/
Текст
991SS3
В • С - КУЩЕНКО
СБОРНИК
КОНКУРСНЫХ
зкдлч
по
МАТЕМАТИКЕ
С РЕШЕНИЯМИ
В. С. КУЩЕНКО
СБОРНИК
КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
С РЕШЕНИЯМИ
издание пятое
ИЗДАТЕЛЬСТВО „СУДОСТРОЕНИЕ*1
Ленинград
1969
В книге собраны наиболее интересные конкурс-
ные задачи по алгебре, геометрии и тригономет-
рии, предлагавшиеся при испытаниях на аттестат
зрелости в средних школах и на вступительных
экзаменах в высших учебных заведениях с 1873
по 1966 г. Задачи расположены по разделам в
порядке возрастающей трудности. Ряд решений
снабжен методическими указаниями.
Сборник предназначен для молодежи, занима-
ющейся самообразованием и готовящейся к по-
ступлению в высшие учебные заведения, а также*
может быть использован преподавателями матема-
тики средних учебных заведений и руководителя-
ми математических кружков.
Стр. 512, рис. 114, библиография 11 наимено-
ваний.
3—18—5
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к
Предисловие к
первому изданию
пятому изданию
5
6
Часть I. Алгебра
Задачи
§ 1. Задачи на составление уравнений ........ 7
§ 2. Преобразование алгебраических выражений ... 16
§ 3. Уравнения и системы уравнений первой степени 25
§ 4. Квадратные уравнения. Уравнения высших степе-
ней 29
§ 5. Иррациональные уравнения .........36
§ 6. Системы уравнений высших степеней...39
§ 7. Комплексные числа.......45
§ 8. Неравенства.......48
§ 9. Прогрессии .............................................................................52
§ 10. Показательные и логарифмические уравнения:
а) Основные свойства логарифмов....................................................63
б) Показательные уравнения.........................................................66
в) Логарифмические уравнения.......................................................68
г) Системы уравнений ....................................................................71
§11. Соединения и бином Ньютона .............................................................74
§ 12. Разные задачи и примеры ................................................................79
Часть II. Геометрия
§ 13. Задачи по планиметрии ................................................................. 84
§ 14. Задачи по стереометрии ............ ’ ’ ’ 92
Часть III. Тригонометрия
§ 15. Тождественные преобразования тригонометриче-
Ответы
и ре-
шения
175
191
. 204
205
225
233
250
251
259
294
299
305
315
325
332
335
364
ских выражений..................................99
§ 16. Приведение тригонометрических выражений к ло-
гарифмическому виду ................................108
§ 17. Обратные тригонометрические функции . .... ИО
§ 18. Тригонометрические уравнения............ " * ' 112
§ 19. Задачи по планиметрии с применением тригоно-
метрии П8
9 20. Задачи по стереометрии с применением тригоно-
метрии.........................................122
Э 21. Разные задачи и примеры ......................130
388
403
410
411
445
456
488
4
Содержание
Часть IV. Экзаменационные билеты
и письменные работы, задачи и вопросы
Задачи
§ 22. Задачи, теоремы и вопросы, предлагавшиеся на
устных экзаменах:
а) Арифметика и алгебра.......................133
б) Геометрия .......................................137
в) Тригонометрия ...................................139
§ 23. Типичные варианты письменных работ ................141
§ 24. Образцы экзаменационных билетов..............155
Часть V. Задачи математических олимпиад
§ 25. Задачи для учащихся 6—7-х классов (II тур) . . . 160
§ 26. Задачи для учащихся 8—9-х классов (II тур) . . . 161 •
§ 27. Задачи для учащихся 10—11-х классов (II тур)*. ; 165 *
§ 28. Задачи для учащихся 6—11-х классов (III тур) . . 167
Приложение. Основные формулы для справок:
Алгебра............................................ 492
Геометрия..........................! . . . . 495
Прямолинейная тригонометрия ........................50?
Литература ..............................................510
Список учебных заведений, в которых
предлагались задачи, помещенные в сборнике .... 510
Ответы
и ре-
шения
490
Предисловие к первому изданию
Предлагаемая книга предназначена для поступающих в высшие
учебные заведения (заочные и очные) непосредственно с производства
и из колхозов, а также для занимающихся самообразованием. Ее
могут использовать учащиеся средних школ и техникумов, препода-
ватели средних учебных заведений, руководители математических
кружков.
В книге собраны задачи, предлагавшиеся с 1873 по 1958 г. при ис-
пытаниях на аттестат зрелости, а также на конкурсных экзаменах
в различных вузах. Для ознакомления поступающих с требованиями,
предъявляемыми на вступительных экзаменах, даны образцы экза-
менационных билетов и некоторые варианты письменных работ по ма-
тематике.
Кроме задач, предлагавшихся на экзаменах, использованы ма-
териалы ряда математических руководств, журналов и математических
олимпиад.
Примеры и задачи, собранные в книге, являются типичными и охва-
тывают основные вопросы элементарной математики. Решение этих
задач даст возможность учащемуся повторить курс и подготовиться
к экзамену и учебе в вузе. Для большинства задач дано одно схематич-
ное решение; читатель должен попытаться решать задачи по-иному,
может быть, оригинальнее и изящнее. Для самостоятельных упражне-
ний помещены задачи без решения.
После условия задачи в скобках указаны номер, по которому
можно установить соответствующее учебное заведение и год, когда
задача была предложена. Нумерованный список учебных заведений,
в которых предлагались задачи, приведенные в книге, помещен на
стр. 511—512.
Составитель выражает благодарность проф. И. fl. Денману *
и В. К. Голованову за ценные советы при составлении книги. Критиче-
ские замечания и пожелания читателей будут приняты с благодарностью.
Предисловие к пятому изданию
Пятое издание книги почти не отличается от четвертого: сде-
лано несколько исправлений мелких ошибок, допущенных в пре-
дыдущих изданиях.
Выражаю глубокую признательность всем читателям, приславшим
свои замечания, и особо отмечаю следующих товарищей: Щеглова Н.
(Кишинев), Панкратова И. (Полтава), Гетманова В., Хомякова В.
(Новосибирск), Козина А. (Киров), Ворика М. (Клин), Смирнова В.
(Москва), Гридасова В. (Воронеж), Бобрицкого К. (Краснодар),
Руфова И. (Вилюйск). Буду признателен читателям, которые сообщат
критические замечания и пожелания по пятому изданию.
Отзывы направлять по адресу: Ленинград, Д-65, ул. Гоголя, 8,
издательство «Судостроение».
В. КУЩЕНКО
задачи
Часть I
АЛГЕБРА
§ 1. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ
УРАВНЕНИЙ
1. Для нумерации страниц энциклопедического словаря потребо-
валось 6869 цифр. Сколько страниц в словаре?.
(40, 1962, 1964, 1965, 1966)
2. Косцы должны выкосить два луга. Начав с утра косить большой
луг, они после полудня разделились: половина косцов осталась на
первом лугу и к вечеру его докосила, а остальные перешли косить на
второй луг, площадью вдвое меньше первого. Сколько было косцов,
если известно, что в течение следующего дня оставшуюся часть работы
выполнил один косец (задача Л. Н. Толстого)?
(40, 1940, 1956, 1962, 1966)
3. На вопрос, сколько сыну лет, отец ответил: если его удвоенный
теперешний возраст уменьшить на утроенный возраст, который он имел
шесть лет назад, то получится его возраст в данное время.
(40, 1961, 1965)
4. Возраст некоего гражданина в 1887 г. был равен сумме цифр
года его рождения. Сколько ему было лет?
(40,^9)
5. Сколькими нулями оканчивается число, полученное от умно-
жения всех чисел натурального ряда от 1 до 100?
(39, 1951, 1953, 1957, 1965)
6. Найти все трехзначные числа, если при делении каждого из них
на 11 получается частное, равное сумме квадратов значений отдельных
цифр данного числа.
(39, 1935)
7. Из числа 123456789101112. . .9899100 вычеркнуть 100 цифр
так, чтобы полученное после этого число было возможно большим.
(40, 1961; 39, 1964, 1965, 1965)
8
Задачи. Алгебра
8. Доказать, что при делении двух целых чисел на их разность
получаются равные остатки, а частные отличаются на единицу.
(40, 1961)
9. Найти два положительных числа, произведение которых, сло-
женное с каждым из данных чисел, составит куб некоторого числа
(задача Диофанта).
(40, 1962, 1966)
10. Найти наименьшее число, записываемое одними единицами,
которое делилось бы на 333. . .3 (сто троек).
(40, 1962)
11. Найти три положительных числа, которые образуют непрерыв-
ную пропорцию и по величине одинаково превышают заданные числа а,
b к с. Исследовать решение.
(12, 1961)
12. Найти три (неравных менаду собою) целых положительных
числа, чтобы суммы всех трех и каждых двух' были квадратами (за-
дача Диофанта).
13. Доказать, что если разбить ряд последовательных нечетных
чисел, начиная с единицы, на группы так, что число членов в каждой
будет возрастать как ряд натуральных чисел, то сумма членов каждой
группы будет равна кубу числа членов (задача Никомаха).
14. Найти два числа, сумма, разность и произведение которых
находятся в отношении 5 : 1 : 18.
(39, 1958)
15. Найти два таких целых положительных числа, разность ква-
дратов которых равна 133.
(39, 1954, 1964)
16. Двузначное число втрое больше суммы своих цифр, а квадрат
этой суммы равен утроенному искомому числу. Найти это число.
(40, 1961)
17. Найти четыре члена геометрической пропорции по известной
сумме 2S крайних, сумме 2Si средних и сумме их квадратов, равной 4с2.
(40, 1960)
18. Имеется 4п положительных чисел таких, что из четырех любых
чисел, попарно различных, можно составить геометрическую пропор-
цию.
Доказать, что среди этих чисел найдется п одинаковых.
(39, 1950; 40, 1960)
19. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки образуют
прямой угол?
(39, 1958, 1960, 1964)
20. Узнать, через сколько минут после того, как часы показывали
9 часов, минутная стрелка догонит часовую?
(39, 1950, 1952, 1955)
Задачи на составление уравнений
9
21. Собака, находясь в точке А, погналась за лисицей, которая
была на расстоянии 30 м от собаки в точке В. Скачок собаки равен 2 м,
скачок лисицы — 1 м. Собака делает два скачка в то время, когда
лисица делает три скачка. На каком расстоянии от точки А собака
догонит лисицу?
(39, 1951, 1953, 1956)
22. Книжный магазин платит издательству 90% цены, обозначен-
ной на обложке книги, а продает книгу по этой цене. Сколько процен-
тов составляет наценка магазина?
(39, 1955)
23. Ученик прочел книгу в 480 стр., ежедневно читая одинаковое
количество страниц. Если бы он читал каждый день на 16 стр. больше,
то прочел бы книгу на 5 дней раньше.Сколько дней ученик читал книгу?
(43, 1960)
24. Колхозник, идущий из деревни на железнодорожную станцию,
пройдя за первый час 3 км, рассчитал, что если он будет двигаться
с той же скоростью, то опоздает к поезду на 40 мин. Поэтому остальной
путь он проходил со скоростью 4 км в час и пришел на станцию за
45 мин. до отхода поезда. Найти расстояние от деревни до станции.
(39, 1950, 1952)
25. Рыбак, гребя все время с одинаковой силой, проплыл от при-
стани против течения число километров, равное положительному
корню уравнения
К5х
4
/зГ+“Г
— ]/”Зх 1»
и возвратился назад на пристань через 1 час 6 мин. 40 сек. Найти ско-
рость движения лодки в стоячей воде, если скорость течения реки
равна 2,4 км в час.
(41, 1958)
26. Одна труба наполняет бассейн на 2 часа, а другая на 4,5 часа
дольше, чем наполняют этот бассейн обе трубы, открытью одновременно.
За сколько часов может наполнить бассейн каждая труба в ож^дьности?
(38, 1950; Болгария)
27. Из Ленинграда в Москву вышел товарный поезд. Через полтора
часа вслед за ним вышел пассажирский поезд, скорость которого на 5 км
в час больше скорости товарного поезда. Через 15 час. после выхода
пассажирский поезд не только обогнал товарный, но был впереди
на 21 км. Определить скорость товарного поезда.
(42, 1959)
28. Два туриста Р и М одновременно отправляются из пункта А
в пункт В. Турист Р пошел пешком, а турист М выехал на мотоцикле
с водителем N. Проехав часть пути, М пошел дальше пешком, а води-
тель М возвратился назад, взял туриста Р, и оба туриста (М — пешком,
а на мотоцикле) прибыли одновременно в пункт В.
10
Задачи. Алгебра
Расстояние между пунктами равно s километров, скорости пешехо-
дов равны Vi км/час, а скорость мотоцикла — о2 км/час. Вычислить
время, затраченное туристами на передвижение из пункта А в пункт В.
(40, 1961, 1965)
29. Двое рабочих заняты на одной и той же работе. Сначала один
проработал треть того времени, которое требуется второму для выпол-
нения всей работы, потом второй проработал треть того времени, ко-
торое потратил бы первый на выполнение всей работы. После этого ока-
13 . х
залось, что выполнено —всей работы. Вычислить, сколько времени
потребовалось бы для выполнения работы каждому рабочему в отдель-
о 3
ности, если вместе они могут выполнить ее за 3 -=- часа.
о
(39, 1958)
30. Один сплав состоит из двух металлов, входящих в него в от-
ношении 1 : 2, а другой сплав содержит те же металлы в отношении
2 : 3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить новый сплав,
содержащий те же металлы в отношении 17 : 27?
(39У 1958; 42, 1959; 41, 1963)
31. При испытании на экономичность двух двигателей внутреннего
сгорания одинаковой мощности было установлено, что один израсхо-
довал 600 г бензина, а второй, работавший на 2 часа меньше, израсхо-
довал 384 г. Если бы первый двигатель расходовал в час столько бен-
зина, сколько второй, а второй столько, сколько первый, то за то же
время работы расход бензина в обоих двигателях был бы одинаковым.
Сколько бензина в час расходует каждый двигатель?
(42, 1959)
32. Имеется несколько одинаковых шаров. Их можно уложить
в виде квадрата или в виде правильного треугольника. Найти число
этих шаров, если известно, что при треугольном их расположении в сто-
роне треугольника будет на два шара больше, чем в стороне квадрата
при квадратном их расположении. Предполагается, что шары рас-
полагаются не только по контуру квадрата (треугольника), но за-
полняют и внутреннюю часть квадрата (треугольника).
(2, 1958; 42, 1959)
33. Два велосипедиста выезжают одновременно навстречу друг
другу из пунктов А и В, расстояние между которыми $ километров,
и через час встречаются. Не останавливаясь, они продолжают путь
с той же скоростью, и первый прибывает в пункт В на t часов раньше,
чем второй в пункт А. Определить скорость каждого велосипедиста.
(37, 1946; 50, 1963)
34. Двое отправились одновременно из села на станцию железной
дороги: один шел по шоссе со скоростью v километров в час, другой —
ближайшим путем, по тропинке, со скоростью 4 км в час и пришел
на станцию на 1 час раньше первого. Определить расстояние от села
до станции по тропинке, если путь по шоссе на 6 км длиннее.
Задачи на составление уравнений
11
Исследовать, при каких целых значениях v задача имеет опреде-
ленное решение. 1943)
35. Два автобуса отправились одновременно из одного села в дру-
гое; расстояние между селами 36 км. Первый автобус прибыл в назна-
ченный пункт на 15 мин. раньше второго, скорость которого была
меньше скорости первого автобуса на 2 км в час.
Вычислить скорость каждого автобуса.
(38, 1949; Болгария)
36. Два сплава золота и меди 950-й пробы и ВОО-й пробы сплав-
ляют с двумя килограммами чистого золота. Получают новый сплав
906-й пробы весом 25 кг. Вычислить вес первых двух сплавов.
(12, 1954)
37. Вычислить вес и пробу сплава серебра с медью, зная, что, спла-
вив его с 3 кг чистого серебра, получат сплав 900-й пробы, а сплавив
его с 2 кг сплава 900-й пробы, получат сплав 840-й пробы.
(12, 1952)
38. Некоторая сумма денег находилась в сберегательной кассе
по 2% годовых (проценты простые). Через некоторое время эта сумма
была взята вместе с полученными на нее процентными деньгами, что
составило 8502 руб. Если бы эта же сумма была отдана по 3% годовых,
но сроком на 1 год меньше, то процентные деньги с нее составили бы
819 руб. Какова была сумма денег, положенная в сберкассу, и сколько
времени она там находилась?
(12, 1950)
39. Два каменщика, из которых второй начинает работать на 1 ~
дня позже первого, могут выстроить стену в 7 дней. Если бы эта работа
была поручена каждому отдельно, то для ее завершения первому потре-
бовалось бы на 3 дня больше, чем второму. Во сколько дней каждый
из них выстроит стену?
(37, 1876; 26, *1949)
40. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу'
и встретились через 3 часа. Во сколько времени пройдет все расстояние
каждый, если первый пришел в то место, из которого вышел второй,
на 2 — часа позже, чем второй пришел в то место, откуда вышел первый.
(37, 1936)
41. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу
из пунктов А и В и встретились через t часов. Во сколько времени про-
шел расстояние между А и В каждый, если первый, вышедший из А,
пришел в В на k часов позднее, чем второй пришел в А.
(30, 1958)
Но h%’ С°вхозом было заготовлено на зиму а тонн кормов для скота,
голов скота отправили в соседнюю область, и, вследствие этого,
12
Задачи. Алгебра
норма кормов на голову скота увеличилась на с тонн. Сколько тонн
кормов предполагалось расходовать на голову скота первоначально?
437, 1946)
43. Выгрузка а тонн зерна была поручена нескольким рабочим.
Так как на работу явилось на Ь рабочих больше, то каждому пришлось
выгрузить на с тонн меньше. Сколько рабочих работало на выгрузке
зерна?
(30, 1958)
44. Расстояние между двумя городами s километров. Курьерский
поезд, скорость которого на а километров в час больше скорости пас-
сажирского поезда, проходит это расстояние на t часов скорее.
Во сколько часов курьерский поезд проходит расстояние между
городами?
(37, 1946)
45. Поезд был задержан на станции на t минут. Чтобы наверстать
потерянное время, он увеличил скорость на а километров в час и на
следующем перегоне длиной b километров опоздание ликвидировал.
Какова была скорость поезда до задержки на станции?
(37, 1946, 1947; 20, 1960)
46. Расстояние между пунктами А и В равно s километров, при-
чем 2/3 этого расстояния — асфальтированное шоссе. Скорость авто-
машины на асфальтированном шоссе на v километров в час больше
скорости, с которой она проходит остальную часть пути — грунтовую
дорогу. Определить скорость автомашины на асфальтированном шоссе
и на грунтовой дороге, если все расстояние АВ автомашина проходит
за t часов.
(37, 1948; 50, 1963)
47. Колонна войск протяжением d километров движется по шоссе
маршем со скоростью v километров в час. Конный вестовой выезжает
из конца колонны в ее начало, передает приказание и тотчас же от-
правляется обратно. На проезд туда и обратно вестовой тратит I минут.
Определить скорость вестового, если она на всем пути была оди-
накова.
(37, 1949)
48. Дирижабль прошел расстояние 40 км против ветра (скорость
ветра 30 км/часу, затем прошел тот же путь в обратном направлении,
затратив в оба конца 2,5 часа. Определить скорость дирижабля в по-
коящемся воздухе.
(37, 1913)
49. Из города А в город В выехал мотоциклист, а из В в А, на-
встречу ему, выехал велосипедист. При встрече оказалось, что велоси-
педист проехал а километров, а мотоциклист на d километров больше.
После встречи они продолжали путь и велосипедист приехал в А через
t часов после того, как мотоциклист приехал в В. Определить скорости
велосипедиста и мотоциклиста, если мотоциклист проезжает на b кило-
метров в час больше велосипедиста.
(37, 1949; 50, 1963)
Задачи на составление уравнений
13
50. Две суммы составляют 10 000 руб. Процентная такса для ка-
ждой суммы равна а общая сумма годового дохода составляет
580 руб. Как велика каждая сумма в отдельности?
(12, 1955)
51. Два раствора, из которых первый содержит 0,8 кг, а вто-
рой 0,6 кг безводной серной кислоты, соединили вместе и получили 10 кг
нового раствора серной кислоты. Вычислить вес первого и второго
растворов в смеси, если известно, что безводной серной кислоты содер-
жится в первом растворе на 10% больше.
(26, 1938; 12, 1951)
52. Прирост продукции на заводе по сравнению с предыдущим
годом составил за первый год а%, за второй год — Ь%. Какой должен
быть процент прироста продукции за третий год, чтобы средний годовой
прирост продукции за три года был равен с%.
(1, 1946; 12, 1952)
2
53. Мяч, ударяясь о землю, отскакивает и поднимается на -^- вы-
О
соты, с которой падал. Если в первый раз он упал с высоты 8,1 м, то
после скольких отскакиваний он поднимется на 1,6 м?
(12, 1950)
54. Население страны ежегодно увеличивается на Через
oU
сколько лет население этой страны удвоится?
(12, 1952)
55. Разность двух чисел равна 48; разность между средним ариф-
метическим и средним геометрическим этих чисел равна 18. Найти
эти числа.
(31, 1936)
56. В кинозале имеется п стульев, расположенных рядами с одина-
ковым числом стульев. Если в каждом ряду добавить по р стульев,-
а число рядов уменьшить на т, то общее число мест в кинозале оста-
нется прежним. Сколько рядов стульев в кинозале и сколько стульев
в каждом ряду?
(37, 1946; 50, 1963)
57. На участке трамвайного пути длиной 1 км пешеход, прохо-
дящий этот участок за 12 мин., ежедневно подсчитывал число трамваев,
обгоняющих его и идущих навстречу. В течение месяца первых оказа-
лось 45, вторых — 120. Определить скорость трамвая.
(36, 1947)
58. На горизонтальное дно цилиндрического сосуда, содержащего
ДУ, помещается шар радиуса R\ поверхность жидкости становится
сательной к шару. То же самое происходит и в том случае, если
14
Задачи. Алгебра
вместо шара радиуса R поместить на дно цилиндра шар радиуса tnR.
Вычислить радиус основания цилиндра.
Исследовать, при каких значениях т задача имеет решение.
(40, 1950)
59. Гражданин С из своего срочного вклада (3%) в сберегательной
кассе тратит в конце каждого года по 90 руб. из каждой тысячи. Через
сколько времени он истратит вклад?
(40, 1953)
60. В сосуде А имеется х литров некоторой жидкости, а в сосуде В
такое же количество воды. Двумя кружками, емкостью 0,5 л каждая,
одновременно набирают из сосудов содержимое и переливают из со-
суда А в сосуд В и из сосуда В в сосуд А. Затем эту операцию повто-
ряют. Определить х, если известно, что крепость раствора в сосуде А
после двух переливаний равна 90,5%.
(13, 1958)
через первую трубу, затем открыли вторую, и через
наполнился. Во сколько часов наполняет бассейн ка-
61. В бассейн проведены две трубы; если вода будет течь через
одну вторую трубу, то бассейн наполнится на 3 «аса быстрее, чем если бы
вода текла только через одну первую трубу. Вода втекала в тече-
е з
ние 5 -г- часа
4
10 час. бассейн
ждая труба?
(37, 1878)
62. Слиток
из олова и свинца весом 20 кг при погружении в
3
потерял 2 кг. Известно, что 10 кг олова теряет в воде 1 — кг, а
О
з
свинца теряет -5- кг. Сколько олова и свинца в слитке?
О
(37, 1875; 40,
воду
5 кг
1965)
63. Составлен сплав из 2 кг меди, 3,7 кг свинца и 1,2 кг цинка.
Как велик будет удельный вес сплава, если известно, что удельный
вес меди, свинца и цинка соответственно равен 8,9; 11,4 и 7.
(37, 1873)
64. В течение 7 час. 20 мин. судно прошло вверх по реке 35 км
и вернулось обратно. Скорость течения равна 4 км в час. С какой ско-
ростью судно шло по течению и против течения?
(37, 1936)
65. В книге на одной из страниц строки содержат одинаковое число
букв. Если увеличить на 2 число строк на странице и число букв в ка-
ждой строке, то число букв на странице увеличится на 150. Если же
убавить число букв в строке на 3, а число строк на странице на 5, то
число всех букв на странице уменьшится на 280. Найти число строк
на странице и число букв в строке.
(87, 1936)
Задачи на составление уравнений
15
66. У одного ученика было денег на 3 руб. больше, чем у другого.
Первый внес на покупку книг часть своих денег, а второй у часть
своих денег. Сколько денег было у второго ученика, если известно,
что первый внес на 2 руб. больше. Исследовать, при каких целых зна-
чениях п задача имеет определенное решение.
(37, 1943)
67. Найти два таких числа, чтобы их сумма, произведение и раз-
ность квадратов были равны.
(37, 1877)
68. Четыре числа составляют геометрическую пропорцию, в кото-
рой сумма крайних членов равняется а, а сумма средних членов рав-
няется Ь. Сумма квадратов всех четырех членов равняется с2. Опреде-
лить первый член этой пропорции.
(37, 1879)
69. Несколько лет назад в лесу было 10 000 деревьев, а теперь
в нем 15 600 деревьев. За сколько лет произошло это увеличение, если
число деревьев ежегодно увеличивалось на -уу.
(37, 1875)
70. За п часов трактор вспахивает на р гектаров больше, чем ло-
шадь. Сколько гектаров вспашет за п часов лошадь и сколько гектаров
вспашет за это же время трактор, если трактор вспахивает 1 га на t ча-
сов быстрее.
(37, 1946)
71. Расстояние между А и В по железной дороге 66 км, а по вод-
ному пути 80,5 км. Из А поезд выходит на 4 часа позже парохода и
прибывает в В на 15 мин. раньше. Определить среднюю скорость поезда
и парохода, если первая больше второй на 30 км]час.
(2, 1958)
72. Два пешехода вышли навстречу друг другу из пунктов А и В"
и встретились через t часов. Во сколько времени прошел каждый из них
расстояние между А и В, если первый, вышедший из А, пришел впункт В
на о часов позже, чем второй пришел в пункт А.
(2, 1958)
73. Одна мастерская должна была изготовить 420 деталей, другая,
за тот же срок, 500 деталей. Первая выполнила свою работу на 4 дня
раньше срока, а вторая на 7 дней. По скольку деталей в день изго-
товляла каждая мастерская, если вторая мастерская ежедневно изго-
товляла на 5 деталей больше.
(15, 1957)
ипк. Водоем мож®т быть опорожнен через три трубы. При совмест-
Д иствии первой и второй труб водоем опорожняется за 2 часа,
16
Задачи. Алгебра
через первую и третью — за 72 мин., а через вторую и третью — за
1 -^-часа. За сколько часов опорожнит водоем каждая труба?
(15, 1958)
75. Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 8 км,
выезжают два велосипедиста в одном направлении от А к В: первый
из пункта А со скоростями 1, 2, 3, 4, 5, . . .км/час, второй из пункта В
со скоростями 7, 6, 5, 4. . .км/час.
Скорости велосипедистов в течение каждого часа постоянны. Вто-
рой велосипедист выехал на час позднее первого.
Определить, когда первый велосипедист догонит второго?
(37, 1900; 40, 1962, 1966)
76. Из некоторой точки А, лежащей на окружности, вышли одно-
временно два тела, движущихся по этой окружности в противопо-
ложных направлениях. Через некоторое время они встретились и ока-
залось, что первое тело прошло на 7 см больше второго. После встречи
тела продолжали путь, причем первое тело пришло в точку А через
4 сек., а второе — через 9 сек. Найти длину ^окружности, по которой
двигались тела.
(15, 1958)
77. Два автомобиля выезжают одновременно навстречу друг другу
из А в В и из В в А. После встречи одному приходится быть в пути
9
еще 2 часа, а другому -5- часа. Определить скорость автомобилей, если
О
расстояние между А и В равно 210 км.
(15, 1957)
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Разложить на множители следующие выражения:
78. (ab + ас + be) (а + b + с) — abc.
(40, 1960)
79. (а + b + с)3 — а3 — Ь3 — с3.
(39, 1950, 1965)
80. х3 + 5х2 + Зх — 9.
81. х4 + х2 + /2х + 2.
(40, 1961)
82. хъ + х4 + х3 4- х2 + х + 1.
(40, 1961)
83. а3 + Ь3 + с3 — 3>abc
(И, 1948; 30, 1958)
84. у3 (а — х) — х3 (а — у) + а3 (х — у).
(12, 1952)
Преобразование алгебраических выражений
17
85. Представить в виде произведения
(1 4~ х + х2 + х3 + • • • + хп)2 — Xя.
86. Разложить выражение
а b
b а
(40, 1955)
на два множителя, из которых один равен
Разложить на множители:
87. х10 + хБ + 1.
(12, 1951)
(39, 1950, 1960; 40, 1961)
88. У а2Ь* + У Ь2с* + У с2& — (frlib2 + у^с^а2 + У аЧ)2).
Упростить выражения:
(40, 1961)
89.
а3 — с3
а2Ь — Ьс2
с
а — с
1+с
с
90.
с(1 4- с) —а
Ьс
(39, 1958)
Г (а 4-х)2 (а — х)2 1 в в.
——1— ------4 • —---------к 4 : (а6 — Xе)
L ах_________J [ ах J _________________
(а2х — ах2): [(а 4- х)2 — ах] • [(а — х)2 4- ах]
ах
а 4- х
а 4~
ах
а — х
а — с
а2 + ас + с2
X
а b
(15, 1957)
91. Г1 5 __ ( х4 _ ** + Ц . х3 —х(4х— 1)—41
L \ х2 4-1) х7 4- бх6 — х — 6 J ‘
х2 29х -|- 78
: Зх2 + 12х —36 ’
(15, 1958)
18
Задачи. Алгебра
92 ^>)3 + 2а2 : / а + 6 / & 3 /а6-3&
а V а + b V"b а~ь
1 1 1 х-!
1 4-х 2 у2 (*3 + ув)2
1 1
х2у2 [1 — ху(х3 + Z/6)] ,
(13, 1958)
(6, 1940, 1958)
(12, 1950; 16, 1957; 39, 1961)
96.
(1, 1939; 6, 1958)
’7- (/2 + Г?) +
(15, 1958)
Преобразование алгебраических выражений
19
2 4-/3 2 — /3
98. ----— - ——J---------—.
K2 + V2 + /3 /2 — V2 — /3
(40, 1953, 1966)
(См. примечание на стр. 20).
99. 2
(40, 1949)
100.
если п
п2
101.
4 — 8п 4- 4п2 J
Зп2
Зп/ п V1
2/Г^п2 )
если 0 <" п 1.
Упростить и вычислить следующие выражения:
х , 1 х 1
8у3 4у2
х2 — 2ху 4- 2у2
102. -У
х2 2ху 4- 2у2
4z/2 (х2 — 2у2)
= -|-2
1
п2
(16,
(42,
1
4t/2 (х2 4- 2г/2)
1957)
1959)
при
(39, 1954)
ЮЗ. ___L+ 2х . 1 — 2х
14-/14-2х~Г1 — /1— 2х
при х = t
4
(40, 1953, 1964, 1966)
г . 3
Т~1
1
Ю4^ 2х/ 3 — / 4 4~ 3
х — j/"3
при х = /3 —У1.
(36, 1948)
20
Задачи. Алгебра
Примечание. При решении задач № 98, 99 и др. исполь-
зовать формулу
У в = |/А±ута± 1 / .
1/ £ I/ £
105.
\ V1 — х3 х V х /
,3/ а —/а2 —Z>2
ПРИ Х= ]/ ------2а-----*
(12, 1956)
106. (а+ 1)-J+ (6+ I)’1
при а =(2 4- /з)’1, Ь — (2 — КЗ)"1.
(1, 1939)
107. х3 4- Зх — 14
3.------= 1
при X = у 7 ф 5 / 2 - —.
V1 4- 5 /*2
(36, 1949)
108. уу * + /*] —4а2 у хт+п
2т п
при х = (а 4- V& — О”1 ” (а > 1, т =!= п, т =/= 0-л ={= 0).
(1, 1950; 39, 1952, 1957, 1958; И, 1958)
109.
(х2 4- а2) 2 4~ (х2 — д2) 2
_ _1_ __________________1_
_(х2 4- а2) 2 — (х2 — а2) 2 .
1
/ fifl I ffl \ 2
при х = а । ——!------) (а > 0, п > т > 0).
\ 2тп /
(1, 1950; 39, 1952)
Уничтожить иррациональность в знаменателе:
НО. ---
14-/24-/3
(39, 1955)
111. ---7=--—==----7=-.
24-/54-2/ 24-/10
(39, 1957)
Преобразование алгебраических выражений
21
112. -----х------o-z
2 + |<2 + ^4
(39, 1957)
(39, 1957)
(39, 1950, 1958, 1960, 1964)
116. ~А----------А----- •
^2 + ^4 + ^8 + 2
(39, 1957)
где п — любое целое положительное число.
118.
119.
1
(5 - / З)5 *
(12, 1950, 1961)
120. --------- _ 1__________________
а___ Ь с
~х~ ~У =~г’
(39, 1939)
(39, 1950)
22
Задачи. Алгебра
Доказать тождества:
122. (Ь — с)3 + (с — а)3 + (а — 6)3 = 3 (а — Ь) (Ь - с) (с — а).
(39. 1954, 1964)
123. а3 + Ь3 4- с3 = ЗаЬс, если а + b + с = 0.
(39, 1950, 1961)
124. (а^ + а\ + • • • + а2п) (^ + ^ + ' ’' + ^п) =
= (а^ + а2Ь2 4----Ь оп6п)2 4“ (Д162 — a2Z>i)2 +
4“ (а/з — аз^1)" 4~’ ’ *4" (fln-ibn an^n-i)2
(тождество Лагранжа).
125. V^V=b = |/±
(а> 0, 6>0, b <а2).
126. /г + КЗ-К 2 4- /24-/3 X
X ]/ 2 4- J^2 4- У 2 4-/3 • ]/*2 — ]А + /24- /3 = 1.
(41, 1958; 39, 1958, 1961, 1966)
127. V 20 4- 14 /”2 4- V 20 — 14 /2 = 4.
(11, 1955; 39, 1961)
128. 1^24-/5 4-1/ 2 —/5 = 1.
(39, 1950; 41, 1958)
129. ]^8-|-2/10 + 2/5 4- ]/в — 2 /10 + 2/5 =
= /2 (/5+1).
(12, 1956)
,30. 1/ Га+/+^+1/
I/ г а у та у а
(12, 1952)
Преобразование алгебраических выражений
23
2/k
еелн х = -у—V-.
ф (39, 1959)
m (1 -ах)/1 .
1UU. ----------у -—
(1 — ах) К1 — Ьх
если х =-----------, 0 < а <Ь <2а.
а
(39, 1958)
134. Доказать, что
х = a -f- b p-f-cj/p2
удовлетворяет уравнению
х3 — Зах2 + Зх (а2 — Ьср) — а3 — Ь3р — с3р2 + ЗаЬср — 0.
135. Доказать, что одним из корней уравнения
х3 + Зрх + 2q = 0
является корень
У-----------------------?____ зЛ---------------
^o=l/-9 + /<72 + p8 + }/-g- / q2+p3.
(39, 1953; 40, 1954, 1964)
136. Доказать, что
7х3 5х2 х
120 12 + 24 + 12 + 5
при любом целом х есть число целое.
137. Доказать, что если а, b и с — три вещественных числа, удо-
влетворяющих соотношению
L+±+± = _!__
а b с а + Ь+с’
то какие-либо два из них равны по абсолютной величине и противопо-
ложны по знаку.
(30, 1958)
24
Задачи. Алгебра
138. Доказать, что число
п2 3/г 4" 5
ни при каком целом п не делится на 121.
139. Доказать, что сумма кубов трех последовательных целых
чисел делится на 9.
(41, 1958; 39, 1958)
140. Разложить дробь
4х
х2 — 1
на сумму двух дробей вида
X— 1 х + I
(задача Коши).
(40, 1960)
141. Упростить выражение
х3у — ху3 + у3г — yz3 4- z3x — zx3
х2у — ху2 4~ y2z — yz2 + Z2X — zx2
(39, 1950)
142. Вычислить сумму коэффициентов многочлена, получающегося
после раскрытия скобок и приведения подобных членов в разложении
(6х5 — 5х4 + 4х3 — Зх2 4~ х — 2)Ш2.
(40, 1961)
143. Найти сумму коэффициентов произведения
(х3 — 2х + 2)35 • (х2 - 5х + З)18.
(39, 1958)
144. Доказать, что в произведении
(1 — X 4~ X2 — х3 + • • • —х" + X100) (1 4“ X 4~ X2 4"
+ •• -Ч-х100)
после раскрытия скобок и приведения подобных членов не останется
членов, содержащих х в нечетной степени.
(39, 1961; 12, 1961)
145. Разложить на множители
(хЧ- 1) (хЧ-3)(хЧ- 5) (хЧ- 7)4- 15.
(39, 1954)
146. Показать, что
(х — 1) (х — 3) (х — 4) (х — 6) 4- Ю
число положительное при всех вещественных значениях х.
(40, 1961)
Уравнения и системы уравнений первой степени 25
147. Найти наименьшее значение выражения
(х - 1) (х — 2) (х — 3) (х - 4) + 10.
(39, 1960)
148. Доказать, что
/Го [(I + /10)"'" - (1 - /То)1” ]
есть число целое.
лением числа 48 в середину
квадратом.
(39, 1958)
149. Доказать, что числа 49, 4489, 444889, .... получаемые добав-
предыдущего числа, являются точным
(11, 1957)
150. Показать, что при п
нечетном из равенства
х у
(1)
вытекает равенство
1
хп
1
1
гп хп + уп + zn
(2)
(40, 1961, 1964, 1965)
151. Представить в виде суммы трех радикалов
У 8 + /40 + /20 + /8.
152. При каком условии радикал
(40, 1961)
можно представить в виде суммы трех радикалов
где х, у и г — положительные рациональные числа
(40, 1961)
§ 3. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
Решить следующие уравнения:
153.
2
с
Q х —t х —с
be ас ' ab
если а 0, 6^0, с ± 0.
(39, 1952, 1965)
154. I * — _ b + х х — 6 , 2х
а4~6 а — b a2 -j- 2ab -|- Ь2 а2 — Ь 2 а
(39, 1954, 1956)
26
Задачи. Алгебра
x — ab , x — ac , x — be
IDD« ----------:- —I— г -----r““““
(39, 1952, 1954, 1956)
I 5g vzzv x-tx- y- iztz -р у _ z_zv I ou | О UV
6x 4- 2a — 3b — c 2x + 6a — b — 3c
Решить системы уравнений:
(39, 1952, 1956)
157.
5 I 4 -.5
2u 4- v ' 2u — 3v
15 2
______________________ к
2и v "г 2и — 3v ’
если и=/=-^
158. |х — 1| + |^ — 5 | = 1
|х — 11 — у =— 5.
(12, 1961; 50, 1963)
159. При каких целых значениях параметра
т решения системы
тх — 2у = 3
Зх + ту = 4
удовлетворяют условию x >• 0, у <Z 0?
(40, 1961)
160. Решить систему уравнений
(a -j- b) (х + у) — сг = а — b
(Ь 4- с) (у 4- г) — ах— Ь — с
{с 4- а) (z 4- х) — by — с — а,
если а 4" b 4" с =)= 0.
(39, 1957)
161. Решить наиболее рациональным способом систему уравнений
х 4~ у 4- 39
у 4- Z 4- и = 45
z 4- и 4“ х = 43
« +У = 41
V
T*
(39, 1957)
У!.авнения и системы уравнений первой степени
27
Решить следующие системы уравнений:
(39, 1954)
163.
*2 4~ *3 4~" *^4 ХЬ + хв — 3
*1 4~ %з 4~ ^4 + хъ *6 = 5
Х1 + Х2 + *4 + Х5 4" х6 = 4
Х1 + Х2 + *3 4" ХЪ ”1“ Х6 = ?
4~ х2 + х3 + ^4 + х6 ~ 11
%! 4~ ^2 4“ хз 4“ х4 4" хь = Ю-
(39, 1950)
164.
%1 4“ Х2 4- Х3 = 6
х2 4- Х3 4“ х4 = 9
Хз 4~ х4 4~ Хъ = 3
х4 4~ Х^ 4“ Хз = —3
Хъ 4“ Xq 4" Х^ = —9
Xq 4~ х>] 4“ X} = —2
%7 4“ Х1 4- Х2 = 2.
(39, 1953)
165.
2X1 ~~ ^2 == 1
4“ 2x2 — ^3 — 1
х2 4“ 2х3 — Хд = 1
х3 4“ 2x4 — Xg = 1
—х4 4- 2х5 — х« = 1
—х54-2хв = 1.
(39, 1950, 1961; 10, 1961)
28
Задачи. Алгебра
Х1 ~Т~ Х2 Х3 ~
х2 4" Х3 4* Х4 — О
J66. .....................
*99 4" -^100 4- Х1 — О
х100 4“ Х1 4* х2 — О-
(39, 1950; 12. 1961)
2%i 4~ х2 4* хз 4" 4" xn-i 4" хп — 1
xi 4- 2%г 4- хз 4- 4” xn-i 4“ хп — 1
167.
Х1 Х2 4" — • • + xn_j 4“ хп — 1
xi 4- х2 4- хз 4- • 4" xn-i 4- 2хя.— 1.
(40, 1961, 1966)
168. Найти вещественные корни системы уравнений.
Решить следующие системы уравнений:
(39, 1953; 11, 1957)
169.
xi 4“ хз 4- х4 4* 4~ хп = 2
xi 4- х2 4" xt 4" • • • 4- хп = 3
Х1 + Х2 + Х3 + * ’ * + ХП-\ — П- —[- 2%2 “Н 3%з 4" * ’ * flXn == d'X х2 “F 2-^3 4“ ‘ “Ь ^хп = ^2
170. - %3 4- 2х4 + 3*5 + • • • + Пхп = хп 4~ %xi 4~ 3%2 ~Ь • * • ~Н
(8, 1927)
Уравнения высших степеней
29
§ 4. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ
ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
171. Составить квадратное уравнение с рациональными коэффи-
циентами, которое имело бы корень х = 4 — У 3.
(12, 1961)
172. Составить квадратное уравнение с вещественными коэффи-
циентами, которое имело бы корень х = 2 + 5Л
(12, 1961)
173. Не решая уравнения
вычислить разность кубов его большего и меньшего корней.
(39, 1957, 1964)
174. Не решая уравнения
Зх2 + 17х — 14 = 0,
найти величину выражения
ЗХ| 5Х|Хо 4~ 3%2
4x^24XjX2 ’
где хг и х2 — корни уравнения.
(39, 1952)
175. Дано квадратное уравнение вида
ах2 + Ьх + с = 0.
Составить такое квадратное уравнение, чтобы его корни
1) отличались от корней данного уравнения только знаками;
2) были обратными корнями данного уравнения;
3) были на данную величину п больше (меньше) корней данного
Уравнения;
4) были в п раз больше (меньше) корней данного уравнения.
(40, 1955, 1963, 1966)
176. Дано квадратное уравнение
ах2 4- Ьх 4- с = 0.
пяки^°СТавить новое квадратное уравнение так, чтобы его корни были
Р ы квадратам корней данного уравнения.
,77 Пп (37, 1880)
• при каком значении Л уравнение
(X — 1) х2 — 2(Л4-1)х4-^-2=0
имеет равные корни?
(40, 1955)
30
Задачи. Алгебра
178. При каких целых значениях k корни квадратного уравнения
kx2 — (1 - 2k) х + k — 2 = 0
рациональны?
179. При каких вещественных значениях неизвестной величины т
в уравнении
2х2 — (2т + 1) х + т2 — 9т + 39 = 0
один корень будет в два раза больше другого? Найти эти корни.
(5, 1946; 50, 1963)
180. Составить квадратное уравнение, корни которого равны ку-
бам корней уравнения х2 — 5х + 6=0.
(39, 1950)
181. Составить квадратное уравнение, корни которого равны кубам
корней уравнения ах2 + Ьх + с = 0.
fl, 1939; 41, 1958; 40, 1961)
182. Не решая уравнения
х2 + рх + q =* 0,
найти сумму кубов его корней.
(39, 1953; 40, 1961; 50, 1964)
183. Определить численное значение параметра т в уравнении
4х2 — 15х + 4/п2 = 0
так, чтобы один из корней уравнения был квадратом другого. Найти
эти корни.
(39, 1951)
184. Каковы должны быть р и q, чтобы корни уравнения
х2 + рх + q = 0
были тоже р и q.
(12, 1961; 50, 1963)
185. При каких значениях а корни квадратного уравнения
х2 — 4х — log2 а = 0
действительные.
(1, 1960)
186. Определить численное значение параметра т в уравнении
2х2 + (2т — 1) х~Ь т — 1 = 0
так, чтобы его корни Xj и х2 удовлетворяли соотношению:
Зх^ 4х2 — 11.
(39, 1951; 42, 1959)
187. Определить численное значение параметра k в уравнении
х2 — (2k + 1)х+ Л2+ 2= 0,
Уравнения высших степеней 31
,, кптооого один корень равен половине другого.
у н (12, 1961)
188. Определить численное значение параметра а в уравнении
х2 — ах + а — 1 = 0,
при котором х? + х£ будет наименьшим (хх и х2 — корни квадратного
уравнения, а — вещественное число).
189. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты двух
квадратных уравнений
ах2 + Ьх + с = 0
ахх2 + btx + сх = 0,
чтобы эти уравнения имели общий корень (а =/= 0, ах =f= 0)?
(40, 1962)
190. При каком значении параметра т уравнения
2х2 — (3m + 2) х + 12 = 0
4х2 — (9m — 2) х + 36 = 0
имеют общий корень?
(41, 1958)
191. Составить биквадратное уравнение с рациональными коэф-
фициентами, если известны два его корня: /5 и ЗЛ
(40, 1962; 1963, 1966)
192. Определить значения параметра k, при котором корни урав-
нения
х2 — (3k + 2) X + k2 = 0
удовлетворяют соотношению хх = 9х2. Решить следующие уравнения: (40,
193. (х2 — 16х)2 — 2 (х2 — 16х) — 63 = 0. 194. (х2 + х + 1) (х2 + х + 2) - 12 = 0. (39, 1952, 1954)
195. З2 + 4- 7 х2 + 2х 3 — 4 + 2х + х-. (39, 1953, 1954)
196. х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = 0,5625.
197. (х — 4) (х — 5) (х — 6) (х — 7) = 1680.
(39, 1954)
(39, 1958)
(39, 1958>
32
Задачи. Алгебра
198. (8х + 7)2 (4х + 3) (х + 1) = 4,5.
(40, 1962)
199. (х3 — 5х + 7)2 - (х - 2) (х — 3) = 1.
(16, 1897)
200. (х + а) (х + 2а) (х — За) (х — 4а) = 64.
(39, 1960)
201. х4 + х3 — 10х2 + х + 1 = 0.
(40, 1950)
202. (х + I)4 = 2 (1 + х4).
(39, 1958)
203. (3 — х)4 + (2 — х)4 = (5 — 2х)4.
(40, 1961, 1964, 1966)
204 _______!_________I_______-_______=_________-_______
х3 — 2х 4- 2 х2 — 2х + 3 х2 — 2х + 4 ‘
205. (6х + 5)2 (Зх 4- 2) (х 4- 1) = 35.
208. х3 4- 1 4- -г!
х3 4
= 2,5.
209. (х 4- I)6 4- 20 = 9 (х 4- I)3.
210. (5 —х)44- (2 —х)4= 17.
211. х4 — 2х3 4- х — 132 = 0.
212.
6 _ 257х2 — 68
Х ~ 68х2 — 257 '
213. х4 4- (х — I)4 = 97.
(39, 1952)
(39, 1955)
(6, 1958; 12, 1961)
(37, 1943; 12, 1961)
(37, 1943)
(37, 1943)
(40, 1955)
(40, 1956)
(40, 1956, 1966)
214. (х — 2)8 — 19 (х — 2)3 = 216.
215. х2+Д-4-4(х ——) =5.
х2 2 \ х /
216. 2х3 — Зх2 -J-Зх — 2= 0.
Уравнения высших степеней
33
217. Решить уравнение
х3 + 4 = Зх3,
выделив предварительно один целый корень.
218. Решить уравнение
(37, 1936)
(1 4- х3)3 = 2/гх (1 — х2),
где коэффициент k равен пределу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой мх = 1,25; и2 = 0,5.
(12, 1950)
2 4-х3 х2
219. 4 -а- = ~о~- х4 — 2х 3
(39, 1951)
220. х4 — 4х3 — 19х3 4- Юбх — 120 = 0
(задача Декарта).
(40, 1962, 1966)
221. х6 — 9х3 4- 8 = 0.
(42, 1959)
goo (а~ *)* + (* —6)4 _ °4 4-^4
(а 4- b — 2х)3 (а + 6)2 '
(40, 1961)
223. Известно, что один из корней уравнения
х4 — 2х3 4- Зх2 — 2х 4- 2 = 0
равен Л Найти остальные корни.
(42, 1959)
224. Найти действительные корни уравнения
2х5 4- бх4 4" 11х3 4- 14х2 4- Их 4- 5 = 0.
(40, 1961)
225. Решить уравнение
х5 4- 25х3 — 8х2 4- k = 0, .
зная, что один из корней его равен 5i.
(42, 1959)
226. Доказать, что если хх, х2, х3 и х4 корни биквадратного урав-
нения
ах4 + Ьх2 + с — О,
то между коэффициентами и корнями уравнения существуют следу
ющие соотношения:
xt + х2 4~ х3 + х4 = О,
. , b
х^х^ ххх3 ХХХ4 -|- Х2Х3 -j- Х2Х4 -|" Х3Х4 = t
2
В- С. Кущенко
34
Задачи. Алгебра
X]X2X3 "Г Х4Х2Х4 “Г XjX3X4 -г* х2х3х4 — ()
с
XIX2X3X4 = —— •
(40, 1961, 1966)
227. Найти сумму корней, сумму их квадратов, кубов, четвертых
и пятых степеней корней уравнения
ах4 + Ьх2 + с = 0. (1)
(40, 1961)
228. Составить биквадратное уравнение с вещественными коэф-
фициентами: 1) если известны его корни К5 и 3t; 2) имеющее корень
X] = 5 — 21.
' (40, 1961)
229. Определить зависимость между коэффициентами р и q урав-
нения х4 + рх2 +<7=0 при условии, что его корни составляют ариф-
метическую прогрессию.
(40, 1961)
230. Определить численное значение параметра k, при котором
корни уравнения
х4 — (3k + 2) х2 + k2 = 0
образуют арифметическую прогрессию.
(40, 1961)
231. Доказать, что для кубического уравнения
ах3 + Ьх2 + сх + d, = 0
между корнями и коэффициентами существуют следующие зависимости:
b
Х1 + х2 + х3 =-----— }
и
*1*2 + хгх3 + Х2Х3 = ,
и
232. Решить кубическое уравнение
х3 + ах2 + Ьх + с = 0, (1)
если корни его составляют:
1) арифметическую прогрессию;
2) геометрическую прогрессию.
(40, 1959, 1963, 1966)
233. Решить уравнение
х8 — [а2 (2 + /2) + £2 (2 —1^2 )] [а2 (2 — /2) +
+ Ь2 (2 + К2-)] х4 + (а2 - 62)4 = 0.
(40, 1961)
Уравнения высших степеней
35
234. Доказать, что уравнение
х4 4" 2х3 4" 4х3 + 2х 4" 1 = 0
Нр имеет вещественных корней.
н (39, 1954; 40, 1961)
235. Доказать, что уравнение
1 1,1,
—5—I---------5” ~
г2 ху у2
не имеет целых положительных решений.
(39, 1954)
236. Доказать, что корни двучленного уравнения
хп - I = 0
находятся по формулам
2k л . . 2Лл
xk = cos — -f- i sin —,
где k = 0, 1, 2, 3, . . ., n — 1.
237. Решить двучленное уравнение
x9 — 1 = 0.
(40, 1961)
238. Доказать, что в уравнении
х3 — (а + b + с) х2 4" (ab 4~ ас 4" Ьс)х — abc = 0
корни соответственно равны а, b и с (задача Виета).
(40, 1961, 1964, 1965)
239. Доказать, что если многочлен
х” 4~ а/г_-[хп 1 4* • • • (ty? 4" aix + ао
принимает при х = 0 и х = 1 нечетные значения, то уравнение ’
х” 4- й.п_1хп 1 4* •'' 4~ а2х% + а1х “Ь ао = 0
не имеет целых корней (at- — целые положительные числа, i = 0, 1,
АЗ......п _ 1)
(39, 1958)
240. Доказать, что положительный корень уравнения
х5 4" х — 10 = 0
является числом иррациональным.
(40, 1961)
241. Найти один из положительных корней уравнения
- пахп~х - ° а2хя~2--------ап = 0 (а > 0).
(40, 1959)
36
Задачи. Алгебра
242. Найти целое положительное значение х, удовлетворяющее
уравнению
1 4~ 3 4~ 5 4~ 4~ (2х — 1)]
J_4.J_.J_4. • I 1
1-2 2-3 ' 3-4 х(х + 1)
(40, 1961, 1963, 1965)
243. Решить в целых числах уравнение
11 21 4-31 4----4-х! =i/2.
244. Найти все рациональные положительные числа, удовлетво-
ряющие уравнению
ху = ух
(задача Эйлера).
(8, 1927; 40, 1955)
§ 5. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Решить следующие уравнения: *
245. /4х2 4- 9х 4- 5 — / 2х2 4- х — 1 = /х2 — 1.
246. х2 4- 5х 4- 4 — 5 / х2 + 5х 4- 28 = 0.
247. /Зх2 4- 5х 4- 8 — |/'Зх2 4- 5х 4- 1 = 1.
248 ^21 +х+К21-х 21
/21+х—/21—х х
(х 0).
249. V х — 24- /2х — 5 4-Vx 4-2 4-3 1/”2х — 5=7/2.
(11, 1956; 12, 1958)
250. Кб-/ж 4-1 4- /2х2 + х 4- 3 = 1.
(12, 1958)
251. -г____1 г= 4- 7 1 7= = 1-
/ 2 4- х 4- / 2 — х /24-я—/2 — х
(12, 1961)
252. 1/х---1---1/1-----/ = (х¥=0).
г Л т Л Л
(1, 1950; 40, 1960)
253.
12-^- 4-
X2
|/х2 — -^- = х2 (х=#0).
* Значения радикалов берутся арифметические. ••
(40, 1960)
Иррациональные уравнения
37
254. (х - З)2 + Зх - 22 = /х2 - Зх + 7.
(х -I- д) /х 4- & + (* + 6) а =
255' |Лх 4- 4- К*4-а
256. /х4- 1 4- /х 4- 2 4- Vx 4- 3 = 0.
(36, 1948)
з__ з _
257. 2/х2 —5|Лх = 3.
(36, 1947, 1950, 1965)
„„ т<^+3 , УбТ+2 13
* И 5.r | 2 к х + з ~ 6 '
(40, 1952)
где | а | < 1.
(40, 1954, 1964)
260 _ 15 уу
* /j~^4-Kb=^ 8 У 15’
если —1 «< х < 1.
(40, 1954)
261. -.+ ~~1 j_ х ~ ~~ J _ 34
х — V х2 — 1 х 4- /х2 — 1
(8, 1Ш)
262. /4x 4-2 +К4х —2 = 4.
_________________ (37, 1883)
263. /2х- — 9х + 4 + 3 /2х — 1 = /2х2 + 21х — 11.
264. 2+£ = 1 Л. _2_
Зх |/ 9 + х г 9 + х2 ’
3 (6, 1958)
265. /Г2-/УЛ = 1.
п ъг_______ 3 з
266. /а + х + /а — х = /2а.
38
Задачи. Алгебра
-----4 х2 4- 4 5"—
267. Их2 + 4 + - .< = 5 |/ 5х2.
х2
(52, 1967)
3 _______ 3_________________ 3 ___________12
268. L ^<Q ~ х)2 ~ Н** ~ *) (* — 6) + / * — ^)2 J = а _ 6.
Йа — х + Й х— Ь
(40, 1955, 1965)
з з
(23, 1940)
4 _____ 4 ________ 4________________
270. а — х -j- б — х = Уа b — 2х.
(40, 1955)
971 1 А + Х । 1&/а + Х _ -] Y~X.
V а ' V b ~ V ab '
(40, 1955, 1966)
(40, 1952)
где а b, ab <* 0, а + b =/= 0.
(39, 1952)
3 _________ 3 ____________ 3 ____________ 3
274. К(а + х)2 — V а2 — х2 -|- )Л(а — х)2 = К а2.
(40, 1961)
(12, 1957)
где b > а > 0 и п — целое положительное число. Найти положитель-
ный корень уравнения.
(12, 1957)
Системы уравнений высших степеней 39
277. Найти положительный корень уравнения
Пг—— пг . п,— у а 4- х у а 4- х _ у х а х b ’
где а^> Ь> 0. (12, 1957; 40, 1957)
278. Найти действительные корни уравнения
У Х4-2 У Х4-2У х 4 (-2 1Л: 4-2 |/Зх = х,
считая все п подкоренных выражений положительными.
(40, 1954, 1964, 1965)
§ 6. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
Решить следующие системы уравнений:
279. | х 4- ху 4- у = 11 ( х2у 4- ху2 = 30. (6, 1958)
280. ( х 4- ху 4- у = 7 1 хг + у2 4- ху 13. (30, 1958)
281. 1 4х2 4- 9у2 =10 ( 2ху — 1. (22, 1953)
282. ( X2 — ху — у2 — — 11 t (х2 — у2)ху= 180. (6, 1958)
283. При каких значениях параметра т система уравнений 1 х2 4- у2 = 25 ( тх — у ±4 — 3/п = 0
имеет два равных решения?
284. (42, 1959) ( Х2+у2=17 1 х + ху 4- у = 9.
285. (39, 1951; 40, 1960) ( х2 4- Зху — 18 1 xi/ 4- 4(/2 = 7.
(39, 1955; 12, 1961)
40
Задачи. Алгебра
286.
х (х + (Зх2 4~ Ьу) — 144
4х2 4- х 5у — 24
(39, 1961)
287.
( xi/(х 4-у) = 30
( х3 4- у3 = 35.
(39, 1955, 1957)
( х3 — у3 = 19 (х — у)
I х3 4- у3 = 7 (х 4- у).
(39, 1958)
289.
(х 4- I)2 (у 4- I)2 = 27ху
(х2 4- 1) (у2 4-1) = Юху.
(40, 1961, 1962, 1964, 1965)
290 I + У) ^ху + 0 = 18хУ
I (х2 + у2) (х2у2 4- 1) = 208x2i/2.
(39, 1951; 40, 1960)
!х2 4- f/2 = 8
_i_ , _L=JL
х2 + у2 2 ‘
(32, 1953)
( х3 — у3 = 602.
292. < 3
(Xi/2 — х2у = —198.
(31, 1957)
90Q I (х + !/)4 + 4 (* + У)2= 117
/Уо. <
( х — у = 25.
(31, 1957)
294 I ** + = 481
t х2 4- ху 4- у2 = 37.
Исследовать решение, если a =f= 0, Ь 4= 0.
(40, 1952, 1963, 1966)
Системы уравнений высших степеней
41
считая a 0.
(40, 1952)
297.
х5 4- У =
х + у = Ь,
считая b =# 0, а =£ 0.
. х Уху + у Уху = 78,
где х > 0, у 0.
(12, 1958)
299.
3У~У =4
ху — 27.
(36, 1948)
300.
5х _ 34
4- 7 ~ “15
х + У + ху = 29.
301.
2х — 1
= 2
(3, 1931; 36, 1948; 12,
1957)
х + У =12.
(16,
1955)
302.
. 6х । 1/^_±_У _ '
Х+У^ Г 6х
ху — х —у = 9.
303.
7у/~ху — ЗКх#=4
х + у = 20.
(39, 1961; 50,
1963)
(39,
1958)
,2
304.
уа~ 64-/7
г2 — / 5 — УТ
х3 -н2/ = 118.
(15, 1901; 40, 1962)
42
Задачи. Алгебра
305.
Зх = 2у — z
х* + у- + Z2 == 196.
306.
х _ 3
2 5
1/ _ 4
2 5
307.
^ + ^ + -L = i
X у Z
ху 4- xz + yz — 27,
(11, 1956)
308.
L + J_ + _L = J1
х ' у ' z 3
xyz -
309.
х
У
z
(40, 1955)
x(x + y-\-z) = a
(12, 1951)
310.
г (х + у + г) = с,
(37, 1879)
311.-------1------1----= ах = by : сг,
X ' У ' Z
312.
г ху
= а
хг
= Ь
уг
— с.
(8, 1927)
(40, 1959, 1962)
Системы уравнений высших степеней
313. (х + у) : (5 - г) : (у + г) : (9 + у) = 3 : 1 : 2 : 5.
(38, 1959; 40, 1962)
х + и — г !/+ ? ~ х_ z±x—y хуг
3»4. —=Ч----------7-----П -“9”’
' х* 4- у2 + ху = 37 (39, 1950)
315. х2 4- г2 + xz = 28 У2 4- г2 4- У* = 19. (40,
316. Z—х*—Ч ( * м + 4-4- С м LO ЬЬ LO 1 1 1 м С LC LO LO II II II LO Lv L« 1962)
317. ' (У + г) (х +у 4- z) = а (z 4- х) (х 4- у + г) = b . (х 4- у) (х 4- у 4- г) - с. (15, 1901; 40, 1962, 1965)
318. Z" •> + + + II II II СЪ СГ £> LO Li L< (40, 1961)
319. ю _5 3_ _ J_ Зх 1 у 2г — 4 3 _3^~4г =4 yz ху 4- Юг/г — 5хуг = 0. (39, 1961)
320. x + f/4-2 = 1 + У'1 + г2 = 1 к х3 4- у3 4- г3 = 1. - (40, 1962, 1965)
321. . x4-i/4-z=9 ху 4- хг 4~ У? = 26 хуг = 24. (16, 1897; 1, 1950; 40, 1962)
(39, 1958; 40, 1961)
44
Задачи. Алгебра
322.
х2 4- у- 4~ z2 = 14
(х2 + г/2)2 4- (У1 + г2)2 + (х2 + г2)2 = 294
(X2 4- у1') (х2 + z2) _ 50
z/2 + г2 ““ГТ*
323.
х +*/ + z = 6
х2 + У2 + г2 = 18
/х А-^У =4.
324.
х = 2 (х + у 4- z) хуг
у = 3 (х 4- у 4- г) У хуг
z = 4 (х 4- у 4- z) У хуг,
(39, 1961)
(40, 1962)
(40, 1951)
325.
х = Yхуг 4* Vхуг
у = У хуг 4- У хуг
г = \Гхуг----хуг,
(40, 1953)
326.
327.
х_±у_ = _2_
ху 12
z 4~ ______
zt ~ 18
х Ат У 4- z 4- t = 22
xyzt = 648.
Xi = Х2 ч == Хи.г
Х2 х3 Хи
Xi 4- х2 4* х3 4~ • • • 4~ хл = 15
Xi = 8х4.
(8, 1927; 40, 1957)
Комплексные числа
45
(д^ 0, а% О, . ., Он О, хг О, х2 О, . . ., Xfi О).
(8, 1927; 11, 1956; 40. 1957, 1963, 1965)
329.
| х\ 4- у\ = г!
I х + у = г.
(39, 1950)
§ 7. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
330. Доказать теорему Виета для случая, когда корни квадрат-
ного уравнения мнимые.
331. При каких вещественных значениях п корни квадратного
уравнения
(и + 5) х2 — 2пх + (п — 1) = 0
будут комплексными?
332. При каком численном значении k корни квадратного уравнения
х2 — 2 (3 + i) х + k = 0
будут равными?
(40, 1961)
333. Можно ли утверждать, что комплексное число 3 + 81 больше,
чем 1 4- 21?
(12, 1.9^
334. При каких вещественных значениях х и у справедливо ра-
венство
^-4) + (^-l)L==2_5i?
1 4-f
335. Вычислить модуль комплексного числа
К*2 4- У2, 4- * V%ХУ
(х — у) 4- 21 к ху
3,й и - <12’ 19б1)
°* паити модуль и аргумент комплексного числа
г _ 1 4~ cos а 4~ * sin а
1 4- cos а — 1 sin а
(42, 1959)
46
Задачи. Алгебра
337. Доказать, что если модуль комплексного числа равен единице,
с + i
то его можно представить в виде ——, где с — вещественное число.
(39, 1958, 1961; 42, 1959)
338. Представить в тригонометрической форме число 1 — i.
339. Представить в тригонометрической форме два числа: +1 и —1.
Вычислить выражения:
340.
4 \12
/З!- 1/
(1 +_______
(1 — о96—Ц1 +о98’
342. Показать, что
(39, 1960)
V 14-е/з + ]Л1-1-/з=Кб
(задача Лейбница).
(40, 1961, 1963, 1964, 1965)
343. Вычислить произведение
если п 1.
' _ 1 + i /з V / _ 1 — i /з \«
2 / +\ 2 /
(И, 1957)
344. Доказать, что
2, если п = 3/г,
— 1, если п = 3k 1
(А = 0, 1, 2, . . .).
Вычислить:
345. /7.
346. ^7.
347. П/1.
348. а) ^7; б) J/Г.
349. j/ — 2 -J- 2t.
(40, 1961)
Комплексные числа
47
350. Доказать, что произведение двух чисел, каждое из которых
есть сумма квадратов двух целых чисел, есть опять сумма квадратов
двух целых чисел.
351. Выражение
(39, 1957)
(а2 + 1) (62 + 1) (с2 + 1)
представить в виде суммы двух квадратов.
(40, 1962)
352. Решить уравнение
(2 + 0 х2 - (5 - 0 х -Ь 2 - 21 = 0.
(40, 1962)
353. Доказать, что
(cos ср + i sin ф)я = cos /up 4- i sin лгср, (Л)
где n — целое положительное число (формула Муавра).
(40, 1958)
354. Написать формулу для cos п(р и sin nq> через степени cos <р
и sin <р.
(39, 1954)
355. Доказать, что
х" + = 2 cos /пр,
если
х + - 2 cos <р.
(40, 1955, 1965; 39, 1961)
356. Доказать, что если
fа + z V _ 1
\ а — i ) ’
то
. /гл
“~С‘8
где к = 1. 2, 3.....(„ _ 1).
357. Доказать тождество 1961)
л—1
x'in ~ 1 = (*2 — 1) П ( х2 — 2х cos
Л=1 '
/гл
п
(39. 1950)
48
Задачи. Алгебра
358. Доказать тождество
, „ 2/гл
X- — 2х COS -X---—
Х2Л+' _ 1 = (х _ !) f]
k=\
(40, 1961)
359. Вычислить сумму
1 -с2„ + с’„- с® + ....
где п — целое положительное число.
360. Вычислить величину суммы
s„ = i+/2ci+46c3;+...
(40, 1962)
361. Вычислить сумму биномиальных коэффициентов, номера ко-
торых образуют арифметическую прогрессию
i+cl + c8» + cj2 + c“ + ...
(40, 1961)
362. Доказать тождество
1 + с® + с«+ =4 (a"-1 -j-cos -4).
о \ о /
(40, 1961)
§ 8. НЕРАВЕНСТВА
363. Доказать, что неравенство
|х|<а
равносильно двойному неравенству
— а < х <а.
(40, 1960, 1964, 1965)
364. Доказать, что
1* + У I sS 1*1 + \У I-
(40, 1960)
365. Доказать, что
к — </1^1*1 — |t/|.
(40, 1960)
366. Доказать, что если х и у — два положительных числа, то
(39, 1939)
Неравенства
49
367. Доказать, что для положительных чисел а, b и с имеют место
неравенства
b ' с а
причем равенство имеет место при а = b = с.
(39, 1950)
368. Доказать, что для любых положительных чисел alt а2, . . .,
ап имеют место неравенства
£L. + _fl_L+...+^L^n,
а2 as й!
369. Доказать, что
а а k
Т < 1Г+Т’
если а < Ь, а 0,
370. Если а, b
Ь> 0, /г > 0.
и с — длины сторон некоторого треугольника, то
abc (а + b — с) (Ь + с — а) (с + а — Ь).
Доказать.
371. Доказать, что
1 3 5 99 1
2 ’ 4 * 6 ’ ’ ’ 100 < 10 ’
(39, 1955)
372. Доказать, что
J____3____5_ 2ft — 1 1
2 ’ 4 ’ 6 2п /2и + 1 ’
(39, 1956)
373. Решить неравенство
х _ Г 2 —3(х —5)1 _ 19
Т-3 ---------J---->х+3-^.
374. Решить неравенство
6х2 — 29х + 30 < 0.
375. Решить неравенство
(38, 1952)
(38, 1950)
—Зх2 + 5х + 2 > 0.
50
Задачи. Алгебра
376. Имеются заведомо неточные весы (коромысла весов разной
длины). Зная это, отвешивают часть товара на одной чашке весов,
а часть — на другой.
Компенсируется ли этим неточность весов?
(39, 1950, 1957)
377. Сумма наибольшего и наименьшего положительных членов
геометрической пропорции больше суммы двух остальных (неравенство
Евклида). Доказать.
378. Доказать, что
где ах > 0, а, >> 0 (неравенство Евклида).
(41, 1958)
379. Доказать, что
V4* Vа1аз 4~ ’ • • ~h- Orz-iOn
п — 1
2 (а1 + °2 4* • • • + ап)-
(39, 1951)
380. Доказать, что
(1 4- aj (1 4- а2) (1 + а3)’ * * (1 + ап) 2«,
если аг £> 0, . . ., ап^> 0 и • ’ап = 1-
(39, 1951)
381. Доказать, что
(1 4~ х)п > 1 4- пх,
если 14~х>0, п — натуральное число, большее единицы (нера-
венство Я. Бернулли).
382. Доказать, что
где п — натуральное число (п > 2).
(40, 1965)
383. Доказать, что
(а — х) (а — у) (а — г) > 8xyz,
где х, у, г — положительные числа и х -J- у г = а.
384. Доказать, что
(п 1)2^пп,
где п — целое положительное число, большее единицы:
(41, 1958; 39, 1958)
Неравенства
51
385. Доказать, что
_е п__целое положительное число.
д 386. Доказать неравенство вида
(<*1 4" °2 4" * * * + ап) (^1 + ^2 4“
+ 6п
2^ (^1^1 4“ ^2^2 4~ * ‘ ' 4~ ап^п)^'
причем знак равенства имеет место только при условии, что
Й1
й2
йл
61 &2
(неравенство В. Я. Буняковского).
(39, 1950)
387. Доказать, что для положительных чисел а, b и с имеет место
неравенство
9
а 4” 4*с
(39, 1957)
388. Доказать, что для положительных чисел аь а2, . . ., ап
справедливо неравенство
(°i 4- а2 4- • • • 4~ ап) ( —-----h ~-— 4~ • • • 4~ — ) я2-
\ “1 а2 аП /
(39, 1951)
389. Доказать, что для положительных чисел alt а2,
справедливо неравенство
ai 4* й2 4- • • • 4-«л > а . —
--Т/ Cl j Cl 2 • • • и,ц •
Знак равенства имеет место лишь в том случае, когда
Ci а2 — <73 — • • • — ап
(неравенство Коши).
390. Доказать, что
(40, 1951)
4-п \«
2 )
где п —
Целое положительное число.
52
Задачи. Алгебра
391. Доказать, что для любого целого положительного числа п
справедливо неравенство
__1_+—L_+...+ 1 ->!
п 1 п + 2 3n+ 1
(40, 1956, 1966)
392. Доказать, что
li m п — 1>
где п 2. ;г-*00
(40, 1961)
393. Доказать неравенства
где п 2, ах£> 0, а2^> 0, . . ., anZ> 0,
Sn = fli + а2 4“ аз "I" * —h ап-
(40, 1962, 1966)
§ 9. ПРОГРЕССИИ
Обозначения;’ и ал - первый и n-ый (общий) члены арифмети-
ческой прогрессии (А. П.), п — число членов, d — разность, S — сумма членов;
и1 и ип — пеРвый и /г-ый (общий) члены геометрической прогрессии
(Г. IL), п — число членов, q — знаменатель прогрессии, S — сумма членов.
394. Найти арифметическую прогрессию, у которой сумма первых
трех членов равна 27, а сумма квадратов этих же трех членов равна 275.
(20, 1936)
395. Найти арифметическую прогрессию, в которой, сколько бы
ни взять членов, сумма их всегда будет равна утроенному квадрату
числа этих членов.
(29, 1948; 12, 1950; 40, 1966)
396. Крайние члены арифметической прогрессии, имеющей 7 чле-
нов, равны 11 и 35. Сколько членов в другой арифметической прогрес-
сии, крайние члены которой 38 и 13, если четвертые члены обеих про-
грессий одинаковы.
(18, 1935)
397. При рытье колодца условились платить за каждый после-
дующий метр глубины на два рубля дороже, чем за предыдущий. Вслед-
ствие этого последний метр и третий с конца вместе взятые обходятся
во столько, сколько стоил бы весь колодец, если бы каждый метр, неза-
висимо от глубины, стоил столько, сколько стоил первый. Средняя
стоимость одного метра равна 17 руб. Вычислить глубину’колодца.
(37, 1880)
Прогрессии
53
398. Сколько одинаковых членов находится в двух арифметических
прогрессиях
4-5, 8, 11, . . .И 4-3, 7, 11, . . .,
„лпи в каждой из них п = 100.
если в кажд (12( J951)
399. В арифметической прогрессии ат= п, ап= т (т =/= п).
Найти ар.
(14, 1940)
400. Между 1 и 31 вставить столько средних арифметических,
чтобы их сумма была вчетверо больше суммы двух наибольших из них.
401. Найти сумму первых ста чисел, которые при делении на 5
дают остаток 1.
402. Сумма второго и двадцатого членов арифметической прогрес-
47
сии равна 10, а произведение этих членов равно 23 Найти сумму
первых 16 членов этой прогрессии.
(37, 1882)
403. Найти двадцатый член возрастающей арифметической про-
грессии.если
<з2- аъ — 52
а2 ~Ь as + ^4 Ч- tZs — 34.
(12, 1902, 1961)
404. Вычислить число членов арифметической прогрессии, если
Яг "Ь а4 + ‘ + л2/г = 126
аг + а2П = 42.
(38, 1952)
495. Доказать, что если числа а, b и с образуют арифметическую,
прогрессию, то числа вида
1 1 1
Кб + /с ’ Vc+Va ' /а + Кб
также образуют арифметическую прогрессию.
(11, 1948; 30, 1950)
406. В арифметической прогрессии сумма п первых членов равна
сумме щ ее первых членов (т =£ п). Доказать, что сумма Sm+n ее чле-
нов равна нулю.
(39, 1958)
407. Доказать, что если Sn, S.in, S3n — суммы п, 2п и Зп членов
арифметической прогрессии, то
= 3 (S2n $п).
54
Задачи. Алгебра
408. Найти арифметическую прогрессию, в которой Sn = Зл'2 +
+ 4л, где Sn — сумма л первых членов А. П., л — число членов.
(39, 1958)
409. Известно, что для некоторой арифметической прогрессии
имеет место равенство
Sm _ т2
Sn ~ п2 ‘
Доказать, что
а1П _ 2т — 1
ап ~ 2п — 1
(39, 1961, 1966)
410. При каких значениях х три числа
1g 2, 1g (2х - 1) и 1g (2х + 3),
взятые в указанном порядке, составляют арифметическую прогрессию.
(1, 1960)
411. Доказать, что если log^ х, logOT х и lognx образуют ариф-
метическую прогрессию, то
п2 = (/гл)1о^т (х > 0).
(1, 1950; 11, 1955)
412. Из нечетных чисел образуют группы
(1), <3,5Л(7, 9, 11), . . .,
так что л-ая группа содержит п членов. Вычислить сумму чисел л-ой
группы.
(40, 1961)
413. Берут ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4. . . и составляют
из них группы так, чтобы каждая оканчивалась квадратом 1, (2, 3, 4),
(5, 6, 7, 8, 9), (10, 11, 12, 13, 14, 15, 16). . .
Найти, сколько членов в &-ой группе и сумму членов этой группы.
(40, 1960, 1964, 1966)
414. Доказать, что в арифметической прогрессии с четным числом
членов сумма членов второй половины превышает сумму членов первой
на число, кратное квадрату половины числа членов.
(40, 1951)
415. Найти такую арифметическую прогрессию, в которой между
суммой ее первых л членов и суммой kn следующих существовало бы
постоянное отношение, не зависящее от л.
(11, 1955)
Прогрессии
55
416 Найти четыре четных положительных числа, составляющих
меметическую прогрессию, при условии, что произведение суммы
трех последних на сумму двух крайних будет равно кубу полусуммы
двух первых. (40, 1961)
417. Доказать, что если числа alt а2, а3, . . ап образуют ариф-
метическую прогрессию, то
L + _1_+... + _L_ = 2ziL
а\(12 а2а3 an-ian aian
(di =£ 0, . . • » °n 4= 0)*
(40, 1961)
418. Доказать, что для всякой арифметической прогрессии alt
аз> • ап имеет мест0 тождество
1 _1 _ । ... । 1 _ _ .
K^i + К°2 V а2 + V а3 V ап_х 4- V ап У 4- Ксп
(39, 1951)
419. Дана арифметическая прогрессия
1, 18, 35, . . .
Найти члены этой прогрессии, которые можно записать с помощью
одних троек.
(40, 1962)
420. Найти четыре целых числа, составляющих арифметическую
прогрессию, при условии, что наибольшее из них равно сумме квадра-
тов трех остальных.
(39, 1960)
421. Найти условие, при котором три числа а,Ьнс были бы fc-тым,
р-тым и g-тым членами некоторой арифметической прогрессии.
(40, 1961^
422. Доказать, что К2, КЗ и Кб не могут быть членами одншГ
арифметической прогрессии.
(39, 1956)
телами
Произ-
пустил
423. Два тела падают на землю, причем начало падения 1-го тела
наступило на 3 сек. раньше начала падения 2-го тела. За первую се-
кунду падающее тело проходит 4,9 м, за каждую следующую секунду
его скорость увеличивается на 9,8 м. Когда расстояние между
будет равно одному километру?
424. Рабочий обслуживает 16 ткацких станков-автоматов,
водительность каждого станка m м/час. Первый станок рабочий .....
в о час. (начало рабочей смены), а каждый следующий — на 2 мин.
позже. Определить выработку (в метрах) за 7-часовую смену.
425. Найти отношение корней биквадратного уравнения, если из-
вестно, что они составляют арифметическую прогрессию.
(40, 1961, 1966)
56
Задачи. Алгебра
426. Четыре последовательных целых числа образуют арифмети-
ческую прогрессию. Произведение первого числа на четвертое равно
большему корню уравнения
_ 2
дД+'g х = 0 001 3
а сумма квадратов второго и третьего числа в 5 раз больше того числа,
которое представляет собой номер члена разложения
(J_\2°
—— -L г 6 I
а___ ~rх I »
ух /
не зависящего от х. Найти эти числа.
'• (41, 1958)
427. В геометрической прогрессии дано* q = 2, п = 7 п S = 635.
Найти иг и ип-
(15, 1936)
428. В геометрической прогрессии ит = k, ип— I. Найти ир.
(18, 1936)
429. Доказать, что в геометрической прогрессии, состоящей из
четного числа членов, отношение суммы членов, стоящих на четных
местах, к сумме членов, стоящих на нечетных местах, равно знамена-
телю прогрессии.
(12, 1953)
430. В геометрической прогрессии дано:
«1 '"Кие = 51
ы2 + w6 = 102.
При каком значении п Sn = 3069.
431. Разность между вторым и первым членом геометрической
прогрессии равна 18, разность между четвертым и третьим равна 162.
Составить прогрессию.
432. Найти сумму п чисел вида
1, 11, 111, 1111, . . .
(3, 1928; 39, 1951, 1961; 20, 1960; 44, 1961)
а2 „
433. Между числами и вставить 9 средних пропорциональ-
ных количеств.
(36, 1948; 40, 1961)
434. Между числами 1 и 256 вставить три средних геометрических.
(26, 1937; 40, 1962)
435. Сумма трех последовательных членов геометрической про-
грессии равна 62, а сумма их десятичных логарифмов равна 3. Найти
эти члены прогрессии.
(12, 1961; 40, 1965)
Прогрессии
57
436. Определить
сию, если сумма их
три числа, образующих геометрическую прогрес-
7
равна 21, а сумма обратных величин равна -тт.
1 £
(39, 1957)
437. Число 195 разделить на три части так, чтобы полученные
а составляли геометрическую прогрессию, при этом первый член
был бы меньше третьего на 120.
438. По преданию, индийский шах позволил изобретателю шахмат-
ной игры самому себе назначить награду. Изобретатель просил, чтобы
ему на первую клетку шахматной доски было положено одно пшеничное
зерно, на вторую — два, на третью — четыре и так далее, на каждую
следующую клетку в 2 раза больше, чем на предыдущую. Узнать,
сколькими цифрами изображается число зерен, предназначенное изобре-
тателю шахмат; прочитать полученное число.
(40, 1960, 1966)
439. Основания четырех логарифмов одного и того же числа обра-
зуют геометрическую прогрессию со знаменателем, равным этому числу.
Найти эти логарифмы, если известно, что сумма первых двух из них
равна сумме остальных.
(40, 1961, 1965)
440. Доказать,. что если lg т, 1g п и 1g р составляют геометриче-
скую прогрессию, то и logm х, logrt х и logp гДе х — любое положи-
тельное число, тоже составляют геометрическую прогрессию.
(39, 1957)
441. Число членов геометрической прогрессии четное. Сумма всех
ее членов в три раза больше суммы членов, стоящих на нечетных ме-
стах. Найти знаменатель прогрессии.
(39, 1958)
442. Вычислить сумму квадратов п членов геометрической прогрес-
сии, у которой первый член равен иг и знаменатель q.
(40, 1964)1
443. Доказать, что в геометрической прогрессии сумма квадратов
нечетного числа членов делится без остатка на сумму первых степеней
тех же членов.
(40, 1961, 1966)
444. Найти бесконечно убывающую геометрическую прогрессию,
заК°™Р°й кажДый член был бы в 10 раз больше суммы всех следующих
445. При каком значении а предел суммы членов бесконечно убы-
ваю1Дей геометрической прогрессии 2а + а 1/~2 + а + • • • равен 8.
446. Доказать, что во всякой бесконечно убывающей геометри-
скои прогрессии с положительными членами, знаменатель которой
н- равен —, предел суммы всех ее членов более учетверенного второго
члена.
(39, 1958)
58
Задачи. Алгебра
447. Определить бесконечно убывающую геометрическую прогрес-
сию, в которой второй член равен 6, а сумма членов равна — суммы
8
квадратов членов.
(39, 1957)
448. Найти обыкновенную дробь, при обращении которой в деся-
тичную получились бы следующие периодические дроби: 1) 0,3737. .
2) 0,23 (345).
(40, 1962)
449. Часовая и минутная стрелки часов показывают полночь»
В котором часу стрелки часов встретятся снова?
(40, 1962)
450. Доказать, что сумма чисел, обратных членам геометрической
прогрессии, равна сумме всех членов прогрессий, деленной на произве-
дение ее первого и последнего членов.
(39, 1955; 40, 1961)
451. Дана геометрическая прогрессия; выразить произведение
всех ее членов через первый и последний члены.
(39, 1955; 40, 1961)
452. Дана геометрическая прогрессия; выразить произведение
всех ее членов через сумму Sn и через Sn — сумму обратных величин
этих членов.
(40, 1961)
453. Доказать, что если три положительных числа а, b и с яв-
ляются членами геометрической прогрессии, то имеет место равенство
logfl N __ logq N — logfe N
logc N ~ log* N — logc N
и обратно.
(40, 1960, 1966)
454. Доказать, что если а, Ь и с образуют геометрическую про-
грессию, то
1 1 1
logfl № logfcW И logcW
составляют арифметическую прогрессию.
(39, 1961)
455. Доказать, что если а, b и с одновременно являются 5-м, 17-м
и 37-м членами как арифметической, так и геометрической прогрессии, то
аЬ~с bc~a >ca~b — L
(39, 1955)
456. Сумма первых десяти членов арифметической прогрессии
равна 155, а сумма первых двух членов геометрической прогрессии
П регрессии.
59
на 9. Определить эти прогрессии, если первый член арифметической
Агрессии равен знаменателю геометрической прогрессии, а первый
член^геометрической прогрессии равен разности арифметической про-
гресСИИ‘ (40, 1962)
457. В некоторой арифметической прогрессии второй член яв-
ляется средним пропорциональным между первым и четвертым. Пока-
зать, что четвертый, шестой и девятый члены этой прогрессии образуют
геометрическую прогрессию. Найти ее знаменатель.
(41, 1958)
458. Даны две прогрессии — арифметическая и геометрическая,
v которых взято по три положительных члена, причем первый и послед-
ний члены у обеих прогрессий равные. Определить, для какой прогрес-
сии сумма этих членов больше.
(36, 1947)
459. Три числа составляют одновременно арифметическую и гео-
метрическую прогрессии. Найти зависимость между ними.
(25, 1940)
460. Найти условие, при котором три числа а, b и с были бы А-тым,
р-тым и щ'-ым членами некоторой геометрической прогрессии.
(40, 1960)
461. Определить условие, при котором три числа а, b и с были бы
членами одной и той же прогрессии, арифметической или геометри-
ческой.
(40, 1962)
462. Могут ли числа 11, 12 и 13 быть членами одной и той же гео-
метрической прогрессии?
(40, 1962, 1966)
463. Могут ли быть членами одной и той же прогрессии (арифме-
тической или геометрической) числа ^2, К5 и 7?
(40, 1962)
464. Если к четырем числам, составляющим арифметическую пр«л
грессию, прибавить соответственно 5, 6, 9 и 15, то получится геометри-
ческая прогрессия. Найти эти числа.
465. Если к четырем числам, составляющим кратную прогрессию,
прибавить соответственно 4, 21, 29 и 1, то получим четыре числа, со-
ставляющих разностную прогрессию. Найти эти числа.
466. Сумма пяти членов арифметической прогрессии равна корню
Уравнения 82x+1 = (0.125)4-Зх, последний ее член равен пределу
-уммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Составить арифметическую прогрессию.
(12, 1958)
Сколько членов надо взять в бесконечно убывающей геометри-
«-скои прогрессии
ч-8, 7. . .
60
Задачи. Алгебра
для того, чтобы их сумма отличалась от предела суммы бесконечного
числа ее членов меньше чем на 0,01. X
468. Написать такую бесконечно убывающую геометрическую про-
О й 7
грессию, начинающуюся с 3, чтобы предел суммы ее членов равнялся .
469. В арифметической прогрессии 11 членов; первый, пятый и
одиннадцатый члены составляют геометрическую прогрессию. Написать
все члены арифметической прогрессии, если первый член равен 24.
470. Между 3 и 19 683 вставить 7 членов геометрической прогрес-
сии и 5-й член этой прогрессии разделить на 2 части пропорционально
4 и 5.
471. В арифметической прогрессии, содержащей 9 членов, первый
член равен 1, а сумма равна 369. Геометрическая прогрессия содержит
тоже 9 членов, причем первый и последний члены совпадают с членами
данной арифметической прогрессии. Найти ее седьмой член.
472. Квадраты 12-го, 13-го и 15-го членов арифметической прогрес-
сии образуют геометрическую прогрессию. Найти знаменатели этой
геометрической прогрессии.
(40, 1966)
473. Имеются две прогрессии: арифметическая и геометрическая.
Первый и третий члены арифметической прогрессии совпадают с пер-
вым и третьим членами геометрической, второй член арифметической
прогрессии больше второго члена геометрической на 2, а четвертый
меньше четвертого члена геометрической прогрессии на 14. Написать
эти прогрессии.
474. Три положительных числа составляют геометрическую про-
грессию. Если ко второму числу прибавить 8, эти числа составят ариф-
метическую прогрессию; если затем к третьему числу прибавить 64,
полученные числа вновь составят геометрическую прогрессию. Найти
эти три числа.
(4, 1940)
475. Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если тре-
тий член уменьшить на 64, то полученные три числа составят арифмети-
ческую прогрессию. Если затем второй член этой прогрессии уменьшить
на 8, то получится геометрическая прогрессия. Определить эти числа.
(39, 1958)
476. Составить такую бесконечно убывающую кратную прогрес-
сию, у которой каждый член вдвое меньше суммы всех членов, следу-
ющих за ним. Известно еще, что пятый член этой прогрессии равен 16.
477. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической
прогрессии при условии, что сумма ее первых шести членов состав-
7
ляет предела суммы всех членов.
О
478. Если числа а2, Ь2 и с2 образуют арифметическую прогрессию,
1 1 1
то числа , ~~т~^ > ь образуют также арифметическую
прогрессию. Доказать.
(39, 1953; 30, 1958)
Прогрессии
61
479 Найти все геометрические прогрессии, у которых каждый
ч1ен начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих.
(40, 1951, 1966)
480 В квадрат, сторона которого равна а, вписан другой квадрат,
него вписан третий и т. д. до бесконечности (рис. 1).
а а) Вычислить предел суммы площадей всех этих квадратов.
в) Вычислить предел наименьшей суммы площадей квадратов,
вписанных в данный квадрат.
вписа (37, 1883; 40, 1966)
481. В равносторонний треугольник со стороной, равной а, вписан
круг. В этот круг вписан равносторонний треугольник; в последний
опять вписан круг и так до бесконечности.
Вычислить суммы радиусов, длин окружно-
стей и площадей всех кругов.
(40, 1960)
482. В круг радиуса R вписан ква-
драт. В этот квадрат вписан круг, а в него
вновь вписан квадрат и так до бесконечности.
Вычислить предел, к которому стремится
сумма длин радиусов всех
сумма их площадей.
1
этих кругов и
(16, 1907)
483. В прямую призму с квадратным ‘ис' '
основанием вписана другая, вершина кото-
рой лежит на серединах ребер оснований первой призмы; во вторую
призму так же вписана третья, а в третью — четвертая и так до бес-
конечности. Найти предел суммы объемов всех призм, если ребро
первой призмы равно а, а высота равна h.
484. Дан куб, ребро которого равно а; в него вписан шар. В шар
вписан куб, в который вновь вписан шар и так до бесконечности. Вы^
числить пределы сумм: 1) объемов всех кубов; 2) объемов всех шарсгвТ^
485. Найти четыре числа, из которых первые три составляют гео-
метрическую, а последние три — арифметическую прогрессии; сумма
крайних чисел равна 14, а сумма средних — 12.
(37, 1875, 1878; 31, 1957)
486. Если первые два члена и а2 арифметической прогрессии
положительны, не равны между собой и совпадают с двумя первыми
членами «х и «2 геометрической прогрессии, то все члены арифмети-
г₽>лК0И пРогРессии, начиная с а3, меньше соответствующих членов
геометрической прогрессии (теорема Я. Бернулли). Доказать
487. Вычислить сумму п членов арифметической прогрессии
1
X
х — 1 . х — 2 х — 3
~Г~ + X
(12, 1958)
62
Задачи. Алгебра
488. Вычислить сумму квадратов п первых чисел натурального
ряда, т. е.
S2 = 12 + 22 + 32 +---+ л2
(задача Архимеда).
(40, 1951; 39, 1961)
489. Вычислить сумму кубов п первых чисел натурального ряда
I3 + 23 + З3 + 43 4------------------Ни3
и доказать, что эта сумма при любом натуральном п есть квадрат це-
лого числа.
(40, 1951, 1966)
490. Вычислить сумму четвертых степеней п первых чисел нату-
рального ряда
S4 = И + 24 + З4 Н----Ни4
(задача Ферма).
(40, 1966)
491. Просуммировать
Sn — 14" 2а 4~ За2 4~ Аа$ 4~ 5а 4*’ • • 4" иап l. (1)
(40, 1951)
492. Вычислить сумму
_—।—}—।—!—________________!—, (1)
1-2^2-3^34^ ^п(л4-1)*
493. Вычислить сумму п слагаемых
Sn — 1 • х 4“ 2- х2 4" 3« х3 4" • • • 4" Лхй 4“ • • • 4" пхп.
