П. С. МОДЕНОВ
СБОРНИК
КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
С АНАЛИЗОМ ОШИБОК
(ЗАДАЧИ, ПРЕДЛОЖЕННЫЕ НА ПРИЕМНЫХ
ИСПЫТАНИЯХ В ВЫСШИЕ УЧЕБНЫЕ
ЗАВЕДЕНИЯ)
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
«СОВЕТСКАЯ НАУКА»
Москва — 1950

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта небольшая книга предназначена в помощь при подготовке
к приемным испытаниям по математике в высшие учебные заведения;
собранные задачи ориентируют поступающего тарке и в степени
трудности задач, предлагавшихся в учебные заведения различных
типов. Мне кажется, что сборник может быть полезен и для
преподавателей математики средней школы, а также руководителям
приемных испытаний в высшие учебные заведения.
В книгу включены задаяи, предлагавшиеся на приемных
испытаниях в Московский ордена Ленина государственный университет им.
М. В. Ломоносова (факультеты: механико-математический,
физический, физико-технический, химический, геологический,
экономический), в Московский государственный педагогический институт имени
В. И. Ленина, в Московский областной педагогический институт и
•в ряд высших технических учебных заведений: Московский ордена
Ленина энергетический институт им. В. М. Молотова, Московский
горный институг имени И. В. Сталина, Московский ордена Трудового
Красного Знамени нефтяной институт им. акад. И. М. Губкина,
Московское высшее техническое училище им. Баумана.
Таким образом представлены следующие типы учебных
заведений: университет, пединституты, высшие технические учебные
заведения.
В сборник включено около 1 000 задач и вопросов по арифметике,
алгебре, геометрии и тригонометрии. Все задачи снабжены ответами,
а наиболее трудные — указаниями и решениями. Приведен материал,
относящийся к устным испытаниям;,даны образцы билетов и
достаточное количество устных вопросов; последний материал собран мною
в МГУ. Проведен анализ ошибок и указаны типичные недочеты
в подготовке поступающих. Дан перечень ряда разделов курса
элементарной математики, на которые падает наибольшее ^число
неверных" ответов; приведен небольшой список дополнительной литературы
по элементарной математике с краткими аннотациями, которую можно
рекомендовать в первую очередь для поступающих на
механико-математические, физические, физико-технические и физико-математические
факультеты университетов и пединститутов.
В главе III содержатся также указания о недостатках в
оформлении письменных работ по математике.
3

Учитывая, что сборником будут пользоваться в школе как
дополнительным пособием, я не стремился к распределению задач по
разделам школьного курса математики, напротив — сохранил «варианты»
в том виде, как они были даиы на приемных испытаниях.
Поступающему важно знать объем работы, который ему
надлежит выполнить в строго определенное время (3—4 часа), и «вариант»
служит здесь хорошим самоконтролем в подготовке. Наконец, по
понятным причинам, «смешанный отдел задач» важен наряду с
задачниками, где проведена классификация задач по разделам и типам.
Я позволю себе высказать здесь положение, обобщающее весь
тот анализ ошибок, погрешностей и недочетов, который приведен в
книге на ряде примеров: необходимо усилить работу в преподавании
принципиальных разделов школьного курса математики. При этом
я вовсе не имею в виду отклонений или изменений в действующих
программах. Наши программы богаты идейным содержанием, и все
заключается в том, чтобы это содержание выдвигать на первый план;
какие, например, богатые перспективы доставят многочисленные
упражнения, связанные с исследованием функций элементарными
средствами (возрастание, убывание, наибольшие и наименьшие
значения и т. д.).
Умение сознательно выполнять несложное исследование функций
(встречающихся в элементарной математике) непосредственно на
основании их определения является чрезвычайно существенным для
успешного усвоения учащимися курса математики высшей школы.
Это несравненно более важно, чем знакомство в средней школе с
аппаратом дифференциального и интегрального исчислений. Поэтому
точка зрения, согласно которой средняя школа должна дать
простейшие навыки в дифференцировании и интегрировании, в настоящее
время является архаизмом. И разумеется, совершенно
неубедительны традиционные ссылки на "пресловутое «клейновское
движение» и «меранскую программу». Большие проблемы
современной методики наша отечественная школа решает и должна решать
самостоятельно, не впадая во власть импортных теорий.
Совершенно необходимо усилить подготовку по истории
математики, дать школьникам исторические сведения, относящиеся к истокам
отечественной науки, указать на достижения советских математиков
и на то огромное влияние, которое оказали идеи наших
соотечественников на развитие мировой науки.
Выражаю глубокую благодарность редактору настоящей книги
С. И. Новоселову за помощь и советы при работе над этой книгой.
Москва, 1 апреля 1950 г.
Моденов П. С.

ВВЕДЕНИЕ
I. 0 письменных испытаниях по математике
A. Московский ордена Ленина
государственный университет им. М. В. Ломоносова
Поступающие в 1946—49 гг. на механико-математический и
физический факультеты выполняли две письменные работы: одну по
алгебре (с арифметикой, а в 1949 г. — с тригонометрией), вторую по
геометрии с тригонометрией (в 1949 г. вторая письменная работа
включала в себя только геометрию) (задачи №№ 1—94, 135—167,
183—215, 328—375, 386—405). Дополнительные варианты (№№ 376—
385) были составлены для небольшого числа поступающих, которые
по различным причинам не смогли пройти испытания в установленные
сроки. Испытания на физико-техническом факультете проводились
в два тура: сначала две письменные работы — одна по алгебре,
другая — по геометрии с тригонометрией. Выдержавшие испытания в
первом туре допускались ко второму; во втором туре проводилась
одна письменная работа по всему школьному курсу математики; за
1947 год мне не удалось восстановить материал полностью и я привожу
здесь всего 5 вариантов (№№ 168—182); за 1948 и 1949 гг. задачи
первого тура даны под номерами: 216—287 и 406—441, а задачи второго
тура — №№ 288—311 и 442—461.
Поступающим на химический, геолого-почвенный и экономический
факультеты была предложена одна письменная работа по математике
(№№ 55—94, 95—134, 312—327, 462—477, 478—493, 494—509,
510—521).
Б. Московский государственный
педагогический институт имени Ленина
Поступающим на физико-математический факультет была
предложена одна письменная работа по математике. Здесь мне удалось
собрать задачи за последние три года (1947, 1948 и 1949 гг.), однако
не полностью (№№ 522—613).
B. Московский областной педагогический
институт
Поступающим были предложены задачи №№ 614—641.
5

Г. „Московский ордена Ленина
энергетический институт им. В. М. Молотова
Поступающим была предложена одна письменная работа по
математике (№№ 642—681).
Д. Московский горный институт имени
И. В. Сталина
Поступающим были предложены две письменные работы: одна
по алгебре с арифметикой (№№ 682—725), другая — по геометрии
с тригонометрией (№№ 726—757).
Е. Московский ордена Трудового Красного
Знамени нефтяной институт им. акад.
И. М. Губкина
Поступающим были предложены две письменные работы: по
геометрии (№№ 758—789) и по алгебре (№№ 790—821).
Ж. Московское ордена Трудового Красного
Знамени высшее техническое училише
им. Баумана
Поступающим были предложены две письменные работы по
алгебре (№№ 822—866) и по геометрии с тригонометрией (№№ 867—914).
II. Об устных испытаниях
Порядок проведения устных испытаний дан в разделе II. Этот
материал относится к механико-математическому и физическому
факультетам Московского ордена Ленина государственного
университета им. М. В. Ломоносова. Здесь в первую очередь следует
иметь в виду следующее: устные экзамены проводились в точном
соответствии с программами приемных экзаменов для поступающих
в высшие учебные заведения СССР, утвержденными Министерством-
высшего образования СССР.
Основные вопросы, которые предлагались поступающим, не
выходили за рамки программы. Оценки выставлялись исключительно за
ответы на такие вопросы. Однако, в целом ряде случаев поступающим,
подготовленным очень хорошо, были предложены дополнительные
вопросы повышенной трудности и даже вопросы очень трудные. В
целом ряде случаев и на эти вопросы мы получали правильные ответы
или же поступающий намечал правильное решение такого, вопроса.
Среди устных вопросов (№№ 915—965) читатель найдет много таких
дополнительных вопросов повышенной трудности. Часть из них
навеяна идеями «высшей» математики (неравенство Буняковского,
вопросы делимости многочленов и др.) и тот факт, что многие из
поступающих справлялись с такими вопросами, свидетельствует о
возросшей подготовке по математике в школе, об умении школьников
ориентироваться в несколько необычных и даже очень трудных задачах.
Эти вопросы повышенной трудности будут интересны для многих, а
•потому я их поместил в настоящий сборник.
III. О подготовке поступающих
Нельзя не отметить возросшую подготовку по математике в школе
за последние десятилетия. И это понятно: целая сеть учительских
6

институтов, педагогических институтов подготовила за многие годы
высококвалифицированных преподавателей. Многие учителя
повышают свою квалификацию или продолжая учебу или принимая участие
в работе институтов усовершенствования учителей, различных
научных конференциях и т. п. Помощь учителям оказывается через
методистов, инструкторов, научными обществами высших учебных
заведений. Возросло качество преподавания математики в школе.
Усилилась и приняла многообразные формы внеклассная и внешкольная
работа: математические кружки в школе, олимпиады, кружки при
высших учебных заведениях для школьников, лекции, организуемые
научными и общественными организациями и т. д. Появилось (к
сожалению, все еще недостаточно) много хороших ft полезных книг, брошюр,
статей. Многие из питомцев нашей средней школы являются
крупными учеными, наиболее прогрессивными в мире. Большое
количество научных работников, развивающих математическую науку в
нашей стране и выдвинувших ее на первое место в мире, являются
питомцами советской средней школы. Значит, постановка образования
в средней школе идет по правильному пути, и преподаватели многих
и многих школ могут заслуженно гордиться своими достижениями
и успехами.
Мы, однако, не склонны закрывать глаза на известные, еще
имеющие место недостатки в работе ряда школ; анализу ошибок и
недочетов в подготовке учащихся по математике посвящена III глава
сборника.
Подчеркиваем, что отмеченные в главе III дефекты, являются
не массовыми (но и не единичными!).
Дополнительная литература, которая здесь приводится, не
является, конечно, обязательной, так же как, например, не обязательно
знать все соотношения между обратными тригонометрическими
функциями, приведенными на стр. ПО—112. И дополнительная литература
и упомянутые формулы рекомендуются тем, кто хотел бы углубить
свою подготовку.
Остановимся еще на одном обстоятельстве, которое важно для
руководителей приемных испытаний. В сборнике есть довольно
большое количество задач, решение которых естественно
распадается на несколько частей; задачи подобного рода не
ограничивают поступающего узкими рамками законченного решения, а
позволяют показать поступающему свои знания в полной мере, проводя
анализ решения достаточно глубоко. Много таких задач было
предложено на физико-техническом факультете Московского ордена
Ленина государственного университета им, М. В. Ломоносова. В
качестве конкретного примера возьмем задачу № 200.
Мы, конечно, не могли требовать законченного решения,
приведенного в сборнике на стр. 118—121 (да и оно-то, строго говоря, не
закончено, если поставить себе целью исследовать так называемые
«устранимые особенности»). Уже удовлетворительно, если поступающий
получит решение в виде
,1.4 , л 1 . 4
др = ля+ -2- arc sin {-^ 2£ , * = лк + _—_ arcsuij— ^.
Очень хорошо, если он исключит отсюда значения & = 0, k = ±:l
и k = —2. Если же поступающий продвинет исследование еще дальше,
по пути, указанному в сборнике, то такое решение нужно отметить как
выдающееся.
7

РАЗДЕЛ I. ЗАДАЧИ
МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М. В. ЛОМОНОСОВА
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТЫ
(1946 ГОД>
Алгебра (с арифметикой)
Вариант 1
1. Производительность завода А составляет 40,96%
производительности завода В. Число годового процента прироста продукции
на заводе А на 30 больше числа годового процента прироста продукции
на заводе В. Каков годовой процент прироста продукции на заводе А,
если на четвертый год работы завод А даст то же количество
продукции, что и завод В?
2. Упростить выражение:
■Аа2хт п й
если
2тп
х = (а + Vtf—lf*-"1
3. Решить уравнение: Сх* = 5, где Стя обозначает число
сочетаний из т элементов по п.
Вариант 2
4. Непромытый «золотой песок» содержит k% чистого золота.
После каждой промывки «золотого песка» отходит р% содержащихся
в нем примесей и теряется q% от имеющегося в песке золота. Сколько
следует произвести промывок, чтобы число процентов содержания
чистого золота в «золотом песке» было не меньше чем г?
5. Упростить выражение:
(лг1 + а-1) (х + of— Ь-1 х" ;
если
( L LY
V*7" + хп ) -
п / п п \—1
+1 ^"+1 _ 6"+1
x=abn+l \iP+l -Ьп+1)
8

6. Решить систему уравнений:
xy + yz — a2,
yz-\- zx = b2t
zx-\- ху—г\
Вариант 3
7. Находящийся под постоянным давлением газ, в количестве
ам3 последовательно пропускают через п фильтров, каждый из
которых поглощает р% общего объема примесей, содержащихся в газе
(поступающем в рассматриваемый фильтр). Затем газ поступает в
резервуар, где находится Ь мг (отнесенного к тому же давлению) газа,
содержащего q% (по объему) примесей. Какой процент примесей
(по объему) допустим для газа до его очистки, если число процентов
примесей в газовой смеси в резервуаре не должно превышать г?
8. Упростить выражение:
(х2 -f а2) 2 + (*2 — а2) 2
_1 —I
-(ха + а2) 2 —(х2 — аг) 2
если х = a ( —~-— ) , причем а > О, п > т >( 0.
9. Решить уравнение:
где
У akxn-k + Уф-** = 2 /&*,
n>2&>0, 6>a>0.
Вариант 4
10. Средний годовой процент прироста народонаселения из года
в год остается постоянным. Если бы годовой процент прироста
увеличился на k, то через п лет численность населения была бы в два раза
больше, чем при нормальных условиях. Определить годовой процент
прироста населения.
11. Упростить выражение
и-2
+ а
если
-G
3
2 2
12. Решить уравнение
У(х + \)* + ¥(х— I)* = 4П/х* — I

Вариант 5
13. В резервуар, содержащий а литров воды, сначала через одну
трубу вливают а литров р-процентного (по объему) раствора спирта,
а затем после перемешивания, через другую трубу выливают равное
количество (т. е. а литров) образующейся смеси. Сколько раз нужно
повторить эту операцию, чтобы в резервуаре получился раствор
спирта, крепостью не менее q% (по объему)?
14. Упростить выражение
1_ 1_
(т + х)2 + (т — х)2
I I'
(т + х)2 — (т — х)2
если х-=- , , . , причем т> 0, 0<л<1.
п* -f-1
15. Решить уравнение
V* + "^/aW + V'а" + п+Уа"\" =
Вариант 6
16. Пусть 5lt 52, s3 суммы соответственно пх первых членов, п2
первых членов и п3 первых членов некоторой арифметической
прогрессии. Показать, что
J (Яа - «.) + Г (Пз - П»> + ^ (П1 - "«> = °-
/it /i2 п3
17. Упростить выражение
1 1
(а + х2) \(а^х2)
IV" 2"
где л:— 4 (а—1) в двух случаях: 1) 1<а<2, 2) а>2.
18. Решить уравнение
М + х-\-х* + Vl—x-\-x2 = 4:.
Вариант 7
19. В геометрической прогрессии даны: ат+п = А и ат_п = В.
Найти ят и ап.
20. Упростить выражение
Г I -1- -I -1 Г*
[(х + а)3(х-а) 3 +(х + а) 3(х-а)3-2\
если x = fl"8 —„г » пРичем m > л > 0.
10

21. Решить систему уравнений:
x* + y* + x + y=32t
\2(х + у) = 7ху.
Вариант 8
22. Один из корней уравнения
** — вх1 + ах — 6=0,
коэфициент а которого неизвестен, равен 3. Найти два других корня
этого уравнения.
23. Упростить выражение
(а + х) 2(х + Ь) 2+(д-х) 2(х-Ь)
2
1(а + х) Чх + Ь)
2/„ , м 2
•<«-*) *(* — *)
если jc= J/afc, причем а> 6 > 0.
24. Решить систему уравнений:
х + у=\0,
Вариант 9
25. Доказать, что уравнение
Ь*
ал
1,
где а и Ь действительные числа, не равные нулю, одновременно имеет
лишь действительные корни.
26. Найти величину выражения
О+ *-*)-•+ <1-дг*)-\
при л: = (1 — п-1)2 (1 Ч- п~1) 2, еслил>1.
27. Решить систему уравнений
1r» X lg' X
11

Геометрия (с тригонометрией)
Вариант 1
28. Боковые ребра треугольной пирамиды имеют одинаковую
длину, равную I. Из трех плоских углов, образованных при вершине
пирамиды этими ребрами, два равны а, а третий равен р. Найти объем
пирамиды.
29. Определить площадь равнобедренного треугольника, зная
площади st вписанного и s2 описанного около него кругов.
30. Решить уравнение
sin2 х -\- sin2 2х = sin2 Зх + sin2 4л;.
Вариант 2
31. Через одно из ре5ер правильного тетраэдра проведена
плоскость, наклоненная под углом а к противоположному (т. е. не
пересекающемуся с данным ребром) ребру. Определить площадь
полученного сечения тетраэдра, если ребро тетраэдра равно а.
32. Зная углы треугольника, определить угол между медианой
и высотой, проведенными из вершины какого-нибудь угла.
33. Решить уравнение
sin (я cos х) = cos (т: sin x).
Вариант 3
34. В параллелепипеде все его грани равные ромбы со сторонами а
и острыми углами а. Определить объем этого параллелепипеда.
35. Через точку, лежащую внутри круга радиуса R, проведены
две взаимно-перпендикулярные хорды, расстояния которых от центра
круга равны а и Ь. Определить площадь части круга, ограниченной
этими хордами и наименьшей дугой этой окружности, соединяющей
их концы.
36. Упростить выражение
sin2 a + sin2 р + sin2 ? — 2 cos а cos p cos Y»
если
Вариант 4
37. Секущая плоскость делит боковые ребра треугольной
пирамиды в отношениях (считая от вершины):
т1 т2 щ
В каком отношении эта плоскость разделит объем пирамиды?
38. Две окружности радиусов R и г соприкасаются внешним
образом. Определить радиус окружности, касающейся этих
окружностей и их общей внешней касательной.
39. Доказать, что
tg 20° tg 40° tg 60° tg 80° = 3,
12

Вариант 5
40. Ребро правильного тетраэдра равно я. Определить радиус
шара, поверхность которого касается всех ребер тетраэдра.
41. Внутри угла 60° расположена точка на расстояниях а и Ь
от его сторон. Найти расстояние от этой точки до вершины данного
угла.
42. Решить систему уравнений:
tg*+tgy=l.
Вариант 6
43. Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых граней
прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости его
основания под углами аи§. Найти угол между этими диагоналями.
44. Три окружности радиусов /?1Э R2> Rz касаются внешне
попарно друг друга. Найти радиус окружности, проходящей через точки
касания.
45. Решить уравнение
tg(40* + *)ctg(5°-jO= J.
Вариант 7
46. Плоский угол при вершине правильной я-угольной пирамиды
равен а. Определить двугранный угол б между двумя смежными
боковыми гранями.
47. Расстояние между центрами двух расположенных в одной
плоскости кругов радиуса R равно d. Определить плошадь части
второго круга, лежащей вне площади первого круга.
48. Решить уравнение
3
sin2 х + sin2 2x + sin2 2>х = ~ .
Вариант 8
49. Площади параллельных сечений шара, расположенных по
одну сторону от его центра, равны А и В, а расстояние между этими
сечениями равно d. Определить площадь сечения шара,
параллельного сечениям А и В и делящего пополам расстояние между ними.
50. Сторона правильного треугольника равна а. Из центра его
а _
радиусом —о~ описана окружность. Определить площадь части
треугольника, лежащей вне этой окружности.
61. Решить уравнение
sin х sin 2x sin Зх = -т sin 4x.
13

Вариант 9
52. Угол при вершине осевого сечения прямого кругового конуса
равен а, а радиус основания конуса равен R. Найти радиус такой
сферы с центром в вершине конуса, которая делила бы объем конуса
пополам.
53. Определить площадь треугольника, если даны а и b —
длины его сторон и t — длина биссектрисы угла между этими
сторонами.
54. Решить уравнение
sec х = 4 sin x + 6 cos x.
ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
(1946 год)
Вариант 1
55. Из сосуда, наполненного 96%-ным раствором кислоты, отлили
2,5 л и долили сосуд 80%-ным раствором той же кислоты; затем еще
раз отлили 2,5 л и снова долили 80%-ным раствором кислоты. После
этого в сосуде получился 89%-ный раствор кислоты. Определить
вместимость сосуда.
56. В правильной /г-угольной пирамиде боковые грани
наклонены к плоскости основания под углом а. Под каким углом
наклонены к плоскости основания боковые ребра пирамиды?
57. Решить систему уравнений
ха = уь,
ах=:ЬУ,
где а=ЬЬ, а>0, Ь>0.
58. Решить уравнение
sin х + sin 2x -\- sin Зх = cos x -\- cos 2х + cos 3*.
Вариант 2
59. В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После,
удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5%
железа, процент содержания железа в оставшейся руде повысился на 20.
Определить, какое количество железа осталось еще в руде.
60. Двугранный угол при основании правильной S-угольной
пирамиды равен о. Определить двугранный угол между боковыми
гранями этой пирамиды.
61. Решить систему уравнений:
Чх (аУ) = Р,
\gy(bx) = q,
где а>0, £>>0, pq=f=\.
62. Решить уравнение
5
sin4 * + cos4 x~ - .
14

Вариант 3
63. Для наполнения резервуара была сначала открыта 1-я труба,
через которую каждую минуту поступает 600 л 30%-ного раствора
спирта; затем, через 45 минут вступила в действие 2-я труба,
дающая 800 л в минуту 40%-ного раствора спирта. Через сколько
времени в резервуаре получится 35%-ный раствор спирта?
64. Определить плоский угол 6 при вершине правильной п-уголь-
ной пирамиды, если боковые ребра ее наклонены к плоскости
основания под углом а.
65. Решить систему уравнений
ка*х— Ыа'У = п-
66. Решить уравнение
(sin 4а:— 2 cos 4л:)2 + (cos 4л: — 2 sin 4л:)2 = 3.
Вариант 4
67. В одном сосуде находится а л р%-ного раствора кислоты, а
в другом Ь л <7%-ного раствора той же кислоты. Из каждого сосуда
отлили одно и то же количество литров и взятое из первого сосуда
перелили во второй, а взятое из второго — в первый. Какое
количество литров было* отлито, если в обоих сосудах оказался раствор
кислоты одной и той же крепости?
68. В прямой круговой конус, образующие которого наклонены
к плоскости основания под углом а, вписаны два шара, которые
касаются поверхности конуса и друг друга. Какую часть объема конуса
занимают эти шары?
69. Решить систему уравнений
70. Решить уравнение
sin** -f- cos x = V2 sin 5л\
Вариант 5
71. Поезд, направляющийся на станцию Ау был задержан на
станции В сверх расписания на 1 час 42 мин. При дальнейшем движении
скорость поезда была увеличена на 20%, а затем на последнем
перегоне, составляющем 0,1 расстояния ABt—на 25%. В результате
поезд прибыл на станцию В без опоздания. Определить, за какое время
при нормальных условиях поезд проходит расстояние АВ.
72. Полная поверхность конуса в два раза больше поверхности
вписанного в него шара. Определить отношение объема конуса к
объему шара.
15

73. Решить систему уравнений
ху=о
feio a lg10 * + lg10 6 Ig^j^O.
74. Упростить выражение
sin2 а + sin8} -J- 2 sin a sin f cos (а + p).
Вариант б
75. Производительность станка Л составляет т% от суммы про-
изводительностей станков В и С, а производительность станка 5
составляет п% от суммы производите л ьностей станков Л и С Какой
процент составляет производительность станка С по отношению к
суммарной производительности станков Л и Б?
76. В прямой круговой конус, образующие которого наклонены
к плоскости основания под углом а, вписана правильная л-угольная
пирамида. Определить отношение полной поверхности пирамиды к пол-'
ной поверхностей конуса.
77. Решить систему уравнений
х2 — ху -f г/2 = 7,
x + y~~=S.
78. Решить уравнение
COS X + COS ( X + ~ ) + COsf *+ ~ J=0;
Вариант 7
79. При вырытии колодца за первый метр глубины платили
10 руб., а за каждый следующий на 5 руб. больше, чем за
предыдущий. Сверх того за весь колодец дополнительно было уплачено 100 руб.
Средняя стоимость метра глубины оказалась равной 62 руб. 50 коп..
Определить глубину колодца.
80. Ромб с большей диагональю d и острым углом f вращается
вокруг оси, проходящей через вер^пину ромба и перпендикулярной
большей диагонали его. Определить объем тела вращения.
81. Решить систему уравнений
** + !/« =17,
х + ху + у = 9.
82. Решить уравнение
sin х sin 7x — sin Ъх sin Ъх.
Вариант 8
83. Из общего количества товара а% его было продано с прибылью
в р°/0, а из оставшейся части Ь% ее было продано с прибылью
в q%. С какой прибылью следует продать всю остальную часть
товара, чтобы общий процент прибыли составлял г%?
16

84. Через вершину конуса проведены две плоскости. Одна из них
наклонена к плоскости основания конуса под углом а и пересекает
это основание по хорде, длина которой равна а, а другая наклонена
к плоскости основания под углом р и пересекает основание по хорде,
длина которой равна Ь. Определить объем конуса.
85. Решить уравнение
VAX + 2+ V4x — 2=^4.
86. Решить уравнение
cos х sin 7x = cos Зл: sin 5х.
Вариант 9
87. Прирост продукции на заводе, по сравнению с предыдущим
годом, за 1-й год составлял р%, за 2-й год q%. Какой должен быть
процент прироста продукции за 3-й год, чтобы средний годовой прирост
продукции за три года был бы равен г%?
88. В правильную /г-угольную пирамиду вписан конус, осевое
сечение которого имеет угол при вершине равный а. Определить
отношение полной поверхности пирамиды к полной поверхности конуса.
89. Решить уравнение
90. Решить уравнение
sin х sin Зл: 4- sin 6л: sin 10* = 0.
Вариант 10
91. Предприятие за первый год после открытия дало 2 450 руб.
дохода и потребовало 4 100 руб. расхода; затем доход ежегодно
увеличивался на 600 руб., а расход уменьшался на 500 руб. Через сколько
лет сумма всех расходов со дня открытия предприятия покроется
доходом за это время?
92. В правильной треугольной пирамиде, сторона основания
которой равна а, а боковое ребро равно 2а, через середину бокового ребра
перпендикулярно к нему проведена плоскость. Определить площадь
образующегося сечения.
93. Решить уравнение
J/*TT*T6+ V?~-x — 4^5
Ух2 + х + 6 — Vx2 — x—~\ ~
94. Решись уравнение q
sinxsin(*-b60°)sin(*-b 120°)=-]-.
П. С. Моденов. Сборник задач
17

ГЕОЛОГИЧЕСКИЙ И ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТЫ
(1946 ГОД)
Вариант 1
95. Два работника выполняют работу в 20 дней. Один из них,
работая отдельно, затрачивает на эту работу на 30 дней меньше
другого. Во сколько дней может сделать работу каждый работник в
отдельности?
96. Осевое сечение конуса представляет собою треугольник,
площадь которого равна Q. Зная, что образующие конуса наклон
нены к плоскости основания подуглома, определить боковую
поверхность и объем конуса.
97. Упростить выражение
(а 2 + ь 2)-* + (а '* —б""2)-1-
98. Решить уравнение
sin 3* = cos л;.
Вариант 2
99. Турист прошел 105 км. Если бы он на это путешествие
употребил 2 днями больше, то мог бы в день проходить на 6 км меньше.*
Сколько километров проходил турист в день?
100. Определить объем правильной треугольной пирамиды,
боковое ребро которой равно / и наклонено к пл:скости основания под
углом а.
101. Упростить выражение
± 1_
[а + (о» — I)2 Г* + [а_ (^_ 1)2 j-ж.
102. Решить уравнение
sin2*+sin22*=l.
Вариант 3
103. Морская вода содержит 5% (по весу) соли. Сколько кило*
грамм пресной воды нужно прибавить к 40 кг морской воды, чтобы
содержание соли в последней составляло 2%?
104. Полная поверхность конуса, образующие которого
наклонены к плоскости основания под углом а, равна Р. Определить объем
чонуса.
" 105. Упростить выражение
У(а + х)(хТТ)+ У(а — х)(х — Ь)
V(a + x)(x+b)— V(a — x)(x—b)9
гели _
х = Vab (a > Ъ > 0).
18

106. Решить уравнение
cos x cos 2х ■= cos Злг.
Вариант 4
107. В двух мешках находится 140 кг муки. Если из первого
мешка переложить во второй 12,5% муки, находящейся в первом мешке,
то в обоих мешках будет поровну. Сколько килограммов муки в
каждом мешке?
108. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит
боковые стороны его в отношении 1 : 2 (считая от вершины). В каком
отношении эта прямая делит площадь треугольника?
109. Решить уравнение:
110. Решить уравнение
cos2 2л: + cos2 Зх = 1;
Вариант 5
111. Смешаны два сорта вина: по 30 руб. за бутылку и 50 руб.
за бутылку. Всей смеси получено 1 200 бутылок, которые проданы
по 60 руб. за бутылку, причем прибыли получено 50%. Сколько
бутылок каждого сорта взято для составления смеси?
112. Определить площадь правильного п-угольника, если
периметр его равен Р.
113. Решить уравнение
lgie[3 + 21gM(l+*)] = 0.
114. Решить уравнение
1 + sin х + cos x = 0.
Вариант 6
115. Два завода А и В взялись выполнить заказ в 12 дней. Через
два дня завод А был закрыт на ремонт и в дальнейшем над
выполнением заказа работал только завод В. Зная, что производительность
завода В составляет 662/8% от производительности завода Л,
определить, через сколько дней будет выполнен заказ.
116. Определить часть площади круга, ограниченную диаметром
длины 2/? и параллельной ему хордой длины 2а (а < R).
117. Решить уравнение
118. Решить уравнение
sin х -|- sin 2х = sin Злг.
2*
19

Вариант 7
119. На метеорологической станции было замечено, что в июне
месяце средняя суточная температура ежедневно повышалась на
0,25°. Средняя температура за весь июнь месяц (т. е. среднее
арифметическое из 30 наблюдений) оказалась равной 16,125°. Какая средняя
суточная температура была 20 июня?
„ 120. В правильной 4-угольной пирамиде боковая грань равна Q
и наклонена к плоскости основания под углом а. Определить объем
пирамиды.
121. Упростить выражение
[1 — (1 - а-1 б)"1]-2 + [1 - (1 - ah-1)-1]"*.
122. Решить уравнение
cos х + cos 2x = sin x + sin 2х.
Вариант 8
123. Со станции вышел пассажирский поезд, проходящий v км
в час. Через t часов с той же станции, по тому же направлению, вышел
скорый поезд, проходящий vx (иг^>и) км в час. Через сколько часов
после своего выхода скорый поезд догонит пассажирский?
124. В конус, образующие которого наклонены к плоскости
основания под углом а, вписан шар. Определить отношение объема шара
к объему конуса.
125. Решить уравнение
1
X + X 2 = 6.
126. Решить уравнение
sin Зх-\- cos 5л: —0.
Вариант 9
127. В магазине имеется s м сукна двух сортов: ценой а руб. за
метр и ценой Ь руб. за метр. Сукно первого сорта было продано с
прибылью в р%у сукно второго сорта — с прибылью в q%, причем общее
количество прибыли оказалось равным с руб. Сколько метров сукна
каждого сорта имелось в магазине?
128. В основании 4-угольной призмы лежит ромб со стороной а
и острым углом а, а боковые ребра этой призмы равны Ь и
наклонены к плоскости основания призмы под углом р. Определить объем
призмы.
129. Решить уравнение
lg2[2 + lg3(3 + *)] = 0.
130. Решить уравнение
sin х + cos 2x = 1 + sin л: cos 2,v.
20

Вариант 10
131. Несколько работников получили 1000 руб. Один из них
заработал 100 руб., а другой на 50 руб. более первого, третий на 50 руб.
более второго и т. д. Сколько было работников?
132. Треугольник со сторонами а, Ь и £-вращается вокруг
стороны а. Определить объем тела вращения.
133. Упростить выражение
134. Решить уравнение tg х + tg 2х = tg Зл\
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТЫ
(1947 год)
Алгебра
Вариант 1
135. В колбе в начальный момент имеется N бактерий. К концу
каждого часа количество бактерий увеличивается на р% по сравне*
нию с тем количеством их, которое имелось в начале этого часа;
кроме того в конце каждого часа из колбы берется порция,
содержащая n(n^>N) бактерий. Через сколько часов количество бактерий
в колбе будет превышать (после изъятия соответствующей порции)
начальное количество их в два раза? Выяснить условия, при которых
задача имеет решение.
136. Решить систему уравнений
(л:—r/)(x2 —i/2;= 16,
(* + *)(*■ +Л = 40.
137. Сколько рациональных членов содержится в разложении
(^2+4/з-)10°.
Вариант 2
138. Определить номер наибольшего члена разложения (р -\- q)n
по убывающим степеням буквы р, предполагая, что
Р>0, 7>0, p + q=l.
При каких условиях:
a) наибольший член будет первый;
b) наибольшим членом будет последний;
c) разложение будет содержать два одинаковых последовательных
члена, превышающих все остальные члены разложения.
21

139. Упростить выражение
Va + x+ Ух+Ь
VlT+~x~- Vx + 'b '
если
_± * | (а-Ь)2 д + Ь
Х~ 42 + 4г2 2 '
где числа а и 6 действительны и z > | а — 61 2 • •
140. Решить уравнение
Вариант 3
141. Длины сторон треугольника образуют возрастающую
прогрессию. В каких границах может меняться знаменатель этой
прогрессии?
142. Упростить выражение
если
где
143.
Решить
\+ахУ l — bx*
а V b ,
0<a<b<2a.
уравнение
Вариант 4
144. Доказать, что в разложении (a-{-b)n (a>0, &>0, n —
целое положительное число) не может быть трех одинаковых
последовательных членов. При каких условиях разложение имеет два
одинаковых последовательных члена?
145. Упростить выражение
[|/(n2+D]/"l + ^+|/(^-D)/'l-^] t
если л> 1.
146. Решить систему уравнений:
хх+У = ух~У,
х2у= 1.
22

Вариант 5
147. Из чисел 1, 2, 3,..., 100 составлены всевозможные парные
произведения. Сколько среди полученных чисел будет таких, которые
кратны 3?
148. Упростить выражение
(1-*2ГТ + 1 | 2 + (1-**ГТ-1 ~Т^
если
x=2k2 (l + k)'\ причем k>\.
149. Решить уравнение
xVx = Vx~X.
Вариант 6
150. Знаменатель геометрической прогрессии равен -Л" ^ .
Показать, что каждый член (начиная со 2-го) этой прогрессии равен
разности двух соседних с ним.
151. Упростить выражение
I Vl-ra -- VI — а + У\ — а2 — 1 + а J W а2"
если С<а< 1.
152. Решить систему уравнений:
axbv = ab,
ху~ 1.
Геометрия (с тригонометрией)
Вариант 1
153. Доказать, что произведение длин перпендикуляров,
опущенных из какой-нибудь точки окружности на две противоположные
стороны вписанного в нее четырехугольника, равно произведению дльн
перпендикуляров, опущенных из той же точки на две другие сторонь
этого четырехугольника.
154. Полная поверхность прямого кругового конуса в п раз
больше поверхности вписанного в него шара. Под каким углом образую
щие этого конуса наклонены к плоскости его основания?
155. Решить систему уравнений
sin л: т
Tin у ~~ п *
* + */ = <*.
ч.
23

Вариант 2
156. Стороны треугольника ABC равны соответственно а, 6, с.
Определить, в каком отношении биссектриса угла А делит отрезок
стороны ВС, заключенный между точками пересечения ВС с
медианой и высотой треугольника, проведенными из вершины А.
157. Определить объем правильной четырехугольной пирамиды,
боковое ребро которой равно /, а двугранный угол между двумя
смежными боковыми гранями равен р.
158. Доказать, что
2я , 4тс , бтг 1
cos -у- + cos -у- + cos -=- = —2 е
Вариант 3
159. Правильный треугольник' ABC разбивается прямой на два
треугольника ABD и A CD. В каком отношении прямая AD делит
сторону ВС, если радиус круга, вписанного в треугольник ABD,
в два раза больше радиуса круга, вписанного в треугольник ACD,
160. Прямая линия — касательная к боковой поверхности
конуса — составляет с образующей, проходящей через точку касания,
угол 0. Какой угол <р составляет эта прямая с плоскостью основания Р
конуса, если образующие его наклонены к плоскости Р под углом а?
161. Решить уравнение
cos2 х + cos2 2х + cos2 Зх + cos2 4x = 2.
Вариант 4
162. Хорда, проходящая через точку М, лежащую внутри окруж-
гп _
ности, делится этой точкой в отношении —. В каком отношении делит
данную окружность эта хорда, если она образует угол у с диаметром,
проходящим через точку М?
163. В основании четырехугольной пирамиды лежит ромб,
сторона которого равна а и острый угол равен а. Плоскости,
проходящие через вершину пирамиды, и диагонали основания наклонены
к плоскости основания под углами <р и <|>. Определить объем пирамиды,
если ее высота пересекает сторону основания.
164. Решить уравнение
sin4 х + sin4 (x + |Л + sin4 (х — jj = —'.
Вариант 5
165. Доказать, что прямая, соединяющая точки пересечения
непараллельных сторон трапеции и ее диагоналей, делит основания
трапеции пополам.
24

