Моделирование характеристик центробежных компрессоров - Бухарин Н.Н.

Автор: Бухарин Н.Н.

Теги: пневмоэнергетика машины и инструменты холодильная техника холодильное оборудование энергетика инженерия машиностроение механика механическое оборудование издательство машиностроение

Год: 1983

Похожие

Способы расчета точностных характеристик деталей и узлов приборов

Поэты. Пять характеристик

Криогенная техника

Центробежные компрессорные машины

Текст

Н. Н. Бухарин
МОДЕЛИРОВАНИЕ
ХАРАКТЕРИСТИК
ЦЕНТРОБЕЖНЫХ КОМПРЕССОРОВ
ЛЕНИНГРАД «МАШИНОСТРОЕНИЕ»
ЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ 1088
ББК 31.76
Б94
УДК 621.5.041.001.57
Рецензент д-р техн, паук проф. И. И. Никольский
.... 5 177 1
потеха У19.
Бухарин Н. Н.
Б94 Моделирование характеристик центробежных компрес-
соров.— Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1983.—
214 с., ил.
75 кои
В книге разработана математическая модель центробежного компрессора,
позволяющая рассчитать его характеристики при различных режимах работы
и способах регулирования производительности. Изложены основные принципы
построения модели, приведены алгоритмы и программы моделей элементов про-
точной части н процедуры определения границ характеристик. Даны уравнения
состояния реальных газов п смесей, методы и программы расчета термических
н калорических величин по двум параметрам состояния.
Книга предназначена для инженерно-технических работников, занимаю-
щихся исследованием и проектированием центробежных компрессоров, модели-
рованием энергетических, в том числе холодильных, машин н установок.
г 2307000000-872 „
Б---ЛОО /л.Ч о о—Свод. пл. подписных изд. 1983 г.
Uuo (U1 J“ou
ББК 31.76
6П5.7
(g) Издательство «Машиностроение», 1983 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Повышение эффективности энергетических машин и установок,
в том числе центробежных компрессоров, является важной народ-
нохозяйственной задачей. Основные усилия специалистов чаще
всего направлялись на повышение максимальных значений КПД
центробежных компрессоров, причем успехи в этой области были
настолько значительными, что эти значения достигают в настоя-
щее время 80—84 % и вплотную приближаются к верхнему пре-
делу, который вообще может быть достигнут в машинах такого
класса. Дальнейшие изыскания в этой области будут все более
трудоемкими и дорогостоящими, а в результате максимальный
КПД центробежных компрессоров в лучшем случае может быть
повышен еще на 1—2 %, а то и на доли процента. Однако создание
центробежного компрессора с высоким максимальным КПД
вовсе не означаегучто в условиях эксплуатации он будет реализо-
ван. Опыт показывает, что точка совместой работы компрессора и
сети чаще всего не соответствует максимальному КПД, причем
положение этой точки зависит от ряда факторов—таких, как
параметры окружающей среды, потери в элементах сети, увеличи-
вающиеся по мере загрязнения аппаратов или изменения техноло-
гического режима их работы, и т. п. Эти факторы могут изменяться
периодически в течение суток или по временам года, случайно или
нарастать постепенно в процессе работы компрессорной системы.
Снижение КПД может составлять проценты или даже десятки
процентов и сопровождаться резким снижением эффективности
системы. Этим сводятся на нет все усилия завода-изготовителя по
повышению КПД центробежного компрессора.
Реализовать максимальный КПД в процессе эксплуатации при
изменениях внешних условий или характеристики сети можно
только в том случае, если применяется регулирование ступеней
центробежного компрессора наиболее эффективными способами:
поворотом лопаток диффузора и закруткой потока при входе
в колесо с помощью входного регулирующего аппарата.
Большинство заводов, выпускающих центробежные компрес-
соры, стремятся к созданию минимального числа типоразмеров
унифицированных элементов проточной части ступеней, комбини-
I* 3
руя которые, можно получать ступени с требуемыми параметрами.
Число унифицированных элементов обычно невелико, что позво-
ляет без больших затрат экспериментально получить их подробные
газодинамические характеристики.
Для того же, чтобы получить газодинамические характеристики
вариантов ступеней центробежного компрессора, в состав которых
входят различные унифицированные элементы проточной части
при разных способах регулирования производительности, необ-
ходимо разработать специальные математические модели, так как
трудоемкость их экспериментального определения слишком ве-
лика. Опытной проверке можно подвергать лишь лучшие варианты,
а при регулировании производительности — выборочно некоторые
режимы.
Особое значение приобретает создание таких моделей
в тех случаях, когда они должны использоваться в качестве
вложенных систем в моделях более высокого ранга — моделях
компрессорных систем или энерготехнологических комплексов
в целом, так как получить из опыта характеристики сту-
пеней при всем многообразии режимов работы, рабочих ве-
ществ и методов регулирования, особенно если одновремен-
но применяются несколько методов, практически невозможно.
Методы расчета характеристик центробежных компрессоров
по характеристикам отдельных ступеней разработаны на НЗЛ,
в СКБК, ВНИИхолодмаше и других предприятиях. Они успешно
используются при создании и отработке компрессоров различного
назначения.
Настоящая книга в основном посвящена разработке модели
ступени центробежного компрессора, которая является ключевой
при создании модели компрессорной системы и позволяет рас-
считать ее характеристики при сжатии реальных газов с различ-
ными термодинамическими свойствами для различных режимов
работы и способов регулирования производительности. Особенно
большое значение это имеет при проектировании центробежных
компрессоров для химической и нефтеперерабатывающей промыш-
ленности, где используются смеси реальных газов произвольного
состава. Для полученных алгоритмов разработана и отлажена на
ЭВМ система процедур для расчета термических и калорических
параметров реальных газов, которая используется при обработке
опытных данных и математическом моделировании характеристик
центробежных компрессоров. Приведены эффективные методы
аппроксимации и интерполяции для использования опытных дан-
ных в математической модели. В виде отработанных программ они
могут сразу применяться в расчетной практике.
Необходимо отметить, что вместо опытных характеристик могут
быть использованы математические модели элементов проточной
части, если они позволяют получить необходимые данные с доста-
точной точностью. Такие модели разрабатываются на кафедре
компрессоростроения ЛПИ им. М. И. Калинина, в ЦКТИ им.
И. И. Ползунова и ряде других организаций.
4
Особенйостью разработанной в настоящей книге модёлй ступени
является модульность: каждая вложенная модель элемента про-
точной части представляется в виде одной или двух самостоятель-
ных процедур. В результате сама модель записывается в виде
короткой и наглядной программы и может, в свою очередь, исполь-
зоваться в моделях более высокого ранга. Модели элементов
проточной части приведены полностью и снабжены коммента-
риями. Наибольший интерес в них представляют не сами системы
уравнений, а способы их решения, особенно для моделей колеса н
диффузора. Разработаны процедуры определения границ характе-
ристик ступени, соответствующих наибольшей производительности
и началу помпажа. Изложение строится так, что за описанием
алгоритма, как правило, следует процедура, записанная на
языке АЛГОЛ-60 (версия АЛГОЛ-ГДР для ЭВМ БЭСМ-6). Особен-
ностью синтаксиса этого языка является заимствование из языка
ФОРТРАН правил записи формул, условных операторов и форма-
тов операторов печати. Так как этим АЛГОЛ ГДР в известной
мере близок к языку PL/1, компиляторы с которого имеются
в машинах ЕС ЭВМ [4], то все тексты процедур оставлены без
изменений.
Итоговая управляющая программа в работе не дана, так как
в зависимости от поставленной задачи она может иметь разный
вид. Приведенные процедуры в основном не оптимизированы, cha
задача достаточно трудоемка и еще ждет своего решения.
Все отзывы и замечания автор просит присылать по адресу:
191065, Ленинград, ул. Дзержинского, 10, издательство «Машино-
строение».
Г лава 1
РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ СОСТОЯНИЯ РЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
1.1 ТЕРМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ
СОСТОЯНИЯ РЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
Термическими параметрами состояния вещества являются
давление р, температура Т и удельный объем v или плотность р.
Центробежные компрессоры широко применяют в самых раз-
личных отраслях промышленности для сжатия разнообразных
газов.
Например, в ДВС, крупных воздухоразделительных уста-
новках, системах промышленного воздухоснабжения сжимаемым
газом является воздух, а интервал давлений относительно невелик.
В этом наиболее простом случае термические свойства сжимаемого
воздуха с достаточной точностью описываются уравнением состоя-
ния идеального газа
pv = RT. (1.1)
Практически вся современная термогазодинамика турбомашин,
в том числе и центробежных компрессоров, основана на этом урав-
нении. Однако в химической и нефтеперерабатывающей отраслях
промышленности, в холодильной технике сжимаемые газы или
меси газов часто существенно отличаются от идеального. Их
термические свойства уже не могут быть описаны уравнением
(1.1). Для них применяют уравнения состояния реальных газов
или их смесей, часто имеющие гораздо более сложный вид.
К настоящему времени разработано большое число уравнений
состояния реального газа. Их обзор дан в п. 1.3.
1.2 КАЛОРИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ
СОСТОЯНИЯ РЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
К калорическим параметрам состояния реального газа отно-
сятся энтальпия I, энтропия s, теплоемкости сри си, показатель
изоэнтропы, теплота парообразования г и связанная с ними ско-
рость звука а.
6
Энтальпия
Энтальпия реального газа — функция двух независимых пара-
ментров состояния. Это отличает ее от энтальпии идеального газа,
которая для данного газа является функцией только температуры,
и принуждает изменить методы расчета при переходе к реальным
газам. Способ определения энтальпии зависит от вида уравнения
состояния.
Определение энтальпии, когда уравнение состояния представ-
лено в виде ® = f(p, Т). В этом случае энтальпию также лучше
рассматривать как функцию давления и температуры, т. е.
Рис. 1.1. Определение энтальпии и внутренней энергии реального газа
Тогда величину i вычисляют по схеме, представленной на
рис. 1.1, а. За начало отсчета принимают некоторую точку с давле-
нием р0 и температурой То, в которой энтальпия принята равной
произвольной величине const i. Энтальпию в искомой точке А
с параметрами р и Т представляют в виде суммы двух членов i0
и А/. Первый из них i0 определяется при постоянном давлении р0
и зависит только от температуры:
г
i0 = Д1о const i = j + const *•
г. P
Второй член Ai определяется при постоянной температуре Т
и зависит только от давления. Полное выражение для энтальпии
принимает вид
т р
.=i. + A.' = J + +const!. (1.2)
У о Ро
Интегрируя при р0 = const первый член правой части этого
равенства, который содержит теплоемкость вещества при постоян-
ном давлении
ср = (di/dT)p,
(1-3)
7
находим
/ Т \
4=1 jcp dT I -j- const i.
\ Лв /Ре
Чтобы проинтегрировать второй член в (1.2), используем
известное из термодинамики выражение [24 ]
(di/dp)T = v — T (dv/dT)p, (1.4)
которое преобразуется к более удобному виду, если учесть, что
L дТ Jp 1 Т \ дТ )(, Л L \ дт ;PJ ’
объединив эти выражения, находим
( di \ 2 Г д (у/Т) j
X др )т L дТ jp*
Интегрируя последнее равенство при Т = const и подставляя
результат в (1.2), получим формулу для определения энтальпии
ф- const i. (1.5)
т
В настоящее время широкое распространение получили рас-
четы теплоемкости газообразных веществ в состоянии идеального
газа методами квантовой механики по данным спектроскопического
анализа. Состоянию идеального газа теоретически соответствует
нулевое давление и бесконечно большой удельный объем: р = 0;
v = оо. Расстояние между молекулами в этом состоянии беско-
нечно велико, так что взаимодействие между ними отсутствует.
Тогда уравнение состояния вырождается в уравнение для идеаль-
ного газа pv — RT, а теплоемкости при постоянном давлении и
объеме являются функциями только температуры: срвд — (Т);
совд = /а (Т), причем они связаны между собой уравнением
Майера
срид ид 4* R-
Данные по теплоемкостям для состояния идеального газа удобно
использовать при определении энтальпии реального газа. Прн этом
за начало отсчета принимают изобару р0 = 0. Тогда выражение
(1.5) для энтальпии будет записано так:
т г р
i = jcpB„dT - Т2 J [-|-const i. (1.6)
7, I 0 J Г
Определение энтальпии, когда уравнение состояния представ-
лено в виде р = /(о, Т). В этом случае удобно сначала опреде-
лить внутреннюю энергию реального газа, рассматривая ее как
8
функцию удельного объема й температуры, т. е. а = / (v, Т),
а затем найти энтальпию из известного выражения
I = и -|- pv. (1.7)
Внутреннюю энергию в искомой точке S вычисляют по схеме,
представленной на рис. 1.1, б. За начало отсчета принимают неко-
торую точку с удельным объемом и0 и температурой 74, в которой
внутренняя энергия принята равной произвольной величине
const и. Так же, как и раньше, представим искомую внутреннюю
энергию в виде суммы двух членов. Первый из них и0 определяется
при постоянном удельном объеме п0 и зависит только от темпе-
ратуры:
г
iio = Аи0 const и -= j () dT 4- const и.
To
Второй член Ап определяется при постоянной температуре и
зависит только от удельного объема, а полное выражение для
внутренней энергии принимает вид
Т и
Ы==Ы„ + А«^ + const “ <L8)
To Co
Так как
с, = (ди/дТ):„ (1.9)
то
/ т \
и0 := I j cvdT I + const и.
\Т й / v о
Чтобы проинтегрировать второй член в (1.8), используем
известное из термодинамики соотношение [241
(ди/ди)т = Т (др/дТ)„ -р, (1.10)
которое можно преобразовать к более удобному виду, если учесть,
что
L дТ ь Тг [ \дТ /v
в итоге
ди \ _ Т1 Г д(р/Т) )
до )т L 57 Ju
Интегрируя последнее равенство при Т = const, подставляя
результат в (1.8), а затем в (1.7) и полагая, что const i = const и,
находим формулу для определения энтальпии
(Т \ с 1
^cvdTj + Т1 J du 1 -три 4-const i.
Т а ' О о Оо ' Т
9
Если использовать опытные данные по теплоемкости в состоя-
нии идеального газа, то
Т | u I
i= Jc0TOdT + рНрУг1], +Pf + constt. (1.11)
То V оо ) т
Определение постоянной const i. В принципе постоянная const i
может быть выбрана произвольно, так как в расчетах, оперируя
абсолютной величиной энтальпии, обычно ищут ее приращение от
одного состояния к другому. Однако, чтобы не столкнуться с отри-
цательными значениями энтальпии, на практике величину const i
выбирают достаточно большой. Например, в холодильной технике,
когда расчеты циклов проводятся в областях перегретого пара,
насыщенной и даже переохлажденной жидкости, для определения
const i условно принимают, что при Т = То = 273,15 К энтальпия
насыщенной жидкости 1'2-3.15 = 400 кДж/кг [31. Энтальпия сухого
насыщенного пара при той же температуре 1273.15 — 1273.15 +
+ га7з.15, где г27315 — теплота парообразования при температуре
насыщения 273,15 К, кДж'кг. Если использовать выражение
(1.6), получим
*273,15 = 400 1 Г273.15
7’273,15
273.15= J
(1
+
273,15
i const 1,
где р273>15 — давление насыщения при Т = 273,15 К-
Отсюда
const 1 = 400 ;
Л273. 15 273,152
7*273,15
f Г д (v/T) 1 .
о
273,15
(112)
Если использовать (1.11), то, действуя подобным же образом,
получим
const I — 400 Ц- 7'273,15 —
с>273
273,15= J
оо
— р273.\5^273.\5,
273,15
(113)
где 1*273,15 — удельный объем сухого насыщенного пара при
Т = 273,15 К.
Практически величину const 1, например при расчетах на ЭВМ,
можно определять по обобщенной формуле
const 1 = 400 л273115 (1)273,151 (1-14)
где (1'273,15) —значение энтальпии, найденное из выражений (1.6)
или (1.11) при Т = Та = 273,15 К, удельном объеме насыщенного
ю
пара 0273.15 и давлении насыщения £273.15, соответствующем темпе-
ратуре насыщения Т = 273,15 К, в предположении, что const i =
= 0.
Энтропия
Так же как и энтальпия, энтропия реального газа является
функцией двух независимых параметров состояния.
Определение энтропии, когда уравнение состояния представ*
Лено в виде <0 = /(р, Т). В этом случае энтропию рассматривают
как функцию тех же параметров, т. е. s = f (р, Т), и вычисляют
в соответствии со схемой, показанной на рис. 1.2, а. За начало
Рис. 1.2. Определение энтропии реального газа
отсчета принимают точку с давлением р0 и температурой То,
в которой энтропия принята равной произвольной величине
const s. Энтропию в точке А с параметрами р, Т представляют
в виде суммы двух членов Sj и As. Первый из них определяется при
постоянном давлении р0 и зависит только от температуры:
т
s0 = As0 + const s = f ('af") dT const s.
t. P
Второй член As определяется при постоянной температуре Т
и зависит только от давления. Полное выражение для энтропии
принимает вид
т Р
s=s0-LAs- J (-^pdT + J (-^Tdp + const s. (1.15)
T О Рй
Воспользовавшись известным [241 соотношением ср =
= Т (ds!dT)p и проинтегрировав первый член правой части ра-
венства (1.15) при постоянном давлении р0, получим
/ т \
s0 = I j dT j + const s.
•Tq / Pa
Для интегрирования второго члена уравнения (1.15) применим
известное из термодинамики выражение
(ds/dp)T = — (Эи/дТ)р.
11
Тогда после интегрирования при Т = const и подстайовкт
результата в (1.15) найдем формулу для определения энтроггиг
s-(
''Ра
Р
НМ""
Ро
1 const S.
Практически удобно, как и при нахождении энтальпии, зг
начальное давление принять ри = 0 с тем, чтобы воспользоваться
данными по теплоемкости ср „д или саид для состояния идеального
газа. Тогда
fp л
J h const s. (1.16)
0 P J T
Определение энтропии, когда уравнение состояния представ-
лено в виде р = f(v, Т). В этом случае используют схему, пока
занную на рис. 1.2, б. Энтропию рассматривают как функции
s --f (v, Т) и также представляют в виде суммы двух членов.
Первый из лих s0 определяется при постоянном удельном объеме
и0 и зависит только от температуры:
= As0 г consts —
dT -f-consts.
- v„
Второй член As определяется при постоянной температуре 7
и зависит только от удельного объема. В результате
s = s0 -f- As =
dT
+ consts. (1.17)
т
Приняв во внимание, что
с0 = T(ds/dT)D-, (ds/dv)r = (dp!dT)v,
можно из (1.17) найти выражение для определения энтропии
+ I(-fr)oda + const s,
'Tp / уa -Рр Т
или, если выбрать за начало
отсчета изохору и0 = оо,
„ _ [ СУ ид
J J
d?+ + consts.
• оо - Т
(1-18)
Преобразование уравнений. Непосредственное применение вы-
ражений (1.16) и (1.18) не всегда удобно, поэтому их целесообразно
преобразовать к несколько иному виду.
12
Для случая, когда уравнение состояния дано в виде v = f (р, Т),
введем поправку на удельный объем реального газа по сравнению
с идеальным [25]
n RT RT , ..
-(2-1),
(1.19)
где z = f (р, Т) — коэффициент сжимаемости.
Из (1.19) найдем выражение для удельного объема и его частную
производную по температуре при постоянном давлении:
С помощью последнего выражения преобразуем равенство
(1.16) к следующему виду:
3= J
СР ид
L0
R J I + const s.
о / т
(1-20)
Интегрируя третий член этого выражения, найдем
= R In р — R In 0,
причем — R In 0 = 4-оо. Этот член компенсируется введением
в величину const s такого же члена с обратным знаком, вследствие
чего выражение (1.20) примет окончательный вид
т
j срид
Г»
dT -
— R In р 4- const s.
(1-21)
Если уравнение состояния имеет вид р = f (и, Т), то вводим
поправку на давление реального газа по сравнению с идеальным
г, RT RT . 1ч
= Р------- = —
которая становится малой при приближении к состоянию идеаль-
ного газа. Тогда давление и его частная производная по темпера-
туре при v = const будут соответственно равны:
Вводя последнее выражение в (1.18), находим
Т Го / v \
s=\^dT + \(^-^vdv + R + consts. (1.22)
T0 -co - T \ co / T
В результате интегрирования третьего члена этого выражения
|R j-y-j = R Inv - R In оо
X 00 J т
13
появляется член —R In оо = —оо, который, как и в предыдуще
случае, компенсируется введением в величину const s такого ж
члена с обратным знаком.
Заметим, что в обеих рассмотренных формулах — (1.20)
(1.22)—бесконечно большие члены, если они появляются пр
интегрировании вторых членов правых частей, устраняются подсС
ным же образом. В итоге окончательное выражение для энтропи
т
s = j -^2- dT +
To
V
г/? Inn-bconst s. (1.23
Определение постоянной const s. С учетом сделанных замена
ний о бесконечно больших членах, получаемых при интегрирова
нии, постоянная const s может быть выбрана произвольно, однако
чтобы не иметь дела с отрицательными значениями энтропии,е^
выбирают достаточно большой.
При определении const s в холодильной технике условна
принимают, что при Т = Та = 273,15 К энтропия насыщенно!
жидкости sb-3,15 = 4 кДж/кг. Энтропия сухого насыщенного пар;
при То = 273,15 К «2*3,15 = 8273,15 + ^73,15/Т, где r273,is — теплот;
парообразования при температуре насыщения Т = 273,15 К
С учетом (1.20) получим
Л I '773.15
5273.15 = 4 + 2^
-/’ггздБ
- о
dp
273,15
— Я1пр273,15 + Const S.
Отсюда
f'’273,15 1
I (4г)Л 4-tfJnp«3,i6
0 J 273,15
Используя (1.23), подобным же образом получим
j 273,15, (1.24)
где <«>273,15 — значение энтропии, определеннее из выражений
(1.21) или (1.22) при Т = То = 273,15 К, удельном объеме насы-
щенного пара v'273.15 и давлении насыщения /7273,15 при Т =
= 273,15 К в предположении, что const s = 0.
Заметим, что описанный способ определения const s справедлив
только для реальных газов или их смесей, имеющих в жидком
14
состоянии постоянную температуру кипения при постоянном давле-
нии, так как в противном случае нельзя определять приращение
энтропии при кипении делением теплоты парообразования на тем-
пературу насыщения.
Теплоемкость
Теплоемкость реального газа зависит от двух параметров со-
стояния. Для ее определения используют методы, в принципе
сходные с ранее изложенными.
Теплоемкость при постоянном объеме сс, находят по схеме,
приведенной на рис. 1.3, а, и представляют в виде суммы двух
членов, первый из которых сг, ид зависит только от температуры и
Рис. 1.3. Определение теплоемкостей реального газа
вычисляется при постоянном удельном объеме, а второй Acv
зависит только от удельного объема и вычисляется при постоянной
температуре Т. Чтобы использовать данные по теплоемкости для
состояния идеального газа, первый член определяют при v = оо.
Это приводит к следующему выражению:
V
= cv ил “h ^cv = cv пл J dv.
Дифференцируя (1.9) по удельному объему при постоянной
температуре и заметив, что порядок дифференцирования не влияет
на результат вычисления смешанной производной (241, находим
/ dcv \ _ г ь> / Ои \ 1 __ г Д / г)» \ 1
\ dv / т ~~ l dv \ дТ / и J т L дТ \ ди ) т J и ‘
Дифференцируя по температуре при v = const выражение
(1.10), на этом основании получаем
\ dv / т \ дТ2 /и
после чего теплоемкость при постоянном объеме запишется в виде
v
с.-е.., + Т /(-££•)> (1-25)
15
Теплоемкость при постоянном давлении ср определяют по схеме,
приведенной на рис. 1.3, б, аналогичным образом:
р
ср — ср пд 4" = Ср ид Н- j ( dp
о
Дифференцируя (1.3) по давлению при Т = const, находим
( дср\ _ [_д_ / di \ 1 _ га ( di \ 1
\ др )т L dp \ дТ /р\т '[ дТ \ др /rip’
а применив (1.4), получим в итоге
(дср/др)т ——Т (дЪ/дТ^р.
После этого выражение для теплоемкости при постоянном
давлении примет вид
р
сР^сР„я-Т j
о
В тех случаях, когда известна одна из теплоемкостей, а полу-
чение аналитического выражения для другой сопряжено с трудно-
стями математического преобразования или приводит к громоздким
или неудобным зависимостям, целесообразно воспользоваться
известными из термодинамики [3, 24] формулами для разности
теплоемкостей:
— = Т (17“)0(1Тг)р’ (L26)
с _ с____т( \ ( др V -____. /127)
р cv— ‘{dp)T\dT)v— * (др/дь)т ’
ср- cv = — =-~Т • (1-28)
р v \dv /т\ дТ /р (dv/dp)T ' 1
Скорость звука
Для расчета газодинамических процессов в элементах проточ
ной части центробежных компрессоров необходимо наряду со
скоростью потока знать число Маха. Чтобы его найти, необходимо
располагать данными о скорости звука.
Из термодинамики [24 ] известно, что скорость звука определя-
ется из уравнений Лапласа
где индекс s означает, что производная взята при s = const.
Частная производная от давления по удельному объему может
быть записана в виде [24]
( = Ср (’V
\ dv Js св \ dv Jr' *
16
В итоге скорость звука
(1-29)
Из полученного выражения видно, что для определения ско-
рости звука необходимо располагать формулами для теплоемко-
стей и уравнением состояния.
Показатель изоэнтропы
В реальном газе показатель элементарного, т. е. совершаемого
в бесконечно малом интервале давлений и температур, изоэнтроп-
ного процесса определяется из известного выражения [24]
= (1.30)
р \ dv /s р cv \ dv /т х '
и является величиной, значительно изменяющейся в зависимости
от температуры и давления. Поэтому для получения необходимой
точности расчета процессов сжатия и расширения реального газа,
совершаемых в конечных интервалах давлений и температур,
иногда нельзя непосредственно использовать значения k, найден-
ные по (1.30), а нужно искать некоторое среднее значение k.
Конкретная методика определения показателя й представлена
в п. 3.4.
Теплота парообразования
Теплота парообразования может быть определена с помощью
уравнения Клапейрона—Клаузиуса [3]
(1.31)
где г — теплота парообразования; Т — температура насыщения
(кипения); и" — удельный объем сухого насыщенного пара; v' —
удельный объем насыщенной жидкости; р — давление насыщенного
пара.
Величина v" в уравнении (1.31) при заданной температуре кипе-
ния находится непосредственно из уравнения состояния.
Для определения теплоты парообразования по уравнению Кла-
пейрона—Клаузиуса необходимо дополнительно располагать
уравнениями для плотности или удельного объема жидкости на
линии насыщения левой пограничной кривой и зависимостью
давления насыщения от температуры. Плотность насыщенной
жидкости вдоль левой пограничной кривой обычно задается в виде
функции р' f (Т). Аналитическая зависимость давления насыще-
ния от температуры обычно задается уравнением вида In р =-- f (Т).
Дифференцируя это уравнение по температуре, находим аналити-
— ческое выряжена производной, вводим его в (1.31) и получаем,
ДЗ^‘Н. Буэарин- !——___| 17
таким образом, уравнение для определения теплоты парообра-
зования.
Обзор ряда уравнений для расчета давления насыщения п плот-
ности дан И. С. Бадылькесом [3] (см. и. 1.4).
1,3. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ РЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
Наиболее распространенными уравнениями состояния реаль-
ных газов являются уравнения Боголюбова—Майера, Битти —
Бриджмена, Бенедикта—Вебба—Рубина (ВВР). В последние годы
появились уравнения Старлинга и взаимосогласованные уравнения
Клсикого, позволяющие выполнять расчеты как в области пара,
так и в области жидкости.
Применение каждого из уравнений определяется характером
поставленной задачи и требуемой точностью расчетов. При расчете
процессов сжатия перегретого пара при средних и малых давле-
ниях и плотностях, не превышающих критической плотности,
инженерная точность вполне может быть обеспечена с помощью
уравнений Битти—Бриджмена, Старлинга, БВР. Существенным
преимуществом этих уравнений является возможность расчета
параметров смесей реальных газов, которые часто являются
рабочими веществами компрессоров в химическом и нефтехими-
ческом производствах. Если необходима высокая точность расче-
тов, то применяют уравнения Боголюбова—Майера, Клёцкого
и др. Отметим, что ио существу почти все известные уравнения
состояния являются математическими аппроксимациями двумер-
ных термодинамических поверхностей, описывающих термические
свойства реальных газов. Поэтому точность р—v—Т-зависимостей
определяется главным образом степенью полинома, который вхо-
дит в уравнение состояния. Так, уравнение Битти—Бриджмена
является уравнением третьей степени по температуре и плотности,
уравнение БВР — пятой степени по плотности и третьей степени
по температуре, уравнение Старлинга — пятой степени и по плот-
ности и по температуре. В некоторых случаях таких значений сте-
пени недостаточно для получений нужной точности, тогда прини-
мают уравнение Боголюбова—Майера, которое теоретически пред-
ставляет собой бесконечный ряд по степеням температуры и плот-
ности. Однако на практике даже для прецизионного описания
термических свойств редко приходится применять степени выше
восьмой.
Уравнение Боголюбова—Майера представляет собой наиболее
общую форму уравнения состояния с вириальными коэффициен-
тами и имеет теоретическое обоснование. Вследствие этого оно
признано сейчас основным уравнением состояния, что значительно
облегчает программирование и выполнение расчетов на ЭВМ, так
как переход от одного рабочего вещества к другому осуществляется
без изменения алгоритма простой заменой одного массива коэффи-
циентов аппроксимации на другой. Недостатками уравнения
Боголюбова—Майера являются отсутствие коэффициентов аппрок-
18
симации для многих газов и пригодной для практического примене-
ния методики комбинирования коэффициентов для расчета терми-
ческих параметров смесей реальных газов.
Достоинствами уравнения Битти—Бриджмена являются воз-
можность его представления в форме Боголюбова—Майера и нали-
чие простой и удобной методики комбинирования коэффициентов
при расчете смесей. Коэффициенты к уравнению Битти—Бридж-
мена более чем за 50 лет его существования получены для очень
многих газов, что расширяет возможности его применения.
Уравнения БВР и Старлинга также могут быть представлены
в форме Боголюбова—Майера, однако они имеют остаточный член,
содержащий экспоненту. Это сопряжено с изменением программы
расчетов, так как необходимо вводить соответствующие поправки
в алгоритм.
Вириальное уравнение состояния Боголюбова—Майера
Вириальное уравнение состояния, представляющее собой теоре-
тически бесконечный степенной ряд по плотности р, в настоящее
время получило широкое распространение. Впервые такое разло-
жение было предложено как эмпирическое Тиссеном, но основное
развитие оно получило в работах Камерлинг-Оннеса в 1901 г. [33 ].
После работ Боголюбова и Майера вириальное уравнение со-
стояния приобрело особое значение как единственное из известных
уравнений состояния, имеющих строгую теоретическую основу.
Оно имеет вид
2 — =1 4- В1 р 4 В? р 4~ В3 р3 В а р 4- • • .,
или в сокращенном виде
Z = 1 4- S
1=1
где В* — вирнальные коэффициенты, зависящие только от темпе-
ратуры; z — коэффициент сжимаемости.
В практических расчетах число вириальных коэффициентов г
обычно выбирают наименьшим, однако с условием, чтобы было
обеспечено удовлетворительное согласование с опытными данными.
Тогда уравнение будет иметь вид
Г
г . = 1 г £ В;р'.
i=i
Каждый из г вириальных коэффициентов, в свою очередь,
является функцией только температуры:
/—о
2»
19
где bu — коэффициенты разложения; т = Т/Ткр—приведенная
температура; Т|;р — критическая температура, К,-
Обычно уравнение Боголюбова—Майера представляется в об-
щем виде [31
z =
(1.32)
Коэффициенты разложения для некоторых веществ, определяе-
мые по специальным методикам на основании результатов экспе-
риментальных исследований, приведены в табл. 1.1.
Определение энтальпии. Энтальпия вещества по уравнению
Боголюбова—Майера определяется в соответствии с изложенной
выше методикой. Так как уравнение состояния имеет вид р —
---= f (Т, о), то необходимо использовать выражение (111). Из (1.32)
находим подынтегральную функцию второго члена правой части
выражения (1-11), заметив, что v = 1/р и т Т/Т ;
\ 1 = 1 i=0 /
Затем найдем
р1;
тогда
Г <Hp/T) 1
L от J
Интегрируя, получим
J PSP-]*—s s/-Д /-£- -
оо 1=1/ =0 оо
1=1 /=0
Теплоемкость в состоянии идеального газа обычно задается
в виде аппроксимации экспериментальных данных полиномом,
например, вида 139]
п
1=0
(1.33)
где d, — коэффициенты полинома; т = Т'Ткр — приведенная
температура.
20
Таблица 1.1
Коэффициенты bij уравнения Боголюбова—Майера
для некоторых хладагентов [ 381
Хлад- агент i Значения Ьц при /
0 1 2 3
R7 17 (NH,) 1 2 3 4 5 6 7 4,535640-10° 4,310675-10* —2,801302- 10s 1,029089-103 -2,009954-103 1,785179-103 -5,965000-102 -1,468170- 10* -4,604180- 10* 4,2)6674-102 —1,060964-103 1,732929-103 —9,797024-102 0 1,358860 10* 4,609030-10* -1,596879-102 3,590492-10* 2,250630-10“ 0 0 —9,912640-10“ 1,286428-10* 1,047311-10* -0,955490- 10“ 0 0 0
R12 1 2 3 4 5 6 1,355710-10° -2,505082-101 8,684429-10* —1,077829-102 8,323157-10* -3,303279-10* 2,133030-10“ 5,003127-10* -1,595742-102 1,556103-102 -8,949695-10* 3,633829-10* — 1,393830-10" -2,343731-10* 7,235037-10* -4,456885-10* 0 0 0 0 0 0 0 0
R13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1,631290-10“ 4,012790-10“ -4,231500-10“ -1,074387-10* 9,403520-10" 0 0 0 1,418310-10“ —4,316130-10“ -1,297953-10* 9,696700-10“ 6,580693-10’ -5,571512-10* 0 0 0 -1,953660-10“ 2,145300-10“ 1,692886-10* -7,749570-10“ — 1,123295-102 1,011566-102 0 -4,818010-10" 0 0 — 1,568960- 10“ —6,389690- 10“ 1,258970-10“ 6,168686-10* -6,124361-10* 1,324080- 10" 6,847740- 10“ 0 0
R22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3,511590-10“ 3,658500-10" -8,616280-10" 1,966130-10“ 7,101150-10“ -1,933203-10* 8,997210-10“ 0 -0,841570-10" —9,851867-10“ -1,847323-10* 5,606708-10* -4,380976-10* 3,822467-10* 0 -5,988420-10“ 0 0 7,591700-10" 2,959305-10* -8,964752-10* 6,285826-10* -5,031942- 10* 2,000340-10* 0 0 0 -3,716400- 10“ -1,268316-10* 4,208508-10* -1,897584-10* 0 0 0 0 0
R12В1 1 2 3 —0,344280-10" -1,239770-10" -0,211760-10“ 2,348960-10“ 2,474470-10" 0 -4.874370- 10“ 0 0 1,087630-10“ 0 0
R13B1 1 2 3 4 5 6 2,635760-10“ 1,797650-10" —7,095630-10“ 1,013092-10* -3,731660-10" —0,361790-10“ -8,243120-10“ 0,684560-10" 3,371000-10" —8,881520-10“ 3,775040-10“ 0 6,521950- 10" -0,613830-10" 1,938560-10“ 0 0 0 -2,728850- 10“ 0 0 0 0 0
21
Продолжение табл. 1.1
Хлад- агент i Значения Ьц при /
0 1 2 3
R502 1 2 3 4 5 6 1,159448-I01 —2,132916-10° 4,474593- 10° -6,658515-10° 7,278505-10° -1,476054-10° —3,304911-Ю1 0,347832-10° 1,560712-10° -4,092183-10° 0 0 3,047120-101 2,151983-10“ 0 0 0 0 -1,115820-101 0 0 0 0 0
R142 1 2 3 1,276700-10° 2,607655-101 —6,243696-101 —2,830100-10“ —6,138213-101 1,483911-102 -0,401500-10“ 3,900440-101 -8,786226-101 —0,941300 10“ 0 0
Примечание.
Принятые единицы физических величин при определении Ьц: р — Па: Т —
К; р — г/сма; R — кДж/(кг«К). .
Отметим, что dr = dTITKV и, значит, dT = T^dr. Интегрируя
выражение (1.33), находим
Т пт п т
J cv ид dT Ткр £ 4 J Т dr -= Ткр т‘+> | =
То 1=0 То »=0 Хо
<>.34)
7=0 1=0
Последний член правой части зависит только от выбранного
значения Та и поэтому обычно относится к const i. Объединяя все
выражения в одно, получим
и . / г i \
'- Ё d< 7ТТ t ' hSS-4±-V'p' +co,,sli'
<=0 \ 1 = 1 /=о 1
(1.35)
Постоянная энтальпии в этом случае
выражению (1.14):
может быть найдена по
( и
Т’пр У di
1=0
273,15
- 273,15/? 1
bif
т'
Р273.15
273,16
1=1 /=0
22
Иногда безразмерную теплоемкость в состоянии идеального
газа аппроксимируют полиномом, содержащим отрицательные
степени [381:
3£.ид = 2 d,r, (1.36)
/=-1
где саид = с-еня/К — безразмерная теплоемкость; Т = Т/А - -
безразмерная температура; А — нормирующий делитель, имеющий
размерность температуры, величина которого обычно имеет по-
рядок наибольшей температуры аппроксимируемого интервала.
В этом случае интегрирование приводит к выражению
» / 1 * i I I \ "
j cvmdT^ j- | ’
Tq \ i=0 ' 70
переходя к приведенной температуре, получим
J cv HpdT = AR In (-If-т) + 2 dt
Очевидно, что при d_r = 0 и Л = Ткр это выражение переходит
в (1.34), если принять, что аппроксимировалась размерная тепло-
емкость, и исключить множитель R в правой части.
Коэффициенты аппроксимации d, изохорной теплоемкости
в состоянии идеального газа, найденные для ряда хладагентов
И. И. Перельштейном и Е. Б. Парушиным [38], представлены
в табл. 1.2 (А = 1000 К).
Определение энтропии. Энтропия реального газа определяется
по уравнению (1.23). Из уравнения состояния (1.32) находим
Р г и у '

Вводя v и TlTKV под знак суммирования, получаем
г S-t
(1,37)
Z=1 /=Q
Частная производная по Т при v — const
i=l /=0
23
Критические параметры и коэффициенты уравнений
и давления насы
Хладагент Молекулярная масса ц Газовая по- стоянная Я* 1 0, кДж/(кг- К) т кипения при нор- мальных условиях ^н.к емпература замер- зания /3 . “С критиче- ская /кр Критическое давление Ркр’ Па Критическая плотность рКр, г/см* Ркр. ид. г/см’
R717 R10 R11 R12 R12B1 R13 R13B1 R14 R21 R22 R23 R30 R32 R40 R41 R50 R112 R 113 R113B2 R 114 R114B2 R115 R 116 R142b R143a R152a R160 R170 R215 R216 R217 R218 R290 R3 (11)0 R31(10) R4(13)0 RC318 R1150 R1270 R500 R502 R503 R504 Al 17,03 153,82 137,37 120,91 165,36 104,46 148,91 88,00 102,92 86,47 70,01 84,93 52,02 50,49 34,03 16,04 203,83 187,38 276,28 170,92 259,82 154,46 138,01 100,49 84,04 66,05 64,51 30,07 237,38 220,93 204,47 188,02 44,10 58,12 238,02 72,15 200,04 28,05 42,08 99,30 111,63 87,25 79,42 156,35 4,8821 0,5405 0,6053 0,6876 0,5028 0,7959 0,5584 0,9448 0,8078 0,9616 1,1876 0,9789 1,5982 1,6468 2,4431 5,1835 0,4079 0,4437 0,3009 0,4864 0,3200 0,5383 0,6024 0,8274 0,9893 1,2588 1,2888 2,7651 0,3503 0,3763 0,4066 0,4422 1,8855 1,4305 0,3493 1,1524 0,4156 2,9637 1,9758 0,8373 0,7448 0,9529 1,0493 0,5318 —33,35 77,47 23,65 —29,74 —3,83 —81,59 —57,77 — 128,02 8,73 —40,81 —82,14 40,10 —51,67 —23,86 —79,64 — 161,59 92,30 46,82 94,57 3,63 47,15 —38,97 —78,21 —9,20 —47,58 —24,54 12,23 —88,53 73,04 35,73 — 1,48 —36,81 —41,97 —0,55 —2,02 36,05 —5,97 — 103,74 —47,75 —33,30 —45,62 —87,84 —57,40 — 13,85 —77,70 —22,90 — 111,00 — 155,90 —80,00 — 180,00 — 143,20 — 184,00 — 135,00 — 160,00 —155,00 —96,70 —97,80 — 182,50 25,20 —35,00 —72,90 —93,90 — 110,50 — 106,00 — 100,60 — 138,00 — 111,30 — 117,00 — 138,70 -183,30 — 125,40 — 183,00 — 187,70 — 138.30 —41,20 — 129,70 —40,20 — 169,20 — 185,20 — 160,00 132,40 283,21 198,00 112,00 153,73 28,75 66,90 —45,65 178,50 96,13 26,30 236,85 78,40 143,10 44,60 —82,60 278,00 214,00 290,00 145,70 214,15 79,94 19 70 136,45 73,10 113,50 187,20 32,27 232,00 179,99 122,00 71,90 96,81 152,01 113,20 196,62 115,32 9,50 91,80 105,50 82,16 19,50 66,39 113,50 113,97 44,93 43,70 41,19 42,52 38,68 39,46 37,45 51,73 49,90 48,11 61,70 58,43 64,88 58,56 45,33 33,34 33,89 35,23 33,33 33,58 31,92 28,83 41,38 41,10 44,91 53,92 49,34 29,80 27,49 26,90 26,77 42,69 37,79 23,24 33,89 27,80 50,56 46,14 43,60 40,10 43,38 47,70 32,95 0,2291 0,5540 0,5702 0,5791 0,7410 0,5989 0,7700 0,6297 0,5279 0,5372 0,5280 0,4700 0,4251 0,3991 0,2960 0,1366 0,5687 0,6076 0,7970 0,6230 0,8129 0,6673 0,6381 0,4590 0,4487 0,3514 0,3371 0,2138 0,6825 0,6391 0,6731 0,7045 0,2254 0,2347 0,6258 0,2426 0,5479 0,2140 0,2388 0,5130 0,5717 0,5894 0,5310 0,6233 0,0576 0,1494 0,1532 0,1555 0,1981 0,1610 0,2078 0,1742 0,1418 0,1405 0,1355 0,1236 0,1040 0,0946 0,7554 0,0459 0,1483 0,1568 0,2079 0,1636 0,2153 0,1679 0,1634 0,1221 0,1200 0,0923 0,0909 0,0584 0,1684 0,1612 0,1674 0,1754 0,0612 0,0621 0,1722 0,0626 0,1722 0,0604 0,0640 0,1375 0,1515 0,1556 0,1339 0,1602
24
Таблица 1.2
для определения теплоемкости, плотности насыщенной жидкости
щения хладагентов [38]
Коэффициенты аппроксимации изохорной теплоемкости
d. dt dt
0,1811 —0,7308 —0,7032 —0,6228 —0,6620 —0,4884 —0,5306 —0,2985 —0,0954 0,0452 0,2386 0,2186 0,5573 0,4606 0,6594 0,5495 — 1,3254 — 1,2482 — 1,3299 — 1,1710 — 1,2546 —1,0406 —0,9103 —0,1521 —0,0218 0,4897 0,6490 0,8667 — 1,6950 — 1,6664 —1,5924 — 1,4621 1,0747 1,2828 —2,0139 1,4909 0 0,5157 0,6505 —0,1846 —0,3566 —0,1251 0,1326 —0,3679 0,9545 10,042 8,847 7,289 8,178 5,358 6,348 3,042 2,376 0,770 — 1,200 —0,639 —3,496 —2,612 —3,863 —2,342 16,365 14,914 16,579 13,463 15,220 11,646 9,830 3,671 1,855 -2,719 —4,257 —6,121 20,355 19,152 17,809 15,993 —7,872 —9,624 22,156 — 11,376 1,912 —3,671 —5,703 3,348 4,795 2,081 0,528 5,237 6,293 6,118 7,924 10,395 8,555 13,555 11,477 17,434 16,710 18,828 21,611 19,770 22,404 19,344 19,853 14,061 10,847 13,075 9,680 15,304 11,695 18,204 21,104 24,404 27,304 32,680 34,050 33,504 19,343 21,166 23,151 26,051 48,339 63,174 30,998 78,009 67,769 23,967 39,231 19,179 18,599 17,582 21,285 38,1045 — 1,639 —4,147 —4,967 —6,175 —5,056 —7,786 —6,510 —9,824 —9,163 — 10,001 — 11,224 — 10,418 — 10,790 —9,026 —8,548 —4,579 —6,775 —7,825 —5,782 —8,875 —6,692 — 10,317 — 11,759 — 11,930 — 13,372 — 15,690 — 16,425 — 14,985 — 11,3215 — 12,154 — 13,046 — 14,487 —22,440 —29,895 — 17,216 —37,350 —48,003 — 11,163 — 18,750 —9,926 — 10,119 —9,505 — 10,663 —24,220
Критерии уравнения (1.91) Коэффициенты уравнения (1.92)
Ri Ра Л1
7,0284 6,6170 6,5974 6,5741 6,5956 6,5553 6,5392 6,5795 6,6648 6,7964 6,9721 6,5960 7,1744 6,3960 6,7100 5,6628 6,9812 6,9168 6,8449 6,9220 6,8320 7,0387 6,8121 6,9530 7,1818 6,9210 6,6234 6,2724 7,4640 7,2120 7,3480 7,2817 6,4618 6,6834 7,5097 6,9421 7,3740 6,1216 6,4663 6,6280 6,7280 6,6380 6,8200 7,1622 -0,3958 0 —0,0617 —0,0913 —0,0979 —0,1198 —0,0717 —0,1005 0 —0,1644 —0,2113 —0,1720 —0,5506 0 —0,5500 0,2106 0 —0,2045 —0,1000 0 0 —0,3664 0 —0,3192 —0,5000 0 0 —0,1961 —0,1650 —0,1665 —0,1900 —0,2431 —0,0799 —0,1478 —0,2403 —0,1778 —0,0522 0 —0,2270 0 —0,0889 0 0 0 1,6839 1,5366 1,4617 1,4388 1,4248 1,4247 1,4651 1,4380 1,4916 1,4892 1,5685 1,70(0 1,6845 1,4862 1,5474 1,9417 1,5293 1,4093 1,4594 1,2978 1,4680 1,2431 1,4093 1,3500 1,6251 1,7150 1,4348 1,4711 1,0400 1,3232 1,1940 1,1986 1,4603 1,4731 1,5911 1,4684 1,9834 1,2566 1,3717 1,4500 1,4749 1,4581 1,4569 1,4096 0,3859 0,3068 0,2492 0,2338 0,2179 0,2255 0,2581 0,2240 0,2555 0,2865 0,2976 0,5680 0,4531 0,2323 0,4853 0,7635 0,2630 0,2074 0,2269 0,0305 0,2038 0,0707 0,1477 0,0060 0,4888 0,4183 0,2154 0,3390 —0,2300 0,0784 -0,0610 —0,0368 0,2676 0,2861 0,4043 0,2830 0,7871 0,0645 0,2442 0,2160 0,2535 0,3453 0,2026 0,1786
25
Интегрируя, находим
V г St .J
<Ю 1 = 1 j—Q ОО
г si
i-1 /=Л
Найдем первый член правой части выражения (1.23), полагая,
что величина с„ид представлена в виде (1.33):
j 2-Д. dT du j + £ dt j ~dT -^
To To t — 1 To
- 4 j-v + ^4 j T‘~1 dx = 4> In T | 4- ^dr^- | —
T0 1=1 To To 1 = 1 To
4 In T - t/„ 1пт0 -)"2 d‘~i-^dt-T-
<=i t=i
В этом выражении члены, включающие т0 и зависящие только
от выбора начальных условий, относят к const s.
Объединив все полученные выражения и заметив, что R In v =
= R In (1/p) -= —R In p, найдем зависимость для определения
энтропии
л . Л Г S i \
Д> ~ d01пт - I- ^di~ -- R I In P - V consts-
(1.38)
Постоянная энтропии на основании уравнений (1.24) и (1.38)
const S = 4 -L- 4 (41 In '1)273,15 ~ di ~ j +
\*=l / 273.15
Г / r St Ч-П
1 R 1 In P273.I5 — -Ц--------= Pm.njl
L \ 1 = 1 /=o / J 273,15
Если теплоемкость cv ид аппроксимирована зависимостью
(1.36), то интегрирование дает выражение
= Rl~dJ^-rdoinT+ J]^4") I'
Та К 1=1 / 7в
26
Переходя к приведенной температуре, получим
j S^dT^R
| ^dt <тГкр/Л)‘
i=l
В дальнейшем при обобщении расчетных формул для определе-
ния термических и калорических величин целесообразно пред-
ставить уравнение для энтропии (1.38) в несколько ином виде,
прибавив и вычтя из выражения в скобках единицу:
п
s - d0 In т + 2 di —i-----
i=i
— R Inp-f-l
ф- const s.
(1.39)
Представление зависимостей для расчета на ЭВМ. Получен-
ные зависимости легко программируются для расчетов на ЭВМ,
однако в случае, если приходится вести расчеты на малых ЭВМ
с ограниченным объемом оперативной памяти, зависимости для
определения давления, энтальпии и энтропии целесообразно
объединить в одно выражение. Оно имеет несколько дополнитель-
ных коэффициентов, принимающих значения 0; 1; —1 в зависимо-
сти от того, какая величина подлежит определению: р, I или s.
Это обобщенное выражение имеет вид
Л ftR(h . h'd) х

4- f2d0 In т + 4- (Л 4 ДПр) +
1=1
- j- /в const i 4- /2 const s.
Нетрудно убедиться, что при значениях указанных в строках
табл. 1.3, величина А принимает значения р, i или s.
Теплоемкость реального газа при постоянном объеме нахо-
дится по формуле (1.25). Для определения второй производной от
давления по температуре, стоящей под знаком интеграла, восполь-
зуемся уже введенной ранее величиной Dp, из которой определим
давление
р = Dp 4- RT/v.
(1.40)
27
Тогда вторая производная по температуре при постоянном
удельном объеме
(дч-р!дТ^ = (d^Dp/dT^.
Дважды дифференцируя (1.37), находим
Теплоемкость при постоянном объеме
с — с -I-Т Г ( д2р dv -= с
< и'ИД i * J I ^2 /., u Lv ИД 1
V г sl
оо | = |/ — О
P1+1
V+1
dv.
Введя Т под знак интеграла, получим в качестве множителя
т = Т1ТЩ1 и, заметив, что р‘+’ 1Д'+|, запишем
i=-l /—О <ю
В результате интегрирования имеем дробь, содержащую в зна-
менателе удельный объем в степени i, которая при нижнем пределе
v = оо равна нулю. Вернувшись
от удельного объема к плотнос-
ти, получаем формулу для теп-
лоемкости при постоянном
объеме
Таблица /..?
Коэффициенты ft
обобщенной формулы
для определения давления,
энтальпии и энтропии
или, в несколько иной форме, содержащей обобщенный
вида 1 + yv,
оператор
(1-41)
Аппроксимируя теплоемкость при постоянном объеме в состоя-
нии идеального газа полиномом (1.33), получаем
28
Непосредственное определение производной (d2v'dT2)r, необхо-
димой для нахождения теплоемкости при постоянном давлении,
из уравнения Боголюбова—Майера приводит к громоздким выра-
жениям. Поэтому лучше воспользоваться формулами (1.26)—(1.28)
для разности теплоемкостей. Чтобы использовать зависимость
(1.26), определим предварительно частные производные, которые
в нее входят.
Производную (dp!dT)v находим, используя величину Ор:
др \ _ / дрв \ . Р _ _R_
дТ Л. ~ \ дТ v ~ v
(1.42)
Так как плотность входит под знак двойной суммы, для опре-
деления производной (dv/dT)p нельзя использовать величину Dv.
Поэтому здесь необходимо представить уравнение состояния в виде
г Si
г=1 /=0
и применить правила дифференцирования неявной функции 1301:
/ др \ _ dFjdT
\ дТ" )р^~ dF/dv ‘
В результате преобразований находим
г \-
1 + X X <* -/> wa7
( &V \ — v ’=> /=0
\ дТ )р Т г Si
1 + X X О +')
i=I /=о
(1.43)
Введя обе производные (1.42) и (1.43) в (1.28), выразим тепло-
емкость при постоянном давлении через уже известную тепло-
емкость при постоянном удельном объеме:
Г S;
। + X X o-W/v
г___r I Р 1=1/-о________________
'-V Г ,
1 + X X (! +')fti7p7t/
1 = 1 /=о
(1.44)
Скорость звука в реальном газе определяется по (1.29). Для
упрощения записи будем искать квадрат скорости звука
а2 = — v2
ср ( др \
Cv \ dv /т'
(1-45)
29
Отношение теплоемкостей находим непосредственно из (1-44)
и подставляем вместо cv выражение (1-41). Тогда
1 4-
(1.46)
Для определения производной (dpldv)r используем величину
D,,. Продифференцируем (1.40):
(1.47)
Введем (1.46) и (1.47) в (1.45), тогда формула для квадрата
скорости звука будет иметь вид
(1-48)
Можно убедиться непосредственным вычислением, что для
состояния идеального газа, когда все выражения в квадратных
скобках становятся равными единице, квадрат скорости звука
принимает привычный вид
аг= RT + /?/соид)= kRT.
Показатель изоэнтропы реального газа находим непосредст-
венно из (1.30) с помощью уже найденных значений отношения
30

