ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА ИНЖЕНЕРА
Б. А. ФУКС и Б. В. ШАБАТ
ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
И НЕКОТОРЫЕ
ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1964

517.2
Ф 94
УДК 517.53
АННОТАЦИЯ
В книге дается изложение основ
теории аналитических функций. Эта
теория находит широкое применение
при разработке различных задач тех-
техники.
Книга рассчитана на студентов
высших технических учебных заведе-
заведений, а также на инженеров и научных
работников, ведущих исследования
в области приложения математики
к физике и механике.
Борис Абрамович Фукс и Борис Владимирович Шабат
Функции комплексного переменного и некоторые их приложения
М., 1964 г., 388 стр. с илл.
(Серия: «Физико-математическая библиотека инженера»)
Редактор А. П. Баева
Техн. редактор К. Ф. Брудно Корректор Т. С. Страхова
Сдано в набор 10/Х 1963 г. Подписано к печати 7/1 1964 г. Бумага
84x108/82. Физ. печ. л. 12,125. Условн. печ. л. 19,89. Уч.-изд. л. 19,25.
Тираж 21500 экз. Т-00916. Цена книги 1 р. 16 к. Заказ № 1086,
Издательство «Наука».
Редакция математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Московская типография JA 16 «Главполиграфпрома» Государственного комитета
Совета Министров СССР по печати.
Москва, Трехпрудный пер., 9.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Из предисловия к первому изданию 7
К третьему изданию 10
Введение 11
1. Комплексные числа 11
2. Простейшие операции 13
3. Умножение, деление, возвышение в целую степень и из-
извлечение корня 19
4. Возвышение в комплексную степень и логарифмирование 24
Упражнения 28
Глава I. Основные понятия комплексного анализа .... 30
5. Сфера комплексных чисел 30
6. Области и их границы 32
7. Предел последовательности . 34
8. Комплексные функции действительного аргумента . . 37
9. Комплексная форма записи колебаний 40
10. Функции комплексного переменного 43
11. Примеры 45
12. Предел функции 49
13. Непрерывность 51
14. Условия дифференцируемости 53
Упражнения 57
Глава II. Конформные отображения 59
15. Конформные отображения 59
16. Конформные отображения областей 64
17. Дифференциал и его геометрический смысл 66
18. Дробно-лииейные отображения 68
19. Круговое свойство 72
20. Инвариантность сопряженных точек 73

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
21. Условия , определяющие дробно-линейное отображение 75
22. Частные случаи 79
23. Общие принципы теории конформных отображений 82
Упражнения 86
Глава III. Элементарные функции 88
24. Функции w—zn и их римаиовы поверхности .... 88
25. Понятие о регулярной ветви. Регулярные функции
w=n/z 93
98
26. Функция о -- у f г т — J и ее римапова поверхность
27. Примеры 101
28. Профили Жуковского 105
29. Показательная функция и ее риманова поверхность . . 107
30. Логарифмическая функция ПО
31. Тригонометрические и гиперболические функции . . . 112
32. Общая степенная функция ю —г" 116
33. Примеры . 119
Упражнения . 123
Глава IV. Приложения к теории плоского поля 125
34. Плоские векторные ноля 125
35. Примеры плоских полей 127
36. Свойства плоских пекторных полей 130
37. Силовая и потенциальная функции 135
38. Комплексный потенциал в электростатике 142
39. Комплексный потенциал в4 гидромеханике и тепло-
теплотехнике 149
40. Метод конформных отображений 153
41. Поле в полосе . 154
42. Поле в кольце 157
43. Задача обтекания бесконечной кривой 162
44. Задача полного обтекания. Условие Чаплыгина . . . 165
45. Другие методы 170
Упражнения 175
Глава V. Интегральные представления регулярных функций.
Гармонические функции 177
46. Интеграл от функции комплексного переменного . . . 177
47. Интегральная теорема Коши 179
48. Теорема Коши о вычетах. Формула Чаплыгина . . . 183

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
49. Неопределенный интеграл 187
50. Интегрирование степеней (г а) 190
51. Интегральная формула Коши 194
52. Существование высших производных 195
53. Свойства регулярных функций 198
54. Гармонические функции 201
55. Задача Дирихле 205
56. Интегралы Пуассона и Шварца 210
57. Приложения к теории поля 213
Упражнения 218
Глава VI. Представление регулярных функций рядами . . 220
58. Ряды в комплексной области 220
59. Теорема Вейерштрасса 223
60. Степенные ряды 225
61. Представление регулярных функций рядами Тейлора 229
62. Нули регулярной функции. Теорема единственности 232
63. Аналитическое продолжение. Понятие аналитической
функции 235
64. Ряды Лорана 241
65. Изолированные особые точки 249
66. Устранимые особые точки 250
67. Полюсы 251
68. Существенно особые точки 257
69. Поведение функции в бесконечности 260
70. Теорема Жуковского о подъемной силе 264
71. Простейшие классы аналитических функций .... 270
Упражнения 272
Глава VII. Приложения теории вычетов 275
2я
72. Вычисление интегралов вида \ R (sin х, cos х) dx . . 275
0
СО
73. Интегралы вида \ R (х) |^" У ах dx 278
СО
74. Другие интегралы 284
75. Интегралы от многозначных функций ........ 291

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
76. Представление функций интегралами ....... 299
77. Логарифмический вычет. Принцип аргумента .... 303
78. Разложение котангенса на простейшие дроби. Теорема
Миттаг-Леффлера 309
79. Разложение синуса в бесконечное произведение. Тео-
Теорема Вейерштрасса 313
80. Функция Эйлера Г (z) 318
81. Интегральные представления Г-функции 322
Упражнения 327
Глава VIII. Отображения многоугольных областей .... 329
82. Принцип симметрии . . . 329
83. Примеры 333
84. Интеграл Кристоффеля - Шварца 341
85. Случаи вырождения 348
86. Примеры . 351
87. Расчет поля у краев конденсатора. Конденсатор Рогов-
ского 357
88. Поле электродов в форме углов 361
89. Отображение прямоугольников. Понятие об эллиптиче-
эллиптических интегралах 365
90. Понятие об эллиптических функциях Якоби 369
Упражнения 372
Ответы и указания по решению задач 376

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Предлагаемая книга предназначается для студентов
и аспирантов высших технических учебных заведений,
а также для инженеров, желающих повысить свою научно-
теоретическую квалификацию.
Назначение книги обусловило и характер изложения. От-
Отказавшись от ряда доказательств, авторы вместе с тем соч-
сочли нецелесообразным превращать книгу в справочник*
Поэтому в ней большое внимание уделено основным поня-
понятиям теории функций комплексного переменного. В тех слу-
случаях, когда опускалось доказательство той или иной теоре-
теоремы, авторы стремились пояснить примерами значение ее
предположений и утверждений.
Большое значение авторы придают также развитию навы-
навыков конкретного применения излагаемых в книге методов.
Поэтому в текст включено много примеров, а в конце каждой
главы приведены задачи. Задачи снабжены ответами и неко-
некоторые из них— указаниями. Авторы подчеркивают, что са-
самостоятельное решение этих задач *) совершенно необходимо
для действительного овладения методами теории функций.
Для читателей, не имеющих возможности изучить книгу
полностью, авторы указывают следующие три варианта
ее частичного изучения:
1-й вариант (дает введение в элементарную теорию функ-
функций) включает введение, I главу (без п. 9), II лаву (без
*) Кроме тех, которые отмечены звездочкой и носят факульта-
факультативный характер.

ПРЕДИСЛОВИЕ
п. 17), из III главы пп. 24 — 25 и 29 — 31, из V главы
пп. 46 —53, из VI главы нп. 58 — 61, 64 — 67, 69 и отдель-
отдельные примеры из IV и VII глав —по желанию.
2-й вариант (для лиц, заинтересованных только в анали-
аналитической теории, например желающих в дальнейшем изучать
операционное исчисление). Здесь можно опустить пп. 18 — 23
главы II, из главы III взять лишь определения элементарных
функций (начало пп. 29 — 31), из главы IV взять пп. 34 — 37,
в главе V опустить пп. 55 — 57, в главе VI —п. 70; гла-
глава VII должна быть изучена полностью, главу VIII можно
опустить.
3-й вариант (для лиц, интересующихся только кон-
конформными отображениями и их применением). Здесь мож-
можно опустить пп. 54 — 57 главы V, пп. 66 — 68 главы VI
и полностью главу VII.
Остановимся на некоторых особенностях нашего изло-
изложения *).
Введение к книге посвящено обзору действий над ком-
комплексными числами. Авторы отказываются от способа изло-
изложения теории комплексных чисел, принятого в средней
школе, ибо этот способ порождает у учащегося взгляд на
комплексные числа, как на некие мнимые, несуществующие
реально объекты. В книге комплексные числа определяются
как векторы, или точки плоскости, над которыми произво-
производятся некоторые операции. Авторы сознают несовершенство
этого способа определения комплексных чисел. Однако они
находят его наиболее отвечающим назначению книги, ибо
введение комплексных чисел как элементов абстрактного
алгебраического поля с определенными свойствами потребо-
потребовало бы от читателя чрезмерных и излишних усилий.
Глава I посвящена изложению основных понятий анализа
функций комплексного переменного. Стремясь создать у чи-
*) В первую очередь мы адресуемся здесь к преподавателям,
которые пожелают рекомендовать эту книгу своим ученикам.

ПРЕДИСЛОВИЕ 9
тателей конкретные представления, авторы одновременно
с понятием функции рассматривают соответствующее ей ото-
отображение. Другие понятия также сразу трактуются геомет-
геометрически. При изложении подчеркивается равноправность ко-
конечных и бесконечно удаленной точек сферы комплексного
переменного.
Понятию конформного отображения ввиду его особой
важности посвящается отдельная (вторая) глава. Здесь пос-
после основных определений и теорем подробно изучаются
дробно-линейные отображения.
Знакомство со свойствами этих отображений должно
подготовить читателя к чтению последнего пункта главы,
в котором излагаются общие принципы теории конформ-
конформных отображений.
В главе III рассмотрены важнейшие элементарные функ-
функции. Авторы стремились здесь пояснить геометрически про-
процесс выделения регулярных (однозначных) ветвей многознач-
многозначных функций. Изложение ведется для конкретных функций—
общее понятие многозначной аналитической функции и ее ре-
регулярных (однозначных) ветвей приводится лишь в главе VI.
Другая важная цель главы (и упражнений, следующих за
ней) —создать у читателя навыки в подборе элементарных
функций, осуществляющих конформные отображения задан-
заданных областей.
Глава IV посвящена комплексному потенциалу плоского
векторного поля и приложениям к такому полю простейших
методов теории функций комплексного переменного. До гла-
главы IV задачи прикладного характера почти не встречаются
в изложении. Авторы находят целесообразным до их рас-
рассмотрения сообщить читателю некоторый запас теоретиче-
теоретических сведений. Кроме того, объединение начальных сведений
о комплексном потенциале в одно целое облегчит читателю
применение методов теории функций к техническим вопро-
вопросам. После этой главы рассмотрение прикладных задач

Ю ПРЕДИСЛОВИЕ
обычно следует за изложением математических методов
в качестве иллюстрации.
В главах V и VI излагается основной аппарат теории
регулярных функций: в главе V строится интегральное исчи-
исчисление, а в главе VI рассматриваются разложения в ряды.
В главе VI вводится общее понятие аналитической функции,
основанное на рассмотрении всех возможных аналитических
продолжений исходной регулярной функции.
Главы VII и VIII посвящены приложениям теории: глава
VII —аналитическим, а VIII —геометрическим. В главе VII
используется в основном теория вычетов. Здесь разбирается
большое число примеров, иллюстрирующих общие методы
вычисления интегралов. Авторы считают нецелесообразным
приводить леммы, на которых основывается вычисление от-
отдельных типов интегралов (как это делается в некоторых
курсах), и рекомендуют каждый раз применять общие мето-
методы. В главу VII включено также несколько примеров пред-
представления функцийконтурными интегралами, которые долж-
должны облегчить читателю переход к изучению операционного
исчисления.
Б. А. Фукс, Б. В. Шабат
К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Это издание несущественно отличается от предыдущих.
Некоторым изменениям подверглось лишь Введение, н ис-
исправлены замеченные мелкие погрешности и опечатки.
Сентябрь 1963 г.
Авторы

ВВЕДЕНИЕ
1. Комплексные числа. С понятием комплексного числа
читатель знаком еще из курса элементарной алгебры.
В элементарных курсах к комплексным числам обычно
приходят, рассматривая уравнение х2 -\- 1 = 0. Прежде
всего обнаруживается, что не существует действительных
чисел, удовлетворяющих этому уравнению. Тогда вводит-
вводится новое, «мнимое», число I — j --1, и рассматриваемое
уравнение оказывается разрешимым, а его корни — равны-
равными ¦+• I и — i.
Затем вводятся «комплексные» числа х-\-1у как суммы
действительных чисел х и «мнимых» чисел iy. Правила
действий с этими новыми числами выражают возможность
производить с ними операции как с действительными
числами, заменяя в окончательных результатах i2 на — 1.
После введения новых чисел оказываются разрешимыми
все квадратные уравнения
и, вообще, все уравнения
с произвольными коэффициентами.
Описанный способ введения комплексных чисел не-
неудовлетворителен, ибо он порождает взгляд на комплекс-
комплексные числа, как на объекты, не существующие реально,
в буквальном смысле слова «мнимые».
Мы пойдем поэтому по иному пути.
Рассмотрим систему свободных векторов, лежащих
в некоторой плоскости. Напомним, что свободными назы-
называются векторы, для которых введено следующее поня-
понятие равенства: два вектора считаются равными, если
их можно совместить друг с другом путем параллельного

12 ВВЕДЕНИЕ
переноса. В следующих пунктах (пп. 2, 3 и 4) мы введем
некоторые операции над векторами нашей системы. Эти
операции делятся па две группы.
Первая группа содержит сложение, вычитание и умно-
умножение на действительные числа (скаляры) — операции,
которые производятся так же, как в обычной векторной
алгебре (см. п. 2). Операции второй, группы, напротив,
существенно отличают алгебру рассматриваемых здесь
векторов от обычной. В обычной векторной алгебре вво-
вводятся два различных умножения — скалярное и векторное,
но ни одно из них не удовлетворяет полностью законам
умножения действительных чисел. Например, ни одна
из этих операций не допускает обращения: не существует
ни скалярного, ни векторного деления. В следующих
пунктах читатель увидит, однако, что для плоской
системы векторов удается ввести операции умножения
и деления, возведения в степень и извлечения корпя
(п. 3) с сохранением всех основных законов арифме-
арифметики действительных чисел. Эти операции и другие, опре-
определяемые в п. 4, составляют вторую группу, о которой
говорилось выше. Сказанное дает нам повод рассматривать
плоскую систему векторов с описанными двумя группами
операций как систему нового рода чисел, которые мы
и будем называть комплексными числами.
Таким образом, под совокупностью комплексных чисел
мы будем понимать плоскую систему свободных векто-
векторов, над которыми производятся операции по правилам,
указанным в пп. 2, 3 и 4.
Изложенный способ введения комплексных чисел сво-
свободен от тех недостатков, о которых говорилось в начале
пункта. В его пользу говорит также то обстоятельство,
что векторные величины весьма часто рассматриваются
в различных прикладных задачах. Читатель увидит (в п. 9,
а также в главе IV и других местах книги), что опера-
операции над комплексными числами, вводимые здесь, находят
в этих задачах свое применение.
Плоскость, в которой лежат рассматриваемые векторы,
мы будем называть плоскостью комплексных чисел. Выбе-
Выберем в этой плоскости некоторую точку О и, пользуясь
тем, что наши векторы свободны, поместим начальные
точки всех векторов в эту точку. Тогда любой вектор

2]
ПРОСТЕЙШИЕ ОПЕРАЦИИ
7.,
Рис. 1.
и z2 мы будем пони-
пони(комплексное число) z однозначно определится положе-
положением точки Р — его конца. Наоборот, любая точка Р
плоскости однозначно определится некоторым вектором
(комплексным числом) z = OP. Таким образом, устанавли-
устанавливается взаимно однозначное соот-
соответствие между комплексными чи-
числами и точками плоскости *).
Это дает нам основание наряду
с представлением о комплексном
числе как о векторе иметь пред-
представление о нем как о точке пло-
плоскости. В дальнейшем мы будем
употреблять выражение «точка z»
не менее часто, чем выражение
«вектор z».
2. Простейшие операции. Опре-
Определение. Под суммой и разно-
разностью двух комплексных чисел zt
мать диагонали параллелограмма, построенного на zt и z2
как на векторах (рис. 1).
Иначе, сумма zi + z2 равна замыкающей диузвенной
ломаной, составленной из векторов zt и z2, а разность
равна вектору, идущему из
точки гг в точку Zi (рис. 1).
Понятие суммы очевидным
образом распространяется на
любое число слагаемых.
Определение. Под
произведением комплексного
числа z на действительное
число k мы будем понимать
вектор (комплексное число)
kz, длина которого равна
длине г, умноженной на ' k |,
а направление совпадает с
направлением z, если k > О,
и противоположно последнему, если k < 0 (см. рис. 2, где
изображены числа z, 2z, -„ z и —z).
*) При этом сама точка О соответствует нулевому вектору
(комплексному числу 0).
Рис. 2.