(40, 1966)
494. Просуммировать
I2 _ 22 4- З2 — 42 4--Ь (—1)я-1- л2. (1)
(39, 1957; 40, 1952, 1962)
495. Доказать тождество
I4 t 24 t л4 _ л (л 4- 1) (ni 4- п -f- 1)
13 + 3-5 4 *" (2л — 1) (2л 4- 1) “ 6 (2л 4-1)
(39, 1951)
496. Найти суммы
(39, 1951)
Показательные и логарифмические уравнения 63
497. Доказать тождество
I । 1 _ 1 /1 1 \
12з+Г5 + 57+’”+ (2n- 1) (2 л 4- 1) “"Г\ ~ 2л + 1 /
(39, 1951)
498. Найти сумму всех дробей вида
1
(л + l)m+1
где т и п — натуральный ряд чисел: 1, 2, 3. . . (задача Гольдбаха).
(40, 1966)
499. Из таблицы
1 2 3 . . ... /г • . . Л
Л4“1 л 4-2 «4-3- . . . . rt-\-k • . . 2л
2л 4-1 2л4-2 2л-|-3 . . . . . 2л4-£ • . . 3/г
Зл+1 Зл-|-2 Зл-|-3 . . . . , 3>n-\-k • . . 4л
(л—1) «4-1 • • • (л—1) п+2 (п—1) п 4-3 . . . (л—1) л-|-/г • . . п2
выбраны п чисел так, что никакие два из выбранных чисел не стоят
в одной и той же строке или в одном и том же столбце таблицы. Вы-
числить сумму выбранных чисел.
(40, 1961)
500. Найти предел выражения
(40, 1952, 1Э^
§ 10. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
а) Основные свойства логарифмов
501. Доказать, что logbN .
502. Доказать, что (40, 1952) l°gt а = —-д . loga b
(40, 1938, 1949, 1963, 1966)
64
Задачи. Алгебра
503. Доказать, что 10ga N — loga” Nn.
504. Доказать, что 10ga logaA^ = 1 + loga (40, 1940)
505. Доказать, что 1g х = Л4-In x, (1. 1950)
где М — 1g е = 0,43429. . . — модуль десятичных логарифмов; е =
= 2,71828. . . — основание натуральных логарифмов.
(12, 1951)
506. Зная, что 1g 2 = 0,301, найти 1g 5.
(12, 1957)
507. Зная, что 1g 2 = 0,301, найти 1g 125.
508. Что больше: log2 5 или log8 125.
509. Зная, что log12 2 = а, найти log6 16.
(12, 1953)
510. Зная, что log6 2 = a, log6 5—b, найти log3 5.
(12, 1952)
511. Дано log14 7 — a, logM 5 = b.
Найти log35 28-
(39, 1952)
512. Доказать, что
1g 2 = log3 2- log4 3- log5 4. . -logxo 9.
513. Вычислить без таблиц
ylog7 з. 2) 343I—2 log.», 13.
514. Доказать, что
(log2 З)-1^ (logs ЗН> 2.
(39, 1955)
515. Доказать, что
, 1
logj_ — = logmn.
(12, 1961)
516. Дано
loga х = р, logfc, X = q и logafc X = Г.
Найти logc х.
(39, 1958)
Показательные и логарифмические уравнения
65
617.
Вычислить \ogab
3
Г5
К»’
если logad я
518. Упростить выражение, стоящее под знаком
логарифма:
“V'W
519. Доказать тождество
(3, 1928)
п = — 1 og3 log8
п раз
(40, 1961; 41, 1963)
520. Доказать, что при любых (положительных) значениях а и У
имеет место равенство
1 i , ! ! 1 1К
logatf + loga« N + logas + loga« + logfl. № Iogya
(40, 1940)
521. Доказать, что
х ‘ ” —i_____I---i_____I----1___i
loga/ Io§a/ lo£a x
i a n
(40, *1940|
622. Доказать тождество
logaAMogfrtf + logfeV-logc N -I- logcy-loga/V =
_ logq AMogfr AMogc M
“ logafc N
(1, 1950)
523. Доказать, что
logf, a- logc b- logd c »» log,/ a,
rAe c^l, a>0, &>0, c>0, d>0.
524. Доказать, что
1,1 1 1
logTV “r logs N “И log^AT log1958J•
(39, 1959)
3 В. С. Кущенко
66
Задачи. Алгебра
525. Найти log^x, "х
(39, 1959)
если loga х = 2, logfc х — 3 и logc х = 6.
(41, 1958)
526. Доказать, что
1°ёб+са + i°Sc-ba = 2 logft+A l°gc-ba’
если а и Ь — длины катетов, с — длина гипотенузы прямоугольного
треугольника.
(40, 1949; 1, 1950)
527. Доказать, что
1 * ’*
х=101-1г^
если 4
1 f ,
iz==10i-ig^ и z=
(41, 1958; 39, 1961; 40, 1963)
б) Показательные уравнения
Решить следующие уравнения:
528. 4*+1 + 4х = 320. (34, 1936)
529. 2-Зх+’ — 4 • 3х"2 = 450. (34, 1936)
530. 5х + 3 5*-2= 140. (30, 1958)
531. 10-2х—4х = 16. (21, 1935)
532. 5х-б3“х = 20.
533. Зх+1 + 18-3“х = 29. (20, 1936)
534. 2.3X+’— 5-9х~2 = 81. (20, 1936)
535. 49х-6-7х + 5 = 0. (30, 1958)
536. б2х — Г — 35-б^ -J-35-7х = 0. 2-—-42х 1~44х = 1. (20, 1936)
537.
4 2
(21, 1935)
538. 2х + 12-2~х = 9,6. (21, 1936)
Показательные и логарифмические уравнения
539. 23х-Зх — 23х-1'-Зх+1 = —288.
х-± х+~
540. 4х —3 2 = 3 2 — 22*”1.
(12, 1956)
541. 52х~3 = 2-5х-24-3.
(16, 1936)
542. 3х 5 4- 3х-7 4- Зх~9 = 45,5 4- 22,75 4- 11,375 4- • • •
(12, 1958)
543. 0 5*2—20x4-61,5 _ 8
/2 ’
з
544. -Ц--------= 1,5.
г-з*'*-’1
545. 41/*~2 4-16 == 10-21/*~2
546. (|)' = Пд
\ о /
547. 52+Н-64- • -|-2х = 0,94-28,
е х > 0.
г (25, 1940; 6, 1958)
548. 2 • (2/х4-з) 2 /х _ /х = Q
(2, 1958)
549. 0,125-42х-3 = | *.
\ 8 )
, 1Z— г__ (43, 1960)
550. 4Х+ Гх'~2 — 52Х~1+ Гх2~2 = 6.
______ (41, 1958)
551. (/2-/з)л + (/Г+7з)х=4.
(39, 1951; 44, 1961; 50, 1963)
552. 4х 4- 6х = 9\
553. 23х------------6/2х 1
23х ° ~
(39, 1958)
(35, 1961)
68
Задачи. Алгебра
в) Логарифмические уравнения ''
Решить следующие уравнения:
654. 1g (0,5 + х) = 1g 0,5- lg х.
(34, 1936)
655. lg (4,5 — х) — lg 4,5 — lg x.
556. lg (x - 9) + 2- lg /2Г=П = 2.
(21, 1935)
557. lg lg /2x — 3 + 1 = lg 30.
(19, 1936)
658. Ig(x—S_) = 2Jg_l_, . . .
* (34, 1925)
559. x,gx=100x.
(31, 1936; 20, 1960)
560. x[s x~l = 100.
(16, 1955)
561. 0,bxlgx~2« 100.
(16, 1955)
562. == 10.
(31, 1957)
563. (0,4)lg2 x+1 — (6,25)2~lg x° =» 0.
(40, 1953; 20, 1960)
564. x2log*10= IQx.
(13, 1958)
___1— i
565. 2 log»x =-sr*
566. = ax; a > 0.
567. x<21g3x“1’51gx>»rW.
(20, 1936; 44, 1961)
568. log5(x2 — 11% + 43)= 2.
(34, 1935)
/ io__________\
569. lg \8• К2х2~14,Бх) = 0.
(21, 1936)
(24 \
64 -у 2x*~40x ) =0.
______________________ (27, 1937; 39; 1958; 43, 1961)
571. 4 —lgx = 3 /igx.
(16/1936)
572. lg 10 + -1- lg (271 + 3/2x) = 2,
□
(20, 1936; 12, 1956)
Показательные и логарифмические уравнения 69
573- -rd165-1 + lgx)= 1 ~lg5-
(16, 1955)
JL 1
Igx2 -b-Tj-lge.—I
574. -----i-----------— = lg0,01
(16, 1955)
575. 1g 2 + 1g (4х“2 -I- 9) = 1 + 1g (2X~2 -J- 1).
(31, 1957; 6, 1958)
576. log4 (x 4~ 12)- logx 2=1.
________ (1, 1939)
577. ]Aogx /3x-log3x = — 1.
(40, 1954, 1965, 1966)
igx
578. /х = 10х4(x > 0).
579. 5 log23 4-2 log2 V(x^2)V^ — 1 -|- log227 = 1,5.
(13, 1958)
—X
580. KO,125 = 32-10^18
_____________________ (31, 1957)
i/
681. 1g F 75 4-5 = 1.
582. Доказать, что
loga6 = _i^7---------------------*
log/, a
и, пользуясь этим соотношением, решить уравнение
logx 2 4- logg х = 2,5.
583. lg(35 —х3) lg(5—x) (40, 1952, 1963, 1966)
584. lgx+7 x 4 = 10,gx+1. (43, 1961)
585. Xlogx2 (X’-l) = 5. (43, 1960)
586. (K x)‘°Si X-' = 5. (43, 1961)
(43. 1960)
70
Задачи. Алгебра
587. 1g 10lg (JC*+21) — 1 = Igx.
(43, 1961)
588. logjj log2 log7 x = 0.
(41, 1957)
589. 2(lg2-l)+ lg(5/7+l) =lg(51-/“+5).
(43, 1960; 35, 1961)
590. 2 lg2 + (1 +-JL) 1g 3 - 1g (/3 +27) = 0.
/43, 1960; 14, 1966)
591. logx У 5 — logx 5x—2 = (log,v V 5)2.
(43, 1960; 35, 1961)
3
592. logax — logfl2x + loga4x = — •
(35, 1961)
593. J°£2-—!-----2 log2 K"x 4- log2x = 3.
loft-i-
(12, 1955; 44, 1961)
594. 2x,g x 4- 3x~lg x = 5.
595. 5!g x — 3lg X~1 = 3,g *+1 — 5lg *-1.
(41, 1958, 14, 1966)
596. xlg* x+lg %3+3 =-----j______-______—_______
/г+х—1 ~ /г+х+Г
(43, 1961)
597. / 1 1 v0,5 (log2x2)2—7 _ Xй
\/x-H—1 Ух+ 1 4-1J ‘ “ 211 ’
(41, 1957; 40, 1960)
598. log2 x 4“ log3 x 4~ log4 x = 1.
(40, 1961)
599. logiex 4- log4 x 4- log2 x — 7.
(6, 1958)
«АП . 1 -1 / (m + n),g<w-n)
600. lglgx = l/ -—T -—r-r
|/ (tn—n) g
(8, 1927; 40, 1961, 1966)
Показательные и логарифмические уравнения 71
_ - — --- _ - ---------------.. , -г
л Г 4 ________ 4____
601. у loga К ах + logx V ах +
(1, 1950; 40, 1957; 13, 1958; 39, 1961)
602. Найти все значения параметра /г, при которых уравнение
log (fex) = 2 log (х + 1)
имеет один и только один положительный корень.
603.
1g (*2)
(Igx)2
, 1g (^) , 1g И
41g х)3 41g X)4
(41, 1958; 40, 1961)
(39, 1957)
г) Системы уравнений
Решить следующие системы уравнений:
604.
3.2*—2*+f/+2 =0
5.2*+1 _ 2*+*Ж _ 16 __ о.
605.
х—у_____ _
Гх + // = 2/ 3
(х + у) -2^-* = 3.
606.
X _ У_____
У а У от1 — 1
*___ »
У Ьп : У b = пр.
607.
Igx — lg«/ =7
lg* + 1g г/ = 5.
60S. ( '8*+ 18»=“
I 2 Igx — 2 Igy =b.
609. | l8J: + lg!' = lg2
I x2 + y2 = 5
610. I !g* + lg*/ = 2
I x2 4-1/2 = 425.
(20, 1936)
(35, 1961; 41, 1963)
(20, 1936)
(31, 1936)
(31, 1936)
72
Задачи. Алгебра
611. ( 2Л 4- 2 Р = 12 | х 4- у =» 5.
612. - II II II X * н QO CSI Ч
613. 2^-5 _ 1 х - — к (40, J 932; 6, 1?58) 1 Зл — 2У* = 77 *'
614. J л и2 3 2 — 2 2 =7. (40, 1950; 1964, 1966; 14, 1966)
615. J % II И 5 4
где tn ={= п.
616. (50, 1963) [ = у^ [ r^+^x3,
где х> 0, О.
617. (16, 1936; 14, 1966) [ Ху =ух [ ах = Ьу,
где х> О, у^> 0; а> О, Ь>> 0; а b, а^= 1, Ь^\.
618. (40, 1951; 11, 1955) ’ х^ = / X3 = у2.
619. (43, 1961) [ 642х 4- 642* » 40 [ 64*+^ = 12. (39, 1958)
’ 642х 4- 642i' = 12
OZU. . 64*+i/ == 4 V 2.
(39, 1951)
Показательные и логарифмические уравнения
73
622.
1ху = 243
УГ__ / ? \2
/1024 =( 4-х) .
\ О /
(43, 1961)
Г/ 9 \2xl3f/
Ц/gJ J =58
|777?(х—{/—1)|Х2+б^2—60 == ।
(40, 1961)
102-lg(x-|/) =25
lg(x-y) + lg(x + t/) = 14-21g2.
(40, 1961)
(mx)lg т = (nt/)lff ”
(3, 1928; 40, 1960, 1966)
103-lg(^-f/) =250
2 Vx— у
(40, 1950)
| 2х-4У =32
I !g(x— у)2 — 21g2 =0.
(20, 1935)
( lg(x2 + «/2) —1 = lg 13
I lg 4- y) — lg (x — y) = 3 lg 2.
(21, 1936)
f logyx + logxfi,=2
I X2 + у <= 12,
«е x > 0, у > о.
(25, 1940)
629. / Зх.2^=576
( !og У2 (у — X) = 4.
624.
625.
626.
627.
628.
(1, 1950; 11, 1955)
74
Задачи. Алгебра
630.
. , 8
log//x — logx// =-^
ху = 16,
где х > 0, у >> 0.
(И, 1955)
631.
5(log^x + logxi/) = 26
ху = 64.
(1, 1950; 11, 1955)
632.
lg(* —У)—2Ig2
1 — lg U 4-1/)
1g л- — lg 3_
lgl/~ lg7
(20, 1936)
633.
lg xy = 2 lg a 4- 2 lg b + Ig ^2 4-
lg x — lg у = 2 lg a 4- 3 lg b — lg (2a 4- 3b).
(40, 1950)
634.
' log2x4-log4t/4-log4z =2
logs У 4- loge 2 4- log9 X = 2
log4 г 4- logi6x 4- logie£ = 2.
(24, 1939; 11, 1955)
635 ( 10ga X + l0gfl У + 10ga 4 = 1 2 + 10&»9
I x 4- у — 5a = 0.
(24, 1939; 6, 1958)
636.
xm = z/n
У \ogpy
(2, 1958)
§ 11. СОЕДИНЕНИЯ И БИНОМ НЬЮТОНА
637. Найти такое число k, чтобы число сочетаний из п элементов
по k было наибольшим (k <£ п).
(40, 1956)
638. На плоскости даны п точек, расположенных так, что никакие
три из них не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых
можно провести через эти точки?
Соединения и бином Ньютона
75
639. На плоскости дано п точек, соединенных всевозможными сло-
вами посредством неограниченных прямых линий, причем никакие
с из этих прямых не параллельны между собой и никакие три не
пересекаются в одной точке. Вычислить число N таких точек пересе-
ления не включая п заданных точек.
че ’ (39, 1964)
640. Состоялся шахматный турнир, в котором приняли участие
несколько шахматистов, причем каждый из них сыграл с остальными
по одной партии. Всего состоялось 45 партий. Сколько было шахма-
™ОТВ? ’ (7, 1952)
641. Из пятнадцати солдат необходимо отправить троих в разведку.
Сколькими способами можно сделать выбор?
642. Из отряда солдат в 50 чел. ежедневно назначают в караул
4 чел. Сколько раз караул может быть составлен различным образом,
и сколько раз одному и тому же солдату пришлось бы быть в карауле?
(37, 1882)
643. Доказать, что
f^n /~>п f —1 (~<П I Г)/~,П—1 I f~<n—2
"Г Gwi—1 — Gm—2 • /с;,ч-2 • Gm—2-
(40, 1952, 1964)
644. Доказать, что
1 - 10C|„ + 102C^n — 103C3„ -|----102n-1C|n + 102zi = 81n.
(40, 1956, 1964, 1966)
645. Найти 5-й член разложения бинома
/ а |/~х V
\7х '
если отношение коэффициента 3-го члена ко 2-му равно .
(37, 1946)
646. В разложении бинома
(КГ+х-КГ^х)'1
разложеИеНТ ^*Г0 члена Разложения равен 28. Найти средний член
R47 м . (37, 1946)
Найти 4-й член разложения
ЙСЛИ коэФфициент 3-го члена равен 21.
76
Задачи. Алгебра
648. Чему равна степень п, в которую необходимо возвысить а + х
* в 103
чтобы коэффициент при х” равнялся числу
649. В разложении
(40. 1961)
(1 + х)л
найти значение показателя п, если известно, что коэффициент пятого
члена равен коэффициенту девятого члена.
650. Найти наименьшее значение показателя т в разложении
(1 + *)т,
при котором отношение двух соседних коэффициентов разложения рав-
нялось бы отношению 7 : 15.
651. В разложении бинома
(3, 1927} 40, 1962)
определить член разложения бинома, не содержащий букву х, если би-
номиальный коэффициент 3-го члена разложения на 5 больше бино-
миального коэффициента 2-го члена разложения.
(37, 1946)
652. В разложении бинома
определить член, содержащий букву а в 3-й степени, если сумма бино-
миальных коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах в раз-
ложении бинома, равна 2048.
653. В разложении бинома
(37, 1946)
определить член разложения, не содержащий букву а, если сумма бино-
миальных коэффициентов трех первых членов разложения равна 79.
(37, 1946)
Соединения и бином Ньютона
77
654. В разложении бинома
член разложения, содержащий 6е, если отношение бино-
коэффициента 4-го члена разложения к биномиальному
определить
миального
коэффициенту 2-го члена равно 187.
(37, 1946)
655. Найти члены, не содержащие иррациональности в разложе-
нии бинома
з \5
УЗ 4- УЪ) .
656. При каком значении п коэффициенты 2-го, 3-го и 4-го членов
разложения бинома
(х + у}п
составляют арифметическую прогрессию.
657. Найти все рациональные члены в разложении бинома
658. Найти три последовательных коэффициента бинома, состав-
ляющих арифметическую прогрессию.
659. Вычислить с точностью до 0,001
1,00058в.
(12, 1954)
660. Разложить по формуле бинома Ньютона
(а + Ы)в + (а — Ы)л.
661. Найти бином Ньютона, который > разложении дает такие
четыре последовательных члена: 280, 560, 672 и 448.
(12, 1956)
662. В разложении бинома
(УГ+1-УГ^)п
найти 5-й член, если коэффициент 3-го члена равен 78.
6R4 R <12’ ,957>
'”»о. в разложении бинома
айти член, не зависящий от а.
78
Задачи. Алгебра
664. Найти члены, не содержащие иррациональности в разложении
G5 _ 7 -V4
^3 +K2J .
(16, 1899)
665. В разложении бинома
/ з п \л
( а2 Vа-----I
\ а2 Ко /
вычислить член разложения, не содержащий буквы а, если биномиаль-
ный коэффициент 5-го члена разложения относится к биномиальному
коэффициенту 3-го члена разложения как 1 : 2.
(37, 1949)
666. В разложении бинома
(4 1 \ п
pVp I
Vp6J
определить член разложения, не содержащий букву р, если сумма
биномиальных коэффициентов 2-го члена от начала и 3-го члена от
конца разложения равна 78.
(37, 1949)
667. Сколько рациональных членов содержится в разложении
/ _ 4 \100
(39, 1952, 1957, 1961)
668. Определить, какой член в разложении бинома
/4 ___ 5/—Г"\13
( Ка2х +у ~2 )
не содержит х.
(38, 1952; 12, 1961)
669. В разложении бинома
\ 2 К* /
первые три коэффициента образуют арифметическую прогрессию. Найти
все рациональные члены разложения.
(40, 1961)
670. Найти х, если известно, что третий член разложения бинома
(х -4- xlg *)5
равен 1 000 000.
(41, 1958)
Разные задачи и примеры
79
671. Найти коэффициент при х4^^3 в разложении бинома
/ , 1 VM-1
I X3----S- )
\ х2 /
(40, 1962, 1965)
672. Найти сумму квадратов коэффициентов бинома Ньютона.
‘ (9, 1927; 40, 1961)
673. Вычислить коэффициенты при хл—1 и хл—2 в произведении
674. Доказать, что в разложении бинома
(3, 1928; 40, 1962)
(1 + 1)4Л+'2
сумма членов, стоящих на нечетных местах, равна нулю.
(9, 1927)
§ 12. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ И ПРИМЕРЫ
675. Произвести указанные действия:
i“_4-fl59-13-^Vl
\7 72 5 96 Л 1 24 + \15’9 13 20 / 9
(1-0,4+24,15:2,3-10А
(37, 1948)
676. Найти число, 7,5% которого равны выражению:
(s-L-e-lLYi-3- *
\° 55 НЮ J 217 '
/2 3 V] 7
\ 5 20 / 8
(36, 1948)
677. Выполнить указанные действия:
210.084: 12,3-53§ : 4-8 ±-9 А
(114-24,2:з4- + ):з + + 2,35.+
и Убедиться, что полученный результат меньше
, 1
10g_L 4”
(37, 1949)
80
Задачи. Алгебра
Вычислить:
(4,5-1,(6)+3,75)-2^
678. 1,7:---------§-----------0,41(6).
V
679.
(36, 1 50)
12,(6).
13,76 +12'2-+3,6(1)
680. 7-*-+ 6,8(3)+ 5, (6)+ -т-*--------5-.
-2-0,0625 1,91 (6)-1-2
(16, 1957)
681.
0,805 : 10 — 0,00705 • 10 + 2 2-: 50 ) ~
________________- ----2-----L .2 + 1
18,5 — V272,25 :1,125
5 t127
16 J ‘144 ’
Найти х из равенств:
(33, 1958)
682.
[1,7:(1-|-л-3,75).]4 = 1А.
683.
(39, 1961)
181 1 1
222 | : 1 24 “
(39, 1953)
684. Периодические дроби: а) 0,3333. . ., в) 0,2 (7) — обратить
в обыкновенные.
(40, 1966)
685. В какой системе счисления верны следующие равенства:
а) 4.13 - 100j
б) 3-35= lllj
в) 5«36= 114.
686. Узнать, по какой системе счисления написаны числа 722 и
554, если разность между ними по десятичной системе равна 133.
Разные задачи и примеры
81
687. В какой системе счисления справедливо равенство
121 — 11! — 101 = 1002 + 102.
(40, 1962, 1963, 1964, 1966)
688. Число 123610 записать по пятеричной системе счисления.
689. Число 134g выразить по троичной системе счисления.
690. Три неизвестные цифры, написанные рядом, выражают:
1) в шестеричной системе нумерации число, в 8 раз большее суммы двух
правых цифр; 2) в семеричной — число, равное 9 раз взятой сумме
всех его цифр; 3) в восьмеричной — число, равное 20 раз взятой сумме
двух левых цифр. Какое число выражают эти цифры в десятичной
системе счисления? (40, 1%1)
691. Найти двузначное число, которое равно сумме куба числа
его десятков и квадрата числа его единиц.
(39, 1958)
692. Найти трехзначное число, квадрат которого равен пятой сте-
пени суммы его цифр.
(39, 1953)
693. Будет ли дробь 0,12345678910111213141516. . . периодической
(после нуля написаны подряд все целые числа)?
(39, 1948, 1950)
694. Четырем бригадам рабочих была уплачена сумма, процентные
деньги с которой за 16 мес. по 3% годовых составили бы 49 р. 20 коп.
Первая бригада, в которой было 13 чел., работала 4 дня; вторая, из
11 чел., работала 5 дней; третья, из 8 чел., —6 дней и четвертая, из
10 чел., — 6 дней. Сколько денег получила каждая бригада?
(15, 1936)
695. Разделить число 42 000 на такие четыре части, чтобы первая
относилась ко второй, как 2 : 3, вторая к третьей, как 4 : 5, третья*»
к четвертой, как 6:7.
(37, 1875)
696. В одном здании помещаются два учреждения и платят за
аренду 400 руб. в месяц. Сколько платит каждое учреждение, если одно
занимает здание от 9 час. до 15 час. 30 мин., а второе —от 17 час. 30 мин.
до 23 час.
(12, 1954)
„ ..697. В кратчайший срок требуется изготовить 12 800 комплектов
и чей одежды- Заказ поручен трем фабрикам: А, В и С. Фабрика А
72о к сделать в четыре дня 800 компл., фабрика В —в шесть дней
котоо°МПЛ’’ Э $абРика С в два дня приготовляет 40% того количества,
Рики °е М°ГУТ ПРИГОТОВИТЬ в течение трех дней первая и вторая фаб-
плек-Л^л^6’ Через сколько дней заказ будет готов и по скольку ком-
в будет сделано каждой фабрикой?
(37, 1878; 12, 1951)
82
Задачи. Алгебра
698. Мне теперь вдвое больше лет, чем было вам тогда,.когда мне
было столько лет, сколько вам теперь; когда вам будет столько лет,
сколько мне теперь, то сумма наших возрастов будет равна 63. Сколько
лет каждому в данный момент?
(39, 1949, 1958)
699. Можно ли ходом коня из нижнего левого угла шахматной
доски попасть в правый верхний, побывав на каждом поле только один
раз.
(39, 1956)
700. На базар пошли Иван, Петр и Сергей с женами Анной, Екате-
риной и Марией. Каждый платил за купленную вещь столько рублей,
сколько вещей купил. Каждый муж уплатил за свои вещи на 63* р.
больше, чем его жена. Иван купил на 23 вещи больше' Анны, Петр на
11 вещей больше, чем Екатерина. Кто на ком женат?
(39, 1949, 1957, 1959)
701. Вычислить сумму
J________-4- —________L+...+
г'О pl * р2 рЗ ~ ~
Иоо '-'100 ° 100 и100
+ J________
~ р98 р99 ~ рЮО ’
G100 ° 100 С100
(39, 1965)
702. Показать, что для того, чтобы дробь
ах2 +Ьх+с .
GjX2 4* Ьгх 4- q ' '
имела значение, не зависящее от х, необходимо и достаточно соблюде-
ние условия
а b с
аг ~ ~ Cj
(40, 1952, 1966)
703. Доказать, что произведение п положительных множителей,
сумма которых задана, достигает наибольшего значения, когда все эти
множители равны между собой.
(40, 1955)
704. Найти наибольшее значение выражения
log^x4- 121og£vlog2-|-,.
если 1 <С х <" 64.
(11, 1956; 40, 1957)
Разные задачи и примеры
83
705. . Известно, что
ху = j/~2,
х2 = У2+К2,
*8= JA+ V2 + K2,
найти Нт хп.
(40, 1955, 1965)
706. Решить уравнения:
logB log2 loga х = 0.
(40, 1955)
707. loga log3 log4 logg x = —00.
(40, 1952)
708. x2 4-x3 4-x4 4- x64- ••• = sin2 -2-,
если I x I <5 1.
(40, 1955)
709. Доказать, что если алгебраическое уравнение n-ой степени
с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делите-
лями свободного члена.
(40, 1966)
710. Найти уравнение, все корни которого обратны корням урав-
нения
101х10 4- 91х9 4----h 2!х2 4- х = 100!
(40, 1962)
711. Найти сумму десяти слагаемых 1А\. 4- ц" io 4~ То"То +
1U*11 11*1Z lZ* 1о
4-.. ., не прибегая к приведению дробей к общему знаменателю.
712. Найти сумму ”4*^
2 1 2 1 2 1 1 2
Г7 + 71 + <ГТТ + * 591Г’
(40, 1965, 1966)
713. Найти наименьшее натуральное число, обладающее следу-
ющими свойствами:
1) его запись в десятичной системе счисления оканчивается циф-
рой oj
2) если переставить цифру 6 из конца числа в его начало, то полу-
иное число будет в 4 раза больше данного.
(39, 1962, 1966)
714. Найти все целые числа п, для которых сумма
является полным
114- 214- 314------F п!
квадратом.
(40, 1957)
Часть II
ГЕОМЕТРИЯ
§ 13. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
715. По трем сторонам треугольника а,Ьп с вычислить его медианы.
‘ (20, 1907; 40, 1950, 1966)
716. Которая из трех медиан треугольника наибольшая (наимень-
шая)?
(12, 1952)
717. По трем медианам треугольника АВС та, ть, тс вычислить
стороны треугольника а, Ь и с.
(12, 1910; 6, 1958)
718. Найти отношение суммы квадратов медиан треугольника
к сумме квадратов его сторон.
719. По трем сторонам треугольника а, b и с вычислить его высоты.
720. Возможен ли треугольник, у которого высоты равны: hb —
~ 2, Иц == 3, fig== 4.
(16, 1908; 12, 1957)
721. Квадрат биссектрисы угла при вершине треугольника равен
разности между произведением боковых сторон и произведением от-
резков основания. Доказать.
(40, 1950; 2, 1963)
722. По трем сторонам треугольника а, Ь и с вычислить длину бис-
сектрисы рл-
(15, 1907; 16, 1908)
723. Катеты прямоугольного треугольника равны а и Ь. Вычис-
лить длину биссектрисы прямого угла.
(52, 1965)
724. По двум сторонам треугольника а и’ b вычислить третью сто-
рону, если медианы данных сторон пересекаются под прямым углом.
(12, 1952)
Задачи по планиметрии
85
725 Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса
пямого \тла является одновременно биссектрисой угла между высотой
и медианой, проведенными из вершины прямого угла.
(46, 1961} 39, 1962)
726 В треугольнике даны две стороны а и b и известно, что сумма
высот, опущенных на эти стороны, равна третьей высоте. Вычислить
третью сторону с.
727. Одним раствором циркуля разделить прямую на любое число
равных частей (задача Н. Тарталья).
728. Разрезать данный треугольник на три части, из которых
можно было бы составить прямоугольник.
(40, 1953)
729. Разрезать данный треугольник (многоугольник) на равно-
бедренные треугольники.
730. Доказать, что всякий треугольник можно разрезать на четыре
части и сложить из них два треугольника, подобных первоначальному.
(40, 1956)
731. В равностороннем треугольнике АВС со стороной, равной а,
провести прямую, которая пересечет боковые стороны АВ и ВС в точ-
ках Д' и N, а продолжение стороны АС в точке М так, чтобы треуголь-
ник KNB, треугольник NCM и четырехугольник A1\NC были равно-
велики.
(40, 1952)
732. Среди всех треугольников, вписанных в данный остроуголь-
ный треугольник, найти имеющий наименьший периметр.
(40, 1^)
733. На берегу реки надо построить водокачку так, чтобы из нее
по прямым трубам подавать воду пунктам А и В. Где надо строить водо-
качку, чтобы сумма длин водопроводов от нее до пунктов А и В была
наименьшей.
(39, 1958)
734. На биллиардном столе ABCD, длина которого равна а, ши-
рина Ь, лежит шар L на расстоянии а' от одного из бортов и на рас-
стоянии b от другого. Определить на линии DC точку К. в котовой
логично —НвУлузуTQH ° б°РТ’ ЧТ°бы’ отскочив> попасть в лузу В (зна-
ла линии ДХп^Ме™ Р И Q замвчвны с сУД«а в ОДНО и то же время
на линии, наклоненной под углом 15° к востоку от северного направле-
™е'И ШЛ°- В ™ Же МГН0ТИе =«"» перегнило наЕрХ
пройдено 5 к « Т НЭ севеР°'запаД- Когда в этом направлении было
востоДк Оппрп^п предметы были видны;? на восток и Q на северо-
восток. Определить расстояние между Р и Q
(37, 1898)
86
Задачи. Геометрия
736. Доказать, что прямые, соединяющие вершины параллело-
грамма с серединами сторон, сходящихся в противоположной вершине,
рассекают диагональ, соединяющую две другие вершины, на три рав-
ные части.
(12, 1954)
737. В параллелограмме даны: одна сторона, равная Ь, и две диа-
гонали dt и d2. Найти его периметр, полагая, что b = 58 см, dt = 89 см
и d2 = 52 см.
(37, 1876)
738. Доказать, что биссектрисы углов любого четырехугольника
образуют четырехугольник, который может быть вписан в окружность.
(40, 1952, 1964, 1965)
739. Вычислить диагонали вписанного четырехугольника, стороны
которого равны а, Ь, с и d.
(36, 1948)
740. Разность между длиной диагонали и длиной стороны квадрата
.приближенно равна 6 м. Вычислить длину сторон квадрата и радиус
вписанной окружности (ограничиваясь тремя десятичными знаками).
(37, 1874)
741. Провести прямую параллельно основанию треугольника АВС
так, чтобы получилась трапеция е периметром, равным 2р.
(40, 1961)
742. Вычислить диагонали правильного пятиугольника, у кото-
рого сторона равна а.
(20, 1907; 40, 1960)
743. По сторонам треугольника, длины которых а, b и с, найти
расстояния ортоцентра от вершин.
(40, 1952)
744. В прямоугольном треугольнике дан катет а и радиус г впи-
санной в него окружности. Вычислить гипотенузу с и второй катет Ь.
(36, 1948)
745. Вычислить катеты прямоугольного треугольника по радиусу
вписанного круга г и гипотенузе с.
(20, 1936)
746. Вычислить стороны равнобедренного треугольника по вы-
соте h и радиусу вписанного круга г.
747. Вычислить стороны равнобедренного треугольника по ра-
диусам его вписанной и описанной окружностей г и R (г = 3, R — 8).
(40, 1968)
Задачи по планиметрии
87
748. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см.
Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей.
(36, 1949)
749. Доказать, что во всяком треугольнике точки, симметричные
с точкой пересечения высот относительно трех сторон треугольника,
лежат на описанной окружности.
750. В круг, радиус которого равен R, вписан правильный тре-
угольник, на стороне которого построен квадрат. Определить Rr —
радиус окружности, описанной около квадрата.
751. Дан треугольник АВС со сторонами а, b и с. Вычислить
радиус описанного круга.
(40, 1961)
752. На диаметре АВ полукруга ANB построен прямоугольник,
высота которого АС равна стороне вписанного в круг квадрата. Если
соединить вершины С и D с произвольной точкой N полукруга пря-
мыми CN и DN, пересекающими диаметр в точках Е и L, то
AL2 + BE2 = АВ2
(задача Ферма). Доказать.
(40, 1961, 1964, 1965)
753. Доказать, что в четырехугольнике, вписанном в окружность,
сумма произведений противоположных сторон равна произведению
диагоналей (теорема Птоломея).
(39, 1957; 40, 1960)
754. В равносторонний треугольник вписаны три равных круга
так, что каждый касается двух сторон треугольника и двух других кру-
гов. Определить радиус этих кругов, если сторона треугольника равна а.
(15, 1936)
755. По данному радиусу г и хордам а и b двух дуг круга опреде-
лить хорду суммы (и разности) этих дуг.
(40, 1953)
756. Вычислить сторону правильного вписанного 15-угольника.
(15, 1906; 16, 1907; 40, 1960)
nuvJnllJ?0* аЗЭТЬ’ ЧТ0 ст0Р0На правильного вписанного десятиуголь-
нем отношении.ЬШеМУ °трезку радиУса’ разделенного в среднем и край-
(40, 1960)
Horo7n™XZTTb раДИус окРУжности, описанной около правиль-
ного пятиугольника, сторона которого равна a. F
(20, 1907; 40, 1960)
88
Задачи. Геометрия
759. В равнобочной трапеции отношение оснований равно 0,75;
средняя линия трапеции равна ее высоте h и равна 7 м. Вычислить ра-
диус окружности, описанной около трапеции.
(36, 1948)
760. На основании равнобедренного треугольника, как на хорде,
построена окружность, касательная к равным сторонам треугольника.
Найти радиус окружности, если основание треугольника а и высота h.
(36, 1948)
761. Около круга описана равнобедренная трапеция, у которой
средняя линия равна т. Определить периметр трапеции и длину ее
боковой стороны.
(40, 1939)
762. Даны две концентрические окружности. Доказать, что сумма
квадратов расстояний от точки, взятой на одной окружности, до концов
диаметра другой есть величина постоянная.
(36, 1949)
. ' 763. По трем медианам треугольника та, тъ и тс вычислить его
площадь.
(16, 1908; 40, 195(2)
764. Найти отношение площади данного треугольника со сторо-
нами а, b и с к площади треугольника, у которого стороны являются
медианами та, ть и тс данного треугольника.
(12, 1953)
765. По трем высотам треугольника ha, hb и hc вычислить его пло-
щадь.
(16, 1907; 40, 1950)
766. Вычислить площадь треугольника по двум сторонам а и Ь
и биссектрисе угла между ними |3С.
(16, 1907)
767. По двум сторонам треугольника b и с и биссектрисе угла между
ними Рл вычислить отрезки третьей стороны и его площадь (Ь == 20,
с = 45, Рл = 24).
768. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8 м,
другой 6 м; из вершины прямого угла опущен перпендикуляр на гипо-
тенузу. Узнать величину этого перпендикуляра и площадей образовав-
шихся двух малых треугольников.
(37, 1874)
769. Основание треугольника равно а. Определить длину прямой,
параллельной основанию и делящей площадь треугольника пополам
(а = 16 см). '
770. Высота остроугольного треугольника равна 25 см. На каком
расстоянии от вершины нужно провести прямую, перпендикулярную
этой высоте, чтобы площадь треугольника разделить пополам?
(37, 1875; 36, 1948)
Задачи по планиметрии
89
771. Определить сторону ромба, зная, что площадь его равна Q,
а отношение диагоналей равно т : п (Q “ 80; т : п — 0,8).
(37, 1878)
772. Периметр ромба равен 2 л; длины диагоналей его относятся,
как 3 : 4. Вычислить площадь ромба.
К 773. В ромбе A BCD, диагонали которого d1— 15 м и d2 = 20 м,
из вершины С тупого угла проведены две высоты: СЕ и CF. Вычислить
площадь
774.
площади
AECF.
Диагонали ромба относятся как 3 : 4. Определить отношение
ромба к площади круга, вписанного в ромб.
(12, 1958; 17, 1958)
775.
775. В квадрате со стороной а середины двух смежных сторон
соединены между собой и с противоположной вершиной квадрата. Вы-
числить площадь полученного треугольника.
(36, 1948)
776. Дан квадрат со стороной, равной а; если на двух противопо-
ложных сторонах этого квадрата построить внутри него два правильных
треугольника, то боковые стороны треугольников пересекутся и обра-
зуют четырехугольник. Определить вид полученного четырехугольника
и вычислить его углы, стороны и площадь.
(16, 1907; 12, 1958)
777. Доказать, что линия, соединяющая точку пересечения боко-
вых сторон трапеции с точкой пересечения ее диагоналей, делит осно-
вания трапеции пополам.
(39, 1961)
778. В равнобедренной трапеции средняя линия равна т, а диаго-
нали взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь трапеции.
(36, 1948)
77Q. Длины оснований трапеции равны а и Ь. Найти длину отрезка
прямой, параллельной основаниям трапеции и делящей ее на две равно-
великие фигуры (а>> Ь\
(2, 1958; 6, 1958)
780. Вычислить площадь равнобочной трапеции, описанной около
кРУжности радиуса г, зная ее боковую сторону, равную с.
иг.п Вычислить площадь равностороннего треугольника по раз-
ти между стороной и высотой, равной d.
(37, 1875)
остры8й\Вь1ЧИСЛИТЬ„плоЩадь пРЯМ0УГ0ЛЬН°й трапеции, если даны;
и b (а^^)1’ Равный 60°, и оба основания, соответственно равные а
(16, 1907)
90
Задачи. Геометрия
783. Вычислить площадь трапеции по четырем ее сторонам: а, Ь,
с и d.
(37, 1875; 16, 1908)
784. Внутри треугольника АВС взята произвольная точка К и
через нее проведены три прямые, параллельные сторонам треуголь-
ника. Эти прямые делят треугольник АВС на шесть частей, из которых
три части являются треугольниками. Площади этих треугольников
равны Sx, S2 и S8.
Вычислить площадь треугольника АВС.
(13, 1958)
785. Точка М внутри круга радиуса R удалена от центра на рас-
стояние, равное а. Через М проведены диаметр и две взаимно перпен-
дикулярные хорды, одна из которых образует с диаметром угол а = 45°.
Вычислить площадь вписанного в круг четырехугольника, .имеющего
эти хорды диагоналями.
786. Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность,
равна 9 см. Вычислить площадь квадрата, вписанного в ту же окруж-
ность.
(36, 1947)
787. Вычислить площади квадрата и правильных треугольника
и шестиугольника, вписанных в круг радиуса /?(а также их отношения).
(37, 1874)
788. Вычислить длину сторон прямоугольника, если известны их
отношение и площадь (задача из Московского папируса).
(40, 1961)
789. Длины сторон треугольника образуют арифметическую про-
3
грессию; площадь его равна -=- площади равностороннего треуголь-
О
ника с тем же периметром. Найти отношение сторон данного треуголь-
ника.
(39, 1958; 40, 1962)
790. Какой из треугольников с одним и тем же периметром, рав-
ным 2р, и с одним и тем же основанием, равным а, будет иметь наи-
большую площадь?
(40, 1962)
791. Какой из прямоугольников с одним и тем же периметром,
равным 2р, имеет наибольшую площадь?
(40, 1962, 1965)
792. В треугольнике АВС провести прямую А^В^ || АВ так, чтобы
площадь прямоугольника djBiCxDx была наибольшей.
793. Показать, что из прямоугольников одинакового периметра
квадрат имеет наибольшую площадь.
(40, I960
Задачи по планиметрии
91
794 Найти треугольники Герона, длины сторон которых — после-
давательные целые числа.
795. По стороне правильного пятиугольника, равной а, опреде-
лить его площадь.
796. Вычислить площадь трапеции по разности оснований d и двум
непараллельным сторонам а и Ь, если известно, что в трапецию можно
вписать круг. (15 ig57)
797. Гипотенуза прямоугольного треугольника, длина которой
равна с, разделена в крайнем и среднем отношении перпендикуляром,
опущенным из вершины прямого угла. Вычислить площадь данного
треугольника. |g?g)
798. Площадь равностороннего треугольника, вписанного в круг,
равняется т2. Найти радиус круга.
(37, 1879)
799. Какой из треугольников, имеющих равные основания и рав-
ные углы при вершине, имеет наибольшую площадь?
800. Сторона равностороннего треугольника, вписанного в круг,
равна 6 см. Вычислить площадь-отсекаемого ею сегмента.
(37, 1876)
801. Вычислить сторону ромба, зная, что она равна меньшей из
диагоналей и что площадь его равна площади круга радиуса/?..
(12, 1961)
802. Доказать, что площадь круга, построенного на гипотенузе
как на диаметре, равновелика сумме площадей кругов, построенных
на катетах.
(12, 1957)
803. Доказать, что сумма площадей луночек (серпов), лежащих
между дугой полуокружности, описанной на гипотенузе как на диа-
метре, и дугами кругов, описанных на катетах того же прямоугольного
треугольника как на диаметрах, равна площади прямоугольного тре-
угольника (теорема Гиппократа).
(40, 1947; 12, 1958; 39, 1965)
тпт.^’ стоРоне АВ квадрата, вписанного в окружность с цен-
rhp 1гпя1^К На ДиаметРеуписана полуокружность ADB, расположенная
а Отрезок 0D пересекает эту полуокружность в точке D,
а 1ачальную окружность - в точке С. Показать, что криволиней-
ный треугольник, заключенный между отрезком прямой CD и дугами
куля и линрйДа Р и Р У е м> т. е. что можно найти (с помощью цир-
куля и линеики) сторону, равновеликого ему квадрата.
(40, 1953)
92
Задачи. Геометрия
805. Круг, квадрат и равносторонний треугольник равновелики.
Найти отношение их периметров.
806. На диаметре 2г полуокружности построен правильный тре-
угольник. Вычислить площадь той его части, которая лежит вне Круга.
(16, 1907)
807. В круг радиуса R вписаны три равных круга, касающихся
данного и попарно друг друга. Вычислить площадь криволинейной
фигуры, заключенной между точками касайия этих кругов.
(15, 1908)
808. Круг радиуса г обложен четырьмя кругами, касающимися
данного и попарНО Друг друКа. Вычислить площадь одного из этих
кругов.
(15, 1907)
809. Сколько кругов одинакового радиуса можно расположить
вокруг одного круга того же радиуса так, чтобы каждый из них ка-
сался этого круга и двух соседних.
(36, 1947)
810. Окружность радиуса R разделена на 6 равных частей, и между
последовательными точками деления проведены равные внутренние
дуги такого радиуса, что на данной окружности они взаимно касаются.
Вычислить площадь внутренней части данного круга, заключенной
между проведенными дугами.
(40, 1950)
811. Круг обложен шестью равными ему кругами, и полученное
соединение семи равных кругов охвачено концентрическим кольцом
с площадью, равновеликой их сумме. Доказать, что ширйна этого
кольца равна радиусу кругов.
(40, 1939, 1963, 1966)
812. Пусть АВС полукруг. Из точки В опущен на диаметр АС
перпендикуляр BD и на отрезках AD и DC, как на диаметрах, описаны
два полукруга AFD и DHC. Площадь AFDHCB полученной секирки
(арбелон) равна площади круга диаметра BD. Доказать (задача Архи-
меда).
(40, 1962)
813. Площадь круга радиуса R разделить концентрической окруж-
ностью в крайнем й среднем отношении.
(40, 1959, 1965)
§ 14. ЗАДАЧИ по стереометрии
814. Площадь диагональной плоскости куба равна S. Вычислить:
ребро куба, диагональ основания, диагональ куба, его полную поверх-
ность и объем.
(12, 1953)
Задачи по стереометрии 93
815. Вычислить объем правильной четырехугольной пирамиды,
высота которой равна а, а площадь диагонального сечения равна Q (а =*
₽ 15 м, Q 33 I20 м2)‘
(34, 1936)
816. Стороны основания треугольной пирамиды равны а, b и с.
Все плоские углы при ее вершине прямые. Вычислить объем пирамиды.
817. Отрезки ОА, ОВ, ОС взаимно перпендикулярны и длины их
соответственно равны а, b и с. Зная, что объем пирамиды равен одной
трети произведения площади основания на высоту, доказать, что рас-
стояние от точки О до плоскости (ON), проведенной через точки А, В,
С, равно
1
818. Основанием четырехугольной пирамиды SABCD служит
ромб ABCD, у которого стороны равны а и острый угол 60°. Боковое
ребро пирамиды 5Л = а. Доказать, что существует прямоугольный
треугольник, стороны которого равны SB, SC и SD.
(40, 1961)
819. В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб так,
что егО четыре вершины находятся на боковых ребрах пирамиды, осталь-
ные четыре — в плоскости ее основания. Определить ребро куба, если
высота пирамиды равна Н, а боковое ребро равно а.
(12, 1961)
820. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды
равна 51^2, ребро ее равно 13. Вычислить сторону куба, вписанного
в эту пирамиду так, что четыре его вершины находятся на ребрах
пирамиды.
(16, 1907; 12, 1961)
821. В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб так,
что четыре вершины находятся на апофемах пирамиды и четыре —
в плоскости основания; все ребра пирамиды равны между собой и ка-
ждое из них равно а. Вычислить полную поверхность и объем куба.
(16, 1957; 12, 1961)
822. Боковая поверхность конуса, равная S, будучи развернута
конусаК°СТЬ’ ДЗеТ кРУГ0В°й ^ктор с углом в 36°. Вычислить объем
(37, 1876; 15, 1936)
вянЛ23*Локовая поверхность конуса вдвое больше площади его осно-
вания. Наити угол его развертки.
(12, 1952)
него^реугаЫЧИСЛИТЬ °^ъем тела, полученного вращением равносторон-
У льника со стороной, равной а, вокруг одной из его сторон.
(37, 1881; 34, 1936)
94
Задачи. Геометрия
825. Найти объем тела, полученного вращением равнобедренной
треугольника вокруг основания, зная, что его основание
а высота Ь.
'О
: равно а,
(34, 1935)
вращения
с.
826. Найти отношение объемов тела, полученных от
треугольника поочередно вокруг каждой из сторон: а, b и
(16, 1906; 15, 1907)
827. Вычислить стороны а, b и с треугольника АВС, зная, что
объемы тел, образуемых при последовательном вращении этого тре-
угольника около каждой его стор.оны, соответственно равны объемам
трех шаров с радиусами R, г и р,
(40, 1938)
828. Вычислить поверхность и объем тела,* полученного от враще-
ния правильного шестиугольника вокруг ёго стороны а.
(15, 16, 20, 1908)
829. Вычислить объем тела, полученного от вращения правиль-
ного шестиугольника со стороной, равной а, около диагонали, разде-
ляющей его пополам, и сравнить с объемом описанного шара.
(37, 1875)
830. Ромб, у которого меньшая диагональ равна его стороне а,
вращается около прямой, проходящей через конец большей диагонали
перпендикулярно к последней. Вычислить поверхность и объем полу-
ченного тела вращения.
(37, 1890)
831. Правильный шестиугольник со стороной, равной а, вращается
вокруг оси, параллельной стороне шестиугольника на расстоянии а
от центра тяжести, причем ось лежит в плоскости шестиугольника.
Вычислить поверхность и объем тела вращения.
(12, 1961)
832. Прямоугольник со сторонами а и & вращается вокруг оси, про-
ходящей через его вершину, параллельно его диагонали. Вычислить
поверхность и объем тела вращения.
(20, 1907; 12, 1961)
833. Найти отношение объемов, образованных вращением парал-
лелограмма последовательно около двух его смежных сторон.
834. Из параллельных сторон трапеции большая равна а, а мень-
шая равна Ь; каждая непараллельная сторона равна с.
Трапеция вращается около прямой, проведенной перпендикулярно
к стороне а через конец последней. Вычислить полную поверхность
полученного тела вращения (а — 15 см; b — 9 см; с — 5 см).
(37, 1891; 12, 1957)
835. Доказать, что существует только пять видов правильных мно-
гогранников.
(40, 1962, 1966)
Задачи по стереометрии
95
836. Если точка двигается внутри правильного многогранника, то
сумма ее расстояний от его граней остается величиной постоянной.
Показать.
837. Существует пять кубов, вершинами которых служат вершины
данного правильного додекаэдра. Каждое ребро такого куба служит
диагонально одной из граней додекаэдра; каждая вершина додекаэдра
принадлежит двум из пяти этих кубов. Доказать.
(40, 1962, 1965)
838. Ребро правильного многогранника равно а. Найти радиусы
шара, описанного и вписанного в каждый из правильных многогранни-
ков.
(40, 1961)
839. Ребро правильного многогранника равно а. Найти полные
поверхности тетраэдра, гексаэдра, додекаэдра и икосаэдра.
(40, 1961)
840. Ребро правильного многогранника равно а. Найти объемы
тетраэдра, гексаэдра, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра.
841. Найти отношения объемов правильных тетраэдра и октаэдра,
у которых полные поверхности равны.
(15, 1907; 40, 1960)
842. Ребро правильного октаэдра равно а. Вычислить поверхность
и объем вписанного в него шара.
(16, 1907; 40, 1960)
843. Два правильных тетраэдра соединены двумя гранями так,
что ^образуют двойную пирамиду. Центры шести боковых граней этой
двойной пирамиды приняты за вершины прямой треугольной призмы.
Вычислить объем этой призмы, если ребро тетраэдра равно а.
(16, 1907; 40, 1961)
^а1°!ти отношение поверхностей куба и вписанного в него шара.
845. Ребро икосаэдра равно а. Найти отношение объемов правиль-
но икосаэдра и вписанного в него шара.
(16, 1907; 40, 1960)
одного^ Д0Казать, что для всех многогранников, описанных около
и того же шара радиуса R, отношение объема многогранника
его поверхности есть величина постоянная, равная -у-.
(40, 1962)
иого8окта{^>ВеРхность шаРа равна Q. Вычислить поверхность правиль-
эДра, вписанного в этот шар.
(15, 1907; 40, 1960)
96 Задачи. Геометрия
848. В равносторонний конус впиран шар. Вычислить объем и по-
верхность шара, если образующая конуса равна а.
(16, 1957)
849. Около шара радиуса R описан конус, высота которого вдвое
больше диаметра шара. Показать, чтр полная поверхность этого конуса
вдвое больше поверхности шара, а объем — вдвое больше объема шара.
(12, 1961)
850. Около шара радиуса R описан усеченный конус, площадь
одного из оснований которого вдвое больше площади другого. Вычи-
слить объем усеченного конуса.
. (12, 1961)
851. Около шара радиуса г описать конус в наименьшим объемом.
(40, 1962)
852. В шар радиуса R вписать цилиндр наибольшего объема.
(40, 1962, 1965)
853. В круг вписан правильный треугольник. Определить отноше-
ние объемов тел, полученных от вращения круга и треугольника вокруг
диаметра, проходящего через вершину треугольника.
(12, 1961)
854. По данному объему V усеченного конуса, его высоте h и пло-
щади трапеции /п2, образованной от сечения конуса плоскостью, прохо-
дящей через его ось, определить радиусы оснований конуса.
(37, 1883)
855. Металлический шар радиуса R перелит в прямой конус,
боковая поверхность которого в три раза больше площади основания.
Вычислить высоту конуса.
(16, 1936)
856. Боковая поверхность прямого кругового конуса 60 м2, а пол-
ная поверхность равновелика площади треугольника со сторонами
13, 14 и 15 м. Вычислить радиус шара, объем которого равновелик
объему этого конуса.
(37, 1882, 1884)
857. В пустом конусе, обращенном вершиной вниз, остановился
шар. Отношение объемов этих двух геометрических тел равно т\ отно-
шение радиуса основания конуса к радиусу шара равно п; высота ко-
нуса равна Н. Вычислить, на каком расстоянии, считая от вершины
конуса, находится центр шара.
(37, 1882)
858. В конус, представляющий в осевом сечении равносторонний
треугольник, положен шар радиуса г и налита вода, уровень- которой
касается шара. Найти высоту воды в конусе, если шар будет вынут-
(16. 1907: 24. 19491
Задачи по стереометрии
97
859. Конус, высота которого Н и радиус основания R, укреплен
ОТВесном положении вершиной вниз. В конус налита вода до высоты h
и вложен железный шар радиуса г, погрузившийся в нее полностью.
На какой высоте будет уровень воды?
(12, 1961)
860. Какой высоты должен быть конус, описанный около шара
радиуса г, чтобы отношение полной поверхности конуса к поверхности
шара равнялась А?
Е (16, 1908; 40, 1939; 12, 1951)
861. Конус описан около двух касающихся шаров, из которых
объем одного в 8 раз больше объема другого. Радиус меньшего шара
равен г. Найти боковую поверхность и объем конуса.
(15, 1936)
862. Даны два шара, касающиеся извне, радиусы которых R и г,
и описанный около них конус. Вычислить боковую поверхность усе-
ченного конуса, основаниями которого служат окружности прикосно-
вения шаров к поверхности конуса.
(4, 1948)
863. В шаре радиуса R просверлено цилиндрическое отверстие;
ось цилиндра проходит через центр шара, а диаметр основания ци-
линдра равен радйусу шара. Вычислить объем оставшейся части шара.
(37, 1877, 1878; 15, 1936)
864. Дан шар радиуса R. На каком расстоянии от центра шара
следует провести плоскость, чтобы пирамида, имеющая вершиной центр
шара О и основанием квадрат, вписанный в окружность сечения, имела
полную поверхность, равную 4m2.
(40, 1951, 1965)
865. Вычислить (с точностью до двух значащих цифр) объем пря-
мого конуса, боковая поверхность которого, развернутая на плоскость,
дд^АС|^^ляет круговой сектор с радиусом 15 см и центральным уг-
(37, 1878)
866. Определить угол наклона образующей к основанию конуса,
сеченТ°Р°Г0 полная поверхность равна удвоенной площади осевого
ия цилиндра, основание и высота которого те же, что и у конуса.
(37, 1910; 12, 1958)
нуса^' П°ЛУКРУГ свернут в конус. Найти угол в осевом сечении ко-
(30, 1958)
а вычислить радиус основания конуса, если его объем равен V,
я поверхность равна S.
(30, 1958)
С. К\’1ПО.иил
98
Задачи. Геометрия
869. Внутри шара проведены две параллельные плоскости по одной
стороне его центра на расстоянии 3 см друг от друга.'Эти плоскости
дают в сечении два малых круга, радиусы которых соответственно
равны 9 см и 12 см. Вычислить объем шара.
(37, 1879)
870. Вычислить поверхность и объем шара, радиус которого рав-
няется ребру 'октаэдра, имеющего поверхность, равную 10 V75.
(37, 1883)
871. В шар вписан конус так, что высота конуса делится в центре
шара в среднем и крайнем отношении. Найти отношение объема шара
к объему конуса.
(37, Д885; -40, 1932, 1966)
872. На столе лежит тор, т. е. геометрическое тело, образованное
вращением круга радиуса г около оси, не пересекающей его. Вычислить
поверхность и объем тора, зная, что поверхность шара, лежащего на
нем и касающегося стола одной точкой, равна S.
(40, 1952)
873. Шар, поверхность которого равна S, вписан в усеченный ко-
нус. Угол образующей конуса с большим основанием равен 60°. Вы-
числить боковую поверхность этого конуса.
(15, 1907; 12, 1961)
874. Шар состоит из медного и железного полушария и весит Q кг.
Из него выпиливается куб, диагональ которого равна диаметру шара.
Определить вес опилок.
(40, 1962)
875. Пробковый цилиндр радиуса R просверливается по направле-
нию оси цилиндра и в образовавшийся цилиндрический канал плотно
вставляется такой же длины металлический стержень. Удельный вес
пробки равен d, удельный вес металла — dt. Какой радиус должен
иметь металлический стержень, чтобы система двух взятых тел могла
плавать, наполовину погружаясь в воду.
(12, 1961)
Часть III
ТРИГОНОМЕТРИЯ
§ 15. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
876. Вычислить sin 2а + tg Р,
если 1 3
sin а = у и tgP = —у.
(9, 1948)
877. Вычислить cos а,
если
sin-J- = l ^2-/3 .
£ it
(16,
1957)
эт
878. Зная, чему равен cos -у , доказать, что
32 =
• 9 Л
Sm 32 =
879. Вычислить sin2 2а,
(12, 1951)
если
--------1----------1_____i_ 1
tg2 а ctg2a sin2 a cos2 а
880. Вычислить
(39, 1956, 1957, 1958)
cos 2а,
если а удовлетворяет соотношениям:
tg2 а — a tg а + 1 = 0,
0<
где а > 0.
4
4
л
т
(40, 1962, 1964, 1966)
100
Задачи. Тригонометрия
881. Вычислить значение выражения
3 sin а + cos а '
cos а — 3 sin а *
„ л
если tg а = — 7 и -к- < а < л.
(12. 1961)
882. Найти
sin4 а 4- cos4 а,
если
sin а + cos а = а.
, (12,496); 2, 1963)
883. Вычислить значение выражения-
а sin3 (а 4" 0) + b sin (а 4- 0) cos (а 4- 0) + с cos2 (а 4- 0).
если tg а и tg 0 являются корнями квадратного уравнения
ах2 4* Ьх 4" с — 0.
(40, 1962)
884. Доказать, что если
sin а 4- sin 0 = а,
cos а 4- cos 0 = b,
то
/ । «ч «2-&2
• / I О\ %аЬ
™ <“ + ₽) - -J2 + 62- •
(40, 1956, 1961)
885. Доказать, что сумма трех дробей вида
а — b b —с с — а
1 4- аЬ * 1 4- Ьс ’ 1 4- ос
равна их произведению.
(3, 1928; 40, 1961)
886. Доказать, что
[tg (а 4- 0) — tg а]2 4- 4 = 4 sec3 ,
если
cos (2а 4- 0) = 1 •
(39, 1955)
887. Доказать, что
tg(a+ 0) = 2 tga,
если
sin a cos (a 4- 0) = sin 0.
(33, 1958)
Тождественные преобразования
101
888. Доказать, что равенство
sin a sin 2а sin За = 1
„«возможно ни при каком значении а.
н (39, 1954)
889. Доказать неравенство
cos а + a sin а >> 1,
л
если 0 << а ~2~ •
(40, 1962, 1966)
890. Доказать, что при любом значении а справедливо неравенство
sec4 а 4- cosec4 а 8.
(39, 1953, 1964)
Вычислить без таблиц следующие выражения:
л I • Л. I • Л • Л * «И?
891. Sin4-пт + + SID + sm -ПТ’
IO 10 10 10
(39, 1958)
а Л . • Л ЗЛ 4 а 5 Л а 7 Л
892. sin4 + sin4 -3- + sm4 —=- + sin4 -5-.
о о о о
(39, 1960)
Упростить следующие выражения:
893 (sin а 4- cos а)2
1 4* sin 2а
(35, 1956)
/ л
cos I а---х-
894. ------\------—
sin (л — а)
tg (а — л) cos (л 4- а)
( Зл . \
sec (4- а 1
(18, 1936)
895. У sin2 а (1 4- ctg а) 4- cos2 а (1 4- tg а)
(12, 1961)
896. cos 4- а) sin л 4- а) 4- cos (л — а) sin (— а) 4-
4-cos(n-j_a)cos/a_ л \_tg/ л + a\ctg/^L+ а\
\ \ £ J \ й /
(18, 1936)
102
Задачи. Тригонометрия
/о . Z л \ 1 Зл \ Зл sin (2л — a) tg 1 + а 1 ctg 1 а 1 cosec
897. \ \ ~ / ** । cos (2л 4- а) cos л sin (л -f- а) cos 2л + • / Зл . \ ’ s,n ( ~ + а ) (18, 1936)
898. 1— cos2 а , 1 — sin2 а /х . , 1 — sin2 а sec2 а — 1 cosec2 а — 1 а С а 1 — cos2 а (36, 1948)
899. 1 4~ cos а 4~ cos 2а 4- cos За 2 cos2 а 4- cos а — 1 (18, 1936)
Доказать следующие тождества:
900. tg2 а 4* sec2 ₽ = tg2 Р 4" sec2 а. (12, 1961)
901. sin® а 4- cos® а 4* 3 sin2 а cos2 а = 1. (12, 1961)
902. 1 — cos 2а 4- sin 2а _ 1 4- cos 2а 4- sin 2а ~ ® а‘ (12, 1961)
903. 1 । о *7 sin 10,5а 1 + 2 cos 7а = ——. sm 3,5а (39, 1956)
904. 1 — sin а cos а sin2 а — cos2 а z ч • .""о . "о — sin а. cos а (sec а — cosec а) sin 3 а 4- cos3 а (43, 1960)
905. 1 - ctg2 а .ctg® ₽ = — + sm2 а sm2 р (43, 1961)
906. х „ / л \ 1 — sin 2а tg2 ( а ) — -у———х- . 6 \ 4 / 1 4- sin 2а (43, 1961) з tg» 4-+ю tg 4-+з
907. 3 4- 5 sin а. 1 + tg2 V
(43, 1961)
Тождественные преобразования
103
sin (а —Р) sin (P~ Y) sin (Y - a) = Q
ue’ cos a cos P cos p cos y ' cos y cos a
(36, 1948; 12, 1957)
909. sin a (1 4- tg a) 4- cos a (1 4- ctg a) = sec a 4- cosec a.
(20, 1936)
910. sin2 a tg a 4* cos2 a ctg a 4" 2 sin a cos a = tg a 4- ctg a.
(20, 1936)
911. 2 sin2 (45° — a) „ Hs = ctg (45 + a)- cos 2a b • (20, 1936)
912. (cos a — sin a)2 _ _ -— = sec 2a — tg 2a. cos2 a — sin2 a (18, 1936)
913. 2 sin a — sin 2a x , a tg2 —. 2 sin a 4- sin 2a 2 (29, 1948; 24, 1949; 12, 1950; 35, 1956)
914. , 2 /2 cos (45® — a) cosec a 4- sec a = :—= , sin 2a (20, 1936)
915. ctg a 4" tg a = 2 cosec 2a. (30, 1958)
916. 1 4- sin 2a ./-к- / л \ !——: = v 2 cos ( — a ). cos a 4- sin a \ 4 / (20, 1936)
917. cos a 4- sin a x ,.eo , . '—;— = tg (45° 4- a)- cos a — sm a (30, 1958) 2 tgf
918. = sin a. 1 4- tg* -f-
919. (18, 1936) 2 cosec 4a — ctg 2a = tg 2a. (20, 1936)
920. 2 ctg a l+ctg»a -Sl,12“- (35. 1956)
sin a
= 1 4- cos a.
921.
a
cosatg-2-
sin a —
(28, 1954; 12, 1958)
104
Задачи. Тригонометрия
922.
tg 2а 4- sec 2а =
cos а 4- sin а
cos а — sin а ’
(28, 1952; 12, 1957)
923 sin а cos а _ 1 4- 2 cos2 а _ 2
sin а — cos а cos2 а (tg2 а — 1) — 1 4- tg а
(12, 1950, 1957)
924.
cos 2а 1 .
-г~5----г-5— = ~т~ sm22а.
ctg2 а — tg2 а 4
925.
ctg2 (а — 2л)
sin2 (— а)
926.
sin2 а — tg2a х я
-----------------= tg® а.
cos2 а — ctg2 а ь
927.
cos3 а — sin3 а
1 4- sin а • cos а
= cos а — sin а.
(6, 1955)
(6, 1955)
(35, 1956)
928. 2 (sin® а 4- cos® а) — 3 (sin4 а 4- cos4 а) 4* 1 = 0.
(30, 1958; 52, 1965)
929. tg (а 4- Р) — tg а — tg р = tg (а 4- Р) tg a tg р.
(30, 1958)
930. 8 cos4 а = 3 4~ 4 cos 2а 4* cos 4а.
(6, 1958)
931. 2 cos2 а 4- cos а — 1 = 2 cos cos .
(16, 1958)
932. cos а 4- sin 2а — cos За = 4 sin a sin ( 4“ X
(л , За \
т4”Тг
(6, 1958)
933. l-3tg*« = 4 sin (ЗУ 4-aj sin (ЗУ — а) _
ь cos2 а
(20, 1956)
Тождественные преобразования
105
934. sin 4а 4- cos 4а ctg 2а = —д- .
(6, 1958)
а35 1 । 1 2 cos (а — Р) sin 2 (а — р)
a ' sin2 а sin2 р sin а sin Р sin2 а sin2 Р‘
(16, 1903)
936‘ sin (а — Р) sin (а — у) sin (Р — а) cos (р — у)
1 _ 1
+ sin(y-a)sin(y-p) “ а-p а-у р-у ’
W/O 2 WO 2 WO 2
937. 1 + cos 2а 4* cos 4а 4~ cos 6а = 4 cos a cos 2а cos За.
(20, 1936>
938. sin 2а 4- sin 4а — sin 6а = 4 sin a sin 2а sin За.
(20, 1936)
939 sin а + 2 sin За 4- sin 5а _ sin За
sin За + 2 sin 5а 4- sin 7а ~’ sin 5а ’
(12, 1954)
940. cos2 —— sin2 а 2 ~ cos а cos р.
(20, 1936)
. 2 sin f15’ 4- ) cos (15°----
941. I -|----!____=--------\--------£2---------------£2.
1 4—4— cos2 ( 45°----£ )
sm а \ 2 /
(12, 1908)
942. sin а 4~ sin Р 4“ sin у — sin (а 4* Р 4“ у) =
= 4 sin - sin --1~ sin - + —.
(12, 1908)
943. а 1 4- ctg2 а _ 1 4- tg4 а
1 4- tg2 a ctg2 a tg2 а 4- ctg2 а ’
(12, 1961)
944. cos2 а 4" cos2 Р — sin2 (а 4" Р) = 2 cos a cos Р cos (а 4* Р)-
(40, 1962)
106
Задача. Тригонометрия
945. sin2 а + sin2 (3 + 2 sin а sin Р cos (а 4“ Р) = sin2 (а 4- Р)
(40, 1962)
946. tg а tg 2а 4* tg 2а tg За 4" • • • 4~ tg (п — 1) а tg па =
tg па
"tgo”
— п.
(40, 1962, 1965)
947. tg а + tg Р + tg Y — = tg а tg Р tg у.
ь । & г । & । cos а cOS р cos у & О Г & I
(40, 1955, 1961)
948. a) tg а 4- tg Р 4" tg у = tg а tg Р tg у, если .а 4~ f +• У = 0;
(20, 1936; 12, 1956; 30, 1958)
б) ctg а 4“ ctg р 4- ctg у = ctg а ctg Р ctg у,
если а 4- Р 4- У — -у-.
(12, 1961)
... 1 — 2 sin а cos а 2 .
949. г-;------5----------------:--------= sin а 4- cos а,
sin2 а — cos2 а sec а 4- cosec а 1
ЗТ зт
если — < а < ——.
4 2
(6, 1955; 9, 1965)
950. sin а 4- sin р 4- sin у = 4 cos cos cos -у-,
при условии, что а 4" Р 4~ у = 180°.
(40, 1956)
951. tg 2а 4- tg 2р 4- tg 2у = tg 2а tg 2Р tg 2у,
при условии, что 2а 4“ 2Р 4“ 2у = 360°.
(40, 1956)
952. sin 2а 4- sin 2р 4* sin 2у — 4 sin а sin р sin у,
при условии, что а 4* Р 4" У = 180°.
(6, 1958; 30, 1958)
953. sin24-sin24-sin2-------------1 =
L L L
о • а - Р • У
— 2 sin -у sin -75- sin ,
и £
при условии, что а 4~ Р 4- у = 180°.
(40. 1955)
Тождественные преобразования 107
-1/1—cos а i/14-cos а _ 2
95 . у । cos а ‘ г 1 — cos а *“ sin а ’
л
если 0 ct <С g •
(12, 1950)
1/1 + sin а 1/1—sin а _
955. |/ । — sin а V 1 4- sin а ~~ %а’
л
если 0 < а < .
(15, 1957; 48, 1965)
956. cos а 4- cos Р 4* cos у =
. а 4- р а 4- у Р 4- У ,
= 4 cos —у1- cos —cos —' 1-----------1,
M
при условии, что a 4" P 4~ У = 360°.
957. ctg a + ctg P 4- ctg у 4- ctg о =
_ sin (a 4- P) sin (a 4- y) sin (a 4- o)
“* sin a sin p sin у sin a ’
при условии, что а+Р4-у+а = 180°.
(40, 1956)
а 6 а V 6 v
958. ctg -g-ctg -у- + ctg -у ctg -у + ctg ctg = 1,
при условии, что а + Р 4- у = 360°.
(40, 1955)
959. cos2 а 4“ cos2 р 4“ cos2 у = 1 4~ 2 cos a cos Р cos у»
если р 4- у = а.
(40, 1-958)
960. sin a sin Р sin у 4" sin a sin у cos Р 4“ sin Р sin у cos а =
= cos a cos р cos у,
если а 4- р 4- у = 90°.
(40, 1958)
961. sin2 а = sin р (sin у 4" sin Р), еслиа 4" Р 4" У = 180° иа = 2р.
(40, 1958)
962. tg ts — — ± 1
ё 2 lg 2 “ ± 1—л’
если______1______________1 4~ 2л cos р -|- л 2
1 4- 2л cos а 4- п2 = л2 — 1 ’
где п > I.
(40, 1962, 1965)
108
Задачи. Тригонометрия
мз. tg tpL = 3 S'n “
Б 2 5 — 3 cos а
?сли
Р . а
tg Чу- = 4 tg
(40, 1958)
§ 16. ПРИВЕДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ К ЛОГАРИФМИЧЕСКОМУ ВИДУ
Привести к виду, удобному для логарифмирования:
964. sin 87° - sin 59° - sin 93° + sin 61°.
(20, 1936)
965. sin 47° + sin 6Г — sin 11° — sin 25°, зная, что
sin 18е = J- (/5 - 1).
(40, 1956)
966. sin 35° + cos 40° + sin 55° + cos 20°.
967. cos 1 la + 3cos 9a + 3 cos 7a + cos 5a.
(20, 1936)
968. I — sin a + cos a.
(18, 1936)
969. sin a cos a + cos2 a.
(12, 1898, 1954)
970. sin a + sin P 4" sin (a + P).
(18, 1936)
971. sin a 4- sin P -f- sin ~ .
973.
974.
975.
(18, 1936)
972. 3 - tg2 x.
(38, 1959; 40, 1960)
ctg2 2x — tg2 2x — 8 cos 4x ctg 4x.
(43, 1961)
cos a 1^3 sin a
cos a — КЗ sin a
(18, 1936)
1 4- tga
1 — tg a ’
(18, 1936)
Приведение к логарифмическому виду 109
„„ sec а 4- tg а
sec а — tg а
(18, 1936)
3 4- 5 cos а
077, 3 — 5 cos а ’
(6, 1955)
1/*3
978. -!-п— 4- sin 40°.
(40, 1953)
979. 2 4- tg 2а 4- ctg 2а.
(15, 1958)
980. sin а 4* sin 2а 4* sin За.
(16, 1907; 36, 1936)
981. cos а 4~ cos 2а 4- cos За.
(36, 1948; 13, 1958)
982. cos а 4~ sin 2а — cos За.
(6, 1955)
983. sin а 4" sin Р 4“ sin V — sin (а 4" ₽ + Y).
984. sin а 4~ cos а 4* sin 2а 4- cos 2а -Ь sin За 4* cos За.
(12, 1904)
Просуммировать:
985. sin а 4” sin 2а 4* sin За 4" sin 4а 4— • + sin па.
(40, 1950, 1965)
986. cos а 4- cos 2а 4" cos За + cos 4а + • • • + cos па.
(40, 1950)
987. cos2 а 4“ cos2 2а 4“ cos2 За + cos2 4а 4* • • • + cos2 па.
(15, 1901; 40, 1955, 1965, 1966)
988. sin2 а 4- sin2 2а 4" sin2 За 4- sin2 4а 4---h sin2 па.
Доказать справедливость равенств:
989. cos <р 4- cos (ф 4" а) 4" cos (ф 4* 2а) 4* • • • +
. п 4-1 ( . па \
sin-у-а cos (Ф 4- — )
4- cos (ф 4- па) 4---------------.
SU) —
(40. 1955)
по
Задачи. Тригонометрия
990. sin ф 4- sin (ф 4- а) 4" sin (ф 4~ 2а) 4~ • • • 4*
. л 1 . / . ла \
sin—а sin ( ФН—— )
4- sin (ф 4- ла) --------.
sin-g-
(40, 1955)
991. tga4-^-tg-2-4--~tg~4- •••4-
4- -^г ctg “ 2ctS>
992.
sin a sin За sin 5а
sin a "t” sin а "г sin a
(40, 1955, 1965)
sin (2л — 1)а _
sin а “
(39, 1957)
993.
пл a* sin 2ft+t а
cos a-cos 2a cos4a- • -cos za = —.
2*+1 sin a
(39, 1957)
§ 17. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Вычислить следующие выражения:
ЛЛЛ Г • ( 1 \1
994. cos arcsin 1----%- ) I.
/ 3 \
995. sin ( 2 arccos — j .
( 3 . 8 \
996. sin I arcsin 4- arcsin -r=- ).
\ о 1 / /
/ 12 X
997. tg I arcsin -рт- I.
\ * о /
998. ctg ( 2 arcsin -y .
(16, 1955)
(16, 1955)
(6, 1955)
(12, 1954; 6. 1955)
Обратные тригонометрические функции III
999. arcsin (/2 + /3-1/’2 + )/'2 + /3x
(16, 1957)
1000. arccos (Уз 4-/8-]/”3 + ]/б + /8 х
X jA + 1Лб + /б + Г8 X
х Аз-Уб + Уб + Кв).
(16, 1957)
Проверить справедливость следующих равенств:
1001. arctg + arctg -4- — arctg 1.
л» ч О
(17, 1904; 1-6, 1955)
1002. 2 arctg -4- 4- arctg = arctg 3.
(16, 1955)
1 1 32
1003. 2 arctg -g- 4- arctg -y = arctg .
(17, 1905)
1004. 2 arccosa — arccos (2a2 — 1) = 0, где 0 ^a 1. <
(40, 193Я)<
2 41
1005. 2 arcsin -=- = arccos .
7 49
(12, 1952; 16, Г955)
1006. arctg 1 4- arctg 2 = л — arctg 3.
1007. arccos "\f ----arccos .
r 3 2/3 6
(17, 1906)
1008. arctg 4- arctg-.U 4- arctg -y- 4- arctg ~|" = “Г •
(11, 1955; 40, 1962, 1965)
112
Задачи. Тригонометрия
1009. Найти х, если
о 1 Л
8 arctg лг+arclg х = Т
(40, 1957, 1962)
1010. Доказать, что если
arctg а + arctg р + arctg у = л,
то а 4- Р + у = ару.
(40, 1957, 1962, 1965)
1011. При каких значениях а 0 справедливо равенство
1 л
arctg a + arctg —
(40, 1962)'
§ 18. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Решить следующие тригонометрические уравнения;
1012. 3 sin х = 2 cos2 х.
(20, 1936)
1013. sin2 х + cos х 4" 1 = 0.
1014. sin x 4- cos2 x = -4-.
* 4
1015. sin 6x = sin 4x.
(16, 1908)
1016. cos 3x = COS X.
(20, 1936)
1017. tg x = tg 2x.
(20, 1936)
1018. sin 3x = cos 2x.
(20, 1936)
1019. sin3x = cosx.
(20. 1936)
1020. sin 2x — cos 3x = 0.
1021. tg(-ft-— x) — tgx =0.
\ U У
(16, 1907)
1022. tg 2x — ctg 3x = 0.
(20, 1936)
1023. 5 sin x — sin5 x = 0.
(12, 1936; 20, 1936)
Тригонометрические уравнения
113
/ л Зх \ _ . /л х \
1024. sin = 3 sin ^-4-------g-к
(3, 1928)
1025. tg тх- tg пх = 1,
если т + п =^= 0.
(12, 1901)
1026. cos 7х — sin 5х = V 3 (cos 5х — sin 7x).
(11, 1955; 12, 1958)
1027. cos2 х — sin2 х = sin х. (16, 1908; 50, 1963; 9, 1965)
1028. sin (8х 4~ 60°) + sin 2х = 0. (20, 1936)
1029. л sin2 2х — sin2 х = sin2 -5-. 0 (12, 1961; 9, 1965)
1030. sin 2x = (cos x — sin x)2. (16, 1908)
1031. sm2x-f- sin22x = 1. (20, 1960)
1032. sin2 x + sin2 2x = sin2 3x. (8, 1940)
1033. sin 3x = cos x — sin x. (20, 1960)
1034. sin 3x = sin 2x 4- sin x.
1035. sin 3x 4" sin 2x = sin x.
(40, 1960)
1036. sin x 4" cos x = 0. (36, 1948)
1037. cos4 x — sin4 x = 0. (16, 1908)
1038, sin2x 4- -i- sin 2x = 1.
1039. 3 sin x = 2 (1 — cos x). (36, 1947; 20, 1960)
(20, 1936)
1040. sin4 x — cos4 x = .
(17, 1905; 28, 1952)
114
Задачи. Тригонометрия
1041. sin4 х + cos4 х = sin 2x.
(17, 1904; 12, 1951;39, 1958)
5
1042. sin4 x + cos4 x = —.
О
(12, 1952; 39, 1958; 52, 1965)
1043. sin4 4- cos4 -%- = .
3 3 о
(1, 1948; 40, 1950; 16, 1957; 39, 1957; 30, 1958)
,ллл 111 1
1044. . -------5---------5-----------5------
sm2x sec2 x cos2x cosec2 x
__________!_=_3 '
tg2 X Ctg2 X
(3, 1928; 39, 1958)
1045. 8 sin2 x 4- 6 cos2 x = 13 sin 2x.
(12, 1961)
1046, cos 2x — 3 cos x = 4 cos2 .
(3, 1928)
1047. 4 sin3 x + 4 sin2 x — 3 sin x = 3.
(12, 1908)
1048. sin2 x — 3 cos2 x 4~ 2 sin 2x = 1.
(12, 1951)
1049. sin x + sin 2x 4* sin 3x = 0.
(10, 1954; 38, 1959)
1050. sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x.
(11, 1907; 12, 1907; 1957; 22, 1953; 31, 1957; 39, 1958; 2, 1964)
1051. sin x 4- sin 2x 4- sin 3x + sin 4x — 0.
(12, 1906)
(л \
y 4- xj.
(6, 1958)
1053. sin3 x (1 4- ctg x) 4- cos3 x (1 4" tg x) = cos 2x.
(2, 1958)
1054. a sin x 4" b cos x = c,
где a =/= 0, & =£ 0. л
(40, 1960)
Тригонометрические уравнения 115
1055. V 3* sin х + cos х = 1.
(12, 1906; 17, 1908; 41, 1959)
1056. sin х + cos x = 1.
(7, 1954; 16, 1957; 12, 1957; 20, 1960)
, 7
1057. sin x 4- cos x = -g-.
1058. sin x 4~ 2 cos x — 1.
1059. 8 sin x — 3 cos x = 4.
(40, 1960)
1060. 5 (sin x + cos x)2 — 12 (sin x + cos x) 4- 7 = 0.
(37, 1876; Франция; 12, 1904, 195!)
1061. sin x4-cosx=l—sin 2x.
(12, 1951)
1062. sin x 4* cos x — cosec x.
(12, 1906; 26, 1936, 1937; 30, 1950)
1063. sin x 4- cos x = sec x.
(16, 1907; 12, 1961)
1064. sin x 4" tg x = sec x — cos x.
(35, 1879)
1065. tgx4- tg 4- x) =2.
(29, 1937; 30, 1958)
1066. sin 2x 4~ tg x — 2 = 0.
(12, 1961)
1067. ctg x 4- 3 tg x — 5 cosec x = 0.
(12, 1961)
1068. tg x 4~ tg 2x = tg 3x.
(16, 1950; 12, 1951; 1954, 1955; 15, 1957; 20, 1960)
lOfiQ . * 1 1 Г 1 4- COS X
»voy. sm x cos — = — I/ —.
(15, 1958)
t070. 3 sin x sin 7x = 3 sin2 4x — 1.
(20, 1960)
116
Задачи. Тригонометрия
1071. cos X’ cos 2х = cos Зх.
1072. 4 cos х sin2 x — cos x — sin x.
(40, 1961, 1965)
1073. sin x- sin 2x- sin 3x = 4- sin 4x.
4
(16, 1957; 6, 1958; 39, 1958; 41, 1959)
1074. sin ax' sin bx = sin mx- sin пх, если a\> 0, d>0, m>> 0,
n >• 0 и являются последовательными членами возрастающей арифме-
тической прогрессии.
'(40i 1961, 1965)
1075. sin3 х 4~ sin3 2х + sin3 Зх = (sin х + sin 2х + sin Зх)3.
(11, 1957; 40, 1961)
29
1076. sin10 х 4* cos10 х =-77-cos4 2х.
lo
(11, 1957; 2, 1958; 40, 1961; 14, 1966)
1077. sin (л cos x) — cos (л sin x) = 0.
(11, 1950)
1078. tg (л tg x) = ctg (л ctg x).
(17, 1904; 1, 1956)
1079. cos (2лх) = cos (лх2).
Показать, что целочисленные решения этого уравнения — числа
четные.
4
1080. | tg х + ctg х I = .
(40, 1961)
1081. sin Зх 4- sin 2х — п sin х = 0.
(2, 1958)
Исследовать решения этого уравнения.
1082. 16sini=COSv<4.
1083. (cos 2х)2 cos Зл+4 ces = sec 2x.
(40, 1961)
3 1
sin2 x--r- sin —
1084. (cosx) 2 2=1.
1085. sin (л lg x) 4" cos (л lg x) = 1.
Тригонометрические уравнения
117
1086. l°gsin х2' l°Ssin2 х 3 1-
1087. logcos х sin х + logsin x cos x — 2 = 0.
(41, 1956; 14, 1966)
1088. tg4 x 4“ 2 tg3 x 4~ 2 tg2 x — 2 tg x 4" 1 = 0.
(40, 1952)
1089. 6 arcsin (x2 — 6x + 8,5) = л.
1090. 2 arcsin x = arcsin 2x.
(32, 1952)
гЛ'З
1091. arccos x — arcsin x = arccos ——.
1 1л
1092. arctg -j-----arcctg -j—j— = .
b 1 —x & 1 + x 12
(15, 1900)
1093. arccos x 4~ arccos (1 — x) = arccos (—x).
1 JI
1094. arctg * 4- -s- arcsec 5x = —.
1095. (arccos x)2 — 6 arccos x + 8=0.
1096. arctg -5- 4- arctg yr = arctg x.
Z о
Решить следующие системы уравнений:
sin x-cosу = т
х-}-у — п.
(40, 1965)
sin х 4- sin у = tn
x-j-у — n.
sin x _ 3
sin у ~ 2
1 я
^4-y = T.
(12, 1958)
tg x 4- tg у = m
x 4- у — n.
1097.
1098.
1099.
1100.
(12, 1951)
118
Задачи. Тригонометрия
1101. [
( х + у = пл (п — целое число).
1102. ( ^х^У = т
I х 4- у = п.
Г tgx -f- tgy = 1.
1103. I /2
COS X • Sin у = —7— .
I 'J I)
X X , X У
tg у + tg у = rn
(40, 1961)
1104.
1 — rft
1 -f- fl COS у — ----------------- (n
v 1 — n cos X
cos(x4-z/) = ^- (1 — 2/5)
(17, 1903)
1105.
cos(x-^) = l(l+2/5).
Найти cos x и cos y.
(16, 1901)
§ 19. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ
ТРИГОНОМЕТРИИ
1106. По трем сторонам а, Ь, с и соответственным углам а, р, у
остроугольного треугольника АВС вычислить стороны, углы и площадь
треугольника NMD, полученного соединением оснований высот дан-
ного треугольника АВС.
(40, 1950, 1961)
1107. Основания высот (остроугольного) треугольника соединены
между собой. Найти площадь полученного треугольника, если стороны
данного треугольника равны а, b и с.
(40, 1962)
1108. Вычислить площадь равнобедренного треугольника, если
прямая, соединяющая середины основания и боковой стороны, равна
половине радиуса описанного круга.
(3, 1928; 12, 1961)
1109. Произведение расстояний от центра вписанного в треуголь-
ник круга до вершин треугольника4равно учетверенному произведению
квадрата радиуса вписанного круга на радиус описанного. Доказать.
(40, 1962)
Задачи по планиметрии
119
1110. Решить задачу № 785 при условии, что угол а любой.
1111. Полуокружность разделена на три части, хорды которых
относятся как 1:2:1. Определить эти части.
(3, 1928; 40, 1961)
1112. Вычислить острый угол прямоугольного треугольника, сто-
роны которого составляют: 1) арифметическую прогрессию; 2) геоме-
трическую прогрессию.
(13, 1958)
1113. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен а.
Вычислить основание, если высота больше радиуса вписанного круга
на т.
(36, 1949)
1114. Окружность радиуса R разделена на шесть равных частей
и точки деления соединены с центром. Один из радиусов спроектирован
на другой ближайший радиус, на третьем радиусе построена проекция
первой проекции, на четвертом — проекция второй проекции и т. д.
Найти длину шестой проекции на первый радиус, приняв R =
= 128 см.
(12, 1956)
1115. Маяк М, отстоящий от судна К на а миль, виден с последнего
псд углом а относительно южного направления и притом с западной
стороны. Сколько миль должно проплыть судно в юго-западном напра-
влении для того, чтобы маяк находился от него на север (а = 5,24 мили,
а = 61° 17' 20")?
(37, 1878)
1116. По данному радиусу г описанной окружности определить
сторону, апофему, периметр и площадь правильного вписанного и-уголь-
ника.
(36, 1949)
1117. Вычислить высоту доступного предмета АС (см. рис. 59).
(36, 1948)
1118. Вычислить высоту недоступного предмета АВ (см. рис. 60).
(36, 1948)
1119. Вычислить ширину реки ВС (см. рис. 61).
. в , 0* Найти расстояние между двумя недоступными точками А
и в (см. рис. 62).
Н21. На горизонтальной плоскости находятся три неприступные
ки # и С, не лежащие на одной прямой. Расстояния между этими
в тоЭМИ ^зве£тны: АВ = с, ВС = а, АС = Ь. Наблюдатель находится
уГЛ0Чке & тов же горизонтальной плоскости и видит сторону А В под
теля а> 3 СТОРОНУ ВС под углом р. Определить положение наблюда-
> т- е. положение точки D на плоскости (задача Потенота).
(15, 1901; 36, 1948; 39, 1958)
120
Задачи. Тригонометрия
1122. Расстояние между огневыми точками А, В ЙЧ? противника
известны: АВ = 1,4 /см; АС = 1,2 км и ВС — 1,32 км.
Наблюдатель, стоящий в точке D, измерил углы: Z. ADC = 25° 32',
/_BDC = 40°. Вычислить расстояния от наблюдателя (точка D) до
огневых точек А, В и С противника, зная, что точки С и D лежат по
разные стороны прямой АВ и что
£ADB — £ADC+ LCDB
(36, 1948)
1123. Доказать, что для прямоугольного треугольника ЛВС
(у = 90°) справедливы следующие соотношения:
1) sin 2а tg р = —2-; 2) sin 2а = —г',
С * и
п Ь2— а2 .. а с 4-
о) cos 2а =----з—; 4) cosec а 4- ctg а =---— = —!-
с2 * ь с — Ь а
где а и b — катеты, с — гипотенуза, аир — острые углы треугольника.
(40, 1955)
треугольника АВС справедливы
1124. Доказать, что для любого
следующие соотношения:
. sin (а — р) _ а2 — 62 .
sin (а + Р)
а
sm v
3> р ' V
COS COS -у
с2
4)
а
Р
2 tg а _ с2 + а2 — Ь2 '
' ТО” ~ 62 + С2 — а2 ’
Р — у
cos - -
4
а
Sin -g-
а
_ a sin a -j- d sin p + c sin у _ a2 4~ g2,
л a P у ~ a + 6 4- c *
4 cos — cos cos -4-
6) a sin (P — y) + b sin (у — а) + c sin (a — P) = 0;
a2 sin (P — y) , b2 sin (y — a) c2 sin (a — P)
।----------------- т .—o . = uj
sin a sm P sm у
8) — COS2 -К- + 4" cos2 -В- + — COS2 = -4“ ;
* а 2 1 b 2 с 2 abc 9
. а . р . у. г
9) sm -4- sin -4- sin -j- = ;
10) lgytg-f-tg-1-
Задачи по планиметрии
121
где а, b и с — стороны треугольника, а, |3, у — соответствующие углы,
р — полупериметр, R и г — радиусы описанного и вписанного кругов,
(40, 1950, 1965)
1125. Разность длин диагоналей ромба равна d сантиметров,
а каждый из тупых его углов равен а. Вычислить сторону ромба (а =
= 162° 25', d= 14,2 см).
(36, 1946)
1126. Найти периметр равнобочной трапеции, описанной околс
круга, если большее основание равно а сантиметров, а острый угол
равен а.
. (36, 1948)
1127. Определить отношение радиусов кругов, вписанных в ромС
с острым углом айв половину того же ромба, отсеченную меньшей
диагональю.
(12, 1958)
1128. В параллелограмме даны острый угол а и расстояния а и Ь
от точки пересечения диагоналей до неравных сторон. Вычислить диа-
гонали и площадь параллелограмма.
1129. Две силы, Р = 72 кГ и Q — 58 кГ, действуют на одну и ту же
точку тела по двум направлениям, составляющим угол, равный
72° 30'44". Вычислить равнодействующую этих сил.