166. Грани правильной усеченной треугольной пирамиды
касаются шара. Определить отношение поверхности шара к полной
поверхности пирамиды, если боковые грани пирамиды наклонены к
плоскости ее основания под углом о.
167. Доказать, что
arc tg-j + arc tg -g- т arc tg у + arc tg — = -j-.
ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
(1947 ГОД)
168. Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса
прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой,
опущенными на гипотенузу.
169. В конус вписан шар. Поверхность шара относится к площади
основания конуса как 4 : 3. Найти угол при вершине конуса.
170. Почтальон, идя безостановочно из пункта Л через пункт В
в пункт С, проходил от Л до В по 3,5 км в час и от Б до С по 4 км.
Чтобы успеть за столько же времени вернуться из С в Л, идя* по той
же дороге, он должен был бы проходить по 3,75 км в час в течение
всего пути. Однако, дойдя на обратном пути до В, он задержался в этом
пункте на 14 мин. и, чтобы успеть в назначенное время вернуться в Л,
должен был от Б до Л проходить уже по 4 км в час. Найти расстояние
между Л и Б и между В и С.
Вариант 2
171. Доказать, что объем конуса во столько раз больше объема
вписанного в него шара, во сколько раз полная поверхность конуса
больше поверхности шара.
172. Определить углы прямоугольного треугольника, зная» что
радиус описанного около него круга относится к радиусу вписанного
круга, каЧ< 5 : 2.
173. Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих в
отношении 1 : 2, а другой содержит те же металлы в отношении 2 : 3.
Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав,
содержащий те же металлы в отношении 17 : 27?
Вариант 3
174. Доказать, что в прямоугольном треугольнике сумма катетов
равна сумме диаметров вписанной и описанной окружности.
175. Конус и цилиндр имеют общие основания, а вершина конуса
находится в центре другого основания цилиндра. Чему равен угол
между осью конуса и его образующей, если полная поверхность
цилиндра относится к полной поверхности конуса как 7:4?
176. Дорога от Л до В длиною в 11,5 км идет сначала в гору,
потом по ровному месту и потом под гору. Пешеход, идя из Л в Ву
прошел всю дорогу за 2 часа 54 минуты, а на обратную дорогу
затратил 3 часа б минут. Скорость его ходьбы в гору —3 км в час,
по ровному месту — 4 км в час, под гору — 5 км в час. На каком
протяжении дорога тянется по ровному месту?
25

177. Доказать, что геометрическое место оснований
перпендикуляров, опущенных из некоторой точки А на плоскости, проходящие
через другую точку Б, есть сфера с диаметром АВ.
178. В конус вписана полусфера, большой круг которой лежит на
основании конуса. Определить угол при вершине конуса, если полная
поверхность конуса отнесится к боковой поверхности полусферы
как 18 : 5.
179. Поезд вышел со станции А по направлению В в 13 час. В 19
час. он должен был остановиться из-за снежного заноса. Через 2 часа
путь удалось расчистить, и чтобы нагнать опоздание, машинист повел
поезд на остальном пути со скоростью, превышающей скорость поезда
до остановки на 20%. В результате поезд пришел в Б с опозданием
лишь на 1 час. На следующий день поезд, шедший из Л в Б по тому же
расписанию, попал в занос на 150 км дальше от Л, чем первый поезд.
Простояв 2 часа, он тоже пошел со скоростью на 20% выше прежней,
но нагнал лишь полчаса и опоздал в Б на 1 час 30 мин. Какое
расстояние между Л и Б?
Вариант 5
*
180. Две окружности касаются друг друга внутренним образом
в точке А; А В является диаметром большей окружности. Хорда В К
большей окружности касается меньшей окружности в точке С.
Доказать, что АС является биссектрисой треугольника ЛБ/С.
181. В конус вписан цилиндр, высота которого равна радиусу
основания конуса. Найти угол между осью конуса и его образующей,
если полная поверхность цилиндра относится к площади основания
конуса как 3 : 2.
182. Дорога от Л до Б сперва поднимается в гору на протяжении
3 км, потом идет по ровному месту на протяжении 5 км и после того
спускается под гору до самого пункта В на протяжении б км.
Посыльный, отправившись из Л в Б и пройдя полпути, обнаружил, что забыл
взять один пакет. Он тотчас повернул обратно и по прошествии 3 час.
36 мин. после своего выхода из Л вернулся в Л. Затем, выйдя из Л
вторично, он прошел весь путь до Б за 3 часа 27 мин. и обратный путь
в Л за 3 часа 51 мин. С какой скоростью шел посыльный в гору, по
ровному месту и под гору, если считать эти скорости постоянными?
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТЫ
(1948 год)
Алгебра
Вариант 1
183. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
равна 12, а сумма квадратов ее членов равна 48. Найти сумму
первых десяти членов этой прогрессии.
184. я1** =100*. Найти х.
185. Решить систему уравнений:
1,1,1 , г ,
26

Вариант 2
186. В уравнении
(k2 — bk + 3) х* + (3k — 1) х + 2 = О
определить число к так, чтобы один из корней был вдвое более
другого.
187. Решить уравнение
/^lgVx = 10. •
188. Решить систему уравнений
Л*?У_ = 5 __2^_ = 3 уг --4
*+*/ ' * + * ^ */ + *
Вариант 3
189. Найти четыре числа, из которых первые три составляют
геометрическую прогрессию, а последние три — арифметическую; сумма
крайних чисел равна 14, а сумма средних равна 12.
190. Решить уравнение •
\*) \ "3" =Тб *
191. Решить систему уравнений
TyI = J+VTT =^Т 7^1 = * + * + *'
Вариант 4
192. Три числа, сумма которых равна 60, составляют
арифметическую прогрессию; если к этим числам прибавить, соответственно,
27б, 4 и 7, то новые числа будут составлять геометрическую
прогрессию. Найти эти- числа.
193. Решить уравнение
__Jg2*__
lg(4jc—15)
194. Решить систему уравнений
х + у = Зг, х2 -\- if =. 5г, х3 + у3 = 9г.
Вариант 5
195. Найти четыре вещественных числа, составляющих
геометрическую прогрессию, зная, что сумма их равна 130, а сумма их
квадратов равна 5044.
27

196. Решить уравнение
197. Решить систему уравнений
x + y + z=\3,
x* + y* + z2 = 9U
у2 = хг.
Геометрия (с тригонометрией)
Вариант 1
198. В каком отношении делит площадь правильного
треугольника прямая, проходящая через середину стороны его и
составляющая угол равный а (0<а<90°) с этой стороной.
199. Основанием пирамиды служит правильный я-угольник,
описанный около большого круга шара радиуса /?. Определить объем
этой пирамиды, если боковые ребра ее касаются поверхности шара.
200. Решить уравнение
tg (я tg х) = ctg (к ctg at).
Вариант 2
201. В равнобедренном треугольнике длины боковых сторон
равны а каждая, а длина отрезка прямой, проведенного из вершины
треугольника к его основанию и делящего угол между равными
сторонами в отношении 1 :2, равна t. Определить площадь этого
треугольника.
202. Радиус шара, вписанного в 4-угольную пирамиду, равен г.
Двугранный угол, образованный двумя соседними боковыми гранями
этой пирамиды, равен а. Определить объем пирамиды, имеющей
вершину в центре шара, а вершины основания в четырех точках касания
шара с боковыми гранями данной пирамиды.
203. Доказать, что
tg 10° tg 50° tg 70° = tg 30°.
Вариант 3
204. Расстояние между центрами двух кругов равно d. Общая
внутренняя касательная их составляет с линией центров угол,
равный а, а общая внешняя касательная их составляет с линией
центров угол равный (J. Определить радиусы этих кругов.
205. В правильной 4-угольной пирамиде через сторону основания
ее, равную а, проведена секущая плоскость, делящая пополам
двугранный угол при основании пирамиды, равный а. Определить
площадь получившегося сечения.
206. Решить уравнение
f к\ 1
28

Вариант 4
207. Из точки Л, лежащей вне круга радиуса г, проведены
касательная АВ и секущая АС. Определить площадь треугольника
ABC, если секущая АС наклонена под углом а к касательной АВ и
проходит на расстоянии, равном d от центра круга.
208. В правильной 3-угольной пирамиде плоский угол при
вершине равен а, а кратчайшее расстояние между боковым ребром и
противоположной стороной основания (длина общего
перпендикуляра) равно d. Определить объем этой пирамиды.
209. Решить систему уравнений:
stn2*-|- sin2(/= l,
sin jc2 -\- sin уг = О.
Вариант 5
210. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 2 а.
В каком отношении делит площадь этого треугольника прямая,
проходящая через середину высоты треугольника и наклонная под углом
р к продолжению основания его.
211. Сегмент круга вращается вокруг диаметра, проходящего
вне сегмента и составляющего с хордой его, равной а, угол а.
Определить объем полученного тела вращения.
212. Найти х, если
arctg -4-4-2 arctg -g- + arctg — = -у .
Вариант 6
213. Две окружности, радиусы которых равны г и R, пересекаются
под прямым углом. Определить длину их общей касательной.
214. В прямой круговой конус вписана 3-угольная пирамида, у
которой плоские углы при вершине равны a, f и у. Определить объем
этой пирамиды, если объем конуса равен о.
215. Решить уравнение
sin2 х + sin2 a -\- sin2 ^ + 2 cos а cos j! cos x = 2.
ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
(1943 год)
I ТУР
Алгебра
Вариант 1
• 216. Сферический баллон с толщиной стенки е, изготовленный
из материала плотности d} наполнен жидкостью плотности 8. Каков
должен быть внутренний радиус R баллона для того, чтобы при
погружении его в жидкость плотностиzJ, имело место равновесие.
Какому условию должны удовлетворять плотности d, S и Д, чтобы задача
была возможна?
29

217. Доказать, что если числа alt a2t..., an образуют
арифметическую прогрессию, то
1.1,1. ,1 я—1
+
01^2 ^2^3 ^3^4 Ял-1аЛ а1аП
218. Доказать, что если \gkxt \gmx, \gnx образуют
арифметическую прогрессию, то л2 = (kn){gkm\
Вариант 2
219. Некоторое количество денег было разложено на п кучек.
После этого из первой кучки переложили во вторую —-ю часть бывших
п
в первой кучке денег. Затем из второй кучки _-ю часть оказавшихся
п
в ней после перекладывания денег переложили в третью кучку.
Далее —-ю часть денег, получившихся после этого в 3-й кучке, перело-
п
жили в четвертую и т. д. Наконец из n-й кучки _-ю часть сказавшихся
п
в ней после предшествующего перекладывания денег переложили
в первую кучку. После этого в каждой кучке стало А руб. Сколько
денег в каждой кучке было до перекладывания (можно ограничиться
случаем п = 5)?
220. Решить уравнение
При каком соотношении между а и Ь это уравнение будет иметь
хотя бы один корень?
221. Делением числителя на знаменатель упростить выражение
х9 + У3 + z8 — Зяг/г
х2 + У2 + г2 — yz — xz — ху "
Вариант 3
222. Объем А составлят т-ю часть суммы объемов Б и С, а объем
В—п-ю часть суммы объемов А и С. Как выразится отношение объема
С к сумме объемов А и В в зависимости от т и п, если т и п — даны.
а Л, В, С — произвольны?
223. Решить систему
5
ху = a2, lg2 х + lg2 у = g- lg2 а8.
224. Доказать, что имеет место тождество х* + у9 =.г8 -f-13,
если положить
* = и* — w> у= — и% + у,
z = uv—1, *=—шш-f-l,
где « = а2 + 362, v =з а + 36, а; = а — ЪЬ,
30

Вариант 4
225. Несколько человек взялись вырыть канаву и могли бы
окончить работу за 24 Часа, если бы делали ее все одновременно. Вместо
этого они приступили к работе один за другим через равные
промежутки времени, и затем каждый работал до окончания всей работы.
Сколько времени они рыли канаву, если первый, приступивший к
работе,, проработал в 5 раз больше времени, чем последний?
226. Решить уравнение
Iga х \gbc (I + Ыс а) = lg** tec* lgac.
227. Показать, что из равенства
x2 — yz y2 — xz
х(1 — yz) ~ f(l — xz)'
где х, у, z — не равны между собой, вытекает равенство
x + #-f-z = - + -I+-I.
1 * • х ' у ' z
Вариант 5
228. Вклад в А рублей положен в сберегательную кассу пор%
годовых. В конце каждого года вкладчик берет В рублей. Через
сколько лет после взятия соответствующей суммы остаток будет втрое
больше первоначального вклада? При каких условиях задача имеет
решение?
229. Решить систему:
z^ Ух + V~y.
Радикалы Vх и Vy положительные.
230. Функция у дана уравнением у= х _х .
а*х i а~Ах
Выразить г = —^т~^—^х как функцию только от у и, наоборот,
у как функцию только от г.
Вариант б
231. Через точку А проведены под равными углами п лучей. На
одном из них на расстоянии d от А взята точка В, из нее опущен
перпендикуляр на соседний луч, из основания этого перпендикуляра
снова опущен перпендикуляр на следующий луч и т. д. до бесконеч
ности. Найти длину L получаемой таким образом бесконечно зави-
31

вающейся вокруг А ломаной, а также выяснить, как будет изменяться L
при увеличении числа п, в частности при неограниченном его
увеличении.
232. Доказать тождество г^—= 14-lgfl£.
233. В геометрической прогрессии даны ат+п = А и ат_п — В.
Найти ат и ап.
Вариант 7
234. Разность с — Ь сторон треугольника в т раз меньше их
суммы, разность с — а сторон в q раз меньше суммы тех же сторон
и, наконец, разность Ь — а в г раз меньше суммы а-\- 6. Найти
зависимость между m, q, г.
235. Доказать, что
|/20+ 14 J/2 + /20— 14|/2 =4.
4 х
236. Решить уравнение 1 + \gx—^— = (log log n — 1) ]gv 10.
Сколько корней имеет уравнение в зависимости от величины /г?
Вариант 8
237. Составим таблицу: 1
2, 3, 4,
3, 4, 5, 6, 7,
Доказать методом полной индукции, что сумма членов каждой
горизонтальной строки равна квадрату нечетного числа,
238. Решить уравнение
V Ча V^+ lg, V™ + у Ыа\/ ~ + lg* \/~ = Я-
239. Какому условию должно удовлетворять комплексное число
а \ bi для того, чтобы его можно было предоставить в виде
, и • l — ix
' 1 -f- ix*
где л: — число вещественное?
Варна нт 9
240. Параллелограм пересекается двумя рядами прямых,
параллельных его сторонам; каждый ряд состоит из т линий. Сколько всех
возможных параллелограмов можно составить из этих линий?
32

241. Решить систему
(1+у)*=100, (у*-2у*+\у-*
242. Решить систему
х*-\-у*=.г2,
xy + yz + zx = 47,
(г-х)(г-у) = 2.
Вариант 10
243. Число х в т раз больше разности чисел риг, а число #
в п раз больше разности чисел х и г. Найти зависимость между тип,
если известно, что г вдвое более разности чисел хну.
244. Решить систему
245. Доказать, что*
^5 Y2+7—f/b V2— 7 = 2.
Вариант 11
246. Цилиндрическая трубка с поршнем погружена в резервуар
с водою; между поршнем и водой находится столб воздуха в h метров
при атмосферном давлении. Затем поршень поднимают на Ъ метров над
уровнем воды в резервуаре. Вычислить высоту воды в трубке, зная,
что высота столба жидкости в водяном барометре при атмосферном
давлении равна с метрам.
*L 2
о ъ 4 / 4 "
247. Решить сгстему xz = у , у2 = х , г=ух + } у.
4/— 4/-
Радикалы у х , у г/ — положительные.
248. Решить систему
*2 + ху + г/2 = а2, * + г'хг/ + у = 6.
Вариант 12
249. От двух кусков сплава с различным процентным
содержанием меди, весящих т кг и п кг, отрезано по куску равного веса.
Каждый из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого куска, после
чего процентное содержание меди в обоих сплавах стало одинаковым.
Сколько весил каждый из отрезанных кусков?
_(у-Р"
~ G/+D2 •
3 П. С. Моденов. Сборник задач
33

250. Решить систему
(ax)l0& а = (Ьу){0* ь, Ь{0* м = а!°е (**> .
251. Упростить выражение
при
р=Ъ-УЪ.
Геометрия (с тригонометрией)
Вариант 1
252. Дана окружность радиуса ли ее хорда АВ длины 2а. Пусть
CD — подвижная хорда той же окружности, имеющая постоянную
длину 2Ь. Найти геометрическое место точек пересечения прямых
АС и BD. Найти, кроме того, расстояния от середины хорды А В до
точки искомого геометрического места, наиболее удаленной от
середины и до точки, наиболее близкой.
253. Доказать, что tg (a -\- (i) = 2 tg а, если 3 sin [J = sin (2а -f- f).
254. В конус вписан шар радиуса г. Найти объем конуса, если
известно, что плоскость, касающаяся шара и перпендикулярная к
одной из образующих конуса, отстоит от вершины конуса на
расстояние d.
Вариант 2
255. Доказать, что если разделить хорду окружности на три
равные части и соединить с центром окружности концы хорды и точки
деления, то соответствующий центральный угол разделится на три
части, одна из которых больше двух других.
256. Найти cos 2а, если tg2 а — a tga -)-l=0 и угол а лежит:
1) между 0 и 45°; 2) между 45° и 90° (а>0).
257. Шара касаются коническая поверхность и плоскость,
перпендикулярная к оси конической поверхности. Отношение полной
поверхности получающегося при этом конуса к поверхности шара
равно т. Найти отношение объемов этих тел, если т < ^.
Вариант 3
258. Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы
сторон, ее заключающих, и больше разности между этой полусуммой
и половиной третьей стороны.
259. Найти ctg x из уравнения cos2 (a + х) + cos2 (a — х) = a,
где 0 < а < 2. В каких границах должен лежать угол а, чтобы
решение было возможно?
34

260. Из середины высоты правильной 4-угольной пирамиды
опущен перпендикуляр на боковое ребро, равный h, и перпендикуляр
на боковую грань, равный Ь. Найти объем пирамиды.
Вариант 4
261. Доказать, что прямая, симметричная с медианой
относительно биссектрисы внутреннего угла треугольника, делит
противоположную сторону на части, пропорциональные квадратам
прилежащих сторон.
a VT
262. Найти tg , если sin a + cosa = —— и угол а лежит
между 0 и 45°.
263. Вычислить объем правильной пирамиды высоты /г, зная,
что в основании ее лежит многоугольник, сумма внутренних углов
которого равна nd, а отношение боковой поверхности пирамиды к
площади основания равно k.
Вариант 5
264. А и В — две заданные неподвижные точки окружности, М —
подвижная точка этой же окружности. На продолжении отрезка AM
в сторону, внешнюю к окружности, откладывается отрезок MN = MB.
Найти геометрическое место точек N'.
265. Найти все решения системы:
1
sin a:-sin у = — ,
4 V2
266. Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды
в k раз более площади основания. Найти объем пирамиды, если
площадь круга, вписанного в основание, численно равна радиусу этого
круга.
Вариант 6
267. Доказать, что произведение отрезков, отсекаемых подвиж*
ной касательной к окружности на двух неподвижных параллельных
касательных есть величина постоянная.
268. Решить уравнение
• 4 х , Iх 5
3in«T +сов«-3- = т.
269. Через одно ребро основания правильной треугольной
пирамиды со стороной основания q проведена плоскость
перпендикулярно к противолежащему боковому ребру. Определить полную
поверхность пирамиды, если указанная плоскость делит боковое ребро
в отношении т : п.
с* 35

Вариант 7
270. Доказать, что если в произвольном четырехугольнике
ABCD провести внутренние биссектрисы, то 4 точки пересечения
биссектрис углов Л и С с биссектрисами углов В и D лежат на
окружности.
271. Вычислить
sin \2 arctg -g- — arcctg ^Л.
272. В правильную я-угольную пирамиду с ребром основания q
и боковым ребром Ъ вписан шар. Найти его радиус.
273. Доказать, что во всяком треугольнике большей стороне
соответствует меньшая высота.
274. Доказать, что если tga = , sinji———, то а + 2? = 45°
(а и р — углы первой четверти).
275. Через вершину правильной я-угольной пирамиды и через
2 вершины многоугольника, лежащего в основании, под углом а
к основанию проведена плоскость, рассекающая основание на 2
многоугольника, имеющие соответственно г -\- 2 вершин и п — г вершин
(/*<—о—)• Найти объем пирамиды, если общая сторона этих двух
многоугольников равна 6.
Вариант 9
276. В треугольнике ABC через точку пересечения биссектрис
углов В и С проведена параллельно ВС прямая MN до пересечения
в точках М и N соответственно со сторонами АВ и АС. Найти
зависимость между отрезками MN, ВМ и CN. Разобрать случаи: 1) обе
биссектрисы — внутренние; 2) обе биссектрисы — внешние; 3) одна
из биссектрис — внутренняя, другая — внешняя. Когда точки М и
N совпадут?
277. Найти sin <р, если sin a + sin (? — a) + sin (2'f+ a) =
= sin (? -f- a) -f- sin (2'f — a) и угол <р лежит в третьей четверти.
278. Правильная пятиугольная пирамида ABCDES пересечена
плоскостью, проходящей через вершины А и С основания и середины
ребер DS и ES. Найти площадь сечения, если ребро основания
пирамиды равно q, а боковое ребро равно Ь.
Вариант 10
279. Найти на данной прямой такую точку, чтобы модуль
разности расстояний ее от двух данных точек, н-аходящихся по одну
сторону от прямой, был наименьшим, а также такую точку, чтобы
модуль этой разности был наибольшим.
280. Доказать, что если
sin a = A sin (a + f),
*««■ + »—55^рЬ*
36

281. Правильная треугольная пирамида пересечена плоскостью»
проходящей через вершину основания и середины двух боковых ребер*
Найти отношение боковой поверхности пирамиды к площади
основания, если известно, что секущая плоскость перпендикулярна к одной
из боковых граней. Указать к какой именно.
Вариант 11
282. Доказать, что угол треугольника будет острым, прямым или
тупым, смотря по тому, будет ли противоположная сторона меньше,
равна или больше удвоенной соответствующей медианы.
283. Найти выражение cos а и sin p через Л и В, если известно,
что
sin а = A sin p, tg а = В tg f.
284. От правильной четырехугольной призмы плоскостью,
проходящей через диагональ нижнего основания и одну из вершин
верхнего основания, отсечена пирамида с полной поверхностью s. Найти
полную поверхность призмы, если угол при вершине треугольника,
получающегося в сечении, равен а.
Вариант 12
285. Доказать, что геометрическое место точек, расстояния
которых до двух данных, точек А и В находятся в данном отношении — ф 1,
есть окружность с центром на прямой АВ. Выразить через АВ диаметр
о Р
этой окружности. Исследовать также случаи -- = 1 .
ч
286. Найти tg а, если 4а — arctg -^39 = \ ( arctS "239 ~~ уГ°Л
первой четверти ).
287. Отношение высоты конуса к радиусу описанного вокруг
него шара равно q. Найти отношение объемов этих тел. При каких q
задача возможна?
II ТУР
Вариант 1
288. Доказать, что при любых вещественных значениях а, р, q
уравнение
_!_ + _!_ = !
х — р х — q a%
имеет вещественные корни.
289. Сплав, весом в Р кг> из двух металлов теряет в воде А кг.
Такой же вес Р кг первого из двух составляющих металлов теряет
в воде В кг, г второго—С кг. Найти веса составляющих сплав
металлов и исследовать возможность решения задачи в зависимости от
величин Р, А, В, С.
37

290. Даны стороны Ь и с треугольника. Найти третью сторону х,
зная, что она равна высоте, на нее опущенной. При каком
соотношении между b и с задача возможна?
291. Найти геометрическое место точек, для которых сумма
расстояний до двух данных прямых равна данной длине. Разобрать
случаи пересекающихся и параллельных прямых.
292. Найти геометрическое место проекций данной точки
пространства на плоскости, проходящие через другую данную точку.
293. Решить уравнение
tg(*tg*) = ctg(icctg*)«
Вариант 2
294. Дано уравнение х2 + рх + q = 0. Составить с помощью
только коэфициентов р и q квадратное уравнение, корнями которого
были бы
Ух=== X) -j' х2 , у^:==- Xi + х2 •
295. Два самолета летят в одном направлении по прямой со
скоростями v и w. Первый пролетает над городом А в момент t > О,
второй над городом В в момент 7,>0, считая от некоторого общего начала
отсчета времени. Когда самолеты сойдутся, если известно, что
расстояние между А и В равно d и что самолеты нагоняют друг друга между
А и В. Найти условия возможности задачи при
t<T, *>7\ v<w, у>ш.
296. Построить прямоугольный треугольник по данной
гипотенузе с и высоте h, опущенной на гипотенузу. Найти длины катетов
и выяснить, при каком соотношении между hue задача возможна.
297. Найти геометрическое место точек, для которых разности
расстояний до двух данных прямых равны отрезку данной длины.
Разобрать случаи параллельных и пересекающихся прямых.
298. Найти геометрическое место центров сечений шара
плоскостями, проходящими через данную прямую. Разобрать случаи, когда
прямая пересекает шар, касается его, или не имеет с ним общих точек.
299. Решить уравнение
. /5я 4 1
Sin -pr- COSH* = —.
Вариант 3
300. Корни уравнения тх2 4- пх + п — 0 относятся как р : q
(т > 0, п > 0, р > 0, q > 0). Показать, что тогда при
соответствующем выборе знаков перед радикалами.
301. Сосуд, наполняемый последовательно двумя жидкостями,
плотности которых равны d и D, весит соответственно q w Q кг,
включая сюда и вес самого сосуда. Найти вес сосуда и его объем.
Найти условия возможности задачи.
38

302. Данный треугольник ЛВС пересечь прямой DE \\ ВС так,
чтобы площадь треугольника BDE равнялась бы заданной
величине k2. При каком соотношении между k2 и площадью треугольника
ЛВС задача возможна и сколько она имеет решений?
303. Даны две окружности разных радиусов, лежащие одна вне
другой, и точка Л на одной из них. Провести третью окружность,
касающуюся двух данных и проходящую через точку Л. Разобрать
различные возможные случаи положения^ точки Л на заданной
окружности.
304. Найти геометрическое место центров сечений шара
плоскостями, проходящими через данную точку. Разобрать случаи, когда
данная точка находится вне, на или внутри шара. _
305. Подобрать в уравнении ctg (m cos 2?,х) = V 3 коэфициент
т > 0 так, чтобы уравнение имело корнями х =dt Л и затем найти
б
при найденном значении т все остальные решения уравнения.
Вариант 4
306. Пусть х1 и х2 —корни уравнения ах2 -f- Ъх -f- с ~ 0. Не
решая уравнения, выразить через его коэфициенты величины
1) Ti + A. 2) *i4 + *if *." + *i*.
хх х2
307. Имеется некоторое количество равных шаров. Их можно
уложить в виде квадрата, или же в виде правильного треугольника.
Найти число этих'шаров, если известно, что при треугольном их
расположении в стороне треугольника будет на 2 шара больше, чем
в стороне квадрата при квадратном их расположении.
308. На стороне Л В прямоугольника ЛВСВ найти такую точку Е,
из которой стороны ЛВ и DC были бы видны под равными углами. При
каком соотношении между сторонами прямоугольника задача
возможна?
309. Даны два равных полукруга, касающиеся друг друга так,
что диаметры их лежат на одной прямой. Проводим к ним общую
касательную и вписываем первый круг, касающийся этой прямой и двух
данных кругов; затем вписываем второй круг, касающийся первого
и снова двух данных, затем третий круг, касающийся второго и двух
данных и т. д. до бесконечности. Доказать, пользуясь этим
построением, справедливость равенства (в котором число дробей бесконечно);
J.+J.+ L,-!, 4- 1—4- ~1
b2t2.3r3.4t4.5r,,,t n(n-r 1) "*" *
310. Найти геометрическое место точек, из которых можно
провести к данному шару радиуса R три касательных, образующих
трехгранный угол с тремя прямыми плоскими углами.
311. Решить уравнение:
sin (п cos х) — cos (я sin x)t
29

ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
(1948 год)
Вариант 1
312. Два поезда отправляются навстречу друг другу один из
Москвы, другой из Ленинграда. Они могут встретиться на половине
пути, если поезд из Москвы отправляется на 1,5 часа раньше. Если
бы оба поезда вышли одновременно, то через б часов расстояние
между ними составляло бы десятую долю первоначального. Сколько
часов каждый поезд употребляет на прохождение пути между Москвой
и Ленинградом?
313. Решить систему уравнений:
314. Решить уравнение
Ь cosec2* = Ь ctg2x + Ь + a clg х.
315. В правильной четырехугольной пирамиде, высота которой
3,6, а сторона основания 4,2, помещен куб, четыре вершины которого
находятся на основании пирамиды, а остальные четыре на боковых
ребрах. Определить сторону куба.
Вариант 2
316. Сосуд в 20 литров наполнен горячей водой. Из него выливают
некоторое количество воды в другой, равный ему и, дополнив
остальную часть холодной водой, дополняют этой смесью первый сосуд.
о
Затем из первого отливают 6—. литра во второй, после чего в обоих
о
сосудах содержится одинаковое количество горячей воды. Сколько
отлито первоначально горячей воды из первого сосуда во второй?
317. Решить систему уравнений:
хх+У = у12, ухУ =zx\
Решить уравнения, ограничившись решением х > 0, у > 0.
318. Решить уравнение
(cos х + sin x)2 — sin 2x
1 "
cos4 x + -г sin2 2x
1 4
319. Найти радиус шара, вписанного в круглый прямой конус.
Высота конуса ht объем его v.
40

Вариант 3
320. Сумма цифр трехзначного числа равна 11, сумма квадратов
тех же цифр 45. Если от искомого числа отнять 19$, то получится
число обращенное. Найти это число.
321. Решить систему уравнений:
хх* = у, х*х~Х = уК
322. Решить уравнение
2sin2-|- + 3cos2^ — 2
"2" ~ sin2 2л: (1 + ctg2 2л:) *
323. Основание наклонной призмы — треугольник, стороны
которого: 35, 21, 28, а расстояние между двумя ее основаниями 59.
Определить объем.
Вариант 4
324. Из бака, наполненного спиртом, вылили часть спирта и
долили водой; потом из бака вылили столько же литров смеси: тогда
в баке осталось 49 литров чистого спирта. Вместительность бака
64 литра. Сколько спирта вылили в первый раз и во второй раз?
325. Найти х, если
l-lg5=^(lg^+lg*+4>g5).
326. Решить уравнение
4 cos2 х -f- sin x cos x + 3 sin2 x = 3.
327. Образующие прямого круглого конуса касаются шара,
вписанного в конус по параллели 60°. Найти объем конуса, если радиус
шара равен 2.
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
(1949 год)
Алгебра (с тригонометрией)
Вариант 1
328. Найти четырехзначное число по следующим условиям:
сумма квадратов крайних цифр равна 13, сумма квадратов средних
цифр равна 85, цифра тысяч на столько же больше цифры единиц, на
сколько цифра сотен больше цифры десятков; если же из искомого
числа вычесть 1089, то получится число, записываемое теми же
цифрами, но в обратном порядке.
329. Даны два уравнения:
х2 + ах + 1 = 0,
х2 + х + а == 0.
41

Определить все значения коэфициента а, при которых эти
уравнения имеют хотя бы один общий корень.
330. Решить систему уравнений:
хг + 4ху + 6у2=\\,
y* + 3yz + 2z2 = Q.
331. Решить уравнение
52Г-1 + 5*+1:=:250.
332. Доказать, что если
0<а<р<|-,
то
а — sina< р — sin £.
Вариант 2
333. На участке реки от Л до Б течение так слабо, что его можно
принять равным нулю; на участке же от Б до Б оно достаточно быстро.
Лодочник проплывает от Л до Б за три часа, а вверх — от Б до Л —
за три с половиной часа. Если бы на всем протяжении от Л до Б было
такое же течение, как от Б до Б, то весь путь от Л до Б вниз занял бы
два и три четверти часа. Сколько времени потребовалось бы в этих
условиях для того, чтобы подняться вверх от Б до Л?
334. Определить значение коэфициента а таким образом, чтобы
корни уравнения
2*2 + (2а— \)х + а— 1 = G
удовлетворяли соотношению
2>хх — 4х2— 11.
335. Решить систему уравнений:
ху + уг = 229,
yz + zx = 255,
zx + ху~ 196.
336. Решить систему уравнений:
ху = а2,
(\gx)* + (\gy)*=52(\ga*)\
S37. Решить уравнение
arctg (х — 1) + arctg x + arctg (x + 1) = arctg Зх.
42

Вариант 3
338. Найти трехзначное число по следующим условиям: а) его
цифры составляют геометрическую прогрессию; б) если из него
вычесть 297, то получится число, написанное теми же цифрами, но в об-
ратном порядке; в) если к цифрам данного числа прибавить
соответственно 8, 5 и 1, то полученные суммы составят арифметическую
прогрессию.
339. Определить значение а таким образом, чтобы один из корней
уравнения
4 '
был квадратом другого.
340. Решить систему уравнений:
ху(х + у) = 30,
х* + у* =, 35.
341. Решить систему уравнений:
642* + 642>'r=12,
64х+у=А V2.
342. Доказать, что если
0 <<•<-£, 0<p<j. 0<r<j
ТО
а В у
cos а + cos р + cos y = 1 + 4 sin -^ sin -- sin -~ ,
e + P + Y = гс-
Вариант 4
343. Пассажирский поезд идет из А в В и после 5 минут остановки
в В идет далее в С. Спустя 14 минут после того, как он покинул В,
ему встречается скорый поезд, скорость которого вдвое больше
скорости пассажирского поезда. Скорый поезд выехал из С в тот момент,
когда пассажирский поезд был на расстоянии 25 км от А. Кроме того
известно, что скорому поезду нужно 2 часа, чтобы пройти расстояние
Q
СВ, и что если он из А сразу возвратится, то прибудет в С на -— часа
4
позже прибытия пассажирского поезда. Сколько километров в час
делает каждый поезд и как удалены друг от друга пункты Л, Б, С?
344. Найти четыре числа, составляющие геометрическую
прогрессию, если известно, что после того как к ним прибавить
соответственно 1, 1, 4 и 13, они будут составлять арифметическую прогрессию.
345. Решить систему уравнений:
х-\- y + z= 1,
&+у* + * = 1,
х* + у* + г*=1.
43

346. Решить уравнение
lg*5V5—| = (lg.v У 5)».
347. Вычислить (без таблиц)
cos 20°. cos 40°. cos 80°.
Геометрия
Вариант 1
348. Две окружности, радиусы которых равны а и 6, —
пересекаются. Расстояние между их центрами равно с. Найти радиус
окружности, касающейся данных окружностей и их общей касательной.
349. Основанием пирамиды является прямоугольный
треугольник с катетами 6 и 8. Вершина пирамиды удалена от плоскости ее
основания на расстояние, равное 24, и проектируется на эту плоскость
в точку, лежащую внутри основания. Найти ребро куба, четыре
вершины которого лежат в плоскости основания данной пирамиды, а
ребра, соединяющие эти вершины, параллельны соответствующим
катетам треугольника, лежащего в основании пирамиды. Четыре другие
вершины куба лежат на боковых гранях данной пирамиды.
Вариант 2
350. Даны длины а и Ь хорд круга радиуса R. Найти длину
хорды, соответствующую сумме дуг, которые стягиваются данными
хордами.
351. Стороны равнобочной трапеции касаются круглого цилиндра,
ось которого перпендикулярна к параллельным сторонам трапеции.
Найти угол, который образует ось цилиндра с плоскостью трапеции,
если длины оснований трапеции равны а и 6, а высота трапеции
равна п.
Вариант 3
352. На отрезке и двух его неравных частях как на диаметре
построены полуокружности (расположенные по одну сторону от
данного отрезка). Даны радиусы а и Ъ меньших полукругов.
Определить радиус окружности, касающейся всех полукругов.
353. Осевое сечение конуса — две взаимно перпендикулярные
прямые. На одной и той же образующей конуса взяты две точки А и В
на расстоянии а друг от друга. На поверхности конуса взяты еще две
точки С и D такие, что ABCD — правильный тетраэдр. Найти
расстояние от вершины конуса до ребра CD этого тетраэдра.
Вариант 4
354. На сторонах ВС, СА и АВ треугольника ABC взяты
соответственно точки Р, Q, R такие, что
ВР __ CQ _ АЯ_
РС~а' QA~^' RB~V
44

Найти отношение площади треугольника PQR к площади
треугольника ЛВС.
355. Ребро куба равно а; АВ — его диагональ. Найти радиус
сферы, касающейся трех граней, сходящихся в вершине А и
касающейся трех ребер, выходящих из вершины В. Найти также часть
поверхности этой сферы, которая лежит вне куба.
ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
(1949 ГОД)
Алгебра (с тригонометрией)
Вариант 1
356. Решить систему:
х + у + г = 0,
х2 + у2 — г2 = 20,
х4 + у* — z4 = 560.
357. Найти все значения х, при которых выражение
будет больше 1.
358. Доказать, что если
0<*<у, 0<?<|, 0<Y<!
и а + Р + Y = я>
то tg2|+tg2^+tg^|->l.
При каком условии имеет место знак равенства?
Вариант 2
359. Даны две прогрессии: арифметическая
Оц Яг» °з>- • • ат- • •»
и геометрическая
Ьъ bz, 63,...., bn, >
причем все члены этих прогрессий положительны и обе прогрессии
возрастающие. Кроме того дано: ах = Ьх и а2 = Ь2. Доказать, что все
члены арифметической прогрессии, начиная с а3, меньше
соответствующих членов геометрической прогрессии, т. е. что ап < Ьп при всех
п> 2.
45

