кардиоида);
10) р = 3/ф (гиперболическая спираль);
11) р = 29, р = (1 /2)ф (логарифмические спирали);
12) р = а 81п Зф (трехлепестковая роза);
13) р = я81п22ф (четырехлепестковая роза);
14) р2 = а2 соз 2ф (лемниската Бернулли).
2. Составить в полярных координатах уравнения сле-
дующих линий:
а) прямой, перпендикулярной к полярной оси и отсе-
кающей на ней отрезок, равный 3;
б) прямых, параллельных полярной оси и отстоящих от
нее на расстоянии 5;
в) окружности радиусом /? = 4 с центром на полярной
оси и проходящей через полюс;
г) окружностей радиусом /? = 3, касающихся поляр-
ной оси в полюсе.
(Ответ: а) рсозф = 3; б) рз!пф=±5; в) р = 8созф;
Г) р = ±6 81П ф.)
3. Построить следующие линии, заданные параметри-
ческими уравнениями:
1) Х — 1, у = — 2/+ 5;
2) х = 3 соз / + 3, у = 3 81П I — 2;
3) х = 5 + 4 соз /, у = — 1 + зт /;
4) х = а(1 — з1п/), у = а(\~ соз/) (циклоида);
5) х — а соз3 /, у ~а зт31 (астроида);
6) х = псоз/, у = а$т1, х = Ы (винтовая линия);
Самостоятельная работа
1. Исключив параметр / из данных параметрических
уравнений линий на плоскости, записать их уравнения
в декартовых координатах Р(х, у) = 0, определить тип каж-
дой линии и ее расположение на плоскости:
1) х = а/соз /, у = Ы%1 (гипербола);
2) х — 2а соз2 /, у = а зт 21 (окружность);
3) х = азт2/, у = 2а$1п21 (окружность);
4) х = — 2 + 3 зт 2/, у = 1 + соз 21 (эллипс);
5) х = 4(1 — /), у = 2д/7 (часть параболы, для которой
У>0).
2. Построить линии, записав их уравнения в полярных
координатах:
1) х2 + у2 = 5(д/х2 + у2 — х);
2) х4-у4 = (х2 + у2)3; 3) (х2 + у2)2=у2;
4) Зх2 — у2 = (х2 + у2)3/2; 5) (х2 + у2)3 = 4х2у2.
4. 4. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 4
^д3 4 у Решения всех
вариантов тут »>
/. Составить канонические уравнения: а) эллипса;
б) гиперболы; в) параболы (Д, В — точки, лежащие на
кривой, В — фокус, а — большая (действительная) полу-
ось, Ь — малая (мнимая) полуось, е — эксцентриситет,
у = ±кх — уравнения асимптот гиперболы, Ъ — ди-
ректриса кривой, 2с — фокусное расстояние).
1.1. а) 6 = 15, ^(-10, 0); б) а = 13, е= 14/13;
в) И: х = —4.
1.2. а) Ь = 2, Г(4-у/2, 0); б) а = 7, 8=785/7; в) Р:
1.3. а) Л(3, 0), 5(2, 75/3); б) к = 3/4, е = 5/4;
в) Р: у = —2.
1.4. а) 8=727/5, Л( —5, 0); б) Л(780, 3), В(4^/б,
зТ2); в) Р: у= 1.
1.5. а) 2а = 22, е =757/11; б) 6 = 2/3, 2с = ю713;
в) ось симметрии Ох и А (27, 9).
1.6. а) Ь =715, 8=7^0/25; б) 6 = 3/4, 2а =16;
в) ось симметрии Ох и Д(4, —8).
1.7. а) а = 4, Т = (3, 0); б) Ь = 2777 Т(—11, 0);
в) Р: х = —2.
1.8. а) 6 = 4, Т = (9, 0); б) а = 5, е = 7/5; в) Р: х = 6.
1.9. а) Л(0, 73), В(714/3, 1); б) 6=777/10, 8 =
= 11/10; в) Р: у = —4.
1.10. а) е = 7/8,Л(8,0);б) Л(3, -Тз/5), 5(713/5, б);
в) Р: у = 4.
1.11. а) 2а = 24, е =777/6; б) 6=77/3, 2с =10;
в) ось симметрии Ох и Д( — 7, —7).
1.12. а) 6=2, 8 = 57 29/29; б) 6=12/13, 2а = 26;
в) ось симметрии Ох и Д( —5, 15).
1.13. а) а = 6, /•"(—4, 0); б) 6 = 3, Р(7, 0); в) В: х =
= — 7.
1.14. а) 6 = 7, Г(5, 0); б) а = 11, 8=12/11; в) О:
х= 10.
1.15. а) Л( —717/3, 1/3), 6(727/2, 1/2); б) 6=1/2,
е=75/2; в) О: у=—\.
1.16. а) 8 = 3/5, Л(0, 8); б) Л(7б, 0), В( — 2~^2, 1);
в) О: у = 9.
1.17. а) 2а = 22, 8=10/11; б) 6=ТП/5, 2с = 12;
в) ось симметрии Ох и А( — 7, 5).
1.18. а) 6 = 5, 8 = 12/13; б) к = 1/3, 2а = 6; в) ось
симметрии Оу и Л( — 9, 6).
1.19. а) а = 9, Е(7, 0); б) 6 = 6, Г(12, 0); в) О: х =
= -1/4.
1.20. а) 6 = 5, Г(-\0, 0); б) а = 9, 8 = 4/3; в) О:
х= 12.
1.21. а) Л(0, -2), В(Т^5/2, 1); б) к = 2-/10/9,
8=11/9; в) О: у = 5.
1.22. а) 8 = 2/3, Л(-6, 0); б) Л(7в, 0), В(л[20/3, 2);
в) В: у=1.
1.23. а) 2а = 50, 8 = 3/5; б) 6 = 729/14, 2с = 30;
в) ось симметрии Оу и /1(4, 1).
1.24. а) 6 = 27^5, 8 = 7/8; б) 6 = 5/6, 2а = 12; в) ось
симметрии Оу и Л( — 2, зТ?).
1.25. а) а=13, Г(-5, 0); б) 6 = 44, Г(-7, 0);
в) О: х = —3/8.
1.26. а) 6 = 7, В(13, 0); б) 6=4, Е(—11, 0); в) О:
х= 13.
1.27. а) Л( —3, 0), В(1, 740/3); б> к=-^2/3, 8 =
= 7'15/3; в) О: у = 4.
1.28. а) 8 = 5/6, Л(0, -7ТГ); б) Л(732/3, 1), В(7в,
0); в) О; у= -3.
1.29. а) 2а = 30, 8=17/15; б) 6 =7^7/8, 2с =18;
в) ось симметрии Оу и /1(4, —10).
1.30. а) Ь = 2~^2, 8 = 7/9; б) 6=72/2, 2а = 12;
в) ось симметрии Оу и /1( —45, 15).
2. Записать уравнение окружности, проходящей через
указанные точки и имеющей центр в точке А.
2.1. Вершины гиперболы 12х2— 13у2=156, Л(0, —2).
2.2. Вершины гиперболы 4х2— 9у2 = 36, Л(0, 4).
2.3. Фокусы гиперболы 24у2— 25х2 = 600, Л (0, —8).
2.4. 0(0, 0), Л — вершина параболы у2 = 3(х — 4).
2.5. Фокусы эллипса 9х2 4- 25у2 = 1, Л (0, 6).
2.6. Левый фокус гиперболы Зх2 — 4у2 = 12, Л (0, — 3).
2.7. Фокусы эллипса Зх24-4у2=12, Л—его верхняя
вершина.
2.8. Вершину гиперболы х2— 16у2 = 64, Л (0, —2).
2.9. Фокусы гиперболы 4х2 — 5у2 = 80, Л (0, —4).
2.10. 0(0, 0), Л — вершина параболы у2 = — (х +
+ 5)/2.
2.11. Правый фокус эллипса ЗЗх2 4-49у2 = 1617,
Л(1, 7).
2.12. Левый фокус гиперболы Зх2 — 5у2 = 30, Л(0, 6).
2.13. Фокусы эллипса 16х24-41у2 = 656, Л — его ниж-
няя вершина.
2.14. Вершину гиперболы 2х2 — 9у2 = 18, Л (0, 4).
2.15. Фокусы гиперболы 5х2— Ну2 = 55, Л(0, 5).
2.16. В(1, 4), Л — вершина параболы у2 = (х— 4)/3.
2.17. Левый фокус эллипса Зх2 4-7у2 = 21, Л (—1, —3).
2.18. Левую вершину гиперболы 5х2 — 9у2 = 45, Л(0,
-6).
2.19. Фокусы эллипса 24х2 — 25у2 = 600, Л — его верх-
няя вершина.
2.20. Правую вершину, гиперболы Зх2 — 16у2 —48,
Л(1, 3).
2.21. Левый фокус гиперболы 7х2 — 9у2 = 63, Л(—1,
-2).
2.22. В (2, —5), Л — вершина параболы х2= —2(у4-
4-1)-
2.23. Правый фокус эллипса х24-4у2 = 12, Л(2, —7).
2.24. Правую вершину гиперболы 40х2 — 81у2 = 3240,
Л( —2, 5).
2.25. Фокусы эллипса х2 4- Юу2 = 90, Л — его нижняя
вершина.
2.26. Правую вершину гиперболы Зх2 — 25у2 = 75,
Л(—5, -2).
2.27. Фокусы гиперболы 4х2 —5у2 = 20, Л(0, —6).
2.28. В(3, 4), Л — вершина параболы у2 = (х 4* 7)/4.
2.29. Левый фокус эллипса 1 Зх2 4~ 49у2 = 837, Л(1, 8).
2.30. Правый фокус гиперболы 57х2 — 64у2 = 3648,
Л (2, 8).
3. Составить уравнение линии, каждая точка М кото-
рой удовлетворяет заданным условиям.
3.1. Отстоит от прямой х = —6 на расстоянии, в два
раза большем, чем от точки А(1, 3).
3.2. Отстоит от прямой х= —2 на расстоянии, в два
раза большем, чем от точки А (4, 0).
3.3. Отстоит от прямой у — — 2 на расстоянии, в три
раза большем, чем от точки А(5, 0).
3.4. Отношение расстояний от точки М до точек А (2, 3)
и В(—1, 2) равно 3/4.
3.5. Сумма квадратов расстояний от точки М до точек
А(4, 0) и В( — 2, 2) равна 28.
3.6. Отстоит от точки А(1, 0) на расстоянии, в пять
раз меньшем, чем от прямой х = 8.
3.7. Отстоит от точки А (4, 1) на расстоянии, в четыре
раза большем, чем от точки В( —2, —1).
3.8. Отстоит от прямой х = — 5 на расстоянии, в три
раза большем, чем от точки А(6, 1).
3.9. Отстоит от прямой у = 7 на расстоянии, в пять раз
большем, чем от точки А (4, — 3).
3.10. Отношение расстояний от точки М до точек
А( — 3, 5) и В(4, 2) равно 1/3.
3.11. Сумма квадратов расстояний от точки М до
точек А( —5, —1) и В(3, 2) равна 40,5.
3.12. Отстоит от точки А (2, 1) на расстоянии, в три
раза большем, чем от прямой х = —5.
3.13. Отстоит от точки А( — 3, 3) на расстоянии, в три
раза большем, чем от точки В(5, 1).
3.14. Отстоит от прямой х = 8 на расстоянии, в два
раза большем, чем от точки А( — 1, 7).
3.15. Отстоит от прямой х — 9 на расстоянии, в четыре
раза меньшем, чем от точки А( — 1, 2).
3.16. Отношение расстояний от точки до точек
А(2, —4) и В(3, 5) равно 2/3.
3.17. Сумма квадратов расстояний от точки М до точек
А( —3, 3) и В(4, 1) равна 31.
3.18. Отстоит от точки А(0, —5) на расстоянии, в два
раза меньшем, чем от прямой х = 3.
3.19. Отстоит от точки А(4, —2) на расстоянии, в два
раза меньшем, чем от точки В(1, 6).
3.20. Отстоит от прямой х= — 7 на расстоянии, в три
раза меньшем, чем от точки А(1, 4).
3.21. Отстоит от прямой х = 14 на расстоянии, в два
раза меньшем, чем от точки А (2, 3).
3.22. Отношение расстояний от точки М до точек
Д(3, —2) и В(4, 6) равно 3/5.
3.23. Сумма квадратов расстояний от точки М до точек
Л( —5, 3) и В(2, —4) равна 65.
3.24. Отстоит от точки Д(3, —4) на расстоянии, в три
раза большем, чем от прямой х = 5.
3.25. Отстоит от точки Л (5, 7) на расстоянии, в четыре
раза большем, чем от точки В( — 2, 1).
3.26. Отстоит от прямой х = 2 на расстоянии, в пять
раз большем, чем от точки /1(4, —3).
3.27. Отстоит от прямой . х=—7 на расстоянии,
в три раза меньшем, чем от точки /1(3, 1).
3.28. Отношение расстояний от точки М до точек
Д(3, -5) и В(4, 1) равно 1/4.
3.29. Сумма квадратов расстояний от точки М до точек
Д(-1, 2) и В(3, -1) равна 18,5.
3.30. Отстоит от точки /1(1, 5) на расстоянии, в четыре
раза меньшем, чем от прямой х = — 1.
4. Построить кривую, заданную уравнением в полярной
системе координат.
4.1. р = 2 З1п 4ф. 4.2. р = 2(1 — З1п 2ф).
4.3. р = 2 З1п 2ф. 4.4. р = 3 зш 6ф.
4.5. р = 2/(1 + соз ф). 4.6. р = 3(1 + 81П ф).
4.7. р = 2(1 — соз ф). 4.8. р = 3(1 — соз 2ф).
4.9. р = 4 зш Зф. 4.10. р = 4 зш 4ф.
4.11. р = 3(СО8 ф + 1)* 4.12. р = 1/(2 — $1П ф).
4.13. р — 5(1 — зш 2<р). 4.14. р = 3(2 — соз 2ф).
4.15. р = 6 51П 4ф. 4.16. р = 2 соз 6ф.
4.17. р = 3/(1 — соз 2ф). 4.18. р = 2(1 — соз Зф).
4.19. р = 3(1 — соз 4ф). 4.20. р = 5(2 — 51п ф).
4.21. р = 3 З1п 4ф. 4.22. р = 2 соз 4ф.
4.23. р = 4(1 + соз 2ф). 4.24. р = 1/(2 — соз 2ф).
4.25. р = 4(1 — зш ф). 4.26. р = 3(1 + соз 2ф).
4.27. р = 3 соз 2ф. 4.28. р = 2 З1п Зф.
4.29. р = 2/(2 — соз ф). 4.30. р = 2 — соз 2ф.
5. Построить кривую,
уравнениями (0 I 2л).
е 1 (х — 4 соз3 /,
[у = 4 51П3 Л
(х = 4 соз 2/,
1у = Зз1п2Л
5$ (х — 4 соз/,
(у = 5 з1п /.
заданную параметрическими
5.2.
х = 2соз3/,
1/ = 2 31П3/.
(х = 2 зт /,
1у = 3(1 — соз /).
х = соз3 /,
у = 4 зт3 /.
5.7. | \х = 4 соз 1, .у = 5 зш Л 5.8. { х = 5со83/, у = 5 з1п31.
5.9. | 'х = соз 2Л ,г/ = 3зш 2Л 5.10. (х = 3 соз 1, 1у = 1 — 31П 1.
5.11. Гх = 2соз /, 1 у = 4 зш Л 5.12. Гх = 4соз3/, 1 у = 5 зш31.
5.13. Гх = 2соз /, 1 у ~ 5 81п 1. 5.14. (х = 2 соз3 (, 1 у — 2 зш31.
5.15. (х — Зсоз 2/, [у = 2 зш 2Л 5.16. Гх = 2соз/, (у = 2(1 — зш /).
5.17. (х = 5 соз [у = 31П 1. 5.18. Гх = 2соз3/, = 5 З1п31.
5.19. Гх = 4соз 2/, [у = зш 21. 5.20. |х = 6соз31, (у = бзш31.
5.21. (х = 4 соз 3/, [у = 2 зш ЗЛ 5.22. (Х = СО8 1у = 3(2 — зш /).
5.23. Гх = 9соз/, [у = 5 зш 1. 5.24. (X = 4 СО83 /, (у = 2зш3 /.
5.25. Гх = Зсоз 21, [у = 3з1п 2Л 5.26. (X = 4 СО83 1 у = 81П3
5.27. Гх = 5 соз 3/, [у = 51п 31. 5.28. Гх = 4соз/, (у = 4(1 — зш /).
5.29. (Х~ соз [у = Ззш 1. 5.30. Гх = Зсоз3Л 1у = 4 зш31.
Решение
типового варианта
1. Составить канонические уравнения: а) эллипса,
большая полуось которого равна 3, а фокус находится в
точке Г(д/5, О); б) гиперболы с мнимой полуосью, рав-
ной 2, и фокусом /7(—0); в) параболы, имеющей
директрису х= —3.
► а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид
х2 и2
~ = 1. По условию задачи большая полуось а = 3,
с ==^/5. Для эллипса выполняется равенство &2 = а2 —с2.
Подставив в него значения а и с, найдем 62 == З2 — (л/$)2 =
= 4. Искомое уравнение эллипса
^+-^ = 1-
9 “ 4
б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
~ =1. По условию мнимая полуось 6 = 2, а с =
а Ь
— Для гиперболы справедливо равенство Ь2 = с2 —
— а2. Поэтому а2 — с2 — Ь2 = ("дДз)2 ~ 22 = 9. Записываем
искомое уравнение гиперболы:
V2 ;/2
Х У — 1 .
9 4
в) Каноническое уравнение параболы в данном слу-
чае должно иметь вид у2 = 2рх, а уравнение ее директрисы
х = —р/2. Но по условию задачи уравнение директрисы
х = — 3. Поэтому —р/2 = —3, р = 6 и искомое канони-
ческое уравнение параболы имеет вид
у2 = 12х. Ч
2. Записать уравнение окружности, проходящей через
фокусы эллипса х2 + 4#2 = 4 и имеющей центр в его верх-
ней вершине.
► Для данного эллипса + у = 1 верхняя вершина
/1(0, 1), а = 2, 6 = 1. Поэтому
с = д/а2 — 62 = -д/4 — 1 = д/з
и фокусы находятся в точках Е1( — д/з, 0), Еъ(р/з, 0). Ра-
диус К искомой окружности вычисляем по формуле рас-
стояния между двумя точками:
/? = IА| = |ЛГ2| =л/( + Уз-0)2 + (0- 1)2 =
= Л/3 + 1 =2.
В соответствии'с уравнением (4.2) записываем иско-
мое уравнение окружности:
(х — О)2 + (у — I)2 = 22 или х2 + {у — I)2 = 4. Ч
3. Составить уравнение линии, каждая точка М кото-
рой отстоит от точки /1(3, 2) на расстоянии, в три раза
большем, чем от точки В( — 1, 0).
► Пусть Л4(х, у) — любая точка искомой линии (рис.
4.19). Тогда по условию задачи |/1М| = 3 | ВМ |. Так как
IАМ | = У(х-3)2 + (у-2)2. | ВМ | = У(х+1)2 + у2,
то уравнение искомой линии
- З)2 + (у - 2)2 = зУ(х + I)2 + у2.
Преобразуем его, возведя обе части в квадрат. Имеем:
х2 — 6х + 9 + у2 — 4у + 4 = 9х2 + 18х + 9 4- 9у2,
8х2 + 24х + 8у2 + 4у - 4 = 0.
Выделив полные квадраты в последнем уравнении, придем
к уравнению вида
(х+4)!+(9+^=4,
которое является уравнением окружности с центром в
точке С( —3/2, —1/4) и радиусом /? — 3^5/4. <
4. Построить кардиоиду, заданную уравнением в по-
лярных координатах р = 4(1 — 51п ф).
> Составим таблицу, в которой приведены значения
полярного угла ф< (I = 1,16) и соответствующие им значе-
ния полярного радиуса р,:
ф< р< ф< ф< р< Ф< р'
0 4 л/2 0 л 4 Зл/2 8
л/6 2 2л/3 ^0,6 7л/6 6 5л/3 ^7,4
л/4 ^1,2 Зл/4 ^1,2 5л/4 ^6,8 7л/4 ^6,8
л/3 ^0,6 5л/6 2 4л/3 ^7,4 11 л/6 6
Построив найденные точки Л4/(р/, фО в полярной систе-
ме координат (см. пример 1 из § 4.3) и соединив их плавной
линией, получим достаточно точное представление о карди-
оиде (рис. 4.20.). 4
5. Построить кривую, заданную параметрическими
уравнениями:
х = 1 + 3 соз /,
у = 2 — 2 З1п Л
2л.|
> Выберем достаточное количество значений пара-
метра //, вычислим соответствующие значения х/, у, и по-
строим точки у?) в декартовых координатах. Соеди-
ним их плавной линией. Очевидно, что полученная кривая
очень похожа на эллипс с полуосями а = 3, Ь = 2 и центром
в точке С(1, 2). Для строгого доказательства того, что
данные параметрические уравнения определяют эллипс
с указанными осями и центром, избавимся от параметра I:
х — — соз I, У 2 = зт
о —
откуда
(х-1)2
9
+-^ = 1. ◄
4
ИДЗ-4.2
Решения всех
вариантов тут »>
1. Построить поверхности и определить их вид (назва-
ние).
1.1. а) 4х2 — у2 — 16г2 +16 = 0; б) х2 + 4г = 0.
1.2. а) Зх2 + у2 + 9г2 —9 = 0; б) х2 + 2у2 — 2г = 0.
1.3. а) —5х2 + Юу2 — г2 + 20 = 0; б) у2 + 4г2 = 5х2.
1.4. а) 4х2 — 8у2 + г2 + 24 = 0; б) х2—у=—9г2.
1.5. а) х2 —6у2 + г2 = 0; б) 7х2 — Зу2 — г2 = 21.
1.6. а) г = 8 — х2 — 4у2; б) 4х2 + 9у2 + 36г2 = 72.
1.7. а) 4х2 + бу2 - 24г2 = 96; б) у2 + 8г2 = = 20х2
1.8. а) 4х2 — 5у2 — 5г2 + 40 = 0; б) у = 5х2 + Зг2.
1.9. а) х2 = 8(у2 + г2); б) 2х2+ 3у2 — г2 = 18.
1.10. а) 5г2 + 2у2 = Юх; б) 4г2 - Зу2 - 5х2 + 60 = 0.
1.11. а) х2 — 7у2 — 14г2 — 21 = 0; б) 2у = х2 + 4г2.
1.12. а) 6х2 — у2 + 3г2—12 = 0; б) 8у2 + 2г2 = х.
1.13. а) — 16х2 + у2 + 4г2 —32 = 0; б) 6х2 + у2-
— Зг2 = 0.
1.14. а) 5х2 — у2 — 15г2 + 15 = 0; б) х2 + Зг = 0.
1.15. а) 6х2+ у2 + бг2 — 18 = 0; б) Зх2 + у2 —Зг = 0.
1.16. а) —7х2 + 14у2 — г2 + 21 = 0; б) у2 + 2г2 = бх2.
1.17. а) — Зх2 + бу2 — г2 — 18 = 0; б) х2 — 2у= — г2.
1.18. а) 4х2 — бу2 + Зг2 = 0; б) 4х2 — у2 — Зг= 12.
1.19. а) г = 4 —х2 —у2; б) Зх2+12у2+ 4г2 = 48.
1.20. а) 4х2 + 5у2 — Юг2 = 60; б) 7у2 + г2 = 14х2.
1.21. а) 9х2 — бу2 — 6г2 + 1 = 0; б) 15у = Юх2 + бу2.
1.22. а) х2 = 5(у2 + г2); б) 2х2 + Зу2 — г2 = 36.
1.23. а) 4х2 + 3у2=12х; б) Зх2-4у2 - 2г2 + 12 = 0.
1.24. а) 8х2 —у2 —2г2 —32 = 0; б) у — 4г2 = 3х2.
1.25. а) х2 —бу2 + г2—12 = 0; б) х —Зг2 = 9у2.
1.26. а) 2х2 — Зу2-5г2+ 30 = 0; б) 2х2 + Зг = 0.
1.27. а) 7х2 + 2у2 + 6г2 — 42 = 0; б) 2х2+4у2 —5г = 0.
1.28. а) —4х2 +12у2 —Зг2+24=0; б) 2у2 + 6г2=3х.
1.29. а) Зх2 — 9у2 + г2 + 27 = 0; б) г2 — 2у = -4х2.
1.30. а) 27х2 — 63у2 + 21г2 = 0; б) Зх2 — 7у2 —2г2 = 42.
2. Записать уравнение и определить вид поверхности,
полученной при вращении данной линии вокруг указанной
оси координат, сделать рисунок.
2.1. а) у2 = 2г, Ог; б) 9у2 + 4г2 = 3б; Оу.
2.2. а) 4х2 — Зу2=12, Ох; б) х=1, у = 2, Ог.
2.3. а) х2 = — Зг, Ог; б) Зх2 + 5г2=15, Ох.
2.4. а) Зу2 — 4г2 =12, Ог; б) у = 4, г = 2, Ох.
2.5. а) х2 = 3у, Оу; б) Зх2 + 4г2 = 24, Ог.
2.6. а) 2х2 — би2 = 12, Ох; б) у2 = 4г, Ог.
2.7. а) х2 + 3г2 = 9, Ог; б) х = 4, г = 6, Оу.
2.8. а) Зх2-5г2 =15, Ог; б) г= — 1, у = 3, Ох.
2.9. а) у2 = Зг, Ог; б) 2х2 + Зг2 = б, Ох.
2.10. а) у2 —5х2 = 5, Оу; б) у = 3, г = 1, Ох.
2.11. а) х2 =—4г, Ог; б) у2 + 4г2 = 4, Оу.
2.12. а) 5х2 — бг2 = 30, Ох; б) х = 3, г =—2, Оу.
2.13. а) г2 = 2у, Оу; б) 2х2 + 3г2 = б, Ог.
2.14. а) у2=—4г, Ог; б) Зу2 + г2 = б, Оу.
2.15. а) 7х2 — 5у2 = 35, Ох; б) х=—1, у=—3, Ог.
2.16. а) 2х2 = г, Ог; б) х2 + 4г2 = 4, Ох.
2.17. а) 2у2 —5г=10, Ог; б) у = 2, г = 6, Ох.
2.18. а) х2= — 5у, Оу; б) 2х* + 3г = 6, Ог.
2.19. а) х2 — 9у2 = 9, Ох; б) Зу2 = г, Ог.
2.20. а) х2 + 2г = 4, Оз; б) х = 3, х ——1, Оу.
2.21. а) 15х2 —Зу2=1, Ох; б) х = 3, у — 4, Ох.
2.22. а) у2 = 5г, Оз; б) Зх2 + 7у2 = 21, Ох.
2.23. а) 15у2 —х2 = 6, Оу; б) у = 5, 2 = 2, Оу.
2.24. а) 52=—х2, Ох; б) Зу2 + 18х2 = 1, Оу.
2.25. а) Зх2 — 8у2 = 288, Ох; б) х = 5, х—— 3, Оу.
2.26. а) 2у2 = 72, Ох; б) бу2 + 5г2 = 30, Оу.
2.27. а) 5х2 — 7у2 = 35, Ох; б) х = 2, у= -4, Ох.
2.28. а) Зх2=—22, Ох; б) 8х2 + 1 Хх2 = 88, Ох.
2.2Й. а) 5у2 — 8г2 = 40, Ох; б) у = 3, 2=1, Ох.
2.30. а) Зх2 = — 4у, Ох; б) 4х5 + Зх2 = 12, Ох.
3. Построить тело, ограниченное указанными поверх-
ностями.
3.1. а) 2 = х2 + *А 2 = 0, х=1, у —2, х = 0, у = 0;
б) х2 + у2 — 2х, 2 = 0, 2 = х.
3.2. а) х2 + у2 = 22, 2 = 0, у = 2х, у = 4х, х = 3 (2>0);
б) х2 + у2 = 4у, 2 = 0, у + 2 = 5.
3.3. а) г/2 + 322 = 6, Зх2 — 25г/2 = 75, 2 > 0; б) х = 4,
у = 2, х + 2у + 32 = 12, х = 0, у = 0, 2^0.
3.4. а) 2 = 5г/, х2 + */2—16, 2 = 0; б) х + г/+ 2 = 5,
Зх + г/ = 5, 2х + г/ = 5, г/ = 0, 2 = 0.
3.5. а) г/ = 3х, у = 0, х = 2, 2 = хг/, 2 = 0; б) 8(х2 +
у2) = а2, х2 + у2 = 1, у > 0, 2 > 0.
3.6. а) у = х, у = 0, х = 1, 2 = х2 + 5г/2, 2 = 0; б) х2 +
+ г/24-2 = 9, Х2 + г/2< 1, х>0.
3.7. а) г/ = х, у = 0, х— 1, 2—д[ху, 2 = 0; б) х2 +
+ У2 + 22 = 4, X2 + г/2 = 22, X > О, 2 0.
3.8. а) у = 2х, у = 0, х = 2, 2 = хг/, 2 = 0; б) х2 + у2 =
= 22, х2 + У2 — 1, У 0, 2^0.
3,9. а) 2 = х2 + Зг/2, 2 = 0, у = х, у = 0, х = 1; б) 2 =
= 8(х2 + */2)-ЬЗ, 2= 16х + 3.
3.10. а) у = 4х, г/ = 0, х=1, 2=л[ху, 2 = 0; б) 2 =
= 3^/х2 + г/2, 2 = 2 — х2 — г/2.
3.11. а) г/ = х,г/ = 0,х=1,2 = Зх24~2у2,2 = 0;б)2 —
= 10(х2+Л+1, 2=1-20у.
3.12. а) у — х, у = 0, х=1, г=л[ху, 2==0; б) у =
= 16^2х^ у =^2х, 2 = 0, х + 2 = 2.
3.13. а) у — х, г/ = 0, х = 2, 2 = 0; б) х-\-у = 2, х =
~~\[у, 2 = 2х, 2 = 0.
3.14. а) 22 = х2 + г/2, 2 = 0, х = 2, г/ = 3, х = 0, ^ = 0;
б) х2 + у2 = 4х, 2 = 0, 2 = х.
3.15. а) х2 + У2 = 4г2, 2 = 0, у = х, у = 8х, х = 2,
2 > 0; б) х2 4- у2 = 8у, 2 = 0, у 2 = 6.
3.16. а) у2 4" 4г2 = 8, 16х2 — 49у2 = 784, 2 > 0; б) х =
= 1, у = 3, х + 5у + Ю2 = 20, х = 0, у = О, г^О.
3.17. а) 2 = Зу , х2+ у2 = 4, 2 = 0; б) х 4-2у 4-Зг = 6,
2х = у, 2х + Зу = 6, у = 0, 2 = 0.
3.18. а) у = 4х, у = 0, х = 1, 2 = ху, 2 = 0; б) 4(х24-
4-у2) = 22, х^4-у2 = 4, у>0, 2>0.
3.19. а) у = 2х, у=0, х = 2, 2 = 2х2 4- у2, 2 = 0;
б) х2 + У2 + 22 = 16, х2 + У2 4, х 0.
3.20. а) у = 4х, у = О, х = 4, г=^/ху, 2 = 0; б) х24-
+ У2 + 22 = 9, х2 + 22 = у2, х > О, у > 0, 2^0.
3.21. а) у = Зх, у = 0, х = 3, 2 = ху, г =0; б) 4(х2 +
+ У2).= 22, 4(х2 + у2)= 1, у >0, 2>о.
3.22. а) 2= 16х2 4-У2, 2 = 0, у = 2х, у = 0, х = 1;
б) 2 — 4 = 6(х2 4- у2), 2 = 4х 4- 1 •
3.23. а) у = Зх, у = 0, х = 3, 2=^[~ху, 2 = 0; б) 2 =
= 4д/х2 4- У2, 2 = 5 — х2 — у2.
3.24. а) у = Зх, у = 0, х = 2, 2 = х2 4- у2, 2 = 0; б) 2 —
— 2 = 6(х2 4- У2), 2 = 1 — 4у.
3.25. а) у - 2х, у = 0, х = 4, 2=^[ху, 2 = 0; б) х4-
4- у = 2, у = д/х, 2 = 12у, 2 = 0, х = 0.
3.26. а) 2 = 2х2 4- Зу2, 2 = 0, х = 2, у = 1, х = 0, у = 0;
б) х2 4~ У2 = 6х, 2=0, 2 = 2х.
3.27. а) 4(х2 4-У2) = 22, 2 = 0, у = х, у = 4х, х =
= 2(2 > 0); б) х2 + у2 = 4у, 2 = 0, у 4- 2 = 6.
3.28. а) 2у24-г2 = 4, Зх2 — 8у2 = 48, г>0; б) х= 1,
у = 3, х 4- 2у 4- 4г = 24, х = 0, у = 0, 2^0.
3.29. а) 2 = 3у2, х2 4-У2 = 9, 2 = 0; б) х4-у + 2 = 8,
х 4- 2у = 4, х 4- 4у = 4, у = 0, 2 = 0.
3.30. а) у = 5х, у = 0, х = 3, 2 = 0; б) 4(х2 4-У2) = 22,
х2 4- У2 = 4, у 0, 2 > 0.
Решение типового варианта
1. Построить данные поверхности и определить их вид
(название):
а) -4+4у2+422“2=0: б) зх24-4~4=0-
> а) Приведем уравнение к каноническому виду
Г2 /72
— — +~^~ +— = 1.
12 “ 1/2 “ 4
Получили уравнение гиперболоида, расположенного так,
как показано на рис. 4.21; полуоси его «горлового» эл-
липса ОВ — -д/2/2, ОС = 2;
б) Приведем уравнение к каноническому виду
Это уравнение конуса второго порядка, ориентирован-
ного указанным на рис. 4.22 образом. Его сечения плоско-
стями 2 = сопз! являются эллипсами. ◄
2. Записать уравнение поверхности, полученной при
вращении:
1) параболы 2=-уГ: а) вокруг оси Оу\ б) вокруг
оси Ог;
2) эллипса +-у = 1- а) вокруг оси Ог; б) вокруг
оси Оу.
► 1. В соответствии с общим правилом получения
уравнения поверхности вращения (см. § 4.2) находим:
а) ±д/х2 + г2 == — у У2, 4х2 — у4 + 4г2 = О
(алгебраическая поверхность четвертого порядка (рис.
4.23));
б) 2= — у(±л/%2+у2)2, 2= — ±(х2+у2)
(параболоид вращения (рис. 4.24)).
2. Имеем:
Получили сплюснутый вдоль оси Ог эллипсоид вращения
(сфероид), полуоси его главных сечений ОА = ОВ = 8,
ОС = 2 (рис. 4.25);
(вытянутый вдоль оси Оу эллипсоид вращения (рис. 4.26):
ОА = 00 = 2, 0В = 8). 4
5. Построить тело, ограниченное данными поверхно-
стями:
а) у = х, х = 1, г = 0, г = ху\
б) хА~У — 4, х—^2у, Зх = 2г, 2 = 0.
> а) Построение выполнено на рис. 4.27: ОС — дуга
Рис. 4.22
Рис. 4.25
Рис. 4.27
параболы, являющейся пересечением гиперболического
параболоида 2 = ху с плоскостью х==г/; АС—пересече-
ние поверхности 2 = ху с плоскостью х=1; Л(1, 0, 0),
В(1, 1, 0), С(1, 1, 1) — характерные точки тела;
б) Построение выполнено на рис. 4.28: ОС — дуга
параболы, являющейся пересечением параболического
цилиндра с плоскостью 2а = 3х; Д(2, 2, 0), В(0, 4, 0),
С(2, 2, 3) — характерные точки тела. <4
4.5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 4
1. Через точку Л(7/2, 7/4) провести хорду эллипса
х24-4г/2 = 25, делящуюся в этой точке пополам. (Ответ:
х + 2у-7 = 0.)
2. Доказать, что парабола обладает так называемым
оптическим свойством: луч света, выйдя из фокуса и от-
разившись от параболы, пойдет по прямой, параллельной
оси параболы.
х2
3* Через точку Л(4, 4) провести хорду гиперболы — —
2
— ^- = 1, делящуюся в этой точке пополам. (Ответ: 4х —
— Зу —4 = 0.)
4. Найти радиус наибольшей окружности, лежащей
внутри параболы у2 ~2рх и касающейся этой параболы
в ее вершине. (Ответ: Я = р.)
5. Составить уравнение гиперболы с асимптотами
‘у/Зх ± у = 0, касающейся прямой 2х — у — 3 = 0. Ответ:
- ^ = 1Л
9 27 /
6. Составить уравнение касательной к параболе у2 =
= —8х, отрезок которой между точкой касания и директ-
рисой делится осью Оу пополам. (Ответ: х-\-у — 2 = 0
или х — у — 2 = 0.)
7. Доказать, что все треугольники, образованные
асимптотами гиперболы и произвольной касательной к
ней, имеют одну и ту же площадь; выразить эту площадь
через полуоси гиперболы. (Ответ: аЬ.)
8. Составить уравнения касательных к параболе у2 =
= 16х, проходящих через точку Л(1, 5), и вычислить пло-
щадь треугольника, образованного касательными и ди-
ректрисой параболы. (Ответ: х — у 4 = 0, 4х — у 1 =
= 0, 5=37,5.)
9. Источник короткоинтервального звука находится
в неизвестном пункте М. Звук достиг трех наблюдатель-
ных пунктов неодновременно: пункта А—на 1\ с позже,
а пункта С — на /2 с позже, чем пункта В. Определить
местонахождение пункта А4, приняв скорость звука равной
330 м/с. (Ответ: М находится на пересечении правой
ветви гиперболы |ЛЛ4| — |ВЛГ| = ЗЗОЛ м с фокусами А
и В и левой ветви гиперболы | ВМ | — | СМ | = —330/2 м
с фокусами В и С.)
10. Цепь подвесного моста имеет форму параболы
у = рх2. Длина пролета моста — 50 м, а прогиб цепи — 5 м.
Определить величину угла а прогиба в крайней точке
моста. (Ответ: 1^а = 0,4, а^21о50'.)