(37, 1882)
ИЗО. С вершины вышки высотой 33,3 м виден речной мост, на-
правление которого лежит в одной вертикальной плоскости с осью
вышки. Лучи зрения, идущие к концам моста, составляют с вертикалью
углы 52° т и 41° 18'. Определить длину моста.
(37, 1885)
1131. Как велика географическая широта места, если находящаяся
в этом месте башня высотой 22,5 м в полдень 10 марта (когда солнце
находится почти на пересечении экватора с меридианом) отбрасывав!
тень длиной 16,5 м.
(37, 1875)
1132. Над центром круглого стола висит на блоке электрическая
лампа. На какой высоте следует укрепить эту лампу, чтобы получить
на краях стола наибольшую освещенность?
(40, 1961)
вп *133." Найти такой круговой сегмент, хорда которого равна длине
исанной в него наибольшей окружности.
(40. 19601
122
Задачи. Тригонометрия
§ 20. ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ .
ТРИГОНОМЕТРИИ
1134. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с мень-
шей боковой гранью угол 0. Через большие стороны оснований прове-
дено сечение параллелепипеда. Зная, что периметр этого сечения равен щ
и что плоскость его образует с плоскостью основания угол а, найти
объем параллелепипеда (т = 24,2 дм, а = 33° 28', 0 = 51° 10').
(37, 1955)
1135. Через одно из ребер куба проведена плоскость, составляющая
со смежной гранью угол а.
Вычислить объем каждой части куба, зная, чтси площадь сечения
равна т см2 (а = 40°, т = 76,6 см2).
1136. Сохраняя условие предыдущей задачи, найти отношение
объемов У2 и V\.
(16, 1904)
1137. Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет
с плоскостью основания угол а, а с боковой гранью угол р. Высота
параллелепипеда равна Н. Найти объем параллелепипеда (Н = 8,342,
а = 34° 43', р = 41° 18').
(37, 1946)
1138. Грани параллелепипеда —ромбы, которые равны между со-
бой и расположены так, что встречаются вместе три острых плоских
угла. Найти объем параллелепипеда, если сторона ромба равна а и
острый угол равен а.
(16, 1905; 12, 1957)
1139. Основанием пирамиды служит квадрат со стороной, равной а;
двугранные углы, образуемые гранями с основанием, относятся как
1 : 2 : 4 : 2. Вычислить эти углы.
(12, 1958)
1140. В правильной прямой треугольной призме через сторону
основания проведена плоскость, которая в сечении дала треугольник
с периметром вдвое большим, чем у основания. Определить угол между
этой плоскостью и плоскостью основания и вычислить отношение ра-
диусов кругов: вписанного в сечение и описанного около основания.
1141. В основании прямой призмы лежит равносторонний треуголь-
ник АВС. Через одну из сторон основания и противоположную вершину
проведена плоскость. Дан угол 0 сечения с основанием и площадь се-
чения S. Найти объем и полную поверхность призмы (0 = 50° 12' 49",
S = 405,92). Л
1142. Основанием прямой призмы служит треугольник АВС
(АВ — Л С), периметр которого равен 2р и угол при вершине А равен а.
Через сторону ВС нижнего основания и противолежащую^ вершину Л1
верхнего основания проведена плоскость, составляющая с плоскостью
нижнего основания угол, равный 0.
Задачи по стереометрии
12с
Вычислить объем призмы (р = 23,75 см, а = 47° 32', 0 = 55° 20')
(37, 1948)
1143. Сохраняя условие предыдущей задачи, вычислить пол ну к
поверхность призмы.
1144. В правильной четырехугольной пирамиде боковые ребра b
образуют с плоскостью основания угол а. Через диагональ основания
проведена плоскость параллельно боковому ребру. Вычислить площадь
сечения (Ь = 2,4 м, а = 22° 15').
(20, 1936)
1145. От правильной четырехугольной пирамиды со стороной осно-
вания а и плоским углом при вершине а плоскостью, проходящей через
диагональ основания данной пирамиды параллельно одному из ее бо-
ковых ребер, отсечена треугольная пирамида.
Вычислить боковую поверхность образованной треугольной пира-
миды, приняв за основание ее грань, лежащую на основании данной
четырехугольной пирамиды (а = 7,18 дм, а = 41° 44').
(37, 1951)
1146. Полная поверхность правильной четырехугольной пирамиды
равна S. Угол наклона плоскости боковой грани к основанию равен а.
Вычислить объем пирамиды (S = 4,162 м2, а= 71° 34').
(51, 1963)
1147. Основанием четырехугольной пирамиды служит ромб, мень-
шая диагональ которого равна d, а острый угол равен а. Каждая боко-
вая грань наклонена к плоскости основания под углом 0. Вычислить
полную поверхность пирамиды (d= 22,35, а = 43° 16', 0 = 52° 18').
(37, 1946)
1148. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды
равна а; плоский угол при вершине пирамиды равен а. Найти боковую
поверхность и объем пирамиды (а = 23,9 см, а = 32° 23').
(37,
1149. Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и острым
углом 0. Двугранные углы при основании равны а. Найти объем и
полную поверхность пирамиды (а = 25,3 см, 0 = 50° 25', а = 35° 17').
(37, 1946)
1150. Основанием пирамиды служит ромб со стороной, равной а.
Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания
и образуют между собой тупой угол 0; две другие боковые грани накло-
нены к плоскости основания под углом а. Найти боковую поверхность
пирамиды (а = 11,08 м, а = 69° 16', 0 = 106° 50').
(37, 1953)
П51. Дана пирамида, в основании которой лежит параллелограмм,
причем диагонали его пересекаются под углом а. Высота пирамиды
проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна h.
124
Задачи. Тригонометрия
Неравные боковые ребра образуют с плоскостью основания углы £
и V. Вычислить объем пирамиды (Л = 27,8 см, а = 34° 19', 0^= 52° 17'
т = 43° 15').
(37, 1946)
1152. Боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды
равны а и наклонены к плоскости основания под углом а. Найти боко-
вую поверхность и объем пирамиды (а = 19,7 см, а = 53° 29').
(37, 1946; 51, 1963)
1153. В правильной четырехугольной пирамиде через сторону
основания под углом 0 к нему проведена плоскость. Определить пло-
щадь полученного сечения, если апофема пирамиды равна а и боковая
грань наклонена к плоскости основания под углом а (а — 10,75 дм
а = 62° 35', 0 = 39° 45').
(37, 1946)
1154. Найти объем правильной треугольной пирамиды, у которой
боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом а и удалено
от середины противоположной стороны основания на расстояние k.
(13, 1958)
1155. Основанием пирамиды служит треугольник с углами а и 0.
Высота пирамиды равна й; угол ребер с плоскостью основания у. Найти
объем пирамиды.
1156. В правильной треугольной пирамиде вершина основания
находится на расстоянии b от противолежащей боковой грани. Найти
площадь боковой поверхности пирамиды, зная, что апофема пирамиды
наклонена к плоскости основания под углом а.
(12, 1956)
1157. Основанием пирамиды служит треугольник с углами а и 0.
Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под
углом у. Найти объем пирамиды, если радиус описанного около нее
шара равен R.
(12, 1950)
1158. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник,
острый угол которого равен а; каждое из боковых ребер равно b и обра-
зует с плоскостью основания угол 0. Найти объем пирамиды (Ь = 30,75 м,
а = 73° 20,' 0 = 40° 30'5.
(37, 1956; 46, 1961; 51, 1965)
1159. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник,
равные стороны которого имеют длину b и составляют угол а. Боковые
ребра пирамиды составляют с ее высотой угол 0. Определить объем
пирамиды.
> (20, 1936)
1160. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник,
у которого боковые стороны равны b и углы при основании а. Угол
ребер с плоскостью основания равен 0. Найти площадь сечения, про-
ходящего через высоту пирамиды и вершину угла а (Ь — 5, а —
= 56° 17' 43", 0 = 70° 26' 18").
(37, 1882)
Задачи по стереометрии
125
1161. Две правильные треугольные пирамиды имеют общую вы-
соту; вершина каждой пирамиды лежит в центре основания другой,
боковые ребра одной пересекают боковые ребра другой. Боковое ребро I
первой пирамиды образует с высотой угол а, боковое ребро второй
пирамиды образует с высотой угол 0. Найти объем общей части обеих
пирамид.
1162. Боковая поверхность цилиндра развернута на плоскости.
Диагонали развертки пересекают основание под углом а и каждая
равна d. Вычислить объем цилиндра (а = 48° 10х 18", d= 15,786).
(20, 1936; 30, 1958)
1163. Плоскость, проходящая через центр нижнего основания ци-
линдра под углом а к основанию, пересекает верхнее основание по
хорде Ь, стягивающей дугу 0. Вычислить объем цилиндра.
(12, 1954)
1164. Угол при вершине в осевом сечении конуса равен а. Найти
центральный угол в развертке его боковой поверхности.
(30, 1958)
1165. Полная поверхность конуса равна S. Образующая его на-
клонена к плоскости основания под углом а. Вычислить объем конуса
(S = 185 см2, а = 69° 41х).
(20, 1936)
1166. Найти объем прямого конуса, если его боковая поверхность,
будучи развернута на плоскости, дает круговой сектор с хордой, рав-
ной а, и с центральным углом а (а ~ 8,345, а = 72° 8' 36").
(16, 1908)
1167. Через две образующие конуса, составляющие угол а, прове-
дена плоскость, образующая с плоскостью основания конуса угол (3.
Площадь сечения равна Q. Вычислить высоту конуса.
(12, 4958)
1168. Радиусы нижнего и верхнего оснований усеченного конуса**
равны R и г. Образующие наклонены к плоскости основания под уг-
лом а. Вычислить боковую поверхность и объем усеченного конуса.
(18, 1936)
1169. В усеченном конусе, у которого отношение площадей осно-
ваний равно 4, образующая равна I и наклонена к плоскости нижнего
основания под углом а. Вычислить объем конуса.
(12, 1954, 1957)
1170. Ромб, сторона которого равна а и острый угол равен а
вращается вокруг оси, проведенной через вершину острого угла перпен-
дикулярно к стороне. Определить поверхность тела вращения.
(20, 1936)
1171. Сохраняя условие предыдущей задачи, вычислить объем
и поверхность тела вращения, если а = 12 м, а = 54° 27х.
126
Задачи. Тригонометрия
1172. Параллелограмм, диагональ которого равна d, а "углы между
этой диагональю и сторонами параллелограмма равны а и Р, вращается
вокруг оси, проходящей через вершину перпендикулярно диагонали d.
Найти объем и поверхность тела вращения.
(16, 1957)
1173. Сохраняя условие предыдущей задачи, вычислить объем
и поверхность тела вращения, если ось вращения проходит через вер-
шину параллелограмма параллельно диагонали d.
1174. Параллелограмм ABCD со сторонами а и b и острым углом,
равным а, вращается вокруг оси, проходящей через вершину А парал-
лельно диагонали параллелограмма. Определить поверхность и объем
тела вращения.
(40, 1962; 1965)
1175. Трапеция, большее основание которой равно Ь, меньшее
равно а и углы при большем основании равны а и 0, вращается около
большего основания. Найти объем полученного тела вращения.
(20, 1936)
1176. Решить предыдущую задачу, полагая b = 32,375 м, а =
= 17,225 м, р = 42° 30' 27", а = 61° 29' 13".
1177. Равнобедренный треугольник с углом при основании, рав-
ным а, и боковой стороной, равной Ь, вращается вокруг оси, проходя-
щей через конец основания параллельно боковой стороне. Найти объем
тела вращения.
(30, 1958)
1178. Полная поверхность конуса равна S, а угол при вершине
осевого сечения а. Найти радиус шара, равновеликого данному конусу
(S = 528,46 сж2, а = 115° 28').
(20, 1936)
1179. В основании цилиндра проведена хорда, равная стороне пра-
вильного n-угольника, вписанного в это основание; если соединить
концы этой хорды с центром другого основания, то получится треуголь-
ник, площадь которого равна Q, а угол при вершине равен а. Вычис-
лить боковую поверхность и объем данного цилиндра.
(8, 1927; 12, 1955)
1180. Полная поверхность конуса равна S. Образующая его накло-
нена к плоскости основания под^глома. Вычислить объем правильной
n-угольной пирамиды, вписанной в этот конус.
1181. В конус, объем которого равен V и угол между образующей
и высотой равен а, вписана правильная пятиугольная пирамида. Найти
объем пирамиды, принимая V = 8800, а = 43° 36' 8".
(38, 1936, Болгария)
1182. В цилиндр, радиус основания которого равен R, вписана пи-
рамида так, что ее основание, являющееся правильным треугольником,
вписано в основание цилиндра, а вершина находится на окружности
другого основания цилиндра.
Задачи по стереометрии
127
Зная, что две боковые грани пирамиды перпендикулярны к пло-
скости основания, а третья образует с ней угол а, найти боковую
поверхность пирамиды (/? = 8,23 м, а = 53° 50').
(37, 1956)
1183. В конус вписана пирамида, основанием которой служит пря-
моугольный треугольник, и боковая грань, проходящая через один из
катетов, образует с плоскостью основания угол а. Найти объем пира-
миды, если образующая конуса равна I и наклонена к плоскости осно-
вания под углом (3 (Z = 12,7 дм, а = 62° 14', р = 54° 19').
(37, 1951)
1184. Вычислить половину угла при вершине осевого сечения
прямого конуса, если объем вписанного в него шара равновелик объему,
содержащемуся между сферической поверхностью и вершиной конуса.
(40, 1954)
1185. В основание конуса вписан квадрат, сторона которого равна а
сантиметров. Плоскость, проходящая через вершину конуса и одну
из сторон этого квадрата, дает в сечении с поверхностью конуса тре-
угольник, угол при вершине которого равен а. Определить объем ко-
нуса (а = 63,146 см, а = 66° 52').
(37, 1898, 1946; 20, 1936)
1186. Шар объема v вписан в конус, образующая которого соста-
вляет с плоскостью основания угол а. Вычислить объем конуса (v =
= 84,736 м3, а = 56° 13').
(20, 1936)
1187. В конус, образующая которого наклонена к плоскости осно-
вания под углом а и площадь основания равна S, вписан шар. Найти
объем конуса, отсекаемого отданного плоскостью круга, по окружности
которого поверхность шара касается боковой поверхности конуса
(S = 18,25 см2, а = 56° 32').
(37, 1949>’
1188. В конус вписан шар. Радиус окружности, по которой боко-
вая^ поверхность конуса касается шара, равен г. Радиус шара, проведен-
ный в произвольную точку этой окружности, наклонен к ее плоскости
под углом а. Найти объем конуса.
(47, 1961)
1189. Угол, составленный образующей конуса с плоскостью его
основания, равен £, а сумма образующей и радиуса основания равна т.
Определить поверхность вписанного в этот конус шара.
(47, 1961)
1190. В пустой конус, обращенный вершиной вниз, уложен тяже-
лый шар радиуса г и налита вода, уровень которой касается шара сверху
|в°Да заполняет и ту часть конуса, которая находится под шаром),
пайти высоту воды в конусе до и после того, как шар будет из него
(40, 1960, 1965)
128
Задачи. Тригонометрия
1191. Около конуса описан шар, площадь большого круга кото-
рого равна Q. В конус вписан шар. Определить объемы вписанного
и описанного шаров и конуса, если образующая конуса наклонена
к его основанию под углом а.
(16, 1907)
1192. В усеченный конус вписан шар. Известно, что боковая по-
верхность конуса относится к поверхности шара, как т : п. Опреде-
лить угол между образующей и большим основанием и вычислить отно-
шение радиусов вписанного и описанного шаров (т : п = 2).
1193. В конус вписан шар, площадь большого круга которого
равна Q. Найти полную поверхность конуса, если известно, что угол
его осевого сечения равен a (Q = 48,36, а = 54° 32'
(37, 1947)
1194. Около шара радиуса г описан конус, образующие которого
наклонены к плоскости основания под углом а. Вычислить полную
поверхность и объем конуса (г = 3,842 см, а — 32° 18' 15").
(18, 1936)
1195. В шар радиуса R вписан конус, образующая которого на-
клонена к плоскости основания под углом а. Вычислить объем конуса
(а = 64° 48' 24", R = 2,4).
(16, 1908; 9, 1965)
1196. В шар радиуса R вписана пирамида, основанием которой
служит прямоугольник с углом а между диагоналями. Боковые ребра
пирамиды наклонены к плоскости основания под углом <р. Определить
объем пирамиды (а = 35° 42', <р = 26° 17', R — 12,58 см).
(37, 1947)
1197. Радиус основания конуса равен R, а образующая наклонена
к плоскости основания под углом а. В этот конус вписан ряд шаров так,
что первый шар касается боковой поверхности и его основания, а каж-
дый следующий — боковой поверхности конуса и предыдущего шара.
Найти предел, к которому стремится сумма объемов этих шаров, если
число их бесконечно увеличивается (R = 25, а = 52° 49' 55").
(40, 1952)
1198. Шар вписан в прямую призму, основанием которой служит
прямоугольный треугольник. В этом прямоугольном треугольнике
перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу,
имеет длину, равную h, и составляет с одним из катетов угол а. Найти
объем призмы (h = 1,72, а = 20°).
(37, 1911; 12, 1952; 52, 1964)
1199. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар.
Определить поверхность шара, если известно, что сторона основания
равна а и плоский угол при вершине пирамиды равен а (а = 10,75 дм,
а = 41° 44').
(37, 1949)
Задачи по стереометрии
129
1200. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник,
у которого боковые стороны равны Ь; две боковые грани пирамиды,
проходящие через равные стороны, перпендикулярны к основанию,
а третья грань наклонена к нему под углом а. Угол при вершине равно-
бедренного треугольника также равен а. Определить радиус шара,
вписанного в пирамиду.
(40, 1952)
1201. Сохраняя условие предыдущей задачи, найти радиус шара,
описанного около этой пирамиды.
1202. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро
равно b и плоский угол при вершине равен а. Определить часть по-
верхности, заключенную внутри шара, для которого высота пирамиды
служит диаметром.
1203. Объем правильного тетраэдра равен |/Ч 1272 дм3. Вычислить
полную поверхность этого тетраэдра и найти величину его двугран-
ного угла.
(37, 1876)
1204. Вычислить объем правильной 15-угольной пирамиды, если
известно, что высота пирамиды с каждым из боковых ребер образует
угол 23° 17', а радиус круга, описанного около основания, равен
12,4 см.
(37, 1882)
1205. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро,
равное Ь, образует с плоскостью основания угол а. В пирамиду вписан
равносторонний цилиндр так, что боковой поверхностью он касается
основания пирамиды, а окружностями оснований касается всех боко-
вых граней. Вычислить радиус основания цилиндра.
(16, 1908)
1206. Прямой цилиндр и прямой конус имеют равные высоты;
боковая поверхность цилиндра относится к боковой поверхности ко-
нуса, как т : и; кроме того, известно, что угол, составленный обра-
зующей конуса с плоскостью его основания, равен а. Найти отношение
объема цилиндра к объему конуса.
(40, 1951)
1207. Угол при вершине прямого конуса равен а, а радиус осно-
вания равен R. Вершина конуса принята за центр шара, а радиус шара
взят такой длины, что поверхностью шара данный конус разделится
на две равновеликие части. Найти длину радиуса шара.
(9, 1965)
1208. Сторона правильного шестиугольника равна а. Вычислить
объем тела, полученного от вращения этого многоугольника вокруг
одной из его сторон.
(40, 1951)
1209. Круговой сегмент, радиус которого равен R, а дуга Р, вра-
щается вокруг диаметра, проходящего вне его и образующего с одним
^3_^^gOHHX Радиусов угол а. Найти объем тела вращения (/? = 6,325 см,
) (37, 1940; 40, 1950)
5
В. С. Кущенко
130
Задачи. Тригонометрия
1210. Радиус шара равен R. Определить объем шарового сектора
которому соответствует центральный угол, равный а. ’
(37, 1898)
1211. Определить поверхность земного пояса, лежащего между
широтами q>i и <р2, если радиус земного шара равен R (<рх £> <р2).
(37, 1898)
1212. Из вершины конуса, как из центра, описана внутри него
сферическая поверхность, касательная к основанию конуса. Найти угол
ори вершине осевого сечения этого конуса, если указанная поверх-
ность делит его объем пополам.
(6, 1958)
1213. В правильной треугольной пирамиде вбршина Основания
находится от противолежащей боковой грани на“расстоянии, равном Ь.
Найти полную поверхность конуса, вписанного в данную пирамиду,
зная, что апофема пирамиды наклонена к плоскости основания под
углом а.
(33, 1958)
1214. В цилиндр вписан прямоугольный параллелепипед. Найти
боковую поверхность цилиндра, если известно, что большая сторона
основания параллелепипеда равна а, острый двугранный угол между
его диагональными плоскостями равен а, а диагональ параллелепипеда
составляет с меньшей боковой гранью угол 0.
(33, 1958)
1215. В цилиндр, образующая которого равна 1, вписана пирамида
так, что основание ее, являющееся правильным треугольником, вписано
в одно основание цилиндра, а вершина находится на другом.
Зная, что две боковые грани пирамиды перпендикулярны к ее
основанию, а третья образует с ним двугранный угол а, найти боковую
поверхность пирамиды.
(33, 1958)
1216. Сторона правильного семиугольника равна а. Вычислить
объем тела, полученного от вращения этого многоугольника вокруг
одной из его сторон.
(40, 1951)
1217. Считая, что Земля имеет форму шара радиуса R, а искус-
ственный спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите на
высоте h над поверхностью Земли, определить, на какой угол ниже
горизонта должно опуститься Цолнце, чтобы наблюдение спутника,
освещенного солнцем, было в данной точке земной поверхности не-
возможно.
(39, 1965)
§ 21. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ И ПРИМЕРЫ
1218. Вершины А, В и С треугольника АВС соединены с точ-
ками Вх и Clt расположенными на противоположных сторонах
(но не в вершинах). Доказать, что середины отрезков AAlt ВВг и СС\
не лежат на одной прямой.
(39. 1955)
Разные задачи и примеры
131
1219. Из точки О внутри треугольника АВС на его стороны опу-
щены перпендикуляры ta, tb и tc. Доказать, что
lg । tb , [с 1
ha hb hc
(39, 1955)
1220. Три селения А, В и С не лежат на одной прямой. Как про-
вести прямолинейную дорогу из пункта А, чтобы кратчайшие расстоя-
ния от него до пунктов В и С были одинаковы?
(39, 1940)
1221. Доказать, что если в четырехугольник можно вписать и
около него описать окружность, то площадь такого четырехугольника
равна корню квадратному из произведения его сторон.
(39, 1950)
1222. Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований
трапеции, равен их полуразности, если сумма углов при основании
равна 90°.
(39, 1956)
1223. Из точки А вне окружности провести секущую так, чтобы
она делилась окружностью пополам.
(40, 1955, 1965)
1224. Доказать, что расстояние точки окружности от хорды круга
есть среднее пропорциональное между расстояниями концов хорды от
касательной к окружности в данной точке.
(39, 1952)
1225. Доказать, что если в круге две хорды АВ и CD пересекаются
под прямым углом в точке Е, не являющейся центром, то сумма ква-
дратов отрезков этих хорд равна квадрату диаметра.
(39, 1951)
1226. На поверхности куба найти три точки, из которых его диа-
гональ видна под наименьшим углом.
(40, 1957)
1227. Прямоугольный параллелепипед, у которого длина ребер
равна 8 дм, 8 дм и 27 дм, разрезать на 4 части, из которых можно
было бы сложить куб.
(40, 1958)
1228. Чашка, имеющая форму полушария, наполнена водой, а за-
тем наклонена на угол 45°. Доказать, что воды в чашке останется
около 12%
(40, 1951)
1229. На каком расстоянии от центра шара радиуса Р надо про-
вести плоскость, чтобы поверхность шарового сегмента разделилась
в отношении т : п, если дуга его главного сечения а.
* (40, 1927)
132
Задачи. Тригонометрия
1230. Сколько квадратных километров земной поверхности может
обозреть летчик, поднявшийся над землей на высоту h километров.
(40, 1926)
1231. На сколько частей делят пространство п плоскостей, про-
ходящих через одну точку, если никакие три из них не проходят через
одну прямую.
1232.
(40,
1233.
Доказать, что
л . 2л . п — 1 V п
sin -г- • sin -77—• • • sin—х— л =-—.
2п 2п 2п 2"—1
* *(40, 1961,
1956)
sin
Доказать, что
л . 2л
-х--г-7- • Sin т--
1964)
• • • sin
п у 2п-
-------- Л = —
2п 4- 1-2"
1234.
(40, 1961,
Доказать, что при 0 х справедливо неравенство
1964)
______cos х____ g
sin2 х (cos x—sin x)
1235. Доказать, что последовательность чисел
«i = cos х + i sin x,
u2 = cos 2x + i sin 2x,
(42, 1957)
un = cos nx + i sin nx
есть геометрическая прогрессия. Вычислить ее сумму.
(1, 1950; 40, 1961, 1965)
1236. Доказать, что
л . 1 .1 я
4 arctg у-arctg -4--.
(39, 1950)
1237. Найти
.. I а а а а \
Jim I cos cos cos • • -cos —),
. - Л
если 0 < a •< -у
(40, 1952, 1964, 1965)
Часть IV
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ БИЛЕТЫ И ПИСЬМЕННЫЕ
РАБОТЫ, ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ
§ 22. ЗАДАЧИ, ТЕОРЕМЫ И ВОПРОСЫ,
ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ НА УСТНЫХ ЭКЗАМЕНАХ
а) Арифметика и алгебра
1238. Что называется системой счисления. Какие системы счисле-
ния вам известны. Что значит позиционная система счисления?
1239. Разделить число 240 на части, пропорциональные числам
5 : 6,25 : 8, (3).
1240. Разделить число 360 на части в отношении
1 . 1 . 1 . 1
10 : 12 : 15 : 20 ’
1241. Найти число, 2,6% которого равно 9.
5
1242. Найти число, которого равны 35.
1243. Построенная 2000 лет назад «великая китайская стена»
имеет длину 2400 oi, толщину 6 м, высоту 7,5 м. Найти объем стены.
1244. Назовите пару чисел, произведение которых равно их част-
ному.
1245. Укажите такую дробь, которая не изменит своего значения,
если к ее числителю и знаменателю прибавить одно и то же число.
1246. Через сколько лет срочный вклад на сберегательной книжке
Удвоится (из расчета 3% годовых)?
1247. Необходимо приближенно подсчитать число деревьев в лесу
на определенном участке. Как практически это сделать?
1248. Верно ли, что среднее арифметическое двух неравных поло-
ительных чисел всегда больше их среднего геометрического?
134
Задачи. Экзаменационные билеты и вопросы
1249. Доказать, что в разложении бинома с любым четным пока-
зателем наибольший биномиальный коэффициент есть число четное.
1250. Найти необходимое и достаточное условие того, чтобы один
из корней многочлена был равен нулю.
1251. Как расположатся на плоскости точки, соответствующие
двум сопряженным комплексным числам?
1252. Разложить на множители
х*4~ *3+ х2+ 1.
1253. Сократить дробь
х8 4~ ** 4~ 1
х2 4- х 4- 1
( - 1
1254. Разделить (х — у) на \х" —уп
1255. Доказать тождество
(ad 4~ be)2 4- (ас — bd)2 = (ad — be)2 4- (ас 4* bd)2.
1256. Показать, что если
х4" х"1 = а,
то
х3 — х~3 = а (а2 — 3).
1257. Равносильны ли уравнения
a 1g х3 = с
и
За 1g х = с.
1258. Что значит решить систему уравнений?
1259. При каких значениях а уравнение
2а 4- 5 §»х 4- 1
~3 “ 4
имеет отрицательное решение?
1260. Вычислить
12-1--(1-0»: 14-
Задачи и вопросы на экзаменах
135
1261. Уравнение
х4 — х3 4- х2 + 9х — 10 = О
имеет корень 1 — 21. Найти остальные корни.
1262. Сплав весом М килограммов, состоящий из двух металлов,
удельный вес которых соответственно равен р и q, теряет при погру-
жении в воду т килограммов. Определить количество каждого металла,
входящего в сплав.
1263. Найти отношение двух чисел, если отношение их среднего
арифметического к среднему геометрическому равно 25 : 24.
1264. Как расположится график функции в плоскости хоу
у = ах2 + Ьх + с
при 0; при а < 0.
1265. Построить график функции
У = 1*Ь
1266. Построить график функции
и посредством этого графика найти вещественные корни уравнения
х2 + —— Юх —5 = 0.
х
1267. Вычислить величину х из соотношения
lg (lg а)
х = а lga
*4*
1268.
Найти х, если log125 х = —0, (6).
1269. Логарифм числа 0, (1) равен —1, (3). Найти основание
логарифмов.
1270. Решить неравенство
/2х + 1< 2*Х+,')-.
1271. Вычислить CjQ0.
1272. Решить уравнение
= 5-4
3
x-j-6*
136
Задачи. Экзаменационные билеты и вопросы
1273. Найти х и п, если
Л"-3 1
Лх _____ 1
ЛП-2 ~ 8 ’
™х
1274. Вычислить выражение
(4КЗ +8) /з(Гз'-2) +
с"-3 S
гп— 2 8
3—2/3 /3 —2
/Т /Г
предварительно доказав, что выражение, стоящее в квадратных скоб-
ках, есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
1275. Можно ли указать три числа, которые составляют-одновре-
менно и арифметическую и геометрическую прогрессии?
1276. Указать пары таких вещественных чисел, сумма которых
равна их произведению.
1277. Найти число, обладающее тем свойством, что, будучи умно-
жено на 12, по прибавлении к своему кубу равняется ушестеренному
квадрату самого себя, увеличенному тридцатью пятью.
1278. Найти трехзначное число, равное сумме факториалов своих
цифр.
1279. Какое арифметическое действие можно производить над
числом и основанием логарифма, не изменяя значения логарифма?
з___
1280. Доказать, что три значения у1 составляют геометрическую
прогрессию.
log2 ^124" + -1-
1281. Вычислить 8 d .
1282. Доказать без помощи таблиц, что
logs л log5 л
1283. Верно ли, что если сумма дву/чисел постоянна, то их произ-
ведение принимает наибольшее значение, когда сомножители равны
между собой.
1284. Что больше: lg lg 1g а или 1g3 а (а }> 1)?
1285. Чему равно основание системы логарифмов, в которых 7
есть логарифм числа 2187?
1286. Найти положительные корни уравнения
Xх = х.
1287. Назовите фамилии нескольких выдающихся русских и совет-
ских ученых — математиков.
Задачи и вопросы на экзаменах
137
б) Геометрия
1288. Разделить отрезок а в среднем и крайнем отношении.
1289. Доказать, что диагональ и сторона квадрата несоизмеримы.
1290. Доказать, что из всех прямоугольников со сторонами а и b
наибольшую площадь имеет квадрат.
1291. Доказать, что если основания высот треугольника соединить,
то получим треугольник, для которого эти высоты будут биссектрисами.
1292. Доказать, что из медиан всякого треугольника можно по-
строить треугольник.
1293. Вычислить гипотенузу прямоугольного треугольника, если
известно, что радиус вписанного круга равен 2 см, а радиус описан-
ного круга равен 5 см.
1294. По гипотенузе прямоугольного треугольника с и по сумме
катетов а + b — k вычислить его площадь.
1295. Как изменится площадь треугольника, если высоту его
увеличить в т раз, а основание уменьшить в п раз?
1296. Найти площадь квадрата по сумме 5 его диагоналей с пери-
метром.
1297. Указать несколько теорем, при доказательстве которых
используется аксиома параллельности.
1298. Катеты прямоугольного треугольника выражаются целыми
числами. Какой длины они должны быть, чтобы сумма их численно
равнялась площади треугольника.
1299. Указать треугольник, стороны которого и площадь выра-
жаются соответственно четырьмя последовательными целыми числами.
1300. Площадь правильного шестиугольника равна 5. Определит*^
его периметр.
1301. Стороны правильных пятиугольника, шестиугольника и де-
сятиугольника, вписанных в круг радиуса R, выражаются соответ-
ственно формулами
А /10-2 /5, R и 4- (/5 - 0-
Показать, что квадрат стороны пятиугольника равен сумме ква-
дратов сторон шестиугольника и десятиугольника (задача Эвклида).
1302. Можно ли сложить паркет из правильных 10-угольников
и 15-угольников?
138 Задачи. Экзаменационные билеты и вопросы
1303. Доказать, что сумма расстояний любой точки внутри пра-
вильного многоугольника от всех его сторон есть величина постоянная.
1304. Может ли вписанный многоугольник иметь равные углы,
но неравные стороны, или равные стороны, но неравные углы?
1305. Из каких правильных многоугольников различного вида
можно сложить паркет?
1306. Можно ли описать окружность около любого четырех-
угольника?
1307. Рассматривая правильный вписанный 6-угольник и описан-
ный квадрат, показать, что число л удовлетворяет неравенству
*
3 < л < 4.
1308. Вычислить сторону правильного вписанного 12-угольника.
1309. Вычислить сторону правильного вписанного 15-угольника.
1310. Стороны правильного 5-угольника, вписанного в круг,
продолжены до взаимного пересечения. Вычислить сумму пяти углов
в точках взаимного пересечения.
1311. На окружности расположены четыре точки так, что длины
дуг окружности, лежащих между этими точками, относятся между
собой, как 1 : 2 : 4 : 5. Вычислить тупой угол, образованный прямыми,
проведенными через каждые две несмежные точки.
1312. Основания трапеции соответственно равны а и Ь; около
нее описана и в нее вписана окружность. Вычислить высоту и боковые
стороны трапеции.
1313. Сумма длин окружности и ее диаметра равна I. Найти пло-
щадь этого круга.
1314. Окружность разделена ^хордой в крайнем и среднем отно-
шении. Найти площадь сектора, соответствующего меньшей из этих
дуг окружности.
1315. Доказать, что площадь кругового кольца, заключенного
между двумя концентрическими окружностями, равна площади круга,
который имеет своим диаметром хорду большей окружности, касаю-
щуюся меньшей окружности.
1316. Стороны треугольника соответственно равны 12, 14 и 16 см.
Из его вершин, как из центра, описаны окружности так, что каждая
из них касается двух других. Найти радиусы окружностей.
1317. По данному радиусу R и хордам а и b л&ух. дуг круга опре-
делить хорду суммы этих дуг.
1318. Какое максимальное количество прямых линий можно про-
вести через п точек, расположенных на плоскости?
Задачи и вопросы на экзаменах
139
1319. Каждый угол куба, ребро которого равно а, срезан плоско-
стью, проходящей через середины ребер, выходящих из вершины
срезываемого угла. Найти объем оставшегося тела.
1320. Найти объем правильного октаэдра, у которого вершины
лежат в центре граней куба. Длина ребра куба равна а.
1321. Сумма объемов трех кубов, у которых длины ребер отно-
сятся, как т : п : р, равна V. Найти объемы этих кубов.
1322. Найти полную поверхность правильной пирамиды, у которой
основание правильный треугольник, описанный около круга радиуса г,
а объем, равный V, равновелик тройному объему куба, у которого
ребро равно диаметру этого круга.
1323. В шар радиуса 7? вписан куб. Найти его поверхность.
1324. Найти отношение объемов равностороннего цилиндра и рав-
ностороннего конуса, у которых полные поверхности равны между собой.
1325. Сколько существует правильных многогранников? Дайте
определение каждого многогранника.
1326. Из полукруга радиуса 7? свернута боковая поверхность
конуса. Найти его объем.
1327. Рассказать биографию Н. И. Лобачевского.
в) Тригонометрия
1328. В каких квадрантах сумма
sin а + cos а <11.
1329. Определить знак cos 2 и sin 2.
1330. Что больше: tg 1 или tg 1°; sin 2 или sin 2°?
1331. Начертить графики функций:
у = sin х, у — cos х, у = tg х; у = sin х + cos х.
1332. Найти период функции
у = sin2 х + cos Зх.
1333. Найти период функции
х / 3 2 \
z/= 3 sin -g-+ 4 ( cos2 — х + sin’2 -у-х ].
140 Задачи. Экзаменационные билеты и вопросы
1334. Написать формулы для вычисления площади треугольника,
используемые в тригонометрии, и доказать одну из них:
5д = P2tg -%- tg-|-tg-|-,
W р= -^-(tz+& + c).
1335. Вывод формулы
sin тх sin nx = -±- {cos (m — п)х — cos (m п) х).
•v
1336. Доказать теорему тангенсов; ее приложение к решению
задач.
1337. Вывод формул
п аЬс , . х а
где р = (а 4- b + с).
R и г — радиусы описанного и вписанного кругов.
1338. Вывод формулы общего вида углов, имеющих один и тот же
синус.
1339. Привести к логарифмическому виду:
sin а ± cos Р, 1 — 3 tg2 а, 3 — 4 cos2 а.
1340. Основные способы решения тригонометрических уравнений.
1341. Понятие об обратных круговых функциях.
Их главные значения.
1342. Доказать, что
arctg (—х) = —arctg х.
Для каких значений х имеет место данное равенство?
1343. Доказать, что
%.
arccos (—х) = л — arccos х.
Для каких значений х имеет место эта формула?
1344. Доказать, что
arc sin х + arccos х — .
1345. Доказать, что
л.
arctg х + arcctg х = -н~.
64
Типичные варианты письменных работ
141
1346. Вычислить
lg tg 1°. lg tg 2°- lg tg 3°. . .lg tg 59°. lg tg 60°.
1347. Решить неравенство sin-i->>0.
1348. Найти (приближенно) наименьший положительный корень
уравнения
tg х = х.
§ 23. ТИПИЧНЫЕ ВАРИАНТЫ ПИСЬМЕННЫХ РАБОТ
Вариант № 1
1. Доказать, что —Ь'т-) (а + Ь) ^4, если О, Ь^> 0.
\ а и j
2. В прямоугрльном треугольнике даны площадь S и радиус впи-
санной окружности г. Найти катеты. _
3. Решить неравенство: sin 2х + cos 2х — V2 .
4. В правильной л-угольной пирамиде боковые ребра наклонен^
к плоскости основания под углом а. Найти углы треугольника, йй-
ляющегося боковой гранью пирамиды.
(52, 1965)
Вариант № 2
1. См. № 928.
2. См. 723.
3, При каких значениях k решение системы х + ky = 3, kx +
+ 4у6 удовлетворяет неравенствам х>> 1, t/>0?
4. В прямой треугольной призме, у которой А, В, С — вершины
нижнего основания, а А", В", С” — соответствующие вершины верх-
него основания, проведено сечение через сторону ВС и вершину А".
Площадь сечения равна Р, а расстояние от него до вершины В" равно Ь.
Найти объем призмы.
(52, 196$
Вариант № 3
1. Решить систему уравнений:
у + z = 2ахуя
X + 2 — 2Ьху2
х + У = Ъсхуг.
on 1 — tg X
2. Решить уравнение *
142
Задачи. Экзаменационные билеты и вопросы
3. а, Ь, с — длины трех сторон треугольника (а > b > с). Тре-
угольник со сторонами а 4* я, b х, с-\- х является прямоугольным
Найти х и определить его знак.
4. Три шара радиуса R лежат на плоскости и касаются один дру-
того. Найти радиус шара, касающегося трех данных и плоскости.
(52, 1965)
Вариант № 4
1. Доказать, что 11 + ab | V" 1 + а2-К1 4~ Ь2-
2. В прямоугольном треугольнике дан катет а и биссектриса пря-
мого угла d. Найти гипотенузу.
3. См. № 1042.
4. В правильной n-угольной пирамиде боковые ребра''наклонены
к плоскости основания под углом а. Под каким- углом к плоскости
основания наклонены боковые грани.
(52, 1965)
Вариант № 5
1. Решить уравнениеsin 2х + КЗ —cosx = КЗ sin2 х.
2. Пусть а, р, у — углы треугольников АВС, г — радиус вписан-
ной окружности. Найти площадь треугольника, вершинами которого
служат точки касания.
3. Решить систему уравнений:
2х2 _ 2у2 _ 2z2 _
14-х2 ~у' 1 4- у2 “ г’ 1 4- г2 ~х
4. Основанием пирамиды служит прямоугольник с углом а между
диагоналями. Боковые ребра образуют с плоскостью основания угол <р.
Определить объем пирамиды, если радиус описанного шара равен R.
(52, 1965)
Вариант № 6
1. Пусть х1( х2 — корни уравнения х2 4" 2kx 4“ 4 = 0. Найти
все значения k, при которых справедливо неравенство
2. Найти все такие у и целые а, для которых равенство
(л \
ах 4- )
справедливо для всех действительных х.
3. Доказать, что из всех трапеций с данным периметром наиболь-
шую площадь имеет квадрат.
Типичные варианты письменных работ
143
4. Через вершину конуса проведена плоскость под углом а к осно-
ванию конуса. Эта плоскость пересекает основание по хорде АВ дли-
ны а, стягивающей дугу основания конуса, которой соответствует
центральный угол р. Найти объем конуса.
(52, 1965)
Вариант № 7
1. См. вариант № 3, задача № 2.
2. Из точки А проведена касательная к окружности диаметра d.
Найти расстояние от точки А до центра окружности, если расстояние
От точки А до точки касания равно d.
3. Решить систему уравнений:
х
ху-----— = а
4. Доказать, что, где и $х—объем и поверхность
и2 S2
треугольной пирамиды; v2 и s2 — объем и поверхность вписанного
в эту пирамиду шара.
(52, 1965)
Вариант № 8
1. Решить систему уравнений:
8
хг = у5
2
/ = Х5
-|~z = V~x 4- Vy.
2. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен
а острый угол между катетом, прилегающим к этому углу, и медианой,
i-г л , а
опущенной на этот катет, равен <р. Показать, что <р <q .
£
3. Решить уравнение 3 tg () + ctg х = 0.
\ * Ху
4. Найти объем правильной n-угольной пирамиды, если ее полная
поверхность равна s, а радиусы кругов, описанных вокруг всех граней,
равны.
(52, 1965)
Вариант № 9
1. В шар вписан правильный тетраэдр, затем в тетраэдр снова
вписан шар. Найти отношение поверхностей двух этих шаров.
on . • л ( . Тх Тх \2
2. Решить уравнение 1 — sin 4х = I sin —--cos —I .
\ 2 /
144
Задачи. Экзаменационные билеты и вопросы
3. Решить систему уравнений:
ху — 2х — 2у — 2 = 0.
4. Велосипедист, выезжающий из Л в В, должен приехать в В через
3 часа. Одновременно с ним из пункта С выезжает другой велосипедист,
и чтобы успеть приехать в В вместе с первым велосипедистом, он должен
каждый километр проезжать на 1 мин. быстрее, чем первый. Расстоя-
ние от С до В на 6 км больше расстояния от А до В. Определить эти
расстояния.
* • (52/1964)
Вариант № 10
1. В конус вписаны два шара радиусов Я и г (R /> г), касающиеся
один другого. Найти часть поверхности конуса, заключенную между
линиями, по которым конус касается этих шаров.
2. Сколько можно сделать из п элементов а1я а2» • • •> ап таких
перестановок, в которых элементы и ап не стоят рядом?
3. Объем правильной треугольной призмы равен v, угол между диа-
гоналями двух граней, проведенных из одной и той же вершины, ра-
вен а. Найти сторону основания призмы.
4. Решить уравнение 2 /3 sin х =--..*%*-------/3 .
2 /sin х - 1
(52, 1963)
Вариант № 11
1. См. № 409.
2. В треугольник, стороны которого относятся как т : п : р,
вписан круг. Найти отношение, в котором точка касания делит каждую
сторону.
3. Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания а
и двугранным углом при основании 2а пересечена плоскостью, делящей
пополам этот угол. Найти площадь полученного сечения.
4. Решить уравнение sin29 Зх — cos17 10х = 2.
(52, 1963)
Вариант № 12
1. Найти все решения уравнения 2 sin Зх cos х + sin 2х = 0.
2. В колбе имеется раствор поваренной соли. Из колбы отливают
. 1
в пробирку — -ю часть раствора и выпаривают до тех пор, пока про-
центное содержание соли в пробирке не увеличится втрое. После этого
выпаренный раствор выливают обратно в колбу. В результате про-
центное содержание соли в колбе повышается на р%. Определить
исходное содержание (в процентах) соли в колбе.
3. См. № 1198.
Типичные варианты письменных' работ
145
4. Показать, что если р и q — нечетные числа, то уравнение х2 +
+ рх + q = 0 не может иметь рациональных корней.
(52, 1964)
Вариант № 13
1. См. № 46.
2. В правильной треугольной пирамиде вершина основания нахо-
дится от противолежащей боковой грани на расстоянии, равном Ь.
Найти полную поверхность конуса, вписанного в данную пирамиду,
зная, что апофема пирамиды наклонена к плоскости основания под
углом а.
3. См. № 1Q27.
4. См. Na 179.
(50, 1963)
Вариант № 14
1. См. № 33.
2. Доказать, что если из точки пересечения диагоналей ромба
опустить перпендикуляры на его стороны и соединить основания этих
перпендикуляров, то получится прямоугольник.
3. Решить уравнение
sin х — cos х — 4 cos2 х sin х = 4 sin3 х.
2x4-1
/ 1 \ 1-х
4. Доказать неравенство ( I £> 125.
(50, 1962)
Вариант № 15
1. Лодка опускается по течению реки на расстояние 10 км, а затем
поднимается против течения реки на расстояние 6 км. Скорость течения
реки равна 1 км/час. В каких пределах должна быть собственная ско-
рость лодки, чтобы вся поездка заняла от 3 до 4 часов?
2. Найти угол между ребром и гранью правильного тетраэдра.
-4- 2
3. Доказать неравенство . = — >=2.
4. Решить уравнение sin х tg х + 2 cos х = а.
(50, 1963)
Вариант № 16
1. Две автомашины вышли одновременно из одного и того же
пункта в одном и том же направлении. Скорость первой машины а км/час,
второй — b км/час. Спустя полчаса из того же пункта выехала третья
машина и, догнав вторую, двигалась еще 1,5 часа до того, как нагнала
первую. Какова скорость третьей машины, если движение всех машин
Равномерное?
2. Найти х и у, если
С?"1 : (С?_9 + + 2С^) : =3:5:5.
146
Задачи. Экзаменационные билеты и вопросы
3. Основания высот остроугольного треугольника соединены между
собой. Найти периметр полученного треугольника, если стороны дан-
ного треугольника равны а, Ь и с.
4. Один из плоских углов трехгранного угла равен а; двугранные
углы, прилежащие к этому плоскому углу, равны, соответственно 0
и у. Найти два других плоских угла.
5. Решить уравнение и исследовать решения:
sin4 х + cos4 х + sin 2х + а = 0.
(2, 1958)
Вариант № 17
1. Часы показывают в некоторый момент на т минут меньше, чем
следует, хотя и спешат. Если бы они показывали на п минут, меньше,
чем следует, но уходили бы в сутки на t минут больше, "чем • у ходят,
то верное время они показали бы на сутки раньше, чем покажут. На
сколько минут в сутки спешат часы?
2. Найти значение х в выражении
/ 1 \б
(^2 (Igx-H) ) »
четвертый член разложения которого равен 200.
3. Решить уравнение sin Зх + sin 2х — п sin х = 0 и исследо-
вать решения.
4. Два круга с радиусами R и г касаются извне. Определить радиус
круга, касательного к ним, и их общей внешней касательной.
5. В правильной четырехугольной пирамиде двугранные углы
* зт
между боковыми гранями равны 0 > . Найти плоские углы при
вершине.
(2, 1958)
Вариант Ns 18
1. Два туриста одновременно отбывают из пункта А и следуют
в пункт В. Считается, что туристы прибыли в пункт В, если туда прибыл
последний из них. В распоряжении туристов имеется один велосипед,
который они могут оставлять на дороге требуемое время и на котором
попеременно может ехать любой из них, но одновременно вдвоем туристы
не могут ехать на велосипеде. Нужно распорядиться велосипедом таким
образом, чтобы время следования туристов в пункт В было наименьшим.
Найти это время, если скорость пешехода равна v, скорость велосипе-
диста втрое больше и расстояние между пунктами Л и В равно $.
(1 \7
/7" 4- хlog х+5 I , пятый член раз-
ложения которого равен 350.
3. См. № 1050.
4. Три круга радиусов г, 2г, 2г попарно внешне касаются один
другого. Прямые, каждая из которых касается двух окружностей,
но не пересекает их, образуют треугольник. Найти высоту треуголь-
ника, которая опущена на большую сторону.
Типичные варианты письменных работ
147
5. В правильную треугольную пирамиду вписан шар. Найти
радиус шара, если длина стороны основания пирамиды равна I и вы-
сота пирамиды равна h.
(2, 1963)
Вариант № 19
1. Сосуд, содержащий р%-ный раствор кислоты, долили доверху
0%-ным раствором кислоты и после перемешивания отлили то же
количество. Проделав эту операцию k раз, получили г%-ный раствор.
Какую часть объема сосуда занимала первоначально кислота в сосуде.
2. Сколько различных натуральных чисел можно составить из
цифр 0, 1,2, 3, 4, если в обозначение каждого числа каждая из данных
цифр входит не более одного раза.
3. В треугольнике даны стороны Ь и с и угол между ними а. Этот
треугольник вращается около оси, которая проходит вне его через
вершину угла а и равно наклонена к сторонам b и с. Определить объем
тела вращения.
4. См. № 721.
5. См. № 882.
(2, 1963)
Вариант № 20
1. См. № 677.
2. Определить удельный вес каждого из двух металлов, если
сплав, содержащий 900 г первого металла и 2,4 кг второго, имеет объем
400 си3, а сплав, полученный из куска первого металла, имеющего
объем 200 см3, и куска второго металла с объемом 300 см3 весит 4,2 кг.
3. См. № 252.
4. См. № 567.
(36, 1950)
Вариант № 21
1. Доказать, что сумма диаметров окружностей, вписанной в прямо-
угольный треугольник й описанной около него, равна сумме его катетов.
2. Прямоугольник вращается около оси, проходящей через его
вершину перпендикулярно к его диагонали. Определить объем и поверх-
ность тела вращения, если угол между диагоналями прямоугольника
равен а, а большая сторона прямоугольника равна а.
3. Доказать равенство
1 , . 1 , . 3 л
arcsin —И arcsin------4- arcsin —^=- = .
3 3/11 /11 2
(36, 1950)
Вариант № 22
1. См. № 1158.
2. Решить неравенство (Зх + 1) (х — 1) << 3.
3. Решить уравнение 4 cos2 х + sin х cos х 4~ 3 sin2 х = 3.
(51, 1965)
148 Задачи. Экзаменационные билеты и вопросы
Вариант № 23
1. Образующая конуса равна I и образует с плоскостью основания
угол а. Найти площадь сечения конуса с плоскостью, проходящей
через вершину конуса и образующей с плоскостью основания угол 0.
2. Решить неравенство 25.x4 — 121х2 — 20 £> 0.
3. Решить уравнение sin х + cos “ 0.
(61, 1965)
Вариант Кв 24
1. См. № 677.
2. В трапеции ABCD диагональ АС/= 18 см наклонена, к основа-
нию AD под углом в 60° и делит диагональ BD на отрезки О-В = 8 см,
ЬЪ ~ 16 см. Вычислить длину основания AD.
3. Показать, что
Л _ __________1 (1-/П2)2 +zn2(l-ffl2) 5
11 ’ 1 +m2(l — m2)'1 ‘ 1—
не зависит от т.
4. Решить уравнение sin 5х cos Зх = sin 6х cos 2х.
(20, 1956)
Вариант № 25
1. Число 100 разделить на 3 части так, чтобы первая часть отно-
силась ко второй, как —: 1, а вторая к третьей, как 5 :
2. См. № 698.
3. Решить уравнение 2 log# 3- log3X 3 « logQ у- 3.
4. Решить уравнение sin х sin Зх = 0,5.
(20, 1956)
Вариант № 26
1. См. № 675.
2. Теплоход, развивающий скорость 20 км/час, прошел расстояние
между пристаняйй туда и обратно, не останавливаясь, за 6 часов 15 ми-
нут. Расстояний между пристанями 60 км. Какова скорость течения
реки?
3. Решить уравнение х8 + 2х2 — 2х + 3 = 0.
т/’З"
4. Доказать тождество tg 10° • tg 50° • tg 70° = —.
(20, 1956)
Вариант № 27
. D Ka + x-f-l^a — х 2ab -
/а + х-/а — х 624-1
Типичные варианты письменных работ
149
2. В окружность А вписаны три круга одинакового радиуса,
касающиеся один другого и окружности А. Через центры этих окруж-
ностей проведена окружность В. Найти отношение площади круга В
к площади круга А.
3. Решить уравнение sin х + cos х = sec х + cosec х.
(35, 1965)
Вариант № 28
1. См. № 632.
2. В треугольнике АВС угол А вдвое больше угла В, АВ = с
и АС = Ь. Определить третью сторону ВС.
3. Решить уравнение
(л \ / л \
— + xl sin ( ----XI.
(35, 1965)
Вариант № 29
1. См. № 1152.
2. При каких значениях а неравенство х2 + 2х + а >> 0 будет
справедливо при любых значениях аргумента?
3. Доказать, что
sin а + tg а
cos а ctg а
(51, 1963)
есть точный квадрат.
Вариант № 30
1. См. № 1146.
2. Решить систему уравнений:
2_\* _ / 9 \У
3" ) ~ \Т )
ху — Юу -J- 12 = 0.
3. Доказать тождество
cos 2а
ctg2 а — tg2 а
= 0,25 sin2 2а.
(51, 1963)
Вариант № 31
1. Равносторонний конус вписан в шар. Найти объем шара, если
боковая поверхность конуса равна S.
2. См. № 560.
3. См. № 955.
_ 2
4. Вычислить 1000 3 + —(625)~0,75.
\ & I /
(48, 1965)
Задачи. Экзаменационные билеты и вопросы
Вариант № 32
1. См. № 1147.
2. См. № 562.
3. См. № 912.
4. См. № 92.
(48, 1965)
Вариант № 33
1. В усеченном конусе высота равна h, образующая составляет
с плоскостью нижнего основания угол а и перпендикулярна к диагонали
осевого сечения, проходящей через верхний конец этой образующей.
Определить боковую поверхность усеченного конуса.
2. Решить уравнение 2х+* 3 — (0,5)—х 4- 2х-2 = 29.
3. Доказать тождество
1 4~ sin 2а _ 1 tg а
cos 2а ~ 1 — tg а
(48, 1965)
4. См. № 95.
Вариант Кг 34
1. См. № 116^
2. См. № 596.
3. См. № 938.
4. См. № 676.
(48, 1965)
Вариант № 35
1. Основанием пирамиды служит треугольник с тупым углом а,
две стороны которого длины а являются проекциями двух боковых
ребер. Одна из боковых граней составляет угол 0 (0 =j= 90°) с плоско-
стью основания. В пирамиду вписана прямая треугольная призма
с высотой, равной половине большей стороны основания, так что одно
из оснований призмы лежит в плоскости основания пирамиды. Найти
объем призмы.
2. Упростить
з / _1_____1_ _1_\
а2 Кс — п 2 V ас — Зап с \ а 2 п 2 — п 2 /
/ 1 _1_\
пКа — а \ 2п 2 — а 2 /
3. Привести к виду, удобному для логарифмирования:
/ а \ , . / Зл а \
sm (л------— \ -f- sin a cos I 4- -у I
: 4 : 2
sin -я- а sin а
О о
(9, 1965)
Типичные варианты письменных, работ
151
Вариант № 36
1. В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида.
Определить объем пирамиды, если боковое ее ребро наклонено к осно-
ванию под углом а.
2. Вычислить
х —1 . х+1 2/3
----------4-------/л, — , при X =-------х .
X — У X* 2 * — X X 4* / X2 — X 3
3. Доказать тождество
cos4 * & а — sin4 а — cos2 а „ а
----------------------------- cos2----.
2 (cos а —1) 2
(9, 1965)
Вариант № 37
1. В конус, образующая которого с плоскостью основания соста-
вляет угол а, вписана правильная четырехугольная призма, диагональ
основания которой равна d, а высота -у-. Определить объем и полную
поверхность конуса.
2. Упростить выражение:
1 1/з 1 \ 2 Г 1
х2 4-х. 4 х2-4х 2 /х4—16 .(х2+4)2 — х2 —4
_ 2_ \ 3 / [ /3 ' /9 (х2 4- 4) — 3
14-х 4
3. Упростить:
sin2 Зя д_ — cos а — sin а 2
2 ”t" L sin а — cos а J
(9, 1965)
Вариант № 38
1. Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный
треугольник с острым углом а (а < 45°), через вершину прямого угла
которого проходит высота пирамиды. Зная биссектрису b прямого
угла меньшей боковой грани и наименьший плоский угол 0 при вер-
шине пирамиды, найти ее объем.
2. Вычислить
3 sin а 4- cos а
cos а — 3 sin а ’
если tg а = —7; — < а < л.
&
152
Задачи. Экзаменационные билеты и вопросы
3. Упростить выражение:
/ а — b \3
\ Кд 4~ Кб /
-f-2а Кд + б Кб
аа б Каб
Коб — а
а Кд —б Кд
log3 27.
(9, 1965)
Вариант № 39
1. Упростить выражение:
а / Кд 4-Кб V ь / Кд + Кб V1
\ 26 Кд / \ 2а Кб /
/ а 4- Кдб 1 / б 4- Кдб 1
\ 2аб / 2аб /
2. Решить уравнение:
(а — х)3 4- (х — б)3 _
(а — х)2 4- (х — б)2
(6, 1958)
Вариант № 40
1. Упростить выражение:
2. Решить уравнение:
_________3 К Юх_________
Ух 4- К2х — 1—К х — К2х — 1
при условии, что х^1.
(6, 1958)
Вариант № 41
1. Решить уравнение:
tg Зх — tg х = 4 sin х.
2. Из вершины конуса, как из центра, описана внутри него сфери-
ческая поверхность, касательная к основанию конуса. Определить угол
при вершине осевого сечения этого конуса, если указанная поверхность
делит его объем пополам.
(6, 1958)
Типичные варианты письменных работ
153
Вариант № 42
1. Решить систему уравнений:
5
х2у 4- Х«/2 = — (х — у)
‘ о
ху = х2у2.
2. Решить уравнение:
1g 2 + lg (4*“2 + 9) = 1 + lg (2Х~2 + 1).
3. В разложении степени бинома
разность коэффициентов третьего и второго членов равна 77. Найти
член, не зависящий от х.
(31, 1957)
Вариант № 43
1. Решить систему уравнений:
( (х2 4- у2) (х 4- у) = 65
I ху (х 4- у) = 30.
2. В арифметической прогрессии аъ а2, . . ., а31 дано at + а3+
+ + • • •+ а31 = 784. Вычислить сумму ах + ав 4- ац+,,, + а31.
3. Решить уравнение:
—log3 log8 log2 х = 1 — log3 2.
(31, 1957)
Вариант № 44
1. В бассейн проведены две трубы. Через первую вода вливается,
через вторую — вытекает. При совместном действии обеих труб бассейн
наполняется за 6 час. Если бы первая труба наполняла бассейн часом
дольше, а вторая опоражнивала его часом дольше, то при совместном
действии обеих труб бассейн наполнился за 12 час. За сколько часов
первая труба наполняет бассейн, а вторая опоражнивает?
2. В равнобедренный треугольник вписан круг радиуса R. Найти
периметр треугольника, если угол между равными сторонами тре-
угольника равен а.
3. Упростить выражение:
*2У~ У2
(х и\ * + */ + ХУ_______________&—у^ .
1 У’ Y . „ ху (х 4- у)2 + х2у 4- ху2
L х + !/ к + ц J
, х3 4- х2г/ — х2 — ху2 — уэ 4- 2
X + ху 4- у
154
Задачи. Экзаменационные билеты и вопросы
4. Решить уравнение:
sin ( 5х
л
~2
(49, 1961)
Вариант № 45
1. Упростить выражение:
т / х / Ух — Ух — а2 Ух У х — а2
* а2 + Ух^Ух^а2
2. Решить уравнение:
A ig3 + ig(% +1) ]
lg(5x-!) + lgU + 3) +Ig6
3. Дано sin а = 0,8, cos 0 = — , а и 0 — тупые углы. Вычис-
лить cos (2а — 0).
4. Площадь равнобедренного треугольника равна Q, а угол при
вершине а. Вычислить поверхность тела, образованного вращением
этого треугольника около прямой, перпендикулярной к основанию
и проходящей через один из его концов.
(17, 1958)
Вариант № 46
1. Со станции Л в 5 час. утра вышел почтовый поезд по направ-
лению к станции В, отстоящей от А на 1080 км. В 8 час. утра со стан-
ции В по направлению к станции А вышел скорый поезд, который про-
ходил в час на 15 км больше, чем почтовый. Поезда встретились на
середине пути АВ. Когда они встретились?
2. Решить уравнение:
_1_ - 4._1_ = 2
logx8 ~ log2x8 т log4x8
3. Решить уравнение:
sin® х + cos® х = 0,25.
4. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды
равна а, двугранный угол при основании равен 0. Пирамида пересе-
чена плоскостью, проведенной через центр вписанного шара парал-
лельно основанию. Определить площадь сечения.
(14, 1960)
Вариант № 47
1. Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса
прямого угла является одновременно биссектрисой угла между высо-
той и медианой, проведенными из вершины прямого угла.
Образцы экзаменационных билетов
155
2. Решить неравенство:
2 logx а + logax а + 3 loga2je а > О,
где а > 1.
3. Доказать, что для х =/= k- 90° (k — целое число) выполняется
неравенство:
tg4 х + ctg4 х 2.
4. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник,
боковые стороны которого равны Ь, а основание а. Двугранные углы
между боковыми гранями и основанием пирамиды равны а. Определить
объем пирамиды.
(46, 1961)
§ 24. ОБРАЗЦЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ БИЛЕТОВ
Билет № 1
1. Прямая и обратная пропорциональные зависимости величин.
2. Теорема о свойстве биссектрисы внутреннего угла треугольника.
3. Вывести формулы:
• ।
arcsin х 4- arccos х = —
£
sin а + sin р = ?
(2, 1956)
Билет № 2
1. Вывод формулы
„т . „п__„т—п.,
а : а = а ;
тип — рациональные дроби.
2. Объем шарового сектора.
3. Определение площади треугольника: а) по двум сторонам и
углу, заключенному между hhi/и; б) по стороне и двум прилежащим
к ней углам.
(2, 1956)
Билет № 3
1. Решение неравенств второй степени с одним неизвестным.
2. Формула площади треугольника по трем сторонам.
3. Приведение тригонометрических функций произвольного аргу-
мента к тригонометрическим функциям острого угла.
(2, 1956)
Билет № 4
1. Доказать теоремы о метрических соотношениях в прямоуголь-
ном треугольнике.
156
Задачи. Экзаменационные билеты и вопросы
2. Десятичные логарифмы. Характеристика и мантисса. .
3. Разложить на множители:
2л4 5 + х3 4* 4х2 + х + 2.
4. Решить уравнение
4 sin2 -у- -f- sin2 х =9.
(35, 1956)
Билет № 5
1. Теорема о диаметре, перпендикулярном хорде, и обратная тео-
рема. , . '
2. Теорема Пифагора (алгебраическое доказательство).
3. Теоремы (прямые и обратные) о зависимости между двугран-
ными и их линейными углами.
4. Вывести формулу синуса суммы двух углов.
5. Решить уравнение:
2 sin2 х = 3 sin х.
(12, 1948)
Билет № 6
1. Алгебраическое выражение. Одночлен. Многочлен. Коэффициент.
2. Формула бинома Ньютона и ее свойства.
3. Упростить выражение:
4. Найти сумму п членов натурального ряда чисел.
5. Доказать, что
1
3 10g’3 = 5.
(12, 1948)
Билет № 7
1. Зависимость между корнями квадратного уравнения и его
коэффициентами.
2. Подобие многоугольников.
3. Объем усеченной пирамиды.
4. Вывод формулы тангенса суммы двух углов.
(12, 1957)
Билет № 8
1. Свойство перпендикуляра, опущенного из вершины прямого
угла на гипотенузу.
2. Поверхность шара и шарового сегмента.
3. График функции: у — sin х. Периодичность синуса.
(6, 1955)
Образцы экзаменационных билетов
157
Билет № 9
1. Приближенное извлечение корня с точностью до —— . Действия
10п
с приближенными числами.
2. График показательной функции. Способы решения показатель-
ных и логарифмических уравнений.
3. Найти х й у из равенства
(3i — 8) х + (2Z - 5) у = i,
где х и у — вещественные числа.
(6, 1955)
Билет № 10
1. См. № 137.
2. Решить уравнение
2 cos2 х + sin2 х = 3 sin ж cos х.
3. Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы сто-
рон, ее заключающих, и больше разности между этой полусуммой и
половиной третьей стороны.
(30, 1958)
Билет № 11
1. Упростить:
12
2/1 —х-0,4
—3/4 — 8х + 4х2-1
1 —х__________‘_____4_
V4 —4х
2. В равнобедренной трапеции большее основание равно 44 м,
боковая сторона 17 м, а диагональ равна 39 м. Определить площадь^’
этой трапеции.
3. Вывод формулы бинома Ньютона.
(16, 1958)
Билет № 12
1. Вычислить:
(1 + О3
(2 — 302
3 — I
2 + i
2 — i \
3 4-1/
2. В треугольнике основание равно 12 см, один из углов при нем
равен 120°, сторона против этого угла равна 28 см. Определить третью
сторону.
3. Градусное и радианное измерение углов.
(16, 1958)
158
Задачи. Экзаменационные билеты и вопросы
Билет № 13
I. Вычислить сумму:
______1_ . 1 . 1 .
К1+/3 Кз + К5 /5 + К7
4- ... _|-— 1— .
/2п - 1 + К2п 4-1
2. Известно, что
tg <р + ctg <р = а.
Найти sin ф. •
3. В усеченном конусе высота равна Л; образующая составляет
с плоскостью нижнего основания угол а и перпендикулярна к линии,
соединяющей верхний конец ее с нижним концом противоположной
образующей. Определить боковую поверхность этого*усеченного конуса.
(30, 1958)
Билет № 14
1. Доказать, что при любых вещественных значениях а, р и q
уравнение
имеет вещественные корни.
2. Решить уравнение:
tg х — 2 cos .
£
3. Доказать, что угол треугольника будет острым, прямым или
тупым, если противоположная сторона будет меньше, равна или больше
удвоенной соответствующей медианы.
(30, 1958)
Билет № 15
1. Шар. Сечение шара плоскостью. Касательная плоскость к шару.
2. Мнимое число. Комплексное число. Комплексные числа в ал-
гебраической форме и четыре действия над ними. Условия равенства
двух комплексных чисел.
3. у = cos х. Изменение этой функции. График функции.
4. Точка лежит вне круга на расстоянии диаметра от центра.
Определить угол между касательными, проведенными из данной точки
к данной окружности.
(33, 1958)
Образцы экзаменационных билетов
159
Билет № 16
1. Построение отрезка х по формулам:
х = К a2 -f- Ь2; х = х = —; х = Vab.
с с
2. Равносильные неравенства. Теорема о равносильности неравенств
при прибавлении к обеим частям неравенства одного и того же числа.
3. Решение косоугольных треугольников для случая, когда даны
три стороны: а, Ь, с.
4 Вычислить:
о • 1 со ICO, sin 60°
3 sin 15° cos 15° -]—. . ,ео---3-7=5-.
1 sin415° — cos4 15°
(33, 1958)
Билет № 17
1. Теорема Безу о делимости целого полинома на х — а-, след-
ствия теоремы.
2. Найти тот член разложения бинома
1Г| з »
\ г )
который после упрощений содержит zB, если сумма биномиальных
коэффициентов этого разложения равна 128.
3. Решить уравнение:
tg 4х — ctg 18х = 0.
(17, 1958)
Билет № 18
1. Тождества и уравнения. Теоремы о равносильности уравнений.
2. Упростить выражение:
Т*2Х+1
дп—1 р
Л2х—1 Г2х—п
3. Решить уравнение:
sin х + cos х = cos 2х
(17, 1958)
Часть V
ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД1 *
§ 25. ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 6-7-Х КЛАССОВ (II ТУР)
Вариант № 1 (6-й класс)
1. На 10 руб. куплены марки по 3 и 5 коп., причем 5-копеечных
марок на 16 штук больше, чем 3-копеечных. Сколько каких марок ку-
пили?
2. Имеются две бочки емкостью 200 000 л каждая, наполовину
наполненных водой. Как, используя ковши емкостью 2,1 л и 3,4 л,
перелить из первой бочки во вторую 1 л воды (разрешается полностью
наполнять ковш водой из одной бочки и целиком переливать эту воду
во вторую бочку)?
(1966)
Вариант № 2 (6-й класс)
1. Книгу уценили на 10%, затем еще на 20%. Сейчас книга стоит
1 руб. 80 коп. Сколько книга стоила вначале?
2. Можно ли на 10 руб. продать марки по 12 и 15 коп. так, чтобы
при этом не пришлось давать сдачу?
(1966)
Вариант № 3 (7-й класс)
1. Построить равнобедренный треугольник по высоте (проведен-
ной к основанию) и периметру.
2. Разложить на множители выражение
(Ь — с)3 + (с — а)3 + (а — Ь)3.
(1961)
Вариант № 4 (7-й класс)
1. Разложить на два множителя с целыми коэффициентами мно-
гочлен хб + х4 + 1 •
2
2. Разделить на три равные части угол, равный -у- прямого,
используя только циркуль и линейку.
1 В данном разделе приведены задачи, предлагавшиеся учащимся
в разные годы на математических олимпиадах г. Ленинграда.
Задачи для учащихся 8—9-х классоз 161
3. Внутри равнобочной трапеции выбрана точка. Доказать, что
из отрезков, соединяющих эту точку с вершинами трапеции, можно
сложить выпуклый четырехугольник.
(1966)
Вариант № 5 (7-й класс)
1. Разложить на два множителя с целыми коэффициентами много-
член х4 — 2х3 + х2 + 3.
2. Разделить угол в 72° на три равные части, используя лишь
циркуль и линейку.
3. Построить треугольник по стороне и двум медианам, прове-
денным к остальным двум сторонам.
(1966)
Вариант № 6 (7-й класс)
1. Разложить на два множителя с целыми коэффициентами много-
член х8 + х + 1.
2. Разделить угол в 7° на 7 равных частей, используя лишь цир-
куль и линейку.
3. Построить ромб по периметру и сумме диагоналей.
(1966)
§ 26. ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 8-9-Х КЛАССОВ (II ТУР)
Вариант № 7 (8-й класс)
1. Доказать, что п4+ 6п3 4* 11па + 6п делится на 24 при любом
целом и?
2. В треугольнике АВС проведены высоты AD и СЕ. Доказать,
что треугольники BDE и АВС подобны?
(1957)
Вариант № 8 (8-й класс)
1. Решить систему уравнений:
х2 — (.У — г)2 = а2
г/2 — (z — х)2 = Ь2
Z2 — (х — у)2 = с2.
2. Через вершину А квадрата ABCD проведена прямая, пересе-
кающая продолжения сторон ВС и CD в точках М и N. Доказать,
что
AM2 AN2 АВ2 ’
6
В. С. Кущенко
(1957)
162
Задачи математических олимпиад
Вариант № 9 (8-й класс)
1. Решить уравнение:
(х-а)2 + (л-д)а _ , 0
(х — о)2 — (х — &)а ~ а2 — 62 » ’
2. В треугольник, основание которого равно 2, а периметр — 8,
вписан круг. Определить длину отрезка касательной, проведенной
к кругу, параллельно основанию треугольника.
(1958)
Вариант № 10 (8-й класс)
1. Квадратный трехчлен ах2 + Ьх-\- с при х= 1 равен нулю,
при х — 2 равен 1, при х = 3 равен 4. Доказать, что тогда при любом
значении х квадратный трехчлен равен (х — I)2.
2. Даны два круга радиусов 6 и 3, один вне другого. Определить
расстояние их внешней касательной от точки пересечения их общих
внутренних касательных.
(1958)
Вариант № 11 (8-й класс)
1. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
____1+2/35
* /5 + /7 + /ТТ ’
2. Основания равнобедренной трапеции 3 и 12. Середина боль-
шего основания соединена с концами меньшего основания прямыми,
которые пересекают диагонали трапеции в двух точках. Найти рас-
стояние между этими точками.
(1958)
Вариант № 12 (8-й класс)
1. См. № 123.
2. Построить параллелограмм, две смежные вершины которого
лежат в двух данных точках, а две другие — на данной окружности.
3. Доказать, что при любом целом т число
Зт — 5 . ,. .
—-т (т — 1) (/и — 2)
будет целым.
(1961)
Вариант № 13 (8-й класс)
1. Построить трехугольник, если известны 3 точки, являющиеся
центрами его вневписанных окружностей.
Задачи для учащихся 8—9-х классоз
163
2. Решить систему:
2xj 4~ х% =0
X} -j” 2X2 Х3 = 0
Х2 2х3 Хд = О
х$ 4“ 2х9 4“ *10 = О
х9 4~ 2х10 =11.
3. См. вариант № 6, задача № 2.
(1966)
Вариант № 14 (8-й класс)
1. Построить треугольник АВС, если заданы прямая, на которой
лежит биссектриса угла С, и две точки пересечения высоты, проведен-
ной из вершины А, с вписанной в этот треугольник окружностью.
2. Решить систему уравнений:
Х1 4" х2 4" Х3 4“ 4- Х8 4" Х9 4“ 2хю = 240
Х1 4- х2 4" хз 4* ‘' 4* хв 4* 2х9 4* xio — 240
Xi 4" х2 4” хз 4~ * * 4~ 2х8 4- х9 4- хщ = 340
Xi 4~ 2x2 4- хз 4- • • • 4- х8 4~ хэ 4~ xio = 240
3xi 4~ х2 4* хз 4- ’ 4" хв 4* х9 4* xio = 340.
3. В окружность вписан правильный семиугольник. Вписать
в эту же окружность правильный 21-угольник, используя лишь цир-
куль и линейку.
(1966)
Вариант № 15 (9-й класс)
1. В арифметической прогрессии сумма п ее первых членов равна
п2 4“ 5п при любом п. Определить 10-й член прогрессии.
2. Внутри параллелограмма ABCD взята точка О. Доказать, что
сумма площадей треугольников АОВ и COD равна сумме площадей
треугольников ВОС и AOD.
(1950)
Вариант № 16 (9-й класс)
1. Найти геометрическое место точек касания двух окружностей,
которые касаются данной прямой в двух заданных точках.
2. Решить уравнение:
з ________ з _______ з _
1/а4-Кх4-1'/Ла — p^x = yrfr.
3. См. вариант № 12, задача № 3.
(1961)
164
Задачи математических олимпиад
Вариант Ns 17 (9-й класс)
1. Доказать, что неравенство х3 + 8у3 ЬхуЛ, справедливо при
х > 0, у 0.
2. См. вариант № 13, задача № 1.
3. В последовательности иъ и2, и3, . . ., uL — и2 — и3 = иЛ =
= «5= 1, а каждый следующий, начиная с шестого, равен сумме чет-
вертых степеней пяти предыдущих.
Какой остаток при делении на 5 дает Ui966?
(1966)
Вариант № 18 (9-й класс)
1. Доказать, что для любых положительных х и у
2. Пусть hx, h2, hs — высоты треугольника, г — радиус вписан-
ной в него окружности.
п 2 1.1,1
Доказать: — = — + — +-]-.
3. В последовательности ult и2, и3, . . ., — и2 = 1, а каждое
число, начиная с третьего, есть сумма квадратов двух предыдущих.
Делится ли на 7 и13в6?
(1966)
Вариант № 19 (9-й класс)
1. Доказать, что для любых положительных а и с
5
а3 4- 2с3 -у ас2.
£
2. Медианы треугольников имеют длины 9, 12, 15. Чему равна
площадь треугольника?
3. Доказать, что 22-угольник нельзя разрезать на 7 пятиуголь-
ников.
(1966)
Вариант № 20 (9-й класс)
1. Доказать, что для любых положительных чисел х1г х2, х3, х4
выполняется неравенство
(Х1 4" 0 (*2 4" 2) (*з 4" 4) (х4 + 8) (Х1%3 -|- 2) (*2*4 + 4).
2. Доказать, что если радиусы двух вневписанных окружностей
треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
3. Доказать, что 17-угольник нельзя разрезать на 12 четырех-
угольников таких, что их вершины либо совпадают с вершинами
17-угольника, либо лежат внутри его, причем ни одна из верщин
какого-либо четырехугольника не может быть внутренней точкой сто-
роны другого четырехугольника.
(1966)
Задачи для учащихся 10— 11-х классов
165
8 27. ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 10-11-х КЛАССОВ (II ТУР)
Вариант № 21
1 Доказать тождество:
1!(л_1)! + 3!(п-3)! 5!(и-5)! п!
2. Доказать, что четыре прямые, соединяющие вершины тетраэдра
с точками пересечения медиан его противоположных граней, пересе-
каются в одной точке и делятся в отношении 1 : 3.
3. Решить уравнение:
32 cos6 х — cos 6х = 1.
(1950)
Вариант № 22
1. В правильном тетраэдре середина высоты соединена прямыми
с вершинами основания. Доказать, что эти прямые взаимно перпенди-
кулярны.
2. Найти вещественные корни системы уравнений:
(х + у)ъ = х5 + у5
х3 4- х2у 4- Зх2 4- Зу2 4- Зх — 4у 4-1 =0.
3. Расположить в порядке возрастания ряд чисел
sin 1, sin 3, sin 5, sin 7, sin 9.
(1959)
Вариант № 23
1. Пусть a, b и с — длины _сторон треугольника. Доказать, что
тогда из отрезков длины У а, Иb и Ус также можно построить тре-
угольник.
2. Через ребро треугольной пирамиды ВДВС проводится-
биссектральная плоскость двугранного угла, образованного гранями
SAB и ВДС. Ребро ВС делится этой плоскостью на два отрезка длины Ь
и с. Доказать, что площади граней S4B и S4C относятся как с к Ь.
3. Чему равна сумма
1g (2 tg 1°) + lg (23 tg 3°) 4” • • + lg (289 tg 89°).
(1960)
Вариант № 24
1. Доказать, что при соединении трех вершин правильного тетра-
эдра с серединой высоты, опущенной из четвертой вершины, полу-
чающиеся отрезки будут попарно перпендикулярны.
2. Доказать, что
а4 4-64^2а/?3,
если а Ь 0.
166
Задачи математических олимпиад
3. Найти сумму всех таких пятизначных чисел, в которых каждая
из цифр 5, 6, 7, 8, 9 встречается ровно по одному разу в каждом числе.
1961)
Вариант № 25
1. На сторонах двугранного угла в 45° расположены точки А
и В. Расстояния А А' и ВВ' от этих точек до ребра двугранного угла
одинаковы и равны Ь. Найти длину отрезка А'В' на ребре двугранного
угла, если известно, что расстояние в пространстве между точками А
и В равно а.
2. Доказать, что
lg(o + 6)-lg(a-b) = 4'lg2’ , * *
если а^> Ь^> 0 и а2 3 + Ь2 = 6аЬ.
3. Доказать, что числа вида п12—п8— n4 * * * + 1 при всех нечет-
ных п делятся на 512.
(1961)
Вариант № 26
1. В пространстве даны три параллельные прямые. Провести
плоскость так, чтобы треугольник с вершинами в точках пересечения
ее с данными прямыми имел минимальную площадь.
2. См. № 551.
3. Доказать тождество
tg a tg 2а tg За = tg За — tg 2а — tg а.
(1962)
Вариант № 27
1. В прямоугольном параллелепипеде со сторонами АВ = 12,
АС = 12, АЕ_= 30 точка М лежит на грани ABCD, причем МА =
— МВ = К37. Точка N, лежащая на противоположной грани, сим-
метрична М относительно точки пересечения диагоналей параллеле-
пипеда.
Найти длину кратчайшего пути, проходящего по поверхности
параллелепипеда и соединяющего точки М a N.
2. Найти Нт —- 4———!——- +
К л \ 1 + К 2 К2 + К 3
Кп — 14-Ил/
3. См. вариант № 18, задача № 3.
^(1966)
Вариант № 28
1. В треугольной пирамиде SABC AS — BS = АС — ВС, AS —
— CS = АВ — ВС, BS — CS = АВ — АС. Доказать, что в про-
странстве есть точка, равноудаленная от всех ребер пирамиды.
Задачи для учащихся 6—11-х классов
167
л
2. «1 2"»
= sin Un-i — un-i-
и2 = sin Ui — ult u3 = sin u2 — u2, . . ., un =
Чему равен lim ип, если известно, что этот пре-
дел существует?
3. См. вариант
№ 19, задача № 3.
(1966)
Вариант № 29
1. Основания прямой призмы — правильные шестиугольники та-
кие, что радиус вписанной в них окружности равен 3; высота призмы —
23. Точка А является серединой апофемы нижнего основания, а точка В,
лежащая на верхнем основании, симметрична с А относительно сере-
дины отрезка, соединяющего центры оснований.
Какова длина кратчайшего пути, соединяющего Л и В и лежащего
целиком на поверхности призмы.
2. Найти lim -3— /-------3------§---Ь --------3-----з----F
П^°° / п \ 1 + К 2 + К 4 4- К 6 4- / 9
3. См. вариант № 17, задача № 3.
(1966)
Вариант № 30
1. Основание четырехугольной пирамиды — равнобочная трапе-
ция, средняя линия которой равна боковой стороне, а вершина проек-
тируется на середину средней линии основания.
Доказать, что в этой пирамиде есть точка, равноудаленная от всех
пяти граней.
0 л «
2. Щ , и2 = 1 - COS иъ U3 = 1 — COS «2» • • м
ип = 1 — cos ип_ъ
Найти Пт ип, если известно, что этот предел существует.
/1->оо
3. Доказать, что в многограннике число граней, являющихся
многоугольниками с нечетным числом вершин, четно.
(1966)
§ 28. ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 6—11-х КЛАССОВ (III тур)
Вариант № 31 (6-й класс)
1. Три стрелка Анилов, Борисов, Воробьев сделали по 6 выстре-
лов по одной мишени и выбили поровну очков. Известно что Анилов
в первые три выстрела выбил 43 очка, а Борисов первым выстрелом
выоил 3 очка. Сколько очков на каждый выстрел выбил каждый стре-
лок, если в 50 было 1 попадание, в 25 — 2, в 20— 3 в 10_3 в 5__2
в 3 — 2, в 2 — 2, в 1 — 3? ’ ’
168
Задачи математических олимпиад
2. Доказать, что шахматную доску 10X10 нельзя покрыть 25 фи-
гурами вида ______________
3. В клетках шахматной доски стоят натуральные числа так, что
каждое равно среднему арифметическому своих соседей. Сумма чисел,
стоящих в углах доски, равна 16. Найти число, стоящее на поле Е2.
4. Имеется шахматная доска 100X100. Каково наименьшее число
букв, которые можно поставить так, чтобы никакие две одинаковые
буквы не стояли рядом (от одной нельзя перейти к другой хбдом короля).
5. Отряд пионеров выстроен прямоугольником. В*каждой шеренге
берется самый высокий, из них выбирается самый низкий. В каждой
колонке выбирается самый низкий и среди них выбирается самый вы-
сокий. Какой из этих пионеров выше?
6. Найти произведение трех чисел, сумма которых равна сумме
их квадратов, равна сумме их кубов и равна 1.
(1964)
Вариант № 32 (6-й класс)
1. В переплетной мастерской было 92 листа белой бумаги и 135 ли-
стов цветной бумаги. На переплет каждой книги уходило по листу
белой и листу цветной бумаги. После переплета нескольких книг белой
бумаги осталось вдвое меньше, чем цветной. Сколько книг было пере-
плетено?
2. Доказать, что если перемножить все целые числа от 1 до 1965,
то получится число, последняя ненулевая цифра которого четная.
3. Передние покрышки автомобиля стираются через 25 000 км
пути, а задние через 15 000 км. Когда нужно поменять покрышки
местами, чтобы они стерлись одновременно?
4. Прямоугольник 19X65 см разбит прямыми, параллельными
его сторонам, на квадратики со стороной 1 см. На сколько частей ра-
зобьется этот прямоугольник, если в нем провести еще диагональ?
5. Найти делимое, делитель и частное:
хххххх ххх
хххх
XXX
XXX
хххх
хххх
о
6. Нечетные числа от 1 ДО 49 выписаны в виде таблицы:
1 3 5 7 9
11 13 15 17 19
21 25 27 29
31 33 35 37 39
41 43 45 47 49
Задачи для учащихся 6—11-х классов
169
Выбираются 5 чисел, любые два из которых не стоят в одной строчке
или в одном столбце.
Чему равна их сумма? (1965)
Вариант № 33 (6-й класс)
1. Какое из чисел больше,
1965 нулей 1966 нулей
io. ?.оГ ю. ?.О1',
10. . .01 ИЛИ 10. . .01 ?
1966 нулей 1967 нулей
2. В футбольном чемпионате участвуют 30 команд. Каждые 2 коман-
ды должны сыграть между собой один матч.
Доказать, что в любой момент найдутся две команды, сыгравшие
к этому моменту одинаковое число матчей.
3. На доске выписаны все целые числа от единицы до 1966. Разре-
шается стереть два любых числа, записав вместо каждого из них раз-
ность. Доказать, что многократным повторением такой операции нельзя
добиться, чтобы на доске остались только одни нули.
4. На белую плоскость брызнули черной краской. Доказать, что
найдутся три точки одного цвета, лежащие на одной прямой, причем
так, что одна из точек лежит посередине между двумя другими.
5. В шахматном турнире играют более трех шахматистов и каждый
играет с каждым одинаковое число раз. За победу — одно очко, за
ничью за поражение — ноль. В турнире было 26 туров. После
13 тура один из участников обнаружил, что у него нечетное число
очков, а у каждого из остальных участников четное число очков. Сколько
шахматистов участвовало в турнире?
(1966)
Вариант № 34 (7-й класс)
*
1. Дан выпуклый n-угольник; все его углы тупые. Доказать;**»
что сумма диагоналей больше суммы сторон.
2. Найти целые значения для х и у, чтобы х4 + 4у4 было простое
число.
3. Дан треугольник АВС. На его сторонах строятся параллело-
граммы ABK.L, BCMN и ACFG. Доказать, что из отрезков K/V, MF
и GL можно составить треугольник.
4. См. вариант № 31, задача № 2.
5. Найти наибольшее число различных натуральных чисел, ка-
ждое из которых меньше 50 и каждые два из которых взаимно просты.
6. Дан треугольник ABC. D и Е — середины сторон АВ и ВС.
1очка М лежит на АС, МЕ^> ЕС. Доказать, что MD <« AD.
(1964)
Вариант № 35 (7-й класс)
С Доказать, что целое положительное число,
число делителей, является точным квадратом.
имеющее нечетное
170
Задачи математических олимпиад
2. В треугольнике АВС с площадью S проведены медианы Л/С,
BE, пересекающиеся в точке О.Найти площадь четырехугольника СКОЕ.
3. См. вариант № 32, задача № 3.
4. Прямоугольник 24X60 разбит прямыми, параллельными его
сторонам, на единичные квадраты. На сколько частей разобьется этот
прямоугольник, если в нем провести еще диагональ?
5. Пусть [а] означает наибольшее целое число, не превосходя-
щее а. Решить уравнение:
Г 5 6х 1 _ 15х — 7
L 8~ J “ г~
6. На белую плоскость брызнули черной краской. Доказать, что
найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно
1965 метрам. *
(1965)
Вариант Ks S6 (7-й класс)
1. См. вариант № 33, задача № 3.
2. Доказать, что радиус окружности равен разности длин двух
хорд, одна из которых стягивает дугу в Vio окружности, а другая
дугу в 3/10 окружности.
3. Доказать, что при любом натуральном п число
п (2л + 1) (Зл + 1) . . . (1966л + 1)
делится на каждое простое число, меньшее 1966.
4. См. вариант № 33, задача № 4.
5. л точек на плоскости расположены так, что любой треугольник
с вершинами в этих точках имеет площадь меньше 1. Доказать, что
все эти точки можно заключить в треугольник площади 4.
(1966)
Вариант № 37 (8-й класс)
1. Найти все простые числа р, qn г такие, что pgr — 5 (р 4~ g 4- г).
л раз
n „ ab a abb. ..ba -г
2. Доказать, что если -=- = —, то ~гт--------г-==—, где ab
ус с bb. . .Ьс с
п раз
означает число с цифрами а и Ь.
3. Построить треугольник по периметру, высоте и углу при осно-
вании.
4. Доказать, что квадрат суммы л различных квадратов целых чи-
сел также является суммой л квадратов, не равных нулю целых чисел.
5. В четырехугольнике ABCD проведены диагонали АС и BD.
Доказать, что если окружности, вписанные в ДЛВС и ДЛРС, касаюТЬя
друг друга, то и окружности, вписаннйе в ДВЛР и &BCD, также
касаются.
6. Если числа аил взаимно простые, то найдутся целые числа х
и у такие, что | х | < Кп, I | <С Кл и ах — у делится на л. Доказать.
(1964)
Задачи для учащихся 6—11-х классов
171
Вариант № 38 (8-й класс)
1. Прямоугольник 24 X 60 разбит прямыми, параллельными его
сторонам, на единичные квадраты. Провести еще одну прямую так,
чтобы после этого прямоугольник оказался разбитым на наибольшее
возможное число частей.
2. Через поле идет прямая дорога. Турист стоит на дороге в точке А.
Он может идти по дороге со скоростью 6 км/час и по полю со скоростью
3 км/час. Найти геометрическое место точек, в которые турист может
попасть за час ходьбы.
3. См. вариант № 35, задача № 5.
4. В некотором государстве каждые два города соединены дорогой.
На каждой дороге разрешено движение только в одном направлении.
Доказать, что найдется город, выехав из которого, можно объехать все
государство, побывав в каждом городе только один раз.
5. Найти 8 простых чисел, сумма квадратов которых на 992 меньше,
чем их учетверенное произведение.
Вариант № 39 (8-й класс)
1. См. вариант № 36, задача № 4.
2. См. вариант № 36, задача № 3.
3. См. вариант № 36, задача № 6.
4. Доказать, что сумма всех делителей числа и2 (включая 1 и и2)
нечетна.
5. В четырехугольнике три тупых угла. Доказать, что большая из
двух его диагоналей выходит из вершины острого угла.
6. Числа хь х2, х3, х4, х6 и т. д. строятся по следующему правилу:
Xj -j- 1 1
Xi = 2, х2 = , х3 = -g^—, х4 = , . . .
Доказать, что сколько бы мы ни продолжали такое построение, все
получающиеся числа будут не меньше 1/5 и не больше 2.
(19^.
Вариант № 40 (9-й класс)
1. См. вариант № 37, задача № 3.
2. Внутри единичного квадрата расположена 51 точка. Доказать,
что среди них найдутся три, умещающиеся в круге 7? —
3. Доказать, что если при натуральном и
Г п 1 । Г п 1 > . Г п 1 г> , Г п —11, Г п —11,
L 1 J чт]+ " +[vj ~2 + [—] + [“3“J +“ +
Г п—1 1
' 77---Г г где — целая часть числа а,
т. е. наибольшее целое число, не превосходящее а, то число п — простое.
чисй Доказать, что квадрат суммы п квадратов различных целых
„„ „ ’ не равных нулю, есть сумма п квадратов целых чисел, каждое
из которых отлично от нуля.
172
Задачи математических олимпиад
5. В ДЛВС вершина А соединена с точкой D, лежащей на ВС.
а) доказать, что центры окружностей, описанных около треуголь-
ников ABD, ADC и АВС и точка А лежат на одной окружности;
б) найти точку D, для которой радиус этой окружности минимален.
6. См. вариант № 37, задача № 6.
(1964)
Вариант № 41 (9-й класс)
1. Дан угол. Двумя отрезками длины 1 отсечь от него четырех-
угольник наибольшей площади.
2. Параллелограмм разбит прямыми, параллельными его сторо-
нам, на несколько частей, причем одна его сторона разбита на т частей,
а другая — на п частей. На какое наибольшее число частей можно
разбить параллелограмм, если провести еще одну прямую?
3. Длины сторон треугольника АВС удовлетворяют соотношению
АВ-ВС-СА С 60.
На сторонах АВ, ВС и С А выбираются соответственно точки С,
А' и В'. Доказать, что
АС-СВ- ВА'-А'С- СВ' - В'А< АВ-ВС- СА.
