ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
ВЫПУСК 2
И. М. ГЕЛЬФАНД и Г. Е. ШИЛОВ
ПРОСТРАНСТВА
ОСНОВНЫХ
И ОБОБЩЕННЫХ
ФУНКЦИЙ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1958

И-5-4
АННОТАЦИЯ
Этот выпуск посвящен дальнейшему углуб-
углублению и развитию теории обобщенных функ-
функций, в частности перенесению техники действий
с обобщенными функциями, развитой в первом
выпуске, на широкие классы пространств. Базой
для этого является изложенная в гл. I теория счет-
но-нормированных пространств.
Пространства, которые строятся и изучаются
в следующих главах, используются в третьем
выпуске, посвященном некоторым приложениям
теории обобщенных функций к дифференциаль-
дифференциальным уравнениям. Настоящий выпуск рассчитан
в первую очередь на математиков, хотя могут
читать его и не только математики. Для его
чтения желательно знакомство с началами функ-
функционального анализа. Этот выпуск в основном
можно читать независимо от первого.
Израиль Моисеевич Гельфанд и Георгий Евгеньевич Шилов.
Пространства основных и обобщенных функций.
Редакторы: М. С. Агранович и Л. А. Стебакова.
Техн. редактор С. С. Гаврилов. Корректор Е. А. Белицкая
Сдано в набор 30/ХП 1957 г. Подписано к печати 28/1V 1958 г. Бумага 84x108/32.
Физ. печ. л. 9,63 Условн. печ. л. 15,79. Уч.-изд. л. 16,14. Тираж 7000 экз.
Т-03920. Цена книги 10 р. 05 к. Заказ № 2669.
Государственное издательство физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Типография JVTo 2 им. Евг. Соколовой УПП Ленсовнархоза.
Ленинград, Измайловский пр., 29

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I
ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Определение линейного топологического пространства 12
1. Система аксиом линейного топологического простран-
пространства A2). 2. Задание топологии с помощью окрестностей
нуля B0). 3. Примеры B2).
§ 2. Нормированные пространства. Сравнимость и согласо-
согласованность норм 23
1. Основные определения B4). 2. Сравнимые и согласован-
согласованные нормы B5).
§ 3. Счетно-нормированные пространства 27
1. Определение B7). 2. Условие полноты C0). 3. При-
Примеры C2). 4. Счетно-нормированное пространство как
линейное метрическое пространство C4). 5. Условия норми-
нормируемости счетно-нормированных пространств C9). 6. Срав-
Сравнимые и эквивалентные системы норм D2). 7. Ограничен-
Ограниченные множества в счетно-нормированном пространстве D4).
8. Ограниченные множества в общих пространствах D5).
§ 4. Линейные непрерывные функционалы и сопряжен-
сопряженное пространство 47
1. Определение D8). 2. Вопрос о существовании линейных
непрерывных функционалов E0). 3. Сопряженное простран-
пространство E0). 4. Связь между непрерывностью линейного
функционала и его ограниченностью на ограниченных мно-
множествах E4). 5. Характеристика ограниченного множества
в счетно-нормированном пространстве E6).
§ 5. Топология в сопряженном пространстве 57
1. Сильная топология E8). 2. Сильно ограниченные мно-
множества F1). 3. Сильцо ограниченные множества в про-
пространстве, сопряженном к счетно-нормированному F3).
4. Слабая топология F4). 5. Слабо ограниченные мно-
множества F6). 6. Теорема о полноте пространства, сопряжен-
сопряженного к счетно-нормированному, относительно слабой
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
сходимости F7). 7. Слабая и сильная топологии в исходном
пространстве F9).
§ 6. Совершенные пространства 73
1. Основное определение G3). 2. Условие совершенства
счетно-нормированного пространства G4). 3. Совпадение
сильной и слабой сходимости G6). 4. Слабая и сильная
сходимость в сопряженном пространстве G7). 5. Ограни-
Ограниченные множества в сопряженном пространстве G8).
§ 7. Линейные непрерывные операторы 81
1. Определение (81). 2. Теорема об обратном опера-
операторе (83). 3. Действия с линейными операторами (85).
4. Последовательности операторов (86). 5. Сопряженный
оператор (87).
§ 8. Объединения счетно-нормированных пространств . . 89
1. Определение (89). 2. Ограниченные множества и линей-
линейные функционалы (90). 3. Линейные операторы (92).
Добавление 1. Элементы, функционалы, операторы, зави-
зависящие от параметра 94
1. Абстрактные функции (94). 2. Дифференцируемые
абстрактные функции (96). 3. Операторы, зависящие от
параметра (97). 4. Интегрирование непрерывных абстракт-
абстрактных функций по параметру A00).
Глава II
ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Определение основных и обобщенных функций ... 101
1. Основные функции A01). 2. Примеры A02). 3. Соотноше-
Соотношения между сходимостями A04). 4. Дальнейшие приме-
примеры A05). 5. Определение обобщенной функции A07).
§ 2. Топология в пространствах К{Мр} и Z{Mp} 112
1. Вводные замечания A12). 2. Пространство К{Мр} как
полное счетжьнормированное пространство A15). 3. Условие
совершенства пространства К {Мр} A18). 4. Эквивалентные
системы норм A22). 5. Финитные функции в пространстве
К{Мр} A23). 6. Пространства Z {Мр} A24).
§ 3. Действия с обобщенными функциями 126
1. Линейные операции и предельный переход A26). 2. Умно-
Умножение на функцию A28). 3. Деление единицы на многочлен
в пространстве V A30). 4. Дифференцирование A35).
§ 4. Структура обобщенных функций 138
1. Структура обобщенных функций в пространстве
К{Мр} A38). 2. Упрощение записи в пространствах с усло-
условием (N) A40). 3. Случаи пространств К и S A43). 4. Струк-
Структура финитных функционалов A45). 5. Структура функцио-
функционала, сосредоточенного в точке A49). 6. Пример: решение
уравнения Лапласа со степенной особенностью A50V

ОГЛАВЛЕНИЕ О
Глава III
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОСНОВНЫХ
И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Преобразования Фурье основных функций 152
1. Операторы Фурье на пространстве 5 A53). 2. Операторы
Фурье на пространствах К и Z A56). 3. Общий случай A57).
§ 2. Преобразования Фурье обобщенных функций .... 158
1. Основное определение A58). 2. Преобразование Фурье
финитного функционала A61). 3, Структура обобщенных
функций в пространстве Z (а) A63). 4. Преобразования
Фурье и дифференциальные уравнения A64).
§ 3. Свертка обобщенных функций и ее связь с преобра-
преобразованиями Фурье 167
1. Операция сдвига A67). 2. Определение свертки A68).
3. Дифференцирование свертки A70). 4. Финитные функ-
функционалы как свертыватели A73). 5. Теорема о непрерыв-
непрерывности свертки A75). 6. Гармонические функционалы A76).
7. Преобразование Фурье и свертка A79). 8. Преобразо-
Преобразование Гильберта A83).
§ 4. Преобразования Фурье целых аналитических функций 186
1. Основная теорема о преобразовании Фурье целой
функции 1-го порядка A87). 2. Явное выражение преобра-
преобразования Фурье целой функции 1-го порядка A89). 3. Обрат-
Обратная теорема A91). 4. Случай целой функции с интегри-
интегрируемым квадратом A93). 5. Случай целой функции степен-
степенного роста A95).
Глава IV
ПРОСТРАНСТВА ТИПА 5
§ 1. Введение 199
§ 2. Различные формы определения пространств типа 5 203
1. Пространство 5а B03). 2. Пространство 5Р B06). 3. Про-
Пространство Si B10).
§ 3. Топологическая структура основных пространств . . 211
1. Пространство Sa как объединение счетно-нормирован-
ных пространств B11). 2. Пространство S^ как объедине-
объединение счетно-нормированных пространств B14). 3. Простран-
Пространство S% как объединение счетно-нормированных про-
пространств B17). 4. Пространства S^ А и Si* B B20).
§ 4. Простейшие ограниченные операции в пространствах
типа 5 220
1, Операция умножения на х B21). 2. Умножение на

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
бесконечно дифференцируемую функцию B22). 3. Операция
сдвига B27). 4. Операция растяжения B29).
§ 5. Дифференциальные операции 230
1. Операция -т— B30). 2. Дифференциальные операторы
CLX
бесконечного порядка B31).
§ 6. Преобразования Фурье 234
1. Общая теорема B35). 2. Преобразования Фурье про-
пространств типа 5 B39).
§ 7. Целые аналитические функции как элементы или
мультипликаторы в пространствах типа «S 246
1. Сводка результатов B46). 2. Теорема Фрагмена — Линде-
лёфа B50). 3. Теорема о существовании области G^ B52).
4. Поведение целой функции в плоскости при р > 0 B56).
5. Оценка производных целой функции на оси по ее пове-
поведению в плоскости B59). 6. Оценка производных на оси
при (х<0. B64).
§ 8. Вопрос о нетривиальности пространства типа S . . . 266
1. Случай пространств SjJ, S%. B67). 2. Случай пространств s?,
<*>0, р>0. B68). 3. Случай пространств sg; f. B76).
4. О запасе функций в пространствах типа S B78).
§ 9. Случай нескольких независимых переменных , , . . 281
Добавление 1. Обобщения пространств типа «9 288
Добавление 2. Пространства типа W 292
1. Пространство WM B92). 2. Пространство W2 B94). 3. Про-
Пространство WM B95). 4. Вопрос о нетривиальности про-
пространств типа W B96). 5. Ограниченные операторы B96).
6. Преобразования Фурье B97).
Примечания и литературные указания 299
Алфавитный указатель • 304
Оглавление выпусков 1, 3, 4 307

ВВЕДЕНИЕ
Построения выпуска 1 проходили на базе использования
немногих основных пространств: 1) пространства К финит-
финитных бесконечно дифференцируемых функций; 2) простран-
пространства S бесконечно дифференцируемых функций, убывающих
на бесконечности, вместе со всеми производными, быстрее
любой степени :—-; 3) пространства Z аналитических функ-
I х I
ций y(z), удовлетворяющих неравенствам вида |гЛсрB:)|^
^.Скеа\У\. Обобщенных функций — линейных непрерывных
функционалов на этих пространствах—было достаточно
для выяснения основных черт теории и для ряда простых,
но важных применений ее к некоторым вопросам анализа
,и, в частности, к теории дифференциальных уравнений.
С другой стороны, хотя мы стремились там свести число
используемых пространств к минимуму, нам не удалось
обойтись одной парой пространств К и К!\ рассматривая
обобщенные функции как линейные непрерывные функцио-
функционалы на /С, мы неизбежно должны были рассматривать их
преобразования Фурье как линейные непрерывные функцио-
функционалы на Z. Преимущества такой точки зрения будут осо*
бенно ясно видны в выпуске 5, где методы теории функций
комплексного переменного будут оказывать существенную
помощь в алгорифмических вопросах теории обобщенных
функций.
Значительно более широкий круг пространств понадог
бится нам в выпуске 3, посвященном более глубоким
приложениям теории обобщенных функций к дифферен-
дифференциальным уравнениям, чем те, с которыми мы эпизодически
встречались в выпуске 1 и встретимся кое-где в выпуске 2.
А именно, в выпуске 3 будут изложены применения теории
обобщенных функций к задаче Коши и к задаче о разложении

8 ВВЕДЕНИЕ
по собственным функциям. Здесь в полной мере выявится
основная особенность теории обобщенных функций — в том
ее виде, в каком мы ее понимаем в этой книге, — она
состоит в том, что разные классы задач требуют разных
классов пространств, причем именно классов пространств,
а не отдельных пространств.
Так, теоремы единственности и существования решения
задачи Коши для разных уравнений в частных производных
требуют разных пространств, обладающих, однако, некото-
некоторыми общими свойствами. Задачи о разложениях по соб-
собственным функциям для разных дифференциальных операто-
операторов также требуют разных пространств, имеющих, тем
не менее, ряд общих черт. И точно так же краевые задачи
для эллиптических уравнений требуют своего класса основ-
основных пространств и пространств обобщенных функций.
На предыдущем этапе развития функционального ана-
анализа, связанном с теорией интегральных уравнений, общей
базой для изучения различных встречавшихся функциональ-
функциональных пространств была теория линейных нормированных
пространств *).
Для нужд теории обобщенных функций нормированных
пространств оказалось уже недостаточно. Не надо думать,
что при этом дело обстоит так, будто потребовались го-
гораздо более сложные конструкции. Положение—прямо про-
противоположное: среди нормированных пространств нет самых
простых пространств, обладающих целым рядом существен-
существенных свойств, например пространств К и S.
В последние годы усиленно развивается общая теория
линейных топологических пространств. Однако наиболее
общие линейные топологические пространства — это до-
довольно сложные образования, обладающие целым рядом
«патологических» свойств и плохо приспособленные для
нужд аналитика**). Основой теории обобщенных функций
является теория так называемых счетно-нормированных
*) Впрочем, уже в этот период появились работы, предвосхи-
предвосхитившие выход за пределы этого класса пространств — работы 30-х
годов Кёте — Теплица и Кёте о пространствах последовательностей,
а также работы Мазура и Орлича.
**) Аналитику естественно пользоваться оценками, а не окре-
окрестностями, которые аналитик неизбежно сводит к тем или иным
рценкам.

ВВЕДЕНИЕ 9
пространств (с согласованными нормами), их объединений
(индуктивных пределов), а также пространств, сопря-
сопряженных к счетно-нормированным или к их объединениям.
Этот круг пространств, с одной стороны, достаточно ши-
широк, с другой,—достаточно удобен для аналитика.
Теория этих пространств и излагается в гл. I. Отметим,
что, поскольку счетно-нормированные пространства весьма
близко стоят к нормированным, ряд важных теорем полу-
получается почти автоматическим перенесением их с нормиро-
нормированных пространств на счетно-нормированные *). При чте-
чтении этой главы следует иметь в виду, что некоторые из
доказываемых здесь теорем справедливы на самом деле для
более общих пространств.
Класс всех счетно-нормированных пространств в боль-
большинстве вопросов также оказывается слишком широким для
теории обобщенных функций. Поэтому в гл. I мы изучаем
так называемые совершенные пространства (полные счетно-
нормированные пространства, в которых ограниченные мно-
множества компактны). Большой запас примеров таких про-
пространств читатель встретит в следующих главах.
Материал, относящийся к общей теории счетно-нормиро-
счетно-нормированных пространств, читатель найдет также в первых трех
• параграфах гл. IV выпуска 3.
Изложенная точка зрения, конечно, исключает возмож-
возможность априорного описания всех классов пространств, ко-
которые могут встретиться в связи с теми или иными зада-
задачами теории обобщенных функций: как мы уже говорили
выше, каждый класс задач требует своего класса пространств.
Поэтому в гл, II, IV вводятся и изучаются в основном два
класса пространств: пространства типа К{Мр) в гл. II;
пространства типа «S и близкие к ним пространства типа W
в гл. IV. Пространства типа 5 и W в основном удовлетво-
удовлетворяют потребности гл. II и III выпуска 3 (задача Коши)>
а пространства типа К{Мр] —потребности гл. IV выпуска 3
*) Читателю, который не знаком с теорией нормированных
пространств, полезно перед чтением этой главы прочитать, напри-
например, первые три главы из книги Л. А. Люстерника и В. И. Собо-
Соболева «Элементы функционального анализа» (Гостехиздат, М.—Л.,
1951) или первый выпуск лекций А. Н. Колмогорова и С. В. Фо-
Фомина «Элементы теории функций и функционального анализа»
(Изд-во МГУ, 1954),

10 ВВЕДЕНИЕ
(задача о разложении по собственным функциям). Глава II
и, отчасти, гл. III настоящего выпуска посвящены прежде
всего перенесению на более общие пространства резуль-
результатов гл. I и II выпуска 1, почти не встречающему затруд*
нений. Здесь и появляются пространства К{Мр], есте-
естественно иллюстрирующие общую теорию. С другой сто-
стороны, результаты гл. I позволяют заполнить целый ряд
существенных пробелов, в частности доказать полноту про-
пространства обобщенных функций на /С, и установить ряд но-
новых результатов, например, касающихся структуры обоб*
щенных функций.
В последней, IV главе излагается теория пространств
типа 5. Эти пространства, которые, как мы уже говорили,
используются в выпуске 3, обладают большой внутренней
стройностью, и мы надеемся, что даже их самостоятельное
изучение доставит некоторое удовольствие аналитику. По-
Построение и использование этих пространств связано с ре-
результатами теории квазианалитических функций и теоремой
Фрагмена — Линделёфа. Приложения этих пространств к за-
задаче Коши в выпуске -3 иллюстрируют известное высказы-
высказывание Адамара о связи между теоремами единственности
в задаче Коши, с одной стороны, и теорией квазианалити-
квазианалитических функций и общей теорией функций комплексного
переменного, с другой. Пространства типа 5 дают есте-
естественные рамки для достаточно гибкой теории преобразо-
преобразований Фурье благодаря тому, что при преобразованиях
Фурье эти пространства переходят друг в друга; поэтому
гл. IV является естественным продолжением гл. III, посвя-
посвященной преобразованиям Фурье. Кроме того, над простран-
пространствами типа 5 строятся разнообразные операторы вида
f\dx)f где fW—целая функция, приложимые и к обобщен-
обобщенным функциям. .Преобразования Фурье обобщенных функ-
функций, рассматриваемых как линейные непрерывные функцио-
функционалы над пространствами типа 5 и W, а также построение
Операторов вида /(—), приложимых к обобщенным функ-
функциям,— это и есть те основные средства, при помощи
Которых мы будем в выпуске 3 изучать задачу Коши.
Чтобы не перегружать здесь изложение, мы вынесли
в добавление резюме результатов, относящихся к простран-

ВВЕДЕНИЕ 11
ствам типа W\ доказательства этих результатов собраны
в гл. I выпуска 3. Читатель, интересующийся только зада-
задачей о разложении по собственным функциям, может перейти
после глав I и II настоящего выпуска прямо к главе IV
выпуска 3.
Авторы пользуются случаем принести сердечную благо-
благодарность всем товарищам, оказавшим в той или иной форме
помощь при написании этого выпуска. Д. А. Райкову мы
обязаны рядом существенных улучшений в первой главе.
Б. Я. Левин по нашей просьбе построил доказательства
некоторых необходимых теорем из теории целых функций
(гл. IV), Г. Н, Золотарёв указал некоторые упрощения
в изложении глав II и III. По идее Н. Я. Виленкина напи-
написан пункт о преобразовании Гильберта (гл. III). Наконец,
множество улучшений введено по предложениям М. С. Агра-
Аграновича, отредактировавшего весь текст этого выпуска.
Авторы

ГЛАВА I
ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§ Ь ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ТОПОЛОГИЧЕСКОГО
ПРОСТРАНСТВА *)
1. Система аксиом линейного топологического про-
пространства. Совокупность Ф элементов ср, ф, . . . называется
линейным топологическим пространством, если выпол-
выполняются следующие условия:
I. Ф есть линейное пространство с умножением на (ве-
(вещественные или) комплексные числа.
II. Ф есть топологическое пространство.
III. Операции сложения и умножения на число непрерыв-
непрерывны относительно топологии пространства Ф.
Рассмотрим все эти условия подробнее.
I. Совокупность Ф есть линейное пространство с умно-
умножением на комплексные числа.
Это означает, что в совокупности Ф заданы операции
сложения элементов и умножения их на (комплексные)
числа X, jx, . . ., причем выполнены следующие аксиомы:
°ср4-ф = ф-|-ср (сложение коммутативно);
1.2° <р-)-(ф + Х) = (сР~1~Ф)~1~Х (сложение ассоциативно);
1.3° имеется элемент 0, такой, что ср -\- О = ср для любого ср;
1.4° для всякого элемента ср имеется элемент ф такой,
что
ср-|-ф = О (противоположный элемент);
.5° 1 - ср = ср для любого <р?Ф;
.6° X (|хср) =
•7° Х
*) Посколько § 1 имеет подготовительный характер, читатель,
знакомый с определением линейного топологического пространства,
может перейти сразу к § 2, и возвратиться к § 1 в случае надобности.

1] § 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА 13
Аксиома 1.6° означает ассоциативность умножения на
число; аксиомы 1.7° и 1.8° выражают два дистрибутивных
закона, связывающих сложение с умножением на число.
Из аксиом 1.1°—1.8° в свою очередь можно вывести, что
произведение числа 0 на любой элемент ср есть элемент О и
что произведение числа — 1 на любой элемент ср есть противо-
противоположный элемент к ср, который поэтому естественно обозна-
обозначать через —ср.
Приведем некоторые простые определения, относящиеся
к линейным пространствам.
Совокупность всех сумм ср —j— ф, где ср пробегает мно-
множество А в линейном пространстве Ф, называется сдвигом
множества А на вектор ф.
Совокупность всех сумм ср —|— ф, где ср пробегает му-
мужество Л, а ф пробегает множество В, называется суммой
(точнее, арифметической суммой) множеств А и В и обо-
обозначается через А-\-В. Аналогично определяется арифмети-
арифметическая разность А — В.
Совокупность всех произведений элементов ср множества А
на число X называется \-кратным множества А и обозна-
обозначается через ХА (Заметим, что вообще 2А Ф А-\-А.) В ча-
частности, —А есть совокупность всех элементов, противо-
противоположных к элементам множества А.
II. Совокупность Ф есть топологическое пространство.
Это означает, что в совокупности Ф выделена система
подмножеств {?/}, называемых (открытыми) окрестностями,
причем удовлетворяются следующие аксиомы:
11.1° каждая точка ср?Ф принадлежит некоторой окре-
окрестности U = U (ср);
11.2° если точка ср принадлежит окрестностям U и V, то
она принадлежит окрестности W', целиком лежащей в пере-
пересечении U с V.
11.3° для любой пары точек ср Ф ф можно указать окре-
окрестность U, содержащую точку ср, но не содержащую точки ф.
Все окрестности и все их объединения (конечные и
бесконечные) образуют систему открытых множеств.
Открытое множество характеризуется тем, что каждая его
точка — внутренняя, т, е. входит в это множество вместе
с некоторой окрестностью. Отсюда легко получить, что
объединение открытых множеств в любом числе и пере-
пересечение в конечном числе снова суть открытые множества.

14 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [1
В дальнейшем под окрестностью данной точки мы пони-
понимаем любую окрестность, содержащую эту точку.
Точка <ро называется точкой прикосновения мноэюества А,
если в любой окрестности точки <ро имеется точка мно-
множества А. В частности, каждая точка множества А есть его
точка прикосновения. Для точки прикосновения <ро множе-
множества А имеются две возможности:
1) существует окрестность точки ср0, в которой имеется
лишь конечное число различных точек множества Л;
2) в каждой окрестности точки ср0 имеется бесконечное
множество точек множества А.
В первом случае, используя аксиомы IL2° и 11.3°, можно
устроить окрестность точки ср0, в которой нет вообще
тойек множества Л, кроме самой точки сро- В этом случае ср0
называется изолированной точкой множества А.
Во втором случае <р0 называется предельной точкой мно-
множества Л. Изолированная точка прикосновения всегда принад-
принадлежит множеству А; предельная точка может принадлежать
или не принадлежать множеству А.
Совокупность всех точек прикосновения образует замы-
замыкание А множества Л; таким образом, замыкание множества Л
получается присоединением к множеству Л тех его предель-
предельных точек, которые не принадлежат к нему.
Множество Л называется замкнутым, если оно содержит
все свои точки прикосновения. Можно проверить, что таковым,
в частности, является замыкание любого множества. Замкну-
Замкнутые множества могут быть охарактеризованы как дополнения
к открытым (до всего Ф). Отсюда следует, что объединение
замкнутых множеств в конечном числе и пересечение в любом
числе суть снова замкнутые множества.
Множество Л называется плотным в пространстве Ф
(точнее, всюду плотным), если его замыкание совпадает с Ф.
Пример: множество рациональных точек на прямой.
Множество Л нигде не плотно, если его замыкание
не содержит ни одной внутренней точки. Пример: канторово
множество на прямой.
Совокупность всех открытых и всех замкнутых множеств
пространства Ф образует его топологию.
К одной и той же топологии в пространстве (т. е. к одному
и тому же запасу открытых и замкнутых множеств) можно
прийти, исходя из двух различных систем окрестностей.

1] § Ь ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА 15
Например, для задания естественной топологии на числовой
прямой можно использовать в качестве окрестностей, с одной
стороны, все интервалы с рациональными концами, с другой
стороны, все интервалы с иррациональными концами. Мы
будем называть эквивалентными такие системы окрестностей,
которые приводят к одной и той же топологии. Следую-
Следующее простое условие необходимо и достаточно для того,
чтобы две данные системы окрестностей [U] и [V] были
эквивалентны: внутри каждой окрестности U должна содер-
содержаться окрестность V и внутри каждой окрестности V должна
содержаться окрестность U'.
Сходящиеся последовательности. Последова-
Последовательность cpj, ср2, ..., cpv, . . . элементов топологического
пространства Ф называется сходящейся к элементу ср, если
в любую окрестность точки ср попадают все точки этой
последовательности, начиная с некоторого номера. В этом
случае пишут ср = lim cpv. На прямой (или в я-мерном про-
V -> ОО
странстве) всякая предельная точка данного множества А
является пределом некоторой сходящейся последователь-
последовательности точек множества Л. Естественное на первый взгляд
предположение, что и в общем случае предельная точка
множества А должна быть пределом некоторой (счетной)
последовательности cpv^Л (v=l, 2, ...), оказывается при
ближайшем рассмотрении неверным.
Пример. Рассмотрим совокупность Ф (всех) ограниченных
вещественных функций ср (х) на отрезке 0 <! х <; 1 с обычными ли-
линейными операциями; окрестности U = U (%', хь ..., хп\ е) дан-
данного элемента <р = ср0 (х) зададим указанием конечного числа
точек xlt х%, ..., хп и числа е ]> 0, как совокупность всех ср ? Ф,
дня которых | ср (Xj) — yo(Xj) |<e, 7 = 1,2 п. Образуем
множество А из функций ср (х), каждая из которых всюду
равна 1, кроме конечного числа точек, где она равна 0. Очевидно,
что ср0 (х) = 0 есть точка прикосновения множества А. В то же время
никакая (счетная) последовательностъ элементов ^ (х) множества А
не может сходиться к нулю, так как в силу несчетности континуума
0<]^<;1 всегда можно указать точку х0, в которой все функ-
функции ^v (x) равны 1, а следовательно, ни одна из них не попадает
в окрестность U (<ро*> •*<)'» "о") *
Разумеется, в анализе было бы весьма полезно, чтобы
предельная точ::а сро всякого множества А всегда была

16 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА A
пределом некоторой последовательности точек этого множе-
множества. В топологическом пространстве такое свойство будет
иметь место, если в этом пространстве выполнено следующее
дополнительное условие:
Первая аксиома счетности в точке ср0.
У точки <ро существует счетная определяющая система
окрестностей.
При этом счетная система окрестностей Uv U2, . . ., Uvt • • •
называется- определяющей, если каждая окрестность V точки ср0
содержит внутри себя хотя бы одну окрестность ?/v.
Покажем, что выполнение 1-й аксиомы счетности
в точке ср0 приводит к возможности выбрать из любого
множества А, имеющего точку о0 своей предельной точкой,
последовательность ср1? ср2, ..., <pv, ..., сходящуюся к <ро-
Заметим вначале, что определяющую систему окрестно-
окрестностей всегда можно считать убывающей, так что U^U^i*. . .
. . . z>?/vz> ...; действительно, если это условие не выпол-
выполнено, то мы вместо окрестности U2 возьмем окрестность U'z,
содержащуюся в пересечении Ux и U2\ вместо окрестности U3
возьмем окрестность Us, содержащуюся в пересечении U2
и ?/3; и т. д. Предположим теперь, что ср0 есть точка прико-
прикосновения некоторого множества А. Выберем по точке <ру?Л
в каждой из окрестностей Uv точки ср0 (предполагая, что
окрестности ?/v уже упорядочены указанным образом). Можно
утверждать, что
сро= Ит ср/,
V -> ОО
действительно, для любой окрестности V точки сро п0 усло-
условию можно указать окрестность U^aV, а так как Uv+pc:Uvi
то o^p^U^^pdU^dV при любом р\ таким образом, в любую
окрестность точки ср0 попадают все точки последователь-
последовательности <pi» ?2» •••» начиная с некоторой, что и требуется,
Если 1-я аксиома счетности выполнена в каждой точке
пространства Ф, то говорят, что она выполнена во всем
пространстве Ф.
Переходим теперь к условию III.
III. Операции сложения и умножения на число непре-
непрерывны относительно топологии пространства Ф.
Условия I и II, которые мы подробно рассмотрели выше,
описывали отдельно свойства линейных операций и операции

1] § 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА 17
предельного перехода; условие III устанавливает связь между
ними. Условие III распадается на следующие две аксиомы.
111.1°. Непрерывность сложения и вычитания.
Если имеет место какое-либо из равенств
то для любой окрестности U точки^ можно указать такие
окрестности V точки ср0 и W точки у0, что изср?^иф?№
всегда вытекает ср±ф?^/ (или, короче, V±W?U).
111.2°. Непрерывность умножения на число.
Если имеет место равенство
то для любой окрестности U точки у0 можно указать такую
окрестность V тожи ср0 и такоз число s > 0, что из ср?К
и |Х— Х0|<е всегда вытекает Хер?U.
i Рассмотрим сначала следствия аксиомы 111.1°.
; Отметим прежде всего, что сдвиги окрестностей нуля
на любой вектор ср0 дают во всем пространстве Ф систему
окрестностей, эквивалентную исходной. Действительно,
обозначим К =ср0-)-?/. Так как ср0 —сро = 0, то для задан-
заданной окрестности нуля U найдутся окрестности Wi и W2
точки ср0 такие, что Wx — W2aU, т. е. такие, что из cpi€^i»
?26^2 следует <рх— <p2G^- ^ частности, можно взять
ср2 = ср0. Тогда для любой срх ? Wy мы будем иметь срх — ср0 ? U
или cpj ^ ср0 —|— ?1У == V, так что для заданной V мы нашли
окрестность Wv содержащуюся в V. Обратно, если задана
окрестность U точки ср0, то, используя равенство ср0 —]— 0 = ср0,
мы найдем такие окрестности Wi (точки ср0) и W2 (нуля),
что W1-\-W2dU. В частности, V = <po-\-W2 содержится
в заданной окрестности U", что и требуется.
Таким образом, топология в пространстве Ф может
быть восстановлена по системе окрестностей нуля; совер-
совершая их всевозможные сдвиги, мы получаем полную систему
окрестностей во всем пространстве. Это означает, что
с топологической точки зрения во всех своих местах линей-
линейное топологическое пространство устроено одинаково; про-
простой сдвиг (переводящий все пространство в себя) переводит
любую точку в любую другую, причем всякая окрестность
первой точки переходит в окрестность второй. Каковы
локальные свойства топологии пространства в одной точке,
, 2 Зак. 2669. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов

18 ГЛ. f. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [1
таковы они во всякой другой точке. В частности, если
в одной точке, например в нуле, выполнена 1-я аксиома
счетности, то она выполнена и во всякой другой точке,
т. е. выполнена во всем пространстве.
Заметим, далее, что линейное топологическое простран-
пространство всегда регулярно, т. е. для всякой точки ср и ее ок-
окрестности U можно указать такую меньшую окрестность V,
которая входит в U вместе со своим замыканием.
Для доказательства достаточно в силу однородности
топологии в пространстве Ф рассмотреть случай ср = О.
В силу непрерывности вычитания для заданной окрестности
нуля U можно указать такие окрестности нуля Wx и W2,
что Wt—W2cz0 и, далее, если взять окрестность W,
содержащуюся в пересечении Wx и W2, "то мы будем иметь
W—WcU. Мы утверждаем, что замыкание W окрест-
окрестности W содержится в окрестности U.
Действительно, пусть ф— точка прикосновения окрест-
окрестности W; тогда в окрестности V точки ф, определяемой
выражением V = ty-\-W, должны находиться точки окрест-
окрестности W. Пусть, например, х€^П№, так что ^ == ф —|— ср,
где cp?W. Тогда ф = х— cp?W— Wall, что и утвер-
утверждается.
Перейдем теперь к свойствам линейных топологических
пространств, связанным с непрерывностью умножения на
число.
Покажем прежде всего, что вместе с открытым мно-
множеством U любое кратное \U также является откры-
открытым, если \фО. Действительно, пусть ф = Хер, где ср(;{У;
тогда ср = у ф и для заданной окрестности V точки ср можно
найти такую окрестность W точки ф, что у W^^» или
WaW. Взяв VczUy мы видим, что окрестность WaWczW,
т. е. точка ф содержится в множестве W вместе со своей
окрестностью, что и требовалось.
В частности, вместе с окрестностью нуля U все крат-
кратные W также образуют окрестности нуля. При этом, если
X Ф 0 фиксировано, a U пробегает полную систему
окрестностей нуля, то W также пробегает полную
систему окрестностей нуля. Достаточно показать, что
внутри любой окрестности U можно найти окрестность

1] § 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА 1§
вида W, где V — новая окрестность нуля, но это вытекает
непосредственно из непрерывности умножения на X.
Мы можем использовать окрестности вида W для по-
построения некоторой специальной системы окрестностей нуля,
называемых нормальными окрестностями.
Область V пространства Ф называется нормальной,
если из ср^К, |а|<]1 вытекает, что acp?V\
Покажем, что система окрестностей нуля всегда может
быть задана с помощью нормальных окрестностей. Дей-
Действительно, если V—любая окрестность нуля, то в силу
непрерывности умножения числа на нуль существуют число
е>0 и окрестность нуля W такие, что acp?V при |а|<]?
и y?W. Заменим теперь каждую окрестность V на откры-
открытое нормальное множество U— M aWaV\ мы получим
при этом систему нормальных окрестностей нуля, очевидно,
эквивалентную исходной системе окрестностей.
Отметим, далее, два предложения, относящихся к за-
замкнутым множествам.
а) Если F— замкнутое множество, то при любом X
множество X/7 также замкнуто.
Без ограничения общности можно считать, что X Ф 0.
Если Хф 0 и если множества F и О взаимно дополнительны
в пространстве Ф, то, очевидно, множества X/7 и ХО также
взаимно дополнительны. Так как множество "ХО открыто
вместе с О, то kF замкнуто вместе с F, что и утверждается.
б) Числовой множитель можно выносить за знак за-
замыкания: для любого ЛсФ и любого X
Без ограничения общности можно считать, что X Ф 0.
Если ср есть точка прикосновения множества ХЛ, то для
любой окрестности нуля U найдутся такие ty?U и х€^>
| фгде <|>?
что ср = Х/ + ф, или — ср = ^ —|- фх, где <|>i?x^- Так как
^-?/ есть снова любая окрестность нуля, то мы видим, что
в любой окрестности точки у? имеются точки множества А.
Отсюда 2
2*

20 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [2
итак,
Проводя рассуждение в обратном порядке, приходим к вы-
выводу, что из ср?ХЛ следует ср?ХЛ. Отсюда ХЛ=ХЛ, что
и требуется.
2. Задание топологии с помощью окрестностей нуля. Мы
уже указывали, что топология в линейном топологическом про-
пространстве однозначно определяется указанием системы окрест-
окрестностей нуля. Возникает вопрос, какими свойствами должна обладать
система множеств линейного пространства Ф, чтобы ее можно
было принять за определяющую систему (открытых) окрестностей
нуля и тем самым превратить пространство Ф из линейного в ли-
линейное топологическое пространство.
Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой.
Теорема. Предположим, что в линейном пространстве Ф
задана система множеств @ = {?/, V, W, ...}, содержащих
нуль, обладающая следующими свойствами:
IV. 1°. Пересечение любых двух множеств U, V из Ъ содер-
содержит третье множество W из <5.
1V.2°. Для любой точка <р=?0 существует множество U
из ©, не содержащее точки у.
IV.3°. Для любого множества U из © найдется мно-
множество W из © такое, что W±l WaU.
1V.4°. Если <p??/cz©, то существует такое Кс@, что
+VU
y+
IV.5°. Для любого множества U из © и любого числа афО
существует такое множество V из ©, что aVczU.
IV.6°. Для любого множества U из © и любой точки <р
найдется такое число е > О, что оср ? U при | о |< е.
1V.7°. Для любого множества U из © существует такое
число е>0, что oil a U при | о | < е.
Тогда существует топология в пространстве Ф, в которой
пространство Ф является линейным топологическим простран-
пространством (т. е. удовлетворяются условия I — III), а система под-
подмножеств U, К, W, ... — определяющей системой окрестно-
окрестностей нуля.
Доказательство. Будем считать окрестностями точки
ср ? Ф все подмножества вида <j/ + U> U cz ©, содержащие ср. Пока-
Покажем, что выполнены все аксиомы линейного топологического про-
пространства.
Заметим прежде всего, что если <рбф-|-?/, то ср — ф??/ и
из 4° следует, что существует Vd © такое, что ср — <\>-\-VczU,
следовательно, ср -f- Vczty-{-U. Таким образом, если точка ср лежит
в окрестности ф -f- U, то она содержится в ней вместе с некоторой
окрестностью вида <р + К, Vcz@. Поэтому при проверке аксиом
линейного топологического пространства мы будем рассматривать

2] § 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА 21
только те окрестности точки ?, которые имеют вид
Аксиома 11.1°: «каждая точка ??Ф лежит в некоторой окрест-
окрестности»— выполнена по построению. Рассмотрим аксиому 11.2°:
«если точка ? принадлежит окрестностям U (?) и К(?), то она
принадлежит окрестности 1F(?) cz U (?)fl V(<^)». Пусть точка ?
принадлежит окрестностям U (?) = ? + U, V (?) = ? + V. Возьмем
подмножество Wd U(]V, существующее в силу аксиомы IV.1°, и
рассмотрим окрестность W (?) = ? + IF; очевидно, что она лежит
в пересечении окрестностей ?/(?) и К(?). Рассмотрим аксиому 11.3°:
«для любой пары точек уфЬ можно указать окрестность U(?),
которая не содержит ф>>. Имеется подмножество W, не содержащее
точки 6 — уфО; оно существует по аксиоме IV.2°. Тогда окрест-
окрестность U (?) = ? + W не содержит точки ф.
Рассмотрим аксиому 111.1°: «если y=cp-f6, то для любой
окрестности U (/) можно указать такие окрестности К(?) и W(<J0,
что К(?) ± IF (ф) с: ^/ (/)». Пусть дана окрестность ?/ (yj = у -f~ t/.
Найдем, пользуясь аксиомой IV.3°, подмножество IF так, чтобы
иметь W±:WdU. Тогда можно положить К (?) = ?+IF,
W F) = 6+1^, и условие будет выполнено.
Проверим аксиому 111.2. «если Хо?о = ф, то для любой окрест-
окрестности U D0 можно указать такую окрестность lF(?o) и такое е>0,
что из | X — Хо К е следует X1F (?0) с: ^/ F)». Пусть дана окрест-
окрестность U (ф) = 6 + i/. Рассмотрим сначала сличай, когда Хо?=О.
Пользуясь" несколько раз аксиомой IV.3°, найдем такое подмно-
подмножество V, чтобы иметь V + V + К cz U. Далее, пользуясь аксио-
аксиомой IV.5°, найдем подмножество W так, чтобы иметь \QWc:U
затем, пользуясь аксиомами IV.6° и IV.7°, найдем такое е>0
чтобы при | о | << е иметь о?0 ^ V и т- Vc V. Утверждается, что
окрестность W (<р0) = ^о + W и число е и являются искомыми.
Действительно, если \\ — Хо | << е, т. е. X = Хо -\- о, | о |< е, и
^^() т. е. cp = cpo_fw, w 6 IF, то Х<ро = Ф + С + Ь + 5)
при этом по построению Х0<ш ? К, оср0 ^ К, одо = — Хоа> ^ — Vd К,
о о
Ф + + + ^ + j что и требуется.
В случае Хо = 0 поступим следующим образом. Нам нужно при
заданной Uа<Ь найти е и К(?) = ?+К так, чтобы из |о|<е и
^?V(cp) следовало bb?(J. Пользуясь аксиомой IV.5°, найдем такое
Kcz@, что V+VdU. По аксиоме IV.6° найдем такое ?]>0, что
S? ^ V при | о | << еь По аксиоме IV.7° найдем такое е2>0, что
оVа V при | о | <^ е2. Возьмем за е меньшее из чисел гг и е2.
Тогда при |о|<<е и ^К(ср) = ср-)-^ имеем
(ф —?)с: V+oVd V+V+U.
Доказательство теоремы закончено.
Итак, топология в пространстве Ф построена. Множества систе-
системы © являются по построению окрестностями нуля пространства Ф.

22 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3
Так как топология в линейном топологическом пространстве одно-
однозначно восстанавливается по системе окрестностей нуля, то мы можем
заключить, что построенная топология — единственно возможная
в пространстве Ф с заданной системой © окрестностей нуля.
Возможно, что условия IV.1°—IV.7° не независимы и могут
быть сведены к меньшему числу условий. Во всяком случае,
в любом линейном топологическом пространстве существует система
окрестностей нуля, удовлетворяющая всем этим условиям (аксиомы
IV.1°—IV.60 выполнены во всякой определяющей системе окрест-
окрестностей нуля, аксиома IV.7° — в системе нормальных окрестностей),
так что условия IV.1°—IV.7° необходимы.
Две различные системы множеств ©i и ©2 могут приводить
к одной и той же топологии в пространстве Ф; они называются
в этом случае эквивалентными системами. Критерий эквивалент-
эквивалентности систем ©! и ©2 следующий: для каждой окрестности U а ©!
должна найтись такая окрестность 1/с@2> чт0 Vc U, и обратно,
для каждой окрестности Kcz©2 должна найтись такая окрестность
U с <Slf что U с V.
3. Примеры. Рассмотрим два примера линейных топо-
топологических пространств, образованных из функций.
1. П р ост р а не тв о' К (а) состоит из всех бесконечно
дифференцируемых функций ср (х) на прямой — оо < х < оо,
обращающихся в нуль вне отрезка |л;|<;а. Линейные опе-
операции задаются здесь естественным образом. Окрестности
нуля строятся по следующему правилу: задаются число е > О
и натуральное число т\ окрестность V (т, в) по определению
составляется из всех функций ср (х), для которых выполняются
неравенства | ср Cfe> (jc) | <^ s для & = 0, 1, ..., т.
Справедливость аксиом IV.1° — IV.7° проверяется без труда.
Последовательность cpv(Jt) сходится к функции ср(лг)
в смысле введенной топологии, если при любом &=0, 1, 2,.
последовательность cpW(jt) равномерно сходится к cp<*)(jc)
при v -> оо. Так как в данном случае выполнена 1-я аксиома
счетности (достаточно ограничиться окрестностями
v(m, -J-), л=1, 2, ..., ц| = 0, 1, 2, ...),
то все топологические соотношения в пространстве К{а)
можно описать с помощью сходящихся (счетных) последова-
последовательностей.
2. Пространство 3(О) состоит из всех функций ср(z),
определенных внутри области G — {\z\<b} на плоскости
комплексного переменного z и аналитических в этой обла*

3] -§ 2. нормированные пространства 23
сти. Линейные операции задаются обычным образом. Окрест-
Окрестности нуля задаются по следующему правилу: задается
число s > 0 и замкнутое множество F, целиком лежащее
внутри области G; окрестность V(s, F) состоит из всех
функций cp(z), удовлетворяющих неравенству
max | (f(z)\ < s.
Выполнение аксиом IV.1°—IV.7° проверяется без труда.
Последовательность cpv(z) сходится к функции <p(z)
в смысле введенной топологии, если функции cpv (z) сходятся
к функции cp(z) равномерно на каждом замкнутом множестве,
лежащем внутри области G. Первая аксиома счетности
также выполнена в пространстве 3 (^): в качестве счетной
определяющей системы окрестностей нуля можно взять
систему
где Fm означает множество точек г, для которых
§ 2. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
СРАВНИМОСТЬ И СОГЛАСОВАННОСТЬ НОРМ
Как уже отмечалось во введении, мы не будем рассмат-
рассматривать далее свойства самых общих линейных топологических
пространств. Типичные примеры нужных нам пространств
мы привели в конце § 1. Общая характеристика таких
пространств состоит в том, что они являются счетно-нор-
мированными пространствами, или объединениями счетно-
нормированных пространств. Эти пространства сравни-
сравнительно недалеко отстоят от классических нормированных
(банаховских) пространств, и техника нормированных про-
пространств в значительной степени переносится на этот более
широкий класс пространств; с другой стороны, в этом
классе пространств (гораздо более узком, чем класс всех
линейных топологических пространств) уже проявляются
характерные черты и качества, которыми не обладают

24 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [1
бесконечномерные нормированные пространства, например
возможная компактность ограниченных множеств.
Определение счетно-нормированных пространств будет
дано в § 3 (а объединения счетно-нормированных про-
пространств— в § 8). Топология в этих пространствах будет
задаваться счетным набором норм. Предварительно нам
нужно изучить связи между несколькими нормами, введен-
введенными в одном и том же линейном пространстве. Этому
и посвящен настоящий параграф.
1. Основные определения. Как известно, линейное про-
пространство Ф называется нормированным, если в нем
определена неотрицательная функция ||<р|| (норма), обладаю-
обладающая следующими свойствами:
1°. 11? + фИ<11?11 + 11Ф11 Для любы\ ср, ф.
2°. ||аср || = | а| || <р || для любого ср и любого (веществен-
(вещественного или комплексного) а. В частности, ||0||=0.
3°. Если ||<р||=0, то ср = О.
Имея норму, можно ввести соответствующую топологию.
Именно, окрестность нуля Ue@) в нормированном простран-
пространстве задается положительным числом е и состоит из всех ср,
для которых [|ср||<е (открытый шар радиуса е).
Выполнение аксиом IV.1° — IV.7° n. 2 § 1 проверяется эле-
элементарно.
Очевидно, кроме того, что в данном случае выполнена
1-я аксиома счетности, и поэтому топологические соотно-
соотношения описываются на языке сходящихся последовательно-
последовательностей. При этом последовательность cpv (v=l, 2, . . .) схо-
сходится к элементу ср тогда и только тогда, когда при v -> оо
Последовательность cpv (v=l, 2, . ..) элементов норми-
нормированного пространства называется фундаментальной, если
для любого s>0 можно указать номер vo = vo(e) так, что
при v > v0, |x > и0 всегда ||cpv — cpj|< e. Всякая сходящаяся
последовательность cpv —^ ср фундаментальна, поскольку
Ik,—<
Но обратное верно не всегда. Пространства, в которых
всякая фундаментальная последовательность является сходя-

2] § 2. нормированные пространства 25
щейся к некоторому элементу того же пространства, назы-
называются полными. Неполное пространство всегда можно
пополнить, присоединив формальные пределы несходящихся
фундаментальных последовательностей и распространив на
них естественным образом линейные операции и норму.
2. Сравнимые и согласованные нормы. Две нормы \\^\\{
и ||ср||2, определенные в одном и том же пространстве Ф,
называются сравнимыми, причем первая считается более
слабой, а вторая — более сильной, если для любого ср имеет
место неравенство
где С—фиксированная постоянная*). Всякая фундаменталь-
фундаментальная последовательность по более сильной норме будет
фундаментальной и по более слабой норме. Если простран-
пространство полно относительно обеих норм, то по известной
теореме Банаха об ограниченности обратного оператора**)
сравнимость их приводит к эквивалентности: существуют
постоянные С > О и С" > О такие, что
Если же пространство Ф не полно (хотя бы относительно
одной из норм), то сравнимость, вообще говоря, не влечет
эквивалентности. Мы можем в этом случае рассмотреть два
полных пространства Фг и Ф2, которые получаются попол-
пополнением пространства Ф соответственно по нормам || • ||i
и || • || 2. Если || • || 2 — более сильная норма, то можно
установить естественное отображение пространства Ф2
в пространство Ф^. каждый элемент ср?Ф2 определяется
фундаментальной по норме || • ||2 последовательностью
^€Ф (v=l> 2, . . .), а как уже было сказано, эта после-
последовательность является фундаментальной по норме || • ||t
и поэтому определяет элемент ср^Ф1. Легко проверить, что
определение ср в зависимости от ср однозначно. Оно может
*) Точнее было бы говорить, что норма || • ||2 не слабее
нормы || • || t.
**) См., например, А. Н. Колмогоров и С. В.Фомин,
Элементы теории функций и функционального анализа, выпуск I,
Изд-во МГУ, 1954, стр. 123.

26 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [2
не быть взаимно однозначным; иначе говоря, разные эле-
элементы ср?Ф2 и ф?Ф2 могут переходить в один и тот же
элемент ср ^ Фх. Чтобы исключить эту возможность, мы
потребуем, чтобы нормы || • \\х и || • ||2 были согласованными
в следующем смысле.
Определение. Нормы || • 111 и II * II2» заданные в ли-
линейном пространстве Ф, называются согласованными, если
всякая последовательность ср^Ф, v=l, 2, ..., фундамен-
фундаментальная по обеим нормам и по одной из них сходящаяся
к нулю, по второй норме также сходится к нулю.
Примеры. В совокупности Ф непрерывно дифферен-
дифференцируемых функций f(x) на отрезке |л;|<;а нормы
являются согласованными.
В той же совокупности нормы
11/11! = max |/(х)| и Ц/11, = max |/(*)|-Н/'(«)|
не являются согласованными: можно указать последователь-
последовательность /v(jc), равномерно сходящуюся к нулю, для которой
у^(#)=1; она фундаментальна по обеим нормам, по первой
стремится к нулю, а по второй не стремится к нулю, так
как Ш|3>1-
Нетрудно видеть, что в случае сравнимых согласованных
норм || • Id и || • || 2 отображение пространства Ф2 в про-
пространство Ф19 о котором шла речь выше, является
взаимно однозначным *). Достаточно проверить, что ненуле-
ненулевой элемент <р?Ф2 не может перейти в нулевой элемент
пространства Ф1# В предположении противного мы имели бы
для фундаментальной последовательности cpv ^ Ф, определяю-
определяющей элемент ср, соотношения
что противоречило бы согласованности норм.
Итак, в случае согласованности норм, построенное ото-
отображение пространства Ф2 в пространство Фх взаимно
*) На часть пространства Фь а (вообще говоря) не на все про-
пространство Ф1в

1] § 3. СЧЕТНО-НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 27
однозначно. Поэтому, если отождествить элементы про-
пространства Ф2 с соответствующими элементами простран-
пространства <Dlf то можно считать, что пространство Ф2 есть
часть пространства Ф^ заметим, что при указанном ото-
отождествлении каждый элемент пространства Ф переходит
в себя.
Резюмируем: если в пространстве Ф заданы две
сравнимые согласованные нормы [] ср [] х <!С[|ср||2, то попол-
пополнения Фг и Ф2 пространства Ф по этим нормам можно
считать одно частью другого:
Если нормы ||<p||i и ||<р||2 не сравнимы, но согласованы,
то мы можем ввести третью норму
(легко проверить, что аксиомы нормы выполнены для ||<р||3),
которая, очевидно, сравнима с каждой из обеих заданных
норм (именно, сильнее каждой из них). Норма ||<р||3 также
согласована с каждой из заданных норм: действительно,
если последовательность <р„?Ф фундаментальна по норме ||<р|3»
то она фундаментальна по || • ||i и II * II2» если она по °Дной
из них сходится к нулю, то в силу их согласованности
сходится и по другой норме к нулю, а следовательно,
сходится к нулю и по норме || • ||3; обратное очевидно.
В данном случае пространство Ф3, полученное пополнением
пространства Ф по норме || • ||3, взаимно однозначно ото-
отображается в Фх и в Ф2, причем при этих отображениях Ф
остается на месте.
§ 3. СЧЕТНО-НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Определение. Мы переходим теперь к определению
и исследованию одного из наиболее важных в применениях
к анализу классов линейных топологических пространств —
класса счетно-нормированных пространств.
Представим себе, что в линейном пространстве Ф задана
счетная система норм ||<p||lf ||<p||2 ||ср||р, ...
Введем в пространство Ф с помощью этих норм топо-
топологию по следующему правилу. Окрестность нуля Ups@)
задается натуральным числом р и положительным е ' как

28 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [1
совокупность всех ср?Ф, для которых выполнено р не-
неравенств
N Ы1 Ь\\Р<*- A)
Проверим выполнение аксиом IV. 1°—IV. 7° п. 2 § 1.
Аксиома IV. 1° утверждает, что пересечение любых двух окре-
окрестностей нуля содержит третью окрестность нуля; в нашем случае,
если
то в качестве окрестности, лежащей в их пересечении, можно взять
где е = min (гъ е2), а р = max (рь /?2).
Аксиома IV. 2° требовала, чтобы для любой точки ср0 ф О суще-
существовала окрестность U, не содержащая этой точки. В нашем
случае, по определению нормы, уже [l^olli^^ поэтому окрестность
не содержит точки ср0.
Аксиома IV. 3° требовала, чтобы для каждой окрестности U
существовала такая окрестность W, что W it: W a U. В нашем
случае, если
то можно положить
Аксиома IV. 4° требовала, чтобы из 4q?U следовало существо-
существование такой окрестности V, что <р0 + V d U. Очевидно, если
^ = <l
то из ср0 ^ U следует, что
тогда в качестве V можно взять окрестность, определяемую нера-
неравенствами
II9 III О—Ч, ••- HcPllj0<? — У-
Аксиома IV. 5° требовала, чтобы для любой окрестности U и
любого числа афО существовала такая окрестность W, что aWcz U,
Если

1] § 3. СЧЕТНО-НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 29
ТО МЫ ПОЛОЖИМ
Аксиома IV. 6° требовала, чтобы для любой окрестности U и
любой точки <р0 нашлось такое число а, что <х<ро??/. Если
j = *j (у = 1,2,...),
то можно положить
max(alf ..., ар)'
Аксиома IV. 7° утверждала, что для любой окрестности U
существует такое число е > 0, что oUaU при |о|«<е. В данном
случае можно взять е = 1: окрестности, указанные нами, нормальны.
Определение. Линейное пространство Ф, в котором
введена указанным способом топология с помощью счетного
числа согласованных норм, называется счетно-нормированным
пространством.
Заметим, что в указанной системе окрестностей нуля Up B
достаточно брать е = 1, -^, —, . . ., и значит, эта система рав-
равносильна счетной системе U t (т, р = 1, 2, . ..). Поэтому,
как и во всяком пространстве с 1-й аксиомой счетности,
предельный переход в счетно-нормированном пространстве
можно задавать *) с помощью сходящихся последовательно-
последовательностей. В данном случае, как легко видеть, последователь-
последовательность cpv сходится к нулю тогда и только тогда, когда
||<pv||p—>0 при любом фиксированном р и v—>оо; аналогично,
tpv -* ср тогда и только тогда, когда ||<р — уЛр"*® ПРИ любом
фиксированном р и v->oo.
Последовательность срх, . . ., cpv, ... называется фунда-
фундаментальной, если для каждого р и любого е > 0 можно
указать номер v0 = v0 (s) так, что || cpv — cpd ||p < е при v, jx > v0#
*) Это означает, напомним, что всякая предельная точка ср0 для
множества А может быть представлена как предел сходящейся
(счетной) последовательности точек <pv ? A.

30 гл. i. линейные Топологические пространства [2
Если всякая фундаментальная последовательность в про-
пространстве Ф оказывается сходящейся к некоторому эле-
элементу пространства, то это пространство Ф называется
полным.
Данную последовательность норм всегда можно считать
неубывающей, так что
для каждого ср?Ф. В противном случае можно заменить
каждую норму || ср ||р на || ср ||^ = max {|| ср Ц^ ..., || ср ||р}; очевидно,
что последовательность норм |]ср||' не убывает и порождает
на Ф ту же топологию, что и исходная последовательность.
При этом окрестность UPtS@) теперь может быть задана
одним неравенством ||<plll<8- Вместе с исходными и новые
нормы будут также попарно согласованы.
2. Условие полноты. Предположим теперь, что (согла-
(согласованные) нормы ||ср||lf ||ср||2, ... не убывают. Произведем
для каждого р пополнение пространства Ф по норме || • \\р\
мы получим систему полных нормированных пространств Фи
Ф2, . . ., Фр, . . . Поскольку все нормы сравнимы и согласо-
согласованы, результаты § 2 приводят к системе включений
Э . . . :эФр:э . . . гэФ. A)
Можно дать простую характеристику полноты простран-
пространства Ф в терминах, связанных с пространствами Фр.
Теорема. Пространство Ф является полным тогда
и только тогда, когда оно совпадает с пересечением всех
пространств Фр:
оо
Доказательство. Пусть выполнено равенство B) и
последовательность cpt, ср2, . . ., cpv» • • • фундаментальна в Ф.
Согласно определению последовательность cpv является
фундаментальной в каждом Фр и имеет в нем, следовательно,
предел <рМ. В силу установленного нами отображения
Фр—>Фр_1 и соответствующего отождествления элементов
этих пространств все элементы ср(^) (р= 1, 2, . . .) являются,
по существу, одним и тем же элементом, который, таким

2] § 3. СЧЕТНб-НОРМИРОВАННЫЁ ПРОСТРАНСТВА 31
'образом, принадлежит всем Фр и по B) принадлежит и к Ф.
Обозначим этот элемент, как элемент Ф, через ср. Так как
при каждом р, то
при каждом /?, откуда
ср= lim cpv
по топологии пространства Ф. Итак, Ф — полное простран-
пространство.
Обратно, пусть Ф — полное пространство и пересечение
всех Фр содержит элемент ср; покажем, что он принадле-
принадлежит Ф. Найдем в пространстве Ф элемент срр, для кото-
которого
это можно сделать, так как Фр есть пополнение простран-
пространства Ф по норме || • ||р. Утверждается, что элементы срр
сходятся при р —> оо к элементу ср по любой из норм. Дей-
Действительно; для любого к при /? > к имеет место неравен-
неравенство
откуда вытекает, что
lim || ср — cpp||fc = O.
Поэтому, в частности, последовательность срр фундамен-
фундаментальна по каждой из норм и, следовательно, фундамен-
фундаментальна в Ф.
Пусть —
ср = lim cp^
р->оо
по топологии Ф. Так как для каждого к имеет место со-
соотношение _
lim ||<р —<Pp||* = O
и ср, так же как и ср, принадлежит к ФА, то ср = ср. Таким
образом, ср?Ф, что и требовалось доказать.

32 гл. I. Линейные топологические пространства JS
В дальнейшем под счетно-нормированным простран-
пространством мы будем без особых оговорок понимать полное
счетно-нормированное пространство. (Подчеркнем, что
в определение счетно-нормированного пространства включено
условие согласованности норм.)
3. Примеры. Простым, но нетривиальным примером
счетно-нормированного пространства является пространство
К (а) всех бесконечно дифференцируемых функций у(х)
на прямой —оо < х < оо, обращающихся в нуль вне от-
отрезка |jc|^a (§ 1, п. 3). Введем в этом пространстве
систему норм
(р = 0, 1,2, ...)•
Окрестности
совпадают, очевидно, с окрестностями в этом же простран-
пространстве, указанными в п. 3 § 1, и определяют, следовательно,
ту же топологию.
Нормы ||ср||^, очевидно, образуют неубывающую после-
последовательность, так что j) ср \\р ^ || ср ||р+1 для любого ср. Про-
Проверим, что эти нормы попарно согласованы. Для этого
достаточно проверить, что согласованы р-я и (р-\~ 1)-я
нормы. Рассмотрим последовательность функций cpv(x), схо-
сходящуюся к'нулю по р-й норме и фундаментальную по норме
II' \\p+v Это означает, что функции ср^)(х) сходятся равно-
равномерно к нулю при v-*oo, /г = 0, 1, ..., р, и к некоторому
пределу 6(х) при & = /?+!• Но тогда в силу известной
теоремы классического анализа 6(л;) = 0. Отсюда следует,
что
Обратно, если
ТО И
Таким образом, нормы ||ср||р и ||ср||р+1 действительно согла-
согласованы.

3] § 3. СЧЕТНО-НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 33
Покажем, что пополнение К(а)р пространства К (а)
по норме \\-\\р представляет собой совокупность Кр(а)
всех функций ср (х), обращающихся в нуль вне отрезка | х | ^ а
и имеющих непрерывные производные до порядка р. Оче-
Очевидно, что
К(а)Р с Кр(а)
и требует доказательства только обратное включение. Про-
Проверим сначала, что искомое пополнение К(а) содержлт
всякую функцию фоОО' имеющую непрерывные производные
до порядка р и обращающуюся в нуль вне отрезка | х | <; а — 8,
внутреннего по отношению к отрезку | х \ <; а. Можно
построить последовательность многочленов Pv (x) (пользуясь
теоремой Вейерштрасса), стремящуюся к функции cpo(x)
равномерно на отрезке |лг|<1а вместе с производными до
порядка р. Пусть, далее, функция е (х) ? К (а) равна 1 на
отрезке | х | <; а — 8. Тогда произведения Р„(х) • е(х) при-
принадлежат к пространству К (а) и сходятся к функции сро(лг)
по метрике пространства К(а)р, откуда следует, что функ-
функция сро(Х) принадлежит пространству К(а)р. Все остальные
функции ср(х) пространства Кр(а) являются пределами ука-
указанных функций <?0(х) и поэтому также входят в попол-
пополнение К(а)р пространства К (а). Таким образом,
Итак,
что и утверждалось.
Пересечение пространств Кр(а) (р = 0, 1,2, ...), оче-
очевидно, совпадает с пространством К (а). Поэтому в силу
критерия предыдущего пункта пространство К(а) полно.
Впрочем, это легко показать и непосредственно.
Итак, К(а)—полное счетно-нормированное простран-
пространство.
Несколько более сложным по форме, но вполне анало-
аналогичным по существу примером служит пространство К(а)
всех бесконечно дифференцируемых функций п переменных
ср(х) = ср(х1? ..., хп), обращающихся в нуль вне области
O{|| ||}
3 Зак. 2669. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов

34 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [4
В этом пространстве вводится совокупность норм
(х)
дх± ... дхп
(х)
дх?...дх*
Сходимость, соответствующая норме |ср|1р, есть равномерная
сходимость функций у(х) и их производных до порядка
(р, р, . .., р)\ сходимость, отвечающая набору всех норм
||ср|]р—равномерная сходимость функций cp(jc) и их произ-
производных любого порядка. Нормы ||ср||р не убывают и согласо-
согласованы. Пополнение пространства К (а) по норме ||ср||р есть
совокупность Кр(а) всех функций cp(jc), обладающих про-
производными до порядка (р, р, .. ., р) и обращающихся в нуль
вне области Ga. Пересечение пространств Кр(а) совпадает
с пространством К(а). Таким образом, К(а) и в случае п
измерений есть полное счетно-нормированное пространство.
В качестве второго примера рассмотрим пространство 3 (О)
целых аналитических функций <f(zit ..., zn) в области
G—{\z\<a}. Для простоты ограничимся случаем одного
независимого переменного zy изменяющегося в области
|г|<а. В пространстве $(G) вводится совокупность норм
|, |2|<ар, (ар < ap+v \imap=a).
Сходимость, соответствующая норме ||<р||р, есть равномерная
сходимость функций y(z) в области \z\^.ap; сходимость,
отвечающая набору всех норм, — равномерная сходимость
функций ср(г) в любой замкнутой области, лежащей внутри
области |г|<а. Нормы ||ср||р не убывают и согласованы.
Пополнение пространства З(^) по норме |]<р||р есть сово-
совокупность всех аналитических функций в круге | z \ < ар,
непрерывных в замкнутом круге \z\^,apt пересечение этих
совокупностей совпадает с пространством $(G). Таким
образом, 3 (^) есть полное счетно-нормированное про-
пространство.
Большое количество других примеров читатель встретит
дальше, в частности в §§ 1—2 гл. II, §§ 1—3 гл. IV и
в добавлении к гл. IV.
4. Счетно-нормированное пространство как линейное
метрическое пространство. В счетно-нормированном про-
пространстве Ф можно ввести метрику, т. е. определить

4] § 3. СЧЕТНО-НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 35
функцию р(ср, ф) от пары точек ср, ф (расстояние от ср до ф),
обладающую свойствами
Г. р(<р, <р) = 0, р(ср, ф)> 0 при
2°. р(<р. ф) = р(ф. <р);
3°. р (<Pi. ?з) +
Разумеется, произвольное введение метрики было бы
бесплодным; взж iO то, что расстояние р (ф, ф) можно взять
инвариантным относительно сдвигов и непрерывным в топо-
топологии пространства:
4°. р(ср, ф) = р(ср — ф, 0);
5°. если ср>;—*0> т0
А именно, можно положить
оо
Проверим выполнение условий 1°—5°. Выполнение первых двух
очевидно. Для проверки условия 3° достаточно убедиться в спра-
справедливости неравенства
^ '
Заметим для этого, что функция вещественного положительного
аргумента t
является монотонно возрастающей; поэтому
I ? + Ф Ор
^ < 1 + II91, + II ф iu
и условие 3° также выполнено.
Очевидно, выполнено и условие 4°:
р Ор» ф) = р (9 — Ф, 0).