k
теплоемкостей [формула (1.46)] и частной производной (др!ди)т
[формула (1.47)]:
(1.49)
Для состояния идеального газа, действуя так же, как и при
определении квадрата скорости звука, находим из (1.49) известное
выражение
k — 1 -I - R/cv Ид :—• Ср пд/Q, Ид.
Сопоставляя выражения (1.48) и (1.49), видим, чтой = a'-/(zRT).
Используя это равенство, можно облегчить нахождение одной из
величин, если известна другая.
Сопоставление уравнения Боголюбова—Майера (1.32) и полу-
ченных на его основе выражений для калорических параметров
(1.35), (1.39), (1.41), (1.44), (1.46), (1.48) и (1.49) показывает, что
все они содержат обобщенные операторы вида [37 ]
Г $1
П[^1=1-|-££МоХ-
1=1 /=0
где kjj = f (i, j) — алгебраическая комбинация индексов суммиро-
вания i и /.
Применив такое обозначение оператора, можно все полученные
выражения представить в 1) уравнение состояния Z обобщенной - П [1]; форме: (1.50)
2) энтальпия
i — J cv ил dT - Н ЯГП [4-±1 j 4- const i; (1.51)
3) энтропия
s _ j dT - R (in р + 1 - 11 4-const s; (1.52)
4) теплоемкость при постоянном объеме
4 = 4 ид 4- R (1 - п ; (1-53)
31
5) теплоемкость при постоянном давлении
Ср = q,-L/? (П [1 —/|)2/П [1 4- tj;
6) отношение теплоемкостей
(1-54)
j j_______________(П [1 — /])2__________
Сг 1 П[1-Н] + 1 - П [ )
7) скорость звука
а2 - RT Гп [ 1 iJ 4---------(П[1 -/]Ц—_
Со ИД I [ _ тт Г / (/ ~ О 4
8) показатель изоэнтропы
k ц-р]- п 11 ; /1
(П [1 —/])а
6 о ид
R
(1.55)
(1.56)
Процедуры определения термических и калорических па-
раметров по уравнению Боголюбова—Майера. Представление
зависимостей, определяющих термические и калорические вели-
чины по уравнению Боголюбова—Майера, в операторной форме
позволяет запрограммировать их в виде системы вложенных опе-
раторов. В этом случае оператором низшего ранга является опе-
ратор определения величины ПЦ,Л] для любой комбинации
индексов I и J. Его можно записать в виде процедуры-функции:
01. ’REAL’ PROCEDURE’n (И.Ж.КЖО.Т); ‘VALUE’RO.T;
02. ‘PEAL'D.Ж,К,RO,Т; ‘BEG1N’INTEGER’I,J;
‘REAL’ni; П1 := 0;
03. FOR’I;= 1 ’STEP’ 1 ‘UNTIL’NDO’
04. ‘FOR’J:= 0STEP’l‘LINTIL’M‘DO’
05. ,ВЕО1К’И:=1;Ж:=3;П1:=П1 +
K*B[I,J]*RO**I/((T/TKP)**J);
06. П:= 1 + П1; ‘END’; ‘END’ ПРОЦЕДУРЫ П;
(1.57)
Здесь В [ I,J J — коэффициенты Ьц уравнения (1.32), a N = r
и M = S,- — границы изменения индексов i, j. Эти величины и
критическая температура Т,;р должны быть объявлены глобально.
Такая обобщенная процедура-функция входит во все процедуры
определения термических и калорических параметров.
Давление р и коэффициент сжимаемости г реального газа
по известным плотности р и температуре Т определяются следую-
щим образом:
01. ‘PROCEDURE’P(ROP,TP,Z,P); ‘ VALUE’ROP.TP;
•REAL’ROP TP Z P
02. ‘BEGIN'INTEGER’I.J; Z;= П(П.Ж,1.0.ROP.TP);
03. P;= 10*Z*TP*ROP*R; ‘END’ ПРОЦЕДУРЫ P;
Численный коэффициент 10 определен из условия, что давление
р (Р) измеряется в барах, плотность р (КОП) — в кг/дм3, а объяв-
ленная глобально газовая постоянная R (R) — в кДж/(кг-К).
32
Переменные И, Ж для этой и последующих процедур также должны
быть объявлены глобально.
Уравнение Боголюбова—Майера (1.50) разрешено в явном
виде только относительно давления и коэффициента сжимаемости.
Поэтому для определения плотности это уравнение приходится
решать относительно р итеративным путем, привлекая процедуру
определения давления:
01. ‘PROCEDURE’FIJI (ТР,РП,РОП); ‘УА1Л1Е’ТП,РП; 1
‘REAL’Tn.Pn.ROn;
02. ‘BEGIN’‘REAL’Zn,ZO,Pni;Zrf:= 1;
03. Ml:ROn;= Pn/(10*R*Zn*Tn);ZO:= 7П; ! (I 59)
P (ROn,Tn,Zn,Pni);
04. ‘IF’ABS (ZO—zn)‘GT’.000001‘THEN’ GOTO’Ml; I
05. ‘END’ ПРОЦЕДУРЫ ПЛ; I
Как видно, итерации осуществляются здесь по коэффициенту
сжимаемости, который в начале вычислительного процесса пола-
гается равным единице. Процесс быстро сходится до получения
требуемой точности.
Энтальпия реального газа [см. уравнение (1.51)1 определяется
в зависимости от плотности и температуры:
01. ‘PROCEDURE’IROT (ROI,TI,3);‘VALUE’ROI,TI;
• REAL’ROI,TI,3;
02. ‘BEGIN’‘REAL’A31,A32;‘INTEGER’I,J; АЭ2:= 0;
03. ‘FOR’I;= 1‘STEPTUNTIL’NDO’
04. A32:= A32+D[I]*(TI/TKP)**(H-1)/(H 1); (1.60)
05. АЭ1:= П(И,Ж,(И+Ж)/И,РО1,Т1);
06. 3.=R*TI*A31 4-TKP*D[0]*(TI/TKP) +
TKP*A32 4-CONSTI;
07. ‘END’ ПРОЦЕДУРЫ I ROT;
Здесь D [I] — коэффициенты аппроксимации dt в уравнении
(1.33) для теплоемкости с^ид, а второй и третий члены выражения
для Э представляют собой интеграл правой части уравнения (1.51).
Часто необходимо определять энтальпию по давлению и
температуре:
01. ‘PROCEDURE’IPT (PI,T,I3);‘VALUE’PI,TI; ‘REAL’PI,TI,3;
02. ‘BEGIN’‘REAL’31,ROI; ПЛ (TI,PI,ROI); IROT(ROI,TI,31); (1.61)
03. 3:= 31;‘END’ ПРОЦЕДУРЫ IPT;
Подобным же образом записывается процедура определения
энтропии [см. уравнение (1.52)] по плотности и температуре:
01. ‘PROCEDURE’SROT(ROS,TS,S);‘VALUE’ROS,TS;
•REAL’ROS TS S’
02. ‘BEGIN’‘REAL’AS1,AS2;‘INTEGER’I,J;AS2:= 0;
03. ‘FOR’1:=1‘STEP’I‘UNT1L'N‘DO’
04. AS2 ;= AS2+ D[I]‘(TS/TKP)**1/I; (1.62)
05. AS1 :=П(И,Ж,(Ж—1)/H,ROS,TS);
06. S:= — R*(LN(ROS) 4-1—AS1) +
D[0]*LN (TS/TKP) + AS2 + CONSTS;
07. ’END’ ПРОЦЕДУРЫ SROT;
3 H. H. Бухарин
33
Процедура определения энтропии по давлению и температуре:
01. *PROCEDURE’SPT(PS,TS,S);*VALUE’PS,TS;
‘REAL’PS TS S'
02. ‘BEGIN’* REAL’Sl,ROS;nJI(TS, PS, ROS);
SROT(ROS,TS,S1);
03. S:= S1;*END’ ПРОЦЕДУРЫ SPT;
(1.63)
В процедурах (1.60)—(1.63) не определены значения констант,
которые объявлены глобально и должны быть один раз вычислены
перед началом работы основной управляющей программы. Это
делается в соответствии с выражениями (1.14) и (1.24) следующим
образом:
01. CONSTI:= 0;CONSTS:=0;
02. IROT(ROC,TC,3C);CONSTI:=400 + RC—ЭС;
03. SROT(ROC,TC,SC);CONSTS:=4 +RC/TC—SC;
Здесь ROC — плотность насыщенного пара в кг/дм3 при темпера-
туре насыщения ТС= 273,15 К; RC — теплота парообразования
в кДж/кг при температуре насыщения ТС. Эти величины должны
быть объявлены глобально. Если термогазодинамические расчеты
выполняются в области сильно перегретого пара, то постоянными
энтальпии и энтропии можно просто задаться.
Процедура определения теплоемкости при постоянном давле-
нии по уравнению (1.53):
01. *PROCEDLRE’CVROT(RO,T,CV);‘VALUE’RO,T;*REAL’RO,T,CV;
02. ‘BEGIN’*REAL’C\ ИД, *INTEGER’I;C\HU := 0:
03. ‘FOR’I :=0‘STEP’1‘UNTIL’N'DO’
04. СУИД:= СУИД H-D[I]*(T/TKP)**1;
05. СУ:=СУИД Д R*(l— П(И,Ж,Ж*(Ж— 1)/H,RO,T));
06. ‘END’ ПРОЦЕДУРЫ CVROT;
(1.64)
Для определения теплоемкости при постоянном давлении
использовано выражение (1.54), связывающее ср и ел
01. *PROCEDURE’CPROT(RO,T,CP);‘VALUE’RO,T;REAL’RO,T,CP;
02. *BEGIN’*REA1 ,’CV; CVROT (RO.T.CV);
03. CP:=CV ~Ь Р*П(И,Ж,1—Ж,'RO,T)**2/n (И,Ж,1 + n,RO,T);
04. ‘END’ ПРОЦЕДУРЫ CPROT-
(1.65)
Показатель изоэнтропы в точке на основании выражения
(1.56):
01. ‘PROCEDURE’Kn3ROT(RO,T,KH3);‘VALUE’RO,T;‘REAL’RO,T,Kn3;
02. ‘BEGIN’*REAL’CVHfl; ‘INTEGER’I; СУИД:=0;
03. *FOR’I:= 0’STEP’l‘UNTIL’N*DO’CVFUl:= CVHfl+D[I]*(T/TKP)**I;
04. КИЗ:=(П(И,Ж,1 + n,RO,T) + П(И,Ж,1—Ж,РО,Т)»*2/
05. (CVHJ1/R+1— П(И,Ж,Ж*(Ж—1)/И,РО,Т)))/П(И,Ж,И/И,РО,Т);
06. ‘END’ ПРОЦЕДУРЫ KH3ROT;
(1.66)
34
Скорость звука в реальном газе по формуле (1.55):
01. ‘PROCEDURE’AZBROT(RO,T,A3B); ‘VALUE’RO.T; ‘REAL’RO,T,A3B;
02. ‘BEGlN’‘REAL’CVHfl; 'INTEGER’I; С\ИД:=0;
03. FOR’I — 0‘STEP’1‘UNTIL’N‘DO’C\HA:=C\HA+D[1]*(T/TKP)**1,
04. A3B:=SQRT (1000*Р*Т*(П(И,Ж,Ц-H,RO,T) + П(И,Ж,1—Ж,КО,Т)**2/
05. ((ЛИД/К-Н—П(И,Ж,(Ж—1)/H,RO,T))));
06. ‘END’ ПРОЦЕДУРЫ AZBROT;
(1.67)
Если в программе имеется процедура (1.66) определения пока-
зателя изоэнтропы, то скорость звука может быть найдена с ее
помощью по точному выражению а = ]/ kRzT. Тогда процедура
определения скорости звука упростится:
01. ‘PROCEDURE’A3BROT(RO,T,A3B);‘YALUE’RO,T;‘REAL’RO,T,A3B; ’
02. ‘BEGIN’‘REAL’KM3; KH3ROT (RO,Т,КПЗ);
03. A3B;=SQRT(1000*R*T*KM3*n(H^,1.0,RO,T));
04. ‘END’ ПРОЦЕДУРЫ A3BROT;
(1.68)
Приведенные процедуры совместно с процедурами определения
параметров насыщенной жидкости, давления и температуры насы-
щения составляют основной пакет процедур термодинамических
свойств реальных газов. С их помощью реализуются процедуры
определения нужных термодинамических параметров по любым
двум известным. Такие процедуры непосредственно используются
при решении систем уравнений термодинамических процессов
в элементах проточных частей ступеней центробежных компрес-
соров.
Взаимосогласованные уравнения Клецного
В последнее время выполнен ряд работ по составлению уравне-
ний состояния, позволяющих описать всю практически необходи-
мую для расчетов часть термодинамической поверхности вещества,
включая область пара и область жидкости при до- и сверхкрити-
ческих параметрах. Особое значение имеют такие уравнения для
расчетов циклов тепловых и холодильных машин и установок,
где рабочее вещество изменяет фазовое состояние, а также для
расчетов центробежных компрессорных машин высокого и сверх-
высокого давления.
Термодинамическая поверхность вещества, охватывающая ши-
рокую область параметров состояния (от состояния идеального
газа до кривой плавления), разделена на две зоны по критической
изохоре. Для каждой зоны составлены взаимосогласованные
уравнения состояния, обеспечивающие плавный переход термоди-
намической поверхности через линию раздела и строгое соблюде-
ние условий в критической точке (параметры в ней обозначаются
с индексом кр). Основное уравнение системы имеет вид [26]
т
Р = Ро + Т £ S al} (1 - Т,/Т)' (1 - Р/РкрУ (1.69)
i=l j=Q
3*
35
и описывает, частично меняя при этом структуру, обе зоны, на
которые разделена термодинамическая поверхность.
При р > ркр в зоне, условно названной зоной жидкости,
давление р0 равно давлению насыщения, которое определяется из
уравнения вида
k
где П[ — положительные числа, кратные 0,5; В, — численные
коэффициенты (см. табл. 1.10).
Температура насыщения Ts связана с плотностью уравнением
7
TS=T + 2 Ai (1 - р/риру, (1.71)
7=2(3)
где А, —численные коэффициенты (см. табл. 1.10).
Линия насыщения жидкости является базовой линией при
построении поверхности зоны сверхкритической плотности.
При р < ркр (в зоне пара) первое слагаемое в уравнении (1.69)
равно давлению на критической изотерме:
Si
Ро = S «о;(1 - р/РкрУ, (1-72)
1=0
а температура насыщения становится константой: Т3 — Т1;р.
В частном случае, когда р = ркр, оба уравнения вырождаются
в уравнение критической изохоры
Р=-Ркр +TS a.o(l -WO1', (1-73)
1=1
которая будет общей у поверхностей зон при совпадении коэффи-
циентов ai0.
Для области пара уравнение состояния (1.69) с учетом зависи-
мости (1.72) может быть представлено в вириальной форме
г si
г-1 + SSWM (1.74)
7=1 /=о
Результаты прецизионных расчетов изобарной теплоемкости
в состоянии идеального газа описываются зависимостью вида
Ср„д= 0 75)
Коэффициенты взаимосогласованных уравнений состояния
(1.69), (1.74) и уравнений (1.70), (1.71), (1.75) для определения
давления, температуры насыщения и изобарной теплоемкости с])ИД
получены д-ром техн, наук проф. А. В. Клёцким с сотрудни-
ками и приведены в работах [19, 26, 27].
36
Уравнение Битти—Бриджмена
В практике термодинамических расчетов широкое применение
нашло уравнение Битти—Бриджмена [49, 50], которое позволяет
с достаточной точностью определять параметры состояния вещества
в паровой фазе при плотности ниже критической. Это уравнение
записывается в виде
Р - RT1\r- -И S) - (1-76)
Здесь А, В, е — коэффициенты, являющиеся, в свою очередь,
функциями удельного объема и температуры:
А = Ло (1 — a/о); В = Ва (1 — &/и); е = с/(вТ8)> (1.77)
где Лв, а, Вь, Ь, с — константы, определяемые по эксперименталь -
ным данным и зависящие от индивидуальных свойств веществ.
С момента опубликования в 1928 г. Битти и Бриджменом работы
[50] исследовано большое число различных веществ. Значения
констант уравнений (1.77) для некоторых из них приведены
в табл. 1.4.
Вследствие того что уравнение Битти—Бриджмена дает хоро-
шие результаты в сравнительно широком диапазоне изменения
давления и плотности, а его константы получены для большого
числа веществ, оно в течение долгого времени применяется в тех-
нике. Несмотря на то, что сейчас ведутся интенсивные исследова-
ния веществ с целью определения для них коэффициентов к уравне-
нию Боголюбова—Майера, этих данных пока еще меньше, чем
констант к уравнению Битти—Бриджмена, поэтому оно не утрачи-
вает актуальности и в настоящее время, хотя в дальнейшем, по
мере накопления экспериментальных данных по уравнению
Боголюбова—Майера, постепенно выйдет из употребления.
Естественное желание инженера использовать при расчетах
параметров реального газа уравнение состояния одного вида,
в котором изменяться будут только числовые константы, может
быть удовлетворено и при использовании уравнения Битти—
Бриджмена, если принять во внимание, что оно может быть пред-
ставлено в вириальной форме Боголюбова—Майера [3]
+ (-В,» + -4е.--?£-)-1- + -^--^ (1.78)
или в формуле (1.32) после введения т Т/Т^
3 3
г = 1 + S S ЬцрЧъ>-,
i = \ /=о
значения коэффициентов Ъц последнего уравнения представлены
в табл. 1.5.
Таким образом, необходимые параметры состояния, включая
энтальпию и энтропию, можно определять путем пересчета кон-
37
Таблица 1.4
Константы уравнения Битти—Бриджмена [11, 25, 36]
Вещество Химическая формула 10-> a b c
Гелий Не 1,365837 14,94879 3,4977377 0 9,992506-103
Неон Ne 0,5285717 1,088044 1,0206610 0 5,004211-104
Аргон Аг 0,8196692 0,5828159 0,9841278 0 1,499599-10е
Криптон Кг 0,3496083 0,3418854 0,6278043 0 1,766850-10е
Ксенон Хе 0,2745638 0,2521706 0,5714395 0 2,286367- 10s
Водород н2 49,23823 —2,509921 10,396830 —21,62202 2,500000- 10е
Азот n2 1,735661 0,9341091 1,801114 —0,2466448 1,499143-10е
Кислород о2 1,475446 0,8006250 1,445000 1,315000 1,500000- 10е
Воздух 1,572039 0,6667818 1,592196 —0,3801796 1,498619-10е
Двуокись углерода со2 2,618956 1,620504 2,380314 1,643907 1,499625-10’
Окись углерода со 1,736281 0,9342758 1,801435 —0,2466888 1,499411- 10"
Этилен с2н4 7,921457 1,769571 4,333381 1,282262 8,084985-10е
Метан сн4 8,964856 1,156340 3,482733 —9,892781 7,997756-10"
Этан С2Н, 6,589988 1,949248 3,126247 0,6368897 2,993215-10’
Пропан 6,212032 1,660317 4,104867 0,9736019 2,721459-10’
н-Бутан п-С4Ню 5,337511 2,092395 4,236063 1,621301 6,022023-10’
Бутен-1 1-С4Н8 5,375150 2,136746 4,285969 1,905390 5,347212-10’
Изобутилен Изо-С4Н8 6,425239 1,935691 4,313418 1,559604 4,456010-10’
н-Гептан л-С?Н18 5,502425 2,002635 7,067606 1,914110 3,992096-10’
Аммиак NH3 8,358489 9,999413 2,005049 1,122123 2,799847- Ю"
Окись азота N2O 2,618361 1,620320 2,380044 1,643720 1,499455-10’
Бутиловый спирт (CiH^o 5,771902 1,676923 6,133063 1,613225 4,497976-10"
R12 CF2C12 1,160740 0,02084022 0,03779358 0,04250744 0
R 113 cf8-cci8 1,083800 —0,3308608 2,849672 —1,190031 0
R 152 ch8-chf2 5,713548 2,128690 8,137774 2,667676 0
Примечание.
Для использования констант необходимо в уравнения подставлять давление р (Па), деленное на 10s; температуру Т в К. рЗ-ЗОвую по-
стоянную R 1кДж/(кг* К)L умноженную на 10*; плотность р в г/сма.
Таблица 1.5
Коэффициенты bij
Уравнения Боголюбова—Майера,
полученные из констант уравнения
Битти—Бриджмена
i /
0 1 2 3
1 -At/(RTKV) 0 С/7К|,
2 -в.ь AqqI (RT |Ср) 0 -В„с!Т3кр
3 0 0 0 В^Т*.. '
Таблица 1.6
Безразмерные константы
обобщенного уравнения
Битти— Б риджмена
Обозначение Значение
а:, 0,47580
а' 0,11270
в;, 0,18764
Ь’ 0,03833
с’ 0,05000
стант уравнения Битти—Бриджмена в форме, полученной для
уравнения Боголюбова—Майера. Это существенно облегчает вы-
полнение расчетов, особенно при использовании готовых программ
для ЭВМ.
В тех случаях, когда реальный газ, для которого необходимо
определить параметры состояния, изучен недостаточно и коэффи-
циенты уравнения (1.76) неизвестны, можно воспользоваться
обобщенным уравнением Битти—Бриджмена, данным в приведен-
ных безразмерных параметрах Су и Чангом [64]: приведенной
температуре 0 = Т/Ткр, приведенном давлении л = p/p,-.v н при-
веденном удельном объеме ср = о/Укр.ид- Здесь окр.Ид = RT,tp/pHp—
критический удельный объем, занимаемый одним килограммом
идеального газа при критических давлении ркр и температуре T,fp.
С введением приведенных параметров уравнение Битти—Бридж-
мена (1.76) принимает вид
0(1 — е') . , о,.
л = (Ф ф- В )
А'
Ф2 ’
где
А' = А'о (1 — а'/ф); В' = В'о (1 — &7ф); е' = с'Дфй3)-
Константы уравнения являются безразмерными и могут быть
получены из коэффициентов размерного уравнения по формулам:
'’О-------2 ’ п » '-'О — ,, >
п V икр. ид укр.ид
К₽ КР ИД ь с (1-79)
Ь’ ----------; с' = —5------------.
^кр. ид Т6 и
Авторы работы [64] приводят обобщенные безразмерные кон-
станты, одинаковые для любых газов (табл. 1.6). Сопоставление,
выполненное ими для 17 веществ, показало, что при плотности,
близкой к критической, погрешность в определении параметров
состояния не превышает 2 %. И. И. Перельштейн [36], выполнив-
ший подобное сопоставление для 26 веществ (в основном хладаген-
39
тов), получил отклонение в критической точке для 19 наименований
не более 1 %, для 6 наименований 1,2—1,9 % и лишь для одного
(СН3-О-СН3) 2,4 %. Это подтверждает целесообразность использо-
вания обобщенного уравнения Битти—Бриджмена в безразмерных
параметрах для расчетов малоизученных реальных газов. Удобно
сразу определить размерные коэффициенты из (1.79), используя
данные табл. 1.6, и затем применять уравнение (1.76).
И. И. Перельштейн и Е. Б. Парушин [38] преобразовали
обобщенное уравнение состояния Битти—Бриджмена в вириаль-
ную форму Боголюбова—Майера, придав ему вид
2= 1 + (187,64 - 475,8т"1 - 50т"3) 103 (р/р,-.р. 11Д)
+ (-7,192 53,62т"1 - 9,38т"3) Ю"3(р/ркр.ид)3 |-
г-0,36-10"3т'3 (р/ркр.ид)3,
где 2= 10“8р/(7?7'р) — коэффициент сжимаемости; ркр. ид =
= 10"вр/(7?Ткр) — критическая плотность в состоянии идеального
газа (см. табл. 1.2).
Входящие в это уравнение числовые коэффициенты получены
при следующих единицах физических величин: р — давление, Па;
р — плотность, г/см3; 7? = Ro/M — удельная газовая постоянная,
кДж/(кг-К); 8,31437 кДж/(моль• К.) — универсальная газо-
вая постоянная; М — молярная масса, кг/моль.
Метод Битти—Бриджмена для смесей реальных газов. Достоин-
ством уравнения Битти—Бриджмена является возможность его
применения для расчета термических и калорических параметров
смесей. Уравнение состояния смеси записывается в том же виде,
что и уравнения (1.76) и (1.77), а константы смесей по методу
Битти получаются сочетанием констант уравнения состояния для I
чистых компонентов;
Ав см — X V ^0i 'j i
^см — см = S
i i
^cm — ^cm ~ fftiCi-
i i
Молярные доли компонентов в смеси определяются зависимостью
где gi — G,l^jGi — массовые доли компонентов; G, — масса i-ro
компонента смеси; р; — молярные массы компонентов смесей.
Молярная масса смеси находится, если известны молярные
доли компонентов в смеси;
Рем = £ ^iPi-
I
40
Для расчета калорических параметров необходимо располагать
данными по теплоемкости смеси в состоянии идеального газа. Если
известны теплоемкости с£.,ид или ср1ИЯ для каждого компонента,
то теплоемкости смеси определяются в соответствии с законом
Дальтона—Гиббса [251:
6 о см. ид — £ gic-di ЙД> Ср СМ. ид = 2 gic pi ПД-
i i
Так как обычно теплоемкости в состоянии идеального газа
являются функциями температуры и записываются в виде степен-
ных полиномов
fl т
cs ид И Ср Ид — £ CjT1,
|=о /=0
то теплоемкости смесей необходимо определять из выражений:
А п k m
cv см. ид = 2 2 g; cp см. ид = 2 — gleijT‘ >
i=(l/=0 i=0/=0
где dj и ej — коэффициенты аппроксимации; индекс i соответствует
номеру смеси, а индекс / — степени полинома, аппроксимирую-
щего теплоемкость.
Для теплоемкостей в состоянии идеального газа справедливо
уравнение Майера
Ср см. ид Cv см Ид = Асм-
в котором газовая постоянная смеси определяется с помощью
универсальной газовой постоянной [кДж/(кг-К)1:
АСм 8,31437/рсм.
Если уравнение Битти—Бриджмена используется в вириальной
форме, то для определения безразмерной температуры необходимо
знать критическую температуру, которая для смеси неизвестна.
В случае, если парциальные давления компонентов смеси ниже
критических, а температуры смеси в рассчитываемой области
таковы, что конденсация какого-либо компонента смеси исключа-
ется, можно вместо критической температуры взять произвольную
температуру и рассматривать ее как некоторый нормирующий
делитель, одинаковый для всех компонентов смеси. Это упрощает
расчеты, не снижая их точности.
Определение энтальпии и энтропии на основе уравнения Битти—
Бриджмена. Энтальпия определяется по методике, изложенной
в п. 1.2. Для уравнения (1.78) после преобразований получено
[25]
• _ Яз / а_____. X 3Rc /, , Вц _ Воь х .
v \ 2с 1 ) vT* \ 2у Зо2 J 1"
т
+ j са вдdT + ру + const i.
т.
41
Подобным же образом находится выражение Для энтропии
s=Rlnc_^(1_^)_
+4-4т-)+ const s.
Г»
Уравнение состояния Бенедикта, Вебба и Рубина (БВР)
М. Бенедикт, Г. Вебб и Л. Рубин [52 ] предложили модифици-
ровать уравнение Битти—Бриджмена с тем, чтобы повысить точ-
ность описания свойств веществ при высоких плотностях. Уравне-
ние БВР имеет вид
р = RTp 4- (BaRT - Ао 4 С0/Г2) р« -j- (bRT - а) р3 +
-Насср*’ +-^-(1 4- ?р2)ехр(—ур2) (1.80)
и может применяться для расчета свойств вещества в паровой и
жидкой фазах.
Коэффициенты Ло, Во и Со играют ту же роль и имеют примерно
такие же значения, что и в уравнении Битти—Бриджмена. Уравне-
ние (1.80) в вириальной форме записывается следующим образом:
2 = ~ВТр = 1 + (5° RT RT* ) Р + (Ь ~ -RT ) р2 +
+ р5 + + YP2) ехр (‘VP2)-
Последний член этого уравнения содержит экспоненту, в пока-
затель степени которой входит квадрат плотности. Вследствие
Коэффициенты урав
Вещество Химическая формула Молекуляр- ная масса А„-10-« в.
Метан сн4 16,042 7,30412 2,65553
Этилен С2Н4 28,052 4,30036 1,98203
Этан СаНв 30,068 4,65759 2,08768
Пропилен СзНв 42,078 3,49807 2,02159
Пропан СзН8 44,094 3,58163 2,20694
Изобутан Изо-С4Н10 58,120 3,06957 2,36655
Изобутилен Изо-С4Н8 56,104 2,88227 2,06803
н-Бутан П-С4Н10 58,120 3,02519 2,13973
Изопентан ИЗО-С5Н12 72,146 2,49108 2,21846
н-Пентан /1-С5Н12 72,146 2,37106 2,17269
н-Гексан л-CgHu 86,172 1,97013 2,06347
н-Гептан м-С7Н16 100,198 1,76837 1,98612
Примечание.
Для использования коэффициентов необходимо в уравнения подставлять давление
ноженную на 10е.
42
этого уравнение БВР не может быть точно представлено в виде
(1.32). Индивидуальные коэффициенты для 12 углеводородов,
пересчитанные по данным [51 ], представлены в табл. 1.7.
Расчет смесей. М. Бенедикт, Г. Вебб и Л. Рубин разработали
метод определения коэффициентов уравнения (1.80) для смесей,
если известны коэффициенты для ее чистых компонентов [51 Г:
Ло = И1(-Ло/2^2; Во — /И/Воб Со = fttiCoi •
а - b тЛ!/3)3; ( £ ^с} '3)3;
V=(L^'2)2,
где/п, — молярная доля i-ro компонента в смеси; Лoi, Вог, ..., у,- —
коэффициенты уравнения БВР для чистого компонента.
Определение энтальпии и энтропии. Энтальпию и энтропию
вещества определяют из уравнений:
t = 'ид + (B0RT - 2Л0 - 4С0/Г2) р ‘г (2bRT - За) р2/2 г
taxp‘/5 -I- [3 - “-р
ф- уа2ехр (—ур2)j -ф- const i;
s = s„a — (B0R 4- 2C0/TJ) p — bRp^Rl +
2cp2 Г 1 - exp (—TP2) exP (—TP2) 1 । „ппч+ „
I.-----W5----------------2----'J + COnst S’
TP2
Таблица 1.7
юния БВР [51]
Со-10-” Д'10-* Ь с- Ю-” а V
8,88701 1,212563 13,13497 6,2469 30,12577 23,31624
16,88685 1,188944 10,92937 9,6952 8,06427 11,73001
20,12885 1,286648 12,30263 12,2145 8,95414 13,05261
25,13480 1,052835 10,00056 13,9567 6,11711 10,33065
26,48894 1,120174 11,57305 15,2477 7,08291 11,31587
25,49644 1,000108 12,56317 14,7624 5,47137 10,06589
29,85137 0,971296 11,06141 15,7753 5,15846 9,40259
29,78274 0,971555 11,84172 16,3310 5,61013 10,06589
33,99698 1,013596 12,83673 18,7543 4,52740 8,89571
41,29526 1,099569 12,83673 22,2399 4,82035 9,12627
45,29620 1,127026 14,69739 23,9566 4,39316 8,98089
47,89905 1,044354 15,13625 24,8813 4,33069 8,96497
P в Па; температуру Т в К; плотность р в г/см’; газовую постоянную Д [кДж/(кг- К)], ум-
43
Энтальпия и энтропия смеси в состоянии идеального газа
определяются так же, как и для уравнения Битти—Бриджмена,
или по формулам:
'ид = ^ЙЛид/и “'ид == ilj Wk (^идЛ /? in pRTmh).
k k
Обобщенная форма уравнения БВР. Обобщенная форма урав-
нения БВР разработана В. Едмистером, Д. Вейрогсом и А. Кле-
керсом 153]:
л = тр И (Вот - Ao — Со/т2) р2 ф- (Ь т — а') pJ 4-
4 (а'а')р° -j- (I ]-у'р2)ехр (—у'р2), (1.81)
где л р/р1;р и т — Т/Ткт, — приведенные давление и темпе-
ратура.
Безразмерная плотность, входящая в уравнение (1.81), пред-
ставляет собой отношение
р = р/Pup. ид,
где Ркр. ид = Рпр/(/?7,1(р) — критическая плотность в состоянии
идеального газа.
Обобщенные коэффициенты, входящие в уравнение (1.81),
являются функциями фактора ацентричности со [651, который
предложен в качестве определяющего критерия К. Питцером:
В; = О) . —1g Лг.^о,7 — 1 ,
он отражает поведение линии насыщения в фиксированной точке
т = 0,7 и косвенно характеризует смещение центра приложения
межмолекулярных сил относительно центра молекулы, что и
объясняет его название.
Уравнения для определения обобщенных критериев, получен-
ные В. Едмистером с соавторами, имеют вид:
Ао - 0,343258 — 0,127521 <о — 0,509131м2;
Во = 0,113747 4- 0,127349м — 0,243280м2;
Со = 0,0982240 4- 0,401236м — 0,0397267м2;
а' 0,0235866 + 0,290284м — 0,295413м2;
Ь’ = 0,0275404 4- 0,131009м — 0,134924м2;
с' - 0,0356940 + 0,185297м — 0,230125м2;
у’ = 0,0520580 — 0,0906400м + 0,105060м2;
а' = 0,0000875/а'.
44
Индивидуальные коэффициенты уравнения БВР вычисляются
по известным обобщенным формулам:
А ..^4 в во^Р. с0 = С0^кр
Ркр Ркр Ркр
a a'R3T*> b'R2T2 h КР • /• — С'«3гкр .
tip Р^р Ркр
а = - a'R3T3Kp з ’ У - y'R2T2Kp 2
Ркр Ркр
Оценка погрешности обобщенного уравнения БВР, выполнен-
ная авторами для 16 углеводородов, показала в основном удовлет-
ворительную точность. Применимость обобщенного уравнения БВР
для расчета термодинамических параметров хладагентов и их
смесей показана в работах [29, 31 ].
Уравнение Старлинга
К. Старлинг [55—63] дополнил уравнение БВР новыми чле-
нами и придал ему следующий вид:
р = РТр + (bort _ ло - А+ --^-)рЧ-
+ (bRT - а - 4-) Р3 + а (а + Т-) Р6 + (1 + W2)exp(-W2).
(1-82)
Это уравнение пригодно для расчета параметров веществ
в жидкой и газообразной фазах.
Уравнение (1.82) можно представить в вириальной форме
-__ Р ____ 1 । / р _ 4 Са , / о____Ер \ ।
— RTp ~ RT RT3 " RT4 RT* ) * 1
+ О' — ~RT RT?) р2 а (~RT ~ ~RTr ) Р5 +
+ (1 4 W2)exp (—vpa).
Индивидуальные коэффициенты, полученные К. Старлингом
с сотрудниками для ряда углеводородов, представлены в табл. 1.8.
Определение плотности. Необходимо помнить, что особен-
ностью уравнения (1.82) является наличие трех и более корней по
плотности при температурах ниже критической, так что только
наименьший и наибольший корни равны плотности пара и жидко-
сти соответственно. Для определения плотности с помощью ЭВМ
К. Старлинг рекомендует программу, разработанную Д. Джонсо-
ном и К. Колвером [54] для уравнения БВР и использующую
шаговый метод, уже применявшийся нами ранее в ряде процедур.
45
Коэффициенты уравнен!
Вещество Химиче- ская формула Молеку- лярная масса До- 10-’ В» С,-Ю-“ Оо- ю-’
Метан сн4 16,042 7,85226 2,81455 8,73637 1,9288
Этилен С2Н4 28,052 4,14334 1,66450 17,2001 3,0303
Этан С2н6 30,046 4,00019 1,71634 27,1186 13,1409
Пропилен СзНв 42,078 0,91838 0,169811 45,6583 18,3698
Пропан СзНя 44,094 2,57538 1,36590 33,9612 10,7517
н-Бутан /I-C4H10 58,120 2,58885 1,68194 33,7428 4,5442
и-Пентаи п-СзН12 72,146 2,63842 2,11494 35,6797 9,0084
н-Гексан П-СвН14 86,172 1,64044 1,92874 58,7544 34,2602
н-Гептан л-СтН16 100,198 2,08300 2,24603 50,8576 35,6640
н-Октан /1"СяН18 114,224 1,68242 2,66145 63,3452 27,9182
Двуокись угле- со2 44,011 0,91448 0,559040 12,6694 9,7324
рода Сероводород H2S 34,080 24,4919 0,544976 15,1020 1,9300
Примечание.
Для использования коэффициентов необходимо в уравнения подставлять давление
ноженную на 10е.
При нахождении плотности пара ее начальное значение выби-
рают близким к нулю, например Q,lp/(RT), по нему определяют
давление и сравнивают с заданным. Если расчетное давление
меньше заданного, плотность (г/см3) наращивают на величину
шага, который может быть порядка 10'4ц (где р. — молекулярная
масса), и расчет продолжают до тех пор, пока рассчитанное давле-
ние не превысит заданного. Если разница между ними будет больше
допустимой погрешности, то плотность уменьшают на величину
шага, шаг делят на десять, и процесс повторяется.
Чтобы определить плотность жидкости, начальную плотность
нужно выбрать заведомо больше ожидаемой, например порядка
0,04ц, и вести расчет так же, как и для пара, с той только разницей,
что величину шага следует выбрать отрицательной. Ориентировоч-
ная величина шага 5-10~4р2.
Расчет смесей. Индивидуальные коэффициенты для смесей
могут быть определены по известным индивидуальным коэффи-
циентам для чистых компонентов:
п п п
Ао = Е Е т^пуАщ Ло/2(1 —Bq = Е т^В^',
i=\ /=1 i—i
Cq = E E
. = 1 /=!
Do= E ^пцт^гО^(1-к/,
/=1
46
Таблица 1.8
гарлинга [56—61]
£„• 10-“ а- 10-« Ь с-10-*3 rf- ю-*“ а V
0,29951 1,04626 14,0143 5,48233 1,07201 27,6296 22,5100
0,05260 1,21495 13,0210 9,60972 3,81455 6,49347 11,2904
41,6289 1,38557 13,4348 13,0144 2,41255 8,15954 12,9392
49.3346 1,84361 16,8192 20,4409 6,77897 4,45868 8,97886
33,7099 0,783965 10,9493 16,5749 16,3621 5,71560 9,14401
1,74970 0,608201 10,5459 18,4611 17,2898 4,96922 8,70057
19,2213 0,724484 12,4344 18,6520 9,64181 4,57864 8,87957
>15,938 1,13910 15,4818 25,7632 4,76916 3,68904 7,80539
1,62217 0,598794 10,6524 19,2939 0,773662 5,29141 9,61163
6,79631 0,148180 3,16350 22,3053 11,6253 5,63430 6,56817
0,01360 0,110841 1,95457 16,6815 0,065515 1,12883 3,31816
0,08666 0,869246 8,50001 5,70465 0,047025 1,02010 4,04161
la; температуру Т в К; плотность о в г/см3; газовую постоянную R [кДж/(кг-К>1, ум-
п п / п \ 3
£0 = s s пцт.Е^Е^а - М5; а = S
1=1/=| г--1
гдетг — мольная концентрация i-го компонента; nij — то же для /'-го
компонента; Л01-, Boi,...—индивидуальные коэффициенты для чистых
компонентов; кц— параметр бинарного взаимодействия (табл. 1.9).
Величина ки характеризует отклонение в поведении смеси от
идеального раствора из-за взаимодействия между i-м и /-м компо-
нентами. Таким образом, kfj = 0, если i = j, и ki} -> 0, если пары
компонентов являются почти идеальными растворами. Если пары
компонентов образуют неидеальные растворы, то величина к,у
может значительно отличаться от нуля. Основой для определения
ki} являются главным образом данные по фазовому равновесию
бинарной смеси.
Определение энтальпии и энтропии. Энтальпия и энтропия
вещества определяются по формулам:
1 = 1Ид + (ад7’-2Л0 +
+ 4- {%>RT - За - Р2 4- 4 а (ба + 4^-) р5 +
+ [3 — (3 + — т2р4) ex р (—TP2)] + const i;
47
00
Параметры бинарного взаимодействия klj-102 к уравнению Старлинга для смесей [63)
Таблица 1.9
Вещество Сероводород Двуокись углерода Азот н-Ундекан н-Декан н-Нонан 1_ _ ! н-Октан н-Гептан н-Гексан । н-Пентан Изопентан н-Бутан Изобутан Пропан Пропилен Этан Этилен | Метан
Метан 5,0 5.0 2,5 10,1 9,2 8,1 7,0 6,0 5,0 4,1 3,6 3,1 2,75 2,3 2,1 1,0 1,0 0
Этилен 4,5 4,8 7,0 1.5 1,3 1,2 1,0 0,85 0,70 0,60 0.50 0,45 0,40 0,31 0,30 0 0
Этан 4,5 4,8 7,0 1,5 1,3 1.2 1,0 0,85 0.70 0,60 0,50 0,45 0,40 0,31 0,30 0
Пропилеи 4,0 4,5 10,0 1,3 1,1 1,0 0,80 0,65 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0 0
Пропан 4,0 4,5 10,0 1,3 1,1 1,0 0,80 0,65 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0
Изобута н 6,3 5,0 11,0 0,30 0,30 0,25 0,20 0,18 0,15 0,10 0,08 0 0
н-Бутап 3,4 5,0 12,0 0,30 0,30 0,25 0,20 0, 0,15 0,10 0,08 0
Изопентан 2,8 5,0 13,4 0 0 0 0 0 0 0 0
н-Пентан 2,0 5,0 14,8 0 0 0 0 0 0 0
нТексан 0 5,0 17,2 0 0 0 0 0 0
нТептан 0 5,0 20,0 0 0 0 0 0
н-Октан 0 5,0 22,8 0 0 0 0
н-Нонан 0 5,0 26,4 0 0 0
н-Декан 0 5,0 29,4 0 0
н-Ундекап 0 5,0 32,2 0
Азот 0 0 0
Двуокись углерода Сероводород 3,5 0 0
s = 8„д - R In (pRT) - (b0R -I-
- -|- (bR + p2 + p5 А [ 1 - (I A W2/2) exp (- W2)| A
A const s.
Энтальпия и энтропия в состоянии идеального газа для реаль-
ного газа или смеси определяются так же, как описано в п. 1.2.
Обобщенное уравнение Старлинга. Обобщенное уравнение
Старлинга имеет вид (1.82), а для определения индивидуальных
коэффициентов чистых веществ необходимо знать только критиче-
ские температуру Ткр, плотность ркр и фактор ацентричности и.
после чего расчет проводится по формулам:
А = RTKp (Л3 А В3а>)/ркр', Во = (А A АА/РА
Со= RT’Jp (Аз А В3<л)/ркр; Dp = RTkp (А) А В$(й)/рКр',
Ео = RT^p [Лц А Вцюехр (—3,8©)]/ркр;
а = RTкр (Лб А ^б®)/Ркр; Ь — (Лб А ^5®)/Ркр>
с = RTKp (Ла А В^а^/ркр', d — RTкр (Лю А ^ю®)/Ркр»
а = (Л7 А В7©)/РкР; V = (А А В4<о)/РкР.
Коэффициенты А и В, для обобщенного уравнения состояния
Старлинга даны в табл. 1.10.
Расчеты термических и калорических параметров, проведенные
К. Старлингом и М. Ханом [62 ] по обобщенному уравнению со-
стояния для 23 чистых веществ и 14 смесей в широком диапазоне
давлений и температур, показали, что погрешность в 40 % случаев
менее 1 %, в 40 % случаев лежит между 1 и 2 % и в 20 % случаев
больше 2 %, но нигде не превышает 3 %. В этих расчетах исполь-
зовались значения ^фактора ацентричности, приведенные
в табл. 1.11.
Значительная работа по проверке применимости уравнения
Старлинга к расчету параметров хладагентов и их смесей [28, 41 ]
показала, что получаемая при этом точность является вполне
удовлетворительной для инженерной практики. В работе 128],
Таблица 1.10
Коэффициенты At и Bi обобщенного уравнения Старлинга
i А А X
1 0,443690 0,115449 7 0,0705233 —0,044448
2 1,28438 —0,920731 8 0,504087 1,32245
3 0,356306 1,70871 9 0,0307452 0,179433
4 0,544979 —0,270896 10 0,0732828 0,463492
5 6 0,528629 0,484011 0,349261 0,754130 11 0,0064500 —0,022143
4 н. Н. Бухарин
49
Таблица 1 11
Фактор ацентричности <о
Вещество Химическая формула Вещество Химическая формула (0
Метан сн4 0,013 Толуол с-щ 0,260
Этилен С2Н4 0,101 н-Гептан «с-н1в 0,353
Этан с2не 0,1018 н-Октан п-СвН19 0,412
Пропилен с3нв 0,150 п-Нонан fl’CoHgQ 0,475
Пропан СдНр 0,157 н-Декан М-С1оН22 0,540
Изобутан Изо-СдНю 0,183 н-Ундекан Я‘С]1Н24 0,600
н-Бутан M-C4H10 0,197 Азот Na 0,035
Изопентан Изо-СвН12 0,226 Двуокись СО2 0,210
н-Пентаи П-С5Н12 0,252 углерода
Бензол СвНв 0,215 Сеорводород H2S 0,105
Циклогексан с6н12 0,210 Окись азота NO, 0,155
н-Гексан л-С«Ни 0,302 Закись азота NO' 0,600
кроме того, приведены значения параметра бинарного взаимодей-
ствия kij для 15 пар веществ. Учет этого параметра позволяет
повысить точность расчетов.
1.4. ПРОЦЕДУРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕПЛОТЫ
ПАРООБРАЗОВАНИЯ
Подробный обзор уравнений для расчета плотности жидкости,
как упоминалось в п. 1.2, дал И. С. Бадылькес [3]. Распростра-
нено уравнение вида
Р' = ркр+^^(Т’нр-Т’Д (1.83)
являющееся разновидностью уравнения Гуггенгейма. Здесь ркр
и 7’1;р — критические плотность и температура; Т — температура
насыщения; р' — плотность насыщенной жидкости; а(, — коэф-
фициенты (табл. 1.12).
Для расчета давления насыщенного пара разработано большое
число уравнений, причем все они имеют экспоненциальный ха-
рактер. Теоретически наиболее оправданным И. С. Бадылькес
считает уравнение Планка—Риделя с пятью индивидуальными
коэффициентами, так как оно согласуется с расширенным законом
соответственных состояний. Уравнение Планка—Риделя имеет
вид
In р = с0 + с /т + с2тт + с3 In т, (1-84)
где т = Т!Т^ — приведенная температура; Т — температура на-
сыщения, для которой определяются плотность насыщенной
жидкости р' и давление насыщения р; с;, пг — коэффициенты
(табл. 1.12).
Плотность или удельный объем сухого насыщенного пара рас-
считывают из уравнения состояния так, как показано в пи. 1.2
50
Таблица 1.12
Коэффиииен!ы уравнений для определения плотности насыщенной жидкости
и давления насыщения некоторых хладагентов [39]
Хлад- агент I
0 1 1 2 3
Коэффициенты а, уравнения. (1.83)
R12 1,27760- 10’3 0,163806 -2,5- IO'7 —0,631443- 10 2
R13 1,95293-IO'3 0,196603 —3.5-10"’ — 1,75085- Ю’3
R22 1,93578- 10 s 0,173975 -20- 10'’ -1,78467- 10-
Коэффициенты уравнения (Т84)
R12 12,6593655 —9,84142000 0,903129000 —5,88917800
R13 12,4083253 —9,58224317 0,829744797 —5,48011253
R22 13,2609844 —9,87976799 0,528623509 —5,12201578
П р им еч а н и я;
1. В уравнении (1.83) для всех трех веществ коэффициенты равны: /« =
fi = 1/3; ft= 2; f8 - 1/2.
2. Коэффициент т уравнения (1.84):
Хладагент
т . . . .
R12 R13 R22
3 3 4
и 1.3. Дифференцируя уравнение (1.84) по температуре, находят
производную, входящую в уравнение Клапейрона—Клаузиуса:
$- = Т7 (—£ + 1 + +) ex р (с, + $ + V+с, In т) =
= + + (L85)
Определив из уравнений (1.83)—(1.85) значения р', р" и dp/dT
при заданной температуре насыщения, теплоту парообразования
определяют непосредственно из уравнения Клапейрона—Клау-
зиуса:
г = Т(1/р" — 1/р') dp/dT. (1.86)
Если необходимо определить теплоту парообразования при
заданном давлении насыщения р, то следует сначала из уравнения
(1.84) найти температуру насыщения и затем использовать уравне-
ние (1.86).
Рассмотрим систему процедур, реализующих описанные алго-
ритмы в языке АЛГОЛ-60. Для плотности жидкости по уравнению
(1.83):
01. ‘PROCEDURE’IWKHAK(T.ROX); ‘VALUE’T;‘REAL’T,ROX; )
02. ‘BEGIN’RO>K:= ROKP+А0*(ТКР—Т)+А1*((ТКР-Т)** 1/3 +А2*
03. ((ТКР-Т)**2)+АЗ*((ТКР—Т)**(1/2)); ‘END’; I
(1-87)
4* 51
Здесь по заданной температуре Т находится плотность жидкости
КОЖ- Коэффициенты аппроксимации, критические плотность и
температура заданы глобально. Показатели степени ft записаны
для конкретной группы хладагентов R12, R13, R22 (39].
Для давления насыщения по уравнению (1.84):
Cl. ‘PKCCEDUFE’PHAC (T,F); VALLE’T;‘REAL’T,P; 1
02. ‘ВЕСЖ’‘РЕАЕ’ТАУ;ТАУ:= T/TKP; I
03. Р:=ЕХР(Ц04-Ц1/ТЛУН-Ц2*(ТАУ**ММ)4-ЦЗ*ЕК’(ТАУ));*ЕКО'; I
(1.88)
Чтобы найти температуру насыщения по заданному давлению,
необходимо решить уравнение (1.84) относительно температуры.
Учитывая характер уравнения, лучше всего эту задачу решать
итеративным путем:
01. *PROCEDURE’THAC(P,T);‘VALUE’P;'REAL’P,T;
02. ‘BEGIN’‘REAL’P1,DT;T:=TKP;DT:= 50;
03. NO.-ТАУ —T/TKP,РНАС(Т, Pl),’IF’ABS(Pl-P) ’LE’.CCCCOl’THEN’
04. ‘GOTO’N1’ELSE’‘IF’(P1— P) ‘LT’O’THEN’-BEGIN’T := T-f- DT; f
05. DT:=DT/5;T:=T—DT;‘GOTO’NO‘END“ELSE’T—T—DT;‘GOTO’NO;
06. N1:‘END’; J
(1.89)
В зависимости от требуемой точности величина 10“* может
быть изменена. Изменение начального шага по температуре DT,
как показал опыт, практически не дает ощутимого ускорения
счета.
Используя эти процедуры, можно найти теплоту парообразова-
ния, записав следующую процедуру, реализующую расчет по
уравнениям (1.85) и (1.86):
01. ‘PROCEDURE’RnAP(T,Rn); ‘VALL)E’T;‘REAL'T,Rri;
02. ‘ВЕОЖ'РЕЛЕ’ТАУ,РО,Ж1,РОП,РО;РНАС(Т,РО);ПЛЖИДК(Т,РОЖ1);
03. ПЛ(Т,Р0,КОП);ТАУ:= Т/ТКР;
04. РП: = (Р0*(—Ц1/(ТАУ**2)+ММ*Ц2*(ТАУ**(ММ—1))+ЦЗ/ТАУ))/Т,КР;
05. RFI: —Rn*T*(l/ROn—1/ROX)/10; ‘END’;
(1.90)
Здесь ПЛ(Т,Р0ЖОП) — обращение к ранее описанной процедуре
определения плотности пара по температуре и давлению из уравне-
ния состояния.
И. И. Перельштейн и Е. Б. Парушин [38] привели подробные
данные для расчета плотности насыщенной жидкости и давления
насыщенного пара практически для всех хладагентов, применяю-
щихся в настоящее время и перспективных в ближайшем будущем
(табл. 1.2). Для расчета давления насыщенного пара авторы пред-
лагают уравнение, которое после незначительных преобразований
удобно записать в виде
з
lnp = In ркр + (Ri - 5,30) In т + £ е,т‘', (1.91)
— 1
где р„р — критическое давление, Па; 0 = Ri — 4 + Р« — без-
размерный комплекс, содержащий критерии Риделя Ri и Ра,
численные значения которых, найденные по опытным данным,
52
имеются в табл. 1.2; — коэффициенты полинома по степеням
приведенной температуры:
i .............. —1 0 1 2 3
et.............. —40 3,30 0,30 0,20 0,20
Производная от давления насыщения по температуре, необхо-
ди мая для определения теплоты парообразования, имеет вид
/ з \
Для расчета плотности насыщенной жидкости авторы работы
[381 предлагают уравнение, которое после преобразований запи-
сывается в виде
з
1пр' = 1пркр 4 аД! - т)’/з L а2 S gi^> (1 -92)
1=0
где Ркр — критическая плотность, г/см’; alt а2 — безразмерные
коэффициенты, полученные из опыта и приведенные в табл. 1.2;
gi — безразмерные коэффициенты:
i .... ............. 0 1 2 3
gl...................—0,7 0,3 0,2 0,2
Коэффициент gi одинаков для всех веществ, представлен-
ных в табл. 1.2.
Программирование выражений (1.91) и (1.92) не представляет
трудностей и сводится к изменению только некоторых действий
в уже описанных процедурах РНАС, ПЛЖИДК и КПАР. Про-
цедура ТНАС остается без изменений. Критические давления и
плотность, входящие в уравнения (1.91) и (1.92), необходимо
объявить глобально и ввести их значения перед началом работы
программы.
1.0. ПРОЦЕДУРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНТАЛЬПИИ
И ЭНТРОПИИ НАСЫЩЕННОЙ жидкости
При расчетах циклов, совершаемых в паровых холодильных
и тепловых машинах, в которых происходит фазовое превращение
рабочего вещества (кипение и конденсация), часто необходимо
знать энтальпию I' и энтропию s' насыщенной жидкости. Они могут
быть определены из очевидных соотношений:
—г, (1.93)
s' = s’-r/T, (1.94)
где г — теплота.парообразования; I", s” — энтальпия и энтропия
сухого насыщенного пара; Т — температура насыщения.
Формулы (1.93) и (1.94) реализуются соответственно с помощью
следующих процедур:
01. ‘РКОСЕОиИЕ’1ЖИДК(Т,ЭЖ);‘УАЕиЕ’Т;‘КЕАЬ’Т,ЭЖ; 1
02. ‘BEGIN’REAL’9n,Pl,Rni,ROl;PHAC(T,Pl);RnAP(T,Rni); (1.95)
03. ПЛ(Т,Р1,КО1);1КОТ(КО1.Т,ЭП);ЭЖ:=ЭП—КП1; ‘END’; j
53
01. ‘PROCEDURE’S}KHflK(T,S)K);VALlJE’T;REAL’T,S)K; )
02. ‘BEGIN’REAL’P2,Rn2,RO2,Sn;PHAC(T,P2);RnAP(T,Rn2); (1.96)
03. ILH(T,P2,RO2);SROT(RO2,T,Sn);S:>K:= SFI— RI12/T;‘ENb’; J
В этих процедурах также имеются обращения к ранее
описанным процедурам ПЛ(Т,Р,£О), IROT(ROI,TI,3),
SROT(ROS,TS,S), определяющим соответственно плотность по
температуре и давлению”, а энтальпию и энтропию — по плот-
ности и температуре.
Г лава 2
ТЕРМОГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
В ЭЛЕМЕНТАХ СТУПЕНЕЙ
ЦЕНТРОБЕЖНЫХ КОМПРЕССОРНЫХ МАШИН
И ОЦЕНКА ИХ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ
2.1. ОБОБЩЕННЫЙ ПОЛИТРОПНЫЙ ПРОЦЕСС
При расчете термогазодинамических процессов и обработке
результатов исследований центробежных и осевых компрессоров,
паровых и газовых турбин обычно определяют параметры газа
в характерных сечениях (при входе и выходе) элементов проточ-
ной части. Действительный характер процесса в этих элементах
остается, как правило, неизвестным. Специальные исследования
для установления действительного характера процесса в каждом
из элементов сопряжены со значительными техническими труд-
ностями и не во всех случаях могут осуществляться с достаточной
точностью. Это относится, в первую очередь, к рабочим колесам,
в которых измерения необходимо проводить в относительном
движении, а результаты передавать на измерительные приборы
с помощью сложной системы передатчиков. При поэлементном
анализе ступени компрессора в этом нет особой необходимости,
так как проще заменить действительный процесс некоторым услов-
ным, используемым для всех элементов как при обработке резуль-
татов исследований, так и при расчетах. Вносимая при этом по-
грешность незначительна и компенсируется при едином методи-
ческом подходе к расчету и эксперименту.
В практике компрессоростроения таким условным процессом
является политропный, описываемый для идеального газа урав-
нением
pv*1 = const. (2.1)
Зависимости для определения параметров идеального газа при
политропных процессах относительно просты и универсальны,
так как дают возможность выполнять расчеты для процессов как
сжатия, так и расширения.
Центробежные компрессоры ряда химических производств
или холодильных паровых турбоагрегатов обычно работают на
54
слабоперегретом rtape вблизи линии насыщения. В этой области
диаграммы состояния свойства пара особенно сильно отличаются
от свойств идеального газа. Это должно обязательно учитываться
при расчете во избежание значительных погрешностей. Исполь-
зование уравнения политропы (2.1), строго говоря, неправомерно,
так как для реального газа оно не может быть получено в конечном
виде.
Поставленную задачу можно решить, если воспользоваться
понятием обобщенного политропного процесса, справедливым для
любых реальных газов. М. П. Вукалович и И. И. Новиков (8 J
сформулировали обобщенный политропный процесс как процесс
с некоторой постоянной теплоемкостью спол.
Известно, что теплоемкости реального газа при постоянном
объеме и давлении определяются выражениями:
с. = (du/дТ),:, сг, = (di/dT)lt.
Для теплоемкости при постоянном давлении, кроме того, спра-
ведливо равенство
Ср = C.J + [р 4- (ди.1ди)т 1 (dv/dT)p.
Теплоемкость в некотором произвольном процессе, для кото-
рого х — const, где х — или параметр состояния, или функция
двух независимых параметров, обозначается сх = (3Q/dT)x и мо-
жет быть представлена в виде;
с-х = с„ + [р 4- (ди/dv)} ] (dv/dT)x;
сх = ср — [v + (di/dp)T] (др/дТ)х.
Так как по определению теплоемкость политропного процесса
есть величина постоянная, то можно перейти от частных произ-
водных к полным, взятым вдоль процесса:
Спол = с0 4- [р 4- (du/dv)r ] (dv/dT); (2.2)
Сдол = Ср 4- [v — (di/dp)T] (dp/dT). (2.3)
Из уравнения (2.2) для политропного процесса найдем
dv/dT = ——(2.4)
р р 4* — (ди/ди)т J
Аналогично преобразуем уравнение (2.3):
dp/dT =-----^иол-ср------- _ (2 5)
—v Г 1--— (di/dp)r j
Деление уравнения (2.5) на (2.4) дает дифференцированное
уравнение политропного процесса
, с 1 +4- <ди/дч)т
dp/dv --- - ~~С1|ОЛ ----.
с0 - Спол , _ (di/dp)T
V
55
Множитель при p/v в правой части уравнения называют по-
казателем политропы п:
Ср — Спол_______Р__________
С0-Спол ! _ ± (di/dp)T
В результате дифференциальное уравнение политропного про-
цесса принимает вид
dpldv = —nplv. (2.6)
Важно, что в общем случае показатель политропы есть вели-
чина переменная, зависящая от р и v или любой другой пары
независимых термодинамических параметров. Эта зависимость
определяется видом уравнения состояния, и поэтому уравнение
(2.6) может быть проинтегрировано лишь в ограниченном числе
частных случаев. Из них практический интерес представляет лишь
случай идеального газа, у которого теплоемкости ср и с0 по-
стоянны, а внутренняя энергия и энтальпия являются функциями
только температуры. Это означает, что для идеального газа ча-
стные производные (ди/ди) г и (дИдр)т обращаются в нуль и пока-
затель политропы будет определен выражением
л (Ср Спол)^(^:' ~ ^пол) const. (2.7)
Только в этом случае уравнение (2.6) можно проинтегрировать,
в результате чего получается известное выражение политропного
процесса pvn = const.
Теплоемкость политропного процесса в идеальном газе может
быть представлена преобразованием зависимости (2.7):
Спол = Со (Л Л)/(П 1).
Так как cv — Rl(k — 1), то
Сп°л— j) j) К.
Полученные выражения не могут быть использованы при
расчетах политропных процессов, совершаемых в реальных газах.
В этих случаях необходим иной подход, основанный на опре-
делении политропного процесса как процесса с постоянной тепло-
емкостью. Количество теплоты, подведенной к 1 кг вещества
в политропном процессе н —к (рис. 2.1, а),
Ян-к — Сцол (Тк Л.)-
Приращение энтропии в политропном процессе
К к
sk sh ” J = спол J р " ~ спол ’Л (Т’к/^’н)-
н в
56
Отсюда можно определить
_ SK —Зн
пОЛ~ 1п(Тк/Тн)
(2.8)
и представить в окончательном виде удельное количество теплоты:
^н-к = («к — *н) • <2-9)
Множитель при разности sK — s!t в правой части представляет
собой среднепланиметрическую температуру политропного про-
цесса .
Используя полученные уравнения, можно рассчитать произ*
вольный политропный процесс в любом реальном газе.
Необходимо заметить, что все уравнения термогазодинамики
центробежных компрессоров в дальнейшем записываются в удель-
ных величинах, отнесенных к 1 кг газа. Они обозначаются строч-
ными буквами, а определения «удельное» или «удельная» для крат-
кости опускаются. Удельную работу, затраченную на преодоление
сил сопротивления, в дальнейшем будем называть потерянной
работой.
Рассмотрим адиабатный процесс сжатия с потерями. В ади-
абатно-изолированной машине вся потерянная работа /Гнк
подводится к газу в виде теплоты qrii-K. Такой процесс можно
условно представить как обратимый политропный, в котором
подведенная теплота <7подв = Ят-к 1461. Полная работа сжатия
равна разности энтальпий в конце и начале процесса:
iB>0. (2.10)
Работа политропного сжатия равна разности полной и поте-
рянной работ:
К
= \vdp -/Гн_в>0, (2.11)
н
ИЛИ
(цолн_к = ‘к — ‘и — (sk — sa) 1п (Гц/Гв) • (2-12)
57
Политропный КПД процесса сжатия определяется, как обычно
[431:
/долп-к _ ।___ST< — sH Тft — Т„
.ЮЛ. С/1. /ц.Н <К - 'll 1п(7'к/^’н)
Достоинством такого похода к расчету политропных процес-
сов в реальных газах является то обстоятельство, что в расчетных
формулах используются только термические и калорические пара-
метры состояния, которые могут быть определены из уравнений
состояния. Показатель изоэнтропы /г, входящий в большинство
расчетных зависимостей для идеального газа и обычно оказыва-
ющий сильное влияние на точность расчетов, в этом случае не
используется совсем.
Несколько иначе будет определен политропный КПД адиабат-
ного процесса расширения с потерями (рис. 2.1, б). Так же, как
и при сжатии, здесь /Гн к = qa__к > 0, а полная работа, полу-
ченная при расширении, /н_1; = /’к — «н < 0. Работа политроп-
ного расширения
к
Люлп к -= J о dp — 1Гц к < 0.
II
Таким образом, величина /цОлн_,( равна сумме абсолютных
величин и /г„_к, взятой со знаком минус:
^полн_к = "(Пн-к| гРгн_к|)-
Если бы процесс расширения протекал без потерь, то /ПОлн_к =
= ln-.it = lx — бн поэтому политропный КПД процесса рас-
ширения представляет собой отношение
_ ^Н П _____ *К— (и
ИЛИ
П = Г1 — Sk~Sh Ги~Г" 1 /О 131
Ппол.р .1 1к_,п In (Гк/Гн) J •
Для идеального газа формулы политропных КПД обоих про-
цессов принимают привычную форму.
Разность энтальпий и разность энтропий в конце и начале
процесса сжатия для идеального газа 18]:
[ц ~ 1н = ср (Т'к — Тн);
- sH = ср\п(Тк/Тп) - R in (рк/рн).
Заметив, что ср = [k/(k — 1)1 R, подставим в уравнение для
1)п„л.с.к °ба эти выражения. Тогда
1П (Рк’Рн) — I)
1ьол.сж- [£/(£- |)| In (Гк/Тн) •
5:
Так же преобразуем формулу (2.13) для КПД процесса рас-
ширения:
n 1)11п(Гк,Гй) ki(k-l)
Ьоп.р 1п(рк/Рн) ’ Я/(Я— 1)
Таким образом* выражения для определения политропного
КПД адиабатных процессов сжатия и расширения с потерями*
полученные в предположении постоянства теплоемкости поли-
тропного процесса, являются универсальными для любых газов,
включая идеальный как частный случай»
На основе выражений (2.8)—(2.12), определяющих обобщенный
политропный процесс, можно, как это будет показано ниже,
проводить расчеты параметров вещества для процессов с задан-
ными значениями КПД или коэффициентов потерь. Определенным
недостатком является то, что эти трансцендентные уравнения не
могут быть решены в явном виде, однако на практике можно реа-
лизовать относительно простые схемы их итеративного решения
с помощью ЭВМ.
2.2. ТЕРМОГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
В СТУПЕНИ ЦЕНТРОБЕЖНОГО КОМПРЕССОРА.
КПД И КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОТЕРЬ ЭЛЕМЕНТОВ СТУПЕНИ
Эффективность ступени центробежного компрессора и основ-
ных элементов ее проточной части определяется системой трех
уравнений:
{ к
/^judph(e2K-4)/2 + lrtiK; (2.14)
н
-- if< ~ г (^к сн)/2 + ^н?1р, (2.15)
С"0-' = in (7 к/А) = C°nSt’
где qHap — количество теплоты, отведенной (знак плюс) в окружа-
ющую среду.
Уравнение Бернулли (2.14), представляющее собой уравнение
энергии в механической форме, связывает полную работу / с эф-
К
фективной работой j v dp, кинетической энергией (cj—с„)/2
и потерянной работой /Гн_к [431.
Уравнение первого закона термодинамики (2.15) является
уравнением энергии в тепловой форме, в котором при расчетах
центробежных компрессоров обычно принимают 7НаР = 0, т. е.
считают процессы, происходящие в компрессоре, адиабатно-
изолированными от окружающей среды [431. Уравнение (2.8)
обобщенного политропного процесса связывает основные пара-
метры реального газа при сжатии или расширении.
5Э
Рис. 2.2. Кусочно-полптроппый процесс
в ступени центробежного компрессора
Ступени холодильных центробежных компрессоров состоят
из ряда последовательно соединенных элементов, причем в одних
происходят процессы сжатия, в других — расширения, а в третьих
плотность существенно не меняется. Так, во входном устройстве
промежуточной ступени поток движется с увеличением скорости.
Это соответствует конфузорному течению, или процессу рас-
ширения, при котором плотность падает. В рабочем колесе за счет
подвода механической энергии плотность обычно увеличивается
даже в том случае, если пло-
щадь межлопаточных кана-
лов постоянна или несколько
уменьшается с ростом радиу-
са. В диффузоре происходит
преобразование кинетической
энергии потока в энергию
давления. Скорость газа
уменьшается, плотность его
растет, что соответствует про-
цессу сжатия. В обратном
направляющем аппарате ско-
рость, а значит, и плотность
практически не изменяются.
В результате, если предста-
вить процесс в ступен и в
Т — s-диаграмме (рис. 2.2),
то видно что он в принц»
пе не может быть о писан од-
ной политропой, соединяю-
щей точки н и к (штриховая
линия на рис. 2.2). Поэтому
правильнее рассматривать
процесс в ступени как слож-
ный (кусочно-политропный), составленный из отрезков политроп,
характеризующих процессы в отдельных элементах проточной
части ступени: н—0 (входное устройство): 0—1 (вход в рабочее
колесо); 1—2 (рабочее колесо); 2—3 (безлопаточный диффузор);
3—4 (лопаточный диффузор); 4—к (выходное устройство). Это
позволяет не только более точно определить потери работы в
ступени, но и дает возможность правильнее оценить теплопере-
пады, срабатываемые в каждом элементе проточной части.
Эффективность элементов проточной части
Рассмотрим три наиболее характерных элемента проточной
части и дадим оценку их эффективности, используя понятие об-
общенного политропного процесса. Течение газа в любых элемен-
тах ступени может быть сведено в конечном счете к этим трем
случаям.
СО
Неподвижный конфузор. В центробежных ступенях конфу-
зорными элементами являются входное устройство (ВУ) с входным
регулирующим аппаратом (ВРА), если он имеется в данной кон-
струкции, и обратный направляющий аппарат (ОНА), если в нем
предусмотрено увеличение скорости потока.
В неподвижном конфузоре механическая энергия к потоку не
подводится, поэтому уравнения (2.14), (2.15), определяющие его
эффективность, примут более простой вид:
j crfp ' (<? 2 ; /Г1. 0; (2.16)
12-ЙЧ-(с2-с?)/2 = 0; (2.17)
с"ол = In (Tj/Ti) = const• (2.18)
Так как при течении в конфузоре давление и
уменьшаются (dp < 0 и Тк < Тп) от входа (точка
(точка 2), то работа политропного
2
расширения [ vdp < 0, теплоем-
температура
1) к выходу
кость политропного процесса спол <
< 0 и энтальпия <2 < й (рис. 2.3).
Из уравнений (2.16) и (2.17) следует
соотношение
2
j vdp -ф- й — i2 -+- й,., = 0. (2.19)
1
Коэффициент потерь непод-
вижного конфузора определим как
отношение потерянной работы
к кинетической энергии потока в
выходном сечении, где скорость
Рис. 2.3. Процесс расширения в не-
подвижном конфузоре
достигает наибольшего значе-
ния. Это обусловлено тем, что при приближении скорости с2 к ско-
рости звука потери в конфузоре могут существенно возрасти.
Поэтому и при экспериментальных исследованиях и при расчетах
важно связать увеличение потерь с запиранием выходного сече-
ния. С учетом (2.9) выражение для коэффициента потерь конфу-
зора можно представить в виде
I
' 1— 2
4#
(sa — S1) (Т2 — 7\)
(4/2)1п(72/Т1)
(2.20)
Если бы расширение происходило без потерь, то при заданном
перепаде энтальпий й — t2 процесс закончился бы в точке 2,
(рис. 2.3) пересечения линии sx = const с линией i2 — const.
Полученное при этом давление в конце расширения p2s было бы
61
больше, чем р2. Работа расширения без потерь, как следует из
уравнения (2.19), равна разности энтальпий:
О
"S
| vdp = i2 - ix.
i
Наличие потерь приводит к тому, что для достижения того же
перепада энтальпий приходится осуществлять расширение до
более низкого давления р2 < p2s- Работа политропного расшире-
ния при этом увеличивается в соответствии с (2.19) на величину
потерь. Исходя из этого политропный КПД процесса расширения
определяют как отношение работ с учетом полезной кинетической
энергии при входе в конфузор
2s
I
где i* — энтальпия торможения при входе в конфузор (точка Г
на рис. 2.3).
Применив формулу (2.9), найдем
(S2 — s^) (Та — Т1)
(<2 — 11 — Н/2) 'п (Т^/Л)
(2.21)
Связь между политропным КПД и коэффициентом потерь не-
подвижного конфузора выражается соотношениями:
Мп U(1 i-tl-o)’, rl-2= Ь'Лгюл,., — 1-
Из (2.21) видно, что при высоких скоростях потока при входе
и небольших перепадах энтальпий в конфузоре его КПД может
быть высоким, даже если сам процесс расширения/—2 идет с боль-
шим отклонением от изоэнтропы. Кроме того, КПД двух различ-
ных конфузоров могут оказаться одинаковыми, хотя процесс
расширения в одном из них может идти со значительно большими
потерями, чем в другом.
Термогазодинамическое «качество» процесса расширения удоб-
нее оценивать с помощью коэффициента изоэнтроп пости, кото-
рый для конфузора определяется как отношение статического
2
перепада энтальпий i2 — к политропной работе [vdp-.
f
^1_2
i? — fi
2
jvdp
1
1t1
(s2 — S|) (7~2 — 7 J 1
(1’2 — ii) In (T2,Ti) j
62
По форме это выражение совпадает с политропным КПД про-
цесса расширения [см. уравнение (2.13)1, однако применительно
к неподвижному конфузору его нельзя считать коэффициентом
полезного действия, так как оно не учитывает полезную кинети-
ческую энергию потока при входе. Только если происходит рас-
ширение неподвижного газа при = 0, коэффициент изоэнтроп-
ности и КПД конфузора совпадают.
Связь между коэффициентом изоэнтроп ности и коэф-
фициентом потерь выражается соотношениями:
£1-2 - (1 -^Т)[(С1/С2)2-
Для идеального газа коэффи-
циент изоэнтропности определяется
по формуле, совпадающей по форме
с преобразованным выражением
(2.13):
z [£/(&- 1)1 In (ТУП)
In (Ps/Pi)
Рис. 2.4. Процесс сжатия в ра-
бочем колесе
Рабочее колесо. В рабочем ко-
лесе к сжимаемому веществу ПОД-
водится механическая энергия, по-
этому в нем одновременно увеличиваются (рис. 2.4) и давление
рабочего вещества (от рг до р2) и его скорость (от сг до с2). Эффек-
тивность рабочего колеса определяется системой уравнений (2.14),
(2.15), (2.8).
Из первых двух уравнений следует, что работа политропного
сжатия является суммой перепада энтальпий и потерянной
работы:
vdp = i2 — й 4- й,
Коэффициент потерь рабочего колеса определим как отноше-
ние потерянной работы к кинетической энергии при входе в ра-
бочее колесо в относительном движении (скорость выбрана
в качестве характерной потому, что она является наибольшей
по величине и определяет режимы работы решетки колеса):
v _ = (•'2 -- st) (Tj — T 1)
. Л 2 “ -^/2 (^/2)1п(Т2/7'1) '
В рабочем колесе к веществу подводится работа /х_2. Часть ее
(I ) затрачивается на преодоление сопротивлений. Оставшаяся
часть работы в виде кинетической и потенциальной энергии вы-
63
11-2 — 1г,- _ . __ 1г,,
ll-2 /1-2
(s2 — sO (Тг — Т\)
водится из колеса со сжимаемым веществом. С учетом этого поли-
тропный КПД колеса
Лпо-'Ч-г ~
~ 1 “ [02-'1) + (4- ^)/2]"1(7’2/7\) ’
Обычно в рабочем колесе абсолютная скорость потока при
выходе (точка 2) значительно выше, чем при входе (точка 1), т. е.
с2 поэтому здесь удобно использовать энтальпию изоэнтропно
заторможенного потока, или полную энтальпию при входе в ко-
лесо (точка /*) и выходе из него (точка 2*):
t'i = i’i -J- Cj/2; i2 = <2 ^/2.
Тогда /i-о = z2 — i\-
С учетом этих выражений
колеса (2.22) принимает вид
формула для политропного КПД
(S; — S1) (Т2 — Л)
(*2 “ ‘1 ) 'П (W
(2.23)
КПД рабочего колеса и коэффициент потерь связаны соотно-
шением
_ . ?1 -2^/2 - 1 г
+ (е=-С?)/2
Доля потерянной работы в полной работе, переданной сжима-
емому веществу в рабочем колесе, в значительной степени зависит
от перепада энтальпий в колесе или, что то же самое, от разности
кинетических энергий потока при выходе из колеса и входе в него,
которые определяются его геометрией и режимом работы. Перепад
энтальпий /j — i± зависит от коэффициента реактивности колеса
□1-2- Для большинства типов рабочих колес = 0,6-е-0,8.
Вследствие этого потерянная работа оказывается незначительной,
и КПД колеса достигает довольно высоких значений (до 0,9
и выше). Действительно, при малых значениях и, значит,
при малом перепаде энтальпий /2 — й — Qi-2(/2 — /’) можно по
формуле (2.22) получить довольно высокий КПД и для плохого
колеса, в котором процесс будет значительно отклоняться от
линии s = const. При этом доля потерянной работы от перепада
энтальпий i.2 — в колесе будет весьма значительной, а от полной
работы ступени / = й> — i* — относительно меньшей. В итоге
политропный КПД колеса получится достаточно высоким.
Анализ показывает, что политропный КПД [см. формулу
(2.22) 1 недостаточно полно характеризует эффективность процесса
течения газа в собственно рабочем колесе. Для этого необходимо
ввести еще одну характеристику, оценивающую только сам про-
64
цесс в колесе. Так как это уже не будет КПД в точном смысле
слова,.назовем ее так же, как и для конфузора, коэффициентом
изоэнтропности процесса и определим выражением
7 *2 Ч ^,-2 , (Ss— Si) СУа—Тi) ___
“ »2 - й (й - Й) 1п (Тг/ТР) ~
(s2 — si) (Тг — Тi)
й1-2 (l2 — (l) 'П (^г/Л)
(2.24)
Как видно из сопоставления формул (2.23) и (2.24), коэффи-
циент изоэнтропности колеса отличается от его политропного
КПД только наличием коэффициента реактивности в знаменателе
правой части. Так как обычно й1-2 <1, то и вся дробь будет
увеличиваться. При этом всегда будет соблюдаться неравенство
ЛпОЛ1_9 >
Чтобы установить связь между i]noni_2 и ^i-з» заметим, что
из (2.23) следует
(s2 — St) (Т2 — Тt) |
0*2 — *1) 'п (Т’г/Л)