4. Пусть Д2, • • -Ап и Blt В2, . . ., Вп — дре перестановки
из чисел 1, 2, . . ., л. Доказать, что при четном п какие-нибудь два
из чисел Лх + Вх, Л2+ В2, • • Лл+ Вп дают при делении на п
одинаковый остаток.
5. п кругов на плоскости занимают площадь 1. Доказать, что из
них можно выбрать несколько непересекающихся кругов, сумма пло-
щадей которых больше 1/9.
(1965)
Вариант № 42 (9-й класс)
1. Вырезать из данного прямоугольника ромб наибольшей пло-
щади.
2. Сколько решений в целых числах имеет уравнение:
\Ах + V~y = /i960.
3. Доказать, что можно раскрасить плоскость с помощью девяти
красок таким образом, чтобы расстояние между любыми двумя точками
одного цвета было отлично от 1966 м.
4. р и q простые числа, qa 1 делится на р, р — 1 делится на q.
Доказать, что р = 1 + q + q2-
5. На сторонах треугольника АВС, как на гипотенузах, строятся
во внешнюю сторону равнобедренные прямоугольные треугольники
ABD, ВСЕ, ACF. Доказать, что отрезки DE и BF равны и взаимно
перпендикулярны.
6. Имеется k красок. Сколькими способами можно раскрасить
стороны данного правильного n-угольника так, чтобы соседние стороны
были окрашены в разные цвета (многоугольник поворачивать нельзя).
(1966)
Вариант № 43 (10—11-е классы) •»
1. Внутри единичного квадрата расположен выпуклый л-уголь-
ник Р. Доказать, что при любом п найдутся три вершины А, В, С
п е / ЮО
л-угольника Р такие, что <С—— ,
Задачи для учащихся б—11-х классов
173
2. На плоскости задана система координат. Пусть N — число
точек с целыми координатами х и у, удовлетворяющими условию х2 +
+ У2 <3 л2» где п — Целое число. Доказать, что
2V > 3 (п - 1)а.
3. Дана окружность единичного радиуса и на ней четыре точки.
Через каждые две соседние точки проведена окружность единичного
радиуса. Доказать, что четыре точки пересечения последовательных
окружностей лежат на одной окружности.
4. Пусть ап показатель, с которым 2 входит в число п (т. е. п =
= где k — нечетное). Обозначим через Sn = 4- а2 + • • •
• Доказать, что в последовательности Sx, S2, . . ., S2«—i
количество четных и нечетных чисел отличаются на единицу.
5. На плоскости даны две точки А и В и прямая СК. Найти на
прямой СК такую точку Е, чтобы АЕ + BE = d, где d — заданное
число.
6. Пусть S — набор натуральных чисел, меньших данного про-
стого числа Р, таких, что если в набор входят числа а и Ь, то в него
входят и остатки от деления чисел ab, а2 и Ь2 на Р. Доказать, что если
в наборе S не менее двух чисел, то сумма всех чисел, входящих в S,
делится на Р.
(1964)
Вариант № 44 (10—11-е классы)
1. Решить в целых числах уравнение:
бху — 4х + 9у — 366 = 0.
2. Найти сумму
______1_____+________! +... + !_
cos a cos 2а cos 2а cos За____________________________cos(n— 1) а cos па
3. См. вариант № 4, задача № 5.
4. На стороне АВ треугольника АВС взята произвольная точка Мг.
Из центра А радиусом АМг проводится внутри Л АВС дуга
до стороны АС (Л42 на АС), затем из центра С радиусом СМ2 проводится
внутри Д АВС дуга Л42Л43 до стороны ВС (М3 на ВС), из центра 4 ра-
диусом ВМ3 дуга Л43Л44 до стороны АВ, затем снова из центра А радиу-.
сом ЛМ4 дуга Л447И6 до стороны АС и т. д. пока линия их дуг не замке
нется. Найти длину полученной замкнутой дуги, если стороны тре-
угольника а, b и с, а радианная мера противолежащих углов а, 0 и у.
(10-й класс)
5. Доказать неравенство (а+ Ь)п 2л—1 • (ап + Ьп), где а 0
и b 0.
(11-й класс)
6. Дан куб 12X12X12, который разрезан плоскостями, парал-
лельными граням куба, на единичные кубики. На сколько частей раз-
делится данный куб, если в нем провести сечение в виде правильного
шестиугольника?
7. Даны три окружности. Найти на плоскости такую точку, чтобы
правые касательные из нее к окружностям (глядя из точки) образовали
одна с другой равные углы.
(1965)
174
Задачи математических олимпиад
Вариант № 45 (10—11-е классы)
1. См. вариант Яе 42, задача № 1.
2. См. вариант № 42, задача № 2.
3. Доказать, что можно так раскрасить плоскость с помощью
11 красок, чтобы расстояние между любыми двумя точками одного
цвета было отлично от 1966 м.
4. См. вариант № 42, задача № 6.
5. Для каких е можно разбить отрезок длины 2а на и отрезков,
каждый из которых не больше а, причем так, чтобы из них нельзя было
составить отрезка, длина которого отличается от а меньше, чем на е.
6. Найти все комплексные решения системы уравнений:
4- %2 + • • • + хп — п
Х1 4* х2 + " ’ 4" *п ~ п
Х1 + х2 Н" '' ' “Ь 4 = п
, 4+4 + ••• +хПп=п- *
(1966)
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Часть I
АЛГЕБРА
§ 1. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ*
I. Однозначных чисел 9, число цифр 9, двухзначных чисел 90,
число цифр 2- 90; трехзначных чисел 900, число цифр 3-900; четырех-
значных чисел 9000, число цифр 4-9000; следовательно, для нумерации
страниц использованы все однозначные, двузначные, трехзначные
и сколько-то четырехзначных чисел, т. е.:
1- 9 + 2- 90 + 3- 900 + 4х = 3869,
страницы.
и е 1-е. На большом лугу косили все косцы полдня
откуда х = 995.
Ответ. 1994
2. Решен
и половина косцов вторую половину дня, следовательно, за вторую
часть дня они скосили большего луга. Если принять за единицу пло-
О
щадь большего луга, тогда площадь меньшего луга равна Отсюда
„1 1 1
следует, что на меньшем лугу осталась нескошеннои --г- = часть
Z О О
луга, которую скосил один косец за день; это является средней произ-^
во дител ьностью каждого косца за один день. За один день косцы ско-- '
14 4 1
сили 1 -р — — — всей площади обоих лугов. Всех косцов было — : —
3 3 3 6
= 8 (человек).
Решение 2-е. Обозначим число всех косцов х; тогда можно
считать, что на первом большем лугу работало полдня х + — косцов.
Второй луг косили полдня косцов и целый день один косец или
2 косца полдня; отсюда (принимая за единицу производительность
* В этом параграфе некоторые задачи допускают как алгебраическое гак
курсаФарифмеСти°киРеШеНИе; °”И М°ГУТ б“ТЬ использованы при повторении
176
Ответы и решения
каждого косца за полдня):
у + х = 2(у+2).
Ответ, х = 8 чел.
3. Обозначим х количество лет сына в данный момент; имеем 2х —
— 3 (х — 6) = х; х = 9.
Ответ, х = 9.
4. Число лет гражданина равно сумме цифр четырехзначного числа,
каждая из этих цифр не больше 9. Итак, гражданину не больше 36 лет,
следовательно, он родился в XIX веке. , -
Если обозначить х — число десятков, а у — чцрю’едйниц года
рождения, то сумма цифр года рождения
1 4- 8 + х + у = 87 - (10х + у\
т. е. 11х + 2у = 78.
Из последнего равенства вытекает, что х — 6, поэтому у — 6.
Ответ. 21 год.
5. Обозначим N = 1-2«3. . .100. Число нулей этого произведе-
ния равно числу множителей его, кратных десяти. Но 10 = 2- 5, по-
этому число нулей на конце данного произведения соответствует числу
пар множителей 2 и 5. На 2 делятся все четные числа произведения
1*2.. .100, на 5 делятся числа, оканчивающиеся цифрами 5 и 0; послед-
них множителей меньше, поэтому достаточно определить их. Множи-
телей, кратных 5, будет 20, кроме того, 4 множителя, кратных 25.
Всего 24 пары множителей 2- 5.
Ответ. Число оканчивается 24 нулями.
6. Указание. Пусть искомое число имеет вид: 102« х + 10- у-\-
+ z. Имеем: 102-х + 10«# + z = 1Ь (х2 + у2 + г2), при этом х +
+ у + z 27. Из условия делимости на 11 находим; х — у + z = 0
или х — у + г = 11, так как х — у + г 18.
а) Если х — у + z = 0, то # = х + z, следовательно,
х2 + г2 -f- (z — 5) х —=0.
Легко понять, что z — число четное, поэтому оно может принимать
одно из следующих значений: 0, 2, 4, 6, 8. При этих значениях z нахо-
дим из двух предыдущих равенств х и у, а следовательно, и искомое
число равное 550.
б) Аналогично находится второе число 803 при условйи, что х —
— у 4- z = 11.
Ответ. 550 и 803.
Задачи на составление уравнений
177
7. В заданном числе 192 цифры, из которых вычеркиваем сто. Пер-
вые пять девяток слева в числе остаются (в числах 9, 19, 29, 39 и 49);
при этом вычеркнуто 8 + 4 X 19 = 84 цифры. Следующая цифра
в числе не может быть девяткой, так как тогда пришлось бы вычерк-
нуть еще 19 цифр, т. е. всего 19 + 84 = 103 цифры. Поэтому вычер-
кивается 15 цифр до семерки в числе 57 и цифра 5 в числе 58. Всего
вычеркнуто 84 + 15+ 1 = 100 цифр. Оставшиеся цифры изображают
искомое число.
Ответ. 999997859606162. . .100.
8. Пусть х и у целые числа, их разность d, остаток г:
х — у = d\ х = у + d.
При делении первого числа на разность получим: х = kd + г, где
k— частное. Следовательно, kdг = уd, откуда второе число
у = (k — 1) d + г. Итак, при делении целых чисел х и у на их раз-
ность d получаются равные остатки г, а их частные отличаются на
единицу.
9. Обозначим первое число 8х, второе (х2 — 1); произведение
этих чисел 8х (х2 — 1) = 8х3 — 8х, сложенное с первым из них, дает
куб некоторого числа, равного 8х3 = (2х)3. Если к этому произведению
прибавить второе число, то получим 8х3 — 8х+х2 — 1, которое
должно равняться кубу некоторого числа. Обозначая это число 2х — 1,
находим уравнение:
(2х — I)3 = 8х3 — 8х + х2 — 1,
14
откуда х — уд.
Обозначения искомых чисел выбраны так, чтобы получить простей-
шие уравнения для решения данной задачи.
л о Н2 , , 27
Ответ. 8х = jy, хз_1=—.
10. Наименьшее число, записанное с помощью единиц, кратное 3,
есть 111, т. е. имеет 3 единицы; наименьшее число, кратное 33, есть
111 111, т. е. 3-2=6 единиц. Наименьшее число, кратное 33. . .3, есть
п цифр
число 111 111 .. .111, т. е. число, записанное Зл единицами, где л—
Зп
число цифр делителя (для данной задачи л — 100).
11. Допустим, что искомые числа больше заданных на х и они
будут: а + х, и + х и с + х. По условию эти числа образуют непре-
рывную пропорцию, т. е.
о + х _ Z> + х
b + х ~ с-фх ’
откуда
х = —62 —ас
а + с —26 ‘
178
Ответы и решения
Значения х>> 0, если
Ь2 — ас > О и а + с^> 2b (1)
или если
Ь2 — ас <4 О и а 4“ с <- 2Ь. (2)
Из неравенств (1) находим, что
>Ь> У ас. (3)
Из неравенств (2) получим неравенства
- <Ь< ]^ас, (4)
не имеющие смысла.
Итак, задача имеет решение, если выполняются неравенства (1).
12. Обозначим сумму всех трех чисел (а, b и с):
а + b + с = (1 + х)2 = х2 + 2х + 1.
Если сумма двух первых чисел а 4* b = х3,*то третье число с —
= 2х+1. Если сумма второго и третьего b 4* с = (х — I)2 = х2 —
— 2х 4- 1, то число а = 4х, поэтому b = х2 — 4х. По условию сумма
первого и третьего чисел, т. е. а 4“ с = 6х 4~ 1 должна быть квадра-
том. Полагая, например, 6х 4* 1 = 121, находим: х= 20.
Ответ, а = 80, b = 320, с = 41.
Легко найти и другие решения, например: а = 112,6= 672, с — 57.
14. Указание. Обозначая искомые числа соответственно х
и у, имеем:
х4-1/ х — у _ ху
5 “ 1 18 "
Ответ. 9 и 6.
15. Указание. Имеем: х2 — у2 — 133.
(х 4- у) (х — у) = 19- 7 = 133-1,
или
X 4-1/= 19
х — у=1\
х 4- У = 133
х — у = 1.
Решая эти системы уравнений, находим две пары чисел.
Ответ. 13 и 6; 67 и 66.
16. Указание. Если обозначить х — число единиц, у —
число десятков искомого числа, то
( 10«/ 4- х = 3 (х 4- у)
I (х 4- у)2 = 3 (Юг/ + х).
Ответ. 27.
Задачи на составление уравнений
179
17. Составим геометрическую пропорцию:
t: х = у : z.
Тогда, согласно условию,
/+ г= 25,
х + у = 2S1(
/2 + х2 + у2 + z2 = 4с2,
ху = tz.
Обозначая ху = tz — q, после очевидных преобразований на-
ходим: q = S2 + S2 — с2, что дает возможность найти все члены про-
порции.
Ответ.
t=s + y~f—^,
z=S- У(P—Sl,
x = S1+/C2-52 ,
г/= ^-^2-52 .
18. Обозначим числа alt а2, а3, ait а5, а6....ам и докажем,
что они принимают не более четырех различных значений.
Допустим, что среди этих 4п чисел будет больше четырех чисел,
различных между собой, например:
ai <$ а2 <С аз < ak (£ = 5, 6, 7, . . ., 4п).
По условию из четырех любых чисел, попарно различных, можно
составить геометрическую пропорцию:
а, а3
— axa4 = а2а3, (1)
с*2 ид
а1 а4
а1а3 = а2а4, (2)
Cig Ug
а1 а4
аха3 = a3at. (3)
^3 ^2
Из трех пропорций имеет место только первая; вторая и третья
невозможны, так как
ai <$ ^2 и а3 <5 ait
Gg И 0,2
Составляя пропорцию
°х __ G3
аг ~ ak
180
Ответы и решения
и сравнивая ее с (1), находим: а4 = а*, что противоречит допущению.
Отсюда заключаем, что каждое из 4п чисел будет принимать,одно из
четырех возможных значений, поэтому среди этих чисел встретится п
одинаковых.
19. В сутки часовая стрелка делает 2 оборота, а минутная— 24.
Отсюда минутная стрелка обгоняет часовую 22 раза и каждый раз
с часовой стрелкой образует по два прямых угла.
Ответ. 44 раза.
20. Допустим, что стрелки часов движутся равномерно. Пусть до
встречи стрелок часовая стрелка прошла х минутных делений цифер-
блата; минутная стрелка за это время пройдет 45 + х делений. Так
как минутная стрелка движется в 12 раз быстрее часовой, то 12х =
= 45 + х, откуда х = 4 д минутных делений.
Ответ. Через 49 мин.
21. Промежуток времени, за который собака пробегает 4 м (2 скач-
ка) лисица пробежит только 3 м (3 скачка), следовательно, расстояние
между ними сокращается на 1 м. Начальное расстояние между собакой
и лисицей равно 30 м, поэтому собака догонит лисицу на расстоя-
нии 120 ж от точки А.
Ответ. 120 м.
22. Указание. Обозначим номинальную цену книги х руб.
Магазин должен уплатить издательству 0,9х руб. Наценка в процен-
тах составит:
х — 0,9х „„ _ 100
~0Дх 1Ш~ V
Ответ. 11,11%.
„ 480 480 . „
23. Указание. — =----j—:-х- + 5,
х x-f- 16
прочитанных в день.
где х — число страниц,
Ответ. 15 дней.
24. Обозначим длину пути х километров. Время, за которое кол-
X
хозник пройдет этот путь со скоростью 3 км/час, равно -х- часа. Часть
О
пути, оставшаяся через час после выхода из села, равна (х — 3) км.
~ „ v х — 3 —,
С новой скоростью колхозник пройдет этот путь за —-— час. Если
колхозник будет идти с первой скоростью, то опоздает на 40 мин.,
(х 2 \
-о-----о- ) часа.
о о /
Через час после выхода время, которое останется до отходу поезда,
(х 5 \
—х-) часа. Учитывая, что с новой скоростью колхозник
и О J
Задачи на составление уравнений
181
придет раньше на 45 мин., находим уравнение:
х 5 х — 3 3
“3 3 4~~ ~ 4 ’
Ответ. 20 км.
25. Указание. Положительный корень заданного уравнения
равен 5. Обозначая скорость лодки в стоячей воде х км/час, скорость
лодки по течению (х + 2,4) км/час, имеем:
5 5 _ 4000
х — 2,4 + х + 2,4 “ 3600 ’
откуда Xi = 9,6 (х2 0).
Ответ, х — 9,6 км/час.
26. Указание. Допустим, что обе трубы заполняют бассейн
за х часов. Тогда:
X + 2 X + 4,5 х ’
откуда х — 3.
Ответ. I труба за 5 час., II — за 7,5 часа.
27. Пусть скорость товарного поезда равна х км/час, а скорость
пассажирского поезда равна (х + 5) км/час. За 15 час. пассажирский
поезд пройдет (х + 5)« 15 км. Товарный поезд находится в пути 16,5 часа
и пройдет путь х-16,5 км.
Учитывая условие задачи, составим уравнение:
(х + 5)-15 = х-16,5+ 21, откуда х = 36.
Ответ, х = 36 км/час.
28. Из того что оба туриста Р и М из пункта А отправились одно-
временно и прибыли в пункт В тбже одновременно, можно сделать за-,
ключение, что расстояние, пройденное первым туристом пешком в на-
чале пути, а вторым туристом — в конце пути, одно и то же; обозначим
его х.
Время, за которое турист М прошел х км со скоростью км/час,
соответствует времени, за которое мотоциклист N со скоростью и2 км/час
проехал путь, равный (2s — Зх) км ](s — 2х) км до встречи с тури-
стом Р и (s — х) км после встречи]. Отсюда
2L = 2s ~3* х = 2^i ,п
Vi v2 ’ v2 + 3vr *
Каждый из туристов прошел пешком х км и проехал на мотоцикле
(s — X) км; отсюда искомое время, затраченное туристами на поеодо-
ление всего пути, г
— 4- S~X
V2 *
<2)
182
Ответы и решения
Из соотношений (1) и (2), исключая х, находим значение t.
Л , s (Зо2 4“ ^i)
Ответ, t — —75—7—. X
t>2 (3ui + O2)
29. Указание. Обозначив х и у число часов, затраченных
для выполнения всей работы соответственно первым и вторым рабочим,
составить систему уравнений
13
~6~Ху
, 5
х + у==~\8ху-
Ответ. хх =6, уг = 9; х2 = 9, у2 = 6.
30. Обозначим через х и у соответственно число частей первого
и второго сплавов, содержащихся в новом сплаве. Следовательно,
1 2 2
в новом сплаве будет содержаться -гХ-\- -= у перёого металла и х +
и О о
. 3
+ у второго металла.
э
Поэтому
2
3
1 . 2
з' + Г
17
27
откуда
5х -|- бу 17
10x4-9// = 27 ’
_______9_
У ~ 35 ’
. х
Итак, в новом сплаве содержится 9 частей первого и 35 частей
второго сплава.
' Ответ, х : у = 9 : 35.
31. Обозначим через х и (х — 2) время работы в часах первого
и второго двигателя. По условию
600. Ох 384
— (х — 2) =-----х-х,
х х — 2
т. е. 9х2 — 100х + 100 = 0; откуда хг = 10.
_ 600 „ 384 .й
Следовательно, -77- = 60; — = 48.
1U о
Ответ. 60 а и 48 г.
32. Пусть на стороне квадрата укладывается х шаров, а на стороне
треугольника (х+ 2) шара. Число всех шаров в первом случае равно
х2, во втором
2
Задачи на составление уравнений
183
.. (х + 3) (х + 2) ., с _
Следовательно, xi = -—-—, или х2 — 5х — 6 = О,
откуда х = 6.
Ответ. 36 шаров.
s (/ — 2 + |Л2 +4)
Х ~ 2t
33- ' 5(<+2-К/ф)
У 2t
34. Ответ. Задача имеет определенное решение только при v =
= 5 км в час; х = 4 км.
35. Указание. Обозначая скорости автобусов через х и
(х — 2) соответственно, составить уравнение:
36 1 36
х + 4 ~ х — 2 *
Ответ. xt = 18 км/час, х2 = 16 км/час.
36. Указание. Обозначить: Р — общий вес сплава, р — вес
«благородного металла», t — проба. По известной формуле t — —.
Пусть взято х килограммов первого сплава и у килограммов второго;
применяя приведенную выше формулу, имеем:
х-0,950 + у • 0,800 + 2 = 25 0,906
х + у + 2 = 25.
Ответ, х = 15 кг\ у = 8 кг.
37. Пусть сплав меди содержит х килограммов серебра и у кило-
граммов меди. Сплавив его с 3 кг чистого серебра, получим:
х + 3
х + У + 3
= 0,900.
(1)
Сплавив его с 2 кг сплава 900-й пробы, получим чистого серебра
(2'0,900+ х); общий вес (х+ у + 2), поэтому имеем:
х + 1,8
х + у + 2
= 0,840.
(2)
Решая систему уравнений (1) и (2), находим: х = 2,4 кг; у — 0,6 кг.
Отсюда вес сплава к + у = 3 кг, проба его равна = 0,8.
Ответ. 3 кг; 0,8.
184
Ответы и решения
38. Обозначим через х деньги, положенные на сберегательную
книжку в кассу, через t — время, выраженное в годах. Тогда доход
за один год будет равен 0,02х, а через t лет — 0,02х* t.
Доход по 3% за (t — 1) лет будет равен 0,03л: (t — 1). Составим
систему уравнений:
( х + 0,02x4 = 8502
( О.ОЗх (/ — 1) =819.
Упрощая ее, получим:
1 +0,02/ _ 1417
t — 1 “ 4550’
откуда t = 4,5, т. е. 4 года 6 мес.
Подставляя значение t в одно из уравнений, находим х=‘78ОО.
Ответ. 7800 руб.; 4 года 6 мес.
39. Допустим, что первый каменщик выполнит всю работу за
х дней; тогда второй — за (х — 3) дня. Принимая работу за 1 (единицу),
1 . 1
находим, что первый каменщик в день сделает —, а второй-----х часть
X X О
7 5 5
работы. Первый каменщик сделает —, а второй —Цу- часть ра-
X X — о
боты; отсюда составляем уравнение:
7 , 5,5
х ' х — 3 ,.
или
х2 — 15,5х 4-21 = 0.
Ответ. 14 и 11 дней.
40. Допустим, что второй пешеход проходит все расстояние за
х часов; тогда первый проходит его за (х + 2,5) часа. Принимая весь
1
путь за единицу, находим, что первый пешеход проходит за час —~г о г
X I" 2,0
часть пути, второй —. Известно, что, двигаясь друг другу навстречу,
они прошли весь путь за 3 часа; отсюда составляем уравнение:
2,5
1,
или
2х2 — 7х — 15 = 0.
Решая это уравнение, получим: хх = 5(х2<*0).*
* Здесь и далее в скобки взяты корни уравнения, не удовлетворяющие
условию задачи.
Задачи на составление уравнений
185
Ответ. 7,5 часа и 5 час.
41. Указание. Решить уравнение
(т+4т)/ = 1’
где х — время движения второго пешехода.
42. Допустим, что на каждую голову скота предполагалось из-
расходовать х тонн кормов; увеличенная норма составит (х + с) тонн.
Следовательно, скота в колхозе первоначально было — голов, осталось
а
•—:— голов; составляем уравнение:
X + с
а а ,
х х -f- с
или Ьх2 + Ьсх — ас = 0.
Л — Ьс 4- VЬ2с2 + 4abc .
Ответ. =-------------2^----------(х2 < °)'
43. Указание.
а а_
х — b х ~ С>
где х — количество рабочих, участвовавших в выгрузке зерне.
Ьс + / 62с2 + 4а6с
Ответ. xt =-----1----н—1------< 0).
Z/C
44. Обозначим через х время, за которое проходит расстояние $
курьерский поезд. Тогда время, за которое проходит это же расстояние
пассажирский поезд, будет равно х + t.
Разность скоростей пассажирского и курьерского поездов равна а,
поэтому »
s s
--------ГТ = а>
X X -|- t
или
ах2 + atx — st = 0.
— at -j- Кa2t2 4- 4ast . .
Ответ. X1 =-----2a---------------(x2 < 0).
45. Обозначим скорость поезда через v км/час. Увеличенная его
скорость равна (о 4- а) км/час. При первоначальной скорости время,
потраченное на перегон b километров, равно — часов, при увеличенной
186
Ответы и решения
скорости на этот же путь потребовалось время, равное — - .часов,
меньшее на t минут, поэтому
b b t
v v + а ~ 60
Решая это уравнение, находим ответ:
vt =-------------%----------- (vt < 0).
46. Обозначим скорость автомашины на грунтовой дороге х км/час',
тогда скорость автомашины на шоссе равна (х + о) км/час. Время, за
2 ' s
которое автомашина пройдет асфальтированное шоссе, равно-^- «-'-р „;
время, за которое автомашина пройдет грунтовую дорогу, равно
1 s „
. По этим данным составляем уравнение: ч.
О X
___—______|___— = t
3(x + v)T Зх
Воспользовавшись формулой s = vt, после преобразования полу-
чим уравнение:
„ п2
х2 = -г,
откуда
Xi = — v (х2 < 0).
Л Кз , (/3 + з) V
Ответ, х — —— v, х + v =------------—-— .
и и
47. Обозначим скорость вестового х км/час. Относительная скорость
вестового при движении его из конца колонны в начало равна
(х — о) км/час, при движении обратно (х + о) км/час. Время движения
d d
вестового вперед равно —---— часов; время движения назад р ча'
t
сов, что в сумме равно часов. Составляем уравнение:
d d t_
х — v + х -j- v ~ 60*
или
lx2 — 120dx — tv2 = 0.
Л 60d + /3600d2 + tW ,
Ответ. xx =----------~t---!----(x2 •< 0).
48. 50 км/час.
Задачи на составление уравнений
187
49. Xj =-----------2/------------Иг < и)-
Скорость мотоциклиста на b километров больше.
50. Здесь удобно обозначить первую сумму через 1000х, а вторую
через lOOOt/; тогда
ЮООх + 1000г/ = 10 000,
т. е. х + у = 10. (1)
ЮООх
Процентная такса с первой суммы равна -Jqqq- ~ х, а годовой
доход с этой суммы равен 1000х--у^- = 10х2. Аналогично находим,
что годовой доход со второй суммы равен 10i/2.
По условию задачи
10х2 + 10f/2 = 580
или
х2 + у2 = 58. (2)
Решая систему уравнений (1) и (2), находим ответ: 7000 руб. и
3000 руб.
51. Обозначим через х килограммов вес первого раствора; тогда
вес второго будет равен (10 — х) килограммов.
По условию
0,8-100 0,6-100 _
х 10-х ~ Ш’
откуда хх = 4 (х? = 20).
Ответ. 4 кг и 6 кг.
52. Если принять за единицу продукцию завода за год, предше-
ствовавший первому, то продукция первого года будет равна
Продукция второго года составит:
TUo)(1 +
b \
100 )
За третий год продукция увеличится на
где х — процент прироста продукции за третий год.
Следовательно, согласно условию, средний годовой прирост про-
дукции за три года составит:
188
Ответы и решения
или
Ответ.
2
53. Первый раз мяч поднимается на 8,Ь^-;
О
второй раз мяч поднимается на 8,1 •
/ 2 \л
n-й раз мяч поднимается на 8,1- (-х-)
По условию
/ 2 \п
\ о /
\ 3 ) ’
\ 3 / “ 81 ~ \ з )
Ответ, п = 4.
54. Обозначим через N количество населения в данный момент.
Количество населения к концу первого года составляет
80 “ N \ 1 80 / ’
количество населения к концу второго года составляет
1 \ / 1 \ / ] \2
— ill “4------। = N I 1 — ।
80 J \ 80 ) \ 80 /
количество населения к концу n-го года составит
N
(1+8о) ’
/ 1 \л
По условию N ( 1 + -gg- J — 2N.
°™”- П = lg81'-lg80 а 56 (лет)'
55. к = 49, у = 1.
Задачи на составление уравнений
189
56. Обозначим число стульев в каждом ряду через х, а число ря-
дов через у. По условию задачи составляем систему уравнений:
Г ху = п
I (х 4- р) (у — т) = п.
Решая эту систему, находим два решения:
1) Xi О, yi^> 0; 2) х2 <5 0, у2 0.
Второе решение, соответствующее отрицательном значениям кор-
ней, условию задачи не удовлетворяет.
57. Обозначим скорость трамвая х км/час, скорость пешехода
5 км/час. Относительная скорость встречного трамвая будет (х-\-Ъ)км/час,
а относительная скорость попутного трамвая (х — 5) км/час.
Принимая число трамваев, проходящих в течение определенного
промежутка времени на небольшом участке пути, пропорциональным
их скорости, находим:
х 4- 5 _ 120
х — 5 — 45 ’
откуда искомая скорость трамвая х — 11 км в час.
Ответ. 11 км/час.
58. Обозначим: г— радиус основания цилиндра, v — объем воды
в цилиндре. Тогда, по условию задачи, имеем:
4 4
и = яг2-2R-----л/?3, v = лг2 >2mR------— nm3R3‘,
О О
сравнивая и делая преобразование, получим:
4
2nz2R (т — 1) == л/?3 (tn3 — 1),
О
т. е.
откуда
2
г2 — — R2 (т2 4- т 4- 1),
Z=R 1Л2(лг2 4-/п 4- I)
Задача возможна, если zJ>/?>>0.
Пусть т^> 1, тогда выполняется неравенство:
или т2 — 2т — 2 << 0, (т — I)2 — 3 < 0,
т. е. (т — 1 4- /з) (m _ j _ /з) 0
190
Ответы и решения
Замечая, что первый множитель положительный, находим:
т < 1 4-КЗ.
Следовательно, задача имеет решение, если
1 < т < 1 + /3.
59. Допустим, что это произойдет через t лет. По срочным вкладам,
внесенным на срок не менее 6 мес., сберегательная касса выплачивает
3%, следовательно, каждый внесенный рубль через год обратится
в 1,03 руб., а каждая тысяча рублей — в 1000* 1,03 руб. Через t лет
каждая тысяча рублей обратилась бы в 1000-1,03* руб. За t лет вклад-
чик заберет сумму денег, равную
90-1,03 4- 90-1,032 4- 90-1,033 4--F 90-,1,03*** 4т
+ 90.1,03' -
Так как через / лет вклад с процентами будет полностью взят, имеем
равенство:
,000.1,03' =
0,03
или
1,03* =
309
209 ’
1699
128 ’
Ответ. 13,3 года.
60. 10 л.
61. I в 27 час., II в 24 часа.
62. 8 кг и 12 кг.
63. 9,57.
64. 15 км и 7 км.
65. 35 строк, 38 букв.
66. 3 руб.; п = 2.
67. Указание. Имеем: х 4* У = х-у = (х 4* у)' (х—у), от-
куда X — у= 1, у = х — 1.
Ответ.
_ 3± /5 _ 1 ± /5
xi, 2 — 2 ’ У1, 2 — 2
а ± ]/” с2 — 6 2
69. t & 4,7 года.
71. Скорость поезда 44 км/час, парохода 14 км/час.
73. I — 15 деталей, II — 20 деталей.
74. I за 3 часа, II за 6 час., Ill за 2 часа.
76. 35 см.
77. 60 км/час и 80 км/час.
Преобразование алгебраических выражений
191
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
78. Раскрывая скобки, находим:
р = a2b 4~ 2abc 4- а2с 4* ab2 4" b2c 4~ Ьс2 4- ас2 = а2 (Ь 4- с) 4*
4- ab (Ь 4" с) 4" ас (Ь 4" с) 4" Ьс (Ь 4- с) = (Ь 4~ с) (а2 4- ab 4~ ас 4~
4- fc) = (Ь 4“ с) [а (а 4" Ь) 4- с (а 4- Ь)]= (Ь 4? с) (а 4~ 6) (а 4~ с).
Ответ. Р = (а 4" Ь) (а 4* с) (Ь 4~ с).
79. Р — (а + Ь)3 4* 3 (а 4~ 6)2 с 4" 3 (а 4~ Ь) с2 4- с3 — (а3 4~
4- — с3 — (а 4“ Ь) (а2 4* 2а6 4“ Ь2 4" Зас 4~ 36с 4~ Зс3 — а2 4~
4- ab — Ь2) = (а 4- 6) (Заб 4~ Зас 4~ 36с 4" Зс2) = 3 (а 4~ 6) [а (6 4*
4- с) 4- с (6 + с) 1 = 3 (а 4~ 6) (6 4- с) (а 4" с).
Ответ. Р = 3 (а 4* 6) (а 4* с) (6 4* с).
80. Р — х3 4- 6х2 — х2 4- 9х — 6х — 9 = (х — I)• (х2 4" 6х 4* 9).
Ответ, Р = (х — 1) (х 4" З)2.
81. Указание. Выделить и разложить двучлен:
х4 4- 1 = х4 4- 2х2 4- 1 — 2х2 = (х2 4- I)2 — 2х2 =
= (х2 4- К2х 4- 1) (х3 - /2х 4- О-
Ответ. Р = (х2 4” К2х 4~ 1) (х2 — У 2х 4~ 2).
82. Р = х (х4 4- х2 4- 1) 4- (х4 4- х2 4- 1) = (х 4- 1) (х4 4- х2 4~
4* 1) = (х4- 1) (х4 4- 2х2 4- 1 — X2) = (X 4- 1) [(х2 4- 1)2 — X2] =
= (х 4- 1) (х2 4- х 4- 1) (х2 — х 4- 1).
Ответ. Р = (х 4* 1) (х3 4- X 4- 1) (х2 — X 4- 1).
83. а3 4- За26 4- Заб2 4- 63 4- с3 — Забс — За26 — Заб3 =
= (а 4- 6)3 4- с3 — Заб (с 4- а 4- 6) = (а 4~ 6 4- с) [(а 4- 6)2 —
— (а 4- 6) с 4- с2 ] — Заб (а 4- 6 4- с) = (а 4- 6 4- с) (а2 4- 62 4- с2 —
— ab — ас — Ьс).
84. ay3 — xt/3 — ах3 4~ х3у 4- а3 (х — у) = ху (х2 — у2) —
- а (х3 - у2) 4- а3 (х - у) =. • (Х _ у) [Х2 (у _ а) + ху(^ _
^а) -а (у2 - а2)] = (х - у) (у - а) (х2 4- ху - ау - а2) =•. • =
== (х — у) (х — а) (у - а) (а 4- х 4- и).
192
Ответы и решения
85. Указание.
/ 1 — хп+1 \а _ (1 — хп) (1 — х«+2)
\ 1 — X ) Х ~ (I — х)2
(1 — Xя) (1—х”+2)
1 — X 1 — X
Ответ. (1 Н~ х + х2 + • • • + х"-1) (1 + х + • • • + хп+1).
86. Указание. Второй множитель равен частному от деления
заданного выражения на известный множитель.
Л / а , b \ а2 — Ь2
Ответ. -г- 4-------—, , ... .
\ b а ) а2 4* о2
87. Указание.
Р = (х10 4~ х9 4- х8) — (х9 4“ х8 4* х7) 4- (х7 4- хв 4- х5) — (х6 4*
+ х6 + х4) 4* (х5 4" х4 4- х3) — (х3 4- х2 4- х) 4- (х2 4- х 4- 1).
Ответ. Р = (х2 4“ х 4~ 1) (х8 — х7 4- х5 — х4 + х3 — х 4~ 1).
88. Р = (]Л Ь2 — у/~с^) V я262 4~ (j/"*z4 — V 64) У^1 4~ —
-fa = (fa - fa2) [(|<а2 4- fa) fa - 'fab2 -
- = (fa2 - fa) [(^ - fa) fa - (fa - fa) x
X fa] = (fa* - fa) (fa - fa) (fa - fa).
P = (fa-fa) (fa 4- fa) (fa-fa) (fa 4- fa)x
x (fa -fa) (fa 4- fa).
89. P =
1
90. P =
a — x
a3x3
91. P =
3 (x — 2)
2 (x 4- 3) ’
92. P = 3.
П реобразование алгебраических выражений
193
93.
Указание. Р =
/ху [ 1 — ху (х3 4- у6)]
I 4- /ху (х3 4- у6)
/ху [ 1 + /ху(х3 + Уе)1 [I — /ху (х3 4- у3))
1 + /ху (х3 + у6)
= /ху [ 1 — /ху (х3 4- у3)).
Ответ. Р = /ху — ху / х3 4- у6.
= /axfl 4- = /« (/* 4- /а).
Ответ. Р = а 4“ /ах.
X /^ ~ q2 ~ 1 _ /1 4~ а + /1 ~Q /1 — я2 — 1
а ~ /ГТа — /1 — а ' а
___________2а_________ /1 — а2 — 1_____1
~ (/Г+а — /Т^а)2 '' а ~
Ответ. Р = —1.
96. Указание. Обозначить
_2- _ —
(а 4* Ь) 2 ~и> (а — 2 — и.
Ответ. Р =__ — -
г а 4- b ’
97. I.
98. Р j<2.
99. Р = К2 + Кб.
В. С. Кущенко
194
Ответы и решения
' 100.
(п2 + О3
п2
3__ 3 _
= / п2________(п2 —/п4- 1)/ П2
“ 2(п2 + /^П) ” 2
1 _____ 3_
Ответ. Р = (п2 — }fпл — 1)/ п2
101.
102. Указание. После упрощения находим:
р 2Х4
Xs — 16/
Ответ. Р = —-L
103. Заменяя х его значением, находим:
2+ /3 2 — /3 _ 3 4-/3 3 — /3
3 4- /У + 3 — /У ~ 6 6
Здесь
/2-/3
/3 — 1
^2
Ответ. Р = 1.
104. 0.
Преобразование алгебраических выражений
195
105. Упрощая и заменяя х его значением, будем иметь:
Ответ.
106. Имеем:
o+1=Wi7T + l = 3-/3“’
6+‘=^W+i=3+/3-
р =---—— 4--—— = 1.
з —/з з-ьКз
Ответ. Р = 1.
107. 0.
2 2 т-\-п т-\-п
108. Р = хт +хп 4-2х тп — 4а2х ™ =
2 Г / т—п \ 2 т—п '
= хт L \ 1 4- X ™ ) -4аЧ~^~.
= х Ц14-х^ _2ах 2тп )\ I 4-х тп 4-2ax2wn / = 0,
так как
гп—п т—п
14-х™ -2ах'2™"= 1 4-(а4-/^й)2-
-2а (а 4- t + (а + —а) =
~ 1 а2 — 1 — а2 = 0.
Ответ. Р = о.
109. Р =
п2
196
Ответы и решения
мп и 1 1 + /2 -ГЗ .
ПО. Имеем: ---г—--—- = -----7—^ z
(1 + /2) + Из (1 +/2)2-(/з)2
1+/2— ИЗ /2(1+И2— /З)
“ 2И2 ~ 4
Ответ. (1 + И2 - ИЗ).
111. Разлагая знаменатель на множители, находим:
।___________(/5 - 2)(/2 -1) _ .
(/5’+2)(/Г+1) ~ (5-0(2-11 “(Г-5 W2 ”•
Ответ. (И5 — 2) (И2" — 1).
112. Имеем:
1 3 _
Ответ. 1---£- И 4 •
G3 3 _ 3
<121 + И55 + И 25/.
114. Имеем:
з _ з _
1 __ Из — И2
3 _ 3___ 3 _ “ / 3 _ 3 __ 3 / 3 _ 3
Из2 + Из-2 4- И22 1Из24-ИЗ-2 + И22ЛИЗ —И2/
3 3
3 _ 3_
Ответ. ИЗ — И2 •
Примечание. Общий метод решения см. № 115.
115. Воспользуемся тождеством:
х3 + у3 + г3 — Зхуг = (х + у + z) (х2 + у2 + z2 — ху —
—хг — yz).
Преобразование алгебраических выражений
197
Обозначая
з _ з _ з _
х=Уа, у=Уь, г —Ус,
находим: з___ / з з з \ / з з
а Ь -j- с — 3 У abc = \ У а У b -j- У с ) \У a2 -j- У б2 -j-
4- Ус2 — Уab — У ас — У Ьс).
Чтобы уничтожить иррациональность в знаменателе данной дроби,
необходимо умножить ее числитель и знаменатель на выражение
з з _ з _ з______________________ з _ з_______
+ у ь2 + Ус2 — УаЬ — У ас — У Ьс,
т. е. з з _ з з _ з _ з _
1 У а2 + У Ь2 4- Ус2 — УаЬ — У ас — У Ьс
' “ Г2 г;" з___ ~
У а 4- УЬ 4- Ус а-{-Ь-\-с—%У abc
/ з з з з______________ з з________\
4- /F2 4- У О2 — УаЬ - У ас — У Ьс)
— _______ _ .
У (а 4- Ь 4- с)3 - У27abc
Если произведение трех чисел abc есть точный куб, то решение
задачи на этом заканчивается. В противном случае умножаем числитель
и знаменатель полученного выражения на неполный квадрат суммы
двух чисел, т. е. на выражение
з з
(а 4- Ь 4- с)2 4- 3 (а 4- b 4- с) Уabc 4- 9/dW,
и после преобразований находим результат:
G3__ з_____ з _ з______ з____ з____\
/” а2 4- У Ь2 4- У с2 — У ab — У ас — У Ьс) X
Г зз1
Ответ X [(а 4- & + с)2 + 3 (а + /> 4-с) /обсЧ- 9 /а2&2с2]
* (а 4-+ с)3 — 27а6с
116. В данном примере знаменатель дроби является суммой четЦ1д.
Рех ^Me°B reoMeTPH4ecKOft прогрессии, знаменатель которой равен У 2.
___________ 1_______________ 1
4__ 4 __ 4 __ 4 4 4
У2 + У 22 4- У 23 4- У 2* 2 У2 — У 2
Ответ.
2 — У8
2
198
Ответы и решения
117. Указание. Обозначить
п п
Ка = х, КЬ = у,
тогда
хп — а, уп — Ь,
т. е.
I п п \ / п п п
а-Ь=[Уа -КГ) ...4./^
Последующие преобразования очевидны.
Ответ.
/8 -/9
120. Обозначая
а _ Ь _ с _ 1
х у г k ’
находим:
х = ak, у = bk, z = ck,
k = Х±У± 2
a-j- b 4- с
Следовательно,
_______________________1_________________
/а 4- Vb 4- КГ 4- КГ 4 У у 4- КГ “
=__________________1_________________
~Уа 4- УЬ 4- /Г4- УЦУа + УГ-l- Ус)
_____________1___________ _ _
“(14- Ук) (Уа+Уь 4- КГ) “
(1 — У k) (У а 4- У b — Кс)(а4~^ — с — 2К ah)--
U — k) (а2 4- Ь2 4- с2 — 2аЬ — 2ас — 2Ьс)
Преобразование алгебраических выражений
199
Если в последнем выражении k заменить его значением, находим
j/"a -f- Ъ с (l^о 4~ 4" £ — V"% 4- У 4- *-) X
х (К а 4-К^ — Ус) (а-j- Ь — с — 2 УаЬ)
Ответ. с — % — у — z) (а2 4- Ь2 4- с2 — 2аЬ — 2ас — 2Ьс)
121. Числитель данной дроби легко разлагается на множители;
знаменатель можно разложить на множители, если к нему прибавить
и отнять одночлен а2Ь2. Выполняя последовательно указанные дей-
ствия, находим результат:
з__ з_______ з_______
]/а54-/а262— 2/а3& _
? ~ “3 3 3 3 3 3 _ ~~
У а4 _|_ / аЬ3 — К а3Ь 4- /a2b2 — /a*b2 — У Ь4
3 ___
а — У^Ь
а-\- b
з____
л d а — Vа2Ь
Ответ. Р =--------------.
а 4- Ь
123. Имеем:
а3 4- Ь3 4- с3 = (а 4- д)3 4- с3 — За 6 (а 4" b) = <
= —За Ь (а 4" Ь) — ЪаЬс,
так как а 4" b = —с; (а 4“ Ь)3 — —с3.
124. Указание. Раскрыть скобки в правой части равенства
привести подобные члены и результат разложить на множители.
125. Указание. Обозначая
]/"а У b 4- У^а — У Ь = х,
находим х2 = 2 (а 4~ Va2 — &) = 4 а ~
откуда
200
Ответы и решения
следовательно.
(1)
Аналогично
— b
а2 — b
(2)
Из соотношений (1) и (2) находим окончательный результат.
126. Указание. Порядок выполнения действий: перемножить
последние два радикала, полученный новый радикал V 2-1/2 4- /з
умножить на второй радикал и, наконец, найденный радикал
)/2 - /3 перемножить с первым
127. Обозначим
3 _________ 3 ____________
г = 1/20 4- 14 /14-1/20—14 /2*.
Тогда
г3 = (20 4- 14 /F) 4- (20 - 14 /2 ) 4-
3 _________ 3 _______
4- 31/20 4- 14 /2 1/20 — 14
______________\ з
4- К20 — 14 / 2 ) = 40 4- 3 / 202 — 142 -2 г = 40 4- 6z
ИЛИ
20 4- 14 /2 4-
z3 — 6z — 40 = 0. (1)
Известно, что если алгебраическое уравнение имеет целые веще-
ственные коэффициенты, а коэффициент при высшей степени неизвест-
ной равен единице, то рациональными корнями этого уравнения могут
быть только целые числа; они являются делителями свободного члена.
Легко убедиться, что г = 4 удовлетворяет данному уравнению.
Разлагая выражение на множители, находим:
(z - 4) (z2 4- 4z 4- 10) = 0.
Приравнивая второй множитель нулю и решая полученное ква-
дратное уравнение, находим два комплексных корня. Следовательно,
уравнение (1) имеет один вещественный и два комплексных корня.
Ответ, z = 4.
128. Решение аналогично предыдущему.
129. Правые и левые части данного равенства положительные,
следовательно, их квадраты равны. Возводим правую и левую части
равенства в квадрат; находим:
8 4- 2^10 4- 2 /5 + 2 1^64 — 4 (10 4- 2 / 5) 4-
4-8 — 2 1/104-2/5 = 2 (6 — 2 /5J.
1/б —2/5" = /5 — 1,
1/(/5 -I)2 = /5 - 1,
что и требовалось доказать.
Преобразовании алгебраических выражений
201
134. Преобразуем данное уравнение к виду
(х — а)3 — 3 (х — а) Ьср — Ь3р — с3р1 = 0.
Заменяя х его значением, имеем:
/ 1 —\3 / _L Л\
\Ьр3 + ср 3 / — 3 \Ьр 3 + ср 3 ) Ьср — Ь3р — с3р2 = 0
и после элементарных преобразований, убеждаемся, что заданное урав-
нение обращается в тождество, что и требовалось доказать.
135. Обозначая
а = / — <7 + К<72 + Р3; b = / — 9 — К<72 4- Р3.
находим: а3 + 63 = —2q, ab — —р.
Так как х0 — а + Ь, то Xq — (а 4* Ь)3 = а3 + Ь3 + ЗаЬ (а + Ь),
т. е. х3 = —2q — Зрх0; х§ + Зрх0 + 2q = 0, и т. д.
136. Указание. Сложить дроби и разложить числитель на
простые множители.
или (Ьс 4- ас + ab) (а 4- Ь 4“ с) — abc = (а 4" Ь) (Ь 4* с) {а 4" с) = 0.
Произведение нескольких сомножителей равно нулю, когда хотя бы
один из них равен нулю. Приравнивая один из сомножителей нулю,
находим, что два числа равны по абсолютной величине и противопо-
ложны по знаку.
138. Указание. Преобразовать данное выражение к виду
(2п 4-З)2 4- И
4
139..Обозначим три последовательных целых числа х — 1, г
х 4- I • Тогда число
N = (* — О3 4- X3 4- (х 4- I)3 = Зх (х2 4- 2).
При делении х на 3 в остатке может быть: 0, 1, 2 Следовательно
число х можно записать так: Зп, Зп 4- I, Зп 4~ 2. Отсюда
N = 9п (9п2 4" 2),
Л/ = 9 (Зл 4- 1) (Зп2 4- 2п 4- 1),
/V = 9 (Зп + 2) (Зп2 4- 4п 4- 2).
Итак, при любом целом х число N кратно 9,
141. Указание.
р _ (* — </) (х — ?) (У — ?) (х + t, -|- Z)
(х — У) (х — г) (у — г)
202
Ответы и решения
Ответ. Р = х + у + г.
142. Пусть х= 1; тогда
(6 — 5+4 — 3 + 1— 2)1»62 = 1
Ответ. 1.
144. Если сгруппировать отдельно члены содержащие х в четных
и нечетных степенях, то получим:
[(1 + х2 + х4 + • • +х100) — (х + х3 + хъ 4— •+ х99)] X
X [(1 + х2 + х4 + • +х100) + (х + х3 + х6 + • • •+ х99)] =
= (1 + х2 + х4 Н------Ь х100)2 - х2 (1 + х2 + х4 Н----х98)2,
что и требовалось доказать.
145. Р = (х2 + 8х + 15) (х2 + 8х + 7) + J5 = (х2 + 8х)2 +
+ 22 (х2 + 8х) + 120 = (х2 + 8х + II)2 — 1 =
= (х2 + 8х + 10) (х2 + 8х + 12) = (х2 + 8х + 10) (х + 2) (х + 6).
Ответ. Р = (х + 2) (х + 6) (х2 + 8х + 10).
146. Р = (х2 — 7х + 6) (х2 - 7х + 12) + Ю = (х — 7х)2 +
+ 2-9 (х2 - 7х) + 82 = (х2 - 7х + 9)2 + 1
При всех вещественных значениях х первое слагаемое положитель
ное, следовательно, рассматриваемое выражение также положи-
тельное.
147. Сделаем следующие преобразования:
Р = (х — 1) (х - 4) (х - 2) (х — 3) + 10 =
= (х2 — 5х + 4) (х2 — 5х + 6) + 10 =
= [(х2 — 5х)2 + 10 (х2 - 5х) + 24 + 11+9 =
= (х2 — 5х + 5)2 + 9
Наименьшее значение данного многочлена будет в том случае,
когда первое слагаемое обратится в нуль, т. е.:
х2 — 5х + 5 = 0.
Ответ. 9.
148. Имеем:
(1 + /Тб)100 = 1 + 100 /Тб Н-------h /То159,
(1 — /ТО)100 =1— 100 /ТО +----------F /Тб™",
следовательно,
/ТО [(1 + /То)100 — (1 — /То)100) =
- /Тб [200 (/То + /ТО3 + • • • + /Тб99)] =
= 200(10+ Ю2+ ... + Ю6"),
т. е. число целое.
Преобразование алгебраических выражений.
203
149. Указание. Числа такого вида (в десятичной системе счи-
сления)* можно представить так:
4444. . .4 88. . .89 = 4-111. . .1 -10« 4-8111. . .1 4- 1
л " п—1 и п
10я — 1
111. . . 1 = 10я-1 4-• • • + Юа + 10 4-1 =--и 9 -1-,
п
поэтому
444. ..89 =4 (10я —1)-10я 4-(10я — 1) 4- 1 =
У У
4 4 1 / 2- 10я 4- 1 \2
=4102“+vl0“ + v = (—гН
Сумма цифр числа 2« 10я 4* 1 кратна трем, следовательно, число,
стоящее в скобках, делится без остатка на три, т. е. оно целое и является
точным квадратом.
150. Указание.
1.1,1____________1 = (* ±У) (•* + *) (У + г) = 0
х у г х 4- у 4- г хуг (х 4- у 4- г)
т. е. (х 4- у) (х 4- г) (у 4- г) = 0. (1)
Аналогично преобразуя второе равенство, получим:
(хя 4- уп) (хп 4- гя) (уп 4- г«) = 0 (2)
Если п нечетное, то из соотношения (1) вытекает соотношение (2).
В самом деле, пусть у 4* г — 0; тогда г — —у, поэтому
уп 4- гп = ytl _ ytl = о
151. Указание. См. № 152.
Ответ. / 54-/24-1.
152. Положим
]/а 4- / 6 4- / с _|_ / j = / % + /^ + /7
Возведя обе части равенства в квадрат, находим:
a4-K64-/c4-/d = x+i/ + 2H_2^- +
4- 2 /хг -|- 2 Vуг,
откуда
х 4- у 4- г = а
2 Уху = / 6
2 /хг = /7
2 /t/г = /7.
(1)
204
Ответы и решения
Итак, соотношение между а, Ь, с и d, при котором искомое преобра
зование имеет место, можнс найти, исключая х, у и г из найденных
равенств (1):
b c d V bed
— у хг = —, уг = —, xyz = —g—.
Следовательно,
Из равенств (1) и (2) находим искомое соотношение:
be "j- bd -j- cd
й== 2/6^ ’
где bed — точный квадрат
§ 3. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
157.
158.
159.
160
161.
162.
163.
164.
165.
166.
167.
168.
169.
170.
153. х = а 4* b 4" с.
154. х = а.
156. Указание. Воспользоваться производной пропорцией.
При проверке корня разложить числитель и знаменатель дробей на мно-
жители
Ответ, х = ——.
с
и — 2, v = 1.
_ 3 _ 11 . _ 1 _ И
2 » 2’ 2 ’ 2 *
т = 0, ±1, ±2.
с — b а — с b — а
Х ~ а4_^4"с’ ~ а4-&4~с* Z ~ а-\-Ь -\-с '
х — 11, у= 13, г= 15, и = 17.
1 1 1 1
= 5, х2 = 3, х3 — 4, х4 = 1, х5 = —3, хв = —2.
х2 = 2, х, = 1, х3 = 3, xt = 5, х3 = —5, х6 = —3, х7 = —1.
«1 = хв = 3, х2 = х5 = 5, х3 = х4 = 6.
х/ = 0; (i = 1/2, . . ., 100).
1
Xi = х2 = . . . = хп = п + 1 .
Xi — ± К 2 (t = 1, 2, . . ., п).
. . п(п — 1) , ,х
Xi = 1 4--------j—~ ’ х‘г = ~ 1....х„ = — (л — 1).
. . 2(Д1 + ^2 4--|-«п) 01—
1 л2 (п 4-1) л ””
Квадратные уравнения. Уравнения высших степеней 205
$ 4 КВаДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
171 Известно, что квадратное уравнение г2 + рх + q =_0 с ра-
циональными коэффициентами, имеющее корень хх == 4 — / 3, имеег
и корень, сопряженный данному, т. е. х2 = 4 + V 3. Отсюда
р = _ (4 + / 3 + 4 - / 3) = -8,
q = (4 + / 3) (4 - / 3) = 13.
Искомое уравнение будет
х2 — 8х + 13 = 0.
172. Если xt = 2 + 5i, то х2 = 2 — 5L Отсюда (см. № 171)
р — —4, q ~ 29.
Искомое уравнение
х2 — 4х + 29 = 0.
173. Пусть хг > х2, тогда
*1 - Х2 = (Х1 - Хг) (Х1 + *1*2 + = V (*1 - v?)2 X
X
[(хг *г)2 — *1*2] = V(А 4- Х2)2 — 4ххх2 X
X [(хх + х2)2 —ххх2] = 1,
где Xj + х2 =
V 85 _ 21
4 ’ “ 16 ‘
Ответ. 1.
174. Указание. Преобразовать числитель и знаменатель
дроби к виду
3 (*1 + *2)2 — *1*2
4х1х2 (х, + х2) ‘
Использовать формулы Виета.
КОРНИ Данного уравнения будут хх и х2. Тогда по фор-
мулам оиета *
Xi4-x2= ~ = Р\ х^х^Л-^q,
Допустим, что искомое уравнение имеет вид:
(1)
г ~ с/ = и. ^2)
и q р
1) Если корни уравнения (2) (-хх) и (-х2), то 0474368
Р = ~ I— + х2)] =
и а 9
206
Ответы и решения
откуда искомое уравнение будет
х2-----х4- —= 0,
а 1 а
т. е. ах2 — Ьх + с = 0.
2) Если корни уравнения (2) — и —, то
/1 . i \ — (*i 4- . cfr
\ Xj ' х2 ) ХуХг а ’ а г. *
11 1 , с а
q — —. — ==-----= 1 : — = —
Xj xs хгх2 а с
откуда находим искомое уравнение:
о I I а
х2 4--х -4--
'в ' с
= 0,
т. е.
сх2 + Ьх 4- а = 0.
3) Если корни уравнения (2) хг + п и х2 + п, то
Р = — (*i + х2 + 2«) =
= — (----— + 2п\ = —-----2п;
\ а ) а ’
q — (xj 4- л) (х2 4- л) = хгх2 4- (*! 4- х2) п 4- п2 —
с
а
-----— п 4~ Л2.
а '
Искомое уравнение
*а 4" ( -----2л ) ж 4- ------- л 4- л2 = 0,
\ а ) ' а а ' ’
т. е.
ах2 4- (Ь — 2ап) х 4~ (ап2 — Ьп 4" с) — 0.
4) Если корни уравнения (2) хгл и х2л, то
Р= — л(Х14- х2) = —,
.. л2с
q = п2Х1Х2 = —
Искомое уравнение
nb
а
п1с
а
= 0,
Квадратные уравнения. Уравнения высших степеней 207
г. е.
ах2 + nbx + п2с = 0.
176. Решение аналогично предыдущему.
Ответ. а?х2 — (&2 — 2ас) х 4* с3 = 0
177. Чтобы заданное уравнение имело два равных корня, необ-
ходимо и достаточно, чтобы дискриминант этого квадратного уравнения
был равен нулю, т. е.
[2 (X 4- I)]2 - 4 (% - 1) (% - 2) = 0,
откуда X = -у.
Ответ. X = -у.
178. Корни заданного уравнения будут рациональные, если из его
дискриминанта извлекается точно квадратный корень, т. е. если I 4- 4fe
есть полный квадрат.
Ответ, k = 2; 6; 12; . . .
179. Обозначим искомые корни квадратного уравнения
и х2, и пусть, согласно условию задачи
%! = 2х2.
через х.
По формулам Виета
(1)
Х1-Х2 —
2m 4- 1
2
(2)
2
Ваменяя в равенствах (2) и (3) значения хь по формуле (1)
Зг - 2,П+1
о%2------2---’
(3)
находим:
о2 т2 — 9m 4- 39
2х3 =
или
2
т. е.
Q / 2m 4- 1 \2 т2 — 9т 4- 39
\ 6 ) ~ 2
m2 - 17m 4- 70 = 0.
^педовательно. /п! = 7, m2 = 10.
г>пАп.,.2Дставляя найденные значения т в данное уравнение,
бедующих два квадратных уравнения:
2ха — 15x4- 25 = О
2х2 — 21х 4- 49 = 0.
5, Х2 = 2,5; Х| = 7, х± = 3,5.
получим
Ответ.
208
Ответы и решения
180. г2 — 35z + 216 = 0,
где z= Xs (см. № 181).
181. Обозначим корень искомого квадратного уравнения
z = х3,
Зл—
откуда х = у г.
Следовательно.
а z2 -J- bfr z-\-c = Q.
Освобождаясь от иррациональности, находим:
a3z2 -|- 3abz {а у^ г2 4~ г) -р b3z = — с3,
т. е.
Озг2 — 2>abcz + b3z 4- с3 — 0.
Ответ. a3z? + Ъ (Ь2 — Зас) г 4- с3 = 0.
182. Обозначим Xj и х2 — корни данного уравнения; получим:
= (xi + *2) К*1 + хг)2 — 3xiX2J =
= — Р (Pl — 3q) = p (3q — р2),
где
*1 + х2 = —р, хгх2 = q.
Ответ, р (3q — р2).
183. Обозначая корни данного уравнения х{ и х2 = х|, по формулам
Виета получим:
, 2 15
х1 + х1 = ^->
т. е.
4xj-J-4XJ — 15 = 0,
откуда
3 - 5
Xi-T’> х1--—;
9 25
х2 = ~4-; x2 = v
184. р=<7=0;р=1, д = —2.
185. Указание. Квадратное уравнение имеет действительные
корни, если его дискриминант не отрицателен, т. е.
4 4- log2 а 0.
Ответ, а 2" 4.
Квадратные уравнения. Уравнения высших степеней
209
186. Указание. Воспользоваться формулами Виета. Составить
и решить систему уравнений: j_2/n
хх + х2 =---g— »
т — 1
ад = —g— ’
Зхх — 4х2 =11.
п _ 33
Ответ, тх = —2; т2---g- .
187. Указание. Решение аналогично предыдущему.
Xi + х2 = 2/г 4- 1,
хгх2 — k? + 2,
1
Х2 =~Y Х1,
где хх и х2 — корни данного квадратного уравнения.
Ответ, k = 4.
188. По формулам Виета
*1 + х2 = а,
ххх2 — а — 1.
Кроме того,
х? + х2 = (хх + х2)2 — 2ххх2 = а2 — 2 (а — 1) = (а — I)2 + 1.
Из последнего соотношения следует, что х2 + х2 будет наименьшим,
когда одно из положительных слагаемых правой части равно нулю,
т. е. а — 1 = 0, откуда а = 1.
Ответ, а = 1.
189. Пусть хх —общий корень. Обозначим корни первого уравне-,.*
ния Х| и >;2, второго — хх и х2. По формулам Виета находим:
xi х2 ------—
а ’
ад=-Ь
Х1+Х2=--^-, (1)
' С1
х Х2 = -2- .
а.
Если хх — общий коренЬ'Заданных уравнений, то система уравне-
ний (1) имеет корни xt, х2 и х2; верно и обратное.
210
Ответы и решения
Итак, искомое условие является таким, при котором система урав-
нений (1) имеет общее решение; оно находится исключением хр х2 й х2
из уравнений найденной системы и имеет вид:
(сах — асх)а — (a&j — bax) (bCi — сЬг) — 0.
Если abt — bax = 0 и cav — ac\ =£ 0, то заданные уравнения
общего решения не имеют.
Если abx — Ьаг =/= 0 и саг — асх =/= 0, то уравнения имеют один
общий корень.
Если abv — ba1= 0 и сах — асх = 0, то уравнения имеют два
общих корня, так как при этом их коэффициенты пропорциональны, т. е.
а b с
~~ bi ~ q
Например, для двух уравнений
х2 + Ах 4* 1 = 0
х2 + х + А = О
из общего соотношения находим:
(1 — А)2 — (1 — А) (А2 — 1) = 0,
откуда Ах = —2 и А2 = 1.
Данные уравнения имеют один общий корень при А = —2; два
общих корня при А= 1.
190. 1. Из первого уравнения
2х2 — 2х + 12
Подставляя его во второе уравнение, получим квадратное уравнение
х2 — 4х = 0,
откуда хх = 4 (х2 = 0), следовательно, т = 3.
2. Для решения задачи можно использовать общий метод, приве-
денный в № 189.
191. Биквадратное уравнение с рациональными коэффициентами
имеет в данном случае четыре корня: ± 1^5 и ±3t.
Следовательно:
(х + /5) (х - /5) (х + 3z) (х - 3t) = О,
т. е.
(х2 — 5) (х2 4- 9) = 0.
Ответ, х4 4~ 4х2 — 45 = 0.
192. /q = 6,
193. Указание. Если обозначить
х2 — !6х = z,
Квадратные уравнения. Уравнения высших степеней
211
то заданное уравнение принимает вид:
г3 — 2г - 63 = О,
0ТКуда г, = 9, г, = -7.
Следовательно,
х2 — 16х — 9 = О,
х2 — 16х +7=0.
Ответ. хХ12 ~ 8 ± V73, *з.4 = 8 ± j/^57.
194. Указание. Обозначить
х2 + х + l = z.
- 1 ± J К19
Ответ. хх = —2; х2 = 1, х3,4-----2-------.
195. Указание. Обозначая
х2 + 2х + 3 = г,
находим
2±±=г + 1,
2
2j = 2, z2 — —2.
Ответ. xlr2 = —1, x3(4 — — 1 ± 2/.
196. Указание. Имеем
о
(х2 + Зх) (х2 + Зх + 2) =-£г.
1о
Обозначая х2 + Зх + 2 = г, находим 16г3 — 32z — 9 = 0.
Ответ х _ ~ 3±К2 — 3 ± 2 К10
итвет. хг, 2 ---------, х3.4 =--------—2-----,
£
197. Указание. Имеем:
(х — 4) (х — 7) (х — 5) (х — 6) = 1680,
(х2 - 11х + 28) (х2 - 11х + 30) = 1680.
Обозначая х2 Их + 30 = г, находим уравнение
(г — 2) г — 1680 = 0.
Ответ. Вещественные корни уравнения: хх = —1, *2 = 12
198. Если умножить обе части заданного уравнения на 16, получим:
(8х + 7)2 (8х + 6) (8х + 8) = 72,
(64x2 + 112х + 49) (64х3 + 112х + 48) = 72.
212
Ответы и решения
Обозначая 64х2 4* 112х + 48= г, находим (z+ 1) г = 72
откуда гх = 8, г2 = —9.
Решение заданного уравнения сводится к решению двух квадрат-
ных уравнений:
64х2 4~ 112х 4- 40 = О
64х2 4- 112х + 57 = 0.
„ 5 1 - 7 ± 2/2?
Ответ. хх =---—, х2 = — —, х-з, 4 =---g------.
199. хх = 2; х2 = 3; х3> 4 = — - •
& &
200. Имеем:
(х 4~ а) (х — За) (х + 2а) (х — 4а) = 64,
(х2 — 2ах — За2) (х2 — 2ах — 8а2) — 64 = 0.
(х2 — 2ах)2 — 11а2 (х2 — 2ах) + 24а4 — 64 = 0.
Обозначая х2 — 2ах = а2г, находим а4г2 — 11а4г + 24а4 — 64 = 0,
/ Ь4 \
z2-llz + (24--?-j=0,
11 |Л 25а4 + 464
Z~ 2 * 2а2 ’
г. е. x2-2ax = -Lla2±/^+^ .
- 2а ± У' 26a3 ± 2 25а4 + 454
Ответ, х =---------------~.
201. Указание. Разделить почленно каждое слагаемое урав-
нения на х2 и обозначить
, 1
х Ч-------= г.
X
Ответ. xlt 2 = — 2 ± |Лз, х3( 4 =-.
202. Имеем:
х4 4~ 4Х3 4- 6х2 4- 4х 4" 1 = Зх4 4~ 2>
х4 — 4х3 — 6х2 — 4х4~ 1 = 0.
х2 4—— 4 ( х 4- —— — 6 = 0.
х2 \ х /
Обозначая х4-----— 2, находим, что х2 4*
— 2.
откуда
т. е.
или
Квадратные уравнения. Уравнения высших степеней 213
г2 _ 4? — 8 = О,
г, = 2 (1 + /3).
г2= 2(1 - /3)
х + -^ = 2(1+/3),
Л
х + _1_ = 2(1-Гз),
х2 - 2 (1 + /З) х + 1 = О
х2 - 2 (1 - /3) х + 1 = О.
Решая первое уравнение, получим:
xlt2 = (1 + /3) ± /(1 + /З)2 - 1 = (1 + /3) ±
± У^3(2 4- /3) = (1 + /3) ± V(1 +/3)2 X
x-^i=(i+/3)(l±^i-V
/2 \ |<2/
Аналогично решается второе уравнение.
Ответ. хь 2 = (1 + КЗ) ( 1 ± ,
\ /2 )
х3.4=(1 ~гз)(1 ±-43-У
\ К 2 /
203. Обозначим 3— х = г, 2 — х = /; тогда 5 — 2х = г + t.
Заданное уравнение принимает вид:
г4 + = (2 + О4
т. е.
г4+/4=г44-/4+ 4z3/ + 6г2/2 + 4г/3,
или
zt (2z- 4- 3г/ + 2/2) = 0.
Следовательно, при
г = 0 3 — л= 0; Х1 = 3;
* = 0 2 — х = 0; х2 = 2;
2z2 + 3zZ 4- 2/2 = 0,
2 (3 — х)2 4- 3 (3 — х) (2 — х) 4- 2 (2 — х)2 = 0.
214
Ответы и решения
Решая полученные три уравнения, находим искомые корни задан-
ного уравнения.
Ответ. х, = 3; х2 = 2; х3, 4 = — ^-гг— •
204. Обозначая нение к виду х2 — 2х + 2 = г. преобразуем заданное урав- 12 6 г г + 1 г + 2 ’
т. е. 3z2 — z — 2 = 0,
откуда м ГФ II 1 оо| ND * *
Следовательно, х2 — 2х + 1 = 0, Зх2 — 6х + 8 = 0.
А , 3 ± i /Тб
Ответ, xi, 2 = 1; х3,4 =-.
и
205. Указание. Обозначая 6х + 5 = z, приводим заданное
уравнение к виду
z4 — z2 — 420 = 0,
откуда zlt2 = ± /21; z3t4 = ± 2 /б-i.
п —5 ± /21
Ответ, х, 2 =----‘-д------,
О
—5±2/б-1
Х3, 4 С
X -т- 1
206. Обозначим --------= z; после преобразования заданное урав-
нение принимает вид:
4Z4 — 17z2 +4=0,
откуда
1
21,2 = ± -2" , г3,4 = ± 2,
т. е.
х + 1______1 х + 1
х ~ ~ 2 ’ х
Ответ, х, = —2, х2 =--------, х3 =----------— , r4 = 1.
I % _ |
207. Обозначим —- ——— = и: тогда данное уравнение при-
нимает вид:
-----и = 2,
и
Квадратные уравнения. Уравнения высших степеней
215
или и2 — 2« + 1 = 0, откуда uit 2 = 1
Следовательно, имеем уравнение
х3 + х — 1
или
х3 — 2 = 0.
гт 3/-К-
Решим это двучленное уравнение. Пусть х = г у 2; тогда преды-
дущее уравнение принимает вид:
г3 - 1 = 0.
Разлагая это выражение на множители и приравнивая каждый мно-
житель нулю, находим два уравнения:
и
откуда
2—1=0
г2 + г 1 = 0,
21= 1,
3 - 3 -
Ответ. Xi = ]/~2, хг< з = ± ,
208. Обозначим х3 + 1 — и; тогда заданное уравнение принимает
, 1 _ 5
U г и ~ 2 ’
или
2и2 — 5и + 2 = 0,
откуда
следовательно,
х3 + 1 = 2, т. е. х3 — 1 = 0,
*3 + 1 = 4- , т. е. х3 + ~ = о.
Решая первое уравнение, находим:
*1 = 1, х2|3- -1 ±
2
216
Ответы и решения
Решая второе уравнение, находим.
3 _ _ з _
/4 (1±1‘Кз)К4
xi — 2 ’ Г516 — ' 4
209. Пусть х 4* I = и\ тогда заданное уравнение принимает вид:
ы« _ 9и3 + 20 = 0.
Обозначая а3 = г, имеем
г2 _ 9z 4- 20 = 0,
откуда
гх = 4, г2 = 5.
Следовательно,
и3 — 4, или и3 — 4 = 0," (1)
и3 = 5, или и3 — 5=0. (2)
Решая первое уравнение, находим:
ч з_
и _ Лт. и _ (-1 ± i КЗ) V4
ui — У 4> ы2, з =----g-------,
поэтому
, _|/Т ,. х _ (-1 ±</3)/4
*1 — V 4 — 1, Х2э з —---2---------*•
Решая второе уравнение, получим:
3 _
и -V5- и (~1±<КЗ)Г5
^4 — г О, у
поэтому
, Л-5 , (-1±./3)/5
х4 — V О 1, Х5> 6 — -———— — 1.
210. Обозначим
5 — х = г 4- k,
2 — х = г — k,
откуда
ь 3 7
к = — , х = ^--г.
Заданное уравнение принимает вид:
(г+^)4+(г-4у=17.
или
16г4 4- 216z2 — 55= 0,
откуда
1 i И55
г1- г — — ~2“, г3> 4 = ± —-—.
Квадратные уравнения. Уравнения высших степеней 217
Q _л _ 7±i/55
Ответ. = ’Л ха — *з. 4 — 2
211. Указание. Данное уравнение переписать так:
(х2 - х)2 - (х2 - х) - 132 = 0.
Обозначая х2 — х = г, находим:
г2 - г - 132 = 0,
Д3 гг = —11 г2 = 12.
о , 1 ± i /43
Ответ. хл = —3, х2 = 4, х3, 4 =--.
212. Указание. Имеем:
68х8 - 257х6 - 257х2 + 68 = 0,
68 (х‘ + -И —257 ( х2 +-И =0,
\ х4 / \ х2 /
/ 1 \9 / 1 \
68 х2 + —Г У —257 ( X2 + — ) — 136 - 0,
\ X2 / \ X2 /
Ответ. xt, 2 = ± 2, х3, 4 = ± ,
/13 ± i /21 — /13 ± i /И .
/34 ’ 7S •
213. Обозначим х — 1 = у\ имеем систему уравнений:
1 х4 + / = 97, (1)
I х - у = 1
Введем новую переменную, обозначая х + у = г. Решая это урав-
нение с уравнением (2) находим:
Подставляя эти значения в уравнение (1), имеем:
и, после преобразования, приходим к биквадратному уравнению
г* + 6г2 — 775 = 0,
откуда г2 = 25, следовательно, = 5; z2 = — 5 и г2 = —31 следо.
вательно, г3 = i /31; г4 = — i /31.
218
Ответы и решения
Заменяя г его значениями в равенствах (3), находим:
п о q 1 ± г /31
Ответ. Xi = —2, х2 = 3, х3> 4 =------~.
*4 = О, Х5, в = 3 ± i К3.
215. *1=2, хг =------, х3,4 = — 1 ± /2.
£
217. хг = —1, х2, з= 2.
218. Согласно условию задачи, и м2 — последовательные члены
бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому знаме-
натель прогрессии
«2 2
~ иг ~ 5
25
Зная их и <7, находим k = -уу.
Подставляя значение k в данное уравнение, находим:
(1 4-х2)2 = ^х(1 -х2)
бх4 + 25Х3 + 12х2 — 25х 4- 6 = 0.
Решая это возвратное уравнение, находим:
Ответ. Xi = —3, х2 = —2, х3 = х4 = .
о 2
219. Указание. Решение сводится к решению одного трех-
членного и двух двучленных уравнений.
л 1 —1 ± i ^"З
Ответ, хх == —1, х2, з =-----5,
220. Разлагая на множители, находим:
х4 — 4х3 — 19х2 4- 76х 4- ЗОх — 120 = 0,
х3 (х — 4) — 19х (х — 4) 4- 30 (х — 4) = 0,
(х — 4) (х3 — 19х 4- 30) « 0,
(х — 4) (х3 — Зх2 4- Зх2 - 9х — 10х 4- 30) = 0, "
(х — 4) (х — 3) (х2 4- Зх - 10) = 0.
Квадратные уравнения. Уравнения высших степеней 219
0ТКУда х - 4 = 0; х - 3 = 0;
х2 + Зх — 10 = 0.
Ответ. Х\ = 4, х2 — 3, х3 2, х$ 5.
221. Ответ. хх = 1, х2 — 2
Х3, 4 = —1 ±1^3, Х5( 6 =
222. Обозначим:
а — х = z + п,
b — х— г — п,
отсюда
где
а 4- b а — Ь , ,
т = —у—; п = —-— а = т-\- п, Ь — т — п.
Заданное уравнение принимает вид:
(г 4- п)4 4- (г — п)4 _ (tn 4- и)4 4- (/п — п)4
4г2 4m2 ’
т. е.
т2г* — (пд 4~ п4) г2 4" п4/п2 = 0,
откуда
,2 _ ffl4 4- П4 ± (т4 — и4)
2m2 ’
г2 = т2, Z\ 2 = ± т = ± - •
1 2 ’
Подставляя четыре значения 2 в соотношение (1), находим корни
заданного уравнения.
Ответ. хг = а 4- Ь, х2 = 0,
2аЬ а2 4- Ь2
Хз~а + Ь> Xi~~TTb ‘
220
Ответы и решения
223. Если алгебраическое уравнение имеет корень xv — i, то оно
имеет и корень х2 = —i. Данное уравнение преобразуем так:
(х2 + 1) (х2 — 2х + 2) = 0.
Ответ. хг, 2~ —С хз, 4= 1 — i-
224. В заданном уравнении сумма коэффициентов, стоящих на
четных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных
местах; уравнение имеет корень х = —1.
При делении левой части уравнения на х + 1 находим:
2Х4 + Зх3 4“ 8х2 + 6х + 5 = 0.
Разлагая на множители, получим
(2х2 + х + 5) (х2 + х + 1) = 0. t
Каждый из этих трехчленов не имеет вещественных корней, сле-
довательно, заданное уравнение имеет единственный вещественный
корень х = — 1.
Ответ, х = —1
225. По условию хг = 51 есть корень заданного уравнения; поэтому
(5/)5 + 25 (5т)3 — 8 (5Z)2 + k = 0,
откуда
k = —200.
Но если уравнение имеет корень 5i, то оно имеет корень и ему
сопряженный, поэтому многочлен
х5 + 25х3 — 8х2 — 200
делится без остатка на выражение
(х — 5i) (х + 50 = х2 + 25,
т. е.
Xs + 25х3 — 8х2 — 200 = (х2 + 25) (х3 — 8) = 0.
Следовательно,
х2 + 25 = 0,
или
х3 — 8 = 0.
Ответ. Xi = 2, х2. з = —1 ± 3i; х4,5 — ±5i.
226. Указание. Разложить трехчлен ах4 + Ьх2 + с на мно-
жители и сравнить коэффициенты при одинаковых степенях х в правой
и левой частях равенства
ах4 + Ьх2 + с = а (х — хД (х — х„) (х — х3) (х — х4).
227. Воспользуемся тем, что корни биквадратного уравнения по-
парно равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку, т. е.
*1 — —х2, х3 = —х4.
Квадратные уравнения. Уравнения высших степеней
22.1
Отсюда вытекает, что
Х1 + х2 + Х3 + х4 =
Х1 4" Х2 4“ Х3 4* х4 ~ О ’
Х1 4- х2 4" хз 4- xt — 2 (4 4- хз).
*14- хз = (Х1 + *з)2 — 2х1хз - а2
2с — — 2ос
а ~ а2
следовательно,
Х1 4" х2 4" х3 4" х4 —
2 (Ь2 — 2ос)
а2
Ответ. xt + х2 4- х3 4* х4 — О,
х? 4- 44- 4- 4 = - >
xi 4" х2 4" хз 4- х4 — 0.
„4 I у4 I 4 I %4 _ 2 (62 2ас)
Х1 " г х2 ~Г х3 “1" х4 — а2 »
xi 4- х2 4- хз 4* Л4 = 0-
228. 1. Биквадратное уравнение с вещественными коэффициентами
имеет четыре корня: ± К5 и ±3i.
Следовательно
(х + Кб) (х — Кб) (х — 3Z) (х — 3i) = 0,
х4 + 4х2 — 45 = 0.
2. Воспользоваться формулами задачи № 226.
Ответ, х4 — 42х2 4- 841 = 0.
229. Биквадратное уравнение имеет две пары корней, равных по
абсолютной величине и противоположных по знаку. Попустим, что все
корни уравнения вещественные. Расположим их в порядке возрастания:
^1» ^2> ^1*
По условию корни заданного уравнения составляют арифмети-
ческую прогрессию:
Х2 ( Х2) Х1 x2t
Т. е. Зх2 = Хх, 9х2 = Ху
Кроме того,
Х1 4- 4 = —р,
44 =
222
Ответы и решения
откуда
д = 9
р2 100 ’
Ответ, q = 0,09р3.
230. 1. Можно воспользоваться результатом решения предыду-
щей задачи и сразу получить ответ.
2. Обозначим корни заданного уравнения: xlt 2 ~ ± У zi и х3, 4 =
— ± Допустим, что гг >• z2. Арифметическую прогрессию запи-
шем так:
Если воспользоваться свойством арифметической прогрессии, то
получим следующее соотношение:
/г2 — / гх = — 2 /г2,
откуда
3 Vг<г. = Kzj; 9z2 = Zi
Используя формулы Виета и найденное равенство, получим си-
стему уравнений:
Zi Н- z2 = 3/г 2,
2Г z2 =
Zj = 9z2.
Ответ, fe, = 6; k„ =-----.
1 2 19
231. Обозначим корни заданного уравнения xlt х2 и х3 Имеем:
*4 у х2 + у х 4- у = (х - xj (х - х2) (х - х3) =
— х3 — (хх 4- х2 4" х3) х2 4- (ххх2 4- XjX3 4- х2х3) х — ХхХ2х3.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим
искомые зависимости.
232. Указание. Воспользоваться формулами предыдущей за-
дачи:
хй 4- х2 4- х3 = —at. (1)
Х1Х2 4- Х2х3 4- ХхХ3 = Ь, (2)
ХхХ2Х3 = —с. (3)
1. Если корни заданного уравнения составляют арифметическую
прогрессию, то
Квадратные уравнения. Уравнения высших степеней 223
Из соотношений (1), (2), (3) и (4) находим:
—а2 + К<з4 — 27ас
Х1 = За ’
*2 =
а
—а2 — У сд — 27ас
~~ За
2. Если корни заданного уравнения составляют геометрическую
прогрессию, то
Х2 = /*1Х3 • (5)
Из соотношений (1), (2), (3) и (5) находим:
3 1/" 3 _ 3 _
—а 4- У~с — ' а2 — 2аУ с — ЗУс2
Х1 = ------------------й-----------------,
з _
х2 = — Ус ,
3 _ 1/ ~
—а + Ус + ' а2 — 2аУ с — ЗУ с2
х3 =-------------------2------------------
233. хь 2 = — (а 4* 6); х3> 4 = ± (а — Ь),
х5, в = ± (а 4- b) i; х7 8 = ± (а _ b) I.
234. Имеем:
х4 4- 2х3 + 4х2 + 2х + 1 = (х2 4- I) (х 4- I)2 4- 2х2.
Сумм.,, неотрицательных величин равна нулю при
(х 4- I)2 = 0 и х2 = 0, так как х2 4~ 1 =£ 0, т. е. х 4- 1 = О
одновременно, что невозможно.
условии
и х = О
Поэтому заданное уравнение вещественных корней не имеет.
235. Допустим, что х у. Если в данном уравнении у заменить
значением х, то получим неравенство: у
или
Кроме того,
следовательно,
х2 3.
х2 > 1,
224
Ответы и решения
что и требовалось доказать.
238. Указание. Пусть О, &>0 и с>0. Полагая зна-
чения х равными а. Ь. с и подставляя в заданное уравнение получим
тождество. х
Можно ли обобщить это положение для уравнений /г-й степени?
Для отрицательных корней уравнения?
240. Если х^>0, то с возрастанием х левая часть выражения
возрастает; при х = 1,5 это значение отрицательное, при х = 1,6 оно
положительное, следовательно, корень данного уравнения находится
внутри промежутка (1,5; 1,6).
Обозначим искомый корень из этого промежутка
где — — несократимая дробь. Подставляя значение корня в.уравнение,
перепишем его так:
р5 + PQ* — Юд5.
Из последнего соотношения следует, что .10 должно делиться на р,
т. е. числитель дроби р может принимать одно из значений: 1, 2, 5, 10.
Если рассмотреть дроби, у которых числителем будет одно из чисгл 1,
2, 5 или 10, то при любом q среди них нет такой, которая бы удовлетво-
ряла неравенству
1,5 < — < 1,6.
<7
Но если нет рационального числа, то корнем данного уравнения мо-
жет быть только число иррациональное.
241. Имеем:
2хп — (хп + пахп~~1 + • • • 4- ап) = 0,
2хп — (х + а)п = 0, 2 —fl + -^-V=O,
откуда
а
Ответ, х =------.
п
/1-1
242. Указание. ——-—— = 110.
/ х \
\ х + 1 )
Ответ, х — 10.
243. Подставив вместо х последовательно числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .,
убеждаемся, что при х = 1, у — ± 1 и при х — 3, у = ±3 числа 2, 4,
5, 6 ... не удовлетворяют условию задачи. Легко доказать, что при
х > 4 данное уравнение решений не имеет В самом деле, сумма
1! + 21 + 3! + 4! + 51 +--------F х!
Иррациональные уравнения
225
>. 4 оканчивается цифрой 3, но квадрат целого числа не может
ПРИ Рваться цифрой 3 (см. таблицу квадратов целых чисел), поэтому
ппугих решений уравнение не имеет.
дру 244. Обозначим у = рх- тогда
(хр)х = (рх)х,
т. е.
хр~1 = р.
Следовательно,
1 р
х = р р~' , У = Р Р~Х •
Заменяя —Ц- = k, находим
Р — I
/ /г + 1 V Р + < \*+1
Ответ, х = I —г— ) , У = I —г— ) »
где k — любое целое число (кроме 0 и —1).
§ 5. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
245. Разложить подкоренные выражения на множители и вынести
общий множитель за скобки, т. е.
/Г+Л (/4x4-5 — /2х —1 — /х^П) = О-
Приравнивая первый множитель нулю и решая уравнение
= 0,
находим
Xi = — 1.
Приравнивая второй множитель нулю и решая уравнение
/4х 4-5 = /2х — 1 + /х^Л,
после освобождения от радикалов находим:
7х2 — 26х — 45 = 0,
к / 9 \
откуда х2 = 5 ( х3=----у- посторонний корень j.
Ответ. Xi = —1, х2 = 5.
246. Обозначим х2 4- 5х 4- 28 = г2; тогда заданное уравнение при-
нимает вид: г2 — 5г — 24 = 0, Н
откуда
Ч = 8 (z2 = —3)
8 В. С. Кущенко
226 Ответы и решения
Следовательно,
^+5Х_36^=О,
откуда
хх = 4, х2 = —9.
Ответ. хг =4, х2 = —9.
247. Указание. Обозначая Зх2 + 5х + 8 = z, имеем:
V"z- /7^7 = 1.
g
Ответ. хг = 1, х2 =--о- •
О
248. Уничтожив иррациональность в знаменателе, .находим:
21+/441— х2 21
X ~ X ’
откуда /441 —х2 = 0.
Ответ. хъ 2 = ±21.
249. Обозначим 2х — 5 = г2; тогда заданное уравнение принимает
вид:
/ г2 + 2z + 1 + /z2 + 6г + 9 = 14,
откуда z = 5; х — 15.
Ответ, х = 15.
250. После упрощения получим квадратное уравнение
х2 + 31х — 222 = 0,
откуда
хх — 6; х2 = —37.
Ответ. хг =6; х2 = —37.
251. х = 2.
252. Имеем:
откуда
/х + 1 - 1/ --- —1 = 0.
X
Иррациональные уравнения
227
После элементарных преобразований находим:
(х2 — х) — 2 /х2 — х 4- I = 0.
- 1)2 = 0,
х2 — х - 1 = 0,
зткуда
Х2, з =
1 ± /5
2
Л 1 J+^5
Ответ. Xj = 1. х2 = g
253. Имеем:
(х4 — 12) — 2х /х4 — 12 х2 = О,
(/х4— 12 — х)2 = О,
/х4 — 12 = х,
х4 _ Х2 _ 12 = 0.
Решая это биквадратное уравнение, находим два вещественных
и два мнимых корня.
Ответ, х = ± 2.
254. Указание. Обозначить
х2 - Зх + 7 = г2.
Ответ. х, = -3, х2 = 6, хз, 4 = .
251. + х) (6 + х) (Кх 4- а 4- /х 4- 5) _ у-
К(х 4- Ь) (х 4-а) = /ab,
откуда
х2 4" (а 4" Ь) х = 0,
Xi — 0, х2 — — (а 4" Ь)
Ответ. х4 = 0 (а > 0; b > 0); х2 = - (а 4> Ь) (а < 0; b < 0).
256. Имеем:
___з з
Кх4-1+Кх4-2 = — /Г+3.
Применяя формулу
(а + 6)з = а3 + 63 + ЗаЬ (а + Ь),
228
Ответы и решения
находим:
х4-^4*х4_24'Зул(х4-1) (х-|-2) х
X (7/ х 4* 1 + т^"х 4* 2) = — (х 4" 3),
т/\х 4- 1) (X 4- 2) (х 4- 3) = х -]- 2,
т. е.
(х 4" I) (х 4- 2) (х 4- 3) = (х 4- 2)5,
откуда
х = —2.
Ответ, х = —2.
_ з г—
257. Указание. Обозначим 7/ х = z; тогда уравнение при-
нимает вид:
2z1 2 — 5z — 3 = 0.
откуда
Zi = 3; z2 = .
л»
Ответ. Xi = 27; х2 ---g-.
258. Обозначим
х 4~ 3
5x4-2
z; тогда заданное уравнение при-
нимает вид:
13
6 ’
т. е.
6z2 - 13z 4- 6 = 0,
_ 2 _ 3
Zi— 3 , г2— 2 ;
3/ х4-3 2 3/х4-3 3
поэтому]/ 57^=— и ]/ 57+2 = -^.
Освобождаясь от радикалов, получаем два уравнения первой сте-
пени:
х 4- 3 8 х 3 27
5x4-2 = "27" И 5x4-2 “ У *
Решая их, находим
Л с 30
Ответ. хх = 5; х2 =-------.
1 _1_ •
(1 -4- X \ * /1 — X \ 4 1
—-!— ) = z; тогда ( ---- I •— — и заданное
1 — х/ \1-J-X/ Z
Иррациональные уравнения
229
уравнение. после сокращения правой части на (1 + а), принимает
вид: 1 1 /1 — а\ 2 1 _ / 1 —а\ 4 \ t 4- a ) 'г 1 ~ \ 1 + а) ’
или - + =<> \ I + а) \ 1 4- а)
откуда 1 / 1 —а\ 4
Заменяя z его значением, находим уравнение:
ИЛИ 1 1 / 1 4- х\ 4 _ /1 —а\ 4 \1— х) ~ \1’4-а/ ’ 1 -f- х _ 1 —а 1 — х ~~ 1 4-а ’
откуда и находим корень заданного уравнения: х — —а.
Ответ, х = —а.
260. Освобождаясь от иррациональности в знаменателе, имеем:
ИЛИ _П * '3/|5Ч, х 8 г 1 — *2 = (1 — -1- |<152x4V. \ О J
Введем новую переменную х2 = г3; тогда
т. е. 1-г3 = 15|/Л5-г4 4- 64г3 - 16 г2 = 0.
Разлагая на множители, находим:
I) г — 0, т. е. г = 0, поэтому и jq = 0;
2) I5f''l5z- -j- 64г — 16 = 0,
230
Ответы и решения
откуда
—32 ± 6Ь
г3» 4 — ---о—----
1б|<15
т. е.
г3 =
12
5 '^Тб ’
Отбрасывая отрицательное значение г4, так как х3 = z3 0, имеем:
. 123 242
уА - ----- -- ----
5315 252 ’
откуда
24
*2> 3 — пг •
261. х1( 2= ±3.
262. Обозначая сопряженное выражение левой части заданного
уравнения через z, получим два равенства:
4х + 2 — V 4 х — 2 — г
/4x4-2 + 1/4х —2 = 4.
Почленно умножая и складывая их, находим:
4х + 2 — (4х — 2) = 4г; г = 1.
2 /4х + 2 = 5; х =
Ответ, х = 1
1
16 *
263. х4 Xj =s 5.
264. х= 4-.
4
265. хг = 0, х2 = 1.
266. xlt 2 =
267. хх, 2 = ± 1.
268. Указание. Умножая числитель и знаменатель дроби
на квадрат знаменателя, после упрощения находим:
(а-6)2 ,
Р/-------_i_ 3 '----h v а
а — х 4- у х — Ь)
или
з _____________________________________________________
а — х х — b 4- 3 ->Л(в — х) (х — Ь) (а — Ь) ~а — Ь,
Иррациональные уравнения
231
т. е.
З-^а — Ьу^(а — х) (х — Ь) = 0.
