Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Часть 1 - Рябушко Л.П.

Автор: Рябушко Л.П.
Теги: математика высшая математика задачи по математике
ISBN: 5 339-00326-4
Год: 1990
Похожие
Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Часть 2
Сборник индивидуальных заданий по ВМ. Часть 4
Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Часть 3
Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1
Текст
                    СБОРНИК
ИНДИВИДУАЛЬНЫХ
ЗАДАНИЙ
ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
В трех частях
Под общей редакцией
доктора физико-математических наук,
профессора Л. П. Рябушко
Часть 1
Допущено Министерством
народного образования БССР
в качестве учебного пособия
для студентов инженерно-технических
специальностей вузов
Минск
сВышэйшая школа*
1990

ББК22.11я73
С23
УДК 51 @76.1) @75.8)
Авторы: А. П. Рябушко, В. В. Бархатов, В. В. Дер-
жавец, И. Е. Юруть
Рецензенты: кафедра высшей математики Московского энер-
энергетического института; зав. кафедрой высшей математики Минского
радиотехнического института, д-р физ.-мат. наук, проф. Л. А. Черкас
1602010000—098
С 10—90
М304@3)—90
ISBN *339-00326-4 (ч. 1) © Коллектив авторов,
ISBN 5-339-00483-Х 1990

ПРЕДИСЛОВИЕ
В Основных направлениях перестройки высшего и
среднего специального образования в стране, приказах
Государственного комитета СССР по народному образо-
образованию и других документах подчеркивается необходимость
перехода от пассивных форм обучения к активной
творческой работе со студентами, от «валового» обучения
к усилению индивидуального подхода, к развитию твор-
творческих способностей обучаемых путем расширения их
самостоятельной работы. Такой путь развития и пере-
перестройки высшей школы предполагает новое методическое
обеспечение учебного процесса: создание современных
методик проведения лекционных, практических и лабора-
лабораторных занятий, подкрепленных соответствующими мето-
методическими и учебными пособиями, разработку новых
форм самостоятельной работы, методов ее контроля и т. д.
Имеющиеся в настоящее время сборники задач и
упражнений по общему курсу высшей математики для
втузов не дают возможности индивидуализировать обуче-
обучение из-за своей структуры (малое количество однотипных
задач и упражнений, неудачный с методической точки
зрения подбор задач). Активизация познавательной
деятельности студентов, выработка у них способности
самостоятельно решать достаточно сложные проблемы
может быть достигнута, по мнению авторов, при такой
организации учебного процесса, когда каждому студенту
выдаются индивидуальные домашние задания (ИДЗ)
и достаточно часто проводятся самостоятельные (конт-
(контрольные) работы во время аудиторных занятий (A3)
с обязательным последующим контролем их выполне-
выполнения и выставлением оценок. Это мнение подкрепляется
личным опытом авторов и педагогическими эксперимен-
экспериментами, проведенными в последние годы в ряде втузов,
например в Белорусском институте механизации сельского
хозяйства, Белорусском и Дальневосточном политехни-
политехнических институтах.

Данная книга является первой частью комплекса
учебных пособий под общим названием «Сборник инди-
индивидуальных заданий по высшей математике», написанного
в соответствии с действующими программами курса
высшей математики в объеме 380—450 часов для инже-
инженерно-технических специальностей вузов. Этот комплекс
также может быть использован в вузах других профилей,
в которых количество часов, отведенное на изучение выс-
высшей математики, значительно меньше. (Для этого из
предлагаемого материала следует сделать необходимую
выборку.) Кроме того, он вполне доступен для студентов
вечерних и заочных отделений втузов.
Предлагаемое пособие адресовано преподавателям и
студентам и предназначено для проведения практических
занятий и самостоятельных (контрольных) работ в ауди-
аудитории и выдачи ИДЗ по всем разделам курса высшей ма-
математики.
В первой части данного комплекса содержится мате-
материал по линейной и векторной алгебре, аналитической
геометрии и дифференциальному исчислению функций
одной переменной.
Авторы выражают искреннюю благодарность рецен-
рецензентам — коллективу кафедры высшей математики Мо-
Московского энергетического института, возглавляемой
членом-корреспондентом АН СССР, доктором физико-ма-
физико-математических наук, профессором С. И. Похожаевым, и за-
заведующему кафедрой высшей математики Минского ра-.
диотехнического института, доктору физико-математиче-
физико-математических наук, профессору Л. А. Черкасу, а также сотрудникам
этих кафедр кандидатам физико-математических наук,
доцентам Л. А. Кузнецову, П. А. Шмелеву, А. А. Карпу-
ку — за ценные замечания и советы, способствовавшие
улучшению книги.
Все отзывы и пожелания просьба присылать по
адресу: 220048, Минск, проспект Машерова, 11, изда-
издательство «Вышэйшая школа».
Авторы

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
Охарактеризуем структуру пособия, методику его ис-
использования, организацию проверки и оценки знаний, на-
навыков и умений студентов.
Весь практический материал по курсу высшей мате-
математики разделен на главы, в каждой из которых даются
необходимые теоретические сведения (основные определе-
определения, понятия, формулировки теорем, формулы), исполь-
используемые при решении задач и выполнении упражнений.
Изложение этих сведений иллюстрируется решенными при-
примерами. (Начало решения примеров обозначается симво-
символом р-, а конец—^.) Затем даются подборки задач
с ответами для всех практических аудиторных занятий
(A3) и самостоятельных (мини-контрольных) работ на
10—15 минут во время этих занятий. И, наконец,
приводятся недельные индивидуальные домашние зада-
задания (ИДЗ), каждое из которых содержит 30 вариантов
и сопровождается решением типового варианта. Часть
задач из ИДЗ снабжена ответами. В конце каждой главы
помещены дополнительные задачи повышенной трудности
и прикладного характера.
В приложении приведены одно- и двухчасовые конт-
контрольные работц (каждая по 30 вариантов) по важней-
важнейшим темам курса.
Нумерация A3 сквозная и состоит из двух чисел:
первое из них указывает на главу, а второе — на порядко-
порядковый номер A3 в этой главе. Например, шифр АЗ-2.1 озна-
означает, что A3 относится ко второй главе и является
первым по счету. В первой части пособия содержится
27 A3 и 14 ИДЗ.
Для ИДЗ также принята нумерация по главам. На-
Например, шифр ИДЗ-5.2 означает, что ИДЗ относится
к пятой главе и является вторым. Внутри каждого ИДЗ
принята следующая нумерация: первое число означает
номер задачи в данном задании, а второе — номер
варианта. Таким образом, шифр ИДЗ-5.2 : 16 означает,

что студент должен выполнить 16-й вариант из ИДЗ-5.2,
который содержит задачи 1.16, 2.16, 3.16, 4.16. При
выдаче ИДЗ студентам номера выполняемых вариантов
можно менять от задания к заданию по какой-либо
системе или случайным образом. Более того, можно при
выдаче ИДЗ любому студенту составить его вариант,
комбинируя однотипные задачи из разных вариантов.
Например, шифр ИДЗ-3.1 : 1.2; 2.4; 3.6 означает, что
студенту следует решать в ИДЗ-3.1 первую задачу из
варианта 2, вторую — из варианта 4 и третью—..яз
варианта 6. Такой комбинированный метод выдачи ИДЗ
позволяет из 30 вариантов получить большое количество
новых вариантов.
Внедрение ИДЗ в учебный процесс некоторых вту-
втузов (Белорусский институт механизации сельского хозяй-
хозяйства, Белорусский политехнический институт, Дальне-
Дальневосточный политехнический институт и др.) показало,
что целесообразнее выдавать ИДЗ не после каждого
A3 (которых, как правило, два в неделю), а одно недель-
недельное ИДЗ, включающее в себя основной материал двух
A3 данной недели.
Дадим некоторые общие рекомендации по органи-
организациям работы студентов в соответствии с настоящим
пособием.
1. В вузе студенческие группы по 25 человек, прово-
проводятся два A3 в неделю, планируются еженедельные
необязательные для посещения студентами консультации,
выдаются недельные ИДЗ. При этих условиях для систе-
систематического контроля с выставлением оценок, указанием
ошибок и путей их исправления могут быть использованы
выдаваемые каждому преподавателю матрицы ответов
и банк листов решений, которые кафедра заготавливает
для ИДЗ (студентам они не выдаются). Если матрицы
ответов составляются для всех задач из ИДЗ, то листы
решений разрабатываются только для тех задач и вариан-
вариантов, где важно проверить правильность выбора метода,
последовательности действий, навыков и умений при вы-
вычислениях. Кафедра определяет, для каких ИДЗ нужны
листы решений. Листы решений (один вариант распола-
располагается на одном листе) используются при самоконтроле
правильности выполнения заданий студентами, при взаим-
взаимном студенческом контроле, а чаще всего при комбини-
комбинированном контроле: преподаватель проверяет лишь пра-
правильность выбора метода, а студент по листу решений —
свои вычисления. Эти методы позволяют проверить

ИДЗ 25 студентов за 15—20 минут с выставлением оценок
в журнал.
2. Студенческие группы в вузе по 15 человек, проводят-
проводятся по два A3 в неделю, в расписание для каждой группы
включены обязательные два часа в неделю самоподготовки
под контролем преподавателя. При этих условиях (кото-
(которые созданы, например, в Белорусском институте механи-
механизации сельского хозяйства) организация индивидуальной,
самостоятельной, творческой работы студентов, оператив-
оперативного контроля за качеством этой работы значительно
улучшается. Рекомендованные выше методы пригодны и в
данном случае, однако появляются новые возможности.
На A3 быстрее проверяются и оцениваются ИДЗ, во время
обязательной самоподготовки можно проконтролировать
проработку теории и решение ИДЗ, выставить оценки
части студентов, принять задолженности по ИДЗ у от-
отстающих.
Накапливание большого количества оценок за ИДЗ,
самостоятельные и контрольные работы в аудитории
позволяет контролировать учебный процесс, управлять
им, оценивать качество усвоения изучаемого материала.
Все это дает возможность отказаться от традицион-
традиционного итогового семестрового (годового) экзамена по
материалу всего семестра (учебного года) и ввести так
называемый блочно-цикловой (модульно-цикловой) метод
оценки знаний и навыков студентов, состоящий в следую-
следующем. Материал семестра (учебного года) разделяется на
3—5 блоков (модулей), по каждому из которых выпол-
выполняются A3, ИДЗ и в конце каждого цикла — двухчасо-
двухчасовая письменная коллоквиум-контрольная работа, в кото-
которую входят 2—3 теоретических вопроса и 5—6 задач.
Учет оценок по A3, ИДЗ и коллоквиуму-контрольной
позволяет вывести объективную общую оценку за каждый
блок (модуль) и итоговую оценку по всем блокам (мо-
(модулям) семестра (учебного года). Подобный метод
внедряется, например, в Белорусском институте механиза-
механизации сельского хозяйства.
В заключение отметим, что пособие в основном ориен-
ориентировано на студента средних способностей, и усвоение
содержащегося в нем материала гарантирует удовлетво-
удовлетворительные и хорошие знания по курсу высшей матема-
математики. Для одаренных и отлично успевающих студентов
необходима подготовка заданий повышенной сложности
(индивидуальный подход в обучении!) с перспективными
поощрительными мерами. Например, можно разрабо-

тать для таких студентов специальные задания на весь
семестр, включающие задачи настоящего пособия и допол-
дополнительные более сложные задачи и теоретические упраж-
упражнения (для этой цели, в частности, предназначены допол-
дополнительные задачи в конце каждой главы). Препода-
Преподаватель может выдать эти задания в начале семестра,
установить график их выполнения (яод своим контролем),
разрешить свободное посещение лекционных или прак-
практических занятий по высшей математике и в случае
успешной работы выставить отличную оценку до экзамен
национной сессии.

1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
1.1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА. ВЫЧИСЛЕНИЕ
ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Определителем п-го порядка называется число Дл, записываемое
вГ'виде квадратной таблицы
аи
fill 2
022
023
film
а2„
A.1)
и вычисляемое, согласно указанному ниже правилу, по заданным числам.
a,j (i, /=1, n), которые называются элементами определителя (всего
их л2). Индекс i указывает номер строки, а / — номер столбца квад-
квадратной таблицы A.1), на пересечении которых находится элемент
щ. Любую строку или столбец этой таблицы будем называть рядом.
Главной диагональю определителя называется совокупность элемен-
элементов On, fil22, ¦••, Я/и.
Минором Mij элемента пц называется определитель (п — 1)-го
порядка Д„_|, полученный из определителя п-го порядка Д„ вычерки-
вычеркиванием 1-й строки и /-го столбца.
Алгебраическое дополнение А-/ элемента пц определяется равенством
Значение определителя Д„ находится по следующему правилу.
Для п = 2
Д2 =
Д22
Для л= 3
Дз =
#12 fill3
Q22 Д23
О32 Q33
A.2)
A.3)
где
О32 Озз
021 U23
О31 ДЗЗ
«21 022
#31 ^32
Величины Аи, Аи, Ац—алгебраические дополнения, а Ми, Mi2,
Ми—миноры определителя Дз, соответствующие его элементам аи,
ai2, Q13. Эти миноры являются определителями второго порядка,
получаемыми из определителя Д3 вычеркиванием соответствующих

строки и столбца. Например, чтобы найти минор Ми, следует в опре-
определителе А3 вычеркнуть первую строку и второй столбец.
Для произвольного п
Д„ = 2
A.4)
где Ли=(—l)'+*Afu, а миноры Мц,, являющиеся определителями
(п — 1)-го порядка, получаются из Д„ вычеркиванием первой строки и
k-то столбца.
Например,
7
— 1
О
3
1
2
5
Г
— 2
5
= 4
= 3
1
0
• 5
5
7
-(-2).
— 7
3
5
1 =
5
7
-17;
— 2
3
5
— 1
0
= 4( —7) —7B1 —25) — 2-5= —10;
0
1
5
— 1
0
1
5
1
— 1
0
1
4
— 3
0
— 2
0
4
2
1
— 1
0
+ 2
0
1
5
0
— 2
0
4
?
(
= —1
1 -2
3 0
3 4
4
-3
0
-0
0
1
5
1
-1
0
— 2
4
-3
0
0
4.
1
1
0
— 1
— 2 • 0) — @(—4) — 4 — 2 • 5) + 2<0(—12) —
— 4-4—2-15)=—74.
Замечание. Если элементами определителя являются некото-
некоторые функции, то данный определитель, вообще говоря, тоже функция
(но может быть и числом). Например,
I cos х sin х J , . .
= cos x — sitt** = cos,2*;
| sin x cos x I
cos x —sin*
sin * cos *
tg* 2
1/2 ctg*|
Правило вычисления определителя Дз равносильно правилу тре-
треугольников (правилу Саррюса):
Дз = ОиОггОзз -+- О12Я23О31 + О2|ОзгО|з —
— @l3<222031 -4- 012021033 + ОгзОзгОп). A.5)
Схематическая запись этого правила приведена ниже:
= cos2 x-\- sin2* = 1;
= 1—1=0.
10

= 1 -6-1+2-5-2 + 4(—1)(-3) —
Например,
П 2 -3
Д3= 4 6 5
|2 —1 1
Перечислим основные свойства определителей:
1) сумма произведений элементов любого ряда определителя и
их алгебраических дополнений не зависит от номера ряда и равяа
этому определителю:
Д„ = 2 uikAu, = 2
1.6)
Эти равенства можно было бы (как и формулу A.4)) принять за
правило вычисления определителя. Первое из них называется раз-
разложением А„ по элементам i-й строки, а второе — разложением А„
по элементам j-го столбца;
2) значение определителя не меняется после замены всех его
строк соответствующими столбцами, и наоборот;
3) если поменять местами два параллельных ряда определителя,
то он изменит знак на противоположный;
4) определитель с двумя одинаковыми параллельными рядами ра-
равен нулю;
5) если все элементы некоторого ряда определителя имеют общий
множитель, то последний можно вынести за знак определителя.
Отсюда следует, что если элементы какого-либо ряда умножить на
число X, то определител* Дя умножится иа это же число X;
6) если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю,
то определитель также равен нулю;
7) определитель, у которого элементы двух параллельных рядов
соответственно пропорциональны, равен нулю;
8) сумма всех произведений элементов какого-либо ряда опреде-
определителя и алгебраических дополнений соответствующих элементов дру-
другого параллельного ряда равна нулю, т. е. верны равенства:
2 ацАц = О, S oeAki = 0 (( ф /);
9) если каждый элемент какого-либо ряда определителя пред-
представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель равен
сумме двух определителей, в первом из которых соответствующий ряд
состоит из первых слагаемых, а во втором — из вторых слагаемых:
... ач
... а\п
021
а„\ ... а„1-\-Ь„1 ... аПп
021
он
Й21
пп\
...
...
...
а\п
02/1
аи
«2(
... а\п
... Я2„
... а„„
11

Например,
2 -1+2 4
7 3—13
4 2 + 3 5
10)
2 —1
7 3
4 2
2 2
7 -1
4 3
определитель не изменится, если ко всем элементам какого-
либо его ряда прибавить соответствующие элементы другого парал-
параллельного ряда, умноженные на одно и то же произвольное число X.
Например, для столбцов определителя это свойство выражается равен-
равенством
an
021
а„\
an
a2i
а„1
... a,,
.. • a2/
... о„,
... 0|/ +
• • ¦ 02, +
... а„,- +
Хач
Xu2j
Xan]
a,/
a2/
а„,-
"и
02/
а„;
аы
агп
а„„
=
аи
a2n
Q
Рассмотрим основные методы вычисления определителей.
1. Метод эффективного понижения порядка. В соответствии со
свойством 4 вычисление определителя гс-го порядка сводится к вычисле-
вычислению п определителей (л — 1)-го порядка. Этот метод понижения порядка
не эффективен. Используя основные свойства определителей, вычисле-
вычисление Д„ Ф 0 всегда можно свести к вычислению одного определителя
(л — 1)-го порядка, сделав в каком-либо ряду Л„ все элементы, кроме
одного, равными нулю. Покажем это на примере.
Пример 1. Вычислить определитель
30
— 5
1
-9
-10
3
1
2
120
34
3
8
80
— 23
— 7
— 15
> По свойству 5 определителей из первой строки вынесем
множитель 10, а затем будем последовательно умножать полученную
строку на 3, 1, 2 и складывать соответственно со второй, третьей и
четвертой строками. Тогда, согласно свойству 10, имеем:
Д4= 10
По свойству 1 определителей (см. второе из равенств A.6)) полу-
полученный определитель можно разложить по элементам второго столбца.
Тогда
4 2 1
Д4 = 10 4 15 1
— 3 32 1
Получили определитель третьего порядка, который можно вы-
вычислить по правилу Саррюса или подобным же приемом свести к вы-
3
4
4
3
— 1
0
0
0
12
2
15
32
8
1
1
1
12

числению одного определителя второго порядка. Действительно, вычитая
из второй и третьей строк данного определителя первую строку, получаем
4 2 1
= ю| : :: i=ш-7- 1з=эю.
А4= 10
0
— 7
13
30
-7 30
2. Приведение определителя к треугольному виду. Определитель,
у которого все элементы, находящиеся выше или ниже главной диаго-
диагонали, равны нулю, называется определителем треугольного вида. Оче-
Очевидно, что в этом случае определитель равен произведению элементов
его главной диагонали. Приведение любого определителя А„ к тре-
треугольному виду всегда возможно.
Пример 2. Вычислить определитель
5
1
9
3
1
8
4
27
9
3
7
2
6
6
2
4
3
10
2
8
— 2
1
g
-3
— 1
3
0
0
0
0
2
7
0
0
0
3
4
— 12
0
0
-12
11
— 62
— 22
0
— 2
1
— 9
-3
]
> Выполним следующие операции. Пятый столбец определителя
сложим с первым, этот же столбец, умноженный на 3,— со вторым,
на 2 — с третьим, на 8 — с четвертым столбцом. В итоге получим опре-
определитель треугольного вида, который равен исходному:
= —3-7-12 -22= -5544.
Приведение определителей к треугольному виду будет использо-
использоваться в дальнейшем при решении систем линейных уравнений методом
Жордана — Гаусса (его называют также методом Гаусса).
АЗ-1.1
1. С помощью правила треугольников (правила Саррю-
са) вычислить определители:
а)
в)
(Ответ: а) -36; б) 0; в) 87.)
1
3
4
-1
2
1
3
8
1
-2
1
2
2
1
2
»
1
-5
5
б)
3
8
2
4
7
j
-5
2
8
13

2. Методом понижения порядка вычислить опреде-
определители:
а)
15
23
23
325
735
737
15
23
23
323
735
737
37
17
17
527
417
418
б)
;
2
-1
2
1
4
2
5
2
-1
3
1
0
2
1
4
3
(Ответ: а) -22 198; б) 16.)
3. Вычислить определители методом приведения их
к треугольному виду:
а) 1 2 3 4
0 2 5 9
0 0 3 7
-2 -4 -6 0
(Ответ: а) 48; б) 20.)
б)
-2
— 1
5 9
7 4
3 3 4
2 3 4
4. Вычислить определители, предварительно упро-
упростав их:
а) х2 + а2 ах 1 б) 7 8 5 5 3
10 11 6 7 5
5 3 6 2 5
6 7 5 4 2
7 10 7 5 0
(Ответ: а) а(х — у) [у — z) (х — z)\ б) 5.)
а2
а2
а2
ах
ау
az
1
1
1
б)
;
Самостоятельная работа
Вычислить определители.
1.
3.
2
3
1
1
1 5
2 1
2 3
1 5
(Ответ:
2
1
0
1
1
-3
2
4
1
2
— 4
1
54.)
1
-6
2
6
8
9
-5
0
2.
1 2
2 3
3 4
4 1
(Ответ:
. (Ответ:
3 4
4 1
1 2
2 3
160.
-27.
14

1.2. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
Прямоугольная таблица, составленная из тУ.п элементов ац
(»= 1, т, /=1, ~п) некоторого множества, называется матрицей
и записывается в виде
аи
021
022
01„
02»
Om2
птп
или А =
Элементы матрицы нумеруются 2 индексами. Первый индекс i
элемента ац обозначает номер строки, а второй / — номер столбца,
на пересечении которых находится этот элемент в матрице. Матрицы
обычно обозначают прописными буквами латинского алфавита: А, В, С,...
Если у матрицы т строк и п столбцов, то по определению она имеет
размерность т X п. В случае необходимости это обозначается следую-
следующим образом: АтХп- Матрица называется числовой, если ее элементы
пц — числа; функциональной, если ац — функции; векторной, если ац —
векторы, и т. д. Матрицы А и В называются равными, если все их соот-
соответствующие элементы а,,- и Ьц равны, т. е. а,,- = Ьц. Следовательно,
равными могут быть только матрицы одинаковой размерности. Матри-
Матрицы, у которых m = n, называются квадратными. Если I = 1, то получаем
матрицу-строку; если / = 1, имеем матрицу-столбец. Их также называют
вектор-строкой и вектор-столбцом соответственно.
Перечислим основные операции над матрицами.
1. Сложение и вычитание матриц. Эти операции определяются
только для матриц одинаковой размерности. Суммой (разностью) мат-
матриц А и В, обозначаемой А + В (А — В), называется матрица С, эле-
элементы которой С// = ац ± Ьц, где ау и Ьц — соответственно элементы
матриц А и В. Например, пусть
Тогда
А +В =
1
2
3
1
5
5
6
^
9
10~
3
-2
, в
, А-
=
-В
— 2
-
=
3
8
-
4
7
—11
3
-1 -
11
2
-11
20
2. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А и
числа X, обозначаемым %А, называется матрица В той же размер-
размерности, элементы которой Ьц = Хац, где щ — элементы матрицы А, т. е. при
умножении матрицы на число (числа на матрицу) надо все элементы
матрицы умножить иа это число. Например, пусть
Тогда
»--»[? _?]-[_-„• ;]•
15

3. Умножение матриц. Произведением матриц АтХ„ и ВпХр на-
называется матрица СтХр — А • В (нли проще АВ), элементы которой
п
Сц = 2 autbki, где ait, bkj — элементы матриц А и В. Отсюда следует,
что произведение АВ существует только в случае, когда первый
множитель А имеет число столбцов, равное числу строк второго мно-
множителя В. Далее, число строк матрицы АВ равно числу строк А, а число
столбцов — числу столбцов В. Из существования произведения АВ
не следует существование произведения ВА. В случае его существования,
как правило ВА Ф АВ. Если АВ = ВА, то матрицы А и В называются
перестановочными (или коммутирующими). Известно, что всегда
(АВ)С = А(ВС).
Пример 1. Найти АВ и ВА, если:
ч:
-1 5
-2 -3
3 4
> Имеем:
АВ = С
2x2
[Си С121
c2i с22_г
где сц=4(— 1) + ( — 5
+ 8-4 = 67; C2i = l(-
+ 3(-3) + (-1L=-8.
В результате АВ = I.
Далее находим
= 30; Ci2 = 4-5 + ( — 5)(
— 1K= —10; с22 =
1 . 5 +
Си С|2 С|3
С21 С22 С2з
Сз| С 32 Сзз
где ?,,=(—1L + 5- 1 = 1; с,2 = (- 1)( —5) + 5 • 3 = 20; с,з =
= (— 1)8 +5(— 1) = — 13; ?21 = ( — 2L + ( — 3) f = — 11; с22 =
= 3-4 + 4-1 = 16; с32 = 3( —5)+4-3=—3; с33= 3-8 + 4(—1) =
= 20. Имеем:
ВА =
1
-11
20—13
1 —13
16 -3
20
Итак, АВфВА. <
Пример 2. Даны матрицы: А = , В = \ _ ~ I. Найти
АВ и ВА.
> Имеем:
«„ =
-1) 3(-5) + 5-2
-2]_Г-2 -5]
-2j-L-l -lj'
16

5J1 Г-2 -
-2j L-1 -
(-1K + 2-1 " (—1M + 2
Следовательно, АВ = ВА. ^
Пример 3. Найти (АВ)С и А(ВС), если:
А =
-1 1
2 5
> Имеем:
т. е. (АВ)С = А(ВС).
-1
2
4
5
-1
9
г
= 1
3
9
3
— 10
i
i
-2
— 2
— 3
"l
г ^
, (АВ) С
(ВС) =
=
— 7
— 7
11
— 15
11
15
1. Даны матрицы
если:
АЗ-1.2
А и В. Найти: А + В, 2А, A — SB,
а)
б)
д
А =
1
0
— 7
5
4
-2
8"
9
1
7
3
4
, в
9
-1
4
=
—
Г
0
— 3
1
0
6
1
-1
3 =
—4 1—8 1
0 1-23
2 5 11 7
2. Даны матрицы А и В. Найти АВ и ВА, если:
а) Л =
б) А =
в) Л =
1
0 2
0-13
4 0 5
1 0
3-15
, в =

•в=
J
2
3
1
"о
3
1
7
2
-3
7"
4
0
;
1
-4
5
3
4
2
5 = [5 -2 3];
17

г)
д)
А =
А =
[ Ответ: а)
V
2
1
"о
О
АВ
2
2
о"
а
, в =
.в-
'а
О -
13
3
2
"Р
О
1
11
13
4
3
V
О
п"
19
29
б) АВ
1
, ВА =
21
15
1
6
-13
21
-7
2
3
30
-8
18
-7 35
-1 20
1 О
в) ЯЛ = [13], АВ =
15
20
10
14].
10 '
—6
-8
-4
9
12
6
3. Для матрицы Л найти все перестановочные (комму-
(коммутирующие) с ней квадратные матрицы В. Проверить
выполнимость равенства АВ = В А, если:
а) Л
(Ответ: а) В
•> 4
36 —6
6 26
6 — любые числа (параметры).)
, где а,
4. Даны матрицы А, В и С. Найти Л (ВС), (ЛВ)С и по-
показать, что (АВ)С = А{ВС), если:
а) Л =
3
5
7
1
-6
-8
18

б) Л =
4 2
9 -7]
11 Oj'
В
C = [-l 9 3 6].
(Ответ: а) АВС =
V
б) АВС =
43 96
18 758
28 1030
52 —468
-19
171
156 -312
57 114
Л =
Самостоятельная работа
1. Даны матрицы:
1 -1 3
2 0 2
j' B =
С =
0
— 1
1
1
2
2
2
0
1
0
0
0
Найти те из произведений АВ, ВА, АС, СА, ВС, СВ,
рые имеют смысл.
-2 0 -:
3 -1
кото-
кото¦J- ¦¦¦¦ *^ » А«4 Ч'*»* ^ Ч^ й<* В^А 4^V
/Ответ: ВА = "
2. Для данных матриц А и В найти (Л
Л =
1 4
2 5
-3 6
I Ответ:
9
8
D =
-2
1
4
1
0
-1
5 5
6 6
-ЗВJ,
-1
2
0
если:
96 12
-18 54 -8
51 85 111
3. Найти (АВ)С и А(ВС), если:
9
3
9
3 -
(
С =
Ответ:
-п
1 оо
19

1.3. ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. РАНГ МАТРИЦЫ.
ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА — КАПЕЛЛИ
Квадратная матрица порядка п
Oil Oi2
021 022
п2п
A.8)
anl а„2 ... а„
называется невырожденной, если ее определитель (детерминаит)
Я12 ¦¦¦ Ощ
det/l =
021
ап\ а„2
апг,
A.9)
В случае, когда det А = 0, матрица А называется вырожденной.
Только для квадратных невырожденных матриц А вводится понятие
обратной матрицы А~'. Матрица А~' называется обратной для квад-
квадратной невырожденной матрицы А, если АА~' =А~'А = Е, где Е —
единичная матрица порядка п:
1 О
О 1
О О
A.10)
Известно, что для А существует единственная обратная матрица
А~', которая определяется формулой
А*
Аи
Л|2
Ап2
А„„
A.11)
Матрица А* называется присоединенной, ее элементами являются алгеб-
алгебраические дополнения Ац транспонированной матрицы А т, т. е. матрицы,
полученной из данной матрицы А заменой ее строк столбцами с теми
же номерами:
Ат =
0|| 021
0|2 022
0„|
п\п
Oil
A.12)
Пример 1. Дана матрица А. Убедиться, что она невырожденная,
найти обратную ей матрицу А~' и проверить выполнимость равенств
АА->=А~'А=Е, если:
6) А-
2 —4
1 -5
1 -1
20

-1 2
1 3
раические дополнения: Лц=3, Л|2 =—
> а) Имеем det Aj=
ческие доп
Следовательно,
— 5 Ф 0. Далее нахоДим алгеб-
Л2| = —2, Л22=—1.
-'---Ц 3 -21-Г-3/5 2/51
- 5L-1 — 1J — L 1/5 1/5J'
0
б) Вычисляем det Л = —8=^0 и алгебраические дополнения Ап =
—2, Л,2 = 2, Л,з = 4. Л2, =3, Л22 = 1, А23= —2, Л3, = —7, Л32 =
—5, Л3з= —6. Тогда
Л~'= — —
Введем понятие ранга матрицы. Выделим в матрице Л & строк
и k столбцов, где k — число, меньшее или равное меньшему из чисел
т и п. Определитель порядка k, составлен-ный из элементов, стоящих
на пересечении выделенных k строк и k столбцов, называется минором
или определителем, порожденным матрицей А. Например, для матрицы
— 2
2
4
3
1
— 2
— 7
_5
— 6
7
1
4
1
8
-2
1
0 -
4
1
0
3
-6
5
3
—6
•
1
2
5
-6
при k = 2 определители
7 —1
1 8
будут порожденными данной матрицей.
Рангом матрицы А (обозначается rang Л) называется наиболь-
наибольший порядок порожденных ею определителей, отличных от нуля. Если
равны нулю все определители порядка k, порожденные данной матри-
матрицей Л, то rang A < k.
Теорема 1. Ранг матрицы не изменится, если:
1) поменять местами любые два параллельных ряда;
2) умножить каждый элемент ряда на один и тот же множитель
3) прибавить к элементам ряда соответствующие элементы любого
другого параллельного ряда, умноженные на один и тот же множитель.
Преобразования 1—3 называются элементарными. Две матрицы
называются эквивалентными, если одна матрица получается из другой
с помощью элементарных преобразований. Эквивалентность матриц Л и В
обозначается Л ~ В.
Базисным минором матрицы называется всякий отличный от нуля
мииор, порядок которого равен рангу данной матрицы.
Рассмотрим основные методы нахождения ранга матрицы.
1. Метод единиц и нулей. С помощью элементарных преобразований
любую матрицу можно привести к виду, когда каждый ее ряд будет
состоять только из нулей или из нулей и одной единицы. Тогда число
оставшихся единиц и определит ра>1и^«сх>рдной матрицы, так как полу-
полученная матрица будет экви^вал^Йтна исходной.
21

Пример 2. Найти ранг матрицы
А =
1
1 2
3 —1
2—10—4 —5
— 1 —1 0 —3 —2
3 4
8 —3
^ Умножим третий столбец матрицы А на 1/2. Далее, полученную
первую строку умножим на 2 н вычтем ее из четвертой строки. Теперь
третий столбец содержит три нуля и единицу (в первой строке). Легко
делаем нули в первой строке на первой, второй, четвертой и пятой
позициях. Имеем
0
2
1
4
0
-1
— 1
1
1
0
0
0
0
— 4
— 3
2
0
— 5
—2
— 1
Теперь четвертую строку последней матрицы складываем со второй
и третьей, получая прн этом еще два нуля во втором столбце, после
чего делаем нули в четвертой строке всюду, кроме единицы на пере-
пересечении четвертой строки и второго столбца. В результате этих эле-
элементарных преобразований имеем:
А~
Получили три единицы. Следовательно, rang A =3.
За базисный мииор можно взять, например, определитель третьего
порядка, который находится на пересечении первой, третьей, четвер-
четвертой строк и второго, третьего и четвертого столбцов (на пересечении
этих строк и столбцов в последней матрице стоят единицы). Так как
перестановка рядов матрицы ие производилась, то один из базисных ми-
миноров матрицы А следующий:
0
6
3
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
-2
-1
0
0
—6
—3
0
0
0
3
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
-3
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1 2 3
— 1 0 —3
3 4 8
2. Метод окаймляющих миноров. Минор М/,+ 1 порядка k + 1, содер-
содержащий в себе минор Mi, порядка k, называется окаймляющим мииор
Aft. Если у матрицы А существует минор М* Ф 0, а все окаймляющие
его миноры Mk+\ = 0, то rang A = k.
Пример 3. Найти ранг матрицы
^ Имеем М2 =
два минора:
22
А=
— 3 51
-6 4|
~1 — 3 5 4
2 -6 4 3
3 —9 3 2
Ф 0. Для Mi окаймляющими будут только

1
2
3
— 3
— 6
Q
5
4
3
, M* =
-3 5 4
— 6 4 3
—9 3 2
каждый из которых равен нулю. Поэтому rang /1=2, а указанный
минор Мг может быть принят за базисный. -4
Теорема 2 (Кронекера — Капелли). Для того чтобы система m
линейных алгебраических уравнений относительно п неизвестных Хх,
хг, .... хп
+
012*2 +•-¦+ п\пХп= Ох, I
022*2 +... + а2пх„ — &2, I
ат2Х2 + ... + amn*n = Ьт )
A.13)
UmlAI "Г "т2Л2 "Г.- "Г Umnt-n — Um /
была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг
основной матрицы
ахх а,2 ... а,„
Q2I 022 ... <12п
A.14)
ат\ атг ... а,,
системы A.13) и ранг так называемой расширенной матрицы
аи
U2X
атх
Д|2
Д22
ami ¦ ¦ ¦
а,п
а2п
атп
Ьх
b2
bm
=
А
bx
62
ь„
A.15)
системы A.13) были равны, т. е. rang A = rang В = г. Далее, если
rang A = rang В и г = п, то система A.13) имеет единственное ре-
решение; если г <.п, то система A.13) имеет бесконечное множество
решений, зависящее от п — г произвольных параметров.
Система A.13) называется однородной, если все ее свободные
члены bj (i= I, m) равны нулю. Если хотя бы одно из чисел отлично
от нуля, то система называется неоднородной. Для однородной системы
уравнений rang A = rang В, поэтому она всегда совместна.
Пример 4. Выяснить, совместна ли система уравнений
4*i + 3*2 — 3*з — *4 = 4,
3*i — Хч + 3*з — 2*4 =
3*1 + *2 — *4 = (
5*i + 4*2 — 2*з + *4 =.
*4 = 4, Ч
*4=1, I
»Г4 = 0, f
х, = 3. )
^ Выпишем расширенную матрицу данной системы и найдем ранги
основной и расширенной матриц. Имеем:
В
4
3
3
3
— 1
1
— 3
3
0
J
-2
— 1
4 —2
1
Не будем переставлять столбец свободных членов с другими столб-
столбцами матрицы, чтобы сразу определить ранги основной и расширенной
матриц. Второй столбец матрицы В умножим на 3 и вычтем из первого,
23

3
3
0
2
2
— 3
0
5
4
1
0
3
а также сложим второй столбец с четвертым. В результате в третьей
строке получим все нули, кроме единицы во втором столбце. Тогда
легко можно обратить в нули все остальные элементы второго столбца.
Получим
~-5 О
6 О
О 1
-7 О
Теперь вторую строку прибавим к первой и четвертой, а затем в
полученной матрице первый столбец сложим с четвертым. Имеем:
1
6
О
— 1 О
Далее третий столбец последней матрицы вычтем из четвертого, рав-
равного ему, и прибавим к первому. Полученный первый столбец, умножен-
умноженный на 5, вычтем из пятого. Тогда
0
0
1
0
0
3
0
1
0
3
0
1
5
1
0
4
"l
9
0
0
0
0
1
0
0
3
0
1
0
0
0
0
0
— 44
0
4
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
Получили rang А = 3, rang В = 4, откуда rang А Ф rang В, т. е. исход-
исходная система уравнений несовместна. ^|
АЗ-1.3
1. Найти матрицу А~1, обратную данной матрице А,
если:
3
1
3
1
2
2
-5
4
-1
-
; б)
-
-10
13
-4
А =
-9
12
з
0
0
2
1
—
0
3
7
2
14"
17
5
1
1
6
2
*
1
-7
1
1
а) А =
Ответ: а) А = —
-7 3 _13 41
-13 -3 8 -16
18 3 -3 6
—3 -3 3 —6
2. Найти ранг матрицы А с помощью элементарных
24

преобразований или методом окаймляющих миноров и
указать какой-либо базисный минор, если:
а) А =
б) А =
в) А =
(Ответ: а) 2; б) 2; в) 3.)
3. Зная основную матрицу А и расширенную матри-
матрицу В, записать соответствующую им систему линейных
алгебраических уравнений и решить вопрос о ее совмест-
совместности или несовместности, пользуясь теоремой Кроне-
кера — Капелли:
-8
-2
1
1
2
-3
4
1
-1
1
2
1
1
1
4
8
7
-7 —5
-3 -
0
1
-1
-1
1
2
2
1
1
1
3
— 4
3
2
о"
1
—4
1
1
-1
— 2
3
-4
j
-5
-1
1
а) Л =
б) Л =
1—11-2
1—12—1
5—5 8-7
"з
1
2
2
5
1
-1 1
-5 1
4 0
1 3
0 4
, В —
А
6
12
-6
3
9
(Ответ: a) rang А — 2, rang В — 3, т. е. система несовмест-
несовместна; б) rang A = rang В = 3, т. е. система совместна.)
Самостоятельная работа
1. 1) Найти матрицу А~1, обратную матрице
 5 — 2~
1 -3 2
6 7 —3^
25

2) найти ранг матрицы А с помощью элементарных
преобразований и указать какой-либо ее базисный минор,
если
А =
3 1 2
7 3 5
15 7 11
115 8
Ответ: 1)
±
-5 1
15 3
25 9
4
-8
—14
2) rang A =2.
2. 1) Для матрицы А найти матрицу А ' и убедиться,
что А А ~' = Е, если
1
О
О
2) найти ранг матрицы А и указать какой-либо ее
базисный минор, если
1
-2
-1.
О
1
-1
1
2
5
1
—4
'Ответ: 1)
О -4
—2
О
5 —1
1 -1
2) rang Л =2.
3. 1) Найти матрицу А ', если
О 2 —Г
-2 -1 2
А =
3 —2 —1
2) найти ранг матрицы А и указать какой-либо ее
базисный минор, если
4
1
1
0
— 1
1
3
4
2
1
2
3
0
1
— 1
0
26

Ответ: 1) A~l —
5 4 3
4 3 2
7 6 4
; 2) rang A = 3.
1.4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Матричный метод. Пусть для системы A.13) т=п и основная
Матрица А вида A.14)—невырожденная, т. е. det А Ф 0. Тогда для
А существует единственная обратная матрица А~\ определяемая
формулой A.11). Введем в рассмотрение матрицы-столбцы для неиз-
неизвестных и свободных членов:
A.16)
Тогда систему A.13) можно записать в матричной форме: АХ=В.
Умножив это матричное уравнение слева иа А~1, получим А~'АХ =
= А~1В, откуда ЕХ = Х = А~'В. Следовательно, матрица-решение X
легко находится как произведение А~' и В.
Пример 1. Решить систему уравнений матричным методом:
2х — 4у+ z = 3,
х — Ъу + 3z =
X— у+ 2 =
Имеем:
X\
X2
Xn
, B =
b,
b2
bn
«i матр>
ы
, х =
X
У
z
б
з"
— 1
1
—1 , det A = —8.
Обратная матрица
8
— 2 3 —7
2 1 —5
4 —2 —6
'-т
(см. пример 2 из § 1.3). Находим:
~—2 3 — 7
2 1 —5
4 —2 —6
т. е. х = 2, у = 0, z = — 1 — решение данной системы.
— 16
0
8
==
2
0
— 1
— 2-3 + 3(—1) —7-1
2-3 + 1(-1)-5-1
4-3 —2(-1)—6-1
27

Формулы Крамера. Если для системы A.13) т = п и det А =^= О,
то верны формулы Крамера для вычисления неизвестных дг, («'=1, п):
х, = Д«/ Д„ (i = 17^), A.17)
где А„ = det Л, а Д? являются определителями «-го порядка, которые
получаются из Дп путем замены в нем (-го столбца столбцом свободных
членов исходной системы.
Пример 2. Решить систему уравнений с помощью формул
Крамера:
Вычислим
Дз= det Л =
2 —1
3 4
0 2
= 56—18 + 20 + 21=79.
Последовательно заменив в Дз первый, второй и третий столбцы
столбцом свободных членов, получим:
3 —1 —3
дУ>= -8 4 -5 =395, д:, = -^ ^- = 5,
17 2 7
Аз
Дз2) =
2 3—3
3 -8 —5
0 17 7
= -158, х2=-^-*=-
Дз3) =
2-1 3
3 4—8
0 2 17
= 237, х3 =
Дз
Аз3)
Аз
158
79
237
79
= 3.-4
Метод последовательных исключений Жордана — Гаусса. Если
основная матрица А системы A.13) имеет ранг г ^ га, то расширенная
матрица В этой системы с помощью элементарных преобразований
строк и перестановок столбцов всегда может быть приведена к виду
1
0
0
0
0
а12
1 .
0
0 .
0 .
.. аи
агг
.. 1
.. 0
.. 0
eir + l
~arr+i
0
0
... аы
... а2а
... 0
... 0
ь,
ь,
ъ,
A.18)
Матрица A.18) является расширенной матрицей системы
... + alrxr + air+\Xr + i + ... + а,„х„ = Si, "|
x2 + ... + a2rx, + a2r+ixr+1 + ... + а2лх„ = b2, •
28

x, + arr
i +... + аг„х„ = br,
¦Ьг
19)
которая эквивалентна исходной системе (т. е. имеет те же самые ре-
решения, что и исходная система). Если хотя бы одно из чисел Ьг+и ...,
Вт отлично от нуля, то система A.19) и, следовательно, исходная
система A.13) несовместны. Если же b, + i = ... = Ь„ — 0, то система
A.13) совместна, а из системы A.19) можно последовательно выразить
в явном виде базисные неизвестные х,, хг-\, ..., х2, Х\ через свободные
неизвестные xr+i, ..., х„, т. е. решить систему A.13). Если г = п, то
решение этой системы единственно.
Пример 3. С помощью метода последовательных исключеинй Жорда-
на — Гаусса решить вопрос о совместности дайной снстемы и в случае
совместности решить ее:
х, + х2+ 5*3 + 2*4= 1,
Эх, + Зх2 + 9х3 + 5х4 = — 2,
2х, + х2+ Зх3+2х4=— 3,
х,+ х2+ Зхз + 4х4= —3.-
> Составим расширенную матрицу В и проведем необходимые
элементарные преобразования строк:
 3 11 5 2
115 2 1
3 3 9 5—2
в =
2 1
11 5
5 2
9 5
3 2
3 4
— 3
1 1
1 1
2 3
2 1
3 3
5
3
11
3
9
2
4
5
2
5
1
з
2
— 3
-2
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
— 1
0
1
1
0
0
0
5
-2
1
-7
— 6
5
1
1 -
0
0 -
2
2
1
-2
— 1
Г
— 4
0
— 5
— 5
2
1
]
1
— 7
1
0
2
— 1
7
л-
1 1
О 1
о о
о о
о о
1 1 5
О 1 1
О 0 1
0 0 0
0 0 0
5
1
1
0
— 6
2
1
-1
у
1
1
0
2
7
-5
2
1
1
1
0
1
0
2
— 1
0
Последней матрице соответствует система, эквивалентная исходной:
х, + х2 + 5х3 + 2х4 =
Х2 + Хз + Х4 =
Хз— Х4 =
Х4= -1
Из нее, двигаясь снизу вверх, последовательно находим: х4 = — 1, Хз =
= 2 + х< = 2 — 1 = 1, х2 = —хз — х, = — 1 + 1 = 0, х, = 1 — х2 — 5хз —
— 2X4 = 1 -5 + 2= -2.
1!
29

Итак, система совместна, ее решение единственно (г = п = 4): х, =
= —2, Х2 = 0, х3 = 1, х4 = — 1. Проверкой легко убедиться в правиль-
правильности найденного решения. ^
Пример 4. Методом Жордана — Гаусса показать, что данная си-
система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от двух па-
параметров, и найти эти решения:
Х\ + 2х2 + хз + х4 =
Х2 + Хз
Xi -\- X2
= 5Л
4 = 3, >
= 2.J
^ Составляем расширенную матрицу системы В и находим rang.4
и rangS с помощью элементарных преобразований строк:
2 11
0 111
110 0
1
1 2
0 111
0 —1 —1 —1
1
0
0
2
1
0
1
1
0
1
1
0
5
3
0
Следовательно, rang.4 = rangB = 2 <с п =4. Поэтому система сов-
совместна и имеет бесчисленное множество решений, зависящих от двух
(п — г = 4 — 2 = 2) параметров.
Последней матрице, эквивалентной данной матрице В, соответст-
соответствует система уравнений
х, -f- 2х2 + Хз + xt = 5,1
J3t*4 = '
эквивалентная исходной. Так как Дг =
\
то в качестве
1 2
0 1
базисных неизвестных берем х\ и дгг, а дг3 и дг4 принимаем за свободные
неизвестные (параметры). Тогда из второго уравнения последней си-
системы имеем хг = 3 — Хз — Xi. Подставив выражение для дг2 в первое
уравнение, найдем
х\ = 5 — 2C — Хз —- Xi) — хз — Xi = — 1 + дгз + xt. -4
Замечание. За базисные неизвестные можно было бы принять
также х\, х3, или хи xt, или дгг, х3, или х2, xit ио не х3, *4, так как опре-
определитель, составленный из коэффициентов при хз и Xi, равен нулю
поэтому Хз и Xi невозможно выразить через х\ и
I = 0 V и
АЗ-1.4
1. Доказать совместность систем с помощью теоремы
Кронекера — Капелли, записать системы в матричной
форме и решить их матричным способом:
!2xi— х2 = —1, (ixi+2x2 — x3= 0,
х, + 2х2-х3=— 2, б) < х,+2лг2 + хз= 1,
х2 + ^з=—2; ( Х2 — х3= — 3.
30

(Ответ: а) Х\ =*2=*з= — 1; б) хх = 1, *2 = — 1, *з = 2.)
2. Решить системы уравнений, используя формулы
Крамера:
+ 3*2 +8*4= О,
*2-*з + 3*4= О,
с
3 + 4 ,
+ *4 = —24.
б) хх = — 19, *2 = 26,
'2*i+*2— *з= О,
3*2 + 4*3 = —6, б)
*i + *з= 1; v*i
(Ответ: а) Х\ = 1, х% = —2, *з = 0;
х3=П, *4=-5.)
3. Решить системы методом Жордана — Гаусса:
C*1 — 2*2 + *3 — *4 = 0,
3*i — 2*2 — *з + *4 = 0,
*i — *2 + 2*з + 5^4 = 0;
f 4*i + 2*2 - 3*з + 2*4 = 3,
б) < 2*i + 3*2 — 2*з + 3*4 = 2,
(.3*1 + 2*2 — 3*з + 4*4 = 1.
(Ответ: a) *i = 14/, x2 = 21/, *3 = *4 = /(/ — любое число);
(/ — любое число).)
4. Исследовать систему уравнений на совместность
и в случае совместности решить ее:
2*i + 5*2 — 8*з = 8,
4*i + 3*2 — 9*з = 9,
2*i + 3*2 — 5*з = 7,
*i ~г~ о*2 — 7*з ^= 12..
4
1
1
(Ответ: *i =3, Хг = 2, *з = 1.)
5. Решить однородную систему уравнений:
*1+2*2+ 4*з—
3*i + 5*2 + 6*3 —
4*i + 5*2 — 2*з
3*i + 8*2 + 24*з
(Ответ: *i = 8*з — 7х4, *2 = —6*3 + 5*4.)
',- 4*44=o!l
; + 3*4 = 0, f
1-19x4 = 07
Самостоятельная работа
1. Решить систему уравнений матричным способом
и сделать проверку:
2*i — *2 + 5*з = 4,1
3*! — *2 + 5*3 = 0, }
5*i +2*2+13*з = 2.)
31

2. Решить систему по формулам Крамера и сделать
проверку:
Х\ — 2хг — хз = —2,\
2xi — х2 = -~1,!>
Х2
3 = —'
3. Решить систему методом Жордана
лать проверку:
Гаусса и сде-
сде-4x2 + 3^3= -22Л
+Зх2 + 5хз= 12,}
— Х2-2ХЗ= 0.J
1.5. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. I
ИДЗ-1.1
1. Для данного определителя Д найти миноры и
алгебраические дополнения элементов ац, а3;- Вы-
Вычислить определитель Д: а) разложив его по элемен-
элементам t'-й строки; б) разложив его по элементам /-го столбца;
в) получив предварительно нули в t-й строке.
1.1.
1.3.
1.5.
1.7.
1
3
1
2
2
1
3
0
3
2
1
5
2
3
2
1
i
i
i
1
6
0
3
=
7
1
4
5
=
—
—
—
-2
4,
4,
5
4
2
1
2,
1
4
1
2
_2
6
5 -
2
-1
0
0
5
4
-1
1
0
2
-1 -3
; = 1.
3
1
2
-2
/ = 4.
2
1
0
3 -
2
0
1
4
0
2
1
-2
1.2.
1.4.
>
1.6.
1.8.
>
2
6
0
4
i
0
3
2
2
=
4
-3
5
-2
3
4
1
0
[--
2
3
0
1
i =
3
1
4
-1
1
-9
— 1
0
3, / =
-5 -
2
3
3
0
3
6
3.
-1 -
8 -
1
4 -6
= 1. /
0
-5
-2
-3
= 1. / =
2
-1
5
2
= 3.
-5
-2
*
-5
= 2.
0
2
1
3
0
3
4
3
-2
—
3
0
3
i = 3, / =
32

1.9.
1.11.
1.13.
1.15.
1.17.
1.19.
0 4 1 1
-4 2 1 3
0 12-2
13 4—3
/.= 4, / = 3.
5-3 7-1
3 2 0 2
2 14-6
3-2 9 4
» = 3, / = 4.
1.10.
8 2-3
-2 0 4
-3 7 -1
2 0 2
1, / = 4.
1 2 3
-12 4
-1 1 1
-12 5
1, f=3.
1 -1
2
2
0
0
1 -
-1
1.12.
6 2-10 4
5 -7 -4 1
2 4-2-6
3 0-54
1.14.
1.16.
0
4
10
-8
4
0
3
4
2
4
3
3
i
*
-2
-8
1
3
= 4,
-1
2
4
1
= 1,
-3
-2
=
3
5
-2
-1
0
-1
2, /
1
0
2
3
1
2 ¦
5
2 -
1 = 2.
1
-2
1
1
/ = 2
4 1
3 2
2 1
4 3
= 4.
2
-6
1
2
5
7
-3
4
5
3
2
-2
»
0
1
3
1
»
1.18.
1.20.
0 4 2
-1 2 1
1 2 0
1 1 1
2 ; л
-1-2 4 1
2 3 0 6
2-2 1 4
3 1-2-1
1.21.
12 3 4
2 1-4 3
3-4-1 2
4 3-2-1
i=l, / = 2.
1.22.
-1
1
12
2 3
2 3
i = 3,
-2 3
2 3
10
-20
/ = 2.
33

1.23.
1.25.
1.27.
1.29.
-1
2
3
2
i =
4
-2
2
3
1
3
0
5
i =
г
-1
2
3
4
/ =
2
-3
j
0
= 4, /
0
1
2
1
= 4
3 -2
1 -
4
0
= 2,
-2
2
1
4
= 3,
-2
0
— 3
2
= 4,
-4
1
1
f = ;
0
1
—2
4
/ =
3
1
1
1
j __.
4
1
4
3
— 1
3
-2
—
—
4.
9
3
1
1
0
4
—
(
1
)
— 2
4.
1.24.
1.26.
1.28.
1.30.
3
0
3
1
6
2
1
4
4
1
3
5
«
= 3
-5
/ =
i =
-4
2
-3
2
j =
1
1
2
= 4
0
-2
1
1
= 1
—
1
2
1
0
. J
2
1
2
4
• = 2
1
0
—
2
2
-1 -2
-3
/
/
1
1
0
1
i
-1
1
-1
0
-3
_1
= 2.
2
2
1
-2
= 2.
0
2
1
1
3
2
0
3
1
3
2. Даны две матрицы Л и В. Найти: а) АВ; б) ЯД;
в) Л; г) АЛ'1; д) А~ХА.
2.1. Л =
2.2. Л =
2.3. А =
2.4. А =
9 1 4
8 —7 —6
-3 4 2
3
2
-3
2
2 -
1
-6
9
0
5
4
1
1
-1
0
1
2
3
-6
3
I
j
1
1
if
5
7
B =
B =
2
3
1
2
— 3
3
2
1
3
0
I
4
-1
-5
2
6
4
-2
0
2
— 3
—2
8
-1
5
4
1
— 5
0
-3
о"
— 6
Г
7
2
3
34

2.5. A =
2.6. A =
2.7. A =
2.8. A
2.9. A =
2.10. A =
2
1
4
6
3
2
3
-1
1
3
3
1
7
1
2
— 2
2
1
0
3
-1
1
-4
0
6
3
1
1
0
2
—
3~
0
i
r
¦
r
7
9
3
Г
2
1
2
2
1
2"
1
3
l
>
3~
4
2
»
>
»
4~
— 4
2
B =
B =
, B =
B =
-
B =
0
2
3
~3
3
5

4
4

0
1

1
4
4
4
3
2
1
3
3
6
9
5
9
5
-1
1
7
0
-1
3
Г
2
2
2~
2
2
g
0
2
2
1
1
Г
2
0
.
5"
—2
7
2
5
— 3
2.11. Л =
6
-1
10
9
-1
1
4
1
7
, в =
"l
3
0
1
4
5
1
3
2
2.12.
2.13.
2.14.
А =
А =
А =
1
3
2

1
8
~2
3
4
0
1
1
1
3
4
2
3
3
3
7
8^
*
— 2"
—
__
Ъ
6
4
1
1
у
В =
в =
в =
3
з
"з
7
1
~1
2
1
5
5
1
6
5
0
6
5"
2
0
¦1
3
—2
4
1
—4
1
3
— 1
35

2.15. A =
2.16. A =
2.17. A =
2.18. A =
2.19. A =
2.20. A =
2.21. Л =
2.22. A =
2.23. Л =
2.24. A =
2.25. Л
1 -2 5
3 0 6
4 3 4
О
5
1
3
3
4
2
8
5
10
4
2
0
1
3
2
2
4
5
—
— 1
g
3
о"
2
7
>
-Г
-1
2
3
1
4
3
3
4
-7
-8
-2
-1
5
7
2
3
3
0
1
5
2
4
2
8
1
1
— 1
-9
-j
5 -
5
1
—4
—
-Г
3
0
3
1
1 -1
-4 1
-3 1
-8 -4
0 -5
1 0
2- Г
-2 4.
-5 3
, в =
в =
в =
в =
-1 1 1
2 3 3
1 -2 -1
5
3
1
2
5
1
3
3
1
0
2
2
4
-7
2
7
3
-6
2
2
0
5
4
1
5*
1
2
-5
0~
1
1
—з"
1
— 5
1
2
-1 0 2
1 —8 5
3 0 2
'О 0 -4"
5-6 4
7 -4 1
4 -7 —6
3 2-1
0 1 2
1 0 -4"
2 5-3
4—3 2
1 5 5
1 2 1
2 —1 -3
7 5 Г
5 3-1
1 2 3
36

2.26. A =
2.27. A =
2.28. A =
2.29. A =
2.30. A =
— 3
1
0
— 3
4
-2
— 3
1
5
_1
2
3
4
2 -
1
4
-5
4
5
3
4
2
0
0
3
7
1
-4
2
1
о"
1
3
—
—
2"
2
1
—
—
2
3
2
з~
3
1
4~
6
1
B =
1
1
— 4
1
0
2
4
3
1
7
2
-1
4
2
2
—
Г
6
1
2-2 0
5 4 1
1 -1 2
3 О Г
-3 1 7
1 3 2
0 -1 f
2 5 0
1 -1 2
Решение типового варианта
1. Для данного определителя
-3 2 10
2-2 14
4 0—12
3 1-14
Л4 =
найти миноры и алгебраические дополнения элементов
ai2, аз2- Вычислить определитель А4: а) разложив его по
элементам первой строки; б) разложив его по элементам
второго столбца; в) получив предварительно нули в пер-
первой строке.
> Находим:
2
4
3
-8 — 16 + 6 + 12
-3
2 1 4
3-14
1 4
— 1 2
— 1 4
+ 4-16= —18,
1 О
= —12+12-12-8= -20.
37

Алгебраические дополнения элементов ац
ветственно равны:
Л12=(-1I+2М12=-(-18)=18,
Л AK+2ЛЬ= -(-20) = 20.
соот-
соота) Вычислим
A* = пцАц -
-2 1 4
= -3 0—12
1 —1 4
-2
i2 + ai3Ai3 +
2 1 4
4 -1
3 -1
+ 1
2 -2
4 0
3 1
= -3(8 + 2 + 4-4) — 2( —8— 16 + 6+ 12 + 4-16) +
+ A6-12-4+ 32) = 38;
б) Разложим
столбца:
определитель по элементам второго
А4=-2
1
-1
-1
-2
-3
4
3
1
— 1
-1
+ 1
-3 1 О
2 1 4
4-12
= —2( —8 + 6-16+12 + 4-16) —2A2 + 6 —
-6 —16)+ (-6+ 16 —12-4) = 38;
в) Вычислим А4, получив предварительно нули в пер-
первой строке. Используем свойство 10 определителей (см.
§ 1.1). Умножим третий столбец определителя на 3 и при-
прибавим к первому, затем умножим на —2 и прибавим ко
второму. Тогда в первой строке все элементы, кроме одно-
одного, будут нулями. Разложим полученный таким образом
определитель по элементам первой строки и вычислим его:
—3
2
4
3
2
— 2
О
1
1
1
— 1
— 1
0
— 4
2
3
— 1
—4
2
3
4
2
4
=
0
1
0
— 14
2
3
-6
2
4
= —( — 56+18)=* 38.
В определителе третьего порядка получили нули в
первом столбце по свойству 10 определителей. -^
38

4
2
3
0
— 1
2
1
3
2
, в =
1
2
2
2
0
1
ч
1
3
Даны две матрицы:
Л =
Найти: а) АВ; б) ВЛ; в) Л; г) АА~1; д) А~1А.
^ а) Произведение ЛВ имеет смысл, так как число
столбцов матрицы Л равно числу строк матрицы В. Нахо-
Находим матрицу С = АВ, элементы которой с,7 = ал&1/ +
Ьц + апЬщ + - + ambnj. Имеем:
-4 О 1 Г 1 2 -3
2-13 2 0 1
3 2 2] [—2 1 3
-4 + 0 — 2 —8 + 0+1 12 + 0 + 3"
2-2—6 4+0+3 —6—1+9
3+4—4 6+0+2 —9+2+6
-6 —7 15
-6 7 2
3 8—1
б) Вычислим
ВА =
1
2
— 2
2
0
1
g
1
3
— 4 0 1
2—13
3 2 2
-4 + 4-9 0 — 2-6 1+6-6
-8 + 0 + 3 0 + 0 + 2 2 + 0 + 2
8+2+9 0—1+6—2+3+6
-9 —8 1
—5 2 4
19 5 7
Очевидно, что АВ ф В А;
в) Обратная матрица А~х
формулу A.11))
матрицы Л имеет вид (см.
39

где
det Л =
-4
2
3
det Л
О 1
-1 3
2 2
Аи А2Х Л31
А\2 Aii A32
133
= 8 + 4 + 3 +24 = 39=^ О,
т. е. матрица А — невырожденная, и, значит, существует
матрица А~\ Находим:
Аи =
Л12= —
-1
2
3
2
Аз
=
=
-8,
0
-1
А2\
\
= —
= 1,
0
2
1
2
= 2,
2 3
3 2
= 5,
Л32= —
— 1
— 4 1
2 3
-4 1
3 2
= 14,
= 7, Л2з=-
-4 О
3 2
= 8,
Тогда
-8
5
7
г) Имеем:
-4
2
3
-4
2
2 1
-11 14
8 4
8_
39
39
J_
39
— 1
= 4.
8
39
5
39
7
39
2
39
11
39
8
39
1
39
14
39
4
39
0
у
2
Г
3
2
2
39
11
39
8
39
1
39
14
39
4
39
"l
0
0
0
1
0
о"
0
1
=?;
4С

д) Имеем:
А~ХА = к
т. е. обратная матрица найдена верно.
— 8
5
7
2
— И
8
1
14
4
-4
2
3
0
-1
2
1
3
2
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1.1.
1.3.
1.5.
1.6.
1.7.
{2х,
7х,
4х,
I
+ 3х2 — *з = 11,
— 2х2 + 2х3 = —7.
ИДЗ-1.2
1. Проверить совместность системы уравнений и в слу-
случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера;
б) с помощью обратной матрицы (матричным методом);
в) методом Гаусса.
Г2х1 + хг + Зхз = 7, Bх, — х2 + 2х3 = 3,
2xi+3x2+ х3=1, 1.2. I xi+х2 + 2хз= —4,
43xi + 2x2 + Хз = 6. l,4xi + Хг + 4хз = — 3.
— ЛГ2+- хз=12, Bх, — х2 + 3хз=—4,
+ 2х2 + 4хз = 6, 1.4. .
+ х2 +2хз = 3.
— 2х2 + 4хз=12,
Зх, + 4x2 - 2х3 = 6,
^ „ __ q
f8xi + Зхг — 6x3 = —4,
Х\ + Х2 — Хз = 2,
I4xi + хг — Зхз =—5.
f4xi + Хг — Зхз = 9,
Х\ + Х2— Хз= —2,
Зх2+ 4x3 = 33,
1.8. <7х, - 5x2 =24,
+ 11хз = 39.
1.9. {7*1 — 5х2+ хз= -33,
U*i + х3=-7.
4х2— х3 = 6,
5х2 + 4хз= —20,
[ 3xi — 2х2 + 5х3 = — 22.
41