Лпол,.., ;1 ^1-2 1
Подставив это выражение в (2.24), найдем
Zj-2 1 (1 Т]пол,_,)/^1-2,
ИЛИ
Лпо,ч,_, == 1 — й1-г(1 — Z, 2)-
Для идеального газа выражения для коэффициента изоэнтроп-
ности и политропного КПД можно преобразовать к привычному
виду:
7 In (Pa/Pi) _ пЦп — 1) .
1 2 [*/(*- 1)] 1П (Тг!ТР) k!(k-\) ’
In (Р2/Р1) __
W(k - 1)] In (ТъП\) J ‘
Видно, что коэффициент изоэнтропности по форме совпадает
с политропным КПД процесса 1—2 по статическим параметрам
и равен политропному КПД колеса только в случае, если его
коэффициент реактивности =1. В практике компрессоро-
строения рабочие колеса с таким высоким коэффициентом реактив-
ности, как правило, не применяются.
Неподвижный диффузор. Диффузорный характер течения
наблюдается в лопаточном и безлопаточном диффузорах, а также
в улитках или кольцевых камерах концевых ступеней. В диффу-
зоре происходит преобразование кинетической энергии потока,
выходящего из рабочего колеса, в потенциальную энергию давле-
ния. Уменьшение скорости происходит в соответствии с увели-
чением проходного сечения каналов лопаточного или канального
диффузоров или площади потока безлопаточного диффузора от
входа (точка 1 на рис. 2.5) до выхода (точка 2). Механическая
5 Н. Н. Бухарин 65
энергия к диффузору не подводится, так что для оценки его эф-
фективности можно воспользоваться той же системой уравнений
(2.16), (2.17), (2.8), что и для неподвижного конфузора.
Коэффициент потерь диффузора определим как отношение
потерянной работы к кинетической энергии при входе в диффузор:
(S2 —$1) (72 —7,)
(^/2)14(7-2/7,)
Кинетическая энергия входящего в диффузор потока преобра-
зуется в работу политропного сжатия с затратой работы на пре-
одоление потерь. Поэтому давление торможения р* при выходе
(точка 2*) будет ниже давления торможения р' при входе в диф-
фузор (точка /*). Часть кинети-
ческой энергии не преобразуется
и выходит из диффузора с рабочим
веществом. Считая работу поли-
тропного сжатия и кинетическую
энергию выходящего потока полез-
ным результатом работы диффузора,
определим его политропный КПД
2
j о dp + cjj/2
Заменив в числителе величину
Jv dp ее выражением, полученным
из уравнения (2.16), найдем связь политропного КПД диффузора
с коэффициентом потерь:
(г?-4)/2+4'2 .
------“ 1 ~ 4/Г“ 1
или, применив формулу (2.9), получим окончательно
।______________________________(sa — si) (7а — 7t>
,1,ОЛ-2 (с2/2)1п(72/Т,) ‘
(2.25)
Политропный КПД диффузора, строго говоря, также не дает
полного представления о характере процесса в его проточной
части. Действительно, чем выше кинетическая энергия на выходе
из диффузора, тем выше будет его политропный КПД даже при
значительном отклонении процесса от изоэнтропы. Это особенно
важно помнить при оценке эффективности коротких диффузоров,
например кольцевого безлопаточного диффузора между колесом
и лопаточным диффузором, который, даже будучи несовершенным
в газодинамическом отношении, будет иметь высокий КПД.
Поэтому и здесь целесообразно использовать коэффициент изо-
66
энтропности как дополнительную характеристику совершенства
процесса сжатия:
2
7 _ 1_____ _ ।____(Sa — Si) (Т2 — Тi)
1-2- “ [(с?-^)/2]1п(Т2/Т,) '
Установим связь между политропным КПД и коэффициентом
изоэнтропности диффузора. Из уравнения (2.17) видно, что раз-
ность кинетических энергий при входе в диффузор и выходе из
него равна перепаду энтальпий. Кинетическая энергия при входе
в диффузор С]/2. Подставив эти значения в выражения (2.25)
и (2.26), найдем зависимости:
__ 1______— si) (Тг — Ti) ,
Ц1-2_ (-,) + с2/2] 1п(Т2/7’1)'’
у ____ 1 (sa — Si) (Та — Ti)
J-2 («Я - /1) In (Та/Тг) ’
из которых легко установить связь между этими коэффициентами:
n^=l-(l-Z,-8)[l-
Видно, что коэффициент изоэнтропности диффузора всегда
ниже, чем его политропный КПД, и совпадает с ним только в слу-
чае полного торможения потока в диффузоре.
Для идеального газа коэффициент изоэнтропности
7 -- 1п (Ра/Р1)
Л1-2 [*/(*—1)] 1П (Та/Тх) ’
а политропный КПД
Т,пол‘~! = 1 — (1 — Z1_2) [1 + 2[A/(A,_i)j'R(?2_7’1j-]
Коэффициент эффективной работы и НПД ступени
Уравнение Эйлера будем рассматривать с учетом закрутки
потока перед рабочим колесом, имея в виду, что в настоящее
время широко распространено регулирование производительности
поворотом лопаток входного регулирующего аппарата (ВРА).
При приведении скоростей к безразмерному виду будем относить
их к характерной для центробежного компрессора окружной
скорости на наружном диаметре рабочего колеса. Тогда уравне-
ние Эйлера для теоретической работы колеса можно представить
в виде
/ э = C2uU2 — C\uUl — (<f 2u — <fluD]/Dz) II?, (2.27)
где <Piu = clu/u2 и <p2u = c2„/«2 — проекции на окружное напра-
вление безразмерных абсолютных скоростей при входе в рабочее
колесо и выходе из него; Dx, D2 — диаметры колеса при входе
и выходе.
5* 67
Действительная работа колеса будет больше теоретической
на величину относительных потерь на протечки через лабиринтные
уплотнения покрывающего диска (0цР) и тренне (ртр):
/ = |'к — *н = (1 4* Р„р 4" Ртр) /э =
= (1 4- Рпр 4- Ртр)(Ч2« - Ф1«О1/О2) «2 =- Х«1- (2.28)
где х — коэффициент мощности колеса [141:
X — (1 4' Рг.р + Ртр) (ф2« ~ Tiu^j/Da). (2.29)
С другой стороны, действительная работа колеса может быть
представлена уравнениями Бернулли и первого закона термо-
динамики (2.14) и (2.15), в которых работы сжатия и потерь при
рассмотрении процесса в ступени как ряда последовательных
политропных процессов равны сумме соответствующих работ
в элементах ступени:
К
juJp (2.30)
(2.31)
i
При определении перепада энтальпии в колесе используется
коэффициент реактивности
0 9 9 9 9 1 2 2
о . ( 2-6'о , 92 —Чо < Чрг-+-Ч2и — 4'0
-м'-2 - 1 21 1 2Х ; 1 2% ’
который отличается от обычно применяемого [43]
2 2 2(2
<>„ 2 1 1 1 —,|2г^— (2.33)
тем, что учитывает кинетическую энергию при входе в колесо.
В формулах (2.32)—12.33) безразмерные скорости представляют
собой отношения соответствующих действительных скоростей
к окружной скорости на наружном диаметре колеса:
•Pi = Cilu-y. (2.34)
КПД ступени центробежного компрессора равен отношению
эффективной работы, определяемой соотношением
|цфр Д(4-Сн)/2, (2.35)
и
к действительной! работе I [см. формулу (2.28) ]:
Пк - W - 1 - 1ГН- (2-36)
68
Заметив, что для кусочно-политропного процесса сжатия в сту-
пени потерянная работа вычисляется по формуле (2.31),
запишем с учетом (2.28)
(2-37>
i У«2 “
Снижение КПД в каждом элементе
Д1Ц = /г.-//-/п/М. (2-38)
Эффективную работу ступени с помощью уравнений (2.28)
и (2.36) можно представить так:
/эф = А]к == ( 1 \ Рпр Г Ртр) (ф2и ф|иП1/Оо) u^vK = уП9Г)к . (2.39)
Коэффициент эффективной работы ступени
фк = ./эф/4 = Хт1к- (2.40)
Так как КПД ступени г)„ = 1 —т0 ее коэффициент
I
эффективной работы можно представить подобным же образом:
*к = х (1 - У, ДпА =х-х]р A»ii=
= Х-2>, = х-£Ь|. (2.41)
<
Снижение коэффициента эффективной работы в каждом из
элементов определяется общей для всех элементов формулой
Аф. = X Ап. = /г,7«2- (2.42)
2.3. ПОДОБИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ
И ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В РЕАЛЬНОМ ГАЗЕ
Условия подобия
В практике исследования, проектирования и эксплуатации
центробежных компрессорных машин широко используют без-
размерные критерии, определяющие подобие термогазодпнамп-
ческих процессов в проточной части. Установлено 12], что ста-
ционарные течения теплопроводного совершенного газа, отлича-
ющегося от идеального газа тем, что он, подчиняясь уравнению
pv = RT, обладает вязкостью, описываются одними и теми же
безразмерными дифференциальными уравнениями. Два течения
совершенного газа подобны друг другу, если одинаковы следу-
ющие безразмерные критерии и параметры: число Маха М, число
Рейнольдса Re, число Прандтля Рг, показатель изоэнтропы k,
69
отношения cpicp, л/V и р/р* (отношения текущих значений тепло-
емкости, теплопроводности и вязкости к их значениям в затормо-
женном потоке). При исследованиях центробежных компрессорных
машин средней и большой производительности движение газа
в проточной части происходит в области, автомодельной по числу
Рейнольдса, а для сжимаемых газов число Прандтля имеет поря-
док единицы [431. Это дает возможность исключить из рассмотре-
ния величины Re, Рг, Х/V и р/р*, после чего остаются только три
параметра М, k и ср!ср. Для совершенного газа в пределах про-
цесса сжатия или расширения теплоемкость принимают постоян-
ной, т. е. ср/с*р = 1. В итоге число параметров подобия сокра-
щается до двух: М и k.
Свойства реальных газов, сжимаемых в центробежных компрес-
сорных машинах, описываются более сложными уравнениями
состояния и значительно отличаются от свойств идеального газа.
В зависимости от того, какие параметры входят в уравнение изо-
энтропы, различают три ее показателя: kpu, kpT, kvT [91, которые
неодинаковы по величине, изменяются от точки к точке и могут
быть строго определены только в дифференциальной форме. Это
делает затруднительным использование показателей изоэнтропы
в расчетах н в качестве критерия подобия.
Так как основная группа параметров подобия термогазодина-
мических процессов остается неизменной, попробуем установить
только те из них, которые связаны с переходом от совершенного
газа к произвольному реальному газу. Для этого необходимо
рассмотреть основные уравнения термо- и газодинамики в без-
размерном виде с возможно меньшим числом допущений. Исполь-
зуем некоторые положения теории термодинамического подобия,
в частности подобия калорических свойств веществ, разработан-
ные И. С. Бадылькесом [31 на основе сформулированного им
расширенного закона соответственных состояний.
Расширенный закон соответственных состояний содержит не-
сколько дополнительных критериев термодинамического подобия:
f (л, т, Gu, Me) = 0.
Здесь кроме приведенных давления л = p!pKV и температуры
т = 77ТКр содержатся еще два критерия —Менделеева (Me) и
Гульдберга (Gu):
Me = ps/pKp; Gu==Te/TKp,
где ps — нормальное давление (одна физическая атмосфера);
А;р — критическое давление вещества; Ts — нормальная темпе-
ратура насыщения, т. е. температура насыщения при нормальном
давлении; Ткр — критическая температура вещества.
И. С. Бадылькес показал, что в рамках расширенного закона
соответственных состояний (при одинаковых значениях л, т, Gu,
Me) термодинамическое подобие калорических параметров рабо-
чих веществ определяется следующими постоянными.
70
Для удельной теплоемкости реального газа
/ =-. idem!, (2.43)
\ R /п, х, Gn. Me
ИЛИ
( C"-D—V} = idem,. (2.44)
Для удельной теплоемкости в состоянии идеального газа
Zlilia.') = idenig. (2.45)
X R / 1/ТКр, т, Gn, Me
Для энтальпии реального газа
(-^-к с м = i(lem“- (2-«6)
X К/кр /Л»т. Gu. Me
Для энтропии реального газа
=idem5. (2.47)
X R / л, т, Gu, Me
Соотношение, подобное этим, можно получить для скорости
звука, которая необходима при оценке уровня чисел Маха в по-
токе реального газа. Квадрат скорости звука определяется по
формуле (1.45), приведенной к безразмерным параметрам:
^3=—у2_£в./^Р\ =_ср_кткр_ /ал_\ (2 4g
с0 \ dv )т са Wa \d<f Jx '
где Wa — критерий Ван-дер-Ваальса, представляющий собой
величину, обратную коэффициенту сжимаемости вещества в кри-
тической точке:
Wa — ^Т’ирДркрЦцр) — 1 /гКр.
Этот критерий является, в свою очередь, функцией критериев
Менделеева и Гульдберга 131: Wa = f (Me, Gu).
Квадрат безразмерной скорости звука получается делением
уравнения (2.48) на RTKp:
а2 ср 1 7 дл \
RT«p ~ Wa \ dtp )т ’
где tp = u/vKp — приведенный удельным объем.
Из уравнения (2.44) в результате преобразований можно полу-
чить выражение
Г4-(— - = idem2,
L л X / J л» т, Gu. Me
из которого следует, что при одинаковых значениях л, т, Gu и Me
отношение cplcv зависит от приведенной теплоемкости cJR:
/ср\ =jdern2. ]. (2.49)
\ со /л, т, Gu, Me C0!R 1 ’
71
То же самое можно сказать и относительно cp/R, как это не-
посредственно следует из (2.44).
Таким образом, при одинаковых значениях Gu, Me и cp/cv
квадрат безразмерной скорости звука есть также постоянная
величина:
\ ^Укр /я, т, Gu, Me, Cj,/e0
Из соотношения (2.49) следует, что требование cp/cv — idem
может быть заменено требованием cJR = idem или cp/R =
= idem.
Точка приведения. При выборе в качестве точки приведения
критической точки предполагают распространение подобия, как
правило, на всю Ван-дер-Ваальсову область [8], которая вклю-
чает часть термодинамической поверхности, соответствующую
газу или перегретому пару, насыщенному пару и равновесной
с ним жидкости. К- А. Путилов [421 указывает, однако, что Ван-
дер-Ваальсова область может оказаться слишком широкой для
строгой классификации веществ, что некоторые из них, подобные
в состояниях сжатого газа, окажутся не сходными по свойствам
насыщенного пара. Тогда возникнет необходимость разбить Ван-
дер-Ваальсову область на несколько зон. Добавим к этому, что
процессы сжатия реального газа всегда происходят в относи-
тельно небольшой области термодинамической поверхности, соот-
ветствующей газу или перегретому пару. Поэтому практический
интерес может представить также и сопоставление термогазо-
динамических процессов в одном и том же реальном газе, но
в разных интервалах изменения термодинамических параметров,
особенно для тех газов, у которых сжимаемость значительно
изменяется от одного состояния к другому. В соответствии с этим
точку приведения не будем оговаривать заранее, а ее выбор в даль-
нейшем определится при конкретной постановке задачи. На-
пример, при рассмотрении движения тела в реальном газе точка
приведения может соответствовать невозмущенному потоку, при
течении реального газа по каналам или трубам —• состоянию
изоэнтропно заторможенного потока, при рассмотрении процесса
сжатия или расширения в конечном интервале давлений и тем-
ператур в качестве точки приведения можно выбрать начальное
состояние газа и т. д.
Приведение параметров. Термические параметры с учетом сде-
ланных замечаний приведем к безразмерному виду делением
текущих значений на их значения в точке приведения. Учитывая
произвольный выбор точки приведения, все безразмерные пара-
метры будем обозначать теми же буквами, что и размерные, но
с чертой сверху:
р = р/р*; т = Т/Т*; v = v/v*,
где р*, Т*, v* — давление, температура и удельный объем в точке
приведения.
72
Более сложным является вопрос о приведении калорических
1раметров энтропии и энтальпии, так как они зависят от произ-
)льно выбранных констант и в общем случае не могут сопоста-
тяться по величине. Примем во внимание, что в расчетах центро-
}жных компрессорных машин обычно оперируют не абсолют-
ами значениями энтальпии и энтропии, а их приращениями,
эторые от выбранных констант уже не зависят. Следуя И. С. Ба-
алькесу, получившему выражения (2.43)—(2.47), определим
гзразмерные приращения энтропии и энтальпии следующим
бразом:
As = As//?; А7 = AiRRT*).
Безразмерная теплоемкость [см. (2.43)—(2.45)1:
с = с//?.
Видно, что величины, имеющие размерность теплоемкости,
риводятся делением на газовую постоянную /?, а величины,
меющие размерность удельной работы, включая удельное коли-
ество теплоты и квадрат скорости звука, приводятся делением
а произведение RT*.
Подобие элементарных процессов
Рассмотрим элементарные процессы, протекающие в бесконечно
1алых интервалах давлений и температур.
Основные уравнения. Уравнение первого закона термодина-
мики dq — di — v dp после приведения принимает вид
dq — di - vdp.
Входящий сюда безразмерный комплекс представляет собой
(оэффициент сжимаемости газа в точке приведения 2* —
— p*v*/(RT*), а приведенное удельное количество теплоты ц —
= q/(RT*).
Уравнение второго закона термодинамики после приведения
сохранит свой вид:
dq = T ds.
Количество теплоты, подведенной или отведенной в процессе,
определяется известным уравнением, которое после приведения
к безразмерному виду запишется так:
dq = cdT-
В основе расчетов элементов центробежных компрессорных
машин, к которым подводится внешняя работа, лежат уравнение
Бернулли, представляющее собой уравнение энергии в механи-
ческой форме
dl = vdp -ф с de -ф di,, (2.50)
73
и уравнение первого закона термодинамики для движущегося
газа, представляющее собой уравнение энергии в тепловой форме
dl = di 4- cdc, (2.51)
где с — скорость газа.
Оба уравнения записаны в принятой при расчетах форме для
адиабатно-изолированного потока с потерями dlr и подводом
(или отводом) энергии dl извне. Для приведения этих уравнений
к безразмерному виду используем критерий газодинамического
подобия — число Маха М = da, где а — скорость звука в дви-
жущемся потоке.
Дифференцирование квадрата числа Маха дает возможность
выразить cdc через М и а:
cdc = d2MdM + Wada.
Введя это выражение в уравнения (2.50) и (2.51), найдем:
dl = vdp -|~ a2MdM Ц- Wada + dip,
dl = di a2M dM -J- М2й da.
Представим эти зависимости в безразмерном виде, используя
дополнительно скорость звука в точке приведения:
dl - p*v* . а2 а*2 >, ... . a*2 a da ,т _
Z ~ ~ vdP~RT^ RT* а*2 1 d
di = di-[- ~ м г/м + m2-^-—.
1 a*2 RT* ' RT* a*2
Кроме уже известного комплекса z* эти уравнения содержат
еще два безразмерных комплекса, которые обозначим так:
х* = a*2RRT*Y, (2.52)
а = ala*. (2.53)
Для заданного течения параметры точки приведения выби-
раются неизменными, поэтому а* = const. Дифференцируя ква-
драт безразмерной скорости звука в виде (2.53) и учитывая, что
d (а*2) — 0, найдем
add = a dalа*2.
С учетом этих результатов представим окончательно уравнения
энергии в безразмерном виде:
dl =z*v dp -j- a2x*M dM + M2x*a da dip,
dl =-di d2x*M dM + M2x*d da.
Для адиабатного, энергетически изолированного потока с по-
терями эти уравнения упрощаются:
z*v dp a2x*M dM + M2x*d da 4- dlr = 0;
di d2x*M dM + M2x*a dd = 0.
74
В газодинамике наряду с числом Маха широко применяют
жвивалентный ему, но часто более удобный в расчетах коэффи-
(иент скорости X = с/а*, где о* — скорость звука в критическом
течении сопла Лаваля, зависящая только от параметров торможе-
1ия; в адиабатном, энергетически изолированном потоке а* —
величина постоянная. Заметив, что da, = 0 и cdc = а}кдк, можно
упростить уравнения энергии, заменив в них число Маха коэф-
фициентом скорости:
2 v dp + а^и'к d'k Н dlr = 0;
di Ц-a = 0.
КПД элементарных процессов. КПД элементарного процесса
в зависимости от характера процесса (сжатия или расширения)
определяется по-разному (рис.
Рис. 2.6. Элементарные процессы сжатия и расширения
Для процесса сжатия в адиабатном потоке с потерями и под-
водом энергии извне, происходящего, например, в рабочем колесе
компрессора (рис. 2.6, а), КПД определяется выражением
. dlr vdp 4- с de v dp 4~ о2М d!A 4- М2а da
= 1 dT ~ dl dl
В результате приведения всех входящих в эту формулу членов
к безразмерному виду получим
z*v dp 4- аги*1Л dM 4- M2x*d da
П — Л
Если скорость движения в процессе сжатия газа не изменяется
или является пренебрежимо малой, то выражение упрощается:
т] = z*vdp/dl.
Процесс сжатия в адиабатном, энергетически изолированном
потоке с потерями, происходящий, например, в диффузоре,
определяется уравнениями (2.50) и (2.51) при dl = 0:
v dp 4- с de 4- dlr =0; (2.54)
di 4- c de = 0. (2.55)
75
Объединив оба уравнения, получим di = vdp -ф dlr.
КПД элементарного процесса сжатия
т] — 1 — dlr/di = vdpldi. (2.56)
Приняв во внимание, что, согласно (2.55), di = —cdc, при-
ведем выражение (2.56) к безразмерному виду:
х* —M2d da — d2M dM ’ (2.57)
Несколько иначе определяется КПД процесса расширения
в адиабатном потоке с потерями и совершением внешней работы.
Объединив уравнения (2.50) и (2.51), найдем di vdp dlr.
Поскольку di <^0 и vdp < 0, a dlr > 0, то |pdp| > |di|
(рис. 2.6, б). В связи с этим КПД элементарного процесса рас-
ширения
. . dlr dl — с de dl — a-M dM — М2а da
и •— 1 -I-— =--------—-------------------.
1 'vdp vdp vdp
Приведя это выражение к безразмерному виду, получим
dl——M?x*ada
2*v dp
Если в процессе расширения скорость газа не изменяется или
очень мала, то
— dl
2* v dp
КПД элементарного процесса расширения в адиабатном, энер-
гетически изолированном потоке с потерями (такой процесс проис-
ходит, например, во входном патрубке компрессора или в решетке
входного регулирующего аппарата при закрутке потока) опре-
деляется уравнениями (2.54) и (2.55) с учетом уже отмечавшихся
особенностей процесса расширения:
г] = di/(vdp).
После приведения к безразмерному виду
х* —M2dda—a2MdM
т) = --------. <2.58)
1 г* v dp ' ’
Так как в адиабатных, энергетически изолированных потоках
энгалышя торможения постоянна, то выражения для КПД (2.57)
и (2.58) можно упростить, заменив в них число Маха коэффициен-
том скорости. В этом случае КПД процесса сжатия
2* v dp
х* <i';X dd ’
КПД процесса расширения
_________________________ х* a-tddd
г* vdp*
Заметим, что в обоих случаях КПД будет величиной положи-
тельной, так как в процессе сжатия dp > 0, но dX <Д 0, а в про-
цессе расширения, наоборот, dp < 0, a dX > 0.
76
1одобие процессов, протекающих в конечных интервалах
давлений и температур
Для процесса сжатия в адиабатном потоке с потерями и под-
зодом энергии извне, протекающего в конечных интервалах дав-
1ений и температур, необходимо рассматривать уравнения термо-
газодинамики в интегральной форме [431:
2 2 2
(2-59)
1
г2 - с-
= ЛДл-Ь (2.60)
В качестве точки приведения удобнее всего выбрать состояние
торможения в начале процесса 1* (см. рис. 2.4). Так как выбор
точки приведения в общем случае может быть произвольным,
то при рассмотрении сложного процесса, состоящего из ряда
последовательных процессов сжатия или расширения с подводом
энергии или без него, лучше всего выбрать одну и ту же точку
приведения для всех рассматриваемых процессов. Приведение
позволяет представить уравнения (2.59) и (2.60) в следующем
виде:
2 д2
(|-2 = Z|‘ j v dp Д -±- «2*1*-i- (2.61)
1
М? _2 * -2 •
Л-2= AZ[-2 "I-2~ ---2~
Когда речь идет о термодинамических процессах, проходящих
2
в конечном интервале, то интеграл ^vdp, вообще говоря, неопре-
1
деленный, так как работа не является полным дифференциалом,
а зависит от характера процесса, или, иными словами, от того,
каким путем осуществляется переход от начального состояния
к конечному. Для того чтобы определить эффективную работу,
воспользуемся понятием обобщенного политропного процесса.
Тогда
2
J V dp = - ‘1 ~ ~ In (Т2/Т j ' (2’62)
1
Если условиться, что под перепадами энтальпии, энтропии
и любых других термодинамических параметров будем понимать
разности их значений в конце и начале процесса с учетом знака,
т. е.
All-2 ” Й К’ ^$1-2 = $2 ^1,
77
то сразу же можно записать уравнение (2.62) в приведенном виде
2 _ „
р№ ( V dp = RT{ A7t_2 + R bsi-2Tt T^-Tl ,
,J In (Т2/тр
ИЛИ
2 __ _
f (2.63)
r 1И 24 1)
Подставив это в (2.61), найдем
т - т Ч2 М2
Ц2 = ^_2^ As,.2—+ й,_,. (2.64)
111 {1 2,4 1) z
Совместное решение уравнений (2.61) и (2.64) позволяет опре-
делить приведенную потерянную работу
= А5|_2
T^-Tl
In (Г2/Т1) '
(2.65)
КПД процесса сжатия в приведенных параметрах запишем
с учетом выражения (2.65):
.. __ 1 _ ^1-г _ 1 _ ___________Asl_2 ___________
l1-2 1 h 2 1 I М2 ‘"2 \
( AZ,_2 + а2х1 - -у- 4*1 I 1,1 (7'*'7'0
Разность энтальпий торможения в начале и конце процесса
определяется выражением
Al’1-2 — Й — Й = *2 — Й 4- (^2 — (л)/2,
которое после приведения примет вид
*-* , М2 _2 * М2 _2 ,
Ди-2 = Ati-г д- —%- ----g- Я1Х|.
После этого КПД можно представить в зависимости от при-
веденной разности энтальпий торможения:
1 Asj_2 (Тг - ТЗ)
lit о — 1 — —=7--=—— •
А/* 2 1п (7’2/7'1)
Коэффициент потерь в адиабатном процессе с подводом меха-
нической энергии извне определим сразу для рабочего колеса —
единственного элемента проточной части центробежного компрес-
сора, в котором такой процесс реализуется. Поэтому потерянную
работу отнесем, как обычно, к кинетической энергии потока при
входе в колесо в относительном движении:
й,- z4,_,
г1-2=(м^,/2)Ф; ‘
78
Введя в это выражение приведенную работу [см. формулу
(2.65)1, получим
Y — Asi-2 (Тг — 7*1)
’1-'2 " (м=ч/2)«2х;
Уравнения термогазодинамики для адиабатного, энергети-
чески изолированного потока с потерями, записанные в интеграль-
ной форме, отличаются от (2.59) и (2.60) тем, что здесь отсутствует
подвод энергии извне и 0. Они имеют вид:
2 о о 2 2
С С) ~~~ С1 б’о ~~ @ I
\vdp J--2-TJ- + /ri_2=0; t2 _+ = 0.
1
После приведения можно записать:
• Г , М2 -2 • М? „ «
2) j V dp 4- — а2Х1----g- а|Х1 + 1г,_г -= 0;
1
м2 м2
. - , Л12 -2 * Jnl -2 * л
All-2 4--2~ «2Х,-----2~gI><1 =0.
(2.66)
Введя уравнение политропного процесса (2.63), найдем
_ гр гр _ Л.
Л'1-2 — Л«1-2 2-i -1- 4- -/ «2^1--Y «1X1 4~ 4,_2 = 0.
Рассмотрим процесс расширения в адиабатном, энергетически
изолированном потоке с потерями. Необходимо учесть, что КПД
для конфузорных и диффузорных течений определяется по-разному.
Для конфузорных течений, например во входном
устройстве центробежного компрессора,
Т]1-2 -= 1 4- = 1 + j б dp^.
Раскрывая потерянную работу с помощью формулы (2.65)
и приведенную политропную работу с помощью формулы (2.63),
окончательно получим
Г> -Л) Т1
’1-2 — ’-----------~——— •
Д6-2 In (Т2/Тд
Заметим, что здесь дробь всегда меньше нуля, так что i]t_2 < I.
Коэффициент потерь конфузорного, энергетически изолиро-
ванного течения представляет собой отношение потерянной работы
к кинетической энергии потока в выходном сечении:
£ _ _ 7г,_= Asi_2 (7*2 7*1) /9 67)
с2/2 - (М2/2)4<; (М2/2)?2х* ln(f2/f,)’
Для диффузорных течений
_ । _ _ ।________7г,_ j_________Asj _2 (7*2 — 71)
4’2 ~ (M?/2)dX ~ (М1/2)дх; 1и(72/7,) ‘
79
Формула для коэффициента потерь в диффузоре имеет вид,
аналогичный выражению (2.67), с той лишь разницей, что в зна-
менателе стоит кинетическая энергия потока при входе в диффузор:
5- /г,_г_______Asi_2 (Т2 — Т,)
-1-2 ' (М|/2) (М^/2)^х* 1П (7-2/70'
Общие выводы
Анализ полученных выражений показывает, что переход к про-
извольному рабочему веществу вызвал появление трех безраз-
мерных комплексов г*, х* и а вместо одного показателя изо-
энтропы для идеального газа. К ним добавляется уже известное
число Маха М или эквивалентный ему коэффициент скорости X.
Таким образом, подобие газодинамических процессов в реальном
газе определяется четырьмя параметрами, а в идеальном газе —
только двумя.
Правильность полученных параметров может быть проверена
непосредственной заменой реального газа идеальным. В резуль-
тате такой замены эти четыре параметра должны свестись к двум.
Действительно, коэффициент сжимаемости идеального газа всегда
равен единице, так что этот параметр из рассмотрения исклю-
чается. Число х*, определяемое выражением (2.52), в числителе
содержит квадрат скорости звука в точке приведения, которая
для идеального газа определяется известным выражением а*2 =
= kRT*. Отсюда следует, что для идеального газа число х* есть
не что иное как показатель изоэнтропы, т. е. х* k. Безразмер-
ная скорость звука а в идеальном газе равна отношению темпера-
туры газа в некоторой точке термодинамического процесса к его
температуре в точке приведения:
a=kRTi(kRT*) -=Т.
Таким образом, в идеальном газе безразмерная скорость звука
совпадает с приведенной температурой. Следовательно, переход
от реального газа к идеальному позволяет сократить число без-
размерных параметров подобия до двух: k и М. Отметим попутно
тот известный факт, что в идеальном газе подобие термогазодина-
млческих процессов, как следует из уравнения (2.66) с учетом
сделанных замечаний, определяется произведением /гМ2.
2.4. УРАВНЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ РАБОТУ
СТУПЕНИ ЦЕНТРОБЕЖНОГО КОМПРЕССОРА,
В БЕЗРАЗМЕРНОМ ВИДЕ
Применим только что рассмотренный метод приведения к урав-
нениям, определяющим работу ступени центробежного компрес-
сора. Одновременно сделаем приведение основных геометрических
параметров ступени, приняв за характерный размер наружный
диаметр рабочего колеса 0.2. Все безразмерные геометрические
80
параметры получают как отношение соответствующего линейного
размера к диаметру D2 и обозначают общепринятым символом
с чертой сверху.
Характерной площадью ступени будем считать площадь ци-
линдрического кольца, ометаемого выходными кромками лопаток
рабочего колеса на диаметре
F2K л ОД.,.
Безразмерные площади представляют собой отношение соот-
ветствующей площади к F2,r. и также обозначаются обычным
символом с чертой сверху.
Характерной скоростью ступени считается окружная ско-
рость и., на диаметре D2.
При определении безразмерных температуры, плотности, эн-
тальпии, энтропии, скорости звука характерными считаются их
значения в изоэнтропно-заторможенном потоке при входе в сту-
пень. Они также обозначаются соответствующими символами
с чертой сверху.
Приведем к безразмерному виду уравнения удельной работы
п расхода для ступени центробежной компрессорной машины,
используя параметры торможения при входе в ступень.
Приведение параметров, имеющих размерность удельной ра-
боты, осуществляется делением на RT„, энтропии — на R, тем-
пературы — на 7,*, давления — на р*,. Заметим, что безразмер-
ная энтальпия будет так же зависеть от const t, как и размерная,
поэтому сопоставлять безразмерные энтальпии можно только
при условии, что их безразмерные постоянные выбраны одина-
ковыми. Разность безразмерных энтальпий, так же как и разность
размерных, от величины const i уже не зависит. То же самое
необходимо сказать и о безразмерной энтропии.
Безразмерная энтальпия
i = i'R'H.F
Действительная работа ступени [см. формулу (2.28) ] в без-
размерном виде
/ --- 1К й (1 Г Й’Р Ртр) (ф2и (( 1 uD\) x](AV/ --- у,хнМ/г< (2.68)
где х„ a” (RT*H) — уже известный безразмерный комплекс,
отличающийся от выражения (2.52) тем, что в нем определены
индексы параметров приведения; М„ -= w2 — условное число
Маха по окружной скорости на периферии колеса.
Статическая энтальпия движущегося потока
-С-/2;
в безразмерном виде
ly i j
где ср. = с, 'и2 — безразмерная скорость в j-м сечении.
6 Н. Н. Бухарин 81
Так как эти уравнения для всех сечений ступени имеют один
и тот же вид, то при расчетах индекс следует заменить на номер
сечения.
Безразмерная энтальпия торможения в выходном сечении сту-
пени, согласно формуле (2.68),
tK —- t'H *
Статическая безразмерная энтальпия в этом же сечении
<к = 1’к — х'нми = I* + (х — -у-] «нМ?,•
Коэффициенты, учитывающие потери на протечки и трение
в безразмерном виде, могут быть записаны проще. Известное вы-
ражение для коэффициента потерь на протечки [43]
a (DjD2) (1000s/D2) l/"l3/(4z)] (1 - D2/D2)
P (10006i/D2)qp2rJ<^H*_2
в безразмерных параметрах запишется в виде
aD,s/[3/(4z)](l -Dj)
Рпр 2 ’
где а — коэффициент расхода щели; Ds — средний диаметр уплот-
нения; $ — зазор в уплотнении; ^н,_2 = РэРи — отношение плот-
ностей; Pi* — плотность торможения при входе в ступень; р2 —
плотность при выходе из колеса; z — число гребней уплотнения;
D, — диаметр при входе на лопатки колеса; б2 — безразмерная
ширина колеса при выходе; <р2г — коэффициент расхода колеса.
В запись коэффициента потерь па трение, данную в работе
143], необходимо внести изменения, связанные с тем, что при
наличии закрутки потока теоретическая работа определится
уравнением (2.27), тогда
рт.,= -----(2.70)
Уравнение расхода для произвольного, например начального,
сечения при входе в ступень
G — РцСдРн. ц-
В безразмерных параметрах это уравнение примет вид
G — G/(PhW2^2k) — Рнфн^н.к ,
где Рн = Рн/Рн! фн = ^и/«2; Л,.к = Fh,k/F2k; Fh.k = л£н/4.
82
Для сечения после входного регулирующего аппарата (ВРА)
при входе в колесо
6 --= РоФо COS 0OFOK,
где Ро — ро/р’н; фо = с0/и2; Лк = P0JF2K, Лж = (л/4) (Do — do)
Здесь учтена закрутка потока с помощью ВРА на угол 0а,
при которой расход будет определяться осевой составляющей
скорости фОг =- ф0 cos 0О.
Подобным же образом напишем уравнения расхода для других
характерных сечений.
При входе на лопатки рабочего колеса
G = Р1Ф1ЛкС08 0Г
При выходе из рабочего колеса
G = р2ф2г = _2ф2.
При входе в лопаточный диффузор
G = РзФзЛк sin а3.
При входе в выходное устройство
G = р4ф4Лк sina4.
При выходе из выходного устройства ступени
G -= ркф„Л-
Здесь 0j — угол потока при входе на лопатки колеса в абсолют-
ном движении; a3, а4 — углы потока при входе и выходе из диф-
фузора в абсолютном движении; прочие безразмерные параметры
получены описанным выше путем.
При необходимости все системы, представленные в п. 2.2,
с помощью полученных уравнений могут быть приведены к без-
размерному виду.
Г лава 3
РАСЧЕТ ТЕРМОГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ
В ХАРАКТЕРНЫХ СЕЧЕНИЯХ
СТУПЕНИ ЦЕНТРОБЕЖНОГО КОМПРЕССОРА
3.1. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ,
ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ТЕРМОГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ
В ХАРАКТЕРНЫХ СЕЧЕНИЯХ
СТУПЕНИ ЦЕНТРОБЕЖНОГО КОМПРЕССОРА
При решении прямой задачи или обработке результатов экспе-
риментального исследования модельных или натурных компрес-
сорных машин необходимо определять термодинамические и газо-
6*
83
динамические параметры в характерных сечениях ступе-
ней. Учитывая, что сжимаемые фазы отличаются большим
разнообразием, рассмотрим эти задачи применительно к
произвольному газу, уравнение состояния которого заранее
не определено, но считается известным и может быть задано
в виде р = f (р, Т) или р = f (р, Т). Обозначения характер-
ных сечений ступени соответствуют общепринятым [43] (см.
рис. 4.25).
Входное (начальное) сечение ступени
В зависимости от объема измерении во входном сечении сту-
пени (точка « на рис. 4.25) будут отличаться и методы определения
основных термогазодинамических параметров. Все расчеты ве-
Рпс. 3.1. Определение параметров по-
тока во входном сечении
дутся по одномерной теории в
предположении, что измеренные
параметры постоянны по сече-
нию. Случаи отступления от
этого положения будут огова-
риваться особо. В связи с тем,
что система измерений должна
быть, по возможности, наибо-
лее простой, рассмотрим слу-
чай, когда в сечении площадью
Fn измеряются статическое дав-
ление р.А и температура тормо-
жения Т„. Массовая производи-
тельность компрессора G изме-
ряется с помощью специальных
устройств вне компрессора. Сле-
довательно, из опытных данных
непосредственно нельзя определить ни точку «* (рис. 3.1),
определяющую состояние изоэнтропио-заторможенного потока,
так как неизвестно давление торможения р,*, ни точку н, опре-
деляющую статическое состояние газа, так как неизвестна ста-
тическая температура Т„. В тех случаях, когда влияние сжи-
маемости невелико, можно положить и затем, определив
плотность по уравнению состояния рн = f (р„, Т|Г), сразу искать
скорость потока. Однако, если это может вызвать значительные
погрешности, необходимо решать систему уравнений термогазо-
динамики совместно с уравнением состояния сжимаемого
газа.
Схему расчета, который выполняется итеративным путем,
можно проследить на рис. 3.1. По известным значениям р„ и Т»
определяют параметры точки н1, которая является точкой первого
приближения:
Phi — f Л.);
®Н1==/(Рн1, Л)-
84
Затем решают систему уравнений, в которой в качестве первого
приближения можно принять рп = ря1 и s„ = snl;
jh — / (slp Th)', | = СДрнЕн); (3-1) (3-2)
(I) (la) j iH = — c?,/2; (3-3)
[ Ph = / (»h, Ph); (3.4)
=/(«„, Ph). (3-5)
Сразу после определения энтальпии торможения по уравнению
(3.1) необходимо решить вложенную систему (1а) и затем опре-
делить sH по уравнению (3.5). В итоге будут получены параметры
точки второго приближения н2, для которой по уравнению (3.1)
находят энтальпию торможения („2. Процесс решения сходится
довольно быстро и прекращается, когда значение энтропии sH,
заложенное в уравнение (3.1), совпадает со значением s„, полу-
ченным по уравнению (3.5), с требуемой точностью. Вложенная
система уравнений (1а) решается итерациями по рн.
Решение системы (I) дает параметры, необходимые для опре-
деления плотности и давления заторможенного потока, скорости
звука в нем, критериев хи и М„:
Рн = /($н, ^н); Рн ~ f (fill, Th)', ~ f (pH, Th)',
XH — /{RTH), = U^/Uh, фи Ch/U^-
Если система измерений позволяет определить давление тормо-
жения рн, то задача несколько упрощается. Плотность pj, энтро-
пия s„, энтальпия в точке н* могут быть определены непосред-
ственно из уравнений:
р; - /(Рн, П); (3.6)
- / (р.’„ TS); (3.7)
= п). (3.8)
После этого скорость потока, статические энтальпию и плот-
ность определяют по формулам (3.2)—(3.4). Если неизвестно
статическое давление ра, то уравнение (3.4) необходимо заменить
на уравнение вида рн = f (iu, su).
При решении прямой задачи, например расчета характеристик
ступени, когда известны массовая производительность G, давление
рн и температура торможения Т„, расчет проводится в той же
последовательности по уравнениям (3.6)—(3.8).
Входное устройство ступени
Входное устройство, с помощью которого сжимаемый газ
подводится к рабочему колесу, в зависимости от расположения
ступени в компрессоре может быть выполнено или в виде всасы-
вающей камеры, или в виде относительно короткого радиально-
кольцевого участка, расположенного сразу за обратным напра-
«5.
вляющим аппаратом предыдущей ступени. В обоих случаях тече-
ние газа во входном устройстве является конфузорным. Если
предусмотрено регулирование производительности, во входном
устройстве устанавливают входной регулирующий аппарат (ВРА)
осевого или радиального типа с поворотными лопатками, с по-
мощью которого поток в выходном его сечении закручивается
на угол 0О.
Рассмотрим наиболее общий случай, когда во входном устрой-
стве имеется ВРА и поток в выходном сечении (точка 0 на рис. 4.25)
является закрученным. Для того чтобы обработать результаты
эксперимента или решить прямую задачу, необходимо располагать
расчетными или экспериментальными данными о зависимости
угла выхода потока из входного устройства 0О от угла установки
лопаток ВРА 0Л. Известно [1], что в конфузорной решетке угол
отставания потока является функцией не только эффективного
угла выхода, но и числа Маха при выходе из решетки. Учитывая,
что при больших углах установки лопаток ВРА числа Маха могут
быть значительными, эту зависимость представим в виде функции
двух параметров:
00 = / (0л, MJ. (3.9)
Эта функция может быть получена или в результате решения
прямой задачи обтекания решетки ВРА, или продувкой ВРА на
специальном стенде, или приближенно по формуле Хоуэлла или
обобщенным экспериментальным зависимостям для турбинных
решеток [11.
При обработке результатов экспериментального исследования
используем известные из опыта массовую производительность G
и статическое давление р0. При наличии закрутки потока из-за
влияния центробежных сил давление на периферийной поверх-
ности ВРА (рОп) будет больше, чем на корневой (рОн)- Поэтому оба
их необходимо измерять, а статическое давление р0 находить
в результате осреднения. В диапазоне углов 0Л = ±60° приемле-
мые результаты дает осреднение по формуле
Ро • (рОп + Рок)/2.
Все параметры во входном сечении н известны из ранее вы-
полненных расчетов. Поэтому, принимая в первом приближении
Ро — Рн и 0О = 0Л, решаем систему уравнений:
co = G/(poFOKcos0o); (3.10)
(Па) 1о~=1н—Со/2; (3.11)
Ро=Ж, Ро): (3.12)
(°) Т0 = /(<0, р0);
— f (Ро> Т'о);
Мг. = с0/а0;
. 9о = /(0л, MJ.
86
Если углы 0Л и скорости с0 невелики, то можно пренебречь
влиянием Мс, на зависимость 0О = f (0Л); тогда величина 0О на-
ходится сразу, а система (II) сводится к вложенной системе (Па).
Площадь кольцевого сечения при входе в колесо определяется
как обычно: FOz = (Do — do), где Do, d0 — диаметры пери-
ферии и втулки входного сечения колеса.
Процесс сходимости системы уравнений (II) к решению пред-
ставлен на рис. 3.2. Так как в качестве первого приближения
принято р01 = ри, причем известно, что р„ > р0, то энтальпия
первого приближения !0( < i0 из-за того, что с01 < с0. В резуль-
тате решения уравнения (3.12) будет получена точка 01 первого
приближения, плотность газа в которой р02 будет исходной для
второго приближения. Второе приближение дает точку 02, в ко-
торой плотность газа будет р03, и так далее до получения сходи-
мости по рй с требуемой точностью.
После решения системы (II) определяют энтропию в выходном
сечении участка н — 0: s0 = / (рй, То), коэффициент потерь вход-
ного устройства совместно с ВРА £н0 и коэффициент расхода <р0-‘
< _ (so — sh) (То — Тн). __ <"о
L,, ri (с?,/2) )п (Тв/Т„) ’ 10 ~ и.
Для решения прямой задачи необходимо располагать полной
характеристикой входного устройства совместно с ВРА, которая
в общем случае определяется двумя зависимостями: £н_0 =
/ (0<ъ МСо) и 0О = / (0Л, Мс„). Первая зависимость определяет
потери во входном устройстве и ВРА, вторая — связывает угол
установки лопаток ВРА 0Л с углом потока Оо. Приняв для начала
Ро ~ Рч и О» := 0;|, определяем необходимые параметры, решая
систему уравнений:
Со = G/(puE02cos00);
»о = i‘ - 4/2;
т(, — f (ро. 'о); f (Ро. Т’о). Мсо — Со/До‘.
zjjjx Оо = f (0Л, Мео);
£н_о-/(0о, MJ;
(cg/2) In (То/Т„).
*0 •— ^»н I ЪН-0 т т ’
J 0 — •* н
Ро — f Оо» 5о). (3.13)
Особенностью системы (III), записанной для прямой задачи,
является то, что статическое давление в выходном сечении р0
неизвестно. Это приводит к необходимости определять плотность
по известным энтальпии и энтропии по уравнению (3.13). Процесс
итеративной сходимости к решению идет в этом случае так, как
показано на рис. 3.3. В первом приближении принято р01 =
= рн > ро, поэтому /ох > io', Toi > То; с01 < с0- После определе-
87
ния коэффициента потерь получаем значение энтропии в точке
первого приближения s01 и затем, решая уравнение (3.13), на-
ходим точку 01 первого приближения. Плотность газа в этой точке
ри2 будет плотностью второго приближения, из которого находим
точку 02, и далее процесс повторяется до получения сходимости
по р0 с требуемой точностью.
Если во входном устройстве нет ВРА, то задача упро-
щается. [При обработке результатов эксперимента нет необ-
ходимости в зависимости
(3.9). Для решения прямой
задачи достаточно иметь
Рис. 3.2. Определение пара-
метров потока во входном
устройстве при обработке ре-
зультатов эксперимента
Рис. 3.3. Определение параме-
тров потока во входном устрой-
стве при решении прямой за-
дачи
только зависимость вида £н-о= / (Мс„). В обоих случаях
из знаменателя уравнения (3.10) необходимо исключить
cos 0О.
Участок радиально-кольцевого поворота
перед входом на лопатки рабочего колеса
Этот участок {0—1 — см. рис. 4.25) характерен для обычных
радиальных колес стационарных компрессорных машин. В мери-
диональном сечении он ограничен двумя вращающимися поверх-
ностями: на периферии — покрывающим диском, на втулке —
основным диском колеса и деталями ротора. Особенностью этого
участка является недоступность выходного сечения 1 для изме-
рений. Исключение составляют лишь специальные измерения
в относительном движении [10], настолько сложные и трудо-
емкие, что рассчитывать на их проведение в рамках системати-
ческого эксперимента при отработке модельных ступеней не при-
ходится. Поэтому при обработке экспериментальных данных
и при решении прямой задачи подход к расчету один и тот же.
88
Скорость потока на участке 0—1 обычно изменяется мало,
юэтому, хотя в зависимости от геометрии колеса характер дви-
кения может быть как конфузорным, так и диффузорным, по-
ерянную работу на этом участке удобнее отнести к скорости
ipn входе:
1г0_} -Со-4/2,
гак как это позволит сократить число уравнений системы. Коэф-
фициент потерь в общем случае есть функция £0_i — f (0р, AVJ.
Проекция скорости са на окружное направление определяется
эбязательно с учетом знака угла 0О по формуле
сОи = <?0 sin 0О.
При закрутке потока по направлению вращения колеса 0О >
> 0. Проекцию скорости с на окружное направление находят из
уравнения сохранения момента количества движения
‘'1л ~- (3. 14)
Приняв в первом приближении pL = р0, решают систему
шести уравнений:
(
(IV)
Cir - G/(PifiK);
n Г clr -г c2iu;
ix ==- i'„ — cf/2;
Л - /(Px, t’l);
c . > / l£L<ZVZ±).
Si — So -T ‘r0_! To . T1 ’
P1-/O1. Si).
дает величины, необходимые для опре-
(3.15)
(3.16)
(3.17)
Решение системы (IV)
деления параметров потока при входе на лопатки колеса:
МС1 =—= arctg ——--------------------; wr = 5 МШ1 = —.
‘ от(Р1,Т1) 11 6 «1 — ciu ’ 1 sinPi а-‘ at (pi, Л)
^'1
Обычно потери на участке 0—1 неизвестны или могут быть
оценены лишь приближенно по результатам малочисленных спе-
циальных исследовании. Из-за небольшой протяженности участка
они относительно малы и не оказывают значительного влияния
на кинематику потока при входе на лопатки колеса. Вследствие
этого для определения и и допустимо считать течение газа на
участке 0—I изоэнтропным, что позволяет упростить систему
(IV) за счет изъятия уравнений (3.15) и (3.16), положив в (3.17)
Si = So.
Рабочее колесо
Учитывая специфику радиальных колес, целесообразно рас-
сматривать решетку колеса совместно с участком 0—1 и считать
процесс на участке 0—2 соответствующим рабочему колесу в це-
89
лом. Параметры потока при входе на лопатки в сечении / находят
из предыдущего расчета.
Обработка результатов эксперимента зависит от объема име-
ющейся информации, причем, измеряя только статические давле-
ния при входе и выходе из колеса, в общем случае при наличии
закрутки потока с помощью ВРА нельзя определить параметры
в межэлементных сечениях, если нет дополнительных опытных
данных. Предположив, что безразмерный момент количества дви-
жения закрученного потока, выходящего из ВРА, будет одина-
ков при одних и тех же углах установки лопаток 0Л для случаев,
когда ВРА продувается отдельно и когда он установлен в компрес-
соре, можно воспользоваться экспериментальной зависимостью
(3.9), полученной при продувке ВРА на отдельном стенде, причем
лучше, если угол 0О будет получен не зондированием потока за
решеткой ВРА, а пересчетом по данным непосредственного изме-
рения реактивного крутящего момента, передаваемого на кор-
пус ВРА.
Если нет возможности выполнить продувку ВРА, можно
использовать то обстоятельство, что коэффициент теоретической
работы колеса cp2ll зависит в общем случае от двух параметров:
коэффициента расхода (р>г и числа Маха МГ£11. Известно 1151, что при
достаточно густых решетках и малых значениях М^ коэффициент
теоретической работы <р.2„ не зависит от условий течения при входе
в колесо.
Как показали опыты на ступенях холодильных компрес-
соров, работающих при М„ = 1,0ч- 1,6 и МГ11( = 0,74-1,05, вслед-
ствие сильного влияния сжимаемости и возникновения в каналах
колеса сверхзвуковых течений при фиксированных значениях <p2f
наблюдается снижение <р2и с ростом MWi. Поэтому зависимость
для коэффициента теоретической работы следует представлять
в виде
Ч2и /Й..,- MJ. (3.18)
Эту характеристику можно получить по результатам обычных
исследований ступени без ВРА с измерениями только статиче-
ских давлений и затем, сделав допущение, что при регулирова-
нии закруткой потока на входе вследствие значительной густоты
решетки эта характеристика останется неизменной, использовать
ее при обработке результатов эксперимента. Выбор независимых
параметров характеристики (3.18) позволяет учесть изменение <раи
при закрутке потока через изменение числа Маха М^,, которое
увеличивается при отрицательных и уменьшается при положи-
тельных углах 0О.
Рассмотрим метод обработки результатов эксперимента, если
известна характеристика ВРА (3.9). Измерены массовый расход G
и статическое давление на выходе из колеса р2. Известны все
параметры в предыдущих сечениях, геометрия колеса и интеграль-
ная характеристика ступени. Из уравнения (3.14) определяем
коэффициент <plu = clu/ait задаем в качестве первого приближе-
90
Pap
Иия коэффициент реактивности колеса Йв_2 и коэффициент тео-
ретической работы (р2и и решаем систему уравнений:
• • п , (3.19)
- <0 г Г-0 .j(,
01 = ) (р.2, Е);
((ir .= G/ (р*Е2ки-гг,
<zDss| [3 (4г)1 (1 — £>f) .
0 J 72_.
Ю-\________________— tfiiiDJ
_________I________ .
* “Ml "V P пр 4~ P ip) '
2,2 2
_ !42r 4- фг« - Уо
(i + Pap + Prp) — 4'lu Pi )
Уравнение (3.19) получено непосредственно из определения
коэффициента реактивности и связывает перепад энтальпий
в рабочем колесе с полной удельной работой ступени i —
В системе (V) безразмерные геометрические параметры,'име-
ющие сверху черту, получены делением на D3, а безразмерная
плотность — делением на р*. Заметим, что при принятой плот-
ности приведения безразмерная плотность р2 совпадает по вели
чине с коэффициентом изменения плотности ЛСн, 2.
Если исследуемая ступень не имеет ВРА, то результаты экспе-
римента также обратываются по системе (V), с той лишь разни-
цей, что в последних трех уравнениях следует принимать <р1ц =
= 0. По результатам таких исследований устанавливаются за-
висимости <jp2u = / (ф2г> Ми) И Мда, = / (<р2г> М«), которые позво-
ляют отыскать зависимость (3.18), необходимую для расчетов сту-
пени с закруткой потока.
Если характеристика ВРА (3.9) неизвестна, то обработка
результатов экспериментального исследования усложняется, хотя
при машинном счете это практически незаметно. Действительно,
из опыта по-прежнему известны массовый расход и статическое
давление, но параметры в сечениях Он 1 подлежат определению.
Это приводит к увеличению числа уравнений, входящих в систему.
Перед вычислениями, которые, как обычно, проводятся методом
итераций, необходимо задать в качестве первого приближения
следующие параметры: <р2и, р0, ръ 0Ь Q0_2. После этого решают
систему уравнений, содержащую в себе три вложенные системы,
91
которые должны, в свою очередь, решаться при каждом обращении
к ним во время итераций:
ciu -=
еои — й.АлОоср; Giz = <j/(p0foK); со = I i-'oz ecu‘,
(Via) 4 © II 1! ’ II 4" г-Г" II о1 ll Л II II i| II =-• о 4 £ r.- "" ? ’ l -2° ? 'll S3 чз =1? h= <_ || 11 — Z. ' ” 1 S3 с:Ъ '-ri
(VI6) ^- /(P!, G);
(VI) । S1 . 40_l To — Ti ( (’ Pi = /(i’i, si);
— j/ I'lr ; ' й — f (Pl J’lV. Л1 ц,,— Ш]/Щ ,
4 ---; «О : "0
ра = /(р2, г-2);
фо, = <//(р2^2к“2);
_ а£М [3/(4z)]Q - P2t) .
Йф2г! р2
_________0,172________.
Р Ю’фо/МфЗи — ф1ИР1)
<Ь, = f (ф-2, , М,,);
Ф5г + Ф'2и ~ Ф0
2 ( I + f-пр + Ртр) (<f2u — Ф1«О1)
D1 [ «2 (1 4- Pup + Ртр)]
(VIb)
Как видно, имея зависимость (3.18), можно в рамках сделан-
ных допущений определить значения углов 0О и 9Ь а также дру-
гие параметры потока в этих сечениях, не имея данных о харак-
теристике ВРА. Это позволяет намного сократить объем спе-
циальных экспериментальных исследований и ограничиться изме-
92
рениями только статических давлений в характерных сечениях
проточной части 0 и 2.
При отсутствии данных о потерях на участке 0—1 приходится
принять движение газа на нем изоэнтропны.м. Тогда система (VI)
упрощается за счет изъятия уравнений, помеченных знаком (*),
а при определении р( полагают s, = s0.
Наличие одновременно двух опытных характеристик (3.9)
и (3.18) может быть при необходимости использовано для опре-
деления коэффициента уменьшения момента количества движения
на участке 0—1 при закрутке с помощью ВРА. В этом случае
параметры потока при выходе из входного устройства (сечение 0)
определяют так, как показано выше. Затем решают систему
уравнений, отличающуюся от системы (VI) тем, что из нее исклю-
чены все уравнения, начиная со второго (для определения с(,„)
и кончая уравнением для определения ф0. В итоге будет получено
значение с11(, отличающееся от вычисленного по формуле (3.14).
Анализируя результаты подобных расчетов, можно учитывать
изменение с1и за счет уменьшения момента количества движения
введением поправочного коэффициента /гТГо , = f (^с. М,«), с
учетом которого формула (3.14) примет вид
Гр, kjp" CquDqcp/Dy.
Расчет параметров при решении прямой задачи возможен,
если известны характеристики рабочего колеса по коэффициентам
теоретической работы [выражение (3.18)1 и потерь
Ми.(). (3.20)
Особенность решения прямой задачи состоит в том, что все
параметры при входе в колесо (сечение 0) и на лопатки (сечение 1)
известны, а все параметры при выходе из колеса подлежат опре-
делению. Поэтому предварительно определяют угол натекания
потока на входные кромки лопаток колеса О — 0V, — Р,, коэффи-
циент потерь в рабочем колесе по зависимости (3.20) и потерянную
работу в колесе 1Га = £/>-.’'^ 2. В качестве первого прибли-
жения принимают р2, ((.1и и находят удельную работу сту-
пени I = (<fL>(( — (piwD|) (1 4- рп„ 4- ртр) «1, причем для начала
допустимо принять рпр = рТ|) = 0. Затем решают систему урав-
нений:
(Vila)
(VII)
i-l — I» ~Г ^0-2^
т2 = /(р.,, G);
рг = f (it, s2);
<p,r == G/(p2F2Ku2);
ф2« = /(ф2л>
93
(VII)
R aDss г (3 (42)1(1-D?) .
Pnp ~
в O'1?2
Tp КЯфглМф!!/ — Ф1И51)’
__ I _ _______Ф2г + f2u ~ фр_______ .
2 (1 -p Pnp 4“ Ртр) (ф2и Ф1И^А
' 41 рпр + рТр) (ф2и - <F1UO1) ui.
После решения систем уравнений (V)—(VII) определяют из
известных соотношений коэффициент ф2 и абсолютную скорость
потока при выходе из рабочего колеса:
ф2 .= у ф|г <р|и; с2 = ф2и2.
Число Маха по абсолютной скорости при выходе из колеса
М =______------
Сг (р2, Та)
Углы выхода потока из колеса в абсолютном движении и входа
в диффузор:
а2 = arctg (ф2,/ф2,); а? = arctg tg a2) • (3.211
Статическое и полное давления при выходе из колеса:
р2-/(р2, Ту i'2 ==i'H + l-, = s2). (3.22)
Безлопаточный диффузор
Безлопаточный диффузор всегда имеется в центробежном ком-
прессоре или в виде самостоятельного диффузора, или в виде
безлопаточного кольцевого участка, предшествующего лопаточ-
ному или канальному диффузору. Если радиальная протяжен-
ность кольца невелика, то кольцевой безлопаточный участок
можно рассматривать совместно с лопаточным или канальным
диффузором, однако в этом случае все потери правильнее опре-
делять в зависимости от угла натекания потока г3 и числа Маха Мс,
по абсолютной скорости при входе на лопатки. Для определения
этих величин все равно необходимо оценить изменение параме-
тров при движении газа по кольцевому безлопаточному участку,
которое может быть значительным, особенно если его ширина
больше ширины колеса Ь2. В последнее время в холодильных цен-
тробежных компрессорных машинах получили распространение
комбинированные диффузоры, представляющие собой сочетание
довольно протяженного безлопаточного диффузора и лопаточного,
у которого Da =1,4. В этом случае каждый диффузор должен
рассматриваться отдельно и коэффициенты потерь следует оце-
нивать по кинетической энергии при входе в каждый диффузор.
94
Обработка результатов экспериментального исследования про-
водится в зависимости от объема выполненных измерений. За
основу по-прежнему принимают случай, когда измеряются только
статические давления.
Допустим, что измерены статические давления при входе (р?)
и выходе (р3) из безлопаточного диффузора. Из ранее выполненных
расчетов известны все параметры в предыдущих сечениях. В этом
случае недостает данных по уменьшению момента количества
движения за счет трения вращающегося потока о стенки. Коэф-
фициент йтр, учитывающий это уменьшение, или принимают из
опытных данных по исследованию безлопаточных диффузоров,
или вычисляют по формуле Эккерта
йтр=1 +A(Ditl-Di)/(86itgai),
где К = 0,02ч-0,04 — коэффициент трения; D — диаметр; b —
ширина диффузора в меридиональном сечении; а — угол потока
в диффузоре; i — номер сечения диффузора; если в ступени ло-
паточного диффузора нет, то рассматривается участок 2—4,
и тогда вместо £)i+1 нужно подставить Di+2.
В первом приближении принимают р3 = р2 и решают следу-
ющую систему уравнений:
tga3=^pA-g-tga2; (3.23)
__ , D2b2 sin р2 .
(VIII) 2D3ba sinaaTT’
== (к ^’з/2,
Р.З -= Кр.» РФ
В уравнении (3.23) системы (VIII) всегда /гч, > 1, так как
уменьшение момента количества движения вследствие трения
о стенки приводит к увеличению угла потока в диффузоре. Отно-
шение плотностей, наоборот, всегда меньше единицы, так как
плотность р;1 при выходе из безлопаточного диффузора выше
плотности р2 при входе в него. Это вызывает уменьшение угла
потока в диффузоре, особенно ощутимое при высоких значе-
ниях Мс-3. Учитывая противоположный характер влияния трения
и сжимаемости, в отдельных случаях при средних значениях Мг,
допустимо считать, что эти два фактора компенсируют
друг друга, и определять угол потока по второму из уравнений
(3.21).
Второе уравнение системы (VIII) получено из равенства рас-
ходов во входном и выходном сечениях.
Полученных из решения системы данных достаточно для
определения недостающих параметров; безразмерной скорости <р3 =
= с31и2, температуры и энтропии газа при выходе из безлопаточ-
95
ного диффузора, его коэффициента потерь, числа Маха и давле-
ния торможения:
Л = f (р»' hY *3 = f (Л- Pji
- ( S’ — « ) Т3~Т-2 М — Сз •
1 ’3 Ь2-’да in (Тз/П) ’ ‘1г‘ мрз, л»’
Рз=/0'к, «»)• (3.24)
Здесь и в дальнейшем принято, что внешним теплообменом в цен-
тробежном компрессоре можно пренебречь, вследствие чего всюду
за колесом i) = i'K, где / 2 — номер сечения.
Если в дополнение к статическим давлениям измеряется угол
потока при выходе из безлопаточного диффузора ая, то обработка
экспериментальных данных сводится к решению системы (VIII),
из которой исключается уравнение (3.23). Остальные параметры
находятся так же.
Заметим, что если кроме p:t и а3 измерять еще и полное давле-
ние при выходе из диффузора рз, то можно оценить погрешность
в определении поправок на трение и протечки. Если они найдены
правильно, то расчетное полное давление, вычисленное по тре-
тьей из формул (3.22), должно совпадать с измеренным. При зна-
чительной разнице величина 1 4- fJlip — (JTp может быть полу-
чена итеративным решением системы уравнений, содержащей
системы (V), (VIII) или (VII), (VIII). Действуя таким образом,
можно оценить только сумму поправок, а не каждую из них
в отдельности.
При решении прямой задачи расчеты также следует проводить
в зависимости от объема имеющихся экспериментальных и рас-
четных данных. Если известна только зависимость коэффициента
потерь в безлопаточном диффузоре s2_s = / (<z2, ЛЕД, то, поль-
зуясь ею и результатами расчетов для предыдущего сечения (при
выходе из колеса), можно найти потерянную работу /г„_, —
= 2 и, приняв в первом приближении р3 = р>, решить
систему уравнений:
(IX)
tga3 = ^pA±ltgaj:
sin a2 Р->
сч — с» * ~ ;
- Ра(>з sin а3 рз
l, = i * - d/2\
7з= f (Pr 1'з);
Рз = /(Ь- S3).
Угол натекания на лопатки диффузора, если он расположен
за безлопаточным диффузором, определяется по обычной формуле
гз = “зл — аз, а остальные параметры — как и раньше.
96
Если дополнительно известна зависимость а3 = / (а?, Мс),
то система (IX) упрощается за счет изъятия первого уравнения,
так как угол выхода а3 можно определить перед ее решением.
При малой протяженности безлопаточного диффузора, распо-
ложенного перед лопаточным, и отсутствии данных о потерях
в нем иногда принимают; движение газа изоэнтропным. Для
этого из системы (IX) необходимо исключить четвертое и пятое
уравнения, а в шестом положить s3 = s2.
Лопаточный диффузор
При обработке результатов экспериментального исследования
возможны несколько вариантов.
Если измерении только статические давления при входе и
выходе из лопаточного диффузора, необходимо определить расчет-
ным путем угол выхода потока, который будет отличаться от
лопаточного угла выхода:
«4 = «4 эф — (3-25)
где а4эф = arcsin [F4f/(nD464) ] — эффективный угол при выходе
из лопаточного диффузора; Fie = г^аф^ — суммарная площадь
выходных сечений межлопаточных каналов лопаточного диф-
фузора; 24 — число лопаток диффузора; «4 — диаметр окруж-
ности, вписанной в выходное сечение межлопаточного канала;
Ь4 — ширина при выходе из диффузора в меридиональном сечении.
Угол отставания потока можно определить, например, поэкспе-
риментальной зависимости, полученной Хоуэллом при исследо-
ваниях плоских решеток [1 ]
ба4 = /(«эФ, MJ. (3.26)
Затем, приняв для начала р4 = р3, необходимо решить систему
уравнений:
(X)
с D3b3 sin а3 рэ .
3 DA sin а4 р4 ’
/4 = — с42/2;
= ч)-
Далее следует найти недостающую безразмерную скорость
<р4 = с4/и2, температуру Т4 = / (р4, /Д, энтропию $4 — / (р4, Т4),
коэффициент потерь лопаточного диффузора и число Маха:
Если в дополнение к статическим давлениям измеряется угол
потока а4 в выходном сечении лопаточного диффузора, то нет
необходимости в определении 6а4 по эмпирическим зависимостям,
а в остальном расчет проводится так же, как и в предыдущем случае.
Для решения прямой задачи должна быть известна зависимость
коэффициента потерь лопаточного диффузора от угла натекания
на лопатки и числа Маха при входе:
$3_4 = f(i3, МСа). (3.27)
7 Н. Н. Бухарин
97
Тогда, зная параметры при входе в лопаточный диффузор,
необходимо определить значение £3_4 по зависимости (3.27) и
потерянную работу /г,_4 = £з_4с|/2. Далее по формуле (3.26)
или (3.25) или по зависимости вида = f (i3, Мг>) следует опре-
делить угол потока при выходе из диффузора и, приняв в первом
приближении р4 = р3, решить систему уравнений, подобную
системе (IX):
_ РзЬз sin a8 рз .
1 3 D4fe, sin a1 p4 ’
—- lK C4/2,
(XI)
т4 — f(Pi> ч);
s4 = «3 + ^3-4
ln(T4/T8) .
T4 - T3 ’
p4 = f(i4, s4).
Недостающие параметры находятся после решения системы
(безразмерная скорость, числе Маха, полное давление при вы-
ходе из лопаточного диффузора):
(f,4 = c4/u2; МС4 = c4/[a4 (р4, Т4)|; р4 -= f (i’k, s4).
Представляет определенный интерес случай, когда число изме-
рений статического давления ограничено и измерены только р2
и pt, а никаких сведений о сечении 3 нет. Когда радиальная про-
тяженность безлопаточного диффузора достаточно велика, течение
в нем уже нельзя принимать изоэнтропным, однако процес 2—3
в этом случае можно считать отрезком политропы процесса 2—4,
характер которой можно установить на основе имеющихся изме-
рений. Для этого сначала решают систему уравнений, отлича-
ющуюся от системы (X) тем, что первое уравнение имеет вид
D2&2 sin a2 Ра
4____2 D4b4 sin a4 p4
Затем находят все параметры при выходе из лопаточного диф-
фузора. Далее в первом приближении принимают s3 = s2 и ре-
шают систему уравнений:
Ig аз — ^тР &з tg “2!
, . Dibi sin a2 P2 .
(ХНа) <1 — ^2 D^3 sinag"^"’
(XII) «3 = «к - 4/2;
Рз Ss);
Ts — flht s3);
- с I (с _ с ) 1п (Т’з/7’»)
S3 - «а Ч- 1S4 Sj) 1п •
98
Полученных из решения этой системы данных достаточно
для определения <р3, МСз и а3. При определении коэффициента по-
терь на участке 2—4 потерянную работу лучше относить к кине-
тической энергии при входе на лопатки и оценивать в зависимости
от угла натекания i3 и числа Маха МСз, так как определять про-
тяженность характеристики по расходу будет именно лопаточный
диффузор:
v z ч Л — т2
t2-4 — VS4 — S2j , 2/ ч
(Сз/2) I" (Л/Г2)
Решение прямой задачи, если известен вид зависимости для
коэффициента потерь £2_( = f (t3, МСз), приводит к несколько
более сложной системе уравнений, так как сначала для определе-
ния £2_4 надо знать параметры потока при входе в лопаточный
диффузор. Принимают в первом приближении р3 = р2 и = s2
и решают систему, содержащую, в свою очередь, две вложенные
системы:
(
(ХШа)
(ХШ)
(XI Пб)
___ D2b2 sin а2 р2 .
сз — е1 £)3fc3 sjn аз рз >
1’3 — 1к — <?з/2;
р3 = /('з, 5з);
Т’з — f (Рз, £'з); я3 = / (рз, Тз); МСа = с3/а3;
1з -= азл — аз; ?2—4 = f (*з. МСз);
/,2_. = ?2-4Сз/2;
___ Dtb2 sin а2 Рз .
Ci Ci Dtbt sin а4 p4 ’
= Ik — C4/2;
^4= /(P4’ 4);
_ e ! / •n(7'4/T2).
S4 — S2 -t- /r,_3 Ti_T2 ’
Pt'—fiht s4),
s _ s ! /s — s \ In (TslPj) .
S3 —S2-t-(S4 St) ln(T4/T3)
Решение осуществяется итеративным путем до получения схо-
димости по s3 с требуемой точностью.
Обратный направляющий аппарат
Между диффузором и входными кромками лопаток обратного
направляющего аппарата (ОНА) находится участок радиально-
кольцевого поворота 4—5, с помощью которого поток подводится
7* 99
к решетке ОНА. Учитывая, что в большинстве конструкций ОНА
скорость и углы потока при входе (с4, а4) и перед лопаточной ре-
шеткой (с5, а5) близки по величине, а числа Маха М6, обычно не
превышают 0,3—0,4 и влияние сжимаемости на работу ОНА не-
значительно, оба участка рассматривают как один элемент проточ-
ной части, а все потери при определении коэффициента потерь
можно отнсти к скорости с4.
Обработка результатов экспериментального исследования, если
известны только статические давления р4, рв, проводится по
существу так же, как Для лопаточного диффузора. Чтобы замкнуть
систему уравнений, необходимо знать угол потока ав при вы-
ходе из ОНА. По опытным данным, 6ав*= 3-4-7° [14, 43], однако,
не делая большой погрешности, можно принять ав = 90°, так
как, даже если взять наибольший угол отставания 7°, синус
угла а6 = 83° будет отличаться от единицы всего на 0,7 %.
Принимают в первом приближении рв = р4 и решают систему,
аналогичную системе (X):
(XIV)
„ _ „ Pjb4 Sin ct4 р4 .
G 4 Dtb, sin at pg ’
= in — cl/2‘,
Ps=f(Pv le)-
Далее определяют температуру Тв = f (pe, ie), скорость звука
а6 = [ (Т6, р6), число Маха М(, = с6/а6 и безразмерную скорость
<рв = са/и2, энтропию se = f (Та, рв) и коэффициент потерь ОНА
?4-6 — (s0 — $1) /.2;9\*1п /г it \ '
(С4/2) 1П (Тб/Т1)
(3.28)
Отметим, что вследствие незначительного изменения скорости
в ОНА может оказаться, что Тв « Т4 и процесс течения близок
к изотермическому. В этом случае коэффициент потерь следует
находить иначе, определяя среднюю температуру процесса как
среднее арифметическое, в результате чего формула для коэффи-
циента потерь примет более простой вид
?4 — 6 — (56 — 54) (Т’б “Г ^4)/с4- (3.29)
О том, какую формулу использовать — (3.28) или (3.29), лучше
всего судить по абсолютной величине 1п(7,в/7’4). Если величина
| In (Tg/TJ I близка к нулю, то следует пользоваться выраже-
нием (3.29).
Если позволяет объем измерений, можно определить ряд до-
полнительных параметров потока в ОНА, выделив участки 4—5
и 4—6, оценить прямо или косвенно параметры потока в сече-
нии 5 и т. д. Системы уравнений и методы расчетов в этих слу-
чаях совпадают с изложенными для безлопаточных и лопаточных
диффузоров при замене индексов термогазодинамических пара-
метров 2, 3, 4 на 4, 5, 6 соответственно.
100
Решение прямой задачи возможно, если известен вид зависи-
мости для коэффициента потерь ОНА, которую, учитывая малые
значения чисел Маха при движении газа в ОНА, можно предста-
вить как функцию только от одного режимного параметра —
угла потока при входе: Ц А = f (а4). Угол отставания потока от
лопаток ОНА при выходе, как уже отмечалось выше, можно при-
нять равным Sae = 34-7°. После этого, приняв в качестве первого
приближения р, = р4, необходимо решить систему уравнений»
подобную системе (XI) для лопаточного диффузора:
(XV)
. _ . Djbj sin «4 р4 .
6 4 D*bt sin a, p, '
*e = Ik — 4/2?
7e=/(pe> 4);
Sg = ~ ИЛИ S$ = S4 -j" T- i
/ < — J 4 ЧТ1 i
Pe = f (An s«)-
Остальные параметры определяют так же, как и в предыдущем
расчете, а давление заторможенного потока при выходе из ОНА
и, значит, при входе во вторую ступень находят по известным
энтропии и энтальпии торможения: рв = f (i*, $б).
Выходное устройство
Выходные устройства компрессора выполняются в виде ули-
ток или кольцевых камер. При обработке результатов экспери-
мента, если измерены статическое давление рк и температура тор -
можения Т*л в выходном сечении, необходимо сначала определить
параметры торможения, решив систему уравнений (I), изменив
индексы в обозначениях термогазодинамических параметров. По
существу этот расчет следует выполнять одновременно с опре-
делением параметров торможения во входном сечении, так как
эти величины необходимы во всех дальнейших расчетах.
Коэффициент потерь выходного устройства находят по фор-
муле (3.28) или (3.29), в которых соответствующим образом изме-
няют индексы при величинах.
При решении прямой задачи необходимо располагать зависи-
мостью для коэффициента потерь выходного устройства £4_к =
= / (®4), с помощью которой определяют потерянную работу
к = &4-к4/2. Затем принимают в первом приближении рк =
= р4 и решают систему, отличающуюся от системы (XV) первым
уравнением, вместо которого следует записать ск = G/(pKFK),
и индексами в обозначениях термогазодинамических параметров.
Все дальнейшие расчеты аналогичны приведенным.
Рассмотренные методы обработки результатов эксперимента
или решения прямой задачи заключаются в решении ряда само-
го 1
Стоятельных систем уравнений, описывающих процессы в отдель-
ных элементах проточной части. При системном подходе к модели-
рованию целесообразно представить расчет параметров в каждом
элементе в виде самостоятельных процедур, чтобы при решении
конкретных задач для различных ступеней записывать в управ-
ляющей программе только обращения к этим процедурам. Преиму-
щество такого подхода очевидно при расчетах многоступенчатых
машин, а также при расчетах отдельных элементов проточной части,
если для них существуют процедуры численного решения урав-
нений газодинамики. В этом случае в результате расчета сразу
получаются все необходимые параметры. Важно, что переход
от одного способа расчета к другому заключается при этом только
в изменении оператора, вызывающего соответствующую проце-
дуру или подпрограмму, а структура всей модели или программы
в целом в основном сохраняется.
3,2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕРМИЧЕСКИХ
И КАЛОРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
ПО ДВУМ ПРОИЗВОЛЬНЫМ ПАРАМЕТРАМ СОСТОЯНИЯ
Для решения систем уравнений, приведенных в п. 1.3, необ-
ходимо определить термические и калорические величины по
любым двум параметрам состояния. Виды таких операций пред-
ставлены в табл. 3.1. Пары па-
раметров, обозначенные звез-
дочкой, уже использовались
ранее при определении неиз-
вестных давления, плотности,
энтальпии, энтропии и скорости
звука, а соответствующие про-
цедуры представлены в гл. 2.
Для определения неизвестных
величин по остальным парам
параметров, представленным в
таблице, необходимо разрабо-
тать алгоритмы решения систем
уравнений, которые входят в
уравнение состояния и уравне-
ния для определения калориче-
ских величин. Для таких систем
характерно наличие ряда огра-
ничений, накладываемых на диапазон изменения параметров
при итерациях. Особенно важно учитывать эти ограничения при
определении параметров точек, расположенных в непосредствен-
ной близости от двухфазной области.
Вспомогательные процедуры. Сначала рассмотрим две вспо-
могательные процедуры, которые будут использованы в теле основ-
ных процедур. С их помощью определяют параметры на границах
двухфазной области.
102
Таблица 3.1
Виды операций по определению
параметров состояния
з
я
ш Я