36 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [4
Наконец, чтобы проверить условие 5°, достаточно заметить еле*
дующее. Если cpv->0, т. е. ||cpv||p->0 при каждом р, то в сумме
1
У —
каждый член стремится к нулю, и если при v>v0 сумма первых п
членов меньше е, то вся сумма меньше
оо
Всякое метрическое пространство, как хорошо известно,
является и топологическим; определяющей системой окре-
окрестностей в этой топологии служит система множеств вида
Р(<Р»<Ро)</'- C)
Оказывается, что метрика, определенная по формуле A),
определяет в пространстве Ф топологию, эквивалентную
исходной.
Для доказательста этого ввиду условия 4° достаточно рассмо-
рассмотреть окрестности нуля и множества р (ср, 0)<г (ср0 = 0). Мы должны
показать, что внутри каждой окрестности нуля содержится неко-
некоторое множество р (ср, 0)< г и обратно.
1) Внутри каждой окрестности нуля *) {|| <р \р < з } содержится не-
некоторое множество р (ср, 0) < о.
Действительно, есчи при некотором о
Г 1
р (ср, 0);
то, в частности, и
1 II 9 Ир
откуда
при достаточно малом о эта величина будет меньше б, что и тре-
требуется.
2) Внутри каждого множества р (ср, 0)< ? содержится некоторая
окрестность нуля || ср [|^ <^ о.
*) Мы предполагаем нормы упорядоченными.

4] § 3. СЧЕТНО-НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 37
Действительно, в противном случае мы могли бы указать по-
последовательность точек cpv(v=l, 2, ...), для которых ||cpj|<
не принадлежащих к шару р (ср, 0) < е. Это означало бы, что ср,,
стремятся к 0 по топологии и не стремятся к 0 по метрике; тем
самым мы получили бы противоречие с доказанным свойством 5°.
Из условия 5° следует, что выполнено такое условие:
5Х. Если Xv —> 0, то р (Xvcp, 0) —> 0 при любом ср«
Из доказанной эквивалентности топологий и условия 5°
вытекает, что справедливо следующее условие:
6°. Если p(cpv> О)-* 0, то р (Xcpv, 0)->0 при любом X.
Линейное пространство, в котором введена метрика,
удовлетворяющая, кроме трех обязательных для метрики
условий Г— 3°, также условиям 4°, 5° и 6°, называют ли-
линейным метрическим пространством или пространством
типа (F) *).
Мы показали, таким образом, что аетно-нормирован-
ное пространство является одновременно линейным ме-
метрическим пространством, причем топология, опреде-
определяемая метрикой, эквивалентна исходной топологии.
Заметим, что в этом метрическом пространстве, согласно
определению метрики, расстояние между любыми двумя
элементами не превосходит постоянной 1.
Из доказанного предложения вытекает, что если счетно-
нормированное пространство Ф полно в своей топологии,
то оно является и полным метрическим пространством.
Известно, что в полном метрическом пространстве ника-
никакая счетная сумма нигде не плотных множеств не может
дать всего пространства**). Отсюда следует, что никакая
*) См., например, С. Банах, Курс функционального ана-
Радянська школа, КиТв, 1948, стр. 30.
со
**) Доказательство. Рассмотрим JJ Ару где Ар нигде
не плотное множество. Замыкание Ар есть также нигде не
плотное множество. Пусть срх не входит в А{, существует шар
U\ = (Р (Ъ <P
не пересекающийся с А±. Внутри шара Ui возьмем точку ?2> не

38 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [4
счетная сумма множеств, нигде не плотных в счетно-
нормированном пространстве Ф, не может дать всего Ф.
На этом свойстве основано доказательство полезногэ
предложения, которое мы сейчас приведем. Примем сле-
следующее определение: множество F в линейном про-
пространстве Ф называется поглощающим, если для любого
элемента <р?Ф можно указать такое вещественное X, что
Лемма. Если F — выпуклое *) центрально-симметрич-
центрально-симметричное замкнутое поглощающее множество в полном счетно-
нормированном пространстве Ф, то F содержит внутри
себя окрестность нуля.
Доказательство. Замкнутое множество F или нигде
не плотно или содержит окрестность. Вместе с F таким
свойством обладают и все его кратные XF при X Ф 0. Но
из условия леммы вытекает, что совокупность всех крат-
кратных mF, m= 1, 2, . .., покрывает пространство Ф, Поэтому
в силу предыдущего замечания множество F не может быть
нигде не плотным и содержит, следовательно, некоторую
окрестность ср0 -f- U, где U = —U есть нормальная окрестность
нуля. В силу центральной симметрии оно содержит проти-
противоположную окрестность —ср0 — (/ = — ср0 —|— t/. Выпуклая
оболочка окрестностей ср0 —|— t/ и —yo-\-U также содер-
содержится в множестве F. Но эта выпуклая оболочка содержит
входящую в А2, и, построим шар
содержащийся в U\ и не пересекающийся с ~А2- Продолжая построе-
построение, получим систему вложенных друг в друга замкнутых шаров
радиусы которых можно считать стремящимися к нулю. Последо-
Последовательность <р1? <р2, ... центров этих шаров, очевидно, фундамен-
фундаментальна; ее предел принадлежит к каждому из шаров Up и, следо-
следовательно, не принадлежит ни к одному из множеств Ар. Таким
образом, их объединение не покрывает всего пространства Ф; тем
более и объединение самих Ар не покрывает всего Ф.
*) Напомним, что множество F в линейном пространстве Ф
называется выпуклым, если вместе со всякими двумя точками <р0, ^
оно содержит весь соединяющий их отрезок, т. е. множество всех
точек
Хср0 + ^ср! (X > 0, [д. > 0, X -f {J, = 1).

5] § 3. счетно-нормированные пространства 39
окрестность U, так как для любой точки ф??/ мы имеем:
^~ 2
Тем самым лемма доказана.
С другим применением того, что счетно-нормированное
пространство является линейным метрическим пространством,
мы встретимся в § 7.
б. Условия нормируемости счетно-нормированных про-
пространств. В п. 4 мы показали, что всякое счетно-норми-
счетно-нормированное пространство является линейным метрическим про-
пространством и что исходная топология (определяемая счет-
счетным набором норм) совпадает с топологией, определяемой
(одной) метрикой. Возникает вопрос: когда счетно-норми-
счетно-нормированное пространство не сводится к нормированному
линейному пространству, т. е. когда действительно оправ-
оправдано введение счетного числа норм? Что нормированные
пространства содержатся среди счетно-нормированных —
очевидно: можно взять счетное число норм, равных или
эквивалентных одной норме.
В силу теоремы п. 2 счетно-нормированное простран-
пространство Ф всегда есть пересечение нормированных пространств
причем Фр есть пополнение пространства. Ф по р-й норме.
Оказывается, что если среди пространств Фр имеются
различные со сколь угодно далекими номерами (т. е. если в
последовательности норм имеется подпоследовательность
попарно не эквивалентных норм), то пространство Ф не
сводится к нормированному, и лишь в том случае, когда
все Фр, начиная с некоторого номера р0, совпадают, про-
пространство Ф является нормированным (и совпадает с ФЯо).
Во втором случае утверждение очевидно: мы имеем
далее, в силу равенства Ф^ = Ф^+1 и сравнимости норм [| <f ||^
и ll?i|po+i нормы эти эквивалентны (см. § 2, п. 2); в частности, из

40 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [5
сходимости по норме \\(?\\Ро следует сходимость по норме ||cp|li3+1,
а отсюда таким же образом — сходимость по норме || ср ||^+2 и т. д.,
т. е. в конечном счете сходимость по каждой из норм; эта послед-
последняя сходимость есть схбдимость по топологии Ф. Обратно, если
последовательность cpv сходится по топологии Ф, то она сходится
по каждой норме и, в частности, по норме || ср || .
Рассмотрим первый случай. Без ограничения общности можно
считать, что все пространства Фр различны. Мы утверждаем, что
в этом случае не существует нормы, отвечающей исходной тополо-
топологии пространства Ф. Прежде чем доказать это утверждение, дока-
докажем следующую лемму.
Лемма. Если все пространства Фр, участвующие в по-
построении счетно-нормированного пространства Ф, различны,
то для любой последовательности положительных чисел
ть т2, ..., тру ... можно указать элемент ср ? Ф, для которого
Доказательство. Покажем сначала, что для любого р
и любых Сь С2 можно найти элемент ср, удовлетворяющий неравен-
неравенствам
0)
Действительно, если бы такого ср не существовало, то это озна-
означало бы, что для любого ср, для которого || ср ||р ^ С±, имеет место
неравенство
\\<?\\р+1<Со>
где Со — некоторая постоянная. А тогда вообще для любого ср вы-
выполнялось бы неравенство
Но так как, с другой стороны,
то нормы || • \\р и || • \\р+1 оказались бы эквивалентными, что при-
привело бы к равенству
фР = фр+ь
по условию, не имеющему места. Таким образом, существование
элемента ср, удовлетворяющего неравенству A), установлено.
Искомый элемент ср мы определим в форме ряда
В качестве элемента срА возьмем любой элемент, удовлетворяю
щий неравенству

5] § 3. СЧЕТНО-НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 41
В качестве второго элемента ср2 мы возьмем такой элемент,,
который удовлетворяет неравенствам
II Та Hi < у, \Ш*>Щ+1+\Ш*,
существование такого элемента только что было установлено.
Далее, возьмем элемент ср3, удовлетворяющий неравенствам
и т. д., так что элемент ур удовлетворяет неравенствам
Покажем, что ряд B) сходится по любой норме (и, следова-
следовательно, сходится в пространстве Ф). Действительно, при заданном
Р и <7>Р мы имеем:
1<
так что остаток ряда мажорируется геометрической прогрессией.
со знаменателем 1/2. Далее,
Ы\р>\\Чр\\р- ^bqWp- ^bq\\p>
q>P q<P
что и требуется.
Итак, лемма доказана.
Докажем теперь, что если все пространства Фр, участвующие
в построении (полного) счетно-нормированного пространства Ф,
различны, то топология в нем не может быть задана никакой нор-
нормой.
Допустим противное: топология в пространстве Ф задается неко-
некоторой нормой || ср ||. Рассмотрим единичный шар Е = {|| ср ||<; 1}. Мы
утверждаем, что на этом шаре ограничена каждая из нормЦсрЦ^,
(разумеется, своей постоянной). Действительно, если бы норма || ср ||^,
не была ограниченной на шаре ?, то мы могли бы указать после-
последовательность ?q?E, для которой \\yq\\p = aq->oo.
Для этой последовательности мы имеем —- -> 0 в Ф, и следо-
aq
ср
вательно, -— стремится к нулю по каждой из норм. Но это про-
aq
тиворечит тому, что
ап
= 1, Итак, на шаре Е каждая из норм
ограничена своей постоянной, например тр.

42 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [6
В силу леммы имеется элемент <р, для которого
II «Р Ир >/ИИ*.
Как и для любого элемента <р нормированного пространства Ф, не-
некоторое кратное Х<р, ХфО, попадает в шар Е. Но мы имеем
и ни при каком \ не могут быть удовлетворены неравенства
\\Ц\\р<тр (/7=1,2,...).
Полученное противоречие доказывает наше утверждение.
Из этого предложения следует, в частности, что про-
пространство К (а) не нормируемо, поскольку соответствующие
пространства Фр в этих случаях заведомо различны. Таким
образом, хотя на первый взгляд нормированные простран-
пространства наиболее просты, среди них не содержится уже такое
простое и важное пространство, как К (а),
6. Сравнимые и эквивалентные системы норм. Полез-
Полезно выяснить, когда две различные системы норм в счетно-нор-
мированном пространстве приводят к одной и той же топо-
топологии.
Напомним, что из двух норм ||ср|| и ||ср||', определенных
в линейном пространстве Ф, первая считается более слабой,
я вторая—болзе сильной, если выполнено неравенство
\\<?\\<с\\<?\\'
с фиксированной (не зависящей от ср) постоянной С.
Пусть теперь в пространстве Ф заданы две системы
норм:
Мы будем говорить, что первая из этих систем более
слабая, а вторая — более сильная, если каждая из норм
первой системы является более слабой, чем некоторая норма
второй системы *).
Если вторая система норм сильнее первой, то всякая
последовательность срх, ср2, ..., cpv, . . ., сходящаяся по всем
*) Точнее было бы говорить вместо термина «сильнее» «не
слабее».

6] § 3. СЧЕТНО-НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 43
нормам второй системы, сходится и по всем нормам первой
системы. Действительно, найдем для заданного р такое
qz=q(p)) что норма ||ср||р слабее нормы \\<f\\'q. Тогда мы
имеем:
Так как по условию ||cpv—<Pj||g ->0 при любом q, то отсюда
следует, что и ||<pv—%\\р-+0 ПРИ каждом р.
Покажем, что верно и обратное утверждение.
Лемма. Если всякая последовательность <pv cp2, ...
. .., cpv, . . ., сходящаяся по всем нормам второй системы,
сходится также и по каждой из норм первой системы,
то первая система норм слабее второй системы.
Доказательство. Допустим противное. Тогда не-
некоторая норма || ср || р не является более слабой, чем любая
из норм второй системы. Это значит, что для любого v
мы сможем найти элемент cpv, удовлетворяющий неравенству
Умножая каждый из элементов <pv на некоторое число, можно
считать, что [|cpv||p=l, так что
Покажем, что последовательность cpv стремится к нулю
по каждой из норм второй системы. Действительно, при
заданном q и v > q мы имеем
Но тогда согласно условию элементы cpv должны стремиться
к нулю и по всем нормам первой системы. А это заведомо
не выполняется, поскольку ||<pv||p=l. Полученное противо-
противоречие доказывает утверждение леммы.
Если сходимость к нулю всегда имеет место одновре-
одновременно по обеим системам норм, то эти системы называются
эквивалентными. Из только что доказанного утверждения
легко следует, что необходимым и достаточным условием
эквивалентности является выполнение требования: каждая

44 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [7
норма первой системы слабее некоторой нормы второй си-
системы, и обратно, каждая норма второй системы слабее
некоторой нормы первой системы.
7. Ограниченные множества в счетно-нормированном
пространстве. В нормированном пространстве множество А
называется ограниченным, если ограничены (фиксированной
постоянной) нормы всех элементов множества А. В счетно-
нормированном пространстве Ф множество А мы будем
называть ограниченным, если каждая из норм пространства
ограничена на множестве А (своей постоянной):
Ы1р<Ср (Р=1, 2, ...) для всех ср^Л.
Так, в пространстве К(а) финитных бесконечно диффе-
дифференцируемых функций (п. 3) множество Л = {ср(д:)} огра-
ограничено тогда и только тогда, когда при любом р множе-
множество чисел
ограничено (постоянной, зависящей от р).
Несмотря на внешнее сходство с соответствующим опре-
определением для нормированного пространства, на деле эти
определения описывают глубоко различные многообразия.
Например, в нормированном пространстве шар ||<р||^ 1
ограничен и его кратные покрывают все пространство;
в противоположность этому в счетно-нормированном про-
пространстве, не сводящемся к нормированному, не существует
ограниченного множества, кратные которого покрывали бы
все пространство. Действительно, если для элементов ср,
принадлежащих ограниченному множеству А, мы имеем
то, очевидно, никакое1 кратное множества А не может со-
содержать элемента ср0, для которого
существование такого элемента следует из леммы п. 5.
Отсюда вытекает, далее, что всякое ограниченное мно-
множество в счетно-нормированном пространстве, не сводя-
сводящемся к нормированному, нигде не плотно. Действительно,

g] § 3» СЧЕТНО-НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 45
если бы ограниченное множество А было плотно в шаре
и ф <po|L<C, т0 замыкание А множества А —тоже, разу-
мезтся, ограниченное множество — содержало бы этот шар.
Сдвиг А1 множества А на вектор <р0 — также ограниченное
множество — содержал бы шар ||<р||р<С. Но кратные шара
||cp|L<C покрывают всё пространство Ф. Вместе с этим
и кратные ограниченного множества А1 покрывали бы все
пространство Ф, что, как мы видели, невозможно*).
Отсюда и из доказанного в п. 4 мы можем заключить,
что полное счетно-нормированное пространство Ф {не
сводящееся к нормированному) не может быть предста-
представлено в виде счетной суммы своих ограниченных подмно-
подмножеств.
8. Ограниченные множества в общих пространствах.
В дальнейшем мы будем рассматривать и более общие ли-
линейные топологические пространства, чем счетно-нормиро-
ванные; поэтому уместно здесь же дать определение огра-
ограниченных множеств, которое будет годиться и в более
общих случаях.
Определение. Множество А в линейном топологи-
топологическом пространстве Ф называется ограниченным, если оно
поглощается любой окрестностью нуля, т. е. если для любой
окрестности нуля U найдется такое число X > 0, что
I
Легко видеть, что для счетно-нормированного простран-
пространства это определение совпадает с предыдущим: множество А
ограничено, если любая из норм ||ср||р ограничена на мно-
множестве А. Действительно, если Up-= {||ср||р < е}, то вклю-
включение \pA<z:Up равносильно тому, что ||<р||р<т— на мно-
множестве А.
Одна точка ср всегда есть ограниченное множество:
так как Хер —^ 0 при Х->0, то для любой окрестности нуля U
и при достаточно малом |Х| мы будем иметь Хср?(/.
Легко проверяются также следующие утверждения.
1°. Если Ах и А2 — ограниченные множества в линей-
линейном топологическом пространстве, то объединение
*) В частности, мы видим, что каждый шар || <р [[ р < С не огра-

46 ГЛГ I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [&
А~ At\J Л2 и арифметическая сумма В.^А1-\-А2 суть
также ограниченные множества.
Действительно, если U —заданная окрестность нуля, та
существуют \г и Х2 такие, что Х1Л1с(/ и Х2Л2с:{У. Полагая
Х = min(X1, Х2), мы будем иметь iAaU. Далее, построим
окрестность W такую, что W-\-WcU; найдутся \г и Х2,
для которых Х1Л1с1й^, \2A2(zlW\ тогда, очевидно, при
X = min(X1, X2) мы будем иметь \BaLJ.
В частности, при Л2, сводящемся к одной точке, мы
получаем, что всякий сдвиг ограниченного множества на
фиксированный элемент есть ограниченное множество,
2°. Последовательность ср1} ср2, . . ., сходящаяся к эле-
элементу ср линейного топологического пространства Ф„
всегда ограничена.
Для доказательства воспользуемся тем, что внутри лю-
любой окрестности нуля V можно указать нормальную
окрестность нуля U, т. е. такую, которая содержит все
свои кратные olU с | а| <С 1 (§ 1, п. 1). (Отсюда следует,
что всегда при проверке ограниченности того или инога
множества достаточно рассматривать только нормальные
окрестности нуля.)
Предположим сначала, что ср = О. Если U — некоторая
нормальная окрестность нуля, то для некоторого номера v^
мы имеем <pv??/ при v > v0. Найдем такое положительное
Х<1, чтобы иметь Хср^/7, ..., Хср^^^. Поскольку U
нормальна, мы будем иметь также Xcpv??/ при v > v0. По-
этому Хср^^ при всех v, что и требуется. Поскольку
сдвиг ограниченного множества на фиксированный элемент
приводит снова к ограниченному множеству, мы получаем,
что и в общем случае последовательность cpv ограничена,
что и утверждалось.
3°. Замыкание ограниченного множества в линейном
топологическом пространстве есть ограниченное мно-
множество.
При доказательстве мы используем свойство регуляр-
регулярности топологического пространства (§ 1, п. 1), т. е. то
свойство, что внутри любой окрестности нуля U можно
указать такую окрестность нуля V, которая содержится
в U вместе со своим замыканием. Пусть А—ограниченное
множество, Л—его замыкание, U — заданная окрестность
нуля и V — окрестность нуля, которая содержится в U

g] § 4. ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 47
вместе со своим замыканием. Найдем число X, удовлетво-
удовлетворяющее условию \AaV. Тогда \Л = lAaVc:U, откуда и
следует, что А ограничено.
Ограниченные множества в любом линейном топологи-
топологическом пространстве характеризуются следующим условием.
Теорема. В линейном топологическом простран-
пространстве Ф множество А ограничено тогда и только тогда,
когда для любой последовательности cpv? A (v= 1, 2, . . .)
элементы —cpv стремятся к нулю при v->oo.
Доказательство. Пусть Л ограничено, cpv ^ Л — лю-
любая последовательность элементов и U—фиксированная
нормальная окрестность нуля. Найдем номер v0, начиная
с которого выполняется включение — AaU (v^v0). В част-
частности, для этих v мы имеем —cpv? — AczU. Следовательно,
последовательность — cpv стремится к нулю в Ф.
Предположим теперь, что А не ограничено; тогда для
некоторой окрестности нуля U и любого v найдется эле-
элемент cpv из Л, не принадлежащий v?/; иными словами — cpv не вхо-
входит в окрестность U ни при каком v. Но это означает,
что последовательность — cpv не стремится к нулю в Ф, что
и утверждается.
§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
И СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО
Вспомним, что обобщенные функции, введенные нами
в первом выпуске, были определены как линейные непре-
непрерывные функционалы на некотором основном пространстве.
Задача изучения обобщенных функций, таким образом,
есть задача об изучении линейных непрерывных функцио-
функционалов. В, настоящем параграфе мы рассмотрим линейные
непрерывные функционалы на общих линейных топологиче-
топологических пространствах и, в частности, на счетно-нормирован-
ных пространствах.

48 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [1
1. Определение. Числовая функция /(ср) = (/, ср), опре-
определенная в линейном топологическом пространстве Ф, назы-
называется линейным непрерывным функционалом, если удо-
удовлетворяются следующие условия:
а) для любых чисел ах и а2
(/> <*i<Pi + <ВД2) = ai(/> <Pi) + a2(/> ?г) (линейность);
в частности, (/, 0) = 0;
б) для любого е > О можно указать такую окрестность
нуля U, что при <р€^
I (/» ?) I < s (непрерывность *)).
Последнее неравенство показывает, что всякий линей-
линейный непрерывный функционал ограничен на некоторой
-окрестности нуля. Обратно, можно утверждать, что лю-
любой линейный функционал, ограниченный на некоторой
окрестности нуля, непрерывен. Действительно, если
линейный функционал / на окрестности нуля U ограничен
по модулю числом Ж, то для заданного е>0 легко ука-
указать окрестность нуля, в которой он не превосходит по
модулю числа е: в качестве такой окрестности достаточно
взять -T.U.
М
Пример. Рассмотрим в пространстве К (а) бгсконечно
дифференцируемых функций ср(лг), обращающихся в нуль
вне отрезка |л;|<;я, функционал
где |х (х) — функция с ограниченным изменением, т — фи-
фиксированное число. Функционал A), очевидно, линеен.
Покажем, что функционал A) непрерывен. Рассмотрим
•окрестность нуля
= max
*) Этим мы определили непрерывность функционала / в точке
?р = 0. Но линейный функционал, непрерывный в точке 0, непре-
.рывен в любой точке ср0, так как

1] § 4. ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 49
В пределах этой окрестности значения функционала / огра-
ограничены:
| (/, ср) | < max | ср W (х) | - var jj. (x) < е var p (х);
отсюда, как мы видели, следует непрерывность функцио-
функционала.
Несколько ниже (п. 3) мы покажем, что формула A)
дает общий вид линейного непрерывного функционала на
пространстве К(а).
В счетно-нормированном пространстве Ф, как мы знаем,
определяющую систему окрестностей нуля образуют шары
||ср(|р<е. Но ограниченность функционала на такой окре-
окрестности нуля равносильна его ограниченности по норме
|] . ||р, т. е. неравенству
К/. <р)|<с||<р||„.
Таким образом, каждый линейный непрерывный функцио-
функционал f на счетно-нэрмированном пространстве Ф ограни-
ограничен по некоторой норме ||.||р. Наименьшее р называется
порядком функционала /. Очевидно, что и обратно, если
линейный функционал f на Ф ограничен по некоторой
норме, то он непрерывен.
В пространствах с 1-й аксиомой счетности, где топо-
топология описывается с помощью (счетных) сходящихся после-
последовательностей, естественно дать определение непрерыв-
непрерывности линейного функционала «по последовательностям».
Возможность этого устанавливает следующая простая тео-
теорема.
Теорема. Для непрерывности линейного функцио-
функционала f необходимо и (в пространствах с 1-й аксиомой
счетности) достаточно, чтобы из lim ®? = 0 следовало
lim (/, (pv) = 0. v^°°
Доказательство. Необходимость. Пусть ср^->Ои
задано е > 0; пусть, далее, U — окрестность нуля пространства Ф,
в которой | (/, ср) | <; е; начиная с некоторого v = v0, мы имеем
?v € U, откуда | (/, <рО К ?» чт0 и требуется.
Достаточность. Пусть из lim cpv = 0 всегда следует
V -> ОО
llm (/, <pv) = 0; покажем, что функционал / непрерывен. Если это
V -> ОО
4 Зак. 2669 И. М Гельфанд и Г. Е. Шилов

50 ГЛ. 1. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГЙЧЁСкИЁ ПРОСТРАНСТВА [U
не так, то функционал / не ограничен ни в какой окрестности
нуля. Рассмотрим счетную определяющую систему UiZdU^zd .. .ZD
ZD ?/v ID ... окрестностей нуля и найдем в окрестности ?Л, эле-
элемент cpv, для которого |(/, <pv)|>l. Последовательность <pv стре-
стремится к нулю, но lim (/, cpv)^=O, B противоречие с предположе-
V -> ОО
нием. Значит, функционал / ограничен на некоторой окрестности
нуля и, следовательно, непрерывен.
2. Вопрос о существовании линейных непрерывных
функционалов. Вообще говоря, в произвольных линейных
топологических пространствах может не существовать ни
одного нетривиального (т. е. не тождественно равного
нулю) линейного непрерывного функционала.
В нормированных пространствах существование нетри-
нетривиального функционала (отличного от нуля на заданном
элементе ср Ф 0) является следствием известной теоремы
Хана—Банаха*) о продолжении на все пространство огра-
ограниченного линейного функционала, заданного на произволь-
произвольном подпространстве.
В счетно-нормированном пространстве Ф для каждого
отличного от нуля элемента ср также существует линей-
линейный непрерывный функционал, отличный от нуля на ср. Это
следует из того, что к счетно-нормированному пространству
также может быть применен процесс Хана—Банаха. Дей-
Действительно, пусть НаФ —подпространство, на котором
задан ограниченный линейный функционал/. Пространство //,
как часть счетно-нормированного пространства Ф, есть
также счетно-нормированное пространство (с теми же нор-
нормами). Ограниченный функционал / ограничен в простран-
пространстве Н по некоторой его норме, например ||ср||р (см. п. 1).
Но эта норма задана и во всем пространстве Ф. Применяя
здесь теорему Хана—Банаха, мы можем продолжить функ-
функционал / с подпространства Н на все пространство Ф так,
что он останется ограниченным по /?-й норме. Тем самым он
будет ограниченным на Ф и, следовательно, непрерывным.
3, Сопряженное пространство. Линейные функционалы
на линейном топологическом пространстве Ф можно в свою
*) См., например, Л. А. Люстерник и В. И. Собо-
Соболев, Элементы функционального анализа, Гостехиздат, М.—Л., 1951,
стр. 158—162.

3] § 4. ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 51
очередь складывать и умножать на числа, по естественной
формуле
?)• (О
Очевидно, что функционал ai/i + a2/2, определенный ра-
равенством A), является снова линейным непрерывным функ-
функционалом.
Таким образом, совокупность всех линейных непрерыв-
непрерывных функционалов над пространством Ф снова образует
линейное пространство. Мы будем его называть сопряжен-
сопряженным к Ф и обозначать через Ф'.
Если Ф — нормированное пространство, то, как известно,
Ф' — полное нормированное пространство с нормой
||/|| = sup |(/, 9)|.
II «р И < 1
Если Ф — не нормированное, но счетно-нормированное
пространство, то структуру сопряженного пространства Ф
можно описать следующим образом.
Как мы выяснили в п. 1, каждый линейный непрерыв-
непрерывный функционал на пространстве Ф имеет конечный поря-
порядок, т. е. ограничен по некоторой норме ||. Ц^:
К/, ?I<с||<р||р.
Совокупность всех линейных непрерывных функционалов
порядка •</?, т. е. функционалов, непрерывных по норме
пространства Фр, образует в Ф' подпространство Ф^; это
подпространство является сопряженным к нормированному
пространству Ф^, и поэтому представляет собой полное
нормированное пространство. Мы, таким образом, имеем:
Очевидно, что линейный функционал порядка р огра-
ограничен и на шарах ||<p||p+i<l> ll?llp+2 < !> • • •'» поэтому
функционал порядка р принадлежит также простран-
пространствам Фр+Ь Фр+2, ... Мы получаем цепь включений
.. .сФрС .. . сФ'. C)

52 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3
Функционал / порядка р как элемент нормированных
пространств Фр, Фр+ь . .. имеет в них соответственно
нормы
11/11,= sup |(/, ср)|, ||/||р+1= sup |(/, ср)|, ...;
очевидно, что
11/11, >ll/[Ui>--. D)
Можно было бы начать эту цепь неравенств со значения р = 1,
условно полагая 11/11!= ||/||2=... = 11/11 p-i = оэ.
В итоге мы получаем: пространство Ф', сопряженное
к счетно-нормированному пространству Ф, есть объеди-
объединение расширяющейся последовательности полных нор-
нормированных пространств со все более слабыми нормами.
Пример. Найдем общий вид линейного непрерывного
функционала на пространстве К(а) всех бесконечно диф-
дифференцируемых функций ср (х) на прямой — оо < х < оо,
обращающихся в нуль вне отрезка | х | <^ а. Как мы виде™
в п. 3 § 3, К (а) — полное счетно-нормированное простран-
пространство с нормами
\\<f\\p = max {|<р(*)|, ..., | ?<*>(*)!} (Р = О, 1, 2, . . .).
\х\<а
По доказанному каждый линейный непрерывный функ-
функционал на пространстве К (а) одновременно является линей-
линейным непрерывным функционалом на нормированном простран-
пространстве Кр(а), полученном при пополнении пространства К (а)
по некоторой норме ||ср||^. Поэтому задача сводится к опре-
определению общего вида линейного непрерывного функционала
в пространстве Кр(а). Это пространство, как было пока-
показано в § 3, состоит из всех функций ср(дг), обладающих
непрерывными производными до порядка р и обращающихся
в нуль вне отрезка |лг|^а. Если мы поставим в соответ-
соответствие каждому элементу ср(дг) пространства Кр(а) непре-
непрерывную функцию ф(л) = cp(^)(jc), то мы получим отображе-
отображение пространства Кр(а) на часть пространства С (а) всех
непрерывных функций на отрезке |je|<;#. Неравенство

3] § 4. ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 53
показывает, что это отображение взаимно однозначно и
взаимно непрерывно и что образ пространства Kv(a) изо-
изоморфен некоторому замкнутому подпространству простран-
пространства С (а). Поэтому линейный непрерывный функционал (/, ср),
определенный на пространстве Кр(а), порождает вместе
с тем и линейный непрерывный функционал (g, ф) = (/, ср)
на указанном подпространстве пространства С {а).
По теореме Хана — Банаха этот функционал может быть
распространен на все пространство С {а). Применяя теперь
теорему Рисса *), получаем, что рассматриваемый функ-
функционал может быть записан в виде
где {а (х)— некоторая функция с ограниченным изменением.
Итак, мы получаем формулу
а
(Л ?) = (?¦ ф)= /
которая дает общий вид линейного непрерывного функ-
функционала на пространстве Кр(а). Эта же формула при раз-
различных р и \i(x) дает и общий вид линейного непрерывного
функционала на пространстве К (а).
Используя представление пространства К(а) как пере-
пересечение нормированных пространств других типов, можно
получить и другие формы линейных функционалов на этом
пространстве. Мы вернемся к этому вопросу с более общих
позиций в гл. II.
Для пространства К(а) всех бесконечно дифференцируе-
дифференцируемых функций п переменных хх, ..., хп (§ 3, п. 3), обра-
обращающихся в нуль вне области Оа= { \хх | ^ alf . ..
• • •»I хп | ^ ап}, аналогичное рассуждение **) приводит
*) Л. А. Люстерник и В. И. Соболев, Элементы функ-
функционального анализа, Гостехиздат, М. — Л., 1951, стр. 169.
**) С применением теоремы Рисса — Радона, см. Ф. Рисе
и Б. Се к еф а л ь в и-Н а д ь, Лекции по функциональному анализу,
ИЛ, М.,. 1954, п. 59, стр. 143.

54 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [4
к следующей общей форме линейного непрерывного функ-
функционала:
где |х — некоторая вполне аддитивная функция множеств
в области Ga.
4. Связь между непрерывностью линейного функцио-
функционала и его ограниченностью на ограниченных множе-
множествах. Как известно, в определении линейного непрерыв-
непрерывного функционала в нормированном пространстве условие
непрерывности можно заменить условием ограниченности
значений функционала в единичном шаре. Иными словами,
в нормированном пространстве линейный функционал непре-
непрерывен, если он ограничен в единичном шаре, и обратно.
Желая перенести это свойство на более общие про-
пространства, мы прежде всего заметим, что здесь, вообще
говоря, уже нельзя указать одного такого подмножества,
ограниченность на котором гарантировала бы непрерывность
линейного функционала. Вместо одного подмножества здесь
следует рассматривать все семейство ограниченных под-
подмножеств.
Напомним, что в общем линейном топологическом про-
пространстве ограниченным называется всякое множество В, ко-
которое после умножения на некоторое число X > 0 попадает
в любую наперед заданную окрестность нуля.
Теперь рассмотрим, как связаны линейные непрерывные
функционалы с ограниченными множествами • простран-
пространства Ф.
а) Всякий линейный непрерывный функционал f огра-
ограничен на каждом ограниченном множестве В.
Действительно, функционал / ограничен на некоторой
окрестности нуля U, так что
при ср??/. Поскольку В ограничено, для некоторого Х>0
мы имеем:
IBczU, ^

4] § 4. линейные непрерывные функционалы 55
Поэтому для ср??с=-^?/
К/ ?)|<х
К/. ?)|<хс.
что и требовалось.
б) Если в пространстве Ф выполнена 1-я аксиома
счетности {т. е. имеется счетная определяющая система),
то всякий линейный функционал, ограниченный на каж-
каждом ограниченном множестве, непрерывен.
Действительно, пусть U^U^zd . .. zdUpzd . . , —счетная
определяющая система окрестностей нуля пространства Ф.
Если функционал / не непрерывен, то на каждой из этих
окрестностей он не ограничен; в окрестности t/v можно
указать точку cpv так» чт0 | (Л <Pv) | >v- Последователь-
Последовательность cpv стремится к нулю и потому ограничена; по пред-
предположению, последовательность чисел (/, cpv) должна быть
ограниченной-, что по построению не имеет места. Полу-
Полученное противоречие показывает, что функционал / непре-
непрерывен, что и требовалось.
Функционал, ограниченный на каждом ограниченном
множестве, мы будем называть ограниченным. Таким обра-
образом, в пространстве с 1-й аксиомой счетности линейный
функционал непрерывен тогда и только тогда, когда он
ограничен.
Пример. Рассмотрим вопрос о непрерывности прямого про-
произведения функционалов / (х) и g (у) (выпуск 1, гл. I, § 4). Напо-
Напомним относящиеся сюда определения. Рассматриваются простран-
пространства Кх (#)» Ку (#), Кху (а) финитных бесконечно дифференцируемых
функций, зависящих соответственно от аргументов х, у или от
пары х, у, | х |<! а, \ у | ¦< а. Берется функционал / (х), действую-
действующий в пространстве Кх (#)» и функционал g (у), действующий в про-
пространстве Ку (а). Функционал h (x, у), определенный в простран-
пространстве Кху (а) по формуле
'(А, ср (х, y)) = (f (х), (g (у), ср (х, у))), A)
называется прямым произведением функционалов f (х) и g (у)'
Заметим, что формула A) имеет смысл, поскольку функция
(g (У)» <Р (*> У)) = Ф (х) как функция от х, очевидно, финитна и
бесконечно дифференцируема. Очевидно также, что функционал ht
задаваемый формулой A), есть линейный функционал. Покажем,
что этот функционал является и непрерывным. Достаточно пока-
показать, что он ограничен, т. е. что он переводит ограниченное мно-
множество функций ср (х, у) в ограниченное множество чисел. Для
этого достаточно показать, что ограничено в пространстве Кх (а)
множество функций (g (у), ср (х} у)) = ф (х). В свою очередь это

56 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [5
означает, что при любом р ограничены равномерно по х выражения
Е*х$ (х) = (g(y), A^p (х, у))- Но ограниченность множества функций
? С*» У) € Кху (а) означает ограниченность величин sup I Dp ср (х, у) I
х, у1
при любом р. Отсюда следует, что множество функций DjJ<p (x, у)
как элементов пространства Ку (а) ограничено в этом пространстве;
поэтому оно переводится ограниченным функционалом g (у) в равно-
равномерно ограниченное (по х) множество чисел (g (у), Dfy (x, у)), что
и требуется.
5. Характеристика ограниченного множества в счетно-
нормированном пространстве. В предыдущем пункте мы
видели, что в линейном топологическом пространстве линей-
линейный непрерывный функционал ограничен на каждом огра-
ограниченном множестве. В этом пункте для счетно-нормиро-
ванных пространств мы докажем обратную теорему, которая
даст нам тем самым новую характеристику ограниченных
множеств в счетно-нормированном пространстве.
Покажем сначала, что в нормированном пространстве Ф
множество В ограничено, если на нем ограничен каждый
линейный непрерывный функционал.
Достаточно показать, что на В ограничены постоян-
постоянной 1 все функционалы, по норме не превосходящие неко-
некоторого г > 0. Действительно, пользуясь теоремой Хана —
Банаха, для любого элемента ®?В можно построить линей-
линейный непрерывный функционал / такой, что [|/|[ =г,
(у7, ср) = з||<р||; если сформулированное выше утверждение
доказано, то мы должны иметь (/, ср) = гЦ<р|КЛ, откуда
||<р||-*С —, что и требуется.
Рассмотрим совокупность F всех функционалов /, для
которых имеет место неравенство
К/. ?)|<i
при всех ф ? В.
Совокупность F обладает следующими свойствами:
1) F замкнута (по норме) в пространстве Ф';
2) F выпукла: если / = у(Л+/2), U?F. f2?F. то
=4l(A.

5] § 5. топология в сопряженном пространстве 57
3) каждый функционал /?Ф', будучи умножен на доста-
достаточно малую постоянную X > О, попадает в совокупность F.
Действительно, по условию функция (/, ср) ограничена
на множестве В\ если, для определенности, | (/, ср) | ^ С на
множестве В, то, очевидно, (-?-/» ?) <^ 1 на Б, откуда
Так как пространство Ф' нормировано, то можно при-
применить лемму п. 4 § 3, которая приводит к выводу, что
совокупность F содержит некоторую окрестность нуля про-
пространства Ф'. Если F содержит, например, сферу ||/Ц ^ е,
то это означает, что всякий функционал / с нормой, не
превосходящей е, ограничен на множестве В единицей. Как
мы видели, этого факта достаточно для доказательства
справедливости теоремы.
Теперь покажем, что аналогичный факт справедлив и
для счетно-нормированного пространства.
Если на подмножестве В счетно-нормированного про-
пространства Ф значения всякого линейного непрерывного
функционала ограничены, то В ограничено в Ф.
Достаточно показать, что на В ограничена норма ||. \\р
при любом фиксированном р. Можно рассматривать В как
подмножество нормированного пространства Ф^. По усло-
условию, на В ограничены все линейные непрерывные функцио-
функционалы, в частности, все функционалы порядка /?, которые
составляют пространство Фр, сопряженное к Ф^. Но тогда
множество В ограничено в Фу, это означает, что ||<р||р
ограничены при '??&> что нам и требовалось.
§ 5. ТОПОЛОГИЯ В СОПРЯЖЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Одной из основных операций, которые мы производили
с обобщенными функциями (выпуск 1), был предельный
переход. Мы говорили, что последовательность обобщенных
функций /v сходится к обобщенной функции /, если для
любой основной функции ср имеет место соотношение
(/, <р) = lim (Д, ср).
В этом параграфе мы рассмотрим вопрос об определе-
определении топологии, и в частности об определении предельного

58 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [1
перехода, в пространстве Ф' линейных непрерывных функ-
функционалов на линейном топологическом пространстве Ф.
Эта общая постановка, в частности, позволит получить
доказательство теоремы о полноте пространства обобщен-
обобщенных функций относительно указанной выше сходимости —
теоремы, которая неоднократно использовалась в выпуске 1,
но не была там доказана. В этом параграфе мы получим
доказательство аналогичной теоремы для пространств,
сопряженных к счетно-нормированным; в § 8 мы докажем
ее и для более общего случая объединений счетно-норми-
рованных пространств; в частности, отсюда будет вытекать
ее справедливость и для пространства К' обобщенных функ-
функций, рассмотренного в выпуске 1.
Итак, наша задача — ввести топологию в пространство Ф'
линейных непрерывных функционалов на данном линейном
пространстве Ф.
Оказывается, что в пространстве Ф' можно вводить
топологию различными способами. Главнейшими являются
сильная и слабая топология.
1. Сильная топология. Рассмотрим сначала случай про-
пространства Ф', сопряженного к нормированному простран-
пространству Ф. Пространство Ф' в этом случае — также нормиро-
нормированное (полное) пространство с нормой
11/11= sup |(/, ,)|. A)
||<
Норма A) и задает в пространстве Ф' сильную топологию.
Каждая окрестность нуля в этой топологии может быть
задана как совокупность всех/? Ф', для которых | (/, <р) | < е,
когда ср пробегает единичный шар {||<р||-^1} в простран-
пространстве Ф.
В общем случае линейного топологического простран-
пространства Ф вместо единичного шара ||<р||-^1 следует рассма-
рассматривать всевозможные ограниченные множества в про-
пространстве Ф. Это, естественно, приводит нас к следующему
определению системы окрестностей в пространстве Ф',
задающей сильную топологию.
Определение. Сильная окрестность нулевого функ-
функционала 0 задается с помощью любого ограниченного мно-
множества Лс=Ф и любо?д числа s<0 как совокупность

1] § 5. топология в сопряженном пространстве 59
всех /6ф/> для которых
supcp|(/, ср) | < е при всех
Проверим выполнение-аксиом IV.10—IV.7° окрестностей нуля
линейного топологического пространства (§ 1, п. 2).
Аксиома IV.1° требует, чтобы пересечение двух окрестностей U
и V содержало третью окрестность W. Пусть U определяется огра-
ограниченным множеством Ау-аФ и числом еу^>0 и, аналогично,
V определяется множеством Ау а Ф и числом еу>0. Построим
ограниченное множество А как объединение Аи и Av и определим
окрестность W как совокупность тех /^Ф', для которых
| (/, ср) | < min (e^, eF) для всех ср ? А.
Очевидно, что W содержится в пересечении U и V.
Аксиома IV.2° требует, чтобы для любой точки /оФО нашлась
окрестность, не содержащая функционала /0. Такую окрестность
можно задать следующим образом: взять элемент ср0, для которого
(/о» Чо)Ф®> например (/0, у0) = афО, и определить окрестность U
неравенством
^1
Очевидно, что окрестность U удовлетворяет условию.
Аксиома IV.3° требует, чтобы для любой окрестности U
нашлась окрестность V такая, что V± Vc(/. Если U опреде-
определяется ограниченным множеством Ар-аФ и числом е>0, то
окрестность V можно задать тем же множеством Аи и числом -у.
Аксиома IV.4° требует, чтобы для любой окрестности U и
любого /? U существовала такая окрестность V, что / + V с U.
Пусть U определяется ограниченным множеством Аи и числом е^.
Так как sup | (/, ср) | = yj<^ е^ , то достаточно определить окрест-
ность V тем же множеством А у и числом е^ — tj.
Аксиома IV.5° требует, чтобы для любой окрестности U и
любого числа а существовала окрестность V такая, что aVcz.U.
Если U определяется множеством АцСФ и числом е > 0, то
V можно задать тем же множеством Ац и числом —.
Аксиома IV.6° требует, чтобы для любой окрестности U и
любого функционала / нашлось такое число ^]^>0, чтобы bf^U
при | о | <[ yj. Пусть окрестность U задана ограниченным множест-
множеством АцСФ и числом е > 0. Функционал /, как непрерывный
функционал, ограничен на множестве Ац некоторым числом С.
Очевидно, что функционал -^ f ограничен на множестве А и

60 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [1
числом е. Поэтому при | о | < тг] = -^ функционал о/ входит
в окрестность U.
Аксиома IV.7° требует, чтобы для любой окрестности U суще-
существовало такое число ?]>0, что bUdU при | о |< т\. Эта аксиома
выполняется в данном случае с г\ = 1; очевидно, что все введенные
нами окрестности нуля в пространстве Ф* нормальны.
Сильная топология, вообще говоря, уже не может быть
задана указанием счетного базиса окрестностей нуля, и
поэтому описание предельного перехода с помощью счет-
счетных последовательностей не будет полным эквивалентом
топологических соотношений *); тем не менее, счетные
последовательности будут играть в дальнейшем важную
роль.
Сходимость (счетных) последовательностей, определяе-
определяемая сильной топологией в Ф', называется сильной сходи-
сходимостью. Другими словами, последовательность функциона-
функционалов flt /2, . . ., /v, . . . сильно сходится к функционалу /,
если (/v, ср) сходится к (/, ср) равномерно на каждом огра-
ограниченном множестве элементов ср из Ф.
Как известно, в случае пространства Ф', сопряженного
к нормированному пространству Ф, имеет место полнота
относительно сильной сходимости. Аналогичный факт спра-
справедлив и в случае пространства Ф', сопряженного к общему
линейному топологическому пространству Ф, в предполо-
предположении, что в Ф выполнена 1-я аксиома счетности. Есте-
Естественно, что мы называем пространство Ф' полным относи-
относительно сильной сходимости, если всякая сильно фундамен-
фундаментальная (счетная) последовательность flt /2, ..., /v, . . .
сильно сходится к некоторому функционалу /. При этом
последовательность /v называется сильно фундаментальной,
если последовательность чисел (/v, ср) сходится для каждого
элемента ср, и притом равномерно на каждом ограниченном
множестве.
Теорема. Если в пространстве Ф выполнена 1-я ак-
аксиома счетности, то пространство Ф' полно относи-
относительно сильной сходимости.
*) То есть /0, вообще говоря, может быть предельной точкой
для множества р а Ф' и при этом может не быть пределом никакой
(счетной) последовательности точек /v ? F.

2] § 5. топология в сопряжённом пространстве 61
Доказательство. Пусть fv /2, . . ., /v, ... — сильно
сходящаяся последовательность функционалов. Тогда, в част-
частности, при каждом ср из Ф существует предел последова-
последовательности (/v, cp) (v=l, 2, ...); обозначим этот предел
через (/, ср).
Величина (/, ср), очевидно, есть линейный функционал
на Ф; проверим, что этот функционал непрерывен. Доста-
Достаточно показать, что (/, ср) ограничен на каждом множестве
Л<=Ф. Но на каждом таком множестве А функции (/v, ср)
ограничены и сходятся к (/, ср) равномерно; поэтому пре-
предельная функция (/, ср) также ограничена на А, что и тре-
требовалось.
2. Сильно ограниченные множества. Сильная топология
в пространстве Ф' позволяет выделить в этом пространстве
соответствующий класс ограниченных множеств, которые
мы будем называть сильно ограниченными. Именно, в соот-
соответствии с общим определением ограниченного множества
(§ 3, п. 8) мы будем называть множество /?<=Ф' сильно
ограниченным, если любая сильная окрестность нуля (/сФ'
поглощает множество В, т. е. найдется \ > О, при котором
Можно дать и несколько менее формальное определение
сильно ограниченного множества. Для этого условимся, что
множество функционалов В мы будем называть ограничен-
ным на множестве А основных элементов, если числа
К/» ф) I ограничены в совокупности, когда / пробегает
множество В, а ср пробегает множество А.
Теперь покажем, что множество В сильно ограничено
тогда и только тогда, когда оно ограничено на каждом
ограниченном множестве А.
Действительно, пусть /?<=Ф' сильно ограничено и пусть
дано ограниченное множество Л<=Ф. Рассмотрим сильную
окрестность (/сФ;, образованную из тех/?Ф', для которых
supcpK/, <р)|<1
при <р?Л. По условию, найдется \ > О, при котором
XBczU. Это означает, что для любого f?B мы имеем
Л $р) I < 1 • Но тогда для всех /? В, ср ? А

62 гл. 1. линейные Топологические пространства [2
т. е. множество В ограничено на ограниченном множе-
множестве А.
Обратно, пусть множество ВсФ' ограничено на любом
ограниченном множестве АсФ. Покажем, что В сильно огра-
ограничено. Пусть задана сильная окрестность нуля U в про-
пространстве Ф'. Это значит, что заданы ограниченное мно-
множество АсФ и число е > 0; окрестность U состоит из тех
/?Ф', для которых при ср?Л
SUP<P I (/» ф) I <с ?*
На множестве А числа | (/, ср) | для f?B, по условию,
ограничены, например, постоянной С Но тогда для f?B
" — С — -
" 2С 2 *
Таким образом, при \ = — получаем \BczU, что и тре-
требуется.
Следующая лемма, справедливая при выполнении в про-
пространстве Ф 1-й аксиомы счетности, весьма полезна; она
показывает, что семейство функционалов /, входящих
в сильно ограниченное множество ВсФ', ограничено не
только на ограниченных множествах АаФ, но и на неко-
некоторой окрестности нуля в пространстве Ф (отнюдь
не на всякой окрестности). Напомним, что окрестности
нуля, — вообще говоря, неограниченные множества.
Лемма. Если Ф удовлетворяет 1-й аксиоме счетности,
то всякое сильно ограниченное множество ВсФ' ограни-
ограничено на некоторой окрестности нуля пространства Ф.
Доказательство. Пусть UxzdU2zd .. . —опреде-
—определяющая система окрестностей нуля в пространстве Ф. Если
утверждение леммы не выполнено, то для каждого v мы
сможем указать точку cpv в окрестности ?/v и функционал
fv?B такие, что | (/v, <pv)|>v. Последовательность cpv
(v=l, 2, . . .) стремится к нулю и потому ограничена.
В силу полученной только что характеристики ограниченных
множеств в пространстве Ф/ мы должны иметь | (/, cpv) | <^ С
для всех f?B. Полученное противоречие убеждает нас
в справедливости леммы.
Обращение этого утверждения справедливо без всяких
предположений счетности: если множество ВсФ' ограни-

3] § 5. топология в сопряжённом пространстве 63
чено на некоторой окрестности нуля U пространства Ф,
то оно ограничено на любой области Ш, а следовательно,
и на любом ограниченном множестве пространства Ф.
3. Сильно ограниченные множества в пространстве,
сопряженном к счетно-нормированному. Полученные ре-
результаты позволяют, в частности, полностью описать сильно
ограниченные множества в пространстве, сопряженном
к счетно-нормированному пространству. Вспомним, что
всякое (полное) счетно-нормированное пространство Ф есть
пересечение убывающей последовательности нормирован-
нормированных пространств
ФХ=)Ф2=). . . =>Фр=>. . . =>Ф,
а сопряженное пространство Ф' есть объединение возра-
возрастающей последовательности полных нормированных про-
пространств Фр, сопряженных к пространствам Ф^:
Структура сильно ограниченных множеств в пространстве Ф'
описывается следующей теоремой.
Теорема. Если Ф — счетно-нормированное простран-
пространство, то множество ВаФ' сильно ограничено тогда и
только тогда, когда В содержится в некотором Ф'р и
ограничено по его норме.
Доказательство. Пусть множество В удовлетво-
удовлетворяет указанному условию, т. е. принадлежит простран-
пространству Фр, и ограничено по его норме. Рассмотрим окрест-
окрестность U нуля пространства Ф, определяемую неравенством
Если В ограничено по норме Ф^ числом Ж, то согласно
определению нормы в пространстве, сопряженном к норми-
нормированному, имеет место неравенство
К/, <?)\<м,
если <???/, /?В- Таким образом, В ограничено на неко-
некоторой окрестности нуля пространства Ф и поэтому сильно
ограничено (п. 2).