11. Зеркальная поверхность прожектора образована
вращением параболы вокруг ее оси симметрии. Диаметр
зеркала 80 см, а глубина его 20 см. На каком расстоянии
от вершины параболы нужно поместить источник света,
если для отражения лучей параллельным пучком он дол-
жен быть в фокусе параболы? (Ответ: 40 см.)
12. Даны точка О и прямая /, находящаяся от точки О
на расстоянии | О А | — а. Вокруг точки О вращается луч,
пересекающий прямую I в переменной точке Р. На этом
луче от точки О откладывается отрезок ОМ так, что
|ОВ| • | ОМ | = 62. Найти уравнение линии, которая описы-
вается точкой М при вращении луча. Уравнение записать
в полярных и декартовых координатах. (Ответ: окруж-
Ь2 9 2 Ь2 \ '
ность: р = — соз ф, х + у = — х.\
13. Записать параметрические уравнения линии пере-
сечения сферы х2 + у2 + 22 = В2 и круглого цилиндра
х2 -|- у2 — 2х = 0, выбирая в качестве параметра угол ф,
образованный проекцией радиуса-вектора ОМ произволь-
ной точки М линии на плоскость Оху с положительным
направлением оси Ох. (Ответ: х = Всоз2ф, у =
= В 81П ф соз ф, X = В 5Й1 ф, 0 < ф < 2л.)
14. Найти уравнение проекции линии пересечения по-
верхностей х2 4- 2у2 = 22 и х + 2г/ + г=1 на плоскость
Оху. (Ответ: х2 + 2у2 4- 2х 4- 4р — 2 = 0.)
15. Найти центр сечения гиперболоида х2 4-2г/2 —
— 4г2=—4 плоскостью х + У 4-22 = 2. (Ответ: (4, 2,
-2).)
16. Найти уравнение плоскости, пересекающей эллип-
соид х2 4- 2у2 4- 4г2 = 9 по эллипсу, центр которого нахо-
дится в точке С(3, 2, 1). (Ответ: 3x4-4^4-42 — 21=0.)
17. Найти уравнение плоскости, проходящей через
точки Л4(1, 1, 1) и #(2, 0, 2) и пересекающей параболоид
х2 — у2 — 2х по паре прямых. (Ответ: Зх 4- у — 22 — 2 =
= 0.)
18. Найти уравнение эллипсоида, содержащего точку
Л4(3, 1, 1) и окружность х2 4- У2 4~ я2 = 9» х — х = 0, пло-
скости симметрии которого совпадают с плоскостями ко-
ординат. (Ответ: Зх2 4у2 + 5г2 = 36.)
19. Найти координаты центра и радиус окружности
*2 + У2 + г2 — 12х + 4у — 6г + 24 = 0, 2х + 2у + г + 1 =
= 0. (Ответ: (10/3, 14/3, 5/3), /? = 3.)
20. Доказать, что линия пересечения параболоида
х2 + 2у2 = 4з 4- 10 и сферы х2 + у2 + г2 — 6 состоит из
двух окружностей. Найти точки пересечения этих окруж-
ностей и их радиусы. (Ответ: М\(-^2, 0, —2), М2(—^2,
0, -2), К = 2.)
5. ФУНКЦИИ. ПРЕДЕЛЫ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ФУНКЦИЙ
5.1. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СПОСОБЫ
ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
Совокупность рациональных О и иррациональных чисел образует
множество действительных (вещественных) чисел К. Между множе-
ством точек прямой и множеством К всегда можно установить взаимно
однозначное соответствие. Если это соответствие установлено, то
прямую называют числовой осью. Совокупность всех чисел х, удовле-
творяющих условию а < х < Ь (а^х^Ь), называется интервалом (от-
резком) и обозначается (а; Ь) ([а; б]).
Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а назы-
вают неотрицательное число |а|, определяемое условиями: |а| = а, если
а^О, и |а| = —а, если а<0. Для любых действительных чисел а и Ъ
верно неравенство |а-ЬЬ| |а| + |б|.
Если каждому элементу х € по определенному правилу / поставлен
в соответствие единственный элемент у, то говорят, что задана функция
у = [(х), где х называется независимой переменной или аргументом.
Множество Р называется областью определения функции^ а множество
значений, принимаемых функцией г/, называется областью ее значений
(изменения) и обозначается буквой Е. В дальнейшем будем считать
множества Р н Е числовыми, т. е. будем рассматривать числовые
функции (если не оговорено противное). В качестве й и Е могут быть
взяты отрезок [а; 6], интервал (а; б), полуинтервал (а; 6] или [а; 6),
отдельные точки числовой оси, а также вся числовая ось (—оо; -|-оо).
Основными способами задания функций являются: табличный, гра-
фический, аналитический. При аналитической записи функции у = }(х)
часто не указываются области Р и В, но они естественным образом
определяются из свойств функции Дх).
Пример. Найтн области определения и значений функции у —
= 1е(4-3х-х2).
► Логарифмическая функция определена, если 4 — Зх — х > 0.
Корни квадратного трехчлена: Х1 = —4, хг = 1. Записанное выше нера-
венство равносильно неравенству —(х-|-4)(х—1)>0, что возможно
при х>—4 и х<1. Область Р определения данной функции есть
интервал (—4; 1). Так как в Р 0<4 — Зх — х2 7/4, то интервал
(—оо; (7/4))—область значений функции Е.
Если функция г/ = Дх) осуществляет взаимно однозначное отобра-
жение области Р на область Е, то можно однозначно выразить х
через у: х = &(у). Последняя функция называется обратной по отноше-
нию к функции у — {(х). Для функции х = ^(г/) Е является областью
определения, а Р — областью значений. Так как Е(Дх)) и Де(#)) У*
то функции у — Дх) и х = $(у) — взаимно обратные. Обратную функцию
х = ^(г/) обычно переписывают в стандартном виде: у = ё(х\ поменяв х
и у местами. Взаимно обратными являются пары функций: у~х3
и У=\/х, У=2Х И (/— 10^2 X, (/=51ПХ н у = ЗГС31П х, для которых
области определения соответственно следующие: хС(—оо; Ч-<») и
х€(—+°о), Х^(—оо; Ч-оо) и X (0; Ч~оо), х^(—оо ; -}-оо)
и хе[—1; +1].
Если функция и — <р(х) определена на области Я, О — ее область
значений, функция у = $(и) определена на области О, то функция
У = /(ф(х)) = Г(х) называется сложной функцией, составленной из
функций I н <р, или функцией [ от функции <р. Функцию у = /(ф(х))
называют композицией двух функций у = )(и) и и — <р(х). Сложная
функция может быть композицией большего числа функций: трех; че-
тырех и т. д. Например, функция у ~ соз (х2 4- 1) — композиция двух
функций у = соз и и и = х2 4- 1; функция у = 1^ (зш 2х) — композиция
трех функций у = 1^ и, и = зш о, V — 2х, а функция у = 1^ (зш 2х3) —
композиция четырех функций у = 1& и, и = зш V, V — 2™, ш == х3. Пере-
менные величины и, V, ю называются промежуточными аргументами.
Функции вида г/ = /(х) называются явными. Уравнение вида
Г(х, у) также задает, вообще говоря, функциональную зависи-
мость между х н у. В этом случае по определению у являетсй неявной
функцией х. Например, уравнение у3 4-х3 = 8 определяет у как неявную
функцию от х.
Графиком функции у~{(х) называется множество точек М(х, у)
плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют функциональной
зависимости у = [(х). Графики взаимно обратных функций у = /(х)
и у — §(х) симметричны относительно биссектрисы х = у.
К основным элементарным функциям относятся пять классов
функций: степенные, показательные, логарифмические, тригонометри-
ческие и обратные тригонометрические.
АЗ-5.1
1. Найти области определения следующих функций:
а) у = д/х2 — 6х + 5; б) у — агссоа — ;
’ Т х
в) у =^25 — х2 + х.
(Ответ: а) ( — оо; 1]Щ5; +оо); б) [—1/3; 1]; в) [ — 5;
— л) ЩО; л).)
2. Представить сложные функции в виде композиции
функций, являющихся основными элементарными функ-
циями:
а) // = 251п^; б) у — 81П х3;
в) У = *§ д/1^*; г) У = агс{§д/2*Г- .
3. Построить графики функций:
а) у = (2х 4-3)/(х — 1); б) у= |Зх4-4 — х2|;
в) у=—2 8ш(2х4-2); г) у = хз1пх.
Самостоятельная работа
1. 1. Найти область определения
= 1е(23ж — 4). (Ответ-, х > 2/3.)
2. Для функции
_ (х, если х С О,
V 1х2, если х > О,
функции у=
найти обратную. Построить графики данной и найденной
функций.
2. 1. Найти область определения функции у =
= 1§(—х2 — 5х + 6). (Ответ: х^( — 6; 1).)
2. Построить график функции
Л +ж,
У =1 2 5Ш X,
1х— л,
если х<0,
если 0 х < л,
если х л.
3. 1. Найти область определения функции У =
— 1 /"Vх2 + х. (Ответ: (—оо; —1)11(0; Н-оо).)
2. Для функции
__( —х, если х < 1,
(х2 — 2, если х>1,
найти обратную. Построить графики данной и найденной
функций.
5.2. ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ.
РАСКРЫТИЕ ПРОСТЕЙШИХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Число А называется пределом числовой последовательности {хл},
если для любого е > 0 существует # = #(е)>>0, такое, что для всех
п > где — целое, выполняется неравенство |хл — 4|<е. Если
А — предел последовательности {хл}, то это записывается так:
Нт хп = А.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в
противном случае — расходящейся.
Пример 1. Дана последовательность {хл) = Доказать, что
ее предел А = 2.
> Попытаемся доказать, что Для любого е >> 0 существует —
= /V(е) > 0, такое, что для всех п > /У будет выполняться неравенство
_ | 2и+3 о | | 2м + 3 — 2м — 2 | 1
~ | и + 1 | | я + I I — п + 1 < 6’
Решив последнее неравенство, получим п >> 1/е— I, следовательно,
№ = [1/е — 1] + 1, где [а] — целая часть числа а. Таким образом, суще-
ствует /V, такое, что для любого п > /V выполняется |хл —2| < е. ◄
Пусть функция у — /(х) определена в некоторой окрестности точки
х0. Тогда число А называется пределом функции у = /(х) при х->х0
(в точке х = х0), если для любого е > 0 существует 6 > 0 (6 = 6(е)),
такое, что прн 0< |х — х0| <6 справедливо неравенство |/(х) — Л| < е.
Если А—предел функции /(х) прн х->х0, то пишут: Кт/(х) = А.
Х-^Х0
В самой точке х0 функция /(х) может и не существовать (/(хо) не опре-
делена). Аналогично запись Пт /(х) — А обозначает, что для любого
X—*• + со
е>0 существует ^ = ^(е)>0, такое, что при |х| > М выполняется
неравенство |/(х) — А\ < е.
Если существует предел вида Пт /(х), который обозначают также
Х-*-Хо
Х<Хо
Пт /(х) или /(хо — 0), то он называется пределом слева функции
х-^хо —0
Цх) в точке х0. Аналогично если существует предел вида Нт /(х) (в дру-
X—*-Хо
х>ло
гой записи Пт /(х) или /(х0-{-0)), то он называется пределом справа
х~>хо4-О
функции [(х) в точке х0. Пределы слева и справа называются односто-
ронними. Для существования предела функции /(х) в точке хо необхо-
димо и достаточно» чтобы оба односторонних предела в точке х0 суще-
ствовали н были равны, т. е. /(х0 — 0) = /(х0 Ц- 0).
Справедливы следующие основные теоремы о пределах.
Теорема /. Пусть существуют Кт/<(х) (/=1, п). Тогда
Х-*Хо
п п п п
Нт X А(х)= Е КтД(х), Нт Д Д(х) = . П- А(х)*
X -►Хо I = 1 I = I Х-^Хо Х-^Хо I = 1 I = 1 X -►Хо
Теорема 2. Пусть существуют Кт /(х) и Кт <р(х) 0. Тогда
Х-^Хо Х~*Х0
, Кт - = Нт /(х)/ Кт <р(х).
Х->Хо ф(*) Х-^Х0 Х-^Хо
(Все записи верны и прн хо —
Если условия этих теорем не выполняются, то могут возникнуть
' ОО 0
неопределенности вида оо — оо, —— и др., которые в простейших
случаях раскрываются с помощью алгебраических преобразований.
„ Л ( 4 1 \
Пример 2. Нанти Ьт!——------------------).
х-*-2\ х —4 х —2/
> Имеем неопределенность вида оо — оо. Чтобы раскрыть ее,
приведем выражение в скобках к общему знаменателю. Получим
.. 2 —х 0
11т—-----, т. е. неопределенность вида -тг, которая легко раскрывается,
х^2 л — 4 о
если под знаком предела сократить дробь на общий множитель х — 2 0.
В итоге исходный предел сводится к Пт (-------г-ттЛ ~----г-- ◄
х-2\ х + 2/ 4
п о и - 1- 2х3 — Х-{-5
Пример 3. Найтн Кт —*--------у-2—.
X -► 4-00 ХА 4" х2 — 1
оо
> Имеем неопределенность вида------. Чтобы раскрыть ее, разделим
оо
числитель и знаменатель дроби под знаком предела на х3. Получим
Кт
х->± °°
Знаменатель полученной дроби прн ±оо не равен нулю, следо-
вательно, можно применить теорему о пределе частного. Также приме-
нимы и другие теоремы о пределах, что в итоге приводит к равенству
1 5
, Нт 2 — Нт-у + Нт —
2х* — х+5 х2 х3
1,т " з , г--Г =-----------1------;--Г” = 2. ◄
х +%— 1 .. 1,1- 1 .. 1
1 Кт 1 4- Кт----Кт —Т
АЗ-5.2
1. Доказать, что последовательность {хл} =
имеет предел А = 3.
Найти пределы указанных функций.
2. Нт Зп2 + Зп~5 . (Ответ: -3.)
п-*-оо 1 — п
з. Пт з + ^ + З?3.. (Ответ: 3.)
4. Пт 7*2+10х + 20 , (Ответ: 0.)
. „3 1а4' 1 ' 7
х-*-± оо X — ШХ — 1
5. Нт х ~ 3* 3 . (Ответ: —1.)
•ет—- х-*-2 л -4— 3
6. Нт х2~7х±.'^ . (Ответ: 1/4.)
х-.2 8—X3 ’
-7. Кт х3~3х2 + ? . (Ответ: 3/5.)
8. Нт ~^~*~^~~3 . (Ответ: 2/3.)
х^2 ^х 4-2 — 2
9. Нт(х(^\/х2 + 4—х)). (Ответ: 2.)
х->оо
'10- (тЬ-~4?)- (Отвег- -’•>
Самостоятельная работа
Вычислить пределы указанных функций.
1. а) Игл—28х ~1 ; б) -
7 х-И/2 6х2 — 5х+1 х-»3 X2 — 9
а) 6; б) 1/148.)
(Ответ:
2. а)
б) 40.)
3. а)
Пт —~7-±1? ; б) Пт- У^25 (Ответ-, а) 3;
х-2 X2 — 5х + 6 х->5 _ 2 ' '
Нг? %3х~Х4х+71 : б) +
Х*>1 Л 1Л —[' О Х—*СО
(Ответ: а) — 1; б) 2.)
5.3. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
Широко используются следующие два замечательных предела:
г 5*пх 1.
1) Нт------- = 1,
х~>0 X
2) Нт (1 4- — V = Кт (1 4-&)|/а = е « 2,71828.
х->-±оо\ X/ а->-0
„ , „ „ .. 51П 7х
Пример 1. Наити пт--------.
51П Зх
► Так как х^О под знаком предела, то
5Ш 7х
• ~-- * 7х
.. зш 7х .. 7х
Ьт------= пт —:— ---------- =
х->0 8Ш Зх х-^0 51П Зх
“з^'дх
51П 7х
1 /7х\ 7х 7
= 11т ( -7г— I • нт —:—~— = ~тп. «4
х->о \ Зх у х—>-0 51 п Зх 3
Зх
(2x4- 1 \3л+1
—-----7- )
2х — 1 /
> Имеем:
Нт
х-*оо
'2x4-1 \3л+1
к2х-1/
— Нт
Х-*-оо
/2х — 1 4-2\3х+’
2х-1 )
Положим -------р — —. Тогда х — у— 1/2 и при х->оо,
/ 9 \3*+1 / 1 \ Зу—1/2
Пт ( 1 + п , ) = Пт ( 1 4- —) =
х->оо\ 2х — 1 / \ у}
оо
= Нт
у~>оо
((('Ч)’)’0+4'!)=
АЗ-5.3*
Найти пределы указанных функций.
1. (Ответ-. 3/2.)
х-*-0 ЗШ 2х
2. Ит 1 ~ С05 6х . (Ответ: 6.)
X—О X 81П Зх
з. Пт у*-1» . (Ответ: -2/5.)
4. *Пгп ) • (Ответ: О или оо.)
5. । . (Ответ: е4.)
6. Пт((2х + 1)(1п(3х + 1) — 1п(3х — 2))). (Ответ: 2.)
X—*-оо
5.4. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
Если Нт <х(х) — 0 (т. е. для любого е > 0 существует 6 > 0, такое,
Х->-Хо
что прн 0< |х — х0| <6 справедливо неравенство |а(х)| < е), то а(х)
называется бесконечно малой функцией при х->хо.
Для сравнения двух бесконечно малых функций а(х) н р(х) при
х->х0 находят предел их отношения:
г а(х)
1пп ' = С.
х—>-Хо Р(х)
(5-1)
Если С 5^ 0» то а(х) и р(х) называются бесконечно малыми величинами
одного и того же порядка; если С = 0, то а(х) называется бесконечно
малой более высокого порядка по сравнению с р(х), а р(х) — беско-
нечно малой более низкого порядка по сравнению с а(х).
Если
г «(х)
11 гп---
(₽(*)/
= С (0< |С| < оо),
то а(х) называется бесконечно малой порядка к по сравнению с р(х)
при х->х0.
Если
г а(х) .
11ГП „= 1,
х^ха р(х)
то бесконечно малые а(х) и р(х) при х—>-хо называются эквивалентными
(равносильными) величинами: а(х)~р(х). Например, при х—
зш ах ~ ах, х ~ х, 1п (1 + х) ~ х, еах — 1 ~ ах.
Легко доказать, что предел отношения бесконечно малых функций
* В данном АЗ вместо самостоятельной работы предлагается конт-
рольная, рассчитанная на 1 час (см. прил., с. 255).
<х(х) и ₽(х) при х->х0 равен пределу отношения эквивалентных им беско-
нечно малых функций а*(х) и ₽*(х) при х->х0, т. е. верны предельные
равенства:
а(х) а*(х) <х(х) <х*(х)
1пп - ; ' = Пт // = 11т — = 11т .
х^хо ₽(х) х~>хо Р(х) х-*х0 р*(х) Х-^ХО р*(х)
„ - ГТ « .• зт 5х
Пример 1. Наити предел 11т----------------.
л'—о 1п(1 4-х)
> Поскольку зт 5х ~ 5х, 1п (1 4~ х) ~ х прн х->0, то
зт 5х .. 5х г
11т —-------- = пт -----= 5. ◄
х->0 1п (1 4- х) х-И) X
Функция у = Дх) называется непрерывной при х=хо (в точке х0),
если: 1) функция Дх) определена в точке х0 и ее окрестности; 2) суще-
ствует конечный предел функции Дх) в точке х0; 3) этот предел равен
значению функции в точке х0, т. е.
Нт/(*) = /(х0). (5.2)
Х-^Хо
Если положить х = х0 4- Ах, то условие непрерывности (5.2) будет
равносильно условию
Нт ДДх0) = Нт (Дх0 4- Дх) — Дхо)) = О,
Дх->0 Дх-*-0
т. е. функция у — [(х) непрерывна в точке х0 тогда н только тогда, когда
бесконечно малому приращению аргумента Дх соответствует бесконечно
малое приращение функции Д/‘(х0).
Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, назы-
вается непрерывной в этой области.
Пример 2. Доказать непрерывность функции у = зт 5х для любого
хек.
► Для любого приращения Дх независимой переменной прираще-
ние функции
Ду = зт 5(х 4~ Дх) — 81п 5х = 2 соз ^5х 4- Дх^ • зш Дх.
Тогда
Нт Ду — 2 Нт соз (5х 4- — Дх^ • Нт зт Дх = О,
Дх-*-0 Дх->0 \ 2 / Дх->-0 2
так как соз 5х — ограниченная функция для любого х С К. Следователь-
но, функция у = зш 5х непрерывна на всей числовой прямой. <4
Точка х0, в которой нарушено хотя бы одно нз трех условий непре-
рывности функции, называется точкой разрыва функции. Если в точке
х0 существуют конечные пределы Дх0 — 0) н Дх0 4- 0). такие, что /(х0 —
— О)^Дхо4-О), то Хо называется точкой разрыва первого рода. Если
хотя бы одни нз пределов Дх0 — 0) или Дх0 4- 0) не существует или равен
бесконечности, то точку хо называют точкой разрыва второго рода. Если
Дхо — 0) = /(х0 4- 0) н функция Дх) не определена в точке Хо, то точку
хо называют устранимой точкой разрыва функции. Например, для функ-
ции у = х соз х и у = точка х = 0 является устранимой точкой
разрыва.
АЗ-5.4
1. Найти Пт 5;п3(х~2) . (Ответ: 3.)
х-2 х2 — 3x4-2 ' '
2. Найти Пт ——(Ответ: 1/2.)
3. Найти Пт-^Ц7-)'. (Ответ: 1.)
х-*-0 5Ш 7х ' 7
4. Определить порядок бесконечно малой функции у =
= 7х8/(х4 + 1) относительно бесконечно малой х при
х->0.
5. Дана функция
е/г}—/(х2— 9)/(х — 3), если х=/=3,
1(Х)~\А, если х = 3.
При каких значениях А функция Дх) будет непрерывной
в точке х = 3? Построить график функции.
6. Установить область непрерывности функции у —
= (Зх + 3)/(2х + 4) и найти ее точки разрыва.
7. Дана функция
г х2 + 1, если х < О,
/(х) = 1 51п х, если 0^х<л/2,
V у ~ х — л/2 + 1» если х л/2.
Найти точки разрыва функции и построить ее график.
8. Исследовать на непрерывность функцию у —
_ д1/(х-Н) _|_ 1 в точках XI = 1 И = — 1.
Самостоятельная работа
1. 1. Найти Пгп . (Ответ: —3/4.)
2. Исследовать на непрерывность функцию Дх) =
= (2х + 4)/(Зх + 9) в точках Х1 = — 1, х2 = — 3. Сделать
схематический чертеж.
2. 1. Найти Пт-Ц—(Ответ: 7/3.)
х—>0 X Зх
2. Дана функция
/(*) =
1, если х <0,
соз х, если 0^х<л/2,
1 —х, если х л/2.
Исследовать ее на непрерывность. Сделать схематический
чертеж.
3. 1. Найти . (Ответ: 1/4.)
2. Исследовать на непрерывность функцию 1(х) =
= (3х — 2)/(х + 2) в точках Х1=0 и х2= — 2. Сделать
схематический чертеж.
5.5. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 5
ИДЗ-5.1
Найти указанные пределы.
Решения всех
вариантов тут »>
1
1.1. Нт- х-*-2 ; х2 — 5х + 6 г2 — 12х + 20 ' 1.2. Кш.?-/+2г. х->о х2 4"х
1.3. Пт 6+*~*г. х->з х3 — 27 1.4. Кт2*;-*-1. х-и Зх2 — х— 2
1.5. Нт- х-*-2 ?х2 — 7х + 4 к2 — 5х 4" 6 1.6. Пт-12 + *~*г . Х-З х3 — 27
1.7. Пт х—1/3 Зх2 4- 2х — 1 27х3 — 1 1.8. Пт •*! —4*~5 . х-»—1 х2 — 2х — 3
1.9. Кт х-*- — 1 Зх2 + 2х - 1 —х*4-х-Ь2 1.10. Пт 3*г~ *»х4-6 х-*“ 2х2 — 5х — 3 '
1.11. Пт х—2 х3 — 8 X2 4- х — 6 1.12. Пт —Тх~2 . х->-1 Х34- 1
1.13. Пт х-*-4 х2 — 16 х2 4- х — 20 1.14. Пт —о1*" 3 х—3 х 4-2х — 3
1.15. Пт х—3 Зх2 — 7х — 6 2х2 — 7х 4- 3 ’ • 1.16. пт -4*;±^-.2. х—►— 2 Зх 4~ 5х 4~ 4
1.17. Пт х—►— 5х2 4- 4х — 1 1 Зх2 4- х — 2 * 1.18. Пт X-4*-5 . х-> — 1 Зх2 4- 2х — 2
1.19. Кт х-> — 7х2 + 4х — 3 । 2х2 4-3x4-1 V 1.20. Пт 3*гТ3х + 2. X—4 Х^ —X — 12
1.21. Нт х—2 2хг —9x4- Ю х2 4-Зх — 10 ’ 1.22. Нт'44+*~ 5. х-и х2 — 2х 4- 1
1.23. Нт- X—2 —5х24~ 1 \х—2 Зх2 — х — 10 1.24. Нт-4,-5*-14 . х—7 2х2 — 9х — 35
1.25. Пт- х->-5 Зх2 — 6х — 45 2х2 — Зх — 35 1.26. Пт 4x2 4- 3x4-15 х--з х2_6х_27
1.27. Кт х~> —: х2 — 2х — 35 5 2х2 4" 11x4-5* 1.28. Кт 2x2 + |5х ~ 8 х-*-8 Зх2 4-25x4-8
1.29. Пт 2 1.30. Кт 2х2 + 5х~Л-.
х-4 х2 — Зх — 4 х-~3 Зх2+ 10x4-3
2.1. Кт 2х2 + |1х+1Л. 2.2. Пт 2x2+ 5х~ .19-.
х—— з Зх2 + 5х — 12 х^1 х3 — 1
2.3. Кт х3~3х+-2.. 2.4. |1ш 3»- + 2х+1.
х—1 х2 — 4х + 3 х-2 X3 — 8
2.5. Нт *4~^+*+1 . 2.6. Нт 2x2 7 Зх .
х—- 1 X* + 1 х->1 X4 — 1
2.7. Нт х2~х+- . 2.8. Пт /.+^—.
х—2 5х2 + Зх — 3 X—— 2 х2 4- 4х 4- 4
2.9. Кт . 2.10. Пт 2x2+ 7х-4-.
х— — 4 х 4~ Зх 4“ 2 х->—4 х34-64
2.11. Кт 4** + 19*-5.. 2.12. Нт *3-х2 + х-1 .
х—— 5 2х2 + 11х + 5 Х-1 х34-х—2
2.13. Пт *2~2х+1 • 2.14. Пт —/3 ~ 3.
х—1 2х — 7х 4- 5 х—2 2х2 — 9x4-10
2.15. Нт 9*2 + 17*-2 . 2.16. Пт х3 + х~2 .
х—2 х2+2х х—1 х3 „ х2 __ х |
2.17. Нт 4х3~2х2+^. 2.18. Пт 4х4-5хгч-Д
х—о Зх2 + 7х х-И X2 — 1
2.19. Кт 3х2 + 5х-~.1-. 2.20. Кт
х—з х — 5х 4- 6 х— — 5 х 4~ 125
2.21. Пт х2 + 3х~-21. 2.22. Пт 9x3 "7-1-.
х->-4 X3 — 64 х—1/2 X —1/4
2.23. Нт х2 + 3х~—. 2.24. 11т 34+1и+1°
х—4 X — 4х х—— 2 х2 — 5х 4“ 14
2.25. Пт —. 2.26. Пт 3x2 +-х—.
х—-2 Зх2 4- X — 10 х—о 4х2 — 5х 4- 1
2.27. Нт-%-~-11х—. 2.28. Пт х"+ 2х ~ 24
х—6 Зх2 — 20х 4- 12 х->—6 2х3 4~ 15х 4~ 18
2.29. Пт *3-~2*-4 . 2.30. Пт /"в4 .
х—2 х2 — 1 1х 4“ 18 3 х—4 7х2 — 27х — 4
2 1 Кт Ч- ЗЛ- Д™ 2х3 + Эх2 — х ’ 4 2 Нт 4х3 4~ 7х х1« 2х3 - 4х2 4- 5
3.3. Пт 54~^.+2.. 3.4. Пт 7x3 ~ 2x2 + 4х- •
X—►оо х* + 2х3 + 1 х—оо 2х 4- 5
3.5. Пт - Х-*-оо х3 — 4х2 + 28х 5х3 + Зх2 + х — 1 3.6. Кт - Х->ОО Зх2 4- Юх 4- з 2х24-5х —3
3.7. Пт - ОО — Зх4 Ч~ *2 + * х4 + Зх — 2 3.8. Кт - 2х2 4- 7х 4- 3 5х2 — Зх 4- 4
3.9. Кт - X—>• ОО —х2 + Зх + 1 Зх2 + х — 5 3.10. Пт Х->ОО х3 —Зх24- 10 7х3 4- 2х 4- 1
3.11. Пт Х-> ОО 4х2 + 5х — 7 2х2 — х + 10 3.12. Кт Зх4 4- 2х 4- 1 х4 — х3 4- 2х
3.13. Пт X—> ОО Зх2 + 2х + 9 2х2 — х + 4 3.14. Кт Зх2 4- 5х — 7 Зх2 4- х 4- 1
3.15. Кт 2х3 Ч- 7х — 2 Зх3 — х — 4 3.16. Кт х+0 18х24~5х 8 — Зх — 9х2 '
3.17. Кт Зх4 — 6х2 4~ 2 х4 + 4х - 3 3.18. Кгп 8х2 4- 4х — 5 4х2 — Зх Ч- 2
3.19. Кт X—оо 8х4 — 4х2 + 3 2х4 + 1 3.20. Кт X—оо Зх2 — 4х Ч- 2 6х2 Ч- 5х Ч- I
3.21. Кт 7х3 + 4х х3-3x4-2 ’ 3.22. Кт 1 4х — х4 х 4- Зх2 4- 2х4
3.23. Кт х—> оо 2х3 4- 7х2 — 2 6х3 — 4х Ч- 3 3.24. Кт 3x4- 14х2 1 4- 2х 4- 7х2 ’
3.25. Кт X—> ОО х — 2х2 Ч- $х4 2 4- Зх2 4- х4 3.26. Кт х—*-ОО Зх4 — 2х2 — 7 Зх4 4- Зх 4- 5
3.27. Кт х-> оо 4 — 5х2 — Зх5 х3 Ч~ 6х Ч~ 8 3.28. Кт 5х3 — 7х2 4- 3 2 4- 2х — х3
3.29. Кт оо 4х3 — 2x4-1 2х34-Зх24-2 ’ 3.30. Кт 5х2 - Зх 4- 1 Зх24-х —5
4
4.1. Пт х54~2х + 4
х—>— оо 2х Ч~ Зх Ч~
4.3. Пт 3*; + 7*-4. _ ОО х 5 Ч" 2х — 1
4.5. Пт + . х—>-оо Зх44-2х4-5
4.7. Пт 3*6~5*2 + 2. х—»— оо 2х Ч~ 4х — 5
4.9. Нт 7х' + 5, + 9 X -► — оо 1 Ч~
4.2. Кт Зх4 4- 2х — 5 2х2 4- х 4- 7
4.4. Кт оо Зх — х6 х2 - 2х Ч- 5
4.6. Пт 2< + 7*2+1.
X > — оо X Ч- 6х — 1
4.8. Кт - оо х7 Ч- 5х2 — 4х Зх2 4- 11х — 7
4.10. Кт Зх4 4- х2 — 6 2х2 4- Зх 4- 1
4.11. Пт 2$+уД. 4.12. Ит Зх' ±*х—7х. х-оо 2х24-7х-3
Х+ — оо Зх4 — 2х + X
4.13. цт + х^-1 2х + Зх2 + 1 4.14. Кт 5х2~3х..±1 . х-^оо 1 4- 2х — х
4.15. Ит х->— оо Зх — 4х 4* 1 4.16. Ит -^ ~ЛХ±^ . х—►оо 4Х3 4- 2х — 1
4.17. 4.18. Пт _8х2_±Зх + 5 , X—оо 4хЗ_2х2_|_1
4.19. 4.20. Пт -3^+ЛТ7 х—оо х — 2х3 4-1
4.21. Пт -8^Г4х1+3. х-> — оо 2х3 ~Н х — 7 4.22. Пт -2х2 ~ 7х+> . х-оо X3 4- 4х2 — 3
4.23. Кт 5»Г^ + 3. х— оо 2х2 + Зх — 7 4.24. Ит -8^ + х2-~7.. х^оо 2х2 — 5x4*3
4.25. Кт Х + 2*!-* х—► — оо 8х3 — 4x4-5 4.26. Ит 3х1+2х--± х—► оо Зх2 — 4х 4- 1
4.27. Пт 7<~2» + 4 . х-^-оо 2х2 + х—5 4.28. Нт 4г' + Г)х2-Зх^ х-^оо Зх2 4- х — 10
4.29. Пт *-►—оо Зх4 — 2x4-5 5 4.30. Пт -7х3±3х~4.... х^оо 2х2 — 5х 4- 1
5.1. Пт 2»; + у5-. 5.2. Пт 3:-?+2.
с—оо 7х3 — 2Х2 1 х-^-оо х 4* 2х — 4
5.3. 11 г»-* 7 х4 — Зх 4* 4 г^оо Зх2-2x4-1 5-4- х1‘™оо Зх4 - 5х2 4-10
5.5. Ит 4^-2^ + х оо Зх2—X 5.6. Ит -^-^-±1. х->оо Зх 4* — 5
5.7. Пт 22'~5: + 2 . 5.8. Ит 5^~4х:Ь^--
Д. х’ + а.г-э х-^-оо 4Х3 4-2х —5
5.9. Пт 2*'-У+-21. «-►оо х2 4* 7х 4* 1 5.Ю. Ит ЗЛ5~7х,+ ^ х^— оо 4х5 — Зх3 4" 2
5.11. Нт + х-ьоо 2х2 4- 6х 4- 1 Е 4 П 1 • 4 — Зх — 2х2 5.12. Ит ; . х^_ со Зх4 4- 5х
5.13. х1' !Т1оо 2х3 4- Зх2 — 5 ‘ 5.14. Пт 8х‘ + 7х3~3. х-> оо Зх^ — 5х 4~ 1
5.15. Ит о 3х + 7 2 . х-> — оо 2 — Зх 4“ 4х 5.16. Ит 2х3-~3-+1-. х->-— оо 7х 4- 5
5.17. .. Юх —7 Зх’-ьгх3-!-! 5.18. Пт , ~х<о-3лС— х->— оо 1 4* 2х 4“ Зх
5.19. Пт -г5х + 3—. 5.20. Кт —Зх< + 5х ,, х--оо 2х—Зх —7
х-оо X3 — 4х2 — X
5.21. Кт -2*2~5* + 3 . 5.22. Кт —.
Х->оо Зх4 —2х2 + х х^— то 4х2 4- Зх — 6
5.23. Кт - г Зх + 1 л . 5.24. Пт ,
х-^оо х3 —5х24-4х X—оо х3— 16
5.25. Кт -4—~10х + 7 . 5.26. Мт -2*3 ~ Зх 1"1 .
х-^оо 2х3 — Зх х-^—оо Х5 + 4х3
5.27. Кт - -2х~13—. 5.28. Кт -^2-3^ + 1 .
х—оо х7 —Зх5 —4х х->— оо х3 4- 2х2 4- 5
5.29. Кт - У'~81—. 5.30. Кт —:,7- + - .
х-оо Зх2 + 4x4-2 х->— оо Зх3 — 5х 4* 1
6
6.1. Пт—-~±х-~12 . 6.2. Кт
-у/х — 2 — -у/1 — х х-*—4 х2 4- 2х — 8
6.3. Кт ^+10.-У4-\ 6.4. Пт У2_-*-У* + 6.
х^-з 2х2 — х — 21 х-^ — 2 X2 — X — 6
6.5. Кт^Ух-^ + 4. 6.6. Пт -х2~3х^~2 —.
х—»-1 Зх2 — 4х + 1 х"2 Уб — х — Ух 4-1
6.7. Кт _.У + 4х+‘—. 6.8. Пт- 2х2~9х + 4 .
х^~1 "д/х 4-3 — ^5 4-Зх -д/5-х-п/х-3
6.9. Кт3^2-_У* + 6. 6.10. Пт Уз^+17-У2х4-12
х-5 2х2 —7х—15 х-^—5 х2 4- 8х 4- 15
лее 1 • У*’ + 2 — У? 6.11. 11т -У, -——. 6.12. Кт^-.5Г^7 + Х.
х->0 Ух2+1_1 х->” У7х
6.13. Пт— — Зх- . л 4Л 1- У2Х4-1-3 6.14. Нт -; .
Х^° -у/1 + х — д/1 — х Х^4 -у/х — 2 — -у/2
6.15. 11ГП - ; -.
Ув-х-З
6.17. Кт
Ух — 3 — 2
Ух + 2 — 3
6.19.
Пт
еле. 11П.У+7-3.
х-к5 -у/х — 1 — 2
6.18. Пт ~^4х~3~-
х-^з х2 — 9
6.20. Нт 2--У*2.+ 1.