Ос
Р
Т
Р
з
а
Пары известных параметров
I, з
Р. «
Р> ‘
Т, з
р, i
р, Т*
Р. Т(*)
р, i
р, Т (*)
Р, s
t, s
Т, з
Р. Г (*)
р, Т( *)
I, s
Р, т (*)
Для нахождения температуры й давления насыщения rto пло/rt-
ности сухого насыщенного пара применяют процедуру:
01. ‘PROCEDURE’THPHROH(RO,T,P);'VALUE’RO;‘REAL’RO,T,P; 1
02. ‘BEGIN’-REAL’RO1,P1,T1 ;‘ARRAy’T2,DRO[0:2];‘ INTEGERS;
03. ‘IF’RO‘GT’ROKP‘THEN’‘BEGIN’‘PRINT’“(!OX,58H В ПРОЦЕДУРЕ
04. THPHROH ЗАДАННАЯ ПЛОТНОСТЬ БОЛЬШЕ КРИТИЧЕСКОЙ)”;
05. Р1:=РКР;Т1:= TKP;‘GOTO’M1;-END’;T2[01: = 153; Т2[2]:= ТКР;
06. МО: Т2[1]:=(Т2[0]+Т2[2])/2;
07. 'FOR’J:=0'STEP’lUNTIL’2-DO’-BEG[N”Tl-.=-T2(J];PHAC(Tl,Pl),
08. WI(T1,P1,ROI);DRO[J]:=RO—RO1;’END’;
09. ‘IF’DRO[0]*DRO[1]‘LT’0‘THEN’T2[2]:=T2(1]‘ELSE’T2[0):=T2[1);
10. ‘IF ABS(T2[0]— T2[2J)‘GT’.0001 ‘THEN’*GOTO’MO;
11. Tl;=(T2[0)+T2[2J)/2;
12. M1:P:=P1;T: = T1;‘END’ ПРОЦЕДУРЫ THPHROH;
(3.30)
Эта процедура служит для нахождения параметров в первом
приближении при решении систем уравнений в других процеду-
рах, хотя в принципе может иметь и самостоятельное значение.
Поэтому в начале ее проводится сопоставление заданной плот-
ности с критической, которая должна быть объявлена глобально
и введена с массивом исходных данных. Если заданная плотность
оказывается выше критической, то искомым давлению и темпе-
ратуре присваиваются критические значения, которые будут
использованы в качестве первого приближения, а на листинге
печатается предупреждение, которое может в дальнейшем оказать
помощь в диагностике. При этом счет не прерывается. Используя
эту процедуру для других целей, надо или-ввести в ее тело необ-
ходимые изменения, или сопоставлять заданную и критическую
плотности до обращения к ней.
Поиск решения ведется с учетом того, что давление в уравне-
нии Планка—Риделя (1.84) в явном виде разрешено относительно
температуры и может быть найдено с помощью процедуры PH АС (Т,
Р) 1см. (1.88)]. Поэтому решение приходится искать итеративным
путем, определяя каждый раз по температуре насыщения давле-
ние насыщения, а затем, пользуясь процедурой Ш1(ТП,РП,
РОП) [см. (1.59)], плотность насыщенного пара, которая сопо-
ставляется с заданной. В процедуре THPHROH поиск решения
ведется методом половинного деления — наиболее удобным в тех
случаях, когда заранее известны пределы изменения варьируемых
параметров. Верхнее значение температуры насыщения всегда
равно критической температуре, а нижнее задается для каждого
вещества индивидуально (или в пределах области определения
уравнения состояния, или в соответствии с потребностями кон-
кретного расчета).
При определении параметров по давлению и энтальпии может
оказаться, что задаваемая энтальпия будет меньше, чем энталь-
пия насыщенной жидкости. Это означает, что искомая точка рас-
положена в области жидкости с температурой ниже температуры
насыщения. Ее параметры можно найти, если сделать часто при-
меняемое допущение о том, что в области жидкости изобары при
103
Давлениях ниже критического практически совпадают с левой
пограничной кривой. Тогда температуру жидкости при известной
ее энтальпии можно определить как соответствующую темпера-
туру насыщения. Это реализуется в процедуре:
01. ‘PROCEDURE’THACIX(IX,THAC);‘VALUE’IX;‘REAL’IX,THAC; 1
02. ‘BEGIN’ REAL'3X; INTEGER’J;'ARRAy’TH,DI)K[0 : 2];
03. IXHflK(TKP,3>K);'IF’IXGT’3X‘THEN’-BEGlN’‘PRINT’-‘(10X,
04. 55Н В ПРОЦЕДУРЕ ТНАС1Ж ЗАДАННАЯ ЭНТАЛЬПИЯ
ВЫШЕ КРИТИЧЕСКОЙ)”;
05. THAC:=TKP;‘GOTO’M1;‘END’;TH[0]:= 153;ТН [2 ] := Т КР;
06. М0:ТН[1]:= (TH [OJ+TH ]2])/2;
07. ‘FOR’J:=OSTEP’1UNTIL’2‘DO’‘BEGIN’
08. 1ЖИДК(ТН[Т],ЭЖ);О1Ж1Л:=1Ж—ЭЖ;‘ЕЦЦ’;
09. 'IF’DDK[0]*DW[l]‘Lr0‘THEN’TH[2]:=TH[l]ELSE’TH[0T-=
= TH [I ];
10. ‘IF’ABS(TH [0]— TH[2])‘GT’.001‘THEN’‘GOTO’M0;
11. THAC:=(TH[0]+TH(2])/2;
12. M1:‘END’ ПРОЦЕДУРЫ ТНАС1Ж;
(3.31)
, Здесь также в начале производится сравнение заданной энталь-
пии жидкости с критической. Если она оказывается больше, то
печатается предупреждение, а искомой температуре насыщения
присваивается критическое значение. Счет не прерывается. Про-
цедура ТНАС1Ж реализует решение уравнения для энтальпии
жидкости относительно температуры насыщения. Энтальпия
жидкости определена в процедуре 1ЖИДК(Т,ЭЖ) [см. (1.95)].
Решение проводится итеративно методом половинного деления.
Определение параметров по давлению и энтальпии. Рассмо-
трим случай, когда необходимо определить плотность, темпера-
туру и энтропию вещества в точке, для которой известны давление
и энтальпия. Анализ систем уравнений показывает, что наиболее
часто по этим двум параметрам требуется находить плотность,
потом температуру и значительно реже энтропию. Так как неза-
висимыми переменными в уравнениях состояния (1.32) и энталь-
пии (1.35) являются температура и плотность и для определения
одной величины обязательной надо привлекать другую, то эту
задачу целесообразно решать в одной объединенной процедуре:
01. ‘PROCEDURE’TROP3(P,3,T,RO);‘VALUE’P,3;‘REAL’P,3,T,RO;
02. BEGIN’'REAL’DT.Tl,31,Э2)ЭЖ,ОЭ,КО1,РОЖ, ROH,СТСУХ;Ш:=50;
03. ‘IF’P‘GT’PKP’THEN’‘BEGIN’T1: = TKP;'GOTO’MO;'END’;
04. THAC(P,T1);IPT(P,T1,31);‘IF’3‘LT’31 THEN"GOTO’M1;
05. M0 : nJI(Tl,P,ROl)IROT(ROl,Tl,31);D3:=3—31;‘IF’D3 LT’O'THEN’
06. ‘BEGIN’T1: = T1—DT;DT:=DT/5;T1:=T1 + DT;’GOTO’MO;
‘END’‘ELSE’
07. ‘IF’.0001‘GE’D3 THEN’«GOTO’.M3 ELSE’‘BEGIN’T1-.TI+DT;
08. ‘GOTO’MOj'END;’
09. М1:1ЖИДК(Т1,ЭЖ);‘1Е’Э‘СТ’ЭЖ THEN‘‘GOTO’M2;
10. СТСУХ: = (3 -ЭЖ)/(Э1 -ЭЖ) ,ПЛ (T1 ,P, ROH) ;ПЛЖИД K(T 1, РОЖ);
11. ROl:=l/(l/ROX+CTCyX*(l/ROn—1/РОЖ));’аОТО’МЗ;
12. М2:ТНАС1Ж(Э,Т1);ПЛЖИДК(Т1,КО1);
13. M3:T: ~T1 ;RO;--RO1 ;‘ЕХО’ПРОЦЕДУРЫ TROP3;
(3.32)
104
Поиск решения ведется по-разному в зависимости от До го,
в какой области диаграммы состояния находится заданная точка.
Если заданная точка А (рис. 3.4) лежит в области перегретого
пара, то используют часть процедуры, расположенную между
метками МО и Ml. Предварительно оценивают температуру пер-
вого шага Ть которая для перегретого пара не должна быть ниже
температуры насыщения. В противном случае расчет выйдет из
области определения уравнения состояния, в результате чего
или зацикливается задача, или происходит аварийный останов
машины из-за переполнения арифметического устройства. Если
Рис. 3.4. Определение температуры по давлению,
плотности и энтальпии
заданное давление р оказывается выше критического ркр, то
температуру первого шага Тг принимают равной Т^р, в против-
ном случае с помощью процедуры ТНАС(Р,Т) находят темпе-
ратуру насыщения 7\ = Тнас при данном давлении, соответ-
ствующую точке Б (рис. 3.4), которая и принимается в качестве
начальной при итерациях.
Чтобы установить, находится ли искомая точка А в области
перегретого пара, здесь же с помощью процедуры 1РТ(Р1,Т1,Э)
[см. (1.61)] определяют энтальпию сухого насыщенного пара I"
в точке Б. Если заданная энтальпия меньше энтальпии насыщен-
ного пара, то искомая точка соответствует или влажному пару
(точка В), или жидкости (точки Г и Д). и управление передается
оператору с меткой Ml. В противном случае искомая точка А
лежит в области перегретого пара или (предельный вариант)
на правой пограничной кривой и совпадает с точкой Б. Тогда
управление передается оператору с меткой МО и поиск решения
далее ведется шаговым методом, который заключается в следу-
ющем. С помощью процедуры 1РТ(Р1,Т1,Э) [см. (1.61)] при
заданном давлении р и начальной температуре 7\ находят теку-
щее значение энтальпии вещества и разность Di = i — (D3)
между ее заданным и текущим значениями. Если эта разность
105
больше нуля и больше допустимой погрешности в определении
энтальпии, то текущую температуру наращивают на величину
шага DT (DT) и расчет повторяют снова, начиная с МО. При
этом последовательно определяются Тк = Тк + DT, ih. При
следующих двух шагах находят Tk+1 = Th + DT, и ТЛ+2 =
— Tk+t + DT, ih+,. Если D3 < О, то текущая температура ока-
залась выше фактической. Тогда , ее уменьшают на величину
шага DT, сам шаг делят на целое число (DT/N) и текущую тем-
пературу снова наращивают — на этот раз на величину умень-
шенного шага DTIN. Этому случаю соответствуют значения Тк+3
и ifc+s. Такой процесс повторяется до тех пор, пока значение D3
не станет меньше допустимой погрешности определения энтальпии,
после чего работа процедуры заканчивается. Как видно, подход
к точке А осуществляется при таком поиске решения со стороны
более низких температур. Этого можно избежать, переместив
оператор сравнения сразу после определения величины D3, однако
в этом случае сравнивать надо абсолютную величину D3, а воз-
можная погрешность в определении энтальпии будет вдвое больше
значения, заданного в операторе сравнения.
Чтобы определить, лежит ли искомая точка в области влажного
пара, оператор с меткой Ml сразу находит энтальпию насыщенной
жидкости с помощью процедуры 1ЖИДК(Т,ЭЖ) 1см. (1.95)].
Если заданная энтальпия меньше энтальпии насыщенной жидко-
сти, то управление передается оператору с меткой М2. Если нет,
то искомая точка В лежит на отрезке изобары БГ. Степень сухо-
сти влажного пара в точке В находят из известного выражения
Хв = (»в - -- *").
после чего определяют плотность влажного пара
__________________________________1_________
Рв ~ 1/р'— хв(1/р" — Vp') ’
где Г, i", iB и р'. р", рв — энтальпии и плотности насыщенных
жидкости, пара и влажного пара соответственно.
Температура в этой точке, очевидно, равна температуре насы-
щения для чистого вещества.
Наконец, если искомая точка Д лежит в области жидкости,
то с помощью процедуры ТНАС1Ж(1Ж,ТНАС) [см. (3.31)1
находится ее температура, принятая равной температуре насы-
щения жидкости с энтальпией, равной заданной, а с помощью про-
цедуры ПЛЖИДК(ТЖОЖ) [см. (1.87)] — плотность жидкости.
Если одновременно с температурой и плотностью необходимо
знать энтропию, то следует воспользоваться процедурой:
01. ‘PROCEDURE’SROTP3(P,3,S,RO,T);‘VALUE’P,3;‘REAL’P,3,S,RO,T; 1
02. ‘BEGIN’1 REAL’T1,RO1,S1;TROP3(P,3,T1,RO1);SROT(RO1,T1,S1);
03. S:=Sl;T:=Tl;RO:=R01;‘END’nPOII.EflyPblSROTP3; j
(3.33)
Здесь используются предыдущая процедура TROP3(P,3,T,RO)
[см. (3.32) ] и процедура определения энтропии по темпера-
106
гуре и плотности SROT(ROS,TS,S). Основное время работы
угой процедуры приходится на TR0P3, поэтому при необходи-
мости одновременного определения s, р и Т с целью экономии
машинного времени и ускорения получения решения следует
зразу обращаться к процедуре SROTP3, так как она все равно
вызовет процедуру TR0P3.
Определение параметров по плотности и энтальпии. Для опре-
деления температуры в точке, для которой известны плотность
и энтальпия, можно применить процедуру:
01. PROCEDURE’TRO3(RO,3,T);‘VALUE’RO,3,REAL’RO,3,T; '
02. BEGIN,‘REAL,31,Tl,Pl,ROn,ROX,3n,3X,CTCyX;‘INTEGER’J;
03. •ARRAy,T2,D3[0:2];‘IF,RO‘GT’ROKP‘THEN,‘BEQIN,Tl: = TKP;
04. ‘GOTO’MO;‘END’;THPHROH(RO,Tl,Pl);IROT(RO,Tl,3n);
05. •IF’3‘ ЬТ’ЭП THEN’‘GOTO’M2;
06 MO:T2[0]: = T1;T2[2]: = 500;
07. Ml:T2[J];=(T2[0]-FT2[2])/2;
08. ‘FOR’J:=0‘STEP’1‘UNTIL’2 DO’‘BEGIN’IROT(RO,T2[J 1,31);
09. D3[J]:=3—31;‘END’;‘IF’D3[0]*D3[ 1 J'LT’O THEN’T2[2]:=T2| 1 ]
10. ‘ELSE’T2[0]:=T2[ 1 J;
11. ‘IF’ABS(T2[0]-T2[2])‘GT’.0001‘THEN''GOTO’M1;GOTO'M4;
12. M?:T2[O]. = 15O;T2[2];=T1;
13. M3:T2[1 ]:=(T2[0]+T2[2])/2;
14. ‘FOR’J :=0‘STEP,1UNTIL’2 DO,‘BEGIN’PHAC(T2[J J,Pl);
15. ПЛ (T2 [J ] ,P1, РОП);ПЛЖИД K(T2 [J J, ROJK);I ROT(ROn,T2 [J ],ЭП).
16. IXHflK(T2[J],3)K);CTCyX:=-(l/RO-l/ROX)/(l/ROtl-l.'ROX);
17. Э1:=ЭЖ+СТСУХ*(ЭП- 3X);D3[J]:=3- 31;‘END’;
18. ‘IF’D3[0]*D3[l]'LT’0'THEN’T2[2]:=T2[l]‘ELSE’T2[0]:=T2[l];
19. ‘IF’ABS(T2[0]— T2[2})-GT’.0001‘THEN'‘GOTO’M3;
20. М4:Т:=(Т2[0]4-Т2[2])/2;‘Е1ЧО’ПРОЦЕДУРЫТРОЭ; ।
(3.34)
Эта процедура работает в двух областях диаграммы: в области
перегретого пара, включая линию насыщения, и в области влаж-
ного пара.
Если плотность в искомой
точке выше критической ркр,
то минимальная температура
при итерациях принимается
равной Тцр.
Если искомая точка А с
температурой ТА и энтальпией
iA (рис. 3.5) лежит в области
перегретого пара и задается
плотность р < ркр, то минималь-
ная температура равна темпе-
ратуре насыщения В точке Б, р((с 3.5 Определение температуры по
определяемой с помощью про- плотности и энтальпии
цедуры THPHROH(RO,T,P)
[см. (3.30) 1. Чтобы проверить положение заданной точки, с по-
мощью процедуры IR0T(R0I,TI,3) [см. (1.60)1 определяют
энтальпию насыщенного пара в точке Б. Если заданная энталь-
пия меньше, чем энтальпия насыщенного пара, то искомая точ-
ка лежит во второй области — двухфазной (точка В) и управле-
107
нйё передаётся оператору с меткой М2. Поиск решения в области
перегретого пара осуществляется операторами, расположенными
между метками МО и М2, методом половинного деления. Верх-
ний предел температуры принят равным 500 К, но в общем
случае должен устанавливаться индивидуально.
Если искомая точка В (рис. 3.5) находится в области влажного
пара, то поиск решения сводится к определению той температуры
насыщения Т в, при которой линия постоянной плотности влаж‘
ного пара р пересечется с линией постоянной энтальпии I. Для
этого необходимо решить систему уравнений:
(XVI)
pB~f(TBy, p' = f(TBy, Г = f(TBy
p" =f(TB, рву, i" = f(p", тву,
*в = (1/рв - 1/р')/(1/р" - 1/р');
1В = + ХВ — О-
Операторы процедуры TRO3, заключенные между метками М2
и М4, осуществляют поиск решения этой системы (также методом
половинного деления).
Определение параметров по температуре и энтропии. Рассмо-
трим определение термодинамических параметров, если известны
температура и энтропия. Основной является процедура, опреде-
ляющая плотность вещества:
01. ‘PR0CEDURE’R3TS(T,S,RG);VALU£’T,S;REAL'T,S,R0;
02. ‘BEGIN’‘REAL’ ROt , ROM,ROH,Pl ,S1 ,S>K,Sn,DRO;
03. ‘IF‘T‘GT’TKP‘THEN’‘BEGIN’RO1:=ROKR;DRO:=RO1:’
‘GOTO’MO;‘END’;
04. PHAC(T,Pl);SPT(Pl,T,Sn);‘IF’S‘LT’Sn THEN’‘BEGIN’
05. 5ЖИОК(Т,5Ж):ПЛЖИДК(ТЖОЖ);ПЛ(Т,Р1ЖОП);
06. СТСУХ —(S—5Ж)/(5П—5Ж);
07. RO1:= 1/(1 ЖОЖ+СТСУХ*(1/РОП— 1ЖОЖ));‘СОТО’М1 ;‘END’;
08. СТСУ X := 1 ;ПЛ(Т 1 ,Р1, RO1);DRO:= RO1;
09. M0:SROT(ROl,T,Sl);‘IF’ABS(Sl—S)‘LT’.00001‘THEN’‘GOTO’Mt
10. ELSE’IF’(S1 —S) LT’O THE\”‘BEGIN’RO1 —RO1—DRO’;‘GOTO’MO
11. ‘END’‘ELSE’‘IF’(SI—S)‘GT’0THEN’‘BEGIN’ROl:=ROl-)-DRO;
12. DRO: = DRO/2;RO1: — RO1—DRO;GOTO'MO;‘END’:
13. Ml :RO:= RO1 ;‘END ПРОЦЕДУРЫ ROTS;
(3.35)
Эта процедура работает как в двухфазной области (влажного
пара), так и в области перегретого пара, ограниченной правой
частью пограничной кривой и критической изохорой (рис. 3.6).
Последнее ограничение может быть расширено, если после опера-
тора сравнения заданной температуры с критической присвоить
начальной плотности (RO1) значение, большее ркр (ROKP).
Если температура в искомой точке выше критической, то за
начальную плотность принимают ее критическое значение ркр.
Если температура Т в искомой точке ниже критической, то по
ней находят давление насыщения и энтропию Sj — s" в точке Б.
Искомая точка лежит в области влажного пара, если s < Sj
(точка В), и в области перегретого пара, если s > sr (точка А).
108
Поиск решения в области перегретого пара ведется шаговым
методом, который построен так, что является, по существу, ана-
логом метода половинного деления. Первый шаг по плотности
Dp (DRO) равен всему возможному интервалу ее изменения.
В результате определяется точка 2, в которой р2 = Pi — Dp.
Энтропия в этой точке равна s2 и определяется с помощью про-
цедуры SROT(ROS,TS,S) [см. J1.62)]. Сопоставление s, с за-
данной энтропией s обычно показывает, что плотность слишком
мала, после чего ей придается предыдущее значение р — р2 -г-
+ Dp, шаг по плотности уменьшается вдвое (Dp = Dp/2) и опре-
деляется новое /г-е значение плотности рЛ = р — Dp (точка k на
рис. 3.6), для которого при
заданной температуре Т
находится энтропия sk.
Если оказывается, что
sk > s, то цикл повторяется
и определяется новая k Д-
+ 1-я точка с энтропией
sfc+1. При совпадении вы-
численной и заданной энт-
ропий с требуемой точ-
ностью итерации прекра-
щаются. Эта часть проце-
Рис. 3.6. Определение плотности по темпе-
ратуре и энтропии
дуры расположена между
метками МО и Ml.
В области влажного пара, когда энтропия s меньше энтропии
насыщенного пара s", задача сводится к определению степени су-
хости пара, для чего с помощью процедуры 5ЖИДК(Т,5Ж)
находится энтропия насыщенной жидкости s' в точке Г и затем
используется известная зависимость
х = (s — s')/(s" — s').
Плотность влажного пара вычисляют после этого по ранее за-
писанной формуле. Определяемая в процедуре (3.35) степень су-
хости не входит ни в список формальных, ни в список локальных
параметров процедуры и должна быть объявлена глобально, что
вызвано необходимостью использования этого параметра в сле-
дующей процедуре, которая в процессе работы вызывает ROTS.
Иногда наряду с плотностью требуется знать еще и энталь-
пию. Тогда применяют процедуру:
01. ‘PROCEDURE’3ROTS(T,S,3,RO);‘VALUE’T,S;‘REAL'T,S,3.RO;
02. ‘BEGIN’‘REAL'31,3n,3>K.Pl,ROl,ROTS(T,S,ROl);
03. ‘IF’CTCyX‘LT’rTHEN’'BEGIN’PHAC(T,PI); 1РТ(Р1 ,Т,ЭП);
04. 1ЖИДК(Т,ЭЖ);Э1:=ЭЖ-гСТСУХ*(ЭП—3)K)'.'GOTO’MO:END’;
05. IROT(R01 ,Т,Э1):
06. MO:3-.=31;RO~ ROl ; END’nPOIl,EAyPbI3ROTS;
(3.36)
Эта процедура использует предыдущую и работает в. тех же
областях, что и ROTS. Для нахождения энтальпии влажного
пара принимают степень сухости, получаемую в ROTS.
109
Определение параметров по давлению и энтропии. Часто воз-
никает необходимость определения термодинамических параме-
тров вещества в конце изоэнтропного процесса сжатия или расши-
рения. При этом в искомой точке обычно известны давление и
энтропия. Рассмотрим процедуру, которая позволяет решить
эту задачу:
01. ‘PROCEDLIRE’3ROTPS(P,S,3,RO,T);‘VALUE’P,S;‘REAL’P,S,3,RO.T;
02. 'BEGIN’REAL’Tl,DT,Sl,Sn,S}K,31,3n,3»,CTCyX,ROl;DT:=50;
03. IF’P'GT’PKP THEN’ BEGIN’Tl — TKP;‘GOTO’MO;‘END’;
04. THAC(P,Tl):SPT(P,Tl,Sn);‘IF’(Sri—S)‘GT’0'THEN’ ‘BEGIN’
05. 8ЖИДК(Т1,5Ж);1ЖИДК(Т1,ЭЖ);ПЛ(Т1,Р,Р01),1Р0Т(РО1,Т1,ЭП);
06. СТСУХ := (S—5Ж)/(5П—5Ж);Э1 — ЭЖ+СТСУХ *(ЭП—ЭЖ);
GOTO’M2;‘END’;
07. MO:SPT(P,T1,S1);IF’ABS(S1 — S)‘LT’.00001‘THEN’-GOTO’Ml
08. ELSE’‘1F’(S1—S)‘LT’OTHEN’‘BEGIN’TI:=T1+DT;‘GOTO’MO;
‘END’
09. ‘ELSE’‘1F’(S1— S)‘GT’0‘THEN’‘BEGlN’Tl:=Tl — DT;DT:=DT/2;
10. T1: = T1+DT;‘GOTO’MO;‘END’;
II. M1:WI(T1,P,RO1);IROT(RO1,T1,31);
12. М2:3: = Э1;РО:=РО1;Т:=Т1;‘Е№О’ПРОЦЕДУРЫ 3ROTPS;
(3.37)
Процедура (3.37) работает в областях влажного и перегретого
пара и позволяет сразу определить энтальпию, плотность и тем-
пературу вещества в искомой точке. Принцип работы в основном
такой же, как и у процедуры ROTS, с той лишь разницей, что
в области перегретого пара итерации осуществляются по темпе-
ратуре.
Определение параметров по энтальпии и энтропии. В практике
наиболее часто, пожалуй, встречается задача определения термо-
динамических величин по известным энтальпии и энтропии.
Для ее решения предназначена процедура:
01. PROCEDURE’PROT3S(3,S,PP,RO,T);‘VALUE’3,S; )
‘REAL’S S РР RO Т‘
02. ‘BEGIN’‘REAL’31’,t’1,RO1,Z,P1,DT;T1:=150;DT:=(TKP—Т1)/3;
03. МО: 9ROTS(T1,S,31,R01);‘IF’ABS(31—3)‘LE’0001‘THEN’-GOTO’Ml
04. ELSE’HF (31—3)‘LT’0‘THEN’ BEGIN’T1:=T1+DT;‘GOTO’MO;‘END’
05. ‘ELSE’‘1F’(31 — 3)‘GT’0‘THEN’‘BEGIN’Tl:=Tl— DT;DT:=DT/2;
06. T1:=T14-DT;GOTO’MO;‘END’;
07. M1:P(RO1,T1,Z,P1);T:=T1;RO:=RO1;PP:=PI;
08. ‘END’ ПРОЦЕДУРЫ PROT3S;
(3.38)
Так как при использовании уравнения Боголюбова—Майера
s — f (р, Т) и i = f (р, Т), то в качестве величины при итера-
циях принята температура Т (рис. 3.7). Ее начальное значение 7\
задается минимально возможным, а начальное значение шага DT
(DT) выбрано равным одной трети разности критической и на-
чальной температур: DT = (Ткр — 7i)/3. Поиск решения ведется
шаговым методом. Сначала по известным температуре 7\ и энтро-
пии s определяется энтальпия ц в точке 1. Если она оказывается
меньше заданной энтальпии i (точка А на рис. 3.7), то температура
110
увеличивается на величину шага, т. е. 7\ = 7\ ~[-DT, и опре-
деляется энтальпия ik в точке k. Затем цикл повторяется, но
в точке k -|- 1 оказывается, что температура 7\+i стала больше
температуры Т в искомой точке А, так как энтальпия ik стала
выше, чем i. В этом случае температура уменьшается: 7\- =
= 7\+1—DT, шаг делится пополам (DT = DT/2), и по нему
определяется новое значение температуры Т^г = TtA- DT.
В точке k 4- 2 находится энтальпия ift+2 и сопоставляется с задан-
ной. Итерации продолжаются до получения требуемой точности,
после чего с помощью про-
цедуры P(ROP,TP,Z,P) [см.
(1.58)1 определяется давле-
ние.
Отметим, что, как видно
из рис. 3.7, начальные точки
1, k, ... итераций могут ле-
жать в двухфазной области.
Поэтому для успешной рабо-
ты процедуры даже в случае,
когда искомая точка лежит
вблизи линии насыщения в
области перегретого пара,
необходимо, чтобы вызывае-
мые процедуры и, в свою
очередь, ROTS могли рабо-
Рис. 3.7. Определение температуры, плот-
ности и давления по энтальпии и энтропии
тать в области влажного пара. Так как это ранее было обеспечено,
то процедура PROT3S также может работать в областях пере-
гретого и влажного пара.
3.3. СИСТЕМА ПРОЦЕДУР ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ТЕРМИЧЕСКИХ И КАЛОРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ
СОСТОЯНИЯ РЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
Обобщая материалы по определению термических и калори-
ческих параметров рабочего вещества, можно отметить, что на
основе системного подхода удалось создать систему из 26 проце-
дур различного ранга (табл. 3.2), которая позволяет решить прак-
тически все задачи, встречающиеся в термогазодинамических рас-
четах центробежных компрессоров. При этом в случае необхо-
димости могут быть определены и параметры точек, находящихся
в области влажного пара, что особенно важно для центробежных
компрессорных машин, работающих в области слабо перегретого
пара в непосредственной близости от правой пограничной
кривой.
Процедурами первого ранга считаются такие, с помощью ко-
торых необходимые параметры вычисляются только на основе
исходных уравнений и которые не вызывают при работе каких-
либо дополнительных процедур. Этим требованиям удовлетворяют
три процедуры: П — для вычисления оператора, в который на-
111
Таблица 3.2
Система процедур определения параметров состояния
I Ранг | процедуры Идентифи- катор процедуры Номер про- цедуры в тек- сте Идентификаторы вызываемых процедур Па{ известные )аметры определяемые
1 п плжидк РНАС (1.57) (1.87) (1.88) — P. T Гнас Гнас п [*;;] Р' Риас
о р IROT SROT CVROT CPROT KH3ROT ТНАС (1.58) (1.60) (1.62) (1.64) (1.65) (1.66) (1.89) п п п п п п РНАС Р. Т Р, Т Р, т Р, Т P, Т Р. Т Риас Р 1 S Си Ср k Гнас
3 пл A3BROT (1.59) (1.67) (1.68) Р П, KH3ROT Р, т Р, т р а
4 1РТ SPT РПАР THPHROH (1-61) (1.63) (1.90) (3.30) ПЛ,IROT ПЛ, SROT РНАС, ПЛЖИДК, ПЛ РНАС. ПЛ Р> т р. т 7’пас Р" i S г Г нас, Рнас
5 1ЖИДК 5ЖИДК (1.95) (1.96) РНАС, 1ROT, ПЛ, РПАР РНАС, SROT, ПЛ, РПАР Гнас 7"нас i' s'
6 ТНАС1Ж TRO3 ROTS 3ROTPS (3.31) (3.34) (3.35) (3.37) 1ЖИДК РНАС, ПЛЖИДК, IROT, ПЛ, THPHROH, 1ЖИДК РНАС, ПЛЖИДК, SROT, ПЛ, SPT, 5ЖИДК ТНАС, 1ROT, ПЛ, SPT, 5ЖИДК. ’ЖИДК V р, i Т, s р, S Гнас Т Р (, р, Т
7 TROP3 3ROTS (3.32) (3.36) ТНАС. ПЛЖИДК. IROT, ПЛ, IPT, 1ЖИДК, ТНАС1Ж РНАС, IROT, IPT, 1ЖИДК, ROTS р, i Т, s Т- Р (, р
8 SROTP3 PROT3S (3.33) (3.38) SROT. TR0P3 P, 3ROTS Р> i i, s s, р, Т Р, р, т
ряду с известными плотностью и температурой входят только
коэффициенты уравнения Боголюбова—Майера и алгебраическая
комбинация индексов йг,; ПЛЖИДК — для вычисления плотно-
сти насыщенной жидкости по температуре насыщения из уравне-
ния (1.83); РНАС — для вычисления давления насыщенного пара
по температуре насыщения.
112
Ранг процедуры, вызывающей при работе какие-либо допол-
нительные процедуры, принимается на единицу больше наивыс-
шего ранга вызываемой (вложенной) процедуры.
Для первых шести процедур второго ранга вложенной является
процедура П, с помощью которой по известным плотности р и
температуре Т определяются давление р, энтальпия i, энтропия s,
теплоемкости cv и ср и показатель изоэнтропы в точке k. Седьмая
процедура второго ранга ТНАС решает уравнение Планка—Ри-
деля (1.84) относительно температуры насыщения с помощью
вложенной процедуры первого ранга РНАС.
Процедура третьего ранга ПЛ решает уравнение состояния
относительно плотности при заданных температуре и давлении,
для чего в процессе работы вызывается процедура второго ранга Р.
Вторая процедура третьего ранга A3BROT определяет скорость
звука по известным плотности и температуре. При этом вызывается
процедура второго ранга KH3ROT.
Классификация остальных процедур, приведенных в табл. 3.2,
осуществлена по такому же принципу. Необходимо подчеркнуть,
что процедура любого ранга в процессе работы, как правило,
использует все процедуры более низкого ранга, вплоть до пер-
вого. Это наглядно показывает преимущество избранного систем-
ного подхода, который позволяет сделать компактной запись
процедур высокого ранга с использованием только кратких обра-
щений к вложенным процедурам более низкого ранга.
3.4. МЕТОД УСЛОВНЫХ ТЕМПЕРАТУР
ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКОГО РАСЧЕТА ПРОЦЕССОВ СЖАТИЯ
И РАСШИРЕНИЯ РЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
Термогазодинамические расчеты центробежных компрессор-
ных машин, заключающиеся в определении термических параме-
тров по уравнению состояния, а калорических — по уравнениям,
приведенным в гл. 1 и п. 3.2, требуют значительных затрат ма-
шинного времени. Расчеты вручную практически полностью исклю-
чаются, потому что использование даже крупномасштабных диа-
грамм состояния не может обеспечить требуемой точности, а интер-
поляция термодинамических таблиц в условиях итерационного
процесса решения систем уравнений слишком трудоемка. На
практике можно использовать диаграммы и таблицы при расчете
параметров ступени, секции или компрессора в целом, однако
провести поэлементный расчет с определением параметров потока
в характерных сечениях ступени затруднительно. Несмотря на
то что большинство изложенных в настоящей книге методов ориен-
тированы на машинный счет, для предварительной оценки пара-
метров в отдельных сечениях, в частности при проверке правиль-
ности работы моделей, уже реализованных на ЭВМ, всегда при-
ходится прибегать к расчетам вручную. Для этого требуется
возможно более простой приближенный метод, обеспечивающий
достаточную для инженерных целей точность.
8 Н. Н. Бухарин 113
В настоящее время в термогазодинамнке турбомашин наиболее
часто используется уравнение состояния идеального газа (1.1),
которое лежит в основе почти всех теоретических и прикладных
методов расчета. Поэтому желательно сохранить преемственность
в использовании таких методов применительно к процессам, про-
исходящим в реальных газах.
Этим требованиям удовлетворяет метод условных температур,
идея которого была высказана В. Траупелем [46], а впервые
применена к расчетам холодильных центробежных машин Ф. М. Чи-
стяковым [48]. В более завершенном виде метод условных темпе-
ратур сформулирован в работах [5, 16, 18].
Внутренняя энергия и энтальпия идеального газа зависят только
от температуры, а его теплоемкости при постоянном давлении
и объеме принимаются постоянными. Это обусловливает постоян-
ство показателя изоэнтропы идеального газа k = cplcv и дает
возможность проинтегрировать дифференциальное уравнение изо-
энтропного процесса, представив его в виде адиабаты Пуассона
pvk — const. (3.39)
Рассматривая политропный процесс в идеальном газе как про-
цесс с постоянной теплоемкостью спол, можно показать, что и по-
казатель политропы /1 будет в этом случае также величиной по-
стоянной, так как с,,,,., = с.(п — k)/(n — 1). Тогда по аналогии
с предыдущим уравнение политропы можно записать в виде
pv" = const.
Теплоемкости идеального газа связаны с газовой постоянной
уравнением Майера
ср — сг = R, (3.40)
используя которое, можно представить:
ср - [kl(k — 1)] R; (3.41)
G = [l/(fe - 1)] R. (3.42)
При выполнении расчетов важно, что для идеального газа
связь между калорическими и термическими параметрами уста-
навливается простыми соотношениями:
Ai --[&/(£ — 1)] R АГ; (3.43)
Ап =- [1/(6 — 1)] R АТ.
В термодинамике [8] показано, что температура Т является
интегрирующим делителем элементарного количества теплоты dq,
которое зависит от характера процесса и не является полным диф-
ференциалом. В результате определяется полный дифференциал
энтропии ds dq/T, являющейся функцией состояния. Это дает
возможность записать уравнение первого закона термодинамики
в виде
Т ds = di — v dp,
114
широко используемом в расчетах. С его помощью получено, в ча-
стности, известное уравнение обобщенного адиабатного процесса
с потерями [20]
P/Pi == (T’/T’i)' ('г-1) ехр [— (.$ - 5^//?],
применяемое в газодинамике турбомашин.
Уравнение состояния реального газа может быть записано
с использованием коэффициента сжимаемости z в виде pv = RzT,
причем величина z = / (р, Т) = f (у, Т) определяется, например,
из формулы (1.32). Объединим произведение коэффициента сжи-
маемости и температуры в один комплекс, который назовем услов-
ной температурой
Ту = zT.
Тогда уравнение состояния реального газа формально будет
иметь тот же вид, что и уравнение идеального газа:
pv = RTy. (3.44)
По сути дела такое преобразование ничего не меняет, однако,
если рассматривать только ту ограниченную область диаграммы
состояния, в которой протекает рассматриваемый процесс, на
основе уравнения (3.44) можно проводить расчеты, используя
в качестве термического параметра не термодинамическую тем-
пературу, а условную. Таким образом, по существу, реальный газ
заменяется некоторым идеальным с индивидуальной для каждой
области диаграммы шкалой условных температур.
Условная энтропия dsy — dq/Ty = dql(zT) будет полным диф-
ференциалом только в том случае, если условная температура
будет интегрирующим делителем дифференциала dq. В работах
[8, 46] показано, что для этого необходимо, чтобы коэффициент
сжимаемости зависел только от энтропии: z = f (s); иными сло-
вами, вдоль каждой линии s = const должно будет выдерживаться
условие z = const. Реальный газ, обладающий этими свойствами,
В. Траупель называет «идеальным паром-». В идеальном паре вну-
тренняя энергия и энтальпия являются функциями только услов-
ной температуры. Значит, условная температура является для
него таким же термическим параметром, как термодинамическая
температура для идеального газа. Это позволяет вести все расчеты
в такой же форме, как и для идеального газа. Однако свойства
реальных рабочих веществ в действительности отличаются от
свойств идеального пара. Наиболее сильно это проявляется в тех
случаях, когда сжатие происходит в области слабо перегретого
пара в непосредственной близости от линии насыщения. Тем не
менее и здесь разные вещества ведут себя неодинаково.
Свойства низкомолекулярных веществ (таких, как воздух или
аммиак) лучше соответствуют идеальному пару, а высокомолеку-
лярных (например, фреонов) — хуже. Это проявляется, в част-
ности, в том, что внутренняя энергия и энтальпия аммиака и
воздуха вблизи линии насыщения зависят практически только
8* 115
от условной температуры, а фреонов — также и от давления,
хотя эта зависимость в тех областях диаграммы, где обычно про-
исходит процесс сжатия, слабая. Кроме того, показатель изо-
энтропы довольно значительно изменяется вдоль правой погра-
ничной кривой и в непосредственной близости от нее. Особенно
следует остановиться в связи с этим на областях диаграммы,
где показатель изоэнтропы меньше единицы. В этом случае при
подводе теплоты (сжатии) условная температура будет умень-
шаться. Приняв, что сжатие происходит по изоэнтропе, заметим,
что для идеального пара z = const при s = const. Следовательно,
при изоэнтропном сжатии идеального пара термодинамическая
температура должна уменьшаться в той же степени, в какой
уменьшается условная температура. Однако на практике изо-
энтропное сжатие всегда сопровождается увеличением термодина-
мической температуры и, значит, реальный газ при k < 1 заве-
домо не является идеальным паром.
Сделанные замечания показывают, что метод условных тем-
ператур может быть реализован на строгой термодинамической
основе лишь в ограниченном числе частных случаев. Но так как
в инженерных расчетах важно получить нужные результаты с до-
статочной для практики точностью, вопрос о правомерности при-
менения того или иного метода решают обычно путем оценки по-
грешностей, вызванных принятыми допущениями. Основные допу-
щения метода условных температур состоят в следующем.
1. В области изменения параметров состояния, где происходит
процесс сжатия, реальный газ аппроксимируется некоторым гипо-
тетическим идеальным газом с индивидуальной шкалой условных
температур Ту = гТ.
2. Условная температура является интегрирующим делителем
дифференциала количества теплоты, что позволяет считать ве-
личину dsy полным дифференциалом, а условную энтропию —
функцией состояния: sy == / (р, Т) = / (v, Т).
3. В аппроксимируемой области диаграммы состояния при-
няты постоянными условные теплоемкости
с;,у - (дд/дту)р, ct.y =(д<7Ж)г.
и, следовательно, условный показатель изоэнтропы
ky - Cpy/Q.y, (3.45)
который, таким образом, является средним в рассматриваемой
области.
Оценка точности метода условных температур. Для оценки
точности метода условных температур выполнялись численные
расчеты с использованием уравнения состояния Боголюбова—
Майера (1.32) применительно к хладагенту R12, свойства которого
наиболее сильно отличаются от свойств идеального газа (17].
Расчетной проверке подвергались политропные процессы, соот-
ветствующие адиабатному сжатию с потерями, протекающие в не-
посредственной близости от линии насыщения. В этой области
116
«реальность» газа проявляется особенно сильно( а показатель
изоэнтропы может принимать значения как больше, так и мень-
ше единицы. В процессе расчета определялись параметры про-
межуточных точек процесса сжатия. Точные значения этих пара-
метров определялись с помощью уравнений состояния в пред-
положении, что сжатие происходит по обобщенной политропе
[см. уравнение (2.8)1. Отношения давлений в процессе сжатия
принимались от 2,5 до 6. Для каждого интервала между про-
межуточными точками находились разность энтальпий, работа
политропного сжатия и потерянная работа.
В результате расчетов установлено, что особого внимания
заслуживает вопрос об определении условного показателя изо-
энтропы. Обычно [18, 48] его определяют вдоль изоэнтропного
процесса сжатия по формуле, полученной непосредственно из
уравнения (3.39):
k'y =.kpv= |п <-Р2/р-‘.).. , (3.46)
у |п (и1Л%)
где /?!, щ и y,s — давления и удельные объемы в начале и
конце изоэнтропного сжатия.
Удельный объем y2s берется в этом случае в точке пересечения
линии s = const, выходящей из точки в начале процесса, и изо-
бары р2 в конце процесса сжатия. Наиболее точные результаты
дает расчет по значению ky, определенному по формуле (3.46),
если процесс изоэнтропный или близкий к нему. При отклонении
процесса от изоэнтропного погрешность возрастает.
Погрешность может быть уменьшена, если при определении Л,
рассматривать интервал изменения параметров не вдоль изо-
энтропы, а вдоль линии действительного процесса сжатия. При
этом расчетная зависимость для определения представляет
собой уравнение (3.43), решенное относительно числа изоэнтропы:
озу = ky/(ky - 11 Ai/(/? АТУ) = • (3.47)
Условный показатель изоэнтропы находится затем из извест-
ного выражения
= o2y/(osy - 1). (3.48)
При использоании зависимости (3.47) необходимо знать пара-
метры точек в начале и конце сжатия. Обычно это термодинамиче-
ская температура и давление.
Пользуясь уравнением состояния или термодинамической
диаграммой, определяют в этих точках энтропии и удельные
объемы, после чего сразу же находят условные температуры из
уравнения (3.44) Ту = pv!R и перепады энтальпий и условных
температур:
Ai = t*K ,
ат\ -т'у.к-т1;. н.
117
Здесь сразу записаны параметры торможения, определяющие
полную удельную работу ступени компрессора, так как обычно
при выполнении расчетов, связанных с обработкой результатов
эксперимента или решением прямой задачи, эти параметры ста-
новятся известными в первую очередь. Вносимая при этом погреш-
ность весьма незначительна, так как статические параметры во
входном и выходном сечениях ступеней из-за малости скоростей с„
и ск обычно почти не отличаются от параметров торможения.
После определения Ту.н, Ту.к и kY все расчеты термодинами-
ческих параметров потока ведутся по зависимостям, полученным
на основе уравнения состояния идеального газа, в которых вместо
термодинамической температуры записывается условная темпе-
ратура, а вместо действительного показателя изоэнтропы —
условный kY. Необходимо особо отметить, и это отмечалось ранее
Ф. М. Чистяковым [48], что после того как найдены Ту.н, Ту.к
и kY, при выполнении расчетов уже нельзя привлекать значения
каких-либо параметров промежуточных точек, полученных из
уравнения состояния или диаграммы, так как это может привести
к появлению погрешностей, особенно значительных при значе-
ниях ky, очень близких к единице. Причина заключается в том,
что при использовании метода условных температур действитель-
ное вещество заменяется в интересующей нас области некоторым
условным, обладающим свойствами идеального пара с постоян-
ным значением показателя изоэнтропы. Вследствие этого прибли-
жения в рассматриваемой области диаграммы несколько изме-
няется характер линий v = const, р = const, i = const и других
по сравнению с действительной диаграммой состояния, в которой
значение k изменяется от точки к точке [здесь и в дальнейшем
точное значение показателя изоэнтропы в точке, найденное по
формуле (1.30), буде'1 обозначаться буквой k без индексов!, по-
этому в рамках сделанных допущений термодинамические пара-
метры будут завидеть от выбранного значения kv и несколько
отличаться от точных значений. Обычно это отличие мало и не
превышает 2—3 %. Однако при значениях йу, близких к единице,
разность энтальпий и условных температур в начале и конце
процесса сжатия невелика, поэтому замена в процессе расчета
промежуточных значений удельных объемов, полученных в рам-
ках метода условных температур, их точными значениями, отли-
чающимися на указанные 2—3 %, может привести к довольно
большим погрешностям в определении At и А7\.. При значениях ky,
отличающихся от единицы менее чем на 4 %, эта погрешность
может достичь 30 %. С увеличением kY она быстро уменьшается.
То же самое можно сказать и о способе определения /гу при
расчете политропных процессов, сильно отклоняющихся от изо-
энтропы. Если k 1,3 и слабо меняется от точки к точке в рас-
сматриваемой области диаграммы состояния, то kv можно опре-
делять по обеим формулам — (3.46) или (3.47). Погрешность рас-
четов будет при этом небольшой, хотя и здесь более точные резуль-
таты даст формула (3.47). При значениях /?у, близких к единице,
118
применение формулы (3.46) может привести к погрешностям
в определении КПД или удельных работ на величину до 30—40 %
и более. Сравнение значений ky и ky, полученных из формул
(3.46) и (3.47), показывает, что они отличаются очень мало, обычно
не более чем на 1—2 %. Однако комплексы /гу/(йу — 1), входящие
в уравнение для удельной работы (3.43), отличаются при /гу л; 1
на 30—40 %, и эта разница теоретически увеличивается до беско-
нечности при ky -> 1,чем и объясняется возникновение столь зна-
чительных погрешностей при малых значениях /гу.
Применяя метод условных температур, лучше рассматривать
величину ky как расчетный коэффициент, позволяющий в простои
форме связать термические параметры газа с калорическими,
и определять его во всех случаях из формулы (3.47). Эго обеспечит
наименьшие погрешности при расчетах независимо о г того, в ка-
кой степени процесс отличается от изоэнтропного.
Подводя итоги, можно отметить, что погрешности, связанные
с допущениями, заложенными в метод условных температур, при
определении показателя изоэнтропы из формулы (3.47) во всех
рассмотренных случаях составляют для большинства параметров
0,7—1,0 % и нигде не превосходят 2,5 %. Последняя цифра
относится к удельному объему в некоторых промежуточных точ-
ках только тех процессов сжатия, которые идут при высоких
давлениях в области, близкой к критической точке. Такие резуль-
таты дают основание рекомендовать метод условных температур
не только для предварительных расчетов, но также при обработке
опытных данных и моделировании характеристик с помощью
ЭВМ, так как его точность в большинстве случаев вполне доста-
точна, а выигрыш от возможности использования математического
аппарата газодинамики турбомашин весьма значителен.
Связь между k и ky определяется уравнением (3.46), из которого
следует, что ky есть некоторое осредненное в заданном интервале
изменения параметров значение k. При уменьшении этого интер-
вала до бесконечно малой величины k-,, -> k, что хорошо подтверж-
дается численными расчетами.
Термодинамические процессы в гипотетическом идеальном газе
с показателем изоэнтропы ky < 1. Вещества, у которых в состоя-
нии идеального газа показатель изоэнтропы ky < 1, в природе
неизвестны. Действительно, из формул (3.41) и (3.42) следует,
что для такого газа теплоемкости ср и си отрицательны, а значит,
подвод теплоты в изобарном или изохорном процессе сопровож-
дается не повышением, как обычно, а понижением термодинами-
ческой температуры. Поэтому идеальный газ, у которого йу •< 1,
является, по существу, гипотетическим веществом, а расчеты про-
цессов в таком газе имеют смысл только в рамках метода условных
температур и служат для определения давлений, удельных объ-
емов, перепадов энтальпий, в том числе удельных работ политроп-
ного сжатия или расширения и удельных работ, затраченных на
преодоление сопротивлений. Отсюда непосредственно следует
довольно существенное ограничение области применения метода
119
условных температур: его можно использовать в основном для
расчета адиабатных процессов, сопровождающихся в общем слу-
чае внутренне необратимыми потерями и происходящих без тепло-
обмена с окружающей средой или каким-либо иным источником
тепла. Это определяет применение указанного метода главным
образом при расчете течений в лопастных машинах, для
которых условие адиабатности является обычным допущением,
если исключить компрессорные машины с внутренним охлаж-
дением.
В принципе можно рассчитывать так же и процессы с отводом
теплоты, но для этого должен быть заранее известен закон, по
которому она отводится в процессе сжатия или расширения.
Практически наиболее удобно такие процессы рассматривать как
политропные. Если же закон, по которому отводится теплота,
можно представить только в зависимости от термодинамической
температуры, то применение метода условных температур себя не
оправдывает, так как в процессе расчета на каждом шаге необхо-
димо обращаться к уравнению состояния, чтобы перейти от услов-
ной температуры к термодинамической.
Теплоемкости сру и cvy идеального газа, у которого ky < 1,
отрицательны, поэтому изобары и изохоры идут в sy — Ту-диа-
грамме с понижением Ту (рис. 3.8), так как подводимая теплота
dq >0. При этом изобары идут круче изохор, так как ky — cpylcvy <
< 1 и, значит, | сру | <С | cvy |. По мере увеличения давления изобары
смещаются вниз в сторону уменьшения условных температур.
Для такого идеального газа справедливы уравнения Майера
(3.40) и уравнения термодинамики, если заменить в них термо-
динамическую температуру условной. Энтальпия и внутренняя
энергия идеального газа с fey <4 отрицательны, но так как при
изобарном или изохорном подводе теплоты величина Ту умень-
шается, то эти параметры в конце процесса больше, чем в начале,
т. е. dq = di > 0.
Политропные процессы в идеальном газе с fey <; 1 идут так,
как показано на рис. 3.8. Там же для сравнения показаны поли-
тропные процессы для случая fey >1.
Рассмотрим наиболее характерные для лопаточных машин поли-
тропные процессы сжатия и расширения, соответствующие адиа-
батным течениям с внутренне необратимыми потерями. На рис. 3.9
и 3.10 для сравнения изображены эти процессы в идеальном газе,
у которого ky > 1 (рис. 3.9, а и 3.10, а), и в идеальном газе,
у которого ky < 1 (рис. 3.9, б и 3.10, б). Одноименные точки для
обоих газов обозначены одинаково. Так как при ky > 1 характер
изменения параметров в этих процессах хорошо известен, все
пояснения будут относиться к газу с fey < 1.
В процессе сжатия 1—2 (рис. 3.9, б) условная температура Ту
уменьшается, а условная энтропия sy, как обычно, увеличивается,
так как теплота, эквивалентная энергии, затраченной на преодо-
ление потерь, подводится к газу. Условная температура в конце
действительного сжатия 2 будет ниже, чем в конце изоэнтропного
120
Рис. 3.10. Процессы расширения в газах: а — kv > 1;
б - /гу < 1
121
5
сжатия 2S. Потерянная работа /, ~ j Ту dsy > 0 измеряется
1
площадкой 12бв1 иод процессом сжатия. Удельная работа поли-
2
тропного сжатия /,10Л = = j vdp > 0 измеряется площадкой
12ба31. Полная удельная работа процесса сжатия равна разности
энтальпий = 1Г г 1п„-л i2 — i\ >0 и измеряется
площадкой 13ав1. Согласно известным формулам,
1)1 R (Ту, -Ту1); (3.49)
ь - ц - |/гу/(А-у - 1)| R (Ту2 - 7’у1). (3.50)
С учетом (3.49) и (3.50) потерянная работа
1Г< . R - 1) — /гу/(»у — 1)1 (7>- Л1)>0- (3.51)
Так как Ту2 — Ту1 <; 0, a R > 0, то | ky (ky— 1) | > | пу/(пу—1)
п, значит, пу <Дгу. Это отличает рассматриваемый идеальный
газ от газа с ky > I, для которого показатель политропы адиабат-
ного процесса сжатия с потерями всегда больше показателя изо-
энтропы.
Изоэнтропнып (адиабатный) и политропный КПД процесса
сжатия определяются по обычным формулам:
9
| vdp
n ‘*s - . .. _ 2_____ _ «У ("у - 1)
•Is - /2._ ^ - 'Ino.T - -- /;у(..у If
Из уравнения первого закона термодинамики следует, что
если р const, то dq --- di. Кроме того, в идеальном газе линии
i const н Ту const совпадают, а следовательно, разность
энтальпий ь, — f можно измерить (рис. 3.9, б) как площадкой
13ав1, так и площадкой 42бг4, так как они опираются на отрезки
изобар, отсекаемые линиями -= const и i.,_ - const, поэтому
равновелики. Разность энтальпий измеряется площадкой
42,вг4, и тогда изоэнтропный КПД
пл. 42suzl , гл. 2s26e2s
Политропный КПД, как это непосредственно видно из рис. 3.9,
представится в виде
. пл. 12бв!
Чи.:.. 1 " ,2 •
Так как пл. 12бв1 >пл. 2s26e2s, то, следовательно, в процессе
адиабатного сжатия с потерями в идеальном газе, у которого
/?у < 1, политропный КПД будет меньше изоэнтропного: г|11ол <
if. Напомним, что в газе, у которого ky > 1, всегда т]пол > if.
122
В процессе адиабатного расширения с потерями (рис. 3.10, б)
условная температура и энтропия увеличиваются. Записав для
процесса расширения / —2 уравнения (3.49) — (3.51) и заметив,
что в этом случае. Ту2 — Ту1 > 0, найдем, что | ky (ky — 1)| <
<|лу'(Иу— ])]. Предельным процессом расширения является
такой, при котором внешняя работа равна нулю, а потерянная
работа численно равна политропной. Это соответствует процессу
дросселирования: i ----- const (для идеального газа Ту -- const),
а показатель политропы пу — 1.
Таким образом, интервал изменения показателя политропы в
процессе расширения заключен между /гу и 1, т. е. 1 > пу > 1гу
(см. рис. 3.8).
Изоэнтропный (адиабатный) и политропный КПД процесса
расширения определяются по известным формулам:
п — 12 ~ 11 • и — ~ ! | — /1у ^’у ~ 1)
“ '2S - '1 ’ 1иСЛ ? '" Пу/(Пу — 1)‘
j v dp
1
Из рис. 3.10, б видно, что разность энтальпий измеряется
площадкой 23вб2, а разность i.^ — — площадкой 2s3eu2s. Зна-
чит, при определении изоэнтропного КПД потерянная работа /г1_2
измеряется площадкой 2s26a2s. При определении политропного
КПД потерянная работа, как и всегда, измеряется площадкой 12ба1
под процессом расширения. Из сопоставления величин площадок
следует, что »]110Л > i]s. При расширении газа с ky > 1 всегда
Ппол <7 4s-
Обобщая полученные результаты и опираясь на многочислен-
ные расчеты, следует сказать, что, заменяя в некоторой области
диаграммы реальный газ идеальным, у которого ky <Z 1, мы полу-
чаем значения КПД, удовлетворяющие нас по точности совпаде-
ния с действительными значениями. То обстоятельство, что при
ky < 1 в процессе сжатия i]llon <; щ, а в процессе расширения
1]пол > i]s, хотя в реальном рабочем веществе все будет наоборот,
может быть препятствием к применению метода условных темпера-
тур только при ky < 1. Однако, как показывает опыт, даже для
такого вещества как R12, обладающего высокой сжимаемостью,
средние значения показателя изоэнтропы ky, определенные по
формулам (3.47) и (3.48) для конечных интервалов давлений,
становятся меньше единицы только в области, близкой к крити-
ческой точке, и отличаются от нее не более чем на 2—4 %. При
таких близких к единице значениях kv изоэнтропный и политроп-
ный КПД практически совпадают независимо от того, будет ky
больше единицы или меньше ее.
Термодинамические расчеты для идеального газа с ky <_ 1
могут выполняться и с помощью газодинамических функций.
При этом функция т (X) будет больше единицы, так как в таком
газе статическая условная температура в потоке больше условной
температуры торможения.
123
j
Г лава 4
ПОЛУЧЕНИЕ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ЭЛЕМЕНТОВ ПРОТОЧНОЙ ЧАСТИ
СТУПЕНЕЙ ЦЕНТРОБЕЖНОГО КОМПРЕССОРА
И ИХ ПОДГОТОВКА К ИСПОЛЬЗОВАНИЮ
ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ
4.1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ СТЕНД
Теоретические методы расчета характеристик элементов про-
точной части центробежных компрессорных машин ввиду слож-
ности трехмерных сжимаемых течений на дают удовлетворитель-
ной точности во всем диапазоне изменяющихся режимов работы
машины. Поэтому пока неизбежным является физическое модели-
рование, позволяющее получить необходимые данные из опытов
на моделях. При ограниченном числе унифицированных ступеней
или элементов их проточной части количество опытов на моделях
будет относительно небольшим, что позволит в короткие сроки
получить все необходимые экспериментальные данные по харак-
теристикам элементов. После статистической обработки, пред-
ставления в требуемом виде и аппроксимации эти характеристики
должны быть записаны в постоянную библиотеку ЭВМ и в дальней-
шем использоваться при численном моделировании.
Для экспериментального определения характеристик унифи-
цированных элементов проточной части центробежных компрес-
соров необходимо располагать специальным опытным стендом или
.лучше стендами: для исследования концевых и промежуточных
модельных ступеней. Наиболее удобными, как показывает прак-
тический опыт многих предприятий, являются ступени, у которых
наружный диаметр колеса находится в пределах £)2 = 0,25 -
:О,35 м. Обычно такие диаметры являются минимальными в ря-
дах унифицированных колес. При меньших диаметрах затрудни-
тельно выполнение дренирования в характерных сечениях эле-
ментов проточной части и, если требуется, проведение специальных
измерений, таких, например, как траверсирование потока. При-
менение больших диаметров приводит к резкому увеличению
мощности, необходимой для привода ступени, и, кроме того, к уве-
личению массы деталей стенда, что затрудняет оперативную ра-
боту на моделях, а для герметичных стендов — уплотнение по-
верхностей разъема из-за их больших размеров и, следовательно,
недостаточной жесткости фланцев сопрягаемых деталей.
Унифицированные центробежные компрессорные ступени мо-
гут применяться в различных условиях, причем сжимаемые газы
по своим свойствам иногда сильно отличаются от воздуха как по
показателю изоэнтропы, который изменяется в широких преде-
лах (£у = 0,95 4—1,66), так и по молекулярной массе (у водорода
р = 2, а у хладагента RC318 р = 200). Соответственно отличаются
и скорости звука: при нормальных условиях скорость звука
124
в водороде а « 1260 м с, а в хладагенте RC318 а я? 105 м'с. По-
этому лучше всего использовать для физического моделирования
стенды с замкнутым контуром, которые позволяют проводить
опыты на любых рабочих веществах или моделирующих их свой-
ства газовых смесях [10].
Устройство стенда. Схема стенда с замкнутым контуром,
использовавшегося для поэлементного исследования концевых
ступеней холодильных центробежных компрессоров на кафедре
холодильных машин ЛТИХП, представлена на рис. 4.1. Эксперн-
Рис. 4.1. Схема экспериментального стенда для исследования модельных сту-
пеней:
рн, Рц‘ Рк • Рд — Давления торможения и статические при входе (н) и выходе (к) из
компрессора и перед диафрагмой (д); Тц. Т& --температуры торможения; ,
7^2 ~~ температуры воды при входе в газоохладитель и выходе из него; — перепад
давления на диафрагме
ментальная модельная ступень 1 установлена консольно на полу-
фланце корпуса подшипников 2. Полуфланец охватывает модель