64 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [4
Обратно, пусть В сильно ограничено. Тогда в силу
леммы 1 имеется окрестность U нуля пространства Ф, опре-
определяемая, например, неравенством
в которой функция sup | (/, ср)| ограничена, например,
числом М. Это означает, что каждый функционал f?B
ограничен на окрестности U числом М. Но тогда функцио-
нал / принадлежит к пространству Фр и имеет в нем
норму < —, что нам и требовалось.
4. Слабая топология. Переходим теперь к определению
слабой топологии в пространстве Ф'. Эта топология отве-
отвечает сходимости функционалов на каждом элементе основ-
основного пространства Ф.
Определение. Слабая окрестность нуля в про-
пространстве Ф' задается с помощью любого конечного мно-
множества срх, ср2, . . ., ут элементов пространства Ф и любого
числа в>0 как совокупность всех /?Ф', для которых
К/, ?i)l<e> -.., |(/, <Рт)|<е.
Проверка выполнения аксиом 1° — 7° п. 2 § 1 проводится
так же, как и для сильной топологии, с заменой ограниченных
подмножеств пространства Ф конечными подмножествами.
Всякое слабо открытое множество является откры-
открытым и в сильном смысле. Достаточно проверить это для
слабой окрестности нуля. Если дано любое ограниченное
множество А элементов ср? Ф, то совокупность всех функцио-
функционалов /, удовлетворяющих неравенствам
sup* |(/, <р)|<е, ср?Л A)
согласно определению, есть сильная окрестность нуля в про-
пространстве Ф'; в частности, если в качестве множества А
мы берем конечное множество элементов cpi> ?2> • • •» ?w» T0
также получается некоторая сильная окрестность нуля;
поэтому слабая окрестность нуля, выделяемая неравен-
неравенствами A), когда ср пробегает конечное множество элемен-

4] § 5. ТОПОЛОГИЯ В СОПРЯЖЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 65
тов, является сильной окрестностью нуля, а потому и
сильно открытым множеством.
И эта топология не удовлетворяет, за исключением
тривиальных случаев, 1-й аксиоме счетности, так что в ней
предельные соотношения не могут быть полностью описаны
на языке последовательностей. Соответствующая сходимость
(счетных) последовательностей все же играет большую роль;
она называется слабой сходимостью. Очевидно, что слабая
сходимость есть сходимость на каждом основном элементе;
иначе говоря, последовательность функционалов /v слабо
сходится к функционалу / тогда и только тогда, когда
для любого ср?Ф имеет место предельное соотношение
(Л. ?)->(/, ?)•
В нормированных пространствах справедлив следующий
критерий слабой сходимости линейных функционалов: по-
последовательность /v ? Ф' слабо сходится к нулю тогда и
только тогда, когда функционалы /v (v=l, 2, . ..) огра-
ограничены по норме и соотношение lim (Д,, ср) = О выпол-
V ->ОО
няется по крайней мере для элементов ср, принадлежащих
к некоторому плотному в Ф множеству А.
Оказывается, что аналогичный критерий справедлив и
в счетно-нормированных пространствах. Достаточность
соответствующих условий утверждается следующей леммой.
Лемма. Пусть дана сильно ограниченная последова-
последовательность линейных непрерывных функционалов /v, опре-
определенных в счетно-нормированном пространстве Ф. Пусть
известно, что для всех элементов некоторого плотного
множества ЛсФ числа (/v, ср) стремятся к нулю. Тогда
числа (Д, ср) стремятся к нулю при любом ср?Ф.
Доказательство. Как мы показали в п. 3, сильно
ограниченная последовательность /v содержится в некото-
некотором Фр и ограничена в нем по норме. Пусть, например,
||/v||p<^iW. Множество Л плотно в Ф по топологии Ф,
в частности, по норме ||<р||р; для заданного <р?Ф и е>0
всегда можно найти такое <р6?Л, что ||<р — ?*llp
Найдем номер v0 так, чтобы при v > v0 иметь |(/v, cpe)|
5 Зак. 2669. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов

66 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [5
Тогда для v > v0 мы получим:
откуда
Hm (/„ 9) = О,
V -> ОО
что и требовалось. Необходимость этих условий мы уста-
установим несколько позже.
б. Слабо ограниченные множества. Слабая топология
в пространстве Ф' позволяет выделить соответствующий
класс «слабо ограниченных» множеств: множество ВсФ'
называется слабо ограниченным, если для любой слабой
окрестности нуля ОсФ' найдется \ > О, при котором
\BcU.
Но оказывается, что для пространств, сопряженных
к счетно-нор миро ванным, мы не получаем здесь нового
класса множеств: класс слабо ограниченных множеств
совпадает с классом сильно ограниченных множеств.
Подобный факт имеет место и для нормированных про-
пространств, где он играет фундаментальную роль при изуче-
изучении сопряженного пространства.
Очевидно, что всегда всякое сильно ограниченное мно-
множество ВсФ' является и слабо ограниченным, поскольку
каждая слабая окрестность нуля U сФ', в которую нужно
перевести множество В умножением на некоторое число,
является и сильной. Докажем, что в случае счетно-нормиро-
ванного пространства Ф справедливо обратное: всякое слабо
ограниченное множество ВаФ' является сильно ограни-
ченным.
Достаточно показать, что слабо ограниченное мно-
множество В ограничено на некоторой окрестности нуля про-
пространства Ф. Рассмотрим множество А всех элементов
ср^Ф, для которых
|(/, ср)|<1 при f?B.
Множество А обладает следующими свойствами:
1) А замкнуто по топологии пространства Ф (как пере-
пересечение замкнутых множеств | (/, <р)|<С1 по всем /??);
2) А выпукло в Ф (как пересечение выпуклых множеств
| (/, ср) | <^ 1, f?B) и центрально симметрично;

б] § 5. топология в сопряженном пространстве 67
3) каждый элемент ср, будучи умножен на достаточно
малое Х>0, попадает в множество Л. Действительно,
так как множество В слабо ограничено, то числа (/, ср)
ограничены для любого фиксированного ср; пусть, например,
при заданном ср и всех f?B
тогда
(/ )|<1> т.е.
Теперь применим лемму п. 4 § 3; в силу этой леммы
множество Л содержит некоторую окрестность нуля про-
пространства Ф.
Итак, существует окрестность нуля пространства Ф,
на которой функционалы /, входящие в множество В>
равномерно ограничены (числом 1). Отсюда следует, что В
сильно ограничено, что и требуется.
Как следствие мы получаем необходимость сформули-
сформулированного выше условия слабой сходимости функционалов.
Если последовательность функционалов flt /2, . . .,/,, . ..
сходится на каждом элементе ср?Ф» то эта последова-
последовательность сильно ограничена.
Действительно, последовательность flt /2, ..., /v, ...,
сходящаяся на каждом элементе ср, тем самым слабо огра-
ограничена. Но, по доказанному, всякое слабо ограниченное
множество в пространстве Ф' является и сильно ограничен-
ограниченным; таким образом, последовательность {/v} сильно огра-
ограничена, что и утверждается.
6. Теорема о полноте пространства, сопряженного
к счетно-нормированному, относительно слабой сходи-
сходимости. Теперь мы можем перейти к доказательству теоремы
о полноте пространства, сопряженного к счетно-нормиро-
счетно-нормированному, относительно слабой сходимости.
Теорема. Если Ф счетно-нормированное простран-
пространство, то пространство Ф' полно относительно слабой
сходимости.
Иными словами, если (счетная) последовательность ли-
линейных непрерывных функционалов /, ?Ф' (v=l, 2, . . .)
такова, что величины (/,, ср) при любом ср ? Ф образуют
5*

68 ГЛ. 1. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ПРОСТРАНСТВА F
сходящуюся последовательность, то существует линейный
непрерывный функционал /, который является слабым пре-
пределом последовательности /v при v —> оо:
(/,?) = lim (/v, ср).
V->OO
Доказательство. Множество {/v} слабо ограничено
и, по доказанному, является также сильно ограниченным;
следовательно (см. лемму п. 2), все функционалы /v огра-
ограничены в совокупности на некоторой окрестности U нуля
пространства Ф:
ч?и. A)
Определим теперь функционал / равенством
(/, ср) = lim (/„?).
V->OO
Очевидно, что предельный функционал / линеен вместе
н функционалами /v. Покажем, что он является и непрерыв-
сым функционалом. Так как на окрестности U выполняется
неравенство A), то на этой же окрестности и
|(/,<р)| = lim |(Д, <р)|<С,
V -> ОО
т. е. на окрестности U функционал / ограничен. Но тогда,
в соответствии с п. 1 § 4, функционал / является и непре-
непрерывным, что и требуется.
Так же как выше для сильной сходимости, можно уста-
установить следующий критерий слабой сходимости функциона-
функционалов в пространстве Ф', сопряженном к счетно-нормирован-
ному пространству Ф.
Теорема. Последовательность функционалов /v
(v= 1, 2, . . .) слабо сходится к функционалу f тогда и
только тогда, когда все /v суть функционалы над одним
и тем же нормированным пространством Фр и сходятся
слабо в этом пространстве, т. е. для любых ср ? Фр имеет
место соотношение
(Л. ?)->(/>?)¦
Доказательство. Если /v слабо сходится к функ-
функционалу /, то она сильно ограничена и по теореме п. 3

7] § 5, топология в сопряженном пространстве 69
все /v лежат в одном и том же пространстве Фр и ог-
ограничены по его норме. Кроме того, на плотной части
пространства Фр — именно, на элементах пространства Ф —
имеет место сходимость (/v, ср) к (/, ср). Поскольку Ф^ —
нормированное пространство, соотношение
(/, ср) = Hm (/v, ср)
v->oo
справедливо для всех ср^Ф^.
Обратно, если функционалы /v лежат в одном и том же
пространстве Фр и для любого ср ^ Фр имеет место соот-
соотношение
(/, ср)= Hm (/v, ср),
v->oo
то оно имеет место, в частности, и для всех элементов
пространства ФсФр; но это и означает, что последова-
последовательность /v слабо сходится к функционалу / в простран-
пространстве Ф'.
7. Слабая и сильная топологии в исходном простран-
пространстве. После того как мы рассмотрели два типа топологии
в сопряженном пространстве, «наведенной» исходным про-
пространством Ф, естественно, встает вопрос, что получится,
если эту конструкцию «обернуть»: определить на основном
пространстве Ф слабую и сильную топологию, используя
ограниченные множества сопряженного пространства.
(В случае счетно-нормированного пространства Ф нет раз-
разницы между сильно и слабо ограниченными множествами
в Ф'; в общем случае под ограниченными множествами
в Ф' мы будем иметь в виду сильно ограниченные множе-
множества.) Действуя по аналогии с п. 1, мы вводим следующие
определения.
а) Сильная топология задается следующей системой
окрестностей нуля. Каждая окрестность нуля определяется
числом е > 0 и ограниченным множеством В в сопряженном
пространстве, как совокупность основных элементов ср, для
которых
supr ] (/, ср) | < е при всех f?B.
б) Слабая топология задается аналогично, но с заме-
заменой ограниченных множеств в сопряженном пространстве

70 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [7
конечными множествами. Иначе говоря, слабая окрестность
нуля определяется числом е > 0 и фиксированными функцио-
функционалами fv ..., fm как совокупность всех <р?Ф, для ко-
которых
|(/i> ?)|<e, ..., |(/те, ср)|<8.
В общем случае три топологии в пространстве Ф—ис-
Ф—исходная, сильная и слабая — различны.
Покажем, что если Ф—счетно-нор жированное про-
пространство, то сильная топология в этом пространстве
совпадает с исходной.
Напомним, что (полное) счетно-нормированное простран-
пространство представимо в виде пересечения нормированных про-
пространств
ФХ=)Ф2=). . . =>Фр=). . . =>Ф,
где Фр есть пополнение пространства Ф по р-й норме.
В то же время сопряженное пространство Ф' есть объеди-
объединение сопряженных пространств
Каждое ограниченное множество БсФ; содержится целиком
в одном из пространств Фр и ограничено в Фр по его
норме.
Рассмотрим какую-нибудь из окрестностей нуля про-
пространства Ф исходной топологии; она задается неравен-
неравенством
<е A)
(нормы предположены упорядоченными |]<p|!i ^ЦфЦг ^ • • •)•
iVbi утверждаем, что эта же окрестность может быть опи-
описана и неравенством
supr|(/, <р)|<е, B)
где функционал / пробегает единичный шар в простран-
пространстве Фр.
Действительно, если |]/||р<1, ||<р||р<?> то и
supr|(/, ?)|<supr||/|]p|]cp||p<e;
С другой стороны, для всякого ср с нормой ||ср||р^е можно

7] § 5. топология в сопряжённом пространстве 71
построить по теореме Хана—Банаха функционал /?Фр
с ||/[]р=1, для которого
К/. ?)|=11/11р11<рИр>е,
так что неравенством B) описываются только элементы ср
из взятой окрестности нуля A). Итак, взятая окрестность
нуля A) в исходной топологии совпадает с окрестностью
нуля B) в сильной топологии.
Покажем теперь, что всякая сильная окрестность нуля
содержит внутри себя окрестность нуля в исходной топо-
топологии. В самом деле, сильная окрестность нуля (УсФ
задается неравенством
supr|(/, ?)|<e, C)
где / пробегает ограниченное множество в Ф', т. е., как
мы видели, ограниченное по норме, например числом М,
множество в пространстве Ф'р.
Мы можем только уменьшить множество, выделяемое
неравенством C), если заставим функционал / пробегать
полный шар радиуса М в пространстве Ф^,. Обозначим
через V множество основных элементов, выделяемое нера-
неравенством C) при этом условии. Это же множество V полу-
получится, если функционал / будет пробегать единичный шар
в пространстве Ф^,, а неравенство C) заменить неравен-
неравенством
sup, |(/, ?)|<^-. D)
Но, как мы уже видели, неравенство D) определяет неко-
некоторую окрестность нуля пространства Ф в исходной топо-
топологии. Итак, внутри любой сильной окрестности нуля можно
указать исходную окрестность нуля.
В силу критерия эквивалентности двух систем окрест-
окрестностей нуля (§ 1, п. 2) сильная топология совпадает с ис-
исходной, что и утверждалось.
В частности, сильная сходимость последовательности
элементов cpv (v=l, 2, . . .) совпадает с исходной схо-
сходимостью. Иначе говоря, последовательность cpv элемен-
элементов счетно-нормированного пространства Ф сходится
к нулю тогда и только тогда, когда для каждого

72 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [7
ограниченного множества БсФ7 последовательность
(/, cpv) стремится к нулю равномерно на В. В следующем
параграфе мы укажем класс пространств, в котором эта
сходимость будет совпадать со сходимостью, соответствую-
соответствующей слабой топологии (т. е. со слабой сходимостью).
Каждая из топологий, введенных в пространстве Ф,
приводит к своему определению ограниченных множеств:
множество ЛсФ считается в соответствии с общим опре-
определением п. 8 § 3 ограниченным в некоторой топологии,
если для любой окрестности нуля U (в этой топологии)
существует такое число X > 0, что XAczU.
В случае сч ет н о-н о р ми р о в а н н о г о пространства
из доказанного совпадения сильной топологии с исходной
следует, что и семейства ограниченных множеств в силь-
сильной и в исходной топологии совпадают.
Иногда удобно называть исходную топологию в линей-
линейном топологическом пространстве сильной топологией,
противопоставляя ее слабой топологии. Для счетно-норми-
рованных пространств это соответствует действительности,
так как исходная топология совпадает с сильной; в других
случаях такого неточного употребления названия «сильная
топология» мы будем делать специальные оговорки.
Покажем, что в счетно-нормированном пространстве
семейство слабо ограниченных множеств совпадает с се-
семейством сильно ограниченных множеств.
Очевидно, что всякое сильно ограниченное множество А с Ф
является и слабо ограниченным, поскольку каждая слабая
окрестность нуля (/сФ, в которую нужно перевести мно-
множество А умножением на X, является и сильной окрестностью
нуля.
Обратно, пусть А — слабо ограниченное множество
в счетно-нормированном пространстве Ф. Это означает, что
для любой слабой окрестности нуля U, определяемой, на-
например, неравенством
К/0- «Р)|<8.
можно указать Х>0, при котором \AczU. Отсюда следует,
что функционал /0 принимает на множестве А ограниченные
значения (ограниченные числом у). Так как функционал /0
произволен, то мы можем сказать, что на множестве А

1] § 6. СОВЕРШЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 73
каждый функционал /? Ф' принимает ограниченное мно-
множество значений. Но, как мы видели в п. 5 § 4, из этого
следует, что множество А ограничено в пространстве Ф
в его исходной топологии.
Тем самым наше утверждение полностью доказано.
§ 6. СОВЕРШЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Основное определение. Как известно, множество F
в топологическом пространстве Ф называется компактным
в Ф, если каждое бесконечное подмножество AczF имеет
в Ф предельную точку. Известно также, какую важную
роль играет в анализе теорема Больцано — Вейерштрасса
о компактности ограниченных множеств. Теорема
Больцано—Вейерштрасса справедлива для конечномерных
пространств. С другой стороны, в теории нормированных
пространств имеется теорема Рисса, утверждающая, что
если в некотором нормированном пространстве все
ограниченные множества компактны, то это пространство
конечномерно. Поэтому нормированные пространства с ком-
компактными ограниченными множествами не представляют
интереса с точки зрения функционального анализа.
Но если от нормированных пространств мы перейдем
к линейным топологическим пространствам, то здесь уже
обнаруживаются важные для анализа классы пространств,
все ограниченные множества в которых компактны.
Счетно-нормированные (полные) пространства, в которых
все ограниченные множества компактны, мы будем называть
совершенными.
Оказывается, что совершенные пространства обладают
рядом замечательных свойств, которые, естественно, не
имеют и не могут иметь места в бесконечномерных норми-
нормированных пространствах. Так, в совершенном пространстве
сильная сходимость совпадает со слабой; ограниченные
множества в пространстве Ф', сопряженном к совершенному
пространству Ф, также компактны и слабая сходимость
в пространстве Ф' совпадает с сильной сходимостью. Эти
свойства будут ниже доказаны; можно также доказать,
что совершенное пространство всегда рефлексивно (т. е.
пространство Ф", сопряженное к пространству Ф', совпадает
с пространством Ф).

74 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [2
Проверим сейчас, что в любом линейном топологичес-
топологическом пространстве всякое компактное множество огра-
ограничено.
Действительно, пусть множество А в линейном тополо-
топологическом пространстве Ф не ограничено; покажем, что оно
не компактно. Мы мэжем указать окрестность нуля U и
последовательность элементов <pv?;4 (v=l, 2, . . .), для
которых ^v = — cpv ? U. Очевидно, что ни сама последова-
последовательность cpv, ни любая ее подпоследовательность не
являются ограниченными. Но в таком случае последова-
последовательность cpv не может иметь предельных точек. Дей-
Действительно, пусть ср — предельная точка последовательно-
последовательности cpv и V — нормальная окрестность нуля пространства Ф
такая, что V-\-VczU. В окрестности ср-|~1/ точки ср заве-
заведомо имеются точки последовательности cpv с произвольно
большими номерами. С другой стороны, последователь-
последовательность — ср стремится к нулю, поэтому для достаточно
больших v мы имеем — <р?^. Таким образом, имеются до-
достаточно большие номера v, для которых <Ру€?Ч-У»
т. е. cpv — y(zV и —Тб^- Так как V—нормальная
окрестность нуля, то и — (<pv— <p)?^. Мы получаем, что
в противоречие с построением. Таким образом, Л неком-
некомпактно, что и требовалось доказать.
2. Условие совершенства счетно-нормированного про-
пространства. Приведем простое достаточное условие, обе-
обеспечивающее совершенство данного счетно-нормированного
пространства.
Теорема. Пусть дано счетно-нормированное (полное)
пространство Ф с упорядоченными нормами:
и последовательность индексов рх < р2 < . . . < рк < . . ,

2] § 6. СОВЕРШЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 75
Если из каждого множества ЛсФ, ограниченного
по норме \у\р ш у можно выбрать последовательность,
фундаментальную по норме ЦсрЦ^., то пространство Ф
совершенно.
Доказательство. Мы должны показать, что каждое
ограниченное множество Лс Ф компактно. Множество А
ограничено, в частности, по норме ||ср||^ . в силу услОвия
оно содержит последовательность сри, ср12, . . ., ср1р,
фундаментальную по норме [|ср|| . Эта последовательность
ограничена по норме \\у\\р и потому содержит подпосле-
подпоследовательность ср21, ср22, ..., ср2р, ..., фундаментальную по
норме ||<p||jB2- Продолжая так далее, мы получаем систему
последовательностей
яг-я из которых фундаментальна по норме ||<р||^7?| г- Диаго-
Диагональная последовательность српп фундаментальна по каждой
из норм 11^11^.G=1,2, . . .), а следовательно, и вообще
по каждой из норм ||ср||р. Тем самым она фундаментальна
в пространстве Фив силу его полноты имеет некоторый
предел <ро€Ф- Итак, А компактно, что и утверждалось.
П ри м ер. Проверим, используя найденный признак, что
счетно-нормированное пространство К(а) всех бесконечно
дифференцируемых функций, обращающихся в нуль вне
отрезка | х \ ^ а, совершенно.
Пусть А а К (а) — множество, ограниченное по норме
Покажем, что оно компактно по норме ||<p||_p_i- Так как
первые производные функций ср<^>~1> (л:) (ср ? А), по условию,
ограничены, то в силу теоремы Арцела из этих функций
можно выбрать равномерно сходящуюся последовательность

76 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3
ср^-^С*), •••» Т?*^)» ••• Так как все производные
функций cpv(X) до порядка <р—1 получаются интегри-
интегрированием последовательности ср^-!)(#), то все они также
образуют равномерно сходящиеся последовательности. Тем
самым последовательность cpv(jc) сходится по норме ||<р||р_1,
что и требовалось. Отсюда согласно только что доказан-
доказанной теореме следует, что К (а) совершенно.
Аналогичное предложение справедливо и для счетно-
нормированного пространства К (а) всех бесконечно диф-
дифференцируемых функций &(xv ..., хп)9 обращающихся
в нуль вне области Оа= {| хг\ < av . . ., \хп\ < ап) (§ 3,
п. 3).
3. Совпадение сильной и слабой сходимости.
Теорема. В совершенном пространстве Ф сильная
и слабая сходимости совпадают.
Доказательство. Достаточно рассмотреть после-
последовательность <ру?Ф, сходящуюся к нулю. Если cpv сходится
к нулю по топологии, то (/, cpv)—>() при любом /?Ф'
в силу непрерывности функционала /; таким образом, cpv
сходится к нулю и слабо.
Обратно, если последовательность cpv сходится к нулю
слабо, то для любого /?Ф' числа (/, cpv), во всяком случае,
ограничены. Множество Л = {ср1> ср2, ...}, следовательно,
слабо ограничено. Но тогда оно и сильно ограничено (§ 5,
п. 7); наконец, поскольку пространство Ф совершенно, мно-
множество А компактно. Но любая сильно сходящаяся под-
подпоследовательность элементов cpv может иметь пределом
лишь нуль, поскольку ее слабый предел равен нулю. По-
Поэтому последовательность cpv сходится сильно к нулю, что
и требовалось.
Следствие. Совершенное пространство Ф полно
относительно слабой сходимости.
Доказательство. Пусть последовательность ср^Ф
слабо фундаментальна, т. е. для любого /^Ф7 числа (/, cpv)
образуют сходящуюся последовательность. Это означает,
во всяком случае, что множество А — {срх, ср2, ...} слабо
ограничено.
Согласно п. 5 § 5 множество А сильно ограничено,
а следовательно (поскольку Ф совершенно), компактно; так

4] § 6. СОВЕРШЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 77
как в пространстве Ф выполнена 1-я аксиома счетности,
то оно содержит подпоследовательность cpv , . . ., cpv^, . . .,
сильно сходящуюся к некоторому элементу ср?Ф. В силу
непрерывности функционала / мы имеем (/, cpv ) —> (/, ср).
Так как (/, cpv) — сходящаяся последовательность, то (/, cpv) ->
—* (/» ф)» т« е« последовательность <pv слабо сходится к ср;
таким образом, Ф полно относительно слабой сходимости,
что и утверждается.
4. Слабая и сил* ная сходимость в сопряженном про-
пространстве.
Теорема. Если Ф — совершенное пространство, то
в пространстве Ф' слабая и сальная сходимости совпа-
совпадают.
Доказательство. Достаточно проверить, что после-
последовательность Д?Ф', слабо сходящаяся к функционалу /,
сходится к функционалу / также и сильно. Эта последова-
последовательность /v, очевидно, слабо ограничена; в силу п. 5 § 5
она и сильно ограничена. Далее, можно считать, что /=0
(заменяя в противном случае /v на /v—/). Нам нужно по-
показать, что (/v, ср) —>0 равномерно на каждом ограниченном
множестве ЛсФ. Пусть это не выполняется для некоторого
ограниченного множества Л. Тогда для некоторого е > О
найдутся cpv ^ Л такие, что |(/v, <pv)|>e. Поскольку Л
компактно, можно считать, что cpv—>»сро?Ф. Так как
^v = cPv — ?о стремятся к нулю в исходной топологии про-
пространства Ф и, следовательно, сильно стремятся к нулю, то
для любого ограниченного множества ВсФ' мы имеем
(/» *М ~* 0 равномерно на множестве В. Возьмем в каче-
качестве В последовательность /ь /2, . . ., /v, . . . Тогда, в ча-
частности, (/v, <pv)—>(), а так как, с другой стороны, (/v, cp0) -^ О,
то мы получаем:
(Л, ?*) = (Л.<М + (Л, ?<>)-> о,
что, по построению, не имеет места. Полученное противо-
противоречие убеждает нас в справедливости теоремы.
Для совершенного пространства Ф, в котором выпол-
выполнено условие п. 2, можно дать следующее более четкое
описание последовательностей, сходящихся (сильно или слабо)
в пространстве Фг.

78 ГЛ. i. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [5
При выполнении условия п. 2 последовательность
Л» /2» • • •» Л» • • • сходится {сильно или слабо) в простран-
пространстве Ф/ тогда и только тогда, когда все /v принадлежат
к некоторому фиксированному пространству Ф' (объеди-
(объединением пространств Ф', как мы знаем, является все про-
пространство Ф') # сходятся по норме Ф/.
Действительно, если/у?Ф' и [|/v—/Ир-* О, то для лю-
любого ср мы имеем | (/v — /, <р) |^||/v_ f\\p ||ср||р-> 0, так что
последовательность /v сходится (слабо, а следовательно, и
сильно) в пространстве Ф'.
Пусть, с другой стороны, /v—>/ в пространстве Ф'.
Без ограничения общности можно считать, что /=0. Так
как последовательность /v ограничена в Ф', то она при-
принадлежит целиком пространству Ф^ при некотором г и
ограничена по норме Ф'г (§ 5, п. 3). Найдем индекс р > г
такой, что ограниченность всякой последовательности <ру?Ф
по норме || • ||р влечет ее компактность по норме || • ||г.
Последовательность /v ограничена по норме || • ||г и тем
более ограничена по норме || • |]р (так как при р > г всегда
ll/llr^ Il/Hp)' Покажем, что по этой /?-й норме /v-^.0,
иными словами, что (/v, ср) —>»0 равномерно на единичном
шаре пространства Фр. Если бы этого не было, то можно
было бы указать число е > 0 и последовательность cpv,
|Ы|^<1, так, что |(/v, cpv)|>s (v=l,2, . . .)• Последо-
Последовательность cpv компактна по r-й норме; можно считать, что
по /*-й норме cpv сходятся к некоторому элементу ср0. Но
тогда
+ КЛ. ?о)К0Л11гНТ,
По условию и по построению оба слагаемых справа стре-
стремятся к нулю. Но тогда и (/v, cpv) -^ 0 в противоречие
с определением cpv. Тем самым наше утверждение полностью
доказано.
5. Ограниченные множества в сопряженном простран-
пространстве. П остранство Фг, сопряженное к совершенному про-
пространству Ф, само не является совершенным прежде всего

5] § 6. СОВЕРШЁННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 79
потому, что оно не счетно-нормйрованное. Однако ограни-
ограниченные множества в пространстве Ф', сопряженном
к совершенному пространству Ф, также компактны
относительно слабой и сильной сходимости.
Установим сначала компактность ограниченных множеств
пространства Ф' относительно слабой сходимости. Оказы-
Оказывается, что эта компактность имеет место не только для
пространства, сопряженного к совершенному пространству Ф,
но и для сопряженного к любому сепарабельному
счетно-нормированному пространству Ф. Напомним, что
топологическое пространство называется сепарабельным,
если в нем имеется счетное всюду плотное множество. Ниже
мы покажем, что в совершенном пространстве всегда такое
множество имеется.
Теорема. Если счетно-нор миро ванное пространство Ф
сепарабельно, то каждая ограниченная последователь-
ностъ fv /2, • • •, /v, • . . ? Ф' содержит слабо сходящуюся
подпоследовательность.
Доказательство. Используя диагональный про-
процесс, можно выбрать подпоследовательность функционалов
A»/v2, • • •» Лл» • • •» которая сходится на каждом из элемен-
элементов cpw счетного всюду плотного множества. Так как после-
последовательность/v слабо ограничена, а следовательно, и сильно
ограничена (§ 5, п. 5), то все эти функционалы принадлежат
к некоторому пространству Ф^и в нем ограничены по норме
(§ 5, п. 3). Известно, далее, что эти функционалы сходятся
на множестве Л = {срт}, плотном в Ф и, следовательно,
плотном в Фр. Отсюда, как уже отмечалось в п. 4 § 5,
следует, что функционалы / слабо сходятся к некоторому
функционалу /?Ф^.. Это означает, что для любого ср ^ Фр,
в частности для любого <р?Ф, имеет место предельное
соотношение
(/,*,?)->(/. ?).
что и требуется.
Для установления слабой компактности ограниченных
множеств в пространстве, сопряженном к совершенному, нам
остается доказать следующую теорему.
Теорема. Совершенное пространство Ф сепарабельно.
Доказательство. Среди полных ноа мированных про-
пространств Ф^ФзГЭ..., дающих в пересечении простх ан-

86 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [5
ство Ф, или все сепарабельны или имеется хотя бы одно
не сепарабельное.
В первом случае в пространстве Ф, как подмножестве
сепарабельного пространства Ф1э можно указать счетное
множество Su плотное по норме ЦсрЦ^, аналогично, можно
указать второе счетное множество S2, плотное по норме ||ср||2,
и т. д.; покажем, что объединение всех этих счетных мно-
множеств даст счетное множество S, плотное в Ф по любой
метрике. Действительно, пусть ср — любая точка простран-
пространства Ф; найдем в множестве Sp точку срр такую, что
II? —<М*<7 (/>=i. 2, ...);
тогда для любого k при р > k мы будем иметь
II9 — ЪII л < II <Р — ЪИ р < j»
и следовательно, выбранная последовательность ур?$ схо"
дится к элементу ср по топологии пространства Ф.
Во втором случае можно предположить без ограничения
общности, что несепарабельным является пространство Ф1в
Используя аксиому Цермело *), в пространстве Ф можно
построить несчетное множество Zt точек, ограниченное по
норме |] • ||х, взаимные расстояния между которыми (т. е.
нормы разностей) превосходят положительную постоянную.
Это множество по норме [| • ||2 может уже оказаться неогра-
неограниченным; но, во всяком случае, оно обладает несчетным
подмножеством Z2, ограниченным по норме || • ||2 (так как Ф
заключено в сумме шаров || • ||2<я (/1=1, 2, ...). Далее,
Z2 обладает несчетным подмножеством, ограниченным по
норме || • ||3, и т. д.; заметим, что взаимные расстояния
между точками множества Zx при переходе к нормам |] • ||2,
|| • || 3, ... могут только увеличиваться.
Выберем из множества Zp произвольно точку срр
(р= 1, 2, .. .). Мы получим ограниченное множество в про-
пространстве Ф. Однако оно не содержит ни одной фунда-
фундаментальной последовательности, поскольку взаимные рас-
*) Или лемму Цорна, равносильную аксиоме Цермело. См., на-
например, Л. Л ю м и с, Введение в абстрактный гармонический ана-
анализ, ИЛ, М., 1956, стр. 10.

1] § f. ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 8l
стояния между его точками по любой из норм || • ||р
больше фиксированной постоянной. Таким образом, про-
пространство Ф в этом случае не может быть совершенным.
Тем самым теорема полностью доказана.
Покажем теперь, что всякое ограниченное множество В
в пространстве, сопряженном к совершенному, является не
только слабо, но и сильно компактным, т. е. содержит
сильно сходящуюся последовательность. Это теперь очевидно:
мы доказали, что существует последовательность /v??,
слабо сходящаяся к некоторому функционалу /; но по п. 3
эта последовательность и сильно сходится к /, что и тре-
требуется.
§ 7. ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
1. Определение. Оператор Л, отображающий линейное
топологическое пространство Ф в линейное топологическое
пространство W (в частности, в себя, если \?* = Ф), назы-
называется линейным непрерывным оператором, если выпол-
выполняются следующие условия:
1° A (a1cp14-a2f2) = aHcPi + a2^cP2 (линейность), в ча-
частности, Л@) = 0;
2° для любой окрестности нуля Ус? можно указать
такую окрестность нуля GсФ, что Ay^V при <р??/
(непрерывность).
Если W есть плоскость комплексного переменного с ее
обычной топологией, то оператор А будет просто функ-
функционалом.
В § 4 мы видели, что класс линейных непре;ывных
функционалов совпадает с классом линейных функционалов,
ограниченных на каждом ограниченном множестве. Анало-
Аналогичное предложение справедливо и для линейных операторов.
а) Всякий линейный непрерывный оператор переводит
каждое ограниченное множество пространства Ф в огра-
ограниченное множество пространства W.
Доказательство. Пусть А — линейный непрерывный
оператор, /^сФ — заданное ограниченное множество, и пусть
G = AFczty—неограниченное множество. Найдется окре-
окрестность нуля VczW, в которой не содержится целиком никакое
из множеств —G (v=l, 2, .. .). Это означает, что можно
6 Зак. 2669. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов

82 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [1
указать последовательность cpv ^ /^ так, что — ^cpv = — фу
не принадлежит окрестности V. Но — cpv -> 0 в Ф (§ 3, п. 8),
и поэтому элементы — cpv, начиная с некоторого номера v = v0,
попадают в любую окрестность нуля [/сФ. Пользуясь непре-
непрерывностью оператора Л, выберем U так, что AUczV. Полу-
Получается противоречие, которое и показывает, что AF огра-
ограничено, что и требовалось.
б) Если в пространстве F выполнена 1-я аксиома
счетности, то линейный оператор А, переводящий всякое
ограниченное множество пространства Ф в ограниченное
множество пространства Ч\ непрерывен.
Доказательство. Если А — не непрерывный опера-
оператор, то для некоторой окрестности нуля VczW и любой
базисной окрестности нуля О^с:Ф можно указать такой эле-
элемент cpv? — ?/v, для которого .4cpv не входит в окрестность V.
Последовательность vcpv??/v (v=l, 2, . . .) ограничена в Ф
(даже стремится к нулю), последовательность <pv = v>4cpv =
= A (vcpv) не ограничена в W (так как никакое ее кратное
не попадает в окрестность V), и мы приходим к противо-
противоречию с условием леммы. Таким образом, лемма доказана.
Линейный оператор Л, переводящий всякое ограниченное
множество пространства Ф в ограниченное множество про-
пространства W, называется ограниченным. Леммы а) и б) пока-
показывают, что в пространствах с 1-й аксиомой счетности
класс непрерывных операторов совпадает с классом огра-
ограниченных операторов.
Следствие. Для того чтобы линейный оператор А
был непрерывен, необходимо, а в пространствах с 1 -й аксио-
аксиомой счетности и достаточно, чтобы из cpv -> 0 (в Ф) сле-
следовало <]>v = ^cpv->0 (в W).
Доказательство. Необходимость. Пусть cpv —>О
и задана окрестность нуля VczW', пусть, далее, окрестность
нуля (/сФ такова, что AUczV; начиная с некоторого
номера, cpv входит в U, откуда ^cpv?V, следовательно,
Лср,->0 в *F.
Достаточность. Пусть РсФ—ограниченное мно-
множество; если бы G — AF было неограниченным множеством

2] § 7. ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 83
в lF, то мы смогли бы указать окрестность нуля VczW и
последовательность <pv = ,4(pv?G, Для которой — <pv?V; но
— fvGv^* и> следовательно, — cpv->0, что противоречит
условию.
Пример. В основном пространстве К (а) бесконечно
дифференцируемых функций ч>(х), обращающихся в нуль
вне отрезка |х|<]а, операторы умножения на х и диф-
дифференцирования являются непрерывными операторами. Для
доказательства применим только что установленный критерий.
Пусть cpv(x)->0 по топологии К (а); это. значит, что
при любом # = 0, 1, 2, ... функции ср(в)(лг) равномерно схо-
сходятся к нулю при v->0. Мы должны показать, что после-
последовательности
<M*) = *?v(*)
Xv (*) = <(*)
стремятся к нулю в этом же смысле. Но это очевидно, так
как при любом q
фЙ) (X) = *ср<«> (X) + 0<р<9-1> (X),
и обе полученные последовательности равномерно сходятся
к нулю при v —> оо, каково бы ни было q.
2. Теорема об обратном операторе. Для счетно-норми-
рованных (полных) пространств имеет место следующая тео-
теорема об обратном операторе.
Теорема 1. Пусть линейный непрерывный оператор А
взаимно однозначно отображает счетно-нормированное
(полное) пространство Ф на счетно-нормированное (полное)
пространство W. Тогда обратный оператор Л~1 также
непрерывен.
Эта теорема вытекает из следующей теоремы Банаха *):
*) С. Б а н а х, Курс функционального анал1зу, Радянська школа,
Кшв, 1948, разд. 3.
Для линейных нормированных пространств доказательство,
основанное на той же идее, имеется например, в книге А. Н. Кол-
Колмогорова и С. В. Фомина, см. выше, примечание в п. 2 § 2.
6*

84 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [2
Если линейный непрерывный оператор А взаимно одно-
однозначно отображает линейное метрическое полное про-
пространство Ф на линейное метрическое полное простран-
пространство W, то обратный оператор Л также непрерывен.
Напомним, что счетно-нормированное пространство
является линейным метрическим пространством (§ 3, п. 4),
метрика в котором определяет топологию, эквивалентную
исходной. Поэтому, если счетно-нормированное простран-
пространство Ф полно в своей топологии, то оно является полным
и как метрическое пространство.
Следствие. Если в одном и том же пространстве Ф
введены две счетные системы норм ||ср||2, ..., ||ср||р, ...
и IITill» • • •> IIТlli>» • • •> превращающие Ф в полное счетно-
нормированное пространство {каждая), и эти системы
сравнимы (т. е. каждая из норм одной системы является
более слабой, чем некоторая норма второй системы), то
они эквивалентны.
Доказательство. Сохраним обозначение Ф для рас-
рассматриваемого пространства, топологизированного с помощью
первой системы норм, и через W обозначим это же про-
пространство с топологией, порожденной второй системой норм.
Если первая система норм сильнее, чем вторая, то это
означает непрерывность тождественного оператора, пере-
переводящего Ф в W. По теореме 1 обратный оператор непре-
непрерывен; следовательно, вторая система норм оказывается
сильнее, чем первая. Таким образом, эти системы эквива-
эквивалентны, что и требовалось.
Предположение о сравнимости систем норм в свою
очередь можно ослабить, заменив его предположением об их
согласованности. Представим себе, что нами заданы
два линейных топологических пространства Ф и f, причем W
является линейным подпространством пространства Ф. Будем
говорить, что топологии в пространствах Ф и W согласо-
согласованы, если для всякой последовательности <pv ? W, сходящейся
к нулю по топологии W и одновременно сходящейся к эле-
элементу <ро€Ф по топологии Ф, мы имеем сро = О.
Теорема 2. Если Ф и W а Ф — (полные) счетно-нор-
мированные пространства и топологии их согласованы,
то из сходимости срv —> ср по топологии W следует схо-
сходимость <pv-><p no топологии Ф.

3] § 7. ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 85
Замечание. Эта теорема показывает, что вложение счетно-
нормированных пространств с условием согласованности топологий
есть вложение со сравнимостью топологий. В дальнейшем при
рассмотрении основных пространств функций согласованность топо-
топологий будет фактом, легко проверяемым; эта теорема позволит
делать полезные заключения о сравнимости топологий и об их
эквивалентности. Кратко можно резюмировать так: чем уже про-
пространство, тем сильнее его топология.
Доказательство. Пусть \\<?\\р и \\<р\\р— системы
норм соответственно в пространствах Ф и ч7 (р= 1» 2, . . .).
Введем в пространстве Ч? новую систему норм ||ср||р =
= max (llfHp, IMIp). Проверим, что пространство W полно
и относительно новой системы норм. Если <pv?W—после-
<pv?W—последовательность, фундаментальная по новой системе норм,
то, очевидно, она фундаментальна и по обеим старым
системам; в силу полноты пространств W и Ф мы имеем
Tv-^Фо (в *). Tv-^To (в ф).
Разность cpv — ф0 стремится к нулю в W и стремится
к ср0 — ф0 в Ф. По условию, ср0 — Фо = О> так чт0 сРо = Фо*>
таким образом, <pv~~^o п0 обеим системам норм. Но тогда
^~^Фо и п0 новой системе норм. Таким образом, W полно
относительно новой системы норм.
Учитывая сравнимость систем норм \\<?\\'р и |]ср \\ру опре-
определенных в пространстве *F, мы получаем в силу доказан-
доказанного выше их эквивалентность.
Пусть теперь cpv —>> ср0 по топологии W. Это означает,
что ||cpv — follp-^O (р=1, 2,...). Но, по доказанному,
и ||cpv — сро||р-^О, а отсюда следует, что ||<pv — Tollp-^0»
т. е. срv —> ср0 по топологии Ф, и теорема доказана.
Итак, при условии согласованности систем норм
из сходимости в более узком пространстве следует схо-
сходимость в более широком пространстве. Как следствие
получаем: всякий линейный непрерывный функционал на
более широком пространстве Ф является линейным не-
непрерывным функционалом и на более узком простран-
пространстве W.
3. Действия с линейными операторами. Введем теперь
для операторов действия сложения, умножения на число
и умножения друг на друга.

86 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [4
Для любых двух линейных операторов А и В, перево-
переводящих пространство Ф в пространство Ч?9 естественно
определяются сумма и произведение на число:
(\А) ср =
причем результаты снова представляют собой линейные
операторы, переводящие пространство Ф в пространство W.
Легко видеть, что непрерывность А влечет непрерыв-
непрерывность ХЛ, непрерывность А и В влечет непрерывность А-\-В.
Если оператор А отображает пространство Ф в про-
пространство W, а оператор В — пространство W в простран-
пространство X, то можно определить произведение ВА по формуле
при этом полученный оператор ВА также линеен. Если А
и В — непрерывные операторы, то ВА также непрерывен.
4. Последовательности операторов. Оператор Л, ото-
отображающий пространство Ф на пространство ЧР", называется
сильным (слабым) пределом последовательности операто-
операторов А^ отображающих пространство Ф на то же простран-
пространство W (v=l, 2, . . .), если для любого <р?Ф имеет место
соотношение
lim Д,ср=Л(р
в сильном *) (слабом) смысле. В совершенных пространствах,
где эти сходимости совпадают, совпадают и оба приведен-
приведенных определения.
Теорема. Если линейный непрерывный оператор Avi
отображающий счетно-нормированное пространство Ф
в счетнО'НОрмированное пространство W, при v -> оо слабо
сходится к некоторому оператору Л, то А — также
линейный и непрерывный оператор.
Доказательство. Линейность оператора А три-
тривиальна, существенно доказать его непрерывность. Функцио-
Функционал (/v, cp) = (g-, Д,ср) с фиксированным g^W непрерывен
*) Под сильной топологией в пространстве ЧГ мы здесь пони-
понимаем исходную топологию в этом пространстве (разумеется, едли
речь идет не о сопряженном пространстве),

5] § 7. ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 87
по xf в силу предположенной непрерывности оператора Av.
При v —> оо этот функционал слабо сходится к функционалу
(/, ср) ==(?•, Лср); по теореме п. 6 § 5 функционал (/, ср)
также непрерывен по ср. Поэтому он ограничен на каждом
ограниченном множестве F пространства Ф (§ 4, п. 4).
Таким образом, для любого функционала g"(;W и любого
ограниченного множества Fc<D множество чисел (g, Лср)
ограничено, когда ср пробегает множество F. Мы видим, что
множество {Лср}, ср ? F слабо ограничено в 4F. Отсюда следует,
что множество {Лср}с№ сильно ограничено (§ 5, п. 7). Таким
образом, оператор А переводит любое ограниченное множество
^сФ снова в ограниченное множество 7^= {Лср} с: ^ и
в силу леммы б) из п. 1 непрерывен.
5. Сопряженный оператор. Пусть дан линейный непре-
непрерывный оператор Л, отображающий пространство Ф в про-
пространство W, и пусть Ф' и *Р'—соответствующие сопряженные
пространства. Введем оператор Л*, переводящий простран-
пространство W в пространство Ф' по формуле
где ср?Ф, g?W. Из непрерывности оператора А и функ-
функционала g следует, что Л* — непрерывный оператор; он
называется сопряженным к оператору Л.
Пример. Подсчитаем сопряженные операторы для
операторов умножения на х и дифференцирования в про-
пространстве К(а) бесконечно дифференцируемых функций,
обращающихся в нуль вне отрезка а-*Сх^.Ь. Согласно
определению
Если функционал / задается интегралом
то, как это видно из A), функционал x*f задается инте-
интегралом
¦г*

88 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [5
Таким образом, в данном случае операция х* состоит
в умножении функции f(x) на х. Это дает нам право назы-
называть операцию х* в сопряженном пространстве К' {а) умно-
умножением на х.
Аналогично,
Но мы знаем из выпуска 1, что для функционалов / типа
дифференцируемой функции f(x)
Таким образом, в этом случае оператор -j— совпадает
d
с оператором, который мы назвали в свое время ——г-.
Заметим, что оператор i—z самосопряженный:
Y~dx) ~ dx *
Легко проверить формулы
Последнее равенство имеет смысл, естественно, в том
случае, когда определен оператор ВА, т. е. в случае,
когда оператор В определен в том пространстве W, в кото-
которое оператор А отображает пространство Ф.
Все эти соотношения сохраняются, разумеется, и тогда,
когда операторы Л, В отображают пространство Ф в себя,
так что можно принять W = O. В этом случае сопряженный
оператор А* определен в пространстве Ф' и переводит это
пространство в себя. К формулам B) в этом случае можно
присоединить еще очевидную формулу
которая означает, что сопряженным к единичному (тожде-
(тождественному) оператору в пространстве Ф служит единичный
оператор в пространстве Ф', Далее, если оператор А з

1] § 8. ОБЪЕДИНЕНИЯ СЧЕТНО-НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ 89
странстве Ф обладает обратным оператором Л, то сопря-
сопряженный оператор А* также обладает обратным оператором;
именно, этим обратным оператором служит оператор (Л1) .
Действительно, мы имеем для любых ср?Ф, /?Ф':
jA'f, ср) = (ЛV, Л-VM/. ЛЛ"Л) = (/, ср),
откуда \А~) А = ?, что и утверждается.
§ 8. ОБЪЕДИНЕНИЯ СЧЕТНО-НОРМИРОВАННЫХ
ПРОСТРАНСТВ
1. Определение. Пусть дана расширяющаяся последо-
последовательность линейных топологических пространств
фA)с=фB)с: #
Предполагается, что каждое вложение сохраняет сходи-
сходимость последовательностей, т. е. если последовательность
ср^Ф(ш) сходится к нулю, то, рассматриваемая в более
широком пространстве ф(ш+1), она также сходится к нулю.
Обозначим через Ф(ш) объединение всех пространств Ф(ш)
(/я==1, 2, .. .). Совокупность Ф * представляет собой ли-
линейное пространство с естественными линейными операциями.
Введем в Ф(ш) следующее определение сходимости после-
последовательностей. Будем говорить, что последовательность
?i> ?2> •••> <Pv> ••• элементов Ф(ш) сходится к элементу
ср?Ф( , если все элементы cpv и ср содержатся в некотором
фиксированном пространстве Ф(т) и cpv —> ср по топологии
этого пространства.
Пространство Ф(ш), полученное описанной конструкцией,
называется объединением пространств Ф(ш). Это не топо-
топологическое пространство, поскольку в нем не задана си-
система открытых или замкнутых множеств.
В качестве примера рассмотрим объединение счетно-
нормированных пространств К(а). Пространство К(а), как
мы уже говорили (§ 3, п. 3), состоит из всех бесконечно
дифференцируемых функций ^(xv ..., хп), обращающихся
в нуль вне области Ofl={|^i|<fli, ..., |^w|^an}» будем
считать, что ах = аг = ,,, = ап = а; а = 1, 2, ...

90 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [2
Объединение пространств К(а) состоит из всех беско-
бесконечно дифференцируемых функций <р(*и ..., хп), обращаю-
обращающихся в нуль вне ограниченной области (своей для каждой
функции ф).
Последовательность cpv (x) таких функций, согласно опре-
определению, сходится к нулю тогда и только тогда, когда,
во-первых, все cpv(x) принадлежат к одному и тому же про-
пространству К (а),— иными словами, все cpv(x) обращаются
в нуль вне одной и той же области, — и, во-вторых, функ-
функции cpv(x) в этом пространстве К (а) сходятся к нулю по
его топологии —в данном случае равномерно сходятся к нулю
вместе с производными всех порядков.
Мы пришли, таким образом, к определению основного
пространства /С, которое играло главную роль в построе-
построениях выпуска 1.
Итак, основное пространство К есть объединение
счетно-нормированных пространств К(а).
2. Ограниченные множества и линейные функционалы.
Множество БсФ(ю) называется ограниченным, если оно це-
целиком содержится в некотором Ф(ш) и ограничено по топо-
топологии Ф{т).
Это определение фактически совпадает со вторым определением
ограниченных множеств в линейном топологическом пространстве
(§ 3, п. 8; о первом определении говорить не приходится, так как
оно существенно использует топологию): множество В ограничено
если для любой последовательности <рч € В элементы — <pv стремятся
к нулю при v -+- оо.
Линейный функционал /, заданный на пространстве Ф(<о\
называется непрерывным, если он непрерывен на каж-
каждом Ф(ш). Легко видеть, что в случае, когда Ф(ш)—про-
Ф(ш)—пространства, удовлетворяющие 1-й аксиоме счетности, это
определение эквивалентно следующему: линейный функцио-
функционал / непрерывен, если из cpv —> 0 вытекает (/, <pv)->0.
Если в каждом из пространств Ф(ш) выполнена 1-я ак-
аксиома счетности, то определение линейного непрерывного
функционала эквивалентно следующему; линейный функции

2] § 8. объединения счетно-нормированных пространств 91
нал / непрерывен, если он ограничен на каждом ограничен-
ограниченном множестве в пространстве Ф(а)).
Еслч Ф(ш) есть пространство К—объединение про-
пространств К(а) (см. выше), то линейные непрерывные функ-
функционалы на Ф(ш) — это обобщенные функции, введенные нами
в выпуске 1.
Совокупность всех линейных непрерывных функционалов
на пространстве Ф(ш) обозначим через Ф(ш)'. Эта совокуп-
совокупность есть, очевидно, линейное пространство. Введем в этом
пространстве понятие сходимости. Мы будем говорить, что
последовательность функционалов /v ? Ф^ сходится к функ-
функционалу /, если для любого ср ? Ф(ш)
Ит(Д, <?) = (/, ср).
V ->ОО
Именно такая сходимость была введена в выпуске 1
для функционалов на пространстве /С.
Такую сходимость будем называть по-прежнему слабой
(хотя мы не будем вводить никакой другой). Имеет место
следующая важная теорема.
Теорема. Если Ф^т) — счетно-нормированные про-
пространства, то пространство Ф(ш)' полно относительно
{слабой) сходимости.
Доказательство. Пусть последовательность /v
(v=l, 2, ...) обладает тем свойством, что для каждого
<р?ф(ш) существует предел (/, ср) = lim (/v, ср). Функцио-
v->oo
нал (/, ср), рассматриваемый для ср?Ф(?те), является в силу
теоремы п. 6 § 5 линейным непрерывным функционалом на
Ф \ но тогда, по определению, / есть линейный непрерыв-
непрерывный функционал на всем Ф(ш), что и требуется.
В частности, пространство обобщенных функций (функ-
(функционалов на пространстве К) полно относительно слабой
сходимости. Этот факт лежал в основе многих построений
выпуска К
Введем, далее, для пространства Ф(ш)' понятие ограни-
ограниченного множества. Множество /^сгФ называется огра-
ограниченным, если для любого <р?Ф(<^ ограничено множество

92 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3
чисел (/, <р)> /G F- Речь идет, таким образом, о слабой
ограниченности. (Эквивалентное определение: множество F
ограничено, если для любой последовательности /х, /2, ...
.. ., /v, . . . ? F функционалы — /v стремятся к нулю в Ф(ш).)
Покажем, что в случае счетно-нормированных про-
пространств Ф(ж) для ограниченного множества F?<P(<o)'
числа (/, <р) ограничены не только на каждом элементе
<р?Ф(<°\ но ограничены {равномерно) и на любом ограни-
ограниченном множестве ЛсиФ(<о).
Действительно, если А — ограниченное множество в Ф ,
то оно, согласно определению, целиком содержится в неко-
некотором Ф^т' и ограничено по топологии Ф^т\ Функцио-
Функционалы /? F суть линейные непрерывные функционалы, в ча-
частности, на пространстве Ф(ш). Они ограничены на каждом
элементе <р?Ф(ш) и образуют, следовательно, слабо огра-
ограниченное множество в пространстве Ф(т)\ Но тогда (см.
п. 5 § 5) множество F и сильно ограничено в простран-
пространстве Ф(ж)', т. е. числа (/, ср) равномерно ограничены на лю-
любом ограниченном множестве пространства Ф(т). В частно-
частности, эти числа равномерно ограничены на множестве Л, что
и требовалось.
3. Линейные операторы. Линейный оператор А, опре-
определенный на пространстве Ф(ш) и переводящий Ф(ш) в себя
или в другое аналогичное пространство W , называется
непрерывным, если из <pv —> 0 вытекает Ао^-^0, и ограни-
ограниченным, если он переводит всякое ограниченное множество
ГсФ((и) снова в ограниченное множество AFczW^\
Будем считать, что в каждом из пространств Ф вы-
выполнена 1-я аксиома счетности.
В этом случае можно утверждать, что линейный опера-
оператор А непрерывен тогда и только тогда, когда он огра-
ограничен.
Для доказательства этого утверждения достаточно убе-
убедиться, что каждое из предположений приводит к тому,
что оператор А переводит любое из пространств Ф(ж) в не-
некоторое пространство Ч!^\ Тогда оператор А можно будет

3] § 8. ОБЪЕДИНЕНИЯ СЧЁТНО-НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ 93
рассмотреть на счетно-нормированном пространстве Ф^; так
как его значения лежат также в счетно-нормированном про-
пространстве Ч/ , то останется применить соответствующее
предложение из п. 1 § 7.
Предварительно заметим, что в пространстве Ф с 1-й ак-
аксиомой счетности для любой последовательности элемен-
элементов срх, . . ., <pv, ... всегда можно указать такую последо-
последовательность постоянных Xv ..., Xv, ..., что элементы
\1ov .. ., Xvcpv, . . . будут стремиться к нулю. Действительно,
если Uxzd. . . =dGv=d. . . —определяющая система окрестно-
окрестностей нуля в Ф, то число \ достаточно взять таким, что
^v?v€^v Теперь предположим, что линейный оператор Л,
действующий в Ф*% некоторое Ф не переводит целиком
ни в одно W(p) (р== 1, 2, . . .). Тогда для любого v мы смо-
сможем указать элемент с^?Ф(ш), который оператором А пере-
переводится в ^v^ W(v)-
Пусть Xv таковы, что Xvcpv -^ 0. Если оператор А непре-
непрерывен, то элементы A (\,cpv) = Xv^4cpv также должны стре-
стремиться к нулю и, в частности, должны принадлежать к одному
и тому же W^\ что противоречит предположению.
Если оператор Л ограничен, то элементы Xv^4cpv
должны составлять ограниченное множество и также должны
принадлежать одному и тому же W , что снова противо-
противоречит предположению.
Таким образом, в обоих случаях Л переводит любое из
пространств Ф(ш) в некоторое W(p). Отсюда, как мы видели,
следует, что линейный оператор непрерывен тогда и только
тогда, когда он ограничен.
Для линейного непрерывного оператора А, переводящего
данное пространство Ф* в аналогичное W^ , можно опре-
определить сопряженный оператор Л*, переводящий W ' в Ф '
по формуле
где <р(:Ф(а))> g'G^*'- В силу непрерывности функционала g
и оператора А оператор Л* также оказывается непрерыв-
непрерывным.

94 Гл» ь Линейные топологические пространства [ 1
ДОБАВЛЕНИЕ 1
ЭЛЕМЕНТЫ, ФУНКЦИОНАЛЫ, ОПЕРАТОРЫ, ЗАВИСЯЩИЕ
ОТ ПАРАМЕТРА*)
1. Абстрактные функции. Элемент cpv линейного топо-
топологического пространства Ф или объединения линейных топо-
топологических пространств (§ 8), зависящий от численного пара-
параметра v, мы будем называть {абстрактной) функцией от v.
Если v пробегает целочисленный ряд значений 1, 2, ...,
то мы имеем дело просто с последовательностью элемен-
элементов cpv. В общем случае v пробегает некоторое множество
значений в комплексной плоскости.
Элемент <р0 называется пределом (абстрактной) функ-
функции cpv при v->v0, если для любой окрестности нуля О можно
указать такое 8 > 0, что |v — vo|<8 влечет cpv — ?о€^-
Имеется и эквивалентное определение: сро есть предел cpv
при v->v0, если для любой последовательности vw->v0 мы
имеем cpv ->cpo- Вторым определением мы будем пользо-
пользоваться в объединениях линейных топологических пространств
(§ 8), где мы не вводили топологии, а ввели только поня-
понятие сходимости последовательностей.
Окрестности нуля, участвующие в первой формулировке,
могут быть сильными или слабыми, и соответственно этому
и сходимость cpv ->9o должна быть сильной или слабой;
предел, который мы получаем, соответственно называется
сильным или слабым**). Для совершенных пространств и
сопряженных к ним это различие снимается, поскольку, как
мы знаем, там слабая и сильная сходимости совпадают.
В частности, абстрактная функция cpv называется сильно
{слабо) непрерывной в точке v0, если cpv -
(слабом) смысле.
*) Ср. добавление 2 к гл. I выпуска 1.
**) Под сильной топологией в линейном топологическом про-
пространстве мы будем иметь здесь в виду исходную топологию
в этом пространстве, если, конечно, речь идет не о сопряженном
пространстве.
В случае пространства, сопряженного к объединению линейных
топологических пространств, мы можем говорить только о слабой
сходимости, так что все «сильные» варианты определений и пред-
предположений настоящего добавления к этому случаю не относятся.

1] ДОБАВЛЕНИЕ 1 95
В этом добавлении мы будем рассматривать главным
образом счетно-нормированные пространства и их объеди-
объединения— те и другие мы для краткости будем называть
основными пространствами*), — а также сопряженные
к ним пространства.
Установим вначале некоторые свойства числовых функций
вида (/v, <pv), где cpv — элементы основного пространства Ф,
/v — линейные непрерывные функционалы на нем.
Лемма. Если в основном пространстве Ф при v—w0
последовательность элементов <pv сильно сходится к эле*
менту <р0, а последовательность функционалов /у слабо
сходится к функционалу /0, то последовательность
(Л» ?v) сходится к (/0, <р0).
Доказательство. Пусть сначала Ф — счетно-норми-
рованное пространство. Мы имеем:
(Л. ?v) — (/o> ?o) = (/v> ?v — ?o)-K/v— U ?o)-
Последовательность /v, как слабо сходящаяся, является
слабо ограниченной и, следовательно (см. § 5, п. 5), сильно
ограниченной. Последовательность <pv — сро стремится к нулю,
поэтому (см. § 5, п. 7) мы имеем (/v, <pv — ^о)""*^- Второе
слагаемое (/v—/0, <р0) также стремится к нулю по самому
определению слабой сходимости функционалов. Отсюда
(Л> ?v) — (/o> ?o)->O,
что и требуется.
Пусть теперь Ф = Ф((о) — объединение счетно-нормиро-
ванных пространств Ф(ш). В этом случае сходящаяся последо-
последовательность <pv-> % содержится в некотором Ф^ш\ функцио-
функционалы /v можно также рассматривать как функционалы
над Ф(ш); по доказанному, (/v, ^"^(/о» ?о)» чт0 и утвер-
утверждается.
Для слабо сходящейся последовательности <fv-><fo утверждение
леммы теряет силу даже в нормированных пространствах. Напри-
Например, в гильбертовом пространстве последовательность ортогональ-
ортогональных и нормированных векторов еь е2,..., е^ ... слабо сходится
к нулю, однако (е^, е^) ~ 1 не стремится к нулю.
Но если предположить, что пространство Ф совершенно или
является объединением совершенных пространств, то при замене
*) В начале следующей главы понятие основного пространства
будет уточнено.

% ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [2
сильной сходимости cpv —>> ср0 на слабую утверждение леммы сохра-
сохранится (поскольку в совершенном пространстве слабая сходимость
совпадает с сильной). Это — еще одно подтверждение целесооб-
целесообразности выделения совершенных пространств.
2. Дифференцируемые абстрактные функции. Абстракт-
Абстрактная функция <pv называется сильно {слабо) дифференцируе-
дифференцируемой в точке v0, если существует сильный (слабый) предел
= lim
Этот предел, естественно, называется сильной (слабой)
производной (по параметру).
Покажем, что слабая дифференцируемость в точке v0
функции cpv со значениями в основном пространстве или
сопряженном к нему влечет ее сильную и слабую непре-
непрерывность в этой точке.
Действительно, при любых hn—>0 последовательность
У*и+Л- Уу^
^ слабо сходится (к ср ) и поэтому слабо и сильно
/Zfl \ d/
ограничена. Умножая эту последовательность на числа
/гп->0, получаем, что последовательность cpVo+^ —<pVo слабо
и сильно сходится к нулю; это и означает сильную непре-
непрерывность функции <pv в точке v0.
В свою очередь слабая непрерывность функции <pv
в точке v0 влечет слабую и сильную ограниченность этой
функции в некотором интервале, содержащем точку v0.
Лемма. Если элемент <pv основного пространства и
линейный непрерывный функционал f на нем — слабо
дифференцируемые функции параметра v, то (/v, <p,)—•
числовая дифференцируемая функция, причем
Доказательство. Мы имеем
?у) _(Л+Д». fv+Av)-(/y Ту) _
Av
Av *~ Av
•¦)¦

3] Добавление i 97
В первом слагаемом отношение v"fA^ слабо сходится
к /', a 9v+av сильно сходится к cpv (в силу доказанной силь-
сильной непрерывности слабо дифференцируемой функции);
поэтому по лемме п. 1 первое слагаемое имеет предел
(/'> ?v)' Второе слагаемое имеет предел (/v, ср') в силу пред-
предположения о слабой дифференцируемости функции cpv. Все
полученное выражение имеет при Av->0 пределом правую
часть формулы A), что и требуется.
3. Операторы, зависящие от параметра. Оператор А„
отображающий пространство Ф в пространство lF, зави-
зависящий от параметра v, называется сильно {слабо) непре-
непрерывным {по параметру v) при v = v0, если для любо-
любого ср€ф
lim i4vcp = А ср
в сильном (слабом) смысле.
Оператор А^ называется {сально) слабо ограниченным
{по параметру v) на множестве А значений v, если мно-
множество элементов Д,<р сильно (слабо) ограничено при v?A
и любом фиксированном сро-
Если оператор Av слабо непрерывен в замкнутой об-
области А, то он слабо ограничен в этой области. Действи-
Действительно, числовая функция (/, А^) при любом /? Ф' непре-
непрерывна в области А и, следовательно, ограничена; множество
элементов ,4vcp> таким образом, слабо ограничено в обла-
области А. Естественно, если W есть основное пространство
или сопряженное к нему, то, так как в этом случае
слабая ограниченность совпадает с сильной, слабая непре-
непрерывность оператора А^ влечет его сильную ограничен-
ограниченность.
Оператор В называется сильной {слабой) производной
от оператора А^ при v = v0, если имеет место равенство
в сильном (слабом) смысле
В9= lim
7 Зак. 2669. И. М Гельфанд и Г. Е. Шилов

98 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3
для любого <р?Ф. Оператор Av в этом случае называется
сильно {слабо) дифференцируемым при v = v0.
Слабо дифференцируемый оператор является сильно
и слабо непрерывным, (Доказательство аналогично приве-
приведенному выше для функционалов.)
Если оператор А = А^ переводящий пространство Ф
в пространство W, зависит от параметра v, то сопряженный
оператор А* —А*, переводящий W в Ф', также зависит
от параметра v.
Лемма 1. Если оператор Д,, переводящий основное
пространство Ф в основное пространство х?, есть огра-
ограниченная {слабо непрерывная, слабо дифференцируемая)
функция от v, то А?— также ограниченная (слабо не-
непрерывная, слабо дифференцируемая) функция от v; при
этом
lim А,= f Hm A
Доказательство. Пусть Д ограничен при ^?А.
Пусть, далее, А* — сопряженный оператор и /?4^'; тогда
(Л*/, ?) = (/, Aj$) ограничено при любом ?^^- Таким
образом, множество функционалов Alf? Ф' слабо ограни-
ограничено при ^?Л; отсюда следует, что оно и сильно огра-
ограничено.
Пусть, далее, оператор А^ слабо сходится к оператору Аъ
при v->v0. Тогда для любого /?№ и ср ^ Ф
(A'f, cp) = (/, Дер) -> (/, Л^ср) = (A'f, cp),
так что А* слабо сходится к А* при v -> v0.
Применяя этот результат к отношению н+\ г> ПРИ-
ходим к справедливости и последнего утверждения леммы.
Лемма 2. Если Д — ограниченный оператор, пере-
переводящий основное пространство Ф в основное простран-
пространство W, cpv — ограниченный элемент в пространстве Ф
{при v?A), то элементы Д^ образуют ограниченное
множество в пространстве W.

3] ДОБАВЛЕНИЕ 1 99
Доказательство. Для любого /?ЧР' мы имеем
(/, A^) = (A*f9 cpv);
полученная величина ограничена, поскольку ограничено
множество {Л*/}с=Ф/ *).
Лемма 3. Если при v->v0 оператор Д,, переводящий
основное пространство Ф в основное пространство W,
слабо сходится к А, а элемент cpv в пространстве Ф
сильно сходится к ср, то ,4vcpv слабо сходится к Л<р.
Доказательство. Пусть /?V — произвольный
функционал. Тогда
(/, ЛчО = (A*f, ?v) -> (Л*/, ср) = (/, Лср)
по лемме 1 и лемме п. 1; таким образом, ^vcpv слабо схо-
сходится к Лср. _
Лемма 4. Если оператор А^ отображающий основное
пространство Ф в основное пространство W, сильно
непрерывен по v и оператор ?*v, отображающий W в ос-
основное пространство X, слабо непрерывен по v, то их
произведение Cv = В^А^ слабо непрерывно по v.
Действительно, пусть А^ -> Ло сильно, ?*v -> 50 слабо
при v-^v0; проверим, что В^-* В0А0 слабо. Положим
<]^ = Дср для любого фиксированного <р?Ф; по условию,
У?-+А0<р сильно при v->v0. По лемме 3, величина (Д,Д,)ср =
== В^ {А^) = B$v слабо сходится к Во(Лоср) = (В0А0) ср, что
и приводит к искомому предельному соотношению.
Теперь мы можем установить главный результат.
Теорема. Если при v = v0 оператор А„ переводящий
основное пространство Ф в основное пространство 4f,
и элемент cpv пространства Ф слабо дифференцируемы,
то элемент ,4vcpv пространства W также слабо диффе-
дифференцируем и
|(А<р,) = л^ + ^. B)
*) В объединениях счетно-нормированных пространств исполь-
используется результат п. 2 § 8 о том, что ограниченное множество функ-
функционалов равномерно ограничено на каждом ограниченном множе-
множестве элементов.
7*

100 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [4
Доказательство. Для любого / ? W, применяя
лемму 1, мы имеем:
it
V1
(>•
откуда и вытекает B).
4. Интегрирование непрерывных абстрактных функций
по параметру. Пусть в совершенном пространстве Ф задана
непрерывная абстрактная функция cpv для значений я^>^#.
Мы утверждаем, что в пространстве Ф существует предел
интегральной суммы
6
j j
a
Действительно, для любого функционала /?Ф/ функция
(/, cpv), как непрерывная функция от v, интегрируема, так
ъ
что существует предел Нт^ОЛ 9j)^vj = Г(/» ?v)^v-
а
В силу теоремы о полноте совершенного пространства
относительно слабой сходимости последовательностей (§ 6,
п. 3), существует и предел A). Легко проверить, что для
определенного таким образом интеграла выполняются все
обычные свойства; упомянем, в частности, о теореме
о среднем:
ъ
lim -7-J— f cpv fa ¦= cpa. B)
Равенство B) легко доказывается в слабом смысле, тогда
оно превращается в классическую теорему; затем остается
констатировать, что равенство B) справедливо также и
в сильном смысле, поскольку в совершенном пространстве
слабая и сильная сходимости совпадают.

