/
Автор: Рябушко А.П. Бархатов В.В. Державец В.В. Юруть И.Е.
Теги: математика высшая математика
ISBN: 5-339-00328-0
Год: 1991
Текст
Готовые решения ИДЗ Рябушко и др.
НТТР:/Т1ХЗ 1АТНШ.К1Т/8НОР
СБОРНИК
ИНДИВИДУАЛЬНЫХ
ЗАДАНИЙ
ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
В трех частях
Под общей редакцией
доктора физико-математических наук,
профессора А. П Рябушко
Часть 3
Допущено Министерствам
народного образования БССР
в качестве учебного пособия
для Студентов инженерно-технических
специальностей вузов
Минск
<Тыш»6шая школа»
1191
ББК 22.1 1я73
С23
УДК 51 (076.1) (075.8)
Авторы: А. П. Рябушко, В. В. Бархатов,
В. В. Державец, И. Е. Юруть
Рецензенты: кафедра высшей математики Московского энерге-
тического института; зав. кафедрой высшей математики Минского радио-
технического института, д-р физ.-мат. наук, проф. Л. А. Черкас
Сборник индивидуальных заданий по высшей
С23 математике: Учеб, пособие. В 3 ч. Ч.З/ А. П. Рябушко,
В. В. Бархатов, В. В. Державец, И. Е. Юруть; Под
общ. ред. А. П. Рябушко.— Мн.: Выш. шк.,
1991.—288 с.: ил.
18В\ 5-339-00328-0.
Книга является составной частью комплекса учебных посо-
бий по курсу высшей математики, направленных на развитие
и активизацию самостоятельной работы студентов вузов. Содер-
жатся теоретические сведения и наборы задач для аудиторных
и индивидуальных заданий по рядам, кратным н криволинейным
интегралам и элементам теории поля.
Для студентов инженерно-технических специальностей вузов.
1602010000— 041
______________ д_д|
М304(03)—91
ББК 22.11я73
18В1Ч 5-339-00328-0 (ч. 3)
18В14 5-339-00483-Х
© Коллектив авторов, 1991
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная книга является третьей частью
комплекса учебных пособий под общим
названием «Сборник индивидуальных за-
даний по высшей математике», написанно-
го в соответствии с действующими про-
граммами курса высшей математики в
объеме 380—450 часов для инженерно-тех-
нических специальностей вузов. Этот комп-
лекс также может быть использован в ву-
зах других профилей, в которых количест-
во часов, отведенное на изучение высшей
математики, значительно меньше. (Для
этого из предлагаемого материала следует
сделать необходимую выборку.) Кроме
того, он вполне доступен для студентов
вечерних и заочных отделений вузов.
Настоящий комплекс пособий адресо-
ван преподавателям и студентам и пред-
назначен для проведения практических
занятий, самостоятельных (контрольных)
работ в аудитории и выдачи индивидуаль-
ных домашних заданий по всем разделам
курса высшей математики.
В третьей части «Сборника индиви-
дуальных заданий по высшей математике»
содержится материал по рядам, кратным
и криволинейным интегралам и элементам
теории поля. Ее структура диалогична
структуре предыдущих частей, а нумера-
ция глав, параграфов и рисунков продол-
жает соответствующую нумерацию.
Авторы выражают искреннюю благо-
дарность рецензентам — коллективу ка-
федры высшей математики Московского
энергетического института, возглавляемой
членом-корреспондентом АН СССР, докто-
ром физико-математических наук, профес-
сором С. И. Похожаевым, и заведующему
кафедрой высшей математики Минского
радиотехнического института, доктору
физико-математических наук, профессору
Л. А. Черкасу, а также сотрудникам этих
кафедр кандидатам физико-математиче-
ских наук, доцентам Л. А. Кузнецову,
П. А. Шмелеву, А. А. Карпуку — за ценные
замечания и советы, способствовавшие
улучшению книги.
Все отзывы и пожелания просьба при-
сылать по адресу: 220048, Минск, проспект
Машерова, 11, издательство «Вышэйшая
школа».
Авторы
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
Охарактеризуем структуру пособия, методику его ис-
пользования, организацию проверки и оценки знаний,
навыков и умений студентов.
Весь практический материал по курсу высшей мате-
матики разделен на главы, в каждой из которых даются
необходимые теоретические сведения (основные опреде-
ления, формулировки теорем, формулы), используемые
при решении задач и выполнении упражнений. Изложение
этих сведений иллюстрируется решенными примерами.
(Начало решения примеров обозначается символом ►, а
конец— 4.) Затем даются подборки задач с ответами для
всех практических аудиторных занятий (АЗ) и для само-
стоятельных (миниконтрольных) работ на 10—15 минут
во время этих занятий. И, наконец, приводятся недель-
ные индивидуальные домашние задания (ИДЗ), каждое
из которых содержит 30 вариантов и сопровождается
решением типового варианта. Часть задач из ИДЗ снаб-
жена ответами. В конце каждой главы предлагаются
дополнительные задачи повышенной трудности.
В приложении приведены двухчасовые контрольные
работы (каждая — по 30 вариантов) по важнейшим те-
мам курса.
Нумерация АЗ сквозная и состоит из двух чисел:
первое из них указывает на главу, а второе — на поряд-
ковый номер АЗ в этой главе. Например, шифр АЗ-12.1
означает, что АЗ относится к двенадцатой главе и явля-
ется первым по счету. В третьей части пособия содер-
жится 21 АЗ и 10 ИДЗ.
Для ИДЗ также принята нумерация по главам. На-
пример, шифр ИДЗ-12.2 означает, что ИДЗ осносится к
двенадцатой главе и является вторым. Внутри каждого
ИДЗ принята следующая нумерация: первое число озна-
чает номер задачи в данном задании, а второе — номер
варианта. Таким образом, шифр ИДЗ-12.2:16 означает,
что студент должен выполнять 16-й вариант из ИДЗ-12.2,
который содержит задачи 1.16, 2.16, 3.16 и т. д. При вы-
даче ИДЗ студентам номера выполняемых вариантов
можно менять от задания к заданию по какой-либо си-
стеме или случайным образом. Более того, можно при
выдаче ИДЗ любому студенту составить его вариант, ком-
бинируя однотипные задачи из разных вариантов. На-
пример, шифр ИДЗ-12.2:1.2; 2.4; 3.6; 4.1; 5.15 означает,
что студенту следует решать в ИДЗ-12.2 первую задачу
из варианта 2, вторую — из варианта 4, третью — из
варианта 6, четвертую — из варианта 1 и пятую — из
варианта 15. Такой комбинированный метод выдачи ИДЗ
позволяет из 30 вариантов получить большое количество
новых вариантов.
Внедрение ИДЗ в учебный процесс некоторых втузов
(Белорусский институт механизации сельского хозяйства,
Белорусский политехнический институт, Дальневосточный
политехнический институт и др.) показало, что целесо-
образнее выдавать ИДЗ не после каждого АЗ (которых,
хак правило, два в неделю), а одно недельное ИДЗ,
включающее в себя основной материал двух АЗ данной
недели.
Дадим некоторые общие рекомендации по организа-
ции работы студентов в соответствии с настоящим по-
собием.
1. В вузе студенческие группы по 25 человек, прово-
дятся два АЗ в неделю, планируются еженедельные не-
обязательные для посещения студентами консультации,
выдаются недельные ИДЗ. При этих условиях для систе-
матического контроля с выставлением оценок, указанием
ошибок и путей их исправления могут быть использованы
выдаваемые каждому преподавателю матрицы ответов
и банк листов решений, которые кафедра заготавливает
для ИДЗ (студентам они не выдаются). Если матрицы
ответов составляются для всех задач из ИДЗ, то листы
решений разрабатываются только для тех задач и ва-
риантов, где важно проверить правильность выбора ме-
тода, последовательности действий, навыков и умений
при вычислениях. Кафедра определяет, для каких ИДЗ
нужны листы решений. Листы решений (один вариант
располагается на одном листе) используются при само-
контроле правильности выполнения заданий студентами,
при взаимном студенческом контроле, а чаще при комби-
нированном контроле: преподаватель проверяет лишь
правильность выбора метода, а студент по листу реше-
ний — свои вычисления. Эти методы позволяют проверить
ИДЗ 25 студентов за 15—20 минут с выставлением оце-
нок в журнал.
2. Студенческие группы в вузе по 15 человек, прово-
дятся два АЗ в неделю, в расписание для каждой группы
включены обязательные два часа в неделю самоподго-
товки под контролем преподавателя. При этих условиях
(которые созданы, например, в Белорусском институте
механизации сельского хозяйства) организация индиви-
дуальной, самостоятельной, творческой работы студентов,
оперативного контроля за качеством этой работы значи-
тельно улучшается. Рекомендованные выше методы при-
годны и в данном случае, однако появляются новые воз-
можности. На АЗ быстрее проверяются и оцениваются
ИДЗ, во время обязательной самоподготовки можно
проконтролировать проработку теории и решение ИДЗ,
выставить оценки части студентов, принять задолжен-
ности по ИДЗ у отстающих.
Накапливание большого количества оценок за ИДЗ,
самостоятельные и контрольные работы в аудитории
позволяет контролировать учебный процесс, управлять
им, оценивать качество усвоения изучаемого мате-
риала.
Все это дает возможность отказаться от традицион-
ного итогового семестрового (годового) экзамена по ма-
териалу всего семестра (учебного года) и ввести так
называемый блочно-цикловой (модульно-цикловой) метод
оценки знаний и навыков студентов, состоящий в следую-
щем. Материал семестра (учебного года) разбивается
на блоки (модули), по каждому из которых выполняются
АЗ, ИДЗ и в конце каждого цикла двухчасовая письмен-
ная коллоквиум-контрольная работа, в которую входят
2—3 теоретических вопроса и 5—6 задач. Учет оценок по
АЗ, ИДЗ и коллоквиуму-контрольной позволяет вывести
объективную общую оценку за каждый блок (модуль)
и итоговую оценку по всем блокам (модулям) семестра
(учебного года). Подобный метод внедряется, например,
в Белорусском институте механизации сельского хозяй-
ства.
В заключение отметим, что пособие в основном ориен-
тировано на студента средних способностей, и усвоение
содержащегося в нем материала гарантирует удовлетво-
рительные и хорошие знания по курсу высшей математики.
Для одаренных и отлично успевающих студентов необхо-
дима подготовка заданий повышенной сложности (инди-
видуальный подход в обучении!) с перспективными по-
ощрительными мерами. Например, можно разработать
для таких студентов специальные задания на весь семестр,
включающие задачи настоящего пособия и дополнитель-
ные более сложные задачи и теоретические упражнения
(для этой цели, в частности, предназначены дополнитель-
ные задачи в конце каждой главы). Преподаватель может
выдать эти задания в начале семестра, установить график
их выполнения под своим контролем, разрешить свобод-
ное посещение лекционных или практических занятий по
йысшей математике и в случае успешной работы выста-
вить отличную оценку до экзаменационной сессии.
12. РЯДЫ
12.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ПРИЗНАКИ сходимости
ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
Выражение вида
• «1 + «2 + — + + - = 2 и„, (12.1)
п — 1
где и„(К, называется числовым рядом. Числа щ, и?, .... н„, ... назы-
ваются членами ряда, число и„ — общим членом ряда.
Сум-мы
51 = и}, $2 ~ ..., 5П — 4- и? 4- ... 4- и„
называются частичными суммами, а 5„ — п-й частичной суммой ряда
(12.1). Если Нт 5Я существует и равен числу 5, т. е. 5 = Нт 5„, то
П-*ОО п->оо
ряд (12.1) называется сходящимся, а 5 — его суммой. Если Нт 8„
п-*- ОО
не существует (в частности, бесконечен), то ряд (12.1) называется
расходящимся. Сумма
Тп = и„ + । 4" ип^.2 4~ + + к 4~
называется п-м остатком ряда (12.1).
Если ряд (12.1) сходится, то
Нт г„ = Нт (5 — 5„) = 0.
П —* оо п -* оо
Пример 1. Дан ряд ) —-—!—-г-. Установить сходимость .этого
п(п 4- 1)
и = 1
ряда и найти его сумму.
Запишем п-ю частичную сумму данного ряда и преобразуем ее:
Поскольку
5 = Нт 5„ = Нт 1----------= '>
П—> ОО П—> оо \ п + 1 /
то данный ряд сходится и его сумма 5 = 1.^
Ряд вида
а 4- ад 4- ад2 4- + аЧ" 1 4-
(12.2)
представляет собой сумму членов геометрической прогрессии со знаме-
нателем <?. Известно, что при |</| < 1 ряд (12.2) сходится и его сумма
5 = а/(1 — <?). Если |<?| > 1, то ряд (12.2) расходится.
Теорема 1 (необходимый признак сходимости ряда). Если числовой
ряд (12.1) сходится, то 11ти„ = 0.
П-* ОО
Обратное утверждение неверно. Например, в гармоническом ряде
2
общий член стремится к нулю, однако ряд расходится.
Теорема 2 (достаточный признак расходимости ряда). Если
Пт и„ = а =д= 0, то ряд (12.1) расходится.
Сходимость или расходимость числового ряда не нарушается, если
в нем отбросить любое конечное число членов. Но его сумма, если она
существует, при этом изменяется.
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд
н = I
П
Зп 4- 1
Запишем общий член данного ряда:
п
и„ = б—ПТ-
Зи + 1
Тогда
п 1
Нт и„ = Нт -....- = — =/= О,
/?--*• оо н—<-оо оП -|- 1 о
т. е. ряд расходится. •<
Рассмотрим некоторые достаточные признаки сходимости число-
вых рядов с положительными членами.
Теорема 3 (признаки сравнения). Если даны два ряда
и\ Д- и‘2 4“ 4“ ип 4“ ..., (12.3)
и: 4- ^2 4- 4~ с'п 4~ (12.4)
и для всех выполняются неравенства 0 < и„ ип, то:
1) из сходимости ряда (12.4) следует сходимость ряда (12.3);
2) из расходимости ряда (12.3) следует расходимость ряда (12.4).
В качестве рядов для сравнения целесообразно выбирать ряд,
ОО
представляющий сумму членов геометрической прогрессии 2 а<?я,
п = 0
а также гармонический (расходящийся) ряд.
Пример 3. Доказать сходимость ряда
V 1 _ 1 , 1 1
/ . п-3" ~~ 1-3 + 2 • З2 +-+ „ .3" +"
п = I
► Для установления сходимости ряда (1)
венством
и„ = —— < — (п > 2)
п 3" 3'*
воспользуемся нера
и сравним данный ряд со сходящимся рядом
Согласно признаку сравнения (см. теорему 3, и. 1), ряд (1) сходится.
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд У —
] ] Ьч
> Так как —==^= > — для любого п 2, то члены данного
/ > , п
уп — 1
ряда больше соответствующих членов расходящегося гармонического
ряда. Значит, исходный ряд расходится.
Теорема 4 (признак Д'Аламбера). Пусть для ряда (12.1) и„ > О
(начиная с некоторого ц = по) и существует предел
,. “«+1
ит -----= 9.
,1—соо Пи
Тогда:
1) при <7 < 1 данный ряд сходится;
2) при <7 > ) ряд расходится.
При </=1 признак Д’Аламбера не дает ответа на вопрос о схо-
димости или расходимости ряда: он может и сходиться, и расходиться.
В этом случае сходимость ряда исследуют с помощью других признаков.
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд
то
. п “Н
► Поскольку ц.; = ,.,^7 , । I — --~
и„ +1 (п + 1 )’ • 2" '
11ГП ------------- — 111Т1 ----------,-----------
и > со и„ п—>. со п~ • 2"
Следовательно, данный ряд сходится.
Теорема 5 (радикальный признак Коши). Если, начиная с некото-
рого п = п0, «„>0 и Пт \[йа = д, то при <7 < 1 ряд (12.1) сходится,
а при у > 1 расходится.
При <7=1 радикальный признак Коши неприменим.
Пример 6. Исследовать на сходимость
ряд
I (^У
/1 = 1
► Воспользуемся радикальным признаком Кошм:
Следовательно, данный ряд сходится.
Теорема 6 (интегральный признак Коши). Пусть члены ряда (12.1)
монотонно убывают и функция у = }(х), непрерывная при
ОО
такова, что [(п) = и„. Тогда ряд (12.1) и интеграл $ /(х)с1х одновремен-
а
но сходятся или расходятся.
Например, поскольку Лх (а С К) сходится при а > 1 и расхо-
I
дится при 1> то ряд Дирихле У* — сходится при а>1 и расхо-
да п“
п- I
дится при а 1.
Сходимость многих рядов можно исследовать путем сравнения
их с соответствующим рядом Дирихле.
Пример 7. Исследовать на сходимость ряд
ЕЧп
(п2+ I)2 '
п = I
► Положим,
что Их) = ------;------. Эта
' (х2 + 1)2
функция
всем требованиям интегрального признака Коши. Тогда
удовлетворяет
несобственный
интеграл
2х
(х2+ I)2
Нт
В—* оо
1 р = 1
(Х2+ 1) || ~ 2 ’
т. е. сходится, а значит, данный ряд также сходится.
Числовой ряд (12.1), члены и„ которого после любого номера
П (п > П) имеют разные знаки, называется знакопеременным.
Если ряд
I Н\ | -|- | Иг | -|- ... -|- | и„| -|- ... (12.5)
сходится, то ряд (12.1) также сходится (это легко доказывается) и на-
зывается абсолютно сходящимся. Если ряд (12.5) расходится, а ряд
(12.1) сходится, то ряд (12.1) называется условно (неабсолютно) схо-
дящимся.
При исследовании ряда на абсолютную сходимость используются
признаки сходимости с положительными членами рядов.
Пример 8. Исследовать на сходимость ряд у -------—(а € К).
л= I
Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов
Е| 81П шх| ,
------------ (а Е К). Так как |зт иа| С) 1, то
л= 1
члены исходного ряда не больше членов ряда Дирихле = 2).
который, как известно, сходится. Следовательно, на основании при-
знака сравнениям (см. теорему 3, п. 1) данный ряд сходится абсо-
лютно.
Ряд вида
и । — и?-|-из — ... -|- (— 1 )п 1 ип 4_ ...,
(12.6)
где и„ 0, называется знакочередующимся рядом.
Теорема 7 (признак Лейбница). Если для знакочередующегося
ряда (12.6) и, > и2 > ... > и„ > ... и Игл и„ = 0, то ряд (12.6) сходится
п-*- ОО
и его сумма 8 удовлетворяет условию 0 < 5 < щ.
Следствие. Остаток г„ ряда (12.6) всегда удовлетворяет условию
I Гп I и„ ।.
Например, ряд
,-т + т-т + -+(-1^'у + -
сходится, так как выполнены условия признака Лейбница. Он сходится
условно, так как ряд 1 4- — -|- — -|- ... -|- -—(- ... расходится.
Абсолютно сходящиеся ряды (в отличие от условно сходящихся)
обладают свойствами сумм конечного числа слагаемых (например, от
перемены мест слагаемых сумма не меняется).
Верна следующая
Теорема 8. Если числовой ряд сходится условно, то, задав любое
число а, можно так переставить члены ряда, что его сумма окажется
равной а. Более того, можно так переставить члены условно сходяще-
гося ряда, что ряд, полученный после перестановки, будет расходя-
щимся.
Проиллюстрируем теорему 8 на примере. Рассмотрим условно схо-
дящийся ряд
Переставим его члены так, чтобы после каждого положительного члена
стояли два отрицательных. Получим
1 1 , 1 1 1 , 1 1 1 ,
2 4 + 3 6 8 + 5 10 12 + +
1 1 1 ।
+ 2к — 1 46 — 2 46 +"‘
Сложим теперь каждый положительный член с последующим отри-
цательным:
1 1 । 1 1 , !• 1 1 1
2 - 4 + 6 ~ 8 + 10 ~ 12 + - + 46-2 ~ 46 + ~
= ±л_± + ±_± + ±_± + ..+
2 \ 2 .3 4^5 (з
+ 26- 1 - 26 + ") = Т 5'
Очевидно, что сумма исходного ряда уменьшилась вдвое!
Пример 9. Исследовать на сходимость ряд
У(-1Г' 2"+..! (!)
/У 1 л(«+1) 10
п = 1
► Так как члены данного знакочередующегося ряда монотонно
убывают и 1!гп —П —= 0, то, согласно признаку Лейбница, ряд
л-*-оо п{г1 -(- 1 )
(1) сходится.
Рассмотрим теперь ряд, составленный из абсолютных величин членов
ряда (1), т. е. ояд
2л + 1
(2)
общий член которого
задается
, •• г/ \ 2х + 1
функцией /(*) =—--------—- при х — п.
Найдем
в
2х 4~ 1
————<1х= 11т
4~ 1) в-^сх.
в
— Пт (1 п В (В 4- 1) — 1 п 2) —-
В-*- оо
Следовательно, ряд (2) расходится, и поэтому ряд (1) сходится
условно. <
Пример 10. Вычислить сумму ряда-
±+±/±у+±/±у+. + ±/±у+
2 2! V 2 ) 3! \ 2 / т ’
с точностью 6 = 0,001.
► Всякая л-я частичная сумма сходящегося ряда является при-
ближением к его сумме с точностью, не превосходящей абсолютной
величины остатка этого ряда. Выясним, при каком количестве членов
л-й частичной суммы выполняется неравенство |г„| + 6.
Для данного ряда
। /1 у+1 1 / 1 у+2 ,
Г"~ («+ 1)! + (п + 2)! +-
Так как («+!)!< (2л + 2)! < (2л + 3)! < ..., то
Путем подбора легко найти, что гп < <0,001 при л = 4. Сле-
довательно, сумма данного ряда (с точностью 6 = 0,001)
5=>5--Г+^+^+ 35Г-”'648' <
Пример 11. Вычислить сумму ряда
ОО
с точностью 6 = 0,001.
Так как данный ряд — знакочередующийся, сходящийся, то
величина отброшенного при вычислении остатка ряда, который также
является знакочередующимся рядом, не превосходит первого отбро-
шенного члена (на основании следствия из признака Лейбница). Нуж-
ное число членов п найдем путем подбора из неравенства —-——
0,001. При п = 6 последнее неравенство выполняется, значит, если
отбросить в данном ряде все члены, начиная с шестого, то требуемая
точность будет обеспечена. Следовательно,
1^+72 - 2^ + 8^=°’449- <
АЗ-12.1
1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму:
ОО ОО
у---------1——, б)
/ . (3п-2)(3п+1) / . 10“
п = I п = 1
(Ответ: а) 1/3; Ь) 5/4.)
2. Исследовать на сходимость следующие ряды:
а) V —;
п-1
/2=1
ОО
Д)
л-1
3. Доказать, что:
а) Пт — = 0;
Я —► со п!
б) Пт = 0 при а > 1.
я _оо ап!
4. С помощью интегрального признака Коши иссле-
довать на сходимость следующие ряды:
п
пг + 2п + 5 ’
' . п. 1п2 п
= 2
Самостоятельная работа
ж—< Д'! 1 5^
1. 1. Доказать сходимость ряда \ —-п— и найти
/ I 1 5
п = I
его сумму. (Ответ: 3/4)
2. Исследовать на сходимость ряд —т—
п= I
2. 1. Доказать сходимость ряда V —---------- 1 и
/ , (2п — 1)(2п + 1)
найти его сумму. (Ответ: 1/2.)
2. Исследовать на сходимость
р™ I
п
3. 1. Доказать сходимость ряда
\п — 1) (Зп + 2) И
найти его сумму. (Ответ: 1/6.)
2. Исследовать
на сходимость
ряд I
АЗ-12.2
1. Исследовать на
сти следующие ряды:
условную и абсолютную сходимо-
оо
п= [
п
6п 4- 5 ’
п-2-п;
ОО ОО
. у С08(2па). . у (-1)"
Д) / - п2 + 1 ’ Л л - 1п « '
п=1 п=1
2. Составить разность двух расходящихся рядов
ОО ОО
~2п~—Г и 2п и ИССЛеД°вать на сходимость получен-
П=1 П=1
ный ряд.
3. Найти сумму ряда —1 2 с точностью 6 — 0,01.
п = 1
(Ответ: 0,58.)
4. Сколько первых членов ряда нужно взять, чтобы
их сумма отличалась от суммы ряда на величину, мень-
шую, чем 10~6:
(Ответ: а) п = 103 * *; б) п = 106.)
Самостоятельная работа
1. 1. Исследовать на условную и абсолютную сходи-
ОО
мости ряд У (—!)"—А—•
/ . п 1гг п
п~ 1
ОО
2. Найти сумму ряда У (— I)"-1 , ограни-
п + 1
п = 1
чившись тремя его членами. Оценить абсолютную погреш-
ность вычислений. (Ответ: 5 = 0,266, 6 = 0,01.)
2. 1. Исследовать на условную и абсолютную сходи-
ОО
мости ряд
п = 1
ОО
2. Найти сумму ряда (~~ О'1"' (,^°А1)! ' огРани‘
п = 1
чившись тремя его первыми членами. Оценить абсолют-
ную погрешность вычислений. (Ответ: 5 = 0,56, 6 = 0,1.)
для всех *€ О, то ряд (12.7) называется равномерно сходящимся в 1>.
В случае равномерной сходимости функционального ряда его п-я ча-
стичная сумма является приближением суммы ряда с одной и той же
точностью для всех х^О.
Функциональный ряд (12.7) называется мажорируемым в некоторой
области О, если существует сходящийся числовой ряд
ОО
2 а„ (а„ > 0), (12.9)
п = 1
такой, что для всех х 1-1) справедливы неравенства:
|и»(х)| < а» (/г = 1, 2, ...).
Ряд (12.9) называется мажорантным (мажорирующим) рядом.
Например, функциональный ряд
СОЗ X , соз 2х , соз Зх , , СОЗ пх
1 + 22 + З2 + " + п‘ +
мажорируется рядом 1 -|—-|—^ + ... -|—+ .... так как | соз пх\ 1.
2 3 н"
Данный функциональный ряд равномерно сходится на всей оси Ох,
поскольку он мажорируется при любом х.
Равномерно сходящиеся ряды обладают некоторыми общими свой-
ствами:
1) если члены равномерно сходящегося ряда непрерывны на не-
котором отрезке, то его сумма также непрерывна на этом отрезке;
2) если члены ряда (12.7) непрерывны на отрезке [а; 6] и ряд
равномерно сходится на этом отрезке, то в случае, когда [а; р}с|а; Ь],
р оо 0
\8(х)с1х= 2 \ и„(х)с1х,
а п. = 1 а
где 5(х)— сумма ряда (12.7);
3) если ряд (12.7), составленный из функций, имеющих непре-
рывные производные на отрезке [а; 6], сходится на этом отрезке к сумме
5(х) и ряд и((х) + и'Ах) ф- ... ф- и'п(х) ф-... равномерно сходится на том
же отрезке, то
и((х)ф- иа(х)ф- ... ф- а'„(х) ф-... = 5'(х).
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
ОО
2 ап(х — хо)”,
п=0
где До. о,, а„, ... — постоянные числа, называемые коэффициен-
тами ряда, х0 — фиксированное число. При х'о = 0 получаем степенной
ряд вида
2 а„х". (12.10)
/1=0
Теорема 1 (Абеля). 1. Если степенной ряд (12.10) сходится при
некотором значении х = х, 0, то он абсолютно сходится при всяком
значении х, удовлетворяющем условию |х| < |х, |.
2. Если степенной ряд (12.10) расходится при некотором значении
х = хз, то он расходится при любых х, для которых |х| > | хг |.
Неотрицательное число К, такое, что при всех |х| < /? степенной
ряд (12.10) сходится, а при всех |х| >— расходится, называется
радиусом сходимости ряда. Интервал (— /?; /?) называется интервалом
сходимости ряда (12.10).
Радиус сходимости степенного ряда (12.10) определяется формулой
(12.И)
если, начиная с некоторого п п0, все а„ 0. (Предполагается, что
указанные пределы существуют или бесконечны.) Формулы (12.11)
легко получить, воспользовавшись соответственно признаком Д’Алам-
бера или радикальным признаком Коши.
2п • хп
Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда 2 --------------
" = '3" --у/п
Так как
то
Значит, степенной ряд сходится в интервале (— 3/2; 3/2). На концах
этого интервала ряд может сходиться или расходиться. В нашем при-
ОО
мере при х ——3/2 данный ряд принимает вид
сходится по признаку Лейбница. При х = 3/2 получаем ряд
члены которого больше соответствующих членов расходящегося гармо-
нического ряда. Значит, при х = 3/2 степенной ряд расходится. Следо-
вательно, областью сходимости исходного степенного ряда является
полуинтервал [ — 3/2; 3/2). -4
Если дан ряд вида 2 ап(х — хо)", то
п = 0
определяется также по формуле (12.11),
его радиус сходимости Я
а интервалом сходимости
будет интервал с центром в точке х=х<>: (хо — Я', хо-|-/?).
Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда
(х — 2)'
п = 0
► Найдем радиус сходимости данного ряда:
Л =
!т л/л+А = 2>
е.
ряд сходится в интервале (0; 4). При х = 0 получаем ряд
, который расходится, так как его члены больше членов
расходящегося гармонического ряда, а при х = 4—
где Пт
п = о ’ 1
= 0, сходящийся по признаку Лейбница. Область
сходимости данного ряда (0; 4].
Г-' х"
Пример 4. Найти область сходимости ряда 5 —р
► Находим радиус сходимости ряда:
Л =
Следовательно, данный ряд сходится на всей числовой прямой. Отсюда,
в частности, с учетом необходимого признака сходимости ряда (см.
хп
§ 12.1, теорему 1) получаем, что Пт —- =0 для любого конечного х. -4
И—* ОО П •
На всяком отрезке [а; 0], лежащем внутри интервала сходимости,
степенной ряд сходится равномерно, поэтому его сумма в интервале
сходимости является непрерывной функцией. Степенные ряды можно
почленно интегрировать и дифференцировать в их интервалах сходи-
мости. Радиус сходимости при этом не изменяется.
Пример 5. Найти сумму ряда
X3 , X3 х2"-1
х + ПГ + V + - + 2^=Т + -
► При |х| < 1 данный ряд сходится (так как /? = 1), значит, его
можно почленно дифференцировать в интервале сходимости. Обозначив
сумму ряда через 5(х), имеем
5'(х) — 1 + х -|- х4 -(- ... х"" 2
Так как |х| < 1, полученный ряд есть сумма членов убывающей
геометрической прогрессии со знаменателем = х2 и его сумма $'(х) =
= ------2' Проинтегрировав ряд из производных, найдем сумму дан-
ного ряда:
5(х)= = V1" 1т^т1(|х| < *
1 & | л 1 I
0
АЗ-12.3
1. Найти область сходимости каждого из следующих
п = |
рядов: ~
а) > ---------------
' . («+ 1)-2"
/1 = 0
(а- + 2)” .
(2л - 1) • 4" ’
п
II + 1
/Л /Л
/л /л
(Ответ: а) —2О<2;б) —1<х<1;в) —1 /2 <7 х
1/2; г) -3/2<х<3/2; д) -8<х<2;е) -д/2/2
х^-^2/2.)
2. Найти область равномерной сходимости следующих
рядов:
СОЗ ИХ
2"
3. Применив почленное интегрирование и дифференци-
рование, найти суммы указанных рядов:
а» I -г-
У (и+1)
Н - I
б)
/1 = 1
Самостоятельная работа
1. 1. Найти область сходимости ряда У ————...- .
5“д//г2 —1
II — 2 *
( Ответ: — — х < — \
\ 7 7 )
2. Найти сумму ряда -—У+ У+•••+“ + •
X Л” х3 х'1
(Ответ: -—(|.г|>1).)
оо
2. 1. Найти интервал сходимости ряда
ЕТ(х~3)п
, 5"л/»! —0,5
п — 1 *
и исследовать сходимость на концах этого интервала. (От-
вет: (1/2; 11/2), ряд сходится при х=1/2 и х= 11/2.)
оо
2. Найти область сходимости ряда —-—.
« = ।
3. 1. Найти интервал сходимости ряда \0пхп 1 и
п= I
исследовать сходимость на концах этого интервала. (От-
вет: (—1/10; 1/10), ряд расходится при х=±1/10.)
оо
2. Найти область сходимости ряда
«=о
12.3. ФОРМУЛЫ И РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА.
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Если функция у = 1(х) имеет производные в окрестности точки х = Хо
до (п. 4- 1)-го порядка включительно, то существует точка с = х0 -|-
4- 0(х — Хо) (0 < 0 < 1), такая, что
/(X) = Дх0) + 2^1 (X - хо) + (X - хо)-1 + ... +
+ ' (х— х«)" 4“ Кп(х(, (12.12)
где К„(х) = (х —х,,)''1'.
у” *р I ) .
Формула (12.12) называется формулой Тейлора функции у = Дх)
для точки Хо, /?„(х)—остаточным членом формулы Тейлора в форме
Лагранжа. Многочлен
РДх) = Дх0) 4- (х - хо) + ... + (х - х„)"
называется многочленом Тейлора функции у = Дх).
При х0 = 0 приходим к частному случаю формулы (12.12):
ДХ4 = ДО) + х + -ЦМ х^ + ... + а х^„ (X), (.2.13)
где
/?Дх) =
/я + 1>(с)
(«4-1)!
с = Ох (0 < 0 < I).
У = /(X).
Формула (12.13)
называется формулой Маклорена функции
Пример 1. Разложить по степеням разности х — 1 функцию у =
= х4 — Зх2 2х 2.
► Для того чтобы воспользоваться формулой Тейлора при х0 = 1,
найдем:
у(1) = 2, у'(1) = (4х3-6х24-2)|,= 1 =0,
у"(1) = (12х2 - 12х)| Г=1 =0, /"(1) = (24х- 12)|,=, = 12,
у'1/(1) = 24, у1'(х)=0
И т. д.
Следовательно,
х4 — Зх2 4- 2х 4- 2 = 2 4- 2(х — I)3 4- (х — I)4. 4
Пример 2. Записать многочлен Тейлора функции у = в точке
х0 = 1.
► Находим производные данной функции и их значения в точке
х0 = 1:
= С У'(1)= - - 11
2 1 1 . 2 • 3 I
/'(!)= — = =-----------------— =-6’
х 1х=| х 1х_|
<(!) = 2'3/4 | =24. У(",(1) = (-1Г =(-!)"«!
X 1л-=1 X ь=1
Следовательно,
Рп« = 1 - - 1 )2 - 4г(х - 1 )3 + - +
4-(-1)"-^-(х-1)"= 1-(х-1)4-(х-1)2-(х-1)34-... + (-1)»(х-1)’>.
Остаточный член формулы Тейлора для данной функции имеет вид
Й-М=|-|Г' „Х-Т>-~|11<11<|)- "
Сформулируем условие разложимости функции в ряд Тейлора. Если
функция Цх) дифференцируема в окрестности точки х0 любое число
раз и в некоторой окрестности этой точки 1пп /?„(х) = 0 или
1|т ;г;оГ^о, (12.14)
(п+1)!
ТО
1(х) — Кхо) + I 11“~ (х — х0) 4-... 4- —(х — х1))"4-... (12.15)
В частности, при х0 = 0
Кх) = /(0)+-фх+^х2+...+ Лх» + ... (12.16)
Ряд (12.15) называется рядом Тейлора, а ряд (12.16)—рядом
Маклорена.
Условие (12.14) является необходимым и достаточным для того,
чтобы ряд, построенный по схеме (12.15) или (12.16), сходился к
функции ((х) в некоторой окрестности точки х = х0. В каждом конк-
ретном случае необходимо находить область сходимости ряда к данной
функции.
Пример 3. Разложить в ряд Маклорена функцию ей х и найти об-
ласть, в которой ряд сходится к данной функции.
► Находим производные функции ((х) = сйх, ('(х)=зйх, /,"(х) =
= ей х, /'"(х) = ай х, ... Таким образом, р"’ (х) = ей х, если п — четное,
и (<п\х) = эй х, если п — нечетное. Полагая х0 = 0, получаем: ((0)=1,
/'(0) = 0, /"(0)= 1, /"'(0)=0, ..., (<я)(0)=1 при п четном и /("'(0) = 0
при п нечетном. Подставим найденные производные в ряд (12.16).
Имеем
Воспользовавшись условием (12.14), определим интервал, в котором
ряд (1) сходится к данной функции.
Если п — нечетное, то
Я.(х) =
(и + 1)!
ей Ох,
если же п — четное, то
(х) =
(« + !)!
эй Ох.
Так как 0<0< 1, то | ей Ох) = (е°Л -|- е "•')/2 < е >! и |зй9х|^е'л|.
Значит,
Но, как
было установлено в примере 4 из 12.2,
Пт ------------= 0 при
.0 * ОО (ц -|- ] ) 1
любом х. Следовательно, при любом х Нт /?„(х) = 0 и ряд (1) сходит-
ся к функции ей х.
Аналогично можно получить разложения в степенные ряды многих
других функций:
е' = 1 + уг + уГ + •+ уТ +- (- °° <х< оо), (12.17)
сов х = 1 - _... + (_])--А_ + ... оо<х< оо), (12.18)
т(т — !)(« — п + 1)
(12.21)
Для каждого случая в скобках указана область, в которой сте-
пенной ряд сходится к соответствующей функции. Последний ряд, на-
зываемый биномиальным, на концах интервала сходимости ведет себя
по-разному в зависимости от пДК: при т^О абсолютно сходится
в точках х = ± 1; при — 1 С т С 0 расходится в точке х = — 1 и услов-
но сходится в точке х= 1; при т —1 расходится в точках %='+!.
В общем случае разложение в степенные ряды основано на использо-
вании рядов Тейлора или Маклорена. Но на практике степенные
ряды многих функций можно найти формально, используя ряды (12.17) —-
(12.21) или формулу для суммы членов геометрической прогрессии.
Иногда при разложении полезно пользоваться почленным дифференциро-
ванием или интегрированием рядов. В интервале сходимости ряды схо-
дятся к соответствующим функциям.
Например, при разложении в степенной ряд функции соз х/х в фор-
мулу (12.18) вместо х подставляем х/х. Тогда
Полученный ряд сходится при любых .г Е К, но следует помнить, что
функция соз х/х" не определена при х < 0. Поэтому найденный ряд схо-
дится к функции соз х/хтолько в полуинтервале 0 х < 00 •
Аналогично
можно записать степенные ряды функций [(х) = е
и [(Х) =
8Й1 X
Пример 4. Разложить в ряд Маклорена функцию / (х) =
3
“ (1 _Х)(| +2х)
► Разложим данную функцию на сумму простейших рациональ-
ных дробей:
3 1 г 2
(1 — ЛГ) (1 н-2лг) ~ 1— х + I + 2х '
Поскольку
X" (|л-|<1), (1)
п =0
+
п - О
то
7Г^^-Ё '" + 2Ё
л=0 п = 0
= ^ (!+(-|)',2»+')%'1. (3)
л — О
Так как ряд (I) сходится при |х|< I, а ряд (2) — при |х| < I/2,
то ряд (3) сходится к данной функции при |х| < 1/2. 4
Пример 5. Разложить в степенной ряд функцию /(х) = агс(д х.
> Очевидно, что
, , = ~---;---= I г’+ х1+ ... + (-
1+.г I—(—х~)
Полученный ряд сходится внутри отрезка |—I; I], значит, его
можно почленно интегрировать на любом отрезке |0; х]сг (— I; I).
Следовательно,
О О п = 1
Еу2н — I
(-'Г-'-зЧТГ-
н = 1
т. е. получили ряд, сходящийся к данной функции при
АЗ-12.4
1. Разложить по степеням х Ч 1 многочлен /(х) =
= х5 — 4х4 Ч 2х3 Ч 2х Ч 1 •
2. Разложить в ряд по степеням х функцию у = —
непосредственно используя ряд Маклорена.
3. Разложить в ряд по степеням х указанную функцию
и найти область сходимости полученного ряда:
а) е 'б) хсоз2х; в) 1/д/4 — х2\
г) агс51п х; д) - , Зл + 5—; е) соз2 х.
х“ — Зх + 2
4. Разложить в ряд по степеням хЧ 2 функцию /(х) =
_ 1
х2 + 4х + 7
5. Записать разложение функции у = 1п(2ЧЛ) в ряд
по степеням 1 Ч х-
6. Найти первые три члена разложения в степенной ряд
функции, заданной уравнением ху -ф е* = у, если известно,
что у = 1 при х = 0. (Ответ: 1 -ф 2х -ф -|- х2 -ф ..Л
Самостоятельная работа
1. 1. Найти первые три члена разложения функции
в ряд по степеням х—А.
2. Разложить в степенной ряд функцию [(х) =
= 1п(1—Зх) и найти область сходимости этого ряда.
(Ответ: —1/Зфх<1/3.)
2. 1. Найти разложение в степенной ряд функции
/(х) = X 51П 2х.
2. Разложить в степенной ряд функцию /(х) =
о
=------------ и найти область сходимости этого ряда.
(1+х)(1—2х) 1
(Ответ: |х|<1/2.)
3. 1. Разложить по степеням суммы х -ф 1 многочлен
/(х) = х4 -ф Зх3 — 6х2 -ф 3.
2. Разложить в степенной ряд функцию [(х) =
= 1п (1 —|—2х) и найти область сходимости этого ряда.
(Ответ: -±<х^±.)
12.4. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В ПРИБЛИЖЕННЫХ
ВЫЧИСЛЕНИЯХ
Вычисление значений функции. Пусть дан степенной ряд функции
у = [(х). Задача вычисления значения этой функции заключается в оты-
скании суммы ряда при заданном значении аргумента. Ограничиваясь
определенным числом членов ряда, находим значение функции с точ-
ностью, которую можно устанавливать путем оценивания остатка число-
вого ряда либо остаточного члена /?„(х) формул Тейлора или Маклорена.
Пример 1. Вычислить 1п 2 с точностью 6 = 0,0001
> Известно, что степенной ряд
при х=1 сходится условно (см. § 12.1, пример 8). Для того чтобы
вычислить 1п 2 с помощью ряда (1) с точностью б =0,0001, необходимо
взять не менее 10 000 его членов. Поэтому воспользуемся рядом,
который получается в результате вычитания степенных рядов функ-
ций 1п (1 ф х) и 1п (1 — х):
При |д| < 1 ряд (2) сходится абсолютно, так как его радиус
сходимости /?=1, что легко устанавливается с помощью признака
Д’Аламбера.
1 + х
Поскольку —-----— = 2 при х= 1/3, то, подставив это значение х
в ряд, получим
1п 2 = 2 (— Н---!— 4-----!— +„.4--------4-.Д
\3 З-З3 5 - 35 (2п—1)32"-' /
Для вычисления 1п 2 с заданной точностью необходимо найти такое
число п членов частичной суммы при котором сумма остатка | гп I <
< б. В нашем случае
/________!____+__________!______+
\(2п4-1)-32"+1 т (2п 4- 3) • 32,‘+3 т
(3)
Поскольку числа 2п 4- 3, 2п 4- 5, ... больше, чем 2п 4- 1. то, заменив их
на 2п 4- 1, мы увеличим каждую дробь в формуле (3). Поэтому
Гп< 2«4-1 (з2,1 + 1 + 32“ + 3 + "О-"
________2______/ 1 1 \
~ (2и4-1)-32"+' \ + 9 + 81 + -)-
= 2___________1 =_________1________
(2п 4- !)• З444 1 1-1/9 ~ 4(2н 4- 1) • З2"-1 ’
Путем подбора значений п находим, что для п = 3 г„< 0,00015,
при этом 1п 2 = 0,6931. 4
Пример 2. Вычислить д/е”с точностью 6 = 0,001.
► Воспользуемся разложением в степенной ряд функции е* (см.
формулу 12.17), в котором примем х = 1 /2. Тогда получим
— 1 4" 4" т- 4" • • 4"------•
У 2 2!-22 п!-2"
Остаток этого ряда
= V 1 < 1 V 1 = 1
4_, (п + 2п+к < (п 4-1)! -2" / . 2" (п 4-1) 1 • 2"
*=1
так как (и 4- 1)1 < (и 4- 2)! <... При п = 4
Следовательно,
Гп< ^Г<°’001-
Для определения числа членов ряда, обеспечивающих заданную
точность вычисления, можно воспользоваться остаточным членом форму-
лы Маклорена
Ох
^У + Т)!^'
где 0 < 0 < 1; х — 1/2. Тогда при п = 4
2(1/2)"+'
(« + 1)!
0,001. 4
Пример 3. Вычислить з1п — с точностью 6=10 3.
► Подставим в формулу (12.19) значение х = 1/2. Тогда
е [П — — ------- _1_ ------ -- -4- ( П" “ ' -----------
.2 2 3! • 23 5! |2" " ’ (2п—1)! • 22"~'
Так как остаток знакочередующегося ряда | г„| + ип । (см. ряд
(12.6) и следствие из признака Лейбница), то достаточно найти первый
член и« + |, для которого и„ + > < 6. Тогда 5„ даст значение функции тре-
буемой точности. Очевидно, что уже третий член ряда
1
5! • 25
10~\
поэтому с точностью 6=10
5|пТдаТ-й^0’479- ◄
Пример 4. Вычислить д/зТ с точностью 6=10
> Очевидно, что
биномиальным рядом
~\/з4 = д/32 + 2 = 2(1 + 1/16)|/’. Воспользуемся
(см. формулу (12.21) при т = 1/5, х = 1/16:
поскольку уже третий член можно отбросить в силу того, что он
меньше 6 = 10" (см. следствие из признака Лейбница). Следовательно,
^34 = 2(1 + 1/16)'С'« 2,024. 4
Вычисление интегралов. Так как степенные ряды сходятся равно-
мерно на любом отрезке, лежащем внутри их интервалов сходимости, то
с помощью разложений функций в степенные ряды можно находить
неопределенные интегралы в виде степенных рядов и приближенно
вычислять соответствующие определенные интегралы.
I
Пример 5. Вычислить $81п(х2)</х с точностью 6= 10'.
о
► Воспользуемся формулой (12.19). Заменив в ней х на х2, полу-
чим ряд
х6 х10 х4"-2
зш(х2) = х2- — + — _... + (-!)"-' -+...
Он сходится на всей числовой прямой, поэтому его можно всюду
почленно интегрировать. Следовательно,
5 51п ^ах = И*2 - 4 + (2п —Г)! +-) ах =
о о
/ X3 X7 х" х,п~' , \('
~ \ 3 7-3! + II • 5» ~- + (_ ') (4м-1)(2м-1)! + ” 7|0 =
= ±_____। , _!_____4-1-17-'—1 ~
3 7-3! -г 11-5! > (4л — 1)(2п — I)! -
як у - у-у- = 0,3333 - 0,0381 = 0,295,
поскольку уже третий член полученного знакочередующегося пяла
меньше 6= 101. 4
„ о ,, С 51П X
Пример 6. Найти интеграл \—-—ах в виде степенного ряда и
указать область его сходимости.
► Воспользовавшись формулой (12.19), получим ряд для подын-
тегральной функции
т5^=1-4+4--+<-1>'
(2/1 — 1)!
Он сходится на всей числовой прямой, и,
следовательно, его можно
почленно
интегрировать:
81П X X3
-—ах=с+х-^
5 • 5!
(2и — 1)(2и - 1)!
Так как при интегрировании степенного ряда его интервал схо-
димости не изменяется, то полученный ряд сходится также на всей
числовой прямой. 4
Приближенное решение дифференциальных уравнений. В случае,
когда точно проинтегрировать дифференциальное уравнение с помощью
элементарных функций не удается, его решение удобно искать в виде
степенного ряда, например ряда Тейлора или Маклорена.
При решении задачи Коши
/ = ?(*, У). У(*о) = Уо- (12.22)
используется ряд Тейлора
У(*) = ~^(х~Хо^’ (12.23)
,1=0
где у(х0) — у0, у'(х0) = I(х0, //о), а остальные производные у(п,(хо) (//=2,
3, ...) находятся путем последовательного дифференцирования уравне-
ния (12.22) и подстановки начальных данных в выражения для этих
производных.
Пример 7. Найти пять первых членов разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения у' = х2 -|- у2, если у(1)= I
► Из данного уравнения находим, что у'(1) =1 + 1=2. Дифферен-
цируем исходное уравнение:
у" = 2х + 2уу', у"(1) = 6;
у"' = 2 + 2у'2 + 2уу”, ут(1) = 22;
у^^уу" +2у'у" + 2уу"’, у'г(1) = 116
И т. д.
Подставляя найденные значения производных в ряд (12.23), по-
лучаем
</(*) = 1 + 2(х — 1) + 6(Л ~ Ч2- + -у-(х - I)3 + -^-(х - I)4 +...=
= 1 +2(х- 1) + 3(х- 1)2+ -^-(х- 1)3 + ^-(х- 1)4+... 4
<5 О
Пример 8. Найти шесть первых членов разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения у"—(1 + х2)у = 0, удов-
летворяющего начальным условиям у(0) = —2, у'(0) = 2.
> Подставив в уравнение начальные условия, получим
у"(0)= 1 .(-2) = —2.
Дифференцируя исходное уравнение, последовательно находим:
у’" = 2ху + (1 + х2)у', у"'(0) = 2;
у1У =2у + 2ху' + 2ху' +(1 + х2)у", у'^О) = -6;
У У = бу' + бху" + (1 + х2)у'", у (0) = 14.
Подставляя найденные значения производных в ряд Маклорена,
получаем
у(х)= — 2 + 2х — X2 + X3 — ~х‘ + -77Г-Х5 + ... 4
3 4 60
Решение задачи Коши у = <р(х) для дифференциального уравнения
можно также искать в виде разложения в степенной ряд
у = <р(х) = Оо + о, (х — Хо) + о2 (х — Хо)2 +... + Он(х — Хо)" +... (12.24)
с неопределенными коэффициентами а,- (1 = 0, 1, .... п, ...).
Пример 9. Использовав ряд (12.24), записать четыре первых не-
нулевых члена разложения решения задачи Коши у'= х + у2 — 1,
4/(1) = 2.
> В ряде (12.24) х0=1. Поэтому, положив х = 1, с учетом на-
чального условия находим, что Оо = 2. Продифференцируем ряд (12.24)
и подставим полученную производную у', а также у в виде ряда (12.24) в
данное дифференциальное уравнение. Тогда
у' = 01 +2а2(х —Хо) + Зоо(х — х0)2 + ...=
= х— I + (ао + 0|(х —хо) +а2(х —хо)2 + ...)2.
Теперь в правой и левой частях последнего равенства приравняем
коэффициенты при одинаковых степенях разности х—1 (т. е. при
(х — 1)°, (х — I)1 и (х — I)2). Получаем простые уравнения:
а, = а,2, 2а2 = 1 + 2а0О|, Заз = а2 + 2а0а2,
из которых, учитывая, что а0 = 2, находим: а, = 4, а2 = 17/2, аз = 50/3.
Следовательно, искомое разложение решения имеет вид
(/ = 2 + 4(х-1)++ - ◄
АЗ-12.5
1. С помощью степенных рядов вычислить приближен-
но с точностью 6 = 0,001 указанные величины:
а) -д/7; б) х/\0; в) соз 10°; г) '^/1027; д) 1п 3/2.
(Ответ: а) 1,396; б) 2,154; в) 0,985; г) 2,001; д) 0,405.)
2. С помощью степенных рядов вычислить с точностью
б ==0,001 следующие определенные интегралы:
а) $ -д/1 -}-х3с1х;
о
4
в) $ е1/хЛх;
о
б) $ соз х/хс!х\
о
1/4
г) $ е~*гйх.
о
(Ответ: а) 0,508; б) 0,764; в) 2,835; г) 0,245.)
3. Найти неопределенный интеграл в виде степенного
ряда и указать область сходимости этого ряда:
а)
) х
б) ( — Ух.
1 х
4. Записать пять первых членов разложения в сте-
пенной ряд решения дифференциального уравнения, удов-
летворяющего заданным начальным условиям:
а) / = еу + ху, у(0) = 0;
б) (/ = 1+х + х2 — 2у2, у(1)= 1;
В) у" = х2у — у', 1/(0) = 1, у'(0) = 0;
г) /' = * + у2, у(0) = 0, /(0)= 1.
Самостоятельная работа
1. 1. С помощью степенного ряда вычислить з1п 1 с
точностью 6 = 0,001. (Ответ: 0,841.)
2. Найти три первых члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения у’ = х2— у,
если у(1)= 1.
2. 1. С помощью степенного ряда вычислить х/тО с
точностью 6 — 0,001. (Ответ: 4,125.)
2. Найти четыре первых члена разложения в сте-
пенной ряд решения дифференциального уравнения у" =
= х2 — у, если г/(0) = 1, у'ф) = 1.
3. 1. С помощью степенного ряда вычислить
0.5
51П 2* с1х с точностью 6 = 0,001. (Ответ: 0,946.)
о
2. Найти три первые члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения у' = х2у 4* У3,
если у(0) = 1.
12.5. РЯДЫ ФУРЬЕ
Функциональный ряд вида
4- (а„ сов пх 4- Ь„ 81п пх), (12.25)
п = I
где коэффициенты а„, Ьп (п = 0, 1, 2, ...) определяются по формулам:
Л
а„ = /(х) соз пхдх,
02 26)
Ь„ = --- \ /(х) 81П ПХдх,
Л I
называется рядом Фурье функции [(х). Отметим, что всегда 60 = 0.
Функция [(х) называется кусочно-монотонной на отрезке [а; Ь],
если этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов п (а; х,),
(Х1; х2), ..., (х*_); Ь) таким образом, чтобы в каждом из них функция была
монотонна.
Теорема 1. Если функция ((х) периодическая (период ы = 2л), ку-
сочно-монотонная и ограниченная на отрезке [ — л; л], то ее ряд Фурье
сходится в любой точке х Е К и его сумма
5 (х) = ^х 0) + Кх + 0)
Из теоремы следует, что 5(х) = /(х) в точках непрерывности функ-
ции /(х) и сумма 5(х) равна среднему арифметическому пределов слева
и справа функции /(х) в точках разрыва первого рода.
Пример 1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию
(с периодом 2л):
с, (0, — л < х < 0,
^ = (х, 0<х<л.
> Так как данная функция кусочно-монотонная и ограниченная,
то она разлагается в ряд Фурье. Находим коэффициенты ряда:
л л
1 Г ч , I Г , 1 х2 |л л
«о = — \ [(х)с!х = — \ хс1х =-------------— — —
л 3 п ] л 2 | о 2
— л О
л
1 с
а„ = — \ к соз пхЛх =
Л 3
о
и = х, Ли = соз пхЛх,
1 .
Ли — Лх, и = — 81П пх
п
Подставляя найденные коэффициенты в ряд (12.25), получаем
/(*) = т + У (--------------,<> 2 с05 ^2"_ ~~— 5'п пх
4 / , \ л(2/г — 1) п
Этот ряд сходится к заданной периодической функции с периодом 2л
при всех х #= (2/г— 1)л. В точках х = (2/2— 1)л сумма ряда равна
ее ряд Фурье записы-
Если функция у = ((х) имеет период 2/, то
вается в виде
Нх) = (а<. С°8 (-^- Х^ + Ь„ 51П (-у- ,
п= I
(12.27)
где
(12.28)
Ьп = — /(%) 8Ш — х)Лх.
— I
Теорема 2. Если периодическая функция с периодом 21 кусочно-
монотонная и ограниченная на отрезке [ —/; /], то ее ряд Фурье (12.28)
сходится для любого х(Ц к сумме
5(х) = (/(х-0) + /(х+0))/2
(ср. с теоремой 1).
Пример 2. Найти разложение в ряд Фурье периодической функции
с периодом 4;
. . _ ( — 1 при — 2<х<0,
{ 2 при О С х С 2
> Находим коэффициенты ряда:
2 0 2
а° = У ](х)ах= (— 1)с(х + 2с1х^ -
— 2 — 2 О
= 7г(-*Г +2х|2')=±(-2 + 4)=1,
\ 1-2 0 1 / С / .X / ЯП ) (->)соз(— — 2 1 / 2 / лп = —( 51п { —-X 2 \ лп \ 2 0 6'*=у( $ — 2 1/2 / пп = ( с08 ( 2 \ лп \ 2 3 , = (соз ЛП ЛП 1 0 / 2 - йх + ^2 соз ~ 0 )Г +—81п(^Й|2) = 0, /1—2 яп \2 /1о/ 2 (1х + ^2 51п = 0 \ Iе 4 \ -х| (соз лп— 1)1 = /1-2 ЛП ) _1)=_((_1Г_ 0.
Подставив найденные коэффициенты в ряд (12.28), получим
оо
п= 1
Если периодическая функция Дх) четная, то она разлагается в ряд
Фурье только по косинусам, при этом
I
2 С с / яп \
а„ = Цх) Соз ( -у-х \ (1х;
о
если же периодическая функция [(х) нечетная, то она разлагается
в ряд Фурье только по синусам и
I
Ь„ = -у\ !(х) ып ( -у- х \е1х.
о
Так как для всякой периодической функции Дх) периода 2/ и лю-
бого ХЕК справедливо равенство
I Х+1
[(х)с1х= [(х)<1х,
— I Х-1
то коэффициенты ряда Фурье можно вычислять по формулам:
а
2
/
2/
О
где п = 0, 1,2, ...
Пусть функция Дх) кусочно-монотонна и ограничена на отрезке
[а; &]<=( — /; /). Чтобы разложить эту функцию в ряд Фурье, продол-
жим ее произвольным образом на интервал ( — /; /) так, чтобы она
оставалась кусочно-монотонной и ограниченной в ( —/; /). Найденную
функцию разложим в ряд Фурье, который сходится к заданной функ-
ции на отрезке [а; б]. Если заданную функцию продолжить на (— /; /)
четным образом, то получим ее разложение только по косинусам, если
же продолжить ее нечетным образом, получим разложение только по
синусам.
Например, функция Дх), определенная на [а; б] <= (— /; /) и про-
долженная в (— /; /) в соответствии с равенствами
{О при
-Дх) при
О при
Дх) при
О при
— I < х < —Ь,
— Ь х —а,
— а < х < а,
а х Ь,
Ь < х <1,
разлагается только по синуса-м. Сумма 5(л) ряда Фурье такой функ-
ции равна )(х) внутри отрезка |а; Л], а 5(а) = /(а)/2, 8{Ь)=ЦЬ')/2
согласно теореме 2 (рис. 12.3).
•С С 2).