и корпус подшипников снизу, чем достигается свободный доступ
сверху к задней стенке модели, в которой смонтировано торцовое
уплотнение. За корпусом подшипников расположен мультипли-
катор 3, быстроходный вал которого соединен с валом модельной
ступени с помощью зубчатой муфты. Привод мультипликатора
осуществляется от электродвигателя постоянного тока 6 типа
П-112 мощностью 200 кВт. Электродвигатель получает питание
от машинного преобразователя. Частота вращения ротора при
водного электродвигателя может плавно изменяться от 0 до
1500 об/мин. Частоту вращения контролируют частотомером-
хронометром Ф5080. Фотоэлемент датчика частотомера 5 осве-
щается источником света 4, между ними расположен диск с отвер-
125
стиямп. Число отверстий подобрано так, чтобы частотомер пока-
зывал непосредственно частоту вращения ротора электродвига-
теля. Показания частотомера дублируются стендовым ферродина-
мпческим тахометром ТСФУ-1 класса точности 0,5, датчик кото-
рого 7 типа ДТЭ-2 установлен на свободном конце вала электро-
двигателя 6
Газ, сжатый в ступени, поступает через дроссельную зас-
лонку 15 в газовый теплообменник 8. Чтобы исключить факторы,
связанные с ограничением области устойчивой работы исследуе-
мых ступеней из-за увеличения объема нагнетательного участка
сети, и уменьшить зависимость давления всасывания от давления
нагнетания, заслонка 15 установлена сразу при выходе из сту-
пени.
Охлажденный в газовом теплообменнике газ поступает снова
па всасывание ступени, пройдя предварительно диафрагму 14,
предназначенную для измерения производительности ступени.
Диафрагма смонтирована и установлена в соответствии с «Прави-
лами 28—64. Измерения расходов жидкостей и газов с помощью
диафрагмы, сопел и труб Вентури».
Охлаждающая вода подается в газовый теплообменник через
вентиль 9, с помощью которого регулируется ее расход. Для кон-
троля расхода установлен блок ротаметров 10, которые при необ-
ходимости можно соединять параллельно. Один из ротаметров
должен иметь небольшой диапазон измерения расхода, так как
в зимнее время, когда температура воды составляет 1—4 “С, расход
может быть очень малым. От точности дозирования расхода
в значительной степени зависит стабильность температуры газа
при входе в ступень и перед диафрагмой, которая сильно влияет
на точность определения перепада температур в ступени и, значит,
на погрешность определения ее КПД и коэффициента теоретиче-
ской работы.
Вакуум в газовом контуре стенда создают с помощью вакуум-
насоса 11. При давлении в контуре выше атмосферного откачка
и сбор рабочего вещества осуществляются с помощью компрес-
сорно-конденсаторного агрегата 13. Если давление насыщения
рабочего вещества при температуре окружающей среды слишком
велико, то вещество можно, не конденсируя, закачать в баллоны.
Опыт показывает, что попытка откачать из контура рабочее ве-
щество при давлении ниже атмосферного, как правило, сопровож-
дается подсасыванием воздуха на линии, соединяющей контур
с компрессорно-конденсаторным агрегатом. Это проявляется в пер-
вую очередь в резком увеличении давления конденсации из-за
уменьшения парциального давления рабочего вещества при подса-
сывании к нему воздуха, поэтому часть рабочего вещества, остав-
шегося в контуре, приходится выбрасывать в атмосферу. Необ-
ходимо отметить, что в принципе этого можно избежать, применив
криогенную откачку.
Для определения недостаточно уплотненных мест контур
опрессовывают воздухом с избыточным давлением (1л-1,5) 10’ Па
126
с помощью агрегата /.?, а поверхности разъемов обмыливают.
Если этого недостаточно, то в контур добавляют незначительное
количество R12 или другого хладагента и поиск течей ведут с по-
мощью галоидной лампы. Применение чувствительного галоидного
течеискателя в отдельных случаях не дает возможности определить
место утечек. Это случается, когда стенд находится в заглублен-
ном, например подвальном, помещении небольшого объема или
со слабой вентиляцией. Тогда хладагент, обычно вытекающий при
зарядке в небольшом количестве, смешивается с воздухом поме-
щения, и, где бы ни находился галоидный течепскатель, он будет
Рис. 4.2. Масляная система стенда
показывать наличие утечки. Контур заряжается рабочим веще-
ством из баллонов 1'2.
Для оперативной работы на стенде необходимо, чтобы вакуум-
насос и компрессорно-конденсаторный агрегат являлись стацио-
нарным оборудованием и были постоянно подсоединены к кон-
туру. Только в этом случае можно быть уверенным в достаточной
надежности коммуникаций, соединяющих эти машины с конту-
ром.
Система смазки стенда (рис. 4.2) — открытая, что являет-
ся важным ее преимуществом. Применить такую систему сма-
зки оказалось возможным из-за консольного расположения
модели, у которой торцовое уплотнение расположено между ра-
бочим колесом и корпусом подшипников. Предусмотренная связь
127
с атмосферой исключает необходимость герметизации маслобака
и попадание масла в рабочее вещество замкнутого контура. В ма-
шинах с закрытыми масляными системами торцовое уплотнение
находится обычно на тихоходном валу, и мультипликатор также
работает в среде рабочего вещества. В этом случае возникают до-
полнительные потери на барботаж из за вращения зубчатых колес
в рабочем веществе, особенно ощутимые при высоких давлениях
на всасывании. Применение мультипликатора, работающего в воз-
душной среде, уменьшает эти потери.
Масляный бак 4 вместимостью около 500 л установлен в при-
ямке рядом со стендом. Через фильтр и обратный клапан 3 масло
забирается шестеренным насосом / с автономным приводом и
подается на маслоохладители 16 и 17. При низкой температуре
масла маслоохладитель 16 отключается. При высоких темпера-
турах масла и охлаждающей воды оба маслоохладителя включаются
последовательно. Подача охлаждающей воды регулируется вен-
тилями 15, 18, 19, 20.
Охлажденное масло поступает через вентили 7, 8, 11, 14 на
смазывание мультипликатора, торцового уплотнения 10, опор-
ного подшипника 9 и опорно-упорного подшипника 12. От упор-
ного подшипника масло подводится для смазывания зубчатой
муфты 13. Излишки масла могут сбрасываться в маслобак через
вентиль 6, однако на практике во время работы вентиль 6 обычно
закрыт и давление масла в системе регулируется вентилем 2
байпаса шестеренного насоса. Отработавшее масло поступает
в маслобак по трубопроводу 5.
Давление и температура масла контролируются при выходе
из маслоохладителей. Для обеспечения более надежной работы
давление масла с помощью вентилей 7, 8, 11, 14 может регули-
роваться при входе в каждый элемент стенда. Температура вы-
ходящего масла контролируется в торцовом уплотнении, под-
шипниках и при выходе из мультипликатора.
Торцовое уплотнение экспериментальной модели является
двусторонним, что сводит к минимуму протечки масла через
зазоры. При работе уплотнения всегда имеется протечка масла
в полость за колесом в количестве 10—30 капель в минуту. Это
масло удаляется с помощью дренажной системы (рис. 4.3).
Масло, вытекающее из уплотнения, скапливается в нижней
части кольцевой полости (см. рис. 4.4). Оно сливается в масло-
сборник 1. Так как давление рабочего вещества за колесом ком-
прессора обычно выше, чем на всасывании (исключение состав-
ляют лишь отдельные, редко встречающиеся режимы работы),
то движению масла в нужном направлении способствует еще и
поток рабочего вещества. Для более полного отделения масла
предусмотрены два последовательно расположенных маслоотде-
лителя 5 и 6, соединенных трубопроводами с маслосборником 1.
Масло из этих маслоотделителей сливается с помощью вентилей 3
и 4. Количество масла, скопившегося в маслоотделителях и масло-
сборнике, контролируется с помощью указателей уровня. Слив
128
масла из маслосборника с помощью вентиля 2 лучше осуществлять
при опрессовке контура.
Экспериментальная модель. Экспериментальная модель для
исследования концевых ступеней центробежных компрессоров
показана на рис. 4.4. Корпус 1 модели, в котором имеется коль-
цевая сборная камера, закреплен консольно на корпусе подшип-
ников. В задней стенке корпуса установлено торцовое уплот-
нение 3. Рабочее колесо 2 расположено на хвостовике вала 14.
Осевое положение колеса регулируется дистанционным кольцом,
находящимся между торцом колеса и уступом вала. Лопаточный
Рис. 4.3. Дренажная система для отвода протечек масла
через торцовое уплотнение:
-.....- — основной газовый контур; —-------контур дренаж-
ной системы
диффузор расположен на крышке 8, прикрепленной к корпусу.
На торце крышки установлено лабиринтное уплотнение покры-
вающего диска рабочего колеса. Собранная модель закрывается
крышкой 9, к которой присоединен входной патрубок 13 с обте-
кателем 12. На входном патрубке перед колесом установлен осе-
вой входной регулирующий аппарат (ВРА) с лопатками 11.
На оси каждой лопатки имеется лимб 10 указателя угла ее уста-
новки. Перестановка лопаток осуществляется вручную. Оси
лопаток уплотняются медными или фторопластовыми кольцами.
При необходимости осевой ВРА может быть заменен радиальным,
лопатки которого имеют неподвижные предкрылки. Число лопа-
ток радиального ВРА — 16, осевого — 12. Торцовое уплотнение
модели конструкции НЗЛ —двустороннее. Неподвижные втулки 4,
в которых расположены металлографитовые кольца, с помощью
пружин 5 прижимаются к стальному кольцу 6, которое вращается
вместе с валом. В полость уплотнения подается масло, которое
просачивается через уплотнение, стекает в сторону корпуса
подшипников и возвращается в маслобак. Масло, которое попадает
внутрь модели, через отверстие 7 поступает в дренажную систему.
9 Н. Н. Бухарин 129
Система измерений и выбор контрольных точек. Система изме-
рений и выбор контрольных точек в характерных сечениях сту-
пени должны обеспечивать наряду с требуемой точностью простоту
проведения опытов. При этом желательно обеспечить возможность
воспроизведения системы измерений при экспериментальных ис-
следованиях тех же ступеней, работающих в составе многосту-
Рис. 4 4. Экспериментальная модель с
осевым и радиальным входными регу-
лирующими аппаратами
пенчатых центробежных компрессоров, например при испытании
этих машин на заводе или в условиях эксплуатации. Исходя
из этого за основу приняты измерения статических давлений
в характерных сечениях и массового расхода рабочего вещества
через ступень. Траверсирование потока по ширине меридиональ-
ного сечения проточной части, осуществляемое с целью измерения
полей углов или давлений, имеет вспомогательный характер и
дает в рамках поставленной задачи дополнительную информацию
о структуре потока, которая может быть использована для кор-
ректировки, если потребуется, некоторых допущений априорно
используемых в расчетах характеристик, основывающихся на
130
измерениях статического давления. К таким допущениям могут
относиться поправки на протечки через уплотнения покрываю-
щего диска и трение, допущение о сохранении момента количе-
ства движения рабочего вещества в безлоиаточном диффузоре и др.
Наиболее простая схема измерений в характерных сечениях
проточной части концевой ступени предложена Д. А. Капель-
киным. Эта схема отработана на серии методических исследований.
Во входном и выходном сечениях ступени измеряют стати-
ческое и полное давление: статическое — в четырех точках по
окружности, полное — осредняющими гребенками. Оба измере-
ния дублируются. Там же измеряют температуру торможения
в двух точках на разной глубине по сечению. Измеренное дав-
Рис. 4.5. Расположение мест отбора статического
давления
ление торможения сопоставляется в дальнейшем с давлением
торможения, полученным из расчета. В сечении 0 (вход в рабочее
колесо) статическое давление измеряют на наружном Do и вну-
треннем d.o диаметрах в четырех точках на каждом. В сечениях 2
(выход из колеса), 3 (вход в лопаточный диффузор), 4 (выход из
диффузора) статическое давление измеряют соответственно на
диаметрах D2, D3, D4 в области, отнесенной от выходного патрубка
примерно на 180°, в четырех—восьми точках отбора. При входе
и выходе из лопаточного диффузора (рис. 4.5, а) точки отбора
располагаются в пределах шага решетки, из безлопаточного диф-
фузора (рис. 4.5, б) — в пределах отрезка дуги, охватываемого
центральным углом 10—15°.
При повороте лопаток диффузора вокруг точки, отстоящей при-
мерно на 1/3 длины профиля от носика, диаметры D3 и £)4 изме-
няются. Схема измерений должна по возможности предусматри-
вать смещение участков, на которых проводятся измерения,
в соответствии с изменением диаметров. Во всех случаях точки
отбора следует располагать на передней и задней стенках проточ-
ной части. Приемники для измерения давлений выполняются
в соответствии с рекомендациями по пневмометрическим измере-
ниям в компрессорных машинах [10].
Описанная схема измерений хорошо себя зарекомендовала
при исследованиях модельных концевых ступеней центробежных
компрессоров, работающих при значениях Ми < 1,6. Измеряе-
мые статические давления практически совпадают со средними
9* 131
значениями, полученными при измерениях в трех областях, рав-
номерно расположенных по окружности. При методических иссле-
дованиях одна из трех областей — центральная — была смещена
относительно выходного патрубка кольцевой сборной камеры
примерно на 180°. При исследованиях промежуточных ступеней
дренирование лопаточных обратных направляющих аппаратов
осуществляется в принципе так же, как и лопаточных диффу-
зоров [141.
Число точек отбора давлений в характерных сечениях может
доходить до 20—30, что заставляет организовать их вывод за
пределы модели таким образом, чтобы, сохранив полную герме-
Рис. 4.6. Схема гывода манометрических трасс
за пределы модели
тичность, обеспечить удоб-
ное подсоединение мано-
метрических трасс в про-
цессе подготовки экспери-
мента. Для этой цели в
модели выполнены два лю-
ка (рис. 4.6), расположен-
ные по обе стороны кор-
пуса 1. При снятой крыш-
ке 9 (см. рис. 4.4) доступ
к этим люкам открыт.
Фланцы люков герметично
закрываются крышками 2,
в которые завернуты пе-
реходные штуцера 3. Ос-
новные манометрические
трассы, соединяющие штуцера 3 с измерительными приборами,
при переборках модели не разбираются. Пересоединению подле-
жат только короткие участки трасс, связывающие точки отбора
давлений со штуцерами 3. Такая конструкция позволяет пол-
ностью обвязать систему измерений и проверить ее до закрытия
модели крышкой 9 (см. рис. 4.4), через которую проходят толь-
ко зонды, предназначенные для траверсирования потока, если
оно предусмотрено. В большинстве экспериментов обычно из-
меряют только статические давления.
Подготовка к проведению экспериментальных исследований.
Перед началом экспериментов необходимо определить начальное
давление рабочего вещества в контуре, поскольку мощность при-
водного двигателя стенда ограничена. Зная предельные зна-
чения Ми, при которых будут проводиться исследования, и оце-
нив предельные значения условного числа Маха по входной
скорости Мс„у — c0/iin, нужно определить наибольшую допусти-
мую плотность р,*, а по ней и давление р*н при входе в мо-
дель.
Плотность торможения при входе в модель
_____(0,80 д-0.85) МпахЮ3_,
0 + Рцр + Ртр) (<p2u —<₽l(iDl)MuMc(,y/70aH3
132
Где 0,80—0,85 — поправочный множитель, учитывающий потери
мощности в мультипликаторе и подшипниках; Af,liax — макси-
мальная при заданной частоте вращения мощность приводного
двигателя, кВт; Fo — площадь входного сечения рабочего ко-
леса, м2.
После этого вычисляют скорость звука в заторможенном по-
токе при входе в ступень и давление торможения:
а:, = VkRz*HT^ - Rz*KT'np*№.
Строго говоря, выражения для и а*н совместно с уравне-
нием состояния (1.72) и уравнением (1.30) для показателя изо-
энтропы в точке представляют собой систему, решение которой
позволяет получить величины p„, k, а», г'к. Однако для прибли-
женной оценки р*н нет необходимости решать систему, а вели-
чины zH и k задают ориентировочно.
Температура торможения газа при входе в модель в летнее
время обычно на 5—10 К выше температуры охлаждающей воды.
Опыт работы показал, что наилучшие результаты по стабильности
измеряемых перепадов температур, а значит, и КПД ступеней
дают исследования, проводившиеся при температурах на всасы-
вании от 4*20 до 4-25 °C. Поэтому в зимнее время разность тем-
ператур газа и воды увеличивают до значения 20 К-
Если при исследованиях используют реальные газы с высокой
плотностью, например фреоны, то при ограниченной мощности
приводного двигателя приходится создавать давление на всасы-
вании ниже атмосферного. В этом случае все режимы надо пройти
за одно испытание. Предварительную обработку результатов
необходимо при этом вести в темпе проведения опытов, т. е.
определять значения ДТ*, т]* и л.к сразу же для каждой экспе-
риментальной точки. Сопоставляя результаты расчетов, всегда
можно определить момент, когда подсасывание атмосферного
воздуха начинает влиять на результаты исследований. Тогда
испытания прерывают, контур вакуумируют и заправляют за-
ново. После остановки, даже не очень длительной (16—20 ч),
контур также следует снова заправлять чистым газом, так как
в него почти всегда проникает воздух. С учетом этой специфики
надо стремиться к тому, чтобы объем контура был по возможности
наименьшим. Если ограничений по мощности нет, то начальное
давление в контуре выбирают таким, чтобы при самой низкой
температуре охлаждающей воды не происходило конденсации
газа в газовом теплообменнике. Это требование важно при опре-
делении мощности ступени по измерениям температур, когда
наличие жидкой фазы в потоке на входе в ступень приводит
к резкому увеличению погрешности в измерении температуры.
При измерении мощности динамометрическим способом давле-
ния в контуре следует выбирать такими, чтобы избежать конден-
сации рабочего вещества в манометрических трассах и связанных
с этим ошибок в измерении давлений.
133
Исследования проводят при фиксированных значениях услов-
ных чисел Маха Ми, для поддержания которых следует при изме-
нении температуры торможения на всасывании соответственно
изменять частоту вращения ротора компрессора. Поэтому при
проведении испытаний необходимы таблицы, указывающие ча-
стоты вращения в заданном интервале изменения температур.
В остальном методика эксперимента не отличается от общепри-
нятой при исследованиях центробежных компрессорных ма-
шин [10].
4.2. ОБЪЕКТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
Экспериментальные исследования проводились на серии коль-
цевых ступеней центробежных компрессорных машин, работаю-
щих на хладагенте R12.
Рис. 4.7. Рабочие колеса
Конструкция колес типична для стационарных центробежных
компрессоров (рис. 4.7). Лопатки постоянной толщины очерчены
по дуге окружности и выфрезерованы за одно целое с основным
диском из одной поковки. Покрывающий диск приклепан к основ-
ному диску. Геометрические характеристики колес представлены
в табл. 4.1.
Все колеса имеют одинаковую ширину б2 — 0,0328, характер-
ную для концевых ступеней многоступенчатых компрессорных
машин. Лопаточные углы выхода 02л изменяются от 15 до 90°,
что позволило охватить весь диапазон, практически применяемый
в компрессоростроении, а лопаточные углы входа р1л всех колес—•
от 30° до 35° 30'. Лопаточные решетки колес с углами р2п = 15°
134
Таблица 4.1
Геометрические характеристики рабочих колес (см. рис. 4.7)
₽2л ₽ 1 л 02эф 01 эф °; °;' D1 кл Di
15° 22° 30' 32° 45°-1 45°-2 63° 90° 33е 30' 32° 30' 32° 30° 35° 30' 30° 35° 30' 25° 20' 27° 50' 38° 40' 46° 10' 44° 30' 60° 27° 45' 27° 28' 25° 30' 23° 20' 35° 56' 23° 40' 33° 31' 0,5902 0,5803 0,6033 0,5836 0,5771 0,5803 0,5771 0,5148 0,5344 0,5049 0,5049 0,5344 0,5344 0,5574 Одноярус- ная решетка 0,7118 0,6033 0,5836 0,5771 Одноярус- ная решетка 0,6066 0,5525 0,5574 0,5541 0,5443 0,5557 0,5574 0,5672 0,5049 0,5049 0,4656 0,4590 0,5049 0,5049 0,5049
02л гм0 bt Тп.д Z,/z, «л «0 «л Як1
15° 22° 30' 32° 45°-1 45°-2 63° 90° 0,0492 0,0492 0,0492 0,0492 0,0262 0,0492 0,0492 0,0754 0,0738 0,0934 0,0862 0,0738 0,0771 0,0780 10° 25' 11° 15° 13° 11° 11° 11° 8/8 6/12 8/16 12/24 8/16 22/22 14/28 0,0180 0,0180 0,0164 0,0164 0,0164 0,0180 0,0148 0,1902 0,2049 0,2672 0,5328 0,4797 3,0492 0,6164 0,3439 0,3869 0,4590 0,7475 0,6869 3,2656 —0,3590 0,0820 0,1197 0,0820 0,0721 0,0656 0,0984
02л Як2 КкЗ ^к4 ^|к F\e ?2е ^Ср
15° 22° 30' 32° 45°-1 45°-2 63° 90° 0,0820 0,1197 0,0820 0,0721 0,0656 0,0984 Одноярусная решетка 0,1197 0,0820 0,0721 0,1203 Одноярусная решетка 0,0984 0,0820 0,0656 0,0820 0,0721 0,0656 0,0656 0,0984 1,2706 1,2541 1,5791 1,4314 1,2503 1,3099 1,3505 0,5907 0,5786 0,6794 0,5673 0,7338 0,5260 0,7460 0,4279 0,4676 0,624 1 0,7214 0,6992 0,8660 0,9549 1,72 2,31 2,84 3,77 2,19 2,80 2,84
Примечания: 1. Для всех вариантов колес Z)2 — 0,305 м; Ьг — 0,0328; Dn = 0.53-11; — = 0.3197; Ям0 = 0,1312. 2. Для колеса с углом 09л = 22° 30* гк| = гк2 = ^кЗ “ ^к4 ~ для остальных колес гК[ = гк2 = ^кЗ = = 0,00328. 3. D, = (5J -J- Dj')/2; F1K = ЛО.Ь,. 4. Входная кромка длинной лопатки колеса с углом р2л = 45°-2 показана в 1 квадранте рис. 4.7, для нее /?к5 = RKg ~ 0,159. 5. Безразмерные параметры записаны с чертой сверху; безразмерные линей- ные величины выражены в долях /Э2. безразмерные площади — в долях F2k — = 95,8186’10-* м8.
и Ргл = 63° выполнены одноярусными, остальных колес — двухъ-
ярусными. Длинные лопатки первого яруса имеют в меридиональ-
ном сечении наклонную входную кромку. Входные кромки лопа-
ток второго яруса параллельны оси вращения. Густота решеток
135
большинства колес находится в пределах, рекомендуемых Для
стационарных центробежных компрессорных машин: (///Ср)опт =
= 2,5-ьЗ,8 [43], где I — хорда лопатки; /ср—шаг решетки на
среднем диаметре. (Подсчет густоты двухъярусной решетки, при-
веденной в табл. 4.1, проводился по длине лопатки первого яруса.)
Исключение составляют колеса с углами 02л, равными 15°, 22° 30'
и 45°-2, у которых густота решетки несколько меньше (в обозна-
чениях 45°-1 и 45°-2 цифры 1 и 2 — номер варианта колеса с ло-
паточным углом выхода 45°).
Важными геометрическими характеристиками лопаточных реше-
ток вообще и рабочих колес в частности являются площади вход-
ных Fle и выходных Fie сечений межлопаточных каналов и опре-
деляемые ими эффективные углы входа 01Эф и выхода Р^ф. Для
одноярусной и двухъярусной решеток с сильно укороченными
лопатками второго яруса (/V квадрант на рис. 4.7) площадь
входного сечения колеса
Fie =
где — диаметр окружности, вписанной во входное сечение
межлопаточного канала; b — ширина колеса в меридиональном
сечении на радиусе, на котором расположен центр окружности
диаметра ах\ — число лопаток колеса на диаметре
Для двухъярусной решетки с незначительно укороченными
лопатками второго яруса (/ и II квадранты на рис. 4.7) площадь
входного сечения находится суммированием площадей входных
сечений каналов I и 2:
F 1е = 21 (Ь1йц + Ь2а12).
Площадь выходного сечения колеса F^ определяется так же.
Метод определения эффективных углов аналогичен применяе-
мому при расчете турбин [1 ] с той лишь разницей, что в расчете
используются не линейные размеры горла и шаг решетки, а фак-
тические площади, что позволяет учесть изменение высоты ло-
патки в меридиональном сечении:
arcsin^r, (4.1)
где а, Эф — угол потока в абсолютном движении; i — номер сече-
ния, для которого определяется аЭф.
Из табл. 4.1 видно, что эффективные углы входа Р1Эф у боль-
шинства колес меньше лопаточных р1л на 5—7°. Исключение
составляет колесо с углом р2л = 45°-2, которое было специально
спрофилировано так, чтобы получить наибольшую площадь Fle.
Для этого число лопаток было уменьшено до 16, а входные кромки
лопаток первого яруса скруглены со стороны спинки, как пока-
зано на рис. 4.7. Одного только значения лопаточного угла 01л
недостаточно для характеристики входного участка колеса, в част-
ности его пропускной способности, определяемой площадью Fle
или, что то же самое, эффективным углом ^эф, так как именно
136
гги параметры В полной мере учитывают загромождение входных
течений профилями лопаток.
Эффективные углы выхода 02эф также отличаются от лопаточ-
ных: при малых значениях 02л они больше лопаточных, при 02л =
= 45° близки к ним, а при больших значениях 02л — меньше
лопаточных.
При малых значениях 02л и г2 (z2 — число лопаток рабочего
колеса) лопатки имеют большую кривизну, а выходной участок
косого среза — значительную радиальную протяженность. Вслед-
ствие этого увеличивается диаметр а2 окружности, вписанной
в выходное сечение межлопаточного канала, и растет площадь Fie.
Несмотря на то, что конечная толщина лопаток уменьшает вели-
чину а2, влияние их кривизны преобладает и 02Эф > 02л-
При 02л = 45° кривизна лопаток меньше, и ее влияние прак-
тически компенсируется конечной толщиной лопаток, поэтому
Ргэф « 02л. При больших значениях 02л и z2 преобладающим яв-
Таблица 4.2
Геометрические характеристики диффузоров (см. рис. 4.8)
Тип диффузора “Зл- а4л а3эф а4эф О4 ut
Лопаточный 5 8 И 14 17 20 23 19° 54' 22° 27' 24° 48' 27° 18' 29° 54' 32° 12' 34° 30' 4° 14' 7° 07' 10° 13° 16' 16° 52' 19° 51' 22° 36' 10° 13° 54' 16° 38' 19° 21' 22° 02' 23° 41' 25° 17' 1,18 1,17 1,16 1,155 ,15 1,14 1,13 1,32 1,34 1,365 1,385 1,41 1,425 1,445 1,782 1,775 1,768 1,758 1,750 1,740 1,733
Безлопаточный — — — — ,15 1,41 --
Тип диффузор» “Зл- aja. Л3Д Р4Д
Лопаточный 5 8 11 14 17 20 23 2,63 2,22 1,92 1,73 1,585 1,48 1,42 1,5686 1,5582 1,5582 1,5362 1,5258 1,5154 1,5049 0,11584 0,19307 0,27030 0,35275 0,44250 0,51451 0,57817 1,7544 1,7836 1,8128 1,8420 1,8702 1,8963 1,9224 0,30466 0,42862 0,51898 0,61026 0,70136 0,76147 0,82100
Безлопаточный — — 1,5258 — 1,8702 —
Примечания: _ 1. Для всех вариантов диффузоров — 0,305 м; 2, = г4 = 22; « Ь4 *= = 0,0436; bjb^ = 1.33. 2. Характерные площади: F^e = г^Ь^ где t — номер сечения диффузора. 3. Безразмерные длины выражены в долях Dt, безразмерные площади — в долях /*2к = nDtbi = 95,8186* 10“^ м2.
137
ляется влияние конечной толщины лопаток, которое приводит
к тому, что р2эф < 02л- Заметим, что у колеса с углом 02л = 90°
лопатки не образуют при выходе участка косого среза, поэтому
для него понятие эффективного угла теряет смысл.
Исследования проводились с лопаточными диффузорами, гео-
метрические характеристики которых представлены в табл. 4.2.
Все диффузоры имеют одноярусную решетку с числом лопаток
г3 = z4 = 22 и отличаются только углами установки лопаток.
Профиль лопатки — аэродинамический, относительная толщина
Рис. 4.8. Лопаточный диффузор при различных углах
установки лопаток
7 %. Средняя линия профиля очерчена по дуге окружности без-
размерного радиуса = 1,357. Безразмерная хорда профиля
L = 0,32. На расстоянии 1/4 хорды от входной кромки находится
отверстие, относительно которого профиль переставляется при
переходе от одного диффузора к другому. Вследствие этого с умень-
шением угла а31 диаметр D3 при входе в решетку увеличивается,
а диаметр О4 при выходе из решетки уменьшается. На рис. 4.8
показана геометрия диффузоров с наибольшим а3л = 23°
(рис. 4.8, а) и наименьшим азл = 5° (рис. 4.8, б) лопаточными
углами входа. Центры отверстий, относительно которых повора-
чиваются лопатки, расположены вдоль окружности диаметра
Оц = 1,207. У всех вариантов диффузоров этот диаметр оди-
наков.
Диффузорность межлопаточных каналов определяется отно-
шением площадей выходного и входного сечений. Размеры этих
сечений в радиальной плоскости определяются диаметрами а3
138
(для входного сечения) и а4 (для выходного сечения). Так как
все исследованные диффузоры имеют в меридиональном сечении
параллельные стенки, то диффузорность каналов однозначно
определяется отношением а4/а3. Из табл. 4.2 видно, что с уве-
личением а3л от 5 до 23° диффузорность каналов уменьшается
от 2,63 до 1,42, т. е. почти в два раза. Это показывает, что наибо-
лее нагруженными являются диффузоры с малыми углами а3л.
Густота лопаточной решетки всех диффузоров составляет lit =
= 1,73ч- 1,78 и близка к нижнему пределу рекомендуемых опти-
мальных значений (//Оипт — 2,0ч-2,4. Эффективные углы входа
диффузоров близки к лопаточным, что связано с влиянием конеч-
ной толщины профилей, а выходные, так же как и у рабочих
колес, значительно меньше, причем разница достигает 8—10°.
С увеличением густоты решетки эта разница уменьшается.
С целью сопоставления характеристик колес при работе с диф-
фузорами различных типов ряд исследований выполнялся на
ступенях с безлопаточный диффузором, радиальная протяжен-
ность которого была такой же, как и у исследованных лопаточных
при больших углах установки лопаток.
За диффузором расположена кольцевая камера постоянного
сечения. Безразмерный диаметр ее внутренней полости DK =
— 0,361. Центры окружностей, составляющих внутреннюю по-
лость камеры, расположены на диаметре Оц.к = 1,18.
Безразмерные диаметры входного и выходного сечений экспе-
риментальной модели £)н = 0,6787 и DK = 0,4885.
4.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СТУПЕНИ
Рабочее колесо
Коэффициент теоретической работы колеса. В практике комп-
рессоростроения обычно полагают, что зависимость коэффициента
теоретической работы от коэффициента расхода <р2н = / (<р2г)
имеет линейный характер. Многочисленные исследования, вы-
полненные в основном на воздухе при умеренных значениях
условного числа Маха (Mu < 1), хорошо это подтверждают.
Наиболее распространена для определения коэффициента теоре-
тической работы формула Стодолы [43]
ф2а = 1 — -Ц-sin ра — ctgp2, (4.2)
в которую обычно подставляют значение лопаточного угла р2л.
Результаты экспериментов, выполненных при Ми < 1 на сту-
пенях с колесами различных типов, показывают, что формула
Стодолы дает хорошее совпадение с экспериментом при больших
значениях 02л и z2 (рис. 4.9). При малых значениях р2г и г2 рас-
четы по формуле (4.2) приводят к значительным ошибкам в опре-
делении ф2и. Это связано с особенностями геометрии рабочих
колес с лопатками, очерченными по дуге окружности. В основе
139
формулы Стодолы лежит представление об условном осевом вихре,
диаметр которого равен диаметру окружности, вписанной в вы-
ходное сечение межлопаточного канала. На рис. 4.10 для р2л =
= 15° штриховой линией показан размер а2р, закладываемый
Рис. 4.9. Коэффициент теоретической работы колес с раз-
личными углами выхода:
----- О ------ — эксперимент; -------------расчет по 02л;
-------------------------- расчет по 02эф
в расчет, если в формулу (4.2) подставлять лопаточный угол р2л,
и для сравнения дан фактический размер п.2 при выходе из меж-
лопаточного канала. Видно, что при большом шаге, особенно
в тех случаях, когда радиус А?л,
которым очерчена лопатка, неве-
лик (Ял < Т?2), фактический раз-
мер а° всегда будет больше а2|).
Кроме того, ширина канала в ме-
ридиональном сечении с уменьше-
нием радиуса возрастает, а зна-
чит, надо принимать в расчет
не линейные размеры, а соответ-
ствующие им площади.
Точность определения коэффи-
циента теоретической работы при
малых углах р2п можно увеличить,
Рис. 4.10. К определению эффектив-
ного угла выхода [12:,ф
если вместо лопаточного угла в формулу (4.2) подставлять эф-
фективный угол (32эф, найденный из (4.1). Сопоставление опыт-
ных и расчетных зависимостей (см. рис. 4.9) показывает, что при
Рал < 45° расчет по р2эф дает лучшую сходимость с эксперимен-
том, а при р2п = 45-=- 63° расчеты по р2л и р2эф дают близкие
результаты, удовлетворительно согласующиеся с опытом. Это дает
основание рекомендовать использование угла р2эф в формуле
Стодолы при р2л < 63°. Основной недостаток формулы Стодолы
состоит в том, что она не учитывает влияние течения при входе
в колесо. Как показано в ряде исследований, проанализированных
140
и обобщенных В. Ф. Рисом [431, увеличение р1л при неизменном
значении 02л сопровождается ростом ф2и.
Применение серии лопаточных диффузоров с различными
углами а3л позволило провести исследование рабочих колес
в очень широком диапазоне производительностей (рис. 4.11):
Р2Л .................15°; 22° 30'
<р2Г .................0,05—0,28
32°; 45°-1; 63° 90°
45°-2
0,06—0,37 0,06—0,42 0,07—0,50
Анализ экспериментальных зависимостей для коэффициента
теоретической работы показывает, что у колеса с углом р,л = 15°
Рис. 4.11. Коэффициенты теоретической работы колес с различными углами
выхода Р2Л:
1 - Р2Л = 15°; 2 - Р2Л = 22» 30'; 3 - Р2Л = 32»; 4 - Р2Л = 45»-1; 5 - Р2Л = 45»-2;
« - Р2Л = 63»; 7 - Р2Л= 90»;
------------------М = 0,81;---------------Ми = 1,015;-------------Ми = 1.215;
-----------------Мц = 1,42;-----------------------Ми = 1,63
при всех исследованных значениях М„ зависимость ф.,„ = [ (<р2,)
может быть представлена одной прямой. У колеса с углом р2л =
= 22° 30' при больших производительностях наблюдается излом
и расслоение зависимостей <p2u = f (ф2г). Так, при Ми = 0,81
в точке ф2г = 0,18 линия <р2и имеет излом, после которого она
идет круче, хотя ее линейный характер сохраняется. Эго соот-
ветствует внезапному уменьшению угла выхода потока из колеса
в относительном движении. С увеличением Мц точка, в которой
происходит излом характеристик, смещается в сторону мень-
ших значений ф2г: при М„ = 1,63 излом наблюдается при ф2г =
= 0,14. Таким образом, зависимости ф2ц (ф2г) в области больших
производительностей расслаиваются и становятся зависимыми
от М„. При ф2г = 0,14-е-0,28 линии ф2и (ф2г) для всех значений М„
идут почти параллельно.
Коэффициент теоретической работы колеса с углом 02л = 32°
также зависит от М„ при ф.2;. = 0,184-0,35, причем здесь линии
ф2и (ф2Г) идут после излома тем круче, чем выше Мы.
Из всех исследованных колес наиболее чувствительным к изме-
нению Мц оказалось колесо с углом 02л = 45°-1, у которого при
Ма = 0,81 излом характеристик происходит при ф2г = 0,28,
а при М„ = 1,63 смещается в сторону меньших производитель-
ностей — до ф2г — 0,14. В этом диапазоне изменения ф2г расслое-
ние линии ф2и (ф2г) особенно значительно, причем и здесь с ро-
стом Ми увеличивается их крутизна. Колесо с углом 02л = 45°-2,
имеющее меньшее число лопаток и увеличенную площадь вход-
ных сечений, несколько менее чувствительно к изменению Ми.
При Ми = 0,81 излом характеристик при ф2, = 0,28, а с уве-
личением М„ до 1,42 он смещается к точке ф2< = 0,20. Заметим,
что на этом же режиме у колеса с углом (32л = 45°-1 излом линии
ф.2!; (фаг) наблюдается при ф2г = 0,18.
У колеса с углом [}2л = 63° зависимость коэффициента теоре-
тической работы от М„ слабее, чем у колес с углами |32л = 45°.
Крутизна линий ф2и (ф2г) после расслоения несколько меньше,
чем в варианте |32л = 45°-2.
Зависимость ф2и (ф2г) для варианта р2л = 90° несколько иная.
Здесь наблюдается обратная картина: при Ми = 0,81 характе-
ристика ф2„ (ф.2г) представляет собой прямую линию, а при уве-
личении М„ до 1,015 она имеет излом в точке ф2г = 0,44, причем
в сторону увеличения ф2и, а не уменьшения, как это было у колес
с углами р2л = 22° ЗО'ч-бЗ0. Дальнейшее повышение Ми до 1,215
вызывает смещение излома к точке ф2г = 0,24. После излома
линии ф2„ (ф2г) идут практически горизонтально.
Полученное из опыта расслоение характеристик наблюдается
у всех колес в области больших производительностей, причем
чем больше М„, тем меньше значение ф2г, соответствующее началу
излома линий. При таких производительностях течение газа
во входных участках косых срезов межлопаточных каналов колес
ускоренное или, по крайней мере (при MWl « 1), не сопровож-
дается изменением скорости. В результате во входных сечениях
каналов скорость потока достигает звуковой, а при дальнейшем
движении в глубь канала за счет подвода энергии может превы-
сить звуковую. Особенностями трансзвукового течения в канале
колеса в относительном движении, по-видимому, и объясняется
установленное из опыта расслоение зависимостей ф.2ц (ф2г). Таким
образом, в общем случае коэффициент теоретической работы зави-
сит не только от коэффициента расхода, но и от числа Маха,
определяющего уровень скоростей при входе в колесо и в меж-
лопаточных каналах.
Необходимо специально остановиться на выборе числа Маха,
которое позволит наиболее полно отразить особенности работы
колеса при различных режимах и методах регулирования.
142
При осевом входе в колесо, когда закрутка потока во входном
регулирующем аппарате (ВРА) отсутствует, казалось бы вполне
допустимым представление
<Р2,, = f (&„ М„). (4.3)
Если ориентироваться на одно рабочее вещество, то этого
было бы достаточно. Однако при сжатии различных веществ,
имеющих разные условные показатели изоэнтропы ky, одинако-
вым значениям Ми и ф2г будут соответствовать разные числа Маха
Ма,, при входе в решетку.
При регулировании производительности с помощью ВРА
поток при входе в колесо закручивается на угол 0Х, что вызывает
изменение относительной скорости потока в этом сечении. Если
известны Му, и МС|Г (с1г — радиальная составляющая абсо-
лютной скорости при входе в колесо), то число Маха Мш, связано
с углом закрутки потока 0Х зависимостью
Г _ / _[ М2 ' ,
М -= М 1 4- —?______—
I1“'< U'aub'i (। -t- 2 COS201 )
I k +1 м2 \I/2 V2
-2MuD1M.J1 + ^-73^_J tg01 + Mj .
Приняв Mu = 1,2, £>х = 0,525, MCJr = 0,36, ky = 1,08, при
отсутствии закрутки потока, когда 0Х = 0, получим Ма,, = 0,727.
При 0г — +30°, что соответствует закрутке потока по направ-
лению вращения колеса, Ма,, = 0,516, т. е. на 30 % меньше,
а при 0Х = —30° Ма,, = 0,89, т. е. на 22 % больше. Видно, что
закрутка потока сильно влияет на уровень чисел Маха М®, при
неизменном значении Ми.
Так как отмеченное выше расслоение кривых коэффициента
теоретической работы связано с возникновением трансзвуковых
течений в колесе, которые в первую очередь зависят от уровня
относительной скорости при входе в колесо, то естественным
будет представление коэффициента теоретической работы в виде
(С2и = /ЧФ2О Мш,). (4.4)
Если допустить, что перестроение потока прй входе в колесо,
вызванное закруткой, не влияет на эффективность процесса
в колесе, то при разных углах 0Х одним и тем же значениям ф2г
и Ма,,, а значит, согласно (4.4), и ф2и будет соответствовать оди-
наковый угол
Pi -= arcsin(<j2r/jri 2/Е1к),
так как в обоих случаях коэффициент будет один и тот же.
Таким образом, полученные из опыта характеристики вида
(4.3) должны быть перестроены к виду (4.4), и только после этого
их можно использовать при моделировании характеристик с по-
143
мощью ЭВМ. Для такого перестроения дополнительно необходимо
иметь зависимости
Ми,, Ми).
На рис. 4.12 представлены обе зависимости, полученные из
опыта для рабочего колеса 45°-1. В области больших значений <р2г
величина Ми,, практически перестает
Рис. 4.12. Исходная экспериментальная зави-
симость гр2и / (<f2r, Ми) и ДЦ = / (<('2Г, Ми)
для рабочего колеса с углом Р2Л = 4'/-1:
----------------Мц = 0,81;------------М„ =
= 1,015; —— - Ми = 1,215;-------------—
Мц = 1,42; -----------------Ми = 1,63
изменяться по мере увели-
чения <р2г- Это свидетельст-
вует о достижении предель-
ной производительности
колеса, обусловленной за-
пиранием входных сече-
ний межлопаточных кана-
лов из-за возникновения
в них околозвуковых ско-
ростей потока. Важно от-
метить, что при значениях
<р2г, соответствующих мо -
менту приближения МЖ1
к предельным для каждого
условного числа Маха М,
значениям, т. е. в начале
режима запирания вход-
ных сечений каналов , как
раз и наблюдается излом
зависимостей <р2„ = f (<р2г,
Ми). Это подтверждает
ранее высказанное пред-
положение о влиянии на
*₽2и уровня чисел Маха в
каналах рабочего колеса.
Из рис. 4.12 определя-
ют значения ф2« и Ми>1
вдоль вертикальных ли-
ний <р2г = const. Интервал изменения <р2г выбирают возможно
меньшим, чтобы не утратить точность при перестроении. По
полученным данным строят промежуточный график ср2и =
= f (Mu,,, cp2r) (рис. 4.13). Линии Mu = const, приведенные на
этом графике, являются вспомогательными. Особенность итера-
тивных расчетов на ЭВМ, при которых некоторые искомые вели-
чины сначала задаются, а затем проверяются, приводит часто
к тому, что в начале итерационного процесса значения парамет-
ров выходят за пределы, полученные экспериментально. Сходи-
мость к решению системы может быть в этом случае достигнута,
если порядок величин и характер их изменения будут соответ-
ствовать физическому смыслу процессов, протекающих в эле-
ментах ступени. Следовательно, требуется экстраполяция харак-
теристик элементов за пределы области, определенной экспери-
ментом. При этом всегда нужно выделять экспериментальную
144
область, чтобы иметь возможность проанализировать получен-
ный результат и оценить степень его достоверности. На рнс. 4.12
и 4.13 область значений коэффициента теоретической работы,
полученная из опыта, ограничена линиями А—А, Ми = 0,81,
Ми = 1,63 и <р2г = 0,05. Внутри этой области зависимости ф2и =
= f (М^, <р2г) представлены сплошными линиями, а за ее преде-
лами — штриховыми. Экстраполяция выполнена на рис. 4.13
с учетом особенностей, установленных опытом: в области малых
значений ф2г зависимость ф2и = f (ф2г, Ми) принята линейной и
Рис. 4.13. Промежуточная зависимость <p2u = f cp2r)
для рабочего колеса с углом р2л = 45°-1
не зависящей от Ми; в области больших значений ф2г учтено, что
после излома характеристики она идет по мере увеличения ф2г
прямолинейно.
Из рис. 4.13 для каждого значения М^, определяют значе-
ния ф2ц в точках пересечения линий М»,, = const и ф2г = const.
Результаты наносят на график (рис. 4.14), который и представ-
ляет собой искомую зависимость ф2ц = f (ф2г, МЛ|). На нем
область экстраполяции опытных данных также выделена штри-
ховыми линиями. Если колесо работает при небольших условных
числах Маха (Ми < 0,8), то задача намного упрощается. В этом
случае коэффициент теоретической работы от МЖ1 практически
не зависит и может быть представлен одной линией. Построенные
таким образом характеристики для исследованных колес пред-
ставлены ниже (см. рис. 4.19 и 4.20).
Ю Н. Н. Бухарин 145
Коэффициент потерь колеса. В результате эксперимента зави-
симость коэффициента потерь колеса от угла натекания потока
на лопатки получается для каждого фиксированного значения Ми:
?о_2 = f (h, MJ, (4.5)
где — угол натекания потока на лопатки колеса.
На рис. 4.15 такая зависимость представлена для колеса
с углом р.2., = 45°-1 при М„ = 0,81 ч-1,63. Видно, что с ростом Ми
минимальные значения t0_2 увеличиваются, а зона минимума по-
терь смещается в сторону меньших производительностей. При
увеличении производительности свыше оптимальной коэффициент
потерь возрастает — тем сильнее, чем выше Ми. При Ми 1,015
четко видны углы натекания, соответствующие предельно воз-
можной производительности колеса. Этим режимам соответствуют
крутые восходящие ветви характеристик, переходящие в вер-
тикали. Иная картина наблюдается при уменьшении производи-
тельности, когда коэффициент потерь монотонно возрастает
вплоть до самых больших углов натекания и характер его изме-
нения таков, что колесо может работать при сколь угодно малой
производительности, хотя и с очень значительными потерями.
Для перестроения характеристики (4.5) к виду £п_2 = f (ix, МЮ1)
необходимо дополнительно располагать зависимостью Ма>, =
= Н<1, М„), которая дана на рис. 4.15. Видно, что с уменьше-
нием Л величина Мш, растет до максимума, соответствующего
предельной производительности колеса.
При экстраполяции зависимостей Ма, = /"(й.Мц) надо исхо-
дить из следующих соображений. Относительная скорость потока
146
при входе в колесо (в общем случае с закруткой потока с помощью
ВРА на угол 0J определяется по формуле
w, СУ. =________________41________
1 sin Pi (ctg Pi + tg 0i) sin Pi
Переходя к безразмерным величинам, получим
М —____________Мц£)1_______— (4 6)
(ctg Pl 4- tg 01) sin Pl fli •
При экстраполяции по известным величинам Mi, и pj иско-
мое значение Ма,, при новом угле находим из соотношения
м _ (ctg Р( + tg е;) sin р; с;
- ма., (ctgP1 + tg0i)sinpi fli •
(4.7)
В частном случае, когда закрутка потока при входе в колесо
отсутствует, формула (4.7) упрощается:
М — М' cos^‘ -2k
cospi oi .
При небольших изменениях производительности, что обычно
имеет место при экстраполяции, вполне допустимо положить,
что отношение скорос-
тей звука а'\!а\ равно
единице.
Зависимость для
коэффициента потерь
колеса (4.5) описывает
двумерную поверхность
с переменными грани-
цами, так как каждому
значению А4и (рис. 4.15)
соответствует свое пре-
дельное значение угла
натекания и, значит,
наибольшая для данно-
го режима производи-
тельность. При экстра-
поляции характеристик,
связанных уравнением
(4.5), необходимо оце-
Рпс. 4.15. Исходные экспериментальные за-
висимости 4, 2 = / (ij, М„) И Мц,] = f (ц, Mu)
для рабочего колеса с углом Р2л -_= 45°-1
нивать предельные значения ij для каждого условного числа Маха
Ми, чтобы получить данные, приближенно отражающие физи-
ческую картину течения.
Предельная производительность радиальных колес оценива-
лась В. Ф. Рисом (431 и Г. Н. Деном [15], осерадиальных колес —
Г. Е. Ципленкиным [47 ], лопаточных диффузоров — Д. А. Ка-
пелькиным [43].
Относительная скорость потока в каналах колеса на любом
радиусе может быть определена, если известны параметры потока
при входе. Рассмотрим этот вопрос применительно к пронзволь-
10*
147
ному газу, используя метод условных температур. Процесс тече-
ния газа будем считать в общем случае политропным, что соот-
ветствует адиабатному течению с потерями.
Уравнение расхода для входного сечения колеса и произволь-
ного сечения ниже по потоку, т. е. на большем радиусе, имеет
вид pwF = о1г£’1лО1Ь1 sin Так как при политропном процессе
p/pi = (Ту/Ту1)' \ для произвольного сечения получим
1 "у 1
м. - М„ OV . (4.8)
\ / у / Г
Из выражения для полной работы
Г = 0,5 («2 — и\) -р 0,5 (да? — да2) + 0,5 (с2 — г?)
определим статическую работу в колесе, записав ее в виде
\kyl(ky - 1)1 R (Ту - Ту1) = 0,5 (и2 - «?) + 0,5 (да? - да2).
Далее найдем отношение температур [15]
Ту! = ____________< + [^у-1)/2]М2т__________
7у 1 + [(*y-1)/2]ML,[(«I/«1)2(D2/D2-l)+l]
Отношение скоростей в безразмерных параметрах
> Г М?,. (4.10)
1 ‘со,
В общем случае при наличии закрутки потока
М?, = sin2Pi (1 +tg20i). (4.11)
Преобразуем выражение (4.8) с учетом (4.9)—(4.11) Тогда
у пу+ 1
/ t 1 _ \ 2 /i v ~~ 1
мш (1 + м2ш)
;= . ^. SinP. [ ! 4 Ау! М2 P1L Г j + 2 y sl М2 х
/ 2 Mr L
Левая часть этого уравнения содержит искомую величину М,„,
правая — все известные параметры. Если рассматривать только
входные сечения каналов колеса, где F = Fie и D = Du, то отно-
шение площадей в правой части равенства будет коэффициентом
диффузорности косого среза колеса
«К.С1 = FJfrDib! sin pt). (4.13)
148
Левая часть уравнения (4.12) по мере увеличения числа М,и
от 0 до 1 возрастает, а затем, при дальнейшем увеличении M[t,
уменьшается. Таким образом, каждому значению правой части
удовлетворяют два значения соответствующие дозвуковому
и сверхзвуковому течению. Для однозначного определения М1Х.
в заданном сечении одного уравнения (4.12) недостаточно. Необ-
ходимо иметь дополнительные уравнения, определяющие стати-
ческое давление в сечении, с помощью которых величина Мш
может быть найдена однозначно.
Предельной производительности колеса соответствует число
МШ1е= 1. Подставив его в левую часть уравнения (4.12) и учтя
(4.13), найдем
1 лу+1
_i лу+‘
(7)2 5 \ \ 2 /jy ~~~ 1
^-1)4-1
! J J
(4-14)
Угол pit удовлетворяющий этому уравнению, и будет наиболь-
шим углом, соответствующим предельной производительности
колеса. Для определения последней при фиксированном значе-
нии Ми необходимо решить систему уравнений (4.7) и (4.14)
или (4.6) и (4.14), так как при Mu = const увеличение сопро-
вождается увеличением М^,,.
Задача определения предельной производительности несколько
усложняется, если решетка рабочего колеса выполнена двухъярус-
ной, причем лопатки второго яруса подрезаны незначительно и па
участке между двумя длинными лопатками расположены два
входных сечения: одно образовано спинкой длинной лопатки и
корытом короткой, другой — спинкой короткой лопатки и коры-
том длинной (/ квадрант на рис. 4.7). В этом случае площадь вход-
ного сечения межлопаточных каналов 1 и 2 (см. рис. 4.7) =
= Ла + Лй. где Ла = ацЬ^; Fle2 = a12b12Z!. Диаметры рас-
положения центров сечений будут различными.
В начале расчета необходимо получить предварительные зна-
чения коэффициентов уменьшения расхода:
Ли := Ла/Л«; KGi ~ FleJF 1г-
С помощью этих коэффициентов определяются значения уг-
лов рп и р12 для каналов 1 и 2. Расчет ведется по формуле
(4.14), в которую вместо 1/пк.с. i подставляется величина
sin РцЛд/Ла Для канала / и ^Dlbl sin РхаЛм/Лл Для
канала 2. В результате первого расчета углы ри и р12 обычно
получаются различными. Эго указывает на необходимость кор-
ректировки коэффициентов уменьшения расхода, которые следует
149
итеративно определить такими, чтобы углы и 012 совладали
с требуемой точностью.
Промежуточная короткая лопатка может быть подрезана так,
что между спинкой и корытом длинной лопатки образуется сплош-
ное переходное сечение, а сразу за ним начинается промежуточ-
ная лопатка, вызывающая стеснение проходного сечения (IV квад-
рант на рис. 4.7). В этом случае предельная производительность
колеса может определяться как первым, так и вторым сечениями.
Расчет должен проводиться для каждого сечения, а предельной
производительностью будет наименьшее из полученных значений.
Характеристика Со_2 = f (й, Ми), подготовленная таким обра-
зом к перестроению, представлена на рис. 4.16. Линии А—А и
Б—Б ограничивают область, за пределами которой осуществляется
экстраполяция экспериментальных данных. Так как для каждого
значения М„ в области больших углов й граница характеристики
своя, то последовательность перестроения изменяется. В области
малых и средних производительностей при фиксированных зна-
чениях й определяются Со-2 и М®, и строится промежуточная
зависимость (рис. 4.17). В области больших производительностей
интерполяция осуществляется вдоль произвольных линий а—а,
б—б и т. д., вдоль которых также определяются Со-2 и Мж, в точ-
ках пересечения с линиями М„ = const и наносятся на отдельные
графики в виде функций Со-2 (й) и Мда, (й). При построении ре-
зультирующего графика значения Со-2 и й Для малых и средних
производительностей берутся вдоль линий МШ1 = const из
рис. 4.17, а для больших — из отдельных графиков для линий
а—а, б—б и т. д. Сами эти линии предварительно наносятся на
рис. 4.18 точно в таком же положении, которое они занимают на
рис. 4.16. Последовательность построения в этом случае такова:
150
из графиков для каждой линии определяется величина £0_2 или i\,
соответствующая заданному значению MW1, и полученная таким
образом точка наносится на одноименную линию результирую-
щего графика (рис. 4.18).
Рис. 4.17. Промежуточная зависимость =
= /('ъ Для рабочего колеса с углом 02Л =
= 45°-1
Работа по перестроению экспериментальных зависимостей
в нужных координатах не слишком сложна, но трудоемка и тре-
бует известного навыка. Ее можно избежать, если осуществить
численное выделение зависимости £0_2 = f (й. М»,) путем
совместного решения системы уравнений £0-2 = f (t’i, Mu) и М^, =
= f (£'i. MJ с помощью ЭВМ. Такой подход требует предваритель-
ной аппроксимации исходных зависимостей и позволяет намного
ускорить получение результата и повысить его точность.
151
На рис. 4.19 и 4.20 представлены характеристики остальных
исследованных колес, построенные в требуемых координатах
£0_2 = f (й, Мц,,). Сопоставление при одинаковых значениях Мц,,
показывает, что чем больше лопаточный угол выхода 02л, тем
выше £0_2. Это, конечно, не означает, что термодинамический про-
цесс будет идти в колесах с малыми углами 02л с меньшим откло-
нением от изоэнтропы, чем в колесах с большими углами 02л.
Связь между коэффициентами изоэнтропности и потерь устанав-
ливается зависимостью
Zo—2= 1 — ?0-2ф1/(2%^0—2)>
из которой следует, что чем меньше произведение Х^о_л, тем ниже
будет Z0_3 при одинаковых £0_2 и Уменьшение КПД ступени
Рис. 4.18. Итоговая зависимость £о_2 = f (ц, Мда1) для рабо-
чего колеса с углом Р2л = 45°-1
из-за потерь в колесе при одинаковых £0_2 и Фг будет тем незна-
чительнее, чем выше % [см. уравнение (2.35)]. Поэтому для ва-
риантов ступеней с р2л = 15-i- 32° КПД ниже, чем для ступеней
с Рал = 45°, так как значения х У них меньше.
С уменьшением угла натекания ilt что соответствует росту
производительности, коэффициент потерь колеса увеличивается
в тем большей степени, чем выше М»,. Это особенно заметно
у колес с углами р2п = 45°-1 и р2л = 63°, имеющих наименьшую
площадь входных сечений Р1Л, и связано с ростом числа Маха Мц,1в.
Оценка уровня значений М,Г](. может быть проведена с помощью
уравнения (4.12), в котором надо вместо Мц,, F и D записать Mwie,
Fie и Dle.
152
а