ГЛАВА II
ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ
ФУНКЦИЙ
1. Основные функции. Основным пространством назы-
называется линейное топологическое пространство Ф, образо-
образованное из функций ср (лг), определенных на некотором мно-
множестве R.
Относительно топологической природы основного про-
пространства мы будем предполагать, что оно представляет
собой счетно-нормированное пространство (гл. I, § 3) или
объединение таких пространств (гл. I, § 8).
Кроме того, мы предположим, что выполнено следующее
естественное условие: из сходимости последовательности
элементов cpv(x) этого пространства по топологии выте-
вытекает сходимость числовой последовательности cpv (x0)
в любой фиксированной точке xo?R.
Функции, входящие в основное пространство, называются
основными функциями.
Множество /?, как правило, будет /г-мерным веществен-
вещественным пространством Rn или д-мерным комплексным прост-
пространством Сп.
Через x = (xlt . . ., хп) (или у, ?, т}) мы будем обозначать
точку пространства Rn, через z = (zl9 ..., zn) — x-{-iy
(или С = $ + п)) — точку пространства Сп, через # =
==(Я1у ••-, Яп) (или ^ и т. п.) — набор целых чисел. Кроме
того, мы систематически будем пользоваться следующими
удобными обозначениями. Символ \q\ будет обозначать
сумму qx-\- ... -\-qn, символ Dq — дифференциальный опе-
ратор — — , символ хк — прозиведение *xi.. ,хпп*
дхъ, ..., дхяп

102 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [2
По аналогии с этим под е'*'*1 мы будем понимать
ea(\Zl\ Ч... +\гп\ n)t Читатель, который раньше не встре-
встречался с такими обозначениями, вскоре увидит, что они очень
удобны и что их смысл всегда будет ясен из контекста.
2. Примеры. Рассмотрим некоторые примеры основных
пространств, построенных из функций вещественных аргу-
аргументов.
1°. Пространство К (а), состоящее из всех беско-
бесконечно дифференцируемых функций ср (л:), определенных
в я-мерном пространстве Rn и обращающихся в нуль вне
области
Ga={l*i|<0i. 1*2 К <*2. •••> \хп\<а>п)
(а = (а19 а2, . . ., ап)).
С этим пространством мы неоднократно встречались раньше.
Топология задается так, чтобы сходимость последовательно-
последовательности cpv(x)^ К (а) по топологии совпадала с равномерной
сходимостью функций cpv(x) и всех их производных в обла-
области Ga. Такую топологию можно указать заданием счетной
совокупности норм
II?Ни = supJZ*p(*)l 0> = 0, 1,2, ...), A)
\q\<P
эквивалентной, как нетрудно проверить, системе норм, при-
приведенной в п. 3 § 3 гл. I. Нормы A) также согласованы.
В п. 2 § 6 гл. I мы проверили, что К(а) является совер-
совершенным пространством.
2°. Пространство /С, состоящее из всех бесконечно
дифференцируемых функций ср (л:), каждая из которых
обращается в нуль вне некоторой конечной области, зави-
зависящей от ср (лг). Это пространство представляет собой, как
мы видели в § 8 гл. I, объединение пространств /С(#), где
а = A, ..., 1), B, . . ., 2), . . . Каждое К (а) вложено
в любое К(а') с а' > а с сохранением сходимости. Напом-
Напомним, что согласно определению сходимости в объединении
последовательность cpv (x) ? К сходится к нулю тогда и
только тогда, когда все cpv(x) обращаются в нуль вне неко-
некоторой (не зависящей от ^) конечной области, а внутри нее

2] § 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 103
равномерно сходятся к нулю вместе со всеми производными.
Именно так мы определили сходимость в пространстве К
в выпуске 1.
3°. Пространство 5, образованное из всех беско-
бесконечно дифференцируемых функций ср (х), определенных
в я-мерном пространстве Rn, которое при |л:|->со стре-
стремится к нулю, так же как и их производные любого по-
порядка, быстрее любой степени —:.
\х\
Для задания топологии в пространстве 5 введем счетную
систему норм
Ы1р= sup, \xkD\(x)\ (/7 = 0,1,2,...). B)
1*1. \Q\<P
Очевидно, сходимость последовательности cpv(x) по топо-
топологии, определяемой этими нормами, совпадает со сходи-
сходимостью, определенной в S в выпуске 1 (см. гл. I, § 1,
п. 10). Ниже, в § 2, мы покажем, в частности, что
нормы B) попарно согласованы и . что 5 — совершенное
пространство.
4°. Следующий класс пространств, содержащий как
частные случаи пространства К{а) и S, является по своей
общности удобным для многих приложений.
Пусть заданы функции 1 <С Мо (х) ^ Мх (х) ^ ... <;
<; Мр(х)*С • • •» определенные для всех x?Rn и принимаю-
принимающие конечные или бесконечные значения. Мы будем пред-
предполагать, что обращаться в бесконечность эти функции
могут только одновременно для всех р и что во всех точ-
точках, где они конечны, они представляют собой непрерыв-
непрерывные функции.
Основное пространство Ф — К{Мр} определяется сле-
следующим образом: оно состоит из всех бесконечно диффе-
дифференцируемых функций ср(х), для которых произведения
Мр(х)D3cp(х) при |#|<;/? (/? = 0, 1, 2, . . .) непрерывны
и ограничены во всем пространстве. Отсюда следует,
в частности, что для каждой ср(л;)? К {Мр} все выражения
= supxMp(x)\D\(x)\ (р = 0, 1, 2, ...) C)
\Q\<P
конечны и что там, где Мр(х) = оо, обязательно все

104 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [3
В § 2 будет показано, что пространство К{Мр}
является полным счетно-нормированным пространством; далее,
оно будет и совершенным пространством (т. е. ограни-
ограниченные множества в этом пространстве будут компактными),
если функции Мр(х) удовлетворяют некоторому добавоч-
добавочному условию. Чтобы получить пространство К{а) как
частный случай пространства К{Мр), нужно положить
1 при |*| < а,
D)
оо при |x|>a v '
(так что Мр(х) фактически не зависит от /?); при этом
формулы C) перейдут в формулы A). Чтобы получить про-
пространство 5 как частный случай пространства К {Мр},
нужно положить
Мр (х) = sup | хи | (= sup \х? ... х\п | ). E)
\к\ |Л|<
Можно заменить эту систему норм эквивалентной системой,
определяемой функциями
M'p(x) = (l + \Xl\f...(\+\xn\f, F)
см. по этому поводу § 2, п. 3.
Другие важные примеры пространств К [Мр] будут
рассмотрены в гл. IV.
3. Соотношения между сходимостями. Имеют место
следующие общие соотношения между сходимостью в
пространстве К (а) бесконечно дифференцируемых функ-
функций, равных нулю при \х\^а, и сходимостью в любом
более широком основном счетно-нормированном пространстве.
Теорема. Если основное счетно-нормированное про-
пространство Ф содержит внутри себя пространство К (а)
бесконечно дифференцируемых функций, обращающих-
обращающихся в нуль вне шара \ х \ <; а, то из сходимости последова-
последовательности функций cpvW K нулю в пространстве К(а)
следует сходимость этой последовательности к нулю и
в пространстве Ф.
Доказательство. Мы сведем эту теорему к тео-
теореме 2 гл. I, § 7, п. 2. В указанной теореме рассматри-
рассматривалась пара вложенных друг в друга счетно-нормирован-

4] § 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 105
ных (полных) пространств ТсФ, причем топология в них
была согласована таким образом, что из соотношений cpv —> 0
в Ч;, Tv-^To B Ф вытекало сро = 0. Теорема утверждала,
что в таком случае из сходимости последовательности cpv
к нулю в W следует сходимость cpv к нулю в Ф. Проверим,
что предпосылка этой теоремы в нашем случае выполнена;
для этого рассмотрим последовательность cpv, сходящуюся
к нулю в К (а). При этом функции cpv(x) сходятся к нулю,
во всяком случае, в каждой точке х. Если функции cpv(x)
сходятся к функции ?о(х) в Ф, то, следовательно,
cpo(jt) = O. Таким образом, можно применить теорему 2
гл. I, § 7, п. 2; применяя ее, получаем требуемое.
Доказанная теорема справедлива и для случая, когда про-
пространство Ф само несчетно-нормировано, но является объеди-
объединением счетно-нормированных пространств Фт (т = 1, 2, ...);
нужно только потребовать, чтобы все пространства Фт, начи-
начиная с некоторого номера, содержали пространство К (а),
и применить только что доказанную теорему.
4. Дальнейшие примеры. Переходим к примерам основ-
основных пространств, построенных из функций комплексных
аргументов.
Условимся говорить, что функция f(z) имеет порядок
роста^.р и тип^а, если известно, что при любом е>0
выполняется неравенство *)
• г. ,р , ,р1
«•!+...+|«„|]. A)
*) В теории функций комплексного переменного порядком
целой функции f(z) называют обычно точную нижнюю границу
чисел р, т. е. величину
In In max | f(z) \
lim "r ,
*->oo 1П Г
а типом целой функции f(z) порядка р — точную нижнюю гра-
границу чисел a -f- e, т. е. величину
In max | f(z) I
г.— | z | = r
lim —!—! .
r -> oo /*P
Но так как мы все время будем иметь дело с неравенствами, то
чтобы избежать постоянного повторения одинаковых оговорок
мы и будем пользоваться определением, указанным ц тексте,

106 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [4
1°. Пространство Z(a) состоит из всех целых
аналитических функций ф(г) от п комплексных переменных
zl = xl-\-iyl, ..., zn = xn-[-iyn, удовлетворяющих нера-
неравенствам
(=С* кпЩ)еа0»^-+\*п\), kj = 0, 1, 2, ...)• B)
Из неравенств B) видно, что функции ty(z)?Z(a) имеют
порядок роста ^ 1 и тип ^ а.
В пространстве Z(a) зададим топологию с помощью
счетной системы норм
^ (р = 0, 1, 2, ...). C)
Как мы получим в § 2 из общих соображений, про-
пространство Z(a) в указанной топологии будет (полным
счетно-нормированным) совершенным пространством.
2°. Пространство Z, по определению, состоит
из всех целых функций ty(x-{-iy), удовлетворяющих нера-
неравенствам
\z^(x-] 1у)\^СкЩ)е"ШУ\ D)
с какой-либо постоянной а(ф) (зависящей от ф). Таким
образом, пространство Z по запасу функций есть объеди-
объединение всех пространств Z(a) (a=l, 2, . . .). При а<а'
пространство Z{a) вложено в пространство Z(a') с сохра-
сохранением сходимости последовательностей. Поэтому про-
пространство Z можно рассматривать как объединение про-
пространств Z(a) в смысле § 8 гл. I. Это означает, что
последовательность ^v (z) ? Z считается сходящейся к нулю
тогда и только тогда, когда все ^v(<z) принадлежат к одному
и тому же Z{a) и в нем сходятся к нулю по его топо-
топологии.
3°. Дадим теперь общую конструкцию класса про-
пространств функций комплексных аргументов, в который как
частный случай будет входить и пространство Z(a).
Пусть заданы непрерывные функции Мр (z) >> С (у) > 0
(/? = 0, 1,2, . . .), определенные для всех z = (zlf z2, . . ., zn).
Основное пространство Z{Mp], по определению, состоит
из всех целых аналитических функций <|>(z), для которых

5] § 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 107
конечны все выражения
IMIj»= suPs Mp (z) | ф (z) |. E)
Очевидно, что эти выражения удовлетворяют обычным
аксиомам нормы. В § 2 мы покажем, что простран-
пространство Z {Мр} является полным счетно-нормированным про-
пространством и при выполнении некоторого дополнительного
условия, наложенного на функции Mp(z), также и совер-
совершенным пространством.
Чтобы получить пространство Z (а) как частный случай
пространств Z {Лу, следует положить
М„(г) — е-а]У\ max \zk\
.....44).
\к\<р
Можно заменить эту систему норм эквивалентной системой,
определяемой функциями
Другие важные примеры пространств будут рассмо-
рассмотрены в гл. IV.
5. Определение обобщенной функции. Обобщенной
функцией называется линейный непрерывный функционал (/, ср)
в некотором основном пространстве Ф.
Таким образом, в отличие от обычных функций обоб-
обобщенные функции определяются не сами по себе, а в зави-
зависимости от выбранного основного пространства Ф.
Совокупность всех обобщенных функций над некоторым
основным пространством Ф, очевидно, совпадает с сопря-
сопряженным пространством Ф'.
Многие обобщенные функции могут быть заданы фор-
формулой вида
(/> ?)=//(*)?(*)<**. (О
R
где f(x) — фиксированная функция, интегрируемая в каждой
конечной области GaR («локально интегрируемая»). Линейный

108 ГЛ. И. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [5
непрерывный функционал, заданный формулой A), назы-
называется регулярным функционалом, или функционалом типа
функции f(x). Такой функционал мы будем просто отож-
отождествлять с соответствующей функцией f(x).
Интеграл A), вообще говоря, несобственный: он рас-
распространен на бесконечную область; поэтому нужно усло-
условиться о способе его суммирования. Мы примем самое
простое условие, а именно, потребуем, чтобы интеграл A)
абсолютно сходился для каждой ср(л;)?Ф.
В пространстве К это условие автоматически выполняется для
любой локально интегрируемой функции, так как в силу финит-
ности основной функции у(х) интеграл A) распространяется на
ограниченную область.
В пространстве S для абсолютной сходимости интеграла A)
при всякой основной функции <р (х) достаточно (и необходимо),
чтобы локально интегрируемая функция f(x) имела на бесконеч-
бесконечности рост не выше степенного, т. е. удовлетворяла неравенству
при некотором &;>0. Если это условие выполнено, функционал A)
будет непрерывным.
В пространстве К {Мр} для абсолютной сходимости интеграла A)
при всякой основной функции <р (х) достаточно, чтобы локально
интегрируемая функция f(x) обладала следующим свойством: при
некотором р отношение
пх)- мр(х)
является суммируемой функцией от х. Проверим, что в этом случае
равенство A) определяет линейный непрерывный функционал на
пространстве Ф.
Действительно, в силу оценки
для любой <р (х) ? К {МрУ интеграл абсолютно сходится. Далее, если
функции <pv (л:) стремятся к нулю в пространстве К{Мр}, то,
в частности, и || <j>v || p ->- 0, откуда и
J (/, ъ) I = | //(*) ?v (x) dx |<||Tv||p Jr (x) dx-*%
так как функционал A) непрерывен.
Отметим, что значения регулярного функционала (/, ср)
на основных функциях однозначно (с точностью до значе-

5] § 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНкЦИЙ 1 ОЙ
ний на множестве меры нуль) определяют соответствую-
соответствующую функцию f{x)\ это имеет место для каждого основ-
основного пространства Ф, содержащего все финитные беско-
бесконечно дифференцируемые функции *).
Достаточно рассмотреть нулевой регулярный функционал
Рассмотрим вначале случай одного переменного х. Покажем,
что функция f(x) почти всюду равна нулю в произвольно
заданном промежутке а^.х^.Ь. Будем в качестве cp(x)
брать основные функции, обращающиеся в нуль вне этого
промежутка. Пусть, далее,
есть первообразная функции f(x)\ это — непрерывная (даже
абсолютно непрерывная) функция, и имеет место формула
интегрирования по частям
ь ь
ff(x) ср (х) dx = — f F(x) ср' (x) dx = 0.
а а
Так как F(x) непрерывна, то можно использовать обычное
рассуждение вариационного исчисления (лемма дю-Буа-Рай-
монда), которое приводит к выводу, что F(x) = const. Но
тогда f(x)-= F'(х) = 0 (почти всюду), что и требовалось
установить.
В общем случае, когда х = (хх, х2, . . ., хп), можно рас-
рассуждать следующим образом. Пусть имеет место равенство
для каждой финитной бесконечно дифференцируемой функ-
функции ср(х). Рассмотрим функции cp(x) вида ср1(д:1)«ср2(л;2, • • .>хп)-
Пусть, далее,
Л (*i) = f f(*v • • •» хп)Ъ (Х2> • • •» xn)dx2. . . dxn\
*) И не имеет места, вообще говоря, в пространствах, состоящих
из аналитических функций; см. по этому поводу ниже (гл. III, §2, п. 3).

ПО ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [5
функция /t (xj при интегрировании в произведении с каждой
основной функцией cpiC^i) ^ает нУль; по доказанному, fiixj
почти при всех хх равна нулю. Фиксируя в равенстве B)
любое значение хи мы приходим к аналогичному равенству
в пространстве п—1 измерений, так что доказательство
завершается простой индукцией. Итак, почти при всех
х19 х2, . . ., хп функция f(xl9 . . ., хп) равна нулю, что и
требовалось.
В силу доказанного мы можем отождествить регулярные
функционалы с соответствующими им функциями. Таким
образом, совокупность тех обычных функций, которые опре-
определяют регулярные функционалы, можно считать частью
всей совокупности обобщенных функций.
Разумеется, существуют обобщенные функции и не при-
приводящиеся к виду
(/. ?)=//(*)?(*)<** =
они называются сингулярными.
Например, дельта-функция
C)
является непрерывным линейным функционалом (поскольку,
как мы предположили, из сходимости последовательности
основных функций cpv ? Ф по топологии пространства Ф сле-
следует сходимость последовательности значений этих функций
в любой фиксированной точке).
Подчеркнем, что в пространствах аналитических функций
точка х0 может быть и комплексной.
Функционал C), вообще говоря, не может быть записан
по формуле A)*). См. по этому поводу выпуск 1, гл. I,
§ 1, п. 3.
Другие примеры обобщенных функций, которые не могут
быть записаны в форме A), даются формулами вида
*) В некоторых пространствах аналитических функций возможно
представление дельта-функций в форме A); см. далее (гл. III, §2, п. 3).

5] § 1. определение основных и обобщённых функций 111
или, более общим образом,
D)
v
где P(D)— ^aaDq—дифференциальный оператор, а /0 (х)—
локально интегрируемая функция.
Выражение D) в действительности определяет линейный непре-
непрерывный функционал, например, в пространстве К{Мр}, если все
отношения
являются суммируемыми функциями от х. Доказательство этого
факта аналогично приведенному выше для случая р = 0.
Если функция/(л:) не является дифференцируемой в обыч-
обычном смысле до порядка р (что дало бы возможность инте-
интегрированием по частям освободиться от применения к основ-
основной функции ср(jc) оператора P(D)), то функционал D) не
записывается в форме
ff(x)<f(x)dx, E)
т. е. не сводится к обычной функции.
Так обстоит дело, например, с дельта-функцией Ь(х — х0),
которая, вообще говоря, не может быть записана в форме E),
но всегда может быть записана в форме D):
(8(* — х0), ср)= <р(*?, . . ., х°л) =
где/0(х) равна 1 при Xj^> х*$ и равна нулю для остальных х.
Мы покажем далее (§ 4), что при широких предположе-
предположениях выражения вида D) дают общий вид линейного не-
непрерывного функционала.

112 ГЛ. П. ОСНОВНЫЕ Й ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИЙ [1
§ 2. ТОПОЛОГИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ К {Мр} И Z {Мр}
1. Вводные замечания. Мы начнем этот параграф
с краткого изложения результатов, которые в нем будут
получены.
Напомним, что пространство К{Мр) определяется зада-
заданием последовательности функций Мр(х), удовлетворяющих
неравенствам 1 <^ М0(х) ^ Мг (х) <^ . . ., принимающих ко-
конечные или одновременно бесконечные значения и непре-
непрерывных всюду, где они конечны. Пространство К{Мр)
состоит, по определению, из всех бесконечно дифференци-
дифференцируемых функций ср(л:) = ср(л:1, ..., хп), для которых про-
произведения Мр (х) Dgcp (x) (\q\^,p) всюду непрерывны и огра-
ограничены во всем пространстве. Нормы в нем, как мы уже
знаем, определяются по формулам
= suPaJ Mp(x)\D\{x)\ (p = 0, 1, 2, ...)• (О
\q\<P
Мы покажем, что с этими нормами пространство у
является полным счетно-нормированным пространством.
Каждая последовательность функций {Мр(л:)}, удовлетво-
удовлетворяющая перечисленным выше условиям, определяет некото-
некоторое пространство К{Мр]. Естественно поставить вопрос,
когда две разные последовательности {Жр(л:}) и {ж^(л:)}
определяют одно и то же пространство (по запасу эле-
элементов и по топологии); системы {Жр(л:)} и (ж^(л:)} мы
условимся в этом случае называть эквивалентными. Можно
доказать, что имеет место следующий интересный факт: если
пространства К{Мр} и /C{m^} совпадают по запасу эле-
элементов, то они совпадают и по топологии, т. е. топология
в пространстве К{Мр) однозначно определяется запасом
функций. Для эквивалентности систем функций {МрС*)} и
(Л4^(л:)} достаточно, чтобы существовали положительные
постоянные С (р) и С (р)> при которых
-^7Т<^(Р) (Р = 0, 1, ...). B)
если считать, что это неравенство выполнено и там, где
Мр (х)= Мр (х) ¦== оо.

i] § 2. топологий в пространствах К{Мр} и Z{Mp] ИЗ
Часто в различных рассуждениях удобно ограничиваться
финитными функциями. Мы покажем, что в общем случае
финитные бесконечно дифференцируемые функции образуют
в пространстве К {Мр} плотную систему.
Среди счетно-нормированных пространств, как мы знаем,
наиболее важны совершенные — полные счетно-нормирован-
ные пространства, в которых ограниченные множества ком-
компактны. Для совершенства пространства К{Мр) достаточно
выполнения следующего условия, которое мы обозна-
обозначим (Р) *):
(Р) для заданного е > О и любого р можно указать
такое р*г > р и такое N, что для тех х, для которых
выполнено хотя бы одно из неравенств
\x\>N9 Mp(x)>N,
справедливо неравенство
Мр(х)<гМр,(х).
Если, в частности, Мр(х) конечны в любой конечной
области, то можно записать условие (Р) в форме
Ит дГТ^ = 0. C)
|а?|>оо т<р'\х)
При помощи этого достаточного условия легко прове-
проверяется, в частности, что пространства К(а) и S совер-
совершенны.
Сформулируем критерий сходимости последовательности
iTvW} в пространстве К{Мр}> удовлетворяющем усло-
условию (Р). Для этого введем следующее удобное определе-
определение: будем называть последовательность бесконечно диффе-
дифференцируемых функций {cpvG*O} правильно сходящейся, если
при любом q последовательность {D?cpv(;t)} сходится рав-
равномерно в каждой конечной области.
Мы увидим, что в пространстве К{Мр), удовлетворяю-
удовлетворяющем условию (Р), последовательность {срДл:)} сходится (по
топологии) тогда и только тогда, когда она ограничена в
этом пространстве (т. е. ||cpv||p<Cp) и правильно сходится.
*) Parfait — совершенный.
8 Зак 2669. И. М Гельфанд и Г. Е. Шилов

114 гл. ii. основные и обоёщенныё функций [1
Пространство Z{Mp}> как мы знаем, определяется зада-
заданием последовательности функций Мр(х) (/? = 0, 1,...),
которые предполагаются всюду непрерывными и не мень-
меньшими 1. Оно состоит из всех целых аналитических функций
ф((г) = ф((г1, ..., zn), для которых конечны все выражения
|. D)
Эти выражения принимаются за нормы в пространстве Z {Мр}.
Ниже мы покажем, что с этими нормами пространство
Z {Мр} является полным счетно-нормированным простран-
пространством.
Далее, две системы функций {Мр(.г)} и {M^B)} экви-
эквивалентны, т. е. определяют совпадающие пространства
Z [Mv] и Z {Мр} (по запасу элементов и топологии), если
выполняется условие, аналогичное B):
0<С(/7)<-^^<С'(р). E)
М р (г)
Наконец, для того чтобы пространство Z {Мр} было
совершенным, достаточно, чтобы выполнялось условие, ана-
аналогичное (Р), а именно:
Для каждого р найдется р' такое, что
lim / = 0.
При помощи этого условия мы проверим, что Z(a)
является совершенным пространством.
Сформулируем критерий сходимости в пространстве
Z[Mp}y удовлетворяющем указанному условию.
Назовем последовательность аналитических функций
{фДг)} правильно сходящейся, если она сходится равно-
равномерно в любой конечной области вещественных значений
аргументов (xlf ..,, хп). Как и в случае пространств
К[Мр}у для того чтобы последовательность (фДг)} элемен-
элементов пространства Z {Мр} сходилась (по его топологии),
необходимо и достаточно, чтобы она па авильно сходилась
и была ограниченной в Z {Мр} (по нормам).
(Заметим, что для ограниченной последовательности
фДг) правильная сходимость следует из равномерной схо-
сходимости в одной фиксированной области.)

2] § 2. топология в пространствах К{Мр) и Z{Mp] 115
2. Пространство К {Мр} как полное счетно-нормиро-
ванное пространство. Переходим к доказательству изло-
изложенных в п. 1 результатов. В настоящем пункте мы пока-
покажем, что с нормами
\\f\\p=snPxMp(x)\D\(x)\ (p = 0, 1,2...) A)
\q\<p
К{Мр} становится полным счетно-нормированным простран-
пространством.
Обозначим через Фр совокупность всех функций ср(лг),
имеющих непрерывные производные до порядка /?, для ко-
которых функции Мр(х) Dqy(x) непрерывны и ограничены во
всем пространстве. Очевидно, что Фр есть нормированное
линейное пространство, если норму в нем определить фор-
формулой A). Пересечение пространств Фъ по всем р совпа-
совпадает, как легко видеть, с пространством Ф = К {Мр}.
Нашей ближайшей целью является доказательство пол-
полноты пространства Фр. Леммы, которые понадобятся для
этой теоремы, будут использованы и в дальнейшем.
Пусть дана последовательность функций срДл;)?Ф^ та-
такая, что сами функции yv(x) и их производные до порядка р
в каждой конечной области равномерно сходятся к некото-
некоторым предельным функциям. Если
сро(л:)= lim срДл:),
v->oo
то в силу известной теоремы о дифференцировании равно-
равномерно сходящейся последовательности функция ср0 (jc) имеет
также производные до порядка р и п;и любом q> \(}\^.p>
Пусть теперь yv(x) (v= 1, 2, . . .) — последовательность,
фундаментальная по норме пространства Фр. Тогда, как
вытекает из определения нормы A), эта последовательность
сходится равномерно в каждой ограниченной области вместе
со своими производными до порядка р. Мы покажем, что
предельная функция ср0(х) принадлежит пространству Фр
# является пределом последовательности срДл:) по
8*

116 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [й
норме Фру т. е. при v —> оо
lko-?JP-»o.
Лемма 1. Предел ср0 (х) последовательности cpv (x) ? Фр,
сходящейся при v -> оо равномерно в каждой конечной
области вместе с производными до порядка р и ограни-
ограниченной по норме A) постоянной С, также принадлежит
пространству Фр и имеет в нем норму, не превосходя-
превосходящую С.
Доказательство. Как было указано, функция ср0(jc)
обладает производными всех порядков q> \q\^p. Пока-
Покажем, что выражение A) для функции сро(лг) конечно.
Пусть х0 — точка, в которой Мр (л:0) << оо. Так как
функция Мр{х) в такой точке непрерывна, то имеется
окрестность точки х0, в которой функция Мр (х) откло-
отклоняется от Мр(х0) не больше чем на -у, где е — любое
наперед заданное положительное число. Поэтому для
указанной окрестности можно найти номер v0 так, что
при v>v0
Мр (х) | D4 (*)| < Мр (х) | D*cpv (х) | + з.
Но, по условию,
sup^
iff 1<р
поэтому в указанной окрестности
В точках х0, где Мр(х0) = оо, функции срДл:) обра-
обращаются в нуль вместе со всеми производными порядков
Я у \я\^Р- Поэтому и функция сроС*) вместе со всеми со-
соответствующими производными равна нулю в таких точках.
Мы видим, что для функции сро(лг) выражение A) суще-
существует и не превосходит С-\-г. Так как е произвольно, то
[|cpo|L<;C, что и утверждалось.
Лемма 2. Всякая фундаментальная по норме ||ср||р
последовательность cpvWG^p» сходящаяся к нулю в ка-
каждой точке xt сходится по норме к функции сро(л;) = О,

2] § 2. топология в пространствах К{Мр} и Z{Mp} 117
Доказательство. Поскольку cpv (х) фундаментальна,
в соответствии со сказанным выше существует функция
сро(лг), имеющая непрерывные производные до порядка р и
такая, что при v -> oo равномерно в каждой конечной
области
V4 (\я\<р)-
Из условия леммы вытекает, что сро(л;) = 0.
Для заданного е>0 найдем vo(s) так, чтобы при v>-v0,
|a>-v0 иметь ||cpv — cpJI^O. Последовательность разностей
cpv — ср^ при ja->oo сходится к функции cpv 00 равномерно
в каждой конечной области вместе с производными до по-
порядка р. По предыдущей лемме
откуда и вытекает требуемое.
Теорема 1. Пространство Фр полно относительно
нормы || ? || р. __
Доказательство. Пусть cpv(x)?Фр — фундаменталь-
фундаментальная по норме ||ср||р последовательность. Эта последователь-
последовательность, как мы уже заметили, сходится при v—>оо равно-
равномерно вместе с производными до порядка р в каждой
конечной области к некоторой функции сро(лг). Так как
нормы || cpv lip ограничены, то согласно лемме 1 р
Разность cpv — ср0 снова фундаментальна и сходится в каж-
каждой точке к нулю; по лемме 2 ||cpv — сро||р —>0, откуда
cpo = lim c
V -> OO
по норме ||ср||р. Теорема доказана.
Следствие. Пополнение Фр пространства Ф = К {Мр}
по норме ЦсрИр есть подпространство пространства Фр.
(Это — частный случай общеизвестного факта: пополнение
метрического пространства, изоморфного части М' полного
пространства М9 изометрично замыканию М' в простран-
пространстве М.)
Отсюда, в частности, мы получаем, что пересечение
пространств Фр по всем /? = 0, 1, 2, .., совпадает
с пространством Ф = /С{М?}.

118 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [3
В соединении с согласованностью норм \\у\\р, которую
мы сейчас проверим, этот результат даст полноту про-
пространства К{Мр]. Действительно, условием полноты счетно-
нормированного пространства Ф, как было показано в п. 2
§ 3 гл. I, является как раз выполнение равенства
Покажем теперь, что всякие две нормы [|<р|| и ||ср||'
из тех, которые установлены в пространстве К{Мр), по-
попарно согласованы, т. е. что всякая фундаментальная по
обеим нормам последовательность cpvG®» сходящаяся к нулю
по одной из норм, сходится к нулю также и по второй
норме.
Лемма 3. Пусть в пространстве Ф функций у(х)
заданы две нормы
\\Ч\\Х= sup^WlDV*)!. IMI2= a,
\q\<Pi I? К №
Утверждается, что эти нормы взаимно согласованы.
Доказательство. Пусть последовательность
TvWG^ Фундаментальна по обеим нормам и по одной
из них — для определенности по ||cp||i — стремится к нулю:
pa,1()|V()Uco-»'°' B)
\q\<Pi
II Tv —Та II 2= SUPa,Af8(*) | Z>« [?,(*) — ^Wll^oo^O. C)
\q\<Pa
Полагая в B) q = 0, получаем, в частности, что в каж-
каждой точке функции cpv (x) равномерно стремятся к нулю.
Применим теперь к норме || • ||2 лемму 2; мы получим, что
|| cpvII2"*0, чт0 и требовалось.
• Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 2. Пространство К{Мр) является полным
^четно-нормированным пространством.
3. Условие совершенства пространства К{МР}. Пере-
Переходим к рассмотрению вопроса о совершенстве простран-
ства K{M)

3] § 2. топология в пространствах К{Мр] и Z{Mp} 119
Докажем, что пространство К{Мр) совершенно, если
выполнено следующее условие.
(Р) Для заданного е > 0 и любого р найдется такое
р'г > р и такое N, что если х удовлетворяет хотя бы
одному из неравенств
\x\>N, Mp(x)>Ny
то
Мр(х)<еМр,(х).
Из условия (Р) в первую очередь можно вывести, что
все произведения Мр (х) Dgcp (x) (| q | <С р) не только огра-
ограничены во всем пространстве, но и стремятся к нулю
при | х | -> оо или Мр (х) -> оо.
Действительно, допуская противное, мы найдем для
некоторых индексов q и /?, |?|^р, последовательность xv>
уходящую в бесконечность или такую, что Mp(xw) —> оо,
для которой
Для индекса р/', соответствующего индексу р по условию (Р),
мы имеем:
где sv ->0. Отсюда
что противоречит принадлежности функции ср (л:) простран-
пространству К{Мр}.
Основой доказательства совершенства пространства
/({Мр} является следующая лемма.
Лемма. Всякая ограниченная по каждой из норм \\ у\\р
последовательность ^v(x)^K{Mp}t правильно сходящаяся
к нулю, сходится к нулю и по каждой из норм ЦсрЦ^.
Доказательство. Фиксируя /?, найдем индекс р'
из условия (Р). Поскольку последовательность cpv ограни-
ограничена, величины [19v Up' не превосходят, например, величины С,
Для данного е > 0 найдем число N так, чтобы как при
\x\>N, так и при Mp(x)>N иметь в тех точках, где
Мр(х) и МР'(х) конечны
Мр(х)<С^-Мр,(х). A)

120 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [3
Тогда для указанных х и любого q> \q\^.p,
Мр (х) | D V (х) | < -1- Мр. (х) | /Яр, (*) |< ^ || cps || р' < е. B)
В тех точках х, где Жр(д:) = Мр>(х) = оо, имеем:
Для всех остальных х (образующих компактное мно-
множество) можно указать такое \»0, что при v > v0 и всех q>
\я\<р>
C
Используя B), мы видим, что в действительности C)
выполнено при v>v0 для всех x?R. Отсюда при ^ > v0
Таким образом, |]cpv||p->0, что и требовалось.
Следствие. Если последовательность Чч?{р)
ограничена по каждой из норм \\у\\р и при v—>оо пра-
правильно сходится к некоторой функции сро(лг), то эта
функция сро(л;) принадлежит к пространству К {Мр} и
является пределом последовательности срДл:) по топо-
топологии пространства К{Мр).
Действительно, в силу леммы 1 п. 2 функция сро(л:) при-
принадлежит к каждому Фр и тем самым и пространству
Разность ср0—cpv ограничена по каждой из норм ||ср||^ и
правильно сходится к нулю. Применяя только что доказан-
доказанную лемму, мы получаем, что при любом р
откуда вытекает, что ср0 есть предел последовательности cpv
по топологии пространства Ф, что и требуется.
Теперь мы в состоянии доказать основную теорему
о совершенстве счетно-нормированного пространства /C{MJ
q системой норм, удовлетворяющих условию (Р).

3] § 2. топология в пространствах К{Мр) и Z{Mp] 121
Теорема. Если функции Мр(х) (/? = 0, 1, 2,...)
удовлетворяют условию (Р), то пространство К{Мр)
совершенно.
Условие этой теоремы выполняется в пространствах К {а)
и S. Для пространства К {а) это имеет место в силу того факта,
что соответствующие функции Мр (х) вне некоторого шара обра-
обращаются в бесконечность. Для пространства S можно положить
(см. следующий пункт)
и, очевидно, для выполнения условия (Р) достаточно принять
р'=р-\-]. Таким образом, из этой теоремы мы получим, в част-
частности, что пространства К (а) и S совершенны. Впрочем, совер-
совершенство пространства /С (а) мы установили еще в § б гл. I;
совершенство пространства S также можно было бы проверить не-
непосредственно.
Доказательство. Мы уже видели, что К{Мр} есть
полное счетно-нормированноё пространство. Докажем, что
каждое ограниченное множество АаК{Мр) компактно.
Пусть <pv(:^ (v=l, 2, . . .) — произвольная ограничен-
ограниченная последовательность; достаточно проверить, что она
содержит правильно сходящуюся подпоследовательность.
, (х)
В силу ограниченности нормы Ц ср^, Ц х функции
(У=1, 2, ..., п) равномерно ограничены. Поэтому
в силу теоремы Арцела существует подпоследовательность
Та» Т^»--" которая равномерно сходится при |#|^1.
У этой подпоследовательности в силу ограниченности норм
Лх)
II ?ь II2 ПРИ | * I < 2 ограничены значения
.Поэтому,
по той же теореме Арцела, она содержит подпоследова-
подпоследовательность ср21, ср22, . . ., у которой в области |л:|<;2 равно-
равномерно сходятся значения первых производных y*v .
Из сходимости функций cp2v при | х | <; 1 и равномерной
сходимости их производных при | х | ^ 2 вытекает и равно-
равномерная сходимость этих функций при |л;|<;2. Продолжая
таким образом далее и применяя затем диагональный про-
процесс, мы получаем ограниченную подпоследовательность

122 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [4
?и» ?22» • • •> равномерно сходящуюся вместе со всеми произ-
производными в любой конечной области к некоторому пре-
пределу сро(лг). Применяя следствие из леммы, мы получаем,
что последовательность cpvv сходится к элементу ср0 по топо-
топологии пространства К{Мр)у что и требуется.
В дальнейшем, говоря о пространствах К{Мр)у мы, как
правило, будем предполагать выполненным условие (Р),
не оговаривая этого явно *).
4. Эквивалентные системы норм. Пусть даны две си-
системы функций Мр{х) и Мр(х) (р = 0, 1, 2, ...), удовле-
удовлетворяющие условиям
где С(р) и С {р) — некоторые постоянные. Это неравенство
будем считать выполненным и там, где Мр (х) = М*р(х) = оо.
Покажем, что счетно-нормированные пространства К{Мр)
и К{М'Р}, построенные соответственно по функциям Мр(х)
и Мр(х), совпадают (по запасу элементов и по топологии).
Действительно, если для некоторой функции ср (х) ко-
конечно выражение
= supMp(x)\Dq?(x)\y
\q\<P
то конечно и выражение
imi;=
\q\<P
(*) I = Щ
обратное также верно, поскольку
'' C)
Таким образом, пространства К{Мр) и /С{Л4^} состоят из
одних и тех же функций. Неравенства B)—C) показывают,
далее, что системы норм ||ср|| и ЦсрЦ7 эквивалентны в смысле
*) В п, 4 в этом нет необходимости.

5] § 2. топология в пространствах К{Мр) и Z{Mp] 123
п. 6 § 3 гл. I; отсюда и следует, что пространства К [МЛ
Мр\ совпадают по своей топологии. Как мы уже гово-
говорили в п. 1, мы будем называть эквивалентными и сами
системы функций Мр(х) и М'р(х), удовлетворяющие усло-
условиям A).
Пример. Пусть
Мр (х) = sup | **¦... х*«
M'p(x)=(l+\xl])p...(\+\xn\)t
(пространство 5). Тогда, очевидно,
Мр(х) <; Мр(х).
С другой стороны, так как
2 при | хг |< 1,
i+l-Kil^ 21^1 при 1^.(^1,
то
Мр(х)<С2прМр(х).
Таким образом, эти системы функций {Мр(х)\ и
эквивалентны.
5. Финитные функции в пространстве К{МР]. Покажем,
что финитные функции образуют в любом пространстве
К{Мр) плотную систему*).
Очевидно, что если функции Мр(х) всюду конечны, то
пространство К{Мр) содержит все финитные бесконечно
дифференцируемые функции.
Построим произвольно бесконечно дифференцируемую
функцию h(x), равную 1 при | х | <; 1 и равную нулю при
\х\^2. Положим
тр= max^ \Dqh(x)\.
\q\<p
Очевидно, что при любом v=l, 2, ..., имеет место нера-
неравенство q /х\I .
\q\<P V V Л "" Р
*) Мы предполагаем, что выполнено условие (Я),

124 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [6
Для заданной ср (х)?Ф = К [Мр} определим последователь-
последовательность финитных бесконечно дифференцируемых функций
cpv (jc) = ср (х) • h I —) (v = 1, 2, . . .). Покажем, что при v —> оо
эти функции сходятся к функции ср (х) по топологии про-
пространства Ф. В соответствии с результатами п. 2 доста-
достаточно проверить, что функции <pv(jc) правильно сходятся
к ср(лг) и ограничены по каждой из норм ||ср||р.
Правильная сходимость последовательности cpv (x) выте-
вытекает из того факта, что в любой конечной области функ-
функции cpv (jc), начиная с некоторого номера, совпадают с функ-
функцией ср (jc). Оценим теперь числа |] cpv \]р. Мы имеем при | q | ^ р
Мр (х) | DV (х) | = Мр (х)
q
к
\mM(х) | Dq~
CkqDkh (^) D«-\ (х)
C\mvMv(х) | Dq~\ (х) | < Сртр\\т ||
к
откуда вытекает, что числа ||<pv||p ограничены постоянной,
не зависящей от v. Таким образом, последовательность cpv (л:)
ограничена в пространстве К{Мр\; этого, как мы видели,
достаточно для утверждения о справедливости нашего
результата.
6. Пространства Z{MP}. Переходим теперь к простран-
пространствам Чг = Z {Мр}.
Через *?р мы обозначим совокупность целых аналитиче-
аналитических функций, для которых ||ф|1р< со при фиксированном р.
Лемма 1. Если последовательность ^КС^Об1^ ограни-
ограничена по норме ||ф||р постоянной С и правильно сходится,
то ее предел %{z) также принадлежит пространству Wp
и имеет в нем норму, не превосходящую С.
Доказательство. Последовательность tyv(z) ограни-
ограничена по модулю в каждой конечной области. Так как при
*) В /г-мерном случае
к.
где Cgf — обычные биномиальные коэффициенты.

б] § 2. ТОПОЛОГИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ К{Мр) И Z{Mp) 125
вещественных z = x она сходится к некоторому пределу ф0 (г),
то в силу основных теорем для аналитических функций она
сходится к пределу tyo(z) в каждой конечной области, при-
причем ф0 (z) является аналитическим продолжением функции ф0 (х).
Далее мы можем применить рассуждение, аналогичное
проведенному при доказательстве леммы 1 п. 2; оно пока-
покажет, что величина ||фо|1р ограничена величиной С, что и
требуется.
Повторяя теперь рассуждения п. 2, найдем, что прост-
пространство Wp полно относительно нормы ||ф||р и, следова-
следовательно, пополнение Wp пространства W по норме ||ф||р есть
некоторое подпространство пространства Wp. Отсюда сле-
следует, далее, что пересечение всех Wp совпадает с самим W.
Так же как в п. 2, мы докажем, что нормы ||ф|]р попарно
согласованы. Следовательно, Z {Мр} —полное счетно-норми-
счетно-нормированное пространство. Наложим на функции Mp(z) усло-
условие: для любого р существует рг > /?, для которого
|г|->оо Mp'(z)
A)
Тогда, так же как и в п. 3, мы придем к результату:
если последовательность фv (z) ? *Р ограничена по каждой
из норм ||ф||р и при этом правильно сходится к некоторой
функции ф0Сг) (первоначально заданной только при веще-
вещественных z = x), то фоСг)^^ и является пределом после-
последовательности фоС?) по топологии пространства W.
Этот результат, так же как в п. 3, приводит нас к за-
заключительной теореме.
Теорема При условии A) пространство Z \Мр) со-
совершенно.
Так же как в п. 4, можно установить, что две системы
функций Mp(z) и Mp(z), удовлетворяющие неравенствам
р{р)9 B)
определяют совпадающие пространства Z \Мр) и Z {м'р}
(по запасу элементов и по топологии); соответствующие
системы норм ||ф||р и ||ф||р и системы самих функций Mp(z)
и Nl'v(z) называются эквивалентными.

126 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИЙ [1
Условие A) заведомо выполнено в пространстве Z(a).
Действительно, в этом случае можно положить в силу ска-
сказанного в предыдущем абзаце
очевидно, что для выполнения условия A) достаточно при-
принять р' = р-\-1. Таким образом, в силу последней теоремы
пространство Z(a) совершенно.
§ 3. ДЕЙСТВИЯ С ОБОБЩЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ
1. Линейные операции и предельный переход. Мы опре-
определили обобщенные функции как линейные непрерывные
функционалы над некоторым основным пространством. Таким
образом, совокупность обобщенных функций над простран-
пространством Ф есть сопряженное пространство Ф'.
Для обобщенных функций, как элементов сопряженного
пространства, естественно определены линейные операции
и предельный переход.
Линейные операции — сложение и умножение на число —
задаются формулами *)
(а/, ср) = а(/, ср).
Что касается предельного перехода, то в этой главе мы
будем пользоваться только «слабой» сходимостью, именно,
будем говорить, что последовательность /v ? Ф' сходится
к функционалу /?Ф', если для каждого ср имеет место
соотношение
(Л, ?)->(/, ?).
В гл. I (§§ 5 и 8) мы доказали, что сопряженное про-
пространство полно относительно слабой сходимости последо-
последовательностей. Это означает, что пространство обобщенных
функций обладает следующим свойством: если для каждого
*) В комплексном случае
(а/, ср) = (/, аср) = а (/, ср).

1] § 3. ДЕЙСТВИЯ С ОБОБЩЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ 127
р? числовая последовательность (/v, ср) имеет предел/(ср),
то /(ср) есть также линейный непрерывный функционал.
Укажем простое достаточное условие для сходимости
последовательности функционалов /v? Ф', соответствующих
функциям fv(x) (v=l, 2, ...) (такие функционалы мы на-
назвали регулярными).
Теорема. Пусть известно, что последовательность
функций fv(x) удовлетворяет следующим условиям:
а) 1Л001 ^?Г(*)| г^е g(x) — локально интегрируемая
функция, также определяющая функционал на про-
пространстве Ф;
б) почти всюду имеет место предельное соотношение
lim/„(*)=/о (*)•
Тогда функция fo(x) также определяет линейный непре-
непрерывный функционал /0 на пространстве Ф и lim/v=/0
по слабой топологии пространства Ф'.
Доказательство. Применяя теорему Лебега к после-
последовательности /v(jc)(p(jc), мажорируемой в области | х | <; а
интегрируемой функцией g{x)\y{x)\t мы получаем оценку
Г |/о(*)<р(*)|<** = Ит Г
J v -> СЮ **
| о? |
v -> СЮ
х | <а | о? | < а
| ж 1 < a R
которая гарантирует абсолютную сходимость интеграла
ffo(x)y(x)dx = (fo, ср).
R
Как (слабый) предел непрерывных функционалов /v, функ-
функционал /0 также является непрерывным, что и требовалось.
Заметим, что регулярные функционалы могут сходиться
к сингулярным. Так, в § 2 гл. I выпуска 1 мы построили
различные последовательности регулярных функционалов,
сходящиеся к дельта-функции. Далее, в § 4, мы увидим,
что в широком классе пространств регулярные функционалы
образуют плотное множество среди всех функционалов.
Дальнейшие операции в пространстве Фг могут быть
определены в зависимости от наличия операций в про-
пространстве Ф как сопряженные к последним (гл. I, §§ 7 и 8).

ГЛ. И. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЁННЫЕ ФУНКЦИИ [й
Наименования операций в пространстве Ф', получаемых этим
путем, даются в зависимости от того, какой (классической)
операции анализа соответствует данная сопряженная опера-
операция, если ее применять к функционалам типа функции.
2. Умножение на функцию. Предположим, что умно-
умножение на некоторую функцию g(x) является линейной не-
непрерывной операцией в основном пространстве Ф. Это
значит в соответствии с § 7 гл. I, что для любой ср ? Ф
произведение g"cp снова принадлежит Ф и что из cpv —> О
вытекает g"cpv —>0 по топологии Ф. Такая функция g(x)
называется мультипликатором в пространстве Ф.
Операция в пространстве Ф', определяемая формулой
(гЛ ?) = (/, ет). 0)
т. е. операция, сопряженная к операции умножения на g(x)
в пространстве Ф, называется умножением на функцию
*(*)*)¦
Проверим обоснованность такого названия. Если/—функ-
Если/—функционал типа функции f(x), то мы имеем:
(«Л ?) = (/
= / lf(x)g(x)\ cp (x) dx = (g(x)f(x), cp),
т. e. gf есть действительно функционал типа функции —
произведения g(x)f(x).
Примеры. В пространствах К (а) и К мультиплика-
мультипликаторами служат любые бесконечно дифференцируемые функ-
функции (соответственно в области | х \ <^ а или на всем про-
пространстве).
В пространстве 5 мультипликатором служит любая бес-
бесконечно дифференцируемая функция g(x)y каждая из
*) В комплексном случае умножение на функцию g(x) в про-
пространстве Ф' определяется формулой
в предположении, что g— мультипликатор в Ф.

2] § 3. действия с обобщенными функциями 129
производных которой имеет на бесконечности рост не выше
степенного:
\Dqg(x)\ <Cfl(l+|*l)** (|?| = 0, 1, 2, ...)•
Для доказательства надо оценить выражения
при Ы</>, |Л|</».
Ограничимся для простоты случаем одного независимого
переменного. В этом случае
j
Таким образом, функция \xkDqgy\ ограничена при
\ ||
\ | р. Это означает, что g*cp ^ «S. Кроме того, неравенство B)
показывает, что оператор умножения на функцию g(x)
переводит ограниченное множество в пространстве «S снова
в ограниченное множество; он, таким образом, ограничен,
а следовательно, и непрерывен.
Аналогичное рассуждение можно провести и в общем
пространстве К {Мр} при следующем условии: для каждых
двух индексов р иг, р^гу можно указать такой индекс
s^p> что
Mp(x).Mr(x)<CCprMs(x). C)
Тогда всякая бесконечно дифференцируемая функция
g(x), удовлетворяющая неравенствам
\D9g(x)\-^CqM]c (x) (для каждого q)
будет мультипликатором в пространстве К{Мр).
Доказательство проходит по схеме, приведенной для
пространства 5.
8 пространстве Z (а) мультипликаторами являются мно-
многочлены от z\ в пространстве Z — целые аналитические
9 Зак 2669 И М Гельфанд и Г Е Шилов

130 ГЛ. И. ОСНОВНЫЕ Й ОБОБЩЁННЫЕ ФУНКЦИИ |3
функции g(z), удовлетворяющие неравенствам вида
|?(*)l<C(l+|**|)e* *» D)
при некоторых #>0 и т~^>0.
Первое утверждение очевидно; докажем второе.
Легко видеть, что произведение целой функции g(z),
удовлетворяющей неравенству D), на функцию ср (z) ? Z снова
есть функция из пространства Z. Точнее, если cp(z) при-
принадлежит Z(a), то произведение gcp принадлежит Z{a-\-b).
При этом, если ]]ф||(а) означает /?-ю норму в простран-
пространстве Z(a), то мы получим
svLpe\
p,, \
\к\<Р
и следовательно, ограниченное множество в пространстве Z
переходит при умножении на g снова в ограниченное мно-
множество; таким образом, умножение на g есть ограничен-
ограниченный— и поэтому непрерывный — оператор.
Умножение на функции соответствующих типов опреде-
определено в соответствующих сопряженных пространствах К {а),
К\ S'9 K'{MV}, Z'{a)9 Г.
С рядом других примеров читатель познакомится
в гл. IV.
3. Деление единицы на многочлен в пространстве Z/.
Во многих вопросах оказывается необходимым решать
в обобщенных функциях уравнение
P(z)f=U A)
где P(z) = P(zlf z2t ..., zn) — многочлен, а /—неизвест-
/—неизвестный функционал. Мы покажем здесь, что уравнение A)
всегда разрешимо в пространстве Z'.
Предположим сначала, что P{z) имеет несколько спе-
специальный вид
azT-\~^Pk(z2, .... zn)zkit афО. B)
4 = 0

§ 3. ДЕЙСТВИЯ С ОБОБЩЁННЫМИ ФУНКЦИЯМИ
131
Рассмотрим пространство п-\~1 (вещественных) измере-
измерений, определяемых вещественными составляющими xv . .., хп
и мнимой составляющей yv В этом пространстве мы по-
построим разрывное многообразие Г, которое будем называть
«лестницей Хормандера». Для этого разобьем (п—^-мер-
(п—^-мерное вещественное пространство х2, .. ., хп на локально
Рис. 1.
конечное (т. е. конечное в каждом шаре) число частей
Alf ..., Аг, ... (п — 2)-мерными гиперплоскостями, парал-
параллельными координатным гиперплоскостям, и части Д^ сопо-
сопоставим некоторое значение ух=уф. Лестницей Хох мандера
будем называть множество всех точек (xv . . ., хп, yt),
где — оо < хх < оо, и если (х2, . . ., хп) ? А^., то yt =y[j)
(у=1, 2, ...). На рис. 1 показана лестница для случая
координат xv x2, yv Ниже мы докажем, что для данного
многочлена P(z) всегда можно построить лестницу 7>, на
которой | P(z) | > | а | и все \y[j) \ ограничены одной и той же
постоянной Со.
9*

132 ГЛ. П. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИЙ
Имея такую лестницу, положим
Этот интеграл существует вследствие того, что знамена-
знаменатель по модулю превосходит |а|, а функция ср (xl-\-iyl, xn)t
как основная в пространстве Z, равномерно по ух
(для l^x | <[ Со) стремится к нулю быстрее любой степени
-—г (когда | д: | —> оо) и, следовательно, интегрируема. Оче-
I х |
видно также, что функционал C) непрерывен в простран-
пространстве Z.
Покажем, что этот функционал переходит в 1 при умно-
умножении на P(z). Действительно, мы имеем:
i. *2> •• •. xn)dxi .. . dxn=^
=21
[,
X dx2 ..
В силу формулы Коши внутренний интеграл, который вы-
вычисляется по прямой в плоскости zl = x1-]-iylt параллель-
параллельной вещественной оси и проходящей на расстоянии |^i^| от
нее, можно заменить, не изменяя его величины, интегралом
по самой вещественной оси. При этом мы получаем:
(P(z)f, <P) =
откуда следует, что
P(z)f=l,
что и требовалось.

3] § 3. действия с обобщенными функциями 133
Покажем теперь, что лестница, на которой I^C?) |^>|#|,
существует.
Рассмотрим многочлен
при произвольно фиксированных значениях z2 = x2i . ..
###) zn = xn. На ^-плоскости он имеет не более чем т
корней zp zW и допускает разложение
= а (* - zlir) (z - z't2>) • . . . • (z - zT\ D)
В полосе |^i|<!m+l ширины 2т -(-2 всегда можно про-
провести прямую ух-= const, которая отстоит более чем на 1
от всех корней многочлена; из разложения D) видно, что
на этой прямой заведомо
Так как корни многочлена с постоянным старшим коэф-
коэффициентом непрерывно зависят от остальных коэффициен-
коэффициентов, то для достаточно малой окрестности точки (z2 zn)
соответствующие корни z^ zW будут помещаться на
^-плоскости в как угодно малых кружках около их пер-
первоначальных положений. Поэтому вдоль найденной прямой
Ух — const будет сохраняться неравенство
\P(z)\>\a\
и в некоторой окрестности взятой точки z2 = x2i ...
Итак, каждой точке в пространстве (х2 хп) мы
можем сопоставить некоторую ее окрестность по указан-
указанному правилу. Можно считать, что эти окрестности огра-
ограничиваются гиперплоскостями, параллельными координат-
координатным. Применяя лемму Гейне—Бореля, можно из всего по-
покрытия пространства (х2, . . ., хп) такими окрестностями
выбрать локально конечное покрытие Д1э А2 Ау, . ..;
заменяя, далее, каждое Д^ на Д^ = Д^ — Дх—...—Д^-i»
получим непересекающиеся участки, которые и определяют
вместе с соответствующими значениями у{ соответствую-
соответствующую лестницу.

134 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [3
Мы доказали теорему о существовании функционала /
для многочлена P(z) специального вида B).
Пусть теперь P(z) — произвольный многочлен. Покажем,
что существует невырожденное линейное вещественное
преобразование координат
<1е1||с,*||?=0, E)
которое приводит многочлен Р(х) к виду
P(xv ..., хп) = а?Г+2 Я*<?2. ..., ?»)?, С1Ф0. B0
Доказательство. Линейное преобразование E)
с неопределенной пока матрицей С=||с^л|| переводит мно-
многочлен P(xlt ..., хп) в некоторый новый многочлен т-1\
степени относительно величин Ьи . .., %п. Коэффициент
при ЕГ получается из старших членов многочлена Р и пред-
представляет собой некоторый многочлен от элементов первого
столбца матрицы С. Точнее, если
есть группа членов размерности т, то коэффициент при ?]*
имеет вид
2vX2f--<r- F)
Среди членов этого многочлена нет подобных; поэтому
он не вырождается и способен принимать ненулевые зна-
значения. В качестве cll9 . .., сп1 можно взять систему веще-
вещественных чисел, не всех равных нулю, обеспечивающую
отличное от нуля значение а для F). Остальные элементы
матрицы выбираются произвольно, с тем чтобы det ||c^||
был отличным от нуля.
Теперь ясно, как доказать существование функционала /,
удовлетворяющего уравнению
P(z)f=U G)
в общем случае.
Произведем линейное преобразование аргументов z = Cz',
приводящее многочлен Р(г) к виду G). При этом преоб-

4] § 3. действия с обобщенными функциями 135
разовании пространство Z перейдет в себя и, следовательно,
останется инвариантным и пространство Z'.
Для преобразованного многочлена решим уравнение
Существование функционала g—g(z') было доказано выше.
Далее, определим функционал / из условия
Мы будем иметь тогда
P(z)f(z) = P(Cz')f(Cz') = P(Cz') g(z') = 1,
что и требовалось.
Тем самым существование функционала /, удовлетворяю-
удовлетворяющего уравнению G), доказано в общем случае.
4. Дифференцирование. Предположим, что операция т—
определена и непрерывна в основном пространстве Ф: для
любой функции ср(л:)^Ф производная ^- также принадле-
принадлежит Ф и из cpv (л:) —> 0 вытекает ¦— -> 0 по топологии Ф.
Операцией -^— в пространстве Ф' называется операция,
OXj
производимая по формуле
д
т. е. операция, сопряженная к операции —-^— в простран-
j
стве Ф.
Проверим обоснованность этого определения. Если
/—регулярный функционал типа непрерывной дифференци-
дифференцируемой по Xj и финитной функции, то с помощью интег-
интегрирования по частям мы получим:

136 ГЛ. И. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [4
т. е. операция -=— переводит функцию f(x) в ее обычную
производную по Xj.
Операция дифференцирования в пространстве Ф', как
сопряженная к непрерывной операции, сама является непре-
непрерывной операцией: если /v->/ по (слабой) топологии про-
странства Ф', то и -^±~^"^- в том же смысле.
Поскольку процесс дифференцирования можно повторять,
каждая обобщенная функция имеет производные всех по-
порядков и каждый дифференциальный оператор конечного
порядка (где aq(x) — мультипликаторы в Ф)
является непрерывным оператором в Ф'. Формула, по кото-
которой действует оператор P(D), следующая:
B)
где P*(D) означает сопряженный дифференциальный опе-
оператор: -
% '' ?{п«\ C)
дх? ... dxqnn
Если коэффициенты aq(x) = aq постоянны, то P*(D) =
= Р(—D) и формула упрощается:
D)

4] § 3. действия с обобщенными функциями 137
В частности, формула D) показывает, что для смешанных
производных в пространстве Ф' имеет место независимость
результата от порядка дифференцирования.
Примеры. В пространствах К(а) и /С, очевидно,
операции -=— определены и непрерывны для любого
j= 1, 2, . . ., п.
В пространстве S эти операции также определены и
непрерывны. Действительно,
Ш = sup,
sup, |
\k\,\q\<p + l
откуда вытекает ограниченность, а следовательно, и непре-
непрерывность операции ^— в пространстве 5.
Соответствующее предложение оказывается справедливым
и для пространства К{Мр], если выполнено следующее
условие: для любого индекса р можно указать индекс
р'^ > р так, что имеет место неравенство
Mv{x)^CpPMp.{x). E)
Доказательство аналогично приведенному для пространства 5.
Проверим, что операция -jr- является непрерывной
OZj
и в пространстве Z(a).
Применяя формулу Коши в плоскости переменного Zj,
получаем (| k | ^ /?):
*' Ч(г S z)
откуда

138 ГЛ. И. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [1
следовательно,
что доказывает ограниченность и, значит, непрерывность
операции -с— в пространстве Z(a). Вместе с тем мы полу-
чаем непрерывность операции -^— в пространстве Z.
Другие примеры читатель найдет в гл. IV.
§ 4. СТРУКТУРА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
1. Структура обобщенных функций в простран-
пространстве К{Мр}. Найдем сначала общий вид линейных непре-
непрерывных функционалов на пространстве Ф = К{Мр}, опре-
определенном системой функций Мр{х), с нормами
= sup, Mp{x)\D\{x)\. (i)
При этом, как и выше, мы будем предполагать выпол-
выполненным условие (Я) § 2: для заданного г>0 и любого
номера р найдутся р'> р и N такие, что если
\x\>N или Mp(x)>N,
то
Из этого условия, в частности, как мы видели, следует,
что для любого q
Mp(x)D\(x)->0
при |*|->оо или Мр(х)-+оо.
В силу теоремы о строении пространства, сопряженного
к счетно-нормированному (гл. I, § 4), достаточно найти
общий вид функционала на нормированном пространстве Фр,
полученном путем пополнения пространства Ф по норме ||ср||р.
Как мы видели в § 2, Фр есть замкнутое подпространство
пространства Фр всех функций ср(лг), имеющих производные
до порядка р, для которых существует норма A); поэтому,
применяя теорему Хана — Банаха о продолжении линейного

1] § 4. СТРУКТУРА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 139
функционала, можно продолжить всякий функционал /? Ф'
на пространство Фр. Таким образом, достаточно описать
функционалы на пространстве Фр.
Поставим в соответствие каждой функции у(х)?Фр
совокупность всех функций
%(x) = Mp(x)&<f(x), (\q\<p).
Мы получим отображение пространства Фр в прямую
сумму Wp конечного числа пространств непрерывных функ-
функций фд(л:) (| q | < р). Очевидно, отображение ср (л:) <-> [tyq (х)}
взаимно однозначно. Определяя норму элемента {фд(#)}
как sup|<|> (je)|, мы получим, что при этом отображении
ъ х
сохраняется и норма. Поэтому можно считать, что Ф^
является замкнутым подпространством пространства Wp.
Применяя теорему Хана — Банаха, можно распространить
функционал /? Ф^ на все пространство Wp. После этого,
по теореме Рисса — Радона*), мы можем написать его
общий вид:
(/.?)= 2 fMp(x)D\(x)doq(x), B)
ИКР
где oq(x) — мера в пространстве Rni сосредоточенная на
множестве тех точек, где функции Мр(х) конечны.
Норма этого функционала, как функционала над про-
пространством Wp, равна сумме вариаций функций од(х). Заме-
Заметим, что функции aq(x), вообще говоря, не определены
однозначно значениями функционала / на пространстве Фр.
Но, поскольку теорема Хана — Банаха обеспечивает воз-
возможность распространения функционала без изменения его
нормы, сумма вариаций этих функций в точности равна
норме функционала / на Фр.
Итак, мы установили следующую теорему.
Теорема. В пространстве Ф = К{Мр) всякий ли-
линейный непрерывный функционал (/, ср) может быть
*) См., например, Ф. Рисе и Б. Секефальви-Надь, Лек-
Лекции по функциональному анализу, Гостехиздат, М., 1954, стр. 143,

140 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [2
записан в форме
\q\<P
причем норма функционала f (продолженного на норми-
нормированное пространство *Fp) равна сумме вариаций функ-
функций aq(x).
Отметим, что наименьшее возможное р есть не что
иное, как порядок функционала / (см. гл I, § 4).
2. Упрощение записи в пространствах с условием GV).
При одном дополнительном ограничении на функции Мр(х)
полученный результат может быть записан в несколько
иной, более простой форме, с обычными интегралами вместо
интегралов Стильтьеса.
Ограничение, о котором идет речь, следующее.
(N) Для каждого р можно указать такое р' > р, что
отношение
-М-^ = гпрр,(х) A)
стремится к нулю при \ х | -> со и есть суммируемая
функция от х. (В тех местах, где Мр(х) = МР'(х) = оо,
полагаем это отношение равным нулю *)).
Если условие (N) выполнено, то для каждого р суще-
существует величина
;= sup (Mp(x)\Dq9(x)\dx. B)
\q\<pJ
Действительно, в силу условия (N)
Мр(х) | D\ (х) | < трР (х) Мр. (х) | D\ (х) \ < трр, (х) || ср у,
откуда вытекает существование интеграла B), а кроме того,
и неравенство
IMi;= sup
I q\<p
где Вр есть интеграл от суммируемой функции тРР' (х).
*) Nucleaire — ядерный (фр.). В гл. IV выпуска 3 мы увидим, что
условие (N) обеспечивает принадлежность пространства К{Мр}
к важному классу ядерных пространств.