► Так как данная функция четная, то она разлагается в ряд
Фурье только по косинусам, т. е. Ь„ = 0. Далее находим:
I 2
Отсюда следует, что а„ = 0 при п четном, а„ — —8/(л2п2)при п нечетном.
Искомый ряд Фурье данной функции
1
(2п- I)2
/ (2п — 1)л
\ 2
Его сумма равна заданной функции на отрезке ( — 2; 2], а на всей
числовой прямой эта сумма определяет периодическую функцию с пе-
риодом <о = 4 (рис. 12.4).
Пример 4. Разложить в ряд по
на отрезке [0; 2|.
> Продолжим данную функцию
образом (рис. 12.5), т. е. положим
синусам функцию /’(х) = 2 — х
иа отрезок | — 2; ()| нечетным
2 — л- при
2 — % при
Тогда а„ = 0 при н — 0, 1, 2. а
Подставляя найденные коэффициенты в ряд Фурье, получаем
1^=^
◄
Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию, график которой изобра-
жен на рис. 12.6 в виде сплошной линии.
> Продолжим данную функцию на отрезок [ — 2; 0] четным обра-
зом и разложим функцию Цх) = .к, л‘ € [0; 2|, ио косинусам, т. е.
К*) = -у- + сое х'},
П = 1
2
Со =
хйх =
Искомый ряд Фурье имеет вид
м=
4 у х
л2 / , (2п — 1г \ 2
«= 1
На отрезке |0; 2] он представляет собой заданную функцию, а на всей
числовой оси — периодическую функцию с периодом ю = 4 (см.
рис. 12.6, штриховая и сплошная линии). -4
Поскольку ряд Фурье сходится к значению соответствующей функ-
ции в точках, где функция непрерывна, то ряды Фурье часто использу-
ются для суммирования числовых рядов. Так, например, если в ряде
Фурье функции, определенной в примере 5, положить х = 2, то получим:
2 =
------— С08 Л,
(2н- I)2
1
(2и - I)2
л"
8
Пример 6. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг
функцию у = х2 на отрезке |0; л] и с помощью полученного ряда вычислить
суммы числовых рядов
> Разложим данную функцию в ряд по косинусам, продолжив ее на
интервал (— л; 0) четным образом и на всю числовую прямую периоди-
чески, с периодом 2л. Тогда:
Получили ряд Фурье
Так как продолженная функция непрерывна, то ее ряд Фурье схо-
дится к заданной функции при любом значении х. Поэтому для х = 0
имеем
т. е.
I
При х = л
п = 1 п = I
АЗ-12.6
1. Разложить в ряд Фурье функцию
/(*)={
х при
2х при
имеющую период 2л.
соз (2п — 1) х
(2п — 1 )’
и I
2. Разложить в ряд Фурье функцию
/(*) = {
л -|- 2х при
— л при
Ответ: — 4т + 2 У (-------------сО5(2н — 1)х------- зт пх).
2 / > \ л(2н — 1)' п
п = I
3. Разложить в ряд Фурье
(с периодом со = 4), если
периодическую функцию
( 1 -|- х при —2 < х 'С О,
I — 1 при О < х 'С 2.
п л(2п — I)
С 08 —*------
2
( Ответ:
4. Найти разложение в ряд Фурье функции у — х2 на
отрезке [ — л; л]. Построить графики функции и суммы ря-
да. (Ответ: (-1)"-^-'--.)
п — 1
Самостоятельная работа
1. Найти разложение в ряд Фурье функции /(х) = —х.
на отрезке [ — 2; 2]. Построить графики данной функции
и суммы ряда. (Ответ: 2 81п пх^
п= I
2. Найти разложение в ряд Фурье функции
— 2 при
1 при
О,
л.
О
Построить графики данной функции и суммы ряда.
Ответ: — 1 -(- — V ——!—- 81п (2л — 1)х.
л / , 2п — Г
п I
3. Разложить в ряд Фурье функцию
— х при
О при
Построить графики данной функции и суммы ряда.
л Г-' / I _ | х'1 _ | (__ | У' '
Ответ: -—|- ) (-----------—-----с оз пх -|-------— зт пх
4 /_, \ м' п
п 1
АЗ-12.7
1. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию [(х) = х2
в интервале (0; л). Построить графики данной функции
и суммы ряда. ( Ответ: — V (—I)'1”1/ — |—?_/(——
\ л . \ п 1Г \
п- I
— 1)) 51П ПХ^
2. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг
(2
Ответ: — +
+ 1
п= 1
соз 2пх \
1 — (2п)2 /
3. Разложить в ряд Фурье по синусам кратных дуг
функцию /(х)=1—х/2 на отрезке [0; 2]. (Ответ:
ОО
~ V
л / , п 2 /
п = 1
4. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг
функцию /(х)=1—2х на отрезке [0; 1]. (Ответ:
8 у1 соз л (2л — 1) х \
л2 / , (2п — I)2 /
I
5. Пользуясь разложением в ряд Фурье по синусам
кратных дуг функции Дх) = 1 на отрезке [0; л], найти сумму
ряда 1-± + |-4-+... + (-1Г'-^-^+... (От-
вет: л/4.)
Самостоятельная работа
1. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных
дуг функцию /(х) = 1— х на отрезке [0; 2]. (Ответ:
4 У —.1— . соз 12л -2)л X
л2 / , (2л — I)2 2 /
,1=1
2. Разложить в ряд Фурье по синусам кратных дуг
функцию /(х) = л —х на отрезке [0; л]. (Ответ:
оо
п 81П ПХ \
,1 = 1
3. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных
дуг функцию }(х) = ~ — у на отрезке [0; л]. (Ответ:
2 у соз ((2л — 1)х) \
л А (2л—I)2 /
I
12.6. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 12
ИДЗ-12.1
1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму.
л(л + 2)
Ответ: 3 =
ОО
..2. 1^.(Огвет..5_|.)
п = 1
оо
1.3. У -----!----. ( Ответ: 8 = — Л
С, (2п + 5)(2п + 7) \ 10 )
п = 0
ОО
•4- *=4-)
I
оо
15. V —г- . (Ответ: 8 = -|-Л
(п + 5) (п + 6) \ 5 )
п = 0
оо
'•6-
л = I
оо
1,7‘ Е (2л + 7) (2л + 9) • (Ответ: 5== й )
л^О
оо
1.8. У 4 ~3 . (Ответ: 5= — Л
12" \ 6 )
п= I
оо
'9- 1(^^(0ге";5=7-)
п — I
л= I
111. У -—-г- . (Ответ: 8 = — Л
(я + 9) (/? -)- 10) \ 10 /
п = |
оо
'’2- ^«=4)
л= I
оо
'•'3- I 5=1-)
л=1
/! = 1
ОО
1-15. V 1 . (Ответ: 8 =~Л
(п 4-2) (п 4-3) \ 2 /
/2=0
1-'в- Ё-^ (0геет--5=т)
/2=1
оо
1-17. V 1 . (Ответ: $=-1-Л
(п 4~ 3) (и 4- 4) \ 3 /
/2=0
1.18. V .(Ответ: 8 =
20 \ 12 /
/2=1
М9.
/2=1
Е20.
л = 1
1
(« + 4) (я + 5)
(Ответ: 5 = -|-.
Ответ: 8 =
1.21. У --------!-------. /Ответ' 8 — —
Л (2п + 1)(2и + 3) {и1ае1' о 2 7
п=0
ОО
1.22. Т+,3". (Ответ: 8= А.)
Я=1
ОО
'23- «-1-)
п =0
оо
/2=1
7л_/ 1
—2Г- • (Ответ: 5= у
1.24.
*-25- У • (Ответ: 8 = — Л
(Зя — 1) (Зя 4- 2) V 6 )
л= 1
1.26. V (Ответ: 5 = -?-?)
/С 24" \ 14 /
/1 = 1
1.27. У ----------------. (Ответ: 8 = ± Л
Д (Зя + 1)(3,1 4-4) V 12 ;
/1-1
1.28. V (Ответ: 8=-^.\
Л 24" \ 14 /
П-1
1.29. У ----------!----. (Ответ: 8= 1 Л
Д (Зи 4-2) (Зи 4-5) \ 15 )
11 = I
'•3°- 5=Д
п= 1
Исследовать на сходимость указанные ряды с положи-
тельными членами.
2
2.1. ДДДДД. (Ответ: расходится.)
л = 1
2.2. —ру. (Ответ: сходится.)
л = 1
2.3. (у) (-0 • (Ответ: сходится.)
« = 1
2.4. (2п + 1) (Ответ: сходится.)
п= 1
Ем”/2
(Ответ: расходится.)
I
2-6- У 5~75;ч6 Х1331 • (°твет: сходится.)
/ О • I * У \^.Г1 —|—
о*
2.7. ("^') п?* №твет: сходится.)
п = I
оо
7 [Ответ: расходится.)
п = 1
оо
Зп(” + О,. (Ответ: сходится.)
П=1
оо
2.Ю. + 2)! . (Ответ: сходится.)
п== 1
оо
2.11. п51п^~- (.Ответ: сходится.)
п = 1
оо
2.12. 12-+-!}— (Ответ: сходится.)
л= I
2.13. V --. (Ответ: сходится.)
Д 5"(п + 3)!
2.14. з'у' 1 * (4"—Тр (Ответ: расходится.)
2-15-Е
п = I
Пп
(«4-3)1
(Ответ: расходится.)
2.16. п3(&^тг- (Ответ: сходится.)
п = 1
оо
2.17. У (п +3) . (Ответ: сходится.)
Д, (« + 1)!
п = 1
2.18. У -—г-. (Ответ: сходится.)
/ . (2п + 3)!
«= 1
2.19. • (Ответ: расходится.)
л-= 1
о®
2.20. У „2-_3~ . (Ответ: сходится.)
/ 2 О • / • 1 1 (4/1 1 }
п = 1
2.21. (Зп — 1) 81п (Ответ: сходится.)
л= 1
оо
2.22. П^2 (Ответ: сходится.)
п— 1
оо
2.23. V 3” ~ 1 . (Ответ: сходится.)
2-'| V" • 7”
п — 1 ’
оо
2.24. У ‘ '!'! /о”~оч • (Ответ: расходится.)
/ 2 1 • 4 • / (<эМ “ 4}
н- 1
оо
V—! СП
2.25. \ . (Ответ: сходится.)
п= 1
2.^6. У 1 '3'|2 ЧГ (°твет: сходится.)
4'1 * 14 {ОГ1 О)
П= 1
2.27. У п- - . (Ответ: расходится.)
п= 1
2.28. (2/(2п)!~ ' (Ответ: сходится.)
П = 1
2.29.
2.30.
Я— 1
2”
----—. (Ответ: сходится.)
2п + 1 . (Ответ: сходится.)
д/яТ2л
3
3.1. 2 -------—- (Ответ: расходится.)
3.2. ' ) • (Ответ: сходится.)
л== 1
3.3.
1 \"
2п + 1 / '
(Ответ: сходится.)
3.4.
. (Ответ: сходится.)
3.5.
1 V”
агсз1п —1 . (Ответ: сходится.)
3.6.
п2 4- Ъп 4- 8 X” , .
—~. (Ответ: сходится.)
3.7.
I (агй^)- (Ответ: сходится.)
3.8.
(я/(и + 1))"'
2“
(Ответ:
сходится.)
3.9.
(Ответ:
сходится.)
3.10.
Зл
(Ответ:
сходится.)
3.11. ) -----------. (Ответ: сходится.)
(1п(п+3))я ' ’
п= I
оо
3.12. + • (Ответ: сходится.)
3.13
3.14.
3.15.
г-ч / 2п_IV
) (—2^—) • (Ответ: сходится.)
II = 1
У ^81п-^-) . (Ответ: сходится.)
п = 1
У + 1 ) . (Ответ: сходится.)
3.16.
4п
’ (Ответ: расходится.)
3.17.
. (Ответ: сходится.)
3.18. у ) • (Ответ: сходится.)
3-19. у (агс81п-^ . (Ответ: сходится.)
3.20. у ( ”2^ * ) • (Ответ: сходится.)
3-21-1 (уУ+ з“„+«У- <0™ет;
3.22. у (• (Ответ: сходится.)
п= 1
3.23. у ^агс81п^-) . (Ответ: сходится.)
3.24. (. (Ответ: сходится.)
3.25.
«о
((П + У/пУ’
5’
(Ответ: сходится.)
3.26.
(Ответ: сходится.)
3.27.
К8'п
п= I
(Ответ: сходится.)
(Ответ: сходится.)
г-’ 1П'»
3.29. > ------------(Ответ: сходится.)
Д (1п (и + 5))2
3.30. I ( ЗГС81П
(Ответ: сходится.)
4
°° 9
п= 1
оо
4.3. V --------------------.
/ - (2п + 1)1п3(2п + 1)
п — I
оо
4 5 V 1_______
/ , (Зп + 4) 1п2 (Зп + 4)
п = 1
оо 2
4.7. У (-1+^ .
Л к 49 +и2/
п= 1
4.11. у д+
2-4 36 -[-
п= I
оо 4 2 V 1
4.2. 2у п = 1 (Зп +2) 1п (Зп + 2) '
оо 4 4 У 1
л п= 1 оо 4 6 У У 4п + 5)3 1
л п = 1 оо 4.8. у л = 1 оо 4.10. у л — У(7п-5)5 1
(Зп — 1) 1п (Зп - 1) ' 1
, (5л-2)1п(5л-2) I
оо 4.12. У 1
Л л = ; Уз + 7п)10
оо
оо
4.13.
Цзп - I)4
4.14.
(« + 2) 1п (п + 2)
4.15.
(Юи4-5) 1п (10«4-5)
. 4.16.
^(2« + 3)
4.18.
439.
4.2!.
4.23.
4.23.
4.29.
4.28.
4.30. %
5 4- п
25 4- гг
(«4-3) 1п («4-3) 1п (1п (" + 3)) ’
1 ОО 4 20 V 1
(3 4- 2п) 1п5(3 4- 2п) ' и= 1 д/(4 4- 9«)5
1 оо 4 22 V 4.22. 3 4- п
(9я - 4)1п2 (9« - 4) ' п= 1 9 4- п2 — 2п
1 оо 4 24 V 1
(5п 4- 8) 1п3 (5л 4- 8) 1 Л п= 1 - 5)3
(п 4- 4) 1п (« 4- 4) 1п (1п (п 4- 4))
1 4 27 У 4.2/. 1
(3 4- 8л) 1п3 (3 4- 8п) ' п — 1 л/(4« - 3)’
1 . 4.29. У 2 4-п
(Юл 4- 3) 1гг (10п 4- 3) 1 ь п = 1 4 4- п 2 — п
(п 4- 5) 1п (п 4- 5) 1п (1п (" + 5)) '
5.1. V — 1 (Ответ: сходится.)
^«3+2
5.2. V —!=. (Ответ: сходится.)
У ;7'г 5
Л -- 1 ’
5.3. ‘'ГУ“Г' (Ответ: расходится.)
Л-— 1
5.4. У — 1 (Ответ: расходится.)
2—-\и' + 3п
л — 1 *
5.5. У — 1-------. (Ответ: расходится.)
п — I '
5.6. У -—!——. (Ответ: расходится.)
/ 1 1л (/I У
II— 1
5.7. У —У. (Ответ: расходится.)
У V»
л = 1
се
5.8. —-. (Ответ: расходится.)
и = ।
5.9. (Ответ: сходится.)
п= I
5.10. —Утртр (Ответ: расходится.)
--1-. (Ответ: расходится.)
5.12. У -----!----. (Ответ: расходится.)
1п (п + 3)
5.13. У (Ответ: расходится.)
/ 1 Зп 5
5.14.
1
Зи2 — I
(Ответ: сходится.)
5.15. 51п —У . (Ответ: сходится.)
п - 1
5.16. . (Ответ: расходится.)
п = I
5.17. 81П(Ответ: сходится.)
п I
5.18. V -——-—(Ответ: сходится.)
(п + 1) (п + 3) ' 7
н I
5.19. У —Ут- (Ответ: сходится.)
/ л и ‘ .5*
/I - I
(2п+ 1)-3'
(Ответ: сходится.)
гп п I 2
5.21. > —2—. {Ответ: расходится.)
“ п \/п
я = ’
5.22. 81П --у ) . (Ответ: расходится.)
п= I
5.23. ) -У—. (Ответ: расходится.)
пл + 2
п щ I
5.24. 81п^-. (Ответ: расходится.)
।
5.25. у —У~у-. (Ответ: сходится.)
н = (
5.26. V .
/ 2п 4" 5
(Ответ: сходится.)
5.27. V -У—
4-, 1Г + 4
п= 1
(Ответ: сходится.)
5.28. У -п. . (Ответ: расходится.)
4^ п2 + 4
п = I
оо
5.29. У ----!---. (Ответ: сходится.)
Л 5п2 + з
п = 1
5.30. У -------------• (Ответ: сходится.)
Л (и+1)(и + 6)
п= 1
6
ОС оо
1 п 6.2. 1 п^= 1 1
(«+ о3' -у/п (п — 1)
оо оо
в.з. 1 2п — 1 6.4. У
2п2 + 1 4-, 3“
п= 1 1
оо оо
6.5. 1 2" 6.6.1 1
1 + 22" ' п 1п7 п
1 п = 2
оо 6.7. 1 п3 6.6. 2
("+ И' ’ п2 4- 3
/1 — 1 11= 1
оо С*
6.9. 1 п\ 6.Ю. 1 1
72 (5п - 1)(6п 4- 3)
п= 1 п — 1
оо ОО 2
6.11. у --1-. 6.12. У —(——V.
Л Д ьЛп+з)
и=0 ’ и=I
6.13. оо оо У 6.14. У ЛДД. ь з’+« и п2 /1 = 1 /2 = 1 оо оо
6.15. у 6.1в. у Д. 3" Л Л* /1 = 1 /2=1 оо оо
6.17. у -4=-. 6.18. у 2^2-. Ди „д/ГД П' /1 = 1* п = 1 оо оо
6.19. У п +- -- . 6.20. У 5 . „ = . 2" + 5 „=) -^0 + 3) оо »о
6.21. У -У—. 6.22. У (и + 1)! . Ди п3 4-1 (2л)! /1=1 п = 1 оо оо
6.23. У ! . 6.24. У — у + '-У . (Зп — 2) (7п - 1) / и 2" к п / /2=1 /2=1 ©О «о
6.25. У —!—. 6.26. У Дд±Л. „=« Ь 9" оо оо
6.27. У /~7 . 6.28. У ! . Зп 4-5п — 2 Ди (4п - 1)(4п 4-5) /2 = 1 /2=1 оо оо
6.29. IШ I /1 = 1 п = 1
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость
знакочередующиеся ряды.
7
———. (Ответ: абсолютно сходится.)
п
п = I
/__ | у1
7.2. > — . (Ответ: условно сходится.)
Ь У«+т
7.3.
1п II
(Ответ: условно сходится.)
7.4. (—1Г +1 5 • (Ответ: расходится.)
п = I
7.5. V (— 1)"——. (Ответ: абсолютно сходится.)
, \1п г’
п *
7.6. У (—1)"+'—1—. (Ответ: условно сходится.)
<>.=1 *
7.7. (—!)"“' -С. (Ответ: абсолютно сходится.)
7.8. У (—1)''+'-тх—Ут—• (Ответ: абсолютно схо-
(2л + I) п '
I! - 1
ДИТСЯ.)
оо
7.9. У (—1)"+1------!--. (Ответ: условно сходится.)
оо
Е/_____1 у ~1
-—~=^-. (Ответ: абсолютно сходится.)
, п \/п
п = ’
7.11.
(Ответ: условно сходится.)
У /____। уг +1 2м ।
/ , 1 ! п(п+1)
п — I
(Ответ: абсолютно сходится.)
7.13. (— 1)"+1 ЗдУ ! • (Ответ: расходится.)
«I
V—1 7__ |
7.14. \ ~—<у. (Ответ: условно сходится.)
о=1
V—' / | \п
7.15. 2 -[з^' (®твет: абсолютно сходится.)
11 = 1
V—' / _ | у» - '
7.16. > -— . (Ответ: условно сходится.)
п = I
7.17. V (—1)"+1 2п+ 1 . (Ответ: расходится.)
7.18. 1 . (Ответ: абсолютно сходится.)
п= I
7.19. V ——. (Ответ: абсолютно сходится.)
• п ~\1н
7.20. V (Ответ: абсолютно сходится.)
/ - п 5“
>1 = 1
оо
'V—' /__ [ У' ~ '
7.21. ) Д—. (Ответ: абсолютно сходится.)
7.22. —1)"__А__. (Ответ: условно сходится.)
>1 = 1
7.23. (— 1)" + 1 (Стает: условно сходится.)
II = I
ОО
Е/_____ | у«+ »
г • (Ответ: условно сходится.)
оо
Е/_____I у* +1.
—-1--------. (Ответ: абсолютно сходится.)
(2п I)
п = I
7.26. V — Л (Ответ: условно сходится.)
уп 4- 5
п = 1 ’
7.27.
п= I
п + 5
п»
(Ответ: абсолютно сходится.)
_ / 1 \
7.28. \ +'( 2'+~7~) ’ (Ответ: абсолютно схо-
п. = I
дится.)
оо
7.29. V . (Ответ- абсолютно сходится.)
/. (Зп —2)! '
п — I
оо
7.30. ^ ( —1)"и 1п(1 +-V). (Ответ: условно схо-
п — 1
дится.)
8
8.1.
(-1Г+1
(2п — I)3 ’
8.3.
п = I
оо
8.5.
п --= I
у1 (___1 у + 1 — 1
п = I
8.2. у .
Л (2п+1)!
И = 1
оо
8.4. V (-1Г.У
1п(н-Н1)
п=\
оо
8.6. (-‘Гу-2".
I
оо
8.8. ^(-1)П^-±Х.
/2 = 1
8.9. V ±рЦ_.
А./ « +1
«-.= 1
Ё ;&•
I
з-12-
п= I
оо 00
л=2 п=1
оо р
8.15. 8.16. р-|). + 1—1-^.
И=I п=I
оо
8-17-
и= 1
оо
8.19. V
Ь (5п+ I)"
П=1
8.21. (-1)ПЛ±±.
П= >
8.18. У (-1У + ' 2"+ \ .
Л к 7 л(л + 1)
л= )
оо
8.20.
11 = I
оо
8.22. У (-!)"+'-У—.
А п + 1
п = 1
8.23. п = 1
оо
8.25.
Л («+ 1)(„ 4- 4) ’ п=1 оо
8.27. У / 1 — ! 2гг -|- 1 Ь } п(п^2) п= 1 оо
8.29. у (-1)"-'
„^ । V» + о3
8-24-1 н>”^
п= I
8.28. (— 1)"-ууу.
п = 4
оо
8-3°- К'Ат)"
п = 1
Решение типового варианта
1. Доказать сходимость ряда
2» + 1
п\п + I)2
и найти
его сумму.
Общий член ап = — —-----
П (п + 1)
данного ряда предста-
вим в виде суммы простейших дробей:
а = 2п + 1 = А + А + с + Р
п> + 1)2 п П2 I (п+ I)2 ’
2/? + 1 =Л/Дл + 1)2 + В(/? + 1)2 + С/г2(/? + 1) + .О/А
п = 0
п = — 1
/г3
п
В = 1,
О= -1,
о = А + С,
=>Д = 0, С = 0,
►
поэтому
Найдем сумму первых п. членов ряда:
+ 1 . -4 + 4 —и = 1 —
(« — I)" /г гг (п + 1У (и + 1р
Далее вычислим сумму ряда:
5 = Пт 5„ = 11т ( 1 —
П—>оо »оэ \
т. е. ряд сходится и его сумма 5=1. -4
Исследовать на сходимость указанные ряды с положи-
тельными членами.
Воспользуемся признаком Д’Аламбера. Имеем:
«! п _ («4-1)! |:т «„+1 _ 1;т (п + 1)!п" _
, (1пл.\ — —— , IIГП — 1пП --------— —
п"-------------------------------------------------------------------(п -р 1)',+ ??->-оо а,,-л^оо (п -р I)"+ +!
= Пт
Л—► ОО
(п + 1)п"
(« + !)>+ I)
= 11т-----!—- — — < 1,
И —*- оо (1 4 I / ^)” &
т. е. данный ряд сходится. -4
з. V +44
/ . п " • 3я
Согласно радикальному признаку Коши, имеем:
т. е. исходный ряд сходится. -4
Воспользуемся интегральным признаком Коши.
Для этого исследуем несобственный интеграл:
оо р р
С м1х_ __ । |т Г х . г2 ([х _ цт /-------1 С 2_'Д/( — х2Й =
3 2 Л р-> ОО 3 р-> оо \ 2 ] /
I 1 !
— Ит (— -А—------------')| = Вт (--------1-------------!—А =_1_____
р-*-оо\ 2 1п 2 / I 1 р- *- оо \ 2 1п 2 • 24 /л 2 / 41п2
Поскольку данный интеграл сходится, то сходится и иссле-
дуемый ряд.
> Исследуем данный ряд с помощью предельного
признака сравнения, который состоит в следующем. Если
Нт — = к, к К, к =/= 0, то ряды с такими общими чле-
Л-+ оо Ьп
нами ведут себя одинаково в смысле сходимости: или оба
сходятся, или оба расходятся. Имеем ап —л-- . В ка-
4дД
честве ряда, с которым будем сравнивать исходный ряд,
возьмем гармонический расходящийся ряд с общим чле-
ном Ьп = {/п. Тогда
(Здесь мы использовали первый замечательный предел.)
Итак, исследуемый ряд расходится. 4
е-1 (|-5"Д-
!
► Для этого ряда необходимый признак сходимости
рядов (Нт ап — 0) не выполняется. Действительно,
Л—»- оо
Игл ап = Пт А — ат —= 1 О,
п—► оо п-*-оо \ /
т. е. исходный ряд расходится.
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость
знакочередующиеся ряды.
(—1)"+'
п 7"
> Воспользуемся признаком Лейбница. Имеем:
т. е. данный ряд сходится.
Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин
членов исходного ряда:
Применим признак Д’Аламбера:
1 • Оп + I 1 • п • 7" 1 1 ; П 1 . 1
Нт —= Пт ------------------— = — Нт ---------= — < 1,
л-, 'х. ап п-^ос 7 п-^оо п ~1~ I 7
т. е. ряд (1) сходится. Следовательно, исходный ряд
абсолютно сходится.
оо оо оо
п = 1 л — 1 п ~ I
оо
Г-П ( _ 1 у1
► Для ряда \ — выполняется признак Лейб-
п = 1
оо
ница. Ряд -Г — гармонический (расходящийся). То-
п = I
V—, /_ | у»
гда ряд \ к 1 сходится условно. Сумма сходящегося
п = I
и расходящегося рядов представляет собой расходящийся
ряд. Значит, исследуемый ряд расходится.
ИДЗ-12.2
Найти область сходимости ряда.
1
оо
^.(Ог'ег: [-!;!].)
п = I
1.2
ИХ
3"
(Ответ: (— 6; 6).)
оо
1.3. (Ответ: (-2; 2).)
п= I
1-4. V —(Ответ: [ — 2; 2).)
/ п • 2/(
п = I
оо
1.5. (Ответ: [—1; 1).)
п. = I
оо
Ь6- У 2ТГТТ' (0™?т. [-1; 1).)
п — I
п = 1
оо
1.8.
V (1п х)п. (Ответ:
оо
I <0™-' [-1; И )
п= 1
оо
г“> уЗп
'•10- I (Омег; [-2; 21-'
л= I .
1.11. (п(п-(-1)хп. (Ответ: (—1; 1).)
« = 1
оо
1-!2.
п = I
(Ответ: ( — 2; 2).)
(Ответ:
10’
1.14. V ——. (Ответ: (~е, е).\
/ , пп
п= 1
оо
1Л5- У УтУ- (°твет: Г-5;5)-)
/ я о п
1.16. Аг- (Ответ: [—1; 1].)
п= 1
оо
1.17. №-^. (Ответ: ( —У?0; УТо).)
1.18. (1ех)п. (Ответ: К)}.}
п= 1
(Ответ: ( — 5; 5).)
'•20-1
п= I
5"хп
(2п + I)2 У^”
(Ответ: [—1; 1].)
.,22.Е" (Огвет..[-±;±).)
п— I ’
оо
1.23. У -~х)3—• (Ответ: [-1; 1].)
/ 1 п
/1=1
оэ
1.24.
1.25.
1.26.
1.27.
1.28.
1.29.
1.30.
2.1.
2.3.
2.5.
2.7.
2.8.
--- . (Ответ: [ — 2; 2).)
2"х1лп. - 1
2"х"
х/2п — 1
(п ± 1)-—. (Ответ: (-2; 2).)
6" \Г1
хп1§ — . (Ответ: [—1;
!)•)
I (^тг)'! (°твет: (~5*;5*)-)
п!
; Ж" х
пп
(х - ЗУ
п!
51П —.
2"
2
.2п- I
2-2-1
2.4. (пх)".
Е
(Х-1У
(« + !)!
(2п — 1)(2п — 1)!
2.9. %
е
оо во
2-'О- 2.11. У 21. / . п!
п = 1 п= 1
оо оо
2.12. V 2.13 У 1
хп / , 3 1~- •
упх
п = 1 *
оо оо
2.14. У - 2 15 У
[_и П(х — 2)" Ди х" П 1П П
п = 1 п~2
оо во
2.16. У 12. 2.17. У -
Сл 2п п — 1 Злл/2« + 1
оо ОО
2.18. У —1—. 2.19. У —.
2-и (пх)п Ди &
п— 1 1
оо оо
2 20 У а1п ^п~ 0 л' 2.21. У 2п81П— .
Ди (2п — 1)- 2-и Зл
п = 1 л = 0
оо оо
2.22. У ~. 2.23. У -1 .
/ . х" / . п!хп
п = 1 1
оо оо
2.24. У п!ха. 2.25. У —.
Ди Ди п."
п = 1 п = 1
оо оо
2.26. У -5|п пх . 2.27. У
Ди П2 Ди
п — 1 п=^ 1
оо оо
2.28. V —. / . епх 2.29. У —. Ди X"
п= 1 п = 1
оо
2.30. V -СО8 пх
Ди П2
п= 1
3
оо
ЗЛ> Е ~^-1 (Ответ: 3<х<5.)
оо
3.2.
(х - 2)"
п" 1п (1 + 1/п)
(Ответ: 1 < х <_ 3.)
(х-1)"
п = 1
3.5
п = I
3.6.
(2 + х)п.
(х - 2)"
2"
(Ответ: 0 < х<_ 4.)
(Ответ: 0 < х < 2.)
(х + 8)"
(Ответ: — 7.)
(Ответ: —3<х-<—1.)
I
3.7. V . (Ответ: — 1<х<3.)
2п(п -|- 3)
п= I
' + 5)"
' V” + *. ^и2+ 1
(Ответ: —6<х<—4.)
3.9. 2"2(х + 2)п\
п = 0
(Ответ: — 2,5 < х < — 1,5.)
3.10. У —. (Ответ: —1^х<3.)
Л 2"1п(п+1) ' ’
п= 1
3.11. п.-(х-ь10) (^Ответ: —е—10<х<е —
п = 1
3.12. (Ответ: — 4.)
п=0
оо >----------
3.13. -1п^(^ 1} (^+ !)"• (Ответ: 0<х<2.)
л = 0
10.)
оо
3.14. у (2—х)” 81п(Ответ: 0<х<4.)
л = 0
3,15. V .(3~2Л)1. (Ответ: 1<х<2.)
/ . п — 1п п
3.1». 2;
л = 0
(Зп —2)(х —3)"
(п+ 1)22"+1
(Ответ: 1 х < 5.)
3.17. у (Ответ: 1<х<3.)
л = 1
оо
3-18' I <Опет: °<*<4>
п= 1
ОО з ]
3.19. V (-1)«^±1(х-2)'’.
•*’ "Г 1
п=0
(Ответ: 1<х^3.)
3.20. у (* + 5Л...1. (Ответ: -7<х<-3.)
п = 1
оо
3.21. V (2п~ |)',<х+ О” . (Ответ: — 2<х<0.)
Т-'п"
п= 1
3.22. V (х + 3)" . (Ответ: -4<х<-2.)
п2
п= 1
оо
3.23. У (Ответ: — 3<х<— 1.)
/ . пп
п= I
3.24. у (— 1)я-1 -. (Ответ: 1^х^3.)
п — 1
оо
3.25. у • (Ответ: 2<х<4.)
п= 1
оо
з-2в- Е (-'Г1 |0™";
л = 1
оо
3.27. (Ответ: -2<х<8.)
оо
3.28. V (-1Г11^-..^^..- ‘Г... (ответ: -±<
(Зи — 2)2" V 4
ОО
3.29.-----------V ---------. (Ответ: 2<х<4.)
/—л (п 4- 0 1п (п 4- 1)
« = 1
3.30.
(Ответ: 2<х^8.)
п • 3
Разложить в ряд Маклорена функцию ((х). Указать
область сходимости полученного ряда к этой функции.
4.1. [(х) = соз 5х. ( Ответ: \ '
\ /-< (2«)!
ОО
4.2. 1(х) = х3 агс1§ х. (Ответ: ’ 1*1^ !•)
п= 1
оо
4.3. ^(х) = «1пх2. (Ответ: _^(—, |х| < оо.)
п= 1
оо
Ответ:
п=0
(_1)«х'!+2, |х| < 1.)
4.4.
4.5. Кх) = соз^. (Ответ: У '2^, |х| < оо
' 3 \ Д, 32"(2п)!
л=0
4.6. /(х)= —(Ответ: 2 V З'Ъг2", |х| <-!-.)
1 — Зх2 \ Ди _ /о /
л = 0 *
оо
4.7. /(х) = е3х. (^Ответ: |х| с оо.^
п = 0
4.8. /(х) = ууу. ^Ответ: (-1)^, И < 1.)
п=0
оо
4.9. /(х) = сЬ (2х3). (Ответ: , |х|< <х>.)
« = 0
4.13. 1(х') — 2~х\ (Ответ: -(~-)^П''— х2п, |х| < оо.)
оо
4.14. МХ) = 5Х- (Ответ: |х|<оо.)
п = 0
4.15. /(х) = х соз -у/х. (Ответ:
О =С х < оо.)
4.16. /(х)= 5!2-3*-. (Ответ:
|%| < оо Л
(— 1)',х" + |
(2«)!
(-1)"~1 • 32"-‘ 2п_2
(2п - 1)!
Разложить функцию Цх) в ряд Тейлора в окрест-
ности указанной точки х0. Найти область сходимости
полученного ряда к этой функции.
4.17. Кх)=~-> -^0= —2. (Ответ:
1 V (х + 2)”
2 Л 2"
л = 0
— 4<х<0.
х0= —2. ( Ответ: (— 1 )п(х -ф 2)я,
л=0
4.18.
4.19. [(х) = ех, %о = 1. (Ответ: е^ ~
л = 0
4.20. }(х) = хо = 3.
' 4 ' 2х 4- 5
оо
л = 0
7-)
4.21.
1
(%-3)2
00
Хо=1. (Ответ: ±^1±1(х-1)я,
л = 0
1
х + з ’
5^
2
< X <
4.22. Кх) = 81п-у-, х0 = 2.
( Ответ:
ОО
4.23. [(х)— 1п (5х + 3), Хо— -|-.
О
( Ответ:
оо
П= 1
оо
4.24. ^х) = 1п-7—!---
- хг-2х + 2
х0 = 1. (Ответ: (х —
п= I
4.25. [(х)= —-—. х0= — 3.
Х14 + х
(Ответ: 1 + (-.1.)"|2.-.1)!. (х + 3)", -4 < х < -2.)
4.26. /^(х)==сО8Х, х0—
(л , л \
----Н п • I п
— :-----—(X------—) , | Х| < ОО .
/ . п! \ 4 /
п=0
4.27. ^(х)= —. х0 = 2.
д/х- 1
(Ответ: 1 + (х _ 2)«, 1 < х < 3.)
(Ответ: V ((----------------^(х4-2) \ — 5<х<1Л
\ Х\6-3" 10 •б"/' ' ) /
п=0
(, лл\
а 4- —- 1
4.^.0 . /(Л; = Э1НЛ, л() — С4. ууюе!. у -—----— (х —
п=0
— а)п, |х| < оо.)
4.30. ((х) = 1п (5х + 3), х0 = 1. (Ответ: 1п 8 +
оо
л = |
5. Вычислить указанную величину приближенно с за-
данной степенью точности а, воспользовавшись разложе-
нием в степенной ряд соответствующим образом подобран-
ной функции.
5.1. е, а = 0,0001. (Ответ: 2,7183.)
5.2. Т^О- а = 0,01. (Ответ: 3,017.)
5.3. 81п 1, а = 0,00001. (Ответ: 0,84147.)
5.4. 7^3. а = 0,001. (Ответ: 1,140.)
5.5. агс1§^, а = 0,001. (Ответ: 0,304.)
5.6. 1п 3, а = 0,0001. (Ответ: 1,0986.)
5.7. сН 2, а = 0,0001. (Ответ: 3,7622.)
5.8. 1%е, а = 0,0001. (Ответ: 0,4343.)
5.9. л, а = 0,00001. (Ответ: 3,14159.)
5.10. е2, а = 0,001. (Ответ: 7,389.)
5.11. соз 2°, а = 0,001. (Ответ: 0,999.)
5.12. 780, а = 0,001. (Ответ: 4,309.)
5.13. 1п 5, а = 0,001. (Ответ: 1,609.)
5.14. агс!§у, а = 0,001. (Ответ: 0,464.)
5.15. 7738. а = 0,001. (Ответ: 3,006.)
5.16. 7*. а = 0,00001. (Ответ: 1,3956.)
5.17. ЗИ 1°, а = 0,0001. (Ответ: 0,0175.)
5.18. 7^36> а = 0,001. (Ответ: 2,030.)
5.19. 1п 10, а = 0,0001. (Ответ: 2,3026.)
5.20. агсзЩу. а = 0,001. (Ответ: 0,340.)
5.21. 1е 7, а = 0,001. (Ответ: 0,8451.)
5.22. 77, а = 0,0001. (Ответ: 1,6487.)
5.23. соз 10°, а = 0,0001. (Ответ: 0,9848.)
5.24. -4=з. а = 0,001. (Ответ: 0,302.)
А/зо
5.25. '71080, а = 0,001. (Ответ: 2,031.)
5.26. у. а = 0,0001. (Ответ: 0,3679.)
5.27. а = 0,0001. (Ответ: 0,0314.)
5.28. ТЭО. а = 0,001. (Ответ: 3,079.)
5.29. , а = 0,00,1. (Ответ: 0,496.)
УТзв
5.30. —, а = 0,001. (Ответ: 0,716.)
Vе
6. Используя разложение подынтегральной функции
в степенной ряд, вычислить указанный определенный
интеграл с точностью до 0,001.
0.25 г-
6.1. $ 1п(1 + -ух)с!х. (Ответ: 0,070.)
о
।
6.2. агс!§ (-гр)^х- (Ответ: 0,162.)
о
0.2
6.3. $ -ухе~хс1х. (Ответ: 0,054.)
о
0.5
6.4. агс^(/х. (Ответ: 0,487.)
О
0,2 Г-
6.5. ух соз хс1х. (Ответ: 0,059.)
о
0.5
6.6. 5 1п(1+%3)йх. (Ответ: 0,015.)
о
1
6.7. х2 51п х(1х. (Ответ: 0,223.)
о
I
6.8. \е~х*'2с1х. (Ответ: 0,855.)
о
6.9.
о
1 -{-х2с1х. (Ответ: 0,480
•)
0.5
6.10. $ у^--. (Ответ: 0,484.)
О
1
6.11. +х2/4с?х. (Ответ: 1,027.)
О
0.5
6.12. ~^~<1х. (Ответ: 0,493.)
О
0,1
6.13. — --— <1х. (Ответ: 0,103.)
о
0,5
6.14. х1 2 соз Зхйх. (Ответ: 0,018.)
о
0,5 _
6.15. $ 1п(1+*2Й*- (Ответ: 0,385.)
о
0,4
6.16. д/хе~х^йх. (Ответ: 0,159.)
о
0,5
6.17. ( ±+СО5А(/х. (Ответ: 2,568.)
и х
о,з
0,5
6.18. ( -с<^2 <1х. (Ответ: 0,498.)
3 X
о
0,8
6.19. Д05* <1х. (Ответ: 0,156.)
О
1
6.20. $з!пх2</х. (Ответ: 0,310.)
о
0,1
6.21. $ (1х. (Ответ: 0,098.)
о
6.22. $ со&-х/х(1х. (Ответ: 0,718.)
О
6.23. 5д/х81пхйх. (Ответ: 0,364.)
о
6.24.
с!х.
(Ответ: 0,976.)
1
6.25. $ соз Д йх. (Ответ: 0,994.)
о
6.26. йх. (Ответ: 0,318.)
о
0.5
6.27. $ *.^.с..е8..* ах. (Ответ: 0,039.)
о
6.28.
6.29.
6.30.
0,4 ______.
-у 1 — х3<1х. (Ответ: 0,397.)
о
0.5
$ е~хс1х. (Ответ: 0,461.)
о
0.5 _______
5 у1 -\-х3(1х. (Ответ: 0,508.)
о
. 7. Найти разложение в степенной ряд по степеням х
решения дифференциального уравнения (записать три
первых, отличных от нуля, члена этого разложения).
7.1. у’ = ху + еу, у (0) — 0. ( Ответ: у = х 4- у х2 -ф
7.2. у' — х2у2 + 1, у(0) = 1. ( Ответ: у — 1 — х -ф
7.3. у' = х2 — у2, у(0) = у. (Ответ: у = х —
~т*г+-)
7.4. / = х3 + у2, у(0) = у. (Ответ: у = -ф ±-х +
+ |х2+...)
7.5. у' = х ф- у2, у(0) = — 1. ( Ответ: у — — 1 -ф х -ф
+ 3х2+-) к
7.6. у' = х + х2 4- у2, у (0) = 1. (Ответ: у = 1 4- х -ф
+Р+-)
7.7. ц' = 2 сой х — ху2, у(0) = 1. ( Ответ: у — 1 + 2х- —
-1^ + -)
7.8. у' = 6х — у2, у(0) = 0. (Ответ: у = х-}--^х2~
7.9. У' = х + у + у2, у(0) = 1. (Ответ: у = 1 + 2х +
+ 4?+-)
7.10. у' = х2 + у2, у(О)= 1. (Ответ: у= 1 + % + ? + ...)
7.11. у' = №у2 + у81пх, у(0)=у. (Ответ: у = у +
+ Т*2+ Т2 +-)
7.12. у' = 2у2 + уех, у(0) = у .(Ответ: у = А + А х+
о у о и
+ 5*2 + -)
7.13. у' = е3х + 2ху2, у(0)=1. (Ответ: у=1+%+
+ у? + -)
7.14. у' — х + еу, у(0) = 0. (Ответ: у — х-{-х2-{-
+ ух3 + ...)
7.15. у' =у соз х + 2 соз у, у(0) = 0. (Ответ: у — 2х +
4- х2 — х3 + ...)
7.16. у' = х2 + 2у2, у(0)= 0,2. (0гвег:у = 0,2 + 0,08х +
+ 0,032?+.-)
7.17. у’ = х2 + ху + у2, у(0) = 0,5. (Ответ: у = 0,5 +
+ 0,25х + 0,375? + ...)
7.18. у'= ?пл + х, у(0) = 0. (Ответ: у = * + *2 +
+4’*3+-)
7.19. I/ — ху — у2, у(0)= 0,2. (Ответ: у = 0,2 — 0,04% +
+0,108? + ...)
7.20. у" = 2х + у2 + 6х, у(0) = I. (Ответ: у = 1 + 2х +
+ 3,5? + ...)
7.21. у'= х зш х — у2, у(0)=1. (Ответ: у = \ — х-\-
+ х2 + ...)
7.22. у' = 2х! — ху, у(0) = 0. (Ответ:
+ Т-)
7.23. у' = х — 2у2, у(0) = 0,5. (Ответ: у = 0,5 — 0,5х 4-
+ х2+...)
7.24. у' = хе* 4- 2у2, у(0) = 0. (Ответ: у = уХ24~
+ 4-х3+|х4 + ..Л
ОО /
7.25. у' = ху 4- х2 + У2, у(0) ~ 1 • ( Ответ: у = 1 х Ц-
+ ух2+...)
7.26. у' = ху-{-ех, у(0) = 0. (Ответ: у = х4~уХ24~
4-±х3Н-...)
7.27. у' = уех, у(0)=1. (Ответ: у — 1 4- х 4- х2 4-...)
7.28. у' = 2 81п х 4- ху, у(0) = 0. Ответ: у = х2 4*
+ |'*+;ЙГ *’+-)
7.29. у' = х2 4* еу, у(0) = 0. ( Ответ: у = х 4~ -у х2 4~
+ 4*’+-)
7.30. у' = х2 4- у, у(0) = 1. ( Ответ: у=14~*4~^-+-)
8. Методом последовательного дифференцирования
найти первые к членов разложения в степенной ряд реше-
ния дифференциального уравнения при указанных началь-
ных условиях.
+...)
8.2. у' = ху 4- 1п {у 4- х), у(1) = 0, к = 5. (Ответ: у =
= <Ч1Д + <^ + <^+„.)
8.3. у' = х + у2,у(0) = \,к = 3.(0твет: у = х + <^-х24-
+ |х3+-)
8.4. у’ = х 4- —, у(0) = 1, к = 5. ( Ответ: у — 1 4- х 4-
+ т~т + -)
8.5. у,у =ху-^у'х2, у(0) = /(0) = /'(0) = 1, у"'(0) = 1,
(Г2 V3 Л *•$ \
Ответ: ,.| + , + ^ + 1+1+|+ ...)
8.6. у' = 2х — 0,1 у2, у(0)=1, к — 3. (Ответ: у=1 —
-0,1х + 0,01х2+...)
8.7. у'" = у" + у’2 +у3 + х, у(0) = 1, /(0) = 2, у"(0) =
= 0,5, к = 6. (Ответ: у = 1 + 2х + + ||х3 + ||х4 +
у 4 12 4о
+ 8%5+-)
8.8. у' = х2 — ху, у(0) = 0,1, к = 3. (Ответ: у = 0,1 —
- 0,05х2 + О.ЗЗЗх3 + ...)
8.9. у" = 2уу',у(0) = 0,у'(0) =
1, к = 3. ( Ответ: у = х 4-
2х3 . 12х5
3! 5!
8.10. у' = 2х 4- соз у, у(0) = 0, к = 5. ( Ответ: у — х2 —
_ 4-.. \
6 4 ' /
8.11. у"' = уех — ху'2, у(0) = 1, у'(0) = у"(0) = 1, к = 6.
(Ответ: у=1+х+^ + ^ + ^+0-х5 + ...)
8.12. у' — Зх — у2, у (О') = 2, к = 3.(Ответ: у = 2 — 4х —
-^х2
2 Х
8.13. у" = хуу', у($) = у'(0) — 1 ,к = 6. (Ответ: у = 1 4-
+ *+4 + тг + 4г+4
8.14. у' = х2 — 2у, у(0) = 1,6 = 3. (Ответ: у = 1 — 2х 4-
+ 2х2 + ...)
8.15. у"=Х-' у(1)=1, у/(1) = 0, 6 = 4.
У х
(<>™т. у = ! - <1^ + +
8.16. у' = х2 4~ 0,2у2, у(0) = 0,1,6 = 3. (Ответ: у = 0,1 +
+ 0,002x4-0,00004х2+„.)
8.17. у" = у'2 4-ху, у(0) = 4, у'(0)=—2, 6 = 5.
(Ответ: у = 4 — 2x4-2х2 — 2Х3 4-у х4 4-...)
8.18. у' = ху -4- у2, у(0) = 0,1, к = 3. (Ответ:у = 0,\-\-
4-0,01 х 4-0,051 х2 4-...)
8.19. у" — еу 81п у', у(л)= 1, у'(л) = у, 6 = 3.
(Ответ: у= 1 4- у(х —л)4~ у(х —л)2 4-.-)
8.20. у' = 0,2х 4- У2,У(О) = 1,6 = 3. (Ответ: у = 1 4~х 4-
4-1,1 х2 4-...)
8.21. у" = х24- у2, у(—1) = 2, у'(— 1) = 0,5, 6 = 4.
(Ответ: у = 2 4-у(х4-1)+|(х4-1)24-1|(х4- 1)44--)
8.22. у' = х2 + ху + е~х, у(0) = 0, 6 = 3. (Ответ: у — х —
-А +Ь±+\
21 ~ 3! ' )
8.23 ., у' — —|- 1, у(0) =1, 6 = 5. (Ответ: у=14~
4-2х-х24-±х3-Их44-..\
«ЗУ /
8.24. у" 4- у = 0, у(0) = 0, у'(0)= 1,6 = 3. (Ответ у =
=—4-4+4
8.25. у" = у сову'4-х, у(0)=1, у'(0)=4> * = 3.
(Ответ: у= 1 4-ух4-1х24-...)
82
8.26. у' = соз х Н- х2, у(0) — 0, к = 3. ( Ответ:
у = х-\-
8.27. у' — 4у + 2ху2 — е3х, у(0) — 2, к = 4. [Ответ: у =
= 2 + 9х+^-х2--У-х3+...)
8.28. (1 — х)у" + у = 0, у(0) = у'(0) = 1, к = 3.
[Ответ: у= 1 +х^~ у 4~...)
8.29. 4х2у"+у = 0, у(1) = 1, /(1) = у. к = 3-
[Ответ: у= 1 4- у(х — •) ~ ~^(х~ + • )
8.30. у' = 2х2 4-у3, у(1) = 1, к = 3. [Ответ: у=14~
Ч~3(х— 1)4- у (х— I)2 4--. )
Решение типового варианта
Найти область сходимости ряда.
► Воспользуемся признаком Д’Аламбера:
Интервал сходимости определяется неравенством-ух <
•< 1, откуда 0 < х< 1. Исследуем граничные точки этого
интервала. При х = 0 получим числовой ряд, членами кото-
рого являются нули. Этот ряд сходится, точка х = 0 входит
в его область сходимости. При х — 1 получим числовой ряд
•о
Е ----!---. Воспользовавшись предельным признаком
, д/л2+1
п = 1 *
сравнения рядов с положительными членами, сравним этот
ряд с гармоническим расходящимся рядом, общий член кото-
рого ип — 1 /п:
Пт — = 11т — п — 1 = к 0.
п->оо Ъп П->-х _|_ |
Следовательно, числовой ряд\ ——------------- расходится и
„=> 4«2 + 1
точка х — 1 не входит в область сходимости.
Таким образом, область сходимости исследуемого ря-
да — 0 С х < 1. ◄
2 У + 1 / *2 — 3* + 2
/ , п2 \ х2 + Зх + 2 /
п = I
> По признаку Д’Аламбера имеем:
п2 + 2п 4- 2 । х2 — Зх 4- 2 I"+1
Нт |_Дд±2_| = Нт А2.+ у +.'_1 *2 + 3*+..2]— =
п-*х I и„ I п-*-х п -р 1 I х —Зх 4~ 2 Iп
~~п2 I X2 4- Зх 4- 2 I
= I х2 - Зх 4- 2 I цт п2(«24-2« 4-2) = I х2 - Зх 4- 2 I < !
| х2 4-3x4-2 I п^х (п24-1)(«2 + 2п-|-О I х2 4-Зх + 2 I ’
__। ,, х2 — Зх 4- 2 ,, ।
х2 4- Зх 4- 2
Решаем полученные неравенства:
— 1 <
X2 — Зх 4- 2
х2 4- Зх 4- 2
х2 — Зх 4- 2
х2 4- Зх 4- 2
+ 1 >0,
2х2 4- 4
х2 4- Зх 4- 2
>0.
Отсюда
х1 + Зх 4- 2 > 0, х Е (— оо ; — 2)0(—1; оо).
Далее,
X2 - Зх 4- 2
х2 4- Зх 4- 2
< 1,
х2 — Зх 4- 2
х2 4- Зх 4- 2
- 1 <0,
— 6х
X2 4- Зх 4- 2
<0,
X
х2 4- Зх + 2
Следовательно, х^( —2; —1)0(0; оо). При х = 0 по-
лучим числовой ряд +—, для которого
п — 1
Нт ип — Нт = 1 =# 0,
«-►оо «-►оо п
т. е. необходимый признак сходимости не выполняется,
следовательно, этот числовой ряд расходится. Область
сходимости исследуемого ряда: 0<х< оо. 4
оо
3. 2 (3 —х2)".
« = 1
> Воспользуемся радикальным признаком Коши. На-
ходим:
ип = (3 — х2)", 11гп 713 — х21" = 13 — х21 < 1,
«—► оо
-1 <3-х2< 1.
Решаем полученные неравенства:
3 —х2>—1, х2 —4<0, х6(-2; 2);
3 — х2 < 1, х2 — 2 >0, х ^ ( — оо; -72)0(72; оо).
Пересечение найденных решений дает интервалы схо-
димости исследуемого ряда х^( — 2; -72)0(72; 2).
Исследуем сходимость ряда на концах этих интерва-
оо
лов. При х= ±2 получим числовой ряд 2 (—!)"• Этот
п = I
знакочередующийся числовой ряд расходится, так как не
выполняется необходимый признак сходимости числового
ряда (Нт и„ = 0). При х — ±72 получаем числовой ряд
«—► оо
2 1", который расходится, поскольку необходимый при-
п= I
знак сходимости также не выполняется. Значит, об-
ласть сходимости исследуемого ряда: (— 2; —у2)0
и(д/2; 2). ◄
4. Разложить функцию у = соз2х в ряд Тейлора в
окрестности точки х() — л/3. Найти область сходимости
полученного ряда к этой функции.
► Преобразуем данную функцию:
у — соз2 х = 4- 4- 4- соз 2х.
я 2'2
Разложим полученную функцию в ряд Тейлора. Для
этого найдем значения данной функции и ее~производиых
до п-го порядка включительно в точке х0 = л/3:
/и)=4 + Т СО5 2х’
/'(х) = —81П 2х,
I" (х) = — 2 соз 2х,
/'"(%) = 4 81п 2х,
= 2___________!_ = ±.
2 4 4 ’
— 2 соз у = 1;
4 81п у — 2^3;
/«(х)= —2"“' з1п(2х + (п- 1) Д), /(п) (Д) =
= -2"~'51п(5!+(П-1)-0.
Полученные числовые значения производных подставляем
в ряд Тейлора при х0 = л/3:
Для нахождения области сходимости полученного ряда
необходимо выяснить, при каких значениях х остаточный
член ряда Тейлора стремится к нулю. Он имеет вид
где *о). Поскольку |81п^2^/г 1, достаточно
найти область сходимости ряда с общим членом
2" / л \" + 1
( х---) . Согласно признаку Д’Аламбера,
\п “г *)• \ /
Пт I У + 1 и--Я/ЗГ + 2 (« + !)! I = Нт 21Х-Л/31 =0< ]
п-*оо I (и 2)! • 2"(х — л/3)п1 I п—► <*> п -|- 2
Полученный ряд сходится при любом х. Значит* область
его сходимости к функции Дх) = сО82х такова: —оо <
< х < оо.
5. Вычислить \/х[ё приближенно с точностью а =
= 0,0001, воспользовавшись разложением функции у — ех
в степенной ряд.
► Воспользуемся рядом (12.17). Так как \/х[ё=
_ е— 1/2^ то
-'/2 = 1 _± д________!_________!____ь____!__________!_
2 4-2! 8-3! 16-4! 32-5!
Получили знакочередующийся числовой ряд. Для того
чтобы вычислить значения функции с точностью а =
= 0,0001, необходимо, чтобы первый отбрасываемый член
был меньше 0,0001 (по следствию из признака Лейб-
ница). Имеем
С заданной степенью точности:
+ +□_______<
2 8 48 ' 384 3840 ’
-Ь « 1 — 0,5 + 0,125 — 0,02083 + 0,00260 — 0,00026 «
«0,6065. <<
6. Используя разложение подынтегральной функции
в степенной ряд, вычислить определенный интеграл
о
\ — с точностью до 0,001.
► Воспользуемся биномиальным рядом (см. формулу
(12.21)). Тогда
Получили бином вида (1-}-2)т, где т =—1/3, а г —
= — (х/2)3. Имеем:
,69
тй-/(' + т(4) +1/(0 +^(/) + •) =
= т(1 + + 188 + + -) ’
о о
Г 1 Г / 1 I I Х* I 7%9 . \ <
) 3 (1 + 14’ + ^88- + ‘Т817^+"9С?Х-
= 1/х + _2С+_^+ .7*'1_+..Л|° =
2 \ ' 4•24 '7-288 ~ 10-18176 ' /|-1
- /| - 1 I 1 7 I \
2 \ 96 ' 2016 181760
»<0-001-
С точностью до 0,001
— « 0,5 — 0,0052 « 0,495.
7. Найти разложение в степенной ряд по степеням х — 1
решения дифференциального уравнения у' = 2х-\- у3,
у(1)= 1 (записать три первых, отличных от нуля, члена
этого разложения.)
► Точка х= 1 не является особой для данного
уравнения, поэтому его решение можно искать в виде ряда:
У = /(1)+-ф-(х-1)+-ф-(х-1)2+-ф-(х-1)3 + -
Имеем: /(!)=!, /'(1) = 2 ф- I3 = 3, /"(х) = 2 ф- Зу2у',
/"(1) = 2 + 3 • I2 • 3 = 11. Подставляя найденные значения
производных в искомый ряд, получаем решение данного
уравнения:
у=1 + 4(х-1)+<(%-1)2+- ◄
8. Методом последовательного дифференцирования
найти первые 5 членов разложения в степенной ряд реше-
ния дифференциального уравнения 4х2у" ф- у = 0 при сле-
дующих условиях: у(1)= 1, у'(1) = 1/2-
► Ищем решение данного уравнения в виде ряда:
У = КП + (х- 1) + -ф- (х- I)2 ф- -ф (х- I)3 +
/(!)=!,
(х) 2ху । (1 /2) * 1 — 2'1 __ з .
[1У(х) = — ((у"х2 + 2ху' — 2у — 2ху')х4 — 4х3(/х2 —
— 2ху))/(4х8); Г(1)=-1|.
Подставляя найденные значения производных в ряд,
получаем искомое решение дифференциального урав-
нения:
у=1 + ±(х-1)-ткг(х-1)2 + ^-(х-1)3-
1 I X- 1 (х-I)2 I (X- I)3 5(х — I)4 , .
У~1 + ~Т~ 8 1 16 128 Н- 4
ИДЗ-12.3
1. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом
<о = 2л) функцию /(х), заданную на отрезке [ — л; л].
