/
Текст
ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ
(
Инструкция по выполнению работы
На выполнение экзаменационной работы ПО математике да-
ется 4 часа (240 мин). Работа состоит из трех ЧАОТвй и содержит
26 заданий
Часть I содержит 13 заданий (А1—А10, В1 —ВЗ) базового уров-
ня по материалу курса математики. К каждому заданию Al—АЮ
приведены 4 варианта ответа, из которых ТОЛЬКО один верный.
При выполнении этих заданий надо указать номер верного от-
вета. К заданиям В1—ВЗ надо дать краткий ответ.
Часть 2 содержит 10 более сложных заданий (В4—ВП, Cl, С2)
по материалу курса математики. К заданиям В4—В11 надо дать
краткий ответ, к заданиям С1 и С2 — записать решение.
Часть 3 содержит 3 самых сложных задания, два — алгебраи-
ческих (СЗ, С5) и одно — геометрическое (С4), При их выпол-
нении надо записать обоснованное решение.
Советуем для экономии времени пропускать задание, кото-
рое не удается выполнить сразу, и переходить К следующему.
К выполнению пропущенных заданий можно вернуться, если у
вас останется время.
Желаем успеха!
Вариант 1
часть 1
При выполнении заданий А1—А10 в бланке ответов № 1 под номе-
ром выполняемого задания поставьте знак «х» в клеточке, номер ко-
торой соответствует номеру выбранного вами ответа.
Ц1.5
А1. Упростите выражение урп-
1) 1,2 2) 5 3) И1*2 4) 1Р
А2 Найдите значение выражения -41ogH (II3).
1) -64 3) -12
2)-Я • 4>-‘
АЗ Вычислите: t/0,0625 81 .
1) 1,5 2) 3,5 3) 0,45 4) 0,15
А4 На каком из следующих рисунков изображен график
функции, возрастающей на промежутке [0; 2]?
А5. Найдите производную функции у = 12х3 ~ ех .
1) у' = 15х2 - хе*-1 3) у'~ Збх2 - хе*-'
2) у' = Зх2 — -£* 4) у'— 36х2 — е*
Аб. Решите неравенство 7х*2-3 < ±
1) (-«; 0,3] 3) [-4,3; +оо)
2) (-«; -4,3] 4) [0,3; +~)
А7 Найдите наибольшее целое значение функции у = 4,3cos х.
1) 1 2) 0 3) 5 4) 4
А8 Скорость распространения звука в воздухе равна 340 м/с.
Современные самолеты-истребители Су-27 летают значительно
быстрее. Определите по графику, сколько секунд самолет летел
со сверхзвуковой скоростью 350 м/с и более (На оси абсцисс
отмечено время полета в секундах, на оси ординат — скорость в
метрах в секунду).
2) 150
I) 120
А9. Решите неравенство
1) [-5; -|) и (1; +-)
2) -5] и ( 3; 1
3) 180 4) 240
_____х+5 <р
(х- 1)(5х+ 3)
3) (-~; -5] и [-|;1
4) [~5;_з]и [1; +оо)
А10. Решите уравнение cos.2x = 1.
1) 5 + ™ П € Z 3) , И € Z
4 2
2) пи, п € Z 4) 5 ™, n е Z
Ответом к заданиям В1—В11 должно быть некоторое целое число
или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо запи-
сать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания,
начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» отри-
цательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в от-
дельной клеточке всоответствии с приведенными в бланке образцами.
Единицы измерений писать не нужно.
В1. Решите уравнение 4*н + 8 • 4х = 3.
В2. Найдите значение выражения sin 5 + а) — 4cos (л — а),
если cos а = —0,4.
ВЗ. Для забора высотой 2 м
вокруг дачного участка (см. рису-
нок) нужно приобрести металли-
ческую сетку. Ширина ворот равна
2 м, а ширина калитки на соседний
участок — 1м. Цена сетки 100 р. за
1 м2. Определите стоимость сетки.
50 м
ЧАСТЬ 2
1
В4. Решите уравнение V17x + 30+ (17х + 30)6- 6=0
(Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов
запишите произведение всех его корней.)
В5. Функция у = /(х) опре-
делена на промежутке (о; Ь) На
рисунке изображен график ее
производной. Найдите число то-
чек минимума функции у = /(х)
на промежутке (а; Ь).
Вб. Найдите значение выражения 25,О8>24 1,5 • 25loeJ23.
В7. Функция у — f(x) определена на всей числовой прямой и
является периодической с периодом 5. На промежутке [ 4; 1) она
задается формулой f(x) = —х2 — 4х — 2. Найдите значение выра-
жения 18) + 3/(18)
В8. Найдите все значения а, при каждом из которых уравне-
ние ||х| + 4 — о| = 5 имеет ровно 3 корня. (Если значений а более
одного, то в бланке ответов запишите их сумму)
В9. Два оператора, работая вместе, могут набрать 40 страниц
текста за 1 ч. Работая отдельно, первый оператор на набор 90 стра-
ниц этого текста тратит на 5 ч больше, чем второй оператор на
набор 25 страниц. За сколько часов второй оператор сможет на-
брать 275 страниц этого текста?
В10. Основание прямой призмы АВСЯА^С^ — паралле-
лограмм ABCD, в котором ВС = 5, /1BCD = 30°. Высота призмы
равна 2. Найдите тангенс угла между плоскостью основания при-
змы и плоскостью ABD}.
В11. Сторона ромба ABCD равна 4/7, а косинус угла А ра-
вен 0,75 Высота ВН пересекает диагональ АС в точке М Найдите
длину отрезка ВМ.
Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов
№ 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем
решение.
С1. Найдите наименьшее значение функции
Дх) — (2х + 4)5 — 4(2х + 4)4 при |х + 2| < 1.
С2. Найдите все значения х, при каждом из которых выра-
жения 12/х-9* + 6-3x+1 и /х-Зх + | + 24-32x+1 принимают
равные значения.
ЧАСТЬ 3
Для записи ответов на задания (СЗ—С5) используйте бланк от-
ветов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем
обоснованное решение.
СЗ. Найдите все значения х > 1, при каждом из которых наи-
большее из чисел а - log2(2x) + 21ogx128 — 2 и b = log^Sx) — 56
' больше 8.
С4. Дан конус с вершиной М, радиус основания которого
равен 6. На окружности его основания выбраны точки А, В, С
так, что углы В МА. АМС, СМВ равны 90° каждый. Точка F вы-
брана на дуге ВС окружности основания конуса, не содержащей
точки А, так, что объем пирамиды MABFC наибольший Найди-
те расстояние от точки F до плоскости МАВ
С5. Для чисел ait ct2, ... , о30 верны равенства а„+1 — f(an),
п- 1,2, ,29. Найдите а10 - аи, если известно, что й30 — 0, a
7
7 + -—=, если х < 7
х— 7’
5 — — + log?f8---ZZ_Y если х > 7. •
X Х+ У
г
Вариант 2
ЧАСТЬ 1
При выполнении заданий А1—А10 в бланке ответов № 1 под
номером выполняемого задания поставьте знак «х» в клеточке, номер
которой соответствует номеру выбранного вами ответа.
А1. Упростите выражение к 5*2 • З/А8.
1) 3°’8Аг4-4 2) ЗАг6 3) ЗАг4-4 4)3°-8Агб
А2. Найдите значение выражения — 41og() (63).
1) -1 2) -12 3) -64 , 4) -1
АЗ Вычислите: -/0,008 27,
1) 0,18 , 2) 0,006 3) 3,2 4) 0,6
А4 На каком из следующих рисунков изображен график
функции, убывающей на промежутке [3; 7]?
А5. Найдите производную функции у = Юх3 — е*.
1) у'= ЗОх2 — xexl 3) у'= ЗОх2 —
2) у'= ЗОх2 — е* 4) у'— 13х2 — хе*-1
Аб. Решите неравенство 33л~2 > |.
1) (0, +оо) 2) (-оо; 0) 3) [0; +оо) 4) (-°о;0]
А7. Найдите наибольшее целое значение функции у = 3,9cosx
1) 1 2) 0 3) 3 4) 4
А8 Скорость распространения звука в воздухе равна 340 м/с.
Современные самолеты-истребители МиГ-23 летают значитель-
но быстрее. Определите по графику, сколько секунд самолет ле-
тел со сверхзвуковой скоростью 400 м/с и более (На оси абс-
цисс отмечено время полета в секундах, на оси ординат — ско-
рость в метрах в секунду).
+ 11
А9. Решите неравенство -----jr—
(х- 8)(3х+ 2)
1) [-11; -?) и (8; +~) 3)(—;-8)
2) (-«о; -11] 4) (-оо; -П] и (-1;8)
1
А10. Решите уравнение sin Зх — — 2 -
1) (-1)” • + у, « е Z 3) (—1)” • 5 + у, п е Z
2) (-1)и+1 + ?,«eZ 4) (-l)n+I • J + п е Z
Г 1о 3 УЗ
Ответом к заданиям В1—В11 должно быть некоторое целое число
или число, записанное в виде десятичной дроби Это число надо запи-
сать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания,
начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» отрица-
тельного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в от-
дельной клеточке в соответствий с приведенными в бланке образцами.
Единицы измерении писать не нужно.
В1. Решите уравнение х • 63лг — 36 - 63х = 0.
В2. Решите уравнение 7 • 5*°85 Х = х + 21.
ВЗ. Для забора высотой 2 м
вокруг дачного участка (см. рису-
нок) нужно приобрести металли-
ческую сетку. Ширина ворот рав-
на 2 м. Цена сетки 120 р. за 1 м2.
Определите стоимость сетки.
ЧАСТЬ 2
В4. Решите уравнение log3x + 5- Jlog3x — 14 = 0
(Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов
запишите произведение всех его корней.).
В5. Функция у = /(х) опреде-
лена на промежутке (—6; 3) На
рисунке изображен график ее
производной. Укажите точку
максимума функции у = f(x) на
промежутке (—6; 3).
Вб. Найдите значение выражения
log](373- л/18)+ logi(3//3+ У18)
3 3
В7. Функция у = /(х) определена на всей числовой прямой
и является периодической с периодом 7 На промежутке [—5; 2)
она задается формулой /(х) = 2 — |х + 1|. Найдите значение вы-
ражения 4/(17) — 3/(—13).
В8. Найдите все значения а, при каждом из которых уравне-
ние ||х| + 7 — о| = 4 имеет ровно три корня.
(Если значений а более одного, то в бланке ответов запишите
их сумму)
В9. Объемы ежегодной добычи угля первой, второй и треть-
ей шахтами относятся как 10 : II : 12. Первая шахта планирует
уменьшить годовую добычу угля на 10%, а вторая — на 4%. На
сколько процентов должна увеличить годовую добычу третья
шахта, чтобы суммарный объем добываемого за год угля не из-
менился?
В10. Высота цилиндра равна 9, а радиус основания равен 4
На окружности основания отмечены точки А, В и С так, что
Л2? = 4л/3, G4 = СВ и Z.ACB < 90°. Отрезок СС, — образующая
цилиндра. Найдите тангенс угла между плоскостью основания и
плоскостью АВQ.
В11. Точка L лежит на стороне АВ параллелограмма ABCD
так, что AL : LB =3:4. Прямая CL пересекает луч DA в точке К,
а площадь треугольника AKL равна 36. Найдите площадь парал-
лелограмма ABCD.
Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов
№ 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем
решение.
С1. Найдите наименьшее значение функции
Дх) = при |х + 3,5| < 2,5.