14 ВВЕДЕНИЕ
В любом учебнике векторной алгебры доказывается,
что введенные здесь операции обладают обычными ариф-
арифметическими свойствами.
Введем на плоскости комплексных чисел систему пря-
прямоугольных декартовых координат хОу так, чтобы ее начало
совпало с точкой О (см. п. 1), и обозначим через 1 и i
орты координатных осей Ох и Оу. Тогда, пользуясь на-
нашими определениями и идя обычным для векторной алгебры
путем, мы сможем представить
У произвольный вектор (комплекс-
z^x+г'у пое число) z с проекциями х и у
в виде *)
г = х- \-\-y-i--=xAr itj A)
(рис. 3). Выражение A) мы бу-
будем далее называть декартовой
формой комплексного числа z.
_х_ Орты 1 и i называются дейст-
действительной и мнимой единицами
и в соответствии с этим оси Ох
и Оу — действительной и мни-
мнимой осями. Проекции х и у на-
называются действительной и мнимой частями комплекс-
комплексного числа z и обозначаются символами
x = Rez, y--lmz. B)
Если конец вектора z (с началом в 0) лежит на дей-
действительной оси, то мы будем считать, что комплексное
число г —л:-г Of совпадает с действительным числом х,
определяющим положение конца вектора г. Таким образом,
совокупность комплексных чисел включает и все действи-
действительные числа. Если конец г лежит на мнимой оси,
то комплексное число z=0-\-yi = yi мы будем называть
мнимым.
Под равенством комплексных чисел понимается равен-
равенство соответствующих векторов (см. п. 1). Легко записать
условие равенства в координатах: два комплексных числа
Zi — Xi + iyt и ?2 = х2 -\- /г/2 тогда и только тогда равны
*) Как показывает A), обозначение орта оси Ох опускается.

2] ПРОСТЕЙШИЕ ОПЕРАЦИИ 15
друг другу, когда
xt = x2, У1 = уг- C)
Таким образом, одно равенство между комплексными
числами сводится к д в у м равенствам в действительных
числах.
Мы будем пользоваться также понятием сопряженности
комплексных чисел: z% = x%-\- iy% называется сопряженным
xi = xi- iyu если
Хг^Хи у2 = —г/1- D)
В этом случае мы будем писать z2 = zu Изображением
числа Zj служит точка, симметричная точке z4 относитель-
относительно оси Ох.
Далее, сложение (вычитание) комплексных чисел сво-
сводится к сложению (вычитанию) их действительных и мни-
мнимых частей: если Zi — Xi-\-iyu z2 = х3-г й/г> то
z--^Zi ±z2 = (xtT ДГ2) + »(t/i -* г/а). E)
При умножении комплексного числа z = x-\-iy на дей-
действительное число k действительная и мнимая части z
умножаются на к.
Zi — kz — kx+iky. F)
Наряду с представлением комплексного числа в виде A)
в декартовых координатах во многих случаях удобно
пользоваться его представлением в полярных координатах.
Мы расположим полюс полярной системы координат
в начале декартовой системы координат, за направление
полярной оси примем положительное направление оси Ох.
Обозначим через гиф полярные координаты точки
z — x + iy (см. рис. 3). При этом положительное направле-
направление отсчета угла ф выбирается так *), что точкам поло-
положительной полуоси Оу отвечает значение <р = -"- • Тогда
мы будем иметь:
x = rcosy, y — rsiny, G)
*) На наших чертежах это направление выбирается противопо-
противоположным направлению вращения часовой стрелки.

16 ВВЕДЕНИЕ
и формула A) примет вид
2 — x-[-iy = /-(coscp-f i этф). (8)
Выражение (8) мы будем, далее, называть тригономет-
тригонометрической формой комплексного числа. Величины г и ф
называются модулем и аргументом г и обозначаются
символами
r = |z|, <p = Argz. (9)
Заметим, что в то время как декартовы координаты
комплексного числа определяются однозначно, для поляр-
полярных координат имеется некоторая неопределенность.
В самом деле,
r--|zl= -\-\ х*-\-у* A0)
— однозначная функция х и у. С другой стороны, функ-
функция ф^= Argz многозначна и имеет бесчисленное множество
значений, отличающихся друг от друга па произвольные
целые, кратные 2я. Так, например, точке г ¦— i, лежащей на
положительной полуоси Оу, кроме значения ц>~ -^ , также
З.т
отвечает значение <р = — - , получающееся при отсчете
угла ф в противоположном, отрицательном направлении.
Вообще, значениями Argt являются величины -' -\-21гя,
где k — произвольное целое число. Они соответствуют
добавлению к углу "^ полных оборотов вокруг точки О,
совершаемых в положительном (если k > 0) или отрица-
отрицательном (если k < 0) направлениях. Следует еще отметить,
что при z=^0 функция Ar^z, очевидно, не определена.
Среди значений Ащг для каждого гфО всегда имеет-
имеется одно и только одно, лежащее в промежутке ( — я, я],
которое мы обозначим символом arg z. Определенную
таким образом однозначную функцию мы будем называть
главной ветвью аргумента*) г; но этому определению
имеем:
— я < arg z < я.
*) Иногда мы будем отступать от этого обозначения .
специально оговаривать, какая именно ветвь аргумента ра^
вается. . '•;1

2] ПРОСТЕЙШИЕ ОПЕРАЦИИ 17
Из равенстваG) можно видеть, что tg(argz) = — при хфО.
Отсюда и из неравенств A1) мы получим:
arg z = arctg -у- при х > 0;
arg г = я +arctg — при х < 0, i/>0; A2)
arg z = — я -|- arctg -- при х < 0, г/ < 0.
Кроме того, из определения величины argz непосредст-
непосредственно вытекает, что
argz = Y при х = 0, у > 0;
A3)
arg г = — -g- при л; = 0, г/ < 0.
Заметим, что главная ветвь argz терпит разрыв на
отрицательной полуоси; при приближении z к точке отри-
отрицательной полуоси сверху arg z стремится к + я, а при
приближении к той же точке снизу к — я. В остальных
точках плоскости (исключая z = 0) эта функция непре-
непрерывна*).
Из определений функций Argz и argz, наконец, выте-
вытекает, что
Arg z = arg z + 2fot, A4)
где k — произвольное целое число.
Условия равенства двух комплексных чисел г4 и z2,
заданных в полярных координатах, имеют вид
|Zii = l22i, argZi-argz2. A5)
В этом случае значения ArgZi и Argz2 могут отличаться
друг от друга только на величину 2кя, где k — произ-
произвольное целое число. Поэтому второе равенство A5) мо-
может быть заменено таким равенством:
Arg z, =¦•-- Arg za + 2fot. A54)
" "робнее об этом см. п. 8.
Руке, Б. В. Шабат

18 ВВЕДЕНИЕ
Условия сопряженности комплексных чисел выражают-
выражаются соотношениями:
z| = |z|, arg i = — argz (argz ф я), A6)
При сложении и вычитании комплексных чисел их
полярные координаты не подчиняются таким простым
закономерностям, как декартовы. Заметим, однако, что,
как следует из рис. 1 и из элементарных свойств тре-
треугольников,
Izi4-z2|<|zi| + |z2|, \zi — zi\>\\zi\- |z2||. A7)
Последние неравенства обращаются в равенства, если
arg zi = arg z2.
В заключение этого пункта укажем на примерах, как
с помощью комплексных чисел можно задавать геометри-
геометрические места точек на плоскости.
Примеры. 1. Легко записать соотношения, которым подчи-
подчиняются точки, лежащие соответственно внутри круга радиуса г
с центром в произвольной точке а плоскости, на его окружности
и в его внешности (и только эти точки):
| г — а | </•, \z—a\ = r, | г—а | >>.
Следовательно, можно считать, что эти соотношения задают ука-
указанные геометрические места. Неравенства
задают кольцо между окружностями радиусов г и R с центром
в точке а (внутренняя окружность включается в кольцо, внешняя
исключается).
2. Уравнение
задает луч, наклоненный к действительной оси под углом а,
неравенства
а < arg z < р
— бесконечный сектор, заключенный между лучами arg2 = a и
argz = f} (сами лучи исключаются).
3. Уравнения
Re г = а, Im z=f}
задают прямые, параллельные координатным осям, неравенства

3]
ВОЗВЫШЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ
19
— вертикальную полосу вместе с ее границами; неравенства
а < Re г < р, | Im z К у
— прямоугольник (вместе с его границей).
3. Умножение, деление, возвышение в целую степень
и извлечение корня. Определение. Произведение ком-
комплексных чисел
Zi = /ч (cos ф4 + / sin tpj), z2 = r2 (cos ф2 + i sin ф2)
определяется равенством
г = ziz2 = Air2 [cos (ф! 4- ф2) + isin (ф! + ф2)]. A8)
Таким образом, при умножении комплексных чисел их
модули перемножаются, а аргументы складываются. При
этом значения многозначных функ-
функций ф! = Arg Zi и ф2 = Arg z2 можно
выбирать произвольно, но тогда
значение Arg z определится сум-
суммой ф1 -Ьф2- В частности, если все
три значения фь фа и фх 4- фг лежат
в интервале ( — я, я], можно огра-
ограничиться главными ветвями аргу-
аргументов.
Если 2i и z2 — действительные
числа, то определениеA8), очевид-
очевидно, приводит к обычному правилу
умножения действительных чисел.
Геометрически умножение ком-
комплексного числа Zj на z2 сводится
к растяжению (сжатию) вектора zt в \z2\ раз и к повороту
его на угол ф2 = Argz2 (см. рис.4, где треугольники OlZi
и OZ2Z подобны).
Из нашего определения следует, что умножение ком-
комплексных чисел подчиняется следующим законам (пере-
местительному и сочетательному):
ZiZ2=ZaZ1, Zi(z2Z3) = (Z!Z2)Z3. A9)
Примеры. 1. Если
zt~z = r (costp + isintp),
z2=z~r [cos( —cpL-«sin( —ер)],
TO
ZiZ2— zz = r2 (cos 04-i sin 0) = ra.
2*
Рис. 4.

20 ВВЕДЕНИИ
Таким образом, произведение комплексного числа на сопряженное
ранно кнадрату его модуля.
2. Если 21=гг2=соя-ф -[-1 sin •-2- = 'i т°
i7 = cos я---г sin я= — 1. B0)
Таким образом, умножение мнимой единицы i па себя дает —1.
Если комплексные числа z{ и г2 заданы к декартовых
координатах, то, исходя из нашего определения A8),
получим:
г,г2 = rtr2 {cos (ф! ¦ |- ф2) + i sin {щ + ф2)} =
Вспоминая соотношения G), получаем окончательно:
-[- iy2) =
— г/11/2) + / (хм + x2yt). B1)
Можно сказать, что соотношение B1) по;1учается, если
в его левой части раскрыть скобки по обычным алгебраи-
алгебраическим правилам и в соответствии с B0) при этом поло-
положить п=—1. Из соотношения B1) вытекает распреде-
распределительный закон умножения:
(Zi+z2)z = .ziz-bzaz. B2)
Действие умножения естественным образом обоб-
обобщается на случай произвольного числа множителей.
Введенное здесь действие умножения существенно
отличается и от векторного и от скалярного умножения
векторов. Как мы уже указывали, в этом состоит основ-
основное отличие рассматриваемой здесь алгебры действий
над векторами от обычной алгебры, принятой в вектор-
векторном исчислении.
Определение. Частное от деления комплекс-
комплексного числа 2t — ri(cos(pi + / sinФ1) па комплексное число
г2 = r2(cos ф2 + / sin ф2) Ф 0 определяется равенством
2 = 4' =-т-[со5(ф1-ф2)-Ьг5т(ф1-ф2)]. B3)

3] ВОЗВЫШЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ 21
Таким образом, при делении комплексных чисел
модуль числителя делится на модуль знаменателя и из
аргумента числителя вычитается аргумент знаменателя*).
Из определения следует, что действие деления обратно.
действию умножения: из равенства z = --следует zz2=Zi.
Деление zx на z2 сводится к
умножению zt на —. Приведем
4 1
способ построения точки - по
г2
данной точке г2 или, в более
симметричных обозначениях,
точки
o> = y B4)
(рис. 5).
Пусть j z' < 1. Из точки г
проведем перпендикуляр к лучу
Oz до пересечения с окружностью \г\=1 в точке ы
и из точки со —касательную к этой окружности до пере-
пересечения с лучом Oz в точке ? (при \г\> 1 построение
выполняется в обратном порядке). Так как треугольники
Огы и Осо? подобны (они прямоугольные и имеют общий
угол), то #- = §? или 1f = Tf1. т. е. \U = -~- Так
как, кроме того, аргументы z и ? равны, то
С = {. B5)
Переход от комплексного числа z к числу ? = - назы-
называется инверсией относительно единичной окружности,
а точки z и ? — симметричными относительно этой окруж-
окружности.
Остается построить точку до, симметричную ? относи-
относительно оси О*. Будем иметь j w | = | ?' = — , arg до =
= — argt= — argz, т. е. до = —, что и требовалось.
*) Выбор значений Arg«i, Argz2 и Arg 2 производится так же,
как при умножении.

22 ВВЕДЕНИЙ
Если комплексные числа г\ и z-> заданы в декартовых
координатах, то, исходя из определения B3)и пользуясь
формулами A1) и G), получим:
z = -- — — {cos (ф! — ф2) — / sin (фх — ф2)} =
г2 '2
— -1 (cos ф! cos ф2 + sin ф! sin ф2) — / -r'- (sin ф! cos ф2 —
Г2 '2
- sin Ф2 cosф1) = ^Л-Ш-[±Шг--Щ?>\.
Легко заметить, что здесь числитель равен г^,,а зна-
знаменатель | ti |2. Поэтому
,1 ь« • о '-Н A+0A 1 0 •
Примеры. 1. _,- = _,= _«; 2. -1_-, = L__2i_^J. = t,
3 -1 —L-*
Определение, /г-й степенью числа z называется
произведение
п раз
Согласно нашему определению умножения для z = г (cos ф +
+ / sin ф) получаем:
г" = гп(созпф + /8тпф). B6)
Примеры. 1. При z—i получаем:
12 = /. ё = — 1, »з= /a. i =—г, г4 = г-з./=1
и т. д. Вообще
/4Ь =1, l4fc+l = /, i4ft+2=_l, i4h+S__/)
где fe—произвольное целое число.
2. При z = cos<p-|-/sin<p формула B6) дает так называемую
формулу М у а в р а:
(cos <р+;' sin <p)n = cos /гф—(—i sin ncp.
Отделяя в последнем равенстве действительные п мнимые части,
получим, например, при п = 3:
cos 3q> = cos3<p — 3cos9sin2 <p, sin3q)=— sin39 |-3 cos2 ф sin ф.

.11 ВОЗВЫШЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ 23
Определение. Число w называется корнем сте-
степени п из числа z, если wn = z; в этом случае пишут
п г-'
w— у г.
Если положить z — r (coscp-f /sinq>), да=q (cos 0-f-г sin 0),
то по формуле B6) будем иметь:
q™ (cos nO -\- i sin лО) = г (cos cp \- i sin <p),
откуда, сравнивая модули и аргументы, найдем:
Qn = г, пО = ср + 2Ьт,
где k— произвольное целое число. Последние равенства
определяют единственное (положительное) значение q
и бесчисленное множество значений 0:
Q=yr, 6 = 0й = -н-^- . B7)
Полагая во второй формуле B7) й = 0, 1 п—\,
получим п значений 0й: 00, 0ь ..., 9„_!, таких, что
все остальные 0Й отличаются от них на целые, крат-
кратные 2я. Следовательно, формула B7) определяет лишь п
различных комплексных значений У г:
^о =V z\=Vr (^cos-*- -;-г sin -*
nr-, i-С ф-}-2(я— 1)Я , . . ro-|-2(n— 1) л
ибо добавление к аргументу целого кратного 2п не изме-
изменяет комплексного числа.
Точки w0, W\, ...,wn-i расположены в вершинах пра-
правильного многоугольника, вписанного в окружность ради-
радиуса q = \' г с центром в начале координат. В самом деле,
модули всех wh равны и переход от Wk к wk+\ сопрово-
2л
ждается увеличением аргумента на -"-. После п таких
переходов мы возвращаемся к первоначальному значению
корня и затем снова получаем уже построенные его зна-
значения.
Из сказанного следует, что корень нечетной степени п
из положительного числа имеет п комплексных значений,
из которых одно действительно и положительно; корень

24
ВВЕДЕНИЕ
четной степени п из такого числа также имеет п ком-
комплексных значений, из которых два действительны (одно
положительно и одно от-
отрицательно).
Мы предлагаем читате-
читателю убедиться в этом само-
самостоятельно.
Пример. Найдем все зна-
fcthJ,
чения
следовательно,
-j-i. Имеем
Рис. 6.
Остальные значения корня получаются из ьу0 поворотами на угол
2л л _. ,
--- = ^- . Таким образом:
и точки га^ лежат в вершинах квадрата, вписанного в окруж-
окружность \w' = Sf/r2 (рис. 6).
4. Возвышение в комплексную степень и логарифми-
логарифмирование. Определение. Действие возвышения числа е
(основания натуральных логарифмов) в степень z =
определяется равенством
ex*iv — ех (cos у -I- / sin у).
B8)
Это определение может показаться искусственным.
Заметим в его оправдание, что при у = 0, когда z
является действительным числом, ez сводится к обычной
степени ех (это вытекает непосредственно из определения),
а также, что оно сохраняет обычные свойства степени:
0*2
= eZi~
B9)