соз ((26 — 1)х) -| л — 4 V1 81п ((26 — 1)х)
СО
II
I оа
1 л/л
09
а 7 /л/л
а >< ><
+
а | ьэ
II 8
?>
II
соз ((2& — 1)х) я+10 V"' 51п ((2А—1)х)
(2й - I)2 я / . 2к - 1
со
со
*
2(3л + 2) V1 81п Ц2к — 1)х) _ А V в1п (2кх)
+
><
Си
! 2(3 — 4л) V 81П((2А— 1)х) ! 5Ш(2ЙХ) \
л / , 2к - 1 "Г ° /, 2к )
к^1 к=1
1.30. /м={^~''
ОО
(Ответ: М = ~ + — У ^03^-~1)х) +
\ 7 4 .-т Л (2А-1)2
Й=1
. 7л+2 у 51п((2й— 1)х) 7у 81п(2Ах) \
"Г л / , 2к - 1 /, 2к ')
к=1 к=1
2. Разложить в ряд Фурье функцию ^(х), заданную
в интервале (0; л), продолжив (доопределив) ее четным
и нечетным образом. Построить графики для каждого
продолжения.
2.1. Нх) = ех. (Ответ: 6х — —------—|-
\ 11
. 2 у ((— 1)"е" — 1) соз пх
л 1 + п2
п = 1
П 81П ПХ \
П2 + 1 7
2.2. Цх) —х2. (Ответ:
(— 1)'1+1 С08 ПХ
72
оо ОО
6=1 6=1
2.3. /(х) = 2*. Ответ: 2х =
2 1п 2
2л(- 1)л-1
п2 4- 1п2 2
соз пх,
оо
2, = 2_ у (-1Г + 15+.1... п 5к1 пх\
л / , п 4- 1п 2 /
« = |
2.4. /(х) = ей х. (Ответ: ей х — 8,1 ? /1
оо оо
1 — (— 1)" сП л
1 4-я2
п 81П ПХ.^
2.5. /(х) = е х. (Ответ: е х=-—------1-
1 — (—1уе—
1 4-«2
СОЗ ПХ,
е~х
ОО
1 — (—1)"е-"
1 4- пг
п 81П ПХ.
2.8. /(х) = (х- I)2. (Ответ: (х - I)2 = "--.-31+ 3.. _|_
оо оо
ЧЕ (ЧЧ05»2*-1,4+414^-'>г=
й=1 *=1
оо
= 7 I (чгГ~ + 7^4081п ((2* ~1)х) +2(2 -
Л \ 2к I (2к I) /
/• = I
оо
-)ЕЧЧ
2.7. /(х) = 3“4/2. (Ответ: 3~х/2 = 2('~3 Ч
'' ' \ л 1п 3
4 1п 3 у 1 — (— 1)" • З""^2
л Д_, 4я2 4- (1п З)2
п= I
1 -(-1)" '3 ’"
4я2 4- (1п З)2
П 81П ПХ.
2.8. }(х} = зЬ 2х. (Ответ: зк 2х = +
\ 2л
4 у сН 2л-(—I)1
ли 44-я2
= ।
зЬ 2х = — V
л /.
»=1
(-1)'’+' -бЬ 2л
п2 + 4
П 81П ПХ
2.9. /(х) = е2\ (Ответ: ё211 = ё-——- 4*
у 2л
+ ± у 1-1Г^1.с05ПХ,
л / . 4 + п2
п=* 1
оо
<>• = А V „ 5!„ „Л
л Д, 4 + п2 /
й = |
2.10. /(х) = (х-2)2. (Ответ: (х-2)2 = 6”+±2.
4(4 — л) у соз (26 — 1)х у соб 2кх
л Л (26- I)2 / . (26)2 ’
*=1 • *=1
оо
п= 1
2.11. /(х) = 4*/3. (Ответ: 4Х/3 = 3(4"^~ +
6 1п 4
л
---5------5— С05 ПХ,
9л2 + (1п 4)2
4*/э __
1 — (— 1)',.4л/3
-----;----1---П 81П
9п2 + (1п 4)3
2.12. /(х) = сЬ4. (Ответ: сЬ 4 = -2 5Ь-^/2) 4-
2 \ 2 .л
। 4 81п(л/2) у (— 1 у сое пх
л 1 + 4п2
п= I
сЬ А = 8 сЬ (”/2) У
2 л / .
п= I
П 81П ПХ.
2.13. 1(х) = е4х. (Ответ: е4х =!—|-
(— 1
п2 + 16
СО8 ПХ,
,4х_ 2 у
_ л Ъ
п= I
_1_-(--1У>2_
л2 + 16
П 81П ПХ.
2.14. Дх) = (х-}-1)2. (Ответ: (х + I)2= ” + 3” + 3
\ 3
_ 4(л + 2) у соз((2А- 1)х) 4 V С05 (?кх)
л / л (2/?1) (^2.к^
/?=1 6=1
оо
_2 V- (2 — п2) Н~ (—1)п((л — 1)2п2 — 2) . \
- У । « О111 Ил, I
Л / , /г /
п = 1
2.15. Дх) = 5 х. (Ответ: 5 х
I -5-"
л 1п 5
21п 5
л
1 — 5—'(— 1)"
п2 + (1п 5)2
соз пх.
5~х
—2_Ц п 81П пх.
П2 + (1п 5)2
2.16. Дх) = зН Зх. (Ответ: зН Зх = сЬ 3? ~ 1 +
\ Зл
(— 1)я сЬ Зл - 1
я2 + 9
соз пх,
511 Зх =
2 8Н 3
л
-1У+1
п2 + 9
2.17. Дх) — е. х/4. (Ответ: е Х/А
4(1 — е—/4)
Л
16л2 + 1
соз пх,
е-х/4 = 32 у 1 - (-[Ге-"/4
л / . 16л2 + 1
п = 1
п 81П ПХ.
2.18. Дх) = (2х - I)2. (Ответ: (2х - I)2 = 4л ~6я+3
\ 3
оо
4- 1 У НМ±1 СО5 пх,
* п2
п= 1
оо
(2х - I)2 = А л2 — 8 + (—1у(8 — (1 — 2л)2) з(п пх )
п= I
2.19. Дх) = 6х/4. (Ответ: 6Х/4 = _1_
' ' \ Л 1п 6 ’
. 8 1п 6 V (-1)"6Л/4- 1
4-------) -—4--------Г СО5 ПХ,
Л / 1 16п2 4- (1п 6)2
л= I
оо
6-,* = у П 3|п
Л / 1 16п2 (1п 6)2 /
п = I
2.20. Дх) = сН 4х. (Ответ: сН 4х = -8|1-4л- 4-
' ’ \ 4л
8 зН 4л
с 11 4х =
(—1)"
— соз пх,
л2+16
1— (— 1)сН4л
---+—-------- П 51П ПХ.
л2+16
2.21. Дх) = е Зх. (Ответ: е Зх = -—-------1-
\ Зл
е~3х = —
л2 + 9
П 51П ПХ.
2.22. /(х) = х2 4- 1. (Ответ: х2 4- 1 = 4-
\ з
(— 1У
а—+- С08 ПХ,
Л2
(л2 - 2) + (2 - л)2(лг + 1)(— 1Г
81П ПХ.
2.23. }(х) = 7 х/7. (Ответ: 7 х/7 =
7(1 — 7 ~"'/7)
л 1п 7
14 1п 7
л
1 П".7-"/7
2—4—--------— с05 пх,
49л2 + (1п 7)2
7-х/? =
1 — (—11л7_"/7
----4— -----г- « 51п
49л2 +(1п 7)2
2.24. }(х) = 511 (Ответ: 511 =
О \ э
(_,ГсЬ " -1
О
25п2 + 1
С05 ПХ,
511- =
5
50 5ь4
О
л
----п 51П ПХ.
25п2 4- 1
Л
2.25. [(х) = е 2х/3. (Ответ: е 2х/3 = ——4-
1 — |уе-2---/3
9п2 + 4
С05 ПХ,
е-2х/3 _ 18
*-т-1--------П 81П
9л2 +4
2.26. /(х) = (х — л)2. ( Ответ: (х — л)2 == -у- 4~
С05 ПХ
оо
/ \2 2 V («2л2 + 2)(-1)',-1 • \
(Л~Я>=ТЛ ----------
Л=1
2.27. /(%)= 10 х. ^Ответ: 10
1 - ю~"
л 1п 10
2 1п Ю
1 -(-1)',10-л
л
п
+1п2 10
СО5 пх,
10-
I — 1Г- Ю"1
----1---4-------- п 51П пх.
п2 + 1п2 10
2.28. /(х) = ей —. ( Ответ: ей — = зй 1 +
л \ л
4- 2 5Й 1 У —-----С05 ПХ,
Си 1 4- л л
л = 1
ей — = 2л У -—дЬ ' п 51П пх\
я / . 1 + Л /
п— I
2.29. Дх) = е4*/3. (Ответ: е^/з = 3(е^-1) +
(-1)-е«,|/3 1
9л2 + 16
соз пх,
= 21 Г
л Ди
п= I
1 — ( —1)"е4л/3
9л2+ 16
п 51П ПХ.
2.30. /(х) = (х-5)2. (Ответ: {х-^ = 15л + 75
Ч-± У 1”-5)у)" + 5 СО5ПХ, (% —5)2 =
Л Ди п
I
_ 2 (25л2-2) + (-1)"(2-л2(5-п>2> .
— ] о 111 Г»-
Л Ди пг
п= I
3. Разложить в ряд Фурье в указанном интервале
периодическую функцию /(х) с периодом <о = 2/.
3.1. /(х)= |х|, —1 <х< 1, 1 = 1. (Ответ: |х|= у —
4 V* соз ((2л + 1)ях) \
л2 Д (2л+1)2 7
п = 0
3.2. /(х) = 2х, — 1<х<1, 1=1. (Ответ: 2х=1 —
2 у* 81п (2ялх)
л / . п
п= I
оо
= 5Н 2(± +2 (-О"
п = 1
л ллх . плх
2 соз — ----ЯП 81П ——
4 Н~ «2л2
3.4. /(х) = |х| — 5,
— 2<х<2. (Ответ: |х| — 5 —
___!_______СО5 (2П + ‘)Л*
(2«4-1)2___2
3.5. = '=’• (Ога^- /М=Т“
оо
_ _1_ гсоз^-!)*) + 51П (ллх).}
П = 1
3.6. [(х) = х, 1 < х < 3, I = 1. (Ответ: х = 2 -{-
। 2 _1 у +1 З'п (гсн*) )
П = 1
{О, — 2<х<0,
х, 0 х < 1, / — 2. ( Ответ: [(х) =
2 — х, 1 «С х «С 2, '
___ I 4 у соз ((2п — 1)лх) .
2 л2 / . (2о — I)2
П = 1
, 8 у (— 1Г 81п ((2п + I) лх/2) \
л2 Ь (2п + I)2 '
п =0
3.8. /(х)= 10 —х, 5<х< 15, I = 5. (Ответ: 10 — х —
00 о®
3______2 у соб((2л — 1)лх)_______1_ у з1п(ллх)
4 л2 / . (2п— I)2 л 1_, п
«=| п—1
3.10. /(х)=5х—1, —5 < х < 5, / = 5. (Огвет: 5х —
оо
= + '->Т)
п— 1
ЗИ. ;«={“; ~о5?<з: /=з.(0г«г./(х)=|-
6 V"1 соз ((2п — 1)лх/3)
я2 / . (2л — 1 )2
п= I
оо
1 у
л / 1 п 3 /
п= I
3.12. [(х) = 3 — х, — 2<х<2,1 = 2.( Ответ: 3 — х =
3.13. К*) = {_!; /== ’• (°твет: =
4 у 81п ((2я-|-1 )лх)
л / . 2п + 1
п = 0
3.14. /(х) = {°; о<х<2,’/ = 2- (°твет: =
= 1 -Ь У -----------51П \
л (2 л — 1) 2 )
п= I
( х, 0 х «С 1,
3.15. /(%) = { 1, 1<х<2, I = 3. (Ответ: ](х) =
13 — х, 2 «С х «С 3, '
__ 2 __ 9 у1 соз (2лпх/3) . 1 у соз (2л4х) \
3 2л2 / . п2 2л2 2—> А2 /
п=| к=\
3.16. /(х) = 2х — 3, —3 < х < 3, / = 3. ( Ответ: 2х —
П=1
з.17. /(х)={_’; з/1<1<з: / = 3- (Ответ:
4 у,_____,у1 соз ((2л + 1)лх/3) \
л // ' 2л + 1 7
п = 0
3.18. /(х) = 3 — |х|, — 5<х<5, / = 5. Ответ: 3 —
|Х| = ± V 1 С05 (2« + *)^ \
2 + л2 С (2« + 1)2 5 7
п = 0
3.19. /(х) = / 1, х = 0, 1 = 4. (Ответ: [(х) —
12, 0< х<4, '
<5 8 у соз ((2л — 1)лх/4) . у (—1)“ з1п (ллх/4) ,
V и (2л- I)2 * ~ п г
Л=| Л=| 4
4 у 31п ((24 — 1)лх/4) \
д' /, 24- 1 7
к = I
3.20. /(х) = 1 4- х, —Ответ: 1 х =
, . 2 у (—1)"+1 51П лях \
1 + Т ь-----п----7
п= I
(~ 1, —2<х<0,
3.21. Кх) = \ —1/2’ х = 0, 1 = 2. (Ответ: [(х) =
I х/2, 0<х<2, '
со 00
I 2 у соз ((2л — 1)лх/2) . 3 у зш ((2л — 1)лх/2) _
-4~.я* /и (2л-I)2 л 2л-I
п— I п= I
1 у 51П (4лх) \
7 2к ')
к= I
3.22. /(х) = 2%4-2, —1<х<3, 1 = 2. [Ответ: 2х +
2 = 2——^ (~ *)" 5'-п (пл*/2) )
( 3, —3<х<0,
3.23. Дх) = < 3/2, х = 0,
I — х, 0 < х < 3,
I = 3. ( Ответ: ((х) =
3______6_ у соз((2п- 1)лх/3) _ _9_ у 8Ш ((2я-1)ях/3) .
4 л2 д_1 (2л — I)2 л д_, 2п — 1
п — I п = I
81П (2л4х/3)
2к
3.24. Дх)=1-|х|, -3<х<3, 1 = 3. (Ответ: 1-
---------- С 08
(2л — I)2 3
( ~2>
3.25. /(х) = { —1/2,
11 + х,
— 4<х<0,
х = О, I = 4. ( Ответ: ((х) —
0<х<4,
1 . 32 у с08 ((2 л —1)лх/4) . 10 у 81п ((2п—1)лх/4)______________
2 л2 2_1 (2п — 1 )2 л Д_, 2п — 1
п = 1 п = 1
4 у 81П (4лх/2)
Т / , 2к
& = |
3.26. ((х) = 4х — 3, —5<х<5, 1 = 5. (Ответ: 4х —
П=1
Гх + 2, —2<х< —1,
3.27. /(%)=< 1, —1 = 2.
к 2 — х, 1 <х<2,
(Ответ: ((х)= 7 +
п= I
00
____8_ У СО8(2(2А — 1)лх/2) \
я2 Л (2(2й-1))2 7
А=1
соз ((2л — 1)лх/2)
(2п - I)2
3.28. /(Х) = {-1А “б/ = 6.(07вет.-/(х) =
2п — I 6
( — 2х, — 2 < х <_ О,
3.29. /(х)={ 2, х = О, I = 2. (Ответ: [(х) =
V 4, 0<х<2, '
оо оо
8 у соз ((2п — 1)лх/2) । 4 у 1 • пях \
7" Ь (2п - 1/ Г 7 Л « 2 7
п — 1 л=*1
3.30. /(х)=|х|—3, —4<х<4, I = 4. (Ответ: (х(—
-3 = -1 - 4 Г -± .у СО8 - ‘-)?± -
Я2 21, (2п - I)2 2
П=1
ОО ОО
8 у зт (пях) 4 у I • (2к — 1)ях
я /. 2п л 2к-1 2
П=1 *=1
4. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную гра-
фически.
4.4
У..
’7Д
-4,5
1 _ _
-7 -6 -5
-4 -5 -2
;15
|,*т—и
-/ О
4,5
-I_I—_1*4_ь
2 5^5
, 7<5
~*6 7~
х
-1
4.7.
4.10.
4.11.
4.12.
4.14.
4.16.
4.17.
Ш
4.27.
5. Воспользовавшись разложением функции /(х) в ряд
Фурье в указанном интервале, найти сумму данного
числового ряда.
оо
5.1. /(х) — |х|, (-л; л), (2Д?- (°твет: у-)
п = 1
5.2. /(х) = |51П х|, ( — л; л), 4п^\"' (°твет: у)
/1 = 1
оо
5.3. /(х) = х2, [ — л; л], (—1)л+1-^-. (Ответ:
п — I
5.4. /(х) = х, [0; л], по косинусам,
1
(2л - I)2
От-
л2 '
вет:
з-(-|)“
Ответ:
7л2 \
*127
5.6. /(х) =
'Ответ:
к 4
5.7. /(х)=^, (0; л), (Ответ:
п = 1
оо
5.8. /(х) = со5х, [0; (Ответ:
*=।
2 — я
4
5.9. /М=х, (0; л). (Ответ:
п= 1
5.10. /(х) = х2, ( — л; л), (Ответ:
5.11. /(х) = х(л— х), (0; л), по синусам,
п— 1
оо
5.12. /(х)= |81пх|, ( — л; л),
»= ।
Ответ: - 4—.
оо
е.о ГГН-Р’ -3<*<0, у 1
5.13. Кх)—{х< 0<х<3, Д (2п — 1)2
п = I
оо
5.Н. м ={Ь -,}<'<?;
п — I
оо
5.15. да=к1.(-1; О. 1^Ьг(0™’--' т)
п =0
оо
5.16. Дх) = х2, (-л; л), У 1 - V
\лп — 1;
п = I
г2
( 1, -1 <х<0, “ ! .
5.17. /(х)=| 1/2, х = 0, у 7^77- (°твет: У.
л = 1
(-х, —4<х<0, “
5.19. /(х)= 1, х = 0, У—^-г.
I 2, 0<х<4, (2п~1)
(Ответ:
5.20. /(%) = {
1, 0 < х< 3/2, у
— 1, 3/2<х<3, Д
2"г(Ответ: .)
2п 4- 1 \ 4 /
( — 1, —2 < х < 0,
5.21. /(%) = < -1/2, х = 0,
I х/2, 0 < х < 2,
I
(2п- 1)2 ’
Ответ:
О
(— 2х, —2<х<0, 00
5.22. /(х)=1 2, х = 0, V
к 4, 0<х<2, -9
I
(2п- I)2 '
(Ответ:
\ о
оо
5.23. /(х) = { Х^х<л
к Л 1 , V л Л, л (ЛП — 1)
п= 1
Ответ: -5р.)
5.24. /(х) = {
— л<х<0, у (1 — (— 1)")
О < х с Л, / , п2
п= 1
(°твет: ^-.)
5.25. [(х) = л2 — х2, ( — л;
п= I
5.26. /(х) = хз1пх, [ — л; л
(-1Г
П2- 1
(Ответ: -У
5.28. /(х) = { аа’
— л х< О,
О х л,
2ГГГ- (°твет: т-
5.29. /(х)=|со5х|, [ — л; л], ''4~г—
п = 1
Ответ: я
оо
5.30. /(х)=|со8^-|, [ — л; л], У
I 21 1 — 4п
Л=1
Ответ: я 4 -.
Решение типового варианта
1. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом
ю = 2л) функцию
► Вычислим коэффициенты Фурье:
о
1 Г / I \ л 1 (л + х)2 ।0
а0 = — \ (л 4- х)<1х - — -——
л 3 ' л 2 | -
— л
О
а„ = — \ (л + х) соз пхйх =
л 1
и = л + х, (1и = (1х,
(IV = СОЗ ПХ(1х, V — — 81П ПХ,
п
1 I
—г соз пх\
ЛП I —л
2
л(2п — I)2 ’
о
= ”л 5 (л + х) 8*п =
— л
и = л 4- х, (1и = (1х,
(IV = 81П ПХ(1х, V —----------- СОЗ ПХ
п
Ряд Фурье для данной функции запишется в виде
'«=т+4Х
соз ((2п — 1)лх)
(2и - I)2
31П (плх)
п
2. Разложить в ряд Фурье функцию /(х) = 8*/2, за-
данную в интервале (0; л), продолжив (доопределив) ее
четным и нечетным образом. Построить графики для каж-
дого продолжения.
► Продолжим данную функцию четным образом
(рис. 12.7). Тогда:
а. = -1 ( 8х/2(1х = А . 2 . " = —Ц- (8Л/2 — 1),
л ] л 1п 8 | о л 1п 8
о
Найдем неопределенный интеграл $ 8Х/2 соз пх(1х, вы-
полнив дважды интегрирование по частям:
8Х/2 соз пх(1х =
и = 8Х/2, (1и = у • 8х'21п 8йх,
(IV — СОЗ ПХ(1х, V = — зт пх
п
= — 8Х/2 51П ПХ-------8Х/2 51П ПХ(1х =
п 2(1
и = 8х'2, Ли = у • 8Х/21п Ых,
(IV = 51П ПХ(1х, V —-------- СОЗ пх,
п
— • 8Х/2 51П ПХ 4-
п
• 8х/2 соз пх —( 8х/2 соз пх(1х,
2п2 4гг 3
( 1 4- —Т') ( $ с05 ПХ(1х — — • 8х/2 51П ПХ 4- X
\ 4п2 /] п 1 2л’
X 8Х/2 соз пх,
8х/2 соз пх(1х = —л—.— (— 8Х/2 зи) пх 4-
4л2 + 1п2 8 \л
4- -^-г- • 8Х/2 соз пх).
2л2 7
Вычислим коэффициенты ап:
ап =-----—8^-----— (— • 8х/2 5Ш пх ф- • 8х/2 соз пх\ I —
л(4п2 4-(1п 8)2) \ п 2гг2 /1о
_ 4 1п 8(8л/2(- I)" - I)
~ л(4п2 + (1п 8)2)
Следовательно, разложение данной функции по коси-
нусам имеет вид
+1121 у ^• (-1г-1 СО5 пх
я!п8 л 4п2-|-(1п8)
п = 1
Теперь продолжим данную функцию нечетным обра-
зом (рис. 12.8). Тогда:
8Х/2 81п пхс1х =
и = 8х/2, Ли = • 8х/21п 8</х,
Лп = 81П пхЛх, V = — — соз пх
п
=-------- 8х/2 соз пх 4- 8Х/2 соз пхДх —
п 2п ]
_ и = 8Х/2, (1и= 8Х/21п Ых,
(IV => СОЗ ПХ(1Х, V = — 81П ПХ
ьп =
- — • 8Х/2 соз пх 4- ’ $х/2 81П ПХ —
п 2п2
----8Х/2 81П ПХ(1Х,
4л2 3
--------------г (-------- 8Х/2 С08 пх 4- -^-|-
л(4п2 + (1п 8)2) \ п 2п
:8*'2 81П пх\Г = +
/10 л (4п2-|-(1п 8)2)
Следовательно, разложение данной функции по сину-
сам имеет вид
8х/2 = Л V
л
п= I
8"/2( — [)"+
4п2 + 1п2 8
п 81П ПХ.
3. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом
ш-2) функцию
1,
0,5,
х,
х < о,
х = 0,
х< 1.
> Вычисляем коэффициенты Фурье:
Г Г |° ^2 | 1 ] о
«о = \ (1х + \ хс1х = х — = 14-_ = —,
и Э I — 1 ^10
-1 о
О I
ап = соз (плх) с?х 4- $ х соз (плх) йх =
-I о
_ и = х, д.и — йх, _
{IV = СОЗ (плх) С?Х, V = 5‘П ^ПлХ).
лп
= -у 81П (плх)| 4- X 81п (плх)|о —
— $ з1п (плх)с?х = —соз (плх) | (( — 1)" — 1),
о
ап =«----—------,
л2(2п — I)2
О I
Ьп = 5 31П (илх) (1Х 4- $ х 81П (ИЛХ) (1х =
-1 е
_ и = х, с1и = с1х, _
(1и = 81П (илх) (1х, V = СОЗ (илх)
1 ।0 ।1
-----—- СОЗ (плх)---СОЗ (илх) | д 4-
I
4—— ( соз (илх) с1х=--— (1 — (— 1)")--— (— 1У —
'пл } пл ' пл '
е
_ _2_ 8,П (илх) |' = 1^Г_2__1^ = __Г.
п2л2 10 ял пл пл пл
В итоге получаем следующий ряд Фурье:
/ \ _3___2 у1 €08 ((2я — 1 )лх) 1 у 81П (ялх)
4 л2 (2я—I)2 л / . п
п—1 п—1
4. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную гра-
фически (рис. 12.9).
> Запишем аналитическое выражение данной
функции:
Вычислим коэффициенты Фурье:
0 2 2 0
«о=-2- х 4- 4- 2с1х = —^х)|_2^”
-2 О
+4^--т<'-2)+2-|.
О 2
а«=4 5 (тх+ 1)сОЗ^ск + ^С°8^б/л- =
-2 О
и = х/2 + 1, с1и = (1/2)с1х,
й^соз^йх, а = Л 51П^1
2 пл 2
О 0
= 2^2±15(п^1 _ _!_ С 5|П^^ +
пл 2 1—2 2пл ] 2 '
-2
+ _2_ 5ш 2^1
пл 2 IО
плх
СОЗ ----
2
2
л2 (2п — I)2
О 2
Ьп=-^- ^уЛ'+ 1^81П-^-^+ 31П^-</Л' =
-2 0
и = х/2 + 1» = (1 /2)с?х,
, . плх . 2 „„„ плх
аи = 81п -тг— ах, и =----------соз ——
2 пл 2
У2 4-1
пл
2
плх 1
“к
-2_(( —1)« — 1)— -2-СО5
пл пл
31П—Г - —(- 1)"+ — =
п2л2 2 1—2 пп ПЯ
= _!___2_ ( _ !)« = (1+2(-1Г')
пл пл ' 2 пл
Следовательно, искомый ряд Фурье
5 . 2 у соз ((2п — 1)лх/2)
Г Ь (2« - I)2
Л=<
2_ у (|+2(_|Г+1) плх
я /, п 2
5. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию
на отрезке [0; 2] (рис. 12.10) и найти сумму ряда
(2п+ I)2 '
Рис. 12.10
► Продолжим функцию четным образом и вычислим
коэффициенты Фурье:
Яо= $ хйх-]- (2 — х)(1х— =
о 1
= ^+(4-2)-(2-±)=1.
I 2
ап = $ х соз йх-]- $ (2 — х)соз <1х —
О I
и = х, (1и = (1х,
аи = соз^<1х, ц=-2 51п^
2 ял 2
и = 2 —- х, (1и~ — йх,
йУ=СО8^Х, У= — 81П —
2 пл 2
2 2
+ 2(^0 51п +_2_(81П ^-ах =
1 пя 2 11 ' ЛЛ ) 2
1
2
пя
о:_ ПЛ , 4 ПЯХ |
8Ш —------—- СОЗ----
2 г Л2 2 10
-2-31п^-
пя 2
__к_С08^.| ----------4__.
п2лг 2 I I л2(2п + I)2
Следовательно,
4 V"1 €08 (2п + 1) пх
л2 / . (2п + I)2
п = 0
Полагая х = 0, получаем:
оо оо
0 = 1-±У_______!__, V____!__=
2 л2 (2п + I)2 (2п + I)2 8
п=0 п=9
Таким образом, с помощью ряда Фурье мы нашли сум-
му числового ряда. Ч
12.7. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 12
1. Найти сумму ряда
Е (п + 1)(п + 2)(2п+1)(2п+5) ’
П — 1
(Ответ: 1/90.)
2. Исследовать на сходимость ряд
|+|+аг+-+(^г
(Ответ: сходится.)
оо
3. Показать, что если ряд 2 абсолютно сходится,
оо
то ряд п + 1 ап также абсолютно сходится.
п — 1
4. Исследовать на сходимость и абсолютную схо^и-
•о
Е/_____|\п+1 .3я
-----—. (Ответ: абсолютно сходится.)
п = 1
5. Показать, что ряд, полученный при перемножении
оо
двух расходящихся рядов: 1 — ("^г) и +
п = 1
-|- (2" + 2_(п+!)), абсолютно сходится.
п= 1
оо
6. Сколько членов ряда ^(—1)'1+1—нужно взять,
п= 1
чтобы абсолютная погрешность при замене суммы 5 этого
ряда его п-й частичной суммой 5« не превышала а =
= 10~3, т. е. чтобы |5 — 5Л| = | гп | а? (Ответ: п 7.)
7. Сколько членов ряда (—1)'* + 1 2п 2 1 нужно
п= I
взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,01?
(Ответ: и = 200.)
8. С помощью почленного дифференцирования и инте-
грирования найти сумму ряда 1 — Зх2 + 5х4 + •••+
4-(— 1)«-’(2« — О*2"-2, (ответ: 5(х)= ЛгД! |х|<1.)
«о
п п V сое пх Зх2 — блх 4- 2л2
9. Доказать, что 5 ——-2— = -------------------, 0 «С
п = I
х л.
10. Подобрать два таких ряда, чтобы их сумма была
сходящимся рядом, а разность — расходящимся.
11. Доказать равномерную сходимость функциональ-
со
ного ряда У (—У на отрезке [0; 1].
л/п
12. Исследовать на сходимость ряд с общим членом
1/л 1~
С ухйх / „ -- 2 \
ип= \ ---- (Ответ: сходится,
3 х2 + I \ Зп3/2 /
©
оо
у— является ре-
« = 0
шением дифференциального уравнения у' — ху = 0.
13. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
13.1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ
У Кх>-
(13.1)
На плоскости Оху рассмотрим некоторую замкнутую область О,
ограниченную замкнутой линией С. Пусть в О задана функция г =
= }(х, у). Произвольными линиями разобьем О на п элементарных
областей 5„ площади которых Д5< (1=1.п) (рис. 13.1). В каждой
области 5, выберем произвольную точку Р,(х,. у,). Диаметром области
5< называется длина наибольшей из хорд, соединяющих граничные
точки $<.
Выражение вида
/л =
<=1
называется п-й интегральной суммой для функции г = ((х, у) в области О.
Вследствие произвольного разбиения области О на элементарные области
5. и случайного выбора в них точек Р, можно составить бесчисленное
множество указанных сумм. Однако, согласно теореме существования
и единственности, если функция г = [(х, у), например, непрерывна
в О и линия Р — кусочно-гладкая, то предел всех этих сумм, найденных
при условии всегда существует и единствен.
Двойным интегралом функции г — {(к, у) по области О называется
предел Нт /«, обозначаемый $$ ((х, у)с18. Таким образом, по опреде-
лен 0
лению
п
у) <18 = Пт 2/(х„ у,)Д5,-. (13.2)
О Ле0,= 1
Здесь и далее будем предполагать, что функция г = [(х, у) не-
прерывна в области О и линия /. — кусочно-гладкая, поэтому указан-
ный в формуле (13.2) предел всегда существует.
Укажем основные свойства двойного интеграла и его геометри-
ческий и физический смыслы.
1. Д = 5д, где 8а— площадь области интегрирования О.
о
2. Если подынтегральная функция г = /(х, у) = р(х, у)—поверх-
ностная плотность материальной пластины, занимающей область О,
то масса этой пластины определяется по формуле
т= йр(х, у)<18. (13.3)
о
В этом заключается физический смысл двойного интеграла.
3. Если )(х, у)>0 в области О, то двойной интеграл (13.2) чис-
ленно равен объему » цилиндрического тела, находящегося над
плоскостью Оху, нижним основанием которого является область О, верх-
ним — часть поверхности г = [(х, у), проектирующаяся в О, а боковая
поверхность — цилиндрическая, причем ее прямолинейные образующие
параллельны осн Ог и проходят через границу I. области О (рис. 13.2).
Если /(х, у)^0 в области О, то двойной интеграл численно равен
Рис. 13.1
Рис. 13.2
объему цилиндрического тела, находящегося под плоскостью Оху
(рис. 13.3), взятому со знаком « —» (—о). Если же функция }(х, у)
в области О меняет знак, то двойной интеграл численно равен
разности объемов цилиндрических тел, находящихся над плоскостью
Оху и под ней, т. е.
8 у)(18 = VI — У2 (13.4)
о
смысл двойного
(рис. 13.4). Это свойство выражает
геометрический
4. Если функции г = /7(х, у) ()= 1, к) непрерывны в области О, то
верна формула
Л(х.
У)а8.
5. Постоянный множитель С подынтегральной функции можно вы-
носить за зиак двойного интеграла:
йс/(х, у)аз = с Д /(х, У')аз.
о о
6. Если область О разбить на конечное число областей О,, Ог, ...,
Ок, не имеющих общих внутренних точек, то интеграл по области О
равен сумме интегралов по областям
й «х, у)аз = ЙКх, У)аз+ ЙДх, уМ$+-+ ЙК*. у№-
О О, Оз Ок
7 (теорема о среднем). Для непрерывной функции г = /(х, у)
в области О, площадь которой 50, всегда найдется хотя бы одна
точка Р(5, л) € О, такая, что
й /(х, у)аз = №. п)50.
о
Число /(?, л) называется средним, значением функции г = Дх, у) в
области О.
8, Если в области О для непрерывных функций Дх, у), I > (х, у), Д(х, у)
выполнены неравенства /Дх, у) Дх, у)^Д(х, у), то
у№< ЙЖ у№-
о о о
9. Если функция г = /(х, у) #= сопз( и непрерывна в области О,
М = щах ((х, у), т = т!п /(х, у), то
(х, (х. уЦО
тЗо< й Дх, у)дЗ < М30.
о
Замечание. Так как предел л-й интегральной суммы 1п (см. фор-
мулы (13.1), (13.2)) не зависит от способа разбиения области О на
элементарные области 3, (теорема существования и единственности), то
в декартовой системе координат область О удобно разбивать на эле-
ментарные области 5( прямыми, параллельными осям координат. Полу-
ченные при таком разбиении элементарные области 5<, принадлежащие
области О, являются прямоугольниками. Следовательно, 1.18 = дхду и
й Дх, У}а8 = й Дх, У)дхду.
в о
Область интегрирования О называется правильной в направлении
оси Ох (оси Оу), если любая прямая, параллельная оси Ох (оси
Оу), пересекает границу Л области О не более двух раз (рис. 13.5, а).
Область О считается также правильной, если часть ее границы или вся
граница Ь состоит из отрезков прямых, параллельных осям координат
(рис. 13.5,6).
Рассмотрим методы вычисления двойного интеграла по областям,
правильным в направлении координатных осей; так как практически
любую область можно представить в виде объединения правильных
областей (рис. 13.5, в), то, согласно свойству 6 двойных интегралов,
эти методы пригодны для их вычисления по любым областям.
Для вычисления двойного интеграла нужно проинтегрировать по-
дынтегральную функцию г = /(х, у) по одной из переменных (в пределах
ее изменения в правильной области О) при любом постоянном значении
другой переменной. Полученный результат проинтегрировать по второй
переменной в максимальном диапазоне ее изменения в О. Тогда все
произведения /(х, у)<1х<1у в двойном интеграле (предел суммы (13.2))
будут учтены при суммировании точно по одному разу, и мы избавимся
от лишних, не принадлежащих области О, произведений.
Если область О, правильная в направлении оси Оу, проектиру-
ется на ось Ох в отрезок [а; 6], то ее граница 1 разбивается
на две линии: АтВ, задаваемую уравнением </ = <р,(х), и АпВ, зада-
ваемую уравнением </ = <р2(х) (рис. 13.6). Тогда область О опреде-
ляется системой неравенств:
О: а С х С Ь, ф| (х) У ‘С <рг(х),
и двойной интеграл вычисляется по правилу (внутреннее интегрироваиие
ведется по переменной у, а внешнее — по переменной х)
Ь <₽2 (х)
У№х<1у = ^х /(х, у)(1у.
О а Д|(х)
(13.5)
Если область О, правильная в направлении оси Ох, проектируется на
ось Оу в отрезок [с; </], то ее граница Ь разбивается на две линии:
СрО*, задаваемую уравнением х = (у), и Суй*, задаваемую урав-
нением х=ф2(</) (рис. 13.7). В этом случае область О определяется
системой неравенств:
О: с С у С <У, ^ЫСхС^Ы,
и двойной интеграл вычисляется по правилу (внутреннее интегриро-
ваиие ведется по переменной х, а внешнее — по переменной у)
а Фз (у)
Н/(х, у}с1хс1у= \с1у $ /(х, у)с1х.
о с
(13.6)
Выражения, стоящие в правых частях равенств (13.5), (13.6),
называются повторными (или двукратными) интегралами.
Из равенств (13.5) и (13.6) следует, что
ь (I *г<»)
5 Кх, У)Лу= \Лу 5 У)<1х.
и 4>>(х) с
(13.7)
Переход от левой части равенства (13.7) к правой его части и обрат-
но называется изменением порядка интегрирования в повторном ин-
теграле.
Ри с. 13.6
Ри с. 13.7
Пример I, На плоскости Оху построить область интегрирования О
по заданным пределам изменения переменных в повторном интеграле
4 Зу'х
I =- \ дх ду. Изменить порядок интегрирования и вычислить ин-
теграл при заданном и измененном порядках интегрирования.
> Область интегрирования О расположена между прямыми х = 0
и х = 4, ограничена снизу параболой у = Зх2/8, сверху параболой у =
= 3да (рис. 13.8). Следовательно,
4 4
/ = = $ (3д/Г—Зх2/8)Лс = (2х3/2 — х’/8)|^ = 8.
о о
С другой стороны, область интегрирования О расположена между
прямыми 1/ = 0и1/=6, а переменная х изменяется в данной области при
каждом фиксированном значении у от точек параболы х ~ до точек
параболы х = д/8(//3, т. е., согласно формуле (13.7), имеем
О
6 \/8д/3
I = с! у дх =
О 1//9
Пример 2. Изменить порядок интегрирования в повторном ин-
теграле.
1 2-х
\ах /(х, у)ау.
О Л--
> Область интегрирования О ограничена линиями х = 0, х=1,
у = х2 и у = 2— х (рис. 13.9). Так как правый участок границы об-
ласти О задан двумя линиями, то прямая у = 1 разбивает ее на
области Оь 0 "С у "С 1, О
В результате получаем
х "С ~\[у и IX'. 1 у "С 2, О "С Л’ "С 2 — у.
Пример 3. Вычислить двойной интеграл
й(*4-#4-3) ах<*У>
о
если область О ограничена линиями х-\-у =
= 2, х = 0, у = 0.
> Область интегрирования О ограничена
прямой у = 2 — х и осями координат
(рис. 13.10). Следовательно,
2 2-х
й 4- у 4- 3) ахау = $ ах (% + у 4- 3) ау ==
О 0 0
Пример 4. Найти среднее значение функции г = х 4- бу в треуголь-
нике, ограниченном прямыми у = х, у=3х, х = 2.
► Средним значением функции г = [(х, у) в области О является
число (см. свойство 7 двойных интегралов)
7 = ^7^ у^Х(*у-
о
Вычислим сначала площадь области Р:
2 Зх 2
5О = \\(1х(1у= ^х $ йу = $ (Зх — х)4х = х2|о = 4.
О 0x0
Аналогично получаем
2 Зх 2
гг г г Г 1 13х
\ \ (х 4- бу) (1хйу = \(1х \ (х ~^6у)(1у = \ — (х 4- бу)2 (1х =
о Ох о
2 2 2
= ~ ((19х)2 — (7х)2)</х = ~ 312х2Дх = 26^ х2Дх =
О 0 0
26 ,12 208
=—ч= —
Таким образом,
7 = ± 208 _ 52_
' ~ 4 3 ~ 3 ’ *
АЗ-13.1
1. Вычислить следующие повторные интегралы:
2 I
а) (1х (х2 + 2у)с1х;
о о
8 5 2 х
б) ( с!у (х 4- 2у)с1х; в) ^с1х
- 3 у-- 4 II /х
(Ответ: а) 14/3; б) 50,4; в) 2,25.)
2. Расставить пределы интегрирования в повторном
интеграле для двойного интеграла Ц (х, у)с1хс1у, если из-
о
вестно, что область интегрирования О:
а) ограничена прямыми х = 1, х = 4, Зх — 2ц 4- 4 = 0,
Зх- 2у- 1=0;
б) ограничена линией х~ 4*у2 — 4х = 0;
в) является треугольной областью с вершинами в точ-
ках 0(0, 0), 4(1, 3), В(1, 5);
г) ограничена линиями у = х3-{-1, х = 0, х-(-у = 4
3. Изменить порядок интегрирования в данных повтор-
ных интегралах:
2 74~№ 1 5х
а) 5^5 Ж уШ б) $ ах $ /(х, у)(1у;
— 2 0 0 2х
1 1 -У
\ау $ /(%, у) ах.
0 -7^
4. Вычислить Ц (х2 + у)ахйу, если область О ограни-
о
чена линиями у = х2 и у2~х. (Ответ: 33/140.)
5. Вычислить 55 х?у2ахНу, если область О ограничена
о
линией х2 + у2 = 9. (Ответ: 0.)
6. Вычислить 55 х соз (х-{- у}ахау, если область О огра-
о
ничена линиями у = 0, х = л, у — х. (Ответ: — л/2.)
7. Вычислить 55 уахау, если область О ограничена
о
первой аркой циклоиды х = а(1 — 81п/), у — а(\—соз/)
и осью Ох. (Ответ: -|-ла3.)
Самостоятельная работа
1. 1. Представить двойной интеграл 55 ((х, ууйхйу в ви-
о
де повторного интеграла при разных порядках интегриро-
вания по х и по у, если известно, что область О огра-
ничена линиями у — 2х, х = 0, г/4-х = 3.
2. Вычислить 55 хйхйу, если область О ограничена
о
линиями у — х2, у = 2х. (Ответ: 4/3.)
2. 1. Изменить порядок интегрирования в повторном
интеграле
4 2х —3
5 ах 5 1(х,у)(1у.
0 №/2 — 3
2. Вычислить 55 хахау, если область О ограничена
о
линиями х = 0, у —0, у = д/4 —х2. (Ответ: 8/3.)
3. 1. Изменить порядок интегрирования в повторном
интеграле
8 лМ»+12
$ йУ $ 1(х, У^х-
-4 (« + 4)/2
2. Вычислить $ х2(1х(1у, если область О ограничена
о
линиями у = х, у=\/х, х = 2. (Ответ: 2.)
13.2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ.
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В ПОЛЯРНЫХ
КООРДИНАТАХ
Пусть переменные х, у связаны с переменными и, V соотношениями
х=<р(щ о), у — ^(и, и), где (р(и, о), ф(и, о)—непрерывные и диф-
ференцируемые функции, взаимно однозначно отображающие область
Г) плоскости Оху на область О' плоскости О'ио, при этом якобиан
дх дх
ди ди
сохраняет постоянный знак в О. Тогда верна формула замены пере-
менных в двойном интеграле.
у) с1х(1у = \\[(<р(и, о), ф(и, (13.8)
о О’
Пределы в новом интеграле расставляются по рассмотренному
ранее правилу с учетом вида области О'.
Пример 1. Вычислить двойной интеграл
й (* + У( ахаУ
о
по области О плоскости Оху, ограниченной линиями у = х — 1, у = х 2,
У= — х — 2, у — —х + 3.
> Положим
и = у — х, |
у = У + -г. /
(I)
Тогда прямые у = х — 1 и у — х. 4- 2 перейдут соответственно в прямые
и = — 1, и = 2 плоскости О'ио, а прямые у = — х — 2, у = —х 4- 3 —
в прямые о = -2и о = 3 этой же плоскости. При этом область О отобра-
зится в прямоугольник О' плоскости О'ио, для которого —1 "С и -С 2,
— 2 < о С 3.
Из системы (1) находим:
х = ( —и 4- о)/2О
У — ( и + о)/2.)
Следовательно,
дх ду
ди ди
дх ду
ди до
1 1
Т 2
1 1
Г 2
1
Т’
а |/| = 1/2. Поэтому, согласно формуле (13.8),
й (х + у) (1хд.у = й V • — =
6 О'
2 3
1 [ , Г , 15
— -у \ с!и \ иди = -у-. Ч
- I — 2
Известно, что прямоугольные декартовы (х, у) и полярные (р, <р)
координаты связаны между собой следующими соотношениями:
х = р соз <р, у = р з!п <р, (р 0, 0 й/ <р < 2л).
Если в двойном интеграле перейти от декартовых к полярным ко-
ординатам, то получим формулу (так как якобиан ] = р)
й/(х, у) дхду = 55 )(р соз ф, р з1п ф) р</рг/ф. (13.9)
О О'
В обобщенных полярных координатах, для которых
х = ар соз <р, у — Ьр з!п <р (р О О, 0 < ф < 2л), (13.10)
имеем (так как якобиан 1 —аЬр]:
й К-1', У) дхдх = аЬ ((ар соз ф, Ьр з1п ф) р</р«/ф. (13.11)
о О'
Представление двойных интегралов в виде повторных в правых
частях формул (13.9), (13.11) приводит к разным пределам в зави-
симости от того, где находится полюс О полярной системы координат’
вне, внутри или на границе области О.
1. Если полюс О полярной системы координат находится вне
области О, ограниченной лучами ф = а, ф = 0 (а < 0) и линиями АтВ,
АпВ (их уравнения соответственно р = р, (<р), р = рг(<р). где р,(ф),
ра(ф) (р,(ф) Рг(ф>))— функции, заданные на отрезке {а; 0]), то двойной
интеграл в полярных координатах сводится к повторному интегралу по
правилу (рис. 13.11)
Р р4<р)
55 ((х, у)дхду = 5 ^ф 5 Нр с°2 3 * 5 <₽ р 51п ф) р</р.
О а 1>| (<р)
(13.12)
2. Если полюс О находится внутри области О и уравнение гра-
ницы области О в полярной системе координат имеет вид р = р(ч>),
то в формуле (13.12) а = 0, 0 = 2л, р, (<р) = 0, рг(ф) = р(ф) (рис. 13.12).
3. Если полюс О находится на границе области О и уравнение ее
границы в полярной системе координат имеет вид р = р(<р), то в фор-
муле (13.12) р,(<р) — 0, рг(ф) = р(ф), а а и 0 могут принимать различные
значения (рис. 13.13, 13.14).
а
5
Аналогичные формулы имеют место и для случая обобщенных
полярных координат.
Пример 2. Вычислить -ф у2)3йхйу, если область О — кругра-
о
диусом /? с центром в начале координат.
► Если область О — круг или его часть, то многие интегралы
проще вычислять в полярных координатах. Согласно формулам
(13.9) и (13.12) (случай 2), имеем:
8 л/(%2 + У2)3 ^Х(^У = й у(р2 з!п2 4>+р2 соз2 <р)3рс/р<7<р =
о о
2л /?
Йс Г К5
р'Чрг/ф = I </<р V р4</р = 2л ——.
о оо
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом
'Л
> В интеграле ЭД (1х(1у, выражающем площадь эллипса в декарто-
о
вой системе координат, перейдем к обобщенным полярным координа-
там с помощью равенств (13.10). Уравнение эллипса в обобщенных
полярных координатах имеет вид р=1. Следовательно, согласно
формуле (13.11), получаем
2л I
ЭД с1х(1у — ЭД абр</р</<р = аЬ \ с1<р\ р</р = лаЬ. 4
о О’ оо
АЗ-13.2
1. Вычислить \\(х + у)<1х(1у, если область О ограни-
о
чека прямыми 2х -}-у=1, 2х-(-у = 3, х — у=—1, х —
— у —2. (Ответ: 2,5.)
2. Использовав полярные координаты, вычислить
двойной интеграл ЭД(х2 + у2~)(1х(1у, если область О огра-
о
ничена окружностью х2 + у2 = 4х. (Ответ: 24л.)
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
х24-у2 = 4х, х2 + у2 = 6х, у = —!—х, у = у[3х. (Ответ:
уЗ
5л/6.)
4. Вычислить ЭДагс1§ — с1хс1у, где О — часть кольца,
о х
ограниченного линиями х2 у2 = 1, х2 + у2 = 9, у =——х,
У = д/3х. (Ответ: л2/6.)
5. Найти ЭД хус!хс1у, если область О ограничена эллип-
о
сом \ + р = 1 и прямыми х = 0, у = 0. (Ответ: а2Ь2/8.)
оо
6. Вычислить несобственный интеграл $ е~х’(1х, ис-
— оо
пользовав значение интеграла \\е~х'~у (1хс1у, взятого по
о
области О, ограниченной окружностью х2 + у2 = Н2
{Ответ: -у/л.)
Самостоятельная работа
1. Вычислить ЭД (12 — х — у)(1х(1у, если область О огра-
о
ничена окружностью х2 + у2 = 9. (Ответ: 108л.)
2. Вычислить (6 — 2х— Зу)(1х(1у, если область О огра-
о
ничена окружностью х24~г/2 = 4. (Ответ: 24л.)
3. Вычислить Ц(4 — х — у~)с1х(1у, если область О огра-
/>
ничена окружностью х1 + у1 = 2х. (Ответ: Зл.)
13.3. ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Вычисление площадей плоских фигур. Рассмотрим несколько при-
меров.
Пример I. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
у = х2 — 2х, у = х.
► По уравнениям границы области О строим данную фигуру
(рис. 13.15). Так как линии, ограничивающие ее, пересекаются в точках
0(0, 0) и Л1о(3, 3), то в О справедливы неравенства: 0 еС х еС 3, х2—
— 2х еС у еС х. Следовательно, на основании свойства 1 двойных ин-
тегралов искомая площадь
3 х 3
5 = Ц с!хс1у = ) Ах ) с1у = ) (х — х2 + 2х) Ас =
О 0 х" — 2х о
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией
(Л-- + у2)2 = а‘2(х'2 — у2), а > 0.
► Перейдем к полярной системе координат, в которой уравнение
данной кривой примет вид:
р4 = О2р2(сО32 ф — 51П” ф),
р2 = а2 соз 2ф, р = а л/соз 2ф.
Последнее уравнение задает кривую, которая называется лемнискатой
Иернулли (рис. 13.16).
Рис. 13.15
Р и с. 13.16
Как видно из полученного уравнения и рис. 13(16, кривая сим-
метрична относительно координатных осей, и площадь 5 фигуры, ог-
раниченной этой кривой, выражается двойным интегралом 5 =
= 4Цр</рЛр. Здесь О — фигура (область), лежащая в первом квад-
о
ранте, для которого 0^<р<л/4, 0 < р < а усов 2<р. Следовательно,
л/4 я/4 2 .---—
3 = 4 $ Лр $ рс(р = 4 ) “ СО5*ФЛ(> =
о о о 1
л /4
= 2а2 5 сов 2<рг/<р — а2 51п 2<р |5/4 = а2. ◄
о
Вычисление объемов тел. Рассмотрим следующие примеры.
Пример 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
г = х2 + у2, х + у = 1, х = 0, у = 0, г = 0.
> Данное тело ограничено координатными плоскостями, плоско-
стью х + у = 1, параллельной оси Ог, и параболоидом вращения г =
= х2 + у2 (рис. 13.17). На основании геометрического смысла двойного
интеграла (см. § 13.1, свойство 3) искомый объем V можно вычислить
по формуле
V = \\(х2 +у2)с!х<1у,
О
где область О ограничена треугольником, лежащим в плоскости Оху,
для которого 0 С х С 1, 0 < 1 — х. Следовательно,
Пример 4. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
У = 1 +х2-\-г2, у =5.
Рассматриваемое тело ограничено параболоидом вращения с
осью Оу и плоскостью у = 5, перпендикулярной к оси Оу (рис. 13.18).
Его проекция на плоскость Охг — круг, определяемый уравнениями
у = 0, х2 + г2 4. Искомый объем
у = Ц(5 — 1 — х2 — г2)г/хг/г = 55(4 — х2 — г2)йхг/г.
о
о
Рис. 13.18
Перейдем в полученном интеграле к полярным координатам с по-
мощью равенств х = р соз <р, г = р зш <р. Тогда г/хг/г = рг/р^ф н
2л 2
° = 55(4- р2)рйрй<р= 5<лр5(4р--рз)й(р =
О 0 0
=-- 2 л ^2р2— — М = 8л. 4
\ 4 / |о
Вычисление площадей поверхностей. Пусть в области Ог плоско-
сти Оху задана непрерывная функция г =/(х, у), имеющая непрерыв-
ные частные производные. Поверхность, определяемая такой функ-
цией, называется гладкой. Очевидно, что область О, есть проекция
рассматриваемой поверхности на плоскость Оху. Площадь поверх-
ности г = /(х, у), (х, у) С Ог, вычисляется по формуле
о.
(13.13)
В случае, когда гладкая поверхность задана функцией х — ((у, г)
(в области ОЛ) или функцией у = /(х, г) (в области Ог), площадь этой
поверхности вычисляется по формуле
<?х=йл/1+®У+Оауаг (|3|4)
Ох
или
=5$ л/1+(М+(1)ахаг- (1 з-15)
О,
Пример 5. Вычислить площадь части конуса у = 2ух2 + г2, распо-
ложенной внутри цилиндра х‘ + г2 = 4х.
> Так как поверхность задана функцией вида у = [(х, г), то ее
площадь следует вычислять по формуле (13.15), где область Оу —
проекция данной поверхности на плоскость Охг (рис. 13.19). Эта проек-
Р и с. 13.19
ция представляет собой
Так как
круг, органиченный окружностью (х — 2)2 -|-
ду _ 2х ду _ 2г
то искомая площадь
л/1+ -4*2 / + -- Дг^ахс1г =
1) V х- + г х- + г2
о,
= дхди =-1г = Р С05 '₽ ахаг = Р^Р^Ф, I =
’ 33 и IX — Р 81П <р, Р = 4 5!П <р I
л 4 ь1п л
= д/(Г сйр р<2р = 8 ^5 $ 51п2 <р</<р =
оо о
= 4 ~\/д (1 — соз 2<р) = 4 уб -------81п 2<р^ = 4 л ~у/5. •<
о
Вычисление массы материальной пластинки. Покажем, как это
делается, на примере.
Пример 6. Вычислить массу материальной пластинки, лежащей
в плоскости Оху и ограниченной линиями х=(у— 1)"’, у = х— 1, если
ее. поверхностная плотность ц = у.
> Найдем координаты точек пересечения линий, ограничивающих
область О: /1(1, 0), В(4, 3) (рис. 13.20). Тогда из физического смысла
двойного интеграла (см. § 13.1, свойство 2) следует, что искомая масса
з у + I
т= \\у(1л(1у -^ &У 5 У^х —
о о (г/-н-
.3 .4
= \ У& + 1 - (У - I)2) #У = 5 (Зу~ — у')(1у =
Вычисление статических моментов и координат центра масс мате-
риальной пластинки. Если на плоскости Оху дана материальная плас-
тинка й непрерывной поверхностной плотностью ц(х, у), то координаты
ее центра масс С(*с, ус) определяются по формулам:
у)ахс1у \\у\х(х, у)с1хс1у
х с = —--------------, у с = -----------— (13.16)
)ц(х, у)Лхс1у ))ц(х, УХ'Х^У
о Ъ
Величины
ЛН=^//ц(х, у)Лхс!у, Мд= ЙА'р(А. У^0хс1у (13.17)
о о
называются статическими моментами пластинки О относительно осей
Ох и Оу соответственно.
Пример 7. Найти координаты центра масс пластинки О, лежащей
в плоскости Оху и ограниченной линиями у = х, у — 2х, х = 2 (рис.
13.21), если ее плотность |х(х, у) = ху.
Рис. 13.20
Вначале определим массу пластинки О:
2 2г 2
т = $ хус1х(1у = хс1х уду = х • 1 с1х =
о о л- о
2
2
4- ( х(4х2 — х2)ах = -5- ( хЧх = х' I =6.
/ 3 2 ] о |о
Согласно формулам (13.16), координаты центра масс:
2 2х
Х<: = 7п \\х'2УахаУ = х2<^Х~
о Ох
2 2
1 Г 2 1 /1 ’ 2\А 1 Г 4 . *5|2 8
= 6- Г -т(^-^Чх=-у ^=-|о=_,
о о
$Л7Г</хЖ/ =
I)
2 2х
$- \ л/лА у2ау =
2
I) О
Вычисление моментов инерции материальной пластинки. Моменты
инерции относительно начала координат и осей координат Ох, Оу ма-
териальной пластинки О непрерывно распределенной поверхностной
плотностью ц(х, у), которая лежит в плоскости Оху, вычисляются со-
ответственно по формулам:
!«= $(*2 + У’)^(х, у)сШу,
о
!х = й.у2ц(х, У)с1хс1у, Ц = \\х2р.(х, у)<1хс1у.
о о
(13.18)
Пример 8. Вычислить моменты инерции относительно точки гра-
ницы однородного круга и его диаметра, если радиус круга /?, а вес Р.
Поместим начало координат в точке, лежащей на границе круга,
а центр круга — в точке С(/?; 0) (рис. 13.22). Тогда задача сведется
У..
Рис. 13.22
к нахождению моментов инерции круга относительно начала координат
и оси Ох.
Так как круг однороден, то его плотность р постоянна и р =
= Р/(§я/?2). Уравнение окружности в декартовой системе координат
имеет вид (х— /?)2 + у1 = А*2, а в полярной — р = 2/? соз ф. Для дан-
ного круга выполняются соотношения —л/2 ф л/2, О^р^
<; 2 А* соз ф.