х—о Зх2
6.21. Нт +4~2 . 6.22. Пт х-Н) Зх Уб —х —Уб-|-х
х-»-0 \х2+16-4
6.23. Нт У?х 4-7-5 6.24. Пт 2-УГ
х-^9 з-V*7 Убх 4-1—5
6.25. Нт х3 — 27 6.26. Нт У>4-Зх2- 1
х->3 ~\/Зх ~ х х->0 х3 4-х2
6.27. Нт ( д/х~Н20 — 4 6.28. Нт Зх2 —2
X—► — 4 х3 + 64 д/в 4-х — 3
6.29. Пт- х->4) ~У 4-х —3 х2 4-х 6.30. Нт- х->-2 7 •у/^х 4-1—3 х3 — 8
7.1. Нт ( <х4-4\ ~3х 7.2. Нт 1 < х \2х~3
< х 4* 8 / х-^со ’ кх4-17
7.3. Нт ( ' 2х \~4х . 1 + 2х/ 7.4. Пт ( Х->оо \ гх — 1у~3х
7.5. Нт ( ' 2х 4- 5 \5х .2х + 1/ 7.6. Пт / х->со \ 'х4-3)~5х
7.7. Нт ( х4-2 \’+2х 7.8. Пт ( •х4-ЗЛх-~4
X—► со \ *+1/ х-»-оо \ х-1) '
7.9. Нт ( Х-^со \ 2х \3* 2х - 3 ) * 7.10. Пт X—>-оо
7.11. Нт 7.12. Пт /2x4-1 \х + 2
Х->ОО \* + 4/ Ьх-17 ’
7.13. Нт Х-^ОО /х — 2 \2*~3 \*+1/ 7.14. Нт X—► оо н 1 Н 1 СП
7.15. Нт , X—► оо /Зх —4\2х КЗх4-2/ ‘ 7.16. Пт X—► оо / 2х — 1 ч3*-1 \2х + 4)
7.17. Нт । / 2х — 4 \ “ Зх \ 2х ) ’ 7.18. Пт (
7.19. Дт ( /х_7ч^-2 и+1) 7.20. Пт । т’”'
7.21. Нт | (2—Зх Xх' < 5 — Зх ) ’ 7.22. Нт 1 Х-^оо ’ ( 1 —-х\3х <2-х7 •
7.23. Пт 1 X—>оо \ < 4х — 1 \ 2х <4x4-17 7.24. Пт | Г 3x4-4 \~2х к зх 7 •
7.25. Кт | 12x4-47 7.26. Нт । Х->-оо 1 <3x4-4' \ Зх + 5 ,
7.27. Кт 1 Х->оо 1 <1 4-2х\~х <34-2x7 • / V \ 3 2Х 7.28. Нт | / Зх ' 1 3x4-2,
7.29. Нт ( Х->оо ' Ь^г) 7.30. Нт 1 Х->оо 1 /4 —2х' 1 1—2х ,
8
8.1. Нт (. Х->оо у 8.3. Нт ( х-оо V 8.5. Нт Х->оо 2x4-3 \х + ‘ 5х 4- 7 ) ' х4- 1\3х 2х—1/ ‘ (5х4-8у + 4 8.2. Кт (- Х->ОО \ 2х+ 1 /2х — 1 \3ж-( и*-м7
8.4. 8.6. Кт X—> оо Кт X—► — оо
/ х4- 1 \2х+‘
Узх-17
8.7. Нт X—> оо (^)“ 8.8. Пт (- х->оо у X 4- 1 \5х 2х - 1 ) *
8.9. Кт X-> оо / Х4-3 У+2 к2х-47 ' 3.10. Нт х_^_ оо у Зх — 1 }
8.11. Нт ( (5х-3\х + 3 кх+4? ’ 8.12. Нт х->-~ оо \ 7х -Ь 4 /
8.13. Нт Х-> ОС Vх. 8.14. 7дт ( Г Х4-3 \2х <4х-б7 •
8.15. Нт Х->— ОС /А^2_\5х к 3x4-17 ' 8.16. Нт Х->— оо /Зх — 4\х —1 Ух-Ьб7 •
8.17. Нт / х —2 \3х 8.18. Кт /2х —3\6х+>
X—>ОО \Зх4-1о7 X—>-— оо к * + 4 7
8.19. Кт X—> — оо 8.20. Пт ( Х->оо \ ' 6x4-5 \5х ,х-10 7
8.21. Нт х-> оо / Зх 4- 7 \ 4х + ' 8.22. Нт ( Х~>~ ОО \ ' Х-1 \3х .4x4-57 '
8.23. Нт X-»-— оо /5х —7\2х к *+б7 • 8.24. Дт •3_4х\бх . 2-х 7 ‘
8.25. Кт X— 8.26. Кт X-»- — оо /44-Зх\7х к 54-х 7 '
8.27. Пт Х->- — оо > о * ъ Зх ет • 8.28. Дт ( 1 —х \5х . 2 — Юх 7 '
8.29. Кт ( Х->-оо У 34-х \2х ,9х-47 ' 8.30. Нт Х->— оо / х-Ь5 \3х к4х-27 '
9
9.1. Пт — — соз 8х 9.2. Нт
х—0 Зх2 х-*-0 ОХ
9.3. Пт--—*~со55х . х-»-0 2х 9.4. Нт х—0 2 81П X
9.5. Пт *У~81П* . 9.6. Пт З.ГС81П 5х_
х-*-0 Зх х->0 31 п Зх
9.7. Нт (1 1 9.8. Пт х->-л/2 1 — 31П X л — 2х
9.9. Нт 9.10. Нт- I — соз2 х
х->0 х х->0 х х
9.11. Ит| 9.12. Нт- зш2 Зх — ЗШ2 X
Иё* 81П X / х—0 х2
9.13. Пт- 81П 7х + 51П Зх 9.14. Пт- 1 — соз 5х
х—0 X 81П X х-»-0 2х2
9.15. Нт- соз 2х — соз 4х 9.16. Пт агс(& 2х
X—0 Зх2 х--0 1еЗх
9.17. Пт- 4§ Зх — зш Зх 9.18. Пт 1 — зш 2х
х—0 2х2 Х-»-л/' 4 л — 4х
9.19. Нт- соз 4х — соз3 4х 9.20. Нт 1 Г_1_
Х-.0 Зх2 X—.0 ’ < 81’п 2х 1^ 2х /
9.21. Нт- соз2 х — соз2 2х 9.22. Нт- ЭГС81П 5х #
х->0 х2 х->0 х2 —X
9.23. Пт- 1 — соз2 2х 9.24. Пт - I — соз 4х ,
х-^0 ХЭГС81ПХ Х--0 X зш X
9.25. Нт - соз 5х — соз х 9.26. Пт- 31П 5х + 51П X
х-И) 4Х2 х->0 агсзт х
9.27. Ит 1 — 8Ш X 2 (л/2—х)2 " 9.28. Ит х—л/: 2 (л/2 — х) (е X.
9.29. Пт- 7х 9.30. Пт- €08 X — СО83 X
х->-0 31п х + з1п 7х х-»-0 5х2
Решение типового варианта
Найти указанные пределы.
, 5^+.^+6
х—— 2 Зх2 + 2х — 8
> Нт 5*2 + 13* + 6 = Ит (* + 2) (5х + 3)
х-|--2 Зх2 + 2х —8 х—-2 (х + 2)(3х —4)
— Нт -5* + 3
10
= 0,7. 4
2.
Нт -^4————.
х->4 4х2 4* Ох — 64
► Нт
х-*4
Зх2 — Юх — 8
4х2 4- 6х — 64
__ 0
24
з. Ит -Д4-+^.+.5- .
X—>оо 6х4 + Зх2 — 7х
Ь Нт 7^ + 2х3 + 5 = . х4(7 + 2/х + 5/х<) , _ 7
х-<» 6х4+3х2 —7х х-оо х4(6 + З/х2 — 7/х3) “б
4.
х—-оо 2х3 + 4х + 3 *
Кт
Юх —3
2х3 + 4х + 3
Кт
10 —З/х
Нт —;---------5-----;
н—оо х2(2 + 4/х2 + З/х3) .
х(10 - З/х)
х3(2 + 4/х2 4- З/х3)
10 _ А
оо
7
= 0. ◄
5. Ит .^5+Х~^ .
х-^ — оо Зх2 — 4х + 2
к Нт У + у-;* = |!т
х--оо Зх — 4x4-2 Х--ОО х2(3 —4/Х4-2/Х2)
= Нт' *-<?_+•№ ~4/х*) = ^=-22. = - оо.
X—«. 3 —4/Х4-2/Х2 3
6. НтУу7^6 .
X3 - 64
Ь Нт ^21+х-5 , (-^27+7-5)(727+74-5)
^-64 11"?
= Ит______21+х-25 __ =
Х^4 (х3 —64) (л/21 4-х+ 5)
= 11Ш---------------------------------------
х^4 (х — 4) (х2 4- 4х 4- 16) (-^21 4-х 4- 5)
2х \г”5х
2х-3/
= Пт е3(2-5х)/(2х-3) =е_|5/2. ◄
9. Пт 1~8|п(х/2)1
Х->-Л Л^ ---------X
1 — 51П (х/2)
л2 — х2
Нт 25‘п2((я —*)/4)
х->л (л — X) (л + х)
Нт 2'+7х =2““ =0. ◄
Х-> — СО
Пт 1~созг(л/-2--х/2).
х—я Л — X
Цт 2 81П ((л — х) /4) зт ((я — х) /4)
х—►л . Л ' X / .4
4----3—(я 4-х)
4
Решения всех
ИДЗ-5.2 вариантов тут »>
/. Доказать, что функции Дх) и ф(х) при х->0 являются
бесконечно малыми одного порядка малости.
1.1. Дх) = 1^2х, ф(х) = ЗГС51П х.
1.2. Дх) —1 соз х, <р(х) = 3х2.
1.3. Дх) = агс1§2 Зх, ф(х) = 4х2.
1.4. Дх) = зт Зх — зт х, ф(х) = 5х.
1.5. Дх) = соз Зх — соз х, <р(х) = 7х2.
1.6. Дх) = х2 — соз 2х, ф(х) = 6х2.
1.7. Дх) =^\ 4-х — 1, ф(х) = 2х.
1.8. Дх) = 51п х + 51П 5х, ф(х) = 2х.
1.9. /(х)==Зх/(1-х), ф(х) = х/(4 + х).
1.10. Дх)== Зх2/(2+ х), ф(х) = 7х2.
1.11. Дх) = 2х3, ф(х) — 5x7(4 — х).
1.12. Дх) = х2/(5 + ^), ф(х) — 4х2/(х — 1)<
1.13. Дх) — З1п 8х, ф(х) = агсзт 5х.
1.14. Дх) = з1п Зх + 81П х, ф(х)=10х.
1.15. Дх) = соз 7х — соз х, ф(х) = 2х2.
1.16. /(х) = 1 —соз 2х, <р(х) = 8х2.
1.17. /(х) = 3 51п2 4х, <р(х) = х2—х4.
1.18. /(х) —(х2 + 2х), <р(х) = х2 + 2х.
1.19. /(х) = агс51п (х2 — х), <р(х) = х3 — х.
1.20. /(х) = 51п 7х + 51П х, <р(х) = 4х.
1.21. /(х) ="\/4 + х + 2, <р(х) = 3х.
1.22. /(х) = 51п (х2 — 2х), <р(х) = х4 — 8х.
1.23. /(х) = 2х/(3 — х), <р(х) = 2х — х2.
1.24. /(х)=х2/(7 + х), <р(х) = Зх3—х2.
Ь25. /(х) — 51п (х2 + 5х), ф(х) = х3 — 25х.
1.26. /(х) = со5 х — соз3 х, <р(х) = 6х2.
1.27. /(х) = агс51п 2х, <р(х) = 8х.
1.28. /(х) — 1 — соз 4х, <р(х) = х 51п 2х.
1.29. /(х)="\/9 — х — 3, <р(х) = 2х.
1.30. /(х) = созЗх — соз 5х, <р(х) = х2.
2. Найти пределы, используя эквивалентные беско-
нечно малые функции.
2.1. 1ш1-|п(31.+ 3*2) . 2.2. агс51П 5х
х—о х — 5х2 х—0 Зх
2.3. Кт-^. х—о 1$ 2х 2.4. Кт д3*-1 . х—о х3 4- 27х
2.5. Кт аг9с^6* . х—о 2х2 — Зх 2.6. Кт-агС5‘п3*. х—о 2х
2.7. Кт 5‘п5х . х—о агс!^2х 2.8. х—0 51 п 2х
„2х । 2.9. Кт— 1. х—0 1$ Зх 2.10. Кт 8‘п(х~3) . х—з х2 — 5х 4- 6
2.11. Кт СО53*~со8х х—о 2х2 2.12. Кт-1--™56? . х—о 4х
2.13. Кт—а--с-§ 3* . х—о 1п (1 + 2х) 2.14. Пт агс5‘п х—о 5х
2.15. Кт- 1. х—0 51 п 2х 2.16. Кт -2).. х—— 2 X2 — 4
2.17. Кт + . х—— 2 X3 + 8 2.18. Кт агс5‘п2х . х—о 4х
2.19. Кт х3-64 . х->4 1§(х — 4) 2.20. Кт со$ ~со5 х—0 Зх2
2.21. Кт 1п(‘+ 4х3) . х-о 2х3 2.22. Кт-^13!. х—о 1^ 2х
ГС51П 8х
х->0 2х
2.26. Кт .'Р-(1 + 4^
х-»-0 51 п 2х
2.27. Кт 5|п/х-.~-3)
л *-3 ______________ 97
х->з х3 — 27
2.29. Кт-!—С05.§*
х~о 2х2
2.28. Кт ^<Х+А.
.<►-5 х2 — 25
2.30. Нт-!й-Ц-±5х}..
х-И) 8Ш Зх
3. Исследовать данные функции на непрерывность
и построить их графики.
3.1. [(*)={ х2 + 2, -
12х, х
3.2. ^(х) = { (х+ I)2, 0<х<2,
I —х + 4, х > 2.
( х 4- 2, х — 1,
З.М(х) = 1 х2+1, — 1<х<1,
I —х + З, х> 1.
( — х, х^О,
3.4. /(х) = 1 —(х—I)2, 0<х<2,
(х — 3, х 2.
3.6. /(х)={ х2, 0<х<2,
( х-|- 1, х>2.
(х2 + 1, х < 1,
3.7. /(х) = { 2х, 1<х<3,
1x4-2, х > 3.
( х — 3, х < 0,
3.8. /(х)=| х4-1, 0<х<4,
13 4-х, х > 4.
( V1 —х, х О,
3.9. /(х) = { 0, 0<х<2,
1х — 2, х>2.
Г 2х2 х < О
3.10. /(х) =( X, ’ 0<х’<1,
12 4-х, х > 1.
' 51П X, X < 0,
3.11. Дх)=| х, о х 2, 10, х > 2.
3.12. /(х)=1 Г соз х, х л/2, 0, л/2 < х < л, [ 2, х л. ' х — 1, х < 0,
3.13. /(х)={ х2, 0 < х < 2, к 2х, х > 2. Г х + 1, х < 0,
3.14. /(х) = | х2 — 1, 0 =Сх < 1, 1 —X, X 1. г —х, х < 0,
3.15. /(х)=| 1 Х2+ 1, 0<х<2, , х 4- 1, х > 2. г х + 3, х < 0,
3.16. Кх) = ] 1, 0<х<2, 1х2 — 2, х > 2. ' х — 1, х <0,
3.17. Кх)=| 81П X, 0 х < л, 3, х л. Г —х+ 1, х < —1,
3.18. /(х)=| х2+1, — 1<х<2, 12х, х > 2. Г1, х<о,
3.19. /(х)=| 2х, 0 < х < 2, 1x4-3, х > 2. ' —х4-2, х< —2,
3.20. /(х)={ х3, —2 <х 1, 12, х>1.
3.21. /(х)=| '3x4-4, х< — 1, х2 — 2, — 1 < х < 2, 1 х, х 2.
3.22. /(х)=1 Г х, х 1, (х — 2)2, 1 < х < 3, 1 —х 4- 6, х > 3. х— 1, х< 1,
3.23. Дх)={ х2 4- 2, 1 < X < 2, . —2х, х> 2.
( х3, х < — 1,
3.24. ((х)=1 х— 1, — 1<х<3,
I —х + 5, х > 3.
х —2
—*4-.1, — 2<х’< 1,
х2 — 1, X > 1.
( х + 3, х < О,
3.26. Кх)={ —х2 + 4, 0<х<2,
I х — 2, х > 2.
(О, х<—1,
3.27. /(х) =4 х2 - 1, -1 < х < 2,
I. 2х, х > 2.
( — 1, х<0,
3.28. /(х)=4 соз х,
( 1 — х, х > л.
(2, х<—1,
3.29. /(х)={ 1— х, — 1<х<1,
I 1п X, X >» 1.
( —х, х О,
3.30. К*)={ х3, 0<х<2,
1x4-4, х > 2.
4. Исследовать данные функции на непрерывность в
указанных точках.
4.1. /(х) = 2|/(х-3) 4-1; Х|=3, х2 = 4.
4.2. /(х) = 5|/(х-3) — 1; Х| =3, Хг = 4.
4.3. /(х) = (х 4- 7)/(х - 2);, х, = 2, х2 = 3.
4.4. /(х) = (х -5)/(х 4-3); х, = -2, х2 == -3.
4.5. /(х) = 4|/(3-х)4-2; х,=2, х2 = 3.
4.6. /(х) = 91/(2-х); х4 =0, х2 = 2.
4.7. /(х) = 2'/<х-’)4-1; х, =4, х2 = 5.
4.8. /(х) = 5|/(х-4) —2; х, =3, х2 = 4.
4.9. Дх) = б’/<Х-3’4-3; х, =3, х2 = 4.
4.10. /(х) = 7|/(5-х) 4- 1; X, =4, х2 = 5.
4.11. /(х) = (х — 3) (х 4-4); XI = -5, х2= -4.
4.12. /(х) = (х 4- 5)/(х - 2); х, = 3, х2 = 2.
4.13. /(х) = 52/(х-3>; X, =3, х2=4.
4.14. /(х) = 42/(х-')-3; х( = 1, х2 = 2.
4.15. 1(х) = 24 5'<> -х> - 1; х, = 0, х2 = 1.
4.16. /(х) = 84/(х-2) - 1; X, =2, х2.= 3.
4.17. /(х) = 54/<3-х> + 1; X! = 2, х2 = 3.
4.18. /(х) = Зх/(х - 4); х( = 4, х2 = 5.
4.19. /(х) = 2х/(х2 — 1); Х1 = 1, х2 = 2.
4.20. /(х) = 23/(х+2) + 1; х> = -2, х2 = -1.
4.21. /(х) = 43/(х-2)4-2; Х1=2, х2 = 3.
4.22. /г(х) = 32/(ж+1) —2; х, = -1, х2 = 0.
4.23. /(х) = 53/(Л!+4)4-1; *1 = -5, х2= -4.
4.24. /(х) = (х — 4)/(х4-2); х. = -2, х2= -1.
4.25. /(х) = (х-4)/(х4-3); х, = — 3, х2= -2.
4.26. /(х) = (х4~5)/(х — 3); Х1=3, х2 = 4.
4.27. Дх) = 34/(1 "х) 4-1; Х1 = 1, х2 = 2.
4.28. /(х) = 4х/(х 4-5); Х1 — —5, х2= —4.
4.29. Дх) = 62/(4~х); Х| = 3, х2 = 4.
4.30. Дх) = (х 4- 1)/(х — 2); Х1 = 2, х2 = 3.
Решение типового варианта
1. Доказать, что функции Дх) = соз2х— соз3 2х
и <р(х) = 3х2 — 5х3 при х->0 являются бесконечно малыми
одного порядка малости.
> Находим
Кт-М- = Нт =
х^О <р(х) х~>0 Зх — 5лт
5 2%(1 — СО52 2х) - 1- (л соз 2х • зт2 2х \ _
^(3 - 5х) • _ х*(3-5х) ) “
_ । 8 соз 2х • з1п 2х 51п 2х _&/о
х-*о 2х2х(3 — 5х)
Так как предел отношения функции /(х) и ф(х) равен
отличной от нуля постоянной, то в соответствии с опреде-
лением (см. формулу (5.1)) данные функции — бесконеч-
но малые одного порядка малости. ◄
2. Найти предел, используя эквивалентные бесконечно
малые функции.
► Имеем: Нт агС5‘п8х- = Нт-^ =2. ◄
х^о 1п (1 + 4х) х^о 4х
3, Исследовать данную функцию на непрерывность
и построить ее график:
гх2, — оо < х < 0,
/(х)-{ (х- I)2, 0<х<2,
(5— х, 2<х< + °°-
> Функция /(х) определена и непрерывна на интер-
валах (— оо; 0), (0; 2).и (2; + оо), где она задана непрерыв-
ными элементарными функциями. Следовательно, разрыв
возможен только в точках Х1 = 0 и хг = 2. Для точки Х1 =
= 0 имеем:
Игл Дх) = Нгп х2 = 0, Нт Дх) = Нт (х — 1)2= 1,
х^0-0 х^0-0 х-И)+0 7 х-^О-ЬО
/(0) = х2|х=0 = 0,
т. е. функция Дх) в точке Х1=0 имеет разрыв первого
рода.
Для точки х2 = 2 находим:
Кт Дх) = Кт (х —- 1)2 = 1,
х-^2-0 х-^2-0
Нт Дх) = Нт (5 — х) = 3,
х^2+0 х^2-Ь0
/(2) = (х— 1)2|х=2 = 1,
т. е. в точке Хг = 2 функция также имеет разрыв перво-
го рода.
График данной функции изображен на рис. 5.1. <4
рывность в точках Х1 =3, х2“4.
> Для точки Х1 = 3 имеем:
Нт /(х)= Нт (8|/(х~3)+1) = 8-0° + 1 = 1,
х^З-0 Х 7 х-^3-0 4 7 1
Нт /(*)= Нт (8|/(*-3)+1) = 8°° + 1 = оо,
х-^3 + 0 4 7 х-^3+0 4 7 1
т. е. в точке Х1 = 3 функция Дх) терпит бесконечный разрыв
(Х1 =3 — точка разрыва второго рода).
Для точки х2 = 4 имеем:
Кт Дх) = Кт (81/(х“3) + 1) — 9,
х-^4-0 х^4-0
Кт }(х) = Кт (81/(х“3)+1) = 9,
Х-+4 4-0 х-И+О
/(4) = 81/(4“3)+1 = 9.
Следовательно, в точке х% = 4 функция /(х) непрерывна. ◄
5.6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 5
Найти указанные пределы.
1. Нт12.+ ЯГ__^-200^ {Отдет: 198(Х))
л—оо п98—10п2+1 ' '
2. Нт ,1?(»г + 2пс озп + 1) . {Ответ. 2.)
«-►оо 1 + 18 (л 4-1)
3. Кт ?пХ,--- +4- (Ответ: ’
л—оо 1п (п 0 + П + 1) \ 5 /
-л П~П . АХ Г 1»
4. Кт (Д0). ( ОГает:{ 0, |а| = 1,)
а»+а " у 1—1, |а(<17
5. кт Г±-2_-+3>;+2.2.. (Ответ: -И
6. Кт—~1О1Х+1(!Р . (Ответ: 5050.)
х-1 х2 — 2х + 1 ' 7
_ .. д/2х2+ 10х+ 1 — д/2х2 4- Юх + 1 / _ 4 \
7. Кт —— ---------1—2.------(Ответ: 4-.)
Х—о х \ 7 /
8. Кт (л/(1 4- х2)(2 + х2)---(п + х2) — х2)(п € М).
Х-гСО
(Ответ: п 1
9. Кт(-\/1 4-х —х)|/ж. (Ответ:
10. Кт-3‘пх2 . (Ответ: }
х—п л — х \ 2л /
11. Кт (°* + 1У , где п 2, п =5^ 0; а, Ь — постоянные.
х-^оо Xя -|- Ь
(Ответ: а\ если п > 0; 0, если п < 0, Ь 0; а", если п < 0,
а =# 0, Ь — 0; оо, если п < 0, а = Ь = 0.)
|2- (4---3-+ - + (-'Г'4). (Ответ-. ±.)
Найти точки разрыва данных функций, указать харак-
тер точек разрыва и построить графики этих функций.
13. у = 1/Цу |х|. (Ответ: х\=0 — устранимая точка
разрыва, Х2,з == ± 1 — точки разрывов второго рода.)
14. у = х 51П (л/х). (Ответ: х = 0 — устранимая точка
разрыва.)
15. у= 1/(1 -(- 31/х). (Ответ: х = 0— точка разрыва
первого рода.)
16. у= 1/(1 +2'*ж). (Ответ: х = -2-(2к + 1), к^2—
точки разрыва первого рода.^
17. г/ = (1 + 1/х)\ (Ответ: х=—1—точка разрыва
второго рода, х = 0 — устранимая точка разрыва.)
18. у = 1/(1 — е|-х). (Ответ: х — 1 —точка разрыва
второго рода.)
19. Круглая пластина радиусом а с закрепленными
краями находится под действием силы Р, приложенной
к ее центру. Прогиб на расстоянии х от центра пластины
выражается следующей формулой:
у = Ркх21п + Р А (ц2 - х2),
где к — коэффициент, связанный с прочностными ха-
рактеристиками материала и формой пластины. Найти
прогиб в центре пластины. (Ответ: Рка2/2.)
20. Шарнирно-опорная балка под действием равно-
мерно распределенной нагрузки д и сжимающей силы Ы
прогибается. Прогиб в середине балки вычисляется по
формуле
= ( 1 __ 1 _ «2
~ЁГиг \ соз (и/2) “3“/ ’
где и — Е1 — жесткость балки; I — длина балки.
Показать, что: а) при (Р/->оо) балка не должна
прогибаться, т. е. /~>0; б) при ц->л (#->л2Р7//2) /~>оо,
т. е. существует критическая сила, при которой балка
«разрушается», что математически соответствует ее беско-
нечному прогибу.
6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
6.1. ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ
И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ.
ПРАВИЛА И ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Напомним, что приращением функции у = }(х) называется
разность
Ду = /(* + Ьх) — [(х),
где Дх— приращение аргумента х. Из рис. 6.1 видно, что
= (6.1)
Предел отношения приращения функции Ду к приращению аргу-
мента Дх при произвольном стремлении Дх к нулю называется произ-
водной функции у = /(х) в точке х и обозначается одним из следующих
символов: г/, Г(х), Таким образом, по определению
^ = Г(х) = -^- = Пт = Кт . (6.2)
С?Х Дх->-0 Дх Дх-Л) Дх
Если указанный в формуле (6.2) предел существует, то функцию
/(х) называют дифференцируемой в точке х, а операцию нахождения
производной г/ — дифференцированием.
Из равенства (6.1) и определения производной (см. формулу
(6.2)) следует, что производная в точке х равна, тангенсу угла а
наклона касательной, проведенной в точке М(х, у), к графику функции
у = /(х) (см. рис. 6.1).
Легко показать, что с физической точки зрения производная
г/ = ['(х) определяет скорость изменения функции в точке х относительно
аргумента х.
Если С — постоянное число и и — и(х), V — п(х) — некоторые диф-
ференцируемые функции, то справедливы следующие правила диффе-
ренцирования:
1) (С)' —0;
2) И'==1;
3) (и ± ц)' — и' ±2 ц';
4) (Сиу = Си';
5) (иву = и'и + ин';
«> (^0);
8) если у —[(и), н = <р(х), т. е. у = /(<р(х))— сложная функция, со-
ставленная из дифференцируемых функций, то
, , , ди ду
Ух^УиИх ИЛИ
дх ди
ди
дх ’
9) если для функции у — /(х) существует
де
цируемая функция х = ё(у) и -р = ё'(у)^§, то
обратная дифферен-
На основании определения производной и правил дифференци
роваиия можно составить таблицу производных основных элементар
ных функций:
1) (и*)' = аиа и' (а С И);
2) (аиу = а111па • и‘\
4) (!о^с и)' = —---------и';
' к 6 ' и 1п а
6) (з1п иу = соз и • и';
8) (4е и)' = —— и';
соз и
3) (еау = еии';
5) (1п «У = и';
7) (соз иу — — 51п и • и';
9)
10) (агсзт и)' = — и'\
-у/1-и2
12) (агс(е и)' = 1 и';
1 + и
14) (зк иУ — сЬ и • и'\
16) (111 «у = —1—и';
сп" и
Уравнение касательной к к]
11) (агссоз иу ---------г—-г- и'\
у/1-и2
13) (агсс1§ «У = — и,- и'-,
15) (сЬ и)' = зк и • и';
17) (с!Ь и)'= - 4т---------«'•
з!г и
)й у~1(х) в точке Мо(хо, /‘(хо)):
у — /(хо) = Г (хо) (X — Хо).
Уравнение нормали (перпендикуляра) к кривой у = /(х) в точке
Л4о(хо, /(х0)):
У-/(хо) —
,,, . (X —Хо) (У(хо)^О).
! (Хо)
Прн ^'(хо) — 0 уравнение нормали имеет вид х—хо.
Углом между кривыми в точке их пересечения называют угаг
между касательными к кривым в этой точке.
Оу
Пример 1. Найти производную функции у = , восполь-
зовавшись определением производной (см. формулу (6.2)).
► При любом приращении Дх имеем:
д ____ 2 (х 4- Дх)____2х _ 6х2+бхДх+2Дх — бх2 — бхДх—2х _______
У “ З(х+Дх) +1 3x4-1 “ (3(х-|-Дх)4-1) (Зх4-1) “ '
___________2Дх________
~ (Зх4-ЗДх-|- 1)(Зх-|- 1) '
Так как
' (Зх + ЗДх4- 1)(Зх-|- 1) ’
то
, — 11*т ?___________2
У ~ д™о Л.Х ~ Дх™0 (Зх + ЗДх+ 1)(3х+ 1) — (Зх + I)2 ’ *
Пример 2. Найти значение производной функции у = |х| в точке
х = 0.
► При любом приращении независимой переменной х, равном Дх,
приращение функции в точке х —0
а 1а 1 Г—Дж» если Дх<0,
дг/=|Дх|=| ДХ1еслиДх>0.
Из определения производной следует, что
Ау ( — 1, если Дх<0,
~ Ал®) Аг ~ | 1, если Дх > 0.
Это означает, что в точке х = 0 функция у = |х| не имеет производной,
хотя она и непрерывна в этой точке, поскольку
д';То^= дУШо|Дх| =°- *
Таким образом, не всякая функция, непрерывная в некоторой
точке х, дифференцируема в этой точке. Но легко показать, что любая
функция непрерывна во всех тех точках х, в которых она дифферен-
цируема.
АЗ-6.1
1. Найти производную функции у = Зх3 — 2х2 + Зх — 1,
воспользовавшись определением производной (см. фор-
мулу (6.2)).
2. Установить, будет ли функция у = ^/~х непрерывной
и дифференцируемой в точке х = 0.
3. Найти производные следующих функций:
а) у — Зх* — З^х3 + 7/х5 +4;
б) у = х3 зт х;
в) У = (х4 +1)/(х4 — 1);
г) г/ = (х54-3х—I)4;
Д) У = '^((-«3+ ОЛ-*3 — О)2-
4. Составить уравнения касательной и нормали к кри-
вой у = х34~2х— 2 в точке с абсциссой Хо = 1. (Ответ:
у — 5х + 4 = 0; 5у + х — 6 = 0.)
5. Найти углы, под которыми пересекаются линии, за-
данные уравнениями у = ж? и х2 4- 2г/2 = 3. (Ответ:
90°, 90°.)
Самостоятельная работа
1. 1. Найти производные следующих функций:
а) г/= Зх3 + 5V*® — 4/х3;
б) у = х3 зш х • 1п х;
в) У = л/(х3+ ^/(х3 — 1).
2. Записать уравнения касательной и нормали к кри-
вой у = 1п (х2— 4x4-4) в точке хо = 1. (Ответ: 2x4- У —
-2 = 0; х~2у~ 1=0.)
2. 1. Воспользовавшись определением производной
(см. формулу (6.2)), найти производную функции г/ =
= (Зх - 1) /(2х + 5). (Ответ: у' = 17/ (2х 4- 5)2.)
2. Найти производные следующих функций:
а) У = ^/~х^ — 2/х4 4- 7х6;
б) у = (х9 4- 1) соз 5х;
В) 1/ = ((х44- 1)/(х4— I))3.
3. I. Найти производные следующих функций:
а) у = 4д/х' + А/~\[х + Зх2;
б) у = х3х • е2х\
в) г/ = (зщ?х)/(х34-1).
2. Расстояние, пройденное материальной точкой за
время / с, 5 = ~ /4--1-I3 -|- 21 + 1 (5 — в метрах). Найти
скорость-движения данной точки в моменты времени / =
= 0; 1; 2 с. (Ответ: 2 м/с; 2 м/с; 6 м/с.)
АЗ-6.2
Используя формулы и правила дифференцирования,
найти производные данных функций.
1. а) // = х351*пЗх; б) у-е^^Ах:
в) у — -д/х4 + зш4 х; г) у = х с1§;2 7х;
д) у = 2~ст'Ьх-,
2. а) у = (2х' —1§4 х)3;
в) «/ = 51п(1§-\/х);
Д) 1/ = 2х/1пх;____
3. а) у = е~^г+2х+2;
в) у = (2*е3х + 1ёЗх)2;
е) у = еак'е^
б) у = 1п5 (х - 2-х);
г) у = х зт2 х • 2х';
е) у = агс1§-714-х2.
б) //= зЬ3 х2;
г) «/ = 3‘8’5х.
Самостоятельная работа
Найти производные следующих функций.
1. а) у = х8й13Зх; б) У = л/с23лХ~{~! •
' у у 51П 2х +1 ’
в) у = (2е05 Зх 4- 81П Зх)3; г) у — х соз2 х • еЛ
2. а) у = х3е'еЗх; б) у = (зт3 х 4- соз3 2х)2;
в) у = 1п (х4 — зт3 х); г) у = х зт 7х • 1§2 х.
3. а) 1/ = хс1^25х; б) у = (х3 4-1^3 2х)2;а
в) у — зт (х5 —1§2 х); г) у = х2 соз 2х*е-х .
6.2. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Логарифмической производной функции у — ((х) называется про-
изводная от логарифма этой функции, т. е.
(1п Кх)? *=['(х)/((х).
Последовательное применение логарифмирования и дифференци-
рования функций называют логарифмическим дифференцированием.
В некоторых случаях предварительное логарифмирование функции
упрощает нахождение ее производной. Например, при нахождении произ-
водной функции у —и", где и = и(х) и п —ц(х), предварительное
логарифмирование приводит к формуле
у' = и° 1п и • о' 4- ои°~1 * и'.
Пример 1. Найтн производную функции # = (5т 2х)*3
► Логарифмируя данную функцию, получаем
1п у = х3 1п зш 2х.
Дифференцируем обе части последнего равенства по х:
(1П у)' = (X3)' 1П 51Г) 2х + X3 (1П 51П 2х)'.
Отсюда
— ~ Зх2 1п 51п 2х 4- я3 . - 2 соз 2х.
у зш 2х
Далее,
у' = ^(Зх21п зш 2х 4- 2Х3 с1& 2х).
Окончательно имеем:
/ = (з1п 2х)ж’(3х2 1п зт 2х 4- 2х3 с1^ 2х). ◄
Если зависимость между переменными у и х задана в неявном
виде уравнением Г(х, у) = 0, то для нахождения производной д' = д'*
в простейших случаях достаточно продифференцировать обе части
уравнения Г(х, х/) = 0, считая у функцией от х, и из полученного
уравнения, линейного относительно у', найти производную.
Пример 2. Найти производную функции д', если х3 + у3 —
— Зху — 0.
> Дифференцируем обе части данного уравнения, считая у функци-
ей от х:
Зх2 + Зу^д' — Зу — Зху' = 0.
Отсюда находим
у' = (3х*-3у)/(3х-3у*). «
АЗ-6.3
1. Найти производные указанных функций:
а) у = Зх*— 1^4 2х; б) # = х31:Н3х;
в) у = 1^4 (х5 — 81п5 2х); г) у ~ агс1§~\/1 + е .
2. Найти производные следующих функций:
а) 4/ = (8ш Зх)СО55х; б) у = (х3 + 1)1е2х.
3. Найти производные функций у, заданных неявно
следующими уравнениями:
а) еху — х3 — у3 = 3; б) ху — агс1^—=3; в)
+ ^~у = а. (Ответ: а) у' = (Зх2 — ^^/( — Зу2 + ех^х);
б) у' = — (Х2у + у3 — х)/(х3 + ху2 у); в) у = — М(у/х)2.)
Самостоятельная работа
Найти производные данных функций.
1. а) у — х3 1п2 (з1п2 х — 1^2 х); б) у = (1ёЗх)х*\
в) е^-х4 + у4 = 5. (Ответ-, у'=
2. а) у = с(^2 Зх• е~соз23х; б) у = (1 + *4)1&7х;
в) (/’ + X8 - 51п (хУ) = 5. (Ответ: у _
3. а) у = е~х* агс^-^х3— 1; б) у = (с{^ 5х)х3-1;
в) 2^ + 2У = 2^У. (Ответ; / = -)
6.3. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Производной второго порядка или второй производной функции
у = Дх) называется произврдная от ее первой производной, т. е. (/)'.
Обозначается вторая производная одним из следующих символов:
^2
у", /"(х), Если 5 —«(/)—закон прямолинейного движения мате-
риальной точки, то = --------скорость, а ---ускорение этой
точки.
Если зависимость функции у от аргумента х задана в параметри-
ческом виде уравнениями х = х(0, у = !/(/), то:
<*У = УЧ*) = / / \ 1
дх х7^) ’ 4Х2 4/ \ х7 } х' '
(6-3)
где штрих обозначает производную по /.
'Производной п-го порядка функции у — Цх) называется производ-
ная от производной (п — 1)-го порядка данной функции. Для л-й
производной употребляются следующие обозначения: (х),
дпи
. Таким образом,
У« = (г/-')у = ^21.
Пример 1. Найти производную второго порядка функции
у = 1п (х + -у? + а2).
► Имеем:
= V*2 + а2 + X 1
(х + ^/х2 + а^-у/х? + а2 -у/х2 + а2
У" = - ± + а2)-3'2 • 2х = - Х —
2 д/(^ + “2)3
Пример 2. Вычислить значения первой и второй производных
функции у = (2х — I)4 в точках Х| — 1, х? = — 1.
> Находим первую производную: у' = 8(2х — I)3. При х = 1 имеем
/(1) = 8, а при х = —1 /(—1)= —216.
Далее, у" = 48(2х - 1)\ /'(!) = 48, /'(-1) = 432. «
Пример 3. Найти производную л-го порядка функции у — зт х.