4] КОМПЛЕКСНАЯ СТЕПЕНЬ И ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ 25
Чтобы доказать эти соотношения, заметим, что согласно
формуле B8) модуль комплексной степени ежл+1У* равен ехь,
а аргумент yh; поэтому по правилам умножения и деления
комплексных чисел мы находим:
%="S[cos (у* ~ ^+'sin (y1""УаI = e21"zo"-
в в
Комплексные степени обладают также и новыми свой-
свойствами, отсутствующими у действительных степеней. Так,
из равенства B8) мы получаем, что для любого целого k
(положительного, отрицательного или нуля)
e2ftni = cos2fot_|-/sin2bt= 1, C0)
в то время как действительная степень числа г равна
единице лишь в том случае, когда показатель степени
равен нулю. Далее из C0) на основании первого свой-
свойства B9) мы получаем, что для любого целого k
т. е. что степень ё~ не меняется при добавлении к пока-
показателю целого кратного 2ш.
Замечание. Заметим, что и в действительном анализе опре-
определение степени ех при произвольном действительном значении х
вызывает затруднения. Одним из способов такого определения
является определение ех при помощи предела последовательности:
ех— lim
п->оо
В следующей главе мы введем понятие предела последовательности
комплексных чисел и покажем, что наше определение B8) совпа-
совпадает с аналогичным определением:
er= lim
п->оо
(см. пример на стр. 36).
Полагая в формуле B8) х = 0 и у — <р, мы получим фор-
формулу Эйлера:
C2)

26 ВВЕДЕНИЕ
Пользуясь этой формулой, мы можем представить ком-
комплексное число в виде
г — г (cos ф + / sin ф) = ге|(Р. C3)
Последнее выражение называется показательной формой
комплексного числа; ввиду ее компактности она удобнее
равносильной тригонометрической формы.
Учитывая, что r=|zj и <р = Argz = argz-\-Ikn, где
k — произвольное целое число, показательную форму ком-
комплексного числа можно переписать в виде
¦
Примеры. * = е*2, — 1=е1я, _« = е~2, \+i=Y2
2ek
Определение. Число аи называется (натуральным)
логарифмом комплексного числа г Ф О (обозначение
w — Lnz), если ew = z.
Полагая w = u + iv, получаем из этого определения
и, сравнивая это соотношение с формулой C34), находим:
Из первого равенства находим и— 1п|г], где In —обыч-
—обычный натуральный логарифм положительного числа \г\,
и следовательно,
w = Ln z = In | z | + / Arg z = In | z | + / (arg z + 2kn). C4)
Формула C4) определяет бесконечное множество ком-
комплексных чисел — логарифмов числа z. Из этого бесконеч-
бесконечного множества выделяется одно, отвечающее значению
k = 0, которое называется главным значением логарифма
и обозначается символом lnz. Таким образом,
lnz=sln|z|-Margz. C5)
Если z — действительное и положительное число, то
arg z = 0, и поэтому главное значение логарифма In z = ln ] z j
совпадает с обычным натуральным логарифмом.
Примеры. Lnt=(-"-f 2ьЛ», 1п< = -~<", Ьп(-1)=Bй~И)ш,
1п(—1) = ш"; для а>0 имеем Lna=lna-j-2kru. Таким образом,

4] КОМПЛЕКСНАЯ СТЕПЕНЬ И ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ 27
среди бесчисленного множества логарифмов положительного
числа одно и только одно действительное (именно — главное зна-
значение).
Укажем теперь основные свойства логарифмов. Поль-
Пользуясь правилом умножения комплексных чисел, мы найдем:
Ln (ZiZ2) = In I ZjZz | + i Arg (ztZj) = In | zt \ + In | г21 +
+ / (Arg zx + Arg zt) = Ln zt + Ln z2 C6)
и аналогично
LnJ- = Lnzi-Lnz,, C7)
т. е. что сохраняются обычные правила логарифмирования
произведения и частного. Заметим, однако, что в отличие
от обычной алгебры равенства C6) и C7) представляют
собой равенства бесконечных совокупностей
чисел. Последнее для равенства C6) означает, что каждое
число, являющееся значением Ln(ziz2), является одним
из значений суммы Lnzi-r-Lnz2 и, наоборот, каждое
значение этой суммы является одним из значений
L
()
Аналогичный смысл имеет и равенство C7).
Поэтому разность Ln zi — Ln z2 надо понимать как
где k = k\ — k2 — произвольное целое число. В частности,
Lnz — Lnz = 2kni,
где k— произвольное целое число, и нельзя считать
Ln z — Ln z = 0. Точно так же
Ln z -f Ln z = 2 ln z -\ 2kni,
где & —произвольное целое число, и нельзя считать
Lnz + Lnz = 2Ln z, ибо 2 Lnz = 2 In z + 4kni.
Теперь мы можем дать общее определение комплексной
степени.
Определение. Действие возвышения числа z = reiw
в степень а = а+Ф определяется равенством
z° = ea Ln' C8)

28 ВВЕДЕНИЕ
(в случае действительных z и а оно выражает известное
свойство логарифмов). Расписывая равенство C8), получаем
Za = e(a+'P) Ln 2 =- ga In г—р (ф+2ЛЯ)^г {a (ф+2Мл)ЧР In r} C9)
Свойства комплексной степени будут рассмотрены ниже
в п,32; здесь мы приведем лишь несколько примеров.
Примеры. 1. i' = elIjn г=е 2 ; таким образом, эта
степень имеет бесконечное множество действительных значений.
4 - 7 г1
Ч/ ( л + ЙГМ ' ( л 4- —} '
= е е 2 = (/е 16 2 ; эта величина имеет четыре
различных значения, указанных в предыдущем пункте.
Упражнения
1._Представить в тригонометрической и показательной формах
1 -' i У 3, 1—cos a-•¦¦» sin a.
2. Дано, что I Zj | = | г2 | ~, г3 и г1-[-г2тгз = 0. Доказать, что
точки Zk лежат в вершинах правильного треугольника.
3. Даны три нершипы параллелограмма: г,, г2 и гз- Найти чет-
четвертую-
4. Найти центр точечных масс ти т^, ..., тп, сосредоточен-
сосредоточенных в точках Z[, г2, ..., гп.
5. Даны две последовательные вершины г0 и г[ правильного
«угольника. Найти остальные нершипы.
6. Доказать тождество : 21-|-г2 |2-Г' Zi — z2 l2^ 2{ ! г412-|-| г2 |2}
и проиллюстрировать его геометрически.
7. Выразить сок 4ф через sin q; и coscp.
8. Найти >/-;г; -^"^64; f'i— Г.
9. Решить уравнения 22~-B+Зг) г— 1-^Зг=О; г2—2гг—5 = 0.
10. Решить системы уравнений:
Зг,-'; № = 2-3i, J B-b«)Zi-(l-20z2 = 0. J
В следующих задачах а, Ь, ... означают комплексные, а, р, ..,
действительные постоянные.
И. Какие геометрические места точек представляются соотно-
соотношениями:
а) \г—а\^\г-Ь\, б) Re {az -'rb)=a,
в) a < arg z < Р, у < Re z < 6 Г — " < а, Р < ^ , Y > °
r) | г— a |-j | г — b'—a, д) | г': < 1— Re z, e*)

УПРАЖНЕНИЯ 29
12. Исследовать семейства кривых:
Ч D l «Ч 2~1 Ч г
a) Re — =^га, б) arg --;-;¦ —а, в)
г г -• 1
г*) |z—1| I г-L1 ; = а (особо исследуйте случаи 0<а<1,
0=1, а>1).
д*) | z2-\-2az-\-b |=га.
13. Записать в комплексной форме уравнения х2-'[-2х-\~у2—¦
t/ I • *-2 м2 — 1
У — I» A "~i/ — 1*
14. Запишите формулы инверсии и декартовых координатах.
15. Что соответствует при инверсии относительно окружности
а) прямой алг-f фу-^-у.— О (особо исследуйте случай у = 0),
б) окружности а (х2-\-у2)-\-фх-{-уу-\-1> — {),
в) гиперболе хг- -у2--А, г*) параболе уг — 2рх!

ГЛАВ А I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА
5. Сфера комплексных чисел. Наряду с представлением
о комплексных числах как о векторах или о точках плос-
плоскости, во многих вопросах полезен другой способ их гео-
геометрического представления. Построим сферу S, касаю-
касающуюся плоскости z в точке 2 = 0 своим южным полюсом О.
Северный полюс Р сферы будем соединять прямыми со
Рис. 7.
всевозможными точками плоскости. Каждой точке z пло-
плоскости при этом соответствует вполне определенная точ-
точка Z сферы —та, в которой прямая Рг пересекает сферу.
Наоборот, каждой точке Z сферы (кроме северного полю-
полюса Р) соответствует вполне определенная точка z плоско-
плоскости—та, в которой прямая PZ пересекает плоскость (рис. 7).
Описанное соответствие между точками сферы S (с исклю-
исключенным северным полюсом) и плоскости называется сте-
стереографической проекцией.
Условимся точку Z сферы, соответствующую z при сте-
стереографической проекции, считать новым изображением
комплексного числа z. Для совершения действий над ком-

6] СФЕРА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 31
плексными числами, заданными точками сферы, мы будем
переходить к их стереографическим проекциям на плоскость,
действовать с проекциями по правилам пп. 2 — 4 и затем
снова возвращаться на сферу.
Точке Р —северному полюсу сферы —у нас не соот-
соответствует пока никакого комплексного числа. Мы введем
новое комплексное «число» оо (читается «бесконечность»),
обозначающее эту точку. «Число» z — оо с геометрической
точки. зрения выполняет ту же функцию, что и числа
2 =-- 2 -\- 5i, 2 = 3, 2 — i, — указывает положение соответ-
соответствующей точки Р на сфере. Однако это новое «число»
не может участвовать в арифметических операциях, ибо
последние определены лишь для комплексных чисел (точек
сферы), соответствующих точкам плоскости.
В отличие от точки Р, которую мы назовем бесконечно
удаленной, все остальные точки сферы (остальные ком-
комплексные числа) будем называть конечными. Если в даль-
дальнейшем в каких-либо рассмотрениях не захотим выделять
точки Р (числа 2—оо), то мы будем вести рассуждения
для сферы S, которую будем называть сферой комплекс-
комплексных чисел. Если же точка Р (число z = оо) исключается
из рассмотрений, то мы будем пользоваться пло-
плоскостью.
В первом случае на плоские чертежи, сопровождаю-
сопровождающие изложение, следует смотреть как на географические
«карты» соответствующих сферических чертежей. Для обо-
обозначения совокупности всех конечных комплексных чисел
(точек) мы будем употреблять термин конечная или откры-
открытая плоскость, а для обозначения совокупности всех чисел
(включая 2 = оо) —термин полная или замкнутая плос-
плоскость. Термин «открытая плоскость» равносилен термину
«плоскость комплексных чисел» (см. п. 1), а термин
«замкнутая плоскость» — термину «сфера комплексных
чисел».
Стереографическая проекция преобразует различные
геометрические места точек плоскости в геометрические
места на сфере. Например, произвольной окружности с
плоскости на сфере соответствует окружность С, не про-
проходящая через полюс Р, произвольной прямой / — окруж-
окружность L, проходящая через полюс (рис. 8). Мы видим,
что сферические изображения прямых и окружностей

32
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА [ГЛ. I
I
геометрически е отличаются друг от друга. Поэтому естг
ственно счита.1^,' что в полной плоскости комплексное
переменного прямые являются частными случаями окруж-
окружностей— это окружности, проходящие через бесконечно
удаленную точку. При таком способе рассмотрения любые
две непараллел! 1ые прямые пересекаются в двух точках
(одна из них бесконечно удаленная). Параллельные пря-
прямые следует считать окружностями, касающимися друг
друга в бесконечно удален-
удаленной точке.
Окружности делят сфе-
сферу на две части, каждук
из них мы будем называт
кругом. «Кругами» являют
ся, в частности, и все по-
полуплоскости, наприме]
верхняя полуплоскосг
Im г > 0 — это заднее полу-
полушарие S. Если окружност!
С не проходит через точ^у
Р (т. е. является собст
венно окружностью н;
плоскости), то один из дву>
кругов, ею ограниченных, содержит Р; этот круг мы будел
называть внешностью окружности С.
6. Области и их границы. Под областью на сфере или
на плоскости комплексных чисел мы будем понимать сово
купность D точек, обладающую следующими свойствами
а) вместе с каждой точкой z совокупности D принад-
принадлежит и некоторый круг, содержащий z внутри;
б) любые две точки г4 и z2 из D можно соединит;
непрерывной линией, целиком состоящей из точек D.
Например, круги j z ' < 1, | z — 11 > 2 являются обла-
областями, а замкнутый круг |z|<l —нет, ибо для точек
окружности \z\— 1 не выполняется условие а).
Под границей области D мы понимаем совокупность (
точек сферы или соответственно плоскости, удовлетворяю
щую условиям: а) точки С не принадлежат D, б) любо.'
круг, содержащий внутри произвольную точку С, содержи
хотя бы одну точку D. Например, для круга jz|< 1 гра-
границей служит окружность | z | = 1.
Рис. 8.

6]
ОБЛАСТИ И ИХ ГРАНИЦЫ
33
да.^пейшем мы всегда
Область D, к которой присоединен- .е граница, мы
будем называть замкнутой областью h обозначать сим-
символом D.
На рис. 9 граница области D состоит из двух замкнутых
кривых Со и Сь отделяющих D от внешних*) точек, точки а
и двух «разрезов» (купюр) Yi и у2- " "'" ' ""
будем предполагать, что грани-
границы всех рассматриваемых об-
областей имеют такую структуру,
т. е. состоят из конечного чис-
числа замкнутых кривых (отде-
(отделяющих область от внешних
точек), разрезов и точек.
Число связных частей, на
которые разбивается граница,
называется порядком связно-
связности этой области. Например,
область, изображенная на
рис. 9, четырехсвязна — ее гра-
граница распадается на четыре
связные части: 1) Со и уг. 2) d, 3) \ч и 4) а. В частности,
если граница D состоит из одной связной части, D назы-
называется односвязной областью**).
Часто мы будем рассматривать границы областей, на
которых установлено определенное направление обхода.
Например, на рис. 9 указан обход, при котором область
остается все время слева.
В заключение остановимся на понятии окрестностей.
Под окрестностью точки z0 на сфере (или плоскости) мы
будем понимать произвольную область, содержащую z0.
Часто бывает удобно рассматривать «стандартные» окрест-
окрестности. В качестве их для конечных точек z0 обычно выби-
выбирают круги
| z — zQ I < e,
Рис. 9.
*) Под внешней точкой области D понимают такую точку сферы
или соответственно плоскости, которая не принадлежит D вместе
с некоторым кругом, содержащим эту точку внутри.
**) Мы не определяем понятий кривой, разреза и связной части,
ибо строгое их определение выпело бы нас за рамки этой книги.
Несмотря на кажущуюся простоту, они относятся к числу тонких
геометрических понятий.
3 Б. А. Фукс, Б. В. Шабат

34 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА [ГЛ.
а для 20 = оо круг
|z|>6
(последний содержит также точку z = оо). Такие окруж-
окружности мы будем называть е-окрестностями.
7. Предел последовательности. Пусть дана последова-
последовательность комплексных чисел
Zn = xn + iyn (n = 0, 1, 2, ...),
где хп и «/„ — некоторые действительные функции цело-
целочисленного аргумента п.
Определение. Точка г называется пределом
последовательности zn:
z = lim г„, A)
если для любого г > 0 можно найти такое число N,
что для всех п> N точки 2„ принадлежат е-окрестности z,
или, иными словами, если для гфсо
\ 2 — zn | < е при п> N B)
и для z = оо
|гп|>е при п>ЛГ. C)
Мы будем также говорить, что последовательность zn
сходится к точке г.
.Если существует такое число М фсо, что для всех п
\гп\<М,
то последовательность zn называется ограниченной. Геомет-
Геометрически ограниченность последовательности означает
существование конечного круга, содержащего все ее
точки.
Всякая сходящаяся к конечному пределу z последова-
последовательность конечных точек zn ограничена. В самом деле,
в силу B) все гп, начиная с zjv+i, лежат в некотором
конечном круге К'¦ Следовательно, вне К' могут лежать
лишь точки zit ..., глг. Но конечное число точек гп=^оо
всегда можно покрыть некоторым конечным кругом К"-
Остается построить круг К, содержащий К' и К",
и ограниченность последовательности будет доказана.

7] ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 35
Пусть предел г = х 4-1у Ф °°; тогда неравенство B)
может быть записано в форме
\г-га\= У(х-ХпJ + (У-УпJ<г при п > N. D)
Из D) следует, что действительные последовательности хп
и уп сходятся к пределам хну:
Нтх„ = х, \шуп = у. E)
п->оо п—юо
Мы предоставляем читателю самостоятельно убедиться
в том, что, обратно, если существуют lim хп = хи lim yr. — у,
то последовательность zn = хп + iyn сходится к пределу
z = x-\-iy.
Аналогичное предложение имеет место и для поляр-
полярных координат. Пусть lim zn = z и точка г не лежит
п->оо
на отрицательной полуоси, гфО, гфсо. Тогда если
гп = гпе^п, z~rei(f, где ф„ и <р означают главные ветви
аргументов, то
lim/¦„ = /-, Нтфп = ф. F)
П-+ОО
В самом деле, гп = Ухп + уп и в силу E) и непрерыв-
непрерывности корня lim У х2п + yt = У х1 + г/2. Точно так же в силу
П -+0О
непрерывности аргумента (она имеет место в наших
предложениях относительно г, см. по этому поводу п. 12)
справедливо и второе соотношение F). Если точка z
лежит на отрицательной полуоси, мы опять положим
г = rei(f, zn = rnei(fn, но будем под фп и ф понимать какую-
нибудь другую однозначную ветвь Argz (например, ту,
для которой 0<ф<2я; эта ветвь терпит разрыв на
положительной полуоси). Тогда соотношения F) останутся
справедливыми и в этом случае.
Таким образом, имеет место
Теорема 1. Из сходимости последовательности
zn = хп + iyn — rnei<fn к числу гФ со следует, что
lim х„. = х, lim уп = У\ E)
П—ЮО П-+ОО
если же г = rei(f фО, Фсо, то при надлежащем выборе
значений ф„ и ц>
lim /¦„ = /-, Нтфд = ф. F)
з*

36 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА [ГЛ. 1
Обратные утверждения также справедливы, причем без
всяких исключений.
Пример. Пусть z = х + iy — произвольное фиксиро-
фиксированное комплексное число; докажем существование пре-
предела последовательности
и вычислим этот предел. По правилам действий с комплекс-
комплексными числами имеем:
arg а
.У.
п = я arg A +- -* Л = я arctg —^— *);
4 "¦' 14*
А'2 -!
А2 -! «2
пренебрегая в первом выражении членом -• '2— в осно-
основании степени, представляющим собой малую высшего
2х
порядка относительно— ••-, и заменяя малую величину
arctg —-— эквивалентной ей величиной _? , мы найдем:
1 i * п i x
lim |aB;=lim Cl + -2jc.Y = lim Г (l .\-*±
П-ЮО П->0О N " У Т1-+ОО I- V "
lim argan=lim —^r- =y-
Tl-*oo Tl-»oo n~T x
По теореме 1 отсюда следует существование предела
последовательности ап\ записывая этот предел в тригоно-
*) Здесь arctg—значение Arctg, заключенное между —-„ и у >
и arg—главное значение Arg.

8] КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО АРГУМЕНТА 37
метрической форме, получим:
lim (l + -- )П = ех (cos у -{- i sin у).
п->со V " у
По аналогии с действительным анализом этот предел
можно принять за определение комплексной сте-
степени I? (ср. замечание на стр. 25).
Замечание. Не имеет смысла вводить символы
x+ioo или со-]-iy, где х и у конечны, для обозначения
различных комплексных чисел. В самом деле, на сфере
комплексного переменного имеется лишь одна беско-
бесконечно удаленная точка. К ней сходятся все комплексные
последовательности zn = xn~iyn, для которых одна из
последовательностей хп и уп или обе из них являются
бесконечно большими*). Эти символы употребляются лишь
для задания направлений на линиях плоскости или сферы.
Так, например, говорят: «действительная ось проходится
от — оо до + °°». прямая х — 3 проходится от «3 -1- too
до 3 —too». Этим хотят сказать (при обычном располо-
расположении координатных осей), что действительная ось про-
проходится слева направо, прямая х — 3 — сверху вниз.
Повторяя соответствующие рассуждения действи-
действительного анализа, читатель может самостоятельно убе-
убедиться в том, что все правила действий с пределами
сохраняются и в комплексной области.
8. Комплексные функции действительного аргумента.
Определение. Будем говорить, что на интервале
ti < t < t2 задана комплексная функция действительного
аргумента t, если каждому значению t из этого интер-
интервала поставлено в соответствие комплексное число z — z(t).
Задание комплексной функции действительного аргу-
аргумента, эквивалентно заданию двух действительных функ-
функций: х — x(t) и y = y(t) таких, что
G)
*) Последовательность хп называется бесконечно большой,
если для любого числа е > 0 существует такое N, что ! ха \ > е при
n^N т. е. если lim хп----со.

38 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА [ГЛ. I
Определение. Будем говорить, что число z0 есть
предел z(t) при t —» t0,
zo = limz(O, (8)
t-*to
если для любого е > 0 можно найти такое число
б > 0, что для всех t, удовлетворяющих неравенству*)
0<|/ — to\<6, точки z(t) принадлежат е-окрестно-
сти z0. Если в случае г0фсо положить zo = xo + iyo, то не-
нетрудно показать (читатель сделает это самостоятельно)
эквивалентность равенства (8) двум действительным
равенствам:
xo=limx(t), yo = limy(t). (9)
t-*t0 t-+t0
Определение. Если предел lim z(t + kt) конечен
д*-*о
и совпадает с частным значением функции г— z (t) в точке /:
\imz(t-\-At) = z(t), A0)
то мы будем говорить, что функция z = z(t) непрерывна
в точке t.
Мы ограничимся рассмотрением функций, непрерывных
в каждой точке своего интервала определения. При изме-
изменении t точка z — z{t) описывает в плоскости z некоторую
кривую; в векторном исчислении она называется годо-
годографом, вектора г(^).
Определение. Предел
Д/-+0
fx(/-l-AQ-x(Q
=i™ i s* +
= 'x(t) + iy(t) (И)
*) Мы исключаем значение t = t0, ибо оно не должно влиять
на предел при t -»- t0. Как и в действительном анализе, функция
z(t) может быть вообще не определена в точке t0. ( Например,
sin x .
lim ——— =1, несмотря на то, что функция—-— не определена
при х
=»)

8] КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО АРГУМЕНТА 39
мы будем называть производной функции z = z (t) в точке t.
Исходя из рис. 10, читатель самостоятельно покажет, что
вектор производной z(t) направлен по касательной к кри-
кривой z = z(t) в точке t, причем из существования произ-
производной z(t)=f=Q следует существование касательной.
Точки кривой, где производ-
производная г @ = 0, т. е. x(t) =
@ могут оказаться
особыми (точками возврата,
угловыми точками и т. д.).
Пример. Функция
e ,
n
где 20 —комплексное, а г —
действительное постоянное
число, определяет окруж-
окружность радиуса г с центром в ис-
точке zo = xo + iyo. В самом
деле, из A2) следует, что вектор, соединяющий точку 20 с
точкой 2, 2 — 20 = rei(, имеет постоянный модуль г и аргу-
аргумент t, пробегающий все значения от — я до я (мы берем
здесь главную ветвь аргумента). Комплексная функция
A2) эквивалентна двум действительным функциям;
\ 1 *э)
Уравнения A3) являются обычными параметрическими
уравнениями окружности. Производная функции A2)
2 = х + iy — — т sin t + ir cos t =
= ir (cos t + i sin t) = ire4 = i(z — z0)
представляется вектором, касательным к окружности.
Для дальнейшего необходимо ввести еще некоторые
понятия. Плоская кривая называется гладкой, если она
может быть задана с помощью функции z=z(t),

48
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА
[ГЛ. I
в первой, а другая в третьей четверти, перейдут в одну
точку Wi = z\ — z\ (рис. 16).
Пример 6. Пусть функция w = f(z) определена
в замкнутом круге |г|<1 равенствами*)
1
f(z)=T-]7\ ' если 121<
f(z)= оо, если \г\= 1.
C0)
Эта функция отображает круг | г \ < 1 на замкнутый отрезок
1<ы<оо, v — 0 полной комплексной плоскости w, или
У
^L,,l ...1.*-
z
argvr^2ip0-
/\
V
-.
?
>
Рис. 16.
лучше на замкнутую дугу большого круга сферы w
с концами в точках w=\ и w—co (меньшую из двух
таких дуг).
Пример 7. Рассмотрим еще функцию
w=\z'z; C1)
полагая z = rei(f, w = qeie, мы запишем ее в виде
Q = г2, 0 = ф.
Отображение C1) напоминает B9), но не совпадает с ним.
В частности, например, отображение C1) взаимно одно-
однозначно во всем круге \z '¦ < 1.
В дальнейшем мы обнаружим весьма существенное
и глубокое различие между примерами 1—5 и двумя
последними примерами.
*) Второе равенство C0) следует писать особо, так как деление
ца нуль не определено.

12] ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 49
Пример 8. Пусть функция w = F(z) определена
в верхней полуплоскости Imz>0 равенством w=]/z.
Как мы видели в п. 3, эта функция многозначна. Она
ставит в соответствие каждой точке z верхней полупло-
полуплоскости Три ТОЧКИ ПЛОСКОСТИ W. W0~YzH, Wi — Yz)i,
до2 = 3YzJ, из которых первая лежит в угле 0 < arg&y < -^ ,
вторая —в угле - „-< argo; < я, третья —в угле „- <
< argw < —тг ¦ Эти значения соответственно определяют
в верхней полуплоскости z три однозначные функции
wo(z), Wi(z), w2(z), которые являются однозначными
ветвями функции w = F(z).
Надо отметить, что, кроме этих однозначных ветвей,
функция w = F(z) имеет и другие однозначные ветви.
Например, мы получим подобную ветвь w(z), если поставим
в соответствие точкам z из первой четверти ( при
значения до = \fzH, а точкам z из второй
четверти ( при ¦"- < arg z < л i — значения w = V^)i- Ставя
в соответствие различным точкам г верхней полуплоскости
значения w0, wlt w2 всеми возможными способами, мы
определим все бесконечное множество однозначных ветвей
функции w = F(z).
12. Предел функции. Пусть функция комплексного пере-
переменного определена и однозначна в окрестности точки г0,
кроме, быть может, самой точки ?о (см. сноску на стр. 38).
Определение. Если для каждого б>0 найдется
такое б > 0, что w = f(z) отображает все точки б-окрест-
ности z0 (кроме, быть может, самой z0) внутрь е-окрестно-
сти Wo, то мы будем говорить, что число м.'о является
пределом функции f{z) при z-^z0, и записывать это сим-
символом
o»o = limf(z). C2)
.~угуественно отметить, что это определение одинаково
cnprt (рлчиво как для конечных, так и для бесконечно
углчеьпых z0 и w0. Для случая, когда обе точки zv и w0
4 Б. А. Фукс, Б. В. Шабцт

42 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА [ГЛ. 1
мы получим из A7):
j = _|р_ ецы+<е-Ь). A9)
Из A9) видно, что амплитуда тока получается из амплитуды
э. д. с. делением на величину Zo и что имеет место сдвиг
фаз на величину б. Величина Zo = "J//?2 + со2/,* — модуль
комплексного сопротивления контура — называется полным
или кажущимся его сопротивле-
сопротивлением. Отделяя в A9) действитель-
действительные и мнимые части, мы получим
токи, соответствующие косинусои-
дальной и синусоидальной э. д. с.
Рассмотрим переменные векто-
векторы Щ и J, изображающие соответст-
соответственно комплексную э. д. с. и ток.
Из вышеизложенного следует, что
_ эти векторы вращаются с одной
" и той же угловой скоростью ш и
ис" " притом так, что J будет все время
отставать по фазе от Щ на постоян-
постоянную величину б. Следовательно, векторы J и Щ будут вра-
вращаться как твердое тело. В электротехнике % и J изобра-
изображают в виде двух неподвижных векторов, как на рис. 12.
В более общем случае, когда при комплексной э. д. с.
g = ?0ei@)(+4)), амплитуда тока J и сдвиг фаз % и J
меняются с течением времени, пара Щ, J уже не будет
вращаться как твердое тело. В этом случае иногда изо-
изображают g в виде постоянного вектора Е = Eaei(v и рисуют
на том же чертеже кривую, которую описывает конец J
(диаграмма тока).
Введем величины
ZR = R, ZL = f(oL
и назовем их импеданцами омического сопротивления
и самоиндукции. Уравнение A8) показывает, что при после-
последовательном соединении R и L их импеданцы склады-
складываются. Можно было бы показать, что уравнение A7)
остается в силе н при параллельном соединении R и L,
если при этом подсчитывать импеданц Z по закону

10] ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 43
параллельного соединения:
Z- 1
Ч-1
R ' tcoL
Аналогичным образом вводится импедаиц емкости Zc = -
В электротехнике показывается, что обобщенный закон
Ома A7) остается в силе для любого контура, составлен-
составленного из произвольной комбинации R, L и С, причем при
подсчете импеданца применимы обычные законы соедине-
соединений. Описанный метод расчета контуров формально проще,
чем метод дифференциальных уравнений.
10. Функции комплексного переменного. Рассмотрим
произвольную совокупность М точек сферы комплексных
чисел (к М может принадлежать и точка z—co).
Определение. Будем говорить, что на совокупно-
совокупности М задана функция комплексного переменного
w = f(z), B0)
если каждому значению г из М поставлено в соответствие
одно или несколько значений w (к ним может принад-
принадлежать и w= со).
Переменное z называется здесь независимым перемен-
переменным или аргументом, a w— зависимым переменным или
функцией. Если каждому значению г соответствует только
одно значение w, то функция B0) называется однозначной;
в противном случае B0) — многозначная функция.
Для изучения многозначных функций важное значение
имеет рассмотрение их однозначных ветвей. Однозначная
функция f(z) называется однозначной ветвью многозначной
функции F (z), если значение f(z) в каждой точке z совпа-
совпадает с одним из значений F(z).
Совокупность точек, соответствующих в силу B0) все-
всевозможным точкам 2 из М, мы обозначим через N и будем
говорить, что B0) осуществляет отображение совокуп-
совокупности М на N. Если М и N не содержат со, мы можем
представлять их как совокупности точек плоскостей гиш.
Если, в частности, М представляет собой совокупность
всех целых положительных чисел, функция комплексного
переменного B0) сводится к последовательности, рассмот-
рассмотренной в п. 7. Если М — совокупность действительных

44 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА [ГЛ. 1
чисел, B0) сводится к комплексной функции действитель-
действительного переменного (см. п. 8).
В силу соответствия B0) каждой точке w из N отве-
отвечает одна или несколько точек z из М (последнее имеет
место, когда функция w = f(z) принимает одинаковые
значения в нескольких точках М). Это означает, что на N
определена функция
г = ФН B1)
отображающая N на М; функция B1) называется обратной
к функции B0).
Особенно важную роль в дальнейшем играет случай,
когда функция w = f(z) однозначна в М, а обратная ей
функция z — ср(ш) однозначна в N; тогда говорят, что
отображение w-—j(z) взаимно однозначно в М. При взаимно-
взаимнооднозначном отображении w = f(z) двум различным точкам
М всегда соответствуют две различные точки Л', т. е.
при таком отображении никакие две точки не «склеи-
«склеиваются» между собой.
Нам часто придется иметь дело с отображениями,
осуществляемыми сложными функциями. Пусть функция
tit = fi(z) отображает совокупность М на совокупность Nit
a w = f2{(.o) отображает h\ на N (М, Л^ и Л' расположены
на сферах г, со и w). Отображение совокупности М на N,
осуществляемое сложной функцией
Mfi(z)], B2)
называется наложением или суперпозицией отображения f4
и /2- Ниже иногда рассматриваются суперпозиции трех
и более отображений.
Отметим еще, что задание функции комплексного пере-
переменного w = f(z) на совокупности М равносильно заданию
на М двух действительных функций
и = и(х, у), v = v(x, у) B3)
действительных переменных л: и у (мы полагаем z = x-\-iy,
w = u + iv).
В дальнейшем мы будем чаще всего рассматривать слу-
случай, когда совокупности М и Л/ являются областями*)
*) По этому поводу см. ниже, п. 23, принцип сохранения области.

И]
ПРИМЕРЫ
45
на сферах комплексных чисел z и w; мы будем их тогда
обычно обозначать буквами D и А.
11. Примеры. Поясним примерами понятия, введенные
в п. 10.
Пример 1. Пусть
w = kz, B4)
где k — положительное постоянное. В полярных координа-
координатах z = re^, w = Qei0 отображение B4) запишется в виде
двух равенств:
Q = &r, 0 = ф*), B5)
которые позволяют выяснить геометрический характер B4).
В самом деле, второе уравнение B5) показывает, что при
/-'¦'
#
\
'УУУУ/
'¦0
Ш
У
/.У У
'УУ-'УУ'УМ?- X
Рис. 13.
отображении B4) любая точка z остается на своем луче Oz.
Согласно первому уравнению B5) модули z увеличиваются
(или, если &< 1, уменьшаются) в к раз. Таким образом,
B4) сводится к подобному растяжению (или сжатию,
если &< 1) плоскости z с коэффициентом k (на рис. 13
k = -^). Если, например, область D представляет единич-
единичный круг |z|< 1, то ее образ А —круг \w\<.k; если
D — верхняя полуплоскость Ini z > 0, то А — та же верхняя
полуплоскость Im w > 0.
*) Здесь следопало бы написать 0 = ф-|-2пя. Однако делать
это не имеет смысла, так как добавление 2«л ничего не изменяет
в рассматриваемом отображении. Аналогично мы поступаем и п других
примерах и. 11.