1
I
(Зх,
.11. <3x,
I2*i
Г 3xi
.12. Ьх,
I xi
f
— 2x2 + 4x3 = 21,
4X2 — 2x3 = 9,
— X2— X3= 10.
— 2x2 — 5x3 = 5,
Зх2 — 4хз= 12,
2x2 + Зхз = —
4*i +х2+4хз=19,
1.13. ^2х, — х2 + 2х3
+ х2 + 2х3
BX1 — *2 + 2хЗ = 8>
Х1+Х2+2Хз=П,
4*1 + Х2 + 4хз = 22.
= 19, Bх,
= 11, 1.14. ^4xi
= 8. I х,
— x2 + 2хз = 0.
+ X2 + 4X3 = 6,
{2х,
Xi
Зх,
!2xi
Зх,
Xi
1.18.1
1.19.1
(Зх,
1.20. I 5*i
I xi
!3х,
5xi
Xi
Г2х,
t.22. {2xi
Ux,
— X2 —3x3 = —9,
+ 5x2+ Хз = 20,
— X2 — ЗХз = 0,
+ 4х2 + 2хз=1,
+ 5x2+ x3= —3.
— Эх, +5х2 + 6хз= —8,
3Xi + X2+ X3= — 4,
xi — 4x2 — 2x3 = — 9.
3xi
— Эх,
x2+ x3= — 4,
Xi — 4x2 — 2хз = — 19.
— x2 + x3 = — 11,
+ x2 + 2x3 = 8,
+ 2х2 + 4хз= 16.
— x2 + x3 = 9,
+ *2 + 2*3= 11,
+2x2 + 4x3 = 19.
i + 3x2 + x3 = 4,
+ X2 +3X3 = 0,
+ 2x2+ x3=l.
42

Bx,+3X2+ хз=12,
2x, + х2 + 3хз= 16,
3xi + 2x2 + Хз = 8.
(xi —2х2 + 3хз= 14,
2x,+ 3x2 —4хз= —16,
Зх, — 2x2 —5x3= —8.
1.25. < 2x,— X2— x3= 4,
v 3xi — 2x2 + 4хз =11.
1.26. {
1.27. |
1.28. <
1.29. |
1.30. {Зх,
Ьх,
Xi + 5x2 — 6x3 = — 15,
3xi + X2 + 4хз = 13,
2xi — Зхг + Хз = 9.
4xi — x2 = —6,
3xi + 2хз + 5хз = — 14,
,-3X2 + 4X3= —19.
5х,+2х2 — 4хз= —16,
Xl +3хз=—6,
2xi — 3x2 + хз = 9.
Xi + 4x2— X3 =—9,
4xi— X2 + 5хз =—2,
3X2 — 7X3= —6.
+ 4x2— хз== 13,
+ 2х2 + Зхз = 3,
— Зх2+ х3= —10.
2. Проверить совместность системы уравнений и в слу-
случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера;
б) с помощью обратной матрицы (матричным методом);
в) методом Гаусса.
{3x1+2x2—4x3 = 8,
2х, + 4х2—5хз=11, 2.
xi—2х2+хз=1.
{2xi— х2+4хз= 15, CX1 —
Зх,— х2+ хз = 8, 2.4. {4*1 —
5х,—2х2 + 5хз = 0. { xi —
Х1+Х2+ хз = 1,
х,-х2 + 2х3 = —5,
xi +3хз= — 2.
3X1—3X2 + 2X3 = 2,
5х2 + 2хз= 1,
2х2 = 5.
43

3*1+2*2 — 4*3 =
2*1+4*2 — 5*3=
5*|+6*2 — 9*з =
2.11
2.13
—7*2 — 2*3 = 0,
3*2 — 4*3 = 6,
—4*2 + 2*3 = 2.
— 5*2 + *з = 3,
3*1+2*2—*з = 7,
4*1—3*2 =1.
7*,-2*2- *з = 2,
б*1-4*2-5*з = 3,
*,
*2 + 2*з=1,
3*з = 9,
(
D*1—
2*1—
2*1—
(
{
Г 3*i+ *2 +
.-! 2*,+2*2-
I *i- *2+
{8*1—
4*i+
4*1—
(
(
{
{3*1—
*,+
2*, —
E*i— *2 — 2*з=1,
3*i — 4*2 + *з = 7,
2*i + 3*2—3*з = 4.
3*i+ *2 + 2*з
2*,+2*2 + 5*з
*2 + 6*з= 1,
2*2 — 3*з = 7.
2*i —3*2 — 4*з = 1,
7*i—9*2— *з = 3,
5*1—6*2 + 3*3 = 7.
3*i+ *2 — 2*з = 1
5*i —3*2 + 2*з = '
— 2*i + 5*2 — 4*з =
'2*,+ *2+ *з = 2,
2.20. < 5*,+ *2+3*з = 4,
,7*1+2*2 + 4*3=1.
*i—4*2 —2*з = 0,
3*1—5*2—6*3 = 2,
4*|—9*2 — 8*з=1.
— 5*2 + 3*з = 4,
+ 2*2+ *з = 8,
2.6. <
l
(
2.8. \
Г5*1 —5*2 —
2.10. -4 *i— *2 +
И*,— 4*2—
(
2.12. \
I
f6*i
2.14. {9*,
l3*i
Г
2.16. <
(
2Л8А
1,
= —3,
5*i — 9*2 — 4*з = 6
*i—7*2—5*з= 1
l*i—2*2+ *з = 2
-4*з=—3,
*2 + 5*з= 1,
9*3 = 0.
*|—3*2+ *3 = 3,
*1 + *2— *з = 4,
3*1—4*2 + 2*3 = 2.
+ 3*2 — 5*з =
1+4*2 — 7*з =
+ *2— 2*3:
2*1+3*2 + 4*з
*i+ *2 + 5*з
*i+ 4*2 + 9*з
5*,+6*2 — 2*3
2*1+3*2— *з
3*1+3*2— *з
= 0,
= 3,
= 5.
= 6,
= 0.
= 2,
= 9,
= 1.
0.
.21. \
1,
*,—2*2 —3*з
*i+3*2 — 5*з
2*,+ *2 —8*з
= 3,
= 0,
= 4.
2.23
2.25.
r *i—:
2*1+3*2 — 4*3 = 2,
,3*1+ *2— *з = 5.
B*1+8*2 — 7*3 = 0,
2*1—5*2 + 6*3=1,
4*1+3*2— *з = 7.
44

Г 3*,+
1.28.1 *i +
1,2*,-
+ 4*2 + *з=2,
+ 5*2 — 3*з = 4,
х2 + 4*3 = 5.
.{
2*i—3*2 + 2*3 = 5,
3*,+4*2 — 7хз = 2,
5*i+ *2 —5*3 = 9.
7*i—4*2+ *3= 11,
3. Решить однородную систему линейных алгебраиче-
алгебраических уравнений.
3.1. <2*,-
U*i-
f *,
3.3. < 2*,
3.5. I
Х2 + *3 = О,
- 3*2+ 4*з = 0,
11*2+10*3 = 0.
+ 3*2 + 2*3 = 0,
— *2 + 3*3 = 0,
3*i— +
*1+ Х2+ *3 = 0,
*i+3*2+ 3*3 = 0.
10*3 = 0,
*з = 0,
4*з = 0.
2*1+5*2+ *з = 0,
4*1+6*2 + 3*3 = 0,
— *2 —2*з = 0.
!4*1— *2 +
*,+2*2-
2*,-3*2 +
3.6.1
3*1— *2 —3*з = 0,
2*,+3*2+ *з = 0,
*1+ *2 + 3*3=0.
2*i— *2 —5*з = 0,
Х\
+ 4*з = 0.
-«1+3*2— *3 = 0,
2*i +5*2 — 2*3 = 0,
{*,- *2 + 2*з = 0,
2*i+*2 —3*з = 0,
3*i +2*з = 0.
5*1—5*2 + 4*3
3*i+ +
*i+7*2— *з = 0.
— 2*2— *з = 0,
+
+3*2+4*з =
*2 + 3*з =
- *2+7*з =
— *3 = 0,
2*2 + 4*3 = 0,
5*2+3*з =
+4*2 — 3*з = О,
+ 5*2+ *з = 0,
— 2*2+ *з = 0,
— 3*2 + 5*з =
+ 2*2 =0,
*,+2*2 + 3*з = 0,
2*i— *2— *з = 0,
3*i
3.17
45

3.25.
- *2+3*з = 0,
,+2*2 — 5*3 = 0, 3.20.
+ X2+ *3 = 0.
i —3*2 — 4*3 = 0,
[—8*2 — 2*3 = 0, 3.22.
- *2— *з = 0.
i—2*9+ *з = 0,
,—3*2 + 2*3 = 0, 3.24.
i+ *2 — 4*3=0.
,+2*2-4*3 = 0,
i— *2 —3*3 = 0, 3.26.
[+3*2+ *3 = 0.
,-4*2 + 2*3 = 0,
3*2 — 2*3 = 0,
1+ *2 —3*3=0.
+ *2-3*3 = 0,
+ 5*2+ *з = 0,
— 7*2 + 2*3 = 0.
i+2*2— *з = 0,
.— *2+ 3*3 = 0,
i+3*2+4*3 = 0.
i+5*2 —*з = 0,
,+4*2-3*3 = 0,
,-3*2+*3 = 0.
|+ *2 —3*3 = 0,
-2*2+3*3 = 0,
7*i—6*2+ *з = 0,
4*i+5*2 =0,
*,—2*2 + 3*3 = 0.
6*i +5*2 — 4*3 = 0,
*1 + X2— *3 = 0,
3*1+4*2 + 3*3 = 0.
*i+7*2 — 3*3 = 0,
3*i —5*2+ *з = 0,
3*1+4*2 — 2*3 = 0.
4. Решить однородную систему линейных алгебраиче-
алгебраических уравнений.
Г5*,-
1.1. { 3*i +
18*,-
+2*2- *з = 0,
*2 + 3*з = 0.
С *,+2*2 + 4*з = (
¦ 5*i + *2 + 2*3 = (
[4*1— *2— 2*3 =(
{2*,
4*i
2*,
—2*2+ *з = 0,
3*, +3*2+ 5*з = 0,
4*i+ *2 + б*з = 0.
+
+2*2 + 3*3 = 0.
Г5*,-
1.2. { 3*, —
12*,-
3*2+ *3 =
( *, +2*2-5*з = 0, (
1.3. { 2*, -4*2+ *з = 0, 4.4 J
^3*1—2*2 — 4*3 = 0. (
*з = 0,
2*1—3*2 + 4*3 = 0,
3*,—2*2
3*1— *2+ *3
2*,+3*2—4*з
5*1+2*2 — 3*3
B*,+
.8. { *,+
1л:.-
*2 —3*з =
+ 2*2—4*з =
( 4*i+
4.10J 3*1—2*2— *з
( 7*i— *2 + 3*з
46

Ex,+
i.i2.{ зх,+:
Ux,-
3xi—2x2+ x3 = 0,
2x,+ 3X2-5x3 = 0, 4.12. { 3x, + 2x2-3x3 = I
5xi+ x2 —4хз = 0. I 2xi— x2+ x3 = 0.
fxi+2x2 —5
x,—2x2 —
2xi —
xi—
x,+2x2 —Зхз =
9хз = ' U
Bx,— х2 + 2хз = 0,
4.15.'! 3x1+2x2 — 3x3 = 0, 4.16.
l,5xi+ x2 — x3 = O. I Xi+2x2+ Хз = 0.
{xi— 3X2 — 2хз = 0, Exi+ X2 —2хз = 0,
3xi— x2 + 4хз = 0, 4.18. {3xi— x2+ x3 = 0,
2xi—2x2+ x3 = 0. ^2x1+2x2 — 3x3 = 0.
CX1+2X2 — 3X3 = 0, Dxi— x2 +5хз = 0,
2x,—3x2+ x3 = 0, 4.20. < 2xi—3x2 + 2x3 = 0,
5xi— x2 —2x3 = 0. l2xi +2х2 + Зхз = 0.
!Xi+5x2+ x3 = 0, Cxi+4x2— -Г3 = 0,
2x1—3x2 — 7x3 = 0, 4.22. { xi — 5x2 + 2x3 = 0,
3X1+2X2 — 6X3 = 0. t4*l— *2 + X3 = 0.
{2x1+4x2 — 3x3 = 0, Gx1—6x2— x3 = 0,
x i — 3x2 + 2хз = 0, 4.24. < 3xi — 3x2 + 4x3 = 0,
3xi+ x2— Хз = 0. V4xi— 3x2 — 5хз = 0.
{5x1—3x2 + 2x3 = 0, ( xi —8х2 + 7хз = 0,
2X1+4X2—3X3 = 0, 4.26. {3xi +5x2 — 4x3 = 0,
3xi—7x2 + 5x3 = 0. V4xi—3x2 + 3x3 = 0.
Ex1+8x2 — 5x3 = 0, Exi+ x2 — 6x3 = 0,
4.27. { 7xi + 5x2 — x3 = 0, 4.28. { 4xi + 3x2 — 7x3 = 0,
[2xi— 3X2 + 4X3 = 0. t xi—2x2+ *з = 0.
Bxi— *2+4x3 = 0, Bxi+2x2— Хз = 0,
7xi—5x2 + 3x3 = 0, 4.30.{ 5xi +4x2—6x3 = 0,
5x,-4x2- x3 = 0. ^3X1+2X2—5X3 = 0.
Решение типового варианта
1. Дана система линейных неоднородных алгебраиче-
ских уравнении
Xi + 5X2 — Хз = 3, I
2х, + 4х2 - Зхз == 2, \
3xi— Х2 — Зхз =—7.)
47

Проверить, совместна ли эта система, и в случае совмест-
совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью
обратной матрицы (матричным методом); в) методом
Гаусса.
^ Совместность данной системы проверим по теореме
Кронекера — Капелли. С помощью элементарных преоб-
преобразований найдем ранг матрицы
А =
5
4
-1
—1
-3
-3
данной системы и ранг расширенной матрицы
"l
2
3
5
4
— 1
— 1
-3
— 3
3
2
-7
Для этого умножим первую строку матрицы В на —2 и
сложим со второй, затем умножим первую строку на —3 и
сложим с третьей, поменяем местами второй и третий
столбцы. Получим
В =
1 5
2 4
3 —1
1
3
3
~1
0
0
3
2
—7
— 1
— 1
0
1
0
0
5
—6
-16
5
-6
-16
з"
—4
— 16
j
-1
0
3
—4
— 16
Следовательно, rang A = rang 5 = 3 (т. е. числу не-
неизвестных). Значит, исходная система совместна и имеет
единственное решение.
а) По формулам Крамера A.17)
где
Аз =
1
2
3
5
4
— 1
-1
— 3
— 3
з, х3 =
= -16;
48

Л32) =
Д32> =
3
2
— 2
1
2
3 -
1
2
3
3
2
-7
5
4
-1
5
4
1
—
1
-3
— 3
-1
— 3
— 3
3
2
-7
= 64;
= -16;
= 32,
находим: х\ =64/(— 16)= — 4, дг2 = — 16/( — 16)= 1,
х3 = 32/(-16)=-2;
б) Для нахождения решения системы с помощью
обратной матрицы запишем систему уравнений в матрич-
матричной форме АХ = В._ Решение системы в матричной форме
имеет вид х = А ~' В. По формуле A.11) находим обратную
матрицу А~х (она существует, так как A3 = detA =
= -16=^0):
Л,,=
-1 —3
= -15, Л2. = -
5 -1
— 1 —3
= 16,
2 -3
3 —3
5 —1
4 -3
Л32 = —
= -3, Л22 =
1 -1
— 1
— 3
= 1.
4
— 1
Лзз =
— 1 1
Решение системы:
1
14, Л2з= -
1 5
2 4
"—15
-3
— 14
= —6
16
0
16
1 5
3 -2
— и"
1
—6
= 0,
16,
х =
Х\
Х2
-16
-15 16
-3 0
-14 16
-11
1
—6
3
2
7
49

(_45
(_
(_42
—4
1
-2
Итак, Xi = —4, Х2= 1, Хз— —2;
в) Решим систему методом Гаусса. Исключим х\ из
второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение
умножим на 2 и вычтем из второго, затем первое уравне-
уравнение умножим на 3 и вычтем из третьего:
Xt + 5*2 — Хз = 3, I
— 6X2 — Х3= —4, (
-\6х2 =-16.J
Из полученной системы находим Х\ = — 4, Х2=1, *з ==
= -2. Л
2. Дана система линейных неоднородных алгебраиче-
алгебраических уравнений
2х\ — 3*2 + хз = 2,1
3*1 + ЛГ2 3*3= 1, f
5jti — 2jt2 — 2дгз = 4. J
Проверить, совместна ли эта система, и в случае совмест-
совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью
обратной матрицы (матричным методом); в) методом
Гаусса.
> Проверяем совместность системы с помощью теоре-
теоремы Кронекера — Капелли. В расширенной матрице

3
5
меняем третий и первый столбцы местами, умножаем
первую строку на 3 и прибавляем ко второй, умножаем
первую строку на 2 и прибавляем к третьей, из второй
строки вычитаем третью:
В =
— 3
1
-2
1
— 3
— 2
2
1
4
2
3
5
•
-3 1
1 -3
—2 —2
~1 —3 2
0—8 9
0—8 9
2
1
4
2
7
8
Ли*
1
— 3
— 2
1
0
0
— 3
1
-2
-3 2
-8 9
0 0
2
3
5
2
7
1
2
1
4
т
50

Теперь ясно, что rang А = 2, rang 6 = 3. Согласно
теореме Кронекера — Капелли, из того, что rang А Ф
Ф rang В, следует несовместность исходной системы. -4
3. Решить однородную систему линейных алгебраиче-
алгебраических уравнений
2*i — 4л:2 + 5
*i + 2л:2 — 3
3*i — *2 + 2*з = I
¦0,\
0.J
> Определитель системы
2—4 5
Дз =
1
2 —3
3 -1
= 11=*= О,
поэтому система имеет единственное нулевое решение:
Х\ = Х2 = *3 = 0. <4
4. Решить однородную систему линейных алгебраиче-
алгебраических уравнений
3*i + 4*2 — *з = 0,1
*i — 3*2 + 5*з = 0, >
4*i + х2 + 4*з = 0.)
^ Так как
3 4-1
1 -3 5
4 1 4
= 0,
то система имеет бесчисленное множество решений. По-
Поскольку rang А = 2, п = 3, возьмем любые два уравнения
системы (например, первое и второе) и найдем ее решение.
Имеем:
3*1+4*2— *з =
*i —3*2 + 5*3 =
Так как определитель из коэффициентов при неизвест-
неизвестных х\ и *2 не равен нулю, то в качестве базисных
неизвестных возьмем х\ и *2 (хотя можно брать и другие
пары неизвестных) и переместим члены с *з в правые части
уравнений:
3*i + 4*2 = *з, 1
*i —3*2= —5*3./
51

Решаем последнюю систему по формулам Крамера A.17):
где
3
1
4
-3
Хз
— 5*з
4
g
= —9 — 4= —13;
= 17лг3;
-5д:3
= - 16*з.
Отсюда находим, что х\ — — 17лг3/13, *2= 16*з/13. По-
Полагая лгз=13й, где k — произвольный коэффициент
пропорциональности, получаем решение исходной си-
системы: х\ = — 17Аг, х2 = 16&, х3 = 13А. -4
1.6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 1
1. Доказать,
1 *,
1 х2
1 Хз
что
х\
х\
х\
= (л
'2 — Х\) (*3 —
2. Вычислить определитель я-го
а)
б)
1 а
1 +
0 1
0 0
0 0
ЛГ+1
— 1
0
0
0
а
1
1
X
— 1
0
0
0
а
-\-а
0
0
1
0
X
0
0
0
0
0
... 1 +
1
1
0
0
X
... -1
а
1
0
0
0
X
Х\) (*3 —
порядка
0
0
0
а
1+а
52

в)
Д)
а+1
1
1
1
1
3
—2
7
5
2
X
а
0
0
2
8
3
2
_1
3
X
X
а
0
0
0
2
3
3
7
...
...
...
0
0
— 1
2
5
2
л: х
X X
X X
а х
0
0
0
0
7
2
г)
д: а а
6 jc О
b 0 х
0 0
е)
1 2 3
1 5
0 5 1
2 3 2
0 3 0 13
3 2 13 4
(Ответ: а) 1; б) (*"+' - 1)(х- 1); в) а" + (а - х)я~';
г) *" — (я — \)abxn-2\ д) 42; е) 168.)
3. Решить данную систему уравнений при всех возмож-
возможных значениях параметра /:
2х- у+ 3z=-7,1
х + 2у- 6z = /, \
tx-\-by— 15z = 8. )
(Ответ: при / Ф — 1 и t ФЪ система несовместна; если
t = b, то х= —9/5, у=A5а+ 17)/5, z = a; если /= — 1,
то д;=—3, у = За+1, z = a, где а — произвольное
число.)
4. При каких значениях X однородная система урав-
уравнений
имеет ненулевые решения? (Ответ: Х = п — 1, Х= — 1.)
5. Показать, что если одна из квадратных матриц
л-го порядка А и В — особенная, то их произведение
АВ — также особенная матрица.
6. Найти
1
2
2
2
1
2
2
—2
1
/
( Ответ:
V
9
0
0
0
9
0
0
0
9
¦)
53

7. Решить систему матричных уравнений
Х+ Y =
1
0
"l
0
Г
ij
о"
ij-
, r-[-l I?].)
8. Установить число линейно независимых уравнений
в данной системе и найти ее общее решение:
ЛГ1 -J— Х2 — Х3 — 2*4 — 2X5 = 0,"
2*i + Зл:2 — 2*з — 5*4 —
Х\ — Х2 — Хз
XI — 2*2 — Х3 +
- 2*5 = ОЛ
-4*5 = 0, I
-2*5 = 0, f
-2*5 =0.)
(Ответ: *i = *3 + *4 + 2*5, jc2 == *4-)
9. Привести к каноническому виду уравнение линии
х2 + у2 -f- 3*у + х -\- 4у = 0 и указать соответствующее
E 2
Ответ: —j х* +
I ' ,/2 — 1 у 9-1-
10. Убедиться, что линия, определяемая уравнением
Эх2 — 6*у + у2 — х — 2у — 14 = 0, является параболой.
11. Доказать справедливость равенства
1 1 1
sin (а — р) sin (р — у) sin (у — а)
tg « tg p tg у
tg « tg^P tg2Y
12. Решить уравнения:
1 3 *
cos a cos p cos у
3 *
а) 4 5—1 =0; б) 2 -1
2—1 5 дг+10 1
(Ответ: а) =—3; б) *, = —10, *2 = 2.)
13. Решить неравенства:
a)
3 -2 1
1 x —2
-1 2 -1
6)
1
-3
-4
3
1
-2
*
= 0.
(Ответ: a) jc> 3,5; 6) — 6<jc<— 4.)
54

14. Доказать, что если система уравнений
a\x-\-b\y-\-C\z-\-t
- c2z ¦
i-\-c3z-\-.
a3*
a4*
-I- c4z + rf4 =
совместна, то
a.2
a4 b\
C2
c4
= 0.
15. Исследовать данную систему уравнений и найти ее
общее решение в зависимости от значения параметра Я:
5*i — 3*2 + 2*з + 4*4 =;
4*1—2*2 + 3*3+ 7*4 = 1,
3*1 — 6*2 *3 5*4 = 9,
7*i — 3*2 + 7*з + 17*4 = Я..
(Ответ: при X Ф 0 система несовместна; при X = 0 система
совместна и ее общее решение: х\ =( — 5*3 — 13*4 —
- 3)/2, *2 = (-7*з - 19*4 - 7)/2.)
16. Указать, при каких X данная система уравнений
имеет решения или несовместна:
ХХ\ + *2 + *3 + Х4 =
*1
*1
+ +
*2+Х*з+ *4=
(Ответ: если X = —3, то система несовместна; если X Ф 1,
X Ф —3, то *i =*2 = *з = Х4 = 1/(Я + 3); если X = 1, то
4
решения определяются одним уравнением 2 *<= 1.)
17. Найти решения системы при всех значениях X:
*i
*i
*2-
х2-
Хх3 = 0..
(Ответ: если (А,+ 2)(Л—1)^=0, то *i=*2=:*3 = 0; если
Х= — 2, то *i =*2 = *з; если Я, = 1, то решения опреде-
определяются одним уравнением х\ +*2 + *з = 0.)
18. Найти необходимые и достаточные условия для
того, чтобы сумма двух решений системы линейных урав-
55

нений также была ее решением. (Ответ: однородность
системы.)
19. Найти необходимые и достаточные условия для то-
того, чтобы произведение решения системы линейных уравне-
уравнений и числа X Ф 1 также было ее решением. (Ответ: одно-
однородность системы.)
20. При каком условии некоторая линейная комбинация
любых решений данной неоднородной системы линейных
уравнений будет решением этой системы? (Ответ: сумма
коэффициентов линейной комбинации равна 1.)

2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
2.1. ВЕКТОРЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.
ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора
находится в точке А, а конец — в точке В, то вектор обозначается
АВ. Если же начало н конец вектора не указываются, то его обознача-
обозначают строчной буквой латинского алфавита а, Ь, с, ... На рисунке направ-
направление вектора изображается стрелкой (рис. 2.1).
Рис. 2.1 Р не. 2.2
Через ВА обозначают вектор, направленный противоположно век-
вектору АВ. Вектор, у которого начало н конец совпадают, называется
нулевым и обозначается 0. Его направление является неопределенным.
Другими словами, такому вектору можно приписать любое направление.
Длиной или модулем вектора называется расстояние между его началом
н концом. Записи \АВ\ (или АВ) н |а| (нли а) обозначают модули векто-
векторов АВ и а соответственно.
Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной
прямой, и компланарными, если они параллельны одной плоскости.
Два вектора называются равными, если они коллннеарны, одина-
одинаково направлены и равны по длине. На рнс. 2.2 изображены пары
равных векторов АВ и CD, а н Ь: AB = CD, a=b. Из определения
равенства векторов следует, что векторы можно переносить параллельно
самим себе, не нарушая нх равенства. Такие векторы называются
свободными.
К линейным операциям над векторами относятся: умножение век-
вектора на число н сложение векторов.
Произведением вектора а и числа а называется вектор, обозна-
обозначаемый аа (нли аа), модуль которого равен |а||а|, а направление
совпадает с направлением вектора а, если а > 0, н противоположно
ему, если а < 0.
57

Суммой векторов a,- (i=l, л) называется вектор, обозначаемый
л
ai + аг +...+ Эл = 2 а/, начало которого находится в начале первого
вектора ai, а конец — в конце последнего вектора &п ломаной линии,
составленной нз последовательности слагаемых векторов (рнс. 2.3). Это
Рис. 2.3
Рис. 2.4
правило сложения называется правилом замыкания ломаной. В случае
суммы двух векторов оно равносильно правилу параллелограмма
(рнс. 2.4).
Прямая / с заданным на ней направлением, принимаемым за поло-
положительное, называется осью /.
Проекцией вектора а на ось I называется число, обозначаемое
npi а и равное |а| cos ср, где ср (СЬ^ср^я) — угол между положительным
направлением оси / н направлением вектора а, т. е. по определению
пр, а = |а| cos ср. Геометрически проекцию вектора а можно охаракте-
охарактеризовать длиной отрезка MN, взятой со знаком « + », если О ^ ср ^ я/2,
и со знаком «—», если я/2 < ср ^ я (рнс. 2.5). Прн ср = я/2 отрезок
MN превращается в точку н пр/ а = 0.
Координатами вектора а называются его проекции на оси координат
Ох, Оу, Ог. Они обозначаются соответственно буквами х, у, г. Запись
а = (х, у, г) означает, что вектор а имеет координаты х, у, г.
Для равенства векторов необходимо н достаточно, чтобы их соот-
соответствующие координаты были равны. Если Afi(xi, y\, Zi) н М2{х2, уг, г2),
то MiM2 = (х2 — xi, 1/2 — i/i, г2 — z\).
Линейной комбинацией векторов а,- называется вектор а, опреде-
л
ляемый по формуле а= 2 X,ai, где X,-—некоторые числа. Если век-
векторы а, определиются координатами х„ i/,, z,-, то для координат вектора а
имеем:
2 hxi, 2 Х,1/„ 2
1=1 i=i ;=i
58

Линейные операции над векторами удовлетворяют свойствам, по
форме аналогичным свойствам умножения н сложения чисел. На-
Например,
а + Ь = Ь + а, (а + Р)а = аа + ра, а(а + Ь) = аа + аЬ,
а + (— 1)а=а — а = 0, 1а=а, 0а=0
н т. д.
Если для системы л векторов af равенство
л
Е Х(а,=0 B.1)
i=i
верно только в случае, когда X,- = 0, то эта система называется линейно
независимой. Если же равенство B.1) выполняется для h, хотя бы
одно из которых отлично от нуля, то система векторов а* называется
линейно зависимой. Например, любые коллинеарные векторы, три ком-
компланарных вектора, четыре и более векторов в трехмерном пространстве
всегда линейно зависимы.
Три упорядоченных линейно независимых вектора ei, ег, ез в про-
пространстве называются базисом. Упорядоченная тройка некомпланарных
векторов всегда образует базис. Любой вектор а в пространстве
можно разложить по базису ei, ег, ез, т. е. представить а в виде ли-
.нейной комбинации базисных векторов: а = xei + t/ег + гез, где х, у, z
являются координатами вектора а в базнсе ei, ег, ез. Базис называ-
называется ортонормированным, если его векторы взаимно перпендикулярны
и имеют единичную длину. Обозначают такой базис i, j, k.
Пример 1. Даны векторы а, Ь, с (рис. 2.6, а). Изобразить на рисунке
их линейную комбинацию —2а + -5-Ь + 4с.
^ Выбираем на плоскости произвольную точку О н откладываем от
нее вектор —2а (рис. 2.6, б). Затем от конца вектора —2а откладываем
о
а
/ v
Рис. 2.6
вектор — Ь и, наконец, строим вектор 4с, выходящий из конца вектора
о
-тгЬ. Искомая линейная комбинация изображается вектором, замы-
кающим полученную ломаную, начало которого находится в точке О. -^
Пример 2. Векторы заданы в ортонормнроваином базисе i, j, k
координатами: а = B, —1, 8), ei=(l, 2, 3), e2 = (I, —1, —2), е3 =
= A, —6, 0). Убедиться, что тройка ei, ег, ез образует базис, и найти коор-
координаты вектора а в этом базисе.
59

> Если определитель
1 2 3
Д= 1 —1 —2
1 —6 О
составленный из координат векторов ei, ег, ез, не равен 0, то векторы ei,
ег, ез линейно независимы и, следовательно, образуют базис. Убежда-
Убеждаемся, что Д=—6 — 4 + 3—12=—19 ф 0. Таким образом, тройка
ei, ег, ез — базис.
Обозначим координаты вектора а в базисе ei, ег, ез через х, у, г.
Тогда а = (х, у, г) = xei + yt? + ze3. Так как по условию а = 21 — j +
+ 8k, ei=i + 2j + 3k, ег = i — j — 2k, ез = i — 6j, то из равенства а =
= xei + уег + гез следует, что 21 — j + 8k = xi + 2xj + 3xk + y\ — y\ —
- 2i/k + z\ — 6zj = (x + у + гI + Bх — у - 6г)j + (Зх — 2y) k. Как вид-
видно, вектор в левой части полученного равенства равен вектору в правой
его части, а это возможно только в случае равенства их соответствующих
координат. Отсюда получаем систему для нахождения неизвестных
х, у, г:
х+ у+ г = 2. I
2х— у — 6г= — 1, >
Зх — 2i/ =8. I
Ее решение: х = 2, у= —1, г=\.
Итак, а = 2е, — е2 + е3 = B, —1, 1). •*
АЗ-2.1
1. По данным векторам а и b построить следующие их
линейные комбинации: а) 2а + Ь; б) а — ЗЬ; в) — а + 4-Ь;
г) -За-i-b.
2. Векторы АВ = с, ВС = а, СА = b служат сторо-
сторонами треугольника ABC. Выразить через а, Ь, с векторы
AM, BN, СР, совпадающие с медианами треугольника
Ответ: АМ = ±-а-\-с или ЛМ = -1-(с —b), ~BN =
= а+ 4"ь или BN=±-(a — c), CP = b + yC или СР =
ABC. (
3. В треугольной пирамиде SABC известны векторы
> у- > >
Si4 = a, SB = b, SC = с. Найти вектор SO, если точка О
является центром масс треугольника ABC. (Ответ: SO
= 1(а + Ь + ))
60

4. Дана прямоугольная трапеция ABCD, длины осно-
оснований AD н ВС которой соответственно равны 4 и 2, а угол
D равен 45°. Найтн проекции векторов AD, AB, ВС, АС
на ось /, определяемую вектором CD. (Ответ: npiAD =
= 2-yJ2, npi~AB=— Vi", npi~BC = -yj2, пр,ЛС = 0.)
5. Вектор а составляет с координатными осямн Ох и Ог/
углы а = 60°, р=120°. Вычислить его координаты, если
|а| =2. (Ответ: а = A, — 1,У2) или а = A, —1, — V2)-)
6. Даны векторы а = C, — 2, 6) и Ь = ( —2, 1,0). Найти
координаты векторов: 2а — Ь; — а — Ь; 2а + ЗЬ. (Ответ:
B0/3, -13/3, 12); C, -5/3, 2); @,-1, 12).)
7. Найти координаты единичного вектора е, направлен-
направленного по биссектрисе угла, образуемого векторами а =
= B, -3, 6) и Ь = (-1, 2, -2). (Ответ: е = ( — ——
/42
8. В некотором базнсе векторы заданы координатами:
а = A, 1,2),е,=B,2, - 1), е2 = @, 4, 8), е3 = (-1, -1,3).
Убедиться, что векторы ei, ег, ез образуют базис, и найти в
нем координаты вектора а. (Ответ: а = A, 0, 1).)
Самостоятельная работа
1. Найти длины диагоналей параллелограмма, постро-
построенного на векторах а = C, —5, 8) и Ь = (—1, 1, —4).
(Ответ: |а + Ь|=6, |а — Ы = 14.)
2. Векторы ~АВ = B, 6, —4) и ЛС = D, 2, —2) опреде-
определяют стороны треугольника ABC. Найтн длину вектора
CD, совпадающего с медианой, проведенной из вершины С
(Ответ: |CD|=V~K)-)
3. Найти координаты вектора с, направленного по
биссектрисе угла между векторами а = ( — 3, 0, 4) и b =
= E, 2, 14). (Ответ: с = Ц — 2, 1, 13), Я>0.)
2.2. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
ВЕКТОРОВ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Отношением, в котором точка М делит отрезок М\Мь, называется
число К, удовлетворяющее равенству MtM = ХММ2. Связь между ко-
61

ординатами делящей точки М{х, у, г), точек jWi(jti, ylt zi), М2&2, уг, 22)
и числом X задается равенствами:
_ xi + Яхг _ У\ + А#2 _ 2, + Х22
•» — Г-7—5 . 1/— Г-ГТ . 2 —
1+Х ' " 1+Х ' 1+Х '
Деление отрезка Af цМг будет внутренним, если Х>0, и внешним,
если X < 0. При X = 1 точка М будет серединой отрезка М,М2, X ф — 1.
Пример 1. Концы однородного стержня находятся в точках
AfiC, —5, 8) и Л^2G, 13, —6). Найти координаты центра масс стержня.
> Центр масс С(х, у, г) однородного стержня находится в его
середине. Поэтому X = 1 и
xi+хз 3 + 7 j/i+j/a __ -5+13 _ .
2 2 >!/ 2 ~ 2 '
, 2L+22 8-6
Скалярным произведением двух векторов аи b называется число,
обозначаемое с = а ¦ Ь и равное произведению модулей данных век-
векторов на косинус угла между ними:
а-Ь = |а||Ь| cos (а, Ь),
где (а, Ь) обозначает меньший угол между направлениями векторов
а и Ь. Отметим, что всегда 0 ^ (а, Ь) ^ п.
Перечислим основные свойства скалярного произведения векторов:
1) а-Ь = Ьа;
2) (Ха)-Ь = Х(а-Ь) = а-(ХЬ);
3) а • (Ь + с) = а • Ь + а • с;
4) а • Ь = |а| пра Ь = |Ь| прь а;
5) а-а= |а|2;
6) а-Ь = 0-»-а±Ь.
Если a = (*i, (/I, zt), Ь = (х2, Уг, 2г), то в базисе i, j, k:
а • Ь = х\хг + </i</2 + 2,22,
Обозначим через а, р, у углы, которые образует вектор а =
= {х\, у\, 2i) с осями координат Ох, Оу, Ог соответственно (или,
что то же самое, с векторами i, j, k). Тогда справедливы следующие
формулы:
a-i х, a-j (/,
cos a = . 1 = — —, cos p = , ,¦¦ = — —,
l> |a| V
cosv=-r-T— = — ' —, cos2 а + cos2p + cos2 y— 1.
|a| 11 \ \
Величины cos a, cos p, cos у называются направляющими косину-
косинусами вектора а.
Работа А силы F, произведенная этой силой при перемещении
тела На пути |s|, определяемом вектором s, вычисляется по формуле
/l = F-s=|F||s| cos
62

Пример 2. Вычислить работу равнодействующей F сил Fi =
= C, —4, 5), F2 = B, 1, —4), F3 = (— 1, 6, 2), приложенных к материаль-
материальной точке, которая под их действием перемещается прямолинейно из
точки AfiD, 2, —3) в точку М2G, 4, 1).
»- Так как F = F, + F2 + F3 = D, 3, 3), MtM2 = s = C, 2, 4), то
l F 43 + 32 + 34 30 4
АЗ-2.2
1. Даны две вершины ЛB, —3, —5), В(— 1, 3, 2) парал-
параллелограмма ABCD и точка пересечения его диагоналей
ЕD, —1, 7). Найтн координаты остальных вершин парал-
параллелограмма. (Ответ: СF, 1, 19), D(9, —5, 12).)
2. Отрезок, ограниченный точками А(—1, 8, —3) н
В(9, —7, —2), разделен точками -Afi, М2, М3, М4 на
пять равных частей. Найтн координаты точек Afi н Мз-
(Ответ: Af,(l, 5, -2), Мф, —I/O).)
3. Определить координаты концов А и В отрезка, кото-
который точками СB, 0, 2) и DE, —2, 0) разделен на три
равные части. (Ответ: А(—1, 2, 4), В(8, — 4, —2).)
4. Векторы а н Ь образуют угол ф = 2л/3, и |а| =3,
|Ь| = 4. Вычислить: а2; Ь2; (а + ЬJ; (а-ЬJ; (За-
— 2Ь) • (а + 2Ь). (Ответ: 9; 16j_J3; 37; —61.)
5. Даны векторы О А = а, ОВ = Ь, для которых |а| =2,
\Ы =4, (а, Ь) = 60°. Вычислить угол ф между медианой
ОМ и стороной ОА треугольника АОВ. (Ответ: совф =
6. Определить работу силы F, |F| = 15 H, которая,
действуя на тело, вызывает его перемещение на 4 м под
углом л/3 к направлению действия силы. (Ответ: 30 Дж.)
7. Даны векторы а = D, —2, —4), Ь = F, —3, 2). Вы-
Вычислить: a-b; a2; b2; (a + bJ; (a-bf; Bа - ЗЬ) • (а + 2Ь).
(Ответ: 22; 36; 49; 129; 41; —200.)
8. Даны вершины треугольника ABC: A(— 1, —2, 4),
В( — 4, —2, 0), СC, —2, 1). Вычислить внешний угол при
вершине В. (Ответ: Зл/4.)
9. Под действием силы F = E, 4, 3) тело переместилось
из начала вектора s = B, 1, —2) в его конец. Вычислить
работу А силы F и угол ф между направлениями силы
и перемещения. (Ответ: А = 8, cos ф» 0,38, ф« 1,18 рад
или фж67°40'.)
63

Самостоятельная работа
1. Даны вершины четырехугольника А(\, —2, 2),
В(\, 4, 0), С(—4, 1, 1), D(—5, -5, 3). Вычислить угол ф
между его диагоналями. (Ответ: ф = 90°.)
2. При каком значении а векторы а = ai — 3j + 2k и
b = i + 2j —ak взаимно перпендикулярны? (Ответ: а =
= -6.)
3. Найти координаты вектора Ь, коллинеарного век-
вектору а = B, 1, —1), при условии а»Ь = 3. (Ответ: Ь =
= A, 1/2, -1/2).)
2.3. ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов а, Ь, с с общим
началом в точке О называется правой, если кратчайший поворот от
вектора а к вектору b наблюдается из конца вектора с происходящим
против движения часовой стрелки (рис. 2.7, а). В противном случае
данная тройка называется левой (рис. 2.7,6).
Рис. 2.7
Векторным произведением векторов а и b называется вектор с, обо-
обозначаемый с = аХЬ, который удовлетворяет следующим трем условиям:
1) |с| = |а||Ы sin(a\);
2) с_1_а, c_Lb;
3) тройка а, Ь, с — правая (рис. 2.8).
Перечислим основные свойства векторного произведения векторов:
1) аХЬ=-(Ь-Ха);
2) (Х)Ь Я(Ь
3)
4) ||
5) |aXb|=S, где S — площадь параллелограмма, построенного
иа векторах а и Ь, имеющих общее начало в точке О (см. рис. 2.8).
Если a = (jci, y\, 2i), Ь = (Л2, уь гг), то векторное произведение
аХЬ выражается через координаты данных векторов а и Ь следующим
образом:
64

aXb =
I j к
Xl lit 2|
Хг \)г 22
-(
\
i/l Z\
Уг Z2
X\
*2
2|
22
-1
Xi
У
У-
С помощью векторного произведения можно вычислить вращающий
момент М силы F, приложенной к точке В тела, закрепленная" d
точке A: M = i4BXF(pnc. 2.9).
с=а*Ь
Р и с. 2.8
Р не. 2.9
Пример 1. Вычислить координаты вращающего момента М силы
F = C, 2, 1), приложенной к точке А{— 1, 2, 4), относительно начала
координат О.
Имеем
М = О А X F =
-12 4
3 2 i
= (-6, 13, -8). 4
Смешанным произведением векторов а, Ь, с называется число
(аХЬ)-с.
Перечислим основные свойства смешанного произведения векторов:
1) (а X Ь) • с = а • (Ь X с), поэтому смешанное произведение можно
обозначать проще: abc;
2) abc = bca = cab = —bac = —cba = —acb;
3) геометрический смысл смешанного произведения заключается
в следующем: abc=+V, где V — объем параллелепипеда, построен-
построенного на перемножаемых векторах, взятый со знаком « + », если тройка
векторов а, Ь, с — правая, или со знаком « —», если она левая (см.
рис. 2.7);
4) аЬс = 04Ф-а, Ь, с компланарны.
ЕСЛИ a=(jti, l/i, 2|), b = (X2, 1/2, 22), С = (хз, уз, 2з), ТО
abc =
l/i Z,
x2
Хз Уз
Пример 2. Даны векторы а = A, 3, 1), Ь = ( —2, 4, —1), с =
= B, 4, —6). Требуется установить, компланарны ли данные векторы,
в случае их некомпланарности выяснить, какую тройку (правую или
65

левую) они образуют, и вычислить объем построенного на них парал-
параллелепипеда.
^ Вычислим
аЬс =
1 3 1
-2 4 —1
2 4-6
= -78.
Из значения смешанного произведения следует, что векторы нскомпла-
нарны, образуют левую тройку и V = 78. ¦<
АЗ-2.3
1. Векторы а и Ь взаимно перпендикулярны, |а| =3,
|Ь|=4. Вычислить: |аX Ь|; |(а + Ь)Х (а — Ь)|; |Cа —
— Ь)Х(а —2Ь)|. (Ответ: 12; 24; 60.)
2. Даны векторы а = C, — 1,' —2), Ь = A, 2, — 1).
Найти координаты векторов: аХ Ь; Bа + Ь)Х Ь; Bа —Ь)Х
ХBа + Ь). (Ответ: E, 1, 7); A0, 2, 14); B0, 4, 28).)
3. Вычислить площадь треугольника ABC, если из-
известно, что: А(\, 2, 0), 5C, 0, 3), СE, 2, 6). (Ответ: 2УГз!)
4. Сила F = B, 2, 9) приложена к точке Л D, 2, —3).
Вычислить величину и направляющие косинусы момента
М этой силы относительно точки 5B, 4, 0). (Ответ: |М| =
= 28, cos а = 3/7, cos р = 6/7, cos у = —2/7.)
5. Даны вершины пирамиды ,ЛB, 0, 4), 5@, 3, 7),
С@, 0, 6), SD, 3, 5). Вычислить ее объем V и высоту Я,
опущенную на грань ACS. (Ответ: V = 2, Н = 2/д/З.)
6. Лежат ли точки ЛA, 2, -1), 5D, 1, 5), С(—1, 2, 1),
DB, 1, 3) в одной плоскости? (Ответ: лежат.)
7. Компланарны ли следующие векторы: а) а = B, 3, 1),
Ь = A, -1, 3), с = (-1, 9, -11); б) а = C, -2, 1),
Ь = B, 1, 2), с = C, — 1, —2)? (Ответ: а) компланарны;
б) не компланарны.)
8. Выяснить, правой или левой будет тройка векторов
а = C, 4, 0), Ь = @, —4, 1), с = @, 2, 5). (Ответ: левой.)
Самостоятельная работа
1. 1) Дано: |а| = 10, |b|=2, a-b = 12. Вычислить
|а X Ь| (Ответ: 16.)
2) Вычислить площадь параллелограмма, построен-
построенного на векторах а = @, — 1, 1) и Ь = A, 1, 1). (Ответ: 6.)
2. Сила F = C, 2, —4) приложена к точке ЛB, —1, 1).
Найти вращающий момент М этой силы относительно
начала координат. (Ответ: М = B, 11, 7).)
66

3. Вычислить объем V треугольной призмы, построен-
построенной на векторах а = G, 6, 1), Ь = D, 0, 3), с = C, 6, 4).
(Ответ: 1/ = 24.)
2.4. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 2
ИДЗ-2.1
1. Даны векторы а = am -+- Рп и b = ym + 6n, где
|m| = k; |n| =/; (m, n) = <p. Найти: а) (Я,а + цЬ) -(va -+- тЬ);
б) npB(va4-xb); в) cos(a, xb).
1.1. а= — 5, Р= —4, 7 = 3, 6 = 6, k = 3, 1 = 5, ф =
= 5л/3, Я,= —2, |л = 1 /3, v= 1, т = 2. (Огвег: а) 2834.)
1.2. о= -2, р = 3, v = 4, 6= —1,* = 1,/ = 3, ф = л,
А,= 3, ц = 2, v=—2, т = 4. (Огвег: а) —950.)
1.3. а = 5, Р=—2, 7=— 3, б=—1, /г = 4, / = 5,
Ф = 4л/3, Я, = 2, ц = 3, v= — 1,т = 5. (Oreer: a) —1165.)
1.4. а = 5, р = 2, 7 =—6, б =—4, k = 3, 1 = 2, ср =
= 5л/3, Я,= —1, ц= 1/2, v = 2, т = 3. (Ответ: а) 416.)
1.5. о = 3, р= —2, 7= —4, 6 = 5, k=2, 1 = 3, <р =
= л/3, Я, = 2, ц=-3, v = 5, т=1. (Ответ: а) 750.)
1.6. а = 2, р = -5, 7 = —3, 6 = 4, * = 2, / = 4, ф =
= 2л/3, Я, = 3, ц== — 4, v = 2, т = 3. (Ответ: а) —2116.)
1.7. а = 3, р = 2, 7 = — 4, 6 = —2, k = 2, / = 5, ф =
= 4я/3, Я. = 1, ц= — 3, v = 0, т= —1/2. (Отбег: а) 165.)
1.8. а = 5, р = 2, 7=1, 6 =—4, /г = 3, / = 2, ф = л,
А,= 1, ц=— 2, v = 3, т=— 4. (Oreer: а) —583.)
1.9. а= — 3, Р= —2, 7=1, 6 = 5, fe.= 3, / = 6, ф =
= 4л/3, Я.= —1, \i = 2, v=l, т=1. (Ответ: а) 1287.)
1.10. о = 5, Р=-3, 7 = 4, 6 = 2, /г = 4, /=1, <р =
= 2л/3, Я, = 2, |i= —1/2, v = 3, т = 0. (Oreer: а) 2337.)
1.11. а= —2, р = 3, 7 = 3, 6= —6, /г=6, / = 3, ф =
= 5я/ЗД = 3, ц= —1/3, v= 1,т = 2. (Ответ: а) —936.)
1.12. о =—2, р=—4, 7 = 3, 6=1, /г = 3, / = 2,
Ф = 7л/3, А,= — 1/2, ц = 3, v = 1, т = 2. (Oreer: а) 320.)
1.13. а = 4, р = 3, 7=—1. 6 = 2, k = 4, 1 = 5, ф =
= Зл/2, Я. = 2, [i= —3, v= 1, т = 2. (Отвег: а) 352.)
1.14. а= —2, р = 3, 7 = 5, 6 = 1, /г = 2, / = 5, ф = 2л,
Я,= -3, |х = 4, v = 2, т = 3. (Oreer: а) 1809.)
1.15. о = 4, ' р= —3, 7 = 5, 6 = 2, & = 4, 1 = 7,
Ф = 4л/3, Х= — 3, ц = 2, v = 2, т=—1.. (Ответ:
а) —5962.)
67

1.16. o= —5, p = 3, v = 2, 6 = 4, k = 5, / = 4, ф = л,
A= — 3, ц== 1/2, v=—1, т=1. (Ответ: а) 3348.)
1.17. а = 5, р=—2, у = 3, 6 = 4, Л = 2, / = 5, Ф =
= л/2, Я, = 2, |i = 3, v = 1, т = —2. (Огвег: а) —2076.)
1.18. а = 7, Р=— 3, y = 2, 6 = 6, А: = 3, / = 4, ф =
= 5л/3, Я. = 3, |х = —1/2, v = 2, т=1. (Огвег: а) 1728.)
1.19. а = 4, Р=—5, Y=— 1. 6 = 3, k = 6, / = 3,
Ф=2л/3, Я, = 2, |i= — 5, v = 1, т = 2. (Oreer: a) 1044.)
1.20. а = 3, р=—5, Y=—2, 6 = 3, *=1, / = 6,
Ф=Зл/2, Я, = 4, (i = 5, v= 1, т= — 2. (Ответ: а) 1994.)
1.21. а= —5, р= — 6, y = 2, 6 = 7, k = 2,1 = 1, ф = л,
А= —2, (i = 5, v = l, т = 3. (Oreer: a) 29 767.)
1.22. а =—7, р = 2, y = 4, 6 = 6, k = 2, / = 9, ф =
= я/3, А=1, (i = 2, v=—1, т = 3. (Ответ: а) 20758.)
1.23. а = 5, р = 4, Y=—6, 6 = 2, fe = 2, 1 = 9, ф =
= 2я/3, Я, = 3, ц = 2, v= 1, т= —1/2. (Oreer: a) 2751.)
1.24. о= —5, Р= -7, y = —3, 6 = 2, k = 2, /=11,
Ф = Зя/2, Я,= —3, (i = 4, v=—1, т = 2. (Ответ:
а) 38 587.)
1.25. а = 5, р= -8, y= -2, 6 = 3, k = 4, 1 = 3, ц> =
= 4я/3, А. = 2, A=—3, v=l, т = 2. (Огвег: а) 1048.)
1.26. а=—3, р = 5, y=1. 6 = 7, k = 4, / = 6, ф =
= 5л/ЗД= —2, (i = 3, v = 3, т=— 2. (Огвег: а) —2532.)
1.27. о= — 3,р = 4, y = 5, 6= — 6, fe = 4,1 = 5, ф = л,
А, = 2, A = 3, v=—3, т=—1. (Огвег: а) 21156.)
1.28. а = 6, Р=—7, y=—1. 6=— 3, k = 2, 1 = 6,
Ф = 4л/3, Я, = 3, \i=— 2, v=l, т = 4. (Ответ: а) —12200.)
1.29. а = 5, р = 3, y = -4, 6 = -2, й = 6, / = 3, ф =
= 5л/3, Я, = —2, |х = —1/2, v = 3, т = 2. (Огвег:
а) —2916.)
1.30. а = 4, р= —3, y= —2, 6 = 6, k = 4, / = 7, ф =
= л/3, А, = 2, (i= —1/2, v = 3, т = 2. (Ответ: а) —801.)
2. По координатам точек А, В и С для указанных
векторов найти: а) модуль вектора а; б) скалярное произ-
произведение векторов а и Ь; в) проекцию вектора с на вектор d;
г) координаты точки М, делящей отрезок / в отношении
о:р.
2.1. А(А, 6, 3), В(—Ъ, 2, 6), СD, -4, —3), а = 4CS-
— АС, Ъ = АВ, с = ~СВ, А=~АС, l = AB, a = 5, р = 4.
(Ответ: а) У4216; б) 314; г) (-1, 34/9, 14/3).)
2.2._Л_D, З^-гХ^-З, _-1, 4),_СB, 2, 1), а =
= -5ЛС + 2СВ, Ь=ЛВ, с = ЛС, d = CS, l = BC, о = 2,
Р = 3. (Огвег: а) д/82~; б) -50; г) (—1, 1/5, 14/5).)
68

2.3. A( — 2, -2, 4), B(l, 3, —2), C(l, 4, 2), а = 2ЛС-
-ЗВЛ, b = SC, c = BC, d = Ic, l = BA, a = 2, p=l.
(Ответ: а) д/1750; б) —53; г) ( —1, —1/3, 2).)
2.4. ЛB, 4, 3), 5C, 1, -4), C(—1, 2, 2), a = 2ВЛ +
+ 4ЛС, Ь = ВЛ, c = b, d = A~C, l = BA, a=l, p = 4.
(Oreer: а) л/ЖУ, б) 78; г) A4/5, 8/5, -13/5).)
2.5. ЛB, 4, 5), B(l, -2, 3), С(—1, -2, 4), а = ЗЛВ-
-4ЛС, b = BC, c = b, d = AS, / = ЛВ, а = 2, р = 3.
(Oreer: a) 11; б) —20; г) (8/5, 8/5, 21/5).)
2.6. Л( —1, —2, 4), В( — \, 3, 5), СA, 4, 2), а = ЗЛС —
-7SC, b = AS, c = b, d = IC, / = ЛС, а=1, р = 7.
(Ответ: а) VilO; б) 70, г) ( — 3/4, —5/4, 15/4).)
2.7. ЛA, 3, 2), В( —2, 4, -1), СA, 3, —2), a = 2ЛВ+
+ 5СВ, Ь = ЛС, c = b, d = A~B, l = AB, а = 2, р = 4.
(Ответ: a) V^T б) 4; г) @, 10/3, 1).)
2.8. ЛB, —4, 3),В( —3, —2,4), С@,0, -2), а = ЗЛС-
-4СВ, b = c = AS, d = CB, / = ЛС, о = 2, р=1.
(Ответ: а) ^1957; б) —29; г) B/3, —4/5, —1/3).)
2.9. ЛC, 4, -4), В(-2, 1, 2), СB, -3, 1), а = 5CS +
+ 4ЛС, b=t = B~A, d = IC, / = ВЛ, а = 2, р = 5.
(Oreer: a) V1265; б) -294; г) (-4/7, 13/7, 2,7).)
2Л0. Л@, 2, 5), ВB, -3,4), СC, 2, -5), а= -ЗЛВ +
+ 4CS, b = с = А~С, d = АВ, I = А С, a = 3, р == 2. (Ответ:
а) У 1646; б)—420; г) (9/5, 2, —1).)
2JJ. А( — 2, -3, —4J, ВB,_^4, 0), СA, 4, 5), а =
= 4ЛС — 8SC, b = с = AS, d = БС, / = Лб, а = 4, р = 2.
(Огвег: a) V'777; б) 80; г) B/3, -11/3, -4/3).)
2.12. Л(-2, —3, -2), ВA, 4, 2), СA, -3, 3), а =
= 2ЛС-4ВС, Ь = с=ЛВ, <1=ЛС, / = ВС, а = 3, р= 1.
(Ответ: a) V856; б) 238; г) A, -5/4, 11/4).)
2.13. ЛE, 6, 1), В( —2, 4, —1), СC, -3, 3), а = ЗЛВ-
69

— ABC, Ь = с = ЛС, d = AB, l = BC, a = 3, 0 = 2.
(Ответ: а) У2649; б) —160; г) A, —1/5, 7/5).)
2.14. ЛA0, 6, 3), В( —2, 4, 5), СC, -4, -6), а =
= 5ЛС —2CS, Ь = с = ВЛ, d=IC, l = CB, а= 1, р = 5.
(Огвег: а) У9470; б) -298; г) A3/6, -8/3, -25,6).)
2.15. ЛC, 2, 4), В( — 2, 1, 3), СB, -2, -1), а = 4ВС —
— ЗЛС, Ь = ?Л, с = АС, d=BC, l = AC, a = 2, р = 4.
(Огвег: а) л/362- б) 94; г) (8/3, 2/3, 7/3).)
2.16. Л(-2, 3, -4), ?C, -1,2), СD, 2, 4), и = 7АС +
4 4СВ, b = с = ЛВ, d = CS, / = Л?, а = 2, р = 5. (Ответ:
а) -л/4109; б) 554; г) ( — 4/7, 13/7, —16/7).)
2.17. ЛD, 5, 3), В( — А, 2, 3), СE, -6, -2), а = 9АВ —
— 4SC, Ь = с = ЛС, d=AB, l = BC, а = 5, р= 1. (Ответ:
а) У12089; б) -263; г) G/2, -14/3, -7/6).)
2.18. ЛB, 4, 6), В(-3, 5, 1), СD, —5, -4), а =
/?ПЛ I f)Q Л |_ _ /"* Л J D Л I D Z » 1
== — DZ3 L/ ~г" Z,D/\ . D —— С == L//i, A =^ D/i, t ^^ Z3 L/, СС =^ 11
Р = 3. (Ответ: а) У5988; б) 986; г) (-5/4, 5/2, -1/4).)
2.19. Л(-4, -2, -5), ?C, 7, 2), СD, 6, -3), а =
= 9ВЛ + ЗВС, b = с = AC, d = В~С, I = ВЛ, а = 4, р = 3.
(Огвег: а) У16740; б) -1308; г) (-1, 13/7, -2).)
2.20. ЛE, 4, 4), ?(-5, 2, 3), СD, 2, — 5), а= 11ЛС —
— 6ЛВ, Ъ = В~С, c=AS, d = ^, l = BC, a = 3, p=l.
(Огвег: а) Уп 150; б) 1185; г) G/4, 2, -3).)
2.21. ЛC, 4, 6), В( — А, 6, 4), СE, —2, —3), а =
= — 7ВС + 4С^", b = В~А, с = СЛ, d = ВС, I = ВА, а = 5.
Р = 3. (Ответ: а) У18666; б) —487; г) C/8, 19/4,21/4).)
2.22. Л(-5, -2, -6), ВC, 4, 5), СB, -5, 4), а =
= 8ЛС — 5ВС, b = с = AS, d = SC, / = Л С, а = 3, Р = 4,
(Ответ: а) Уп 387; б) 1549; г) ( — 2, —23/7, —12/7).)
2.23. ЛC, 4, 1), ВE, -2, 6), СD, 2, -7), а= -7ЛС +
4 5ЛВ, b = с = ВС, d = АС, 1 = АВ, а = 2, р = 3.
(Ответ: а) Уб826; б) —1120; г) A9/5, 8/5, 3).)
70

2.24. ЛD, 3, 2), В(-4, -3^5), СF, 4, -3), а = 8ЛС-
-5ВС, Ь = с = ВЛ, d = 4C, / = ВС, а = 2, р == 5.
(Ответ: a) Vl885; б) -434; г) (-8/7, —1, 19/7).)
2.25. Л(-5, 4, 3), ВD, 5, 2), СB, 7, —4), а = ЗВС +
+ 2ЛВ, b = с = ~СА, d = АВ, I = ВС, а = 3, р = 4. (Огвег:
а) Л[Ш, б) -248; г) B2/7, 41/7, -4/7).) _^
2.26. ЛF, 4, 5), В(-7, 1, 8), СB, -2, —7), а = 5СВ —
— 2лс, ь = лв, с = св, а = лс, / = лв, о = з, р = 2.
(Ответ: а) V118"; б) 697; г) (-9/5> U/5, 34/5).)
2.27. ЛF, 5, -4), В(-_5^—2, 2), СC, 3, 2), а = 6ЛВ -
— ЗСВ, b = c = AC, d = CB, l = BC, а = \, р = 5. (Ог-
вет: а) У3789; б) 396; г) (—11/3, -7/6- 2))
2.28. Л(-3, —5, 6),ВC, 5, -4), СB, 6, 4), а = 4ЛС —
— 5ВЛ, Ь = СВ, с = ВЛ, d = IC, / = ВЛ, а = 4, р = 2.
(Огвет: а) V14 700; б) 470; г) (-1, -5/3, 8/3).)
2.29. ЛC,5,4), ВD, 2, -3), С( —2, 4, 7), а = ЗВЛ -4ЛС,
Ь = ЛВ, с = ВЛ, d = A~C, l = BA, a = 2, р = 5. (Ответ:
a) V539^ б) -85; г) B6/7, 20/7, -1).) _^
2.30. ЛD, 6, 7), ВB, —4, 1), С( —3, -4,2), а = 5ЛВ-
— 2ЛС, Ь = с== ВС, d = A6, / = ЛВ, а = 3, р = 4. (От-
(Ответ: а) д/Шб; б) —40; г) B2/7, 12/7, 31/7).)
3. Доказать, что векторы а, Ь, с образуют базис, и
найти координаты вектора d в этом базисе.
3.1. а = E, 4, 1), Ь = (-3, 5, 2), с = B, -1, 3), d =
= G, 23, 4). (Ответ: C, 2, -1).)
3.2. а = B, -1, 4), Ь = ( —3, 0, -2), с = D, 5, -3),
d^=@, 11, -14). (Ответ: (-1, 2, 2).)
3.3. а = (-1, 1, 2), Ь = B, -3, -5), с = ( —6, 3, —1),
d = B8, -19, -7). (Ответ: B, 3, -4).)
3.4. а = A, 3, 4), Ь = (-2, 5, 0), с = C, -2, -4),
d = A3, —5, —4). (Ответ: B, —1, 3).)
3.5. а = A, -1, 1), Ь = (-5, -3, 1), с = B, -1, 0),
d = (—15, -10, 5). (Ответ: B, 3, -1).)
3.6. а = C, 1, 2), Ь = ( —7, -2, -4), с = (-4, 0, 3),
d = A6, 6, 15). (Ответ: B, -2, 1).)
71