Ответ. Xi — а, х2 = Ь.
269. Xi = 64; х2 = —27.
270. Обозначая а — х= r\ b — х= г4, находим:
а + Ь — 2х = f4 4" г4.
Заданное уравнение перепишем так:
t -J- г = 4/<4 -f- г4 ,
откуда, после преобразования, получим:
tz (2t2 4- 3/г 4- 2г2) = 0.
Следовательно, или
t = 0, тогда X! = а,
или
г = 0, тогда х2 = Ь,
или
2tl 4- З/г 4- 2г3 = 0.
Последнее равенство преобразуем к виду
2 (f- 4- г2) = —3/г, . ..
или
4 4- г4) = /2г2,
т. е.
4 (а -|- b — 2х) = К(а — х) (6 — х),
откуда находим х3 и х4 — оба корня комплексные.
Ответ. Если а Ь, то х = Ь\
если Ь а, то х — а.
271. Указание, а 4- х b 4- ) = г/"х,
или г 1 'г 1 г ' ' г
(а + х)(}/~а 4- У Ь ) ’ = х.
Ответ, г - - +1ЛЛ5
i-(t^4-5A)5’
272. Преобразуем левую часть уравнения:
232
Ответы и решения
Здесь показатель степени х есть сумма бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, а
lim Sn =-----—-— = 2,
Q->OO | 1
2
следовательно, имеем уравнение х1 = 4, откуда xt = 2.
Значение х2 = —2 уравнению не удовлетворяет.
Ответ, х = 2.
273. хх — 0; х2,3 = ± Vab.
274. Умножая обе части уравнения на
3/_— 3<---------
получим:
Зт—- /зЛ---------------------------------- з,-------\
а + х4-а — х = у а3 Vy а у х 4-у а —х),
т. е.
2а 4- 3 у^а2 — х2 (^о4* 4- У^а — х) = 8а,
3 а2 — х2 -2 у7 а = ба,
а3 — х2 = а2;
х = 0.
Ответ. хх = 0.
275. Указание. Обозначить
_ а — b
Ответ. хг = —g—.
276. Преобразуем левую часть уравнения. Вынесем за знак pa-
ri п
дикала в первом слагаемом х п п Г п п х"+1Г хп+14-а"+1 Ш“ (;Д + и во втором а , получим: п п/ п п 4-ая+1у ип +1 4- хп +1 = а, 1±2 п \ п ап+1) = Ь,
Системы уравнений высших степеней
233
п п п
_______________________________ап^
откуда
п±1
(п п \ п
Ь^-ап+х)
277. Преобразуем данное уравнение к виду
или
т. е.
Ответ.
278. хг = 0, х2 = 3.
— 1
§ 6. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
279. Приводим
Обозначим
Поэтому
откуда
т. е.
заданную систему к виду:
(* + у) 4~ ху = 11
(х 4- у) ху = 30.
X + у = и
ху = V.
и 4- и = п
uv = 30,
“1 = 6, = 5,
«2 =5, v2 — 6,
I *+ у = 6 Г X 4- у = 5
1 ху == 5 | ху = 6.
Ответ. хг = 5, ух = 1; х2 = 1, у2 = 5; х3 = 3, Уз
У1 — о. 3
2; х4 = 2,
234
Ответы и решения
280. Xj = 1, у} = 3. х2 =3, у2 — 1;
—5 ± i /23 —5 + i /23'
хз, л =-----2----» ^3’ 4 — 2 *
281. хъ2 = ± —; z/i,2 =±-^-;
1
Х3, 4 = ± ~2~ ; Уз, 4 = ± 1 •
282. Обозначим
( х2 — у2 — и
I — ху=о.
Заданная система уравнений принимает вид
| и + и — —11
| uv — —180,
откуда = 9, Vi — —20;
а 2 = —20, п2 = 9,
т. е. / х2 — / = 9 | х2 —у2 == —20
| ху — 20, | ху = —9.
Решая эти две системы уравнений, получим два биквадратных урав-
нения.
Ответ. xlt 2 = ±5, 4/1,2 = ±4;
Х3, 4 — ±4», УЗ, 4 = -p5i;
Хъ,6 « ±1,86, Уь, в +4,85;
ХЪ 8 ±4,85/, У1, 8 W +1,86/.
283. Если в первом уравнении заменить значение у его значением
из второго уравнения, то получим квадратное уравнение, имеющее два
равных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю,
т. е.
(8т — 6т2)2 — 4 (1 + т2) (9т2 — 24т — 9) = 0,
откуда т = —0,75.
Ответ, т = —0,75
284. Xi = 1, уг — 4; х2 = 4, у2 — 1;
_ — 7 ± i /15 —7 + i /15
^3> 4 2 > 4 2 •
285. хъ 2 = ±3, i/i, 2 = ±1; х3, 4 = ±12, Уз,4 = +
286. Указание. Обозначить
х (х + 1) = и,
Зх2 + 5у == V,
Системы уравнений высших степеней
235
тогда заданная система уравнений принимает вид:
Г uv = 144,
I и + и = 24.
287. Указание. Умножить первое уравнение на 3 и сложить
его со вторым уравнением.
Ответ. Вещественные корни системы уравнении
х^ 2, У1~~ х9 У% 2.
288. Разлагая на множители каждое уравнение, получим:
| (х — у) (х3 + ху + у3 — 19) = О
| (х + у) (ха — ху + у2 — 7) =0.
Если х — у = 0, то у = х.
Если х 4- г/ = 0, то у — —х.
Кроме того,
f х3 + ху + / = 19
I х2 -ху+ ц2 = 7. ( >
Если у = х, то из второго уравнения системы находим:
2х3 — 14х = 0;
xi ~ У1 — 0,
-^2, 3 — — 7 » У2> 3 ~ i /7 .
Если у — —х, то из первого уравнения системы находим:
2Х3 — 38х = 0,
х41 в = ± /19, t/4, s = т /19.
Из соотношений (1) получим систему уравнений:
| х2 4- у' = 13
I ху = 6,
>ешая которую. определим остальные четыре корня заданной системы'
Ответ, л, = 0, у, = 0, 3 _ уг, , _ ± /у.
хъ 5 = ± /19 yit 5 = т /]9т
хв,7=± 3, Уб, 7= ± 2.
*8> 9 ±2, y8t 9 — 3.
У к а з^а и и е. Преобразовать оба уравнения системы так:
I + + 2)(^+ — + 2) =27
I + + =10-
236
Ответы и решения
Обозначить х + —— = и, у-\—— = v
х У
Заданная система уравнений принимает вид:
J (и + 2) (v 4- 2) = 27
| uv — 10.
Ответ. х1г 2 = 2, уъ 2 = 2 ± ИТ;
хз> 4 = ~2~ > Уз» 4 = 2 ± Из;
х5» в = 2 ± Из, Уб, в = 2;
хъ 8 = 2 ± ИЗ , у7, в = -у •
290. хь 2 = 7 4- 4 ИТ, уь г = 2 ± ИТ;
Хз, 4 = 2 ± Из , Уз, 4 = 7 4- 4 Из ;
Xg, в = 7 — 4 Из , Уз, в = 2 ± Из ,
х7, в = 2 ± И3, у7, в = ? — 4 Из •
291. Указание. Преобразовать систему уравнений к виду:
| х2 4* У2 = 8
| х2у2 = 16.
Ответ. Xj, 2 ~ — 2, у у 2 = ± 2.
292. Xi = —9, 1/1 = —11; хй = И, t/2 = 9.
293. Xi = 14, t/i = —11; х2 = 11, у2 — —14.
294. Преобразуем первое уравнение так:
(х2 4- у2)2 — х2у2 =481,
или
(х2 4- у2 + ху) (х2 + у2 — ху) = 481.
Принимая во внимание уравнение второе, находим систему;
1 х2 4- у2 — ху= 13
I х2 4- У2 4- ху = 37,
откуда ху — 12, что со вторым уравнением дает
(х4-у)2 = 49. 11)
Вычитая из второго уравнения Зху = 36, получим:
(х — у)2 =1. (2)
Системы уравнений высишх степеней
237
Заданную систему уравнений приводим к четырем линейным си-
стемам:
х±7
х — у = ±1
Решая эти четыре системы уравнений, находим:
Ответ. xlf 2 = —4, t/lt 2 = —3, х3, 4 ±3, у3, 4 — ±4.
295. Обозначим г — х — у. Решая это уравнение совместно со
вторым уравнением системы, находим:
Х~ 2
а — z
У — 9
(1)
Подставляя эти значения в первое уравнение системы, имеем:
(а + z)4 + (а — z)4 = 16д4,
и, после преобразования, получим биквадратное уравнение:
z4 + 6a2z2 4- (а4 — 864) = 0. (2)
Пусть z2 = v, тогда
v2 4- 6а2 v 4- (а4 — 864) = 0. (3)
Если свободный член этого уравнения а4 — 864 > 0 то заданная
система вещественных корней не имеет.
Если а4 — 864 < 0, то уравнение (3) имеет один положительный
корень
= —За2 + /8 (а4 4- 64) ,
следовательно, zx = z2 = —
Подставляя эти значения в уравнения (1), находим вещественные
корни заданной системы уравнений. вещественные
Ответ. Xi = и _ а ~ /^1
2 ’ У1--------2---’
а __ а рЛ—
Х*------2----’ Уг==~2 ’
296. Решение аналогично предыдущему.
Ответ. хх = О, У1 = а- х2 = а, у, = 0;
х, . = о 2ЦЕБ? , f = (£5 . /3.0 а
Z 2
238
Ответы и решения
b ь
297. хъ 2 = — ± Л, р1>2 = — + А;
d b
Х9, 4 — ± f/3,4 = "2“
где
298. Указание. Преобразовав систему уравнений к виду
* +у — Уху + 7
(х + у) У ху = 78,
находим
ху =* 36, х + у = 13;
ху = 169, X + у — —6.
Ответ. х± =4, yY = 9; ха =9, у2 = 4.
299. Указание. Возведя первое уравнение в куб и используя
данные задачи, получим:
з _ / з _ з
ху +‘^Уху\Ух + Уу) = 43,
или
з _
* + */ +3^27-4 = 43,
т. е.
( х + у = 28;
( ху = 27.
Ответ. хг = 27, ух— 1; х2 = 1, у2 = 27.
300. Указание,
t; первое уравнение
перепишем так:
ИЛИ 15/2 — 34/+ 15= 0,
откуда ю |со II «м 'К* СО |ю II
Системы уравнений высших степеней
239
Поэтому
х+У __L-
~~5х~ ~~ 25 ’
X + у 25 1
“ 9 ; У ~ V Х
Подставляя найденные значения у-ов во ьторое уравнение, получим
два квадратных уравнения.
хУ zU
Ответ. Xi =5, z/i = 4; х2 = , Уг = ;
— 125 ± /136729 . _ — 125 ± / 136729
х3, 4 = 232 ♦ Уз’ 4 18
301. = 5, уг — 7.
302. Указание. См. № 300.
3
Ответ. Xi = 6, £/i = 3; х2 = — 3, у2 -->
Хз. 4= 12±23|/39-> 4/3. 4 = 12 т 3/39
6 _
303. Указание. Обозначить / ху = г; тогда первое уравнение
преобразуется к виду:
Зг3 — 7г2 + 4 = 0,
(г — 1) (Зг2 — 4г — 4) = 0,
откуда
21 = 1, г2 = 2, г3 =------1-.
О
Ответ. Х1, 2 = 10 ± 3 /| I, у1, 2 = Ю т 3 / Н;
х3 = 16, у3 =4; х4 = 4, у4 = 16;
x5,.= io±ajqp«; . = |0ти
27 *
~ 304. Указание. Использовать свойство производных
аип; первое уравнение преобразовать к виду
х2 + У2 25 х2 _ 16 3
х2 — у2 7 ’ yi 9 J У — ± —х.
Решить системы уравнений:
пропор-
Ответ. Xi = 4. у' = 3;
V 5
х2 = 4
{/г = —3
240
Ответы и решения
305. Пусть Зх = 2у = z = бй; тогда х — 2k, у 3k, г =
Подставляя значения х, у и г, выраженные через k, во второе уравне-
ние, имеем:
49й2 = 196.
откуда
^1, 2 = — 2-
Ответ. хъ 2 = ±4, ylt 2 = ±6, 2lt 2 = ±12.
306. Указание. Последние два уравнения записать так:
Ответ. xlt 2 ~ ±3, У1' 2 = ±4, г11 „ = ±5.
307. Указание. Из уравнений второго и третьего находим:
xyz = 27. (1)
Умножая третье уравнение на г и заменяя хуг из равенства (1),
а х + у = 9 — z из первого уравнения, после преобразования находим,
что (г — З)3 = 0, откуда г — 3; легко найти что х = у = г.
Ответ, х = у = 2=3.
308. Преобразуем второе уравнение; принимая во внимание третье
уравнение, находим:
13
или Но следовательно, т. е, хг + ху -J- уг = -у , z . v . 13 х (У + г) + уг = —. . 13 1 0 + г= —— х; 1/г = —, /13 \ . 1 13 х( х ) + — = —. \ х ) х 3 ’ (Х-1) (х2--уХ + 1) = 0
I Q 1
*1 = 1, х2 = 3, х3 = —
О
откуда
Системы уравнений высишх степеней
241
10
Если = 1, то у + г — з , уг
откуда -/-3, г=4- ил"!' = 4’ г = 3’
Ответ. *1 = 1, У1 =3, 2i — j ;
1 о.
х2=1, Уг=-^~» z2—о,
х3 — з, уз = 1, 2з — з ;
Х4 = 3, Pi — з , 2 4 = 1»
Хь=—з", Уъ — 3> 25 = 1>
хв = , Уз = 1 • 2в = 3.
309. Указание. Составляя производную пропорцию из первых
трех отношений, находим:
х =______________х 4- 4- г__________
у4-2 у + г 4-х 4-г 4-1 4-х 4-1/—1 *
или
X 1
i/4-г ~ 2’
т. е.
у 4" г = 2х.
Следовательно, х 4- у 4- г = , поэтому Зх = —.
2
Ответ, х — , у == -^
1
г =----—.
6
310. Складывая почленно все уравнения, находим
(х 4- у + г)2 = а 4- b 4- с,
откуда
х 4- У + 2 = ± Иа 4- b 4- с;
подставляя это соотношение в заданные уравнения, получим ответ
а b с
X=±V’
где k = I/"а 4- b 4- с.
242
Ответы и решения
311. Указание. Обозначить
тогда
Следовательно,
1__।__1__j_Q 4~ Н~6
X ' У ' 2 ~ k
Из соотношений (1) и (2) находим:
k = ± У а 4- b -f- с.
Ответ, х = ±
К а 4- b 4* с
а
У= ±
г = ±
312. Имеем:
X у а ’
Поэтому
Системы уравнений высших степеней
243
2аЬс
У ~ ab +~Ьс — ас’
г ас + ab — Ьс
313. Xj = 5. У1 = 1» zi — 3-
314. Xi — У1 = Zi = О,
Х2, 3 = ± 2—> Уг, 3 — — ~2~ V 3 ’ г2. з — ± •
315. Вычитая второе уравнение из первого, третье из второго,
получим:
(у — z) (х 4- у + Z) = 9,
(х — у) (х + у + z) = 9,
откуда
у — z = х — у; 2у = х + г,
следовательно,
3
(* — у) у — 3; х = — + у.
У
з
Если подставить значение х —-----F у в первое* уравнение, то по-
лучим биквадратное уравнение
3/ — 28у2 4-9=0,
откуда
о Кз"
У1, г = ± 3; Уз, 4 = ± —j— и т. д.
О
Ответ. хъ 2 = 4, ylt 2 = ±3, гь 2 = ±2,
*3, 4 = ±
10 Уз
3
Уз, 4 =
316. Имеем:
Хг 4- у2 4- Z2 4- 2ху 4- 2xz 4- 2yz = а2 4- Ь2 4~ с2,
х +У + г = ± Уа* 4-Ь2 4-с* = —
N '
Разлагая левую часть каждого из уравнений как разность квадра
тов и заменяя сумму х 4- у+ г=1 находим:
У 4- г — х = a2^>
х 4- г — у = b2N,
х + У — г = c2N.
244
Ответы и решения
Решая систему линейных уравнений, определим неизвестные.
Ответ.
Ь2 + с2
2/о2 + &2+^>
а2 + с2
у ~ь~ ....- -
2 /а2 4-62 4-с2
а2 4- Ь2
2 Ка2 4-62 4-с2 * •
317. Указание. Складывая почленно заданные уравнения,
находим:
2 (х 4- у + г)2 = а + Ь + с,
откуда
x4-i/4-z= ±
и 4“ Ь 4”
2
Складывая почленно второе и третье уравнения системы и вычи-
тая первое, получим:
откуда
2х (х + у + z) — b 4* с — а,
Ь 4- с — а _ b с — а
2(х4-!/ + г)- ± /2 (а 4- б"+с) ’
Аналогично находим и остальные неизвестные.
Ответ.
_ 6 4~ с — °
х~ ±/2(«4-й 4-ТГ’
а 4- с — b
У = ±— 1 -----,
^2(а + Ь+с)
а 4- b — с
г = ± -г=2===г.
К2 (а 4- b 4- с)
318. Указание. Складывая почленно заданные уравнения,
находим:
ху 4-« 4- yz = (а2 4- Ь2 4- с2)
Системы уравнений высших степеней 245
Вычитая из последнего соотношения последовательно каждое из
уравнений системы, получим:
{/2 = 2-(^ + ^-а2),
хг = (а2 + с2 — 62),
ху = ±-{а2 + Ь2-с2),
следовательно
у b2 -f- с2 — а2
х ~ а? -|- с2 — Ь2 *
Два последних уравнения позволяют найти х и у, а затем и г.
Ответ.
1 / (а2 4- 62 — с2) (а2 4- с2 — fe2)
V 2 (b2 + —а2)
1/" (а2 4- Ь2 — с2) (Ь2 + с2— а2)
V 2 (а2 4- с2 — Ь2)
-1 Л (а2 + с2 — Ь2) (Ь2 + с2 — а2)
V 2 (а2 4- Ь2 — <?2)
319. У Казани е. Преобразовать уравнения системы так:
10
3
Обозначить — = и, — — v — = t
X * У *2
Система уравнений будет иметь вид:
20о 4- 30а — 9/ = 26
3/ — 4и = 4
t 4- 10u = 5.
Из этой системы уравнений найти и, и и t, а по ним х у и г
Ответ, х = 10, у — -4- г = — .
2 4
246
Ответы и решения
320. У казаки е. Имеем;
(x-f-t/-]- г)3 = 1,
(х 4- у 4- г) (х2 4~ у1 4* г2) = 1,
поэтому
(х 4” у 4" г)3 4" 2 (х3 4- у2 4" z3) —
—3 (х 4- у 4- г) (х2 4- у2 4- г2) = 0,
откуда после элементарного преобразования находим:
хуг = 0.
Если х = 0, то ух = 0, 2] = I; у2= L г2 = 0 и т. д.
Ответ. х, = 0, ух = 0, zx = 1;
х2 = 0. Уг ~ 1. г2 = 0;
хз ~ Ь Уз~ О’ гз ~ О'
321. У
НИЙ можно
к а з а н и е. Для решения предложенной системы уравне-
воспользоваться свойством корней кубического уравнения:
и3 _ 9ый .j. 26и — 24 = 0.
Целые корни содержатся
числа 2, 3 и 4.
среди делителей свободного члена, это
Ответ. х1а 2 = 2, ух — 3, гх = 4;
У г =4, z2 = 3;
хз,« = 3, у~ 2, 23 = 4;
Ул = 4, 2;
хз,« ~ 4, у$ = 2, г5 = 3;
Уз ~ гв = 2.
322. Указание. Для упрощения системы уравнений ввести
обозначения:
х2 4- у2 = и
х2 г2 = и
*/2 4- г2 = t.
Система уравнений принимает вид:
и 4- v 4-1 = 28
Ы2 /2 = 294
uv _ 50
~Т _1з»
Системы уравнений высших степеней
247
откуда
или
и0 = 28 — t,
50 .
мо = Тз'’
+ у)2 __ 2uv + t2 = 294,
(28- О2- t 4-/2-294 =0,
1 о
tl —
13/ ’
Зная значение t, находим и и v, а отсюда и искомые неизвестные.
Ответ. Ху, г = — 1» У1. 2 =
Х3, 4 = ± 1> 1/3,4 =
— 2, Zg, 4 ±3.
323. Возвести первое уравнение в квадрат и вычесть второе уравне-
ние:
ху + xz 4- уг. = 9. (а)
Возвести третье уравнение в квадрат и вычесть первое уравнение:
V ху + V xz + V уг = 5. (Р)
Возвести уравнение (р) в квадрат и вычесть уравнение (а).
(/* + Vy + Иг") V"xyz = 8.
Учитывая третье уравнение системы, находим:
К хуг = 2; хуг = 4.
Решая систему уравнений (см. № 321)
ху + xz + уг — 9
хуг ~ 4,
324. Указание,
находим:
находим неизвестные.
Ответ. Ху = I У1= 1, 21 = 4;
хг 1, У г — 4, г2 = 1 и т. д.
Сложив и перемножив почленно уравнения,
3------- 1
' + У + ? = —,
„ О /------------
Ответ.
1 1
х = —; у = -^-=
9 у' 3 6 /3
2
248
Ответы и решения
325. Указание. Перемножив почленно уравнения, после
преобразования получим:
Vxyz (frxyz — 1) = О
Ответ. х = 3 у = 2 -|s г = .
326. Перемножим почленно два первых уравнения, получим:
(х-|-y)(z-H) _ 7-5 .
xyzt 12-18 ’
в
воспользовавшись четвертым уравнением системы, находим.
(х 4* у) (г + 0 = 105 ,1)
Принимая (х+ у) и (г + 0 за корни квадратного уравнения,
по их сумме (третье уравнение системы) и произведению (I) составим
уравнение
иа — 22и 4- 105 = 0,
откуда
Ui = 7, и2— 15.
Следовательно, или
х 4* у — 7, z + = 15, (2)
или
х + у = 15, z 4- t = 7. <3)
Подставляя соотношение (2) в первые два уравнения, имеем;
х 4- у = 7 ( г t — 15
и
ху = 12 zt — 54.
Решая эти системы уравнений, находим:
Xi = 3, j/i = 4, Zj = 6, tx = 9;
х2 3, у2 = 4, г2 ^2 5',
х3 = 4> Уз = 3, г8= 6, t3 = 9 и т. д.
327. Обозначая ряд равных отношений через k, т. е.
= == .. = Хп~1 = k
х2 х3 хп ’
находим; Xi = kx2, х2= kx3. «3= kxit (2) .... (
Системы уравнений высших степеней
249
откуда = x2k = x3fc2 = х4/г3 (3)
Из соотношения (3) и из третьего уравнения системы получим:
£3 = 8; k — 2.
Воспользуемся свойством ряда равных отношении; имеем:
хг + '' + ХП-1 _ Х1 _ Х2 _ 2-
х2 х3 4“ ’ 4" хз х«
принимая во внимание второе уравнение системы, из последнего соот-
ношения находим:
Из соотношений (1) видно, что хх, х2. . . хп составляют геометри-
. ' ' 1
ческую прогрессию, у которой знаменатель равен —, поэтому
/ I \ п~1
xn = Xi . (5)
Решая систему уравнений (4) и (5), находим xt; зная хх й k, нахо-
дим х2 и т. д.
п 152"-1
Ответ, х. =-----------, и т. д.
2” — 1
328. Перемножив почленно уравнения системы, находим:
<ххх2х3. . . хп)п~2 = аха2- -ап,
откуда
п—г г--------------------------------------‘
ххх2х3 .. .хп= / аха2 --ап .
Умножая числитель и знаменатель /л-го уравнения системы на хт,
приведем его к виду
amxm = W3- хп,
следовательно.
где пг^ 1, 2, з, . . „
329. Указание. Имеем:
или *1+ 1/1 = (х 4- у)\
1 . 1 = (х + УУ
х! у! х!у! *
250
Ответы и решения
Правая часть полученного выражения — целое число, левая част
может быть целым числом только при х=у = О’, х = у — 1; х = и Л
= 2. у -
Ответ, х = у = 1
z = 2.
§ 7. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
5
331. n> -j-. 332. k = 2 (4+ 30. 334. x = 11, у = —2. 335. 1.
4
340. 4096. 341.
<5 •
/5 *
— (!-}- 0» если n = 1,
343.
(1 0» если п > 1.
\ 22Л
344. 2, если п — 3k,
—1, если п = 3k + 1; 3k + 2.
345. /1 = ± -^-(1+ 0
346. Модуль числа i равен 1,
л
аргумент ——.
£
По известной фор-
муле находим:
3/-— ° / л , . . л
у i = 1/ cos— 4- i sin
л
— со&——5----}- i sin
Л
— + 2/?л
£
3
где k = 0, 1, 2.
Ответ. -------g-----; ------; — t.
, . 4 2 .
352. Xi — 1 I, х2 — - •“ t.
357. Известно, что корни 2л-ой степени из единицы
ft Л , . k ТС ., . л — л \
Xk = cos — + i sm — (k = 1, 2, 3, . ., 2л).
Разлагая x2” — 1 на множители, находим:
2п
х2" — 1 = (х — хг) (х — Х2) . . . (X — Х2Л) = П (х — Xk).
fe=l
Это выражение можно записать так:
п—rl 2n—1 (
х2” — 1 = П (X — ХА) • п (X3 — 1) (х — Xk)
k=l £=л4-1
Неравенства
2b 1
Учитывая, что корни _ ,
и, кроме того, kn
х . = cos--------i sin —— — xk
2n-k П П K
n—1 _
имеем x™ - 1 = (*2 — 1) П (x — xk) (x - xk) = (x2 - 1) X
6=1
/ b jt \
X П ( X2 — 2x cos — + 1 }.
но
358. Решение аналогично предыдущему.
359. Если в формуле бинома (1 + х)п положить х = i, то
(1)
/ ал . . пл\
= (1/2) ( cos— i sin — \.
(2)
Из соотношений (1) и (2) находим:
п
l-C2n + Cj-...=2rcos^
п
Ответ. 2 cos — .
4
§ 8. НЕРАВЕНСТВА
363. Абсолютная величина вещественного • числа х обозначается
юлом | х | и определяется так: ооозначается
I х | = х, если х О,
I х | = —х, если х < 0.
а) Из соотношения | х | а вытекает, что
х а,
—х<а. (О
Умножая последнее неравенство на —1, находим
252 Ответы и решения
или
—а < х. ф
Из соотношений (1) и (2) вытекает, что
—а << х < а.
в) Из соотношений —а < х <« а следует:
если х 0, то | х | = х, т. е. х < а или | х | < а;
если х 0, то | х | = —х, т. е. — х < а или | х | <" а.
Следовательно,
|х | <а,
что и требовалось доказать. -
364. а) Если х + у > 0, то по определению (см. Предыдущую за-
дачу)
| х + у | = х 4- у. (1)
Но х | х |, у | у |, поэтому
х4-.У^1*| 4-lyl (2)
Из соотношений (1) и (2) вытекает
1*4- 1/1^1*14-14/|-
в) Если х 4- у <* 0, то
1*4- У\ = — (* 4-у) = — *~ У- (3)
Но —х | х |, —у | у |, следовательно,
— * — у I * 14-1 у I (4)
Из соотношений (3) и (4) вытекает, что
I *4- УI I х | 4- IУI-
365. Указание. Имеем:
х = (х — у) 4- у,
т. е.
1*1 = К* — У)4- У|^|* —1/14-1У I,
откуда
I* — У|^|*| — |у|-
366. Пусть х > у, тогда
(х — у)2 = х2 4- у2 — 2ху О,
х2 4~ у2 S== 2ху
откуда
253
Неравенства
b *
Т ~ q
а______J_
367. Пусть - р
тогда
а______1
Т “ pq
— = pq,
а
И заданное неравенство перепишется так:
Исходя из того, что р I, q 1
(р- I) (q -1)^0,
т. е.
pq^p + <7—1-
Следовательно,
V + V + pq ( ~р~+ р)+ (+ q) ~1
Здесь равенство возможно только при условии, что
или
т. е. при
369. Имеем:
Р= q,
а — b — с.
ab + ak ab bk
а (Ь 4- k) <3 b (а + k)
а a -f- k
b < д + Л ’
254
Ответы и решения
370. У Казани е. Составить очевидные неравенства:
а2 а2 — (Ь — с)2,
b^b2 — (с — а)2,
с2 с2 — (а — Ь)2.
Почленное умножение этих неравенств приводит к следующему
неравенству: *
a2b2c2 (а + b — с)2 (а 4 - с — Ь)2 (Ь 4" с — а)'
откуда abc (а + b — с) (а 4- с — Ь) (Ь 4“ с — а).
371. Имеем: т. е. 1 3 2*4*’ 1 2 <’ 3 4 <‘ 99 100 < 99 ’ 100 < 2 3 ’ 4 5 ’ 100 101 ’ 2 4 3*5”’ в 100 101 •
Обозначая х = находим 1 3 99 ”2 4 100 ’ 1 Х< 101х ’
откуда
1 1
Кто? ю •
372. Указание. В данном произведении все дроби правиль-
ные, поэтому (см. № 369) находим (при k = 1):
1 3 2л — 1 2 4___6 2л
~2~ 4 2л 3 5 7 * * * 2л 4- 1 ’
Следовательно,
/ 1-3.5 ... (2л — 1) \2 1.3-5 . . . 2л — 1
\ 2-4 -6 2л ) < 2-4-6 ... 2л Х
2-4-6 ... 2л _ 1
Х 3-5 ... (2л + 1) ~ 2л + 1 ’
Неравенства
255
откуда вытекает искомое неравенство.
373. х < 0,5. 374. -2* < х < ~
375.-----< х < 2.
и
376 Обозначим длины коромысел весов х и у (х =/= у). Пусть на
одну чашку весов положена гиря весом 1 кг, на вторую — товар весом
а кг. Для равновесия необходимо, чтобы
х-1 = у-а,
откуда
х
У
Поменяв местами гирю и товар весом с кг. получим:
у-1 = х-с,
откуда
Общий вес отпущенного товара
а с = 4- -У— •
у ~ х '
но сумма двух обратных положительных дробей (см. № 366)
2.
Итак, товара отпущено больше, чем полагалось.
377. Пусть а и d — соответственно наибольший
члены геометрической пропорции, составленной из
и наименьший
п<2ложительных
откуда
а с
b ~ d »
d = b.~ = C._L
а а ’
где
Составляя производную пропорцию
находим, что
а — b > с — d,
У X
а — 6 _ а
с — d с
256
Ответы и решения
откуда
378. Имеем:
a -J- d b 4~ с.
1/Г7Г а! —2^02-1-а2 (/fli—Ка2)1 2
- V ---------------------------------------------------=---------------2-----------°-
Итак, среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не мень-
ше их среднего геометрического. Равенство будет иметь место при а} =
= аг-
379. Указание. Известно (см. предыдущую задачу), что
/ аха2
gl ~t~ °2
2 ’
К fll°3SC
4~ Q3 *
2 ’
V an-iGn^
Qn-1 -f~
2
Складывая данные неравенства, находим искомое неравенство.
380. Указание. Имеем (см. № 378):
1 + ai ^2 Vе 1 Oi
1 4~ а2 2 ]/” 1 • а2
1 ~F ап 2 j/" I’Q/i-
Перемножив почленно эти неравенства и учитывая условия задачи
(ога2 . . . ап = 1), находим искомое неравенство.
381. Указание. Применить теорему Бернулли (см. № 486).
389. Доказательство методом математической индукции. Для
п = 1; 2, неравенство (см. № 378)
(1)
справедливо. Пусть оно справедливо для любого п, докажем, что оно
справедливо и для (/г + 1).
Обозначим: ап+1 — наибольшее из чисел at, а2, . . ., ал;
а1 + °2 + аЛ _ Д4 . а1 + а2 + ’ ’ ’ 4- аП+1 _ ДЛ
ал+1 2г--------------------— /Ип, -------------——-------------— /Ил+1,
/4- II ~р" 1
О/н-1 = Мп + е, где е > 0.
Из этих соотношений находим
<2)
Неравенства
257
+ (n+ \)Мпп- ------------+
= М"(Мп + 8) = М"-а„+1,
(3)
откуда (Мп+1 )”^’1 ^пап+1 •
Н° «4-1 г------------
Мп+1 У °1С2 ' аП+1»
tZj + Яг + ‘ ‘ + ап + an+i А - . ’ л л
_ е ----------------—------------у Я|Я2 алап+1>
т е- п 1
что и требовалось доказать.
391. Имеем:
_L_ + _L_ . ...+J_+ —1—=
_ (_L_ 4- -1— U (—!— + -М + ••• + -J—
\ п 4- 1 ^Зп4-1/г\«4-2т Зп / 2п 4- 1
2(2п4-1) 2(2п4-1) 2(2п4-1)
(п + 1) (3/г 4- 1) + (п 4- 2) Зп * Н 2 (2п 4- I)2 >
> 2 (2п 4- 1) ~ (2/г 1)а -I- (2п+ 1)2 4- I- 2 (2п+ 1)2 _
- 2 (2п 4- I) ~ (2п+ 1)2 4- 2 (2л 4- I)2 . = 11
что и требовалось доказать.
*.7
392. Обозначая ]Гп — 1 = г, где г > 0, находим:
п = (14- г)« = 1 4- иг 4- -(п ~ ° -г^ 4. ... + гП
Л I
откуда
12
. , 2 , 1
г' < —Г < — <" > 2>,
т. е.
9 В. С. Кущенко
258
Ответы и решения
или
п
2
следовательно.
Jim п
П->оо F
393. Среднее квадратичное нескольких неотрицательных чисел не
меньше их среднего арифметического, поэтому
~2
2
I V
0/г
1 '
откуда
+ ^2 4“ * * * “F । 21_______^2
п
П
2
2
—-—I—J—[.
4~ Q2 4~ • • • ~|~ ап Q1_q2
+ П
п
Если воспользоваться неравенством (см. № 388)
/ . . . . / 1 . . 1 . 1
ах а2
0/2
г. е.
п
1 1
а2
п
то данное неравенство можно преобразовать так:
/ 1 \ 2 / | \ 2 /
«1 Н--------
«и
2
ап /
1 \ 2
п.
2
1
(1п
2
0^2 / \ Яп /
S„ , nV
Вычитая из обеих частей последнего неравенства по 4п, получим
Г/ . IV
2
. ^2
0/2
п \ л
—— ) П — 4п,
<>п /
Прогрессии
259
§ 9. ПРОГРЕССИИ
394. Составляем систему уравнений:
ai 4~ а2 4“ аз — 27
Я| -} ^2 4~ = 275. (2)
Кроме того, — ~^ а3' -3 = 27,
или
4" аз= 18.
(3)
Из соотношений (1) и (3) находим: а2 = 9.
Зная а2, предыдущую систему уравнений запишем так:
tij 4- ~= 13
0-2 -|- = 194,
откуда Ci = 5; а3 = 13.
Ответ, н-5, 9, 13, . . .
395. По условию задачи
Sn = Зп2.
При п = 1 имеем Si = = 3;
при п ~ 2 имеем S2 = о, + о2 = 12;
следовательно, а2 = 9.
Ответ. -5-3 9, 15, 21, . . .
396. Из соотношения 35 = 11 + 6d находим разность d — 4 для
первой прогрессии.
Так как а4 = а4, то 11 + 3* 4 = 38 4~ 3d ,
откуда разность d' = —5 для второй прогрессии.
Число членов второй прогрессии п находим из соотношения 13 =
= 38 + (п' — 1) (—5).
Ответ, п — 6.
397. Пусть ап, ап_2 и аг — стоимость последнего метра, третьего
с конца и первого. Тогда, по условию задачи, находим:
Ctrl 4“ Ял-2 = И,
или
01 4" (л — 1) d 4- 4~ (п — 3) d = а^п,
260
Ответы и решения
т. е
2d (п — 2) = а, (п — 2),
(п — 2) (2d — ах) = 0,
откуда аг = 2d = 4 (так как по условию d = 2 an — 2=^=0).
Известно, что средняя стоимость одного метра равна 17 руб., по-
этому
~Ь а2 4~ °з ~Ь • • • + °» _ j?
п ~ ’
или Sn = 17- п,
2ах -j- (п — 1) d
— х—п = 17 и,
откуда п = 14.
Ответ. Глубина колодца 14 м.
398. Пусть некоторые члены первой арифметической прогрессии
ап соответственно равны членам второй прогрессии ат, т. е.
54- (п- 1)3= 3 + (т- 1)4,
или
Зп 4- 2 = 4т — 1,
откуда
п = т 4- -----1. (А)
Чтобы п принимало только целые положительные значения, необ-
ходимо, чтобы т— k—целому положительному числу, т. е. т =
= 3k. Но тогда из равенства (А) имеем
п= 4k— 1. (В)
Равными членами данных двух прогрессий являются те, для ко-
торых числа k и п из равенства (В) одновременно будут целыми и поло-
жительными. Например если k = 1, то п = 3; если k = 2, то п = 7
и т. д.
По условию п может принимать значения 1. 2, 3, . . ., 100, следо-
вательно, k — 1, 2, 3, . . ., 25.
Итак, одинаковых членов в рассматриваемых двух арифметиче-
ских прогрессиях будет 25. Они следующие: 11, 23, 35, . . ., 299.
399. Находим
ат — Qn — (т — п) d,
или
п — т = (т — п) d,
следовательно,
d= —1.
Кроме того,
ар — ап— (р — п) d,
Прогрессии
261
откуда находим искомую величину ар.
Ответ, ар — tn + п — р.
400. Обозначим искомое число средних арифметических буквой х.
Вставить х средних арифметических, это значит составить арифметиче-
скую прогрессию, у которой будет х + 2 члена и крайними будут =
= 1 и ап = 31.
Найдем разность прогрессии d из соотношения
31 = 1 + (х + 1) d,
откуда
30
а =------.
*4-1
Первое среднее арифметическое
а2 = 1 + d
Последнее среднее арифметическое
о. я 31х+1
an-i — 31 d — — .
X |
Предпоследнее среднее арифметическое
31х —29
ап-2 — 31 2d — - — .
X 1
Сумма всех средних арифметических
Наибольшими средними арифметическими членами возрастающей
арифметической прогрессии будут an_i и ал_2.
Отсюда, согласно условию задачи, *,
. ( 31x4- 1 , 31х — 29 \
4 ------гН----1------п-;— ) = 16х-
\ х 4* 1 х 4~ 1 )
или
2х2 — 29х 4- 14 = 0.
Ответ, х = 14.
401. 25 350.
402. 75.
403. Преобразуем заданные соотношения так:
(ai 4- d) 4“ (iZi + 2d) 4" («1 + 3d) + (а, 4~ 4d) = 34,
т. е.
2at 4- 5d= 17,
или
(аг 4" d) 4* (Qi + 4d) = 17
И
(Qi 4- d)- (at 4- 4d) = 52.
262
Ответы и решения
По сумме и произведению двух неизвестных (аг + d) и (аг + 4J)
находим
^4- d — 4,
аг + 4d = 13,
откуда
01 — 1, d = 3.
Следовательно,
о20 = 1 + 19- 3 = 58.
Ответ. 58.
404. Указание.
(а2 д2п) а __ |26
2
21-п= 126,
п = 6.
Ответ. 6.
405. По условию числа а, b и с составляет арифметическую про-
грессию, т. е.
а — b = b — с. (1)
Докажем, что
____!_____________!_____=______!_____________!____. (2)
/(>+/с /с+Ко /с + Ка Ка+К»
Имеем:
1____________1_______Kfe — /с________________
/с 4-/а /а 4- v~b ~ (/с 4-/о)(/Н4-К&) “
=__________________________________ (3)
(Г с 4- Га) (Га 4- Г*) (/& + ГЭ ’ ?
Аналогично, используя равенства (1), получим:
1 1 _ а — b
/6 4-Кё ~ /F+Га ~ (/б4-Гс)(У^ + /а)(/а4-/^)
(Г&+К<Ж 4-/Н)(/а4-/б) ’
Из соотношений (3) и (4) вытекает равенство (2), что и требовалось
доказать.
406. По условию
S/i — Sm (т =f= п),
т. е.
откуда
[2аг 4* d (п — I) ] п — [2at 4- d (т — 1) 1 т,
2at = —d (m+ п — 1).
Прогрессии
263
Кроме того,
[2at + d (tn + п — 1)] (т + п)
^nwi —
2
Заменяя в последнем равенстве 2ах его значением, находим:
_ 0-(т +л) = 0.
Sm+n — 2
Ответ. Sm+n — 0.
407. Указание. Имеем:
$П I *^ЗП __ $2П
п Зп ~ п ’
откуда и находим: Sgi = 3 (S2n — §п).
408. Указание.
При п — 1 = 31 = 7;
п = 2 S2 = at + а2 — 7 + а2 = 20,
а2 = 13.
Ответ. 4-7, 13, 19, ...
409. Имеем:
„ _ 2аг + (т — 1 d
.Ощ —-------2------- rrLt
2ах -J- (п — 1) d
- 2 п-
По условию
[2ах (т — 1) d] т _ /п2
[2ах 4- (п—1) d] п ~ п2 ’
(2aL — d) (tn — п) = 0 (т =/= п),
откуда
Следовательно,
। / j -77- + (/и — l)d п ,
От _ Qi + И — 1) _ 2 ’ _ 2т — 1
"ST- ai+(n-l)d -_d_ + (n_|)(i “ 2n-l •
Ответ.
ат _ 2т — 1
ап ~ 2п — 1
410. Если данные числа, расположенные в указанном порядке,
составляют арифметическую прогрессию, то имеет место следующее
равенство:
21g (2х - 1) --= 1g 2 4- lg (2х 4-3),
1g (2х -I)2 = 1g 2-(2х +3),
264
Ответы и решения
откуда
22х _ 4-2* — 5=0,
2х =5(2Л = —1).
Ответ, х — 1og2 5.
411. По условию задачи составим равенство:
log* X — log™ X = log,n X — log,J X,
или
2 log™ X = log* X + logrt X.
Заменяя в этом равенстве каждое слагаемое отношением двух вели-
чин, по формуле
находим:
2 log** = log** logfex
log* tn log* 6 log* n '
или
2 log* n = log* m (1 4- log* л),
log* л2 = log* m (log* k 4- log* л) = log* (/гл) ‘°g* m,
откуда
9 /I. J°e* m
n2 = (kn) R ,
что и требовалось доказать.
412. Первый член второй группы
2(2 — 1)
4-1.
Первый член третьей группы
7-2 3'(3~0
2
Первый член n-й группы
Итак, ах = п2 — п 4" 1, d = 2, ап = п2 4- п — 1.
Следовательно,
(л2 —л 4-1+п24-л—1)п
— ---------------------- — п
Ответ. Sn = п3.
Прогрессии
265
413. Указание. Легко заметить, что k-я группа содержит
2k — 1 членов. Последний член k-й группы равен k2, последний чден
(k—1)-й группы равен (k— I)2, поэтому первый член /г-й группы
равен (k — I)2 + 1.
Итак,
Sjt = №-1)^ + 1+^(2^-1), = (ft2 _ k + (2k _
Ответ. В k-и группе 2k — 1 членов.
Sk = (k2 — k + 1) (2k - 1).
414. Арифметическая прогрессия с четным числом членов и моет
вид:
= Sn + sn = (°1 + а2 + ’ ’ ‘ + ап) +
4“ (ап+! 4“ аП+2 4" ‘ ’ 4~ а2п),
nnQ С «1 4“ «Л q' аП+1 4* в2П
г*е sn =-----2----' Sn ---------2-----’
Uti — 0 d, «л+i == «1 *4* «2 л «1 4- 1) d.
Из этих соотношений находим Sn — Sn = 2dn = dn2. что
и требовалось доказать.
415. Обозначим сумму первых п членов искомой арифметической
прогрессии
q___ («1 4~ ап) п
6 - 2
Сумма kn следующих ее членов
(> s- = 5+‘ + ‘,(t+1)'-
Пусть отношение S к S' равно т, т. е.
______Qi 4~ ап_______ т
(ап+1 4-«(/2-1-1) п) k
или
________2«1 4- (« — 1) d______
(2ai + nd+ [(/г + l)n—
откуда, после преобразования, находим:
(2ах — d) (tnk — 1) — nd [(/г 4* 2) mk — 1 ] — 0. (1)
Последнее соотношение, согласно условию, не зависит от п, поэтому
коэффициент при п будет равен нулю, т. е. (k 4* 2) mk — 1 = 0.
266
Ответы и решения
откуда
_ I
т~ k (k + 2) ’
Выражение (1) после замены т его значением принимает вид:
<2°, - //=°.
где второй множитель отличен от нуля, поэтому:
2ах — d = О, d= 2аг.
Искомая арифметическая прогрессия имеет вид:
aj, Заь 5а1( 7alt ...
416. Обозначим искомые числа так:
а1 = 2а
а2 = 2а + 2Ь = 2 (а + Ь)
а3 — 2а 4- 4Ь = 2 (а + 2b) '1)
а4 = 2а + 66 = 2 {а + 36).
По условию
12 (а 4- 26) (2а 4- 36) = (2а 4- 6)3. (2)
Из последнего равенства следует, что (2а 4* 6)3 должно делиться
на 4, для чего 6 должно делиться на 2, т. е. 6 = 2с. При таком условии
равенство (2) принимает вид
3 (а 4- 4с) (а 4- Зс) = (а 4- с)3, (3)
откуда следует, что а 4- с делится на 3, т. е. а 4“ с = 36.
Равенство (3) после преобразования принимает вид:
(36 4- 2с) (6 4- с) = 362,
или
2с2 4- 56с — 362 (6 — 1) = О,
откуда
—56 4- 6 / 246 4- 1 I —56 — 6 /246 + 1 \
с, _ _ ----------j .
176 — 6 /246 4- 1
4
Для того, чтобы а > 0, необходимо, чтобы
17 >/246 + 1 ,
ф. е.
k < 12.
Прогрессии
257
Из всех значений k подберем такие, чтобы выражение 24А 4~ 1
являлось полным квадратом, эти значения будут 1, 2, 5, 7 и 12.
Ответ. Искомые числа:
6, 6, 6, 6.
10, 14, 18, 22.
14, 70, 126, 182
0, 144, 288, 432.
417. Пусть d> 0. Имеем:
4- < । d = а2 —а{ = • • • — ап — . >0.
1 Й2 — &[И2 -_г °3—02
1 / d 1 _ / d \ 0! ' J 1 > ^2 ) 1 \ . 1 ' d ' . 1 ' d '
• @2 1
«2‘ОЗ а2Яз ^2 Оз /
1 ап — ап~1 1 _ / 1 1 \ 1
аП-1аП аП-1'ап d ~ \О«_1 7 d
1 , _L _ 1 J J / 1 J_\ 1 _
(1^0,2 о2о3 + +О» -1ап U ап ) ’ d ~
аП а1 • п — 1
^1^/1 d ~ агап ’
где ап — <h ~ (п — 1) d.
418. В арифметической прогрессии
ak — = d
(k = 2, 3, 4. ... и).
Имеем:
s = 1 + _ ' + .., + 1 _ =
|/*О2 4“ V^l 4" ]/~ ^2 VЯп 4" Vа>1-1
1 _ /а2 — Ко? /оз — । । ~ \
а2 — at а3 — а2 ап — ап_г
о2 — 4* аз — 1^аг • • • 4* Vап — an~i _
~______________________________________________________d ~
/ Он — / Q1 __ On—Q1 = П —1
d d (/an 4- /ot) Van + jAzj ’
так как an — at = (n — I) d, что и требовалось доказать.
419. Имеем:
ап= 1 4- 17-(л - 1) = 333 ... 3, (1)
где п — номера искомых членов прогрессии.
268
Ответы и решения
Из соотношения (1) вытекает, что числа типа 3333 ... 3 при деле-
нии на 17 дают в остатке 1. Первым числом, удовлетворяющиксусловию
задачи, будет число, которое записывается с помощью четырех троек,
т. е. 3333; при этом п — 197.
Искомые члены арифметической прогрессии будут числа, которые
содержат
16/? + 4 (k= 0, 1, 2, 3, . . .)
троек, так как при делении чисел 333 ... 3 на 17 без остатка получается
период, состоящий из 16 цифр.
420. ч- — 1, 0, 1, 2.
421. Имеем:
ал + (/? — 1) d = а,
аг + (р — 1) d = b,
«1 + (q — В d= с.
Необходимо и достаточно, чтобы эти три уравнения были справе-
дливы при определенных значениях ах и d. Искомым условием яв-
ляется результат исключения (ц и d из данных трех уравнений:
(а — b) (р — q) = (b — с) (k — р).
Ответ, (р — q) а + (q — k) b + (k — p) c = 0.
422. Допустим, что /2, КЗ и Кб являются членами арифмети-
ческой прогрессии; тогд>
Кз" — К 2* =md,
Кб — /2 = nd,
где d — разность арифметической прогрессии, тип — целые числа.
Имеем:
пг (Кб — /2) = п (КЗ* — К2 ),
т Кб — п КЗ = (т — п) К2 •
Возводим обе части равенства в квадрат, получим:
5m2 -f- 3n2 — 2тп К15 = 2 (т — п)2,
откуда
5zn2 -ф Зи2 — 2 (т — п)2
2тп '
но это невозможно, так как К15 — число иррациональное.
423. Путь, проходимый падающим телом, вычисляется по фор-
муле арифметической прогрессии. В данном случае ах = 4,9, d = 9.8
для обоих тел. Пусть первое тело падало х сек., а второе — (х —г. 3) сек.
По условию
Si ~ $2 = Ю00 м,
Прогрессии
269
где Sj и S2 — длина пути, пройденного первым телом и, соответственно,
вторым телом, до того момента, когда расстояние между ними будет
равно 1 км.
По формулам арифметической прогрессии
S, = 12°.+<Л*-1)1* = 419А
S, = 12°. + ^(^4)|(х-3) = 4>9 (х _ 3)3
Следовательно,
Si — S2 = 4,9х2 — 4,9 (х — З)2 = 1000,
т. е.
14,7 (2х — 3) = 1000
Ответ, х & 35,5 сек.
424. Первый автоматический станок был включен в 8 час., а осталь-
1С 1
ные 15 станков включились через часа, поэтому все станки были
включены через полчаса.
Все автоматы работали одновременно 6,5 часа и за это время дали
продукции
tn-16- 6,5 = 104m (м).
Для вычисления производительности станков в пусковой период
применим формулу арифметической прогрессии:
_, [2fli d (п — 1)] п
S = ---—-----1-----'-1- — 4т
J т .г
d = -3o-’ " = 15
т (метра).
биквадратное уравнение имеет четыре вещественных
корня, то они попарно равны по абсолютной величине, но противопо
ложны по знаку. Обозначим их так: ±at; ±а2.
Пусть «1 > а2. По условию эти четыре числа составляют арифмеги
ческую прогрессию (при этом допущении — возрастающую). Запишем
ее так:
» —4%, Д2» (1)
Из первых и последних трех членов арифметической прогрессии
вытекают следующие соотношения:
^”2о2 “ tz2 ""
2g2 = а, — <э2,
откуда
ч-3д2 (2)
т
где а, = —,
*Йтвет. 108
425. Если
270
Ответы и решения
Из соотношений (1) и (2) находим:
3^2* ^2’ 3(2*2
Следовательно, четыре корня биквадратного уравнения относятся
между собой как
(-3) : (-1) : 1 : 3.
Ответ. (-3) : (—1) : 1 : 3.
426. Решая данное уравнение, находим, что его больший корень
равен 10.
Определим общий член разложения бинома:
/р ____ v 4 6
1 fc-H — °20х
Если это слагаемое бинома не зависит от х, то
fe~20 । * -Q
4 + 6 ’
откуда k = 12; следовательно, номер члена разложения бинома равен 13
По условию задачи составляем уравнения:
Я1°4 — Ю,
4- аз = 5 -13.
Заменяя значения
«г = d
а3 ~ ai + 2d
а4 = ai 4~ 3d
и решая систему уравнений, находим: d= ±3, и т. д.
Ответ, -т-1, 4, 7, 10,
или ч-— 1, —4, —7, —10.
427. По формуле Sn = — находим их, т. е.
635 = их (27 — 1).
следовательно,
их = 5; ип= 5- 2е = 320.
Ответ. и1 — 5, ип — 320.
428. Имеем:
um = uiqm~l
ип = uxqn~x•
Прогрессии
271
Разделив почленно первое равенство на второе и заменяя ит и ип
их значениями, получим
откуда
следовательно,
Но Up — ux(f заменяя иг и q их значениями, находим ответ:
kp~n
lP-m ’
429. Имеем:
«2 ___ «4 ___ «6 ___ __ «2М
«1 ~ «3 ~ «5 ~ ~ «2а-1
откуда, используя свойство ряда равных отношений, находим
«2 4~ «4 4~ ' ‘ ' 4~ «21 __
ui 4- из 4- • • • 4- u2n-i ’
что и требовалось доказать.
430. Имеем:
и6 = urq\ и2 = utq. ие — uvq\
»i
Подставляя эти соотношения в заданные равенства, имеем:
«1 0 4" 9*) =
«19(1 4- О4) = Ю2.
Решая эту систему, находим: q = 2, = 3.
Подставляя в формулу суммы членов Г. П. найденные значения
9 и иь получим:
3069 = 3 ° ,
или 1024 = 2п, т. е. 210 = 2Л.
Ответ, п = 10.
431. Решение аналогично предыдущему.
Ответ. 4-9, 27, 81, 243, . . .
272
Ответы и решения
432. Имеем:
10—1 102 — 1
1 = —-----• 11=--------
9 ’ 9 ’
10" — 1
9
Суммируя, находим
s„= * (10+ Ю2+ 103+ ... + 10”—и)-
У
Ответ. Sn = -±-
' 10(10” — 1)
9 П
433. Вставить п средних пропорциональных между двумя данными
числами, это значит составить такую геометрическую прогрессию, у ко-
торой число членов будет равно п + 2 и крайними членами будут за-
данные числа.
В данном случае последнему члену прогрессии предшествует 10 чле-
нов, поэтому
—- = —--о10
63 а3 4 ’
откуда
Искомая прогрессия будет
.. Ь'2 b2 i/" а b а2
” а3 ’ а3 г b ’ а2 ’ ’ 63
434. 4; 16; 64.
435. Обозначим последовательные
Uk (k 3). По условию находим:
члены
Г. П.
«А-2-
3 + 2 + «1<Т* 1 = 62
3 IgUi + (3/г — 6) 1g <7=3,
т. е.
«1?* 20 + <7+ <72) =62
и1(/г~2= 10.
Решая эту систему уравнений, находим:
=5, = 2; <72 = 0,2, = 50.
Ответ. 2, 10, 50 или 50, 10, 2.
436. 3, 6, 12 или 12, 6, 3.
Прогрессии
273
437. Указание.
Ui + илд + u1q2 — 195
и^2 — Uj = 120.
Ответ. -H-15, 45, 135, . . .
-4-125, —175, 245, . . .
438. 18 446 744 073 709 551 615 зерен.
18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 биллиона
(миллиарда) 709 миллионов 551 тысяча 615 зерен.
Примечание. Если засевать всю пахотную землю земного
шара, то и через десятки лет нельзя собрать такой урожай.
439. Пусть четыре числа будут следующие:
10ga*> 10ёахХ’ logax*x> х-
По условию
10ga * + l°gaxx = 1°gax’x+Iogax’*,
т. е.
1ос I ।
logaax logaax2 "t" logo ax3
После элементарных преобразований получим:
3 log2 х 4- 6 logfl x 4- 2 = 0,
откуда
n , — 3 4-/3 -3-/3
Ответ. logflx =-----; logax =------------3-----.
440. Если числа lg т, 1g п и 1g р составляют геометрическую про-
грессию, то имеет место равенство:
lg т- lg р = (1g и)2.
Используя формулу (см. №,501), получим:
1g -у . lg* _ (1g*)2
logmx * logpX (log„x)2 ’
или
logmx- logpX = (log„x)2,
что и требовалось доказать.
441. Пусть S — сумма всех членов геометрической прогрессии,
1 сумма членов этой прогрессии, стоящих на нечетных местах.
274
Ответы и решения
По условию
S = 35ъ
т. е.
th (?2п — 1) _ о «1 (Я2п ~ О
q—\ ?2 —1 ’
откуда
<7=2.
Ответ, q = 2.
442. Квадраты членов геометрической прогрессии образуют гео-
метрическую прогрессию, у которой первый член равен и знамена-
тель — <72, т. е.:
ы1> ui^2' • • •
следовательно,
443. Обозначим первый член геометрической прогрессии зна-
менатель — q, сумму членов — Sr. Квадраты членов этой прогрессии
образуют геометрическую прогрессию, у которой первый член равен
знаменатель — q2 и сумма — S2.
Имеем:
о _ th (?2n+1 — 1)
1 <7-1 ’
Сумма квадратов нечетного числа членов, равного 2n + 1,
Тогда
Sj_ = и, (^'+2-|) (<?-1) =
S, (,2-i)(?2"+‘-i)
= " =". («2" -I2"-' + • • + О,
что и требовалось доказать.
444. По условию
и\ = Ю (ui<7 + ^i<72 + «i<73 + ” •) — । >
1
откуда </ = —.
Прогрессии
275
Следовательно, любая бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия, у которой знаменатель равен —, будет удовлетворять
условию задачи.
445. Знаменатель прогрессии
а /2 /2
q ~ 2а ~ 2 ‘
По формуле предела суммы бесконечно убывающей Г. П. находим:
или
limS„ =
П->оо
2а
ТТ’
2
8 =
2а
Г2~‘
2
Ответ, а = 2 (2 — К2 ).
446. Пусть -у <С <7 <С 1 — знаменатель прогрессии. Допустим, что
q = + 8 (0 < е
2S
limS — S —__—______^U>
- ,_2e>
„ „ „ “ (I + 2е)
U2 — UiQ — 2 •
Рассмотрим разность
5-4и2 = -^--2и. (1 + 28) = > 0;
1 — Zb 1
__е
так как
ы183 >0, ---е > 0,
следовательно,
S > 4и2.
Случай, когда 0 < ? <С 4-, рассмотреть самостоятельно.
Z
276
Ответы и решения
Решение 2-е.
Доказать, что
S = i (1)
где иг и uxq — первый и второй члены прогрессии, j> 0, q + ~ ,
0< q < 1.
Из неравенства (1) находим:
I > 4? (1 - q),
I — 4</ + 4<у2 > О,,
т. е.
(1 — 2<?)2 > О,
что и требовалось доказать.
447. Рассмотрим две прогрессии, при этом вторая прогрессия со-
ставлена из квадратов членов первой:
-H-Ui, uxq, uxq2.....u^"-1, . . .
-н- Up u2q2, u2q4, . . ., u2q2 .
По условию
u2 — uxq = 6
Ui 1 “i
1 — q ~ 8 ‘ 1 — 72 ’
= o. w o. 6 =
<7+1 ’ !+</)</ ’ (l + <7)<7
откуда
4<72 + 4<7 — 3 = 0,
1
Ответ. -77I2, 6, 3, . . .
448. Чистая периодическая дробь 0, (37) может быть представлена
в виде бесконечной суммы
0,37 + 0,0037 + 0,000037 + . . .
Прогрессии
277
Суммируя, находим
37
О 0,37
hm Sn _ 1 _ 0 ()1 _ 99 .
2. Аналогично
0,23 (345) = 0,23 + 0,00345 -f- 0,00000345 + • • • =
-0231 °’°0345 - 023 I °’00345 -
- + 1 _ 0,001 0,23 + 0,999 ~
23 , 345 _ 23 (1000 — 1)-1-345 23 345 — 23
100+ 999-100 99 900 ~ 99 900
Л 1Ч 37 ох 23 322
Ответ. 1) 99 ; 2) 99 900 •
449. Принимая за единицу времени час, а за единицу длины — дли-
ну окружности циферблата часов, будем иметь: через 1 час минутная
стрелка будет стоять над цифрами 12, а часовая — над цифрой 1, т. е.
последняя пройдет часть пути, пройденного минутной стрелкой:
часовая стрелка движется в 12 раз медленнее минутной.
Пока минутная, стрелка пройдет пути, часовая пройдет — X
11 „ „ 1
X jg = у£2 ; пока минутная стрелка пройдет путь, равный , часо-
вая пройдет путь, равный
122* 12 123’
и т. д.
Следовательно, когда минутная стрелка пройдет путь, равный сумме
бесконечно убывающей геометрической прогрессии
12 122^ 123
она догонит часовую.
Суммируя, находим
12
limS„ -—Ц- =-77.
И->оо ]____1_ 11
12
Минутная стрелка проходит единицу пути в 1 час, поэтому она до-
гонит часовую стрелку через
12 3
1 час -р|-= 1 час 5 мин. 27 — сек.
Ответ. 1 час 5 мин. 27 -ц- сек.
278 Ответы и решения
450. Имеем:
_ ^1 (1 g 4~ ?2 • 4- <?п 1) __ Sn
ui • uiQn~1 '
где Sn — сумма членов Г. П.
Ответ. ———.
451. Имеем
Пл = иг-и2 . . . ип = Ui-Uiq-Ui q2 . . . ulqtl 1
= м”-1<?-<72 . . . qn~1 —
п (n—\) / п—\\п
= u"-q 2 =(«!♦<? 2 / =
/ 1 1 n—1 \/i /1 1 \ л
= (uj2 -и2 q 2 ) = (м/2 -и2 ) =
п
= (U1-Un) 2.
п
Ответ. («!«„) 2.
452. Имеем (см. № 450):
П„ = (ы, -ип) 2 см. № 451).
п
/ Sn\^
Следовательно, Щ = / -г-1
\Sn /
п
П регрессии
279
453. Если положительные числа а, b и с — последовательные
члены геометрической прогрессии, то
b __ с
а ~ b
Логарифмируя это соотношение по основанию А7 =А 1, получим:
log,/ - log^a = logy^c — log,/,
log/, N loga№logc/V log/, AM
откуда после очевидных преобразований, находим
logo N — log/> N _ logfe N — logc N
log/, N • loga Af — logc N- log/, N ’
или
logqW = logq А/— log/, А/
logo/V log/, N- logo N ’ M
Легко доказать, что из соотношения (2) вытекает соотношение (1)
Последнее предлагаем сделать читателю.
454. Если числа а, b и с образуют геометрическую прогрессию,
то
Ь2 = ас.
Логарифмируя это равенство, находим
210g,/ = log^ 4- log^.
Воспользуемся формулой
10g«x=
и последнее равенство перепишем так:
_1_ = _L_+_L_
log/, N loga/V logc N *
Полученное выражение и есть ответ на поставленный в задаче
вопрос т. е. что числа
1 1 1
log0 N ’ log/, N И logc N
образуют арифметическую прогрессию.
280
Ответы и решения
455. По условию
а — ai + 4d = • «у4,
b = ал 4- 16d = иг q16,
с = + 36d = иг q3e,
поэтому
a — b = — 12d,
b — c = —20d,
c — a = 32d,
откуда
где ax и ux — собственно первые члены арифметической и геометри-
ческой прогрессий, d — разность арифметической прогрессии, q —
знаменатель геометрической прогрессии.
456. По условию
= d, ах = q, 4* «2 = 9, S10 = 155.
( -1 + 9d у Ю = 155,
или
2аг 4- 9d= 31,
+ utq = 9,
т. е.
2q 4* 9«j = 31,
Ui + = 9,
откуда
• > 2
<?1 = 2; qx = 12,5; и{ = 3; tz, = —.
Ответ.
4-2, 5, 8, 11, . . .; 44-3, 6, 12, 24, . . .
или
25 79 83 ,__2_ 25 625
2 ’ 6’ 6 ’ * • * 3 ’ 3’ 6
457. Имеем:
(fli + d)2 = аг (аг 4- 3d),
откуда
at = d.
Прогребший
281
Следовательно,
ai — ai 4" 3d — 4at,
ав = at + 5d = 6ал,
as = at + 8d = 9a1.
Эти три числа образуют геометрическую прогрессию, знаменатель
3
которой равен .
3
Ответ, q = — .
£
458. Искомые суммы трех членов каждой прогрессии будут отли-
чаться только вторыми членами. Известно, что второй член арифмети-
ческой прогрессии равен среднему арифметическому (первого) и
а3 (третьего) членов, второй член геометрической прогрессии равен сред-
нему геометрическому тех же членов, но
> /ад
следовательно, сумма трех членов арифметической прогрессии будет
больше суммы трех членов геометрической прогрессии.
459. Пусть х, у и z — искомые числа, тогда
у — х + d = ху,
г = х + 2d = xq2
Исключая d, находим х (1 — q)2 = 0.
Если х = 0, то х = у = z — 0.
Если х =£ 0, то q = 1, а х = у = г.
Ответ. Числа равны между собой.
460. Имеем:
a = ul- qk~~\
b — U1- qp~~\
с = ul-qrn~1.
Искомым условием является результат исключения tzx и </ из этих
трех уравнений, т. е.:
___nk—p . ___пР~т •
Ь ~ч ’ с ~q
(_Е_\р~т _ a(k—p) (р—т)
\ Ь ) ~q
( A V-₽ — а(Р—т) (k—p)
\ С J 4 ’
282
Ответы и решения
откуда
а \Р—т / b \k~P
b ) ~ \ с )
Ответ. ар~гп bm~k • с^~р = 1.
461. Пусть заданные три числа расположены в убывающем или
возрастающем порядке.
1. Если эти числа являются членами арифметической прогрессии,
то они отделены друг от друга промежуточными членами, которые
будут средними арифметическими между числами а и b и числами b
и с. Обозначим число средних (т — 1) и (л — 1) соответственно; тогда
„ b — а с — b
разность прогрессии будет равна -----или------; откуда
*
Ь — а с — b
т ~ п
Это и есть искомое условие.
2. Допустим, что а — первый член геометрической прогрессии
тип — число членов, предшествующих b и с; тогда
b = aqm
с = aqn.
Исключая из этих соотношений знаменатель прогрессии q, находим:
т. е.
ДП „Л
и а
Это и есть искомое условие.
462. Указание. См. № 461. Имеем:
/ 12 \« _ / 13 у»
\ТГJ ~ \ТГ/
или
12 _ 11 п—т
13'" “
что невозможно.
Ответ. Нет.
464. Обозначим искомые числа, члены арифметической прогрессии,
-j-Gj, Qi 4* d, Gj 4*. 2d, Gj 4" 3d.
Прогрессии
283
Прибавляя к ним соответственно 5, 6, 9 и 15, по условию задачи
имеем геометрическую прогрессию:
44-Cj 4* 5, Oi 4~ d 4* 6, ах + 2d 4~ 9, а] + 3d 15.
Согласно определению Г. П., напишем следующие соотношения:
Oj 4- d 4~ 6 Gj 4* 2d 9 pj -J- 3d 4~ 15
аг -|- 5 ~a1 + d4-6 ~ аг 4- 2d + 9 ’
решая эту систему уравнений, находим aj = 3, d = 3
Ответ. 3, 6, 9, 12.
465. Обозначим искомые числа геометрической прогрессии
ult uxq, и^2 и u1q3.
Прибавляя к ним указанные в условии числа, находим четыре
члена арифметической прогрессии:
их 4- 4, иг^4" 21, «1<72 + 29, uxq91.
Известно, что каждый член А. П. (кроме первого) является средним
арифметическим двух соседних с ним членов, поэтому имеем следующие
соотношения:
+ 21 = (ui + 4 + uiQ2 4" 29)
«192 4- 29 = 'uxq 4-214- uxq3 4- 1),
£
или
I uxq2 — 2uxq -f- их — 9
Iq (utq2 — 2uxq 4- «i) = 36,
откуда ..
q = 4, «1=1.
Ответ. 1,4, 16, 64.
466. Решая показательное уравнение, находим корень
х = S5 = 5.
Ищем предел суммы членов бесконечно убывающей Г. П.:
1
т. е.
3
ап ~ Т •
284
Ответы и решения
Составим два уравнения:
4* 5 j
--------2------= 5, откуда at = ;
-у- = 4- 4d, откуда d = .
Ответ. 4- -у,
3 5 3
4 ’ Ь 4 ’ 2 ’
467. Имеем: ,
Jim Sn = —= 64.
П->оо ।____1_
8
Г / 7 VI
_ 8L1 \Т/ J _fi, fi, /7 v
Sn — j-------— 64 — 64 I у j ,
T
n
Для выполнения условия необходимо показать, что справедливо
0,01, начиная с некоторого значения п.
/ 7 \
неравенство 64 ( -у )
\ о /
Решая это неравенство, находим п 66.
Ответ. Необходимо взять не меньше 66 членов.
468. По условию lim Sn = у, аг = 3. Подставляя эти значения
П-»оо
в формулу
1 • с «1
JimS„ =- -—5—,
П->оо 1 — Q
получим
7 _ 3 _ 1
2 “ 1 — q ’ q~ 7 ’
Ответ. -3; • • •
469. 4-24, 27, 30, .... 54.
470. 108 и 135
471. и-, = 27.
472. По условию а{2» а\з и ais образуют геометрическую прогрессию
Прогрессии
285
поэтому
откуда
а13 ’ а13 — а12' а15’
«13_____ь «15
«12 «13
(1)
Но а12, Я13, Д1Б — члены арифметической прогрессии, т. е.
G] з = «12 Н- d, «15 = «12 ~f~ 3d = з -|- 2d.(d 0).
Из соотношения (1) при верхнем знаке находим:
«12 ~f~ d _ Qi3 Н~ 2d
«12 «13 ’
т. e.
d 2d
«12 «13 ’
«13 о a 13 л
следовательно, —— = 2; q = = 4.
«12
Из соотношения (1) при нижнем знаке находим:
”4" ^12 "4“ 3d
#12 а12 *4" d 1
т. е
2й|2 -|- 5da12 d2 = 0,
откуда
(-5±/l7)d d -5 ±/17
°12 4 * «12 — 2
•*4*
= Y2 = ( _£Г = 13 ±3
\ «12 / \ «12/ 2
Ответ. qt = 4, q2i 3 = -- 3 А ^17 f (j о); qt = 1 (d = 0).
473. 4? 1, 3, 9, 27, . .
-Н- 1, 5, 9, 13, . . .
474. -Н-4, 12, 36.
475. По условию искомые три числа составляют геометрическую
прогрессию. Обозначим их так:
ut, utq, utq2
где Ui — первый член и q — знаменатель Г. П.
286
Ответы и решения
Числа «j, utq и (игд2 — 64) составляют арифметическую прогрес-
сию, поэтому:
М1 — 64) — uxq = utq — их. (1)
Но числа
(«х<7 — 8) и (uxq2 — 64)
опять составляют геометрическую прогрессию, следовательно:
U1g2 _64 = U1Q—8
urq — 8 i/j ’ ’
Решая уравнения (1) и (2) как систему, находим искомые числа.
Ответ. -4- 4, 20, 100.
„ 4 52 676
“9’9’ 9 '
476. -4-81, 54, 36, 24, 16, . . .
477. q = ^~-
478. Обозначая разность арифметической прогрессии d, находим:
с2 — а2 = 2d,
с2 — b2 = d,
b2 — а2 = d,
или
(с + а) (с— а) = 2d,
(с — Ь) (с + b) = d,
(b — a) (b + а) = d.
Следовательно,
1 с—_Ь
b + с ~ d *
1 _ с — а
с + а ~ 2d ’
1 _ b — а
и Ч- b d
Из последних соотношений получим:
1 1 _ 2Ь — а — с
a-j- b с + а ~ 2d. ’
1 1 _ 2Ь — а — с
c-f- а Ь-\- с ~ 2d ’
Прогрессии
287
откуда
1_________1 _ 1_____________1
а-\- b с-\- а ~ с-\- а b с ’
что и требовалось доказать.
479. По условию задачи имеем:
(» > О
слёдователЬНО) При п = 1 находим:
q2 — q — 1 =0,
1 ± К5
91, 2 —---9----- •
Итак, знаменатель геометрической прогрессии принимает найден-
ные два з^дцелня; верНо и обратное утверждение.
480. ^) Пусть дан квадрат ABCD (см. рис. 1); его площадь Sx =
= а • Впйшем в него квадрат Aтак, чтобы его вершина Аг
находила^ь от вершин А и В на расстоянии
ЛЛ,=-?- „ ВЛ1 = .
п п
Кроме того,
AAt = BBt = CCi = DDl.
Квадрат стороны квадрата А^С^!
п2
Пло1цадЬ квадрата равна квадрату его стороны, поэтому
52 = ^[1 + (п-1)2].
Л'151 вписанного квадрата A2B2C2D2 и последующих соответ-
ственно находим:
А2А} _ а V1 + (« — I)2 . л о (П — 1)О К1 + (П — I)2
а2 [1 +(и—1)2] t g2[l 4-(n — l)2](n— 1)2
И4 "Г И4
= •£(1 +("-!)2l2,
а2 [1 + (n— I)2]2 g2 [1 + (п — I)2]2 (и — I)2
Пв "г п6
cfi
= -^гП +(« —О2]3.
288
Ответы и решения
Легко заметить, что
S2 = 5з_ = S4 = = 1 + (п-1)2
Sx S2 S3 ’'' n2
поэтому последовательность
s. <г_
является членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии,
знаменатель которой
_ а2 п2а2
= 1+(П-1)2 = 2(п-г1) ’
и2
п2а2
Ответ. S = о " |V ; п > 2.
2 (п — 1)
в) Предел суммы площадей всех вписанных квадратов будет -наи-
меньшим, если площадь каждого из них будет наименьшей.
Пусть на сторонах заданного квадрата ABCD отложены равные
отрезки AAlt BBlt CCt и DD^, точки Alt Blt Cj и Dt соединены пря-
мыми. При каком значении отрезка AAt вписанный квадрат A1BiCxDt
имеет наименьшую площадь?
Если обозначить отрезок AAt = х, то АОг = а — х. Из прямо-
угольного треугольника AAtDi находим:
А = x2-j-(a — х)2 == 2х2 — 2ах а2.
Замечая, что ArD2 = S — площади вписанного квадрата A^B^C^D^
имеем.
/ а \2 а2
S = 2х2 — 2ах 4- а2 = 2 ( х — — ) + — .
' \ 2/4
Следовательно, S принимает наименьшее значение, если одно из
положительных слагаемых равно нулю, т. е.
а л
х--г = 0
откуда
м 4 а
AAi — х — “2“.
Итак, точки Alt Вг, Сь Dv и последующие нужно помещать на
серединах сторон квадратов. Дальше решение аналогично предайужему.
Ответ, lim Sri = а2.
Прогрессии
289
a /3 2а /Зл лаI 2
48Ь ""3"“ ’ 3 ’ ~9~’
482. Длина стороны первого вписанного квадрата служит диаметром
второго круга и равна R К2 . Радиус второго круга равен — .
Радиус третьего круга равен
R |Л2 /2 R
2 2 ~ 2 ’
Радиус четвертого круга равен
R /2 /? / 2
2*2 4
и т. д.
Предел суммы длин радиусов (когда их число п -> оо)
lim I R +
Л->оо L
/?/2 , R , /? / 2 ,
-y-+T + —4~+ ••
Предел суммы площадей кругов
’ г,, nR2 nR2
lim nR2 + —— 4- —------------н
П->оо L Z 4
Ответ. R (1 + /2*) V2-, 2nR2.
483. Уя = огйНт + +
M->oo \ Z z z
= R (1 + /2 ) /2 .
• j = 2nR2.
484.
За3 /3
3 /3- — 1 ’
I / _ na3 3
Ш~ 2(3/3--!) *
485. 2, 4, 8, 12 или 12,5; 7,5; 4,5; 1,5.
486. По определению геометрической прогрессии
«! : u2 = ип : un+1 ОД.
для п = 2, 3, ...
Если геометрическая прогрессия возрастающая, то ип+у и ut —
наибольший и наименьший ее члены пропорции (1) (если Г. П. убыва
ющая, то ип+1 < их).
Тогда (см. неравенство Эвклида, № 377)
«Л+1 + > и2 + ип,
ип+1 > ип + и2 — Uy.
Следовательно,
«з > “г + (“а — Uy)
«4> «з + (“2 ~ ы1)
+ ...
____4~ (ц2 ------------ Ц1)____
U/2H > «2 -Ь (Н — I) («2 — Uy).
10 В. G. Кущенко
290
Ответы и решения
Кроме того,
и2+ (п — 1) (и2 — = а2 + (п — 1) (а2 — aL) = antl,
так как
“г — «1 = а2 — ах.
Итак
иП+1 аЯ+1»
что и требовалось доказать.
487. Указание. Имеем:
х — 1 1
ш , ап — — , п = х — 1.
х х
Ответ. S„ = - 2 '
488. Чтобы найти сумму квадратов первых п чисел натурального
ряда, рассмотрим тождество
Зх2 + Зх + 1 = (х + I)3 - х3.
Полагая в этом тождестве х = 1, 2, 3, . . ., п и сложив почленно
п равенств, находим:
3(Р+ 2а + 32+-.-+ п2) +
4-3(l-}-24-3-|-,*--|-n)-|-n=(n_t_ I)3 — 1,
или
3S2 + 3Sj + п = (//+ I)3 - 1,
где Sx и S2 — сумма п чисел натурального ряда и сумма их квадратов
соответственно.
Заменяя в последнем равенстве
о (п + О «
- 2 ’
легко найти S2.
О1вет. .S,= "(П+1Н2П+1)
489. Решение 1-е. Чтобы найти сумму кубов первых п нату-
ральных чисел S3 , рассмотрим тождество
4х3 + 6х2 + 4х + 1 = (х + 1 )4 — х4.
Полагая в нем х = 1, 2, 3, . п и сложив почленно п равенств,
находим:
4S3+ 6S2 + 4Sj + п = (n + I)4 - 1.
Заменив S, и S2 их значениями (см. предыдущую задачу), нахо-
дим S з
_ с п2 (п 4- 1 )2 с с2
Ответ. о3 = ——, т. е. о3 = oj.
Прогрессии
291
Решение
Имеем:
2-е. Применим метод математической индукции
I3 = I2 (л = I)
I3 + 23 = (Ц- 2)2 (л = 2)
I3 + 23 + З3 == (1 + 2 + З)2 (л = 3).
Допустим, что равенство справедливо при некотором произвольном
натуральном п = k, т. е.
13 + 23 + 33 + •• + fe3 = (l 4-2+3+ ••• +*)2 = [М*2+1)]2 •
Докажем, что равенство справедливо и при п = k 4- 1:
(I3 + 23 + З3 + • • • + F) + (Л + I)3 =
Г k (k + 1) I2
2
+ чЛ+1)3 =
= (/г+ I)2
- £2_|_ 4/г + 4 1 г i)(fe +2)
4 J ~ [ 2
Следовательно, равенство
13 23 + З3 +-----------|~ л3 =
’ л (л + 1) Т2
2 J
справедливо при любом натуральном л.
490. Указание. Решение аналогично предыдущему. Восполь
зоваться тождеством
х6 — (х — I)5 = бх4 — 10х3 + 10х2 — бх 4~ I
при х = 1, 2, 3, . . ., л.
491. Умножая обе части равенства (1) (см. условие) на а, находим:
aSn = а + 2а2 4" За3 + 4а4 4----1- пап (2)
Из соотношений (1) и (2) получим:
(а — 1) Sn = — (1 4" а 4- а2, 4- а3 4--F а"-1) 4* пап
или
(а — 1) Sn = пап -
откуда находим искомое.
п о па>г °п — 1
Ответ. Sn = -------г — ------р- .
а — 1 (а — I)2
492. Разложим каждое слагаемое
дробей по формуле
1 _ 1
k(k + 1) ~ k
ап — I
а—1 *
на разность двух простейших
i
"Г+Т*
292
Ответы и решения
Пусть Л= 1, 2, 3, 4, . п~ тогда заданное соотношение-прини-
мает вид:
/J______1 \
\ п п + I ) '
Раскрывая скобки, находим ответ:
493. У Казани е. Умножим обе части равенствй на х; получим:
Sri‘X— 1 • х2 4* 2* х3 4- Зх4 4- • • • + /гх*+1+• —h nx""*4,
Sn = Ьх+ 2х2+ Зх34-..-+ &?+...+ пхп.
Имеем:
Snx — Sn= —х — х2 — х3 — • • • —х" + пхп+\
(х - 1) S„ = - + лх"+1.
Ответ.
х [пхп+1 — (п -f- 1) хп 1 ]
494. Указание. Пусть п == 2k — четное число Имеем:
I2 — 22 + З2 — 42 4-------------h (—I)"-1. п1 =
= (I2 — 22) + (З2 — 42) 4---}- [(2k - I)2 — (2k)* 1 =
= - (1 4- 2) - (3 4- 4)-----(2k - 1 4- 2/г) =
= — (14- 24“ 34- 44-• • • 4- 2k) —
_ 2k (2k 4- 1) _ _ n(n 4- 1)
~ 2 ~ 2
Для n— 2k 4“ 1 вычислить самостоятельно.
_ n (n 4-1)
Ответ.------—у—- при n четном.
n (n 4- 1)
———- при n нечетном.
495. Общий член данной суммы преобразуем так:
_ /г4 = 1 Г 16 Хг4 — 14-1]
Uk~4k2 — 1 “ 16 L 4Л-2—1 . “
___L Г (4^2 । j) _j_1_ ( J______1
“ 16 I? Г 2 \ 2*~1 2Л 4- 1
Прогрессии
293
Суммируя при изменении k от 1 до п, находим:
S = А. / [4 (I2 + 22 + 32 + + л2) + л] 4-
1 , 1
5 Н Ь2л — 1
Л (П 4- 1) (л2 4- Л -f- 1)
6 (2л 4- 1)
что и требовалось доказать.
496. Указание. Раскрыть скобки:
и просуммировать выражения, заключенные в скобках.
Ответ. 1) Sn =
(х2"+?+ 1)(?" -1)
,2<2п+П_.
498. Указание. Пусть /лил изменяются одновременно* от 1
До оо; тогда
+ ’ 1-2 + 2-3 + 3-4 4 * л (л 4- 1) Н
(см. № 492).
Ответ. 1.
499. Указание. При любом выборе чисел из данной таблицы,
удовлетворяющих условию задачи, их сумма будет величиной постоян-
ной и равной сумме чисел, расположенных по диагонали таблицы
294
Ответы и решения
В самом деле. Рассматривая числа таблицы, замечаем, что, напри-
мер, число Зп + k находится в 3-й строке (считая верхнюю нулевой)
и в fc-том столбце. Выбираемые числа берутся по одному йэ.„каждого
столбца и каждой стрски, поэтому их сумма равна
'1 + 2 + 3 + • • • 4" л) 4" (1 • л + 2- п 4~ 3- л + • • • + л2) =
— 1 + (л + 2) + (2л + 3) 4- <3п + 4) 4----F л2
Это и есть числа, расположенные по основной диагонали таблицы;
они составляют арифметическую прогрессию, у которой d. — л 4” 1,
а, = 1, ап — п? и число членов равно л.
Следовательно искомая сумма вычисляется по формуле
(14-Л2)Л
500. Указание. Заданное выражение перепишем так:
1111 ill
3 2 -5 4-3 8 -5 16 • • • = 3 2 23 22/1+1 х
2
Ответ. |/45.
§ 10. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
а) Основные свойства логарифмов
501. Решение 1-е. Основное логарифмическое тождество
Логарифмируя его по основанию Ь, получим;
откуда logfl N log/, а = log/, N,
что и требовалось доказать.
Показательные и логарифмические уравнения
295-
Решевне 2-е. Обозначая
log* N = X, ioga N — у
соответственно находим
bx = N, ау = N,
>ткуда
Ьх = ау.
Логарифмируя это соотношение по основанию Ь, имеем
х = у log* а,
1ЛИ
X
— = log/, а.
Заменяя х и у их значениями, находим искомое равенство, что
i требовалось доказать.
502. Указание. Воспользоваться предыдущим равенством,
учитывая, что при N = Ь, числитель дроби
log* b = 1.
503. Обозначая
loga/V = t/, (1)
находим
ау — N.
г. е.
апу = Nn,
откуда
logan Nn = у. (2)
Сравнивая соотношения (1) и (2), получим искомое равенство.
504. Указание. Воспользоваться формулой задачи № 501
505. Указание. Воспользоваться формулой задачи № 501,
полагая
b = 10, N = х, а = е.
По общепринятым обозначениям
1g х = log10 х, In х = loge x.
506. Указание, lg 10 = lg 2 + lg 5.
Ответ, lg 5 = 0,699. . .
507. lg 125 = 2,097. . .
508. У Казани e. Воспользоваться формулой задачи № 503.
Ответ. log8 125 = log2 5.
296
Ответы и решения
509. Имеем:
loge16 =
logi2 16
logi2 6
4 logi2 2 _ 4a
1 — logia 2 “ 1 — a *
4a
Ответ. -------
1 — a
510. Имеем:
10g3 5 =
log«5 = b
loge 3 1 — a *
так как
(6 \
~2" j = 1 — l°ge 2- *
Ответ. .
1 — a
511. Указание. По формуле
logf, a =
l°gc °
logc6
находим:
142
IO£, 28— 1Og14 28 - g14 7 ' 21°gi4 14-log147
l°gi4 35 logu 35 logi4 7 log14 5
Ответ.
2 — a
a-j- b ’
512. Имеем:
(0^2.106.3...=
513. 2) З43,-21ое-13=73|1-1“к”13’' =
_ 73 log’"i3" _ 7^,g’ Тз3’ _ 73
~ “ 133 ’
515. Имеем:
1
10gj_V = ~ logj,
tn tn
n=^±=^=log“'1
b m
Показательные и логарифмические уравнения
297
516. Имеем:
ар = х, bq — х, (abc)r = х,
откуда
1 1
а = хр . b = xq \
2
abc — хг
J-+—
ab = хр q
1 2
с = х r \ab = хг
2. + 1 Р.Р—г (Р+<7)
хр q =х гр°
Логарифмируя
последнее соотношение по основанию с, находим:
pq-r(p-\-q) , ,
'-У- 1 ogc х = 1 ogc о.
1 rpq
Ответ. logc X =---------7--;--г
аС pq — r(p + q)
п
517. Если logab а = п, то (ab)n = а\ b —
Логарифмируя заданное выражение, находим:
logab
3/— . . . п г-
у а 1, 1 . и п 1. Vй
= -J- log^a - low Ь = — - low 2г
п 1 / 1 , , \ 5п — 3
3-----2~ ( — loga6 а — iogab а
6
„ 5п — 3
Ответ. ------—
о
518. 1.
519. Обозначая
находим:
• ^3=г,
— logs logs
logs
3 =3-г
= 3
г = п.
что и требовалось доказать.
298
Ответы и решения
520. Указание. По формуле задачи № 502 имеем.
Ioga 7V = 1°6Л'
1S&N = |оеЛ а‘ = 2 |оВл. а.
^-y=logwa‘=5 1og,v«.
Элементарные преобразования приводят к ответу; что л требова-
лось доказать.
521. Указание. Имеем:
____L—+.......L- +...+ -1- _ =
loga х т log х loga х
1 2 П
«= logxai+ logx (h 4- + logxa„ = logxava2 -ал =
1
откуда и находим требуемое соотношение.
522. Указание.
1
logafcc N
= logw abc = logjv a-f- logjy b 4- logw c =
=_____1 , 1 ___L__
loga ’’’ logb/V 10gc/V
logfrAMogc# 4- loga • logc 2V loggAMogfeW
loga N • logt, N • logc N
откуда находится
523. Указа
524. Указа
526. Имеем:
требуемое соотношение.
н и е. См. решение| № 512.
н и е. См. решение № 521.
а2 = с2 — Ь2 — (с — Ь) (с 4- Ь).
Логарифмируя это соотношение один раз по основанию b 4* с,
второй — по основанию с — Ь, находим:
2 log6+ca = logft+c (с — b) 4- 1.
2 logc_ta = logc_fc (с 4- Ь) 4- 1.
Перемножая почленно найденные равенства и учитывая, что -
logfe+c (с — b) \ogc_b (с 4- b) = 1,
Показательные и логарифмические уравнения
29Э
получим:
2 logb+c а' l°&c-b а — ~2~ (с 4“ (с4- Ь) 2| =
= -А- (2 Iog&+c а — I + 2 logc_t а — 1 4- 2) = 1 ogb+c а + log^ а,
что и требовалось доказать.
527. Логарифмируя два последних равенства по основанию 10,
находим:
откуда
Igx— 1 — lgf/ — — j _ Jg2
Потенцируя, находим:
1
х = Ю !—
что и требовалось доказать
б) Показательные уравнения
528. 4х (4 + 1) = 320; 4х-5 = 320; 4х = 43
Ответ, х = 3.
529. 3х (2-3 — 4-3~2) = 450; 3х = 81, 3х = З4.
Ответ, х = 4.
530 х = 3.
531. 10-2 х — 22х — 16 = 0.
Пусть 2х = г; тогда
г2 — Юг 4- 16 = 0,
откуда
гх = 8, г2 = 2,
Т й
2х = 23, 2х = 2.
Ответ. хх = 3, х2 = I
532. Имеем:
52х - 20- 5х — 125 = 0.
300
Ответы и решения
Пусть 5х = г; тогда данное уравнение принимает вид;
г2 _ 20г - 125 = 0,
откуда
гг = 25 iz2 = —5),
т. е.
5х = 52.
Ответ, х = 2.
533. Находим, что
3-32х — 29-Зх+ 18= 0.
л
Пусть 3х = г; тогда
Зг2 — 29г + 18 = 0,
откуда
г g 2_______
’1 у> ’2 — 2 >
т. е.
1й 2 \ /
Ответ, х. = 2; х2 = —---------I. LZ
1 1g 3
534. 6.3х — 5-32х-4 — 81 = 0,
ИЛИ
81-6-Зх — 5-32х —812= 0,
т- е- I
5*32х — 486-3х + 6561 = 0.
Пусть 3х = г; тогда
5г2 — 486г + 6561 = 0,
откуда
81 81
21 = 81, г2= —.
Следовательно,
3х = 81
Показательные и логарифмические уравнения
301
и
6 ~ 5
Ответ. Xi = 4, х2 = 4 —
1g 5
lg3 •
535. xt = 0, х2 =
lg 5
lg7 •
536. Сгруппировав слагаемые, получим:
34 Iх — 34 52* = 0,
или
7х _ 52х = о,
ф. е.
7х = 25*.
X
Ответ, х = 0.
537. Имеем:
2-44х — 9-42л+ 4 = 0.
Обозначая 42л = г, находим:
2г* — 9z + 4 = 0,
откуда
Л 1
Zi — 4, ?2 — 2 *
т. е.
42л = 4 и 42* = 4-.
Л»
Ответ. Х1 =-1_, та=_2-.
5М.Х1=3,ла = 4|1-1.
539. х = 2.
302
Ответы и решения
540. 22х(1 + 2-1) =3* 2 <3 4- 1);
___1_ ____з_
22х-3 =3* 2 -8; 22л—3 = 3Х 2 ;
22х~3 = (/з)2х~3. (_2_ j2*-3 = 1,
2х - 3 = 0.
л 3
Ответ, х — .
£
541. 52 v 5"3 — 2- 5х- 5'2 — 3 = 0,
52х — 10 5х —375= 0.
Обозначая 5х = г, получим:
г2 ю2 — 375 = 0,
откуда
гх — 25 (г2 = —15).
Следовательно, 5х = 52.
Ответ, х = 2.
542. Указание. Правая часть уравнения есть бесконечно
убывающая геометрическая прогрессия, у которой
их = 45,5; q = 22,75 : 45,5 = 0,5;
Заданное уравнение принимает вид;
3x-5 + 3x-7_|_3x-9=91>
или
Зх~9 (З4 + з2 + 1) = 91,
т. е.
Зх~9 = 1,
следовательно, х — 9=0.
Ответ, х = 9.
543. Хх =4, ха = 16.
544. Имеем:
з _ з________________________
3^-^-1=3,
Показательные и логарифмические уравнения
303
поэтому
решая это иррациональное уравнение, находим ответ.
Ответ. Xi = 0, х2 = 1.
545 Имеем:
22 /х~2 — 10-2^v—2 + 16 = 0.
Обозначая 2*х 2 = г, находим:
г2 — Юг +16 = 0,
откуда
zt = 2 или 2^х~2 = 2
и ___
г2 = 8 или 2^х~2 = 8.