46 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА
Пример 2. Пусть
w = eiaz,
где а — действительное число. Полагая опять z =
w = geie, получил!:
B6)
Следовательно, при отображении B6) каждая точка z
остается на своей окружности \z\ — r и лишь поворачи-
поворачивается на угол а: отображение B6) сводится к повороту
плоскости 2 на угол а (рис. 14). Если, в частности,
а — ^-, B6) принимает вид w = iz и сводится к повороту
на прямой угол; при сс = я B6) принимает вид w=—z
и сводится к повороту на угол я.
Пример 3. Пусть
w = z + b, B7)
где Ь — Pi~r фг — некоторое комплексное число. Если поло-
положить г — к-\-'щ и w — u + iv, то B7) запишется в виде
Отсюда видно, что отображение B7) сводится к параллель-
параллельному переносу плоскости z на вектор Ь. Например, если
D — круг | z | < г, то Д является кругом | w — Ъ \ < г
(рис. 15).
Пример 4. Пусть вообще
w = az + b B8)
(где a=keia и b=Р1+фг — некоторые комплексные числа)—
произвольная линейная функция комплексного перемен-

И]
ПРИМЕРЫ
47
ного 2. Отображение B8) мы можем рассматривать как
результат наложения трех отображений:
со = kz, со1 = е'асо; w = (Hi-\-b.
Таким образом, отображение B8) сводится к повороту
ш-
с растяжением (или сжатием при k < 1) и параллельному
переносу. Мы будем называть его линейным отображением.
Пример 5. Пусть
Ы) = гг; B9)
полагая z — re^v, w = Qei0, мы запишем B9) в виде
Следовательно, при отображении B9) все точки, лежащие
на луче argz = q>0, перейдут в точки, лежащие на луче
arg w = 2ф0, точки, лежащие на окружности | z | = г0, —
в точки, лежащие на окружности I w | = г\. Пусть D —
верхняя полуплоскость 0<ср<я; ей, очевидно, соот-
соответствует плоскость w с выброшенным лучом 8 = 0 (имеем
0 < Э < 2я). Отображение B9) взаимно однозначно внутри
D; если считать, что у разреза в плоскости w два берега
(верхний и нижний), оно будет взаимно однозначным
и в замкнутой области D. При этом точки луча ф = 0
соответствуют верхнему берегу, на котором 0 = 0, и точки
луча ф = я соответствуют нижнему берегу, на котором
0 = 2л (рис. 16).
Если же считать, что D — сектор 0<ф<я + а, а>0,
то точки w — г2, соответствующие точкам D, заполнят всю
плоскость w. Отображение не будет взаимно однозначным
в D, ибо точки г% и z%= — zx, из которых одна лежит

48
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА [ГЛ. I
в первой, а другая в третьей четверти, перейдут в одну
точку Wi = z\ = z\ (рис. 16).
Пример 6. Пусть функция w~f(z) определена
в замкнутом круге |г|<1 равенствами*)
C0)
f (y\ -— PP ПП 1 у \ ^ \ •
I \^1 | ! _ I I CV.«IM I ^ I <^ 1 ,
1 ! ^ i
fB) = oo, если |г] = 1.
Эта функция отображает круг | г | < 1 на замкнутый отрезок
1<м<со, v = 0 полной комплексной плоскости w, или
ш
Рис. 16.
лучше на замкнутую дугу большого круга сферы w
с концами в точках до=1 и ш=со (меньшую из двух
таких дуг).
Пример 7. Рассмотрим еще функцию
w=\z\z; C1)
полагая z = reifp, w = Qei0, мы запишем ее в виде
Отображение C1) напоминает B9), но не совпадает с ним.
В частности, например, отображение C1) взаимно одно-
однозначно во всем круге \ z '. < 1.
В дальнейшем мы обнаружим весьма существенное
и глубокое различие между примерами 1—5 и двумя
последними примерами.
*) Второе равенство C0) следует писать особо, так ка!->,....;гние
на нуль не определено. .'¦'¦ .

12] ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 49
Пример 8. Пусть функция w = F(z) определена
в верхней полуплоскости Im z > 0 равенством w = У г.
Как мы видели в п. 3, эта функция многозначна. Она
ставит в соответствие каждой точке z верхней полупло-
полуплоскости три точки плоскости w: w0 — YzH, Wi = y~z)i,
w2 = Yz)i> из которых первая лежит в угле 0< argay< -"?-,
О
вторая — в угле -?- < arg w < я, третья — в угле ~ <
О О
< arg да < —„-. Эти значения соответственно определяют
в верхней полуплоскости z три однозначные функции
wo(z), wl(z), Wi{z), которые являются однозначными
ветвями функции w = F(z).
Надо отметить, что, кроме этих однозначных ветвей,
функция w = F(z) имеет и другие однозначные ветви.
Например, мы получим подобную ветвь w(z), если поставим
в соответствие точкам z из первой четверти ( при
0<argz<-2 j значения w—\fz)o, а точкам z из второй
четверти Г при -"- < arg z < я J — значения w = Уг)\.. Ставя
в соответствие различным точкам г верхней полуплоскости
значения w0, wu w2 всеми возможными способами, мы
определим все бесконечное множество однозначных ветвей
функции w = F(z).
12. Предел функции. Пусть функция комплексного пере-
переменного определена и однозначна в окрестности точки z0,
кроме, быть может, самой точки Zo (см. сноску на стр. 38).
Определение. Если для каждого е>0 найдется
такое б > 0, что w = f(z) отображает все точки б-окрест-
ности Zo (кроме, быть может, самой z0) внутрь е-окрестно-
сти w0, то мы будем говорить, что число w0 является
пределом функции f(z) при z—>zo, и записывать это сим-
символом
wo = \imf(z). C2)
z->z0
:г'рственно отметить, что это определение одинаково
спр что как для конечных, так и для бесконечно
v чеьиых z0 и wo. Для случая, когда обе точки z0 и w0
4 Б. А. Фукс, Б. В. Щабат

50 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА [ГЛ. (
конечны, C2) имеет место, если из неравенства
0<|z-20|<6 C3)
следует неравенство
|/(z)-t»o!<e. C4)
Когда же, например, г0фсо, а да0=оо, то C2) справед-
справедливо, если из неравенства
0 < 12 — zQ 1 < б
следует
\f(z)\>e. C5)
Читателю предлагается самостоятельно выразить с по-
помощью неравенств смысл соотношений lim f (z) = w0 Ф оо
2->OO
и limfB) = co.
2—>OO
Из определения следует, что если C2) имеет место
и гп — произвольная последовательность, сходящаяся к z0,
то последовательность wn --=f(zn) сходится к w0 в смысле п. 7;
если г = z(t) — произвольная непрерывная кривая, прохо-
проходящая через zo = z(tQ), то функция действительного пере-
переменного f \z(t)] при t —>¦ t0 стремится к w0 в смысле п. 8.
Мы будем выражать эти два факта словами: предел в ком-
комплексной области не зависит от способа приближе-
приближения z к г0.
Отметим еще, что всякая, функция w — f(z), стремя-
стремящаяся при z —> z0 к конечному пределу, ограничена
в некоторой окрестности z0. Доказательство аналогично
соответствующему доказательству для последовательностей
в п. 7, и мы предоставляем его читателю.
Совершенно так же, как теорема 1 п. 7, доказывается
Теорема 2. Если z0 = х0 + /г/о = ''о?*Фо> ^о — "о +
-\- iv0 = go?i6(>> то из сходимости функции w=-f(z) =
= и(х, y)-\-iv(x, y)~Q(r, y)emr'V> к пределу w0 при
Z —> 20 следует, что для w0 Ф со
Нт и(х, г/) = а0, lim v{x, y) = v0 C6)
2->z0 г->го
и для ш0ф0, Ф<х> при надлежащем выборе значений
аргументов
lim q (г, Ф) = ео, Нт 6 (г, ф) = 60. C7)

13] НЕПРЕРЫВНОСТЬ gi
Обратные утверждения также справедливы, причем без
всяких исключений.
Заметим, что все правила действий с пределами функ-
функций, известные читателю из действительного анализа,
остаются в силе и для пределов функций комплексного
переменного. Мы не останавливаемся на их формулиров-
формулировках и доказательствах.
13. Непрерывность. Определение. Будем говорить,
что функция w=f(z) непрерывна в точке z = z0, если
существует конечный lim f(z) и его значение совпа-
Z-*Z(j
дает с f(z0):
Iimf(z) = f(z0)#oo. C8)
z-»z0
Это определение можно сформулировать на языке нера-
неравенств; для конечного za оно имеет, например, следую-
следующий вид: функция f(z) непрерывна в точке z = z0, если
для любого е > 0 найдется такое б > 0, что для всех*)
z, удовлетворяющих неравенству
\z-zo\<6, C9)
имеет место неравенство
|f(z)-f(zo)|<e. D0)
Так же, как и в действительном анализе, мы положим
z — z0 = Дг и назовем эту величину приращением аргумента,
f (z) — / (z0) = Ада назовем приращением функции. Усло-
Условие C8) непрерывности функции в точке z0 на языке
приращений выразится, очевидно, следующим образом:
lim Дш = 0. D1)
Д2-*0
Сохраняя обычную терминологию, мы назовем беско-
бесконечно малой функцию, имеющую своим пределом 0. Тогда
*) Здесь не требуется исключать значение z = Zq, ибо при 2 = 2о
f(z)— fB0) = 0, и неравенство D0) заведомо выполняется. Заметим,
что если бы при определении предела мы не исключали значение
z = z0, то не было бы различия между функциями, имеющими пре-
предел, и непрерывными функциями. В самом деле, тогда для любого
е>0 было бы \f(z0) — w0! < 8 и так как величины I (г0) и w0
постоянны, а г—произвольное число, то отсюда следовало бы, что
f(zo)=wo.
4*

52 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА [ГЛ. I
соотношение D1) можно прочитать так: функция w = f(z)
непрерывна в точке z0, если бесконечно малому прираще-
приращению аргумента Аг соответствует бесконечно малое прира-
приращение функции Ди>.
Определение. Функция w = f(z), непрерывная в
каждой точке области D, называется непрерывной в этой
области.
Поясним наши определения примерами. Функции при-
примеров 1 — 5 и 7 п. 11 непрерывны во всей открытой пло-
плоскости z. Функция примера 6 непрерывна в (открытом)
единичном круге. Функции wo(z), Wi(z), w%(z) примера 8
непрерывны в верхней полуплоскости г. Можно показать,
что эти три функции исчерпывают всю совокупность
однозначных непрерывных ветвей функции w = F(z)
в верхней полуплоскости. Все остальные однозначные
ветви этой функции в верхней полуплоскости (в том числе
и ветвь w (г)) являются разрывными.
Приведем еще два примера.
Пример 1. Главная ветвь arg z непрерывна для всех
z Ф О, Ф со и не лежащих на отрицательной полуоси.
В самом деле, пусть г0 —любая такая точка и в —произ-
—произвольное положительное число. Обозначим через б радиус
наибольшего круга с центром в точке z0, который не
содержит точек отрицательной полуоси и содержится
в секторе раствора 2в с центром в начале. Тогда для всех г,
удовлетворяющих неравенству \z — zo|<6, имеет место
неравенство ' arg z — arg г01 < в.
В точках z ----- 0 и z = оо arg z не определен; там поэтому
нельзя говорить и о его непрерывности. В точках отри-
отрицательной полуоси главная ветвь arg г терпит разрыв —
для таких точек г0 имеем argzo = JT, а при z —э- г0 по
точкам нижней полуплоскости limargz= — я.
Пример 2. Пусть
К4) D2)
полагая z = re*® и пользуясь формулой Эйлера C2) п. 4,
получим:
W = -I-

14] УСЛОВИЯ ДИФФЕРЕНЦИРУПМОСТИ 53
Отсюда видно, что в произвольно малой окрестности точки
z0 = 0 функция принимает все значения из интервала
[ — 1, 1J. Следовательно, ни при каком w0 неравенство C4)
не может выполняться для всех z из сколь угодно малой
окрестности го = О, если только е < 1, т. е. функция не
имеет предела при z —> 0. Заметим еще, что при г —» 0
вдоль любого пути z = z(t) (имеющего касательную в точке
z — 0), предел функции /(г) — f[z(()] существует. Однако
такие пределы вдоль различных путей, вообще говоря,
не совпадают между собой.
Основные теоремы действительного анализа о функциях,
непрерывных в точке, сохраняются и в комплексной обла-
области; мы не останавливаемся на их формулировке и дока-
доказательстве. Среди теорем о функциях, непрерывных в обла-
области, отметим без доказательства две:
1. Функция f(z), непрерывная в замкнутой области D,
ограничена в этой области, т. е. существует такая
постоянная Мфсо, что j/(z)j<Af для всех г из D.
2. Функция /(г), непрерывная в замкнутой области D,
принимает в ней свое минимальное и свое максимальное
(по модулю) значения.
Эти теоремы остаются в силе также для функций,
непрерывных на замкнутых кривых, или па криволиней-
криволинейных отрезках, содержащих свои концы.
14. Условия дифференцируемое™. Пусть однозначная
функция w = f(z) определена в некоторой окрестности точки
гфса. Выберем в этой окрестности точку Z = z + Az и
обозначим приращение нашей функции при переходе из z
в Z через Ада:
Определение. Если существует конечный lim ¦ -,
Дг->0 Дг
то мы будем говорить, что функция f(z) дифференцируема
в точке г. Этот предел называется производной функции
/(г) в точке z и обозначается символом
/'(*)= lim -А"'- D3)
Лг->0 Дг
Как и в действительном анализе, легко показать, что из

64 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА [ГЛ. I
дифференцируемости функции в точке следует ее непре-
непрерывность. Обратное предложение не имеет места.
Пусть w = f(z) — u(x, y) + iv(x, у); получим условия,
которые нужно наложить на функции и(х, у) и v(x, у)
для того, чтобы f(z) была дифференцируемой в точке z.
Предположим, что /' (z) существует. По определению
п. 12, D3) означает, что любому е > 0 соответствует
такое б > 0, что для всех Az, для которых 0 < | Az | < 6,
e. D4)
В частности, если мы положим &z = teia, где а —про-
—произвольная действительная постоянная и t — | Az j, то при
О < t < б неравенство D4) имеет место независимо от
выбора а (см. п. 12). Но это означает, что lim—г^-неза-
висимо от выбора а равен f (z). Пользуясь этим, положим
сначала <х = 0; тогда Az — t действительно, мы обозначим
его через Ах и согласно D3) получим:
f (z) = lim {"(*+А*' У)—"(*. у)}-\-Цу{х+Ах, y) — v{x, у)} _
= *L + /JE. D5)
дх ' дх v '
Теперь положим а~-^; тогда hz = it; мы обозначим
его через iAy и получим:
f'(z)= lim t"(^. уЧ-At/) —и(х, y)}+i{v(x, у~\-Лу)—у{х, у)} _
1 К ' ду->о iAy '"
= -i'bL+*L D6)
ду ' ду v '
Сравнивая правые части D5) и D6), будем иметь:
ди dv <Эы dv ,,j.
~д7~~ду~ ' ~дуГ~ дх~ ' ^''
Полученные уравнения носят название условий Коши —
Римана или Даламбера —Эйлера. iMbi доказали, что для
дифференцируемое™ функции /'(z) в точке г не об-

14)
УСЛОВИЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ
55
ход им о:
и
1) существование частных
производных -^- ,
и 2) выполнение условий Коши — Римана.
Перейдем к выяснению достаточных условий. Предпо-
Предположим дополнительно, что функции и(х, у) и v(x, у)
обладают в точке z полными дифференциалами *), и по-
покажем, что тогда условия Коши —Римана обеспечивают
существование f (z). В самом деле, из дифференцируемо-
сти функций двух переменных следует, что их прираще-
приращения можно представить в виде
D8)
где
Az
Az
A« =
Av =
ди
dv
Ay2
Ал;-(
, а т
do .
|i И T
ki/ + "Hi Az .
^J/ + Tl2 j Az|,
2 стремятся
|
0. В силу D8) имеем:
~tix-\-iAy
ди
ди
к нулю при
Используя теперь условия Коши —Римана, заменим
dv dv ди r-т ^
через — -g— и -з— через -^— . После простых преобразова-
преобразовай
НИИ
До»
Дг
ИЛИ
получим:
f du dv
\ Зд; "^f Зд;
окончательно:
Aw /
~Дг"~ V
Дх-|
Зи .
V Зд;
^ дх J У
-(Л1 + И.)
|Лг|
1Аг|
Дг
*) Как известно, из существования частных производных
еще не следует существование полного дифференциала функции;
непрерывность же частных производных обеспечивает его
существование.