х + 4
С2. Найдите все значения х, при каждом из которых выра-
. T2sin4^- V2cos4^
sin 2х 2 2
жения и ---------------------- принимают равные значения
ЧАСТЬ 3
Для записи ответов на задания (СЗ—С5) используйте бланк от-
ветов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем
обоснованное решение.
СЗ. Найдите все значения х > I, при каждом из которых на-
ибольшее из чисел а = Iog2(2x) + 21ogvI28 — 2 и b = log^Sx — 56
больше 8. ’
С4. Дан конус с вершиной М, радиус основания которого
равен бл/б. На окружности его основания выбраны точки А, В,
С так, что углы ВМА, СМВ, АМС равны а каждый, причем
sin| = . Точка F выбрана на дуге ВС окружности основания
конуса, не содержащей точки А, так, что объем пирамиды
MABFC наибольший. Найдите расстояние от точки F до плос-
кости МАВ.
С5. Для чисел аи а2, , верны равенства ап + , =
п = 1, 2, . , 27. Найдите о4 — а7, если известно, что а2& = 0, а
/(х) =
6
5х + 4,-х -6,
26
х+ 2 ’
если х < — 2
если х > -2
ВИ ШКНГ-Ж И »W «ЭДJ® « *« М ЖДМЖЖЖЛ****
pDDdDDOpDOODODDDOOOO □ □ □ □□□□□.□ОО’
।» □ □ □ □оаппооарп □□ □□.□□й.па олп □□.□□□ •
I> □□□□□□□ □ □ оо □□□□□□□□□□ □ опа о»_
Г-> о оо о о о с с с о о с с о с о с с о о о о с о о а о о.о о «
КМЖ4ЯП Я к WMWMRM®“ »>' *» ЭД чй its Л»: ЭД ЭД ЭДЭД
। ’□ □□□□поodd□□□□□□□□□□□□папооппа^
? йз оо о о оо оо о а оо о о о о о о о о о о о о а с о о о«_
’ »'о О О О О О DO DO О О О О О С О О О ООО ОО ООО о о о *_
I • О О СТО OODOCDODCODODD ОО ОО ООО О ООП О 41
Эв> w ОШИЙОЭДМ* ответов мввадвния тип* А м «I а j « А □□□□ А. г □□□□ А ооор А бобо в| а| • А DQDD а ООО О а ;осоо' a ODOD 11 01 Э » А □□□□ а О О' О О >Г““о1рор А со о о Риерв в Радрв-7
Неэу легаты
и.
«я
*3
ЭД)
Зомкнв сяхмОамн1глх от полое ьхэ тиоаВ
м - |'в -
ft - Ьв
в - Ж -
50
Вариант 3
часть 1
При выполнении заданий А1—А10 в бланке ответов № 1 под
номером выполняемого задания поставьте знак «х» в клеточке, номер
которой соответствует номеру выбранного вами ответа.
А1 Упростите выражение ,5J10.
1) 2) U'Orf5 3) 1175 б/50 4) 1W5
A2 Найдите значение выражения 43° • 4-5в при о = — 1.
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
АЗ. Вычислите log! + logj 250.
5 5
1) 25 2) 2 3) 5 4) -2
А4 Найдите производную функции у = Зсо&х + х2.
1) у'= 3sin х — 2х 3) у' = 2х — 3sin х
2) у'— 4х - sin х 4) у'— 4х2 + 2cos х
А5. На одном из следующих рисунков изображен график не-
четной функции Укажите этот рисунок.
Аб. Решите неравенство З1 2 3 4^1 > $.
1) (-0,5; +оо) 2) (-оо; -0,5) 3) [-1,5; +<») 4) [-0,5; +оо)
А7. Найдите наибольшее целое значение функции у = 6,5sin х.
1) 1 2) 6 3) 7 4) 0
А8. Судно на подводных крыльях «Циклон» может плыть со
скоростью 70 км/ч. При скорости 30 км/ч корпус судна подни-
мается над поверхностью воды и оно движется, опираясь на
подводные крылья. Определите по графику, сколько часов суд-
но плыло на подводных крыльях. (На оси абсцисс отмечено
время движения в часах, на оси ординат — скорость в километ-
рах в час).
1) 2,25 2) 2,5 3) 3 4) 2,75
А9 Решите неравенство > 0.
1) (-«, -6) и [8; +о=) . 3) (-6; 0) и (8; +«>)
2) (-«, -6) и [0; 8] 4) (-6; 0] и [8; +~)
АЮ. Решите уравнение cos2x = 1.
I) ±g + пп, п е Z,
2) (-1)" • £ + п е Z
о 2
3) + пп, п е Z
4) ±5 + 2ли, п € Z
О
Ответом к заданиям BI—BI1 должно быть некоторое целое число
или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо
записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого
задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус»
отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в
отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке
образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В1. Решите уравнение 81 • 93х + х • 93х = 0.
В2. Найдите значение выражения 3sin2 а — 7cos2 а, если
cos а = —0,1.
ВЗ. Для оклейки стен кладо-
вой (см рисунок) нужны обои
Ширина двери равна 0,75 м, вы-
сота — 2 м. Одним рулоном мож-
но оклеить 15 м2. Цена рулона —
80 р. Какую сумму нужно потра-
тить на покупку обоев, если сте-
ны решено оклеить полностью,
от пола до потолка?
ЧАСТЬ 2
1
В4. Решите уравнение <17х+ 13+ (17х+ 13)$- 6=0.
(Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов
запишите их сумму.)
В5. Функция у = f(x) определена на промежутке (—5; 7). На
рисунке изображен график ее производной. Найдите точку х0, в
которой функция у — f(x) принимает наибольшее значение на
отрезке [—4; 5]
$cos2a
Вб. Упростите выражение ----------—
5 25е0® “
В7. Функция у = f(x) определена на всей числовой прямой
и является периодической с периодом 6. При — 2 < х < 4 она зада-
ется формулой /(х) = |х - 2| — 3. Найдите значение выражения
4/(11) - 2/(—15).
В8. Найдите все значения а, при каждом из которых уравне-
ние ||х| + 9 ~ о| = 2 имеет ровно три корня
(Если значений а более одного, то в бланке ответов запишите
их сумму.)
В9. В магазине костюм, состоящий из пиджака и брюк,
стоит на 20% дороже, чем такой же костюм на рынке, причем
брюки стоят на 30% дороже, чем на рынке, а пиджак — на 15%.
Во сколько раз на рынке брюки от этого костюма дешевле пид-
жака?
В10. Основание прямой призмы ABCAlBlCi — треуголь-
ник АВС, в котором АВ = ВС = 5, АС = 6. На ребре ВВ{ отмечена
точка М так, что ВМ: МВ{ = 2:3. Угол между плоскостями АВС
и АМС равен 45°. Найдите расстояние между прямыми АС и В{СХ.
В11. На стороне НК треугольника НКО отмечена точка С
так, что НС = 6, СК — 12, /.СОН = /ОКН. Найдите площадь
треугольника ОНС, если /Н — 60°.
Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов
№ 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем
решение.
С1. Найдите наибольшее значение функции
Дх).= 50(0,5х - 1)2 - (0,5х - I)4 при |х - 3| < 3.
С2. Укажите абсциссы точек пересечения графиков функций
у = 4х + 14 и у = L1 .. .2Z3
/87^3
ЧАСТЬ 3
Для записи ответов на задания (СЗ—С5) используйте бланк от-
ветов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем
обоснованное решение.
СЗ. Найдите все значения х > 1, при каждом из которых на-
2 2
ибольшее из чисел а = log2(8x) + 31ogx32 — 6 и b — log2x — 116
больше 5.
С4. Дан конус с вершиной М, радиус основания которого
равен 4л/3. В основание этого конуса вписан четырехугольник
ABCD так, что углы ВМА, СМВ, DMC, AMD равны 60° каждый
На дуге ВС окружности основания конуса, не содержащей точ-
ки А, выбрана точка F так, что объем пирамиды MABFCD наи-
больший. Найдите расстояние от точки F до плоскости МАВ
С5. Найдите все значения параметра р, при каждом из кото-
рых уравнение
_х
(1,5р - 7) • 32°-4х + °-2 + (29р - 154)- 0,125 3 = 41 - Пр
имеет ровно Юр — р1 — 24 различных корней.
Вариант 4
ЧАСТЬ 1
Цри выполнении заданий А1—А10 в бланке ответов № 1 под
номером выполняемого задания поставьте знак «х» в клеточке, номер
которой соответствует номеру выбранного вами ответа.
А1. Упростите выражение 3j7nc15.
1) 79 * *с12 * * 3) 736с45
2) 74с5 4) 715 *с18
А2. Найдите значение выражения 27 *° • 2 30 при а = •
1) 256 2) 32 3) 8 4) 4
АЗ. Найдите значение выражения log7 (49д), если log7 а = —8,6.
1) -10,6 3) -6,6
2) -17,2 4) -57,6 '
А4. На рисунке изображен график
функции, заданной на промежутке [—4; 4).
Укажите множество значении этой
функции
1) [-1; 2]
2) [-2; 3]
3) [-4; 4)
4) (-2; 2]
А5 Найдите производную функции у = 20.x4 — е*.
1) у' = 80х3 - хе^’
7 Л х+ 1
3) у'= 80х3 — &
4) у'— 5х3 - хе*-1
Аб. Найдите множество значении функции у = 5х + 10.
1) (10; +°о) 2) (5; +оо) 3) (15- +°°) 4) [10; +°о)
А7 Найдите область определения функции fix) = logg 3 (х2 - 4х)
1) (-°°;0) (2; +°°)
2) (0- 2)
3) (0; 4)
4) ( -оо; 0) (4 +оо)
А8. Судно на подводных крыльях «Комета» может плыть со
скоростью 60 км/ч. При скорости 25 км/ч корпус судна подни-
мается над поверхностью воды и оно движется, опираясь на
подводные крылья. Определите по графику, сколько минут суд-
но плыло на подводных крыльях. (На оси абсцисс отмечено
время движения в часах, на оси ординат — скорость в километ-
рах в час).
1) М, -7) - (4, +о°)
3) (-оо; 4)
2) ( -оо; -8]
4) (-«>; -8] - (-|; 4)
А10. Решите уравнение sin$ = .
1) + 10л л, п G Z
2) (-1)"^ + 5лл, л е Z
3) + 2ли, и е Z
4) ( 1)'^у + лл, и Е Z
Ответом к заданиям В1—В11 должно быть некоторое целое число
или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо
записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого
задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус»
отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в
отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке
образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В1. Решите уравнение 64 • в2* + х • в2* = 0.
В2. Найдите значение выражения 2sin2 а + 6cos2 а, если
sin а = —0,2.
ВЗ. Для оклейки стен кладо-
вой (см. рисунок) нужны обои.
Ширина двери равна 0,8 м, высо-
та — 2 м. Одним рулоном можно
оклеить Юм2. Цена рулона обо-
ев — 80 р. Какую сумму нужно
потратить на покупку обоев, если
стены решено оклеить полно-
стью, от пола до потолка?
ЧАСТЬ 2
В4. Решите уравнение (х + 5)2- “V(x + 5)4 - 20 = 0.
(Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов
запишите их сумму.)
В5. Функция у — f(x) определена на промежутке (а; Ь). На
рисунке изображен график ее производной. Определите, сколь-
ко точек максимума имеет функция у = Дх) на промежутке (а; Ь).
Вб. Найдите значение выражения 25l08i24 1 • 25,osi23.