360. Решить уравнение:
1 r x-y V х
361. Доказать, что если
о<«<|, o<p<f, о<т<-*-,
то равенство
cos2 a -f- cos2 p -f- cos2 у + 2 cos а cos p cos f = 1
имеет место тогда и только тогда, когда а + р-^-у =*гс.
Вариант 3
362. Дано
^i«2 + ЬгЬ2 = 0.
Доказать, что тогда будут выполнены следующие равенства:
al* + af=\,
я А + °А — о»
363. Доказать, что если а и b длины катетов, ас — длина
гипотенузы, то
364. Доказать, что
* , Зтс 1
cos-^ + cos---.
Вариант 4
365. Вычислить
ги + L
если г есть корень уравнения
2н»
•+4=-.
366. Решить систему:
(у+ 1)'= 10000,
(и _ \\*Х
КУ ' ~ (у+1)*
46

367. Дано
0<а<у, 0<Kf °<T<|.
Доказать, что сумма ot + Р + т будет находиться в первой четверти#
т. е.
тогда и только тогда, когда
tgatgP + tgMgY + tgYtga<l.
Геометрия
Вариант 1
368. Доказать, что сумма квадратов длин хорд, соединяющих
произвольную точку окружности радиуса R = 1 с вершинами
правильного вписанного в эту окружность пятиугольника, равна 10.
369. На расстоянии Ь от центра куба с ребром а перпендикуляр-
но к его диагонали проведена плоскость. Вычислить площадь, считая,
что
Вариант 2
370. АВ — сторона правильного треугольника, вписанного в
окружность радиуса /?. В меньший сегмент этой окружности,
отсекаемой от нее хордой АВ, вписан правильный треугольник, одна из
сторон которого перпендикулярна АВ. Найти длину стороны этого
треугольника.
371. В пирамиде SABC дано:
АВ~АС = а, Z.BAC = 4-
Грань SBC перпендикулярна к плоскости основания ABC, а грани
SBA и SCA образуют с плоскостью основания угол /. Определить объем
и боковую поверхность пирамиды.
Вариант 3
372. Центры четырех кругов расположены в вершинах квадрата
со стороной а. Радиусы всех кругов также равны а. Вычислить
площадь части плоскости, общей для всех кругов.
373. Два шара, радиусы которых равны R, касаются друг друга
и касаются граней двугранного угла 60°. Найти радиус шара, который
касается этих двух шаров и обеих граней двугранного угла.
47

Вариант 4
374. Точки Р и Q делят стороны ВС и С А треугольника ABC
в данных отношениях:
Пусть О — точка пересечения прямых АР и £Q. Найти отношение
площади четырехугольника OPCQ к площади данного треугольника.
375. Высота правильного тетраэдра служит диаметром сферы,
поверхность которой равна s. Вычислить площадь той части
поверхности сферы, которая находится внутри данного тетраэдра.
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТЫ
(1949 год)
(Дополнительные варианты)
Алгебра (с тригонометрией)
Вариант 1
376. Кусок материи стоит а руб. Если бы в куске было на Ь
метров больше, то каждый метр стоил бы на с руб. меньше. Сколько
метров было в куске?
377. Решить систему:
хг = 5* -f- //,
if = x + by.
378. Доказать, что
it 2л: 1
COS -р- COS г- = ~г
5 5 4
Вариант 2
379. Латунь состоит из меди и цинка. Сколько содержится меди и
цинка в 124 кг латуни, если 89 кг меди теряют в воде 10 кг; 7 кг цинка
теряют в воде 1 /сг, а 124 кг латуни теряют в воде 15 /сг?
380. Доказать, что если 0 < х < 1, то
381. Доказать, что если
то
0<а<р<у.
sin a sin I
а > В
48

Геометрия
Вариант 1
382. Л и В — две различные точки плоскости, I — данное
положительное число. На какой линии располагаются точки М, для
которых
М-р*
383. Все вершины равнобедренного треугольника, основание
которого равно 6, а высота равна 2, лежат на поверхности круглого
цилиндра, ось которого перпендикулярна к основанию треугольника
и образует с его плоскостью угол 60° Найти радиус цилиндрической
поверхности.
Вариант 2
384. Площадь прямоугольного треугольника равна б, а радиус
вневписанной окружности, касательной к одному из катетов, равен 3.
Найти стороны треугольника.
385. Ребро правильного тетраэдра равно а\ найти стороны,
периметр и площадь сечения, параллельного двум его-
скрещивающимся ребрам и отстоящего от центра тетраэдра на расстоянии Ь, причем
ЗАОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ. МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
(1949 год)
Алгебра (с тригонометрией)
Вариант 1
386. Решить уравнение
уа + х .у а + х __ ух
___ L. . _ — %
а х Ь
387. Преобразовать выражение
26 Ух^^Л
х- УИ*^1'
где 1 Л/Ц 1 ,/Т
причем
а > 0 и Ь > 0.
388. Доказать, что
tg 142°30' = 2 + У2 - VS - Уб.
4 П. С. Моденов. Сборник задач
49

Вариант 2
389. Найти все корни уравнения
л:6-1 = 0.
390. Доказать, что
cos (7 arc cos х)
есть многочлен 7-й степени относительно х. Найти этот многочлен!
391. Выразить cos-~- и ^п т? через sin а, считая, что
270°<а<450°-
Вариант 3
392. Какое соотношение должно существовать между р и q,
чтобы трехчлен третьей степени xz + рх + q делился бы без остатка
на квадрат двучлена х—'а. Предполагая это условие выполненным,
найти а.
393. Решить систему
х2 + ху-\-у2 = 2>7,
хг _|_ xz + г2 = 28,
(/2 + (/г + г2 = 19.
394. Доказать, что следующая последовательность чисел:
cf1==cos^+ /sin x,
Сз = cos 2x + / sin 2xt
a8 = cos Ъх -f- i sin 2>x,
an = cos nx + i sin ma:.
есть геометрическая прогрессия. Найти знаменатель этой прогрессии:
Пользуясь формулой для суммы sn n членов геометрической
прогрессии, найти sn и привести sn к виду А + Bit где А и В — действительны.
Вариант 4
3952. Косцы должны выкосить два луга. Начав е утра косить
большой луг, они после полудня работы разделились: одна половина
осталась на первом лугу и к вечеру его докосила, а другая половина
перешла косить на второй луг, площадью вдвое меньше первого.
Сколько было косцов, если известно, что оставшуюся часть работы
выполнил один косец в течение следующего дня.
1 Выражение вида щ cos (n arccos #), где п — целое
положительное число, является многочленом относительно х\ этот
многочлен был впервые рассмотрен знаменитным русским
математиком П. Л. Чебышевым.
2 Эта задача составлена знаменитым русским писателем Л. Н.
Толстым.
50

396. Доказать, что если
0<6<а2,
то
С точностью до какого десятичного знака верно приближенное
равенство
j/l,0002 =1,0001?
397. Решить уравнение
arc cos x = arc tg x.
Геометрия
Вариант 1
398. Найти сторону квадрата, вписанного в сегмент круга радиуса а,
если хорда этого сегмента стягивает дугу а.
399. Найти угол ребра SA с плоскостью грани SBC трехгранного
угла SABC, если /_BSC = а, £ CSA = Р, Z ASB = -у.
Вариант 2
400. В прямоугольной трапеции, высота которой равна 2/г, на
стороне, не перпендикулярной к основанию, как на диаметре, описана
окружность, и оказалось, что она касается противоположной стороны
трапеции. Найти площадь прямоугольного треугольника, у которого
катеты — основания трапеции.
401. Ребро куба ABCDA1B1C^Dl равно а. Найти радиус сферы,
проходящей через концы ребра ААХ> и касающейся грани двугранного
угла с ребром СС (ААХ, ВВЪ CCt и DDX — параллельные ребра куба,
ABCD — его верхняя грань, A1B1C1D1 — нижняя).
Вариант 3
402. Л, В, С, D — четыре последовательные вершины
правильного семиугольника. Доказать, что
АВ AC^AD
403. Найти косинус угла в осевом сечении прямого кругового
конуса, зная, что на его поверхности можно провести три попарно
перпендикулярные образующие.
Вариант 4
404. Найти длину биссектрисы угла ВАС треугольника ABCt
если АВ = с, АС = Ь, £ ВАС = А.
405. Даны три плоских угла трехгранного угла SABC:
/&SC = a, /С5Л = р, £ASB = i.
Найти двугранные углы этого трехгранного угла.
4* 51

ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
(1949 год)
I ТУР
Алгебра
Вариант 1
406. Из двух пунктов А и В одновременно навстречу друг другу
выезжают два велосипедиста и встречаются через / час. Какова
скорость каждого, если первый проезжает т км на q часов быстрее
второго и если расстояние ЛВ равно s км.
407. Найти пит, зная, что
408. Решить систему
я3 4- уг = а,
*2У + ХУ2 = Ь.
Вариант 2
409. Бассейн наполняется водой из двух кранов. Сначала первый
кран был открыт одну треть того времени, какое нужно было бы, чтобы
наполнить бассейн, открыв только второй кран. Затем, наоборот,
второй кран был открыт одну треть того времени, которое требуется для
наполнения бассейна одним первым краном. После этого оказалось
13
наполненными _ бассейна. Вычислить, сколько времени нужно для
18
наполнения бассейна каждым краном в отдельности, если оба крана,
открытые вместе, наполняют бассейн за 3 часа 36 мин.
410. Решить уравнение
VlgxVTx\g3x=r--L
Радикал в левой чяхти считается положительным.
411. Решить систему:
ах + by + cz — bx -\- су + az = ex -j- ay + bz = a -f b + г.
Вариант 3
412. А и В работали одинаковое число дней. Если бы А работал
на один день меньше, а Б на 7 дней меньше, то Д заработал бы 360 руб.,
а В —324 руб. Если бы, наоборот, А работал на 7 дней меньше, а В—
на один день меньше, то В заработал бы на 162 руб. больше А. Сколько
заработал каждый в действительности?
413. Решить уравнение
(0,4)1§2x+1^(6,25)2-ISx3
414. Решить уравнение

Вариант 4
415. Два поезда отправляются одновременно из Л и Б навстречу
друг другу. Скорость первого поезда на 10 км в час больше скорости
второго. Оба поезда встречаются на расстоянии 28 км от середины АВ.
Если бы первый поезд отправился из А на 45 мин. позже второго, то
оба поезда встретились бы на середине АВ. Найти расстояние АВ и
скорости обоих поездов.
416. Решить уравнение
1 . teflO» — *) _ 2-lg/>-g4
~*~1&а(х + Я) igP-q(x+~q)*
417. Доказать тождество
2а + Vct — b*
/а+ Va* — b*
^Вариант 5
418. Два вкладчика положили в сберкассу одинаковые суммы.
Первый из них взял вклад по истечении т месяцев и получил р руб.,
а второй, взяв вклад по истечении п месяцев, получил q руб. Сколько
каждый из них положил в сберкассу и сколько процентов выплачивает
сберкасса?
419. Решить уравнение
VlgxbVb +lg1/5-5)/5 lg|/5 x=-VQ.
Радикал считается положительным.
420. Решить систему:
х* + (У — ZY = а>
у% + (х — г)* = Ь,
г* + (х — У? = с.
Вариант 6
421. Для испытания разных систем два мотоциклиста выехали
одновременно из Л в В и из В в Л. Каждый ехал с постоянной
скоростью и, приехав в конечный пункт, тут же поворачивал обратно.
Первый раз они встретились в р км от В, второй раз в q км от А через
t часов после первой встречи. Найти расстояние между А и В и
скорости обоих мотоциклистов.
422. Решить уравнение
lg^21go_v2=.lg4,v2.
423. Решить уравнение, разлагая левую часть на множители
±_а\2 . (х~-а\2 ( <Lл. ъ\*2"~а* — о
53

Геометрия с тригонометрией
Вариант 1
• 424. В конус, образующая которого / наклонена к плоскости
основания под углом а, вписана правильная n-угольная призма,
все ребра которой равны между собой. Найти полную поверхность
призмы.
425. Доказать, что
sin a + sin b 4- sin с —sin (a 4- b -\-c) = 4 sin —^- sin —^- sin -y-.
426. Доказать, что прямые, соединяющие последовательно центры
квадратов, построенных на сторонах параллелограма, и примыкающих
к нему извне, образуют также квадрат.
Вариант 2
427. Вычислить объем правильной треугольной пирамиды, если
плоский угол при вершине равен а, а радиус окружности, описанной
около боковой грани, раЕен г.
428. Доказать, что
arc tg-g- + arc tg — + arc tg -y -f arc tg -g-== j.
429. На сторонах AB, AC и ВС треугольника, как на
основаниях, построены три равнобедренных подобных треугольника АВР,
ACQ, BCR, два первых — вне данного треугольника, а третий —
по ту же сторону, что и данный треугольник. Доказать, что APQR —
параллелограм.
Вариант 3
430. Доказать, что две плоскости, проходящие через концы
обеих троек ребер параллелепипеда, сходящихся в концах диагонали
параллелепипеда, рассекают эту диагональ на три равные части.
431. Доказать, что если
то а 4- b + с = тс,
1 а 1 b , . b , с , . с . а л
tg-o tg 2" -f tg -ё tg1+tgTtgT=l.
432. Доказать, что биссектрисы внутренних углов
параллелограма в пересечении образуют прямоугольник, диагонали которого
равны разности соседних сторон параллелограма.
Вариант 4
433. Около шара радиуса г описана правильная п-угольная
пирамида, у которой двугранный угол при основании равен а.
Найти отношение объема шара к объему пирамиды.
434. Решить уравнение
(sin х -f cos х) V2 = tg x + ctg x.
54

435. Доказать, что если из концов диаметра круга провести две
пересекающиеся хорды, то сумма произведений каждой хорды на
ее отрезок от конца диаметра до точки пересечения есть величина
постоянная.
Вариант 5
436. Правильная четырехугольная пирамида со стороной
основания, равной а, и двугранным углом при основании, равном 2 а,
пересечена плоскостью, делящей пополам двугранный угол при
основании. Найти площадь сечения.
437. При каких значениях а и Ь возможно равенство
sin а + sin Ъ = sin (а + Ь)7
438. Найти геометрическое место вершин прямого угла
неизменяемого прямоугольного треугольника, если две другие его вершины
скользят по двум взаимно перпендикулярным прямым.
Вариант б
439. Шар радиуса R вписан в пирамиду, в основании которой
лежит ромб с острым углом а. Боковые грани пирамиды наклонены
к плоскости основания под углом <р. Найти объем пирамиды.
440. 'Решить уравнение
sin 2x-\- igx—2.
441. Три окружности радиусов г, тх и R касаются попарно
внешним образом. Найти длину хорды, отсекаемой третьей окружностью
от общей внутренней касательной первых двух окружностей.
II ТУР
Вариант 1
442. В точке Л, находящейся на расстоянии а от центра круглого
биллиарда радиуса R, лежит упругий шарик, размерами которого
можно пренебречь. В какую точку В борта нужно его пустить, чтобы,
дважды отразившись от борта, он снова вернулся в точку Л?
443. В сферу радиуса R вписан правильный тетраэдр и все его
грани продолжены до пересечения со сферой. Линии пересечения
граней тетраэдра со сферой вырезают на ее поверхности 4 сферических
треугольника и несколько сферических двухугольников. Вычислить
площадь каждого из этих двухугольников и треугольников.
444. Найти алгебраические связи между углами Л, В, С, если
известно, что
tgЛ -r-tgB+tgC = tgi4 tgB tgC.
Найти затем при этом условии наименьшие положительные
значения углов, если, кроме того, дано, что угол Л равен полусумме углов
Б и С, а угол С — сумме Л и В.
55

445. Доказать, что если
а21 + а22+...+а* = р*,
«А + «А + • • • + anbn = pq,
то
3= ??= — ^ — L
если только все величины, входящие в данные равенства, вещественны.
446. Доказать, что сумма произведений высот остроугольного
треугольника на отрезки их от ортоцентра до вершин равна
полусумме квадратов сторон. Обобщить это предложение на случай
тупоугольного треугольника.
Вариант 2
447. Какая зависимость должна существовать между р и q для
того, чтобы уравнение xi + рх2 + q = 0 имело четыре корня,
образующие арифметическую прогрессию.
448. Биллиард имеет форму острого угла величины а, стороны
которого продолжены достаточно далеко в одном направлении. Из
некоторой внутренней точки А под углом р к одному из бортов пущен
упругий шарик (размерами которого можно пренебречь). Выяснить
как происходит отражение шарика от бортов в зависимости от
величины аир. Найти условия, при которых: 1) шарик после нескольких
отражений от бортов, начинает двигаться в обратную сторону; 2)
отражение от бортов прекращается и шарик вылетает из биллиарда;
3) шарик проходит вновь через точку Л.
449. Куб пересекается плоскостью, проходящей через одну
из его диагоналей. Как должна быть проведена эта плоскость, чтобы
площадь сечения получилась наименьшей?
450. Решить уравнение
кх 2к х 4 хк 8к х 16 я л; 1
cos Ж cosЖ cos-зГ cos ~зГ cos IT=32 •
451. Доказать, что квадрат биссектрисы, проведенной через
вершину произвольного треугольника, равен произведению боковых
сторон без произведения отрезков основания. Выяснить, во что
переходит указанное равенство в случае равнобедренного треугольника.
Вариант 3
452. Зал, имеющий в плане форму квадрата со стороной а,
перекрыт крышей, построенной следующим образом: каждая пара
смежных вершин квадрата, образующего потолок зала, соединена прямыми
с серединой противолежащей стороны и на получившемся
треугольнике, как на основании, построена пирамида, высота которой h лежит
на одной из ее боковых граней и проектируется в середину стороны
56

квадрата. Расположенные выше других части граней этих четырех
пирамид образуют крышу. Найти объем чердака (т. е. пространства
между потолком и крышей).
453. Найти, какому условию должны удовлетворять
вещественные коэфициенты al9 bv a2, b2, a3) bZi чтобы выражение
(а, + Ьхх)* + (а, + М2 + К + W
было квадратам многочлена первой степени относительно х.
Показать, что в этом случае корень многочлена будет зависеть только от
отношения -1 (или также -2 или -3).
6i bz b3
454. Решить уравнение
2 ctg 2x — 3 ctg Sx -= tg 2*.
455. Дан прямоугольный треугольник с одним из острых углов,
равным а. Найти отношение радиусов описанной и вписанной
окружностей и определить, при каком а это отношение будет наименьшим.
456. Доказать, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна
сумме квадратов боковых сторон с удвоенным произведением
оснований.
Вариант 4
457. Уравнения
х* + p2x+q2=0, рхфр2
имеют общий корень. Найти этот корень, а также остальные корни
обоих уравнений.
458. Определить радиусы двух шаров, которые, пересекаясь,
образуют двояковыпуклую линзу, если известно: толщина линзы 2а,
полная поверхность ее s и диаметр линзы 2R.
459. В треугольнике ЛВС возьмем на основании ВС или на его
продолжении произвольным образом точку D и опишем вокруг
треугольников ABD и ACD окружности. Доказать, что отношение
радиусов этих окружностей есть величина постоянная. Найти такое
положение точки D, для которого эти радиусы будут иметь наименьшую
величину.
460. Найти самый общий вид решений неопределенной системы
tg*-=tg(y — г),
tg0 = tg(z — *).
Как изменятся эти решения, если к заданным уравнениям
прибавить условие tg г = a tg (л: — у)> где а — какое угодно вещественное
число?
461. Выразить диагонали вписанного четырехугольника через
его стороны. Получить отсюда затем теорему Птоломея:
произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме
произведений противоположных сторон.
57

ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
(1949 год)
Вариант 1
462. Найти пять таких последовательных целых чисел, чтобы
сумма двух больших была равна сумме трех остальных.
463. Основанием пирамиды служит равнобедренный
треугольник, у которого основание равно а, а боковая сторона равна Ь.
Боковые грани образуют с основанием равные двухгранные углы.
Определить высоту пирамиды.
464. Решить уравнение
465. Решить уравнение
3* . Зх
1 — sin5,v=( cos-^-— sin~/J
Вариант 2
466. Ученики одного класса сложились поровну и купили
географическую карту за 4 руб. 20 коп.; если бы учеников в классе было
на 7 меньше, то каждому пришлось бы заплатить на 5 коп. больше.
Сколько учеников в классе?
467. Ребра оснований правильной усеченной треугольной
пирамиды равны соответственно а и Ь. Определить ее высоту, если
известно, что боковые грани образуют с плоскостью основания равные
двугранные углы а.
468. Решить уравнение
л1Ьс»(х«-1)=:5#
469. Решить уравнение
sin2 х — соь2* — cos fr.
Вариант 3
470. Отец хочет разделить J80 яблок между 11 детьми; для этого
половину всех яблок он отдает "сыновьям, которые делят их поровну,
а другую половину дочерям, которые тоже их делят поровну.
Оказалось, что каждая дочь получила на 3 яблока больше, чем каждый сын.
Сколько было сыновей и дочерей?
471. Дуга, стягиваемая хордой длины а, вращается около
диаметра, проведенного из ее конца и образующего с хордой угол ?.
Определить площадь полученной поверхности.
472. Решить уравнение
2 2 = 16 1х2 •
473. Решить уравнение
tg7*+tg3* = 0.
58

Вариант 4
474. В некоторой дроби знаменатель на единицу больше
удвоенного числителя; если к членам этой дроби прибавить по 5 и полу-
7
ченную дробь умножить на первоначальную, то получится Ка-
кова данная дробь?
475. Около шара радиуса R описан усеченный конус,
образующая которого составляет угол а с плоскостью большего основания.
Определить объем и боковую поверхность усеченного конуса.
476. Решить систему уравнений:
477. Решить уравнение
2 cos 2* + 2cos4* + 3sins2x = l.
ГЕОЛОГО-ПОЧВЕННЫЙ ФАКУЛЬТЕТ
(1949 год)
Вариант 1
478. Число десятков некоторого двухзначного числа на единицу
больше числа единиц; произведение же этого числа на число
обращенное равно 2430. Каково данное число?
479. Около шара радиуса R описана правильная шестигранная
пирамида, боковая грань которой составляет с плоскостью
основания угол а. Определить боковую поверхность и объем пирамиды.
480. Решить уравнение
lg10 ^5^4 + lgl0 i/JTJTl = 2 + lg10 0,18.
481. Решить уравнение
sin 5х + sin Зл: — sin 4x.
Вариант 2
482. Ученик при перемножении двух чисел, из которых одно на
94 больше другого, ошибся, уменьшив в произведении цифру
десятков на 4. При делении ошибочного произведения на больший из
множителей он получил в частном 52, а в остатке 107. Какие числа он
перемножал?
483. Основанием пирамиды служит прямоугольник, площадь
которого равна Q. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к
основанию, а две другие образуют с ним углы а и р. Определить объем
пирамиды.
484. Решить уравнение
59

485. Решить уравнение
tg ^ — sin дг = 2 sin2 ^
,i*
Вариант 3
486. Числитель некоторой дроби на 3 меньше знаменателя. Если
эту дробь сложить с дробью, полученной перестановкой числителя
и знаменателя данной, то получится -_1. Найти исходную дробь.
487. В конус с образующей /, наклоненной к плоскости
основания под углом а, вписан шар,, а в него вписан куб. Определить
поверхность куба.
488. Решить уравнение
х 2 = V Ю.
2"
489. Решить уравнение
1 -\- cos х — ct
Вариант 4
490. Число десятков двухзначного числа на 5 больше числа его
единиц; произведение же этого числа на сумму его цифр равно 648.
Какое это число?
491. В конус, образующая которого составляет угол at с
плоскостью основания, вписан полушар так, что больший круг полушара
лежит на плоскости основания. Определить, в каком отношении объем
конуса делится сферической поверхностью,
492. Решить систему уравнений
ху = 40,
^gi.y — 4;
493. Решить уравнение
sin Зл; — sin x cos 2x.
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
(1949 год)
Вариант 1
494. Несколько человек должны были заплатить поровну всего
72 руб. Если бы их было тремя менее, то каждому пришлось бы
выплатить на 4 руб. больше. Сколько их было?
495. Радиус земли равен 6300 км. На какую высоту над
горизонтом следует подняться, чтобы линия горизонта проходила на
расстоянии 100 км от наблюдателя?
60

496. Решить уравнение
2ig8 (x*-6x-f 9) __ з2 {gx ^-\
497. Доказать, что при *>1,
2х
1 + х2
2 arc tg л: -[- arc sin t , 2-
Вариант 2
498. Бассейн наполняется двумя трубами за б часов. Одна
первая труба заполняет его на пять часов скорее, чем одна вторая. Во
сколько времени каждая труба, действуя отдельно, может наполнить
бассейн?
499. Образующая прямого кругового конуса составляет угол а
с плоскостью основания. Объем конуса равен v. Определить радиус
основания и высоту этого конуса.
500. Решить уравнение
\ga vl + x + 3 \ga2 (1 - *) = lgei (1 - *V + 2.
501. Решить уравнение
^3 - . 1
— cos5* + ?
Вариант З
502. Куплен товар двух сортов: первого на 150 руб., второго на
120 руб. Второго сорта на 3 кг больше, чем первого, и стоит он за
килограмм рублем дороже. Сколько каждого сорта товара куплено?
503. Угол при вершине осевого сечения прямого кругового
конуса равен 2с/, а его высота равна h. Определить радиус шара,
вписанного в конус.
504. Решить уравнение
505. Решить уравнение
sin3*-f cos3*— l.
Вариант 4
506. Два лица выезжают одновременно из городов Л и В
навстречу друг другу. Первый проезжает в час двумя километрами больше
второго и приезжает в город В часом раньше, чем второй в Л.
Расстояние ЛВ равно 40 км. Сколько километров в час проезжает каждый из
них?
507. Около шара радиуса R описан прямой круговой конус, в ко»
тором угол между образующей и плоскостью основания равен а.
Определить боковую поверхность этого конуса.
61

508. Решить уравнение
а1^4 =xlgX (Х*~ХК
509. Решить уравнение
2 cos л: — cos2x= 1.
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ. ЗАОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
(1949 год)
Вариант 1
510. Решить уравнение
Vx-\-b-\- )/2* +8 = 7.
511. Определить объем правильной четырехугольной пирамиды,
боковое ребро которой равно /, а плоский угол при вершине равен а.
512. Решить уравнение
sin х + sin 2х + sin 3* = 1 + cos x + cos 2х.
Вариант 2
513. Доказать, что сумма первых п целых нечетных чисел есть
квадрат некоторого целого числа.
514. Найти поверхность сферы, вписанной в конус, у которого
высота равна /г, а радиус окружности, лежащей в основании, равен г.
515. Дано
3
cos х ■= -г.
4
Вычислить
on • X . ЪХ
32 sin -^ sin у .
Вариант 3
516. Решить систему уравнений
*#=40,
*|«у=4.
517. Определить объем конуса, если известно, что его боковая
поверхность, будучи развернута на плоскость, дает круговой сектор
с радиусом / и центральным углом а.
518. Доказать тождество
tg a tg p cos2 a cos2 p '
02

Вариант 4
519. Найти все шесть корней уравнения
520. В усеченном конусе диагонали осевого сечения взаимно-
перпендикулярны, а образующая составляет с плоскостью нижнего
основания угол а и равна /. Определить объем этого конуса.
521. Решить уравнение
1 + ^3 / .ч
cos 2х = —*— (cos х — sin х).
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ
ИНСТИТУТ ИМЕНИ В. И. ЛЕНИНА
Вариант 1
522. В зрительном зале имеется а стульев, расположенных
рядами по одинаковому числу стульев в каждом ряду. Если в каждом
ряду добавить по Ь стульев, а число рядов уменьшить на с рядов, то
общее число мест в зрительном зале увеличится на одну десятую
прежнего количества стульев. Сколько было стульев в каждом ряду?
523. Решить систему уравнений
4,*2 + %2=10,
2ху= — 1.
524. В основании четырехугольной пирамиды находится ромб,
большая диагональ которого равна d см и острый угол а. Каждая из
боковых граней пирамиды наклонена к основанию под углом f.
Определить боковую поверхность пирамиды.
525. Решить уравнение
sin 5х — sin Зх + sin х = 0.
Вариант 2
526. Поезд Л, скорость которого vt выходит после поезда В,
скорость которого vx. Задержка выхода поезда рассчитана так, чтобы оба
поезда одновременно прибыли к месту назначения. Поезд В, пройдя
о
_пути, вынужден был наполовину уменьшить свою скорость. Вслед-
о
ствие этого поезда встретились за а км до места назначения.
Определить длину пути до станции назначения.
527. Определить а и Ь так, чтобы система
ах — by ~ 1,
{\ + а)х + 2Ьу = Ь
имела бесконечное множество решений.
63

528. В трехгранном угле SABC плоский угол BSC прямой,
плоские углы ASB и ASC равны между собой и каждый равен а.
Определить угол наклона ребра SA к плоскости противоположной грани.
529. Решить уравнение
8 sirr\jt + sin x cos x -f- cos2 x = 4.
Вариант З
530. На расстоянии d друг от друга на отрезке ЛВ прямой
расположены п камней. Определить на продолжении этой прямой за точку
А такую точку М, чтобы путь, который необходимо сделать для
переноса всех камней в эту точку последовательно по одному и вернуться
в точку Л, был в 5 раз больше пути, необходимого для переноса всех
камней в точку Л, где находится первый. Перенос камней начинать
с первого.
531. При каких целых к корни квадратного уравнения
kx2—{l—2k)x-\- к = 2 — рациональны?
532. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при
вершине равен а. Определить угол между противоположными
боковыми ребрами.
533. Решить уравнение
1 -с ( Ъх . Злг\а
1 — sin 5лг = I cos -£- — sin -- J .
Вариант 4
534. По окружности длиной с, равномерно и в одном
направлении движутся две точки, которые сходятся через каждые t секунд.
Найти скорости каждой точки, зная, что одна из них пробегает всю
окружность на п секунд быстрее другой.
535. ПрЪ каких значениях к трехчлен
(k + 3) х* — 5л; + | k
положителен при любом значении х.
536. Образующая конуса составляет с его высотой угол а. Найти
отношение объемов шаров: описанного около конуса и вписанного
в конус.
537. Привести к виду, удобному для логарифмирования
1 + tg2atga ^
ctga + tga -
Вариант 5
538. Из пункта А по направлению в В вышел пешеход. Через а
часов после того из В навстречу пешеходу выехал велосипедист и
через b часов после своего выезда встретил пешехода. Сколько времени
надо велосипедисту и сколько пешеходу, чтобы пройти весь путь
между А и В, если велосипедисту на это требуется на с часов меньше,
чем пешеходу?
64

539. При каких действительных значениях хну справедливо
следующее равенство
■ l + / -1 6и
540. Найти полную поверхность куба, вписанного в конус,
образующая которого равна / и составляет с ребром куба,
перпендикулярным основанию конуса, острый угол а.
541. Привес 1 и к виду, удобному для логарифмирования
cos a -\- sin 2а — cos За.
Вариант б
542. Двое рабочих должны были за t часов сделать по
одинаковому числу деталей. Один из них выполнил задание за это время. Но
второй за то же время сделал на а деталей больше, чем первый, так
как на обработку каждой детали затрачивал на т минут меньше, чем
первый. Сколько деталей сделал каждый рабочий?
543. При каких целых значениях k решение системы
kx — 2у~3,
Зх -\-ky~A
удовлетворяет условиям х > 0 и у < 0>
544. В шар радиуса R вписана пирамида, в основании которой
квадрат. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию.
Большее боковое ребро составляет с пересекающей его стороной
основания угол а. Найти боковую поверхность пирамиды.
545. Привести к виду, удобному для логарифмирования.
2 + tg 2а + ctg 2а.
Вариант 7
546. Часы показывают в некоторый момент на т минут меньше,
чем следует, хоть и идут вперед. Если бы они показывали на п минут
меньше, чем следует, но уходили бы в сутки на / минут больше,
чемуходят,то верное время они показали бы на сутки раньше, чем
покажут. На сколько минут в сутки эти часы спешат?
547. Решить уравнение
!g*-3(2*3— 3jc—61) = 2.
548. Основанием пирамиды, высота которой равна h, служит
ромб с острым углом а. Каждая из боковых граней наклонена к
основанию под углом р. Найти полную поверхность этой пирамиды.
549. Решить уравнение
4 cos2 2х + 8 cos2 х — 7.
5 П. С. Моденов. Сборник задач
65

Вариант 8
550. Трое рабочих могут совместно выполнить некоторую работу!
за t часов. Первый из них, работая один, может выполнить эту ра-,
боту вдвое скорее третьего и на один час скорее второго. Во сколько
времени каждый из них, работая отдельно, может выполните эту
работу?
551. Вычислить
19~ ' % (3 ^зГ^Лэ""0,25—(3 УзГ3}9
552. Углы, образуемые диагональю прямоугольного
параллелепипеда с его гранями, пересекающимися в одной из его вершин,
равны а, р, у. Доказать, что
sin2 a -f- sin2 f -f- sin2 у = 1.
553. Вычислить
cos[^- arc tg( —2,4) J.
Вариант 9
554. Из двух мест Л и Б вышли одновременно два пешехода
навстречу друг другу. При встрече оказалось, что первый прошел на
а км больше, чем второй. Если они будут продолжать путь, то, идя
с прежней скоростью, первый придет в В через т часов, а второй
придет в А через п часов после встречи. Найти скорости каждого
пешехода.
555. Произвести деление
2 — з У 3 — (2 V 3" + 3) /
3 + 2/*
и частное представить в тригонометрической форме.
556. В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб так,
что вершины его лежат на апофемах пирамиды. Найти отношение
объема пирамиды к объему куба, зная, что угол между высотой
пирамиды и ее боковой гранью равен а.
557. Решить уравнение
6 arc sin (x2 — 6л: + 8,5) = я.
Вариант 10
558. Из двух городов, расстояние между которыми равно а км,
вышли навстречу друг другу два поезда. Первый поезд, скорость
которого на v км/ч больше скорости .второго поезда, вышел на с часов
позже второго и, пройдя о расстояния между городами, встретил
второй поезд. Найти скорости каждого поезда.
559. Упростить выражение
66

560. Доказать, что около всякой треугольной пирамиды можно
описать шар.
561. Решить уравнение
V3- sin 2х + cos2jc= V2.
Вариант 11
562. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, обладающей тем свойством, что если от первого ее члена
отнять 20, то первые три числа составят арифметическую
прогрессию, если же после того к третьему числу прибавить 4, то
прогрессия вновь станет геометрической.
563. При каких натуральных значениях х
Vx2 — 3i—20
действительное число?
564. Тупоугольный треугольник, острые углы которого а й )
и меньшая высота равна Л, вращается около стороны,
противолежащей углу р. Найти поверхность тела вращения.
565. Вычислить
sin [iarectg (--J-)]-
Вариант 12
566. Вычислить сумму семи первых членов геометрической
прогрессии, обладающей тем свойством, что ее первые три члена, сумма
которых равна 608, можно рассматривать как 1-й, 3-й и 6-й члены
арифметической прогрессии.
567. Решить неравенство
х2 + 1 > 1'
568. Боковое ребро прямой призмы равно а. В основании ее
прямоугольный треугольник, меньший из углов которого равен а. Через
меньший катет основания и середину противолежащего бокового
ребра проведено сечение, составляющее с плоскостью основания
угол р. Найти площадь сечения.
569. Решить уравнение
sin х + sin Zx = sin 2x + sin Ax.
Вариант 13
570. Из пунктов Л и В, расстояние между которыми d км,
навстречу друг другу выехали одновременно мотоциклист и
велосипедист. Через 2 часа они встретились и не останавливаясь продолжали
путь. Мотоциклист прибыл в В на / часов раньше, чем велосипедист —
в А. Найти скорости мотоциклиста и велосипедиста.
571. Решить уравнение
(2х)1+,г2х = 0,00Г 3.
Б*
67

572. Основанием пирамиды служит прямоугольный
треугольник, гипотенуза которого с и один из острых углов а. Каждая из
боковых граней пирамиды наклонена к основанию под углом р. Найти
боковую поверхность пирамиды.
573. Вычислить sin —, если ctga= -—2,4 и 450° < a < 540°,
Вариант 14
574. Чтобы выкачать воду из котлована, поставили два насоса.
Но после того как они оба работали совместно а часов, второй насос
прекратил работу и один первый выкачал оставшуюся воду за Ь часов.
Определить время, необходимое каждому насосу отдельно, чтобы
выкачать всю воду, если известно, что один первый может выкачать всю
воду из котлована на с часов быстрее, чем один второй.
575. Решить уравнение
lgjh4*-1 = 1 — Ig 1,25.
576. Около конуса описан шар радиуса R. Угол при вершине
осевого сечения конуса равен а. Найти объем конуса.
577. Вычислить
Вариант 15
578. Катер прошел от пристани против течения реки s км и, не
останавливаясь, вернулся назад только на половину пройденного
пути. На все движение туда и обратно катер затратил t часов.
Определить скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна
и км в час.
__ 2
579. В разложении (xs 3 + Vx)m найти член, содержащий хг\
зная, что седьмой член имеет наибольший коэфициент.
580. Найти поверхность шара, описанного около правильной
4-угольной пирамиды, если сторона основания равна а, а боковое
ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом а.
581. Решить уравнение
cos (45° + 2х) = 2 sin (45° — 2л:).
Вариант 16
582. Два трактора различной мощности вспахали поле, работая
совместно, за t дней. Если бы сначала работал только один трактор
и вспахал бы половину поля, а затем один второй закончил бы работу,
то при таких условиях поле было бы вспахано за k дней. Во сколько
дней каждый трактор, работая отдельно, может вспахать все поле?
68