3.7. a = ( —3, 0, 1), Ь = B, 7, -3), c = ( —4, 3, 5),
d = (—16, 33, 13). {Ответ: B, 3, 4).)
3.8. a = E, 1, 2), b = (-2, 1, -3), с = D, -3, 5),
d = A5, —15, 24). {Ответ: (—1, 28, 4).)
3.9. a = @, 2, -3), b = D, -3, -2), с = (-5, -4, 0),
d = (—19, -5, -4). {Ответ: B, -1, 3).)
3.10. a = C, -1, 2), b = (-2, 3, 1), с = D, -5, -3),
d = ( —3, 2, -3). {Ответ: (—1, 2, 1).)
3.11. a = E, 3, 1), b = (—1, 2, -3), c = C, -4, 2),
d = ( —9, 34, -20). {Ответ: B, 4, -5).)
3.12. a = C, 1, -3), b = (-2, 4, 1), c = (l, -2, 5),
d = (l, 12, -20). {Ответ: B, 1, -3).)
3.13. a = F, 1, —3), b = ( —3, 2, 1), c = (—1, -3,4),
d = A5, 6, -17). {Ответ: A, -2, -3).)
3.14. a = D, 2, 3), b = ( —3, 1, -8), с = B, -4, 5),
d = (—12, 14, —31). {Ответ: (О, 2, -3).)
3.15. a = (-2, 1,3), b = C, -6, 2), с = (-5, -3, —1),
d = C1, -6, 22). {Ответ: C, 4, -5).)
3.16. a = (l, 3, 6), b = ( —3, 4, -5), c = (l, -7, 2),
d = ( —2, 17, 5). (Oreer: A2, 1, -1).)
3.17. a = G, 2, 1), b = E, 1, -2), c = (-3, 4, 5),
d = B6, 11, 1). {Ответ: B, 3, 1).)
3.18. a = C, 5, 4), b = ( —2, 7, -5), с = F, -2, 1),
d = F, -9, 22). {Ответ: B, —3, -1).)
3.19. a = E, 3, 2), b = B, -5, 1), с = {-7, 4, -3),
d = C6, 1, 15). {Ответ: E, 2, -1).)
3.20. a = (ll, 1, 2), b = ( —3, 3, 4), c = (-4, -2, 7),
d = ( —5, 11, -15). {Ответ: (-1, 2, -3).)
3.21. a = (9, 5, 3), b = ( —3, 2, 1), с = D, -7, 4),
d = (-10, —13, 8). {Ответ: (—1, 3, 2).)
3.22. a = G, 2, 1), b = C, -5, 6), с = (-4, 3, -4),
d = (-l, 18, -16). {Ответ: 2, -1, 3).)
3.23. a = (l, 2, 3), b = (-5, 3, -1), с = (-6, 4, 5),
d = ( —4, 11, 20). {Ответ: C, —1, 2).)
3.24. a = ( —2, 5, 1), b = C, 2, -7), с = D, — 3, 2),
d = (-4, 22, -13). {Ответ: C, 2, -1).)
3.25. a = C, 1, 2), b = (-4, 3, -1), c = B, 3, 4), d =
= A4, 14, 20). {Ответ: B, 0, 4).)
3.26. a = C, -1, 2), b = (-2, 4, 1), с = D, -5, -1),
d = (-5, 11, 1). {Ответ: (-1, 5, 2).)
3.27. a = D, 5, 1), b = (l, 3, 1), c = (-3, -6, 7), d =
= A9, 33, 0). {Ответ: C, 4, —1).)
3.28. a = (l, -3, 1), b = (-2, -4, 3), c = @, -2, 3),
d = (-8, -10, 13). {Ответ: (-2, 3, 2).)
72

3.29. a = E, 7, -2), Ь = ( —3, 1, 3), c = (l, -4, 6),
d = A4, 9, -1). (Ответ: B, —1, 1).)
3.30. a = (—1, 4, 3), b = C, 2, -4), c = ( —2, -7, 1),
d = F, 20, -3). (Ответ: A,1, -2).)
Решение типового варианта
1. Даны векторы а=—m + бп и b = 3m + 4n, где
|m|=2; |n|=5; (m, п) = 2я/3. Найти: a) ab;
б) прьDа —5b); в) cosBb — a, 4b).
> а) Вычисляем
a • b = (— m + 6n) • Cm + 4n) =
= -3m2+ 14 |m| |r
= -3-22+ 14-2-5( —
б) Пусть с = 4a — 5b = — 19m + 4n. Тогда
cb
с . b = (— 19m + 4n) • Cm + 4n) =
= — 57m2 — 64|m| |n| cos(mVn)+ 16n2 = —148,
2 + 24|т| |n| cos(rtCh)+ 16n2 =
Окончательно получаем
прь Dа — 5b) = — 148/-л/зТб;
в) Пусть d = 2b — a = 7m + 2n, e = 4b = 12m + 16n.
Тогда
cos(d, e) =
Idl |e| '
d • e = Gm + 2n) • A2m + 16n) =
= 84m2+136|m| |n| cos(riC4n) + 32|n|2 = 456,
|n| cos(riCXn) + 4n2 =
=VA2m+
73

n| cos(rivh) + 256n2 =
В результате имеем:
А.
cosBb —a, 4b) = 456/-д/788736 да 0,5. 4
2. По координатам точек А( — 5, 1, 6), ВA, 4, 3) и
СF, 3, 9) найти: а) модуль вектора а = ААВ + ВС; б) ска-
скалярное произведение векторов а и Ь = ВС; в) проекцию
вектора с = b на вектор d = АВ; г) координаты точки М,
делящей отрезок / = АВ в отношении 1:3.
> а) Последовательно находим АВ=F, 3, —3),
ВС = E, —1, 6), ААВ + ~ВС = B9, 11, -6),
\АА~В + В~С\ =-
б) Имеем а = B9, 11, -6), Ь = E, -1, 6). Тогда
a-b = 29-5+ll(— 1) +(-6N = 98;
в) Так как
С • U л /п О О\
nPdC==
df
c-d = 30 — 3— 18 = 9, |d| =
:= Л/54,
то
г) Имеем: Я, = 1/3, гм —
Гд . Следовательно,
1 + Я,
-5+ 1/3- 1 __-
1 + 1/3
_ 6 + 1/3-3 _ 21
1+4-1/3 _ 7_
1 + 1/3 4
= -j-f Af( —7/2, 7/4, 21/4). -4
3. Доказать, что векторы а = C, —1, 0), Ь = B, 3, 1),
с = (— 1, 4, 3) образуют базис, и найти координаты вектора
d = B, 3, 7) в этом базисе.
)> Вычисляем
abc =
3
2
-1
-1 0
3 1
4 3
= 22 Ф 0.
74

Следовательно, векторы а, Ь, с образуют базис, и вектор d
линейно выражается через базисные векторы:
d = аа + pb + 7е
или в координатной форме
За + 20- 7 = 2,1
Решаем полученную систему по формулам Крамера.
Находим: А = 22,
А(а) =
2
3
7
2
3
1
— 1
4
3
= 66
A(y) =
,
2
3
7
A(P)
2
3
1
=
2
3
7
3
-1
0
= 66,
2
3
7
— 1
4
3
= -44,
а = А(а)/А = 3, р - А(р)/А = - 2, у = АG)/А = 3,
поэтому d = C, —2, 3) = 3a — 2b + 3c. 4
ИДЗ-2.2
1. Даны векторы a, b и с. Необходимо: а) вычислить
смешанное произведение трех векторов; б) найти модуль
векторного произведения; в) вычислить скалярное произ-
произведение двух векторов; г) проверить, будут ли коллинеар-
ны или ортогональны два вектора; д) проверить, будут ли
компланарны три вектора.
1.1. a = 2i — 3j + k, b = j + 4k, c = 5i + 2j— 3k; a) a,
3b, с; б) За, 2c; в) b, —4c; г) а, с; д) a, 2b, 3c.
(Ответ: а) -261; б) УнШб; в) 40.)
1.2. a = 3i + 4j + k, b = i —2j+7k, c = 3i — 6j+21k;
a) 5a, 2b, c; 6) 4b, 2c; в) a, c; r) b, с; д) 2a, —3b, с
(Ответ: а) 0; 6) 0; в) 6.)
1.3. a = 2i —4j —2k, b = 7i + 3j, с = 3i + 5j — 7k;
a) a, 2b, Зс; б) За, -7b; в) с, -2а; г) а, с; д) За, 2Ь, Зс.
(Ответ: а) —1840; б) ^612108; в) 0.)
1.4. а=-7i + 2k, b = 2i-6j + 4k, c = i-3j + 2k;
a) a, —2b, -7с; б) 4Ь, Зс; в) 2а, -7с; г) Ь, с; д) 2а, 4Ь,
Зс. {Ответ: а) 0; б) 0; в) 42.)
1.5. а= -4i + 2j-k, b = 3i + 5j-2k, c = j+5k;
75

a) a, 6b, 3c; 6) 2b, а; в) a, —4c; r) a, b; д) a, 6b, 3c.
(Ответ: a) -2538; б) д/3192; в) 12.)
1.6. a = 3i-2j + k, b = 2j-3k, c=-3i + 2j —k;
a) a, —3b, 2c; 6) 5a, Зс; в) —2a, 4b; г) а, с; д) 5а,
4b, Зс. (Ответ: а) 0; 6) 0; в) 56.)
1.7. a = 4i-j + 3k, b = 2i + 3j-5k, c = 7i + 2j + 4k;
a) 7a, —4b, 2c; б) За, 5c; в) 2b, 4c; r) b, с; д) 7a, 2b, 5c.
(Ответ: a) —4480; 6) V78750; в) О.)
1.8. a = 4i + 2j — 3k, b = 2i + k, c= — 12i — 6j + 9k;
a) 2a, 3b, c; 6) 4a, 3b; в) b, —4c; г) а, с; д) 2a, 3b, —4c.
(Ответ: а) 0; б) У17 280; в) 60.)
1.9. a= -i + 5k, b = —3i + 2j + 2k, c= -2i-4j +
+ к; а) За, —4b, 2c; 6) 7a, —Зс; в) 2b, За; г) b, с; д) 7а,
2b, —Зс. (Ответ: а) -1680; 6) V219177; в) 78.)
1.10. a = 6i —4j+6k, b = 9i — 6j+9k, c = i —8k;
a) 2a, —4b, 3c; 6) 3b, —9c; в) За, —5с; г) a, b; д) За,
— 4b, —9c. (Ответ: а) 0; 6) У6488829; в) 630.)
1.11. a = 5i —3j+4k, b = 2i — 4j — 2k, c = 3i + 5j —
— 7k; a) a, —4b, 2c; 6) —2b, 4c; в) —За, 6с; г) b, с;
д) a, —2b, 6c. (Ответ: a) —464; б) -д/127488; в) 504.)
1.12. a= —4i + 3j —7k, b = 4i + 6j — 2k, c = 6i +
+ 9j — 3k; a) —2a, b, —2c; 6) 4b, 7c; в) 5a, —3b;
r) b, с; д) —2a, 4b, 7c. (Ответ: а) 0; 6) 0; в) —240.)
1.13. a= -5i + 2j-2k, b = 7i-5k, c = 2i + 3j-2k;
a) 2a, 4b, —5c; 6) —3b, lie; в) 8a, —6c; г) а, с;
д) 8a, —3b, lie. (Ответ: а) 4360; 6) 33-\/б827 в) О.)
1.14. a= — 4i — 6j + 2k, b = 2i + 3j— k, c=— i +
+ 5j— 3k; a) 5a, 7b, 2c; 6) —4b, Па; в) За, —7с;
г) a, b; д) За, 7b, -2c. (Ответ: а) 0; 6) 0; в) 672.)
1.15. a=— 4i + 2j — 3k, b = —3j + 5k, c = 6i + 6j —
— 4k; a) 5a, —b, 3c; 6) —7a, 4c; в) За, 9b; г) а, с; д) За,
— 9b, 4с. (Ответ: а) —1170; б) 5бУбзЦ в) 567.)
1.16. а = - 3i + 8j, b ¦= 2i + 3j - 2k, с = 8i + 12j — 8k;
a) 4a, —6b, 5c; 6) —7a, 9c; в) 3b, —8c; r) b, с; д) 4а,
— 6b, 9c. (Ответ: а) 0; б) 252л/9\Т, в) —1632.)
1.17. a = 2i - 4j - 2k, b = -9i + 2k, с = 3i + 5j - 7k;
a) 7a, 5b, —c; 6) —5a, 4b; в) 3b, —8c; г) а, с; д) 7а,
5b, —с. (Ответ: а) —10430; 6) У40389; в) 984.)
1.18. a = 9i-3j + k, b = 3i- 15j +21k, c = i-5j +
76

+ 7k; a) 2a, — 7b, 3c; 6) —6a, 4c; в) 5b, 7a; r) b, c;
д) 2a, —7b, 4c. (Ответ: a) 0; 6) V3365604'. B) 3255.)
1.19. a = —2i + 4j — 3k, b = 5i + j — 2k, с == 7i + 4j —
-k; a) a, -6b, 2c; 6) —8b, 5c; в) —9a, 7c; r) a, b;
д) a, —6b, 5c. [Ответ: а) 1068; 6) V478400; в) —315.)
1.20. a= -9i + 4j — 5k, b = i-2j + 4k, c=— 5i +
+ 10j-20k; a) -2a, 7b, 5c; 6) -6b, 7c; в) 9a, 4c;
r) b, с; д) -2a, 7b, 4c. (Ответ: а) -0; 6) V52611300;
в) 6660.)
1.21. a = 2i —7j + 5k,b= -i + 2j-6k, c = 3i+2j-
— 4k; a) —3a, 6b, —c; 6) 5b, Зс; в) 7a, —4b; r) b, c;
д) 7a, —4b, Зс. (Ответ: а) 2196; 6) V126900; в) 1288.)
1.22. a = 7i —4j-5k, b = i-llj+3k, c = 5i + 5j +
+ 3k; a) 3a, -7b, 2c; 6) 2b, 6c; в) —4a, —5c; г) а, с;
д) —4a, 2b, 6c. (Ответ: а) 28728; 6) V870912; в) О.)
1.23. a = 4i — 6j - 2k, b = -2i + 3j + к, с = 3i - 5j +
+ 7k; a) 6a, 3b, 8c; 6) —7b, 6a; в) —5a, 4c; r) a, b;
д) —5a, 3b, 4c. (Ответ: а) 0; 6) 0; в) —560.)
1.24. a = 3i — j + 2k, b = — i + 5j — 4k, с = 6i — 2j +
+ 4k; a) 4a, —7b, —2c; 6) 6a, —4c; в) —2a, 5b; г) а, с;
д) 6a, —7b, —2c. (Ответ: а) 0; 6) 0; в) 160.)
1.25. a= — 3i —j —5k, b = 2i-4j + 8k, c = 3i + 7j-k;
a) 2a, —b, 3c; 6) —9a, 4c; в) 5b, —6c; r) b, с; д) 2а,
5b, —6c. {Ответ: а) 0; б) ^2519424; в) 900.)
1.26. a= — 3i + 2j + 7k, b = i — 5k, c = 6i + 4j —k;
a) —2a, b, 7c; 6) 5a, —2c; в) 3b, с; г) а, с; д) —2a, 3b, 7c.
(Ответ: а) 1260; 6) 10i/2997; в) 33.)
1.27. a = 3i — j + 5k, b = 2i — 4j+6k, c = i — 2j + 3k;
a) —3a, 4b, —5c; 6) 6b, Зс; в) а, 4с; г) b, с; д) —За,
4b, —5c. (Ответ: а) 0; 6) 0; в) 80.)
1.28. a = 4i — 5j-4k, b = 5i-j, с = 2i+ 4j — 3k; a) a,
7b, —2c; 6) —5a, 4b; в) 8c, —За; г) а, с; д) —За, 4b, 8c.
(Ответ: а) 2114; 6) 20^857; в) О.)
1.29. a= -9i + 4k, b = 2i-4j+6k, c = 3i-6j + 9k;
a) 3a, —5b, —4c; 6) 6b, 2c; в) —2a, 8c; r) b, с; д) За, 6b,
— 4c. (Ответ: а) 0; 6) 0; в) —144.)
1.30. a = 5i-6j-4k, b = 4i + 8j-7k, c = 3j—4k;
a) 5a, 3b, —4c; 6) 4b, а; в) 7a, —2c; r) a, b; д) 5а, 4b,
—2c. (Ответ: а) 11940; б) 4-\/9933; в) 28.)
77

2. Вершины пирамиды находятся в точках А, В, С
и D. Вычислить: а) площадь указанной грани; б) площадь
сечения, проходящего через середину ребра / и две верши-
вершины пирамиды; в) объем пирамиды ABCD.
2.1. ЛC, 4, 5), В(\, 2, 1), С(-2, -3, 6), DC, -6, —3);
а) ACD; б) 1 = АВ, Си D. (Ответ: а) л/2114; б) V4426/2;
в) 42.)
2.2. А( — 7, -5, 6), В(-2, 5, -3), СC, -2, 4), D(l,
2, 2); а) ДСР; б) l = CD, А и В. (Огвег: а) д/1350;
б) V8937/2; в) 77/3.)
2.3: ЛA, 3, 1), В(-1, 4, 6), С(-2, -3, 4), DC, 4,
— 4); а) Л CD; б) 1 = ВС, А и D. (Ответ: а) ^891/2;
б) 3V2/2; в) 3.)
2.4. ЛB, 4, 1), В(-3, -2, 4), СC, 5, -2), ЯD, 2, -3);
а) ABD; б) / = ЛС, В и ?>. (Ответ: a) Уз95; б)ф0Ь~/2;
в) 25/3.)
2.5. Л(-5, -3, —4), ВA, 4, 6), СC, 2, —2), D(8,
— 2, 4); a) ACD; б) 1 = ВС, А и D. (Ответ: а) -т/б137/2;
б) V7289/2; в) 304/3.)
2.6. ЛC, 4, 2), В(-2, 3, -5), СD, -3, 6), РF -5, 3);
а) ЛВ?; б) / = BD, Л и С. (Ответ: a) 8V26; б) -у/1826/2;
в) 40.)
2.7. Л(-4, 6, 3), ВC, -5, 1), СB, 6, -4), DB, 4,
— 5); a) ACD; б) / = Л?>, В и С. (Ответ: а) -у^
б) V1554/2; в) 100/3.)
2.8. ЛG, 5, 8), В(-4, -5, 3), СB, -3, 5), DE, 1, -4);
а) BCD; б) 1 = ВС, А и D. (Ответ: а) У1150; б) ^4101;
в) 202/3.)
2.9. ЛC, -2, 6), В(-6, -2, 3), СA, 1, -4), ДD, 6,
— 7); а) ЛВО; б) l = BD, А и С. (Ответ: а) У5040;
б) УгЙг; в) 52.)
2.10. Л(-5, —4, -3), ВG, 3, -1), СF, -2, 0),
DC, 2, —7); a) BCD; б) l = AD, В и С. (Ответ:
a) -v/1422/2; б) д/504; в) 44.)
2.11. ЛC, -5, -2), В(-4, 2, 3), СA, 5, 7), ?>( — 2,
78

—4, 5); a) ACD; 6) / = BD, А и С. (Ответ: а) У6986/2;
б) -у/1261; в) 202/3.)
2.12. ЛG, 4, 9), ВA, -2, -3), С(-5, -3, 0), D(l,
— 3, 4); a) ABD; б) 1 = АВ, Си D. (Огвет: a) Vll79;
б) 17; в) 50.)
2.13. Л(-4, —7, -3), В(-4, -5, 7), СB, -3, 3),
РC 2, 1); a) BCD; б) / = ВС, А и D. (Огвет: a) л[Ш;
б) д/1393; в) 148/3.)
2.14. Л(-4, —5, -3), ВC, 1, 2), СE, 7, -6), DF,
— 1, 5); а) Л CD; б) / = ВС, Л и D. (Огвег: а) У7281;
б) д/2726; в) 46.)
2.15. ЛE, 2, 4), В( —3, 5, -7), СA, -5, 8), D(9,
-3, 5); a) ABD; б) / = BD, Л и С. (Ответ: а) 2^/2667
б) V1405/2; в) 286/3.)
2.16. Л(-6, 4, 5), ВE, —7, 3), СD, 2, —8), DB, 8,
-3); a) ACD; б) / = Л?, В и С. (Ответ: а) 2^/257;
б) 25i/38/2; в) 150.)
2.17. ЛE, 3, 6), В(-3, -4, 4), СE, -6, 8), DD, 0, -3);
а) BCD; б) 1 = ВС, А и D. (Овег а) -у/2294; б) 2д/406;
в) 332/3.)
2.18. ЛE, -4, 4), В(-4, -6, 5), СC, 2, —7), РF,
2, -9); а) ЛВО; б) / = BD, Л и С. (Ответ: а) V4140:
б) V405; в) 82/3.)
2.19. Л(-7, —6, -5), ВE, 1, —а), С(8, -4, 0),
DC, 4, — 7); a) BCD; б) / = AD, В и С. (Ответ: а) У158/2;
б) У2266/2; в) 86/3.)
2.20. ЛG, -1, -2), ВA, 7, 8), СC, 7, 9), D(-3,
— 5, 2); a) ACD; б) / = BD, Л и С. (Ответ: а) У5957;
б) У1361; в) 124/3.)
2.21. ЛE, 2, 7), ВG, -6, -9), С(-7, -6, 3), D(l,
— 5, 2); a) ABD; б) / = ЛВ, Си D. (Огвет: а) У3194;
б) 19У2/2; в) 76.)
2.22. Л(-2, -5, -1), В(-6, -7, 9), СD, -5, 1),
79

DB, 1, 4); a) BCD; 6) l = BC, А и D. (Ответ: a) У1802;
6) V2142/2; в) 226/3.)
2.23. Л(-6, -3, -5), ВE, 1, 7), CC, 5, -1), DD,
— 2, 9); a) ACD; б) / = ВС, Ли D. (Ответ: а) -^24101/2;
б) ^/2969; в) 4/3.)
2.24. AG, 4, 2), B(-5, 3, -9), C(l, -5,3), DG, -9, 1);
a) ABD; 6) / = BD, А и С. (Ога?г: а) уГПбГ; 6) У5629/2;
в) 186.)
2'.25. Л( —8, 2, 7), ВC, -5, 9), СB, 4, -6), ?>D, 6, —5);
а) ACD; б) / = Л?, В и С. (Ответ: а) V584; б) У9754/2;
в) 296/3.)
2.26. ЛD, 3, 1), ВB, 7, 5), С(-4, -2, 4), 0B, -3,
— 5); а) ЛС?; б) / = ЛВ, Си D. (Огвет: а) -^1666;
б) V9746/2; в) 80/3.)
2.27. Л(-9, -7, 4), В(-4, 3, -1), СE, -4, 2),
DC, 4, 4); a) BCD; б) / = CD, А и В. (Ответ: а) У1346;
б) У13250/2; в) 120.)
2.28. ЛC, 5, 3), В(-3, 2, 8), С(-3, -2, 6), 0G, 8,
— 2); a) ACD; б) l = BD, А и С. (Огвет: а) -\/785/2;
б) У58/2; в) 26/3.)
2.29. ЛD, 2..3), В( —5, —4, 2), СE, 7, —4), DF, 4, —7);
а) ABD; б) l = AD, В и С. (Ответ: а) л/3086; б) УбоГ;
в) 178/3.)
2.30. Л(-4, -2, -3), ВB, 5, 7), СF, 3, -1), Z)F,
— 4, 1); a) ACD; б) / = ВС, Л и О. (Ответ: а) У1469;
б) У1964; в) 116.)
3. Сила F приложена к точке Л. Вычислить: а) работу
силы F в случае, когда точка ее приложения, двигаясь
прямолинейно, перемещается в точку В; б) модуль мо-
момента силы F относительно точки В.
3.1. F = E, — 3, 9), ЛC, 4, -6), ВB, 6, 5). (Ответ:
а) 88; б) У6746.)
3.2. F = ( —3, 1, -9), ЛF, -3,5), В(9, 5, -7). (Ответ:
а) 107; б) У8298.)
80

3.3. F = B, 19, -4), ЛE, 3, 4), BF, —4, -1). (Ответ:
a) 111; 6) V16254.)
3.4. F = ( —4, 5, -7), Л D, -2, 3), ВG, О, -3). (От-
(Ответ: а) 40; б) -\/28Ю.)
3.5. F = D, 11, -6), ЛC, 5, 1), ВD, —2, -3). (Ответ:
а) 49; б) д/9017-)
3.6. F = C, -5, 7), Л B, 3, -5), В@, 4, 3). (Ответ:
а) 45; б) д/2819.)
3.7. F = E, 4, 11), ЛF, 1, -5), ВD, 2, -6). (Ответ:
а) 17; б) УШУ)
3.8. F = ( —9, 5, 7), ЛA, б, -3), ВD, -3, 5). (Ответ:
а) 16; б) У23614.)
3.9. F = F, 5, -7), АG, -6, 4), ВD, 9, -6). (Ответ:
а) 127; б) ^20611.)
3.10. F = ( —5, 4, 4), ЛC, 7, -5), ВB, -4, 1). (Ответ:
а) 15; б) У8781.)
3.11. F = D, 7, -3), ЛE, -4, 2), В(8, 5, -4). (Ответ:
а) 93; б) 1бУз.)
3.12. F = B, 2, 9), ЛD, 2, -3), ВB, 4, 0). (Ответ:
а) 27; б) 28.)
Даны три силы Р, Q, R, приложенные к точке Л.
Вычислить: а) работу, производимую равнодействующей
этих сил, когда точка ее приложения, двигаясь прямо-
прямолинейно, перемещается в точку В; б) величину момента
равнодействующей этих сил относительно точки В.
3.13. Р = (9, -3, 4), Q = E, 6, -2), R = (-4, -2, 7),
А( — 5, 4, -2), ВD, 6, -5). (Ответ: а) 65; б) У12883.)
3.14. Р = E, -2, 3), Q = D, 5, -3), R = (-l, -3, 6),
АG, 1, -5), ВB, -3, -6). (Ответ: а) 46; б) гУбгТ)
3.15. Р = C, -5, 4), Q = E, 6, -3), R = (-7, -I, 8),
Л(-3, 5, 9), ВE, 6, -3). (Ответ: а) 100; б) У1306.)
3.16. р = (—10, б, 5), Q = D, -9, 7), R = E, 3, -3),
ЛD, —5, 9), ВD, 7, -5). (Ответ: а) 126; б) 2Уз001.)
3.17. Р = E, -3, 1), Q = D, 2, -6), R = (-5, -3, 7),
Л(-5, 3, 7), ВC, 8, -5). (Ответ: а) 4; б) У12 389.)
81

3.18. P = ( —5, 8, 4). Q = F, -7, 3), R = C, 1, -5),
A{2, -4, 7), B@, 7, 4). (Ответ: а) 8; 6) A^fm.)
3.19. P = G, -5, 2), Q = C, 4, -8), R = (-2, -4, 3),
A( — 3, 2, 0), ВF, 4, -3). (Ответ: а) 71; б) л/4171.)
3.20. P = C, -4, 2), Q = B, 3, -5), R = (-3, -2, 4),
ЛE, 3, -7), BD, -1, -4). (Ответ: a) 13; 6) УТэ1Г)
3.21. P = D, -2, -5), Q = E, 1, -3), R = (-6, 2, 5),
Л( — 3, 2, -6), ВD, 5, -3). (Ответ: а) 15; б) г-у/гЙТ)
3.22. P = G, 3, -4), Q = (9, -4, 2), R = (-6, 1, 4),
A( — 7, 2, 5), ВD, -2, 11). (Ответ: а) 122; б) д/зЖ)
• 3.23. P = (9, -4, 4), Q = (-4, 6, -3), R==C, 4, 2),
ЛE, —4, 3), BD, —5, 9). (Ответ: а) 4; б) д/4126.)
3.24. P = F, -4, 5), Q = (-4, 7, 8), R = E, 1, -3),
A( — 5, -4, 2), BG, -3, 6). (Ответ: а) 128; 6) д/lO 181.)
3.25. P = E, 5, -6), Q = G, -6, 6), R = (-4, 3, 4),
A( — 9, 4, 7), B(8, — 1, 7). (Ответ: a) 126; 6) lO^flOb.)
3.26. P = G, -6, 2), Q = ( —6, 2, -1), R = (l, 6, 4),
AC, -6, 1), BF, -2, 7). (Ответ: а) 44; 6) ^
3.27. P = D, -2, 3), Q = (-2, 5, 6), R = G, 3, -1),
A( — 3, -2, 5), B(9, -5, 4). (Ответ: а) 82; б) д/21 150.)
3.28. P = G, 3, -4), Q = C, -2, 2), R = (-5, 4, 3),
Л(-5, О, 4), BD, -3, 5). (Ответ: а) 31; б) 4д/23а)
3.29. P = C, -2, 4), Q = (-4, 4, -3), R = C, 4, 2),
ЛA, —4, 3), BD, 0, -2). (Ответ: a) 15; б) бУ^)
3.30. P = B, -1, -3), Q = C, 2, -1), R = (-4, 1,3),
A( — 1, 4, —2), ВB, 3, -1). (Ответ: a) 0; б) -у/бб!)
Решение типового варианта
1. Даны векторы а = 4i + 4k, b = — i -+¦ 3j + 2k и с =
= 3i -f- 5j. Необходимо: а) вычислить произведение векто-
векторов a, b и 5с; б) найти модуль векторного произведения
Зс и Ь; в) вычислить скалярное произведение векторов
а и ЗЬ; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортого-
ортогональны векторы а и Ь; д) проверить, будут ли компланарны
векторы a, b и с.
82

> а) Так
(a X b) • 5c =
как
4
-1
15
б) Поскольку
3cXb =
13c X
i
9
-1
5c =
0
3
25
3c =
j
15
3
b|=V30
в) Находим:
3b =
= 15i-
4
2
0
9i +
k
0
2
JOi-
+-25J, то
= — 100 - 180 - 200 = -480;
15j, то
= 30i + 27k+15k- 18j =
18j + 42k,
2 + (-18J + 422=V2988;
— 3i
+ 9j+6k, a-3b = 4( —3) +
+ 0-9 + 4-6= 12;
г) Таккака = D, 0, 4), b = (-l, 3, 2) и -^ Ф 1. Ф
Ф —, то векторы а и b не коллинеарны. Поскольку
a-b = 4(-l)+ 0-3 + 4-2^=0,
то векторы а и b не ортогональны;
д) векторы а, Ь, с компланарны, если abc = 0. Вы-
Вычисляем
abc =
4
— 1
3
0
3
5
4
2
0
= -20-36-40=^0,
т. е. векторы a, b и с не компланарны. -4
2. Вершины пирамиды находятся в точках Л B, 3, 4),
ВD, 7, 3), СA, 2, 2) и ?>( — 2, 0, —1). Вычислить: а) пло-
площадь грани ABC; б) площадь сечения, проходящего через
середину ребер АВ, AC, AD; в) объем пирамиды ABCD.
> а) Известно, что SABc = 4-
AC\. Находим:
ABXAC= 2 4
-1 -1
Окончательно имеем:
—1, —2),
k
—1
—2
= -9i + 5j + 2k.
Sabc = у V92 + 52 + 22 = -I-
83

б) Середины ребер АВ, ВС и AD находятся в точках
/(C; 5; 3,5), Af(l,5; 2,5; 3), Л/@; 1,5; 1,5). Далее имеем:
L = (-l,5; -2,5; -0,5),
= 3,25i—l,5j-2,25k,
= (-3; -3,5; -2),'
i j к
-1,5 -2,5 -0,5
— 3 -3,5 -2
в) Поскольку Vmv = \\{ABXA~C)-~AD\, ~AD = (-4,
-3, -5),
2 4-1
-1 -1 -2
-4 -3 —5
= 11,
то V= 11/6. 4
3. Сила F = B, 3, —5) приложена к точке А(\, —2, 2).
Вычислить: а) работу силы F в случае, когда точка ее при-
приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из по-
положения А в положение В{\, 4, 0); б) модуль момента
силы F относительно точки В.
>. а) Так как ,4 = F-s, s = AB=@, б, —2), то
F-lB = 2-0 + 3-6 + (-5)(-2) = 28, Л=28;
б) Момент силы M = B~AXF, ~ВА=@, —6, 2),
i j k
В A XF-
0—6 2
2 3—5
12k.
Следовательно, |М| =
+ 122 =
2.5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 2
1. Даны три вектора: a = 2i — j -f-3k, b = i — 3j -f 2k,
с = 3i + 2j — 4k. Найти вектор х, удовлетворяющий сле-
следующим условиям: х-а=— 5, x-b=—11, х-с = 20.
(Ответ: х = 2i + 3j — 2k.)
84

2. Вектор х, перпендикулярный к оси Oz и вектору
а = (8, — 15, 3), образует острый угол с осью Ох. Зная, что
|х| =51, найти координаты х. (Ответ: х= D5, 24, 0).)
3. Два трактора, идущие с постоянной скоростью по
берегам прямого канала, тянут барку при помощи двух
канатов. Силы натяжения канатов |F(| =800 Ни IF2I =
= 960 Н, угол между канатами равен 60°. Определить
сопротивление воды, испытываемое баркой, если она дви-
движется параллельно берегам, и углы а, р между канатами
и направлением движения. (Ответ: |s| « 1530 Н, а ж 33°,
р«27°.)
4. Даны три силы F = B, —1, —3), Q = C, 2, —1)
и Р = (— 4, 1, 3), приложенные к точке С( — 1, 4, —2).
Определить величину и направляющие косинусы момента
равнодействующей этих сил относительно точки Л B, 3,
— 1). (Ответ: -у66; cos а = 1/д/бб, cos р =—4/у66,
cos у = — 7/-у 66.)
5. Объем тетраэдра V = 5, три его вершины находятся
в точках ЛB, 1, —1), ВC, 0, 1), СB, —1, 3). Найти ко-
координаты четвертой вершины D, если известно, что она
лежит на оси Оу. (Ответ: D,@, 8, 0), D2@, —7, 0).)
6. Стороны ромба лежат на векторах аи Ь, выходя-
выходящих-из общей вершины. Доказать, что диагонали ромба
взаимно* перпендикулярны.
7. Даны разложения векторов, служащих сторонами
треугольника, по двум взаимно перпендикулярным ортам:
5а + 2Ь, ВС = 2а — 4Ь и ~СА = — 7а + 2Ь. Вычис-
Вычислить длины медианы AM и высоты AD треугольника ABC.
(Ответ: \АЙ\=6, \AD\ = 12^5/5.)
8. Доказать компланарность векторов а, Ь, с, зная,
Ь Ь
9. В трапеции ABCD отношение основания \AD\ к
основанию \ВС\ равно Я,. Полагая АС —г., BD = b,
выразить через а и b векторы AD, ВС, CD и DA.
(Ответ: А~В = ^-, ВС = ±±1, СД = ¦?=?, DA =
у 1-f-A I-J-A 1-J-A
= _ Ца + b)
10. Дан тетраэдр ОАВС. Выразить через векторы ОА,
ОВ, ОС вектор EF с началом в середине Е ребра ОА
85

и концом в точке F пересечения медиан треугольника
ABC. {Ответ: ~EF ={2~OB +2OC— ОЛ)/6.)
11. Даны четыре вектора а = A, 2, 3), Ь = B, —2, 1),
с = D, 0, 3), d = (I6, 10, 18). Найти вектор х, являющийся
проекцией вектора d на плоскость, определяемую векто-
векторами а и Ь, при направлении проектирования, параллель-
параллельном вектору с. (Ответ: х = ( —4, 10, 3).)
12. В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузу
АВ опущен перпендикуляр СН. Выразить вектор СН
через векторы С А, СВ и длины катетов \ВС \ = а, \СА\ =
= Ь. (Ответ: СН = (а2С~А + Ь2СВ)/(а2 + Ь2).)
13. Даны две точки Л A, 2, 3) и ВG, 2, 5). На прямой
АВ найти такую точку М, чтобы точки В и М были распо-
расположены по разные стороны от точки А и отрезок AM был
в два раза длиннее отрезка АВ. (Ответ: М(—11, 2, —1).)
14. Векторы а = ( —3, 0, 4) и b = E, —2, —14) отло-
отложены из одной точки. Найти координаты единичного
вектора е, который, будучи отложен от той же точки,
делит пополам угол между векторами а и Ь. (Ответ: е =
= (-2Д/б, 1Д/б, -1/л/б).)
15. Три последовательные вершины трапеции находят-
находятся в точках А( — 3, —2, —1), В(\, 2, 3), С(9, 6, 4). Найти
четвертую вершину D этой трапеции, точку М пересече-
пересечения ее диагоналей и точку N пересечения боковых сторон,
зная, что длина основания AD равна 15. (Ответ: DC1/3,
14/3, 2/3), М(9/2, 3, 17/8), NG, 8, 9).)
16. К вершине куба приложены три силы, равные по
величине соответственно 1, 2, 3 и направленные по диаго-
диагоналям граней куба, выходящих из данной вершины. Найти
величину равнодействующей этих трех сил и углы, обра-
образуемые ею с составляющими силами. (Ответ: 5; arccos—,
arccos-^, arccos ^Л
17. Даны два вектора а = (8, 4, 1), b = B, —2, 1).
Найти вектор с, компланарный векторам а и Ь, перпендику-
перпендикулярный к вектору а, равный ему по длине и образующий с
вектором b тупой угол. (Ответ: с={—Ъ/л[2, \\/л[2,
-4Л/2).)
18. Убедившись, что векторы a = 7i-f-6j —6k и Ь =
86

= 6i-f-2j+9k можно рассматривать как ребра куба,
найти его третье ребро. (Ответ-: ±Fi— 9j — 2k).)
19. Даны три вектора а = (8, 4, 1), b = B, —2, 1),
с = D, 0, 3). Найти единичный вектор d, перпендикулярный
к векторам а и b и направленный так, чтобы упорядочен-
упорядоченные тройки векторов а, Ь, с и a, b, d имели одинаковую
ориентацию. (Ответ: d = ( — —, , ^Л
V V 3-\/2 3^/2 Ъл]2 ' '
20. Даны три некомпланарных вектора ОА = а, ОВ =
= Ь, ОС = с, отложенные от одной точки О. Найти вектор
OD = А, отложенный от той же точки и образующий с
векторами ОА, ОВ, ОС равные между собой острые углы.
(Ответ: d=±(|a|(bXc)+|b|(cXa)+|c|(aXb)).)

3. ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ
3.1. ПЛОСКОСТЬ
• Основная теорема. В декартовых прямоугольных координатах урав-
уравнение любой плоскости приводится к виду
Ax + By+Cz + D = 0, C.1)
где А, В, С, D — заданные числа, причем А2 + В2 + С2 > 0, и обратно,
уравнение C.1) всегда является уравнением некоторой плоскости.
Уравнение C.1) называется общим уравнением плоскости. Коэф-
Коэффициенты А, В, С являются координатами вектора п, перпендикуляр-
перпендикулярного к плоскости, заданной уравнением C.1). Он называется нормаль-
нормальным вектором этой плоскости и определяет ориентацию плоскости в
пространстве относительно системы координат.
Существуют различные способы задания плоскости и соответст-
соответствующие им виды ее уравнения.
1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Если
плоскость проходит через точку Мо(хо, уо, z0) и перпендикулярна к вектору
п = (А, В, С), то ее уравнение записывается в виде
A(x-xo) + B(y-yo)+C(z-zo) = O. C.2)
2. Уравнение плоскости в «отрезках». Если плоскость пересекает
оси координат Ox, Oy, Oz в точках М>(а, О, 0), Af2(O, 6, 0), ЛЬ@, 0, с)
соответственно, то ее уравнение можно записать в виде
где а ф 0; Ь ф 0; с ф 0.
3. Уравнение плоскости по трем точкам. Если плоскость проходит
через точки Mi{xi, у,, z,) (/= 1,3), не лежащие на одной прямой, то ее
уравнение можно записать в виде
х — х\ у — у\ z —z\
— I/1 z3 —
= 0.
C.4)
Раскрыв данный определитель по элементам первой строки, придем к
уравнению вида C.2).
Уравнения C.2) — C.4) всегда можно привести к виду C.1).
Рассмотрим простейшие задачи.
1°. Величина угла <р между плоскостями Aix + В\у + C\z + Di = 0
и АгХ + Вгу + Ciz + Di = 0 вычисляется на основании формулы
.-^-. n,-n2 A[Ai + BxB2+CxC2 ,„,,
cos<p = cos(ni, n2)= -—т-.—-= —г , =, C.5)
In,| |n2| -J2 2 2^A1 Bil

где ni=(y4i, Bi, Ci), пг = (Л2, B2, C2)— нормальные векторы данных
плоскостей. С помощью формулы C.5) можно получить условие перпен-
перпендикулярности данных плоскостей:
п, . п2 = 0 нлн Л,Л2 + BiB2 + С,С2 = 0.
Условие параллельности рассматриваемых плоскостей имеет вид
AL=BL=CL Di_
А2 В2 ~ С2 D2'
2°. Расстояние d от точки Мо(хо, уо, z0) до плоскости, заданной
уравнением C.1), вычисляется по формуле
Ву0 + Сг0 + DI
АЗ-3.1
1. Записать уравнение и построить плоскость:
а) параллельную плоскости Oxz и проходящую через
точку М0{7, — 3, 5);
б) проходящую через ось Oz и точку А{ — 3, 1, —2);
в) параллельную оси Ох и проходящую через две точки
AJ,D, 0, -2) и М2E, 1, 7);
г) проходящую через точку ВB, 1, —1) и имеющую
нормальный вектор п = A, —2, 3);
д) проходящую через точку СC, 4, —5) параллельно
двум векторам а = C, 1, —1) и Ь = A, —2, 1).
(Ответ: а) у + 3 = 0; б) х + Зу = 0; в) 9y-z — 2 = 0;
г) x — 2y + 3z + 3 = 0; д) х + 4y + 7z+ 16 = 0.)
2. Составить уравнение одной из граней тетраэдра,
заданного вершинами ЛE, 4, 3), ВB, 3, —2), СC, 4, 2),
?)(—1, 2, 1). Проверить правильность полученного урав-
уравнения.
3. Составить уравнение плоскости:
а) проходящей через точки Mi(l, 1, 1) и М2B, 3, 4)
перпендикулярно к плоскости 2х — 7у-{-5г-\-9 = 0;
б) проходящей через точку МоG, —5, I) и отсекаю-
отсекающей на осях координат равные положительные отрезки.
(Ответ: а) 3\х + у— 1 \г — 21 =0; б) х + у + z — 3 = 0.)
4. Вычислить угол между плоскостями х — 2у -\-2z —
— 3 = 0 и Зх — 4г/ + 5 = 0. (Ответ: cos ср = 11/15, ф«
»42°5Г.)
5. Вычислить расстояние между параллельными пло-
плоскостями Зх + 6у + 2z — 15 = 0 и Зх + 6у + 2г + 13 = 0.
(Ответ: 4.)
89

6. Записать уравнения плоскостей, делящих пополам
двугранные углы между плоскостями Зх — у + 72 — 4 = 0
и 5х + 3у — 52 + 2 = 0. (Ответ: х + Чу — 6г + 3 = 0,
Самостоятельная работа
1. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку РA, 0, 2) перпендикулярно к двум плоскостям
2х — у + Зг — 1 = 0 и Зх + 6у + Зг — 5 = 0. (Ответ: 7х —
-«/-52 + 3 = 0.)
2. Составить уравнение плоскости, параллельной
вектору s= B, 1, — 1) и отсекающей на осях Ох и Оу от-
отрезки а = 3, Ь=—2. (Ответ: 2х — 3y-\-z — 6 = 0.)
3. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной
к плоскости 2х — 2у + 4г — 5 = 0 и отсекающей на осях
Ох и Ог/ отрезки а= —2, b = 2/3 соответственно. (Ответ:
x — 3y — 2z + 2 = 0.)
4. Найти координаты точки Q, симметричной точке
Р( — 3, 1, —9) относительно плоскости 4х — Зу — z — 7 =
= 0. (Ответ: Q(l, -2, -10).)
3.2. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ
В зависимости от способа задания прямой в пространстве можно
рассматривать различные ее уравнения.
1. Векторно-параметрическое уравнение прямой. Пусть прямая про-
проходит через точку Л1о(хо, Уч. zo) параллельно вектору s = (m, n, p),
Рис. 3.1
а М(х, у, z) — любая точка этой прямой. Если г0 и г — радиусы-векторы
точек Мо и М (рис. 3.1), то справедливо векторное равенство
— оо <<< +оо), . C.6)
которое получается по правилу сложения векторов. Уравнение C.6) на-
называется векторно-параметрическим уравнением прямой, s — направ-
направляющим вектором прямой C.6), t — параметром.
90

2. Параметрические уравнения прямой. Из уравнения C.6) полу-
получаем три скалярных уравнения:
х = хо + mt, ">
y = yo + nt, i C.7)
г = zo + pt, J
которые называются параметрическими уравнениями прямой.
3. Канонические уравнения прямой. Разрешая уравнения в системе
C.7) относительно t и приравнивая полученные отношения, приходим к
каноническим уравнениям прямой:
X —
г —го
C.8)
Отметим, что, зная одно из уравнений C.6) — C.8), легко полу-
получить другие уравнения.
4. Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две точки.
Если прямая проходит через точки М\(х\, у\, Zi) и М2(х2, У2, z2), то ее
уравнения можно записать в виде
X — Х\
Z — Z,
X2-X, 2-1 Z2-Z, C'9)
5. Общие уравнения прямой в пространстве. Две пересекающиеся
плоскости
А\Х + В\у + Ctz + Dt =0, 1 ni =(Л|, Bi, С,),
Л2лг + В2г/ + С22 + О2 = 0, J п2 = (Л2, В2, С2), ' '
где П|Цп2, определяют прямую. Уравнения C.10) называются общими
уравнениями прямой в пространстве.
Направляющий вектор s прямой, заданной уравнениями C.10),
определяется по формуле
I
л,
л2
j
в,
в2
к
С,
с2
а координаты какой-либо точки М0(х0, у0, z0), лежащей на этой прямой,
можно найти как решение системы C.10). Тогда уравнения данной
прямой можно записать в канонической форме C.8).
Пример 1. Прямая задана общими уравнениями
-52-
Записать ее канонические уравнения.
Ь Находим
t = 0,1
.-о.)
s = m X п2 =
I J к
1 -1 2
3 1 —5
= C, 11, 4).
Полагая в исходной системе z = 0 и складывая данные уравнения,
получаем х=1, у = 5. Точка Afo(l, 5, 0) лежит на данной прямой. Ее
канонические уравнения имеют вид
¦ *-' = у-5 _ z м
3 И ~ 4 ' ¦*
91

Рассмотрим случаи взаимного расположения двух прямых в прост-
пространстве. Две прямые в пространстве или скрещиваются, или пересе-
пересекаются, или параллельны, или совпадают. В любом случае они образуют
некоторый угол (между их направляющими векторами Si и sa). Если
прямые заданы каноническими уравнениями:
х — х, _у — у\ = г — г, ^ х — х2 _ у — уг = г — z2
nil n\ pi ni2 п.2 рч
то величина угла ф между ними определяется из формулы
,/\ . Sl • S2 ГП1ГП2 + 11,П2 + Р\Р2 /о 1О.
cos ф = cos(si, s2) = , , , , = _ =r. C.12)
|Sil iS2! slm\ + nl+p\^\ l l
Теперь можно записать условие перпендикулярности прямых:
Sl'S2 = 0 ИЛИ 1П1ГП2 + Л|Л2 + PlP2 = 0.
Условие параллельности прямых C.11) имеет вид si
а условие их совпадения — si || S2 ||AfiAf2, где точки Mi(xt, у\, г,) и
Мг(х2, 1/2, 2г) принадлежат прямым C.11).
Запишем необходимое и достаточное условие пересечения непарал-
непараллельных прямых (si HS2), заданных уравнениями C.11):
М|Af 2 • si • S2 = 0 или
Уг — У\ z2 — ;
= 0. C.13)
/П2 Л2 P2
Если условие C.13) не выполняется, то прямые C.11) —скре-
—скрещивающиеся.
Расстояние h от точки М\(х\, у\, Z\) до прямой C.8), проходящей
через точку Мо(хо, у0, го) в направлении вектора s = (m, n, p), вычисляет-
вычисляется по формуле
h=
Рассмотрим случаи взаимного расположения прямой и плоскости.
Прямая C.8) и плоскость Ах-\- By-\- Сг -\-D = 0 могут пересекаться,
быть параллельными либо прямая может лежать в плоскости.
Перейдем от канонических уравнений C.8) к параметрическим C.7)
и подставим значения х, у, z из уравнений C.7) в уравнение плоскости.
Получим уравнение относительно неизвестного параметра /:
(Am + Bn + Cp)t + (Axo + Ву0 + Сгй + D) = 0. C.15)
Возможны три случая.
1. При Am -\-Вп -(- Ср Ф 0 уравнение C.15) имеет единственное
решение: t = — (Axo + Вуо + Cz0 + D)/(Am + Вп ~\- Ср). Подставив это
значение t в параметрические уравнения прямой C.7), найдем ко-
координаты точки пересечения М (рис. 3.2).
2. При
Am + Вп + Ср = 0, Ах0 + Ву0 + Cza + D ф 0 C.16)
уравнение C.15) ие имеет решения, и прямая не имеет общих точек
с плоскостью. Формулы C.16) являются условиями параллельности пря-
прямой и плоскости.
3. При
Am + Вп + Ср = 0, Ахо + Ву0 + Cza + D = 0 C.17)
92

любое значение t является решением уравнения C.15), т. е. любая
точка прямой принадлежит плоскости. Равенства C.17) называются
условиями принадлежности прямой плоскости.
Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой
и ее ортогональной проекцией на плоскость.
Рис. 3.2
Величина угла ф между прямой и плоскостью вычисляется по
формуле
|cos(n, S)l = sin ф =
-т/Л2 + В2+С2 V"*2 + п2 + р2
АЗ-3.2
C.18)
1. Составить канонические уравнения прямой, прохо-
проходящей через точку МоB, 0, —3):
а) параллельно вектору s = B, —3, 5);
б) параллельно прямой
(Ответ: а)
г* Т 4 Т c!Zn
-2 _ У __ г + 3 . ^ х-2 _ у _
2 —3 5 ' ' 11 —17
- * + 3 \
-13 7
2. Установить взаимное расположение прямой и пло-
плоскости и в случае их пересечения найти координаты точки
пересечения:
б)
в)
JLTL==JLir-==T и 3*-Зу + 22-5 = 0;
х- 13 _ у- 1 _ z —4
8 2 ~~ 3
х—7 у — 4 z— 5
и х + 2у — 4г + 1 = 0;
и Зх — у + 2г — 5 = 0.
5 1 4
(Ответ: а) параллельны; б) прямая лежит в плоскости;
в) пересекается в точке МB, 3, 1).)
3. Найти координаты точки Q, симметричной точке
93

PB, —5, 7) относительно прямой, проходящей через точки
Л*,E, 4, 6) и М2(-2, -17, -8). (Ответ: QD, — 1, -3).)
4. Вычислить угол между прямой
+ 3 = 0,\
-1 = 0 J
и плоскостью 2х-\-Зу— 2+1=0. (Ответ: sin ф = 5/7,
45°36
Самостоятельная работа
1. Записать уравнение плоскости, проходящей через
прямую _Lzi=
-^t— перпендикулярно к плоско-
сти х + 4у — 32 + 7 = 0. (Ответ: 1 \х — 17у — 192 + 10 =
= 0.)
О
2. Вычислить расстояние между прямыми —-— =
= у+ ' = -L и JLZlZ. = У— ' ' = г~3
4 2 3 4 2
. (Ответ: d = 3.)
и * =
О
3. Пересекаются ли прямые *~*~ ==-^ =—
i Z о
у+4 _ Z-:
(Ответ: нет.)
3.3. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
Основная теорема. В декартовой прямоугольной системе координат
Оху на плоскости любая прямая может быть задана уравнением первой
степени относительно х и у:
Ах + Ву + С = 0, C.19)
где А, В, С — некоторые действительные числа, причем А2 + В2 > 0,
и обратно, всякое уравнение вида C.19) определяет прямую.
Вектор п = (А, В) перпендикулярен
к прямой C.19) и называется нормаль-
нормальным вектором прямой. Уравнение C.19)
называется общим уравнением прямой.
Если ВфО, то уравнение C.19)
можно разрешить относительно у и
представить в виде
y = kx + b (k = tg a). C.20)
Последнее уравнение называется
уравнением прямой с угловым коэффи-
коэффициентом k. Угол а, отсчитываемый от
положительного направления оси Ох до
прямой против хода часовой стрелки,
Рис. 3.3
94

называется углом наклона прямой, число Ь определяет величину отрез-
отрезка, отсекаемого прямой па оси Оу (рис. 3.3).
Существуют и другие виды уравнений прямой на плоскости:
1) уравнение по точке Мо(хо, у о) и угловому коэффициенту k
у — уа = k(x — хо); C.21)
2) параметрические уравнения
где s = (m, n) — направляющий вектор прямой, а точка Мо(хо, у0) лежит
на прямой;
3) каноническое уравнение прямой (получаем его из уравнений
C.22))
х~*° = У~Уо ¦ C.23)
т п v '
4) уравнение прямой в «отрезках»
т + т =1; C-24)
Рассмотрим случаи взаимного расположения двух прямых на плос-
плоскости.
1. Если прямые заданы общими уравнениями А\х~\- В\у + С\ = О
и Агх -\- Вгу -(- С2г = 0, то угол ф между ними находится из формулы
1|"П2 А\А2-\-В\В2 . .
cos ф= -;—р:—j- = — - C.25)
Условие перпендикулярности этих прямых имеет вид
А,А2 + BiB2 = 0, C.26)
а условие их параллельности
— = — Ф — C 27)
А 2 В 2 С 2
2. Если прямые заданы уравнениями вида C.20) ух = k\x -\- bi
и 1/2 = ti2X -\- 6г, то угол ф между ними находится по формуле
tgq,= *»~*fe' . C.28)
Для того чтобы прямые были параллельны, необходимо, чтобы выпол-
выполнялось равенство k\ = кг, а для их перпендикулярности необходимо
и достаточно, чтобы kik2= —1.
Расстояние d от точки М0(х0, уа) До прямой C.19) вычисляется
по формуле
- . C.29)
95

АЗ-3.3
1. Поданным уравнениям построить прямые, найти их
угловые коэффициенты и отрезки, отсекаемые ими на
осях координат: а) 2х — у + 3 = 0; б) 5х-\-2у — 8 = 0;
в) Зх + 8у + 16 =.0; г) Зх-у = 0.
2. Записать уравнения прямых, на которых лежат
стороны равнобедренной трапеции, зная, что основания
ее равны 10 и 6, а боковые стороны образуют с большим
основанием угол 60°. Большее основание лежит на оси
абсцисс, а ось симметрии трапеции — на оси ординат.
(Ответ: у = 0, у = 2д/з, у = л/Зх + 5д/з, у = -фх +
+ 5V3.)
3. Сила F = (m, л) приложена к точке Мо(хо, Уо)- За-
Записать уравнение прямой, вдоль которой направлена эта
сила- {Ответ: пх — ту -\- туо — пхо = 0.)
' ^4. Записать уравнения прямых, которые проходят
через точку АC, —1) и параллельны: а) оси абсцисс;
б) оси ординат; в) биссектрисе первого координатного
угла; г) прямой у = Зх-\- 9. [Ответ: а) у = — 1; б) х = 3;
в) у_ = х — 4; г) у=3х— 10.)
>J'5. Записать уравнение прямой, проходящей через
точки А{ — \, 3) и ВD, 5). [Ответ: 2х-5г/+ 17 = 0.)
6. Луч света направлен по прямой у = -~ х — 4. Найти
координаты точки М встречи луча с осью Ох и уравнение
отраженного луча. (Ответ: AfF, 0), у= — ~х-\-^\
/7. Точка А[ — 2, 3) лежит на прямой, перпендикуляр-
перпендикулярной к прямой 2х — Зу -\- 8 = 0. Записать уравнение этой
прямой. [Ответ: Зх -\- 2у~ 0.)
8. Точка Л B, —5) является вершиной квадрата, одна
из сторон которого лежит на прямой х — 2у — 7 = 0. Вы-
Вычислить площадь квадрата. [Ответ: 5.)
Самостоятельная работа
1. Записать уравнение прямой, проходящей через
точку РE, 2) и отсекающей равные отрезки на осях ко-
координат. [Ответ: х -\- у — 7 = 0.)
2. Найти уравнение прямой, параллельной прямой
12л;+ 5у —52 = 0 и отстоящей от нее на расстоянии 2.
[Ответ: \2х + 5у- 26 = 0 или \2х + 5у — 78 = 0.)
3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку
96

УИоD; —3) и образующей с осями координат треугольник
площадью 3. (Ответ: ±- + JL = l или 2L +-?- = —1.\
\ Z о 4 of ? J
4. Записать уравнение прямой, проходящей через на-
начало координат и образующей угол 45° с прямой у =
= 2х + 5. (Ответ: Зх + у = 0.)
5. Вычислить величину меньшего угла ф между пря-
прямыми Зх-\-4у — 2 = 0 и 8х-\-(зу-\-5 = 0. Доказать, что
точка ЛA3/14, —1) лежит на биссектрисе этого угла,
и сделать рисунок. (Ответ: cos ф = 24/25 = 0,96, ф»
16°15'
3.4. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 3
ИДЗ-3.1
1. Даны четыре точки А\(х\, у\), А2(х2, у2), Л3(*з, уг)
и Л4(х4, y\). Составить уравнения:
а) плоскости Л1Л2Л3; б) прямой Л|Л2;
в) прямой AiM, перпендикулярной к плоскости А\А2А3;
г) прямой A3N, параллельной прямой А\А2;
д) плоскости, проходящей через точку Л4 перпенди-
перпендикулярно к прямой А[А2.
Вычислить:
е) синус угла между прямой Л1Л4 и плоскостью
А\А2АЪ;
ж) косинус угла между координатной поскостью Оху
и плоскостью А\А2Аг.
1.1. Л,C, 1, 4), Л2(-1, 6, 1), Л3(—1, 1, 6), Л4@,
4, -1).
1.2. Л,C, -1, 2), Л2(-1, 0, 1), Л3A, 7, 3), Л4(8, 5, 8).
1.3. Л,C, 5, 4), А2(Ъ, 8, 3), Л3A, 2, -2), Л4(-1, 0, 2).
1.4. Л,B, 4, 3), Л2A, 1, 5), Л3D, 9, 3), Л4C, 6, 7).
1.5. Л,(9, 5, 5), Л2(-3, 7, 1), Л3E, 7, 8), Л4F, 9, 2).
.6. Л,@, 7, 1), Л2B, -1, 5), Л3A, 6, 3), Л4C, -9, 8).
.7. Л,E, 5, 4), Л2A, -1, 4), Л3C, 5, 1), Л4E, 8, -1).
.8. Л,F, 1, 1), Л2D, 6, 6), Л3D, 2, 0), Л4A, 2, 6).
.9. Л,G, 5, 3), Л2(9, 4, 4), Л3D, 5, 7), Л4G, 9, 6).
.10. Л,F, 8, 2), Л2E, 4, 7), Л3B, 4, 7), Л4G, 3, 7).
.11. Л,D, 2, 5), Л2@, 7, 1), Л3@, 2, 7), Л4A, 5, 0).
.12. Л,D, 4, 10), Л2G,10, 2), Л3B, 8, 4), Л4(9, 6, 9).
.13. Л,D, 6, 5), Л2F, 9, 4), ЛзB, 10, 10), Л4G, 5, 9).
.14. Л,C, 5, 4), Л2(8, 7, 4), Л3E, 10, 4), Л4D, 7, 8).
.15. Л,A0, 9, 6), А2B, 8, 2), Л3(9, 8, 9), Л4G, 10, 3).
.16. Л,A, 8, 2), Л2E, 2, 6), Л3E, 7, 4), Л4D, 10, 9).
97

1.17. Л,F, 6, 5), А2D, 9, 5), Л3D, 6, 11), Л4F, 9, 3).
1.18. Л,G, 2, 2), Л2(-5, 7, -7), Л3E, -3, 1), Л4B, 3, 7).
1.19. Л,(8, -6, 4), Л2A0, 5, -5), Л3E, 6, -8), Л4(8,
Ю, 7).
1.20. Л,A, -1, 3), Л2F, 5, 8), Л3C, 5, 8), Л4(8, 4, 1).
1.21. Л,A, -2, 7), Л2D, 2, 10), Л3B, 3, 5), Л4E, 3, 7).
1.22. Л ,D, 2, 10), Л2A, 2, 0), Л3C, 5, 7), Л4B, —3, 5).
1.23. Л ,B, 3, 5), Л2E, 3, -7), Л3A, 2, 7), Л4D, 2, 0).
1.24. Л,E, 3, 7), Л2(-2, 3, 5), Л3D, 2, 10), Л4A, 2, 7).
1.25. Л,D, 3, 5), Л2A, 9, 7), Л3@, 2, 0), Л4E, 3, 10).
1.26. Л,C, 2, 5), Л2D, 0, 6), А3B, 6, 5), Л4F, 4, -1
1.27. Л,B, 1, 6), А2{\, 4, 9), Л3B, -5, 8), Л4E, 4, 2
1.28. Л,B, 1, 7), Л2C, 3, 6), А3B, -3, 9), Л4A, 2, 5
1.29. Л,B, -1, 7), Л2F, 3, 1), Л3C, 2, 8), Л4B, -3, 7
1.30. Л,@, 4, 5), Л2C, -2, 1), Л3D, 5, 6), Л4C, 3, 2).
2. Решить следующие задачи.
2.1. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях
координат плоскостью, проходящей через точку М( — 2,
7, 3) параллельно плоскости х — 4у -\-5z — 1=0. (Ответ:
— 1/15, 4/15, -1/3.)
2.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через
середину отрезка М\М2 перпендикулярно к этому отрезку,
если М,A, 5, 6), М2(—1, 7, 10). {Ответ: x — y — 2z +
+ 22 = 0.)
2.3. Найти расстояние от точки МB; 0; —0,5) до
плоскости \x-4y-\-2z-\- 17 = 0. (Ответ: d = 4.)
2.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку ЛB, —3, 5) параллельно плоскости Оху. (Ответ:
z_5 = 0.)
2.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через
ось Ох и точку Л B, 5, —1). (Ответ: у -{- Ъг = 0.)
2.6. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точки ЛB, 5, —1), В( — 3, 1, 3) параллельно оси Оу.
(Ответ: 4х + 5z — 3 = 0.)
2.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку ЛC, 4, 0) и прямую -^-=-1 =-^~ =Щ^~- {Ответ:
у — 2 — 4 = 0.)
2.8. Составить уравнение плоскости, проходящей через
две параллельные прямые -^— = -у- =-^— и —$-— =
= -i^=-!- = -§¦• (Ответ: x + 2y-2z—l=0.)
98

2.9. Составить общие уравнения прямой, образованной
пересечением плоскости Зл: — у — 7г -|- 9 = 0 с плоскостью,
проходящей через ось Ох и точку АC, 2, —5). (Ответ:
2.10. Составить уравнение плоскости в «отрезках»,
если она проходит через точку МF, — 10, 1) и отсекает
на оси Ох отрезок а = —3, а на оси Oz — отрезок с = 2.
)
2.11. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку АB, 3, —4) параллельно двум векторам а =
= D, 1, -1) и Ь = B, —1, 2). [Ответ: x-Wy — 6z +
+ 4 = 0.)
2.12. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точки А(\, 1, 0), ВB, —1, —1) перпендикулярно
к плоскости 5л: + 2у + 32 — 7 = 0. (Ответ: х + 2у — 3z —
— 3 = 0.)
2.13. Составить уравнение плоскости, проходящей
через начало координат перпендикулярно к двум плоско-
плоскостям 2л: —Зу+ 2—1=0 и х — y + 5z + 3 = 0. (Ответ:
U 9 0)
2.14. Составить уравнение плоскости, проходящей че-
через точки ЛC, —1, 2), ВB, 1, 4) параллельно вектору
а = E, —2, —I). (Ответ: 2x + 9y-8z + 19 = 0.)
2.15. Составить уравнение плоскости, проходящей че-
через начало координат перпендикулярно к вектору АВ,
если ЛE, —2, 3), ВA, —3, 5). (Ответ: 4x + y — 2z = 0.)
2.16. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях
координат плоскостью, проходящей через точку МB, —3,
3) параллельно плоскости Зх-\-у — Зг = 0. (Ответ: —2,
-6, 2.)
2.17. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку М(\, — 1,2) перпендикулярно к отрезку М\Мг,
если М,B, 3, —4), М2(— 1, 2, — 3). (Ответ: Зх + у —
-2 = 0.)
2.18. Показать, что прямая -^- = у~3 =-1~ ' парал-
параллельна плоскости х + Зу — 2г — 1 = 0, а прямая х = / +
+ 7, у = / — 2, z = 2/-(-l лежит в этой плоскости.
2.19. Составить общее уравнение плоскости, проходя-
проходящей через точку АC, —4, 1) параллельно координатной
плоскости Oxz. (Ответ: у -\- 4 = 0.)
2.20. Составить уравнение плоскости, проходящей
через ось Оу и точку МC, —5, 2). (Ответ: 2x — 3z — 0.)
99