Ответ. Xj = 3, х2 = 11
546. Имеем:
или
1
/ 2 V _ /_3_\ 4
\ 3 ) “VF) ’
_ 2
2 V ( \ 4
т) = VT)
Ответ, х --------— .
4
547. 52<1+2+3+--+*> =^^_28э
или
5Щ-Х) х __ g56
откуда
(х + 1) х = 56.
Ответ. Xi = 7 (х2 = —8).
548. х = 9.
549. Имеем:
1 3x--L
,42х-з _8-*.2 2 24х~9=2 2»
О »
4х-9=Зх--£-, х=6.
Ответ, х = 6.
304
Ответы и решения
550. Имеем:
22 (х+ /7^=2) _ 5 2-1 2Л± /7^=2 _ б = 0
Обозначая
2*+ = г,
находим:
2z2 — 5z — 12 = 0,
откуда
л / 3 \
Zi =4 ^г2 =-----
♦
Следовательно,
2Л+ /х2-2 =22, х+ /х2 — 2 = 2, х=-^-.
п 3
Ответ. х — ~2
551. Указание. Преобразуем заданное выражение так:
(УУ^УУу + ( v'2 +
\ У? - Уз
= 4.
Обозначая
(у2- /з)А =г,
получим:
z -1-------— 4
г
г2 — 4z + 1 = 0,
откуда
± /3 .
Итак, имеем два уравнения:
(/г-Кз)* =2-/3",
(/2-КЮЛ = 2 + УЗ.
Решая эти уравнения, находим значения х.
Ответ. лх = 2, х2 = —2.
Показательные и логарифмические уравнения
305
552. Преобразуем заданное выражение так:
з \2х / 3 \л
2~ / ~ \~2~ /
— 1= 0.
Обозначая
полу чим
или
z3 — г — 1 = 0.
1 + / I - /5
1 ” 2 V2 “ 2
3 V 1 + V 5
2 ) ~ 2
откуда
Ответ.
lg(l + K5)-lg2
lg3 — lg2
553. Указание. Легко заметить, что
2х------— ? = 23х--------1-----6 /гх--------
2х / 23х \ 2х
Ответ, х = I.
в) Логарифмические уравнения
О S
554. 1g (0,5 + х) = lg
О 5
г. е. 0,5 + х = —, 2х‘! + х - 1 = 0,
х
откуда xt = 0,5 (х2 = —1).
Ответ, х = 0,5.
555. Указание. См. предыдущий пример.
з
Ответ. Xi = 3, х2 = —.
306
Ответы и решения
556. 1g (х — 9) (2х — 1) = 1g 100
или
(х — 9) (2х — 1) = 100, 2х2 — 19х — 91 = 0.
Ответ, х = 13.
557. lg(/^=5-/2^3) = 1g
т. е.
/27^3 = 3, 2х2 — 1?х + 6 = 0.
Ответ, х = 6.
с_о 1 ( 8 \ / 1 \2 8 1 •
508. |Цх_—J =
„ II
Ответ, х = Д2~ •
559. Логарифмируя, находим:
1g2 х — 1g х — 2 = 0,
откуда
1g х = 2; Xj = 102,
lg х = —1; x2 = IO-1.
Ответ. xr = 100; x2 = 0,1.
560. xr = 0,1; x2 = 100.
561. xt = 0,1; x2 = 1000.
562. xt = 0,01; xa = 100.
563. X! = 10; x2 = 105.
564. Логарифмируя по основанию x, находим:
2 logx 10- logx x = log* 10 + logx x,
или
logA 10 = 1.
Ответ, x = 10.
565. Имеем:
3 О-в 3 R 1 1
2Т57Т = 2 «, = -6. log3x = --2-.
n ^3
Ответ, x — —5—.
О
566. Логарифмируя по основанию а, получим:
log^ х — loga х — 2 = 0,
Показательные и логарифмические уравнения
307
откуда
loga X = 2; loga X = —1.
Ответ. Хх = a2; х2 = а~1-
567. Логарифмируя, получим:
2 1g4 х — 1,5 lg2 х — 0,5= 0,
или
4 1g4 х — 3 lgJ х — 1 = 0,
откуда
lg Xi = 1; lgx2= —1.
Ответ. X] = 10; x2 = 0,1.
568. Потенцируя, находим:
х2 — 1 lx + 43 = 52,
т. е.
х2 — Их + 18= 0.
Ответ. Xi = 2; х2 = 9.
569. Имеем:
( 10/ 5—ттт-Л Юг—;—хг—14,5х
lg\8-V 2х -14,5xj = lgl, 8-у 2х -14,5х =1; 2-io---= 2~3,
х2 - 14,5х + 30 = 0.
Ответ. хг = 2,5; х2 = 12.
570. Xi = 4; х2 = 36.
571. Освобождаясь от радикала, имеем:
16 — 8 1g х + 1g2 х = 9 1g х,
или
lg2 х - 17 lg х + 16 = 0,
откуда
1g х = 1 (1g х = 16).
Ответ. Xi = 10.
572. Имеем:
4-lg(271+3|/2x)=2-lgl0 = l,
О
lg (271 4- 3 V‘2x ) = 3; 271 4- 3 = 103;
3 /2x = 729 = 36, /2x = 6, x = 18.
Ответ, x = 18.
308
Ответы и решения
2
573. х = 3,2-5 3 .
574. х = 5.
575. Xi = 2; х2 = 4.
576. По известным формулам находим:
Ю8ж2 = |о8,,4 = -^.
Поэтому заданное уравнение принимает вид:
log« (х + 12) = log4 х3,
или
х2 — х — 12 = 0,
откуда
хх = 4 (х2 < 0).
Ответ, х = 4.
577. х= 9"1.
578. Логарифмируя, находим:
—Igx = х4 1g 10,
Igx Ь ь
т. е. х4 - 1 = 0, (ха + 1) (х2 — 1) = 0;.
так как х2 ~Ь 1 =/= 0, то х2 — 1 = 0,
откуда
Х1, 2 = ±L
Легко убедиться, что хг и х2 уравнению не удовлетворяют, следо-
вательно, уравнение корней не имеет.
Ответ. Корней нет.
579. Указание. Имеем:
, З6 (х — 2) |<8 3
10g2 —> ----= ~2” *
27 3
ИЛИ
3 3
(х — 2).2 2 = 2 2 .
Ответ, х = 3.
580. х = —3.
581. х = 9.
582. Воспользуемся соотношением (см. №’ 502)
logo Ъ = .
log* а
Показательные и логарифмические уравнения
309
Следовательно, заданное уравнение перепишем так:
1___
log2 х +
log2 х = 2,5,
или
2 1 og2 х — 5 1 og2 х 4- 2 = 0,
откуда
log2x3 = 2; log2x2 = -^-.
Ответ. Xi = 4; х2 = К2 .
583. 1g (35 — х3) = 1g (5 — х)3,
35 — х3 = (5 — х)3,
х2 — 5х + 6 = 0,
х^ — 2, х2 — 3.
Ответ. Xj = 2, х2 = 3.
584. Логарифмируя, находим:
+ .7_ 1g х = Igx 4- 1, 1g2 х 4- 3 Igx — 4 = 0,
откуда
1g х = I, X] = 10,
Igx = —4, x2 = 10-4.
Ответ. Xj = 10; x2 = 0,0001.
585. Указание. Возвести обе части в квадрат и воспользо-
ваться тождеством:
a10g^=/v.
Ответ, х = К 26.
586. Логарифмируя, находим:
(log5х — 1) logs х = 1,
logs*-logs х —2 = 0,
откуда
logs x = —1; x = 5"1,
logs x = 2; x — 52.
Ответ. X1 = 0,2, x2 = 25.
310
Ответы и решения
587. Имеем:
1g (х2 + 21) — 1 = lg х
lg <х2 + 21) - lg 10 = lg x,
xL 4- 21
Го
x3 _ Юх 4- 21 = 0.
Ответ. Xi = 3, x2 — 7.
588. Iog2 log7 x = л° = I, log7 x = 2, x — 72.
Ответ, x — 49. *
589. Имеем:
2 lg A- + lg (5 ,T + l) = lg 1 4-'7 ,
|g52 — lg5 \ 52 = 5 ^x~1, КГ — 1=2.
Ответ, x = 9.
590. Имеем:
4-3*+ 2x =/3 4- 27, 4-3-3 2x =3 л -1-27,
1 1 1
3х— 12-3 x 2 4- 27 = 0.
1 1 1
Обозначим 3 х 2 = z, тогда 3 х = z2 и последнее уравнени
примет вид:
г2 — 12г + 27 = 0,
откуда
Zi = 3; х = 0,5,
z2 — 9; х = 0,25.
Ответ. Xi — 0,25, х2 = 0,5.
591. Имеем:
-^-logx5 4- logx54- iogxx--^ = -^- log2 5,
ИЛИ
log2 5—6 logx 54-5 = 0,
Показательные и логарифмические уравнения
311
откуда
logx 5 = 1, х = 5,
logx 5=5, х5 = 5.
5 _
Ответ. Xi — 5, х2 = Кб.
592. Имеем:
3
logfl4 х4 — loga< х2 + loga4x = —,
, х4х 3
,0§a4 ~ »
откуда
xd = аА\ х= а.
Ответ, х = а.
593. i--------------log2 х + logo х — 3
log2 х — 1 Ь2 1 Ь2
log2 х. — 1 og2 х — 2 = О,
откуда
log2 х = 2; хх = 22,
log2 х = —1; х2 = 2"1.
Ответ. xt = 4, л2 = 0,5.
594. После преобразования получим квадратное уравнение
2x2lgJC-5xlgx + 3 = 0,
корни которого
xlgx= 1
и
xlg X____
х - 2 .
Решая первое из полученных уравнений, находим:
1g2 х = 0, Xi = 1.
Решая второе уравнение, имеем:
lg2x= lg1g х = ± "^/"jg —,
312
Ответы и решения
откуда
± 1g -|~
Х2, 3 = 10 •
Ответ. Xi = 1, х2, 8= Ю 21 .
595. Имеем:
5igx_|_5lgx-i =3ig х+1 _|_3lgx—
5lgx-32 = 3lgx-52,
откуда
1g x = 2; x — 102.
Ответ, x — 100.
596. Если преобразовать правую часть уравнения, то оно примет
вид:
ig2 Х+ lg х8 +3 _
Л ~ Л •
Логарифмируя, находим:
(1g2 х + lg х3 4- 3) lg х = Igx;
(lg2 x + 3 lg x 4- 2) lg x = 0,
t. e.
lg x = 0; x = 1,
lg2 x 4- 3 lg x 4- 2 = 0,
откуда
lg x = —2; v = 10“2,
lg x ~ —1; x = 10“l.
Ответ. Ху — 0,01, х2 = 0,1, х,= 1.
597. После очевидных упрощений находим:
2 log?x —8
212х 2 =№.
Логарифмируя по основанию 2 и приведя подобные члены, полу-
чим кубическое уравнение
log| x — 7 log2 x 4- 6 = 0,
Показательные и логарифмические уравнения
313
которое легко решить разложением левой части уравнения на мно-
жители:
2з___7z + 6 = z3 — z — 6z + 6 = (z — 1) (z2 z — 6) = О,
где z = log 2 x.
гг = 1; log2 x — 1, x — 2;
z8 = —3; log2 x = —3, x = 2-3;
z3 = 2; log2 x = 2, x = 22. >
Ответ. xt = 2, x2 = -g-, x3 = 4.
598. Имеем:
10g4x(^+^+l) = l,
\ log4x log4x ’
log4 X (log2 4 + log3 4 4- 1) = 1,
log4x (3-f- log34) = 1,
,Og4*= 3 4-2 Iog32 ’
Потенцируя, находим:
2
Ответ, x = 2 3+2 ,ogs 2 = 22 ,ogl1”2.
599. Имеем:
logie x 4- log16 x2 4- logle x4 = 7,
logu x7 = 7,
x7 = 167.
Ответ, x = 16.
600. Логарифмируя по основанию 10, получим:
Ig(lglgx) = ^-[lg(/n — п) ig(m-l-n) —
—lg (m 4- n) lg (/n — n) ] = 0.
следовательно,
lg lg x = 1, lg x — 10, x = 1010.
Ответ, x = 1010.
601‘ p4’!” +Ioga + logx +
4- /4-(Iogax- 1) 4-"|“(log%a — 1) =a.
314
Ответы и решения
Известно, что logx а = . Используя это соотношение, на-
ходим:
Vv0 + log“x) +т(' +
+ У 4- (Ю& х - I) + ± ( jJ- - 1) = а,
ИЛИ
1/~ (t + i 1 f (loga х — 1)а _
Г 4 logax Г Г 4 logax 1 '
Если logax> 1, то a> 1 и уравнение (1) принимает вид:
logax = a У logax,
откуда v
loga x = a2,
a2
xt = a .
Если 0<<logax^l, тоа>1 и уравнение (1) принимает вид;
1 + logalogfl х — 1
2/logax 2 У logax
откуда
1
1 = а У logax, loga х = —, х — аа\
1
Ответ. хг = аа , х2= ааг .
602. Имеем:
log (kx) = log (х + 1)а,
kx = (х + I)2,
_ (k — 2) X + 1 = 0, (1)
k — 2 ±yk(k— 4)
*1, 2 ==----n—-----
Для того чтобы корни квадратного уравнения были действитель-
ными числами, необходимо и достаточно, чтобы k (k — 4) 0. Послед-
нее выполняется при k 4 и при k <« 0.
1. Если k J> 4, квадратное уравнение (1) имеет два разных поло-
жительных корня.
2. Если k == 4, квадратное уравнение (1) имеет два равных поло-
жительных корня х1( 2=1.
Показательные и логарифмические уравнения
315
3 Если k << 0, квадратное уравнение (1) имеет два разных отри-
цательных корня. В самом деле, по формулам Виета
<1 + х2 — — 2 <« О
*1 • х2 = 1.
Из последних двух соотношений следует, что корни квадратного
уравнения (1) оба отрицательны и обратны по величине.
Итак, заданному уравнению удовлетворяет только одно значение
х — 1 при k = 4.
Ответ. Уравнению удовлетворяет единственный положительный
корень х = 1, при k = 4.
603. Имеем:
7gx+ (lgx)2“^ (Igx)3 “Г ” + (Igx)"’1 + (lg х)« + — 8’ 0)
или (учитывая, что lg х > 1)
3,34 п+1 , 8
(lgx)J-r (lgx)8-r (lgx)*T (Igx)”*' + Igx’
Вычитая из соотношения (1) соотношения (2), после очевидных
преобразований, находим:
+ ...+ _J_ . ... =8______1L
(Igx)2 (Igx)3 (Igx)4 ^(lgx)«r Igx*
По формуле бесконечно убывающей геометрической прогрессии
(Igx)2 __ 10
1 “° Igx’
Igx
откуда
, 3 / 3
lg* = -2~ 1g х = —
Ответ, х = 10 V10.
г) Системы уравнений
604. Перепишем данные уравнения так:
2х (3 — 2У) = — 2
2х (10 — 2У- 2- 9 = 16.
316
Ответы и решения
Разделив почленно одно равенство на другое, после упрощения
находим 2У = 4, откуда у = 2; х= 1. Ч
Ответ, х = 1; у = 2.
605. Из второго уравнения определяем:
х + у = 3.2Х~У . (А)
и, подставив значение х + у в первое уравнение, имеем:
1 j_
^З^7^ =2/3, Зх~у = 32 >
1 1
х^у ~ 2 ’
Из уравнения (А) находим, что
х + у = 12.
Ответ, х = 7; у = 5.
606. х = у = —— .
Р
607. Складывая почленно уравнения, находим:
1g х = 6, х = 10е»
следовательно,
1g У = —1. У = 0,1.
Ответ. х= 106; у= 0,1.
608. Решение аналогично предыдущему.
2а+& 2а—b
Ответ, х = 10 4 ; у — 10 4
609. Потенцируя первое уравнение, находим:
ху = 2.
Решая систему уравнений
( х2 + у2 = 5
1 ху = 2,
находим:
Ответ. Xi = 2, У! = 1; х2 = 1, у2 = 2.
610. Решение аналогично предыдущему.
Ответ. Xi — 5, У! — 20; х2 = 20 у2 = 5.
611. Из второго уравнения находим у = 5 — х; подставляя его
в первое, имеем:
Показательные и логарифмические уравнения
317
или
22х _ 12. 2х 32 = 0(
откуда
2х = 8; 2х = 4.
Ответ. Xi — 3, У1 — 2; х2 2, у2 3.
612. Умножая второе уравнение на 2 и учитывая первое, получим:
8х = 2- 2х
откуда
Ответ, х = -~2~
Зх — х 4-1.
/2
613. Логарифмируя, получим:
(У+ i) lgx = 3 1g3
(2i/ —5) lgx = — lg3,
откуда
j/ 4~ 1 _
2y-5 ~
Ответ, x = 3, y — 2.
614. Перепишем первое уравнение так:
_х \2 / у2 \2
З2 ) — \2 2 / = 77.
При делении этого уравнения на второе получим уравнение, кото-
рое со вторым дает систему:
х
З2 -1-2 2 =11
X у^_
З2 — 2 2 =7,
откуда
3У = 9, х = 4
и
yj
2 2 = 2, у = ± /2.
Ответ. = 4, = V2; х2 = 4, уг = - /2.
318
Ответы и решения
тх
615. Находим: х — у у . хт = у у
(1)
Сравнивая правые части полученного равенства и второго уравне-
ния, получим:
тх
уп — У у
~ л тх тх
Отсюда или у= 1, или —— = п, т. е. у — ——. (2)
Если у = 1, то х = 1.
Кроме того, подставляя значение у из равенства (2) jo цторое урав-
нение системы, находим:
/ т \п
х™ = хп{ — )
\ п /
или
хт~п
откуда и находим значение х.
п т
_ / т \ т~п / т \ т~п
Ответ, х = ( — I , у — ( — | .
\ п / \ п /
616. Указание. Решение аналогично предыдущему.
Ответ. хх = 1, У1 = 1; х2 = 4, у2 = 2.
617. Решение 1-е. Логарифмируя второе уравнение, находим:
х log а = у log b. (1)
Пусть х = Ь*, у = аг; тогда уравнение запишем так:
byt = ахг.
Заменяя из второго уравнения Ьу — 0х, находим:
axt = axz,
откуда
xt — xz, х (t — z) = 0,
т. e. или x = 0 или z = t.
При x = 0, у = 0 решение не удовлетворяет условию задачи;
при г = t имеем:
х = Ьг, у = аг. (2)
Заменяя в равенстве (1) значения х и у, из соотношенйй (2) нахо-
дим:
bz log а — аг log b,
Показательные и логарифмические уравнения
319
т. е.
/ b \2 _ logb
\ а ) ~ logo ’
откуда
. logb logb
_ °g log а _ °g logo log-6
Z ~~ , b ~ log b ' b ’
iog— log-
Учитывая, что отношение логарифмов двух чисел не зависит от
выбора основания, будем иметь
, log ь . log ь
Og log a Ogb log а
& log b _ \ogbb _ log b .
log a ’
log b
log a log b log b
Следовательно, если > 0, то
log a
log b
( log 6 \ logA
’ \ logo )
Аналогично
log a
t ( logb \iogA
y — 1 ~i--- I a
y \ log a )
p log b
ьсли — OgQ- 0, уравнения решении не имеют.
Решение 2-е. Имеем:
у log х = х log у, (1)
х log а = у log b. (2)
Исключая у, находим:
log 1/ = logo .
logx log b
(3)
320
Ответы и решения
Логарифмируя соотношение (2) еще раз (log а > 0, log b > О)
получим:
log х — log у = log log b — log log a (4)
Решая систему линейных уравнений (3) и (4) относительно log х
. log b . ..
и log и, находим ответ, если -г-2—> 0.
у logo
618. Здесь х > 0 и у^> 0. Логарифмируя, находим
У lg* = х igy
3 lgx = 2 1gу.
Пусть lg х 4= 0 и 1g у =/= 0. При почленном делении двух урав-
нений получим:
у х 3
~3" = -Г’ У = ~‘ГХ"
Подставляя значение у во второе уравнение системы, получим:
з 9 •>
Хл = —г~ Х-.
4
откуда
Кроме этого, данная система имеет очевидные корни
х = у^= 1.
л . 9 27
Ответ. Xi = yt = 1; х2 = — , у2 = -у- •
619. Указание. Имеем:
642х + 642!/ = 40
642х-642у = 144.
По формулам Виета получим:
z1 — 40г 4- 144 = 0,
откуда
= 36, z2 — 4,
т. е.
Г 642х - 36 1 642л = 4
( 642^ = 4, 1 642г/ = 36.
Решая эти две системы уравнений, находим неизвестн
л 1g 6 1
Ответ. х, = , у, = -т-:
1 1g 64 6 ’
1 lg6
Х2~ 6 ’ lg64 ’
Показательные и логарифмические уравнения 321
620. Указание. Обозначая 642х = и, — и, находим:
и + и = 12
uv = 32.
1111
Ответ. хг = —, У\ = -g -; «г = . у 2 = -у •
621. Имеем:
243 = З5; 1024 = 210; х > 0. у > 0.
Логарифмируя уравнения по основанию 3, находим:
ylog3x = 5
~Y~ logs 2 = 2 log3 24- 2 log3 x — 2.
Решая полученную систему уравнений, получим:
log3 х (log3 2 — 1) = log3 2 — 1;
(log3 2-1) (log3 x - 1) = 0;
log3 x = 1;• x = 3; у = 5.
Ответ, x = 3, у = 5.
622. Преобразуем заданные уравнения так;
6xt/
5 9 = 58, ху = 12;
777?(л:—{/—1) (х24-6{/2—60) _ 7777O.
(х — у -1) (х3 4- бу3 - 60) = 0,
откуда
х — у — 1 = 0,
х3 + бу3 - 60 = 0.
Получим две системы уравнений:
| х — у = 1 ( х1 4- бу2 = 60
( ху = 12; I ху = 12
Ответ. Ху — —3, Ух = —4; х3 = 4, у3 = 3; х3> 4 = ± 5, у31 4 =
= ± 2; х5, в = ± 2 р^б, у5, в = ± Кб.
И В. С. Кущенко
322
Ответы и решения
623. Указание. Имеем:
откуда
2 — 1g (х — у) = 1g 25
lg (х2 — у2) = 1g 40.
х — у = 4,
х2 — у2 — 40.
Решая эту систему уравнений, получим х и у.
Ответ, х = 7, у = 3.
624. Логарифмируя первое уравнение, находим:
lg т (1g т 4- 1g х) = lg n (lg n + lg. y), '
или
lg m lg x — lg n lg у = lg3 n — lg2 m. (1)
Логарифмируя второе уравнение, получим:
lg lg x — lg m lg у = 0. (2)
Решая систему уравнений (1) и (2), получим:
lg х = —lg т\ lg х = lg m~lj
lg у = —lg n; lg у = lg n'1.
л 1 1
Ответ, x —-------. и = —.
m ’ ’ n
625. Упростим первое уравнение:
1000
10lg 1000-ig (x-y) = 250; 10 8 x-y = 250;
1000
--------- 250, x — у = 4,
X — у
Подставляя значение х — у во второе уравнение, после упроще-
ния находим:
— 46у + 480 = 0,
откуда
4/1 = 16. Уч ~ 30
Ответ. Xi = 20, уг — 16.
626. Потенцируя второе уравнение, получим:
(х — у)2 = 4,
т. е.
х — у = ±2,
следовательно,
у = х + 2.
У = х — 2.
Показательные и логарифмические уравнения 323
Подставляя в первое уравнение значение у = х + 2, имеем:
откуда
1 7
*1 — 3 : Уз — з •
Подставляя в это же уравнение у = х — 2, имеем
23* = 29,
откуда
Ответ. хг = -х-,
Х2 — 3", у2 — 1.
7
У1 = — ; Хг = 3, У2 = 1.
627. Потенцируя данные уравнения, получим систему уравнений:
х2 -f- у2 = 130
' ^±»=8.
х — У
Решая ее, находим ответ: хг = 9, yt = 7.
Отрицательные корни х2 = —9; t/2 ~ ? заданному уравнению
не удовлетворяют.
628. Известно, что
поэтому первое уравнение принимает вид:
log3 х - 2 log^ х + 1 = 0,
откуда
log^x=l.
Следовательно,
У = х.
Подставляя значение у во второе уравнение, находим:
х = у = 3.
Ответ, х = у — 3.
629. х = 2, у = 6.
630. Воспользуемся формулой
, 1
log„x = ----------------------------’
lOgxf/’
преобразуем первое уравнение к виду
3 log3 у 4- 8 logx у — 3 = 0,
324
Ответы и решения
откуда
1
1 1 3
, т. е. у—х ,
и
logx у = —3, т. е. у — л"3.
Подставляя эти значения во второе уравнение, имеем:
4
X3 = 16,
х~2 = 16.
Ответ. xt = у! — 64; х2 =8, у2 = 2.
631. x-i — Ух~ 32; х2 = 32, у2 = 2.
632. Потенцируя данные уравнения, получим систему уравнений:
х2 — у2 = 40
ху = 21,
решив которую, находим ответ: х = 7, у = 3.
633. Потенцируя данные уравнения, получим систему уравнений:
' ху = а2Ь (За 4- 26)
х _ а2Ь3
у 2а 4- 36 *
решая которую, находим значения х и у.
634. Применяя формулу loga N = loga2 №, заданную систему
уравнений легко преобразовать к виду:
' log4x2 + log4y-|- log., г = 2
• loger/2+log9?4-log9x = 2 (1)
logie 22 4- logie x 4- log16 у = 2,
или
x2yz = 42
y2xz = 92 (2)
z2xy = 162.
В результате почленного умножения системы уравнений (2) и соот-
ветствующих преобразований находим, что
хуг = 24. (3)
так как xj> 0, у >0, z£>0.
При делении каждого из уравнений системы уравнений (2) на
соотношение (3) находим искомые величины.
Соединения и бином Ньютона
325
635. Потенцируя первое уравнение, находим:
9а2
ХУ = V
решая полученное уравнение со вторым как систему, находим ис-
комое.
9а __ а а __ 9а
Ответ. х±------У1 — "у; *2 = ~ “2“ 9
п2
п
636. Х = рт =
§ 11. СОЕДИНЕНИЯ И БИНОМ НЬЮТОНА
637. Имеем:
rk —1 и И- 1
СП-СП ’ k
По данному соотношению делаем вывод, что число сочетаний из
п элементов, взятых по k, будет возрастать, если множитель
Л — k *4* 1 , , - Л "I- 1
----------> 1, откуда k < —.
При п четном k = •
П г П ~~ 1 . Л "4“ 1
При п нечетном rx — —-— и «2 = —5—
В самом деле, обозначим п = 2р + 1, откуда р =
п— 1
~2~
; кроме
того,
^2p±J.
2
+ = Р+ 1.
2S
k
т. е.
k <3 р 4* 1,
поэтому для наибольшего числа сочетаний
k=p =
п — 1
т~
но
п—1 п— 1 л4-1
---- ц— — ---!_
/^2 __ р 2 __ р 2
что и требовалось доказать.
638. Указание. Очевидно, это будет наибольшее число точек
пересечения прямых линий, т. е. С2п.
326
Ответы и решения
639. Число всех прямых, проходящих через п точек на плоскости
равно С2п, а число прямых, проходящих через п — 2 точки, равно С2__2
Каждая из прямых, проходящая через две любые из заданных
точек, будет пересекаться всеми прямыми, проходящими через осталь-
ные п — 2 точки, поэтому на каждой прямой будет находиться С2__2
точек пересечения; исходя из того, что одно пересечение принадлежит
двум прямым одновременно, находим:
Л/__L л?2
zv — 2 2-
Ответ. N = -g- n(n — 1) (n — 2) (n — 3).
640. 10.
641. C|5 = 455.
+ =
— —2)---(m — n-f-l)(m— n)
-------------------71-----------------r
tl I
(m—l)(m—2)-- (m—n -f- I)
+ (ш—1)1 “
(tn— 1) (m — 2)- • .(m — n + 1) , , ,
= (m — n + n)^
m(m— i(m —n-\- 1)
~ nl m’
Следовательно,
рП ______________________ рП I pn—1
1 2 r 2
pn—1 pn—1 I pn—2
1 — 2 2-
Складывая почленно последние два равенства, находим:
рП __ pn I optl—1 I рП—2
2 "г 2 + 2,
что и требовалось доказать.
644. 81" = 92п = (10 — 1)2п =
= 1 — lOCjn + 102С^„---------4- 102п.
645. По условию С2п : С\ = 11 : 2, откуда п — 12.
Пятый член разложения заданного бинома
Ответ. Тъ — 495а4х“2.
Соединения и бином Ньютона
327
646. По условию С2п = 28, откуда п = 8.
Всех членов в разложении данного бинома 9, поэтому средний член
будет пятым
т5 = (-1)4 с4 (К 1 - х)4 (/ГП)4.
Ответ. Т5 = 70 (1 - х2)2.
Т - ЧЧ + а) а
647. Т4 —35 ^_а)3 •
648. Указание. Задача невозможна, так как коэффициенты
разложения бинома являются целыми числами.
649. Указание. С4 = = С"-8,
откуда п — 8=4, п = 12.
Ответ. 12.
650. Имеем:
С» С?1 = 7:15,
т. е.
fe + 1 7
т — k ~ 15 ’
7т — 22k = 15,
откуда
22k + 15
т —-----=----.
По условию искомое число т должно быть целым, положительным
и наименьшим. Это условие выполняется при k = 6.
Ответ, т = 21.
651. Тч =
652. Известно, что сумма всех биномиальных коэффициентов раз-
ложения (х 4- у)п равна 2П; поэтому
2” = 2- 2048,
откуда
с1у\
п — 12.
Воспользуемся формулой общего члена бинома; имеем:
fe—12 6 (12—fe) Зя
= (-l)*cf26fe3 5 а 5 7,
328
Ответы и решения
По условию
6(12—Л) ЗЛ
а 5 7 = а3,
Зная п и k, легко найти искомое.
Ответ. Т8= —264а3 Ь1
653. Т6 = Cf2Z>~7.
654. Указание. По условию составляем уравнение?
С3„ =187.
из которого находим п — 35.
Дальнейшее решение аналогично № 652.
655. Воспользуемся формулой общего члена бинома Ньютона:
322
Члены бинома будут рациональными, если показатели степеней
5__# р
—о— и it— целые положительные числа. По условию k 5 и k —
число четное, так как оно делится без остатка на 2. Такое число только
одно: 2. Следовательно, в данном разложении бинома искомый член
только один.
Ответ. 7-3 = С2 (/з) V2)2 = 60.
656. Биномиальные коэффициенты разложения
т. е.
п (п — 1)
1-2
п(п — 1) (п — 2)
ПГЗ
по условию составляют арифметическую прогрессию; поэтому
п(п—1) _п(п—1)(п—2) п (и — 1)
П> П~ Ь2-3 Ь2 ’
или
п2 — 9п + 14 = 0,
отсюда пх = 7 (п2 = 2).
Ответ, п — 7.
Соединения и бином Ньютона 329
657. Указание. Общий член разложения бинома
n+1=cy-^'I2-‘^.c^‘-s
5
Показатель степени -g- k — 6 будет целым числом при k = 0, б,
12 (k 12).
Ответ, х 6, » % •
658. Указание. С^4 — Ck — — Ckn+\ где п > k
(см решение № 656).
659. Разложим это выражение по формуле бинома:
1.000538 = (1 + 0.0005)36 = 1 4- 36-0,0005 +
4. .0.00052 + . - •
Первые два члена разложения бинома дают 1,018. Рассматривая
3-й член разложения бинома, находим, что он меньше 0,0002, а потому
не может влиять на результат вычисления; точно так же не влияют на
него и последующие члены бинома; следовательно, достаточно взять
2 члена в разложении данного бинома.
Ответ. 1.000536 « 1,018.
660. 2а« — 30а462 + 30а254 — 2Ьв.
661. (1 4- 2)7.
662. Ть = 715 (1 — z)2 (1 + z)4 /1 + г.
663. Т7 = С?еа°.
664. Один член Т15 = С^З2 ^2.
666. Т9 = 495.
667. Общий член разложения
/ 4 \k —JlJl
Tk+x = Cioo (/2)100-* 1уз) = C?00250-2 2 - 3 4
Для того чтобы члены данного разложения бинома были рацио-
нальными числами, необходимо и достаточно, чтобы число k делилось
на 4. Искомое число k удовлетворяет неравенству: 0 k 100
Числа k, кратные 4, будут: 0, 4, 8, . . ., 96, 100.
Количество таких чисел п находим по формуле
ЮО = 0 4- 4 (п — 1),
откуда всех чисел, кратных четырем, будет п = 26.
Ответ. 26 членов.
330
Ответы и решения
688. Общий член разложения данного бинома имеет вид:
Если член разложения бинома не содержит х, то
Ответ. Т6.
669. Имеем:
п—2
п(п—1) 2
8
По условию три первых коэффициента в разложении бинома обра-
зуют арифметическую прогрессию, поэтому числа
1 2L „ О
2 8
удовлетворяют условию
„ = 2И+1,
или
откуда
п2 - 9п + 8 = 0,
«1 — 8 («2 = !)•
Составим общий член разложения бинома, для которого
fe+8
Т6+1 = С* (/i)‘ f 4
о а /г + 8
Рациональными будут те члены разложения, для которых —'
целое положительное число. Это условие выполняется при k = 0, 4, 8.
Ответ. 7\, Тък То.
Соединения и бином Ньютона
331
670. Третий член разложения бинома
10- х3+2 lg х = 1 000 000
Упрощая и логарифмируя, находим:
2 1g2 х + 3 lg х — 5 = 0,
откуДа 1g х = 1; Xl = 10,
__ 5
lg х = — ; х2 = 10 2 .
__5_
Ответ. Xi — 10; х2 = 10 2.
671. Указание. Имеем:
Tk+l = (-i)Mn+i (2я+1-*)-^k = (-D* cUi •*6'1-5*+3-
По условию
4р 4~ 3 = 6л — 5й 4" 3,
или
6л — 4р _ / Зл — 2р \
5 \ 5 Л
откуда следует, что число k должно быть целым положительным и чет-
ным при некоторых значениях л и р, а также удовлетворять условию
задачи.
2 /Зп—2р\
Ответ. C2J+l 5 Л
672. Рассмотрим два тождества:
(X + 1)" = хп + CJX1-1 + С2х«-2 + ... + с«,
(1 + Х)п = 1 + ф4- С2х2 + •• 4-фп.
Перемножим почленно два эти равенства. В левой части будет
(1 4“ x)2rt; разлагая его по формуле бинома Ньютона, определим коэф-
фициент при хп. Он равен ф.
В правой части, после перемножения всех членов, находим коэф
фициенты при х°, х, . . ., хп, . . ., х2п. При хпкоэффициент равен
выражению
1 + И)24-(С2)24----4-(ф2,
т' е,ысУмме квадратов коэффициентов бинома Ньютона.
Но правые и левые части тождественно равны, поэтому коэффи-
циенты при одинаковых степенях х у них также равны, т. е.
‘ + (с')2+--- + (с;)2 + -.-+(с;)2 = с2»я.
332
Ответы и решения
673. Обозначая заданное произведение символом Па, имеем:
n„ = Z+s’/‘-1+s^"-2+---,
где искомые коэффициенты
$п ~ ‘22* + I»- ' ’' + ~ 1 2^”*
е2_ _L 2-4-2- 2-4- 4--L.2__b2_._L.
«“ 2 ’ 22 2 23 * "г 2 2” ' 22 23
Чтобы вычислить коэффициент S2 при хп 2, который равен сумме
произведений всех вторых членов биномов, взятых по^два, возьмем
равенство (1) и возвысим обе его части в квадрат, получим: •
_J |_ _!____2_ . ... _j____!___2S2 = (1_______L\2
22 т 24 26 22л ” \ 2п / ’
т. е.
откуда
2 _ 22л -3.2”
3.22"
Ответ. Si — 1---------L • S2 =
/2 2Л ’ л
22п _з.2«_|_ 1
3-22л
674. Сделаем следующие преобразования:
(1 + О4‘+2 = 1(1 + i)2]“+1 = (21)“+'.
Известно, что i в нечетной степени равно 4-1 или —i. Следова-
тельно, в заданном разложении остались только мнимые слагаемые; все
вещественные слагаемые сократились. Из преобразования видим, что
вещественные члены разложения стоят на нечетных местах. Итак, сумма
членов разложения, стоящих на нечетных местах, равна нулю.
§ 12. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ И ПРИМЕРЫ
676. 200.
678. 1.
679. 1,2.
680. 34.
682. х = 4,5.
Разные задачи и примеры
333
684. а) 0,333- • • — 10 4- 100 + 1000 + 100(Ю + • • •
Данная дробь является суммой бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, у которой «1 = -цр 9 = 'ПТ По Ф°РмУле (стр. 495)
1
5 " 3 ’
в) Решение аналогичное.
Ответ. 0,2 (7) = -jg-.
687. В троичной.
690. 144.
691. 24.
692. 243.
693. Дробь непериодическая.
694. 312 руб.; 330 руб.; 288 руб. и 300 руб.
695. 6400; 9600; 12 000; 14 000
696. 183 руб. и 217 руб
697. Через 25 дней.
698. 28 и 21.
700. Иван женат на Марье, Петр — на Анне.
703. Обозначим заданные п чисел —аь а2, а3, . . ., ап. По уело
вию их сумма известна, следовательно, известно и их среднее ариф-
метическое
4~ q2 4~ • • • 4~
п
Но среднее арифметическое двух или нескольких положительных
чисел не меньше их среднего геометрического (см. № 378 и 389):
ai + a, + as+ +°»58/Я1аг
Равенство возможно только в том случае, когда aL = а2 — а3 — • • • =
~ ап, следовательно, произведение а^а^. . .ап в этом случае будет
наибольшим, что и требовалось доказать.
705. Перепишем данное выражение так:
хп— /2 + хп-1,
или
хп — 2 + хп—1-
Переменная величина хп, с увеличением п возрастает, оставаясь
меньше некоторого постоянного числа. В самом деле,
хп-1 хп—1 2 < 0, (хп__1 < хп),
откуда
(xn-i 4-1) (xn~i — 2) <0.
Из последнего соотношения следует, что + 1 Z> 0, поэтому
xn-i — 2 << 0, т. е. хп_! <4 2. Но если возрастающая переменная вели-
334
Ответы и решения
чина ограничена, то она имеет предел. Обозначая lim хп — г (lim хп_А ==
М-> 00 00
= г), находим уравнение
г2 — z — 2=0,
откуда Zj = 2, г2 = —1. Здесь отрицательный корень посторонний,
так как хп^> 0.
Ответ, lim хп = 2.
Л->оо
706. х = 4.
707. х = 625.
708. х = .
709. Рассмотрим алгебраическое уравнение
аохп + а1хп~л + а2хп~2 Ч-------Н а^х + ап = О,
для которого Xi является целым корнем. Имеем:
«ох1 + аххп~х + а24“2 Ч-------И ап_ххх +ап = Ъ,
т. е.
Х1 («О*?-1 + а14~2 + • • • + “п-х) = ~ап,
ИЛИ
ао4-1 + а1х"~2 + а2Х"“3 Н-------Ь ап-Х =
Левая часть полученного равенства есть целое число, поэтому
коэффициент ап делится на т. е. хг является делителем свободного
члена данного уравнения, что и-требовалось доказать.
713. Указание. Обозначим искомое число 10х + 6, где х —
число десятков в искомом числе. По условию задачи имеем:
4 (10x4- 6) = 6 -КУЧ- х
или
13,г = 2 (10” — 4),
где п — целое положительное число. Из последнего соотношения
следует, что 10” — 4 делится на 13; подбираем такое наименьшее на-
туральное число п, которое удовлетворяет условию.
Ответ. 153 846.
Часть И
геометрия
§ 13. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
715. Построим треугольник АВС
его до параллелограмма, найдем (рис.
(2/пр2 + 62 = 2а2 + 2с2,
откуда
mb = -J- / 2а2 + 2с2 - 62.
По аналогии находим
та = 4- /262 + 2с2—а2,
тс = у /2а2 + 262 — с2,
по
2):
трем
сторонам и дополнив
где та, ть и тс — искомые медианы.
717. Построим треугольник АВС, у которого AN = вь = nib
и СМ = тс (рис. 3), и продолжим одну из медиан, напри^ер BL, ра
отрезок LD = OL. Соедц11ИВ ТОчку Р
с точками А и С, получи^ параллело-
грамм AOCD-, находим соотношен^е
/ 2 \2 /о <9
в
А
0
К
С
L
D
Рис. 3.
Аналогично находим:
с точками А и С, получи^ параллелО-
откуда
ь = i V2m2
О I
I-
а =
^У2т*ь + Ъп2с—т2а,
е = 4- + 2mf_m2
О с
718. 3 : 4.
336
Ответы и решения
719. ha = -j- Ур (р — а) (р — Ь) (р — с) и т. д.,
где р = т(а + ь + с)-
720. Известно, что в любом треугольнике стороны обратно пропор-
циональны соответствующим высотам, т. е.
“:д:с=444=4:б:3-
Отсюда 3 + 4£> 6, 6 — 4 <$ 3.
Ответ. Треугольник возможен.
721. Дано: Ь, с, Ь' и с'. Доказать: Р^= Ьс Ь'с'.
В треугольнике АВС биссектриса угла А делит сторону а — ВС
на отрезки Ь' и с' (рис. 4).
Для доказательства теоремы опишем окружность около треуголь-
ника АВС, продолжим биссектрису до перёсечения ее в точке N
722. В предыдущей
с окружностью и соединим точку N с В.
Из подобия треугольников ABN и ADC
(Z, 1 = Z, 2 и Z. С = Z. N) находим:
Рл:с= b-.®A+DN),
или
р2 4 h-DN= Ьс,
но
₽л.р#=&'-с'
как произведение двух пересекающихся в точ-
ке D хорд. Из двух последних равенств
находим
Р^ = Ьс — Ь'с',
что и требовалось доказать,
задаче найдено, что
Рд = Ьс — Ь'с'.
Известно, что отрезки Ь' и с' пропорциональны соответствующим
сторонам Ь и с, т. е.
Ь’ = nb, с' = пс,
при этом коэффициент пропорциональности определяется из условия
nb 4 пс — а,
или
а
п = ~r~i— •
Ь 4 с
Следовательно,
поэтому
Ь’с’ = п2Ьс
а2Ьс
Fb 4 с)2
= ЬС —
1 л
а2Ьс
lfi + сУ
9
Задачи по планиметрии
337
откуда и находим искомую длину биссектрисы
= / 6с [(6-Ьс)2—g2j
Ь 4- с
723.
2
a-j- b
724. Указание. Можно воспользоваться формулами за-
дачи № 717, учитывая, что искомая третья сторона треугольника
726. Составим равенства:
е _ a'ha _ b-hb _ c hc
2 “ 2 “ 2 ’
hc = ha + hb,
откуда
2S
'
где S — площадь треугольника.
Заменяя в последнем выражении
, 2S . 2S
*» = V"A1’ = V’
находим
Ответ.
ab
С ~ а-\- b
727. Рассмотрим отрезок АВ (рис. 5). Из концов А и В проводим
две прямые AN и BL под углом в 60° к линии АВ. Из концов отрезка АВ
опишем две окружности данным раство-
ром циркуля. Отложим п раз радиус на
линиях AN и BL и точки D и С соединим
соответственно с В и А. Через точки
деления отрезка AD проводим линии, па-
раллельные ЛС; отрезок АВ разделится
при этом также на п равных частей.
728. Указание. Пусть треуголь-
ник АВС остроугольный (рис. 6). Из
Рис. 6. середин сторон АС и АВ опускаем на
п основание ВС перпендикуляры DL и EF.
Отрезав треугольники CDL и BFE и повернув их вокруг точек D
и h на 180 так, чтобы они совпали, соответственно, с треугольни-
ками DNA и АМЕ, получим искомый прямоугольник. Каждая из
338
Ответы и решения
сторон остроугольного треугольника АВС может быть принята за
основание, следовательно, треугольник может быть разрезан тремя
способами.
Прямоугольный и тупоугольный треугольники рассмотреть само-
стоятельно.
731. Обозначим ВК = х, BN = у и СМ = г; площади треуголь-
ников АВС и KNB (рис. 7) через S и
По условию
5i__ 1
S ~ 2 ’
кроме того,
$1 _ ху
S аа
Рис. 7.
(так кар в рассматриваемых
треугольниках имеется общий
угол В}.
Сравнивая правые части равенств (1) и ^2), находим
о2
(3)
Рассматривая треугольники КВС и КМС, видим, что они равно-
велики и имеют общее основание КС, поэтому их высоты, опущенные
из точек В и М на это основание, равны; следовательно, линия ВМ || КС.
Исходя из этого, находим
АС АК а а—х ...
-см’=-вк<Т:е-- = —Г-’ (4)
BN ВМ АВ у а ...
CN ~~КС'~~АК~’ Т’ е* ~а=у~ а — х' (5)
Решая систему уравнений (3), (4) и (5), находим
2 3
х = -х- а, у = — a, z = 2a.
о 4
9 Ч
Ответ. ВК = a, BN = а, СМ = 2а.
о 4
732. Пусть дан треугольник АВС (рис. 8). Возьмем на стороне АС
произвольную точку D. Построим относительно сторон АВ и ВС
точки и D2, симметричные с точкой D. На сторонах АВ и ВС возьмем
две точки N и М; соединяя три точки D, N и М, получим вписанный
треугольник DNM. Периметр этого треугольника равен длине лома-
ной DiMND2. Вписанный треугольник с наименьшим периметром полу-
чится в том случае, когда линия ОгМКО2 будет прямой. Итак, если
точка D задана, то вписанный треугольник DNM будет иметь наимень-
ший периметр, если линия ОгЬ2 будет прямая.
Для решения данной задачи необходимо выбрать на стороне АС
точку D так, чтобы длина отрезка DJ) была наименьшей.
Задачи по планиметрии
339
Легко заметить, что BD = BDr — BD2, так как точки Dr и П2
имметричны с D относительно сторон ВС и АВ\ соответственно и
/£> BD2= 2Z.B. Отсюда следует, что угол при вершине В равно-
бедренного треугольника В£>х£>2 не зависит от выбора точки D на сто-
роне АС, поэтому длина стороны DXD2 этого треугольника будет наи-
Рис. 9.
Рис. 8.
меньшей, если длины отрезков BD = BDX = BD2 будут наименьшие;
это требование выполняется, если отрезок BD служит высотой тре-
угольника АВС.
Можно доказать, что если точка D служит основанием высоты BD
треугольника АВС, то точки Dx и D2 лежат на продолжениях отрезка PL
(рис. 9), соединяющего основания Р и L высот СР и AL данного тре-
угольника, так как если точки D, Р и L — основания высот, то Z.BLP =
= £CLD. Кроме того, Z.CLD — /_CLDr, так как точки D и £>х сим-
метричны относительно ВС, откуда Z.BLP =
= 2.CLDX, поэтому точка Dx лежит на про-
должении отрезка PL. Также можно доказать,
что точка D2 лежит на продолжении отрез-
ка PL.
Итак, наименьший периметр имеет впи-
санный треугольник DPL, вершинами кото-
рого служат основания высот данного тре-
угольника АВС.
734. Построив чертеж (рис. 10), видим,
что &LmK со &ВКС. Из подобия этих
прямоугольных треугольников следует, что д
Рис. 10.
Ltn тК
~ВС~==~СК ’
где Dm = а'- ВС = b- CD = а; тК = DK — mD = DK — а'; СК =
= а — DK\ Lm= b'.
Ответ. DK = ~'Ь + 6'а
Ь'А-ь
735. Пусть судно движется по направлению КО (рис. 11) до пере-
мены направления и по OD после перемены направления
£COQ = 15°,
/.DOQ = 60°,
Z.ODQ = 90°
340
Ответы и решения
(так как линия
или
DQ параллельна биссектрисе прямого угла- ВОС) и
/.PQD = 30°.
Имеем:
OD = 5;
OD _ ОР
DQ ~ PQ
OQ= 10; DQ= 5/3;
(DP — биссектриса угла О)
ОР
5
Ответ. PQ = б (3 — ]/ 3).
736. Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. 12). В треуголь-
нике АВС линии СЕ и ВО' — медианы, поэтому
2
BL = -J- О'В
О
где
O'B=-^-BD.
Аналогично, в треугольнике ACD
линии CF и DN — медианы, поэтому
DN =-^-BD.
О
2 1 1
T-TBD = -3BD’
Рис. 12.
Следовательно,
LN = -~^-BD,
О
что и требовалось доказать.
737. Р = 204,3 см.
738. Пусть AF, DF, BE и СЕ — биссектрисы углов: /.А,
/_В и /_С четырехугольника ABCD (рис. 13).
~ треугольнике AFD
Рис. 13.
В
/_AFD = 180°
В треугольнике ВЕС
/.ВЕС = 180° —
2
2
Складывая почленно равенства (1) и
находим:
/_AFD + £В£С = 360° —
2
= 180°.
(1)
(2)
(2)>
Задачи по планиметрии
341
Итак,
Z.KF7V+ £КЕН = £EKF + /_ENF = 180°.
что и требовалось доказать.
739. Указание. Обозначить длины диагоналей вписанного
четырехугольника х и у и использовать известные соотношения:
, , , х ad -4- be
ху = ас 4- bd, — = —j—;—у,
у ab-F cd
Ответ. х —
(ас bd) (ad -f- be)
ab de
У =
(ac -j- bd) (ab -f- cd)
ad + be
740. Указание. Обозначая диагонали и сторону квадрата
соответственно через d и а, согласно условию задачи составим два
уравнения:
d — а = 6
и
(F = 2а2.
Ответ. R. = 10,243 м; а & 14,485 м\
d » 20,485 м.
741. В данном треугольнике АВС
(рис. 14) проводим линию DE || ВС и обо-
значим искомый отрезок АЕ — х. Из по-
добия треугольников ВАС и DAE нахо-
дим:
х АР РЕ
b ~ с ~ а '
откуда = DE = ^.
ь ь
Стороны трапеции BDEC: ВС = а,
Рис. 14.
DE=-^~. ЕС — Ь — х,
и
BD = c сх с(6—х)
b ~ b ‘
По условию, периметр трапеции BDEC равен 2р, поэтому
а+6_л+ “ +£lL^L = 2p;
r ~ b Ь И Pi—a’
где 2рх = а + b 4- с, Р, Pi3> а-
342
Ответы и решения
742. Указание. Обозначим длину искомой диагонали АС =
= х. Из прямоугольных треугольников BNC и ON С находим (рис. 15):
BN = / ВС2 — /VC2,
ON = / ОС2 -Л'С2
BN+ ON = R,
2 *2
а2
X2
2 — ——
4 ’
a* = R2 (4а2 - х2).'
a = -rV10 —2/10
(2)
ИЛИ
Исключая R из соотношений (1) и (2), находим:
а (5+ /б-)
Х~ 2/5 ’
л а(5+/5)
Ответ. АС =
743. Указа
СО
2/5
и е. Имеем Д МОС со ДА МВ (рис. 16),
МС
АВ МВ ’
СО
С
2bhb
АВ — с, МВ = hb и МС определено
где
из соотношения
с2 = а2 + Ь2 ± 2b- МС.
Следовательно,
2bhb
откуда
н
4
R
где (?• hb = 2S.
Аналогично находим АО и ВО.
Ответ. СО = ±
4S
Примечание. Знак (—) относится к расстояниям ортоцентра-от вер-
шин тупых углов.
Задачи по планиметрии
343
744. Имеем (рис. 17):
b + с= CL + LA + AM + МВ;
но
CL = NC = г,
LA = AM = b —г,
MB=NB=a — r,
следовательно,
b + с — 2b — 2r + a,
или
с — b = a — 2r. (1
По теореме Пифагора
с3 _ ь2 = а2,
или
(с —&)(<?+ Ь) = а2,
откуда
с + b = —. (2)
а — 2г ' '
Решая систему уравнений (1) и (2), находим ответ:
_ а2 — 2г (а — г) _ _ 2г (а — г)
С ~ а — 2г ’ ~ а — 2г *
745. Указание. Имеем (рис. 17):
а + b = AL + LC 4- CN + NB,
AL+ NB = AM 4- МВ = с-
но
LC = CN = г,
следовательно,
а 4- b = с 4- 2r. (1)
Возвышая обе части равенства (1) в квадрат и заменяя а2 4- Ь2 — с2,
находим:
ab = 2г (с 4- г). (2)
По сумме катетов (1) и их произведению (2)
найдем а и b как корни квадратного уравнения:
х2 — (с 4" 2г) х 4" 2г (с + г) = 0.
746. Согласно условию (рис. 18):
BD = h, OL — г, DC= CL = х.
Из прямоугольных треугольников BOL и BDC
имеем
BL = /(А — г)2 — г2 = /А2—2гА ;
(BL 4- х)2 = Л2 4- х2,
344
Ответы и решения
rh
откуда х = ------
/й(А-2г)
Ответ. АВ = ВС = BL 4- х = А (А Г)
/Л(Л —2г)
АС =
2rh
747. Х1 = 4/7, У1 = 6/7; х2 = 4/15, уг = 2/15.
/5
748. ^~см.
749. Рассмотрим
Пусть О — ортоцентр,
Рис. 19.
остроугольный треугольник АВС (рис. 19).
L — точка, симметричная с О относительно
стороны АС.
Треугольник СОМ равен треугольнику
CLM, так как они прямоугольные и имеют
равные катеты; поэтому Z.CLM — /.СОМ.
Кроме того, /_СОМ = /_САВ (углы с со-
ответственно перпендикулярными сторонами),
откуда
Z.CLM = ДСЛВ.
Следовательно, точки А, В, С и L лежат
на описанной окружности.
Аналогично можно доказать, что точки,
симметричные с О относительно остальных
двух сторон треугольника, лежат на этой же
описанной окружности.
Для тупоугольного треугольника доказать самостоятельно.
750. Указание. Сторона квадрата равна стороне правильного
вписанного треугольника, т. е. а4 — а3 — /?/3.
Ответ, о ___^6
1 “ 2 ’
751. Указание. Обозначим ра-
диус описанного круга R (рис. 20). Тре-
угольник АВС вписан в круг. О — центр
круга, BD — диаметр. Треугольник
BCD — прямоугольный (Z.C опирается на
диаметр).
&BCD со ДЛВД
(эти треугольники прямоугольные и
ДВЛС= £BDC).
Следовательно.
с 2R
Нь ~ а ’
Рис 20.
Задачи по планиметрии
345
где
hb = -у/р (р — я) (р — &) (р — с).
abc
л п abc
Ответ. R = -—~г - - =• = —*—.
4 И р (р — а) (р — Ь) (р — с) 43 д
752. По условию
АВ2 = 2АС2.
(О
Проведем хорды NA и NB и продолжим их до встречи в точках К
и М с продолжениями стороны CD (рис. 21).
КС _ CD _ DM
АЕ ~ EL ~ LB ' ( ’
Из подобия треугольников АКС и BDM имеем:
КС АС '
BD DM » 1 ’
но
BD = АС,
поэтому
2KC-DM = 2АС2 = АВ2 = CD2. (4)
Заменяя в соотношении (4) КС, DM и CD величинами, им пропор-
циональными, из соотношения (2), получим:
2AE-BL= EL2. (5)
Гак как AL+BE= АВ + EL,
то
AL2 4- BE2 + 2AL-BE = АВ2 + EL2 + 2АВ- ЕЕ = АВ2 +
+ 2АЕ- BL 4- 2АВ- EL = АВ2 4- 2 {АЕ- BL+ АВ- EL),
/
346
Ответы и решения
откуда AL2 + BE2 = АВ2,
так как соотношение
AL-BE = AE-BL + АВ-EL
вытекает из следующего тождества:
(АЕ + EL) (EL + LB) = АЕ- BL + (АЕ + EL+ LB)- EL.
753. Рассмотрим вписанный четырехугольник ABDC (рис. 22).
Строим угол £CAF = £BAD.
Кроме того, Z_BDA = /_ВСА,
как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу; поэтому
Л ABD со Д AFG,
BD АР
FC ~ АС'
BD- АС= FC- AD. (1)
&BAF со A DCA,
так как
Z.BAF= /.РАС и £АВС = Z.ADG,
откуда
BF _ АВ
DC~ AD '
или
DC- АВ = BF- AD. (2)
Складывая почленно соотношения (1) и (2), имеем:
AC- BD+ AB-DC= (BF + FC) AD = ВС- AD.
754. Обозначим искомый радиус г; тогда (рис. 23)
ДЛ/+г = -у.
Задачи по планиметрии
347
Но в треугольнике AON £А = 30°, поэтому АО = 2г;
_ г /З, следовательно, г /з 4- г = ~,
откуда и находим ответ:
Ответ. < = а (/3 1).
755. Пусть искомая хорда АС стягивает сумму дуг АВ
(рис. 24). Известно, что во всяком вписанном четырехугольнике
ведение диагоналей равно сумме произведений противоположных
рон (теорема Птоломея), поэтому
ДС-ВО = fl.CD+ b-AD.
AN =
и ВС
произ-
сто
или ________ ____________
АС-2г = а\^4г2 — b2 -f- by 4r2 — а2,
так как
BD = 2г; CD = V (2г)2 — 62;
AD = V (2г)2 — а2, АС = х.
В
Рис. 24.
После преобразования находим ответ:
Ь2
4 г2
а2
4г2
Аналогично для хорды разности данных дуг
г = аУ i-^-ьУ i-^L(a>b).
Примечание. Формулы значительно упрощаются, если взять г = 1.
756. Сторона правильного 15-угольника стягивает дугу, равную
эазности дуг, стягиваемых стороной правильного шестиугольника и
давильного десятиугольника:
J_____1____1_
15 “ 6 10 ’
По формуле (см. № 755), полагая г = 1, находим:
х = а
Ответ. а15= 1 []Л10 + 2/5 - /3 (/5-1)].
348
Ответы и решения
757. Обозначим АВ = а10 (рис. 25).
. j л г> 2d л п 4d
£АОВ = —, /,Д = /.В = —.
Построим биссектрису AD угла А.
Два треугольника ADB и ADO равнобедренные
/ 4 2 \
\ £ ADB = £ ABD =dt ^AOD = Z_OAD = ^d]-
\ о 5 /
AD = AB = OD.
Используя свойство биссектрисы внутреннего ^гла, находим:
т. е.
АВ DB
АО ~ OD ’
OD _ BD
АО ~ OD *
что и требовалось доказать.
Ответ. АВ =а10 — (Кб — 1),
758. R — a
. а 3
отношение основании -г- — —. Обозначая а =
b 4
759. По условию
= Зх, b = 4х и зная длину средней линии трапеции, имеем:
Зх 4- 4х
откуда находим х = 2, т. е. основания трапеции соответственно равны:
о = 6; 6=8. Центр О описанной окружности лежит на высоте равно-
бочной трапеции, проведенной через точку пересечения диагоналей.
Обозначая искомый радиус буквой R, из прямоугольных треугольни-
ков AON и ВОМ находим:
/?2 = z2 4- 42.
Я2 = (7 - г)2 4- З3,
откуда 2=3, следовательно, R = 5.
Ответ. R = 5 м.
Задачи tw планиметрии
349
760. Указание. Треугольник ВОС прямоугольный (рис. 26);
гп — высота, опущенная из прямого угла С на гипотенузу ОВ, поэтому
и**'
2
= h-OD
/?3 =
2
Ответ. Ко1 2 + 4А2.
761. Р — 4/п, длина боковой стороны рав-
на т.
763. Рассматривая треугольники A0D и АОВ (см. рис. 3), находим,
что они имеют равные основания
9
OB == OD = —5— ть
и
и равные высоты следовательно, их площади равны, т. е.
пл. дЛ0£)=?пл. /\АОВ =Д- пл. ДАВС,
О
откуда, обозначая площадь треугольника АВС через S, имеем
S = 3 пл. Л A0D.
Стороны треугольника AOD:
2 2
АО = — та, OD=—— ть,
и о
1 / 2 2 2 \ 1
Pi = ( -у та + — ть + — тс ) = -у (та + тЬ + тс),
или, после преобразований, получим искомое.
Ответ. S = -у К (m2 4- 4- (ть + ~ ^а) +
' *" ^-тс — ть) (та -\-ть — тс).
350
Ответы и решения
764. Вычислим площадь треугольника 5', длины сторон которого
та, ть и тс.
По формуле Герона имеем:
= -j- У(та + ть + тс)(ть + тс — та)(та + тс — ть)Х '
* X (mfl 4-т/,—щс).4
Площадь данного треугольника, вычисленная по трем его медиа-
нам (см. № 717),
’ X (та + тс — ть) (та + ть — тс),
откуда
S : S' = 4 : 3.
Ответ. 4 : 3.
765. Площадь треугольника АВС
Q aha ' b'hb chc ...
п “ 2 ~ 2 “ 2 ' ’
S = /p (p — a) (p — 6) (p — c). (2)
Зная, что p = (a + ЬА~ с), выразим стороны треугольника
из равенства (1) через S и подставим их в формулу (2); найдем:
S = S2
X (—+_L__L V— . _L __L V
\ ha ha hb / \ hb hg ha /
766. В данном треугольнике ABC (рис. 27) продолжим сторону АС
до пересечения ее в точке К с ВК. || DC. Найдем, что треугольник ВСК
Задачи по планиметрии
351
„Споенный (Z.K = А.СВК, ВС = СК = а); вычислим его третью
^Вр” у 4W из пропори"» <DC = ₽С>
ВК b + a
Рис. 27.
откуда ВК — .
В треугольнике ВС К высота
CN =
V 4а2 62 — Рс (а +
2Ь
Вычислим площадь треугольника ВСК
_ BK'CN _ Pc (а + 6) V4a2fe2 — Рс (а + 6)2
6 ~ 2 ~ 462
Треугольники АВС и ВСК имеют общую высоту ВМ, поэтому, их
площади относятся между собой как основания. Обозначим искомую
площадь треугольника АВС через S; имеем
S : S' = Ь : а,
откуда находим
е_ S'b
о —------•
а
Ответ. S = 4а2Ь2 — Рс (а + ь)2‘
767. S = 104 /И.
768. h = 4,8 м; St = 8,64 к2; S2 = 15,36 м\
769. Прямая, проведенная параллельно основанию треугольника,
отсекает треугольник, подобный данному. Площади подобных треуголь-
ников относятся, как квадраты сходственных сторон. Обозначая искомую
352
Ответы и -решения
сторону х, а площади треугольников соответственно через S и $
получим систему уравнений: 1
' _ х2
S = 0,5£г:
решая ее, найдем: х = —.
770 25 ^2
770. х =----------см.
771. Обозначив диагонали ромба через 2х и 2у, согласно условию
задачи составим систему уравнений:
2xz/ = Q
' х _ т
У ~ п ’
откуда
По теореме Пифагора находим сторону ромба:
a — V х2 + у2.
iл2 + ^2
Ответ. а= I/ Q---.
г 2тп
772. S = 6 м2.
773. Сторона ромба
По формуле площади ромба
S = а-СЕ = a-CF = d^d?
находим, что СЕ = CF =
did%
1^4 +
Следовательно, прямоугольные треугольники ACF и АСЕ равны
по катетам (СЕ — CF) и гипотенузе АС.
Для вычисления искомой площади находим отрезок
АЕ = ]/ df — СЕ2 =
Ji
Задачи по планиметрии
353
Искомая площадь S АЕ’СЕ
Ответ. S - d2+dy
У74 Обозначим диагонали ромба соответственно через Зх и 4х.
Площадь ромба S = 6х2.
Сторона ромба а —
2
= 2,5х.
S
Радиус вписанного круга г= — = 1,2х.
Площадь вписанного круга St = л (1,2х)2.
S 25
Ответ. =
775. Диагональ квадрата (рис. 28) d = а/2.
В треугольнике ABD средняя линия
EF _ ± _
“ 2 ~ 2 *
В равнобедренном треугольнике АОЕ сто-
роны
АО = ОЕ — -~-^-
4
j л г. За К 2
поэтому ОС = d — АО ——-—
Следовательно, искомая площадь треугольника
S = EF-OC.
9
Ответ. S = —— а2.
О
776. Искомый четырехугольник — ромб с углами,
и 120°, что очевидно из построения (рис. 29).
А К
равными 60
М
0
L С
Рио. 29
12 В. С Кущенко
Высота треугольника DMC ML = ; от-
а /3
(Л-------.
2
диагональ ромба
LK - 2МК = а (КЗ — 1).
резок МК =
Большая
MN =
Треугольник EMF равносторонний, так как
ЕМ - MF = ЕЕ.
В
354
Ответы и решения
Из прямоугольного треугольника ЕОМ имеем:
ЕМ* — ОЕ2 = ОМ*
но СЕ —
ЕМ
2 ’
om = ^=~(K3-i)
поэтому ЕМ*--= — (/3—1)2,
откуда сторона ромба
а(3 —/з)
ЕМ = —-—
3
Но сторона ромба равна меньшей его диагонали, следовательно,
искомая площадь ромба
S = -A- EF-MN = -±-EM>MN
& £
Ответ. 5 = -7— (2 Кз — 3).
О
778. Проведем высоту равнобочной трапе-
ции АС через точку пересечения диагоналей О;
точки А и С будут серединами оснований тра-
пеции (рис. 30); Рассмотрим треугольники АОВ
и OCD; эти треугольники прямо, гольные и
равнобедренные, поэтому
АС = АО 4- ОС = АВ + CD == т.
Следовательно, площадь трапеции
S = т*.
Ответ. <S = т*.
779. По условию задачи (рис. 31)
пл. AM ND = пл. MBCN. (1)
Обозначая MN = х, находим.
= д. .СЕ,
где
СЕ JL MN, NF 1 AD,
е.
ха __ ЕС
х-+ b ~~NF'
Задачи по планиметрии
355
Из подобия треугольников KCN и LND (КС || MB, NL\\ AM) по-
лучим- _ СЕ
LD ~ NF ’
». е.
х--Ь _ СЕ
а — х ~ NF
(3)
Сравнивая соотношения (2) и (3), находим х.
I /" а2 -I- Ь2
Ответ, х = у ------— •
780. Указание. Если использовать свойство описанного че-
тырехугольника, то легко найти, что полусумма параллельных сторон
трапеции равна длине боковой стороны с; высота равна 2г.
Ответ. S = 2сг.
781. Указание. Обозначив сторону треугольника а и высоту h,
имеем:
a — h — d, h = -Ц^-, а = 2 (2 4- /з) d.
Площадь равностороннего треугольника
Q _ а2 /З
5 4
Ответ. S = (12+ 7/3) (Р.
782. В прямоугольной трапеции ABCD BL — высота, /_А = 60°.
Поэтому в прямоугольном треугольнике ABL угол ABL = 30°. Следо-
вательно, АВ — 2AL =2 (а — Ь) и BL = (а — Ь) /3, откуда иско
мая площадь трапеции S = -у- (а2 — Ь2) /3.
ci I b
783. Площадь трапеции S = —— h.
£
точки В (рис. 32) проведем высоту трапе-
ции ВК и линию BE II CD (AD = а,
ВС = b, АВ — с, CD = d).
Из треугольника АВЕ находим:
с2 = <Р + (а — Ь)2 — 2 (а — 6)- КЕ,
откуда
d2-c2 + (a-6)2
2 (а — Ь)
Из треугольника ВКЕ находим:
Найти h. Для этого из
>*
356
Ответы и решения
следовательно.
а 4- b I / Г d2 — с2 (а — Ь)2 12
5 “ ~ ’ V d [ 2 (а — b) J ;
после элементарных преобразований получим
X Vе (а — 6 4- с 4- d) (а — 6 — с 4- <0 («4-64-° — d) (с — a — 64- dT.
784. Обозначим DK = a, LN = b, KE = с (рис. 33), 5 — площадь
искомого треугольника. Согласно условию задачи (параллельность
сторон треугольников), полученные треугольники L>FK, КМЕ и LKN
(площади которых S., S2 и 5,)подобны основному треугольнику АВС,
поэтому:
5. _ а2
~S~ = (а 4- & 4- с)2 ’
52 с2
5 — (а 4- b 4- с)2 ’
53 Ь2
S' (а 4-b 4- с)2 ’
т. е.
/5Г _ *
’ /У а +• ь 4- 6 1
следовательно,
Si 4- / §2 4~ 53 __ a 4- & 4- с _j
/<Г ~ «4-64-0 — ’
откуда _ _ __ _
/5 =/5.4-/52 4-/53.
Ответ. 5 = (/^ 4- /^ 4- /^)2-
785. Указание. Искомая площадь четырехугольника ABCD
5 = -^- AC-BD.
При a = 45° имеем (рис. 34):
АС = BD = 2
Ответ. 5 = 2 R2---------
786. S = 54 см2.
Задачи по планиметрии
357
787. 2^2; /3 /3 Я2; 8 : 3 /3 : 6 |Аз .
788 Указание. Обозначить длины сторон прямоугольника
и у их отношение — k; составить систему уравнений:
ху = S,
' —=k.
У
789. Обозначим стороны данного треугольника 2х — d, 2х и 2х + d,
так как эти три числа образуют арифметическую прогрессию; d — раз-
ность прогрессии. Тогда 2р = бх; р = Зх. Стороны равностороннего
треугольника а3 = 2х, площадь которого
Gg КЗ
= ---= х2 Гз.
Площадь заданного треугольника по формуле Герона
S' = КЗх (х d) х (х — d) = КЗх2 (х2 — d2) .
По условию
S' = S; ^2^2-^) = 4- X2 /3 ,
О О
откуда
2х — d.
Следовательно,
а = 2х — d — З- А,
& = 5.А, O = 2x + d = 7-4.
Ответ, а : Ь : с = 3 : 5 : 7.
790. Указание. Обозначая две другие стороны треугольника
через х и у, по формуле Герона находим:
S = /р (р — а) (р — х) (р — у).
Величина площади S зависит от произведения четырех множите-
лей, но первые два из них постоянные, следовательно, достаточно рас-
смотреть множители (р — х) и (р — у). Сумма этих множителей по-
стоянна и равна а, поэтому (см. № 703) S принимает наибольшее зна-
чение. когда р — х — р — у, т. е. х = у.
Ответ. Треугольник равнобедренный.
258
Ответы и решения
791. Обозначим одну сторону прямоугольника через х, вторую
(р — х). Площадь прямоугольника "
S — х (р — х)
Произведение двух положительных множителей х и р — х, сумма
которых постоянна (см. № 703), принимает наибольшее значение если
эти сомножители равны между собой,
Р
к — р — х, х =
Следовательно, прямоугольник с наибольшей площадью есть
квадрат.
Ответ. При х = -0- S — . -
г 2 4
792. Указание. Обозначим = х, В1С1 — у, АВ — с,
CD — h. Искомая площадь прямоугольника (рис. 35):
S = ху.
Из подобия треугольников АВС и Д1В1С находим:
достигает максимума (см. № 703), когда
h — У — у,
т. е. при
h
Л С
Ответ. S = -г- .
4
793. 1-й способ. Обозначим длину одной стороны прямо-
угольника через х, вторую — через р — х где р — полупериметр.
Площадь прямоугольника
S = (р — х) х
т. е.
х2 — рх 4- S = 0.
откуда я = -у- ± -----S.
& Гт»
Задачи по планиметрии
359
Чтобы корни полученного квадратного уравнения были веществен-
ными, необходимо и достаточно, чтобы
PL
Наибольшее значение
s=4-
при котором х-----2~.
ДО
Итак, квадрат имеет наибольшую площадь.
2-й способ. Если сумму неравных сторон прямоугольника
принять за диаметр круга АВ (рис. 36) и, взяв два любых отрезка AD
и DB, провести из точки D линию DF _L АВ
пересечения с окружностью, то
FD2 = AD-DB.
от
та
Допустим, что точка D перемещается
точки А до точки В. Площадь квадра-
FD2, равная площади прямоугольника А
AD-DB, при этом вначале будет возрас-
тать, потом убывать и будет наибольшей,
когда точка D совпадет с центром полу-
круга, т. е. когда AD — DB.
Отсюда следует, что прямоугольник
с равными сторонами имеет наибольшую
площадь.
794. Обозначим длины сторон: х—1, х,
треугольника
Рис. 36.
1; тогда площадь
= “Г V3 (т- - ’) = " /з(«2-1)’
Г \ т’ ]
X
где-2- = л.
Чтобы S
х — 2п было
Т. е.
было целочисленным, необходимо и достаточно, чтобы
четным числом и
п2 — 1 — Зт2,
п2 — Зт2 = 1,
(п — т /3) (п 4- m]f 3) — 1.
Соотношение (1) выполняется при п — 2 и tn = 1
(2-Кз)(2+/3) = 1,
(1)
360
Ответы и решения
следовательно,
(2— /з)Л (2-f- /З)* = 1 (Л = 1, 2, 3, .. .).
Из соотношений (1) и (2) находим:
nk 4- mk /3 = (2 -|- /3 )\
пЛ-тй/з’=(2-/зЭА,
(2)
откуда (учитывая обозначения)
хл = 2ил=(2+/3)а+ (2-/ЗУ (/г = 1, 2, 3, ...).
При k = 1, Ху = 4, S = 6; при k = 2, х2 = 14, S =у 84 и т. д.
По этим данным из последней формулы вытекает следующее соотношение:
xk = 4хЛ_1 — Хк.2.
При k = 3, х8 = 52, S = 1170; при k = 4,ч х4 = 194, S — 16 296
и т. д. Задача имеет бесчисленное множество решений.
795. Указание. Пусть АВ = а10, АС = а5 (рис. 37). Сторона
АС — 2AD, т. е. удвоенной высоте треугольника АО В, у которого АО =
= OB = R, АВ = -у- (/5 — 1) (см. 3,
стр. 496). По этим данным находим:
а5 = -у V Ю — 2 /5" . (1)
Искомая площадь
5а6ОЕ ба5
2 - 2
Исключая R из соотношений (1)
и (2), получим результат.
Ответ. S=4-V<25+,0l/<5 ’
797. S=-|-K/5’-2 •
798. г — mfo-
799. Равнобедренный.
800. 5с = 4л — 3/3.
801. а=4Кб/3 л-
О
Задачи по планиметрии
361
802 Обозначая катеты прямоугольного треугольника через а и Ь,
гипотенузу через с, находим:
а2 + 62 = с-,
или
т. е.
/ а \2 . / b \2 / с \2
\~2“) \~2" / ~ \“2~) ’
/ а \2 / b \2 / с \2
л Л \~2/ = П \"2 / *
что и требовалось доказать.
803. Обозначим площади луночек
щади сегментов, заключенных между
и Ь прямоугольного треугольника
ЛВС, — через тип (рис. 38).
По предыдущей теореме имеем:
/ с \2 / а \2 , / b \2
Л\~2) =П\~2~) ’
т. е.
л / с \2 л/а\2 п/д\2
2\“2/ +~2\~Г) ’
Гиппократа через М и N, пло-
большим кругом и катетами а
л / с \2
Т \ Т / вычесть СУММУ
Если из площади большего полукруга
площадей сегментов т + п, получим площадь прямоугольного тре-
угольника АВС (обозначим ее через S).
Вычитая т + п из суммы площадей полукругов, построенных
на катетах,
Л ( а \2 . п ( Ь \2
Г\Т) ’
получим сумму площадей М + N.
Итак,
м + W = S,
что и требовалось доказать.
804. Имеем (рис. 39): АО = АОг AOt =
Рис. 39.
Z АОС = L
Площадь сектора О АС равна площади сектора
О1Л£>, т. е.
пл. Л ОАЕ + пл. ЛЕС = пл. Л OXED +
+ пл. АЕС + пл. ACD,
откуда пл. ACD = пл. Д АОЕ — пл. Л OlED.
362
Ответы и решения
Разность площадей двух треугольников, а следовательно, и пло-
щадь квадрата, равную этой разности, всегда можно построить с по-
мощью циркуля и линейки; плсщадь полученного квадрата и будет
равна площади криволинейного треугольника, что и требовалось до-
казать.
805. Обозначим радиус круга /?, сторону квадрата и сторону
равностороннего треугольника а8.
Следовательно,
откуда
л/?2 = —
а2 Из
4
а4 = R И л , а3 =
2R Ил
Отношение периметров
2л/? : 4а4 : Зая.
Ответ. Ил : 2 : ул27.
806. Искомая площадь равна площади ромба 0NCM без площади
сектора ONmMO (рис. 40). Ромб состоит из двух равносторонних тре-
С угольников со стороной г, а площадь сектора
А. равна -g- части площади круга; отсюда искомая
лА-Хм площадь
Л П В г2 ______
Ответ. S = -т- (3 Из — л).
Рис. 40. О
площадь Q равна площади равностороннего тре-
807. Искомая i
угольника АВС без утроенной площади сектора Апт (рис. 41). Если
обозначим радиус вписанной окружности
через г, тогда АВ = 2г, откуда:
Q =4-(2г)2 ИЗ — 3-4-лг2 = г2
4 о
л
~2
Вычислим г:а3=ОЛИЗ;
но
ОА = OD — AD = R —
отсюда
т. е.
2r = (R — г) ИЗ.
г= /?(2ИЗ -3),
Задачи по планиметрии
363
Подставив значение г в найденное выражение, находим:
Ответ. <? = ЗДа (7 -4 /з) (/З .
808. Обозначим искомый радиус круга /?. Легко понять, что
центры четырех касающихся кругов образуют квадрат со стороной 27?
и диагональю 2 (7? + г). Но сторона_квадрата равна радиусу описан-
ной окружности, умноженной на V2 •
<24 — 7?i V 2,
следовательно, __
27?=(7?+г)Г2,
откуда 7? = г (1 + V2).
Искомая площадь _
S = л (3 + 2 /2~) г2.
810. (?= -|-7?2 (з/з - л).
811. Обозначим ширину кольца г, радиусы данных кругов г.
Докажем, что z = г. В самом деле: площадь кольца
л (Зг + г)2 — л (Зг)2 = 7лг2,
или, после преобразования, получим:
г2 + бгг — 7г3 = 0,
откуда
г — г,
что и требовалось доказать.
812. Указание. Искомая площадь AFDHCB
$=я (^У • 4- - +DC2> • 4-=4 исг-(я*+DC*)]-,
но
АС = AD + DC,
AD-DC — BD2-,
следовательно, S = AD-DC— л (,
4 \ 2 /
813. 1) Можно рассматривать площадь кольца как среднее гео-
метрическое между площадью данного круга и площадью искомого
круга. Обозначим х — радиус меньшего круга; тогда:
л7?2 __ л (7?2 — х2)
г л (7?2 — х2) ~ лх2 ’
х2 + 7?х - 7?2 = 0, х1>2 = - -у- (1 ± /5’);
х2 —/?х-7?2 = 0, х3)4 =-^-(1 ± /Л-
364
Ответы и решения
Из четырех значений х достаточно взять положительные, при этом
х, = 4 (/5 - I) < R,
х; = 4 (К5 +!)>/?;
хг является решением задачи; х2*> R не является решением
задачи.
2) Можно рассматривать площадь искомого круга как среднее
геометрическое между площадью данного круга и площадью кольца:
л/?2 лх2
Лх2 л (R2 — х2) *
т. е. х4 + R2x2 - Я4 = 0.
Из четырех корней этого уравнения условию задачи удовлетворяет
один из корней
(^5-1)= -J).
Итак, длина найденного радиуса является средним геометрическим
между длиной радиуса данного круга R, длиной большего отрезка этого
радиуса, разделенного в крайнем и среднем отношении.
Ответ. Xi = -у (К5—1), х2 = К2 (/5 — 1).
§ 14. ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ
814. Обозначим ребро куба х, диагональ основания у; тогда у =
= х/2.
Площадь диагонального сечения
S = ху — х1 К 2,
откуда находим: ребро куба х = диагональ основания у - диагональ куба d = полная поверхность куба = объем куба V = i/s/2 \ 2 » = УS/2 ; т / 3S/2~ ; ]/ 2 = 3S /2 ;
Задачи по стереометрии
365
яИ Найдем длину диагонали основания d. Из равенства Q =
20
___находим d = -у-. Но квадрат диагонали квадрата равен удвоен-
ной^его площади, следовательно, площадь основания пирамиды
С 2<?2
а2 ’
поэтому ее объем
За
Ответ.
За
816. Данную задачу легче решать, приняв за основание пирамиды
одну из боковых граней, например ASB. Если обозначим 4S = х,
BS = у и CS = z, то искомый объем выразится так:
V- 1 ху хуг
3 ’ 2 6 •
Из прямоугольных треугольников BSC, ASC и ASB составим си-
стему уравнений:
у2 4- г2 = а2,
х2 4- г2 = Ь2,
х2 4- у2 — с2,
откуда
г = У~^(а2А-Ь2-с2) ,
//= ‘|/4(а3 + с2“*2) ’
х = V +с2 — ’
Ответ.
V = у (а2 + Ь2 — с2) (а2 + с3 — Ь2) (Ь2 + с2 - а2) .
817. Указание. По формуле Герона найти площадь тре-
угольника АВС:
S = -t- /а262 4- а2с2 4- Ь^.
Объем пирамиды
г/ abc ON-S
' V=~6~~ 3 ’
366
Ответы и решения
откуда
ON =
abc
j/"a262 + а2с2 62с2
что и требовалось доказать.
818. Обозначим SB = х, SC = у, SD = г.
Рассмотрим треугольник SBD", SM — медиана этого треуголь-
ника (см. № 715):
SM = 4" V2х2 + 2t/2 — ВО2 = 4~ К2х24- 222 — а2. (1)
Аналогично из треугольника SAC находим:
SM. = 4~ /2а2 4-2^2 —АС2 = 4" 2й‘2 + 2/ ~ За2> (2)
так как BD — а\ АС2 = 4а2 — BD2 = За2.
Из соотношений (1) и (2) находим:
у2 = х2 + z2,
что и требовалось доказать.
819. На рис. 42 дано сечение пирамиды по диагонали основания.
Из подобия треугольников OLC и OyLN! на-
ходим:
OL
ОС
ОгЬ ОгЛ\ ’ (1)
где OL = Н; OrL = Н — х; 0^ = -^= •
_______ V 2 ’
ОС — /а2 — Я2; NNX ~ х — ребро куба.
Подставляя эти значения в соотноше-
ние (1), получим
Н /а2 — №./2
Н—х
Ответ. х =
х
Я/2(а2 —Я2)
Я 4- /2 (а2— Я2)
820. Указание. Решение аналогично предыдущему.
Л 60 (6/2-5)
Ответ, х =-----т=----
47
а 1/” 2
821. Указание. Ребро куба х = ——
Л с 3 2 I/ а3 V 2
Ответ. S = — а2; V = —™—
4 32
Задачи по стереометрии
367
822. Указа ние. Развертка конуса представляет сектор, у ко-
тового радиус равен образующей конуса I, а длина дуги равна длине
окружности основания конуса 2nR (где R — радиус основания конуса)
Поэтому
л/-36
~180~
= 2л/?,
отеуда / = 10R.
Боковая поверхность конуса
S = jiRI = Юл/?2,
откуда
Высота конуса
Н = //2 - /?2 = R /99;
Ответ.
И/ 1,1s3
10 Г л •
V =
823. Обозначая длину образующей конуса и его радиус основа-
ния соответственно через I и г, составим, согласно условию задачи,
равенство:
nrl = 2лга,
откуда
1 = 2г,
т. е. осевое сечение конуса есть равносторонний треугольник^
Развертка конуса — это круговой сектор с радиусом, равнцм J,
и длиной дуги, равной 2лг. Обозначая угол развертки a, составит
равенство:
л/а _
----= 2лг
180° ’
откуда
2г-180*
а- —
= 180°,
так как I = 2г.
Ответ, а = 180°.
824. Объем тела вращения равен сумме объемов двух конусов:
9
Ут = — nR2H,
О
368
Ответы и решения
где
следовательно,
VT = ла3.
4
_ х, ла3
Ответ. VT = .
4
825. См. предыдущую задачу здесь R = b\ Н = "ту") •
Ответ. VT——~nab2.
О
826. Обозначим высоты треугольника ha, hb и hc, объемы тел,
получаемых от вращения треугольника вокруг сторон а, b и с, соответ-
ственно через Va, Уь и Vc.
При вращении треугольника вокруг любой из сторон объем будет
равен сумме (или разности) объемов двух конусов и выразится следу-
ющими равенствами:
1'а = -^-nh2a-a-,
Обозначая площадь данного треугольника буквой S, составим
равенства:
aha = bhb — chc = 2S.
Сделав соответствующую замену, находим:
2
Va = —Y*
0
2
l/f, = -х- nShb',
О
vc = 4- nShc.
О
Отсюда искомые отношения:
Va : Vb : Vc = ha : hb : hc.
Принимая во внимание, что в каждом треугольнике высоты об-
ратно пропорциональны их сторонам, находим:
Задачи по стереометрии
369
827. Объем тела вращения вокруг стороны а равен сумме или раз-
сти объемов двух конусов, у которых радиусом основания служит ha
и°высотой а; поэтому:
-L nah?a = -у- nR3,
или
ah2a--=4R3. (1)
Обозначим площадь треугольника АВС через
Из соотношений (1) и (2) находим:
S2
а рз ' (3)
Аналогично выразим две другие стороны треугольника АВС через S.
Имеем:
S2
С = ?Г. (5)
Вычислим S2 по формуле:
S2 = р (р — а) (р — Ь) (р — с).
Но
1 , , . , . S2 / 1 ,1 1 \
Р~ 2 (а+ 6 + с)- + +
__ S2 / J J 1 \
Р а 2 \ г3 ' р3 /?3 ) ’
. _ S2 / 1 I 1 \
Р 2 \ R3 + р3 г3 ) ’
S2 / 1 1 1 \
Р С 2 R3'+ г3 р3 )’
Перемножая почленно эти равенства и упрощая, получим:
370
Ответы и решения
или
где k
J_\
Р3 /
S2 = 2
1 \ / 1 J_______________[ \
R3 ) \ R3 + р3 г3) х
Подставляя значение S2 в формулы (3), (4) и (5), находим стороны
искомого треугольника:
если задача имеет решение.
828. Решение 1-е. Допустим, что правильный шестиуголь-
ник ABCDEF вращается вокруг стороны АВ. Искомая поверхность
тела вращения равна сумме боковых поверхностей: цилиндра с обра-
зующей DE, двух усеченных конусов с образующими CD и EF, двух
конусов с образующими ВС и AF.
Пусть BD — d; тогда NC = d.
Искомая поверхность тела вращения
а-^ 2л, а = 6 л ad — 6 К Зла2,
где d — а]/~3 как диаметр вписанного в шестиугольник круга.
Объем тела вращения равен объему цилиндра с радиусом d и вы-
о g, . d
сотой а плюс объемы двух усеченных конусов, радиусы которых d и —
а , , d „ а
и высота -у без двух объемов конусов с радиусом -у и высотой -у.
I/ j, , 2 / ,, , . d , d2 \ а
V = nad2 + ~ л {d2+ d ~2~ + -^)~2~~
2 a d2 9
3 2 4 ~ 2
ла3.
Решение 2-е. Задачи такого типа можно решать, применяя
следующие две теоремы Гульдина:
1) поверхность тела, полученного при вращении дуги данной
плоской кривой (плоской ломаной) вокруг некоторой оси, лежащей в ее
плоскости и не пересекающей ее, равняется произведению длины вра-
щающейся дуги (ломаной) на длину пути описанного при этом враще-
нии центром тяжести дуги;
Задачи по стереометрии
371
2) объем тела, получаемого при вращении плоской фигуры вокруг
которой оси, лежащей в ее плоскости и нс пересекающей ее, равен
Нпоизведению площади вращающейся фигуры на длину пути, описан-
ого при вращении ее центра тяжести (доказать самостоятельно).
Н Центр тяжести вращающегося шестиугольника совпадает с его
центром; длина пути, описываемого центром тяжести при вращении
вокруг стороны АВ, равна
2л--^-^- = ла /З.
Искомая поверхность тела вращения, по первой теореме Гульдина,
S = 6а- ла УЗ= 6 /3 ла2,
искомый объем тела вращения, по второй теореме Гульдина,
Г = -|-а2 КЗ п°3-
Ответ. S = 6 V3 ла2; V = ла3.
829. Vt == ла3; Гт : Гщ == 3 : 4.
830. Поверхность тела вращения состоит из суммы боковых по-
верхностей двух равных усеченных конусов и двух равных внутренних
конусов.
Радиус большего основания усеченного конуса равен большей
диагонали ромба:
R = 2 а?= а /3?
Радиус меньшего основания усеченного конуса и внутреннего
конуса
_ R _ а КЗ
Г ~ 2 “ 2 *
Образующие конусов равны а.
Отсюда искомая поверхность тела вращения
S = 4ла2 /3.
Искомый объем тела вращения
Т» 3 о
V = — гео3.
Решение 2-е. Центр тяжести вращающегося ромба находится
в точке пересечения диагоналей: длина пути, описываемая центром
тяжести, равна
2л • — = ла КЗ.
At
372
Ответы и решения
Искомая поверхность и объем тела вращения (см. № 828):
S = 4а- па /3 = 4 /3 па2,
.. а2 /3 .уг 3 »
V — —х— па V 3 = -н- па3.
£ £
Ответ. S = 4 ]ЛЗ ла2, V — — па3.
831. Указание. По первой теореме Гульдина поверхность
тела вращения (см. № 828)
S — 6а- 2па = 12па2.
По второй теореме Гульдина объем тела вращения
V = а2/У -2ла = 3 /3 ла3.
Ответ. S = 12ла2, V = 3 КЗ ла3.
оЧ9 о 4л (а-(-(>) ^ v_ 2ла262
OoZ. О — ------" -------— • V — --------z
833. Указание. Обозначим стороны параллелограмма а и Ь,
соответствующие высоты — h и hlt V и — объемы тел, полученных
при вращении параллелограмма соответственно около сторон а и Ь,
V — nah2, . Vj = nbhp
По условию ah = bhx, поэтому
V _ ah2 _ h _ b
У7~~ЬЬ2=~^~~'
л V h b
Ответ, -тт- = -r- = —.
hy a
834. Искомая поверхность тела вращения равна сумме поверх-
ности усеченного конуса и боковой поверхности внутреннего конуса
без площади основания последнего.
Радиус нижнего основания усеченного конуса R — а, радиус его
верхнего основания
г = b + = Ц- (а + Ь),
радиус основания внутреннего конуса
1 ,
И = "2-(а— Ь),
образующие конусов равны о.
Задачи по стереометрии
373
Отсюда поверхность тела вращения
ST = л (R 4- г) 14- л/?2 4- nf2 + — nri =
= л (2ас 4- а2 4- ab) = ла (а 4- b 4- 2с).
838. 7?т =
сК2
/?о=-Г-« Г =
25 4- Н .
10
а Кб _
~4 ’ Г~
а Кб
~6~~;
«Кб . о 1Л5- а
—jy-; /?r = oV3, г =
Яд=~ /184-бКГ,
а
Г ~~2
/?и =
/10 4- 2 Кб,
^-Кзх
2 ’
X
х(з + К5).
839. Sr = a2K3, Sr = 6а2, So = 2 КЗ а2, Зд = За2 X
X /25 4- 10 Кб, 5И = 5 КЗ а2.
840.
а3 КЗ
Уг = а3,
, а3
К ~ ~4~ Х
X /10 (47 4- 21 Кб), Уи = ~ •
841. Известно, что полные поверхности правильного тетраэдр^
и октаэдра соответственно равны (см. № 839):
a2 V3 и 2КЗа?;
по условию *
а2 КЗ* = 2 КЗ а2; а2 = 2aJ,
откуда
а = К2а-.
Объемы тетраэдра и октаэдра соответственно равны (см. № 840):
У = - а3У2 ., 12 " а?К2 3
отношение этих объемов
1/ a3 К2 а3 К2
7 Iх 1 4й| К2 4й| 2
Ответ. У : У1 = К^: 2.
374
Ответы и решения
842. Указание. Радиус вписанного шара (см. № 838)
а/б
6
л с 2 I/ я Кб а3
Ответ. S = — ла2, V =--------------——
о Z (
843. Рассмотрим один правильный тетраэдр (рис. 43).
Высота тетраэдра
DO = Н = V AD2 — АО2 = 1/а2 —
F о о
Рис. 43.