583. При каком значении к система
— х -f kij ~ 5,
kx — ty = 15
имеет бесконечное множество решений
584. В прямоугольном параллелепипеде угол между диагональю
основания и его стороной равен а. Диагональ параллелепипеда равна
d и образует с плоскостью основания угол з. Найти боковую
поверхность параллелепипеда.
585. Решить уравнение
sin(2x—£) = si./3* + jQ.
Вариант 17
586. Спортивная площадка имеет форму прямоугольника со
сторонами а метров и Ь метров. Площадка окаймлена дорожкой всюду
одинаковой ширины. Площадь дорожки равна площади спортивной
площадки. Определить ширину дорожки.
587. Определить в разложении бинома
тот член разложения, который после всех упрощений содержит
одинаковые степени а и Ь. Биноминальные коэфициенты 4-го и 12-го
членов разложения равны между собой.
588. Образующая конуса равна / и составляет угол (J с высотой
конуса. Найти площадь сечения этого конуса плоскостью, проходящей
через его вершину, и составляющей угол а с его высотой.
589. Вычислить
2 arc sin f — j -f- arc ctg (— 1) + arc cos —=. -f- -- arc cos ( — 1).
Вариант 18
590. 93 кг гвоздей разложены в четыре ящика так, что веса
первых трех образуют геометрическую прогрессию, а веса второго,
третьего и четвертого — арифметическую. В четвертом ящике гвоздей
в три раза больше, чем в первом. Сколько гвоздей в каждом ящике?
591. При каких значениях тип многочлен 5лг° — тхъ-\-2пх2—
— 2л: 4- 3 делится на х2 — 1?
592. В основании прямой треугольной призмы находится
равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной а и углом при
основании а. Через основание этого треугольника внутри призмы под
углом 'f проведена плоскость. Определить площадь сечения, зная,
что в сечении получился треугольник.
593. Решить уравнение
sin2 Зл: — sin 6л: — 3 cos2 Зл: — 0.
G9

Вариант 19
594. Сумма двух чисел на 76 больше их среднего геометрического.
Квадратный корень одного числа на 6 больше квадратного корня из
другого числа. Найти эти числа.
595. При каких значениях х дробь - -2 7~т~ меньше 2.
З*2 — х-~ 4
~х% + 1
596. В правильную 4-угольную пирамиду вписан шар.
Определить полную поверхность пирамиды, если расстояние центра шара от
вершины пирамиды равно а, а угол наклона боковой грани к
плоскости основания равен а.
597. Проверить равенство
arc cos у + arc cos f — J — arc cos ( . J.
Вариант 20
^98. Число лет среднего брата есть среднее пропорциональное
между числами лет старшего и младшего братьев; t лет тому назад
число лет старшего брата равнялось сумме лет среднего и младшего
братьев. Определить возраст каждого брата, зная, что средний брат
старше младшего на а лет.
599. Решить уравнение
^ 1-Ъ Б2-Х ~ 10-2 •
600. В правильной 4-угольной призме сторона основания равна а.
Через диагональ нижнего основания и вершину верхнего основания
проведена плоскость, пересекающая две смежные боковые грани
призмы по прямым, угол между которыми равен а. Определить объем
призмы.
601. Решить уравнение
sin Ъх + sin За: = V^cosx.
Вариант 21
602. Две колхозницы, имея вместе а литров молока, получили при
продаже его одинаковые суммы, продавая молоко по разной цене.
Если бы первая продала столько, сколько вторая, то получила бы
т рублей, а если бы вторая продала столько, сколько первая, тс»
получила бы п рублей (т > п). Сколько литров молока было у каждой
колхозницы?
603. Решить уравнение
0,Hg4*+0,9 = lg2A\
604. В треугольнике ЛВС ббльшая сторона равна 6, угол А
равен а, угол В равен 90° + а. Найти объем и поверхность тела,
образованного вращением этого треугольника около стороны ВС.
70

C05. Вычислить
ctg[Jarccos(-J)].
Вариант 22
606. Две взаимно перпендикулярные грани треугольной
пирамиды — равносторонние треугольники со стороной в 4 см. Найти
объем пирамиды.
607. Двое рабочих наняты на некоторый срок. Первый работал
на а дней меньше срока и заработал Ь рублей, а второй на а дней
больше срока и заработал с рублей. Если бы первый работал столько,
сколько дней работал второй, а второй столько дней, сколько
.первый, то они получили бы поровну. На какой срок наняты рабочие?
608. Решить уравнение
х6 — 28л:3 + 27 -^ 0.
609. Доказать тождество
sin2-— snv-^-2 '-
COS2 -—- COS2 -
Вариант 23
610. Почтальон доджен был пройти а км за определенное время.
Пройдя Ь км, он отдохнул 15 мин. и, чтобы притти во-время, увеличил
скорость на сшкм/час. Определить первоначальную скорость
почтальона.
611. Боковые грани треугольной пирамиды взаимно перпендику-
ляоны; площади их равны 6 мг, 4 м1 и 3 мг. Найти объем пирамиды.
612. Решить уравнение
613. Доказать тождество
а -4- Ч
(cosoc + cosp)2 + (sin а —sin f)2 = 4cos2 - ^--.
МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Вариант 1
614. Одна мастерская должна была сшить 810 костюмов, другая
за тот же срок должна была сшить 900 костюмов; первая закончила
выполнение заказа за 3 дня до срока, а вторая—за б дней до срока. По
скольку костюмов в день шила каждая мастерская, если вторая
мастерская шила в день на 4 костюма больше первой?
71

615. Произвести указанные действия
l\ \~Va j \ 1 + Va I \
616. Вычислить x, если
5 7 •\xA>6 + »'* 7 Г 8-0,0125 + 6,9 Л"1 14*
617. Решить уравнение
Iga lgs lg4 * = 0.
618. Радиус основания конуса равен г, а образующая наклонена
к основанию под углом а. Около этого конуса описана пирамида,
имеющая в основании прямоугольный треугольник с острым углом р.
Найти объем пирамиды.
619. Доказать тождество
sin a -\- sin ( а -f-
2к
] -[- sin f а
+
4и
= 0.
620. Решить уравнение
tg За: — tg х = 4 sin л\
Вариант 2
621. На протяжении 30 км железнодорожного пути нужно
заменить все телеграфные столбы новыми. Если уменьшить расстояние
между соседними столбами на 10 мг то прежнее число столбов
потребуется увеличить на 100 шт. Сколько столбов было первоначально?
622. Произвести указанные действия
Зл: 3 j/ х2п
i/ -£- -о.-
■У а л а
623. Вычислить х, если
л+1
\ х 2
—з— Гб
(^а):
п-ЬЗ
-2
[( 4,625-
13 _9
18 ' 26~
53
:* + (2,5:l,25):6J5]:l-||
^1___ 0,375\о,125 + (-| ^:):(0,358- 1,4796:13,7)
624. Найти х из уравнения
\1
27"
72

625. Основанием пирамиды служит прямоугольник с углом а
между диагоналями, а боковые ребра образуют с плоскостью
основания угол <р. Найти объем пирамиды, если радиус описанного около
нее шара равен R.
626. Привести к виду, удобному для логарифмирования;
1 -)- cos a -f- cos 2a -f- cos За
cos a -j- 2cos* а — 1
627. Решить уравнение
sin4* + cos4 x — -q .
о
Вариант 3
628. Два туриста выехали одновременно из городов А и В
навстречу друг другу. При встрече оказалось, что выехавший из А
проехал на 210 км больше другого. Если они будут продолжать путь и после
встречи с прежними скоростями, то выехавший из А приедет в В через
4 дня, а выехавший из В приедет в А через 9 дней после встречи.
Каково расстояние между городами?
629. Произвести указанные действия
1
1 1 2а4' — 2
~J l J. J l J
fl4+fl8+1 fl4_fl-8+1 fl2_fl-4+1
630. Найти x, если
(2,7- 0,8) 2 _ + x+* (U±15A66:70,3)09 = ^
(5,2-
1.4):* U ^2-|~l,3J:4,3
631. Решить уравнение
7.2е* —2е* =10.
632. Определить радиус шара, вписанного в правильную п-уголь-
ную пирамиду, сторона основания которой а и плоский угол при
вершине равен а.
633. Доказать, что
2 (sin6 х + cos6 x) — 3 (sin* x + cos4 х) + 1 = 0.
634. Найти х из уравнения
tgx+tg2x+tg3x = 0.
Вариант 4
635. Около конуса описана пирамида, имеющая в основании
прямоугольный треугольник. Найти боковую поверхность пирамиды
через радиус основания конуса г, угол треугольника аир— угол
между образующей конуса и плоскостью его основания.
73

$36. Решить уравнение
sin3 x -f cos3 ^=0.
637. Доказать справедливость равенства
arc sin-y + arc tg -x- = arc tg (3 + 2 V2).
638. Продав товар, получили 20 рублей прибыли и на
вырученные деньги купили новую партию того же товара, который продали за
144 рубля, получив при этом столько же процентов прибыли, сколько
и в первый раз. Какова себестоимость товара, проданного первый
раз:»
639. Упростить
\ Vx-Va J \ х-а )
640. Решить уравнение
х-65у/322х-60 -х-64/4^+30 = 0.
641. Вычислить
(б-4-1):0.003 (о.з^.Ц
{(3±-2,65) 4]: У (1,88+2 235-)-J-J
+ 17,81:0,0137.
: 62 А +
МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ИМ. В. М. МОЛОТОВА
Вариант 1
642. Упростить и вычислить с точностью до 0,01 при х =-г
пыражение
х У х у'х Vx — 2 }/х*4/х* + 3 у (х-5 У^)'1 —
-«/(А-Т)~Г-
643. При каких числовых значениях х произведение
<*+3)(*-5)(л: + 7)
отрицательно?
74

644. Упростить
"(т+Й-Кт-О
645. Через сторону основания, равную а, правильной
четырехугольной призмы проведено сечение, равновеликое боковой грани.
Найти объем призмы и угол -f сечения с основанием, если угол
диагонали сечения с основанием сечения равен о.
Вариант 2
646. Найти неизвестный член пропорции
с1+ 0 — 6 # а —2 _ /а + 3
а2 + За + 9 * 10 а3 —270
— х\а — 3 ^ а + 3 1)
647. При каком значении т многочлен х2 + 2 (т — 9) х + т2 +
+ Зт + 4 будет полным квадратом?
648. Решить уравнение
sin2 х — cos2 x = cos x.
649. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб
со стороной а и острым углом а. Боковое ребро его равно b и образует
со сторонами основания углы, равные ?. Определить объем
параллелепипеда.
Вариант 3
650. Найти неизвестный член пропорции
(2 VT=Tx) : (o,6i/l)= (10^1,5) : (o,25V^216|/SО-
у2 ££ £ 1
651. При каком значении k корни уравнения =
■ ах — с k + 1
равны по абсолютной величине и противоположны по знаку?
652. Вычислить
tg2~+cos[3|+2arctg(|/2"-l)].
653. Основанием пирамиды служит прямоугольный
треугольник, сумма катетов которого равна а и один из острых углов
равен а. Высота пирамиды проходит через центр описанного около
основания круга и равна гипотенузе. Определить объем пирамиды и
двугранные углы при основании.
Вариант 4
654. Найти п из уравнения
1 + 3+5+ ...+(1+2л) +
+ (з,5 + 5 + 6,5+ ... +Ц^")
105.
75

655. Не находя значений х и у, вычислить х?— #3, если х—у = 4
и ху = —3.
656. Вычислить
2 tg arccos , — arccos— - I.
657. Сечение, проведенное через сторону а основания
правильной трехугольной призмы под углом а к нему, делит боковое ребро
на части в отношении т : л, считая от вершины. Определить объемы
образовавшихся частей и площадь сечения.
Вариант 5
658. Найти неизвестный член пропорции и вычислить его при
а = 2,75 и Ь = I1/,:
(а + bf — ab.x— а* — Ь\г4(а + Ь)2_ 16|
ab ' Wab i ab J*
659. Найти сумму всех четных двузначных чисел, делящихся
нацело на 3.
660. Решить уравнение
-tg*.
1 + sin*
661. Определить объем прямой треугольной призмы, зная,
что основание ее— прямоугольный треугольник, радиус круга,
описанного около основания, равен г, и диагонали наибольшей и-
наименьшей боковых граней составляют с основанием углы а и 2а.
Вариант 6
662. Упростить выражение
\\/ {\-п)У\+~п {/ Зп* Г1 . J// З/i Уп у1
1 п V 4-8n + 4n2J 'У [оуГ^ПгУ '
если 0 < п < 1.
663. Найти, при каких значениях х произведение
(*— 1V{*—3). (х—5)
буТ^т отрицательным.
664. Решить уравнение
cos 4x 4- cos 2x -f- cos x = 0.
665. Около шара описан прямой параллелепипед, объем которого
в т раз более объема шара. Определить двухгранные углы
параллелепипеда.
Вариант 7
666. Упростить и вычислить при х = выражение
l + ia-hx)'1 г \—(a2-\x2U
(a-i-хГ* г 1 —
~{а-\-х)-х' L
1 — (а-\- х) х L 2ах
76

667. При каких значениях & трехчлен (/г—1) х2—2 (k + 1) х +
-f- k—2 представляет полный квадрат?
668. Решить уравнение
cos х — cos 2x — sin Зл\
669. Основанием пирамиды служит равнобедренный
треугольник, равные стороны которого имеют длину Ъ; соответствующие им
боковые грани перпендикулярны к плоскости основания и образуют
между собою угол а. Угол между третьей боковой гранью и
плоскостью основания также равен а. Определить радиус шара, вписанного
в эту пирамиду.
Вариант 8
670. Упростить и вычислить при а =1— и х = — 1 выражение
2 х + Vx2 + а2 2 V Vx2 + a2
671. При каком соотношении между коэфициентами уравнения
ах2 4 Ьх ~\- с — 0 один корень его в три раза меньше другого?
672. Решить уравнение
3 cos2* — sin2 x — sin 2x = 0.
673. Определить радиус шара, описанного около правильной
треугольной пирамиды, апофема которой а составляет с основанием
угол а.
Вариант 9
674. Упростить и вычислить при п = 1,25 выражение
1— п2
Г 1 + п2 — 2/г ; l_
П2 „ „3 _|_ ПХ ' Х
* 1 + ft + ft3 + ft4 '
675. Найти значение k, при котором разность квадратов корней
уравнения хг—х—k = 0 равна 7.
676. Решить уравнение
1 — tg х л
677. Определить ребра правильной треугольной призмы, зная,
что радиус R описанного около нее шара, проведенный в вершину
призмы, составляет угол а с боковой гранью, содержащей эту вершину.
Вариант 10
678. Упростить и вычислить при а = 0,75 выражение:
1,1 ,1 ,
V + Ъ + с Ь3 аЬС (л , Ь2 + с2-а2\
1_ {а + Ь-Yc)2 \ ] 2bc J
b + c
77

679. При каком значении а в уравнении 4jc2— 15л: + 4а3 = О
о'дин корень его равен квадрату второго?
680. Решить уравнение
arcsin х == 2 arcsin х V2.
681. В треугольной пирамиде два боковых ребра образуют с
плоскостью основания угол р, третье ребро перпендикулярно к
основанию и равно Ь и угол основания при этом ребре равен а. Определить
радиус шара, описанного около этой пирамиды.
МОСКОВСКИЙ ГОРНЫЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ И. В. СТАЛИНА
Алгебра
Вариант 1
682. Вычислить
Лю2.19 • 4i23.9fin5 -4-ftno-l928^ 0,8-7,2.4,5.1,3
683. Решить систему уравнений
3*-2у 2х
2х ~гЪх — 2у
х2 — 8=2х(2у — 3).
684. Решить уравнение
2*(l&6-l) = lga(*+9*-18).
685. Сумму членов бесконечно убывающей геометрической про-
2
грессии, у которой первый член равен 20, а третий равен 2--- ,
разделить на две части, чтобы отношение произведения этих частей к сумме
их квадратов равнялось
or-
Вариант 2
686. Вычислить
[ 30^+3~9 J
687. Решить уравнение
\ (^7)2+ У(а~х){Ь — х) -\- V{b~~~x)* __ 7
У{а^х)2— V (a~xj~{b^~x) + V(6^i/ ~~ 3 '
73

688. Написягь общий вид уравнения вида х2 -\- Ьх -f с = О,
сумма кубов корней которого равна нулю.
689. Два паровоза отправляются в одно время от одной станции
в другую, отстоящую от первой на т км. Первый паровоз, проходя
километр в т секунд, достигает станции прежде второго и тотчас же
отправляется обратно, проходя километр в т—3 секунды. Встречает
он второй паровоз на расстоянии 3 км от второй станции. Во сколько
секунд проходит километр второй паровоз?
Вариант 3
690. Во что обратится выражение
2[mn-r V(m2 — \) (п2 — 1)] -
при 2т = (а2 + 1) с-1 и 2л = Ь'1 (Ь2 + !), где а и b действительные
числа.
691. Решить уравнение
j/lOx + 32 + V{x* — 14х2 +"5х — 1 = * -f 5.
692. Решить уравнение
я1*1** = 0,4)01 3".
693. Со станции А вышел поезд и идет со скоростью 30 км в час;
через несколько времени за ним пошел другой со скоростью 40 км
в час; оба поезда должны были прийти на станцию В в одно время; но
2
первый поезд, пройдя ~ расстояния между станциями, пошел вдвое
о
тише, чем прежде; поэтому 2-й поезд догнал его в 8 км от В.
Определить расстояние АВ.
Вариант 4
694. Вычислить
, 7 .Mif 5 \ 20,4-4,8.6,5
+ T8'27JV6 ' У 22,Ы,2 '
695. Решить систему уравнений
5 Vх2 — Зг/-1 4- Vx+by= 19,
3 Vx2 — Зу— 1 = 1 + 2 УТ+6у.
696. Решить уравнение
2
3 =100? 10.
79

697. Одна бочка содержит смесь спирта с водой в отношении 2 : 3,
а другая в отношении 3:7. По скольку ведер нужно^взять из
каждой бочки, чтобы составить 12 ведер смеси, в которой спирт и вода
были бы в отношении 3 : 5?
Вариант 5
698. Вычислить
4,07:^ —23,0Ь0,06^:4 + 0,0703 —
(7,3745:3,01-1 \ Yl,02+ 13-J:
\ 4 у 5U
699. Решить уравнение
а-\- b — х , а + с — х Ь + с — х \х
с ' Ъ ' а *" а + 6-f с ~ '
700. Решить уравнение
х3— 21х2+ 140^—390 = 0»
если известно, что один из корней его вдвое больше одного из двух
других.
701. Некто проехал в лодке по реке из города Л в город В и
обратно, употребив на это 10 часов. Расстояние между городами 20 км.
Найти скорость течения реки, зная, что он проплывал 2 км против
течения в такое же время, как 3 км по течению реки.
Вариант 6
702. Вычислить
1,0905:0,025 — 6,84-3,07 + 2,38:100
2,192:6,85 + 48,553— + 0,00238
703. Решить уравнение
(Ь2 + х) а2
(а2 + Ъ2 + х) (а2 + Ъ2 + х — 1) 4а2 —"1 *
704. Решить систему уравнений
103-1e(»-») = 250, VJT=^ + -l VT+v==26~V .
* Vu — v
705. Ученику надо было умножить 78 на двухзначное число,
в котором цифра десятков втрое больше цифры единиц; ученик же
написал во множителе десятки на месте единиц и обратно, отчего и
получил произведение на 2808 меньше истинного. Чему равно
истинное произведение?
80

Вариант 7
706. Вычислить
(о, 14: |— 0,42-1). [(5,74 +12,78): (l,344 + 2%)]
[(0,7835 + 3,6949)-(г|-+1,14б)]:[(з-^) + (^ + 3,55)]
707. Решить уравнение
х2 — V2x2 — 8х + 12 = Ах + б.
708. Решить систему уравнений
АХУ=ШХУ~\
С*? = 3,25 СХУ~К
709. Если некоторое число увеличить на 15%, то оно будет
равно 207. На сколько процентов нужно уменьшить это число, чтобы
оно было бы равно 126?
Вариант 8
710. Вычислить
2,045-0,033 + 10,518395 — 0,464774:0,0562
0,003092:0,0001^^57188 *
711. Решить уравнение
_ , , а2Ь2 , {2аЛ-Ъ)Ь*х Q , bx
(а + Ь)2 а (а + Ь)2 ' хх
712. Решить уравнение
х-1
"/^/г3^-1 —3х-^/8л-
:0,
713. Расстояние между точками А и В равно 301 м; из А в В
равномерно движется некоторое тело и, достигнув точки В, тотчас же
возвращается назад к точке Л; 11 сек. спустя, после выхода тела из Л,
из точки В в точку Л начинает двигагйся равномерно, но с меньшей
скоростью, второе тело, которое, не достигнув точки Л, два раза
встречает первое тело через 10 и 45 сек. от начала своего движения
Найти скорость движения каждого тела.
Вариант 9
714. Вычислить
[(яя-^У-ыП'ж-'^У-ш]'
6 П. С. Моденов. Сборник задач
81

715. Решить уравнение
■х2 + 7*+8_г> — 7х + 8__ 1
л2 — 7х + 8 х2 + 7л: + 8 """ 2 '
716. Дано квадратное уравнение я*2 + Ьх + £ = 0. Составить
новое квадратное уравнение, корни которого были бы (х1 + х2)2
и fo— х2)а, где хг и х2 корни данного уравнения.
717. Имеются два сплава золота и серебра; в одном количество
этих металлов находится в отношении 2 : 3, в другом в отношении
3 : 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы, получить 8 кг
нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5:11?
Вариант 10
718. Решить уравнение
(fl-*)' + (*-б)8 _д_. ь
(а — х)2 + (х—Ь)2
719. Составить уравнение наименьшей степени с рациональными
коэфициентами, имеющее корни
1 + V 2 и 2 + V2.
720. Решить уравнение
41ge4(x-3)+ig85:=5o>
721. Три положительные числа составляют арифметическую
прогрессию, сумма членов которой равна 210. Если большее число
уменьшить на 10, а меньшее увеличить на 10, то получатся три числа,
составляющие геометрическую прогрессию. Найти эти числа.
Вариант 11
722. Вычислить
('i-i!H4+4)-a~AX*-5)-
723. Решить уравнение
3/(8—^)2 + 3/(27+^» = £/(8-д) (27 + *) + 7.
724. Решить уравнение
aiX + а2х = а6х, где а > 1.
725. При вращении двух колес, соединенных бесконечным
ремнем, меньшее из них делает в минуту на 400 оборотов больше второго.
Большее колесо делает 5 оборотов в промежуток времени на 1 сек.
больше, чем время 5 оборотов меньшего. Сколько оборотов делает
каждое колесо в минуту?
82

Геометрия
Вариант 1
726. Решить уравнение
2 sin 2х +3 (sin x + cos x) = 0.
727. Доказать тождество
. 4 , . 5 - . 16 я
arc sin -=- + arc sin — + arc sin^ = -=-.
5 13 ' 65 2
728. В окружности дана хорда; из некоторой точки окружности
опущен на эту хорду перпендикуляр, равный 12 см, а хорда рассечена
этим перпендикуляром на отрезки 9 см и 5 см. Найти диаметр
окружности.
729. Боковые грани пирамиды представляют прямоугольные
треугольники, а боковые ребра равны а см. Определить угол между
боковым ребром и высотой, а также объем пирамиды.
Вариант 2
730. Решить уравнение
cos2 х + 3 sin2 x -\- 21/3 sin x cos x — 1.
731. Доказать тождество
1 -f cos a -f- cos 2a -(- cos 3a
2 cos2 a -f- cos а — 1
: 2 cos а.
732. Средняя линия трапеции, равная 2 см, делит площадь
трапеции в отношении 3 : 5. Найти основания трапеции.
733. Образующая конуса составляет с его осью угол а.
Вычислить отношение объема этого конуса к объему описанного вокруг
него шара.
Вариант 3
734. Решить уравнение
9
sin2 2х + sin2 х—тх.
16
735. Доказать тождество
¥
2 1/6+1 тс
0- — arccos — = тг
3 2 V3 6
736. Высота треугольника равна 4 см. На каком расстоянии от
вершины треугольника нужно провести прямую, параллельную
основанию, чтобы площадь треугольника разделилась в отношении т : я?
737. Конус, у которого образующая наклонена к плоскости
основания под углом а, вписан в шар. Объем конуса равен v. Найти
поверхность шара.
6*
83

Вариант 4
738. Привести к логарифмическому виду выражение
2 sin2 а -|~ КЗ" sin 2а— 1.
739. Решить уравнение
tg Зл; = sin 6х.
740. В правильный треугольник, сторона которого равна а,
вписан круг. Из вершины треугольника радиусом, равным половине
его стороны, проведена другая окружность. Найти площадь, общую
обоим кругам.
741. Плоский угол при вершине правильной /г-угольной
пирамиды равен а. Определить величину двугранного угла между
смежными боковыми гранями.
Вариант 5
742. Решить уравнение
5 tg2 (г. -f- х) — sec2 (2я — х) -=-А 1.
743. Доказать тождество
о i 1 , * 1 .32
2arctg-g- + arc tg — = arc (g ^ .
744. В треугольнике со сторонами 15, 20 и 30 см проведена
прямая, параллельная большей стороне. Периметр полученной трапеции
равен 62 см. Найти площадь трапеции.
745. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна /г,
двугранный угол при основании равен <?. Найти радиус вписанного
шара.
Вариант 6
746. Доказать тождество
8 cos4 а = 3 -\- 4 cos 2а -\- cos 4а.
747. Решить уравнение
sin2 х + sin2 2х = sin2 Зх.
748. Доказать, что в описанной равнобедренной трапеции
диаметр окружности есть среднее пропорциональное между ее
основаниями.
749. В основании прямой призмы лежит равносторонний
треугольник. Через одну из сторон основания и противоположную
вершину проведена плоскость под углом у к плоскости основания
Площадь полученного сечения равна s. Определить объем призмы.
84

Вариант 7
750. Привести к логарифмическому виду выражение
1 + sin х + cos х -\- tg x.
751. Решить уравнение
cos х + cos 2x = sin x,
752. В сегменте дугой 120° и высотой h вписан прямоугольник,
у которого основание в 4 раза больше высоты. Определить
стороны прямоугольника.
753. Вычислить угол между образующей конуса и плоскостью
основания, если известно, что боковая поверхность его есть средняя
пропорциональная величина между площадью основания и полной
поверхностью этого конуса.
Вариант 8
754. Решить уравнение
(sin 7х + cos 7а:)2 = 2 cos2 1 \х.
755. Доказать тождество
cos 2a
1 + sin 2a
= tg(45° —а).
756. В трехгранном угле два плоских угла равны между собой и
каждый из них равен а; двухгранный угол между ними прямой.
Найти третий плоский угол.
757. В некоторый угол вписаны три окружности так, что две
крайние проходят через центр средней. Зная радиусы крайних г и /?, найти
радиус средней окружности.
МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ ИМ. АКАД. И. М. ГУБКИНА
Геометрия
Вариант 1
758. Периметр прямоугольника 28 см и площадь 48 см2. Найти
длину описанной окружности.
759. В правильной четырехугольной пирамиде даны: сторона
основания а и плоский угол при вершине а. Определить ее полную
поверхность и объем.
760. Доказать тождество
cos2 а 1 . Л
_ . — sln 9а.
4
761. Вычислить без помощи таблиц
2 tg 1095° + ctg 975° -- tg 195°.
85

Вариант 2
762. Равнобедренный треугольник с боковой стороной Ь и углом
при вершине а вращается около боковой стороны. Определить
поверхность тела, образованного вращением.
763. В прямоугольнике ABCD проведена диагональ АС = 29 см
и из вершины В опущен на эту диагональ перпендикуляр ВК = 10 см.
Найти отрезки А К и КС и стороны прямоугольника.
764. Решить уравнение
3(1 — sin х) = 1 + cos 2x.
765. Доказать, что
Sinaa + tga«-f-l , 2
cos2 a + ctg2 а + 1 * '
Вариант 3
766. Из точки А диаметра, который равен d = 50 м, восстановлен
до встречи с окружностью перпендикуляр h — 7 м. Найти расстояние
от А до центра.
767. В основании цилиндра проведена хорда, равная стороне
правильного шестиугольника, вписанного в это основание. Если
соединить концы хорды с центром другого основания, то получится
треугольник, площадь которого равна Q, а угол при вершине а.
Вычислить объем данного цилиндра.
768. Привести к виду, удобному для логарифмирования
1 -f- sin a + cos а.
769. Вычислить tg 2a, если sin а — 0,3.
Вариант 4
770. Определить площадь прямоугольного треугольника, зная
длину а и Ь отрезков катета, образованных биссектрисой
противолежащего угла.
771. Боковая поверхность конуса равна т, образующая его
равна а. Определить угол при вершине осевого сечения.
772. Привести к виду, удобному для логарифмирования
3— 4 cos2 о.
773. Вычислить ctg 2 а, если cos (*:=: — .
Вариант 5
774. В конус вписан шар. Найти объем шара, если образующая
конуса равна / и наклонена к плоскости основания под углом а.
775. Определить диагональ и площадь равнобочной трапеции,
гели основания равны 3 и 5 см, а боковая сторона равна 7 см.
т

776. Решить уравнение
3tg2* — sec2x^l.
777. Доказать, что
cosec6 a — ctge а = 3 cosec2 ct ctg2 а -f- 1.
Вариант б
778. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды
равна 6 см, а объем равен 36 уЬ см3. Определить угол наклона
бокового ребра к плоскости основания.
779. Высота, опущенная на боковую сторону равнобедренного
треугольника, делит его площадь на две части в отношении 1 : 3.
Определить меньшую из этих площадей, если основание треугольника
равно 24 см.
780. Решить уравнение
sin (х — 60°) == cos (x + 30°).
781. Доказать тождество
cos 2а 1 . „ _
Ctg2 a — tg2 a 4
Вариант 7
782. Определить полную поверхность правильной шестиугольной
пирамиды, если плоский угол при вершине ее равен а, а боковое ребро
равно Ь.
783. В треугольнике ABC проведена прямая DE> параллельная
стороне ЛВ на расстоянии 2 см от вершины С, при этом площадь
трапеции ADEB больше площади треугольника DCE на 42 см2.
Определить высоту треугольника ЛВС, если его основание равно 12 см.
784. Решить уравнение
X X
cos х cos у = sin xsin-^ .
785. Доказать тождество
tg a -f sec a 2 sin a
cos a + ctg a 1 -f- cos 2a *
Вариант 8
786. Найти объем и полную поверхность правильной 4-угольной
пирамиды, если высота ее равна Я, а двугранный угол между
боковой гранью и плоскостью основания равен а.
787. В круг радиуса к вписан равнобедренный треугольник
с высотой Я. Определить площадь треугольника.
87

788. Решить уравнение
sin (60° + х) — sin x = 0,5.
789. Упростить выражение
sin 2а cos а
1 -J- cos 2а 1 + cos а
Алгебра
Вариант 1
790. Скорый поезд был задержан у семафора на 16 мин. и нагнал
опоздание на перегоне в 80 км, идя со скоростью на \0км/час большей,
чем полагалось по расписанию. Какова скорость поезда по расписанию?
791. Найти числовую величину выражения
a2 -\-b* — 3ab + c
3(а — б3) — 2с '
если а== •—-; 6 = 0,5; с =1,125.
о
792. Найти х и у из соотношения
(х + УТ Л- 6 + ix = b (х-\-у)-\- i {у -+- 1).
793. Прологарифмировать выражение
0-т)У.
где 6> а> 0.
Ь2 + аЬ '
Вариант 2
794. Произведение цифр двузначного числа в три раза меньше
самого числа. Если к искомому числу прибавить 18, то получится число,
написанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это
число.
795. Вычислить
Гз4(4-4)
796. Упростить
.2з .
23 ^9 Мб*
3584~34бб
1(«) — J Q
а-\- V ах
(o4jc) + а 1:(а — х)
797. Решить уравнение
5i«. («-»+» = \\.b^'Vi-l-\-\g ! 27.
Уз"
88

Вариант 3
798. Вкладчик на свои сбережения через год получил 15 руб
начисления процентных денег. Добавив еще 85 руб., он оставил деньги
еще на год. По истечении года, вклад вместе с процентами составил
420 руб. Какая сумма была положена первоначально и какой
процент дает сберкасса?
799. Вычислить
(«2-«S){i*-'K4-'i)b»}
800. Упростить
(
V,
0 + fl)
+
7.
(1 —а2) — 1 + а
1 —а
-П
(VV2— 1—а-1)-
1 Ъ
41 +*) -0-fl)
801. Определить показатель степени п в разложении бинома
если известно, что 6-й член этого разложения не зависит от а.
Вариант 4
802. На протяжении 18 м переднее колесо экипажа делает на
10 оборотов больше заднего. Если окружность переднего колеса
увеличить на 6 дм, а окружность заднего уменьшить на б дм, то на
том же протяжении переднее колесо сделает на 4 оборота больше
заднего. Найти окружности обоих колес.
803. Вычислить
804.
Упро
аг1
стить
+ 6-
(4---
' + 2(1/0 +
Г аЬ —
-<
Vb)"
а V аЬ
■ 3
"4
■(.-
г
:31.
Кь~
1 *
805. При каком значении а корни уравнения 3#2 + 2л;—а = 0
относятся один к другому как 2: 3?
Вариант 5
806. При помощи подъемных кранов одинаковой мощности на
пароход погружено 96 вагонов льна. Если бы кранов было на 4
больше, то на каждый пришлось бы погрузить на 12 вагонов меньше.
Сколько работало кранов?
89

807. Решить систему уравнений
а(х+у) — Ь(х-у) = №,
(a2- b2)(x~y) = №b.
{х У хи и 10
808. В разложении бинома ( -__ \ указать тот член,
\ L у X V X '
который не содержит х.
809. Упростить выражение
["■/" 56» /" (д-.^Уа+ъЛ ,-|У" ЬЬУЬ
Вариант 6
810. В трех сосудах налита вода. Если « воды первого сосуда
1
перелить во второй, затем -г воды, оказавшейся во втором, перелить
1
в третий и наконец, Tq воды, оказавшейся в 3-м, перелить в первый,
то в каждом сосуде окажется по 9 литров. Сколько воды было в
каждом сосуде?
811. Вычислить
812. Упростить
96 ^ 84 56
1532 152 8
п+1
(а — х)2п
813. Решить систему уравнений
*у = 40, х1&°у = 4.
Вариант 7
814. При совместной работе двух тракторов различной
мощности колхозное поле было вспахано в 8 дней. Если бы половину
поля вспахать сначала одним первым трактором, то при дальнейшей
работе двух тракторов вся работа была бы закончена в 10 дней. Во
сколько дней можно было бы вспахать все поле каждым трактором
отдельно?
90

815. Вычислить
0,8:f4-l,25") Л.ОЯ-Д^: i
Vs 1 ;+Гт—2H~+(1'2-Q'5):-б-
816. Упростить
(i~^} У 2ax #VZ=4
817. Решить уравнение
l-lg5 = -i(lg J' + !«* + 4 !8 5 ") •
Вариант 8
818. Наняты двое рабочих за различную плату: 1-й заработал
480 руб., а 2-й, работая 6 днями меньше 1-го, получил 270 руб. Если
бы 2-й рабочий работал столько дней, сколько 1-й, а 1-й столько,
сколько 2-й, то оба получили бы одинаковую сумму. Сколько дней
работал каждый?
819. Вычислить
820. Упростить
] х — ух — 4 Ух L l_ л
Uk-&
821. Решить систему уравнений:
3»g«х — 2,g* ^ = 77, 3,gs ^ — 21^>'' = 7.
МОСКОВСКОЕ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧИЛИЩЕ ИМ. БАУМАНА
Алгебра
Вариант 1
822. Упростить выражение
х2 + у2 х* — у*
91

823. Выстрелом из зенитного орудия был подбит самолет,
находившийся на одной вертикали с орудием. С наблюдательного
пункта было замечено, что с момента выстрела до момента падения
самолета на землю прошло 6 сек. Определить высоту, на которой
находился самолет, если ускорение свободного падения равно
g м/сек2, а начальная скорость снаряда равна v м/сек,
824. Решить уравнение
100^lgloX=-JC3.
Вариант 2
825. Доказать тождество
(х—Ь)(х — с) (х — с)(х — а) (х — а)(х—Ь)
(а — Ь)(а — с) "*■ (6 — с) (6 — а) ^ (с — а)(с — Ъ)
826. Два лица одновременно выезжают из одного города в
другой. Первый проезжает за час на 1 км больше другого и успевает
приехать раньше на 1 час. Расстояние между городами 56 км. Сколько
км проезжает каждый в час.
827. Решить уравнение
1 — lgio 5 = -3 (lgl° 2 + lgl°* + "3" lgl° 7 ;
Вариант 3
828. Упростить выражение
х У(х— у)%
х2 -\- у2 х* — у* с
829. Найти три числа, сумма которых 999, а отношения 2 : 3 :4.
830. Решить уравнение
-g tew Vx2-\-x — 5 — \g10x— lg10 — = 0.
Вариант 4
831. Упростить выражение
{{-[(1+Ур)* + {1-Ур)*]-(р*Ъ-1У}:2р.
832. Найти четыре числа, составляющие геометрическую
прогрессию, зная, что сумма крайних членов равна 27, а сумма средних
равна 18.
833. Решить уравнение
92