2.21. Составить уравнение плоскости, проходящей че-
через точки М{\, 2, 3) и N{— 3, 4, —5) параллельно оси Oz.
{Ответ: х + 2у — 5 = 0.)
2.22. Составить уравнение плоскости, проходящей че-
через точку М{2, 3, —1) и прямую x = t — 3, у = 2/ + 5,
z= — 3/ + 1. (Огвег: 10л: + 13у + 12г —47 = 0.)
2.23. Найти проекцию точки МD, —3, 1) на плоскость
х — 2y-z-15 = 0. (Огвег: М,E, -5, 0).)
2.24. Определить, при каком значении В плоскости
х — 4у + 2 — 1 = 0 и 2л: + By + 102 — 3 = 0 будут перпен-
перпендикулярны. {Ответ: В = 3.)
2.25. Составить уравнение плоскости, которая прохо-
проходит через точку М{2, —3, —4) и отсекает на осях коорди-
координат отличные от нуля отрезки одинаковой величины.
{Ответ: + + + 5 0)
2.26. При каких значениях п и А прямая -^- =-^-И—
3 л
= ^ перпендикулярна к плоскости Ах + 2у — 2г —
— 7 = 0? {Ответ: А = - 1, п = —6.)
2.27. Составить уравнение плоскости, проходящей че-
через точки А{2, 3, — 1), В{1, 1, 4) перпендикулярно к плоско-
плоскости х —4у + Зг + 2 = 0. {Ответ: 7х + 4у + Зг — 23 = 0.)
2.28. Составить уравнение плоскости, проходящей че-
через начало координат перпендикулярно к плоскостям
x_|_5y — 2 + 7 = 0 и Зх — у+ 22 — 3 = 0. {Ответ: 9х—
— 5у— 162 = 0.)
2.29. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точки М{2, 3, —5) и N{—1, 1, —6) параллельно
вектору а = D, 4, 3). {Ответ: 2х — 5у + 42 + 31 = 0.)
2.30. Определить, при каком значении С плоскости
Зл: — 5у + Сг — 3 = 0 и л: — Зу + 2г + 5 = 0 будут перпен-
перпендикулярны. {Ответ: С= —9.)
3. Решить следующие задачи.
3.1. Доказать параллельность прямых ——— =
и д:-
Y I
3.2. Доказать, что прямая —+
у+\ _ г — 3
2—13
х — 2
параллельна плоскости 2х + у — 2 = 0, а прямая
лежит в этой плоскости.
2
у z — 4
— 1 3
100

3.3. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку МA, —3, 3) и образующей с осями координат углы,
соответственно равные 60°, 45° и 120°. [Ответ: -^Ц^— =
3.4. Доказать, что прямая х ' = у j~ 2 = г '
перпендикулярна к прямой
2х -\- у — 4z + 2 =
4х — у — 5z -{- 4 =
3.5. Составить параметрические уравнения медианы
треугольника с вершинами ЛC, 6, —7), В( — 5, 1, —4),
С@, 2, 3), проведенной из вершины С. (Ответ: x = 2t
у= —3/ + 2, z = 17/+ 3.)
3.6. При каком значении п прямая хj~2 = у— ' =
О ft
= — параллельна прямой
у+ 1 _
3.7. Найти точку пересечения прямой
1 -2
=-^- и плоскости 2x-\-3y-\-z—1=0. (Ответ: МB,
-3, 6).)
3.8. Найти проекцию точки РC, 1, —1) на плоскость
х + 2у + 3z — 30 = 0. (Ответ: Р, E, 5, 5).)
3.9. При каком значении С плоскости Зх — Ъу +
-\-Cz — 3 = 0 и x-f3y-{-2z_|_5_0 перпендиКуЛЯрНЫр
(Ответ: С = 6.)
3.10. При каком значении А плоскость Ах-\-Зу —
— 5z + l=0 параллельна прямой Х~Х = y~t2 =-т-?
(Ответ: А = — 1.)
3.11. При каких значениях /л и С прямая -^—— =
г~ перпендикулярна к плоскости Зх — 2г/
7 ,
+ Cz+ 1 =0? (Oreer: m = —6, С= 1,5.)
3.12. Составить уравнение прямой, проходящей через
начало координат параллельно прямой x = 2t + 5, у =
= -3/+1, z=-7/-4.
\
101

3.13. Проверить, лежат ли на одной прямой точки
Л@, 0, 2), ВD, 2, 5) и СA2, 6, 11). (Ответ: лежат.)
3.14. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку МB, —5, 3) параллельно прямой 2х — у + 3z—
-1=0, 5x + 4y-z — 7 = 0. (Ответ: JLZ^. = у +-5 =
3.15. Составить уравнение прямой, проходящей через
у I О
точку УИB, —3, 4) перпендикулярно к прямым —у— =
_ у + 3 _ г-4 \
5 3 7
3.16. При каких значениях А и В плоскость Ах-\-
У су
+ By -f 6z — 7 = 0 перпендикулярна к прямой -—-— =
= z+1
? (Oreer: А = 4, В = — 8.)
— 4 о
3.17. Показать, что прямая -|- = у ~ 3 = г ~ ' парал-
параллельна плоскости х + Зг/ — 2z -f- I = 0, а прямая х = t + 7,
y = t — 2, z = 2t + 1 лежит в этой плоскости.
3.18. Составить уравнение плоскости, проходящей
через ось Oz и точку К( — 3, 1, —2). (Ответ: х + Зг/ = 0.)
3.19. Показать, что прямые 4- ~ У~о = 4" и Зх-|-
I — 2 3
+ у — 5z + 1 = 0, 2х + Зг/ — 8z -f- 3 = 0 перпендикулярны.
3.20. При каком значении D прямая Зх — y-\-2z —
— 6 = 0, x + 4y — z + D = 0 пересекает ось Oz? (Ответ:
?> = 3.)
3.21. При каком значении р прямые
и х_ „_ Зг — 2 =
х у l
параллельны? (Ответ: р— —5.)
х 7
3.22. Найти точку пересечения прямой
5
_ у—1 _ г —5
, 0, 1).)
и плоскости Зх — у + 2z — 8 = 0. (Ответ:
102

3.23. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку КB, — 5, 3) параллельно плоскости Oxz.
(Ответ: у + 5 = 0.)
3.24. Составить общие уравнения прямой, образован-
образованной пересечением плоскости х -\-2у — z -f 5 = 0 с плоско-
плоскостью, проходящей через ось Оу и точку МE, 3, 2). (Ответ:
х + 2у — г + 5 = 0, 2х — Ъг = 0.)
3.25. При каких значениях В и D прямая х — 2у +
+ г — 9 = 0, 3x + By-{-z-{-D = 0 лежит в плоскости Оху?
(Ответ: В = — 6, D = —27.)
3.26. Составить уравнение плоскости, проходящей че-
через точку МоB, 3, 3) параллельно двум векторам а =
= (—1, —3, 1) и Ь = D, 1, 6). (Ответ: 19х— Юу — llz +
+ 25 = 0.)
3.27. Составить уравнения прямой, проходящей через
точку ?C, 4, 5) параллельно оси Ох. (Ответ: х~- =
_ у —А _ г —5 \
о 0 7
3.28. Составить уравнения прямой, проходящей через
Y I I
точку МB, 3, 1) перпендикулярно к прямой —~— =
( )
3.29. Составить канонические уравнения прямой, про-
проходящей через точку М(\, —5, 3) перпендикулярно к пря-
прямым i.=JLzl=J±IL и * = 3* + 1, y=-t-b, г =
= 2/ + 3. {Ответ: ?=± = J^ = ?zif.)
3.30. Найти точку, симметричную точке МD, 3, 10)
относительно прямой -^-—=-^-j—==~i:—• {Ответ:
М,B, 9, 6).)
Решение типового варианта
1. Даны четыре точки А,D, 7, 8), Л2(—1, 13, 0),
АзB, 4, 9), Л4A, 8, 9). Составить уравнения:
а) плоскости А1А2А3; б) прямой Л|Лг;
в) прямой Л4М, перпендикулярной к плоскости Л1Л2Л3;
г) прямой AiN, параллельной прямой Л|Лг.
Вычислить:
д) синус угла между прямой Л|Л4 и плоскостью
ЛЛЛ
юз

е) косинус угла между координатной плоскостью Оху
и плоскостью А\АъАг.
> а) Используя формулу C.4), составляем уравне-
уравнение плоскости Л|Л2Л3:
х — 4 у — 1 z — 8
— 5 6 —8 =0,.
-2 -3 1
откуда 6x — 7y — 9z + 97 = 0;
б) Учитывая уравнения прямой, проходящей через
две точки (см. формулу C.9)), уравнения прямой А\А2
можно записать в виде
х — 4 у — 1 2 — 8.
в) Из условия перпендикулярности прямой Л4М и
плоскости А1А2А3 следует, что в качестве направляющего
вектора прямой s можно взять нормальный вектор п =
= F, —7, —9) плоскости А\АгАз. Тогда уравнение пря-
прямой А^М с учетом уравнений C.8) запишется в виде
х— 1 _ у — 8 _ г — 9 .
— 7
-9
г) Так как прямая A*N параллельна прямой А1А2, то
их направляющие векторы Si и S2 можно считать совпа-
совпадающими: Si=S2 = E, —6, 8). Следовательно, уравнение
прямой A*N имеет вид
х— 1 _ (/ —в г —9 .
5 ^6 8 '
д) По формуле C.18)
(_7)(-б) + (-9)8] _
Sin ф =
34
0,8;
е) В соответствии с формулой C.5)
COS(p = n,.n2 _ 0-6 + 0.(-7)+. -(-9)
|П2'
~9
—0,7. -4
104

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точки М(А, 3, 1) и jV( — 2, 0, —1) параллельно прямой,
проведенной через точки ЛA, 1, —1) и В( — 3, 1, 0).
^ Согласно формуле C.9), уравнение прямой АВ
имеет вид
_ у— 1 _
Если плоскость проходит через точку УИD, 3, 1), то ее
уравнение можно записать в виде А(х — 4) + В(у — 3) +
-\-C(z—1) = 0. Так как эта плоскость проходит и через
точку jV( — 2, 0, —1), то выполняется условие
Л(-2-4) + В@ — 3)+С(—1 — 1) = 0 или
6Л + ЗВ + 2С = 0.
Поскольку искомая плоскость параллельна найден-
найденной прямой АВ, то с учетом условия параллельности
C.16) имеем:
—4А + ОВ + 1С = 0 или 4Л — С = 0.
Решая систему
6А+ЗВ + 2С = 0,\
4А — С = 0,/
находим, что С = 4Л, В=— ^А. Подставив получен-
О
ные значения С и В в уравнение искомой плоскости, имеем
Так как А Ф0, то полученное уравнение эквивалентно
уравнению
3(х —4)—14(у —3)+12(z —1) = 0. <
3. Найти координаты х%, уг, zi точки Мг, симметричной
точке УИ|F, —4, —2) относительно плоскости х + у +
> Запишем параметрические уравнения прямой МiAb,
перпендикулярной к данной плоскости: * = 6 + /, у =
= —4 -\-1, z = —2 4-1. Решив их совместно с уравнением
данной плоскости, найдем / = 1 и, следовательно, точку М
пересечения прямой М\Мг с данной плоскостью: МG,
— 3, —1). Так как точка М является серединой отрезка
М\Мг, то верны равенства (см. пример 1 из § 2.2):
7= g ' ~3== 2~"^' —1== 2 '
105

из которых находим координаты точки УИг: Х2 = 8, г/2 =
= -2, z2 = 0. «
ЯДЗ-3.2
/. Даны вершины треугольника ABC: A(x\, у\), В(х2,
у2), С(хз, уз)- Найти:
а) уравнение стороны АВ;
б) уравнение высоты СН;
в) уравнение медианы AM;
г) точку jV пересечения медианы AM и высоты СН;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину С
параллельно стороне АВ;
е) расстояние от точки С до прямой АВ.
1.1. Л(-2, 4), ВC, 1), СA0, 7),
1.2. Л(-3, -2), 5A4, 4), СF, 8),
1.3. ЛA, 7), 5(-3, -1), СA1, -3),
1.4. ЛA, 0), 5(-1, 4), С(9, 5),
1.5. ЛA, -2), 5G, 1), СC, 7),
1.6. Л( —2, -3), 5A, 6), СF, 1),
1.7. Л(-4, 2), 5(-6, 6), СF, 2),
1.8. Л D, -3), В G, 3), СA, 10),
1.9. Л D, —4), В(8, 2), СC, 8),
1.10. Л(-3, -3), 5E, -7), СG, 7),
1.11. ЛA, -6), 5C, 4), С(-3, 3),
1.12. Л(-4, 2), 5(8, -6), СB, 6),
1.13. Л(-5, 2), 5@, —4), СE, 7),
1.14. ЛD, -4), 5F, 2), С(-1, 8),
1.15. Л(-3, 8), 5(-6, 2), С@, -5),
1.16. ЛF, -9), 5A0, -1), С(-4, 1),
1.17. ЛD, 1), 5(-3, -1), СG, -3),
1.18. Л(-4, 2), 5F, -4), СD, 10),
1.19. ЛC, -1), ВA1, 3), С( —6, 2),
1.20. Л(-7, -2), 5(-7, 4), СE, -5),
1.21. Л(-1, -4), 5(9, 6), С(-5, 4),
1.22. ЛA0, -2), 5D, -5), С( —3, 1),
L23. Л(-3, -1), 5(-4, -5), С(8, 1),
1.24. Л(-2, -6), 5(-3, .5). СD, 0),
1.25. Л( —7, —2), 5C, —8), С( —4, 6),
1.26. Л@, 2), 5( —7, -4), СC, 2),
1.27. ЛG, 0), 5A, 4), С( —8, -4),
1.28. ЛA, -3), 5@, 7), С(-2, 4),
106

1.29. Л(-5, 1), 5(8, -2), C(l, 4),
1.30. ЛB, 5), В(-3, 1), С@, 4).
2. Решить следующие задачи.
2.1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку
пересечения прямых Зх — 2у — 7 = 0 и х + Зу — 6 = 0
и отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный 3. (Ответ:
х = 3.)
2.2. Найти проекцию точки Л(— 8, 12) на прямую,
проходящую через точки В B, —3) и С(— 5, 1). (Ответ:
Л,(-12, 5).)
2.3. Даны две вершины треугольника ABC: A( — 4, 4),
ВD, —12) и точка МD, 2) пересечения его высот. Найти
вершину С. (Ответ: С(8, 4).)
2.4. Найти уравнение прямой, отсекающей на оси орди-
ординат отрезок, равный 2, и проходящей параллельно прямой
2у — х = 3. (Ответ: х — 2у + 4 = 0.)
2.5. Найти уравнение прямой, проходящей через точку
ЛB, —3) и точку пересечения прямых 2х — у = 5 и х +
+ у=1. (Ответ: х = 2.)
2.6. Доказать, что четырехугольник ABCD — трапе-
трапеция, если ЛC, 6), В(Ъ, 2), С(—1, -3), ?>(-5, 5).
2.7. Записать уравнение прямой, проходящей через
точку ЛC, 1) перпендикулярно к прямой ВС, если ВB, 5),
СA, 0). (Ответ: х + 5у — 8 = 0.)
2.8. Найти уравнение прямой, проходящей через точку
Л( — 2, 1) параллельно прямой MN, если М( — 3, —2),
УУA, 6). (Ответ: 2х-у + 5 = 0.)
2.9. Найти точку, симметричную точке МB, — 1) отно-
относительно прямой х — 2у + 3 = 0. (Ответ: Mt( — 4/5, 23/5).)
2.10. Найти точку О пересечения диагоналей четырех-
четырехугольника ЛВСД если Л(—1, —3), ВC, 5), СE, 2), ?>C,
— 5). (Ответ: 0C, 1/3).)
2.11. Через точку пересечения прямых Ьх — 4у + 5 = 0,
2х + 5у + 8 = 0 провести прямую, параллельную оси
абсцисс. (Ответ: у= — 1.)
2.12. Известны уравнения стороны АВ треугольника
ABC 4х + у= 12, его высот ВН 5х — 4у = 12 и AM x +
+ у = 6. Найти уравнения двух других сторон треуголь-
треугольника ABC. (Ответ: 7х — 7у— 16 = 0, 4х + Ъу — 28 = 0.)
2.13. Даны две вершины треугольника ABC: Л ( — 6, 2),
ВB, —2) и точка пересечения его высот #A, 2). Найти
координаты точки М пересечения стороны АС и высоты
ВН. (Ответ: МA0/17, 62/17).)
107

2.14. Найти уравнения высот треугольника ABC, про-
проходящих через вершины Аи В, если А{ — 4, 2), ВC, —5),
СE, 0). (Ответ: Зх + 5у + 2 = 0, 9х + 2у — 28 = 0.)
2.15. Вычислить координаты точки пересечения пер-
перпендикуляров, проведенных через середины сторон тре-
треугольника, вершинами которого служат точки ЛB, 3),
5@, —3), СF, -3). (Ответ: МC, -2/3).)
2.16. Составить уравнение высоты, проведенной через
вершину А треугольника ABC, зная уравнения его сторон:
АВ — 2х — у — 3 = 0, АС —х + Ъу —7 = 0, ВС — Зх —
— 2у + 13 = 0. (Ответ: 2х + Зу — 7 = 0.)
2.17. Дан треугольнике вершинами Л C, 1), В( — 3, —1)
и С(Ъ, —12). Найти уравнение и вычислить длину его
медианы, проведенной из вершины С. (Ответ: 2х -j- у -f-
+ 2 = 0, d = 54/Vl7~«13,l.)
2.18. Составить уравнение прямой, проходящей через
начало координат и точку пересечения прямых 2х +
+ Ъу — 8 = 0 и 2х + Зу + 4 = 0. (Ответ: 6х+\\у = 0.)
2.19. Найти уравнения перпендикуляров к прямой
Зх + Ъу—15 = 0, проведенных через точки пересечения
данной прямой с осями координат. (Ответ: Ъх—Зу—
— 25 = 0, 5х — 3у +9 = 0.)
2.20. Даны уравнения сторон четырехугольника: х —
_ у = 0, х + Зу = 0, х — у — 4 = 0, Зх + у— 12 = 0. Найти
уравнения его диагоналей. (Ответ: у = 0, х = 3.)
2.21. Составить уравнения медианы СМ и высоты С К
треугольника ABC, если ЛD, 6), В( — 4, 0), С(— 1, —4).
(Ответ: 7х — у + 3 = 0 (СМ), 4х + Зу + 16 = 0 (СК).)
2.22. Через точку Р(Ъ, 2) провести прямую: а) отсекаю-
отсекающую равные отрезки на осях координат; б) параллель-
параллельную оси Ох; в) параллельную оси Оу. (Ответ: х -f- у — 7 =
= 0, у = 2, х = 5.)
2.23. Записать уравнение прямой, проходящей через
точку А( — 2, 3) и составляющей с осью Ох угол: а) 45°,
б) 90°, в) 0°. (Ответ: х — у+ 5 = 0, х + 2 = 0, у — 3 = 0.)
2.24. Какую ординату имеет точка С, лежащая на
одной прямой с точками Л( — 6, —6) и В( — 3, —1) и
имеющая абсциссу, равную 3? (Ответ: у = 9.)
2.25. Через точку пересечения прямых 2х — Ъу — 1 =
— 0 и х -\- 4у — 7 = 0 провести прямую, делящую отрезок
между точками ЛD, —3) и В(—1, 2) в отношении А =
= 2/3. (Ответ: 2х — у — 5 = 0.)
2.26. Известны уравнения двух сторон ромба 2х —
— Ъу—1=0 и . 2х — Ъу — 34 = 0 и уравнение одной из
108

его диагоналей х-\-Зу — 6 = 0. Найти уравнение второй
диагонали. (Ответ: Зх— у— 23 = 0.)
2.27. Найти точку Е пересечения медиан треугольника,
вершинами которого являются точки А( — 3, 1), ВG, 5)
и С(Ъ, -3). (Ответ: ?C, 1).)
2.28. Записать уравнения прямых, проходящих через
точку А(— 1, 1) под углом 45° к прямой 2х + 3у = 6.
(Ответ: х — Ъу + 6 = 0, Ъх + у + 4 = 0.)
2.29. Даны уравнения высот треугольника ABC 2x —
— 3(/ -J- 1 = 0, *-f-2у + 1 = 0 и координаты его вершины
АB, 3). Найти уравнения сторон АВ и АС треугольника.
(Ответ: 2х — у—\=0 (АВ), Зх + 2у-\2 = 0 (АС).)
2.30. Даны уравнения двух сторон параллелограмма
х — 2у = 0, х — у— 1=0 и точка пересечения его диаго-
диагоналей МC, — 1). Найти уравнения двух других сторон.
(Ответ: х — у — 7 = 0, х — 2у—10 = 0.)
Решение типового варианта
1. Даны вершины треугольника ABC: АD, 3), В( — 3,
-3), СB, 7). Найти:
а) уравнение стороны АВ;
б) уравнение высоты СН;
в) уравнение медианы AM;
г) точку N пересечения медианы AM и высоты СН;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину С
параллельно стороне АВ;
е) расстояние от точки С до прямой АВ.'
)> а) Воспользовавшись уравнением прямой, прохо-
проходящей через две точки (см. формулу C.9)), получим
уравнение стороны АВ:
х — 4 _ у — 3
-3—4 -3-3'
откуда
б(х — 4) = 7{у — 3) или 6* — Ту — 3 = 0;
б) Согласно уравнению C.20), угловой коэффициент
прямой АВ &i=6/7. С учетом условия перпендикуляр-
перпендикулярности прямых АВ и СН (см. формулу C.28)) угловой
коэффициент высоты СН k% = —7/6 (&1&2 = — 1). По точке
СB, 7) и угловому коэффициенту &2 = —7/6 составляем
уравнение высоты СН (см. уравнение C.21)):
у — 7 = — L(x — 2) или 7х + 6у — 56 = 0;
109

в) По известным формулам (см. § 2.2) находим ко-
координаты х, у середины М отрезка ВС:
* = (-3 + 2)/2=-1/2. у = (-3
Теперь по двум известным точкам А и М составляем
уравнение медианы AM:
х-4 _ у — Ъ
— 1/2 — 4 2 — 3
или 2х — 9у+ 19 = 0;
г) Для нахождения координат точки jV пересечения
медианы AM и высоты СН составляем систему уравнений
7х + 6у — 56 = 0,1
2х — 9у+ 19 =
Решая ее, получаем NB6/5, 49/15);
д) Так как прямая, проходящая через вершину С,
параллельна стороне АВ, то их угловые коэффициенты
равны &| = 6/7. Тогда, согласно уравнению C.21), по
точке С и угловому коэффициенту k\ составляем уравне-
уравнение прямой CD:
у — 7 = ^-(х — 2) или 6х — 7у + 37 = 0;
е) Расстояние от точки С до прямой АВ вычисляем
по формуле C.29):
Уб2+.(-7J
Решение данной задачи проиллюстрировано на рис.
3.4. «3
2. Известны вершины О@, 0), А( — 2, 0) параллело-
параллелограмма OACD и точка пересечения его диагоналей ВB,
— 2). Записать уравнения сторон параллелограмма.
> Уравнение стороны О А можно записать сразу: у =
= 0. Далее, так как точка В является серединой диагонали
AD (рис. 3.5), то по формулам деления отрезка пополам
(см. § 2.2) можно вычислить координаты вершины D(x, у):
о_ -2 + х _9_ 0 + »/
t 2 ' 2~*
откуда х = 6, у= —4.
Теперь можно найти уравнения всех остальных сторон.
Учитывая параллельность сторон ОА и CD, составляем
уравнение стороны CD: у= —4. Уравнение стороны OD
составляем по двум известным точкам:
по

x—0 _ у—О
6-0
-4 — 0 '
2
откуда у= — —х,
М.
-3 -2/-1 0.
2 3 4 5 6 х
Рис. 3.4
У
о
с в
Рис. 3.5
Наконец, уравнение стороны АС находим, учитывая тот
факт, что она проходит через известную точку А ( — 2, 0)
параллельно известной прямой OD (см. уравнение C.21)):
у — 0 = — — (х + 2) или 2х + Зу + 4
0.
11'

3.5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 3
1. Составить уравнение биссектрисы того угла между
прямыми х — 7у=1 и * + </=—7, внутри которого ле-
лежит точка А(\, 1). {Ответ: Зх — у+17 = 0.)
2. Составить уравнения сторон параллелограмма
ABCD, зная, что его диагонали пересекаются в точке
М(\, 6), а стороны АВ, ВС, CD и DA проходят соответ-
соответственно через точки РC, 0), QF, 6), /?E, 9), S( —5, 4).
{Ответ: х + 2у — 3 = 0, 2х — у — 6 = 0, х + 2у — 23 = 0,
2л: —у + 14 = 0.)
3. Дано уравнение стороны ромба лг + Зу —8 = 0 и
уравнение его диагонали 2л: + у + 4 = 0. Записать урав-
уравнения остальных сторон ромба, зная, что точка А{—9,
— 1) лежит на стороне, параллельной данной. (Ответ:
х + 3у + 12 = 0, Зх — у — 4 = 0, Зх — у+ 16 = 0.)
4. Зная уравнения двух сторон треугольника ABC
2х + 3у — 6 = 0 {АВ), х + 2у — 5 = 0 (АС) и внутренний
угол при вершине В, равный л/4, записать уравнение
высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС. (Ответ:
5 23 0)
5. Составить уравнения сторон треугольника, зная
одну из его вершин АB, —4) и уравнения биссектрис двух
его углов: х + у — 2 = 0 и х — Зу — 6 = 0. (Ответ: х +
-f Ту — 6 = 0, х — у — 6 = 0, 7х + у — 10 = 0.)
6. Составить уравнения сторон треугольника, зная
одну из его вершин А( — 4, 2) и уравнения двух медиан:
Зл: — 2у + 2 = 0 и Зл: + 5у — 12 = 0. (Огвег: 2* + у — 8 =
= 0, х — Зу + 10 = 0, х + Ау — 4 = 0.)
7. В треугольнике с вершинами А( — 3, — 1), 5A, —5),
С(9, 3) стороны АВ и ЛС разделены в отношении к = 3,
считая от общей вершины А. Доказать, что прямые,
соединяющие точки деления с противоположными верши-
вершинами, и медиана пересекаются в одной точке.
8. Прямые Зх + 4у — 30 = 0 и Зл: — 4у+12 = 0 ка-
касаются окружности, радиус которой R = 5. Вычислить
площадь четырехугольника, образованного этими каса-
касательными и радиусами круга, проведенными в точки ка-
касания. (Ответ: S ж 1,68.)
9. Даны две точки А( — 3, 8) и ВB, 2). На оси Ох найти
такую точку М, чтобы ломаная линия АМВ имела наимень-
наименьшую длину. (Ответ: М(\, 0).)
10. Показать, что прямые А±± = JL±L = Л+
112

и x = 3z — 4, у = 2 + 2 пересекаются, и найти точку А
их пересечения. (Ответ: А(— 1, 3, 1).)
11. Найти расстояние от точки РG, 9, 7) до прямой
-?ni. = у~х = 4 • (Огвег: -л/^)
4 о 2
12. Найти кратчайшее расстояние между двумя не-
Y Q у, I 2 2 X
пересекающимися прямыми: ——— = _ = у и —--— =
= JL = _?_\
57 -110 /
13. Даны вершины треугольника Л D, 1, — 2), ВB, 0, 0),
С( — 2, 3, —5). Составить уравнения его высоты, опущен-
опущенной из вершины В на противолежащую сторону. (Ответ:
х-2
74
14. Дан куб, длина ребра которого равна единице.
Вычислить расстояние от вершины куба до его диагонали,
не проходящей через эту вершину. (Ответ: d—^J 2/3)
15. На плоскости Оху найти такую точку М, сумма
расстояний которой до точек А(—1,2, 5) и ?A1, —16, 10)
была бы наименьшей. (Ответ: МC, —4, 0).)
16. Точка М(х, у, z) движется прямолинейно и равно-
равномерно из начального положения Л1оA5, —24, —16) со
скоростью у = 12 в направлении вектора s = ( — 2, 2, 1).
Убедившись, что траектория движения точки М пересекает
плоскость Зх-\-4у -\-7z — 17 = 0, найти координаты точки
Mi их пересечения. (Ответ: М\( — 25, 16, 4).)
17. Доказать, что прямые х~' = у^ = 2~ и
*~7 = у~2 — z~' лежат в одной плоскости, и соста-
о щ — 2.
вить уравнение этой плоскости. (Ответ: 2х — 16у — 132 +
+ 31=0.)
18. Найти проекцию точки СC, —4, —2) на плоскость,
проходящую через параллельные прямые ——— =
1 О
-3, -5).)
19. На плоскости Оху через точку МD, —3) провести
прямую так, чтобы площадь треугольника, образованного
ею и осями координат, была равна 3. (Ответ: Зх + 2у —
— 6 = 0 или Зл: + 8у + 12 = 0.)
из

20. Нужно восстановить границы квадратного участка
земли по трем сохранившимся столбам: один — в центре
участка, остальные—на двух противоположных границах.
На плане положение центрального столба определено
точкой М(\, 6), а боковых-—точками А(Ъ, 9) и ВC, 0).
Составить уравнения прямых, изображающих границы
участка. (Ответ: х + 2у — 23 = 0, х + 2у — 3 = 0, 2х —
— у — 6 = 0, 2х - у + 14 = 0.)
21. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей
через прямую х = лго + It, у = уо + mt, z = zq-\- tit перпен-
перпендикулярно к плоскости Ах -f By + Cz + D — 0, может быть
представлено в следующем виде:
X — Хо у — уо Z — Zq
I m n
ABC
= 0.
22. Составить параметрические уравнения прямой,
которая проходит параллельно плоскостям Злг+12у —
— 32 — 5 = 0, Зл: — 4y-\-9z + 7 = 0 и пересекает прямые
х + 5 _ у — 3 _ 2+ 1 х —3 _у+1 _ г — 2
2 —4 3 ' -2 3 4
Л; = 8/ —3, у= —3/— 1, 2= —4/+ 2.)
(Ответ:

4. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
4.1. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Линией (кривой) второго порядка называется множество М точек
плоскости, декартовы координаты х, у которых удовлетворяют алгебра-
алгебраическому уравнению второй степени
апх2 + 2а\2ху + п22У2 + 2atx + 2агу + а0 = 0, D.1)
где ац, аи, п22, аь пг, по — постоянные действительные числа. Уравне-
Уравнение D.1) называется общим уравнением линии второго порядка.
Рассмотрим частные случаи уравнения D.1).
1. С}кружность радиусом R с центром в точке C{xs>, yo) задается
уравнением
yof^R2. D.2)
2. Эллипс с полуосями а и 6, центром в начале координат н
вершинами А, А', В, В', расположенными на осях координат, опреде-
определяется простейшим (каноническим) уравнением
7- + 7--1- D'3)
На рис. 4.1, а изображен эллипс, у которого а>Ь (а — большая
полуось, Ь — малая), а на рис. 4.1,6 — эллипс, у которого а<.Ь (а —
а
о,
У
в
^г—
ff
у*
¦ь
м
X
5 У
Рис. 4.1
малая полуось, Ь—большая). Точки F[ н F2 называют фокусами. По
определению любая точка эллипса М удовлетворяет условию FtM +
+ F2M = 2а в случа-е а>b или F[M + F2M = 2b в случае а <.Ь. Если
обозначить с = 0F\ = OF2, то в первом случае Ь2 —а2 — с2, а во втором
115

a2 = b2 — с2. Прямые D\ и Di называются директрисами эллипса; их
уравнения по определению имеют вид
х = ±а/е= ±а2/с,
если а> Ь, или
(/= ±6/е= ±Ь2/с,
если а<Ь (см. рис. 4.1). Оси координат являются осями симмет-
симметрии эллипса.
Число в, равное отношению расстояния между фокусами F]F2 к длине
большой оси, называется эксцентриситетом эллипса:
е = с/а (а > 6) и е = с/Ь (а < 6).
В любом случае 0 <; е < 1.
¦3. Гипербола с действительной полуосью а, мнимой полуосью Ь,
центром в начале координат и вершинами А и А' на оси Ох имеет следу-
следующее каноническое уравнение:
На рис. 4.2 изображена гипербола с асимптотами С[ и Сг
(</ = ±—х\, эксцентриситетом г = с/а, директрисами D\ и ?>2 (•* =
= ±а/е), фокусами F|( — с, 0) и Fi(c, 0). Для гиперболы всегда спра-
справедливо равенство Ь2 = с2 — а2, и поэтому в = V' + Ь2/а2 > 1. Для
любой точки М выполняется условие \F\M — F2M\ =2a, которое может
служить определением гиперболы.
Гипербола, уравнение которой имеет вид
-г-+-?-»• D-5)
называется сопряженной с гиперболой D.4). Ее вершины находятся
в точках В и В' на оси Оу, асимптоты совпадают с асимптотами гипер-
гиперболы D.4), в = с/Ь (см. рис. 4.2). Как и в случае эллипса, оси координат
являются осями симметрии гиперболы.
4. Парабола с вершиной в начале координат, симметричная отно-
относительно оси Ох, имеет следующее каноническое уравнение:
у2 = 2рх.
Она изображена на рис. 4.3. Точка F(p/2, 0) называется фокусом, а пря-
прямая D, задаваемая уравнением х = —р/2,— директрисой параболы.
Для любой точки М параболы верно равенство FM = MN. Число р > 0
называется параметром параболы. Ось Ох является ее осью сим-
симметрии.
Уравнения у2 = —2рх, х2 = 2ру, х2 = —2ру определяют параболы,
иначе ориентированные относительно осей координат (рис. 4.4, a—в).
Замечание. Уравнения вида
= ,. {у _yof = 2Р{Х -
определяют соответственно эллипс, гиперболу и параболу, которые
параллельно смещены относительно системы координат Оху таким обра-
образом, что центр эллипса и гиперболы и вершина параболы находятся
в точке С(х0, Уо).
116

Директрисы, фокусы и точки эллипса, гиперболы и параболы облада-
обладают одним замечательным свойством: отношение расстояния от любой точ-
точки М кривой до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей
выбранному фокусу директрисы есть величина постоянная, равная
Рис. 4.2
Рис. 4.3
эксцентриситету кривой. У параболы эксцеитриситет следует считать рав-
равным 1. Это свойство можно принять за определение кривых второго
порядка.
Пример 1. Даны точка А{[, 0) н прямая х = 2. В декартовых коор-
координатах составить уравнение линии, каждая точка М(х, у) которой:
а) в два раза ближе к точке А, чем к даииой прямой; б) в два
раза дальше от точки А, чем от данной прямой; в) равноудалена от точки
А н прямой х = 2.
Ь- а) По условию 2МА = MN (рис. 4.5). Отсюда, так как jVB, у), то
2 У(х-
= УО - 2J, 4(дг2 — 2х + 1 + у2) = х2 — 4х + 4,
Зх2 + 4у2 — Ах = 0, 3(х2 - D/3) х + 4/9) + 4у2 = 4/3,
- 2/3J + 4у2 = 4/3,
Х-
Следовательно, искомая линия — эллипс. Точка А совпадает с правым его
фокусом, а прямая х = 2 — правая директриса;
У;
Рис. 4.4
117

б) По условию MA = 2MN (рис. 4.6). Следовательно,
л]{х - \J + у2 = 2л](х -2J,
— 2х+ 1 +у2 = 4х2 — 16* + 16, Зх2 — у2 — 14* + 15 = 0,
3(*2 - A4/3)* + 49/9) - у2 = 49/3 - 15 = 4/3,
(х-7/3J
4/9
у2 _
4/3
т. е. данная линия — гипербола. Точка А совпадает с ее левым фокусом,
х = 2 — левая директриса;
У,
0
м
N
2 "л
Рис. 4.5
в) По условию MA = MN (рис. 4.7). Следовательно,
-yJ(X - \f + у2 = У(* - 2J, х2 -:
у*=-2х + 3, у2=-2(х-3/2).
Получили уравнение параболы (см. рис. 4.7). Точка А совпадает с фо-
фокусом, прямая х = 2 — директриса. -4
У*
0
-Я
Х\
У
Х=2
N
2 *
Р и с. 4.7
118

Если общее уравнение D.1) определяет эллипс, гиперболу или пара-
параболу, то поворотом около начала координат осей координат на угол а,
определяемый из уравнения tg 2а = 2п\ч/{а\\ —а22), и параллельным пе-
переносом этих осей всегда можно добиться того, чтобы в новой си-
системе координат уравнения данных кривых стали каноническими.
Особенно простым является приведение уравнения D.1) к канони-
каноническому виду в случае ai2 = 0, когда можно применить метод выделения
полных квадратов.
Пример 2. Привести к каноническому виду уравнение линии 4х2 -f-
+ 9(/2 + 32* — 54у + 109 = 0 и построить ее.
^ Дополним члены, содержащие х, и члены, содержащие у, до пол-
полных квадратов. Получим
4{х2 + 8х+ 16) + 9(у2 - 6у + 9) = 64 + 81 - 109 = 36,
4(х + if + 9(у — ЗJ = 36, (* + 4^ + ^~3^ = 1,
9 4
т. е. имеем эллипс, центр которого лежит в точке С( — 4, 3), большая
полуось а = 3, малая полуось 6 = 2 (рис. 4.8). ^
АЗ-4.1
1. Дан эллипс, каноническое уравнение которого имеет
„2 „2
вид -95~+-1г-= '• Найти координаты его фокусов,
эксцентриситет, уравнения директрис. Сделать рисунок.
(Ответ: Fl( — 4, 0), f2D, 0), е = 0,8, х = ±25/4.)
х2 -2
'36
= 1 найти ее полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения
асимптот и директрис. Сделать рисунок.
3. Построить параболу, ее директрису и фокус, зная
каноническое уравнение параболы: лг2 = 6у.
4. Составить каноническое уравнение эллипса, если
известно, что:
а) его малая ось равна 24, расстояние между фоку-
фокусами равно 10;
б) расстояние между фокусами равно 6, эксцентри-
эксцентриситет равен 3/5;
в) расстояние между фокусами равно 4, расстояние
между директрисами равно 5;
г) расстояние между директрисами равно 32, эксцен-
эксцентриситет равен 0,5.
5. Составить каноническое уравнение гиперболы, если
известно, что:
а) расстояние между вершинами равно 8, расстояние
между фокусами равно 10;
б) действительная полуось равна 5, вершины делят
расстояние между центром и фокусом пополам;
119
2 2
2. По каноническому уравнению гиперболы^ — |- =

в) действительная ось равна 6, гипербола проходит
через точку А (9, —4);
г) точки Р( — 5, 2) и QB-\J5, 2) лежат на гиперболе.
6. Составить каноническое уравнение параболы, если
известно, что:
а) парабола имеет фокус F@, 2) и вершину в точке
О{0, 0);
б) парабола симметрична относительно оси абсцисс и
проходит через точки 0@, 0) и М(\, —4);
в) парабола симметрична относительно оси ординат
Оу и проходит через точки 0@, 0) и N(b, —2).
7. С помощью выделения полных квадратов и пере-
переноса начала координат упростить уравнения линий, опре-
определить их тип, размеры и расположение на плоскости
(сделать рисунок):
а) x2 + yi-4x + 6y + 4 = 0;
б) 2л:2 + 5w2 + 8л: - Юу - 17 = 0;
2 6 2 36 8 0
) у
в) х2 — 6у — 12л- + 36у — 48 = 0;
г) х2 — 8х + 2у + 18 = 0.
Самостоятельная работа
1. Найти уравнение окружности, если концы одного из
ее диаметров находятся в точках АC, 9) и 5G, 3). (Ответ:
(л--5J + (у-6J=13.)
2. Составить уравнение гиперболы, имеющей вершины
2 2
в фокусах эллипса -^- +-ттг = 1> а фокусы в его вер-
(х2 и2 \
Ответ: -щ щ- = 1 •)
3. Составить уравнение траектории движения точки
М(х, у), если в любой момент времени она остается равно-
равноудаленной от точки А(8, 4) и оси ординат. (Ответ: (у—
— 4J = 16(лг — 4) — парабола.)
4. Записать уравнение траектории движения точки
М(х, у), если в любой момент времени она находится в 1,25
раза дальше от точки АE, 0), чем от прямой 5* — 16 = 0.
)
5. Ракета, пуск которой произведен под острым углом
к горизонту, описала дугу параболы и упала на рас-
расстоянии 60 км от места старта. Зная, что наибольшая
высота, достигнутая ракетой, равна 18 км, записать урав-
уравнение параболической траектории, приняв место старта за
120

начало координат, а место падения — лежащим на поло-
положительной полуоси Ох, и определить параметр траекто-
траектории. {Ответ: (х — 30J = — 50(у— 18), р = 25 км.)
4.2. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Поверхностью второго порядка называется множество точек про-
пространства, декартовы координаты х, у которых удовлетворяют алгеб-
алгебраическому уравнению второй степени
a,ix2 + аму2 + аззг2 + 2а12ху + 2a]3xz + 2a23yz + 2a,x +
+ 2а2у + 2a3z + а0 = О,
где коэффициенты an, 022, •••, по — постоянные числа. Это уравнение
называется общим уравнением поверхности второго порядка.
Существует девять классов невырожденных поверхностей второго
порядка, канонические уравнения которых можно получить из общего
уравнения с помощью преобразований системы координат (параллель-
(параллельного переноса и поворота в пространстве осей координат). В результате
этих преобразований получаем следующие канонические уравнения:
(эллипсоиды), D'^'
(однополостные гиперболоиды), D.7)
(двуполостные гиперболоиды), D.8)
(конусы второго порядка), D.9)
(эллиптические параболоиды), D.10)
(гиперболические параболоиды), D11)
(эллиптические цилиндры), D.12)
(гиперболические цилиндры), D.13)
(параболические цилиндры). D.14)
Здесь параметры а, Ь, с, р — постоянные и положительные числа,
характеризующие в определенном смысле свойства поверхностей.
Получение канонического уравнения из общего является довольно
сложной процедурой, но в случае отсутствия членов с ху, xz, yz
(ai2 = а\з = а2з = 0) приведение общего уравнения к каноническому виду
достигается (как и в случае линий второго порядка) методом выделения
полных квадратов и параллельным переносом осей координат.
Пример 1. Привести к каноническому виду уравнение х2— 2у2 -\-
-\-4z2-\-2x—\2у — 8г — 3 = 0, выяснить тип, свойства и расположение
заданной этим уравнением поверхности относительно системы координат
Oxyz.
121
x2
a2
x2
a2
x2
a2
x2
a2
x2
a2
x2
a2
x2
a2
X2
a2
X2 =
+ y2 4
+ b2 Л
, у2
"|~ ь2
, У2
^ b2
, У2
~ b2
, У2
^ b2
y2
b2
, У2
^ b2
y2
b2
¦2py
z2
"?"
z2
c2
z2
c2
z2
c2
22
2z
i
— i
о

^ Выделив полные квадраты при входящих в уравнение перемен-
переменных (т. е. сгруппировав члены уравнення указанным ниже образом),
имеем:
(х2 + 2х + 1 — 1) — 2(sj* + 6j/ + 9 - 9) + 4(г2 — 2г + 1 - 1) — 3 = О,
(*+lJ-2(j/ + 3J + 4(z-lJ = 3 + 1-18 + 4= -10,
(*+1J (у+3J (г-1J
10 5 "*~ 5/2
= —1.
При параллельном переносе осей координат, задаваемом фор-
формулами: х'=х-\-\, у' = у -\- 3, г'= z—1, начало координат новой сн-
Р и с. 4.9
стемы окажется в точке О'(—1,
примет канонический вид
10 5
—3, 1), а уравнение поверхности
5/2
Следовательно, данная поверхность — двуполостный гиперболоид, кото-
который имеет а = Уш> Ь = ~\5, с = ~\Ъ/2, вытянут вдоль новой оси О'у',
а центр его находится в точке О'(—1, —3, 1) (рнс. 4.9). 4|
Форма и свойства всех перечисленных выше поверхностей второго
порядка D.6) — D.14) устанавливаются с помощью метода параллель-
параллельных сечений. Суть метода состоит в том, что поверхности пересека-
пересекаются плоскостями, параллельными координатным плоскостям, а затем
по виду и свойствам получаемых в сечениях лнннй делается вывод
о форме и свойствах самой поверхности.
Пример 2. Установить форму и свойства однополостного гнпер-
X Ы2 22
болонда -7^- -f — jr- = 1. Сделать рисунок.
^ Будем пересекать поверхность горизонтальными плоскостями
г^А. Из системы уравнений
122

z = h
видно, что а любом таком сечении получается эллипс с полуосями
п\ =4"у1 + Л2/9, b\ =2-yl +/г2/9. Сечение плоскостями x = h дает ги-
гиперболы:
а сечение плоскостями y = h — гиперболы:
-4--Т
(только с другими полуосями).
При Л = 0 получим сечения поверхности (одиополостного гипербо-
гиперболоида) координатными плоскостями 2 = 0, или х = 0, или 1/ = 0. Эти
сечения называются главными (рис. 4.10). Размеры главных сечеиий оче-
очевидны: в плоскости 2 = 0 эллипс имеет полуоси а = 4, b = 2; в плоскости
* = 0 гипербола имеет действительную полуось 6 = 2, мнимую с = 3;
в плоскости у = 0 гипербола имеет действительную полуось а = 4,
мнимую с = 3. Координатные плоскости являются плоскостями симмет-
симметрии поверхности. 4|
В инженерных задачах часто встречаются различные поверх-
поверхности вращения, т. е. поверхности, получаемые вращением некоторой
плоской линии вокруг заданной прямой (называемой осью поверхности
вращения), лежащей с этой линией в одной плоскости.
Если линия лежит в плоскости Оуг и имеет уравнения F(y, z) = 0,
х = 0, то при вращении ее вокруг оси Ог получаем поверхность вращення,
уравнение которой имеет вид F(±\x2-{-y2, г) = 0; если вращение
совершать вокруг оси Оу, то уравнение поверхности вращения (дру-
(другой!) запишется в виде F(y, ± "у*2 +г2) = 0.
Пример 3. Записать уравнение поверхности вращения, полученной
при вращении гиперболы -=-; =- = 1: а) вокруг оси Ог; б) вокруг
а Ь
оси Оу.
^ а) Согласно нзложенному выше правилу, в уравнении гиперболы
заменяем у на ± ~yV + у2 и получаем уравнение поверхности
вращения:
2 i 2 2
х2 + у2 г2
Это однополостный гиперболоид вращения, у которого в горизон-
горизонтальных сечениях вместо эллипсов лежат окружности (см. пример 2);
б) При вращении данной гиперболы вокруг оси Оу следует в ее
уравнении заменить г на ± sjx2 + г2. Тогда имеем:
123
r2 V1 _L т^ j^^ 2 _2
= 1 или___+_ = _,.

Рис. 4.10
Рис. 4.11
Это двуполостный гиперболоид вращения, вытянутый вдоль оси Оу
(см. пример 1), сечения которого плоскостями y = h>a представляют
собой окружности, а не эллипсы, как в примере 1. 4|
Пример 4. Составить уравнение поверхности, полученной вращением
дуги синусоиды z = sin у, х = 0 @<: 1/ <: 2л) вокруг оси Оу.
^ Имеем:
г = sin (± ~\х2 + у2), г = ±sin ~\Jx2 + у2
(рис. 4.11). ¦«
АЗ-4.2
1. Методом параллельных сечений исследовать форму
поверхности и построить ее:
а) ж242у24 422 = 2; б) 2х2 - 9t/2 - 22 = 36;
д) 2 —у = х; е) 2лг 4 42 = 4; ж) г/ —6г = 0.
2. Определить вид поверхности и построить ее:
а) A'24y24z2 — 3*4 5у — 42 = 0;
б) Збж2 4 16у2 — 9г2 4 18г = 9;
в) Х24У2422 = 22;
г) 5ж24У24 Юж —6у— 1024 14 = 0;
д) х2 4 Зг2 — 8ж 4 182 4 34 = 0.
3. Построить тело, ограниченное поверхностями:
а) х2 = 2, 2 = 0, 2х — у = 0, * 4 У = 9;
в) 2 = у2, гЧ- у2 = 9, 2 = 0;
г) 2 = у, 2 = 0, y=^j4 — x, y = -L(x — \).
124

Самостоятельная работа
Построить тело, ограниченное указанными поверх-
поверхностями.
1. 2 = 4 — X2, 2 = 0, Ж2+у2 = 4.
2. z = 2x2 + y2, z = 0, х = 0, у = 0, х + у=1.
3. 2 2 2 /2
4.
4.3. ЛИНИИ, ЗАДАННЫЕ УРАВНЕНИЯМИ В ПОЛЯРНЫХ
КООРДИНАТАХ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ
Полярные координаты точки и уравнение линии в полярных ко-
координатах. Положение некоторой точки М на плоскости в прямоуголь-
прямоугольной декартовой системе координат Оху определяется числами х и у,
т. е. М(х, у) (рис. 4.12). Эту точку можно задать и другим способом,
Рис. 4.12
Рис. 4.13
например с помощью расстояния р=|ОЛ1| и угла ф, отсчитываемого
против хода часовой стрелки от оси Ох, называемой полярной осью, до
радиуса-вектора ОМ. В этом случае используется запись М(р; ф). Рас-
Расстояние р называется полярным радиусом, ф — полярным углом точки
М, а точка О — полюсом.
Связь между декартовыми х, у и полярными р, ф координатами
точки М при указаииом расположении осей Ох н Оу, вектора ОМ и угла
Ф выражается формулами:
х = р cos ф, р J3= 0,
y = ps\nq>, 0<ф<2
1
D.15)
(см. рис. 4.12). С помощью формул D.15) можно находить декартовы
координаты точки М по ее полярным координатам. Если эти формулы
разрешить относительно р и ф, то получим формулы:
cos ф =
D.16)
с помощью которых по декартовым координатам точки М легко найти
ее полярные координаты.
125

Формулы D.15) и D.16) дают также возможность переходить от
уравнений линий, заданных в декартовых координатах, к их уравне-
уравнениям в полярных координатах, и наоборот.
Пример 1. Построить точки, заданные полярными координатами:
Л/,B; л/6), Л/2A; Зл/4), М3C; 5л/4), М4B; 5л/6), А/5C/2; л/2),
М6 D; 0), М7C; 7л/4).
^ Вначале проведем луч под углом ф к полярной оси Ох, затем
на построенном луче отложим от полюса О отрезок длиной р. В итоге най-
найдем все семь точек (рис. 4.13). Отрезок ОЕ определяет единицу
длины. -4
Пример 2. Найти декартовы координаты точек М\, ..., М7, заданных
в примере 1.
^ В соответствии с формулами D.15) имеем: Mi(y3, l),
t(—-fi, l),
М6D, 0), М7
, -Ъ-ф/2). -4
Пример 3. Точки заданы декартовыми координатами: {у
— ~у2), 5@, —3), С(~уЗ, l). Построить эти точки и найти их полярные
координаты.
> Согласно формулам D.16), получаем: для точки А р = 2, tg q> =
= —1, ф = 7л/4, т. е. Л B; 7л/4); для точки В р = 3, sin ф = — 1,
Ч> = Зл/2, значит, ВC; Зя/2); для точки С р = 2, \.gq= I /V^=
9 = л/6, т. е. СB; я/6) (рис. 4.14). 4
Р не. 4.14
Пример 4. Записать уравнение линии (х2 + j/2K/2 = 4(х2—3j/2) в
полярных координатах.
> Воспользовавшись формулами D.15), подставим в данное урав-
уравнение вместо х и у их выражения. Получим
p3 = 4(p'cos29-3p2sin».
Считая р Ф О, преобразуем последнее уравнение:
р = 4(cos2 ф — sin2 ф —2 sin2 ф),
р = 4(cos 2ф — 1 + cos 2ф), р = 4B cos 2ф — 1). 4
126

Пример 5. Записать уравнение линии p2 = 8sin22(p в декартовых
координатах.
^ Так как sin 2ф = 2 sin ф cos <j>, данное уравнение можно перепи-
переписать в виде р2 = 32 sin2 ф cos2 ф и заменить р, sin ф и cos ф их выраже-
выражениями (см. формулы D,16)). Тогда найдем:
Пример 6. Построить кривую, заданную уравнением р = 2 +
+ COS* ф.
^ Составим таблицу, в которой указаны значения (fv и соответ-
соответствующие им значения pi (i = 1, 16):
0
л
Т
л
т
pi
3
11
4
5
" 2
,i
л
т
л .
т
2
тл
pi
9
4
2
9
4
Ч"
3
Тл
5
"б""
л
Р-
5
2
11
Т
3
,1
Тл
5
тл
4
тл
р.
11
4
5
Т
9
Т
,,
3
Тл
5
тл
7
тл
pi
2
9
Т
5
2
«pi
11
2л
р/
11
4
3
Построив найденные точки А/,(р,-, <р,-) (см. пример 1) и соединив их
плавной линией, получим достаточно точный график искомой кривой
-(рис. 4.15). 4
Параметрические уравнения линии. Уравнения вида
y = h(t).
'}
D 17)
где Л^), /г@. /з@—некоторые функции параметра /, называются
параметрическими уравнениями линии в пространстве. В частном случае,
когда /3(<) = 0 (или /i@ = 0, или f2(/) = 0). получаем параметрические
уравнения линии на плоскости z = 0 (или л: = 0, или j/ = 0). Следует отме-
отметить, что уравнения D.17) задают не только линию, но и «закон движе-
движения» точки М(х, у, г) по этой линии: каждому значению параметра t
соответствует определенное положение точки на линии.
Пример 7. Выяснить, какая линия определяется параметрическими
уравнениями
х = at cos t,
y = at sin t, a
z = bt,
-О, t > 0, / ^ 0.
> Это спиральная винтовая линия, проекция которой на плоскость
г = 0 является спиралью Архимеда p = a<j> (рис. 4.16). ^
127

Пример 8. Выяснить, какую линию задают указанные параметри-
параметрические уравнения
х = a sin21, a > О,
у = b cos2 /, Ь >0, — оо</<эо.
2 = 0,
^ Это отрезок прямой, концы которого лежат на осях координат
в точках А(а, 0) и 5@, Ь). При изменении t в интервале (—оо; +оо)
точка M(t) отрезка АВ бесчисленное множество раз «пробегает» этот
отрезок (рис. 4.17). ^
Рис. 4.16
Если из параметрических уравнений D.17) удается исключить пара-
параметр t, получают уравнения линии в декартовых координатах. Для
пространственной линии имеем пару уравнений, каждое из которых опре-
определяет цилиндрическую поверхность, а их пересечение дает саму линию.
Например, спиральную винтовую линию (см. пример 7) можно пред-
представить следующей парой уравнений цилиндрических поверхностей
(/ = г/Ь):
а г а . г
х = — г cos —, (/ = -т- г sin -г-, г > 0.
ЬЬ оо
Для плоской линии, лежащей в некоторой координатной плоскости,
исключение параметра t также приводит к паре уравнений в декартовых
координатах, но одно из них всегда является уравнением коорди-
координатной плоскости, в которой лежит сама линия. Уравнение координатной
плоскости часто опускают. Так, в примере 8 уравнение отрезка АВ
можно представить следующей парой уравнений в декартовых коорди-
координатах:
— + -т- = 1, 2 = 0, 0<*<
а о
128

Пример 9. Построить линию, заданную параметрическими уравне-
уравнениями:
z = t+l/t-3.
^ Данная линия лежит в координатной плоскости Оуг. Придавая
различные значения параметру t, можно получить достаточное количество
точек линии, по которым она строится. Чтобы более точно изучить эту
линию, воспользуемся методом исключеиия параметра. Перенесем числа
2 и —3 во втором и третьем уравнениях системы в левую часть.
Возведем обе части уравнений в квадрат и из (г + ЗJ вычтем (у — 2J.
Тогда:
B + ЗJ - (у - 2J = (/ + 1/<J - (/ - 1//J= 4,
Следовательно, в координатной плоскости х = 0 имеем равнобочную
гиперболу (а = Ь = 2) с центром в точке С@, 2, —3), изображенную
на рис. 4.18. ^
Рис. 4.18
АЗ-4.3
1. Построить линии, заданные уравнениями в полярных
координатах. Записать их в декартовых координатах:
1) р = 5; 2) ф = л/3;
3) р = шр (спираль Архимеда);
4) р = 6со5ф; 5) р = 10 sin ф;
6) pcoscp = 2; 7) psin9 = l;
129

8) p = - (парабола);
' V 1 — COS ф V Г '
9) p = a(l—cos ф) (кардиоида);
10) p = 3/ф (гиперболическая спираль);
11) р = 2Ф, р = A /2)(р (логарифмические спирали);
12) р = a sin Зф (трехлепестковая роза);
13) р = a sin2 2ф (четырехлепестковая роза);
14) р2 = а2соэ2ф (лемниската Бернулли).
2. Составить в полярных координатах уравнения сле-
следующих линий:
а) прямой, перпендикулярной к полярной оси и отсе-
отсекающей на ней отрезок, равный 3;
б) прямых, параллельных полярной оси и отстоящих от
нее на расстоянии 5;
в) окружности радиусом R = 4 с центром на полярной
оси и проходящей через полюс;
г) окружностей радиусом R = 3, касающихся поляр-
полярной оси в полюсе.
(Ответ: а) рсозф = 3; б) рзтф=±5; в) р==8созф;
г) р= ±6 sin ф.)
3. Построить следующие линии, заданные параметри-
параметрическими уравнениями:
1) x = 3t— I, y= —2t + 5;
2) х = 3 cos t + 3, у = 3 sin t — 2;
3) x = 5 -f 4 cos t, у = — 1 + sin t\
4) x = a(t — sin t), y = a(l—cost) (циклоида);
5) x = acos31, y~a sin31 (астроида);
6) A: = acos^, y = asin?, z = bt (винтовая линия);
Самостоятельная работа
1. Исключив параметр ? из данных параметрических
уравнений линий на плоскости, записать их уравнения
в декартовых координатах F(x, у) = 0, определить тип каж-
каждой линии и ее расположение на плоскости:
1) х = a/cost, у = Ь tg t (гипербола);
2) х = 2а cos21, y = a sin 2t (окружность);
3) х = a sin 2t, у = 2а sin21 (окружность);
4) х = — 2 -\- 3 sin 2t, у = 1 -4- cos 2t (эллипс);
5) x = 4A — t), у — 2r\ft (часть параболы, для которой
У>0).
130

2. Построить линии, записав их уравнения в полярных
координатах:
) у (У + у)
2) x*-y* = (x2 + y2f; 3) (х2 + у2J=у2;
4) 3x2-y2 = (x2+y2f/2; 5) (х2 + у2K = 4х2у2.
4.4. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 4
ИДЗ-4.1
1. Составить канонические уравнения: а) эллипса;
б) гиперболы; в) параболы (Л, В — точки, лежащие на
кривой, F — фокус, а — большая (действительная) полу-
полуось, Ь — малая (мнимая) полуось, е — эксцентриситет,
у = ±kx — уравнения асимптот гиперболы, D — ди-
директриса кривой, 2с — фокусное расстояние).
1.1. а) 6 = 15, F{ — \0, 0); б) а = 13, 8=14/13;
в) D: х= —4.
1.2. а) 6 = 2, F(*y[2, 0); б) а = 7, е=У85/7; в) D:
х — 5.
1.3. а) ЛC, 0), ВB, У5/3); б) ft = 3/4, е = 5/4;
в) D: у =-2.
1.4. а) г=л[2\/Ъ, Л(-5, 0); б) ЛG80, 3), В(Ал[Ъ,
Зф); в) D: у=\.
1.5. а) 2а = 22, e=^fltf/U; б) & = 2/3, 2с = 10-fl3;
в) ось симметрии Ох и Л B7, 9).
1.6. а) Ь=л[\Ъ, е=У7о/25; б) k = 3/4, 2а =16;
в) ось симметрии Ох и Л D, —8).
1.7. а) а = 4, f = C, 0); б) b =2л[\0, F{—\\, 0);
в) D: x= —2.
1.8. a) 6 = 4, F = (9, 0); б) а = 5, 8 = 7/5; в) D:x = 6.
1.9. а) Л@, д/3), B(Vl4/3, l); б) A:=V21/10, 8 =
= 11/10; в) D: у =-4.
1.10. а) е = 7/8,Л(8,0);б) ЛC, -д/зТ^), ^(V 13/5, б);
в) D: у = 4.
1.11. а) 2а = 24, е=д/22/6; б) й=д/2/3, 2с =10;
в) ось симметрии Ол; и Л( — 7, —7).
1.12. а) 6 = 2, е = 5д/29/29; б) А; = 12/13, 2а = 26;
в) ось симметрии Ох и Л ( — 5, 15).
131

1.13. a) a = 6, F(—4, 0); 6) 6 = 3, /?G, 0); в) D: л: =
_ 7
1.14. a) 6 = 7, FE, 0); 6) a=ll, 8=12/11; в) D:
x=10.
1.15. а) Л(-У 17/3, 1/3), B(V2T/2, 1/2); 6) ft = 1/2,
8=д/5/2; в) Z): y = — 1.
1.16. a) 8 = 3/5, Л@, 8); б) Л(Уб, О), В(-2лЯу l);
ь) ?>: у = 9.
1.17. a) 2a = 22, e= 10/11; б) й=-/ГГ/5, 2с =12;
в) ось симметрии Ox и Л( —7, 5).
1.18. а) 6 = 5, 8 = 12/13; б) А: =1/3, 2а = 6; в) ось
симметрии Оу и Л ( — 9, 6).
1.19. а) а = 9, FG, 0); б) 6 = 6, ^A2, 0); в) D: х =
= -1/4.
1.20. а) 6 = 5, /Ч—10, 0); б) а = 9, 8 = 4/3; в) D:
л;= 12.
1.21. а) Л@, -2), В{л[\Ъ/2, 1); б) ft = 2-/l6/9,
е= 11/9; в) D: у = 5.
1.22. а) 8 = 2/3, Л(-6, 0); б) Л(л/8, 0), B(V20/3, 2);
в) D: у= 1.
1.23. а) 2а = 50, е = 3/5; б) й=У29/14, 2с = 30;
в) ось симметрии Оу и ЛD, 1).
1.24. а) 6 = 2-V"li5, ? = 7/8; б) k = 5/6, 2а = 12; в) ось
симметрии Оу и Л(—2, 3"\/2).
1.25. а) в =13, F( —5, 0); б) 6 = 44, F( —7, 0);
в) D: л; =-3/8.
1.26. а) 6 = 7, FA3, 0); б) 6=4, F(—11, 0); в) ?>:
*= 13.
1.27. а) Л(-3, 0), B(l, V^O/3); б) k=-\[2/3, e =
= V^5/3; в) D: у = 4.
1.28. а) 8 = 5/6, Л@, — VTT); б) Л(V32/3, l), B(V8,
0); в) D; у=-3.
1.29. а) 2а = 30, 8=17/15; б) k=^fl7/8, 2c =18;
в) ось симметрии Оу и Л D, —10).
1.30. а) Ь = 2л/2, 8 = 7/9; б) к=л/2/2, 2а = 12;
в) ось симметрии Оу и Л( —45, 15).
132