<3-0,4

0 0,f 0,2 0,3 tf2r
Рис. 4.19. Характеристики рабочих колес: а — £2Л = 15°; б — Р2Л = 22° 30'; в — f>2 = 32°
Сл
Диффузоры и обратный направляющий аппарат
Лопаточный диффузор. Между колесом и входными кромками
лопаток расположен безлопаточный кольцевый диффузор. Так как
в унифицированных ступенях число вариантов диффузоров неве-
лико и в машинах разных производительностей одноименные
варианты геометрически подобны, в том числе по относительным
ширине b3/b2 и радиальной протяженности безлопаточного участ-
ка D3, то лопаточный диффузор удобно рассматривать совместно
с предшествующим ему безлопаточным участком, приняв во вни-
мание, что режим работы лопаточной решетки определяется
параметрами а3 и МС|.
Таким образом, коэффициент потерь лопаточного диффузора
можно было бы представить в виде
^2-4 =/(аз, MJ или £з-4 = /(»3, МСз).
Для концевых унифицированных ступеней, имеющих геоме-
трически подобные выходные устройства, целесообразно рассма-
тривать характеристику диффузора совместно с выходным устрой-
ством:
&-К = /(а3, Мг3) или £2-к = f (is, Мс>).
Однако в этом случае применение регулирования поворотом
лопаток диффузора или серии диффузоров, отличающихся только
углом установки лопаток при неизменном их числе, одних и тех же
профиле и остальных геометрических соотношениях, потребует
получения для каждого варианта своей характеристики с после-
дующей интерполяцией на промежуточные углы установки лопа-
ток, не охваченные экспериментом. Такой путь в принципе воз-
можен, но трудоемок и сложен, поэтому необходимо использо-
вать параметры, которые позволят обобщить характеристику
диффузора с различными углами а3 в единую зависимость. Для
лопаточного диффузора таким параметром оказался коэффициент
диффузорности косого среза пк. с3, введенный ранее для канально-
лопаточных диффузоров [6] и затем проверенный для ряда лопа-
точных диффузоров. Обобщив опытные характеристики диффу-
зоров с углами а3л = 11 ч-20° (см. табл. 4.2), полученные при
исследовании ступеней с колесами, углы 02л которых равны
22° 30', 45°-2 и 90° (см. табл. 4.1) 17], можно видеть, что при
МСа = const характеристики всех диффузоров в составе разных
колес ложатся на одну линию в координатах = / (пк. сз)
(рис. 4.21). При а3 < 11° и азл > 20° характер изменения £2_к =
~ f (лк.сч) в целом такой же, однако сами значения £2_к несколько
выше, что легко можно учесть введением поправочных коэффи-
циентов, полученных опытным путем.
Итоговая обобщенная характеристика лопаточного диффузора
при различных углах установки лопаток представлена на рис. 4.22.
Предельная производительность лопаточного диффузора может
быть определена по уравнению (4.14), ранее полученному для рабо-
155
чего колеса. Так как диффузор является неподвижным элементом
и работа к газу в нем не подводится, то, приняв Ми = 0, запишем
уравнение в более простом виде
1 "у+1 1 "у+1
х 2 / пк_ сз \ 2 3 /
Когда рассматривается весь участок 2—k, то достаточно одной
зависимости £2_к = / (пь._сз, МСа), так как площадь FK известна,
Рис. 4.21. Характеристики лопаточных диффузоров с различными
углами азл, полученные при работе с разными колесами:
“зл. о ₽2Л
22°3(И 45°-2 90°
11 14 17 20 V □ О о ▼ • ♦ е X X о
но если рассматривается только диффузор, то к зависимости
С2-4 = f (Мк.с.з, Мс,) необходимо присоединить зависимость а1 =
= / («к.с з. Мс>). Для оценки величины а4 можно использовать
формулы (3.25) и (3.26).
Безлопаточный диффузор. Характеристикибезлопаточногодиф-
фузора могут быть представлены в виде £ 2-i =7 («2> Мс J и а4 = / (а2,
МС2). Однако, как показывает опыт, безлопаточный диффузор мало
чувствителен к уровню чисел Маха М^,. На рис. 4.23 даны харак-
теристики £2_н безлопаточного диффузора (63 = 0,0436; balb2 —
= 1,33; D4 = 1,41) совместно с кольцевой камерой, полученные
при исследованиях ступеней с колесами, углы [32л которых равны
45°-2 и 22° 30', в диапазоне Ми — 0,8-=- 1,4. При этом величина Мг,
изменялась в пределах 0,4ч- 1,0. Как видно, практически все
экспериментальные точки ложатся на одну кривую, что свиде-
156
тельствует о слабом влиянии уровня чисел Маха М,2 на коэф-
фициент потерь безлопаточного диффузора. К сожалению, опыт-
ных данных о работе безлопаточных диффузоров при высоких
значениях М1; пока очень мало, и полученный результат трудно
распространять на безлопаточные диффузоры, имеющие иные
геометрические соотношения. Однако, если учесть, что в таких
диффузорах предельную производи-
тельность определяет не величина
Мс, а только ее радиальная состав-
ляющая МС/., которая при обычных
углах потока значительно меньше,
то слабое влияние уровня значений
МС2 на потери, по-видимому, будет
наблюдаться и у других безлопаточ-
ных диффузоров. В этом случае опыт-
ная зависимость становится одномер-
ной: £2_4 = / (а2), что упрощает рас-
чет.
Для безлопаточных диффузоров,
отличающихся только шириной, воз-
можно обобщение зависимостей коэф-
фициента потерь от режима работы
диффузора. Г. Н. Ден [14] показал,
что при МСя ж 0,3 характеристики
Рис. 4.22. Обобщенная харак-
теристика лопаточного диффузо-
ра w-к = f (чк.сз, Мсз)
безлопаточных диффузоров с параллельными стенками, у кото-
рых относительная ширина изменялась в пределах 63 — б2 =
=- 0,020 -0,075, а остальные размеры были одинаковыми, могут
Рис. 4.23. Обобщенная характеристика безлопаточного диф-
фузора (обозначения точек см. на рис. 4.21)
быть обобщены в одну кривую, построенную в координатах £2_« —
= / (0,), где 0Э — угол раскрытия эквивалентного конического
диффузора, определенный по формуле
9.-2 3^(2 1-570.^^=).
а угол а3 определяется из известного соотношения
а3 = arctg (Ь,/Ья) tg а,.
Более сложной является задача определения угла выхода
потока а4. Если есть возможность установить при выходе из диф-
фузора зонды-угломеры, то осредненные значения at можно
157
получить непосредственно по результатам траверсирования по-
тока [10]. В противном случае следует воспользоваться зависи-
мостью [43]
а4 -= arctg ( ^тр Ф- >
'. Pi I
в которой отношение плотностей р2/р4 будет определяться для
политропного процесса сжатия в диффузоре, а коэффициент &тр,
учитывающий потери момента количества движения, должен
приниматься на основании специальных исследований. При этом
необходимо учитывать, что величина йтр будет в значительной
степени зависеть от относительной ширины безлопаточного диф-
фузора, для которого она получена.
Рассмотрим безлопаточные диффузоры, отличающиеся только
шириной и работающие в одном и том же режиме. Пусть известен
момент трения, который в соответствии с законом сохранения
момента количества движения запишется так:
М (Фа» — ФпА) Gu2D«. (4.15)
Окружная составляющая скорости при выходе из диффузора
го - Ф*' ter п..
fp4u L п /, ь ®2’
«Тр Р2 °2
Если предположить, что трения нет, то £тр = 1 и окружная
составляющая будет больше:
Т4» ИД •-= Tlr tg а2-
Кроме того, из формулы (4.15), приравняв М к нулю, можно
получить соотношение ср211 = <р4и ПДО4, подставив которое в ту же
формулу (4.15), найдем
Теперь допустим, что величина kjp была получена для диффу-
зора относительной шириной б]. Момент трения М определяется
главным образом трением в относительно тонком пристеночном
пограничном слое, а в ядре потока вязкость газа на его движение
практически не влияет. Поэтому в первом приближении положим,
что у диффузора, отличающегося только шириной 67, момент
трения будет таким же, хотя производительность может значи-
тельно отличаться (параметры этого диффузора обозначим двумя
штрихами). Выделив из уравнения (4.16) момент М и приравняв
правые части, получим
Л! = (1 - 1/Ц,)С'Л = П - w;p)G .4,
где
Л = гр4, ctg a2«2D2D4.
РЗ °2
158
соответствует значе-
Рис. 4.24. Характери-
стика обратного направ-
ляющего аппарата
Таким образом, в обоих случаях отношение и режим
работы диффузора — одни и те же.
Полученное выражение позволяет определить величину к'ц,
для диффузора относительной шириной б4, если известно значе-
ние для диффузора б4: й'гр = 1/11 —(1 — 1/&тР) (G7G')].
Так как отношение производительностей при выбранных условиях
сопоставления близко к отношению б4/64 (или б'г/бз), то оконча-
тельно можно записать
*;Р - I/O - (1 - 1/М (б)7б))]. (417)
Расчеты показывают, что если для диффузора, имеющего б] =
= 0,06 и йтР = 1,100, что при а4ид = 25°
нию а4 = 27,15°, то для диффузора, имею-
щего б4 = 0,03, на основании формулы
(4.17) будет fe'rp = 1,222, что при том же
угле а4ид = 25° будет соответствовать
значению а4 = 29,7°, т. е. разность Аа4 =
= а4 — а4ид увеличится для более узкого
диффузора с 2,15 до 4,7° (более чем в два
раза).
Обратный направляющий аппарат. Ско-
рости газа в обратном направляющем ап-
парате (ОНА) обычно невелики, а числа
Маха Мс при входе на лопатки не превы-
шают 0,2—0,3. Поэтому коэффициент по-
терь ОНА является одномерной зависи-
мостью с4_й = / (а4). Типичная характе-
ристика ОНА показана на рис. 4.24
(141, причем для того чтобы ее получить, необходимо проводить
исследования с безлопаточный диффузором или с лопаточным,
имеющим поворотные лопатки. При исследовании ОНА в ступени
с лопаточным диффузором, имеющим неподвижные лопатки и,
значит, практически постоянный угол потока а5 при входе в ОНА,
может быть получена только одна точка этой характеристики.
Для определения угла выхода потока из ОНА можно восполь-
зоваться известными рекомендациями [43] или просто принять
= 90°. Погрешность, вносимая таким допущением, как уже
говорилось выше, пренебрежимо мала.
Входное и выходное устройства
Входные устройства в современных центробежных компрес-
сорах все чаще имеют встроенный входной регулирующий аппа-
рат (ВРА), предназначенный для регулирования производитель-
ности закруткой потока при входе в колесо. В этом случае целе-
сообразно рассматривать характеристику входного устройства
совместно с ВРА.
Входные регулирующие аппараты различаются по конструк-
ции на осевые (рис. 4.25, а) и радиальные (рис. 4.25, б). Выход-
I 159
J
Рис. 4.25. Осевой и радиальный BP.V
и — вход в ступень; 0 — вход в колесо; 1 — вход на лопатки колеса; 2 — выход цз ко-
леси; 3 — вход в лопаточный диффузор; 8 — вход в ВРА; 9 — выход из ВРЛ
160
ное сечение 9 решетки ВРА может быть расположено на некотором
удалении от входного сечения колеса 0, а в процессе движения
закрученного потока по участку 9—0, который имеет особенно
большую протяженность у радиального ВРА, возникают потери —
тем большие, чем больше угол
закрутки потока. Поэтому для мо-
делирования характеристик сту-
пени удобнее использовать харак-
теристики входного устройства
совместно с ВРА и участком 9—О
в виде £н_0 = f(90, Мг,)(рис. 4.26)
и 0О = / (0Л) (рис. 4.27), где 0Л —
угол поворота лопатки вокруг оси
ее вращения; 0О — угол потока в
сечении 0. Эти характеристики мо-
гут быть получены или на спе-
циальном стенде (продувкой вход-
ного устройства при различных
углах установки лопаток ВРА,
причем в этом случае необходимо
измерение поля углов или скорос-
тей потока в выходном сечении),
или при исследованиях входного
методом, идея
последнего
Рис. 4.26. Характеристики вход-
ного устройства совместно с ВРА
устройства в составе ступени
которого была изложена в гл. 3. Преимущество
метода — относительная простота ввиду отсутствия
Рис. 4.27. Зависимости угла выхода потока 0О от угла
установки лопаток 0Л: а — осевой ВРА; б — радиаль-
ный ВРА
необходимости траверсирования потока в сечении 0. Момент ко-
личества движения нужно приводить к среднему диаметру вход-
ного сечения ВРА £>Оср = (Do Ц- d0)/2.
При больших углах установки лопаток и высоких значениях Мц
возможны такие режимы работы, когда в выходных сечениях меж-
лопаточных каналов ВРА устанавливается звуковая скорость.
Этим режимам соответствует предельная производительность
П Н. Н. Бухарин 161
ступени, по достижении которой коэффициент потерь ВРА опре-
деляется только давлением за лопаточной решеткой: чем оно ниже,
тем выше будет £н_0, хотя производительность при этом не меняется.
При численном моделировании характеристик важно своевре-
менно установить момент перехода к режиму запирания решетки
ВРА, чтобы не попасть в область производительностей, которых
просто не может быть из физических соображений. Следовательно,
важно, чтобы характерной скоростью, к которой относят потери,
была скорость при выходе из ВРА. Однако если для осевого ВРА,
расположенного в непосредственной близости от входа в колесо,
справедливо условие <?9 х с0, то для радиального, имеющего про-
тяженный участок радиально-кольцевого поворота 9—0, ско-
рости с9 и с0 могут быть различными. Поэтому для радиального
ВРА необходимо проводить дополнительную оценку скорости с9
«обратным пересчетом» по известной скорости с0, чтобы установить
момент запирания решетки с большей точностью. Пусть расчет
входного устройства с использованием опытных характеристик
уже проделан и известны параметры потока в сечении 0. Тогда,
приняв, что процесс на участке 9—0 идет по той же политропе,
что во входном устройстве н—0, и используя для простоты метод
условных температур, найдем систему уравнений, которая должна
быть решена для нахождения скорости с9:
Ро Д0 — do cos0o . /л 1 а\
4^57“ cose,’ '
в, (4.19)
й2- с1
ГТЧ /J4 9 О
7 V” = 1 >" 2 [Лгу/(*у — 1)] R ’
Ро/Р9 = (7'уо.^у9)1/(,'Ун-0",).
После этого по известным значениям с9 и Ту9 определяем Мс9.
При Мг, » 1 достигается предельная производительность, кото-
рая может быть получена при данном угле установки лопаток.
С увеличением Мц решетка ВРА будет дросселировать движущийся
газ, что вызовет снижение давления р0 при входе в колесо, но
массовая производительность при этом останется той же.
Уравнение (4.18) является уравнением расхода, а уравнение
(4.19) получено в результате совместного решения уравнения
расхода (4.18) и уравнения сохранения момента количества дви-
жения на участке 9—0.
Угол 0О зависит от угла установки лопаток 0Л, причем по-
разному для осевого и радиального ВРА. У осевого ВРА, лопатки
которого расположены в кольцевом сечении между диаметрами Do
и dQ, а участок 9—0 — цилиндрический (рис. 4.27, а), всегда
% < 0Л. и разница между ними достигает 8—10°. Это обычное для
лопаточных решеток отставание потока. У радиального ВРА
(рис. 4.27, б) наблюдается обратная картина: 0О > 0Л при всех
162
значениях 0Л, что объясняется двумя причинами. Во-первых, —
дополнительной закруткой потока в процессе его движения по
участку радиально-кольцевого поворота 9—0. При перемещении
закрученного потока с большего радиуса на меньший его окруж-
ная составляющая скорости возрастает в соответствии с законом
сохранения момента количества движения. Однако и радиальная
(в сечении 0 осевая) составляющая скорости растет из-за изме-
нения площади проходного сечения. В результате в обычных кон-
струкциях рост окружной составляющей скорости имеет большее
влияние на поток и, значит, угол 0О ска-
зывается сильнее, чем 0Л. Во-вторых, как
видно из рис. 4.25, б, лопаточный угол
выхода 09л у радиального ВРА всегда
больше, чем угол установки лопатки 0Л.
Особенно это заметно при больших зна-
чениях 0Л. Отставание потока от решетки,
конечно, есть и у радиальных ВРА, в
чем можно убедиться, сопоставив углы 09л
и 09, найденные из решения приведенной
выше системы.
Если входное устройство не имеет
ВРА, то его потери зависят только от Mfo
и являются одномерной зависимостью
£н-с = f (MJ. При небольших значениях
МСо это число Маха можно считать прак-
тически постоянным и не зависящим от
Рис. 4.28. Характеристи-
ка выходного устройства
(улитки)
режима работы.
Коэффициент потерь выходного устройства — улитки или
кольцевой камеры, работающих обычно при малых значениях М^,
можно считать зависящим только от производительности и пред-
ставлять в виде £7_к = f (а7). Типичная характеристика улиток
приведена на рис. 4.28 [14].
При отсутствии опытных характеристик выходных устройств
можно воспользоваться методом расчета потерь в них, разрабо-
танным А. А. Никитиным и С. В. Цукерманом [34] и подробно
описанным в работах [43, 151.
4.4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
ДЛЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
Аппроксимация'характеристик
Чтобы эффективно использовать экспериментальные данные
в математических моделях, необходимо представить их в аналити-
ческом виде, позволяющем быстро и с достаточной точностью вы-
числить нужное значение параметра. Наиболее простым способом
является аппроксимация опытных данных в виде многочлена
степени п. Коэффициенты такого многочлена могут быть полу-
чены известным методом, предложенным Гауссом еще в 1794 г.
11* 163
[32], который приводит к системе линейных уравнений с числом
неизвестных, равным п 1. При больших значениях степени
полинома п решение такой системы не всегда может быть полу-
чено, и поэтому на практике метод Гаусса редко применяется
при п > 4 ч-6. Форма экспериментальных характеристик, напри-
мер коэффициента потерь колеса, имеющих при высоких значе-
ниях Ми,, крутую, приближающуюся к вертикали ветвь в области
больших производительностей, настолько сложна, что для ее
описания с удовлетворительной точностью часто необходимо ис-
пользовать полином степени п 15. Опыт показывает, что по-
пытки применить для таких значений п метод Гаусса оканчивается
неудачей. Необходимо было применить метод, который позволил бы
определить нужные коэффициенты путем простых вычислений и
исключил необходимость решать систему линейных уравнений.
В основе такого метода лежит представление об ортогональ-
ных функциях [13]. Условием ортогональности системы действи-
тельных линейно-независимых функций <рт (х) с весом р (х) на
конечном отрезке (а, Ь) является соотношение
г [ 0 при i =#= /;
JpWTi (x)dx = j A iz=j (420)
a
Термин «ортогональность» является в известной мере услов-
ным и основан на отождествлении интеграла (4.20) со скалярным
произведением двух бесконечномерных векторов, которое, как
известно из векторного исчисления, равно нулю только тогда,
когда эти векторы ортогональны друг другу.
При аппроксимации необходимо представить заданную функ-
цию / (х), аналитическое выражение которой нам неизвестно,
в виде
/(x)=S^W (421)
1=0
таким образом, чтобы минимизировать средневзвешенную квад-
ратическую ошибку в интервале (а, Ь)
h
cr2= jp(x)[F(x) — f(x)]Mx.
а
Взяв произвольную функцию <pft (х) при условии, что k < п,
и умножив ее на уравнение (4.21), проинтегрируем результат
в интервале (а, Ь). Тогда
b п b
j р (х) f (X) (pfe (х) dx = at j р (X) <рЛ (х) <pf (х) dx.
a i =0 а
В соответствии с условием ортогональности (4.20) в правой
части этого выражения все члены будут равны нулю, кроме одного,
для которого i = k. Тогда искомый коэффициент аппроксимаци-
164
онного многочлена (4.21) может быть найден непосредственным
вычислением по формуле
ь
J р (х) ф? (х) dx
а
—1
р (х) /(х) <р* (x)dx
(k^O, 1, 2, . . п).