> Дифференцируя последовательно л раз данную функцию, на-
ходим :
у' — соз х = зш (х + л/2),
у".= соз (х + -0 = 31П (х + 2 . у)
у"' = СОЗ (х + 2 • у А = 31П Лс 4- 3 • у\
«/"> = соз(х + (п —1)-0 = 51п(х + пуУ ◄
Пример 4. Найти вторую производную функции, заданной парамет-
рическими уравнениями: х = 1п у — /3 + 2/ + 1.
► В соответствии с формулами (6.3) имеем:
&у = 3*2 + А = З/3 4- 2/,
йх \/1
а*У. — 9/2 + 2 = 9/3 + 2/. ◄
а*? 1/1
АЗ-6-4
1. Найти вторую производную функции у = (1-[-
4-4х2) агс1§ 2х.
2. Найти значения производных любого порядка функ-
ции у = х3 — 5х2 + 7х — 2 в точке х = 2.
3. Дано уравнение движения точки по оси Ох:
х = 100 — 51 — О,ООН3 (х измеряется в метрах, / — в се-
кундах) . Найти скорость о и ускорение этой точки
в моменты времени 1о = О, Л = 1> 1г = 10 с. (Ответ: о = 5;
4,997; 4,7 м/с, а» = 0; —0,006; —0,06 м/с2.)
4. Найти вторые производные функций, заданных
уравнениями:
/ы = /34-/2—1 /у = 2 81П3_Л
а) (х = /2 + /4-1; б) 1х = 2со83/.
5. Вычислить значение второй производной функции у,
заданной уравнением х4—л«/+1/4 — 1. в точке М(0, 1).
(Ответ: —1/16.)
6. Записать уравнения касательной и нормали в точке
Л4о(2, 2) к кривой х = у = -А--|—Л_. (Ответ:
7х-10у + 6 = 0, Юх4-7у —34 = 0.)
7. Показать, что функция у = С\е** 4- Сге3' при любых
постоянных С| и Сг удовлетворяет уравнению у" — 5х/4~
4-6у = 0.
Самостоятельная работа
1. 1) Найти производную второго порядка функции
у = (х24-1).1п(14-х2);
2) найти вторую производную функции, заданной
уравнениями: у = г4-/, х = /2— 2/;
3) вычислить значение второй производной функ-
ции у, заданной уравнением + у — х = 0, в точке
Л41(1, 0). (Ответ: —1/8.)
2. 1) Найти производную второго порядка функции
у = е~3ж • (соз 2х 4~ аю 2х);
2) найти производную второго порядка функции,
заданной уравнениями: >у = 13 4- ‘4* 1. х=1/1;
3) вычислить значение второй производной функ-
ции у, заданной уравнением х3+у3— ху=\, в точке
М|(1, 1). (Ответ: —7.)
3. 1) Найти вторую производную функции у =
=-\] 1 —4х2 агсзш 2х;
2) найти производную второго порядка функции,
заданной уравнениями: у = (21 + 1) соз I, х = 1п /;
3) вычислить значение второй производной функ-
ции у, заданной уравнением х2 + 2у2 — ху + х + у = 4,
в точке М1(1, 1). (Ответ: —1.)
6.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРВОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Дифференциалом первого порядка функции у = 1(х) называется
главная часть ее приращения, линейно зависящая от приращения
Ах = 4х независимой переменной х. Дифференциал ду функции равен
произведению ее производной и дифференциала независимой пере-
менной:
ду = у'дх = [' (х)дх,
поэтому справедливо равенство
Из рис. 6.2 видно, что если ММ — дуга графика функции у = /(%),
МТ — касательная, проведенная к нему в точке М(ху у\ и АВ = Ах = 4х,
то СТ = ду, а отрезок СМ = Ау. Дифференциал функции ду отличается
от ее приращения Ах/ на бесконечно малую высшего порядка по срав-
нению с Ах. Непосредственно нз определения дифференциала и
правил нахождения производных имеем (ы = ц(х), ц — ц(х)):
1) дС — 6 (С = сопз1);
2) с/х = Ах, если х — независимая переменная;
3) =
4) д(иц)=^ди + ис№;
5) д(Си) = Сди\
6) ^-1) (^0);
7) <Ц(и) = (и)и'с!х = ['(и)ди.
Пример 1. Найти дифференциал функции // = 51п53х.
> Находим производную данной функции:
у' — 5 зт4 Зх - соз Зх • 3,
тогда
Ду = 15 зт4 Зх • соз Зхс/х. <
Дифференциалом п-го порядка функции у = ((х) называется диф-
ференциал от дифференциала (п — 1)-го порядка этой функции, т. е.
(Гу — д(дп~1 у).
Если дана функция у=((х), где х — независимая переменная, то
Л^/'с/х2, д3у = у"'дх3, ..., сГу = у^дГ.
Если у где и = <р(х), то
<12у = У"@и? + У^и,
где дифференцирование функции у выполняется по переменной и. (Это
имеет место н для дифференциалов более высоких порядков.)
Пример 2. Найти дифференциал второго порядка функции
</ = 1п (1 4-х2).
► Имеем:
У = 2х/(1 + х2), у" = (2(1 + х2) - 4х2)/(1 + х2)2 = 2(1 -х2)/(1 +х2)2.
Тогда
2(1 -хг) _
Так как дифференциал функции отличается от ее приращения
на бесконечно малую высшего порядка по сравнению с величиной дх,
то Ау яа ду, или /(х + Ах) — /(х)» /'(х)4х, откуда
/(х + Ах)« /(х) + Г(х)ах.
• Полученная формула часто применяется для приближенного вы-
числения значений функции при малом приращении Ах независимой
переменной х.
Пример '3. Вычислить приращение стороны куба, если известно,
что его объем увеличился от 27 до 27,1 м3.
> Если х — объем куба, то его сторона у = ^/х. По условию за-
дачи х = 27, Ах = 0,1. Тогда приращение стороны куба
Ау » Лу = у'(х)Дх = —4=^- • 0,1 = « 0,0037 м. 4
3^ 27
Пример 4. Найтн приближенно 81п31°.
> Полагаем х — л/6, тогда
Лх= 1°-—^— =0,017,
180°
51 п 31° «зш -2- 4- С05 4- • 0.017 = 0,5 + 0,017 • -X- « 0,515. «
ОО 2
С помощью дифференциала функции вычисляют абсолютную по-
грешность функции еу, если известна абсолютная погрешность ех аргу-
мента. В практических задачах значения аргумента находятся с помо-
щью измерений, и его абсолютная погрешность считается известной.
Пусть требуется вычислить значение функция у —/(х) при некото-
ром значении аргумента х, истинная величина которого нам неизвестна,
ио д?но его приближенное значение хо с абсолютной погрешностью
ех: х = Хо + 4х, Мх| < ех. Тогда
« |/'(х0)| Мх| < 1/'(хо)|ех.
Отсюда видно, что еу = |/'(ль)1 ех.
Относительная погрешность функции выражается формулой
Например, если в примере 4 принять ех = 0,017, то
- 0,017 = 0,015,
я 0,015
6> = ~5Г
100%=3%.
АЗ-6.5
1. Даны функция у = х3 — 2х2 + 2 и точка Хо = 1. Для
любого приращения независимой переменной Дх выделить
главную часть приращения функции. Оценить абсолют-
ную величину разности между приращением функции и ее
дифференциалом в данной точке, если: а) Дх = 0,1;
б) Дх = 0,01. Сравнить эту разность с абсолютной величи-
ной дифференциала функции. (Ответ: а) 8=|Д«/ — с1у! =
= 0,011, е/Му| • 100% = 11 %; б) 8 = 0,000101, е/|Ж/| X
X 100% = 1,01 %.)
2. Найти дифференциалы первого порядка следующих
функций:
а) у = х1§3х; б) у=~\/агс!^х + (агсзт х)2;
в) у= 1п(х4--\/4 4-х2).
3. Найти дифференциал второго порядка функции у —
= е~х\
4. Найти дифференциалы третьего порядка функций:
а) г/ = 51п22х; б) у= 12Л.
5. Найти приближенное значение функции у — х3 —
— 4х2 + 5х + 3 при х—1,03 с точностью до двух знаков
после запятой. (Ответ: 5,00.)
6. Найти приближенное значение ~у[17 с точностью до
двух знаков после запятой. (Ответ: 2,03.)
Самостоятельная работа
1. 1) Найти дифференциалы первого, второго и третье-
го порядков функции у = х31пх;
2) найти приближенное значение функции у —
при х = 0,1 с точностью до двух знаков после запятой.
(ОУвет: 1,03.)
2. 1) Найти дифференциалы первого и второго по-
рядков функции у = (х^+ 1)агс1^*;
2) вычислить приближенное значение функции у =
—~^х2 — 7х+ Ю при х —0,98 с точностью до двух знаков
после запятой. (Ответ: 2,09.)
3. 1) Найти дифференциалы второго и третьего по-
рядков функции у = е“3хсоз2х;
2) вычислить приближенное значение функции у —
— 5х+ 12 при х— 1,3 с точностью до двух знаков
после запятой. (Ответ: 2,08.)
6.5. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ.
ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ - БЕРНУЛЛИ
Теорема 1 (Ролля). Если функция у — ((х) непрерывна на отрезке
[а; Ь], дифференцируема внутри этого отрезка и ((а) = /(д), го сущест-
вует по крайней мере одна точка х = с (а С с <Ь), такая, что ('(с) = 0.
Теорема 2 (Лагранжа). Если функция у=((х) непрерывна на
отрезке [а; д] и дифференцируема внутри этого отрезка, то существует
по крайней мере одна точка х = с (а<с < Ь), такая, что
КЬ)-1(а)^Г(с)(Ь-а).
Эта формула называется формулой Лагранжа конечных прира-
щений.
Теорема 3 (Коши). Если функции у~1(х) и у—у(х) непрерывны
на отрезке [а; 6] и дифференцируемы внутри него, причем ф'(х)=/=0
нигде при а С х С Ь, то найдется хотя бы одна точка х = с (а < с < 6),
такая, что
Г (С)
ф(й) — <р(а) ф'(с) •
Правило Лопиталя (для раскрытия неопределенностей вида -у
со \
и Если функции у = [(х) и у = <р(х) удовлетворяют условиям
теоремы Коши в некоторой окрестности точки х = Хо, стремятся к нулю
}'(х\
(или ±сю) при х-^хо и существует 11т , , го существует также
Х-*Х(1 ф(Х)
1- КХ) -ч
пт ~Ч' ( и эти пределы равны, т. е.
Х-*х0 ф(х)
г /м г гм
кт - >4- = Ит Л ч .
Х-*Х0 ф(х) Х-+-Х0 ф (х)
Правило Лопиталя справедливо и при х0 = ±оо.
Г(х)
Если частное вновь дает в предельной точке неопределенность
одного из двух названных видов и функции /'(х), ф'(х) удовлетворяют
всем требованиям, ранее указанным для функций /(х) и ф(х), то можно
перейти к отношению вторых производных и т. д. Однако следует помнить,
что предел отношения самих функций может существовать, в то время
как отношение производных не стремится ни к какому пределу.
« тт « 1- х + зшх
Пример 1. Наити Ит --------------.
К К х—*-оо х-й соз х
> Имеем:
ХЧ-ЗШХ .. 14-51ПХ/Х .
11ГП -------- = 11т ' = 1
х-коо х + СОЗ х Х-^ОО 1 + СОЗ Х/Х
Но предел вида
(х + зт хУ 1 + соз х
Пт -7—--------- = Ит —2—:
х^оо (х+созх) Х-коо 1— 31П X
не существует, так как при х-> оо числитель и знаменатель дроби могут
принимать любые значения из отрезка [0; 2], а само отношение произ-
водных ‘принимает любые неотрицательные значения. Следовательно,
правило Лопиталя в этом случае неприменимо. <4
е3х — 1
Пример 2. Найти Пт—;.
х-*о зш 5х
> Числитель и знаменатель данной дроби непрерывны, диффе-
ренцируемы и стремятся к нулю. Это означает, что можно применить
правило Лопиталя:
х+о зш 5х х->о 5 соз 5х 5
Неопределенность вида 0 • оо получается из произведения функций
Л(х)/2(х), в котором ^^птпА(х)~О и *Нт/2(х)— оо. Это произведение
легко преобразуется в частное вида или х , что дает
1/А2(х)
0 оо
неопределенности вида — илн-------. Если же Пт А (х)= оо и Нт Ъ(х) ~
V ОО х-кхо 4 Х-*Х0 4 '
= оо, то разность А(х) —А(х) дает неопределенность вида оо — оо. Но
/,(х)-Ж = Л(х)('1-^-\
\ п(х) /
Тогда, если — 1, приходим к неопределенности вида
О • оо.
Пример 3. Вычислить Пт/е"1 (неопределенность вида 0-оо).
> Легко находим, что х^°°
.. * , 1- я3 .. Зх2 6х .. 6 л
11т хе = Ьт — — Ит — — кт — = кт — = 0.
х-»-оо х->оо е *-*-«> е х-*<х> ег
Рассмотрим функцию вида Дх)*ж).
1. Если Пт Дх) = 0, Пт <р(х) = 0, то имеем неопределенность
Х-*Х0 Х-*-Хо '
вида 0°.
2. Если Нт Дх) = 1, Пт <р(х)= оо, приходим к неопределенности
х-»х0 х-*х0
вида 1°°. •
3. Если НтДх)=оо, Нтф(х) = 0, получаем неопределенность
X—♦Хо Х-*Хо
вида оо°.
Для раскрытия этих неопределенностей применяется метод лога-
рифмирования, который состоит в следующем. Пусть Пт (Дх))4^ = А.
Х-^Хо
Так как логарифмическая функция непрерывна, то
Нт 1п у = 1п Пт у.
Х“>Хо Х-кХ0
Тогда
1п А = Пт (<р(х)1п Дх))
Х-+-Хо
и неопределенности трех рассматриваемых видов сводятся к неопреде-
ленности вида 0 • оо.
Пример 4. Вычислить Пт(ех + х)1/х.
х-*0
> Обозначим искомый предел через А. Тогда
. д / 1 , / х . Л 1п(е* + х)
1п А = Пт (— 1п (е + х)) — Пт —----------------- ~
х-ч>\* 7 х+0 х
(е*+ 1)/(е* + х) е*+1 о я
= 11т -—!!—- — Ит---------------!— = 2, А = е. ◄
х+о 1 х+о е* + х
ДЗ-6.6
1. Показать, что функция /(х) — х — х3 на отрезках
[—1; 0] и [0; 1] удовлетворяет условиям теоремы Ролля,
и найти соответствующие значения с. (Ответ: с ~ ± 1/^3-)
2. На дуге параболы у = х2 , заключенной между
точками Л(1, 1) и 3(3, 9), найти точку, касательная в кото-
рой параллельна хорде АВ. (Ответ: (2, 4).)
3.
а)
Найти пределы:
Нт^-г^+^+г
х-^1 х3 —5х + 4
б)
IX СОЗ X — 8Ш X .
х+0 X3
В)
Пш-^1
х+0 1$ Зх
г) Пт/ * _ ' V Д) Пт(2 —-^-)‘8"х/(2а);
' 1 1пх/’ ’ х^а\ а/
е) Пт (1ё*)2х-л; ж) Нт(2/х+1)*.
(Ответа) 7/2; б) —1/3; в) 7/3; г) 1/2; д) е2/л; е) 1;
ж) е2.)
Самостоятельная работа
Найти указанные пределы.
1. а) Нт 1 ~ С05 7х ; б) Пт(со8 2х)|/х2.
х-*0 X 5Ш Чх х->0
(Ответ-, а) 7/2; б) е~2.)
2. а) Нт ; б) Нт(±У‘пх.
(Ответ: а) —л/4; б) 1.)
3. а) Нт(х81ПуУ б) Итх|/(|_Х).
(Ответ: а) 3; б) е_|.)
6.6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ
Одной из важнейших прикладных задач дифференциального исчис-
ления является разработка общих приемов исследования поведения
функций.
Функция у = ((х) называется возрастающей (убывающей) в неко-
тором интервале, если большему значению аргумента из этого интер-
вала соответствует большее (меньшее) значение функции, т. е. при
Х[ < Х2 выполняется неравенство Дх() С /(хг) (/(Х1) > /(хг)).
Перечислим признаки возрастания (убывания) функции.
1. Если дифференцируемая функция у~((х) на отрезке [а; воз-
растает (убывает), то ее производная на этом отрезке неотрицательна
(неположительна), т. е. /'(*) 0 (/'(х) С 0).
2. Если непрерывная на отрезке [а; Ь] и дифференцируемая внутри
него функция имеет положительную (отрицательную) производную,
то она возрастает (убывает) на этом отрезке.
Функция у = [(х) называется неубывающей (невозрастающей)
в некотором интервале, если для любых Х1 < Хг нз этого интервала
1М&(х,Ш>Ы
Интервалы, в которых функция не убывает или не возрастает,
называются интервалами монотонности функции. Характер монотон-
ности функции может изменяться только в тех точках ее области опре-
деления, в которых меняется знак первой производной. Точки, в которых
первая производная функции обращается в нуль или терпит разрыв,
называются критическими.
Пример 1. Найти интервалы монотонности и критические точки
функции у — 2х2 — 1п х.
> Данная функция определена прн х Х> 0. Находим ее производную:
у' = 4х — 1/х = (4Х2 — 1)/х.
В области определения функции у' = 0 прн 4х2 —1=0, т. е. при
хо—1/2. Найденная точка разбивает область определения функции
на интервалы (0; 1/2) и (1/2; + оо); в первом из них у' < 0, а во втором
у' > О. Это означает, что в интервале (0; 0,5) данная функция убывает,
а в интервале (0,5; Н-оо) — возрастает. ◄
Точка Х1 называется точкой локального максимума функции у ₽=
= /(х), если для любых достаточно малых |Ах| =/= 0 выполняется нера-
венство /(Х| + Дх) </(х1). Точка хг называется точкой локального ми-
нимума функции у — ((х), если для любых достаточно малых |Дх| =/=0
справедливо неравенство /(х2 + Дх) >/(ха)- Точки максимума и мини-
мума называют точками экстремума функции, а максимумы и минимумы
функции — ее экстремальными значениями.
Теорема 1 (необходимый признак локального экстремума). Если
функция у = 1(х) имеет в точке х —х0 экстремум, то либо /'(*о) = О,
либо (хо) не существует.
В точках экстремума дифференцируемой функции касательная к ее
графику параллельна оси Ох.
Пример 2. Исследовать иа экстремум функцию у = (х-|-1)3.
► Производная данной функции //'= 3(х-|-I)2 в точке х=—1
равна нулю. Но в этой точке функция экстремума не имеет», так как
(х+1)3>0 при х>—1, (х4-1)3<0 при х<—1, (х-|-1)3 — 0 при
х — —-1. Итак, обращение в нуль производной функции не обеспечи-
вает существования экстремума функции. ◄
Пример 3. Исследовать иа экстремум функцию у = |х|.
> Для дайной непрерывной функции имеем: у(0) — 0. Так как при
х =/= 0 у = |х| >0, то х — 0 — точка минимума. Но, как было показано
в примере 2 из § 6.1, функция у — |х| не имеет производной в точке
х = 0. ◄
Из рассмотренных примеров следует, что не во всякой критической
точке функция имеет экстремум. Однако если в какой-либо точке функ-
ция достигает экстремума, то .эта точка всегда является критической.
Для отыскания экстремумов функции поступают следующим обра-
зом: находят все критические точки, а затем исследуют каждую нз иих
(в отдельности) с целью выяснения, будет ли в этой точке максимум
или минимум, или же экстремума в ней нет.
Теорема 2 (первый достаточный признак локального экстремума).
Пусть функция у~((х) непрерывна в некотором интервале, содержа-
щем критическую точку х = х0, и дифференцируема во всех точках
этого интервала (кроме, быть может, самой точки х0). Если ['(х) при
х< хо положительна, а при х>хо отрицательна, то при х = хо функ-
ция у = ((х) имеет максимум. Если же ('(х) при х<х0 отрицательна,
а при х > хо положительна, то при х = хо данная функция имеет минимум.
Следует иметь в виду, что указанные неравенства должны выпол-
няться в достаточно малой окрестности критической точки х — х0. Схема
исследования функции г/ = /(х) на экстремум с помощью первой произ-
водной может быть записана в виде таблицы (см. табл. 6.1)^
Пример 4. Исследовать на экстремум функцию у = 2х -{-Зд/х2?
> Данная функция определена и непрерывна для всех хСК- На-
ходим ее производную:
,' = 2+ * * (^+0-
ух ух
Критическими точками данной функции будут Х1 = — 1, в которой
У' = 0, и хг — 0, в которой производная у' терпит разрыв. Эти точки
Таблица й/
Знаки /'(х) при переходе через критическую точку хо Характер критической
х = х<> х>ха точки
+ + /'(*о) = О или не существует » » » 1 ++ 1 Точка максимума Точка минимума Экстремума нет (функ- ция возрастает) Экстремума нет (функ- ция убывает)
разбивают область определения функции на интервалы: (—-с©ч — 1)
(—1; 0), (0; +оо), в каждом из которых производная функции сохра-
няет знак. Поэтому достаточно
определить знак производной в произ-
вольной точке каждого из интерва-
лов. Имеем: у'( — 8)= 1 > 0, т. е.
в интервале (— оо; —1) функция
возрастает; / (— 1/8) = — 2 < 0,
следовательно, в интервале (—1; 0)
функция убывает; /(!) = 3 > 0, т. е.
в интервале (0; +оо) функция
возрастает. Значит, при переходе
через точку Х| = — 1 в направлении
возрастания х знак первой произ-
водной изменяется с « + » на « —>,
т. е. точка Х1 = — 1 является точкой
локального максимума и у тах =
— — 1) = 1. Для точки х2 = 0 знак
первой производной меняется с « — »
иа « + », а это означает,. что точка
хз = 0 является точкой локального
минимума и у = у (0) = 0
(рис. 6.3). «
Теорема 3 (второй достаточный признак локального экстремума
функции), Пусть функция у~((х) дважды дифференцируема и ГМ =
— 0. Тогда в точке х = х0 функция имеет локальный максимум, если
("(х0) < 0, и локальный минимум, если ["(х0) > 0.
В случае, когда ^'(х0) = 0, точка х = х0 может и не быть экстре-
мальной.
Пример 5. С помощью второй производной исследовать на экстре-
мум функцию у — х2е~х.
► Находим первую и вторую производные:
у' = 2хе~х — х2е~х = (2х — х2)е~х,
у" = (2 — 2х)е~х — (2х — х2)е'х = (х2 — 4х + 2)е~х.
Так как производная непрерывна при ж ЕЯ, то критические точки
данной функции удовлетворяют уравнению 2х — х2 = 0, откуда х\ = 0
и х2 = 2. Вычисляем значения второй производной в этих точках:
/'(0) = 2 > 0, т. е. Х1 = 0 — точка минимума; /'(2) ~ —2е~2 < 0, т. е.
хг = 2 — точка максимума; утт = 0, утах = 4е~2 ◄
На отрезке [а; функция у = /(х) может достигать наименьшего
(унанм) или наибольшего (унаиб) значения либо в критических точках
функции, лежащих в интервале (а; Ь\ либо на концах отрезка [а; Ь].
Пример 6. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
у ~ х3 — Зх + 3 на отрезке [ — 2; 3].
> Производная данной функции у' = 3х2 — 3. Тогда у1 = 0 при
— — 1 и Хг — 1. Обе эти критические точки принадлежат интервалу
( — 2; 3). Вычисляем значения функции в критических точках и на концах
отрезка: у(-1) = 5, у(1) = 1, у(-2)=1, у(3) = 21. Сравнивая полу-
ченные числа, заключаем, что наименьшее значение на отрезке [—2; 3]
функция принимает в точках х2 = 1 и х = а= — 2, а наибольшее зна-
чение — в точке х = Ь = 3. Итак, на отрезке [ — 2; 3] #нанм — 1, а унацб =
= 2/. ◄
Кривая, заданная функцией у — Цх), называется выпуклой в ин-
тервале (а; Ь), если все точки кривой лежат не выше любой ее касатель-
ной в этом интервале, и вогнутой в интервале (а; Ь), если все ее точки
лежат не ниже любой ее касательной в этом интервале.
Точка кривой М(хй, /(хб)), отделяющая выпуклую ее часть от вогну-
той, называется точкой перегиба кривой. Предполагается, что в точке
М существует касательная.
Теорема 4 (достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика
функции). Если во всех точках интервала {а; Ь) вторая производная
функции у = !(х) отрицательна (положительна), т. е. /"(х)<0 (Г(х)>
>0), то кривая у = 1(х) в этом интервале выпукла (вогнута).
В точке перегиба, отделяющей промежуток выпуклости от про-
межутка вогнутости, вторая производная функции изменяет свой зиак,
поэтому в таких точках вторая производная функции или обращается
в нуль, или не существует.
Теорема 5 (достаточный признак точки перегиба). Если в точке
х = хо Г'(хо) = 0 или )"(хо) не существует и при переходе через эту точку
производная ("(х) меняет знак, то точка с абсциссой х ~ хо кривой у =
~ ((х) — точка перегиба.
Пример 7. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогну-
тости кривой у = е~х2/2 (кривая Гаусса).
► Находим первую и вторую производные:
у' = —хе~х’/2, у" = е~~х2/2(х2 — 1).
Первая и вторая производные существуют при любых х^К- При-
равнивая у" нулю, находим: Х| = — I, х2 = 1. Легко заметить, что в
окрестности точки Х1 = — 1 знак второй производной меняется по сле-
дующему закону: у" > 0 при х <-— 1, у" < 0 при х>—1. Значит,
Л41( —1, е-1/2) является точкой перегиба. Слева от этой точки кривая
вогнута, так как в интервале ( — оо; — 1) у"’>0, а справа в интервале
( —1; 1) — выпукла, так как в этом интервале у" < 0.
Далее, у" > 0 при х > 1. Следовательно, при х2 = 1 на кривой имеем
также точку перегиба М2 (1, е~1/2). Слева от точки М2 в интервале (— 1; 1)
кривая выпукла, а справа в (1; 4-оо) вогнута. Схематический график
данной функции изображен на рис. 6.4. <4
Прямая Ь называется асимптотой данной кривой у — }(х), если рас-
стояние от точки М кривой до прямой I при удалении точки М в беско-
нечность стремится к нулю. Из определения следует, что асимптоты
могут существовать только у кривых, имеющих сколь угодно далекие
точки («неограниченные» кривые). В примере 7 кривая Гаусса имеет
асимптоту у = 0 (см. рис. 6.4).
Если существуют числа х=х, (/=1, п), при которых ПтДх) =
= ±оо, т. е. функция имеет бесконечные разрывы, то прямые х = х,-
называются вертикальными асимптотами кривой у = /(х).
Если существуют пределы
& — Пт 6 — пт (Цх) — кх),
Х^±оо X х-*±оои'1 7 7’
то прямые у — кх-]-Ь— наклонные асимптоты кривой у = [(х) (при
к = 0— горизонтальные). При х->±оо можем прийти к двум значе-
ниям для к. Если имеем одно значение для Аг, то при х-> ± оо можем
получить два значения для Ь.
Пример 8. Найти асимптоты кривой //= —-----р
х3
► Так как Пт* ------р — ± оо, то данная кривая имеет две верти-
кальные асимптоты х=±1. Ищем наклонные асимптоты:
к = Нт — — Пт — = 1,
х-»-±оо X Х-К±оо лг — 1
6= Пт (?(х) — кх) = Пт С,*? ----------= Пт —=0.
Х-Ь±ОО Л—*-±ОО\Л— 1 / Х-*±оо X — 1
Таким образом, у данной кривой существует одна наклонная асимптота,
уравнение которой у — х (рис. 6.5).
АЗ-6.7
1. Найти интервалы монотонности функции у = х4 —
— 2х2— 5. (Ответ: убывает в (—<х>; —1) и (0; 1), возра-
стает в (—1; 0) и (1; + оо).)
2. Найти интервалы монотонности функции у = х/(х2 —
— 6х — 16). (Ответ: убывает в (~оо; —2), (—2; 8), (8;
+ оо).)
3. Исследовать на экстремум функцию у =
=-у(х2 — 6% + 5)2. (Ответ: утт—0 при х=1 и х = 5,
Утах = 2^2 при X = 3.)
4. Исследовать на экстремум функцию у~ х — 1п(1 4-
+ х). (Ответ: утщ = 0 при х = 0.)
5. Исследовать на экстремум функцию у = х!п2х.
(Ответ: г/тах = 4/е2 при х = е~2, утт=0 при х=1.)
6. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
у == 2х3 4- Зх2 — 12х 4- 1 на отрезке [ — 1; 5]. (Ответ: унаим —
= — 6 при х = 1, унаиб = 266 при х — 5.)
7. Найти точки перегиба, интервалы вогнутости и вы-
пуклости графика функции у = 1п(1 + х2). (Ответ: Л4](1,
1п2), М2(-1, 1п2).)
8. Найти асимптоты графика функции у = х2/^/х2 — 1.
(Ответ: х = + 1, у = ±х.)
Самостоятельная работа
1. 1) Исследовать на экстремум функцию у =
= "^(х2—Т)2;
2) найти асимптоты кривой у = х3/(2(х+ I)2).
(Ответ: 1) = 0 при х = ± 1, утах = 1 при х — 0; 2) х =
= -1, 4/ = ±х+1.)
2. 1) Найти точки перегиба, интервалы выпуклости
и вогнутости, кривой у = агс(§ * — х;
2) найти наименьшее и наибольшее значения функ-
ции г/ = х4-3д/х на отрезке [—1; 1].
(Ответ: 1) 0(0, 0), (—оо; 0) — выпуклая, (0; Н-оо) —
вогнутая; 2) д/„аим = — 4, уязи6 = 4.)
3. 1) Найти интервалы монотонности и точки экстре-
мума функции у = — Зх2 — 9х + 7;
2) доказать справедливость неравенства х > 1п (1 +
+ X) При X > 0. (Ответ: 1 ) Утах = 12 При X = — 1, ХЛтНп =
= —20 при х = 3.)
6.7. СХЕМА ПОЛНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ
И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ ГРАФИКА
Для полного исследования функции и построения ее графика можно
рекомендовать следующую примерную схему:
1) указать область определения функции;
2) найти точки разрыва функции, точки пересечения ее графика
с осями координат и вертикальные асимптоты (если они существуют);
3) установить наличие или отсутствие четности, нечетности, пе-
риодичности функции;
4) исследовать функцию на монотонность и экстремум;
5) определить интервалы выпуклости н вогнутости, точки перегиба;
6) найти асимптоты графика функции;
7) произвести необходимые дополнительные вычисления;
8) построить график функции.
Пример. Провести полное исследование функции у~ ^(х + 3)х2 и
построить ее график.
> Воспользуемся рекомендуемой схемой.
1. Данная функция определена для всех хСЙ.
2. Функция не имеет точек разрыва и пересекает ось Ох при х =
= •—3 и х = 0, а ось Оу — при у~ 0.
3. Функция не является четной, нечетной, периодической.
4. Находим производную функции:
гсо=
х + 2
АДо + З)2 ’
^(х) —0 при Х[ — — 2 и не существует в точках Х2— —3, х3 = 0. Эти
точки разбивают всю область определения функции на интервалы
( — оо; —3), ( — 3; —2), ( — 2; 0), (0; + оо). Внутри каждого из полученных
интервалов сохраняется знак производной, а именно: /'(х) >0 в интер-
валах (— оо; “3), (“3; —2), (0; + оо) и /'(х) < 0 в (-—2; 0). Это означает,
что функция возрастает в интервале (—оо; —2), убывает в интервале
(— 2; 0) и возрастает в интервале (0; + оо). Так как в окрестности точки
Х1 = —2 знак первой производной при увеличении х изменяется с
«+» на «— », то Х1 = —2 является точкой максимума, #тах = лА- Д;1Я
точки Хз — 0 знак первой производной изменяется с «— > на « + >, т. е.
Хз = 0 — точка минимума, 1/т1п “ #(0) ~ 0. В точке х2 =—3 функция
не имеет экстремума, так как в ее окрестности ^'(х) не меняет знака.
5. Находим вторую производную:
/"(*) =
2
+ З)5 ’
которая не равна нулю для любого конечного х. Поэтому точками пе-
региба могут быть только те точки кривой, в которых вторая производная
ие существует, т. е. х? = —3 и х3 =0. Определим знак у" в каждом из
интервалов, на которые найденные точки разбивают область опреде-
ления функции: /:"(х)>>0 при х^(—оо; —3), кривая вогнута; /"(х)<0
при хС(—3; 0), кривая выпукла; }"(х) С 0 при х С (0; + оо), кривая
выпукла. Так как в окрестности точки х2=—3 вторая производная
меняет знак, то 7И( — 3; 0) является точкой перегиба. Точка х3 = 0
не является точкой перегиба, так как в ее окрестности знак /"(х) не
меняется.
6. Вертикальных асимптот нет, так как данная функция ие имеет
бесконечных разрывов. График функции имеет наклонную асимптоту
у = кх + д, если существуют пределы для к и Ь, указанные в правиле
нахождения наклонной асимптоты. Вычислим их для данной функции:
к = В гп —
X—± оо X
У(х + 3)х2
11 ГП --------
X—оо X
Ь = Нт (у — кх) — Пт (д/(х + 3)х2 — х) =
X—*-± оо X—>• -Ь оо
(Vх + З)*2 — х) (V (* + 3)2*4 + х л/(* + З)*2 + №)
_ Цт ---------------— ............. ................................=
д:->.±00 -\/(х + 3)2х4 + ху(х + З)*2 + X2
= Пт + --------------------------------------=
Х-^±оо + 3)2 х4 + ху(х + 3)х2 + X2
= Пт ——........... ——З*2 —-----------
-у](х + 3)2х4 + х-д/(х + 3)х2 + х2
- Пт -----........-- . 3— .•-=,-= 1.
“ д/1 + 6/х + 9/х2 + V1 + ЗА + 1
Получили уравнение наклонной асимптоты у = х+ 1.
7. Прежде чем строить график функции, целесообразно установить
угол а, под которым кривая пересекает ось абсцисс в точках х2 = —3
и Хз = 0. В этих точках у' — а = оо и а — л/2. Так как в точке х3 — 0
функция достигает нулевого минимума, то ее график не расположен
ниже оси Ох в окрестности этой точки. Точка хз = 0 является точкой
возврата график функции.
8. По результатам исследования строим график функции (рис.
6.6). ◄
АЗ-6.8
Провести полное исследование указанных функций
и построить их графики.
1. у = х3-3х^. (Ответ: утах = 0 при х = 0; утт = — 4
при х = 2; точка перегиба М\(1, —2).)
2. у = х2 + 2/х. (Ответ: утт — 3 при х = 1; точка пе-
региба М\( — -у/2, 0); асимптота х = 0.)
3. г/ = х3/(3— х2). (Ответ: точки разрыва х=±^/3;
ут1П =4,5 при х= — 3; утж = —4,5 при х = 3; точка пе-
региба М>(0, 0); асимптоты х=±-\/з и У—~*•)
Самостоятельная работа
Провести полное исследование данных функций и по-
строить их графики.
• 1. у = 1п(х2 + 2х + 2). (Ответ: утт=0 при х= — 1;
точки перегиба Л4|(—2, 1п 2) и Мг(0, 1п 2).)
2. у = (2х — 1)/(х — I)2. (Ответ: ут|п = — 1 при х = 0;
точка перегиба М\(—1/2, —8/9); асимптоты х=1 и
3. у = — 1п(х — 4х + 5). (Ответ: Ушах — 0 при х = 2;
точки перегиба Л4|(1, 1п2), Л12(3, 1п2).)
6.8. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ЭКСТРЕМУМ
Пример 1. Каковы должны быть размеры (радиус основания /? и
высота Н) открытого сверху цилиндрического бака максимальной вме-
стимостью, если для его изготовления отпущено 5 = 27л ж 84,82 м2
материала?
► Вместимость бака V — л#2Н, а на его изготовление пойдет ма-
териал площадью 5 — л/?2 + 2л/?//. Отсюда определяем высоту бака
„ 5-л/?2
2л/? '
Тогда вместимость бака
Найдем то значение /?, при котором вместимость У(/?) будет макси-
мальной (см. § 6.5). Имеем:
У'= у(5 — ЗлЯ2), V = 0,
5 — Зл/?2 = 0, /?=Л
V Зл
Так как V" = — Зл/? <0, то при найденном значении /? =3 вме-
стимость бака будет максимальной.
Высота бака находится из полеченного выше соотношения:
5-лЯ2 5-Л3^ ГТ
Н = —оТо— =-------1----- V = 3 м- ◄
2/? 2л-/$/(Зл) ’ Зл
Пример 2. Сечение оросительного канала имеет форму равнобоч-
ной трапеции, боковые стороны которой равны меньшему основанию
(рис. 6.7). При каком угле наклона а боковых сторон этой трапеции
сечение канала будет иметь наибольшую площадь?
>> Определим площадь сечения канала как функцию угла а, считая,
что боковые стороны и меньшее основание трапеции равны а. Тогда,
как видно из рис. 6.7,
5 = ИВ1 + IРС| (СЯ| = 2а + 2а соз а д о =
= а2(зш а + -у зт 2а).
Исследуем 5 как функцию аргумента а на экстремум. Имеем:
8' = ц2(со5 а + соз 2а).
В критических точках 8' = 0, т. е.
соз а + соз 2а = 0, 2 соз(За/2) • соз(а/2) = 0.
Так как 0<а<л/2, то соз(а/2) =/= 0. Поэтому, если соз(3а/2) = 0,
то За/2 = л/2 или а = л/3.
Докажем, что при а = л/3 функция 5 достигает наибольшего
значения на отрезке [0; л/2]. Действительно,
5" = а2( — зш а — 2 зш 2а), 8" (=
<0.
Поэтому при а — л/3 имеем локальный максимум 5(л/3) = 5тах =
— —_—а2, который на отрезке [0; л/2] будет также наибольшим зна-
чением функции 5, поскольку 5(0) = 0, 5(л/2) — а2 С 5тах. <4
А Вб
Рис. 6.7
Рис. 6.8
Пример 3. Известно, что прочность бруса с прямоугольным по-
перечным сечением пропорциональна его ширине Ь и квадрату высоты й.