В7. Функция у = f(x) определена на всей числовой прямой и
является периодической с периодом 5. При —1 < х < 4 она зада-
ется формулой f(x) = х2 — 4х + 1. Найдите значение выражения
5/(15) - 2/(—7).
В8. Найдите все значения а, при каждом из которых уравне-
ние ||х| — 7 + о| = 3 имеет ровно 3 корня.
(Если значений а более одного, то в бланке ответов запишите их
сумму.)
В9. Двум операторам поручили набрать на компьютере текст
книги объемом 315 страниц. Один оператор, отдав второму
171 страницу книги, взял остальные страницы себе. Первый вы-
полнил свою работу за 12 дней, а второй свою — за 19. Сколько
страниц книги должен был сразу взять себе первый оператор (от-
дав остальные второму), чтобы они, работая с прежней произво-
дительностью, выполнили свою работу за одинаковое число
дней?
В10. Боковое ребро прямой призмы равно 6. Осно-
вание призмы — треугольник АВС, в котором ЛС= 12, sinC = 0,125.
Найдите тангенс угла между плоскостью А}ВС и плоскостью ос-
нования призмы.
В11. В трапеции ABCD диагональ АС является биссектрисой
угла А. Биссектриса угла В пересекает большее основание AD в
точке Е. Найдите высоту трапеции, если BE = 4,/ГЗ, АВ =13.
Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов
№ 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем
решение.
С1. Найдите наибольшее значение функции
/х) = 32(0,5х - З)2 - (0 5х - З)4 при' |х - 7| < 3
С2. Укажите абсциссы точек пересечения графиков функций
,-Ьс+21иУ- мУЯхЧПх- 14
ЧАСТЬ 3
Для записи ответов на задания (СЗ—С5) используйте бланк от-
ветов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем
обоснованное решение.
СЗ. Найдите все значения х > 1, при каждом из которых на-
2 2
ибольшее из чисел а = log2(4x) + 31ogx64 — 7 и b = log2x — 6
больше 4.
С4. Дан конус с вершиной М, радиус основания которого
равен 2 </2. В основание этого конуса вписан шестиугольник
ABCDEF так, что углы АМВ, ВМС CMD, DME, EMF, FMA рав-
ны а каждый, причем s п“ = . На дуге ВС окружности ос-
нования конуса, не содержащей точки А, выбрана точка L так,
что объем пирамиды MABLCDEF наибольший. Найдите рассто-
яние от точки L до плоскости АВМ.
С5. Найдите все значения параметра р, при каждом из кото-
рых уравнение (Зр — 8) • 32° 8х + (9р — 30) • 0,25-0>5 “ х = 7 — 4р
имеет ровно 6р — р2 — 8 различных корней.
I A © nt>«6op0M от«?гтэ га пре/^юж©к*-«з>к Gepvtewww
I rri »r- imxrniTi.mf.il Г71 **,**иЖЙ^1<7Т~1»«*'"сф»П’>-111»в1сж
-тжигп -w. .•’MOIM’ fcyj,ree«jp«n«&q/4^rf :ЫЛрвЧ»»ИИвиТ«1ЮЯр»«Т|<ММГП»
МйШВЖЖДОасМОДМЯ »ч «ЖЖ in .MS лаге».<a Л»ч‘.«»«!»«» “I «»Д»
?O ODOODDOOD □.□.□□□□□□□ D О О □.□□□ О □□□ 1,
VS □ О □ □ П □ □ □ □ □'□ □□□□□□□□□□□□□□ D □ О □ «
«ООО □ □□ СО □ 00.0 О О ОС ОО С С ОО О О О С С ООО »
«О О ОО О ОО о ОО о ОО о О 0.0 О О О о о О О 0.0 о о о о «
(«И!»»«И fit W$•wfa»'WЧй 1WWWM m 'tM лг it* «•» м»Ww5»' «в: Ж’» мкл» «»*»
I 2.0 О О С 0.0 О 0.0,0. ОО о □□□□□□□□□□ □ □ о о о о од
J 2.0 о о d С О О О О О О О О О О D О D о о о о о о О ОО о о о«.
J ADD О О О О О ОСО ОО О О О С С О С О ОО С О О О О СО 0.2
I «ОО ОО О ООО□□□□□□ОО ООО о о о о оо о о о о о«
чм»м
а. , 000.0
А: _'0~0 о о
-а О о'оо
а О ОС с
Т|е|з.|в
IA ' .О с о о
А ООО .
Д‘ СОСО
А О ООО
М в| 3.1 «
а о о ОС
ОС ОС
А ооо'о
а • ОС о о
P8jq»-.B
Реж«7
Реэульхег^®^->рл4чем4/1Я аодо ммС-i т.-инзВс. otbgtkjm s
ЗдаувНа CKJjwGOMHtejjx р «ветра i-яэ адгэния vrvs 0
Вариант 5
часть 1
При выполнении задании А1—А10 в бланке ответов № 1 под
номером выполняемого задания поставьте знак «х» в клеточке, номер
которой соответствует номеру выбранного вами ответа.
А1 Упростите выражение ^310а5 -
1) 350с25 2) 315а'° 3) 35а25 4) 32о
А2 Найдите значение выражения 34а • 3-2° при а = .
1) 27 2) 4,5 3) 3 ’ 4) 81
АЗ. Найдите значение выражения log5 (125<7), если logs d = —3,1
1)-6,1 2)-9,3 3)-0 1 4)-128,1
А4. На одном из следующих рисунков изображен график не-
четной функции. Укажите этот рисунок.
3-9499
А5 Найдите производную функции у = — 4sin х.
. у-7
1) у'- 6х5 + 4cos х 3) у'= -=- + 4cos х
2) у'~ 6х5 — 4cos х 4) у'= х5 — 4cos х
Аб Решите неравенство 210л“5 > X-
1) (0,1;+оо) 2) [0,1;+°°) 3) (-оо; 0,1) 4) [—0,9; +°°)
А7 Найдите множество значений функции у = 1 Icos х
1) [0; 11] 2) [-1; 1] 3) (—оо;+оо) 4) [-11; 11]
А8 Скорость распространения звука в воздухе равна 340 м/с
Современный истребитель-перехватчик МиГ-31 летает значи-
тельно быстрее. Определите по графику, сколько секунд самолет
летел со сверхзвуковой скоростью 400 м/с и более. (На оси абс-
цисс отмечено время полета в секундах, на оси ординат — ско-
рость в метрах в секунду).
1) [-1; 0] и (5; +<=) 3) (-«; -1] и (5; +«)
2) (-«>; -1) и (0; 5) 4) (-оо; -1] и [0; 5)
х И
АЮ. Решите уравнение cos .
1) + Юлл, п € Z 3) (—1)" ~ + пп, п € Z
2) (-1)"^ + 5ли, п € Z 4) + 2лл, п € Z
Ответом к заданиям В1—В11 должно быть некоторое целое число
или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо
записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого
задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус»
отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в
отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке
образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В1. Решите уравнение log7 (8л - 20) - log7 2 = log7 3.
В2. Найдите значение выражения 5sin2 а + 2cos2 а, если
cos а = —0,1.
ВЗ. Для забора высотой 2 м
вокруг дачного участка (см. рису-
нок) нужно приобрести металли-
ческую сетку Ширина ворот рав-
на 2 м. Цена сетки 140 р за 1 м2.
Определите стоимость сетки.
30 м
ЧАСТЬ 2
В4. Решите уравнение log3x + 14 32 = 0.
(Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов
запишите произведение всех его корней.)
В5. Функция у = f(x) определена на промежутке (—3; 8) На
рисунке изображен график ее производной. Исследуйте функ-
цию у = на монотонность и запишите в ответе длину проме-
жутка убывания.
Вб. Вычислите значение выражения
625
В7. Функция у = f(x) определена на всей числовой прямой и
является периодической с периодом 4. На промежутке (0; 4] она
задается формулой /(х) = х2 — 4х + 3. Найдите значение выраже-
ния 5/(—20) - 4/(13).
В8. Найдите все значения а, при каждом из которых уравне-
ние ||х| — 5 + а| = 6 имеет ровно 3 корня.
(Если значений а более одного, то в бланке ответов запишите их
сумму.)
В9. Три насоса, работая вместе, заполняют бак керосином за
1 час 40 минут. Производительности насосов относятся как
10 : 8 : 7. Сколько процентов объема бака будет заполнено за
2 часа совместной работы второго и третьего насосов?
В10. Основание прямой призмы ABCDAXBXCXDX — паралле-
лограмм, в котором AD = 4/2 и ZC = 135°. Тангенс угла между
плоскостью основания призмы и плоскостью AXCD равен 0,75.
Найдите боковое ребро призмы.
ВЦ. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикуляр-
ны. Найдите высоту трапеции, если ее площадь равна 25.
Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов
№ 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем
решение.
С1. Найдите наибольшее значение функции
Дх) = .0,25(х — 3)(х + 3)(х2 + 9) - 2х2 при |х — 1,5| < 1,5.
С2. Найдите все значения х, при каждом из которых выра-
жения 5jx -49х — 30 -49х и 14/х -7х- 1 — 84-7х- 1 принимают
равные значения.
ЧАСТЬ 3
Для записи ответов на задания (СЗ—С5) используйте бланк
ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а
затем обоснованное решение.
СЗ. Найдите все значения х > 1, при каждом из которых на-
ибольшее из двух чисел а — log2x + 31ogJC32 — 3 и b = logA.16x4
больше 5.
С4. Дан конус с вершиной М, радиус основания которого
4 Д9
За/ 5
равен
и высота 4. Точки А, В, С лежат на окружности ос-
нования конуса так, что АВ — диаметр и Z.AMC = 60°. На дуге
ВС окружности основания конуса, не содержащей точки А, вы-
брана точка L так, что объем пирамиды MABLC наибольший.
Найдите расстояние от точки L до плоскости АМС.
С5. Для чисел ах, а2, ... , a2S верны равенства an+i =
и = 1, 2, , 27. Найдите а9 + а2 — а6, если известно, что о28 = 0, а
Зх- 3
/х^4 /27х- 17
А/х- 2 а/ Зх+ 7
если х < 3
если х > 3.
Вариант 6
часть 1
При выполнении заданий А1—А10 в бланке ответов № 1 под номе-
ром выполняемого задания поставьте знак «х» в клеточке, номер
которой соответствует номеру выбранного вами ответа.
А1. Упростите выражение Л-5-3 • 4&0’1.
1) 4О 'Ат5-2 3) 4Г5-4
2) 4fc-5>2 4) 4°-’Л-5.4
А2. Вычислите: 5 .
VI36
1) 0,5 • 2) 2 3) 2,5 4) 4
АЗ. Найдите значение выражения log4(64c), если log4 с — —3,5.
1) -6,5 2) -0,5 3) -10,5 4) -67,5
А4. На одном из следующих рисунков изображен график
четной функции Укажите этот рисунок.
А5. Найдите множество значений функции у = Hsin х.
1) [-Н; Н]
3) [-1; И
4) (—со; +оо)
Аб Найдите область определения функции /1х)= ——.
3- №
1) [0; 3) (3; +оо)
2) [0; +оо)
3) [0; 81) - (81; +о°)
4) (-оо; 81) V/ (81; +оо)
А7. Найдите производную функции у = | х4 — Зх2 + 2х — 1.
1) у' — Юх3 — 15х + х2
2) у' = Юх3 - 6х + 2
3) у'= ^х5 — х3 + х2 — х
4) у'= 5х3 - 5х + х2
А8. Скорость распространения звука в воздухе равна 340 м/с.