где АО = R = •
1<3 ’
Г-Г а
EFss— = -2-
Из подобия треугольников
EDF и EiDFi имеем:
— DE
E^i DE± 3 2
EF DF ~ DE ~ 3 ’
откуда
£Л = -|-£5 = “ t
следовательно, площадь основа-
ния призмы
Из подобия треугольников DOE и Е^КЕ имеем:
—— DE
ЕгК ЕгЕ 3 1
Н “ DE ~ DE ~ 3 ’
откуда
Е1К = -уН=-^-
Высота вписанной призмы
/71 = 2Е1/< =
2а/6
9
Задачи по стереометрии
375
Объем вписанной призмы
а2/з“ 2а/б" __ а3/2
V ~ 36 ’ 9 54
/2 ,
Ответ. V— "5Д-а •
844.
6
845. Указание,
шара (см. № 838)
Радиус вписанного в правильный икосаэдр
а /3 (3 + /5 )
~ 12
Объем вписанного шара
V - ± л+ = я°3 /3(3+ /5-)3
3 432
Объем
правильного икосаэдра (см. № 840)
5а3 (3 4-/5)
V'h 12
Ответ.
Уи 15/3 (7—3/5)
Уш 2 л
846. Опишем произвольный многогранник вокруг данного шара
радиуса 7? и разложим его на пирамиды, взяв вершины всех этих пира-
мид в центре шара. Объем каждой такой пирамиды равен площади
грани многогранника (основания пирамиды), умноженной на треть
радиуса /?. Объем описанного многогранника равен
У = £•—
3 ’
где S — площадь поверхности описанного многогранника.
Из последнего соотношения находим, что
_У__ А
S “ 3 ’
что и требовалось доказать.
Ответ. V : S = Я : 3.
847. Указание. Обозначая ребро правильного октаэдра а,
находим, что радиус описанного шара (см. № 838)
2
376
Ответы и решения
Поверхность описанного шара
Q — 4 л/?2 = 2 ла2.
Поверхность правильного октаэдра (см. № 839)
S = 2а2 )Лз.
Исключая из последних двух соотношений а2, находим
S = ^-
л
Ответ. S = —----.
л
848. =
54
849. Указание,
через радиус шара, получим:
ла2
s = -3-
Выразив полную поверхность и объем конуса
SK — 8л/?2; VK = л/?3.
850. Указание. Отношение площадей оснований усеченного
конуса известно; обозначая через /?г и г радиусы большего и меньшего
оснований конуса, находим:
/??
-± = 2, /?! = г К 2.
Образующая усеченного конуса (используя свойство сторон описан
ного четырехугольника) равна Rx-\- г — г (К 2+ 1); высота конуса 2/?;
проекция образующей на основание конуса
равна
откуда
/?1 - г = г (К 2 - 1).
Следовательно,
~ 2
°)
Рис. 44.
сбъем конуса будет
основания и высоту
Ответ. V == (3 V 2 + 2).
и
851. Если произвольно описывать конусы
около шара, то заметим, что объемы их за-
висят от высоты и радиуса основания; суще-
ствуют такие значения этих величин, когда
наименьшим. Обозначим через /? и Н радиус
конуса; тогда искомый объем конуса (рис. 44)
л/?2//
3
Задачи по стереометрии
377
Из подобия треугольников АВОХ и D ВО находим:
Я Н
г 2г) ’
откуда
R2 =
г2Н
Н — 2г'
л г2 И2 яг2 И2
Следовательно, V------_gr = —g- • '
Наименьшее значение V соответствует наименьшему значению
02
-— или наибольшему значению обратного выражения.
Н 2г
Преобразуем обратное выражение так:
/ 2r \ _ 1 2г / 2г \
V Н ) ~ 2г ' И ' \ Н )'
будет наибольшим, когда сомножители -гт-
п
собой (см. № 703), т. е.
2г___ 2г
Н ~ Н’
Н—2r _ 1
Н2 И
Данное выражение
. 2г
и 1---равны между
п
откуда Н = 4г — 2 (2г).
Итак, описанный вокруг шара конус имеет наименьший объем,
когда его высота равна удвоенному диаметру шара.
Ответ.
8 3
V = — яг3.
О
852. Обозначим через г и h соответственно радиус и высоту вписан-
ного цилиндра. Тогда объем искомого цилиндра
V = яг2 А.
Из треугольника A00t (рис. 45) нахо-
дим:
А2
R2 = г2 + 4-,
4
откуда h = 2 /Я2 - г2;
следовательно,
V = 2лг2 V R2 — г2.
Если сделать следующие преобразования:
_LV
2л )
= 4- -г2
4
*•2
4- (R2-r2),
£
4
378
Ответы и решения
то увидим, что сумма трех сомножителей постоянна и равна /?2 по-
этому (см. № 703) объем V принимает наибольшее значение, если
/•2
откуда
_ /?/б .. 4л/?3
Ответ, г = —-—; V = —-р=.
з з з
853. f,
854. Указание. Составив систему уравнений
у = Л(/?2 + г2 + /?г)Л
О
<1
/п2 = (/? -}- г) Л
и решив ее, находим искомые радиусы R и г.
Ответ. R —
— Л/П4)У
л /*
855. Обозначим: Н — искомая высота конуса, I — образующая
конуса, г — радиус основания конуса.
По условию задачи
лг1 — Злг2,
откуда
/= Зг.
По теореме Пифагора
Н2 + г2 = I2,
или
Н2 + г2 = 9г2,
т. е.
Я2
г2 = _8"-
В данном случае объемы металлического шара и металлического
конуса равновелики, т. е.
4 1
— л/?3 = 4- лг2Н.
О о
Задачи по стереометрии
379
Заменяя г2, его значением, имеем:
4/?з = -|-Я3,
О
откуда искомая высота конуса
Н = 2 ^iR.
856. Обозначая через г, I и Н соответственно радиус основания,
образующую и высоту конуса, имеем:
nrl = 60. (1)
Вычислим полную поверхность конуса (т. е. площадь треуголь-
ника по трем сторонам):
S = /21 (21 — 15) (21 — 14) (21 — 13) = 84,
поэтому
лг2 + 60 = 84,
откуда
следовательно, из соотношений (1) и (2) находим:
₽=-!£. (3)
Кроме того,
Н2= I2 — г2,
откуда, учитывая соотношения (2) и (3), получим:
Обозначая искомый радиус шара R, находим соотношение:
4- nR3 = л г3#,
О о
т. е.
126 п6/36-126
л ’ К ~ V лз ’
Прологарифмируем это выражение:
1g 36 = 0,2594;
1g 126 = 0,3501;
-i-colg л = 1,7516;
Ответ. R « 2,3 м.
lg R = 0,3611.
380
Ответы и решения
857. Обозначая через R и г соответственно радиусы основания
конуса и шара, имеем:
R : г — п, R = nr, VK : Уш = т, Кк = тУш’,
1 4
или — nR2H = т— лг3,
о о
п2г2Н — 4тг3,
откуда
R =
Г ~ 4/77 ’ — 4/77
Кроме того,
/2 = Н2 + R2
т. е. длина образующей
I = -Д- V 16/772 П«
4/77
Из подобия треугольников (ДЛ-DS со Д/COS) находим (рис. 46):
OS г
I ~ R’
отсюда искомое расстояние
OS =
rl
~R~‘
Ответ. OS — — j/" 16.7?2 -j- л6.
4/77/7
858. На рис. 46 изображено осевое сечение конуса с данным шаром
радиуса г и уровнем воды в конусе Л В. Треугольник ABS равносторон-
ний, следовательно.
Этот объем воды имеет форму конуса и после удаления шара,
поэтому полученный конус будет подобен первоначальному. Но объемы
подобных конусов относятся, как кубы их высот или радиусов. Обозна-
чая искомую высоту конуса h., имеем:
V' : VK = Л3 : DS3,
т. е.
Д лг3 ; Злг3 = Л3 : 27г3,
О
Задачи по стереометрии
381
откуда искомая высота конуса
h = г р/~Г5.
859. Указание. Объем шара V = д-11''3* Определить перво-
начальный объем воды в конусе Ух. Из подобия треугольников BOS
и DOiS (рис. 47) находим:
R Н'
jirfh
Vx= —
Объем воды после погружения в нее
шара:
Rh
Н '
л/?2/г3
= ~31Р~‘
ш- (1)
Обозначая искомую высоту O2S = х,
радиус 02F — из подобия треугольни-
ков BOS и F02S находим:
г2 _ х _ Rx
~7Г~~Н~’ Гй~~Н~'
О,
4
S
Рис. 47.
V - Я ,2„ Л#2*3
3 2 ~ ЗЯ2 •
Если в соотношении (1) V, Vx и Уш заменить их значениями, по-
лучим уравнение, из которого, после очевидных преобразований, на-
ходим искомую высоту.
_3/ 4Я2г3
Ответ, х — Т/ /г3 ----.
Г К*
860. Обозначим через R, I и Н соответственно
радиус основания, образующую и высоту конуса^
(рис. 48). ' ’
По условию
nR (/? + /) — 4лг2-/г. (1)
Кроме того (рис. 48),
рис. 48 Н2 = /2 _ R2 ф
Из подобия треугольников BCS и ODS находим:
н
г ~ 1-R-
Учитывая соотношение (2), получим:
R _ ]/~ /2 — R2
г ~ 1-R
1 + R
I — FT
382
Ответы и решения
и, освобождаясь оф радикала, напишем производную пропорцию
tf2-f-r2 _ i
R2—r2 ~ R'
Заменяя в последнем соотношении из равенства (1) значение
4r2ft — Я2
R
(4)
получим
Я2 Г2 _ 4r2ft — Я2
Я2—Г2 - £2
ИЛИ
откуда
R* — 2r2kR2 + 2r*k = О,
R2 = г2 (k± /ft2 — 2ft).
(5)
Следовательно, из соотношений (2), (4) и (5) находим:
Н2 = 4г2 (ft т /ft2 — 2ft)2.
Ответ. Н = 2r (ft + /ft2 — 2ft).
861. На рис. 49 дан разрез осевого сечения конуса и шаров. Объемы
двух шаров относятся, как кубы их радиусов, поэтому, обозначая радиус
большего шара R, имеем:
•з I
R3 ~ 8 ’
откуда
R = 2r.
Рассматривая треугольник BOM, находим,
что есть его средняя линия, откуда следует,
что ВОг = OtO — Зг, а вся высота конуса Н = 8г.
Из подобия треугольников BDC и ВО^
находим:
DC OiN
ВС ~ BOi ’
ф. е.
1 =
I ~ 8г'
где = DC; I — ВС.
Задачи по стереометрии
383
Но ?-/?’=№,
R?=8r2.
Боковая поверхность конуса
S = jiR^ = 24лга.
Объем конуса К=—
Ответ. S = 24лг2, V = —4^—.
862. 4nRr.
863. Указание. Из прямоугольного
(рис. 50) вычислим высоту цилиндра:
Н = /4 А?2 — Я2 = /? / 3.
Высота сегмента
й = 2^«=4(2_кз).
Радиусы оснований цилиндра и сегмента
треугольника ADC
Рис. 50.
Искомый объем оставшейся части шара равен:
V» Уш - (2VC + Иц),
т. е.
_ лД3 / з
2
1/”3
Ответ. V = — л/?3.
*
864. Обозначим искомое расстояние 00 r = x<&R. Из треуголь-
ника АОгО (рис. 51) имеем:
АО2 = R2- х2-
Площадь основания пирамиды
Q =2AO2 = 2(R2— ?).
Сторона основания пирамиды
а = f~Q = V 2 (/?2 - х“).
Апофема
i=0£ =
384
Ответы и решения
Полная поверхность пирамиды
2aZ 4* Q = 4/п-
или
.------------1 Г /?2 I х2
2 V 2 (У?2 — х2) |/ — Т_Л_ _|_ 2 (Я2 — Х2} = 4/712,
К#4 -х4 + R2 — х2 = 2/п2,
т. е.
х4 4- (2/п3 — R2) х2 4* 2/п2 (/п3 — R2) — 0, (1)
или
г2 4- (2/п2 — R2) г 4- 2/п2 (/п2 — R2} = 0, (2)
где z = х2. .
Исследование. 1. Если /п2 >> Я2, то левая часть уравне-
ния (1) положительна при любом х, следовательно, задача решения
не имеет.
2. Если т2 = R2, то х = 0, т. е. искомая плоскость сечения про
ходит через центр шара.
3. Если т2 <* R2, то уравнение (2) имеет два корня противополож-
ных знаков: << 0 и z2>- 0. Следовательно, имеем одно решение
задачи: х = V г2.
865. V = 370 см3.
866. Обозначим: искомый угол—а, высота — h, радиус основа-
ния — г, образующая — I. Имеем:
h
tga = —
Полная поверхность конуса, по условию, равна удвоенной пло-
щади осевого сечения цилиндра, поэтому
л (г 4- /' г = 2« 2rh,
т. е.
л (г 4- 1) — 4h.
Кроме того, 1= V г2 4- И2.
Из последних двух соотношений находим:
4Я — лг = л К г2 4- h2,
или
h (16 — л2) = 8л/,
откуда
h _ 8л
г ~ 16 — Л2 ’
1. е.
8л
tg а = —гт-----
Б 16 — л2
л х 8л
Ответ, а = arctg 16_„a-
Задачи по стереометрии
385
867. 60°.
868. Указание. Составить три соотношения:
S = nr (I 4- г).
, и = ЛГ2Л(
о
I = Кл2 + Г2.
Исключая из этих соотношений h и I, находим биквадратное урав-
НеНИе 25лта — S2r2 + 9V2 = 0.
Ответ. /’1,2=“^*
869. V = 1,4 л3.
870. S = 100л; I _ .
3 А
871. На рис. 52 изображено осевое сечение
конуса. Если отрезок SC делится в крайнем и
среднем отношении, ТО Рис. 52.
=-^| ; OS2=SCOC.
Имеем:
4 4 4
1/ш=4- лО83 =4- nOS2-OS =4-nSC-OC OS;
О О о
vk = 4--4C2-sc = -4-°c-os-sc;
о о
так как из треугольника ДОС
АС2 = ДО2 — ОС2 = OS'2 — ОС2 = SC- ОС -
— ОС2 = ОС (SC — ОС) = ОС- OS,
Рис. 53.
В» С. Кущенко
то, следовательно.
Ответ. 4.
—.4
Ук
872. На рис. 53 дано
центральное сечение тора и
шара, лежащего на нем и ка-
сающегося стола в точке А
Обозначая радиус шара R.
по условию
S = 4л/?2
откуда
286
Ответы и решения
Центр тяжести вращающегося круга радиуса г совпадает с его
центром; длина пути, описываемого центром тяжести круга при враще.
нии вокруг оси ОХА, равна
2л• ОС = 2л VО, О2 — О£2 =
= 2л К(7? + г)2 — (Р — г)2 = 4л VRr.
Искомая поверхность тора, по первой теореме Гульдина (см.
№ 828),
ST = 2лг« 4л V Rr = 8л2г V Rr
Искомый объем тора, по второй теореме Гульдина,
Ут = лг2* 4л VRr = 4л2г2 КRr.
Ответ. ST = 8л2г К Rr-, VT — 4л2г2 У Rr,
где
873. Указание. Поверхность шара
(2Я)2 л = S; 2R = .
Боковая поверхность усеченного
конуса (рис. 54)
SK= л (ND+ MCpCD =
= л (DF+ FC)- CD = л- СО2.
Но CD2 = (2Р)2 — LD2 = (2R)2 -
CD2
4 ’
4 4^
откуда CD2 = -у- (2Р)2 = —
О иЛ
4
следовательно, SK = — S.
О
4
Ответ. SK=-yS.
О
874. Указание. Обозначим радиус шара — 7?, ребро куба —
а, плотность железа и меди — Рх и Р2.
Имеем:
2
ул/?3 =
О
Q
Pl + Р2
откуда радиус шара и вес тела соответственно равны:
____3Q
2л (Рх Рг)
2
Q = 4 л7?3 (Рх + Р2).
О
Задачи по стереометрии
387
ребро и объем куба:
2R
а —
rfl —___* •
/з” “ЗлСЛ + Рг)’
вес куба и опилок;
Зл
Q (Зл — 2 /3)
Ответ.
875. г =
Зл
Л 1 — 2d
2(di —d) •
Часть III
ТРИГОНОМЕТРИЯ
§ 15. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
876. 0,029. t '
877. .
879. Имеем:
ctg2 а 4- tg2 а + -тД-1--— = 7,
Б sin2 а cos2 а
cos4 а + sin4 а + 1 = 7 sin2 а cos2 а,
или
(cos2 а + sin2 а)2 +1 — 2 sin2 а cos2 а = 7 sin2 а cos2 а,
2=9 sin2 а cos2 а,
9
2 — — sin2 2а,
откуда
g
sin2 2а = — .
Ответ. — .
880. Имеем:
t х , sin2 а 4- cos2 а —a sin а cos а
tg2 а — а tg а 4- 1 =---------------------------------= О,
ь cos2 а
т. е.
откуда
1 — а sin а cos а = О,
• о 2
sm 2а = —
а
(а>0).
Следовательно,
cos 2а =
]/" а2 — 4 л
Ответ, cos 2а = -------------, так как 2а<Г -тг
а 2
Тождественные преобразования
389
881. Имеем:
3 sin а 4~ cos а _ cos а (3 tg а 4- 1)
cos а — 3 sin а ~ cos а (1 — 3 tg а)
— 21 + 1 Ю
1 -1-21 ~ 11 ‘
10
Ответ. —ц- •
882. Из соотношения sin2 а 4* cos2 а = 1 находим:
sin4 а cos4 а = 1 — 2 sin2 а cos2 а.
Кроме того,
(sin а 4- cos а)2 = а2,
откуда
а2 — 1
sin а cos а = —.
Следовательно,
sin4 а 4- cos4 а = 1 — 2
а2 _ 1 \2 1
=4-12а2-а4+1).
Ответ, -i- (2а2 — а4 4~ 1).
&
883. Имеем:
cos2 (а 4" Р) [a tg2 (а 4- Р) + 6 tg (а 4- Р) + с] =
Г+ tg*(<x+l» 'tg’ <“+₽> + ь «<“ + ₽)+ С1 = с-
так как по формулам Виета
tg « 4- tg Р = - 4;
и
tgatgP=-y;
ta (а 4- 8) - tga+ tgp _ b
g ( 4- P) j — tg a tg p c —
Ответ, о.
390
Ответы и решения
884. Указание. Имеем:
cos (a + ft) =----------—-
1 + tg2 -4
2 ^2
sin (а + р)= -
2
2
По условию задачи
sin а -}- sin ft _
cos а 4- cos ft “
o . a-|- ft a —ft
2 sm —cos —
£ £ J
~ a + ft a — ft —
2 cos —cos —
+ ft „ a
2 b •
Заменяя значение tg —в соотношениях (1) согласно равенству
(2),,находим то, что требовалось доказать.
885. Обозначим:
Тогда
a — tga,
Ъ = tg ft,
с= tg у.
а — b tg а — tg ft , .
1 4* ab ~ 1 + tg a tg ft ~ а Р ’
Аналогично
т+£ = ‘«(₽-v).
с— а ,
—------= tg (у — а).
14- ас s '
Итак, сумма трех заданных дробей эквивалентна сумме
tg (« — ₽)+ tg (ft — у) + tg (у — a).
Но сумма трех тангенсов, в том случае, когда сумма их аргументов
равна нулю (что имеет место в данном случае), равна произведению
этих же тангенсов. Что и требовалось доказать (см. № 948).
Тождественные преобразования
391
888. Имеем:
1 = -i- sin 2а (cos 2а — cos 4а) —
£
= sin 2а cos 2а----------sin 2а cos 4а =
z &
1 . . 1 . - , 1 . Q
= -y- sin 4а-----— sm 6а -4- — sm 2а.
4 4 1 4
Полученное равенство невозможно, так как
1 . . 1 . „ , 1 . _
-т- sm 4а-------г- sin 6а + — sm 2а
4 4 4
1 3
sin 4а | 4- | sin 6а | 4-1 sin 2а ,
что и требовалось доказать.
_ Л _ л
889. Из неравенства 0 << а — следует, что
поэтому
Легко заметить, что
а> sin а,
а sin а > sin3 а.
cos а > cos3 а.
Складывая почленно два последних неравенства, находим:
cos а 4- а sin а > 1,
что и требовалось доказать.
890 1 । 1______sin4 а 4- cos* а
cos4 а ' sin4а ~ cos4 а sin4 а
(sin2 а 4- cos2 а)2 — 2 sin3 а cos2 а
cos4 а sin4 а
1 —sin2 2а
cos4 а sin4 а
8 (1 4- cos2 2а) 8
~ sin4 2а sin42а
что и требовалось доказать.
392
Ответы и решения
. (' 7л\21
+ ( 1 — cos—1
‘ ( л
4 — 2 I cos -3-
\ О
Зя
Т
. ,5л , ,, 7 л
+ COS2 -Т- + cos2 —
о о
( л Зл _ л л \ ,
2 cos — cos -3- Н- 2 cos — cos -^ ) +
z о Z о J
] /. л Зл 5л* * 7 л
+ у (4 + cos— + cos — + cos + cos
Л Зл л
4 4- 2 cos л cos -г*- 4- 2 cos л cos —
4 4
4 4 2 -J- cos л
3 л л
COS -г- 4- cos —
4 4
3 1 л л 3
T-TC0STC0ST= 2
Ответ. 1,5.
892. А .
893. 1.
(л \
"п---а )
ог,ч. 2 / ! tg(n —a) cosa
sin a cosec а
sin а tg а cos а
sin а cosec а
1 — sin2 а — cos2 а.
2
4
2
4
Ответ, cos2 а.
895. Имеем:
. , . • о cos а , „ , . sin а
sin2 а 4- sin2 а—_------к cos2 а -4 cos2 а--------
sin а cos а
“ К sin2 а + 2 sin а cos а + cos2 а =
= V(sin а 4- cos а)2 = —(sin а + cos а),
так как в третьем квадранте sin a 0 и cos а <\ U.
Тождественные преобразования
393
896. sin a sin а 4“ cos а sin а — cos а sin а — ctg а tg а =
= sin3 а — 1 = —cos2 а.
Ответ. —-cos3 ct.
(—sin а) ( — ctg а) tg а (—1) (—sin а) -1 __
В9?* cosa(—1) (—cos а) ~
= tg а + tg a = 2 tg a.
Ответ. 2 tg a.
sin2 a cos2 a cos2 a
tg2a ctg2 a 5 5 sin2 a
= cos3 a 4- sin2 a — tg2 a 4“ 2 = 3 — tg2 a.
Ответ. 3 — tg2 ct.
(1 4- cos 2a) 4- (cos 3a -|- cos a) _
(1 4- cos 2a) 4- cos a — 1 ~
_ 2 cos2 a 4- 2 cos 2a cos a
~ cos 2a 4- cos a ~
2 cos a (cos a 4- cos 2a) _
=----------—:—Цч--------- = 2 cos a.
cos a 4- cos 2a
Ответ. 2 cos a.
900. tg2 a 4" sec2 0 — sec2 a — 14“ 1 4“ tg3 0 = tg2 0 4- sec2 a.
9Q2 (1 — cos 2a) 4- sin 2a _ 2 sin2 a 4- 2 sin a cos a _
(1 4- cos 2a) 4- sin 2a ~ 2 cos2 a 4- 2 sin a cos a —
_ 2 sin a (sin a 4- cos a)
— 2 cos a (cos a 4- sin a) ~
903 1 Д-2 cos ?a sin ?a — sin + sin __
sin 7a ~ sin 7a ~~
2 sin 10,5a cos 3,5a _ sin 10,5a
— 2 sin 3,5a cos 3,5a ~ sin 3,5a
904 1 — sin a cos a
/ 1 1 \ Л
cos a I------------:-----I
\ cos a sm a )
X__________________sin2 a — cos2 a____________________
(sin a 4- cos a) (sin2 a — sin a cos a 4- cos2 a) ~~
_ cos a sin a (1 — sin a cos a)
~ cos,ct(sin a — cos a)
(sin a 4-cos a) (sin a — cos a) _ .
X ---:----:-------r“7T----:--------? — Sin a,
(sm a 4- cos a) (1 — sm a cos a)
394
Ответы и решения
cos2 a cos2 fl sin2 а sin2 0 — cos2 а cos2 fl
sin2 а sin2 fl — sin2 a sin2 fl
_ (sin a sin fl 4- cos a cos fl) (sin a sin fl — cos a cos fl)
~~ sin2 a sin2 fl
_ cos (a 4- fl) cos (a — fl)
— sin2 a sin2 fl
. . „ / n \
. . 2- sin2 ( --а )
/л \ \ 4 J
906. tg21 -г— а ) =-----------------(- =
\ 4 / о , / л \
2 cos21 ----a I
\ 4 /
1 — cos 2 —---a ) . . o
____________\ 4 / _ 1 — sin 2а
~ 1+Cos2(±—а) ” 14-sin2a*
з(1 + tg2 -?-) 4- 10tg-y- sin-y-
907. —-----------—L-------;-— = 3 4- 10-------— x
sec2-^- cos-^-
Xcos2 = 3 4- 5-2 sin cos-^- = 3 4- 5 sin a.
908. У Казани e. Заменить каждое слагаемое разностью со-
ответствующих тангенсов.
909. sin a (1 4- tg a) 4- ^K(1 + tga) =
6 tga
(cos 2 CC \ 1
sin a 4- —;-I = (i 4- tg a) —:-=
sin a / b sm a
1
—:-----1---------= sec a 4- co sec a.
sm a ' cos a
910 sin2 a tg2 a 4- cos2 a 4- 2 sin a cos a tg a __
tga ~
_ sin2 a tg2 a 4- cos2 a -f- 2 sin2 a
~ tga “
_ sin2 a tg2 a 4- sin2a4. 1 __ sin2 a (tg2 a 4- 1) 4- 1
“ tg a tg”»
sin2 a sec2 a 4-1 tg2a4-l
-- -----—----!— = -s-—!— = tg a + cig a.
tg a tg a 6
911. Известно, что 2 sin- (45° —a) = 1 — sin 2a,
Тождественные преобразования
395
поэтому 1 — sjn 2а _______ (cos — Sjn ay,j_____CQS а — sin а
cos 2а ~ cos2 а — sin2 а — cos а + sin а
_ ct% а L _ ctg (45“ а).
ctg а + 1 5 '
912. Раскрыв скобки, получим
cos2 а + sin2 а — 2 sin а cos а _ 1 — sin 2а
cos2 а — sin2 а ~ cos 2а
-----х-------tg 2а = sec 2а — tg 2а.
cos 2а-------ь ь
913.
2 sin а — 2 sin а cos а 1 — cos а „а
---—----------------------—- - — ----------------------
2 sin а 2 sin а cos а 1 4- cos а ь 2
914.
1 - 1 _ cos а -|- sin а _
sin а I" cos а — sin а cos а ~
К2 cos (45° — а) 2 /2 cos (45° — а)
sin 2а
А/
sin 2а
915.
cos а , sin а
2
_____________________ —_________________________ — 2 co see 2а
sin а 1 cos a sin a cos a sin 2а
916.
sin2 а 4- cos2 а 2 sin а cos а _ (cos а 4- sin а):
cos а 4- sin а
cos а 4- sin а
= cos а + sin а = К2 cos ( ---------а
918.
* а о • а
tgj- 2 sm -s-
sec2 4*
2
а
cos-y
а а а
• cos2 -х- = 2 sin -у- cos -х- = sin а.
919.
_ 2 cos 2а __
sin 4а sin 2а — 2 sin 2а cos 2а sin 2а
2
cos 2а
1—cos2 2а sin3 2а о
=---------------------------= tg 2а
sin 2а cos 2а sin 2а cos 2а
920.
2 ctg а 2 cos а . „ o . . „
---------------------sm2 а = 2 sin a cos а = sin 2а.
cosec3 a sin а
396
Ответы и решения
2 sin -х- cos -х- 2 cos2 -н-
а ~ Г~а
sin -rr- 2 cos2 -н---------cos а
о . а а 2 2
2 sin -77- cos -7;--cos а------------
2 2 а
cos —
о , а
2 cos2 у
--------------------------- I 4- cos а.
а . . о а
cos2 -у -f- sin2 у
sin 2а 1________________1 4- sin 2а _ (sin а 4- cos а)2 _
cos2а Cos2а — cos 2а ” cos2 а — sin2а ~
_ cos а 4- sin а
~ cos а — sin а
___‘__i_ 2
923. ^а+1 cos2 а' _ (tga 4-I)2 —tg2a —3
tg a — 1 tg2 a — 1 tg2 a — 1
= 2(tga — 1) = 2
tg2 a — 1 tg a 4- 1
g24 ________cos 2a___________cos 2a sin2 a cos2 a _
cos2 a sin2 a ~ cos4a — sin4a ~
sin2 a cos2 a
cos 2a sin2 a cos2 a 1 . n
=----------------------— ---- ein vry
sin2 a
cos2 a
cos2 a
sin4 a
cos4 a
1 — cos2 a
1 — sin2 a
sin2 a
sin6 a
cos* a
= tg6 a.
927. Указание. cos3 a — sin3 a = (cos a — sin a) (1 4-
4- sin a cos a).
928. 2 [(sin2 a)3 4“ (cos2 a)3 ] — 3 (sin4 a 4- cos4 a) 4" 1 =
— 2 (sin2 a 4- cos2 a) (sin4 a — sin2 a cos2 a 4-
4- cos4 a) — 3 (sin4 a 4“ cos4 a) 4~ 1 = —(sin4 a 4-
4“ cos4 a 4- 2 sin2 a cos2 a) 4~ 1 =
= 1 — (sin2 a 4- cos2 a)2 — 0.
Тождественные преобразования
397
sin (а + Р) sin (а + Р) _ sin (a -j- fl)
cos (а 4- Р) cos а cos р ~ cos (а -f- 0)
cos (а -|- Р)
cos а cos р
= tg (а 4- р) х
cos а ^os Р — cos а cos р 4-sin а sin р _ _______
X-------------cosaeosp-------------= lg (а + ₽) tg « tg ₽.
930. 8 cos4 а = 2 (2 cos2 а)2 = 2 (1 4* cos 2а)2 = 2 + 4 cos 2а 4~
4- 2 cos2 2а = 2 4“ 4 cos 2а 4~ 1 4* cos 4а = 3 4~ 4 cos 2а 4- cos 4а
931. Заменяя 2 cos2 а = 1 4* cos 2а, находим:
1 4- cos 2а 4- cos а — 1 = cos 2а 4- cos а =* 2 cos cos ~.
Li £
932. sin 2а 4“ cos а — cos За = 2 sin a cos а 4- 2 sin 2а sin а =
= 2 sin a (cos а 4“ sin 2а) =
[/ JI
cos а — cos ( 4- 2а
933. 3 — tg2 a j = 3
1 . \/ 1 \
~7=- + tg a J l — tg a —
Кз й Д/з )
= 3 (tg 30° 4- tg a) (tg 30° - tg a) =
3 sin (30° 4~ a) sin (30° — a) _ 3 sin (30° 4- a) sin (30° — a)
cos2 30° cos2 a ~ 3 '
-7- cos2a
4
= 4 sin (30° 4- a) sin (30° — a) sec2 a.
934. 2t§ 2a 1 1 — tg2 2a . 1 = 1 4- tg2 2a
1 4- tg2 2a 14- tg2 2a ’ tg 2a (1 4- tg2 2a) tg 2a
_ 1 _ 1 — tg2 a
— tg 2a — 2 tg a
Q35 sin2 a 4- sin2 P — 2 cos (a — P) sin a sin P _
sin2 a sin2 P
(1 — cos 2a 4- 1 — cos 2P) — 2 cos (a — P) sin a sin P
sin2 a sin3 P ~
= 1 — cos (a 4- P) cos (a — P) — 2 cos (a — P) sin a sin P _
sin2 a sin2 p
398
Ответы и решения
_ 1 — cos (а — Р) [cos (а 4- Р) 4- cos (а — Р) — cos (а 4- ft)]
~ sin2 а sin2 р =
_ 1 — cos2 (а — Р) _ sin2 (а — Р)
sin2 а sin2 Р — sin2 а sin2 Р‘
936. Указание. Произведя сложение в левой части равен-
ства, найдем:
числитель
sin (Р — т) — sin (а — у) — sin (Р — а) =
о . Р —а Р + а — 2v о. Р —а Р —а
— 2 sin —к— cos -- 9---------2 sm — cos — =
£ Lt Lt Lt
. p—a. p — у . у—a
= 4 sin sm sm -4^—;
знаменатель
sin (a — P) sin (a — y) sin (P — y) — 8 sin X
_ a —P . a —y a — у . P — у P —Y
X cos —и-5- sin —x—1 cos —x—L sm 9 cos „ 9 T.
937. (1 + cos 2a) + (cos 4a + cos 6a) = 2 cos2a 4* 2 cos 5a X
X cos a = 2 cos a (cos a + cos 5a) = 4 cos a cos 2a cos 3a.
938. (sin 2a + sin 4a) — sin 2 (3a) =
= 2 sin 3a cos a — 2 sin^Sa cos 3a = 2 sin 3a (cos a —
— cos 3a) = 2 sin 3a* 2 sin 2a sin a = 4 sin a sin 2a sin 3a.
939 (sin a sin 5a) 4- 2 sin 3a _
(sin 3a 4- sin 7a) 4- 2 sin 5a *“
_ 2 sin 3a cos 2a 4- 2 sin 3a _ 2 sin 3a (cos 2a 4- 1) _ sin 3a
2 sin 5a cos 2a 4- 2 sin 5a — 2 sin 5a (cos 2a 4- 0 ~ sin 5a ‘
алл 9 a + P • 5 a ~ P 1 4- cos (a 4- P)
940. cos2 —- — sm2 —= —!--------------—
---1--cosja—P) _ i a cos = cos a cos p.
Тождественные преобразования 399
1 —1-1- sin - — 1 + 2 sin ос _
* “I sin а 1 — 1 4- sin а 1 4- sin а ~
sin ос
sf-4-4- sin П/ • ОЛО . X
\ 2 1 / _ 2 (sin 30 4- sin «) _
“ 1 4- sina — sin 90° 4- sin а ~
4 sin f 15° 4- cos ( 15° —
2 sin ( 45° -|- 'j cos f 45°-
\ " / \ " /
2 sin ( 15° 4- cos (15°------
cos2 (45°
942. (sin a 4- sin 0) — [sin (a 4- 0 4“ ?) — sin у ] =
«4-0 a — 0 «4-0 «4-04-2y
= 2 sm —- cos —~ — 2 sin —2* cos —~ ~
n • a 4- 0 / a — 0 a4-04-2y\
= 2 Sin - I COS ~ — COS --L-—— I =
. . a4-0. oc 4-у . 04-Y
= 4 sm —sm —1 sm .
2^ kS
943. Докажем данное тождество путем приведения его к тождеству
алгебраическому. Если обозначить tg a = а, то ctg a = —.
а
Имеем:
п а2 1 + а2 (а2 4-1) л2.
’ 14-а2 * 1 “ 1-1-а2 ’
а3
2 1 + а< а3 (1 + а4)
\ + ^Пй- = “-
а2
Итак, правая часть выражения равна левой части, что и требо-
валось доказать.
944. Имеем:
1 4- cos 2ст 1 — sin 2 (ос 4- 0) + cos2 р =
2 2
._. cos 2a sin 2 (a -J- В) Q Q /о । q । d
= — -----!— ----1—Л--12 -j- cos2 p = cos (2a + 0) cos p + cos2 p =
== cos p [cos (2a + P) + cos p ] = 2 cos a cos P cos (a + 0).
400
Ответы и решения
945. Имеем:
a) sin2 а 4* sin2 0 4" 2 sin а sin 0 (cos а cos 0 —
— sin a sin 0) » sin2 а 4" sin2 0 — 2 sin2 a sin2 0 4
+ 2 sin a cos a* sin 0 cos 0 = (sin2 a — sin2 a sin2 0) 4*
+ (sin2 0 — sin2 a sin2 0) + 2 sin a cos a* sin 0 cos 0 =
= sin2 a cos2 0 + 2 sin a cos 0* cos a sin 0 4"
4- cos2 a sin2 0 — (sin a cos 0 4" cos a sin 0)2 =
= sin2 (a + 0).
b) (1 — cos 2a 4- 1 — cos 20) -f- 2 sin a sin 0 cos (a 4 0) =
= 1-------(cos 2a cos 20) 4- 2 sin a sin 0 cos (a 4- 0) =
= 1 — cos (a 4“ 0) cos (a — 0) 4~ 2 sin a sin '0 cos (a 4* 0) =
= 1 — cos (a 4- 0) [cos (a — 0) — cos (a — 0)4" cos (a 4- 0) 1 —
— 1 — cos2 (a 4- 0) = sin2 (a 4- 0).
946. Докажем данное тождество методом математической индукции.
При п = 2 тождество очевидно:
tg a • tg 2a = — — — 2.
s tg a
Кроме того,
x-г/ । ix i tg (n 4 1) a — tg na
tg a = tg n 4- 1) a — na] = ° \ 7 <4—s-------,
Б 1 4 tg (n 4 1) a tg na ’
откуда
ж x / .ix tg (n 4 1) a — tg na
tgna tg (n4- l)a= —«J—T_2_----5-----1.
Прибавляя к заданному соотношению это выражение, находим:
tga tg 2a4-* • *4- tg (n — 1) a tg na 4- tg na tg (n 4" 1) a =
- „ j. tg (n4 l)a — tg na _ _
- tga "+ tga
= tg (П4 l)a-tg na _ n j =
tga
tg (n 4 1) a , ..
= ------------>'>+'>•
что и требовалось доказать.
ТЪяюдёвтвенные преобразования
401
1ЛИ
947, Имеем:
sin a cos р cos у + sin р cos а cos у 4- sin у cos а cos Р —
— sin [(а + Р)+ у]_________________________________________
~ " cos а cos р cos у
sin (а 4- Р) cos у 4- sin у cos а cos Р —
— sin (а + Р) cos у — cos (а 4- р) sin у _
= cos а cos р cos у “
(cos а cos Р — cos а cos р 4- sin а sin Р) sin у _
₽ cos а cos р cos у ~
sin а sin р sin у х к „
— £------------— = tg а tg Р tg у.
cos а cos р cos у ь г ь
948. а) Имеем: tg (а 4~ Р) = —tg у,
tg и + tg Р = _ Y
1 — tg а tg Р 8 у’
>ткуда tg а + tg Р + tg у = tg а tg Р tg у,
по и требовалось доказать.
949. Имеем:
К (sin а — cos а)а t 2 sin а cos а _ 1 4- 2 sin а cos а
sin2 а — cos2 а ' sin а 4- cos а ~ sin а 4- cos а
(sin а 4~ cos а)2
sin а 4- cos а
= sin а 4- cos а,
де sin а — cos а > 0.
950. Имеем:
sin а- = sin ^90*----= cos—-;
у ./ппо а+Р\ а+Р
sin -у- — sin I 90°-I = cos —.
Поэтому
о . а 4- Р « — Р,о. У У
2 sin —cos —x-t- 4- 2 sm — cos -у
£ & L L
V (
= 2 cos -у ( cos
4- sin = 2 cos X
а
COS ---y- 4- cos
ару
= 4 cos cos cos
Z £» £
402
Ответы и решения
951. sin (2а + 2в I sin 2у =
cos 2а cos 2ft cos 2у
_ sin (2а 4- 2ft) cos 2у -f- cos 2а cos 2ft sin 2y _
~ cos 2а cos 2ft cos 2y “
_ sin 2y (cos 2а cos 2ft — cos 2y) _
~ cos 2а cos 20 cos 2y ~
_ sin 2y (cos 2а cos 2ft — cos 2а cos 2ft 4~ sin 2а sin 2ft) __
— cos 2а cos 2ft cos 2y ~
= tg 2а tg 2ft tg 2y,
где sin (2а 4- 2ft) = sin (360° — 2?) = —sin 2y, •
cos 2y = cos (2a 4~ 2ft).
953. ±^+b^f»+sin>4-_1 =
= sin2 ---(cos а 4- cos ft) = sin2 — cos cos
Z Z L I L
Y / . V a —
= Sin “2 ( sin 2 — C0S —2“
у f a+ ft a — ft \
sin -±- ( cos---jr-2----cos-----) =
X \ Z Z /
n • a . p Y
— — 2 sin — sm -4j~ sm ,
JW Ci £
f у которой все члены — поло-
a-f- р . Y
где cos ---= sin .
Z Z
962. Воспользуемся условием задачи и производной пропорцией
/ а с а -[ с а — с
\ о а Ь 4- d о — d
жительные величины.
Имеем:
п 4- cos ft _ — 1 — и cos ft
n 4- cos a — 14-ncosa
Если из найденной пропорции составить опять производную про-
порцию, то после элементарных преобразований находим:
(1 — п)(1 — cos ft) _ (1 4- n) (1 4- cos ft)
(1 4- n) (1 4- cos a) ~ (1 — n) (1 — cos a) ’
или
1 — cos ft 1 — cos a
i 4- cos ft ’ 1 4- cos a
1 4- n \2
1 —n) ’
Приведение к логарифмическому виду
403
т. е.
следовательно,
1 + п \2
1 -п ) *
t Р х а 14- п
что п требовалось доказать.
§ 18. ПРИВЕДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
К ЛОГАРИФМИЧЕСКОМУ ВИДУ
964. (sin 61° — sin 59°) — (sin 93° — sin 87°) =
=и 2 sin 1® cos 60° — 2 sin 3° cos 90® = 2--^-- sin 1° = sin 1®.
Ответ, sin 1°.
965. (sin 47° + sin 61°) — (sin 25° + sin 11°) =
= 2 cos 7° sin 54° — 2 cos 7° sin 18° =
= 2 cos 7° (sin 54° — sin 18°) — 4 cos 7° cos 36° sin 18° —
= 4 cos 7® (1 — 2 sin218®) sin 18° = 4 cos 7° = cos 7®,
где sin 18° = ~ ; 1 — 2 sin218° = .
4 4
Ответ, cos 7°.
966. 4 cos 10° cos 7° 30' sin 52° 30'.
967. (cos 1 la + cos 6a) + 3 (cos 9a + cos 7a) =
= 2 cos 8a cos 3a + 6 cos 8a cos a = 2 cos 8a (cos 3a + 3 cos a) »
= 2 cos 8a (4 cos3 a — 3 cos a + 3 cos a) = 8 cos 8a cos3 a.
Ответ. 8 cos 8a cos3 a.
968. 1 4- cos a — sin a = 2 coss 4--------2 sin -2- cos =
£ Л A
л a / a .a
= 2 cos -y I cos —-sin -y-
a
“Scos-j-
a
COS -----cos
90®
2
cc
= 4 cos -g- sin 45° sin
45"-^
= 2 |/2 cos sin (45°------
404
Ответы и решения
( К 2 cos a cos (45°—хх)
969. cos а (sin а 4“ cos а) = { _
( |Л2 cos а sin (45° 4- а).
970. (sin а 4- sin 0) + sin (а + 0) = 2 sin —~cos — 2 ~ +
. о . et, -J- (3 ос -к 0 п • сс -к 0 ( сс — 0 ос 4~ 0 \
4- 2 sin —cos —— 2 sin —7г1 2 *- ( cos —у2- 4- cos—~
о • а4- 0 о а 0
= 2 sm---х2— -2 cos -х- cos =
. а 0 а 4- 0 -
= 4 cos -у- cos -£~ sin-9~ •
X X X
971. Решение аналогично предыдущему.
Ответ. 4 sin
972. 4 sin
sec2 х.
973. Имеем:
cos2 2х sm2 2х о . . .
. „ь--------гл-----8cos4хctg4х =
sin2 2х cos2 2х
__ cos4 2х sin4 2х 8 cos2 4х _
(sin 2х cos 2х)2 sin 4х
4 • cos 4х
sin2 4х
8 cos2 4х ... 1 — sin 8х
---:—j— = 4 ctg 4х--.— --
sm 4х ь sm 4х
8 ctg 4х sin2
sin 4х
Ответ. 8 ctg 4х cosec 4х sin2 (45° — 4х).
974. Разделим почленно числитель и знаменатель дроби на 2;
получим следующее выражение:
1 , КЗ .
-х- cos а 4—— sin а . „по .
2 ^2 _ cos 60® cos а4- sin 60 sm а _
1 1Л3 “ cos 60° cos а — sin 60° sin а ~
—- cos а-----— sin а
X л
_ vo& (6(r — a)
“ cos (60° 4- a) *
Приведение к логарифмическому виду
405
_cosa+slna_ = /2 cos (45-- а) = _
yz COS a— sm а /2 sin (45s—а)
„ , . ч 2 cos2 (45е--------
seca(l 4~ sin а) _ \________2
97в' seca^ — sin — 2sin-^45° —
= ctg2 45°
а
2"
3 , о а+ Р а —
-=- 4- cos а 2 cos-------77-*- cos----
О Z Z
977. —j а _|_ р а —
-=----cos а 2 sin--------jr-i— sin----77
5 2 2
4- Р а — р
-—L— cfa-------L_
2 ь 2
= ctg
3
где Р = arccos .
о
978. 2 sin 50° cos 10°.
979. 2 I ^22ст+1 __2 cos2a
' tg 2а cos2 2а sin 2а
_ g (1 4- sin 4а) _ 4 cos2 (45° — 2а)
~ sin 4а ~ sin 4а
980. (sin а 4“ sin За) 4" sin 2а = 2 sin 2а cos а 4*
4* 2 sin a cos а = 2 cos a (sin 2а 4~ sin а) =
_ _ . За а а . За
= 2 cos а-2 sm -77—cos — = 4 cos a cos -75- sin -у-
981. Решение аналогично предыдущему.
. За
sm —cos 2а
Ответ. —------------.
а
sm-2-
982. Указание, sin 2a 4~ 2 sin 2a sin a =
= 2 sin 2a (4- sin a^ .
Ответ. 4 sin 2a sin ^~y"+ 15°^ cos ---15е
qo, л • a 4~ P • P + Y Y 4~a
083. 4 sin —j*-*- sm " ' - sm — .
z z z
406
Ответы и решения
984. 4 /2 cos (45° — 2а) cos (з0° — cos (з0° 4-
985. Воспользуемся формулой
sin та sin Ла = [cos \т — Л) а — cos (т -j- k) а].
Пусть k — , а т изменяется от 1 до п, т. е.
тогда:
(
т — 1, 2, 3, (п — 1),. л, *
-9
о . . а а За
2 sm а sin -х- = cos--------cos—
хС
о . „ . а За 5а
2 sin 2а sin = cos —»---------cos ,
ZS
о . о • а 5а 7а
2 sm За sin = cos ------------cos—н-,
о . , ... а 2л — 3 2л — 1
2 sin (л — 1) а sm = cos----g— а — cos-----— а«
о . а 2л — 1 2л 4-1
2 sm ла sin = cos----5— а — cos-----— а,
2 sin (sin а 4 sin 2а -f- sin За 4- • • • 4- sin ла) =
а
— COS -X-----cos
2 а’
откуда
sin а 4- sin 2а 4- sin За 4- • • • 4
а 2л 4 1
sin ~2--cos —— а
sin ла ---------------------
о • а
2sm^-
Зная, что
а 2п 4- 1
cos ------cos------— а
о . ла л 4 1
= 2 sin -х- sin —±— а,
находим ответ:
ла . л 4 Г
sin -g— sm —g— а
sin а 4 sin 2а 4 ♦ 4 sin ла ---------------------------
sin 4.
Приведение к логарифмическому виду
407
986. Указание. Воспользоваться формулой
sin Ла cos та = -у [sin (т 4- k) a — sin (tn — k) a].
Принимая k — ~~ , tn = 1, 2, 3......(n — 1)? n,
по аналогии с предыдущим примером находим следующее выражение:
cos a 4- cos 2a 4” cos 3a 4~ • —F cos na =
2n 4- 1 .a
sin---— a — sm -y
“ a *
Ssin-^
Заменяя
2n 4-1 .a o . na n 4- 1
sin —~— a — sin —у = 2 sin -y cos —— a,
находим ответ:
. na n 4-1
sm -y cos —— a
cos a 4- cos 2a 4- cos 3a 4- • • 4- cos na =------------
ОС
Sin-y
987.
Имеем:
2 cos2 a = 1 ф cos 2a
2 cos2 2a = 1 + cos 4a
2 cos2 па — 1 + cos 2na
2 (cos2 a + cos2 2a + • • • + cos2 na) =
— n + (cos 2a + cos 4a 4- • • • 4- cos 2na),
откуда
У к
988.
cos2 a 4" cos2 2a 4* cos2 3a 4~ • • • + cos2 na =
_ n sin na cos (n 4- 1) a
~ 2 2 sin a
а з а н и e. См. № 986.
Решение аналогично предыдущему. Воспользоваться формулой
2 sin2 a = 1 — cos 2a.
OTBeT, —_____sin mxc°s(n4- l)a
2 2 sin a
408
Ответы и решения.
989. Имеем:
а
а \ . / а
а
, / , За \ . / .а
sin ( ф + J - sin (ф + -£-
а 1
sm -yr- cos (Ф 4- ла) = -
£
2п -h 1
а
2
2n — 1
2~ а
п
sin "г /Г1cos ((р Ла>
£
2
k=0
2n 4- 1 \ / а
—a \ — sin ( Ф — -y-
откуда
п.
л=о
Имеем:
sin—2
cos (ф 4- ka) =----
а
smT
т. е.
991.
ё 2а = С 2 ctg а' = "Г(Ctg “ ~ « а>
2 ctg 2а = ctg а — tg а.
Составим равенства и сделаем преобразования,
tg а = ctg а — 2 ctg 2а
. а а п
tg-K-= ctg -yr- — 2 ctg а
находим:
tg = 2 ctg - 2 ctg
1
~2
1
22
а а Л а
« у=г = ct« -yi=r - 2 ct8 -уПГ
1а 1а
lg “ + у tg -у + • • • + -£i=r >8 -^=1
1
2rrt—1
Приведение к логарифмическому виду 409
1 а
=-------о“ ctg---;----2 ctg 2а,
2«—2 ь 2п~~1 &
что и требовалось доказать.
992. Использовать формулу
sin та sin ka = [cos (т — k) а — cos (tn -f- k) а].
Пусть k = 1, а т изменяется от 1 до 2л — 1, т. е.
л = 1, 3, 5, 7, . . 2л — 1;
тогда
sin a sin а = (cos 0 — cos 2а)
sin За sin а = (cos 2а — cos 4а'
£
-4- 1
sin 5а sin а = (cos 4а — cos 6а)
sin (2л — 1) а sin а = [cos (2л — 2) а — cos 2ла]
sin а [sin а + sin За + • —[- sin (2л — 1) а ] =
= [1 —со$2ла] = (sin ла',2.
Если разделить правую и левую части полученного равенства
на sin3 а, получим искомое равенство, что и требовалось доказать.
993. Указание. Воспользоваться равенствами
cos а =
sin 2а
2 sin а ’
cos 2а =
sin 4а
2 sin 2а ’
cos 4а =
sin 8а
2 sin 4а *
cos 2Аа =
sin 2А+1а
2 sin 2Аа
410
Ответы и решения
§ 17. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
994. cos
arcsin
= cos
. 1
— arcsin -у-
£
Ответ.
. 1
arcsin
n /3
cos— = —
995. Обозначим
3
arccos -=- = x; тогда
5
3 „
COS X = • 0 < X < -77- .
5 ’ 2
Следовательно,
sin 2x = 2 sin x cos x = 2
9 3 24
25 ’ 5 ~ 25 ’
Ответ.
24
25 ’
996. 997. 999. 1000. 0.
od 5 2
1003. Обозначим arctg -~ = x, arctg = У> тогда
x 1 М л
0<х<т;
1 /Ч Я
^ = —; o<^<-g-,
поэтому заданное соотношение принимает вид
Но
о । .32
2х + У = arctg 43-.
(1)
г;
tg 2х = -J2-,
tg (2х + i/) = ,
следовательно, соотношение (1), а вместе с ним и исходное, справедливо,
л
так как 0 2х + у << . что и требовалось доказать.
1004. Обозначим arccos а = х; тогда cos х — а и так как а > 0,
г\
то 0 х .
Тригонометрические уравнения
411
Заданное соотношение принимает вид
2х = arccos (2а2 — 1).
Но
cos 2х = 2а2 — 1; 0 2х л
и равенство (1), а следовательно — и исходное, справедливо.
1— tg ( 8 arctg )
1009. х =----------j---------.
1 -J-tg 8 arctg -jyj
(1)
1010. tg (arctg a + arctg 0) = tg (л — arctg y) = —tg (arctg y)?
откуда
a + P + у — aP?,
что и требовалось доказать.
§ 18. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
1012. Имеем:
3 sin х = 2 (1 — sin2 х)
2 sin2 х + 3 sin х — 2=0,
откуда
1 . . , ч ъ Л
sin х = —g-, х = /гл-|- ( — 1) -g- ,
sin х — —2.
Ответ, х = /гл + (—1)* —.
1013. х = (2k + 1) л.
1014. Имеем:
sin х -j- (1 — sin2 х) = ,
4 sin2 х — 4 sin х — 3=0,
откуда
• 1 , / 1 \ /г
sin х =---2~, х = /гл —(—1) —
Ответ, х = /гл.— (—
412
Ответы и решения
1015. Необходимым и достаточным условием равенства sin х =
= sin у является выполнение одного из равенств:
х — у = 2&л, х 4" у — (2/г 4* 1) л. ‘х
Учитывая это, находим:
6х — 4х = 2Лл,
6х + 4х = (2k + 1) л.
Л
Ответ, х = kn, х = (2k + 1) -у^-.
1016. Необходимым и достаточным условием равенства cos х =
= cos у является выполнение одного из равенств:
х — у = 2/гл, х 4~ у = 2йл.
Применяя данное положение к решению уравнения, находим:
Зх — х — 2йл, х — kn,
Л
Зх --}- х — 26 л, x~-k—^~.
Ответ, х = k .
1017. Необходимым условием равенств tg х = tg у и ctg х = ctg у
является выполнение равенства х — у — kn.
Применяя это положение к решению данного уравнения, находим:
2х — х = kn.
Ответ, х = kn.
1018. Имеем: sin Зх = sin ------2х^ ,
откуда (см. № 1015)
Л
Зх 4- —---2х = (2k 4- 1) л,
л
Зх----^-4- 2х = 2kn.
тт тт
Ответ, х = (4k 4- 1) —, х = (4k + 1) jy.
1019. Решение аналогично предыдущему.
Ответ, х = kn 4- , х = (4k 4~ 1) .
1020. х = (4k 4- 1) , х = -(4k 4- 1) .
1021. Имеем: tg х = tg
Тригонометрические уравнения
413
откуда (см. № 1017)
к---—х = fen
О
тт
Ответ, х — (3k 4- 1) -х-.
6
(Л \
~2---Зх j ,
откуда (см. № 1017)
2х----|- Зх'= fen.
Ответ, х — (2k + 1) -ру •
1023. Разлагая на множители, находим:
sin х (5 — sin4 х) — 0;
так как б — sin4 х =j= 0, то sin х = 0, откуда х = fen.
Ответ, х = fen.
1024. Сделаем следующие преобразования:
. / п Зх \ Г / п , Зх \
sm ( —+ -2") = sin [я— \"4’+“2j
Подставляя это выражение в заданное уравнение, после
щения находим:
упро-
. , ( п х \ л
51п(т-----г)=0’
т. е.
(X
“2
откуда
х
2
п
т
= fen.
Ответ, х = 2йп 4- -g-.
1025. Данное уравнение не имеет решений, если tg пх — 0.
гая tg пх Ф 0, находим:
Пола-
tg тх = ctg пх,
414
Ответы и решения
т. е.
/ л
tgmx = tg ( -2"— пх
откуда
л ,
тх-----g- + пх = kn.
_ 2k + 1 л
Ответ, х = —г— • тг •
т 4- п 2
1026. Группируя и умножая обе части равенства на -у, находим:
1 3 i/" 3 1
-у cos 7х 4-----— sin 7х — —у cos^x 4- -у sin 5х,
Z Z Z
sin • sin 7х 4- cos -х- sin 7х =
О о
• Л с . П • с
= sin — cos 5х + cos -5- sin 5х,
о о
. /7 . я \ . /_ , Л \
sm I 7х 4- ) == sin ( 5х 4- — I,
\ О у \ о /
откуда
7х 4- 4— $х--------
тг тг
7х 4———(- 5х 4—о" (2^ 4- 1) я.
О 0
Ответ, х — (12/г + 1) х = (4& + 1) у.
1
1027. После очевидного упрощения находим:
cos 2х — sin х,
о ( д
cos 2х = cos ( ~2---х
откуда
тг
2х 4- ~2-----х = 2k л,
2х----^4- х = 2kn. '
Ответ, х — (4/г — 1) -у, х — (4Л 4~ 1) -у.
о
Тригонометпрические уравнения
415
1028. Имеем:
откуда
sin (8х + 60°) = —sin 2х,
sin (8х + 60°) = sin (—2х),
8х + 60° — 2х = (2k + 1)-180°,
8х 4- 60° 4- 2х = 2k-180°.
Ответ, х = k- 60° 4* 20°, х = k- 36° — 6°.
1029. Указание. Имеем:
4 sin2 х cos2 х — sin2 х-J- = 0
или
16 sin4 х — 12 sin2 x 4- 1 = 0.
Решая это биквадратное уравнение, находим искомое.
Ответ, х = kn ± arcsin
х = kn ± arcsin
1030. Имеем:
sin 2х = cos2 х 4" sin2 х — 2 sin х cos х;
sin 2х = 1 — sin 2х,
2 sin 2х = 1,
sin 2х — , 2х = kn-f- (—l)fe .
—. К, Л /э Л
Ответ, х = -g- 4- (—1)* -jg-.
1031. Имеем:
sin2 2х = 1 — sin2 х,
4 sin2 х cos2 x — cos2 x = 0,
cos2 x (4 sin2 x — 1) = 0,
cosx = 0; x = я л-J- —,
sinx=±—; x = kn±—.
/
Л , , л . Л
Ответ, x = kn 4- -9-, x = kn ± .
416
Ответы и решения
1032. Преобразуем данное уравнение так:
1 — cos 2х
2
1 — cos4x 1 — cos6x
2 ~ 2 ’
откуда
cos 2х + cos 4х == 1 + cos бх,
2 cos Зх cos х = 2 cos2 Зх,
cos Зх (cos х — cos Зх) = 0,
\ о л /г Л Л
a) cos Зх = 0, х = -т- + ;
о о
б) cos х — cos Зх = 0,
2 sin 2х* sin х = 0
sin х ~ 0, х = /?л
• о л &Л
sin 2х = 0, х = -±-
Ответ. х = (2k + 1) к — k--^-.
1033. Имеем:
sin Зх + sin х = cos х,
2 sin 2х cos х — cos х = 0,
cos х (2 sin 2x — 1) = 0,
Г\ ' ' L. I
COSX = 0, x = — f
sin 2x = -4~, 2x = kn 4- (—1)* 4- •
2 О
Ответ, x = kn + x= + (— l)k .
1034. Имеем: sin 3x — sin x = sin 2x.
После элементарных преобразований получим:
Зх х
sin х- sin sin -у- = 0,
sin х = 0, х = kn,
sin-^~ = 0, х = 2/гл,
Л L
Ответ, х = ял, х = ——.
Тригономеш рические уравнения
417
Ю35. х = kn, х ~ 2kn ± х = (2k ± 1) л
О
1036. Заданное уравнение однородно относительно sin х и cos х.
При любом значении аргумента sin х и cos х одновременно не могут
быть равны нулю. Допустим, что cos х =(= 0; тогда, разделив почленно
данное равенство на cos х, имеем:
tg х = —1, х - - kn-
л
Ответ, х = kn------—.
1037. Разлагая на множители, имеем:
(cos2 х + sin2 х) (cos2 х — sin2 х) = 0,
откуда cos2 х — sin2 х — 0,
, . л
tg2x = l, x = kn± —.
Ответ, х = kn ± -у-.
4
1038. Имеем:
-у- sin 2х = 1 — sin2 х,
sin х cos х = cos2 x,
sin x cos x — cos2 x = 0,
cos x (sin x — cos x) = 0,
откуда
cosx = 0, x = /гл+ — ,
sin x — cos x = 0, x = kn -f- .
Ответ, x = (2k + 1) x = kn + .
z *
1039. Имеем:
3 sin x — 4 sin2 —,
c x x л • •> x
6 sin ~2“ cos~2-------sir)2 ~2~ — 0,
sin ( 3 cos ----------2 sin — 0,
Z \ Z Z /
14
В. С. Кущенко
418
Ответы и решения
откуда 4
sin = 0, х = 2Лл,
3 cos ---2 sin = О,
Y Q Ч
tg"2" = T’ x=2kn + 2arcl^-y.
з
Ответ, х = 2kn, х — 2kn 4* 2 arctg .
10<0. Разлагая правую часть уравнения на^множители, находим:
(sin2 х + cos2 х) (sin2x — cos2 х) = ,
откуда
cos2 х — sin2x =-----2"
о 1
cos 2х =----2*,
2
2х = 2/гл ± — л.
О
Ответ, х = /гл ± .
О
1041. Дополняя левую часть равенства до полного квадрата,
получим:
(sin2 х 4* cos2 х)2 = sin 2х + 2 sin2 х cos2 х, sin2 2х 4* 2 sin 2х — 2 = О,
откуда
sin 2х = —1 4~ К 3 , 2х = kn 4- (—l)ft arcsin (КЗ — 1), [sin 2х =
= -(l + /3)b
Л ь
Ответ, х = k -g- 4- (— 1) •
arcsin (]/~3 — 1)
2
1042. Воспользуемся тем, что (sin2 х 4* cos2 х)2 = 1;
находим:
5
sin4 х -|- cos4х = — • (sin2 х cos2 х)2,
О
3 sin4 х 4" 3 cos4 х — 10 sin- x cos2 x = 0, 3 tg4 x — 10 tg2 x 4" 3 = 0.
Тригонометрические уравнения
419
Решая это биквадратное уравнение, получим:
tg х = ± /3,
. л
к = kn ± — ,
о
К з
, л
X = kn ± —
о
. л .
Ответ, х = kn ± -Х-, х = ял
О
л
6“‘
1043. Данное уравнение можно решать так же, как и предыдущее,
или так:
. , х , , х \2 о . х х 5
sin2— + cos2-у- — 2 sin2 — cos2 —= —,
О О / о о о
, 1 . , 2х 5
1 2 Sm" 3 "" 8 *
. , 2х 3
Sln —=Т»
2х
sin — = ±
о
3 2х , л
— • Т = кп±У
Л
Ответ, х = (3k ± 1) .
1044. Указание. После элементарного преобразования на-
ходим:
tg2 х = 1
. . л
tg х = ± 1; x — kn±-^-.
Ответ, х — kn ± -г- .
4
1045. Указание.
8 sin2 х + 6 cos2 х — 26 sin х cos х = 0,
откуда
4 tg2 х — 13 tg x + 3 = 0,
tg x = 3, x — kn 4- arc tg 3,
tg x = x = k л 4- arctg -|-
(при найденных значениях аргумента cos х =^=0)
Ответ, х = kn 4- arc tg 3, х = kn 4- arc tg
420
Ответы и решения
1046. Имеем:
2 cos2 х— 1 — 3 cos х = 2 (1 + cos х), 2 cos2 х — 5 cos х — 3= 0,
откуда
1 о, 2л
cosx =----, х = 2/гл±-г~,
2 о
(cos х = 3).
2
Ответ, х = 2/гл ± -х- .
О
1047. Если перенести свободный член влево, полученное выражение
весьма просто разлагается на множители:
4 sin2 х (sin х + 1) — 3 (sin х + *1) = 0,
а
(sin х + 1) ( sin2 х —= 0,
эт
откуда sin х + 1 = 0, sin х = — 1, х = 2/гл-----,
. о 3 п . Кз . л
sm2 х —т" = 0, sin х = ± —— , х = fen ± — .
4 2 о
Ответ, х = 2/гл--— , х = /гл ± -х- .
2 о
1048. Преобразуем заданное уравнение так:
sin2 х — 3 cos2 х + 4 sin х cos х = sin2 x + cos2 x.
После приведения подобных' членов находим:
sin х cos х — cos2 x = 0,
cos x (sin x — cos x) = 0,
Л
cosx = 0, х = /гл-,-—, ,
sin x — cosx = 0; tgx=l, х = /гл4--^-.
тт JT
Ответ, x = (2k + 1) -yr- , x = /гл + — .
1049. Указание.
sin x 4- sin 3x + sin 2x = 0,
2 sin 2x cos x + sin 2x = 0,
sin 2x (cosx + =0,
откуда
sin 2x =0, 2x = /гл,
. 1л 1 2л .
cos x + -yr- — 0; cosx =-yr-, x = 2kn±-^-.'
2 2 о
л. L л 2 л
Ответ, x = k -yr- , x = 2/гл ± .
2 о
Тригонометрические уравнения
421
1050. Имеем:
sin х 4* sin Зх + sin 2х = 1 + cos 2х 4- cos х.
2 sin 2х cos х 4~ sin 2х = 2 cos2 х 4" cos х.
sin 2х (2 cos х + 1) = cos х (2 cos х + 1),
2 sin x cos x (2 cos x 4~ 1) — cos x (2 cos x + 1) = 0,
cos x (2 cos x + 1) (2 sin x — 1) — 0,
откуда
cosx = 0, х = /гл4--^-,
1 2 д
2 cos x-|-1=0, cosx = —— , x = 2kn± — , 2 sin x—1=0,
Z о
• 1 , • X Ь Л
sinx=— , X = (— 1) — .
£ V
_ «1 л i 2 л . ь л
Ответ, x = kn 4- -5- , x = 2/гл ± -r- , x = /гл 4“ (—1) -г~ .
Zu о
1051. Имеем:
(sin х 4- sin Зх) 4- (sin 2x 4“ sin 4x) = 0,
2 sin 2x cos x 4" 2 sin 3x cos x = 0,
cos x (sin 2x 4“ sin 3x) = 0,
t. e.
. 5x x Л
cos x sin -y-• cos — = 0,
z z
откуда
Л
cosx=0, х = /гл4-— ,
. 5x n 5x ,
sin^- = °, ~2~ = k^
X A X U Я
c°sr = °, - = ftn + _.
Ответ, x — kn 4—, x = , x = (2fe + 1) n
Z о
1052. Имзем:
sin3 2x = sin 3x 4“ sin x,
sin2 2x — 2 sin 2x cos x = 0,
sin 2x (sin 2x — 2 cos x) = 0,
2- sin 2x cos x (sin x — 1) = 0,
422
Ответы и решения
откуда
sin 2х = О, х = — .
cosx = 0, x—kn-^- — .
£
. „ t л
sinx=l, x = 2kn-j- — .
Легко заметить, что решения последних двух уравнений содер-
жатся в решении первого уравнения.
Л •
Ответ. х= fe- — . .
2S
1053. Имеем:
sin 3 х (sin х 4- cos ж) cos3 ж (sin х 4- cos х)
sin ж cos ж
= cos 2х,
(sin х + cos ж) (sin2 х + cos2 х) = cos2 х — sin2 х,
(sin х + cos х) (1 4* sin х — cos х) = 0,
откуда
1) sin х + cos х = 0, х = kn--------;
5 л
2) cos х — sin х = 1, х — 2kn\ x — 2kn---------— .
Корни последнего уравнения не удовлетворяют заданному уравне-
нию, так как при этих значениях аргумента или sin х или cos х обра-
щаются в нуль.
л
Ответ, х — kn---— .
4
1054. Решение 1-е. Пусть tg -£ = z; тогда
1 — z2 2z
cos х = ——5 , sin х = ——- .
1 4- z2 1 4- z2
Если использовать эти соотношения, то заданное уравнение преоб
разуется к виду:
(Z> + с) z2 — 2аг — (Ь — с) — 0,
(1)
сткуда
а ± К а2 -f- Ь2 — с2
b 4- с
Тригонометрические уравнения 423
1Э. Если а2 + Ьг с2 и b + с =£ 0, то квадратное уравнение (1)
имеет вещественные корни, а общее решение заданного уравнения
имеет вид: ____________
о, , о . а ± /а2 4- 62 — с2
х = 2k л 2 arctg — ------— -------- .
ь 4- с
2°. Если а2 + Ь2 <3 с', то уравнение (1) имеет комплексные корни,
а заданное уравнение решений не имеет.
b
3°. Если Ь + с = 0, то уравнение (1) линейное, г = — •
а
Заданное уравнение (1) имеет решения вида:
х = 2/гл — 2 arctg,
х = (2k + 1) л.
Решение 2-е. Введение вспомогательного угла. ИМеем:
a sin к + b cos х — с,
. Ь о
sm х 4----cos х = — .
' а а
ь
Обозначая tg ф = — (Ф можно найти по таблице), полУчим:
с
sin х 4- tg Ф • cos х = — ,
Q
cos ф • sin х 4- sin ф cos х — — cos ф (cos Ф =/= 0),
О
т. е.
Q
sin (х 4- ф) = — cos ф.
откуда
х 4- ф = йл 4- (— l)ft arcsin (cos Ф
Ответ, х = kn — ф 4- (—1) arcsin
. если — cos ф < 1.
а
1055. Сделаем следующие очевидные преобразования:
1 /3.1
— cosx 4-—- sin х= -и-,
Z Z
л . л . 1
cos -л- cos х 4- sm sm х = ,
«3 О 4
(л \ 1
424
Ответы и решения
откуда
Л n L
х ~ т = 2kn ± ~
Ответ, х = 2Ал, х — 2kn 4- -В- л.
О
1056. Воспользуемся формулами (см. № 1054)
2г 1 — z2
Sin X = —---5 , COS X = 7—----7 ,
1 4- г2 1 4- z2
где
Заданное уравнение относительно новой переменной принимает вид;
г2 — z = 0.
Решая это неполное квадратное уравнение, находим;
гг = 0 и z2 — 1,
т. е.
х „ х
Wy = °. у = *".
х Х 1 Х «. 1Я
18Т=1. — = 4я+т.
Ответ, х — 2/гл, х — 2kn 4~ -х- .
£
1057. Указание. См. решение задачи № 1054.
2 3
Ответ, х — 2Ал 4“ 2 arctg, х — 2/гл 4“ 2 arctg .
О D
Л 1
1058. х = 2Лл 4- 4г , х— 2Лл — 2 arctg .
Z о
1059. Преобразуем данное уравнение так:
3 1
Sin X---5- cos X = — ,
о 2
1 / 3 \
sin х — tg(pcosx = —^tg<p = —j ,
1
cos <p sin x — sm (p cos x = — cos cp,
x 1
sm (x — <p) — — cos ф,
Тригонометрические уравнения
425
откуда
. . ,.k / cosq)
х — ф = fen 4-:— 1) arcsin I —»—
Зная значение тангенса, находим
8 8
cos ф = , Ф = arccos —_____
/73 /73 ‘
о k **
Ответ, х = kn 4* arccos ±__ 4- (—1) arcsin .
/73 /73
1060. Если обозначить
sin х 4" cos х — z,
то заданное уравнение принимает вид
5z2 - 12г + 7 = 0,
откуда
21 = 1, г2 = -g-.
Следовательно,
sin х + cos х = 1
и
7
sm х 4- cos х =
о
(см. № 1056 и № 1054).
Ответ, х — 2kn, х = 2kn 4- -у,
х = 2ftл 4- 2 arctg, х = 2ftл 4- 2 arctg
1061. Обозначая
sin х 4- cos х = z,
находим
1 4“ sin 2х = z2,
откуда
sin 2х = г2 — 1.
С помощью этих подстановок приводим заданное уравнение к ква-
дратному уравнению
г2 + 2z — 3 = 0,
корни которого = 1, г2 = —3.
Следовательно, sin х 4" cos х = 1 (sin х 4“ cos х = —3)
(см. № 1056 и № 1054).
Л
О гвет. х — 2/гл, х = 2/гл 4" -у .
426
Ответы и решения
1062. Имеем:
откуда
sin х + cos х = ——— ,
sin х
sin2 х -|- cos x sin x — 1 _
sin x ~ 1
cos x sin x = 1 — sin2 x,
cos x sin x — cos2 x — 0,
cos x (sin x — cos x) = 0,
cosx = 0, x=fen4- —;
sin x — cos x = 0, x = kn 4- — .
Это и есть корни данного уравнения, так как знамензгель дРоби
этого уравнения sin х =/= 0 при найденных значениях аргу^ента‘
Л f I «Л, « I «П
Ответ, х = kn + — , х = kJi~r — .
2 4
1063. х — kn, х = kn + .
4
1064. x = kn.
1065. Имеем:
tg x 4- * — 2,
5 1 — tg x
t. e.
tg2 x — 4 tg x + 1 = 0.
Значение tg x = 1 не является корнем полученного уравнения>
решая его, находим:
tg х = 2 ± V3 , х = /гл + arctg (2 ± КЗ ).
Ответ, х = kn + arctg (2 ± V3 ).
1066. Известно, что
. „ 2 tg х
sin 2х = ---f .
1 + tg8 х
Подставляя значение sin 2х в заданное уравнение, после уп^0ЩеНИЯ
находим:
tg3 х — 2 tg2 х + 3 tg х — 2=0.
Тригонометрические уравнения 427
Разлагая полученное выражение на множители, получим:
(tg х — 1) (tg2 х — tg х + 2) = О,
откуда
tg х = 1, х = kn 4- ——,
4
tg2 х — tg х + 2 = 0.
Последнее уравнение вещественных корней не имеет.
Л L. । л
Ответ, х = kn 4-
4
1067. Имеем:
cos х 3 sin х 5 _ q
sin х ' cos х sin x ~’
2 cos2 x 4- 5 cos x — 3 _
sin x cos x '
t. e.
2 cos2 x + 5 cos x — 3 = 0,
откуда
1 nt n
cos x = -g-, x = 2kn ± —
Z о
Это и будет решением данного уравнения, так как при данных зна
чениях аргумента cos х #= 0 и sin х ф 0.
л
Ответ, х = 2kn ± -
<5
1068. Имеем:
sin Зх _ sin Зх
cos х cos2х “ cos Зх’
sin Зх (cos Зх — cos х cos 2х) _
cos х cos 2х cos Зх ~
Разлагая в числителе cos Зх = cos (х 4* 2х), находим:
sin х sin 2х sin Зх _
cos х cos 2х cos Зх '
или
tg х- tg 2х- lg Зх = 0,
428
Ответы и решения
откуда получим три простейших тригонометрических уравнения
tg х = 0, х — kn
tg2x = 0, x = k~,
£
tg3x = 0, х = k~.
О
При четном k корни второго уравнения будут частным случаем
корней первого уравнения (при нечетном k они уравнению не удовлетво-
ряют); но корни первого уравнения будут частным случаем корней
третьего уравнения при k, кратном 3; следовательно, все корни задан-
ного уравнения содержатся в формуле . ..
л
х —
О
Л , л
Ответ, х ==
о
1069. х = (2х + 1) п, х = 2/гл ±
1070-. Указание. Воспользоваться формулой
sin тх sin пх = -i- [cos (т — п) х — cos (т 4- п) х].
Л kn. 1
Ответ, х = —— ± arccos -х-.
3 О
1071. Применяя формулу
cos тх cos пх = -у- [cos (т — п) х 4- cos (т 4- п) х]
к левой части уравнения, находим:
-к- [cos х 4- cos Зх] = cos Зх,
cos х — cos Зх = 0,
sin 2х* sin х = 0,
откуда
•ПЛ
sm 2х = 0, х = ——,
sin х = 0, х = /гл.
Здесь все корни второго уравнения содержатся среди корней пер-
вого уравнения.
Л /гл
Ответ, х = ——.
Тригонометрические уравнения 429
1072. Имеем:
4 sin2 х cos х = 2 sin х sin 2х = cos х — cos Зх.
Заданное уравнение принимает вид:
cos х — cos Зх — cos х — sin х, cos Зх = sin х,
о ( п \
cos Зх — cos I ----х I,
откуда
О ( \ f
Зх ± ( —-----х \ = 2k л,
\ & /
2х — 2/гл----
_ t JT
4х = 2kn -f- —.
_ , П kn ' л
Ответ, х — kn-------г-, х = ——(- -3-.
4 z о
1073. Правую часть уравнения преобразуем так:
4- sin 4х = — sin 2х cos 2х.
4 2
Тогда заданное уравнение перепишем следующим образом:
2 sin х sin 2х sin Зх = sin 2х cos 2х,
sin 2х (2 sin х sin Зх — cos 2х) = 0.
Учитывая, что
2 sin х sin Зх = cos 2х — cos 4х,
находим - ’Ъ**
sin 2х cos 4х = 0,
откуда
sin 2х =0, 2х = kn,
cos 4х = 0, 4х = kn
£
Ответ, х = k х = (2k + 1)
2 о
1074. По условию, а, Ь, т и п — последовательные члены возра-
стающей арифметической прогрессии, поэтому
b = а + d,
т = а + 2d,
п = а + 3d,
430
Ответы и ресаения
где d>> 0 — разность арифметической прогрессии. Заменяя Ь, т и п
их значениями, по формуле п. 3, стр. 506, находим:
sin ах sin (а 4- d) х = -у (cos dx — cos (2а -|- d) х],
sin (a -f- 2d) х sin (а 4" 3d) х = - (cos dx — cos (2а 4- 5d) х].
Заданное уравнение перепишется так:
cos (2а 4" d) х — cos (2а 4* 5d) х == 0,
sin (2а 4" 3d) х sin 2dx =-0,
откуда
sin (2а 4" 3d) х = 0, (2а Н- 3d) х = кл,
sin 2dx = 0, 2dx = kn.
k k
Ответ. X = —r~;--- л, X = л,
Ь 4- гп 2d
так как 2а 4~ 3d = b 4“ т.
1075. Обозначая sin х = a, sin 2х = b, sin Зх = с, находим
а3 4* Ь3 4- с3 = (а 4- b 4* с)3.
Разлагая полученное выражение на множители (см. № 79), прихо-
дим к следующему результату:
3 (а 4* b) b 4* с) (а 4~ с) — 0,
т. е.
(sin х 4- sin 2х) (sin 2х 4“ sin Зх) (sin х 4~ sin Зх) = 0. (1)
Известно, что
sin х 4- sin 2х = 2 sin cos ,
£ £
Ry у
sin 2х 4- sin Зх = 2 sin cos ,
sin х 4* sin Зх = 2 sin 2х cos х.
Заменяя в выражении (!) суммы их произведениями, после очевид-
ных преобразований находим:
Q у Ry у
sin — • sin-yr- cos2 -н- • sin 2х cos х = 0,
Z tL &
Тригонометрические уравнения
434
откуда
Зх
sinT- = 0, Ъ =
2k л
• бх _
sm у = 0,
2Ал
^2= —
X
cos — = 0, х3 = (2k 4- 1) л,
• о л
sin 2х = 0, х4 = -у,
Л
cos х = 0, xs = k л .
Решения х3 и х8 входят в решение х4.
2k 2k k
Ответ, х = —л, х = —=- л, х = у л.
<5 О Z
1076. Имеем:
29
(sin2 х)5 4- (cos2 х)5 = -jg- cos4 2х.
Заменяя
. , 1 — cos 2х „ 1 4- cos 2х
sm2 х =--------, cos2 х =----------------------
понизим степень заданного уравнения:
/ 1 — cos 2х \б
• _ 1
1 4- cos 2х \5 29 . п
---—9-------) = 73- COS4 2х,
J 1 о
т. е.
(1 — cos 2х)5 + (1 + cos 2х)8 = 58 cos4 2х.
После преобразования получаем биквадратное уравнение:
24 cos4 2х — 10 cos2 2х — 1 = 0,
которое имеет два вещественных (и два комплексных) корня:
1/2 зх
cos 2х = —, 2х = 2Ал ± ——,
2 4
cos 2х =
2
гч. ЗЛ
2х = 2Ал ± ——.
4
л л 3
Ответ, х = Ал ± х = Ал ± -j- л.
о о
432
Ответы и решения
1077. Имеем:
sin (я cos х) = sm I -----я sin х к
отсюда (см. № 1015)
я cos х 4- — я sin х = (2k 4- 1) я,
я cos х
я
т
4- я sin х = 2/гя.
После очевидных преобразований находим:
1
а) cos х — sin х — 2k 4- —,
V 2 cos (х 4- = 2k 4-
cos
. л \ 4/? 4- 1
Х + 2/2 ;
б) cos х 4- sin х
= 2k 4- ~
V 2 cos ^х-----= 2k 4-
Но
4k 4- 1
2 f~2
4fe4- ]
2 /2
1 при k = 0,
следовательно,
/ . л \
cos ( x 4- —
\ 4 /
1
2 / 2’
COS I X
л \ ]
4 /2/2
откуда
/ 2
Ответ.
x = 2/ПЯ ± arccos
x = 2mя ± arccos
x = 2/ия ± arccos
я
T‘
4
я
T"'
/2 я
~1~ + .T-
Тригонометрические уравнения
433
1078. Имеем:
, V / л \
tg (л tg х) = tg ( у — л ctg X к
отсюда (см. № Ю17)
л tg X----— + Л Ctg X = k л,
(1)
(2)
откуда
2 tg2 х — (2ft 4* 1) tg х + 2 = О,
2fe + 1 ± / (2ft + О2 ~ 16
1ьЛ 4
(3)
Легко заметить, что уравнения (1) и (2) не эквивалентны. Так,
например, если уравнению (2) удовлетворяют значения
tgx =
2ft 4-1
2 ’
(4)
где ft — целое число, то эти значения не удовлетворяют уравнению (1),
так как tg (л tg х) не имеет смысла; следовательно, наличие решений
вида (4) в уравнении (2) подлежит1 исследованию.
По формуле (3) tg х существует, если (2ft + I)2 — 16 0, поэтому
ft = 0 ± 1, —2 исключаются из рассмотрения. Кроме того, tg х будет
рациональным числом вида (4) при условии, что подкоренное выраже-
ние равенства (3) будет точным квадратом.
Обозначая
2ft 4- 1 = у, (2ft 4- I)2 — 16 = z2
(г — целое число), находим:
у2 — 16 = г2,
т. е.
(у — г) (у 4- г) = 16. (5^
Для решения последнего уравнения с двумя неизвестными в целых
числах полагаем:
у — z = и,
У 4- г = v, (*)
и уравнение (5) принимает вид:
UV = 16. (6)
Если у н г — целые числа, то и и v — также целые числа.
Уравнение (6) в целых числах имеет десять решений; для данной
задачи пригодны следующие:
ult 2 = ±2, ult 2 == ±8,
«з, 4 — * 8- из, 4 = ± 2.
434
Ответы и решения
Решая систему (*), находим
У —
и V
~2~
(причем у по условию — число нечетное), т. е.
у — ± 5.
При у = +5 k — 2;
при у = —5 k = —3.
Из соотношения (3) при k — 2
tg* = 2, tgx = -Ь;
при k = —3
tgx = — 2, tgx =---
Но значения tg x = ± не удовлетворяют исходному уравнению;
ему удовлетворяют значения
tgx=±2. (7)
Из соотношений (3) и (7) находим искомые решения уравнения.
_ , . 2k 4- 1 ± /(2fe 4- 1)2 — 16
Ответ, х — тл 4- arctg-----!-------—!— ----------,
х= пл ± arctg 2,
где т и п — любые целые числа, k — ±3, ±4, ±5, ...
1079. Имеем (см. № 1016):
лх2 ± 2лх = 2Лл (k = 0, ± 1, ±2, . . .),
поэтому
х2 ± 2х — 2 k = 0,
откуда
х= +1 + К2/?4- 1-
Корни этого уравнения должны быть вещественными числами;
это возможно при условии, что подкоренное выражение 2k + 1 0.
т. е. k 0.
Известно, что корень квадратный из полного квадрата нечетного
числа 2k 4- 1 есть число нечетное; значения х в том случае будут целыми,
когда целыми будут числа 1^2Л 4-1» но эти числа нечетные, следова-
тельно, целочисленные решения уравнения будут числа четные, что и
требовалось доказать.
1080. Имеем;
sin х cos х _ 4
cos х sin x ~ у s' 6
Тригонометрические уравнения
435
т. е.
1. Если
то
откуда
2. Если
то
откуда
2 4
sin 2х ~ |/з*
sin 2х > О,
2 4 . о ИЗ
sm 2х Из 2
2х = kn 4- (—1)* .
sin 2х <5 О,
2 4 . о ИЗ
sin 2х ИЗ 2
ь Д
2х — kn — (—1/ -Q-.
О
Л Г? Д / 1 \k
Ответ, х = —т— ± (—1) .
2 о
1081. Известно (п. 10, стр. 505), что
sin Зх = 3 sin х — 4 sin3 х.
Преобразуем заданное уравнение так:
3 sin х — 4 sin3 х 4~ 2 sin х cos х — п sin х = 0,
sin х (3 — 4 sin2 х 4- 2 cos х — л) = 0.
Если
sin х = 0,
то
х = kn.
Если
3 — 4 sin2 х 4- 2 cos х — л = 0,
т. е.
4 cos2 х 4- 2 cos х — (л 4" 1) = 0,
то
—1 ± И4л 4-5
z COS X =--------------1,
4
436
Ответы и решения
Для того чтобы решения последнего уравнения имели место, необ.
ходимо:
5
а) 4л 4- 5 О, т. е. п ---------— •
б)
—1 ± К4п + 5
4
Следовательно, если
—1 4- l^4n-j-5
COS X =----!—-----!---,
4
то
—3 < У 4п + 5 5, т. е„ п 5.
Если
то
cosx =
—1 —/4/М-5
4
Учитывая
нения:
1. Если
все эти соотношения, находим решения заданного урав-
1 п 5,
х = 2Лл ± arccos
—1 + /4л+5
то
2. Если
х = kn.
5
4
х = 2kn ± arccos х
—1 ± /4п + 5
4
ТО
X = kn.
5
3. Если п В> 5 или п <5-------т-.
4
то
х = kn.
Тригонометрические уравнения 437
1082. Преобразуем уравнение так:
___1_
4 2 sin х _ cos х
Отсюда следует, что
1) cos х 0, так как правая часть уравнения при этом не имеет
смысла;
2) 2s'"*=7SF-
Решая последнее уравнение, находим
sin 2х = 1, 2х — 2/гл -f- ~.
Ответ, х — kn Н——.
* *
1083. Имеем:
(2 cos Зх + 4 cos х — 1) lg cos 2х = —lg cos 2x,
2 (cos 3x + 2 cos x) lg cos 2x = 0.
Если lg cos 2x = 0, to cos 2x = 1,
2x = 2/гл, x = kn
Если
cos 3x + 2 cos x — 0,
4 cos3 x — 3 cos x + 2 cos x = 0,
cos x (4 cos2 x — 1) = 0,
TO
л . Л
cosx = 0, х = £л-|~ — •
4 cos2 x — 1 = 0,
1 о l. л
cos x = -y , x = 2/гл ± ——-
1 nu
cos x =------—f x = 2kn ± —
z
Ответ, x = kn, x = 2kn ± ,
О
z Л
x = kn-f-—, x = 2kn±
438
Ответы и решения
1084. Имеем:
cos х = 1, х = 2/г л.
3 1
sin2 х---g- sin х + — = 0;
(л \
х — 2/гл + — I,
1 ~. л
sinx = —, x — 2kn-\--£-.
Ответ, х — 2kn, х = 2/гл 4- -А.
6
1085. Указание (см. № 1056).
л 1g х = 2&л, х — 102/г;
Л 2& +
л^х = 2/гл-|—х= 10
оь 2fe +А
Ответ, х = 10 , х = 10
1086. Воспользуемся соотношением
, 1
log. ° = 1---Г
b loga Ь
и приведем заданное уравнение к виду
log2 sin х* log3 sin2 x = 1.
Обозначая log2 sin x—z, находим:
22 = sin x,
t. e. 2z2 log3 2=1, z=± l°g2 3 ,
или
log2 sin x = ± у — log2 3 ,
откуда
- V-T- log*3
Ответ, x = kn + (—1) arcsin 2
Тригонометрические уравнения
439
1087. Имеем (см. № 1086):
logons г sin *+ 1 „ 1—•-------2 = 0,
C0S* logcos х Sln x
(logcos x Sin x)2 — 2 ,0gcos x Sin x + 1 = 0,
(logcos X sin X - I)2 = 0, 10gC0S x sin X = 1.
Потенцируя, находим:
cos x = sin x.
Ответ, x = 2&л + —— .
4
1088. Указание. Преобразовать заданное уравнение так
tg2 х (tg2 х + 2 tg х + 1) + (tg2 x — 2 tg x 4- I) = 0,
tg2 x (tg x + I)2 + (tg x — I)2 = 0.
Так как нет таких значений х, при которых tg х, tg х + 1 или
tg х — 1 одновременно обратились бы в нуль, заданное уравнение
решений не имеет.
1089. х = 2; х = 4.
1090. Указание.
sin (2 arcsin х) = sin (arcsin 2х),
2 sin (arcsin x) cos (arcsin x) = 2x.
x К1 — x2 = x-
Ответ, x = 0.
1091. Решение 1-е. Обозначая
arccos х = a, arcsin х = b,
имеем.
cos а = sin b = х.
Заданное уравнение преобразуем к виду:
. /3
а — b = arccos —-—,
откуда
cos (а — Ь) = ——,
/
cos a cos b 4- sin a sin b =
2
440
Ответы и решения
т. е.
х К 1 — х2 4- х |Л 1 — х2 = —jr—
4х К 1 — х2 = /3 .
Решая это иррациональное уравнение, находим корень искомого
уравнения.
Решение 2-е. Имеем:
л
arccos х — arcsin х — -х- ,
О
arccos х + arcsin х = — ,
откуда
л I
arccos х = • х = —
о 2
Ответ, х = -у-.
1092. х= /З- — 1.
1093. х = 0, х = 0,5.
1094. х = ± 4- .
О
1096. х = 0; х = ±1.
1097. Указание
sin к cos у = 4~ [ sin (х 4- г/) -J- sin 'х — у) J;
принимая во внимание условие задачи, находим:
sin (х — у) = 2т — sin п.
Л п kn (—1)*
Ответ, х = -у 4—~—И ——у— arcsin (2т — sin п),
п kn (—1)* .
у = -------Q------- 9 arcsin (2т — sm п),
если
| 2т — sin п | 1.
1098. Преобразуем первое уравнение к виду
2 sin
i±y
cos
X -1/
= т
2
2
Тригонометрические уравнения
441
и учитывая второе уравнение, находим:
х — у т
cos —~ =--------------
2 о . п
2 sin -х-
следовательно,
х — у — 4/гл ± 2 arccos-
2smT
1. Если
т
2S"?
п =£ 2kn,
n
Т
го заданная система уравнений имеет общее решение:
л т , о.
----------4- 2/гл,
О . п
2s,n V
х = — ± arccos
п
у = -тг- т arccos
э 2
tn
--------------2k л.
п • П
2 sin —
т
2sln-2“
нений решений не имеет.
1099. Составляя производную
2. Если
т. е.
1 или
п = 2/гл, то заданная система
пропорцию, находим:
sin х -f- sin у __ 5
sin х — sin у ~ 1 ’
урав-
х + г/ х X — у с
tg—p^ctg—2-2- =5;
учитывая второе уравнение, получим:
Следовательно,
х — у — 2/гл + 2 arcctg 5
л
откуда и находим ответ.
Ответ, х = ~ + /гл + arcctg 5,
У
= —------/гл — arcctg 5.
4
442
Ответы и решения
1100. Из первого уравнения находим:
sin (х + у)
COS X cos у
COS X cos у =
sin (х ± у)
т
Заменяя значение х + у = п, а
cos х cos у = -у [cos п 4- cos (х — у)],
получим:
cos п -J- cos (х — у) =
. ч 2 sin п
cos (х — у) -----------------cos п,
откуда
Л. /2 sin п
х — у — 2лл ± arccos (----------- cos п
* \ т
Решая полученные уравнения со вторым уравнением системы, на-
ходим искомое.
2 sin п
---------cos п
т
Ответ, х = kn + ± arccos
. , п ( 2 sin п
у = —kn 4- -и- 4 arccos (--------------cos п
2 \ т
если
2 sm п,
---------cos п
т
1101. Указание. Имеем:
у = пп — х;
tg У = tg (пл — х) = —tg х.
Первое уравнение принимает вид:
П х м
2tgx = /n, tgx = — .