Следовательно, на основании формул (13.18) имеем:
= ц й(х2 4- у^сШу =
о
я/2 2/?соз<р я/2
= р $ <7ф $ р’г/р = р • 4/?4 $ соз4 <рг/(р =
— л/2 О — л/2
я/2 л/2
= 8р/?4$ (_1+^2фу^ = 2^^ (1+2с05 2ф+1±Е2^ч> =
О о
/ 1 1 \ ]л/2
= ( ф 4- З1п 2ф — ф + — 81п 4ф ) | =
\ О / | о
=4^=4 г’’
л/2 2/?соъф
= р Ц у^ЛхЛу = р $ г/ф $ р3 з!п2 фг/р =
о -л/2 о
л/2 л/2
. г>4 С 4 2 п г»4 С • 2 л 1 4“ С08 2ф
= 4ц/? \ соз ф 81п фб/ф = 8ц/? \ — зш 2ф •-------$---— 4/ф —
— л/2 О
л/2 л/2
= рА1* зш2 2ф<4ф -|- рА1* зш2 2ф соз 2фйф =
о о
' / , , . , „4 зш3 2ф |"/2
= рЛ I ~2 (1 — соз 4ф)йф + р/? ---б- о =
о
1 / 1 \ р/-' л 1 р
= -2-рЯ4(^-Т51п4ф^|о =тр/?4=т—/?2 «
А313.3
1. Вычислить площади фигур, ограниченных следую-
щими линиями:
а) у =~\/х, у = 2д[х, х = 4;
б) у* = Юх + 25, у2 = —6х + 9; в) р = а зш 2<р, а > 0.
(Ответ: а) б) в) А- ла2.
\ о 3 2
2. Вычислить объемы тел, ограниченных указанными
поверхностями:
а) плоскостями х = 0, у = 0„ 2 = 0, х = 4, у = 4 и
параболоидом г = 1 + х2 + у2\
б) цилиндрами х2 -ф у2 = /?2, х2 + г2 = /?2;
в) параболоидом г = х2-(-у2 и плоскостями г = 0.
у = 1, у = 2х, у = 6 — х;
г) цилиндром х2 + у2 = 4 И ПЛОСКОСТЯМИ 2 = 0, 2 =
= х + у+Ю;
„2 у2
д) эллиптическим цилиндром — -ф у = 1 и плоско-
стями 2 = 12 — Зх — 4у, 2 = 1. (Ответ: а) 186-|-; б) у /?3;
в) 78г) 40л; д) 22л.)
3. Вычислить площадь части плоскости 6х + Зу
4-2г= 12, которая расположена в первом октанте. (От-
вет: 14.)
4. Вычислить площадь части конуса г = д/х2 + у2
расположенной внутри цилиндра х2 + у2 = 4х. (Ответ-
4д^2л.)
5. Вычислить площадь части поверхности параболоида
2г = х2-(-у2, лежащей внутри цилиндра х2 -ф у2 = 1
(Ответ: -|-л(д^8 — 1).)
6. Вычислить массу квадратной пластины со сторо-
ной а, если ее плотность в любой точке М пропорциональна
квадрату расстояния от этой точки до точки пересечения
диагоналей, а в угловых точках квадрата равна единице.
(Ответ: а2/3.)
Самостоятельная работа
I. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
у = 2 — х, у2 = 4х + 4. (Ответ: 64/3.)
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностя-
ми х2у2 = 1, 2 = 0, х-(-у-(-2 = 4. (Ответ: 4л.)
3. Вычислить объем тела, ограниченного цилиндром
2 = у2/2 и плоскостями 2х + 3у=12, х = 0, у = 0, 2 = 0.
(Ответ: 16.)
АЗ-13.4
1. Вычислить координаты центра масс однородной
плоской фигуры, лежащей в плоскости Оху и ограничен-
ной линиями р2 = 4х + 4, у2 = — 2х + 4. (Ответ: хс =
= 2/5, ус = 0.)
2. Вычислить координаты центра масс фигуры, огра-
ниченной линиями у = х2, у2 = х, если плотность фигуры
у(х, у) = ху. (Ответ: хс = 9/14, ус = 3/56.)
3. Найти координаты центра масс однородной плоской
фигуры, ограниченной кардиоидой р = а(1 + сов ср). ( От-
вет: хс = А а, ус = 0.)
4. Вычислить момент инерции относительно начала
координат фигуры, ограниченной линией х2 ф- у2 — 2х = 0,
если ее плотность р(х, у) = 3, 5. (Ответ: 21л/4.)
5. Вычислить моменты инерции относительно начала
координат и осей координат пластины плотностью ц(х,
у) — х:2у, лежащей в плоскости Оху и ограниченной ли-
ниями у = х2, у — 1. (Ответ: /0 = 104/495, Л = 4/33, 1У —
= 4/45.)
6. Вычислить момент инерции относительно полюса
пластины, ограниченной кардиоидой р = а(1—сов ф),
если ее плотность р = 1,6. (Ответ: 7па'/2.)
7. Вычислить момент инерции относительно центра
(р(х, у) = 1) эллиптической пластины с полуосями а и Ь.
(Ответ: лаЬ(а2 + 62)/4.)
Самостоятельная работа
1. Вычислить момент инерции относительно начала
координат фигуры плотностью ц(х, у) = 1, ограниченной
линиями х У = 2, х = 2, у = 2. (Ответ: 4.)
2. Вычислить координаты центра масс однородной
фигуры, лежащей в плоскости Оху и ограниченной линия-
ми у=~ х2 4-2х, у = 0. (Ответ: хс=1, ус—1/4.)
3. Вычислить момент инерции относительно точки пе-
ресечения диагоналей прямоугольной пластинки со сто-
ронами 4 и 6, если ее плотность ц(х, у) = 2. (Ответ: 208.)
13.4. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ВЫЧИСЛЕНИЕ
Пусть функция н = /(х, у, г) непрерывна в замкнутой области
V € К3, ограниченной некоторой замкнутой кусочно-гладкой поверхно-
стью 5. С помощью произвольных гладких поверхностей разобьем
146
область Инал элементарных областей I', (/ = 1, л), объемы которых
обозначим через Да,. В каждой элементарной области К, выберем
произвольно точку М, (х,, у,, г,) и постооим сумму
1п = X 1(х„ //,, г,)Да„
1= I
(13.19)
Через Ф обозначим максимальный диаметр элементарной области К.
Сумма (13.19) называется п-й интегральной суммой функции [(х,
у. г) в области V.
Предел сумм (13.19). найденный при условии, что б,->-0, назы-
вается тройным интегралом функции 1(х, у, г) по области V и обозна-
чается $/(х, у, г)йе. Таким образом, по определению
и
. п
$/(х, У- г)бо = Нт X/'(*<, у,, (13.20)
у 1= I
Если подынтегральная функция ((х, у, 2) непрерывна в области И,
то интеграл (13.20) существует и не зависит от способа разбиения V
на элементарные области К и выбора точек М,.
Многие отмеченные в § 13.1 свойства двойных интегралов спра-
ведливы и для тройных интегралов, поэтому приведем только те их
свойства, которые несколько отличаются от свойств двойных интегралов.
1. Если в области V [(х, у, г)= 1, то
\\\ае = е, (13.21)
V
где V — объем области V.
2. В случае, когда подынтегральная функция /(х, у, г) задает
плотность 6(х, у, г) тела, занимающего область И, тройной интеграл
выражает массу этого тела:
т= Щб(х, у, г)с1а. (13.22)
г
Следует подчеркнуть, что в декартовой системе координат область
И удобно разбивать на элементарные области плоскостями, параллель-
ными координатным плоскостям; при этом элемент объема бо = Лхс1уЛг.
Считаем область И правильной (т. е. такой, что прямые, парал-
лельные осям координат, пересекают границу области И не более, чем
в двух точках). Для правильной области И справедливы неравенства
(рис. 13.23): а<х<&, «р, (х)<< <р2(х), ф, (х, «/)< г < ф2(х, у) в
следующая формула для вычисления тройного интеграла
ь Ы-Ч чЧх. у)
®^(х, у, г)йхс1ус12= \с1х $ Лу $ ((х, у, 2~)(12. 113.23)
V а (Р1(.г) Чч(х, У)
Таким образом, при вычислении тройного интеграла в случае про-
стейшей правильной области V вначале интегрируют функцию /’(х, у, 2)
по одной из переменных (например, 2) при условии, что оставшиеся
две переменные принимают любые постоянные значения в области
интегрирования, затем результат интегрируют по второй переменной
(например, у) при любом постоянном значении третьей переменной
в V и, наконец, выполняют интегрирование по третьей переменной (на-
пример, х) в максимальном диапазоне ее изменения в V
Более сложные области интегрирования разбиваются на конечное
число правильных областей, и результаты вычисления по этим областям
суммируются. В частности, если область интегрирования — прямоуголь-
ный параллелепипед, задаваемый неравенствами И = (а х 6,
«С у С- <1, р О х О <у), то
Ь <1 д
®/(х, У, г)с1хс1уаг— \йх \ 4у \ [(х, у, г)<1г. (13.24)
V а с р
Пример 1. Вычислить тройной интеграл I = $(2х 4- у)(1х(1у(1г, где
V
V ограничена поверхностями: у — х, у = 0, х = I, г = I, г = 1 -|- х2 + у2.
► По заданным поверхностям строим
(рис. 13.24). В области V справедливы
О 'С у ’С х, 1 гС 2 С. 1 х2 4- у2. Тогда
область интегрирования
неравенства: 0^х^1,
’ г 1+хг + *!
/= \<1х\ау ) (2х + у';дг =
о о I
1 X 1 X
= \<1х\(2х + у)г11+х’+!'’‘*У= \дх\(2х + у)(х2+у2)ду =
ОО 0 0
1 х
= 5 дх 5 (2х3 + у3 + 2ху2 4- х2у) ду =
О о
1
= $ (^2х'у +х2у2 + ~ ху3 + ~ у'^^дх =
в
о
Пусть функции
х = <р(и, и, и>), 3
у = ф(и, V, и>), I (13.25)
г = х(и, и, цу). )
непрерывны, имеют
непрерывные частные производные, якобиан
дх дх дх
ди ди див
ду ду ду
ди ди дио
дг дг дг
ди ди див
и сохраняет знак в области V' изменения переменных и, и, а>. Функции
(13.25) отображают взаимно однозначно область V в область V’
Тогда верна формула
Щ/(х, у, г^дхдудг = $5/(ф(и. V, а>), ф(и, и, ш), Х(и, а, и,)) |/|
V V'
В цилиндрических координатах р, <р, г (рис. 13.25) имеем:
х = р соз <р, у = р 81п ф, г = г,
0 ф 2л, 0 р < оо, — оо < 2 < оо,
1 = р, дхдудг = р</р</ф</г.
(13.26)
В сферических координатах г, ф, 0 (г — радиус-вектор, ф — долго-
та, 0 — широта или склонение) (рис. 13.26) получаем:
х = Г 31П 0 соз ф, у = Г 31П 0 31П ф, г — г соз 0,
0^г<оо, 0^ф^2л, 0 < 0 < л,
/ — г2 з1п 0, дхдудг — г2 31П 0</г</ф</0.
(13.27)
В обобщенных сферических координатах
х = аг з1п 0 соз ф, у = Ьг зш 0 З1п ф, г = сг соз 0, 1
1 = аЬсг2 З1п 0, <1х<1у<1г — аЬсг2 зш 0</г</ф</0. ) ' ' )
Соотношения (13.26) — (13.28) позволяют осуществлять в тройных
интегралах переход от - декартовых к цилиндрическим, сферическим
или обобщенным сферическим координатам. Формула (13,23) для вы-
числения тройных интегралов в декартовых координатах справедлива
также в цилиндрических и сферических координатах.
Пример 2. Вычислить 1 = '^У\к2 + у2 ахУуУ^ если область ннте-
V
грирования V ограничена поверхностями х'2 + у2 — 4, 2=1, 2 = 2 +
+ х~ + У-
► По заданным поверхностям построим область И (рис. 13.27).
Перейдем в заданном интеграле к цилиндрической системе координат:
/ — $ ррУрУуУ? =
Г"
2л 2 2 + ра 2л 2
= НЬп/р $р2(1 + р2)^<р =
0 0 I 0 0
= <р !;' ((р2 + р^р = 2л (у + у) |02= 5 ◄
Пример 3. Вычислить /= $ \<х‘ -ф у2 -ф г'2)3 УхУуУг, если область
г
интегрирования V ограничена сферой х2 -ф у2 + г~ = 4 и плоскостью
У = 0 (у > 0).
Область V представляет собой полушар, расположенный пра-
вее плоскости Охг (у^О), т. е. сферические координаты г, <р, 0 изме-
няются в V следующим образом: О г =С 2, О:Ф(Г-фл, 0 9 =С л.
Это означает, что
/ = $ Г3/2 8Ш 0(1г({ц<М =
V
пл 2
се с , ।1 । ' г,; ।2 64
= \ 1/<г\ 8111 0ДО\ г '<1г = <г •( — соз 0) • — = — л. 4
3 3 3 I о | о 6 I о 3
о о о
АЗ-13.5
1. Вычислить $ х2у2гс1хс1ус12, если область V опре-
г
деляется неравенствами 0^х^1,0^у^х, О^г^ху.
(Ответ: 1/110.)
2. Вычислить [[[----йхОуОг— если область V огра-
333 (1 +х + у + г)2
V
ничена плоскостями х = О, у = 0, 2 = 0, х-(-у-(-2=1.
(Ответ: ±(|п 2- |).)
3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхно-
стями у = х2, у 4-2 = 4, 2 = 0. (Ответ: 256/15.)
4. Вычислить $х2у2(1х(1у(12, если область И ограни-
г
чена поверхностями х2 + у2=1, г = 0, г = х2-\-у2.
(Ответ: л/32.)
5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхно-
стями х2 + у2='10х, х2 + у2=13х, 2 = д/^х2 + у2, 2 = 0,
у^0. (Ответ: 266.)
6. Вычислить ж V если область V — 4- \ = 1. (Ответ: (? + ? + ?)‘(х‘'!'‘'г' - внутренность эллипсоида — + + а Ь~ А лаЬс^
7. Вычислить объем части шара х2у2г2 — 1, рас-
положенной внутри конуса г2 — х2 + у2. (Ответ: -лр —
Самостоятельная работа
1. 1. Расставить пределы интегрирования в интеграле
$/(х, у, 2.)с1хс1ус12, если область V ограничена плоско-
стями х = 0, у = 0, г — 0, 2х + Зу + 4г = 12.
2. Вычислить \\\ух2 у2 с1х(1ус12, если область V
V
ограничена поверхностями г = х2 + у2, 2=1. (Ответ:
4л/15.)
2. 1. Расставить пределы интегрирования в интеграле
$/(х, г)(1хйу(1г, если область V ограничена поверхно-
стями у = х, у = 2х, г = 0, х + г = 2.
2. Вычислить ®ух2 + г2 (1хд.ус1гу если область V
ограничена поверхностями у = х2-\-г2, 2=1. (Ответ:
4л/15.)
3. 1. Расставить пределы интегрирования в интеграле
$/(х, у, г)с1хс1ус12, если область V ограничена поверхно-
стями У = Х2, 2 = 0, у+ 2 = 4.
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверх-
ностями х2 + у2 = 9, 2=1, х + у + г = 11. (Ответ: 90л.)
13.5. ПРИЛОЖЕНИЯ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Вычисление объемов тел. Объем о области V (объем тела) обычно
вычисляют по формуле (13.21), в которой в тройном интеграле можно
переходить (если это удобно) к различным координатам (цилиндри-
ческим, сферическим и др.).
Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
2=1, г = 5 — х2 — у2.
► По заданным уравнениям поверхностей в декартовых коорди-
натах строим область V (рис. 13.28). Тогда в цилиндрической системе
координат искомый объем
V — $ рДрДфДг,
V
где V: (0 «С <р 2л, 0 Р 2, 1 <1 2 <1 5 — р2). Следовательно,
2л 2 5 - р2
1>= $<*ф$р<*р $ Й2 =
О О I
2
= 2л р(5 — р2 — 1)</р = 2я^2р2 — = 8л. 4
о
Пример 2. Вычислить объем
X2 У2 22 ,
— + ут + — = 1.
а Ь с
тела, ограниченного эллипсоидом
В обобщенных сферических координатах верны формулы (13.26),
и поэтому искомый объем
о = Щабсг2 81П 0</г</ф</0,
V"
где V — область, в которую отображается внутренность эллипсоида
при переходе к обобщенным сферическим координатам. Уравнение
поверхности, ограничивающей область V, в обобщенных сферических
координатах получается путем подстановки в уравнение эллипсоида
значений х, у, г из формул (13.28):
г2 31П2 0 соз2 <р + г2 51П2 0 81п2 ф ф- г2 соз 2 0 = 1,
т. е. г= 1. Следовательно,
2л л 1
С С Г 4
V = аЬс I </ф \ 81п2 0</0 \ г2<1г = -у лаЬс. 4
0 0 о
Вычисление массы тела. Масса т тела вычисляется по формуле
(13.22).
Пример 3. Вычислить массу тела, ограниченного поверхностью
конуса (г — 2)2 = х2 ф- у1 и плоскостью 2 = 0, если плотность тела
6(х, у, 2)= 2.
Вершина конуса находится в точке О\(Э, 0, 2), и в сечении ко-
нуса плоскостью г = 0 получается окружность х2 ф- у2 = 4, г—0 (рис.
13.29). На поверхности рассматриваемого тела 2 = 2 — ух2 ф- у2
Тогда масса
т ~ \\\гс1хс1ус12 =
V
2л 2 2-р
— ® = \ с1ц> р^р —
V 000
2
= 2л( р(2 —р)ф = 2лЛ>2—=----т- ◄
1 у О / } о о
о
Вычисление координат центра масс тела. Пусть в пространстве
К’ задано некоторое тело V непрерывно распределенной объемной
плотностью б = б(х, у, г). Тогда координаты центра масс этого тела
определяются по формулам:.
Щх6(л\ у, х)с1и У- ®2б(х’ У' г№
С ®6(х, у, х){1и ’ У(' Щб(х, у, х)(1и С Щб(х. У> г№
V V V
Величины
Мх = Щхб(х, у, г)Ли, Му= Щг/б(х, у, г)</ц, М? = Щгб(х, у, г)с1о
и V и
называются статическими моментами тела относительно координатных
плоскостей Оуг, Охг и Оху соответственно. Если б(х, у, г) = сопз1,
координаты центра масс не зависят от плотности тела И.
Пример 4. Вычислить координаты центра масс однородного тела
И, ограниченного поверхностями х = у1 + г2, х = 4.
► Строим тело, ограниченное данными поверхностями (рис. 13.30).
Область V ограничена поверхностью параболоида, отсеченного плос-
Рис. 13.30
костью х = 4. Его проекция на плоскость Оух представляет собой
круг, ограниченный окружностью у1 -ф г2 = 4 радиусом 2. Вычислим
вначале массу тела в цилиндрических координатах, считая, что его
плотность 6=1:
2л 2 4
т = $,с1хс1ус1г = ( 5 Р^Р 5 =
V 0 0 (Т
2
= 2лр(4 — р2)(1р = 2л^2р'“ — ~ $л'
о
Тогда
2л
4
Хс — <А| («/р
И 0 0 р2
2 2
= 4- • 2я (р (4- I =4Д р(*6—р4)^р=
ол 1 \ л / \?‘ ® и
о о
Аналогично определяются ус и гс, но так как тело — однородное
и симметричное относительно оси Ох, то можно сразу записать, что
ус=0 и 2с=0. «
Вычисление моментов инерции тел. Момент инерции относительно
начала координат тела V € К3 плотностью б(х, у, г) определяется по
формуле
/о = + У~ + 22)6(х, у, 2)(1Х(1у(12\
V
моменты инерции относительно координатных осей Ох, Оу, Ог
соответственно:
Л = + у, г)ахауаг,
V
/,, = $ (X2 4~ Х2)б(х, У, 2)<1х<1у<12,
и
Л = $(х24-</2)6(х, у, г)4х(1у42-,
.1/
моменты инерции относительно координатных плоскостей Оху, Оуг,
Охг соответственно:
!,ч = $г2б(х, у, г)(1х<1у(12,
V
1уг= $х2б(х, у, г)<1хс1ус12,
и
= ®«/26(х, у, 2)&хду(12.
V
Пример 5. Вычислить моменты инерции однородного шара радиу-
сом и весом Р относительно его центра и диаметра.
4
Так как объем шара то его постоянная плотность
6 = ЗР/(4§л/?3). Поместим центр шара в начале координат, тогда его
поверхность будет определяться уравнением х2 4- у2 + г2 = Р2. Мо-
мент инерции относительно центра шара удобно вычислять в сфери-
ческих координатах:
/0 = 6 $(х2 4- У2 4- 22)<1хс1у<12 = б $ Г* 81П 0б/«/<рб/0 =
V V'
2л л
Г Г Г Р3 Р
= б \ \ 81п 0б/0 \ гАс!г = б • 2л 2 = 4------Р2.
з а а 5 ° ё
0 0 о
Так как вследствие однородности и симметрии шара его моменты
инерции относительно любого диаметра равны, вычислим момент инер-
ции относительно диаметра, лежащего, например, на оси Ох:
= Ь ®(*2 + у2)Лх<1у<12 —
V
= 6 Щ Г2 51П20г2 51П 0</г</ф</0 =
V"
2л л /?
— б б/ф 51П3 0б/0 Г*с1г =
0 0 0
л
о5 Г
= —62л \ (1 — СО52 0)</(СО5 0) =
О 1
о
п 5 / । \ । я 9 р
= —62л( СОЗ 0----------5- сов3 0 I = -=----/?2. 4
5 \ 3 /|о 5 §
АЗ-13.6
1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностя-
ми 2 = д/х2 + у2, 2 —г = х2 + у2. (Ответ: 4л/3.)
2. Вычислить массу тела, ограниченного плоскостями
х + у + 2=1> х = 0, у = 0, 2 = 0, если плотность тел;
6(х, у, г)= 1 /(х + у + 2 + I)4. (Ответ: 1/48.)
3. Вычислить объем тела, ограниченного цилиндрол
х = у2 и плоскостями х-|-2 = 1, г = 0. (Ответ: 8/15.)
4. Вычислить объем тела, ограниченного сферами
X2 + у2 + 22 = 1, х2 + у2 + 22 = 16 И конусом 22 = X2 -ф у2
(тела, лежащего внутри конуса). (Ответ:
V2
У
5. Найти координаты центра масс части однородного
шара радиусом Р с центром в начале координат, распо-
ложенной выше плоскости Оху. (Ответ: 6^0, 0,
6. Найти координаты центра масс однородного тела,
ограниченного плоскостями х + у-|-2 = а, х — 0, у — 0,
2
а, та,-а
7. Вычислить момент инерции относительно оси одно-
родного круглого прямого конуса весом Р, высотой Н и
радиусом основания Р. (Ответ: /?2.)
Самостоятельная работа
1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхно-
стями 2 = х2, Зх + 2у=12, у = 0, 2 = 0. (Ответ: 32.)
2. Вычислить момент инерции относительно плоскости
Оуг тела, ограниченного плоскостями х + 2у — г = 2,
х=0, у = 0, 2 = 0, если его плотность б(х, у, г) = х.
(Ответ: 4/15.)
3. Вычислить координаты центра масс однородного
тела, ограниченного поверхностями 2г = 4 — х2— у2, г =
= 0. (Ответ: (0, 0, 2/3).)
13.6. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 13
ИДЗ-13.1
1. Представить двойной интеграл ^/(х, у)<1х(1у в виде
о
повторного интеграла с внешним интегрированием по
х и внешним интегрированием по у, если область О задана
указанными линиями.
1.1. О: у = д/4 — х2, у =-у[Зх, х>0.
1.2. О: х2 = 2у, 5х —2у —6 = 0.
1.3. О: х = д/8 — у2, у^О, у = х.
1.4. О: х>0, у>0, у<1, у = 1пх.
1.5. О: х2 = 2 — у, х-(-у = 0.
1.6. О: у = х]2 — х2, у = х2.
1.7. О: у = х2 — 2, у = х.
1.8. О: х>0, у>1, у<3, у = х.
1.9. О: у2 = 2х, х2 = 2у, х 1.
1.10. О: х /Э 0, у^х, у = ~у/о — х2.
1.11. О: у2 = 2 — х, у = х.
1.12. О: х = ^2 — у2, х = у2, у^О.
1.13. О: у^О, х4*2у—12 = 0, У=\&х.
1.14. О: х^О, у > 1, у < 3, у = —х.
1.15. О: у = 0, у х, у = —-\/2 — х2.
1.16. О: у 0, х=-\/у, у =-^8 — х2.
1.17. О: у=—х, у2 = х + 3.
1.18. И: у =х/— х2, х^О, х=1, у = 0.
1.19. О: х= — 1, х= —2, у 0, у = х2.
1.20. О: у<0, х2=—у, х =-\/1 — у2.
1.21. В: у^О, у^ 1, у — х, х = —х^4 — у2 •
1.22. О: х «С 0, у = 1, у = 4, у = —х.
1.23. О: у = 3— х2, у=—х.
1.24. В: х = 0, х =—2, у 0, у — х2 + 4.
1.25. В: х = 0, у = 0, у=1, (х — З)2 + у2 = 1.
1.26. В: х = х/9 — у2, у — х, у^О.
1.27. В: х-\-2у— 6 = 0, у = х, у 0.
1.28. В: у=—х, Зх + у = 3, у = 3.
1.29. В: х^О, у = 1, у —— 1, у = 1о§|/2х.
1.30. В: х^О, у>0, у—1, х = д/4 — у2.
2. Вычислить двойной интеграл по области В, ограни-
ченной указанными линиями.
2.1. §(х2 у)с1хс1.у, В: у = х2, х — у2.
и
2.2. §ху2йхс1у, В: у = х2, у = 2х.
о
2.3. ЭД(х + у)с1хс1у, В: у2 = х, у = х.
о
2.4. §х2ус1хс1у, В: у = 2 — х, у — х, х^О.
о
2.5. ЭД(х3— 2у)с1хс1у, В: у = х2—1, х^О, у 0.
о
2.6. ЭД (у — х)д,хд,у, В: у = х, у = х2.
I)
2.7. ЭД(1 + у)с1хс1у, В: у2 — х, 5у = х.
о
2.8. ЭД(х + у)с1х(1у, В: у = х2—1, у = — х2 + 1.
о
2.9. ЭД х(у — 1 )с1х(1у; В: у = 5х, у = х, х = 3.
о
2.10. ЭД(х — 2)у<1хс1у; В: у — х, у — х, х = 2.
о 2
2.11. ЭД(х —• у2)У.х(1у, В: у==х2, у—1.
о
2.12. ЭДх2уб/хбО/, В: у = 2х3, у = 0, х=1.
о
2.13. ЭД(х2 + у2)с1хс1у, В: х = у2, х= 1.
о
2.14. ЭД ху(1х<1у. В: у = х3, у = 0, х^.2.
о
2.15. ЭД (х+ у)б/хЛ/, В: у = х3, у = 8, у = 0, х-=3.
о
2.16. У х(2х + у)с!хс1у, В: у=1—х2, у^О.
о
2.17. У у( 1—х)(1хс1у, О: у3 — х, у = х.
о
2.18. $ ху3с1хс1у, В: у2 = 1 — х, х > 0.
о
2.19. У х(у + 5)<1хс1у, В: у = х-\-5, х + у + 5 = 0, х^О.
О
2.20. У (х — у)с1х(1у, В: у = х2 — 1, у = 3.
о
2.21. У (х + 1)у2<±гУу, О: у = 3х2, у = 3.
п
2.22. У ху2с1хс1у, В: у = х, у = 0, х = 1.
о
2.23. У (х3 + у)с1хс1у, В: х у = 1,х + у = 2,х^1,х^0.
р
2.24. У ху3с1хс1у, В: у = х3, у^О, у = '1х.
о
2.25. У (х3 + Зу)с1хс!у, В: х + у = 1, у — х2 — 1, х 0.
1)
2.26. У хуйхйу, В; у=~у/~х, у = 0, х + у = 2.
о
2.27. {{^-,с!хс1у. В: у = х, ху = 1, у =2.
33
[)
2.28. У у(1 + х2)<1хд,у, В: у = х3, у — Зх.
о
2.29. У у2(1 + 2х)д.хд.у, В: х — 2 — у2, х — 0.
о
2.30. У еуд.х^у, В: у = 1пх, у = 0, х = 2.
о
3. Вычислить двойной интеграл, используя полярные
координаты.
3.1.
с'у.
о
3.2. йх
-Уз о
с1у
^71 + л2 + у2
з.з. [ах [ + ау.
1
3.4. \ (1х $ 1п(1 + .г2 + у2)(1у.
о о
2 Х*~у‘ .-------------
3.5. йу __________у 1 — х2 — у2 йх.
-2 -х/1-у‘
т/2 О
3.6. { (1х ( ХУ. с1у.
0_ 3
^2 -^2^Р
3.7. д.х $ со$у х2 -\- у2 йу.
-к о
к л/К’-х'2
3.8. $ (1х $ 1%(х2 + у2)(1у.
-к о
к -у1к‘-7‘
3'9- \<1х ^Д_соз(х2 + у2)<1у.
к о
3.17. ( ах ( - ------
Д лД2 + */2 51'П2У*2+/
2
О /? — х2
3.19. \ с1х ( ау ---------
Д о ^х‘ + У2 с[ёУх'+У2
3 о
з.2о. ( ах ( -„ху....--ау.
3 3___г л-У 2
-3 — у9 —х*
О О
3.21. $ ах ________со8(№ + у2)с!у.
— К
о -^я2-*2
3.22. $ ах 5 51п(х2 + у2)ау.
-н о
1 -^1—X2 -------------
3.23. 5 <^х 5 +х2 + у2ау.
- I о
з.24. $ ах 5 -\1 х2 + ау.
-2 О
3.25. \ах $ 1п(1 +х2 + у2)ау.
о о
-^2 ^2-*'
з.2б. ( ах \ <?-(л +у}ау.
2 _______
3.28. $ ах 5 со5х/х2 + у^ау.
о о
Я -\1к--хг
3.29. \ах __________51п(х2 + у2)ау.
3.30.
/? гт,-
Ьл- [
} _ ^+7
4. Вычислить площадь плоской области О, ограни-
ченной заданными линиями.
4.1. О: у2 = 4х, х + у = 3, у 0. (Ответ: 10/3.)
4.2. О: у = 6х2, х 4- у = 2, х 0. (Ответ: 5/8.)
4.3. О: у2 = х-\-2, х = 2. (Ответ: 32/3.)
4.4. О: х——2у2, х=1—Зу2, х^.0, у^О. (Ответ:
16/3.)
4.5. О: у = 8/(х~ + 4), х2 = 4у. (Ответ: 2л — 4/3.)
4.6. О: у = х2-\-\, х-\-у = 3. (Ответ: 9/2.)
4.7. О: у2 = 4х, х2 = 4у. (Ответ: 16/3.)
4.8. О: у = со&х, у^х-\-1, у 0. (Ответ: 3/2.)
4.9. О: х =х^4 — у2, у = х/3х, х 0. (Ответ: 2л —
-л/з/6.)
4.10. О: у = х2 -\-2, х — 2, у — х. (Ответ: 14/3.)
4.11. О: у = 4х2, 9у = х2, у + 2. (Ответ: 20-д/2/3.)
4.12. О: у = х2, у = —х. (Ответ: 1/6.)
4.13. О: х = у2, х = ^у2+1. (Ответ: 8/3.)
4.14. О: у^х/2—х2, у = х2. (Ответ: л/2+1/3.)
4.15. О: у = х2-(-4х, у = х-\-4. (Ответ: 125/6.)
4.16. О: 2у=-\[х, х-\-у = Ь, х 0. (Ответ: 28/3.)
4.17. О: у = 2х, у = 2х — х2, х = 2, х = 0. (Ответ:
_2_ -АЛ
1п 2 3 )
4.18. О: у == — 2х2 + 2, у + —6. (Ответ: 64/3.)
4.19. О: у2 = 4х, х = 8/(у2 -|- 4). (Ответ: 2л —4/3.)
4.20. О: у = 4 — х2, у = х2 — 2х. (Ответ: 9.)
4.21. О: х = у2 -)- 1, х + у = 3. (Ответ: 9/2.)
4.22. О: х2 = Зу, у2 = 3х. (Ответ: 3.)
4.23. О'. х = соьу, х г/ у -|- 1, х 0. (Ответ: 1/2.)
4.24. О: х = 4 — у2, х — у -|- 2 = 0. (Ответ: 125/6.)
4.25. О: х = у2, х = х^2 — у2. (Ответ: л/2+1/3.)
4.26. О'. ~ = 1, у х, у^0. (Ответ: л/4.)
4.27. О: у2 = 4 — х, у = х + 2, у — 2, у = —2. (Ответ:
56/3.)
4.28. О: у = х2, у = А х2 + 1 • (Ответ: 8/3.)
4.29. О: х — у2, у2 = 4— х. (Ответ: 16д/2/3.)
4.30. О: ху=\, х2 = у, у = 2, х = 0. (Ответ: 2/3 +
+1п 2.)
5. С помощью двойных интегралов вычислить в по-
лярных координатах площадь плоской фигуры, ограни-
ченной указанными линиями.
5.1. (х2 + у2)2 = а2(4х2 + у2).
5.2. (х2 + у2)3 = а2х:2у-.
5.3. (х2 + у2 у ~ а2х2(4х2 + Зу2).
5.4. (х2 + у2)2 = а2(3х2 + 2у2).
5.5. х4— у4 = (х2 + у2)3 5.6. р = а зш2 2<р.
5.7. р = а 81п2 <р. 5.8. р — а( 1 —г соз ср).
5.9. (х2 + у2)2 = а2(2х2 + Зу2).
5.10. (х2 + у2)2 — сг(5х'2 + Зу2).
5.11. (х2 + у2)2 = а2(7х2 + 5у2).
5.12. (х2 4- у2)2 = 2а2ху.
5.13. (х2 + у2)3 = 4х2у . 5.14. (х2 + у2)3 — а4у2.
5.15. (х2 + У) = а'х. 5.16. р = асоз2ср.
5.17. р2 = а2(1 + зш2 ю). 5.18. (х2 -ф у2)3 = а2х4.
5.19. (х2 + у2)2 = 4(3х2 + 4у2).
5.20. (х2 + у2)3 = а х2у2.
5.21. (х2 + у2 3 = а2(х* + у4).
5.22. (х2 + у2)3 = 2ау3.
5.23. (х2 + УТ = 4а2ху(х2 — у2).
5.24. р = а З1п 2<р.
5.25. р = а соз 5<р. 5.26. р.= Ч] +с05 ф)-
5.27. р = 2а(2 + соз <р). 5.28. р = а соз 3<р.
5.29. р = а соз 2<р. 5.30. р = а З1п 3<р.
6. Вычислить объем тела, ограниченного заданными
поверхностями.
6.1. г = х2+у2, х + у=1, х^О, у 0, г 0. (От-
вет: 1/6.)
6.2. г = 2 — (х2 + у2), х + 2у = 1, х 25 0, у 0, г 0.
(Ответ: 53/96.)
6.3. г = х2, х — 2у + 2 = 0, х + у — 7 = 0, г^0. (От-
вет: 32.)
6.4. 2 = 2х2 + Зу2, у = х2, у = х, г > 0. (Ответ: 29/140.)
6.5. г = 2х2у , у х, у = Зх, х = 2, г > 0. (Ответ:
152/3.)
6.6. г = х, у = 4, х = -у25 —у2, х > О, у > О, г^О.
(Ответ: 118/3.)
6.7. у==д/х, у = х, х + у+г = 2, х/0. (Ответ:
11/60.)
6.8. у = 1 — х2, х + у + г = 3, у О, 2^0. (Ответ:
104/30.)
6.9. 2 = 2х2 + у2, х + у = 4, х /з 0, у О, 2^0. (От-
вет: 64.)
6.10. 2 = 4 —х2, х2 + у2 = 4, х^О, у>0, 2/э 0. (От-
вет: Зп.)
6.11. 2х/-Зу — 12 = 0, 2.2 = у2, х>0, у 2? О, 2/г 0.
(Ответ: 16.)
6.12. 2 = 10 + х2 + 2у2, у = х, х=1, у/з 0, г/0.
(Ответ: 65/12.)
6.13. 2 = х2, х/-у = 6, у = 2х, х/з О, у/г О, 2/з О.
(Ответ: 4.)
6.14. 2 = Зх2 /- 2у2 + 1, у — х2— 1, у=1, 2^0. (От-
вет: 264-д/2/35.)
6.15. Зу =т/х, у X, X + у 4- 2 = 10, У=1, 2 = 0.
1 Ответ: 303/20.)
6.16. у2 = 1 — х, х Ц- у Ц- 2 = 1, х = 0, 2 = 0. (Ответ:
49/60.)
6.17. у = х2, х = у2, 2 = Зх + 2у + 6, 2 = 0. (Ответ:
11/4.)
6.18. х“ = 1 — у, х Ц- у Ц- 2 = 3, у О, 2^0. (Ответ:
52/15.)
6.19. х = у2, х=1, х + у + г = 4, 2 = 0. (Ответ:
68/15.)
6.20. 2 = 2х2 + у’, х у = 1, х /г 0, у /г 0, 2 /г 0. (От-
вет: 1/4.)
6.21. у = х2, у = 4, 2 = 2х + 5у + 10, 2/г 0. (Ответ:
704/3.)
6.22. у = 2х, х + у + 2 = 2, х 0, 2 /г 0. (Ответ: 4/9.)
6.23. у = 1 — г2, у = х,у= —х, у 0, 2/г О. (Ответ:
8/15.)
6.24. х2 + у2 = 4у, 22 = 4 — у, 2^0. (Ответ: 256/15.)
6.25. х2 + у2 = 1, 2 = 2 — х2 — у2, 2 0. ( Ответ: у л.)
6.26. у = х2, 2 = 0, у/-2 = 2. (Ответ: р~\/2^
6.27. г2 = 4 —х, х2 + у2 = 4х, г^О. (Ответ: 256/15.)
6.28. г = х2 + 2у2, у = х, х > 0, у=1, г > О. (Ответ:
7/12.)
6.29. г —у2, х + у = 1, х^О, г О. (Ответ: 1/12.)
6.30. у2 = х, х = 3, г = х, г 0. (Ответ: 36^3/5.)
Решение типового варианта
1. Представить двойной интеграл Ц(х, у)<1хс1у в виде
о
повторного интеграла с внешним интегрированием по х
и внешним интегрированием по у, если область О огра-
ничена линиями х—\[у, х=х^ 2 + у, х = 0, х = 2.
> Область О изображена на рис. 13.31 и ограничена
дугами парабол х2 = у + 2, х2 = у и прямыми х = 0, х = 2.
Следовательно,
2 х2
Ш у)с1хс1у = \<1х $ /(х, у}Лу =
О О х2 —2
0 у2 2 ~\/у + 2 4 2 _
= $ с1у $ /(х, У)с1х + \с1у /(х, + $/(х,у)4х.<
— 2 0 0 2 уу
2. Вычислить двойной интеграл $ (х — 2у)<1хс1у по об-
о
ласти О, ограниченной линиями х = 0, у = 7 — х, у =
— ~2 х “Н 1 •
> Область О изображена на рис. 13.32. Если выбрать
внутреннее интегрирование по у, а внешнее — по х, то
Рис. 13.32
двойной интеграл по этой области выразится одним по-
вторным интегралом:
4 7-х
ЭД (х — 2у) с!хд.у = \3х (х — 2у)(1у =
О О I
(ху — у2)
( с!х = ^7х — X2 — 49+ 14х — х2 —
Т х +1 о
3. Вычислить двойной интеграл
используя полярные координаты. Найти его численное
значение при /? = 1.
► Область интегрирования О представляет собой чет-
верть круга, расположенного во втором квадранте (рис.
13.33).
р и с. 13.33
Перейдем к полярным координатам х = рсоз<р, у —
= р 31П <р, х2 + у2 = р , где 0 + р + /?; л/2 + <р + л. Тогда
Л /?
/== |п(|р+Н1Рбйр =
\и = 1п(1 + р), <1и = Зр/(\ + р),
ро = (1р, V = р,
= р
(^111(1+р)
л/2\
= Х(«1п(1+й)-р
К К\
+ 1п( 1 + р) ) =
о о/
= А (/?1п(1 +/?)-/? + 1п(1 +/?)).
При А? = 1 получаем
/ = А(2 1п2— 1). 4
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
у = х2 — Зх и Зх -ф у — 4 = 0.
> Данная плоская фигура ограничена снизу парабо-
лой у = х2— Зх, сверху прямой Зх -ф у — 4 = 0 (рис.
13.34). Следовательно,
2 4 — За 2
5 = с!хс1у = <1х с1у = (4 — Зх — х2 -ф Зх)с1х =
О — 2 л--За — 2
=(4*-4) =?• ◄
\ 3 / - 2 3
5. С помощью двойного интеграла вычислить в поляр-
ных координатах площадь фигуры, ограниченной линией
(х2 + уу = 2ул.
► Уравнение линии в полярных координатах имеет
вид р = 2з1п3(р. Она изображена вместе с ограниченной
ею областью О на рис. 13.35. Полюс О лежит на границе
области О, и поэтому, согласно формуле (13.12) (случай
3; см. также пример 2 из § 13.2) имеем:
Л
= 2 81П6 фЙф =
О
у (1 — соз 2<р)3 г/ф —
о
у (1 — 3 соз 2ф + 3 соз2 2ф — соз3 2ф)б/ф =
о
т(л~45‘п2ф|0+4 V1+С05 4<р^ф ~
о
л
— \соз2ср(1—81п2 2<р)о!<р = л. ◄
о
6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностя-
ми г = д/Т— у, у — х, у — —х, 2 = 0.
Рис. 13.36
► Данное тело ограничено сверху параболическим
цилиндром 2 = д/1—у (рис. 13.36), поэтому
_______ 1 у _________
V = У -д/1 — у йхйу = 2 с1у \ у 1 — у йх ~
о 0 0
1 _______ . у 1 ______ ________________
= 2$д/1 — У* (Уу = 2$уд/1 — ус!у = |д/1 — у = /,
о о
у=\—(2, с1у =—21У.1, 1=1 при у = 0 и / = О
при у = 11 = 2$ (1 — /2)/( —21(11) = — 4$ (/2 — 1*)<И =
о 1
= -4^-^1° = Л. «
\3 5/| I 15
ИДЗ-13.2
1. Расставить пределы интегрирования в тройном ин-
теграле $/(х, У, г)(1х(1у(1г, если область V ограничена
г
указанными поверхностями. Начертить область интегри-
рования.
1.1. V: х =2, у = 4х, у = 3 \[х\ 2^0, 2 = 4.
1.2. V: х=1; у = Зх, у^О, 2^0, 2 = 2(х2 + у2).
1.3. V: х = 1, у = 4х, 2 ^0, 2= х/Зу.
1.4. V: х = 3, у = х, у^О, 2^0, 2 = 3х2~]-у2.
1.5. V: у = 2х, у = 2, 2^0, 2 = 2д/х.
1.6. V: х = 0, у = х, у = 5, 2^0, г = 2х2 + у2.
1.7. V: х^О, у = 2х, у=1, 2^0, х + у + г = 3.
1.8. V: х 0, у = Зх, у = 3, 2^0, х = 3д/г.
1.9. V: х — 5, у = х/Ъ, у^О, 2^0, 2 = х2 5у2.
1.10. V: х = 2, у = 4х, г^О, у = 2-у/х.
1.11. V: х = 3, у = ~ х, у^О, 2 > О, 2 = ~ (х2 + у2).
1.12. V: х = 4, у = х/4, 2^0, 2 = 4у2.
1.13. V: х^О, у = 3х, у = 3, 2^0, 2 = 2(х2 + у2).
1.14. V: х^О, у = 4х, у = 8, 2^0, 2 = 3х2 -4-у2.
1.15. V: х>0, у = Ъх, у = 10, 2 > 0, 2 = х2 + у2.
1.16. V: у=-х, у=—х, у = 2, 2^0, г = 3(х2 + у2).
1.17. Р: х = 1, у = 2х, у = 3х, 2^0, 2 = 2х2 у2.
1.18. V: у — х, у=—2х, у=1, 2^0 2 = х2-]-4у2.
1.19. V: х>0, у^0, 2^0, х-\-у=1, г = Зх2 + 2у2.
1.20. V: х 0, д/^0, 2^0, Зх-]-21/ = 6, 2 = х2-\-у2.
1.21. V: х^ 0, у 0, 2^ 0, х + у = 2, 2 = 4 — х2 — у2.
1.22. V: х 0, у 0, 2 0, х + у = 3, 2 = 9 — х2 — у2.
1.23. V: х>0, у^О, 2>О, Зх + 4у=12, 2 = 6 —
— х2 — у2.
1.24. V: х^О, 2^0, у = х, у = 3, г =18 — х2 — у2.
1.25. И: х = 2,
1.26. V: х + О,
1.27. V: х = 3,
1.28. V: х>0,
+ х2 + У2-
1.29. V: х + О,
— х2 — у-.
1.30. V: х + 0,
у + 0, 2^0, у = 3х, 2 = 4(х2 4- ц2).
у = 2х, у = 4, 2 +О, 2=10 — х — у2.
у + О, 2 + О, у - 2х, 2 - = 4д/у.
у + О, 2 + О, 2х + Зу = 6, 2 = 3 +
У + О, 2 + 0, х + у = 4, 2=16 —
у + О, г + О, 5х + у = 5, 2 = х2 + у2.
2. Вычислить данные тройные интегралы.
2.1. $ (2х2 + Зу + г^йхйуйг, И: 2 + х + 3, — 1 + у + 2,
V
0+<+4.
2.2. $ х2у2<+с/у+, V: —1 + х + 2, 0 + у + З, 2 +
V
++ 3.
2.3. $ (х + у + 422)+п/уо'2> V: — 1 < х + 1,0 + у + 2,
2.4. $ (х2 + у2 + 22)с1хс1ус1:г; V: 0 <: х 3, — 1 + у + 2,
0Сг+.
2.5. $х2у22й!ха!уа!2, V: — 1+х + З, 0 <С у + 2, —2 +
V
+ .г + 5.
2.6. $(х + у + г)<1хс1у<1г, И: 0<х + 1, — 1 у О,
|<г<2.
2.7. $ (2х — у2 — г)(1хд.у<12, V: 1 + х + 5, 0 + у 2,
V
— 1 < 2 + 0.
2.8. $ 2ху22б/хб/уг/г, V: 0 + х + 3, — 2 + у + О, I +
2.9. 5хуг2с1хс1ус12, V: — 1 + х + 0, 2 + у + 3, 1 +
V
+ 2 + 2.
2.10. $ (х2 + 2у2 — г^йхйуйг, И: 0 + х + 1, 0 + у + 3,
V
— 1 + 2 + 2.
2.11. $ (х + 2у2)+а/уг/2, V: —2 + х + О, 0 + у+ 1,
V
2.12. $(х-}- уг3'у1хУуУг, V: 0 х 'С 1, 0 у «С 2,
V
— 1 < г < 3.
2.13. Щ(хг/ -\-Зг)(1х(1у(12, V: —1^х^1, О 'СУ ’С 1 >
2.14. $ (ху — г2)УхУуУг, у;О^х^2, О^г/^1, — 1 С
<г<з/
2.15. $ (х3 + уг) УхУуУг, V. — 1 «С х «С 2, О С у С 1,
V
0<г«С 1.
2.16. $ (х3 + У2 — г) с1хс1ус!г, V. О С х С 2, — 1 'С У С О,
ОСгСГ
2.17. $ (2х2 + у — г3)Ухс1ус1г, V: О х 1, — 2 у С 1,
V
0<г< 1.
2.18. $ х3уг1с1хс1ус1г, V: О^х^2, 1'СУ 'С 2, —1 'С
V
<г<0.
2.19. $ (х + у — г)УхУус1г, V: О^х<4, 1 у < 3,
2.20. $ (х 4- 2у + Зг2) УхУуУг, V. -1^х<2,
2.21. $ (Зх2 + 2у + г) УхУуйг, V. О х 1, 0 у 1,
V
— 1 'С 2 'С 3.
2.22. $ (ху — г3) УхУуУг, у:0^х^1, —1^у^2,
V
0<2^3.
2.23. ^^угУхУуУг, V. — 1 ^х^2, 1 ^у^З, 1.
2.24. Щ ху2гУхУуд.г, V: —2^х^1, О у 2, 0^
<гсз.'
2.25. Щ хуг2(1хУус12, V: 0 х 2, — 1 'С У О, О С
2.26. Щ (х + у г) (1хс1ус1г, V: 0 х «4 1, — 1 у 4, О
<г<2/
2.27. $ (х + у2 — 22')йх(1ус1г, в: — 2 х^ О, 1 «4 у 2,
о<2<5‘:
2.28. $ (х + у 4- 22) УхУуУг, V. — 1 х О, О у ?4 1,
V
2^2<3.
2.29. $ (х + у2 — 2г) с1хйус1т, V. 1 «4 х «4 2, — 2 «4 У '=4 3,
V’
О<2< 1.
2.30. Щ (х ~ У ~~ г) с1хс1ус1г, щО^х^З, О С' у '=4 1,
V
— 2<2< 1.
3. Вычислить тройной интеграл с помощью цилиндри-
ческих или сферических координат.
3.1. Щ (х2 + у2 + г2)с1х(1ус1г, V. х2 4- у2 4- г2 = 4, х>0,
у 0, 2^0. (Ответ: 16л/5.)
3.2. $ уд/х2 4- у2 УхУуУг, V. 2 Дг О, 2 = 2, у ±х, г2 =
V
= 4(х24-у2). ( Ответ: д/2/10.)
3.3. $ г2Ухс1ус12, V. 1 «4 х2 4~ У2 С 36, у х, х О,
V
2^0. (Ответ: 1555л/12.)
3.4. $ ус1хс1у(1г, в: х2 4- у2 4- г2 — 32, у2 = х2 4- г2, у > 0.
и
(Ответ: 128 л.)
3.5. $ хУхс1уУ.2у V: х2 у2 г2 = 8, х2 = у2 4- г2, х 0.
V
(Ответ: 8л.)
3.6. $ уйхУуУг, в: 4 «С х2 4- у2 4- 22 «4 16, у д/Зх, у О,
2^0. (Ответ: 15л/2.)
3.7. ^уйхЛуУг, V. 2 = д/8 — х2 — у2, г = д/х2 4- у2,
V
у^О. (Ответ: 8(л/2 —1).)
3.8. Щ /^Ху^гг2 ’ V- х > О, 2 > О, У > д/Зх, 4 < х2 +
V
+ у2 + 22 36. ( Ответ: (2л + Зд/з) .)
3.9 ДИ , у: у >0, у^х/Зх, 2 = 3(х2 + у2),
Д' Д>2+</2)3
2=3. (Ответ: 3(4л — зД~3)/20.)
3.10. (И Му,1г , V. х2 + у2 + 22=16, 2/>0.
х& + у2 + гУ
(Ответ: 16л/3.)
3.11. (И хгахауУг , у: 2 = 2(х2 + у2), у > 0, уг^-Дх,
Д' х/х2 + у2 л/з
2=18. (Ответ: 81.)
3.12. хУ‘1хс{ус1?._, у: 2 = х2 + у2, у^О, У^х, 2 = 4.
Д] -4х2 + У2)3
(Ответ: 4/3.)
3.13. [И , у. х2 + у2 = 4у. у-(-2 = 4, 2 > 0.
'Р х/х2 + у2
(Ответ: 1472/45.)
3.14. $ У^У^г у.х2 + у2 = 2х, х + 2 = 2, у О,
2>0. (Ответ: 4/5.)
315 хахауаг^ ^ + у2= 1бу) у + г= 16> х>0,
2^0. (Ответ: 2048/5.)
3.16. $л/х? + у2(1х(1у(12, у: х2 + у2 = 2х, х + г = 2,
г^О. (Ответ: 128/45.)
3.17. ^хус1хс1ус12, у: 2 < х2 + у2 + г2 < 8, 22 = х2 + у2,
х^О, у^О, 2^0. (Ответ: 31(4дД—5)/15.)
3.18. Щ V- х2 + у2 = 2у, х2 + у2 = 4у, х>0,
V V*2+у
г 0, г = 6. (Ответ: 24.)
3.19. ^-\/х2 + У2 + ^2с1хс1у(1г, V. х2 4- у2 + г2 — 36, у
О, 2^0, у —х. (Ответ: 81л.)
3.20. Щ 4^^, V. х2 + у2 = 2х, х2 + у2 = 4х, г > О,
''' л/^+у2
2 = 4, у^О, у х. (Ответ: 10д/2.)
3.21. Щ V- 1 ^г+у2 + г2^, у^О,
^7+у2+?
у^-3-х, 2^0. (Ответ: 13л/8.)
х/З
3.22. $~\/х2 + у2 <Лхс1ус1г, V. х2 —2х4-у2 = 0, у > О,
2^0, х4-г = 2. (Ответ: 64/45.)
3.23. $х2с/хб?ус/г, V. 1 х2 у2 г2 16, у О,
у х, г^О. (Ответ: 341 (л 4-2)/20.)
3-24-Щ -^2 + У2 = 4у, у 4-2 = 4, 2>о.
.Ш -д/х2+У2
(Ответ: 64/3.)
3.25. (И - у^.у^ , в: 4 ^х24-у24-г2< 16, у С
У 7?Т? + г2
«4л/зх, у 0, 2^0. (Ответ: 7л/3.)
3.26. $ гд/х2 4- у2с/хс?ус?2, V. х2 4- у2 = 2х, у 0, 2 О,
V
2 = 3. (Ответ: 8.)
3.27. ((( V. 1 Сх2 + У-’ + 22С4, х > О,
’з' д/х2 + № + г!
у^х, у /э0, 2^0. (Ответ: 7д/2л/24.)
3.28. $ хс1х:1у:1г, V. х2 = 2(у2 + 22), х = 4, х 0.
(Ответ: 32л.)
3.29. (КV: 1 Сх-’ + у2 + 2-’С9, у < х,
- \С' + у2 + г2
у^О, г 0. (Ответ: 13д/2л/2.)
3.30. ]]] хйхйуйг, V. г — д/18 — х2 — у2, 2 = д/х2 + у2,
V
х^О. (Ответ: «1(^-1).)
4. С помощью тройного интеграла вычислить объем те-
ла, ограниченного указанными поверхностями. Сделать
чертеж.
4.1. 22 = 4 — х, х2 + у2 = 4х. (Ответ: 512/15.)
4.2. 2 = 4— у2, х2 4-у2 = 4, 2^0. (Ответ: 12л.)
4.3. х2-|-у2=1, 2 = 2— х — у, 2^0. (Ответ: 2л.)
4.4. г = у2, х 0, г 0, х у = 2. (Ответ: 4/3.)
4.5. у>0, г^0, 2 = х, х =-\/9 — у2, х = д/25 — у2.
(Ответ: 98/3.)
4.6. х2 + у2 = 4, г = 4 — х—у, 2^0. (Ответ: 16л.)
4.7. 2^0, 2 = х2, х — 2у 2 = 0, х-(-у = 7. (От-
вет: 32.)
4.8. х^О, 2^0, 2 = у, х = 4, у = д/25 — х2. (Ответ:
118/3.)
4.9. 2^0, 2 = 4 — х, х = 2л/у, у = 277. (Ответ:
176/15.)
4.10. у^О, 2^0, 2х — у = 0, х + у = 9, 2 = х2. (От-
вет: 1053/2.)
4.11. у > О, 2^0, х = 4, у = 2х, 2 = х2. (Ответ: 128.)
4.12. х 0, 2^0, у = 2х, у = 3, 2=-\1у. (Ответ:
эУз/5.)
4.13. у>0, 2^0, х=3, у = 2х, 2 = у2. (Ответ: 54.)
4.14. 2^0, у2 = 2 — х, 2 = Зх. ( Ответ: 32х/2/5.)
4.15. 2^0, у =7э~^2, 2 = 2у. (Ответ: 36.)
4.16. х^ 0, у^О, 2^0, х + у = 2, г = х2 + у2.
(Ответ: 8/3.)
4.17. 2 > О, х2 + у2 = 9, 2 = 5 — х — у (Ответ: 45л.)
4.18. 2^0, г = х, х = ^4—у2. (Ответ: 16/3.)
4.19. у 0, 2^0, х + у = 2, 2 — х2. (Ответ: 4/3.)
4.20. у 0, 2^0, у = 4, 2 — х, х = '/25—у2. (Ответ:
118/3.)
4.21. 2^0, х2 + у2 = 9, 2 = у2. (Ответ: 81/8л.)
4.22. х0, 2^0, у^х, 2=1—х2 — у2. (Ответ:
л/16.)
4.23. 2 0, х2-фу2 = 4, 2 = х2 4-у2. (Ответ: 8л.)
4.24. 2^0, у — 2, у = х, 2 — х2. (Ответ: 4/3.)
4.25. 2^0, у 4- 2 = 2, х2 + у2 = 4. (Ответ: 8л.)
4.26. у ф; 0, 2 > 0, х — у = 0, 2х-±у = 2, 4г = у2.
(Ответ: 1/162.)
4.27. х^О, у > О, 2^0, 2х + у = 2, 2 = у2. (Ответ:
2/3.)
4.28. 2^0, х = у2, х = 2у2+1, 2 = 1 — у2. (Ответ:
8/5.)
4.29. х>0, у>0, 2^0, у — 3 — х, 2 = 9 — х2. (От-
вет: 135/4.)
4.30. х 0, 2 0, х + у = 4, 2 = 4~\[у. (Ответ: 512/15.)
Решение типового варианта
1. Расставить пределы интегрирования в тройном ин-
теграле Щ Дх, у, г^йхйусРг, если область V ограничена по-
г
верхностями х — 1, у = х, 2 = 0, 2 = у2. Начертить область
интегрирования.
► Согласно формуле (13.23), имеем:
I X у‘
Ж Кх> У> 2) Ухйуйг = \ Ух \ Уу\ Дх, у, г)(12.
V 000
Область интегрирования изображена на рис. 13.37. 4
2. Вычислить Щ(Зх 4- 2у — 2А)с1х<1ус12, если V: 0 х 1,
г
б У ^2, 1 «4 2 С 3.
► Для данной области V (рис. 13.38) на основании
формулы (13.24) получаем
I 2 3
(Зх 4- 2у — 23)<1х(1у<12 —\<2х\с1у\ (Зх -ф 2у — г3)Й2 =
V 0 0 1
12 з 1 2
с!х 3x2 + 2уг —| с!у = с/х (6х + 4у — 20)с1у —
0 0 0 0
I 1
— 5 (6ху-{-2у2— 20у)|уб/х= (12х — 32)с/х ==
о о
— (6х2 — 32х) | о = — 26. -<
Рис. 13.37
3. Вычислить тройной интеграл $ по °б-
V
ласти, расположенной в первом октанте и ограниченной
ПЛОСКОСТЯМИ Х = 0, (/ = 0, 2 = /1И конусом 22 = Д- (х2 + у2),
/?