Современные самолеты-истребители Су-27 летают значительно
быстрее. Определите по графику, сколько секунд самолет летел
со сверхзвуковой скоростью 400 м/с и более. (На оси абсцисс
отмечено время полета в секундах, на оси ординат — скорость в
метрах в секунду).
А9 Решите неравенство 7—16 > 0.
(х+ 5)(х- 7)
1) (“«; -5) и (2; 7)
2) (-оо; -5) и (-5; 2)
3) (-5, 2) и (7; +~)
4) (2; 7) ги (7; +оо)
х /3
АЮ. Решите уравнение sin $ = "у •
1) (-1)"у + пп, п е Z 3) (-1)”у + 4пп, neZ
2) ±^у + 2пп, п е Z 4) + 8лл, п € Z
Ответом к заданиям B1—BI1 должно быть некоторое целое число
или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо запи-
сать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания,
начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» отрица-
тельного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в от-
дельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами.
Единицы измерений писать не нужно.
В1. Решите уравнение log2 (15х — 10) — log2 5 = log2 13.
В2. Найдите значение выражения ,/15 sin а,
если cos а =
11 л
15’ 2
< а < л.
ВЗ. Для забора высотой 2 м
вокруг дачного участка (см рису-
нок) нужно приобрести металли-
ческую сетку. Ширина ворот равна
2 м, а калиток на соседние участ-
ки — 1 м Цена сетки 100 р. за
1 м2. Определите стоимость сетки.
40 м
ЧАСТЬ 2
В4. Решите уравнение 5* — 24- (,/5)* ~ 25 = 0
(Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов
запишите их произведение.)
В5 Функция у = /(х) опреде-
лена на промежутке (о; Ь). На
рисунке изображен график ее
производной. Найдите число то-
чек минимума функции у — f(x)
на промежутке (а; Ь)
Вб. Вычислите значение выражения
2s.ni
В7. Функция у = /(х) определена на всей числовой прямой
и является периодической с периодом 4. На промежутке (-4; 0)
она задается формулой /(х) — —х2 — 4х — 2 Найдите значение
выражения 4/(-16) +• 3/(15).
В8. Найдите все значения а, при каждом из которых уравне-
ние ||х| + 6 — д| = 7 имеет ровно 3 корня.
(Если значений а более одного, то в бланке ответов запишите
их сумму.)
В9. Две машинистки, работая вместе, могут напечатать 22 стра-
ницы текста за I Ч. Чтобы напечатать 120 страниц текста, пер-
вая машинистка потратит на 2 ч больше, чем вторая. За сколько
часов первая машинистка сможет напечатать 300 страниц?
В10. Основание прямой призмы ABCDAlBlClD[ — паралле-
лограмм ABCD, в котором CD = 4/3, Z.BCD = 60°. Высота
призмы равна 9. Найдите тангенс угла между плоскостью осно-
вания призмы и плоскостью BXAD.
В11. Дан ромб ABCD с острым углом А. Площадь ромба
равна 80, а синус угла А равен 0,8 Высота ВН пересекает диа-
гональ АС в точке М. Найдите длину отрезка ВМ
Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов
JV° 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем
решение.
С1. Найдите наибольшее значение функции
fix) = 3(2х - 4)4 - (2х - 4)5 при |х — 2| < 1
С2. Найдите все значения х, при каждом из которых выра
жения x2log2(3x+ 1)- xlogi/3x + 1 и Зх2 + х принимают рав-
2
пне,- значения.
ЧАСТЬ 3
Для записи ответов на задания (СЗ—С5) используйте бланк от-
ветов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания^ а затем
обоснованное решение.
СЗ. Найдите все значения о, при каждом из которых на-
ибольшее из двух чисел А = 9"° + З2 “ ° - 4 и с = З2 + ° — 9° — 8
не превосходит 6.
С4. Дан конус с вершиной М, радиус основания которого
равен 2j6. На окружности его основания выбраны точки А, В,
С так, что углы ВМА, АМС, СМВ равны 90° каждый Точка F
выбрана на дуге ВС окружности основания конуса, не содержа-
щей точки А, так, что объем пирамиды MABFC наибольший
Найдите расстояние от точки F ао плоскости МАВ.
С5. Найдите все значения параметра р, при каждом из кото-
рых уравнение
(1,5р + 3,5) • 160>5х +°-25 + (2р + 3)-0,25-°’5х-' = 1 + 2р имеет
ровно —р2 — 4р — 3 различных корней.
Ho.wfa ззвгуймий типе Ac €эь«Г5г?ро^ отяС'й изпр«лп0жвн»^х вггригй тов
____,, -и--.. г~1 »АПМ1иЖМЫ 1-еп₽п®пч. •ипоГлоопкпипж
«И-»-...» V” . .. (Cw»>T<l чгкугиИ!*^
и :Ч и 'If '». X't *swr»r л« »»..«n Btiii fu » ла »a « ®» *»
f ’□□□□□□CID □□□□□□□□DC □□ □□□□□□(□□□□>
{•□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□'□□□□□□.□□О*
’ a □□^□□□□□□□□□□□□ODDDDODDDDDDODO’
I<□□□□□□□□□□□0□□o□□o□□□□□□o□□oo□•
w № -*n ш ms, Mt sat *siM як srs »«и>жии jya « » щи» utw «' »> «* ш ж
д □ о □ □□□&□□□.□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□jl
•□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□•
’□DD о□а□□□о о□□□□□□□□□□□□□□□□□□□•
Эвмсне А 1] в| 3| <5 □ □□□ ЧМЗМ А □ □ □ □ ч »|>| * А ДРР □ Ро®в-6
Схиис5су-Мэ<х А □ □ о □ А □□□□ А □□□□
тмгив А > > I □ □□□ А ";□ □ □ D А □□□□ А □ □ □ □ А '□ О □ Рицм 7
ВЫПО/IWC ОМВГ'ОО'К >иф.л.,
Замкно ошиС5очньхх отнлтои на тмппВ
'в
в -
Вариант 7
ЧАСТЬ 1
При выполнении заданий А1—А10 в бланке ответов № 1 под номе-
ром выполняемого задания поставьте знак «х» в клеточке, помер
которой соответствует номеру выбранного вами ответа.
А1 Упростите выражение с4’5 • 13с0’5.
1) 13-°.5с5 3) B-o-V
2) 13с4 4) 13с5
‘ А2 Вычислите: .
43Л9 •
1) 0,5 2) 2 3) 2,5 4) 4
АЗ Найдите значение выражения log j 245 + log j .
7 7
1) 49 2) 2 3) -2 4) 7
A4. На рисунке изображен гра-
фик функции, заданной на проме-
жутке [—5; 6). Укажите множество
значений этой функции.
1) [-5; 6)
2) [-2; 4]
3) (-3; 4]
4) (-3; 2]
-7
А5. Найдите производную функции у = —4х* + 5л4 — 14.
1) у' = —7х7 + х5 — 14х
2) у'~ “g*7 + х? ~ 14х
3) у'— — 7х5 + 20х3
4) у' - —7х5 + 9х3
Аб. Найдите область определения функции Дх) =---------.
bjx- 2
1) [0; +<») 3) (-оо; 32) - (32; +оо)
2) [0, 2) (2; +°°) 4) [0; 64) - (64; +оо)
А7 Найдите множество значений функции у — 4cos х.
О [-1; И
2) [-4; 4]
3) (~оо; +оо)
4) [0; 4]
А8. Скорость распространения звука в воздухе равна 340 м/с.
Современные самолеты-истребители МиГ-23 летают значитель-
но быстрее. Определите по графику, сколько секунд самолет ле-
тел со сверхзвуковой скоростью 450 м/с и более. (На оси абс-
цисс отмечено время полета в секундах, на оси ординат — ско-
рость в метрах в секунду).
А9. Решите неравенство -—-И . < о,
(х+ 7)(х- 6)
1) (-«; -7) и (-7; 2)
2) (2; 6) и (6; +«»)
3) (-«; -7) и (2; 6)
4) (-7; 2) и (6; +«)
АЮ Решите уравнение tg 5х = — 73 .
1) + ?n,ntZ 3) — + itn, п € Z
2) -у + 5пл, п е Z 4) + пп, п € Z
Ответом к заданиям В1—В11 должно быть некоторое целое число
или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо запи-
сать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания,
начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» отрица-
тельного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в от-
дельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами.
Единицы измерений писать не нужно.
В1. Решите уравнение logg (20х - 16) — log9 4 = log9 18.
В2. Найдите значение выражения 719 sin а, если cos а =
Зя
Т
ВЗ. Для огораживания дачно-
го участка (см. рисунок) забором
высотой 2 м нужны профилиро-
ванные металлические листы.
Ширина ворот равна 2 м Цена
листа размером 2x2 метра равна
600 р. Определите стоимость сетки.
ЧАСТЬ 2
1
В4. Решите уравнение + (18х+ 10/_ 6 = 0-
(Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов
запишите их произведение.)
В5. Функция у - /(х) определена на промежутке (о; Ь). На
рисунке изображен график ее производной Укажите число то-
чек максимума функции у — f(x) на промежутке (а; Ь).
т»£ т> Ol°g86
Вб. Вычислите значение выражения 8 + 625
В7. Функция у = f(x) определена на всей числовой прямой
и является периодической с периодом 4 На промежутке (0; 4]
она задается формулой Дх) = х2 + 4х + 3. Найдите значение вы-
ражения 5Д—20) — 4Д13).
В8. Найдите все значения а, при каждом из которых уравне-
ние ||х| — 6 + д| = 8 имеет ровно 3 корня.
(Если значений а более одного, то в бланке ответов запишите
их сумму.)
В9. Три насоса, работая вместе, выкачивают из бассейна
воду за 2 часа 5 минут. Производительности насосов относят-
ся как 1:4:7 Сколько процентов объема бассейна будет вы-
качано за 45 минут совместной работы первого и третьего на-
сосов?
В10. Основание прямого параллелепипеда ABCDAlBlClDl —
параллелограмм ABCD, в котором AD = 3^/2, ZZ) - 135°. Тан-
генс угла между плоскостью основания и плоскостью Вх CD ра-
вен 0,5. Найдите боковое ребро параллелепипеда.
ВИ. Средняя линия равнобедренной трапеции равна 16, ее
диагональ перпендикулярна боковой стороне и равна 20. Най-
дите периметр трапеции.
Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов
№ 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем
решение.
С1. Найдите наибольшее значение функции
Дх) = - при |х + 5,5[ < 2,5.
х + 16
С2. Найдите все значения х, при каждом из которых выра-
жения 4jx • 9х + 2 • 3х + 1 и л/х • 3х + 8 • З2* + 1 принимают равные
значения.
ЧАСТЬ 3
Для записи ответов на задания (СЗ—С5) используйте бланк
ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а за-
тем обоснованное решение.
СЗ. Найдите все значения а, при каждом из которых наи-
большее из двух чисел /) = 4° + 23 + в — Зис=23-° — 4~а — 9
меньше 6.
С4. Дан конус с вершиной М. радиус основания которого
равен 2а/30 . На окружности его основания выбраны точки А, В,
С так, что углы ВМА. СМВ, АМС равны а каждый, причем
tg| = . Точка F выбрана на дуге ВС окружности основания
конуса, не содержащей точки А, так, что объем пирамиды MABFC
наибольший. Найдите расстояние от точки А до плоскости MBF
С5. Найдите все значения параметра р, при каждом из которых
уравнение (2р - 5,75) • 320-8*+ 04 + (Пр - 38)-0,25“* = Зр - 13
имеет ровно (2 — р)(р — 4) различных корней.
t
Вариант 8
ЧАСТЬ 1
При выполнении заданий А1—А10 в бланке ответов № 1 под номе-
ром выполняемого задания поставьте знак «х» в клеточке, номер
которой соответствует номеру выбранного вами ответа.