2. Записать уравнение окружности, проходящей через
указанные точки и имеющей центр в точке А.
2.1. Вершины гиперболы 12л;2 — 13{/2 = 156, Л@, —2).
2.2. Вершины гиперболы 4х2 — 9у2 = 36, Л@, 4).
2.3. Фокусы гиперболы 24t/2 — 25л;2 = 600, А@, —8).
2.4. О@, 0), А — вершина параболы у2 — Z(x — 4).
2.5. Фокусы эллипса 9х2 + 25у2 = 1, Л @, 6).
2.6. Левый фокус гиперболы Зх2 — 4у2 — 12, Л@, —3).
2.7. Фокусы эллипса Зх2 -\~4у2 = 12, А — его верхняя
вершина.
2.8. Вершину гиперболы л;2 — 16у2 = 64, Л@, —2).
2.9. Фокусы гиперболы 4лг2 — Ъу2 = 80, А@, —4).
2.10. О@, 0), А — вершина параболы у2 =—(* +
+ 5)/2.
2.11. Правый фокус эллипса ЗЗ*2 + 49у2 = 1617,
, 7).
2.12. Левый фокус гиперболы Зх2 — 5у2 = 30, Л@, 6).
2.13. Фокусы эллипса 1 бдс2 + 41 у2 = 656, А — его ниж-
нижняя вершина.
2.14. Вершину гиперболы 2л;2 — 9у2 = 18, Л@, 4).
2.15. Фокусы гиперболы 5л;2— Ну2 = 55, Л@, 5).
2.16. .6A, 4), J\ — вершина параболы у2 = (х — 4)/3.
2.17. Левый фокус эллипса Зл;2 + 7у2 = 21, Л(—1, —3).
2.18. Левую вершину гиперболы 5х2 — 9у2 = 45, Л@,
-6).
2.19. Фокусы эллипса 24л;2 — 25у2 = 600, Л — его верх-
верхняя вершина.
2.20. Правую вершину, гиперболы Зл;2 — 16у2 — 48,
, 3).
2.21. Левый фокус гиперболы 7л;2 — 9у2 = 63, Л(—1,
-2).
2.22. ВB, —5), Л— вершина параболы л;2 = —2(у +
+ !)•
2.23. Правый фокус эллипса л;2 + 4у2 = 12, ЛB, —7).
2.24. Правую вершину гиперболы 40л;2 — 81у2 = 3240,
Л(-2, 5).
2.25. Фокусы эллипса х + Юу = 90, Л — его нижняя
вершина.
2.26. Правую вершину гиперболы Зл;2 — 25у2 = 75,
Л(-5, -2).
2.27. Фокусы гиперболы 4л;2 — Ъу2 = 20, Л@, —6).
2.28. .6C, 4), Л — вершина параболы у2 = (л; + 7)/4.
2.29. Левый фокус эллипса 1 Зл;2 + 49у2 = 837, ЛA, 8).
2.30. Правый фокус гиперболы 57л;2 — 64у2 = 3648,
Л B, 8).
133

3. Составить уравнение линии, каждая точка М кото-
которой удовлетворяет заданным условиям.
3.1. Отстоит от прямой х = —6 на расстоянии, в два
раза большем, чем от точки ЛA, 3).
3.2. Отстоит от прямой х = —2 на расстоянии, в два
раза большем, чем от точки Л D, 0).
3.3. Отстоит от прямой у = —2 на расстоянии, в три
раза большем, чем от точки ЛE, 0).
3.4. Отношение расстояний от точки М до точек А B, 3)
и В(— 1, 2) равно 3/4.
3.5. Сумма квадратов расстояний от точки М до точек
АD, 0) и В( — 2, 2) равна 28.
3.6. Отстоит от точки А{\, 0) на расстоянии, в пять
раз меньшем, чем от прямой х = 8.
3.7. Отстоит от точки Л D, 1) на расстоянии, в четыре
раза большем, чем от точки В( — 2, —1).
3.8. Отстоит от прямой х = —5 на расстоянии, в три
раза большем, чем от точки ЛF, 1).
3.9. Отстоит от прямой у = 7 на расстоянии, в пять раз
большем, чем от точки Л D, —3).
3.10. Отношение расстояний от точки М до точек
Л(-3, 5) и ВD, 2) равно 1/3.
3.11. Сумма квадратов расстояний от точки М до
точек Л( —5, —1) и ВC, 2) равна 40,5.
3.12. Отстоит от точки Л B, 1) на расстоянии, в три
раза большем, чем от прямой х= —5.
3.13. Отстоит от точки Л( —3, 3) на расстоянии, в три
раза большем, чем от точки ВE, 1).
3.14. Отстоит от прямой л: = 8 на расстоянии, в два
раза большем, чем от точки Л(—1, 7).
3.15. Отстоит от прямой х = 9 на расстоянии, в четыре
раза меньшем, чем от точки Л(—1, 2).
3.16. Отношение расстояний от точки М до точек
ЛB, —4) и ВC, 5) равно 2/3.
3.17. Сумма квадратов расстояний от точки М до точек
Л( —3, 3) и ВD, 1) равна 31.
3.18. Отстоит от точки Л@, —5) на расстоянии, в два
раза меньшем, чем от прямой х = 3.
3.19. Отстоит от точки Л D, —2) на расстоянии, в два
раза меньшем, чем от точки В(\, 6).
3.20. Отстоит от прямой х= —7 на расстоянии, в три
раза меньшем, чем от точки ЛA, 4).
3.21. Отстоит от прямой х= 14 на расстоянии, в два
раза меньшем, чем от точки Л B, 3).
134

3.22. Отношение расстояний от точки М до точек
ЛC, — 2) и В D, 6) равно 3/5.
3.23. Сумма квадратов расстояний от точки М до точек
Л( —5, 3) и ВB, —4) равна 65.
3.24. Отстоит от точки ЛC, —4) на расстоянии, в три
раза большем, чем от прямой х = 5.
3.25. Отстоит от точки Л E, 7) на расстоянии, в четыре
раза большем, чем от точки В( — 2, 1).
3.26. Отстоит от прямой х = 2 на расстоянии, в пять
раз большем, чем от точки Л D, —3).
3.27. Отстоит от прямой х = —7 на расстоянии,
в три раза меньшем, чем от точки ЛC, 1).
3.28. Отношение расстояний от точки М до точек
ЛC, -5) и ВD, 1) равно 1/4.
3.29. Сумма квадратов расстояний от точки М до точек
Л(-1, 2) и ВC, -1) равна 18,5.
3.30. Отстоит от точки ЛA, 5) на расстоянии, в четыре
раза меньшем, чем от прямой х= —1.
4. Построить кривую, заданную уравнением в полярной
системе координат.
4.1. p = 2sin4cp. 4.2. р = 2A — sin 2cp).
4.3. р = 2 sin 2ф. 4.4. р = 3 sin 6cp.
4.5. р = 2/A + cos ф). 4.6. p = 3(l+sinq>).
4.7. р = 2A—cos ф). 4.8. р = 3A — cos 2ф).
4.9. р = 4этЗф. 4.10. р = 4 sin 4ф.
4.П. р = 3(cos ф + !)• 4.12. р = 1/B — sin <p).
4.13. р = 5A — sin 2(р). 4.14. р = 3B — cos 2ф).
4.15. р = 6 sin 4ф. 4.16. р = 2соэ6ф.
4.17. р = 3/A -cos 2ф). 4.18. р = 2A -cos 3<p).
4.19. р = 3A — cos 4ф). 4.20. р = 5B — sin ф).
4.21. р = 3 sin 4ф. 4.22. р = 2 cos 4ф.
4.23. р = 4A + cos 2ф). 4.24. р = 1/B — cos 2ф).
4.25. р = 4A — sin ф). 4.26. р = 3A + cos 2ф).
4.27. р = 3 cos 2ф. 4.28. р = 2 sin Зф.
( ) 4 2 2
4.29. p = 2/B
5. Построить
уравнениями @ ^
53 [л: = 4 cos
1 у = 3 sin
— COS ф).
кривую,
; t < 2л).
2t,
2/.
4.30. р = 2 —
заданную пар
Г* = 2 cos
-d fx = 2 sin
5Л- (у = 3A -
cos 2ф.
аметри
3t,
t.
- cos t).
135

__ (x = 4cos/, _ я /* = 5cos /,
lf/ = 5sm/. lf/ = 5sm /.
• • If/= 3 sin 2/. ' ' \y— 1 — sin /.
с,, /a; = 2 cos/, c ,2 fA; = 4cos3/,
e-n- If/= 4sin/. 6-"' If/= 5sin3/.
5Л4' If/= 2sin3/.
= 3 cos 2t, e lc /* = 2cos/,
= 28ш2/. 5Л6' [у = 2A -sin t).
— 5cost, _1(J /a; = 3
= sin^. 5Л8' (f/=
sin3/.
x = 4cos
4 p
у = 5 sin t. 5-24' I у = 2 sin
3
у = 3 sin 2/. 5-2b- I y = sin3 /.
X = 5 COS 3/, coo (X = 4 COS/,
-2b- I y =
3
~4 cos31,
3
oo (X = 4 COS/
-28- Iy = 4(l-
к ok
29 / 5 so p
-2y- I у = 3 sin /. 5Ж [у =4 sin3 /.
Решение типового варианта
1. Составить канонические уравнения: а) эллипса,
большая полуось которого равна 3, а фокус находится в
точке F{~\b, О); б) гиперболы с мнимой полуосью, рав-
равной 2, и фокусом F(—-уТз, 0); в) параболы, имеющей
директрису х= —3.
> а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид
— + ^ = 1. По условию задачи большая полуось а = 3,
с = у5. Для эллипса выполняется равенство Ь2 = а2 — с2.
Подставив в него значения а к с, найдем б2 == З2 —
= 4. Искомое уравнение эллипса
136

б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
2 2
— —^ =1. По условию мнимая полуось 6 = 2, а с =
==-у 13. Для гиперболы справедливо равенство Ь2 = с2 —
— а2. Поэтому а2 = с2 — Ь2 = (УТзJ — 22 = 9. Записываем
искомое уравнение гиперболы:
9 4'
в) Каноническое уравнение параболы в данном слу-
случае должно иметь вид у2 — 2рх, а уравнение ее директрисы
х = —р/2. Но по условию задачи уравнение директрисы
х = —3. Поэтому —р/2= —3, р = 6 и искомое канони-
каноническое уравнение параболы имеет вид
у2 = \2х. 4
2. Записать уравнение окружности, проходящей через
фокусы эллипса х2 + 4у2 = 4 и имеющей центр в его верх-
верхней вершине.
^ Для данного эллипса — + ^- = 1 верхняя вершина
Л@, 1), а = 2, 6 = 1. Поэтому
и фокусы находятся в точках Fi( — ^J3, 0), /^(Уз, 0). Ра-
Радиус R искомой окружности вычисляем по формуле рас-
расстояния между двумя точками:
В соответствии" с уравнением D.2) записываем иско-
искомое уравнение окружности:
(х — ОJ + (у — IJ = 22 или х2 + (у — IJ = 4. «
3. Составить уравнение линии, каждая точка М кото-
которой отстоит от точки ЛC, 2) на расстоянии, в три раза
большем, чем от точки В{— 1, 0).
^ Пусть M(x, у) — любая точка искомой линии (рис.
4.19). Тогда по условию задачи \АМ\ =3\ВМ\. Так как
137

Рис. 4.19
то уравнение искомой линии
У(* - ЗJ + (у - 2J = ЗУ(* + IJ + «А
Преобразуем его, возведя обе части в квадрат. Имеем:
x1 — 6л- + 9 + У — 4у + 4 = 9л;2 + 18л; + 9 + 9у2,
8л;2 + 24л; + 8у2 + 4у — 4 = 0.
Выделив полные квадраты в последнем уравнении, придем
к уравнению вида
" _ 45
~7б"'
которое является уравнением окружности с центром в
точке С( —3/2, —1/4) и радиусом R = Зд/5/4. 4
4. Построить кардиоиду, заданную уравнением в по-
полярных координатах р = 4A — sin cp).
> Составим таблицу, в которой приведены значения
полярного угла ср, (i= 1,16) и соответствующие им значе-
значения полярного радиуса р,:
ф,-
0
я/6
л/4
л/3
р.
4
2
«1,2
«0,6
л/2
2л/3
Зл/4
5л/6
р.
0
йО,6
«1,2
2
ф,
л
7л/6
5л/4
4л/3
р.
4
6
«6,8
«7,4
ф,
Зл/2
5л/3
7л/4
11 л/6
Р'
8
«7,4
«6,8
6
Построив найденные точки Af,-(p,-, ф,) в полярной систе-
системе координат (см. пример 1 из § 4.3) и соединив их плавной
линией, получим достаточно точное представление о карди-
кардиоиде (рис. 4.20.). -^
138

Рис. 4.20
5. Построить кривую, заданную параметрическими
уравнениями:
х = 1 + 3 cos t, п <;- / <г- о
у = 2 —2 sin ^, U:?=rs==/;
^ Выберем достаточное количество значений пара-
параметра /,-, вычислим соответствующие значения xt, у,- и по-
построим точки Mi(xi, у,) в декартовых координатах. Соеди-
Соединим их плавной линией. Очевидно, что полученная кривая
очень похожа на эллипс с полуосями а = 3, b = 2 и центром
в точке СA, 2). Для строгого доказательства того, что
данные параметрические уравнения определяют эллипс
с указанными осями и центром, избавимся от параметра t:
откуда
ИДЗ-4.2
1. Построить поверхности и определить их вид (назва-
(название).
1.1. а)
1.2. а)
1.3. а)
1.4. а)
1.5. а)
1.6. а)
1.7. а)
1.8. а)
4л:2 - у2 - 16z2 +16 = 0; б) х2 + Az = 0.
2 2 2 2 2
у
Зл-2 + у2 + 9z2 — 9 = 0; б)
-5л:2 + 10(/2-z2 0
2 2
)
) х2 + 2у2 - 2z = 0.
= 0; б) у2 + 4z2 = Ъх
2 2
б) л;2— у = — 9г2
22
+ / +
4л-2 — 8у2 + z2 + 24 = 0;
х2-б/+22 = 0; б) 7л-2-Зу2-22 = 21.
2==8-л2-4у2; б) 4л;2 + 9у2 + Збг2 = 72.
4л;2 + 6у2 - 24г2 = 96; б) у2 + 8г2 = = 20л2
4л;2 - 5у2 - 5г2 + 40 = 0; б) у = 5л;2 + Зг2.
139

1.9. а) л:2 = 8(у2 + 22); б) 2л:2+ 3у2 — 22= 18.
1.10. а) 522 + 2у2 = 10л:; б) 4z2 — Зу2 — 5л:2 + 60 = 0.
1.11. а) л:2 —7у—14г2 —21 =0; б) 2y = x2 + 4z2.
1.12. а)' 6л;2 —у2 + 3г2—12 = 0; б) 8у^ + 2г2 = л;.
1.13. а) -16л-2 + у2 + 4г2-32 = 0; б) 6х2 + у2-
— Зг2 = 0.
1.14. а) 5л;2-у2-15г2+15 = 0; б) л;'2 + Зг = 0.
1.15. а) 6л:2 + У2 + б22—18 = 0; б) Зл:2 + У2 — Зг = 0.
1.16. а) — 7л;2+14у2-22 + 21=0; б) у2 + 2г2 = 6л:2.
1.17. а) — Зл;2 + 6у — г2—18 = 0; б) л;2 —2у=—г2.
1.18. а) 4л;2 — 6у2 + 3z2 = 0; б) 4л:2 - у2 - Зг2 = 12.
1.19. а) г = 4 — л:2 — у2; б) Зл^-f 12у2 + 4г2 = 48.
1.20. а) 4л:2 + 5у2 - Юг2 = 60; б) 7у2 + z2 = \4х2.
1.21. а) 9л;2 — 6у2 - 6z2 + 1 = 0; б) 15у = 10л;2 + 6у2.
1.22. а) л;2 = 5(у2 + 22); б) 2л;2 + Зу2 — г2 = 36.
1.23. а) 4л:2 + 3у2=12л;; б) Зл:2-4у2-2г2 + 12 = 0.
1.24. а) 8л;2 — у1 - 2г2 - 32 = 0; б) у — 4г2 = 3л:2.
1.25. а) л:2 - 6у2 Ч-г2 - 12 = 0; б) х — Зг2 = 9*/2.
1.26. а) 2л:2 — Зу2 - 5г2 + 30 = 0; б) 2л:2 + Зг = 0.
1.28.' а) — 4х2 + 12у2 — Зг2 + 24 = 0; б) 2у2 + 6г2=3л:.
1.29. а) Зл;2 — 9у2 + г2 + 27 = 0; б) г2 — 2у = -4л:2.
1.30. а) 27л:2 — 63у2+ 21г2 = 0; б) Зл:2 — 7у2 — 2г2 = 42.
2. Записать уравнение и определить вид поверхности,
полученной при вращении данной линии вокруг указанной
оси координат, сделать рисунок.
2.1. а) у2 = 2г, Ог; б) 9у2 + 4г2 = 36; Оу.
2.2. а) 4л:2-3у2=12, Ол:; б) х=1, у = 2, Ог.
2.3. а) л:2=—Зг, Ог; б) Зл:2 + 5г2=15, Ол:.
2.4. а) Зу2-4г2=12, Ог; б) у = 4, г = 2, Ол:.
2.5. а) л:*=3у, От б) Зл:2 + 4г5 = 24, Ог.
2.6. а) 2л;2-6у2 = 12, Ол:; б) у2 = 4г, Ог.
2.7. а) л;24-325 = 9, Ог; б) л; = 4, 2 = 6, Оу.
2.8. а) Зл:2-5г2=15, Ог; б) г=— 1, у = 3, Ол;.
2.9. a) y2 = 3z, Oz; б) 2л:2 + 3г2 = 6, Ох.
2.10. а) у2 —5л;2 = 5, Оу; б) у = 3, 2=1, Ол;.
2.11. а) л;2 =—4г, Ог; б) у -\-4z2 = 4, Оу.
2.12. а) 5л;2 —622 = ЗО, Ол;; б) х = 3, z=—2, Оу.
2.13. а) 22 = 2у, Оу; б) 2л:2 + 322 = 6, Ог.
2.14. а) у2 =—4г, Ог; б) Зу2 + z2 = 6, Оу.
2.15. а) 7л;2 — 5у2 = 35, Ол;; б) л;=— 1, у=— 3, Ог.
2.16. а) 2л;2 = 2, Ог; б) л:2 + 4г2 = 4, О*.
2.17. а) 2у2-52=10, Ог; 6} у = 2, г = 6, Ол:.
2.18. а) л;5=—5у, Оу; б) 2л:2 + 3г = 6, Ог.
2.19. а) л;2 —9у2 = 9, Ол;; б) Зу2 = г, Ог.
140

2.20. a) x2 + 2z = 4, Oz; 6) x = 3, z=—1, Oy.
2.21. a) I5x2 — 3y2=l, Ox; б) х = 3, у = 4, Oz.
2.22. a) y2 = bz, Oz; 6) 3x2 + 7y2 = 2l, Ox.
2.23. a) 15y2 —a;2 = 6, Oy; б) у = 5, 2 = 2, Oy.
2.24. a) 5z= -x2, Oz; 6) 3y2 + 1822 = l, Oy.
2.25. a) 3a;2 — 8y2 = 288, Oat; 6) x = 5, 2=—3, Oy.
2.26. a) 2y2 = 72, O2; 6) 6y2 + 522 = 30, Oy.
2.27. a) 5a;2 — 7y2 = 35, Oat; 6) a; = 2, у =—4, 02.
2.28. a) 3a;2 =-22, Oz; 6) 8a;2 + 1 lz* = 88, Ox.
2.2$. a) 5y2 —822 = 40, O2; б) у = 3, 2=1, Ол:.
2.30. а) Зл;2=-4у, Oz; б) 4а;5+ З22 = 12, O2.
3. Построить тело, ограниченное указанными поверх-
поверхностями.
3.1. a) z = x2 + y2, 2 = 0, х=1, у = 2, л: = 0, у = 0;
б) а;2 + У = 2л:, 2 = 0, 2 = х.
3.2. а) л;2 + У2 = 22,2 = О,у = 2а;,у = 4л;,а; = 3 B>0);
б) л2 + У2 = 4у, 2 = 0, у + 2 = 5.
3.3. а) у2 + 322 = 6, Зл-2 — 25у2 = 75, z > 0; б) х = 4,
у = 2, л; + 2у + 32 = 12, х = 0, у = 0, 2 > 0.
3.4. а) 2 = 5у, л:2+У2==16, 2 = 0; б) л: + У + .г = 5,
Зл; + У = 5, 2л; + У = 5, у = 0, 2 = 0.
3.5. а) у = 3х, у = 0, х = 2, z = xy, 2 = 0; б) 8(л:2 +
) = 22, л-2 + У2=1, У>0, 2>0.
3.6. а) у = х,у = 0,х= 1,2 = л-2 + 5у2, 2 = 0; б) х2 +
у2 + з^ = 9, л-2 + У2< 1, а;>0.
3.7. а) у = х, у = 0, л: = 1, 2 = У*У. 2 = 0; б) л;2 +
у2 + 2^ = 4 л-й + У2 = 22 х>0 2>0
3.8. a) y = 2x,y = 0,x = 2,z = xy,z = 0; б) л:2 + у2 =
2 2 2 0 0
= 22, л-2
у , у>, >
3.9. а) 2 = л-2 + Зу2, 2 = 0, у = л-, у = 0, х = 1; б) 2 =
2 2 3, 2=16л- + 3.
[ = 0; б) 2 =
3.10. а) у = 4х, у = 0, х=1, г=
= 3V^2 + y2, 2 = 2-л;2-у2.
3.11. а) и = х,у = 0, х= 1,2 = Зл;
= 10(л-2+у2)+1, 2=1-20у.
3.12. а) у = х, у = 0, л-=1, г=л/ху,
= \§л[2х, у=л/2х, 2 = 0, л; + 2 = 2.
3.13. а) у = х, у = 0, х = 2, 2 = 0; б)
2у2,2 = 0;б) z =
, 2 = 0; б) у =
= 2, х =
= Vy. 2 = 2л;, 2 = 0.
3.14. a) 2z = л;2 + у2, z = 0, х = 2, у = 3, х = 0, у = 0;
б) л:2 + У2 = 4л;, 2 = 0, 2 = л:.
141

3.15. a) x2 + y2 = 422, 2 = 0, y = x, у = 8л:, x — 2,
z > 0; 6) x2 + y2 = 8y, z = 0, у + z = 6.
3.16. a) y2 + 4z2 = 8, 16л:2--49у2 = 784, 2 > 0; б) х =
= 1, y = 3, лг + 5ы + 102 = 20, jc = 0, y = 0, 2 > 0.
3.17. a) 2 = 3y2,x2 + y2 = 4,2 = 0; 6) л: + 2у + 32 = 6,
2л: = у, 2х + Ъу = 6, у = 0, 2 = 0.
3.18. a) y = 4x, y = 0, x=\, z = xy, 2 = 0; 6) 4(x2 +
2) 2 ? + 2 4 >0 >0
y) , + y , y>, >
3.19. a) y = 2x, y = 0, x = 2, z = 2x2 + y2, 2 = 0;
6) x2+y2 + z2 = l6, лг2+у2<4, a;>0.
3.20. a) y = 4x, y = 0, x = 4, г=л/ху, 2 = 0; б) л;2+
у2+32 = 9, АГ2+22=у2, АГ>0, у>0, 2>0.
3.21. а) у = Заг, у = 0, jc = 3, 2 = ху, 2=0; б) 4(л;2
2).= 22, 4B + 2I>0 >0
(
3.22. a) z=l6x2 + y2, 2 = 0, у = 2лг, у = 0, л:=1;
б) 2-4 = 6(л-2 + ?/2), 2 = 4лг+1.
3.23. а) у = 3х, у = 0, х = 3, z=^[xy, 2 = 0; б) 2 =
VT7, y
3.24. a) y = 3x,y = 0,x = 2,z =
— 2 = 6(/ + у2), z=\—4y.
3.25. а) у = 2х, у = 0, х = 4, г=л[ху, 2 = 0; б) х +
+ у = 2, y=V^' 2 = 12у, 2 = 0, х = 0.
3.26. а) 2 = 2л;2 + Зу2, 2 = 0, jc = 2, у = 1, jc = 0, у = 0;
б) л:2 + У2 = 6л:, 2=0, 2 = 2х.
3.27. а) 4(л:2 + у2) = 22, 2 = 0, у = х,- у = 4х, х =
= 2(z>0); б) л:2+у2 = 4у, 2 = 0, у + 2 = 6.
3.28. а) 2у2 + 22 = 4, Зл:2 — 8у2 = 48, z > 0; б) *=1,
у = 3, л: + 2у + 42 = 24, х = 0, у = 0, 2 > 0.
3.29. а) 2 = 3у2, х2 + у2 = 9, 2 = 0; б) х + у+ 2 = 8,
х + 2г/ == 4, х + 4у = 4, у = 0, 2 = 0.
3.30. а) у = 5л:, у = 0, х = 3, 2 = 0; б) 4(х2 + у2)== 22,
х2 + у2 = 4, у > 0, 2 > 0.
Решение типового варианта
1. Построить данные поверхности и определить их вид
(название):
а) -4+4у2 + 4-22-2=0; б)Зх2+|--4 = 0.
^ а) Приведем уравнение к каноническому виду
J2 „2 -2
— — 4--^— 4- — 1
12 ~ 1/2 ~ 4
142

Получили уравнение гиперболоида, расположенного так,
как показано на рис. 4.21; полуоси его «горлового» эл-
эллипса ОВ =У2/2, ОС = 2;
б) Приведем уравнение к каноническому виду
„2 „2 2
.?- + У- —-?_ = о.
1 ~ 6 12
Это уравнение конуса второго порядка, ориентирован-
ориентированного указанным на рис. 4.22 образом. Его сечения плоско-
плоскостями з = const являются эллипсами. -^
2. Записать уравнение поверхности, полученной при
вращении:
1) параболы z= —-уУ2'- а) вокруг оси Оу; б) вокруг
оси Oz;
2 22
2) эллипса |- -\ = 1: а) вокруг оси Oz; б) вокруг
оси Оу.
> 1. В соответствии с общим правилом получения
уравнения поверхности вращения (см. § 4.2) находим:
(алгебраическая поверхность четвертого порядка (рис.
4.23));
2
(параболоид вращения (рис. 4.24)).
2. Имеем:
64
Получили сплюснутый вдоль оси Oz эллипсоид вращения
(сфероид), полуоси его главных сечений ОА = ОБ = 8,
ОС = 2 (рис. 4.25);
4
(вытянутый вдоль оси Оу эллипсоид вращения (рис. 4.26):
ОА = ОС = 2, ОВ = 8). -4
3. Построить тело, ограниченное данными поверхно-
поверхностями:
а) у = х, х = 1, z = 0, z = ху;
б) х + у = 4, x = ^J2y, 3x = 2z, 2 = 0.
> а) Построение выполнено на рис. 4.27: ОС — дуга
143

Рис. 4.21
Рис. 4.22
Рис. 4.23
Рис. 4.24
Рис. 4.25

Рис. 4.26
Рис. 4.27
¦z-3
Рис. 4.28
параболы, являющейся пересечением гиперболического
параболоида z = xy с плоскостью х — у; АС — пересече-
пересечение поверхности z = xy с плоскостью х=\; А{\, 0, 0),
5A, I, 0), СA, 1, 1) — характерные точки тела;
б) Построение выполнено на рис. 4.28: ОС — дуга
параболы, являющейся пересечением параболического
145

цилиндра с плоскостью 2з = Зх; АB, 2, 0), В@, 4, 0),
СB, 2, 3) — характерные точки тела. -4
4.5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 4
1. Через точку ЛG/2, 7/4) провести хорду эллипса
х2-\-4у2 = 25, делящуюся в этой точке пополам. (Ответ:
х + 2у — 7 = 0.)
2. Доказать, что парабола обладает так называемым
оптическим свойством: луч света, выйдя из фокуса и от-
отразившись от параболы, пойдет по прямой, параллельной
оси параболы.
2
3. Через точку АD, 4) провести хорду гиперболы -^
— ?. = 1, делящуюся в этой точке пополам. (Ответ: 4х —
-Зу-4 = 0.)
4. Найти радиус наибольшей окружности, лежащей
внутри параболы у2 = 2рх и касающейся этой параболы
в ее вершине. (Ответ: R = р.)
5. Составить уравнение гиперболы с асимптотами
-\3х ±у = 0, касающейся прямой 2х — у — 3 = 0. (Ответ:
9 27 У
6. Составить уравнение касательной к параболе у2 =
= — 8х, отрезок которой между точкой касания и директ-
директрисой делится осью Оу пополам. (Ответ: х-\-у — 2 = 0
или х — у — 2 = 0.)
7. Доказать, что все треугольники, образованные
асимптотами гиперболы и произвольной касательной к
ней, имеют одну и ту же площадь; выразить эту площадь
через полуоси гиперболы. (Ответ: ab.)
8. Составить уравнения касательных к параболе у2 =
= 16х, проходящих через точку А(\, 5), и вычислить пло-
площадь треугольника, образованного касательными и ди-
директрисой параболы. (Ответ: x — y-\-4 — Q, 4x — y-\-\ =
= 0, S=37,5.)
9. Источник короткоинтервальноГо звука находится
в неизвестном пункте М. Звук достиг трех наблюдатель-
наблюдательных пунктов неодновременно: пункта А.-— на t\ с позже,
а пункта С — на Н с позже, чем пункта В. Определить
местонахождение пункта М, приняв скорость звука равной
330 м/с. (Ответ: М находится на пересечении правой
146

ветви гиперболы \АМ\ — \ВМ\ =330tt м с фокусами А
и В и левой ветви гиперболы \ВМ\ — |C7W| = —330/г м
с фокусами В и С.)
10. Цепь подвесного моста имеет форму параболы
у = рх2. Длина пролета моста — 50 м, а прогиб цепи — 5 м.
Определить величину угла а прогиба в крайней точке
моста. (Ответ: tga = 0,4, a«21°50'.)
11. Зеркальная поверхность прожектора образована
вращением параболы вокруг ее оси симметрии. Диаметр
зеркала 80 см, а глубина его 20 см. На каком расстоянии
от вершины параболы нужно поместить источник света,
если для отражения лучей параллельным пучком он дол-
должен быть в фокусе параболы? (Ответ: 40 см.)
12. Даны точка О и прямая /, находящаяся от точки О
на расстоянии \ОА\ =а. Вокруг точки О вращается луч,
пересекающий прямую / в переменной точке Р. На этом
луче от точки О откладывается отрезок ОМ так, что
\ОР\ ' \ОМ\ = Ь2. Найти уравнение линии, которая описы-
описывается точкой М при вращении луча. Уравнение записать
в полярных и декартовых координатах. ( Ответ: окруж-
62 2 , 2 Ь2 \
ность: р = — cos ф, хг + у = — х.\
13. Записать параметрические уравнения линии пере-
пересечения сферы х'г + у2 + z2 = /?2 и круглого цилиндра
х2 -\- у2 — 2х = 0, выбирая в качестве параметра угол ф,
образованный проекцией радиуса-вектора ОМ произволь-
произвольной точки М линии на плоскость Оху с положительным
направлением оси Ох. (Ответ: x = Rcos2q>, y =
= R sin ф cos ф, z = R sin ф, 0 ^ ф < 2я.)
14. Найти уравнение проекции линии пересечения по-
поверхностей x24-2y2 = 2z и x-\-2y-\-z=l на плоскость
Оху. (Ответ: х2+ 2у2-\-2х+ 4у— 2 = 0.)
15. Найти центр сечения гиперболоида х2-\-2у2 —
— 4z2 =—4 плоскостью х -\- у + 2z = 2. (Ответ: D, 2,
-2).)
16. Найти уравнение плоскости, пересекающей эллип-
эллипсоид х2 + 2у2 + 4з2 = 9 по эллипсу, центр которого нахо-
находится в точке СC, 2, 1). (Ответ: Зх-\-4у + 4г — 21 =0.)
17. Найти уравнение плоскости, проходящей через
точки М(\, 1, 1) и NB, 0, 2) и пересекающей параболоид
х2 — у2 = 2г по паре прямых. (Ответ: Ъх + у — 2г — 2 =
= 0.)
18. Найти уравнение эллипсоида, содержащего точку
МC, 1, 1) и окружность х2 -\-у2 -\-z2 = 9, x — z = 0, пло-
147

скости симметрии которого совпадают с плоскостями ко-
координат. (Ответ: Зх2 + Ау2 + bz2 = 36.)
19. Найти координаты центра и радиус окружности
х2 + у2 + z2 — \2х + 4у — 6г + 24 = 0, 2х + 2у + z + 1 =
= 0. {Ответ: A0/3, 14/3, 5/3), /? = 3.)
20. Доказать, что линия пересечения параболоида
х2 + 2у2 = 42 + Ю и сферы x2 + y2 + z2 = 6 состоит из
двух окружностей. Найти точки пересечения этих окруж-
окружностей и их радиусы. (Ответ: Mi(-\/2, 0, —2), ЛЬ( — -у2,
0, -2),/? = 2.)

5. ФУНКЦИИ. ПРЕДЕЛЫ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ФУНКЦИЙ
5.1. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СПОСОБЫ
ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
Совокупность рациональных Q и иррациональных чисел образует
множество действительных (вещественных) чисел R. Между множе-
множеством точек прямой и множеством R всегда можно установить взаимно
однозначное соответствие. Если это соответствие установлено, то
прямую называют числовой осью. Совокупность всех чисел *, удовле-
удовлетворяющих условию а <. х < Ъ (а ^ х ^ 6), называется интервалом (от-
(отрезком) и обозначается (а; 6) ([а; Ь]).
Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а назы-
называют неотрицательное число \а\, определяемое условиями: \а\ =а, если
а>0, и |а| = —а, если а<0. Для любых действительных чисел а и Ь
верно неравенство |а + 6| ^ |а| + \Ь\.
Если каждому элементу х 6 D по определенному правилу / поставлен
в соответствие единственный элемент у, то говорят, что задана функция
y = f(x), где х называется независимой переменной или аргументом.
Множество D называется областью определения функции, а множество
значений, принимаемых функцией у, называется областью ее значений
(изменения) и обозначается буквой Е. В дальнейшем будем считать
множества D н Е числовыми, т. е. будем рассматривать числовые
функции (если не оговорено противное). В качестве D и Е могут быть
взяты отрезок [а; 6], интервал (а; Ь), полуинтервал (а; 6] или [а; 6),
отдельные точки числовой оси, а также вся числовая ось (— оо; + оо).
Основными способами задания функций являются: табличный, гра-
графический, аналитический. При аналитической записи функции (/ = /(*)
часто не указываются области D и Е, но они естественным образом
определяются из свойств функции f(x).
Пример. Найтн области определения и значений функции у =
D32)
g()
> Логарифмическая функция определена, если 4 — Зх — х > 0.
Корни квадратного трехчлена: Х\ = —4, *2 = 1. Записанное выше нера-
неравенство равносильно неравенству —(х-\-4)(х—1)>0, что возможно
при х>—4 и дс<1. Область D определения данной функции есть
интервал (—4; 1). Так как в D 0< 4 — Зх — х'1 <; 7/4, то интервал
(—оо; lgG/4))—область значений функции Е. 4
Если функция y = f(x) осуществляет взаимно однозначное отобра-
отображение области D на область Е, та можно однозначно выразить х
через у: х = g(y). Последняя функция называется обратной по отноше-
отношению к функции y = f{x). Для функции x = g(y) E является областью
определения, a D — областью значений. Так как g(f(x)) ss x и f(g(y)) = у,
то функции у = f(x) и х = g(y) — взаимно обратные. Обратную функцию
x = g(y) обычно переписывают в стандартном виде: y = g(x), поменяв х
149

и у местами. Взаимно обратными являются пары функций: 1/ = л:3
и у = У*, у = 2х и у — log2 х, у = sin х н i/ = arcsin x, для которых
области определения соответственно следующие: х?(—<х>; + °°) и
*€(— °°; +оо), *?(_оо; +оо) и ^g@; +00), *б(— оо; + °°)
и «6L—1; +1]-
Если функция и = ц>(х) определена на области D, G — ее область
значений, функция y = f(u) определена на области G, то функция
у = /((p(jt)) = F{x) называется сложной функцией, составленной из
функций / н ф, или функцией / от функции <р. Функцию y = f{y{x))
называют композицией двух функций у = f(u) и и — ц>(х). Сложная
функция может быть композицией большего числа функций: трех* че-
четырех и т. д. Например, функция у = cos (х2 +1) — композиция двух
функций i/ = cosu и и=лг + 1; функция у = lg (sin 2х) — композиция
трех функций у = lg и, и = sin v, v = 2*, а функция у= lg (sin 2**) —
композиция четырех функций i/ = lg u, и — sin у, у = 2", w = x3. Пере-
Переменные величины и, v, w называются промежуточными аргументами.
Функции вида у = [(х) называются явными. Уравнение вида
F(x, y) = 0 также задает, вообще говоря, функциональную зависи-
зависимость между х н у. В этом случае по определению у являетсй неявной
функцией х. Например, уравнение у3 + х3 = 8 определяет у как неявную
функцию от х.
Графиком функции y — f{x) называется множество точек М(х, у)
плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют функциональной
зависимости у = f(x). Графики взаимно обратных функций у = \{х)
и y = g{x) симметричны относительно биссектрисы * = i/.
К основным элементарным функциям относятся пять классов
функций: степенные, показательные, логарифмические, тригонометри-
тригонометрические и обратные тригонометрические.
АЗ-5.1
1. Найти области определения следующих функций:
—9 2х
х —6х-\-5; б) y = arccos-
1+*'
в) у =-\J25 — г2 + lg sin х.
(Ответ: а) (-оо; 1]U[5; +оо); б) [-1/3; 1]; в) [-5;
-я) U@; я).)
2. Представить сложные функции в виде композиции
функций, являющихся основными элементарными функ-
функциями:
a) y = 2sin^; б) у =-\/lgsinr};
в) y = tg-ylgx; г) у = arctg-y2A:\ .
3. Построить графики функций:
а) у = Bх + 3)/(х-1); б) у = \3х + 4 -х2\;
в) у=—2sinBx + 2); г) y = xsmx.
150

Самостоятельная работа
1. 1. Найти область определения функции у =
= lgB3jc - 4). (Ответ: х > 2/3.)
2. Для функции
(х, если х ^ О,
У ~\х2, если л:> О,
найти обратную. Построить графики данной и найденной
функций.
2. 1. Найти область определения функции у=
= lg(—*2 — 5х + 6). (Ответ: х?( — 6; 1).)
2. Построить график функции
(\ ¦+¦ х, если х <0,
у =< 2 sin х, если 0 ^ х < л,
1л: — л, если х ^ л.
3. 1. Найти область определения функции у =
= 1/V*2 + *• {Ответ: (— оо; — 1) (J @; +оо).)
2. Для функции
_/ —х, если х<. 1,
y~~U2 — 2, если *>1,
найти обратную. Построить графики данной и найденной
функций.
5.2. ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ.
РАСКРЫТИЕ ПРОСТЕЙШИХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Число А называется пределом числовой последовательности (х„),
если для любого в>0 существует Л/ = Л/(е)>0, такое, что для всех
n>N, где N — целое, выполняется неравенство \х„—А\<г. Если
А — предел последовательности [х„}, то это записывается так:
lim х„ — А.
Я-*-оо
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в
противном случае — расходящейся.
Пример 1. Дана последовательность jxJ = J r-rl- Доказать, что
Iя + U
ее предел А = 2.
^ Попытаемся доказать, что Для любого е > 0 существует N =
= N(e)>0, такое, что для всех n>N будет выполняться неравенство
\ха-А\ =
2п+3
-2
3 — 2п — 2
1
п+1
Решив последнее неравенство, получим п > \/г—I, следовательно,
# = [1/е — 1] + 1, где [а] — целая часть числа ос. Таким образом, суще-
существует N, такое, что для любого n>N выполняется \хп — 2| < е. 4
151

Пусть функция у — f(x) определена в некоторой окрестности точки
х0. Тогда число А называется пределом функции у = f(x) при х-+х0
(в точке х = х0), если для любого е > 0 существует б > 0 (б = 6(е)),
такое, что прн 0< \х — хо\ <б справедливо неравенство \f(x) — А\ < е.
Если А—предел функции f(x) прн х-+х0, то пишут: \\mf(x) = A.
x-t-xo
В самой точке х0 функция f(x) может и не существовать (f(x0) не опре-
определена). Аналогично запись lim f(x) — A обозначает, что для любого
8>0 существует Л/ = Л/(е)>0, такое, что при \x\>N выполняется
неравенство \f(x) — А\ < е.
Если существует предел вида lim f(x), который обозначают также
х—хо
*<*о
lim f(x) нлн f(xo — 0), то он называется пределом слева функции
x-Mto —0
f(x) 'в точке х0. Аналогично если существует предел вида lim f(x) (в дру-
х-*-хо
х>хо
гой записи lim f(x) нли /(хо + О)), то он называется пределом справа
х->-хо+О
функции f(x) в точке х0. Пределы слева и справа называются односто-
односторонними. Для существования предела функцин f(x) в точке хо необхо-
необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела в точке хо суще-
существовали н были равны, т. е. f(x0—0) = /(хо +0).
Справедливы следующие основные теоремы о пределах.
Теорема 1. Пусть существуют Hm f,{x) (»=1, п). Тогда
Х—Хо
п п п п
lim 2 fi(x)= 2 lim/,(jc), lim Д/,(х)=.[[. lim Цх).
x—xai=l i=I x—xo x—Xoi=\ , = i x-+Xo
Теорема 2. Пусть существуют lim f(x) и lim cp(x) Ф 0. Тогда
x-t-xa л-»хо
lim -Щ- = lim [(x)/ lim Ф(л:).
(Все записи верны и прн хо= ± оо.)
Если условия этих теорем не выполняются, то могут возникнуть
оо 0
неопределенности вида оо — оо, —-, — и др., которые в простейших
случаях раскрываются с помощью алгебраических преобразований.
/4 1 \
Пример 2. Найти lim I —— 1.
*-2\*2 — 4 х- 2/
Имеем неопределенность вида оо — оо. Чтобы раскрыть ее,
приведем выражение в скобках к общему знаменателю. Получим
.. 2-х О
hm—; , т. е. неопределенность вида -рг-, которая легко раскрывается,
л—2 jr — 4 О
если под знаком предела сократить дробь на общий множнтель х — 2 ф 0.
В итоге исходный предел сводится к lim | 1 = —. <4
Пример 3. Найтн lim —\ -^-—.
х-±°° А+Х* — 1
ОО
^ Имеем неопределенность вида . Чтобы раскрыть ее, разделим
оо
числитель и знаменатель дроби под знаком предела на х3. Получим
152

2 — — + —
x2 x3
lim ; г—.
x->-±<*> , . 1 '
Знаменатель полученной дроби прн х-*- ± оо не равен нулю, следо-
следовательно, можно применить теорему о пределе частного. Также приме-
применимы и другие теоремы о пределах, что в итоге приводит к равенству
•
liml + limlim^
х х3
АЗ-5.2
1. Доказать, что последовательность {хя} = | "_^" 1
имеет предел А = 3.
Найти пределы указанных функций.
2. Нт 3 + 3"-5. (Ответ: -3.)
п-»оо 1 — П
3. Нт
^
_7л:—10
4. Нт 7^+10х + 20 {Ответ. 0)
х^± ас X3— ЮХ1"— 1 V '
5. Нт *3~3*2 + 3. (Ответ: —1.)
6. Нт *2-7*+10 . (Огвег: 1/4.)
х^2 8—Х3 '
-7. Нт^~3;с + 2 . (Ответ: 3/5.)
8. |im^ + 7~3 . (Ответ: 2/3.)
х -фс + 2 — 2
9. .Нт(л:(У*2+4— х)). (Огвег: 2.)
v10. Hmf ! —?-тУ (Огвег: —1.)
х—1 \ 1 — X 1-Х3/
Самостоятельная работа
Вычислить пределы указанных функций.
I. а) Нт С,8*3Г^, ; б) lim V*+'3-4 {Ответ.
х->-\/2 бх1 — 5х+ 1 х—з х' — 9
а) 6; б) 1/148.)
153

2. a) lim*22~7*+'° ; 6) lim *llL25 -. (Ответ: а) 3;
x—2 ЛГ — 5JC + 6 x—5 /I Г 9
б) 40.) Vl2
3. a) lim ^4
к2 — 4х + 3
(Ответ: а) —1; б) 2.)
5.3. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
Широко используются следующие два замечательных предела:
,. .. sin х ,
1) lim = 1
х-0 X
2) lim Л + — V= lim (I + &I/01 = e «2,71828.
Пример 1. Найти lim •
х->-0 sin 3jc
> Так как х Ф 0 под знаком предела, то
sin 7jc
.. sin lx Ix
lim = lim
7x
о sin 3jc ЛГ-Я) sin Зх
3Jt
sin Ix
.. (lx\ Ix 7
x^0 \ « / X-.-0
sin 3jc 3
3jc
Пример 2. Найти lim (———
x->- + oo \ 2.X —
^ Имеем:
2jc— 1 +2
3*+l
2 1
Положим ¦= r = —. Тогда х = у— 1/2 и при jc-»-oo, i/->-oo
^x ^~* 1 у
у
n \3x+l / 1 \ 3y—1/2
1+ о | ) = lim A+—) =
2x — 1 / !/— oo \ I/ /
154

АЗ-5.3*
Найти пределы указанных функций.
1. limJi^L. (Ответ: 3/2.)
х^о sin 2х
2. lim 1~cosfo. (Ответ: 6.)
х-+о х sin Зх
3. Hm^fclil. (Ответ: -2/5.)
4. Jim (JL±JLV. (Ответ: 0 или с».)
' '
5. lim(lx + 2l) ' '. (Ответ: е\)
6. lim(Bx + 1)AпC* + 1) — lnCx-2))). (Ответ: 2.)
5.4. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
Если lim а.{х) = 0 (т. е. для любого е > 0 существует б > 0, такое,
АГ->-ЛГо
что прн 0< \х — Xol < б справедливо неравенство |a(jc)| < е), то а(х)
называется бесконечно малой функцией при х-+хо.
Для сравнения двух бесконечно малых функций а(х) н р(лг) при
х-*-хо находят предел их отношения:
КпШ=С. E.1)
х^х р(л;) к '
Если СфО, то а(х) и Р(х) называются бесконечно малыми величинами
одного и того же порядка; если С = 0, то а(х) называется бесконечно
малой более высокого порядка по сравнению с р(х), а E(х) — беско-
бесконечно малой более низкого порядка по сравнению с а(х).
Если
то а(х) называется бесконечно малой порядка k no сравнению с р(х)
при x-*-Xq.
Если
то бесконечно малые а(х) и p(jc) при х->-хо называются эквивалентными
(равносильными) величинами: a(jc)~p(x). Например, при х->-0
sin ax ~ ax, tg x ~ x, In A + х) ~ х, еах — 1 ~ ах.
Легко доказать, что предел отношения бесконечно малых функций
* В данном A3 вместо самостоятельной работы предлагается конт-
контрольная, рассчитанная на 1 час (см. прил., с. 255).
155

а.(х) и p(x) при x-+x0 равен пределу отношения эквивалентных им беско-
бесконечно малых функций а,*(х) и р*(х) при х-+х0, т. е. верны предельные
равенства:
а,(х) ,. а.*(х) ,. а,(х) ,. а*(х)
lim -T-7-r = lim „. . = lim -гтт4- = lim —г-гт--
_ , .. „ ,. sin 5*
Пример 1. Найти предел lim
0
0 In (I + *)
^ Поскольку sin5x~5;t, 1пA -\-x)~x прн x-»-0, то
.. sin bx • .. 5x
lim = lim =5.-^
x-*o ln(l +jc) *—о л:
Функция y = f(x) называется непрерывной при х=хо (в точке хо),
если: 1) функция/(х) определена в точке Хо н ее окрестности; 2) суще-
существует конечный предел функции f(x) в точке х0; 3) этот предел равен
значению функции в точке дсо, т. е.
lim/(*) = /(*„). E.2)
х-+хо
Если положить х = Jto-f-Лх, то условие непрерывности E.2) будет
равносильно условию
lim Д/(х0) = lim (/(хо + Д*) - /(*,)) = О,
Дл0 &0
т. е. функция у = f(x) непрерывна в точке хо тогда н только тогда, когда
бесконечно малому приращению аргумента Ах соответствует бесконечно
малое приращение функции А[(х0).
Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, назы-
называется непрерывной в этой области.
Пример 2. Доказать непрерывность функции у = sin 5x для любого
> Для любого приращения Ах независимой переменной прираще-
приращение функции
Ау
Тогда
lim
= sin 5(jc -f- Ax) — sin 5x = 2 cos f 5x -f- -^- Ax I • sin — Ax.
i Ay = 2 lim cos ( 5x-\- — Л* 1 • lim sin -^- Ax = 0,
¦О Дл:-»0 \ ^ / Лдг-^О «
так как cos 5x — ограниченная функция для любого х ? R. Следователь-
Следовательно, функция у = sin Ъх непрерывна на всей числовой прямой. <4
Точка Хо, в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непре-
непрерывности функции, называется точкой разрыва функции. Если в точке
Хо существуют конечные пределы f(xo — 0) н f(xo -f- 0), такие, что /(*о —
— 0) ф((хо + 0), то хо называется точкой разрыва первого рода. Если
хотя бы одни нз пределов f(x0 — 0) нли f(x0 + 0) не существует или равен
бесконечности, то точку х0 называют точкой разрыва второго рода. Если
f(*o — 0) = /(дсо + 0) и функция f(x) не определена в точке Хо, то точку
Хо называют устранимой точкой разрыва функции. Например, для функ-
sin х .
ции у = х cos х и у = точка х — 0 является устранимой точкой
разрыва.
156

АЗ-5.4
1. Найти lim s'n3(*-2) . (Огвег: 3.)
2 Х2Зх + 2 V '
2. Найти lim е5*~1 . (Огвег: 1/2.)
*-о sin 10* v ' '
3. Найти lim 1п(!+7*) . (Огвег: 1.)
4. Определить порядок бесконечно малой функции у =
= 7л:8/(х4 + 1) относительно бесконечно малой х при
0
5. Дана функция
f/jA_/(*2-9)/(x-3),
IW—\A,
если
если
При каких значениях А функция f(x) будет непрерывной
в точке х = 3? Построить график функции.
6. Установить область непрерывности функции у =
= (Зх + 3)/Bх + 4) и найти ее точки разрыва.
7. Дана функция
( х2 -\- 1, если
/(*) = < sin л:, если /
^ у = х — л/2 + 1, если х ^ л/2.
Найти точки разрыва функции и построить ее график.
8. Исследовать на непрерывность функцию у —
= 3'/(*+')_|_1 в точках х, = 1 и х2=-1.
Самостоятельная работа
1.1. Найти lim s'n3(*+1) . (Ответ: —3/4.)
2. Исследовать на непрерывность функцию f(x) =
= Bх -\- 4)/(Зх + 9) в точках ati = — 1, х2 = — 3. Сделать
схематический чертеж.
2. 1. Найти lim e"°'"-1 . (Огвег: 7/3.)
2. Дана функция
( 1, если х <С0,
/W = { cos х, если 0 ^ л: < л/2,
11 — х, если х ^ л/2.
Исследовать ее на непрерывность. Сделать схематический
чертеж.
157

3. 1. Найти lim tg(*2-3* + 9 . (Ответ: 1/4.)
x^2 X2 — 4
2. Исследовать на непрерывность функцию f(x) =
= Cх — 2)/(х-\-2) в точках jci=O и х2 = — 2. Сделать
схематический чертеж.
5.5. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 5
ИДЗ-5.1
Найти указанные пределы.
1.1. H
1.3. lim ь + *~у ,. 1.4. lim zx~x~
о к3 97 -^i 'Iv2 v 9
1.5. lim 2х„ ~7* + 4 . 1.6. lim
. 1.6. lim
— 5jc + 6 х-з л:3 —27
1.7. lim M +/*-' . 1.8. lim * ~^~5 .
х-1/з 27jc3—1 x+-i x2 —2jc —3
1.9. lim i:
1.11. lim ,**~8,.. 1.12. Hm x2~x~2 .
1.13. lim 21~169П- 1.14. lim
х—4 хг + х — 20 х-.—
1.15. lim3*:-7*-6. • 1.16. lim
1.17. lim b* +4*-'. 1.18. lim 4
. 1.18. lim j
+ — 2 x--l Зл:2 + 2л: —2
1.19. lim ^ + 4,-3. v 1.20. lim3*;-3* + 2.
x--l 2*2 + 3;t+l х-4 л:2—л:—12
1.21. lim2*2-9^10. 1.22. limf + X~5-
л—2 X2 + Зх — 10 д:-1 Л2 — 2х + 1
1.23. Нт-5*,2 + 1'*-2. 1.24. lim ^2-5^-14
х—2 Зж2 — jc — 10 х-7 2jc2 — 9jc — 35
1.25. limf,-f-g. 1.26. lim 4х
x->-5 2jc — ojc — 35 x— —3 ^2 g^ 27
1.27. lim 0*r:2,*,-f. . 1.28. lim 2*2+15*~8
x—5 2^+lU + 5 x 8 32
158

1.29. li
x1 - Ъх — 4
1-30. Hm
x—3
2.1. lim
lim
*--3 Зл:2 + 5л:—12
2.3. lim*;-3^2.
*+i jc2 — 4jc + 3
2.5. lim
*4-*2+*+'
2.7. lim x[
*2 5л:2
— 3
2.9. lim
2.11. lim
m
5 2л:2 + 11л: + 5
2.13. lim ?
2.15. lim 9
lim
—2 *2+2л:
2.17. lim^-^ + gl
x^o 3jc2 + 7л:
2.19. lim3f+5*-1.
x3 л:2 —5jc + 6
2.21. И
2.23. li
JC3 —64
jc2 —4jc
2.25. lim —,
11 111 A
^-2 3jc2 + jc—10
2x2-11jc-6
2.29. lim
д:*2 jc2
f~2*-4
f
jc2 — 11л:+18
2.2. Iim
2.4. lim
2.6. lim
a:3 — 1
— 8
2.8. lim
x—2
2.10. lim
2Л2> H
2-14- I'm
x-2
2.16. lim
2.18. l\m
+ 64
:—2
2jc2 - 9jc + 10
x2 — 1
2.20. lim
2.22. lim
lim f
*-l/2 JC2— 1/4
2.24. lim
.-2 x1 — 5jc+14
2.26. lim 3*2 + *—.
x->0 4jc2 — 5jc + 1
о ос 1:~ «2 + 2jc —24
2.30. lim
x+4 7jc2
/~64
/ л
7jc2 — 27jc — 4
3jc3 —5jc2+2
3.3. lim
4jc3 + 7jc
2jc3-4jc2 +
159

3.5. lim /'К*28*..
3.6.
3jc2+jc— 1 * х-» 2jc2+5jc —3
3.7. lim ~f +x +x . 3.8. lim —3—
x-oo jc" + 3jc —2 *->-co 5jT —
3.9. lim -*2 + 3*+! . зло.
3.11. lim 4*2 + 5*~7, 3.12. lim 3lf + f+l
х-» 2jc2 —JC+10 x-co jc4— jc3 + 2jc
3.13. lim 3x2 + 2x + 9. 3.14. lim 3*2 + 5*~7
x^oo 2x2 —jc + 4 *->.<» 3jc2+jc+1
3.15. lim 2x3 + 7*-2 _ 3>16_ ,im
3x3 — jc — 4 x-o 8 —3x —9jc
2
3.17. lim 3x1-6*2 + 2 зл8- Hm 8.У2 + 4д:-
x^co jc4 + 4jc —3 x-*=o 4jc2 — 3jc
3.19. lim 8*4-4*2 + з 320> nm 3x2-4x-
2x -4- l л-*-со 6л -4- 5 v
3.21. lim _Zfl±i?. 3.22. lim
11111 5 • >^»*Я*Я» IIUI n J—
x-^co jc3 —3jc + 2 a:-co jc + 3jc2 + 2jc4
3.23. iim 2x3 + 7x2-2 324 [im 3x+Hx2
x^co 6jc3 — 4jc + 3 x-co 1+2jc + 7jc2
3.25. lim x~2x2 + bx - 3.26. lim 6x ~Ix ~7
JT—>-oo Z ~J~ ОЛ ~j~ Л X—*-oo ОЛ ~J~ ОЛ ~J~ U
3.27. lim ^-Г. 3.28. lim У"^+3
3.29. lim to~ „+ . 3.30. lim Ьх ~
4
4.1. lim f~\X/" ¦ 4.2. lim %+2х~5 ¦
x->-— oo ZX -\- OX -f- 1 JT-^-co ZX -\- X -\-
4.3. lim 3xl + 7x~4 . 4.4. lim ,3х~х6
x~>— '
4.5. lim 2-; + 7^-1. 4.6. lim ^±2l±±
x-» 3jc4 + 2jc + 5 *—» jc4 + 5jc—1
4.7. lim 3^-5^ + 2. 4.8. lim *\+^-**.
Л;—>- — oo Za ~j~ *tJt — О Х~> со ОЛ ~j~ 1 1A I
4.9. lim 7*2 + 5* + V 4.10. lim ^+^-6,
x со 1+4JC-JC3 x^co 2JC2 + 3JC+1
160

4.11. lim
2x2 + 5л: + 7
lI". 3x4-2x2 + x-
4.13. lim JZL
x^-i 2x*
4.15. lim yl+f + f.
x^-oo 3x2 —4x+l
4.17. lirn^
4.19. lim
2x2 — x + 7
"-*eo 2x3 + x — 7
4.23. lim
4.21. lim
2x2 + 3x —7
Зх* + 2jc2 — 8
4.25. lim ^V e-
x^-oo 8x3 — 4x+5
4.27. Jim^ 72^2-2;+54 ¦
4.29. lim »*+"*-".
x--oo 3x4 —2x + 5
4.12.
4.14.
4.16.
4.18.
4.20.
4.22.
4.24.
4.26.
4.28.
4.30.
i™ ?-+-7i--3
бх2 — 3x + 1
1 + 2x — x4
6л:2 — 5x + 2
4X3 + 2x - 1
lim
lim
lim -
*-°° 4x° — 2x- +
lim
lim
x» + 4x2 - 3
8x3 + x2 - 7
x2 —5л: + 3
Hm
lim
+ Л- — 10
2л:2 — 5л:+1
5.1. lim
5.3. lim
2x2 + 3x - 5
7x3 — 2X2 + 1
7x4 — 3x + 4
Зх2 — 2x + 1
5.5. lim **-**+'.
г__оо Зх2— Х
2x2 — 5x + 2
5.7. lim
JC—*¦ oo
5.9. lim -
Jt-»-oo
5.11. lim
5.15. lim
5.17. lim
7Л-+ 1
— х3
2х2 + 6л: + 1
10x —7
3x4 + 2x3 + 1
5.2. lim
5.4. lim
5.6. lim -
5.8. lim
: — 5
2л: — 5
Зл-2 — 7л:+ 5
/
7f
Зл:4
5.12. lim
5.14. lim -
x^oo Зх2 — 5х+1
5.16. lim **-*+'.
x^-oo 7x + 5
с «4 n „2
OJC OX
5.18. lim
_ о» 1 -f- 2х + Зх2
161

5.19. lim
5.21. lim
5.23. lim
5.25. lim
3 .
X —4X —X
2*3 — Зл:
5.27. lim 72*~13
x^oo x7 — Зл:5 — 4л:
5.29. lim
л:3-81
Зл:2 + 4л:
5.20. lim
im ft ,-
-o° 2л:2 — Зл: — 7
5.22. lim 3*5-*V
42 + 3 6
5.24. lim
X-+-OO
T — 16
5.26. lim 2*3-3*+'.
5 43
2л:2 + 5
5.28. lim
5.30. lim . , .
x^- oo ЗДГ3 — 5X + 1
6.1. lim
— 2 —1/4 — л:
6.2. lim
— -\/4 — л:
—4 л:2 + 2jc — 8
6.3. lim V*+'O-V«-*. 6.4. ,im
2л:2-л: — 21
x—— 2
—x —6
6.5. lim
3x2 - 4л: +
6.7. lim
6.9. lim
- л/5 + Зл-
6.6. li
. 6.8. lir
л/5-л:-
л/5 - x — л/л- — 3
2л:2 —7л:— 15
6.11. lim-
6.13. lim
6.10. lim
6.12. lim
-. 6.14. lim
УЗл:+17 —л/2л:+12
x2 + 8л: + 15
/7 — x — л/7 + x
У2л:+1-3
6.15. lim
^-' л/8 - x — 3
6.17. li
7 л/л: + 2- 3
6.19. U
—15
6.16. lim.
6.18. lim
x->-3
6.20. lim
/x — 1 - 2
Ux - 3 - 3
Зл-2
162

AX
6.23.
6.25. lim
3
x3 — 27
6.27. lim
x—-4
6.29. li
/x + 20 — 4
*3 + 64
^
6.22. lim—, .
*-** -ys—.* —ys + j
7.1.
7-3- i™
7-9-
7ЛЗ- Д (т+т)
7.17. lim
— 3
2jc
x —2
7.2. lim (
7.4. lif
x-00 \ X
2*-3
2 —3
7.6. ,i
7.8. lim
7.10. lim
2*+l
7.,8. lim
X-+00
7.20. lim
7.24. lim
Зх+4
163

7.25. \i
7.27. li
. 7.29. lim
Jt-»-oo
8.1. lim
3 — 2x
JL_) .
8.3. lim (?±1K'
*-«, \2x—lJ •
8.5. lim
1
— 2
8.7. lim A±±±YX
8.9.
8.11.
8.13.
8.15.
8.17.
8.19.
lim
X-* OO
lim
X-*OO
lim
X-* <
lim
X-* С
lim
X—>oo
lim
8.21. lim (b+])*'.
8.23. lim ^
8.25. lim
lim (^
x-* oo \ 3 —
8.27. lim
8.29. lim
7.26. lim
7.28. lim
7.30. lim
8
8.2. lim (
8.4. lim
8.6. lim f *+'
V З: — 1
8.8. lim (x+l Vх
x^co \ 2X - 1 )
3.10. lim
X^—
8.12. lim
8.14. lim
±1
: —5
8.16. lim
X^-oo
8.18. lim
x-«-—
8.20. lim fJi±5\5«
X-^oo ^ X— 10 J
8.22. lim f/-ДУ*.
8.24. lim f3-
\2
*¦*»¦ Sa
164

9
9.1. lim '-co* 8*. 9.2. lit
x-o 3jc *-
9.3. lim cos x~ cos 5x ¦ 9.4. lir
9.5. lim 'в*-*"*. 9.6. lim »"*)" 5» .
^_0 3^2 x-o sin Зд:
9.7. lim(l-x)tg-^. 9.8.
9.9. Urn tg2*-si* . 9.10. lim
9.П. limf-i- L_V 9.12. lim
*_*0 \ tg JC Sin X / x—0
9.13. limsin7* + sin3*. 9.14. lim
x—o x sin jc *—о
9.15. Hm cos 2,-cos 4, 9Л6> Hm
32 o
9..8. Jim
Jim ^
,.,.. l.m'»toy'to. 9.20. H
9.21. lim cos2-^ - cos2 2x 9-22. lim arc2s'n 5* .
x_,.o jc2 ^-«-o x —x
9.23. lim '-cos2 2* 9_24. lim ' ~ c,os 4x
x-^o jcarcsinjc . Jt^o x sin д:
9.25. lim cos 5л:-cos л: 9 26. lim
*->-o 4JC2 jc->-0 arcsin x
9.27. lim '-sin* . 9.28. lim (я/2 — дс) tgдс.
x^n/2 (я/2—xf х^л/2
9.29. lim- 7x . _ . 9.30. lim.«>**-«>***
»o sin x + sin 7x ^->o 5x
Решение типового варианта
Найти указанные пределы.
.-2 Зх* + 'гх — й
165

> lim
x->--2
5л:2 + 13* + 6
—8
lim
+ ЩЪх — 4)
2. \i
> limi*2-10*-8
5. Hm
24
4. lim
— 3
'-"оо 2jc3 + 4jc + 3 '
lim '°*-3 = lim
4Д2
= lim ., 10-У\ „ ДЛ -
oo
5. lim
2/x2)
6. lim-
lim-
x-*4
3-
/21+дг —5
*3-64
/21 + x — 5
^3 q^
_ .. (V21 +лг —
^4 (jc3 — 64)
21 +x — 25
5)
= lim
*-« (jc3 _ 64) (V21 + x + 5)
= Hi»
= lim-
(x -4)(jc2 + 4* + 16) (V21 +x + 5)
1 1
480
7- "a
2-5jc
166