с помощью цилиндрических координат.
> На рис. 13.39 изображена область интегрирования
V и ее проекция О на плоскость Оху.
Перейдя к цилиндрическим координатам р, ср, 2 по
формулам (13.26), в которых для данной области
0 < 2 < /г, 0<<р< л/2, 0 С Р С К, получим:
г2 =/г2р2//?2, 2 =/гр//?,
р2 соз <рг(/(р(/рб/г
И V
р2 - /?2
л/2 /? /г
= сов <рг/<р^ 2 р г/р 2г/2 =
о о Лр/я
л/2 '' 2 г
е в
л/2 я .
О о
л /2 У?
I 2 г г ^2 | л/2 3 . У?
----------*— \ соз фо?ге\ р2о?р = ----- 51П ф • В-
2Л2 ] ] 2«2 Ъ 3 I о
о о
= -4^2- ◄
Рис. 13.39 Рис. 13.40
4. С помощью тройного интеграла вычислить объем
тела, ограниченного указанными поверхностями: х — 0,
у = 0, 2 = 0, х + у — 2, 2г = х2 у2.
► Уравнение 2г = х2 + у2 определяет параболоид
вращения, остальные поверхности — плоскости. Искомое
тело изображено на рис. 13.40. Его объем о вычисляем
в соответствии с формулами (13.21) и (13.23):
2 2-х (х2 + ^)/2
V = $ (1х(1у(12 = \ с1х \ (1у 42 —
V 000
2 2 — х 2 2— у
( С + 1 г С , о
= К) 2|о аУ = ~2\ах \ (•* +у ^У =
0 0 0 0
2 з 2-х 2
=т5(^+Я1о ^=4-Пх2(2~х)+
о о
2
+ 4" (2 ~х)3)=4 $ (2*2 ~ *3+т (2 ~ *)3)ах=
о
ИД313.3
1. Вычислить массу неоднородной пластины О, ограни-
ченной заданными линиями, если поверхностная плотность
в каждой ее точке р = р(х, у).
1.1. О: у2 = х, х — 3, р = х. (Ответ: 36д/з/5.)
1.2. О: х = 0, у = 0, х 4- у = 1, р — х2. (Ответ: 1/12.)
1.3. О: х = 0, у = 0, 2х 4- Зу = 6, р = у2/2. (Ответ: 1.)
1.4. О: х2 у2 = 4х, р = 4 — х. (Ответ: 8л.)
1.5. О: х = 0, у = 1, у = х, р = х2 4- 2у2. (Ответ: 7/12.)
1.6. О: х2 4- у = 1, р = 2 — х — у. (Ответ: 2л.)
1.7. О: х2 4~ у2 = 4у, р = "\/4 — у. (Ответ: 256/15.)
1.8. О: у = х, у=—х, у=\, р =’\/Т‘_ У- (Ответ:
8/15.)
1.9. О: х = 0, у — 2х, х 4- у = 2, р = 2 — х — у. (Ответ:
4/9.)
1.10. О: х = 1, х = у, р = 4— х — у. (Ответ: 68/15.)
1.11. О: у = О, х2=1—у, р = 3 — х — у. (Ответ:
14/5.)
1.12. О: у = х2, х = у2, р = Зх 4~ 2у 4~ 6. (Ответ: 11/4.)
1.13. О: у = х2, у = 4, р = 2x4- 5у 4* Ю. (Ответ: 752/3.)
1.14. О: х = 0, у = 0, х4-у=1, р = 2х2 4~ У2- (От-
вет: 1/4.)
1.15. О: х = 0, у2 = 1 — х, р = 2 —х —у. (Ответ:
32/15.)
1.16. О: у = х/х, у = х, р = 2 — х — у. (Ответ: 51 /60.)
1.17. О: у = х2 — 1, у = 1, р = Зх2 4- 2у2 4- 1. (От-
вет: 26472/35.)
1.18. О: х= 1, у = 0, у = х, р = х2 4-2у2 4-10. (От-
вет: 65/12.)
1.19. О: у = 0, у = 2х, х 4- у = 6, р = х2. (Ответ: 104.)
1.20. О: х>0, у^0, х24-у2 = 4, р = 4 —х2. (От-
вет: Зл.)
1.21. О: у = х2, у = 2, р = 2 — у. (Ответ: 32х^2/\3.)
1.22. О: х = 0, у = 0, х4-у=1, р = х2 4-у2. (Ответ:
1/6-)
1.23. О: у = х24-1, х4-у = 3, р = 4х 4- 5у 4- 2. (От-
вет: 351/6.)
1.24. О: у = х2 — 1, х4-у=1, р = 2х 4-5у 4~ 8. (От-
вет: 45.)
1.25. О: х = 0, у = 0, у = 4, х=д/25 — у2, у,— х.
(Ответ: 118/3.)
1.26. О: х = 2, у = х, у = 3х, у, = 2х2 4-у2. (Ответ:
152/3.)
1.27. Д: у = х, у = х2, р. = 2х-(-Зу. (Ответ: 11/30.)
1.28. Д: х = 0, х 2у 4- 2 = 0, х 4* у = 1, у — х .
(Ответ: 32/3.)
1.29. О.-х = 0, у = 0, х + 2у=1, = 2 - (х2 + у2).
(Ответ: 43/96.)
1.30. О: х = 0, у = 0, х 4*у = 2, у = х24-у2- (Ответ:
8/3.)
2. Вычислить статический момент однородной пластины
О, ограниченной данными линиями, относительно указан-
ной оси, использовав полярные координаты.
2.1. О: х2 4- у2 — 2ау = 0, х — у 4 0, Ох.
2.2. Д: х2 4- у2 — 2ах = 0, х 4* У 4 0, Оу.
2.3. О: х2 4- у2 4- 2ау = 0, х — у^0, Ох.
2.4. О: х2 4- у2 4* 2ах = 0, х 4- у 0, Ох.
2.5. О: х2 4- у2 4- 2ах 4 0, х2 4- у2 4- 2ау 4 0, х 4 0, Ох.
2.6. О: х2 4- у2 — 2ау 4 0, х2 4- у2 4- 2ах 4 0, у 4 0, Оу.
2.7. Д: х2 4- у2 — 2ау 4 0, х2 4- у2 — 2ах 0, х хг 0, Ох.
2.8. О: х2 4- у2 — 2ах 4 0, х2 4- у2 4- 2ау 4 0, у 4- 0, Оу.
2.9. О: х2 4- у2 — 2ах 4 0, х2 4- у2 4* 2ау 4 0, х 0, Ох.
2.10. О: х2 4-у2 4-2шс 4 0, х2 4-у2 4- 2ау 4 0, у 4 0, Оу.
2.11. Д: х2 у2 — 2ау 4 0, х2 4-у2 4* 2ах 4 0, х 4 0, Ох.
2.12. Д: х2 4- у2 — 2ау 2^ 0, х2 4- у2 — 2ах 4 0, у 4 0, Оу.
2.13. О: х24-у2 4- 2ау = 0, х2 4* у2 4- ау = 0, х 4 0, Ох.
2.14. О: х2-(-у2— 2ах = 0, х2-[-у2— ах = 0, у 4 0, Оу.
2.15. Д: х2 4- у2 4* 2ау = 0, х2 4-у2 4- ау = 0, х 0, Ох.
2.16. Д: х2-(-у2 — 2ау = 0, х2-|-у2— ау = 0, х 2^ 0, Ох.
2.17. Д: х24-у2 — 2ау = 0, х2-(-у2 — ау = 0, х 4 0, Ох.
2.18. Д: х2 4- у2 4* 2ах = 0, х2 4- у2 4* ах = 0, у 4 0, Оу.
2.19. Д: х2-(-у2 — 2ах = 0, х2-\-у2— ах = 0, у 4 0, Ох.
2.20. Д: х2 4- у2 4- 2ах — 0, х2 4- у2 4- ах = 0, у 4 0, Оу.
2.21. Д: х2 у2 4-2ау — 0, х-^-У^О, х 0, Ох.
2.22. Д: х2 4- у2 — 2ау — 0, у — х > 0, х 0, Ох.
2.23. Д: х2 4- у2 4- 2ах = 0, у — х 0, у 4 0, Оу.
2.24. Д: х2 4- у2 — 2ау = 0, х 4- у 0, х 4 0, Ох.
2.25. Д: х2 4- у2 4* 2ах = 0, х 4- у 4 0, у 0, Оу.
2.26. Д: х2 4- у2 — 2ах = 0, у — х 4 0, у 0, Ох.
2.27. Д: х2 4- у2 — 2ах — 0, у — х 4 0> х+у^0, Оу.
2.28. Д: х2 4- у2 — 2ау = 0, у — х^0, х + у^О, Ох.
2.29. О: х2 4- у2 4- 2ах = 0, х 4- у •<' 0, у — х > 0, Оу.
2.30. О: х2 4- у2 4- 2ау — 0, у — х^0, х 4~ у 0, Ох.
3. Вычислить координаты центра масс однородного
тела, занимающего область V, ограниченную указанными
поверхностями.
3.1. V: х = 6(у2 + г2), у2 4~ г2 = 3, х = 0. (Ответ:
(6, 0, 0).)
3.2. V; у = Зд/х2 4~г2, х2 4~ г2 = 36, у = 0. (Ответ: (0,
27/4, 0).)
3.3. V: х = 7(у2 4~ г2), х = 28. (Ответ: (56/3, 0, 0).)
3.4. V: г = 2д/х24-у2, г = 8. (Ответ: (0, 0, 6).)
3.5. V: г = 5(х2 4- у2), х2 4- у2 = 2, г = 0. (Ответ: (0, 0,
Ю/З).)
3.6. V: х = 6д/у2 4-г2, у2 4- г2 = 9, х = 0. (Ответ: (27/4,
0, 0).)
3.7. V: г = 8(х24-у2), г = 32. (Ответ: (0, 0, 64/3).)
3.8. V: у = Зд/х24-г2, у = 9. (Ответ: (0, 27/4, 0).)
3.9. V: 9у = х24-г2, х2 4~ г2 = 4, у = 0. (Ответ: (0,
4/27, 0).)
3.10. V'. Зг=х/^+у2, х24-у2 = 4, г = 0. (Ответ: (0,
0, 1/4).)
3.11. V: х2 4- г2 = бу, у = 8. (Ответ: (0, 16/3,0).)
3.12. V: 8х=^/у2 + г2, х=1/2. (Ответ: (3/8, 0, 0.)
3.13. V: 2х = у24-г2, у2 4-г2 = 4, х = 0. (Ответ: (2/3,
0,0).)
3.14. V: 4у =д/х24-г2, х24-г2=16, у = 0. (Ответ:
(0,3/8, 0).)
3.15. V: у2 4-г2 = 8х, х = 2. (Ответ: (4/3, 0,0).)
3.16. V: г = 9д/х2 4- у2, г = 36. (Ответ: (0, 0, 27).)
3.17. V: г3(х2 4-у2), х2 4~ у2 = 9, г = 0. (Ответ:
(0,0,9).)
3.18. V: х = 2д/у2 4- г2, у2 4- г2 = 4, х = 0. (Ответ:
(3/2, 0,0).)
3.19. V: х24-г2 = 4у, у = 9. (Ответ: (0, 6, 0).)
3.20. V: х = 5д/у2 4- г2, х = 20. (Ответ: (15, 0, 0).)
3.21. V: у = х24-г2, х24-г2=10, у = 0. (Ответ: (0,
Ю/З, 0).)
3.22. V: у = 3-\/х2 4* г2, х2 = г2 = 16, у = 0. (Ответ:
(0,9/2, 0).)
3.23. V: у2 + 2" = Зх, х = 9. (Ответ: (6, 0, 0).)
3.24. V: у = д/х2 4- г2, у = 4. (Ответ: (0, 3, 0).)
3.25. V: х = у24~г2, у2 + г2 = 9, х = 0.
(Ответ: (3, 0, 0).)
3.26. V: х = 0, у = 0, г = 0, х + У + г = 3. (Ответ:
(3/4, 3/4, 3/4).)
3.27. V: г = 2д/х2 4- у2, х2 4-у2 = 9, г = 0. (Ответ:
(О, 0, 9/4).)
3.28. V: х2 у = 2г, г = 3. (Ответ: (О, 0, 2).)
3.29. V: г = д/х2 4~ у2, г = 4. (Ответ: (О, О, 3).)
3.30. V: г = х2 + у2> х2 4- у2 = 4, г = 0. (Ответ: (О, О,
4/3).)
4. Вычислить момент инерции относительно указанной
оси координат однородного тела, занимающего область И,
ограниченную данными поверхностями. Плотность тела Ь
принять равной 1.
4.1. V: у2 = х2-(-г2, у = 4, Оу. (Ответ: 512л/5.
4.2. V: х - = у2 4~ г2, х = 2, Ох. (Ответ: 4л/3.)
4.3. V: у'2 = х24*г2, у = 2, Оу. (Ответ: 16л/5.)
4.4. V: X - = у2 4- г2, х = 9, Ох. (Ответ: 243л/2.
4.5. V: х2 = у2 4* г2, х = 2, Ох. (Ответ: 16л/5.)
4.6. V: У = = х24~г2, у = 2, Оу. (Ответ: 4л/3.)
4.7. V: х2 = у2 4~ г2, х = 3, Ох. (Ответ: 243л/10
4.8. V: X = = у2 4* г2, х = 3, Ох. (Ответ: 9л/2.)
4.9. V-. у-- = 2~\/х2 4~ г2, у = 2, Оу. (Ответ: л/5.)
4.10. V: у = х2 + г2, у = 3, Оу. (Ответ: 9л/2.)
4.11. V: х2 = у24~г2, у2 4~ г2 = 1, х = 0, Ох. (Ответ:
2л/5.)
4.12. V: х — у2-(-г2, у2-(-г2--1, х = 0, Ох. (Ответ:
л/3.)
4.13. V: г2 = х2 4- у2, г = 3, Ог. (Ответ: 243л/10.)
4.14. V: г = х24~у2, г = 3, Ог. (Ответ: 9л/2.)
4.15. V: у2 = х2 + г2, х2 + г2 = 4, у = 0, Оу. (Ответ:
64л/5.)
4.16. V: 2у = х24-22, у = 2, Оу. (Ответ: 16л/3.)
4.17. И: х2 = у24~г2, х = 2, Ох. (Ответ: 16л/5.)
4.18. V: 2г = х2 + у2> 2 = 2, Ог. (Ответ: 16л/3.)
4.19. V: х2 = у2 4- г2, у2 4- г2 = 4, х = 0, Ох. (Ответ:
64л/5.)
4.20. V: 2г = х2-\-у2, х2 4- у2 = 4, г = 0, Ог. (Ответ:
32 л/3.)
4.21. V: г = 2(х2у2), г = 2, Ог. (Ответ: л/3.)
4.22. V: х=1—у2 — г1, х = 0, Ох. (Ответ: л/6.)
4.23. V: у — 4 — х2 — г2, у = 0, Оу. (Ответ: 32л/3.)
4.24. V: х = 3(у2г2), х = 3, Ох. (Ответ: л/2.)
4.25. V: г —9— х2 — у2, г = 0, Ог. (Ответ: 243л/2.)
4.26. V: г — 4'/х2 4- у2, 2 = 2, Ог (Ответ: л/80.)
4.27. V: г = 3(х2у2), 2 = 3, Ог. (Ответ: л/2.)
4.28. V: х = 2д/у2 4- 22, х = 2, Ох. (Ответ: л/5.)
4.29. V: у = 3(х2 4- г2), у = 3, Оу. (Ответ: л/2.)
4.30. V: 2 = 3— х2— у2, г = 0, Ог. (Ответ: 9л/2.)
Решение типового варианта
1. Вычислить массу ш неоднородной пластины О, огра-
ниченной линиями у = 2х — х2, у = х, если поверхностная
плотность в каждой ее точке ц = х2 4- 2.ху.
► Для вычисления массы ш плоской пластины за-
данной поверхностной плотностью р воспользуемся фи-
зическим смыслом двойного интеграла (см. § 13.1, свойст-
во 2) и формулой т = Ц (х2 4- 2ху) с1хс1у, где область
о
интегрирования О изображена на рис. 13.41. Это позволит
легко представить записанный двойной интеграл в виде
повторного:
1 2л-А-' I 2л‘ —А"’
т = \ <1х (х2 4- 2ху) <1у = $ (х2у 4- ху2)1 <1х =
Ох 0 । *
I
= (2х3 — х4 — х3 4- 4х3 — 4х4 4- х5 — х3) с/х =
о
= (х5 — 5х4 4-4х3)с/х =^-Д- —х54~х4^| =
о
2. Вычислить статический момент относительно оси Оу
однородной пластины О, ограниченной линиями х2 4- у2 —
— 2ах = 0, х24-у2 —ах = 0, у — х = 0, у 4~х = 0 (рис.
13.42), использовав полярные координаты. Поверхност-
ная плотность пластины ц = 2.
у! Ч>^/
р-асоз'^
О
Рис. 13.42
► Статический момент относительно оси Оу данной
пластины определяется по формуле (13.17). В полярной
системе координат область О преобразуется в область О'\
а соз ф р 2а соз ф, —л/4 ф л/4. Тогда
л/4 2а соз <р
Му = $ 2р соз ф • рйрсйр = 2 5 соз фсйр $ р2с?р =
О' — л/4 а соз ср
л/4
= 2 соз ф •
— л/4
з ,2а соз ф з
-у с?ф = 2--|-
б> 1 а соз <р о
л/4
соз4 фО?ф =
— л/4
л/4
= ^8аз (1+со8 2<р)2
3 ] 4 т
о
л/4
= а3 I (1+2 соз 2ф + соз2 2ф) <1<р = /(ф +
^3 з \
о
+ 31П
=+(++)• <
3. Вычислить координаты центра масс однородного
тела, занимающего область V, ограниченную поверх-
ностями у = -^-д/х2 + г2, у = 2.
> Данное тело симметрично относительно оси Оу
(рис. 13.43), поэтому хс = гс=0, а
Ус = ® уЗхйуУг/ 8$ с1хйус1г.
V V
Рис. 13.43
Переходим к цилиндрическим координатам по форму-
лам, аналогичным формулам (13.26): х — р соз <р, 2 —
— р зш ф, у = у. Тогда
2л 4 2
$ уд.хд.уйг = $ урс1рс1<рс1у = $ с1<р $ рг/р $ уд.у =
Г V 0 0 р/2
2л 4 2л 4
=4 5 5 р(4 - 4р2)ф=4 К2р2 ~ 4)|0^=
0 0 о
= 4- • 1 б(р |2л = 16л,
2 I о
2л 4 2
$ йхйуйг = $ рскрб/рб/у = $ с1ц> $ рг/р $ с1у =
V V’ 0 0 р/2
2л 4 2л
= р(2 — 4р)^Р= 5 (р““ 4г р3)|об/<р =
0 0 о
Следовательно,
__ 16п • 3 3
32л 2
и центр масс С(0, 3/2, 0). ◄
4. Вычислить момент инерции относительно оси Оу
однородного тела (плотность б = сопз1), занимающего
область V, ограниченную поверхностью у = 5 — х2 — г2
и плоскостью у = 1.
> Согласно формулам (13.18), искомый момент
инерции
/у = $ б(х, у, г) (л-2 4- а2) с1хс1ус1г =
г
= 6 $ (х2 г2) д.хд.ус1г.
г
(Область V изображена на рис. 13.44.)
Р и с. 13.44
Переходим к цилиндрическим координатам по форму-
лам х = р соз <р, г = р 51П ф, у = у. Тогда
2л 2 5-(Г
1у = б $ р2рйрс!фс/у = б 5 с!ф р3с/р с! у =
Г О (I I
2 л 2
О о
у\
2л 2
р'^р = б $ с1у $ р2(5 —р2— 1)о?р =
О о
Ч(р‘-т)|>'-Ч2,-т)И=т^ <
о о
13.7. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 13
1. Доказать равенства:
$ х2<1хс1у = $ у2с1хс1у = у $
!> О О
если область О определяется
х2 4- у2 < а2.
2. Использовав полярные
неравенствами х > 0, у > О,
координаты, вычислить
Ц х/ а2 —~х2 — у'с1х(1у,
о
где область О — лепесток лемнискаты (х2 -ф у2)2 = а2(х2 —
-у2), х>0. (Ответ: - 16^~2-0)^.)
3. Построить область, площадь которой выражается
интегралом
л/2 а( 1 соя с[)
5 рг/р.
— л/2 а
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией
/2 2 \ 2 2 2
-ф (Ответ: 6.)
\ 4 г 2 ) 4 9 ' ’
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
(х2-фу2 — ах)2==а2(х2-фу2) и х2 -ф у2 = аух[з. (Ответ:
За2х/з/2.)
6. В каком отношении гиперболоид х2 -ф у2 — г2 = сг
делит объем шара х2 -ф у2 -ф г2 За2? ( Ответ: Зх/з—
-2/2.)
7. Доказать, что объем тела, ограниченного поверх-
ностями г = 0и г = е~х!~у!, равен л.
8. Вычислить координаты центра масс однородной
пластины, ограниченной кардиоидой р = а(1 -ф соз <р).
(Ответ: а, 0^
9. Вычислить момент инерции относительно оси Ох
однородной пластины, ограниченной кривой х4 -ф у4 =
= х2-фу2. (Ответ: Зл/(2д/2).)
10. Вычислить
2 -у/2х — х2 а
\ ах $ ау\ гх/х2у2аг,
ООО
преобразовав его предварительно к цилиндрическим коор-
динатам. (Ответ: 8а2/9.)
11. Вычислить
к у/е-х* д?2-*2
$ </х $ </у $
0
(х2 + у2) с1г,
преобразовав его предварительно к сферическим коорди-
натам. (Ответ: 4л/?5/15.)
12. Вычислить массу тела, ограниченного прямым
круглым цилиндром радиусом /? и высотой Н, если его
плотность в любой точке численно равна квадрату рас-
стояния от этой точки до центра основания цилиндра.
(Ответ: -^-(3/?2 + 2Д2).)
13. Вычислить координаты центра масс однородного
тела, ограниченного поверхностями у — х[х, у = 2д/х,
г = 0 и х + г = 6. (Ответ: (14/15, 26/15, 8/3).)
14. Вычислить координаты центра масс однородного
тела, ограниченного поверхностями х2 у2 = г и х + У +
+ г = 0. (Ответ: (-1/2, -1/2, 5/6).)
15. Найти момент инерции относительно начала коор-
динат однородного тела, ограниченного конусом г2 =
= х2 — у2 и сферой х2 + У2 + г2 — К2 (Ответ: 2л(2 —
-72)/?5/5.)
16. Найти момент инерции относительно диаметра
основания круглого конуса, высота которого Н, радиус
основания /? и плотность у = соп5(. (Ответ: луН^2(2Н2 +
+ 3/?2)/60.)
17. Показать, что сила притяжения, действующая со
стороны однородного шара на внешнюю материальную
точку, не изменится, если всю массу шара сосредоточить
в его центре.
18. Дано однородное тело, ограниченное двумя кон-
центрическими сферами. Доказать, что сила притяжения
данным сферическим слоем точки, находящейся во вну-
тренней полости тела, равна нулю.
19. Вычислить массу полушара радиусом /?, если плот-
ность распределения массы в каждой его точке пропор-
циональна (к — коэффициент пропорциональности) рас-
стоянию от нее до некоторой точки О на границе основа-
ния полушара. (Ответ: 4&л/?4/5.)
20. Вычислить объем V общей части шара радиусом
и кругового цилиндра радиусом /?/2 при условии, что
центр шара лежит на поверхности цилиндра. (Ответ:
4Д1-Д)
21. Вычислить площадь части сферической поверхности
радиусом /?, которая высекается круговой цилиндриче-
ской поверхностью радиусом /?/2 при условии, что центр
сферы лежи' на цилиндрической поверхности. (Ответ:
2/?2(л-2).)
14. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
14.1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ
Криволинейные интегралы первого рода (по длине дуги). Пусть
в пространстве В3 задана гладкая дуга Ьлв кривой А, во всех точках
которой определена непрерывная функция и = [(х, у, г). Дугу ЬАв про-
извольным образом разобьем на п
частей /, длиной Д/, (/ = 1, п). В каж-
дой элементарной части I, выберем
произвольную точку Л4,(Х;, У), 2;)
(рис. 14.1) и составим интегральную
сумму
п
/„=2 /(%,, у;, 2,) М„
1= 1
Тогда предел Пт 1п всегда суще*
д/,->0
ствует, называется криволинейным
интегралом первого рода или кри-
волинейным интегралом по длине
дуги ЬДВ от функции /(х, у, г) и обо-
значается $ /(х, у, г) сП.
Ьав
Таким образом, по определению
п
5 /(х, у, г)(11= Нт 5 /(х;, у,, г,)Д/,-.
Если кривая Ь лежит в плоскости Оху и вдоль этой кривой задана
непрерывная функция /(х, у), то
5 )(х, у)(11 = Нт 2 )(х,, у,) Д/;. (14.1)
ВАВ та х ЛГ--0 1 = I
В случае, когда гладкая кривая Ь задана в пространстве К3 па-
раметрическими уравнениями х = х(1), у — у(1\ 2 = 2(1) и параметр I
изменяется монотонно на отрезке |а; р] (а < Р) при перемещении по
кривой Ь из точки А в точку В, верна формула для вычисления
криволинейного интеграла
₽ ___________________________________
5 )(х, у, г) (11 = \((х(1), у(1), 2(1)) У(х'(/))2+(у'(0)2+^«Л. (14.2)
1-ЛВ О-
В случае плоской кривой формула (14.2) упрощается.
Р ______
5 /(л-, у) сП = 5(О))2<^-
С .ПЗ а
(14.3)
Если уравнение плоской кривой р = р(<р) задано в полярных ко-
ординатах р, ф, функция р(<₽) и ее производная р' = </р/</ф непрерывны,
то имеет место частный случай формулы (14.3), где в качестве пара-
метра I взят полярный угол <р:
Ч'Л
$ $(х,у)(Н = /(р(<₽) соз ф, р(<р)31п <₽)’Ж + Р' ^'Р (14-4)
1~лв тл
(фд и <₽в — значения ф, определяющие на кривой точки А и В}.
Если плоская кривая задана непрерывной и непрерывно диффе-
ренцируемой на |о; функцией у = у (х), где а и Ь — обсциссы точек
А и В, то
ь
/'(-V, у) сП = \](х, у(х))д[\ +<у'^Ус1х. (14.5)
с ли а
Итак, во всех случаях вычисление криволинейных интегралов пер-
вого рода сводится к вычислению определенного интеграла (см. гл. 9
во второй части настоящего пособия).
Пример 1. Вычислить 1= $ (2г — д/х2 + у2) (11, где /. — первый
/.
виток конической винтовой линии х = I соз I, у = I зй1 I, г = I, О I С;
< 2л.
► Находим
Л = лУ(х'(/))2 + (у' (/))2 + (г' (/))2 <// =
= \/?СО8 / — / 81П /)2 + (31П I + I СОЗ /)2 + 1 (11 — + I2 (11.
Тогда
2л _____ 2л ___________
I = $ (2/ - /) д/2 + I2 сП = \ (д/2 4- е <11 =
о о
I 12л 2 ~\&
= —(2 + 0>/2|о = —^-((1 +2л2)3'2- I). 4
Пример 2. Вычислить 1 = \ ---------, где Е — отрезок прямой
й х + 2у + 5
д
у = 2х — 2, заключенный между точками А(0, —2), В(1, 0).
> Находим
сП = -д/1 + у'"<1х = '^\ -)- 4</х = х/ь(1х.
Следовательно,
у^ГУх
х + 2(2х - 2) + 5
1
о
дх
5х + 1
л/5 I' л/5
= —-— 1п |5х + 11 = —-— 1п 6. ◄
5 I о 5
Так как, согласно формулам (14.2) — (14.5), криволинейный инте-
грал первого рода выражается через определенный интеграл, то укажем
только те его свойства, которые обобщают свойства определенного
интеграла.
$ <11= (}н, где /4Я— длина дуги АВ (геометрический смысл
Сав
криволинейного интеграла первого рода).
2. Если /(х, у, г) = б(х, у, г) — линейная плотность материальной
дуги Ьав, то ее масса и вычисляется по формуле
пг= 6(х, у, г) (11 (14.6)
Сав
(механический смысл криволинейного интеграла первого рода).
3. Координаты центра масс материальной дуги Ьав, имеющей линей-
ную плотность б = б(х, у, г), определяются по формулам:
х, — — хб (х, у, г) (11, у,: = уб (х, у, г) (11,
Сав Сав
2
гб(х, у, г) <11,
(14.7)
где и — масса дуги ВЛв.
4. Моменты инерции относительно начала координат О, осей коор-
динат Ох, Оу, Ог и координатных плоскостей Оху, Охг, Оуг мате-
риальной дуги Ьав, имеющей линейную плотность б = б(х, у, г), вы-
числяются соответственно по формулам:
7о = (х2 + у2 + г2) 6(11, 1Х = (у2 + г2) 6(11,
/- АВ ^АВ
4 = 5 (х2 + 2‘) §<11, = $ (*2 + У2) &<11,
Сав Сав
1,у = $ г26д1, /„ = у26<11, 7уг = $ х26<11.
Сав Сав Сав
(14.8)
Моменты инерции связаны следующими соотношениями:
270 = 1х + 1у + 7г, 7О = /ху + 7хг + /уг-
Если дуга ЬЛв лежит в плоскости Оху, то рассматриваются только мо-
менты /о, 1Х, 1у (при условии, что г = 0).
5 Пусть функция 2 = /(х, у) имеет размерность длины и /’(х, у) > О
во всех точках плоской
дуги ЬДц, лежащей в плоскости Оху. Тогда
5 Кх- У) М = 5,
1-АВ
где 5 — площадь части цилиндрической поверхности с образующими,
параллельными оси Ог и проходящими через точки дуги огра-
ниченной снизу дугой Ьлв, сверху — линией пересечения цилиндрической
поверхности с поверхностью г = /(х, у), а с боков — прямыми, прохо-
Р и с. 14.2
дящими через точки А и В параллельно оси Ог. На рис. 14.2 изображена
описанная часть цилиндрической поверхности АВВ'А'. Если /(х, у) < О
во всех точках плоской дуги то
5 /'(х, у) (11 = —5
(рис. 14.3). И, наконец, в некоторых точках плоской дуги Е,1В функция
/(х, у) меняет знак, тогда интеграл $ /(х, у) (11 выражает разность
1-лв
площадей частей описанной цилиндрической поверхности, находящихся
над плоскостью Оху и под ней (рис. 14.4):
5 /'(-С У) (И — + 5з.
^лв
Пример 3. Вычислить массу т и координаты центра масс х( , ус
2 .
плоской материальной дуги у = -уХ’/2, О^х^ 1, линейная плотность
которой 6(х, у) = у у 1 + х.
> Согласно формулам (14.5) и (14.6), для случая плоской дуги
имеем.
I I
И = 6(Х, у(х)) "71 + (у'(х))2йх = х3/2 V1 +* + х</х =
• е
Пример 4. Вычислить площадь части цилиндрической поверхности
х~ //' = 4, заключенной между плоскостью Одр и поверхностью г =
= 2 + .г/- (рис. 14.5).
> Искомая площадь 5 цилиндрической поверхности выражается
интегралом
5= 5 (2 4* Д_’/2) с!1,
(.
где Л — окружность в плоскости Оху. х‘ + !Г = 4, г = 0, уравнение
которой в параметрическом виде д = 2 соз I, у = 2 5Й1 I. Тогда с!1 =
= 24 г и
5 = (2 + ~ • 4 соз- 2Л1 =
О
2л 2л
— 4 (I соз2 I) (11 = 4 4- соз 2/^ (11 — 12л.
О о
Криволинейные интегралы второго рода (по координатам). Пусть
в пространстве К‘ задан вектор а = Р(х, у, г) I + (}(х, у, г)) + /?(х, у, г) к,
координаты которого — непрерывные функции в точках ориентированной
кривой Ь,\в- Кривую Ьлв разобьем в направлении от А к В на п эле-
ментарных дуг /, и построим векторы Л/, = Лхд + Ау,} + Аг,к, где Ах,,
Ау,, Аг, — проекции векторов А1, на оси координат. Начала этих век-
торов совпадают с началами элементарных дуг а концы — с нх кон-
цами (рис. 14.6). На каждой элементарной части I, выберем произ-
вольную точку М,(х„ у„ г,) и составим интегральную сумму
п
/,, = 2 Р{х„ у„ г,) Ах,<?(х,, у„ г,) Ау, + Р (х„ у„ г.) Аг, =
<•= 1
= Е а(х,-, у,, г,) А1,- (14.9)
1 = 1
Предел суммы (14.9), найденный при условии, что все )Д(,|->0,
называется криволинейным интегралом второго рода или криволинейным
интегралом по координатам от вектор-функции а (х, у, г} по кривой
С.ав и обозначается
5 а (х, у, /)•<» = $ Р(х, у, г)дх + <д(х, у, 2)ду + Я(х, у, г}йг =
1-АВ
п
= Нт 2 а(х„ у,, г,) -А/,.
л/,—о 1= I
(14.10)
Если функции Р (х, у, г), () (х, у, г), Р (х, у, г) непрерывны в точ-
ках гладкой кривой Вдв, то предел суммы (14.8) существует, т. е. сущест-
вует криволинейный интеграл второго рода (14.10).
Криволинейные интегралы второго рода обладают основными свой-
ствами определенных интегралов (линейность, аддитивность). Непо-
средственно из определения криволинейного интеграла второго рода
следует, например, что он зависит от направления интегрирования
вдоль кривой, т е. меняет знак при изменении ориентации кривой:
5 а-<11 =
1ДВ
5 а - <11.
1-АВ
Если кривая интегрирования Д замкнута, криволинейные интегралы
второго рода обозначаются фа • 41. В этом случае через кривую Д
' ь
проводится ориентированная поверхность и за положительное направле-
ние обхода по Д принимается такое направление, при котором об-
ласть поверхности, ограниченная кривой Д, находится слева, если дви-
гаться вдоль Д по выбранной стороне указанной поверхности (т. ё. обход
контура Д совершается против хода часовой стрелки).
Если плоскую область Д>, ограниченную кривой Д, разбить на части,
не имеющие общих внутренних точек и ограниченные з минутыми
кривыми Д| и Да, то
фа- 41 — фа-41-Ь фа-41,
С С| Сг
где направления обхода по контурам Д, Д, и Да — всюду либо поло-
жительные, либо отрицательные.
Если гладкая кривая Для задана параметрическими уравнениями
х = х(1), у = у(1), г = г(1), где х(/), у(1), г(1)—непрерывно дифферен-
цируемые функции, 4(х(а), у(а.), г(а)) и В(х(Р), р(Р), г(р)) — соответ-
ственно начальная и конечная точки этой кривой, то верна следующая
формула для вычисления криволинейного интеграла второго рода:
5 Р (х, у, г)(1x^г^ (г, у, г)(1у + Р (х, у, г) 4г =
С/1В
= \{Р{х{1), у (I), г(/))х'(0 + (?(х(0, </«). г(0)/(0 + /?(х(0Д4.11)
а
р(/), г(<))г'(0)Л.
Если кривая 1АВ лежит в плоскости Оху, а = Р(х, у)1-{-0(х, у)},
то /?(х, у, г)^0, г(<)=0 и формула (14.11) упрощается:
К
$ Р(х, у)<1х + 0(х, у)4у=\ (Р(х(<), р(0И(0 +
+ С(х(0, </(<))!/'(П) Л- (14-12)
Если кривая Для лежит в плоскости Оху и задана уравнением
у — [(х), производная /'(х) непрерывна на отрезке [а; 6], а = Р (х, р)1-Ь
+ <3 (к. у)), то
ь
5 Р(х, у)^х+О(х, у)ау= 5 (Р(х, /(х)) +
Ьдв а
4- <?(*. 1(х))1’(х})ах. (14.13)
Пример 5. Вычислить
/ = 5 ус!х + (х + г) Лу 4- (х — р) 4г,
1-Лй
где Для — отрезок прямой, соединяющий точки 4(1, — 1, 1) и В(2, 3, 4).
► Запишем параметрические уравнения прямой АВ: х = 1 4- (,
у = — 1 4“ 41, г = 1 4- 31. На отрезке МВ| паоаметр 0^/<1 По-
этому, согласно (Ьоомуле (14.11),
1
/ = $ ((- 1 4- 40 + (2 + 4<) • 4 4- (2 - 30 • 3) =
о
1
= 5 (13 4- НО <11 = 18,5.
О
Пример 6. Вычислить / = §у<1х — х1 2<1у 4- (х 4- у) <1г, если В — крн-
/_
вая пересечения цилиндра х2 4- у2 = 4 с плоскостью х 4- у — г = 0,
«пробегаемая» в положительном направлении относительно выбранной
верхней стороны данной плоскости.
► Найдем параметрические уравнения кривой Ь. Так как проекция
кривой В на плоскость Оху есть окружность х2 4- у2 = 4, 2 = 0, то
можно записать, что х = 2 соз I, у = 2 з(п I. Тогда из уравнения плоскости
находим, что 2 = 2 (соз I 4- зш /) Таким образом,
х = 2 соз I Г <1х = — 2 81п Ш
у = 2 зт 1 (=>| с!у = 2 соз
2 = 2 (соз I 4- 81П 1), I Е [0; 2л], ) I йг = 2( — зш I 4- соз I) <11
Отсюда по формуле (14.11) имеем:
2л
1 = $ (— 4 з1п2 I — 8 соз3 I 4- 4 (соз2 I — зш2 /)) <11 =
0
2л
= ( — 2 4-2 соз 21 — 8 соз I 4- 8 зш2 I соз I 4- 4 соз 21) <11 = — 4л. Ч
о
Пример 7. Вычислить /= $ ху<1х 4- (х2 4- у) <1у, если линия
Т АВ
Влв— дуга параболы у = х2, расположенная между точками 4(0, 0)
и В (2, 4).
► Так как в данном случае Дх) = х2, ['(х)=2х, х([0; 2], то, со-
гласно формуле (14.13), получаем
2 2
Г Г 5 |2
I = \ (хх2 4- (х2 4- х2) • 2х) Дх = \ 5х3<1х = — х4 =20. Ч
3 □ 4 |о
о о
АЗ-14.1
1. Вычислить (———, если — отрезок прямой у =
3 х у
ь
= у% — 2, заключенный между точками А(0, —2) и
В(4, 0). (Ответ: -д/б 1п 2.)
2. ВычислитьфхусИ, если Ь — контур прямоугольника
с вершинами в точках А(0, 0), В(4, 0), С(4, 2), 0(0, 2).
(Ответ: 24.)
3. Вычислить х[2у<11, если Л — первая арка циклоиды
х = а(1 — 81п /), у = а( 1 — соз /) (а > 0). ( Ответ: 4ла~\[а.)
4. Вычислить $ хухсИ, если Ь — отрезок прямой между
д
точками 4(1, 0, 1) и В(2, 2, 3). (Ответ: 12.)
5. Вычислить площадь боковой поверхности цилиндра
х2 + //2 = Вх, заключенной внутри сферы х2 + у2 + г2 = /?2.
(Ответ: 4В^2.)
6. Вычислить (х2 — 2ху) (1х + (2ху + у2}йу, где ЬАВ —
дуга параболы у = х2 от точки 4(1, 1) до точки В (2, 4).
(Ответ: 40^.^
7. Вычислить хс1х + ус1у + (х + у — 1) <72, где ЬАВ —
АВ
отрезок прямой, соединяющей точки 4(1, 1, 1) и В(2, 3, 4).
(Ответ: 13.)
8. Вычислить $ угс1х + гхс1у ху(1г, где Л — дуга вин-
д
товой линии х = В соз /, у = В&'ш1, х = а1/(2л) от точки
пересечения линии с плоскостью 2 = 0 до точки ее пере-
сечения с плоскостью г = а. (Ответ: 0.)
9. Вычислить хус1х -|- (у — х)с1у, если линия ЬАВ, со-
1~АВ
единяющая точки Л (0, 0) и В(1, 1), задана уравнением:
а) у = х: б) у = х2: в) у = х; г) у = хл. (Ответ: а) 1/3;
б) 1/12; в) 17/30: г) —1/20.)
10. Найти координаты центра масс первой полуарки
циклоиды х = а(1 — з1п/), у = а(\ — соз/), / 6 [0; л].
(Ответ: 4а/3, 4а/3.)
Самостоятельная работа
1. Вычислить:
а) хс11, если Л — отрезок прямой, соединяющей точ-
т
ки 4(0, 0) и В(1, 2);
б) 5 (х + у) с1х + (х — у) с1у, если ЬАВ — дуга параболы
АВ
у = х2, лежащая между точками Л(—1, 1) и В(1, 1).
(Ответ: а) д/5/2‘> б) 2.)
2. Вычислить:
а) х2у(И, если Ь — часть окружности х2 + у2 = 9 ле-
I
жащая в первом квадранте;
б) (х — у) йх + (х + у) (1у, если ЬАв — отрезок пря-
сле
мой, соединяющий точки А (2, 3) и В(3, 5).
(Ответ: а) 27; б) 23/2.)
3. Вычислить:
а) если Ь — отрезок прямой у = х-\-2, соеди-
няющий точки Л (2, 4), В(1, 3);
б) (У + х2)с1х + (2х — у)(1у, если ЬАВ — дуга парабо-
1-лв
лы у = 2х — х2, расположенная между точками Л(1, 1) и
В(3, -3). (Ответ: а) (-^2/2) 1п 2; б) 12.)
14.2. ПРИЛОЖЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
С помощью криволинейных интегралов первого рода можно вычи-
слять длину дуги кривой, массу материальной дуги, ее центр масс,
площади цилиндрических поверхностей и другие величины.
Пример 1. Вычислить массу ш пути кривой Ь, заданной урав-
нениями х = /2/2, у = /, г = /э/3, О 1 2, если плотность в каждой
ее точке д = 1 + 4х2 + у2.
► Согласно формуле (14.6), искомая масса т выражается инте-
гралом *
__________ 2
т = $ -уЧ + 4х2 + у2 Л1 = $ -0 -Н4 + I2 у//2 + 1 + & =
ь о
2
= 5(1 -Н2 + ?)^= И6/15. -4
о
Пример 2. Вычислить координаты центра масс однородной дуги
окружности х2 + у2 = К2, расположенной в первом квадранте, и моменты
инерции /о, /у-
► Так как прямая у = х является осью симметрии дуги окруж-
ности, то хс = ус. Для нахождения хс используем первую из формул
(14-7):
хс = $ х6<11/ 5 6(11 = 5 х(11/ $ <11,
ь ь ь с
поскольку 6 = сопз!. Интеграл
определяет длину четверти рассматриваемой окружности. Вычислим
(хсП, где х = соз е; у = К з1п 1; 0 < I я/2;
ь
<п = л/(^(0)2 + (/(0)2 <н = «Л-
Следовательно,
'/2 /2
хсП = Ц соз Щ<П = Ц2 з!п 1 = Ц2.
с о 1°
Окончательно имеем:
П2 2П
Хс~Ус~^72 ~ V’
При вычислении /о, О, 1у воспользуемся формулами (14.8) и (14.3)
для случая плоской дуги (г зе 0) и учтем, что
л/2
10 = $ (х2 4- у2) 6Л = 6 Я2ЯЛ = Я36л/2,
с о
л/2 л/2
Л = </2дЛ = 6 В2 51П2 Щ41 = (1 — СОЗ 2/) сП = я/?’6/4. <
со о
Криволинейный интеграл второго рода (14.9) в случае, когда а =
= Г — сила, под действием которой перемещается тело, определяет
работу силы р иа пути Див. В этом заключается физический смысл
криволинейного интеграла второго рода.
Пример 3. Вычислить работу А силы Р = уА 4- хг] 4~ хук вдоль
отрезка прямой ВС, если В(1, 1, 1) и С(2, 3, 4).
Запишем параметрические уравнения прямой ВС: х = 1 4-I,
у = 1 4- 21, г = 1 + 31, где 0^1^ 1. Тогда работа А силы Р на пути
ВС вычисляется по формуле
А = угдх 4- хгду 4- худг =
1-вс
I
= $(1 4-2/)(1 + 31)^ + (1+0(1 +31) 2<П 4- (1 +0(1+21) ЗЛ ==
О
I
= $ (1812 + 221 + 6) Л = 23. «
о
Теорема (Грина). Если функции Р(х, у) и ^(x, у) непрерывны и
меют непрерывные частные производные в замкнутой односвязной
области й, лежащей в плоскости Оху и ограниченной кусочно-гладкой
кривой Г, то
(14.14)
1 о
где интегрирование по контуру Г выполняется в положительном на-
правлении.
Формула (14.14) называется формулой Грина.
Если в некоторой области О выполнены условия теоремы Грина,
то равносильны следующие утверждения.
1 §Рдх + Оду = 0, если Г — любой замкнутый контур Г, располо-
[>
женный в области й.
2. Интеграл $ Рдх + Оду не зависит от пути интегрирования,
1-АВ
соединяющего точки А и В, где Ьдв ё О-
3. Рдх + Оду = ди(х, у), где ди(х, у) — полный дифференциал
функции и(х, у).
4. Во всех точках области й справедливо равенство
дО _ дР
дх ду
(14.15)
Из формулы Грина следует, что площадь 5 области О можно также
вычислить с помощью криволинейного интеграла второго рода:
5о
— ус!х + Х(1у,
д
где интегрирование ро контуру Г производится в положительном направ-
лении.
Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей кривой
х'+ х’— у'= О (рис. 14.7).
Рис. 14.7
► Из уравнения кривой получим, что у = ±хух + I, т. е. кривая
симметрична относительно оси Ох и пересекает ее в точках х = 0 и
х=— I; обе функции у=±х д/х 4-I определены при х>—1,
а у~+± °о при х-*оо. Перейдем к параметрическим уравнениям данной
кривой, положив у = х1. Подставив у = х1 в уравнение х3 4- х2—
— у2 = 0, получим х3 4-х2 = х2/2, х = г— 1, у = /3—I, где для петли
-1 1.
Следовательно, искомая площадь
I
5 = у $ [—(/3 —/) 2/4-(/2 — 1)(3/2 — 1)]Л =
— I
(
Г я
= ^4-2/2+1)Л=-. 4
о
Пример 5. Вычислить
/ = Ф </(1 — + (1 + №) Х<*У>
ь
где контур С — окружность х2 4~ у2 = 4, «пробегаемая» в положительном
направлении обхода.
Для вычисления интеграла воспользуемся формулой Грина
(14.14):
1 = й 0 + у2 —1 + *2) <*ХС*У = й (*2 + У2) ах(*у>
й о
где й — круг, определяемый неравенством х2 4- у2 4. Имеем
/ = К / г2 -I- и2\ИхИи = и = Р СО5 <р, ахау = р</р<Лр, I
+ У ) У |</ = р51п<р, 0^<р<12л, 0 <1 р 21
2л 2
= Ц р'г/рОф = $ </<р $ р’о'р = 8л.
О' о о
С помощью теории криволинейных интегралов второго рода можно
решить следующую задачу. Известно дифференциальное выражение
Р(х, у)(1х 4~ <?(х, у)(1у, которое является полным дифференциалом не-
которой функции и(х, у). Требуется найти эту функцию.
Решение данной задачи определяется формулой
х у
и(х, у) = $ Р (х, уо)^х 4- $ (?(х, у) <1у 4- С (14.16)
Хо уо
ИЛИ
х У
и(х, у)= Р(х, у)с!х+ 5 Р(х0, у) <1у 4- С, (14.17)
Хо Уо
где точки Л4о(хо, у») и Л4(х, у) принадлежат области О, в которой
Р(.х, У)> <3(.х’ У) и их частные производные являются непрерывными
функциями; С—произвольная постоянная.
Пример 6. Показать, что дифференциальное выражение
—4у + ( - }-------- + 1п у\ах
у \ 1 + х' X /
будет полным дифференциалом некоторой функции и(х, у), и найти эту
функцию.
> Так как
р (*< = 7 - — + 1п у, <2 (х, у) = —,
1 + X1 X у
дР 1 д(} 1 ,
то -г- = — и —. Значит, во всех точках плоскости Охи, ис-
ду У дх у
ключая точки, лежащие на осях координат, данное дифференциальное
выражение в силу равенства (14.14) будет полным дифференциалом
некоторой функции и(х, у). Теперь воспользуемся общей формулой
(14.16) или (14.17), где можно взять Л4о(1, 1).
По формуле (14.16) имеем
X У
- 4)лх+Иау+с =
I I
= (агс1§ х — 1п |х[)| 1 + х 1п || 4- С =
= агс!^; х — 1п |х| + х 1п | у\ + С,
где С — произвольная постоянная. ◄
АЗ -14.2
1. Вычислить массу дуги кривой у = 1п X плотностью
6 = л2, если концы дуги определяются следующими зна-
чениями х: Х1 =т/з, хъ=^[8. (Ответ: 19/3.)
2. Вычислить площадь поверхности, которую вырезает
из круглого цилиндра радиусом такой же цилиндр, если
оси этих цилиндров пересекаются под прямым углом.
(Ответ: 8/?2.)
3. С помощью криволинейного интеграла второго рода
вычислить площадь фигуры, ограниченной:
а) линией х = а соз3 (, у — а зш31 (астроида);
б) первой аркой циклоиды х = а(1 — з1п I), у = а(\ —
— соз I) и осью Ох.
(Ответ: а) Зла2/8; б) Зла2.)
4. Найти функции и(х, у) по их полным дифферен-
циалам:
а) ди = 4(х2 — у2) (хдх — уду)-,
б) ди = (2х соз у — у2 зш х)дх -ф- (2у соз х — х2 зш у)ду,
в) ди = (3у~ х)дх + (у — Зх) ду/(х + у)3.
5. Вычислить работу силы Г = (х2 + у2 + 1) 1-|-2ху|
вдоль дуги параболы у = х3, заключенной между точ-
ками Д(0, 0) и В(1, 1).
(Ответ: 196/105.)
6. Применив формулу Грина, вычислить
ф у2с1х + (х + у)2с1у,
ь
где Ь — контур треугольника АВС с вершинами в точках
А(3, 0), В(3, 3) и С(0, 3). (Ответ: 18.)
7. Найти общий интеграл дифференциального уравне-
ния (4х3у3 — у2) с!х -|- (Зх4г/2 — 2ху) с1у = 0. (Ответ: х*у3 —
— ху2 = С.)
Самостоятельная работа
1. 1. С помощью криволинейного интеграла второго
рода вычислить площадь области 7), ограниченной ли-
ниями у = х2 и у =~\[х. (Ответ: 1/3.)
2. Найти функцию и(х, у), если
с1и(х, у) = (2ху + х3 — 5) с1х -|- (х2 — у3 + 5) (1у.
2. 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осями
координат и дугой эллипса х2/а2у2/Ь2 = \, располо-
женной в первом квадранте. (Ответ: лаЬ/4.)
2. Найти функцию и(х, у), если
с1и (х, у) = (х2 + 2ху — у2) с1х + (х2 — 2ху + у2) <1у.
3. 1. Вычислить работу силы Р(х, у) = 2ху1 А~ х2], со-
вершаемую на пути, соединяющем точки Д(0, 0) н В(2, 1).
(Ответ: 4.)
2. Найти функцию и(х, у), если
йи =
2х(1 — е*)
(14-х2)2
+
14.3. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 14
ИДЗ-14.1
Вычислить данные криволинейные интегралы.
1
1.1. $ (х2 — 2ху)с1х + (у2 — 2ху) Ду, где Ьав — Дуга па-
Ьав
раболы у — х2 от точки 4(—1, 1) до точки В(1, 1). (От-
вет. — 6.)
. „ Г х2/1и — ц'йх ,
1.2. \ —-=—где ЬАВ—дуга астроиды х —
= 2 соз3 I, у = 2 51П31 от точки Л (2, 0) до точки В(0, 2).
(О твет: З^л/в.)
1.3. (х2 4- У2) <1х 4- 2хус1у, где Ь0А—дуга кубиче-
ЬОА
ской параболы у = х3 от точки 0(0, 0) до точки 4(1, 1).
(Ответ: 4/3.)
1.4. ф (х 4~ 2г/) <1х А-(х — у) с!у, где В — окружность х =
г
= 2 соз I, у = 2 51П I при положительном направлении
обхода. (Ответ: —4л.)
1.5. ф (х2у — х)(1х 4- (у2х — 2у)т1у, где В— дуга эллип-
г
са х = 3 соз I, у = 2 з1п / при положительном направлении
обхода. (Ответ: —7,5л.)
1.6. ф (ху — 1) с1х 4- х2ут1у, где ЬАВ—дуга эллипса
Тли
х = соз В г/ = 2з1п/ от точки 4(1, 0) до точки В(0, 2).
(Ответ: 5/6.)
1.7. 2хус1х— х2с1у, где БОВА—ломаная ОБА:
0(0, 0); В(2, 0); 4(2, 1). (Ответ: —4.)
1.8. (х2— у2)(1х 4- хуфу, где ЬАВ — отрезок прямой
^А В
АВ: 4(1, 1); В(3, 4). (Ответ: 11
1.9. $ соз уйх — 51П хс1у, где БАВ— отрезок прямой
I- АВ
АВ, Д(2л, —2л); В(— 2л, 2л). (Ответ: 0.)
1-10. ( у<1х х—, где ВАН— отрезок прямой АВ:
о т + у
^ЛВ
4(1, 2); В(3, 6). (Ответ: 1п 3.)
1.11. $ ху<1х 4- (у — х)с1у, где ЬАВ — дуга кубической
параболы у = х3 от точки 4(0, 0) до точки В(1, 1). (Ответ:
1/4.)
1.12. $ (х2 4- у2) с1х + (х 4- у2) с1у, где ЬАВс — ломаная
Тавс
АВС; Л(1, 2); В(3, 2); С(3, 5). (Ответ: 64 А.)
1.13. ху2о?х4- уг2(1у — х2г(1г, где Ьов — отрезок пря-
мой ОВ; 0(0, 0, 0); В(-2, 4, 5). (Ответ: 91.)
1.14. у(1х-(-х(1у, где Вол—дуга окружности х =
— В соз I, у = В 81п /; О(В, 0); Л(0, /?). (Ответ: 0.)
1.15. ху(1х 4~ (у — х)(1у, где Ьоа—дуга параболы
То А
у2 = х от точки 0(0, 0) до точки Л(1, 1). (Ответ: 17/30.)
1.16. $ х(1х 4- ус!у 4- (х — у-\-Г)(1г, где ЬАВ— отрезок
прямой АВ; Л(1, 1, 1); В(2, 3, 4). (Ответ: 7.)
1.17. (ху—1)а!х х2уа!у, где ВАВ—дуга параболы
Глв
у2 = 4 — 4х от точки Л(1, 0) до точки В(0, 2). (Ответ:
17/15).
1.18. $ хус1х 4- (у — х) с1у, где Ьов—дуга параболы
Тов
у — х2 от точки 0(0, 0) до точки В(1, 1). (Ответ: 1/12.)
1.19. $ (ху — у2) с1х 4- хс1у, где Ьов —дуга параболы
ЬОВ
у — х2 от точки 0(0, 0) до точки В(1, 1). (Ответ: 43/60.)
1.20. хс!у— у(1х, где ЬАВ—дуга астроиды х =
Ьав
= 2 соз31, у = 2 51п3 / от точки Л (2, 0) до точки В(0, 2).
(Ответ: Зл/4.)
1.21. (ху — х)с1х 4- у х2с1у, где ЬАВ — дуга параболы
Тлв
у2 = 4х от точки Л(0, 0) до точки В(1, 2). (Ответ:0,5.)
1.22. (ху — 1)(1х х2ус1у, где Ъв — отрезок прямой
АВ; Л(1, 6); В(0, 2). (Ответ: 1.)
1.23. $ 2хус1х 4- у2(1у 4- з2о1г, где ЬАВ—дуга одного
Тав
витка винтовой линии х = соз/, у = з1п1, г = 2/;
Л(1, 0, 0); В(1, 0, 4л). (Ответ: 64л3/3.)
1.24. $ X (1х + хс1у, где кАВ — Дуга линии у = 1п х от
САВ
точки Л(1, 0) до точки В(е, 1). (Ответ: е— 1/2.)
1.25. §ус1х — хс1у, где А — дуга эллипса х = 3соз/
г
у = 2з!п/, «пробегаемая» в положительном направлении
обхода. (Ответ: —12л.)
1.26. 2хус1х — х2с!у, где кол—Дуга параболы у =
Сол
= х2/4 от точки 0(0, 0) до точки А(2, 1). (Ответ: 0.)
1.27. (х2 + у2)йх + (х2 — у2}(1у, где ЬАВ — ломаная
САВ
линия у= |х| от точки А( — 1, 1) до точки В(2, 2). (От-
вет: 6.)
1.28. 2хуйх — х2с1у 4- гНг, где коА—отрезок пря-
тал
мой, соединяющий точки 0(0, 0, 0) и А(2, 1, —1). (От-
вет: 11/6.)
1.29. ф хс1у — ус1х, где к — контур треугольника с вер-
ь
шинами А(—1, 0), В(1, 0), С(0, 1) при положительном на-
правлении обхода. (Ответ: 2.)
1.30. (х2 + у) (1х 4- (х 4- у2) с1у, где клсв — ломаная
Слсв
АСВ; А (2, 0); С(5, 0); В(5, 3). (Ответ: 63.)
2
2.1. \^2 — 22(2.2 —-д/х2 + у2)с11, где 0 — дуга кривой
х — 1со&1, у = 1з!п1, г = (, 0<4<2л. (Ответ: 4л'2(1 4-
+ л2).)
2.2. ф (х2 4- у2) сП, где к — окружность х2 4- У2 = 4.
к
(Ответ: 16л.)
2.3. ( . -_а1 ... где кОв — отрезок прямой, соеди-
/ д/8 — х2 — у1
Сов
няющий точки 0(0, 0) и В(2, 2). (Ответ: я/2.)
2.4. (4-д/х — Зд/у) (И, где ЬАВ — отрезок прямой АВ;
1-АВ
Д(— 1, 0); В(0, 1). (Ответ: — 5^.)
2.5. I , где Ьав — отрезок прямой, заключен-
с^^-у)
ный между точками Д(0, 4) и В(4, 0). (Ответ: 0.)
2.6. \ - - сП, где Ь — дуга кардиоиды р = 2(1 Д-
{ ~№+Уг
Д- соз ср), О^ср^л/2. (Ответ: 16/3.)