Вариант 5
834. Упростить выражение
(Уa- Vbf + 2 Vab*
835. Найти четыре числа, составляющие геометрическую
прогрессию, в которой сумма крайних членов равна 126, а сумма
средних равна 30.
836. Решить уравнение
Вариант 6
837. Упростить выражение
838. Какое двузначное число на 4 меньше суммы квадратов его
цифр и на 5 больше их удвоенного произведения?
839. Вычислить х без помощи таблиц
л:= 100 2
Вариант 7
840. Упростить выражение
а2 — Ь% с? — Ьъ
a—b а2 — Ь2 i
841. Корни хх и х2 квадратного уравнения х2 + рх + 12 = 0
обладают свойством: х1— х2 = 1. Найти коэфициент р.
842. Решить уравнение
Вариант 8
843. Упростить выражение
93

844. Две точки движутся по двум окружностям, радиусы
которых относятся как 1 : 6. Найти скорость движения каждой точки,
если за 10 сек. точка, движущаяся по ббльшей окружности, прошла
на 2 м больше, но сделала при этом в 5 раз меньшее число оборотов.
845. Решить уравнение
j^-igVc-igio*8 ! _og
Вариант 9
846. Упростить выражение
УУа*пх—ап* * * Vax — n2VaxJ V an*
847. Два поезда отправляются из городов А и В, расстояние
между которыми 600 км, и идут навстречу один другому. Они могут
встретиться на половине пути, если поезд из В выйдет на 1^ часа
раньше другого. Если бы оба поезда вышли одновременно, то через
6 часов расстояние между ними составляло бы десятую часть
первоначального расстояния. Сколько часов каждый поезд употребляет
на прохождение от Л до В?
848. Решить уравнение
Igio* _9
1 —1бю2
Вариант 10
849. Упростить
jvJW\p*+l3) + TpTW\^^12) + (pTW\J + 'q)1
850. По окружности, длина которой 399 му движутся в одном
направлении два тела. Тела сходятся через каждые 37 сек. Каковы
скорости тел, если одно движется в 4 раза скорее другого?
851. Решить систему уравнений
%х+ \gay + lga 4 = 2 + lga9
х + У — 5a = 0.
Вариант 11
8£2. Вычислить
94

853. Два тела движутся по разным сторонам прямого угла по
направлениям к его вершине. В известный момент тела отстоят от
вершины соответственно на 60 и 80 см; через 3 сек. после этого
взаимное расстояние между телами делается равным 70 см, а еще через
2 сек. — 50 см. Определить скорости тел.
854. Решить уравнение
xl&°x=z\QQx.
Вариант 12
855. Упростить выражение
а% + а3 — а — 1
[2 + | (а2 - I)]' + \у> -1 (а2 - 1)]'
(1 — а36)2 -|- (я3 + Ь)2 а2 — а~2
856. Найти два двузначных числа, обладающих следующим
свойством: если к большему искомому числу приписать справа 0 и за
ним меньшее число, а к меньшему приписать справа ббльшее число
и затем 0, то из образовавшихся таким образом двух пятизначных
чисел первое, будучи разделено на второе, дает в частном 2 и в
остатке 590. Кроме того, известно, что сумма, составленная из
удвоенного ббльшего искомого числа и утроенного меньшего, равна 72.
857. Решить уравнение
Вариант 13
858. Упростить выражение
\ + Ьаг
859. Два работника А и В взялись сделать некоторую работу
в 16 дней, но по прошествии 4 дней совместной работы А заболел и В,
проработав 36 дней один, закончил работу. Во сколько дней
каждый работник порознь мог бы совершить эту работу?
860. Решить уравнение
27*+ 12* ==2-в*.
Вариант 14
861. Доказать тождество
95

862. Если скорость поезда на расстоянии 1200 км увеличить
на 10 км в час, то поезд пройдет то же расстояние на 10 час. скорее.
Определить скорость поезда.
863. Решить уравнение
lg10(*-2)+lg10(x + 2) = 0.
Вариант 15
864. Найти
(2а VTT&)-(x+ VT+T2)
при
865. Четыре года назад отец был в б раз старше сына; через
16 лет отец будет вдвое старше сына. Сколько лет каждому?
866. Решить уравнение
3
ках+ка>х+К*х= J -
Геометрия
Вариант 1
867. Стороны треугольника 16, 18 и 26 см. Вычислить медиану
большей стороны.
868. Через гипотенузу прямоугольного равнобедренного
треугольника проведена плоскость Р под углом а к плоскости
треугольника. Определить периметр и площадь фигуры, которая получится,
если спроектировать треугольник на плоскость Р. Гипотенуза
треугольника равна а.
869. Решить систему уравнений
sin x = 2 sin у,
1
cos х = ~-cos у.
Вариант 2
870. В равнобедренной трапеции большее основание равно 44 м,
боковая сторона 17 ж и диагональ равна 39 м. Определить площадь
этой трапеции.
871. Основанием прямой призмы служит трапеция ABCD, в
которой параллельные стороны AD = 39 см и ВС = 22 см, а
непараллельные А В = 26 см и CD = 25 см. Площадь сечения АА'С'С =
= 400 см2. Определить объем этой пирамиды.
872. Доказать тождество
sec2 х -j- cosec2 x = sec2 .x-cosec2*.
96

Вариант 3
873. Определить радиус круга, описанного около
равнобедренного треугольника, если его основание и боковая сторона
соответственно равны 24 и 13 м.
874. В наклонной треугольной призме длины боковых ребер равны
8 см; стороны перпендикулярного сечения относятся как 9: 10:17,
а его площадь равна 144 см2. Определить боковую поверхность этой
призмы.
875. Решить уравнение
tg (45° + х) =■ 1 + sin 2*.
Вариант 4
876. Определить острый угол ромба, в котором сторона есть
средняя пропорциональная ме,жду диагоналями.
877. В правильной л-угольной пирамиде площадь основания
равна Q, а высота составляет с каждой из боковых граней угол у.
Определить боковую и полную поверхность пирамиды.
878. Решить уравнение
^ST-sin*-)- cos#= 1^3.
Вариант 5
879. Угол между сторонами а и Ь в треугольнике равен 30°. Найти
третью сторону и площадь треугольника.
880. Определить объем тела, полученного вращением
равнобедренного треугольника около одной из двух равных сторон его, если
каждая из них равна а и угол между ними равен а.
881. Доказать равенство
т/.1+зта_тДГ^пТ
V 1- sin a V 1 + sina " L*
Вариант б
882. Даны 2 окружности (одна вне другой), радиусы которых
равны 30 и 45 см. Общая внутренняя касательная к этим окружностям
пересекает линию центров на расстоянии 45,2 см от центра
окружности меньшего радиуса. Найти длину линии центров этих
окружностей.
883. Ромб со стороной а см та острым углом а вращается около
оси, проходящей через вершину острого угла перпендикулярно к его
стороне. Определить объем полученного тела вращения.
884. Доказать тождество
1 — 2 sin2 a 1 — tgjx
~Т+ sFn2a" "~ Г+Tg"* *
7 П. С. Моденов. Сборник задач
97

Вариант 7
885. Определить площадь треугольника ABC, вписанного в круг
радиуса г, если известно, что угол А = 45°, угол В = 60°.
386. В конус, поставленный основанием вверх и представляющий
в осевом сечении равносторонний треугольник, положен шар
радиуса г и налита вода, уровень которой касается шара. Определить
высоту воды в конусе после того, как шар будет из него вынут.
887. Решить уравнение
1 -\- sin х — cos х = 0.
Вариант 8
,888. Длины общих касательных (внешней и внутренней) к двум
данным окружностям соответственно равны а и Ь; радиус большей
окружности равен R. Найти радиус второй окружности.
889. Радиус основания конуса равен г, угол между высотой и
образующей равен а. Определить боковую поверхность и объем.
890. Решить уравнение
sin х + cos x = cos 2*.
Вариант 9
891. В равнобедренном треугольнике высота равна 20 см, а
основание относится к боковой стороне как 4 : 3. Определить радиус
вписанного круга.
892. Треугольник со сторонами в 9, 10 и 17 см вращается вокруг
высоты, проведенной из вершины его меньшего угла. Определить
объем и поверхность полученного тела.
893. Решить уравнение
sin х + sin 2x -f- sin Зл: = 0.
Вариант 10
894. Определить площадь равнобедренной трапеции, у которой
основания равны 12 и 20 см, а диагонали взаимно перпендикулярны.
895. Боковая поверхность цилиндра, будучи развернута,
представляет собою прямоугольник, в котором диагональ равна d и
составляет угол а с основанием. Определить объем цилиндра.
896. Доказать тождество
cos a + sin*
Cos а — sin а ° х
Вариант И
897. Периметр прямоугольного треугольника равен 132, сумма
квадратов сторон этого треугольника равна 6050. Найти стороны.
898. Объем конуса v. Высота его разделена на три равные части
и через точки деления проведены плоскости параллельно основанию.
Найти объем средней части.
899. Решить уравнение
sin (х~\- а)-\- cos (* — а) — cos (* -\- а).
98

Вариант 12
900. В треугольнике основание равно 12 см\ один из углов при
нем равен 120°; сторона против этого угла равна 28 см. Определить
третью сторону.
901. Определить угол при вершине в осевом сечении конуса,
описанного около четырех равных шаров, расположенных так, что
каждый касается трех других.
902. Доказать тождество
sin2 (45° + а) — sin2 (30° — о) — sin 15° cos (15° + 2а) •= sin 2а.
Вариант 13
903. В прямоугольном треугольнике найти отношение катетов,
если высота и медиана, выходящие из вершины прямого угла,
относятся как 40 : 41.
904. Образующая конуса равна / и составляет с плоскостью
основания угол в 60°. Определить объем конуса.
905. Показать, что
1 —- 2 cos2 <p
—: L. — tg <р — ctg ?.
sin -р cos ? ь т ь г
Вариант 14
906. В круге радиуса R проведены две параллельные хорды,
каждая из которых стягивает дугу в а градусов. Определить ту часть
площади круга, которая заключена между хордами.
907. Боковая поверхность цилиндра развертывается в квадрат
со стороною а. Найти объем цилиндра.
908. Показать, что
. , а 2 sin а — sin 2а
^ 2 ~~ 2 sin а ЯР sin 2а "
Вариант 15
909. В параллелограме даны стороны а, 6 и длина с отрезка, сое*
диняющего одну из вершин с серединой противоположной стороны-
Вычислить диагонали.
910. Объем конуса равен v. Образующая наклонена к плоскости
основания под углом а. Найти боковую поверхность конуса.
911. Доказать, что
sin a + cos ? = 2 cos2 f 45° — * "7 * J .
Вариант 16
912. Даны две окружности (одна вне другой), радиусы которых
30 и 45 см. Общая внешняя касательная к этим окружностям
пересекает продолжение линии центров на расстоянии 435 Ьм от центра
окружности большего радиуса. Определить расстояние между точками
касания.
* 913. Определить объем тела, полученного вращением
равнобедренного треугольника с боковой стороной а см и углом при вершине,
равным а, вокруг прямой, проходящей через вершину треугольника
перпендикулярно к боковой стороне*
914. Решить уравнение
ctg х — tg x = 2 (cosec 2x — 1).
7*

РАЗДЕЛ И.ОБ УСТНЫХ ИСПЫТАНИЯХ
Устные испытания проводились по программам, которые
помещаются у нас ежегодно в справочниках для поступающих в высшие
учебные заведения. В билет, который получал поступающий для
подготовки к ответу, включалось 2—3 вопроса из основных разделов
программы, и поступающие, добросовестно и тщательно изучившие
школьный курс математики, в большинстве случаев справлялись с
ответами на вопросы, поставленные в билетах.
Я приведу здесь билеты, которые были даны на физическом
факультете Московского государственного университета в 1949 г.
Примерно тот же характер носили билеты в прошлые годы на этом
факультете, а также и на механико-математическом.
Билет 1
1. Теорема о внешнем угле треугольника.
2. Понятие об обратнотригонометрических функциях.
Билет 2
1. Измерение углов с вершинами внутри и вне круга.
2. Формулы сложения для sin (a -j- р) и cos (а -{- р).
Билет 3
1. Измерение угла, составленного касательной и хордой.
Проведение касательной из внешней точки к окружности.
2. Вычисление любого члена геометрической прогрессии и суммы
п ее членов.
Билет 4
1. Понятие о соизмеримых и несоизмеримых отрезках. Теорема:
диагональ и сторона квадрата несоизмеримы.
2. Преобразование выражений:
sin a + sin p,
cos а + cos р,
tge + tgP.
Билет 5
1. Теоремы о подобии треугольников.
2. Формула бинома Ньютона.
100

Билет О
1. Теорема о свойстве биссектрисы внутреннего угла
треугольника.
2. Приближенное извлечение квадратного корня с точностью
До jqM.
Билет 7
1. Теорема Пифагора.
2. Исследование системы двух уравнений первой степени с двумя
неизвестными.
Билет 8
1. Квадрат стороны, лежащей против острого и тупого угла
треугольника.
2. Графики тригонометрических функций.
Билет 9
1. Формула удвоения числа сторон правильного вписанного
многоугольника.
2. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Билет 10
1. Площадь треугольника по трем сторонам.
2. Теорема Безу и ее применение к разложению многочленов на
множители.
Билет 11
1. Признаки параллельности прямой и плоскости; двух плоско-
стей.
2. Общий вид значений аргумента, при которых данная
тригонометрическая функция принимает данное значение.
Билет 12
1. Признаки перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема
о трех перпендикулярах.
2. Тригонометрические формулы двойного и половинного угла.
Билет 13
1. Признак перпендикулярности двух плоскостей.
Скрещивающиеся прямые и угол между ними.
2. Общие свойства логарифмов. Графики показательной и
логарифмической функции.
Билет 14
1. Боковая поверхность и объем конуса; усеченного конуса.
2. Вычисление любого члена арифметической прогрессии и суммы п
ее членов.
Билет 15
1. Объем шарового сектора.
2. Вывод формулы для числа размещений, перестановок и
сочетаний,
101

Билет 16
1. Поверхность и объем шара.
2. Формулы для sin a — sin p, cos а — cos (J, tg а — tg f.
Билет 17
1. Поверхность шарового сегмента и пояса.
2. Логарифм произведения, частного, степени и корня.
Билет 18
1. Объем пирамиды.
2, Комплексные числа и 4 действия над ними.
Билет 19
1. Длина окружности.
2. Общие свойства неравенств.
Билет 20
1. Свойства углов с перпендикулярными и параллельными
сторонами.
2. Теоремы синусов и косинусов (для треугольника).
Билет 21
1. Основные случаи решения косоугольных треугольников.
2. Абсолютная величина действительного числа. Общие свойства
равенства и неравенства чисел.
Билет 22
1. Градусное и радианное измерение углов.
2. Построение отрезка х по формулам
*= Vа2 — 6«, * = — , *= j/a6.
с
Билет 23
1. Параллельные прямые. Аксиома о параллельных прямых.
Признаки параллельности двух прямых. Через точку, лежащую вне
прямой, провести прямую, ей параллельную.
2. Графики функций
k
y=^kx, У=~, у^ахК
Билет 24
1. Основные задачи на построение (указанные программой).
2. Графики функций
y=zkx-\-bt у = ах* -J- Ьх + с.
Билет 25
1. Теоремы о перпендикуляре, опущенном из вершины прямого
угла на гипотенузу.
2. Уравнение второй степени. Зависимость между его корнями
и коэфициентами,
102

Приведу теперь вопросы, которые предлагались на устных
экзаменах (в основном этот материал относится к 1948 и 1949 г.) механико-
математического и физического факультета МТУ.
Для удобства эти вопросы пронумерованы подряд с Задачами,
предложенными на письменных испытаниях. К части из этих вопросов
в конце даны ответы.
915. Решить уравнение
tg*=l.
916. Построить график функции
у = 2^.
917. Уравнение lg(#2) = lg4 имеет, очевидно, лва корня: х~ 2
и х= —2. Будем решать его так:
lg(x2)-lg(22), 21gx-=2 1g2, lg*=lg2, jc = 2;
где потерян корень х — —2?
918. Решить уравнение
х —arc sin sin x.
919. Указать все значения х, при которых в формуле
sin x ~ zt У \ — cos2 х
в правой части надо брать знак -f и указать все значения х, при
которых в этой формуле в правой части надо брать знак —.
920. Найти все значения х, при которых многочлен
(х— 1) {х— 2) (х— 3) (* — 4) (*— 5)
положителен.
921. Будет ли соотношение
а sin а
g 2"~~T+cosa
верно при всех значениях а?
922. Найти линию, на которой располагаются середины
отрезков данной длины, концы которых лежат на двух скрещивающихся
взаимно перпендикулярных прямых пространства.
923. При каком условии система уравнений
a2x + b2y~c2
1) совместна? 2) несовместна? 3) определенная (т. е. имеет и
притом только одно решение)? 4) неопределенная (т. е. имеет бесконечное
множество решений)?
924. Найти все решения двух уравнений с тремя неизвестными
2х + у + г = 0,
3x + 5y + z = 0.
925. Дана система линейных уравнений:
ахх -\-Ьгу=^ clt
a2x+b2y = c2,
103

причем агЬ2—агЬг ф О- Будем «решать» эту систему любым методом
(например, методом «сложения и вычитания»). В результате
получим:
#1 62 #2 ^1 ' * °1 ^2 #2 ^1
Надо ли проверять, удовлетворяют ли указанные значения хну
начальной системе?
926. Доказать формулу Рп = п\ для числа перестановок из п
элементов методом полной индукции.
927. Решить уравнение
sin л: =! sin х\.
928. Доказать, что диагональ и сторона квадрата несоизмеримы.
929. Будет ли верно равенство
CtgX:
tgx
при всех значениях х?
•930. Найти все значения ху при которых каждое из
нижеследующих выражений является действительным числом
l)lg(1-х), 2)|/"^±if 3) У\£ШИ.
931. Даны две точки А и В (на плоскости) и число k. На какой
линии располагаются точки плоскости, для которых
**- = &
MB *'
932. Найти все точки плоскости, из которых данный отрезок
виден под данным углом.
933. Где расположены точки плоскости, для которых
1*1 = 1
(г — комплексное число; речь идет о точках плоскости,
соответствующих комплексным числам).
934. Где расположены точки плоскости, для которых
arg z = с
(см. предыдущий вопрос; с — заданное число; arg z — аргумент г).
935. Решить систему.
\х + у\ = 1
\х\ + \у\ = \.
936. Доказать неравенство.
(а1Ь1 + а2Ь2 + а3Ь3)> <(о? + 4 + 4)(Ь2г + b\ + Ь%).
(неравенство Буняковского).
104

937. Стороны треугольника суть 3, 4, 5. На основании какой
теоремы можно утверждать, что этот треугольник прямоугольный
(многие ошибались, отвечая на этот «простой» вопрос!).
938. Доказать, что
(1+а)'>1 + аг,
где а > —1, г — любое целое положительное число, большее 1
(неравенство Бернулли).
939. В треугольнике ABC и А'В'С имеем:
АВ = А'В', АС = А'С\ £АВС = £А'Б'С.
«Докажем», что эти треугольники равны. Приложим треугольник
А'В'С9 к треугольнику ABC так, чтобы сторона А9СФ совместилась
со стороной АС и пусть при этом точка В* упадет в точку В".
Соединим точки В и В". Тогда А ВАВ" — равнобедренный, так как АВ —
= АВ". Значит^ ABB" = £АВ"В. Но / ABC = l_AB"C, значит
£ СВВ" — £СВ"В, следовательно, Д ВСВ" тоже равнобедренный,
а потому ВС — СВ" и значит Д АВ"С =Д ABC (по трем сторонам).
Но Д АВ"С = Д А'В'С', следовательно, Д ABC = А А'В'С9 и
теорема «доказана». Между тем известно, что указанное положение
неверно (т. е. если две стороны одного треугольника соответственно
равны двум сторонам другого и угол, противолежащий одной из
этих сторон, равен соответствующему углу во втором треугольнике,
то такие треугольники могут быть и не равны!) Таким образом,
в приведенном «доказательстве» есть ошибка. Найти эту ошибку.
940. Найти все значения х, при которых выражение
arc sin (arc sin x) имеет смысл.
941. Какой знак имеет выражение cos (sin x)?
942. Решить равенство sin (cos a:) > 0.
943. Решить неравенство sin — > 0.
944. Вычислить объем правильной треугольной пирамиды, если
радиус сферы, вписанной в эту пирамиду, равен г, а сторона
основания равна а.
945. Тетраэдр помещается внутри сферы и все его грани
продолжаются до пересечения со сферой. На сколько частей разделится
поверхность сферы?
946. Тот же вопрос в случае, если одна, две, три или все четыре
вершины тетраэдра находятся на поверхности сферы.
947. Доказать, что высоты правильного тетраэдра пересекаются
в одной точке.
948. Можно ли провести через данную прямую плоскость,
которая рассекала бы две другие данные пересекающиеся плоскости по
двум взаимно перпендикулярным прямым?
949. Доказать, что
arc sin x + arc cos x
950. Доказать, что
arc tg x + arc ctg x
105

951. Имеется трехгранный угол, все плоские углы которого
равны 90°. Один шар касается всех граней этого трехгранного угла
Второй шар касается первого и также всех граней данного
трехгранного угла. Найти отношение радиусов этих шаров.
952. Доказать, что если х > 0 и ху > 1, то
arctgAr+arctg^ = ^ + arctg ^~хит
953. Доказать, что если
-4<*<1,
V2
го
2arc sin х = гс — arc sin (2x V\ — х2).
и многие другие аналогичные вопросы, заимствованные из книги
СИ. Новоселова, Обратные тригонометрические функции,
Учпедгиз, 1947.
Отмечу, что эти вопросы вызывали значительные трудности.
954. Доказать неравенство:
V (о, — *i)2 + (*t — W1 + V (о, — агу + (b3 — Ьд* >
955. Доказать неравенство
У (al-^bir-r(a2+b2)^Va2 + a2_{_a2+ V Ъ\ + Ъ\ + Ъ\
(это неравенство является следствием неравенства Буняковского).
956. Найти наименьшее значение квадратного трехчлена
& + Х+1.
957. Составить уравнение 3-й степени с коэфициентом при х?
равном 1, корни которого были бы равны квадратам корней уравнения
x* + ax2 + bx + c=.0.
958. Доказать, что если
х + у + г=1,
то
*2 + </а + *2>4-
959. Вычислить площадь треугольника, стороны которого суть
корни уравнения
xz + ах2 + Ьх + с = 0.
960. Зная остатки pf q, r от деления неизвестного многочлена
хп -(- аххп"х -\- <кхП~2 + ••• + ап на х — а* х — Ь и х — с
106

(числа я, bt с так же как и р, q,r считаются данными), найти остаток
от деления этого многочлена на произведение
(х-а) (х*-Ь)(х~с).
961. При каком условии уравнение
& + ахш + Ьх + с = 0
имеет два равных корня?
962. Можно ли через данную точку провести прямую,
пересекающую две данные скрещивающиеся прямые в пространстве^
963. Даны три попарно скрещивающиеся прямые, не
параллельные одной плоскости. Доказать, что существует параллелепипед, для
которого эти прямые являются диагоналями граней (под диагональю
грани мы здесь понимаем прямую, проходящую через две
противоположные вершины грани).
964. Доказать, что, если а, р, у углы любого треугольника, ю
965. Доказать тождество
tg« + 2 tg 2а + 4 tg 4а + 8 ctg 8а = ctga.

РАЗДЕЛ III. ХАРАКТЕРНЫЕ ОШИБКИ
ПОСТУПАЮЩИХ
1
Я начну с указания тех разделов школьного курса математики,
на долю которых приходится наибольшее число принципиальных
ошибок и затруднений.
Алгебра
1. Теория систем линейных уравнений (т. е. систем уравнений
первой степени).
2. Задачи на доказательство.
3. Неравенства.
4. Понятие модуля числа (абсолютная величина числа) и
действия со знаком модуля.
5. Пределы.
6. Иррациональные числа.
Геометрия
1. Задачи и вопросы, связанные с пространственными
представлениями.
2. Задачи на доказательство.
3. Задачи на построение.
Тригонометрия
1. Обратные тригонометрические функции.
2. Общность тригонометрических формул (формулы приведения,'
формулы для cos (a it p), sin (а it p), формулы, относящиеся к
обратным тригонометрическим функциям).
Наконец вызывают трудности задачи, в которых поступающему
приходится самостоятельно связывать различные разделы
школьного курса математики, как например:
1) задачи на отыскание области определения элементарных
функций (см. ниже);
108

2) задачи на неравенства в геометрии;
3) задачи на неравенства в тригонометрии (например, решить
неравенство sin—> 0);
4) задачи, в которых планиметрия связывается со стереометрией;
5) задачи на обратнотригонометрические функции (см. ниже);
6) уравнения, для решения которых надо применять сведения и
из алгебры и из тригонометрии, например,
\gig(x*-2x + ^)=.0 и т. д.
Отмечу также незнание в ряде случаев метода полной индукции.
Теперь я приведу дополнительную (к стабильным учебникам и
задачникам) литературу* которую мы рекомендуем использовать
в первую очередь поступающим на механико-математические,
физические, физико-технические и физико-математические факультеты
университетов и пединститутов. Использование этой литературы,
конечно, не обязательно. Для подготовки к приемным испытаниям
достаточно знать материал, содержащийся в стабильных учебниках,
и уметь решать задачи такого характера, какие помещены в
стабильных задачниках. По дополнительной литературе желающие могут
углубить и расширить свои знания, приобрести более высокую
технику, научиться лучше ориентироваться в задачах и вопросах
школьного курса математики.
ЛИТЕРАТУРА
Алгебра
1. Новоселов С. И. Алгебра, Учпедгиз, 1947 г. Помимо
отмеченных выше разделов в книге изложены почти все
принципиальные вопросы школьного курса алгебры. Книга написана на высоком
научном уровне и хотя предназначена для учительских институтов,
но может быть с большой пользой прочитана учащимися старших
классов.
2 Кречмар В. А. Задачник по алгебре. ОНТИ НКТП
СССР 1937 г.
3. Пржевальский Е., Сборник алгебраических задач,
Учпедгиз, 1941 г.
4. Обер и Папелье В. Упражнения по элементарной
алгебре, 1940 г.
Геометрия
1. Делонэ Б. Н. и Житомирский О. К. Задачник
по геометрии, изд. 4, Гостехиздат, 1949 г. Это очень интересная книга,
содержащая помимо большого числа удачно подобранных задач и
решения к ним. Очень хорошо представлены задачи по стереометрии.
2. Александров И. И., Геометрические задачи на
построение и методы их решения, Учпедгиз, 1934 г.
В этой книге поступающий найдет много трудных и интересных
задач на построение (на плоскости); в книге изложены и методы
решения. Книга очень полезна для развития навыков в геометрии,
109

однако, в ней много очень трудных задач, которые потребуют бель-'
шого напряжения.
3. Д з ы к П. Г. Сборник геометрических задач на комбинации
геометрических тел, Учпедгиз, 1936 г.
В книге предложены задачи по стереометрии, в основном на
вычисление. Решение почти всех задач требует хорошего
пространственного представления, так как комбинации геометрических тел,
рассматриваемых автором, почти всегда сложны. Для решения
многих задач нужно предварительно производить (во многих
задачах) достаточно сложные построения в пространстве.
4. А д л е р А. Теория геометрических построений, Учпедгиз,
1940 г., изд. 3.
5. Четверухин Н. Ф. Чертежи пространственных
фигур в курсе геометрии, Учпедгиз, 1946 г.
6. Четверухин Н. Ф. Стереометрические задачи на
проекционном чертеже, изд. АПИ, 1947 г.
Тригонометрия
Б е р м а н т. Прямолинейная тригоно-
И. Обратные
тригонометрические
1. Люстерник .и
метрия, Учпедгиз, 1941 г.
2. Новоселов С.
функции, изд. 2, 1947 г.
По поводу последней книги следует сказать следующее: книга
содержит весь материал (по данному разделу), который надо знать
преподавателю математики; для учащегося, самостоятельно
готовящегося к испытаниям, трудно будет выделить из этой книги тот
необходимый минимум сведений, которые ему помогут справиться и с
ответами на теоретические вопросы и с задачами. Вот почему я приведу
ниже перечень основных определений и формул. Хорошо, если
читатель, пользуясь книгой Новоселова С. И., докажет приведенные
ниже формулы, а затем попробует применить их для решения задач,
которые даны и в этом сборнике и в стабильном учебнике и в
указанном выше задачнике Кречмара (по алгебре).
к
Определение 1. у — arc sin x,
Определение 2. у = arc cos x,
если x = sm у и
<</<
Определение 3.
Определение 4.
- arc tg x,
- arc ctg x,
(о
arc sin (— x) = — arc sin x
arc с os (— x) = it — arc cos x
arc tg (— x) = — arc tg x
arc ctg (— x) = к — arc ctg x
(2) <(
arc sin x n arc cos x ■= 77-
arc tg x -f- arc ctg x =
если x=-cosy и 0<;#<^гс.
если x=rigy и — т[<У<\ -
если х = ctg у и 0 < у < тт.
Для каких значений х
имеют место формулы:
-1<*<1
— 1<х<,1
для всех х
для всех х
-1<*<1
для всех х
ПО

arc sin x = arc cos V1 — x2 = ar ctg
= arc ctg
Vl—x*
У 1-х2
0<*<1
(3) <(
arc cos x = arc sin Vl — x*= arc tg
|T
= arc cti
x
0<*<i
У 1-х2
arc tgjc = arc ctg — = arc sin -— =
* V 1 + x2
= arc cos —=r x > 0
arc ctg x — arc tg— = arc sin
:arc cos-
x
X
V I + x2
x>0
VT+~&
/ arc sin x + arc sin у = arc cos (V\— x* Vl — y2 — xy)
0<*<1, 0<р<1
l*){
arc sin x — arc sin t/ = arc sin (x Vl — y2 — у V1 — Xй)
0<лг<1, 0<у<\
arc cos x + arc cos у = arc cos (xy — Vl — хг Vl — y2)
0<*<1, 0<£<1
arc cos x — arc cos у = arc sin (y V1 — хг — x Vl — y2)
0<*<1, 0<*/<l
l—xy
arc tg x + arc tg # = arc ctg
arc tg x — arc tg у = arctg
arc ctg x + arc ctg у = arc ctg
*y—1
* + #
arc ctg x — arc ctg у = arc tg fV^
f 2 arc sin x = arc cos (1 — 2a:2)
(5)] Sarctgx-arcctgb"/
I X2— 1
i 2 arc ctg x = arc ctg —^~-
*>0, */>0
*>0, */>0
*>0, y>0
x>0, y>0
0<*<1
*>0
111

(
-„ arc sin # = arc cos ' 0 < x < 1
(ft) f ~9 arc cos x ~ arc cos r ~T— 0 < л: < 1
1 * * V \+x*—\ ^л
у- arc tg x — arc tg ! x > 0
При применении этих формул следует иметь в виду
ограничения (в правом столбе), наложенные на х. Если эти ограничения не
выполнены, то надо воспользоваться обычно 1-й группой формул.
Решение:
Например: выразить arc cosf J через арктангенс и арккотангенс.
» I--9-
3 \ 3 , V 25
— ] = i: — arc cos -v- = я — arc
V
ssr л — arc
5
4 A_ 3 ,_Y 3
- arc ctg -j- = arc ctg f -) и т. д.
Большое количество ошиоок в указанном разделе проистекает
именно потому, что не учитываются ограничения на аргумент х.
В книге С. И. Новоселова читатель найдет много вопросов,
задач, графиков, связанных с обратными тригонометрическими
функциями.
2
Следует отметить все еще недостаточную логическую подготовку
некоторых поступающих. Значительное количество ошибок,
допущенных при выполнении работ и в ответах на устные вопросы
относятся к ошибкам логического порядка. Как типичный пример
ошибок такого рода можно привести ошибки, связанные с понятием
прямой и обратной теоремы. Многие из поступающих не знают, что
значит необходимый и достаточный признак (чего-либо), не
понимают сущности фразы: «...тогда и только тогда...». Все это одно
и то же, только сказанное разными словами. В школе несомненно
надо уделять больше внимания этому важнейшему понятию в
математике.
Задачи 361, 367 и др. не были многими решены именно потому,
что поступающий не представлял себе, что собственно он должен
доказать. А доказать в задаче 361 надо два положения:
1. Дано: 0<а<-*-, 0< ?<-£-, О <Т <~, a + р + Т = я.
2. Требуется доказать, что
cos2 a \ cos2 f + cos2 у + 2 cos a cos (I cos y = 1.
112

в
1. Дано:
о<«<Х- 0<?<Т~ • 0<Y<lb
cos2 a + cos2 (J + cos2 y + 2 cos a cos f cos y — 1.
2. Требуется доказать, что
Точно так же и в задаче 367 требуется доказать два положения:
А
1. Дано:
0<«<-£-, 0<Kf, °<Т<-Ь °<а + ? + Т<-у •
2. Требуется доказать, что
tg « tg р + tg МЯ Т + tg 7 tg а < 1.
В
Дано:
0<а<-*-, 0<?<^-, 0<T<-J-,
tg а tg p + tg р tg T + tg Y tg а < 1.
Требуется доказать, что
0<а+? + Т<-|-.
Ниже дано доказательство всех этих положений.
Некоторые на вопрос: «стороны треугольника 3, 4 и 5, какой
это треугольник?», давали верный ответ — «прямоугольный», а на
вопрос «на основании какой теоремы?» — отвечали: «на основании
теоремы Пифагора», допуская ту же грубую логическую ошибку.
Вот еще простой вопрос логического порядка, который вызвал
затруднения: «Можно ли доказать, что при аф О имеет место
соотношение: а0 = 1?» На этот вопрос некоторые отвечали
утвердительно и приводили такое «доказательство»: если
афО, то — = 1 ;
а
с другой стороны, вычитая показатели, получим
а
Значит а0 = 1.
Читателю предлагается раскрыть логическую неполноценность
этого «рассуждения».
3 П. С. Моденов. Сборник задач ИЗ

Вопрос 939 (стр. 105) вызвал непреодолимые затруднения почти
у всех. Логическая ошибка приведенного там «доказательства»
заключается в том, что мы считаем линию ВСВ" — ломаной (т. е.
считаем, что точки Б, С и Б" не лежат на одной прямой). Если это
так, то тогда действительно треугольники ABC uA'B'C — равны.
Однако, если точки Б, С и В" лежат на одной прямой, то приведенное
в условии задачи рассуждение становится несостоятельным;- с
другой стороны—легко в этом случае построить два неравных
треугольника ABC и А4 В'С у для которых
АВ^А'В', АС^А'С, ^АВС^ЛА'В'С9.
Отметим, что именно таким методом доказывается в учебнике
по геометрии Киселева равенство треугольников по трем сторонам,
причем опять случай, когда две из сторон треугольников (после
приложения их друг к другу) расположатся на одной прямой, — не
рассматривается. Правда, здесь это, по существу, дела не меняет
(треугольники равны и в этом случае), однако доказательство,
приведенное в учебнике Киселева, все же логически неполноценно. Надо
рассмотреть случаи, когда после приложения друг к другу
треугольников две стороны расположатся на одной прямой. Мы видим сколь
трудны вопросы логического воспитания мышления; в учебнике
Киселева по геометрии даже многими преподавателями эта ошибка
не была замечена.
Остановлюсь еще на решении задачи 362. Решение сразу
вытекает из следующего тождества:
( а\ + Ъ\ - \f + (а\ + Ь\ - \f + 2{ахаг + &А)2 =
= (а? + 4- !)* + (Ь21+Ь22-1)* + 2(аА + аф,)*.
Отсюда сразу ясна эквивалентность предложенных в условии
двух групп соотношений. Отмечу еще одно из «решений» этой задачи,
содержащее логическую ошибку (это «решение» приведено в
задачнике по алгебре В. А. Кречмар, ОНТИ, 1937, § 5, задача 31, для
аналогичной задачи, но содержащей по две группы из шести
соотношений каждая). «Решение». Пусть выполнены соотношения:
а2х + Ь\ = \,
Тогда при любых X и У будет иметь место тождество
(а±Х + a2Yf + (ЬХХ + b2Yf = Х> + УК
Положим:
ахХ -\- a2Y = х,
bxX-\-b2Y=:y.
Умножая первое из соотношений на alt второе на Ьг и складывая
полученные при этом соотношения, будем иметь (опять-таки в силу
данных соотношений):
X == ахх + Ьху.
114

Точно так же, умножая первое из соотношений (2) на а2, второе на
Ьг и складывая полученные при этом соотношения, будем иметь:
У = а2х + Ь2у.
Теперь равенство (1) примет вид:
*2 + у2 = (а,х + Ь1Уу + fax + Ь.у)*
или
х2 + У2 = [а] + а\) х* + 2 {аф1 + аф2) ху + [b] + b\)f.
Так как это равенство верно при любых х и у% то коэфициенты слева
и справа при я2, ху и у* должны быть соответственно равны1, т. е.
а\ + а\ = \%
аФ\ Л- а2^ = О,
ь\ + ъ1 = \
и положение «доказано».
Здесь допущена логическая ошибка. Ошибка заключается в том,
что мы не имели ьрава (на основании приведенных
рассуждений) утверждать, что соотношение
х' + у" = (а\ + 4)** + 2(а А + аф2)ху + (Ь2Х + b\)y*
верно при любых х и у. В самом деле, ведь через х и у мы
обозначили соответственно следующие числа:
ахХ + a2Y и ЬХХ + b2Y
и если в этих выражениях X и У принимают всевозможные
значения, то надо еще доказать, что всевозможные значения принимают
и суммы
a,X + a2Y = x,
t>iX + b2Y = y.
Иначе говоря: надо доказать, что какую бы пару значений х и у мы
ни выбирали, всегда найдутся такие значения X и У, для которых
ахХ + a2Y = xt
b1X + b2Y = y.
Таким образом надо доказать, что эта система разрешима относительно
X и У при любых х и у. Однако утверждать, что решением этой си-
С1емы являются числа
X — atx + Ьху, У = а2х -f 62//
1 В самом деле: пусть х=1, у—0, тогда получим 1 = а\ + а}; пусть
X = 0, у := 1, тогда получим 1 = b\ -f &§; теперь имеем х« + у* =х* -f 2(^6, +
+ я»&«)*У + У* или 2{albl + utbt)xy = 0. Положим х=у=1; тогда получим
агЬх + atbt = 0.
8*
115