А1 Упростите выражение b 5 6
1) life"5-2 2) HMfe-5,2
life04.
3) life"6 4) ll04fe 6
A2 Вычислите.
V189
1) 1 2) 4,5 3) 8 4) 21
АЗ Вычислите: log3 54 + log3 .
А5 Найдите производную функции у = — -х4 + Зх2 — 2х + 11.
1) у'~ —5х3 + 6х — х2 + Их
2) у'= — ^х5 + х3 — х2 + Их
3) у' — —5х3 + 6х — 2
4) у' = —5хз + бх — х2
Аб Укажите множество значений функции у = 3х + 10.
1) (-оо; +оо) 2) (10; +оо) 3) (0; 10) 4) [13; +«>)
А7 Решите неравенство ——1)(4х + _2) q
X Ч" J
1) (-оо; -3) [-1; 1] з) (-3; -1] - [1; +оо)
2) (-3; +оо) 4) [1, +оо)
А8 Судно на подводных крыльях «Метеор» может плыть со
скоростью 65 км/ч. При скорости 25 км/ч корпус судна подни-
мается над поверхностью воды и оно движется, опираясь на
подводные крылья. Определите по графику, сколько часов суд-
но плыло на подводных крыльях. (На оси абсцисс отмечено
время движения в часах, на оси ординат — скорость в километ-
рах в час).
О 1,5
3) 2,5
4) 2 75
А9. Найдите область определения функции Дх) = log3 (5х + х2).
1) (0; +°°)
2) (5; +оо)
3) (-5, 0) w (0; +оо)
4) (-оо; -5) (0; +«>)
л/3
А1 0. Решите уравнение tg Зх = .
1) + Зпп, п G Z
3) 5 + эти, п G Z
О
2) * + *п, п € Z
Io J
4) ти + п G Z
1о
Ответом к заданиям В1—В11 должно быть некоторое целое число
или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо запи-
сать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания,
начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» отрица-
тельного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в от-
дельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами.
Единицы измерений писать не нужно.
В1. Решите уравнение log5 (12х + 8) — log5 4 = log5 23
В2. Найдите значение выражения 21 cos а, если sin а =
Г5 п
’ 2 С а " '
ВЗ. Для забора высотой 2 м
вокруг дачного участка (см. рису
нок) нужно приобрести металли-
ческую сетку. Ширина ворот равна
2,5 м. Цена сетки ПОр за 1м2.
Определите стоимость сетки.
ЧАСТЬ 2
В4. Решите уравнение 7х- 6 (л/7)*- 7=0
(Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов
запишите их произведение.)
В5. Функция у - Дх) опреде-
лена на промежутке (—6; 2) На
рисунке изображен график ее
производной. Укажите точку
максимума функции у = Дх) на
промежутке (—6; 2).
Вб. Найдите значение выражения
logi(3V3- J18)+ logi(3j3+ J18)
з . 5
ft
В7. Функция у = Дх) определена на всей числовой прямой
и является периодической с периодом 4. На промежутке [—4; 0)
она задается формулой /(х) = —х2 — 5х — 1. Найдите значение
выражения 4Д—12) + 3/(13)
В8. Найдите все значения а, при каждом из которых уравне-
ние ||х| + 6 — = 9 имеет ровно 3 корня.
(Если значений а более одного, то в бланке ответов запишите
их сумму.)
В9. Двум сотрудникам издательства поручили отредактиро-
вать рукопись объемом 560 страниц Один сотрудник, отдав вто-
рому 80 страниц рукописи, взял остальные страницы себе. Вто-
рой выполнил свою работу за время, в 8 раз меньшее, чем пер-
вый — свою Сколько страниц рукописи первый сотрудник
должен был сразу отдать второму (взяв себе остальные), чтобы
они, работая с прежней производительностью, выполнили свою
работу за одинаковое время?
В10. Через образующую ВС цилиндра проведено сечение
BCDE. Объем цилиндра равен 1440 л, BE = 8, тангенс угла меж-
ду прямой СЕ и плоскостью основания равен 1,25; Найдите
площадь осевого сечения.
В11. Дан ромб ABCD с острым углом А. Высота ВН, прове-
денная к стороне CD, пересекает диагональ АС в точке М Най-
дите площадь треугольника СМИ, если высота ромба равна 8,
а площадь ромба равна 80.
Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов
№ 2. Запишите сначала номер выполняемого адания, а затем
решение.
С1. Найдите наименьшее значение функции
Дх) = х2 + (^4- х2/ + 0,25х -
С2. Решите уравнение
716 - 8х + х2 + 74х2- 13х - 17 = х- 4
ЧАСТЬ 3
Для записи ответов на задания (СЗ—С5) используйте бланк
ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а за-
тем обоснованное решение.
СЗ. Найдите все значения а, большие 1, при каждом из ко-
2 5
торых наименьшее из двух чисел b = log3c- log3(9o )- 1 и
2
с = 8- loga(243o)- log(,3 не меньше —7.
С4. Отрезок АВ — диаметр сферы. Точки С, D лежат на сфере
так, что объем пирамиды ABCD наибольший Найдите косинус уг-
ла между прямыми СМ и АВ, если М — середина ребра BD
С5. Даны два уравнения-
2
logjCxGu2 + 6))=р + 5 — 2хих+- = х. 3 .
X X, .5 р + а,)
Значение параметра р выбирается так, что Зр + 2 * 0 и число
различных корней первого уравнения равно сумме числа р — 3
и числа различных корней второго уравнения Решите первое
уравнение при каждом значении параметра, выбранном таким
образом.
Ns
ПДпЮ )МП*яЮГрУО»уц*С*ЭМ>
Номера лрдам^й третти А с Е-5ь*Сором спгзяте из преш(лж«»4мы^.париа><тои
₽—* Д.П—1 Ня II —* ц - «И М | |Г1!|Л LJI - II I »» I —
W!«f£ Р€ В» да SttW» •»• ЖЯИ*«иИ*? -»««и-ЭД!>» <« *WS Л» «сжл»л» да >Ж **
| ’ □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ □□□□□□ •
I »□□□□□□□ODODCD□□□□□□□DD□□□□□□□□«
’» DDQDOCDDOD D О □□□□□□□□ □.□ 0.0 D О О О О О »
1*00000оо□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□О*
да да ж м <fi м «ц мм да,да м да да да да да ед да да дадада
J 2.0 0 00 0 DDOOD □□□□□□□□□□□□ООООО ОО Ор
j»DDt)ODODOOOOOOOOOOODODDOCOOOOOO«
» »;О ОО □ DO DOOCOOOOOOOOODO 0.0 О С О О ООО »
Г* D □ О О □ □ О ОО О О О О О □ □ О □ О С О ОО О О О О О □ □ ’
Эеменв схиОо-я^х 1! Я| 31 4 А ,□□□□ ’ А_ ^О О □ □ А О О ОС a DDDO Ч ®13}я А □□□□ • -я—- . А СОСО А ~О ООО А* с о о о ч а| Э| « a DQDD А О обо А A DDDD Pew 6
отдаотоо нападения тмпв А Рвзф! 7
pti£yj В^ГШси ОЫГЮ'С M ;аацлнЛл тигга 0<_: отеепом В краткой cpopivwf
*ч
ас iM
——
•*»
М "•
" 92
Вариант 9
ЧАСТЬ 1
При выполнении заданий А1—А10 в бланке ответов № 1 под номе-
ром выполняемого задания поставьте знак «х» в клеточке, номер
которой соответствует номеру выбранного вами ответа.
! л.,/
А1 Упростите выражение .
1) 73 2) 1,8 3) 3 4) 7’ 8
А2 Вычислите: .
43j2
1) 1,5 3) 1,25
2) 12,5 4) 2,25
АЗ. Вычислите: log] + log] 9
3 5
1) -2 2) 2
А4. На рисунке изображен гра-
фик функции, заданной на проме-
жутке [—5; 4). Укажите множество
значений этой, функции
1) [-5; 4)
2) [-3; 2)
3) [-3; 3J
4) [-3; 2) - (2, 3J
А5 Найдите производную функции у — 15х1 2 3 4 + ех.
1) у' = 17х + хе*~
ех+ 1
2) у' = 5х3 + —г
' Л х+ 1
3) у' = 45х + е*
4) у' = ЗОх + е*
Аб Укажите множество значений функции у = 2Л + 5
п (5; +оо)
2) (0, 4-е»)
3) (-оо; +оо)
4) (7; +оо)
5 i x
A7. Решите неравенство -------=—----< 0 .
(х- 2)(х- 9)
1) (-«>; -5]
2) (-°°; 9)
3) (-«>; -5] и (2; 9)
4) [-5; 2) и (9; +°°)
А8. Судно на подводных крыльях «Олимпия» может плыть со
скоростью 70 км/ч. При скорости 20 км/ч корпус судна подни-
мается над поверхностью воды и оно движется, опираясь на
подводные крылья. Определите по графику, сколько часов суд-
но плыло на подводных крыльях. (На оси абсцисс отмечено
время движения в часах, на оси ординат — скорость в километ-
А9. Решите уравнение tg 5х =
1) 36 + пп' п %
2) зб + 5п’ п € Z
Л
3 ‘
3) + 5лд, п е Z
4) 5 + пл, л € Z
О
А10 Решите неравенство log3 (2х- 5) > log3 х
4 4
1) (2,5; 5)
2) (2,5; +сю)
3) (5, +оо)
4) (-оо; 5)
Ответом к заданиям В1—В11 должно быть некоторое целое число
или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо запи-
сать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания,
начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» отрица-
тельного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в от-
дельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами.
Единицы измерении писать не нужно.
В1. Решите уравнение Зх+2 — 5 3х = У2А
В2. Найдите значение выражения J21 sin а, если cos а = —
2 < а < п.
ВЗ. Для отделки внешних стен
пункта теплоцентрали (см. рису-
нок) нужна краска Ширина во-
рот равна 3 м, высота — 4 м.
Средний расход краски — 200 г
на квадратный метр Стоимость
банки краски в 10 кг равна 700 р.
Какую сумму нужно потратить на
покупку краски?
ЧАСТЬ 2
В4. Решите уравнение 6х- 4 (~/6)Х - 12
(Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов
запишите их произведение.)
В5. К графику функции
У= Л*) в точке с абсциссой
х0 = —2 проведена касательная
Найдите ее угловой коэффици
ент, если на рисунке изображен
график производной этой функ-
ции.
Вб. Вычислите V? + 2^/6 3j2j6- 7 • 40
В7. Функция у — f(x) определена на всей числовой прямой
и является периодической с периодом 7 На промежутке [—5; 2)
она задается формулой f(x) = 3 — |1 — х|. Найдите значение вы-
ражения 5/(10) — 2/(—20).
В8. Найдите все значения а, при каждом из которых уравне-
ние ||х| — 6 + а| = 3 имеет ровно 3 корня.
(Если значений а более одного, то в бланке ответов запишите
их сумму.)
В9. В бидон налили 4 литра молока трехпроцентной жир-
ности и 6 литров молока шестипроцентной жирности. Сколько
процентов составляет жирность молока в бидоне?