Найти размеры бруса наибольшей прочности, который можно выре-
зать из бревна радиусом /? = 2д/сГдм.
>> Прочность бруса где й— коэффициент пропорцио-
нальности, й>0. Из рис. 6.8 видно, что й2 + ^г = 4/?2, т. е. й2 =
= 4/?2 — х2. Тогда
# = й(4/?2 —• й2)й.
Найдем экстремум функции ДО = Ы (й):
ДО' = Й(4ДО2-ЗЙ2).
Если М' — 0, то 4/?2 — 362 = 0, откуда Ь = 2/?/^/^ Ь — 4 дм. Тогда
й = дД/?2 - 62 = ^/д/?2 - 4^2/Т = 2/? ^2/3 = *
й = 4 -у/? дм.
Так как ДО" = —бйб < 0, то при найденных значениях Ь и й проч-
ность бруса будет максимальной. 4
АЗ-6.9
1. Требуется изготовить закрытый цилиндрический
бак вместимостью V = 16л ж 50 м3. Каковы должны быть
размеры бака (радиус Я и высота //), чтобы на его изго-
товление пошло наименьшее количество материала?
(Ответ: Я —2 м, Н — 4 м.)
2. Найти высоту конуса наибольшего объема, который
можно вписать в шар радиусом /?. (Ответ: Я = 4/?/3.)
3. Найти стороны прямоугольника наибольшей пло-
щади, вписанного в эллипс ^г+С=1. (Ответ: а~\1~2,
а2 Ь'
4. Вырезанный из круга сектор с центральным углом а
свернут в коническую поверхность. При каком значении
угла а объем полученного конуса будет наибольшим?
(Ответ: а = 2лд/2/3~« 293°56'.)
Самостоятельная работа
1. Через точку Л4(1, 4) провести прямую так, чтобы
сумма величин положительных отрезков, отсекаемых ею
на осях координат, была наименьшей. Записать уравнение
этой прямой. (^Ответ: 4- = 1.)
2. Найти высоту Н цилиндра наибольшего объема,
который можно вписать в шар радиусом /?. (Ответ: Н =
= 2/?Л/з.)
3. Требуется изготовить коническую воронку с обра-
зующей, равной 20 см. Какой должна быть высота воронки,
чтобы ее объем был наибольшим? (Ответ: 20д/з/3 см.)
6.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ДЛИНЫ ДУГИ И КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ
ЛИНИИ
Дифференциал (1$ длины дуги 5 плоской линии, заданной уравне-
нием у = /[х), выражается формулой
<18 = -\/1 + (1'(х)У‘1х.
Если линия задана уравнением х — то
= V1 +(ф'(у))2^-
В случае параметрического задания линии уравнениями х = <р(/), у =
= Ф(0
Если линия задана в полярной системе координат уравнением р =
= р(ф), то
= -\/р2 + (р')2^ф-
Пример 1. Найти дифференциал длины дуги циклоиды, заданной
уравнениями: х — а(/ — зш /), у = а(1 — соз I) (а > 0).
► Имеем: х' = а(1 — соз /), у' = а зш I. Тогда
б/х = д/а2(1 — соз /)2 4- °2 зш21(И =
= а-\/1 — 2 соз I + соз2 / 4- зш2 /(11 — а-^2(1 — соз /)<// =
= 4 зш2= 2а зш ™◄
Кривизной К любой плоской линии в точке Л4 называется предел
модуля отношения угла между
положительными направлениями каса-
тельных в точках М и К линии
(угла смежности) к длине дуги
М№ = Дх, когда Л^->Л4, т. е. по
определению
„ .. Ла 1 да
К = 11т Н— = -Г" >
д о | Дх | | а х |
где а — угол наклона касательной
в точке Л4 к оси Ох (рис. 6.9).
Радиусом кривизны называется
величина Р, обратная кривизне К
линии, т. е. Р = 1/К. Например, для
окружности К ~ 1 /Р, где Р — ра-
диус окружности; для прямой К == 0.
Для произвольной линии кривизна,
вообще говоря, не является посто-
янной величиной.
Если линия задана уравнением у = ((х), то кривизна в любой ее
точке вычисляется по формуле
\У"\ ,
- *
В случае параметрического задания линии уравнениями х =<?(/),
у = ^(1) для вычисления кривизны применяется формула
к =
\у"х' — X”у'\
(П2х3/2 -
где производные берутся по переменной I.
Если кривая задана уравнением в полярных координатах р =
= Р (<₽)> то
1р2 + 2(р')2 — рр"|
(Р2+(Р')2)3/2 ’
где производные вычисляются по полярному углу
Пример 2. Найти кривизну н радиус кривизны линии у = х2 в
точке М(1, 1).
> Вычислим значения первой и второй производных данной функ-
ции в точке М: у’ = 2х, г/'(1) = 2, г/" = 2. Тогда
1/'1 _ 2 _ 2 _ 1 5^
(1 + (у')2)3/2 “ (1 + 4)3'2 “ 7^’ ~2~- *
Построим в точке Л4(х, у) нормаль к данной кривой (рис. 6.10),
направленную в сторону ее вогнутости, и отложим иа этой нормали
отрезок |Л4С|, равный радиусу кривизны /? кривой в точке М. Точка
С называется центром кривизны кривой в точке М, а круг (окружность)
радиусом /? с центром в точке С — кругом (окружностью) кривизны
кривой в точке М.
Координаты аир центра кривизны кривой для точки Л4(х, у) вы-
числяются по формулам:
а=х_у'1±Ш_г + (6.4)
Множество всех центров кривизны кривой у — /(х) называют эволютой.
Формулы (6.4) являются параметрическими уравнениями эволюты с пе-
ременной х в качестве параметра. Эволютой любой окружности является
ее центр, прямая эволюты не имеет.
Пример 3. Записать уравнение окружности кривизны линии у =
= х2 —6х+ 10 в точке М0(3, 1).
► Находим значения у' и у" в точке Л40: у' = 2х — 6, г/'|л=з —0,
у"— 2. Тогда кривизна кривой в точке К = 2, радиус кривизны
/? = 1/2. По формулам (6.4) находим координаты центра кривизны:
а = 3, р = 3/2. Уравнение окружности кривизны имеет вид
(х-3)24-(у-3/2)2=1/4. «
Пример 4. Найти уравнение эволюты параболы у2 = 2рх.
► Находим первую и вторую производные в произвольной точке
М(х, у):
2уу' = 2р, у' = —, и"= — -^у'= —
У У У
Тогда из формул (6.4) имеем:
1+р2Л/2
—Р2/^
Р 1 + Р2 / У*
у —р2/у2
= Зх + р,
а = х —
0 = У +
Исключим из этих двух уравнений параметр х. В результате получим
уравнение эволюты:
02- 27р ₽)3’
которое определяет полукубическую параболу (рис. 6.11). <4
Линия Д*, которую описывает фиксированная точка М касательной,
катящейся без скольжения по данной линии Д, называется эвольвентой
(разверткой) линии В (рнс. 6.12). Данная линия Д имеет бесчисленное
множество эвольвент, единственную эволюту и всегда является эволь-
вентой по отношению к своей эволюте.
Пример 5. Составить параметрические уравнения эвольвенты
окружности х2 + у2 — г2, выходящей из точки А (г, 0).
► Вводя указанным на рис. 6.13 способом параметр / и принимая
во внимание, что длина дуги АС равна |А4С| = г/, легко находим ко-
ординаты любой точки эвольвенты А4(х, у):
х = | ОМ [ = | Ой\ + |ДМ | — г соз / + г1 зш /,
у = \йВ | = | ОС| — | ВС\ = г зш / — г1 соз /.
Окончательно имеем:
х = г(соз I + / зш /), у = г(зш 1 — 1 соз /). ◄
Отметим, что зубья цилиндрических шестерен чаще всего очерчи-
ваются по эвольвенте окружности (рис. 6.14), так как при этом обеспе-
чивается наиболее плавное и бесшумное их зацепление.
Рис. 6.13
Рис. 6.14
АЗ-6.10
; 1. Найти дифференциал длины дуги кривой, заданной
^уравнениями х == а1 зш /, у = а1 соз /. (Ответ: йз —
— За соз / зш /б//.)
2. Найти дифференциал длины дуги кривой г/ = ух3.
3. Найти дифференциал длины дуги кривой р = а(1 +
+ соз <р). (Ответ: с!з = а соз -?р б/<р.)
4. Вычислить кривизну и радиус кривизны кривой
х2 + хг/4-г/2 = 3 в точке Л(1, 1). (Ответ: /<=1/(Зд/2),
Л = Зл/2.)
5. Вычислить кривизну и радиус кривизны кривой
х = З/2, у = 3/ — /3 в точке В(3, 2). (Ответ: К = 1 /6, 7? = 6.)
6. Найти центр кривизны и записать уравнение окруж-
ности кривизны кривой у—\/х в точке Л(1, 1). (Ответ:
(х — 2)2 + (г/— 2)2 = 2.)
Самостоятельная работа
1. 1) Найти дифференциал длины дуги кривой у —
2) вычислить кривизну и радиус кривизны кривой
г/2 = х3 в точке Л4(4, 8). (Ответ: К = 3/40.)
2. 1) Найти дифференциал длины дуги кривой, задан-
ной уравнениями х = асоз3/, г/ = азш3/;
2) найти координаты центра кривизны и записать
уравнение окружности кривизны кривой у = х2 — 2х в
гонке М0(2, 0). (Ответ: (^ + З)2 + —-у) =125/4.)
3. 1) Найти дифференциал длины дуги кривой р =
= а(1 + 51п ср);
2) найти центр кривизны и записать уравнение
экружности кривизны кривой у = 1п х в точке М1(1, 0).
Ответ: (х — З)2 + (// + 2р = 8.)
6.10. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 6
1 Решения всех
вариантов тут »>
Продифференцировать данные функции.
1
1.1. у = 2х5 — ^+у+3'\/*-
1.2. у = 1- — 4х3 + .
1.3. у = Зх4+У?-|-±.
1.4. у = 7ЛД-|-Зх3 + ±.
1.5. у = 7х4-А-У7+|.
1.6. у = 5х2-У?Ч-^--.
1.7. = +
1.8. у=У? + ±_4^Ч-Х.
л о 9 । 3/ 4 4 2
1.9. у = 8х +д/х — —-г.
х х3
1.10. у = 4х6 + |-У?-^.
1.11. у = 2ЛД5-^- + Зх2-1.
1.12. у = 4х3 —- + —.
У X у X2
1.13. у = 5х3-4 4-4л/х + -.
х2 X
1,14. «/ = А+^/?_а. + 5х4.
1.15. у = ± -- +\р-7х3.
1.16. у = А + А — 4^/х3 4- 2х7.
1.17. у = 5х2+±-^/7 — 2х6.
1.18. у=10х2 + 3Л/х® — 7“7-
1.19. у=л/7-2+4-Зх3.
1.20. у = 9х3 + — - 1- 4-д/х7.
Х X
1.21. у = з7х + 4+л/^ —-•
X5 ’ X
1.22. //=7?+^-4-5x3
XX5
1.23. у = 7х2 + А - V? 4- ®
X х3
1.24. у = 8х3- ± -А Ал/х5.
х х
1.25. у = 8х — 4+ — — 5\М
х4 X
1.26. у=л/х3 — — 4-А 4-Зх.
X X5
1.27. о = 4х34-А —4/^5 _ 2 .
X X4
1.28. у = 4х5 —А-л/х34-А.
X V 1 х3
1.29. у = А4-4-Ч/^-2х6.
1.30. у = а - А 4-Зх3—л/А.
X4 X
2
2.1. у=4зх44-2х-5 4-77А^.
2.2. у=4(х-3)4
3
2х3 — Зх + 1
2.3. у
2.4. у
2.5. у
2.6. у
2.7. у
2.8. у
2.9. у
2.10. 1
2.11. 1
2.12. I
2.13. I
2.14. I
2.15. I
2.16. у
2.17. у
2.18. у
2.19. у
2.20. у
2.21. у
2.22. у
•д/(х — 4)5 +—-—-_________________
’ (2х2 + 4х- I)2
^х2 — Зх + 5 —
д/Зх2 — х + 5-
•^Зх4 — 2х3
д/(х —7)54
^(х + 4)6-
5
3
(х-5)4 '
_ 4
(х + 2)3 ‘
5
4Х2 + Зх — 5 ‘
2
2л2 —3x4-7 '
= "^4х2 — Зх — 4 —-—-—г.
У (х —З)5
=УЗх2 + 4х-54-
=-^5х4 — 2х— 1 4- —§—_
* (х-5)2'
= 3
(х + 2)5
= д/(х-1)5
= ^(х — 2)ъ
7_\/5х — 7х2 — 3.
__________4
7Х2 - Зх + 2 '
3
7х3 —х2 —4
= -^ + 3—'
_ 2_________8
(х — I)3 бх2 4- Зх — 7
= 7Г+57^2? + 7^г.
“т/5х’-4х+1-7;45?..
= ^/3— 7х + х2— (ж27),-
2.23.
2.24.
2.25.
2.26.
2.27.
2.28.
2.29.
г/ = л/(х —З)7 4
9
7? - 5х - 8 ’
у = -д/(Х - 8/--------------т.
У У 7 1 + Зх - 4х2
у = 4х_-зха~г-^+1)5-
У = 7^4- +^(2х2 - Зх + I)5.
у = 77Г7Р -^(3*2-* + 1)4-
(А (}
2.30. „,2,^7
3
3.1. г/ = 8т32х-соз8х5. 3.2. у = соз5 Зх • 1§(4х+ Г)3.
3.3. у = (^4х- агсзт 4х5. 3.4. у = агсзт3 2х • с(§7х .
3.5. у — с!р Зх • агссоз Зх2. 3.6. у = агссоз24х-1п(х—3).
3.7. у = 1п5х- агс1§7х4. 3.8. у = агс<ё34х-381пл.
3.9. у = • агсс!§ 5х3. 3.10. у = 4-х • 1п5 (х + 2).
3.11. у = 3‘8* • агсзт 7х4. 3.12. у = 5л’ • агссоз 2х5.
3.13. у = зт4 Зх • агс!д 2х3. 3.14. у = соз34х«агсс1§-\/х.
3.15. у = 1§32х- агсзт х5. 3.16. у = с!§7 х • агссоз 2х\
3.17. у = е-81пл 1д 7х6. 3.18. у = еС05Х с1д8Х3.
3.19. у = соз5 х • агссоз 4х. 3.20. у = зт37х-агсс!§5х2.
3.21. г/=зт23х-агсс1^3х5. 3.22. г/= соз^/х • агс!§ х4.
3.23. у = 2х • соз 7Х2. 3.24. у = с(^3 4х • агсзйг\/*.
3.25. у = с1§у • агссоз х4. 3.26. у = 1§д/х • агсс!§ Зх5.
3.27. у = 1§32х- агссоз2х3. 3.28. у = 21§х агс1§5 Зх.
3.29. у = зт5 Зх • агс!д-\/х. 3.30 у = соз43х • агсзщЗх2.
4
4.1. у = агсс1е25х- 1п(х — 4).
4.2. у — агс!§32х- 1п(х + 5).
4.3. у = агссоз4 х• 1п(х2 + х — 1).
4.4. у =д/агссоз 2х • 3~х.
4.5. у = 1§4 Зх • агс!р 7г2.
4.6. у = 5~х' агсзт Зх3.
4.7. у = агс!§5 х • 1о§2(х — 3).
4.8. у — 1о§з(х + 5) • агссоз Зх.
4.9. у = е~“ • агсзт2 5х.
4.10. у = 1о^4(х— !)• агсзт4х.
4.11. у — (х — 4)5 • агсс!^ Зх2.
4.12. у = с1§34х- агс^Йх3.
4.13. у = е~Ы5Х агс1§ 7х5.
4.14. у = (х 4* 1)агссозЗх4.
4.15. у = 281ПЛ агсс!§х4.
4.16. у = З-*’ агс1§ 2х5.
4.17. у = ЗСО8Хагсзт2Зх.
4.18. у = 1п(х — 10) • агссоз2 4х.
4.19. у = 1§(х — 2) • агсзт5 х.
4.20. у = 1о§з(х + 1) • агс1е5 7х.
4.21. у = 1п(х + 9) • агсс1§° 2х.
4.22. у = 1§(х + 2) • агсзт2 Зх.
4.23. г/ = 4-5|пхагс1дЗх.
4.24. у = 2СО8Х агсс!§3 х.
4.25. у = 1§(х — 3) • агсзт2 5х.
4.26. у = 1о§2(х 4- 3) • агссоз2 х.
4.27. г/ = 2“хагс1§34х.
4.28. у — 1п(х — 4) • агсс!§4 Зх.
4.29. у — 1§(х + 3) • агсс!§2 5х.
4.30. у = 1о§б(х+ !)• агс!§2х3.
5
5.1. у = 1§4 Зх • агсзт 2х3.
5.2. у = (х — 2)4 агсзт 5х4.
5.3. у = 2~л’ агс!§ 7х4.
5.4. у = (х + б)5 агсс1§3х5.
5.5. у = ЗСО5Х1п(х2 —Зх + 7).
5.6. г/ = 1о^2(х — 7)- агс\§~\[х.
5.7. у = агссоз3 5х-1^х4.
5.8. у — (х — 5)7 агсс^к 7х3
5.9. у = агссоз х2 • с!§ 7х3.
5.10. у = 5“*’ агссоз 5х4.
5.11. у = агс!§4 х • соз 7х4.
5.12. у — 4(х — 7)6 агсзт Зх5.
5.13. у = (х + 5)2 агссоз3 5х.
5.14. у = 2~5‘"х агсзт3 2х.
5.15. у = (х 2)7 агссоз-д/х.
5.16. у = (х — 7)5 агсзт 7х4.
5.17. у = 1п(х— 3) • агссоз Зх4.
5.18. у = 1о§з(х — 4) • агс!§34х.
5.19. у = (х — 7)4 агсс!д2 7х.
5.20. у =^х — 3 агссоз42х.
5.21. у = д/х — 4 агсз1п4 5х.
5.22. у = (х — З)5 агссоз Зх6.
5.23. у =д/(х-|-3)5агсз1П 2Х3.
5.24. у =-^(х + I)2 агссоз Зх.
5.25. у = 1§3 х • агсс1§ Зх.
5.26. у =-\/(х —2)3 агс1§ (7х — 1).
5.27. у = ~д/(х-{-4)2 агсзт 7х2.
5.28. у = агсзт3 4х • с!§ Зх.
5.29. у = г-005* агсзт 2х.
5.30. у =“у/(х4"5)3 агссоз4 х.
6
6.1. у = (х— З)4 агссоз 5х3. 6.2. у = (3х— 4)3агссозЗх2.
6.3. у = зк3 4х • агссоз"\/х. 6.4. у = 1к2~у/х • агсс(§ Зх2.
6.5. у = с1к3 5х • агсзт Зх2. 6.6. у=ск-^--агс12(7х+2).
6.7. у = ск3 4х • агссоз 4х2. 6.8. у = зк3Зх-агсс12 5х2.
6.9. у — 1к5 Зх • агсзт -\[х.
6.10. у = с1к2(х-{- !)• агссоз-^-.
6.11. у = зк4 2х • агссоз х2.
6.12. у = ск3 (Зх 4- 2) • агс!е Зх.
6.13. у = 1к3 4х • агсс1§ Зх .
6.14. у = с!к47х- агсзт-\/х.
6.15. у = зк3 2х • агсзт 7х2.
6.16. у — 1к5 4х • агссоз Зх4.
6.17. у = ск2 5х • агс1§"\/х.
6.18. у = с1к4 2х • агс!§ х3.
6.19. у = зк4 5х • агссоз Зх2.
6.20. у = ск3 9х • агс!§(5х — 1).
6.21. у = 1к4 х • агсс1§^-.
6.22. у = с!к3 4х • агсзт (Зх + 1).
6.23. у = ск2 5х • агс!§ х4.
6.24. у = 1к4 7х • агссоз х3.
6.25. у = с1Ь 4х5 • агссоз 2х.
6.26. у = с1Ь Зх • агсзт4 2х.
6.27. у = 1Ь5 Зх • агссЦгу/х.
6.28. у = зЬ4Зх« агссоз 5х4.
6.29. у = с(Ь2 4х • агсзт х3.
6.30. у = Й13 5х • агсс!|у(2х — 5).
7
7.1. у ^агссов’х 7.2. у
. 7*4-5 еагсс(ех
7.3. у 2_ ТА. у г = ,
\х2 4- 5х — 1 (Зх2 - 4х + 2)
7.5. у _ V7*3 - 5х + 2 7.6. у , _ е1*3*
есозх д/Зх2 — х 4- 4
7.7. у 7.8. „= е
(*-5)7 ’
7.9. у ^/х3 4- 4х — 5 7.10. е с»е 5* п —
ех* У (х + 4)3 ’
7.11. -у/з 4- 2х — х2 7.12. е3‘ и = ——.
у~ е ! п. уЗх2 — 4х — 7
л—зт 2х л соз 5х
7.13. в 7.14. и = е
У (х+5)« ‘ 1 -у/х2 — 5х — 2
7.15. ,._(2*4-5)3 7.16.
У ё*,-- У 4х2 — Зх 4- 5
7.17. зт 4х 7.18. Зх2 — 5х+ 10
ц — . ц — , .
(2х—5)6 е~х
7.19. „ — е~‘ 7.20. и-
У (2х2 — х + 4)2 ' У (Зх + 5)3-
7.21. ес,в5' 7.22. (2х-3)7
—2х *
а (Зх — 5)4 е
7.23. (3*+1)4 7.24. 5х2 4- 4х — 2
!/ у-
7.25. -^/бх2 — х 4- 1 7.26. е-^ и — .
У е3х У (2х-5)7'
л соз Зх 7.28. « зш 5х
7.27. ц _ е и =
У (2х + 4)5' У (Зх — 2)2 ’
7.29. • У = -^х2 — Зх - 7 7.30. // — е~^х
е ~х3 у — 4Х2 4- 7х — 5
8
8.1. У = 1085(Зх-7) 8.2. и — . 1п(5х —3)
с1§ 7л3 У 4 ((у Зх4
8.3. у = - 1п(7х + 2) 8.4. У = зш3 5х
5 соз 42х 1п(2х — 3) '
8.5. 11 . СОЗ2 Зх 8.6. // — . 183 2х
У 18(Зх-4) ’ У 18(5x4-1) ’
8.7. у = 108з(4х + 5) 8.8. у = 1п(7х —3)
2с1в л/х 3 ((у2 4х
8.9. у = 18(11^ + 3) 8.10. /у — с((у2 5х
СОЗ2 5х У 1п(7х — 2) *
8.11. у = ^г(х-2) 8.12. и — 51п3(5х 4- 1)
18(* + 3) ' ^7 18(Зх-2) •
8.13. У = СО34(7х — 1) 8.14. и = З1п3(4х 4- 3)
С/ 18(*'+5) 1п (7x4-1) ’
8.15. У = с(83 (2х — 3) 8.16. У = 183х
1°8з(х-|-2) 51П бх2
8.17. У = 1п2 (х + 1) 8.18. У — 1оег(7х —5)
соз Зх4
8.19. у — 1о8з(4х —2) 8.20. У = 1п3(х —5)
с((у 2х 1К(>А)
8.21. У = 1е(* + 2) 8.22. У = 183 7х
51П 2х5 1п(3х 4- 2)
8.23. У = с1ед/х —2 8.24. и — 1е(Зх-5)
18(3x4-5) ‘ У 1п2(х4-3) ’
8.25. У = СОЗ2 X 8.26. У = 1082(3x4-7)
18^-2x 4-1) ‘ 18 Зх
8.27. У = 1п3 X 8.28. У = <8* 5х
с!8(* — 3) ‘ 1п(х4-7) •
8.29. У = 1°8з(х + 4) 8.30. У = 184 Зх
СОЗ 5 X ^(х2 —х-Ь4)
9.1. у =
9.3. у =
агсс^4 5х
зЬ ~\[х
агссоз Зх4
(Ь2 х
9
9.2. у = -агс^2х.
сЬ (1/х)
9 4. у __ агсзт 5х3
сЪ^/х
9.5. у = с!Ь3(х+ 1) 9.6. и- 1ЬЗг5 .
агссоз 2х агс{(22 Зх
9.7. у = агссоз7 2х 9 8 агс51'"34х
(К х5 зк(3х+ 1) '
9.9. У — 01* (2x4-5) 9.10. у = ^2х.
агссоз Зх 9 зЬ2х
9.11. у = агсзт2 4х 9.12. ^ = -^ + 2).
1к(5х - 3) агс($г х3
9.13. у = агсз1п 4х5 (к3 х 9 14 у = агс(е3(2х +1) сЬд/х
9.15. у = агссоз 4х3 9.16. </=-с^-2) .
зк4 х агссоз Зх
9.17. у = 1Ь3(2х + 2) агсзк! 5х 9.18. ы = с1Н2(Зх — 1) агссоз х2
9.19. у = зк5х 9 20 и = ^с^3~х
агссоз 4х агс!§ 5х
9.21. у = 9.23. у — (И2 (х + 3) агсс$$^/7 агсс!^3 х 9.22. ц = у сЬ(х-5> 9.24. и = 5х-
зк (2х — 5)
П1(х-2) л
9.25. у = д/агссоз Зх л агсз!п2 Зх
о 96 и —
зк2 х V•Л^V• 1/ — . -0 Ь X
9.27. у = агс^2 5х 9.28. ц^_агс<125х
д/с( Н х У <к(х-|-3) '
9.29 и = д/зк3 х 9.30. у — ^сН Зх У агс!е(* + 2) •
агсс(§ 5х *
10
10.1. у = 9 агс!^ (х -|- 7) «по и = 8 агс*е(2х + 3)
(х - I)2 (х+1)3
10 3 и = 7 агссоз (4х — 1) 10 4 и = 6 агс51П (х + 5> (х —2)5
IV.О. у (х + 2)<
10 5 и = 3 агсс1^ (2х — 5) 1Пв »— 2агс1ё(ЗхЧг2) ’0-6- У (х_ 3)2
(х+1)<
10.7. у = 4 агссоз Зх 1П о и— агсзт (Зх + 8)
(х + 2)5 (х-7)3
10.9. » — 7агс<е(4*+1) 10.10 И— 3 агс51п(2х-7)
(х — 4)2 У (* + 2)4
10.11. (/= 21е(4х + 5) 10.12. у = 51п(5х + 7)
(х + 6)4 (х-7)2 ’
10.13. у — 4)°ез(3х + 0 10.14. »—_7|°еИ2х-5)
(х + I)2 (х-1)5 •
10.15. у — 1п<7х + 2) . 10.16. у — 41е(Зх + 7)
(х—б)4 (х+1)7 '
10.17. у — 51о8г(х2 + 1) 10.18. У — 61°Яз(2х + 9)
(х - З)4 (х + 4)2 '
10.19. у — 3|°82(5х-4) 10.20. у — 7Ь85(х2 + х)
(х - З)5 (х + 3/ ’
10.21. у — 1о8г(2х2 + 5) 10.22. у~ 21п(3х~ Ю)
(х - 4)2 (х + 5)7 '
10.23. у — -в1е(4х + 5) 10.24. у — 2>оез(4х-7)
(х - I)5 (х + З)4 ’
10.25. У — 3|°8<(2х + 9) 10.26. у — {е(хг + 2х)
(х - 7)2 (х + 8)4 ’
10.27. у — 31п(х2 + 5) 10.28. Ц = 41°8г(Зх-5)
(х - 7)3 (х-2)2 ’
10.29. у — 21п(2х2 + 3) 10.30. у — 41е(зх + 7)
(х - 7)4 (х-5)3 '
11.1. у 1оё2(х ~ Зх2>-
,1-2- у=А/ВИ-,ё(4х+7)-
11.3. у = -уДЦ- 1п(5х2 - 2х + 1).
11 -4. У = -д/угу 1о&3(х2 + х + 4)-
И -5. у = ~д/-771р-1 о&5 (Зх2 + 2х).
»-б^=л/О,8(7х-10)-
11.7. у = 4/^+' 1п(3х —х2).
11.8. у = 4/1±|1ое5(2х-3).
у л — о
11.9. У=л/^?,е(4х + 7)-
У ол — О
11.10. У=-7-КтГ1п(2х3“3)-
11.11. у=-^Ц|;5т(Зх2 + 1).
1112. У = д/у=усоз(2х3 + х).
11.13. у = 4/Ц11е(Зх2-4х+1).
11.14. у=4/1Е|с18(2х + 5).
11.15. у = 4/Ц15!п(4х2-7х + 2).
11.16. У=л/Ц|со5(х2-Зх + 2).
V л । °
н.п. ^=УО’1е(2х2-9)-
11.18. у=л/Ц±|с1ё(Зх2 + 5).
11.19. у = 51П(ЗХ2 - х + 4).
11.20. у = -дУ^-соз (7х + 2).
11.21. у = агсз1п(2х + 3).
11.22. у агссоз(Зх — 5).
11.23. у=-^Ц|агс1е(5х+1).
11.24. у = -д/Ц} агсс!8(7х + 2).
11,25. у =-^.?5.Г1± агсзт (х2 + 1).
И .26. у агссоз(х2 — 5).
п.27. у==Л^‘ёт1агс1ё(3х+2}-
11.28. у=-^1^±агсс1ё(2х + 5).
11.29. у = 4/Д-— агсзт 2х.
11.30. у — Ч/*^3 агссоз 4х.
V г - 3
12
12.1. у = (с!113х)агС8'пх.
12.3. у — (з1п Зх)агсс°8 х.
12.5. у = (зЬ (х 4- 2))агс8'" ’2х.
12.11. у = (сИЗх)с1е1/\
12.13. у — (агссоз 5х)|пх.
12.15. у = (1п(х4-7))с182х.
12.17. у =07x4- 1)аге‘82х.
12.19. у=(соз(х4-5)Г8!п3х.
12.21. у = (зт4х)агсГе1/ж.
12.23. у = (с1ё 2х3)8,п А
12.25. у — (агссоз х)^^.
12.27. у = (зЬ5х)агс1е<х+2).
12.29. у=(с11г\Д) 81п<х+3)-
12.2. у = (соз(х4-2))|пх.
12.4. у = (1И 5х)агс8,п(х+0.
12.6. у = (соз 5х)агс’е'^х.
12.8. у = (1п (х 4- 3))8‘п А
12.10. у == (зЬ Зх)агс‘г<*+2).
12.12. у — (агсзт бх)*6^.
12.14. у = (агс1^2х)8!пх,
12.16. у = (с1ё(7х4-4))^+3.
12.18. у = /с1Н —
\ * 1
12.20. у =(д/х4~.
12.22. у = (1ё3х4)
агсзт 7х
12.26. у 5= (с{§ 7х)8|,<х+з)
12.28. у = (агс1&х)1Ь(3х+|).
12.30. у = (зИЗх)агтс,е2х.
13
13.1. у = (агссоз(х+2)уе3х. 13.2. у = (агс8пг2х)с'е<х+|).
13.3. у = (агс1^(х + 7))соз2х. 13.4. у =(агсс15(х— 3))3|п4х.
13.5. у=(с1е(3х-2))агс5,п3х 13.6. у = (1?(4х____2^агссо8 2х
13.7. У = (сО5(2х — 5))»гс‘в5х |3 8 у_(8}п(г7х_^4^гсс|Кх
13.9. у = (агсзт 2х)|п<х+3\ 13.10. у = (агссоз Зх)|«(в»-,>
13.11. у=(агс1^5х)1оег(х+4). 13.12. у = (агс^ 7х)'в(х+1).
13.13. у=(1ое4(2х+3))аг«1пх 13.14. у=(1ое5(3х+2))хг«‘”х.
13.15. у = (1ё(7х—5)),гс‘к2х. 13.16. у=(1п(5х—4))агсс‘ех.
13.17. у = (1о&2(6х+5)),ГС81п2х 13.18. у=(1^(4х—3))агссо$4х.
13.19. у = (1п(7х — 3))агс(е5х. 13.20. у=(1ог5(2хЧ-5)агс‘8Х.
13.21. у = (зт (8х - 7))с”,(х+3>.
13.22. у = (соз(Зх-|-8)),,'(х_7).
13.23. у = ((е(9х + 2))сЬ(2х_|).
13.24. у = (с1§(7х + 5))зЬЗх.
13.25. у = (з11(3х — 7))со8<х+4>.
13.26. у = (сЬ(2х — 3))'8<х+5).
13.27. у=((Ь(7х—5))3‘п(х+2).
13.28. у=(ск(Зх+2))с<”«х+4\
13.29. у = (1п(7х + 4))‘8х.
13.30. у = (1е(8х 4- 3))‘*5х.
14
14.1. у- У^ + ^-З)4 14.2. у - ^~3)5(х + 2)а -
У (х + 2)5 • -^х - I)3
14.з. у - (*~2Н*+и5 14 4 <- (^ + 3)-их-2)3
У (*-4)2 (х+1)7
14.5. у - (* + 2)7(*-3)3 14.6. у - (*-;)4(х + 2)\
-\/(х+1)5
1Л “7 (х — З)2 Vх 4-4 |4§ „ _ (х—7)‘°Узх — 1
У (х + 2)7 ,4“-* <« + 3)>
14.9. у-.^+О^-З)2 14Ю и (х + 2) (х — 7)4
д-х.у. у -У(*+2)5 11.111, и —- , ^-1)<
14.11. у^-5^ + 4)3 14 12 и = ~~ О7
У (х-^Сх + З)5 • " У (х+1)3(х-5)3 •
14.13. у = ~\/(х4-2)3(х — I)4 (х + 2)? ,4Л4. >-*№+Х. \Х 1 )
14.15. 11 д/х — 8 (х + 2)6 14.16. о_ Ух+1(х-3)7 У (х + 8)3
У (х-1)5
14.17. II У(х-2)4 14.18. л/(х+1)2
У (х + 1)2(х — 6)5 ’ У (х-3)4(х-4)3 '
14.19. V*2 + 2х — 3 14.20. л/(^-2)4
у — (х4-3)7(х —4)2 ‘ У (х-5)(х+1)7'
14.21. У = (х + 4)3 (х — 2)4 14.22. (х- 1)6(х + 2)3 _
— 2)5 \/(* + з)2
14.23. 11 (х-1)4(х-7)г 14.24. (х + 7)2(х — З)5
у — \/(х + 2)5 ^х2 4- Зх — 1
14.25. 11 \!х — 3 (х + 7)5 14.26. ->/х+10(х-8)3
у — (х-4)2 У~ (х-1)5 '
14.27. У = У(х-2)3(х-1) (х + 3)4 14.28. л/(*+03(х—2)5 У (х-3)2
14.29. У = ^(х-1)5 14.30. У(х+2)3
(х + 2)4(х-5)7 • У (X- 1)’(х-3)5 •
Решение типового варианта
Продифференцировать данные функции:
1. у = 9х5 — 4/х3 + -д/х* — Зх -|- 4.
► у' = 9-5х4 —4(—3)х~4 +^-х4/3-3 = 45х4 +
о
+ 12/х4+ 2.^7-3. *
О
2. у = -У(2х2-3х+ I)3 — 6/(х + I)3.
► у' = -|-(2х2-Зх+ 1)-1/4(4х-3) - 6(-3)(х+1)-4 =
= 3 4х — 3 , 18 .
4 V2*2 — Зх + 1 (^Ч-1)4
3. у — 1^5 (х + 2) • агссоз Зх2.
► У' = 5 (* + 2): - 2 ' агссоз Зх2 + 1§5(х +
СО&
Ц_ 2) • (_____1 \ . 6 г — 5 (» + 2У агссоз Зх2_
+ ; ЬХ~ соз2(х + 2)
_ *е5(* + 2)-6х .
-у/1 — 9х4
4. у — агсзт5 4х • 1о^г(х — 5).
> у' = 5 агсзт4 4х • 1 — • 4 1о^2 (х — 5) +
у! — (бх2
. . е . 1 20 агсзт4 4х • 1ос2 (х — 5) .
+ агсзт5 4х • ь =-----------. -----------г
(х-5)1п2 -^/1 _ 16л2
। агсзт5 4х -
(х - 5) 1п 2 ' Я
5. у = 3~х< с(§ 7х3.
> у' = 3~х< 1п 3 • ( —4х3) с!е 7х3 + 3-х<(—.'^) >
\ О Н1 / Л /
Х21х2 = —4 1п 3 -З~х,х3 с*е 7х3 - 21х3^-~ ◄
° 51П 7*
6. у = с1й2 Зх • агс(^л/*-
> у' = 2 с(Ь Зх •
1
зЬ2 Зх
- 3 агс(§ V* + с(Ь2 Зх X
> 1 1 _ __ 6 с!к Зх • агс(^ -\/х [ с012 Зх
ТХ “ "г Г' я
2 Vх (\-^х)2ух
7. у = д/Зх2 — 7х + 5/е~х\
► у' = (^/Зх2 — 7х + 5ех')' = —_ -|-
2 д/Зх2 — 7х-|-5
+л/3х2-7х + 5ех'. 4х3= +
2 д/Зх2 —7х-|-5
+ 4^ех'-\]3х1 — 7х + 5. 4
8. у = (1§ (х2 — Зх + 5))/агсс1§2 5х.
► у' =(—2—-х~3----------агсс1§2 Зх —• 1е (х2 — Зх + 5) X
у ^(х2 — 3x4-5) 1п ю Б 6К ‘ '
X 2 • агсс<2 5х • (---!—5-) • б) • агсс(§4 5х —
\ 1 4- 25х / /
___/ (2х — 3) агсс(^2 5х » 10 1^ (х2 — Зх 4- 5) * агсс^ 5х \
“ \ (х2 — Зх 4- 5) 1п 10 ’1~ 1 4- 25х2 ) Л
X агсс1§-4 5х.
9. у =4/агсзт Зх/зк2 х.
---------. , • 3 зЬ2 х—2 зЬ х сЬхд/агсзт Зх
,___________________________ 2у агсзт Зх у 1 — 9х2
У зЬ4 х
3 зЬ2 X I----;---
----- ; ——— сЬ 2х’уагсз1п Зх
___ 2^\/агс81п Зх “д/1 —9Х2
зЬ4 х
10. у = (3 1п (х2 - 5))/(х + З)7.