^ ,ira
= ,im f
= lim
2x — 3
= Hm Л
— г /71-й 3
2* — 3
Bjt-3'/3\3f2-5jt^2jt-3)
—5/
A lim
x^-~
> Hm (i?
9. lim l
21+7*=2—=0. <«
= lim
= lim
Hm 2 si"((л ~х
х-л j
(я |-.у)
_ 1 |;„, sin ((л-х)/4) _ 1 О _
-Ti!i5 ^Т Т^" -
ИДЗ-5.2
1. Доказать, что функции f(x) и ф(х) при jt->0 являются
бесконечно малыми одного порядка малости.
1.1. f(x) = tg2x, ф(л:) = arcsin x.
1.2. /(л:)=1 —cos л:, ф(л:) = 3л:2.
. i \xj — arcig oxt yp\x).— *гл .
1.4. /(A:) = sin Зл: — sin x, ф(л:) = 5л:.
1.5. f (x) = cos Зл: — cos x, ц>(х) = 7л:2.
1.6. f(x) = л-2 - cos 2л-, ф(л-) = 6л-2.
1.8. f (x) = sin x + sin 5x, ф(л:) = 2л:.
1 9 f(x) = i
l.io. f(x) = :
1.11. Дл-) = 2л-3, ф(л-) = 5л:3/D — x).
1.12. /(л:) = л:2/E + л:), ф(л:) = 4л:2/(л: — 1),
1.13. f (x) = sin 8л:, ф(л:) ^ arcsin 5x.
1.14. f[x) = sin Зх + sin х, ф) = \0х.
1.15. f (х) = COS 7л: — COS X, ф(х) = 2л:2.
167

1.16. f(x)=\ —cos 2л;, ф(л:) = 8л:2.
1.17. f(x) = 3 sin2 Ax, <${х) = х2—х\
1.18. /(ж) = tg (л:2 + 2x), ф(ж) = x2 + 2x.
1.19. f(x) = arcsin (x2 — x), y(x) = x3 — x.
1.20. /(ж) = sin 7л: + sin x, q>(x) = 4x.
1.21. /(ж) =V4 + * + 2. ф(ж) = 3ж.
1.22. /(ж) = sin (л:2 - 2x), Ф(ж) = x4- 8x.
1.23. /(ж) = 2ж/C —ж), q>(x) = 2x — x2.
1;24. Кж)=*2/G + ж), Ф) = 3х3-х2.
L25. /(ж) = sin (л:2 + 5л:), Ф(ж) = х3 - 25л:.
1.26. f(x) = cos л: — COS3 х, ф(ж) = 6л:2.
1.27. /(л:) = a resin 2л:, ф(л:) = 8л:.
1.28. /(ж) = 1 — cos Ax, ф(ж) = л: sin 2л:.
1.29. f(x)=-\j9 — x — 3, ф(ж) = 2ж.
1.30. /(a:) = COS Зл: —cos 5л:, ф(л:) = л:2.
2. Найти пределы, используя эквивалентные беско-
бесконечно малые функции.
2.1.
л — 5лг2
2.3. lim sm 7x .
x-o tg 2x
2e rm arctg 6*
.5. lim e
x-o 2x2 — 3jc
2.2. lim arcsi*.
x-0 tg 3JC
2.4. lim
2.7. lim
sin 5x
-o a rctg 2x
e2'-l
2.9. lim
x-0 tg 3jc
2.11. lim c°s3*-cos*
x-o 2x2
2.13. lim arctg3* .
x-o In A + 2x)
2.15. lim*5'-1 .
х-о sin 2x
2.17. lim si"(* + 2>.
x--2 JC3 + 8
2.19. lim ^-м .
x-4 tg(x —4)
x3 + 27x '
2.6. lim arcsin3*.
x-o 2x
2.8. limln^+3^.
х-о sin 2x
2.10. lim s'"(^-3)
x-3 JC2—5JC +6
2.12. lim-i^cosj
2.14. lim arcsin 4x
x->o tg 5x
2.16. lim
x—-2
2.18. lim arcsin 2x
x—0
2.21.
2-r3
2.20. lim cos 2л:-cos 4л:
x-0 3JC2
2.22. limarctg5*.
x-o tg 2jc
168

2.23. lim
sin 3x
o In A +2x)
2.24. Hm
arcsin8*
Hm
x—о tg 4x
2.25. lim g5
t
>o tg 2x
2.27. limsi"(*-3).
х^з x3 — 27
2.29. lim-'
2.26.
x-»o sin 2x
2.28. lim
m Ч
-Ъ х2 — 25
2.30. li
2x2 ' i"-Vo sin!
3. Исследовать данные функции на непрерывность
и построить их графики.
3.1. f(x)=
2х, х^\.
х+1, лг<0,
" <*<2,
>2.
(Х+1, X
3.2. f(x) = \(x+\f, О
[~х + А,х
(х + 2, д;<— 1,
3.3. f(x) = !*2+l, -Кг
I -лг + 3, х> 1.
f — х, х^.0,
3.4. f(ж) = J -(лг-1J, 0<л:<
U —3, х^2.
3.5. f(x)={(x
\х,
з.б. f(*) =(лдс>
3.7. /(*) = { 2*.
U + 2,
—л;, л; < О,
О < а; < 2,
л:>2.
'лг2+1, л:<1,
3.8.
л;>3.
л; —3, л;<0,
1=^ х+1, 0<л:«
3 + х, х > 4.
— л;, л;<0,
3.9. f(x) = f 0, 0<л;<2,
-л; —2, х>2.
2х2, х < О,
|<л;< 1,
> 1.
Г2х2, х--
3.10. /(ж) =4 *• °
\2 + х, х
169

3.11. /(*)
3.12. fix)
3.13. fix)
3.14. fix)
3.15. fix)
3.16. fix)
3.17.
( sin x, x < 0,
={ л:, 0<лг<2,
U, x>2.
г
-{
3.18. fix)
3.19. /(a;)
3.20. fix)
3.21. /(*)
-{!
cos x, x < л/2,
0, л/2 < х < л,
2, x > л.
лг— 1, х<0,
х2, О < х < 2,
2х, х > 2.
х+1, х<0,
х2- 1, 0<х<1,
— X, X ^ 1.
—х, х < О,
х2+ 1, 0<х<2,
x-f-1, x>2.
х + 3, х<0,
1, 0<х<2,
х2 —2, х>2.
х — 1, х<0,
sin х, 0^х<л,
3, х > л.
-х+1, х< -1,
х2+1, — 1<х<
2х, х > 2.
х<0,
О < х < 2,
3, х>2.
—х + 2, л;< —2,
л;3, _2<л;<1.
2,
лг>1.
Злг + 4, лг<-1,
ж — 2, - 1 < х < 2,
а:,
х,
л; > 2.
л;< 1,
1
3.22. /(*)={ (х-2J, 1<л:<3,
3.23. Цх) =
— 2х, jc>2.
170

{x x <C -— г
x'—l, —1<*'<3,
—x + 5, x>3.
(x, x<—2,
3.25. /(*)={ -*-Ы, -2<*<1,
I*2—1, jc> 1.
Г дс + 3, дс < 0,
3.26. f(x)={ -x2 + 4, 0<*<2,
I jc — 2, jc > 2.
3.27. /(jc) =J JC2 — 1, - К x < 2,
I 2*, * > 2.
I ={ COS JC,
I 1-х,
B, x<-
\=l 1-х, — 1 <
I In jc, jc > 1.
— 1, jc<0,
3.28. f(x)={ cosa;, 0<д;<л,
дс > л.
2, *<-l,
3.29. /(*)={ 1-х, — 1 <х<1,
3.30. f(x)=\x3, 0<л:<2,
U + 4, д: > 2.
4. Исследовать данные функции на непрерывность в
указанных точках.
4 1 f (х) = 9^(х~з) _i_ 1 • v == ч г =4
4.2. /(jt) = 5l/(x-3)— I; xi =3, *2 = 4.
4.3. f(x) = (х +1I (х - 2);. х, = 2, х2 = 3.
4.4. f(x) = {х — 5)/(х + 3); х, = -2, х2 = -3.
4.5. /(*) = 4|/C—° + 2; ЛГ|=2, д;2 = 3.
4.6. f(x) =
4.7. /(jt) =
4.8. f (jc) = 5J/(-*—4) 2- xi = 3 jc2 = 4
4.9. f(x) = 61/(х-3) + 3; л, =з! л:2 = 4.
4.10. /(л:) = 7|/E--t) _L 1* ^, =4 х2 = Ь
4.11 /(jc) = (x 3) (x -4- 4)' jci = 5 JC2= 4
4 12 f (x} = Г_^г —[- ^ /(x 2V jci = 3 jc ^= 2
4.13. /(*) = 52/(x-3); л, = 3, X2 = 4.
4 14 f?jcS — 42/(x-|) 3- r, — 1 r, = 2
т.п. I \ / ' * » *¦
4 14 f?v\ 95/(l— x) i. v n Vn i
4.16. f(jc) = S4^X~2^ I* jci = 2 JC2 = 3
4.17 /(jc) = 54/C~x) -f- !• xi = 2 JC2 = 3
4.18. /(*) = Здс/(л — 4);'xx = 4, '*2 = 5.
171

4.19. f(x) = 2x/(x2— 1); x\ = 1, *2 = 2.
4.20. /(x) = 23/(x+2)+l; x\ = — 2, x2= — 1.
4 21 f f *Л дЗ/(*-— 2) i_ о. у ___ о у __ о
4 99 J7v\ Q2/(* + O о. у, 1 у„ Л
4.23. /(*) = 53/(*+4)+l; Jt, = —5, х2 = -4.
4.24. /(jk) = (jc 4)/(х + 2); jki = 2, jk2 = 1.
4.25. /(*) = (* —4)/(* + 3); Xi = — 3, x2 = — 2.
4.26. /(jt) = (jc + 5)/(jt —3); xi=3, л:2 = 4.
4.27. /(jt) = 34/A -x) + 1; x, = 1, *2 = 2.
4.28. Ддс) = 4дс/(дс + 5); Jti = —5, x2= —4.
4.29. /(jt) = 62/C4-x); x, =3, д:2 = 4.
4.30. f(x) = {x +l)/(x-2); jti=2, *2 = 3.
Решение типового варианта
1. Доказать, что функции f(x) = cos2x — cos3 2x
и ф(х) = 3л:2 — 5х3 при jc—*-0 являются бесконечно малыми
одного порядка малости.
> Находим
lim Ш. = Mm cos 2хГ C0!f 2x =
х^о ф(дс) х—о Зл: — 5jT
=ПтЛ>. cos2^.sin22x\_
i" о V x*C-5x) )
*-*o 2л-2л-C — 5л-) '
Так как предел отношения функции f{x) и ф(дг) равен
отличной от нуля постоянной, то в соответствии с опреде-
определением (см. формулу E.1)) данные функции — бесконеч-
бесконечно малые одного порядка малости. 4
2. Найти предел, используя эквивалентные бесконечно
малые функции.
> Имеем: lim arcsin 8x = limil =2. 4
x-i-0 In A + 4лг) х^О 4л:
5. Исследовать данную функцию на непрерывность
и построить ее график:
(X2, — oo<Jt<0,
/(*) = { (лг-1J, 0<д:<2,
15-Jt, 2<*< + co-
^ Функция /(дс) определена и непрерывна на интер-
интервалах (— оо; 0), @; 2).и B; + оо), где она задана непрерыв-
172

ными элементарными функциями. Следовательно, разрыв
возможен только в точках Х\ = 0 и xi = 2. Для точки х\ =
= 0 имеем:
lim /(*)= lim x2 = 0, lim /(*)= lim (jt-lJ=l,
х-0-0 х—0-0 х-0+0 ' х-0 + 0
т. е. функция f(x) в точке jci = 0 имеет разрыв первого
рода.
Для точки *2 = 2 находим:
lim /(*)= lim (д:-1J=1,
^-2-0 ^-2-0
lim f(x)= lim E — x) = 3,
^-2 + 0 ^-2+0
т. е. в точке *2 = 2 функция также имеет разрыв перво-
первого рода.
График данной функции изображен на рис. 5.1. 4
/ 2 3 4 5\ 6 х
Рис. 5.1
4. Исследовать функцию f(x) = 81/(x~3)+ 1 на непре-
непрерывность в точках Х\ ^3, хг = 4.
^ Для точки jci =3 имеем:
|/(х~3)+ 1) = 8-<ю + 1 =
= oo,
lim /(*)= lim (8|/(х~3)+ 1) = 8-<ю + 1 = 1,
lim jf(jt)= lim
x—3 + 0 x-3+0
т. е. в точке х\ = 3 функция f(x) терпит бесконечный разрыв
(х[ =3 — точка разрыва второго рода).
Для точки Х2 = 4 имеем:
lim /(*)= lim (8|/(*-3)+ 1) = 9,
х->-4 — 0 х->-4 — 0
173

Mm f(x)= Mm (8l/(x-3)+l) = 9,
/D) = 81/D-3)+l=9.
Следовательно, в точке Х2 = 4 функция f(x) непрерывна. -4
5.6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 5
Найти указанные пределы.
B + „Г-„.оо_2ОО„^ 198(Ю
л^оо П9Ь— 10«2+1 '
2. Mm 'g( + 2"cos" + '). (Ответ: 2.)
3. Mm '"(";o-" + 1)N. (Ответ: -1.)
4. Mm а"-а~п (аФ0). (Ответ:[ 0, \a\ — 1' )
«— Q" + ° " V l-l, |o|<I./
5. Mm
П—ОО
6. Mm^'r'OU+100. (Ответ: 5050.)
*-l л:2 — 2л:+1 X '
_ .. V2*2 + 10* + 1 — V2-»2 + Юл: + 1 /_ 4 \
7. lim-i!—— — —— -3—. (Ответ: -J--J
8. Mm (V(l+*2)B + *2)-(rt + *2) - x2)(n 6 N).
9. Mm(Vl+^-JcIA. /Ответ
10. Mm 4^. f Ответ: l
: ' \
(Ответ: i
11. Mm (°* + 1" Где nfZ, n^0; o, fe — постоянные.
ДГ-..С» *" + Ь
{Ответ: а", если n > 0; 0, если л < 0, 6 Ф 0; а", если л < 0,
афО, 6 = 0; оо, если л < 0, а = Ь = 0.)
Найти точки разрыва данных функций, указать харак-
характер точек разрыва и построить графики этих функций.
13. у= l/\g\x\. (Ответ: Х\=0 — устранимая точка
174

разрыва, лс2,з=±1—точки разрывов второго рода.)
14. у = х sin (л/х). (Ответ: х = 0 — устранимая точка
разрыва.)
15. у= 1/A -\-31/х). (Ответ: х = 0 — точка разрыва
первого рода.)
16. у =1/A + 21**). (Ответ: х =-jj. B* + 1), k?Z—
точки разрыва первого рода.)
17. у = A + l/xf. (Ответ: х=— 1—точка разрыва
второго рода, х = 0 — устранимая точка разрыва.)
18. у = 1/A —ei~x). (Ответ: х=1—точка разрыва
второго рода.)
19. Круглая пластина радиусом а с закрепленными
краями находится под действием силы Р, приложенной
к ее центру. Прогиб на расстоянии х от центра пластины
выражается следующей формулой:
где k — коэффициент, связанный с прочностными ха-
характеристиками материала и формой пластины. Найти
прогиб в центре пластины. (Ответ: Pka2/2.)
20. Шарнирно-опорная балка под действием равно-
равномерно распределенной нагрузки q и сжимающей силы N
прогибается. Прогиб в середине балки вычисляется по
формуле
EIu1 \ cos {и/2)
где и — l-yj—.; El — жесткость балки; / — длина балки.
Показать, что: а) при ы-vO (EI-+-оо) балка не должна
прогибаться, т. е. /->0; б) при и->-л (N-+n2EI/l2) f~*~oo,
т. е. существует критическая сила, при которой балка
«разрушается», что математически соответствует ее беско-
бесконечному прогибу.

6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
6.1. ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ
И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ.
ПРАВИЛА И ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Напомним, что приращением функции у = [(х) называется
разность
Ду = /(*+А*)-/(*),
где Д*— приращение аргумента х. Из рис. 6.1 видно, что
^y/^x = tg p.
F.1)
Рис. 6.1
Предел отношения приращения функции Д(/ к приращению аргу-
аргумента Дл: при произвольном стремлении Д* к нулю называется произ-
производной функции у = 1(х) в точке х и обозначается одним из следующих
символов: t/, f'(x), -?. Таким образом, по определению
/ = /'(,) = iB-= lim -SL= lim
с(л: Дх-i-o Дл:
Ах
F.2)
Если указанный в формуле F.2) предел существует, то функцию
f(x) называют дифференцируемой в точке х, а операцию нахождения
производной у1 — дифференцированием.
Из равенства F.1) и определения производной (см. формулу
F.2)) следует, что производная в точке х равна, тангенсу угла а
наклона касательной, проведенной в точке М(х, у), к графику функции
y = f(x) (см. рис. 6.1).
Легко показать, что с физической точки зрения производная
tf = f'(x) определяет скорость изменения функции в точке х относительно
аргумента х.
176

Если С — постоянное число и и = и(х), v = v(x) — некоторые диф-
дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила диффе-
дифференцирования:
1) (С)' = 0;
2) W-1;
3) (u ± v)' = и' ± v';
4) (Си)' = Си';
5) (ио)' = u'v + «г/;
6> Hr )=!t^T^ (»*<>);
8) если y = f(u), и = ц>(х), т. е. (/= /(ф(*)) — сложная функция, со-
составленная из дифференцируемых функций, то
</;=</Жили-^ = -^4^;
dx du dx
9) если для функции у= f(x) существует обратная дифферен-
дифференте
цируемая функция x = g(y) и -?¦ =?(у)фО, то
На основании определения производной и правил дифференци-
дифференцирования можно составить таблицу производных основных элементар-
элементарных функций:
1) (иЛу = аи*-1и' (a?R);
2) (a")' = a" In a ¦ и';
3)
5)
7)
(«T
(In i
(cos
= e"u
()'= -
«)' =
l ,
— sin и • и';
4) (logo u)' = ТТгТТ
6) (sin uf =cos и • и';
8) (tg ")' = ^5— и'; 9) (ctg и/ = 4—
cos и v sin u
10) (arcsin «)' =
14) (sh uf = ch u • u'; 15) (ch u)' = sh и • u';
16) (th u)' = —L—«'; 17) (cth u)' = I-t u'.
ch"u sh и
Уравнение касательной к кривой y = j(x) в точке Afo(*o,
Уравнение нормали (перпендикуляра) к кривой y = f(x) в точке
Ма(хо, /(*„)):
у - f (хо) - - —!— (Ж - хо) (Г (хо) Ф 0).
П*о)
Прн ^'(хо) = О уравнение нормали имеет вид jr = %.
177

Углом между кривыми в точке их пересечения называют угснг
между касательными к кривым в этой точке.
Пример 1. Найти производную функции у = ... " t , восполь-
зовавшись определением производной (см. формулу F.2)).
> При любом приращении Ах имеем:
• = 2(лг + АлJх = 6лг + 6л:Алг+2Ал— бх2 — блгДлг—2х
=
3(л:+Дл:) + 1 Зл: + 1 C(х + Ах) + 1) (Зх + 1)
(Зл: + ЗДх+1)(Зл:+1)
Так как
2
Ay/Ах=
у>= lim 4^-=
и?Л Ах д*^-о (Зл: + ЗДл+1)Cх+1) (Зх+1J'
Пример 2. Найти значение производной функции у=\х\ в точке
л: = 0.
^ При любом приращении независимой переменной х, равном Ах,
приращение функции в точке х = 0
— Дл:, если Ддс<0,
Из определения производной следует, что
'_ г Д# i —1' если
^ "д'х'Д'о Ах =1 1, если Длг>0.
Это означает, что в точке х = 0 функция у= \х\ не имеет производной,
хотя она и непрерывна в этой точке, поскольку
Таким образом, ие всякая функция, непрерывная в некоторой
точке х, дифференцируема в этой точке. Но легко показать, что любая
функция непрерывна во всех тех точках х, в которых она дифферен-
дифференцируема.
АЗ-6.1
1. Найти производную функции у = Зле3 — 2х2 -\-Зх — 1,
воспользовавшись определением производной (см. фор-
формулу F.2)).
2. Установить, будет ли функция у = -у х непрерывной
и дифференцируемой в точке х = 0.
3. Найти производные следующих функций:
а) у = 5х*-\
б) у = хэ sin x;
в) у = (х41)/
178

г) y =
д) у =
4. Составить уравнения касательной и нормали к кри-
кривой у = х3 + 2х — 2 в точке с абсциссой лсо = 1. (Ответ:
у — 5х + 4 = 0; 5у + х — 6 = 0.)
5. Найти углы, под которыми пересекаются линии, за-
заданные уравнениями у = х2 и х2 -f- 2у2 = 3. (Ответ:
90°, 90°.)
Самостоятельная работа
1. 1. Найти производные следующих функций:
а) «/ = 3^ + 5^? — 4/*3;
б) у = лс3 sin х • In *;
в) у =
2. Записать уравнения касательной и нормали к кри-
кривой у = In (*2 — Ах + 4) в точке хо = 1. (Ответ: 2х-\-у —
-2 = 0; л: —2г/— 1 =0.)
2. 1. Воспользовавшись определением производной
(см. формулу F.2)), найти производную функции у =
C1)B + 5) (О r l7/( f
()/( ) /( f)
2. Найти производные следующих функций:
а) у = \[х^~2/х* + 7х&;
б) у = (х9 + 1) cos 5*;
в) У = ((*4+1)/(*4-1)K.
3. 1. Найти производные следующих функций:
а) r/ =
б) y =
в) y = ()/( )
2. Расстояние, пройденное материальной точкой за
время / с, s = -i-14 — -L t3 + 2t + 1 (s — в метрах). Найти
скорость_л.вижения данной точки в моменты времени t =
= 0; 1; 2 с. (Ответ: 2 м/с; 2 м/с; 6 м/с.)
ЛЗ-6.2
Используя формулы и правила дифференцирования,
найти производные данных функций.
1. а) у = х3 sin Зле; б) y = e*tg4x;
в) у = ~\jx4 + sin4 х; г) у = х ctg2 7лс;
179

д) y = 2-cos>5x; e) y =
2. a) y = Bx'-tg4xf; б) у = In5 (x -2"*);
в) */ = sin(tg-\/x); г) г/ = * sin2 х-2х';
д) y = 2*/lnJt; е) t^
3. a) y = e-V-2+2x+2. б) y
в) y = Blg3* + tg3A:J; г) y =
Самостоятельная работа
Найти производные следующих функций.
3*; б) У=
в) */ = Bcos3*+sin3jtK; г) у = х cos2 x • ех\
2. а) у = х3е*Ъх; б) у = (sin3 x + cos3 2xf\
в) у = In (x4 — sin3 х); г) у = xs'm7x'tg2 х.
3. а) у = л: ctg2 5х; б) у = U3 + tg3 2хJ;а
в) у = sin (х — tg х); т) у = х3 cos2x'€~x .
6.2. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Логарифмической производной функции у = f(x) называется про-
производная от логарифма этой функции, т. е.
(in ft*))'= /'(*)/ft*).
Последовательное применение логарифмирования и дифференци-
дифференцирования функций называют логарифмическим дифференцированием.
В некоторых случаях предварительное логарифмирование функции
упрощает нахождение ее производной. Например, при нахождении произ-
производной функции (/ = и°, где и = «(я) и v = v(x), предварительное
логарифмирование приводит к формуле
t/ = и" In и ¦ v' + vu°~' • и'.
Пример I. Найти производную функции i/ = (sin 2x)"'
^ Логарифмируя данную функцию, получаем
In у = х3 In sin 2x.
Дифференцируем обе части последнего равенства по х:
(In у)' = (х3)' In sin 2x + х3 (In sin 2л:)'.
Отсюда
— == Зх2 In sin 2л: -f х3 . п 2 cos 2л:.
у sin 2л:
Далее,
j/ = уCхг In sin 2x + 2х? ctg 2л:).
Окончательно имеем:
у' = (sin 2*)*'(Зл-2 In sin 2л: + 2*3 ctg 2л:). ^
180

Если зависимость между переменными у и х задана в неявном
виде уравнением F(x, y) = 0, то для нахождения производной t/= t/x
в простейших случаях достаточно продифференцировать обе части
уравнения F(х, у) = 0, считая у функцией от х, и из полученного
уравнения, линейного относительно у', найти производную.
Пример 2. Найти производную функции t/, если х3 + у3 —
— Зху = 0.
> Дифференцируем обе части данного уравнения, считая у функци-
функцией от х:
Ъхг + Ъуг1/ — Зу — Зху' = 0.
Отсюда находим
АЗ-6.3
1. Найти производные указанных функций:
а) у = 3х* — tg4 2х; б) y = xith3x;
в) у = lg4 (*5 — sin5 2х); г) у = arctg-\/l + е~"\
2. Найти производные следующих функций:
a) t/ = (sin3*)cos5j;; б) у = (* + l)tg2*-
3. Найти производные функций у, заданных неявно
следующими уравнениями:
а) еху — у3 — у3 = 3; б) ху — arctg— =3; в)
= а. (Ответ: а) у'=Cх2— ехуу)/( — Зу2+ ех*ху,
б)у'=~ (х*у + у3- х)/(х3 + ху2 -f у); в) у = ~ Щф$.)
Самостоятельная работа
Найти производные данных функций.
1. а) у = х3 In2 (sin2 х - tg2 х); б) у = (tg 3*)**;
Ответ: У=^
в) е"-* + * = Ь. {
2. a) t/ = ctg23A:-e-cos!3j;; б) у = A
в) „• + ^ - sin W) = 5.(Отее, у _
3. а) у = е-*" arctg V*3—!; б) у = (ctg б*)*"-1;
в) 2' + 2у=^2х+!'. (Ответ: у' = - 2*-21^ Л
' \ 2" 2I+S /
6.3. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Производной второго порядка или второй производной функции
У = 1(х) называется производная от ее первой производной, т. е. (i/)'.
181

Обозначается вторая производная одним из следующих символов:
,2
у", f"(x), ~г~- Если s = s{t)— закон прямолинейного движения мате-
материальной точки, то s' = — скорость, a s" = -=-| ускорение этой
dt dt
точки.
Если зависимость функции у от аргумента х задала в параметри-
параметрическом виде уравнениями х = x(t), у = y(t), то:
dx xf{t)' dx2 dtKxfJx''
где штрих обозначает производную по t.
¦Производной п-го порядка функции y = f(x) называется производ-
производная от производной (л — 1)-го порядка данной функции. Для л-й
производной употребляются следующие обозначения: t/-"\ /•"'(х),
——. Таким образом,
* -* ' dx •
Пример 1. Найти производную второго порядка функции
у = 1п (х + У*2 + а2).
^ Имеем:
Пример 2. Вычислить значения первой и второй производных
кции у = Bх— IL в точках Xi ==1, Jfe = —1.
Находим первую производную: i/' = 8Bjc — 1) . При х = 1 имеем
в, а при *= — 1 /(—1)= —216.
Далее, у" = Щ2х - \)\ у"A) = 48, у"(-1) = №. -4
Пример 3. Найти производную л-го порядка функции у = sin x.
^ Дифференцируя последовательно л раз данную функцию, на-
находим:
у1 = cos х = sin (x + я/2),
!Д= cos (*+-?) = sin (* +2 •-?
«/"' = cos (* + 2 • -?) = sin (дс + 3 • у),
Пример 4. Найти вторую производную функции, заданной парамет-
параметрическими уравнениями: x—lnt, y = t3 + 2t + I.
182

> В соответствии с формулами F.3) имеем:
dy_
d
dx \/t
d'y _
АЗ-6.4
1. Найти вторую производную функции у = A +
4jt2)arctg2x.
2. Найти значения производные любого порядка функ-
функции у = х3 — 5х2 + 7х — 2 в точке х = 2.
3. Дано уравнение движения точки по оси Ох:
дг= 100 — Ы — 0.001/3 (х измеряется в метрах, t — в се-
секундах). Найти скорость v я ускорение w этой точки
в моменты времени t0 = 0, tt = 1, t2 = 10 с. (Ответ: о = 5;
4,997; 4,7 м/с, а> = 0; -0,006; -0,06 м/с2.)
4. Найти вторые производные функций, заданных
уравнениями:
1; б) |x =
5. Вычислить значение второй производной функции у,
заданной уравнением х4 —jcy + y4 — I, в точке М@, 1).
(Ответ: —1/16.)
6. Записать уравнения касательной и нормали в точке
МоB, 2) к кривой х = -1±!-, у = Лг + Л-. (Ответ:
7х — Юу + 6 = 0, 10* + Ту — 34 = 0.)
7. Показать, что функция у = Cie2x + C2e3x при любых
постоянных С\ и С2 удовлетворяет уравнению у" — 5у' +
+ 6у = 0.
Самостоятельная работа
1. 1) Найти производную второго порядка функции
l/='(^ + l)-ln(l+A
2) найти вторую производную функции, заданной
уравнениями: y = t +/, x = t2 — 2t;
3) вычислить значение второй производной функ-
функции у, заданной уравнением ё1 + у — лг = 0, в точке
Л*,A, 0). (Ответ: —1/8.)
2. 1) Найти производную второго порядка функции
у = е~3х • (cos 2х + sin 2лг);
2) найти производную второго порядка функции,
заданной уравнениями:!у = /3+ ^ + 1, x=l/t;
183

3) вычислить значение второй производной фунтй-
ции у, заданной уравнением дет3 —(-1/3 — ху=1, в точке
М,A, 1). (Ответ: —7.)
3. 1) Найти вторую производную функции у =
= \1 —4дг2 arcsin 2x;
2) найти производную второго порядка функции,
заданной уравнениями: у = Bt + 1) cos t, x = In t;
3) вычислить значение второй производной функ-
функции у, заданной уравнением х2-\-2у2 — ху-\- х-\- у = 4,
в точке Afi(l, 1). (Ответ: —1.)
6.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРВОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Дифференциалом первого порядка функции y = f(x) называется
главная часть ее приращения, линейно зависящая от приращения
Ax = dx независимой переменной х. Дифференцяал dy функцни равен
произведению ее производной и дифференциала независимой пере-
переменной:
= y'dx = !'(x)dx,
поэтому справедливо равенство
dx
Из рис. 6.2 видно, что если MN — дуга графика функции у = /(*),
МТ — касательная, проведенная к нему в точке М(х, у), и АВ = Ах = dx,
то СТ = dy, а отрезок CN = Д</. Дифференциал функции dy отличается
от ее приращения Ау на бесконечно малую высшего порядка по срав-
У
184

иению с Ах. Непосредственно из определения дифференциала и
правил нахождения производных имеем (и = и(х), v = v(x)):
1) dC = 0 (С = const);
2) dx = Ax, если х — независимая переменная;
3) d(u±.v) = du±dv;
4) d(uv) = vdu + udv;
5) d(Cu) = Cdu;
6) d(±)= vdu-udv {иф0).
7) df(u)=fc(u)u'dx = f'(u)du.
Пример 1. Найти дифференциал функции y = sin53x.
^ Находим производную данной функции:
i/' = 5sin43*-cos3*-3,
тогда
dy = 15 sin4 Зл;- cos Zxdx. Ц
Дифференциалом п-го порядка функции y = f(x) называется диф-
дифференциал от дифференциала (я — 1)-го порядка этой функции, т. е.
Если дана функция y=f(x), где х — независимая переменная, то
d^y^i/'dx2, d3y = y"'dx3, .... d"i/= (
Если y = f(u), где м = ф(*), то
где дифференцирование функции у выполняется по переменной и. (Это
имеет место и для дифференциалов более высоких порядков.)
Пример 2. Найти дифференциал второго порядка функции
I/ = ln(l +JC2).
> Имеем:
y' =
Тогда
Так как дифференциал функции отличается от ее приращения
на бесконечно малую высшего порядка по сравнению с величиной dx,
то Ayzady, или f(x + Ax) — f(x)»f'(x)dx, откуда
' Полученная формула часто применяется для приближенного вы-
вычисления значений функции при малом приращении Ах независимой
переменной х.
Пример 3. Вычислить приращение стороны куба, если известно,
что его объем увеличился от 27 до 27,1 м3.
^ Если х — объем куба, то его сторона у = -у*. По условию за-
задачи * = 27, Аде = 0,1. Тогда приращение стороны куба
Ay»dy = у'(х)Ах = Х—=_. 0,1 = -^- « 0,0037 м. 4
^^ 7
Пример 4. Найтн приближенно sin 31°.
185

Полагаем х = л/6, тогда
Д*=10-—— =0,017,
180°
sin 31° «sin -^-+cos -2--0,017 = 0,5+ 0,017--^-«0,515. -4
С помощью дифференциала функции вычисляют абсолютную по-
погрешность функции еу, если известна абсолютная погрешность вх аргу-
аргумента. В практических задачах значения аргумента находятся с помо-
помощью измерений, и его абсолютная погрешность считается известной.
Пусть требуется вычислить значение функция у = {(х) при некото-
некотором значении аргумента х, истинная величина которого нам неизвестна,
но дано его приближенное значение хо с абсолютной погрешностью
ех: x = xo-\-dx, \dx\ <: ех. Тогда
Отсюда видно, что е» = |/'(JCg)l e,.
Относительная погрешность функции б„ выражается формулой
Например, если в примере 4 принять е« = 0,017, то
Ei, = |cos ^-1-0,017 = 0,015,
8, = ^5. 100 %=3%.
АЗ-6.5
1. Даны функция у = х3 — 2х2 + 2 и точка х0 = 1. Для
любого приращения независимой переменной Ах выделить
главную часть приращения функции. Оценить абсолют-
абсолютную величину разности между приращением функции и ее
дифференциалом в данной точке, если: а) Ах = 0,1;
б) Ддг = 0,01. Сравнить эту разность с абсолютной величи-
величиной дифференциала функции. (Ответ: a) e=|Ai/ — dy\ =
= 0,011, e/\dy\ -100% = 11 %;б) 8 = 0,000101, e/\dy\ X
X 100 %== 1,01%.)
2. Найти дифференциалы первого порядка следующих
функций:
a) y = xig3x; б) у = д/'arctgx + (arcsinjcJ;
в) у=1п(л:+У4+*2).
3. Найти дифференциал второго порядка функции у =
= е~*\
4. Найти дифференциалы третьего порядка функций:
a) y = sin22x; б) у= ^-.
186

5. Найти приближенное значение функции у =± х3 —
— 4х2 + 5х + 3 при jc=1,03 с точностью до двух знаков
после запятой. (Ответ: 5,00.)
6. Найти приближенное значение -у 17 с точностью до
двух знаков после запятой. (Ответ: 2,03.)
Самостоятельная работа
1. 1) Найти дифференциалы первого, второго и третье-
третьего порядков функции у = х3 In x;
2) найти приближенное значение функции у = 4 /' ~ *
V ' "т" ¦*
при дс = 0,1 с точностью до двух знаков после запятой.
(Oteer: 1,03.)
2. 1) Найти дифференциалы первого и второго по-
порядков функции у = (хг-\- l)arctg дг;
2) вычислить приближенное значение функции у =
=~ух2 — 7х-\-10 при лг = 0,98 с точностью до двух знаков
после запятой. (Ответ: 2,09.)
3. 1) Найти дифференциалы второго и третьего по-
порядков функции t/ = e~3*cos2jt;
2) вычислить приближенное значение функции у —
у — 5х+ 12 при х— 1,3 с точностью до двух знаков
после запятой. (Ответ: 2,08.)
6.5. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ.
ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ — БЕРНУЛЛИ
Теорема 1 (Ролля). Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке
[а; Ь], дифференцируема внутри этого отрезка и f(a) = f(b), то сущест-
существует по крайней мере одна точка х= с (а<Сс < 6), такая, что f'(c) = 0.
Теорема 2 (Лагранжа). Если функция y=f{x) непрерывна на
отдезке [а; Ь] и дифференцируема внутри этого отрезка, то существует
по крайней мере одна точка х = с (а < с < Ь), такая, что
Эта формула называется формулой Лагранжа конечных прира-
приращений.
Теорема 3 (Коши). Если функции у = f(x) ну— <${х) непрерывны
на отрезке [а; Ь] и дифференцируемы внутри него, причем у'(х)ф0
нигде при а<.х <.Ь, то найдется хотя бы одна точка х = с (а < с < Ь),
такая, что
№-№ ._ Г (с)
<рF)ф(а) ф'(с) '
187

Правило Лопиталя (для раскрытия неопределенностей вида -jr
и 1. Если функции y = f(x) и y = <f(x) удовлетворяют условиям
теоремы Коши в некоторой окрестности точки х = хо, стремятся к нулю
fix)
(или ±°°) при х-+хо и существует lim *, го существует также
X-fXu ф (X)
lim . * и эти пределы равны, т. е.
x-flo <р(Х)
„т Ж = urn Щ.
хч-xt ф(*) хч-xt ф'(дс)
Правило Лопиталя справедливо и при Хо = ±оо.
fix)
'Если частное ,. . вновь дает в предельной точке неопределенность
одного из двух названных видов и функцин f'(x), ф'(дс) удовлетворяют
всем требованиям, ранее указанным для функций f(x) и ц>(х), то можно
перейти к отношению вторых производных и т. д. Однако следует помнить,
что предел отношения самих функций может существовать, в то время
как отношение производных не стремится ни к какому пределу.
Пример!. Найти Jim -?+|jjL?..
^ Имеем:
.. jc + sinjc .. 1 + sin jc/jc
hm — = lim -г—; ~ = 1.
^->oo X + COS X jc-*oo 1 + COS X/X
Но предел вида
.. (x-\-s\nx)' ,. 1 + cos x
lim -)— frr- = hm -7-i—:
^->oo (JC+COSJC) JC-^oo 1 —Sin X
не существует, так как при х-*- оо числитель и знаменатель дроби могут
принимать любые значения из отрезка [0; 2], а само отношение произ-
производных 'принимает любые неотрицательные значения. Следовательно,
правило Лопиталя в этом случае неприменимо. Ц
Пример 2. Найти lim -
sin 5x
> Числитель и знаменатель данной дроби непрерывны, диффе-
дифференцируемы и стремятся к нулю. Это означает, что можно применить
правило Лопнталя:
,. е3'-\ ,. Зе3' 3
lim = lim = —.4
д:-<-о sin 5x X-+0 5 cos 5x 5
Неопределенность вида 0 • с» получается из произведения функций
fi(x)f2(x), в котором JunJi(x) = 0 и Дт/2(*)=«>. Это произведение
легко преобразуется в частное вида J}ix). или J?ix). что дает
i/h\x) l/h\x)
неопределенности вида —- илн —. Если же lim /i (x) = оо и lim hlx) =
U ОО дг-^хо v ' x-t-xa' v '
= оо, то разность f\(x) — fi(x) дает неопределенность вида оо — оо. Но
188

f (x}
Тогда, если lim -РЛ= 1, приходим к неопределенности вида
х-«о Jl\X)
О- оо.
Пример 3. Вычислить lim х3е~' (неопределенность вида 0-оо).
^ Легко находим, что *-"-о°
,. , , ,. *? ,. 3JC2 .. " бде ,.6 л
lim jre = lim — = lim — = lim — = lim —— =0. 4
jc-*oo x-*ao e" x-+o° e^ x— oo e^ x-^oo e*
Рассмотрим функцию вида /(х)**'.
1. Если lim/(jc) = O, limq)(jc) = O, то имеем неопределенность
дг-»-хо х-*-Хо •
вида 0°.
2. Если lim f(x)= I, lim <p(x)= oo, приходим к неопределенности
вида 1°°.
3. Если lim/(х)= оо, Птф(дс) = О, получаем неопределенность
х-*-хо х-*-хо
вида оо°.
Для раскрытия этих неопределенностей применяется метод лога-
логарифмирования, который состоит в следующем. Пусть lim (/(х)L**' = А.
х-»хо
Так как логарифмическая функция непрерывна, то
lim In y= In lim i/.
x-»xo x-».co
Тогда
x->-xo
и неопределенности трех рассматриваемых видов сводятся к неопреде-
неопределенности вида 0 • оо.
Пример 4. Вычислить lim(e* + x)[Jx.
х-»0
^ Обозначим искомый предел через А. Тогда
in A = lim (± 1п(е- + х)) = lim
n,
• = 2, А = е2. *
1. Показать, что функция f(x) — x — x3 на отрезках
[—1; 0] и [0; 1] удовлетворяет условиям теоремы Ролля,
и найти соответствующие значения с. (Ответ: с = ± 1/~\/3-)
2. На дуге параболы у = х2 , заключенной между
точками ЛA, 1) и ВC, 9), найти точку, касательная в кото-
которой параллельна хорде АВ. (Ответ: B, 4).)
3. Найти пределы:
a) li
х'-Ьх + А
б) Пт*СО5^-51п*; в) lim-
189

e) ^imCtg*J*1; ж) jimB/x+ 1)*.
(Oreet: \) 7/2; 6) —1/3; в) 7/3; г) 1/2; д) е2/л; е) 1;
ж) е\)
Самостоятельная работа
Найти указанные пределы.
1. a) lim ' ~ cos 7x ; б) Iim(cos2*p2.
х-о х sin 7х х^о
(Ответ: а) 7/2; б) е~2.)
2. a) limctg(**/4); б) limf-LY'"*.
х-*2 X — 2 *-й)\*/
(Ответ: а) —л/4; б) 1.)
3. a) limfxsin^-V б)
д:->-оо\ X /
r: а) 3; б) е~'.)
6.6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ
Одной из важнейшнх прикладных задач дифференциального исчис-
исчисления является разработка общих приемов исследования поведения
функций.
Функция у = f(x) называется возрастающей (убывающей) в неко-
некотором интервале, если большему значению аргумента из этого интер-
интервала соответствует большее (меньшее) значение функции, т. е. при
Xi < хг выполняется неравенство f{x\)<.f(Xi) (f(xi) >1(х^)).
Перечислим признаки возрастания (убывания) функции.
1. Если дифференцируемая функция y — f{x) на отрезке [а; Ь] воз-
возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке неотрицательна
(неположительна), т. е. f'(x)^O (f'(x)^.O).
2. Если непрерывная на отрезке [а; Ь] и дифференцируемая внутри
него функция имеет положительную (отрицательную) производную,
то она возрастает (убывает) на этом отрезке.
Функция y = f(x) называется неубывающей (невозрастающей)
в некотором интервале, если для любых х\ < х-i из этого интервала
/()<№)(К) Ж))
)<№)(К) Ж))
Интервалы, в которых функция не убывает или не возрастает,
называются интервалами монотонности функции. Характер монотон-
монотонности функции может изменяться только в тех точках ее области опре-
определения, в которых меняется знак первой производной. Точки, в которых
первая производная функции обращается в нуль или терпит разрыв,
называются критическими.
Пример 1. Найти интервалы монотонности и критические точки
функции у = 2*2 — In х.
> Данная функция определена при х> 0. Находим ее производную:
у' = 4х- 1/х = Dх?-\)/х.
190

В области определения функции у' = 0 прн Ах2 — 1=0, т. е. при
хо — 1 /2. Найденная точка разбивает область определения функции
на интервалы @; 1/2) и A/2; + со); в первом из них у' < 0, а во втором
у' >• О. Это означает, что в интервале @; 0,5) данная функция убывает,
а в интервале @,5; +оо) — возрастает. -4
Точка х\ называется точкой локального максимума функции у —
= f(x), если для любых достаточно малых |Алг| Ф0 выполняется нера-
нераf( A)/() Т й
f(), | Ф р
венство f(xt + Ajt)</(^i). Точка х% называется точкой локального ми-
миф f(x), б |Д| О
f( + )/()
нимума функции y — f(x), если для любых достаточно малых |Длс|
справедливо неравенство /(*» + Ах) > f(x2). Точки максимума и мини-
минимума называют точками экстремума функции, а максимумы и минимумы
функции — ее экстремальными значениями.
Теорема 1 (необходимый признак локального экстремума). Если
функция y = f(x) имеет в точке х'—х0 экстремум, то либо f'(xo) = O,
либо f'(xa) не существует.
В точках экстремума дифференцируемой функции касательная к ее
графику параллельна оси Ох.
Пример 2. Исследовать иа экстремум функцию у = (jc-{- IK.
> Производная данной функции i/' = 3(x+lJ в точке х=—1
равна нулю. Но в этой точке функция экстремума не имеет,, так как
(jc+1K>0 при х> — 1, (*+1K<0 при *<— 1, (*+1K = 0 при
х= — 1. Итак, обращение в нуль производной функции не обеспечи-
обеспечивает существования экстремума функции. -4
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию у= \х\.
> Для дайной непрерывной функции имеем: i/@) = 0. Так как при
хфй у= \х\ > 0, то х = 0 — точка минимума. Но, как было показано
в примере 2 из § 6.1, функция у— \х\ не имеет производной в точке
х=>0. 4
Из рассмотренных примеров следует, что не во всякой критической
точке функция имеет экстремум. Однако если в какой-либо точке функ-
функция достигает экстремума, то,эта точка всегда является критической.
Для отыскания экстремумов функции поступают следующим обра-
образом: находят все критические точки, а затем исследуют каждую из них
(в отдельности) с целью выяснения, будет ли в этой точке максимум
пли минимум, или же экстремума в ней нет.
Теорема 2 (первый достаточный признак локального экстремума).
Пусть функция y = f(x) непрерывна в некотором интервале, содержа-
содержащем критическую точку х = Хц, и дифференцируема во всех точках
этого интервала (кроме, быть может, самой точки х0). Если f'(x) при
х<хо положительна, а при х>ха отрицательна, то при х = хо функ-
функция y = f(x) имеет максимум. Если же f'(x) при х<.х0 отрицательна,
а при х> ха положительна, то при х = ха данная функция имеет минимум.
Следует иметь в виду, что указанные неравенства должны выпол-
выполняться в достаточно малой окрестности критической точки х = ха. Схема
исследования функции y = f(x) на экстремум с помощью первой произ-
производной может быть записана в виде таблицы (см. табл. 6.J),
Пример 4. Исследовать на экстремум функцию у = 2х-\-3~\Jx2.
> Данная функция определена и непрерывна для всех x(ER. На-
Находим ее производную:
Ух ух
Критическими точками данной функции будут Х\ = — 1, в которой
у' = 0, н xi = 0, в которой производная у1 терпит разрыв. Эти точки
191

Таблица
Знаки 1'(х) пр
+
—
+
—
переходе через критическую точку хо
х = ха
/'(*>) = о
или не существует
»
»
Х>Хо
_
+
+
—
Характер
критической
точки
Точка максимума
Точка минимума
Экстремума нет (функ-
(функция возрастает)
Экстремума иет (функ-
(функция убывает)
разбивают область определения функции на интервалы: (—оо+ — 1).
(—1; 0), @; -foo), в каждом из которых производная функции сохра-
сохраняет знак. Поэтому достаточно определить знак производной в произ-
произвольной точке каждого из интерва-
интервалов. Имеем: у'( — 8)=1>0, т. е.
в интервале (—оо; —1) функция
возрастает; у1 (— 1 /8) = — 2 < 0,
следовательно, в интервале (—1; 0)
функция убывает; у'(\) = 3 > 0, т. е.
в интервале @; -foo) функция
возрастает. Значит, при переходе
через точку Xi = — 1 в направлении
возрастания х знак первой произ-
производной изменяется с «-}-» на « —»,
т. е. точка х\ = — 1 является точкой
локального максимума и у тах =
= </(—•)= •• Для точки Х2 = 0знак
первой производной меняется с « —»
иа « + >, а это означает,. что точка
*2 = 0 является точкой локального
МИНИМуМа И I/mm = У @) = 0
(рис. 6.3). -4
Теорема 3 (второй достаточный признак локального экстремума
функций). Пусть функция y = f{x) дважды дифференцируема и Г(*>) =
= 0. Тогда в точке х = х0 функция имеет локальный максимум, если
f"(xo)<0, и локальный минимум, если f"(xo)>O.
В случае, когда f"(xo) = 0, точка х = хо может и не быть экстре-
экстремальной.
Пример 5. С помощью второй производной исследовать на экстре-
экстремум функцию у — х2е~".
> Находим первую и вторую производные:
у' = 2хе~' - х?е-' = Bх - *>"*,
у" = B - 2х)е~' ~Bх -х2)е" =(х2 -Ах + 2)е~\
Так как производная непрерывна при *6R, то критические точки
данной функции удовлетворяют уравнению 2х — хг = 0, откуда х\ = 0
и Xi = 2. Вычисляем значения второй производной в этих точках:
у"@) = 2 > 0, т. е. х\ = 0 — точка минимума; у"B) = — 2е~2 < 0, т. е.
хг = 2 — точка максимума; ymm = 0, ymaK = 4e~2 4
Рис. 6.3
192

На отрезке [а; Ь\ функция у = f{x) может достигать наименьшего
(Уна»») или наибольшего (г/Наив) значения либо в критических точках
функции, лежащих в интервале (а; Ь), либо на концах отрезка [с; Ь].
Пример 6. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
у = х" — Ъх 4- 3 на отрезке [ — 2; 3].
> Производная данной функции у' = Зх2 — 3. Тогда у' = 0 при
Х[ = — 1 и Х2= 1. Обе эти критические точки принадлежат интервалу
( — 2; 3). Вычисляем значения функции в критических точках и на концах
отрезка: у{-\) = 5, у(\)=\, у(-2)=1, г/C) = 21. Сравнивая полу-
полученные числа, заключаем, что наименьшее значение на отрезке [—2; 3]
функция принимает в точках хг = 1 и х = а = —2, а наибольшее зна-
значение — в точке х= Ь = 3. Итак, на отрезке [ — 2; 3] г/„аим= 1, а уна«б =
= 2i. 4
Кривая, заданная функцией y = f(x), называется выпуклой в ин-
интервале (с; Ь), если все точки кривой лежат не выше любой ее касатель-
касательной в этом интервале, и вогнутой в интервале (а; Ь), если все ее точки
лежат не ниже любой ее касательной в этом интервале.
Точка кривой М(хв, /(л)), отделяющая выпуклую ее часть от вогну-
вогнутой, называется точкой перегиба кривой. Предполагается, что в точке
М существует касательная.
Теорема 4 (достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика
функции). Если во всех точках интервала (а; Ь) вторая производная
функции у = f{x) отрицательна (положительна), т. е. /"(*) < 0 Q"(x) >
> 0), то кривая y = j(x) в этом интервале выпукла (вогнута).
В точке перегиба, отделяющей промежуток выпуклости от про-
промежутка вогнутости, вторая производная функции изменяет свой знак,
поэтому в таких точках вторая производная функции или обращается
в нуль, или не существует.
Теорема 5 (достаточный признак точки перегиба). Если в точке
х = хо f"[xo) = 0 или j"(xo) не существует и при переходе через эту точку
производная f"(x) меняет знак, то точка с абсциссой х = хо кривой у =
= f(x) — точка перегиба.
Пример 7. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогну-
вогнутости кривой у = е~"'/2 (кривая Гаусса).
> Находим первую и вторую производные:
у' = -хе-'''\ у" = e-*vy - 1).
Первая и вторая производные существуют при любых *6R. При-
Приравнивая у" нулю, находим: х\ = — 1, х2 = 1. Легко заметить, что в
окрестности точки Х\ = — 1 знак второй производной меняется по сле-
следующему закону: у" > 0 при х<—1, у" < 0 при х> — 1. Значит,
М\[ — 1, е~''2) является точкой перегиба. Слева от этой точки кривая
вогнута, так как в интервале (—оо; —1) г/">0, а справа в интервале
(— 1; 1) — выпукла, так как в этом интервале у"<0.
Далее, у" > 0 при х > 1. Следовательно, при хг = 1 на кривой имеем
также точку перегиба ЛЬA, е~1/2). Слева от точки М2 в интервале (— 1; 1)
кривая выпукла, а справа в A; -f-oo) вогнута. Схематический график
данной функции изображен на рис. 6.4. -4
Прямая L называется асимптотой данной кривой у = /(*), если рас-
расстояние от точки М кривой до прямой L при удалении точки М в беско-
бесконечность стремится к нулю. Из определения следует, что асимптоты
могут существовать только у кривых, имеющих сколь угодно далекие
точки («неограниченные» кривые). В примере 7 кривая Гаусса имеет
асимптоту г/ = 0 (см. рис. 6.4).
Если существуют числа x = xi (i=l, и), при которых limf(x) =
193

Рис. 6.5
\
= ±оо, т. е. функция имеет бесконечные разрывы, то прямые x =
называются вертикальными асимптотами кривой y = f(x).
Если существуют пределы
k =
, ft= lira Q(x)-kx),
то прямые y = kx-\-b— наклонные асимптоты кривой y = f(x) (при
k = 0 — горизонтальные). При *->±оо можем прийти к двум значе-
значениям для к. Если имеем одно значение для k, то при х-*- ± оо можем
получить два значения для Ь.
х3
Пример 8. Найти асимптоты кривой i/= — .
х2 — 1
— = ± оо, то данная кривая имеет две верти-
> Так как lim
кальные асимптоты х=±1. Ищем наклонные асимптоты:
k = lim — = lim
х2
= 1,
6= lim (/(*)-**)= lim i-f
x-»±°o дг-*±оо\ AT — 1
x->-zh оо X ДГ-*-± оо XT — 1
— х)= lim
^—
X — 1
=0.
Таким образом, у даииой кривой существует одна наклонная асимптота,
уравнение которой у = х (рис. 6.5).
АЗ-6.7
1. Найти интервалы монотонности функции у = х4 —
— 2л:2 — 5. (Ответ: убывает в (—оо; —1) и @; 1), возра-
возрастает в (—1; 0) и A; +оо).)
2. Найти интервалы монотонности функции у = х/(х —
— 6*—16). [Ответ: убывает в (-оо; -2), (-2; 8), (8;
))
194

3. Исследовать на экстремум функцию у =
= \(х2 — 6х + 5J. (Ответ: утЫ=0 при х=1 и х = 5,
Ушах = 2д/2 при х = 3.)
4. Исследовать на экстремум функцию у = х — In A -f-
+ х). (Ответ: ymm = 0 при х = 0.)
5. Исследовать на экстремум функцию у — х\п2х.
(Ответ: утах = 4/е2 при х = е~2, ymin = 0 при х = 1.)
6. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
у = 2х3 -f Здг2 — 12* -f 1 на отрезке [— 1; 5]. (Ответ: уиакм =
= — 6 при х = 1, г/наиб = 266 при х = 5.)
7. Найти точки перегиба, интервалы вогнутости и вы-
выпуклости графика функции у = 1пA + х2). (Ответ: М\(\,
In 2), M2(-l, In 2).)
8. Найти асимптоты графика функции у = х2/ух?— 1.
(Ответ: х = ± 1, г/ = ±х.)
Самостоятельная работа
1. 1) Исследовать на экстремум функцию у =
= л/(х2- IJ;
2) найти асимптоты кривой у = х3/B(х + IJ).
(Ответ: 1) г/шш = 0 при х = ± 1, ymax = 1 при х = 0; 2) х =
= -1, y = Lx+\.)
2. 1) Найти точки перегиба, интервалы выпуклости
и вогнутости, кривой у = arctg х — х;
2) найти наименьшее и наибольшее значения функ-
функции г/ = х + 3"ух на отрезке [—1; 1].
(Ответ: 1) О@, 0), (— оо; 0) — выпуклая, @; + оо)—
вогнутая; 2) уиаим = —4, г/наиб =4.)
3. 1) Найти интервалы монотонности и точки экстре-
экстремума функции у='х* — Зх2 — 9х + 7;
2) доказать справедливость неравенства х > In A +
+ х) при х > 0. (Ответ: 1) утах = 12 при х = — 1, t/min =
= —20 при х = 3.)
6.7. СХЕМА ПОЛНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ
И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ ГРАФИКА
Для полного исследования функции и построения ее графика можно
рекомендовать следующую примерную схему:
1) указать область определения функции;
2) найти точки разрыва функции, точки пересечения ее графика
195

с осями координат и вертикальные асимптоты (если они существуют);
3) установить наличие или отсутствие четности, нечетности, пе-
периодичности функции;
4) исследовать функцию на монотонность и экстремум;
5) определить интервалы выпуклости н вогнутости, точки перегиба;
6) найти асимптоты графика функции;
7) произвести необходимые дополнительные вычисления;
8) построить график функции.
Пример. Провести полное исследование функции y—-\J(x + 3)*2 и
построить ее график.
^ Воспользуемся рекомендуемой схемой.
1. Данная функция определена для всех *6R.
2. Функция не имеет точек разрыва и пересекает ось Ох при х =
= .— 3 и х = 0, а ось Оу — при у = 0.
3. Функция не является четной, нечетной, периодической.
4. Находим производную функции:
/'(*) = 0 при х\ = —2 и не существует в точках хг = —3, х3 = 0. Эти
точки разбивают всю область определения функции на интервалы
(— оо; —3), (— 3; —2), (— 2; 0), @; + оо). Внутри каждого из полученных
интервалов сохраняется знак производной, а именно: f'(x) > 0 в интер-
интервалах (—оо; — 3), ( — 3; — 2), @; + оо) и f'(x) < 0 в ( — 2; 0). Это означает,
что функция возрастает в интервале (—оо; —2), убывает в интервале
(— 2; 0) и возрастает в интервале @; + оо). Так как в окрестности точки
Х\ = —2 знак первой производной при увеличении х изменяется с
«+» на «— », то х\ = —2 является точкой максимума, ymsx = ~\4. Для
точки Хз = 0 знак первой производной изменяется с «— » на « + >, т. е.
Хз = 0 — точка минимума, утт = у@) — 0. В точке х2=— 3 функция
не имеет экстремума, так как в ее окрестности f'(x) не меняет знака.
5. Находим вторую производную:
которая не равна нулю для любого конечного х. Поэтому точками пе-
перегиба могут быть только те точки кривой, в которых вторая производная
ие существует, т. е. Xi = —3 и Хз =0. Определим знак у" в каждом из
интервалов, на которые найденные точки разбивают область опреде-
определения функции: f"(x)>0 при х?(—оо; —3), кривая вогнута; f'(x)<0
при х?(—3; 0), кривая выпукла; f"(x) < 0 при *6@; + °°). кривая
выпукла. Так как в окрестности точки Хч = —3 вторая производная
меняет знак, то М( — 3; 0) является точкой перегиба. Точка Хъ = 0
не является точкой перегиба, так как в ее окрестности знак f"(x) не
меняется.
6. Вертикальных асимптот нет, так как данная функция ие имеет
бесконечных разрывов. График функции имеет наклонную асимптоту
y = kx + b, если существуют пределы для k и Ь, указанные в правиле
нахождения наклонной асимптоты. Вычислим их для данной функции:
k= lim — = lim
х-*- rfc оо X х-*- ± о
196

h = lim (у — kx) = lim (л/(л: + 3)x2 — *) =
-x)(V (x + з)У + * V(* + з)*2 +
_ „m
= lim
jt->-±oo
= lim
x-r± °
V1
+ 9/л:2 + V1
= 1.
Получили уравнение наклонной асимптоты у = х+ 1.
7. Прежде чем строить график функции, целесообразно установить
угол а, под которым кривая пересекает ось абсцисс в точках х2 = —3
и Хз _ о_ в этих точках i/' = tga=oo иа = я/2. Так как в точке х3 = О
функция достигает нулевого минимума, то ее график не расположен
ниже оси Ох в окрестности этой точки. Точка хз = 0 является точкой
возврата графика функции.
6.6).
Рис. 6.6
8. По результатам исследования строим график функции (рис.
АЗ-6.8
Провести полное исследование указанных функций
и построить их графики.
1. у = х3 — Здг. (Ответ: ymax=0 при х = 0; ymm = — 4
при * = 2; точка перегиба М,A, —2).)
197

2. у = х2 -f- 2/jc. {Ответ: ymm = 3 при х = 1; точка пе-
перегиба Mi ( — -^2, 0); асимптота х = 0.)
3. у = х3/C — х2). (Ответ: точки разрыва х=±~\/3;
t/min =4,5 при х= — 3; г/max = —4,5 при х = 3; точка пе-
перегиба Mi@, 0); асимптоты х= ±-уЗ и У= ~Х-)
Самостоятельная работа
Провести полное исследование данных функций и по-
построить их графики.
¦ 1. у — \п(х2 + 2х + 2). (Ответ: ymm=0 при х== — 1;
точки перегиба Mi( —2, In 2) и JW2@, In 2).)
2. t/ = Bx-l)/(x-lJ. (Огвег: t/min = -1 при х = 0;
точка перегиба М\(—1/2, —8/9); асимптоты х=1 и
*/ = 0.)
3. у= — \п(х2 — 4х + 5). (Ответ: t/max = 0 при х = 2;
точки перегиба Afi(l, In 2), М2C, In 2).)
6.8. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ЭКСТРЕМУМ
Пример 1. Каковы должны быть размеры (радиус основания R и
высота Н) открытого сверху цилиндрического бака максимальной вме-
вместимостью, если для его изготовления отпущено S = 27л да 84,82 м2
материала?
> Вместимость бака V = nR2H, а на его изготовление пойдет ма-
материал площадью S = nR2 -f 2nRH. Отсюда определяем высоту бака
„ S-лЯ2
2яЯ •
Тогда вместимость бака
Найдем то значение R, при котором вместимость V(R) будет макси-
максимальной (см. § 6.5). Имеем:
= 3 м.
Так как V" = —Зя/? < 0, то при найденном значении R =3 вме-
вместимость бака будет максимальной.
Высота бака находится из полученного выше соотношения:
И = " „Г = —— = -W-g- =3 м.
198

Пример 2. Сечение оросительного канала имеет форму равнобоч-
равнобочной трапеции, боковые стороны которой равны меньшему основанию
(рис. 6.7). При каком угле наклона а боковых сторон этой трапеции
сечение канала будет иметь наибольшую площадь?
> Определим площадь сечения канала как функцию угла а, считая,
что боковые стороны и меньшее основание трапеции равны а. Тогда,
как видно из рис. 6.7,
\AB\ + \DC\
S —
¦\СЕ\ =
2а + la cos а
a sin а =
= a2!sin а + — sin 2aj.
Исследуем S как функцию аргумента а на экстремум. Имеем:
S' = a2(cos a + cos 2а).
В критических точках S' = О, т. е.
cos a + cos 2а = 0, 2 cosCa/2) • cos(a/2) = 0.
Так как 0<а<я/2, то cos (а/2) Ф 0. Поэтому, если cos (За/2) = 0,
то За/2 = л/2 или а = я/3.
Докажем, что при a = я/3 функция S достигает наибольшего
значения на отрезке [0; я/2]. Действительно,
S" = a2(-sin a - 2 sin 2a), S" (у) =
Поэтому при a = л/3 имеем локальный максимум S(n/Z) = Smax =
= —-г—а2, который на отрезке [0; п/2] будет также наибольшим зна-
значением функции S, поскольку S@) = 0, S(n/2) = a2 <Smax. <4
П
Рис. 6.7
Рис. 6.8
Пример 3. Известно, что прочность бруса с прямоугольным по-
поперечным сечением пропорциональна его ширине Ъ и квадрату высоты Л.
Найти размеры бруса наибольшей прочности, который можно выре-
вырезать из бревна радиусом R = 2-уЗ дм.
^ Прочность бруса N = kh2b, где k — коэффициент пропорцио-
пропорциональности, k > 0. Из рис. 6.8 видно, что ft2 -f- b = 4/?2, т. е. Л2 =
= 4Я2-*2. Тогда
199
Найдем экстремум функции N = N (Ь):
N' = kDR2-3b2).