В10. Боковое ребро правильной четырехугольной призмы
равно стороне основания. Расстояние между серединами двух
непараллельных ребер, принадлежащих разным основаниям,
равно Зл/б. Найдите объем призмы.
В11. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
высоты BE и СИ пересекаются в точке К, причем ВН = 6,
КН - 3. Найдите плошадь треугольника СВК
Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов
№ 2. Запишите сначала номер выполняемо о задания, а затем
решение.
С1. Найдите точки максимума функции
/(х) = 4,5х2 + 4х3 - 15 ~ 152si".lnx> .х\
cos (пх)
С2. Решите уравнение
7(3- 6х)2 + + 6Х)(11 - 6х) = 6х- 3.
ЧАСТЬ 3
Для записи ответов на задания (СЗ—С5) используйте бланк
ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а за-
тем обоснованное решение.
СЗ. Найдите положительные значения а, при каждом из
которых наименьшее из двух чисел b = 6а2(2о~2 — о) — я6 и
с — а'6 — 6а~3 + 1 не меньше —4.
С4. Через центр О данной сферы проведено сечение. Точка F
выбрана на сфере, а точки А, В, С, D — последовательно на ок-
ружности сечения так, что объем пирамиды FABCD наиболь-
ший. Точки М, Т, L — середины ребер FC, CD и AD соответст-
венно. Площадь треугольника MLT равна 64 /5 Найдите радиус
сферы.
С5. Даны два уравнения-
х3+ (6р+ 13)х+ 4 _ 2
х— 1
4sin(5 = 14- (3+ 4(р+ 1)-2)х.
Значение параметра р выбирается так, что -1 и при ум-
ножении числа различных корней первого уравнения на число
различных корней второго уравнения получается число р + 3.
Решите второе уравнение при каждом значении параметра вы-
бранном таким образом.
4-9499
Вариант 10
ЧАСТЬ 1
При выполнении заданий А1—А10 в бланке ответов № 1 под номе-
ром выполняемого задания поставьте знак «х» в клеточке, номер
которой соответствует номеру выбранного вами ответа.
6>.4
А1. Упростите выражение
-Г
1) 60-7 3) 0,7
2) 2 4) 62
А2 Найдите значение выражения —71og12(122)
1) 49 3) -14
2) «> -5
АЗ Вычислите. ^/625 • 0,0016
1) 1
2) 5,2
3) 0,05
4) 0,001
А4. На каком из следующих рисунков изображен график
функции, возрастающей на промежутке [-1; 2]?
100
А5 Найдите производную функции у = е* + Зх2.
1) у' = хе*-1 + 6х
2) у'- ех + х3
3) у' = е* + 2х
4) у'— ё* + 6х
Аб Найдите наибольшее целое значение функции у — 5,6cos х.
1) 1 2) 5 3) 0 4) 6
А7. Решите неравенство ——> 0.
1) (-со; -11) О [-|; 6] 2) (-11; 6]
3) (-11; -|] - [6; +оо) 4) [6;+оо)
А8. Судно на подводных -крыльях «Восход» может плыть со
скоростью 60 км/ч. При скорости 25 км/ч корпус судна подни-
мается над поверхностью воды и оно движется, опираясь на
подводные крылья. Определите по графику, сколько минут суд-
А9. Решите неравенство 37х 9 < 81х.
1) (-оо; 1,5] 3) (—©о; 1]
2) (-РР; 9] 4)(-оо;3]
О
101
X 1
АЮ. Решите уравнение cos 5 = j'
1) (— 1)"л + Зпп, п € Z
2) ±п + 6л«, п € Z
3) (- 1)"л + пп, п 6 Z
4) ±л + 2лл, п е Z
Ответом к заданиям В1—В11 должно быть некоторое целое число
или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо запи-
сать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания,
начиная с первой клеточки. Каждую цифру,, знак «минус» отрица-
тельного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в от-
дельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами.
Единицы измерений писать не нужно.
В1. Решите уравнение 7x+I — 5 • 7* = 98.
В2. Найдите значение выражения 5sin (л + а) + cos (л + а),
если sin а = 0,5.
ВЗ. Для отделки стен кладовой
(см. рисунок) нужна сухая Штука-
турная смесь. Ширина двери рав-
на 1 м, высота — 2 м. Стоимость
мешка смеси в 10 кг равна 150 р.
Средний расход смеси на 1м2 ра-
вен 8 кг Какую сумму нужно
потратить на покупку смеси, если
стены решено оштукатурить пол-
ностью, от пола до потолка
ЧАСТЬ 2
В4. Решите уравнение (37х~ 11 — 27)lg(5 - 4х) = 0.
(Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов
запишите их произведение.)
В5. Функция у = f(x) опреде-
лена на промежутке (-6; 7). На
рисунке изображен график про-
изводной этой функции Укажи-
те абсциссу точки, в которой ка-
сательная к графику функции
у = f(x) имеет наибольший угло-
вой коэффициент
Вб. Вычислите значение выражения
log sin ~ + log sin ~ + log sin ^5.
4 12 4 0 4 12
B7. Функция у ~ fix) определена на всей числовой прямой
и является периодической с периодом 6. На промежутке [—4; 2)
она задается формулой /(х) = 2 — х2 - х Найдите значение вы-
ражения 3/(20) — 2/(—17).
В8. Найдите все значения о, при каждом из которых уравне-
ние ||х| — 4 + а\ = 7 имеет ровно 3 корня
(Если значений а более одного, то в бланке ответов запишите
их сумму.)
В9. Две трубы вместе наполняют бассейн за 3 ч. Одна первая
труба может наполнить бассейн на 2,5 ч быстрее, чем одна вторая
труба. За сколько часов может наполнить бассейн одна первая
труба?
В10. Концы отрезка МК лежат на окружностях двух осно-
ваний цилиндра Угол между прямой МК и плоскостью осно-
вания цилиндра равен 30°, МК = 8, площадь боковой поверх-
ности цилиндра равна 40л Найдите периметр осевого сечения
цилиндра.
В11. Найдите площадь треугольника АВС, если его стороны
АВ и АС равны соответственно 12 и 18, а биссектриса АМ отсе-
кает от него треугольник АВМ, площадь которого равна 20.
Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов
№ 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем
решение.
С1. Найдите точки максимума функции
Дх) = 48х2 - Зх4- 9х3 + 0,1-18(*+8)
С2. Решите уравнение
j$2 + 1 = 0,5(2+ 6х + 4^2х2 - 6х+ 5)
ЧАСТЬ 3
Для записи ответов на задания (СЗ—С5) используйте бланк
ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а за-
тем обоснованное решение.
СЗ. Найдите все положительные значения а, при каждом
из которых наименьшее из двух чисел b = о4(1 — 5а-2) — 1 и
с = сг3(5а — с'') — 1 больше —7.
С4. Стороны АВ и ВС основания прямоугольного параллеле-
пипеда ABCDA}B}C}D} равнь, 7 и 5 соответственно, боковое реб-
ро ЛЛ, равно 3 Точки L, К, М лежат на ребрах AD, ВХСХ
так, что AL AD = 3:5, =4:7, В\М: B,Cf = 25
Найдите объем пирамиды с вершиной К и основанием AMCXL.
С5. Найдите все корни уравнения Юх3 — 63х2 + 48х — 9 = 0,
при подстановке каждого из которых в уравнение
(7х- 1, l)siny+ 9 =
ЮОх2 + 160х- 169 • cos2y,'
получится уравнение относительно у, имеющее более одного
корня.
№ 1
«
I Номера эй» раня-v» типо А св ь»Осрорл стяетв из предложенных в арийнтоя
I * ।Агхгед * wiTwiя 1VI. ®АЛ4вйЭВАЛц*у<^млвкед w <Л*
w [AJ »yfw,w<MypeTwuOw^*»*-ft,Artc»wi»v»r^'«*«»»Te»»«i»vo<>*Tw юет*мт ими warn*
gsj.je-.tfi.&£» >iS5iE>«g>r.Mw»i* да «г*»*» далда мда ®да. мдада.да**мда
2.0 О О о О О О О О О С О С О О С О О С С □ □ □ □ О ОО □ □ Oj.
• □□□□□р □□□□□□□□□□ □.□ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □«
5□ □ О □□□□□□□ О СП □ 0 0 0-0000 О О□□ С О О О О >
’□□□□□□□□□ ОО ODDDODDDODODDDO ОО с
WMWMiufimWMiM'M ikfMw «ягами «дама* даадаиед ед. ждаед *
2^ а о о □□ о ас о ао odd о оса сооооооо оо о о \
го-о.о а □.□ о о р.о ср о □ с с о о с с о о с ос аоооо*
»□ оо о о о а □ о о □ с □ с с с о с а о ос с с о с о с о о»
-'оооооосоооссооооосоосссо ООО □□□•
cxiaO^-wa; ОТМТСМ тмп» А М »1 3| 4 А DOQD А _ DODO А_ □□ ОО А “ □□□□ Ч«|3| « А □□□□ а СООР А рос О а особ *1 «1*1 * А □ D 0 О А □□□С А " □ □ □ □ А оо ОО
W! озультать» £Нр«>эГ|»-*имия задаь»ии типы ф с отаапооА в чр^ткси форме (??
Риер» 8
Ром?
Эаг-лгне сххЛ'»вочнк»гх сггвеггоа нн зйдени*’ т^зпаВ
ь;
<iiiii»iiiiiiiie i
I Хж±1 1
; Оопинетаймай'
J. teaffiiypt у
f
1 Пврепиимте знвммеб» побей ’регион’ "код предмета* ндтммие преданна’ из БЛАНКА'РЕГИСПуЦИИ
ОтмНМй на задания унйа С. м#итё аккуратно м разборчиво, соблхУияразметхустраницы.