-у • 2х(х 4-3)7 - 7(х 4- З)61п (х2 - 5)
2х(х+Э. _ 7 1п (X2 -5)
__л — 5
“ (х + 3)8 Г’
И- У = ^(* + 5)/(х —5) с!е (Зх — 4).
►у'=-ИтЧ-)'677 х У5)-с1е (3х ~4) ~
— 1 . 3 Д/* + 5 = _ 10 С1§ (Зх — 4)
зш2(3х — 4) . Ух -5 7 ^(х + 5)6/(х_5)6
______з__7 /7+Г
51п2 (Зх — 4) V х — 5
12. 1/ = (Ш-7*+2)1п(3х+2)-
► Прологарифмируем данную функцию:
1п у = 1п (Зх + 2) 1п (<Ь -\/х4- 2).
Тогда
+ 1п (Зх + 2)-----—1=.
(Ь ух 4- 2 сЬ2 ух 4- 2 2\х+2
Отсюда выразим у':
/ = (1Ьл^+2)'п(3х+2)( 31П +
+ _1п(Зх4- 2) У
2д/х 4- 2 зк Ух 4-~2 сП -д/хУ 2
13. у = (зт 7х)агс{^-5\
Найдя
1п у — агс!& (Зх — 5) • 1п ($!п 7х),
имеем:
— у' ------------г- • 3 1п (зт 7х) + агс(е (Зх — 5) • —!— X
у 1+(Зх —5)2 ' 7 ' 8Й17х
X 7 соз 7х.
Отсюда
«/ = (81П 7х’)а,с|*<3х-5) / 3 |п (5‘п 7х> I 7 агс^е (Зх—5)-соз 7х \ .
У ' ’ \1 + (Зх —5)2 ~ зй17х
14. у = ^(х+5)6/((х-1)2(х + 3)).
> Применяя метод логарифмического дифференци-
рования (см. § 6.2), последовательно находим:
1п у= -|-1п (х + 5) — 2 1п (х- 1)-5 1п (х + 3),
± и' = 6________2______5
у V 7(х 4- 5) х — 1 х 3 ’
. = У(х + 5)6 /6 _ 2 5 \
У (х- I)2 (х + З)5 \ 7(х + 5) х—1 х + 3/'
ИДЗ-6.2
1. Найти у' и у".
1.1. у2 = 8х.
1.3. у = х + агс(§ у.
1.5. у2 = 25х —4.
1.7. у2 —х = соз у.
1.9. 1%у = Зх + Ьу.
1.11. у = еу-\-4х.
1.13. у2 + X2 = 81П у.
1.15. 4 З1п2(х + у) = х.
1.17. [%у = 4у — 5х.
1.19. хи — 6 = соз у.
1.21. у2 = х + 1п (у/х).
1.23. х2у2 + х = 5у.
1.25. зт у = ху2 + 5.
Решения всех
вариантов тут »>
1.2. х2/5 + у2/7= 1.
1.4. х2/5 + ?/3= 1.
1.6. агсс(§ у = 4х + 5у.
1.8. Зх + зту = 5у.
1.10. ху = с(§ у.
1.12. 1п у — у/х = 7.
1.14. е* = 4х — 7у.
1.16. З1пу = 7х + 3у.
1.18. у = 7х — с(е у.
1.20. Зу = 7 + ху3.
1.22. ху2 — и3 = 4х — 5.
1.24. х* + ху2 + У = 4.
1.26. х3 + у3 = 5х.
1.27. -д/^+л/Г = л/Т-
1.29. 51п2 (Зх + У2) = 5.
2. Найти у' и у".
х = (-2/ + 3) соз /,
у = ЗЛ
х = 6 соз3 /,
у = 2 З1п3 I.
2.1. |
2.3. {
1.28. у2 = (х — у)/(х+-у).
1.30. с(§2 (х + у) = 5х.
2.2.
2.4.
х = 2 соз2 /,
у = 3 зт2 I.
х=1/(/ + 2).
у = (//(/+ 2))'
2.6.
2.7. ) \х = 21/(\+1\ .у = 12/(\+12). 2.8. ( х=^ I2 — 1, у=(/ + 1)/л//2-1.
2.9. | 'х = 4( + 2/2, ,у = 5/3 —З/2. 2.10. (х = (1п /)/<> (у = / 1п 1.
2.11. (х = ё СО8 /, [у = ё 81п 1. 2.12. 1х = 1\ (У = 1п 1.
2.13. (х = 5 соз /, (у = 4 зт 1. 2.14. (х = 5 соз2 1, 1у = 3 зт21.
2.15. 2.16. (х = агсзт 1, ^У=^1—12.
2.17. (х = 3(/ — зт /), (у = 3(1 — соз /). 2.18. (х = 3(зт 1 — 1 соз 1\ 1 у = 3(соз 1 4-1 зт /).
2.19. (х = зт 2/, (у = соз21. 2.20. (х = е3‘, \у = е~31.
2.21. (х = (1п /)//, (у = /21п 1. . 2.22. (х= агссоз 1, ^У=у/{ — 12.
2.23. Гх=1/(/ + 1) 1у = (1/(1 4- I))2. 2.24. (х = 5 зт3 /, 1 у = 3 соз31.
2.25. II II « 1 * „ $ 2.26. (х = л/(1—I)2, [у=-у/1— 1.
2.27. (х = 1п2 1, 1у = /4-1п 1. 2.28. /х = 1ё, \у = 1/ё.
2.29. (х = 6/2—4, \у = 31\ 2.30. (х = агсзт 1, \у = 1п 1.
3. Для данной функции у и аргумента хо вычислить
/"(*»)•
3.1. у = зт2 х, хо = л/2. 3.2. у = агс!§х, х0=1.
3.3. у = 1п (2 + х2), хо = 0. 3.4. у = ех соз х, Хо = 0.
3.5. у = е* зт 2х, хо = 0. 3.6. у = е~х соз х, Хо = 0.
3.7. у = зт2х, х0 = п. 3.8. у = (2х + О5, Хо = 1.
3.9. у = 1п (1 + х), хо = 2. 3.10. у = ± х2е\ х0 = 0.
3.11. у = агсзт х, хо = О. 3.12. у = (5х —4)5, хо = 2.
3.13. у = хзтх, х0 = л/2. 3.14. у = х21пх, х0=1/3.
3.15. у = хзт2х, хо = — л/4.
3.16. у = хсоз2х, хо = л/12.
3.17. у = х41пх, хо=1. 3.18. у = х-|-агс1|>х,хо = 1.
3.19. у = соз2х, хо = л/4. 3.20. у = 1п(х2 —4), х0 = 3.
3.21. у = х2 соз х, х0=л/2.
3.22. у = х агссоз х, хо^=у[з/2.
3.23. у = (х+1)1п(х+1), х0=—1/2.
3.24. у = 1п3 х, х0= 1. 3.25. у = 2х\ х0= 1.
3.26. у = (4х —З)5, хо== 1.
3.27. у = хагсс1§х, х0 —2. 3.28. у~(7х — 4)6, х0=1.
3.29. у = хз1п 2х, Хо = л/4.
3.30. у = 81П (х3 + л), Хо = Ул.
4. Записать формулу для производной и-го порядка
указанной функции.
4.1. у = 1п х. 4.2. у = 1/х.
4.3. у = 2х. 4.4. у = соз х.
4.5. у = 81П х. 4.6. у=1/(х + 5).
4.7. у = е~2х. 4.8. у = 1п (3 4-х).
4.9. у=-\[х. 4.10. у = хе3х.
4.11. у= 1(х — 3). 4.12. у = 1п (5 + х2).
4.13. у = е*х. 4.14. у=1/(х —7).
4.15. у —5х. 4.16. у = е~5х.
4.17. у = 1п (4 + х). 4.18. у=1/(х-6).
4.19. у= 10х. 4.20. у = 7х.
4.21. у = соз Зх. 4.22. у = 1п(3х —5).
4.23. х 4- 5 4.24. «/= 1п —;—!—. ’ 4 —X
4.25. у=~^ х-\-7. 4.26. у = хе6х.
4-27-У=ТТз- 4.28. у = ух
429 у- 4.30. у = 1п (5х — 1).
5. Решить следующие задачи.
5.1. Записать уравнение касательной к кривой у = х2™
— 7х + 3 в точке с абсциссой х— 1.
5.2. Записать уравнение нормали к кривой у~ х2 —
— 16x4-7 в точке с абсциссой х= 1.
5.3. Записать уравнение касательной к линии у =
—д/ х — 4 в точке с абсциссой х = 8.
5.4. Записать уравнение нормали к линии у = “д/х + 4
в точке с абсциссой х— —3.
5.5. Записать уравнение касательной к кривой
у = х3 — 2х2 4- 4х — 7 в точке (2, 1).
5.6. Записать уравнение нормали к кривой 1/ = х3 —
— 5х2 4- 7х — 2 в точке (1, 1).
5.7. Определить угловой коэффициент касательной
к кривой х2 — 1/ + Х1/—11 = 0 в точке (3, 2).
5.8. В какой точке кривой г/2 = 4х3 касательная пер-
пендикулярна к прямой х + Зу — 1=0?
5.9. Записать уравнение касательной к кривой у = х2 —
— 6х + 2 в точке с абсциссой х = 2.
5.10. Записать уравнение касательной к кривой г/ =
= х2/4 — х + 5 в точке с абсциссой х = 4.
5.11. Записать уравнение нормали к кривой у = х4/4 —
— 27x4-60 в точке с абсциссой х = 2.
5.12. Записать уравнение касательной к кривой
х2
У — — у 4- 7х — 15/2 в точке с абсциссой х = 3.
5.13. Записать уравнение нормали к кривой у =
= 3 2х 4~ 1 в точке с абсциссой х = л/2.
5.14. Записать уравнение касательной к кривой
у — 4 Зх в точке с абсциссой х = л/9.
5.15. Записать уравнение нормали к кривой у = 6 5х
в точке с абсциссой х = л/20.
5.16. Записать уравнение касательной к кривой
г/ = 4в!п6х в точке с абсциссой х = л/18.
5.Г7. Выяснить, в каких точках кривой у = вид 2х каса-
тельная составляет с осью Ох угол л/4.
5.18. Выяснить, в какой точке кривой у = 2х3—1
касательная составляет с осью Ох угол л/3.
5.19. Выяснить, в какой точке кривой у~х3/3 —
— х2/2 —7x4-9 касательная составляет с осью Ох угол
— л/4.
5.20. Выяснить, в каких точках кривой у = х3/3~
— 5х2/2 + 7x4-4 касательная составляет с осью Ох
угол л/4.
5.21. Найти точки на кривой у — х3/3 — 9х2/2 +
4-20х — 7, в которых касательные параллельны оси Ох.
5.22. Найти точку на кривой у = х4/4 — 7, касательная
в которой параллельна прямой у = 8х— 4.
5.23. Найти точку на кривой у——Зх2 + 4х + 7, ка-
сательная в которой перпендикулярна к прямой х — 20г/ +
+ 5 = 9.
5.24. Найти точку на кривой у — Зх2— 4х + 6, каса-
тельная в которой параллельна прямой 8х — у — 5 = 0.
5.25. Найти точку на кривой у = 5х2 — 4х+1, каса-
тельная в которой перпендикулярна к прямой х + 6*/ +
+ 15 = 0.
5.26. Найти точку на кривой у — Зх2— 5х—11, каса-
тельная в которой параллельна прямой х —г/+10 = 0.
5.27. Найти точку на кривой у = — х2 + 7х + 16, ка-
сательная в которой параллельна прямой у = 3x4-4.
5.28. Выяснить, в какой точке кривой х/ = 4х2— Юх-}-
4-13 касательная параллельна прямой # = 6х —7.
5.29. Выяснить, в какой точке кривой у = 7х2 — 5х 4- 4
касательная перпендикулярна к прямой 23г/ -4- х — 1 =0.
5.30. Выяснить, в какой точке кривой у = х2/4 — 7х + 5
касательная параллельна прямой у = 2x4- 5.
6. Решить следующие задачи.
6.1. Траектория движения тела — кубическая пара-
бола 12г/ = х3. В каких ее точках скорости возрастания
абсциссы и ординаты одинаковы? (Ответ: (2, 2/3),
(-2, -2/3).)
6.2. Закон движения материальной точки 5 = 3*/4 —
— 3/ 4~ 7. В какой момент времени скорость ее движения
будет равна 2 м/с? (Ответ: 10/3 с.)
6.3. По оси Ох движутся две материальные точки,
законы движения которых х = 4/2 — 7 и х = З/2 — 4/ 4~ 38.
С какой скоростью эти точки удаляются друг от друга
в момент встречи? (Ответ: 40 м/с или 26 м/с.)
6.4. Материальная точка движется по гиперболе
ху =12 так, что ее абсцисса х равномерно возрастает
со скоростью 1 м/с. С какой скоростью изменяется орди-
ната точки, когда она проходит положение (6, 2)? (От-
вет: —1/3 м/с.)
6.5. В какой точке параболы //2 = 4х ордината возра-
стает вдвое быстрее, чем абсцисса? (Ответ: (1/4, 1).)
6.6. Закон движения материальной точки $ = /4 —
— З/2 4-2^ — 4. Найти скорость движения точки в момент
времени 1 = 2 с. (Ответ: 22 м/с.)
6.7. Закон движения материальной точки $ = 3/4 —
— ^34-4/2-|-6. Найти скорость ее движения в момент
времени / = 2 с. (Ответ: 100 м/с.)
6.8. Закон движения материальной точки 5 =
= 4 соз 4~ 4" 6. Найти ее скорость в момент вре-
мени I = л с. (Ответ: —1 м/с.)
6.9. Закон движения материальной точки 5 =
= 4 81п 0^ 4- — 8. Найти ее скорость в момент вре-
мени / = л/2 с. (Ответ: 2/3 м/с.)
6.10. Закон движения материальной точки 8 =
= — 3 соз 0- 4- 4- Ю- Найти ее скорость в момент
времени / = л/3 с. (Ответ: 3/8 м/с.)
6.11. Закон движения материальной точки 5= -^-/3 —
О
“ у /2 + 7. В какой момент времени ее скорость будет
равна 42 м/с? (Ответ: 3 с.)
6.12. Закон движения материальной точки $ = 4/3™
— 2/4-11. В какой момент времени ее скорость будет
равна 190 м/с? (Ответ: 4 с.)
6.13. Закон движения материальной точки 5 =
5 ч
= у/ —2/4-7. Найти скорость ее движения в момент
времени / = 4с. (Ответ: 78 м/с.)
6.14. Закон движения материальной точки $ = 2/5 —
— 6/3 — 58. Найти скорость ее движения в момент вре-
мени 1 = 2 с. (Ответ: 88 м/с.)
6.15. По оси Ох движутся две материальные точки,
законы движения которых х = З/2 — 8 и х = 2/2 4~ 5/ 4- 6.
С какой скоростью удаляются эти точки друг от друга
в момент встречи? (Ответ: 42 м/с, 33 м/с.)
6.16. По оси Ох движутся две материальные точки,
законы движения которых х = 5/2— /4-6 и х = 4/24-18.
С какой скоростью удаляются эти точки друг от друга в
момент встречи? (Ответ: 39 м/с, 32 м/с.)
6.17. По оси Ох движутся две материальные точки,
4 ч
законы движения которых х= у г—-7/4-16 и х =
= /3 4~ 2/2 4-5/ — 8. В какой момент времени их скорости
окажутся равными? (Ответ: 6 с.)
6.18. Закон движения материальной точки 5 = у/3 —
— 2/2 — 11/4-275. В какой момент времени скорость ее
движения будет равна 10 м/с? (Ответ: 7 с.)
6.19. Материальная точка движется по гиперболе
ху = 20 так, что ее абсцисса равномерно возрастает со
скоростью 1 м/с. С какой скоростью изменяется ее
ордината, когда точка проходит положение (4, 5)?
(Ответ: —1,25 м/с.)
6.20. В какой точке параболы у2 = 8х ордината возра-
стает вдвое быстрее, чем абсцисса? (Ответ: (1/2, 2).)
6.21. По оси Ох движутся две материальные точки,
законы движения которых х = 5/24“2/ + 6 и х = 4/24-
4-3/4-18. С какой скоростью удаляются эти точки
друг от друга в момент встречи? (Ответ: 42 м/с или
35 м/с.)
6.22. В какой точке кривой у2=\6х ордината воэра-
стает в четыре раза быстрее, чем абсцисса? (Ответ:
(1/4. 2).)
6.23. В какой точке параболы х=9у абсцисса возра-
стает вдвое быстрее, чем ордината? (Ответ: (9/4, 9/16).)
6.24. В какой точке параболы х2 = 10г/ абсцисса
возрастает в пять раз быстрее, чем ордината? (Ответ:
(1; о,1).)
6.25. По оси Ох движутся две материальные точки,
законы движения которых х = 2/3 — 2/2 + 6/ — 7 и
х=/3 —/2+14/+ 4. В какой момент времени их ско-
рости будут равными? (Ответ: 4 с.)
6.26. Закон движения материальной точки по прямой
задан формулой 5 = ~/3 — 2-/2 — 30/+ 18. В какой мо-
мент времени скорость точки будет равна нулю? (От-
вет: 6 с.)
6.27. Тело движется по прямой Ох по закону х =
= 2-/3 —2-/2 + Ю/— 16. Определить скорость и ускоре-
ние'5 движения тела. В какие моменты времени оно
меняет направление движения? (Ответ: 2 с, 5 с.)
6.28. Зависимость между массой х кг вещества, полу-
чаемого в некоторой химической реакции, и временем /
выражается уравнением х = 7(1 — е~*). Определить ско-
рость реакции в случае, когда / = 0с. (Ответ: 28 кг/с.)
6.29. Материальная точка движется прямолинейно так,
что V2 = 6х, где V — скорость; х — пройденный путь. Опре-
делить ускорение движения точки в момент, когда ско-
рость равна 6 м/с. (Ответ: 1/2 м/с2.)
6.30. Закон движения материальной точки 5 = 3/ +
+ /3. Найти скорость ее движения в момент времени
/ = 2с. (Ответ: 15 м/с.)
Решение типового варианта
/. Найти у' и у", если х3у — у2 = 6х.
> Имеем равенство Зл?1/ + х3/ —2г/г/' = 6, откуда
У' = (6 — Зх2у) / (х3 — 2у).
Продифференцировав обе части предыдущего равен-
ства, получим
бху 4- Зх2у' + Зх2у' + х3у" — 2у? — 2уу" = 0,
откуда
у" (ж? — 2у) = 2у'2 — 6хУ — вху,
и» = 9 (6~3х*У>2 — 6х2 6~3х^У _ 6хУ 4
У (х3-2</)3 ^-2у? ?-2у'
2. Найти у' и у", если
х = 3? — /2Д
у = /3 —5. /
> Так как
х'=12/3 —2/,1 х" = 36/2 — 2Л
/ = 3/2 / и у" = 61, /
ТО
= А = 3/
х! 12/3 — 2/ 12/2 — 2’
уГх^- хГу'! = 6/(12/3-2р-(36/2-2)-3/2 =
Ух л? (12/3 - 2/)3
_ 72/4 — 12/2 — 108/4 + 6/2 __ _ 3(6/2 + 1)
(12/3 —2/)3 4/(6/2 —I)3’
3. Найти если у = у — -^-соз2 х.
► Последовательно находим:
у' = 4- СОЗ х • 51П X = 4- 51П 2х,
2 4
у" = у соз 2х, у"' — — зил 2х,
у"'(л/4)=~зт(л/2)=-1. ◄
4. Записать формулу для производной п-го порядка,
если у = хе*.
► Имеем:
у' — е* + хех, у" = е* + е* + хе* = 2е* + хе\
у"' ='2е* + е* + хе* = Зе* + хе*.
Сравнив полученные выражения для у', у" и у"', за-
пишем:
1/п> = не* + хе*. ◄
5. Записать уравнение касательной к кривой у = х2 —
— Эх —4 в точке с абсциссой х — — 1.
► Ордината точки касания у(— 1) = 1 + 9 — 4 — 6.
В любой точке у7 = 2х™9. В точке касания у'(—!) =
= 11. Поэтому имеем уравнение касательной (по точке
(—1, 6) и угловому коэффициенту —11):
у — 6= — Н(х+ 1), у=—Их —5. Ч
6. По оси Ох движутся две материальные точки, законы
^3 у
движения которых х1 = ------4 и х2 = -г — 12/4-3 (х —
о 2.
в метрах, / — в секундах). В какой момент времени их
скорости окажутся равными?
> Находим скорости обеих точек: х{ = /2, = 7/ — 12.
Так как Х1 = х2, то /2 = 7/ — 12, /2 — 7/+ 12 = 0, 1\ =3 с,
/2 = 4 с. Ч
Решения всех
ИДЗ-6.3 вариантов тут »>
Найти указанные
пределы, используя правило Ло-
питаля.
1.1. Нт Х-*-ОО 1п(* + 5) А/х + 3 1.2. Нт ?'пХ-~х_. х-»-0 X — 1
1.3. Нт- X-*"0 *ех —х X — 51П X 1.4. Нт -^пг(лх/б) х-М 1 — X
1.5. 11 пт агсзт ——— • с(д (х — а).
х-+а а
1.6. Нт (л — 2 агс(§ х) 1п х.
1.7. Нт (а|/х — 1)х. Х-»-ОО 1.8. 11т С-1 1-1 х-И \ 1п X 1п X /
1.9. Нт 1г-С08^. Х-.0 X — 81П X 1.10. Нт--*У~* • х->0 2 51П X 4- X
1.11. нт е‘/х‘-1—. х—►оо 2агс(^х — л 1.12. Нт *3 —~* + 2.. х-И х — 7х + 6
1.13. Нт ^озх-зтх- х—0 ХЛ 1.14. Нт Х-^оо х5
1.15. Пт — . х—>1 1 — 51П (лх/2) 1.16. Нт -у/х
1.17. Пт сЬ*~!. . х->0 1 — СОЗ X 1.18. Нт д/х- . х-*-0 (лх/2)
1.19. Пт 1 х-^л/4 1 СОЗ 4Х 1.20. Игп 1п (81П тх) х-^о 1п (зт х)
1.21. Нт х^п/2 5х 1.22. Пт (1 — соз х) х. х-^0
1.23. Пт (1 — х) (д (лх/2). х->! 1.24. Пт х зт (З/х). Х->оо
1.25. 11т .
х^ ~ 1 л/2 1 х ] х
1.27. Пт---------1^4--------.
х-И 1 — 51П (лх/2)
1.29. Пт
х->-л/2 (д 5х
1.26.
Нт-хс?5 х~ З‘п х
х-о х3
1.28. Нт *ех-з.пх
Х-И) 4х — ЗШ X
1.30. Пт з*сгх-2<ех
х^л/4 1 СОЗ 4х
2.1. Пт 1-^О58л. х-*-о 2х 2.2. Пт х4 81п (а/х). Х-*-оо
2.3. Пт 1п х • 1п (х — 1). 2.4. Нт/^ 1 — 5
Х-.3 \х — 3 х2 — X — 6,
2.5 Нт / - — 2 \
х^' \ 2(1 — V*) 3(1 — ^/х)
2.6. Нт-^"^ . х->0 зт х 2.7. Нт (-Г- х-*-л/2 \ с1$ X 2 соз .
2.8. Нт (л — х) (х/2). Х-*-П 2.9. Нт х~аг3с1ех. х-^0 X3
2.10. Нт - -~^‘п ах . х-*-л/(2а) (2ах —л)2 2.11. Нт !~25!пх . Х-»-л/6 соз Зх
2.12. Пт . х-М) 1п (1 + 2х) 2.13. Ит-4=4-.
2.14. Нт - 1пх х—*! 1 — X3 2.15. Ит-^А-. х-И сЦг X
2.16. Ит1^со-5^. х->0 1 — соз Ьх 2.17. Пт х~а^ .
2.18. Нт1 . х^о зт 2х 2.19. Пт(х1пх).
2.20. Ит/'—! 1-1 х-М) \ х зт х хг / 2.21. Пт (1 — е2х) х. х-^0
2.22. Нт-а\~&х . х-^° хд/1—х2 2.23. Пт )',~21~х3 . х-И) 51ГГ 2х
2.24. 11т Х-И> ^зт Ьх 2.25. Пт -^0 ±хг). х+о соз Зх — е~х
2.26. Пт Х-коо ХЭ 2.27. Ит 1" {х + 7). х^+“ ^х-З
2.28. Пт—
х-ч) с1^ (5х/2)
2.29. Нт(1—соз2х) с1д4х.
2.30. Нт (х2 зт 6/х).
агсзт 4х
3
Нт-1^^-
х-»-0 X
3.3. Нт <Т±_.
х-Ч) СОЗ X — 1
3.5. Кт е,ех -1-
х-ч> 1^х — х
3.7. Кт СО5Х-|пХх--А.
х+а 1п (3х — еР)
3.9. Нт “”(^-9..
х-Ч) СОЗ X — 1
Кт
ех — х?/2 — х — 1
соз х ~ х2/2 — 1
3.6. Пт п(»-^)+Де(лх/2)
х-»4 с1^ ях
3.8. Кт--------------!----------.
х—4 соз (ях/2) • 1п (1 — х)
ЗЛО. Кт е“ "С08ах
х->о е₽х — соз рх
3.11. Кт
х-*а
хГ-аГ
хГ~сГ '
3.12. Пт х зт—.
х—*-оо 6х
3.13. Пт 31е4*Т|2Ч«
х-Ч) 3 81П 4х — 12 81П X
злз. ит^+9_-2<«-- ')
х^О X3
3.14. 1кп -Ж2—I
х-*л/4 2 8ИГ X — 1
3.16. Ит агсзт 2х-2 агсзШ х
х->0 X3
„х _ зт х
3.17. Пт а ~а
х-И) X3
3.18. Кт (1§х)‘82х.
х~*л/4
3.19. Нт !"(со^ .
х-Ч) 1п (соз Ьх)
3.21. Нт(— — 4-
х-и) \ х ех -
3 Г
3.20. Пт —I
х—я/4 2 ЗИГ X — 1
3.22. Ит х2 е-001х.
х-^оо
3.23. Пт—1п(* +У>
х*° 1п(х + 71+**)
3.24. Пт(1 — х)|ОВ!Х.
3.25.
Нт-^--» ..
х->оо 2агс1^х2 —л
3.27. Нт (—-------------Ь\.
х—1/2 \3х— 1 1п Зх/
3.29. Пт (х3е-х).
3.26. Пт 1п 2х« 1п (2х—1).
х-И/2
3.28. Пт агсзт х • х.
х-*0
3.30. Нт(х— О*-'.
х-*1
4
4.Е 1йп(1 — з1'п 2х)с'6* •
4.3. 11гп(со8 х)^х,
4.5. Нт (1п2х)'7,пх.
4.7. Нт (1 —
4.9. Нт(зтх),вх.
4;11. Птх8,пх.
х-кО ’
4.13. 11т (1 х2)|/х.
4.15. 11т^8^уе<лх/2).
4.17. Пт/ЛУ"
4.19. Нт(с1^ х)5“’х.
4.21. Пт хв/(*+21пх)
X—кое
4.23. Пт (х— 1)|/|п(2(х-1»
4.25.. Пт (с1§ 2х)1>,,пх.
4.2. Нт (1п (1/х))х.
х->0
4.4. Нт Xх.
х-кО
4.6. Пт (1 + З1п2х)17‘в’х.
х->0
4.8. Нт (1п (х + е))1/х.
х-кО
4.10. Пт <Гх.
4.12. Пт(1 — х)СО8(лх/2).
4.14. Нтх|/(х-1).
х—►!
4.16. 1йп(с4г^)'","!>.
4.18. Нт (^4)"
4.20. Нт (1п х)|/х.
Х-КОО
4.22. Нт (1 — е*)17*.
X—коо 7
4.24. Кт (соз — .
Х-коо \ X )
4.26. Пт/—--------
х-^5 \х—5 X — х — 20,
4.27. Ит х2 зт—.
х-коо . X
4.28. Пт/-----------------------?_Л.
4.29. Нт (1 — х)с<в (лх/2). 4.30. 1кп (с1^ х)5|п х.
5
5.1. Ит х(1п (2 4-х) — 1п (х + 1)).
Х->оо
5.2. Нт/соз — + А, зт
Х~коо \ _Х
5.3. Пт (х + 2х),7х.
Х-кОО
5.5. Нт (соз (/и/-/»))х-
Х-коо
?)'•
5.4. Пт (1 +3182х)с|«’
Х-кО
5.6. Нт (соз 2х)3/х’.
х-^0
5.7. Нт(1пс1§х)‘8Х.
5.9. Пт х1/1п(е‘-*).
Х-.0
5.11. Пт(1+3/х)х.
5.8. Пт (2 —х/а)'в(ях/(2а».
х-*а
5.10. Нт С-------5 \'Я1"
Х^°\2 + д/Э + х/
5.12. Кт (е* + х),/х.
х-И)
5.13. Пт(1ех)2х~я. 5.14. Пт (— агс{д х'
5Л5- 5Л6-
х->0 \ СОЗДх 7 х-кро \ 1 + 81П X 7
5.17. *Пт (соз (1 /х) + зт (1/х))х.
5.18. Пт(х—. 5.19. ИтГ-^У^.
х-^0 \ X )
5.20. Кт(-^±1у. 5.21. Нт^1 — 2х.
'х—.оо \ ХГ — 2 / х-*0 *
5.23. Пт л/соз V*-
х-м> ’ ,
5.24. Нт (1 + зт ях)с‘8ях.
5.25. Пт
х->оо \х~а/
5.27. Ит?/(4+1пх\
х->0
5.26. Пт х1^.
Х->оо
5.28. Нтх8}пх.
х^»-0
(1 \(е*
у) ..
5.30. Пт —. 2х2~х+.^
х-И X3 —* 1Х + 6
С помощью дифференциала приближенно вычислить
данные величины и оценить допущенную относительную
погрешность (с точностью до двух знаков после запятой).
6
6.1. 6.2. -726,19.
6.3. -V 16,64. 6.4; ~^8,76.
6.5. ^М. 6.6. -Уто.
6.7. (2,01)3 + (2,01)2. 6.8. -765.
6.9. 2,9/-\/(2,9)2+ 16. в-,0-л/.'+3да
б.п. -т/Ть#. 6.12. -710.
6.13. -^2оа 6.14. (3,03)5.
6.15. л/(2.°з7);-з еле. У?за
V (2,037)2 + 5
6.17. -у/27,5. еле. У17.
6.19. V640- 6.20. д/Т2-
6.21. 'V 1025. 6.22. (3,02)4 + (3,02)3.
6.23. (5,07)3. 6.24. (4,01)1,5.
6.25. -\/1,02. 6.26. соз 151°.
6.27. агс!е 1,05. 6.28. соз 61°.
6.29. 18 44°. 6.30. агс!д0,98. 7
7.1. агсзт 0,6. 7.2. агс!е 0,95. 7.3. е0 2.
7.4. 11. 7.5. агсзт 0,54. 7.6. соз 59°.
7.7. е2,01. 7.8. 1п1§46°. 7.9. агс1§УйО2.
7.10. агс1ел/^97- 7.11. агс!§ 1,01. 7.12. 1п(е2 4-0,2).
7.13. агс!е 1,03. 7.14. 1п1§47о15'. 7.15. 1е9,5.
7.16. агс1§-^зй. 7.17. 22-* 1. 7.18. 41-2.
7.19. 1§59°. 7.20. 1ое21,9. 7.21. агс!§-7^2-
7.22. с1§ 29°. 7.23. 81п 93°. 7.24. 1$ 1,5.
7.25. з1п 29°. 7.26. 1§ 101. 7.27. зт 31°.
7.28. 1е0,9. 7.29. г0’25. 7.30. -/Гб-
Решение типового варианта
Найти указанные пределы, используя правило Ло-
питаля.
/. Нт <"(х> + 1)
^Зх- 1
► Так как под знаком предела числитель и знаме:
натель дроби стремятся к бесконечности при х->оо, то
приходим к неопределенности вида Следовательно,
можно применить правило Лопиталя. Имеем:
* При нахождении пределов условимся использовать следующие
символические записи. Если функции и(х) и V(х) при или ± оо
стремятся соответственно к 0 и О, или к оо и а/, или к 0 и оо, или
1 1- (и\ 0 .. и оо
к 1 и оо и т. д., будем писать: 11пт ( —) — —, или нт — = —, или
\ о / О V ОО
Пт (ип) = 0- оо, или Пт = 105 и т. д.
Пт 1п(х2+1) = = Нт 2х/у+1) =
V3*- 1 °° х"“ 3/У(Зх-1)4
нт±^^=^ =
3 X—»-оо X2 -(- 1 ОО
2 ^(Зх-ДГ + * • у (Зх- ’) -,/5’ 3\ _
= Т 2х ~ ’ =
_Л Пт ='1 Пт -
3 х—«> дох \/Зх — 1 15. х—оо * 73х _ 1
= 1 Пт ^-5/х =()
15 х~°° узх—1
2. Кт .
х—л/2 1§Г 2х
► При х->л/2 получаем неопределенность вида у.
Применяем правило Лопиталя:
Пт 1=^ = 0 = Пт ------------~СО5*----=
~л/2 ‘е 2х 0 ~л/2 21е2х-..2
соз2 2х
= Пт .-^32*-СО5х = Нт (_СО8з2х)х
х—л/2 4 51П 2х , 4 х—л/2 7
х Пт -^5Х— =1-1 Пт -4- =
х—л/2 2 51П X СОЗ X 4 х—л/2 2 81П X
з. Пт^е^-.
х—о е5х — 1
► Имеем неопределенность вида -5-, которую раскры-
ваем с помощью правила Лопиталя:
=Ит(</" + |а<’) = ±. 4
х—о е5х— 1 х—о \ 5е5л / 5
< Нт/-------------------------\
х^° X 2 - 744-х2 716 4-х - 4 /
► Имеем неопределенность вида оо — оо. Преобра-
о
зуем ее к виду :
Пт (---. — —г~— \ = оо — оо =
х"к0 \ 2 — -у4 + ^ у 16 +х — 4/
= Ит У|6 + х~4~6 + 3У4+х2 — ± =
х-*° (2 —-74+х2 * * * * * * *)С716 + * —4) 0
_______1/(2л/16 + х) + Зх/У4+У_
^(7^7-,) + 77Ь7(2-^7)-
5. Нт (Х22+ЗХ~4У.
х-*оо \ х —X -|~ 3 /
► Имеем неопределенность вида 1ой. Введем обозна-
чение »/=(х22^3х~ 4 V. Тогда
у х — х —3 /
1п у = х 1п
1п
Нт 1п у = Пт —
X2 + Зх — 4
х2 — х — 3
х2 + 3х—4
х2—х —3
1/х
2
о
х2-х-3 (2х + 3) (х2 - х - 3) - (2х - 1) (х2 + Зх - 4)
= Нт х2 + 3х~4.
(х2 — х — З)2
— 1/х2
= Кт ((—х2(2х3 — 2х2 —6х 4- Зх2 — Зх — 9 — 2х3 — 6х2
X—► оо
+ 8х + х2 + Зх - 4)/((х2'+ Зх - 4) (х2 - х- З))”1 =
= Пт -х2(^4х2 + 2х^13)
х-^оо (х2 4- Зх — 4) (х2 — х — 3)
Так как
х2 + Зх - 4
х2 — х — 3
то
Нт/^ЬЗх-4
г-КОО \ АГ — X — 3
С помощью дифференциала приближенно вычислить
данные величины и оценить допущенную относительную
погрешность (с точностью до двух знаков после запятой).
6. -^84.
► Представим данную величину в виде ^^84 —
= “у4^-}-20 и введем функцию у = -^х, где х = х0 + Ах;
хо —64; Ах = 20. Воспользуемся формулой г/(х0 + Ах)^
!/(хо) + /(х0) Ах. Получим:
)=^й = 4. У' = ^,
О у Л
Вычисляем
^84 «4 + || =4,42.
Относительная погрешность
4,42 — 4,3
4Д2
•100% =2,7%. «
7. агс!д0,98.
► Воспользуемся той же схемой:
у = агс!д х, х0 = 1, Ах = 0,98 — 1 = —0,02,
у(хо) = агс1§ 1 =л/4,
У' = ТТИ’ У'(1)=0,5, агс1§0,98«л/4—0,5*0,02=0,77,
1 "ГЛ
6=1
0,77 — 0,78
0,77
|-100% = 13%. «
ИДЗ-6.4
Решения всех
вариантов тут >:
/. Решить следующие задачи.
1.1. Полотняный шатер объемом V имеет форму пря-
мого конуса. Каково должно быть отношение высоты
конуса к радиусу его основания, чтобы на шатер пошло
наименьшее количество полотна? (Ответ:
1.2. В равнобедренный треугольник с основанием а
и углом при основании а вписать параллелограмм
наибольшей площадью так, чтобы одна из его сторон
лежала на основании, а другая на боковой стороне
треугольника. Найти длины сторон параллелограмма.
(Ответ: а/2 и а/(4 соз а).)
1.3. Найти соотношение между радиусом /? и высотой
Н цилиндра, имеющего при данном объеме V наимень-
шую полную поверхность. (Ответ: Я = 2/?.)
1.4. Требуется сделать коническую воронку с обра-
зующей, равной 20 см. Какой должна быть высота ворон-
ки, чтобы ее объем был наименьшим? ( Ответ: 20д/3/3 см.)
1.5. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р.
Каково должно быть его основание, чтобы объем тела,
образованного вращением этого треугольника вокруг его
основания, был наибольшим? (Ответ: р/2.)
1.6. Найти высоту конуса наибольшего объема, кото-
рый можно вписать в шар радиусом /?. (Ответ: 4/?/3.)
1.7. Проволокой, длина которой I м, необходимо ого-
родить клумбу, имеющую форму кругового сектора. Ка-
ким должен быть радиус круга, чтобы площадь клумбы
была наибольшей? (Ответ: 1/\ м.)
1.8. Определить наибольшую площадь прямоугольни-
ка, вписанного в полукруг радиусом а. (Ответ: а2,)
1.9. Бревно длиной 20 м имеет форму усеченного ко-
нуса, диаметры оснований которого равны 2 м и 1 м.