Ответ, х = kn -f- arctg —,
у = (n — k) л — arctg -y.
Тригонометрические уравнения
443
1102. Указание. Составляя производную пропорцию, получим:
sin х sin у _ tn
cos х cos у ~ 1 ’
cos (х — у) _ 1 4- т
cos (х у) ~ 1 — т *
cos (х — у) — -г—----------cos п и т. д.
v 1 — т
п । . t 1 / 14~т
Ответ, х = -у + kn ± arccos ( cos п
п , 1 / 1 4~т
-----kn — arccos ( -j—2
2 2 \ 1 — т
cos п ),
1 4~ т
1 —т
если
cos п
1, 1.
1103. Из первого уравнения находим:
sin (х 4- у)
cos х cos у
учитывая второе уравнение, имеем:
откуда
sm (х4-0 =-Ly-,
х 4-z/ = fcn 4-
или х + у = 2пп Н——, при k = 2п (четном). ..
Из второго уравнения, заменяя cos х sin у по известной формуле
и учитывая последнее соотношение при различных четных значениях k,
находим:
cos (х + у) + cos (х — у) ~ j/"2,
cos (х — у) = К2 — cos kn 4- (—1)*
(k = 0, 2, 4, . . .),
откуда
cos(x— у) = —,
х — у = 2пл ± —.
у 4
444
Ответы и решения
Решая системы уравнений
х + у = 2пп 4- -£,
х — у — 2пл ± —,
находим ответ.
При нечетных значениях k исследовать самостоятельно.
Ответ, х = 2пл, и = х — 2пл 4* и = 0.
’ » 4 4 ' 9
1104. Указание.
cos у _ cos х — п
1 — 1 — п cos X ’
1 — cos# (1-j-n) (1 — cdsx)
1 4- cos у (1 — n) (1 4- cos x) *
tg
2_У 1 + ”
2 ~l—n
tg’f
откуда
tg
Следовательно,
tg "Г = £ (n ~ 1 ±K1— n2),
tg-f- = -^(rt + 1 + n2)-
Ответ.
если n << 1.
kn 4- arctg(n — 1 ± У1 — n2)
y= 2 kn 4~ arctg-^- (n 4- 1 + Ki — n2) ,
V29 +• 1Л5
1105. cos x = ± -.ъ~ - ~
1
x = 2
cos у = ±
/29 + /5
12
Задачи по планиметрии
445
19 ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ
ТРИГОНОМЕТРИИ
1106. На рис. 55 рассмотрим четырехугольники ODBM, ODCN
OMAN- У каждого из них суммы двух противоположных углов
оавны 2d, следовательно, около каждого четырехугольника можно
описать окружность.
Вычислим углы треугольника DMN:
£_0DM = LOBM = 90° — а
+ /_ODN = LOCN = 90° — а
/ 0DM + /.0DN = /_MDN =
= 180° — 2а,
т. е. LMDN = 180° —2а.
Аналогично
t_OMD = LOBD = 90° — у
/_0MN = /_OAN = 90° — у,
откуда
£DMN = 180° — 2у.
Точно так же находим:
/_MND = 180° — 2р.
как вписанные углы, опи-
рающиеся на равные дуги,
Рис. 55.
Для вычисления сторон треугольника DMN воспользуемся тем,
что &BMD со ДАВС (так как /_BMD = 90° — ^OMD = у; Z.P —
общий);
следовательно,
MD BD
AC ~ АВ ~ C0S k
откуда
MD = AC cos Р = b cos р.
Аналогично находим, что,
ND — с cos у,
MN = a cos а.
Искомая площадь треугольника DMN
S =~MNMD sin (180° — 2у) =
= a cos а • b cos Р • sin (180° — 2у) =
= ab cos а cos Р sin 2у.
1107. Решение 1-е. Обозначим площадь данного треуголь-
ника — S, площадь искомого — S', углы заданного треугольника — а,
Р и у.
446
Ответы и решения
Имеем (см. № 1106):
S' = ab cos a cos Р sin 2у =
= ab cos a cos P cos у sin у = ab sin y* (cos a cos P cos y),
e 1 и •
S = ab sin y,
откуда
S' = 2S cos a cos P cos y.
*
Кроме того, по теореме косинусов находцм:
Ь2 4- с2 — а2
cos а =-----,
02 £2 — с2
™^ = —^ь----------•
Следовательно,
S (а2+ Ь2 — с2)(а24- с2 — b2)(b2 + c2 — а2)
6 — 4 а2Ь2с2
Решение 2-е. Имеем (см. рис. 55):
AM — & cos а, BD = с cos Р, CN — a cos у,
AN — с cos а, ВМ — a cos Р, CD = b cos у.
Samn cos2 а sin а = S cos2 а,
£
Smbd = -н* ос cos2 Р sin р = S cos2 р,
S^dc — cos2 у sin у = S cos2 у.
Площадь искомого треугольника
S' = S — (Samn + Smdc + Smbd) =
= S (1 — cos2 a — cos2 p — cos2 y) =
= S (1 — 2 cos a cos P cos у). (1)
Подставляя значения косинусов из формул (А) в соотношение (1),
определим искомую площадь.
Задачи по планиметрии
447
1108.
к- V з
4
1110. Пусть а =/= 45° (см. рис. 34);
BD = 2ED = 2 /OD2 — ОЁ* = 2 /Я2 — а2 sin2 а .
Аналогично
АС = 2FC = 2 /Я2 — а2 cos2 а
s = -Lac-bd.
Ответ. S=2]A(R1 — а2 cos2 а) (У?2 — а2 sin 2 а).
1111. Обозначим хорды АВ = а, ВС= b, CD = с (рис. 56). По
условию
а : b : с= 1 : 2 : 1.
Построим высоты OF и ОЕ и обозначим /_АОВ = х, /_ВОС = ср.
Имеем:
х а
Sin Т = ~2R ’
ф b
Sin Т = 2Я ’
следовательно
х ф
sin : sin = а: b — 1: 2,
Л
поэтому
• Ф о • X
sin —= 2 sin .
Замечая, что
Ф = л — 2х,
Ф ( л \
Sin -у- = sin ( —-----X j = cos X,
т. е. о . X cos х — 2 sin -g- ,
/ 2 sin2 + 2 sin 1 = 0,
откуда . x -1 + /3" sm 2 = 2
448
Ответы и решения
Следовательно,
х 1 J/ 3 л л
sinT = _ —+ _r- = s,n_—sin-5- =
= 2 cos — sin-jy = V 2 sm -J2-.
Ответ.
х = 2 arcsin
(^2 sin J2 ) ,
<p = 4 arcsin
(/2 sin .
\ * £ /
1112. Если стороны прямоугольного треугольника *а, b и с состав-
ляют арифметическую прогрессию и а <j b <« с, то'они удовлетворяют
следующему соотношению:
Но из прямоугольного треугольника АВС имеем:
а — с cos р 1
b = с sin р /
поэтому равенство (1) принимает вид:
csinp= C(COSP+I),
или
О . Р 0 2 ₽
2 sin -у cos -у = cos2 -у .
Так как cos — =f= 0, то, разделив данное равенство почленно на
о
2cos2-^-, имеем:
tg 2 2 ’
следовательно,
Р = 2 arctg , т. е. Р « 53°8'.
£
2. Если стороны прямоугольного треугольника составляют гео-
метрическую прогрессию и а <5 Ъ <3 с, то
Ь2 = ас. [6)
Заменяя в равенстве (3) значения а и b из соотношения (2), получим
с2 sin2 Р = с2 cos р,
Задачи по планиметрии
449
или
откуда
cos3 Р + cos р — 1 = 0,
cosp= >
следовательно, _
Р = arccos (—4-^-). т. е. р «5 38°10',3.
1113. Имеем (рис. 57):
О В = т- /_B0N = /.BAD = а.
Из треугольников B0N и A0D находим:
г = т cos а,
AD = rc\.g~,
поэтому АС = 2г ctg .
Следовательно,
АС = 2m cos a ctg-^-.
Рис. 57.
1114. Из условия вытекает, что все центральные углы равны 60°.
Проекция радиуса R на ближайший
= R cos 60°.
Проекция rt на следующий ближайший
г2 = G cos 60° = R cos3 60°.
Следовательно,
г3 = г2 cos 60° = R cos3 60°
/ 1 \«
г6 =/? cos6 60° = r(-L_\
Ответ. r6 = 2 см.
1115. 6,5 мили.
1116. Пусть АВ = ап — сторона правильного вписанного и-уголь-
ника (рис. 58),
/_АОС = -С-/.АОВ=1-^- = ч.
Из треугольника А ОС
АС — г sin ф.
поэтому
ап = 2ДС = 2r sin ф.
450
Ответы, и решения
Апофема
ОС — г cos ф.
Периметр многоугольника
Рп = 2nr sin ф.
Площадь многоугольника
Sn = -^-пг2 $и12ф.
1117. Обозначим искомую высоту предмета АС = Н, а высоту
угломерного инструмента В В' = h. Установив угломерный инструмент
А в точке В (рис. 59) и измерив угол а и базис
[\ ВС = d, из прямоугольного треугольника АВ'С'
\ находим:
Н — d- tga 4s- ft
\ (d = 20,5 At; a = 36° 20'; ft = 1,37 m).
Ответ. H — 16,45 m.
C 1118. Обозначим искомую высоту предмета,
Рис. 59. к которому подойти нельзя, через Н, а высоту
угломерного инструмента ft.
На прямой ВС возьмем точку D и измерим базис DC — d. Устано-
вив угломерный инструмент в точке С, а потом в точке D, измерим
углы а и Р (рис. 60). Из треугольника D'AC', по теореме синусов, на-
ходим:
. d sin a
AD = —:—75-------г
sin (0 — a)
Из прямоугольного треугольника В’AD'
находим:
л п/ • а d sin a sin 0
AB — AD sin 0 = —т-75------г .
r sm (0 — a)
Итак,
_ d sin a sin 0
~ sin (0 — a)
Рис. 60.
(DC = 11 M- a = 35°; 0 == 49°; ft = 1,37 m).
Ответ. H = 21,1 m.
1119. На берегу реки (рис. 61) провеши-
ваем прямую и измеряем отрезок АВ — d
и углы а и 0.
Из треугольника АВС, по теореме сину-
сов, находим:
d sin a
sin(a +0)
(AB - 100 At; a = 44°; 0 = 74°; Л В = 16 At; a = 22° 57';- 0 = 143° 8').
Ответ. ВС = 78,7 и ВС = 39 м.
Задачи по планиметрии
451
Рис. 62.
1120. Пусть точки А и В, расстояние между которыми требуется
найти, видны, но недоступны.
Для решения задачи проводим базис CD = d и строим фигуру
(рис. 62); измеряем базис d и углы аь а2,
и Р
Из треугольника BDC
RC __ sin 002
sin (р! + а2)’
Из треугольника A CD
Ac d sin
sin («! + p2) ’
Зная две стороны АС, ВС и /АСВ = Р2 — Pi, находим искомое
расстояние АВ (d = 20 м; а2 = 81° 15'; = 42° Г; Р2 = 86° 40';
р, = 52° 40').
Ответ. АВ = 16,3 м.
1121. а) На прямых АС и ВС, как на хордах, строим два сегмента,
вмещающих данные углы аир. Эти сегменты пересекутся, кроме
точки С, в искомой точке D, что непосредственно вытекает из построения
(рис. 63).
Рис. 63. Рис. 64
Ясно, что решение невозможно, если искомая точка D и три данные
будут находиться на одной окружности, так как тогда оба сегмента
сольются в один.
б) При точке А (рис. 64) строим /.ВАМ = а, а при точке В строим
/.ABN = р. Точку пересечения F прямых МА и NB соединяем с третьей
данной точкой С. При точке А строим /.BAD = /.BFC. Точка пересе-
чения D прямых AD и FC и будет искомой.
Чтобы убедиться в правильности этого решения, достаточно через
три точки A, D и В провести окружность, которая пройдет и через
точку F, так как /.BAD = /.BFC (как вписанные углы, опирающиеся
на одну и ту же дугу DB).
/.CDB = /_МАВ — а,
/.CD А = /.NBA = р,
452
Ответы и решения
потому, что их дополнением до 180° являются вписанные углы, опи-
рающиеся на одни и те же дуги BF и FA.
в) Положение искомой точки D (рис. 65) будет известно, если вы-
числим расстояния DA, DB и DC. Для этого обозначим известный
/_АВС= у (зная три стороны треугольника АВС, мы можем его вы-
числить) и два неизвестных угла: 2.BAD = х; /.BCD = у.
Сумма внутренних углов четырехугольника ABCD
х Н- Р -|- у — 360°,
откуда
=180-_а+.|+У..
Из треугольников ABD ji BCD, по теореме
синусов, имеем:
BD=£smx. BD = a siny
sin a ’ sm p
или
c sin x _ a sin у
sin a — sin p ’
t. e.
sin x _ a sin a
sin у ~ c sin p ’
Введем вспомогательный угол ф, обозначив
tg ф
a sin a
с sin р
(угол ф можно вычислить с помощью логарифмов).
Следовательно,
sin х
sin у
= tg <р.
Применяя производную пропорцию, получим
sin х — sin t/ _ tg ф — 1
sin x + sin у ~ tg ф + 1 ’
или, после элементарных преобразований, находим:
= tg (Ф — 45°),
. X --- У l ! ЛГОх 1 Х ~t
откуда tg —= tg (ф — 45 ) • tg —
Задачи по планиметрии
453
X “Г у
Заменяя—- его значением, имеем;
tg^^- =tg (ср— 45°)tg (180° _ a+P + V \ (Д)
х — у
откуда вычисляем —.
п Х-\- у X — у
Зная —g—- и —g-2-, находим углы х и у.
Из треугольников ABD и BCD находим искомые расстояния
/1D -- csin (q+x) BD = e sinx
sin a sin a ’
CD _ a sin (p + y)
sin p
и положение точки D (за исключением одного случая, о котором сказано
в примечании).
Примечания. 1. При решении данной задачи нужно помнить, что
искомая точка может иметь шесть различных положений относительно трех
заданных точек. Она может находиться: внутри треугольника АВС; вне этого
треугольника, но внутри окружности, описанной около него; на окружности,
проведенной через три заданные точки; вне этой окружности против одной
из сторон треугольника А ЁС; вне окружности, но против бДного из углов
данного треугольника и, наконец, на сторонах данного треугольника.
2. В том частном случае, когда во второй части неравенства (А) один
X — 11
множитель обращается в нуль, а второй есть конечная величина, tg —=
=0, откуда х = у. Но если один множитель равен нулю, а второй стремится
X — и
к бесконечности, то tg —-— принимает неопределенную форму вида 0 • оо, а
задача имеет бесчисленное множество решений.
В самом деле, если
то
или
tg (180° — a + P+Y j (
180° — — - + - = 90°
a 4- ₽ + y = 180°;
отсюда и следует, что около четырехугольника ABCD можно описать окруж-
ность и на дуге ADC найти не одну определенную точку D, а бесчисленное
множество точек, удовлетворяющих данному условию задачи.
Из равенства
вычислим вспомогательный угол <р. Для этого перепишем его так:
а
V sin 3 sin a ’
454
Ответы и решения
В данном случае
а __ с = 2R
sin р sin а ’
где R — радиус описанной около четырехугольника ABCD окружности.
Следовательно,
tg Ф = 1; Ф = 45°,
поэтому первый множитель действительно обращается в нуль, т. е.
tg (Ф—45°) =0.
3. Кроме приведенного, есть много других способов решения этой очень
важной задачи.
1122. Указание. Применить формулы из решения задачи
№ 1121.
Ответ. AD & 1,034 км\ DC & 2,047 км; BD & 1,465 км.
1125. а =--------« 8,5.
4 sin ( -----45°)
\ & J
1126. Р= 2а sec2
1127. Обозначим половину меньшей диагонали ромба через /г,
радиусы кругов, вписанных в ромб, согласно условию задачи, соот-
ветственно через R и г.
Имеем: R = k sin ^90°---------=
= 2k sin ( 45°-----cos ( 45° -f- —
\ 4 J \ 4 )
= 2k cos ^45° sin ^45° -|- ;
r = fetg ^45° —= Actg ^45°
Ответ. — 2 sin2 (45° -|—.
r \ 4 /
1128. dt 2 — Ka2 + № ± 2ab cos a • — •
' sin a’
4ab
sin a ’
1129. R = 105,15 кГ.
1130. d # 13,5 ж.
1131. a 39° 59,5'.
Задачи по планиметрии
455
1132. По законам физики освещенность
. _ k sin а
' ~ Z2 ’
где k — коэффициент пропорциональности (рис. 66). Из прямоугольного
треугольника АО В
I— г _ k sin a cos2 g
~ cos g ’ r2
/ Zr2 \2 sin2 g cos4 a . cos2 g cos2 g
Ы) =----------4------= (l-cos>K)~2----------j-;
так как сумма трех множителей постоянна и равна единице, т. е.
/1 cosag . cos2g ,
(1 — cos2g) Н-X----1----х— = 1,
то наилучшее (максимальное) освещение в точке А будет при условии,
если (см. № 703)
1 — cos2 g =
cos2 g
откуда
Искомая высота
h = г tg g # 0,7л
Ответ, h рл 0,7г.
1133. Обозначим радиус наибольшей вписанной окружности г,
/_АОВ = д.
Л2Г2 — 4Г2
Заменяя AN, MN и NF их значениями в соотношении (1), находим;
—-—Л,
а
sm V J
456
Ответы и решения
откуда
а 4 л
sin о — д j т*
2 4 + л2 ’
поэтому
4 д
а == 2 arcsin -г-;.
4 Ч-
Ответ, 129°56'.
§ 20. ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ
С ПРИМЕНЕНИЕМ ТРИГОНОМЕТРИИ
1134. Обозначим
Рис. 68.
AD = х, DC = у, DDi = г.
Имеем:
BJJ = d (рис. 68).
2 (t/4- AiLf) = т; (1)
у — d sin Р; (2)
AtD = d cos p. (3)
Из соотношений (1), (2) и (3) находим:
________in_______
2 К 2 cos (р—45°) ’
Кроме того:
х = A iD cos а = d cos а cos Р,
г — A tD sin а d sin а cos р.
По трем измерениям х, у и г находим объем параллелепипеда.
Л ,, /2т3 sin 2а sin 2р cos р
°ТЮТ 1 ---128 cos» ф—45°)
1135. Обозначим ребро куба х, отрезки ArN = у, AN — z (рис. 69).
Находим: ху = т, х = у cos a, z = у sin а, откуда
т
cos а
х = К tn cos а,
1 / т
z = sin а I/ ----------.
V cos а
Плоскость сечения A^B^MN делит куб на
две части, из которых одна треугольная приз-
ма, а другая — четырехугольная.
Объем треугольной призмы
X^Z 1 /------------
Ui = = -75- sin а V т6 cos а.
Zi Zi
Задачи по стереометрии
457
Объем четырехугольной призмы
У2 = х3 -
„ sin ос .г—-------------
Ответ. Vi = —р— V т? cos а,
,. 2 cos а — sin а .г—---------
V2 — ------------------V тэ cos а.
2
1136- Зная предыдущее решение, можно разделить V2 на
Но можно пойти другим путем. Так как высоты у полученных призм
равны, то
BrBBM
_ пл. В^СМ (ВхСх 4- ТИС) СХС
Vi “ пл. BBiM ~
xz
[х 4- (х — г)] х = 2 X _ !
г
V9
Ответ. -г~ — 2 ctg а — 1, где
Vi z
1137. Из треугольника BBJ3 (рис.
вания
BD = Н ctg а
и диагональ параллелепипеда
RD- Н
sin а
= ctg а.
70) находим диагональ осно-
сторону
Из треугольника ОВгС находим
основания DC, а из треугольника BDC нахо-
дим сторону основания ВС:
г\/-' d гч Q Sin Р
DC — B,D sin Р =------------—,
sin а ’
А .
Рис. 70.
ВС = V BD2 — DC2 = - Д- • К cos3 а — sin2 6 —
sin а f
Н К cos (а 4- Р) cos (р — а)
~ sin а
Искомый объем параллелепипеда находим по известной формуле.
Ответ. V = — Sin Р — — + C0S ~ К)
sin3 а
1138. V = 2а3 sin -у-
&
“ia а
sm_sin_.
458
Ответы и решения
1139. Обозначим искомые углы:
Ф, 2ф, 4ф и 2ф.
Через вершину пирамиды проведем два сечения ESF и A1S/V
перпендикулярно площади основания, поэтому SO — h будет высотой
пирамиды (рис. 71).
Треугольник ESF равнобедренный, поэтому высота h в точке О
делит основание EF пополам.
Имеем:
ctg Ф =
ОМ
h
ctg2T = -^-, •
. я
с^4ф = —,
NO + ОМ = а.
(1)
(2)
(3)
(4)
Следовательно, из соотношений (1), (3) и (4) находим
t , л OM + ON а
ctg ф + ctg 4ф =--------f-----= —
и, учитывая соотношение (2), получаем:
ctg ф + ctg 4ф = 2 ctg 2ф,
или
ctg ф — ctg 2ф = ctg 2ip — ctg 4ф,
г. е.
sin (2ф — ф) _ sin (4ф — 2ф).
sin ф sin 2ф — sin 2ф sin 4ф ’
sin 2ф = sin 4ф = 2 sin 2ф cos 2ф,
cos 2ф = 0,5.
Ответ, ф = 30°.
1140. Обозначим сторону основания призмы — а, боковую сто-
рону треугольника сечения — х; тогда 2х -г а — 6а, т. е.
Высота основания призмы
Л» 0,5/3-а.
Высота треугольника, полученного в сечении,
1 Г q2 г-
н = у х* — = а / 6.
Задачи по стереометрии
459
Угол <р между плоскостями основания и сечения находится из соот-
ношения
h
cost = —,
откуда
Ф — arccos • ф # 69° 17' 43".
п ’
Радиус круга, описанного около основания,
/? =
а/3
3 *
Радиус круга, вписанного в сечение,
— Q 6
Г~ Р ~ 6
Отношение радиусов этих кругов
г _ а К 6 а К 3
Ответ. ~R~ = ~2~'
1141. Обозначим сторону основания треугольника х. Тогда высота
. х/З Л х2 / 3
основания треугольника п ~ —» а ег0 площадь Q = —-— .
Рассматривая площадь рснования треугольника АВС как проекцию
площади сечения S, имеем:
-— = S • cos р,
4
откуда
Высота призмы
х = 2
я = *tgp =
— tg ₽.
Искомый объем призмы
V = QH=^-^ р.
Полная поверхность призмы
^полн ~ Зх • Н + 2Q.
460
Ответы и решения
Ответ. V = sin р V К 3 -S3 cos Р,
„ _ 6S cos р sin (<р Р)
поли — COS ф COS Р
. 1
где ф = arctg -у .
1142. Обозначая АВ = АС = х, ВС = г,
2х + г = 2р
и
о • а
г — 2х sin ,
откуда
х =-------£------=-------------------
l + sin-^- 2 cos2 ( 45° —
Из треугольника ABD находим высоту основания призмы:
а
pcos-n-
, а 2
h = х cos — =---------------------.
2 2 cos2 (45° — 4-I
\ 4 /
Из треугольника AA}D находим высоту призмы:
имеем:
а
Р sm
z ------j--------
cos2 ( 45°— —
Ct п
pcos-^-.tgp
Н = h tg р =--------Г---------Т-.
2 cos2 ( 45° — )
\ 4 /
Площадь основания призмы
_ х2 sin а _ р2 sin а
2 8 cos4 ( 45° — )
Искомый объем призмы находим по известной формуле.
р3 sin а cos -g- tg Р
Ответ. V —--------------------------.
16 cos6( 45°----%- )
\ 4 /
1144 S 2р2 sin (Р 4-ф) tg Ф
COS Р COS ф tg -g-
где ф = arctg
а
sin ~2~
2 cos2 f 45е —
\ 4
Задачи по стереометрии
461
1144. Диагональ основания пирамиды BD = 2b cos а. Высота
сеЧения OF = h есть средняя линия треугольника 4SC (рис. 72),
поэтому
a2 cos ( 22° 30' + -J-) cos ( 22° 30' — )
1145. S6ok =----------------------------------------•
2sln"T
1146. Обозначим сторону основания пирамиды через х, апо-
фему — I.
Тогда
S = х2 + 2x1.
Но
2 cos а ’
поэтому
2х2 cos2
S =------------—
cos а
откуда
1Л$ cos а
х —-----------
V"2 cos
£
Высота пирамиды
„ х х tg a KS cos а
Я =-7Г tgа = -5—----------— .
2 У 2 cos
Объем пирамиды V = х2Н.
О
а
lg^-
Ответ. V =---------
Л а
6 cos
л»
S3 cos а
2
462
Ответы и решения
1147. Обозначим диагонали ромба BD = d и АС = dx, SE = /
(рис. 73). 1
Из прямоугольного треугольника OCD имеем:
ос = 4^-^,
dt = 20С = d ctg .
Площадь основания пирамиды
с=->.=4 ^4.
Вычислим сторону ромба
Рис. 73.
и высоту боковой крани пирамиды.
Из треугольника OCD
DC =-----------•
' . а >
2s.n—
из треугольника ЕОС
ОЕ = ОС • sin -у = -у cos — .
Следовательно, из треугольника OSE
ОЕ d cos Т
1 cos p 2 cos p *
Искомая полная поверхность пирамиды
^полн —
4DCI
2 +
Q.
d2 cos2 ctg ~у
Ответ. 5ПОЛН= .
.. .о с 2 . а ,, а3 l^cosa
1148. S6oK = a2 ctg , V =---------.
Л . О*
6sin^-
1149. Площадь основания пирамиды (см. рис. 73)
Q = a2 sin р.
Высота основания пирамиды
h — a sin Р.
откуда
гиг л а и
0Е = Т = ~2 sin ₽•
Задачи по стереометрии
463
Высота пирамиды
Н = ОЕ • tg а = tg cl sin р.
Высота боковой грани
_ ОЕ _ a sin Р
— cos а “ 2 cos а
Объем пирамиды
1 cP
V = — QH = tg а sin2 р.
0 О
Полная поверхность пирамиды
Q _ 4а/
2
+ Q-
2а2 sin Р cos3
Ответ. V = -^-а3 tg a sin3 р. $Полн =------------------------
a
2*
2а2 sin Р cos2( 45’
1150. S6oK =----------------—
cos а
1151. Из рис. 74 ясно, что
ОС = h ctg Р; 2ОС = dl = 2h ctg р,
OD = h ctg у; 2OD = d2 = 2h ctg y.
Площадь основания пирамиды
Q = dxd2 sin a = 2h2 sin a ctg P ctg y.
Рис. 74.
Искомый объем
2
V = h3 sin a ctg P ctg y.
О
2
Ответ. V = -x- ft3 sin a ctg p ctg y.
О
1152. Согласно условию задачи (см. рис. 72),
О А = a cos a,
Высота пирамиды
d — 20 А = 2а cos a.
Н = a sin а.
464
Ответы и решения
Сторона основания квадрата
и у Z
х — —g— — V 2 a cos а.
Площадь основания пирамиды
Апофема
Q = 2а2 cos2 а.
1 + sin2a
2
Боковую поверхность и объем пирамиды находцм пег известным
формулам: .
Ответ.
•$бок = 2а? cos а К1 + sin2 а,
V = a3 sin 2а cos а.
С 1153. Сечение — равнобочная
трапеция. Из треугольника OSE
(рис. 75)
ОЕ = a cos а,
следовательно, сторона основания
пирамиды и большая сторона осно-
Рис. 75. вания трапеции BMNC
b = 20Е = 2а cos а.
Из треугольника ESK по теореме синусов имеем;
КЕ =_КЗ_ = —?.
sin (180°—2а) — sin (а — 0) — sin (а 0) ’
откуда высота трапеции
„ a sin 2а
/<£ =———пт
sin (а + 0)
отрезок
„ = а sin (а — 0)
sin (а + 0) *
Далее: ДЛХР со &MSN, поэтому
MN KS
Ь ~ а
Задачи по стереометрии
465
откуда меньшая сторона основания трапеции
.... b-KS 2а cos a sin (а — Р)
МЛ/ =-------=------—р-дг——
sin (а 4- Р)
а
1 a sin 2а _
J sin (а + р) ”
Искомая площадь сечения
о Г , a cos a sin (а — 6)
S = a cos а 4-------—^-д,—
L sin (а 4- Р)
_ q2 cos а sin 2а [ sin (а 4- Р) 4- sin (а — Р)] _
— sin2 (а 4-Р) —
_ а2 cos а sin 2а2 sin а cos Р _ а2 sin 2 2а cos Р
— sin2 (а 4-Р) — sin2 (а 4-Р)
Л „ а2 sin2 2а cos Р
Ответ. S =------.
sm2 (а 4- Р)
1154. Из прямоугольного треугольника AEF находим высоту рав-
ностороннего треугольника АВС (рис. 76):
, EF k
П = —:----= —:------.
sin a sin а
Сторона основания (равностороннего треугольника АВС) пирамиды
2Л 2k
а = — -=-------.
ИЗ И 3 sin а
Площадь основания пирамиды
КЗ /г2
^43 sin2 а
Высота пирамиды
2k
OS — О A tg а = -----,
& 3 cos а ’
Рис. 76.'
где О А =
а
— радиус описанной окружности треугольника А ВС.
8
С
Рис. 77
где
n V 4КЗ/13
Ответ. V = .-----—jr—
27 sin a sin 2а
1155. Из равенства прямоугольных тре-
угольников (Z4S, OBS и OCS (рис. 77) сле-
дует, что О — центр окружности, описанной
около основания пирамиды:
О А = ОВ = ОС - R,
R = h ctg у.
466
Ответы и решения
По теореме синусов из треугольника АВС имеем:
АС = 2R sin Р,
ВС = 2R sin а.
Площадь основания пирамиды
Q = АС • ВС sin (a -f- Р) = 2h2 sin а sin Р sin (а Р) ctg2 у.
Ju
Объем пирамиды находим по известной формуле.
2
Ответ. V = -к- hs sin a sin Р sin (а + Р) ctg2 у.
О
1156. 5бок = о - - --•
3sm2acosa
2
1157. V = -я- R3 sin3 2у tg у sin a sin Р sin (а + Р).
о
1158. V = -^-b3 sin 2а sin 2Р cos р.
1159. Площадь основания пирамиды
Q = ~ b2 sin a.
2
Из условия задачи следует, что высота пирамиды Я проходит
через центр окружности радиуса R, описанной около основания. По
теореме синусов, из треугольника АВС имеем:
b
sin
= 2R,
Рис. 78.
Ответ. V — Ь3 sin ctg р.
О
1160. Длины ребер, как наклонные к плоскости основания под
одним и тем же углом, равны, следовательно, равны и их проекции
(рис. 78): О А = ОВ = ОС = R, т. е. радиусу круга, описанного
около треугольника АВС.
Задачи по стереометрии
467
Из треугольника АВС по теореме синусов находим:
= —•
2 sm а
Искомая площадь треугольника NSB
s = -Lnbos.
Из треугольника OSB находим:
OS = BtgP=^M-.
ь 2 sin а
Треугольник АОВ равнобедренный, поэтому
{_АВО= /_ВАО = 90° —а,
£ANB = 180° — (£NAB + £ABN) = 180° —
— (180° — 2а) — (90° — а) = За — 90°.
LCNB = 180° — (За — 90°) = 270° - За.
По теореме синусов из треугольника NBC имеем:
NB___________ВС
sin а — sin (270° — За) *
или
_ ВС sm а 2b sin а cos а
МВ =--------=---------------------
— cos За cos За
где ВС = 2b cos а.
_ „ № cos а tg 6 . п
Ответ. S. =------*-----о - (cos За < 0).
4 2 cos За ' '
1161. Из рис. 79 ясно, что искомый объем
V = ~QH,
О
где Q — площадь треугольника abc, Н — общая
высота пирамид.
Обозначая радиус круга, описанного около
треугольника abc, буквой R, получим
OS = R ctg а,
OSi = R ctg p,
H = OS + OSj,
t. e.
= В sin (a 4- p)
Sin a sin p ’
Рис. 79.
468
Ответы и решения
Кроме этого
следовательно
откуда
H = I cos а,
, R sin (а 4- P)
I cos а = —.—v— -'-5--,
sin a sin p
„ _ I sin 2а sin P
K ~ 2 sin (a 4- P) *
Площадь равностороннего треугольника abc
_ 3R2 /3
У “ 4
Искомый объем
Ответ. V =
4
К 3 Z3 cos a sin2 2a sin2 P
16 sin2 (a + P) *
1162. Имеем:
откуда
Н — d sin а,
2nR — d cos а,
d cos а
K ~ 2тГ“
Искомый объем цилиндра находим по известной формуле.
„ ,, d2 cos a sin 2a
Ответ. V —
8л
лЬ3 tg a ctg
1163. V =-------------g----.
8 sin2 -Jy-
1164. ф = 2л sin .
1165. Обозначая радиус основания, образующую и высоту конуса
соответственно через г, I и h, находим:
г = / cos a,
h = г tg a.
Полная поверхность конуса
\ cos a / ’
откуда определяем площадь основания конуса, его радиус и высоту:
S cos a
лг2 =-----------,
n > a
2 cos2 -5-
Задачи по стереометрии
469
1
а
COS-у
а
C0ST
S cos а
2л
Следовательно, искомый объем конуса
V 1 лг2 h = 5COSа tg а 1/Scosa
3 „ „ a а г 9я ’
6 cos2 — cos — ' z
jL и
a
~2~
Ответ. V =-----------
n a
3cos —
S3 cos a
2л
1166. Указание. Длина дуги сектора равна длине окружности
основания конуса:
л 1а
180
= 2лг.
Но образующая конуса
1 =----— ,
п • a
2 sin-у
следовательно,
a a
_ . a 360 ‘
2sm-y
Зная I и г, найдем высоту конуса:
h = К/2 -- г2,
а следовательно, и его объем по известной формуле.
1167. Проведем диаметр АВ J. CD—линии пересечения пло-
скости Q с плоскостью основания конуса. По условию
LAKS = Р,
Z.CSD = а.
Обозначая высоту конуса через Н, имеем:
И = S/C-sin р.
470
Ответы и решения
Кроме того.
Q = SK CK = (SKY tg ,
где из треугольника CKS
CK — SKtg-^ .
Отсюда
SK = У Q ctg .
Q ctg-| • sin р.
Ответ. Н =
1168. Осевое сечение усеченного конуса — равносторонняя трапе-
ция ABCD. Из точки В на линию AD опускаем высоту BE — Н. Тогда:
//=(/?- г) tga,
I = АВ =
cos a
усеченного конуса
s== Л(7?2-Г2)
cos а
Боковая поверхность
Рис. 80
Объем усеченного конуса
тг
V = — (/?3 — Г3) tg a.
и
7
1169. V = -т- л/3 sin 2a cos a.
о
1170. Решение 1-е. Искомая
поверхность тела вращения состоит из
боковой поверхности усеченного ко-
нуса (радиусы: г = a, R = а + х;
образующая I = а), кольца, площадь которого равна л (R2 — ха),
площади круга лг2 и боковой поверхности конуса лха (где х = a cos a,
R = 2а cos2 ; 5 = л(7?+г)а4-л (R2 — х2) + лг2 + лах =
= л (2а + х) а + л [(а + х)2 — х2 ] + ла2 + лах = 4ла (а + х) =
= 4ла2 (1 + cos а).
S = 8 ла2 cos2 .
Решение 2-е. Центр тяжести ромба находится в точке пересе-
чения его диагоналей. Длина пути, описываемая центром тяжести
ромба О вокруг оси вращения AOt (рис. 80), равна:
2л -OOi — 2лА0 cos-^- = 2ла cos2 ,
Л &
ЛГУ а
где АО = a cos — .
Задачи по стереометрии
471
По первой теореме Гульдина (см. № 828) искомая поверхность тела
вращения
S = 4а • 2 ла cos1 2 .
Ответ. S = 8ла2 cos2 .
1171. Указание. По второй теореме Гульдина (см. № 828)
искомый объем тела вращения
И = a2 sin а -2 ла cos = 2ла8 sin а cos ~ ,
Z и
где а3 * * * * sin а — площадь ромба.
Поверхность тела вращения (см. № 1170)
S = 8 ла2 cos2 -у- •
£
Ответ. V = 6984,9 jw8, S = 2861,7 м2.
1172. Указание. Решение аналогично предыдущему.
2nd2 cos -
£
_ ,, nd3 sm a sin В c
Ответ. у = ------:, Q. — , о =
sin (а 4- p)
cos —
1173 V ~~ sin2 cxsin2^
sin2 (а 4- Р)
1174. Центр
пересечения его
ЛО1,
С
OL — 6
4лс!2 sin a sin 0 cos —~-
1 I o\ ® 4- P
sin (a 4- P) cos —
*
тяжести параллелограмма A BCD находится в jvpte
диагоналей О (рис. 81). Длина пути, описываемая
центром тяжести параллелограмма при вращении вокруг оси
равна
„ 2nab sin a
2л-OOi = .. - -— —-
у а2 4- Ь2 — 2ab cos a
так как
л яоп 1 а • 00rBD
пл. ДДВС = -п-ab sin а = —4s—
£ £
ООх Va2 -j- Ь2 — 2ab cos а
В
Oi
2
ab sin а
откуда
ООХ = ------------------
у а2 4- Ь2 — 2ab cos а
Рис. 81.
472 Ответы и решения
Поверхность тела вращения по первой теореме Гульдина (см. № 828)
„ , 2лаЬ sin а 4 л (а b) ab sin а
5 = 2 а 4- Ь) —— -.....- \ - ==s== —.
V а2 4~ Ь2 — 2ab cos а и а2 4- Ь2 — 2ab cos а
Объем тела вращения
,, , . 2nab sin a 2na2b2 sin2 а
V = ab sin а• —........—---------= —- - —--------- ,
у а2 4- Ь2 — 2ab cos а у а2 4- Ь2 — 2ab cos а
где ab sin а — площадь параллелограмма.
Ответ.
S = 4 л (а 4- 0s*n а
а2 4- Ь2 — 2ab cos а ’
У _ 2ла262 sin2 а
а2 4- b2 — 2ab cos а
1175. Искомый объем тела вращения равен сумме объемов трех тел:
цилиндра и двух конусов, имеющих один и тот же радиус г, равный
высоте трапеции; высота цилиндра равна а — длине меньшей стороны
трапеции; сумма высот двух конусов равна (Ь — а) — разности основа-
ний трапеции, т. е.
ттг2 ТГ/'Я
УТ = лг2а 4- — (6 — cz) = — (2а 4- &).
О о
Обозначая высоту одного конуса через х, другого через у, находим
х = г ctg а,
У = г ctg Р,
или
b — a—x-\-y=r (ctg а 4- ctg Р);
т. е.
b—a = r Sin(a + d>
sin а sin р
откуда
_ (b — а) sin а sin [3
Г ~ sin (а 4- Р)
Ответ. VT =
л (2а 4- 6) (6 — а)2 sin2 a sin2 ft
3 sin2 (а 4- Р)
1176. VT = 6013,9 л3.
2
1177. Гт = -я- лб3 sin- 2а.
О
Задачи по стереометрии
473
1178. Обозначим радиус основания конуса через R, высоту через Н
и образующую через I. Из треугольника ОВС имеем:
D . . а „ , а
R = I sin , Я = / cos — .
£ Z
Так как полная поверхность конуса известна
^полн — 0 4- R) = sin (1 -|-
= 2л/2 sin ~ cos2 (45° —
(ГО
/ =—
cos
Обозначая искомый радиус шара через г и зная, что объемы шара
и данного конуса равновелики, имеем:
4 1
-у- яг3 = nR2H,
О и
или
откуда
4г3 = R2H = /3 sin2 cos ,
£ £
sin a sin
Отпет.
2 cos
еч • а
S3 sin а cos
4 л3
1179. Площадь треугольника АВС (рис. 82)
Q = ±-ABCD.
(1)
Из треугольника ACD
AD = ^-, CD = -Л—-.
2 а
Следовательно, Q —
AD2
откуда AD =
Рис. 82.
474
Ответы^ утешения
Из треугольников AOD и ACD находим:
1 / а
лп_ AD Г QtgT
Л0 = '7 180°------------------------- 18(F't
sin----- sin ——
п п
sin Т sin Т
Из треугольника АОС
ОС = / Л С2 — Л О2,*
т. е.
1 -|/ г-, а / . 2 180° . „ а \
°С = . а , 180» V “ «Т (S,n ~---------------S1" T =
sin -s- sin------ '
2 n
Ответ.
c _ 2nQ
60,4 “ а . „ 180°
COS-тг sin2 -----
2 n
1180. Обозначим площадь основания пирамиды — Q, высоту — Н,
образующую конуса — I, основания конуса — R.
Имеем:
Н — I sin a, R = I cos а.
Из формулы iiR (Z + R) = S вычислим Г.
лГ2 cos а (1 + cos а) =' S,
или
2л/2 cos а cos2 = S,
л/
Задачи по стереометрии
475
откуда
1 = ——
а
COST
s
2л cos а ’
Следовательно,
а
c°S-2
Seos а
2 л
площадь основания пирамиды
с . 360°
ОСЛО nS cos a sin -------
„ п П9 . 360е п
Q= — R2 sin---------=--------------------
2 п . , а
4 л cos2-g-
S3 cos а
2 л3
искомый объем пирамиды находим по известной формуле.
. 360°
п sin a sin —
_ п
Ответ. V =----------------
12 cos3
1181. V = 6657,5.
.._п ,, 2/3 sin2 6ctgа .г--—-——нт—-----------------------„г
1 <83. V = ----------3 sip а — V sin (а -J- р) sin (а — 0).
1184. Обозначим радиус вписанного шара через R, угол 4S0
через х.
По условию задачи составим равенство:
nNO2-O.S - п^О.Е2 ( R= 4-л7?3- ОУ44
о 1 у и / и
Но
NOi = R cos х, (2)
OXS = NOrctg x = COs2 * , (3)
1 1 & sin x
OXE= R — OOi = R (1 — sin x). (4)
Заменяя в равенстве (1) /VOlt C^S и ОгЕ их значениями из соотно-
шений (2), (3) и (4), находим:
или
cos4x
sin х
— (1 — sin х)2 (2 -j- sin x) = 4,
(1 — sin x)2 [(1 + sin x)2 — (2 + sin x) sin x] = 4 sin x,
476
Ответы и решения
т. е.
sin2 х — 6 sin х 4- 1 = 0,
откуда
sin х = 3 — 2 /2 0,172. . .
Ответ, х & 9° 55'.
1185. Пусть R— радиус основания конуса, Н — высота конуса,
h — высота треугольника (сечения); тогда:
п
R~ 2 •
, а . а
А = ТС‘«“2 •
н =
a Kcos d
о • «
2 sm -g-
Следовательно, объем конуса
у __ яа3 Ксоб а
~ю • а
12 sin -х-
Ответ. V <=s 75 дм3.
1186. Зная объем шара v, легко найти его радиус г, так как из
соотношения
v — -х- лг3,
О
Легко доказать, что высота конуса OS = И проходит через центр
вписанного шара. Соединив центр шара О' с основанием образующей 4S,
получим прямоугольный треугольник О'ОА, у которого катеты 00' =
= г, ОА = R и /_ОАО' = . Отсюда радиус основания конуса
R = г ctg
Из прямоугольного треугольника 05Л находим высоту конуса:
Объем конуса
Н = R tga.
V = -J- R3 tg a.
О
Ответ. V = -у- v tg a ctg3 ~ .
4 ь » 2
Задачи по стереометрии
477
1187. В треугольнике ABS, осевом сечении конуса (рис. 83),
обозначим: Д5 = I — образующая, OB = R — радиус основания ко-
нуса, 0^ = г — радиус вписанного шара; находим:
л/?2 = S,
откуда
Из треугольника BOtO
Г, а
Из треугольника BOS
cos а
Образующая отсекаемого конуса
SN = I — R =
2R sin2
cos а
Высота этого конуса
ОС
SO2 = SN sin а = 27? tg a sin2 .
Радиус его основания
О2М — SN cos а = 2R sin2 .
Искомый объем
V = nR9 sine tg а.
О Л
Л „8т ГФ t . й а
Ответ. У=-я- I/-----tgasm’-TT-.
3 г л & 2
1190. На рис. 46 изображено осевое сечение конуса и сечение шара
с радиусом г. Обозначим /.AS В = 2а, высоту воды в конусе до удале-
ния из него шара — Н, а после удаления — h.
Имеем:
Н = DS = г 4- OS = г 4- —- r(1 + sin а)- =
' sin a sin а
2r cos2 45° —
sin а
(О
478
Ответы и решения
Для определения высоты воды h находим объем воды,, налитой в ко-
нус,
V = VK - = 4- лЛ£>2Я - А лг3 = 4 л (#3 а “ 4f3)> (2)
О о о ' ’
где
AD = Н tg a, VK = 4 пН3 tg2 а- (3)
Из соотношений (1) и (2) получим:
V = 4" пг3
О
2 cos6 f 45°-------
\ **
sin а cos2 а
Этот объем воды принимает форму конуса и после удаления шара,
поэтому полученный конус будет подобен первоначальному. Но объемы
подобных конусов относятся, как кубы йх высот, следовательно,
V : VK = Л3 : Я3,
откуда
з _
/ Ик
Подставляя значения Н, VK и V из соотношений (1), (3) и (4), на-
ходим:
2г cos2 ( 45° —
Ответ. Н=----------\---------
sm а
2 cos6 ^45°------
sin а cos2 а
1191. Обозначим радиус описанного шара О2В = R (рис. 84).
По условию задачи имеем:
лЯ3 = Q,
откуда
Из треугольника АВС по теореме синусов
находим радиус конуса:
_________________— 2R
sin (360° — 2а)__А.’
Ki = sin 2а.
Рис. 84.
Задачи по стереометрии
479
Из треугольника OrAD находим радиус вписанного шара:
г = Ri tg = R sin 2а tg ~ .
Высота конуса
Н = Ri tg а = 2R sin2 а.
Объем вписанного шара
,, 4 о 4i/rQ3.„o _a
V = ^-nr3 = -5- I/ sm32atg3-x-.
О О г Ji Z
Объем описанного шара
Объем конуса
V2 = -%- 1/ — sin2 2a sin2 a.
OF 3T
1192. Рассмотрим трапецию ABCD, осевое сечение усеченного
конуса (рис. 85) и обозначим: AD — а, ВС= b, CD = I, СК = h,
LCD К = (р.
Боковая
поверхность усеченного конуса
Учитывая свойство сторон описанного
четырехугольника ACBD, имеем:
а+Ь = 21, ^±1 = 1,
поэтому
SK = л/2.
Поверхность вписанного шара
5Ш — 4л f V = л/г2.
Согласно условию задачи
л/2 т I -в у т
nh2 ~ п ’ h ~~ V п ‘
Из треугольника KCD
I
— — cosec <р, cosec <р =
h
т
п
480
Ответы и решения
следовательно, искомый угол
Ф = arccosec
Рассмотрим систему уравнений
-----y = 1 cos Ф (= KD),
из которой находим:
а = I (1 cos ф) = 2/ cos2 .
Радиус шара описанного около усеченного конуса, равен ра-
диусу круга, описанного около трапеции ABCD, а следовательно,
и около треугольника ACD\ из этого треугольника по теореме синусов
находим:
2 sin ф
и
Л С2 = а2 4- /2 _ 2а/ cos ф = 4/2 cos4 + /2 —
— 4/2 cos2 -jp- cos ф = 4/2 cos4 -у- 4- /2 — 4/2 cos2-у- х
£ L L
( „ ф
X ( cos2 -------
= /2 _|_ 4/2 COS2
£
sin2
следовательно,
Но
= /2 (1 + sin2 ф);
_ /Ki -j- sin2 ф
~ 2 sin ф
h I
' = — =sin <р.
Искомое отношение
Ответ, ф = arccosec
R____V1 4- sin2 ф
г ~ sin2 ф
R _ К1 4- sin2 ф
г ~ sin2 Ф
Задачи по стереометрии
481
1193. В треугольнике АВС, осевом сечении конуса (рис. 86),
обозначим радиус вписанного шара OD — г, радиус основания конуса
Г)В = R- По условию
лг2 = Q,
откуда
Из треугольников DOB и DCB находим:
7?=rctg^45°----ctg ( 45° -;
Полная поверхность конуса
^ПОЛН — TlR (R 4” О —л/?2
Ответ. <§полн — 2Q ctg2 45°-------—
45°
а
cosec -у .
а
sin ~2~
а
а
Т
1194. Из треугольника АВС, осевого сечения конуса (см. рис. 86),
обозначая 2.В == а, находим:
_ а
R =rctg-g-,
Я =/? tg а == г tg actg-у,
cos а
а
гс«~г
cos а
где R — радиус основания конуса; г — радиус шара;- I — образующая
конуса; Н — высота конуса.
Полная поверхность конуса
(X
5 = лг2 Ctg2 -п~
£
1 4- cos a
cos a
16 в. С. Кущенко
482
Ответы и решения
Объем конуса
.. 1 ч ч а
V = -у лг3 ctg3 -у tg а.
2лг2 ctg2 -у cos2 у
Ответ. 8ПОЛН = ,
V = — яг3 ctg3 у tg а.
1195. По теореме синусов из треугольника АВС (см. рис. 84) имеем:
АВ = 2R sin 2а.
Радиус основания конуса
АВ d • о 4
г — —у- = R sin 2а.-
Высота конуса *'
Н = г tg а = 2R sin2 а.
Объем конуса
2
V = -х- nR3 sin2 2а sin2 а.
О
Ответ. V = -5- л/?3 sin4 а cos2 а.
О
1196. Обозначим диагонали прямоугольника основания пирамиды
АС — BD — d и высоту пирамиды OS = Н (рис 87). Легко доказать,
что высота вписанной пирамиды проходит через точку О, лежащую
на диаметре шара и на пересечении диагоналей
прямоугольника, основания пирамиды, поэтому
SN = .2R, NO — 2R — Н. Используя свойство
пересекающихся хорд, имеем:
ОС- О А = OS- NO,
или
-^~=H(2R-H),
<?= 4/7 (2R — И). (1)
Из треугольника COS находим:
d = 2Н ctg <р. (2)
Решая уравнения (1) и (2) как систему, находим:
Н = 2R sin2 ф,
d = 4R sin2 Ф ctg ф = 2R sin 2ф.
Задачи по стереометрии
483
Площадь прямоугольника (основания пирамиды)
Q — ~^~^2 sin а ~ 2Яа sin3 sin а-
Искомый объем вписанной пирамиды находим по известной формуле.
4
Ответ. V = -х- R? sin2 2<р sin2 <р sin а.
О
1197. На рис. 88 дано осевое сечение конуса,
рами. Обозначая радиусы шаров, расположенных
q, Л2> гз> • • •• гп, имеем:
001 = гх + г2,
On = q — r2.
«заполненного» ша-
снизу вверх, через
Но
On
оо; = cosa'
или
= cos а,
откуда находим соотношение:
г, 1 4- cos а х „ а
= 1-cosa =Ctg ~2~-
<2 А ----СОо ОС Z
Кроме того,
где R — радиус основания конуса; поэтому
СС Г» х ч а
Г2 = R tg3 -у- ,
........................ _
Объем первого шара
Объем второго шара
4 CL
1/2==^-Л/?3 tg9_Z_.
Объем третьего шара
4 CL
у3=4-л/?3 tgi54,
О Z
484
Ответы и решения
Легко доказать, что объемы этих шаров образуют бесконечно убы-
вающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен
частному от деления последующего члена на предыдущий,- т. е.
а а
’=‘8 V
Предел суммы этой прогрессии, т. е.
Vi
1 —<7
lim Sт = S —
т-><»
ИЛИ
4 ПЧх Ч а
-ТяК ® ~2
”” 1 х л а
I — tge —
о - Я
2'g
х Л а
-‘g’-y
9
= 4- nR3--
2
9! fl
Ответ. S = -х- nR3 tg 20, где tg 0= tg3 — .
О z
1198. По условию шар вписан в призму, поэтому высота призмы
равна диаметру шара. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной
основанию и проходящей через центр шара, дает прямоугольный тре-
угольник с вписанным кругом, радиус которого равен радиусу вписан-
ного шара.
Определим его по формуле:
S
Г~ Р 1
где S — площадь треугольника АВС, р — его полупериметр.
Имеем:
2р = АС + ВС + АВ-, АС = Л ;
sin а
h
ВС = —— • АВ = .
cos а ’ sin а cos а
следовательно,
о . а а , о „а
, . . . , , 2 Sin -ЗГ- COS -тг- + 2 COS2 -3-
/i cosa + sm и +1 h 2 2 2
П = —----------------- = —- • —----------------------
г 2 sin a cos а 2 п . а а
2 sm cos cos а
Л . sta"r+ С“-Г = Л r^Si" ( 45° + -f-)
2 .а 2 .а
cos a sin — cos a sin
ту- --------= -—5~;
2 2 sin a cos a sin 2а ’
Задачи по стереометрии
485
r__ S__А /2
Р 4 cos sin 45° 4-
Ответ.
V = s-2r =
А8 К2
2 sin 2а cos sin
1199. Обозначая I — апофему пирамиды, Н — ее высоту,
радиус вписанного шара, имеем:
, а а
~ ~2~ ctg Т ’ Н
а2 _ а cos а
4 ~ о а
2s,nV
По условию четырехугольная пирамида правильная, поэтому центр
вписанного шара лежит на ее высоте. Рассечем пирамиду плоскостью
MSN (рис. 89); тогда &OSN ooZxOlSK,
Искомая поверхность шара
Рис. 89.
ла2 cos а
2 cos2 ( 45° —
Ответ. S = 162,7 дм2.
1200. Обозначим искомый радиус шара г и рассечем шар плоско-
стью, проходящей через его центр, параллельно основанию пирамиды.
Рис. 90.
Получим большой круг шара, который
спроектируем на плоскость основания пира-
миды. Центр этого круга лежит на биссек-
трисе /_ВАС (рис. 90), точно так же, как
центр вписанного шара лежит на биссек-
трисе £ADS. Из треугольников 00 rD и
ЛОхМ находим:
OtD = г ctg , AOj, =------------Г-—
sin T
486
Ответы и решения
Сумма этих двух отрезков равна высоте основания пирамиды:
. ~ . а
AD = b cos -у .
Следовательно,
, а г а
bcos-2=--------Й" + ''С,8-Г-
sinT
ИЛИ
2r cos2
, а 4
l,C0S—° . а ’
sl" Т . .'
откуда
, а . а
b cos -у sin —
г =------------------------------------.
2 cos2
4
л , а а
Ответ, г = b cos tg -7- •
2 4
1201. R =-------------
ос
2cos V
1 + cos4 ~ tg2 а.
1202. В сечении грани DSC с шаром получим фигуру MSNnM
(рис. 91), ограниченную отрезками MS,- NS и дугой MnN. Вычислив
Рис. 91.
учетверенную площадь этой фигуры, най-
дем ответ. Вначале вычислим радиус дуги
MnN. Восставив перпендикуляр из се-
редины высоты пирамиды SK к боковой
грани DSC, найдем точку Ои которая и
будет центром круга сечения шара боко-
вой гранью.
/\SKE со /\SOOV,
OiS SK
следовательно, n = -=-5- ,
п С 0S S/<
или O,S = ——
ES
2OS SK _SK?
2ES ~ 2ES
Но ES = b cos -у, DE = KE = b sin ,
S№ = SE2 — ^E2 = b2 cos а.
Поэтому г = OiS =
b cos а
2с“-Г
Задачи по стереометрии
487
Площадь сектора
MO'N —
лг22а _ 9 ла
"360“~ Г "180 ’
Площади двух равных равнобедренных треугольников
и NOiS Q = г2 sin (180° —а) = г2 sin а, следовательно, площадь
фигуры MSNM
S = г2 sin а г2
ла
180
b2 cos2 а
Л 9. а
4 cos2
2S
sin а-|-
ла \
180 ) ‘
Искомая площадь поверхности St = 4S.
Ответ. S
b2 cos2 а
о а
cos2
1203. S 2,5 м2; а = 70° 31' 43,6".
1205. r = b V2 sin ( 45°--------sin .
3
1206. Vu : VK = ---------5— cosec2 а.
ц 4 n2
1207.
. « 9 а
ctg -77- cosec2 — .
ь 2 4
9
1208. УТ= — ла3.
&
1209. VT = nR3 sin3
0
4 сс
1210. Vc = -5- л/?3 sin2 — .
и 4
1211.
Sn = 4л/?2 cos 1 — sin -1---
1212.
a — 2 arccos —
О
1216.
_ 7ла3
Кт Г“
1217.
о Я
а = 2 arccos .
488 Ответы и решения
§ 21. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ И ПРИМЕРЫ
1219. Обозначим площади треугольников АВС, АОВ, ВОС и АОС
(рис 92) соответственно через S, Slt S2 и S3.
Находим: S = S, + S2 + S3 = + +
£ £
Из соотношений (1) и (2) находим требуемое равенство, что и требо-
валось доказать.
1221. Обозначим стороны четырехугольника соответственно через а,
Ь, с и d. По условию в четырехугольник можно вписать окружность,
поэтому а 4- с = b + d.
Кроме того, р — с = а-, р — d— Ь\ р — а = с; р — b = d,
где р — полупериметр. Площадь вписанного четырехугольника
Sa = К(Р — «) (Р — b) (Р — <0- ____
После очевидных преобразований находим: S = Кabed, что
и требовалось доказать.
1224. Из рис. 93 находим: ДЛЛ1Г оо &DMC со &BHN,
AF МА
-со^Улс “>
CD_ _ МС
NB ~ МВ ’ ( '
Но квадрат касательной равен произведению всей секущей на ее
внешнюю часть, т. е.
Л4С2 = МА-МВ,
или
МА МС
МС = МВ*
Из соотношений (1), (2) и (3) находим:
AF _ CD
CD ~ NB*
что и требовалось доказать.
1225. На рис. 94 AC, АВ, AD, BD CF — хорды и AF — диаметр.
Угол AED — прямой по условию, угол ACF — прямой по построению.
Кроме того, £ADC = £AFC (измеряются одной и той же дугой),
Разные задачи и примеры
489
Рис. 94.
(I)
(2)
(3)
1229. R 1
1231. У к а
поэтому в треугольниках AFC и ADE
= Z_EAD, следовательно, CF = BD.
Имеем:
DE2 + BE'2 = BD2 = CF2;
АЕ2 + ЕС2 = АС2-,
АС2 + CF2 = AF2,
откуда из соотношений (1), (2) и (3) получим:
DE2 + ЕС2 + АЕ2 + BE2 = 4F2,
что и требовалось доказать.
2
1228. Объем чашки V4 = л/?3, где R — радиус шара. Если
О
наклонить чашку на 45°, то вода останется в сегменте, объем которого
Ус = (3R - h),
О
а высота h — R-------П0ЭТ0МУ = — 2 К2 ) (4 К 2 ).
V 5
Следовательно, 100 = И —%, что и требовалось доказать.
2п . , а \ ,ПОЛ 2nR* 2h
-----;— sm2 -г- . 1230. -и , , .
m-j- а 4 / R A- h
з а н и е. Доказать методом математической индукции.
. пх п + 1 , . . пх . п 4-1
sin -х- cos —— х 1 sin -х- sin —— х
X
sin^-
o . a a
sin a = 2 sin cos —,
a _ . a a
sm ~2~ = 2 sm cos — ,
1235. Sn =
1237. Имеем:
a _ . a a
sm------r- = 2 sm — cos —
2n-i 2" 2n
пП a a a a
sm a = 2 cos -x- cos — ... cos —r- sm —,
2 22 2" 2n
a a a sin a
откуда cos cos cos — = —----------
z 2n sin —
2n
Ho a
sm —
a 2n
lim 2” sin — = lim-------------a « a,
П->оо 2П П-»оо a
2n
sin a
следовательно, предел искомого выражения равен —.
sin a
Ответ.
Часть IV
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ БИЛЕТЫ
И ПИСЬМЕННЫЕ РАБОТЫ, ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ
§ 22. ЗАДАЧИ, ТЕОРЕМЫ И ВОПРОСЫ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ
НА УСТНЫХ ЭКЗАМЕНАХ
1244. а. 1 = 4- и др. 1245. = 1-
1 г 114-я
1246. Через 24 года (23,5). 1278. 145.
1279. Возвышение в степень.
1280. Указание.
1 = х, х3 — 1 = О,
(х — 1) (х2 4- х 4- 1) = О,
3-4- log, 124 1-
1281 Имеем: 2 3 -83 = 124-2 = 248.
Ответ. 248.
1288. Указание. Разделить отрезок в крайнем и среднем
отношении значит разделить а на 2 части так, чтобы большая часть была
средней пропорциональной между всем отрезком и его меньшей частью,
т. е. а : х = х : (а — х), или (с2 4* а-х — а2 = 0.
„ » а (/5-1)
Положительный корень уравнения х = —-—--------—.
Построение найденного отрезка можно выполнить разными спо-
собами, например, так: построить прямоугольный треугольник АВС,
катет А В которого равен а, а катет ВС равен 2а; если провести биссек-
трису AD, то BD, равное х, и есть искомый отрезок, так как
а/б 2а —х
откуда и определяется значение искомого отрезка.
1293. 10 см.
Экзаменационные билеты и вопросы
491
1295. Если т^> п, площадь треугольника увеличится в — раз.
п
т
Если т << п, площадь треугольника уменьшится в — раз.
1296. ^-(3-2/2).
О
1298. 3; 6 или 4; 4.
1299. Указание. Обозначая стороны искомого треугольника
через х, х + 1 и х + 2, а площадь его через х + 3/ находим:
/3 (%+1)(х4-3) (х+1)(х-1) = 4 (х + 3),
или Зх3 + Зх2 — 19х - 51 = 0, (х — 3) (Зх2 + 12х + 17) = О,
откуда хг = 3 (х2 и х3 — комплексные).
Ответ, а — 3, b = 4, с = 5, S — 6.
1300. Р = 2 V2S Уз.
1310. 180°.
1311. 105°.
1312. УТЬ-,
1313.
4 (л 4- I)2
1314. 3 ~2^ ~
1316. 5 см, 7 см и 9 см.
1317. а У> + .
1319. ^-а3.
о
а3
1320.
о
1/щ3 Ип3
т3 4- п3 р3 ’ т3 п3 4* р3 ’
1322. 12 У Зг2.
1323. 8R2.
1324. УЗ : У2.
Гр3
т3 4- п3 РЛ ’
8УЗ
Приложение
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СПРАВОК
АЛГЕБРА
1. Степени и корни
1. (+а)л = +ап;
3. an.ak= an+k-,
5. (akY = akn\
2. (—а)п =
-j-an для п четных;
—ап для п нелетных;
4. ап : ак = ап~к;
п п п
1. Vab^aYb-
( п _V "г—
9. 1Ха/ —Vak;
п пР
6. V а — ар;
12. а” =
11. а0 = 1, если а =/= О,
О, если О < а < 1,
оо, если а > 1 (условно).
2. Квадратные уравнения
1. ха4-рх4~д = 0; х1>2 = — ± ]/ — q.
, _ —b ± У Ь* — 4ас
ах* + Ьх 4- с = 0; х = — 2д . • (« ¥= 0)-
—b ± l/" b* — ас
ах* + 2Ьх + с = 0; х = —-----------— (а #= 0).
2. Формулы Виета: хг + х2 = —р =-------; Xi%2 = <7 = ~~ •
3. х2 + рх + q — (х — хг) (х — х2);
ах2 + Ьх 4* с = а (х — хх) (х — х2).
Алгебра
493
3. Прогрессии
а) Арифметическая прогрессия.
1. Общйй член арифметической прогрессии:
ап = + (п — 1) d.
2. Сумма первых п членов арифметической прогрессии
/ ai ап \ [" 2й1 (п — 1) d
\ 2 Г ~ L 2 ~
п.
где d — разность прогрессии, — первый член прогрессии.
6) Геометрическая прогрессия.
1. Общий член геометрической прогрессии:
ип = Uiqn~x.
2. Сумма первых п членов геометрической прогрессии:
==
“1— unq __ п — \
1 — <7 - ui 1 _9 _ 1
где q — знаменатель прогрессии (q Ф 1).
3. lim Sn = — (для бесконечно убывающей Г. П.).
n->oo I q
4. Логарифмы
а) Если у = ах, то loga у = х (а > 0, а =£ 1).
Вообще справедливо тождество a{o^aN — N, которым пользуются
при различных преобразованиях алгебраических выражений.
Логарифмы, взятые по основанию 10, называются десятичными
(бригговыми), а по основанию е = 2,71828. . . — натуральными (непе-
ровыми) и обозначаются, соответственно, 1g и In.
Если за основание взято любое положительное число, то приме-
няется символ log. * .
б) Теоремы логарифмирования. -
1. log (a* b) — log а + log b. 2. log = log а — log b.
3. log ап = п log а. 4. log уЛг = ~ log а.
в) Двойства логарифмов.
1. loga 1 = 0, так как а0 = 1. 2. loga а = 1, так как а1 = а.
3. loga (+ °°) — + °°> так как = + 00 (условная форма
записи).
4. loga 0 = —°0, так как °-00 = 0 (условная форма записи).
5. Логарифмы чисел больших единицы — положительные, а мень-
ших единицы — отрицательные, т. е. loga N 0, если N Ж 1.
6. Отрицательные числа при положительном основании веществен-
ных логарифмов не имеют.
494
Основные формулы для справок
7. loga b- log* е = loga с; loga b' log$ а — 1.
g loga Л/ = logfejV 9. Ioga N == log nNn
logaM logfcM * a
5. Соединения
а) Размещения:
A™ = n (n — 1) (л — 2) ... (n — m 4-1) (л > m).
б) Перестановки:
Pn = Д" = 1-2-3 ... n = nl
в) С о ч e т а н и я: *
m _ л(л —1)(л—— 2) ... (n —т4-1/
п~ Рт~ ml
Полезно запомнить следующие соотношения:
1 г'ГП z->n—т Рп п /->0 /^0 ।
1. С = С — -5----р- — Go — 1.
г п-tn “т
6. Бином Ньютона
а) Возведение биномов, или двучленов, встепеньл
производят по формуле бинома Ньютона:
1. (х + а)п = хп + пах"-1 4- ---—— а2х"—2 4- • • • 4*
£
+ п(В-1) ... (n-fe + l) + ... + Л
k
2. (х — а)" = х" — С^ах"-1 4- С2а2х"—2 — • • • 4-
4- ( - l)kC*akxn~k 4- ... 4- (— 1)"а".
б) Главные свойства формулы бинома Ньютона:
1. Показатели степени х убывают от л до 0, а показатели степени а
возрастают от 0 до п, причем сумма показателей х и а в каждом члене
разложения равна л.
2. Число всех членов разложения равно л 4* 1.
3. Общий член разложения
Tk+i^(±l)kCknakxn-k.
4. Биномиальные коэффициенты, равноотстоящие от концов раз-
ложения, равны между собой.
5. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных
местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на не-
четных местах, 1
1 - С‘ + Cl--------+ (- 1)“с; = 0.
Геометрия
495
ГЕОМЕТРИЯ
1. Треугольники
Обозначения: а, Ь, с — стороны треугольника; а, р, у —
углы; h — высота; Р, 2р — периметр.
1. Два треугольника равны, 2. Два треугольника подобны,
если: если:
а = alt b = blt v = ъ; а = «!, Р = Pf,
а Ь
с = С1, а = ах, Р Pi; "«I = Y = Yb
а b с
а = «к 6 = blt с = cv «Г ~~bi ~
3. Метрические соотношения
треугольника (рис. 1);
= а2 _|_ z,2 = С2;
h b ' 1
с а а2 а'
а а' ' Ь2 ~ Ь' ’
с b , ,
-г- = тг: ab = ch.
b Ь' ’
4. Метрические соотношения между элементами любого треуголь-
ника:
1) а2 = Ь2 + с2 — 2Ьс'\ а << 90° (рис. 2, квадрат стороны против
острого угла);
2) а2 = Ь2 с2; а = 90° (квадрат стороны против прямого угла);
3) а2 = b2 -j- с2 + 2Ьс'; а^> 90° (рис. 3, квадрат стороны против
тупого угла).
5. Пересекаются в одной точке: 1) три высоты треугольника;
2) три биссектрисы треугольника; 3) три медианы треугольника; 4) три
перпендикуляра, восставленных из середин сторон треугольника.
Точка пересечения медиан находится на расстоянии одной трети
каждой медианы от соответствующей стороны
496
Основные формулы для справок
6. Высоты (Л), медианы (т) и биссектрисы ф) ь треугольниках
вычисляются по формулам-
1) ha = /р (р - а) (р — 6) (р — с), ...
2) та = Ц- / 2&2 + 2с2—а2, ...
ft 2 У Ьср (р — а)
3) Рл =------Ь + ~с---’
2. Окружность
1. Длина окружности С = 2пг = nD.
2. Длина дуги в п* I — -7^7-.
loU
3. Правильные многоугольники
1. Выражение сторон (ал) правильных многоугольников через
радиус вписанной (г) и описанной (R) окружностей:
fl3 2г УЗ = R Уз <=> 1,7321/?; а4 = 2r = R У 2 а 1.4142/?;
о5 = 2/ /5-2/5 = 4" /10-2/5; а6 = -|-r /3 = /?;
Z и
а8 = 2r (/T — 1) = R /2-/2" « 0,7654/?;
аго = 4-r /5 (5-2/5) = A (/5 _ 1) * 0,6180/?;
Э z
al2 = 2r (2 — /3 ) = R /2 — /3 ^3\13R.
2. Формула удвоения числа сторон правильного вписанного много-
угольника:
3. Зависимость между сторонами правильного вписанного (ал)
и сторонами правильного описанного (Ьп) многоугольников; формулы
их периметров:
ап— , Т , 1 / ^+4 ап = 2R sin п ; bH = 2R tg - апК п / Т ’ 1/ /?2 - -Р- г 4 180° , Рп — Пвп) Рп — пЬП".
Геометрия
497
4. Измерение площадей
1. Площади прямоугольника и параллелограмма (рис. 4, 5):
3 = ah;
с dx • d2 _
3 = sin ф;
S = ab sin а.
2. Площади квадрата и ромба (рис. 6, 7):
3 = a2; S — ah;
d2 1
S = S = -L-drd2.
Рис. 6-
Рис 7.
3. Площадь треугольника (рис. 8):
о ch
2 ’
S = be sin а;
5 = V р (р — а) (р — Ь) (р — с);
3 = рг;
Q abc
~ 4R
498
Основные формулы для справок
а
Рис. 9
4. Площадь трапеции (рис. 9):
s = ^-a;
ci. & ь
S — т-п, где т = —±—
S = dfd2 sin <р.
5. Площадь вписанного четырехугольника:
S = |Л(р — а) (р — 6) (р — с) (р — d),
где р — полупериметр.
6. Площадь описанного многоугольника:
S = -±-Pn-r,
где Рп — периметр, г — радиус вписанной окружности.
7. Площадь правильного вписанного многоугольника:
q_ 1
S — -g- Рп ‘ а>
где рп — периметр, а — апофема.
8. Площадь круга:
S = л/?2 = -4- л£)2.
4
9. Площадь кольца (рис. 10):
S - л (Я2 — г2) = -L л (D2 — d2).
10. Площадь сектора (рис. 11):
_ л/?2а
360 ;
S =
S = 0,0087а/?2;
S = _|_ фД2,
где I =
nRa
— длина дуги;
I — ф- R — длина дуги;
Геометрия
499
„ Ь2 + 4Л2
R = -----------радиус круга;
b — 2R sin -и--длина хорды;
h = 2R sin2
4
а 21г
tg-T“ b »
длина стрелки?
а — градусная мера;
Ф — радианная мера центрального угла.
11. Площадь сегмента (см. рис. 11):
2
3 «1 bh.
О
12. Площади подобных фигур пропорциональны квадратам сход-
ственных сторон.
5. Многогранники (поверхности и объемы)
Обозначения: Р и Q — периметр и площадь оснований мно-
гогранников; р и q — периметр и площадь верхнего основания усечен-
ной пирамиды; р± и q± — периметр и площадь перпендикулярных
сечений наклонной призмы; а, ах и Н, h. — апофемы и высоты правиль-
ной пирамиды и правильной усеченной пирамиды; I — длина ребра
наклонной призмы; а, b и с — измерения прямоугольного параллеле-
пипеда.
1. Боковая поверхность прямой призмы: S — PH.
2. Боковая поверхность наклонной призмы: S = Р±>1.
3. Объем прямой призмы: V = QH.
4. Объем наклонной призмы: V= q±-l', V = QH.
5. Полные поверхности и объемы параллелепипеда и куба:
Sn = 2 (ab -J- be + асу, = 6а2. V = abc; Vk = а3.
6. Боковая поверхность правильной пирамиды:
S = Ра.
7. Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды:
S = -g- (Р 4- р) av
8. Объем пирамиды:
v = 4- QH.
о
9. Объем усеченной пирамиды:
У = 4-(С + <7+ ]SQq)-h.
О
500
Основные формулы для справок
6. Правильные многогранники
Если F — число граней, S — число вершин и А — число ребер
выпуклого многогранника, то F + S = Л + 2 (теорема Эйлера).
Элементы правильных многогранников
Наименование многогран- ника Число граней F Число сторон у гра- ни Число вер- шин S Число ребер А - Число ребер у вер- шины Поверх- ность (а — длина ребра) Объем
Тетраэдр (рис. 12) . . 4 3 4 6 3 1,732а2 0,118а8
Гексаэдр (рис. 13) . . 6 4 8 12 3 6,000а2 1,000а3
Октаэдр (рис. 14) . . 8 3 6 12 4 3,464а2 0,471а3
Додекаэдр (рис. 15) . . 12 5 20 30 3 20,645а2 7,663а3
Икосаэдр (рис. 16) . . 20 3 12 30 5 8,660а2 2,181а3
7. Цилиндр (поверхности и объемы)
I
|Я
Рис. 17.
1. Боковая поверхность цилиндра (рис. 17);
S = 2nRH.
2. Полная поверхность цилиндра:
S = 2nR (И + R)
3. Объем цилиндра: V = n,R2H.
4. Объем цилиндрической трубки:
V = л (R2 - г2) Н.
Геометрия
501
8. Конус (поверхности и объемы)
1. Боковая поверхность конуса (рис. 18): S = nRl,
где I — образующая конуса.
2. Полная поверхность конуса: S =» л/? (/ 4~ R).
3. Объем конуса: V— -^-nR2H.
4. Боковая поверхность усеченного конуса:
S = л (R + г)
5. Полная поверхность усеченного конуса:
S = л (R + г) /j 4- л/?2 + лг2.
6. Объем усеченного конуса:
V = -2_ л (R2 4- г2 Rr) h.
О
8. Шар и его части (поверхности и объемы)
1. Поверхность шара: S = 4л/?2 = лР2.
4 1
2. Объем шара: V = л/?3 = - лР3.
о О
3. Поверхность шарового сегмента и шарового пояса (рис. 19, 20):
S = 2л/?А.
4. Объем шарового сегмента (рис. 19):
V = лА2 ( R----, или V = -2- лА (Л2 Зг2).
\ / о
Рис. 20.
5. Объем шарового слоя (рис. 20): V = -2- лА (Зг2 4- Зг? 4- А2).
2
6. Объем шарового сектора (рис. 19): V = -^-nR2h,
где А — высота шарового сегмента
502
Основные формулы для справок
7. Поверхность полого шара: S = 4л, (Rj1 ^г)’
где Rt и 7?2 — радиусы внешней и внутренней шаровых поверхностей,
8. Объем полого шара: V = л (7?| — R%).
10. Тор.
Объем тора: V = 2n2Rr2 = 19,7397?г2;
поверхность тора: S = 4л27?г = 39,4787?г,
где г — радиус круга вращения, R — расстояние от центра круга
до оси его вращения (г <; R).
ПРЯМОЛИНЕЙНАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ
1. Измерение углов
1. 1 радиан = „ 57° 17' 45";
2- 1° = .ft— 0,01745 радиана
loU
2. Формулы перехода от градусных мер к радианным и обратно
L ’ = 2-“ = ^-'8О'.
где <р — радианная, а — градусная мера угла.
3. Соотношения между элементами прямоугольного треугольника
1. а + Р = 90°; 2. а = с sin а;
3. а = с cos р = b tg а; 4. b = с cos а;
5. b — с sin Р = a tg Р; 6. с2 = а2 + Ь2.
4. Формулы для решения прямоугольных треугольников
Слу- чаи Дан- ные Искомые Решение
1 с, а Р, а, b Р = 90° — а; а = с sin а; b = с cos а
11 а, а Р, Ь, с Р = 90° — а; b — a ctg а, с = —Д— b sin а
111 а, b а, Р, с а о г>л- а tg а = ——; р = 90~ — а; с = 6 b r sm а
IV а. с а, р, b sin а = ; Р = 90° — а; b = с2 — а2 с
Прямолинейная тригонометрия
503
5. Таблица знаков и некоторых значений
тригонометрических функций
Назва- ние функ- ции Четверти I II III IV
J 11 HI IV 0° 30° 45° 60° 90е 180° 270° 360°
sin a 4- 4- — — 0 1 2 /2 2 /3 2 1 0 —1 0
cos a 4- — — 4- 1 /3 2 /2 2 1 2 0 —1 0 1
tga 4- — — 0 /3 3 1 /3 oo 0 oo 0
ctga 4- — 4- — oo /3" 1 /3 3 0 oo 0 OO
6. Соотношения между тригонометрическими
функциями одного и того же угла
.•219 . о sin а
1. sin2а + cos"а = 1; 2. ----= tgа;
cos а 6
3.
cos а
sin а
= ctg а;
5. cos а- sec а — 1;
7. 1 4- tg2 а = sec2 а;
4. sin а« cosec а = 1;
6. tga- ctg а = 1;
8. 1 4- ctg2 а — cosec2 а.
7. Таблица значений тригонометрических функций
Через функции sin a cos a tg a ctg a
Sin a = sin a ± К1 — cos2 a tga 1
±Ki 4- tg2a ±У 1 4- ctg2 a
cos a = ± j/4 — sin2 a cos a 1 ctga
±V 1 4-tg2a ± У1 4-ctg2a
504
Основные формулы для справок
Продолжение
Через функции sin a cos a tg a ctg a
tga = Sin a tg « 1
± К1 — cos2 a
cos a
±V 1 — sin2 a ctg a
ctg a = cos a ± V 1 — cos2 a 1 tga ctg a
±V 1 — sin2 a sin a
sec a = 1 1
± V1 4-ctg2a
±Kl+tg2a
cos a ctg a
±K1 — sin2 a
cosec a = 1 1 .
1 +tg2a ± j/ 1 4- ctg2 a
sin a ± КI — cos2 a tg «
8. Таблица формул приведения
У гол Функция 90°Ta 180°q=a 270®:pi 360o&=Fa
sin — sin q) 4- cos a ± sin a — cos a =F sin a
COS 4- costp ± sin a — cos a =f sin a 4- cos a
tg -tgtp ± ctg a + tga ± ctg a + tga
ctg — ctg ф ± tga + ctg a ± tga + ctg a
sec 4- sec ф ± cosec a — sec a =й cosec a 4- sec a
cosec — cosec (p 4- sec a ± cosec a — sec a + cosec a
Прямолинейная тригонометрия
505
9. Формулы сложения и вычитания аргумента
1. sin (а ± Р) = sin а cos 0 ± cos а sin 0.
2. cos (а ± Р) = cos а cos Р + sin а sin р.
3. tg (а ± р)
tg а ± tg р
1 + tg а tg Р *
4. ctg (а ± Р) =
ctg а ctg Р + 1
ctg Р ± ctg а
10. Формулы умножения и деления аргумента
1.
sin 2а = 2 sin a cos а.
cos 2а = cos2 а — sin2 а = 1 — 2 sin2 а = 2 cos2 а — 1.
tg 2а =
2 tga
1 — tg2 а *
ctg 2а =
ctg2 а — 1
2 ctg а
_ а
2tgT
2. sin а —----------.
1 + tg2 4
. о а
1 — tg2 ~2~
cos а =------------
1+tg2 4
tga =
а
2 tg-y
1 о а
'-'Я=т-
о . „ а 1 — cos а
S. sin2-g- =----5---;
, а 1 -к cos а
с“ ‘т= 2—;
2 а___1 — cos а
g 2 “ 1 + cos а ’
а
cos-r=±
а
stn-r=±
1 — cos а
2
cos а
1 — cos а
1 4- cos а
4. sin За = 3 sin а — 4 sin3 a; cos За = 4 cos3 а — 3 cos а;
tg За —
3 tg а — tg3 а
1 — 3 tg2 а
11. Формулы преобразования алгебраических сумм
тригонометрических функций в произведение и обратно
I • . a o a±P a + р
1. sm a ± sm р = 2 sm —х—- cos —;
. „ _ a 4- Р а — р
cos a + cos р = 2 cos —cos —
cos a — cos p = —2 sin —sm
o sin (a ± P)
tg a ± tg P =-------------.
s s H cos a cos p ’
a —p . a-}- P . p~a
= 2 sin —sin -4*2—;
o sin (P ± a)
ctg a ± ctg p = —:—
Б & r sm a sin P
506
Основные формулы для справок
2. cos а + sin а = У 2 cos (45° — а);
cos а — sin а = V2 sin (45° — а);
(Ct \ / ГУ
45е---н- ); 1 — sin а == 2 sin2 ( 45°-—
/ \ а»
а а
1 4- cos а = 2 cos2 ; 1 — cos а = 2 sin2 \
£ L
1 + а _ sin (45® ± а) _ V2 sin (45* ± а)
± tg а — cog 4j.o cos а — cos а ’
, х , cos 2а
1 — tg2 а =------г—
ь cos2 а
, х „ cos 2а
1 _ ctg2 а = — —
sin2 а
3. cos тх • cos пх — {cos [т — л) х 4- cos (т 4- п) х};
sin тх sin пх = -у {cos (т — п) х — cos (т 4- п) х} :
sin mx-cosnx — {sin (т 4- п) *4- sin (т — п) х}.
£
12. Формулы для вычисления элементов любого треугольника
Обозначения: а,. 0, у — углы треугольника, а, Ь, с —
стороны, h — высота, р — полу периметр, S — площадь, R и г — ра-
диусы описанного и вписанного кругов.
1. Теорема проекций:
а = b cos у 4~ с cos 0, b — с cos а 4~ a cos у, с = a cos 0 4" & cos а.
2. Теорема синусов:
2R
sin а — sin 0 sin у
3. Теорема косинусов:
о2 = Ь- 4- са — 2bc cos а, Ь2 — а2 4“ с2 — 2ас cos 0,
с? — а2 4* Ь2 — 2ab cos у.
4. Теорема тангенсов:
а 4- 0 у 04-Y а
а + Ь = Ь + е _ «g-E-F
а~Ь Ь~с. tglf* tgifi’
Прямолинейная тригонометрия
507
5. Формулы Мольвейде:
, , cos-----------ъ
g —|— b 2
с ~
У
sin 2
. а — В
sm -----1
а — b
с
2
У
cos 2
6. Тригонометрические функции половинных углов треугольника:
(р —а) (р —с)
sin
а
sm-2-
cos
р — а
X
г
р^а
COST
tg —
7. Формулы площади треугольника:
с 1 , . „ a2 sin Р sm у
S = -х- ab sm у; $ = —«—----------1:
2 1 2 sm а ’
s = К р(р — «) (р — ь) (р — с);
с h2 sin Р а В у
~ 2 sin а sin у ’ ~ 2 2 ~2~ ’
8. Радиусы описанного и вписанного кругов
о _ а__________abc _ р
~ 2 sin а ~ 4S ~ ~ а В v~
4 cos cos cos
S
Р
Р Y
а asm 2 sm 2
г = (р-a) tg -2- =-----------
cos^-
508 Основные формулы для справок
9. Решение косоугольных треугольников в общем виде
Слу- чаи Дан- ные Иско- мые > Решение
а а h 1) <х=180--(₽ + т); 2) =
1 р
Y с S 3) с = - S*n - • 4) S = -i- ab sin у. ' sin а ’ 2 '
+ 2)tg^ =
11 а b а р a — b x Y ov X = a b ct£ 2 » из 2'x УР’НИИ
Y с S а-f-P . а —p ,, a = k\ —= fez находим аир;
.. a sin у c 1 , . 4) c = —: — • 5) S = -7T- ab sin v. sin а ’ 2 '
1) tg — = 1/ .(p-^Xp-A . ' 8 2 V p(p-a)
111 а Ь а р Y 2y tg _L = 1/ (P-°)(P~^) . ’ 8 2 Г p(p — b)
с S 3) tn Y - 1/ (P-Q)(P~fe) . 3’ tg 2 - V p(p~c) ’
4) S = V p (p — a) (p — b) (p — c).
а Р 1) Sin = 6 s^n а ; 2) y = 180° — (а-j-P);
IV Ь Г
а С S 3) c = ° S'n • 4) S = Дг-аЬ sin y. sin а ’ 2
И с с л с ! д о в a н и e 4-г о случая:
если Ь, решение одно: Р < 90°;
если а= Ь, решение одно: Р = а;
если а<~ b и а = b sin а, решение одно; Р = 90°;
если ( j < й и а > b sin а, решений два: Pj < 90 ; P2 = 180 — рг;
если а b и а < b sin а, решении нет.
Прямолинейная тригонометрия
509
13. Обратные тригонометрические функции
а) Определения:
. Т7 • Л Л
1. Если х = sin у и------2* , т0 У — arcsin х.
2. Если х = cos у и 0 ^.у л, то у = arccos х.
3. Если х = tg у и-------< у < —, то у = arctg х.
4. Если х — ctg у и 0 <3 у <* л, то у = arcctg х.
б) Выражение одних обратных тригонометрических функций через
другие:
1. arc sin х = arccos У1 — х2 = arctg —. -х =
КГ1-х2
У1 — X2 л
= arcctg-----------= -х-----arccos х (0 < х < 1).
/------ у 1 — х*
2. arccos х = arcsin V 1 — х2 = arctg----------=
X л _
== arcctg —r = -------arcsin x (0 < x < 1).
Б /1 _ x2 2
3. arctg x = arcctg — = arcsin . =
x У1 4- x2
1 л „
= arccos — i — - = ~2----arcctg x(x > 0).
. 1 1
4. arcctg x = arctg — = arcsin =
x /H-x2
X Л
= arccos -r . = ------arctg x (x > 0,.
/1 + x2 2
Литература
А да м а р Ж-, Элементарная геометрия, ч. 1 и 2, Учпедгиз, 1952.
Делоне Б. Н., Житомирский О. К., Задачник по гео-
метрии, изд. 4-е, М.—Л., ОГИЗ-Гостехиздат, 1949.
Кречмар В. А., Задачник по алгебре, изд. 3-е, М., Физматгиз,
1959.
Маракуев Н. Н., Элементарная алгебра, тГ 1 и 2, М., 1903.
Матвеев Н. М., Варианты письменных работ по математике,
ЛГУ, 1965.
Новоселов С. И., Специальный курс тригонометрии, изд.
3-е, М., Изд-во «Советская наука», 1957. '
Новоселов С. И., Специальный курс элементарной алгебры,
изд. 5-е, М., Изд-во «Советская наука», 1958.
Попов Г. Н., Исторические задачи по элементарной математике,
М,—Л., ГТТИ, 1932.
Радев А., Сборник по математике за кандидат-студенти, изд-во
«Наука и изкуство», София, 1952.
Фадеев Д. К., Соминский И. С., Алгебра для само-
образования, М., Физматгиз, 1960.
Ш к л я р с к и й Д. О. и др., Избранные задачи и теоремы эле-
ментарной математики, изд. 2-е, М.;Гостехиздат, 1954.
Список учебных заведений,
в которых предлагались задачи,
помещенные в сборнике
1 — Московский ордена Ленина и ордена Трудового Красного Зна-
мени государственный университет им. М. В. Ломоносова.
2 — Ленинградский ордена Ленина государственный университет
им. А. А. Жданова.
3 — Харьковский государственный университет им. А. М. Горького.
4 — Киевский ордена Ленина государственный университет
им. Т. Г. Шевченко.
Список учебных заведений дан по наименованиям к 1963 г.
Список учебных заведений
511
5 — Софийский государственный университет (Болгарская Народная
Республика).
6 — Ленинградский политехнический институт им. М. И. Калинина.
7 — Львовский политехнический институт.
8 — Киевский ордена Ленина политехнический институт.
9 — Уральский политехнический институт им. С. М. Кирова.
10 — Харьковский политехнический институт им. В. И. Ленина.
И — Московский физико-технический институт.
12 — Ленинградский ордена Трудового Красного Знамени технологи-
ческий институт им. Ленсовета.
13 — Ленинградский институт водного транспорта.
14 — Ленинградский кораблестроительный институт.
15 — Ленинградский ордена Ленина и ордена Трудового Красного
Знамени горный институт им. Г. В. Плеханова.
16 — Ленинградский ордена Ленина институт инженеров железно-
дорожного транспорта им. акад. В. Н. Образцова.
17 — Ленинградский ордена Трудового Красного Знамени инженерно-
строительный институт.
18 — Ленинградский электротехнический институт связи им.
М. А. Бонч-Бруевича.
19 — Ленинградский институт точной механики и оптики.
20 — Ленинградский электротехнический институт им. В. И. Ульянова
(Ленина).
21 — Ленинградская ордена Ленина лесотехническая академия
им. С. М. Кирова.
22 — Киевский инженерно-строительный институт.
23 — Московский архитектурный институт.
24 — Московское ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени
высшее техническое училище им. Н. Э. Баумана.
25 — Московский электротехнический институт связи.
26 — Московский ордена Ленина и ордена Трудового Красного Зна-
мени институт инженеров железнодорожного транспорта.
27 — Ростовский-на-Дону институт инженеров железнодорожного
транспорта.
28 — Одесский институт инженеров морского флота.
29 — Новосибирский институт инженеров железнодорожного транс-
порта.
30 — Ленинградский текстильный институт им. С. М. Кирова.
31 — Ленинградский государственный педагогический институт
им. А. И. Герцена.
32 — Харьковский государственный педагогический институт физиче-
ского воспитания им. Г. С. Сковороды.
33 — Пермский государственный педагогический институт.
34 — 1-й Ленинградский медицинский институт им. акад. И. П. Павлова.
35 — Северо-западный заочный политехнический институт.
36 — Военные учебные заведения.
37 — Средние школы и гимназии (экзамены на аттестат зрелости).
38 — Гимназии в странах народной демократии (экзамены на аттестат
зрелости).
39 — Математические олимпиады.
40 — Математические кружки.
41 — Московский инженерно-физический институт.
512
Список учебных заведений
42 — Московский авиационный технологический институт.
43 — Ленинградское высшее инженерное морское училище им. адмирала
С. О. Макарова.
44 — Горьковский государственный университет им'хН. И. Лобачев-
ского.
45 — Московский вечерний машиностроительный институт.
46 — Варшавский университет (Польская Народная Республика).
47 — Николаевский кораблестроительный институт им адмирала
С. О. Макарова.
48 — Сибирский технологический институт.
49 — Московский технологический институт легкой промышленности.
50 — Томский государственный университет им. В. В. Куйбышева.
51 — Красноярский педагогический институт.
52 — Новосибирский государственный университет.
КУЩЕНКО ВАСИЛИЙ СЕМЕНОВИЧ
СБОРНИК КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ С РЕШЕНИЯМИ
Издание .пятое
Рецензент доц., канд. физ.-мат. наук А. М. Протасов
Научный редактор А. Б. Падво
Редактор Е. М. Пснова
Переплет художника В. У. Фонарева
Технический редактор Д. М. Кракова
Корректоры: В. М. Альфимова, Л. И. Степнова
Сдано в набор 13/VI 1968 г. М-11350. Подписано к печати 19/Ш 1969 г.
Формат издания 84хЮ81/32. Физ. печ. л. 16,0. Усл. печ. л. 26,88.
Уч.-изд. л. 25,6. Изд. № 2240-68. Тираж 500 000 экз. (VI завод 210 001-^250 000).
Цена 1 руб. 17 коп.
Бумага типографская № 3. Заказ № 127.
Издательство «Судостроение», Ленинград, Д-65, ул. Гоголя, 8
Ленинградская типография №, 6 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР
Ленинград, ул. Моисеенко, 10