ja..._ . ,—т я Не зэбудате .указать номер «Дания, на которое Бы Отвечаете например, С1
* ^V№pa^3*Wwe перел**та№^ не нужно ... ,, , / ,г>>,- а-
d При недостш® места, дли ответа используйте оборотную сторону бланка
Ответы
А1 А2 АЗ А4 А5 Аб А7 А8 А9 АЮ
Вариант 1 3 3 1 1 4 2 4 4 2 2
Вариант 2 3 2 4 4 2 3 3 1 4 2
Вариант 3 1 4 4 3 1 4 2 1 4 1
Вариант 4 2 4 3 2 3 1 4 4 4 2
Вариант 5 4 3 3 4 2 2 4 2 4 1
Вариант 6 2 3 2 1 1 3 2 •1 3 3
Вариант 7 2 1 3 3 3 4 2 1 3 1
Вариант 8 1 1 3 1 3 2 3 3 4 2
Вариант 9 4 3 2 3 4 1 3 4 2 1
Вариант 10 1 .3 1 3 4 2 3 2 4 2
В1 В2 ВЗ В4 В5 Вб
Вариант 1 -1 -2 24 200 2 2 0,2
Вариант 2 .36 3,5 24 480 81 -3 —2
Вариант 3 -81 2,9 160 3 5 0,04
Вариант 4 -64 5,84 240 -10 1 1
Вариант 5 3,25 4,97 27 440 81 3 5
Вариант б 5 2 21 200. 4 1 6
Вариант 7 4,4 —4 29 400 3 2 19
Вариант 8 7 4 26 730 2 -3 —2
Вариант 9 4 4 2100 2 3 —10
Вариант 10 ' 2 -3 3000 1 -4 -1 5
В7 В8 В9 вю В11
Вариант 1 10 9 И 0,8 4
Вариант 2 -4 И 12 1,5 224
Вариант 3 4 11 2 10 27
Вариант 4 9 4 180 4 12
Вариант 5 15 -I 72 3 5
Вариант 6 -5 13 30 1,5 5
Вариант 7 143 -2 24 1,5 62
Вариант 8 -9 15 320 80 9
Вариант 9 -16 3 4,8 216 15
Вариант 10 -30 -3 5 28 50
С1 С2 сз
Вариант 1 96 36 (1; 4) (32; +«>)
Вариант 2 0,75 (-1)"*’-2 + пп, п & Z (1; 4) (32; +«>)
Вариант 3 184 7,5 (1; 8) (32; +оо)
Вариант 4 112 7 (1; 8) v, (32; +оо)
Вариант 5 -18 36 (1; 16) (32; +°о)
Вариант 6 80 *3 [0; log32] [log37; +<»)
Вариант 7 -0,8 36 (-оо; —log25) (log23, 0)
Вариант 8 3 4,25 [л/3; 3] [81; +оо)
Вариант 9 -0,3 logfill (0; -1-] - [1; 721 V5
Вариант 10 2 5; -2 (~J=; 72] - (75; +оо) л/О
С4 С5
Вариант 1 276 16
Вариант 2 б 2
Вариант 3 4 6
Вариант 4 j(3- л/3) 4
Вариант 5 1 2
Вариант 6 4 -1
Вариант 7 зЛб 4
Вариант 8 5 2,5
Вариант 9 16 3
Вариант 10 9 0,3
Разбор наиболее трудных заданий
Рассмотрим задания повышенного (В4—С2) и высокого
(СЗ—С5) уровней сложности варианта 5. Приведем решение за-
даний с комментариями Предложенные решения не следует
рассматривать как образец оформления Задания могут быть ре-
шены разными способами
Напомним, что в заданиях В4—В11 контролируется только
ответ, а все преобразования и вычисления ученик выполняет в
черновике
В4
Решите уравнение log3x + 14 J*log3x- 32 - Q
(Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов
запишите произведение всех его корней )
Решение.
k>g3x+ 14 Jlog3x- 32 = 0. Уравнение может иметь корни
на множестве действительных чисел, удовлетворяющих условию
log3x>0 [х£ 1 ,
|х>0 [х>0
Введем новое переменное t - Jlog3x, t > 0. Тогда уравнение
примет вид fi + 14/ — 32 = 0. Его корни —16 и 2. С учетом ус-
ловия / > 0, корнем может бы ь только 2 Возвращаемся к пере-
менной х, получаем
71og3x - 2 <=> log3x ~ 4 <=> х = 81, 81 > 1
Ответ: 81.
В5
Функция у = f(x) определена на промежутке (-3, 8) На ри
сунке изображен график ее производной. Исследуйте функцию
У ~ Лх) на монотонность и запишите в ответе длину промежутка
убывания.
по .
Решение.
Функция убывает на промежутке [4; 7], так как на этом про-
межутке производная не отрицательна. Длина этого промежутка
равна 3.
Ответ: 3
Вб
Вычислите значение выражения
625
Решение.
-“П
При возведении степени в степень основание остается без
изменения, а показатели степеней перемножаются. Получаем,
что
625
c°s^
-sinA
= 625
cos-21 sin А 4 cos-2L sin ~
12 12 __ 1Z 1Z
2 sin j
= 5 6
Ч
5=5.
Ответ: 5.
В7
Функция у = Дх) определена на всей числовой прямой и яв-
ляется периодической с периодом 4 На промежутке (0; 4] она за-
дается формулой f(x) = х1 — 4х + 3 Найдите значение выражения
5/(-20> - 4/(13)
Решение.
На основании свойства периодической функции
f(x + 7л) = Дх), Т 0, п € Z
Так как в задании Г= 4, то
5/(-20) - 4/(13) = 5/(4 - ( 6) + 4) - 4/(4- 3 + 1) - 5/(4) -4/(1).
4 е (0; 4], 1 е (0; 4]
Вычислим
/(4) = 42 - 4-4 + 3 = 3,/(1) = I2 - 4-1 + 3 = 0.
Тогда 5/(—20) - 4/(13) = 5 • 3 - 4 • 0 = 15
Ответ: 15.
В8
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
||х| — 5 + а| = 6 имеет ровно 3 корня.
(Если значений а более одною, то в бланке ответов запишите их
сумму.)
Решение.
Уравнение ||х| — 5 + о| = 6 на основании определения модуля
можно заменить равносильной ему совокупностью уравнений, т.е
it I е, I х гИ - 5 + а = 6 г|х| = 11 - а
М - 5 + а| = 6 « ! « '
Lpq - 5 + а = - 6 Lpq = - 1 - а.
Уравнение имеет ровно 3 корня тогда и только тогда, когда
выполняется условие |х| = — 1 - а = 0, т.е. а = — 1.
Комментарии к решению.
Построим графики у = |х|,
у = 11 — а у = — 1 - а
Уравнение ||х| - 5 + л| = 6 имеет
ровно 3 корня тогда и только тогда
когда прямая у — 11 — а пересекает
график у — И в двух точках а пря-
мая у = — 1 — а в одной точке (Т.к
11 — а > — 1 — а при любом а)
В9
Три насоса, работая вместе, заполняют бак керосином за 1 час
40 минут. Производительности насосов относятся как 10:8: 7.
Сколько процентов объема бака будет заполнено за 2 часа сов-
местной работы второго и третьего насосов?
Решение.
40 2
Примем объем бака за 1. 1 час 40 мин = 1^ч = 1^ч. Тогда
2 3
общая производительность трех насосов — 1 : 1 = $
Пусть к — коэффициент пропорциональности, тогда произ-
водительности насосов равны ЮЛ, 8Л, 1к — соответственно.
3 3
Составим уравнение: ЮЛ + 8Л + 1к — к =
Производительности 2-го и 3-го насосов равны соответс-
24 21
твенно и П5 .
За 2 часа совместной работы 2-го и 3-го насосов будет за-
полнено 2- (2* + 2JL) = ^2 = 0,72 бака, 0,72 = 72%.
Ответ: 72.
В10
Основание прямой призмы ABCDAXBXCXDX — параллело-
грамм ABCD, в котором AD - 4^/2 и ZC = 135°. Тангенс угла
между плоскостью основания призмы и плоскостью Ах CD равен
0,75 Найдите боковое ребро призмы
Дано: ABCDAXBXCXDX — прямая
призма,
ABCD — параллелограмм
ZC = 135°, AD = 4/2,
tg Л(АВС, AXDC) = 0,75.
Найти ААХ.
Решение.
Пусть АК — высота параллелограм
ма, тогда по теореме о трех перпенди-
кулярах AtK ± DC, поэтому LA]KA — угол между плоскостями
АВС и A\CD. tgZ/4 КА = 0,75
В прямоугольном &DAK АК = AD- sin45° = 4
В ЬА{АК LA{AK = 90°; ААХ = АК- tgLA{KA
АА{ = 4-0,75 = 3.
Ответ: 3.
ВИ
Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Най-
дите высоту трапеции, если ее площадь равна 25.
Дано. ABCD — равнобедрен-
ная трапеция,
ACL BD, СН LAD,
8ABCD = 25.
Найти СН. А н ' d к
Решение.
Дополнительное построение: проведем прямую СК парал-
лельно диагонали трапеции BD Пусть прямая СК пересекает
прямую AD в точке К. Тогда &АСК — прямоугольный равнобед-
ренный треугольник, в котором высота СН является медианой,
АК- AD + СВ
Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к ги-
потенузе, равна ее половине, СН— ±АК - ^(>1.0 + ~ АН
В равнобедренной трапеции отрезок АН равен полусумме ос-
нований трапеции, поэтому SABCD = АН- СН - СН2 т.е СН2 = 25,
СН = 5.
Ответ: 5.
Напомним, что решения заданий Cl—С5 записываются на от-
дельных бланках. В зависимости от полноты и правильности
решения за выполнение заданий С1 и С2 выставляется от 0 до
2 баллов, за выполнение заданий СЗ—С5 — от 0 до 4 баллов.
При выполнении заданий Cl—С2 не т эебуется приводить
обоснования выполненных действий, как это принято при вы
полнении заданий СЗ—-С5. Достаточно записать полное реше-
ние с необходимыми преобразованиями и вычислениями При-
ведем возможные решения ученика на 2 балла.
Cl
Найдите наибольшее значение функции
Дх) = 0,25(х — 3)(х + 3)(х2 + 9) - 2х2 при |х - 1,5| < 1,5.
Решение.
1) |х - 1,5| < 1,5 « -1,5 < х -1,5 < 1,5 «=> 0 < х < 3
2) /'(х) = (0,25л4 - 20,25 - 2х2)' = х3 - 4х = х(х2 - 4).
/'(х) = 0 при х = О, при х = 2, при х — —2.
-2ё[0; 3].
ДО) = -20,25,
Д2) = 4 - 20,25 - 8 = -24,25,
ДЗ) = 20,25 - 20,25 - 18 = -18.
Наибольшее значение функции у = fix') на отрезке [0; 3] рав-
но — 18.
Ответ: —18.
Баллы Критерии оценки выполнения задания С1
2 Приведена верная последовательность всех шагов ре- шения: 1) определен промежуток, на котором требуется найти наибольшее значение функции; 2) найдено наибольшее значение функции. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.
1 Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допущены описка и/или вычислительная ошибка в шаге 2), не влияющие на дальнейший ход ре- шения. В результате этой описки или ошибки может быть по- лучен неверный ответ
0 Все случаи решения, которь е не соответствуют выше- указанным критериям выставления Оценок в 1 и 2 балла
С2
Найдите все значения х, при каждом из которых выражения
5^х • 49х - 30 • 49х и 14 Jx • 7х ~ 1 — 84 • 7х " 1 принимают равные
значения
Решение.
1) 57x:49х- 30-49х = 14Тё-7х-‘ - 84-7х-'.
2) 5^с-49х- 30-49*= 14,Jx-7x“' - 84-7*“ ’ «
«=> 5jx -7х - 30-7* - 2jx + 12 = 0 <=>
’6- Jx - 0
~ (6 - л/5с)(2 - 5 • 7х) = 0 «
Решение.
Пусть х > 1, тогда log^v > 0 и:
log,x- 81og 7х+ 15
1) а > 5 « log2x + 3Iogx32 - 3 > 5 <=--------------- > 0
г х = 36
2 - 5 7х = О
х>0
<=> (log2x — 3)(log2x — 5) > 0 <=>
log2x> 5
log-jX < 3 ’
х = log70,4 « х = 36
х>0.
Ответ: 36.
Баллы Критерии оценки выполнения задания С2
2 Приведена верная последовательность всех шагов ре- шения: 1) составлено уравнение по условию задачи; 2) найдены корни полученного уравнения. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ
1 • Приведена верная последовательность всех шагов ре- шения. Допущены вычислительная ошибка и/или описка в шаге 2), не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате этой ошибки или описки может быть по- лучен неверный ответ.
0 Все случаи решения, которые не соответствуют выше- указанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла.
В решении заданий высокого уровня сложности СЗ—С5 на
4 балла обоснования всех ключевых моментов решения обяза-
тельны.
СЗ
Найдите все значения х > 1, при каждом из которых на-
ибольшее из двух чисел а = log2X + 31ogx32 - 3 и b = logjex4
больше 5.