2] § 4. СТРУКТУРА ОБОБЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ l4l
Оценим теперь [|<р||р через [|?Ц^+1. Пусть х0 и qo — Te
значения х и q {\q\*Cp), для которых достигается точная
верхняя грань у выражения Мр (х) \ Dqy (x) | *). Тогда, обо-
обозначая Ср = Мр(х0), можно написать:
мр+1 & | d«°+i с? (о | а% < с,
Итак, имеют место неравенства
<ср f
Ь\\р<срЬ\\'р
рП.
Это означает, что система норм IMIi эквивалентна
системе норм ||<р||^. Пространство Ф можно представить
теперь как пересечение последовательности нормированных
пространств Фр, каждое из которых получено пополнением
пространства Ф по соответствующей норме ||<р||р« Каждый
линейный непрерывный функционал на пространстве Ф есть,
при некотором /?, линейный непрерывный функционал на
пространстве Фр. Поэтому нам достаточно найти общий
вид линейного непрерывного функциональна пространстве Ф^ ,
Пространство Фр есть изометричная часть пространства Фр,
образованного из всех функций <р(х)> Для которых суще-
существует величина
|]?|i;= sup fMp(x)\D\(x)\dx.
\q\<PJ
Пространство Фр в свою очередь есть замкнутое подпро-
подпространство прямой суммы Ф* конечного числа (равного числу
индексов q, \q\^,p) пространств функций, интегрируемых
с фиксированным весом Мр(х). Линейный непрерывный
функционал / может быть продолжен с сохранением нормы
*) Такие конечные значения х и q всегда существуют, поскольку
функции Мр (х) Dgy (х) стремятся к нулю при | х | -> оо и непре-
непрерывны.

\AU гл. ii. основный й обобщенные функции [2
на все это пространство W. Общий вид линейного непре-
непрерывного функционала на пространстве Ф* есть
j Mp{x)D\{x)fq{x)dxi
\q\<p
где fq(x) (\д\-*Ср)— ограниченная измеримая функция.
Отсюда следует, что общий вид линейного непрерывного
функционала на пространстве Фр таков:
(/>?)= 2 fMp(x)Dq^(x}fp(x)dx.
\q\<p
Этим же выражением, при всевозможных р и fq(x),
определяется и общий вид линейного непрерывного функ-
функционала на пространстве Ф = К{Мр) в предположении
справедливости условия (N).
Норма функционала /?W равна 2suP#|/g(x) | (ПРИ
q
условии, что значениями функций fq(x) на множествах
меры нуль пренебрегают). Так как теорема Хана—Банаха
обеспечивает возможность распространения функционала
с сохранением нормы, то для данного функционала /? Ф'
всегда можно выбрать эти функции так, чтобы норма этого
функционала в пространстве Фр была равна 2suPa;l/3(x)l
Итак, мы получили вторую теорему о функционалах
в пространстве К{Мр).
Теорема. В счетно-нормированном пространстве
ф = /С{Л4р} с условием (N)
Мр(х)
каждый линейный непрерывный функционал имеет вид
(/.?)= 2 fMp(x)D«9(x)fQ(x)dx,
\q\<P
где fq(x)— ограниченные измеримые функции. Норма этого
функционала, продолженного на нормированное простран-

3] § 4. структура обобщенных функций 143
ство Фр, равна
S supa\fq(x)\.
\Q\ <P
3. Случаи пространств К и S. В пространстве К (а)
бесконечно дифференцируемых функций <р (х), обращающихся
в нуль вне области | х | ^ а, функции Мр(х) равны 1 в об-
области {|х|<^а}=Оа и равны оо вне этой области; поэтому
общий вид функционала в пространстве К(а) следующий:
(/, ?)= 2 ffq(x)D\(x)dx, A)
\Q\<P
где fq(x)—ограниченные измеримые функции в области
{\х\<а}.
Интегрируя по частям, можно производную по каждому Xj
довести до порядка р; поэтому
где f(x) — снова ограниченная измеримая функция. Наконец,
еще одно интегрирование по частям приводит A) к виду
(/. ?)= / F(x)Dp+\(x)dx, B)
где F(x) — уже непрерывная функция в области Ga. Исполь-
Используя определение производной от функционала, можно выра-
выражение B) записать в виде
иными словами, каждая обобщенная функция в простран-
пространстве К(а) есть результат дифференцирования некоторой
непрерывной функции.
Норму полученного функционала уже нелегко записать общей
формулой. Во всяком случае, на основании результатов § 5 гл. I
можно утверждать, что если последовательность функционалов Д
стремится к нулю, то все они имеют один и тот же порядок, т. е.
принадлежат к одному и тому же нормированному пространству ф'р,
и в этом пространстве стремятся по норме к нулю; тогда соответ-
соответствующие непрерывные функции /^ (х) можно выбрать так, что они

144 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ Й ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [3
будут равномерно стремиться к нулю в области Ga. Обратное оче-
очевидно: если функции Д (х) равномерно стремятся к нулю в области Ga,
то для любой основной функции
В пространстве S бесконечно дифференцируемых функ-
функций, убывающих при |х|->оо быстрее любой степени -,—г,
I х |
п
функции Мр(х) имеют вид JJ A -|— ] х^-1 )р. Поэтому в соот-
соответствии с теоремой п. 2 общий вид линейного непрерывного
функционала дается формулой
(/.?)= Ц ffq(x)fl(l+\xj\fD^(x)dx.
\q\<pRn j=i
Это выражение также с помощью интегрирования по
частям можно свести к интегралу только от производных
порядка р:
(/, ?)= ff(x)D^(x)dx. C)
Rn
Функция f(x) есть линейная комбинация функций
и их первообразных (до порядка р) и поэтому является,
во всяком случае, измеримой функцией, возрастающей не
быстрее | х \рп. Еще одно интегрирование по частям позволит,
увеличив показатель производной функции у{х) на 1, до-
добиться непрерывности подынтегральной функции /(х).
Формулу C) можно записать также в виде
(/,ср) = (/, D?cp) = =t(D7, т); D)
иными словами, каждая обобщенная функция в простран*
стве S есть результат дифференцирования непрерывной
функции степенного рбста.

4] § 4. структура обобщённых функций 145
4. Структура финитных функционалов. В случае любого
основного пространства Ф формулы
(/> ?)= 2 fDq9(x)daq(x)
\q\<P
ИЛИ
</. ?)=
\q\<P
уже не дают общего вида линейного непрерывного функ-
функционала; вообще говоря, функционал / зависит от произ-
производных всех порядков. Но в широком классе пространств
можно получить аналогичное представление для тех функ-
функционалов, которые сосредоточены в конечной области.
В соответствии с определениями, данными в выпуске 1
(гл. I, § 1, п. 4), мы условимся говорить, что функционал
/?Ф' сосредоточен на замкнутом множестве F?R, если
для любой функции <р€Ф> обращающейся в нуль в окрест-
окрестности множества F, имеет место равенство (/, ср)=О.
Так, если функционал / регулярен и порождается функцией / (х),
обращающейся в нуль вне множества F, то, очевидно, функционал /
сосредоточен на множестве F.
Справедливость обратного утверждения имеет место, во всяком
случае, в пространствах, содержащих все финитные бесконечно
дифференцируемые функции.
Если в пространстве Ф id К задан функционал f типа (ло-
(локально интегрируемой) функции f (x), сосредоточенный на мно-
множестве F, то функция f (х) почти всюду вне F равна нулю.
Для доказательства возьмем любую точку х0, внутреннюю для
дополнениям F, и рассмотрим ее окрестность U, не имеющую общих
точек с F. Так как для каждой ср (х) ? /С, обращающейся в нуль
вне U, мы имеем по условию
то функция f(x) почти всюду равна нулю в окрестности U. Таким
образом, f (х) обращается в нуль почти во всех внутренних точках
дополнения множества F. Но тогда /(jc) = O почти всюду вне F,
что и утверждалось.
Если имеется последовательность функционалов Л?Ф'»
сосредоточенных на множестве F, сходящаяся к функцио-
10 Зак 2669. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов

146 ГЛ. И. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [4
налу /? Ф', то равенство
(/, ср)= Urn (/v. <р)
V -> ОО
показывает, что функционал / также сосредоточен на мно-
множестве F\ таким образом, совокупность всех функционалов
/? Ф', сосредоточенных на множестве F, замкнута в Ф.
Функционал, сосредоточенный на ограниченном множестве,
мы называем финитным функционалом, В некоторых про-
пространствах финитные функционалы образуют плотное
множество в совокупности всех функционалов. Например,
так обстоит дело в пространствах типа К{Мр}. Действи-
Действительно, рассмотрим формулу общего вида линейного функ-
функционала в пространстве К{Мр)
(/, ?) = 2 / Мр (х) D\ (х) daq (х),
\q\<P R
или, что то же,
|?|<Р I Х\ < Г
Под знаком предела стоит выражение, определяющее линей-
линейный непрерывный функционал в пространстве Ф, очевидно,
сосредоточенный в конечной области (в шаре радиуса г).
Таким образом, всякий функционал /? К {Мр} есть предел
финитных функционалов, что мы и утверждали.
Теорема. Предположим, что основное простран-
пространство Ф содержит все финитные бесконечно дифференци-
дифференцируемые функции <р(х)- Пусть, далее, функционал /?Ф'
сосредоточен в параллелепипеде
\*i\<4 C/=l. 2, ..., п).
Тогда для любого е > 0 существуют такие непрерывные
функции /ge(x), q = (qv ..., qn), |?|<p, обращающиеся
в нуль при \Xj\^ aj-\-e, что функционал f можно пред-
предд
ставить в виде
j
д
/= 2 />%.. (О
Доказательство. Обозначим через Ga+e область,
определяемую неравенствами |x^|^a^--^-s, «е-расширение

4] § 4. структура обобщенных функций 147
области Ga». Пусть кг(х)— бесконечно дифференцируемая
функция, равная единице в области Ga+8 и нулю в допол-
дополнении к области Ga+e (8 < е). Разложение
?(*) = ?(*) А. (*) + <р(*М1— К{х)\
позволяет каждую функцию у?Ф представить в виде суммы,
первое слагаемое которой обращается в нуль вне области Ga+e,
второе — в области Ga+5. По условию, функционал / на вто-
втором слагаемом равен нулю, так что для любой <р€Ф
(/, ?)=(/, <?Ю-
Функция ср/ге есть элемент пространства /С(а —|— е). Про-
Пространство /C(a-j-e), по условию, входит в пространство Ф.
В силу теоремы п. 3 § 1 при этом вложении сохраняется
сходимость последовательностей, сходящихся в /C(a-J-e),
поэтому / является линейным непрерывным функционалом и
на пространстве К(а-{-е). Согласно п. 3 значение функцио-
функционала на функции yhz?K(a-\-e) можно записать в форме
(/. <рЛ*) = / /о (х) Dp(срйе) их = ± (Dpf0,
где fo(x) — некоторая непрерывная функция в области Ga+e.
Раскрывая Dp(<ph^) по правилу Лейбница, мы находим:
2
\Q\<P
2 Ци \K) 2 С5(/
\q\<P \q\<P
= S Cl(D«[(-\)qf0Dp-%l cp)=(
l«l<p \l
где /et(x) = (— \)qfQ(x)Dp~qhe(x) — непрерывная функция,
обращающаяся в нуль вне области Ga+e. Этот результат
совпадает с требуемым равенством A).
Следствие. Если пространство Ф содержит все
финитные бесконечно дифференцируемые функции, то
каждая финитная обобщенная функция в пространстве Ф
есть предел (в смысле слабой сходимости) обычных беско-
бесконечно дифференцируемых финитных функций,
10*

148 ГЛ. И. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЁННЫЕ ФУНКЦИИ [4
Доказательство. Из доказанной теоремы следует,
что обобщенная функция / представляется в форме
/= 2 о%(*),
\q\<p
гдеД(х) — непрерывные финитные функции. Можно образо-
образовать последовательность финитных бесконечно дифференци-
дифференцируемых функций gn(x), обращающихся в нуль вне одного
и того же шара и равномерно сходящихся к fq{x) при
каждом q. Сходимость gvq(x)~>fq(x) имеет место в этом
случае и по топологии обобщенных функций. Но тогда бес-
бесконечно дифференцируемые финитные функции
&(*)= 2 Dqgn{x)
\q\<P
также в смысле обобщенных функций сходятся к
2
\Q\<P
что и требуется.
Если, кроме того, в пространстве Ф финитные обобщен-
обобщенные функции всюду плотны в совокупности всех обобщенных
функций,—последнее условие выполнено, например, в про-
пространствах К{Мр) (§ 2),— то утверждение следствия можно
усилить: в этом случае всякая обобщенная функция в про-
пространстве Ф есть предел финитных бесконечно дифферен-
дифференцируемых функций.
Замечание. Пусть имеется последовательность функциона-
функционалов /v, сосредоточенных в одном и том же ограниченном множестве F,
стремящаяся к нулю в смысле обобщенных функций. Тогда можно
для заданного е ]> О получить представление
Д 2 %
\q\<p
где функции /* (х) непрерывны, обращаются в нуль вне е-расши-
рения множества F и равномерно стремятся к нулю при v -> оо,
а р фиксировано.
Для доказательства заметим, что функционалы Д слабо схо-
сходятся к нулю в пространстве, сопряженном к пространству К (# + е)>
поэтому, как было указано в п. 3, соответствующие функции /\ (х)
можно выбрать равномерно сходящимися к нулю; вместе с ними
будут равномерно стремиться к нулю и функции
что и требуется.

5] § 4. структура обобщенных функций 149
5. Структура функционала, сосредоточенного в точке.
Особенно простую структуру имеет функционал, сосредото-
сосредоточенный в одной точке.
Теорема. Если основное пространство Ф содержит
все финитные бесконечно дифференцируемые функции —
по крайней мере в некоторой окрестности заданной
точки х0,— то всякая обобщенная функция, сосредото-
сосредоточенная в точке х0, имеет вид
/= 2 aqD4(x— х0). A)
1«Кр
Доказательство. По теореме п. 4 функционал /
может быть представлен в форме
dx, B)
где fqt(x)—непрерывные функции в области G={\x—хо|^>};
здесь в качестве е можно взять любое положительное число.
Формула B) позволяет распространить функционал /
на пространство KP{G) всех функций, имеющих в G непре-
непрерывные производные до порядка р\ очевидно, что при этом
функционал / остается непрерывным функционалом.
По условию, функционал / равен нулю на всякой
функции ср € ^» равной нулю в окрестности точки х0. По
непрерывности функционал / будет равен нулю и на всякой
функции y?Kp(G)9 равной нулю в окрестности точки х0.
Замыкание J этой совокупности функций y?Kp(G) по топо-
топологии пространства KP(G), как легко проверить, содержит
все функции y?Kp(G), равные нулю при х = х0 вместе
с производными до порядка р\ по непрерывности функцио-
функционал / равен нулю и на всех функциях <р€^-
Всякая функция y(x)?Kp(G) может быть представлена
в виде
где Q(x) имеет при х = х0 производные, до порядка р
равные нулю, а
\a\<p

150 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [6
Умножая это разложение на функцию h(x)?Kp(G),
равную 1 в окрестности точки х0, мы получаем разложе-
разложение, слагаемые которого принадлежат к классу Кр (О):
h (*) ср (х) = h (х) P(x) + h (x) Q(x),
при этом
поскольку разность Щ — ср равна нулю в окрестности
точки х0. По доказанному, (/, hQ) — 0 и, следовательно,
(/. ?) = (/.
Положим
Тогда (/, РН) принимает вид
\q\<v
что совпадает с A), если обозначить aq — {— l)9cq. Теорема
доказана.
6. Пример: решение уравнения Лапласа со степенной
особенностью. Речь идет о следующей хорошо известной теореме.
Теорема. Пусть известно, что функция f(x) удовлетво-
удовлетворяет уравнению Лапласа всюду, кроме начала координат, где
она имеет особенность порядка не выше некоторой степени:
Q
|/W|<— (р фиксировано).
ГР
Тогда f(x) с точностью до гармонического слагаемого есть
результат применения некоторого дифференциального опера-
тора Р (D) к фундаментальному решению уравнения Лапласа.
Доказательство. Рассмотрим обобщенную функцию
f€K't совпадающую с функцией f(x) всюду, кроме начала коор-
координат. Такую обобщенную функцию / можно построить, например,
по формуле
(/. ?) = J / (Jf) If (х) -Р(х)е (х)] dx,
где Р (х)—многочлен Тейлора для функции <р (х):

6] § 4. СТРУКТУРА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 151
а е(х)?К—функция, равная 1 в шаре | х | ^ 1 и равная нулю,
скажем, вне шара |лг|>>2.
Применяя к функционалу / оператор Лапласа, мы получаем
функционал, который всюду вне начала координат равен нулю.
Отсюда следует, что А/ есть функционал, сосредоточенный в начале
координат; в силу теоремы п. 5 А/ можно записать в форме
д.
Рассмотрим, далее, функционал g =* 2 aqDqE, где Е — фунда-
фундаментальное решение уравнения Лапласа. Так как Д? = о (х), то
bg = 2 aQDQ *E = 2 aq°q Ь W = Д/«
Отсюда А (/—g) = 0, т. е. функционалы fug отличаются на
гармоническую функцию, что и утверждалось.
Точнее говоря, разность /—g есть обобщенная функция,
являющаяся решением уравнения Лапласа. Но мы увидим скоро
(гл. III, § 3, п. 6), что всякое решение уравнения Аи = 0 в обоб-
обобщенных функциях есть обычная гармоническая функция.
Теорема, аналогичная доказанной, справедлива для любого
уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами,
поскольку для любого такого уравнения существует фундаменталь-
фундаментальное решение (выпуск 1, гл. I, § 4; выпуск 2, гл. II, § 3, п. 3 и гл. III,
§ 2, п. 4). Разумеется, гармоническая функция, фигурировавшая
в формулировке этой теоремы, теперь должна быть заменена реше-
решением (в обобщенных функциях) соответствующего однородного
уравнения.

ГЛАВА- III
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОСНОВНЫХ
И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ
В выпуске 1 мы рассматривали преобразования Фурье
обобщенных функций над основным пространством К фи-
финитных бесконечно дифференцируемых функций. Теперь мы
рассмотрим преобразования Фурье обобщенных функций над
любым основным пространством. В выпуске 1 преобразо-
преобразованием Фурье обобщенной функции над пространством К
был функционал над пространством Z, составленным из неко-
некоторых целых аналитических функций — преобразований
Фурье основных функций пространства К. В общем случае
также преобразованием Фурье обобщенной функции над
некоторым пространством Ф будет функционал над
пространством Ф преобразований Фурье функций про-
пространства Ф. Поэтому вначале мы должны рассмотреть
преобразования Фурье основных функций, входящих в про-
пространство Ф; этому посвящен § 1. В § 2 рассматриваются
преобразовния Фурье обобщенных функций и указываются
некоторые применения преобразований Фурье к дифферен-
дифференциальным уравнениям. В § 3 изучается операция свертки;
результаты используются для получения новых теорем о пре-
преобразованиях Фурье обобщенных функций. Наконец, в § 4
рассматриваются преобразования Фурье целых аналитических
функций, рассматриваются обобщения классических теорем
типа Палея — Винера и т. п.
Продолжением этой главы является глава IV, посвящен-
посвященная специальным основным пространствам—пространствам

1] § 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ 153
типа S (и W). В рамках этих пространств, как уже указы-
указывалось во введении, аппарат преобразований Фурье стано-
становится чрезвычайно гибким благодаря тому, что преобразо-
преобразования Фурье переводят эти пространства друг в друга, и
позволяют получить важные общие теоремы о классах един-
единственности и корректности решений задачи Коши (гл. II и III
выпуска 3).
В этой главе мы будем рассматривать комплексные
пространства основных и обобщенных функций. Напомним,
в частности, что функционалом типа функции f(x) назы-
называется функционал, действующий по формуле
и что умножение функционала g на число а или функцию а(х)
производится по формуле
(а/, ср) = (/, аср)=а(/, ср).
Теоремы из предыдущей главы, которыми мы будем
пользоваться, доказаны для вещественных пространств, но,
как легко проверить, остаются справедливыми и в комплекс-
комплексном случае.
1. Операторы Фурье на пространстве 5. Рассмотрим
преобразование Фурье функции cp(jt) комплексного про-
пространства S, т. е. дифференцируемой комплекснозначной
функции, все производные которой прет | х | -> оо стремятся
к нулю быстрее любой степени -j—-. Мы покажем, что пре-
образование Фурье функции cp(jc)
( \ A)
как функция от а, также принадлежит пространству 5
(функций от а), т. е. ф(а) бесконечно дифференцируема
и каждая из ее производных стремится при |а|—>оо к нулю
быстрее любой степени -.—р.
!а I
Интеграл в формуле A) допускает дифференцирование
по параметру о^-, так как полученный после формального

154 ГЛ. III. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [1
дифференцирования интеграл остается абсолютно сходящимся:
J R
Свойства функции ср (х) позволяют неограниченно продол-
продолжать это дифференцирование. Значит, функция ф(а) беско-
бесконечно дифференцируема. При этом имеет место формула *)
= / Р Qx) el &> J)cp (*) dx = F [P (ix) cp (x)] B)
для любого дифференциального оператора P(D).
Теперь рассмотрим преобразование Фурье от частной
дч>
производной -~~ :
3 R J
Интегрирование по частям с учетом стремления к нулю ср (л:)
при | х | -> оо приводит к выражению
R
Повторяя эту операцию, получим:
F [P (D) ср (х)] = Р (- ioj) F [ср (х)]. C)
Функция Р (— ioj) F [ср (х)]у как преобразование Фурье
интегрируемой функции, ограничена. Поскольку Р — любой
многочлен, мы видим, что F[cp (x)] = ф(а) при |а|->оо
стремится к нулю быстрее любой степени -—г-. То же
верно и для любой производной от ф (а), поскольку, напри-
например, выражение -Д-, как мы видели, есть преобразование
Фурье от функции ixy(x), также принадлежащей 5.
*) Напомним, что Р (D) = V аф* =
= Yjak....kn Т-Г Т-ГГ J аналогично

1] § 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ 155
Таким образом, любая производная от ф(а) стремится
к нулю при |а|—уоо быстрее любой степени -j—р, что и
утверждалось.
Итак, если функция ср (jc) принадлежит пространству S
(функций от х), то ф(а) = F[y(x)] также принадлежит
пространству S (функций от а).
Для обратного преобразования Фурье F~~l, которое, как
известно, определяется формулой
ср (х) = F'1 [ф @)] = ^ f е-* <* •> <|> (a) do, D)
таким же точно образом доказывается аналогичное утвер-
утверждение: если ф(а) принадлежит пространству S (функций
от а), то и ср (х) = F~l [ф (а)] принадлежит простран-
пространству S (функций от х).
Отметим, что, применяя к формулам B) — C) опера-
оператор F~l и заменяя всюду F[cp] на ф, а ср на F^], мы
получаем следующие формулы для оператора F :
F-1 [P (D) ф (а)] = Р (ix) F~l [ф (а)]; E)
Р (D) F-i [ф (а)] = F-i [Р(- to) ф(а)]. F)
Из доказанных предложений следует, что операторы
F и F~l взаимно однозначно отображают пространство S
на себя. Очевидно, что эти операторы являются линейными.
Покажем, что при этом сходимость в 5, определенная
как сходимость в двойственном пространстве, совпадает
с исходной сходимостью в 5. Достаточно показать, что
операторы F и F~l ограничены. Проверим это для опера-
оператора F. Мы имеем при kx-\- ... -\-kn-\-qx-\- ...
(— 1а)кОЦ (а) = f Dk [(ix)q<? (x)] el (aJ' a) dx =
в
= ]g Clfi f DfxqDk-j<? (х)еЦх>Q) dx,

156 ГЛ. III. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
откуда
[2
) |
= s
n(-Hi)
Отсюда
что и доказывает ограниченность оператора Фурье в рас-
рассматриваемом случае.
Для оператора F~~x можно провести аналогичную вы-
выкладку; но в ней нет нужды, так как мы можем сослаться
на теорему об обратном операторе (гл. I, § 7, п. 2).
Резюмируем: операторы Фурье F и F1 являются на
пространстве S линейными непрерывными операторами,
отображающими это пространство на себя.
2. Операторы Фурье на пространствах Af и Z. Напомним
теперь связь между пространствами К и Z, рассмотренную
в выпуске 1.
Преобразование Фурье функции
ф (а) = F [ср (*)] == J ср (*) е* &> а> dx
может быть продолжено в комплексную область 5 =
по формуле
ф (s) = J ср (а:) ** <ж>») rfx = Г ср (a:) ei &> ^^ x> Jjc.
Ga Ga
При этом получается дифференцируемая, а следовательно,
и целая аналитическая функция от s\ она удовлетворяет
при любом k неравенству
l ( =

3] § 1. ПРЕОЁРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ 157
Удовлетворяющие этому неравенству функции ф(з) при-
принадлежат пространству Z(a). Очевидно, что ограниченное
множество пространства К (а) (ограничены |ОЛср|) переходит
в ограниченное множество пространства Z (а) (ограни-
(ограничены CfcOjO). Таким образом, оператор Фурье является
ограниченным, а следовательно, непрерывным оператором,
взаимно однозначно переводящим К(а) в Z(a). Как было
показано в выпуске 1, это отображение осуществляется
на все пространство Z(a).
Итак, пространство К финитных бесконечно дифферен-
дифференцируемых функций преобразованием Фурье отображается на
пространство Z целых аналитических функций ф(з) ($=а-|-/т),
удовлетворяющих условиям
В силу общей теоремы об обратном операторе (гл. I,
§ 7, п. 2) оператор F~l есть непрерывный оператор, ото-
отображающий Z(a) на К (а). Таким образом, мы имеем:
F\K{a)\ = Z{a), F~l[Z(a)] = К (а), A)
причем в обоих случаях операторы Фурье являются ли-
линейными и непрерывными. Далее, поскольку
К-\
мы имеем:
F[K] = Z, F-llZ]^K} B)
причем и здесь операторы Фурье линейны и непрерывны.
3. Общий случай. Теперь рассмотрим любое основное
пространство Ф, содержащееся в комплексном простран-
пространстве S. (В S содержатся, в частности, пространства К (а),
/С, Z{a) и Z.)
Совокупность всех преобразований Фурье функций
ср(л;)?Ф мы назовем двойственным пространством по
отношению к Ф и обозначим через Ф = ^[Ф] = 11Г. Оче-
Очевидно, что \Р есть линейное пространство, линейно изо-
изоморфное с пространством Ф. Введем в W топологию
в соответствии с этим изоморфизмом; будем, в частности,

158 ГЛ. Ш. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЁ [1
считать, что последовательность ^v(a) = F[cpv(x)] стремится
к нулю в пространстве W, если последовательность cpv (л:)
стремится к нулю в Ф. Тем самым пространство W = F[<P]
также оказывается основным пространством. Оператор
Фурье ф=^[ср] является непрерывным оператором, взаимно
однозначно (и линейно изоморфно) отображающим Ф на W;
в силу той же теоремы 1 п. 2 § 7 гл. I обратный оператор
также непрерывен. Отметим, что формулы B)—C) и E)—F)
п. 1, разумеется, сохраняются.
В заключение этого параграфа сделаем следующее общее
замечание. Если в пространствах Ф и W вместе с каждой
функцией у(х) содержится функция ср (—х), то наряду
с соотношением
имеет место и соотношение
Действительно, если прямым преобразованием Фурье функ-
функции ср(л;)?Ф служит функция ф(а), то обратным преобра-
преобразованием Фурье той же функции ср(лг) является функция
Например, наряду с соотношениями A) и B) предыду-
предыдущего пункта можно написать:
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
1. Основное определение. Рассмотрим какое-нибудь
основное пространство Ф функций ср (л:) и двойственное
к нему пространство W преобразований Фурье ф(а) функ-
функций ср(лг).
Преобразование Фурье F(f) обобщенной функции /? Ф'
определяется по формуле
BiOn (/, ?)• (О

1] § 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОБОБЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ 159
Операции над обобщенными функциями мы всегда вводим
как сопряженные к соответствующим операциям над основ-
основными функциями *).
В данном случае, полагая ,р(ср) = ф, ср = /7~1(ф), мы
видим, что построенный оператор является сопряженным
к оператору обратного**) преобразования Фурье в простран-
пространстве W и вместе с ним линеен и непрерывен.
Таким образом, преобразование Фурье обобщенной функ-
функции на пространстве Ф является обобщенной функцией на
пространстве Ф. Например, преобразование Фурье обобщен-
обобщенной функции на пространстве К является обобщенной функ-
функцией на пространстве Z. В последнем случае данное здесь
определение преобразования Фурье обобщенной функции,
разумеется, дословно совпадает с определением преобразо-
преобразования Фурье, данным в гл. II выпуска 1.
Как и там, определение A) оправдывается следующим
образом. Пусть /—функционал типа абсолютно интегри-
интегрируемой функции f(x). Далее, пусть g(o) — обычное преоб-
преобразование Фурье функции f(x) и ф(о) — преобразование
Фурье основной функции <р(лг). Тогда имеет место равенство
Парсеваля
= ff(x)?(x)dx =
Ф) ***)•
*) С тем или иным небольшим искажением, например, опера-
операция —— над обобщенными функциями сопряжена к операции
ах
d d
— ——, а не к -г— , над основными функциями.
**) В этом и состоит искажение в данном случае.
***) Перемена порядка интегрирования, произведенная на чет-
четвертом этапе, законна в данном случае в силу абсолютной сходи-
сходимости двойного интеграла
J J I/(X) ф (а) | dx da = J \f(x)\dx.f | ф (а) | da.

160 гл. ш. Преобразования фУрьё A
Поэтому, применяя наше определение преобразования Фурье
для функционала /, мы получаем:
С7 (Л. ?(<?)) = &*)"(/> <p) = (g, ф),
откуда F(f) = g\ таким образом, преобразование Фурье
функции f(x) как функционала совпадает с ее обычным
преобразованием Фурье.
Можно получить определениг обратного оператора F~l (/),
если заменить в формуле A) F(f) на g и F(cp) на ф:
таким образом,
^ ^)^, ф). B1
в пространстве Ф (а следовательно, и в W)
определены дифференцирование и умножение на х, то
имеют место формулы
P(D)F(f) = F[P(ix)f], C)
F[P(D)f]=P(—to)F[fl, D)
аналогичные формулам B) и C) § 1, п. 1.
Доказательство. По основной формуле A), исполь-
используя формулы B) и C) § 1, имеем:
(F[P(ix)f], n f
= (P(D)F(f),
что дает формулу C). Далее, аналогично,
(F[P(D)f\, F(cp))==B1r)w(P(D)/, ?) = B«)»(/, P(-D)cp) =
= (P(—ta)F(f)F(<f)),
откуда следует D).
Применяя к C) и D) оператор F и заменяя F(f)
на g, получаем формулы
F~llP(D)g\ = P (ix) F-l (g), Ф)
P(D)F-1(g) = F'1[P(-io)g],- F)
аналогичные формулам E) и F) § 1, п. 1.

2| § 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЁ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 161
Примеры. 1°. Найдем F(b). Если ф = /^(ср), то со-
согласно определению
(F (8), ф) - B*)» (8, ср) = Bте)Л ср @) = J ф (a) do = A, ф),
откуда
F(B)=1. G)
Аналогично
f-1(8) = _Lr; B«"
2°. По формулам C) и G) находим:
FlP(x)] = F[P(x). 1] = P(—/D).f(l) = P(—/D)8(o).
В частности,
F (**) = (-/?)* 8 (а). (8)
Большое количество других примеров мы указали в гл. II
выпуска 1.
2. Преобразование Фурье финитного функционала.
Как известно, преобразование Фурье функции fix),
обращающейся в нуль вне области О^ = {| jcx | ^; ах,
I X21 ^ a2> • • •» I хп I ^ ап)» есть делая аналитическая функция
переменного 5 = o-f-/x. Более точно, эта целая функ-
функция от 5 имеет порядок роста <; 1 и тип <^а; это озна-
означает, что для комплексных значений 5 = а-)-/т функция/(s)
при любом г > 0 удовлетворяет неравенству
|/(a + /T)|<C.*(a+i)|x| (=C^(ai+e)iXll+---+(^+e)lxnl).
Оказывается, что аналогичная теорема справедлива и для
функционалов, сосредоточенных на ограниченном множестве.
Теорема. Если обобщенная функция f на /С*) сосре-
сосредоточена в области Ga = {| xt \ <C av . . ., | хп \ <; ап), то
ее преобразование Фурье f есть функционал типа функ-
функции g(o), которая продолжается аналитически в ком-
комплексную область s = o-\-ix как целая функция 1-го по-
порядка роста с типом а и возрастает при | а | —> оо и
фиксированном т не быстрее \ a \q при некотором q.
*) Или на любом другом пространстве функционалов, где все
финитные бесконечно дифференцируемые функции входят в число
основных.
11 Зак. 2669. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов

1б2 ГЛ. tit. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЁ [2
Доказательство. По теореме п. 4 § 4 гл. II для
любого s > 0 . можно найти непрерывные функции fke(x)
(k—1, 2, ..., т), обращающиеся в нуль вне области
Ga+,= {|A;1|<fl1-f8, ..., |*J<an + ?} и такие, что
к
Преобразование Фурье функции fke(x) есть функционал
типа функции
Функция gfce(a) аналитически продолжается в комплекс-
комплексную область по формуле
«*.(° + *0= ffkAx)ei^^i^dx)
причем, очевидно
Таким образом, gke(s) есть целая функция не выше чем
1-го порядка роста и типа <Ca-|-s при любом г>0 или,
что то же, типа <; а. Применение к функционалу /Ле диф-
дифференциального оператора Pfo(D) равносильно умножению
функции gke(s) на многочлен Pke(is). Но хорошо известно,
что умножение целой функции на многочлен не меняет ее
порядка и типа. Таким образом, выражения Pfo(is)gkz(s)
суть также целые функции не выше 1-го порядка и типа
<; а; следовательно, и их сумма
есть целая функция не выше 1-го порядка и типа ^ а.
Далее, функция gke(o-^-iz) при фиксированном т ограни-
ограничена как преобразование Фурье интегрируемой (финитной)
функции ffa(x) е~(х>х), поэтому произведение Ркг (io) gke(a)
и их сумма g(o) возрастают при |а|->оо не быстрее неко-
некоторой степени |а|. Тем самым наша теорема полностью до»
казана.

3] § 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 163
Заметим, что для финитного функционала /, как было показано
в выпуске 1, имеет место следующая формула преобразования
Фурье:
/=(/, el&'% A)
где под е* ^х> ^ следует понимать любую из основных функций
(пространства /С), совпадающих с функцией ег^Хг<5) в окрестности
множества, на котором сосредоточен функционал /.
Формулу A) также можно было бы положить в основу доказа-
доказательства нашей теоремы.
Имеет место и обратная теорема.
Всякая целая функция не выше 1-го порядка и ко-
конечного типа, имеющая при вещественных s = o рост не
выше степенного, если ее рассматривать как обобщенную
функцию на Z, есть преобразование Фурье некоторого
финитного функционала на К.
Доказательство этой теоремы будет дано в § 4.
3. Структура обобщенных функций в пространстве
Z(a). Найдем при помощи преобразования Фурье общий
вид линейного непрерывного функционала на простран-
пространстве Z(a), Каждый линейный непрерывный функционал
g^Z1(а) определяет и линейный непрерывный функционал/
на К (а), действующий по формуле
Но общий вид линейного функционала на пространстве /С(а)
известен (гл. II, § 4, п. 3). Таким образом, мы получаем,
что
(&Ф) = ff(x)Dm9(x)dx,
что
где f(x) — непрерывная функция. Подставляя в эту фор-
формулу
Dmcp (х) = / (- i*)m ф (а) е'*{х' а) da
R
и меняя порядок интегрирования, находим:
ff(x)e-*<*«>dx\da.
J
а J
11*
аа

164 ГЛ. III. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬ? [4
Функция
продолжается в комплексную плоскость как целая аналити-
аналитическая функция не выше 1-го порядка роста и типа <Ja;
при вещественных а она ограничена. Умножая ее на (—/а)ш,
получим функцию 0@), которая также продолжается в ком-
комплексную плоскость как целая аналитическая функция не
выше 1-го порядка роста и типа <^a; при вещественных a
она возрастает не быстрее С|а|ш.
Итак, общий вид линейного непрерывного функционала
в пространстве Z(a) дается формулой
(ft <1Л = I G (а) ф (а) й?а,
где G (s) — целая функция не выше 1-го порядка роста
и типа <Ж возрастающая при вещественных s = o не
быстрее некоторой степени |а|.
Заметим, что функция G(s) определена неоднозначно.
Например, функционал типа функции ^(&>а) на простран-
пространстве Z (а) совпадает с нулевым функционалом, если
|^|>|я^| ПРИ каком-нибудь у. Действительно, обратное
преобразование Фурье функции ^(&>а) есть Ь(х — Ь) — ну-
нулевой функционал на пространстве К(а).
4. Преобразования Фурье и дифференциальные урав-
уравнения. Рассмотрим два примера применения преобразований
Фурье к задачам дифференциальных уравнений.
1°. Фундаментальные решения дифферен-
дифференциальных уравнений. Напомним, что фундаменталь-
фундаментальным решением дифференциального уравнения
P(D)u = g, A)
называется решение Е = Е (х) уравнения
В выпуске 1 были указаны явные выражения для фун-
фундаментальных решений нескольких типов уравнений (гл. I,
§ 4; гл. Ill, § 2; гл. IV, § 2). Здесь мы рассмотрим

4] § 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 165
в общем виде задачу о существовании фундаменталь-
фундаментальных решений и докажем, что в классе функционалов над
пространством К существует фундаментальное решение
для любого линейного дифференциального уравнения
с постоянными коэффициентами.
Уравнение B) в функционалах над пространством К
эквивалентно уравнению в функционалах над пространст-
пространством Z, полученному из B) преобразованием Фурье:
P(io)E=\. C)
Вопрос о разрешимости уравнения C) в пространстве Z'
есть вопрос о существовании в этом пространстве функ-
функционала р . В п. 3 § 3 гл. II этот вопрос был решен
положительно. Но тем самым положительно решается
вопрос и о существовании решения уравнения B); иско-
искомым решением является обратное преобразование Фурье
от функционала ^ ?^'-
2°. Назовем дифференциальный оператор Р (D) = Zjaa\i—- I
^ ч \ дх)
квазиэллиптическим, если многочлен Р (а) = ^ aq^q не обра-
обращается в нуль ни в одной точке вне шара | а |<;а. Покажем, что
всякое решение уравнения
Р (D) и (х) = 0, D)
возрастающее при вещественных х не быстрее многочлена,
представляет собой целую функцию от z = х -\- iy порядка
роста <; 1 и типа <; а. (Например, это верно для Р (D) = Д -f-1.)
Для доказательства построим с помощью указанного решения
и (х) уравнения D) функционал на пространстве 5:
(и, ср) = Г и (х) ср (х) dx.
R
Покажем, что функционал и удовлетворяет уравнению Р (D) и = 0.
Действительно, для любой финитной функции у (х) S
(Р (D) и, ср) = (и, Р (- D) ср) = J и (х) Р (-D) cf (x) dx.

166 ГЛ. III. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [4
Здесь можно произвести интегрирование по частям, причем гра-
граничные члены исчезнут в силу финитности функции у (х). По-
Поэтому
(P(D) в, ?) = P (D) и (x) <p (дг) rf* = 0,
т. е. функционал Р (D) и обращается в нуль на каждой финитной
функции ср (х). Так как этот функционал непрерывен на S, а фи-
финитные функции образуют в 5 плотное множество (гл. II, § 2), то
Р (D) и есть нулевой функционал на всем S; таким образом, урав-
уравнение Р (D)u = 0 удовлетворяется и в смысле теории обобщенных
функций.
Пусть v = u?Sr есть преобразование Фурье функционала и.
Применяя к уравнению D) преобразование Фурье, получаем новое
уравнение
Р (a) v = 0. E)
Так как многочлен Р (а), по условию, не обращается в нуль
вне шара | а | ^ а, то функционал v сосредоточен в пределах этого
шара. Но тогда, по доказанному, функционал и (х) есть обычная
функция, и притом целая аналитическая функция не выше 1-го
порядка роста с типом -< а, что и утверждалось.
Замечание. Если многочлен Р (а) = ^ aq^q обращается
в нуль только в одной точке а = 0 (оператор Р (D) в этом случае
называют эллиптическим), то результат можно уточнить. Функ-
Функционал v в этом случае сосредоточен в одной точке а = 0. Приме-
Применяя теорему п. 5 § 4 гл. II, заключаем, что v можно записать
в виде
где Ро—многочлен; отсюда по формуле (8) п. 1 и = Ро (х), т. е. и
есть многочлен от х. Мы пришли к следующему результату: если
Р (D) — эллиптический оператор, то всякое решение уравнения
р (О) и = 0, возрастающее при \ х \ -*• со не' быстрее некоторой
степени \ х \ , есть многочлен от -х.
Если же многочлен Р (а) вообще не обращается в нуль при
вещественных а (оператор Р (D) в этом случае называют гипо-
эллиптическим), то функционал v, очевидно, должен быть равным
нулю. Таким образом, если Р (D) — гипоэллиптический оператор,
то все отличные от тождественного нуля решения уравнения
P{D)u — 0 возрастают при |лг|->оо быстрее любой сте-
степени \х\. Аналогичные результаты справедливы и для системы
уравнений с векторной записью D); роль многочлена Р (а) будет
играть детерминант соответствующей матрицы.

1] § 3. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 167
§ 3. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ЕЕ СВЯЗЬ
С ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ ФУРЬЕ
В выпуске 1 для обобщенных функций на основном
пространстве К (финитных бесконечно дифференцируемых
функций) мы ввели операцию свертки. Эта операция играла
важную роль в применениях теории к дифференциальным
уравнениям. В этом параграфе мы введем операцию свертки
для обобщенных функций уже на любом основном про-
пространстве Ф, с единственным условием, чтобы вместе
с каждой функцией ср (л:) к пространству Ф принадлежали
все ее сдвиги.
1. Операция сдвига. Предположим, что в основном
пространстве Ф определен для всех вещественных h опе-
оператор сдвига
fyp (*) = ?(* + *)•
Предположим также, что Th является ограниченным опера-
оператором в пространстве Ф равномерно по всем h в любой
ограниченной области |^|<!/г0*).
Отсюда, прежде всего, следует, что при каждом фи-
фиксированном h оператор Th непрерывен: если cpv —> 0 по
топологии пространства Ф, то и 7^cpv -> 0 по топологии
пространства Ф.
Далее, можно утверждать, что в совершенном прост-
пространстве или в объединении таких пространств оператор Th
непрерывен по /г, т. е. для каждой ср^Ф п и h -+Ьг имеет
место соотношение Г^ср -> 7\ср по топологии простран-
пространства Ф. Действительно, семейство 9 (x-f-hv) (hv -> кг) огра-
ограничено в Ф и, следовательно, компактно; но, поскольку
сходимость по топологии влечет сходимость функций
в каждой точке х, единственной предельной точкой семей-
семейства ср (jc —|— /zv) является <pC* + ^i)- Отсюда следует, что
= lim
V -> О
по топологии, что и требуется.
*) То есть объединение образов ThA любого ограниченного,
множества А по всем h, \h\^ h^ является ограниченным множе-
ртвпи
ством.

168 ГЛ. III. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [2
Примеры. 1°. В пространстве К(а) бесконечно диффе-
дифференцируемых функций, равных нулю при | х | > а, операции
сдвига нет. В пространстве К всех финитных бесконечно
дифференцируемых функций она имеется и обладает, оче-
очевидно, всеми нужными свойствами.
2°. Покажем, что оператор сдвига определен и ограни-
ограничен в пространстве 5. Для этого оценим величину
\xkDq<f(x-\-h)\ при |А|<А0> *<А q<p:
ср (х Н- h) | = su рх | (х — hf Dq ср (x) |<
^ 2 С| | xjhk'jD V*) К
Отсюда следует, что функция ср (jc —|— /г) принадлежит
пространству 5 вместе с функцией у(х) и что оператор
сдвига ограничен равномерно по h при |/г|<!/г0, что и
требуется.
3°. Аналогичное рассуждение можно провести и в про-
пространстве К {Мр} при следующем условии: для любого р
существует такое р' ;> /?, что при | h |<! /г0
Мр{х— h)*CCphoMp,(x). A)
4°. Покажем, что оператор сдвига определён и ограни-
ограничен в пространстве Z(a). Пусть cp(z)?Z(a); функция
o(z-\-h) — аналитическая функция вместе с ®(z)
sup21 z*cp (z + h) \ea I у I < sup21 (z~ h)k cp (z) \ ea I у 1 <
Отсюда вытекает, что cp (x -\- h) ^ Z (a) и || <р (л;-f-A) ||Л «^
^СЦсрЦд., так что оператор сдвига в Z (а) ограничен
равномерно по h при |/г |<!/г0.
Другие примеры читатель встретит в гл. IV.
2. Определение свертки. Так как в предположениях
п, 1 функция ср (лг-f-E) непрерывна по X В смысле тополо-

2] § 3. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 169
гии Ф, то для любого /?Ф' выражение
есть непрерывная функция от х.
Введем следующее определение.
Пусть для некоторой обобщенной функции /0?Ф' мы
имеем
/о*? = (/оF). «р(*+9) = ф(*)€Ф, (О
какова бы ни была функция ср?Ф, и из соотношения cpv—>0
вытекает /0 * cpv -> 0 по топологии Ф; тогда функционал /0
называется свертывателем в пространстве Ф.
Например, Ь(х — а) и ее производные являются сверты-
вателями в любом пространстве, в котором определен
сдвиг:
и т. д.
Рассмотрим теперь сопряженную операцию в простран-
пространстве Ф', определяемую равенством
(/о*/. <?) = (/> /о*?)-
Выясним, что представляет собой операция /0*/, если
/ и /о СУТЬ функционалы типа функций, обращающихся
в нуль вне конечной области *). Мы имеем в этом случае
С/о*/.
причем перемена порядка интегрирования законна, по-
поскольку все интегралы в действительности берутся в ко-
конечных пределах.
*) Несколько более точное рассмотрение с применением тео-
теоремы Фубини позволяет установить справедливость аналогичного
результата и для случая функций f{x) и /q(x), интегрируемых во
всем пространстве.

170 ГЛ. III. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [3
Таким образом, /0*/ есть функционал типа функции
(S)/o(* — 6)«. B)
В анализе эта функция называется сверткой функций /0
и /. Поэтому операцию /0 * в пространстве Ф' мы будем
называть сверткой с функционалом /0. Итак, мы определили
новую линейную и непрерывную операцию в простран-
пространстве Ф', свертку со свертывателем /0, действующую по
формуле
(/о*Л <Р) = (Л /о*?)-
Операцию /0*tp в основном пространстве Ф мы будем
называть сверткой функционала /0 с основной функ-
функцией ср. Подчеркнем, что если /0 — функционал типа функ-
функции /0(jc), то в отличие от B)
C)
в вы-
выМногочисленные примеры свертки были даны в вы-
выпуске 1 в пространстве обобщенных функций над основ-
основным пространством К (гл. I, § 4). Как и там, в общем
случае
случае
8*/=/.
Действительно,
Аналогично,
Действительно,
3. Дифференцирование свертки. Мы выведем далее
формулу дифференцирования свертки. При этом предполо-
предположим, что операция сдвига не только непрерывна, но и
дифференцируема в пространстве Ф, т. е. что для любой

3] § 3. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 171
основной функции ср (х) предельное соотношение
y(x-\-hA — ф (х) ду
———y—^J"->^- (Ai = (°. •••> Л» •••> 0)->0)
i J j
выполняется в смысле сходимости в пространстве Ф.
Представление о том, в каких пространствах выполняется это
требование, дает следующая лемма.
Лемма. В совершенном пространстве Ф с непрерывными
операциями сдвига и дифференцирования предельное соотно-
соотношение
ф (х + hj) — ф (х) д<?
для каждой основной функции ф (х) выполняется в смысле схо-
сходимости в пространстве Ф.
ф (х + hj) — ф (х)
Достаточно показать, что отношения j-
остаются при hj ->• 0 ограниченными (по топологии Ф). Действи-
Действительно, в этом предположении можно выбрать сходящуюся после-
ф (х + hj ) — ф (х)
довательность -^ ; ясно, что она может сходиться
ду (х) V
только к -~—. Так как предел определен единственным обра-
образом, то указанное отношение имеет этот предел вообще при hj-+O
по любому закону.
Покажем, что в пространствах с указанными свойствами отно-
ф (х + hj) — <?(x)
шение т в самом деле ограничено при hj -> 0.
Это отношение можно представить в форме
ф (х + hj) — ф (х)
-dbj.
о J
По условию, функция х .> —— непрерывно зависит от пара-
параметра 8j\ В силу теоремы о среднем (добавление к гл. I, п. 4)
интеграл в правой части имеет по топологии пространства Ф при
л дч> (х)
hj-*-0 предел Т ; отсюда следует, что этот интеграл ограни-
3
чен при малых hj, что и требуется.
В частности, в пространствах /С, S, К{Мр} (при условиях E)
п. 4 § 3 гл. II и A) п. I настоящего параграфа) предположения

172 ГЛ. III. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ C
леммы выполнены; в этих пространствах, следовательно, имеет
место и результат о сходимости
— <р (х) ду
по топологии соответствующего пространства.
В пространстве с дифференцируемым сдвигом для
любого функционала / выражение (f(x), cp(.r-f-?)) есть не
только непрерывная, но и (бесконечно) дифференцируемая
функция; она является основной функцией, если /—свер-
тыватель.
Имеет место следующая теорема о дифференцировании
свертки.
Теорема. Если функционал /0 — свертыватель в ос-
основном пространстве Ф с дифференцируемым сдвигом,
то любой функционал P(D)f0 — также свертыватель
в Ф и имеет место равенство
P(D)(fo*f) = P(D)fo*f = fo*P(D)f- 0)
Доказательство. Рассмотрим сначала случай опера-
^ <р (x-\-hA—? (х) ду
тора Р (D) = -в—. Так как, по условию, -г- > ^—,
то в силу непрерывности оператора /0 * мы имеем:
ср (х + hj) — т (х) дер
j j
Таким образом, функция /0*ф дифференцируема и
д , г ч г д$ ,^ч
Покажем теперь, что функционал -^- также является
OXj
свертывателем. Мы имеем:
последнее выражение, по B), совпадает с — -^—С/о *
представляет, следовательно, основную функцию.

4] § 3. свертка обобщенных функций 173
Далее,
откуда и вытекает первое из равенств A) для P(D) = ^—.
С другой стороны, по B),
откуда получается второе из равенств A) для P{D) = -—.
dxj
Таким образом, формула A) доказана t полностью для
случая Р(О)=-ц—. Итерируя полученный результат, при-
приходим к справедливости формулы A) и в общем случае.
4. Финитные функционалы как свертыватели. Пользуясь
теоремой о дифференцируемости свертки, мы укажем широ-
широкий класс функционалов-свертывателей.
Теорема. Если Ф — совершенное пространство с диф-
дифференцируемой операцией сдвига, то всякий функцио-
функционал /?Ф', сосредоточенный в ограниченной области,
является свертывателем.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда
функционал / отвечает некоторой обычной финитной функ-
функции /(*):
В этом случае
/ (О
можно интерпретировать как интеграл от абстрактной
функции /(?) ср (jt-f-?) параметра % со значениями в Ф (см.
добавление к гл» I, п. 4).

174 ГЛ. III. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [4
Эта функция непрерывна как произведение непрерывной
(по условию) абстрактной функции ср (л: —|— ^) на непрерывную
числовую функцию /(?). Поэтому ее можно проинтегриро-
проинтегрировать по параметру % в пределах конечной области, где
/(?) Ф 0; результатом будет снова элемент пространства Ф.
Сравнивая значения в каждой точке, нетрудно убедиться
в совпадении результата интегрирования /(?) ср (jc —|— 5) как
абстрактной функции с функцией, представленной интегра-
интегралом A).
В общем случае, по теореме п. 4 § 4 гл. II, функцио-
функционал / представляется в виде суммы производных некоторых
порядков от финитных непрерывных функций fk{x). Каждая
из этих функций, по доказанному, является свертывателем.
Поскольку в пространстве с дифференцируемым сдвигом
производные свертывателей — также свертыватели, каждая
из производных функций fk(x) будет свертывателем в Ф;
вместе с ними будет свертывателем и их линейная комбина-
комбинация— функционал /.
Одновременно мы получаем и формулу для свертки
финитного функционала /= 2^й;(Ц)Л с любой основной
функцией (
= 2 ffk F) Рк
Отметим еще одно важное свойство свертки с финит-
финитным функционалом.
Если финитный функционал /0 отвечает бесконечно
дифференцируемой функции fo(x), то свертка его с любым
функционалом f есть функционал типа бесконечно диф-
дифференцируемой функции.
Действительно, для любой финитной основной функции
(/о*/. ?) = а./о*?)=(/(*). //о«ж*+о«) =
fo(y— x))<f(y)dy.
Функция {f{x), fo(y — x)) есть свертка функционала f(x)
с основной функцией /0(—х) и поэтому бесконечно диф-.

5] § 3. свертка обобщенных функций 175
ференцируема. Таким образом, свертка /0#/ действует на
основную функцию ср (л:), как бесконечно дифференцируемая
функция, что и утверждалось.
5. Теорема о непрерывности свертки. Установим теперь
полезную теорему о непрерывности операции свертки.
Теорема. Если Ф — основное пространство с диф-
дифференцируемой операцией сдвига, содержащее все финит-
финитные бесконечно дифференцируемые функции, и последо-
последовательность функционалов /v (v=l, 2, . . .), сосредо-
сосредоточенных на ограниченном множестве F, сходится
к функционалу f (также, очевидно, сосредоточенному
на множестве F), то для любого функционала g
f>*g-+f*g- (О
Заметим, прежде всего, что в силу теоремы п. 4 /v и
/— свертыватели, и выражения, входящие в соотношения A),
имеют смысл.
Для доказательства соотношения A) покажем вначале,
что для любой финитной основной функции ср (х) имеет
место соотношение
Достаточно проверить это в случае, когда /=0.
Пусть сначала Ф—счетно-нормированное пространство.
Функционалы /v, сосредоточенные на ограниченном мно-
множестве F и сходящиеся к нулю, согласно замечанию
в конце п. 4 § 4 гл. II можно записать в форме
Л 2
[q\<P
где функции fq(x) непрерывны, обращаются в нуль вне
фиксированного множества Ft и равномерно стремятся
к нулю при v -> сю. По формуле B) предыдущего пункта
мы имеем:
\Q\<P
Отсюда получается оценка

176 гл. ш. преобразований фУрье [б
которая показывает, что при любом т норма элементов
/v * ср в пространстве Фт стремится к нулю, когда v -> оо.
Это означает, что /v * ср стремится к нулю в счетно-нор-
мированном пространстве Ф.
Пусть теперь Ф есть объединение счетно-нормирован*-
ных пространств. Сходимость в объединении приводится
к сходимости в самих счетно-нормированных пространствах;
отсюда следует, что наше утверждение верно и в этом
случае.
Теперь легко доказать утверждение теоремы. Для любой
основной функции ср(л:), по доказанному и в силу непре-
непрерывности функционала g,
(/v*?"> ?) = (?> /v *?)->(?. /*?) = (/*?. <Р),
что и утверждалось.
Пример. Рассмотрим последовательность бесконечно
дифференцируемых функций fs(x), обращающихся в нуль
вне интервала (—1, 1), стремящуюся к Ь(х) в смысле
обобщенных функций («дельта-образная последовательность»,
см. выпуск 1, гл. I, § 2). Согласно теореме о непрерыв-
непрерывности свертки для любого функционала g
/v (*)*?-> 8 (*)*?= ?•
Как было указано выше, свертка fv(x)*g представляет
собой бесконечно дифференцируемую функцию. Таким обра-
образом, мы заново получили доказательство возможности
аппроксимации любой обобщенной функции с помощью
бесконечно дифференцируемых функций (гл. II, § 4, п. 4);
при этом мы получаем и явный вид аппроксимирующих
бесконечно дифференцируемых функций.
6. Гармонические функционалы. В этом пункте мы будем
рассматривать функционалы на пространстве К финитных беско-
бесконечно дифференцируемых функций. Функционал / называется гар-
гармоническим, если он удовлетворяет уравнению А/ = О (А — опера-
оператор Лапласа). Известно, что для классических гармонических
функций справедлива теорема о среднем: значение гармонической
функции в центре любой сферы равно среднему арифметическому
из значений на самой сфере. Теорему о среднем можно записать
с помощью свертки таким образом: для любого /? > О
/=*д*/. A)

6] § 3. СВЁРТКА ОБОБЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ 177
где bR означает функционал, отвечающий равномерному распреде-
распределению массы 1 на сфере радиуса R, т. е. од = о ^п_х о {г — R)
(см. выпуск 1, гл. III, § 1). Покажем, что равенство A) справед-
справедливо для любого гармонического функционала f и, более того,
что оно является характеристическим для гармонических
функционалов, т. е. всякий функционал, удовлетворяющий урав-
уравнению A), есть гармонический функционал.
Рассмотрим сначала уравнение
А? = ьв — 5> B)
где g — неизвестный функционал.
Так как функционал hR — о — финитный и, следовательно,
является свертывателем в пространстве /С, то уравнение B) можно
разрешить с помощью фундаментального решения Е уравнения
Лапласа:
g = (ьв — о) * Б.
Так как вне начала координат фундаментальное решение Е
заведомо есть гармоническая функция, то ее усреднение по сфере
радиуса R с центром, отстоящим от начала больше чем на R,
равно ее значению в центре сферы. Отсюда следует, что функцио-
функционал g вне сферы радиуса R с центром в начале координат равен
нулю и тем самым финитен. Но тогда для данного гармонического
функционала /
{hR — о) # / = Ag- # / = g * А/ =г О,
т. е.
что и требовалось.
Обратно, пусть выполнена теорема о среднем A). Тогда выпол-
выполняется, очевидно, и уравнение
On — О
ДП9 */=о. C)
Oft 0
Найдем предел функционала —-^— при R-+0. Для заданной
основной функции <р (х), используя формулу Пицетти (см. выпуск 1,
гл. I, § 3, п. 9), мы имеем:
где многоточие заменяет члены, содержащие R? в положительных
степенях.
Переходя к пределу, находим:
д? @)
12 Зак 2669 И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов

178 гЛ. ш. преобразования фУрьё F
и, следовательно,
hR - о 1
1^^^- = — М(х).
Переходя к пределуv в равенстве C) (что допустимо в силу тео-
теоремы п. 5), получаем:
что и требуется.
Как следствие можно легко получить, что в действительности
нет иных гармонических функционалов, кроме тех, которые
соответствуют обычным гармоническим функциям:
Теорема. Каждый гармонический функционал есть функ-
функционал типа бесконечно дифференцируемой функции, гармони-
гармонической в обычном смысле.
Доказательство. Пусть a (R) означает неотрицательную
бесконечно дифференцируемую функцию от R, обращающуюся
в нуль вне интервала A, 2) и имеющую интеграл, равный 1. По-
Построим функционал
2
= J a(R) bR dR.
Согласно определению он действует на основную функцию <р (х)
(финитную) по формуле
(*
.?)=(/* (Я) h dR, т (х) I = f a (R) (oR^{x))dR-=
2
= /п {R) ( l>nRn-i f v(x)ds)dR= f
1 I \x\=R ) 1<|аг|<2
Мы видим, что функционал h является регулярным; он отвечает
сферически симметричной функции а1(\х\), бесконечно дифферен-
дифференцируемой и финитной. Далее, мы имеем для гармонического функ-
функционала / вследствие непрерывности оператора свертки
2
h */= J a (R) bRdR^f=Ja (R) (bR *f)dR =
i ]
2 2
= / a (R)fdR = / J a (/?) dR=f.