мы не можем, так как, подставляя эти значения Л' и У в предыдущие
соотношения, будем иметь:
ах{ахх + Ьгу) + а2(а2х + %) == (а\ + а\)х + (а^ + а262)*/;
это будет равно х, если
2 2 л
ко ведь это-то и нужно доказать! Итак, в весьма завуалированной
форма В. А. Кречмар пользуется в доказательстве предложенных
соотношений самими этими соотношениями (?!).
Правда, здесь нетрудно было бы исправить этот дефект; для этого
надо предварительно доказать, что ахЬ2 — афх^Ои сослаться на
известную теорему о существовании и единственности решения системы
двух уравнений с двумя неизвестными первой степени. Суть дела от
этого не меняется. Метод, предложенный В. А. Кречмаром, легко
исправимый в случае п = 2, уже вызывает значительно ббльшие
трудности для /1 = 3 и еще ббльшие для любого п (целого
положительного). По существу, здесь допущена ошибка того же логического
порядка, как и в приведенном выше простом вопросе с теоремой
Пифагора (прямая теорема спутана с обратной).
Я попутно дал здесь и ответ на вопрос 925: в приводимых обычно
рассуждениях, связанных с «решением» системы
«i* + Ъху — с1У а2х + Ъ2у — с2
(в случае ахЬ2—а2Ьх ф 0), доказывают лишь единственность решения,
существование же устанавливается проверкой того, что числа
х_._. СА — с2Ь± ч ахс2 — а2сг
ахЬ2 — афх ' аф2 — а2Ьх
обращают каждое из предложенных уравнений в тождество. Это одно
из самых трудных в логическом отношении мест школьного курса
алгебры, и мне пришлось столкнуться однажды (в Московском
институте усовершенствования учителей) с таким случаем, когда даже
один из методистов выступил с «возражением» о необходимости
проверки того, что указанные выше значения х и у удовлетворяют
данной системе (?!). Конечно, это надо сделать только один раз в
теоретическом курсе и уже не следует повторять при применении теоремы
к различным системам с числовыми коэфициентами.
Приведу еще примеры ошибок логического порядка. В ряде
предложенных выше задач (364, 378, 380, 396 и др.) требуется доказать
то или иное равенство или неравенство. Типичная ошибка, которая
при этом допускалась, заключалась в следующем: поступающий пишет
то равенство или неравенство, которое надо доказать, переписывает
его, преобразуя левую и правую части, получает в конце-концов
явное равенство (как например, 1~ 1 или 2 = 2 или что-нибудь в этом
роде) и заявляет: «значит верно и исходное равенство». Та же
логическая ошибка допускалась и на устных экзаменах. Экзаминаторы
приводили примеры: «имеем 2=—2, возводим* в квадрат, получим
4 = 4—это верно! — но 2 = —2 — неверно». На это поступающий
«возражал» так: «но ведь я не возводил в квадрат». Суть дела, конечно,
вовсе не в том, возводили ли мы в квадрат, соотношение, подлежащее
116

доказательству, или нет. Верное равенство из неверного может
получиться и при других преобразованиях. Например: 30° = 150°,
sin 30° = sin 150° — последнее равенство верно, а первое (30° =
= 150°) — неверно!
Поступающий во всех таких случаях допускает логическую
ошибку, рассуждая по существу вот как: «допустим, что
предложенное нам равенство верно, тогда... (тут он делает ряд выкладок)...
получим 2=2, значит (вот здесь грубая ошибка!) верно и исходное
равенство». Из того, что получено верное равенство не следует, что
верно и исходное. Можно без труда придумать соотношения в одном
случае верные, в другом — неверные, где в точности один и тот же
ход выкладок приведет в одних случаях к верным результатам, а в
других — к неверным. Пример
I) 30° = 30°, sin 30° = sin 30°, JL = JL ,
2)30° = 150°, sin 30°=-sin 150°, X^'T*
Подобные ошибки допускались довольно часто при доказательстве
различных соотношений^ связанных с обратнотригонометрическими
функциями. И все же изложенный выше прием доказательства
равенств иногда можно применять, а именно — в тех случаях, когда
из каждого соотношения, полученного как следствие из некоторого
другого соотношения, — вытекает и это предыдущее соотношение
(как говорят, если возможно «обратить» ход выкладок). Вот как
например совершенно строго можно решить задачу № 364:
предположим, что равенство
cos-g- + cos-g- = -2- (А)
верно, тогда будут верны и следующие соотношения:
2я я 1
2 cos -g- cos -у =—2~ ' №
2я я . я 1 . я
2 cos ---- cos -=- sin - - = - - sin --- , (С)
2я . 2я .я
2 cos -=- sin - == sin - - , (£))
• 4я . я
sm-5-=sin-5-. (E)
В этой цепи рассуждений каждое последующее соотношение следует
из предыдущего, что можно условно записать так:
(Л)-(В)-(С)-ф)-(£).
Ясно, следовательно, что если (Л) верно, то и (Е) верно. Из одного
этого, конечно, никакого вывода о верности или неверности
данного соотношения (А) сделать нельзя. Однако совершенно ясно,
что из (Е) следует (D), из (D) следует (С) и т. д. из (В) следует
(А):
(Е)-(£>)-(С)-► (В)-(Л).
117

По соотношение (Е) верно, значит и соотношение (А) тоже верно.
Таким образом, возможность обратить выкладки позволила
доказать предложенное соотношение. Вообще: если мы доказываем
какое-нибудь равенство, предполагая, что оно справедливо, и получаем
после ряда выкладок верное соотношение, мы должны все время
следить за тем, чтобы в процессе производства выкладок не было
такого равенства, от которого вернуться к предыдущему
соотношению уже невозможно; в предложенной цепи выкладок над
соотношением
тс , Зтс I
cos-y+cosx = -2-
1;:ы поступали именно так, а потому и доказали это соотношение.
В примере, приведенном выше,
30° = 150°, sin 30° = sin 150°, -~ == ~
кы от соотношения sin 30° = sin 150° уже не можем сделать вывода
о равенстве углов; здесь нарушена обратимость цепи рассуждений.
Указанный прием иногда полезен и при доказательстве неравенств.
jAa предполагаем, что вместо неравенства имеет место равенство;
пусть в результате ряда выкладок (которые здесь можно и не
предполагать обратимыми!) мы получим явно неверное равенство
(например, 2 = 3). Тогда данное неравенство доказано методом от
противного.
В своей статье, помещенной в журнале «Математика в школе»,
я поместил решение задачи 200 и сам допустил логическую ошибку,
на которую мне указал С. И. Новоселов. Ошибка интересна. Я при-
Ееду решение этой задачи и укажу, в чем была допущена ошибка.
Речь идет о решении тригонометрического уравнения
tg(ictgx) = ctg(icctg*).
Решение. Перепишем данное уравнение так:
tg (* tgх) = tg ^-*- — тс ctgxj.
Для того, чтобы тангенсы двух аргументов
г. tg х и тс ctg х
были равны, необходимо (но не достаточно!—см. ниже), чтобы
выполнялось равенство
г. tg х = -g тс ctg х + k тс,
где k — любое целое число. Последнее уравнение после упрощений
принимает вид:
1 4
tg* + ctg*=:-2 +b> откуда sin2x= -y+lJF '
118

4
Так как I sin 2х |< 1 и sin 2х = ггш'
то
I A I
I 1 + 2k I
Так как k — целое число, то k может быть любым целым числом,
кроме 0, 1,-1 и —2.
Из соотношения
sin2x=TTTk
находим
4
2х = 2mt + arc sin }~_.9bt
4
2х — 2/zir + и — arc sin r- -
и окончательно
x=n* + 4arcsinTT2P
, я 1 .4
* = «"+2— TarCSlnl+2^'
где k любое целое число, кроме 0, 1, — 1 и —2, an — любое целое
число.
Вскрыть в таком решении погрешность не легко! Дефект
решения заключается в следующем: соотношение
тс tg л: = -^ — я ctg х + kx (l)
получено нами из соотношения
tg(*tg*) = tg(j- я ctg*). (2)
Если уравнению (1) удовлетворяет значение tg# = -~- (2k + 1),
где & — целое число, то уравнения (1) и (2) не эквивалентны, ибо при
tg x= ~- (2k -f- 1) функция tg(i;tg#) теряет смысл. Точно также,
если уравнению (1) удовлетворяет значение ctgx, найденное из урав-
нения -д- — т: ctg л: = (2&-f- 1) у или ctg#= — £, где А;-—число
целое, то опять это значение ctgx не удовлетворяет уравнению (2),
так как tg (-S- + кк j —не определен.
Прежде всего заметим, что если tg* = 0, то ctgx не определен,
а если ctgх — 0, то tg* не определен; потому уравнение (1) или
tg x~-9- — ctg х -f- k эквивалентно следующему
t8X=T-tg1j+*
119

или следующему
tg2*-(*+ir)tg*+1=0
(этому уравнению tg лг== 0 не удовлетворяет), откуда
__2&+1:± j/(2ife+l)«~16
— 4 '
Прежде всего мы видим, что должно быть
(26+ 1)2— 16 > О
и значит для k исключаются значения:
£ = 0, Л=1, Л = —1, 6^ — 2,
Далее мы видим, что tg х будет рациональным числом, если (2/г + I)2—
—16 будет точным квадратом. Полагая 2 6+1 = а, (2 k + I)2—16 =»
= б2 (6 — целое число), будем иметь а2—Ь2 = 16. Это уравнение
(одно уравнение с двумя неизвестными!) надо решить в целых
числах, причем а должно быть нечетным. Для решения положим:
а— b~ut
а-\- b — v,
тогда получим
uv= 16.
Если а и b целые числа, то и и v также целые. Таким образом задача
будет решена, если мы решим последнее уравнение в целых числах
и выберем те решения, которые дают для а и b целые значения и
притом с нечетным а. Уравнение
uv= 16
имеет в целых числах следующие 10 решений:
их-ч 1, у3 — 16,
Так как
и2 — 2,
t/3 = 4,
iU — 8,
и-, = 16,
щ = — 1,
щ = —2,
«8 = —*.
«9 = —8,
«ю = —16,
иЛ-v
t>2 = 8,
у3 = 4,
у4 = 2,
».= 1,
i/e=-16,
У7=г—8,
Щ-— 4,
t>» = -2»
01о=—1.
6 = -2-
120

ид — нечетное, то из этих решений нам годятся только следующие
«2» Щ\ «4, 0«; "?, Щ и ы9, у9,
откуда
о = 5 или а =—5.
Но если а = 5, то & = 2, а если с = —5, то А: = —3. Подставляя
в соотношение
tgx=j(2k+l± V(2k+\f— 16) 4
А» =2, получим
5zt3
*б*=—4~
или
tg*^2 и tg*=-g-.
Последнее значение tg а: = -л- не удовлетворяет начальному
уравнению , но tg х = 2 ему удовлетворяет. Отсюда
* = arc tg 2 -f- kK.
При k = —3, получаем
— 5:±3
*g* = л *
откуда tg х = —2 и tg я = — у •
1
Опять tg * = — -у данному уравнению не удовлетворяет, а
tg х = — 2 удовлетворяет, откуда
я = — arc tg 2 -f- &дс.
Окончательно решения данного уравнения:
где fc любое целое число, кроме k = 0, & = 1, &■=— 1, Л = —2, fc;=2
и /г = —3 и еще следующие значения я:
* — пк ± arc tg 2
(я— любое целое число).
Провести этот анализ полностью очень трудно. Ошибка,
допущенная мною в цитированной выше статье, заключалась в том, что не
было указано, что при k = 2 и k = —3 надо из решений
* = ™ + ^-arcsinr^,
те I .4
л; = птс -j—— — — arc sin
2 2 1 + 2k
121

исключить бесконечное множество значений х (не являющихся
корнями данного уравнения), но и сохранить (при тех же значениях k)
бесконечное множество значений х, являющихся корнями данного
уравнения.
На этом мы закончим разбор ошибок логического характера1.
Третьим существенным дефектом письменных работ и устных
ответов поступающих является в ряде случаев формализм знаний:
поступающий натренирор-ывает себя на задачах определенного
шаблона, мало внимания уделяя «искусственным» (нешаблонным)
приемам решений, построений, рассуждений. Мы не отрицаем важности
и нужности знания шаблонов в решении задач. Однако
недопустимо испытания в высшие учебные заведения сводить только к
проверке знания определенных заученных шаблонов. Вот, как,
например, некоторые из поступающих решали задачу 365. Решаем
сравнение
находим
-г+ 1=0,
1 zt i\Ъ
а затем (беря, например, знак-J-):
,и+±„(1±*
г ^г" \ 2
(i±^)"
(применялась "формула бинома Ньютона для показателя степени
п = 14). В итоге поступающий ошибался в счете (и не удивительно —
выкладка весьма утомительная!).
Для решения этой задачи хорошо применить формулу Моавра
(что многие и делали!). В самом деле: взяв, например, знак -f-,
будем иметь:
г -= -i + / -2- .-= cos 60° + / sin 60°.
1 Мне кажется, что в школьной работе следовало бы несколько больше
решать задач «на доказательство», задач с логическим содержанием (притом
из всех разделов школьного курса математики). Подобные задачи безуслов «о
способствуют развитию логических способностей школьника. Хорошо, если бы
и наша учебная литература для средней школы пополнялась задачами такого
характера. Полезно в журнале «Математика в школе» расширить отдел задач
задачами на доказательство; можно было бы только приветствовать появление
в журнале ряда статей на эту тему. Безусловно повышению логических
способностей учащихся способствовало бы издание и ряда специальных пособий
для учителей, притом таких, которые затрагивали бы вопросы идейные,
принципиальные (а не только чисто технические).
122

откуда
откуда
ги = cos (14.60°) + /sin (14.60°) =
1 УЗ
= cos 120° + i sin 120° = — j + i —g- .
i 1 Уз"
^ == COS 120°-/Sin 120° = --,,----*--,v-
^+^-=-1-
z14
Однако можно обойтись и без формулы Моавра. Пожалуй наиболе
простое решение —такое: пусть z корень уравнения z + —= 1 или
г» г-\- 1 = 0. Если z удовлетворяет этому уравнению, то г будет
удовлетворять и такому уравнению:
(z+l)(z«-z+l) = G
или
28+1=0,
откуда
z8 = — 1.
Итак, куб корня уравнения г + —= 0 равен — 1, значит
Из соотношения
получаем:
(г8)4.*2
1 Z
(*+¥)=>•
такого решения не дал ни один из поступающих. Однако решения
близкие к этому были: решая уравнение
получим
тогда
*+}-•
2 2 2
\2 2 ; •••
123

и далее примерно так, как указано выше. Это несомненно также
хорошее решение, мало отличающееся от того, которое я указал.
Значительные трудности вызывали вопросы такого рода: «Найти
все значения х% при которых иижеследующие выражения являются
действительными числами»:
Yx2— I, Yl—x2, Vlgsinx, sin -, lgIgtgat»
lg(tg2*-4tg* + 3), ]/jt§, l^*-l)(*-2)(*-$(*--4b
x*% K2*"=2, J/2-* —2, —====X^-—===-t Vcosbc и т. д.
Vx—l — VT-2
Учащийся должен ясно понимать, что, например, выражение Fig sin x
есть действительное число только для х = (4 k -f- 1) -~- , где k —
любое целое число. Если учащийся не может дать такого ответа,
то выражение Fig sin л: для него просто символ, набор известных
ему знаков из школьного курса математики — и только! Не всегда
правильные ответы давались и на такие вопросы: указать все
действительные значения xt для которых имеют место следующие
равенства:
tgx^rthf ig(*2-i)=ig(*-i)+ig(*+i),
Приведу еще один типичный пример ошибки: «Найти все
значения х, которые удовлетворяют неравенству — < 1». Ответы (их
было немало) : х > 1. Это грубая ошибка. Ясно, что если х > 1, то
— < 1, однако соотношением х> 1 определяются не все решения
неравенства, которое надо решать так:
7<i. 7-K0' •iT£<0 ит-д-
Рассмотрим еще решение задачи 193.
Решить уравнение:
lg(2*) _o
lg(4*—15)
Решение. Перепишем данное уравнение в виде:
lg(2*)==21g(4*—15)
или
lg(2*)-rlg(4*-15)2.
Отсюда
2л;=(4аг— 15)а
124

или
16л:2— №x + 225 = Q.
Решая это уравнение, получим
_25 ___9
%1 — о » *2 — 9 *
Подставляя эти значения х в начальное уравнение, убедимся, что
9 25
х=-сг является корнем данного уравнения; х= -Q— не является кор-
нем данного уравнения, так как выражение 4х—15, стоящее под
знаком логарифма, при * = - - отрицательно. Посторонний корень
о
появился потому, что в процессе решения задачи мы заменили 2 \g(4x—15)
на lg(4 х—15)2. Между тем, lg (Ах—15)2 = 2 lg |4х—15|, а не 2 lg (4*—15).
Отметим, что вообще, при сфО имеет место соотношение:
lga2 = 2 1gla!,
но не
lg а2 = 2 lg a.
Последнее равенство верно при а > 0; если же а < 0, то
\ga* = 2\g(-a).
Отметим еще такие грубые ошибки, как применение знака со
как числа, деление на 0, записи tg -~- = оо, lgO = —оо и т. д.; здесь
уже формализм часто граничит с непониманием существа дела.
При решении задач по математике надо стремиться к
максимальной простоте метода решения задачи. Не говоря уже о том, что часто
удачный способ решения задачи с лихвой окупает время,
затраченное на обдумывание, простое, скажем даже изящное решение,
свидетельствует часто о повышенной математической культуре
поступающего; напротив решение по «естественному пути» часто
свидетельствует о формализме знаний поступающего, а иногда и не
приводит к цели.
Я приведу здесь одно из решений задачи'362, данное одним из
поступающих на физический факультет: так как а\ -f- b\ = 1
и а| -Н б| == 1, то можно найти такие углы а и р, что
ах = cos а, bx = sin а;
а2 ~ cos р, b2 = sin р.
Теперь соотношение
аха2 -f- bxb2 = О
принимает вид;
cos a cos р + sin а sin р = 0
или
cos (а — }) = О,
откуда
« = ? + -£+&.
125

Пусть k — четное, тогда
ах = cos a = cos (f + ~ + fa ) — cos П + 1.Л = — si n f = — b2,
6Ж = sin а = sin (PH--o" +^rcj = sin ^ p -f-^-Wcos $= a2
и справедливость соотношений
устанавливается сразу.
Безусловно- это решение свидетельствует о хороших знаниях
поступающего1.
Ничем иным как формализмом нельзя объяснить целый ряд
ошибок, допущенных в решении задач 8, 17 и др.
Так, при решении задачи 8 при упрощении данного выражения
встречается V(m2 — /г2)2; это число равно п2 — т2(ноне т2— я2)»
и/о по условию п > т > 0.
Напомним определение абсолютной величины или модуля числа,
а также арифметического значения корня четной степени из
положительного числа:
1) Если х >0, то абсолютной величиной числа х называется само
это число, если х < 0, то абсолютной величиной числа х называется
число — х. Абсолютная величина числа х обозначается так: [Х[.
Итак,
\х\ ■= х, если *>0,
\х — — х; если х < 0.
2) арифметическим значением
1/х
корня четной степени из положительного числа х называется
положительное число у такое, что
уп = х.
Отметим, что, например,
Vx* = \х\9
(а не х, как это писали некоторые из поступающих).
Мало «выучить» эти определения, надо уметь применять их в
разнообразных конкретных задачах. Мало того, что некоторые из
поступающих утверждали, что арифметическое значение j/(ma —- я2)2
равно т*—/г* (при п > т > 0?!), но пытались даже это «доказать».
Нелепость подобного утверждения очевидна: ведь т2—п2 < 0 (ибо
п > m >0). И вообще: основные определения должны быть заучены,
поняты, но и этого мало: надо уметь правильно их применять, знать
эти определения в действии, просто заучить и даже понять
определения мало.
1 Дефектом этого метода решечия является то, что оно не обобщается на
случай п* чисел и двух групп по С«я соотношений в каждой (дайте
формулировку этого обобщающего предложения!).
126

4
Надо отметить, что целый ряд поступающих не знали
определении ряда основных понятий школьного курса математики. Отсюда
неверные решения задач, неверные ответы на вопросы.
Например: ряд поступающих не могли дать определения того,
что называется решением системы уравнений. Значительные
трудности вызывали вопросы: какая система уравнений называется
определенной? Неопределенной? Совместной? Несовместной? Что значит —
решить систему? Исследовать систему? и т. д.
Еще хуже обстояло дело с ответами на вопросы: при каком
условии система линейных уравнений будет определенной? Вывод этого
условия? При каком условии она будет неопределенной? Вывод
этого условия и т. д.
На вопрос: является ли совокупность уравнений:
х+у+1^0
системой, следовал (иногда) ответ: нет, — это одно и то же
уравнение, 2 раза написанное, это не система.
Некоторые не могут дать определения для обратных
тригонометрических функций.
Рассмотрим решение одной из задач, предложенное
поступающим (и не одним), на котором видно как фактическая ошибка
рождалась из-за незнания определения.
Решить систему
X +#=32,
х2 + у2 = 5z,
х* + у* =. 9г.
Некоторые из поступающих начинали решать эту систему (без
всяких объяснений?!) так:
** + У*^3
х + У
хг — ху + уг = 3,
х2 -j- у2 = 5z,
— ху = 3 — Ъг и т. д.,
причем запись формул велась в беспорядке, приводились совершенно
излишние подробности элементарного характера и т. д. Но не в этом
основная беда (об оформлении письменных работ — см. ниже).
Решение такой, сравнительно простой системы не было доведено
некоторыми поступающими до конца, и ими были допущены как в процессе
самого решения, так и в окончательных результатах грубые
принципиальные ошибки в основном из-за того, что поступающий не знал
четко, что называется решением системы. Далее если мы пишем
уравнение:
** + У3 _ &
х + у "" 32 »
а затем сокращаем на г и на х-\-у, то мы должны сделать оговорки
гфО> х + уфО
127

и таким образом случай 2 = 0 лучше всего выделить с самого начала
Итак, решение можно было бы начать так: предположим, что 2=0,
тогда из уравнения х2 + у2 = Ъг находим х2 -\- у2 = 0, откуда
х= у = 0.
Подставляя х == у = z = 0 в уравнения данной системы,
убеждаемся в том, что они обращаются в тождества и, таким образом,
х = 0, у = 0, г = 0 является решением данной системы. Исключая
в дальнейшем это решение, заметим, что если гфО, -то и х+(/^=0,
а потому из первого и третьего уравнений данной системы будем
иметь:
*? + У* 9г
Х+у ~~ 32
ИЛИ
х2 — xy + y2=z3 и т. д.
Вследствие логически неполноценных рассуждений, некоторые
из поступающих и потеряли решение:
х — 0, у = 0, 2 = 0.
Далее оказалось (это выяснилось и на устных экзаменах), что
некоторые из решавших эту задачу не могли даже дать и
определения того, что называется решением системы; они понимали решение
как процесс отыскания неизвестных (к этому фактически, в лучшем
случае, сводились их ответы на этот вопрос), между тем надо было
дать на предложенный вопрос такой ответ: «решением системы
называется совокупность значений аргументов, входящих в систему,
которая удовлетворяет данной системе» [как скажем выше, х = 0,
у = о, 2 = 0 есть решение (а не решения!) данной системы]. Здесь
уже незнание определения. Это незнание так отражалось на
выполнении письменной работы: поступающий находил несколько
значений х, несколько значений у, несколько значений 2 и не указывал
точно, в каких комбинациях эти значения х, у, z образуют решения
системы.
Не будем здесь приводить всех выкладок, они в конце-концов
достаточно просты. Отметим только, что окончательный результат
должен быть дан в форме:
Xi = 0, у1 = 0, 2Х = 0,
*2~2, у2~ 1, z2= 1,
и так должны быть выписаны все решения данной системы. При
проверке решений данной задачи мы не сомневались в том, что каждый
из поступающих сумеет произвести все необходимые
преобразования, но непонимание того, что собственно должно быть в конце-
концов найдено, сводило в ряде случаев на-нет работу, порою столь
тщательно выполненную.
Незнанием определений обратнотригонометрических функций
(и недостаточной подготовкой учащихся в этом разделе вообще)
объясняются многочисленные ошибки в решении целого ряда вопросов
и задач по этому разделу. Примеры таких вопросов приведены выше.
Вот еще некоторые из вопросов такого рода, которые мы
приводим в качестве упражнений:
128

1. Доказать, что
arc sin-
1
У 1 + х2
■arc cos —
arc sin
1
1/1 + *2
2. Доказать, что
arc sin x=l
3. Доказать, что
• arc cos ■
Vl+x*
Vi+x*
• = r. — 2 arc cos
О, если *>0,
V\+x2
если #<0.
arcctg
arcctg
V\-
-x2
X
V\-
-X2
arc tg x =
4. Доказать, что
I
-я,
arcctg — ,
. 1
arcctg rc,
6 x
если 0 <*< 1,
если — 1 <J *<0.
если x>0,
если х < 0.
arc sin x-\- arc sin
j или
iny=\«-<
( arc sin (xV\ — y2-\-yV\ — л;2), если ху<^0
! ur<u x2-\- f/2< 1,
arc sin(A: V1 —y^+'yV 1 —x2), если *>0,
j/>0 и х2 + у2>1,
j —тг—arc sin (jc Vl—y2+y V1 —*2), если *<0,
^ y<0, x* + y2>l.
5. Доказать, что
j arc tg i——- , если xy > — 1,
| ь 1 + *# * ^
arctgx+arctg£=<( к -f- arc tg ?. j' , если x>0, xy <—> 1,
I — я — arc tg -ГХТ71» если x<°> XV<—1-
6. Доказать, что
arc sin x + 3 arc cos x + arc sin (2* j/1 — x2) =
если-
Зл
i
s==<( -q" + 4 arc cos x> если -у=<*<1»
1 — -к- + 4 arc cos x, если — 1 — < x < —»
\ А У2
П. С. Моденов. Сборник задач
129

7. Доказать, что при х > О,
2х
2arctg*+arcsin ,— , а — 1*.
8. Доказать, что
2х-\ 1 . Л 2х-1 \ . .
—2 7 аГС tg 0g -2- V = [Х]§
где [я] есть наибольшее из целых чисел, меньших или равных х.
п г, ъ . Ък . sin* + cos* Зге
9. Доказать, что если — < х < -г , то arc sin Ц= = —-.
4 4 |/2 4
10. Доказать, что
arc cos x + arc cos (у+ -9 ^З—-ЗгЧ= -*-, если 2 <#< 1.
11. Доказать, что
4arctg^-arctgJg=J.
В школе необходимо раздел об обратнотригонометрических
функциях изложить с максимальной четкостью и компактно.
Незнание определений имело место и в ряде других разделов
курса. Приведу еще один пример: пусть частное от деления
многочлена Р(х) на х—а есть Q(x), а остаток R. Тогда
P(x) = (x-a)Q(x) + R.
Полагая здесь х = а, получим
P(a) = R.
Ряд экзаминаторов предлагали следующий вопрос: «как же можно
в равенстве
P(x) = (x-a)Q(x) + R
полагать х = а, ведь при этом делитель х—а равен нулю, а деление
на нуль невозможно; между тем соотношение
P(x) = (x-a)Q(x) + R
получено при делении Р(х) на х—а»?
Это трудный вопрос. Суть дела заключается в том, что деление
многочленов определяется так: мы будем говорить, что многочлен
Q (х) есть частное от деления многочлена Р(х) на х—а, а число Л —
остаток, если имеет место тождество
P(x) = (x — a)Q(x) + R
при всех х.
Теперь можно положить х = а. Дело таким образом в том, что
не следует смешивать понятие деления многочленов с понятием
деления чисел. Определение делимости многочленов дается независимо
130

от делимости чисел и никакой «нестрогости» в выводе теоремы Безу
предыдущими рассуждениями нет. Важно только понимать, что
понятие деления здесь применяется в другом смысле, чгм для чисел.
5
Совершенно недопустимым является то, что окончивший
среднюю школу, часто в совершенстве владеющий слогом в тех
случаях, когда речь идет ^э сочинении по литературе, становится
совершенно беспомощным, если ему приходится излагать доказательство
какой-либо теоремы или решение задачи.
Вот изложение решения задачи № 138, данное одним из
поступающих: «Из условия задачи находим, что сумма чисел p-\-q = \,
но разложение бинома содержит п таких сумм, поэтому напишем
(Р + Я)п = 1л- Любое число дает единицу (?!) тогда, когда
показатель степени есть нуль, значит п — 0. Рассматривая разложение
бинома как какое-нибудь число (?!) (в данном случае
положительное, так как р > 0, q > 0), утверждаем, что такого разложения
бинома (р + q) и не существует, потому что п = 0. Поэтому и
решения для этого разложения нет (?!)».
Другой поступающий по поводу той же задачи пишет: «Чем
больше показатель знаменателя дроби, тем она меньше, и с
возрастанием его пределом дроби будет 0, но чем меньше абсолютная величина
знаменателя дроби, тем она больше по сравнению с другой,
знаменатель которой больше и которая изменяется также с увеличением
показателя ее знаменателя, отсюда:
a) наибольшим членом будет первый при условии q гораздо
больше, чем р, но не больше, чем 1 — р, даже в том случае и даже
только, когда q — 1 — р,
b) при р гораздо большем, чем q и р = 1 — qy
c) разложение будет удовлетворять третьему требованию при
нечетном числе л».
В обоих случаях дан набор слов, лишенный смысла; обе работы,
конечно, оценены как неудовлетворительные.
Вот еще страница из работы поступающего Д., окончившего
школу № 277 г. Москвы в 1948 г.: «решить уравнение
tg (* tg х) = ctg (тс ctg х)
tg отвлеченное число (?!), к — отвлеченное число (?!). Следовательно
(?!) к tgx тоже есть отвлеченное число, значит угол выражен в
радианах, tg какого-нибудь угла может тогда равняться ctg, когда они
имеют одинаковый знак и разность их составляет 180° (в случае
углов, не превышающих 360°). Следовательно,
я tg х — я ctg х = я,
tg* — ctg*=l,
tg2* — tg*— 1=0
£*
131

i+ Уъ
2
1- ^5
2
^ = ife.l80° + arctg
x2--=M80o + arctg
Здесь сочетаются непонимание существа ^ела с
неудовлетворительным оформлением работы.
Интересно отметить, что указанный поступающий никак не мог
понять своих ошибок, утверждая, что работы выполнены не плохо,
что в школе он имел похвальные отзывы по математике (?!) и т. д.
Все это свидетельствует о некритическом отношении к своим
знаниям, о невнимательном отношении к учебе. Такие случаи не были
единичными.
Иногда работа подается выполненной небрежно, даже без
соблюдения правил пунктуации, формулы хаотически разбросаны по
листу бумаги, написаны неряшливо, математически неграмотно.
Учащиеся часто неправильно представляют себе, насколько
подробно в работах надо приводить элементарные промежуточные
выкладки. Иногда поступающий подробно приводит все выкладки,
связанные, скажем, с решением системы двух уравнений с двумя
неизвестными первой степени или с решением квадратного уравнения,
без конца переписывая одно и то же и производя при этом какую-
нибудь одну операцию. Например, уравнение
2х + Ь = 7х — 4
решают так:
2х-
7хг=
- 5х =
5х =
х =
: —
-9,
9
5
4-
-9,
.
■5,
Всего этого писать не нужно. Достаточно сказать: «решая уравнение,
2л' + 5 = 7* — 4,
получим:
9
Ведь у проверяющего работу не может возникнуть сомнения
в том, что поступающий умеет переносить слагаемые из одной части
равенства в другую, приводить подобные члены и т. д. В подобных
случаях, т. е. тогда, когда дело сводится к совершенно
элементарным преобразованиям, нужно только написать что мы делаем и дать
окончательный результат. Нам никогда не приходилось, например,
видеть такой записи: «Решая квадратное уравнение
х2 — 4* + 3 = 0,
получим:
Xi:== о, Х% '===- 1 •
132