Если N' = 0, то 4R2 — 362 = 0, откуда Ь = 2R/^3, Ь = 4 дм. Тогда
ft = дАя2 - б2 = V^2 — 4Я2/3 = 2/? V2/3 = 6 V?
ft = 4 -\/iF дм.
Так как W = —6kb < 0, то при найденных значениях Ь и ft проч-
прочность бруса будет максимальной. ^
лз-о
1. Требуется изготовить закрытый цилиндрический
бак вместимостью V — 16л « 50 м . Каковы должны быть
размеры бака (радиус R и высота Я), чтобы на его изго-
изготовление пошло наименьшее количество материала?
(Ответ: R = 2 м, Я = 4 м.)
2. Найти высоту конуса наибольшего объема, который
можно вписать в шар радиусом R. (Ответ: Н — 4R/3.)
3. Найти стороны прямоугольника наибольшей пло-
площади, вписанного в эллипс ^- + ^С =1. (Ответ: а~у2,
а Ь
4. Вырезанный из круга сектор с центральным углом а
свернут в коническую поверхность. При каком значении
угла а объем полученного конуса будет наибольшим?
(Ответ: а = 2лп/2/3 ~ 293°56'.)
Самостоятельная работа
1. Через точку М(\, 4) провести прямую так, чтобы
сумма величин положительных отрезков, отсекаемых ею
на осях координат, была наименьшей. Записать уравнение
этой прямой. (Ответ: -^- + -|- = 1.)
2. Найти высоту Я цилиндра наибольшего объема,
который можно вписать в шар радиусом R. (Ответ: Я =
У
3. Требуется изготовить коническую воронку с обра-
образующей, равной 20 см. Какой должна быть высота воронки,
чтобы ее объем был наибольшим? (Ответ: 20-уЗ/З см.)
6.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ДЛИНЫ ДУГИ И КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ
ЛИНИИ
Дифференциал ds длины дуги s плоской линии, заданной уравне-
уравнением (/ = /(*), выражается формулой
200

ds =
Если линия задана уравнением х = <р(у), то
В случае параметрического задания линнн уравнениями дг = ф(/), у =
= ¦@
Если линия задана в полярной системе координат уравнением р =
= р(<р), то
Пример 1. Найти дифференциал длины дуги циклоиды, заданной
уравнениями: х — a(t — sin /), у = а{\ — cos t) (а > 0).
> Имеем: х' = а(\ — cos /), у' = a sin /. Тогда
ds = Va2(l — cos tf + a2 sin2 tdt =
= a"\/l —2 cos /+cos21 + sin2 tdt = а-\/2A —
cos /)d/=
/4 sin2 yd/= 2a sin yd/. -4
Кривизной К любой плоской линии в точке М называется предел
модуля отношения угла между положительными направлениями каса-
касательных в точках М и N линии
(угла смежности) к длине дуги
MN — As, когда N-*-M, т. е. по
определению
К = lim
Да
As
da
ds
где a — угол наклона касательной
в точке М к оси Ох (рис. 6.9).
Радиусом кривизны называется
величина R, обратная кривизне К
линии, т. е. R = \/К- Например, для
окружности K=l/R, где R — ра-
радиус окружности; для прямой К = 0.
Для произвольной линии кривизна,
вообще говоря, не является посто-
постоянной величиной.
Если линия задана уравнением y = f(x), то кривизна в любой ее
точке вычисляется по формуле
к= 1у -
Рис. 6.9'
В случае параметрического задания линии уравнениями x=y(t),
у = !))(/) для вычисления кривизны применяется формула
_ | у"х' — х"у' |
((х'У + ЮТ2'
где производные берутся по переменной t.
201

Если кривая задана уравнением в полярных координатах р =
= Р(Ч>). то
+ 2(р'J-рр"|
К =
(Р2+(Р'J):
3/2
где производные вычисляются по полярному углу <р.
Пример 2. Найти кривизну н радиус кривизны линии у = х2 в
точке М(\, 1).
^ Вычислим значения первой и второй производных данной функ-
функции в точке М: у' = 2х, у'(\) = 2, у" = 2. Тогда
К- W'\ _ 2 _ 2 D_±_5^l ^
Построим в точке М(х, у) нормаль к данной кривой (рис. 6.10),
направленную в сторону ее вогнутости, и отложим иа этой нормали
отрезок \МС\, равный радиусу кривизны R кривой в точке М. Точка
С называется центром кривизны кривой в точке М, а круг (окружность)
радиусом R с центром в точке С — кругом (окружностью) кривизны
кривой в точке М.
Координаты аир центра кривизны кривой для точки М(х, у) вы-
вычисляются по формулам:
а = х — у' ¦
1 + (У'Т
F.4)
у" ' - * ' у" ¦
Множество всех центров кривизны кривой у = f(x) называют эволютой.
Формулы F.4) являются параметрическими уравнениями эволюты с пе-
переменной х в качестве параметра. Эволютой любой окружности является
ее центр, прямая эволюты не имеет.
Пример 3. Записать уравнение окружности кривизны линии у =
= х2 — 6х+ 10 в точке МоC, 1).
^ Находим значения у' и у" в точке Мо: у' = 2х — 6, у' |^=3 = 0,
у" = 2. Тогда кривизна кривой в точке Мо К = 2, радиус кривизны
R = l/2. По формулам F.4) находим координаты центра кривизны:
а = 3, р = 3/2. Уравнение окружности кривизны имеет вид
(х-3J + (у-3/2J=1/4. •*
Пример 4. Найти уравнение эволюты параболы у2 = 2рх.
> Находим первую и вторую производные в произвольной точке
М(х, у):
2уу' = 2р, у' = -Р-, у" =--Ly>=-lL.
У У У
202

Тогда из формул F.4) имеем:
B4
,3/2
Исключим из этих двух уравнений параметр х. В результате получим
уравнение эволюты:
к 21 р ^ и> '
которое определяет полукубическую параболу (рис. 6.11). -4
Линия L*, которую описывает фиксированная точка М касательной,
катящейся без скольжения по данной линии L, называется эвольвентой
(разверткой) линии L (рнс. 6.12). Данная линия L имеет бесчисленное
у,
ЭВолюта
Рис. 6.11
Рис. 6.12
множество эвольвент, единственную эволюту и всегда является эволь-
эвольвентой по отношению к своей эволюте.
Пример 5. Составить параметрические уравнения эвольвенты
окружности х2+у2 = г2, выходящей из точки А(г, 0).
> Вводя указанным на рис. 6.13 способом параметр / и принимая
во внимание, что длина дуги АС равна \МС\ = rt, легко находим ко-
координаты любой точки эвольвенты М(х, у):
х= \ON\ = \OD\ + \DN\ =rcos t + rt sin t,
y=\DB\ = \DC\ — \BC\ =rsin t — rt cost.
Окончательно имеем:
x = r(cos / -f-1 sin /), у = r(sin / — / cos t). 4
Отметим, что зубья цилиндрических шестерен чаще всего очерчи-
очерчиваются по эвольвенте окружности (рис. 6.14), так как при этом обеспе-
обеспечивается наиболее плавное и бесшумное их зацепление.
203

Дуги
эВольвент
Рис. 6.13
Рис. 6.14
АЗ-6.10
( 1. Найти дифференциал длины дуги кривой, заданной
--¦^уравнениями х = at sin /, у = at cos /. (Ответ: ds =
= За cos / sin tdt.)
2. Найти дифференциал длины дуги кривой у = ух?.
3. Найти дифференциал длины дуги кривой р = а(\ +
+ coscp). ( Ответ: ds = a cos -|- dq>. j
4. Вычислить кривизну и радиус кривизны кривой
х2 + ху + у2 = 3 в точке А{\, 1). {Ответ: К=1/(зф),
R = Зл/2.)
5. Вычислить кривизну и радиус кривизны кривой
х = 3t2, y = 3t — t3B точке ВC, 2). (Ответ: К = 1/6, Л = 6.)
6. Найти центр кривизны и записать уравнение окруж-
окружности кривизны кривой у=\/х в точке АA, 1). (Ответ:
(J J )
Самостоятельная работа
1. 1) Найти дифференциал длины дуги кривой у =
= tg*;
2) вычислить кривизну и радиус кривизны кривой
У2 = х3 в точке МD, 8). (Огвег: /С = 3/40.)
2. 1) Найти дифференциал длины дуги кривой, задан-
заданной уравнениями x = acos3/, у = a sin3/;
2) найти координаты центра кривизны и записать
4

уравнение окружности кривизны кривой у = х2 — 2х в
точке М0B, 0). (Ответ: (х + 3f + (y — yJ= 125/4.)
3. 1) Найти дифференциал длины дуги кривой р =
= a(l -\- sin ф);
2) найти центр кривизны и записать уравнение
жружности кривизны кривой у = \пх в точке Afi(l, 0).
[Ответ: (х - 3? + (у + 2J = 8.)
6.10. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 6
ИДЗ-6.1
Продифференцировать данные функции.
1.1. у = 2хъ -^+-
X X
1.2. у=3-
1.3. y =
1.4. y = 7^pc--j — 3x3-t±.
1.5. y = 7x+A_V7+A.
1.6. y = bx2— ffi+jf — j-
1.7. у = 3л^ — — — V*3 + -^--
X Jt
1.8. y =
1.10. y =
1.11. y =
* X
1.12. у = 4х3-4 -
1.13. у = 5х3--^+
205

1.14. y = ^
1.15.y = ±-±
1.16. y = lL + ±-.
1.25. y = 8x-±+-!--Mx4.
1.26. у=7х3-А + ±
1.28. y = 4xa-^r —
1.29. y = L+*-Sh?-2x*.
1.30. y = 4~-
206

2.3. y=-yJ(x — 4f +
2.4. u=V7^ —
2.5. y=-U3x* —
2.6. у=-л/3л;4 —
2.7. y=^(x-7)> +
2.8. y=y(x + 4f — —,
2.13. у=^5л:4 — 2л; —
2.15. y=^(x-
2.16. y=y(x-2f-
2.22. у=л/3 —
207

2л:2 - Ах + 7 '
3.1. г/= sin3 2л;-cos 8x5. 3.2. у = cos5 3x-tgDx+l?.
3.3. (/ = tg4x-arcsin4x5. 3.4. у = arcsin32x-ctg7x .
3.5. у — ctg Зл; • arccos Зх2. 3.6. y = avccos4x-\n(x—3).
3.7. i/ = 1п?л; • arctg 7x4. 3.8. у = arctg3 4л: • 35in\
3.9. «/ = 2°°" • arcctg Бх3. 3.10. у = 4~* • In5 (x + 2).
¦ 3.11. y = 3tg*-arcsin7x4. 3.12. г/ = 5л! • arccos 2x5.
3.13. у = sin4 3x- arctg 2x3. 3.14. г/ = cos3 4x- arcctg Ух.
3.15. y = tg32x-arcsinx5. 3.16. у — ctg7 x • arccos 2X3.
3.17. i/ = e-sinj:tg7x6. 3.18. г/= eco" ctg 8X3.
3.19. г/ = cos5 x- arccos 4x. 3.20. y = sin37x- arcctg5x2.
3.21. i/ = sin23x-arcctg3x5. 3.22. г/ = cosS[x- arctg x4.
3.23. г/ = tg6 2x • cos Ix2. 3.24. у = ctg3 4x • arcsinV^-
3.25. i/ = ctg— • arccos x4. 3.26. y = tg-\[x' arcctg 3x5.
3.27. у = tg32x- arccos 2x3. 3.28. y = 2tg* arctg5 3x.
3.29. i/ = sin53x• arctgVx. 3.30 ;/ = cos43x- arcsiri3x2.
4
4.1. y= arcctg2 5x- ln(x — 4).
4.2. y = arctg?2x-ln(x + 5).
4.3. у = arccos4 x• ln(x2 + x — 1).
4.4. y=-yarccos 2x -3~х.
208

4.5. у = tg43x- arctg Ix2.
4.6. у = Ъ~х> arcsin Зх3.
4.7. у = arctg5 x • Iog2(x — 3).
4.8. у = Iog3(x + 5) • arccos 3x.
4.9. у = е~х> arcsin2 5x.
4.10. j/ = log4(x—1)-arcsin4x.
4.11. у = (x —4M- arcctg 3x2.
4.12. у = ctg3 Ax • arctg 2*3.
4.13. y = ?rCO5*arctg7x5.
4.14. у = (х+ I)arccos3x4.
4.15. у = 2sin* arcctg x4.
4.16. «/ = 3^ arctg 2x5.
4.17. y = Vsx arcsin2 3x.
4.18. (/ = In (x— 10)- arccos2 4x.
4.19. г/ = lg(x — 2) • arcsin5 x.
4.20. у = Iog3(x + 1) • arctg5 7x.
4.21. y = ln{A: + 9)t*2
4.22. y = lg(x +
4.23. y^4-5in*g
4.24. y = 2COSJ:arcctg3A:.
4.25. у = lg(x — 3) • arcsin2 bx.
4.26. у = log2(A: + 3) • arccos2 x.
4.27. y = 2~jrarctg34x.
4.28. y = ln{x — 4)- arcctg4 3x.
4.29. у = lg(x + 3) • arcctg2 5x
4.30. y = logs(A:+l)-arctg2x3.
5
5.1. у = tg4 Зл; • arcsin 2x3.
5.2. y = {x — 2L arcsin 5л:4.
5.3. г/ = 2-'э arctg 7jc4.
5.4. у = (x + 6f arcctg 3x5.
5.5. y = 3c0SMn(x2 —Злг + 7).
5.6. y = log2(je — 7) g
5.7. г/ = arccos3 5л: • tg x4.
5.8. y = ^-5Oarcctg7x3
5.9. у = arccos x2 • ctg 7x3.
5.10. у = 5~*г arccos 5x4.
5.11. i/= arctg4 x-cos 7x4.
5.12. y = 4(x —7N arcsin 3x5.
5.13. у = (x + 5J arccos3 5x.
5.14. y = 2i3
5.15. у = (x + 2O arccosл[х.
516 ( 7M i 74
5.16. у = (x — 7f arcsin 7л:4.
209

5.17. y = ln(x — 3) • arccos 3*4.
5.18. y = log2(x —4)-arctg34x.
5.19. у = (x — 7L arcctg2 7x.
5.20. y=^jx — 3 arccos4 2л;.
5.21. y=-\jx — 4 arcsin4 Ъх.
5.22. у = (л: — 3M arccos Зл;6.
5.23. у =У(* + ЗM arcsin 2л:3.
5.24. y=^J(x + IJ arccos Зх.
5.25. у = tg3 х • arcctg Зл:.
5.26. у = У(лг — 2K" arctg Gx — 1).
5.27. у = -У(х-\-4J arcsin 7л:2.
5.28. у = arcsin3 4л:-^Зл:.
5.29. у = e-cosx arcsin 2л:.
5.30. у =У(лг + 5K arccos4 x.
6
6.1. у = (х — ЗL arccos 5л:3. 6.2. у = Cл: —4K arccos Зх2.
6.3. у = sh3 4л- • arccos-/*. 6.4. у = itf^fx- arcctg Здг2.
6.5. у = cth3 5л: • arcsin Зл:2. 6.6. y = ch— • arctgGл:+ 2).
6.7. у = ch3 4л: • arccos 4л:2. 6.8. у = sh33x- arcctg 5л;2.
6.9. у = th5 Зл: • arcsin -\/x.
6.10. y = cth2(x+l)- arccos — .
6.11. у = sh4 2л- • arccos x2.
6.i 2. у = ch3 (Зл: + 2) • arctg Зл\
6.13. у = th3 4л: • arcctg 3x\
6.14. у = cth4 7л: • arcsin-yA-.
6.15. у = sh3 2л: • arcsin 7л:2.
6.16. у = th5 4л- • arccos Зл:4.
6.17. у = ch2 5л: • arctgVJc.
6.18. у = cth4 2л: • arctg л:3.
6.19. у = sh4 5л- • arccos 3x2.
6.20. у = ch3 9л- • arctg^ — 1).
6.21. у = Ш4л> arcctg — .
6.22. у = cth3 4л- • arcsin (Зл: + 1).
6.23. у = ch2 5л: • arctg л:4.
6.24. у = th4 7л- • arccos л:3.
210

6.25. у = cth 4x5 • arccos 2x.
6.26. у = cth Зл: • arcsin4 2x.
6.27. у = th5 Зл; • arcctg-\/x.
6.28. у
6.29. у
6.30. у
sh43x-arccos 5лЛ
cthz4x« arcsin л?.
th3 5л; • arcctg^ — 5).
7.1. У =
7.3. у =
7.5. у =
7.7. у =
7.9. у =
7.11. у =
7.13. у =
7.15. у =
7.17. у =
7.19. у =
7.21. у =
7.23. у =
7.25. у =
7.27. у =
-\/7*3 -5^ + 2
: —5
+ 2л: — x2
e-sin
e—sin 4л:
BЛ--5N
Bx2 - x + 4J
Cjc - 5L
{3x + IL
е3*
, cos Зх
7.2. у =
7.4. у =
7.6. у =
7.8. у =
7.10. у =
7.12. у =
7.14. у =
7.16. у =
7.18. у =
(jc — 4f
^arcctg jc
g —Ctg5x
(Зл:2 -4^ + 2)
V2x2 — 3^+1
g clB 5дг
e3"
Л/Зл:2 - 4л: - 7
^ cos 5x
-jx> — bx — 2
4x2 — 3* + 5 "
3*2 — 5jc + 10
7.20. у
7.22. у
7.24. у
7.26. у
7.28. у
^_ Bл:-ЗO
_ 5л:2 + 4л: — 2
л sin
(Здг - 2)
,2 -
211

7.29. y =
8.1. y =
8.3. y =
8.5. y =
8.7. y =
8.9. y =
8.11. «/ =
8.13. y
8.15. y
8.17. y
8.19. у
8.21. у
8.23. у
8.25. у
8.27. у
8.29. у
log 5C*-7)
ctg?*3
lnG* + 2)
5 cos 42*
cos23*
lgC*-4) •
cos2 5*
tg2(*-2)
_ cos4 G*— 1)
_ ctg3B*-3)
_ In2(*+1)
cos 3*4
_ log3D*-2)
ctg2*
_ »g(x + 2)
sin 2*5
ctgV* —2
In3*
ctg(*-3)'
1og3(*
9.1. у
9.3. u
arcctg4 5*
sh "у*
arccos 3*4
8
7.30. t/ =
8.2. y =
8.4. y =
8.6. y =
8.8. y =
8.10. y =
8.12. y =
8.14. y =
8.16. y =
8.18. y =
8.20. y =
8.22. y =
8.24. y =
8.26. y =
8.28. y =
8.30. у
4JC2 + 7* — 5
In E* — 3)
4 tg 3*4
sin3 5*
InB* — 3) '
tg32*
In G* — 3)
3tg24* '
. ctg25*
In G* —2) '
. sin3E*+l)
lgC*-2)
. sin3D* + 3)
lnG*+l) •
. lg3*
sin б*2
log2G*-5)
_ ln3(*-5)
tg(lA) '
_ tg3 7*
lnC* + 2) '
_ tgC*-5)
ln2(* + 3) '
_ log2C* + 7)
tg3*
_ tg4 5*
ln(* + 7) '
= tg4 3*
lg(^-*
9.2. y =
9.4. y =
arctg3 2*
ch(l/*) '
arcsin bx3
ch-y*
212

9.5. y =
9.7. у =
9.9. у =
9.11. у =
9.13. у =
9.15. у =
9.17. у
cth3Qt
arccos 2jc
arccos7 2*
th*5
th4B* + 5)
arccos 3jc
arcsin2 4jc
№Eл: — 3)
arcsin 4л:5
th5!
arccos 4л:3
sh7!
_ th3B* + 2)
9.19. */ =
9.21. у-
9.23. */ =
9.25. y:
9.27. y-
9.29. w =
arcsin 5jc
sh5*
arccos 4л:
arcctg "v*
arcctg3 x
зЬBл:-5) '
-y/arccos 3jc
sh2!
arctg2 5л:
з ,
/cthjc
Vsh3*
arcctg 5jc
9.6. y =
9.8. y =
9.10. y =
9.12. y =
9.14. y =
9.16. y =
9.18. y =
9.20. y =
9.22. у =
9.24. y =
9.26. y =
9.28. у
th3«5
arctg2 3* '
arcsin3 4jc
+ 2)
arctg x3
arctg3BA:+l)
cth2(>: - 2)
arccos 3x
cth2Cx- 1)
arccos x
Wx
arctg 5x
arcsin2 3x
ch(x —5> '
arccos3 5x
th(x —2) "
arctg2 5л:
9.30. y =
i/ch3x-
arctg(A: + 2) •
10
10.1. ^9агсУ + 7).
Ю.З. »= 7arccosD^-l)
У (х + 2У
3 arcctg Bл- —5)
8 arctgBjc + 3)
10.5. у =
10.7. i/ =
4 arccos Зл:
{х + 2M
IU.4. у —
Ю.8. у=
6 arcsin (л: + 5)
+ 8)
^
213

10.9. j/= 7arctgDJC-
10.11. y=2'g^ + 5).
(x + 6L
10.13. у = -ti^ + iI.
юле. i, = Mi±?L.
10.17. y =
10.19. U= 3 1082E^-4)
y (*-3M
10.21. u =
(x-4f
10.23. y =
(x - IM
10.25. y = ll2ft&L2
(x - 7J
10.27. y =
(x - If
10.29. y==
10.10. y
10.12. y
10.14.
10.16. y
10.18.
10.20. y
10.22. y
10.24.
10.26. y
10.28. y
10.30. y
3 arcsin B* — 7)
5
7
4
6
7
2
2
ti
4
4
(jc + 2L
lnE* + 7)
(x-lf
\щ,{2х -
(x-lM
lgCJt + 7)
(*+lO
log3BJt +
(* + 4J
5)
9)
x)
(x + 3)8 ¦
1пCл:— 10)
{х + 5У
tog3DA: —
(^ + 3L
;(«2 + 2^)
(* + 8L
Iog2Cjf -
(x-2f
lgC^ + 7)
7)
5)
214

11.7. u = -
,,.8. y=yi±±.\ogsBx-3).
П.Ю. у=4/4^Й-1пB*3-3).
11.11. y=^/I±lsinCx2 + l).
11.12. y =
созBл:3 + л:).
11.13. y = Y^ftgCx2-4x+l).
11.14. y=-v-+4
IT~?.sinDл:2 -7л: + 2).
11.17. y=-A/-^=-i-tgB*2-9).
1118. у=л/-ёз1с^(^2 + 5)-
V1-21- У=^т+1
11.22. y=-v/^-p-|-arccosCx —5).
215

11.23. y=
/2
arcsin*.
arccos\
rcsin2*
12.1. у = (cth Зл;)агс
12.3. у = (sin 3x)ar<
12.5. y = (sh(x + 2)Y
12.7. у =
12.9. у =
12.11. y = (ch3x)ctB'/JC
12.13. у = (arccos 5x)
12.15. у = " ' ' """
12.17. у =
lnJt
12.2. у =
12.4. у =
12.6. y = (cos
12.8. y = (ln(j
12.10. у = ч 7
12.12. у = (arcsin ^л;-
12.14. у = (arctg 2x)sin
12.16. у= -
12.18. у =
12.19. у = (
12.21. y = (sin4x)arctBl/*.
12.23. у = (ctg 2х3у["^-
12.25. y = (arccosA;)
12.20. у=(
12.22. у = |
12.24. у = (
12.26. y = (ctg7Ar)sh(jt-|-3).
12.27. у = (sh 5x)arctB(jt+2). 12.28. у = (arctgA:)thCjr+1).
12.29. y=(cth-Jx)sinix+3). 12.30. у = (sh3x)arcctg2\
216

13
13.1.
13.3. y
13.5. «/=
13.7. y=
13.9. y =
13.-11. #
13.13. y
13.15. у
13.17. J/
13.19. у
13.21. y
13.22. y
13.23. y
13.24. y
13.25. у
13.26. y
13.27. y
13.28. у
13.29. у
13.30. y
= (arccos(x+2))e3*. 13.2. y = i
(ctgCA:-2))arcsin3jr. 13.6. y = (tgDx — 3))*rccos2x.
(cosBx —5))arctB5*. 13.8. у = (sinG*+4)'rect*x.
= (arcsin 2*)ln(*+3). 13.10. у = (arccos ЗхI*®1-»
=(arctg5A:)IOB2(j:+4). 13.12. у = (arctg7x)lB<jr+1).
=(log4BA: + 3))arcsin^ 13.14. t/=(log5C*+2))arccos
= (lgGA:-5))arctB2\ 13.16. у=AпEл;-4))!'гсс1^.
= (log2FA:+5))arcsin2jt. 13.18. r/=(lgt4A:-3))arccos4\
= AпGл:-3))агс(е5л. 13.20. y=(
= (sin(8x-7))cth<x+3).
)
= (shCA: - 7))cos<*+4).
= (chBx— 3))tg<Jt+5).
= (thGx-5))sin<*+2).
14
14.1. y =
14.3. y =
14.5. y =
14.7. y =
14.9. u =
14.11. y =
14.2. у
(лг-3M(^ + 2K
217

14.13. y = -
'-г^-. 14.14. y =
(x-7f
X r air -Х- 91°
14.15. y=^ b(xJ ' . 14.16. y =
(х + 8K
14.17. y =
- 2L
-. 14.18. y =
14.19. y =
-. 14.20. y =
14.21. „=iji±i)?(*-2L. Moo у_(х-1)'(х.
~ 2M
(х~ 2)
14.23. y =
14.25. y =
14.27. y =
14.29. u =
Л* + 2M
V* —3(л + 7M
У(х —2K(х— 1)
14.24. t/=(* + 7J(*-3)
14.26. y =
. 14.28. y =
+ Зл — 1
+ 10(jc —8K
; : 14.30. »— . y
(X
3M
Решение типового варианта
Продифференцировать данные функции^
-Зх + 4.
2. у = ^JBx2 -Зх+ IK - 6/(х + IK.
> у' = АBл;2-3л;+ 1)-1/4Dл;-3) -6(-3)(лг+ I)
4х -3
18
3. у = tg5 (* + 2) • arccos 3x2.
^ „' __ 5 jg4 /j^ _j_ 2). !
', cos2 (jc + 2)
arccos Зх2 + tg5(x
218

' \ fir- 5 tg4 (л: + 2Ь arccos Зл:2
I -9л:4
4. у — arcsin5 Ax • Iog2(* — 5).
> у' = 5 arcsin4 Ax ¦
+ arcsin5 Ax
l
(*-5)ln2
arcsin5 4jc
,
5. y =
ctg 7л:3.
— 5) In 2'
Х21л:2 = -4 In 3 -З^'х3 ctg 7*3 - 2's^^7' ¦ <
6. у = cth2 3.v • arctg У*.
^ y' = 2 cth 3* • ( - -—j-J-——.) • 3 arctg V^ + cth2 Зл: X
V
' 1 _ __ 6 cth 3* • arctg -\[x i cth2
3x
+x
7. y=^3x2 —
> и' =
- 7x
- 7)e-'
— 7л: + 5
— 7л; + 5.
X 2 • arcctg 5* • ( - t +l25x2 ) • 5) • arcctg4 5* -
_ / {2x - 3) arcctg2 5< , 10 lg (jc2 - 3* + 5) • arcctg 5л: \
\ {x2 - 3x + 5) In 10 Г+25? /
X arcctg 5л\ ^
9. у =y arcsin Зх/sh2 л:.
2)9

у
2"\/
—— -3 sh2 x—2 shjcch*Varcsin 3*
arcsin
3sh2*
2-\/arcsin3x л/1— Эх2
¦ — ch 2jc~yarcsin 3x
10.
> ,
sh4*
1п(л:2-5))/(л:+3O.
1
— 5)
= 3-
/У. у = M{x + b)/{x - 5) ctg C* - 4).
_ 1 gZ/* + 5~__ 10 ctgCxr —4)
sin2Cjc-4) " V x-S 7 y(jc + 5N/(jc__5N
3 \p+^ <
sin2 C^ — 4) V JC-5 " ^
Тогда
> Прологарифмируем данную функцию:
lny = lnCx + 2)ln(th-V^
Отсюда выразим у':
th V* + 2 ch2 V* + 2 2-\/*+2
3 ln
lnC-t
г)-
Найдя
имеем:
229
2 ch
In у = arctg (Зл: — 5) • In (sin 7x),

уУ l+C*-5J
• 3 In (sin 7a) + arctg Ca — 5) •
X 7 cos 7a.
l
sin Ix
X
Отсюда
f __ /sjn j Y\arctg Cx-5) / 3 In (sin 7x) . 7 arctg (Зл: — Щ • cos 7л:
sin 7x
^ Применяя метод логарифмического дифференци-
дифференцирования (см. § 6.2), последовательно находим:
In у = ? In (х + 5) - 2 In (х - 1) - 5 In (х + 3),
ИДЗ-6.2
/. Найти у' и у".
.1. i/2 = 8a.
.3. у = а + arctg у.
.5. у2 = 25а —4.
.7. у2 — а = cos у.
.9. tg у = За + 5у.
.11. у = ^ + 4А.
.13. у2 + а2 = sin у.
.15. 4 sin2(A +у) = а.
.17. tg у = 4у —5а.
.19. ху — 6 = cos у.
п | j .2 __ „ | |« (ц/ y\
t?,O* Л у ~J~ Л — *jy*
.25. sin у = ху2 + 5.
1.27. л[х+л[у=л/7.
1.29. sin2 (За + у2) = 5.
2. Найти у' и у".
= (-2/ + 3) cos t,
= 3/3.
„„ /a = 6cos3/,
гА- S = 2sin3/.
.2. а75-
.4. А2/5 -
.6. arcctg у = •
.8. За + sin у = Ъу.
.10. Ay = ctg у.
.12. In у — у/х = 7.
.14. е» = 4А — 7у.
.16. sin y — 7x + 3y.
.18. у = 7* — ctg у.
.20. Зу = 7 + Ау3.
.22. ау2 —м3 = 4а —5.
.24. а + а у2 + У = 4.
.26. А3 + у3 = 5А.
1.28. У2 = (х-у)/(х
1.30. ctg2 (а + у) = 5х.
¦ = 2 cos2 /,
i = 3 sin2/.
2.6.
y=4~t.
221

2.11. {
2.13.
2.15.
it -Г *.i ,
' = 5*3-3<2.
= ё cos t,
¦ ё sin t.
¦ 5 cos t,
¦ 4 sin t.
= 5 cos2 t,
= 3sin2t.
: = 3(/ — sin t),
' = 3A — cos 4
„ 1Q fx = sin 2t,
2-19- Iy = cos2<.
2.16.
9 i о jx = 3(sin / — / cos t),
*ia- Iy = 3(cos/ + fsin0.
2.20. {X. = i-'3t
x = arccos
2-2X-[Xu-{Mttl .2.22. P=ar^?2!
).
I)J
2.25.
2.27.
2.24.
2-28'{у^//ё.
= &2-4,
5
\x = arcsin /,
г = 1пЛ
3. Для данной функции у и аргумента хо вычислить
у'"(хо).
3.1. y = sm2x, хо = я/2. 3.2. y = arctgAr, лг0 = 1-
3.3. у = In B + х2), хо = 0. 3.4. у = ех cos *, х0 = 0.
3.5. у = е* sin 2дс, л;о = О. 3.6. y = e~xcosx, xo = O.
3.7. у = sin 2х, л;0 = л. 3.8. у = Bх+If, хо=1.
3.9. у =
= 2. 3.10. у = 4-
3.11. у = arcsin дс, дсо = О. 3.12. у = Eлг — 4M, л;0 = 2.
3.13. y = xs'mx, дсо = я/2. 3.14. у = х2\пх, х0 = 1 /3.
3.15. у = х sin 2лс, дсо = —я/4.
3.16. у = х cos 2л:, дсо = я/12.
3.17. y = x4lnx, jco == I. 3.18. y = x+3Lrctgx, л;0 = 1.
3.19. y = cos2x, л-0 = я/4. 3.20. у = In (л;2-4), лго = 3.
3.21. у = л^ cos л;, х0 = л/2.
222

3.22. у = х arccos x, xo=^Jli/2.
3.23. y = (x+l)\n(x+l), xo=— 1/2.
3.24. у = In3 х, хо = 1. 3.25. у = 2*\ лг0 = 1.
3.26. у = Dх — ЗM, лго= 1.
3.27. у = л; arcctg х, лго = 2. 3.28. у = Gх — 4N, лго=1.
3.29. у = л; sin 2х, х0 = я/4.
3.30. у = sin (х3 + я), хо =
4. Записать формулу для производной я-го порядка
указанной функции.
4.1. у = In х. 4.2. у=\/х.
4.3. у = 2". 4.4. у = cos х.
4.5. y = sinx. 4.6. у= 1/(х + 5).
4.7. у = е*. 4.8. у = In C + дс).
4.9. у=^[х. 4.10. у =
4.9. у=^[х. 4.10. у = л;е.
4.11. у =1 (х — 3). 4.12. у = In E + х2).
4.13. у = еи. 4.14. у =1 /(* — 7).
4.15. у = 5х. 4.16. у = е-5*.
4.17. у = In D+ 4 4.18. у=1/(х — 6).
4.19. у =10^. 4.20. у = 7х.
4.21. у = cos Зл;. 4.22. у = In (Зл; — 5).
423^ 424^11,^
4.30. у = In Eж - 1).
5. Решить следующие задачи.
5.1. Записать уравнение касательной к кривой у = х2 —
— 7х + 3 в точке с абсциссой х = 1.
5.2. Записать уравнение нормали к кривой у = х2 —
— 16* + 7 в точке с абсциссой jc = 1.
5.3. Записать уравнение касательной к линии у =
=~\/лс — 4 в точке с абсциссой х = 8.
5.4. Записать уравнение нормали к линии у =~ух-\-4
в точке с абсциссой х= —3.
5.5. Записать уравнение касательной к кривой
у = х3 — 2х2 + 4х — 7 в точке B, 1).
5.6. Записать уравнение нормали к кривой у — х3 —
— Ъх2 + 1х — 2 в точке A, 1).
223

5.7. Определить угловой коэффициент касательной
к кривой х2 — У2-\-ху — 11=0 в точке C, 2).
5.8. В какой точке кривой у2 = Ах3 касательная пер-
перпендикулярна к прямой х + Зу — 1 = 0?
5.9. Записать уравнение касательной к кривой у = х2 —
— 6лс + 2 в точке с абсциссой х = 2.
5.10. Записать уравнение касательной к кривой у —
= х2/4 — х + 5 в точке с абсциссой х = 4.
5.11. Записать уравнение нормали к кривой у = х*/А —
— 27'х + 60 в точке с абсциссой х = 2.
5.12. Записать уравнение касательной к кривой
У— — у + 7х — 15/2 в точке с абсциссой х = 3.
5.13. Записать уравнение нормали к кривой у =
= 3 tg 2х + 1 в точке с абсциссой х = л/2.
5.14. Записать уравнение касательной к кривой
у = 4 tg Зх в точке с абсциссой х = л/9.
5.15. Записать уравнение нормали к кривой у = 6 tg 5x
в точке с абсциссой х = л/20.
5.16. Записать уравнение касательной к кривой
y = 4sin6x в точке с абсциссой х = л/18.
5.17. Выяснить, в каких точках кривой у = sin 2x каса-
касательная составляет с осью Ох угол л/4.
5.18. Выяснить, в какой точке кривой у = 2х3—1
касательная составляет с осью Ох угол л/3.
5.19. Выяснить, в какой точке кривой у — х3/3 —
— х2/2 — 7х + 9 касательная составляет с осью Ох угол
-л/4.
5.20. Выяснить, в каких точках кривой у = хл/3 —
— Ъх2/2-\-7х-\-А касательная составляет с осью Ох
угол л/4.
5.21. Найти точки на кривой у — х3/3 — 9дс2/2 +
+ 20* — 7, в которых касательные параллельны оси Ох.
5.22. Найти точку на кривой у = х*/4 — 7, касательная
в которой параллельна прямой у = 8х — 4.
5.23. Найти точку на кривой у =—Зх2 -\-4х -\-7, ка-
касательная в которой перпендикулярна к прямой х — 20у -(-
+ 5 = 0.
5.24. Найти точку на кривой у = Зх2 — 4х + 6, каса-
касательная в которой параллельна прямой 8х — у — 5 = 0.
5.25. Найти точку на кривой у = 5х2 — 4лг -f- 1, каса-
касательная в которой перпендикулярна к прямой х + 6у +
+ 15 = 0.
5.26. Найти точку на кривой у = 3х2 — 5л: — 11, каса-
касательная в которой параллельна прямой х — у +10 = 0.
224

5.27. Найти точку, на кривой у=—л:2 + 7лс+16, ка-
касательная в которой параллельна прямой у = Зх + 4.
5.28. Выяснить, в какой точке кривой у = Ах2 — 10*+
+ 13 касательная параллельна прямой у = &х— 7.
5.29. Выяснить, в какой точке кривой у == 7л:2 — 5лг + 4
касательная перпендикулярна к прямой 23у 4- дс — 1 =0.
5.30. Выяснить, в какой точке кривой у = дг/4 — 7лс + 5
касательная параллельна прямой у = 2х-\-Ъ.
6. Решить следующие задачи.
6.1. Траектория движения тела — кубическая пара-
парабола \2у = хг. В каких ее точках скорости возрастания
абсциссы и ординаты одинаковы? {Ответ: B, 2/3),
(-2, -2/3).)
6.2. Закон движения материальной точки s = 3^ /4 —
— 3/ + 7. В какой момент времени скорость ее движения
будет равна 2 м/с? (Ответ: 10/3 с.)
6.3. По оси Ох движутся две материальные точки,
законы движения которых х = At2 — 7 и х = 3t2 — At -(- 38.
С какой скоростью эти точки удаляются друг от друга
в момент встречи? (Ответ: 40 м/с или 26 м/с.)
6.4. Материальная точка движется по гиперболе
х</=12 так, что ее абсцисса х равномерно возрастает
со скоростью 1 м/с. С какой скоростью изменяется орди-
ордината точки, когда она проходит положение F, 2)? (От-
(Ответ: —1/3 м/с.)
6.5. В какой точке параболы у2 = Ах ордината возра-
возрастает вдвое быстрее, чем абсцисса? (Ответ: A/4, 1).)
6.6. Закон движения материальной точки s = t4 —
— 3t2 -\- 2t — 4. Найти скорость движения точки в момент
времени / = 2 с. (Ответ: 22 м/с.)
6.7. Закон движения материальной точки s = З^4 —
— t3 -\- At2 -(- 6. Найти скорость ее движения в момент
времени / = 2 с. (Ответ: 100 м/с.)
6.8. Закон движения материальной точки s —
= 4 cos (-j -\- -^Л -(- 6. Найти ее скорость в момент вре-
времени ( = лс. (Ответ: —1 м/с.)
6.9. Закон движения материальной точки s =
= 4 sin (-^ + -|Л — 8. Найти ее скорость в момент вре-
времени t = n/2 с. (Ответ: 2/3 м/с.)
6.10. Закон движения материальной точки s =
= — 3 cos(-r + у0 + 10. Найти ее скорость в момент
времени t = n/3 с. (Ответ: 3/8 м/с.)
225

6.11. Закон движения материальной точки s= —t3 —
О
— -я-12 + 7. В какой момент времени ее скорость будет
равна 42 м/с? (Ответ: 3 с.)
6.12. Закон движения материальной точки s = 4t3—
— 2/ + 11. В какой момент времени ее скорость будет
равна 190 м/с? (Ответ: 4 с.)
6.13. Закон движения материальной точки s =
= -5-t3 — 2t -\- 7. Найти скорость ее движения в момент
О
времени /=4с. (Ответ: 78 м/с.)
6.14. Закон движения материальной точки s = 2t&—
— б/3 — 58. Найти скорость ее движения в момент вре-
времени / = 2с. (Ответ: 88 м/с.)
6.15. По оси Ох движутся две материальные точки,
законы движения которых х = З/2 — 8 и х = 2t2 + 5/ -f 6.
С какой скоростью удаляются эти точки друг от друга
в момент встречи? (Ответ: 42 м/с, 33 м/с.)
6.16. По оси Ох движутся две материальные точки,
законы движения которых jc = 5/2 — / + 6 и х = 4/2+18.
С какой скоростью удаляются эти точки друг от друга в
момент встречи? (Ответ: 39 м/с, 32 м/с.)
6.17. По оси Ох движутся две материальные точки,
законы движения которых х= 4-13 — 7/+ 16 и х —
= t3 + 2t2 + Ы — 8. В какой момент времени их скорости
окажутся равными? (Ответ: 6 с.)
6.18. Закон движения материальной точки s = -^-t3 —
О
— 2/2 — 1 It + 275. В какой момент времени скорость ее
движения будет равна 10 м/с? (Ответ: 7 с.)
6.19. Материальная точка движется по гиперболе
ху = 20 так, что ее абсцисса равномерно возрастает со
скоростью 1 м/с. С какой скоростью изменяется ее
ордината, когда точка проходит положение D, 5)?
(Ответ: —1,25 м/с.)
6.20. В какой точке параболы у2 = 8х ордината возра-
возрастает вдвое быстрее, чем абсцисса? (Ответ: A/2, 2).)
6.21. По оси Ох движутся две материальные точки,
законы движения которых х = 5*2 + 2t -\- 6 и х = 4t2 +
+ 3/+18. С какой скоростью удаляются эти точки
друг от друга в момент встречи? (Ответ: 42 м/с или
35 м/с.)
6.22. В какой точке кривой г/г=1бл; ордината воэра-
226

стает в четыре раза быстрее, чем абсцисса? (Ответ:
A/4. 2).)
6.23. В какой точке параболы х = 9у абсцисса возра-
возрастает вдвое быстрее, чем ордината? (Ответ: (9/4, 9/16).)
6.24. В какой точке параболы х2 = 10у абсцисса
возрастает в пять раз быстрее, чем ордината? (Ответ:
A; о,1).)
6.25. По оси Ох движутся две материальные точки,
законы движения которых х = 2t3 — 2t2 + 6/ — 7 и
х~ -—tz — t2jr 14/ -|-4. В какой момент времени их ско-
рости будут равными? (Ответ: 4 с.)
6.26. Закон движения материальной точки по прямой
задан формулой s = i-/3 — \t2 — 30/ + 18. В какой мо-
момент времени скорость точки будет равна нулю? (От-
(Ответ: 6 с.)
6.27. Тело движется по прямой Ох по закону х =
= -*-t3—<г'2+ Ю/— 16. Определить скорость и ускоре-
ускорение движения тела. В какие моменты времени оно
меняет направление движения? (Ответ: 2 с, 5 с.)
6.28. Зависимость между массой х кг вещества, полу-
получаемого в некоторой химической реакции, и временем /
выражается уравнением л: = 7A — е~*'). Определить ско-
скорость реакции в случае, когда / = 0 с. (Ответ: 28 кг/с.)
6.29. Материальная точка движется прямолинейно так,
что и2 = 6х, где v — скорость; х — пройденный путь. Опре-
Определить ускорение движения точки в момент, когда ско-
скорость равна 6 м/с. (Ответ: 1/2 м/с2.)
6.30. Закон движения материальной точки s = 3/ +
+ /3. Найти скорость ее движения в момент времени
/ = 2с. (Ответ: 15 м/с.)
Решение типового варианта
1. Найти у' и у", если xzy — у2 = 6х.
^ Имеем равенство Зхту-\- х3у' — 2уу' = 6, откуда
у' = F~3х2у)/(х3-2у).
Продифференцировав обе части предыдущего равен-
равенства, получим
бху + 3*У + ЗхУ + хъу" - 2/ - 2уу" = 0,
откуда
y"(x^ - 2у) = 2у'2 - 6*У - бху,
227

„» - о F - Wyf a r2 6 - ЗА бху
У ^ (x3-2yf °Х (x*-2yf S-2
2. Найти у' и у", если
x = 3t4-t2,
^ Так как
то
w' = А. =
w = А. = =
И* ^ 12/3 —2/ 12/2 —2 '
= 6<A2<3-2Q-C6<2-2)-3<a =
х? A2/3 —20э
72<4 — 12/2 — 108/" + 6fa 3F/2
(\2t3 — 2tf 2
3. Найти y''Y-т-) > если У = 4" "~ 4"cos2 x-
> Последовательно находим:
у' = -к- cos х • sin х = -j- sin 2дс,
у" = -i-cos 2x, у'" = —sin 2x,
4. Записать формулу для производной я-го порядка,
если у = хе".
> Имеем:
у' = е* + л:^, t/' = е' + е" + л:^ = 2^ + хех.
у'" =-2ех + е* + хех = Ъех + хе*.
Сравнив полученные выражения для у', у" и у'", за-
запишем:
г/") = пе* + хе". М
5. Записать уравнение касательной к кривой у = х2 —
— 9х — 4 в точке с абсциссой х= —1.
> Ордината точки касания у(—1)= 1+9 —4 = 6.
В любой точке у' = 2х — 9. В точке касания t/{—1) =
= •=— 11. Поэтому имеем уравнение касательной (по точке
(—1, 6) и угловому коэффициенту —11):
у — Ъ——\\{х+\),у——\\х — Ъ. Л
228

6. По оси Ох движутся две материальные точки, законы
движения которых х\ = 4 и х2 = -~-12 — 12/ + 3 (х —
о 2
в метрах, /—в секундах). В какой момент времени их
скорости окажутся равными?
^ Находим скорости обеих точек: х\ = /2, л^ = 7/ — 12.
Так как х\ = х'2, то t2 = 7t— 12, t2 — 7t+ 12 = 0, Л=3 с,
/2 = 4 С. 4\
ИДЗ-6.3
Найти указанные пределы, используя правило Ло-
питаля.
1
1.1. Пт '" (* + 5> . 1.2» Пг
-><» A/vJ. Ч *-^> 'Х- 1
/х + 3
1.3. lim **-* . 1.4. lim '-4sin2
*->-о # — sin jr jc->-i 1 — л:
1.5. lim arcsin^—^- -ctg (x — a).
1.6. lim (л — 2 arctg x) In x.
x-*~<x>
1.7. lim (aIA-l)x. 1.8. limf— —
jc-^oo Л-.-1 \ In л:
1.9. lim \~cosx22. 1.10. lim 1е
o -1 i г
In x
m \2. 1.10. lim .
^o л:-1 — sin лг ^->o 2 sin x + x
1.11. lim *'f-' . 1.12. lim*3-2*2-* +'».
^->oo 2 arctg д: — л x-^i a:1* — 7л:+ 6
1.13. IJm^os л:-sin л: 1.14. lim 4-
1.15. lim Lz^[ . 1.16. lim ^-.
x^i 1 — sin (nx/2) • - x^-<x, yx
1.17. lim chx~l . 1.18. lim n/x .
x^o 1 — cos x *-<¦() ctg (nx/2)
1.19. lim 1/cos2*-2tg*. 1.20. lim'n(sinmA:).
^_,-n/4 1 + cos 4д: x-^) In (sm x)
1.21. lim -^i-*-. 1.22. lim A —cos x) ctg x.
Л-.-П/2 tg 5x Jt-^O
1.23. lim(l — x)tg(nx/2). 1.24. lim л; sin C/x).
229

1.25. lim
1.27. lim-
»+2x+l
V2 + x + x
1-х
x'-^-'l 1 — sin (ллг/2)
1.29. lim **L.
x^n/2 tg ОЛГ
1.26. lim
x-<-0
X COS X — Sin X
1.28. limtg*-sin*.
x-M) 4x — sin x
1.30. lim sec'*-2tgs
JC->-n/4 1 -f- COS 4x
2.1.
2.3.
2.5.
2.6.
2.8.
2.10.
2.12.
2.14.
2.16.
2.18.
2.20.
2.22.
2.24.
2.26.
lim
tg2 2x
2.2. lim x* sin (a/x).
JC-»-oo
limlnjt-ln(jt-l). 2.4. limf—- 2 5 Y
x-+l K ' х-*Ъ\х — 3 X2 — X — 6/
lim i
l
3A-
lim-
2.7. lim
JC-.-0 Sin л: Х-+П/2 \ Ctg X
lim(n-x) tg(x/2). 2.9. lim —
--^—Y
2 cos x)
lim
1 — sin ax
x-»n/{2a) Bax — 3
¦ ¦ e2*— l
x-0 In A + 2д:)
2.11. lim '-2sin*
«->л/6 COS 3x
2.13. lim
a*-\
^o c" — 1 "
2.15. lim
In x
-^I Ctg X
lim
lim
1 — cos ax
1 — cos bx
e'—l
2.17. lim
*~a
sin 2x
xf —CC
2.19. lim (x In л;).
limf—! L\ 2.21. Um(l-e2x) ctg л;.
jt-o \ л: sin л: л2 / »-o v / &
lim
lim
a' — b"
хл1\—х>
2.23. lim
a*'-1-х3
sin2 2x
lim -V
2.25. lim ln('+*2) .
jt-^o cos Zx — e"
2.27. lim
230

2.28. lim—5?—.
jt-o ctgEx/2)
2.29. lim(l — cos2x) ctg4x.
2.30. lim (x2 sin b/x).
3.1. lim arcsin4f . 3.2. lim.
*— о 5 — 5e~3x *—о •*
3.3. lim e"-' . 3.4. lim «--*V»-*-'
1
lim . 3.4. lim ,
jr-й) COS X — 1 *—0 COS X — JT/2 — 1
3.5. lim*'8*-'. 3.6. H
t
lim. 3.6. Hm
JC-й) tg X — JC JC—I Ctg JUT
3.7. Hmcosx-|n"(x-fl). 3.8. lim !
x^a \n(ex — ef) x^i cosCur/2)-ln(l — x)
3.9. \imcos^~l). 3.10. limcg;~C0SttX
*-й) cos x — 1 x-+o e** — cos Эх
3.U. lim хГ~сГ' . 3.12. lim л: sin-5L.
^->o JT — СГ x—<x> OX
3.13. lim »**-»*« . 3.14. lim
* 3i4 12 i
3.15. H
. 3.14. lim ^ .
3sin4jt— 12 sin x *-я/4 2sforjc— 1
arcsin 2*-2 arcsin*
3.17. lim a'-fmz . зле. iim (tgx)ls2x.
3.19. Нт'п(со$шг). 3.20. lim
IF) /«
3.21. lim f-L-_L_-V 3.22. lim x2 е~°'ш.
3.23. lim '"('+***) . 3.24. lim(l -x){o**x.
**° i( + Vl+^) **'
3.25. lim f~\. . 3.26. lim 1п2л>1п Bx-1).
*-oo 2 arctg xr — л х-*\/2
3.27. lim (— !—V 3.28. lim arcsin x • tg x.
3.29. lim (Л"*). 3.30. lim (*—II"'.
231

cte*
4.1. Iim(l-sin2;t)
4.3. lim(cosx)ctB4
X-+0
4.5. lim (т2хI/1п*
jc-»- oct
4.7. lim A-х)*.
x-f1
4.9.'lim (sin *)'«*.
X--0
4:11. limxsinjc.
4.13. lim A + a^I/jc
4.15. limftg^)tg<W2J. 4.16.
4.17. limf-L)'^. 4.18.
4
4.2.
4.4.
4.6.
4.8.
4.10.
4.12.
4.14.
lim
lim
lim
*->•<)
lim
x—0
(ln(l/x)
Xх.
A +sin
(ln(* +
lim л/х.
lir
n(l-x)
lim^l/(x-'
)*.
2x)l/t*'x.
e)f'x.
)
4.19. lim(irtg *)*"»*. 4.20. lim (In x)l/x.
X0 X oo
X-*-0
4.21. lim /«1+21n". 4.22. Hm(l-eJCI/x.
X-*~ oe X-». oo
4.23. lim (jc— iy/inC2U-139. 4.24. lim (cos—V.
X-^oo X-»-oo \ X/
4.25. Urn (ctg2xI/ln*. 4.26. \\m(— . 5 V
*-*-o х-+ь \x—5 a —x—20/
4.27. lim x2 sin—.
x—x . X
4.28. lim 1
3A -
4.29. lim(l— x)cos<nx/2K 4.30. lim
5.1. lim Jt(lnB + Jt) —ln(x+l)).
X-*-oo
5.2. lim (cos - + A, sin -V.
5.3. lim (x + 2x)l/x. . 5.4. lim A+3 tg2x)ctg2x.
Jt^oo xQ
5.5. lim (cos (т/У*))*. 5.6. lim (cos 2xK/x\
X-*oo Х-Ю
232

5.7. lim(lnctg;t)tg\
x—*
SO lim v-l/1" (**—!)
• V* 11111 Д. .
x—*-0
5.11. lim A+3/*)*.
X-»-oo
5.13. lim (tgxJx-".
х-я/2 V S '
5.15. limf C0Sox-VA'.
x-o \cos2x I
.5.8. НтB-л:/а)'в("*/Bо)).
5.10.lim
Г)
5.12. lim (e*+
*—о
5.14. lim (— arctgjeV.
JC-»oo \ Я /
5.16. lim
lim ЛУУ
дг-коо \ I +Sin Jt/
5.19. lim f
5.17. Jmi (cos A /x) + sin A /*))*.
5.18. Нт(*-1)'1Я-" .
5-20. Jim (-^~У • 5.21. lim^/l — 2x.
5.22. limfsinl+cosi-V.
5.23. lim "\/cos
5.25. lim
x — a/
5.27.
5.24. lim(l +sinnx)ctgnx.
5.26. lim xl/x..
5.28. limx8'"*.
5.29. Um(-j\tSX. 5.30.
С помощью дифференциала приближенно вычислить
данные величины и оценить допущенную относительную
погрешность (с точностью до двух знаков после запятой).
6.2. -^26,19.
6.3. "V 16,64. 6.4; -\/8,76.
6.5. УзТ 6.6. ->/то-
6.7. B,01 K + B,01 J. 6.8. ^/65.
6.9. 2,9/УB,9J+16. 6.10.
6.11.
6.13.
6.12. /
6.14. C.03M.

6.21. '-ty 1025.
6.23. E,07K.
з
6.25. "VI ,02.
6.27. arctg 1,05.
6.29. tg44°.
6.22. C,02L + C,02K.
6.24. D,01I5.
6.26. cos 151°.
6.28. cos 61°.
6.30. arctg 0,98.
7.1. arcsin 0,6.
7.4. lg 11.
7.7. e2-01.
7.2. arctg 0,95.
7.5. arcsin 0,54.
7.3. e0-2.
7.6. cos 59°.
7.8. Intg46°. 7.9. arctg-
7.10. arctgVO.97. 7.11. arctg 1,01. 7.12. ln(e2+0,2).
7.13. arctg 1,03. 7.14. Intg47°15'. 7.15. Ig9,5.
7.16. arctgVsX 7.17. 22-1.
7.19. tg59°. 7.20. log2 1,9.
7.22. ctg 29°. 7.23. sin 93°.
7.25. sin 29°. 7.26. lg 101.
7.28. lg 0,9. 7.29. e0-25.
Решение типового варианта
Найти указанные пределы, используя правило Ло-
Лопиталя.
7.18. 41-2.
7.21. arctg УЗД
7.24. lg 1,5.
7.27. sin 31°.
7.30.
/
*-~°° л/Зх— 1
> Так как под знаком предела числитель и знаме-
знаменатель дроби стремятся к бесконечности при х-*-об, то
приходим к неопределенности вида —*. Следовательно,
можно применить правило Лопиталя. Имеем:
* При нахождении пределов условимся использовать следующие
символические записи. Если функции и(х) и v(x) при х-*-хо или х-*- ± оо
стремятся соответственно к 0 и 0, или к оо и оо', или к 0 и оо, или
. *¦ I- / и \ 0 ,. и оо
к 1 и оо и т. д., будем писать: liml —) = -=-, или lim— = —, или
\v) 0 ооо'
lim {uv) = 0-оо, или lim и" = 1 °" и т. д.
234

/Здг— I
x-oo 3/YCx—IL
3 *-*«. X? + 1 OO
= Jt Um
2Jc ~
J ' lim
27f~5
з ;-»» jo* узх — l is.*-.» ^ y3jc_ i
15
3x— 1
. lim
tg2
^ При х^-п/2 получаем неопределенность вида -2-.
Применяем правило Лопиталя:
= -— = lim
О л-л/2
4(>
cos22x
-cos32x.cosx
4sin2jt
^2. Hm (-cos32x)X
, 4 *-!-я/2 '
x lira cos*
^ jr-»n/2 2 sin x cos x
=-1-1 lim —!—
4 х-уя/2 2 Sin X
3. li
^ Имеем неопределенность вида —, которую раскры-
раскрываем с помощью правила Лопиталя:
Umarctg4* =|ir
*—о еь% — 1 i-
4. \\т(-
\2-
ГГ7)-
> Имеем неопределенность вида оо — оо. Преобра-
Преобразуем ее к виду -^-:
Й35

im (
c-° \ 2 -
lim
. \ =
c-4/
=00 — 00 =
.. -J\6 + x — 4 — 6 + 3 лА+х2 О
= Mm — ===== ' ¦ * = -г- =
= lim
*—0
1/B-
L(-y/l6 + jC-4) +
B-
=*-f-=O°-
5. lir
> Имеем неопределенность вида 1°°. Введем обозна-
обозначение ц=[
In у = х In
In
lim In у = lim —
- 4)
= lim -
= lim {{—х2Bхъ — 2x2 -%x + 3x2 - Зл; — 9 - 2x3 — 6x2
X-+-OO
-\-8x + x2 + 3x — 4)/((x2 + Зл; — 4) (r2 - x- 3))~' =
= lim -r^-
Так как
— x — 3
то
— X —3
С помощью дифференциала приближенно вычислить
данные величины и оценить допущенную относительную
погрешность (с точностью до двух знаков после запятой).
6. л/84.
236

^ Представим данную величину в виде -у 84 =
= -у43+20 и введем функцию у = ух, где х = Хо-\-Ах;
д:0 = 64; Дх = 20. Воспользуемся формулой у(хо-{-,
да У(хо) + t/(xo)Ax. Получим:
• («Н-Аг
3^ 6 - 48
Вычисляем
Относительная погрешность
«= 4'42~4-3 -100% =2,7%. 4
4,42
7. arctgO,98.
^ Воспользуемся той же схемой:
у = arctg х, хо = 1, А* = 0,98 — 1 = —0,02,
=0,5, arctg 0,98 я; л/4-0,5-0,02 = 0,77,
6=|AJl=^|.100% = 13%. «
ИДЗ-6.4
1. Решить следующие задачи.
1.1. Полотняный шатер объемом V имеет форму пря-
прямого конуса. Каково должно быть отношение высоты
конуса к радиусу его основания, чтобы на шатер пошло
наименьшее количество полотна? (Ответ: ~\2.)
1.2. В равнобедренный треугольник с основанием а
и углом при основании а вписать параллелограмм
наибольшей площадью так, чтобы одна из его сторон
лежала на основании, а другая на боковой стороне
треугольника. Найти длины сторон параллелограмма.
(Ответ: а/2 и а/D cos а).)
1.3. Найти соотношение между радиусом R и высотой
И цилиндра, имеющего при данном объеме V наимень-
наименьшую полную поверхность. (Ответ: H = 2R.)
1.4. Требуется сделать коническую воронку с обра-
237

зующей, равной 20 см. Какой должна быть высота ворон-
воронки, чтобы ее объем был наименьшим? ( Ответ: 2Q-\Z/3 см.)
1.5. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р.
Каково должно быть его основание, чтобы объем тела,
образованного вращением этого треугольника вокруг его
основания, был наибольшим? (Ответ: р/2.)
1.6. Найти высоту конуса наибольшего объема, кото-
который можно вписать в шар радиусом R. (Ответ: 4/?/3.)
1.7. Проволокой, длина которой / м, необходимо ого-
огородить клумбу, имеющую форму кругового сектора. Ка-
Каким должен быть радиус круга, чтобы площадь клумбы
была наибольшей? (Ответ: 1/4 м.)
1.8. Определить наибольшую площадь прямоугольни-
прямоугольника, вписанного в полукруг радиусом а. (Ответ: а2.)
1.9. Бревно длиной 20 м имеет форму усеченного ко-
конуса, диаметры оснований которого равны 2 м и 1 м.
Требуется вырубить из бревна балку с квадратным попе-
поперечным сечением, ось которой совпадала бы с осью
бревна, а объем был бы наибольшим. Каковы должны
быть размеры балки? (Ответ: длина балки 40/3 м, сторона
поперечного сечения 2"у 2/3 м.)
1.10. С корабля, который стоит на якоре в 9 км от бере-
берега, нужно послать гонца в лагерь, расположенный в 15 км
от ближайшей к кораблю точки берега. Скорость по-
посыльного при движении пешком — 5 км/ч, а на лодке —
4 км/ч. В каком месте он должен пристать к берегу,
чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время? (Ответ: в 3 км
от лагеря.)
1.11. Полоса жести шириной а, имеющая прямо-
прямоугольную форму, должна быть согнута в виде открытого
кругового цилиндрического желоба так, чтобы его сечение
имело форму сегмента. Каким должен быть центральный
угол ф, опирающийся на дугу этого сегмента, чтобы
вместимость желоба была наибольшей? (Ответ: q> = л.)
1.12. Из круглого бревна диаметром d надо вырезать
балку прямоугольного сечения. Каковы должны быть ши-
ширина Ь и высота h этого сечения, чтобы балка, будучи
горизонтально расположенной и равномерно нагруженной,
имела наименьший прогиб? (Величина прогиба обратно
пропорциональна произведению ширину Ь поперечного
сечения и куба высоты Л.) ( Ответ: Ь = rf/2, А = d-\fb/2)
1.13. Стоимость железнодорожной перевозки груза на
1 км (АВ) равна k\ p., а автомобильной (PC) — k-i p.
238

(k\ ¦< йг). В каком месте Р надо начать строительство
шоссе, чтобы возможно дешевле доставлять груз из
пункта Л в С? Известно, что \АВ\ = а, \ВС\ = Ь
(рис. 6.15). (Ответ: на расстоянии а— ' от точ-
л.) ^
ки
Рис. 6.15
1.14. Человеку нужно добраться из пункта А, находя-
находящегося на одном берегу реки, в пункт В на другом ее
берегу. Зная, что скорость движения по берегу в k раз
больше скорости движения по воде, определить, под каким
углом человек должен пересечь реку, чтобы достичь пунк-
пункта В в кратчайшее время. Ширина реки Л, расстояние
между пунктами А и В (вдоль берега) равно а. (Ответ:
max(arccos A/fe), a ret g (Л/а)).)
1.15. Ha прямолинейном отрезке АВ, соединяющем два
источника света: А (силой р) и В (силой q), найтн точку
М, освещаемую слабее всего, если \АВ\ = а. (Освещен-
(Освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния от
источника света.) (Ответ: на расстоянии з а ***— от точ-
точки АЛ
1.16. Лампа висит над центром круглого стола ра-
радиусом г. При какой высоте лампы над столом освещен-
освещенность предмета, лежащего на его крае, будет наилучшей?
(Освещенность прямо пропорциональна косинусу угла
падения лучей света и обратно пропорциональна квадрату
расстояния от источника света.) (Ответ: г/-\[2)
1.17. Из всех цилиндров, вписанных в данный конус,
найти тот, у которого боковая поверхность наибольшая.
Высота конуса Я, радиус основания R. (Ответ: радиус
основания цилиндра R/2, высота Я/2.)
1.18. Из бумажного круга вырезан сектор, а из остав-
оставшейся его части склеена коническая воронка. Какой угол
239