7] § 3. свертка обобщенных функций 179
Таким образом, обобщенная функция / есть результат свертки
двух обобщенных функций h и /, из которых первая — бесконечно
дифференцируемая финитная функция. Но тогда в силу результата,
полученного в конце п. 4, обобщенная функция / сама бесконечно
дифференцируема в любой ограниченной области; оператор А при-
применяется к такой функции в обычном смысле. Так как /—гармо-
/—гармонический функционал, т. е. Д/=0 в смысле обобщенных функций,
то Д/=0 и в обычном смысле.
7. Преобразование Фурье и свертка. В анализе дока-
доказывается, что преобразование Фурье свертки интегрируемых
функций f(x) и g(x) (которая также есть интегрируемая
функция) равно произведению преобразований Фурье функ-
функций f(x) и g(x) *).
Оказывается, что аналогичное утверждение можно сфор-
сформулировать при некоторых условиях и для обобщенных
функций.
Теорема 1. Рассмотрим основное пространство Ф
с непрерывным сдвигом и двойственное пространство
4P" = F[<P]. Если функционал g типа функции g(a)
является мультипликатором в пространстве W, то
функционал f=F~ (g) — свертыватель в пространстве
Ф' и имеет место формула
F<J*fd = F<J)-F(fd- A)
Доказательство. По условию, в пространстве Ф
определена и непрерывна операция сдвига. Мы утверждаем,
что имеет место равенство
F(y(x — A) ) = **<*¦ •>/>(,>(*)). B)
Действительно, заменяя х — h на у, находим:
F (ср (х — К)) = Гер (х — К) е1 &> °) dx = Jcp (у) е1 (у+н> °) dy=
В R
= е1 <Л> °) J ср (у) е1 <у> °> dy = е* &>а) F (ср (х)).
в
Таким образом, наличие (ограниченного) сдвига в про-
пространстве Ф приводит к существованию мультипликатора
i(h) B пространстве F[&]
*) См., например, Е. Титчмарш, Введение в теорию инте-
интегралов Фурье, Гостехиздат, 1948, стр. 69.
12*

180 ГЛ. III. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЁ [7
Теперь проверим, что функционал f=F~1(g) является
свертывателем в пространстве Ф. Применяя / к сдвинутой
функции ср (jc —|— /г) и используя определение преобразования
Фурье функционала и формулу B), мы получаем
da=
и поскольку й"ф?Ч?\ результат принадлежит простран-
пространству Ф *),
Далее, если cpv-*O в Ф, то F[cpv] = <];v-*0 в W, а так
как оператор умножения на g в W непрерывен, то gi|*v ->0
в ЦТ, откуда в свою очередь следует, что FMg'W —
= /* Tv-^0 в ф-
Таким образом, функционал /—свертыватель в про-
пространстве Ф и имеет место формула
Согласно определению свертки обобщенных функций
(§ 5, п. 2) выражение f*fx имеет смысл для любого
Л6Ф'.
Найдем теперь F(J*f^). По основной формуле A)
(F(У*Л),
?)) = С7(Л). вЧ»; =
откуда и вытекает формула A).
Обратную теорему мы докажем при более жестких
предположениях.
Теорема 2. ?Ъг# Ф — пространство с дифференци-
дифференцируемым сдвигом, содержащее все финитные бесконечно
дифференцируемые функции, причем эти функции обра-
образуют в Ф плотное множество, a f—финитный функ-
функционал (и, следовательно, в силу теоремы п. 4 — сверты-,
ватель), то f=g есть мультипликатор в пространстве
*) См. подстрочное примечание на стр. 128.

7] § 3. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 181
W = Ф' и имеет место формула
при любом функционале fx и g1^=f1.
Доказательство. Рассмотрим вначале преобразо-
преобразование Фурье от свертки /*ср, где у(х)— финитная основ-
основная функция. Мы имеем
поскольку, по условию, /*<р = (/(?), <р (* + ?)) есть основ-
основная функция. Полученный интеграл можно представить
в виде
так как функцию ei ^х> ^ ср (х -\-?) можно считать непрерыв-
непрерывной абстрактной функцией от ? (с значениями в Ф) и инте-
интегрирование ведется по ограниченному множеству (вне кото-
которого /#<р обращается в нуль).
Далее,
где ф (а) = ср (х) — преобразование Фурье функции ср (х).
Но здесь числовой множитель ф(а) можно вынести, а остав-
оставшееся выражение есть функция / (а) (согласно формуле
A) п. 2 § 2). Итак,
для всякой финитной функции ср?Ф.
Если теперь ср(.к) — любая основная функция, то, по
условию, существует последовательность финитных функ-
функций cpv(x), сходящаяся к ср (лг) по топологии простран-
пространства Ф. Мы имеем, по доказанному,
далее, при v->oo функции cpv (а) сходятся по топологии про-
пространства W к функции ср (а); эта сходимость, в частности,

182 ГЛ. III. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [7
имеет место в каждой точке а, откуда следует, что
в каждой точке
с другой стороны, в силу непрерывности свертки /* cpv —>
->/#ср, откуда /#cpv->/#cp; в итоге функция /#ср всюду
совпадает с функцией / (а) • ср (а) и, следовательно, соотно-
соотношение
/*ср = /. ?
справедливо для всех основных функций ср?Ф. В част-
частности, функцию /(а) можно умножить на любую основную
функцию ср^Ф; таким образом, /(а) — мультипликатор
в пространстве Ф.
Пусть теперь /^Ф — произвольный функционал. Для
любой основной функции <р?Ф, по доказанному, мы имеем:
G*Л. ?) = B*)п (/ * Л, ср) = B1Г)» (Л, /•«?) =
*=&.7•?)=(?-Л. ?)
откуда
что и утверждалось.
Пример. Функционал Ьв = ^зу 8 (г — /?), отвечаю-
щий равномерно распределенной массе 1 на сфере ра-
радиуса /?, как было показано в выпуске 1 (гл. II, § 3,
п. 4), имеет своим преобразованием Фурье функцию
/
Функционал 8д * 8д * . .. * 8д (т раз) в силу доказан-
доказанной теоремы имеет преобразование Фурье

8] § 3. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 183
При я>-2 и при достаточно большом т эта функция
на бесконечности обращается в нуль с любым степенным
порядком убывания. Отсюда, в частности, следует, что
функционал 8д * • • • * ^r (m> раз) при достаточно боль-
большом т есть функционал типа непрерывной функции, имею-
имеющей произвольно большой порядок гладкости.
8. Преобразование Гильберта. Известно*), что для
функций ср(х), определенных при —оо < х < сю и стре-
стремящихся к нулю при | х | —> сю вместе с первой производ-
производной не медленнее, чем -,—, , имеет смысл преобразование
I х |
Гильберта
(интеграл понимается в смысле главного значения по Коши)
с формулой обращения
Мы получим в настоящем пункте формулы A) — B)
в естественной области их определения и распространим
их на некоторый класс обобщенных функций.
Рассмотрим совокупность W всех функций ф($)
(— сю < s < оо), обладающих следующими свойствами:
а) функция skty(s) абсолютно интегрируема на прямой
— сю < s < оо при любом к.
б) ф($) непрерывна и имеет непрерывную производную
Y(s) на каждой из полупрямых —oo<s<;0, 00<oo;
в точке 5=0 функция ф($) (и ф7(^)) может иметь разрыв
1-го рода.
в) skty'(s) абсолютно интегрируема на прямой —
при любом к.
*) Е. Т и т ч м а р ш, Введение в теорию интегралов Фурье,
Гостехиздат, 1948, гл, V.

184 ГЛ. III. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [8
В пространстве W можно ввести топологию указанием
счетной совокупности норм
оо оо
-|- max |ф($)| + max |ф'E)|> C)
— со < s < оо —со < s < со
причем, как легко проверить, W оказывается полным счетно-
нормированным пространством. В пространстве W опре-
определен и, очевидно, ограничен оператор Л, состоящий в умно-
умножении каждой функции фE)^Ф на множитель
— 1 при 5 < О,
1 при s > 0.
Выясним, из каких функций состоит двойственное к W
пространство Ф. Для этого заметим, что каждую функцию
ф (s) можно превратить в непрерывную функцию фо($) с непре-
непрерывной производной, абсолютно интегрируемую (вместе
с производной) при умножении на любую степень |s|, если
вычесть из ф($) функцию
T1V' I 0 (s<0)
с надлежащим образом подобранными С и Сх.
Обозначим через Y класс функций ср(х), получающихся
преобразованием Фурье из непрерывных абсолютно инте-
интегрируемых функций; класс F, во всяком случае, состоит
из непрерывных ограниченных функций. Тогда класс Yx
функций, получающихся преобразованием Фурье из абсо-
абсолютно интегрируемых функций, имеющих непрерывную и
абсолютно интегрируемую производную, состоит из функ-
функций ср(х), принадлежащих Y и остающихся в Y при умно-
умножении на х. Функции с непрерывной производной, абсо-
абсолютно интегрируемые (вместе с производной) при умножении
на любую степень |s|, переходят * при преобразовании
Фурье в бесконечно дифференцируемые функции, все про-
производные которых принадлежат классу У1# Таким образом,
преобразование Фурье функции фо($) принадлежит классу Уу,
это — бесконечно дифференцируемая функция уо(х), убы-
убывающая на бесконечности не медленнее, чем -j—-..

8] § 3. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 185
Преобразование Фурье функции tyx(s) легко вычислить
до конца:
оо оо
ф^)=С / e~8eiX8ds-\-Cl I se~seix
о
~ —l + ix (— 1
Это также бесконечно дифференцируемая функция, убываю-
убывающая на бесконечности не медленнее :—:.
Поэтому и преобразование Фурье любой функции
ty(s)?W есть бесконечно дифференцируемая функция, убы-
убывающая на бесконечности не медленнее -— .
Для каждой функции ср(л;) = ф($) определен оператор
D)
причем интеграл в точке х = \ понимается в смысле глав-
главного значения по Коши; на бесконечности интеграл, оче-
очевидно, абсолютно сходится.
Оператор Н есть, очевидно, оператор свертки с обоб-
обобщенной функцией , определенной на пространстве Ф.
Преобразованием Фурье от является обобщенная
функция {¦!($), равная -\- 1 при s<0 и —1 при 5 > 0, и
операция свертки с в Ф переходит в операцию умно-
TZJC
жения на C(s) в W. Так как эта последняя операция пере-
переводит пространство W в себя, то оператор Н переводит
в себя пространство Ф; таким образом, функция /г(?) также
принадлежит пространству Ф.
Применяя дважды к функции фE)^ЧР операцию умно-
умножения на f3(s), мы возвращаемся, очевидно, к исходной
функции ф($). Поэтому, применяя оператор Н к полу-
получившейся функции /г(|), мы возвращаемся к исходной

186 ГЛ. III. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [8
функции
4(x)s=± Г mi
TV J п J х —
Итак, в пространстве Ф справедливы формулы A) — B).
Теперь ясно, как можно обобщить эти формулы. Для
обобщенных функций над пространством Ф определена со-
сопряженная операция — * , которая в случае обычных доста-
точно хороших функций совпадает с обычной сверткой
с функцией—. Так как исходная операция * в про-
TLJC ^ Т^Х
странстве Ф сама себе обратна, то и сопряженная опера-
операция в пространстве Ф' сама себе обратна; учитывая еще,
что Ф вместе с каждой функцией у{х) содержит ср(—х),
мы можем заключить, что формулы A) — B) сохраняются
и для обобщенных функций над пространством Ф (с соот-
соответствующим осмыслением интегралов). Заметим, что любая
функция f(x), локально интегрируемая и растущая при
|х|->оо не быстрее, чем | jc J1" ^ е > О, определяет функ-
функционал на пространстве Ф; для такой функции имеют смысл
формула A) (приводящая снова к функционалу над про-
пространством Ф, может быть, и не регулярному) и формула
обращения B).
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
ЦЕЛЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В этом параграфе будут рассмотрены преобразования
Фурье целых аналитических функций 1-го порядка роста.
В обычном смысле, разумеется, эти целые функции не
имеют, вообще говоря, преобразований Фурье. Но если
рассматривать эти функции как обобщенные, т. е. как
функционалы, например, на пространстве К всех беско-
бесконечно дифференцируемых финитных функций, то преобра-
преобразования Фурье будут уже существовать в соответствии
с общей теорией как функционалы на пространстве Z,
двойственном к /С. Предположение о порядке роста позволит
дать этим функционалам простую характеристику.

1] § 4. ЦЕЛЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 187
1. Основная теорема о преобразовании Фурье целой
функции 1-го порядка. Пусть f(z) = f (zt, . . ., zn)—целая
аналитическая функция не выше 1-го порядка роста с ти-
типом ^#=(#i, b2, ..., Ьп)\ это означает, что для любого
е > 0 удовлетворяется неравенство
|/B)|<C/1 + l)|Zll + -+E»+|)lz»l, A)
Функция f(z) определяет по формуле
(/, ср)=
R
линейный непрерывный функционал в пространстве К.
Преобразование Фурье функционала / будет некоторым
функционалом в пространстве Z; найдем его явный вид.
Ряд Тейлора для функции f{z)
оо
/B)= 2 а,Г = 2<Ч ... .zl' . . . <» B)
v =0
сходится равномерно в каждой конечной области и, следо-
следовательно, сходится по топологии пространства К'. Так как
оператор преобразования Фурье непрерывен, то можно вы-
вычислить результат его применения к функционалу /, при-
применяя этот оператор к каждому члену ряда B) и склады-
складывая результаты. Используя формулу (8) п. 1 § 2, мы
получаем:
оо оо
F(J) = 2 а,Р{х") =2av(- iDf 8 (а) *).
v=0 v=0
Применяя к любой функции ty(a)?Z этот результат,
находим:
(F (/), ф) = 2 а, ((- ID)" 8 (а), ф (о)) =
= 2 а* (§ (о). (- ID)" ф (о)) = S (- 0v a4D" <|> @). C)
*) Напомним обозначения:

188
ГЛ. III. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[1
Ряд заведомо сходится для любой функции ty?Z. Но можно
утверждать, что он сходится даже для любой функции ф(з),
аналитической в области | Si |<C^i> •••» l5n|^^n- Дейст-
Действительно, для любой такой функции, как следует из я-мер-
ной формулы Коши *), выполняются неравенства
dsl1 ... ds"
где bj>bj — параметры области, в которой функция
остается еще аналитической, а
С= max |фE)|.
E)
С другой стороны, коэффициенты Тейлора функции f(s),
как легко получить из A) применением той же формулы
Коши, удовлетворяют для любых dj > 1 неравенствам**)
а
F)
*) Речь идет о формуле (| st |< pt | sn |< рп)
— Ъ \ Ъ \ I I Y (^1> • • • > ^
-BыГ 1"" п J '" J (^_51)Й1+1.
**) В силу л-мерной формулы Коши
s, .,, ds „
С2т)п J •• J
откуда
Переходя в правой части к минимуму по гь ..., /*п, получим
оценку F).

2] § 4. целые аналитические функции 189
Подставляя оценки D) и E) в C), получаем мажорирующий
ряд
который при 8^ < ~- сходится в силу простейших при-
признаков сходимости.
Таким образом, формула C) позволяет распространить
функционал F(f) на все функции ф($), аналитические в обла-
области | Si | <С Ьг (I = 1, . . ., п). Для краткости мы иногда вместо
этих неравенств будем писать одно |s|<;#. Итак, мы уста-
установили следующую теорему.
Теорема. Преобразование Фурье целой функции f(x)
1-го порядка и шипа ^b = (bv ..., bn) есть функционал
на пространстве Z, который может быть расширен на
все функции ф($), аналитические в области I^K;^, ...
..., \sn\^bn.
Функционал / на совокупности функций ф(з), аналити-
аналитических в указанной области, будет также непрерывным
в следующем смысле: если последовательность функций tyv(s)
равномерно сходится к нулю в области |s|^6-|-e, то
числа (F(/), tyv) стремятся к нулю. Действительно, в этом
случае постоянная С = С^ в неравенстве D), написанном
для t|> = t|>v, при v->oo стремится к нулю, что при подста-
подстановке в ряд C) и приводит к требуемому.
2. Явное выражение преобразования Фурье целой функции
1-го порядка. Можно дать явную формулу для преобразования
Фурье функции /(г), удовлетворяющей неравенству A) предыду-
предыдущего пункта, именно, записать /(г) в форме
/(*)= J**°d\L(S), A)
где [х (s) — комплексная мера, сосредоточенная в области
I Sj |<; bj -j- е^- (зависящая от е = (е1? ..., еп)). Для доказательства
формулы A) будем рассуждать следующим образом.
Пусть 3 — линейное пространство всех целых функций. Введем
в 3 нормы по формулам
= max \g(s)\.
I s |< m

190 ГЛ. III. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЁ {2
Эти нормы являются предельными значениями норм в пространст-
пространствах Z {МрУ (гл. II, § 1), где нужно положить
1 при |
О при \s\^>p.
Легко проверить, что эти нормы согласованы, что пространство 3
полно и, наконец, что оно совершенно.
Найдем общий вид линейного непрерывного функционала
на пространстве 3- Достаточно найти общий линейный функцио-
функционал (/, g) на нормированном пространстве Qm — пополнении про-
пространства 3 п0 норме ||^ЦШ. Пространство Qm состоит из неко-
некоторых непрерывных функций g(s), определенных в области
151 •< т; оно замкнуто относительно равномерной сходимости.
Продолжая по теореме Хана — Банаха функционал / на простран-
пространство всех непрерывных функций в области 151<!m и применяя
теорему Рисса — Радона, получаем:
), B)
где [х (s) — комплексная вполне аддитивная мера в области | 5 | <! т.
В силу теоремы п. 3 § 4 гл. I о структуре пространства, сопря-
сопряженного к счетно-нормированному, формула B) при всевозмож-
всевозможных т дает общий вид линейного непрерывного функционала на
пространстве 3- Ряд Тейлора g (s) = 2 a^s* сходится по топологии
пространства &, поэтому
(/. ?) = 2av/v, C)
где /v — (/, 5V) — фиксированная последовательность постоянных.
Обратно, всякая последовательность постоянных /v, обладающая
тем свойством, что ряд C) сходится для любой целой функции
g (s) ? 3 и определяет по формуле C) линейный непрерывный
функционал на пространстве 3» может быть представлена в форме
| \ <
J
| 8\ <Ж
которая получается из общей формулы B) при g (s) = sv.
Пусть f(z) = 2 c^v — Целая функция не выше 1-го порядка и
типа ^ Ь, т. е. удовлетворяющая неравенству вида A) п. 1. Пока-
Покажем, что числа /v = (— /)vcvv! удовлетворяют поставленным условиям.
Действительно, мы имеем, согласно неравенству F) п. 1

3] § 4. ЦЕЛЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 191
где 6 > 1 — постоянная. С другой стороны, если 2 а^ = S (s) —
любая целая функция, то, применяя формулу Коши в области
| s | < в^, 0i!>li мы будем иметь:
¦ . ^ м
где М = max | g (s) |. Поэтому *)
1 1 966
^ •v!< см S V"=const>
т. е. ряд C) сходится. Одновременно мы получаем ограниченность
функционала C) по норме || • \\т с т^Ь^Ь, что означает и огра-
ограниченность функционала C) во всем пространстве $•
По доказанному, существует такая мера ц (s), что
Отсюда
= f
~J *!
умножая на г^ и складывая, мы получаем слева и справа сходя-
сходящийся ряд, и следовательно,
/ (г) =
что и утверждалось.
Формула B), доказанная нами независимо от предыдущих
построений, сама могла бы служить основой для доказательства
теоремы п. 1. Ценность первого доказательства в том, что оно
может быть перенесено и на случай целых функций более высо-
высокого порядка роста.
3. Обратная теорема. Обозначим через З(^) линейное
пространство всех аналитических функций в замкнутой об-
области G (аналитических внутри и на границе области).
Введем в эту совокупность следующее понятие предель-
предельного перехода: последовательность g"vEN3(^) называется
*) По известной формуле Стирлинга
где ?^->1.

192 ГЛ. III. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЁ [3^
сходящейся к нулю, если существует область G'zdG, в ко-
которой все функции gy(s) остаются аналитическими и равно-
равномерно стремятся к нулю.
Всякий линейный непрерывный функционал на простран-
пространстве $(G) мы будем называть «принадлежащим области О»..
Результат, полученный в п. 1, можно сформулировать
следующим образом.
Теорема. Преобразование Фурье целой функции
не выше 1-го порядка роста и типа <^а есть функцио-
функционал на пространстве Z, который можно продолжить
до функционала, принадлежащего области
Оказывается, что справедлива и обратная теорема.
Теорема. Если функционал g?Z' может быть про-
продолжен до функционала, принадлежащего области Gh,
то его преобразование Фурье есть функционал на про-
пространстве К типа целой аналитической функции f{z)
1-го порядка роста и типа^Ь.
Доказательство. Пусть функция ф($) аналитична
в области 151 <^ Ь. Тогда она разлагается в ряд Тейлора,
равномерно сходящийся в более широкой области:
где 6 < 1.
Если функционал g?Z' может быть продолжен н
то в силу его непрерывности
(?. Ф) = 2«,(г. sv) = 2«v^v. (О
где g*v — некоторая фиксированная числовая последователь-
последовательность (v = (vx, ..., vw)).
Условие сходимости ряда A) для всех ф($)(:3(^&) нала-
налагает определенные ограничения роста на последователь-
последовательность av.
Если, например, положить
\bj

4] § 4. ЦЕЛЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
где ctj < 1, то
из сходимости ряда A) вытекает, что
Двойственный функционал F (g) = /, определенный на
пространстве /С, действует по формуле
Функция
— целая функция не выше 1-го порядка роста и типа
Действительно, в силу B)
n
1r 1г»
Поскольку можно выбрать произвольно а^<1, функ-
функция /(г:) имеет тип^^, что и утверждается.
4. Случай целой функции с интегрируемым квадратом.
Теорема (Палея — Винера). Если целая анали-
аналитическая функция f(z)—f(zv . . ., zn) не выше 1-го по-
порядка роста и типа ^ Ъ интегрируема в квадрате
в области /?={—оо<л^<оо}, то ее преобразование
Фурье есть функция g(<3), интегрируемая в квадрате
в области R = {— оо<о^<оо} и обращающаяся в нуль
почти всюду вне области Gb.
13 Зак 2669 И М Гсльфанд и Г. Е. Шилов

194 ГЛ. III. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [4
Доказательство. Функционал на пространстве К
можно по этой формуле распространить на все функции
fWG^WI Двойственный функционал F(f) действует по
формуле
где g-(a) и ф(о) суть соответственно преобразования Фурье
функций /(л:) и ср(д:). Последнее равенство есть равенство Пар-
севаля, имеющее место для функций, принадлежащих L2 (#)*)•
Функция g(v) принадлежит пространству L2(R), поэтому
последнее выражение позволяет распространить функцио-
функционал (F(f), ф) на все функции из L2(R). Покажем, что
функция g(a) почти всюду равна нулю при \vj\^bj- По-
Положим при фиксированном j
где ^o(s)?L2(R)—некоторая целая функция, е > 0. При
v —> оо последовательность функций ^v (s)
а) сходится к нулю равномерно в области | ^ |<! ^ + у;
б) сходится в среднем при вещественных 5 = о к функ-
функции, равной нулю при |^|<^- + е и равной фо(°) ПРИ
ЫЬ +
Функционал F(f) по теореме п. 1 распространяется на
пространство $(Gb). Так как он при этом остается непре-
непрерывным, а последовательность <|\(s) в силу а) стремится
к нулю в этом пространстве, то мы имеем (F(f), ^v)—>0.
*) См., например, Е. Титчмарш, Введение в теорию инте-
интегралов Фурье, Гостехиздат, 1948, стр. 68.

5] § 4. целые аналитические функции 195
С другой стороны, в силу б)
(F(f)> W = Г g(°) *К (°) do —> Г #0ОФоC) do.
J J
Отсюда
для любой целой функции Фо(°)?^2(#)- Система таких
функций содержит, например, все функции Эрмита P(Gj)e i
и поэтому полна в пространстве L2(^)*)> a также и в про-
пространстве L2 {| oj\ > bj-\-e}. Это приводит к выводу, что
почти всюду при | <3j | > bj-\-e; поскольку г > 0 произ-
произвольно, функция ?(з) = 0 почти всюду при |о^| > ^-, что
и требовалось.
5. Случай целой функции степенного роста.
Теорема (Палея — Винера — Шварца). Если це-
целая аналитическая функция f(z)=f(zv . . ., zn) 1-го по-
порядка роста и типа ^ b возрастает при | х | —> оо не быст-
быстрее | х \q при некотором q, определяя тем самым функцио-
функционал на пространстве Z
то преобразование Фурье**) F(f)?Kf функционала f со-
сосредоточено на области Gb = {| о^ | <; bj]. Далее, при любом
е>0 функционал F(/) может быть представлен как
сумма конечного числа (зависящего только от q и п)
слагаемых, каждое из которых есть результат приме-
применения дифференциального оператора порядка <!<7 + 0) =
^(^lH-l» •••> 9w~hO ^ некоторой функции е(о), инте-
интегрируемой в области О6+е, а в«в 5/^ой области обра-
обращающейся в нуль.
*) См., например, Е. Титчмарш, Введение в теорию интегралов
Фурье, Гостехиздат, 1948, гл. III, п. 3, 5.
**) Напоминаем, что К== F[Z] = F~l[Z].
13*

196 ГЛ. III. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [5
Доказательство. Пусть фе(з) — бесконечно диф-
дифференцируемая функция, обращающаяся в нуль вне области
Ge= {| <з | < s}; ее обратное преобразование Фурье сре(лг)
есть целая аналитическая функция 1-го порядка роста и
типа ^ е, стремящаяся при | х | —> оо к нулю быстрее любой
степени -j—г. Произведение <?e(x)f(x)— снова целая функция
I х I
1-го порядка роста и типа^^-f-s, стремящаяся к нулю
быстрее любой степени -—-. Преобразование Фурье этого
I х I
произведения, согласно теореме п. 7 § 3, есть свертка
F [Те (*)/(*)] = F [?.] * Р (Л = Фе (?) * F (/)
и вместе с тем по теореме п. 4 есть функция, обращаю-
обращающаяся в нуль вне области Gb+e.
Из функций фе(о) можно образовать последовательность,
сходящуюся к 5 (а) по топологии пространства К!. В силу
теоремы о непрерывности свертки (§ 3, п. 5) мы имеем:
Поскольку функции F\y%{x)f(x)\ сосредоточены в об-
области О6+е, их предел F (J) также сосредоточен в этой
области. Наконец, поскольку е > 0 произвольно мало,
функционал F(f) в действительности сосредоточен в об-
области Оь.
Можно найти преобразование Фурье функции f(z) и
иным путем. Введем функцию
Эта функция принадлежит к пространству L2(R) в силу
условий роста f(x) при вещественных х. Пусть go(z)?L2(R)
есть преобразование Фурье функции fo(x). Из A) имеем
Таким образом, функционал F(f) есть результат при-
применения дифференциального оператора P(lD) порядка
(q1-±. 1, ..., qn-\-\) к интегрируемой в квадрате

5] § 4. ЦЕЛЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 197
функции gQ(o)~ Если функция ?"о(°) вне области Gb обра-
обращается в нуль, то наша теорема доказана. Если go(a) вне
области Gb имеет отличные от нуля значения — вообще
говоря, возможно, что go(a) отлична от нуля даже в неогра-
неограниченной области,—то мы будем рассуждать следующим
образом.
Поскольку известно, что функционал P(iD)gQ(o) сосре-
сосредоточен в области Gb, мы имеем:
o)9 A(o)<p(a)),
где h(o)?K—любая функция, равная 1 в области Gb.
Выберем для заданного г>0 функцию h(а) так, чтобы она
была равна 1 в области Gb и равна нулю вне области Gb+e.
Тогда по формуле Лейбница
где Pjt и Pk2— некоторые новые дифференциальные опера-
операторы, сумма порядков которых не превосходит <7-f-(l).
Далее, это выражение преобразуется следующим образом:
(Р (Ю) gOi ср) = 2 (go> Рц W h • Рк2 (ID) ср) =
= 2 (Pji (Я) hg0) Рк2 (ID) ср) = 2 (Рк2 (ID) [Pjx (ID) h • g0], ср).
j, к j, к
Поскольку h (о) бесконечно дифференцируема и обращается
в нуль вне области Gb+tf произведение fj = Pji(iD)h > gQ
также обращается в нуль вне области Gb+B. Так как
?о?^2(^)> то и //?^2(Я)> причем, поскольку теперь все
ограничивается конечной областью, можно утверждать, что
функция fjip) интегрируема и в первой степени. Оконча-
Окончательно мы имеем:
где функции fj(o) и операторы Pk2(iD) обладают всеми
требуемыми свойствами.
Тем самым теорема доказана.

198 ГЛ. III. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [5
Обратная теорема — о том, что функционал, сосредо-
сосредоточенный в области |л;|<^а, имеет своим преобразованием
Фурье целую аналитическую функцию 1-го порядка роста
и типа а,—много элементарнее; она доказана в п. 2 § 2.
Соединение результатов этих двух теорем приводит
к некоторым новым утверждениям относительно функций
1-го порядка роста. Именно, пусть целая функция g(s)
удовлетворяет условиям только что доказанной теоремы»
т. е. имеет не выше чем 1-й порядок роста, тип^а и
возрастает при s = o не быстрее \o\q при некотором q.
Применяя теорему, получаем, что преобразование Фурье
функции g(s) есть функционал f?K\ сосредоточенный
в области Оа, представимый в виде ^Ри(О)/к(х), где
Pk(D) — дифференциальный оператор порядка <^q + 1,
/к(х) — непрерывная функция.
Используя затем обратную теорему, получаем для функ-
функции g(s) оценку вида
Поскольку, далее,
и имеет место неравенство
С I a I
| ,g+l (|o|+t)|x| ^ г С
с любым е > 0, мы приходим к следующему результату:
Всякая целая аналитическая функция g(s) = g(sv . . .,sn)
не выше 1-го порядка роста и типа <;#, возрастающая
при 5 = о, |о| —>-оо не быстрее |о|9, при любом е>0 до-
допускает оценку
V||)l". B)

ГЛАВА IV
ПРОСТРАНСТВА ТИПА S
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе будут введены и исследованы новые типы
основных пространств; в выпуске 3 будут они использованы,
в частности, при изучении проблемы Коши.
При определении этих пространств мы будем налагать
условия не только на убывание основных функций на беско-
бесконечности, но и на рост их производных с увеличением
порядка производной.
Наиболее естественно все эти условия формулируются
с помощью неравенств, которые накладываются на выраже-
выражения sup^ | л:лср^) (д;) | при различных k и q\ эти неравенства
имеют вид
supe|*y«>(x)|<jiifcfl (А. <7 = 0, 1, 2, ...),
где mkq — некоторая двойная последовательность чисел.
Если на эту последовательность не наложено никаких
специальных условий, т. е. числа этой последовательности
могут произвольно меняться вместе с функцией cp(x), то мы
получаем совокупность всех бесконечно дифференцируемых
функций, убывающих на бесконечности, вместе со всеми
производными, быстрее любой степени :—:. Это и есть про-
I х |
странство 5, введенное еще в выпуске 1 (гл. I, § 1, п. 10)
и неоднократно встречавшееся в предыдущих главах.
Мы наложим на последовательность mkq некоторые спе-
специальные ограничения—в частности, будем считать, что эта
последовательность зависит определенным образом от к, или
от q, или от обоих индексов, и тем самым получим различные
конкретные пространства. У всех этих пространств много

200 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА 5
общих свойств. Очень важно, что в этих пространствах свобод-
свободно можно пользоваться преобразованиями Фурье: при преобра-
зованиях Фурье операторы ^- и умножения на х меняются
ролями, и потому эти пространства переходят друг в друга.
Отсюда следует, что преобразования Фурье обобщенных
функций, определенных на фиксированном пространстве ука-
указанного типа, будут обобщенными функциями над другим
фиксированным пространством того же типа. Напомним,
в частности, что пространство 5 переводится преобразова-
преобразованием Фурье в себя (гл. III, § 1).
Далее, в этих пространствах (а следовательно, и в сопря-
сопряженных к ним) можно строить разнообразные операторы —
функции от оператора дифференцирования, причем коли-
количество таких допустимых функций зависит от вида простран-
пространства. Важность рассмотрения функций от оператора диф-
дифференцирования мы поясним следующим простым приме-
примером. Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопровод-
теплопроводности:
да (х, t) _ д2и (х, t)
dt ~ dx* '
и(х, 0) = ио(х).
Решение формально записывается в виде
и(х, t)=e дх*ио(х).
При расшифровке правой части получается известная фор-
формула Пуассона.
Эти два метода — метод преобразований Фурье и метод
построения (целых) функций от оператора дифференцирова-
дифференцирования— будут для нас главными орудиями при построении
классов единственности и классов корректности решений за-
задачи Коши (выпуск 3, гл. II и III).
Хотя наше изучение пространств типа 5 подчинено цели
их использования в задаче Коши, излагаемые ниже резуль-
результаты представляют интерес и сами по себе. Об этом мы
уже говорили во введении к настоящему выпуску. Впрочем,
читатель, не интересующийся проблемой Коши, может от-
отложить эту главу и перейти к чтению гл. IV выпуска 3.

§ 1. ВВЕДЕНИЕ 201
Переходим к определению тех типов основных про-
пространств, которые мы будет рассматривать далее. Мы огра-
ограничимся вначале случаем одного независимого переменного,
оставляя общий случай до § 9.
Все описываемые ниже пространства будем называть
«пространствами типа S».
1. Пространство Sa (a^>0) состоит из всех беско-
бесконечно дифференцируемых функций ср (х) (— оо < х < оо),
удовлетворяющих неравенствам
|*V«>(*)|<Cgi4*ft*» (ft, ? = 0, 1, 2, ...*)), A)
где постоянные А и Cq зависят от функции ср.
2. Пространство S^ ф!>0) состоит из всех беско-
бесконечно дифференцируемых функций ср (х) (— оо < х < оо),
удовлетворяющих неравенствам
I х* ?(<Z) (х) | < СкВУР (ft, q = 0, 1, 2, . . .), B)
где постоянные В и Ск зависят от функции ср.
3. Пространство Si (а ^ 0, р !> 0) состоит из всех
бесконечно дифференцируемых функций ср (л:) (—оо < х < оо),
удовлетворяющих неравенствам
где постоянные Л, Б, С зависят от функции ср.
Сравним определения этих пространств. Определение
пространства Sa по существу накладывает ограничения на
убывание основных функций при | х \ —> оо. В этом легко
убедиться, если разделить обе части неравенства A) на \х\к
и перейти в правой части к минимуму по k\ в результате
в правой части получится функция от х, убывающая при
| х | -> оо заведомо быстрее любой функции вида —^, и
тем быстрее, чем меньше число а. Несколько ниже мы
вычислим эту функцию.
*) При k = 0 выражение kku считается равным L Также счи-
считается равным 1 и qq^ при q = 0.

202 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА S
Определение пространства S накладывает ограничения
на рост производных функций ср (лг). Эти ограничения тем
сильнее, чем меньше значения [3. Мы покажем, далее, что
при [3 = 1 функция ср (л:) уже может быть аналитически
продолжена с вещественной оси в некоторую полосу на
комплексной плоскости. При [3 < 1 функция ср(лг) продол-
продолжается в комплексную плоскость уже как целая аналити-
аналитическая функция; несколько ниже мы подсчитаем ее порядок
роста в зависимости от числа >3.
Определение пространства Sa накладывает ограничения
и на убывание основных функций, и на рост их производных.
Основные функции, входящие в пространство Si, убы-
убывают на бесконечности так же, как основные функции, вхо-
входящие в пространство Sa, и их производные могут расти
при q -> oo не быстрее, чем у функций, входящих в про-
пространство Sp. Все эти ограничения тем сильнее, чем меньше
числа аир.
Для достаточно малых а и C — мы ниже увидим, для
каких именно, — пространство Si вырождается" в единствен-
единственную функцию cp(je) = O. Нас будут, естественно, интересо-
интересовать только нетривиальные пространства S«.
С топологической точки зрения каждое из пространств
Sa, S , Sa представляет собой объединение счетно-нормирован-
ных пространств. Например, пространство Sa есть объедине-
объединение счетно-нормированных пространств Sa, А (А= 1, 2, .. .);
пространство Sa, а0 состоит из функций, удовлетворяющих
неравенствам A), где в качестве постоянной А годится
любая постоянная, большая, чем Ло- Нормы в пространст-
пространстве Sa,а ив других счетно-нормированных пространствах
будут указаны в § 3; там же будет показано, что все
эти пространства совершенны.
Пространства Sa, S , S можно считать предельными
случаями пространств si, именно
с с°° оР оР о с°°
*->а Оа , О Oqo, О Ооо»
Многие из дальнейших результатов, относящихся к про-
пространствам Sa, переходят при правильном истолковании
предельного перехода a -> оо, [3 -> оо в соответствующие
результаты для пространств Sa, Sp или S.

1] § 2. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 203
Несомненно, представляют интерес и более общие типы
пространств, определения которых получаются заменой в оп-
ределении Sa, S?, Si последовательностей k и q4P произ-
произвольными последовательностями- ак и bq {k, # = 0, 1,2, . . .).
Более того, например, пространство Sa bq состоит из всех
л
бесконечно дифференцируемых функций cp(jc), для которых
выполнены неравенства:
\x*<f№(x)\<e:CAkBqakbq (A, q = 0, 1, 2, . . .)•
Мы укажем в Добавлении, какие из свойств пространств
типа S будут сохраняться для таких более общих про-
пространств.
§ 2. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ПРОСТРАНСТВ ТИПА 5
1. Пространство 5а. Как уже говорилось, простран-
пространство Sa (a^>0) состоит из бесконечно дифференцируемых
функций ср(дг) (—оо < х < со), удовлетворяющих неравен-
неравенствам
k A)
где постоянные Cq и А зависят от функции cp(jc).
Это определение, как мы уже знаем, подчиняет функ-
функции ср(лс) некоторым условиям убывания на бесконечности.
Выясним, в чем состоят эти условия.
Разделим обе части неравенства A) на \х\к и в правой
части перейдем к нижней грани по к\ мы получим, что
где положено
a (?) = inffeAL B)
16 Г
Найдем выражение для функции |Аа(Е) в явном виде.
При а = 0 мы имеем:
1 при |?| ^ 1,
О при |?| > 1,

204 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА S [1
Отсюда следует, что функция 1*о(~4~) Равна 1 при |л:|^Л
и равна нулю при |л:|>Л. Поэтому функция ср(лг) обра-
обращается в нуль при |л:|>Л.
Обратно, если <?(х) — бесконечно дифференцируемая
функция, обращающаяся в нуль при |л:|>Л, то, очевидно,
так что ср (х) принадлежит пространству So.
Так как постоянная Л может быть выбрана произвольно,
то пространство So состоит, следовательно, из всех
финитных бесконечно дифференцируемых функций, т. е.
совпадает с пространством /С, введенным в выпуске 1.
Пусть теперь а > 0. Оказывается, в этом случае функ-
функция fxa(?) имеет порядок убывания е~а^\ . Точнее, имеет
место неравенство
•' , C)
где С — некоторая постоянная.
Для доказательства, считая временно k непрерывно меняю-
щимся переменным, мы найдем минимум функции —1-=f(k) обыч-
ными средствами дифференциального исчисления. Логарифмируя,
дифференцируя и приравнивая результат нулю, получаем:
[In/(^о)Г = ущ- = - In 6 + a In ko + a = 0, D)
где k0 — значение &, на котором реализуется минимум функ-
функции/^). Из уравнения D) находим: ko = — ^а и, следовательно,
ш1пл1п/(*) = — у61/а,
mmkf(k)=e e .
Так как в действительности k изменяется только по натураль-
натуральным числам, то minfc/(&) на самом деле несколько выше найден-
найденного. Мы имеем:
\\nf(k)]" =j,

1] § 2. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 205
поэтому в целой точке kb ближайшей справа к точке &0,
In/fa) = In/(ад + JjL fa- ад»< 1п/(ад + А. (?0 < ?2 < ад
и, следовательно,
откуда
сне ? — 1/а а Д/а
T Г7
ае
2
Первый множитель при ? ;> 1 ограничен величиной Q = е2 .
Если же 0<6< 1, то
Итак, при любых ?,
где С можно положить равным, например, е 2 .
Теперь для функции ср (х) мы получаем оценку
или, обозначая
находим окончательно:
|?(*4*)|<с^-а|ж|1/а. F)
Этот результат можно сформулировать таким образом: все
функции ср (х) ? Sa имеют на бесконечности вместе
со всеми своими производными экспоненциальное убыва-
убывание с порядком *) >- — и типом^> а, зависящими от функ-
функции ср.
*) Если известно, что функция g(x) удовлетворяет неравенству
|^()|<С^~а|ж'Р, а>0, то мы говорим, что g(x) имеет экспо-
экспоненциальное убывание с порядком >/7 и типом >

206 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА S [2
Покажем, что всякая функция ср (х), удовлетворяющая
этому условию убывания на бесконечности, входит в про-
пространство Sa. Действительно, пусть выполнены условия
fl fo = 0, 1, 2, ...)•
Определив число А из уравнения E), мы можем записать
эти условия в форме
V
далее, применяя основное неравенство C), находим:
откуда
jcfccp(«) (jc) | < CqAkkka,
что и требуется.
Итак, мы получили второе определение простран-
пространства Sa (а Ф 0): ояо состоит из тех и только из тех
функций ср (л:), которые удовлетворяют неравенствам
вида
с постоянными Cq и а, зависящими от функции ср.
2. Пространство Sp. Как уже говорилось, простран-
пространство S^ ф;>0) состоит из бесконечно дифференцируемых
функций ср (х) (— оо < л: < со), удовлетворяющих неравен-
неравенствам
|xW)|<CftBVP (9 = 0,1,2,...)- О)
В этом определении наложены ограничения на рост
производных основных функций ср (jc), тем более жесткие,
чем меньше число р. Если [3>1, то в числе основных
функций ср (х) еще имеются финитные функции (см. далее, § 8).
Если 8<; 1, то все функции y(x)?S^ являются уже ана-
аналитическими и финитных функций тем самым среди них
уже нет. Действительно, остаточный член формулы Тейлора
B)

2] § 2. РАЗЛИЧНЫЕ ФО^МЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
допускает в этом случае оценку
¦я I ъ
тср(<г)(л;^-0/г) ^UL
Из формулы Стирлинга
207
q q
4
следует, что этот остаточный член стремится к нулю при
| h | < d~ • Поэтому функция ср (х) в соответствующей окре-
окрестности точки х представляется рядом Тейлора
C)
Так как ряд Тейлора остается сходящимся и для комплексных
значений h> удовлетворяющих неравенству |^|<т>-, то мы
делаем вывод, что функция ср (х) может быть аналитически
продолжена в полосу 1.У|<7Г комплексной плоскости
z=x-\-iy. Ширина этой полосы, вообще говоря, зависит
от функции срС*О-
Но если C < 1, то из оценки
в силу приведенной выше формулы Стирлинга следует, что
остаточный член B) стремится к нулю при любом h и
функция ср (х) оказывается целой аналитической функ-
функцией. При этом для функции ср (z) = ср (х -f- iy) выполняется
неравенство
iy)\ =
V (iy)q
U q\
(X)
Положим
E)

208 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА S [2
Тогда можно написать, что
Оценим рост функции М^(у\) при т]->оо. В силу фор-
формулы Стирлинга ql^-CqQe-Q; поэтому
Величина
называется максимальным членом ряда F). Оценку этой
величины мы уже производили в п. 1 (формула C), где
нужно заменить а на 1 — [3 и Е на т]^). В силу этой оценки
1
где b = —j±e p.
Так как члены ряда F) с ремягся к нулю быстрее чле-
членов любой геометрической прогрессии, то, начиная с неко-
некоторого номера, q-ft член ряда станет меньше, чем — . Чтобы
найти этот номер, нужно разрешить относительно q нера-
неравенство
Логарифмируя, легко получить решение этого неравенства;
оно имеет вид
Сумма всех членов ряда с номерами q > q0 не превосхо-
превосходит 1. Сумма остальных членов в свою очередь не пре-

2] § 2. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 209
восходит
где Ъг — любое число, большее Ь.
Таким образом, для функции M^(v\) получается оценка
'ь'^ < С"еь>^. G)
Для функции xky{x-\-iy) в свою очередь получается
оценка
1
I **? (*+(у) К с*мр (л | j, | )< сУ'" il"p,
где й' — любая постоянная, большая, чем
1в
Мы получили следующий важный результат:
Каждая функция ср(лг), удовлетворяющая неравен-
неравенствам
\x\{q)(x)\^CkBqqq^ (р<1, ft, 0 = 0, 1, 2, ...), (8)
может быть аналитически продолжена в плоскость
z = x-\-iy, как целая функция порядка роста -.—g; ягоч-
#?? говоря, полученная функция удовлетворяет неравен-
неравенствам
1
Л 1<С^'12/|1Л (9)
1 — 3 —
г^^ ft' — любая постоянная, бблъшая, чем -(ВеI~Р.
Мы увидим в дальнейшем (§ 7), что оценкой (9) пол-
полностью характеризуются функции пространства 5Р (Ь < 1),
удовлетворяющие неравенствам (8) с заданным значением В.
14 Зак. 2669. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов

210 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА S [3
о
3. Пространство S?. Как было сказано, простран-
пространство Si состоит из бесконечно дифференцируемых функ-
функций ср (х) (— оо < х < оо), удовлетворяющих неравенствам
(Л, ? = 0, 1, 2, ...)•
В этом определении накладываются ограничения и на
убывание основных функций при |л;|->оо, и на рост их
производных при q—>oo. Очевидно, что пространство S\
входит в пересечение пространств 5а и 5Р *). Поэтому для
всякой функции <p(x)?Sl выполняется оценка убывания на
бесконечности
| ?<«)(*) |<СЯУРе~а|Ж|1/а. A)
Если Р<!1, то всякая функция <?(x)?Sl продолжается
в плоскость z — x-\-iy, причем для [3 < 1—во всю эту
плоскость; при этом выполняется оценка
*Wll*. B)
Деля обе части этого неравенства на |л;|7', переходя к ниж-
нижней грани по k и используя неравенство C) п. 1, находим;
< Се~а 1*11/а+ь I у\ 1/A~р), C)
где коэффициенты а и Ь известным образом выражаются
через А и В.
В дальнейшем (§ 7) мы покажем, что всякая целая
функция ср (л: —f-/y), удовлетворяющая неравенству C), при-
принадлежит к пространству 5а **).
Как будет показано в дальнейшем (§ 8), неравенство C)
накладывает на функцию ср (х) столь сильные ограничения,
что при достаточно малых а и [3 — точнее, при а-}-[3 < 1 —
пространство 5а содержит единственную функцию ср(лг) = О.
*) Неизвестно, верно ли обратное: будет ли всякая функция,
лежащая одновременно в Sa и в «S^> элементом пространства s?.
**) Точнее, к s? принадлежит <р (х). Впрочем, чтобы не при-
приводить каждый раз этой оговорки, мы условимся всегда понимать
включения вида y(x-{-iy)€R (R — какое-либо пространство функ-
функций вещественного аргумента х) в смысле <р (х) ? R.

1] § 3. топологическая Структура 211
§ 3. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ОСНОВНЫХ
ПРОСТРАНСТВ
1. Пространство 5а как объединение счетно-норми-
рованных пространств. Обозначим через S«, а совокупность
функций ср(лг) пространства Sa, для которых справедливы
неравенства
где в качестве А можно взять любую постоянную, большую
заданного числа А. Иначе говоря, S«, а состоит из тех функ-
функций ср (х), которые при любом 8 > 0 удовлетворяют нера-
неравенствам
| хку <«> (х) | < Сф {А + Щк к**. A)
Если перейти ко второму определению пространства Sa
(§ 2, п. 1), то это определение можно сформулировать так:
пространство Sa,A состоит из тех функций ср (лг), которые
при любом 8 > 0 удовлетворяют неравенствам
где, как и раньше,
а =
Это определение соответствует случаю а>0. При а = 0
пространство So, а состоит из бесконечно дифференцируе-
дифференцируемых функций, которые обращаются в нуль вне отрезка
| х | ^ А. Оно совпадает, как мы видим, с пространством К (А),
которое мы неоднократно рассматривали раньше; в частно-
частности, мы знаем, что оно совершенно (гл. II, § 2).
Положим
Функции Мр(х) образуют возрастающую последователь-
последовательность (Мр(х)^ Мр+1(х)), и функции ср (x)^S«, а могут быть
охарактеризованы как бесконечно дифференцируемые функ-
функции, для которых выражение
C)
конечно при любом р = 2, 3, ... Пространства функций,
подчиненных такого рода условиям, были нами введены в § 1
14*

ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА S [1
гл. II под названием пространств К{Мр}. Таким образом,,
пространство 5«, а принадлежит к классу пространств К{Мр).
В частности, как и всякое пространство К{Мр), про-
пространство Sa,A является полным счетно-нормированным
пространством. Проверим, что выполнено в данном случае
и условие (Р) § 2 гл. II, обеспечивающее совершенство про-
пространства К(Мр). Это условие состоит в том, что для каж-
каждого индекса р найдется индекс // > /?, при котором
Действительно, в нашем случае
и, следовательно, при любом р/ > р
Мр (х)
0
что и требуется.
Выпишем также для данного случая критерий сходимо-
сходимости последовательности основных функций, полученный нами
в § 2 гл. II. Этот критерий гласит: последовательность
<?v(zSol,a сходится к нулю тогда и только тогда, когда
последовательность 9v(x) правильно сходится к нулю
(т. е. функции <р^)(лг) при любом q равномерно сходятся
к нулю на любом отрезке | х \ ^ х0 < оо) и нормы ||<pv||p
ограничены при любом р.
Нам будет удобнее рассматривать в пространстве Sa, a
другую систему норм, непосредственно связанную с исход-
исходным определением этого пространства. Именно, положим
,*). D)
Покажем, что эта система норм эквивалентна системе C)
норм ||?||р. Если в D) сначала найти sup по индексу k, то мы
*) Знак $ирж, ^ означает верхнюю грань последующего выра-
выражения по всем х и k, —оо<д:<;оо, 0^^<

1] § 3. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА 213
получим:
1*1* 1 1
(А + Ь)к kk« (А + °)к кы ( | х \ \ '
foka
где jia(?) = inffc-jyjj — функция, определенная в п. 1 § 2.
В силу неравенства C) п. 1 § 2 мы имеем:
1 1 (\*L\l/a
1 ^ />е \А+Ь/ ^ Л/Г fr\
при некотором /7. Таким образом,
аналогично доказывается и обратное неравенство.
В частности, и с нормами D) пространство Sa,A — со-
совершенное пространство.
При Ах < Л2 пространство Sa,Al является частью про-
пространства 5а,а2, причем всякая последовательность <р?(х),
сходящаяся в пространстве Sa,Alt сходится и в простран-
пространстве 5«,а2- Мы можем построить объединение счетно-норми-
рованных пространств 5«,а по всем индексам Л=1, 2, ...
Так как каждая функция ср (х) ^ 5а входит в некоторое 5а, а»
то объединение пространств 5«, а совпадает с простран-
пространством Sa. Итак, пространство Sa есть объединение счетно-
нормированных пространств Sa,A- Это позволяет ввести
определение сходимости последовательности <pvC*0G*Sa, как
это делается в таких объединениях (гл. I, § 8): последова-
последовательность 9v€*^a сходится к нулю, если все функции yv(x)
принадлежат к некоторому пространству *Sa, а, где они схо-
сходятся к нулю по топологии Sa,A\ это означает, что после-
последовательность cpv(x) правильно сходится к нулю (т. е. функ-
функции ср^(#) при любом q равномерно сходятся к нулю на
любом отрезке | х | ^ х0 < оо) и для некоторых Л и Cq,
не зависящих от v, выполняются неравенства
Можно дать определение сходимости последовательно-
последовательности 9v(xN^a и в терминах второго определения этого

214 ГЛ.IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА 5 [2
пространства. Именно, последовательность cpvG*) сходится
к нулю, если она правильно сходится к нулю и при некото-
некотором а > О выполняются неравенства
При а = 0 наши определения переходят в определение
пространства К финитных бесконечно дифференцируемых
функций как объединения счетно-нормированных про-
пространств К (Л) функций, обращающихся в нуль при \х
2. Пространство SP как объединение счетно-норми-
счетно-нормированных пространств. Как уже говорилось, простран-
пространство SP (р^>0) состоит из бесконечно дифференцируемых
функций ср(х) (—оо < х < оо), удовлетворяющих неравен-
неравенствам
I х\{q) (х) | < С*ВУр (/г, q = О, 1, 2, ...),
где постоянные С# и В зависят от функции ©. Обозначим
через 5 совокупность функций <?(x)?S , для которых
справедливы неравенства
I Л<9) (*) I < Скг дВУ (k, q = 0, 1, 2, .. .),
где в качестве В можно взять любую постоянную, большую
заданного числа J5. Иначе говоря, 5 состоит из тех
функций ср(лг), которые при любом р>0 удовлетворяют
неравенствам
\x\iq)(x)\<?Ck?(B + pf(ft (Л, 9 = 0, 1, 2, ...). A)
О ТО
Пространство 5 уже не принадлежит к классу про-
пространств К{МР), как пространство Sa,A) поэтому тополо-
гическое строение пространства 6м мы должны рассмо-
о 7?
треть независ
по формулам
о 7?
треть независимо. Введем в пространство 5 систему норм
B)

2] § 3. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА 215
Покажем, что при этом пространство S^'B становится
полным счетно-нормированным совершенным простран-
пространством.
Доказательство распадается на несколько этапов.
Будем по-прежнему называть последовательность бесконечно
дифференцируемых функций cpv (x) правильно сходящейся к функ-
функции ср (х), если для любого q функции $й (х) равномерно сходятся
к ср^) (^) на любом конечном отрезке.
а) Если последовательность cpv (x) правильно сходится к не-
некоторой функции ср (х) и для некоторых k и р нормы || cpv ||Лр
ограничены, || cpv ||Лр <; С, то норма || • ||&р существует и у функ-
функции ср (х) и при этом || ср ||Лр < С.
Действительно, на любом конечном отрезке —
/D , ча. lim suPa> , 4g < Hm ||cpv fcp< C;
(B-\-p)qbq v->oo (^ + )^^
отсюда, переходя к пределу при а ->- схэ и /? -> схэ, находим:
bq
что и утверждается.
б) Если последовательность cpv (x) сходится к нулю в каж-
каждой точке и фундаментальна по норме || • ||&0, то || cpv ||Ло -> 0.
Действительно, поскольку последовательность cpv (jr) фундамен-
фундаментальна, она сходится к нулю правильно. Поэтому последователь-
последовательность разностей cpv (х) — сра (х) при fx -> сю правильно сходится
к cpv(jt). По предыдущему/
|1^Ьр< SUp ||cpv —
при достаточно большом v, что и требуется.
в) Пространство S^9 B полно.
В самом деле, если последовательность cpv (х) ? S^* B фундамен-
фундаментальна по каждой из норм || • ||&р, то согласно а) у предельной
функции ср (х) существует каждая из норм || • ||^р; таким образом
y(x)€SP>B. Разность ср — cpv правильно стремится к нулю и огра-
ограничена по каждой из норм; в силу б) мы имеем Цср — cpv||fep -> 0 при
любых k и р, что и означает полноту пространства S^'B.
г) Нормы || • ||fy попарно согласованы.
Пусть cpv ? S^*в фундаментальна по нормам || • ||л и || • \к^ и
по первой из них стремится к нулю. Тогда функции cpv (x) заве-
заведомо стремятся к нулю в каждой точке. Согласно б) ||^ПлаРа ->^,
что и требуется.

216 ГЛ.IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА S [2
д) Если последовательность cpv (x) ограничена по каждой из
норм || • ||fcp и правильно сходится к нулю, то она стремится
к нулю по топологии пространства S^'в (т. е. по каждой из
норм).
В самом деле, пусть заданы &, р и произвольное ?]>>0. Возь-
Возьмем р'<^р- Числа Uglify'» по условию, ограничены постоянной Сщ,т
Для достаточно больших q, например q !> q0, имеет место неравен-
неравенство
поэтому для q^>q0 мы имеем:
| A(ve> С*) | < СЩ1 (В
Для q<iqQ и | х \ > fc+1>?- получаем:
Наконец^ если q<iqo и 1 лг |<!—+ 'р , то в силу равномерной
сходимости последовательности ffl (х) к нулю при | х |<! —^-^
неравенство
|A()| # C)
также будет иметь место при достаточно большом v, например
при ^>% Итак, при ^>^0 неравенство C) имеет место для всех
х и q. Тем самым при ^>^0
откуда следует, что последовательность cpv (x) стремится к нулю
по норме || • \\ц; так как k и р произвольны, то cpv (х) -> 0 по топо-
топологии пространства S^'B, что и утверждалось.
е) Если последовательность cpv (x) ограничена по каждой и&
норм || • ||fep и правильно сходится к некоторой функции ср (х)9л
то ср (х) принадлежит к S^'B и является пределом последовав
тельности cpv (х) по топологии пространства S®' в.
Действительно, в силу а) ср (х) ? S^ в. Разность ср (х) — cpv (лс)
ограничена по всем нормам и правильно сходится к нулю; cq-

3] § 3. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА 217
гласно д) эта разность сходится к нулю по топологии простран-
пространства S^t:B, что и утверждается.
Из е) тем же приемом, что и в § 2 гл. II для пространств типа
К{Мр}, легко вывести, что пространство S^'B совершенно.
Итак, пространство S^'B является полным счетно-норми-
рованным совершенным пространством.
При В1<СВ2 пространство Sp' * является частью про-
странства S 2 и всякая последовательность cpv (х), сходя-
щаяся в пространстве SPt \ сходится и в пространстве Sp' 2.
Поэтому мы можем построить объединение счетно-нормиро-
ванных пространств S®'B по всем индексам В—\, 2, ...
Так как каждая функция cp(x)G5p входит в некоторое S^'B>
то объединение пространств 5 совпадает с простран-
пространством S . Итак, пространство S есть объединение счетно-
нормированных пространств S^'B. В соответствии с этим
последовательность ?v(x)^5p считается сходящейся к нулю,
если все функции фДх) принадлежат к некоторому простран-
R 7?
ству 5 и сходятся к нулю по его топологии; это озна-
означает, что последовательность <pv(X) правильно сходится к нулю
и выполняются неравенства
где Ск и В не зависят от v.
3. Пространство S« как объединение счетно-норми-
рованных пространств. Как уже говорилось, простран-
пространство Si (a>-0, Р>0) состоит из бесконечно дифференци-
дифференцируемых функций ср (х) (— оо < х < оо), удовлетворяющих
неравенствам
| x\{q)(х) | < CAkBqklcY (ft, ? = 0, 1, 2, . ..),
где постоянные Л, В, С зависят от функции ср.
Обозначим через sI]a совокупность функций l
для которых справедливы неравенства
| х\(ф (х) | < С A kB4kagq? (*. 9 = 0, 1,2,...)