2.7. $ усП, Ьлв — Дуга астроиды х = соз31, у = з1п31,
Ьав
заключенная между точками Л(1, 0) и В(0, 1). (Ответ: 0,6.)
2.8. у (11, где Вов —Дуга параболы у2 = ~х между
Сов 6
точками 0(0, 0) и В(д/35/6, д/35/3). (Ответ:
2.9. (х2 Д- у2 Д- г2) сП, где Ь — дуга кривой х = соз I,
I
у = з1п I, г —^/31, 0 I 2л. (Ответ: 4л(1 Д- 4л2).)
2.10. ^агс(ё-~с7/, где Ь — дуга кардиоиды р = (1 Д-
с
Д- соз ср), 0 «С ф л/2. (Ответ: (л Д- 2)~\/2 — 8.)
2.11. \-\[2у(П, где Ь — первая арка циклоиды х = 2(1 —
г
— 51П /), у = 2(1 — соз 1). (Ответ: 8тг'/2.)
.12. \ , где Вол — отрезок прямой, со-
у/х2 + у2 +
единяющий точки 0(0, 0) и Л(1, 2). (Ответ: 1п((-\/5Д-
+ 3)/2).)
2.13. 2~ % аТ где — Дуга кривой р = 9 51п 2ср,
ь
0=С<р=Сл/4. (Ответ: —9/8.)
2.14. хуМ, где Ьоавс — контур прямоугольника с
вершинами 0(0, 0), Д(4, 0), В(4, 2), С(0, 2). (Ответ: 24.)
2.15. + где ЬАво — контур треугольника с
^АВО
вершинами 4(1, 0), В(0, 1), 0(0, 0). (Ответ: —-\/2.)
2.16. 2 , где В — первый виток винтовой линии
3 * + у
I.
х = 2 соз I, у = 2 зш /, г = 21. (Ответ: у х/2л3.^
2.17. (х-}-у)с11, где Ьоав — контур треугольника
с вершинами 0(0; 0), А(—1, 0), В(0, 1). (Ответ: 0.)
2.18. \(х-(-у)с11, где В— дуга лемнискаты Бернулли
р2 = соз 2<р, —л/4^<р^л/4. (Ответ: х/%-)
2.19. ф-убг2 + У2 <И, где В— окружность х2-(-у2 = 2у.
(Ответ: 8.)
2.20. ху<11, где ЬОлвс — контур прямоугольника с
вершинами 0(0, 0), 4(5, 0), В(5, 3), С(0, 3). (Ответ: — 15.)
2.21. ф (х2 + У2) <11, где В — окружность х2 + у2 = 4х.
(Ответ: 32л.)
2.22. $ (4д/х — Зх/у) У1, где Ьлв—дуга астроиды
х = соз3 /, у = зш3 / между точками 4(1, 0) и В(0, 1). (От-
вет: 1.)
2.23. хуй1, где Л — контур квадрата со сторонами
х = ± 1, у = ± 1. (Ответ: 0.)
2.24. \ у2<Н, где В— первая арка циклоиды х = 1 —
I.
— зш I, у = 1 — соз I. (Ответ: 17 у
2.25. хуУ,1, где Вдвсо — контур прямоугольника с
вершинами 4(2, 0), В (4, 0), С(4, 3), 0(2, 3). (Ответ: 45.)
2.26. усЧ, где В — дуга параболы у2 = 2х, отсечен-
с
ная параболой х2 = 2у. (Ответ: (5х/з — 1)/3.)
2.27. ~Г~~у' где ^Ав — отРезок прямой, заключен-
ие
ный между точками 4(4, 0) и В(6, 1). (Ответ: д/К 1п (5/4).)
2.28. ) (х2 4- г/2)2 сП, где Ь — первая четверть окруж-
ности р = 2. (Ответ: 16л.)
2.29. I — 111.—, где ЬАВ — отрезок прямой, соеди-
няющий точки 4(1, 1, 1) и В(2, 2, 2). (Ответ: 1п 2.)
2.30. ф (х — у) сП, где Ь — окружность х2 4- у2 = 2х.
с
(Ответ: 2л.)
3
3.1. ф д/2у2 4- г2 сП, где Л — окружность х2 4~ у2 г2 =
с
= а2, х = у. (Ответ: 2ла2.)
3.2. ) хугсП, где Л — четверть окружности х2 4- у2 4~
с
-}-22 = Я2, х2у2 = К2/А, лежащая в первом октанте.
(Ответ: /?4д/з/32.)
3.3. агс!§ сП, где Л — часть дуги спирали Архи-
с
меда р = 2<р, заключенная внутри круга радиусом /? с
центром в полюсе. (Ответ: ((/?2 4-4)3'"— 8)/12.)
3.4. ) (х2 4- у2 + г2}сП, где Л — дуга кривой х = а соз I,
с
у = а$\п1, 2 — Ы, 0 I С 2л. ( Ответ: 2лд/а2 4~ Ь2 (За2 4~
4- 4л2&2)/3.)
3.5. ) (2г— д/х2 4- у2) <11, где /.— первый виток кони-
с
ческой винтовой линии х — I соз I, у = I 81п (, 2 — 1.
(Ответ: 24/2 ((1 4-2л2)3/2— 1)/3.)
3.6. \(х-\~2)сП, где И — дуга кривой х = 1, у =
с
= (3/д/2)/2, г = /3, 0^/^1. (Ответ: (56д/7 — 1)/54.)
3.7. хлД2 — у2 (11, где Ь — кривая (х2 4- у2)2 = а2 (х2 —
I
— у2), х 0. (Ответ: 2а3д/2/3.)
3.8. (х + у) сП, где 1 — первый виток лемнискаты р2 =
(
= а2 соз 2<р. (Ответ: а2х[2.}
3.9. ху(11, где Ь — первая четверть эллипса х2/а2 4-
(
4- у2/Ь2 — 1. (Ответ: аЬ(а2 4- аЬ 4- 62)/(3(а + 6)).)
3.10. \ (ху)<11, где 2.— четверть окружности х2 4-
т
4- у2 + г2 = 2?2, у = х, лежащая в первом октанте. (От-
вет: А>2^-)
3.11.
<11
X — 2
где Ьав—отрезок прямой 2 = х,1— 2,
[А В
у = 0, соединяющий точки 4(0, 0, —2) и 2?(4, 0, 0). ( Ответ:
-д/51п2.)
3.12. \х]2У(11, где Ь — первая арка циклоиды х =
в
= а(1 — 51п /), у — а(1 — соз /). (Ответ: Ьла~\[а.)
3.13. ф (х — у) (11, где Ь — окружность х2 4- у2 = ах.
е
(Ответ: ла2/2.)
3.14. (—--------где Ь — первый виток винтовой
3 * +</ +г2
/
линии х = а соз 1, у = а зщ I, г = Ы.
/ х/а2 + ь2 , 2лЬ \
1 Ответ: — ---агсг§-----Л
3.15. ) ,г , где Ь — первый виток винтовой ли-
д х +у
нии х = асоз/, у = азщ/, г = а(. (Ответ: 8ал3х/2/3.)
3.16. $ х[х2 4- У2 <Н, где Ь — развертка окружности
т
х = а(соз ( 4- (З1п I), у = а(зщ ( — (соз /), 0</^2л.
(Ответ: й2((1 4-4л73/2— 1)/3.)
3.17. \ ; а1 - -, где Ьав — отрезок прямой, соеди-
Л ^+7
няющий точки 4(0, —2) и В(4, 0). ( Ответ: 1п((3-\/5 —7)/2).)
3.18. ( ~-------, где Ь — первый виток винтовой
.)*+</+ г
ь
линии х = 5со5/, у = 551п/, г = Л (Ответ: л^-агс^у.)
3.19. $ у 2(11, где ЬОавс — контур прямоугольника с
вершинами в точках 0(0, 0, 0), 4(0, 4, 0), В(0, 4, 2),
С(0, 0, 2). (Ответ: 24.)
3.20. х2(11, где Ь — дуга верхней половины окруж-
ности х2 + у2 = а2. (Ответ: ла3/2.)
3.21. (х2 4- у2 4- г2)Ш, где Ь — первый виток винтовой
г.
линии х = 4со5/, у = 451п/, г = 3/. (Ответ: 10л(48 4~
4-36л2)/3.)
3.22. у <11, где Ь — дуга параболы у2 — 6х, отсечен-
•. ь •
ная параболой х2 = 6у. (Ответ: 3(Ь-\[з — 1).)
3.23. хс11, где Ьав — Дуга параболы у = х2 от точки
4(2, 4) до точки В(1, 1). (Ответ: (17-д/ТТ—5д/5)/12.)
3.24. $ (х 4- у)с11, где Ь — первый виток лемнискаты
р2 = 7 соз 2<р. (Ответ: 7д/2.)
3.25. ф(г2 4- У2)<11, где Ь — окружность г2 4- У2 = 4.
г.
(Ответ: 256л.)
3.26. у2 <11, где Ь — первая арка циклоиды X = 3(1 —
" ь ::-
— 51п /), у ~ 3(1 — соз /). (Ответ: 458
3.27. у\[х2 у2(11, где Л — развертка окружности х~
= 6(с05 / + / 51п /), у — 6(51п / — / соз I), 0 I 2л. (От-
вет: 12((1 4- 4л2)3/2-1).)
С 22 сП
3.28. ----2, где Ь — первый виток винтовой линии
х = 9 соз I', у = 9 З1п I, г = 9/. (Ответ: 24л3д/2.)
3.29. ф(х2 + у2)2 (11, где Ь — окружность х = 3соз/,
г
г/ = 3з1п/. (Ответ: 486л.)
3.30. \ у(Н, где Ь — дуга параболы у2 = 12х, отсечен-
ная параболой х2 = 12у. (Ответ: 12(5\/5— 1).)
4.
4.1. (ху — у2')с1х 4- хс1у, где Ь0А—дуга параболы
у = 2х2 от точки 0(0, 0) до точки 4(1, 2). (Ответ: 31/30.)
4.2. 2угйу — у2йг, где Ь0ВА—ломаная ОВД-, 0(0,
О, 0); 5(0^2, 0); Л(0, 2, 1). (Ответ: —4.)
4.3.
X 1
— с1х 4- —(1у, где Ь — дуга циклоиды
х =
= а(1 — зш/), у = а( 1 — соз /),
4 + |(1 -лЛ)--рпЗ.)
л/6^/^л/3. (Ответ:
4.4. угс1х 4- г~\1В2 — у2(1у 4* ху(1г, где Ь — дуга кривой
г
х — В соз I, у = В З1п I, г = а//(2л), «пробегаемая» от точки
пересечения ее с плоскостью г =0 до точки пересечения
ее с плоскостью г = а. (Ответ: 0.)
4.5. $ 2хгс1у — у2(1г, где Ь0А — дуга параболы г —
= х2/4 от точки 0(0, 0, 0) до точки 4(2, 0, 1). (Ответ: 0.)
4.6. (х — \/у}(1у, где САВ—дуга параболы у = х2
от точки 4(1, 1) до точки В(2, 4). (Ответ: 14/3 — 1п4.)
4.7. соз гс1х — 81п хйг, где ЬАВ — отрезок прямой,
соединяющий точки 4(2, 0, —2) и В( — 2, 0, 2). (Ответ:
—2 51п 2.)
4.8. \ус1х— х(1у, где Ь — четверть дуги окружности
т
х =/? созу = /?зш/, лежащая в первом квадранте и
«пробегаемая» против хода часовой стрелки. (Ответ: 0.)
4.9. (ху — х}с1х 4- у йу, где Ь0А — дуга параболы
ЬОА
у = 2х/х от точки 0(0, 0) до точки Л(1, 2). (Ответ: 1/2.)
4.10. фг/с?х— х(1у, где Ь — дуга эллипса х = асо$1,
т
у = Ьз'т1, «пробегаемая» против хода часовой стрелки.
(Ответ: —2лаЬ.)
4.11. <§>хс1у, где Ь — контур треугольника, образован-
ного прямыми у = х, х = 2, у = О при положительном
направлении обхода контура. (Ответ: 2.)
4.12. хДу, где Ь — дуга синусоиды у = зш х от точки
т
(л, 0) до точки (0, 0). (Ответ: 2.)
4.13. $ у2(1х + х2с1у, где Ь — верхняя половина эллипса
I.
х = асо?>1, у = Ь 81п I, «пробегаемая» по ходу часовой
стрелки. (Ответ: 4аЬ2/3.)
4.14. (ху — у2)с1х + хс1у, где Ьоп —дуга параболы
/-О5
у = 2д/х от точки 0(0, 0) до точки 5(1, 2). (Ответ: —8/15.)
4.15. $ хс1х + хус!у, где А - дуга верхней половины
I.
окружности х2 -|- у2 = 2х при положительном направлении
обхода контура. (Ответ: —4/3.)
4.16. (х — у)с1х<1у, где I — дуга верхней половины
/.
окружности х2 у2 = /// «пробегаемая» в положительном
направлении обхода контура. (Ответ: л/?2/2.)
4.17. ф(х2 — у)дх, где /. — контур прямоугольника,
образованного прямыми х = 0, у = 0, х=1, у = 2 при
положительном направлении обхода контура. (Ответ: 2.)
4.18. 4х зпг у<1х Ц- у соз 2х(1у, где Лов—отрезок пря-
^ои
мой, соединяющий точки 0(0, 0) и В(3, 6). (Ответ: 18.)
4.19. \ус1х — хс1у, где Ь — дуга эллипса х = 6 соз I,
г
у = 4з1п/ при положительном направлении обхода кон-
тура. (Ответ: —48л.)
4.20. 2хуйх — х2(1у, где ЬОа — дуга параболы х =
1-ол
= 2у2 от точки 0(0, 0) до точки А(2, 1). (Ответ: 2, 4.)
4.21. хуехе/х(х — 1)ехс/у, где ЬАв—любая линия,
Тав
соединяющая точки Л(0, 2) и В(1, 2). (Ответ: 2.)
4.22. ф (х2 + у2)^х + (х2 — у2)с1у, где Ь— контур тре-
угольника с вершинами Л (0, 0), В(1, 0), С(0, 1) при поло-
жительном направлении обхода контура. (Ответ: —1/3.)
С х2
4.23. \ (ху — х)с1х— (1у, где Ьаво—ломаная АВО
ТлвО
(0(0, 0); Л(1, 2); В(1/2, 3)) при положительном направле-
нии обхода контура. (Ответ: —1/2.)
4.24. (ху — у ')с1х -\-хс1у, где ЬОа— отрезок прямой
Тол
от точки 0(0, 0) до точки Л(1, 2). (Ответ: 1/3.)
4.25. хс1у — ус1х, где Ь0А — дуга кубической пара-
гол
болы у = х3 от точки 0(0, 0) до точки Л(2, 8). (Ответ: 8.)
4.26. 2г/зш2хг/х— со&2хс!у, где Ьав —любая линия
Тлв
от точки Л(л/4, 2) до точки В(л/6, 1). (Ответ: —1/2.)
Г х2
4.27. I (ху — х)с1х + у с1у, где ЬОв — Дуга Параболы
Тов
у = 4х2 от точки 0(0, 0) до точки В(1, 4). (Ответ: 3/2.)
4.28. (х + у)(1х + (х — у)(1у, где ЬАВ — дуга пара-
Тлв
болыг/ = х2 от точки Л(—1, 1)до точки В(1, 1) (Ответ: 2.)
4.29. $ хйу, где Ьав — дуга правой полуокружности
Тав
х2Л-г/2 = а2 от точки Л(0, —а) до точки В(0, а). (Ответ:
ла2/2.)
4.30. $ у2<1х + х2(1у, где Ь — дуга верхней половины
г
эллипса х — 5соз/, г/ = 2зш/, «пробегаемая» по ходу
часовой стрелки. (Ответ: 80/3.)
Решение типового варианта
Вычислить данные криволинейные интегралы.
/. ф (х2 -|- у2^(П, где Ь — окружность х2 -|- у2 = а2
ь
► Запишем уравнение окружности х2-\-у2 = а2 в па-
раметрическом виде: х = асоз/, у — а$лп1, О 2л.
Тогда
х! = — а З1п /, у'( — а соз I, (11 = х(2 -|- у? (11,
сП =д/а2з1п2/ а2 соз2/А — асП.
Следовательно,
2л
^(х2 + {/2)пб// = о2" + 1 $ Л = 2ла2п + '. 4
I О
2. хсП, где Ьов — отрезок прямой от точки 0(0, 0)
(ов
до точки В(1, 2).
► Находим уравнение прямой ОВ по двум точкам:
у = 2х. Далее имеем:
(П = д/1 4* (г/х)2(1х, (П=д[Ъ(1х,
Ьов о
3. I — $2х(г/ — 1)с?х 4- х2(1у, где Ь — контур фигуры,
ь
ограниченной параболой у = х2 и прямой у = 9 при по-
ложительном направлении обхода.
► В соответствии со свойствами криволинейных ин-
тёгралов второго рода имеем
I = \ 2х(у — 1 )с?х 4- х2(1у 4- $ 2х((/ — 1 )с?х 4- х2с1у,
г, (г
где Ь{—дуга параболы у = х2; Ьг — отрезок прямой
у = 9. Так как парабола и прямая пересекаются в точках
(-3, 9) и (3, 9), то
з -з
/ = $ (4х3 — 2х)4х 4- 16 $ х(1х = 0. ◄
-3 3
4. I —\{^[ху)(1х—{х/ух)(1у, где Ь — верхняя
г
дуга астроиды х — 8 соз3I, у = 8 з1п31 от точки (8, 0) до
точки (— 8, 0).
► Находим:
(1х = 24 соз21( — 51п 1)(И, (1у = 24 зт21 соз 1(11, 0 I л.
Тогда
1 = $ (2 соз 14- 8 зт3 /) (— 24 зт I соз2 /)Л —
о
— (2 51п I -|- 8 соз3 /) • 24 51п21 соз 1(11 =
= $ ( —48 31п / соз3 1 — 192 31п41 соз21 — 48 З1п31 соз I —
о
— 192 51п21 соз4 /)с?/ = [ (— 48 51п I соз I —
о
— 192 З1п2 / соз2 /)с?/ = $ ( —24 31п 2/ — 48 31п2 2/)с?/ =
о
= 12 соз 2/|о — 24^(1 — соз4/)Л =
О
= — 24^/— 31п 4/) |о = — 24л. 4
ИДЗ-14.2
1. Показать, что данное выражение является полным
дифференциалом функции и(х, у). Найти функцию и(х, у).
1.1. (2х — Зу2 4* 1)(1х 4* (2 — 8ху)(1у. (Ответ: х2-(-х-(-
4- 2г/ — Зху2 4- С.)
-3)Мтт^~5>
(Ответ: 1п (1 4- х2у2) — Зх — 5у 4- С.)
1.3. —-0- соз 2у 4- У 31п 2х^ <1х 4- (х 31п 2у -|- соз2 х -|-
4- 1) (1у- ( Ответ: у соз2 х — соз 2у 4- у 4- С.)
1.4. (у2еху‘ 4- 3) (1х 4- (2хуеху"— \)(1у. (Ответ: Зх + еху1—
-У+С.)
1.5. + СОЗ X СОЗ у — Зх2)г/х + — 81П X ЗШ У +
-\-4у\(1у. (Ответ: 1п (х4-//) 4~ х соз г/— х3 4~ 2г/2 4-С.)
1.6. (у/х + 1п у 4- 2х)<1х + (1п х + х/у 4- \)(1у. (Ответ-
х2 + у 1п X + х 1п у 4- у + с.)
1.7. (ех+у— соз х)г/х + (ех+у 4- зш у) <1у. (Ответ: ех+у—
— соз у — ЗШ X + С.)
1.8. (г//д/1 —х2у2 + 2х) г/х4-(х/-д/1 ~х2у2 + 6г/) йу.
(Ответ: агсзш ху + х2 4- Зу2 + С.)
1.9. (еху 4~ хуеху 4- 2)с1х 4- (х2еху -\-\)с1у. (Ответ: х^у +
+ 2х 4~ у 4- С.)
1.10. (уе** 4- г/2) г/х 4- (хе*у 4- 2ху)йу. (Ответ: еху 4-
+ ху2 4- С.)
1.11. (у соз (ху) 4- 2х — Зу) с1х 4- (х соз (ху) — Зх 4- 4г/)г/г/.
(Ответ: зш (ху) 4- х2 — Зху 4~ 2у2 4- С.)
1.12. (у 51П (х4-у) 4- ху СОЗ (х 4- у) — 9х2)с?х4- (х 81П (х 4-
4- у) 4- ху соз (х 4- у) 4- 2у) Лу. (Ответ: хг/51п(х4-г/) —
-Зх3 + г/2 + С.)
1.13. (5г/ 4- соз х 4- бхг/2) г/х 4- (5х 4- 6х2г/) г/г/.
(Ответ: зш х 4- Зху 4- Зх2у2 4- С.)
1.14. (у2еху - 3)г/х 4-еч(1 4- ху) с1у. (Ответ: уеху —
— Зх 4~ О.)
1.15. (1 4-соз(хг/))г/г/х4-(1 4~ соз (хг/)) хг/г/. (Ответ: ху 4-
4- 81п (ху) 4- С.)
1.16. (у — зш х) г/х 4- (х — 2у соз г/2) г/г/. (Ответ: соз х 4-
4-хг/ —81п у2 4- С.)
1.17. ^51п 2х— —г/х — —г/г/. (Ответ: ——
к х2у / ху2 \ ху
— соз 2х 4- С.)
1.18. у <1х 4- у~х <1у- (Ответ: 1п (ху) 4- х/у 4- С.)
ху У
1.19. (20х3 — 21х2г/ 4- 2г/)г/х 4- (3 4- 2х — 7х3) г/г/.
(Ответ: 5х4 — 7х3г/ 4- 2ху 4- Зу 4- С.)
1.20. (уеху — 2 81п х) г/х 4- (хеху 4- соз у) с1у.
(Ответ: еху 4~ 2 соз х 4- 8*п у 4- С.)
1.21. у (еху 4- 5) г/х 4- х (еху 4- 5) г/г/. (Ответ: еху 4-
4-5хг/4-С.)
‘•22- (х~ Т^)а*+( -«)ЛУ-(о^-у +
4-агс^^- — 4-С.)
1.23. х1п^ + у Лк + ^1пх ау. (Ответ: у 1п х +
-|- х 1п у -I- С.)
1.24. ех~у(1 4-х + у)ах -|- ех~у(1 — х — у)ау.
(Ответ: ех~у(х 4- у) 4- С.)
1.25. (Зх2 — 2ху -|- у) ах -|- (х — х2 — Зу2 — 4у) ау.
(Ответ: х3 — х2у — у3 4- ху — 2у2 4- С.)
1.26. (2хех‘~у* — 81п х)ах 4- (зт у — 2уех*~у^ау.
(Ответ: ех ~у" 4- соз х — соз у 4- С.)
1.27. (у/-V1 — х2у2 4- X2) ах 4- (х/ д/1 — х2у2 4- у) ау.
(Ответ: х3/3 4- агсзш (ху) -|- у2/2 4- С.)
1.28. —ах 4- ау. (Ответ: -к 4- 1 4- сЛ
х У хуг \ ху X )
1.29. (—— - —у— - 2\ах + (—1— - —х—~ 4-
ку- 1 (х- 1/ / кх- 1 (у - I)2
4- 2у) ау. (Ответ: 4- -ё— — 2х 4- у2 4- С.')
1.30. (Зх2 — 2ху 4- у2) ах 4- (2ху — х2 — Зу2) ау.
(Ответ: х3 — х2у 4~ ху2 4- у3 -|- С.)
2. Решить следующие задачи.
2.1. Вычислить длину дуги цепной линии у = (ех-\-
4-е-х)/2, х Е [0; 1]. (Ответ: (ё2 — 1)/(2е>.)
2.2. Вычислить моменты инерции относительно осей
координат отрезка однородной прямой 2х 4-У = 1, лежа-
щего между этими осями. (Ответ: /х = д/К/6, 1У = д/5/24.)
2.3. Найти координаты центра масс четверти одно-
родной окружности х2 4-у2 = а2, лежащей в первом квад-
ранте. (Ответ: (2а/л, 2а/л).)
2.4. Вычислить массу дуги кривой у = 1п х, заключен-
ной между точками с абсциссами х=д/з и х=д/8, если
плотность дуги в каждой точке равна квадрату абсциссы
этой точки. (Ответ: 19/3.)
2.5. Вычислить момент инерции относительно оси Оу
дуги полукубической параболы у2 = х3, заключенной меж-
ду точками с абсциссами х = 0 и х = 4/3. (Ответ: 1У =
= 107-2|,’/(105 • З6) ~ 1,13.)
2.6. Вычислить момент инерции относительно начала
координат контура квадрата со сторонами х— ±а, у =
= ±а. Плотность квадрата считать постоянной. (Ответ:
/о = 32/3.)
2.7. Вычислить длину дуги кривой х = 2 — 1^/4, у —
= /6/6, ограниченной точками пересечения ее с осями
координат. (Ответ: 13/3.)
2.8. Вычислить координаты центра масс однородной
полуокружности х2 + у2 = 4, симметричной относительно
оси Ох. (Ответ: (4/л, 0).)
2.9. Вычислить координаты центра масс однородной
дуги одной арки циклоиды х = 1 — ы'п I, у—1—соз I.
(Ответ: (л, 4/3).)
2.10. Вычислить момент инерции относительно начала
координат отрезка прямой, заключенного между точками
А(2, 0) и В(0, 1), если линейная плотность в каждой его
точке равна 1. (Ответ: /0 = 5д/б/3.)
2.11. Вычислить координаты центра масс однородного
контура сферического треугольника х2 + у2 + г2 = 1,
х^Ь, у^О, г^О. (Ответ: (4/Зл, 4/Зл, 4/Зл).)
2.12. Вычислить статические моменты относительно
координатных осей дуги астроиды х = 2 соз3 /, у —
= 2з1п3/, расположенной в первом квадранте. (Ответ:
Мх = 2, 4, Му = 2, 4.)
2.13. Вычислить массу отрезка прямой у— 2 — х,
заключенного между координатными осями, если линей-
ная плотность в каждой его точке пропорциональна квад-
рату абсциссы в этой точке, а в точке (2, 0) равна 4.
(Ответ: 8-\/2/3.)
2.14. Найти статический момент относительно оси Оу
однородной дуги первого витка лемнискаты Бернулли
р2 = а2 соз 2<р. (Ответ: Му = а2~\/2.)
2.15. Найти работу силы Р = х1 + (х + у)| при пере-
мещении точечной массы т по дуге эллипса х2/16 +
+ у2/9=1. (Ответ: 12л/п.)
2.16. Вычислить момент инерции относительно оси
Ог однородной дуги первого витка винтовой линии х=
= 2 соз I, у = 2 51п /, г = I. ( Ответ: 7г = 8-\/5л.)
2.17. Вычислить массу дуги кривой р = 3 51п <р, <рС
€ [0; л/4], если плотность в каждой ее точке пропор-
циональна расстоянию до полюса и при <р = л/4 равна 3.
( Ответ: 9(2 — д/2) /2.)
2.18. Вычислить координаты центра масс однородной
дуги первого витка винтовой линии х = соз I, у = з(п I,
г = 21. (Ответ: (0, 0, 2л).)
2.19. Вычислить моменты инерции относительно коор-
динатных осей дуги четверти окружности х — 2 соз I, у =
= 2з1п I, лежащей в первом квадранте. (Ответ: 1х = 2л,
1У — 2л.)
2.20. Вычислить координаты центра масс дуги первого
витка винтовой линии х = 2 соз I, у — 2 з!п I, г = I, если
линейная плотность в каждой ее точке пропорциональна
аппликате точки и в точке I = л равна 1. (Ответ: (0, —2/л,
4л/3).)
2.21. Вычислить массу дуги четверти эллипса х2/4 4~
4~у2=1, лежащей в первом квадранте, если линейная
плотность в каждой ее точке равна произведению коорди-
нат этой точки. (Ответ: 14/9.)
2.22. Вычислить работу силы Р = ху1 -|- (х 4- у)] при
перемещении материальной точки по прямой у = х от
точки (0, 0) до точки (1, 1). (Ответ: 4/3.)
2.23. Вычислить статический момент относительно оси
Ох однородной дуги цепной линии у = (ех 4- е~х)/2, х^
е[0; 1/2]. (Ответ: (е — 1/е-|-2)/8.)
2.24. Вычислить работу силы Р = (х — у) 1 -|- х( при пе-
ремещении материальной точки вдоль контура квадрата,
образованного прямыми х=±1, у=±1. (Ответ: 8.)
2.25. Вычислить статический момент относительно оси
Ох однородной дуги кардиоиды р = а(1 4- соз <р). (Ответ:
32а2 /5.)
2.26. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды
х = 3(1 — з1п I), у — 3(1 — соз /). (Ответ: 24.)
2.27. Вычислить работу силы Р = (х 4- у) 1 — х] при пе-
ремещении материальной точки вдоль окружности х =
= 2 соз /, у = 2 31п I по ходу часовой стрелки. (Ответ: 8л.)
2.28. Вычислить работу силы Р = у\ 4- (х 4* У) 1 при пе-
ремещении материальной точки из начала координат в
точку (1, I) по параболе у — х2. (Ответ: 17/12.)
2.29. Вычислить работу силы Р = (х — у)1-(-2у] при
перемещении материальной точки из начала координат
в точку (1, —3) по параболе у =—Зх2. (Ответ: 10,5.)
2.30. Вычислить моменты инерции относительно осей
координат однородного отрезка прямой у = 2х, заключен-
ного между точками (1, 2) и (2, 4). (Ответ: 1х = 23~\[з/3,
1у = 775/3.)
Решение типового варианта
I» Показать, что выражение
является полным дифференциалом функции и(х, у). Найти
функцию и(х, у).
► Проверим, выполняется ли условие полного диффе-
ренциала (— == —для функции и(х, у). Имеем:
дР ___ д / у ___________ А ___ 1+ х2у2 — у ‘2х2у _ 1 — х2у2
+7 ~ 17 \ 1 + х2у2 ) (1 +*2у2)2 0++/7 ’
д() __ д / х ___________ 1ОЛ __ ' + %2У2 — х ’ ' — х2у2
дх дх \ 1 + х2у'2 ) (1 + х2у2у (1 х2у2)2
Данное выражение является полным дифференциа-
лом функции гг(х, у). Положив х0 = 0, у о = 0, по формуле
(14.16) найдем и(х, у):
“(х, у)=\(-\)<1х+\ (—-1О\с1у + С =
= — х|о + (агс!ё ху — 10у)^+С= —х + агс<ёху —
- Ю// +С.
(ультат вычислений верен, если
^И. = Р(х. у). ±0^. = <}(х, у).
Сделаем проверку:
-*: + агс!§ хг/— 10г/+ С) = — 1 + г~,
дх 1 + х2у
-^-(—х+агс^ху— 10г/ + С) = —— 10.
<3у 1 + -V у
Итак, г/(х, у) — агс!§ ху — х — 10г/ 4- С. ◄
2. Вычислить моменты инерции относительно осей
координат однородного отрезка прямой 4х + 2г/ == 3, лежа-
щего между точками (0, 3/2) и (2, —5/2).
► Используя общие формулы для вычисления момен-
тов инерции, последовательно находим:
1Х = $ у2сИ,
где Ь: 4х + 2у = 3, у=— 2х+-|-, <11=^/§<1х.
о
_ _ / 125 27 ч _ 49 ^5
~ ~8~) 24~’
/у = ^х2<//, 1у=^Цх2<1х =л/5-^|^ = -^. «
I О
14.4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 14
1. Найти длину дуги конической винтовой линии
х — ат* соз I, у = ае1 з1п I, г = ае‘ от точки 0(0, 0, 0) до
точки А (а, 0, а). (Ответ: сп/з.)
2. Найти массу участка цепной линии у = аск(х/а)
между точками с абсциссами Х| =0 и Х2 — а, если плот-
ность линии в каждой ее точке обратно пропорциональна
ординате точки, причем плотность в точке (0, а) равна
у. (Ответ: уа.)
3. Определить массу эллипса х2/9 + у2/Ь — 1, если
линейная плотность в каждой его точке равна |у|. (Ответ:
4 + —- агсзт -4—.
М 3
4. Найти координаты центра масс первого полувитка
винтовой линии х = а соз I, у = а З1п I, г — Ы, считая плот-
ность в каждой ее точке постоянной. (Ответ: (0, 2а/л,
6л/2).)
5. Вычислить моменты инерции относительно коорди-
натных осей и начала координат четверти однородной
окружности у = 2 соз /, г = 2 з!п I, лежащей в первом
квадранте плоскости Оуг. (Ответ: 1х —1У —2л, /о —4л.)
6. Найти момент инерции относительно оси Ох первого
витка винтовой линии х — а соз I, у = а зш I, г = А//(2л).
(Ответ: (а2/2 + /г2/3)д/4л2а2 Д- /г2.)
7. Проверить выполнимость формулы Грина для инте-
грала
ф (х + у) йх — 2х<1у,
А
если Ь — контур треугольника со сторонами х = 0, у = 0,
х + у = а.
8. Применив формулу Грина, вычислить интеграл
ф уЧх Д- (х Д- у)2(1у
1-АВС
по контуру треугольника АВС с вершинами Л (2, 0), В(2, 2)
и С(0, 2). (Ответ: 16/3.)
9. Доказать, что
5 (ух3 Д- еу) ах Д- (ху3 Д- хеу — 2у) Лу = 0,
А
если Ь — замкнутая линия, симметричная относительно
начала координат.
10. Доказать, что численное значение интеграла
(2ху — у) йх Д- х2<Уу,
А
где В — замкнутый контур, равно площади области, огра-
ниченной этим контуром.
11. Доказать, что интеграл
Д X + у2
А
где А — любой замкнутый контур, «пробегаемый» в поло-
жительном направлении и охватывающий начало коорди-
нат, равен 2л.
12. Найти функцию по данному полному дифферен-
циалу
Ли = еу/гс1х Д- аУ + + е~* ~
- {х±\}У еу/г^ аг
(Ответ: ау/г (х Д- 1) + еуг — е~г.)
15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
15.1. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА.
ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ И ГРАДИЕНТ
Отображение, которое каждому числу I 6 Т 6 К ставит в соответ-
ствие по некоторому правилу единственный вектор г, называется век-
торной функцией или вектор-функцией скалярного аргумента I. Ее
принято обозначать г = г(/)- Множество Т называется областью опре-
деления функции г(/). В качестве Т обычно берут некоторый отре-
зок [а; Ь| или интервал (а; Ь) числовой оси. Число I также называют
параметром.
Как и любой постоянный вектор, вектор-функцию скалярного
аргумента г(/) при любом фиксированном значении I можно одно-
значно разложить по .базису 1, ), к:
г = г (1) = х(1) 1 + у (!)( + г (0 к. (15.1)
Очевидно, что координаты х, у, г вектор-функции г = г(() в этом
базисе являются функциями: х(/), </(/), г(/), область определения ко-
торых совпадает с Т. Поэтому имеют место три скалярных равенства:
х = х(‘\ У = г = г(/).
(15.2)
Если вектор г откладывать из одной точки О при различных
значениях I 6 Т, то его конец Л1(/) опишет в пространстве, вообще
говоря, линию, которая называется годографом вектор-функции г =
= г(1). Точка О называется полюсом годографа. Равенство (15.1) назы-
вают в этом случае векторно-параметрическим уравнением годографа,
а равенства (15.2) —его параметрическими уравнениями (рис. 15.1).
Приведем несколько примеров.
11. Годографом, задаваемым
В случае, когда / — время,
длины, равенства (15.1) и (1!
векторно-параметрическим уравне-
нием вида г = г(/) = Го + 5/, где
Го — радиус-вектор точки Л10(х0, у0,
г0), в — некоторый заданный вектор,
является прямая в пространстве,
проходящая через точку Л10, с на-
правляющим вектором в (см. урав-
нение (3.6) и рис. 3.1 в первой
части настоящего пособия).
2. Годограф, задаваемый пара-
метрическими уравнениями х =
= а соз I, у = ач'\п1, г = Ы (/(
(—оо; оо), а, Ь — постоянные),
является винтовой линией, распо-
ложенной на круговом цилиндре
радиусом а с осью Ог (см. также
§ 4.3 в первой части пособия),
а х(1), у(1), г(1) имеют размерность
.2) называются соответственно век-
торно-параметрическим и параметрическими уравнениями движения
точки, а соответствующий им годограф — траекторией ее движения.
Если
Нт х(1) = Л'о, Нт </(/) = </о, 11тг[0 = г»,
I --*(> (-*-(о (—* (и
то вектор г<> = х01 + (/о) + гок называется пределом вектор-функции
г(1) в точке I = /0- В этом случае пишут: Нт г(/) = Го.
1—^1 и
Если 1йп г{/) = г(/о), то векторная функция г(1) называется непре-
I —*( и
рывной в точке I = I».
Если Д( =#= 0— произвольное приращение параметра, то Лг(/) =
= г(( 4- Л/) — г(/) называется приращением вектор-функции г(/).
Если существует предел
Лг(/) г(/4-Л/) —г(/)
Нт--------- = Нт -----------------,
д/—о Л/ л/^о Л/
то он называется производной вектор-функции г(() в точке I и обозна-
чается г'(0, или г((), или йг(1)/с11.
Вектор г'(/) всегда направлен по касательной к годографу функции
г(() в сторону возрастания параметра I. С механической точки зрения
г'(0 есть вектор мгновенной скорости движения материальной точки по
траектории, являющейся годографом функции г = г((), в момент вре-
мени I в точке Л1(() (см. рис. 15.1).
Если существуют производные х'(I), у'(1) и г'(/), то существует
г'(() и
г'(/) = х'(1)1 + у'(1)] + г'(/)к. (15.3)
Так как вектор г'(/о) направлен по касательной к кривой в точке
Мо(Ф), определяемой уравнениями (15.2), то уравнения касательной
к этой кривой в точке Л1о запишутся следующим образом:
х — Х(Ч = У ~ У (1а) = г — г(/0) ((_
•г'(Ф) У’ (Ф) г’ (1и)
Плоскость, перпендикулярная к касательной и проходящая через
точку касания Лфц/и), называется нормальной плоскостью к кривой в
этой точке, а ее уравнение имеет вид
х'(1п)(х ~ Л-(Ф)) + у'(1а)(у — у(1а)) + г'(/0)(г — г(1ф) = 0. (15.5)
Для векторных функций скалярного аргумента справедливы следую-
щие правила дифференцирования:
') (Г|(0 + г2(/))' = г((/) + г^(/);
2) (Сг(())' = Сг'(1), С = сопз1;
3) (г, (I) г2(/))' = г((/) • г2(() + г,(/) - г'2(1);
4) (г|(/) X г2(7))' = гф) X г2(() + щ(7) X г2(().
Пример I. Найти производную вектор-функции г(() = (сов(— 1)1 +
+ 81П2 /( + (^ /к в точке I» = л/4.
► Из формулы (15.3) следует, что
г'(I) — — 81п И + 2 8Ш I сое -|----— к.
соз I
»1 . / Л \ ‘ .
I 1оэтому г ( — ) =---— । + 1 + ^к. Ч
к 7 Л'2
Пример 2. Составить канонические уравнения касательной и урав-
нение нормальной плоскости к кривой, заданной параметрическими
уравнениями х = — 1, у = 21' + 3/ -|- 2, г = I' + I, в точке Мо,
определяемой значением параметра /о = 1.
► Находим вектор г'(/0) = (х'(1), 1/(1), г'(1)) = (4, 7, 2). Пара-
метру I» = 1 на кривой соответствует точка Л/0(х(1), у(1), ?(!)), т. е.
Л1/1 ;-.7, 2). Согласно формулам (15.4), (15.5), уравнения касательной
имеют вид
х— 1 у — 7 г — 2
4 — 7 ~ 2 ’’
а уравнение нормальной плоскости
4(х- 1) + 7(</-7) + 2(г-2) =0. <4
Переходя к понятию производной функции по направлению, отме-
тим, что направление в пространстве можно задавать единичным век-
тором — (соз а, соз 0, соз у), где а, р, у — углы, образованные
вектором з° и осями Ох, Оу, Ог соответственно.
Если дана функция « = [(х, у, г), определенная в некоторой окрест-
ности точки Л4о(хо, у», го), радиус-вектор которой г0 = (х0, уо, го), то
Н]П Кг,1 + з|,/)-)(г0)
/^0 /
если он существует, называется производной функции и — }(х, у, г)
в точке Мо(хо, уо, ги) по направлению вектора ь" и обозначается
ди(Мо)
—т. е. по определению
ди(Мр) __ )'(г0 ф- 8°/) — /(Гр)
дк 1ч-0 I
Справедлива следующая формула:
ди)Ма) ди(М0) , ди(Мв) ди(М0) . 1СС,
---з = —- соз а И )—- соз р Н-;—-созу. (15.6)
дз-------------------------------------------дх-ау дг
В случае функции двух переменных г = /’(х, у) формула (15.6)
упрощается:
дг(Л40) дг(Мо) дг{Мв)
д.ч дх ду ' '
где 8° = (соз и, соз 0); р = л/2 — а.
Частные производные функции и = ((х, у, г) являются производ-
ными этой функции по направлениям координатных осей. С физической
точки зрения ди/дз можно трактовать как скорость изменения функции
и в данной точке в заданном направлении.
Производной вдоль кривой 7. называют производную по направлению
ориентированной касательной к кривой 7., вычисленную в точке касания.
Всякой дифференцируемой функции и = [(х, у, г) соответствует
вектор с координатами ди(М)/дх, ди(М)/ду, ди(М)/дг, который назы-
вается градиентом функции и в точке М и обозначается ^гас! и. Та-
ким образом, по определению
, / ди ди ди \ ди . ди . , ди , ,, _ „
егад и -г—) +-т-к. Ь.8)
\ дх ду дг ) дх ду дг
Если 8° = (соз а. соз р, соз у), то из формул (15.0) и (15.8)
имеем
ди(М)
дя
= и з” = пр 5« ^гад и (М).
Из этой связи между производной по направлению и градиентом функ-
ции и=1(х, у, г) (или г = 1(х, у)) следует, что:
1) градиент функции и (или г) направлен в сторону максималь-
ного возрастания ее значений, т. е. ди/дя (или дг/дя) имеет наибольшее
значение в направлении градиента (рис. 15.2);
2) если единичный вектор 5° перпендикулярен к ^гаф и (или
цгай г), то ди/дя = 0 (или дг/дя = О) (см. рис. 15.2) ;
3) вектор- (гга<1 н(М) (или 0та<1 г(М)) имеет направление нормали
в точке М поверхности (или линии) уровня функции и (или г)
(рис. 15.3, а. 6).
М 5° э и/М) 8
25
Рис. 15.2
Рис. 15.3
Градиент любой дифференцируемой функции обладает следующими
свойствами:
1) ега<1 («' + “«I + Кгад и>\
2) ^га4 Си = С (ггад и, С = сопз!;
3) (тга<1 (И1«2) = «2 егад и, + (тга<1 их
Пример 3. Найти производную функции и = дД2 -р г/2 г2 в точке
М{(— 2, 3, 6) по направлению к точке Л12(— 1, 1, 4).
► Частные производные функции и в точке /И,:
ди(М>) _ х I _ 2
дХ л[х2 + у2 + г2 ' 7 ’
ди(Л11) _ у I _ 3
Г~2 । > । ~ м, 7
7 л1х + гг + г- 1
ди(М1) _____ г I 6
<2г / -> . 2 II, 7
\х + У' + г- '
Единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором
равен
_ ,-И,ЛЬ / I _ _2_ __ _2\
|Л1Ж| ^3 3’ л'
Тогда по формуле (15.6) получаем
ди(М\) 21,3/ 2 \ , 6 / 2 \ 20
дз + + 4
Пример 4. Вычислить производную функции г = агс(к(ху) в точке
Л4о( 1, 1), принадлежащей параболе у = х', по направлению этой кривой
(в направлении возрастания абсциссы).
► За направление к" параболы у — х~ в точке Л4(1(1, 1) берем
направление касательной к параболе в этой точке, задаваемое углом
а, который касательная составляет с осью Ох. Тогда имеем:
у' (х) = 2х, а = / (1) = 2,
1 1 1е а. 2
соз а — —, ~ З1п а -- —
V1 +“ V5 VI + V2« V5
Находим частные производные функции г в точке М»:
дг(Мр) _ у I _ 1 дг(Л4р) __ х I _ 1
дх 1 + х2у~ I Л|о 2 ду 1 + хгу2 I м„ 2
Подставив полученные значения в формулу (15.7), имеем
ди(М0) _ _1_ 1 _1_ 2 _ 3
да 2 ’ 2 /Г— о Г'
-у5 -у 5 2-\'5
АЗ-15.1
1. Найти значение производной вектор-функции г =
= 4(/2 + + агс!§ I] ф- 1п (1 ф- /2)к при /=1. (Ответ:
гЧ0 = 121 Н-гу ] + к.)
2. Дано векторно-параметрическое уравнение движе-
ния точки М: г = г(/) = (2/2 + 3) 1 — З/2] + (4/2 — 5) к. Вы-
числить скорость |у| и ускорение |ш| движения точки
в момент времени /=0,5. (Ответ: |у| =д/2Д |\у| =
= 2-729)
3. Дано уравнение движения материальной точки:
г = 2 соз /I + 2 81п I] + 3/к. Определить траекторию дви-
жения, вычислить скорость |у| и ускорение |ш| движения
этой точки в любой момент времени I. (Ответ: х = 2 соз /,
у = 2 81П I, 2 = 31 (винтовая линия); | V| = _\/Тз~, | ш| =2.)
4. Записать канонические уравнения касательной
прямой и нормальной плоскости к кривой г = /1ф-/2.(ф-
, .з, , х— 1 </ —9 г —27 ,
ф- гк в точке I = 3. ( Ответ: —•— = , х ±
1 у 1 6 11
+ бу + 27г = 786.)
5. Записать канонические уравнения касательной пря-
мой и нормальной плоскости к кривой, заданной урав-
нениями г = х2-\-у2, у = х в точке Мо(1, 1, 2). (Ответ:
= х + у + 4г= 10)
6. Доказать, что вектор г перпендикулярен к вектору
г', если | г| = сопз1.
7. Вычислить производную функции Л/ = 1п (3 — Х2) +
ф- ху22 в точке М|(1,3, 2) по направлению к точке Мг(0, 5,
0). (Ответ: —11/3.)
8. Вычислить производную функции г = ~\/х2 ф- у2 в точ-
ке М0(3, 4) по направлению: а) вектора а =(1, 1); б) ра-
диуса-вектора точки Мо; в) вектора 8= (4, 3). (Ответ:
а) 7д/2/2; б) 1; в) 0.)
9. Вычислить производную функции г = агс{§ (р//х) в
точке М0(2, —2) окружности х2 ф- у2 = 4х вдоль дуги этой
окружности. (Ответ: ±1/4.)
10. Вычислить производную функции и = 1п (ху ф- хх ф-
ф- ух) в точке Мо(О, 1, 1) по направлению окружности
х = соз /, у = 81п I, х = 1. (Ответ: ±2.)
11. Вычислить координаты единичного вектора, направ-
ленного по нормали к поверхности (г2 — х2)хух— у2 = 5 в
точке Мо(1, 1, 2). (Ответ: ±(—-—, —!—, —-—У')
' ' 3 д/ПГ 3 т/м Зд/14 ' '
12. Найти ^га<1 и в точке Мо(1, 1, 1), если и = х2ух—
— ху2х-(-хух2. (Ответ: ^га<1 и = 21 — 2|ф-2к.)
13. Найти угол гр между градиентами функций и =
= -|- х2 ф- Зу2 — 2г2 и V = х2ух в точке Л4о(2, 1 /3, д/з/2).
(Ответ: гр = л/2.)
14. Найти наибольшую крутизну подъема ф поверх-
ности г = 2х2/у3 в точке Мо(2, 1, 8). (Ответ: (§<р =
= 8д/10, ф~87°40'.)
Самостоятельная работа
1. 1. Вычислить производную функции И ==%+ 1п (у2 +
-|-г2) в точке Л40(2, I, 1) в направлении вектора 8 =
= —21-Н~ к. (Ответ: — -д/б/3.)
2. Вычислить координаты единичного вектора,
перпендикулярного к поверхности ху хг уг = 3 в точ-
ке Мо(1, 1, 1). (Ответ: ±(1/л/з, 1 /дД 1/л/з).)
2. 1. Вычислить производную функции г = агс1§(х2у)
в точке Л4о(1, 4) параболы у = х~ в направлении этой
кривой. (Ответ: ±2дД/17.)
2. Найти наибольшую крутизну ср подъема поверх-
ности г = 5х2— 2ху + у2 в точке Мо(1, 1, 4). (Ответ:
1д Ф = 8, <р « 83°.)
3. I. Записать канонические уравнения касательной
прямой и нормальной плоскости к линии, заданной век-
торно-параметрическим уравнением г — соз2 Н -ф- зш2I] -ф-
-ф-/к в точке I = л/4. (Ответ: -х Д’5 = г/-~ °’^ =
= -г ~, х — у — 2г -ф- 2 = 0.)
2. Найти наибольшую крутизну ср подъема поверх-
ности 2 = х‘у-+-ху2 в точке Л40(1, 3, 12). (Ответ: 1§ф =
= ДД Ф«87°.)
15.2 СлАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
Если в каждой точке М (х, у, г) пространства Кэ (или его части V)
определена скалярная величина и = /(х, у, г), то говорят, что в Я3 (или
I7) задано скалярное поле и = и(М). Это значит, что всякая числовая
функция и(М) = /'(х. у, г), заданная в некоторой области V пространства
К3, определяет в этой области скалярное поле. Функция двух переменных
г = /(х, у) задает в некоторой области Г) плоскости Оху скалярное
поле, называемое плоским.
Графически скалярное поле можно изображать с помощью по-
верхностей уровня )(х, у, Х) = С или линий уровня [(х, у) = С (см.
рис. 15.3).
Для всякой функции и — /\х, у, г), дифференцируемой в точке
А1о(хо, уо, го), число ди^М^/дз определяет скорость изменения ска-
лярного поля в направлении з° = (соз а, соз р, соз у) (см. формулу
(15.6)).
Если в каждой точке М(х, у, 2) пространства В’ (или его части V)
определен вектор а=(Р, С), Р), где Р — Р(х, у, г), ()= ()[х, у, а),
Р = Р(х, у, г) — скалярные функции, то говорят, что в этом простран-
стве (или в I7) задано векторное поле а = а(М). Если функции
Р(х, у, г), Щх, у, г), /?(х, у, г) непрерывны, то поле вектора а называется
непрерывным.
Примерами векторных полей являются поле скоростей текущей
жидкости, поле скоростей точек твердого тела, вращающегося с угло-
вой скоростью г» вокруг данной оси, поле электрической или магнитной
напряженности н др.
Линия, в каждой точке М которой вектор а(М) векторного поля
а = а(М) направлен по касательной к линии, называется векторной
(силовой) линией этого поля.
Примерами векторных линий могут служить линии тока жидкости,
силовые линии магнитного поля, траектории точек вращающегося
пространства.
Область пространства, целиком состоящая из векторных линий,
называется векторной трубкой. В каждой точке М поверхности вектор-
ной трубки вектор а лежит в касательной плоскости в точке Л1 к этой
трубке.
Векторное (или скалярное) поле, координаты которого не зависят от
времени, называется установившимся или стационарным.
Если г(1) — радиус-вектор векторной линии векторного поля
а = а(М), то уравнения векторных линий определяются из системы
дифференциальных уравнений:
^х_ = ^У_ йг (15 9>
Р () Р
Пример 1. Найти векторную линию векторного поля 'Л(М) =
= —у1 4- х| -ф Ьк, проходящую через точку Л4о(1, 0, 0).
> На основании формулы (15.9) получаем систему дифференци-
альных уравнений
ах. йу йг
— у ~ х Ь '
Решаем ее:
------ — хс^х + У<1у = 0, х2 4- уг = С2
илн, в параметрическом виде, х = С1 соз !, у = С{ зш I;
йу __ йг йг
х Ь ’ Ь
С, соз 1с11
С । соз I ’
йг = Ьс11, г = Ы Сг.
Так как векторная линия должна проходить через точку Мо(1, 0, 0),
то легко находим, что постоянные интегрирования С| = I, Са = 0.
Уравнения векторной линии векторного поля а = а(Л1) имеют вид х =
= соз /, у — 31П I, г = Ы (винтовая линия).
Векторное поле, порожденное градиентом скалярного поля и(М) =
= 1(Х, у, г) (или 2(М) = [(х, у)), называется полем градиента. Со-
гласно свойству 3 градиента, векторные линии и(М) (или
ёгад г(М)) —это кривые, вдоль которых функция и -= /(х, у, г) (или
г =/(х, у)) максимально возрастает (убывает) Эти линии всегда орто-
гональны к поверхностям (или линиям) уровня скалярного поля и(М)
(или г(М)).
Дифференциальные уравнения для определения векторных ли-
ний цгас! и(М) имеют вид
= = (15.10)
и'х и'у и'х
Пример 2. Найти векторные линии поля ёга<1 и. если и = (х2 3 4 ф-
+ У + г~)/2-
► Согласно определению (15.8), ^гаН и = И ф- у} ф- гк, а из формул
(15.10) следует, что векторные линии этого поля удовлетворяют си-
стеме дифференциальных уравнений
(1х <Лу (1г
х у 2
Находим решения этой системы:
—— = 1п |</| = 1п |х| ф-1 п С|, у = С\Х,
х у
А? ^Х I I I >11,,/' г
— = —, 1п |г| = 1п |х| ф- 1п С>, г = С?х.
г х
Полученные решения у = С\х, г = С^х можно представить в виде
х у г .
— = 7^ = 7^, т. е. векторные линии заданного поля 6гаа и(М) пред-
I 'л 'л
ставляют собой совокупность прямых, проходящих через начало ко-
ординат и ортогональных множеству поверхностей уровня х2 ф- у2 ф-
ф- г2 = 2С (сферы) данной функции. Ч
АЗ-15.2
1. Записать уравнения и построить поверхности уровня
скалярных полей, определяемых следующими функциями:
а) и = агссоз—-г - : б) и = 1п(х2 + у2 + г2);
V*2 + /
в) и = г/(х2 + у2).
2. Построить линии уровня плоского скалярного поля
г = ху.
3. Найти градиент скалярного поля и = с • г, где с —
постоянный вектор; г — радиус-вектор точки М(х, у, г).
Записать уравнение поверхностей уровня этого поля и
выяснить их расположение относительно вектора с.
4. Найти производную скалярного поля и = х2у2—
— ~\/х2 г2 в точке М(— 3, 0, 4) в направлении нормали
к поверхности 2х2 + 12х -ф- 5у2 -ф г2 — Зг — 58 = 0, обра-
зующей острый угол с осью Ог. (Ответ: —4/5.)
5. Найти векторные линии векторного поля а(М) =
= ыу1 + ых], где (о С К, <о^0. (Ответ: х2-—у2 = С\,
2 = С2.)
6. Найти векторные линии векторного поля, если:
а) а(М) = 5х! + 10^; б) а(М) = 4х] — 9ук.
(Ответ: а) х2==С\у, г=С2; б) 9у2 + 4г2 — С2, х=С2.)
7. Найти векторные линии поля ^га<1 и, если и —
= х2 — 2у 4- г2. (Ответ: х = €>6' у, х = Сге~у.)
Самостоятельная работа
1. 1. Найти векторные линии векторного поля а(Л4) =
= (х + у)1 — х] — хк. (Ответ: х2 4- у2 4- г2 = С2, у — х =
= С,.)
2. Вычислить координаты единичного вектора,
перпендикулярного к поверхности х — х2-(-у2 в точке
Мо(— 1, 1, 2) и образующего с осью Оу острый угол. (От-
вет: ( — 2/3, 2/3, -1/3).)
2. 1. Найти векторные линии поля ^га<1 и, если и =
~х + у2. (^Ответ: х = у 1п у 4- С\, х = С2.)
2. Вычислить координаты единичного вектора п°,
перпендикулярного к поверхностям уровня скалярного
поля и — 2х — Зу 6г — 5 и образующего с осью Ох тупой
угол. (Ответ: п° = (— 2/3, 3/7, —6/7).)
3. 1. Найти векторные линии векторного поля а(М) =
= 2x1 4- 8гк. (Ответ: х=С\х4, у = С2.)
2. Записать единичный вектор п°, ортогональный к
поверхностям уровня скалярного поля и — х2 у2
+ х2 4- 4. (Ответ: п° = (хД/х2 4~ У2 + г2, у/^х2 4- у2 4- х2,
^/х/х2 +у2 + х2).)
15.3. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Пусть [(х, у, г)— непрерывная функция в точках некоторой гладкой
поверхности 5 Е К3. С помощью кусочно-гладких линий разобьем по-
верхность 5 на п элементарных площадок 3,, площади которых обозна-
чим через АЗ, (I = 1, п), а диаметры — через 0 3,. На каждой площадке
3, выберем произвольную точку МДх,, у:, г,), вычислим /(х,, у„ 21) и со-
ставим интегральную сумму
/Я = X 1\Х1, У1, 2^5).
1= I
Тогда существует предел этой интегральной суммы, который называется
поверхностным интегралом первого рода от функции }(х, у, г) по поверх-
ности 5 и обозначается
й((х, у, г)с!3 = Пт 2 [(х,, у„ г,)АЗ.. (15.11)
5 г;5. -0 <= ।
Поверхностные интегралы первого рода обладают свойствами ли-
нейности, аддитивности, для ннх справедлива теорема о среднем, их
величина не зависит от выбора стороны поверхности.
Очевидно, что интеграл равен площади поверхности, а Цб(х,
5 5
у, г)<13, где 6(х, у, г) — поверхностная плотность поверхности 3, — массе
поверхности 3.
. Если проекция О поверхности 3 на плоскость Оху однозначна,
т. е. всякая прямая, параллельная оси Ог, пересекает поверхность 3
лишь в одной точке, то поверхность можно задать уравнением г =
= Р(х, у) и справедливо равенство, с помощью которого вычисление
поверхностного интеграла первого рода сводится к вычислению двойного
интеграла:
у, г)с/5 == у), Р(х, +\?$-си(1у. (15.12)
5 Р
Пример I. Вычислить Цд/х2 Ц- у2 (18, где 5 — часть конической
5
поверхности х~ -}- у2 = г2, расположенная между плоскостями г —0 и
2 = 2.