При аппроксимации опытных зависимостей значения функ-
ции [ (х) известны для дискретного множества точек, причем если
имеется кривая, определяющая характер f (х). то ее значения
могут быть выбраны при любых нужных х. В этом случае для
п 4- 1 точек (х0, Хх, хг, .. . хп) условие ортогональности линейно-
независимых функций <рт (х), представляющих собой многочлены
степени т, запишется в виде конечной суммы
« (0 при
Е Р (-М <Р; (*л) Ф/ (хй) = „ _ - (4.22)
/=0 \Ь ПрИ I —].
Здесь минимизируется средневзвешенная квадратическая
ошибка
°'2 = Е Р (A) [F (xft) - f (xft)]2.
fc=0
В этом
i случае коэффициенты разложения уравнения
“ п
ак = Ер (Xi) f (х,) ф* (х,) р (х,) ф* (х,)
_ £=о J Li=o
(i = 0, 1, 2......т\ т < п.).
i=0
(4.21)
(4.23)
п
Важная особенность аппроксимации ортогональными функ-
циями заключается в том, что добавление новых членов ап+1,
фп+1 не меняет ранее вычисленных коэффициентов. При т = п
многочлен совпадает с интерполяционным многочленом.
Вид ортогональных многочленов при аппроксимации зависи-
мостей, заданных дискретным множеством точек, может быть
различным. В частности, они могут быть получены из линейно-
независимой последовательности 1, х, х2 методом ортогонализа-
ции Грама — Шмидта [30). Однако с целью сокращения времени
лучше использовать многочлены, которые могут быть вычислены
по рекуррентным формулам, что благоприятно сказывается, кроме
того, и на точности вычислений. Нами были избраны из числа
известных ортогональные многочлены Чебышева первого рода
Тп (х) = cos (и arccos х) (я = 0, 1, 2, ...).
Для п = 1, 2, 3, ... вид многочленов Чебышева первого рода
определяется выражением
[«/21
г.« -is (-о- “1 2' ’•
т—0
где
п/2, если п — четное;
[п/2| (п _ 1)/2, если п — нечетное.
1G5
Йз этих выражений можно получить формулы для первых
многочленов Чебышева Тп (х):
TQ = 1; 7\ = х; Т2 = 2х2 - 1; Т3 = 4х3 - Зх;
Т\ = 8х* — 8х2 +1; Т5 = 16х® — 20Х3 5х и т. д.
На практике, однако, достаточно знать только То и Tlt так
как численные значения всех последующих многочленов Чебы-
шева определяются по простой рекуррентной формуле
Тп+1 (х) = 2хТп (х) - Тп_г (х). (4.24)
Интервал ортогонализации многочленов Чебышева Тп (х):
а = —1; b = 1. Все определяется выражением
р(х)= I/J/1 -х2.
Условие ортогональности записывается в виде:
I'll (Х) Тщ (*)
Ki —
О при /и=И=п;
я/2 при т==п^=0-,
л при т = п = 0.
При аппроксимации зависимостей, заданных графически в виде
лекальных кривых, использовано важное свойство [301 ортого-
нальных многочленов, заключающееся в том, что если в интер-
вале (—1, 1) значения Хп, Х1( Хт выбрать равными корням
многочлена Чебышева Tm+1 (X), т. е. положить
Xfe = cos л (£==0, 1, 2, . . т), (4.25)
то ортогональные многочлены (4.22) совпадают с многочленами
Чебышева 7\ (X) при единичных весах р (XJ = 1. В этом случае
уравнение (4.22) упрощается:
2Т|(хл)Л(хл) = о
1=0
и выражение (4.23) для определения коэффициентов аппрокси-
мации принимает вид
ак
Е№)П(*«)
1=0
S Tl (Xi)
4=0
(1 = 0, 1, 2, . . т\ m с п).
(4.26)
Значения аргумента, находящегося в формуле (4.25) под зна-
ком cos, кратны углу <р = л! (2т + 2), имеющему нечетный мно-
житель 2k -j- 1, принимающий значения 1, 3, 5, 7, ..., 2m -|~ 1.
Если провести полуокружность единичного радиуса (рис. 4.29)
и от точки А против часовой стрелки отложить значения углов <р,
то проекции точек 0, 1, ..., т на ось абсцисс будут соответствовать
положению точек Xfe, вычисленных по (4.25). Видно, что по краям
отрезка (—1, 1) точки ХЛ расположены чаще, чем в середине.
166
у
х* х
। '
X»
Рис. 4.29. Определение узловых точек для
аппроксимации ортогональными много-
членами Чебышева
Это свойство оказывается полезным именно при аппроксимаций
газодинамических характеристик, крутизна которых резко воз-
растает по мере приближения к максимальной производительности
элемента, так как на этом участке точки располагаются более
Часто, чем на пологих участках в центре характеристики.
Аппроксимация одномер-
ных характеристик. Рассмот-
рим сначала задачу аппро-
ксимации одномерной зави-
симости у = f (х), известной
из опыта и заданной графи-
ком или дискретным множе-
ством точек (рис. 4.30). Точ-
ки, данные опытом, распола-
гаются обычно произвольно
вдоль оси абсцисс, а при
пользовании графиком их
стараются расположить чаще
там, где линия имеет значи-
тельную кривизну. Это естественное желание представить с
наибольшей полнотой участки резкого изменения параметров, как
будет видно из дальнейшего, не противоречит ранее установ-
ленному порядку выбора узловых точек.
Отображение абсцисс хг массива экспериментальных точек
(рис. 4.30, а), заключенного между некоторыми значениями хтах
и хт1п, на отрезок (—1, 1), равный интервалу ортогонализации
многочленов Чебышева, для которого Хтах = 1 и Хт,п=—1
(рис. 4.30, б), осуществляется с помощью дробно-линейного пре-
образования
X. = (X. + b)/c.
(4.27)
167
Записав это выражение для Х^ах. и Хт1П1 после преобразова-
ний находим
(-^max -i~ Хш1п)/2; с = (Хшах Хт1п)/2. (4.28)
После этого по формуле (4.25) определяем значения Хк, а соот-
ветствующие им значения yh находим интерполяцией. При боль-
шом числе точек (больше 15—20) процедура интерполяции не
является тривиальной и будет описана ниже.
Рассмотрим непосредственно программу аппроксимации одно-
мерного массива произвольно расположенных точек xlt у, ортого-
нальными многочленами Чебышева с автоматическим выбором
такой степени старшего полинома, чтобы получаемая погрешность
не превосходила наперед заданную. Подразумевается, что все
идентификаторы объявлены в начале программы. По мере описа-
ния программы будут даваться комментарии, которые в самой
программе могут быть опущены.
В начале вводятся К -f- 1 точек исходного массива и значение
допустимой погрешности аппроксимации:
01. roR’I:=0STEP'lUNTlL’KDO’READ(X[l],y[l]);
02. ПОРЯД(Х,У,К);РЕАО(ДОПДЕЛ);
COMMENT’ Процедура ПОРЯД располагает значения Х[1]
в порядке возрастания абсцисс, так что Х[0]<Х[К), хотя
массив может быть задан наоборот, и печатает упорядоченный
массив;
оз. ВХ:=-(Х[К1+Х[0])/2;СХ:=(Х[К]-Х[0])/2;
COMMENT’ Определение констант дробно-линейного преоб-
разования, формула (4.28);
04. ‘FOR’I —0‘STEP’l‘UNTIL’K‘DO’Xn(I]:=(X[I]+BX)/CX;
‘COMMENT’ Отображение абсцисс Х[1 ] в интервал ортого-
нализации (—1, 1);
05. FOR’Q:=1‘STEP‘2‘UNTIL'99 DO’ BEGIN’
‘COMMENT’ Q — степень старшего многочлена;
06. ‘FOR'I1:=0‘STEP’1‘UNTIL’Q‘DO’‘BEGIN’
07. Xy3(Il]:=COS((2*Il+l)*nH/(2*Q+2));
08. ИНТЕРЦХП.У.К.Т.ХУЗЦП.УУЗП!]): ‘END’;
‘COMMENT’Определение узловых значений абсцисс ХУЗ[П]
по формуле (4.25) и значений ординат УУЗ[П 1, им соответствую-
щих, с помощью процедуры интерполяции ИНТЕР1;
09. FOR’I 1:=0‘STEP’1‘UNTIL’Q‘DO'
10. ‘BEGIN’F1:=O;F2:=O;
11. ‘FOR’J1:=0‘STEP’1‘UNTIL’Q‘DO’ BEGIN’
12. ‘IF’Il=0THEN’TXy3[Il,Jll:--=l'ELSE’
13. ‘1Р’11=1‘ТНЕ№ТХУЗ[11,Л]:=ХУЗ[Л];
•IF’Il‘LT’2 THEN’‘GOTO’X1;
14. ТХУЗ[И,Л ]:=2*ХУЗ[Л]*ТХУЗ[Н —1,J1 ]—ТХУЗ[11— 2,J 1 J;
15. Ж1 :F1 —Fl+УУЗ[Л ]*ТХУЗ[11,J1 ],
16. F2;=F2+TXy3[Il,Jl]**2;END’;
17. A[I1]:=F1/F2;
1C8
‘COMMENT’ Операторы 11—17 определяют значение коэф-
фициента аппроксимации А[II ], формула (4.26). Значения орто-
гональных многочленов для всех Q + 1 точек определяются по
первым двум и рекуррентной формуле (4.24);
18. ‘IF’I1LT’2‘THEN’GOTO^;N:=I1;
19. ‘FOR’I2:=0‘STEP’1‘UNTIL’K‘DO,‘BEGIN’
20. ДЗТ1 [12] :=ДЗИТА1(М,А,ВХ,СХ,Х [12]);
21. ДЕЛЬТА[12] :=(У[12] —ДЗТ1 [12])*100/У [ 12];
22. ‘IF’N=99‘THEN’GOTO’)K4;
23. 1Р’АВЗ(ДЕЛЬТА[ 12])ОТ’АВ5(ДОПДЕЛ)‘ТНЕ\'’'ООТО’Ж2;
24. >K4:‘END’;‘GOTO’X3;
‘COMMENT’ Операторы 19—20 вычисляют для каждой из
К + 1 заданных точек значения функции по формуле (4.21)
с вычисленными Q -|- 1 коэффициентами А [II] и определяют
погрешность аппроксимации. Если она меньше допустимой, рас-
чет заканчивается и управление передается на печать резуль-
татов. В противном случае степень увеличивается с шагом 2 и
расчет повторяется;
25. Ж2:‘ЕЫО’;‘Е№’;
26. ЖЗ:ПЕЧАТЬ МАССИВОВ Х,У,ДЗТ1,ДЕЛЬТА[0:К];
27. ПЕЧАТЬ И ПЕРФОРАЦИЯ МАССИВА КОЭФФИЦИЕНТОВ
A[0:Q],BX,CX;
На этом работа программы аппроксимации одномерного мас-
сива заканчивается. В тексте программы имеется обращение к про-
цедуре одномерной интерполяции ИНТЕР 1 (оператор 8), которая
будет описана ниже, и к процедуре ДЗИТА1 определения значе-
ний функции по результатам аппроксимации, которую мы сейчас
рассмотрим.
Полученная аппроксимация справедлива в интервале X (—1, 1)
и имеет вид
.v
у--
(4.29)
где At соответствует А [II ] (оператор 17), a N равно тому наиболь-
шему значению Q, при котором погрешность аппроксимации не
превосходит допустимой. Для определения у при заданном зна-
чении х служит:
01. ‘REAL’‘PROCEDURE’fl3HTAl(N,A,BX,CX,X);
02. ‘VALUE’N.BX.CXrINTEGER’NrREAL’BX.CX.X;
03. ,ARRAy’A;‘BEGIN,‘lNTEGER’I;‘REAL’XB,XX;
04. ‘ARRAy’P[0:N];XB:=(X+BX)/CX;
05. ‘IF’XB'LT’—l‘THEN’XB:=—1‘ELSE’
06. ‘IF’XB‘GT’1 THEN’XB— 1;
‘COMMENT’ Операторы 4—6 отображают значение x в интер-
вал ортогонализации (—1, 1). Если полученные значения X вы-
ходят за пределы интервала, им присваиваются значения его
границ. Это необходимо потому, что за пределами интервала ап-
169
прбксймйруЮщая функция может давать значения у, Невозможные
с физической точки зрения, например отрицательные, хотя из-
вестно, что для данной функции у > 0 и т. п. Следствием этого
может быть несходимость итерационного процесса в численных
моделях или просто аварийный останов машины;
07. P[OJ:=l;P[lJ:=XB;‘FOR’I:=2StEP’l UNTIL'N’DO’ BEGIN’
08. P[I ] : = 2*ХБ*Р[1—1 ]—P[I—2] ;‘END’; XX:=0;
09. FOR’I:=0 STEP’l‘UNTIL’N DO’‘BEGIN’XX:=XX-f-A[I]*P[lj;
‘END’;
‘COMMENT’ Операторы 7—8 определяют значения многочле-
нов Чебышева всех W степеней по первым двум и рекуррентной
формуле (4.24). Оператор 9 вычисляет значение у по формуле (4.29);
10. ДЗИТА1:=ХХ; ‘END’ ПРОЦЕДУРЫ ДЗИТА1;
Аппроксимация двумерных характеристик. Наиболее важной
при моделировании характеристик центробежных компрессоров
является задача аппроксимации двумерных газодинамических
характеристик элементов проточной части, особенностью которых
являются переменные границы. Из рис. 4.19—4.20 видно, что
при увеличении Ма, уменьшается предельная производительность
колеса и сама характеристика становится короче. Эга особенность
делает невозможной использование стандартных программ дву-
мерной аппроксимации, так как они, если и имеются, работают
в прямоугольной области, имеющей постоянные границы.
Идея аппроксимации двумерных характеристик с переменными
границами состоит в следующем. Пусть имеется эксперименталь-
ная зависимость у = f (х, г) (рис. 4.30, в), заданная, как обычно,
в виде семейства п Д- 1 линий у} = f (х) при различных значе-
ниях Zj = const (/ = 0, 1, 2, .... л).
Область изменения z отображается в интервал ортогонализа-
ции Z(—1, 1) с помощью формулы (4.27), которая будет иметь
вид
Z. = (гу д_ d)/e, (4.30)
а константы d и е определяются из выражений, аналогичных (4.28):
d = (^max “И Zmin)/2, & ==: (^max ^tnln)/2-
Затем осуществляется отображение в интервал (—1, 1) каждой
линии у, — f (х) при Zj = const, для чего определяются массивы
констант Ь} и Cj (j = 0, 1, 2, ..., п) (рис. 4.30, г). Каждая линия
аппроксимируется с помощью программы одномерной аппрок-
симации, которая в принципе аналогична описанной выше. Од-
нако здесь имеется ограничение, заключающееся в том, что сте-
пень L аппроксимирующего полинома (4.30) должна быть для
всех линий одинакова. Величина L определяется, таким образом,
самой сложной кривой и выбирается так, чтобы обеспечить нуж-
ную точность. В результате такой аппроксимации «по горизонтали»
получается набор уравнений и констант (табл. 4.3).
170
Таблица 4.‘i
Последовательность аппроксимации линий 4j~= f (X)
при Zj = const (/ = 0, 1, 2, п)
и определение констант нижней и верхней границ
Z Уравнен не Константа
Ннжняя граница Верхняя граница i
г0 Z1 Ув У1 II II ji bd I И1- а р 2* S э *0 bi е1
Zj У] L = S atjTi (X) bi ci
Уп L = £ atnTt(X) i=0 bn сп
Следующим этапом является аппроксимация «по вертикали»,
т. е. коэффициентов aa] = F (Z), al} = F (Z), ai} = F (Z) и
bj = Ф (Z), Cj = S (Z). Эта аппроксимация также одномерная,
причем и в этом случае степень полинома П должна быть одина-
ковой для всех коэффициентов ац. В итоге получаем набор урав-
нений, зависящих уже от Z (табл. 4.4), а константы определяются
по формулам:
&=SBjT;(Z); (4.31)
/=о
Q
с= Есд’дг). (4.32)
/=0
Результатом двумерной аппроксимации являются массивы
коэффициентов А [0 : L, 0 : П ]; В [0 : РУ, С [0 : QJ.
Искомая величина у = f (х, г) определяется в такой последо-
вательности. Из (4.30) находится значение Z, а по уравнениям (4.31)
и (4.32) — константы b и с. Затем по формуле (4.27) вычисляется
значение X. Тогда
?=ЕЬ^(Х)Т/(г). (4.зз)
<=0 1=0
В соответствии с изложенным алгоритмом разработана проце-
дура аппроксимации двумерных характеристик. Перед ее приме-
нением необходимо ввести исходные данные с помощью операто-
ров READ(K,M);READ(L,n,P,Q);, в которых К + 1 — число
линий z = const; М -|- 1 число опытных точек на каждой
171
Таблица 4.4
Последовательность аппроксимации коэффициентов ciij = f (Z)
(i = 0, 1, 2, L) и константы нижней и верхней границ
i Уравнение Константы
Нижняя граница Верхняя граница
0 1 i L П a0j — Vi j (Z) /=0 П ~ V (Z) /-0 П “ij - S AtjTj (Z) П aLj = У ALjTj (Z) /“0 b [см. (4.31)] с [см. (4.32)]
линии z = const, одинаковое для всех линий; L — степень поли-
нома при аппроксимации «по горизонтали»; П — степень поли-
нома при аппроксимации «по вертикали»; Р — степень поли-
нома для нижней границы; Q — степень полинома для верх-
ней границы, и операторов
FOR’I:=0 STEP’1'UNTIL’K‘DO’‘BEGIN’READ(Z[I]);
‘FOR’J:=0‘STEP’l‘UNTIL’M‘DO’READ(X[I,J],y[I,J]);‘END’;
они вводят исходные величины и пары значений Хц, у1}.
Затем включается в работу сама процедура аппроксимации:
01. ‘PROCEDURE’AnnP2(Z,X,y,K,M,L,n,P,Q,ZMIN,ZMAX,B,C,Al);
02. VALUE’K.M.L.n.P.QrINTEGER’K.M.L.n.P.Q/REAL’ZMIN.ZMAX;
03 ‘ARRAy’Z X У Al В С'
04' ‘ В EGIN ’' INTEGE R ’ I, J, 10, J 0, КО, 11, J 1,12, J 2,13.J3,14, J 4,16, J 6, Кб;
05. ‘REAL’BZ,CZ,F1,F2,F3,F4,F5,F6,F7,F8;
06. АРРАУ’ВХ,СХ[0:К],ХП[0:К,0:М],ХП1,УП1[0:М],А,ХУЗ,УУЗ
[0:K,0:L],
07. ХУ31.УУ31 [0:L],TXy3[0:L,0:L],A21zn[0:K],Ay31,Zy3[0:n],
08. АУЗ[0:Е,0:П],Т2УЗ[0:П,0:П],гУЗВ,ВХУЗ[0:Р],ТгУЗВ[0:Р,
0:Р],
09. zy3C,CXy3[0:Q],TZy3C[0:Q,0:Q];
10. ‘FOR’I:=0‘STEP’1‘UNTIL’K‘DO,‘BEGIN’
И. BX[I]:=—(X[I,M]+X[I,O])/2;CX[I]:=(X[I,MJ—Х[1,1])/2;
12. ‘FOR’J:=0‘STEP’1‘UNTIL’M‘DO’
13. Xn[I,J]:=(X[I,J]+BX[IJ)/CX[I];‘END’;
14. BZ~—(Z[K]+Z[0])/2;CZ:=(Z[K]—Z[0])/2;
‘COMMENT’ Операторы 10—13 отображают значения x в ин-
тервале (—1, 1);
15. ‘FOR’I1:=0‘STEP,1‘UNTIL’K‘DO’‘BEGIN’
16. ‘FOR’J:=0‘STEP’1‘LJNTIL’M‘DO’‘BEGIN’
172
17. Xni[J]:=Xn[Il,JJ;yni[J]:=y[Il,J];‘END’;
18. ‘FOR’J1:=0'STEP’1UNTIL’L‘DO’‘BEGIN’
19. ХУЗ [ 11 ,Л ] :=СО5((2*Л- l)*ni4/(2*L+2));
20. ИНТЕР1(ХП1,УП1,М,Т,ХУЗ[11,Л],УУЗ[11,Л]1; END’; END’;
21. 'FOR’IO—0‘STEP’l‘L’NTIL!K DO’'BEGIN’
22. FOR’KO—O STEP’I UNTIL’L'DO’ BEGIN’
23. ХУ31[К0]:=ХУЗ[Ю,К0];УУ31[К0]:=УУЗ[10,К0];‘ЕХО’;
24. •FOR’JO;=0'STEP’1'UNTIL’L‘DO’BEGIN’F1:=F2: = 0;
25. ‘FOR’KO;=O STEP’1‘UNTIL’L DO’‘BEGIN’
26. ‘IF'J0=0‘THEN’TXy3[J0,K0]:= 1'ELSE’
27. ‘IF’J0=lTHEN’TXy3[J0,K0];=Xy31[K0];
28. TFJOLT’2THEN’‘GOTO’XO;
29. ТХУЗ[Л0,К0]:=2*ХУ31[К0]*ТХУЗ[Л0— 1,KO]—ТХУЗиС-2,К01;
30. Ж0:Р1 :=Fl+УУЗ 1 [ КО] *ТХУЗ [ J 0, КО];
31. F2.=F2+TXy3[J0,K0]**2;-END’;
32. A[I0,J0]:=Fl/F2;’END’;‘END’;
’COMMENT’ Операторы 15—20 определяют L + 1 узловых
значений ХУЗ и соответствующие им значения У УЗ для каждой
из К 1 линий z = const. Операторы 21—32 осуществляют
аппроксимацию «по горизонтали»: для каждой из К + 1 линий
г = const находится L + 1 коэффициентов аппроксимации А
[0 : К, 0 : £]. Операторы 26—27 определяют первые два много-
члена Чебышева, а оператор 29 — все остальные по рекуррентной
формуле (4.24);
33. ‘FOR’1:=0‘STEP’1‘UNTIL’K'DO’
34. zn(I] — (Z[I]+BZ)/CZ;
35. ‘FOR'J2:=0‘STEP’ 1 ‘UNTIL’ITDO’
36. zy3[J2]:=COS((2*J2+ 1)*ПИ/(2*П+2));
37. ‘FOR’12:=0‘STEP’1UNTIL’L‘DO’BEGIN’
38. ‘FOR,IO:=0‘STEP’1‘UNTIL’K‘DO’A2[IO];=A[IO,I2];
39. ‘FOR’J2;=0‘STEP’I UNTIL’ITDO’
40. HHTEPl(zn,A2,K,T,Zy3[J2],Ay3[I2,J2]);END’;
41. ‘FOR’I6 :=0‘STEP’1‘UNT1L’L‘DO’BEG1N’
42. ‘FOR'K6:=O‘STEP’1‘UNTIL’ITDO’АУ31 [К6]:=АУЗ[16,К6];
43. ‘FOR’J6;=0‘STEP’1‘UNTILTTDO’BEGIN’F3:=F4—0;
44. ‘FOR’K6:=0‘STEP’1‘UNTILTI‘DO’‘BEGIN’
45. ‘IF'J6 =0‘THEN’Tzy3[J6,K6]= l‘ELSE’
46. ‘IF‘J6= l‘THEN'Tzy3(J6,K6]:=zy3[K6];
47. ‘IF‘J6‘LT’2‘THEN’‘GOTO’X1;
48. TZy3[J6,K6];=2*zy3[K6]*TZy3[J6-l,K6]-TZy3[J6—2,K6];
49. XO:F3:=F3+Ay31(K6)*Tzy3[J6,K6];
50. F4;=F4+TZy3(J6,K6]**2;‘END’;
51. Al ]I6,J6]:=F3/F4;’END’;‘END’;
’COMMENT’ Операторы 33—40 определяют П + 1 узловых
значений 2УЗ и соответствующие им значения АУЗ для каждого
из L + 1 массивов + 1 коэффициентов А [0 : L, 0 : К], полу-
ченных аппроксимацией «по горизонтали». Операторы 41—51
осуществляют аппроксимацию «по вертикали» для каждого из
L + 1 коэффициентов А [0 : L, 0 : К1. В результате определяется
основной массив коэффициентов аппроксимации А1 [0 : L, 0 : П J,
соответствующий массиву Ai} в формуле (4.33);
52. ‘FOR’I3:=0‘STEP’1‘UNT1L'P‘DO’‘BEG1N’
53. 2УЗВ[13]:=СО8((2*13-Н)*ПИ/(2*Р+2));
54. HHTEPI(Zn,BX,K,T,zy3B[I3],BXy3[I3]);‘END’;
173
55. FOR'13—O'STEP’l‘UNTIL’P'DO’‘BEGIN'F5:=F6—0;
56 'FOR’J3:=0‘STEP’1‘UNTIL’P'DO’ BEGIN'
57. ‘lF’I3=0‘THEN’TZy3B[I3,J3]:= 1 ELSE’
58. IF’I3= l‘THEN’Tzy3B|I3,J3]:=7y3B[J3];
59. 'IF’I3'LT’2THEN’GOTO')K2;
60. ТгУЗВ|13,ЛЗ]:=2*7УЗВ[ЛЗ]*ТгУЗВ|13—1,J3J—TZy3B|I3-2,J3J;
61. ?K2:F5:=F5+BXy3[J3] "ТгУЗВ [I3.J3J;
62. F6:=F6-L ТгУЗВ [13. J3] ♦ *2;-END’;
63. B[I3]:=F5/F6;‘END’;
‘COMMENT’ Операторы 52—63 определяют узловые значе-
ния ZY3B и соответствующие им значения нижней границы
ВХУЗ и затем аппроксимацию нижней границы ВХ. В резуль-
тате определяется массив В [0 : Р], соответствующий массиву Bj
в формуле (4.31);
64. ‘FOR’I4:=0'STEP’1'UNTIL’Q'DO’‘BEGIN’
65. гУЗС[14]~ COS((2*I4)*nH/(2*Q4-2));
66. HHTEPl(Zn,CX.K,T,zy3C[I4],CXy3[I4]);'END’;
67. FORT4:=0 STEP’1UNTIL’Q'DO’'BEGIN’F7—F8:=0;
68. FOR’J4:=0‘STEP’l UNTIL’Q DO’-BEGIN’
69. ‘IF’I4=0‘THEN'Tzy3C[I4,J4]:= 1’ELSE’
70. TF’14= 1 •THEN’TZy3C[I4,J4].—Zy3C[J4];
71. •1F’I4-LT’2-THEN,'GOTO’X3;
72. Т2УЗС[ 14,J4]~2*zy3C.[J4] *TZy3C(14—1 ,J-1 ]- Т2УЗС114-2,34);
73. ЖЗ :F7; = F7+ CX У 3C [ J 4 ] * TZY 3C [ 14, J 4 ];
74. F8:=F8+TZy3C[I4,J4]**2;‘END’;
75. C[I4]:=F7/F8;‘END';
76. ZMIN.=Z[0];ZMAX:=Z[K);
‘COMMENT’ Операторы 64—75 осуществляют аппроксима-
цию верхней границы СХ. В результате определяется массив
С [0 : QI, соответствующий массиву С} в формуле (4.32);
77. ‘ЕХО’ПРОЦЕДУРЫ АППР2;
Использовать полученную аппроксимацию можно вычисле-
ниями по формулам (4.31)—(4.33) с помощью такой процедуры:
01. PROCEDURE’fl3HTA(N,K,S,T,ZMIN,ZMAX,B,C,A,Z,X,fl3T,XBi);
02. VALUE’N,K,S,T,ZMIN,ZMAX;
03. ‘INTEGER’N,K,3.T;
04. 'REAL’ZMIN,ZMAX,Z,X,fl3T,XBl;'ARRAy’A,B,C;
05. ‘BEGIN’‘INTEGER’rj;‘REAL’DM,EM,ZB,BM,CM,fl,XB;
06. ‘ARRAy'P[0:K],Pl [O:NJ;
07. DM:=—(ZMIN-FZMAX)/2;EM:=(ZMAX—ZMIN)/2,
08. ZB:=(Z+DM)/EM;
09. ‘IF’ZB'LT’—l‘THEN’ZB:=—1ELSE’
10. ‘IF’ZB'GT’l'THEN’ZB—1;
11. P[O]:=1;P[IJ:=ZB;
12. ‘FOR’J—2‘STEP’l UNTIL’K'DO’ BEGIN’.
13. P|J ] :=2*ZB*P [J —I ]—P(J—2];'END’;BM:=CM :=0;
14. 'FOR’J:=0’STEP’1'UNTIL’T‘DO’ BEGIN’
15. BM:=BM-f-B[J]*P[J];‘END’;
16. FOR’J—0'STEP’1'UNTIL’S DO’ BEGIN’
17. CM:=CM+C|J]*PfJ];‘END’;
‘COMMENT’ Операторы 7—10 отображают значение z в интер-
вал (—1, 1) и, если оно выходит за пределы интервала, присваи-
174
вают ему значения границ интервала. Операторы 11 —17 опреде-
ляют значения констант b и с по формулам (4.31) и (4.32);
18. ХБ:=(Х4 ВМ)/СМ;ХБ1:=ХБ:
19. ‘IF’XB'LT’—DTHEN’XB:= —1ELSE’
20. IF’XB GT’I'THEN’XB~ I;
21. Р1[0]:=1;Р1[1]~ХБ;
22. ‘FOR’I;=2'STEP’1'UNTIL’N DO’ BEGIN’
23. Pl [I ]:=2*ХБ*Р1 [I—1 ]—Pl [ 1 —2]/END’'.Л =0;
24. -FOR’I — 0‘STEP’I‘UNTIL’N DO’
25. ‘FOR’J:=0‘STEP’11JNTIL'K'DO’
26. Д:=Д+А[1,Л*Р[.1]*Р1[1];
‘COMMENT’ Операторы 18—26 отображают значение x в ин-
тервал (—1, 1) и определяют соответствующее ему значение функ-
ции по формуле (4.33);
27. ДЗТ:=Д;’ЕКО’ ПРОЦЕДУРЫ ДЗИТА;
В этой процедуре кроме значения функции определяется еще
и граница ХБ1, соответствующая заданному значению х. Это
необходимо для установления момента выхода за пределы аппрок-
симации, чтобы обеспечить правильность предельных значений х,
переход за которые невозможен с физической точки зрения. Если
необходимости в таком параметре нет, то можно исключить ДЗТ
и ХБ1 из списка формальных параметров процедуры, а саму про-
цедуру представить как процедуру-функцию ’REAL’
’PROCEDURE7I3HTA(N, ..., X);, заменив оператор 27 на
ДЗИТА: =Д; и убрав в операторе 18 ХБ1: = ХБ;.
Особенностью программ одномерной и двумерной аппроксима-
ций является такое расположение исходных данных, чтобы вы-
полнялось условие г [0] = zmin и z [К.1 = zmax, а для каждой
линии z = const было х [0] = xmin и х [Ml = xmax. Если такую
последовательность надо полностью или частично изменить на
обратную, то, перед тем как приступить к аппроксимации, следует
с помощью специальной процедуры изменить расположение ис-
ходных данных на требуемое.
Расположение точек вдоль каждой линии z = const может быть
произвольным. Важно только, чтобы их число на всех линиях было
одинаковым и равнялось М + 1. Чтобы улучшить аппроксимацию,
исходные точки следует чаще располагать в местах резкого изме-
нения кривизны линий.
При аппроксимации двумерных характеристик полезно, чтобы
границы b и с были гладкими линиями без резких изменений вдоль
параметра z. В противном случае для получения требуемой точ-
ности потребуются большие степени полиномов Р и Q [см. фор-
мулы (4.31) и (4.32)1. Если имеется область, где границы изме-
няются резко, то целесообразно осуществить в этих местах не-
большую экстраполяцию или, наоборот, сократить длину харак-
теристик, чтобы сгладить границы. Эго повысит точность аппрок-
симации.
Опыт аппроксимации двумерных характеристик показывает,
что практически можно добиться любой точности вычислений, если
175
число коэффициентов может быть большим. Обычно наиболее
сложными являются зависимости для коэффициентов потерь
колес и диффузоров, имеющие резкие изменения в области высо-
ких производительностей. Для их аппроксимации требуется раз-
мерность основной матрицы коэффициентов 18 X 18, но даже
в худшем случае не более 25 X 29, что составляет соответственно
361 и 780 коэффициентов. Число коэффициентов аппроксимации
границы обычно равно наибольшей размерности основной мат-
рицы. Избранный метод отличается высоким быстродействием:
ЭВМ БЭСМ-6 осуществляет аппроксимацию массива исходных
данных размерностью z [0 : 17], х [0 : 30], в результате которой
получается основная матрица коэффициентов размерностью
Л1 [0 : 25, 0 : 29 ] и матрицы коэффициентов границ размер-
ностью В, С [0 : 29], включая расчет погрешности по всем 558
заданным точкам, за 1 мин 17 с. Линии z = const, полученные при
расчете по результатам аппроксимации, практически совпадают
с исходными.
Интерполяция характеристик
Интерполяция одномерных характеристик. Несмотря на то
что вопросы интерполяции, посвященной методам вычислений,
хорошо освещены в литературе, а известные методы интерполяции
Рис. 4.31. Интерполяция одномерного
массива при большом числе узловых
точек
линома его значения совпадают
представлены в виде специаль-
ных стандартных программ
практически для всех ЭВМ (эти
стандартные программы мы в
дальнейшем и будем использо-
вать), однако, как показывает
опыт работы, возможность их
применения ограничена.
Во-первых, как уже отмеча-
лось, расположение исходных
точек на аппроксимируемой
кривой может быть произволь-
ным, а значит, применение всех
методов интерполяции между
равноотстоящими точками ис-
ключается.
Во-вторых, при большом
числе точек, а значит, высокой
степени интерполяционного по-
с заданными в узлах, т. е. в са-
мих исходных точках, а в интервалах между узлами они дают
значения, во много раз отличающиеся от ожидаемых как по вели-
чине, так и по знаку. Это наглядно показано на рис. 4.31.
На исходной кривой А взято 26 точек (0—25). Попытка ис-
пользовать для этого массива обычно эффективно работающую
стандартную программу интерполяции поЭйткену привела к боль-
176
шим ошибкам в величине функции у при значениях х, находя-
щихся между узловыми. В самих узловых точках значения у
совпадали с действительными. Известно, что для заданного набора
точек интерполяционный полином является единственным [13],
однако его отклонение от нуля, или максимальное абсолютное
значение на данном отрезке (xmln, xmax), существенно зависит от
выбора узлов интерполяции. Чебышев показал, что для получе-
ния полинома, наименее отклоняющегося от нуля, абсциссы уз-
лов интерполяции следует определять по формуле
„ __ ’-max "Ь -^mln *max — ^mln 2i + 1
JCi— 2 — 2 2n4-2 ’
т. e. так, как мы это делали при аппроксимациях. Конечно, при
обработке опытных данных нет возможности определить значе-
ния yi именно при таких значениях xt. Поэтому получаемый нами
интерполяционный полином представляет собой совсем другую
линию, например вида Б (рис. 4.31), а значения функции в проме-
жуточных точках, не совпадающих с узловыми, значительно отли-
чаются от действительных.
Решить задачу при большом числе произвольно заданных уз-
ловых точек можно, применив кусочно-полиномиальную интерполя-
цию. Пусть необходимо определить значение t/j при абсциссе xjt
не совпадающей ни с одной узловой точкой. Примем, что степень
интерполяционного полинома должна быть равна Т, где обычно
Т = 3 или Т = 5. Определим, между какими узловыми точками хг
находится заданная точка Xj, и выберем вправо и влево только Т +
4- 1 точек. Например, при Т = 3 для точки х} на рис. 4.31 это
будут точки 11, 12, 13, 14. Сформируем массив из Т -|- 1 точек
х’о = Х1Г, Х\ = Xi2’> *2 = *13 и х'з — Хц. Соответствующие ЭТИМ Xk
значения ук известны. Применим к этому новому массиву стандарт-
ную программу интерполяции уже 3-й степени, а не 25-й, как было
раньше, и получим искомый результат с высокой точностью.
Особенностью описанного алгоритма является возможность «пере-
крытия» участков, принимаемых за основу интерполяции при Т >
> 1. Например, при Т = 3 для точки х-,, лежащей между точками
13 и 14, исходными для интерполяции будут точки 12—15. Требо-
ваний равенства производных на концах участков по этой причине
не выдвигается, да в них и нет необходимости в рамках поставлен-
ной задачи. Этим наш алгоритм отличается от сплайн-интерполя-
ции, которая требует большего объема вычислений, но не дает боль-
шей точности. Заметим, что при Т — 1 кусочно-полиномиальная
интерполяция совпадает с линейной симплекс-интерполяцией,
широко применяемой в методе конечных элементов.
Кусочно-полиномиальная интерполяция одномерного массива
произвольно заданных точек реализована в процедуре:
01. ‘PROCEDURE’HHTEPl(X,y,N,T.XX,yy):
02. ‘VALUE’N,T;‘REAL’XX,yy;‘INTEGER’T,N;‘ARRAy’X,y;
‘COMMENT’ Х,У [0 : N] — массив исходных данных; Т —
степень интерполяционного полинома; XX — интерполянт (абс-
12 Н. Н. Бухарин 177
цисса, для которой нужно определить искомое значение функ-
ции У У);
03. ‘BEGIN’REAL’DX1,DX2;‘INTEGER’1,11,12;
04. ‘ARRAY’Xl.yi [0 : T],DX[0:N];
05. ‘IF’SIGN(X [0]—X [N]) LT’0 THEN’‘BEGIN’
06. IF XX'LT’X [0] THEN’X X;= X [0] ELSE’
07. ‘IF’XXGT’X[N]THEN’XX:=X[N]‘END’ELSE’
08. ‘IF’SIGN(X|0]—X[N]) GT’O THEN’ BEGIN’
09. ‘IF’XX GT’X[0] THEN’XX:= X[0] ELSE’
10. ‘IF’XX LT’X[N] THEN’XX. = X[N] END’;
‘COMMENT’ Операторы 3—10 устанавливают выход интер-
полянта XX за границы массива и присваивают ему значения
границ;
11. ‘FORT: = 0.N DO’ BEGIN’DX 1 := XX —X [I].
12. IF’DX1 = O THEN’,BEGIN’'1F’I=O THEN’ GOTO’Fl'ELSE’
13. ‘1F’I=N‘THEN’ GOTO’F2;‘END’;END’;
14. DX[01:=SIGN(XX—X[01);
15. ‘FOR’L= 1 STEP’1 UNTIL’N'DO’ BEGIN’DX [I].=SIGN(XX—X [I]);
16. DX2: = DX(I]*DX[I—11,11 .= !. IF’DX2 LE'0 THEN’ BEGIN’
17. ‘IF'ILE’ENTIER(T/2)‘THEN’GOTO’F1‘ELSE’
18. ‘IF’I‘GE’ENTIER(N—T/2)‘THEN’‘GOTO’F2 ELSE’GOTO’FOEND’;
19. ‘END’;
‘COMMENT’ Операторы 11—19 определяют положение интер-
полянта XX. Если XX совпадает с границей X [0] или лежит
близко от нее — так, что большая часть точек может быть взята
только с одной стороны массива, то управление передается к F1.
Если XX совпадает с границей X (N ] или лежит близко от нее,
то управление передается к F2. В противном случае управление
передается к F0;
20. FO: FOR’I2: =0‘STEP'1‘UNTIL’T‘DO’ BEGIN’
21. X1 [12]:=Х [11—Т/2+12—1/10];У 1 [12]: = У [11—Т/2-/-12—1/10];
END’;
22. ‘GOTO’F3;
‘COMMENT’ Операторы 20—22 осуществляют выборку мас-
сива из Т -j~ 1 точек, расположенных справа и слева от интерпо-
лянта XX, и передают его стандартной процедуре интерполяции;
23. F1: FOR’I2:=0 STEP’]‘UNTIL’T‘DO’‘BEGIN’
24. X 1|I2]X [ 12]:У1 [12];=У [12] ; END’;‘GOTO’F3;
25. I'2;FOR’I2.=0‘STEP’ 1 UNTIL’T'DO’ ‘BEGIN’
26. X1[12];=X[N—T4 I2];yi[I2]:=y[N—ТЧ-12]; ‘END’;‘GOTO’F3;
‘COMMENT’ Операторы 23, 24 выбирают T ф- 1 точек, примы-
кающих к границе X [01; операторы 25, 26 выбирают Т + 1
точек, примыкающих к границе X [N ]. Массивы, полученные та-
ким образом, передаются стандартной процедуре интерполяции;
27. ЕЗ:А1Т0(Х1,У1,ХХ,УУ);
‘COMMENT’ AIT0 — стандартная для ЭВМ БЭСМ-6 процедура
интерполяции по Эйткену с неравноотстоящими узлами; XI,
У! [0 ; Т] — массив исходных данных; XX — интерполянт;
178
УУ — искомое значение функции. При работе на других машинах
она должна быть заменена на равноценную стандартную програм-
му интерполяции;
28. ‘END’ ПРОЦЕДУРЫ ИНТЕР1;
Интерполяция двумерных характеристик. Описанный выше
метод аппроксимации двумерных характеристик лег в основу про-
цедуры их интерполяции, в которой многократно применяется
одномерная интерполяция. Семейство линий z = const, так же
как и при аппроксимации, отображается в интервал (—1, 1)
(см. рис. 4.29, в, г). Предварительно для каждой линии по фор-
мулам (4.28) определяются константы отображения b и с, которые
образуют одномерные массивы Ь, с [0 : /<], где К + 1 — число
линий z = const. Интерполянт задается двумя параметрами х
и г', для которых нужно определить значение функции у'. Сна-
чала по заданному значению г' одномерной интерполяцией мас-
сивов b и с находится значение границ Ь' и с'. С их помощью за-
данное значение х‘ отображается в X' в интервале (—1, 1). Затем
на каждой из К + 1 линий z = const одномерной интерполяцией
определяются значения функции, соответствующие X'. В резуль-
тате получается массив у [0 : К], интерполяция которого по z'
дает искомое значение функции у'. Этот алгоритм реализован в про-
цедуре:
01. *PROCEDURE’HHTEP2(X,y,Z,M,K,T,S,ZZ,XX,yy);
02. ‘VALUE’M,K,T,S,ZZ,XX;‘INTEGER’M,K,T,S;‘REAL’ZZ,XX,yy;
03. ‘ARRAy’X.y.Z;
‘COMMENT’ К + 1 — число линий z = const; М 4- 1 — число
точек на каждой линии, которые задаются парами значений X
и У; Т, S — степени интерполяционного полинома при z = const
и X — const соответственно; ZZ, XX —значения параметров нн-
терполянта; УУ — искомая функция;
04. ‘BEGIN’-INTEGER’U/REAL’Xnn.BXX.CXX;
05. ‘ARRAy’yyi,BX,CX[0:Kl,Xn(0:K,0:M],Xni,yi[0:Ml;
06. ‘FOR’I—O STEP’l ‘UNTIL’K‘DO’‘BEGIN’
07. BX[I]:=— (X[I,M]+X(I,0])/2;CX[I]:=(X[I,MJ—X[I,0])/2;
08. ‘FOR’J:=0‘STEP’1‘UNTIL’M‘DO’
09. ХП [I,J J :=(X [I,J J+BX [ I ])/CX [ I ];‘END*;
‘COMMENT’ Операторы 5—9 определяют массивы констант
отображения ВХ, СХ [0 : К) и отображают абсциссы всех (К 4- 1)
(М 4- 1) заданных точек в интервал (—1, 1);
10. ‘IF’ZZ‘LT’Z[0]‘THEN'ZZ:=Z[0]‘ELSE’
11. ‘1F’ZZ'GT’Z[K]‘THEN’ZZ~ Z[K];
12. HHTEP1(Z,BX,K,S,ZZ,BXX);
13. HHTEP1(Z,CX,K,S,ZZ,CXX);
‘COMMENT* Операторы 10—13 проверяют выход интерпо-
лянта ZZ за границы заданной поверхности и, если выход есть,
присваивают интерполянту ZZ значения границ. Они определяют
12* 179
также значения констант отображения ВXX и СХХ для заданного
значения 22;
14. Xnn:=(XX+BXXVCXX;‘IF’Xnn‘LT’-l‘THEN’Xnn=—1ELSE’
15. ‘1Е’ХПГ1СТ’1ТНЕ1\'’ХПП:=1;
‘COMMENT’ Операторы 14, 15 отображают интерполянт XX
в интервал (—1, 1) и проверяют выход за границы интервала полу-
ченного значения ХПП. Если выход есть, интерполянту ХПП
присваивается значение границ интервала;
16. ‘FOR’I:=0 STEP’l UNTIL’K'DO’ BEGIN’
17. ‘FOR’J:=0 STEP’I UNTIL’M DO’
l<8. ХП1 [J].= ХП(1,Л;У1 [J ].= y[I,J J:
19. ПНТЕР1(ХП1,У1 ,М,Т,ХПП,УУ1 [I ]);‘END’;
20. HHTEPl(Z,yyi,K,S,ZZ,yy);
•COMMENT’ Операторы 16—20 находят для заданного интер-
полянта ХПП значения УУ1 [0 : Д’! для всех линий z = const.
Оператор 20 интерполяцией массивов ZZ, УУ1 [0 : X1 определяет
искомое значение функции;
21. -END’ ПРОЦЕДУРЫ ИНТЕР2;
Какой способ избрать?
Этот вопрос сразу же возникает при сопоставлении четырех
описанных нами способов аппроксимации и интерполяции одно-
мерных и двумерных опытных характеристик.
Для представления одномерных характеристик лучше приме-
нять интерполяцию, так как она является «первичной» в том
смысле, что сама используется при аппроксимации. Если распо-
лагать узловые точки чаще на участках с большой кривизной и
реже на участках с малой кривизной, то массив исходных данных
при интерполяции может быть не больше массива коэффициентов
аппроксимации, даже если принять во внимание, что для каждой
точки задаются два числа, определяющих ее координаты. Однако
с точки зрения быстродействия аппроксимация ортогональными
многочленами Чебышева является предпочтительной.
Для представления двумерных характеристик с переменными
границами и резким изменением кривизны линий более точные ре-
зультаты дает аппроксимация. Процедура двумерной интерполя-
ции в области приведенных значений X, близких к границе ин-
тервала 1 (см. рис. 4.30, г), часто дает большие погреш-
ности.
В итоге можно сформулировать следующую рекомендацию.
Для представления характеристик с мало изменяющейся кривиз-
ной и такими границами, когда исходный массив содержит не-
большое количество точек, выгоднее применять одномерную или
двумерную интерполяцию. Во всех остальных случаях предпочти-
тельнее процедура аппроксимации опытных данных.
180
Г лава б
МОДЕЛИРОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК
СТУПЕНЕЙ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ КОМПРЕССОРОВ
6.1. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ
МОДЕЛИ КОМПРЕССОРНОЙ СИСТЕМЫ
Виды компрессорных систем, применяемых в промышленности,
весьма разнообразны и значительно отличаются друг от друга не
только по назначению, но и по типу, конструкции и условиям ра-
боты основных элементов. Вследствие этого разнообразны и ха-
рактеристики сети, на которую работает компрессор. В системах
воздухоснабжен и я предприятий характеристики сети могут быть
представлены в виде степенных зависимостей от производитель-
ности. В холодильных машинах отношение давлений вдоль ха-
рактеристики сети лишь немного снижается с уменьшением про-
изводительности, но сильно зависит от температуры окружаю-
щей среды. В компрессорных системах химических производств
отношение давлений определяется требованиями технологии
и т. п. Поэтому моделирование компрессорных систем следует
проводить на основе системного подхода, рассматривая их как
сложные системы, в состав которых входит определенный набор
элементов. Каждый из этих элементов, в свою очередь, является
системой более низкого ранга, включающей в качестве подсистем
свои элементы и т. д.
В соответствии с этим математическая модель компрессорной
системы должна строиться как сложная система вложенных и
в определенном порядке соподчиненных математических моделей
элементов различного ранга. Нужно иметь в виду, что сама ком-
прессорная система также является элементом системы более
высокого ранга — технологической или холодильной установки,
энергетической системы предприятия и т. п.
Иерархическая структура математической модели компрес-
сорной системы показана на рис. 5.1. Она представляет собой мо-
дификацию системы математических моделей теплоэнергетиче-
ской установки, разработанную Л. С. Попыриным [40 |.
Создание всего комплекса моделей представляет собой слож-
ную задачу, которую невозможно выполнить в одной работе, осо-
бенно если принять во внимание многообразие компрессорных
систем, применяемых в различных отраслях промышленности.
Синтезу характеристик многоступенчатого центробежного или
осевого компрессора по характеристикам ступеней посвящены
некоторые известные работы [12, 23]. Поэтому основное внимание
мы уделим моделированию характеристик ступени центробежного
компрессора. В моделях элементов проточной части использо-
ваны опытные данные по потерям и коэффициенту теоретической
работы колеса, представленные в виде аналитических аппрокси-
маций (см. гл. 4). Такой подход способствует развитию принятой
181
й ран^ р]Одели элементов прочной части
ступеней центробежного компрессора
Внутренняя
исходная
информация
1__
Внутренняя
обратная
информация
Внутренние системы: |
урабнения состояния, системы процедур определения
термических и калорических параметров газа,тепло-
физических свойств теплоносителей и т. п.
Рис. 5.1. Структура математической модели компрессорной системы
182
в настоящее время методики создания и отработки центробежных
компрессоров, основывающейся на экспериментальном исследо-
вании различных вариантов ступеней с целью получения их
характеристик, которые затем используются при расчетах много-
ступенчатых компрессоров. Установленное в результате исследо-
ваний практическое отсутствие взаимного влияния друг на друга
элементов проточной части открывает возможность расчетного
синтеза характеристик ступеней по опытным характеристикам
элементов проточной части, полученным в разных опытах и даже
в разных ступенях.
Главным принципом построения модели ступени центробеж-
ного компрессора является модульность, состоящая в том, что
каждая модель элемента проточной части должна быть пред-
ставлена в виде одной или нескольких самостоятельных про-
цедур. Только в этом случае можно свести расчеты для’ каждого
элемента к простому вызову этих процедур на нужное место в про-
грамме, а саму программу сократить до предела, сделать нагляд-
ной и легко читаемой.
6.2. МОДЕЛИ ЭЛЕМЕНТОВ ПРОТОЧНОЙ ЧАСТИ
СТУПЕНИ ЦЕНТРОБЕЖНОГО КОМПРЕССОРА
Модели элементов проточной части ступени центробежного
компрессора реализованы в виде процедур, каждая из которых
или решает систему уравнений, или проводит вычисления по ряду
последовательно записанных формул, определяя нужные термо-
газодинамические параметры потока. Исходные уравнения пред-
ставлены в условных температурах, так как это позволяет фор-
мально записать их в том же виде, что и для идеального газа.
Входное устройство
Входное устройство рассматривается совместно с входным
регулирующим аппаратом (ВРА). При расчете входного устройства
необходимо сначала определить параметры потока в сечении н,
причем такой расчет выполняется в нескольких местах и может
быть использован также для других сечений. Поэтому решение
системы уравнений, позволяющих найти статические параметры
потока по известным полным р*, T's, площади сечения F и массо-
вому расходу вещества G, оформляется в виде процедуры. Исход-
ная система уравнений имеет вид:
(XVII)
Ту == Ту - c2/(2os);
р = р (Ту/т'уУ°;
c = GRTy/(pF).
Исходная система уравнений решается с помощью процедуры:
01. ‘PROCEDURE’CPT(KH3,R,G,F,Pn,Tyn,CK,PCT,TyCT);
02. ‘VALUE’KM3,R,G,F,Pn,Tyri;
03. ‘REAL’KH3,R,G,F,Pn,Tyn,CK,PCT,TyCT;
183
04. ‘BEGIN’‘REAL’CHrMH3,AHKP,TyCTl;
05. СИГМИЗ:=КИЗ/(КИЗ—1);
AH KP:= SQ RT(2000* R * КИЗ *ТУП/(КИЗ+1));
06. РСТ:=РП;,ТУСТ:=ТУП;
07. М0:СК~ G*R*TyCT/(100*F*PCT);
08. ‘IF’CK‘GT’AHKP‘THEN’CK:=АНКР;ТУСТ1:=ТУСТ;
09. ТУСТ:= ТУП—СК* *2/(2000*СИГМИЗ* R);
10. РСТ:=РП*(ТУСТ/ТУП)**СИГМИЗ;
11. ’1Е’АВ5(ТУСТ1— TyCT)’GT’.001‘THEN’‘GOTO’M0;
12. IF’CK=AHKP‘THEN'PRINT(“B ПРОЦЕДУРЕ СРТ ЗАДАННАЯ
13. ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ ВЫШЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ ”);
14. ‘END ПРОЦЕДУРЫ СРТ ‘ЕОР’
При производительностях, меньших или равных предельной
(соответствующей случаю, когда число Маха в рассчитываемом
сечении равно единице), эта задача быстро решается примененным
здесь методом простой итерации. Однако в процессе работы всей
программы, вызывающей эту процедуру в различные места, мо-
жет случиться, что заданная производительность окажется
больше предельной. Тогда метод простой итерации быстро рас-
ходится, так как скорость начинает превышать скорость звука и
становится такой большой, что статическая условная темпера-
тура принимает значения, меньшие нуля. Так как при вычисле-
нии статического давления в операторе 10 требуется логарифми-
ровать отношение температур, которое также будет меньше нуля,
то сразу происходит аварийный останов машины. Поэтому в про-
цедуре СРТ верхней границей скорости является скорость звука
в критическом сечении а, = у 2kyRTy!(ky 4- 1). Если в процессе
итераций искомая скорость окажется больше а*, то ей присваи-
вается значение а*, а по окончании работы процедуры печатается
предупреждение. На практике такой случай встречается редко,
но его необходимо предусмотреть, чтобы избежать аварийного
останова, прерывающего работу программы.
Предельная производительность ступени, определяемая наи-
меньшей площадью и потерями на рассчитываемом участке, на-
ходится с помощью процедуры:
00. ‘ALGOL’:СРТ,ДЗИТА,ДЗИТА1;
01. ‘PR0CEDURE’PACXnP(WLR,KH3,FH,PHn,TyHn,FK,T3TAK,
ДЗИТКР,
02. N,K,S,T,T3TMIN,T3TMAX,B,C,A,Bl,Cl,PACXKP,TyKKP,PKKP);
03. ‘VALUE’HA,R,KH3,FH,PHn,TyHn,FK,T3TAK,N,K,S,T,T3TMIN,
ТЭТМАХ,
04. Bl, Cl;‘REAL’R,KH3,FH,PHn,TyHn,FK,T3TAK,T3TMIN, ТЭТМАХ,
05. РАСХКР,ТУККР.РККР,ДЗИТКР,Bl,Cl;
06. ‘lNTEGER’Hfl,N,K,S,T;’ARRAy’B,C,A;
07. ‘ВЕОШ’‘РЕАЕ,СИГМИЗ,АНКР,СН,СК,ТУН,РН,ТУК,МСК,ТЭТАБ,
08. ДЗИТНК,НРНК,СИГПНК,РК,ТУН1,ХБ1;
09. СИГМИЗ:=КИЗ/(КИЗ—1);
10. AHKP:=SQRT(2000*KH3*R*TyHn/(KH3+1));
11. СК:=АНКР;ТУН:=ТУНП;РН:=РНП;
‘СОММЕ NT’-Так как предельная производительность еще не
известна, статические параметры в начальном сечении принимаются
184
равными полным. В дальнейшем они будут уточняться с помощью
процедуры СРТ:
12. ТУК—ТУНП—СК**2/(2000*СИГМИЗ*Ю;
13. MCK:=CK/SQRT(1000*KH3*R*TyK);T3TAB:=ABS(T3TAK);
14. -IF’HflGT’O'THEN’-BEGIN’
15. •lF,Hfl=l'THEN'fl3HTAl(N,A,Bl,Cl,MCK,fl3HTKP,XBl);
16. •1F’HA=2-THEN’43HTA(N,K,S,T,T3TMIN ТЭТМАХ,В,С,А,ТЭТАБ,
17. MCK,43HTKP,XBI);END’;HRHK:=43IITKP*CK**2/2000;
‘COMMENT’ Если ИД = 0, то коэффициент потерь ДЗИТК.Р
может быть задан при входе в процедуру. Если ИД = 1, то
ДЗИТКР определяется одномерной аппроксимацией вида £и_к =
= f (МСк), если ИД = 2 — двумерной аппроксимацией вида
£н_к = f (МСк, Фк)- Этим охвачены все возможные случаи, однако
если заранее известно, как будут выполняться расчеты, то сле-
дует оставить только необходимое обращение к процедуре опре-
деления коэффициента потерь:
18. М1;СИГПНК:=СИГМИЗ|-НРНК/(Р*(ТУН-ТУК));
19. *1Е’СИГПНК*ЕН(ТУК/ТУН) ОТ’44‘ОР’АВ8(СИГПНК) СТ’ 100 THEN’
20. ‘BEGlN’PK:=PH/EXP(HRHK/(R*TyH));GOTO’M2,END’;
21. РК:=РН*(ТУК/ТУН)**СИГПНК;
22. М2:РАСХКР:= 100*СК*РК*РК/(Р*ТУК);
’COMMENT’ При определении давления в операторе 21 необ-
ходимо вычислять exp (он_к In (Ту.К/Ту.в). При итерациях, осо-
бенно если процесс близок к изотермическому, при котором
°и_к = «н-к/(пн-к — 1) = оо, показатель степени в этой экспо-
ненте может быть довольно большим. Однако возможности ЭВМ
ограничивают его определенным числом (44 для ЭВМ БЭСМ-6).
Поэтому в случае, когда показатель степени превышает это число
или происходит чрезмерное увеличение о„_к, процесс считается
изотермическим и давление pis определяется оператором 20,
а оператор 21 выпускается;
23 ТУН1'=ТУН‘
24. CPT(KH3,R,PACXKP,FH,PHn,TyHri,CH,PH,TyH);
25. ‘IF’ABS(TyHl— TyH)GT’.001‘THEN’GOTO’Ml;
26. ТУККР:=ТУК;РККР;=РК;
27, -END’ ПРОЦЕДУРЫ РАСХПРЕОР’
В конце этой и ряда других процедур имеется служебное слово
’EOP’ (end of prograinm), означающее, что эти процедуры явля-
ются автономно (т. е. независимо от основной программы) транс-
лируемыми. Перед такой процедурой в нулевом операторе указы-
ваются другие автономно транслируемые процедуры, которые
вызываются в тело данной процедуры при ее работе.
При регулировании производительности закруткой потока
перед колесом с помощью ВРА площадь потока при входе в колесо
(сечение 0) может значительно отличаться от площади проходного
сечения решетки ВРА. Это объясняется наличием угла отста-
вания потока от решетки и имеет значение при больших углах
поворота лопаток ВРА (6Л 40°). Предельную производитель-
185
ность ступени в этом случае даже в первом приближении нельзя
оценивать по площади потока в сечении 0, так как минимальное
проходное сечение определяется самой решеткой ВРА. Здесь
целесообразно рассматривать входное устройство состоящим из
двух участков: «— 9— от входа в патрубок до выхода из решет-
ки ВРА и 9—0 — от выхода из решетки ВРА до входа в колесо.
Потери и характер термогазодинамических процессов на этих
участках при больших углах установки ВРА будут различными.
На участке н—9 движение будет конфузорным с значительным
возрастанием скорости, а на участке 9—0 оно может быть как кон-
фузорным, так и диффузорным в зависимости от геометрии канала,
по которому движется рабочее вещество. Расчет параметров
потока на каждом участке сводится к решению системы уравне-
ний:
(XVIII)
cK = GRTy. K/(pKFK\,
Л. к =- T;.H-c2K/(2as7?);
McK = cJVkvRTy.K;
£н_к = /(0л, МСк) или :н-к=У (AfcJ;
^ГЯ-К “ ^Н—кск/2;
®н—к — X" (Т'у. и Т’у. к)];
Рк'— Рк (Т'у. k/Т'у. и) Н "
Здесь индексами ник обозначены соответственно начальное и
конечное состояния вещества на данном участке. Решение этой
системы необходимо получать несколько раз, поэтому оно реализо-
вано в виде процедуры:
00. ‘ ALGOL* :ДЗИТА,ДЗИТА1;
01. PROCEDURE’nATP(Hfl,G,R,KH3,PH,TyHn,TyH,HF,FK,FKZ,T3TA,
02. ДЗИТНК,РК,ТУК,СК,МСК,Н,К,8,Т,ТЭТМ1М,ТЭТМАХ,В,С,А,
03. В1,С1,ХБ1,НРНК,СИГПНК,ПГ1НК);
04. -VALUE’HA.G.R.KHS.PH.TyHn.TyH.HF.FKZ.TaTA.N.K.S.T,
05. T3TMIN,T3TMAX;‘INTEGER’Hfl,N,K,S,T,HF;'REAL’G,R,KH3,
06. РН.ТУНП,ТУН,ЕК,ЕКг,ТЭТА,ДЗИТНК,РК,ТУК,СК,МСК,ТЭТМ1Ы,
07. T3TMAX,XBl.HRHK,CFirFlHK,nnHK,Bl.Cl;ARRAy’B,C,A;
08. •BEGIN’-REAL’CF1FMH3, ТУК1, PK1, ПИ;' ВООЕЕАМ’ИЗОТЕР;
09. ПИ:=3.1415926;СИГМИЗ:=КИЗ/(КИЗ-1);ИЗОТЕР:= FALSE’;
10. ‘lF’HF=l'THEN’FK:=FKZ*COS(T3TA*nn/180);
11. PK:=PH;
12. М1:ТУК:=ТУН;
13. М0;СК:=С*К*ТУК/(Ю0*РК*РК);ТУК1:=ТУК:
14. IF’n3OTEP‘THEN’GOTO’M3;
15. ТУК:=ТУНП—СК**2/(2000*СИГМИЗ*Р);
16. M3:MCK:=CK/SQRT(1000*KH3*R*TyK);
17. ЧР’ИД GT'O THEN’ BEGIN’
18. ‘1Р’ИД=1 ТНЕХ'ДЗИТА1(Х',А,В1,С1,МСК,ДЗИТНК,ХБ1);
19. '1Р’ИД=2 THEN’flSHTAIN.K.S.T.TSTMIN.TSTMAX.B.C.A.TSTA,
20. МСК,ДЗИТНК,ХБ1);‘ЕИО’;
186
‘COMMENT’ См. аналогичный комментарий к процедуре
РАСХПР;
21. НЯНК:==ДЗИТНК*СК**2/2000;
22. IF’H3OTEP‘THEN’GOTO’M2;
23. СИГПНК:=СИГМИЗ+НКНК/(И*(ТУН—ТУК));
24. ‘1Е’СИГПНК*ЕК(ТУК/ТУН)‘ОТ’44 ОК’АВ5(СИГПНК) GT’IOO THEN’
25. ‘BEGIN'H3OTEP:= TRUE’;GOTO’M1;‘END’;
‘COMMENT’ Операторы 24, 25 выполняют действия, анало-
гичные операторам 19, 20 процедуры РАСХПР. Булевой перемен-
ной ИЗОТЕР присваивается значение TRUE, и весь расчет после
этого ведется для изотермического процесса;
26. М2:РК1:=РК;
27. ‘IF’I43OTEP,THEN,,BEGIN’PK:=PH/EXP(HRHK/(R*TyH));
‘GOTO’M4;
28. ‘END’;PK~ РН*(ТУК/ТУН)**СИГПНК;
29. M4:‘IF’ABS(PK1—РК) LT’.OOOOrOR*
30. АВ8(ТУК1—TyKJ’LT’.OOl’THEN’-GOTO’MS;
31. ТУК—ТУКШТУК—ТУК1)/5;‘ООТО’МО;
32. М5-.ППНК—СИГПНК/(СИГПНК—1);
33. ‘IF’H3OTEP’THENTinHK:=l;
34. 'END' ПРОЦЕДУРЫ ПАТР ‘ЕОР’
Для улучшения сходимости к решению системы здесь применен
метод релаксации, заключающийся в том, что новое значение
температуры Ту. к.+2 при итерациях берется меньшим, чем Ту.К;+1)
полученное в результате решения системы при заданном значе-
нии Ту.К1-, и вычисляется по формуле Ту.К;+2 = Ту. к. -|-
+ (Ту,К(+1 — Ту. К()/5, реализованной в операторе 31.
Для определения параметров потока и потерь во входном
устройстве предназначена специальная процедура, в которой
дважды используется только что описанная процедура ПАТР:
01. РКОСЕоиКЕ’ВХОДУСТР(1,РАСХ,СН,РН,ТУН,ТУНП,РН,Р9,Р02г
ТЭТАЛ,
02. ТЭТАО,КИЗ,СО,РО,ТУО,МСО,МС02,МСОУ,ДЗИТНО,СИГПНО,НРНО,
ИНДЗАП,
03. РАСХКР);УАЕиЕ’1,РАСХКР,СН,РН,ТУН,ТУНП,РН,Р9,ТЭТАЛ,
ТЭТА0,
04. КПЗ,РАСХ КР;1 INTEGER’!,ИНДЗАП;-REAL’PACX,CH,PH,ТУН,
ТУНП.РН,
05. Р9,Р02,ТЭТАЛ ,ТЭТА0, КИЗ,С0,Р0,ТУ0,МС0,МС02,МС0У,ДЗИТН0,
06. СИГПН0,НДН0,РАСХКР;
07. ‘BEGIN’-REAL’XBl ,Р9,ТУ9,С9,А1С9,ДЗИТН9,НЕН9,СИГПН9,
08. ППН9,ДЗИТ90,НК90,СИГП90,ПП90;
09. ‘SW1TCH’A3—Д31;ИНДЗАП:=0;
10. ‘IF’PACXGT’PACXKP‘THEN’‘BEGIN’PACX:=PACXKP;
ИНДЗАП—1;
11. СРТ(КИЗ,Е,РАСХ,РН,РНП,ТУНП,СН,РН,ТУН);‘ЕНП’;
‘COMMENT’ Чтобы найти предельную массовую производи-
тельность ступени РАСХК.Р, предварительно должна быть выпол-
нена процедура РАСХПР. Операторы 10, 11 исключают превыше-
187
ние массовой производительности сверх предельного значения и
заново определяют статические параметры во входном сечении;
12. •СОТО’ДЗЦ];
13. Д31:ПАТР(2,РАСХ,И,КИЗ,РН,ТУНП,ТУН,0,Р9,Р02,ТЭТАЛ,ДЗИТН9,
14. P9,Ty9,C9,MC9,NH9,KH9,SH9,TH9,T3TJIMIN,T3TJIMAX,BH9,CH9,
15. ВН9,СН9,АН9,0,0,ХБ1,НРН9,СИГПН9,ППН9);
16. ПАТР(2,РАСХ,р,КИЗ,Р9,ТУНП,ТУ9,1,Р0,Р02,ТЭТА0,ДЗИТ90,Р0,
17. Ty0,C0,MC0,N90,K90,S90,T90,T3T0MIN,T3T0MAX,B90,C90,
18. А90,0,0,ХБ1,НР90,СИГП90,ПП90); GOTO’M2;
‘COMMENT’ Параметр I соответствует номеру ступени I.
Для перехода к расчету параметров потока во входном устрой-
стве i-й ступени введен переключатель ДЗ [I ]. Он содержит пока
всего одну метку Д31, что соответствует одноступенчатому ва-
рианту. Операторы 13—15 определяют параметры потока на уча-
стке н—9, операторы 16—18 — на участке 9—0. Оба обращения
к процедуре ПАТР предусматривают определение коэффициента
потерь двумерной аппроксимацией, поэтому ИД = 2, а пара-
метры В1 и С1 приняты равными нулю. Параметры NH9, ..., АН9
и N90, ..., А90 определяют массивы коэффициентов аппрокси-
маций, по которым следует проводить вычисления. Площадь F9
при выходе из решетки ВРА должна быть известна перед входом
в процедуру ВХОДУСТР, поэтому в первом обращении к ВРА
принято ИЁ = 0. Площадь потока F0 (Fo) рассчитывается непо-
средственно в теле процедуры ПАТР, поэтому при втором обра-
щении HF = 1. Значения углов ТЭТ АЛ (0Л) и ТЭТ АО (0О) должны
быть найдены перед входом в процедуру. Если ступеней больше
одной, то в переключательный список нужно ввести необходимые
метки Д32, ДЗЗ, ..., а после оператора 18 под этими метками снова
записать обращение к процедурам ПАТР, введя в них соответ-
ствующие формальные параметры, и завершить каждую группу
обращений переходом к метке М2;
19. M2;MC0y.=PACX/(F0Z*ROHn4000*SQRT(1000*KH3*R*TyHH));
20. MCOZ: = MCO*COS(T3TAO*nH/18D);HRHO:=HRH9 FHR90;
21. СИГПН0:=СИГМИЗ-|~НРН0/(Ц*(ТУН—ТУО));
22. ДЗИТН0:=20ОО*НКН0/(С0**2);
23. END’ ПРОЦЕДУРЫ ВХОДУСТР;
В операторах 19—22 дополнительно определяются условное
число Маха по скорости с0
МСоУ = G/(F02pU kyRT'y.n), (5.1)
потерянная работа во входном устройстве /Г|)_о = /Гн_9 -|- 49_0,
число политропы aHj) = ст3 +^гн_0/^ (^у.н— Ту0) 1 и коэффи-
циент потерь входного устройства £н_0 —
Процедура ВХОДУСТР дает необходимые сведения о работе
входного устройства ступени компрессора, так что после ее окон-
чания можно сразу приступать к расчету рабочего колеса.
188
Рабочее колесо
Расчет рабочего колеса при заданных массовой производитель-
ности и условном числе Маха Мц целесообразно проводить с по-
мощью двух самостоятельных процедур.
Перваяпроцедура ВХОДРК определяет термогазодинамические
параметры потока при входе в колесо и потери в нем. Сначала на-
ходятся величины q>0 = cju-i, <Рои> а затем из закона сохра-
нения момента количества движения — величина <р1и. Остальные
параметры потока при входе на лопатки колеса получаются ре-
шением системы уравнений:
<Р1г = <Ро2-^Г(7,уо/Л1)<Тз“';
(XIX)
<pi — I д,г + ери :
Tyl — Т’уО +
2 2
~ ЧР1 ,,2
2osR °2'
После этого определяются скорости с1и, с1г, угол потока в от-
носительном движении Pj = arctg [<plr/(?D1—ср1(,), угол нате-