218 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА S 3]
при любых Л > Л, ?>В, где А и В — заданные числа.
3 7?
Иначе говоря, пространство S«, а состоит из тех функ-
функций ср (лг), которые при любых 8 > 0, р>0 удовлетворяют
неравенствам
| *Va) (*) I < Ctf (A + 8)* (В + Р)9 **У9 (*. q = 0, 1, 2, .. .).
A)
о т>
Введем в пространство SI\a систему норм
1
Р= 1, —, ..
B)
Мы утверждаем, что с этой системой норм простран-
пространство Sl't а становится полным счетно-нормированным со-
совершенным пространством»
Доказательство этого факта можно провести аналогично тому,
как это сделано для пространства S^'B (n. 2). Некоторое различие
будет в доказательстве утверждений, аналогичных а) и д). Приве-
Приведем здесь эти несколько измененные рассуждения.
В а) мы исходим теперь из неравенства
v->oo (i4 _|_ b)h
и совершаем предельный переход при а ->- схэ, р ->- схэ, / ->- схэ; в ре-
результате мы получаем:
что и требуется.
Для доказательства утверждения, аналогичного д), рассуждаем
следующим образом. Пусть заданы тг]>0, 5>0 и р>0; возьмем
произвольно о'<о, р'<^р. Так как cpv (x) — ограниченная последо-
последовательность, то, в частности, имеет место неравенство
*) Знак supa», ^, Q означает верхнюю грань по всем х, k и q

3] § 3. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА 219
или, что то же, при любых k, q, x
| Л?> <*) \<С1(А + В')* (В + Р)« kh V?-
При достаточно большом k, k^>kOf имеет место неравенство
поэтому при любых q, x и
I Л <«> (х) | < т] (Л + 5)* (В + р)« Ifqrt. C)
Аналогично, используя ограниченность нормы ||<pv||p/>g, мы при-
придем к справедливости неравенства C) при любых k, х и q > q0.
Нам остается рассмотреть случай, когда &<&о> Я^Яо-
Для k < ^о» I -^ I > 1 мы имеем при любых # и х в силу C)
\ к) {х) | = M!L | ср (в) w | < _L ,, {А + b)feo {В
|дг|Л°~Л | -дс |
При достаточно большом \х\, | х | > д:0, мы получим:
и следовательно, при q <Щ& k<^k^ \ х \ "> х0 неравенство C) тоже
выполнено.
Наконец, если k<^kQ, q<Cqo, то при фиксированных р и о
постоянные (А-\-Ь)к (В-\-p)q kkaqq^ ограничены некоторым числом С2.
Так как на отрезке | х |<! х0 последовательность ffi (x) равномерно
стремится к нулю, то, каково бы ни было *»]>0, для достаточно
больших v, v >> ^0, неравенство C) на этом отрезке заведомо выпол-
выполняется. Итак, при ^5>^о неравенство C) выполняется для всех х,
k и q. Но это означает, что при v ;> ^0
откуда и вытекает, что по топологии пространства 5^| д последова-
последовательность cpv стремится к нулю при ^->-оо.
Таким образом, 5^^ есть полное счетно-нормированное со-
совершенное пространство.
о г>
Если Ах < Л2, В1<СВ2, то пространство 5?|л! является
частью пространства Sa|5» причем всякая последователь-
последовательность cpv(x), сходящаяся в пространстве Sl]^ сходится и

220 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА 5 [4
ft R '
в пространстве Sa,j*. Поэтому мы можем построить объ-
единение счетно-нормированных пространств Sl\ а п0 всем
индексам Ау Б = 1, 2, ... Это объединение совпадает
с исходным пространством 5«. Мы видим, что простран-
пространство Si есть объединение счетно-нормированных про-
пространств Sl'} a- В соответствии с этим последовательность
^ считается сходящейся к нулю, если все функ-
ft R
ft R
ции cpv(x) принадлежат к некоторому пространству 5«, а
и сходятся к нулю по его топологии; это означает, что
последовательность cpv(x) правильно сходится к нулю и
выполняются неравенства
где А, В, С не зависят от v.
ft ft R ft 7?
4. Пространства S?, ^ и S« . Из пространств Si', а можно
построить объединения и только по одному индексу А или В
(а не по обоим сразу). Пространства, которые при этом
получаются, естественно, обозначаются через Sl'-B и SltA.
Мы предоставляем читателю сформулировать, какие функции
входят в такие пространства и какая в этих пространствах
сходимость.
§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАЦИИ
В ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА 5
В пространствах типа 5 определены и ограничены (сле-
(следовательно, и непрерывны) многие линейные операторы,
важные для анализа. В первую очередь это — операторы
умножения на х (и на все многочлены).
Оказывается, что операторы умножения и на некоторые
бесконечно дифференцируемые функции f(x) также опре-
определены и непрерывны в пространствах типа S\ решение
вопроса в данном случае зависит только от соотношений
между быстротой роста функции f(x) при | jc | —> со и роста ее
производных f(q)(x) при #—юо, с одной стороны, и числа-
числами а, р, определяющими само пространство, с другой стороны.
В частности, оказывается, что в пространствах типа 5
возможно умножать основные функции друг на друга, так
что эти пространства в действительности являются тополо-

1] § 4. ПРОСТЕЙШИЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАЦИИ
гаческими алгебрами', однако в этом аспекте мы не будем
углубляться в их изучение. Кроме того, мы рассмотрим
также операции сдвига и растяжения аргумента х.
1. Операция умножения на х. Покажем, что в про-
пространствах Sa, S^, Si определена и ограничена операция
умножения на х. Более того, мы покажем, что эта опе-
операция определена и ограничена даже в счетно-нормированных
пространствах Sa, a, S?' в} si; а (§ 3).
Пусть функция ср(лг) пробегает ограниченное множество F
в пространстве SaA- Это означает, что для всех допусти-
допустимых ср (х) выполняются неравенства
l«*?(j>WI<Cj,D + 8)*ftta (Л, <7 = 0, 1, 2, ...)
при любом 8 > 0 с постоянной СдЬ, не зависящей от функ-
функции <р. Положим <j»(jc) = д;<р(л;). Тогда
Ц(ч) (х) 1=| х* [х<? (х)}{<1) К| jc»+icp(«) (х)]+91xby(9-!)(л:)|
= (Л + Ь? Л- [Cgs (Л + В) Ш^ + ^ -I. •] •
Но при любом 8 > О
поэтому
Cqb {А + 8) (
и, следовательно,
при достаточно малом 8. Так как 2В — произвольно малая
величина вместе с В, то мы получаем, что образ ограничен-
ограниченного множества F при умножении на х есть снова ограни-
ограниченное множество в пространстве Sa, а, что и требуется.
проводится в пространствах
рр a, а, ру
Аналогичная выкладка проводится в пространствах S
и Sa', а- Пусть ср(х) пробегает ограниченное множество F

222 1*Л. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА *§ B
'
в пространстве S^' . Это означает, что для всех допусти-
допустимых ср (х) выполняется неравенство
при любом р > 0 с постоянной Скр, не зависящей от функ-
функции ср. Тогда для ф (дг) = jeep (л:) мы имеем:
| **+V«> (x)\-\-q\ **cp(
Но при любом e > О
поэтому
и, следовательно,
при достаточно малом е. Так как 2р — произвольно малая
величина вместе с р, то мы получаем, что образ ограничен-
ограниченного множества FcS?'B при умножении на х есть снова
ограниченное множество в S^'B.
Соответствующую выкладку для пространства Si] а мы
предоставляем читателю.
2. Умножение на бесконечно дифференцируемую
функцию, а) Пространства 5tt. Если а = 0, то все функ-
функции ср(лг), входящие в пространство 5а>^, финитны. Любая
бесконечно дифференцируемая функция f(x) определяет в этом
пространстве ограниченный (и непрерывный) оператор умно-
умножения на f(x).
Пусть теперь а > 0. В этом случае мы покажем, что
мультипликатором в пространстве 5а является функ-
функция f(x), удовлетворяющая при любом е > 0 неравен-
неравенствам вида

2] § 4. ПРОСТЕЙШИЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАЦИИ 223
Для дальнейшего понадобится более точный результат,
с которого мы и начнем. Рассмотрим функцию f(x), удовле-
удовлетворяющую неравенствам
|/<з)(*)|<Сд^.1*11/а. A)
Мы утверждаем, что умножение на эту функцию является
ограниченной операцией, переводящей пространство 5а>л при
некоторых значениях Л (которые будут ниже указаны)
в пространство Sa, а* с некоторыми другими значениями А'.
Чтобы уточнить эту формулировку, напомним, что простран-
пространство Sa>j. может быть определено так же, как совокупность
функций, удовлетворяющих неравенствам
при любом 8 > 0; при этом постоянные Л и а связаны со-
соотношением E) п. 1 § 2:
Теорема. Умножение на функцию f(x), удовлетво-
удовлетворяющую неравенствам A), является ограниченной опера-
операцией в пространстве 5а,л» где постоянная Л та/сова, что
для соответствующей постоянной а выполняется нера-
неравенство а > аг; при этом результат умножения на f(x)
лежит в (более широком) пространстве Sa,A', где А'
соответствует постоянной а — av
Если для удобства обозначить пространство Sa,A че-
через Ка$а, то наше утверждение сводится к тому, что умно-
умножение на функцию f(x), удовлетворяющую неравенствам A),
определено в пространстве /Ca>a с а > ах и переводит это
пространство в пространство Ка, а-аг
Доказательство. Для произведения/ср справедлива
оценка
]*|< S ci\fM{x)\Wq-
j
' _r^ -(a-a1-b)\x\1la
которая и показывает, что функция /ср принадлежит к про-
пространству К*,а-аХ' Далее, оператор умножения на /()

224 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА $ [2
переводит ограниченное множество в пространстве /Са>а (с фи-
фиксированными постоянными С^) в ограниченное множество
в пространстве К*,а-ах (с фиксированными постоянными С^з), '
что и требуется.
В рассмотренном случае функция f(x) не была мульти-
мультипликатором во всем пространстве Stt, так как на любую
функцию (p(x)^Sa умножать функцию f(x) было нельзя
(при условии, что результат должен лежать в этом же
пространстве). Следует несколько усилить условия, накла-
накладываемые на функцию f(x), с тем чтобы она стала мульти-
мультипликатором в 5а. Именно, имеет место результат, с формули-
формулировки которого мы начали: если функцияf(x) удовлетворяет
при любом е > О неравенству вида
l*!1'", B)
то умножение на функцию f(x) есть ограниченная опе-
операция во всем пространстве Sa, причем каждое из
пространств 5а, а она переводит в себя.
Действительно, в этом случае мы имеем для ^(x)?Sai а
где а =—^у-. Так как е можно выбрать произвольно, то
положим s = 8; тогда, так же как и выше, мы придем
к результату
поскольку 28 произвольно мало вместе с 8, мы приходим
к выводу, что при условиях B) произведение /ср снова
принадлежит 8а,А> Очевидно также, что оператор умножения
на f(x) ограничен в данном случае, что и утверждалось,
б) Пространства 5. Рассмотрим функцию f(x),
удовлетворяющую неравенствам
\h). C)
Утверждается, что умножение на эту функцию есть огра-}
ничейная операция в пространстве 5 .
В дальнейшем нам понадобится следующее уточнение
этого предложения: эта операция переводит любое счетно-
нормированное пространство 5Р' в в пространство S^ B+B°.

2\ § 4. простейшие: ограниченные операции 225
Доказательство. Для ср^5р'Б мы имеем:
отсюда
| хк [f{x) ср (*)]<«> |< | х* | 2 С |
I гп(^~Л ( *Л I
| ср (х) |
Но
и, следовательно,
, р) ^ 2
Мы видим, что результат принадлежит простран-
пространству S + °. При этом ограниченное множество в простран-
пространстве S^'B (фиксированы постоянные Скр) переходит в огра-
ограниченное множество в пространстве «у' в+в° (фиксированы
постоянные С^р = С(С^р-рС^+Л, р)), что и требуется.
Можно, несколько- усилив условия на функцию f(x),
добиться того, чтобы умножение на эту функцию переводило
каждое пространство S в себя. Именно, потребуем, чтобы
для любого s > 0 удовлетворялось неравенство
|Л). D)
Тогда, полагая в только что проведенной выкладке B0 = e = pt
мы придем к оценке
I ** [/(*) <Р (*)](e) I < Ckeqq? (В + %3,
15 Зак. 2669. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов

226 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА $ *[2
и так как 2р произвольно мало вместе с р, мы получаем,
в в
что результат принадлежит к пространству S .
В качестве примера рассмотрим умножение на функцию
где а — вещественная постоянная. Мы имеем
|
и при любом р > О
таким образом, умножение на функцию f(x)= eiox переводит
любое пространство 5р'Б(В>0) в себя. При C = 0 этого
утверждать уже нельзя. В силу общей теоремы умножение
на эту функцию переводит пространство S°'B в 50>Б+1а!.
Но объединение
и
в
умножением на функцию eUx переводится в себя.
В § 7 описываются другие типы операторов умножения
в пространствах S^'B.
в) Пространство S\. Рассмотрим функцию f(x), удо-
удовлетворяющую при любом е > О неравенствам
| /<*> (х) | < С6е4 qtfe* I * 11/а (а > 0). E)
]Мы утверждаем, что умножение на эту функцию пере-
переводит пространство si в себя. Более того, оно перево-
дит в себя каждое Sl[A и при этом является ограничен-
ограниченным оператором.
Если f(x) удовлетворяет неравенствам
\f{q) (х) | < CBfo^lx{1/a (a > 0), F)
то умножение на эту функцию есть ограниченная опе-
операция, определенная в тех пространствах 5«'а» для ко-
которых а0 < а = —\j-, и переводящая такое Si] а в 5«' аг ,
еАч
где ^

3] § 4. ПРОСТЕЙШИЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАЦИИ 227
Если функция f(x) удовлетворяет условию
G)
при любом 8 > 0, то умножение на эту функцию пере-
переводит пространство sI]a в Sl'3A+B°-
При а = 0 имеет место более простая теорема.
Всякая функция f(x), удовлетворяющая при \х\^Л
неравенству
!< | e (8)
определяет (ограниченный) оператор умножения в про-
пространстве So] a> переводящий это пространство в So] а+В°
(и, в частности, переводящий пространство So, а в себя).
Если Во в неравенстве (8) можно взять как угодно ма-
малым, то умноэюение на функцию f(x) переводит про-
пространство Sq[ а в себя.
Доказательства этих предложений проходят по схеме
а) — б), и мы можем их предоставить читателю.
В частности, функция
удовлетворяет условию (8) при любом C > 0. Поэтому функ-
функция f(x) является мультипликатором в любом пространстве
Sa, а с р > 0, переводя это пространство в себя.
При C = 0 функция f(x) = el°x уже не удовлетворяет
условию (8), но удовлетворяет условию G) с В0 = |о|.
Поэтому умноэюение на функцию eiox переводит простран-
пространство S°a'fA в S°a,A~h|a|, а объединение
в
переводит в себя.
В § 7 описываются другие типы мультипликаторов в про-
пространствах S«', А-
3. Операция сдвига. При а>0 операций сдвига
<Р (*)-»?(* —А)
15*

228 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА 5 [3
определена и ограничена в любом пространстве Sa а и
переводит это пространство в себя.
Доказательство. Пусть <pC*:)?Sa> At так что
| **<р<в> (х) |
Мы имеем, далее,
sup J
Выражение справа под знаком sup мы можем оценить
следующим образом:
| (х + *)У*> (х) |
j
стре
&-»оо; поэтому при достаточно большом k
При а > 0 величина ;—— стремится к нулю, когда
следовательно, при всех k
| (х + А)*?(в) (х) | < С,8 (Л + 28)*А*«
и, таким образом, ср (л: —/г) принадлежит к пространству 5а> а»
что и требовалось *).
При а=0 пространство Sa,A состоит из финитных функ-
функций, обращающихся в нуль вне фиксированного отрезка, и
*) Вместо проведенной выкладки можно было бы воспользо-
воспользоваться тем, что пространство Sa A при а>0 является простран-
пространством К{Мр}, для которого функции Мр (х) удовлетворяют усло-
условию A) п. 1 § 3 гл. Ill, гарантирующему наличие ограниченного
сдвига.

4] § 4. ПРОСТЕЙШИЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАЦИИ 229
поэтому оператор сдвига не переводит в себя это простран-
пространство. Впрочем, очевидно, что в этом случае оператор сдвига
переводит SOfа в S0,A+\h\ и в результате оставляет инва-
инвариантным пространство So.
Аналогичная выкладка показывает, что операция сдвига
ср (х) -» ср (х — К) определена и ограничена также в любом
ft 7? ft 7? 4 7?
пространстве S , S«f а (а > 0), So и переводит эти
пространства также в себя.
4. Операция растяжения. Покажем, что при X > 0 опе-
операция растяжения
(О
определена и ограничена в любом пространстве
переводит это пространство в Sa, a/\-
Действительно, если y(x)?Sa, а, так что
то для ф (х) = ср (Хх) мы имеем:
| д*ф(«) (х) | = | xV
откуда ty(x)?Sa, а/ъ что и требовалось.
Далее, операция A) определена и ограничена в про-
пространстве S и переводит это пространство В S
В самом деле, если cpWG S^'B> так что
то для ф(х) = ср (Хл;) мы имеем таким же образом, как и
выше,
«9<«> @1
[X (в+Р)]«
откуда ф(л:) ^ Sp, хб, что и требовалось.
Наконец, операция A) определена и ограничена в про-
пространстве Sl'tA и переводит это пространство в Sa.ii/>-
Доказательство аналогично предыдущим и может быть пре-
предоставлено читателю.

230 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА S [1
Как следствие получаем: операция растяжения A) опре-
делена и ограничена во всех пространствах Sa, S , Si
и переводит каждое из этих пространств в себя.
§ 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ
1. Операция -=-. Покажем, что в пространствах Sa,
ctx
О о
Sp, Sa определена и ограничена операция дифференциро-
дифференцирования. Более того, мы покажем, что эта операция опре-
определена и ограничена в счетно-нормированных простран-
пространствах 5а>А, S%B, S\\a.
Пусть функция ср (х) пробегает ограниченное множество
в пространстве SVf а- Это пространство, как мы помним,
состоит из всех функций ср(лг), удовлетворяющих при любом
8 > 0 неравенствам
|<Сд8(Л+ &)*&*« (А, ? = 0, 1, 2, ...).
Ограниченное множество в этом пространстве в соот-
соответствии с определением норм в Sfft a (§ 3) состоит из функ-
функций ср(лг), удовлетворяющих этим'неравенствам с постоян-
постоянными Сф, не зависящими от выбора функции ср(лг).
Положим ф(д;) = ср/(д:). Тогда
| **ф(«) (х) | = | **<p(«+D (х) | < Cq+lt 8 (Л + 8)*А*«,
т. е. функция ф(д:) принадлежит к ограниченному множе-
множеству пространства SOt а, что и требуется.
Проверим выполнение аналогичного свойства в простран-
пространстве S^'B. Пусть функция ср(лг) пробегает ограниченное мно-
ft 7? *
жество в пространстве S ; это означает, что выполняются
неравенства
при любом 8>0 с постоянной СЛр, не зависящей от ср(х).
Положим ф(д:) = ср/(д:); тогда
+1 (q
{f J

2] § 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ 23 Г
и следовательно, образ ограниченного множества простран-
пространства S есть снова ограниченное множество в этом про-
пространстве.
Соответствующую выкладку для пространства Si] а мы
предоставляем читателю.
В силу результатов п. 1 § 4 мы заключаем, что в про-
пространствах типа S ограничены (и непрерывны) все линей-
линейные дифференциальные операторы конечного порядка
с постоянными или полиномиальными коэффициентами.
2. Дифференциальные операторы бесконечного по-
порядка. Пусть
— некоторая целая функция. Мы будем говорить, что в не-
некотором основном пространстве Ф определен дифференциаль-
оо
ный оператор /( —) = 2лс^ ~гГ^у еСли для лю^ой основной
о
функции у(х)?Ф ряд
снова представляет собой основную функцию (в простран-
пространстве Ф или в другом пространстве W). Оказывается, что
при некоторых ограничениях роста функции / операторы
/f — J определены и ограничены (следовательно, непрерывны)
в пространствах типа S; дело зависит только от соотноше:
ния между числами аир, определяющими пространства
типа S, и порядком роста функции f(s). При этом мы гово-
говорим про целую функцию f(s)9 что она имеет порядок роста
^1 и тип < Ь, если выполняется неравенство
где bx<^b — некоторая постоянная.
Тейлоровские коэффициенты cv такой функции /($),' как
доказывается в теории целых функций, удовлетворяют

232 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА S [2
неравенствам
\cj<c(^f. B)
Приведем доказательство неравенства B). По формуле Коти
|в|«г
откуда
C)
Найдем минимум правой части по г. Логарифмируя, дифферен-
дифференцируя и приравнивая нулю, находим для искомого минимума г0
откуда
подставляя полученное значение в правую часть C), находим:
что и требуется.
Теорема, которую мы докажем, состоит в том, что
в пространствах Sp и S«c заданным р > 0 определены целые
функции f \-f) порядка -к- при выполнении некоторого до-
дополнительного условия, связывающего характеристики типа В
(для основной функции <р(*)) и * (Для целой функции f(s)).
Точно это выражается следующим образом.
Теорема. Если f(s) = ^c^ — целая аналитическая
1 ft
функция порядка роста <!— и типа < J^ 2 » wo
ратор /(-г-) определен и ограничен в пространстве
<ж переводит это пространство в пространство S
Доказательство. Пусть 9(х)€^'5> так что

2] § 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ
Положим, далее,
покажем, что
233
^'Be . Мы имеем:
**ф<«> (х) |
(в
(fi 4- Р)"
| (В + P)
D)
Предположение о порядке и типе роста функции f(s)
приводит к следующему неравенству для коэффициентов с,
(см. B)):
где 0 — некоторая положительная постоянная, меньшая 1.
В силу этого неравенства ряд D) сходится, если
1-)-—-< у, что заведомо имеет место при достаточно
малом р. Обозначая сумму этого ряда через Ср, мы полу-
получаем оценку
) I < СЦ ' С?
где р' = реР.
Полученная оценка показывает, что функция ty(x) при-
принадлежит пространству Sp> Be и что оператор/[-т~), пере-
переводящий S^'B в S^'Be , ограничен.

234 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА 5 [%
Замечание. Во всем пространстве S оператор /(-г-),
вообще говоря, не определен при указанных ограничениях
на функцию f(s); он не определен даже в S^'Bl при Вх >?.
Можно, несколько усилив ограничения, налагаемые на
функцию f(s)f добиться того, чтобы оператор f(rr-) был
определен и ограничен во всем S . Именно, это будет иметь
место, если функция f(s) имеет порядок роста -^ с мини-
минимальным типом, т. е. удовлетворяет неравенству
при любом е > 0.
Действительно, в этом случае оценка коэффициентов cv
может быть взята в форме E) с любым значением В.
Поэтому оператор /(-т-) определен в любом простран-
стве S . Как и выше, пространство 5 переводится опе-
ратором f^—j в 5Р
Теорема и замечание после нее остаются справедливыми
при замене пространства S^'B на sI]a и S^'Ве на sl\ a6 •
Выкладка для этого случая проводится совершенно анало-
аналогично, и мы можем ее предоставить читателю.
§ 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Если дано некоторое основное пространство Ф, то мы
можем построить двойственное пространство Ч? — Ф, со*
стоящее из преобразований Фурье
оо
ф(о) = Г ср (х) eix° dx = ^(x) =F[<f]
основных ^функций у?
Как мы уже говорили, пространства типа 5 тесно свя-
связаны друг с другом через преобразования Фурье; именно,

1] § 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ 235
имеют место формулы
С оа сф с оC г»а
Оа = О , О = Ор, Оа = О[3.
Ниже дается вывод этих (и более точных) формул *).
В основе их доказательства лежит следующая идея. Мы
знаем, что операции дифференцирования и умножения на
независимое переменное меняются ролями при переходе от
основного пространства к двойственному. Поэтому, если бы
в определении основных пространств, т. е. в неравенствах
вида
операции дифференцирования и умножения на независимое
переменное можно было переставлять, то после преобразо-
преобразования Фурье мы получили бы пространство такого же типа,
с той единственной разницей, что ограничения на рост
производных и убывание основных функций на бесконеч-
бесконечности поменялись бы ролями (т. е. последовательность mkq
заменилась бы на mqk). Но в этих неравенствах фактически
умножение на х и дифференцирование входят не симмет-
симметрично: сначала действует оператор дифференцирования,
а затем умножение на х. При преобразовании Фурье изме-
изменится порядок этих операций и мы получим уже простран-
пространство формально иного типа. Поэтому мы вначале покажем,
что в действительности в определении пространства
типа S порядок операций умножения на х и дифферен-
дифференцирования не существенен, во всяком случае при доста-
достаточно быстром росте постоянных mkq.
После этого уже ясно, что преобразование Фурье будет
приводить к пространствам такого же типа; нам останется
только проверить, что постоянные mkq, участвующие в опре-
определении пространств 5а, 5 , 5«, удовлетворяют указанным
ограничениям на рост.
1. Общая теорема. В соответствии со сказанным вы-
выше мы хотим прежде всего выяснить, при каких mbq из
*) Напомним, что в данном случае вместе с каждым соотно-
соотношением F^] — W (P—прямое преобразование Фурье, Фи^ —
основные пространства) верно и соотношение Р~г [Ф] = W, так как
каждое пространство типа 5 вместе со всякой функцией <р (jc) со-
содержит и функцию <? (— х).

236 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА 5 [1
\xk<f{q\x)\<?CA*Bqmkq (ft, ? = 0, 1, 2, . . .)
неравенств
{q\x)\?CA*Bqmkq
следуют неравенства
| [**ср (x)]{q) | < С?А\ЕЦтщ (k, q = 0, 1, 2, . . .).
Ответ на этот вопрос дает следующая лемма, в которой
устанавливаются и связи между константами А и В, с одной
стороны, и Аг и Bl9—с другой.
Лемма 1. Если бесконечно дифференцируемая функ-
функция cp(jc) удовлетворяет неравенствам
\x4M(x)\<CCAkBqmkq (ft, ? = 0, 1, 2, ...). A)
где числа mkq таковы, что
mk~Xl~l \ B)
то функция cp(jc) удовлетворяет также и неравенствам
I [**? Wl(g) I < C'A\B\mkq (k, q = 0, 1, 2, .. .), C)
где С, Av B1 — новые постоянные; при 6= 1
т т
D)
а п/7й 0 <; 1 и любом е > 0 можно считать, что
е). E)
Доказательство. Применяя формулу Лейбница, мы
находим:
< С

1] § 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЁ йЪ1
При б = 1 получаем оценку
\lxk<?(x)f)\<CAk1Bq1mkq,
где
При 6 < 1 и любом s > 0 мы имеем:
поэтому
и, следовательно,
где
что и утверждалось.
Замечание. Нам понадобится, кроме того, оценка
, qt F)
которая получается тем же путем, что и предыдущая; по-
стоянная С7 равна СеАВ при 6= 1 и зависит от е при б < 1;
постоянные В1 и А1 сохраняют указанные выше значения.
В дальнейшем мы будем предполагать, что -ч®сла mkq
удовлетворяют следующим условиям:
а) при любых /г, q=\, 2, ., .
"lkl1 9 1 G)
(это условие ограничивает рост последовательности
с н и з у);

238 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА S [1
б) при любых к, q = 0, 1, 2, ... и любом s>0
<р.<1+..)*+« (8)
(это условие ограничивает рост последовательности mkq
сверху).
Сформулируем теперь нашу основную теорему.
Теорема. Если бесконечно дифференцируемая функ-
функция удовлетворяет неравенствам
| *У«> (х) | < CAkBqmkq (ft, q = О, 1, 2, .. .) (9)
# числа тка таковы, что выполнены условия а) — б), то
преобразование Фурье ф(о) функции ср(х) удовлетворяет
неравенствам
|^ A0)
где /г/ш любом s > 0 можно считать Л2 = Л1(\ -|-е),
^2 = jBx A +е); значения А1 и Вх были указаны в лемме.
Таким образом, при условиях а) — б) класс функций ср(х),
удовлетворяющих неравенству (9), после преобразования
Фурье переходит в аналогичный класс, но отвечающий после-
последовательности mgk (с переставленными индексами к и q).
Доказательство. Применяя результат леммы 1 и
замечания к ней, мы можем оценить выражение [хку (х)\q
следующим образом:
A\
Это неравенство позволит нам оценить преобразование Фурье
от функции [jc^cp (jc)](Qr):
dx
оо I о
f [xk<? (x)](q) eix° dx < f

2} | 6. преобразования фурье 239
где
что совпадает с требуемым результатом A0) с переменой
местами индексов k и q.
2. Преобразования Фурье пространств типа S. Перехо-
Переходим теперь к интересующим нас пространствам типа «S. В этих
пространствах постоянные mkq имеют специальный вид; мы
должны проверить, что эти постоянные, с одной стороны,
растут не слишком медленно,—так что выполняются усло-
условия G) п. 1, с другой стороны, и не слишком быстро, — так
что выполняются и неравенства (8) п. 1.
Установим вначале одну простую лемму.
Лемма 2. Если числа ак и bq удовлетворяют условиям
ак ^ р lI-* /П
\ B)
= 9<1, C)
то последовательность mkq=- akbq (k, <7 = 0, 1, 2, . . ^удо-
^удовлетворяет неравенствам G) п. 1 с тем же значением б
и 7=7ГС~'
Доказательство. Мы имеем в данном случае
Ъп — —• h п ^ bxn^
ак Dq
Воспользуемся, далее, неравенством
имеющим место для всех неотрицательных к и q в силу C);
мы получим неравенство G) п. 1, что и требуется.
Переходим к доказательству того, что постоянные mkq,
участвующие в бпределении пространств типа «S, удовлетво-
удовлетворяют нужным условиям.

240 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА S (Й
Рассмотрим сначала случай пространства Sa, А, а > 0.
Функция ср(лг), принадлежащая к этому пространству, удо-
удовлетворяют неравенствам
Va D)
при любом 8 > 0. Это неравенство совпадает с неравен-
неравенством (9) п. 1, если там заменить С на 1, Л на Л + 8» В
на 1 и mkq на Cqbkka. Заметим, что вместе с постоянными С^
неравенствам D) удовлетворяют и любые большие постоянные;
поэтому, увеличив постоянные Cqb в случае надобности,
можно считать, что они удовлетворяют неравенствам
J^>qi-x 07=1,2,...), E)
где выбор по;тоянной X будет уточнен ниже.
Положим ak = kka, bq = Cqs и применим лемму 2. Усло-
Условие B) этой леммы выполнено в силу неравенств E). Про-
Проверим выполнение условия A):
пк — - = ^~ ч ">. (Ь 1 ла ^>, — ^>, *L \
где х=1—а, если 1—а^>0, и х = 0 при 1—а < 0.
В частности, в силу предположения а>0 мы имеем х<1.
Выберем теперь Я^0 в неравенстве E) так, чтобы иметь
тем самым будет выполнено условие C).
Теперь все требования леммы 2 выполнены; вместе с тем
справедливы результаты леммы 1 и общей теоремы п. 1.
Оценим теперь отношение , фигурирующее в тео-
mkq
реме. Так как mkq = kkaCq^y то
Последнее выражение при любом 8 > 0 допускает оценку
¦Г

2]
§ 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЁ
241
Применяя теперь общую теорему и учитывая выраже-
выражения E) п. 1 для коэффициентов Лх и Ви получаем, что пре-
преобразование Фурье ф(а) функции ср (х) при любом 8 > 0 удо-
удовлетворяет неравенствам
) СО I
(В + bf
где
Таким образом, функция ф(о) принадлежит пространству Sa'A.
Итак, при а > О мы установили включение
SZ1<=S?\ F)
Оператор Фурье, переводящий пространство S д в Sa'A,
как видно из соотношения между постоянными,' ограничен
(а следовательно, и непрерывен) по топологии простран-
пространства SafA.
Случай а = 0 мы рассмотрим позднее.
Переходим к пространству S?' ,
^В удовлетворяют неравенствам
j3 > 0. Функции
(ft, ? = (>, 1, 2, ...)
при любом р > 0. Это неравенство совпадает с неравен-
неравенством (9) п. 1, если там заменить С на 1, Л на 1, В на
В-\-р и тщ на Cftp^P. Так же как и выше для простран-
пространства «Sa>x> можно считать, что постоянные rnkq = Ck?q^ при
Р > 0 удовлетворяют условиям леммы 2; поэтому' можно
применять основную теорему. Отношение
рующее в основной теореме, имеет вид
, фигури-
где Cftp — некоторая новая постоянная. В результате
для функции ф (<з) = ср (л:) при любом р>0 получается
16 Зак 2669. И. М Гельфанд и Г. Е. Шилов

гл. iv. пространства типа 5 \й
неравенство
| аЧ(<г) (а) | < С, (А + р)« (В + р)* C'q^ = с?р (В + р)* kk\
где
Таким образом, преобразование Фурье функции ср (х) ? S^'B
входит в пространство Spf?, и соответствующий оператор
ограничен и непрерывен. Итак, при C > О
3>B. G)
Заменяя здесь р на а, Б на А, применяя еще раз пре-
преобразование Фурье и используя включение F), находим:
S^czS^AdS*'*. (8)
Но дважды произведенное преобразование Фурье каждую
основную функцию ср(лг) переводит в ср(—л;) и, следова-
следовательно, пространство Sa'A переводит в себя самого. Поэтому
Sa'A = Sa'A и включение (8) имеет следствием равенство
S^A=Sa>A. (9)
Аналогично,
i^^Sp.B. (Ю)
При этом оператор Фурье ограничен и непрерывен по
топологии соответствующих пространств.
о 7?
Наконец, рассмотрим пространство Sa',A- Оно состоит
из функций, удовлетворяющих неравенствам
| *У«> (х) | < С8р (А + 8)* E + р)9 й*«?«е
при любых Вир. Это неравенство совпадает с неравен-
неравенством (9) п. 1, если заменить там С на С8р, Л на Л-f-S, 5
на В-\-р и mkq на kkaq$. Проверим выполнение условий
леммы 2. Как мы уже видели раньше, для ak = kka и bq==q^

2] § 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ 243
выполняются неравенства
где х = тах A —а, 0), Х = max A—8, 0). Рассмотрим вначале
случай а+Р> 1, а > 0, р > 0. Тогда
у4-Х = тахA—а+1—?, 1—а, 1 —р, 0) = 6< 1
и требования леммы выполнены. Вместе с тем справедливы
результаты леммы 1 и основной теоремы. Оценим отноше-
тк+ъ а
ние , фигурирующее в основной теореме. Мы имеем,
mkq
как и выше,
тщ k
Теперь, применяя основную теорему, получаем, что функция
ф(з) = ср(д;) при любом 8 > 0 удовлетворяет неравенствам
I °ЧФ (°) I < <4 (А-+ bf (В + Ь? q««kn\
Таким образом, функция ф(а) принадлежит простран-
пространству S\\b.
Итак, справедливо включение
Но точно так Зке справедливо и включение
Op, ^CZOa, A-
Поэтому окончательно для a > 0, C > 0, a-f-fJ > 1 (так же
как и выше для пространств Sa ^) имеет место равенство
причем оператор преобразования Фурье, как и раньше, огра-
ограничен и непрерывен по топологии основного простран-
пространства Sl'tA-
16*

244 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА S [Ъ
Теперь вернемся к оставленным пока без внимания слу-<
чаям а= О, или р = 0, или а+Р <С 1. Случай а+р < 1 мы
не будем рассматривать здесь: в § 8 мы увидим, что в этом
случае пространство si состоит из единственной функции
cp(je)==O. Во всех остальных случаях (т. е. а = 0, или [3 = 0,
или ос —|— р == 1) лемма 2 удовлетворяется с показателем 6 = 1
и с т=1- Принимая во внимание значения постоянных At
и Ви которые дает в этих случаях формула D) п. 1, мы
тем же путем, что и выше, приходим к следующим резуль-
результатам:
A2)
0>Bl BBe»
i_
S"-BczS0>Bl, B^Be», A3)
A4)
Для пространств So, а и SOt результат может быть
улучшен *): именно, имеют место формулы
o, а
= ^ ' , S ' = So, в>
как и в случаях, когда а Ф 0, C Ф 0.
Для доказательства найдем при заданном s >0 число Ао
1
так, чтобы иметь еА* <С 1 -(-г. Тогда, по доказанному,
о" ' ,— оО, Ао A | е)
Перейдем от функций <f(x)?S0,A K функциям срх (jc) = cp (Xjc),
где X = -j-. Согласно доказанному в п. 4 § 4 мы имеем:
откуда
*) Вероятно, такое улучшение возможно установить и для про-"
странств s?; ^ при ос —|— р = 1.

2] § 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ 245
Но легко показать непосредственным вычислением, что если
= ф(а), то ф(Ц = уф(т-); действительно,
— оо —оо
Таким образом, ф (у)? S0' АоA"Ье). Отсюда, снова в силу
результата п. 4 § 4, мы имеем:
Так как последнее включение справедливо при любом е > О,
то ф(а)?5°'А. Итак,
" О, А
Аналогичное рассуждение, проведенное в обратном порядке,
показывает, что справедливо и обратное включение
со, в ^_ Q
О CIOo, Б-
Отсюда
0, А
с0, А с0, В
что и утверждалось.
В заключение заметим, что во всех случаях можно
перейти к объединениям по индексам А и В) в результате
мы получим:
"== «Ь , о =
=z= op
причем оператор Фурье в каждой из этих формул непре-
непрерывен по топологии соответствующего основного простран-
пространства.
В частности, пространство S0, как двойственное к про-
пространству S0 = K бесконечно дифференцируемых финитных
функций, совпадает с пространством Z (выпуск 1, гл. II)
целых аналитических функций ф(о —J— гт), удовлетворяющих
неравенствам

246 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА S [Г
Впрочем, без особого труда можно было бы получить равен-
равенство 5° = Z и непосредственно из определений этих про-
пространств.
Замечание. В§4 мы указали, что пространства типа 5
являются топологическими алгебрами относительно обычного
умножения. Так как при преобразовании Фурье семейство
пространств типа S переходит в себя, а операция умноже-
умножения— в операцию свертки, то мы можем заключить, что
все пространства типа S являются топологическими алгебрами
и относительно свертки.
§ 7. ЦЕЛЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КАК ЭЛЕМЕНТЫ
ИЛИ МУЛЬТИПЛИКАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА S
1. Сводка результатов. В § 2 мы видели, что если
функция о(х) принадлежит пространству 5Р, т. е. удовле-
удовлетворяет неравенствам
то при р < 1 она продолжается в комплексную плоскость
ZT=x-\-iy как целая аналитическая функция порядка роста
z g. Точнее говоря, эта целая аналитическая функция
удовлетворяет неравенствам вида
\x4(x + iy)\,CC'kebly^. A)
Далее, мы видели, что если ср (jc) принадлежит простран-
ству Оа, т. е. удовлетворяет неравенствам
| **<р<9) (х) | < CAkB4k<xqq* (/г, q = 0, 1, . . .),
то при а > 0 и р < 1 она продолжается в комплексную пло-
плоскость, как целая аналитическая функция, удовлетворяющая
неравенству
^\*+ь\У\1 . B)
Здесь а = —^-т-» а Ь — любая постоянная, большая
еА1/а

1] § 7. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА 5 247
В настоящем параграфе будут получены обратные тео-
теоремы.
Как видно из сказанного, принадлежность целой функ-
функции к пространству S или Sa связана с определенными усло-
условиями, которым должно удовлетворять поведение этой функ-
функции, во-первых, в плоскости и, во-вторых, на вещественной
оси; такие условия наиболее просто выражаются неравен-
неравенствами, содержащими не \z\, а \х\ и \у\. Чтобы целая
функция была мультипликатором в пространстве S или S?,
достаточно, чтобы она удовлетворяла некоторым менее жест-
жестким условиям того же типа. Мы получим ниже, что если
целая функция f(x) удовлетворяет неравенству
C)
(
то она является мультипликатором в пространстве St,h i (при
а>0, а при а<0 — даже элементом в этом пространстве).
Далее,, если
I/^ + OOKCO-HjcD^h, D)
то функция / будет мультипликатором в пространстве S т.
Еще один результат о мультипликаторах мы сформулируем
несколько ниже.
Перечисленные результаты содержатся в следующей це-
цепочке теорем, имеющих и самостоятельный интерес.
Теорема 1. Если целая функция f(z) удовлетворяет
неравенствам
то существует область G^ вида
\у\<Кг(\-\-\х\У, |*>1— (р— Щ E)
(рис. 2), в которой, выполняется неравенство
|f{z)|<С,*»'I»Iй, С3 = max(Clf С2); F)

248
ГЛ. IV, ПРОСТРАНСТВА ТИПА
[1
здесь а' того owe знака, что и а, и может быть выбрано
как угодно близким к а.
Рис. 2.
_ . .h
В условии теоремы оценку еа\х\ можно заменить на
(l + l-^lO*; тогда в области E) с |х=1—р будет выпол-
выполнено неравенство
Теорема 2. Если целая функция f(z) удовлетворяет
при всех z неравенству
и в области вида A) с 0 < ja <^ 1—неравенству
(/г</?; при а<0 допускается и h = p), то функция f{z)
удовлетворяет также и неравенству
. G)
В условии и в утверждении теоремы функцию
можно заменить на A-|-|л:|)Л.
Теорема 3. Если целая функция f(z) удовлетворяет
неравенству

1] § 7. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА 5 249
то для любого q = О, 1,2, ...
причем ах как угодно мало отличается от а.
Вместо неравенства (8) можно рассмотреть неравенство
^СкеЬ\У\"- (9)
тогда для функции f(x) будут выполнены неравенства
1-1
так что функция f(x) будет элементом пространства 5 т;
если же неравенство (8) заменить неравенством
то функция f(x) будет мультипликатором в этом простран-
пространстве.
Теорема 4. Если аналитическая функция f{z) в об-
области E) с jA ^ 0 удовлетворяет неравенству
то
l/^WKc^V^^^^, A0)
2^^ аг имеет тот же знак, что и а.
Таким образом, при а < 0 функция f(x) оказывается
элементом пространства Si ; при а> 0 она будет в этом
Ш
пространстве мультипликатором. В условии можно заменить
функцию gal^i на A -f-| х | )h't тогда вместо неравенства A0)
будет иметь место неравенство
Во всех случаях даются оценки получающихся постоян-
постоянных,

250 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА S [2
2. Теорема Фрагмена — Линделёфа. Переходим теперь
к доказательствам. Фундаментом всех построений этого
параграфа будет служить известная теорема Фрагмена —
Линделёфа, с изложения которой мы и начнем.
Теорема Фрагмена — Линделе'фа основана на классиче-
классическом свойстве максимума аналитических функций (если ана-
аналитическая функция не превосходит постоянной С на границе
ограниченной области, то она не превосходит постоян-
постоянной С и внутри этой области) и представляет собой обоб-
обобщение этого свойства на области, уходящие в бесконеч-
бесконечность.
Теорема Фрагмена — Линделёфа. Если анали-
аналитическая функция f(z), определенная внутри и на сто-
сторонах угла Go раствора 6 < —, удовлетворяет неравен-
неравенству
|/(s)|<C«»i»i* A)
(т. е. имеет в пределах угла Go экспоненциальное воз-
возрастание с порядком <^ р и типом <^ р) и ограничена на
сторонах этого угла некоторой постоянной, например Cv
то она ограничена этой же постоянной Сх и внутри
угла GQ.
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что угол GQ ограничен лучами arg z = ziz -^. Най-
Найдем число pv удовлетворяющее неравенству
Рассмотрим ту ветвь функции
которая на вещественной оси принимает положительные зна-
значения.
Построим функцию
Покажем, что в пределах угла G9 функция /е (z) ограничена.

2] § 7. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА S 251
Действительно, на сторонах угла Ое
ft R
так как, по условию, P1~2<Y' C0SPi~2>®- Внутри
угла Об, на дуге окружности z = reiui, |а)|<;~ мы имеем:
| /е (ге^) | = | f(reito) • Fe (reilti) | < CebrP~erPl G09p^ <
при г -> oo, поскольку рх > p. Поэтому для достаточно боль-
большого г мы имеем также
!/.(/•**") К с1в
Итак, на контуре, составленном из отрезков двух лучей
о)= —"о" и ДУГИ окружности радиуса г, функция fe(z) огра-
ограничена постоянной Сх. Но тогда в силу классического прин-
принципа максимума функция /е (z) ограничена этой же констан-
константой и внутри контура.
Во всякой внутренней точке угла Ое, таким образом,
выполняется неравенство
Так как е > 0 произвольно, то
что и требовалось.
Замечание. В дальнейшем нам понадобится также
следующее обобщение теоремы Фрагмена — Линделёфа.
Если аналитическая функция f(z), определенная вну-
внутри и на сторонах угла О9 раствора 0<—, удовле-
удовлетворяет неравенствам
|/(z)|<Ce6l*lp внутри угла О6, A)
|/B)| <С4A -j-| z \h) на сторонах угла О9, B)

252 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА 5 [3
то
\f(z)\<C[(l + \z\h) при z?Gb. C)
Для доказательства рассмотрим многочлен Р (г) степени /г, не
имеющий корней внутри и на границе угла Gq; функция
удовлетворяет всем условиям теоремы Фрагмена — Линделёфа и,
следовательно, ограничена в области Cq. Отсюда в GQ
что и требовалось.
Аналогично, если вместо неравенства B) на,сторонах
угла выполняемся неравенство
|/(г)|<С1в».1«1*, h<p. D)
то, применяя тот же прием, мы получим, что во всей
области О0 выполнено неравенство
\f(z)\<C[e<is[\ E)
3. Теорема о существовании области G^.
Теорема 1. Если целая функция f(z) имеет поря-
порядок роста </? с конечным типом, т. е. удовлетворяет
при всех z неравенству
|/B)|<С>*1*1* A)
и, кроме того, при вещественных z = x удовлетворяет
неравенству
|/(*)|<C2**l»l* (афО, 0</г<р), B)
то существует область О., определяемая неравенством
\у\<КхA + \х\у, [х>1— (р —А), C)
в которой
|/(* + О0 \<Cse"' \*\h, C3 = max(Clf C2), D)
причем постоянная а' как угодно мало отличается от а.

3] § 7. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА S 253
Таким образом, функция конечного порядка роста, имею-
имеющая на вещественной оси более медленное возрастание, чем
во всей плоскости (или экспоненциальное убывание), сохра-
сохраняет это более медленное возрастание (или убывание) и в не-
некоторой области вида C).
Доказательство. Построим в правой полуплоскости
аналитическую функцию
с произвольно фиксированной ветвью второго множителя.
Эта функция ограничена на полуоси х > О (постоянной С2).
В правой полуплоскости она удовлетворяет неравенству
где можно принять Ь1 = Ь~\-\а\.
Введем, далее, функцию
аналитическую в первой четверти; эта функция также огра-
ограничена на полуоси х > О (постоянной С2). Кроме того, она
г —
2р
ограничена и на луче z = re , так как на этом луче
Наконец, в пределах угла 0 <; argz -^-n" функцияf2(z) удо-
удовлетворяет неравенству
Поэтому в силу теоремы Фрагмена—Линделёфа функция f2(z)
ограничена и внутри указанного угла.
Отсюда следует, что в пределах этого угла (z = rei<D,
0<^o)<;-^-j функция f(z) удовлетворяет неравенству
| /(re*-) | = | f{z) | = | Л (г) e"*h | = | /
2
<С С gar*^ cos/го>4

ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА «§ |3
Если при этом рассматривать лишь точки z = rei<o такие,
что
arh cos /га) -f- b2rp sin pay <; a^71 cos71 u> F)
(at^> а и того же знака), то функция /(г) будет удовле-
удовлетворять и неравенству
|/(г)| <С3^СО8^ = С3^ЖД G)
Неравенство F) можно записать в форме
а^гь cos71 о) — arh cos /ги> — b2rp sin /?u> ^ 0,
откуда следует, что оно выполняется в области, границей
которой служит кривая
p-h ^icos^o) — a cos Ы /оч
Т = -t : . (о)
Ь2 Sin /7@ v 7
Если/г — /?, то эта кривая есть луч aicoshay — acos/zu> =
Если же h < /?, то на этой кривой при г -> оо аргу-
аргумент а) стремится к нулю, поскольку числитель справа в (8)
ограничен. Поэтому можно положить
где ?г- — переменные, стремящиеся к единице; подставляя
в E), получаем уравнение
откуда
y = KExl~{p'h); E(x)-+l при л:-^оо.
Кривая (8), очевидно, имеет не более одной точки пере-
пересечения с каждым лучом u> = const.
При приближении к началу координат кривая (8) в не-
некоторой точке пересекает луч а) = -^- (возможно, в начале
координат). Итак, при h < p неравенство G) будет удовле-
удовлетворяться в области, ограниченной сверху, возможно, вна-
вначале лучом а) = ^~ * затем кривой (8).

3] § 7. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА S 255
Очевидно, что в области, определяемой неравенствами
(9)
при некотором Klt зависящем только от a, alt b2, функ-
функция f{z) удовлетворяет неравенству G). Заметим, что по-
постоянная at может быть взята как угодно близкой к а.
Аналогичное построение можно провести и во всех осталь-
остальных четвертях плоскости z\ полученные неравенства будут
отличаться от неравенства (9) тем, что вместо х и у в них
будут фигурировать \х\ и \у\.
Из соображений непрерывности ясно, что и в области,
определенной неравенством (см. рис. 2)
будет справедливо неравенство, аналогичное доказанному,
именно
В качестве постоянной С можно взять С3, умноженную
на еЪгР+\а'\г , где г — радиус наименьшего круга, заклю-
заключающего присоединяемую часть области; эта постоянная
выражается через р, h, а, Ъ. Тем самым теорема 1 пол-
полностью доказана.
Замечание. Возможно, что неравенство
выполняется и в более широкой области, чем та, которая указана
в формулировке теоремы 1, именно в области
где [а>1 — (р — /г). Но во всяком случае, если h<^p и р — точ-
точный порядок роста функции f(z) в плоскости или если h = p
и а<0, то число jj. не может превосходить единицу.
Действительно, если бы мы имели р.^> 1, то целая функция/(г)
на каждом луче, исходящем из начала координат (за исключением,
возможно, оси у), имела бы порядок роста меньший, чем ее общий
порядок роста в плоскости. Но тогда в силу теоремы Фрагмена —
Линделёфа (см. замечание после этой теоремы) функция f(z)
имела бы при h<^p порядок роста -*Ch<^p в противоречие

256 гл. fv. пространства типа 5 D
с предположением. А при h = р, #<^0, в силу той же теоремы, функ-
функция /(г) оказалась бы ограниченной и, следовательно, тождественно
равной нулю.
При а = 0 функцию экспоненциального роста еа^х^ ,
стоящую в неравенстве B), естественно заменить на функ-
функцию степенного роста A +| х \)h. Формулировка теоремы
изменится следующим образом.
Теорема 1. Если целая функция f{z) удовлетворяет
неравенствам
то существует область G., определяемая неравенством
\y\<
в которой
|
Доказательство проходит по схеме доказательства тео-
теоремы 1. Функция e~azh заменяется на (l-f-z)~\ неравен-
неравенство E) заменяется неравенством
\f(re^) |< С3 A +1 * I )n eb*rPsiu P™. A2)
Показатель b2rp sin pay под линией y^.xl~p ограничен;
поэтому в области A0) неравенство A1) заведомо выпол-
выполняется.
Так же как и в предыдущем случае, область A0) можно
заменить областью
( ) A3)
4. Поведение целой функции в плоскости при ji > 0.
Теорема 2. Рассмотрим целую аналитическую функ-
функцию f(z) порядка роста </? и конечного типа, так что
выполняется неравенство
|/B)|<С^'^. A)
Допустим, далее, что в некоторой области G, опреде-
определенной неравенством
1), B)

4] § 7. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА 5 257
функция f{z) удовлетворяет неравенству
I/W|<c/Ie|h C)
(h < р\ при а<0 допускается также и h = p).
Тогда функция f(z) удовлетворяет при всех z — x-\~iy
неравенству
| 111Л6'11рЛ\ D)
где постоянная Ъг зависит только oma,bu Kv C2=max(C, Cx).
Доказательство. Положим
-"\°\h. E)
Указанная верхняя грань существует, поскольку при рь > О
каждая горизонтальная прямая почти вся, кроме конечного
отрезка &уу принадлежит области О, определяемой неравен-
неравенством B); в области О выражение под знаком sup ограничено
постоянной С1#
Возможно одно из двух: или при данном у указанная
верхняя грань достигается на отрезке А^, или она не до-
достигается на этом отрезке.
Рассмотрим сначала первый случай. Пусть верхняя грань
в D) при заданном у=у достигается вне области О, т. е.
в точке x-\-iy, удовлетворяющей неравенству
Отсюда, используя неравенство [х^ 1, получаем:
Поэтому, заменяя — а | х \h при а < 0 большей величиной
I^I , или просто нулем при а^>0, мы получаем:
и, далее,
М (у) < Сеь* I у №'*-+ 6» I у 1Л/|Ь < Сеь*
- *) Здесь предположено, что |у|!>1- Всегда можно считать,
что область G содержит внутри себя полосу | у | <; 1, заменяя в про-
противном случае f(z) на / (az) с подходящим а.
17 Зак. 2669. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов

258 гл. iv. пространства типа S [4
поскольку h^p. Но тогда уже для любых х
и, следовательно,
Остается рассмотреть случай, когда при заданном у—у
верхняя грань в E) не достигается на отрезке Дг Это озна-
означает, что в области О найдется точка x-\-iy, в которой
величина ]f(x-\-iy)\e-a^x^h превзойдет ее максимум на от-
отрезке Ау. Но, как следует из C), всюду в области- О ука-
указанная величина ограничена постоянной Сх. Поэтому при
всех л: и данном у
откуда
При этом, как видно из доказательства, Ьг^
<(|а| + &)/Сб, гДе ^5 зависит только от /^. Тем самым
теорема 2 полностью доказана.
Так же как и в теореме 1, при /z = 0 экспоненциальную
оценку A1) естественно заменить на степенную оценку
В этом случае имеет место следующая теорема.
Теорема 2'. Если целая функция f{z) удовлетво-
удовлетворяет неравенству
|/(*)|<Ce»l*l' F)
и в области \у \ <; Кх(\ +| х\ У' @ < \i < 1) выполняется
неравенство
l/WK^o + l*!*), G)
то при всех z
|/(«)|<C,(l + |*|»)e*'l»l^, (8)
где Ь'^ЬВг, причем Въ зависит только от Ьх и Кх.
Доказательство проходит по схеме доказательства тео-
теоремы 2, с заменой всюду ealx\h на (

5] § 7. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА $ 259
5. Оценка производных целой функции на оси по ее
поведению в плоскости.
Теорема 3. Если целая аналитическая функция f(z)
удовлетворяет неравенству
*\h+b\y^ (й<т), A)
то для любого q — 0, 1, 2, ...
|/(9Ч*)|<Сву( rW*i\ B)
где at как угодно мало отличается от а.
Доказательство. Производные функции f{z) можно
вычислять по формуле Коши
— & f f®
~2ni J (?-
J
TR
где Tr—окружность радиуса R с центром в точке х.
Из C) мы получаем, что
С^«1^Л D)
Rq
где хх — точка между значениями х — R и jc—(-/?, в кото-
которой величина a|jc|^ достигает максимума*).
Выберем радиус R так, чтобы отношение дости-
достигало минимума. Как легко можно проверить дифференци-
дифференцированием, это осуществляется при
так что D) сведется к
f{q) (х) | < CBlqlq"ea I *Л Вг =
Последний множитель можно оценить следующим образом.
Заменим хх на x-{-bR, где |6|^1; тогда
е
а |
-___ ^^ | х+Ш \h ^ еах | х \
*) Возможно одно из трех: х1 — х — R, хх = 0 или хх = х + /?
17*

260 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА fHnA 5 [5
где постоянную а3 можно выбрать так, чтобы она как
угодно мало отличалась от а. Далее,
Л/Т
поскольку, по условию, /*<;?• Поэтому E) приводится
к виду
что совпадает с требуемым неравенством B).
Если а < О (т. е. at < 0), то это означает, что
Если а > 0 (т. е. ах > 0) и может быть взято как
угодно малым, то в силу результатов п. 2 § 4 функ-
функция f(x) является в пространстве Si/7/ мультиплика-
мультипликатором.
Рассмотрим для примера функцию
Так как
то неравенство A) выполняется с показателями h = 7 = 2 и
а < 0, поэтому в силу теоремы 3 функция е~х* принадле-
принадлежит к пространству Slf2 и удовлетворяет, следовательно,
неравенствам
Если о некоторой функции f(z) известно только, что
она имеет порядок роста р в плоскости zt а на оси х имеет
экспоненциальное убывание порядка h (т. е. выполняется
неравенство A) с а< 0), причем это экспоненциальное убы-
убывание сохраняется в области \у\ <; К{\ -\- \х\ У\ 0<[х<^1
(что, в частности, заведомо имеет место при ц = р — /г<!1
в силу теоремы 1), то, комбинируя теоремы 2 и 3, мы по-
лучаем, что функция f(x) принадлежит к пространству S?,
где « = 1, Р— 1—-?--

5] § 7. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА «S 261
Замечание. Пусть дана целая функция /(-г), удовлетворяю-
удовлетворяющая неравенствам
. F)
Совокупность таких целых функций впервые была рассмотрена
авторами и обозначена через Zp. В силу теоремы 1 для функции
f{z)^Zp число fx можно принять равным 1. Вместе с этим число
Y = i-, фигурирующее в теореме 2, оказывается равным р. Поэтому
согласно теореме 3 функция / (г) принадлежит к пространству S\j^p-
Итак, имеет место включение
С другой стороны, каждая функция ср (х) из пространства
согласно § 2 удовлетворяет неравенству
так что для нее заведомо выполняются неравенства F). Итак, про-
пространство Zp совпадает с пространством S\j^p.
Теорема, аналогичная теореме 3, может быть сформули-
сформулирована и для того случая, когда функция f(z) на оси х
подчинена не экспоненциальному, а иному, более медленному
закону убывания.
Теорема 3'. Если целая аналитическая функция f(z)
при любом k удовлетворяет неравенству
y\( (T> 1), G)
то для любого q = 0, 1, 2, ...
W(l"Tl (8)
1
где B = — (b'e*()n, br — любая постоянная, большая Ь.
е
Доказательство. Положим fk (z) = zkf(z)\ функ-
функция fk(z) удовлетворяет неравенству
< 2kCkeb I v IT + 2*C01 у \k e* I у it < C'keb' I у ?>

262 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА «S [5
где Ъ' — любая постоянная, большая Ь. Применим к функ-
функции fk(z) теорему 3, полагая в ней h = 0. Мы получим
в результате
где ? = — (Ь'е^I^. Но, с другой стороны,
Будем доказывать неравенство (8) индукцией по к. При
к = 0 оно совпадает с доказанным неравенством (9). В общем
случае, полагая для краткости [3=1 , мы находим:
| ff (x)\ + kq\ Х"-У^(x) | +
где положено
Но при д^>2 мы имеем
поэтому

5] § 7. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА «S 263
Но, поскольку р < 1, при любом В > О
откуда
что и требуется.
Теорема 3' показывает, что функция f(x), удовлетво-
удовлетворяющая неравенству F), входит в пространство S®'B,
где
Напомним, что в § 3 было доказано обратное утвержде-
утверждение: всякая функция ср (х), входящая в пространство Sp> Б(р< 1),
удовлетворяет неравен:твам вида G). Таким образом, нера-
неравенство G) дает полную характеристику основных функций,
входящих в пространство S^' Б.
К теореме 3' теперь можно сделать следующее допол-
дополнение.
Теорема 3". Если целая аналитическая функция f(z)
удовлетворяет неравенству
то она является ограниченным оператором умножения
в пространстве S^'Bi и переводит это пространство в S^ B ,
где
О 75
Доказательство. Пусть y(x)?S u, тогда при
любом & = 0, 1, 2, ...
где Ьх и Вх связаны соотношением (еВхУ = bief, bx > b\
любое. Поэтому

264 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА 5 [6
и, следовательно, при любом к
Таким образом, в силу теоремы 3, произведение /ср принад-
принадлежит пространству S^'B'. В силу соотношения между по-
постоянными оператор умножения на / является ограниченным
оператором в S^'B\ что и утверждалось.
6. Оценка производных на оси при [л <; 0.
Теорема 4. Если аналитическая функция f{z) опре-
определена в области G
Н*|У (и<о) (О
и удовлетворяет в этой области неравенству
|/(* + O0l<W< B)
то ее последовательные производные на вещественной оси
удовлетворяют неравенствам
где постоянная а/ имеет тот же знак, что и а.
Доказательство. Будем вычислять значения произ-
производных от функции f(x) по формуле Коши, используя
окружности, лежащие целиком внутри области G. Прежде
всего, мы утверждаем, что окружность с центром в л: и
радиусом /? = /С2A _|_| х D* при достаточно малом К2 цели-
целиком лежит в области G. Действительно, это утверждение
очевидно при [х = 0; при (i < 0 в силу монотонного убыва-
убывания функции A + | л:] У* дело сводится к доказательству
неравенства
Так как R ограничено (можно считать заранее /?<]1),
то это неравенство при достаточно малом К2 заведомо удо-
удовлетворяется.
Теперь применим формулу Коши
-JL f
-Zni J
(е_дг)«+1'

6] § 7. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА S 265
где Гд—круг с центром в точке х и радиусом R. Под-
Подставляя оценку /(?) в форме B), мы находим:
где хг— точка в интервале (х— R, x~{-R), в которой
функция ?«1®! достигает наибольшего значения. Поскольку
R— ограниченная функция от х, можно считать, что
где а1— постоянная того же знака, что и а. При |л;|> 1
имеет место неравенство
Л = /С2A + |*|У>*з|*|»\
так что
\fW(x)\<C^\xrqea>lx{h- D)
Далее, легко показать дифференцированием, что
где а2 — постоянная того же знака, что и ах (и а), В = —.
Поэтому D) преобразуется к виду
1Д°'|а'1*. E)
При |д:|^1 можно считать, что /?^-р>0, и поэтому
\fM(x)\<C6p-«q\ F)
Оценки E) и F) можно объединить в одну общую
оценку, справедливую при всех х:
что и доказывает нашу теорему.
В случае а < 0 (т. е. а2 < 0) полученное неравенство
показывает, что функция f(x) принадлежит простран-
ству Sli?*.

266 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА 5 [6*
В случае а > 0 (т. е. а2 > 0) и если а можно взять
произвольно малым, функция f(x) в силу одной из тео-
теорем п. 2 § 4 является мультипликатором в простран-
пространстве S{^h. При а = 0 естественно заменить функцию ?а|а?1
на степенную функцию 1+|л;|Л. Мы получаем здесь сле-
следующий результат.
Теорема 4'. Если аналитическая функция f(z) опре-
определена в области
I^KQO-f \x\f, !х<0, G)
и удовлетворяет в этой области неравенству
|/(* + <y)|<C(l-f[*f), (8)
то ее последовательные производные на вещественной
оси удовлетворяют неравенствам
|/<Dv)|<C'By(l + i*rM)- (9)
Доказательство проходит по схеме доказательства теоремы 4
(см. неравенства D) и F)).
§ 8. ВОПРОС О НЕТРИВИАЛЬНОСТИ ПРОСТРАНСТВА ТИПА 5
Речь идет сначала о следующем вопросе: имеется ли
в данном пространстве типа S хотя бы одна функция
ср(лг), отличная от тождественного нуля?
Для пространства Sa, а ответ всегда положительный:
всякая финитная бесконечно дифференцируемая функция
заведомо принадлежит к такому пространству, если а > 0;
при а = 0 пространству 5а, a (=S0,a) принадлежит вся-
всякая бесконечно дифференцируемая функция, равная нулю
При I АГ| > Л.
Далее, всякое пространство типа S есть результат
применения преобразования Фурье к пространству 5р, в и,
значит, также содержит функции, отличные от тождествен-
тождественного нуля.
Наибольшую трудность представляет вопрос о нетри-
нетривиальности пространств Si. Мы покажем в пп, 1 и 2, что

1] § 8. ВОПРОС О НЕТРИВИАЛЬНОСТИ ПРОСТРАНСТВА ТИПА 5 267
эти пространства нетривиальны при
1) а + р>1, а>0, р>0;
2) а = 0, р> 1;
3) р = 0, а> 1),
а в остальных случаях тривиальны.
При доказательстве этого мы воспользуемся некоторыми
результатами, полученными в § б и 7, а также известной
теоремой Карлемана — Островского об условиях квазиана-
квазианалитичности.
1. Случай пространств S2, So. Рассмотрим сначала
случай, когда одно из чисел а, р равно нулю.
Теорема. Пространство So нетривиально (т. е. со-
содержит функцию ср (х) ф 0) тогда и только тогда, когда
p>i.
Доказательство. Функции ср (х) ? So характеризуются
неравенствами
kqg* A)
Деля на \х\ и переходя в правой части к нижней грани
по &, получаем:
Очевидно, что и, обратно, всякая бесконечно дифферен-
дифференцируемая функция ср (л:), удовлетворяющая неравенствам B),
удовлетворяет и неравенствам A), т. е. принадлежит к про-
пространству So- Вопрос о нетривиальности So теперь сводится
к классической проблеме квазианалитичности: какие условия
нужно наложить на числа bq{= q4$), чтобы существовала
бесконечно дифференцируемая функция ср(л;)фО, равная
нулю вне конечного промежутка и удовлетворяющая не-
неравенствам
| ?<«>(*) |< СВ%
Ответ, как известно, дается следующей теоремой Карле-
мана — Островского: для существования искомой функции

268 ГЛ. IV, ПРОСТРАНСТВА ТИПА S [2?
необходимо и достаточно, чтобы функция Островского
Г(г) = тахву- C)
обладала тем свойством, что
In Г (г) , . ,А.
~ dr < oo. D)
1
Найдем оценку для функции Островского в случае,
когда by — cf^y B!>0, так что
При [3 = 0 очевидно, что Г(г)=со для г>1 и интеграл D)
расходится. Поэтому можно ограничиться случаем C >> 0.
В этом случае функция ^-т-т совпадает с функцией
построенной в п. 1 § 2. Мы можем воспользоваться ре-
результатом проведенного там вычисления, который дается
неравенством
Применяя этот результат, находим:
В силу этой оценки сходимость интеграла C), очевидно,
имеет место тогда и только тогда, когда р > 1. Теорема
доказана.
Следствие. Поскольку 5о = 5р (§ 6), мы одновре-
одновременно получаем тривиальность S« при а^1 и нетривиаль-
нетривиальность Sa при а > 1.
2. Случай пространств Sl9 л > 0, C > 0. Переходим
к случаю, когда оба числа а, [3 положительны. Здесь имеет
место следующая теорема.
Теорема. Пространство si при а > 0, [3 > 0 нетри-
нетривиально (т. е. содержит функцию ср(л:)ф 0) тогда и только
тогда, когда ар

2] § 8. вопрос о нетривиальной™ пространства Типа S 269
Доказательство. Рассмотрим сначала случайа+р
и покажем, что в этом случае пространство S% содержит
единственную функцию cp(jt)===O.
Как было показано в § 2, в рассматриваемом случае
функции y(x)?Sl аналитически продолжаются в комплекс-
комплексную область z — x-\-iy как целые функции, и имеет место
оценка
1/e1/A"w. A)
Для целой функции ср (iz) = ср (ix —у), очевидно, имеет
место оценка
| ?(ix_у)| ^ Се-а\У\1/а-гъ\х1 W~Р).
Для произведения ср (г) • ср (iz) получаем:
1/a1/{1^\ B)
Неравенство а-(-р< 1 показывает, что — >^ г. Поэтому
оба множителя в правой части неравенства B) стремятся
к нулю при | jc | —> cxd, |^|~>со. Отсюда по теореме Лиу-
вилля функция <f(z)-<f(iz) тождественно равна нулю. Но
тогда и cp(z)==O, что и утверждается.
Нам остается рассмотреть случай a-j~p^-l, a > О,
Р ^> 0, и показать, что соответствующее пространство Sa
нетривиально. Поскольку очевидно, что из неравенств
a <; a', P <[ (З7 следует Si cz 5^, достаточно ограничиться
случаем а + р=1, а > 0, р > 0.
Рассмотрим вначале функцию
Очевидно, что при р > 1 произведение C) всюду сходится.
Покажем, что оно представляет собой целую функцию по-
порядка роста ^ —; иными словами, для любого е ^> 0 вы-
выполняется неравенство
's|p+\ D)

2?0 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА S
Мы имеем, прежде всего,
со оо
|*<*>|=П 1-^<nA+JsL
П-Х
Воспользуемся двумя очевидными оценками для функции
1пA+С)<С при 0<С<1,
lnCl-t-CxC^ при С>1 илюбом[А>0.
В соответствии с этими оценками мы находим:
иР>| г\
— 1*1 V
— 1*1 2и
nP<|z|
E)
Оценим первую сумму в правой части. Поскольку
п
п-1
мы имеем:
V ±< [ ^? =
^ лР J jcP (о —
i-1
3_ 11Р-1
I z VP-i
причем постоянную С можно выбрать фиксированной для
всех достаточно больших \z\. Последняя сумма в правой
части соотношения E) ограничена при любом [х > —:

U] § 8. ВОПРОС О НЕ?РИВИАЛЬНОСТИ ПРОСТРАНСТВА ТИПА S 27 1
В результате мы приходим к оценке
Так как \ь можно взять в виде \~~J> то справедлива
оценка
из которой и следует требуемое неравенство D).
Далее мы построим индикатрису роста функции ф
Напомним, как определяется индикатриса роста целой функ-
функции порядка роста р. Фиксируем луч, исходящий из начала
координат под углом б к оси х. Если существуют постоян-
постоянные Cub такие, что выполняется неравенство
то значением индикатрисы роста h F) считается нижняя
грань чисел Ь, которые удовлетворяют этому неравенству.
Таким образом, для любого е > 0 можно найти постоян-
постоянную Се так, что
Если таких постоянных С и Ъ не существует, то полагают
AF) = oo.
В теории функций доказываются следующие свойства
индикатрисы роста целой функции порядка /?.
а) Если h F) принимает конечные значения при б = бх
а 6 = б2, причем |61-—62| < —, то /г F) ограничена сверху
во всем промежутке б1^6^62.
б) Если h F) ограничена в промежутке 6Х <; G ^ б2,
то она непрерывна в этом промежутке *).
Покажем, что индикатриса роста функции ф(г) дается
уравнением
(О < в < 2«). F)
График функции ft(8) изображен на рис. 3.
*) См., например, А. И. Маркушевич, Теория аналитиче-
аналитических функций, Гостехиздат, 1950, гл. VII, § 1.4, стр. 508.