Нет! Учащийся всегда пишет
* = 2:±: V4 — 3 = 2 ± 1 и т. д.
Это уместно, когда изучают квадратное уравнение, но
совершенно излишне в работах поступающих. При нагромождении
элементарных преобразований в работе иногда совершенно отсутствуют
словесные пояснения к решению, описания построений и чертежей
и т. д., а все это чрезвычайно важно. Работы по математике надо
выполнять сопровождая их ясными и четкими пояснениями, опуская
элементарные промежуточные выкладки, непосредственно следующие
друг за другом. Формулы более значительные по размеру следует
помещать в один столбец по середине страницы, между строк
пояснений, а дальнейшие словесные пояснения следует начинать всегда
с новой строчки от края страницы, несколько ниже последней
выделенной между строк формулы. При перечислении формул они
отделяются друг от друга запятой. Все слова в работе надо дописывать
полностью.
Мало найти верные решения задач, нужно еще эти решения
математически грамотно изложить.
Уделяя форме изложения больше внимания, мы будем
способствовать не только изжитию недостаточно четких формулировок, неясных
выражений, непоследовательности и логической неполноценности
рассуждений и т. д., но и повысим качество фактических знаний
учащихся.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ;
1. На заводе Л 50%. 2. 0. 3. Число С* имеет смысл, если
х^>4; х = 4— не корень уравнения, х = 5— корень, а при х > 5.
С*>5, значит данное уравнение имеет только один корень х = 5,
4. Если р = д, то любое число промывок сохраняет % содержа! ия
золота; задача имеет в этом случае решение, если г<^&, притом ч*с-
ло промывок произвольно. Если q < р, то число п промывок опреде-
. г (100 — ^)
^ g ^ (100 —г) _
ляется неравенством п ^ - 1 nrTZ— * ^СЛи же Р < <7> то число п
г (100 — k)
]2 6(100 — г) _ л
Промывок подчинено условию: п <^ ~-^- , 5. 0.
ё 100 — р
___^У{Ь2 + с2 — а2) (с2 + а2 — Ь2) (а2 + Ь2 — с2)
~~~ V2{a2 + b2 — с2)
, _^ У(Ь2 + с2 — а2) (с2+а2 — Ь2) (а2 + Ъ2 — с2)
У~— У'2(Ь2 + с2 — а2)
V(b2 + с2 — а2) (с2 + о2 — Ь2) (а2 + Ь2 — с2)
z = + —к- ■ -^—! -v - , причем перед ради-
V2 {а2 + с2 — b2) * р*^
133

калами должен быть во всех случаях взят знак -j- или во всех
случаях знак—. 7. Задача имеет решение, если (a-\-b)r>bq9
(a + b)r — bq« а m2
% примесей меньше или равен- — °
«[('-и)0-^;+щГ8'""'
2п
9. ^0,^ = ^^^--. Ю. -=*—-100U
£=* '
у ' у (2+ Уг)п — 1
(о j/5 V 4- 1
х. = -7 -\ — . 13. Задача разрешима, если <7 < р; в этом
(2—КЗ)"—1
случае „> % * 14. ^ - «• * = Un+1 -a"+V .
17 n _i_ . 2^ ^^^ 18 - 4
"• 1) JZTa> 2> a-2 ' 18' ""jTi *
\9.ат=УАВ, an = A\^J . 20. ^^-.
21. *j = 3, «/x = 4; x2 — 4, #2 = 3; x3 = — у ,
__ — 16 — 8^10 . _ — 16 — 8|^Ш __ — le + e^TO
Уз j ~ » *4 у » У4 у •
22. 2и1. 23.-. 24. *1 = 1-. У1 = -; * = _. у2 = -^ .
ь* ь
26. п (п — 1). 27. л: = Са (6"~а), у = С^^ •
28. j /3 sin -jj-l/ cos2 -i — cos2 а.
/jji kit ct?
30. —, -=-. 31. = . 32. Если Л, В, С углы треугольника, то
2 5 2j/2sina
L34

косинус угла между медианой и биссектрисой, выходящими из вер-
^ 2 sin Л sin Б _
шины С равен: cos в — -ш/гх т л гт~Т~ГТ~^ . ~ ~ • Отметим еще,
что
V2sinM + 2sin*B — sin2C"
{ 9_\sin(A-B)l
ё 2 sin Л sin Б*
33. x — 2 &rc zt— rt arc cos — с любым набором знаков.
34. 2а3 sin ав/ . За. а. 35. п- ( arc cos ^ + arc cos -n) —
J/ sin^-sing- 2 \ R RJ
- £ VrT1^2 - b0 VR*^2 -~ + ab. 36. 2.
2 ^ 4
37.
40.
(mt + fti) (Щ + n2) (m3 + n3) — m
m^ №% tn3
хЩЩ 38 / V'Rr у
21/2
Указание: отрезок, соединяющий середины
скрещивающихся ребер [правильного тетраэдра, раиен -^ и перпендикулярен к
указанным ребрам. Второй способ:
можно расположить тетраэдр ,
относительно куба так, что ребра
тетраэдра будут диагоналями граней куба
(черт. 1). 41. —■ Va% + ab-\- b\
42. х~кк, у = ~ — кк\
х=-т — £я, у — кк.
43. cos 0 — sin a sin p, где 0
искомый угол.
Черт. 1.
44 "|/- --1 ^—-н- • 45. 180°£ — 17°30r — i
^ Г /?! + «« + /?. 2
arc sin -
10
i i/n" 9 cos~n
90° (2fc + 1) — 170ЗС + 9 arc sin -yQ- . 46. sin у = j-.
cos I
47. ^ — 2^* arc cos ^ + "2 V*& — *- **- bit J, (2* + 1) J-
1(2Л + 2В + «Р). 50. £(3l/3-«). 51.^.(2^+1)4.
49.
4
18
52. | j/з ctg I cosec' -J-. 53. 'J^t^ V4a* 62 - *" (a + 6)».
135

54. jfen-~Tt ite + arctg5. 55. 10 л. 56. tg*=tgacos-^ .
4 /г
J _£_
59.187,5 кг. 60. sin| = j/i±|^- 61.*= (6*)^,
-y=(abP)P4'~i. 62. Aic±-|-, fe±-g-. 63. 2 часа 15 мин.
64. sin ®- = cos a sin -. 65. x = a2 t2'""3"), у = a6 <*-2*>.
2 /г
fee *. to 5, _«6_ 4tg4(1 + tg6^)
66< T + 48' T+48- "• 5+6- 68 1^
пт* тпг
69 x—tf*^ u-a^^ 70.*?+-, <?*+Л£ — *
ЪУ. x—a ,y — a * /v* 2 M6' 6 24
lg b \gc lga lgc
71. 10 час. 7?. 2. 73. x=\№b-l*a, у=\№а~1ъ~
74. sin2 (a+ P). 75. lOO-^l00?-:^ .
4 ' r/ 100 (m + n) + 2mn
ь
sin — I/ 1 — cos2 a sina j- -^ cos a sin —
„~ П f Tl 2. П __ _
76. /г т^—: r . 77. xx = 3, & = 2;
ti (1 + cos a) x ^
*2 = 2, */2 = 3. 78. Лю +- |-. 79. 20 м или 2 м. 80. Г^ tg |-.
81.^ = 4,^=1, *»=1, у2 = 4; х3=~~~ +i—L ,
— 7—/ Т^15 _ —7 —/FT5 __ —7 + /1/Т5 „ Ля
#з — о » *4 — 2 ' ^4 — 2 * 4 *
83. Всю остальную часть надо продать с прибылью в
Г_«£__^£Л а\
1 100 100 V ЮРУ Q/ я Кб2 — а\Ь* ctg2 a — a2 ctg2 ft)
а. Л /о- »4- 24 (ctg2 a — ctg2 f)V.
V1 100 Д1 100 J
17 £>* « Ъг — p — q — ^
85. |? «.f.^+Dy 87.-—^— число про-
136

центов прироста продукции за третий год. 88. — tg — .
я п J
89. лг1= 100, *я = 0,1. 90. ^, у. 91. Через 4 года.
92.
S^l * ог; _!?. 01. 1
49
а2. 93. 5, —-5-. 94. -^кк+ . 95. 30 дней, 60 дней.
яф ^ 1 лз/ ,—.
96. Боковая поверхность: -—, объем -„-rcO^Kctga;
sin a 3
2а6(а+6) g ^. JL *., * по 2i ™
100. -^--/8 cos2 а sin а. 101.2а. 102.(26+1)* fa ± £ .
4 2 6
л „л «л, Psinaij />cosa 4Лр, -,/а
103. 60 /сг. 104. ау —;2~. 105. 1/-^ .
106't-
6cos9^- "" r
107. В первом мешке 80 кг, во втором 60 /сг. 108. 1:8.
,09. ifis^jgiz ш.2*к * 2Ь * ш. По600 б
lg 3 — lg 2 5 10 2
Р2
лок каждого сорта. 112. —. ИЗ. х — — 0,9.
4rctg~
п
114. (26+ 1) тс, 26<- —~| . 115. 27 дней.
2
116. а КЯ2 — а2 4- Я2 arc cos Z . 117. 4, -5. 118. fa, " fa.
i\ 6
119. 17°,25. 120. -|- QsinaV'Qcos^. 121. (~ + ^Л (а-6)2.
122. (26+ l)ir, J 6* + *-. 123. -i*-. 124. 4 tg3 £-ctg«. 125. 4.
3 ' 6 v± — v ь 2
юй kz % и . * ют lOQc-—tys - 100c—aps
125. , fa-\- - . 127. -+- лпоа руб. и -г л«
4 16 '4 ap — bq ^J bq — ap
по 6 руб. 128. а2 6 sin а sin p. 129. — j* . 130. 6n, (46+1) * r
4л:
131. 5 человек. 132. — p(p— a) (p — b) (p — c)t
где p=j(a + b-\- c). 133. j/а^5 # 134. *-. 135. Задача имеет
137

решение при условии Afp> 100л. Количество бактерий в колбе будет
превышать их количество в 2 раза через число часов>
1 2iVp— 100п
"^ Л^р — 100л ^ х1 = 3, У1=\; *2 = 1. ^ = 3. 137.26.
0+4)
ig
138. Докажем, что члены разложения бинома (р + <7)Л, где р>0,
<7 > 0, р + <7 = ^ сначала растут, а затем убывают. Имеем
Tk = С*"1 /-1 pn^+1, ГЛ+1 = с£ <?* рп~к. Отсюда
-^-=v «—(jl% Решая неравенство -£—> 1, найдем
1 k kp lk
k < Я (п + 1). Итак, если £ < q (n + 1), то Тг < Г2 <.. .< Г^+1 Для
£ > <7 (л + 1), Т^ ^>Tk+1>.. .> Тп+1. Таким образом, если q (n + 1X1,
то наибольшим членом будет первый, если n^q(n-{- 1), то
наибольшим членом будет последний. Если же \<Cq (л + 1)<я, то наибольший
член не будет ни первым, ни последним; если при этом q (n + 1)
число не целое, причем v наибольшее целое число все еще меньше,
чем q (п + 1), т. е. v < q (n + 1)< v + 1, то номер наибольшего члена
разложения равен v -f- 1; если же q (п + 1) число целое, причем
1 ^ Я (п + 1) < пу т0 имеется два равных между собою наибольших
числа разложения, номера которых q (п-\-\) и q (п + 1) -f- 1.
139. jl— 140. а. 141. 1<К 2 ■ 142. 1. 143. 6,~.
144. 7^ = Г^+1, если - -.- = k — целое положительное число.
145. 1з/^(^-_ V7?=\). 146. хх = 1, р1=1; *i = T7=-.
//2г=3/9. 147. 2739. 148. *^~=~lfl +-~Y 149. хх= 1, лг2=4.
151. — 1.
152. *х=1, ^=l;*2=j||, У« = {||.
«*, 2л— 1 ±=2 Vnin — 2) <се „ , , Л
154. cos а = ^——г-* '. 155. Если m + п + О,
4л + 1 ' п
о , , , 1 /пг — п , а\
пх = Т + к' + вК^ЬгГпХб2)'
у = -" — кк -— arctg ( m"7ntg 4 i • Если /я + n = О, т. е. первое
^2 чт + я 2 /
sin* t a t /o(. i n Л
уравнение системы имеет вид: ——• =— 1, то х = -0 + (2k + 1) — ,
sin (/ a z
,= ■.-<»+!)-§. 156.(¥Тс^. .
133

2 C0S2C°S? 2тг 4тг бя
157. — -x/3 5— . 158. Положим х = cos - + cos-^=- + cos-^- ,
•J , о P til
Sin'-
. к . Ti 2k . . я 4rc . . я 6я
тогда х sin ?- = sin у cos - - + sin — cos -_ + sin — cos -y =
1 / . Зя . я \ , 1 / . 5я . Зя\ , 1 / . 7tu . 5я\
1 . я 1 1КЛ V33—1
« — -2- sin у , откуда *= — у. 159. 2 .
160. sin 9 = sin a cos 0. 161. (2£ + 1) у, (2A + 1) ~, (2&+ 1)~.
162. Если т > n, то искомое отношение равно
, /т + п , \
,(т + п , \*
тс —arc tg^^^^-ctgcpj)
Ее пи т = п, то ф = 90° и искомое отношение не определяется.
<з3 sin2 я t& ф te? Ф
163. —- & & , где ф двугранный угол, образуемый
6^tg(pcos-| + tg*sin-^
с основанием плоскостью, проходящей через вершину пирамиды
и меньшую диагналь основания. 164. kn3z — arc cos —- .
2rcsin2 cos-~
166 i ^— . 169. 60°. 170, AB= 14 км, BC=\6 км.
3)/зЛ—sin2|cos2-?)
3
172. Косинус одного из острых углов равен -^ . 173. 9 частей пер-
о
3
вого сплава на 35 частей второго. 175. sinx = >-. 176. 4 км.
178. sin -* = |- или sin -| = - . 179. 600 км. 181. arc tg -у-.
182. В гору 3 км/час, по ровному месту 4 км/чад,
под гору 5 /сж/<шс. 183.-=gg- . 184. -д,-100. 185. х1=\, ух = 2,
Zi=-2 ; *а = Ь & = 2", 22 = 2; *3 = 2; у8= 1» ^з= тр *4 = 2,
139

h — -2> г4 = \; xs = Y' Уч—1> ^5 = 2; xt = -^, & = 2, z„=l.
186.*=}. 187. j^, 100. 188. х = ^,у = ^,г=^,-
ш. 2... s. i2.mi m.^p. ,.,.,= 1,
У = 10, 2=-|- '92. 17, 20, 23 и ™, 20, |, 193. |<
194.^ = 0, t)x = 0, 2! = 0; *2 = 1, г/2 = 2, га = 1; х3=:2, J/3 = l,
z3=l; x4=l +J/y. 1/4=1 — j/-jp z4=y; дг5 = 1—j/-| ,
& = 1 + "J/-§ 5 г8 = Т* 195, 16, 24, 36, 54 или 54, 36> 24, 16-
196. x1—l, *2=4. 197. ^=9, & = 3, Zj^l; xg=l, г/г = 3,
га==9. 198. ^ . 199. nR3 ■
4 sin (a + ~ j—sin a 3 cos—
200. x=mc + arctg ' ±-—]-—,— , где fc —любое целое
4i ело кродае 0, 1, 2, —1, —2, —3; х = &я zt arc tg 2.
201. 1(2а + &) )/(« + 3a)(a —О* 202. -| r3 cos21-j/ — cos a.
204, /? = dsin—^-rcos ——r, r=dsin —n-^cos —~{
4a2 cos3 —
(1 + 2 cos a)2 4
207.
-— (r cos a — d) (r — d cos a + sin a Vr2 — d2).
2 sin a
208. -* d3 cosec Ц . 209. *x = i- f Arc + y) +
+ |/яс-
-|Д-
v-
-i(-+f)"
-U-H-j)"
-Кь+т)"
, 2/i =-о (** + !-)—
2
X2=l(to + |)-
■iA~i (*"+*■)'; *°=40+i)+
140

l/ ЧГ~7~^У 2s+l . kK . к.
-К^-ТГ + Т; : ^й + г+Т + Т'
^5~ 2£+1 + 2 + 4 ; *в~2£+1+~2~ + 4 ?
&гс я , 2s + 1 с „ _
г/6= — ^— -j + nFXT— ^ систем решении. В тех выражениях, где
встречаются радикалы, целые числа k и s должны быть выбраны так,
чтобы подкоренное выражение было бы положительным.
210. 3 —4tg2atg2?. 211. -I* a3 cos a. 212. * = ^. 213. |/2£У.
у a 8 Y Г/ a 8 Y \ / a
214. 4;:cosec2"2~ cosec 2 cosec2y И sin — + sin-^- + sin ~ H sin-- +
+ sin -2- — sin -| J (sin -~ + sin * — sin - J ^sin - + sin -1 —
— sin-«г j I a. 215. 2^K±aztp с любым набором знаков.
216. R= о , £ ; S>A>d или S<A<d.
К Д — d Х
п(п — 2)л п2 — 2п + 2 л
219- ^1--(^Л)2 Л> ^»= (/1-1)2 > х8 = Х4 = :;. = хя=Л.
220. 6>0, a>10*, Ar=lg10azt )/ lg102 a — b\ 221. x + y + z.
222. JHU^lL .
m + n + 2
223. ^ = |«Л У1 = Г\'> **=П» ^=l«l8- 225- 40 час-
"№-B)-''GiS-B)
226. ^=1, x2 = ac. 228. »> ч y+ -r\ -,
^L — В>0, т. е. прирост за год должен быть больше изъятия (В)
за год. 229. ^=1, Л = 1, г» = 2, х2 = (|/"^—у)*. й=»
/,/21 IV _4
141

1 _ ax + arx ax — arx a™ + g-2-* _ Q>
*/ av — a"* a* + a~x a%x — a~
1 g^ + flT^
5 ~" a4* — a-
230. y + -= 7%Т^-2У^Г^2:
^ ■ <• /j-» — a-•* • o* j- n—•» я»-* — л-**
с + a""
S+T^^Irt-M*; но 5 +
у2 -fc 1 , 2*/ . a4* + аг*х 1 Л/2 + 1 ,
= ^Чг^—+ t , 2 J таким образом 2= -^—^ =- ( —-1— 4.
2y \ + tf a4A — a 4* 2 \ 2*/ ^
4- - ^- ) . Для того, чтобы выразить */ через 2 будем рассуждать
так: решим уравнение z = — ^ -{- — J относительно £; $2—2,- г + 1 ~ О,
£ = z:£ Vz*—.\ . Будем считать а>0. Если а^>1 (т. е. а>1 и
*>0 или а<1, #<0), то в последнем выражении перед корнем
/ а4Х 4- аг*х
надо взять знак + , ибо тогда z + Vz2 — 1 = AV. ' l.
cz — дг~4ЛГ
1 Л»8~*+2+о~8* j = a'* + a~*X , 2 _(a2^+g-2-y)2
+ V a*x—2+a-8X aiX — a~iX + aiX — a~*x~~ a4*—a-" ""
-lIZY-s^^V 7/' И Же МЫ ПербД корнем возьмем
2ц
знак —, то получим —гтг\ (пРовеРьте')- Если же а* < 1, т. е. или
a > 1, х < 0 или a < 1, х > 0, то перед корнем надо взять знак — .
Итак, если я>1, х>0 или я<1, #<0, то £ = 2 + ^z2 — 1 ;
аналогично # = 5 + J^2 — 1, так что окончательно у = z + Т/г2 — 1 +
+ V2z2—\ + 2г Vz2—\. Если же a> 1, а: < 0 или а < 1
*>0, то $~z—Vz2—\ и аналогично */ = £—V£e—1, так что
у = г— Vz2— 1 — l/2z2— 1—2г V*2 — 1. 231. I = d ctg--*- .
lim L = 00.' 233. Cm. № 19. 234. (m + 1) (? — 1) (r + 1) =
П-+СО
= (m— \)(q + l)(r— 1). 236. x = 2±: VA — \g10n; ни одного реше-
ния, если п > 10 000, одно (х=2), если «=10 000, и два решения,
если 0<л< 10 000. 238. Если а>1, то х^я*', х2—-. аа\ Если
0 < а <1, то уравнение не имеет корней. 239. | а-\-Ы |=1, а+Ыф — 1.
240. (m+1)24(m + 2)2. 2И. xx=lg.100. л=1: J^r=lgio.l00t jfB=101.
242. x1 = 4t t/!=3, z1 = 5; хг— — 4, */2 = — 3,z2 = — 5; x3 = 3,уа = 4,
z3 = 5; x4=— 3, y4=—4, г4=-5; A:6=y(7+ КТГЗ), & =
= 1(7- Vnfr z, = 9; х0 = -2-(7-Ут), y^~(7+Vm);
142

*=9;*=~i(7+ I'm), y7=I(_7 + ^I13),z7=-9;*e^
=|(-7 + Yffi), & = -\ (7+ КПЗ), *8 = -9.
l l
243. mn—2/п-+-2/1—1 = 0. 244. x=2q, y — Cj)p •
i(_.|/(c + ft). + 4c(A-6) + c + A). !
246. f(-^(c + 6)» + 4c(A-6) + c + 4). 247. *!=!,&= 1,г1==2;
__ _ 4_
"256 ' ^2~ Те " ' г2~~"3
Z4». Arx — jg ,
a2 + 62 — }/(3a2 — б2) (362 — a2)
fc- 46 !
_ fl2 + 62 _ |/(3al __ frl) (362 __ fl2)
*2 46 '
_ a2 + 62 + V(3a2 — б2) (362 — a2)
249. mn . 250. Если a>0, 6>0, a=£6 и аф\, то * =
m-\- n о
1 1
a b
251. -^-(l/5+ l)2. 252. Пусть a>6 и пусть дуга, стягивающая
хорду 2а равна 2а, а дуга, стягивающая хорду 26, равна 2р.
Искомая линия состоит из пары окружностей, для которых АВ —
хорда, которая видна из точки окружности под углом a -\- р или
о — р. Расстояния, о которых говорится в условии задачи, равны:
для первой окружности
Г2 + дЬ— Уг2 — а2 Уг2 — б2
6 Vr2 — tf + aj/f2^2 '
b Vr2 — a% + aVr* — b2
a '
r2 + a6 — Vc2 — a2Vtz — 62
и для второй окружности
г2 + а6+ |/Г2_^д2|/Г2_6а
6 V?~a2~aVt*^b2
Ь Vr*->a2 — aVr2 — b2
а
143

w*(r+Vr* + (d — ryy W(r+ Vr* + (d + ry)3
**' 3(rf-r)2 ' 3(d + r)a
256. l)i-|/a8 —4; 2) --Va2 — 4. 257.
a ' a * 1 + 2m "
л-л л -^ i ii . _!_ 1 f a — 2 sin2 a
259. cos2a> a—1; при этом ctg# = 3z I/ -^ « .
^ ' ^ ь V 2 cos2 a —a
260. l«?£==_.e 262.1(^7-2).
263. —5—r-2 1 tg 0 , , . 264. Хорда Л В делит данную окружность
о к — 1 /ж-\-йТ1
на 2 части Сх и С2; для всех точек М части Сх имеем ^ ЛМВ = а; для
всех точек N части С^ имеем £ ЛМВ = р. Искомая линия состоит
из двух дуг Сх* и С2* окружностей, концы которых — точки Л и Б.
Дуга Сх* лежит с той же стороны хорды А В, что и дуга Clt и для
всех ее точек N имеем ,/ ЛЛ/£ = --. Дуга С2* лежит с той же
стороны хорды А В, что и дуга С2, и для всех ее точек N имеем
£ANB= JL.
265. х=(й + 5)я + _агссов^-р^-+-|,
г/ = (k — s) я -+- — arc cos isr
2 K2
8 '
x = (k + s)> + у arc cos -—= — |-,
y= {k -s) ж +1 arc cos-^ +1 ;
ж=(* + 8)1т—i-arccos^=+|-.
j, = (fe _ s) „ _ _| arc cos -±=- _ £;
л: = (& + s) тс arc cos -
2 2 1/2 8'
где k и s —любые целые числа. 266. У3 / ft* L 268 O&itlhi'
/- • г ч юп ? 1/ 462—#2 cosec2—
269.^92(1+Т/3(2/п+П)\271,_Ш272, К »
4 V ^ я У 16Э 2(?+tg^|/46^)
144

и63 tg a sin —-cos —!——
275. " , ' " -. 276. 1) и 2) MN = BM + CN;
3) | BM — CAM = MN. Точки M и N совпадут, если в случае 3) будем
иметь ЛЯ = Л С. 277. sin? = ±_J__ . Если sin a = О, то
предложенное соотношение есть тождество. 278. ~ (2 -f Vb ) V/462+3^2*
279. Пусть Л и Б данные точки, а отрезок ЛБ и не параллелен и
не перпендикулярен данной прямой. Перпендикуляр к отрезку АВ
в его середине встречает данную прямую в точке М, для которой
I AM — ВМ | = 0; это наименьшее значение | AM — ВМ |.
Продолжение отрезка АВ встречает данную прямую в точке М, для которой
| AM — ВМ\ имеет наибольшее значение. Разобрать случаи, когда
отрезок АВ: 1) параллелен данной прямой, 2) перпендикулярен к
данной прямой. 281. V6; секущая плоскость перпендикулярна к
грани, противолежащей выбранной вершине.
283.
a
4s sin2 -~- + V^cos a (1 — cos a)
284. —: ^ . 286. -i .
sin2 - + sin — cos --+ V'cos a (1 —cos a)
287. 0 <q < 2, (2~~^ q* . 289. С < Л < Я или С> Л > Я;
пЛ-С рВ-А
В —С B — Ct
290. -^^2 + с* ^ ^^ + сг)г — Ъ (Ь2 — с2)2; ^-=^<--<1,
f 5 2 6
или ~—<— < 1. 291. В случае пересекающихся прямых —
прямоугольник, для которого данные пересекающиеся прямые являются
диагоналями. В случае, если данные прямые параллельны, будем иметь
две прямые, параллельные данным (если сумма расстояний больше
расстояния между прямыми). Если данные прямые параллельны и сумма
расстояний от любой точки заданного множества точек до этих
прямых равна расстоянию между ними, то искомое множество
точек состоит из всех точек, лежащих между данными прямыми,
включая и все точки обеих данных прямых. 292. Сфера. 293. См.
№ 200. 294. х2 — (р2 — 2<7 — р3 + Spq) х—р(р2 — 2q) (р2 — 2>q) = 0.
295. Если Г>7, d>v(T — t) и v>w, то самолеты сойдутся в
d + vt — Tw
момент времени —! •, считая от начального отсчета времени;
Ю П. С. Моденов. Сборник задач 145

296. c>2h, - (V2hc+c2± Vc2—2hc). 297. Если данные прямые
Пересекаются, то заданное множество точек состоит из всех точек,
^ежащих на продолжениях сторон прямоугольника, для которого
Данные прямые служат диагоналями. Если данные прямые
параллельны и заданная разность равна нулю, то прямая. Если данные прямые
параллельны и данный отрезок меньше расстояния между ними, то 4
прямые параллельные данным. Если данный отрезок равен
расстоянию между данными прямыми, то множество всех точек плоскости,
лежащих вне полосы, образуемой данными прямыми, а также все
точки, лежащие на данных прямых. Наконец, если данный отрезок
больше расстояния между данными прямыми, то имеем две прямые
параллельные данным. 298. 1) Дуга окружности, лежащая внутри сферы,
причем данная точка и центр сферы служат концами диаметра
указанной окружности; 2) окружность с «выколотой» точкой
(«выколотая» точка есть данная точка), 3) окружность.
299. 2^--arc cos- , 2k ±~ , 2k + 1 ± arc cos ^ .
Dq~dQ _ л
-у^ —. Это верно, если приведенные дроби положительны.
Задача неразрешима, если хотя бы одна дробь отрицательна. Если
D = d, q=f=Q— задача неразрешима. Если D = d, Q = q, то вес р
и объем v связаны лишь одним соотношением: р + dv = q. 302.
Задача имеет два решения, если s > 4k2, одно, если s = 4&2, ни одного,
если s <4&2. 303. Задача имеет два решения, если касательная к
окружности в точке А не касается второй окружности и одно —
если касается. 304. Надо построить сферу, для которой данная
точка и центр данной сферы являются диаметрально
противоположными точками. Множество всех точек построенной сферы, лежащих
внутри данной сферы, и есть искомое множество точек (это или
сферический сегмент, или сфера с выколотой точкой или просто
сфера в зависимости от того, лежит ли данная точка вне, на, или
внутри данной сферы). 305. т = -л , x—kli-p-'*
306. J +J =^=-^, x\ + fl4 + x\ = \(V--iac» + M*)i
xi xi с2 а*
307.36. 308. AE = AB + V AB* — AD\ AB^AD. 310. Сфера.
311. См. № 33. 312. 15 час. и 18 час.
313. *!=1, #1=1; х2=!6, 2/2 = 4.
314. (2k + 1)у. 315. 1^\ 316. 10 л. 317. х = 4, 0 = 2.
318. (2k + 1) 4-. 319. hV~ __- . 320. 453.
4 ysv + nW+VSu
146

к
321. *= 1,0=1. 322.(2/;+1)-. 323. 17346 324. В первый
раз8л,во второй 7л. 325. у-^.. 326# ^ ^ + Т ' ^ rt ~ Т •
у/ 5 * 4
327. -Д= (2+ V3)3. 328. 3762. .329. аг= 1, 0|= -2.
3 J/3
39 1 1
339. *!« — > #1===~;7г^' 2i=-
1/153 К153 У153'
_ 39 \_ __ 1
х3= 1, 03—Ь *ъ~ — 1:
*4~ — 1» 04= — 1, z4= 1;
V7T( — 29+ V883) __ 2^ТТ
^б,в = —-;7— ,_~>05,6 = -+■ ,- — _^ ,«
К 1980 — 64 У 883 1/1980 — 64 У 883
^П - _^|/Ц(-29-|/883)
К 1980 —64 1/883 К 1980+ 64 1/883
__ 21/11 VTl
07,8 = ч- / ==.» г7,3 ь
К1980 + 64 1/883 1/1980 + 64 У 883
33
331. х=2. 333. 3 часа 51 мин. 334. а^ = —2, 02= 0-.
о
335.^=^85^11. yi=l2Vwv 2^12УЩ>
^—^1^лп. Л—"1/га- *•—""KW-
336. *i = ] а ,3, Ух = —| ; ^i—j, У2=\а*. 337. 0, - , — -^.
5 3
338. 421. 339. 0!=—--, fl2 = -2-. 340. *x = 2, 0Х = 3; х2 = 3,
1 1 _ 1 1
"6 ' У1==Т'' *2~~4
342. Преобразуем данное равенство так:
^2 = 2. 341. *i = -g> 0i = j; ^=4-» ^2==1Г
cos p + cos y = 2 sin2 ~ + 4 sin -* sin у siny,
2 cos i-^-i cos i~-! = 2 sin ^ ^sin -^ + 2 sin -|- sin J J,
2cos^pcos^p = 2sin |-fsin-| + со*-Ц^ —cos^^Y
10* 147

2cos ttlJLp^aa °_(sin - +C0SLzl)_2slnl C0Si±T f
^cosl=^4 sin^j(cos£±^-sin-^ = 0;
первый множитель в силу данных неравенств
0<«< у, 0<Р<-|, 0<Т<-*-
есть положительное число, значит равен нулю второй множитель,
откуда
cos —-U-*
. а /я а \
:Sln2" = C0SU~^J
Опять-таки, в силу данных неравенств, L—k-i и -=—^ заключены
z
между 0 и -= , значит (в силу последнего равенства)
Р + Y ^ а
~~2~~~2 """Т'
откуда а 4- Р + Т = я •
343. Л£=72 /еж, ВС = 120 /еж, 1^ = 30 км/час, у2 = 60 /сж/<шс.
344. —3, —б, —12, —24. 345. ^ = 0, ^ = 0, гх=1; л:2=г0,
1/2= Ь ^ = 0; *8=Ь 1/з = 0» *з = 0. 346. ^ = 5, *2=£/5~.
347. -I . 348. g8 —(Д—^^ 349. 3. 350. — (a V4R2 — b2 +
8 ЦУа+Vby 2RK ^
4- 6 V4/?2—а2). 351. Проектируя трапецию в плоскость,
перпендикулярную оси цилиндра, получим также трапецию EDACy где
AD = а, ЕС = Ь, АС = -=■ (а-\-Ь) (ибо эта трапеция описана вокруг
окружности),
ЯС = *=«, ЛВ = /^-^ = *3. Если 0
искомый угол, то sin0 = —т—-• Задача возможна, если ab^h2 и
невозможна, если ab>h2 (черт. 2). 352.
а2 + ab + b2'
353. Отрезок LMf соединяющий середины ребер АВ и DC тетраэдра
а
перпендикулярен к ним обоим и его длина равна —— (черт. 3). Про*
У ^
ведем через ребро CD плоскость, перпендикулярную оси конуса1.
Плоскость круга сечения наклонена под углом 45° к АВ, значит
1 Под конусом мы здесь понимаем коническую поверхность,
ничем не ограниченную,
14Б

LM = LS = —г-, поэтому SM = а, а так как CD = а, то легко нахо-
К 2
дим радиус круга рассматриваемого сечения: SK = д- а. Расстояние
же от вершины 0 до ребра CD равно: I/ ($a) + ( § а) ~
8 1
354.
afr+1
(a+l)(P+D(Y+l)
■, 355. Радиус сферы равен а (2 — V2 ).
Черт. 3.%
Часть поверхности сферы, лежащая вне куба, равна бтг а2 (5 V2 — 7).
356. ^ = 5, уг~ — 2, гг =— 3; х2 =— 2, г/2 = 5, г2 = —3;
лг3 = — 5, г/3 == 2, ^з:==I 3; Х4 == 2, г/4— — 5, zi '=^ 3.
357. -|-<*<1.
358- Так как a + p-j-f —^ то
1—*s4 tg 5--tg5-tg-2—tg7rtg£
ctg(y +
tg 7Г + tg 4
tgf- + tgl+tgl-tgjtg[tg-l
= 0,
откуда tg|-tg2-+tg|-tg-^ + tg^tgY=l-
149

Далее очевидно
(tg~- tg|y + (tg |— tg -£f + (tg y- tg -f )'>О, откуда, в
силу предыдущего равенства, мы и получим:
tga| + tg2 | -Н tga ^ > 1.
Знак равенства в последнем соотношении имеет место тогда и
только тогда, когда
(tg|-tgi)a + (tg{-,tg-j)2 + (tg|—tg|)2 = 0, а это
возможно тогда и только тогда, когда
tg¥=tg| = tg-i
и так как
0<а<у, 0<р<|, 0<т<-|;
то
2 2 2 "
Hoa + p + Y = 7T, значит а — $ = ч—~^.
Итак, равенство
tga|+tg»|-+tg^=i
при условии
0<«<у. 0<р<|, 0<т<|-, а + Р + Т = «
. те ОЛЛ 25
возможно тогда и только тогда, когда a = $ = f = -^ . 360. -jg
361. Здесь надо доказать два утверждения:
А
1. Дано
0<*<~, 0<Р<-|, 0<Т<у, a + p + Y = *.
2. Требуется доказать, что
cos2 a -f- cos2 р + cos2 y + 2 cos a cos P cos y — 1.
В
1. Дано
0<a<f, 0<р<|, 0<Т<-2-
150

2. Требуется доказать, что
« + Р + т=*.
Доказательство А. Преобразуем выражение
cos2 a + cos2 P -f cos2 y + 2 cos a cos p cos у — 1
следующим образом:
cos2 a + cos2 p + cos2 y + 2 cos a cos p cos y — 1 =
==i+4cos2a"fi+4cos2?+cos2T+
+ [cos (a + P) + cos (a — f)] cos y —-1 =
=• cos (a + f) cos (a—P) + cos2 y + cos (a + f) cos y + cos (a — P) cos Y =
= cos (a + p) [cos (a — p) + cos y] + cos у [cos (a — P) -f- cos y] =
= [cos (a + p) + cos y] [cos (a — p) + cos y] =
a+p + Y <* + p — y a + у — p P + У — a
= 4 cos —~о~^ cos ——£ cos —^ r cos J—^' •
Так как
то
и, следовательно,
cos2 a + cos2 p + cos2 y + 2 cos a cos p cos у — 1 = 0.
Доказательство В. Преобразуя левую часть данного равенства:
cos2 a -f- cos2 p + cos2 у + 2 cos a cos p cos у — 1 = 0,
так же, как и выше, получим:
a-4-P + Y «+Р —Т a + Y—Р Р + Т —a л
4 cos—' j^ * cos —Е-| Lcos —Ц* ^cos x-LJ =0.
Докажем, что числа
a + P — T a + Y-p Р + Т-Д
* 2 ' ' 2 • 2
/ я я\
лежат в интервале ( — —, — 1.
В самом деле: из неравенств
о<«<|,
°<»<Т
следует
откуда
»<"4-'<1-
151

Но
Y>y>0 (из неравенств 0<Т<-7>)>
значит (вычитая неравенства):
_JL^ а + р —-т ^ д
4 ^ 2 ^ 2 в
Точно так же доказывается, что
к Д + Т — Р^ я я ^ Р + Т~« ^ Д
4 ^ 2 ^ 2 ' 4^* 2 ^ 2 *
Из доказанных неравенств следует, что
cosl+t-^O, cos^+f^i^O, созЦр^о,
а поэтому из равенства
4 cos " + H-T cos 1±^—P cos -*±£=-т cos i±J=f = О
следует
cos —Чс—L- — 0.
Из данных неравенств
0<с<|, 0<р<|, 0<Г<|
имеем
и так как
что
откуда
o^l±±±J^ Зк
co-'+j + ^ft
« + ? + ?_.*
2 ~ 2 '
a -f- р + а = и.
Я приведу еще один из вариантов доказательства положения В
(это решение было предложено несколькими поступающими).
Итак, соотношение
cos2 a + cos2 р + cos2 у + 2 cos а cos p cos y — 1 = 0
мы опять считаем данным. Разрешим это соотношение относительно
cosy (мы> следовательно, рассматриваем сейчас это уравнение, как
квадратное относительно cosy), получим
cos Y = — cos a cos P z*z j/cos2 a cos2 p — cos2 а — cos2 p + 1 —
= — cos а cos p dt ]/cos2 a (cos2 P — 1) + 1 — cos2 p =
= — cos a cos.P ztz V — cos2 a sin2 p + sin2 {J =
152

= — cos a cos p it /sin2 a sin2 p = — cos a cos p it sin a sin pL
Докажем, что справа перед sin a sin p должен быть знак -f-; в
самом деле, предполагая противное, будем иметь:
или
Так как1
cos y = — cos a cos f — sin a sin }
cosy = —cos (a— p).
1С
TO
и значит
следовательно,
в то время как
Таким образом
или
Так как
0<а< 2",
f>P>0,
■-?<-»<!
то
значит
или
Так как еще
и
cos (a —- р) > О,
— cos (a— р)<0,
cos 7 > 0 (ибо 0 < Y <-тН •
cos y = — cos a cos p -f- sin a sin p
cos ч= — cos (a + SO =■ cos (я — a —
°<°<Т'
o<K-J.
0<а + р<тг,
_rc<a + р —гс<0
0<7г__а—р<тг.
0<Г<|
cos (я —а — р)—:COSY,
я — а — Р = Т»
153

откуда
362. Решение этой задачи дано на стр. 114—116.
364. См. стр. 117. 365. См. стр. 122-123.
366. х = -, у= ^1000001.
lg(l + 1/1000001)
367. Здесь надо доказать два положения:
1. Дано: 0<а<|-, 0<р<|, 0<Т<у>
2. Требуется доказать, что
tg « tg f + tg f tg Y + tg Y tga < 1.
В
1. Дано:
0<«<f. 0<P<-J, 0<y<-|,
tga tg ? + tg p tg Y + tg y tg a < 1.
2. Требуется доказать, что
0<a+P + Y<y.
Доказательство А.
xgia-t-p-t-Tj l-tgatg(?+T)
tga + tg? + tgY—tgatg?tgT >Q
1 — tg a tg p — tg p t g y — tg y tg a
так как
с другой стороны,
0<a + P + T<-2-;