Требуется вырубить из бревна балку с квадратным попе-
речным сечением, ось которой совпадала бы с осью
бревна, а объем был бы наибольшим. Каковы должны
быть размеры балки? (Ответ: длина балки 40/3 м, сторона
поперечного сечения 2"^2/3 м.)
1.10. С корабля, который стоит на якоре в 9 км от бере-
га, нужно послать гонца в лагерь, расположенный в 15 км
от ближайшей к кораблю точки берега. Скорость по-
сыльного при движении пешком — 5 км/ч, а на лодке —
4 км/ч. В каком месте он должен пристать к берегу,
чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время? (Ответ: в 3 км
от лагеря.)
1.11. Полоса жести шириной а, имеющая прямо-
угольную форму, должна быть согнута в виде открытого
кругового цилиндрического желоба так, чтобы его сечение
имело форму сегмента. Каким должен быть центральный
угол <р, опирающийся на дугу этого сегмента, чтобы
вместимость желоба была наибольшей? (Ответ: <р = л.)
1.12. Из круглого бревна диаметром (1 надо вырезать
балку прямоугольного сечения. Каковы должны быть ши-
рина Ь и высота Н этого сечения, чтобы балка, будучи
горизонтально расположенной и равномерно нагруженной,
имела наименьший прогиб? (Величина прогиба обратно
пропорциональна произведению ширину Ь поперечного
сечения и куба высоты Л.) (Ответ: Ь = с1/2, Н = (Ь/ъ/2^
1.13. Стоимость железнодорожной перевозки груза на
1 км (АВ) равна р., а автомобильной (РС)— Лг р.
В каком месте Р надо начать строительство
шоссе, чтобы возможно дешевле доставлять груз из
пункта Л в С? Известно, что |ЛВ| = а, |ВС| — Ь
(рис. 6.15). (Ответ: на расстоянии а — от точ-
' Уй2~Аг?
ки Л.^
1.14. Человеку нужно добраться из пункта Л, находя-
щегося на одном берегу реки, в пункт В на другом ее
берегу. Зная, что скорость движения по берегу в к раз
больше скорости движения по воде, определить, под каким
углом человек должен пересечь реку, чтобы достичь пунк-
та В в кратчайшее время. Ширина реки Л, расстояние
между пунктами А и В (вдоль берега) равно а. (Ответ:
гпах (агссоз (1Д), агс!§ (Л/а)).)
1.15. На прямолинейном отрезке Л В, соединяющем два
источника света: Л (силой р) и В (силой <?), найтн точку
М, освещаемую слабее всего, если |ЛВ| = а. (Освещен-
ность обратно пропорциональна квадрату расстояния от
источника света.) ( Ответ: на расстоянии ..— от точ-
К Чр + Чя
ки Л.)
1.16. Лампа висит над центром круглого стола ра-
диусом г. При какой высоте лампы над столом освещен-
ность предмета, лежащего на его крае, будет наилучшей?
(Освещенность прямо пропорциональна косинусу угла
падения лучей света и обратно пропорциональна квадрату
расстояния от источника света.) (Ответ: г/^[2}
1.17. Из всех цилиндров, вписанных в данный конус,
найти тот, у которого боковая поверхность наибольшая.
Высота конуса Я, радиус основания /?. (Ответ: радиус
основания цилиндра /?/2, высота /7/2.)
1.18. Из бумажного круга вырезан сектор, а из остав-
шейся его части склеена коническая воронка. Какой угол
должен иметь вырезанный сектор, чтобы объем воронки
был наибольшим? ( Ответ: 2лд/2/3.)
1.19. Из всех конусов с данной боковой поверхностью
5 найти тот, у которого объем наибольший. (Ответ: радиус
основания конуса -д/-5 высота ~~ V
* лд/3 V /
1.20. Пункт В находится на расстоянии 60 км от же-
лезной дороги. Расстояние по железной дороге от пунк-
та А до ближайшей к пункту В точки С составляет 285 км.
На каком расстоянии от точки С надо построить станцию,
от которой проложат шоссе к пункту В, чтобы затрачивать
наименьшее время на передвижения между пунктами
Л и В, если скорость движения по железной дороге равна
52 км/ч, а скорость движения по шоссе — 20 км/ч. (От-
вет: 25 км.)
1.21. Канал, ширина которого а м, под прямым углом
впадает в другой канал шириной Ь м. Определить наиболь-
шую длину бревен, которые можно сплавлять по этой
системе каналов. (Ответ: (а2/3 + &2/3)3/2 м.)
1.22. Найти высоту прямого кругового конуса наимень-
шего объема, описанного около шара радиусом /?.
(Ответ: 8/?.)
1.23. При каком наклоне боковых сторон равнобедрен-
ной трапеции площадь ее будет наибольшей, если боковые
стороны равны Ь, а меньшее основание а. ( Ответ: соз <р =
= (д/ а2 + 8&2 — а) /(46).)
1.24. Из фигуры, ограниченной кривой у = 3_\/х и пря-
мыми х — 4, у = 0, вырезать прямоугольник наибольшей
площадью. (Ответ: 8 =9,22.)
1.25. Равнобедренный треугольник, вписанный в
окружность радиусом /?, вращается вокруг прямой, кото-
рая проходит через его вершину параллельно основанию.
Какой должна быть высота этого треугольника, чтобы
тело, полученное в результате его вращения, имело наи-
больший объем? (Ответ: 5/?/3.)
1.26. Требуется изготовить открытый цилиндрический
бак вместимостью V. Стоимость 1 м2 материала, из кото-
рого изготавливается дно бака, составляет Р\ р., а стои-
мость 1 м2 материала, идущего на стенки бака,— Р% р.
При каком отношении радиуса дна к высоте бака затраты
на материал будут минимальными? (Ответ: Р2/Р1)
1.27. Сосуд с вертикальными стенками высотой //, на-
полненный невязкой жидкостью, стоит на горизонтальной
плоскости. Определить местоположение отверстия, при ко-
тором дальность струи будет наибольшей, если скорость
вытекающей жидкости по закону Торричелли равна
-д/2#х, где х — расстояние от отверстия до поверхности
жидкости; § — ускорение свободного падения. (Ответ: на
середине высоты Я.)
1.28. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного
полукругом. Периметр окна равен 15 м. При каком радиусе
полукруга окно будет пропускать наибольшее количество
света? (Ответ: 2,1 м.)
1.29. На странице книги печатный текст занимает
площадь 5; ширина верхнего и нижнего полей равна а,
а правого и левого — Ь. При каком отношении ширины
к высоте текста площадь всей страницы будет наимень-
шей? (Ответ: Ь/а.)
1.30. Из круглого бревна, диаметр которого с?, требует-
ся вырезать балку прямоугольного поперечного сечения.
Каковы должны быть ширина и высота этого сечения,
чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на
изгиб? Сопротивление балки на изгиб 0 пропорционально
произведению ширины х ее поперечного сечения и квад-
рата его высоты у, т. е. 0~кху\ й = сопз1. (Ответ:
х=</7з/з, у = а-\[ъ/ъ.)
2. Провести полное исследование указанных функций
и построить их графики.
2.1. у= *2~2' + 2. X — 1 2.3. у = е,/(5+х). 2.5 м- 4*-*2~4 2 2 и— *+1
У (х-1Г 2.4. у = х/(9 — х). 2 6 и = %г
X * 4х2 - 1 '
2.7. у= ух 2.9. г/ = х-1п(1 Н-х2). 2.11. у = х2 — 2 1п х. 2.8. у = х+ 2 10 и =
* У ^-х+1 2.12. у = х3е~х'/2. 2.14. у=^-2)2 . х+ 1
2 13 и = ~ 1
У х2 — 2х
2.15. у = —1п-!-+±. * 1 —х 2.16. у = 1п(х2 + 1).
2.17. у = ^-. а Х2+ 1 2.18. У = х 1п X.
2.19. у — (х — 1 )е3х+1. 2.20. У = х2 — Зх + 2 х + 1 ’
9 21 2х-1 2.22. и = X5
У (х—I)2' У — х4 - 1 '
2.23. у = (х3 4- 4)/х2. 2.24. У = у-^(х - 5).
2.25. У = ^/(х4 — 1). 2.26. У = (^4-1)/е\
2.27. у = х24- 1/х2. 2.28. У = (5х4 4- 3)/х.
2.29. 4 — 2х 2.30. У = 5х 4 — х2
3. Провести полное исследование данных функций и
построить их графики.
ЗЛ. у = е2х~х\
3.3. у= 2(х+ 1)2 .
3.5. у = (4ехг — 1)/е<
3.7. у = хе1/х.
3.9. у = ^_.
(х-2)2
3.11. у = х?е'/х.
3.13. у = (х4-2)е'-\
3.15. у =
3® У = (х+1)е2\
3.19. у = х*/(х3 — 1).
3.21. у = 1п(1 — 1/х2).
3.23. у = х— 1п (1 4-х2).
3.25. у = (х — 1)е4х+2.
3.27. у= —х1п2х.
3.29. у = е|Д2-х).
3.2. у = х 4- 1п (х2 — 4).
3.4. у = х 1п2 х.
3.6. у = х2е~х^2.
3.8. у= 2 + * .
у (х+1)2
3.10. г/== хе*.
3.12. у = х2/(х + 2)2.
3.14. у = —.
X
3.16. у=^—.
* 9-х3
3.18. «/= 4х/(4 4-х2).
3.20. у = 1п(х2 —2x4-6).
3.22. у = х3ех+1.
3.24. у = 1 - 1п3 х.
3.26. у = .+ 2 + 4х
47 2 — х
3.28. у = х2 — 2 1п х.
3.30. у = 1п (4 — х2).
4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
у = [(х) на отрезке [а; 6].
4.1. у = 1п (х2 - 2х 4- 2), [0; 3].
4.2. у = 3х/(хг+ 1), [0; 5].
4.3. у = (2х- 1)/(х-1)2, [-1/2; 0].
4.4. у = (х + 2)е'~х, [-2; 2].
4.5. у = 1п (х2 — 2х 4- 4), [ — 1; 3/2].
4.6. у = х3/(х2 — х4-1), [ —1; 1].
4.7. у = ((х + 1)/х)3, [1; 2].
4.8. у =~\/х—х3, [ — 2; 2].
4.9. у = 4-е~х\ [0; 1].
4.10. «/= (х3 4-4)/х2, [1; 2].
4.11. у = хех, [ — 2; 0].
4.12. у = (х — 2)ех, [ — 2; 1].
4.13. у = \х— 1)е~х, [0; 3].
4.14. у = х/(9 —х2), [ — 2; 2].
4.15. у = (1 + 1п х)/х, [1/е; е].
4.16. у = е4х~х\ [1; 3].
4.17. г/= (х5 — 8)/х4, [ —3; -1].
4.18. у = ^±±, [-1; 2].
4.19. у = х1пх, [1/е2; 1].
4.20. у = х3ех+1, [—4; 0].
4.21. у = х2 —2x4-2/(х—1), [-1; 3].
4.22. у = (х+ 1)-уС?, [-4/5; 3].
4.23. у = е6х-х\ [ — 3; 3].
4.24. у = (1пх)/х, [1; 4].
4.25. у = Зх4 — 16х3 4- 2, [—3; 1].
4.26. у = хъ — 5х44-5х34- 1, [—1; 2].
4.27. у=(3 — х)е~х, [0; 5].
4.28. у = "\/з/2 4- соз х, [0; л/2].
4.29. у= 108х —х4, [—1; 4].
4.30. у = х4/4 - 6х3 4- 7, [16; 20].
Решение типового варианта
1. От канала шириной 32 м отходит под прямым углом
другой канал шириной 4 м. Определить наибольшую
длину бревен, которые можно сплавлять по этой системе
каналов. (Толщину бревна не учитывать.)
► Обозначим длину бревна через I. Тогда:
/ = ИС| = |ЛВ| + |ВС|, |ЛВ| = 4^1=^.
51П (р 51П ф СОЗ ф 81П ф
(рис. 6.16).
Исследуем функцию / на экстремум:
/7 (Н 32
Г — ------- — -------— 51П ф —
б/ф С05 ф
4 32 51П3 (р — 4 со$3 ф
------— С05 ф = -------------------------—
51П2 ф 51П2 ф • СО52 ф
Если /' — О, то 32 51п3 ф — 4 соз3 ф = 0. Так как
соз ф 0, то из последнего уравнения имеем: ф = 1 /8,
Ф = 1/2, 51Пф=1/~\/5, со5ф = 2/д/5, ф^26°34'.
В окрестности этого значения ф знак производной Г
определяется знаком ее числителя, т. е. выражения и(<р) =
= 32 51П3 ф — 4 соз3 ф. Имеем:
н(ф)|ф=2бй 32 - 0,4383 — 4 • 0,8993 « 2,696 — 2,904 < О,
«(<₽)1ф=27‘ « 32 • 0,4543 - 4 • 0,8913 ж 2,994 - 2,829 > О,
т. е.
/(ф)|ф = 26°34' — 4пах -
Следовательно, при ф^26°34Л расстояние |ЛС| будет
минимальным, поэтому наибольшая длина /тах бревна,
сплавляемого из одного канала в другой, не может быть
больше этого расстояния. Окончательно получаем:
/,Пах = 20^5 « 44,72 м. 4
2. Провести полное исследование функции у = (х +
+ 3)2/(х —4) и построить ее график.
► Исследуем данную функцию, придерживаясь в
основном схемы, предложенной в § 6.7.
1. Областью определения функции является множество
— 4)и(4; + оо).
2. Ордината точки графика {/>0 при х > 4, у < О
при х < 4.
3. Точки пересечения графика данной функции с осями
координат: (0, —9/4) и ( — 3, 0).
4. Легко находим, что х — 4 — вертикальная асимпто-
та, причем:
Нт у= Кт + _ оо, Нт у =
х-4-0 х-И-0 Х — 4 х—4+0
= ||т
х-И +0 X — 4
Находим наклонные асимптоты:
4= Нт Ж= Пт <* + з>’ = и
Х^±оо Х х->±оо х(х— 4)
Ь = Нт (/(х)-йх)= Нт (&+.$. -?) =
Х-> ± оо х-к ± оо \ X — 4 /
= Нт -** + 6х + 9-*г + 4* = Нт -1.^+9 = 10.
Х-^±ОО х — 4 Х-» ± оо х — 4
Таким образом, существует единственная наклонная
асимптота у = х4- Ю.
5. Исследуем функцию на возрастание, убывание, ло-
кальный экстремум:
, = 2(х + 3) (х — 4) - (х + З)2 = 2х2 — 2х - 24 - х2 - 6х - 9 =
(х — 4)2 (х — 4)2
_ х2 — 8х — 33
“ (х — 4)2
Из у' — 0 следует х2 — 8х — 33 = 0, откуда х\ — 11,
Х2= — 3. В интервале (—оо; —3) {/'>0, следовательно,
функция возрастает в этом интервале; в ( — 3; 4) у' < 0,
т. е. функция убывает. Поэтому функция в точке х— — 3
имеет локальный максимум: г/(— 3) = 0. В интервале (4; 11)
/<0, следовательно, функция убывает на этом интер-
вале; в (11; + °°) У' > 0, т. е. функция возрастает.
В точке х — 11 имеем локальный минимум: {/(11) = 28.
6. Исследуем график функции на выпуклость, вогну-
тость и определим точки перегиба. Для этого найдем
//_ (2х — 8) (х — 4)2 — (х2 — 8х — 33) • 2 (х — 4) _
у
__ 2х2 — 8х — 8х + 32 — 2х2 + 16х + 66 98
(х — 4)3_____________________________(х — 4)3 '
Очевидно, что в интервале (—оо; 4) у" <0, и в этом
интервале кривая выпукла; в (4; + оо) у" > 0, т. е. в этом
интервале кривая вогнута. Так как при х — 4 функция не
определена, то точка перегиба отсутствует.
7. График функции изображен на рис. 6.17. ◄
3, Провести полное исследование функции у = хе~е/2 и
построить ее график.
► Воспользуемся общей схемой исследования
функции.
1. Область определения функции (—оо; 4-оо).
2. Так как {/ = 0 при х — 0, то график функции про-
ходит через начало координат.
3. Функция принимает положительные значения в ин-
тервале (0; + °°) и отрицательные в интервале (— оо; 0).
4. Вертикальных асимптот нет. Ищем наклонные
асимптоты:
й— Пт = Кт -Д—=0,
Х->±оо х х->±оо ех
Ь= Нт (/(х) — кх)= Нт —^—= Пт —' = 0.
х_^±Оо х-»±оо е 1 х-^±оо ех ‘
Получаем горизонтальную асимптоту # = 0.
5. Так как у( — х) = — х/е*2/2 = — у(х), то функция
нечетна и ее график симметричен относительно начала
координат.
6. Исследуем функцию на монотонность:
ех2/2 — Ххех^2
ех2
Если у' = 0, то 1— х2 = 0, откуда Х1 = — 1, х2 — 1. Эти
точки разбивают числовую ось на три интервала:
в ( — оо; — 1) у' < 0,и функция в этом интервале убывает;
в (— 1; 1) у' > 0 и функция возрастает; в (1; + оо) у' < 0,
и функция в этом интервале убывает. В точке х = —1
имеем минимум:
а в точке х = 1 — максимум:
7. Исследуем свойства функции, связанные со второй
производной:
г 1 — х2 „ — 2хех’/2 — (1 — х2) хе^2
У У ~~ е** “
__ хе/!/2( —2 — 1 + *2) _ х (х2 — 3)
Если у" = 0, то х(х2 —3) = 0, откуда Х\ =0, х2 =
Хз=~у/~3. В интервале ( — оо; — д/з) у" <0, т. е. кривая
выпукла в этом интервале; в ( — д/3; 0) у" > 0, т. е. кривая
вогнута; в (0; д/з) у" <0, кривая выпукла; в (7з; + оо)
у" > 0, кривая вогнута. Так как в точках х = ± д/з, х = 0
вторая производная у" меняет знак, то при этих значе-
ниях х на графике функции получаем точки перегиба,
ординаты которых:
Х±л/з) = ±л/з/е3/2 « ±0.4, у(0) = 0.
8. Полученные данные позволяют построить график
функции (рис. 6.18).
4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
у = 2 51п х + соз 2х на отрезке [0; л/2].
► Находим критические точки:
у' == 2 соз х —- 2 зт 2х,
Если у' — 0, то
2 соз х — 4 51п х соз х = 0, 2 соз х (1 — 2 зт х) = 0.
Если соз х = 0, то х== л/2 Н-2йл; если же зтх=1/2,
то х = (— 1)" А -|- ли, й, п 6 2.
Из всех найденных критических точек только х = л/6
и х = л/2 принадлежат отрезку [0; л/2]. Вычислим значе-
ния данной функции при х = 0, х = л/6, х = л/2:
!/(-=-) = 2 81п-2- +соз^ = 1 +± = 1,5,
= 2 51п ~ + соз л = 2 — 1 = 1.
Следовательно, наибольшего значения на отрезке
[0; л/2] данная функция достигает в точке х = л/6:
у(л/6)=1,5, а наименьшего — в точках х = 0 и х = л/2:
у(0) = у(л/2)=1. 4
6.11. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 6
1. Определить, в каких точках и под каким углом пере-
секаются графики следующих функций:
а) /(х) = х\ ^(х)=1/х2; б) /(х) = х2 — 4х + 4, ё(.х) =
— — х2 + 6х — 4. (Ответ: а) (1, 2), <р = л/4; б) (1, 1), (4, 4),
<р = агс!е (6/7).)
2. Записать в декартовых и полярных координатах
уравнение нормали к кардиоиде р = а(1 -|- соз ср) в точке
с полярным углом ф —л/6. (Ответ: х — у— (1 +
+ 2’\/з)а/4 = 0, р =( 1 + 2-д/з) а/(4(соз ф — зт ф)).)
3. Тело массой т = 1,5 кг движется прямолинейно
по закону $(/) = /2 + + 1 ($ — в метрах, / — в секундах).
Найти кинетическую энергию тела через 5 с после начала
движения. (Ответ: 90,75 Дж.)
4. Материальная точка движется по спирали Архимеда
р = аф так, что угловая скорость вращения ее полярного
радиуса постоянна и равна л/30 рад/с. Определить ско-
рость удлинения полярного радиуса р, если а =10 м.
(Ответ: л/3 м/с.)
5. Количество теплоты Дж, необходимое для нагре-
вания 1 кг воды от 0 до 7 °С, определяется формулой
<2 2 - 10”5/2 + 3 • 10-7/3. Определить теплоемкость
воды при/=100°С. (Ответ: 1,013 Дж/(кг • град).)
6. Камень брошен с заданной начальной скоростью
под углом а к горизонту. Пренебрегая сопротивлением
воздуха, определить, при каком значении а дальность
полета камня будет наибольшей. (Ответ: л/4.)
7. Внутреннее сопротивление гальванического элемента
равно/? Ом. При каком внешнем сопротивлении мощность
тока, получаемого от этого элемента во внешней цепи,
будет наибольшей? (Ответ: Я Ом.)
8. Исследовать данные функции и построить их
графики:
а) х = I3 + 2/2 + I, у = — З/3 + 3/ — 2;
б) х = (/—1)2(/— 2), // = (/— 1)2(7 —3);
в) х3 — у3=\; г) у3(2 — х') = х3.
9. Найти пределы:
а) Нт (1&х)‘82х; б) Нт (2 — х/а)‘8(лх/(2а));
х->л/4 х->а
в) Пт /------— --------!—— \;
Х-И \ 2 (1 — д/х) 3 (1 — V*) '
г) Кт х5|пх.
х->0
(Ответ: а) е"*1; б) ел; в) 1/12; г) 1.)
10. Использовав разложение функций по формуле
Маклорена, найти предел
Пт С05Х~е—(Ответ: — 1 /12.)
х->0 X
11. Для осушения болот надо вырыть открытый канал,
поперечное сечение которого — равнобедренная трапеция.
Канал должен быть устроен так, чтобы при движении
воды потери на трение были наименьшими. Определить
величину угла откоса а, при котором эти потери будут
наименьшими, если площадь поперечного сечения кана-
ла 5, а глубина Н. (Ответ: а = л/6.)
12. Сечение шлюзового канала имеет форму прямо-
угольника, заканчивающегося полукругом. Периметр се-
чения равен 45 м. При каком радиусе полукруга сечение
Ответ: 4 л м. 1
13. Вода вытекает через отверстие в толстой стене.
При этом секундный расход воды определяется по формуле
— суд/Н — у, где с — некоторая положительная постоян-
ная; у — диаметр отверстия; К — глубина его низшей
точки. Определить, при каком диаметре отверстия у се-
кундный расход воды (2 будет наибольшим. (Ответ'.
14. Найти наименьшую длину стрелы крана, необхо-
димую для монтажа плит перекрытия здания высотой Н
и шириной а, при условии, что кран может двигаться
вдоль фасада здания параллельно ему, высота основания
стрелы крана над землей Л, зазор между стеной здания
и стрелой крана всегда не менее т. Кран должен подавать
детали так, чтобы крюк его приходился точно над сере-
диной здания. Решить задачу в общем виде, сделать
расчет при Н ==125 м, т = 15 м, а =10 м, К = 116 м.
(Ответ: 23,3 м.)
15. По трубе круглого сечения радиусом г течет вода.
Известно, что скорость течения прямо пропорциональна
так называемому гидравлическому радиусу /?, вычис-
ляемому по формуле /? =5/р, где 5 — площадь сечения
потока воды по трубе; р — смоченный (подводный) пери-
метр сечения трубы. При каком центральном угле запол-
нения трубы водой скорость течения воды будет наиболь-
шей? (Ответ: 258°.)
16. Показать, что точка максимума момента изгиба
равномерно нагруженного бруса длиной I находится в
центре бруса. (Момент изгиба бруса в точке М задается
формулой М = ~1х — у сох2, где со — удельная нагрузка;
х — расстояние от точки до начала бруса.)
17. Однородный стержень АВ, который может вра-
щаться около точки Л, несет груз <2 на расстоянии 5
от точки А и удерживается в равновесии вертикальной
силой Р, приложенной к свободному концу В стержня.
Вес погонного сантиметра стержня д. Определить длину
стержня, при которой вертикальная сила Р будет наи-
меньшей. (Ответ: |ЛВ| = д/2$0/д, Рнаим = ^/2ядО.)
18. Определить приблизительно (с точностью до целого
числа) относительную погрешность при вычислении по-
верхности сферы, если при определении ее радиуса отно-
сительная погрешность составила 1 %. (Ответ: 2 %.)
19. Определить приблизительно (в процентах, с точ-
ностью до целого числа) изменение силы тока провод-
ника, если его сопротивление увеличивается на 1 %.
(Ответ: уменьшится на 1 %.)
20. Как следует изменить длину маятника I = 20 см,
чтобы период его колебаний Т увеличился на 0,05 с?
(Период Т — 2л^///д.) (Ответ: увеличить на 2,23 см.)
21. Найти координаты центра кривизны (параметриче-
ские уравнения эволют) данных линий в произвольной
точке:
' а) гиперболы _ 1;
б) астроиды х2/3 + у2/3 = а2/3.
б) ? =
— л —ох у , т] — У \ ох у .)
22. Вычислить наибольшее значение радиуса кривизны
линии р = а зш3-^. ^Ответ:
23. Найти уравнение окружности кривизны линии
у~ех в точке (0, 1). (Ответ: (х + 2)2 + (у — З)2 — 8.)
ПРИЛОЖЕНИЯ
1 . Контрольная работа «Векторная алгебра» (2 часа)
1
Точки К и 1 служат серединами сторон ВС и Сй параллелограмма
АВСй. Положив АК = а и АС = Ь, выразить через а и Ь указанные
векторы.
1.1. ВС, Сй. 1.2. АС, АВ. 1.3. Вй, ВС.
1.4. Кй, КС. 1.5. ВК, йС. 1.6. СК, ВА.
1.7. йА, йВ. 1.8. СВ, ЁС. 1.9. СЛ, КВ.
1.10. РВ, йА.
В правильном шестиугольнике АВСйЕР со стороной, равной 2,
• >
из вершины А выходят единичные векторы т по направлению АВ и п
по направлению АР. Выразить через шип указанные векторы.
1.11. АО, ЁС. 1.12. ВО, йР. 1.13. АЕ, йР.
1.14. АС, ВЕ. 1.15. ВС, Вй. 1.16. РВ, АЕ.
1.17. Ай, СР. 1.18. йА, РС. 1.19. АС, Вй.
1.20. СЕ, РВ.
Дан тетраэдр О АВС. Положив О А — а, ОВ = Ь, ОС — с, выразить
через а, Ь, с указанные векторы (точки М, Р и К — середины ребер
ОА, ОВ и ОС, а и 5 — середины противоположных ребер).
1.21. ММ, МС. 1.22. РА. 1.23. Ё8, ЁВ.
1.24. ММ, МО. 1.25. (}Р, Б$. 1.26. ЁЁ, 08.
1.27. МР, С8. 1.28. МР, СМ. 1.29. М(), ЁЁ.
1.30. КМ, МВ.
2
Найти площадь треугольника, построенного на векторах а и Ь.
2.1. а= —2] + Зк, Ь=31 —21
2.2. а = 21 — -|- к, Ь = । -Ь 2] — 4к.
2.3. а = 51 — 2| — к, Ь= -21-Н —7к.
2.4. а = Ш — -|- к, Ь = 21 -Ь 3| — 4к.
2.5. а = 71 - 4| + 2к, Ь = 1 + 3| — 4к.
2.6. а = 1 + 2] - Зк, Ь = 3| — к.
2.7. а = 4|-Л-6к, Ь = 2] —Зк.
2.8. а = —31 -|- 6| - 2к, Ь = 1 -|- 2} + 4к.
2.9. а = 31 4- 7) — 2к, Ь = I - । -|- 5к.
2.10. а = 1 -Ь 61 — 2к, Ь = 51-|-41
Параллелограмм построен на векторах а и Ь. Найти его высоту,
опущенную на сторону, совпадающую с вектором а.
2.11. а = 51+ 7} — Зк, Ь= —14-2] + 4к.
2.12. а = — 41 — 9( + 2к, Ь = 1 — 4} + к.
2.13. а = 31 — 2( + 6к, Ь = 5( — 4к.
2.14 а = 41 — 6) — к, Ь = 1 — 2] + 5к.
2.15. а = 4! — 3} + к, Ь = 21 — 6} + Зк.
2.16. а = 51 + 2] + Зк, Ь = 51 + 2к.
2.17. а = 41 +1 4- к, Ь = 21 44 — к.
2.18. а = 31 — 2) 4- 4к, Ь = 1 4- 3} — к.
2.19. а = —31 4- 5| 4- 2к, Ь = 21 — 3| 4- 6к.
2.20. а = 1Н — 5) 4- 4к, Ь = 21 —
Найти |а X Ь|, если |а| = к, |Ь| = I, а • Ь = р.
2.21. к = "729? I = -у/бГ, р = 36.
2.23. к = д/^5? I = "714? р = 5.
2.25. к = -уДб, I = -^§8? р = — 24.
2.27. к = "750? I = "\/14? р = — 23.
2.29. к = "^53? I = д/ЗО? р = 12.
2.22. к = ' д/74, / — у 20, р = 20.
2.24. к = д/5з? / = р = 25.
2.26. к = ~ ^30?/ = д /29?р = —28.
2.28. к = ~ / = Л/2Ь р = 20.
2.30. к = ~ / = Л/2Ь р = 10.
3
Найти проекцию вектора с на направление вектора д.
3.1. с = ( — 2, 0, 1), 4 = (1,2, —3). 3.2. с = (4, —5, I), 4 = (3, 2, —4).
3.3. с = (2, -8, 1), а = ( —3, -I, 2). 3.4. с = (-4, 5, 2), д= (3, 4, -6).
3.5. с = (9, 5, —4), д=(3, 2, 6). 3.6. с=(3, — 4, 11с! = (— 2, 5, 3).
3.7. с = (3, 7, -5), 4 = (I, 4, —9). 3.8. с = (3, -6, 5), 4 = (I, 4, 4).
3.9. с = ( —7, —5, 1), с! = (3, 4, —2), 3.10. с=(5,4, — I), д=(2, —4,6).
Вектор х, коллинеарный вектору а, образует острый угол с осью
Ог. Найти координаты вектора х, если |х| =/.
3.11. а = (4, — 7, I), / = д/264~. 3.12. а = (5, —3, —I), I =
3.13. а = (4, 5, —6), I = "7зо8. 3.14. а = (3, —5, 7), I = "71328.
3.15. а = (4, — 2, 2), / = 10"Т& 3.16. а = (5, 6, —7), / = 3"7Г1о7
3.17. а = (5, —3, 9), / = 2"7Н57 3.18. а = (5, —3, 1), / = 5д^5?
3.19. а = (7, —4, 2), / = 4"Тб9? 3.20. а = (3, —1, 7), / = 6д/5Г
Вектор х, перпендикулярный к векторам а и Ь, образует с осью Оу
тупой угол. Найти координаты вектора х, если |х| = р.
3.21. а = (4, 2, —2), Ь = (5, 1, —3), р = "715?
3.22. а = (7, 5, 2), Ь = (0, 4, 3), р = "726?
3.23. а = (4, 3, — 1), Ь = (3, 4, 8), р = "\^2?
3.24. а = (2, 0, 2), Ь = (4, —6. 0), р = у22.
3.25. а = (3, 4, —1), Ь = (4, 6, —4), р = "712?
3.26. а = (4, 6, 5), Ь = (—4, 2, 7), р = "717?
3.27. а = ( —2, 7, 10), Ь = (0, 3, 4), р = д^б?
3.28. а = (—1, 9, 2), Ь = (14, —1, —3), р = "Т27?
3.29. а = (4, 5, 8), Ь = (5, 2, —7), р = д/26?
3.30. а = (12, 3, —2), Ь = (11, 7, 1), р = д/йб?
4
Найти угол между векторами а и Ь при указанных условиях.
4.1. |а| = 1, |Ь|=2, (а- Ь)2 + (а + 2Ь)2 = 20.
4.2. |а| =2, 1Ы=3, (2а — ЗЬ)2 — (а + 4Ь)2 = 69.
4.3. |а|=4, |Ь| = 1, (За + 2Ь)2 + (а - 5Ь)2 = 189.
4.4. I а| = 3, IЫ = 5, (а - ЗЬ)2 4- (2а + 4Ь)2 = 595.
4.5. |а| =5, |Ь| =4, (4а + Ь)2 — (За — 2Ь)2 = 77.
4.6. Iа| = 4, |Ь| = 3. (2а - 5Ь)2 — (а + 2Ь)2 = 93.
4.7. |а|=6, |Ь| = 1, (а — 8Ь)2 — (2а + ЗЬ)2 = 31.
4.8. |а| =5, |Ь|=4, (За - Ь)2 - (а + 6Ь)2 = 0.
4.9. I а| = 7, |Ы = 2, (а + 4Ь)2 + (За - 7Ь)2 = 274.
4.10. |а| =3, |Ь| =6, (5а - 2Ь)2 - (а + ЗЬ)2 = 270.
Найти угол между векторами шип, если |ш| = |п| — 1 и указан-
ные векторы а и Ь взаимно перпендикулярны.
4.11.
4.13.
4.15.
4.17.
4.19.
а = 5ш — 4п, Ь = т -|- 2п.
а — т -|- п, Ь — 2т — п.
а = т — 2п, Ь = 5т -|- 4п.
а — 2т — Зп, Ь — т — п.
а — 2т -|- 4п, Ь = т — п.
4.12.
4.14.
4.16.
4.18.
4.20.
Выяснить, для каких векторов
4.21. |а-ЬЬ| = |а| -ЫЫ.
4.23. 1а + Ы = |а — Ы.
а = Зт + 2п, Ь = т — п.
а — т -|- 2п, Ь = 5т — 4п<
а = Зт — 2п, Ь = т -|- 4п<
а = 2т + п, Ь = т — п.
а = Зт — 4п, Ь = т + п.
4.25. |а| + |Ь| =0.
4.27. (а-ЬЬ)2= |а!2-ЫЫ2.
4.29. (а-|-Ь) Х(а-|-Ь) = 2ахЬ.
и Ь выполняются данные условия.
4.22. |а-ЬЫ = |а| — |Ы-
4.24. |а —Ы = |а[ 4- |Ь|.
4.26. а/1 а| = Ь/|Ь|.
4.28. а= |а|Ь.
4.30. )а-Ы2 = |а|2-ЫЫ2.
а
5
Выяснить, при каком значении а векторыа,Ь и с будут компланарны.
5.1. а = (3, -1, 4), Ь = (2, а, -5), с = (1, 0, 2).
5.2. а = (4, — 2, а), Ь = (-5, 1, 3), с = (2, 4, —3).
5.3. а=(3, -1, 4), Ь = (1, —4, 0), с = (а, 3, 2).
5.4. а = (а, 2, —5), Ь = (3, 1, 1), с = (4, —1, 0).
5.5. а = (—1, 5, — 7), Ь = (4, 2, а), с = (3, 5, 1).
5.6. а = (2, 1, —1), Ь — (4, -2, 1), с = (а, —3, —2).
5.7. а=(4, -5, 3), Ь = (2, а, -1), с = (1, 5, 6).
5.8. а = (3, -2, 1), Ь = (1, -5, 2), с = (а, 4, —1).
5.9. а = (2, -3, 5), Ь = (1, -4, а), с = (2, 1, —3).
5.10. а = (1, 1, а), Ь = (-3, 3, 1). с = (2, 3, —3).
Найти объем пирамиды, построенной на векторах а, Ь и с.
5.11. а = (5, 2, 0), Ь = (2, 5, 0), с = (1, 2, 4).
5.12. а = (-12, 2, —4), Ь=( —4, 2, 3), с = ( —3, 4, —3).
5.13. а = (0, 1, —1), Ь = (1, 0, —1), с = (3, 2, 0).
5.14. а = ( —5, 6, -8), Ь = ( —2, -3, 1), с=(-3, 1, 1).
5.15. а = (4, 4, -6), Ь = (1, 3, 1), с = (0, -2, 0).
5.16. а = (1, 2, —1), Ь = (0, 2, 2), с = (— 1, 1, —2).
5.17. а = (— Ь 3, 3), Ь = (0, 4, 2), с = (3, 3, -4).
5.18. а = ( —3, 6, 2), Ь = ( —4, -1, -5), с=(1, 0, 5).
5.19. а = (3, —2, 1), Ь = (1, 4, 0), с = (5, 2, 3).
5.20. а = (-3, 0, -2), Ь = (-1, —1, 3), с = (-4, -1, 0).
Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах а,
Ь и с, если за основание взят параллелограмм, построенный на векторах
а и Ь.
5.21. а = (2, 3, -1), Ь = ( —2, 4, 5), с = (3, -1, 4).
5.22. а = (3, 6, -8), Ь = (-2, 4, -6), с = (5, 2, -1).
5.23. а = ( — 4, 5, —4), Ь = ( — 4, 0, 2), с = ( —3, 3, —5).
5.24. а = (—1, — 2, 5), Ь = ( —4, -2, 5), с = (1, —3, —2).
5.25. а = (2, —1, 1), Ь = ( —3, О, 4), с = (О, 4, 3).
5.26. а = ( —2, 5, 5), Ь = (-2, 1, —1), с = (—5, 1, 5).
5.27. а = (-2, 3, О), Ь=( —2, О, 6), с = (О, 3, —2).
5.28. а = (4, -6, 4), Ь = (4, —1, 2), с = (3, 2, 7).
5.29. а = (—12, 2, —4), Ь = (-4, 2, 3), с = ( —3, 4, —3).
5.30. а = (5, 2, 0), Ь = (2, 5, 0), с = (1, 2, 4).
2. Контрольная работа «Пределы» (1 час)
Найти пределы.
„ , . Зх2 — 2х — 1
1.1. Ит — .
х—>1 X + 4х 4- 1
14 Нт х2 — 4х 4- 3 1 .о. 11т —х .
х->з 2х — 5х 4- 1
. . х2 — 25
1.5. Ит — .