должен иметь вырезанный сектор, чтобы объем воронки
был наибольшим? ( Ответ: 2n-\J2fi)
1.19. Из всех конусов с данной боковой поверхностью
5 найти тот, у которого объем наибольший. (Ответ: радиус
основания конуса -л—$г высота -\/sCjI~') Л
V W3 V лУЗ '
1.20. Пункт В находится на расстоянии 60 км от же-
железной дороги. Расстояние по железной дороге от пунк-
пункта А до ближайшей к пункту В точки С составляет 285 км.
На каком расстоянии от точки С надо построить станцию,
от которой проложат шоссе к пункту В, чтобы затрачивать
наименьшее время на передвижения между пунктами
А к В, если скорость движения по железной дороге равна
52 км/ч, а скорость движения по шоссе — 20 км/ч. (От-
(Ответ: 25 км.)
1.21. Канал, ширина которого а м, под прямым углом
впадает в другой канал шириной b м. Определить наиболь-
наибольшую длину бревен, которые можно сплавлять по этой
системе каналов. (Ответ: (а2/3 + Ь2/3K/2 м.)
1.22. Найти высоту прямого кругового конуса наимень-
наименьшего объема, описанного около шара радиусом R.
(Ответ: 8R.)
1.23. При каком наклоне боковых сторон равнобедрен-
равнобедренной трапеции площадь ее будет наибольшей, если боковые
стороны равны Ь, а меньшее основание а. (Ответ: cos <p =
1.24. Из фигуры, ограниченной кривой у = 3~ух и пря-
прямыми х = 4, у = 0, вырезать прямоугольник наибольшей
площадью. (Ответ: S =9,22.)
1.25. Равнобедренный треугольник, вписанный в
окружность радиусом R, вращается вокруг прямой, кото-
которая проходит через его вершину параллельно основанию.
Какой должна быть высота этого треугольника, чтобы
тело, полученное в результате его вращения, имело наи-
наибольший объем? (Ответ: 5/?/3.)
1.26. Требуется изготовить открытый цилиндрический
бак вместимостью V. Стоимость 1 м2 материала, из кото-
которого изготавливается дно бака, составляет Р> р., а стои-
стоимость 1 м2 материала, идущего на стенки бака,— Рг р.
При каком отношении радиуса дна к высоте бака затраты
на материал будут минимальными? (Ответ: Рг/Ру)
1.27. Сосуд с вертикальными стенками высотой Н, на-
240

полненный невязкой жидкостью, стоит на горизонтальной
плоскости. Определить местоположение отверстия, при ко-
котором дальность струи будет наибольшей, если скорость
вытекающей жидкости по закону Торричелли равна
y2gx, где х — расстояние от отверстия до поверхности
жидкости; g — ускорение свободного падения. (Ответ: на
середине высоты Н.)
1.28. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного
полукругом. Периметр окна равен 15 м. При каком радиусе
полукруга окно будет пропускать наибольшее количество
света? (Ответ: 2,1 м.)
1.29. На странице книги печатный текст занимает
площадь S; ширина верхнего и нижнего полей равна а,
а правого и левого — Ь. При каком отношении ширины
к высоте текста площадь всей страницы будет наимень-
наименьшей? (Ответ: Ь/а.)
1.30. Из круглого бревна, диаметр которого d, требует-
требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения.
Каковы должны быть ширина и высота этого сечения,
чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на
изгиб? Сопротивление балки на изгиб Q пропорционально
произведению ширины х ее поперечного сечения и квад-
квадрата его высоты у, т. е. Q = kxy2, k = const. (Ответ:
2. Провести полное исследование указанных функций
и построить их графики.
2.1. у= л -"-г* . 2.2. у = х^1
* х-\ * (х-If
2.3. у = е1/{5+х). 2А. у = х/(9 — х).
2.5. ,= i^lz±. 2.6.„ = ^-_
2.7. u=JHi. 2.8. w = x+-i^i:
2.9. у = х-\пA +Х2). 2.10. г/ = ?
2.11. у = х2-2\пх. *
2.13. у =
7
х2 - 2х
2.15. t/=-ll±
241

2.17. у = ^ + 6 . 2.18. у = х\пх.
2.19. у = {х- l)e3x+i. 2.20. у=
х+1
2,_l 2.22. У =
2.21. У=-Г—ГЗ--
(х - IJ ¦ • л:4 - 1
2.23. 0 = (г5 + 4)/г\ 2.24. t/ = 4-"У**(* - 5).
2.25. «/ = *7(лг4 — 1). 2.26. у = (е2дг + \)/ех.
2.27. I/ = х2 + 1 /х2. 2.28. I/ = Eл:4 + 3)/х.
2.29. у= 4~2* 2.30. у = 5х
4-х2
3. Провести полное исследование данных функций и
построить их графики.
3.1. у = е2х-*
3.3. у = 2(+
3.5. у = Dе*2 - \)/ех
3.7. у = хе1/х.
3-9-
3.11.
3.13.
ЗЛ5^=(ттт)- зл6^=9-,з
J = (x+l)e2x. 3.18. 1/ = /( + )
3.19. y^x'/ix3— 1). 3.20. t/= In (л:2 - 2л: + 6).
3.21. t/ = In (I — 1/jc2). 3.22. г/ = лг3^+|.
3.23. i/ = х - ln A + x2). 3.24. 0 = 1 - In3 x.
3.25. y = {x— \)e4x+2. 3.26. t/ = 2x* + 2 + 4x .
3.27. 0 = -a- In2 x. 3.28. y = x2-2\nx.
3.29. 0 = eU{-2~x). 3.30. t/ = In D - x2).
4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
у = f(x) на отрезке [а; Ь].
4.1. у = \п(х2-2х + 2), [0; 3].
4.2. 1/ = Зл-/(л-2+1), [0; 5].
4.3. у = {2х-\)/{х-\J, [-1/2; 0].
242

4.4. y = (x + 2)e'-x, [-2; 2].
4.5. у = In (x2 - 2x + 4), [ - 1; 3/2].
4.6. у = хъ/{х2 -x+\), [— 1; 1].
4.7. y = ((x+l)/xf,[l; 2].
4.8. y=-\jx—x\ [ — 2; 2].
4.9. y = 4-e~x\ [0; 1].
4.10. у = (лг3 + 4)/лг2, [1; 2].
4.11. # = хе*, [-2; 0].
4.12. 0 = (* —2)e*. [-2; 1].
4.13. y = (x-\)e~x, [0; 3].
4.14. y = x/(9-x2), [-2; 2].
4.15. y = (\ +\nx)/x, [\/e; e].
4.16. y = e*x-x\ [1; 3].
4.17. t/ = (л:5 8)/лг4, [ 3; 1 1.
4.18. y= e2" + 1 , [—1; 2].
4.19. y = x\nx, [\/e2; I).
4.20. (/ = xV+l, [—4; 0].
4.21. 1/ = х2-2лг + 2/(лг—1), [-1; 3].
4.22. y = (x+ l)-^2, [-4/5; 3].
4.23. y = ebx-x\ [ — 3; 3].
4.24. y = (\nx)/x, [1; 4].
4.25. 1/ = Злг4 — 16х3 + 2, [-3; 1].
4.26. у = x5 — 5x4 + 5x3 + 1, [—1; 2].
4.27. y={2> — x)e-\ [0; 5].
4.28. t/=V3/2 + cosx, [0; л/2].
4.29. 1/=108лг-лг4, [—1; 4].
4.30. у = x*/4 — 6x3 + 7, [16; 20].
Решение типового варианта
1. От канала шириной 32 м отходит под прямым углом
другой канал шириной 4 м. Определить наибольшую
длину бревен, которые можно сплавлять по этой системе
каналов. (Толщину бревна не учитывать.)
> Обозначим длину бревна через /. Тогда:
COS ф COS ф
4
sin ф sin <р ' cos ф sin ф
(рис. 6.16).
243

Рис. 6.16
Исследуем функцию / на экстремум:
32
COS2 ф
Sin ф —
cos ф =
sin2 ф • cos2 ф
Если /' = 0, то 32 sin3 ф — 4 cos3 ф = 0. Так как
cos ф Ф 0, то из последнего уравнения имеем: tg3 ф = 1/8,
tg ф = 1 /2, sin ф = 1 /л[ъ, cos ф = 2/л[ъ, ф « 26°34'.
В окрестности этого значения ф знак производной /'
определяется знаком ее числителя, т. е. выражения м(ф) =
= 32 sin3 ф — 4 cos3 ф. Имеем:
м(ф)|„=2б° « 32 ¦ 0.4383 - 4 • 0,8993 ж 2,696 - 2,904 < 0,
и(ф)|„-27- « 32 • 0.4543 - 4 • 0.8913 « 2,994 - 2,829 > 0,
т. е.
/(ф)|Ф = 26°34' — /max-
Следовательно, при ф « 26°34' расстояние |ЛС| будет
минимальным, поэтому наибольшая длина /тах бревна,
сплавляемого из одного канала в другой, не может быть
больше этого расстояния. Окончательно получаем:
Lax =20д/5« 44,72 м. 4
2. Провести полное исследование функции у = (х-{-
-\-3J/(х — 4) и построить ее график.
> Исследуем данную функцию, придерживаясь в
основном схемы, предложенной в § 6.7.
1. Областью определения функции является множество
*?(-«>; 4) U D; +оо).
2. Ордината точки графика у~>0 при х > 4, у < 0
при лг<4.
3. Точки пересечения графика данной функции с осями
координат: @, —9/4) и ( — 3, 0).
244

4. Легко находим, что х = 4 — вертикальная асимпто-
асимптота, причем:
lim y= lim ifL+_L = —оо, lim у =
Х--4-0 х-»4-0 X — 4 х—4+0
= Um
х_»4 +0 л: — 4
Находим наклонные асимптоты:
k= lim Ж= lim Л
х
x{x-i)
b= lim (f(x)-kx)= lim
x — 4
= lim x -i-« + »—r + « = lim 1^ + 9 = 10
x^±oo л: —4 x^±oo л: —4
Таким образом, существует единственная наклонная
асимптота у = х + Ю.
5. Исследуем функцию на возрастание, убывание, ло-
локальный экстремум:
, _ 2(л: + 3) (х — 4) - (х + ЗJ _ 2л:2 — 2л: - 24 - х2 - 6х - 9 _
^ (¦* — 4J (л: — 4J
_ х2 — 8х — 33
~ {x-if '
Из у' = 0 следует х2 — 8л: — 33 = 0, откуда *i = 11,
Х2= — 3. В интервале (— оо; — 3) f/'> 0, следовательно,
функция возрастает в этом интервале; в (— 3; 4) у' < О,
т. е. функция убывает. Поэтому функция в точке х— —3
имеет локальный максимум: у( — 3) = 0. В интервале D; 11)
у' < 0, следовательно, функция убывает на этом интер-
интервале; в A1; +°°) у' > 0, т. е. функция возрастает.
В точке х = 11 имеем локальный минимум: 1/A1) = 28.
6. Исследуем график функции на выпуклость, вогну-
вогнутость и определим точки перегиба. Для этого найдем
„" _ B* — 8) (х - 4J — (л:2 — 8л: - 33) • 2 (х - 4) _
у
_ 2л:2 — 8л: — 8л: + 32 — 2л:2 + 16л: + 66 _ 98
(л:-4K (* - 4)а '
Очевидно, что в интервале (—оо; 4) у" <0, и в этом
интервале кривая выпукла; в D; + °°) У" > 0. т. е. в этом
интервале кривая вогнута. Так как при л: = 4 функция не
определена, то точка перегиба отсутствует.
7. График функции изображен на рис. 6.17. ^
245

Рис. 6.17
3. Провести полное исследование функции у — хе *2/2 и
построить ее график.
> Воспользуемся общей схемой исследования
функции.
1. Область определения функции (—оо; -+-оо).
2. Так как у = О при х = О, то график функции про-
проходит через начало координат.
3. Функция принимает положительные значения в ин-
интервале @; -f- оо) и отрицательные в интервале (— оо; 0).
4. Вертикальных асимптот нет. Ищем наклонные
асимптоты:
k— lim ЛИ = Hm _L_=0,
J?->-±OO X J?->-±OO в" I*
b= lim (f(x) — kx)= lim —475-= lim ¦
*72
= 0.
Получаем горизонтальную асимптоту у = 0.
5. Так как «/( — х)= — лг/е*2/2 = — у(х), то функция
нечетна и ее график симметричен относительно начала
координат.
6. Исследуем функцию на монотонность:
- ххе*'^ _ е'''2{1-х?1
, _
е"
246

Если у' = 0, то 1 — х2 = 0, откуда Х\ = — 1, лгг = 1. Эти
точки разбивают числовую ось на три интервала:
в (— оо; — 1) у' < 0,и функция в этом интервале убывает;
в (— 1; 1) у' > 0 и функция возрастает; в A; + оо) у' <0,
и функция в этом интервале убывает. В точке х = — 1
имеем минимум:
а в точке х= 1 — максимум:
-^ «0,6.
7. Исследуем свойства функции, связанные со второй
производной:
,_ 1ж „„_ 2ли?A*)«? _
У — —^ТГ' У -р
_ хе*'2( — 2— 1+*2) _ xjx2 — 3)
— „«¦ — е*72 •
Если у" = 0, то лг(лг2 — 3) = 0, откуда ЛГ| =0, лгг = —-\/3,
Хз=л/з. В интервале ( — оо; —~\Ъ) у" < 0, т. е. кривая
выпукла в этом интервале; в ( — уЗ; 0) у" > 0, т. е. кривая
вогнута; в @; -у 3) у" <0, кривая выпукла; в ( уЗ; + оо)
у" > 0, кривая вогнута. Так как в точках л; = db~\JS, x = 0
вторая производная у" меняет знак, то при этих значе-
значениях х на графике функции получаем точки перегиба,
ординаты которых:
у(±л[з) = ±л/з/е3/2 « ±0,4, 0@) = 0.
8. Полученные данные позволяют построить график
функции (рис. 6.18).
4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
у = 2 sin х + cos 2х на отрезке [0; л/2].
^ Находим критические точки:
у' = 2 cos jc — 2 sin 2лг,
Если у' = 0, то
2 cos х — 4 sin дг cos x = 0, 2 cos л: A — 2 sin л:) = 0.
Если cos x = 0, то лг = л/2+2йл; если же sin x= 1/2,
тоx = (-i)"±
247

У
0,6
0,4
-/
о
-Ofy
-0,6
Рис. 6.18
a
Из всех найденных критических точек только х = л/6
и лг = л/2 принадлежат отрезку [0; л/2]. Вычислим значе-
значения данной функции при лг = О, х = л/6, л: = л/2:
0@)= 1, y(f) = 2sin?
= 1,5,
*/(-j) = 2 sin i + cos л = 2 - 1 = 1.
Следовательно, наибольшего значения на отрезке
[0; л/2] данная функция достигает в точке х = л/6:
1/(л/6)=1,5, а наименьшего — в точках х = 0 и лг = л/2:
(О) (/2I
6.U. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 6
1. Определить, в каких точках и под каким углом пере-
пересекаются графики следующих функций:
а) /М = х\ g{x)=\/x2; б) f(x) = x2-4x + 4, g(x) =
= — л:2 + 6х — 4. (Ответ: а) A, 2), <р = л/4; б) A, 1), D, 4),
<jp = arctgF/7).)
2. Записать в декартовых и полярных координатах
уравнение нормали к кардиоиде р = аA + cos <p) в точке
с полярным углом ф = л/6. (Ответ: х — у—(l -f-
+ 2Уз) а/4 = 0, р = A + 2л/з) а/D(cos ф — sin ф)).)
3. Тело массой /п = 1,5 кг движется прямолинейно
по закону s(t) = t2 + t -\- 1 (s — в метрах, t — в секундах).
Найти кинетическую энергию тела через 5 с после начала
движения. {Ответ: 90,75 Дж.)
4. Материальная точка движется по спирали Архимеда
р = аф так, что угловая скорость вращения ее полярного
радиуса постоянна и равна л/30 рад/с. Определить ско-
скорость удлинения полярного радиуса р, если а =10 м.
(Ответ: л/3 м/с.)
5. Количество теплоты Q Дж, необходимое для нагре-
нагревания 1 кг воды от 0 до t °C, определяется формулой
248

Q = / + 2-10-5*2 + 3-10-7*3. Определить теплоемкость
воды при t= 100 °С. {Ответ: 1,013 Дж/(кг • град).)
6. Камень брошен с заданной начальной скоростью
под углом а к горизонту. Пренебрегая сопротивлением
воздуха, определить, при каком значении а дальность
полета камня будет наибольшей. {Ответ: л/4.)
7. Внутреннее сопротивление гальванического элемента
равно/? Ом. При каком внешнем сопротивлении мощность
тока, получаемого от этого элемента во внешней цепи,
будет наибольшей? {Ответ: R Ом.)
8. Исследовать данные функции и построить их
графики:
а) х = /3 + 2/2 + t, у = — Ы3 + 3/ - 2;
б) х = (t-lf(t- 2), y = {t- I/ (t - 3);
в) х3-у3=1; г) у\2-х) = х3.
9. Найти пределы:
a) lim (tgx)tg2*; б) lim B -лг/а)"^'2"»;
хгл/4 ха
/ ! ! \;
*¦*' V 2 A - -Jx) з (l - \[х) )
в) lim/
*¦*' V
г) Y\mxsmx.
{Ответ: а) е~х; б) ел; в) 1/12; г) 1.)
10. Использовав разложение функций по формуле
Маклорена, найти предел
Ит cos *-в-^. {Ответ: -1/12.)
^->0 X
11. Для осушения болот надо вырыть открытый канал,
поперечное сечение которого — равнобедренная трапеция.
Канал должен быть устроен так, чтобы при движении
воды потери на трение были наименьшими. Определить
величину угла откоса а, при котором эти потери будут
наименьшими, если площадь поперечного сечения кана-
канала 5, а глубина h. {Ответ: а = л/6.)
12. Сечение шлюзового канала имеет форму прямо-
прямоугольника, заканчивающегося полукругом. Периметр се-
сечения равен 45 м. При каком радиусе полукруга сечение
будет иметь наибольшую площадь? (Ответ: —-г-— мЛ
13. Вода вытекает через отверстие в толстой стене.
При этом секундный расход воды определяется по формуле
Q = суу h — у, где с — некоторая положительная постоян-
249

ная; у — диаметр отверстия; h — глубина его низшей
точки. Определить, при каком диаметре отверстия у се-
кундный расход воды Q будет наибольшим. (Ответ: — /г.)
14. Найти наименьшую длину стрелы крана, необхо-
необходимую для монтажа плит перекрытия здания высотой Н
и шириной а, при условии, что кран может двигаться
вдоль фасада здания параллельно ему, высота основания
стрелы крана над землей Л, зазор между стеной здания
и стрелой крана всегда не менее /п. Кран должен подавать
детали так, чтобы крюк его приходился точно над сере-
серединой здания. Решить задачу в общем виде, сделать
расчет при Н =125 м, m = 15 м, а =10 м, Л=116 м.
{Ответ: 23,3 м.)
15. По трубе круглого сечения радиусом г течет вода.
Известно, что скорость течения прямо пропорциональна
так называемому гидравлическому радиусу R, вычис-
вычисляемому по формуле R =S/p, где 5 — площадь сечения
потока воды по трубе; р — смоченный (подводный) пери-
периметр сечения трубы. При каком центральном угле запол-
заполнения трубы водой скорость течения воды будет наиболь-
наибольшей? (Ответ: 258°.)
16. Показать, что точка максимума момента изгиба
равномерно нагруженного бруса длиной / находится в
центре бруса. (Момент изгиба бруса в точке М задается
формулой М = y Iх — у их2, где со — удельная нагрузка;
х — расстояние от точки до начала бруса.)
17. Однородный стержень АВ, который может вра-
вращаться около точки А, несет груз Q на расстоянии s
от точки А и удерживается в равновесии вертикальной
силой Р, приложенной к свободному концу В стержня.
Вес погонного сантиметра стержня q. Определить длину
стержня, при которой вертикальная сила Р будет наи-
наименьшей. (Ответ: \АВ\ =-\j2sQJq, Ризиш =^J2sqQ.)
18. Определить приблизительно (с точностью до целого
числа) относительную погрешность при вычислении по-
поверхности сферы, если при определении ее радиуса отно-
относительная погрешность составила 1 %. (Ответ: 2 %.)
19. Определить приблизительно (в процентах, с точ-
точностью до целого числа) изменение силы тока провод-
проводника, если его сопротивление увеличивается на 1 %.
(Ответ: уменьшится на 1 %.)
20. Как следует изменить длину маятника / = 20 см,
250

чтобы период его колебаний Т увеличился на 0,05 с?
(Период Т = 2n~\Jl/q) (Ответ: увеличить на 2,23 см.)
21. Найти координаты центра кривизны (параметриче-
(параметрические уравнения эволют) данных линий в произвольной
точке:
„2 2
' а) гиперболы — — JL-. = 1;
б) астроиды х2/3 + у2'3 = а2/3.
(Ответ: а) I = (а2 + Ь2)х3/а\ п = - (а2 + Ь2)у3/Ь4; б) ? =
= х + Зх*'У3, Л = У + 3x2/V/3-)
22. Вычислить наибольшее значение радиуса кривизны
линии p = asin3-|-. f Ответ: — a.)
23. Найти уравнение окружности кривизны линии
у = ех в точке @, 1). (Огеег: (* + 2J + (у — ЗJ = 8.)

ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Контрольная работа «Векторная алгебра» B часа)
Точки К и L служат серединами сторон ВС и CD параллелограмма
ABCD. Положив АК, = а и AL = Ь, выразить через а и b указанные
векторы.
1.1. ВС, CD. 1.2. АС, АВ. 1.3. ~BD, ~BL .
1.4. Ш, Ж. 1.5. Щ, DL. 1.6. С~К, В~А.
1.7. Ъ~А, DB. 1.8. LB, ТС. 1.9. СА, ~КВ.
1.10. Ъ~В, Ъ~А.
В правильном шестиугольнике ABCDEF со стороной, равной 2,
из вершины Л выходят единичные векторы m по направлению АВ и п
по направлению AF. Выразить через тип указанные векторы.
1.11. AD, ВС. 1.12. B~D, D~F. 1.13. А~Е, D~F.
1.14. ЛС, В?. 1.15. ВС, B~D. 1.16. ffi", A?.
1.17. AD, ~CF. 1.18. ОЛ, fC". 1.19. ЛС, ~BD.
1.20. С?, Tfi.
Дан тетраэдр ОАВС. Положив ОА = а, ОВ = Ь, ОС = с, выразить
через а, Ь, с указанные векторы (точки М, Р и R — середины ребер
ОА, ОВ и ОС, a N, Q и S — середины противоположных ребер).
1.21. Ш, Л1С. 1.22. P~Q, Р~А. 1.23. 1{S, /Гв.
1.24. iVM, NO. 1.25. QP, OQ. 1.26. ~SR, OS.
1.27. Л1Р, cT. 1.28. N~P, ~CM. 1.29. iVQ, ~BR.
1.30. Л^, Л1В.
Найти площадь треугольника, построенного на векторах а и Ь.
2.1. а= —2j + 3k, b=3i — 2j.
2.2. а = 2i — 3j + k, b = i + 2j — 4k.
2.3. a = 5i — 2j — k, b = —2i + j — 7k.
2.4. a = 6i — 4j + k, b = 2i + 3j — 4k.
2.5. a = 7i — 4j + 2k, b = i + 3j — 4k.
2.6. a = i + 2j - 3k, b = 3j — k.
2.7. a = 4i - j + 6k, b = 2j — 3k.
2.8. a = —3i + 6j - 2k, b = i + 2j + 4k.
2.9. a = 3i + 7j — 2k, b = i — j + 5k.
2.10. a = i + 6j —2k, b = 5i + 4j.
Параллелограмм построен на векторах а и b. Найти его высоту,
опущенную на сторону, совпадающую с вектором а.
252

2.11. a = 5i + 7j-3k, b= -i + 2j+4k.
2.12. a = -4i — 9j + 2k, b = i — 4j + k.
2.13. a = 3i — 2j + 6k, b = 5j — 4k.
2.14 a = 4i - 6j - k, b = i - 2j + 5k.
2.15. a = 4i — 3j + k, b = 2i — 6j + 3k.
2.16. a = 5i + 2j + 3k, b = 5i + 2k.
2.17. a = 4i + j + k, b = 2i + j — k.
2.18. a = 3i - 2j + 4k, b = i + 3j - k.
2.19. a = —3i + 5j + 2k, b = 2i — 3j + 6k.
2.20. a = 1 li - 5j + 4k, b = 2i — j.
Найти laXbl, если |a| = k, |b| =/, a • b = p.
2.21. k = ф$, I = -ф\, p = 36. 2.22. k = ф
2.23. k = фО~, I = ф^, p = 5. 2.24. k = ф
2.25. fe = -^6T/= ф^р = —24. 2.26. k =
2.27. k =-фо, I = л[\^, р = —23. 2.28. k =
2.29. к = -ф>3, / = д/30Тр=12. 2.30. k =
, I = фй, p = 20.
I = ф&, Р = 25-
= ф$,р = — 28.
1 = л/2Г, р = 20.
/ = д^Г р= 10.
Найти
3.1. с =
3.3. с =
3.5. с =
3.7. с =
3.9. с =
Вектор
Oz. Найти
3.11. а
3.13. а
3.15. а
3.17. а
3.19. а
Вектор
тупой угол.
3.21. а
3.22. а
3.23. а
3.24. а
3.25. а
3.26. а
3.27. а
3.28. а
3.29. а
3.30. а
проекцию вектора с на направление вектора d.
= ( — 2, 0, 1), d = (l,2, —3). 3.2. с = D, —5, 1), d = C, 2, —4).
:B, -8, 1), d = (-3, -1,2). 3.4. с = ( —4,5,2), d= C,4, -6).
= (9, 5, -4), d=C, 2, 6). 3.6. с = C, —4, 11). d=(-2, 5, 3).
= C, 7, -5), d = A, 4, —9). 3.8. с = C, -6, 5), d = A, 4, 4).
:( —7, -5, 1), d = C, 4, —2), 3.10. c = E, 4, -1), d = B, —4,6).
x, коллинеарныи вектору а, образует острый угол с осью
координаты вектора х, если |х| = t.
= У2б7-
= -л/§087
= D, -7, 1),
= D, 5, -6),
= D, -2, 2),
= E, —3, 9),
3.12. а = E, -3, — 1), f = ¦
3.14. а = C, —5, 7), t = -
3.16. а = E, 6, -7), * = 3-у/П0.
3.18. а = E, —3, 1), ^ = 5л/ЗбТ
= G, —4, 2), ^ = 4^69. 3.20. а = C, —1, 7), г = 6д/59.
х, перпендикулярный к векторам а и Ь, образует с осью Оу
Найти координаты вектора х, если |х| =р.
= D, 2, —2), b = E, 1, —3), р = д/15.
= G, 5, 2), b = @, 4, 3), р = -ф&
= D, 3, — 1), b = C, 4, 8), р = фг~.
= B, 0, 2), b = D, -6, 0), р = -фз.
= C, 4, —1), Ь = D, 6, —4), р = фг
= D, 6, 5), b = ( —4, 2, 7), р = фт~.
= (-2, 7, 10), b = @, 3, 4), р = фй.
= (—1, 9, 2), Ь = A4, — 1, —3), р =
= D, 5, 8), b = E, 2, —7), р = ф&.
= A2, 3, -2), Ь = A1, 7, 1), р = л/5
253

4
Найти угол между векторами а и b при указанных условиях.
4.1. |а|=1, |Ь| = 2, (а - ЬJ + (а + 2ЬJ = 20.
4.2. |а|=2, |Ь| =3, Bа — ЗЬJ — (а + 4ЬJ = 69.
4.3. |а|=4, |Ь| =1, Ca + 2bJ + (a-5bJ=189.
4.4. I а| = 3, IЫ = 5, (а - ЗЬJ + Bа + 4ЬJ = 595.
4.5. |а|=5, |Ь| =4, Dа + ЬJ — (За - 2ЬJ = 77.
4.6. |а|=4, |Ь| =3, Ba-5bJ —(a + 2bJ = 93.
4.7. |а|=6, |Ь| = 1, (a-8bJ —Ba + 3bJ = 31.
4.8. |а|=5, |Ь| =4, (За-bJ — (а + 6ЬJ = 0.
4.9. I а| = 7, |Ь| = 2, (а + 4ЬJ + (За — 7ЬJ = 274.
4.10. |а| =3, \Ь\ =6, Eа — 2ЬJ - (а + ЗЬJ = 270.
Найти угол между векторами тип, если |т| = |п| = 1 и указан-
указанные векторы аи b взаимно перпендикулярны.
4.11. a = 5m —4n, b = m+2n. 4.12. а = 3т +2n, b =т — п.
4.13. а = т + п, b = 2т — п. 4.14. а = т + 2п, b = 5т — 4п.
4.15. а = т — 2п, b = 5т + 4п. 4.16. а = Зт — 2п, b = т + 4п.
4.17. а = 2т — Зп, b = т — п. 4.18. а = 2т + п, b = т — п.
4.19. а = 2т + 4п, b = т — п. 4.20. а = Зт — 4п, b = т + п.
Выяснить, для каких векторов а и b выполняются даииые условия.
4.21. |а + Ы = |а| + |Ь|. 4.22. |а + Ь| = |а| - |Ь|.
4.23. |а + Ы = |а — Ь|. 4.24. |а —Ь|=|а| + |Ь|.
4.25. |а| + |Ь|=0. 4.26. а/|а| =b/|b|.
4.27. (a + bJ= |а|2 + |bl2. 4.28. а= |a|b.
4.29. (a + b)X(a + b) = 2axb. 4.30. |a-b|2 = |а|2 + |b|2.
5
Выяснить, при каком значении а векторы a, b и с будут компланарны.
5.1. а = C, -1, 4), Ь = B, а, -5), с = A, 0, 2).
5.2. а= D, —2, а), Ь = ( —5, 1, 3), с = B, 4, —3).
5.3. а=C, — 1, 4), Ь = A, —4, 0), с = (а, 3, 2).
5.4. а = (а, 2, —5), b = C, 1, 1), с = D, —1, 0).
5.5. а = (— 1, 5, —7), Ь = D, 2, а), с = C, 5, 1).
5.6. a = B, 1, —1), Ь = D, —2, 1), с = (а, —3, —2).
5.7. a =D, -5, 3), Ь = B, а, -1), с = A, 5, 6).
5.8. а = C, -2, 1), Ь = A, -5, 2), с = (а, 4, —1).
5.9. a = B, —3, 5), Ь = A, —4, а), с = B, 1, —3).
5.10. а = A, 1, а), Ь = ( — 3, 3, 1). с = B, 3, —3).
Найти объем пирамиды, построенной на векторах a, b и с.
5.11. а = E, 2, 0), Ь = B, 5, 0), с = A, 2, 4).
5.12. а = (-12, 2, —4), Ь=( —4, 2, 3), с = ( —3, 4, —3).
5.13. а = @, 1, —1), Ь = A, 0, —1), с = C, 2, 0).
5.14. а = ( —5, 6, —8), Ь = ( —2, —3, 1), с=(— 3, 1, 1).
5.15. а = D, 4, —6), Ь = A, 3, 1), с = @, —2, 0).
5.16. а = A, 2, —1), Ь = @, 2, 2), с = (—1, 1, —2).
5.17. а = (—1, 3, 3), Ь = @, 4, 2), с = C, 3, -4).
5.18. а = ( —3, 6, 2), Ь = ( —4, —1, -5), с=A, 0, 5).
5.19. а = C, —2, 1), Ь = A, 4, 0), с = E, 2, 3).
5.20. а = (—3, 0, -2), Ь = (—1, —1, 3), с = (-4, — 1, 0).
Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах а,
b и с, если за основание взят параллелограмм, построенный на векторах
аи Ь.
254

5.21. a = B, 3, —1), b = ( —2, 4, 5), с = C, -1, 4).
5.22. a = C, 6, -8), b = ( —2, 4, -6), с = E, 2, —1).
5.23. a = (-4, 5, -4), b = (-4, 0, 2), c = ( —3, 3, -5).
5.24. a = (-l, —2, 5), b = ( —4, -2, 5), c = (l, —3, —2).
5.25. a = B, —1, 1), b = ( — 3, 0, 4), с = @, 4, 3).
5.26. a = ( — 2, 5, 5), b = ( —2, 1, —1), с = ( — 5, 1, 5).
5.27. a = (-2, 3, 0), b=( —2, 0, 6), c = @, 3, —2).
5.28. a = D, -6, 4), b = D, — 1, 2), с = C, 2, 7).
5.29. a = (-12, 2, —4), b = ( —4, 2, 3), c = ( — 3, 4, —3).
5.30. a = E, 2, 0), b = B, 5, 0), с = A, 2, 4).
2. Контрольная работа «Пределы» A час)
Найти пределы.
1.1. lim
Зл:2 — 2л: — 1
1.3. lim
I л:2 + 4л: + 1
л:2 — 4л: + 3
«-3 2л:2 - 5л- + 1
1.5. lim
х-^5 х2 — Ах + 5
1.7. lim
2х2 + Ьх+\
»~-3 л:2 + 2л:-3
1.9. lim
л:2-16
1.11. lim
-4 л:2 + 5л- + 2 '
2х2 + х — 3
1.13. lim
, —.
х2 + х — 2
Зл:2- Юлг + 3
1.15. lim
з л-2 — 2л: — 3
2л:2— 13л- -7
7 х2 — 9л: + 14
1.19. lim
л:2 —7л:+10
Зл:2- 17л:-28
л2 —
1.21. lim
-2 2л:2 + х — 6
1.23. lim
Зл:2 + х — 2
I Зл:2 + 4л: + Г
1 ос г л:2 + 2л:-15
1.25. lim —^ —
*-*-5 2л:2 + 7л:— 5
1.27.
Зл:2 — 5л: + 2
х2 - Ах + 3
1.2.
1.4.
1.6.
1.8.
1.10.
1.12.
1.14.
1.16.
1.18.
1.20.
1.22.
1.24.
1.26.
1.28.
lim
*-*2
lim
х__^2 х х 2
л:2 - х - 2
lim
х* — 5х — А "
+ Зл:+1
> -1 2л:2-Зл:-5
lim —-j—
х—*¦ -~ 2 2.л ~~
хг + л: - 3
' ]™з ^-4 ¦
2л:2 — Зл: — 2
• ]™2 x2-3x + 2-
,. Зл:2— 14л:+ 5
, lim —т ! .
х-^5 х2 — 6х + 5
,. Зт2 — 5т — 3
lim —
ш-»з т — 5т + 6
,. 2Х2 — 9л:— 18
lim
lim
lim
—^
х2 — 7л: + 6
Зл:2 — 8л:-3
— —
х2 — х — 6
л:2 - л: - 2
lim —.
х^2 X2 + X — 6
lim
lim
lim
2л:2 + 9л: + 4
4 л:2-л:-20
л:2 + Зл: + 2
—2 2л:2 + 5л: + 2
255

. л:2-л:—12
1.29. lim
x-*\ x2 — 2x — I
,.30. Urn Xl
х^-з х-
2.1. lim
-2
2.3. lim
х->-2
^2 3x2 + 2x-S'
10л:-Зл:2 —8
2.5. lim
х-^3
2.7. lim
:-х2-\2
3 2л:2 — 11л:+ 15
2л:2-17л:+ 35
^5 л:2 - х - 20
2.9. lim
,-i Зл:2 + 5л: —2
2.11. lim * "~
2.13. lim
I Зл:2 + x + 2 '
Зл:2+10л: +
2.15. lim
х2-2х-3 '
Зл:2 — 6л: + 2
2.17. lim
4х+1
--1 л:2-6л:-7
2.19. l!m *2~5* + 6
2.21. lim
'¦2 Зл:2 —4л: —3
л:2 — х — 12
*-»4 л:2 — 4л: + 3
2.23. lim
х2 — х— 12
2.25. Nm2*2-3* + 2
2.27. lim
i Ax - Зл:2 - 1 '
+ Зл:-1С4
2.29. lim
¦2 З*2 -7^ + 2
Зл:2 — 2* - 5
2.2. ит3х2-*Х + 2
> I 2л:2 — х — 1
„. ,. 2л:2 — х — 3
2.4. lim —
2.6. lim
*2-Зл:-4
3 — 8л: - Зл:2
2.8. lim
'^з л:2+л:-6 '
2л:2 — х — 1
2.10. lim
j 4 - Зл:2 - х '
Зх2 + 2х — 1
2.12. lim
2.14. lim
4л:2 + 2л: — 3
xt + x — 2 '
Зл:2— 14л: —5
х-5 2Х2 + 6х + 5
2.1в. lim 4f+9* + 2
л:-»-2 л:2 — Зл:— 10
л:2 + х — 6
-3 2.«2 + Зл: — 7
х2 - 6х + 5
2*2-7л:- 18
4л:2 — 7л: — 2
2.18. lim
2.20. lim
2.22. lim
*2 л:2 — 7л: + 10 '
2.24. lim Ц±1±±..
х-1 2л:2 + л: — 3
2.26. Iim3*2 + *-2
м ^_2л- + 3
2.28. li
2л:2 —Зл: —2
2.30. lim 2x*-3x~9 .
х-З Зл:2 — 5л: — 10
3.1.
3.3. lim
\/л: + 4 - 1
3.2. lim
3.4. lim
mil 5 7^
— -2 Z — 4
256

3.5. Iim
—;
х2 — 9
3.6. lim
—2
¦л/9 - л: — 3
3.7. lim ¦ v
3.9. lim
3.23. lim -
/-5 t2 — Ы
3.16. lim
3.18. lim r-
a-»2 a — 4
л:2-49
3.20. lim
x-*-
3.22. lim
3.24. lim
3.26. lim
3.28. lim
3.30. lim
* + 1 - 2
— 1 — л/2~
- з
4.1. lim
4.3. lim
4.5. lim
2a0
a2 -
2z3
2z3
3m
-a +
\-2a —
+ 3z-
+ г2-
3 + 2m
i
5
-1
-4
g
m4 + 5m2 — 1
4.2. lim
4.4. lim
4.6. lim
2*2 — Зл: + 1
x2 + x - 4
„2 + 2„ _ з
2z2+z-3
z2 + 3z + 1 "
257

. , .. За2 -4а 4-1 . „ .. т* — 8т + 1
4.7. lim !—. 4.8. lim -
а3 4-За — 4 ™-,«. Зт3-т+4
4.9. lim "" 2 ¦"¦ -г ' . 4.10. lim
n-оо 2п2 + п — 3 г-»оо 2z-z— 1
. ,, ,. Зп2 —4я5+1 . ,„ ,. 4а3 + 3а2— 1
4.11. lim ! . 4.12. lim '¦
л-*°° 2пъ + Зл3 — п а-»оо 2а3 —За+1
и6 — Зу2 — 2 ,t, ,. 6z5-3z2+l
4.13. lim -2— 2 . 4.14. lim
5 г^ зг5_22л_з
*Г* + Ъ ¦ 4.16. lim °4-3°2 + 2
4.17. lim ™ ^ T*. 4.18. iim
5а4 - За - 2
Зл:2 _ 4a: 4- 1
6--00 3fc4 —2fc + 3 x-^oo x3 — 2a:2 — 1
•5-3«2+l _„ „_ 9z3-4z2 +
4.19. lim -^ ' . 4.20. lim
я-оо 2п5 — 2л+3 г-*оо 6z3 + 3z + 2
4.21. lim 3*5-*2+* . 4.22. lim 6 ~2" +7
till • ^«AtAt* iiiii ^ ¦
-oo a:4 + 2a: 4-5 n-*- oo Зл3 — 5л + 2
4.23. lim 7~2 + 2- 4.24. lim 3g7 + 6g-5 .
„^-oo n* + 2n a-*°° 4a7 4-2a3 — 3
4.25. lim 8*5-3*2 + 9 . 4.26. lim "* ~ 5" + 2
2xb + 2x + 5' ' ' л-»оо 2л4+3л2 — л'
. n, ¦• 6a:4 —4a:3+ 8 ... ,. 3a4 - 4a2 + 5
4.27. lim —; r-1 . 4.28. lim
a-^-o° 6a4 + 2a3- 1
4.29. lim ""¦""" ~. 4.30. lim 2z! + 7z~4 .
n^oo 2n + n2 — 3nb г-оо 6z3 — 3z2 + 2
5
5.1. lim sin 3a • ctg 2a. 5.2. lim ' ~ C°S 4ф .
a-*0 ф-*0 sin Зф
_ ,. arcsin 66 _ .
5.3. lim —. 5.4. lim
.im^
ф^о tg23<p
- - ¦• arctg 5а а:д/1 — cos 4a:
5.5. lim . 5.6. lim-
3a x-^-b sin2 3a:
- - .. sin2 6a: . sin 5u
5.7. lim . 5.8. lim 2—.
дг-*О a: tg 2a: y^o arcsin 2i/
с n i- tg2 3p ,. arcsin2 ф
5.9. lim-—2—^—. 5.10. lim ^-.
P-»o 1 — cos 4p Ф-*о Зф sin ф
5.11. HmJi^-. 5.12. lim-1-^4"
Ill n • V*lfc*lllll ~~^*^^*^^-
¦o sin"* За: а^о а sin За
_ .„ ,. 1 — cos 4a: _ ..
5.13. lim . 5.14. lir
дг-»о tg"' 5x x-+o 4x
t cos a:—cos3 a: cos a: — cos 5a:
5.15. lim ; . 5.16. lim-
4a:2 " ;^.o 3a:2
258

5.17. lim —— . 5.18. lim sin 5л: • ctg Зл:.
x-o x tg 2л: x-^-0
5z2
5.19. lim — . 5.20. lim sin 8a • ctg a.
Z-.-0 Sin 3z • tg 2z a->-0
5.21. lim — . 5.22. lim tg2 3*. ctg2 2л:.
*-*o arctg Зл: *-*о
5.23. lim j-cos8a, 5.24. lim Здг ctg 7л:.
a->-0 1 — cos 2a ;c->-0
с oc i- a sin 3a _„-.,. *sin 2л:
5.25. lim —. 5.26. lim
x->-0 1 — cos 4л:
5.27. lim arcsi3«. 5.28. lim **2x
2 5
lim . 5.28. lim
et->-0 2a sin 5a *->-о 1 — cos Зл:
5.29. lim sin2 Зл: • ctg2 5л:. 5.30. lim s' 3(P .
x-»o ф-*о arctg 2ф
6
)
(
1
6.3. ,ta (**=*.)\. 6.4. lim i?±..
x-^oc V 2л: + 1 ) x— ос V Зл: + 5 /
/ 4 \» + » /Or !
6.5. lim f 1 ) . 6.6. lim (
!У-*<х.\ Зу—1/ х-*\
6.7. lim (l±=l\5->\ 6.8. ,i
\2+\/
/ 2 \'~4дг / 2 \
6.9. lim ( 1 ) 6.10. lim A H = \
x-*<»\ Зл:— 1/ x-*oo\ Зл: —4/
6.Ц. lim (±±±.\ . 6.12. lim ln(-i±i-)
x_»_ „ V 2 — л-/ x-oo ^
6.,3. ,im fiJL^y. 6.14. lim
V 2 5/
y. 6.14. lim 1п(
—5/ x-*oo \\—Ax
MB. lim f^+lf.
2x — 1
6.17. lim^-3)*V(j:-2). 6.18. lim
6.19. \im(Zx — 2f"{x-X). 6.20. \imCx —
6.21. lim In f*?±3V 6.22. lim
\21/
f 6.22. lim f
\2л:—1/ x-*oo \ Зл:
6.23. ,ta lnf-i+iy+3. 6.24. Ita
\ + 2/
/ Ъх 4- 1 \*—4
6.25. lim ( ^ ) . 6.26. lim Cx —2)***'-').
x-*<x. \ 5л- — 1 / x-*I y
259

6.27.
6.29. lim
+3//
6.30. limG —
i
Y
X-Aj
3. Контрольная работа «Производные и их приложения» B часа)
/. Найти производную первого порядка у'.
1.1. </ =
260

2. Найти производную первого порядка у'.
2.1. (/ = загс'г'Dлг+|>.
2.3. z = oarcsin(B!'+1)/3).
2.5. j/ = e.-»'cos3B<p
2.7. y = e-i/cosx.
2.9. y = 3"cos'x.
2 11 </= l+sin2x
2.2. s = ln-
2.4. i/ =
2.6. y = e~
1 — sin 2x '
sin3 5x • sin 5 3x.
2.13.
2.15. y = i
2.17. o = (
2.19. z= (sin yW+lgy).
2.21. ^/
2.23. y
2.25. i/=-i.tg3A:-
2.8. i/ = ^1 + sin3 2xf.
2.10. (/ = er/^arctg2A:.
2.12. у = cos 2* • sin2 x.
2.14. Q = ecos!;4
2.16. у = arcsin (tg x).
9 1ft
2.20.
2.22.
9 94
s
«/
У
Г\
V i
= e*/cos /.
= sin2 3*.
4 In x
1—In*
— COS X
+ COS X
2.26. i/ = In
-x.
3. Вычислить первую производную функции при указанном значе-
значении аргумента или параметра либо при заданных координатах точки.
3.1. /(*) = A - 2*)/A + SJ2x~), x = 4.
3.2. f(x) = ~\x + 2-\/x, x=l.
3.3. f(x) = xe'/a, x = 0.
3.4. /@ = 1пA+сГ2/), / = 0.
3.5. f @ = Vo2 + b1 — 2оЬ cos <, t = n/2.
3.6. /(лс) = */B*— О. Jc= — 2.
3.7. f(x) = \[x\ x= -8.
3.8. f(x)=(-^— lJ/x, x = 0,01.
3.9. f(x) = x*-l/Bxt), *= ±2.
3.10. /(*) = ^/3 — x2 + *, *= — 1.
3.11. f(x) = e~'cos3x, x = 0.
3.12. /(*) = ln(l + x) + arcsin(V2)> x = 1.
3.13. /to = tg3(n*/6), * = 2.
3.14. 2y=l+xy3, x=l, y=l.
3.15. i/ = (* + i/K — 27(x — y),x = 2,y=\.
3.16. (/е» = е*+|, а: = 0, (/=1.
261

3.17
3.18
3.19
3.20
3.21
3.22
Ф = х + In(у/х), х=\, у=\.
x = t\nt, y = {\n t)/t, t= 1.
х = a(t — sin /), y = a(\ — cos t), t = я/2.
x = ё cos /, у = ё sin /, / = я/4.
</(*) = A + x3) E - 1/**), * = 1, * = 0.
s(t) = 3/E — t) + t*/b, t = 0, t = 2.
3.28. (/ =
3.29. /(*) = (x2 + x + 1) (x2 — x + 1), x = 0, л: = 1.
3.30. F{x) = \/{х + 2) + 3/(лг2 + 1), х = 0, л: = 1.
4. Найти вторую производную у".
4Л- ^ = -~Г-Ге^*- 4.2. </ = arctg(лг2)-
4.3. (/ = x2 In *.
4.5. (/ = In ctg 4x.
4.7. (/ = 3
4.9. (/ = j
4.11. г/;
4.13. (/ = (
4.15. у = хъеЪх.
4.17. (/ = е" cos4 л;.
4.19. </ = д/*е*.
4.21. (/ = arctg
1 -л:2
4.23. y = xeim*.
4.25. (/ = л: arctg x.
4.27. (/ = х — arctg x.
4.29. у = arctg "ух
4.4. (/ = л/а2 — лг7*.
4.6. </ = \/(l-*J
4.8. г/ = л:е|/*.
4.10. (/ = In In x.
4.12. (/ = jt/V1 — *2-
4.14. y = x?lnx3.
4.16. (/ = A +^)tgjc.
4.18. (/ = e~* cos jc.
4.20. y = xe~'\
4.22. (/ = x3 In *.
4.24. (/ = ln tgf у + yl.
4.26. y^x/ix2— 1).
4.28. (/ = sin x r-cos3 x.
О
4.30. y = \n(x + -y/x).
5. Найти вторую производную d2y/dx2 функции.
f x = t + In cos /, (X = 2t — sin 2/,
'¦[(/ = f — In sin /. ' ' ji/ = sin3 /.
_ 1
i = t1/2+l/t.
5.6.
: = /5+2/,
: = arcsin(/2 — 1),
у = arccos 2/.
262

= sin32f.
_ - _ [Л At V.V/O fr, _ ^ - I « COS I —J- J Sill *,
5ЛЗ-Г '-»¦ 5-14^v = sin<-<cos<.
: = 2 cos / — cos 2t, . . „ f дс = 2<2 + t,
i = \n t.
c = 2t- t\
1/0/2-
521 /JC = '> 522 /^ = '-
5.23.
5.25. I* = e*'
li/ = cosf.
= 2 In ctg /.
5M.lX = tC°&t-
[y = at sm t.
6. Решить следующие задачи.
6.1. Под каким углом синусоида y = s'mx пересекает прямую у =
= 1/2?
6.2. Показать, что гиперболы ху = 8 н х2—у2 = \2 пересекаются
под прямым углом.
6.3. Определить угол, под которым пересекаются кривые х? -f- У2 = 8
н ф = 2х.
6.4. Под каким углом пересекаются гипербола у = \/х и парабола
* = V«?
6.5. На параболе у = х взяты две точки с абсциссами xi = 1 и
*2 = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы
касательная к ней параллельна секущей?
6.6. Канат висячего моста имеет форму параболы и прикреплен
к вертикальным опорам, отстоящим одна от другой на расстоянии
200 м. Самая нижняя точка каната находится на 40 м ниже точек под-
подвеса. Найти угол между канатом и опорами.
6.7. При каком значении о кривая у = (ах + Xs)/А пересекает ось
Ох под углом 45°?
6.8. Найти угол пересечения кривой у — х — хъ и прямой у = 5*.
6.9. Найти угол пересечения линий у = 1 + sin x и у=\.
6.10. Найти угол пересечения линий у = "у2 sin x и y = -\]2cosx.
6.11. Найти угол пересечения кривых i/ = x3 и t/ = 1 /jc2.
263

в. 12. Составить уравнения касательной и нормали к полукубической
параболе х = t2, у — t3, проведенных в точке t = 2.
6.13. Найти угол пересечения кривых х? -\-у* — Ь и у2 = 4х.
6.14. Определить, под каким углом кривая у = (х — 1)/A + х2)
пересекает ось абсцисс.
6.15. Найти точки, в которых касательные к графикам функций
f(x) = х3 — х — 1 и <р(х) = Зх? — 4х + 1 параллельны.
6.16. Записать уравнения касательных и нормалей к кривой х2 +
+ Уг + 4* — 2у — 3 = 0 в точках пересечения ее с осью Оу.
6.17. Записать уравнения касательных и нормалей к кривой у =
= Ах — х3 в точках пересечения ее с осью Ох.
6.18. Записать уравнение касательных к гиперболе ху — 4 в точках
с абсциссами Xi = 1, jc2 = —4 и найтн угол между касательными.
6.19. На параболе 1/= дс2 + 5дс + 3 взяты две точки с абсциссами
дс =—2 и дс = 3. В какой точке параболы касательная к ней будет
параллельна секущей, проведенной через эти точки?
6.20. Найти уравнения касательной и нормали к кривой 4х3 —
- Ъху2 + 6х2 — 5ху — Ъу2 + 9х + 14 = 0 в точке ( — 2, 3).
6.21. Записать уравнение нормали к астроиде х = о cos31, y =
= a sin31 в точке, для которой t = я/4.
6.22. Составить уравнение той нормали к кривой у = 1пBлг + 1),
которая перпендикулярна к биссектрисе первого и третьего коордниат-
иых углов.
6.23. Найти расстояние от вершины параболы у = х2 — 4х + 5 до
касательной к ней в точке пересечения параболы с осью Оу.
6.24. В уравнении параболы у = х2 + Ьх -\- с определить бис,
если известно, что парабола касается прямой у = х в точке х = 2.
6.25. Провести касательную к кривой у = (х -\- 9)/(лг + 5) так, чтобы
она прошла через начало координат. Записать уравнение этой каса-
касательной.
6.26. Найти угол, под которым пересекаются параболы у = (х —
— 2J и у= — 4 + 6* — х2.
х2
6.27. Найти углы, под которыми пересекаются эллипс -j- + у2 = 1
и парабола 4</ = 4 — 5дс2.
6.28. Составить уравнение касательной к линии у = arctg(;c/2)
в точках ее пересечения с прямой х — 2 = 0.
6.29. Найти касательную к кривой 4лг2 + У2 = 80, параллельную
прямой х + у — 6 = 0.
6.30. При каком значении параметра о парабола у = ах3 каса-
касается кривой у = 1п дс?
7. Решить следующие задачи.
7.1. Закон движения материальной точки по прямой задай форму-
формулой s = t3 — 3t2 + Zt + 5. В какие моменты времени t скорость точки
равна нулю?
7.2. Две точки движутся по прямой по законам si = t3 — Zt и
St = t3 — 5t2 -f- I7t—4. В какой момент времени их скорости будут
равны?
7.3. Тело, брошенное вверх, движется по закону s = 5" '3 +
о
17
+-~- /2 + 60/ — 49. В какой момент времени скорость тела станет рав-
равной нулю? Найтн наибольшую высоту подъема тела.
7.4. Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется фор-
формулой v = 3t + t2. Какое ускорение будет иметь тело через 4 с после
начала движения?
264

: 7.5. Тело массой 100 кг движется прямолинейно по закону s =
= 2t2 + 3t + I. Определить кинетическую энергию mv2/2 тела через
5 с после начала движения.
7.6. Тело брошеио вертикально вверх с начальной скоростью о м/с.
За какое время и иа каком расстоянии от поверхиости Земли .тело до-
достигнет, наивысшей точки?
7.7. Плот подтягивается к берегу с помощью каната, который
наматывается иа ворот со скоростью 50 м/мии. Определить скорость
движения плота в тот момент, когда его расстояние от берега будет
равно 25 м, если ворот расположен на берегу на 6~\/6 м выше поверхности
воды.
7.8. Заряд, проходящий через проводник, начиная с момента вре-
времени t =0, определяется формулой Q = i* — Ы2-\-\Ы-\-\. В какие
моменты времени сила тока в проводнике будет равна нулю?
7.9. Тело массой 6 т движется прямолинейно по закону s = — 1 +
+ ln(/ + 1) + (' + IK- Требуется вычислить кинетическую энергию
mv2/2 тела через 1 с после начала движения.
7.10. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении
точки задана уравнением s= -=-<5Ч sin —t. Определить скорость
5 я 8
движения точки через 2 с после начала движения.
7.11. Зависимость между количеством х вещества, получаемого в
результате некоторой реакции, и временем t выражается уравнением
jc = 7A —е~31). Определить скорость реакции через 2 с после начала
опыта (/ = 0).
7.12. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален
кубу времени. Первые два оборота были сделаиы колесом за 4 с. Найти
угловую скорость ш колеса через 16 с лосле начала движения.
7.13. Тело движется по прямой Ох согласно закону x = t3/3 —
— 2t2 + 3/. Определить скорость и ускорение движения. В какие моменты
тело меняет направление движения?
7.14. По параболе у = х(8 — х) движется точка так, что ее абсцисса
изменяется в зависимости от времени t по закону x = t-\jt. Какова
скорость изменения ординаты в точке М(\, 7)?
7.15. Точка движется по гиперболе у = 10/х так, что ее абсцисса
равномерно возрастает со скоростью 1 м/с. С какой скоростью изме-
изменяется ее ордината, когда точка проходит положение E, 2)?
7.16. Закон движения точки по оси Ox s = 5t — t2. Найти скорость
и ускорение точки для моментов времени t\ = 0, ti = 1 с.
7.17. Точка движется по параболе у = ~у6дс так, что ее абсцисса
возрастает со скоростью 10 см/с. Какова скорость изменения ординаты
в этой точке в момент, когда х = 6?
7.18. Закон движения точки по прямой задай формулой s = 5/ —
— 4/t2 + 3. Найти скорость и ускорение точки через 1 с после начала
движения.
7.19. Точка движется по кривой у = д/jc в первом квадранте. Найти
координаты точки в момент времени, когда скорость изменения абсцис-
абсциссы этой точки в 12 раз больше скорости изменения ее ординаты.
7.20. Точка движется по закону s = 4t3 + 2t2 — 5 (см). Найти ско-
скорость и ускорение движения точки через 2 с.
7.21. Радиус шара возрастает равномерно со скоростью 5 см/с.
С какой скоростью увеличиваются площадь поверхиости шара и его объем
в момент, когда его радиус становится равным 50 см?
7.22. Электрический заряд, проходящий через проводник, начиная
265

с момента времени t = О, задается формулой Q = 2<2 + Ю/ + 9. Найти
силу тока для t = 15 с.
7.23. В какой точке эллипса 16дс2 + 91/2 = 400 ордината убывает
с той же скоростью, с какой возрастает абсцисса?
7.24. Сторона квадрата растет со скоростью 5 м/с. Какова ско-
скорость изменения периметра и площади квадрата в тот момент, когда
сторона его равна 50 м?
7.25. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален
квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за 8 с. Найти
угловую скорость w колеса через 32 с после начала движения.
7.26. Расстояние s м, пройденное телом за / с, определяется форму-
формулой 65s = t3/8 + З/2 + t. Найти скорость и ускорение тела при t = 10.
7.27. Вращающееся маховое колесо, задерживаемое тормозом, за
t с поворачивается на угол <р = a -f- bt — cf, где а, Ь, с — положитель-
положительные постоянные. Определить угловую скорость и ускорение вращения
колеса. Когда колесо остановится?
7.28. Точка движется прямолинейно так, что о2 = 2Ьх, где о —
скорость точки; х — пройденный путь; Ь — некоторая постоянная. Опре-
Определить ускорение движения точки.
7.29. В период разгона маховик вращается по закону <р = <3/10.
Через какое время после начала движения угловая скорость маховика
будет равна 60я рад/с? Чему будет равно угловое ускорение тела в
этот момент?
7.30. Точка движется прямолинейно по закону s = 60/ — 5<3. Через
какой промежуток времени после начала движения точка остановится?
Найти путь, пройденный точкой за это время.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Учебники и учебные пособия
1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии н линейной
алгебры.— М.: Наука, 1980.— 336 с.
2. Бугров Я. С, Никольский С. М. Дифференциальное н интеграль-
интегральное исчисление.— М.: Наука, 1980.— 432 с.
3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры
и аналитической геометрии.— М.: Наука, 1980.— 176 с.
4. Воеводин В. В. Линейная алгебра.— М.: Наука, 1980.— 400 с.
5. Головина Л. И. Линейная алгебра н некоторые ее приложения.—
М.: Наука, 1975.— 408 с.
6. Гурский Е. Я. Основы линейной алгебры и аналитической геомет-
геометрии.— Мн.: Выш. шк., 1982.— 272 с.
7. Долгов Н. М. Высшая математика.— Киев: Вища шк., 1988.—
416 с.
8. Жевняк Р. М., Карпук А. А. Высшая математика: В 5 ч.— Мн.:
Выш. шк., 1984—1988.— Ч. 1.— 1984.—223 с.
9. Ильин В. А., Позняк В. Г. Линейная алгебра.— М.: Наука,
1974.— 296 с.
10. Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей мате-
математики.— М.: Наука, 1986.— 575 с.
11. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: В 2 т.— М.:
Высш. шк., 1981.—Т. 1.—688 с.
12. Лихолетов И. И. Высшая математика, теории вероятностей
и математическая статистика.— Мн.: Выш. шк., 1976,— 720 с.
13. Пискунов И. С. Дифференциальное и интегральное исчисление:
В 2 т.— М.: Наука, 1985.— Т. 1.— 432 с.
14. Рублев А. Н. Курс линейной алгебры и аналитической геомет-
геометрии.— М.: Высш. шк., 1972.— 424 с.
Сборники задач и упражнений
15. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анали-
анализа.— М.: Наука, 1985.— 416 с.
16. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я- Высшая мате-
математика в упражнениях и задачах: В 3 ч.— М.: Высш. шк., 1986, Ч.
1.—446 с.
17. Задачи и упражнения по математическому анализу для вту-
втузов/Г. С. Баранеиков, Б. П. Демидович, В. А. Ефименко и др.; Под ред.
Б. П. Демидовича.— М.: Наука, 1978.— 380 с.
18. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии.—
М.: Наука, 1983.— 244 с.
19. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике: Типо-
Типовые расчеты.— М.: Высш. шк., 1983.— 176 с.
267

20. Лихолетов И. И., Мацкевич И. П. Руководство к решению за-
задач по высшей математике, теории вероятностей и математической
статистике.— Ми.: Выш. шк., 1976.— 456 с.
21. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике.— М.:
Наука, 1964.— 360 с.
22. Сборник задач по курсу высшей математики / Г. И. Кручкович,
Н. И. Гутарииа, П. Е. Дюбюк и др.; Под ред. Г. И. Кручковича.— М.:
Высш. шк., 1973.—576 с.
23. Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра
и основы математического анализа: В 2 ч./В. А. Болгов, Б. П. Демидович,
В. А. Ефименко и др.; Под ред.А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.— М.:
Наука, 1981.—Ч. 1.—368 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Методические рекомендации 5
1. Определители. Матрицы. Системы линейных алгебраических
уравнении .• 9
1.1. Определители и их свойства. Вычисление определителей 9
1.2. Матрицы и операции иад ними 15
1.3. Обратные матрицы. Элементарные преобразования. Ранг
матрицы. Теорема Кронекера — Капелли 20
1.4. Методы решения систем линейных алгебраических уравне-
уравнений 27
1.5. Индивидуальные домашние задания к гл. 1 32
1.6. Дополнительные задачи к гл. 1 52
2. Векторная алгебра 57
2.1. Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция
вектора на ось. Координаты вектора 57
2.2. Деление отрезка в данном отношении. Скалярное произ-
произведение векторов и его приложения 61
2.3. Векторное и смешанное произведения векторов и их прило-
приложения 64
2.4. Индивидуальные домашние задания к гл. 2 67
2.5. Дополнительные задачи к гл. 2 84
3. Плоскости и прямые 88
3.1. Плоскость 88
3.2. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость 90
3.3. Прямая на плоскости 94
3.4. Индивидуальные домашние задания к гл. 3 97
3.5. Дополнительные задачи к гл. 3 112
4. Линии и поверхности 115
4.1. Линии второго порядка 115
4.2. Поверхности второго порядка 121
4.3. Линии, заданные уравнениями в полярных координатах и
параметрическими уравнениями 125
4.4. Индивидуальные домашние задания к гл. 4 131
4.5. Дополнительные задачи к гл. 4 146
5. Функции. Пределы. Непрерывность функций 149
5.1. Числовые множества. Определение и способы задания
функции 149
269

5.2. Пределы последовательностей и функций. Раскрытие прос-
простейших неопределенностей 151
5.3. Замечательные пределы 154
5.4. Сравнение бесконечно малых функций. Непрерывность
функций 155
5.5. Индивидуальные домашние задания к гл. 5 158
5.6. Дополнительные задачи к гл. 5 174
6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
и его приложения 176
6.1. Производная, ее геометрический и физический смысл. Пра-
Правила и формулы дифференцирования 176
6.2. Логарифмическое дифференцирование 180
6.3. Производные высших порядков 181
6.4. Дифференциалы первого и высших порядков и их прило-
приложения 184
6.5. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя — Бернулли . . . 187
6.6. Исследование поведения функций и их графиков .... 190
6.7. Схема полного исследования функции и построение ее
графика 195
6.8. Практические задачи на экстремум 198
6.9. Дифференциал длины дуги и кривизна плоской линии 200
6.10. Индивидуальные домашние задания к гл. 6 205
6.11. Дополнительные задачи к гл. 6 248
Приложения 252
Рекомендуемая литература 267

Учебное издание
Рябушко Антон Петрович, Бархатов Виктор Владимирович,
Державец Вера Владимировна, Юруть Иван Ефимович
СБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
В трех частях
Часть 1
Заведующий редакцией Л. Д. Духвалов
Редактор М. С. Молчанова
Младший редактор И. В. Моховикова
Художник переплета
и художественный редактор Ю. С. Сергачев
Технический редактор М. Н. Кислякова
Корректоры Т. К. Хваль, В. В. Неверко
ИБ № 2891
Сдано в набор 04.10.89. Подписано в печать 21.09.90. Формат 84ХЮ8/32.
Бумага тип. № 2. Гарнитура литерат) рная. Высокая печать. Усл.-печ.
л. 14.28. Усл. кр.-отт. 14.28. Уч. изд. л. 15,29. Тираж 25 000 экз.
Заказ 2959. Цена 95 к.
Издательство «Вышэйшая школа» Государственного комитета БССР по
печати. 220048, Минск, проспект Машерова. I 1
Минский ордена Трудового Красного Знамени полнграфкомбинат МППО
им. Я. Коласа. 220005, Минск, ул. Красная, 23.