\а(п ju ft — tga + tg? п
значит
l-tgatgp>0,
так как
tga>0 и tgp>0(0<a< J- и О<{*<-0.
154

Поэтому
tg« + tgP+tgY — tgatgPtgY =
*= tga + tgp + tgT (1 - tgo tg p>-> 0,
следовательно, и
1 — tg a tg ? — tg Hg T — tg T tg a > О,
откуда
tg a tg p H- tg P tg Y + tg y tg a < 1.
Доказательство В. Так как
tgatgP + tgptgT + tg7tga<l,
то
следовательно,
Так как
1 — tg a tg Р > tg Y (tg a + tg ?)
1 — tg a tg p > 0,
,/„ i.fl\ — tga + tg^ n
0<a<f,
0<P<y,
но в силу неравенства
имеем:
0<a+p<tc,
tg(« + P)>o,
0<« + P<-|.
Теперь из соотношения
tg « + tg P + tg Y — tg a tg f tg Y = tg a + tg (I + tg 7 (1 — tg
и данного неравенства, находим:
tg(« + P + T)>0,
но
0<a + p<-|,
о<т<£.
следовательно,

а так как
то
tg(* + P + T)>0>
0<a+p+Y<
369. Плоскость, проходящая через концы ребер, выходящих из одной
и той же вершины куба, перпендикулярна к его диагонали,
выходящей из той же вершины, и делит ее
в отношении 1 :2. Отсюда, между
прочим, следует, что указанная в
условии задачи плоскость
пересекает грани куба по прямым,
параллельным соответствующим диагоналям
граней. Это дает возможность точно
построить данное сечение куба,
наметив сечение АВ, скажем, верхней
его грани (черт. 4). В сечении
получается равноугольный шестиугольник
(все углы 120°), противоположные
стороны которого параллельны.
Длины меньших сторон a V~2 — Ь ^6,
длины больших 9 a V2 + Ь 176. Пло-
1/ QQ Q 1
370. -^V-— #• 371. Объем a* sin2 <?tgt.
3J/3
4"
Боковая поверхность:
щадь — — (a8—46s).
fcosVO + sinfsin.). 372. | (3 + ._3*Г).
373.
(5±|/13). 374.
р (1 + 2 о + а?)
(1 + а) (1 + р) (1 + « + а?) '
375. Пусть Л, В, С — точки встречи ребер тетраэдра, выходящих из
вершины Р, через которую проходит сфера с этой сферой. Тогда
тетраэдр РАВС также правильный, а сфера проходит через его вершины
(описана вокруг его). Продолжим все грани тетраэдра до
пересечения со сферой; тогда сфера разделится на 10 частей: 4
криволинейных треугольника и 6 — криволинейных двуугольников (черт. 5).
Обозначая площадь каждого из таких криволинейных треугольников
через х (это и есть искомая площадь), а площадь двуугольника
через у, получим 4х-^6у = $, х + Зу= sv где sx =-- поверхность
сферического сегмента отсекаемого от нашей сферы плоскостью какой-
нибудь грани тетраэдра РАВС. Из полученных уравнений находим
376,
V'-
с2Ь2 + ЬаЪс — сЬ
метров.
156

377. xL=0, & = (); x2=V6, y2=V6; xa = —V6, ^3=-l/6;
*4 = 2, у4 = -2; *. = -2, Л = 2; *.=-*-( УЗ + F7),
^8=1(|/7-^з), ^=--i^7+^;^ = -i(f/5+f/^
у9 s= JL (j/7 — У'З). 379. 89 кг меди и 35 кг цинка. 381. Из
черт. 6 находим
Черт. 5. Черт. б.
382. Окружность. 383. 2УЗ. 384. 3, 4, 5. 385. Сечение —
прямоугольник со сторонами -^ zt Ь У 2, периметр 2а, площадь -^-(а2—8&2).
386. х= . 387. Q=a — b, если а>6,
п
Q=— (6—-а), если а<6. 389. #i=l, *2,3 =
= 1 (У5- 1 it *^ЙГ+гУб), *4,5 = 1 (-1^5—iHt:/l/l0—2 >/5).
390. 64л;7 — 1 12л;5 + 56лг* — 7л;.
157

a 1
391. sin 2" =-2 (Vl— sin a— V\ + sina),
С04 = ^^(^Г=^^а+/Т+^^ 392. J2 + 2P73=0, «=-^.
393, x* + xy + y*=:37,
x2 + xz + z2 = 28,
y2 + yz + z2=19.
Вычтем из первого уравнения — второе, из второго — третье, а из
третьего — первое, получим
(0 — *)(* + у + 2г) = 9; (1)
(х-у)х + у + г) = 9; (2)
(z-x)(x + y + z)=-\8. (3)
Отсюда, возводя в квадрат и складывая почленно, получим:
(** + У2 + *2 + 2ху + 2yz + 2zx) (x* + if + z* — xy — yz — zx) = 243.
Складывая данные уравнения, будем иметь
2хг + 2у* + 2z* + xy + yz + zx == 84.
Отсюда ## + #z + г* = 84 — 2 5, где $ = х2 + #2 + г2;
теперь имеем
(5+ 168 —4£)(£ —84 + 2£) = 243,
откуда
xy + yz + zx= — 26 / I1' или ху + уг + гх = 2б \ V11'
В случае (I):
{х + У + *У = Ь * + ^ + г = =ь |/3;
если взять x + y + z= КЗ, то из уравнений (1) и (2) находим
y-z = 3 V3, х—у = 3 УЗ, значит ** = — , ^ ==-L ,01 == —^ .
Если же взять х + y + z V3, то тогда # — z = — 3 К 3,
х—# = — 3 УЗ и тогда
_ 10 __ 1 _ 8
В случае (II):
(* + ^ + г)* = 81,
х + у + г= + 9.
Если х+*/-f-2=19, то у — z— 1, л:— «/=1
и значит
^3 = 4, «/з=3, г3 = 2.
Если же х-\- y-\-z = — 9, то у — г =: — 1, л: — £/ = — 1
и значит
*4 = — 4, «/4 = — 3, г4 = —2.
158

nx . n 4- 1
cos-sin—^— x
394. Л + 1 = 1 4-cos jc4-cos 2л: 4- ...4-cosfl*= -
. x
. nx . я + 1
sin -^ sin —«p x
B=sinjc-f-sin2A:-}-sin3A:+ ..". -\-ъ\ппх~
. X
sin-2-
395. 8 косцов. 396. a=l, 6 = 0,0002, g^ = -i 10"8; указаниоэ
приближенное соотношение верно во всяком случае до 8-го десятичного
знака. 397. х = \ —g—*• 3^. - а (|/ 4 + sin2 | - 2 cos |Y
399. sin2<p=r- . a (1 + 2 cos а cos p cos y — cos2 а — cos2g — cos3y),
где <p — угол ребра SA с плоскостью грани 55С. 400. — .
__ , 26с cos-^
401.-^(4^:1/7). 403. cos<p= ^ . 404.-——Г.
* о о + с
405. cos X = ^g-cosPcos-r cos cos p - cos T cos a
sin p sin y r sin y sin a '
cos y — cos a cos 3
cosv= . . ft——.
sm a sin p
_gs-2/nZ + ^s44m4'
4Ub. lb— ^ »
♦ ___<7s + 2m2 — Vys2 + 4m*f2
1,2 щ •
407. m = 3, n = 6.
2+26
408.
1 3/ , oi 1 /" a+26
1 3/-TqI i ! / «+ 26
159-'

409. 6 час, и 9 час. 410, *=--. 411, Если а = b = с = 0, то
решением является любая тройка чисел. Если a=b = c=f=Qt то решением
служит тройка чисел х, у, 3 — х — у, где х и у два любых числа.
Если а -f* & + с = 0, но а2 + аб + б2 =£ 0, то решением является
тройка любых равных между собой чисел. Если а-\-Ь-\- с = 0 и
а2 + ab -f b2 = 0 (что возможно, если а и 6 комплексные числа), то
решением является любая тройка чисел, удовлетворяющая
уравнению ах + by -f- cz — 0. Если не имеет места ни один из
предыдущих случаев, т. е. а-{-Ь + сф0 и среди чисел а, Ь, с есть хотя
бы два различных, то система имеет единственное решение #=1,
0=1, *=1. 412. Л —375 руб., В — 450 руб.
413. ^=10, л:2= 100000. 414. x1 = 0i *а = Ц-а. 415. ЛЯ = 840 ля,
0Х = 80 км/час, v2 = 70 км/час. 416. *1)2 = 9 — ^W •
418. Пусть т< 12 и п'<12. Тогда каждый вкладчик положил — —
руб. Сберкасса выплачивает -^ — % в год. 419. * = --- .
420. *== dt-g-d/fl — 6 + crt ^ a + 6 — с),
(Va + b — c+V — a + b + c) ,
/ \
- с любым набором зна-
: = zt-y (Va — b-\-c+V —a + b + cy
KOB
(всего 64 решения). 421. AB = 3p — q, vx = 2—p-*-, e2 = —,
422. x± = 2V 2, *2 = 2 ^ 2. 423. Если a± b, то xl92 = -g-(a + 6 ±
rt )/a2 + 6a6 + ^), a:3,4= "2" (~ a~~ 6 ± ^ a* + 6a6 + Ь^ ; если
й-&, то данному соотношению удовлетворяют все числа (кроме
х — а).
sin a sin — \
«■■и: . • o+^i).
\2sin— + tga у у
427. -3-f3cos_2" sin2aVl + 2cosa'
160

433. - - tg3 -7г ctg a ctg —' 434. Решение (sin x + cos x) V 2 =
n 2 ° л _ '.
, (sin л: + cos л:)---:^-^-^;, sin .*+ — )«
" sin x cos ,v' x '2 sin2x
1
, sin2xsin ( * + -y-]«= 1 ,
sin 2x
cos
cos(x £-) — 1 = 1 + cos ^3*+ -£-), — 2sin8^-y —-^Л=:
= 2 cos2 (-7,- -f- -х- J. Слева стоит не положительное число,
справа — не отрицательное. Значит, обязательно sin ( — — ) = 0,
откуда х= -т- + 2 knt это значение х обращает в нуль
cos ( —£ + -о- ) • Значит, все решения содержатся в формуле
к . о*. лое a2 sin2 2a cos a .0„ т, 0,
# == -— + 2k тт. 436. :-г-= . 437. Или a = 2kK, или b =
4 ' sin2 За
= 2fot, или а + 6 = 2& я.
438. Вершина прямого угла описывает диагонали прямоугольника,
'стороны которого равны удвоенным катетам движущегося
треугольника и параллельны данным взаимно перпендикулярным
прямым. Центр симметрии прямоугольника совпадает с точкой
пересечения данных прямых.
439. 4 (1+cost)' ,440,fe,-+ " .44!. _Ж_ у^
3 cos <p sin2 f sin a '4 r + ri
n
442. Если О —центр биллиарда, то sm£OAB=.-^ (V R2 + 8a* — >?).
s s
443. Площадь «треугольника» - -, площадь «двуугольника» -г^* %
Ь 1о
9it те
где s — площадь сферы. 444. А-\- В-\- C=krt; А = - - ; В = -^-,
«3 о
С —тт. 447. р<0, 9р2 = 100(7- 448. При любом ударе шарик в
конце концов вылетит из биллиарда.
449. Плоскость должна проходить через диагональ и середину
любого из скрещивающихся с ней ребер. 450. x~2k, £ Ф О,
х= 33- (2k + 1). 452. - . 453. a863 — aA = a*h — агЬг = ax62 —
— agftj — 0. 454. Данное уравнение не имеет корней.
11 П. С. Моденов. Сборник 161

455. - г —отношение наименьшее, если углы треуголь-
sin a -|- cos а — 1
ника равны 45°, 45° н 90°, при этом наименьшее отношение равно
V~2-\-1. 457. Общий корень дг2 = jcJ == ——— . Два других корня
Рг Pi
первого уравнения
1
Pi— Рг
Два других корня второго уравнения
1
х = r-(-?2 + <7i^ V/-3(g2-^)2-4p2(Pi-p2)2).
2,3 Pi — Рг
458.
^ + aVi~^-a' i-aYi-*-*
a + Y'--*-* ' a-Y^F-a*
459. Радиусы будут иметь наименьшую величину, если D есть
основание перпендикуляра, опущенного из А на ВС. 460. x~kn,y—
любое число из области определения tgу (т. е. уф (2п + I) - о~ »
где л — целое число), 2==р + 8тг. Далее, если а =—I, то новое
уравнение вытекает из двух первых и нового ничего не дает. Если
же аф —1, то х — kx тс, у = 62 тс, г = 63я, где, 6Х, 62, 63— любые
целые числа. 461. [/ -^-^ , [/ ^—^
где а> by су d — четыре последовательные стороны вписанного четы-
реугольника. 462. 4, 5, б, 7, 8. 463. - ^т- tg a .
464. ^=100, ^2 = Tqq. 465. бгс, ~^тг. 466. 28.
467. -*=у- tg ft. 468. V%. 469. -|- (26 + 0 *. "|~ ^ + ]) *•
470. 6 сыновей и 5 дочерей. 471. тс а3. 472. х1 = 7, х2~ — 1.
. 106+1 106+ 2 106 + 3 106 + 4
473. * = *«,—JJ-*, —го—«. —ГО-*' —ТО-*•
106 + 6 106+7 106 + 8 106 + 9 я. ._
—кг-*' —то^*' —га1-*' ~то— "■ гдеб-любое
2 7 2 4 sin2 ot
целое число. 474. ■=-" ТТ- 475- Объему к R5—г—— ; боковая поверх-
о 1о о sin* a
ность Д~ .476. *1 = 4, у1==2у х2 = 3, у8 = 3.
sin4 а
162

477. (2£-|-l) —. 478. 54. 479. Боковая поверхность
ВУг1? K 4 V~3m 4 -sin» a
\—7-t , объем —тг—R* —r * — .
Sin2 a 3 sin2 a
480. 8. 481. ^-f 2Jfe«:±-|-. 482. 53 и 147.
483. -y-Q KQtgatg?. 484. ^=1, лг2 = 2. 485. 2£tt, ** + -^.
486. ^ . 487. 8/2cos2a tg2-^- • 488. 10, -^ . 489. (2* + 1) *,
2£я + -|_. 490. 72.
491 tga -2sin»a
W1# 2 sin3 a
kit
492. xx= 10, ft = 4; x2~4, 9ts=10. 493. —. 494. 9 человек.
495. 100^3970 — 6300^780 ж. 496. x1 = 2> *2 = 4. 498. 10 часов a
3 / Зй 3 /~35
15 часов. 499. Радиус А/—-ctga, высота ■/- tg2 a.
-ЛЛ , - сл< Ля я &я . я
Вв0.*=1-Л501. -и-66' Т+-9--
502. 39 кг и 42 кг или 12 /сг и 15 яг. 503, ^Sina
504.
1 + sin a
г ы
^=1, x2==a. 505. -£-. 506. 8 км/час и 10 км/час.
^(1+COSa)» 5Q8j x==2 ш ft,+ 4-
sin2 a cos a > 2
510. 4. 511. -|- /3sin2-|-l/cosa.
Ы2. 2kK^~i^ (2k+\)-^-t 2kn-\-~-t2kK +^-.
514. 4-ff/ , - 5*5* П. 516. ^ = 4, ft=10; x2--=10t
Л = 4. 517. ^ V*F=*. 519. :fc 1, -*- ( * I ± ? 1^).
520. ~ sin a (1 + 2sin2a). 521. 2k*+ -|- , 2^тс + -|-, £я + ^
коо ^(10 6c -f o)2 + 400 abc — IQbc — a
522. 20^ '■ •
11* 163

11 3
523.*!= — ~(j~* У1—1'у xz~~7fi Уг— —}'» ^з^-п"
— l . _ 3 _ l
524. _ —. 525. «я, *«±~. **±-v-.
2 cos ? 6 3
526. 30(20-0^ 52?> a=_ 1
У
, b= -2.
528. sin* = V — cos2a. 529. kn , k тг + arc tg-r- *
4 ' ь 4
530. AM= 2d. 531. £ = — (s2 — 1), где s любое целое нечетное число, j
532. 2 arc sin f V2 sin -|) . 533. Ы, (2* + 1) £-.
KOA - . c(Vn2 + Ant — n)
534. Скорость первой — — -,
. с(*/ла + 4л* + л)
скорость второй—- J__^ !—i r
с1^(45°-|Л
535. £>2. 536. ;~^ tl% 537. 4te2a-
sin3 2a 2 to
538. Велосипедист проезжает А В за
1 , . Л. ч,1
(a+26 —c) + — ^(a+26 — с)2 + 4fc час. 539. * = 6, у— 1.
Ку|А с /2 sin2 2a __ . . 0 . a+ 30° a — 30°
540. 6 = . 541. 4 sin 2a sin —-^ cos
(V2 cos a + 2 sin a)2
2 ' 2
c.rt „ „ * . vVm2 + 240am* — am
542. Первый рабочий делал „ деталей.
543. ^= — 2, k2= — 1, Л8 = 0, £4=1, Лв = 2.
544. 4tf2 cos a (sin a + V — cos 2a). 545. 4 -——> '
sin 4a
546. т~/-п+^-^-п)2 + 4т^ ^ xi = b x^„lQt
548. 4 Л2 cosec a ctg p ctg-|-. 549. 2H zt -£ , 2Aw dt ^.
550. Первый рабочий может выполнить работу за
1(5* — 2+ 1/25^ + 4^-1-4) час. 551. |^. 553. J1 .
4 v ii/ 81 |/!з
554. Скорость первого —= , скорость второго -= •
Утп — п п— утп
164

555. 2 [cos (- 150°) + i sin (- 150°)]. 556. A ctg a (2 tg a + J/~2 )3.
557. xx = 4, #2 = 2. 558. Скорость второго поезда равна
a-3a>+^+18^ + 9^^^ ^ _4_з/2()>
561. Ь + ~4, k* + Y4- 562' "25, 563-л:=10' П> 12> 13--':
2itA2sin(a + P)sin ( a -f \ ) cos ~- 9
564. ^> ^ — . 565. -4^-. 566.4118.
sin» p sin a |/5
567. -|<х<1. 568.^. «.Jfc^f ?*±i«. *-.
*™ ^ / —4+ V' 16 + >2
570. Скорость мотоциклиста d ' .
t + 4—Y 16 + ;2
скорость велосипедиста d —! — ! .
хт с I С„Л с2 sin a cos a c_0 . a "l/?£
571.^=5, x2=200- 572' 2 cos? " 573- s,n ~2 = ~ К 26 '
574. Первый насос может выкачать воду за
-- (2а + 6 — с + |/(2а + 6 — с)2 + 4с (a + 6) час, вгорой—на с час.
больше.
575. |. 576. -1 я/?з sin* a ctg -| . 577. ^ .
578. ,as+^-Hto^+16W 579.,V. 580. -2™°
4* 12 sin2 2a
581. Лю + -£-, Ь — -0- . 582. Один из тракторов за k + V'k2 — 2ki дней',
о о
другой за k— Vk2 — 2kt дней. 583. —3. 584. j/Td2 sin 2 f cos (45°— a).
585' ¥ + 36' Ш ~ ЗГГ 586- \ [ V (a + by^-4ab- (a + b)].
— — /2 c;
587. 364a 2 6 2 . 588. — °-? V sin (f + a) sin (f — a). 589. - -?
cos2 a \r i / \r / g
590. 12, 18, 27 и 36. 591. л = - 4, m = — 2. 592. a*sln2a .
2 cos <p
593. у foc + yarctg3, -I fcc -™. 594. 100 и 16.
165

595. — 2 < x < 3. 596. 8a* cos a cos8 ~ ctg2 -*
598. Возраст младшего у (a + & -f- V(a + 02 + 4a2),
возраст среднего -^ (3a +1 + j/(a + f)2 + 4a2)
возраст старшего 2a + V(a + /)2 -f Aa2y 599. 4.
a3 ^2 cos a ft. , f
<"»• 1ST"- "• »~т- t+и- ^f-'-i-
602. У первой колхозницы а литров,
у второй ат~^тп ЛИТров. 603. ^=1000, *2 = 0,001,
хь = 10, х4 = 0,1. 604. Объем -^ яб8 tg a cos2 2a.
3a a
2rc 62 cos 2a cos ^ cos ^-
Поверхность . 605. I/ ~ . 606. 8 еж.
cos a r 11
607. Число дней, на которое нанято рабочих а
Vc + Vb
Vc — Vb
или а —— ^_ дней. 608. ^ = 3, лг2,3== -^ (—-1 zt iVZ ),
Vc + Vb *
— X + iV'S
*4 = 1. *5,e = g ' 610, "2" * ^ + 16a(?"" 1бг>С""" ^'
611. 4 сл<3. 612. dti, |(3±yT),j (— 3±t= |/5) .
614. 20 и 24. 615. 1. 616. x =—20, 384. 617. 64.
618. ^tgactgi-ctg^-Ij. 620. **, ^н=-|. 621. 501.
622. 9. A. _ • 623. -!-. 624. 4-- 625. 4 Я3 sin2 2f sin2 у sin a.
*5/ 23 4 3 о
К a
626. 2 cos a. 627. kK±z^f knzt: ^i
о о
628. 1050. 629. = . 630. |%
a+1 + Va 8
166
) "

634. - , *£ it arc tg -x- .
2r2sin*(V + ^)ctg^-
635. * -fl 1 . 636. fai - T.
cos a cos p 4
165
638. 100 руб. (или 4 руб.). 639. 1. 640. ^ = 70, *2= - -.
j 5 sin e
641. 1301. 642. — 2x8 . 643. x< — 7, — 3<x<5. 644. — .
645. У = аг tg a, cos f = tg a. 646. 360. 647. -^ .
648. (2k + 1) -£ . 649. 2a>6 sin -5 ]/" sin (f + |) sin (f - -J-) .
650-3. 651. —f^. 652. 1+-4. 653. P=1Q/ a3sln2a—-
a + b v2 12 (sin a + cos a)9'
fetf = —— , tg? s= -Д- . 654. n = 6. 655. 28;
r cos a ol sin a
at j
656. , если a > 0 и данное выражение теряет смысл, если а ^ 0.
657. Объем верхней части - —,
„ a8 tg a />2 i/q"
нижней: —-—, площадь сечения равна r °
4 cos a
658.
44(fl, 6); 17.659. 810. 660. 2fcr:" *
661.
4W^tg22a""tg2a- 662'!^пг*- ««•*<1.з<*<Б.
it 2 2t
664. (2&+ 1W , -^ ^rc z+= ~ . 665. Если a один из углов, отличны*
от прямого, то sin a = . Два других двугранных угла, не равные
/72ТС
90°, дополняют а до 180°. Все остальные двугранные углы равны 90°*
m-T^ij- 667-4- 668-¥»2**-f *я+т-
669. — ^^——. 670. Vx' + cfl, -|. 671. 36*—16ас = 0.
2(sln-J + coe|-)
672. b+i.,b_«tg8. 673.i±|^0. 674.1+^-, g.
167

675. 12. 676. for, Ал—£. 677. 2 КЗ/?sin а и 2/?]/^°-^ .
4 f cos a
678. j О; 2. 679.ai=-|, a2 = --|.
680. л: = 0. 681. -l/ ctg2 p + cos2|-. 682. €6.
2C0S2
683. x1=2t ^=1; *2 = 4, 02 = 2. 684. 18. 685. 15 =t= /1/§5,
.если знаменатель равен -- и -^-(\5±1 V%), если знаменатель
равен— -|-. 685. 2. 687. ^ = -1(46 — a), х2 = А°'7'Ь .
688. х> + < = 0, * + *+£ = <>. 689. ^зЙгд сек'
690. Если (а-1)(б-1)>0, то^+1,
/" 1 \Л 1 \ . n a2+ 6*
если же а [ Ь — -г- 1 < 0,то \ .
691. х =10. 692. ^=10, х2= -щ. 693. 30 км. 694. 1?
695. х1== —-|-, Уг=^'> *2 = 4> У2 = 2. 696. л: = 10, -1-.
697. 3 ведра из первой бочки и 1 ведро из второй. 698. 10.
699. * = а + 6 + с. 700. 5, 6, 10. 701. |- км/час. 702. 10.
о
•703. a2 — б2 zt a. 704. и = 20, у =16. 705. 4836.
Я855
706. 0 —. 707. *1== — 2, *2 = 6. 708. л: =16, г/= 4.
709. 30%. 710. 0,09. 711. ab. 712. -| . 713. 7 ж/шс и 11 м/сек.
„«, ™ «** '21~УШ — 7HZ/K239
714. 30. 715. ^ • б *
716. ах х2 — 2а2 (б2 — 2ас) х + b* (Ьг — Аас) = 0.
717. 1 кг первого сплава и 7 кг второго. 718. Если афЪ>
то хх= ау х2~Ь. Если а =6, то корнем является любое число,
отличное от а. 719. ** — 6х3 + 9лЯ — 2 = 0. 720. И. 721. 60, 70, 80.
ос 1 1/J5 -[-* 1
722. -—. 723. Хг=109 д%=—19. 724. J^jlg, ^—*
168

725. 200 и 600 оборотов. 726.2 *л -4- 4- ± arc cos —Ur .
4 21^2
728. ^-СМ. 729. sina = ij , v=~.
4 о о
730. kit, Ы — ~. 732. 1 и 3. 733. \- sin2 2a cos» a.
734.b-iarccos|.736.4l/I^. 737. *{/^?.
* 4 у tn + n sin2 2a у tg2 а
738. 2 sin (2а —^ . 739. ~ , (2Л + 1) ~ . 740
72
cos —
741. sin.4= 5-. 742.^^4- 744. 4 J'455 . 745.--^^-.
2 а 3 I + cos P
cos-
747. •— , Лк Иг -|-. 749. s sin ? ]/s V3cos? .
750.2^2 -sin(x+~). 751. &* + -£-» 2H — -£ (2Л+1)л.
cos л: V 4 J '4 2
752. -^- /t. 753. cos а == ^ • 754> Tg" + ^ '
756. sin -£==^5^-. 757. 2r,^n. 758. 10 п. 759. Полная поверх*
2 |/2 г + к
а2 ^2
ность
J^-cos ( * « V объем -^— V'cos a . 761. 2 (2 — j/3 ).
л-; V4 2j esin|
г,62 sin а f 1 + 2 sin |Л . 763. АК = 4, КС = 25. Стороны
2 |/29" и 51/29*. 764. (2k + 1) ~, 2Ля + -^ , 2/м + -~ . 766. 24 м.
762.
767. U^jA-4sin'! . 768. 2 »/2cos J cos (-J --| V
cos °-
769. * £ |/9T. 770. «Al + W. 771. sin J - J» .
41 2 Кб2 — а2 2 Kfl
772.4sin(a + |)sin(a-|).-773.^4-^-.
169

ппл 4 .о sin8 a cos3 a ___ _ 10 l/75-
774. - я/3—— —- . 775. Площадь 16 КЗ, диагональ 8.
3 (1 -\- cos a)3
776. bzt^-. 778. 60°. 779. 36 Vf или 12 КТ5. 780. toc+-*-.
4 ' 3
782. 1262 sin- sin (у +1") • 783. 8 см. 784. (2* + 1) у .
„С/? „ 4#2cosa(l+cosa) 4tf3cos2a
786. Полная поверхность: н^ , объем —--. - - .
^ sin2 a 3sin2
737. Я VH(2R-~H). 788. 2 toe + ~, 2 £rc —j~ . 789. tg ~ .
134 4i
790. 50 **/<№. 791.-ТбТ . 792. *1==2, fc=l; *r=y, yt= J- .
793. L\g(b-a)-72 lg6«.llg(fl + 6). 794.24. 795.-^.
796. i/* . 797. *x = 2, x, = -|^. 798. 300 руб.; 5%. 799. 2. 800. — 1.
801. n = 9. 802. 12 дл* и 36 дм. 803. — ~. 804. IzJL .
805. a = 4f. 8^- 4 крана. 807. *==a^±4-, y=:a^—-? .
_!*_ . 809. {/™
808. — IT— . 809. \/ -^-u • 81<>- 12,8 и 7 л. 811. 1.
812. - (a — *). 813. xt=4t y1=\0; дгя = 10, */2 = 4, 813. 12и24дня.
815. ~. 816. j/(aT~2*M!T~«*) • 817.*=-^. 818. 24 и 18.
45 j/5
819. 4 . 820. ]/~x. 821. *=81, «/ = 4. 822. —~ . 823. Решение.
8 v y x + y
Пусть tx — время падения самолета, t2 — время полета снаряда до
самолета ид: — высота самолета, тогда х = ——, х = w 2 «- »
*i + '2 = 6; отсюда 2* = rf,+ -*-(* — ^), 2ж=^а +
& \ 2
+ | ft + У ft - У, 2*= rft + 3g ft - ?2), 2* = о/, + 3g (6 - 2*2),
2x = vt3+\Hg — 6gt2i x = 9g + ^~ gf2; уравнение x~vt2 — ^
170

принимает вид:
2
Отсюда надо взять меньший корень (оба корня положительны!), ибо
снаряд теоретически 2 раза встретит место нахождения самолета:
один раз при движении вперед, другой раз —при падении. Итак,
*i= i^-(v + bg- V(v + eg)*-72g*)
и
. о„ t p —Qg V + Qg- VF+~bgy-72g*
x=Vg-b 2 2g "•
824. *х= 10, x2 — 100. 826. 8 км/час и 7 км/час» 827. 3,2 jJ/25* .
828. —4— • 829. 222, 333, 444. 830. xl = 2, jc3= — 3. 831. 5+ VtT.
* + У
832. 3, 6, 12, 24 и 24, 12, 6, 3. 833. ^=10, *2 = 0,01, 834. a — b.
2b*
835. 1, 5, 25, 125 и 125, 25, 5, 1. 836. *1== 1, x2= 10000. 837. -7=== .
V a* —b*
838. 85. 839. x= 16. 840. ^-^ . 841. p= —7. 842. ^=10.
X* = 0,01. 843. -^ r—r. 844. 1 м/сек и 1,2 м/сек. 845. A:1=10i
а а2 -\- а -{- 1
*i = 0,001. 846. -^aXZnL. 847. 12 ч. и 15 ч. 848. * = 25.
\/ах — а2
849. -i-j. . 850. -^- л/сел и 4--^ л/сел. 851. * = ~ , у = ~ *
852. -5. 853. б сл/ceic и 8 сж/сек. 854. ^=100, *t = 0,l.
855. _ * + j , t. . 856. Из уравнения 2 (10* + у) + 3 (10а + 6)=72
(а— 1)(а3+ 1)
следует, что непременно а= 1, * = 2 (в противном случае при целых
положительных х, у, а, Ъ сумма не будет 72). Тогда 6 = 0, ^ == 1
и искомые числа 21 и 10; дополнительное условие проверяется
(и оно выполнено!). 857. х = 2. 858. тт^=^- 859. 24 и 48 дней.
860, * = 0. 862. 30 км/час. 863, Vb. 864. -^-±^ . 865, 34 и 9.
171

7 /— Я2
866. jt= j/a3 . 867. 11. 868. s = —. cos а, периметр равен
2
a(\ + Vl + cos2a). 869. *==£!* +arc sin-рг=
1 2
J/=2^2Tt + arcsin77=; «=(2^+ l)it — are sin ~^i
у = (2&2 + 1) ii — arc sin -|=. 870. 540 ж2. 871. 7 320 еж3.
873. /^ 16,9 ж. 874. 576 еж2. 875. А»я + -?-» 2^- 876- 0стРый угол
ромба равен 30°. 877. Боковая поверхность ;
878. 2&гс + ^-, 2£гс +4-. 879. Третья сторона равна Va2+b2—abV3.
Площадь треугольника равна -j-.
1 я
880. -3 rca3sin2ot. 882. 113. 883. na8cos2 у sin a.
Vb — з /■—
885. -—(1 + УЪ)г. 886. г/ 15 (в случае, если шар предварительно
тг а2 6а
полностью покрыт водой). 887. 2kn, 2Ы — - . 888. —-jt>— .
zr2 1
889. Боковая поверхность -; , объем -~- тгг3 ctg a.
890. for — -i, 2ifeit, 2£гс— у. 891. г =8. 892. Объем 192 тс еж8,
поверхность 216 я еж3. 893. -^, 2Ля±-^. 894. 256 еж2.
895. ^Ч°'«^'. 897.33,44,55. 898. I Р.
4гс 27
899. £тс — arc tgf ^-,—^. 900. 20 см. 901. arc cosl/ 4 • .
b\cosa -f- 2 sin а/ У 3
S03. 5:4. S04. -^L. 906. Я2 (и — a + sin a). 907. -£-.
8^3 vi/ 4я
S09. Одна из диагоналей: у -^ (б2 + 4с2 — 2а2). 910. у •
9w2
912. 40^13. 913. -g тъ sin a cos2 -g- • 914. 2Ля +-j-
172
COS a sin2a

915. ±]/Г2Ал + ^. 918. --1<*<
2
•919. Для 2b<x<(2&+1)я знак + , для (2k — 1)л <л;<2£л:
знак — . 920. 1<*<2, 3<л;<4, х>5. 921. Не будет.
922. Окружность. 924, х= — 4и> у = и, z = 7u, где « — любое число.
1925. Надо, так как приведенными рассуждениями устанавливается
лишь единственность решения, проверкой же устанавливается
существование решения, т. е. доказывается, что указанная пара чисел
образует решение. 927. 2/го< х<(2&+ 1) тс. 929. Нет.
930. 1) х < 1, 2) х <—■1, *> 3,3) х = 2&гс + у , где & любое целое число.
.931. Окружность. 932. Части дуг двух окружностей, для которых
данный отрезок служит общей хордой, причем концы указанных дуг
окружностей — исключаются. 933. Окружность. 934. Луч прямой,
выходящий из начала координат и наклоненный к оси Ох под углом arg z.
935. 1) Если *>0, #>0, то данной системе удовлетворяет любая
пара чисел, в сумме дающих 1; 2) *>0, */<Q, х + */>0, х= 1,
у — О; 3) *<0, #>0, *+*/>0, тогда * = 0, //=1; 4) *<0,
■г/<^0, тогда данной системе удовлетворяет пара любых чисел, в
сумме дающих — 1. Итак решением данной системы служат все пары
чисел (х, у)у сумма которых равна или 1 или —1.
936. Решение. Имеем (аг + )М2 + (а% + b2\f + (а3 + lb3)2 > 0
при всех X. Значит корни квадратного трехчлена
(b\ + b% + b\) X2 + 2 (афх + аф2 + яА) X + af + а| + а\ = О
мнимые или действительные совпадающие. А это возможно тогда и
только тогда, когда
(flA + «2^2 + ЯЗ&З)2 - (А? + *2 + fl3> № 1 + 6! + 61) < °'
937. На основании теоремы, обратной для теоремы Пифагора. 939.
Ошибка вскроется, если вырезать из бумаги два неравных
треугольника ABC и Л'В'С, для которых AB = A'B't АС = А'С,
£ АВС= £А'В'С, и приложить эти треугольники сторонами АС и
А'С 940. — sin 1 <*<sin 1. 941. cos (sin л:) > 0 при всех х.
942. — ~ + 2k к < х < ~ + 2k ir. 943. д:> -i-f
:<#<—^^— , где &— любое целое число, не равное
(2£ + 1)гс^~^ 2кк
га* УЗ
нулю. 944. '" 2Ч . 945. На 14 частей. 946. 1) 13, 2) 12, 3) И,
- 2(12г2 — а2)
4) 10. 948. Пусть / отрезок данной прямой между данными
плоскостями и 5 — сфера, для которой / — диаметр. Искомые плоскости
проходят через данную прямую и точки встречи сферы 5 с прямой,
по которой пересекаются данные плоскости. Рассмотреть случаи
иного взаимного расположения данной прямой и данных плоскостей.
173

SSI. 2+ У 3. 954. (ax — bj* + (я2 —W* + (03 — 63)* =*
222 222
~ a\ + a2 + G3 + 2(fll6x + °2ба + ^ + Ь1 + 62 + 63 <
<«?+«2+«3 + 2|/а1 + а2 + аз|/^ + ^ + ^3 +
+ 6? + b\ + b\ = (|/ ~a*Tal + 4 + ]/ь21 + *2 + 4У'
665. Возвести в квадрат и воспользоваться неравенством Буняков-
ского (см. 936). 956. -j-. 957. (а: — х\){х — х%) (х-**§) =
=,*>-(xt + xi+xfyx*+{х2г4+44+44) х-444-
Так как хх + х2 + х3 = — а, зд + *А + *e*i = 6, лдо?,=5_ ^
то *? + х\ + х\ = (*х + *2 + *8)8 — 2(ад, + х+х3 + *2*8)=»
= а* — 26, *f *| + х\ х\ + х\ х\ = (хл + *2*8 + x3*i)2 —
— 2^X2^3 (*i + *2 + *3) = Ьг —- 2ас, *f дг| *з==: сй-
Искомое уравнение: Xs + (26 — о8) *2 + (6а — 2ас) л: — с2 = Q.
959. ±-V№b — a*-8ac. 960. Р ,(* ~ м ,* ~~ 1 +
4 (а — 6) (а — с)
(*—а)(* — с) (л: —а)(* — 6)
~*~* (6— а)(Ь — с) "гг (с — а)(с —6) '
961. 27с2 — 18а6с — а26а + АссР + 46» = 0. 962. Можно.
965. ctga —tga = 2ctg2at 2ctg2a —2 tg2a = 4ctg4a,
4 ctg 4a — 4 tg 4a = 8 ctg 8a. Складывая, получим требуемое.

ОГЛАВЛЕНИЕ
№№ задач Стр.
Предисловие 3
Введение 5
Раздел I. Задачи
Московский ордена Ленина государственный
университет им. М. В. Ломоносова (1946 г.) . . . 1—521 3—63
Механико-математический и физический
факультеты (1946 г.) 1—54 8—14
Химический факультет (1946 г.) 55—93 14—17
Геологический и экономический факультеты
(1946 г.) 94—134 18—21
Механико-математический и физический
факультеты (1947 г.) 135^167 21—25
Физико-технический факультет (1947 г.) . . 168—182 25—26
Механико-математический и физический
факультеты (1948 г.) 183—215 26—29
Физико-технический факультет (1948 г.) . . 216—311 29—39
Химический факультет (1948 г.) 312—327 40—41
Механико-математический факультет (1949 г.) 328—355 41—45
Физический факультет (1949 г.) 356—375 45—48
Механико-математический и физический
факультеты (дополнительные варианты) (1949г.) 376—385 48—49
Заочное отделение механико-математического
факультета (1949 г.) 386—405 49—51
Физико-технический факультет (1949 г.) . . 406—461 52—57
Химический факультет (1949 г.) 462—477 58—59
Геолого-почвенный факультет (1949 г.) . . . 478—493 59—60
Экономический факультет (1949 г.) 494—509 60—62
Заочное отделение экономического
факультета (1949 г.) 510—521 62—63
Московский государственный педагогический
институт имени В. И. Ленина 522—613 63—71
Московский областной педагогический институт 614—641 71—74
Московский ордена Ленина энергетический
институт им. В. М. Молотова 642—681 74—78
Московский горный институт имени И. В. Сталина 682—757 78—85
175

№№ задач Стр,
Московский ордена Трудового Красного Знамени
нефтяной институт им. акад. И. М. Губкина . . 758—821 85—91
Московское ордена Трудового Красного Знамени
высшее техническое училище им. Баумана • . 822—914 91—99
Раздел II. Об устных испытаниях
1. Билеты < 100—102
2. Вопросы * 102—107
Раздел III
1. Характерные ошибки поступающих * 108—133
2. Ответы, указания и решения 133—174
Редактор С. И. Новоселов. Техн. редактор А. И. Прояева
Т01188. Подписано к печати 4/V-1950 г. Тираж 50000 экз. Объем
11 п. л. Уч.-авт. л. 11,3. Формат 84ХЮ87з2- Цена 5 р. 50 к.
Издательство «Советская наука». Зак. 44.
3-я типография «Красный пролетарий» Главполиграфиздата при Совете
Министров СССР. Москва, Краснопролетарская, 16. Зак. 2240.