х->5 х — 4х 4- 5
. _ к 2Х2 4- 5х 4- 1
х—► —з х24-2х —3
ЯЛ Х-2 16
1.9. Ит — .
х-*—4 х 4~ 5х 4- 2
. 2х2 4- х — 3
1.11. Ит —т-2- .
х—и х2 4- х — 2
1 14 ЗХ2 - 10х + 3 1.13. Ит —г .
х->з х — 2х — 3
. . _ ,. 2х2 — 1 Зх — 7
1.15. Нт— .
х-,-7 х? — 9х + 14
. .. 2х2 — Их+ 5 1.17. Ит —- : .
х-*5 х2 — 7х 4“ 10
, ,. Зх2—17х —28
1.19. кт—- .
х->7 х2 — 9х 4~ 14
X2 — х — 6
1.21. Ит —9— —.
х-> —2 2х + X — 6
1 94 Нт ЗХ2 + X — 2 1.23. Ит — .
х—> — I Зх 4~ 4х 4~ 1
1 ОК Г X2 4-2х — 15 1.25. Нт —
Л-^-5 2х2 + 7х — 15
о, г Зх2-5х + 2 1.27. кт —5 : .
х—> 1 х — 4х 4- 3
1
1.2. Ит - х->2 . г2 4- х 4- 1 г2 — х — 2 '
1.4. Нт - х->4 х2 — х — 2 с2 — 5х — 4
1.6. Нт х-* — 1 х2 4- Зх 4- 1 । 2х2 — Зх — 5
1.8. Ит х—: х2 -|- х — 2 2 2Х2 — х 4- 1
1.10. Нт х->3 х2 4- х — 3 х2 — 4
1.12. Нт х->2 2х2 — Зх — 2 х2 — Зх 4- 2
1.14. Пт х—>5 Зх2 — 14х 4- 5 х2 — 6х 4- 5
1.16. Нт т->3 Зт2 — 5т — 3 т2 — 5т 4- 6
1.18. Нт х—>6 2Х2 — 9х —- 18 х2 — 7х 4- 6
1.20. Нт - х->3 Зх2 — 8х - 3 X2 — X — 6
1.22. Нт х^2 х2 — х — 2 X2 4- х — 6
1.24. Ит 1-^ — 2/2 — 5/ - 7 1 3/24-/ —2
1.26. Нт 2х2 4- 9х 4- 4 4 х2 — х — 20
1.28. Нт х2 4- Зх 4- 2 2 2х2 4- 5х 4- 2
1.29.
,. х2 — х — 12
Игл —---------------
х-^4 х — 2х — 8
1 ОА I • X2 — X — 1 2
1.30. Нт —5-----------—
х->—з X2 4- 5х 4- 6
2
Л , 2х24-Зх-2
2.1. Ит—-----------
х. “2 Зх2 -|- 2х — 8
2.2.
2.3.
Пт
х—2
Юх — Зх2 — 8
Зх2 — 8х 4- 4
2.4.
2.5.
7х —%2—12
Ит —-----------.
х->з 2х2 — 11х 4- 15
2.6.
Зх2 —5x4-2
Ит----5------—.
х-^1 2х — х — 1
,. 2х2 — х — 3
Ит —5---------.
х->1 х — Зх — 4
3 —8х —Зх2
Нт —г---------—
2.7.
Пт
х—5
2х2 — 17х 4- 35
х2 — х — 20
2.8.
.. 2х2 —
Пт-------
2.9.
Пт
2х2 — 16х 4~ 1
Зх2 4- 5х - 2
2.10.
Зх2 4- 2х — 1
,1т —Вг—;—
хг — 1
2.11.
,. 2х2 4- х — 3
Ит —5—!.
х->1 Зх 4~ х 4- 2
2.12.
.. 4х2 4- 2х — 3
Нт —---------—
Зх2 4-10x4-5
2.13. Нт —.
х^з х2 — 2х — 3
2.14.
2.15.
.. Зх2 — 6х 4- 2
Ит —5.
х—^—2 х? 4~ 5х 4~ 6
2.16.
.. Зх2 — 14х — 5
Ит----ъ.
х->5 2Х2 4* Зх 4“ 5
Пт -У+9* + 2
х^-2 X2 — ЗХ — 10
0 17 1 Зх2 + ^Х + 1
2.17. Пт —-—-----------'----.
х—► — 1 х2 — 6х — 7
2.18.
2.19.
2.21.
2.23.
2.25.
Пт
х->2
Пт
х~>4
2.27.
х2 — 5х 4- 6
Зх2 — 4х — 3
х2 — х — 12
х2 — 4х 4- 3
Нт
х^-З
Нт
2.20.
2.22.
х2 — х — 12
х2 4-16
2х2 — Зх 4- 2
4х — Зх2 — 1
2х2 4- Зх — 1С4
Ит----------------
х^2 Зх2 — 7х 4- 2
2.29. Пт
Зх2 — 2х — 5
х2 4- Зх 4- 4
3
2.24.
2.26.
Нт- '-----—
х~> —з 2х24-3х —7
Нт-4-^ + 5
х-5 2х2 — 7х — 18
.. 4х2 — 7х — 2
Пт —-=------.
х^2 х2 — 7х 4- 10
3x2 4-х 4-4
Пт ——!---!--..
х^1 2х2 4- х — 3
,. Зх2 -|- х — 2
Пт ——5.
х2 — 2х 4- 3
2.28. Пт —-----------+8
х- >2 2х2 — Зх — 2
2.30.
2х2 — Зх — 9
Ит —--------------
х~>з Зх2 — 5х — 10
3.1.
Ит
х~>2
V Зх — 2 — 2
х2 — 4
3.3.
д/х24-4 — 2
Пт ——=------.
д/Э-^-3
3.5.
Нт
х^З
Ус + 13 —4
х2 — 9
3.6. Пт
х~+4
л/9 — х — 3
3.7. Нт \ —------
3.8. Нт
л-*3
у/х — 2
-/2х + 1 - 3
У2х + 3—3
2 — У* + 1
3.9.
-у/п2 -|- 9 — 3
Нт \ —-------.
-уД — п2 — 2
3.11. Пт
х~>3
д/5х + 1 — 4
х2 — 9
3.10.
3.12.
Пт
Пт
7х
3.13. Нт
х~>2
’у/бх — 1 — 3
х2 — 2х
3.14. Пт
3.15. Нт
х-^2
3.16. Пт
Ь~+5
3.17. Нт
3.18. Пт
а ^2
у/бх 4- 4 — 3
у/2х - 1 - 1
У>- 1 - 2
~\/2Ь — 1 -3
Уза + 10 — 4
а2 — 4
9 — т2
3.19. Нт
т '*3 у4т — 3 — 3
3.20. Нт
7
3.21. Нт
3.22. Пт
х~>3
х2 — 49
дДх 4-11—5
д/2х - 2 - 2
-у/х-1-1 —2
г — г
3.23. Нт
3.24. Пт — * —
х^2л/2х-2
д/б/и 4-1—5
3.25. Нт --------—---------.
т~*4 л/ш - 2
3.27.
3.29.
Нт ———=----
х‘>9 д/2х — 2 — 4
Уз — « — л/
Ит------=--
3.26. Нт —
2^3 д/2г 4- 3 - 3
-у/х2 4-9 — 3
3.28. Пт — —------.
х^° лД2+25-5
а — 4
3.30. Кт —-=^------------.
а^4 д/ба 4- 5 - 5
4.1.
,. 2а3 — а 4- 1
Ит —-------------
!->оо а 4- 2а — 5
4.3.
Нт
г—^оо
2г3 4- Зг — 1
2г3 4- г2 — 4
4.5.
.. Зт3 4~ 2/п — 5
Нт — ------—5------.
т-+- оо т 4~ 5/7/ — 1
4
4.2.
4.4.
4.6.
Нт
2х2 — Зх 4- 1
х2 4- х — 4
2п2 — Зп 4- 1
Ит —=--------------—.
л-*-оо п 4~ — 3
2г2 4- г-З
Л™ г2 4- Зг 4- I ’
За2 — 4а + 1 4.7. Нт — . а~>оо а5 + За — 4 4.8. 1 Нт • оо т6 — Зт 1 Зт3 — т + 4
л _ .. Зл2 — 4п 4- 1 4.9. 11т - ——. п-*<х> 2л 4- л — 3 4.10. Нт 2 — Зг — г2 2г3 4- 2 — 1 ‘
. 11 .. Зл2 — 4л 5 4- 1 4.11. 11т —! . П—>оа 2п 5 + Зп3 — п 4.13. Ит <~3*2-2. у-* — оо 2у 6 + 4у -|- 5 4.12. 4.14. Ит <3—► оо Ит 2—^оо 4а3 4- За2 — 1 2а3 — За 4- 1 6г5 - Зг2 4- 1 Зг5 — 2г 4- 3
4 1Е Г X3 — 4Х2 4- 5 4.15. 11т — -2 . х—► — оо Зх 4- 2х2 — х 4.16. Ит а-^оо а4 — За2 4- 2 5а4 — За — 2
. ,, 9й5-4й3 + 2 4.17. Нт 5. — оо ЗЬ — 2Ь 4~ 5 4.18. Ит Х-^оо Зх2 — 4х 4- 1 х3 — 2х2 — 1
4 1- 4л 5 — Зл2 4" 1 4.19. Ит ——. п~>-оо 2 л — 2л 4~ 3 4.20. Ит 2—><х> 9г3 — 4г2 4- 1 6г34-Зг4-2 '
. О1 .. Зх5 —х2 4-х 4.21. Нт — • . х—*— <х> х4 + 2х 4- 5 4.22. Ит я-* — 6л3 — 2л 4- 7 оо Зл3 —5л 4-2 '
. „„ ,. 7л4 —2л34-2 4.23. Ит - ——. П-+ — оо п ~1~ 2п 4.24. Ит а-^оа За7 4- 6о — 5 4а7 4- 2а3 — 3
. .. 8х5 —Зх2 4-9 4.25. Ит - . х^оо 2х54-2х-|-5 4.26. Нт Я->оо и4 — 5л 4- 2 2л4 4- Зл2 — л
. . 6х4 — 4х3 -|- 8 4.27. Ит — . Х-+— 00 2х3 — Зх2 4- 1 4.28. Нт а-* — За4 — 4а2 4- 5 оо 6а4 4- 2а3 — 1
4 оп г 4-Зи2 — п 5 4.29. Пт —! —. п^<х> 2п 4- я2 — Зи5 4.30. Нт 2-*Оо 2г3 4- 7г — 4 6г3 — Зг2 4- 2'
5.1. Нт 51п За • с<е 2а.
а->0
_ _ .. агсзт 66
5.3. Ит---------—.
р-о 20
5
- о .. 1 — соз 4ф
5.2. Ит----5--
<р->о зт 3<р
5.4. Ит^-К
ф-^о Зф
5.7.
5.9.
.. агс1е 5а
Пт--------
а->о За
5.6.
хл/1 — соз 4х
кт—----------------
х-*о зт2 Зх
5.11.
51П2 6х
Нт-----.
*->о х 2х
г *е2 30
Р^О 1 — соз 40
<. 1&24х
. Ит—.
х-^о зт21 Зх
5.13.
5.15.
Пт-1^оз 4х
х~>о 1^2 5х
Кт
х~>0
СОЗ X — соз3 X
4х2
_ о зш 5у
5.8. Пт-----------—.
у^о агсзт 2у
_ .. агсзт2 ф
5.10. Ит-------:——.
<р->о Зф зт ф
_ , л ,. 1 — соз 4а
5.12. Нт---------------.
а^о а зт За
е и 1* агс!е Зх
5.14. Ит-------.
х~>о 4х
_ соз х — соз 5х
5.17. Ит
х-»-0
5.19. Ит
1 — соз 5х
х 2х
5г2
г^о з1п Зг • 2г
- 5х
5.21. Пт-----------.
5.23.
х->о агс!^ Зх
.. 1 — соз 8а
Пт-------------
а->о 1 — соз 2а
5.18. Ит зт 5х • с1е Зх.
х->0
5.20. Пт зт 8а • с1я а.
а->0
5.22. Ит 1^2 Зх • с(^2 2х.
х->0
5.24. Ит Зх с!^ 7х.
5.25.
а зт За
Пт---------------—.
а->о соз а — соз а
5.27.
агсзт2 За
Ит-----------.
а^о 2а зт 5а
5.29. Ит зш2 Зх • с!е2 5х.
х->0
_ лл Х51П 2х
5.26. Пт----------------
х->о 1 — соз 4х
г по I- х 2х
5.28. Пт----------------
х-*о 1 — соз Зх
кол г 81п23(р
5.30. Ит---------5-^—.
<р-^о агс1§ 2<р
6
6>- 1® (1 + 171тУЛ-
Х-->-оо \ АХ — 1 /
6.3.
/ 4 V*2
6.5. Нт ( 1------------) .
у-+ °° \ Зг/ — 1 /
6.7.
6.9.
6.10.
2
Зх-4
Ит 1п
)'
-6г
6.12.
6.14.
Ит 1п
Х-><х>
2 —4ху+3
1 -4х/
2х —3
2х- 1
6.17. Пт (2х - 3)х7(х“2).
х~>2
6.19. Ит(3х —2)5х/(х-‘>.
6.18.
6.20.
Х->~— оо у 4х — 1 /
Пт(Зх-8)(х+,)/(х’3).
6.21. Пт 1п ( 2х + 3 V.
Х-^-оо \ 2Х -- 1 /
/ п 4- 1 V4"3
6.23. Ит 1п(- -- }
п-^оо \п + 2/
6.25. Ит / 5±±±у-\
X—>оо у 5Х — 1 /
6.22.
6.24.
Зх — 2
2х + 4
2х — 4
6.26. Ит(Зх-2)х^-|).
х->1
6.27. Пт 1п
6.29. Пт 1п|
6.28. Пт (5 — 2х//(х“2>.
х->2
6.30. Пт (7 — 6х)х(3х~3).
3. Контрольная работа «Производные и их приложения» (2 часа)
1. Найти производную первого порядка у'.
1.1.
1.8.
У =
1.5.
1.6.
1.8.
1.9.
У =
1.11.
У =
1.13.
1.14.
У =
1.15.
1.16.
У =
1.17.
1.18.
У =
1.20.
1.19.
У =
1.21.
1.23.
1.24.
У =
1.25.
1.26.
У =
1.27.
1.28.
1.29.
1.30.
У =
у = -------
2 4-Зх
У =
У =
У (х+ 1)2(х2 + I)3 •
1.10. у =
1.12. у=
I 1 4- 51П Зх
3 4- 2 ат Зх *
3 — 2д/бх4~5.
4-Зх-Ы
3 / X2 + I
У ~ у Зх - 2 '
2х
У — —, —
у = х^\ 4-х2.
у — 3 ^/х 5х4 — 5/х.
1 +х5
1 — х5 ‘
У =
У =
у =
2. Найти производную первого порядка у'.
2.1. у = 3 агс1й’(4*+1).
2.3. 2 = уагС5,п +1 )/3\
2.5. у = е-»’со53 *(2<р + 3).
2.7. у = е-1/С05*.
2.9. </ = Зхсм‘х.
, 5 + л/25 — /2
2.2. 5 = 1п —— -----------.
2.4. у = (1 + с<е2 Зх)е-Х.
2.6. у = е~^/(1 +е2х).
2.8. у = ^1 4- З1п3 2х)2.
2.10. у = е агс({?2 х.
2.12. у = соз 2х • зш2 х.
2.13. у = зш3 5х • зт 5 Зх.
2.15. у = е‘ЙХ соз х.
2.17. у = еС05Х зт2 х.
2.19. г =(зт 1/)/(1 + 1%у).
2.21. </ = (1+ех)/(1-ех).
2.23. у = ~^1 +1п2х.
2.14. р = еСО55з<р.
2.16. у == агсзш (1^ х).
2.18. у = 1п 1п~\ / С^-
V 1 + СО8
2.20. 8 — е^/соз /.
2.22. у = зш2 Зх.
2.24.
4 1п х
У ~~ 1 — 1п х ’
2.25. у = А. (д3 х — с(е х 4- х.
О
2.26. у = 1п — х.
V 1 — 1&х
2.27.
г/ = 1п
/ 1 — ЗШ X
V 1 + СОЗ X '
2.28. у = 1п (е* 4- -д/1 4-е2х).
2.29. у =
1п X
лД2+ *
2.30. у = {^(х3 4- 1).
3. Вычислить первую производную функции при указанном значе-
нии аргумента или параметра либо при заданных координатах точки.
3.1. /(х) = (1-2х)/(14-т^Г), х = 4.
3.2. /(х) = д/х4-2д/х^ х= 1.
3.3. /(х) = хех/“, х = 0.
3.4. /(/) = 1п(1 4-а-2'), 1 = 0.
3.5. 1(1) = 'у/а2 4- 52 — 2аЪ соз I ~ п/2.
3.6. /(х) = х/(2х— 1), х — —2.
3.7. /(х) = х= -8.
3.8. /(х)=(д/7— 1)2/х, х = 0,01.
3.9. /=(х) = х2- 1Д2Х2), х= ±2.
3.10. )(х) = х3/3 — х2 -Ь х, х= — 1.
3.11. /(х) = е~х соз Зх, х —0.
3.12. /(х) = 1п(1 -Ь х)-Ь агсзш(х/2), х=1.
3.13. /(х) — (д3(лх/6), х = 2.
3.14. 2у = 1 + ху3, х = 1, у — 1.
3.15. у == (х -Ь у)3 — 27(х — у), х = 2, у = 1.
3.16. = х = 0, у= 1.
3.17. г/2 = х + 1п(г//х), х = 1, у = 1.
3.18. х = / 1п Л у = (1п /)//, / = 1.
3.19. х = а{1 — зш /), у = а(1 — соз /), I = л/2.
3.20. х = ё соз /, у = ё зт /, I — п/\.
3.21. у(х) = (1 4-х3) (5- 1/х2), х= 1, х = 0.
3.22. 5(/) = 3/(5 —/) + Л/5, / = 0, 1 = 2.
3.23. (р(г) = г (1 4- 2 = 0.
3.24. р(ф) = <р/( 1 — <р2), <р = 2.
3.25. <р(г) — (а — г)/(1 + г), г = 1.
3.26. $(/) = ЗД5 — 0 + Л/5, I = 0, 1 = 2.
3.27. у = х = е.
3.28. у = дАё(х/2), х = л/2.
3.29. /(х) = (х2 + х + 1) (х2 — х + 1), х = 0, х = 1.
3.30. Г(х) = 1/(х + 2) + 3/(х2 4- 1), х = 0, х = 1.
4. Найти вторую производную у".
А 1 Х ~ 1 -X 4.1. у= х+1 е . 4.3. у = х2 1п х. 4.2. у = агс!^(х2). 4.4. у = *д/а2 — х2/х.
4.5. у = 1п 4х. 4.7. г/ = 2с1е3\ 4.9. у — хе~х. 4.11. у = х д/1 + х2. 4.13. у = (1п х)/х. 4.15. у = х?еЬх. 4.17. у = ех соз4 х. 4.6. у = У(1 — х)2. 4.8. у = хе|/Лг. 4.10. у = 1п 1п х. 4.12. у = х/^)\ — х2. 4.14. у = х2 1п х3. 4.16. «/ = (1 +х2)1^х. 4.18. у = е~х соз х.
4.19. у — -у/хех. 2х 4.21. у = агс<8 \_хг- 4.20. у — хе ~х\ 4.22. у = х3 1п х.
4.23. у = хе*}ПХ. 4.24. = + у).
4.25. у = х агс!^ х. 4.26. у = х/(х? — 1).
4.27. у = х — агс!^ х. 4.28. у = зш х соз3 х.
4.29. у = агс1^^/х. 4.30. у = 1п (х + л/^)-
5. Найти вторую производную с?2г/Д/х2 функции.
х = I + 1п соз /,
у = / — 1п 31П /.
х = 2/ — зш 2/,
У = 51П3 Л
5.3. ( Х = 1 + ~2 5|П
V у = СО53 I.
1х = 13/3 + (2/2 + (,
5-5' (, = Л/2+1//.
5.4.
’х = /5+2/,
у = 13 — 81 — 1.
X = ЗГС51П (/2 —
у = агссоз 2/.
5.11.
5.13.
5.15.
5.17.
5.19.
5.21.
х = I2 + I 4- 1
х = (2-0/(2 + /2),
,1/ = /2/(2 + /2)
х = 21 — I2,
У = 31- I3.
X = 2 СО83 /,
у = 4 81П3I.
’х = 2 соз / — соз 2/,
у = 2 81П I — 81П 21.
х = 31 — I3,
У = 312.
х = с^<
у = 1 /соз2 I.
х — /2,
^=/73-/.
4 Р = з1п('/2)>
Э.2«5. <
(4/ = СО8 I.
(х — е22
5.25. | ’
— С08 Л
х = / 4- с1е Л
у = 2 1п /.
5.8.
5.10.
5.12.
5.16.
5.18.
х = I,
у= 1/СО82 1.
7 = 2 соз3 2/,
[у = зш3 2/.
х = 3 соз
у = 4 ЗШ2 I.
х = СОЗ I 4" I 51П /,
у = 81П I — / СОЗ I.
гх = 2/24-^
,У = 1п I.
'х = 21 — 13,
у = 212.
520 /х = 1п<’
{</ = (/+1/0/2.
5.22.
5.24.
5.26.
5.28.
х = 1 — 81П I,
у = 1 — соз /.
х = соз а1,
у = зш а1.
х = соз (//2),
у = I — 81П Л
х = I2 4- 1,
У = е,г.
5.29.
X = 3 СОЗ2 /,
у = 2 81П3 /.
5.30. Р = 'С05'>
(у = а1 зш I.
6. Решить следующие задачи.
6.1. Под каким углом синусоида у = 81П х пересекает прямую у =
= 1/2?
6.2. Показать, что гиперболы ху = 8 н х2—у2=\2 пересекаются
под прямым углом.
6.3. Определить угол, под которым пересекаются кривые х2 4- У2 = 8
н у2 = 2х.
6.4. Под каким углом пересекаются гипербола у = 1/х и парабола
у—V*?
6.5. На параболе у = х взяты две точки с абсциссами Х1 = 1 и
хг == 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы
касательная к ней параллельна секущей?
6.6. Канат висячего моста имеет форму параболы и прикреплен
к вертикальным опорам, отстоящим одна от другой на расстоянии
200 м. Самая нижияя точка каната находится на 40 м ниже точек под-
веса. Найти угол между канатом и опорами.
6.7. При каком значении а кривая у = (ах 4- х3)/4 пересекает ось
Ох под углом 45° ?
6.8. Найти угол пересечения кривой у = х — х3 и прямой у = 5х.
6.9. Найти угол пересечения линий у = 1 4- зш х и у=1.
6.10. Найти угол пересечения линий у = ~^2з\пх и у = ~\/2~со5 х.
6.11. Найти угол пересечения кривых у = х3 и 4/=1/х2.
6.12. Составить уравнения касательной и нормали к полукубической
параболе х ~ /2, у = /3, проведенных в точке I = 2.
6.13. Найти угол пересечения кривых х2 4-^ — 5 и у2 =± 4х.
6.14. Определить, под каким углом кривая у =? (х — 1)/(1 + х2)
пересекает ось абсцисс.
6.15. Найти точки, в которых касательные к графикам функций
Дх) = х3 — х — 1 и <р(х) = Зх2 — 4х + 1 параллельны.
6.16. Записать уравнения касательных и нормалей к кривой х2 4"
+ У2 + 4х — 2у — 3 = 0 в точках пересечения ее с осью Оу.
6.17. Записать уравнения касательных и нормалей к кривой у =
= 4х — х3 в точках пересечения ее с осью Ох.
6.18. Записать уравнение касательных к гиперболе хг/ = 4 в точках
с абсциссами Х1 = 1, х2 = —4 и найтн угол между касательными.
6.19. На параболе г/ = х24-6х4"3 взяты две точки с абсциссами
х=—2 и х = 3. В какой точке параболы касательная к ней будет
параллельна секущей, проведенной через эти точки?
6.20. Найти уравнения касательной и нормали к кривой 4х3 —
— Зху2 + 6х2 — Зху — Зу2 + 9х 4- 14 = 0 в точке ( — 2, 3).
6.21. Записать уравнение нормали к астроиде х = а соз3 /, у —
= а 81П31 в точке, для которой / = л/4.
6.22. Составить уравнение той нормали к кривой г/= 1п (2х + 1),
которая перпендикулярна к биссектрисе первого и третьего координат-
ных углов.
6.23. Найти расстояние от вершины параболы у = х2 — 4х 4- 5 до
касательной к ней в точке пересечения параболы с осью Оу.
6.24. В уравнении параболы у = х2 + Ьх + с определить Ь и с,
если известно, что парабола касается прямой у — х в точке х = 2.
6.25. Провести касательную к кривой у = (х + 9)/(х 4* 5) так, чтобы
она прошла через начало координат. Записать уравнение этой каса-
тельной.
6.26. Найти угол, под которым пересекаются параболы у = (х —
— 2)2 и у — —4 + 6х — х2.
х2
6.27. Найти углы, под которыми пересекаются эллипс — 4- У2 ~ 1
и парабола 4г/ = 4 — 5х2.
6.28. Составить уравнение касательной к линии у = агс(^(х/2)
в точках ее пересечения с прямой х — 2 = 0.
6.29. Найти касательную к кривой 4х24-*/2 —80, параллельную
прямой х + у — 6 = 0.
6.30. При каком значении параметра а парабола у = ах3 каса-
ется кривой у = 1п х?
7. Решить следующие задачи.
7.1. Закон движения материальной точки по прямой задай форму-
лой 8 = /3 — 312 + 3/ + 5. В какие моменты времени I скорость точки
равна нулю?
7.2. Две точки движутся по прямой по законам 81 = I3 — 31 и
$2 — /3 — 5/2 + 17/ — 4. В какой момент времени их скорости будут
равны?
7.3. Тело, брошенное вверх, движется по закону 8 —---/3 4*
17
4-/2 + 60/— 49. В какой момент времени скорость тела станет рав-
ной нулю? Найтн наибольшую высоту подъема тела.
7.4. Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется фор-
мулой п = 3/ + /2. Какое ускорение будет иметь тело через 4 с после
начала движения?
•—-/. Определить скорость
о
7.5. Тело массой 100 кг движется прямолинейно по закону $ =
= 2/2~ЬЗ/+1- Определить кинетическую энергию тп2/2 тела через
5 с после начала движения.
7.6. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью а м/с.
За какое время и иа каком расстоянии от поверхности Земли .тело до-
стигнет наивысшей точки?
7.7. Плот подтягивается к берегу с помощью каната, который
наматывается иа ворот со скоростью 50 м/мии. Определить скорость
движения плота в тот момент, когда его расстояние от берега будет
равно 25 м, если ворот расположен на берегу на 6д/^Гм выше поверхности
воды.
7.8. Заряд, проходящий через проводник, начиная с момента вре-
мени / = 0, определяется формулой р = ^ — 9/215/+ 1. В какие
моменты времени сила тока в проводнике будет равна нулю?
7.9. Тело массой 6 т движется прямолинейно по закону
+ 1п(/ + 1) + (/ + I)3. Требуется вычислить кинетическую энергию
тп2/2 тела через 1 с после начала движения.
7.10. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении
1 « 2
точки задана уравнением 5= —/54------зш
5 л
движения точки через 2 с после начала движения.
7.11. Зависимость между количеством к вещества, получаемого в
результате некоторой реакции, и временем / выражается уравнением
х = 7(1 Определить скорость реакции через 2 с после начала
опыта (/ = 0).
7.12. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален
кубу времени. Первые два оборота были сделаны колесом за 4 с. Найти
угловую скорость ш колеса через 16 с после начала движения.
7.13. Тело движется по прямой Ох согласно закону х = /3/3 —
— 2/2 + 3/. Определить скорость и ускорение движения. В какие моменты
тело меняет направление движеиня?
7.14. По параболе у = х(8 — х) движется точка так, что ее абсцисса
изменяется в зависимости от времени I по закону х = /д^Г Какова
скорость изменения ординаты в точке М(1, 7)?
7.15. Точка движется по гиперболе у= 10/х так, что ее абсцисса
равномерно возрастает со скоростью 1 м/с. С какой скоростью изме-
няется ее ордината, когда точка проходит положение (5, 2)?
7.16. Закон движения точки по оси Ох $ = 5/—/2. Найти скорость
и ускорение точки для моментов времени 6=0, /2 = 1 с.
7.17. Точка движется по параболе у = ~у/бх~так, что ее абсцисса
возрастает со скоростью 10 см/с. Какова скорость изменения ординаты
в этой точке в момент, когда х = 6?
7.18. Закон движения точки по прямой задан формулой 5 = 5/ —
— 4//2 + 3. Найти скорость и ускорение точки через 1 с после начала
движения.
7.19. Точка движется по кривой у = ^/х в первом квадранте. Найти
координаты точки в момент времени, когда скорость изменения абсцис-
сы этой точки в 12 раз больше скорости изменения ее ординаты.
7.20. Точка движется по закону $ = 4/3 + 2/2 — 5 (см). Найти ско-
рость и ускорение движения точки через 2 с.
7.21. Радиус шара возрастает равномерно со скоростью 5 см/с.
С какой скоростью увеличиваются площадь поверхности шара и его объем
в момент, когда его радиус становится равным 50 см?
7.22. Электрический заряд, проходящий через проводник, начиная
с момента времени / = 0, задается формулой р —2/2 + 10/+9, Найти
силу тока для / = 15 с.
7.23. В какой точке эллипса 16л2 + 9^ = 400 ордината убывает
с той же скоростью, с какой возрастает абсцисса?
7.24. Сторона квадрата растет со скоростью 5 м/с. Какова ско-
рость изменения периметра и площади квадрата в тот момент, когда
сторона его равна 50 м?
7.25. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален
квадрату времени. Первый оборот был сделай колесом за 8 с. Найти
угловую скорость со колеса через 32 с после начала движения.
7.26. Расстояние 5 м, пройденное телом за / с, определяется форму-
лой 65$ — Р/8 + З/2 + /. Найти скорость и ускорение тела при / = 10.
7.27. Вращающееся маховое колесо, задерживаемое тормозом, за
/ с поворачивается на угол <р = а Ъ1 — с12, где а, Ь, с — положитель-
ные постоянные. Определить угловую скорость и ускорение вращения
колеса. Когда колесо остановится?
7.28. Точка движется прямолинейно так, что V2 = 2Ьх, где V —
скорость точки; х — пройденный путь; Ъ — некоторая постоянная. Опре-
делить ускорение движения точки.
7.29. В период разгона маховик вращается по закону <р = /3/10.
Через какое время после начала движения угловая скорость маховика
будет равна 60л рад/с? Чему будет равно угловое ускорение тела в
этот момент?
7.30. Точка движется прямолинейно по закону $ = 60/ — 5/3. Через
какой промежуток времени после начала движения точка остановится?
Найти путь, пройденный точкой за это время.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Учебники и учебные пособия
1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии н линейной
алгебры.— М.: Наука, 1980.— 336 с.
2. Бугров Я. С., Никольский С, М. Дифференциальное н интеграль-
ное исчисление.— М.: Наука, 1980.— 432 с.
3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры
и аналитической геометрии.— М.: Наука, 1980.— 176 с.
4. Воеводин В. В. Линейная алгебра.— М.: Наука, 1980.— 400 с.
5. Головина Л. И. Линейная алгебра н некоторые ее приложения.—
М.: Наука, 1975.— 408 с.
6. Гурский Е, И. Основы линейной алгебры и аналитической геомет-
рии.— Мн.: Выш. шк., 1982.— 272 с.
7. Долгов Н, М. Высшая математика.— Киев: Вища шк., 1988.—
416 с.
8. Жевняк Р. М., Карпук А. А. Высшая математика: В 5 ч.— Мн.:
Выш. шк., 1984—1988.— Ч. 1.— 1984.— 223 с.
9. Ильин В. Л., Позняк В. Г. Линейная алгебра.— М.: Наука,
1974.— 296 с.
10. Кудрявцев В. Л., Демидович Б. П. Краткий курс высшей мате-
матики.— М.: Наука, 1986.— 575 с.
11. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: В 2 т.— М.:
Высш, шк., 1981.— Т. 1.— 688 с.
12. Лихолетов И. И. Высшая математика, теории вероятностей
и математическая статистика.— Мн.: Выш. шк., 1976,— 720 с.
13. Пискунов И. С. Дифференциальное и интегральное исчисление:
В 2 т.— М.: Наука, 1985.— Т. 1.— 432 с.
14. Рублев Л. Н. Курс линейной алгебры и аналитической геомет-
рии.— М.: Высш, шк., 1972.— 424 с.
Сборники задач и упражнений
15. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анали-
за.— М.: Наука, 1985.— 416 с.
16. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я- Высшая мате-
матика в упражнениях и задачах: В 3 ч.— М.: Высш, шк., 1986, Ч.
1.—446 с.
17. Задачи и упражнения по математическому анализу для вту-
зов/Г. С. Баранеиков, Б. П. Демидович, В. А. Ефименко и др.; Под ред.
Б. П. Демидовича.— М.: Наука, 1978,— 380 с.
18. Клетеник Д, В. Сборник задач по аналитической геометрии.—
М.: Наука, 1983.— 244 с.
19. Кузнецов Л. Л. Сборник заданий по высшей математике: Типо-
вые расчеты.— М.: Высш, шк., 1983.— 176 с.
20. Лихолетав И. И., Мацкевич И. П. Руководство к решению за-
дач по высшей математике, теории вероятностей и математической
статистике.— Ми.: Выш. шк., 1976.— 456 с.
21. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике.— М.:
Наука, 1964.— 360 с.
22. Сборник задач по курсу высшей математики / Г. И. Кручкович,
Н. И. Гутарииа, П. Е. Дюбюк и др.; Под ред. Г. И. Кручковича.— М.:
Высш, шк., 1973.— 576 с.
23. Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра
и основы математического анализа: В 2 ч./В. А. Болгов, Б. П. Демидович,
В. А. Ефименко и др.; Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.— М.:
Наука, 1981.—Ч. 1.— 368 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................................... 3
Методические рекомендации.................................... 5
1. Определители. Матрицы. Системы линейных алгебраических
уравнений.................................................. 9
1.1. Определители и их свойства. Вычисление определителей 9
1.2. Матрицы и операции иад ними........................... 15
1.3. Обратные матрицы. Элементарные преобразования. Ранг
матрицы. Теорема Кронекера — Капелли....................... 20
1.4. Методы решения систем линейных алгебраических уравне-
ний .................................................... 27
1.5. Индивидуальные домашние задания к гл. 1.............. 32
1.6. Дополнительные задачи к гл. 1........................ 52
2. Векторная алгебра........................................ 57
2.1. Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция
вектора иа ось. Координаты вектора...................... 57
2.2. Деление отрезка в данном отношении. Скалярное произ-
ведение векторов и его приложения........................ 61
2.3. Векторное и смешанное произведения векторов и их прило-
жения ................................................... 64
2.4. Индивидуальные домашние задания к гл. 2.............. 67
2.5. Дополнительные задачи к гл. 2........................ 84
3. Плоскости и прямые....................................... 88
3.1. Плоскость............................................ 88
3.2. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость............ 90
3.3. Прямая на плоскости.................................. 94
3.4. Индивидуальные домашние задания к гл. 3.............. 97
3.5. Дополнительные задачи к гл. 3....................... 112
4. Линии и поверхности..................................... 115
4.1. Линии второго порядка............................... 115
4.2. Поверхности второго порядка......................... 121
4.3. Линии, заданные уравнениями в полярных координатах и
параметрическими уравнениями......................... . 125
4.4. Индивидуальные домашние задания к гл. 4............. 131
4.5. Дополнительные задачи к гл. 4....................... 146
5. Функции. Пределы. Непрерывность функций.................. 149
5.1. Числовые множества. Определение и способы задания
функции................................................. 149
5.2. Пределы последовательностей и функций. Раскрытие прос-
тейших неопределенностей............................... 151
5.3. Замечательные пределы................................... 154
5.4. Сравнение бесконечно малых функций. Непрерывность
функций................................................ 155
5.5. Индивидуальные домашние задания к гл. 5................. 158
5.6. Дополнительные задачи к гл. 5........................... 174
6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
и его приложения...................................... . 176
6.1. Производная, ее геометрический и физический смысл. Пра-
вила и формулы дифференцирования .......................176
6.2. Логарифмическое дифференцирование...................180
6.3. Производные высших порядков........................ 181
6.4. Дифференциалы первого и высшнх порядков и их прило-
жения ................................................. 184
6.5. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя — Бернулли ... 187
6.6. Исследование поведения функций и их графиков .... 190
6.7. Схема полного исследования функции и построение ее
графика................................................ 195
6.8. Практические задачи на экстремум........................ 198
6.9. Дифференциал длины дуги и кривизна плоской линии 200
6.10. Индивидуальные домашние задания к гл. 6.................205
6.11. Дополнительные задачи к гл. 6...........................248
Приложения......................................................252
Рекомендуемая литература........................................267
Учебное издание
Рябушко Антон Петрович, Бархатов Виктор Владимирович,
Державец Вера Владимировна, Юруть Иван Ефимович
СБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
В трех частях
Часть 1
Заведующий редакцией Л. Д. Духвалов
Редактор ЛЕ С. Молчанова
Младший редактор И. В. Моховикова
Художник переплета
и художественный редактор Ю. С. Сергачев
Технический редактор М. Н. Кислякова
Корректоры Т. К. Хваль, В. В. Неверко
ИБ № 2891
Сдано в набор 04.10.89. Подписано в печать 21.09.90. Формат 84X108/32.
Бумага тип. № 2. Гарнитура литературная. Высокая печать. Усл.-печ.
л. 14,28. Усл. кр.-отт. 14.28. Уч.-изд. л. 15,29. Тираж 25 000 экз.
Заказ 2959. Цена 95 к.
Издательство «Вышэйшая школа» Государственного комитета БССР по
печати. 220048, Минск, проспект Машерова, 1 1
Минский ордена Трудового Красного Знамени лолнграфкомбинат МППО
им. Я. Коласа. 220005, Минск, ул. Красная, 23.