272
ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА S
Имея в .виду свойства индикатрисы а) — б), мы ограни*
чимся при доказательстве случаем 0 Ф 0.
Далее, поскольку |фB)| = |ф(г)|, функция h@)— четная;
поэтому достаточно рассмотреть случай 0 < 0 < тт.
Функцию
можно представить
с некоторым фиксированным
в форме
1-0
где функция /г(?) имеет в каждой точке t — n9(n= 1, 2, . ..)
Рис. 3.
скачок + 1 и между этими точками постоянна. Интегрируя
по частям, находим:
1-0
G)
1-0
Функция n(t) имеет вид, изображенный на рис. 4. Оче-
Очевидно, что ее можно представить в форме
где 0<ш@<1.

U] § 8. ВОПРОС О НЕТРЙВИАЛЬНОСТИ ПРОСТРАНСТВА ТИПА 5
Рассмотрим сначала внеинтегральное выражение в фор-
формуле G). Множитель 1пП —y-j при больших t имеет по-
порядок —— и поэтому в произведении с n(t) —11/? дает
в пределе нуль. На нижнем пределе внеинтегральный член
О /!
равен нулю вместе с n{t). Итак, внеинтегральный член
обращается в нуль, и мы имеем:
1-0
оо оо
__7 Г iV9di I г С "(О*
- Z J t(t-z)^~ZJ пТ^г)'
Оба полученных интеграла преобразуем подстановкой
1 -0
l/r
i-1
a —
l/r
и (и —
Последнее слагаемое допускает оценку
1 оо
(8)
9 ro>(ur)
,/ «(« —
l/r
i/p
В первом слагаемом справа в (8) замена нижнего пре-
предела 1/г на нуль приводит к ошибке, стремящейся к нулю
при г—>оо и поэтому несущественной. Получающийся
18 Зак. 2669. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов

274
интеграл
ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА 5
J
du
мы вычислим до конца с помощью теории вычетов. Рас-
Рассмотрим замкнутый контур Г, изображенный на рис. 5. Так
как подынтегральная функция однозначна внутри контура Г
У
Рис, 5.
и~имеет единственную особую точку u = eiB — полюс первого
порядка, то
1 I И р #tf iQ \~7~l)
TT-r I = e vp y.
Г
jtC С другой стороны, интегралы по дугам окружностей Ге
и Tr, входящих в состав контура Г, в пределе (при е—>-0
И R ->• оо) обращаются в нуль; поэтому при 0 < 0 < тг мы
получаем:
*ev7"v 1 Г ttp l du , 1 Г uJ le %г Р du
е = I — -| I =
2nt J и — е™ 2nl J и — е**
О оо
ОО 1 71
I — е*%Щ i U9 du I р г
. I , *_ # у

2] § 8. ВОПРОС О НЕТРИВИАЛЬНОСТЙ ПРОСТРАНСТВА ТИПА 5 275
Отсюда
71 7U
sin — sin —
г'
-е Р
Р
Таким образом,
+ 0Aпг) =
= г9 -^ cos Ani-f- О (In r).
sin— P
Р
Полученное выражение показывает, что индикатриса роста
функции ф(?) при 0 < 0 < 7г имеет вид
1 „ 0_71
^ @) = Нт г р In I ф (г^г9) I = cos ,
Siny
что и требовалось.
Как видно из выражения индикатрисы, функция ф(г),
имея экспоненциальный рост порядка — в плоскости zf
на полуоси х > 0 имеет экспоненциальное убывание порядка
также —. Рассмотрим теперь функцию
Очевидно, что функция ср(г) имеет экспоненциальный
2
порядок роста в плоскости z, равный —, и на всей веще-
вещественной оси — при 1<р<2 — экспоненциальное убыва-
2
н и е с порядком — .
Поэтому в силу теорем 1—3 § 7 функция ср (z) принад-
принадлежит к пространству S«, где а = — = -^ , [3=1 —а = 1 —^-.
Так как р — любое число между 1 и 2, то тем самым мы
в 1
получаем, что все пространства SZ с -~ < а < 1, р = 1 —а
нетривиальны.
18*

276 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА 5 [3
В силу формулы «Sa = «Sp являются нетривиальными и все
3 1
пространства S?a с 0<а<-2-> [3=1—а.
Нам остается рассмотреть лишь случай a = p = Y. Но
пространство Sljl также нетривиально: как мы видели в п. 4
§ 7, оно содержит отличную от нуля функцию ср (?) = #-*а.
Таким образом, наша теорема полностью доказана.
3. Случай пространств Sa,A. Уточняя предыдущие ре-
результаты, рассмотрим вопрос о нетривиальности про-
странств Sa',Am> это понадобится нам в выпуске 3. Основные
функции, входящие в пространство Si'fA, как мы помним,
удовлетворяют неравенствам
| **?<«> (х) | < С8р (Л + 8)* (В + р)« №qrt.
Рассматривая это неравенство, мы замечаем, что при а^о/,
Р<;^, Л^Л', В^В' имеют место включения
причем если а < а', то Л' можно взять любое (не обяза-
обязательно большее Л) и аналогично при [3 < ^ можно взять
любое 5.
Так как пространство Sa есть объединение пространств Sa\ A
по всем Л, В, то нетривиальность пространства «Sa равно-
равносильна нетривиальности пространства S^ д с некоторыми Л
и В. Нетривиальность пространств Si была доказана для
случаев:
а = 0, р> 1; а>1, ^ = 0; а > 0, ^ > 0,
Во всех этих случаях, следовательно, имеются и нетривиаль-
нетривиальные пространства S^a-
В силу приведенного выше рассуждения мы можем ут-
утверждать, что нетривиальны все пространства sI[a
с а>0, [3 > 0, а—(- Р > 1 и любыми А и В. Нам остает-
остается рассмотреть крайние случаи, когда а = 0, или [3 = 0,
или а ¦+- р == 1.

3] § 8. ВОПРОС О НЕТРИВИАЛЬНОСТИ ПРОСТРАНСТВА ТИПА S 277
Будем рассуждать следующим образом. Рассмотрим
какое-нибудь нетривиальное пространство Si и отметим на
плоскости Л, В точки, отвечающие нетривиальным простран-
пространствам Sa, a\ соответствующие пары чисел А, В и точки (Л, В)
назовем «допустимыми». Изучим расположение допустимых
точек (Л, В) на плоскости с координатами Л, В. Так как Л
и В — неотрицательные числа, то достаточно рассмотреть
первую четверть этой плоскости. Прежде всего, по доказан-
доказанному, вместе со всякой допустимой парой (Ло, Во) являются
допустимыми и все пары (Л, В), где А^ Ао, В^В0.
Далее, перейдем от функции ф(лг), входящей в нетри-
виальное пространство Sa, а» к функции ср (кх) = ф(х). Как
мы уже знаем из п. 4 § 4, функция ф(лг) принадлежит про-
странству Sa, ад, которое, следовательно, также нетривиально,
Таким образом, вместе с парой (Ло, Во) является допусти-
допустимой и пара f-jpi ^o)> °бе соответствующие точки лежат
на гиперболе АВ = А0В0.
Поэтому полная область всех допустимых пар есть
область, ограниченная снизу гиперболой
АВ = ч B)
(причем сама эта гипербола может принадлежать области
всех допустимых пар или не принадлежать). Очевидно, что
при f = 0 все пары (Л, В) с 4 > 0, В > 0 являЬтся^допу-
стимыми.
Покажем, что именно так обстоит дело для про-
пространств So] % (Р > О И Sa', a (a > 1). Ограничимся рассмо-
рассмотрением первого случая. Пусть заданы числа [3 > 1, Л>0
и В > 0. Если число рх таково, что 1 < {Зг < [3, то в силу
нетривиальности пространства So1 имеется нетривиальное
о ту
пространство SoJ'a/ с некоторыми Аг и В*. В силу вклю-
чений A) пространство So] а, является нетривиальным при
любом как угодно малом В. Но тогда f = ШВАХ (нижняя
грань по всем допустимым парам), очевидно, равна нулю,
что нам и требуется.
Можно показать, что для а>0, [3>0, а—|— р = 1 по-
постоянная 7 уже не равна нулю. Можно было бы даже
вычислить ее в зависимости от а и [3, но это нам не пона-
понадобится.
19 Зак. 2669. И. М. Гельфанд и Г* Е. Шилов

278 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА 5 [4
Итак, мы установили нетривиальность следующих про-
пространств:
1) Sa a* S^'B с любыми а, р, Л, В;
2) S«;f, S§;f с любыми а > 1, р > 1, Л, Я;
3) Sa',1 с любыми а + р > 1, Л, Я;
4) 5а, а с а—|— р = 1, АВ > т (или ^ -f), где т — некото-
некоторое положительное число.
4. О запасе функций в пространствах типа 5. С вопро-
вопросом о нетривиальности основных пространств тесно связан
вопрос о достаточном богатстве запаса функций в этих
пространствах. Мы говорим, что основное пространство Ф
достаточно богато функциями, если для любой локально
интегрируемой функции f(x) из сходимости интеграла
оо
ff(x)<?(x)dx A)
— оо
для всех у(х)?Ф и равенства этого интеграла нулю для
каждой <р ? Ф вытекает, что /(л;) = 0 почти всюду.
Пространства, достаточно богатые функциями, обладают
следующим важным свойством: всякое пространство Ф, до-
достаточно богатое функциями, располагается плотно во
всяком нормированном пространстве функций Е, содержа-
содержащем Ф внутри себя, если норма в Е задана формулой вида
оо
= f M(x)\<?(x)\dx, B)
— ОО
где М{х) — фиксированная положительная функция.
Действительно, в предположении противного мы смогли бы,
используя процесс Хана — Банаха, построить линейный
непрерывный функционал (/, ср) ф 0 в пространстве Е, обра-
обращающийся в нуль на каждом элементе Ф^^- Общий вид
линейного непрерывного функционала в пространстве Е
хорошо известен; он дается формулой
оо
(/. ?)= ff(x)M(x)^(x)dx, C)
— ОО
где f(x) — ограниченная измеримая функция. Таким обра-

4] § 8. ВОПРОС О НЕТРИВИАЛЬНОСТИ ПРОСТРАНСТВА ТИПА 5 279
зом, интеграл C) обращается в нуль для всякой функции
ср(л;)?Ф. Но, поскольку пространство Ф достаточно богато
функциями, из этого факта вытекало бы, что f(x) M (л;) = 0,
откуда и /(л;) = 0 почти всюду, т. е. (/, ср) = О для любой
ср ? Е в противоречие с построением.
Можно установить следующий признак достаточности
богатства функциями в основном пространстве Ф.
Лемма. Если
а) в пространстве Ф существует хотя бы одна функ-
функция ср (х) ф 0;
б) вместе со всякой функцией ср(лг) в пространство Ф
входят все сдвиги ср (л: — /г), —оо < h < оо;
в) вместе со всякой функцией ср (л:) в пространство Ф
входят все произведения у(х)е1ха,
то пространство Ф достаточно богато функциями.
Доказательство. Пусть дана локально интегрируе-
интегрируемая функция f(x), для которой имеет место равенство
ff(x)<f(x)dx =
при любой функции ср(л;)?Ф. Покажем, что f(x) почти
всюду равна нулю. Рассмотрим функцию сро(л;)?Ф, отлич-
отличную от тождественного нуля; так как в пространстве Ф
допустимы все сдвиги, то можно считать, что функция сро(л:)
отлична от нуля в окрестности заданной точки х0*). По
предположению, при любом о произведение сро(лг) eixa? Ф;
поэтому при любом а
Но это равенство означает, что преобразование Фурье
функции f(x)yo(x) тождественно равно нулю. По теореме
единственности преобразования Фурье**) функция f(x)<po(X)
почти всюду равна нулю. Так как в окрестности точки х0
функция сро(л;)=?0, то функция f(x) почти всюду равна
*) Предположение б) можно было бы заменить следующим:
б') Существует функция <р (х) ? Ф, отличная от нуля в окрест-
окрестности любой фиксированной точки лг0.
**) См. Е. Титчмарш, Введение в теорию интегралов Фурье,
Гостехиздат, 1948, стр. 217,

280 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА «S [4
нулю в этой окрестности. В силу произвольности х0 функ-
функция f(x) почти всюду равна нулю на прямой — оо < х < оо,
что и требовалось.
Выясним теперь вопрос о достаточности запаса функций
в пространствах типа «S.
Для пространств sI\a с а > 0, Р>0 мы доказали
в своем месте (§ 4), что в этих пространствах определены
операции сдвига и умножения на ei<JX. Применяя лемму,
получаем, что каждое такое пространство, если оно
нетривиально, обладает достаточным запасом функций.
Пространства Sa ^(а > 0), 5Р'Б(C >0) всегда нетривиальны,
и в них также определены операции сдвига и умножения
на eiox; следовательно, эти пространства также обладают
достаточным запасом функций.
Если же в нетривиальном пространстве O = S^f (или
Sa,a, S^%B) од'но из чисел а, ,3 равно нулю, то это про-
пространство уже не является достаточно богатым функциями.
При а = 0 в этом случае все функции <р(л:)?Ф обращаются
в нуль вне фиксированного промежутка и всякая функция
f(x) ф 0, равная нулю в этом промежутке, приводит к ну-
нулевому значению интеграла A) для всех <р?Ф. При [3 = 0 все
у(х)?Ф суть целые функции, преобразования Фурье преды-
предыдущих функций; если функция f(x) ф 0, участвовавшая в пре-
предыдущем построении, обладает классическим преобразовани-
преобразованием Фурье g(x), -— например, если f(x) финитна, — то функция
g(x)t если ее подставить вместо f(x) в интеграл A), будет
обращать в нуль этот интеграл для всех <р?Ф. Но если не
фиксировать постоянных Л или В, а рассматривать объединения
сР» В II Qp, В с0 | | оО, В
0 = U °»А ' а»А = U а>А f
А В
то эти пространства уже достаточно богаты функциями.
Действительно, в этих пространствах, как было показано
в § 4, определены и операция сдвига и операция умножения
на eix° при любом а, а этого, как мы видели, достаточно
для справедливости нашего утверждения.
Точно так же обладают достаточным запасом функций
и объединения So = (J SOt л , S° = (J SOt B.
л в

§ 9. СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 281
Итак, следующие пространства типа S достаточно
богаты функциями:
7?
нетривиальные S? А , а > 0, р > 0;
„Л, а>0; Г'*,
; So;
§ 9. СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть даны неотрицательные числа а1э а2, ..., ап, р1э
Р2» • • •, Рп#» через а обозначим совокупность (ах, а2, . . ., ап)
и через р — совокупность (j^, C2, •••» Рп)-
Пространство Sa = Sai, а-,..., а состоит из всех беско-
бесконечно дифференцируемых функций ср (х) = ср (х1? х2, . . ., хп),
для которых удовлетв^оряготся неравенства
г ¦¦•<"¦
.. . «"' • • • К""» ikv А2, • • •• *я = 0, 1, 2, ...).
Последовательность ^pv(^)G^a' по определению, сходится
к нулю, если эта последовательность сходится равномерно
к нулю в каждой ограниченной области вместе с производ-
производными любого порядка и если постоянные Av ..., Ап, С
в этих неравенствах, написанных для функции <pv(Jt), можно
выбрать одними и теми же для всех v= 1, 2, ...
Совокупность функций <f(x)?Sa, для которых постоян-
постоянные Л1 = Л1, . . ., Ап = Ап можно брать любыми, большими,
чем фиксированные Av А2,. . ., Ап, есть счетно-нормированное
пространство; мы обозначим его через Sa, A=Sa15 ..., a ;Alt...,A .
Нормы в этом пространстве вводятся по формулам
*.
дх? ... dxqnn
?"*
П / Л I * \Ki /A I * \ПП h l h П П
(Ах + ЬХ) ... (Ап + оя) п kx ... knn n
где В есть совокупность (8j, , , ., Ьп) и q—совокупность
(Ях> -> Яп)<

282
ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА S
Пространство Sa,A — полное счетно-нормированное со-
совершенное пространство. Доказательства всех этих фактов
проводятся таким же образом, как и в случае одного неза-
независимого переменного.
Аналогичные изменения при переходе к п независимым
переменным производятся и в остальных определениях про-
пространств типа 5. Пространство Sp = SPl"'" р* состоит из
всех бесконечно дифференцируемых функций ср (х), для
которых
X
Пространство S^ = «
которых
fix
n<t
дх
Я*
дхчп
D
?W состоит из функций <р(х), для
(x) | =
хл
Эти пространства, так же как и Sa, представляются в виде
объединений счетно-нормированных пространств
А, В
определяемых аналогично SKj^.
После того как даны определения, можно распростра-
распространить на полученные пространства все результаты § 2—8,
относящиеся к одному переменному. В частности, во всех
этих пространствах определены и непрерывны операции
умножения на независимые переменные (и на любые поли-
полиномы от них) и дифференцирования. Всякая функция
f(x) s=f(xlt ..., хп), удовлетворяющая неравенствам

§ 9. СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 283
определяет при достаточно малых ai оператор умножения
в пространстве Sa, A> переводя это пространство в Sa, аг,
где составляющие X = (а[, . .., а'п) связаны с соответ-
соответствующими составляющими Л = (Л1? ..., Ап) по тем же фор-
формулам, что и в § 4. Всякая функция /(х) = /(х1} ..., хп),
удовлетворяющая неравенствам
определяет оператор умножения в пространстве о , пере-
водя это пространство в У , где
» ..., Вп + Вп).
Всякая функция /(х), удовлетворяющая неравенствам
определяет при достаточно малом a I a,j < —^—] оператор
V еЛк к)
R 7?
умножения в пространстве Sa,A, переводящий это простран-
ство в пространство Sl'jA> , как и в § 4.
Если целая функция
1 Р
имеет порядок роста <С~о~ и тип < 1—» т- е- если
выполняется неравенство
1
причем
**<—^ (й=1, 2 я),

284 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА 5
то в пространстве 5а,' а определен оператор
д д \ VI д^л ...
д \ VI
ОХ1 -• • охп
Ч 7? R 7?^Р
он переводит пространство S? а в пространство SI]а. , где
Be9 = (B/\ .... ВгеЛ).
Имеют место теоремы двойственности, вполне аналогич-
аналогичные теоремам, установленным в § 6:
= Sg;| при а>0 (т. е. все а, >0), р > 0, а + р>1;
sI\a с: Sl',B' в остальных случаях;
при этом
' = (а[, ..., An), где Ан = АкеАкВк {k= 1, 2, .. ., п)\
аналогично определяется в'^.
Все теоремы § 7 переносятся на случай п независимых
переменных также без существенных изменений. Укажем
здесь только основные идеи.
Теорема Фрагмена — Линделе'фа для функ-
функций п переменных. Пусть задана аналитическая
функция f(z)—f(zv ..., zn), определенная для значений
переменных zlt . . ., zni каждое из которых пробегает
в своей плоскости угол Gj раствора (Hj < — независимо
от значений остальных переменных. Границу угла Gj
обозначим через Tj. Пусть, далее, функция f(z) удовле-
удовлетворяет неравенствам
\f(zv .... г„)|<С, (
Тогда справедливо неравенство
\f(zlt ..., g|<C, (zl^Ol гп?Оп). A)

§ 9. СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 285
Доказательство. Фиксируем произвольно z2?Г2,. . .
..., zn?Yn', получившаяся функция от zx в силу теоремы
Фрагмена—Линделёфа удовлетворяет неравенству
Фиксируем теперь z1^Glt z3?T3, ..., zn?Tn; тогда таким
же образом мы получим, что
Продолжая таким же образом, через п шагов придем
к искомому неравенству A).
Теорема. Еълц^целая функция f(zv ..., zn) имеет
порядок роста ^ p = (Pv • • •» Рп) с конечным типом, т. е.
удовлетворяет при всех z неравенству
и, кроме того, при вещественных значениях Zj^=Xj удо-
удовлетворяет неравенству
, 0<А4<А),
существует область G, определяемая неравенствами
в которой
|/(Л + ад|<С3Л1ж'1 1+-+в«|»»| " (Сз = тах(С1; С2)).
Доказательство проходит целиком по схеме доказатель-
доказательства, приведенного в § 7 для одного переменного. Вводятся
функции к h
доказывается, что функция f2(z) ограничена на «остове»
области
0
(т. е. когда при каждом j вместо этих неравенств имеет
——J
место равенство со^ = 0 или <s>j = ——J и применяется теорема

286 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА S
Фрагмена—Линделёфа в том виде, как она сформулирована
выше; в результате мы получаем, что в пределах этой
области
Г'
Если при этом Zj=rje •? меняется лишь в пределах
агЪ cos h со. -|- Ь^йз sin р .а>. <; аг.г$* coshJ со. B)
(cij > #j и того же знака), то функция f(z) будет удовлетво-
удовлетворять неравенству
(а'! того же знака, что и а Л. Неравенство B) выделяет
в плоскости Zj область с границей
V ' — bj Sin pjcoj » W
как и в случае одного переменного, она может быть задана
неравенством
Покажем теперь, что полученную область можно заме-
заменить более простой областью
Gr / I 41 ^ isr A i I v \\ { j 5' \ (t 10 *л /р»\
= \ j y а -^, Д j'\ 1 —J— | Ха I ) ] \J *¦» ^» • • • » **у • \Р)
Если в случае одного переменного переход к новой
области можно было мотивировать соображениями непре-
непрерывности, то теперь таких соображений недостаточно, так
как присоединяемые точки не образуют уже компактного
множества. Поэтому мы воспользуемся обходным путем.
Предыдущие рассуждения можно было применять не ко
всем, а лишь к некоторым из переменных Zy Например,
если их применять к переменным z2, ..., zn, то мы полу-
получим неравенство
Р а М а Пп

§ 9. СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 287
в области
Кроме того, было доказано, что в области D) справедливо
неравенство
Теперь ясно, что в области
+ \xi\)l'(P>-hl),
f-Vr^} (у = 2, .... п)
выполняется неравенство
где С, как и в случае одного переменного, получается из
предыдущей постоянной С умножением на число, опреде-
определяемое лишь постоянными а и Ь.
Таким же образом доказывается неравенство
|/B)| <Сеа* 1*А6>|*|Л+ ••• +ьп\*п\*п
в области
biK^O-H*!!I"^1'. (8)
Теперь фиксируем координату zx в этой области и повто-
повторим приведенные выше рассуждения в применении к коор-
координате z2\ в результате мы получим неравенство G)
в области
(./ = 3. .... »).
Продолжая таким образом далее, через п шагов придем
к требуемому результату.
Во всех остальных формулировках и доказательствах
§ 7 остается ввести изменения, состоящие в замене одной
координаты на п координат. Все эти теоремы опираются

288 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА $
на теорему 1 § 7 и замечание к ней, справедливость кото-
которых в я-мерном пространстве мы сейчас установили.
С учетом этого обстоятельства доказательства остающихся
теорем переносятся на я-мерный случай очевидным образом.
Вопрос о нетривиальности пространства типа 5 решается
при помощи следующего замечания: пространство
8,2?_ а,,... 8М, Б,,..., Вп
°<х> А Ов1, ... ап, Аи ..., Ап
нетривиально тогда и только тогда, когда нетривиальны
8 В
все пространства Saf,а? (&= 1, 2, . . ., /г).
8 ,В
Действительно, если функция yk(xk) принадлежит 5<х?,'аъ
и отлична от тождественного нуля, то cp(jt) = cp^jq). . .cpn(jcn)
также отлична от тождественного нуля и принадлежит про-
странству Sl[A. Обратно, если некоторое SJljAf тривиально,
к к
т. е. содержит только единственную функцию cp(xfc) = O,
то и SI\a тривиально, так как любая функция ср(х) из Si; a
при любых фиксированных значениях xit. . ., ^^„^ xfc+1,. . ., хп
принадлежит к пространству *^«?!а? и, следовательно,
тождественно равна нулю.
Легко видеть, что нетривиальные пространства Sl\A
(a > 0, р > 0) и пространства Sa, A (a>0), S^' (P > 0),
So'B (Р > 1), 5а, а (а > 1), So, S° достаточно богаты функ-
функциями, как и в случае одного переменного.
ДОБАВЛЕНИЕ 1
ОБОБЩЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ ТИПА 5
Можно значительно обобщить класс пространств типа S,
если заменить фигурирующие в определениях этих про-
пространств последовательности kka (& = 0, 1, 2, . . .,) и (f®
(<7 = 0, 1, 2, ...) произвольными последовательностями ак
Ь ьп
и bq. Так мы получаем пространства Sa , S q, Sa , опре-

ДОБАВЛЕНИЕ 1 289
деляемые следующими системами неравенств (^ ^ = 0, 1,
2, ...):
Sak: |*Ув)(*)|<СвлЧ, A)
\p B)
5**: \x\<q)(xy\^CAkBqakbr C)
Результаты теории пространств типа S, развитой в § 2—8,
можно перенести и на случай обобщенных пространств
A)—C), если только последовательности ак и bq удовле-
удовлетворяют определенным условиям, которые приведены ниже.
Функции y(x)?Sa могут быть охарактеризованы своим
к
убыванием на бесконечности, в соответствии с формулой
I <?iq) (*) | < Cql (fj, где / (х) = infft ^. D)
У функций <p(A:)?Sb* по самому определению ограничен
рост производных. При достаточно медленном возрастании Ък
функции <p(x)(:*S k — целые, удовлетворяющие оценке роста
^ СкА (Ву\ где А (у) = V -±> . E)
Операции умножения на х и дифференцирования теперь
уже не всегда определены. Достаточным условием возмож-
возможности умножения на х в пространстве Sa,7 служит выпол-
иение неравенства
-^<C/z\ F)
где С и h — постоянные; дифференцирование в Sa всегда
возможно.
Достаточным условием возможности умножения на х и
ь
дифференцирования в пространстве 5 q служит выполнение
неравенств
C^<%tl<C2^ G)
с некоторыми постоянными Cv C2, hl9 h2. Аналогичные

290 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА 5
условия достаточны для выполнения соответствующих опе-
операций и в пространстве S^.
к
Доказательства этих предложений проходят по тем же
схемам, что и для пространств типа S.
Можно было бы сформулировать и некоторые условия
выполнимости в S\ дифференциальных операций бесконеч-
бесконечного порядка. Вероятно, наиболее интересен вопрос о пол-
полном объеме топологического кольца операторов в SaQ, по-
d
рожденного операторами х и — ; этот вопрос остается пока
открытым.
Теоремы двойственности сохраняются и в обобщенных
пространствах в той форме, которая дана в общей теореме
§ б, а именно: если функция у(х) удовлетворяет неравен-
неравенствам
\x\<q)(x)\KCAkBqakbq, (8)
где числа ак и bq такозы, что
> С к г, -г >С<7 , у-Н^1' ——<^о, (У)
ajc-1 oq-1 ajc
то преобразование Фурье ф(а) функции ср(х) удовлетворяет
неравенствам
hY^kc'^a^ A0)
и, следовательно, имеет место формула
ъ
Проблема о нетривиальности пространств Saq значитель-
значительно сложнее, чем для пространств S^. Классическая проблема
0 квазианалитичности является частным случаем этоЗ про-
проблемы, соответствующим значениям ак==\. Вместо условия
обращения функции ср (х) в нуль (вместе со всеми производ-
производными) на концах заданного отрезка, в классической про-
проблеме квазианалитичности,—в нашем случае налагаемся бо-
более естественное условие заданного порядка убывания при
1 х\ —>сю.

ДОБАВЛЕНИЕ 1 -291
К. И. Бабенко доказал следующую общую теорему.
Положим
I х 1^ / 1 \
-—- (=77~^ в наших обозначениях), A2)
L|i-9, A3)
A5>
Предположим, что выполнено одно из двух условий правиль-
правильности роста функции L(x):
ИЛИ
Ш '"'"*(*>< 3. A7)
Ж>эо 1П Х
Если выполнено условие A6), то для нетривиальности
ъ
пространства Saq достаточно, чтобы было
!!Е оо 1{у) > о, (is)
У
о
J ;2 52 + У2
о
и необходимо, чтобы было
A9)
Если выполнено условие A7), то в неравенствах A8) и.
A9) следует заменить \(у) на \ь(у) и j*(c) на L(z).

292 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА S [1
ДОБАВЛЕНИЕ 2
ПРОСТРАНСТВА ТИПА W
В этом добавлении излагается — без доказательств и до-
довольно конспективно —теория пространств типа W, со-
составляющая содержание гл. I выпуска 3. Эти пространства
аналогичны пространствам типа «S, отвечающим значениям
индексов а< 1 и |3 < 1; однако, благодаря привлечению
произвольных выпуклых функций вместо степенных, про-
пространства типа W способны точнее улавливать особенности
роста или убывания функций на бесконечности.
Для простоты мы ограничимся в этом добавлении слу-
случаем одного независимого переменного.
- 1. Пространство Wju. Пусть задана возрастающая непре-
непрерывная функция [а(?) @<;Е<оо) такая, что |х@) = 0
и ja(ею) = оо. Определим, далее, функцию М{х) равенством
f М(г-х) = М(х). A)
О
Это — выпуклая книзу функция, возрастающая при х—>-\-оо
или —сю быстрее любой линейной функции. Тогда про-
пространство Wm определяется как совокупность всех бесконечно
дифференцируемых функций ср (х) (—оо < х < сю), удовлетво-
удовлетворяющих неравенствам вида
| <р<в> (х) | < Св*-*<**> (? = 0, 1 ,...)> B)
где положительные константы Cq и а зависят от функции ср (х).
Из этих неравенств следует, что ср^ (х) при любом q убы-
убывает быстрее любой экспоненты. Линейные операции в WM
определяются естественным образом. Последовательность
элементов cpv называется сходящейся к нулю, если 1) она
правильно сходится к нулю (т.е. ^(х)—>0 при любом q
равномерно в каждом конечном промежутке) и 2) cpv(jc)
удовлетворяют неравенствам
\^(x)\^Cqe-M^ (q, v = 0, 1, ...) C)
с константами Cq и а, не зависящими от v. МнсЪкество
в пространстве Wm называется ограниченным, если оно

1] ДОБАВЛЕНИЕ 2 29S
состоит из функций, удовлетворяющих одному и тому же
неравенству B) с фиксированными Cq и а.
Пространство Wm является объединением (в смысле § 8
гл. I) счетно-нормированных пространств Wu,a- Про-
Пространство Wm, а определяется как совокупность функ-
функций ср(х), которые при любом В>0 удовлетворяют нера-
неравенствам
Пространство Wm,o, принадлежит к классу пространств
К{Мр)\ функции Мр{х) в данном случае имеют вид
Ж(х\ — ? I ^ р ) \ (г) — о я ^ (Б)
Топология в пространстве Wm, а, как и во всяком про-
пространстве К{Мр}9 определяется нормами
|| ср||р = sup^ Мр{х) | cpte* (x) |. F)
\Q\<P
Далее, пространство WM, а является полным; условие (Р)
§ 2 гл. II выполнено, так что Wm, а совершенно. Таким
образом, Wm, a — объединение совершенных пространств.
Примерами пространств WM могут служить про-
1
странства Sa с 0 < a < 1. В этом случае М{х) — х* (х~^> 0);
Пространство Wm$ отличное от пространств Sa, полу-
получается, если взять
Соответствующая функция М{х) записывается довольно
громоздко:
Но так как пространство Wm формально можно строить
по любой неотрицательной непрерывной функции, не обя-
обязательно выпуклой, то написанную функцию можно заме-
заменить следующей:
М1(х) = х\п х.
20 Зак. 2669 И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов

294 гл. iv. пространства типа S [2
Эти две функции эквивалентны в следующем смысле:
существуют такие константы fi» 72 и -[з> что при достаточно
больших х^О
Мх (Tl*) < М (Ъх) < М, (Ъх). G)
Эквивалентные функции определяют совпадающие про-
пространства (как по запасу элементов, так и по сходимости).
2. Пространство Wa. Пространство WQ строится из
целых аналитических функций y(z). Задается функция о)(т]),
обладающая такими же свойствами, как функция |а(!-) преды-
предыдущего пункта; по ней строится функция Q(y) так же,
как М(х) строилась по
СУ>0), Q(—y) = Q(y). A)
Пространство WQ определяется как совокупность целых
функций, удовлетворяющих неравенствам вида
I z4 (z) I < CkeQ (W, B)
с обычными линейными операциями. Константы Ск и Ъ
положительны и зависят от функции. Последовательность cpv
элементов пространства WQ называется сходящейся к нулю,
если 1) cpv(X) правильно сходятся к нулю (т. е. cpv (^r) —> О
равномерно в любой ограниченной области плоскости z)
и 2) справедливы оценки
где Cfc и b не зависят от %>. Множество в пространстве WQ
называется ограниченным, если элементы этого множества
удовлетворяют одному и тому же неравенству B) с фиксиро-
фиксированными константами Ск и Ь.
Пространство WQ является объединением счетно-норми-
рованных пространств WQ'b. Пространство WQ'b выде-
выделяется неравенствами
) | < Ске*№+9)У\ (р > 0 — любое). C)

3] ДОБАВЛЕНИЕ 2 295
Нормы в этом пространстве задаются формулами
С этими нормами WQ>b является полным счетно-нормиро-
ванным совершенным пространством.
При
пространство W совпадает с пространством S .
Можно также взять a)(r\) = eri—1; соответствующая
функция
Q(y) = ey—у— 1
эквивалентна функции Qt(y) — ey. Эквивалентные функции
и здесь определяют совпадающие пространства.
3. Пространство W%. Пространство Wm определяется
заданием двух возрастающих от 0 к сю функций [х(?) и
^(yi) @<^?> ^ < °°)у по ним» так же как и раньше, строятся
выпуклые книзу растущие быстрее любой линейной функции
при |jc|->oo функции М(х) и Q(y). Пространство Wm
определяется как совокупность целых аналитических функ-
функций ср(Х), удовлетворяющих неравенствам вида
| ср (x-^-iy) | < Се~м(ax)+Q(by)t (^
Линейные операции — обычные. Последовательность cpv?lFjif
сходится, по определению, к нулю, если 1) она правильно
сходится к нулю, 2) ее элементы удовлетворяют одному и
тому же неравенству A) с не зависящими от v константами.
Множество в пространстзе W^ называется ограниченным,
если его элементы удовлетворяют неравенству A) с фикси-
фиксированными константами.
Пространство Wm является объединением (полных счетно-
нормированных) совершенных пространств WmX- Про-
Провами
» р>0—любые); B)
странство Wm, а выделяется неравенствами
нормы в нем задаются формулами
|]cp||8p=-sup2]cp(^)|^[(«-5)^I-2lF+P)^. C)
20*

296 ГЛ. IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА S [5
Примеры пространств Wm мы можем получить, комбини-
комбинируя функции
1_
М1 (х) = х а, М2 (х) = х 1 n jc,
1
^lO')=.y1-^ й2о>) = ^.
В частности, Wm\ совпадает с 5« @<а< 1, р< 1):
4. Вопрос о нетривиальности пространств типа W.
Пространство Wm тривиально, если
lim [Q(by) — M(ax)] = — oo A)
а?-> оо
при любых а и Ь.
Один класс нетривиальных пространств Wm мы уже знаем:
это пространства Si при 0<а< 1, [3 < 1.
Укажем еще один класс нетривиальных пространств Wm»
Назовем непрерывную функцию 1(х) (х > 0) медленной,
если для любого е > 0 и достаточно больших х
С'ех-е<1(х)<Сехе. B)
Пространство Wm нетривиально, если
М(х) = 1 (х) . хР, Q(x)>l(х). хР,
где 1(х) — медленная функция.
Если пространство Wm нетривиально, то заведомо суще-
существуют пары (а, Ь)у при которых нетривиально простран-
пространство WmX- Назовем такие пары «допустимыми». Область
допустимых пар представляет собой на плоскости (а, Ь) угол
в первой четверти, определяемый неравенством вида tg — ^> у
(или tg?>T).
Все нетривиальные пространства типа W достаточно
богаты функциями в смысле, указанном в конце § 8.
б. Ограниченные операторы. Простейшими ограничен-
ограниченными операторами в пространствах типа W являются операторы
дифференцирования и умножения на независимое переменное.

6] ДОБАВЛЕНИЕ 2 297
Чтобы целая аналитическая функция f(z) была мульти-
мультипликатором в пространстве WQ, достаточно, чтобы она удо-
удовлетворяла неравенству вида
|/(z)|<O2<^>(l+|*|ft). A)
При этом умножение на такую функцию переводит W '
в W ' + °. Если в качестве Ьо можно взять сколь угодно
малое число (при этом С зависит от Ьо), то W ' перево-
переводится в себя.
Целая аналитическая функция f(z) будет определять огра-
ограниченный оператор умножения в пространстве Wm, a, если
она удовлетворяет неравенству
\f(z)\^CeM^x)+Q{bM, B)
При этом WmX переводится в №дг, «-а1,. Чтобы простран-
пространство Wm, а переводилось умножением на f(z) в себя, доста-
достаточно, чтобы в неравенстве B) константы а0 и Ьо можно
было взять сколь угодно малыми (при этом С = Спь, &).
В этом случае f(z) будет мультипликатором и в простран-
пространстве Wm-
В частности, функция f(z) = eiaz при любом веществен-
вещественном о является мультипликатором в каждом пространстве W
и Wfi.ba.
6. Преобразования Фурье. Подобно пространствам типа S
пространства типа W переводятся преобразованиями Фурье
друг в друга. Чтобы объяснить имеющиеся здесь связи,
приведем определение двойственности по Юнгу. Пусть
функции М(х) и 2 (у) определены, как в пп. 1 и 2. Если
фигурирующие в этих определениях функции |х(?) и о>(т])
взаимно обратны, так что
li[0)G|)] = t1, О) [^F)] = 6, A)
то функции М(х) и Q (х) называются двойственными по
Юнгу. В этом случае имеет место геометрически очевидное
неравенство Юнга
(x>0,y>0), B)

298 гл. iv. пространства типа 5 [6
причем для каждого х существует у—у(х), которое вместе
с данным х обращает неравенство A) в равенство.
Примеры пар взаимно двойственных функций:
^, Q(y) = ?, где 1 + 1=1.
2) Af(*) = (*+ l)ln(*+l) — x,
Оказывается, что имеют место следующие соотношения:
W^=W2, W*=WM, C)
если М(х) и Q(y) — двойственные по Юнгу функции. Эти
соотношения уточняются следующим образом:
D)
Далее, справедливо соотношение
W%=W%, E)
где 2Х— функция, двойственная по Юнгу к М, a Mt — функ-
функция, двойственная по Юнгу к Q. Более точно,
. - 2 1
W%ba =W"°1. F)
Во всех этих соотношениях под волной ~ можко понимать
как оператор прямого, так и оператор обратного преобразо-
преобразования Фурье; во всех этих случаях операторы Фурье огра-
ограничены.
В этих соотношениях содержатся, в частности, соотно-
соотношения
? = sp, S=s;
для случаев, когда а и р заключены строго между 0 и 1.

ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
К гл. I
Теория линейных метрических и нормированных пространств
развивалась начиная с 20-х годов Ф. Риссом и школой С. Банаха.
См. основополагающую книгу Банаха [26], а также работы Мазура
и Орлича [17].
Первые работы по общим линейным топологическим простран-
пространствам (А. Н. Колмогоров [32], Дж. Нейман [18], А. Н. Тихонов [37])
относятся к середине 30-х годов. В работе Кёте и Теплица [13]
впервые рассматриваются конкретные линейные топологические
пространства, образованные из числовых последовательностей, и
изучаются многообразия линейных непрерывных функционалов на
этих пространствах. Многие авторы занимались построением соп-
сопряженных пространств в общем случае и проблемой рефлексивности:
В. Л. Шмульян [39], Дьёдонне [5], Маккей [15], Арене [1], Дьёдонне
и Шварц [7]. В последней работе выделены и изучены, в частности,
пространства с компактными ограниченными множествами, а также
объединения (индуктивные пределы) метризуемых пространств.
Продолжением этой работы была статья Бурбаки [3], где выделена
роль «Г-пространств» — пространств, в которых выполнена лемма
§ 3, п. 5. Некоторые из проблем, поставленных в работе [7], полу-
получили решение у Гротендика [11]. Себастьян-и-Сильва [23] и
Д. А. Райков [35] изучали индуктивные и проективные пределы
нормированных пространств с вполне непрерывными отображениями
(как в «условии совершенства» в § 6, п. 2). Кёте [14] и Гротендик
[10] впервые рассматривали линейные топологические пространства
аналитических функций.
Наиболее подробное изложение общей теории линейных топо-
топологических пространств имеется у Бурбаки [2]. См. также очень
содержательный обзор Дьёдонне [6] с подробной библиографией.
Пространства со счётным числом (полу) норм рассматривались мно-
многими авторами, в частности Мазуром и Орличем [17]; счетно-нор-
мированные пространства с согласованными нормами, по-видимому,
впервые введены авторами [30].
К гл. II
§§ 1—2. Обобщенные функции как линейные непрерывные
функционалы на пространствах функций ввел впервые С. Л. Собо-
Соболев [36]; он применил обобщенные функции к проблеме единствен-

300 ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
ности решения задачи Коши для гиперболического уравнения. Про-
Пространства К {а), К> S как основные пространства использовал впервые
Л. Шварц в своей «Теории распределений» [21]. Первые типы
пространств с условиями сильного убывания основных функций (и
их производных) на бесконечности (соехр(—| х \р)) были предло-
предложены авторами в [28]. Из дальнейших работ укажем на работы
Л. Шварца [22], А. Я. Лепина и А. Д. Мышкиса [33]. Теория
счетно-нормированных пространств К{Мр\ построена Г. Е. Шило-
Шиловым при подготовке настоящего издания. В выпуске 4 будут рас-
рассмотрены и объединения пространств К{Мр}.
§ 3. Возможность деления единицы на многочлен в простран-
пространстве Zr была установлена впервые Мальгранжем [16] и Эренпрейсом
[8]. Доказательство с «лестницей Хормандера» было указано Трэвом
[24]; у нас оно приводится с упрощениями, предложенными Г. Н. Зо-
Золотаревым.
§ 4. Общий вид линейного непрерывного функционала на про-
пространствах К (я) и 5 указан Шварцем [21]; им же получена теорема
об общем виде функционала («распределения») с ограниченным и
с одноточечным носителем. Схема определения линейных непрерыв-
непрерывных функционалов в счетно-нормированных пространствах была
предложена авторами [30].
К гл. III
§§ 1—2. Определение преобразования Фурье для функционалов
в пространстве 5 дал Шварц [21]; он определил тем самым преоб-
преобразование Фурье для функций (и обобщенных функций), имеющих
рост не выше степенного. Общая схема (функционал в одном
пространстве, преобразование Фурье — в двойственном) построена
авторами [28].
Необходимость рассмотрения многих типов основных пространств
и их сопряженных с соответствующими преобразованиями Фурье
в различных задачах анализа была четко сформулирована авторами
в [28] и [30]. В [28] авторы ввели конкретные пространства /С^, Zp,
Z*L отвечающие заданным условиям убывания на бесконечности
для основных функций или их преобразований Фурье; в результате
оказалось возможным описать преобразования Фурье для функций
(и обобщенных функций) произвольного роста или с заданным по-
порядком роста на бесконечности.
Приблизительно одновременно преобразование Фурье для
частного случая пространства К было построено Мальгранжем [16]
и Эренпрейсом [8].
Результаты п. 4,1° (фундаментальные решения) принадлежат
Мальгранжу и Эренпрейсу, результаты п. 4,2° (решения квазиэл-
квазиэллиптических уравнений) — Шварцу [21].
§ 3. Определение свертки, принятое в нашем изложении,
является модификацией определения Шварца [21] (см. также вып. 1,
гл, I, § 4), которое в первоначальном виде не могло служить с необ-

ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ 301
ходимой нам степенью общности. Теорема о гармонических функ-
функционалах— Шварц [21]. Теорема о переходе после преобразования
Фурье свертки в произведение была доказана Шварцем [21] для
функционалов на пространстве S; доказательство в общем случае
было проведено В. М. Борок [27]. Пункт 8 (преобразование Гиль-
Гильберта) написгн по идее Н. Я. Виленкина.
§ 4. Классическая теорема Палея и Винера см. [19]. Ее обоб-
обобщение на случай целых функций 1-го порядка со степенным ростом
на оси было дано Шварцем [21]; ^в нашем изложении эта теорема
сформулирована в более полном виде. Общая схема преобразова-
преобразований Фурье целых функций 1-го порядка без всяких ограничений
роста на оси была построена авторами в [28] (для случая одного
переменного). Теорема п. 2 принадлежит Эренпрейсу [9]; доказа-
доказательство в нашем изложении приводится с упрощениями, предло-
предложенными Г. Н. Золотаревым.
К гл. IV
Как уже говорилось, авторы в [28] ввели пространства основ-
основных функций Кр, Zp> Z^ и применили их к выяснению вопроса
о классах единственности решения задачи Коши для систем урав-
уравнений с частными производными. Пространства типа 5, введенные и
изученные позднее Г. Е. Шиловым [38], представляют собою более
широкий и вместе с тем более естественный класс пространств.
В [29] они были использованы авторами при построении оператив-
оперативного метода в проблеме единственности решения задачи Коши. Идея
рассмотрения еще более широкого класса обобщенных пространств
типа 5 (с заменой последовательностей kk« и qQ$ на а^ и bq) при-
принадлежит И. М. Гельфанду. Подробное изложение теории про-
пространств типа 5 публикуется здесь впервые.
§ 7. Классическая теорема Фрагмена и Линделёфа см. [20].
Теорема 1 первоначально доказывалась для целых функций спе-
специального вида, необходимых при исследовании решений задачи
Коши; общее доказательство, приводимое здесь, было указано
Б. Я. Левиным. у
§ 8. Первоначальное доказательство нетривиальности про-
пространств Zp( = S\7p^) было дано авторами в [28] для плотного мно-
множества значений /?>1. Последующее доказательство Г. Е. Шилова
[38], даюшее необходимые и достаточные условия нетривиальности
пространств Sl> основывалось на теореме В. Бернштейна [4] о су-
существовании целой функции заданного порядка роста с заданной
индикатрисой. Приводимое здесь элементарное доказательство не-
нетривиальности пространств S^ (n. 2), основанное на построении и
исследовании специальной функции ф (г), принадлежит Б. Я. Левину.
Теорема Карлемана — Островского: см, Мандельбройт [34].

302 ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
Добавление 1. Идея рассмотрения обобщенных пространств
типа 5 исходит от И. М. Гельфанда. Теорема К. И. Бабенко
(о нетривиальности обобщенных пространств) см. [25].
Добавление 2. Пространства типа W построены Б. Л. Гуре-
вичем [31]. Несколько более общая схема была предложена позд-
позднее Л. Хормандером.
БИБЛИОГРАФИЯ
[1] Arens R., Duality in linear spaces, Duke Math. Journ.,
14 A947), 787—794.
[2] В о u r b a k i N., Elements de mathematique, livre 5, Espaces
vectoriels topologiques, Act. Sc. et industr., № 1189 (chap. 1 et 2),
1953, et № 1229 (chap. 3—5), 1955, Paris, Hermann et Cie. (Готовится
русский перевод.)
[3] В о u r b a k i N., Sur certains espaces vectoriels topologiques,
Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 2 A951), 5—16 (русск. перевод в журн.
Математика 2, № 2 A958)).
[4] Bernstein VI., Sulla proprieta caratteristiche delie indicat-
rici di crescenza delle transcendenti intere d' ordine finito, Mem. Reale
Ace. d'ltalia, 7 A936), 131—189.
[5] Dieudonne J., La dualite dans les espaces vectoriels to-
topologiques, Ann. de l'Ecole Norm., 59 A942), 107—139.
[6] Dieudonne J., Recent developments in the theory of
locally convex vector spaces, Bull. Amer. Math. Soc, 59, № 6 A953),
495-512.
[7] DieudonneJ. etSchwartz L., La dualite dans les espa-
espaces F et LF, Ann, Inst. Fourier, Grenoble. 1 A949), 61—101.
[8] E h r e n p r e i s L., Division by a polynomial of derivation,
Amer. J. Math., 76, № 4 A954), 883—903.
[9] E h r e n p r e i s L., Mean periodic functions, I, Amer. J. Math.,
77, № 2 A955), 293—328.
[lOJGrothendieck A., Sur certains espaces de fonctions
holomorphes, I—II, Journ. reine und angew. Math., 192 A953) 35—64,
77—95.
[11] Grot hen dieck A., Sur les espaces (F) et (DF), Summa
Bras. Math., 33 A954), 57—123.
[12] Hormander L., La transformation de Legendre et le theoreme
de Paley — Wiener, С R. Acad Sci., 240, № 4 A955), 392—395.
[13] KcHhe G. und Toplitz O., Lineare Raume mit unend-
liche viele Koordinaten, Journ. fur reine und angewandte Math., 171
A934), 193—226.
[14] Kothe G., Dualitat in der Funktionentheorie, Journ. reine
und angew. Math., 191 A953), 29—49.
[15] M а с k e у G. W., On infinite-dimensional linear spaces, Trans,
of Amer. Math. Soc, 57 A945), 155—207; On convex topological
linear spaces. 1. c, 60 A946), 520—537.
[16] M a 1 g r a n g e В., Equations aux derivees partielles a coeffi-
coefficients constants. 1. Solution elementaire, C, R. Acad, Sci,, 237, № 25
A953), 1620—1622,

ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ 303
[17] Mazur S. et Orlicz W., Sur les espaces metriques line-
aires, Studia Math., 10 A948), 184—208; 13 A953), 137—179.
[18] J. v о n Neumann, On complets topological spaces, Trans,
of. Amer. Math. Soc, 37 A935), 1—20.
[19] P a 1 e у R. and Wiener N., Fourier transforms in the com-
complex domain, New-York, 1934.
[20] P h r a g m e n E. et L i n d e 1 б f E., Sur une extension d'un
principe classique de l'Analyse..., Acta Math. 31 A908), 381—406.
[21] Schwartz L., Theorie des distributions, Act. Sc. et in-
dustr., № 1091 (t. I), 1950, et № 1122 (t. II), 1951, Paris, Hermann
et Cle.
[22] Schwartz L, Espaces des fonctions differentiables a
valeurs vectorielles, Journ. d'Analyse Math., 4 A954/55), 88—148.
[23] Sebastiao e SilvaJ., Su certe classi di spazi localmente
convessi importanti per le applicazioni, Rend, di math., Roma, 14
A955), 388—410. (Русск. перевод в журн. Математика 1, № 1
A957), 60—77).
[24] Т г ё v e F., Solution elementaire d'equation aux derivees par-
tielles dependant d'un parametre, С R. Acad. Sci., 242, № 10 A956),
1250-1252.
[25] Б а б е н к о К. И., Об одной новой проблеме квазианали-
квазианалитичности и о преобразовании Фурье целых функций, Тр. Моск.
матем. о-ва, 5 A956), 523—542.
[26] Банах С, Курс функционального анализа, Радянська
школа, КиТв, 1948.
[27] Б о р о к В. М., Решение задачи Коши для некоторых
типов систем линейных уравнений в частных производных, ДАН
СССР 97, № 6 A954), 949—952.
[28] Гельфанд И. М. и Шилов Г. Е., Преобразования
Фурье быстро растущих функций и вопросы единственности
решения задачи Коши, Успехи матем. наук 8, № 6 A953),
3—54.
[29] Гельфанд И. М. и Шилов Г. Е., Об одном новом
методе в теоремах единственности решения задачи Коши для систем
линейных уравнений в частных производных, ДАН СССР, 102,
№ 6 A955), 1065—1068.
[30] Гельфанд И. М. и Шилов Г. Е., Quelques applications
de la theorie des fonctions generalisees, Journ. de Math, pure et
appl., 35, № 4 A956), 383—412.
[31] Гуревич Б. Л., Новые пространства основных и обоб-
обобщенных функций и проблема Коши для конечно-разностных си-
систем, ДАН СССР 99, № 6 A954), 893—896; 108, № 6 A956), 1001—
1003; Диссертация, Харьков, 1956.
[32] Колмогоров А. Н., Zur normierbarkeit eines allge-
meines topologischen linearen Raumes, Studia Math., 5 A934),
29-33.
[33] Л е п и н А. Я. и М ы ш к и с А. Д., Об определении обоб-
обобщенных функций, ДАН СССР 116, № 2 A957), 177—180.
[34] Мандельбройт С, Квазианалитические классы функ-
функций, Гостехиздат, 1937; Примыкающие ряды и регуляризация по-
последовательностей, ИЛ, 1955,

304 ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
[35] Райков Д. А., О двух классах локально выпуклых
пространств, Тр. сем. по функц. анализу, Воронеж, вып. 5 A957),
22—34.
[36] Соболев С. Л., Methode nouvelle a resoudre le probleme
de Cauchy, Матем. сб. 1 D3) A936), 39—72.
[37] Тихонов А. Н., Ein Fixpunktsatz, Math. Ann., Ill A935),
767-776.
[38] Шилов Г. Е., Об одной проблеме квазианалитичности,
ДАН СССР 102, № 5 A955), 893—896.
[39] Шмульян В. Л., Ober lineare topologische Raume,
Матем. сб. 7 D9) A940), 425—448.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиома счетности первая 16
Внутренняя точка 13
Двойственные по Юнгу функции
297
Дельта-функция 110
Дифференцирование обобщен-
обобщенных функций 135
Достаточно богатое функциями
пространство 278
Замыкание множества 14
Карлемана — Островского тео-
теорема 267
Кратное множества 13
Лестница Хормандера 131
Медленная функция 296
Множество выпуклое 38
— замкнутое 14
— компактное 73
— нигде не плотное 14
—, ограниченное в линейном
топологическом пространстве
45
—, нормированном прост-
пространстве 44
—, счетно-нормированном
пространстве 44
— открытое 13
— плотное 14
— поглощающее 38
— сильно ограниченное 61
— слабо ограниченное 66
Мультипликатор 128
Непрерывность прямого произ-
произведения функционалов 55
Нормы согласованные 26
— сравнимые 25
Обобщенная функция 107
, ее преобразование Фурье
158
, действия с обобщенными
функциями 126
Объединение счетно-нормиро-
ванных пространств 89
, непрерывный ли-
линейный функционал в нем 90
, — оператор в нем
92
, ограниченное мно-
множество в нем 90
, ограниченный опе-
оператор в нем 92
Окрестности 13
Окрестность нормальная 19
Оператор гипоэллиптический 166
— дифференциальный бесконеч-
бесконечного порядка 231
—, зависящий от параметра 97
—, , его производная 97
— квазиэллиптический 165
— линейный непрерывный 81
— ограниченный 82
— растяжения 229
— сдвига 167
дифференцируемый 170
— сильно непрерывный по пара-
параметру 97
— слабо непрерывный по пара-
параметру 97
ограниченный по пара-
параметру 97

506
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Оператор сопряженный 87
— эллиптический 166
Палея — Винера теорема 193
Палея — Винера — Шварца тео-
теорема 195
Полная система окрестностей 18
Последовательность операторов,
предел сильный 86
, — слабый 86
— сильно фундаментальная 60
— сходящаяся 15
— фундаментальная в нормиро-
нормированном пространстве 24
счетно-нормированном
пространстве 29
Преобразование Гильберта 183
— Фурье в пространствах типа
5 239 _
пространстве /<"(#) 156
AT 157 -
5 153 _
Z (а) 157
Z 157 —
обобщенной функции 158 —
Пространство 5 103
— Sa 201, 281
-SaiA211, 281
— S? 201, 282
— Sp' B 214» 282
— s? 201, 282
— s?;f 217, 282
— Si A 220
— s(* B 220
— Sak 288
— Sbq 288
— slq 288
ak
— WM 292
финитного функционала
161
целой функции 1-го поряд-
порядка 187
Пространство /<" 102
— К (а) 22, 102
— — как полное и счетно-нор-
мированное пространство 32
совершенное простран-
пространство 75
, общий вид функционала
в нем 143
— К(Мр) 103
, общий вид функционала
в нем 138, 142
— Z 106
— Z (а) 106
— —, общий вид функционала
в нем 163
— Z (Мр) 107
-8 189
, общий вид функционала
в нем 189
— 8(G) 22
как полное счетно-норми-
рованное пространство 34
294
' ь 294
295
Д 295
Д
, двойственное к данному 157
— линейное 12
метрическое 37
— — топологическое 12
регулярное 18
— нормированное 24
— основное 101
— полное 25
— совершенное 73
— сопряженное 51
— —, сильная сходимость в нем 60
— —, — топология в нем 58
— —, слабая сходимость в нем 65
— —, — топология в нем 64
— счетно-нормированное 29, 32
полное 30
— — как линейное метрическое
34
— типа 5 201
обобщенное 288
— — W 292
— топологическое 13
сепарабельное 79
Разность множеств арифметиче-
арифметическая 13

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
30?
Свертка с обобщенной функцией
170
, ее непрерывность
175
Свертыватель 169
Сдвиг множества на вектор 13
Системы норм сравнимые 42
эквивалентные 43
Сумма множеств арифметическая
13
Сходимость последовательности
обобщенных функций 126
Топология в пространстве 14
Точка внутренняя 13
— изолированная 14
— предельная 14
— прикосновения 14
Умножение обобщенной функции
на обычную 128
Уравнение Лапласа, его решения
в обобщенных функциях 176
, со степенной особен-
особенностью 150
Условие N 140
— Р 119
Фрагмена — Линделёфа теорема
250
для функции п пере-
переменных 284
Фундаментальное решение диф-
дифференциального уравнения 164
Функционал гармонический 176
— линейный непрерывный 48
в пространстве /<"(аM2
, его порядок 49
— ограниченный 55
— регулярный 108
— сингулярный ПО
— сосредоточенный в точк« 149
на замкнутом множестве
145
— типа функции 108, 153
— финитный 146
как свертыватель 173
Функция абстрактная параме-
параметра v 94
, ее интегрирование
100
, — предел 94
— — 1 — производная 96
— сильно дифференци-
дифференцируемая 96
непрерывная 94
слабо дифференци-
дифференцируемая 96
— непрерывная 94
— обобщенная 107
— основная 101
Эквивалентные системы окрест-
• ностей 15
функций Мр(х) 123
Юнга неравенство 297
20*

ОГЛАВЛЕНИЕ ВЫПУСКОВ 1, 3, 4
ВЫПУСК 1.
Обобщенные функции и действия над ними
Глава I. Определение и простейшие свойства
обобщенных функций.
Глава II. Преобразования Фурье обобщенных
функций.
Глава III. Обобщенные функции, сосредоточен-
сосредоточенные на поверхностях, и фундаментальные решения диффе-
дифференциальных уравнений.
Глава IV. Однородные обобщенные функции.
ВЫПУСК 3.
Некоторые вопросы теории дифференциальных
уравнений
Глава I. Пространства типа W.
Глава II. Классы единственности решения задачи
Коши.
Глава III. Классы корректности решения задачи
Коши.
Глава IV. Разложения по обобщенным собствен-
собственным функциям.
ВЫПУСК 4.
Некоторые применения гармонического анализа
Глава I. Положительно определенные обобщен-
обобщенные функции.
Глава II. Обобщенные случайные процессы.
Глава III. Обобщенные функции и представления
вещественных групп Ли.
Глава IV. Обобщенные функции и представления
комплексных грулп Ли.