кания й = р1л — р1( относительная скорость потока при входе
в колесо toi = и2 VD] — 2Dt<plu 4- 2cpf, число Маха M.Wl =
= а затем коэффициент потерь — аппроксимацией
$0_2 = f Ма, ) и потерянная работа lr = ?0_2t^/2.
Процедура ВХОДРК для описанных вычислений имеет вид:
01. PROCEDURE’BXO4PK(I.PACX,C0.P0,T.V0,T3TA0,KI13,F0Z,Dl.
02. ВМ1,БЕТА1Л,ФИ0,ФИ02,ФИ0и,ФИ!.ФИ1и.ФШР.ТУ1,БЕТА1,ХУ1,
03. М\У1,С1,СШ,С1К,УГАТРК,ДЗИТ02,НР02,ИНДВГР):
04. INTEGER’! ;REAL’PACX,СО,Р0,ТУ0,ТЭТ АО, KH3,FOZ,D1,BM1.
05. БЕТА1Л,ФИ0,ФИ02,ФИ0и,ФИ1,ФИШ,ФИ1 Р,ТУ1,БЕТА1 ,W1 ,M\V1,
06. УГАТРК,ДЗИТ02,НР02,ИНДВГР,С1,С1и,С1 R;
07. BEGIN’ ЕЕАЬ’СИГМИЗ,ТУ 11 ;SWITCH’fl3.=ДЗI;
08. СИГМИЗ:=КИЗ/(КИЗ—1):ФИ0:=С0/и2;
09. ФИ02. = ФИ0*СО5(ТЭТА0*ПИ/180): ФИ0И-ФИО*SIN(T3TA0*ni 1/180);
10. ФИ1и:=ФИ0и*(О0-|-ОМ0)/(2*О1);ТУ1.==ТУ0;
11. М0:ФИ1 R:= ФИ02*Р02*((ТУ0/ТУ 1)**(СИГМИЗ—1))/(ПИ*О 1 *ВМ1);
12. ФИ 1 := SQRТ(Ф111R * *2-,'- ФИ 1U* *2);ТУ 11 := ТУ 1;
13. ТУ1 — ТУ04 (ФН0**2—ФИ1**2)*И2**2/(2000*СИГМИЗ*К);
14. IF’ABSfTy11—ТУ 1) GT’.001 ‘THEN’ GOTO’MO;
‘COMMENT’ Операторы 11—14 решают систему (XIX) методом
простой итерации;
15. С1И: = ФИШ*и2;С1Р: = ФИ1Е*и2;С1:=ФИ1*И2;
16. ЛР’ФИШ EQ’D1/D2 THEN’ BEGIN'BETAl :=90; GOTO’M2;'END’;
17. BETA1:=ARCTAN(®H1R/(D1/D2—ФИ!и))*180/ПИ;
18. IF’(D1/D2—ФИШ)‘ЕТ’0ТНЕУБЕТА!:=180-{-БЕТА1;
’COMMENT’ При высоких производительностях и больших
положительных углах закрутки потока 0О может оказаться, что
величина <р1и будет больше, чем Dx. Это соответствует случаю,
когда р! > 90°. Однако вычисление рх в операторе 17 даст в этом
189
случае отрицательное значение угла, дополняющего значение
до 180°. Оператор 18 осуществляет проверку и вычисление действи-
тельного угла PjJ
19. M2:W1: = U2*SQRT((D1/D2)**2—2*О1*ФИШ/О2+ФИ1**2);
20. УГАТРК:=БЕТА1Л—БЕТА1; MWl:=Wl/SQRT(1000*KII3*R*Tyi);
21. GOTO’D3[I];
22. Д31 :fl3HTA(NPK.KPK,SPK,TPK,MWlMIN,MWlMAX,BPK,CPK,APK,
23. MWl,yrATPK,fl3HT02,HHflBrP);’GOTO’Ml;
24. Ml :HR02: = fl3HT02*Wl **2/2;
25. -END’ ПРОЦЕДУРЫ ВХОДРК;
Здесь также предусмотрена возможность расчета многоступен-
чатого компрессора, но пока переключательный список имеет
только одну метку Д31, за которой расположено обращение к про-
цедуре определения коэффициента потерь £0_2 (ДЗИТ02) по углу
натекания (УГАТРК) и числу Маха Мц,, (MW1).
Вторая процедура ВЫХРК определяет параметры потока при
выходе из рабочего колеса. Для этого необходимо решить следую-
щую систему уравнений:
Ч?и = /(<р2г. МЮ1);
1 h Рпр Н Ртр = f (ф2г> Таи),
X — G 4“ Рпр + Ртр) (фзи — фиА);
/ = х«2;
^0-2 = 1 — (ф2и + ф2г — <₽о)/(2х);
0(1— 2 Ob (Ту2 Туо)];
Лл = Ро (Ту2/Ту0)а"-2; р2 = Pi/(RTy2)-
^„._2 - P2/PJ;
<4 2 г =• G/(P^tH,_2“2n^2).
Особенностью этой системы является наличие зависимости <р2и
от ф2г, которая существенно влияет на результат вычисления.
Попытки применить простую итерацию, метод половинного де-
ления или метод релаксации не дали возможности получить устой-
чивое решение системы. Наилучшие результаты дал шаговый ме-
тод, организованный таким образом, чтобы подход к значению <р2г,
являющемуся решением системы, осуществлялся со стороны мень-
ших значений <р2г. Особо следует отметить, что величина lrQ_2<
получаемая в процедуре ВХОДРК, может оказаться завышенной
в области высоких производительностей — там, где проводилась
экстраполяция опытных данных, что приводит к расхождению
процесса решения системы. Это выражается в том, что коэффи-
циент реактивности колеса уменьшается и становится отрицатель-
ным, условная температура Ту2 при выходе из колеса и плот-
190
ность р2 понижаются и происходит аварийный останов машины:
или из-за того что величина Ту2 становится меньше нуля (а зна-
чит, нельзя логарифмировать отношение Ту2/Ту0 при определе-
нии давления р2), или из-за того что величина kBn,_2 становится
равной нулю [а значит, невозможно определить <р.2г из последнего
уравнения системы (XX)]. В этом случае необходимо уменьшить
1Гй 2до значения, при котором системабудет иметь устойчивое реше-
ние. Обычно это значение мало отличается от заданного, а необ-
ходимость в уменьшении /Г0_2 появляется только в области пре-
дельно высоких производительностей рабочих колес, где значе-
ния <р2и минимальные.
Процедура ВЫХРК имеет вид:
01. PROCEDURE’BblXPKU,РАСХОД, ROHH,D!,D2,BM2,HR02.U2,PO,MW1,
02. ФИ1и,ФИ0,ТУ0,КИЗ,БЕТАПР,БЕТАТР,ЕПРТР,ХИ,1.П,КРЕЛКЦ,
ФИ2Р,
03. ФИ2и,КУ2,АЛФ2,С2,ФИ2,МС2,Р2,ТУ2,РО2,СИГП02);
04. ‘ INTEGE R’I ;РЕА1.’РЛСХОД, ROH FI,D 1 ,D2,BM2. Н R02,U2,P0.MW 1,
05. ФИ1и,ФИ0,ТУ0,КИЗ,БЕТАПР,БЕТАТР,ЕПРТР,ХИ,ЕП,КРЕАКЦ,
06. ФИ2Р,ФИ2и,КУ2,АЛФ2,С2,ФИ2,МС2,Р2,ТУ2,РО2,СИГП02;
07. •ВЕО1М,'РЕАЕ,СИГМИЗ,ХБ1,ФИ2Р1,ПФ112Р,ОЕЕФИ,НК023,5;
08. 5\У1ТСН'ФИ:= ФИ I;
09. СИГМИЗ:= КИЗ/(КИЗ-l);S:=0;HR023:=HR02;
10. Ж0:КУ2:=1.2;ВЕБФИ:=. 00001;
11. М:ФИ2Д:=.01;ОФИ2Р:=.1;
12. МО:‘СОТО’ФИ[Ц;
13. Ф111:ДЗИТА(ХФИРК,1\ФНРК,5ФИРК,ТФИРК,М\У1ФМ1К,МЧ'1ФМАХ,
14. ВФИРК,СФИРК,АФИРК,М\У1,ФИ2Р,ФИ2и,ХБ1);
15. ЕДПРТР(КРАСХ,П5УПЛ,ЗАЗУПЛ,ХУПЛ,D1,D2,BM2,®H2R,ФИШ,
ФИ2И,
16. КУ2,БЕТАПР,БЕТАТР,ЕПРТР);‘ООТО’М1;
17. М1:ХИ:=ЕПРТР*(ФИ2—®B1U*D1/D2);
18. БП:=ХИ*и**2/1000;
19. КРЕАКЦ—1—(ФИ2и**2+ФИ2Р**2—ФИ0**2)/(2*ХИ);
20. ТУ2:=ТУ0Ч-ЕП*КРЕАКЦ/(СИГМИЗ*Р);
21. ‘1Е’ТУ2‘ЕТ’.3*ТУ0 THEN’‘BEG1N’S:=O;HRO2:=.98*HRO2;
GOTO’JKO;
22. ‘END’;
23. 1Р’АВ5(ТУ2—ТУ0)ЕТ’.(Ю00001ТНЕЬ’’ТУ2:=ТУ0!.000001;
24. СИГП02—СИГМИЗ—HR02/(1000*R*(Ty2—ТУ0));
25. 1Е’СИГП02*ЕК(ТУ2/ТУ0) GT’44OR’ABS(CHFn02)GT’100‘THF.N’
26. ‘BEGIN’P2: = P0/EXP(HR02/(R*Ty2)); GOTO’M3; END’;
27. Р2:=Р0*(ТУ2/ТУ0)**СИГП02;
28. M3:RO2:= Р2/(10*К*ТУ2):К\ 2—RO2/ROHFI;
29. 1F’KV2 LT’,0001‘THEN’-BEGIN’S—l;HR02: = .98*HR02;‘GOTO’X0;
30. ‘ЕХО’;ФИ2Р1: = РАСХОД/(ЮОО*РОНП*КУ2*и2*ПИ*02*ВМ2);
’COMMENT’ Оператор 21 проверяет температуру Ty2 (ТУ2).
Если она оказывается ниже 0,37^, это свидетельствует о том,
что система (XX) не имеет решения из-за превышения потерянной
работой Zr 2 (HR02) предельного значения. Тогда потерянную
работу уменьшают на 2 % и расчет повторяют. Оператор 23 пред-
отвращает деление на нуль в последующем операторе 24, если
случайно в процессе расчета окажется, что Ту2 = Туа. Оператор 29
предотвращает деление на нуль в операторе 30. Это возможная
причина аварийного останова в случае, если система (XX) не имеет
191
решения из-за превышения величиной /Г0 2 предельного зна-
чения;
31. ‘IF ABS(OH2R1— ®H2R) LE’DELO)II‘THEN’'GOTO’M2-.
32. ‘IF’D<M12R=0‘THEN’BEGIN’DELH:=2*DEL<iiH;‘GOTO’M;‘END’;
'COMMENT’ Чтобы избежать зацикливания ЭВМ, если за-
данная точность превышает возможности машины, предусмотрено
удвоение погрешности для случая, когда в результате итераций
приращение Д<р2г (DOH2R) уменьшается последовательным де-
лением до машинного нуля;
33. ‘IF^H2R1GT’OH2R'THEN’‘BEGIN’®H2R:=OH2R+DOH2R;
34. ‘GOTO’MO;'END’‘ELSE’
35. ‘IF’H2R1'LT’<DH2RTHEN’‘BEGIN’<DH2R:=H2R—DC>H2R;
36. D<PH2R:=D<W12R/5;<DH2R:=H2R—D®I42R;'GOTO’MO;‘END’;
‘COMMENT’ Операторы 33—36 осуществляют подход к зна-
чению <р2г, являющемуся решением системы (XX), со стороны
меньших значений <р2г;
37. M2:0H2;=SQRT(®I42R**2+^H2U**2);C2;=H2*U2;
38. MC2:=C2/SQRT(1000*KH3*R*Ty2);
39. АЛФ2:=АРСТАЦ(ФИ2Р/ФИ211)*180/ПИ;
40. -IF’S= 1 THEN’ PRINT’“(10X,35H КОЭФФИЦИЕНТ ПОТЕРЬ
41. ВЫШЕ ПРЕДЕЛЬНОГО,2X,6HHR023=F10.5,2X,5HHR02~F10.5;
42. 2X,4HXB1=F8.4)”,HR023,HR02,XB1;
‘COMMENT’ Если оказывается, что заданный коэффициент
потерь был выше предельного, то печатаются диагностика, оба
значения потерянной работы и значение ХБ1 коэффициента рас-
хода, отображенного в интервал (—1, 1), что дает возможность
оценить выход ф.,( за границы аппроксимации;
43. 'END’ ПРОЦЕДУРЫ ВЫХРК:
В теле процедуры ВЫХРК в операторах 15, 16 имеется обра-
щение к процедуре ЕПРТР, предназначенной для вычисления зна-
чения 1 -f- рпр -ф рТ). по формулам (2.69) и (2.70):
01. PROCEDURE’EanPTP(KPACX,DSyiin,3A3yWI,Zyroi,Dl,D2,BM2,
02. ФИ2Р.ФИШ,ФИ2и.КУ2,ЬЕТАПР.БЕТАТР,ЕПРТР);
03. ‘ VALUE’ КРАСХ.Р5УПЛ.ЗАЗУПЛ,2УПЛ.П1,О2.ВМ2.ФИ2Р, ФИШ,
04. ФИ2и,КУ2;‘КЕА1.’КРАСХ,О8УПЛ,ЗАЗУПЛ,2УПЛ.О1,О2,ВМ2,
05. ФИ2Р,ФИШ,ФИ2и,КУ2,БЕТАПР,БЕТАТР,ЕПРТР;
’COMA’IENT’ Идентификаторы соответствуют: для формулы
(2.69) КРАСХ (а — коэффициент расхода); DSyiI-Л (DJ; ЗАЗУПЛ
(S); 2УПЛ (z— число гребней уплотнения); Dl (DJ; D2 (О2);
БЕТАПР (р)1р); БЕТАТР (Ртр); ЕПРТР (1 + Р„р + ртр);
06. 'BEGIN’bETAUP;—КРАСХ*1Э5УПЛ *ЗАЗУПЛ *SQRT(3*(1—D1 * *2/
07. (D2**2D/(4*zynn))/(D2*BM2*®H2R*SQRT(KV2));
08. БЕТАТР:=(.000172*Г)2)/(ВМ2*ФИ2Е*(ФИ2и—ФИШШ1/02));
09. ЕПРТР:= 1' БЕТАПР ! БЕТАТР. ЕМЦ’ПРОЦЕДУРЫ ЕДПРТР ЕОР’
192
Лопаточный диффузор
Рассмотрим расчет лопаточного диффузора концевой ступени
совместно с выходным устройством. Коэффициент потерь опреде-
лен на участке 2—к и представлен в виде обобщенной аппрокси-
мации £2-к = / («к. с з. Мс,). Процесс полагается политропным
с постоянным для всего участка 2—к показателем политропы.
Для определения параметров потока при выходе из ступени не-
обходимо решить систему уравнений, содержащую две вложенные
системы:
(XXIa)
(XXI)
(XXI6)
— ^в^2_к'> ^2-К — ^2-к/(^2-К О»
1 Г Ьз / Туа \1/(/,2-к— *) , 1
“’“агс18|-»г(75') *4
D% b2 sin сс2 / Т'уа .
фз — <₽2 D3 Sin а3 \ Туз / ’
Ty3 = Ty2 + (^-<p23)u2/(2os/?);
Сз= Фз«2! м£а == с3/|/kyRTyi,
«к. сз = F3eKnDJ)3 sin <х3);
?2»-к — /(^к.с3> Мс>),
/г2_к = ?2-Kd/2;
JtD3b3 sin сс2 / Туз \l/(!3-K О
ФК=Ф2---------К
. Ту. к = Ту2 + (<pi - <p2K) U2/(2os/?);
z2_K = 1 — (Ту, к т уг)].
Давление в выходном сечении находится затем по формуле
Рк = Рз (Ту. к/Ту2 )°2—к,
после чего можно найти отношение давлений на участке 2—к
л2-к — pJpi-
Решение системы (XXI) осуществляется с помощью процедуры:
01. ‘PROCEDURE’JUl(I, РАСХОД, О2,ОЗ,ВМ2,ВМЗ,Р2,ТУ2,АЛФ2,и2,
02. ЕВХЛД,КИЗ,ПИ2К,ТУЗ,ТУК,РК,22К,СИГП2К,ПП2К,АЛФЗ,ФИ2,
03. ФИЗ,ФИК,СЗ,МСЗ,МКСЛД,ДЗИТ2К,ГРЛД,НР2К);
04. ‘1МТЕОЕР’1;<РЕАЕ’РАСХОД,П2,ОЗ,ВМ2,ВМЗ,Р2,ТУ2,АЛФ2,и2,
05. ЕВХЛД,КИЗ,ПИ2К,ТУЗ,ТУК,РК,22К,СИГП2К,ПП2К,АЛФЗ,ФИ2,
06. ФИЗ,ФИК,СЗ,МСЗ,ЫКСЛД,ДЗИТ2К,ГРЛД,НР2К;
07. ‘BEGIN’‘REAL'TyKn,RO2,ROK,CHrMH3,nH2Kl,nEXPl,nEXP2;
08. ‘8\У1ТСН’ДЗ:=Д31;
09. Р02;=Р2/(10*Р*ТУ2);СИГМИЗ:==КИЗ/(КИЗ—1);
10. ТУКП:=ТУ24-(ФИ2*и2)**2/(2000*СИГМИЗ*Р);
’COMMENT’ Оператор 9 определяет плотность р2 = ра/(/?7у1!)
и число изоэнтропы oe = kyl(ky — 1), оператор 10 — условную
13 Н. Н. Вухарвн 193
температуру торможения при выходе из ступени Ту. к — Ту2 —
= Ту2 C2/(2os/?);
11. Z2K:= 8;ТУЗ:=ТУ2;ТУК:=ТУКП;
12. М0:СИГП2К:=СИГМИЗ*22К;ПП2К:=СИГП2К/(СИГП2К—1);
13. М1:ПЕХР1:=1/(ПП2К—l)*LN(Ty2/Ty3);‘IF’nEXPl‘GT’44‘THEN’
14. ПЕХР1 :=44;АЛФЗ:= 180/nH*ARCTAN(BM2/BM3*EXP(FlEXPl)*
15. 8Ж(АЛФ2*ПИ/180)/СО8(АЛФ2*ПИ/180));
16. ФИ.З = ФИ2*О2*ВМ2*81Ы(АЛФ2*ПИ/180)‘ЕХР(ПЕХР1)/
17. (ОЗ*ВМЗ*81М(АЛФЗ*ПИ/180));
18. ТУ31:=ТУЗ;ТУЗ:=ТУ2+(ФИ2**2—ФИЗ* *2)*U2* *2/(2000*
СИГМИЗ*Р);
19. ‘1Р’АВ8(ТУ31— Ty3)‘GT’.001THEN’‘GOTO’Ml;
’COMMENT’ Операторы 13—19 решают вложенную систему
(XXIa) и определяют а3, <р3, Ту3;
20. C3:=®H3*U2;MC3:=C3/SQRT(1000*R*KH3*Ty3);
21. МКСЛД:=РВХЛД/(ПИ*ОЗ*ВМЗ*81М(АЛФЗ*ПИ/180));
22. ’СОТО’ДЗ[Ц;
23. Д31 :ДЗИТА(ЫЛД,КЛД,8ЛД,ТЛД,МСЗМ1К,МСЗМАХ,ВЛД,СЛД,АЛД,
24. МСЗ, N КС Л Д, ДЗИТ2 К, ГР Л Д); ‘ GOTO’ М2;
25. М2:НР2К:=ДЗИТ2К*С2**2/2;
26. МЗ:ПЕХР2:=1/(ПП2К—l)*LN(Ty2/TyK);TF’nEXP2‘GT’44‘THEN’
27. ПЕХР2: = 44;ФИК: = ФИ2*ПИ*П2*ВМ2*81М(АЛФ2*ПИ/180)*ЕХР
(ПЕХР2)/РК;
28. ТУК1:=ТУК;ТУК:=ТУ2+(ФИ2**2—ФИК**2)*и2**2/(2000*й
СИГМИЗ*Р);
29. '1Р’АВ8(ТУК1— TyK)‘GT’.001‘THEN’GOTO’M3;Z2Kl:=Z2K;
‘COMMENT’ Операторы 26—29 решают вложенную систему
(XXI6) и определяют <рк и Ту, к. В операторах 13 и 26 введены
показатели экспонент ПЕХР1 и ПЕХР2, используемые при оп-
ределении <р3 и <рк, величина которых не должна превышать 44,
чтобы избежать аварийного останова машины. Следует подчерк-
нуть, что такое значение показателя экспоненты может встретиться,
как правило, только в процессе итеративных расчетов диффу-
зора в области предельно высоких производительностей и коэф-
фициентов потерь. Идентификатор NKOIA соответствует вели-
чине /гк.с3;
30. Z2K:= 1— НР2К/(Ю00*СИГМИЗ*Р*(ТУК—ТУ2));
31. ‘ IF ’ АВ S(Z2 К1 —Z2 К)' LE ’. 00001 ‘ Т НЕ N ’1 GOTO’M4;
32. Z2K:=Z2K1+(Z2K—Z2K1)/5;'GOTO’MO;
’COMMENT’ Операторы 12—32 решают систему (XXI), причем
и здесь при определении коэффициента изоэнтропности Z2_,..+2
применена релаксационная формула, аналогичная уже описан-
ной в процедуре ПАТР;
33. М4:РК:=Р2*(ТУК/ТУ2)**СИГП2К;ПИ2К. = РК/РК;
34. ‘ЕИИ’ПРОЦЕДУРЫЛД;
Приведенный комплекс процедур позволяет вести расчет сту-
пени центробежного компрессора при любых способах регулиро-
вания производительности.
194
б.З. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦ ХАРАКТЕРИСТИК
СТУПЕНИ ЦЕНТРОБЕЖНОГО КОМПРЕССОРА
Для определения области работы ступени на заданном режиме
необходимо знать границы характеристик, т. е. наибольшую и
наименьшую возможные производительности. Из многочисленных
экспериментальных данных известно, что минимальная произво-
дительность ступени, после которой начинается помпаж, опре-
деляется в основном диффузором. В ступенях с лопаточным диф-
фузором вращающийся срыв, а затем и помпаж наступают при
значениях коэффициента диффузорности косого среза и,;. с 3 =
= 1,4н-1,7, причем меньшие значения соответствуют более вы-
соким условным числам Маха Ми и, значит, МСз [21 ]. В ступенях
с безлопаточным диффузором эти явления наблюдаются при умень-
шении угла а2 до 7—8° [20]. При расчетах характеристик ступе-
ней, приведенных в этой работе, их нижняя граница определя-
лась по значению пк. с3 = 1,4, так как большинство рассчитывае-
мых режимов соответствуют Mu > 1.
Сложнее обстоит дело с определением верхней границы харак-
теристики, или наибольшей производительности ступени на дан-
ном режиме, которая может определяться рабочим колесом, ло-
паточным диффузором (особенно при регулировании поворотом
его лопаток в сторону меньших углов) или обоими этими элемен-
тами вместе. Ранее уже упоминалось, что в процедурах опреде-
ления коэффициентов потерь элементов проточной части при вы-
ходе за границу аппроксимации искомой величине присваивается
ее значение на границе. Иными словами, двумерная аппрокси-
мация представляет собой как бы лунку на бесконечной поверх-
ности, причем значения величин за пределами лунки равны их
значениям на ее границах, т. е. постоянны и не зависят от коорди-
нат. Это необходимо было сделать, чтобы исключить получение
физически неоправданных величин при выходе за границы аппро-
ксимации и обеспечить нормальное течение вычислительного про-
цесса. Такое допущение позволяет выполнить расчет параметров
ступени при любой производительности, хотя результаты могут
заведомо отличаться от практически возможных. Поэтому особое
значение имеет правильное определение верхней границы характе-
ристики. Для этого необходимо найти по отдельности наибольшую
производительность рабочего колеса и лопаточного диффузора.
Наименьшая из них и будет верхней границей характеристики дан-
ной ступени.
Процедура определения наибольшей производительности ра-
бочего колеса:
01. <PROCEDURE’GMAXIM(I,PHn,TyHn,ROHn,FH,FOZ,Dl,D2,BMl,BM2,
02. БЕТА1Л,КИЗ,ТЭТАЛ,ТЭТА0,БЕТА1,\У1.М\У1,УГАТРК,ДЗИТ02,НР02,
03. HHflBrP,GMAX);‘INTEGER’I;‘REAL’PHn,TyHn,ROHn,FH,FOZ,Dl,D2,
04. ВМ1,ВМ2, БЕТАМ, КИЗ,ТЭТАЛ,ТЕТА0,БЕТА1 ,W1,MW1 .УГАТРК,
ДЗИТ02,
05. HR02,HHflBrP,GMAX;‘’BEGIN’INTEGER’HHfl3An,S;
06. ‘ РЕАЕ’ОМ,СН,РН,ТУН,СО,РО,ТУО,МСО,МСОУ,ДЗИТНО,СИГПНО,НРНО,
13* 195
07. РАСХКР,ФИО,ФИ02,ФИ0и,ФИ1,ФИШ,ФИ1Р,ТУ1,Cl,C1U,C1R,GM1,
GM2.DG;
08. РАСХПР(2,Р,КИЗ,РН,РНП,ТУНП,Р9,ТЭТАЛ,ДЗИТН9,ИН9,КН9,5Н9,
ТН9,
09. ТЭТЛМШ,ТЭТЛМАХ,ВН9,СН9,АН9,0,0,РАСХКР,ТУ ККР.РККР);
10. GM:=РАСХКР;
’COMMENT’ В любом случае массовая производительность
ступени не может быть выше предельной, при которой М€, = 1.
Поэтому сначала вызывается процедура РАСХПР, и полученная
в результате ее работы массовая производительность РАСХКР
принимается за наибольшую возможную для процедуры
GMAXIM;
11. DG:=GM/10;GM:=GM/100;S:=0;GMl:=GM2:=0;
‘COMMENT’ DG— шаг по производительности. Расчет начи-
нается от производительности, в 100 раз меньшей РАСХКР;
12. MO:‘IF’GM‘GT’PACXKP‘THEN’GM:=PACXKP;
‘COMMENT’ Если в процессе итераций с шагом DG окажется,
что GM > РАСХКР, то производительность ступени приравни-
вается к критическому значению;
13. СРТ(КИЗ,Р,аМ,РН,РНП,ТУНП,СН,РН,ТУН);
14. ВХОДУСТР(1,ОМ,СН,РН,ТУН,ТУНП,РН,Р9,РОг,ТЭТАЛ,ТЭТАО,
киз.со,
15. Р0,ТУ0,МС0,МС02,МС0У,ДЗИТН0,СИГПН0,НРН0,ИНДЗАП,РАСХКР);
16. BXOflPK(I,GM,C0,P0,Ty0,T3TA0,KH3,F0Z,Dl,BMl,
17. БЕТА1Л,ФИ0,ФИ02,ФИ0и,ФИ1,ФИ1и,ФИ1К,ТУ1,
18. БЕТА1,№1,М№1,С1,С1и,С1К,УГАТРК,ДЗИТ02,НК02,ИНДВГР);
19. ‘1Р’ИНДЗАП= 1 ‘AND’HHflBPP'GT’—1 -THEN’
20. ‘BEGIN’‘PRINT'“(10X,10HGM=PACXKP=F12.6)”,GM;
21. •GOTO’M1;‘END’;
’COMMENT’ Последовательным применением процедур СРТ,
ВХОДУСТР, ВХОДРК определяются параметры потока при
входе в колесо. Индикатор запирания входного устройства
ИНДЗАП = 1, когда Мс, = 1. Если при этом индикатор выхода
за границы аппроксимации коэффициента потерь ИНДВГР
больше 1, т. е. он не указывает на выход за границу, то наиболь-
шая производительность колеса совпадает с критической, опреде-
ляемой входным устройством, и осуществляется переход в конец
процедуры к метке_М1;
22. ЧР’ИНДВГРШТ’— l‘THEN’GMl:=GM;
23. ЧР’ИНДВГР'СТ’—l‘THEN’GM2:=GM;l
24. ‘IF’ABS(GM1— GM2)‘LE’.00001’THEN”BEGIN’
25. ‘IF’GM‘NE’PACXKP‘THEN’
26. ‘РК1НТ*“(10Х,ЗЗНРАБОЧЕЕКОЛЕСОВРЕЖИМЕЗАПИРАНИЯ)”;
27. ‘GOTO’M1;‘END’;
28. *1Р’ИНДВГР‘ЬЕ’— PAND’HHflBPP-GE’—1.005‘THEN'-GOTO’M1;
196
‘COMMENT’ Оператор 28 заканчивает поиск предельной про-
изводительности, если —1 2s ИНДВГР 1,005. Однако при
очень крутых характеристиках колеса может оказаться, что по-
лученная при итерациях производительность почти не отличается
от предельной, хотя ИНДВГР > —1. В этом случае работают опе-
раторы 22—27, которые прекращают поиск решения и выходят
в конец процедуры к метке Ml;
29. ‘IF’S=O‘THEN’BEG1N’
30. ЧР’ИНДВГРйТ’—1 ‘THEN’S— l‘ELSE’S:=2;‘END’;
‘COMMENT\B самом начале расчета, когда GM = РАСХКР
и S = 0, устанавливается, вышла расчетная точка за границы
аппроксимации колеса или нет. В зависимости от этого итерации
будут проводиться по разным программам;
31. ‘IF’S=1‘THEN’‘BEGIN’
32. ЧР’ИНДВГРаТ’—1.005‘THEN’BEGIN’GM—GM+DG;‘GOTO’MO;
‘END’;
33. ЧР’ИНДВГР’ЕТ’—1.005‘THEN“BEGIN’GM:—GM— DG;DG:=DG/5;
34. GM— GM+DG;‘GOTO’MO;‘END’;‘END’;
35. ’IF’S=2‘THEN’‘BEGIN’
36. ЧР’ИНДВГР'БТ’—l‘THEN’‘BEGIN’GM:=GM-DG;‘GOTO’MO;‘END’;
37. ’1Р’ИНДВГР‘СТ’—l’THEN’‘BEGIN’GM—GM+DG;DG—DG/5;
38. GM— GM—DG;‘GOTO’MO;‘END’;‘END’;
39. MEGMAX —GM;
40. ‘PRINT’“(10X,7HHHflBrP=F9.5,2X,7HGMAXPK=F10.5)”,
41. ИНДВГР,GMAX;
42. ‘END’ ПРОЦЕДУРЫ GMAXIM РАБОЧЕГО КОЛЕСА;
Как видно, подход к решению осуществляется шаговым мето-
дом с постепенным дроблением шага, уже применявшимся нами
в других случаях. В результате работы процедуры определяется
производительность, для которой индикатор выхода за границу
аппроксимации находится в интервале (—1; — 1,005). Эта произво-
дительность и является наибольшей производительностью колеса.
Процедура определения наибольшей производительности ло-
паточного диффузора:
01. ‘PROCEDURE’GMAX(I,GMAXPK,PHn,TyHn,ROHn,FH,FOZ,Dl,D2,D3,
02. БЕТА1Л,ВМ1,ВМ2,ВМЗ,РВХЛД,ТЭТА0,и2,СН,РН,ТУН,ХИ,ЛП,
КРЕАКЦ,
оз. Фигр.Фиги.КУг.АЛФг.мсз.нкслд.омАхлд.дзитгк);
04. ‘INTEGER’I; ‘REAL’GMAXPK,PHn,TyHn,ROHn,FH,FOZ,Dl,D2,D3,
05. БЕТА1Л ,ВМ1 ,ВМ2,ВМЗ,РВХЛД,ТЭТА0,и2,СН,РН,ТУН,ХИ,ЕП,
КРЕАКЦ.
06. ФИ2К,ФИ2и,К¥2,АЛФ2,МСЗ,НКСЛД,ОМАХЛД,ДЗИТ2К;
07. <BEGIN’‘INTEGER’HWI3An; ‘КЕАЕ’С0,Р0,ТУ0,МС0,МС0У,ДЗИТН0,
08. СИГПН0,НКНО,РАСХКР.ФИ0,ФИ02,ФИ0и,ФИ1,ФИ1и,ФИ1К,ТУ1,
09. BETA1,W1,MW1,C1,C1U,C1R,УГАТРК,ДЗИТ02,НР02;
10. ‘КЕАБ’ИНДВГР,БЕТАПР.БЕТАТР,ЕПРТР,С2,ФИ2,МС2,Р2,ТУ2,КО2;
11. Оа,8,СИГП02,ПИ2К,ТУЗ,ТУК,РК,22К,СИГП2К,ПП2К,ФИК,СЗ,
12. ДЗИТ2К,ГРЛД,НК2К,ФИЗ,аМАХ1,ОМАХ2;
13. DG:=GMAXPK/10;S—0;GMAXl:= ОМАХ2:=0;ОМАХЛД:=
GMAXPK;
197
‘COMMENT’ Наибольшая возможная производительность
принимается равной GMAXPK, определенной в процедуре
GMAXIM для рабочего колеса:
14. MO:‘lF’GMAXJIfl‘GT’GMAXPK‘THEN’GMAXJIA:=GMAXPK;
15. ВХОДУСТР(1,СМАХЛД,СН,РН,ТУН,ТУНП,РН,Р9,Р02,ТЭТА0,КИЗ,
16. С0,Р0,ТУ0,МС0,МС02,МС0У,ДЗИТН0,СИГПН0,НРН0,
17. ИНДЗАП.РАСХКР);
18. ВХОДРК(1,СМАХЛД.С0 Р0,ТУ0,ТЭТА0,КИЗ,Р02,О1,ВМ1,БЕТА1Л,
19. 0HO,®HOZ,®HOU,0Hl,®HlU,0HlR,Tyi,BETAl)Wl,MWl,Cl,ClU,
20. С1R, УГАТР К, ДЗИ Т02, Н R02, И Н Д В ГР);
21. ВЫХРК(1,СМАХЛД,РОНП,О1,О2,ВМ2,НР02,и2,Р0,М\У1,ФИ1и,
22. ФИ0,ТУ0,КИЗ,БЕТАПР,БЕТАТР,ЕПРТР,ХИ,ЕП,КРЕАКЦ,ФИ2Р,
23. ФИ2и,К¥2,АЛФ2,С2,ФИ2,МС2,Р2,ТУ2,РО2,СИГП02);
24. ЛД(1,ОМАХЛД,О2,ВЗ,ВМ2,ВМЗ,Р2,ТУ2,АЛФ2,и2,РВХЛД,КИЗ,
25. ПИ2К,ТУЗ,ТУК,РК,22К,СИГП2К,ПП2К,АЛФЗ,ФИ2,ФИЗ,ФИК,
26. сз,мсз,хкслд,дзит2к,грлд,нр2К);
27. ‘1Р’ОМАХЛД=СМАХРК‘А^ТРЛД‘СТ’—1 ‘THEN’ BEGIN’
28. 'PRINT’“(10X,30H РАСХОД ОГРАНИЧИВАЕТСЯ КОЛЕСОМ)”;
29. ‘GOTO’M1;‘END’;
30. ‘ 1РТРЛД‘ЬТ’—1 ‘THEN’GMAX 1 :=СМАХЛД;
31. ЧРТРЛД.аТ’—1‘ТНЕЫ’ОМАХ2:=ОМАХЛД;
32. TF’ABS(GMAX 1— GMAX2)’LE’.OOOO1’THEN’‘BEG1N’
33. PRINT’“10X,33H РАБОЧЕЕ КОЛЕСО В РЕЖИМЕ ЗАПИРАНИЯ)”;
34. ‘GOTO’Ml ;‘END’;
‘COMMENT’ Граница лопаточного диффузора ГРЛД может
изменяться в пределах (—1, 1). Задача процедуры GMAX состоит
в том, чтобы определить такую наибольшую производительность
ОМАХЛД, при которой —1 ГРЛД —1,005. Однако это мо-
жет быть недостижимо, если требуемая производительность
ОМАХЛД будет больше уже известной нам GMAXPK. В этом
случае операторы 27—29 печатают пояснение и выходят в конец
процедуры, причем полагается, что ОМАХЛД = GMAXPK.
Угол выхода потока из колеса АЛФ2, а значит, и АЛФЗ и
коэффициент диффузорности косого среза лопаточного диффузора
ЫКСЛД сильно зависят от коэффициента потерь колеса. При кру-
тых характеристиках колеса незначительное изменение произво-
дительности приводит к резкому изменению коэффициента потерь
и, значит, всех параметров потока при входе в диффузор. Тогда
сходимость по ГРЛД к решению задачи часто не достигается из-за
резких изменений NKCЛД, хотя разница в производительностях,
между которыми осуществляется итерация, становится очень ма-
лой и даже может быть сведена к машинному нулю. Операторы
30—34 исключают возможность зацикливания задачи в этом слу-
чае и печатают предупреждение о работе в области крутых харак-
теристик колеса, соответствующих режиму его запирания;
35. ЧРТРЛД'ЕЕ’—l‘ANDTPJIfl‘GE’—1.005‘THEN’‘GOTO’M1;
36. ‘IF’S=0‘THEN’‘BEGIN’
37. ЧРТРЛД'ОТ’—l‘THEN’S:=l‘ELSE’S:=2;‘END’;i
’COMMENT’ Оператор 35 оценивает точность определения гра-
ницы ГРЛД и, если она соответствует заданной, осуществляет
переход в конец процедуры. При первом расчете, когда
ОМАХЛД = GMAXPK, устанавливается, вышла расчетная
198
точка за границу аппроксимации диффузора или нет. В зависи-
мости от этого итерации будут проводиться по разным программам;
38. IF'S=1‘THEN,‘BEGIN’
39. ‘ШТРЛД'СТ’—1.005‘ТНЕК’‘ВЕО1Ы’ОМАХЛД:=ОМАХЛД+ОО;
40. ‘GOTO’MO;‘END’;
41. ‘1ЕТРЛД‘ЕТ’— 1.005‘ТНЕН’‘ВЕО1М’ОМАХЛД:=ОМАХЛД—DG;
42. ОО:=ОО/5;ОМАХЛД:=СМАХЛД+ОС;‘ООТО’М0;‘ЕНО’;‘ЕНО’;
43. ‘IF’S=2‘THEN’‘BEGIN’
44. ЧР’ГРЛДТТ’—1‘ТНЕМ’'ВЕО1М’ОМАХЛД:=СМАХЛД—DG;
45. ‘GOTO'MO;‘END’;
46. ‘1ЕТРЛД‘СТ’—1‘ТНЕМ’‘ВЕО1М’ОМАХЛД:=ОМАХЛД+ОО;
47. ОС:=ОЫ/5;СМАХЛД:==СМАХЛД—DG/GOTO’MO/END’i'END’;
48. МкРР1МТ’“(20Х>5НГРЛД=Е9.5,2Х,7НОМАХЛД=Е10.5)”;
49. ГРЛД,ОМАХЛД;
50. ‘END* ПРОЦЕДУРЫ GMAX ЛОПАТОЧНОГО ДИФФУЗОРА;
Наибольшая возможная производительность ступени будет,
очевидно, равна меньшему из значений, полученных для рабо-
чего колеса и лопаточного диффузора с помощью процедур
GMAXIM и GMAX.
Определив границы характеристики ступени, можно далее
вести расчет для любой производительности, лежащей между
ними. Уменьшение производительности ниже минимальной вызо-
вет помпаж ступени, а увеличение ее свыше максимальной при
данных начальных условиях невозможно.
6.4. МОДЕЛЬ СТУПЕНИ ЦЕНТРОБЕЖНОГО КОМПРЕССОРА
Модель концевой ступени центробежного компрессора содер-
жит обращения последовательно ко всем вышеописанным проце-
дурам, начиная с GMAXIM и GMAX.
Применение метода условных температур позволяет предста-
вить все уравнения в той же форме, что и для идеального газа,
однако для расчетов необходимо определить сами условные тем-
пературы и показатель изоэнтропы kv. Для этого используются
некоторые из описанных выше процедур определения термических
и калорических параметров рабочего вещества. Покажем это на
примере концевой ступени, но выписывать формальные и факти-
ческие параметры всех используемых процедур не будем, ограни-
чившись только их названиями:
01. ‘PROCEDURE’CTynKOH(I,PACX,SMAX,SMIN,...,GMAXK);
02. ‘VALUE’.../REAL’...;'INTEGER’...;
03. ‘BEGIN’riJl(TyHn,PHn,ROHn);IROT(ROHn,THn,IHn);SMAX:=
SMIN:=0;
04. ТУНП:=РНП/(10*Р*ДОНП);КИЗ:= 1.12;
05. )K0:GMAXIM(...,GMAXPK);GMAX(...,ОМАХЛД);
06. -1Е’СМАХЛД‘ЬТ’ОМАХРК‘ТНЕХ’ОМАХК.-=ОМАХЛД
07. ‘ELSE’GMAXK:=GMAXPK;
08. ‘IF’PACX ‘GT’GMAXK'THEN’ 'BEGIN’SMAX — 1 ;PACX := GMAX K;
09. ‘PRINT’“(10X,44H ЗАДАННАЯ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ ВЫШЕ
10. ПРЕДЕЛЬНОЙ)”;‘ЕНП’;
И. СРТ(...);ВХОДУСТР(...);
12. ВХОДРК(...);ВЫХРК(...);
13. ЛД(...);
199
14. ТУКП:=ТУК+(ФИК*и2)**2/(2000*СИГМИЗ*К);
15. РКП—РК*(ТУКП/ТУК)**СИГМИЗ,ПИКП=РКП/РНП;
16. ЭТА КП: = LN (ПИ КП)/(СИ ГМИЗ * LN (ТУ КП/ТУ НП));
17. 1КП:=1НП+ЬП;ТК0РЭ(РКП,1КП,ТКП,К0КП);
18. СИГМИЗ— 10‘ЬП/(РКП/КОКП—РНП/РОНП);
19. КИЗ1: = КПЗ; КИЗ:=СИ ГМИЗ/(СИ ГМИЗ—1);
20. ‘IF’ABS(KH31—KH3)‘LE’.01’THEN’‘GOTO’X1;
21. КИЗ:=КИЗЦ-(КИЗ—КИ31)/1.2;‘ООТО’ЖО;
22. Xl:‘IF’NKCJI4’GT’NKCJIflnP‘THEN’‘BEGIN’SMIN:=l;
23. ‘PRINT’“(10X,7H ПОМПАЖ)”;‘Е1ЧО’;
24. ‘END’ ПРОЦЕДУРЫ СТУПКОН;
Определение показателя изоэнтропы ведется по формуле
(3.47). Оператор 3 по известным температуре ТНП и давлению
РНП торможения при входе в ступень с помощью процедуры ПЛ
определяет плотность рабочего вещества ИОНП, а затем с помощью
процедуры IROT — энтальпию торможения 1НП при входе в сту-
пень. Оператор 4 определяет условную температуру торможе-
ния ТУНП при входе в ступень и задает первое приближение
показателя изоэнтропы (в данном случае для хладагента R12).
Операторы 5—7 определяют максимальную производительность
ступени GMAXK. Если она оказывается меньше заданной при
входе в процедуру, то индикатор SMAX приравнивается к еди-
нице и печатается предупреждение. Операторы 11—13 выполняют
весь расчет ступени, после чего операторы 14—16 рассчитывают
условную температуру торможения ТУКП при выходе из ступени
Ту. к = Ту. к + фки2/(2ста/?), давление торможения р’к =
= рк (Ту. «/Ту. к)а«, отношение давлений Лк = p*Jp*n и поли-
тропный КПД ступени по параметрам торможения
Лпол. к = In JlK/[(Ts In (Ту. к/Гу. н)1-
Энтальпия торможения при выходе из ступени 1к — 1» + I
определяется оператором 14, затем с помощью процедуры TROP3
находятся термодинамическая температура торможения ТКП
и плотность ROKn при выходе из ступени. Операторы 18, 19
дают значения <rs и fey. Оператор 20 оценивает точность получен-
ного результата, а оператор 21 методом релаксации формирует
новое значение fey для последующей итерации, если требуемая
точность не была достигнута.
Если диффузорность косого среза лопаточного диффузора
МКСЛД превосходит предельно допустимую, соответствующую
началу помпажа, то индикатор SMIN приравнивается к единице
и печатается предупреждение. Индикаторы SMAX и SMIN
должны входить в число формальных параметров процедуры и
в дальнейшем использоваться при переходах в работе процедур
более высокого ранга.
Процедура СТУПКОН может иметь модификации в зависи-
мости от того, для каких целей она используется. Например, если
рассчитывается характеристика при Мц = const, то предельную
производительность ступени достаточно определить один раз.
230
В этом случае операторы 5—10 можно исключить, а метку Ж0
поставить в начале оператора 11 и для расчета основного массива
точек использовать упрощенную процедуру.
6.5. НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК
СТУПЕНЕЙ ЦЕНТРОБЕЖНОГО КОМПРЕССОРА
Моделирование характеристик ступеней центробежного ком-
прессора проводилось на основе опытных данных для всех иссле-
дованных колес в полном соответствии с методами, изложенными
в предыдущих главах. Численный эксперимент выполняется при
Мц = 0,815-г-1,63 и различных способах регулирования произво-
дительности: поворотом лопаток диффузора и входного регули-
рующего аппарата (ВРА). При этом использовались характери-
стики колес, полученные без закрутки потока при входе, и обоб-
щенная характеристика лопаточного диффузора £2-к = /(«к.сз,
MCj), справедливая, как уже отмечалось, в широком диапазоне
изменения углов установки лопаток. Как физический, так и чис-
ленный эксперименты проводились в основном на хладагенте R12,
свойства которого наиболее сильно отличаются от свойств идеаль-
ного газа. Термогазодинамические параметры рабочего вещества
определялись методом условных температур, а показатель изоэн-
тропы и сами условные температуры рассчитывались так, как по-
казано в предыдущем параграфе.
Сопоставление опытных и расчетных характеристик ступеней
с колесами, углы 02л которых составляли 15°, 22° 30', 32°, 45°-1
и 90°, при а3л = 20° и азл = 14° и различных условных числах
Маха Ми приведено на рис. 5.2—5.6. Характеристики представ-
лены в виде функций л* = f (Мс„, М„) и л пол.к = f (МСв2, Мц),
где Мс#2 = с0 cos 9о/ло — число Маха по осевой составляющей
абсолютной скорости при входе в колесо (при 0О = 0 будет Мс =
= Мс„). Видно, что опытные и расчетные данные как по харак-
теру кривых, так и по отношениям давления и КПД удовлетво-
рительно согласуются между собой. Одни расчетные характери-
стики практически полностью совпадают с опытными, другие
располагаются в непосредственной близости (главным образом
вследствие смещения по производительности, обычно не превы-
шающего 1—2%). Различие в максимальных значениях отноше-
ния давлений составляет 0 — 1,5%, а максимальные значения КПД
отличаются на 0—2%. Полного совпадения характеристик во
всех случаях и не должно быть, так как исходные данные для
аппроксимации получались путем статистической обработки боль-
шого количества экспериментов, проводившихся в разное время
и отличавшихся один от другого на величину погрешностей.
В этом заключается характерная особенность и в известной мере
преимущество расчетной характеристики: она является стати-
стически осредненной и потому наиболее вероятной в заданных
условиях.
201
to
Рис. 5.2. Характеристики ступени с колесом Р2л = 1^° и лопа-
точным диффузором а,л =14°:
О — эксперимент; ----- — расчет
Рис. 5.3. Характеристика ступени с колесом 02Л —
= 22° 30' и лопаточным диффузором азл = 14°:
О — эксперимент; ------ — расчет
Рис. 5.5. Характеристика ступени с колесом Ргл =
— 45°-1 и лопаточным диффузоРом а3л -- 14°:
О — экспеРимент:---------Расчет
Характеристики ступеней с колесами, углы р2л которых
равны 32°, 45°-1 и 63°, при различных углах'установки лопаток
диффузора а3л = 20-f-5c и условном числе Маха Ми — 1,22 при-
ведены на рис. 5.7—5.9.
Сопоставление опытных и расчетных^характеристик при ре-
гулировании производительности поворотом лопаток ВРА дано
на рис. 5.10 только для ступени с колесом, имеющим р2л = 45°-1,
Рис. 5.6. Характеристика ступени с колесом
Р2Л = 90° и лопаточным диффузором азл =
= 20°:
О — эксперимент; ------- — расчет
которая исследовалась при различных углах установки лопаток
ВРА 9Л. Видно, что при 0л<45° опытные и расчетные характеристи-
ки согласуются с такой же точностью, как и без закрутки потока.
При 6Л = 60° и Mu > 1,02
расчет в большей степени
расходится с эксперимен-
том, что может быть вызва-
но проявлением влияния
закрутки потока на харак-
теристику колеса при вы-
соких значениях Ми.
Приведенные материа-
лы с достаточной убеди-
тельностью иллюстрируют
адекватность численной
модели ступени центробеж-
ного компрессора ее фи-
зическому аналогу. Это
открывает возможность
применения такой модели
в моделях многоступенча-
тых компрессоров, ком-
прессорных и энергетиче-
ских систем или иных
моделях более высокого
ранга.
Представляет интерес численный эксперимент по исследова-
нию влияния показателя изоэнтропы на согласование характе-
ристик элементов проточной части и характеристику ступени
в целом. Расчеты проводились применительно к ступени с коле-
сом, имеющим р2л =45°-1, и лопаточным диффузором. При вы-
боре рабочего вещества была реализована идея, высказанная
Л. И. Седовым [44], который предложил изменять показатель
изоэнтропы путем смешивания в различной пропорции ксенона,
имеющего ky = 1,66, и хладагента R12, у которого ky = 1,12.
Для расчета термических и калорических параметров смесей было
применено уравнение Битти—Бриджмена в сочетании с правилом,
разработанным ими для смесей (см. п. 1.3). Расчеты проводились
при значениях йу, равных 1,12; 1,15; 1,20; 1,25; 1,35; 1,50 и 1,66.
Первому и последнему значению ky соответствует работа на чи-
стых веществах, остальным —• работа на смесях. Сопоставление
характеристик ступени (рис. 5.11) показывает, что при малых зна-
204
Рис. 5.7. Характеристика ступени с колесом Р2Л = 32° при регули-
ровании поворотом лопаток диффузора
Рис. 5.8. Характеристика ступени с колесом р2л = 45°-1 при ре-
гулировании поворотом лопаток диффузора
205
чениях показателя изоэнтропы (ky. < 1,20k-1,25) его влияния на
характеристики ступени практически не наблюдается. При уве-
личении ky свыше значений 1,20—1,25 происходит смещение ха-
рактеристик в сторону меньших производительностей с одновре-
менным расширением диапазона устройчивой работы. Так, при
Ми = 1,22 характеристика при работе на R12 имеет границы по
безразмерной производительности (параметр Мс„) от 0,35 до 0,33,
на смеси с ky = 1,35 — от 0,348 до 0,308, на ксеноне с ky = 1,66 —
Рис. 5.9. Характеристика ступени с колесом Р2Л = 63° при ре-
гулировании поворотом лопаток диффузора
от 0,346 до 0,283. Это связано с особенностью изменения выход-
ного треугольника скоростей колеса и, следовательно, с режимом
работы лопаточного диффузора, определяющего момент возникно-
вения помпажа. При ky = 1,12 плотность R12 возрастает по мере
увеличения давления гораздо более интенсивно, чем при ky =
= 1,66, в соответствии с известной формулой р2/р! = (p2/pi)'/fey-
При одинаковых значениях ф0 коэффициент расхода ф2г будет
меньше при работе на веществе с меньшим значением ky, мень-
шими будут и углы выхода потока из колеса и входа в лопаточ-
ный диффузор. Поэтому чем меньше ky, тем быстрее уменьшается
угол а3 по мере снижения ф0 и, значит, раньше начинается пом-
паж.
206
Рис. 5.10. Характеристики ступени с колесом Р2Л-= 45'-1 при регулировании
с помощью ВРД: а - - 0.-, 15°; б — 0Л 30°; в — 0л 45°; г — 0Л = 60°
207
Рис. 5.11. Интегральные характеристики ступени при работе на
газах с различными показателями изоэнтропы:
Рис. 5.12. Области совместной работы колеса и лопаточного диффузора
при работе на газах с различными показателями изоэнтропы (обозна-
чения кривых см. на рис. 5.11)
208
Уровень максимальных значений КПД практически не зави-
сит от ky. Этот результат согласуется с одними эксперименталь-
ными исследованиями, известными из литературы, и противоре-
чит другим. Влияние показателя изоэнтропы на КПД ступени
неоднозначно и может быть оценено при рассмотрении условий
совместной работы элементов проточной части. Наглядное пред-
ставление дает характеристика колеса = /0'1» на ко-
торую нанесены области его совместной работы с лопаточным диф-
фузором (рис. 5.12). Видно, что с увеличением ky область совмест-
ной работы колеса и диффузора смещается в сторону больших уг-
лов натекания на лопатки колеса .
Наибольшим производительностям ступени соответствуют ми-
нимальные углы натекания i\.
При малых значениях ky и достаточно высоких Ми и Ма.,
наибольшая производительность ступени определяется рабочим
колесом. Оно работает в предельном режиме, соответствующем
запиранию входных сечений межлопаточных каналов. Увеличе-
ние ky приводит к смещению режима от наибольшей производи-
тельности в сторону больших ij, вследствие чего наибольшую
производительность ступени начинает определять лопаточный
диффузор. Минимальные значения коэффициентов потерь колеса
и диффузора при изменении ky мало отличаются по величине,
вследствие чего и КПД ступени практически не зависит от ky.
Однако из этого результата, справедливого для данного частного
случая, нельзя делать обобщающих выводов для всех возможных
вариантов ступеней. Если в этой ступени повернуть лопатки диф-
фузора на меньший угол и сдвинуть области совместной работы
колеса и диффузора в сторону больших значений ilt то и в этом
случае каждая область будет располагаться тем левее, чем боль-
ше к.. Если принять во внимание характер зависимостей £о_, =
= f (й, Ма,,) в области больших углов натекания ilt то увеличе-
ние ky означает возрастание £о_2, а значит, КПД такой ступени
с повышением ky будет понижаться. Этот краткий анализ показы-
вает, во-первых, что влияние ky на характеристики ступеней цен-
тробежного компрессора неоднозначно и, во-вторых, что в области
ky = 1,12-=-1,25 характеристики ступени от ky практически не
зависят. Это дает возможность, в частности, распространять ре-
зультаты исследований ступеней холодильных центробежных
компрессоров, получаемые при работе на наиболее распростра-
ненных веществах R12 или R22, на все хладагенты и другие рабо-
чие вещества, у которых ky находится в этих пределах. Экспери-
мент хорошо подтверждает эти выводы [35].
14 Н. Н. Бухарин
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абианц В. X. Теория газовых турбин реактивных двигателей. М.: Ма-
шиностроение, 1965. 310 с.
2. Аэродинамика больших скоростей и реактивная техника. Т. 3. Основы
газовой динамики/Под ред. Г. Эммонса. М.: Изд-во иностр, лит., 1963.
702 с.
3. Бадылькес И. С. Свойства холодильных агентов. М.: Пищевая промыш-
ленность, 1974. 176 с.
4. Безбородов Ю. М. Сравнительный курс языка PL/1. М.: Наука, 1980,
191 с.
5. Бухарин Н. Н, К расчету турбокомпрессоров для сжатия реального
газа. — Энергомашиностроение, 1973, № 6, с. 38—39.
6. Бухарин И. Н. Исследование оптимальных условий работы радиальных
канально-лопаточных диффузоров. — Энергомашиностроение, 1968, № 10,
с. 16—19.
7. Бухарин Н. II., Ден Г. Н., Капелькин Д. А, Обобщение характеристик
лопаточных диффузоров центробежного компрессора с помощью коэффициента
днффузорности косого среза. — В кн.: Исследование холодильных машин,
Л.: «ЧТИ им. Ленсовета, 1979, № 2, с. 86—96 (Межвузовский сборник научных
трудов).
8. Вукалович М. П., Новиков И. И. Термодинамика. М.: Машиностроение,
1972. 670 с.
9. Вукалович М. П., Зубарев В. Н., Сергеева Л. В. Показатель адиабаты
для перегретого водяного пара. — Теплоэнергетика, 1968, № 10, с. 66—69.
10. Галеркин Ю. Б., Рекстин Ф. С. Методы исследования центробежных
компрессорных машин. Л.: Машиностроение, 1969. 304 с.
И. Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов
и жидкостей. М.: Изд-во иностр, лит., 1961. 929 с.
12. Головин М. В., К ал и инь И. М., Сухомлинов И. Я- Расчет внешних
характеристик центробежного компрессора холодильной машины по характери-
стикам модельных ступеней. — В кн.: Повышение эксплуатационных характе-
ристик холодильного оборудования. М.: ВНИИхолодмаш, 1978, с. 35—44.
13. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. 3. Численные методы ана-
лиза. М.: Физматгиз, 1963. 400 с.
14. Ден Г. Н. Механика потока в центробежных компрессорах. Л.: Машино-
строение. 1973. 272 с.
15. Ден Г. Н. Проектирование проточной части центробежных компрес-
соров. Л.: Машиностроение, 1980. 232 с.
16. Ден Г. Н., Бухарин Н. Н. Метод условных температур для аналитиче-
ского расчета процессов сжатия реальных газов. — Холодильная техника,
1974, № 4, с. 37—40.
17. Ден Г. Н., Бухарин Н. Н., Капелькин Д. А. Оценка точности определе-
ния термодинамических параметров холодильного турбокомпрессора на основе
использования метода условных температур. — В кп.: Холодильные машины и
устройства. Л.: ЛТПХП, 1976, с. 3—12.
10
t8. Епифанова В. И. Низкотемпературные радиальные турбодетандеры.
2-е изд., перераб. и доп. М.: Машиностроение, 1974 . 448 с.
19. Ершова Н. С., Петрунина Е. Б., Клёцкий А. В. Уравнение состояния
и термодинамические свойства пропана. — Холодильная техника, 1981, № 1,
с. 30—33.
20. Жуковский М. И. Аэродинамический расчет потока в осевых турбома-
шинах. Л.: Машиностроение, 1967 . 287 с.
21. Измайлов Р. А., Караджи В. Г., Селезнев К. П. Об определении границы
вращающегося срыва в безлопаточном диффузоре центробежного компрессора.—
В кн.: Тезисы докладов IV Всесоюзной научно-технической конференции по
компрессоростроению. Сумы, ВНИИкомпрессормаш, 1974, с. 124.
22. Исследование нестационарных процессов в проточной части центробеж-
ного компрессора с лопаточным дпффузором/С. В. Васютинская.
В. Ф,Ж а р о в, В. Г. К а р а д ж и, Р. А. И з м а и л о в, К. П. С е л е э н е в,
А. А. Т е л е в и о й. — В кн.: Тезисы докладов IV Всесоюзной научно-тех-
нической конференции по компрессоростроению. Сумы, ВНИИкомпрессормаш,
1974, с. 122—123.
23. Калнинь И. М. Характеристики холодильных центробежных компрес-
соров.— Тр. ВНИИхолодмаша, 1969, вып. 1, с. 45—131.
24. Кириллин В. А., Сычев В. В., Шейндлин А. Е. Техническая термодина-
мика. М.: Энергия, 1968. 472 с.
25. Кинан Дж. Термодинамика. М.—Л.: Госэнергоиздат, 1963. 280 с.
26. Клёцкий А. В. Структура взаимосогласованных уравнений состояния
хладагентов. — В кн.: Машины и аппараты холодильной, криогенной техники
и кондиционирования воздуха. Л.: ЛТИ нм. Ленсовета, 1976, № 1, с. 169—174
(Межвузовский сборник научных трудов!.
27. Клёцкнй А. В. Уравнения состояния и термодинамические свойства
аммиака. — Холодильная техника, 1978, № 9, с. 40—43.
28. Клименко А. П., Красноокий С. И., Колесник В. М. Применение обобщен-
ного уравнения Старлинга—Хана для расчета на ЭВМ термодинамических
свойств фреонов и их смесей. — Холодильная техника, 1976, № 8, с. 26—28.
29. Клименко А. П., Красноокий С. И., Колесник В. М. Методика расчета
фазового равновесия смесей фреонов на ЭВМ. — В кн.: Алгоритмизация расчета
процессов и аппаратов химических производств на ЭВМ. Киев, Наукова думка,
1974, вып. 6, с. 75—82.
30. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников
и инженеров. 4-е изд. М.: Наука, 1978. 832 с.
31. Красноокий С. И., Колесник В. М. Применение обобщенного уравнения
БВР для расчета на ЭВМ р—v—Т-зависимостен индивидуальных фреонов. —
Химическая технология, 1973, №.5, с. 23—26.
32. Крылов А. Н. Лекции о приближенных вычислениях. 6-е изд. М/. Гос-
техиздат, 1954. 400 с.
33. Мейсон Э., Сперлинг Т. Вириальное уравнение состояния. М.: Мир,
1972. 280 с.
34. Никитин А. А., Цукерман С. В. Расчет потерь в выходном устройстве
центробежного компрессора. — Энергомашиностроение, 1979, № 6,
с. 17—19.
35. О влиянии отношения удельных теплоемкостей на характеристики
дозвуковой центробежной компрессорной ступени/Н. Н. Б у х а р н и.
Г. Н. Ден, В. А. Евстафьев, Д. А. К а п е л ь к и н, А. М. Фир ю-
л и н.—Энергомашиностроение, 1978, № 6, с. 16—18.
36. Перельштейн И. И. Исследование термодинамических свойств холодиль-
ных агентов. М.: Госторгиздат, 1962. 62 с.
37. Перельштейн И. И., Парушин Е. Б. Методика определения термодина-
мических свойств основных хладагентов по экспериментальным данным.—
Холодильная техника, 1976, № I, с. 27—30.
38. Перельштейн И. И., Парушин Е. Б. Система уравнении для расчета
термодинамических свойств рабочих веществ.— Холодильная техника. 1981.
№ 3, с. 40—42.
39. Перельштейн И. И. Таблицы и диаграммы термодинамических свойств
фреонов-12, -13, -22. М.: ВНИКТИхолодпром, 1971. 91 с.
14* 21|
40. Попырин Л. С. Л1атематическое моделирование и оптимизация тепло-
энергетических установок. М.: Энергия, 1978. 416 с.
41. Применение уравнения состояния, предложенного Старлингом, для опре-
деления параметров рабочих веществ холодильных машин/Е. С. Ку рыл ев,
В. В. О н о с о в с к и й, В. И. М и х а й л о в, В. П. М и х а й л о в а, В. Ф. Ле-
ти е н к о, Г. Ф. Коновалова. — Холодильная техника, 1975, № 4,
с. 31—33.
42. Путилов К. А. Термодинамика. М.: Наука, 1971. 376 с.
43. Рис В. Ф. Центробежные компрессорные машины. 3-е изд., перераб.
и доп. Л.: Машиностроение, 1981. 351 с.
44. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука,
1967. 428 с.
45. Тилевич И. А. Аэродинамические усилия, действующие на лопатки
диффузоров центробежных компрессоров, и потери в лопаточных диффузорах.—
Энергомашиностроение, 1966, № 9, с. 12—16.
46. Траупель В. Тепловые турбомашины. Т. 1. Тепловой и аэродинамический
расчет. М.: Госэнергоиздат, 1961. 344 с.
47. Ципленкин Г. Е. Рабочие колеса центробежных компрессоров макси-
мальной пропускной способности.— Энергомашиностроение, 1974, № 6, с. 19—20.
48. Чистяков Ф. М. Холодильные турбоагрегаты. М.: Машиностроение,
1967. 288 с.
49. Beattie J. A., Bridgeman О. С. A new eguation of state for fluids. — J. Amer.
Chem. Soc., 1927, N 7, v. 49, p. 1665—1667.
50. Baetlie J. A., Bridgeman О. C. A new eguation of state for fluids. — In:
Proceedings of American Academy of Arts and Sciences, 1928, N 5, v. 63, p. 229—308.
51. Benedict M., Webb G. B., Rubin L. C. An empirical eguation for thermo-
dynamic propertie of light hydrocarbons and their mixtures. — J. Chem. Eng.
Progr., 1951, v. 47, N 8, p. 419—422.
52. Benedict M., WebbG., Rii'in L. An empirical eguation for thermodynamic
properties of light hydrocarbons and their mixtures. P. 1. Methane, ethane and
n-Butane. — J. Chem. Phys., 1940, v. 8, p. 334—345.
53. Edmister W., Vairogs J., Klekers A. A generalized B-W-R eguation of
state. — J. Amer. Inst. Chem. Eng., 1968, v. 14, N 3, p. 479—482.
54. Johnson D. W., Colver С. P. Mixture properties by computer. — Hydro-
carbon processing, 1968, v. 47, p. 79.
55. Starling К. E. Thermo data refined to LPG. P. 1. — Hydrocarbon pro-
cessing. 1971, v. 50, N 3, p. 101 —104.
56. Starling К. E. Thermo data refined for LPG. P. 2, 3. — Hydrocarbon
processing, 1971, v. 50, N 4, p. 139—145.
57. Starling К. E., Kwok Y. C. Thermo data refined for LPG. P. 4, 5. — Hydro-
carbon processing, 1971, v. 50, N 6, p. 116—122.
58. Starling К. E., Kwok Y. C. Thermo data refined for LPG. P. 6, 7. — Hydro-
carbon processing, 1971, v. 50, N 7, p. 115—121.
59. Starling К. E., Han M. S., Kwok Y. C. Thermo data refined for LPG.
P. 8, 9. — Hydrocarbon processing, 1971, v. 50, N 9, p. 170—172.
60. Starling К. E., Kwok Y. C. Thermo data refined for LPG. P. 10, 11. —
Hydrocarbon processing, 1971, v. 50, N 10, p. 90—92.
61. Starling К. E., Batdorf P. N., Kwok Y. C. Thermo data refined for LPG.
P. 12, 13. — Hydrocarbon processing, 1972, v. 51, N 2, p. 86—88.
62. Starling К. E., Han M. S. Thermo data refined for LPG. P. 14. — Hydro-
carbon processing, 1972, v. 51, N 5, p. 129—132.
63. Starling К. E., Han M. S. Thermo data refined for LPG. P. 15. — Hydro-
carbon processing, 1972, v. 51, N 6, p. 107—115.
64. Su G. J., Chung С. H. Generalized Beattie—Bridgeman equation of state
for real gases. — J. Amer. Chem. Soc., 1946, v. 68, p. 1080.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................................... 3
Глава 1. Расчет параметров состояния реальных газов............... 6
1.1. Термические параметры состояния реальных газов............. —
1.2. Калорические параметры состояния реальных газов............ —
1.3. Уравнения состояния реальных газов........................ 18
1.4. Процедуры определения теплоты парообразования............. 50
1.5. Процедуры определения энтальпии и энтропии насыщенной
жидкости ...................................................... 53
Глава 2. Термогазодинамические процессы в элементах ступеней
центробежных компрессорных машин н оценка их энергети-
ческой эффективности ............................................... 54
2.1. Обобщенный политропный процесс ............................. —
2.2. Термогазодинамические процессы в ступени центробежного
компрессора. КПД и коэффициенты потерь элементов ступени 59
2.3. Подобие термодинамических и газодинамических процессов
в реальном газе................................................. 69
2.4. Уравнения, определяющие работу ступени центробежного
компрессора, в безразмерном виде........................... 80
Глава 3. Расчет термогазодинамических параметров в характерных
сечениях ступени центробежного компрессора.......................... 83
3.1. Системы уравнений, определяющих термогазодинамические
параметры в характерных сечениях ступени центробежного
компрессора..................................................... —
3.2. Определение термических и калорических величин по двум
произвольным параметрам состояния............................. 102
3.3. Система процедур определения термических и калорических
параметров состояния реальных газов........................... 111
3.4. Метод условных температур для аналитического расчета про-
цессов сжатия и расширения реальных газов..................... 113
Глава 4. Получение газодинамических характеристик элементов про-
точной части ступеней центробежного компрессора и их под-
готовка к использованию при моделировании.......................... 124
4.1. Экспериментальный стенд ................................... —
4.2. Объекты экспериментального исследования.................. 134
4.3. Характеристики элементов ступени.......................... 139
4.4. Представление экспериментальных данных для использования
в математических моделях..................................... 163
213
Глава 5. Моделирование характеристик ступеней центробежных ком-
прессоров .............................................. 181
5.1. Основные принципы построения модели компрессорной си-
стемы .......................................................... —
5.2. Модели элементов проточной части ступени центробежного
компрессора.................................................. 183
5.3. Определение границ характеристик ступени центробежного
компрессора................................................... 195
5.4. Модель ступени центробежного компрессора................. 199
5.5. Некоторые результаты численного моделирования харак-
теристик ступеней центробежного компрессора................ 201
Список литературы................................................... 210
И Б № 3493
Николай Николаевич БУХАРИН
МОДЕЛИРОВАНИЕ
ХАРАКТЕРИСТИК
ЦЕНТРОБЕЖНЫХ КОМПРЕССОРОВ
Редактор Я. М. Рошаль
Художественный редактор С. С. Венедиктов
Технический редактор Т. П. Малашкина
Корректоры: Т. Н. Гриннук, 3. С. Романова
Обложка художника А. А, Попрешингкого
Сдано в набор 14.04.83. Подписано в печать 10.11.83. М-42737,
формат 60X90'/i«- Бумага типографская N? 2.
Гарнитура литературная. Печать высокая.
Усл. печ. л. 13,5. Усл. кр.-отт. 13,75. Уч.-изд. л. 11,70.
Тираж 1202 экз. Заказ 114. Цена 75 коп.
Ленинградское отделение ордена Трудового Красного Знамени
издательства «МАШИНОСТРОЕНИЕ»
191065, Ленинград, ул. Дзержинского, 10.
Ленинградская типография № 6 ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградского обьедннения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
193144, Ленинград, ул. Моисеенко, 10
Уважаемый читатель!
лини
В целях получения информации о качестве
наших изданий просим Вас в прилагаемой
анкете подчеркнуть позиции, соответствующие
Вашей оценке этой книги.
1. В книге существует:
а) острая необходимость
б) значительная потребность
в) незначительная потребность
2. Эффективность книги с точки зрения
практического вклада в отрасль:
а) весьма высокая
б) высокая
в) сомнительная
г) незначительная
3. Эффективность книги с точки зрения тео-
ретического вклада в отрасль:
а) весьма высокая
б) высокая
в) сомнительная
г) незначительная
4. Материал книги соответствует достиже-
ниям мировой науки и техники в данной от-
расли:
а) в полной мере
б) частично
в) слабо
5. Книга сохранит актуальность:
а) I —2 года
б) в течение 5 лет
в) длительное время
6. Название книги отвечает содержанию:
а) в полной мере
б) частично
в) слабо
Дополнительные замечания предлагаем Вам
приложить отдельно.