116
2) Ь > 5 - lofel > 5 ° + 4 > 5 ~ jAj > 1 ~ tofex < 4;
3) наибольшее из чисел больше 5 тогда и только тогда, ког-
да хотя бы одно из них больше 5, т.е. когда
b>5 rlog2x>5 гх>32
<=> <=>
,с>5 [log2X<4 Lx<16
Ответ: (1; 16) м (32; +°°).
Баллы Критерии оценки выполнения задания СЗ
4 Приведено логически и арифметически верное реше- ние, содержащее в каком-либо порядке следующие шаги: 1) решение первого неравенства; 2) решение второго неравенства; 3) составление совокупности указанных двух нера- венств и ее решение. Получен верный ответ.
3 Приведено логически верное решение, содержашее шаги 1), 2) и 3). Получен ответ. Допустимы арифметические ошибки, в результате ко- торых возможен неверный ответ
2 Выполнены шаги 1) и 2) решения, а шаг 3) либо от- сутствует, либо не доведен до конца, либо выполнен не- верно. Ответ не получен или неверен.
1 Верно выполнен один из шагов 1) или 2) решения, а остальные шаги либо отсутствуют либо не доведены до конца, либо выполнены неверно Ответ не получен или неверен.
0 ? Все случаи решения, которые не соответствуют выше- указанным критериям выставления оценок в 1 4 балла.
117
Дан конус с вершиной М, радиус основания которого равен
4 /19
3 /у и высота 4. Точки А, В, С лежат на окружности основания
конуса так, что АВ — диаметр и /АМС - 60°. На дуге ВС ок-
ружности основания конуса, не содержащей точки А, выбрана
точка L так, что объем пирамиды MABLC наибольший. Найдите
расстояние от точки L до плоскости АМС.
Решение.
I) Отрезки АМ, СМ равны как
образующие конуса, поэтому треу-
гольник АМС — равнобедренный с
углом 60°. Значит, треугольник
АМС — правильный АВ — диаметр
основания конуса. Следовательно,
треугольник АВС — прямоуголь-
ный с катетами
лс = am— Joa2 + ом2 = 21 пвс= Jab2-ас2 = 2L.
375 Л5
Образующая АМ — АС = .
2) Объем V пирамиды MABLC вычисляется по формуле
Г = ^^(So + SBLC), где МО — высота пирамиды, So, SB1C —
площади треугольника АВС и треугольника BLC соответственно.
Поскольку величины МО, ВС и So в условии задачи постоянны,
то V < (5О + • ЛЛ), где hL — наибольшая величина рас-
стояния от точки дуги ВС, не содержащей точку А, до стороны ВС
треугольника BLC. Расстояние от точки L дуги окружности до
стягивающей ее хорды наибольшее, если L — середина этой дуги.
3) Так как L — середина этой дуги ВС, то OL — биссектриса
угла ВОС и поскольку треугольник ВОС — равнобедренный, то
OL1BC. Но АСВС. Значит, OL\\AC vi поэтому OLWAMC. Следо-
вательно, расстояния от точек L и О до плоскости АМС равны
между собой.
4) Пусть И — середина отрезка АС и ОТ — высота треуголь-
ника МОН. Поскольку треугольники АОС и АМС равнобедрен-
ные, то ACLOH н.АССМН Поэтому АС' МОН и АССОТ, зна-
в
чит, 0Т1АМС, то есть длина отрезка ОТ — расстояние от точки
О до плоскости АМС. Причем, ОТ = ' 2^ как высота пря-
Мп
моугольного треугольника, опущенная на гипотенузу. Так как
АС±ОН и ACJlBC, то ОН — средняя линия треугольника АВС и
4
поэтому ОН — 0,5ВС — -==. В правильном треугольнике АМС
1 з
со стороной —- высота МН = Тогда ОТ = 1. Следова-
тельно, расстояние от точки L до плоскости АМС равно I.
Ответ: 1.
Баллы Критерии оценки выполнения задания СЗ
4 Приведена верная последовательность шагов решения: 1) установлено, что треугольник АМС — правильный и треугольник АВС — прямоугольный; 2) установлено, что пирамида MABL С удовлетворяет ус- ловию задачи, только если вершина L — середина дуги ВС; 3) установлено, что расстояние от точки L до плос- кости АМС равно расстоянию от центра основания кону- са до этой плоскости; 4) вычислено расстояние от точки L до плоскости АМС. Обоснованы ключевые моменты решения: а) рас- положение вершин основания ABLC пирамиды MABLC, имеюшей наибольший объем; б) способ вычисления рас- стояния от точки L до плоскости АМС. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.
3 Приведены все шаги решения 1) — 4). Приведены утверждения, составляющие ключевые моменты а) и б) решения. Допустимо отсутствие обосно- ваний ключевых моментов решения или неточности в обоснованиях, но не грубые ошибки. Допустимы одна описка и/или негрубая ошибка в вы- числениях, не влияющие на правильность хода решения В результате этой описки и/или ошибки возможен не- верный ответ.
2 В приведенном решении использованы ключевые мо- менты а) и б), а утверждения, составляющие ключевые моменты, могут отсутствовать. Найдено расстояние от точки О до плоскости АМС или площадь грани АМС. Допустимы описки и/или не грубые ошибки в вычис- лениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ.
Баллы Критерии оценки выполнения задания СЗ
1 Ход решения правильный, но решение не завершено. Из приведенного решения ясно, что вид пирамиды, име- ющей наибольший объем, установлен, хотя и без обосно- ваний- что треугольник АМС — правильный, треугольник АВС — прямоугольный и точка L — середина дуги ВС Это может быть описано словесно или ясно отражено и видно на чертеже (в соответствующих треугольниках обозначены равные углы, равные стороны, прямые углы). Вычислена длина, например, катета треугольника АВС, или бокового ребра пирамиды.
0 Все случаи решения, которые не соответствуют выше- указанным критериям выставления оценок 1—4 бадлов.
С5
Для чисел а,, а2, ... , а28 верны равенства ап + j — f(an)t
л = 1, 2,... , 27. Найдите а9 + а7 — а6, если известно, что о28 = 0, а
{Зх- 3 . ,
----=-, если х < 3
х- 3
.___ _________
с х- 4 27х- 17 _
5/--х + /-=---=-, если х > 3
ух- 2 N Зх + 7
Решение.
1) Так как а2 — f(ax), то а2 принадлежит множеству значений
функции / Оценим это множество сверху.
Если х<3, тох~3<0и 3x 3 = 3 + —< 3.
х- 3 х-3
Если х > 3, то si-—t = s/1-< 1, а
ух- 2 X- 2
27х- 17 _ п _ 80
Зх+7 * 3-3+7
= 4 > 0.
Следовательно, 121х определен и /27х *7 = 9 - . ---= < 3
У Зх+ 7 а/ Зх+7 Зх+7
Значит, 5/-—^ + /27х I7
л/х- 2 Зх+ 7
< 4 при х > 3.
Поэтому Дх) < 4 для всех х и а2 < 4
2) Так как а3 = /(л2) = /(Afli))> то ау принадлежит множеству
значений функции у - f(f{x)). Оценим его сверху. Если /(х) < 3, то
/№» < 3. Если 3 < /(х) < 4, то sjEZ* < 0, а -
Г ~ яо
'= 9 - °” . < 3. Значит, f(f(x)) < 3 для всех х. Поэтому ау < 3 и,
А/ А/*
значит, а4 = /(о3) < 3. Аналогично, «5 = /(а4) < 3,..., а27 =f(a26) < 3.
3) Так как о28 = 0 и а27 < 3, то f(a27) = a2S «
За27 - 3
а27~ 3
= 0 «=>
« а27 - 1. Так как «27 = 1 и а26 < 3, то
За->£— 3
/(°26) = о27 « • - = 1 « За26 - 3 = а26 - 3 « а26 = О
°26~ з
Аналогично, а25 = 1, а24 = 0, «23 = I, а22 ~ 0, ... , а9 = 1, о8 = О,
а7 = 1, а6 = 0. Значит, а9 + а7 - о6 = 2.
Ответ: 2.
Баллы Критерии оценки выполнения задания СЗ
4 Приведена верная последовательность всех шагов ре- шения: 1) проверка того, что а2 < 4; 2) проверка того, что все числа д3, а4, ... , а28 меньше 3; 3) установление закономерности изменения (перио- дичности) членов последовательности а3, с4, ... , а28, вы- числение а9 + а7 — аь. Обоснованы все моменты решения а) в шаге 1) есть ссылка на положительность подко- ренного выражения; б) в шаге 1) имеется явная ссылка на то, что а2 при- надлежат множеству значений функции в) в шаге 2) имеется явная ссылка на то, что а2 при- надлежат множеству значений функции у - /(/(х))1 2; г) в шаге 3) есть ссылка на неравенства а27 < 3 и а26 < 3. Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ
1 Допустима сначала оценка множества значений сверху и затем явное
использование равенства а2 =f(at).
2 Допустима сначала оценка сверху и затем явное использование равенс-
тва а3 = f(a2)
Баллы Критерии оценки выполнения задания СЗ
3 Приведена верная последовательность всех шагов ре- шения. В шаге 3) допустимо явное нахождение лишь а21 и ссылка на аналогичное нахождение а26 Обоснован клю- чевой момент в) и в шаге 3) есть ссылка на неравенство Я27 < 3. Допустима 1 описка и/или негрубая вычислительная ошибка в шаге 3), в результате чего может быть получен неверный ответ.
2 Приведена в целом верная, но, возможно, неполная последовательность шагов решения. Выполнены шаг 1) и, частично, шаг 2): доказано, что f(f(x)) < 3 для всех х. Допустимо, что дальнейшее выполнение не заверше- но, а ключевые моменты не обоснованы.
1 Общая идея, ход решения верны. Выполнен шаг !): проведено исследование функции f получено неравенс- тво о2 < 4. Или же, проведены верные вычисления а21, а2(1 из ша- га 3), но с использованием /(х) только при х < 3 , а шаги 1) и 2) отсутствуют. Допустимо, что дальнейшее выполнение не заверше- но, а ключевые моменты не обоснованы.
0 Все случаи решения, которые не соответствуют ука- занным выше критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла.
Справочное издание
САМЫЕ НОВЫЕ РЕАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
ЕГЭ-2009
МАТЕМАТИКА
Авторы-составители
Валентина Ивановна Яшина, Лариса Олеговна Денищева,
Юрий Александрович Глазков, Галина Алексеевна Захарова
Игорь Николаевич Сергеев, Петр Михайлович Камаев,
Вадим Витальевич Кочагин,
Андрей Рафаилович Рязановский
Редакция «Образовательные проекты»
Ответственный за выпуск Н. А Шармаи
Редактор А. 10. Котова
Технический редактор А Л. Шелудченко
Корректор И Н. Мокина
Оригинал-макет подготовлен ООО «Бета-Фрейм»
Общероссийский классификатор продукции ОК-005-93, том 2;
953005 — литература учебная
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№77 99 60.953.Д.014255.12.08 от 23.12.2008 г
ООО «Издательство Астрель»
129085, Москва, пр-д Ольминского, д. За
ООО «Издательство ACT*
141100, РФ, Московская обл., г. Щелково, ул. Заречная, д. 96
Наши электронные адреса:
www ast.ru
E-mail: astpub@aha.ru
ОАО «Владимирская книжная типография»
600000, г Владимир, Октябрьский проспект, д 7
Качество печати соответствует качеству предоставленных диапозитивов
По вопросам приобретения книг обращаться по адресу
129085, Москва Звездный бульвар, дом 21, 7 этаж
Отдел реализации учебной литературы
«Издательской группы АСТ»
Справки по телефону (495)615-53-10, факс 232-17-04