► Из уравнения данной поверхности находим, что для рассматри-
ваемой ее части г — ух2 у2 и проекцией ее на плоскость Оху является
круг х2 у1 -С. 4. Так как
Е; = х/х]х2 -I- у2, Ру = у/ \х‘ + у2,
то из формулы (15.12) получим
(( у2 йЗ =(( х/х^+^г -1/1 + - дхду =
33 33 V X2 4- (/-
5 5
= ^+у2дхду =| Ху = Р “5 * | = р'-^ф =
О о
2л 2
д/2^ Лр^ (>2др = Д. 2л • —
о »
Сторона гладкой поверхности 3, из каждой точки которой вос-
ставлен вектор нормали п, называется положительной, а другая ее
сторона (если она существует) — отрицательной. Если, в частности,
поверхность 5 является замкнутой и ограничивает некоторую область
пространства V, то положительной или внешней стороной поверхности
234
называется та ее сторона, нормальные векторы которой направлены
от области И, а отрицательной или внутренней — сторона, нормальные
векторы которой направлены в область V. Поверхность, у которой су-
ществуют положительная (внешняя) и отрицательная (внутренняя)
стороны, называется двухсторонней. Двухсторонние поверхности харак-
теризуются следующим свойством: если основание вектора нормали п
непрерывно перемещать по любому замкнутому контуру 0, лежащую па
такой поверхности, то при возвращении в исходную точку направление
п совпадет с исходным (рис. 15.4). Двухсторонними поверхностями
являются плоскости, все поверхности второго порядка, тор и многие
другие.
Для односторонних поверхностей указанное перемещение нормали
п при возвращении в исходную точку приводит к «антннормали», т е.
к вектору —п. Классическим примером односторонней поверхности
является лист Мёбиуса (рис. 15.5).
Поверхность 5 с выбранной стороной называется ориентированной.
Если .поверхность 5 задана уравнением г = [(х, у), то нормальный
вектор п, образующий с осью Ог острый угол у, определяется следующим
образом: п = ( — )'х, —)!,, 1), а координаты единичного вектора нормали
п° равны его направляющим косинусам, т. е.
11е = (------------Др-, -р!—) = (соз а, сов р, сов у),
\ |п| |п| |п1 )
|п| = д/1 + /Т -Уу'а
Если поверхность 5 задана уравнением К(.г, у, г) = 0, 0, то
гГ = ±^гас! Р/\^гад р\.
-где знак «-|~» берется в случае, когда угол у — острый, а знак <' —»
в случае, когда у — тупой.
Пусть в области V (Е К" определена векторная функция а = Р\ ф-
ф- (?) ф- /?к, где Р = Р(х, у, г), О = (у(х, у, г), Р- = Р(х, у, г) — функции,
непрерывные в области V. Далее, пусть 5 — некоторая гладкая поверх-
ность, лежащая в области V, с выбранной положительной стороной,
т. е. выбранным направлением вектора п°. Разобьем поверхность 5 при-
надлежащими ей кусочно-гладкими линиями на элементарные площадки
5,, площади которых \5, (/= 1, и), и выберем в каждой из них произволь-
ную точку М,(х,, у,, г,). Тогда существует предел
Нт 2 а(х/, у„ г,)-п°(х<, у., х()Д5<, (15.13)
0Л5.-+О <= 1
который называется поверхностным интегралом второго рода от функции
а по поверхности 5 и обозначается ЭДа-п°<78. Таким образом, по опре-
5
делению
\\а • п (18 = ЭД(Р соз а + <2 соз ₽ + /? соз у)<18. (15.14)
3' 5
Поверхностные интегралы второго рода обладают свойствами ли-
нейности и аддитивности. При изменении стороны поверхности на про-
тивоположную, т. е. при замене п° на — п°, интеграл (15.14) изменяет
знак.
Так как соз а<13 = Лудг, соз (к/8 = <1:л1х. соз у<13 — с1хс1у, то ин-
теграл (15.14) можно записать и в виде
ЭДа • п°дЗ — '\\Р<1у<1г ± 0с1хУ.г ± Р<1х<1у. (15.15)
5 5
Справедлива следующая формула, сводящая вычисление интеграла
(15.14) к вычислению двойного интеграла:
ЭДа • п°^8 = ЭД а(х, у, г)-п(х, у, г)(1х(1у, (15.16)
5 О,
где область Ог является проекцией поверхности 8 на плоскость Оху;
п = ±йгаб^ — )з(х, у)); поверхность 8 задается функцией г = }3(х, у).
В двойном интеграле переменную г следует заменить на /з(х, у). При-
ведем еще две формулы, которые можно применять для вычисления
поверхностного интеграла второго рода:
ЭДа • п°<78 = ЭД а(х, у, г)-п(х, у, г)дуд2 =
5 О,
= ЭДа(х, у, г)-п(х, у, г)дгдх, (15.17)
о,
где области Ох и О,, — соответственно проекции поверхности 8 на
плоскости Огу и Ох г; поверхность 8 задается функциями х = /| (у, г)
ну = /з(х, г). В двойном интеграле по области О, следует в подынтеграль-
ном выражении заменить х функцией /45/, г) и принять п = ±ёгас!(х—
— г))< а в двойном интеграле по О:/ — заменить у функцией /у(х, г)
и взять п = ±8гад(у — /2(х, г)). Отметим, что в выражениях для п знак
« + » или «—» ставится в зависимости от выбранной ориентации (сто-
роны) поверхности 8.
Интегралы в правых частях формул (15.14) и (15.15) рассматри-
вают как сумму трех интегралов, для вычисления каждого из которых
можно применить одну из формул (15.16) или (15.17).
Пример 2. Вычислить
/ = ЭД гс1ус1г — Аудгдх + ёхИхду,
5
где 8 — часть поверхности г = х24“//2+1, отсеченной плоскостью
2 = 2, если нормаль п к поверхности 8 составляет с осью Ог тупой
угол у.
► С помощью градиента находим вектор нормали к выбранной
стороне данной поверхности: п = (2х, 2у, — 1), так как соз у < 0.
По условию а = (г, —4у, 8х2), поэтому, согласно формулам (15.15),
(15.16), имеем (рис. 15.6):
/ = Ц а ш1хс1у — й(2хг — 8у~ — #х~)<1х<1у —
о, />.-
= И(2х(х2 + у2 + 1) — 8(.г2 + у-'))11хау =
и.
I х = р соз ((', 0 < (р < 2л I
= . , ахай — /шршр =
I у = р 81П <р, 0 р 1 , I
— ЭД(2р соз »| Ср2 Н- 1) — 8р2)рб/р(/<р =
йг
I 2л I
= $ ра'р 5 (2рсоз <р(р2 +1) — 8р2)<У<р = — 5 16яр3<Ур = —4л.
о о о
Рис. 15.6
Пример 3. Вычислить
/ = $ хс1ус12 т/лт/т хг2с1хс1у,
8
где 5 — внешняя сторона части сферы х2 -)- у2 -)- г2 = 1, расположенной
в первом октанте.
► Если обозначить проекции поверхности 5 на координатные пло-
скости 0у2, 0x2 и Оху через Ох, Ои и Ог соответственно, а данный
интеграл / рассматривать как сумму трех интегралов:
/, = Цлт/(/</г, 1-2 = ^<7хг/г, /., = хг2с1хс1у,
8 8 8
для первого из которых Р = х, ф = Р = 0, для второго ф = 1, Р = Р =
— 0 и для третьего Р = С? — 0, Р = хг2, то, применив к каждому из них
формулу (15.16) или (15.17), получим
/, = $ — у2 — г2</у<7г, /г = Ц <7х<7г, /з = $ х(1 — х2 — у‘2)с1х(1у.
о, о, о,
Области О,, Оу и Ог являются четвертями кругов единичного ра-
диуса, расположенными в соответствующих координатных плоскостях,
поэтому интеграл Л = Зо, = л/4 (площадь четверти круга). Для вы-
числения интегралов Ц и /з перейдем к полярным координатам, положив
у — р соз <р, г = р зт <р, <7у<7г = р<7р<7<р для Л, х = р соз гр, у = р 31П <р,
</.«/(/ = р<7р<7<р для 1з. В обоих случаях 0^ц>^л/2, 0 г/р I. Тогда
л/2 I
/, = $ у/1 — р2 р<7р<7д> = — (I — р2)|/? • <7(1 — р2) =
О, 0 0
л
7Г ’
я/2 I
Г Г I"
/з —- 1 <7ф V р соз <р (1 — р2) р<7р = зш <р|
о о-,
2
15
Следовательно,
Если 5 — замкнутая гладкая поверхность, ограничивающая об-
ласть V, и Р = Р(х, у, г), 0 = 0(х, у, г), Р — Р(х, у, г) — функции,
непрерывные вместе со своими частными производными первого по-
рядка в замкнутой области И, то справедлива формула Остроград-
ского — Г аусса
Рс1уах ф- Рс1х<1у =
5
V
или в другом виде
§(Р соз а -ф () соз р + Р соз у)<75 =
V
где соз а, соз р, соз у — направляющие косинусы внешней нормали
к поверхности 3.
Формула Остроградского — Гаусса позволяет упростить вычисление
многих поверхностных интегралов.
Пример 4. Вычислить
/ = й (х + у)с1уЛг + (у + г)с1хс1г + (г -ф х)Лх<1у.
5
если 3 — внешняя сторона поверхности тела, ограниченного плоско-
стями х = 0, у = 0, г — 0, х -|- 2(/ 4~ Зг = 6.
► Из формулы (15,18) следует, что
1 = (1 Н- 1 + = 3 ^(1хс1ус1г — 18,
V Г
так как последний тройной интеграл равен объему тетраэдра
(рис. 15.7).
ЛЗ-/5.5
1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
8 л/*2 + у2^5> если 5 — часть поверхности конуса
5
= др , расположенная между плоскостями 2 = 0
и 2 = 3. (Ответ: 160л/3.)
2. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
$ хугйз, где 5 — часть плоскости х + У + 2 — 1, лежащая
5
в первом октанте. (Ответ: д/з/120.)
3. Вычислить массу полусферы г=~\[^—х2— у2,
если поверхностная плотность в каждой ее точке 6 =
= х2у2. (Ответ: 128л/15.)
4. Вычислить массу полусферы 2 =д/'а2 — х2 — у2,
если поверхностная плотность в каждой ее точке 6 =
= х2 + у2- (Ответ: 4ла4/3.)
5. Вычислить поверхностный интеграл второго рода
Ц хУуУг + уЛх(1г + г(1хс1у,
5
если 5 — верхняя часть поверхности х-\-2у-\-г— 6 = 0,
расположенная в первом октанте. (Ответ: 54.)
6. Вычислить
(х + у)йус1г + (у — х^йхйг -(-(г — 2)УхУу,
5
если 5 — часть поверхности конуса х2 у~ — г2 = 0, от-
секаемая плоскостями 2 = 0 и 2=1, нормаль к которой
образует тупой угол с осью Ог. (Ответ: 8л/3.)
7. Вычислить
55 хс1ус1г -ф глс1хс1у,
&
если 5 — внешняя сторона сферы х2 -ф у1 -ф г2 = 1. (Ответ:
32л/15.)
8. Вычислить
55 Х(1ус12 -ф уУх(1х -ф х(1х(1у,
5
если 5 — внешняя сторона цилиндра х2 -фу1 = //' с осно-
ваниями г = 0 и г = Н. (Ответ: Злф2//.)
9. Доказать, что объем тела, ограниченного поверх-
ностью 5,
V = у $ х(1ус/.г -ф ус1х(1г -ф ?(1х(1у,
где 5 — внешняя сторона поверхности 5.
10. Вычислить
55 ух(1х(1у -ф хг(1у(1г -ф ху(1х(1г,
5
если 5 — внешняя сторона поверхности, расположенной
в первом октанте и состоящей из цилиндра х2 -фу2 = /Д
и плоскостей х = 0, у = 0, 2 = 0, г = Н. ( Ответ: /?2/72( у -ф
+ т).)
11. Вычислить
55 угс!.хс1у -ф Х2.с1ус1г -ф хус1хс!г,
если 5 — внешняя сторона пирамиды, гранями которой
ЯВЛЯЮТСЯ ПЛОСКОСТИ X = 0, У = 0, 2 = 0, х + у + 2=1.
(Ответ: 1/8.)
Самостоятельная работа
1. Вычислить 55 (У + 2г)(1х(1у, если 5 — верхняя часть
5
плоскости 6х -ф Зу -ф 2г = 6, расположенная в первом
октанте. (Ответ: 8/3.)
2. Вычислить хухИЗ, если 5 — часть поверхности
5
параболоида 2 = х2 -ф- у\ отсекаемая плоскостью 2=1.
(Ответ: 0.)
3. Вычислить
Ц хс1ус1х + (Зу — — гйхйу,
5
если 5 — внешняя часть поверхности тела, ограничен-
ного поверхностями 2 = 0, х'1-\-у~=\, г = х’ у’ + 2.
(Ответ: 5л.)
15.4. ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ.
ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Потоком векторного поля а(М), М (х, у, т) 6 5 через поверхность 5
в сторону единичного вектора нормали п° = (соз а, соз 0, соз у) поверх-
ности 8 называется поверхностный интеграл второго рода (15.14).
Если вектор а — (Р, Ц, К) определяет векторное поле скоростей
текущей несжимаемой жидкости, то интеграл (15.14) равен объему
П жидкости, протекающей через поверхность 5 в направлении нормали
п° за единицу времени (в этом заключается физический смысл ин-
теграла (15.14)), т. е.
П = Ца(/Я) • п°<А$.
5
(15.20)
Из формулы (15.20) ясно, что П — скаляр, и если угол ф =
= (а^п0) < л/2, то П > 0, если же ф > л/2. то П < 0, если ф — л/2,
то /7 = 0.
Прн изменении ориентации поверхности знак П меняется на про-
тивоположный (вследствие свойств поверхностных интегралов второго
рода).
Пусть 5 — замкнутая кусочно-гладкая поверхность, единичный
вектор внешней нормали к которой п°. Тогда ноток П вектора а =
= (Р, (), Р} через поверхность 5 можно вычислить с помощью формулы
Остроградского — Гаусса ((5.18):
5 Г
Пусть а(Л4) — поле скоростей несжимаемой жидкости. Если П > 0,
то из формулы (15.21) следует, что из области V вытекает больше
жидкости, чем втекает. Это означает, что внутри области V имеются
источники, т. е. точки, из которых жидкость вытекает. Если // < 0, то
из области V вытекает меньше жидкости, чем втекает в нее. В этом случае
говорят, что внутри области V имеются стоки, т. е. точки, в которые
жидкость втекает. При П — 0 в область V втекает столько же жидкости,
сколько вытекает.
Пусть в области V задано векторное поле а(Л4) = (Р, У, /?), где
функции Р(х, у, г), ()(х, у, г), П(х, у, г) имеют частные производные
в точке М(х, у, г) € V по х, у, г соответственно. Тогда дивенгенцией
или расходимостью векторного поля а(М) в точке М, обозначаемой
<ЛV а(Л7), называется величина, равная сумме указанных частных произ-
водных, вычисленных в точке Л1, т. е. по определению
(15.22)
С.физической точки зрения сНу а(Л4) характеризует плотность источ-
ников или стоков векторного ноля а(Л1) в точке М. Если <0у а(Л1)> О,
то точка М является источником, если сНV а(М) <0 — стоком. В случае,
когда с11уа(Л1) = 0, в точке М нет ни источников, ни стоков.
. Перечислим основные свойства днвенгенцни векторного поля:
1) <11у(а 4- Ь) — сНу а -ф <Пу Ь;
2) дIV с = 0, если с — постоянный вектор;
3) д1у(/а) = )' (Ну а ф- а • ^га<1 /, где /=/(х, у, г)—скалярная
функция.
Из формул (15.21) и (15.22) следует, что
П = Ц а • п ч/5 = $<11у а.{М)дхс1уаг, (15.23)
5 V
т. е. поток П векторного поля а(Л1) через замкнутую поверхность 5 во
внешнюю ее сторону численно равен тройному интегралу от дивергенции
этого поля по области V, ограниченной поверхностью 5.
Пример 1. Вычислить дивергенцию векторного поля а(Л1)-=(.г ф
+ У) + (№ + г)) + (г2 - .Г: к в точке Л1о (1, —2,3).
Согласно формуле (15.22),
(Ну а(Л4) = = 2л- + 2// + 2г.
к дх ду дх । ./ ।
В точке ЛГ имеем сНу а(Мо) = 4 > 0, т. е. точка Мо является источ-
ником поля.
Пример 2. Вычислить поток векторного поля а = лт — 2у) -ф гк через
верхнюю часть плоскости л + 2у + Зг — 6 = 0, расположенной в первом
октанте.
1 2
> Из уравнения плоскости находим г — 2-------— х----—у. Нормаль-
ным вектором к этой плоскости, составляющим острый угол с осью Ог,
является п = (1/3, 2/3, 1). тогда из формул (15.20) и (15.16) следует, что
П = а • п°<75 = а • п с1хс1у —
5 О,
= $ (х — 4у ф- Зг)с1хс1у - 2 $ (6 — бу^йхду =
о, о,
3 6 — 2у 3
= 2 \ (1у (1 — у)с1х = 2 $(1 — у) (6 — 2у)с1у ==
0 0 о
о
= 2 \{2у~~ 8у + 6)б/у = 36. 4
о
Пример 3. Вычислить поток векторного поля а(М) = хх~\ -ф ухф
сук через поверхность шара № у~ -ф г = а1 во внешнюю его сто-
рону.
► Так как данная поверхность — замкнутая, то поток П вектор-
ного поля а(А4) через поверхность шара во внешнюю сторону находим
по формуле (15.23):
П = $ а • п° <7$ = а(М) ахс1уО.г =
5 Г
= + А'2 + у~)^Х(1ус12.
V
Для вычисления полученного тройного интеграла перейдем к сфе-
рическим координатам по формулам:
х = р 5111 0 соз ((), у — {> з1л 0 зш <р. г = р соз 0;
с1хс'у<1х = (/ 81П Ойр<7<р<70, О^ргСа, 0 2л, 0 "О О "-С л.
Тогда
81П 6<7р<7(рс/0 =
р'4р 31П 040 4(р
0 0 о
4яа 5
Пример 4. Найти поток П электростатического ноля точечного
заряда у, помещенного в центр сферы х2 -ф у2 4- г2 = /?’.
> Известно, что поле точечного заряда задается вектором напря-
женности Е = <7г/|г| >, где г = х1 4~ щ -ф гк. Находим направляющие
косинусы вектора нормали к сфере г ф</2фгг = /?2:
п°=п/|п|, п=(2х, 2у. 2г),
|п| = д/4^ + 4</2 + 4г2 = 2/?, п" = (х//?, у//?, г//?),
т. е. соз а = х/Ц, соз (5 = у/И, соз у = г//?. Поэтому на сфере
Е • п° = (<?/| г|') (г • п») = (XI 4- и ф гк) • I 4- ) -ф к} =
л. \ А: А: А: /
= Дк *г + ^+./2 = Л — = Л =сопз1.
/?’ /? /?'! /? /?-
Следовательно,
П = (( Е • п"(18 = -И-48 = -9- 4л/?2 = 4яо. -4
В В я- я2
3 5
Пример 5. Найти поток векторного поля а(М) = х[ -ф у) 4- 2к через
поверхность прямого цилиндра 5 радиусом /? и высотой Н, ось которого
совпадает с осью Ог, а нижнее основание находится в плоскости Оху.
Нормаль направлена во внешнюю сторону цилиндра.
► Как видно из рис. 15.8, для боковой поверхности цилиндра
5, справедливо равенство а • п? = пр „• а = /?. На верхнем основании
цилиндра 5? имеем а • п’ = пр а = И, а на нижнем его основании
5з — а • п“ = 0. Поэтому
п = й а • п°<75 = й а • п?<75 + й а • п5</5 + й а ' п“</5 =
5 з, 3. 5.,
= й №8 + й На8 + й Ос(5 = # • -:^н + /Ул/?-’ = Зл/?2//.
з, зз зз
Вычисления можно значительно
сократить, воспользовавшись фор-
мулой Остроградского — Гаусса
(15.18). Так как объем цилиндра
V = 5Й Лхс1ус1г = лЯ~Н,
V
имеем
П = Й5 (1 + 1 + 1)</.1</у</г = Зл/?2//. «
Г
АЗ-15.4
1. Вычислить дивергенцию векторного поля а(А4) =
= (ху + г2) 1 + (уг 4- х2) ) + (гх + у2} к в точке М (1, 3, — 5).
(Ответ: —1.)
2. Вычислить поток векторного поля а(А4) = (х—
— Зг) 1 + (* + 2у + г) ) + (4х 4~ У) к через верхнюю часть
плоскости х 4- у + г = 2, лежащую в первом октанте. (От-
вет: 26/3.)
3. Вычислить поток векторного поля а(АД = 2х! 4- у.) +
4-Згк через часть поверхности эллипсоида -у + у +
4* = 1, лежащую в первом октанте, в направлении
внешней нормали. (Ответ: 24л.)
4. Вычислить поток векторного поля а(М) = (х —
— у) 1 4~ (4 4~ У) .1 4~ г2к через поверхность цилиндрического
тела, ограниченного поверхностями х24~у2=1> 2 = 0 и
г = 2, в направлении внешней нормали. (Ответ: —4л.)
5. Доказать, что поток П радиуса-вектора г = х! 4* У] 4~
4-гк через внешнюю сторону поверхности, ограничиваю-
щей тело V объемом V, равен Зе.
6. Вычислить дивергенцию вектора напряженности
магнитного поля Н=(2//г)(— у\ 4- хр, создаваемого то-
ком /, проходящим по бесконечно длинному проводу.
(Ответ: (11V Н = 0.)
7. Найти поток П векторного поля а(Л4) = х'Ч 4* ул] 4*
+ г3к через поверхность шара х2 4- у2 4- г2 = /?2 в направ-
лении внешней нормали. (Ответ: 12л/?’/5.)
8. Вычислить поток П векторного поля а(Л4) =
= 8x1 4- 1 \у] 4* 1 7гк через часть плоскости х 4- 2у 4- Зг =
= 1, расположенной в первом октанте. Нормаль состав-
ляет острый угол с осью Ог. (Ответ: 1.)
9. Найти поток П вектора а = х! — 2у] — гк через замк-
нутую поверхность 5, ограниченную поверхностями 1 —
— г = Л'2 4-у2, г = 0, в направлении внешней нормали.
(Ответ: —л.)
10. Найти поток П вектора а = х'4 4- г2] через часть
поверхности г2 = 4—х — у, лежащую в первом октанте,
и части координатных плоскостей, отсекаемых этой поверх-
ностью, в направлении внешней нормали.) Ответ: 19 ——.)
Самостоятельная работа
1. 1. Найти дивергенцию поля §габ и, если и = 1п (х2 4-
+ У2 4* г2)-
2. Вычислить поток П векторного поля а(Л4) =
= XI 4- Зу] 4- 2гк через верхнюю часть плоскости х 4- у -}-
-|-г=1, расположенную в первом октанте. (Ответ: 1.)
2. 1. Найти дивергенцию векторного поля а(М) =
— ху2\ 4- х2у] 4- г3к в точке М(1, — 1, 3).
2. Вычислить поток векторного поля а(М) = Зх[—
— у] — гк через поверхности 9 — г = х2 4- у2, х = 0, у = 0,
з = 0, ограничивающие некоторое тело, в направлении
внешней нормали. (Ответ: 81л/8.)
3. 1. Найти сПу ({тгаб~\/х2 4-у2 4-г2).
2. Найти поток векторного поля а(Л4) = 2х! 4- гк в
направлении внешней нормали к поверхности тела, ограни-
ченного поверхностями г = Зх2 4- 2у, х2 4-у2 = 4, г = 0.
(Ответ: 20.)
15.5. ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРНОГО поля.
РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Пусть 1’ — замкнутая кусочно-гладкая кривая в пространстве
К3 и 5 — гладкая поверхность, краем которой служит кривая Г За
положительное направление обхода кривой Г принимается такое на-
правление, при котором область, ограниченная этой кривой, будет
оставаться слева на положительной стороне поверхности 5, т. с. на
стороне, из точек которой восставлен единичный вектор нормали п° =
= (со5<х, соз р, сову) поверхности 5. Пусть, далее, в окрестности по-
верхности 5 задан вектор а = (Р, С), Р), координаты которого Р, (), Р
являются непрерывными функциями от х, у, г вместе со своими пер-
выми частными производными. Тогда имеет место формула Стокса,
связывающая криволинейный и поверхностный интегралы (рис. 15.9):
ф РЛх + С}ау + Р(12 =
V
где направление обхода по замкнутой кривой Г выбирается положи-
тельным.
Формула Грина (14.14) является частным случаем формулы Сток-
са, когда кривая Г и поверхность 5 лежат в плоскости Оху.
Отметим, что формула Стокса (15.24) справедлива для любой
поверхности 5, если ее можно разбить на части, уравнения которых
имеют вид г — [(х, у).
Пример 1. Вычислить
/ = Ф (22 — х') ах + (х- — у2) ау + (у2 — г2) аг
г
по контуру .С + у2 -|- г2 = 8, хх + у2 = г2, г > 0, «пробегаемому»
по ходу часовой стрелки с точки зрения наблюдателя, находящегося
в начале координат О.
► Контур интегрирования Г — окружность х2 + у2 ~ 4, лежащая
в плоскости г = 2, полученная в результате пересечения сферы х2 -|-
4- у2 -ф г2 — 8 с конусом х2 + у2 = г2 (рис. 15.10). В качестве поверх-
пости 5 возьмем круг с краем I’: х2 4- у2 С 4, г = 2. Далее, Р = г2 —
— х2, 0 = х2 — у2, Р = у2 — г2,
дР д(} . дР др „ дО дР „
—:--------— = 2у, -з-------— = 2г, —--------т— = 2х.
ду дг дг дх дх ду
Тогда в соответствии с формулой Стокса и условием задачи возьмем
п°=(0, 0, 1) (этим обеспечивается положительное направление движе-
ния по [' (см. рис. 15.(0)). Имеем
х = р соз <р, дхду =
у = р з(п <р, 0 С ф С 2л, 0 С р С 2
о
2л 2
= 2 соз ф</<р 5 р2</р = 0.
о о
Если задано векторное поле а(Л4) = (Р, Ц, Р) и некоторая замкну--
тая кусочно-гладкая кривая Г в пространстве то криволинейный
интеграл
С = ф а • тРИ = ф Рс1х + (}с1у + Рдг (15.25)
г г
называется циркуляцией векторного поля а(Л4) вдоль контура Г. Здесь
т° — единичный вектор, направленный по касательной к кривой Г и
указывающий направление обхода по контуру.
Если а—вектор силы, то циркуляция (15.25) равна работе этой
силы вдоль замкнутой кривой Г.
Пример 2. Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) =
= %1 — 2г2) 4- ук вдоль линии Г пересечения цилиндра х2/16 4- у /9 =
= 1 с плоскостью г = х 4- 2у 4- 2 в положительном направлении обхода
относительно нормального вектора плоскости п=(— 1, —2, 1).
► Параметрические уравнения цилиндра х2/16 4- </2/9 = 1 имеют
вид х = 4 соз I, у = 3 31п I. Тогда параметрическими уравнениями кри-
вой Г (эллипса в плоскости сечения) будут х = 4 соз I, у = 3 з!п I,
г = 4 соз I 4- 6 зш I 4- 2. Поэтому циркуляция векторного поля вдоль эл-
липса в положительном направлении обхода вычисляется по формуле
2 л
С = ф хдх — 2г2ду 4- удг = 5 (4 соз I (— 4 зш 1д1) —
Г Г 0
— 2 (4 соз I 4- 6 зш I 4- 2)2 3 соз 1с11 4- 3 зш I (— 4 зш I 4- 6 соз I) д1) =
2л
= ^ (— 16 соз I 5!п I — 96 соз3 г — 216 з!п2 / соз I — 24 соз I —
о
— 288 соз2 I 5!п I — 96 соз2 I — 144 соз I 3!П I — 12 з1п2 I -|-
2л
+ 18 соз I 81п I) сП — — $ (96 соз2 I + 12 31п2 /) с11 —
о
2л 2л
= — 5 48 (I 4- соз 21) (И — 6 (1 — соз 21) = — 48 2л — 6 • 2л =
о о
= - 108л.
Ротором или вихрем векторного поля а(М) = (Р, (), Р) называется
вектор
гМ . («) _ № - «Л , + - «) I + к. (, 5.26)
\ ду дг) \дг дх) \дх ду ) '
Используя понятия ротора и циркуляции, формулу Стокса (15.24)
можно записать в векторной форме:
С = Ц го! а • п°У8, (15.27)
Г 5
т. е. циркуляция векторного поля а(Л4) вдоль замкнутого контура 1’
равна потоку ротора этого поля через любую гладкую поверхность
8, краем которой является Г. Направление обхода по Г и сторона
поверхности 5 одновременно или положительные, или отрицательные.
Число С(Л4) = пр „ го! а(Л4)
называется плотностью циркуляции векторного поля а(Л4) в точке М
в направлении вектора п°. Плотность достигает максимума в направле-
нии го! а(М) и равна тах С(М) = Iго! а(Л4)|.
Отметим некоторые свойства ротора векторного поля:
1) го! (а -|- Ь) = го! а -|- го! Ь;
2) го! с = 0, если с — постоянный вектор;
3) го! (д>а) = <р го! а + (тгад <р • а, где <р(лг, у, г)— скалярная
функция.
Если го! а 0, то это свидетельствует о вращении векторного
поля а (Л!).
Пример 3. Найти ротор вектора линейной скорости V = ы • г
(г — (х, у, г), ы = (и,, со,,, шг)) любой точки М(х, у, г) пространства.
> Имеем
V =
к
1
Их
X
С0г
г
= (гы,, — ув>,) 1 -|- (лгыг — гыЛ)) ф- (ушЛ — к.
}
“й
У
По определению ротора находим
го! V — (2<я(, 2ых, 2ыг) = 2ы. 4
Пример 4. Вычислить циркуляцию векторного поля а(Л4)=1/1 +
4- х2} — гк по окружности Г: х2 -|- у2 = 4, г — 3 в положительном на-
правлении обхода относительно единичного вектора к двумя способами:
I) исходя из определения циркуляции (15.25); 2) с помощью поверх-
ностного интеграла, использовав формулу Стокса (15.27).
> 1. Так как при возрастании параметра I от 0 До 2л движе-
ние по окружности происходит против хода часовой стрелки относитель-
но единичного вектора к = (0, 0, 1), то параметрические уравнения
ориентированной кривой Г имеют вид х — 2 соз I, у — 2 зт !, г = 3
(!ё[0; 2л)). Тогда
С = ф удх -|- х2с1у —- гдг =
г
2л
= 2 51П / (— 2 З1'п 1(11) + 4 соз2 I 2 соз 1сИ — 3 0 =
О
2л 2л 2л
= 8 соз3 1сН — 4 5 51П2 1(11 ~ 8 $ (1 — зт2 /) </ (зт /) —
ООО
2л
— 2 5(1—соз 2/) сП ——4л.
о
2. В качестве поверхности 5, краем
которой является кривая Г, возьмем
круг х2 4- у2 <( 4, 2 = 3 (рис. 15.11).
Тогда п° = к. Далее, го( а = (2х —
- 1)к и
С— 55 го I а - = 55 (2х — 1) сТхсТу =
5 О
= 55 (2р соз <р — 1) рс(рс(<р =
О
2л 2
= 5 5 (2р с°5 ф о р^р=
о о
Рис. 15.11
АЗ-15.5
1. Найти ротор векторного поля а(Л4) = хуг!-р (х-ф
-ф у -ф г)] -ф (х2 -ф у2 -ф г2)к в точке Л7(1, —1, 2). (Ответ:
го! а(Л4) = — 31 — 3] — к.)
2. С помощью формулы Стокса преобразовать интеграл
ф (у2 + г2) ах -ф (х2 -ф г2) ау 4- (х2 -ф у2) аг,
г
где Г — замкнутый контур, в интеграл по поверхности,
«натянутой» на этот контур.
3. Найти циркуляцию векторного поля а(Л4) = у1 —
— 2з|-фхк вдоль эллипса, образованного сечением одно-
полостного гиперболоида 2х2 — у2 -ф г2 — 7?2 плоскостью
у — х. Результат проверить с помощью формулы Стокса.
(Ответ: ±3л7?2.)
4, Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) —
= г\ -ф х'} -ф ук вдоль контура Г: х2 -ф у2 — 4, г ~ 0 в поло-
жительном направлении обхода относительно орта п° = к
непосредственно и с помощью формулы Стокса. (Ответ:
4л-) ,
5. Найти циркуляцию векторного поля а(Л1) = 2 1-ф
+ х2) + у2к по сечению сферы х2 -ф у2 -ф г2 = К2 плос-
костью х -ф у -ф г = /? в положительном направлении об-
хода относительно вектора п = (1, 1, 1). (Ответ: Зл/?4/2).
6. Найти циркуляцию векторного поля а(Л4) = у214-
+ ХУ1 + (х~ + У/ к по контуру, вырезаемому в первом
октанте из параболоида х2 4-у2 =плоскостями х = О,
у = 0, х = К в положительном направлении обхода отно-
сительно внешней нормали поверхности параболоида. (От-
вет: /?3/3.)
7. Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) =
= ху2! + хх2'] 4-ух2к по контуру пересечения параболоида
х = у2 г2 с плоскостью х = 9 в положительном направле-
нии обхода относительно орта п° = ь (Ответ: 729л.)
8. Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) =
=—у, 4~ 2/4~ к по линии Г пересечения конуса х2 -ф-
4- у2 — х2 — 0 с плоскостью х = 1 в положительном на-
правлении обхода относительно орта п° = к. (Ответ: л.)
Самостоятельная работа
1. Вычислить циркуляцию векторного поля а(Л4) =
= у1 — х] 4- гк вдоль линии Г пересечения сферы х2-(-у2-}-
4- 22 = 4 с конусом ух2 4- у2 = х в положительном направ-
лении обхода относительно орта п1' = к.
2. Вычислить циркуляцию векторного поля а(Л4) =
= ух\ 4- 2хх] 4- у2к по линии Г пересечения полусферы
г = у25 — х2 — у2 с цилиндром х2 4- </2 = 16 в положитель-
ном направлении обхода относительно орта п° = к.
3. Вычислить циркуляцию векторного поля а(Л4) =
= (х — у) 1 -ф х] — хк вдоль линии Г пересечения цилиндра
х2 4- у2 = 1 с плоскостью г = 2, если п° = к.
15.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
КЛАССИФИКАЦИЯ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
Дифференциальные операции. Введенные выше основные понятия
векторного анализа: градиент, дивергенция, ротор — удобно описывать
с помощью дифференциального оператора, который обозначается
символом V (читается «набла»):
д . , д . , д ,
V —5— 14—5— 1 4—л— к
дх ду дг
и называется оператором Гамильтона.
Выразим основные дифференциальные операции с помощью опера-
тора V:
V ц(М) = 1 4- ) 4- к = ^гад и(М),
V • а(Л1) = 4- = <Ну а(Л4),
дх ду дг
V Ха(7И) =
> ] к
д д д
дх ду дг
Р <? Р
— го! а(Л1).
Операции нахождения градиента, дивергенции, ротора называются
дифференциальными операциями первого порядка.
Перечислим основные свойства дифференциальных операций
второго порядка:
. . д2“ д~и , д2н . ,,,,
с1)У §тас! и(М) = -— -ф ---- ------- = Дп(Л1),
дх- ду~ дг~
д2 д2 д2 ,
где А = -----—|---—|------ = V • V = V называется оператором
дх~ ду- дг
Лапласа;
го! ягаб и(М) = (V • V) и(Л1) = О,
ПIV го! а(Л1) = V • (V X а(М)) = О,
§тад а(М) = V (V • а(Л/)),
го! го! а(Л1) = V X (V X а (/И)) = ^гад сП V а (Л!) — Да(Л1).
Соленоидальное векторное поле. Векторное поле а(Л1) называется
соленоидальным или трубчатым в области пространства V, если в каждой
точке этой области
<!| V а(УИ) = 0.
Так как сНу го! а(М) = 0, то поле ротора любого векторного
поля а(Л1) является соленоидальным.
Поток соленоидального векторного поля а(М) в направлении его
векторных линий через каждое сечение векторной трубки, согласно
формуле Остроградского— Гаусса, один и тот же. Трубчатое поле не
имеет источников и стоков.
Для каждого соленоидального поля а(М) существует векторное
поле Ь(Л!), такое, что а .4. гсЛЬ .4. Вектор Ь(Л4) называется век-
тором-потенциалом данного поля а(Л1).
Потенциальное векторное поле. Векторное поле а(Л1) = (Р, С), Р)
называется потенциальным или безвихревым в односвязной области
пространства V, если в каждой точке этой области
го! а (Л!) = 0.
Согласно опредению ротора, необходимыми и достаточными условиями
потенциальности поля а(Л'1) = (Р, (ф Р) являются равенства;
дР_=дО~ дР_ = дР_ дО_^дР_ ]528)
ду дг ’ дг дх ' дх ду '
Так как го! ^гад и(М) = 0, то поле градиента любого скалярного
поля и — и(х, у, г) — потенциальное. Для того чтобы поле а(Л1) было по-
тенциальным в области V, необходимо и достаточно, чтобы существо-
вала дважды непрерывно диференцируемая скалярная фунция и = и(х,
у, г), такая, что а = ^гас! и(М), которая называется потенциальной функ-
цией (потенциалом) поля а(Л1).
Так как при выполнении условий (15.28) криволинейный интеграл
второго рода не зависит от линии, соединяющей точки .VI,, и то
для потенциального поля а(М) = Р\ + СО + А’к справедлива формула для
нахождения потенциальной функции:
и(х, у, г)— Рдх + ()ду -|- Рдг -ф- С, (15.29)
М„Л1
где Мо(хо, у», ги) — некоторая фиксированная точка области V,
М(х, у, г) — любая точка области V; С — произвольная постоянная.
Из формулы (15.29) следует формула для вычисления криволиней-
ного интеграла второго рода, не зависящего от пути интегрирования:
Рдх С)ду -ф- рдг = и(В)— и(4),
л в
(15.30)
где и(Л) и и(В) — значения потенциала и в начальной А и конечной
В точках пути.
Гармоническое векторное поле. Векторное поле а(,М), удовлетво-
ряющее двум условиям: д!уа(7М) = 0 и го1а(7И) = 0, называется гармо-
ническим. Потенциал и гармонического поля
уравнения Лапласа
является решением
, д2и д2и д2и
---л~2—'л ~
дх ду дг2
0.
(15.31)
Функция и = и(х, у, г), удовлетворяющая уравнению Лапласа
(15.31), иызывается гармонической.
Пример 1. Показать, что поле а(М) = (2ху г) I -ф- (х2 — 2у)) -ф-
+ хк является потенциальным, но не соленоидальным. Найти потен-
циал и данного поля.
> Имеем: Р = 2ху г, () = х2 — 2у, Р — х. Тогда
го! а(Л1) =
д
дх
2ху -ф- г
к
д
~сГг
= (0-0)1 + (1 - 1)) + (2х-
— 2х) к = 0,
т. е. поле а(М)— потенциальное.
Далее имеем
(Ну а = ~ 4- + ^-=2у-2 + 0^0,
дх ду ' дг э
поэтому поле а(М) не является соленоидальным.
Согласно формуле (15.29),
и(х, У, г) = 5 (%ху г) дх -ф- (х2 — 2у) ду -ф- хдг -ф- С
Мг..М
Так как функции Р(х, у, 2), (Дх, у, г), Р(х, у, г) непрерывны и имеют
непрерывные частные производные во всех точках пространства К3,
то в качестве точки Л1о(хо, У", го) можно взять начало координат
0(0, 0, 0), а в качестве Л1(х, у, г) — произвольную точку пространства.
Как отмечалось ранее, криволинейный интеграл второго рода не зависит
от пути интегрирования, поэтому его можно вычислить по ломаной
ОАВМ (рис. 15.12):
и(Х, У, 2) = + С = } + + С =
ОЛ1 0.1 АВ ВЫ
ОА: у = 0, г = 0, Ау = 0, <7г = О, 0 х -С X,
= АВ: л- = X, г = 0, йх = 0, Аг = 0. О у У, =
ВМ: л- = X, у = У, Ах = 0, ау = 0, 0 г X
Л У /
= 0 • Ах + $ (А2 - 2у) Ау + $ А<7г = А2 У. — У2 -ф XX.
Заменив в последнем равенстве А, У, X на х, у, г, запишем выраже-
ние для потенциала поля:
и (х, у, г) = х2у — у2 А~ хг + С. <
Пример 2. Проверить, является ли потенциальным поле а = (уг —
— ху) I 4- (хг — х2/2 -ф уг2) ) + (ху -ф у2г) к, найти его потенциал и вычис-
лить соответствующий криволинейный интеграл второго рода по линии,
соединяющей точки Л(1, 1, 1) и В(2, —2, 3).
► Учитывая, что Р = уг — ху, С? = хг — х2/2уг2, Р = ху -ф у2г,
находим
го! &(М) =
1
д
ду
хг — х2/2 + уг~
к
д
дг
ху + у2г
= (х + 2уг — х — 2уг) I -ф (у — у) ] -ф (г — х — г -ф х) к = 0.
Следовательно, поле а — потенциальное и существует потенциал (см.
формулу (15.29) и пример 1)
и(Х, У, X) = Рс1х^(^у руг С—
ЛЛЛГ
х у г
0 • </х + (------ау + (ху + у2г) Аг + С =
0 0 о
= - А2 У/2 + X УХ + У272/2 + С.
Заменив X. V, / на л', у. г, окончательно получим
и = ху? х~уР2 ф- ух/2 4- С.
Так как в потенциальном поле криволинейный интеграл второго
рода не зависит от пути интегрирования, соединяющего точки А и В,
то, согласно формуле (15.30), имеем
5 (уг — ху( Ух ф- (х? — л-'/2 ф- уг2) Уу ф- (ху + фг) У г =
ли
-= и(В) — и(/1) = 9. 4
Пример 3. Доказать, что функция и = \/г, где г = ух2 ф- у' ф- г?,
является гармонической и векторное поле а(А4) = ^га<1 и(М) — гармо-
ническое.
► Прежде всего следует проверить, справедливо ли. для данной
функции уравнение Лапласа (15.31). Вычисляем д'и./.дх2, У2и/ду?,
<ти/д2~ и А«:
Следовательно, уравнение Лапласа Ан = 0 удовлетворяется и дан-
ная функция и = 1/г — гармоническая.
Далее находим
а(М) = §гад и(М) = — г\х{ ф- у} ф- гк).
Как известно, го) а(М) = го( ^га<1 и(М) = 0 для любой функции
и, т е. одно из условий в определении гармонического поля а(Л4)
выполнено. Другое условие сНс а(Л4) — 0 также выполняется, поскольку
ей с а = ейх цгад и(М) = А«(Л4) = 0. <
АЗ-15.6
1. Доказать с помощью формулы Стокса, что
ф угх1х ф- хгс1у + хус1г 0,
г
где Г — любой замкнутый контур. Результат проверить
путем вычисления интеграла по контуру треугольника
АВС с вершинами Л(0, 0, 0), /3(1, 1, 0), <7(1, 1, 1).
2. Найти §гай сНу а(Л4), если а(Л4) = х31 4- у3] г3к.
3. Среда вращается как твердое тело вокруг оси О? с
угловой скоростью о, = (ок. Найти ротор поля линейных
скоростей у = с6Хг, где г—радиус-вектор движущейся
точки М(х, у, г). (Ответ: 2шк.)
4. Найти циркуляцию поля скоростей V, описанного
в предыдущем задании, по окружности х~ 4- у — г = О
в положительном направлении обхода относительно орта
к. (Ответ: 2 л/?2.)
5. Доказать, что сПу го1 а(М) = О для любого поля
а(Л4).
6. Установить потенциальность поля а(Л4) и найти его
потенциал и, если:
а) а(М) = 2ху\ 4- (х2 — 2уг)) — г/к;
б) а(М) = (Зх2у— у3)1-(-(х3— Зху2)];
в) а(Л4) = (у 4- 2) । 4- (х -|- г) ) -|- (у 4- х) к.
(Ответ: а) и = х2у —- у2 г 4- С; б) и = х3у — ху3 С; в) и =
= ху -ф уг -ф хг -Д С.)
7. Проверить, является ли гармонической функция
и = 1п г, если г = ух2 4- у2.
8. Установить потенциальность поля а(/И) и найти
его потенциал и:
а) а(М) = ^4-(^^ + ^)| + (-^^ +
4- уе!,г -Д е ) к;
б) а(Л4) = угсоз(ху)! 4- хгсоз(ху)} 4- зш (ху) к.
(Ответ: а) и = еу/г (х -ф 1) -ф еуг—е~г -ф С; б) и =
= 2 зш (ху) 4- С.)
9. Доказать, что векторное поле а(Л4)=---~ г, где
г = Х1 4~ У1 4~ 2к, которое описывает гравитационное поле,
создаваемое точечной массой т, помещенной в начало
координат (у—ньютоновская постоянная тяготения),
является гармоническим (потенциальным и безвихревым),
найти его потенциал и и убедиться, что потенциал и
удовлетворяет уравнению Лапласа. (Ответ: и = ут/\г\.)
10. Доказать, что го< §гас! и(М) = 0.
11. Найти потенциал и поля а(А4) = (уг 4- 1) 1 -ф +
4-хук и вычислить
(2. 3, 2)
$ (уг 4- 1) с1х 4- хгс1у -ф хус1г.
а. г о
(Ответ: и = х -ф хуг 4~ С; 12.)
Самостоятельная работа
Проверить потенциальность векторного поля а(Л4),
найти его потенциал и вычислить значение соответствую-
щего криволинейного интеграла второго рода по дуге ли-
нии, соединяющей точки А и В (А — начало дуги, В —
ее конец).
1. а-(7И) = 2хух\ -ф х2г] -ф х2ук, А(1, — 1, 2), Щ — 2, 4, 2).
{Ответ: 34.)
2. а(М) = (х2 — 2ух) 1 -ф (у2 — 2х,г) ] -ф (х2 — 2ху) к, 4'1
-1, 1), В(- 2, 2, 3). (Ответ: 92/3.)
3. а(Л4) = (2ху 4- г2) 1 4- (2ху 4- х2) ] 4- (2хх 4- у2) к, А (О,
1, —2), В(2, 3, I). (Ответ: 25.)
15.7. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 15
ИДЗ-15.1
1. Дана функция и(М) = и(х, у, г) и точки Аф, А42. Вы-
числить: 1) производную этой функции в точке АД по на-
правлению вектора М\Мг, 2) §тас1 и(М\).
1.1. и(М) = х2у -ф у2х -ф х2х, Л41(1, —1,2), А42(3, 4, — 1).
1.2. и(М) = Ъху2х2, М\(2, 1, —1), А42(4, —3, 0).
1.3. и(М) = 1п (х2 -|- у2 -|- г2), А4| (- 1,2, 1), М2(3, 1, -1).
1.4. и(М) = хе-г+у1 + -’', Аф(0, 0, 0), А42(3, —4, 2).
1.5. и(М) = 1п (ху -ф ух 4- хх), А4|( — 2; 3, —I), Л1д2,
1, -3).
1.6. и(М) = л/1 4-^2 4-'/24-22, МЦ1, 1, 1), М2(3, 2, 1).
1.7. и(М) = х2у -ф хх2 — 2, М((1, 1, —1), М-1(2, —1, 3).
1.8. и(М) = хеу уех — г2, Лф(3, 0, 2), Л42(4, 1, 3).
1.9. и(М) = Зху2 + х2 — хух, М।(1, 1, 2), Л42(3, —1, 4).
1.10. и(М) = Зх2уг — ху2х -ф ух2, М। (1, 1, 1), Л42(9,
-3, 9).
1.11. и(М) = х/(х2 + У2 4- г2), Л4,(1, 2, 2), М2(-3,
2, -1).
1.12. и(М) = у2х — 2хух + г2, Л4,(3, 1, —1), Л42( —2,
1, 4).
1.13. и(М) = х2 -ф у2 -ф х2 — 2хух, Л4|(1, —1, 2), Л42Д,
— 1, 4).
1.14. м(44) = 1п(1 ху2г2), М|(1, 1, 1), Л42(3,
1.15. ы(М) = х24-2//2-422-5, Л^и, 2, 1), М2(-3,
— 2, 6).
1.16. ы(Л4)=1п(х3 + //34-2-|-1), 44,(1, 3, 0). М2( —4,
1, 3).
1.17. и(М) = х-2у+ е\ Л/,(-4, -5, 0), Л/2(2, 3, 4).
1.18. и(М) = ху-Зхуг, 44,(2, 2, -4), М2(1, О, -3).
1.19. ы(Л4) = Зх2//23, 441( —2, -3, 1), Л42(5, -2, 0).
1.20. ы(Л4) = ег" + г\ Л4,( —5, 0, 2), Л42(2, 4, —3).
1.21. и(М) = ху;, 44,(3, 1, 4), 442(1, —1, —1).
1.22. и(М) = (х2 + у2 + 22)3,ЛЫ1, 2, -1), /И2(0, -1,3).
1.23. и(М) = (х- у)г, 44,(1, 5, 0), Л42(3, 7, —2).
1.24. и(М) = х2у + у2г — Зг, 44,(0, —2, —1), 44г(12,
-5, 0).
1.25. и(М) = 10/(%24-//2-|-г2+ 1), Л41 (— 1, 2, —2\
М>(2, О, 1).
1.26. и(М) = 1п (1 4-х2-//2 4-г2), М, (1, 1, 1), Л42(5,
— 4, 8).
1.27. и(М)= 4- ± Л41(—1, 1, 1), 442(2, 3, 4).
1.28. и(М) = х3 + ху2 — бхуг, 44^1, 3, —5), Л42(4,
2, -2).
1.29. и(М)= —— ± —А, 441(2, 2, 2), М2( — 3, 4, 1).
1.30. и(М) = ех~уг, Л4|(1, О, 3), Л12(2, —4, 5).
2. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по
поверхности 5, где 5 — часть плоскости (/?), отсеченная
координатными плоскостями.
2.1. ЭД (2х 4-31/4- 2г) а'5, (/>): х 4- Зу 4~ г = 3. ( От-
х
ест: 15Л/ТГ/2.)
2.2. ЭД (2 4- У — Тх 4- 9г) с18, (р): 2х — у — 2г = — 2.
(Ответ: 12.)
2.3. ЭД (6% 4~ У + 4г) (18, (р): Зх 4- Зу 4- г = 3. ( Ответ:
5
19719/6.)
2.4. ЭД (х-|-2у-|-Зг)о(5, (р): ху + г = 2. (Ответ:
873.)
2.5. ЭД (Зх—2у-(-6г)^5, (р): 2х у -\-2г — 2. (Ответ:
5/2.)
2.6. ЭД (2х + Ъу — г) (15, (р): х^2у + г = 2. (Ответ:
776/3.)
2.7. ЭД (5х — 8у— г)с15, (р); 2х— Зу + г = 6. (Ответ:
25 \/ Г4.)
2.8. ЭД (Зу — х — г) (15, (р); х - у + г = 2. ( Ответ:
-20Тз/3.)
2.9. ЭД (Зу - 2х - 2г) (15, (р): 2х - у - 2г = -2. (От-
в ет: 3.)
2.10. ЭД (2х — Зу + г)(15, (р): х -/2у -/ г = 2. (Ответ:
Тб-)
2.11. ЭД (5х + у — г) (15, (р): х 2у -)- 2г = 2. (Ответ: 5.)
5
2.12. ЭД (Зх + 2у + 2г)(15, (р): Зх + 2у + 2г = 6. ( От-
вет: 9д/17.)
2.13. ЭД (2х + Зу — 5) (15, (р): 2х + у -|- г = 2. (Ответ:
2^6.)
2.14. ЭД (9х + 2у +2)^5, (р): 2х + у + г = 4. (Ответ:
5
40Тб.)
2.15. ЭД 4-+ 8г: 48, (Р): л + 4у + 2г = 8. (От-
вег: 9б72О
2.16. ЭД (4р — х 4- 4г)48, (р): х — 2у 4- 2г = 2. (Ответ:
5
-1.)
2.17. ЭД (ух 4- у 4~ 2г) 48, (р): З.л — 2у 4- 2г = 6. (От-
л
ест: 17717/2.)
2.18. ЭД (2х 4- Зу 4- г) (15, (р): 2х 4~ Зу 4~ г = 6. ( От-
ест: 18Т14)
2.19. ЭД (4.Г — у 4- г) (18, (р): х — у 4-г = 2. (Ответ: 3^13.)
2.20. ЭД (6% — у 4- 8г) 48, (р): х 4- у 4- 2г = 2.
бд/б.)
(Ответ:
2.21. ЭД (4х — 4р — г) 48,
вет: 44.)
(р): х 4- 2у 4~ 2г = 4. (От-
2.22. ЭД (2л- 4- Зу 4- г) 48, (р): х 4- У + 2г = 2. (Ответ:
л
5д/б.)
2.23. ЭД (4л- — у 4- 4г)48, (р): 2х 4- 2у -/ г = 4. (От-
5
вет: 44.)
2.24. ЭД (5л- 4- 2у 4- 2г) 48, (р): х 4- 2у 4- г = 2. (От-
5
вет: \Ьл[з/Ь.)
2.25. ЭД (2л 4- Зу 4- Юг) 48, (р): 2х у (-Зг = 6. (От-
вет: 56лДТ.)
2.26. ЭД (2х 4- Юр 4- г) 48, (р): л 4- 2у 4- 2г = 2. (От-
вет: 10.)
2.27. ЭД (Зх-ф Юг/ —г)с18, (/?): х -ф Зу -ф 2г = 6. (От-
5
вет: 35д/14.)
2.28. ЭД (2х-ф Зг/ф-г) <25, (/?): 2х + 2у + 2 = 2. (От-
вет: 7/6.)
2.29. ЭД (5х — у + 5г)б/5, (р): Зх + 2у + г = 6. (Ответ:
5
37714?)
2.30. ЭД (х-ф Зу + 2х)с18, (р): 2х -ф у -ф 2г = 2. (Ответ:
9/2.)
3. Вычислить поверхностный интеграл второго рода.
3.1.ЭД (у2 + 22)йу<12, где 5 — часть поверхности парабо-
5
лоида х = 9 — у2 — г2 (нормальный вектор п которой
образует острый угол с ортом 1), отсеченная плоскостью
х = 0. (Ответ: 81л/2.)
3.2. ЭД х~с1хс1у, где 5 — внешняя сторона поверхности
эллипсоида х2 -ф у2 -ф 2г2 = 2. (Ответ: 0.)
3.3. ЭД хс1х(1у -ф уЛхйх -ф хс!у(1г, где 5 — внешняя сто-
рона поверхности куба, ограниченного плоскостями х = 0,
г/ = 0, г = 0, х=1, г/=1,г=1. (Ответ: 3.)
3.4. ЭД (г -ф 1) с1х(1у, где 5 — внешняя сторона поверх-
.8
ности сферы л-2 -ф у2 -ф г2 — 16. (Ответ: 256л/3.)
3.5. ЭД угйуЛх -ф хгс1хс12 -ф хус1хс1у, где 5 — верхняя сто-
8
рона плоскости х -ф у -ф 2 = 4, отсеченной координатными
плоскостями. (Ответ: 32.)
3.6. ЭД х2с1у(1х -ф у2йхс12 -ф 22йхе1у, где 5 — внешняя сто-
8
рона сферы х2 -ф у2 -ф г2 = 16, лежащая в первом
октанте. (Ответ: 96л.)
3.7. ЭД хс1ус1х + ус1х(1х + 2(1хс1у, где 5 — внешняя сто-
8
рона сферы х2 -ф у2 -ф г2 = 1. (Ответ: 4л.)
3.8. ЭД Х2с1хс1у -ф хуйуйх -ф угйхЛг, где 5 — верхняя часть
8
плоскости х -4-г/ + г = 1, отсеченной координатными пло-
скостями. (Ответ: 1/8.)
3.9. ЭД угйхйу -ф хгйуйг -ф хус1хс12, где 5 — наружная
5
поверхность цилиндра х2 -ф у2 = 1, отсеченная плоскостя-
ми г = 0, г = 5. (Ответ: 25л.)
3.10. ЭД у2гс1хс1у -ф ххс1ус1г -ф х2уйх(1г, где 5 — часть по-
5
верхности параболоида г = х2 -ф у2 (нормальный вектор
п которой образует тупой угол с ортом к), вырезаемая
цилиндром х2-\-у2=\. (Ответ: л/8.)
3.11. ЭД (х2 -ф у2) гс1хс1у, где 5 — внешняя сторона ниж-
ней половины сферы х2 -фу2 -ф г2 = 9. (Ответ: 324л/5.)
3.12. ЭД х2(1ус12 -ф г2(1хс1у, где 5 — часть поверхности
5
конуса 22 = х2 -ф у2 (нормальный вектор п которой обра-
зует тупой угол с ортом к), лежащая между плоскостями
2 = 0, 2=1. (Ответ: —л/2.)
3.13. ЭД (2г/2— 2)(1хс1у, где 5 — часть поверхности па-
5
раболоида 2 = х2 -фу2 (нормальный вектор п которой об-
разует тупой угол с ортом к), отсекаемая плоскостью
2 = 2. (Ответ: 0.)
3.14. \\— где 5 — часть поверхности гипер-
5 ’^2 + У2 “ 1
болоида х'2 -ф у2 = 22 -ф 1 (нормальный вектор п которой
образует тупой угол с ортом к), отсекаемая плоскостями
2 = 0, 2=х/з. (Ответ: —2л/3л.)
3.15. ЭД хуйуЛг -ф у2(1хс12 -ф хгс1хс!у, где 5—внешняя
5
сторона сферы х2 -ф у2 -ф г2 = 1, лежащая в первом ок-
танте. (Ответ: Зл/16.)
3.16. ЭД х2йус12 -ф г:1х:1у, где 5 — часть поверхности
5
параболоида 2 — х у~ (нормальный вектор п котором
образует тупой угол с ортом к), отсекаемая плоскостью
2 = 4. (Ответ: 8л.)
3.17. ЭД х2с1ус12 -ф у2с1хс12 — 2с1хс1у, где 5 — часть поверх-
5
ности конуса 22 = х2 -фу2 (нормальный вектор п которой
образует острый угол с ортом к), отсекаемая плоскостями
2=0 и г — 3. (Ответ: —18л.)
3.18. 55 х2(1ус12 — 22с1х(12 -ф 2(1хс1у, где 5 — часть поверх -
5
ности параболоида г = 3— х2— у~ (нормальный вектор п
которой образует острый угол с ортом к), отсекаемая
плоскостью 2 = 0. (Ответ: 9л/2.)
3.19. ЭД угУуйг— х2с1хс12— у2Ухс1у, где 5 — часть по-
5
верхностн конуса х2 -ф г2 = у2 (нормальный вектор п кото-
рой образует тупой угол с ортом ]), отсекаемая плоскостя-
ми у = 0, у= \. (Ответ: л/4.)
3.20. ЭД х2(1ус12 -ф ‘2у2т1х(1г — 2йхс1у, где 5 — часть по-
х
верхности параболоида г = х2 -ф у2 (нормальный вектор п
которой образует острый угол с ортом к), отсекаемая
плоскостью г = I. (Ответ: —л/2.)
3.21. ЭД 2хс1ус1г -ф(1 — г)Лп/1/, где 5 — внутренняя сто-
з
рона цилиндра х* *ф у2 = 4, отсекаемая плоскостями 2 —
= 0 и 2=1. (Ответ: —8л.)
3.22. ЭД ‘1хс1у(12 — ус[хс1г -ф гс1хс1у, где 5 — внешняя сто-
з
рона замкнутой поверхности, образованной параболои-
дом Зг = х2 -ф у2 и полусферой г —х2 — у2. (От-
вет: 19л/3.)
3.23. ЭД 4хс1у(1г -ф ЧуУхУг — 2(1хУу, где 5 — внешняя сто-
рона сферы х2 -ф у2 -ф г2 = 4. (Ответ: 160л/3.)
3.24. । (х + г) (1у<12 -ф (г -ф у) с!хс1у, где 5 — внешняя
з
сторона цилиндра х2-\-у2=\, отсекаемая плоскостями
2 = 0 и 2 = 2. (Ответ: 2л.)
3.25. 55 ’^хУусО — уйхйг — гйхйу, где 5 — часть поверх-
ности параболоида 9 — 2 = х2 -ф у2 (нормальный вектор п
которой образует острый угол с ортом к), отсекаемая
плоскостью 2 = 0. (Ответ: 243л/2.)
3.26. 55 (У — х)Уус12 -ф (г — у) УхУг -ф (х — г) УхУу, где
5
5 — внутренняя сторона замкнутой поверхности, образо-
ванной конусом х2 = у2 -ф г2 и плоскостью х = 1. (От-
вет: л.)
3.27. Ц Зх2<1у(1х — у2(1хс1х — гс1х(1у, где 5 — часть по-
х
верхности параболоида 1 —г = х2~(-у2 (нормальный век-
тор п которой образует острый угол с ортом к). (От-
вет: — л/2.)
3.28. Й (1 + 2х2)йуйг -ф г/2с?хг/2 -ф гйхйу, где 5 — часть
поверхности конуса х2 -ф у2 = г2 (нормальный вектор п
которой образует тупой угол с ортом к), отсекаемая пло-
скостями 2 = 0 и 2 = 4. (Ответ: 128л/3.)
3.29. Ц :сс1ус1г -ф 22с1хс1г -ф ус1хс1у, где 3 — часть поверх-
ности параболоида х2 -ф У~ = 4 — х (нормальный вектор п
которой образует острый угол с ортом к), отсекаемая
плоскостью 2 = 0. (Ответ: 0.)
3.30. (у2 -ф 22) (1у(1х — у2(1х(12 -ф 2ух2(1хс1у, где 5 —
5
часть поверхности конуса х2 -ф 22 = у2 (нормальный вектор
п которой образует тупой угол с ортом _>), отсекаемая
плоскостями у = 0 и у=\. (Ответ: л/2.)
4. Вычислить поток векторного поля а(Л4) через вне-
шнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью (р(
и координатными плоскостями, двумя способами: а) ис-
пользовав определение потока; б) с помощью формулы
Остроградского — Гаусса.
4.1. а(Л4) = 3x1 -ф (у -ф 2) -ф (х — г) к, (р): х -ф Зу -ф
-ф 2 = 3. (Ответ: 9/2.)
4.2. а(Л1) =(3х — 1) 1 -ф (у —• х -ф г)) -ф 4гк, (р): 2х —•
— у — 2г = 2. (Ответ: 8/3.)
4.3. а(Л4) = XI -ф (х -ф г) ] -ф (г/ -ф г) к, (/?): Зх -ф Зу -ф
-фг = 3. (Ответ: 1.)
4.4. а(Л4) = (х -ф г) । -ф (г — х) ] -ф (х -ф 2у -ф г) к, (/?): х -ф
у + х = 2. (Ответ: 8/3.)
4.5. а(Л4) = (у -ф 2г) 1 -ф (х -ф 2г) ]-ф (х — 2г/) к, (/?): 2х -ф
-фу -ф 2г = 2. (Ответ: 0.)
4.6. а(Л1) = (х ф г) 1 ф 2у'} -ф (х -ф у — г) к, (р): х+2у+
-|-2 = 2. (Ответ: 4/3.)
4.7. а(Л4) = (Зх — у) 1 -ф (2г/ -ф г) ] -ф (2г — х) к, (р): 2х —
— Зг/-фг = 6. (Ответ: 42.)
4.8. а(М) = (2г/-фг)1-ф(х — у)} — 2гк, (р): х — у -ф
-фг = 2. (Ответ: —4.)
4.9. а(М) = (х + у) 1 + Зу] + (у — г) к, (р): 2х — у —
— 2,г =—2. (Ответ: —1.)
4.10. а(М) = (х + р — г)! — 2у] + (х + 2г) к, (р): х +
+ 2р + г = 2. (Ответ: 2/3.)
4.11. а(М) = (у г) I + (2х + р)) + гк, (р): 2х + у +
+ г = 2. (Ответ: 4/3.)
4.12. а(Л4) = XI + (у — 2г) ) + (2х — у + 2г) к, (р): х +
+'-2р + 2г = 2. (Ответ: 4/3.)
4.13. а(М) = (х + 2г) 1 + (у — Зг)]+гк, (р): Зх + 2у +
+ 2г = 6. (Ответ: 9.)
4.14. а(М) = 4x1 + (х — у — г)) + (3р + 2г)к, (р): 2х +
+ р + г = 4. (Ответ: 80/3.)
4.15. а(М) = (2г — х)1 + (х + 2у)] + Згк, (р): х-+4р +
+ 2г = 8. (Ответ: 128/3.)
4.16. а(Л4) = 4г‘1 + (х — р — г) ] + (Зр + г) к, (р): х —
— 2у + 2г = 2. (Ответ: 0.)
4.17. а(М) = (х + у) 1 + (у + г)] + 2(г + х)к, (р): Зх —
— 2у + 2г = 6. (Ответ: 12.)
4.18. а(Л4) = (х + р + 2) 1 + 2г] + (у — 7г) к, (р): 2х +
+ 3р + г = 6. (Ответ: —36.)
4.19. а(Л4) = (2х — г) 1 + (р — х)) + (х + 2г) к, (р): х —
— у + г = 2. (Ответ: 20/3.)
4.20. а(М) = (2р —г)1 + (х+р))+хк, (р): х + 2р +
+ 2г = 4. (Ответ: 8/3.)
4.21. а(Л4) = (2г — х) । + (х — р) ] + (Зх + г) к, (р); х-|-
+ р + 2г = 2. (Ответ: —2/3.)
4.22. а(Л4) = (х + г) 1 + (х + Зр)] + рк, (р): х + у +
4-2г = 2. (Ответ: 8/3.)
4.23. а(Л1) = (х + г) 1 + г] + (2х — р)к, (р): 2х + 2р
+ г = 4. (Ответ: 8/3.)
4.24. а(Л1) = (Зх-|-р) 1 + (х + г) ] + рк, (р): х + 2р +
+ г = 2. (Ответ: 2.)
4.25. а(М) = (р + г) 1 + (2х — г) ] + (у + Зг) к, (р): 2х +
+ р + 3г=6. (Ответ: 18.)
4.26. а(Л4) = (р +2)1 +(х + 6р))+рк, (р): х + 2р +
+ 2г = 2. (Ответ: 2.)
4.27. а(Л4) = (2р г) 1 + (х + 2р) ] + рк, (р): х + Зр +
+ 2г = 6. (Ответ: 12.)
4.28. а(Л4) = (р + г) 1 + х] + (р — 2г) к, (р): 2х + 2р +
+ г = 2. (Ответ: —2/3.)
4.29. а(М) = (х + г) 1 + г] + (2х — р) к, (р): Зх + 2р +
+ г = 6. (Ответ: 6.)
4.30. а(Л1) = г! + (х + р)) + рк, (р): 2х + р + 2г = 2.
(Ответ: 1/3.)
Решение типового варианта
1. Дана функция и(М) = х/х/х— уу/х ф- 2хуг и точки
М|(1, 1, —1), Мг(— 2, —1, 1). Вычислить: 1) производную
этой функции в точке АД по направлению вектора ЛДЛД;
2) ^гас! и(Л/1).
> 1. Вычислим производную функции и(М) = и(х,
у, г) в точке М\ по направлению вектора ЛВМ2 = (— 3,
— 2, 2):
ЦЫ(М,) = .С05а + ДДЛД1 ,С05₽ +
йад дх ду
+ ^| -сову,
02 | ,М|
ди(М) ______I_ . х/у 2 ди(Л4) I = _ _3
дх 2гд/х х" дх I"' 2 ’
ди(М) _ _ 1 2Х2 ди(М') I = _ _5_
ду 2хх[у ’ ду ‘Л,‘ 2’
Л.М = - Л + 2ху, ди^ I =1,
дг г2 дг I м,
2. Согласно определению,
= -4>-4)+к.
2. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
ЭД (Зх — у-\-г)с18 по поверхности 5, где 5 — часть пло-
5
скости (/?): х ф- х — 2у = 2, отсеченная координатными пло-
скостями.
> Из уравнения плоскости находим:
х = 2 — х ф-2г/, 2'х=—1, 2у = 2,
У5 = д/1 + г(2 + г'у йхслу = д/бУхУу.
Сводим вычисление поверхностного интеграла к вычисле-
нию двойного интеграла по области О, где О — треуголь-
ник АОВ, являющийся проекцией поверхности 5 на пло-
скость Оху (рис. 15.13). Тогда
ЭД (Зх — у + г) а8 = ЭД (Зх — у + 2 — х 2у) х[§<1хс1у =
X 1>
“4- Д/
— ЭД (2х -4- у + 2)д/6Ух'Уу = д/б 5 5 (2х-|-у + 2)Ух =
I) — I о
» 2 + 2у О
= д/б $ + (У + 2)Л')| = д/б $ (4 + 8у + 4у- +
- I 10 -1
о
+ 2у + 2у2 + 4 + 4у)Уу = д/б $ (бу2 + 14у + 8)Уу =
= д/б(2у5 + 7у2 + 8у)| |==3д/б.
3. Вычислить поверхностный интеграл второго рода
ЭД (х2 + г2) ЗхУ? + х'УуЗг — 2х~ахау,
где 5 — часть поверхности параболоида 4 — у = х2 + г1
(нормальный вектор п которой образует острый угол
с ортом ]), отсекаемая плоскостью у = 0.
► Представим данный поверхностный интеграл по ко-
ординатам в виде суммы трех интегралов и, используя
уравнение параболоида, преобразуем каждый из них в
двойной интеграл по области От (у = 1, 2, 3) (рис. 15.14):
/ = ЭД (х2 + г2) УхУг + х'ЗуЗг — Чг-ЗхЗу = 1\ + /2 /3,
где
Л = ЭД (х2 + г2) УхУг; /2 = ЭД х^Зуа?-, /3 = ЭД (— 2г2) ЗхЗу.
5 3 5
Вычислим последовательно интегралы 1\, 12, 1у.
/| = ЭД (х2 г2) 3x3г = |х = р соз <р, г = р зш <р,
о,
V р 2л ., 2
Ухг/г = рУрУф| == \ Ую I р‘!Ур = и •— =8л,
з ) I п 4 | о
II о
где область О| —круг х2 + г2 = 4, у = 0, являющийся
проекцией поверхности параболоида на плоскость Охг. Пе-
ред интегралом /| ставится знак « + », так как нормаль п
к поверхности образует острый угол (3 с осью Оу.
Р 11 с. 15.13 Р н с. 15.14
Далее,
Л = х2с1ус!г = (д/4 ~ Р ~ ^УЧу^г —
5 [)
— ЭД ( —-д/4 — у — г~У~с1ус12 = ЭД (4 — у — г2) ЛуЛх —
— ЭД (-! — Ц — г2) ауаг = 0.
Координатная плоскость Оух разбивает поверхность па-
раболоида на две части х=^4— у — г2 и х =
= —-у/4 — у — 22, проекция каждой из которых па пло-
скость Оуг есть область Ог- Поэтому интеграл О можно
представить в виде суммы двух интегралов, перед первым
нз которых надо взять знак « + », так как нормаль п
к этой части поверхности параболоида образует острый
угол с осью Ох, а перед вторым интегралом — знак « — »,
поскольку нормаль п образует с осью Ох тупой угол.
Аналогично
/3 = ЭД — 2г2с1хс1у = — 2 ЭД (^4 — у — х~у с1хс1у Д-
х а.
+ 2 ЭД ( — 4 — у ~ х2У2 Ахйу = 0.
п,
Итак,
55 (х2 + 22) (1х(12 + х2(1ус12 — 2г2ь?хЛ/ = 8л.
5
4. Вычислить поток векторного поля а(Л4) = (х + г) 1 ф-
+ (2у — х) ] + гк через внешнюю поверхность пирамиды,
образуемую плоскостью (р): х— 2у + 2г = 4 и координат-
ными плоскостями, двумя способами: 1) использовав
определение потока; 2) с помощью формулы Остроград-
ского — Г аусса.
► 1. Вычисляем поток векторного поля с помощью
поверхностного интеграла
П = а • пог/5,
5'
где 5 — внешняя сторона поверхности пирамиды АВСО
(рис. 15.15).
Вначале вычислим поток через каждую из четырех
граней пирамиды. Грань АОС лежит в плоскости у = О,
нормаль к этой грани п° =), с18 = йхЛх. Тогда поток век-
торного поля а(Л4) через грань АОС
Л 2~х/2
П[ = — хс18 = — $ хс1хс1х = — $ хс1х $ йх —
Д/10С ДЛОС О О
Грань АОВ лежит в плоскости г = 0, нормаль к этой
грани п(2 = —к, й8 = йхйу,
П2= ЭД 0 • йхйу = 0.
Д.4ОВ
Грань ВОС лежит в плоскости х = 0, нормаль к данной
грани пз = —1, <75 = йуйг,
2 0
П3 = — ЭД хйуйх = — ЭД г<7г ЭД йу =
ДВОС О г —2
Г / 3 \I2 ,
= - I г(-г + 2)^= =— А.
3 \ 3 ) | о 3
о
И, наконец, грань АВС лежит в плоскости х — 2у 2г —
— 4 = 0, нормаль к этой грани
„и_ 1-2] + 2к _ 1-2| + 2к
•14-----— - —--------------,
д/| + 4 + 4 6
й8 = 1 Н- А + А йхйу, г = — А- х У + 2,
А = — А, г' = 1.
IЗоэтому
а8 1 + А + 1 йхйу = А йхйу,
Лц = -^-А $ С(х + г) — 2(2у — х) +27)йхйу=
△ .1ЛС
= А $ (X + г — 4у + 2х + 2х)(1хс1у =
Д.-1ВС
= А (Зх — 4у + Зг) йхйу = А $ (Зх —4у —
△/1/5 С /8 АОВ
— А. X + Зу + б) йхйу = А (А X — у + б) йхйу =
/\АОВ
0 +
= 4 ау (4х—у а 6) =
-2 О
= 4 ^(4х"+(6—х) к,
______2
= 4 $ (|(21/ + 4;2 + (6-//)(2у-;-4)б/у =
— 2
1 5 Цу2 + 4у + 4) + 12у + 24 - 2.Д - 4у^1у =
$ (у2 + 20у + 36) У у = 101 4- 1 Оу2 + 360 |0 =
Далее находим поток через полную поверхность пи-
рамиды АВСО:
п = гц + п2 + п, + = Ш.
)
2. Вычислить поток через поверхность пирамиды АВСО
по формуле Остроградского— Гаусса:
I
Находим
дР ___ д(х + г) _ । д() _ У(2у — л) _ др _____ дг __ ।
ох дх ’ ду ду <<г дг
Так как интеграл ^йх(1ус1г равен объему ирямоуголь-
г
ной пирамиды АВСО, то
/7 = $ (1 + 2 + 1) (1х(1ус12 = 4 $ с{х(1у<1г = -0. •<
г г
ИДЗ-15.2
1. Вычислить циркуляцию векторного поля а(Л4) по
контуру треугольника, полученного в результате пересече-
ния плоскости (/?): Ах + Ву + Сг = О с координатными
плоскостями, при положительном направлении обхода
относительно нормального вектора п = (Л, В, С) этой
плоскости двумя способами: 1) использовав определение
циркуляции; 2) с помощью формулы Стокса (15.27).
1.1. а(Л4) = 21 + (х + р)]+рк, (р): 2х + у + 2г = 2.
(Ответ: 5/2.)
1.2. а(Л4) = (х + г) 1 + г] + (2х — у) к, (р): Зх + 2у +
+ г = 6 (Ответ: —24.)
1.3. а(Л4) = (у + г) 1 + х] + (у — 2г) к, (р): 2х + 2у +
+ г = 2. (Ответ: 2.)
1.4. а(М) = (2р — г) 1 + (х + 2у) ] + рк, (р): х + Зу +
+ 2г = 6. (Ответ: —12.)
1.5. а(М) = (р + г) 1 + (х + 6р) ] + рк, (р): х + 2р +
+ 2г = 2. (Ответ: 3/2.)
1.6. а(М) = (у + г) 1 + (2х — г) ] + (р + Зг) к, (р): 2х +
+ р + 3г = 6. (Ответ: 24.)
1.7. а(Л4) = (Зх + р) • + (х + г)) + рк, (р): х + 2р +
+ г = 2. (Ответ: 0.)
1.8. а(М) = (х + г) 1 + г| + (2х — р) к, (р): 2х + 2р +
+ г = 4. (Ответ: —12.)
1.9. а(М) = (х + г) 1 + (х + Зр) ] + рк, (р): х + у + 2г =
= 2. (Ответ: 4.)
1.10. а(М) = (2р —г)1 + (х + р)) + хк, (р): х + 2р +
+ 2г = 4. (Ответ: —12.)
1.11. а(Л1) = (2г —х)1 + (х —р)] + (3х + г)к, (р): х +
+ р + 2г = 2. (Ответ: 1.)
1.12. а(Л4) = (2х — г) 1 + (р — х)) + (х + 2г) к, (р): х —
— р + г = 2. (Ответ: 2.)
1.13. а(Л4) = (х + р + г) 1 + 2г) + (р — 7г) к, (р): 2х +
+ Зр + г = 6. (Ответ: 0.)
1.14. а(Л4) = (х + р) 1 + (р + г) ] + 2(х + г) к, (р): Зх —
— 2р + 2г — 6. (Ответ: — 3/2.)
1.15. а(М) = 4г1 + (х —р —г)) + (3р + г)к, (р): х —
— 2р + 2г = 2. (Ответ: —1.)
1.16. а(Л4) = (2г — х) 1 + (х + 2р)) + Згк, (р): х + 4р +
+ 2г = 8. (Ответ: 40.)
1.17. а(Л4) = 4x1 + (х — р — г)) + (Зр + 2г) к, (р): 2х +
+ р + г = 4. (Ответ: 36.)
1.18. а(Л4) = (х + 2г) 1 + (р — Зг) ] + гк, (р): Зх + 2р +
+ 2г = 6. (Ответ: 39/2.)
1.19. а(Л4) = х1 + (р — 2г) ] + (2х — р + 2г) к, (р): х +
+ 2р + 2г = 2. (Ответ: —3/2.)
1.20. а(Л4) = (р — г)1 + (2х + р)] + гк, (р): 2х + р +
+ г = 2. (Ответ: 0.)
1.21. а(Л1) = (х 4- у — г) I — 2у\ + (х + 2г) к, (р): х 4-
+ 2у г = 2. (Ответ: —5.)
1.22. а(Л4) = (х + у) 1 + Зу] + (у — г) к, (р): 2х — у —
— 2г=—2. (Ответ: — 2.)
1.23. а(Л4) = (2у + г) I + (х — у)] — 2гк, (р): х — у ф-
-{- г = 2. (Ответ: —4.)
1.24. а (М) = (Зх-у)1 + (2у + 2))+(2г-х)к, (р):
2х — Зу г = 6. (Ответ: 12.)
1.25. а(Л4) = (х 4~ 2) । 4- 2у] 4~ (х 4~ У г) к, (р): х 4~
4- 2у 4- г = 2. (Ответ: 1.)
1.26. а(Л4) = (у 4~ 2г) I 4-(х 4-2г)) 4-(х — 2у) к, (р):
2х 4- у 4~ 2г = 2. (Ответ: — 7/2.)
1.27. а(Л4) = (х 4-г) 14-(г — х)] 4~ 2у 4~ г) к, (р):
х -\-у 4- г = 2. (Ответ: 0.)
1.28. а(М) = х1 + (х 4~ г)) + (у 4~ г) к, (р): Зх + Зу +
4- г — 3. (Ответ: 3/2.)
1.29. а(Л4) = (Зх - 1) । + (у - х + г) ] + 4гк, (р): 2х -
— у — 2г=—2. (Ответ: 0.)
1.30. а(Л4) = Зх! (У 4~ 2) | (х — г) к, (р)\ х 4- Зу 4-
4-2 = 3. (Ответ: —6.)
2. Найти величину и направление наибольшего изме-
нения функции и(М) = и(х, у, г) в точке Л10(х0, у0, го).
2.1. и(М) = хуг, Л'/о(О, 1, —2). (Ответ: 2.)
2.2. и(М) = х2уг, Л4О(2, 0, 2). (Ответ: 12.)
2.3. и(М) = ху2г, Л4и(1, —2, 0). (Ответ: 4.)
2.4. и(М) = хуг'2, М0(3, О, Г). (Ответ: 3.)
2.5. и(М) = х2у2г, Мо(— 1, 0, 3). (Ответ: 0.)
2.6. и(М) = х2уг2, Мо(2, 1, —1). (Ответ: 4ц/б.)
2.7. и(М) = ху2г2, Мо( — 2, 1, 1). (Ответ: V33.)
2.8. и(М) = у2г — х2, Л1(>’(0, I, I). (Ответ: д/5.)
2.9. и(М) = х2у у2г, Л'/(1(0, —2, I). (Ответ: 4у/2.)
2.10. и(М) = х(у г), Л1и;0, 1, 2). (Ответ: 3.)
2.11. и(М) — ху — хг, Л1Ц(— I, 2, I). (Ответ: х/з.)
2.12. н(Л4) = х2уг, Л4о(1, —1, 1). (Ответ: д/$-)
2.13. и(М) = хуг, Мо(2, 1, 0). (Ответ: 2.)
2.14. и(М) = хуг2, Л40(4, 0, 1). (Ответ: 4.)
2.15. и(М) = 2х2уг, Мо(~3, 0, 2). (Ответ: 36.)
2.16. и(М) = х2уг, Л40(1, 0, 4). (Ответ: 4.)
2.17. и(М) = (х у) г2, Мо(О, —1, 4). (Ответ: 24.)
2.18. «(М) = (х4- г) у2, Л10(2, 2, 2). (Ответ: 12д/2.)
2.19. и(М) = х2(у2 + г), Л40(4, 1, —3). (Ответ: 16^'6.)
2.20. и(М) = (х2 + г)у2, Л40( —4, 1, 0). (Ответ: д/ЗЗ.)
2.21. и(М) = х2(г/ + г2), Л40(3, 0, 1). (Ответ: 21.)
2.22. и(М) = (х2 — у) г2, Л40(1, 3, 0). (Ответ: 0.)
2.23. и(М) = х(у2 + г2), Л40(1, —2, 1). (Ответ: д/ТА)
2.24. и(М) = х2 + Зу2 — г2, Л4о(О, 0, 1). (Ответ: 2.)
2.25. и(М) = х2г — у2, Л40(1, 1, —2). (Ответ: д/21.)
2.26. и(М} = хг2 + у, Л40(2, 2, 1). (Ответ: Зд/2.)
2.27. и(М) = х2у — г, Л40( —2, 2, 1). (Ответ: 9.)
2.28. и(М) = ху2 — г, ЛЦ—1, 2, 1). (Ответ: д/33.)
2.29. и(М) = у(х + г), Мо(О, 2, —2). ( Ответ: 2д/3.)
2.30. и(М) = г(х + у), Л40(1, —1, 0). (Ответ: 2.)
3. Найти наибольшую плотность циркуляции векторно-
го поля а(Л4)=(х, у, г) в точке М0(х0, у0, г0).
3.1. а(Л4) = х21 — ху2] 4- г2к, М0(0, 1, —2). (Ответ: I.)
3.2. а(Л4) = ху\ 4-угу 4- хгу + хгк, Л40(2, 0, 3). (От-
вет: д/" 13.)
3.3. а(Л4) = ху2\ + уг2'у — х2к, Л10(1, —2, 0.) (Ответ:
3.4. а(Л4) = хг! 4- гу 4- угк, Л4и(3, 0, 1). (Ответ: 4.)
3.5. а(Л4) = ху1 + хугу — хк, Л40( — 1,0, 3.) ( Ответ: д/ 2.)
3.6. а(Л4) = уг1 — г2у 4- хугк, Л40(2, 1, —1). (Ответ:
3.7. а(Л4) = г/21 — хуу 4- г2к, Л4и( —2, 1, 1). (Ответ: 1.)
3.8. а(М) = хг'1 — хуг'ух2гк, Мо(0, 1, 1). (Ответ: 1.)
3.9. а(Л1) = ху(—у2гу—хгк, Л4ц(0, —0- ( Ответ:
/17-)
3.10. а(Л4) = хг1 — уу — гук, Л40(0, 1, 2). (Ответ: 2.)
3.11. а(Л4) — у21—ху2у 4- г2к, Л40( — 1,2, 1). (Ответ: 8.)
3.12. а(Л4) = ху1 — ху‘) — ху2у 4- г2к, Л40(1, —1, 1).
(Ответ: 2.)
3.13. а(Л4) = (х + у) I + угу + хгк, Л4()(2, 1, 0). (От-
вет: д/^-)
3.14. а(Л4) = ху\ — (у + г)] + хгк, Мо(4, О, 1). (От-
вет: 3^2.)
3.15. а(Л4) = х1 — гу] + х2гк, Л4о( — 3, О, 2). (Ответ: 12.)
3.16. а(Л4) = (х + у2) 1 + уг) — х2к, Л4о(1, О, 4). (От-
вет: 2.)
3.17. а(Л4) = хг1—у]-(-угк, Л4о(О, —1, 4). (Ответ: 4.)
3.18. а(Л4) = ху! — х] + угк, М0(2, 2, 2). (Ответ: х/\3.)
3.19. а(Л4) = (х + у) । + хуг] — хк, Л40(4, 1, —3). (От-
вет: х/зз.)
3.20. а(Л4) = (х — у^ + уг) — ук, М0(-4, 1, 0). (От-
вет: х/з.)
3.21. а(Л4) = (у — г) I — г2') хугк, Л4о(3, О, 1). (От-
вет: Зд/З.)
3.22. а(Л4) = уг\ — г2) + (х + у) гк, Л40(1, 3, 0). (От-
вет: 3.)
3.23. а(Л4) = г2! — хг] + г2к, Л40(1, —2, 1). (От-
вет: \/6)
3.24. а(Л1) = х^ + (х-г)) + (у-х)к, Л1о(О, О, 1). (От-
вет: х/б.)
3.25. а(Л4) = хг! + (^х — у) ] + х-’гк, Л10(1, 1, —2). ( От-
вет: л/26.)
3.26. а(М) - (х — г) 1 + ху] + у2гк, Л10(2, 2, 1). (От-
вет: х/2\.')
3.27. а(Л4) = (х — г) 1 + хуг\ + хк, Мо( — 2, 2, 1). (От-
вет: л/24.)
3.28. а(Л4) = (у — г) 1 + у]— г2к, Мо{—1,2, 1). (Ответ:
х/2.)
3.29. а(Л4) = (х — у)1 — х) + хгк, Л4о(О, 2, —2). (От-
вет: 2.)
3.30. а(Л4) = (х — — у] хук, Л40(1, —1, 0). (От-
вет: 0.)
4
Выяснить, является ли векторное поле а(Л4) = (х, у, г)
соленоидальным.
4.1. а(Л4) = (ос — Р)х1 + (у — а)[] +(|3 — у)гк.
4.2. а(Л4) = х2у\ — 2ху2] 2х</гк.
4.3. а(М) = (уг — 2х')! 4- (хх + 2у)] хук.
4.4. а(Л4) = (х2 — г2)| — Зхуу ф {у~ 4- г2)к.
4.5. а(М) = 2хуг\ — у(ух + 1)]’ + гк.
4.6. а(Л4) = 2% — Зу! 4- 2ху] — г2к.
4.7. а(М) = (л-2 — «/-)! + (у“ — г2)] + (г2 — х2)к.
4.8. а(/И) = уг! 4- (х — у)] + г2к.
4.9. а(М') = (у 4; г)! + (х + г)] + (х + у) к.
4.10. а(М) = Зх2'у! — 2ху2] — 2хугк.
4.11. а(Л4) = (х + уЯ — 2(г/ + г)] + (г — х)к.
Выяснить, является ли векторное поле а(М) = (х, у, г)
потенциальным.
4.12. а(М) = (уг — 2х)! + (хг гу)\ + хук.
4.13. а(/И) = уг[ 4- хгу -4- хук.
4.14. а(Л4) = 6ху1 + (Зх2 — 2у)] 4~ гк.
4.15. а(Л4) = (2х — уг)! 4- (2х — ху)у 4- угк.
4.16. а(М) = {у — 2)1 + Зху2] 4- (г — х)к.
4.17. а(М) = (у-2)< + (х + г)] + (х2 - у1)к.
4.18. а(Л4) = (х + у)\ — 2хх] — 3(у 4~ г) к.
4.19. а(Л4) = г2’! + (хг 4- у)] 4-х2ук.
4.20. а(Л4) = ху(3х — 4у)! + х2(х — 4у)} + Зг2к.
4.21. а(/И) = бхч 4- 3 соз (Зх 2г)] + соз (Зу + 2г/к.
4.22. а(Л4) = (х -}- у)! + (г — у)) + 2(х -|- г)к.
4.23. а(М) = 3(х — г)1 + (х- — у2’)] + Згк.
4.24. а(Л4) = (2х — уг)! + (хг — 2у)]‘ 2хугк.
4.25. а(М) = Зх2’! + 4(х — у)] -{- (х — г)к.
Выяснить, является ли векторное поле а(Л4/ = (х, у, г)
гармоническим.
4.26. а(/И) = х2’г! -}- у2] — хг'2к.
4.27. а(Л4) = (х + у)'1 + [У + + (Л‘ +
4.28. а(М) = ± || к.
4.29. а(^/= уг!хг] 4-хук.
4.30. а(М) = (у —г)! 4-(г —х)] 4-(х — у) к.
Решение типового варианта
1. Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) =
==(х — 2г)! 4~ (х 4- Зу 4- г)] 4- (5х 4- у) к по контуру тре-
угольника, полученного в результате пересечения пло-
скости (р): х 4- у 4- г = 1 с координатными плоскостями,
при положительном направлении обхода относительно
нормального вектора п=(1, 1, 1) этой плоскости двумя
способами: 1) использовав определение циркуляции;
2) с помощью формулы Стокса (15.27).
► В результате пересечения плоскости (р) с коорди-
натными плоскостями получим треугольник АВС
Рис. 15.16
(рис. 15.16) и укажем на нем положительное направление
обхода контура АВСА в соответствии с условием задачи.
1. Вычислим циркуляцию С данного поля по формуле
(15.25), в которой обозначим сП=т°с(/:
С= ф а • сП = $ а сП + $ а • сП + $ а • сП.
часа л в вс с-1
На отрезке АВ имеем: г = 0, х-|-у = 1, у=\ —х,
с1у = -— <7х,
а = лт + (х + ЗуП + (5х + у)к, сП = <1х\ + с1у},
а • сП = х(1х -ф (х + Зу) Лу,
5 а • сП = ) хс!х + (х + Зу)(1у = (х — х — 3(1 — х))Ух =
АВ АВ I
I) о
= рЗх-3)^-=^ -3x^ = 2.
На отрезке ВС верны соотношения: х=0, у + г = 1,
г = 1 — у, с1г = —(1у,
а = — 2г< + (Зу + -г) 1 + ук, сП = (1у] -ф с?гк,
а - сП = (3у + г)с1у +У^2,
а • сП = (Зу г)с1у -ф ус1г =
ВС ВС
о о
=Ц(Зу+ 1 — у — у")(1у = \(у + 1)с?у = -^-±-Ю°= — 4-
I 1
На отрезке С А имеем: у = 0, х + г=1, с!г =—</х,
а • с!1 — (х — 2г)<1х + 5хс1г,
5 а • <31 = $ (х — 2г)</х + 5х</г =
СА СА
2 I
= $ (х — 2 + 2х — 5х)с1х = \( — 2х — г)Ах =
= (х2 — 2х)|о = —3.
Следовательно,
с=4-4-з=-з.
2. Вычислим циркуляцию данного поля с помощью
формулы Стокса (15.27). Для этого определим
го!а(Л4)—
1
д
дх
х — 2г
1
д
ду
х + Зу + г
= -7] + к.
В качестве поверхности 5 в формуле Стокса возьмем
боковую поверхность пирамиды ОАВС'.
5 = 5ос,1 + Дме + 5овс-
По формуле Стокса имеем
С = У го!ы • п °^5’ = ЭД го!а • <33,
5 5
где
<18 = (1ус1г\ + с1хйг] + (1хс1ук, (го! а • <33) =
= —Тйхйг + (1хс1у.
Следовательно,
С=ЭД—1<1х(1г + с1хс1у =—7 ЭД йхйг + ЭД с1хс1у =—3. ◄
5 $ОАС $ОЛН
2. Найти величину и направление наибольшего изме-
нения функции и(М) = 5х2уг— 7ху2г + 5х(/г‘ в точке
Мо(1, 1, 1).
► Находим частные производные функции м(Л4) в
любой точке М(х, у, г) и в точке Мо:
= Юхуг — 7у2г А-Зуг2, д‘ам^. = 10 — 7 + 5 = 8,
С/Л С/ Л
^11 = 5х2г — 14хг/г + 5хг2, ди{лМо} =5—14 + 5= —4,
+ ду
= 5х2у — 7Ху2 + Юхуг, ди^о} = 5 — 7+10 = 8.
Тогда в точке Л40( 1, 1, 1) имеем §гас! и(М0) = 81 — 4] + 8к.
Наибольшая скорость изменения поля в точке Л4о дости-
гается в направлении §гад ц(Л+) и численно равна
I §тас! н(Л40)1:
ди (/Ио) ди (/И„)
д ^гаа и дз
= | §тас! и(М0)|
= ^8'2 + (~4)2 + 82= 12. 4
3. Найти наибольшую плотность циркуляции вектор-
ного поля а(Л4) = х//2г21 + х2г/г*3 + хг/гк в точке Л4()(2,
-1, 1).
► Наибольшая плотность циркуляции векторного
поля а(М) в данной точке Л40 достигается в направлении
ротора и численно равна |го{ а(Л40)|. Находим:
го! а(М) =
к
д
дх
хуг
= Цл-г — 2х2уг) — ](уг — 2ху2г),
го1а(Л4ц) = 101 + 5], |го1а(ЛТ,)| =д/102 + 52 = 5д/5. 4
4. Выяснить, является ли векторное поле а(Л4) =
= (у + г)| + ху] — хгк соленоидальным.
► Векторное поле а(М)— соленоидальное, если в
каждой его точке Шуа(Л4) = 0. Находим
а(М) = ^ + ^ + -- = ^- + + у) +
4 ' дх ду дг дх ' 7
4“ Д7, + 4; (— -г2') = 0 + -г — х = 0.<
15.8. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 15
1. Найти площадь части поверхности шара х2 + у~ +
+ г2 = а2, расположенной вне цилиндров х2 + у2 = ±ах.
(Ответ: 8а2.)
2. Вычислить массу поверхности куба 0 д/х 1, ОС
-С У О 1,0 г 1, если поверхностная плотность в точке
Л4(х, у, г) равна хуг. (Ответ: 3/4.)
3. Вычислить координаты центра масс конической по-
верхности г2=х2~(-у2, О Д/а </ 1, если ее плотность в
каждой точке пропорциональна расстоянию от этой точки
до оси конуса. (Ответ: (0, 0, 3/4).)
4. В каких точках пространства градиент скалярного
поля и(М) = хл + у2 + г3 — Зхуг: а) перпендикулярен к
оси Ох: б) равен нулю? (Ответ: а) г2 = ху, б) х = у = г.}
5. Вычислить наибольшую скорость возрастания ска-
лярного поля и(М) = х2у у2г + г2х в точке Л4()(2, 1, 2).
(Ответ: -д/209.)
6. Показать, что в точке А(4, — 12) производная функ-
ции 2 = х,! ф- Зх2 + бху + у2 по любому направлению равна
нулю.
7. Уравнения движения материальной точки: х = 1,
у = I2, 2 = О С какой скоростью увеличивается расстоя-
ние от этой точки до начала координат? [Ответ:
I +2г‘ + 3/' \
лЛ -н2-н’ ’
8. Два парохода, вышедшие одновременно из пункта
А, движутся один на север, другой — на северо-восток.
Скорость движения пароходов 20 км/ч и 40 км/ч. С какой
скоростью увеличивается расстояние между ними? ( Ответ:
20 д/5 — 2д^2 км/ч.)
9. Записать уравнения силовых линий векторного поля
а(М) = х'1 у] + 2гк. (Ответ: у = С\х, г — С^х2.)
10. Векторное поле определяется силой, модуль кото-
рой обратно пропорционален расстоянию от точки ее при-
ложения до плоскости Оху. Сила направлена к началу
координат. Найти дивергенцию этого поля. (Ответ:
— к/(гх/х2 ф- у2 + г2), где к — коэффициент пропорцио-
нальности.)
11. Твердое тело вращается вокруг оси Ог с угловой
скоростью и. Вектор линейной скорости V имеет проекции
на оси координат: V,- ——шу, е.,= (>>х, V, = 0. Найти:
а) ротор вектора у; б) циркуляцию вектора у по окруж-
ности х2 + у2 = а2 в положительном направлении обхода
относительно орта к. (Ответ: а) (0, 0, 2о>); б) 2ла2о>.)
ПРИЛОЖЕНИЕ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ИНТЕГР «КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ‘АЛЫ» (2 ЧАСА)
1. Изменить порядок инте> 2 4-х2 1.1. \<1х \ Ь(ху у)(1у. 0 4 — 2х2 4 л/25-!/ 1.3. \(1у Ь(х, у)с!х. 0 3 77/2 4 7-у 1.5. \с!у 5 Ь(х, у)(1х. <) .11/4 + 1 2 2\/х 1.7. \<1х Ь(х, у^Лу. 0 х2/4 1 4 1.9. 5 (1у\ь(х, у)с1х. !Г 2 х2/2 + 2 1.11. \с!х Ь(х, у)(1у. 0 2х л/4 л/2 — у 1.13. \ (1 у $ Ь(х, у)(1х. о У 1 1 - У 1.15. \(1у Ь(х, у)(1х. " - 2 Х+2 1.17. 5 с1х 5 Ь(х, у)<1у. 1 3-!/ 1.19. \(1у Ь(х, у)(1х. 0 2у‘- 1 1-у 1.21. \(1у Ь(х, у)(1х. о -71=7 1 2 — 21/ 1.23. \(1у $ Ь(х, у~)(1х. 0 1-« рирования. 3 д/25-х2 1.2. $ Ь(х, у)с!у. о 79 - х2 1 4 —(/"’ 1.4. \(1у $ Ь(х, у)(1х. о 2.У+1 4 725-х2 1.6. \с!х Ь(х, у)(1у. 0 0 4 1/ + 4 1.8. 5 с1у 5 Ь(х, у)с1х. -2 </!/2 2 у‘ + 2 1.10. \(1у Ь(х, у)с!х. 0 у‘ 1 2-х 1.12. 5 Ь{х, у)(1у. I) х1 2 12х 1.14. ^7Т Ь(х, у)(1у. 0 Зх2 1 х2 + 1 1.16. \ 1.1 х $ Ь(х, у)(1у. 0 — 1 1 х2 1.18. с1х ^Ь(х, у)<1у. о -хг 0 1 +у 1.20. (1у Ь(х, у)(1х. -1 -1-</ 1 3 —х 1.22. Ь(х, у)с1у. 0 2х2 4 311/2 4-4 1.24. \ау 5 Ь(х, У)(1х. о а/2+ 1
1.25.
1.27.
1.29.
О 1+х
$ с1х Ь(х, у!<1у.
-1 - 77^7
1 у
\(1у \~Ь (х, у)(1х.
О — V?
О 2у + 1
5 <1у Ь(х, у)с1х.
-I -2-!/
4/5 3-31//2
1.26. 5 с1у 5 Ь(х, у)с1х.
о 1+у
1 71 -(г-I)’
1.28. \(1х Ь(х, у}(1у.
О -х
з д/+^7
1.30. Ы.х, у)(1у.
о О
2. Вычислить тройной интеграл по области и, ограниченной за-
данными поверхностями.
2.1. \\\г^/х2 + у2 (1хс1ус12\ V'. у = 0, г = 0, г = 2, х2 + у2 = 2х.
2.2. Щ(-Г2 4“ 22}(1х(1у(12, V V'. у = 2, х2 + г2 — 2у.
2.3. ^2(1хд.уд.2\ V V. 2 = \2 + у-, 2 = 2.
2.4. ^у(1хд.у(12\ V и: у = 4(х2 + г2), у = 4.
2.5. ^у(1х(1у(1г\ V V-. у2 = 2 + г2, у = 2.
2.6. Щ(4 — х — у)(1х(1у(1г, V • V'. х2 + у2 = 4, 2 = 0, 2=1.
2.7. ^с1х(1у(12, V' и: 2 = л/4 — х~ — У2. х' + У' = Зг.
2.8. Щ ^х' 4- у2 4- 2~ (1х(1у(12, V' V: х2 + у2 + 22^а2, х2 + у2 + 22С 4а2.
2.9. \^х(1хд.у(12, V и: 2=1— х^х2 1 у2, г > о.
2.10. \§ус1хс1уУ2, V: 2=1— (х2 + у2:, х > 0.
2.11. \^(1Х(1ус12, V и: 2 = д/а2 — х2 — у1, 2 = д[х2 + у2.
2.12. $ Ы1хс!у(1г, V V: 2 = 2 - (х2 + у2\ г = х2 + у2.
2.13. ® (х2 + \)с1х(1у<1г, V V'. х2 + у2 = 1, 2 = X2 + у2,
2.14. 5й(г2+1)а'лт/(/а'г, V V: 22 = х2 + у2, 2 > 0, 2 < 1.
2 Ь- Ж ч' + У V V-. у2 + г2 = 1, х2 = у2 + г2, 0.
2.16. Щ (х2 4- у2 4~ г)(1х(1у(12, V V'. х2 + у2 = 9, г^0, г +3 3.
V •*" + У*
'====.(1х(1у(.1г, V': х~ + у2 г~ = 1, г 0.
л/(*2 + '/ + г2)1
2.18. ^у'2(1х(1у(12,
I'
2 19 [[[ 22(1х(1у(1г
-^Х2 + у- + 22
2.20. §\(1хс1ус12,
V
2 21 ИС ^уОг
V1 —х~ — у’
2.22. — 2)ахаус1г,
V
2.23. ®(у+ \)с1х(1ус1г,
I'
2.24. Щге/х^/ус/г,
И
2.25. \\\(х-/ 3)(1х(1ус12,
I-
2.26. ®(х2 4-г2}</х4у4г,
I'
2.27. $ (у2 + 22)с1хс1у(1г,
I'
2.28. Щ(х2 + У^йхУус!?,
V’
2.29. \\\(х + 4)<1хс1у(1г,
V
2.30. Щ'(у — 3)с1хс1уУг,
I-': х2 + у2 = I. г2 = х2 + у2. х/х 0.
V: х/4-у2 4~ с2 1, х2 4~ !Г + г2 < 4, .? 4« 0.
V : х2 + у2 = 4, 2 = 5 — (х2 + у2), г > 0.
V : г = д/1 — х- — у2. г 0.
V ': х = 6(у2 4-г4. у2 4- г2 = 3, х = 0.
V : у = 3 \х~ 4~ 2 , л' -}- ?" — 36, у = 0.
V : г = 5(л22 4- у2), л-2 4- у2 = 2, г = 0.
14 2х = у2 4- г2, у2 4- г2 = 4, х = 0.
V : у2 = л2 4- 22, у = 4.
V : х == у2 4~ г2, х = 9.
V : 2г = х2 4- у2, х2 4- у2 = 4. г = 0.
I': 2х = у2 4~ 22, у2 4- 2' = 4, х = 0.
V ': 4у = ух2 4- г2, х2 4- г2 = 16, у = 0.
3. Проверить, является ли данное выражение полным дифферен-
циалом функции и = и(х, у). Найти функцию и = и(х, у).
3.1. (51П2 у — у 51п 2х 4- 1 /2)д.х 4- (х 4п 2у 4- соз2 х 4~ 1)<7у.
3.2. (у/х 4- 1п у 4- 2х}<1х 4- (1п х 4- х/у 4- \}<1у.
3.3. (х2 — 2ху)(1х 4- {у2 — '2ху)(1у.
3.4. (у/д/1 Х~У + х~)с!х 4- (х/л/1 — х2у* 4- у)(1у.
3.5. —%- -- 4- 2х^ (1х 4- ( - „ и- „ - 2у^ (1у.
\ Я- / \ х~ -К у /
3.6. (----- Л (1х + (------------------- 10^ (1у.
\ 1 4- х2у’ / \ 1 + Х~У2 /
3.7. (у2е"х 4- 3)(1х 4- (2хуе'-': - 1 )<Уу.
3.8. (51П X 4- СОЗ X СОЗ у/знг х)с1х 4“ (51П у/з111 X — соз у)(1у.
3.9. 1 , У (1х + -----ау.
х‘у ху-
3.10. (-----—------Ц <1х + (----------- + — </</.
\ {х + у)- X / \ (л- + у)- у )
3.11. (Зх2у — ул)(1х + (х3, + Зху2)(1у.
3.12. ----(1х + (-------------Л ау.
\ У X-/ \ X у-/
з.1з. (—-— Л ах— , ау.
\ х~ 4- у- / X- 4- у~
3.14. (Зл- — 2лу 4~ У )ах 4“ (2л’у — х Зу )с1у.
3.15. (4п 2х — 2 51п хзн1 у — \2х2у)Ух 4-(зп1 21/4- 2еозхсо8 у — 4х2)Уу.
3.16. (12х3(/ 4- 1 /У2','4х 4- (4х’ — 2л/у ')(/.у.
3.17. (2ху — \/х2)ах 4- (л2 — 2/у2}ау.
3.18. (е '-----— 4л- 4- ^51п Зу-------г~т\ау.
\ 'у / \ х~у~ /
3.19. (2/х" 4- еоз3 уу!х 4- (у — х ,51П 2у)ау.
3.20. (соз л — 2хуу1х 4- ( — 3 51п у — х~)ау.
3.21. {2ху — 1414 51П л соз х)Ух 4- (х2 4- 7е" соз3 х)(1у.
3.22. (1 /соз3 х 4~ у'у/х 4- ЗхуЧу.
3.23. (1 /х 4~ 31И у'\ах 4- л- соз уУу.
3.24. (1/х3 4- 1/4)4л- = ((1 —х}/у2)ау.
3.25. (.с 4- у 51п’3 у'/Ах 4- (1 4-х 31113 у 4- ху 31П 2у}(1у.
3.26. 1 е' ~ '' 4- у соз ху — 6х)4х 4- (х соз ху — е' ~ "{Ау.
3 27- (-Т7Т77 “13'3"’+ 3)+ (ЗТ777 -8<"+4)'
3.28. (соз у 4- у соз х — Зху2}с1х 4- Iы'п х — х 51'11 у — &х2у)ау.
3.29. [уе'-’ — 2х зит/х3 — у2)',с1х 4- {хе"' 4- 2у зи1(х3 — у2уау.
3.30. (х/^'1 4- х3’ 4- у2 4- 6x4/' — 3)ал- 4- (у/д/1 4- х3 4- у2 4-
4- 6х ‘у2 4- Зу'у/у.
4. Вычислить криволинейный интеграл вдоль заданной дуги 1..
4.1. \хау — уах, Ь: х = а соз’ /, (/=а5шЧ (0 С I =С 2л).
д
4.2. (х3 4- у2)ах -)- (х3 — у2)ау, Ь.уу у — (х) от точки Я(— 1, 1) до
1.1н
точки В(2, 2).
4.3. (х2 — 2ху}ах 4- {у2 — 2ху)Уу, /. 1В: у = х3 от точки А(— 1, 1)
/•л л
ДО ТОЧКИ В ( 1, 1).
4.4. з1п ус!х — зт х(1у, Ьцу. отрезок прямой, заключенной между
и:
точками 4(0, л) и й(л, 0).
4.5. 5 хау — уа.х, х = а(/— 5>п/), у = о(1— соз/) от точки
4(2ло, 0) до точки В(0, 0).
4.6. ) х<1у + у(1х, Ьлвс—контур треугольника с вершинами
1-лис
А(- I, 0), В(1, 0), С(0, 1).
4.7. — д.х -|- х<1у, клв\ у = 1п х от точки А (1, 0) до точки В (е, 1).
Влв х
4.8. $ хех'<1у + у<1х, Ьил'- У = х2 от точки 0(0, 0) до точки /4(1, 1).
Вол
4.9. (х2 у)<1х -|- (х -|" у2) <1у, !.,-,в — отрезок прямой, заключенный
Влв
между точками А(1, 2) и В(3, 5).
4.10. $ (ху — Г)/Ве + х2у<1у, Ьдв— отрезок прямой, заключенный
Влв
между точками А(1, 0) и В(0, 2).
4.11. $ соз у<1х — 81п хау, Ьдв—отрезок прямой, заключенный
*-лв
между точками А (2, —2) и В ( — 2, 2).
4.12. хУу у<1х, Ьолв— контур треугольника с вершинами
в олв
0(0, 0), А(3, 0), В (0, 2).
4.13. Волв—контур треугольника с вершинами
Волв
0(0, 0), А (2, 0), В(0, 2).
4.14. \(х о\-у)<11, Ь — первый лепесток лемнискаты Бернулли р2 =
= а2 соз 2<р.
4.15. ф уг - у2 <11, В — окружность х2 + у'2 — ах.
в
4.16. \у2<11, В— первая арка циклоиды х = а(1 — 81п/), у =
В
= а(1 — соз /).
4.17. ху<1х(у — х)<1у, Ьов: у = х2 от точки 0(0, 0) до точки
Вов
В(1, 1).
Г <11
4.18. \ —- ----. В<л — отрезок прямой, соединяющий точки
' д/гТр^ + 4
Вол
0(0, 0) и А(1, 2).
4.19. $ ‘2 л <1 у + у<1х, ЬА/<: х = у2 от точки А(|, 1) до точки В(4, 2).
Влв
4.20. \—---------г, В — первый виток винтовой линии л =4соз/,
] X2 + У2 + г-
I.
у = 4 3111 /, х = 3/.
4.21. ^уе'<11, В — окружность х2 + у2 = 3.
В
4.22. ф(2х + у^сП, А — окружность х2 у2 = 1.
4.23. ф(х2 + у2) сП, /. — окружность х = 2 сов /, у = 2 з!п I.
/.
4.24. V — х сП _ — эллипс х = 4 соз I, у — 81п /.
3 д/'х2 -|- 1 &у2
4.25. (л2 + У~)^х + (х“ — У?)^У. А,мв — контур треугольника с
1-оли
вершинами 0(0, 0), А (1, 0), В(0, 1).
4.26. $(агс81П у — х2)сП, /.— дуга окружности х = соз I, у =
= Ь1П / (0 с I С л/4).
4.27. х:2у<1х 4 уех + гс1у, Ьлв — отрезок прямой, заключенный
между точками /4(1, 1) и В(2, 3).
4.28. V уУх + — (1у, Ь,\в - дуга кривой у = е~ ' от точки /4(0, 1)
з У
!-ЛВ
до точки В(1, 2).
4.29. 2хус!х 4- хг<1у, Ппл: у = № от точки 0(0, 0) до точки /4(1, 1).
7 о л
4.30. (ху х"(с11, 1 |В — отрезок прямой, заключенный между
1-лв
точками /4(1, 1) и В(3, 3).
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Учебники и учебные пособия
1. Бугров Я. С.. Никольский С. М. Дифференциальные уравнения.
Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменною,- М.:
I 1аука, 1981. - 448 с.
2. Жевняк Р. А4., Карпук А. А. Высшая математика: В 5 ч.— Мн.:
Выш. шк., 1984 - 1988,— Ч. 3.-- 1985. -208 с.: Ч. 4.— 1987.--240 с.
3. Ильин В. А., Пооняк Э. Г. Основы математически!о анализа:
В 2 и,- М.: Наука, 1971 1973,—Ч. 2,- 1973,— 448 с.
4. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: В 2 т,- М.:
Высш, шк., 1981.-- Т. 2.— 576 с.
5. Курант Р. Кд>с дифференциального и интегрального исчисле-
иия: В 2 т.-~ М : Наука, 1967 - 1970. Т. 2,— 1970. - 671 с.
6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления:
В 2 т.— М.: Наука, 1985.— I. 2.— 576 с.
Сборники задач и упражнений
7. Берман Г. И. Сборник задач по курсу математического анали-
за.— М.: Наука. 1985.— 416 с.
8. Данко 11. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая матема-
тика в упражнениях и задачах: В 2 ч. - М.: Высш. шк.. 1986.— Ч. 2.—
464 с.
9. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике:
Типовые расчеты.— М.: Высш, шк., 1983.— 176 с.
10. Лихолетие И. И., Мацкевич И. Г!. Руководство к решению
задач по высшей математике, теории вероятностей и математической
статистике.— Мн.: Выш. шк., 1976.— 436 с.
11. Сборник задач по курсу высшей математики / Г. Ц. Кручкович,
Н. И. Гутарииа, II. Е. Дюбюк и др.; Под рея. Г. Н. Кручковнча.— М.:
Высш, шк., 1973.— 576 с.
12. Сборник задач но математике для втузов: В 2 ч. / В. А. Бол-
гов. Б. П. Демидович, В. А. Ефименко и др.; Под ред. А. В. Ефимова,
Б. П. Демидовича. - - М.г Паука, 1981. -- Ч. 2.— 368 е.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.................... .................. • • 3
Методические рекомендации .................... . . 5
12. Ряды
12.1. Числовые ряды. Признаки сходимости числовых ряд-в . . 9
12.2. Функциональные и степенные ряды......................18
12.3. Формулы и ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций
в «тененные ряды................................. . . 23
12.4. Степенные ряды в приближенных вычислениях . . .28
12.5. Ряды Фурье.............................. .34
12.6. Индивидуальные домашние задания к гл. 12 . . . 44
12.7. Дополни тельные задачи к гл. 12 ... . . . 124
13. Кратные интегралы
13.1. Двойные интегралы и нх вычисление...................126
13.2. Замена переменных в двойном интеграле. Двойные интегралы
в полярных координатах................................. . 134
13.3. Приложения двойных интегралов . . ...........138
13.4. Тройной интеграл и его вычисление...................146
13.5. Приложения тройных интегралов . . ... ... 152
13.6. Индивидуальные домашние задания к гл. 13. . . . . . 157
13.7. Дополнительные задачи к гл. 13 . . . . . . 186
14. Криволинейные интегралы
14.1. Криволинейные интегралы и их вычисление . . .... 189
14.2. Приложения криволинейных интегралов................ 198
14.3. Индивидуальные домашние задания к гл. 14 ... . . 203
14.4. Дополнительные задачи к гл. 14 . . . ...........222
15. Элементы теории поля
15.1. Векторная функция скалярного аргумента. Производная по
направлению и градиент ..... ... . . . 224
15.2. Скалярные и векторные поля . . .......... . . 230
15 3. Поверхностные интегралы......................... . 233
15.4. Поток векторного поля через поверхность. Дивергенция век-
торного поля............................................ 241
15.5. Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля . . . 245
15.6. Дифференциальные операции второго порядка. Классифика-
ция векторных полей.............................250
15.7. Индивидуальные домашние задания к гл. 15..256
15.8. Дополнительные задачи к гл. 15............278
Приложение .............................. ... . 280
Рекомендуемаялитература. . . . . . 286
Учебное издание
Рябушко Антон Петрович, Бархатов Виктор Владимирович,
Державец Вера Владимировна, Юруть Иван Ефимович
СБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
В трех частях
Часть 3
Заведующий редакцией Л. Д. Дух валов. Редактор М. С. Молча-
нова. Младший редактор В. М. К У ш и л е в и ч. Художник переплета
и художественный редактор Ю. С. Сергачев. Технический редактор
Г М. Р о м а и ч у к. Корректор Т. К. Хваль
И15 № 2893
Слано в набор 18 04.90. Подписано в печать 11.04 91. Формат 84 x108/32. Бумага тип.
№ 2. Гарнитура литературная. Высокая печать. Усл. пен л. 15,12. Уел. кр.-отт. 15,12.
Уч.-изд. л. 17,59. Тираж 15 700 экз. Заказ 357. Пена 2 р. 40 к.
Издательство «Вышэишая школа» Государегвснщмо комшет.ч 15ССР но печати. 220048,
Минск, проспект Машсрова, I I
Минский ордена Трудового Красного Знамени полиграфкомбинат МИПО им. Я. Коласа
220005. Минск, ул. Красная, 23.