56 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА [ГЛ. I
Отсюда
Лш f ди . ди \ , , • i о л п
~ьГ~\~§7 + 1 7) = I mi 1~ 2. —> 0 при Дг -> О
и, следовательно,
,. i\w г, ,s ди , . dv
существует. Таким образом, доказана
Теорема. Для дифференцируемости функции f (z) =
= и (х, у) -\- iv (х, у) в точке z = х -\- iy необходимо суще-
существование в этой точке частных производных -?- , ~— ,
~д" , -^- и выполнение условий Коши — Римана
ди dv ди ди
~дх ~ ~ду ' ~ду ~ дх •
Условия Коши — Римана и достаточны для диффе-
дифференцируемости f(z), если дополнительно предположить
существование дифференциалов функций и (х, у) и v (x, у)
в рассматриваемой точке.
Заметим, что все правила и формулы дифференциро-
дифференцирования действительного анализа остаются в силе и для
функций комплексного переменного. В самом деле, опре-
определение производной, теоремы о пределах и правила
алгебраических действий, па которых основаны выводы
упомянутых правил и формул, в действительной и комп-
комплексной областях дословно совпадают.
В частности, мы получим отсюда, что функции из примеров
1 — 5 п. 11 дифференцируемы во всех точках конечной г-п.юскости. К
тому же результату мы придем, непосредственно проверяя для этих
функций выполнение условий Коши—Римана.Так, для ш= г2 (пример 5)
и = Хг-уг, v = 2xy;
ди dv ди dv
~дх=~ду=х' 17=~'^=~
Функция
w=^\z\z C1)
(пример 7) дифференцируема при г = 0; в самом деле, здесь
Аг = г, Лш=к) = г;Дг| и /'@)-- lim - — = lim | г| = 0

УПРАЖНЕНИЯ 57
существует. Ни при каком г ф 0 ома не дифференцируема, ^бо
непосредственная проверка показывает, что функции и = хУ хг-\-у*
и v-—y \f x'^-^-tji ни при каком z --j-- 0 не удовлетворяют условиям
Коши — Римапа. Легко проверить также, что функция примера 6
не дифференцируема ин в одной точке круга.
В заключение мы приведем два определения, имеющих
фундаментальное значение для всей теории:
Определение 1. Функция f(z), однозначная и диф-
дифференцируемая во всех точках области D, называется
регулярной в этой области.
Определение 2. Функция f(z) называется регу-
регулярной в точке z, если существует такая окрестность
этой точки, в которой f(z) является регулярной.
Подчеркнем, что наши определения относятся к о д и о-
значным функциям. Кроме того, мы не определяем
здесь дифференцируемое™, а следовательно, и регуляр-
регулярности в бесконечно удаленной точке (см.п.б).
Условия дифференцируемое™ и регулярности для одно-
однозначных функций f(z) в области совпадают. Напротив,
условие регулярности функции в точке содержит больше
требований, чем условие дифференцируемое™. В самом
деле, например, функция C1) дифференцируема в точке
z = 0, но не регулярна в ней, ибо она не дифференцируема
ни в какой окрестности этой точки.
Упражнения
1. Запишите формулы стереографической проекции в декартовых
координатах. Что соответствует при стереографической проекции
а) паре точек z и —г, б) паре точек гиг?
2. Являются ли областями геометрические места точек:
а) ,z»-l |<1,
б) cos ф •</¦¦< 2 cos ф; —л^(р<я(сиф полярные координаты)?
3. Найти предел последовательности
г" =2j ~2k (сДс-пать чертеж).
л=о
4. Какие кривые описывают комплексные функции действитель-
действительного аргумента:
а) г = ае"-|-рг-'( (а, р действительны),
б) z=eat (а—комплексно)?
5. Пусть z = z(t) определяет закон движения точки на плоскости.
Вычислить компоненты скорости и ускорения по направлению Ог
и перпендикулярному к нему.

58 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА [ГЛ. 1
6. Пусть точка г с постоянной угловой скоростью, равной еди-
единице, пробегает окружность ;z —R. Вычислить вектор скорости
точки w, движущейся вместе с г по закону w = f{z).
7. Найти установившийся ток в контуре, состоящем из после-
последовательно соединенных сопротивления R и емкости С, при включе-
включении его на синусоидальную э. д. с.
8. На какую совокупность отображает z-плоскость с исключен-
исключенными точками г = 0 и г = оо функция D2)?
9. Отображение, осуществляемое парой действительных функ-
функций двух переменных:
P2—«2Р1 Ф 0)i называется аффинным. Доказать, что:
а) аффинное отображение преобразует любой квадрат плоскости
z = x-\-iy в параллелограмм плоскости до=и--(-w;
б) если образ хотя бы одного квадрата снова является квадра-
квадратом, то u-\-iv является линейной функцией комплексного перемен-
переменного z = x-\-iy.
10. Что соответствует при отображении ю=г2 семейству прямых
iy = a(a>0) и семейству полупрямых х=р\ #>0?
11. В какие линии плоскости до преобразуются:
а) прямые х=а и {/=[5 с помощью функции до=— ;
б) лучи argz=a с помощью функции a; = -J-— ;
з) окружности |zl=/-@<;r<;i) и отрезки argz = a, 0<
<! | z |<! 1 с помощью функции ш = -^( z-ф-— j ;
г) окружность ]г| = 1 при отображении w=Y~z-\-l?
2я
12. В какую область преобразуется сектор 0 <[ arg z < —5- при
о
отображении до=г3? Что соответствует при этом семействам
линий Rec<y = a, 1тдо=[5?
13*. Привести пример функции {(г), для которой предел при
г —* 0 вдоль любой прямой существует; все такие пределы равны
между собой и все же lim/(z) не существует.
г->0
14. Исследовать на непрерывность функцию i?>=tg(argz).
15. Показать, что если регулярная в некоторой области функ-
функция w = f(z) действительна, то она постоянна.
16. Показать, что если до=/(г) регулярна в области D и там
всюду /' (г) н= 0, то /(г) постоянна в D.
17. Исследовать на регулярность функции: а) К1=г3, б) w=—a- ,
в) w—y/'z, r) w=zRez.

ГЛАВА II
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
15. Конформные отображения. Пусть функция w = f(z)
дифференцируема в точке г, причем /' (г) Ф 0. Положим
Ьг = Аге^, Aw = Aqeid, f'(z) = Aeia;
тогда по определению производной и по теореме 2 п. 12
будем иметь*):
Дг-»0
Аг '
Дг-
A)
Пусть теперь точка ? = z-t-Az стремится к г по некото-
некоторой кривой С. Тогда соответствующая точка со = / (?) будет
стремиться к точке w = f(z) по кривой у, которая соот-
соответствует С (рис. 17). Если кривую С задать с помощью
*) Если а Ф я-\-2кл, мы выбираем такие значения аргументов
Ф и 0, чтобы их разность 0 — ф лежала в интервале (— Я, Л), и тогда
а в A) означает главное значение аргумента. Если а = п^-21гл, мы
выбираем ср и 0 так, чтобы разность 9 — ср лежала в интервале [0, 2rt),
и тогда в A) считаем а = я.

60 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 1.ГЛ. II
комплексной функции действительного аргумента t:
то уравнением у будет служить
Предположим, что С обладает касательной в точке z,
тогда можно предположить, что существует ? (/„) Ф 0. По
теореме о производной сложной функции и условию/' (z) Ф 0
тогда существует ш (^0) — /' (z) Z, (t0) Ф 0, т. е. у также обла-
обладает касательной в точке до. Обозначим через ср0 и 00 углы
наклона этих касательных к осям х и и. Тогда фо = lim cp,
Az -> 0
60=lim Э, и второе соотношение A) запишется в виде*)
argn*) = eo-<po. B)
Формула B) показывает, что
а) Угол, на который поворачивается кривая С в точ-
точке z при отображении w=[(z), не зависит от вида
и направления С.
Мы считаем здесь и далее, что направления осей х и и,
у и v совпадают, и под углом поворота понимаем угол
между первоначальным и отображенным направлениями.
Равенство B) устанавливает такой геометрический смысл
аргумента производной:
а = argf (z) равен углу поворота в точке z при ото-
отображении до = / (г).
Обозначим через As длину участка С между точками
z и % и через Да — длину соответствующего участка у-
Как известно из анализа, бесконечно малые As и Да эк-
эквиваленты соответственно Дг и Дд, и поэтому вместо
первого соотношения A) мы можем написать:
\Г()\ ^. C)
Как известно, этот предел называется коэффициентом
растяжения линии С. Формула C) показывает, что
*) В дополнение к нашим условиям выбора ср и 0 мы потребуем
еще, чтобы их пределы при Аг— >0 существовали. Тогда в B) arg
будет автоматически означать главную ветвь Arg.

15]
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
61
б) При отображении w = f(z) коэффициент линейного
растяжения в точке z любой кривой С, проходящей через
эту точку, не зависит от вида и направления С.
Итак, геометрический смысл модуля производной таков:
А — | /' (г) | равен коэффициенту линейного растяжения
в точке z при отображении w = f(z).
Свойствам а) и б) отображения w = f(z) можно, оче-
очевидно, придать несколько иную геометрическую форму
(рис. 18).
Условимся далее отмечать не только величину неко-
некоторого угла, но и направление его отсчета. Под послед-
последним понимается направление, в котором надо вращать
Рис. 18.
(по кратчайшему пути) первую сторону угла до ее сов-
совпадения со второй стороной. Таким образом, мы будем
отличать углы, отсчитываемые по направлению вращения
часовой стрелки, от углов, отсчитываемых в противопо-
противоположном направлении. Напомним, что при обычном рас-
расположении осей координат (см. п. 2) угол между положи-
положительными направлениями осей абсцисс (первая сторона
угла) и ординат (вторая сторона угла) имеет направление
отсчета, противоположное направлению вращения часовой
стрелки (кратко: «направлен против часовой стрелки»).
При отображении w~ f (z) касательные ко всем кривым
поворачиваются па один и тот же угол. Поэтому свойство
а) можно выразить как свойство консерватизма углов:
а') Угол между двумя любыми кривыми С( и С2, пере-
пересекающимися в точке z, равен по величине и направлению

62 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. II
отсчета углу между кривыми Yi и Уъ которые, соответ-
соответствуют Cj и С2 при отображении w = f(z).
При отображении w = f(z) точкам плоскости г, отстоя-
отстоящим от точки 20 на бесконечно малое расстояние Дг
в плоскости до, отвечают точки, отстоящие от w0, с точ-
точностью до бесконечно малых более высокого порядка,
на одно и то же расстояние Ahr. Поэтому свойство б)
можно выразить как свойство инвариантности бесконеч-
бесконечно малых окружностей:
б') Окружности k бесконечно малого радиуса hr и
с центром в точке z при отображении w = f(z) соответ-
соответствует кривая х, отличающаяся от окружности с цент-
центром в точке w на малые высших порядков относитель-
относительно Лг.
Определение. Отображение w = f(z), обладающее
в некоторой точке z свойствами а) и б), или, что то же
самое, свойствами а') и б'), мы будем называть конформ-
конформным в этой точке.
Полученные выше результаты формулируются как
Теорема 1. Если функция w = f(z) дифференцируема
в точке г и \' (z) Ф 0, то отображение, осуществляемое
функцией до = /(г), конформно в точке z, причем argf'(z)
означает угол поворота, a \f (z)\—коэффициент линей-
линейного растяжения при этом отображении в точке z.
Как мы указывали выше, конформное отображение
сохраняет углы между кривыми не только по величине,
но и по направлению отсчета. Этим последним свойством
не обладает, например, отображение и» = 2. Оно сводится,
очевидно, к зеркальному отображению всех чертежей отно-
относительно оси абсцисс. Отображение w — z сохраняет ве-
величины всех углов, но изменяет направление их отсчета
на противоположное.
Рассмотрим теперь наложение отображений w = f(t,)
и ? = z (где ? — новое комплексное переменное и f (?) — ре-
регулярная функция) — отображение w = { (z). Оба отобра-
отображения w — f(Z,) и ? = z сохраняют величины углов. По-
Поэтому и отображение w = f(z) не изменяет величин углов.
Отображение w = / (?) сохраняет направление отсчета углов,
отображение ? = г изменяет его на противоположное.

IS] КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 63
Отсюда следует, что отображение w = f(z) изменяет на-
направление отсчета углов.
Иногда это отображение w — f(z) называют конформ-
конформным отображением 2-го рода (в отличие от рассмотрен-
рассмотренного выше конформного отображения, которое называют
конформным отображением 1-го рода).
В заключение сделаем еще несколько замечаний о свой-
свойствах конформных отображений.
Замечание 1. Условие 1'(г)фО, наложенное в тео-
теореме 1 на отображение w — f(z), является су щ ест в ен-
н ы м. В самом деле, рассмотрим функцию w — г2 из
примера 5 п. 11. Она регулярна в точке г —0, но ее
производная в этой точке
dw
Чг
= 0.
2 = 0
В п. 11 мы видели, что отображение w =¦¦ z2 удваи-
удваивает, а не сохраняет углы в начале координат, т. е. не
является конформным в этой точке.
Замечание 2. Из б) следует, что площадь, ограни-
ограниченная кривой и с точностью до бесконечно малых выс-
высших порядков, равна Л2яДг2. Отсюда мы видим, что
коэффициент А2 с указанной степенью точности есть отно-
отношение площадей, ограниченных кривыми кик, т. е. он
является коэффициентом растяжения площадей в точке z.
Итак, коэффициент растяжения площадей при конформ-
конформном отображении w=f(z) равен \f(z)\2. To же самое
мы получим, если воспользуемся условиями Коши—Ри-
мана: якобиан отображения w — f (z), или, иначе, и — и{х, у),
v — v(x, у), очевидно, равен
д(и,
~д(х,
V)
У)
ди
Тх
dv
дх
ди
ду
dv
ду
Как известно из общего курса анализа, модуль якобиана
как раз и равен коэффициенту растяжения площадей.
Мы получаем, следовательно, еще одну геометриче-
геометрическую интерпретацию |/'(г)|.

64 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. II
Замечание 3. Если 1'(г)фО в некоторой точке г,
то согласно D) в этой точке и якобиан д(~ < ?= 0. В ана-
анализе показывается, что из этого условия вытекает су-
существование окрестности z, в которой отображение
w — /(г) взаимно однозначно. Можно показать,что
и обратно, если функция / (z) регулярна в точке z и f (z) — О,
то отображение ш = /(г) не взаимно однозначно
ни в какой окрестности г.
16. Конформные отображения областей. Определе-
н и е. Отображение w — f{z) называется конформным в обла-
области D, если оно конформно в каждой точке этой области.
Из теоремы 1 следует, что для конформности отобра-
отображения w — f(z) в области D достаточно, чтобы функция
f{z) была регулярной в D и чтобы ее производная f (z)
не обращалась там в 0. Отображения из примеров 1 — 4
п. 11, очевидно, конформны во всей открытой плоскости.
Ниже читатель найдет дальнейшие примеры конформных
отображений.
Предположим, что отображение w = f(z) конформно
и для простоты взаимно однозначно в области D. Пусть
А —область, соответствующая D при этом отображении.
В области Л мы рассмотрим два семейства прямых и — cit
v = c2, параллельных координатным осям плоскости w.
Функция w — f(z) преобразует в эти семейства два се-
семейства кривых плоскости z, уравнения которых имеют вид
и(х, г/) = сь v(x, y) = c2. E)
В самом деле, когда z движется вдоль некоторой кри-
кривой, например, первого семейства, то, как показывает
первое из уравнений E), функция и(х, у) сохраняет
постоянное значение. Но это и означает, что точка w дви-
движется но прямой и = const, параллельной оси v.
Будем считать, что значения ct и с2 в E) выбраны
через равные промежутки Ас. Это значит, что область
А разбита па квадратики со стороной Ас. Тогда мы бу-
будем говорить, что в А построена декартова координатная
сетка. Этой сетке в области D соответствует сетка,
состоящая из кривых E). Последнюю мы будем называть
конформно-эквивалентной декартовой координатной
сеткой.

IS]
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ
hit
Если Ас—*0 (является бесконечно малой величиной),
то в силу свойств а') и б') конформных отображений
Рис. 19.
сетка в области D состоит из криволинейных бесконечно
малых квадратиков *) (рис. 19).
Пример. Функция
осуществляет взаимно однозначное отсбражение верхней
Рис. 20.
полуплоскости Im z > 0 на плоскость w с разрезом вдо/ъ
положительной действительной полуоси (см. п. 11). Это
отображение копфсрмно всюду в верхней полуплоскости,
ибо там ' -- 2г Ф 0. В граничной точке г — 0 отображение
*) С точностью до малых высших порядков; п самом деле, в си-
силу а') заштрихованный на рис. 19 четырехугольник является прямо-
прямоугольником, а п силу б) его стороны ранни.
5 Б. А, Фукс, Б. В. Шабат

S6 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. II
удваивает углы (см. п. И). Имеем:
и = хг — у2, и = 2x1/, G)
следовательно, конформно-эквивалентная сетка (рис. 20)
состоит из лежащих в верхней полуплоскости частей
гипербол
х* — у* = си 2ху = с2. (8)
Наряду с этой сеткой можно рассматривать сетку, кон-
конформно-эквивалентную сетке полярных координат —
кривых верхней полуплоскости Imz>0, переходящих
в окружности |tw| = Ci (с выброшенной точкой w = Ci)
и лучи argdy = c2. Такая сетка, очевидно, состоит из
полуокружностей \z\ = Ycu Imz>0 и лучей argz — -—,
0 < с2 < 2я (см. рис. 16).
17. Дифференциал и его геометрический смысл. Из
определения производной следует, что
?-f'<z) = i\, где i
откуда
Aw = f'{z)Az-\-i]Az. (9)
Величина f (z) Az отличается от приращения Aw на вели-
величину т) Az, бесконечно малую высшего порядка *) относи-
относительно f'(z)Az (если }'(г)фО). Поэтому, как и в дей-
действительном анализе, ее называют главной частью Aw.
Кроме того, эта величина при фиксированном z линейно
зависит от Az. Таким образом, естественно дать следующее
Определение. Величина
dw = /' (г) Дг,
которая является главной линейной частью Aw, называется
дифференциалом функции /(г) в точке г, соответствующим
приращению Дг аргумента.
Применяя последнюю формулу, в частности, к функ-
функции f{z) = z, для которой /'(г)--1, мы получим, что
dz — Az, и выражение для дифференциала принимает
*) Это, как и в действительном анализе, означает, что
I (г) Аг

J7J ДИФФЕРЕНЦИАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ 67
окончательный вид
dw = ['(z)dz. A0)
Для выяснения геометрического смысла дифференциа-
дифференциала мы, фиксировав значения г и w, будем рассматривать
соответствие между точками Z — z + kz и W — w-^kw:
W = f(Z).
Изучение этого соответствия при фиксированных г ию,
очевидно сводится к изучению соответствия между Az=Z—z
и Aw = W— w, которое согласно предыдущему для диф-
дифференцируемых функций имеет вид
Affi- = /'(z)Az-i-TiAz. (9)
Ограничимся изучением этого соответствия лишь
в достаточно малой окрестности точки z и предположим
еще, что /' (z) Ф 0. Тогда, пренебрегая в правой части
(9) членом г)Аг, который является малой высшего поряд-
порядка, чем другие члены этой формулы, мы можем прибли-
приближенно написать:
bw*>f'(z)bz = dw. A1)
Равенство A1) устанавливает весьма простую, ли-
линейную зависимость между Az и dw.
Пользуясь геометрической терминологией, мы можем
сказать, что если функция w = f (z) дифференцируема
в точке z и /' (г) Ф 0, то в окрестности этой точки отоб-
отображение до — / (г) с точностью до малых высших порядков
можно заменить линейным отображением
W-w = f'(z)(Z-z). A00
Последнее называют главной линейной частью отобра-
отображения о/ = /(г). Итак, дифференциал функции f (z) в точ-
точке z, где /' (z) Ф 0, определяет главную линейную часть
отображения w — )(z).
Мы опять можем провести аналогию с действительным
анализом, где замена функции f (х) в окрестности фикси-
фиксированной точки х ее дифференциалом геометрически
означает замену криволинейного куска графика у = f(x)
отрезком касательной с уравнением
(Y-y) = f'(x)(X-x).
5*

68 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. II
Из A1) следует, что
или
где а — f (z) и b = w — f (z) z постоянны для фиксирован-
фиксированной точки z.
Это —линейное отображение, которое мы рассмотрели
в примере 4 п. 11. Вспоминая полученный там результат,
мы придем к следующем теореме:
Теорема 2. Если функция w — f(z) дифференци-
дифференцируема в точке z и /' (z) Ф 0, то в окрестности этой
точки отображение, осуществляемое функцией, с точ-
точностью до малых высших порядков сводится к линей-
линейному отображению, т. е.
1) параллельному сдвигу из точки z в точку w,
2) подобному растяжению (сжатию) с коэффициен-
коэффициентом | /'(г) ' и
3) повороту на угол arg/'(z).
Иными словами, локально, т. е. в окрестности фикси-
фиксированной точки, конформное отображение (с точностью
до малых высших порядков) сводится к подобному пре-
преобразованию. Отсюда и проистекает термин — конформ-
конформное («сохраняющее форму») отображение.
Приступим к изучению простейших конформных ото-
отображений.
18. Дрсбно-линейные отображения осуществляются па
полной сфере переменного z дробно-линейной функцией,
определенной равенством
... oz-\b A2)
d
при гФ , ф оо; кроме того, принимается w=co при
d a
2 ¦-•- И W =-• - При 2= СО.
с с F
Мы предположим еще, что
ab-ЬсфО, A3)
ибо в противном случае "—-j и функция A2) сводится
к постоянной.

18] ДРОБПОЛШШЙПЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ №
Дробно-линейная функция осуществляет отображение
сферы z па полную сферу w и притом взаимно однознач-
однозначное. В самом деле, отображение, обратное A2), опреде-
определено и однозначно па полной сфере w:
__ --dw \-b
civ —а
при w ф -а_• , ф оо, а при w= — и ш=оо имеем соответ-
ствеппо г=-:оо иг— —; .
При с—0 A2) сводится к линейному отображению
W—' z-\--i , уже рассмотренному в п. 11 (пример 4).
При с ф 0 оно представ.чяется в виде
а , be —ad
и может бып> получено наложением более простых ото-
отображений:
("''•¦- г; • j- A4)
a be ml I
ffi) — • - (О,
с <: J
причем для второго отображения w =~ 0 при ? -- со и
о) ==¦ со при ?:';0, а первое и третье отображения перево-
переводят бесконечно удаленную точку в бесконечно удаленную.
Первое и третье пз отображении A4) линейные; они,
как ^1ы знаем, сводятся к подобному растяжению (сжа-
(сжатию) с поворотом и к сдвигу. Остается выяснить смысл
второго отображения, которое мы, меняя обозначения,
запишем в виде
w^~ . A5)
Для наглядности представим плоскости z и w нало-
наложенными друг на друга так, что их координатные оси
совпадают. Отображение A5) означает тогда переход от
комплексного числа г к числу -- . Соответствующее по-
построение мы рассмотрели в п. 3 (рис. 5). Оно сводится

70
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. II
к последовательному выполнению двух отражений: 1) ин-
инверсии относительно единичной окружности (переход
от точки z к точке % — --, при котором аргумент не
меняется, а модуль изменяется на обратный по величине)
и 2) относительно действительной оси (переход от точки
? к точке w — ? = — , при котором модуль не меняется,
а аргумент изменяет знак).
Очевидно, что при таком отображении круг |z,<l
преобразуется в круг , w | > I с центром в бесконечно
argw~-<p
1>ис. 21.
удаленной точке, круг :2:> 1
ность | г \ — 1 — в окружность
луч argazj — — гр (рис. 21).
и круг |oj]< 1, окруж-
окруж|ajj = l, луч argz--=cp —в
Производная от функции до = — существует
всюду,
кроме точек 2-0 и z—со, и равна ¦. = —,^0. В силу
теоремы 1 мы можем, следовательно, утверждать, что
отображение A5) конформно во всей плоскости, кроме
указанных точек.
Для того чтобы судить о характере отображения
в этих точках, следует ввести понятие угла между двумя
кривыми, пересекающимися в бесконечности. Так как
угол между кривыми измеряется углом между их каса-

18] ДГ-ОБНО-ЛИНЕПМЫЕ ОТОВРАЖ1!.1111 Я 7]
тельными, то можно ограничиться определением угла
между двумя прямыми, пересекающимися в бесконечности.
Воспользуемся тем, что при стереографической проек-
проекции угол между двумя линиями, пересекающимися в ко-
конечной точке г, сохраняется (мы опускаем доказатель-
доказательство этого предложения). Это дает нам повод всегда
понимать под углом между двумя прямыми (в частности,
пересекающимися в бесконечно удаленной точке) угол ме-
между их сферическими изображениями (окружностями, пере-
пересекающимися в северном полюсе сферы S).
При таком доопределении отображение A5) будет сохра-
сохранять углы и в исключенных точках. В самом деле (рис. 22),
две прямые / и //, пересекающиеся в точке г —0 под
углом а, при отображении
A5) переходят в прямые /'
и /У, также пересекаю-
пересекающиеся под углом а в точке
ву = 0*). При стереографи-
стереографической проекции прямым /'
и //' на сфере S соответ-
соответствуют большие круги, пе-
пересекающиеся в точке W = О
под тем же углом а. Но
Рис 99
тогда и угол пересечения
этих кругов в северном
полюсе W=co, который мы приняли за меру угла между
прямыми /' и //' в бесконечно удаленной точке, также
равен а. Аналогично доказывается, что A5) сохраняет
углы и в точке z= oo.
Кроме того, очевидно, что отображение A5) переводит
окружности с центром п начале координат в окружности
с центром в бесконечно удаленной точке, и наоборот.
Итак, отображение A5) обладает в точках z = 0 и
z = со обоими свойствами а') и б') конформных отобра-
отображений (см. п. 15).
Очевидно, что другие составляющие дробно-линейного
отображения A2) также конформны в полной плоскости.
Так как результат наложения конформных отображений,
*) Ибо при отображении A5) лучу argz = <p соответствует луч
argffii=—<р (рис. 21),

71 КОНФОРМНЫЙ ОТОБРАЖЕНИЯ | ГЛ. II
очевидно, снова является конформным отображением, то
мы можем утверждать, что и произвольное отображение
A2) также конформно в полной плоскости.
Основные результаты, полученные в этом пункте,
могут быть сформулированы как
Теорема 3. Произвольная дробно-линейная функция
(
после замены х ¦-- —' - , у — ^'.- можно переписать в виде
ш=-°Ь J f ad-be =^0 A2)
da \
—•со /;/>« z— — -, w = при z — co ) осуществляет
v С С /
взаимно однозначное и конформное отображение полной
плоскости комплексного переменного z на полную пло-
плоскость w.
19. Круговое свойство. Уравнение произвольной окруж-
окружности на плоскости z
A6)
виде
A7)
гдеа = —^-^. При Л = 0 уравнение A6) представляет
прямые; рассматривая сферу комплексного переменного г,
мы не будем особо выделять этого случая (см. п. 5).
При отображении A5) уравнение A7) перейдет в
A-\-aw + aw + Dww ¦•= 0, A8)
которое снова является уравнением окружности на сфере
w. Следовательно, A5) преобразует любую окружность
сферы z в окружность сферы w. Окружности, проходя-
проходящие через z ¦-- 0 (для которых в A7) D — 0), переходят
при этом в прямые (ибо в A8) D — 0), а прямые пло-
плоскости z (для которых в A7) Л —0) —в окружности, про-
проходящие через ьу-^0 (ибо в A8) Л = 0)*).
Так как другие составляющие отображения A2) также
преобразуют окружности в окружности (это следует из
*) Если эти прямые проходят через точку z = 0 (т. е. в A7)
/1---D— 0), то они переходят смона п прямые.

201 ИНВАРИАНТНОСТЬ СО. 1РЯЖЕП11 Ы X TOMliK 73
их геометрического смысла), то мы можем утверждать,
что и A2) обладает этан свойством. Мы доказали круго-
круговое свойство дробно-линейных отображений:
Теорема 4. Произвольное дробно-линейное отобра-
отображение
w --- - : -., аа — ос ФО
w •--• оэ при z— —, , w — " при z—coj преобразует
любую окружность сферы комплексного переменного z
в окружнесть сферы w.
Замечание. Произвольное конформное отображе-
отображение (с точностью до малых высших порядков) сохраняет
бесконечно малые окружности. Дробно-лииейнос отобра-
отображение (точно) сохраняет любые окружности (однако, центр
окружности здесь, вообще говоря, не переходит в центр
соответствующей окружности).
20. Инвариантность сопряженных точек. Определе-
Определение. Точки z и ?, расположенные на радиусе некоторой
окружности С и его продолжении так, что
Oz-Ol = R\ A9)
где О и R обозначают центр и радиус С, называются
сопряженными или симметричными относительно С.
В дополнение к этому центр окружности О считается
сопряженным с бесконечно удаленной точкой.
С частным случаем, когда R=l и центр С совпадает
с началом координат, мы встречались в ни. 3 и 18. Метод
построения симметричной точки, указанный на рис. 5,
остается, конечно, в силе и для общего случая.
Построим пучок окружностей (Г), проходящих через
точки z и ?, симметричные относительно окружности С
(рис. 23). Каждая окружность Г пересекает С под пря-
прямым углом. В самом деле, по известной теореме элемен-
элементарной геометрии квадрат длины касательной Осо к окруж-
окружности V равен произведению секущей на ее внешнюю
часть. Но в силу A9) это произведение равно R2, сле-
следовательно, касательная к Г является радиусом С,
и окружности ортогональны.
Обратно, если точки ги ^ являются вершинами пучка
окружностей (Г), ортогональных к С, то эти точки сопря-

7-t
КО И ФОРМ) I bit: ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. П
жены относительно С. В самом деле, прямая zt, при-
принадлежащая пучку (Г), ортогональна С и, следовательно,
проходит через ее центр О. Кроме того, так как Г орто-
ортогональна к С, то Ом -— R и по указанной теореме эле-
элементарной геометрии Ог ¦ Ot, - 0<л- — R2. Отсюда и следует
наше утверждение. Таким образом, доказана
Теорема 5. Необходимым и достаточным условием
сопряженности точек z и ? относительно окружности С
является ортогональность к С пучка (Г) окружностей
с вершинами в точках z и ?.
После теоремы 5 естественно дать следующее
Определение. Точки z и Z, называются сопряжен-
сопряженными относительно прямой С, если они служат верши-
вершинами пучка (Г) окружностей, ортогональных к С.
Очевидно, сопряженность относительно прямой сов-
совпадает с обычной симметрией.
Теорема 6. Произвольное дробно-линейное отобра-
отображение преобразует точки г и ?, симметричные относи-
относительно окружности С, в точки w и со, симметричные
относительно образа С", этой окружности.
В самом деле, построим пучок (Г) окружностей, про-
проходящих через z и Z: по теореме 5 он ортогонален С.

21] ДЮЫЮ'ЛИМНШНЫК ОТОЫ'АЖПНЯЯ 75
По теореме 4 при рассматриваемом отображении С перейдет
в окружность (или прямую) С", пучок (Г) —в пучок (Г")
окружностей с вершинами в точках w и о>. По теореме 3
пучок (Г') ортогонален С и по теореме 6 точки w и со
симметричны относительно С (случай, когда С —прямая,
не представляет исключения).
Пример. Найдем сетку, конформно-эквивалентную сетке
полярных координат при отображении
K) = S''! B0)
где 2j и г2 — произвольные точки плоскости г. При отображении
B0) точкам г=г1 и г— г2 соответствуют точки w—-0 и w — со. Сле-
Следовательно, по теореме -1 лучам argai = C| (т. е. «полуокружностям»,
проходящим через точки ги = О и а) -со) соответствуют душ окруж-
окружностей, проходящих через ?j и г2 (пунктир па рис. 24).
Далее, точки ш = 0 и ю = со симметричны относительно окруж-
окружностей iffi)|--f2. Следовательно, но теоремам 4 п 6 этим окружно-
окружностям соответствуют окружности, для которых г{ и ?2 являются сим-
симметричными точками (сплошные линии на рис. 24). Семейства окруж-
окружностей ортогональны.
Замечание. Мы доказали, в частности, что геометрическое
место точек г, для которых отношение расстояний до точек г1 и г2
постоянно:
г — г-)'
I W | --:
— const,
является окружностью. Это сосгапляет содержание известной тео-
теоремы Аполлония. Окружности семейства
поэтому аполлоппеиычи окружностями.
г-z,
I Z—Z,
= const называют
2
21. Условия, определяющие дробно-линейное отобра-
отображение. Общая формула A2) дробно-линейного отображе-
отображения зависит по существу от трех комплексных парамет-
параметров. В самом деле, любой из ее коэффициентов, отличный
от нуля, мы можем считать равным 1 (деля на него в слу-
случае надобности числитель и знаменатель).
Простейшей задачей на построение дробно-линейного
отображения является следующая: на сфере г заданы три
различные точки zit z2 и z3, а на сфере w — три различ-
различные точки шь ш2 и Wi\ требуется найти отображение A2),
преобразующее zh в Wk (k= I, 2, 3). Поставленную задачу

76
КОНФОРМНЫ!! ОТОБРАЖЬНИЯ
1ГЛ.
W
Рис. 24.

21] ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 7?
при конечных Zh и wk решает отображение
w — Wj _ w3—w2 _г — г, _ г3 — г2
ги —г02 сиз-"^! 2 — z2 z3 — Zi
Действительно, B1) дробно-линейно и преобразует
точки zk в Wk (k= I, 2, 3). Если одно из чисел zk или ш^
обращается в бесконечность, то и в числителе и в знаме-
знаменателе B1) разности, в которых участвует это число,
надо заменить 1. Например, если z3= оо и W\ = со, то фор-
формула B1) примет вид
1 w3 — wl _ г—zi 1
w—ie>2 I 2—Z2 ' '
ИЛИ
W = w2 т (йУз — w%) . B2)
В самом деле, в соответствии с условиями при z = Zi
имеем w = co, при z = г2 w — w2 и при г — со ia = ay3-
Докажем, что решение задачи, даваемое формулой B1)
или формулами, аналогичными B2) (если не все Zk и iffc
конечны), единственно. Пусть существуют два дробно-
линейных отображения w = li(z) и w — l3(z), преобразую-
преобразующих точки Zh в Wk- Построим еще дробно-линейное ото-
отображение w = l(w), переводящее aij в 0, 1 и со, и рас-
рассмотрим суперпозиции
ю' - / [U (г)] = U (г), со" = / [1.2 (г)] = L2 (г).
Это - дробно-линейные функции, преобразующие точки zh
в точки 0, 1 и со. Рассмотрим теперь отображение
где L'1 — отображение, обратное L^ Оно дробно-линейно
т. е. со"= -^7-7—т ) и переводит точки 0,1, со в самих
С СО ~т~ и, у
себя. Отсюда следует, что «"=:«' (в самом деле, так
как при ш' = оо ш"=—= со, то с = 0, а=/=0, атак как
приса'=0 ш" = ----= 0, то Ь = 0, йфО; таким образом,
«" =^-ш'; но при ш' =1 ю" = -^= 1 J , т. е. что Ц1 обратно
к L2, L4 = L2 и, следовательно, /) = /2.

КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. 11
Полученные результаты мы сформулируем в виде тео-
теоремы:
Теорема 7. Существует одно и только одно дробно-
линейное отображение, преобразующее три произвольные
(различные) точки zh сферы z в три произвольные (раз-
(различные) точки wk сферы w.
Пользуясь теоремой 7, можно построить отображе-
отображение A2), преобразующее наперед заданную окружность С
сферы z в окружность С сферы w. Для этого в силу
Рис. 25.
теоремы 4 достаточно намти дробно-линейное отображе-
отображение, преобразующее три какие-либо точки С в три точки С.
Заметим, что построенное отображение преобразует
круг, ограниченный С, либо целиком внутрь С, либо
целиком вне С. В самом деле, пусть образы w' и w"
точек г' и г", лежащих внутри С, лежат по разные сто-
стороны С. Отрезок прямой г'г" не пересекает С, а в пло-
плоскости w ему соответствует дуга окружности w'w", пере-
пересекающая С, что невозможно.
Для того чтобы установить, какой из этих двух слу-
случаев реализуется, достаточно найти образ хотя бы одной
точки z, лежащей внутри С: если он лежит внутри С,
имеет место первый случай, если вне С" — второй. Можно
также поступать иначе. Фиксируем на С какие-либо три
точки ?ь z2 и z3; порядок их расположения определяет
некоторое направление обхода С (см. стрелку на рис. 25).

82] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 79
Если соответствующие точки wt, w2 и w3 определяют
такое же направление обхода С, то внутренность С пере-
переходит во внутренность С (рис. 25, с), если же противо-
противоположное, — то во внешность (рис. 25, б). В самом деле,
возьмем точку г на радиусе С, идущем в г2; отрезку z2z
соответствует дуга окружности w2w, ортогональная С.
Угол между дугой z2zt и радиусом z2z Травный + -~ J
в силу конформности отображения должен совпадать
с углом между дугами w-iW^ и w2w. Отсюда следует (как
это видно из рис. 25), что в случае а) точка w должна
лежать внутри С, а в случае б) —вне С.
Отметим, что при выбранном направлении обхода С
область (внутренность С) остается слева. При отображе-
отображении в обоих случаях а) и б) этой области соответствует
та область, которая остается слева при обходе С. Мы
можем утверждать, следовательно, что отображение A2)
сохраняет направление обхода границ кругов.
22. Частные случаи. Найдем отображение верхней
полуплоскости на единичный круг, переводящее фикси-
фиксированную точку полуплоскости z0 в центр круга w — 0.
По теореме 6 точка го> симметричная с г0 относительно
действительной оси, должна переходить в точку w=co
(симметричную с w~0 относительно окружности |о>|= 1).
Поэтому искомое отображение имеет вид
г—г0
Остается найти k. Для этого потребуем, чтобы точки дей-
действительной оси z — х переходили в точки окружности
|о>|=1. Но так как z = x — действительное число, z = z,
то числитель дроби комплексно сопряжен знаменателю
и модуль ее равен 1. Таким образом, наше условие сво-
сводится к тому, чтобы было |/ej-~l, k — ei0, и искомое ото-
отображение принимает вид
w = ei4liz3. . B3)
г-гп
Функция B3) при любом 0 решает задачу, ибо по построе-
построению она преобразует «окружность» у = 0 в окружность

80
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. 11
|ш|=1 и точку г0 верхней полуплоскости внутрь круга
\w\ < 1. Изменение 0 в формуле B3) геометрически озна-
означает поворот круга | w < 1 вокруг начала координат, чго
не нарушает условии задачи. На рис. 26 изображена
сетка, конформно-эквивалентная сетке полярных коорди-
координат круга |к>|< 1. Она, очевидно, является частью сетки
рис. 24.
Найдем еще формулу для отображения единичного
круга \г\ < 1 на единичный круг , w< 1, преобразующего
заданную точку г---г0 первого круга в центр вторгго
W — 0. Точка -, симметричная с z0 относительно |zl= 1,
должна при этом перейти в точку w=co, поэтому иско-
искомое отображение имеет вид
где k— —kizo — некоторая постоянная. Для определе-
определения k воспользуемся тем, что точки г~--=(.''ф окружности
г! — 1 должны переходить в точки окружности |И>|~1:
k
1-;
I i —'
1.
В последней формуле |гЛф' — 1, числитель дроби со; 'н
знаменателю, следовательно, ее модуль равен 1. '.. .
наше yCviOBHe сводится к тому, чтобы было | k \ = \. .. л-. /

22]
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
81
B4)
и тогда искомое отображение примет вид
1—г„г
Формула B4) при любом 0 дает решение поставлен-
поставленной задачи, изменение 0 сводится к повороту круга
|&'|< 1 вокруг начала координат.
Производная функции B4) в точке 2 = 20 равна
где г0 = ] г0' < 1. Отсюда видно, что 0 — argK\> геометри-
геометрически означает угол поворота отображения B4) в точке г0.
Рис. 27.
Таким образом, мы всегда можем дсбиться того, чтобы про-
произвольно заданная точка г0 и направление е'° при отобра-
отображении B4) переходили в начало координат до=0 и направ-
направление положительной оси и *).
На рис. 27 изображена сетка, конформно-эквивалент-
конформно-эквивалентная сечке полярных координат круга а»!< 1 (эта сетка
также является частью сечки рис. 24). Паше отображение
деформирует внутренность и границу круга |г|<1,
оставляя их в целом неизменными.
-о означает, что псе крииые, касающиеся п точке z0 луча
О, переходят и крииые, касающиеся и точке ш==0 оси
Л. Фукс. Ь. В. Шаба г

82 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. II
Отметим еще формулу преобразования круга \ z | < R
в круг |ау|< 1, переводящего точку г0 в начало коорди-
координат
ы! = е^Я{г-_го) . B5)
Эта формула получается из B4), если заменить в ней г
на 4-(и соответственно г0 на ~ J .
23. Общие принципы теории конформных отображений.
Дробно-линейная функция взаимно однозначно и кон-
конформно отображает полную плоскость комплексного пере-
переменного z на полную плоскость комплексного перемен-
переменного w. Можно доказать, что никакая другая функция
не обладает этим свойством — отличные от дробно-линей-
дробно-линейной функции могут взаимно однозначно и конформно ото-
отображать лишь некоторые части плоскости z на части пло-
плоскости w.
В предыдущих пунктах мы видели, что взаимно одно-
однозначное конформное отображение произвольного круга
г-плоскости на произвольный круг оу-плоскости (в част-
частности, один из этих кругов или оба могут вырождаться
в полуплоскости) всегда можно осуществить с помощью
дробно-линейной функции. Возникает вопрос, можно ли
осуществить взаимно однозначное конформное отображе-
отображение произвольной области D на произвольную область А.
В такой общей постановке вопрос имеет отрицатель-
отрицательный ответ. В самом деле, например, многосвязную область
нельзя взаимно однозначно и непрерывно отобразить на
односвязную. Не останавливаясь на полном доказатель-
доказательстве, мы укажем только на причины невозможности такого
отображения.
Предположим, что такое отображение многосвязной
области D на односвязную область Л существует. Возь-
Возьмем в D замкнутую кривую с, состоящую из точек D,
но содержащую внутри себя точки, не принадлежащие D
(такая кривая всегда существует). При нашем отображе-
отображении D на А кривая с перейдет в замкнутую кривую у.
состоящую из точек А. Так как А односвязна, то непре-
непрерывной деформацией у, при которой y все время остается
внутри А, ее можно стянуть в одну точку. В силу непре-

23] ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 83
рывности отображения и соответствующая кривая с должна
при этом, непрерывно деформируясь внутри D, стяги-
стягиваться в точку, но это, очевидно, невозможно.
Для односвязных же областей имеет место следующая
Теорема существования и единственно-
единственности. Пусть D и А — произвольные односвязные области,
отличные от полной сферы и сферы с выколотой точ-
точкой*), г0 и w0 — любые их внутренние точки и 60 — любое
действительное число. Существует единственное кон-
конформное отображение w — f(z) области D на Д, удовле-
удовлетворяющее условиям
wo, Arg/'(zo) = eo. B6)
Доказательство этой теоремы выходит за пределы на-
нашей книги: мы его опускаем.
Замечание 1. Возможность отображения любой одно-
связной области на любую другую будет доказана, если
доказать возможность отображения каждой из них, напри-
например, на верхнюю полуплоскость или на единичный круг.
В самом деле, пусть функции t, = f(z)nZ, = g{w) взаимно
однозначно и конформно отображают области D и Д, напри-
например, на круг |?|< 1 и w — ф(?) — отображение, обратное
t, = g(w). Тогда суперпозиция
w = tf \f(z)] = F (г)
осуществляет взаимно однозначное и конформное отобра-
отображение области D на Д.
Но, зная одно отображение ? = /(г) области D на еди-
единичный круг, мы можем построить бесчисленное их мно-
множество с помощью дополнительного отображения единич-
единичного круга |?|< 1 на единичный круг | до | < 1. Послед-
Последнее осуществляется по формуле B4), в которой z заменено
на Z,, и может быть подобрано так, чтобы произвольная
точка ?0 переходила в начало координат до = 0 и чтобы
аргумент производной в точке ?0 имел любое наперед
заданное значение.
Замечание 2. Как показывают соотношения B6),
конформное отображение заданной области на другую
*) Необходимость этих исключений выяснится в дальнейшем
(см. п. 53).

М.| КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ЦП. 11
зависит от трех действительных параметров (первое уравне-
уравнение B6) выражает равенство комплексных чисел и сво-
сводится к двум действительным уравнениям). Вместо B6)
дли однозначного определения конформных отображений
часто используются другие условия, также содержащие
три действительных параметра. Например, задают образы
одной внутренней и одной граничной точек D:
(z0, w0 — внутренние, zit vl\ — граничные точки D и Д),
или трех граничных точек *):
wh (k=i, 2, 3)
Bft и wii — граничные точки D и А).
Про подобные условия говорят, что они нормируют
рассматриваемое конформное отображение.
Подчеркнем, чго в основной теореме речь идет только
об отображении внутренности области D на в н у т-
ре нн ость единичного круга. Каково соответствие гра-
границ при этом отображении? Ответ на этот вопрос дает
следующая
Теорема о соответствии границ. При взаим-
взаимно однозначном конформном отображении области D на
область Д:
а) устанавливается взаимно однозначное и непрерыв-
непрерывное соответствие границ этих областей, если граница Д
состоит из конечных точек и если считать граничные
точки столько риз, сколько они проходятся при полном
обходе границы **);
б) функция, осуществляющая отображение, имеет
на границе О непрерывную производную***), если границы
*) Положен ic точки на границе области определяется одним
действительным параметром, например, расстоянием (вдоль границы)
от некоторой фиксированной граничной точки.
**) Например, на рис. 28 г, преходится одни рал, г2 " z>, ~ по
два раза, г3 - четыр-'. Пели Гранины D и Л не содержат кратных
точек, то соответствие границ взаимно однозначно и иепр.-рышю
в обычном смысле.
***) Под производной функции / (г) на границе понимают
lim ,— , где г и г' — точки па границе.

ГА] ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 86
D и А состоят из конечных точек и обладают в каждой
точке непрерывной кривизной. В угловых точках границы
производная либо не существует, либо равна О или оо.
Отметим еще, что свойство, которое мы установили
в п. 21 для отображения A2), имеет ебщий характер:
При взаимно однозначном и конформном отображении
областей D и А сохраняется
направление обхода их границ*). „ .-. .. _
Иными словами, если при
обходе границы D область оста-
остается слева, то и при соответ-
соответствующем обходе границы А
область остается слева.
Большое значение для прак-
практики конформных отображений
имеет
Принцип соответст-
соответствия г р а н и ц. Пусть односвяз-
ные области D и А ограничены
соответственно кривыми С и С
и функция w~f(z), регуляр-
регулярная в D и непрерывная в D,
однозначное соответствие между С и С. Тогда w — f (г)
осуществляет взаимно однозначное конформное отобра-
отображение П на А.
В заключение приведем еще важный
Принцип сохранения облает и. Если функция
w=f(z) регулярна в об лести D и отлична от постоян-
постоянной, то совокупность А, на которую она отображает D,
также является облестыо.
Следует отметить, что этот принцип имеет весьма
общий характер. Как было отмечено в замечании 3 к тео-
теореме 1 настоящей главы, если /' (г0) Ф 0, то функция
w= /(г) отсбражаст взаимно однозначно некоторую окре-
окрестность точки г0 сбласта \ па окрестность точки w0 - f{z0)
плоскости w. В целом отображение области D на А не
Рис. 28.
устанавливает взаимно
*) В полных курсах анализа доказывается, что таким свой-
свойством обладает любое пмиушо однозначное непрерывное отображе-
отображение с неотрицательным якобианом. В силу соотношения A) п. 15
для конформных отображений последнее всегда имеет место.

Йб КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИИ Ц'Л. II
будет вообще взаимно однозначным. В этом общем случае
Д будет являться областью на «римаиовой поверхности
функции /(г)» —к изучению таких поверхностей мы перей-
перейдем в следующей главе. Точкам, где /'(г)--0, отвечают
«точки разветвления» римановой поверхности (которые
также рассматриваются в следующей главе); в их окре-
окрестностях нарушается взаимно однозначный характер ото-
отображения. Однако принцип сохранения области не нару-
нарушается и при наличии таких точек —образы последних
оказываются внутренними точками А.
Упражнения
1. Пусть и>=/(г)=и (дс, y)-\-iv{x, у). Показать, что для диффе-
ренцируемости f (z) в точке z необходимо и достаточно, чтобы
du-\-idv, где da и dv—дифференциалы действительных функций и
и V, было пропорциональным dx-\-idy (коэффициент пропорцио-
пропорциональности зависит лишь от г).
2. Как найти длину образа кривой С и площадь образа обла-
области D при взаимнооднозначном конформном отображении гг>=/(г)?
3. Найти коэффициент растяжения и угол попорота при отобра-
z—i ,
жении w= -.-.- в точках г<-=—1 и 22 = (.
4. Найти площадь образа квадрата 0<дс<1, 0 < у < 1 при
отображении w—i1 и длину его границы.
5*. Найти длину образа окружности |г| = 1 при отображении
w=Yz-±\ (см. упр. 11, г) главы I).
6. Доказать, что условно конформной эквивалентности сетки
и(х, у) — си v(x, y) — c2 декпртопой координатной сетке выра-
выражается соотношениями: скалярное произведение (grad и, grade) —О,
grad a , = l grad v].
7. Найти главную линейную часть отображения и — г в точке
z = «. Оценить отклонение отображения от его главной линейной
части в круге | г ¦- (' | <. 0,1.
8. На какую область отображает функции w=-— область, за-
заключенную между тремя окружностями, касающимися (нзппе) друг
друга, если одна и.) точек касания лежит в начале координат?
9. На какую область отображает функция ю=— полуполосу
0<*< 1, у>0?
10. Найти взаимно однозначное конформное отображение кольца
между окружностями |г|—1 и |г—11 = -^- на круговое коль
1 <|а|1<'?. Определить значение R.

УПРАЖНЕНИЯ 87
11. Найти все дробно-линейпые отображения, оставляющие
точки ;?• 1 неподвижными.
12. Найти конформное отображение круга | г ] < 1 на полупло-
полуплоскость Iiti пи "> 0, иере1!одя!цее точки —1, +1, i в точки оо, 0, 1.
13. Найти конформное отображение верхней полуплоскости на
себя, преобразующее точки со. О, 1 в 0, 1, оо.
14. Найти конформное отображение ш —/(г) верхней полупло-
полуплоскости 1тг>() на круг | v: | < R такое, что f(i)—0, /'(«") = 1.
Определить значение R.
15. Какой геометрический смысл 0 в формуле B3)? Во что пре-
преобразует функции BЪ) декартову координатную сетку г-плоскостп?
Hi. Найти конформное отображение верхней полуплоскости на
себя, преобразующее три заданные точки aj, a2 и Яз действитель-
действительной оси (о1<о2<Оз) в 0, 1 и со.
,-, -л , аг-\-Ь
17. При каких условиях функция w = —j- ,- осуществляет
отображение верхней полуплоскости па себя (плоскости г и w пред-
предполагаются совмещенными)?

ГЛАВА III
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
24. Функции w = zn и их римановы поверхности.
Функция
w = z2 A)
была рассмотрена нами в пи. 11 и 16.
В полярных координатах z — rei4>, w — qe10 равенство
A) записывается с помощью двух действительных
равенств:
Q^r, 0=--2cp, B)
из которых легко выясняется геометрический смысл этого
отображения.
Из равенства z\ — z\ вытекает
гг=±ги C)
следовательно, функция A) склеивает те и только те
точки zt и z2, которые расположены симметрично отно-
относительно начала координат. Для взаимной однозначности
A) в области О необходимо и достаточно, чтобы D не
содержала никаких двух точек, связанных соотноше-
соотношением C).
В частности, этому условию удовлетворяет верхняя
полуплоскость 0 < г < со, 0 < ф < я; как показывает B),
функция w -- z- отображает ее на плоскость w с рчзрезом
вдоль положительной действительно» оси. Рис. 16 и 20
указывают соответствие линий при этом отображении; оно
конформно всюду, кроме точек г = 0 и г — со *) (см, п. 16).
*) Строго говоря, функция A) не определена в точке г.= оо;
мы определяем се, полагая в качестве значения функции при г--ею
ее предел Птга = со.

U] ФУНКЦИИ w = г" И ИХ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ 89
Нижняя полуплоскость 0<г<со, л<ф<2л снова
отображается на всю плоскость w с разрезом вдоль поло-
положительной действительной полуоси. Следовательно, A)
отображает полную плоскость z на полную плоскость w.
Отображение A) однозначно, но не взаимно однозначно:
каждой точке w, кроме w = Q и w = co, соответствуют
две различные точки г. Это свойство влечет за собой
некоторые следствия, невозможные для взаимно однознач-
однозначных отображений. Например, незамкнутая линия — полу-
полуокружность | z | = 1, 0 < ср < л —
переходит при отображении
A) в замкнутую — окружность
К, = 1.
Однако удается создать не-
некоторый геометрический способ
изображения комплексных чи-
чисел w, позволяющий рассматри-
рассматривать отображение A) как вза-
взаимно однозначное в полной пло-
СКОСТИ 2.
Мы возьмем два экземпля- Рис- 29t
pa («листа») плоскости w с
разрезами вдоль их положительных действительных
полуосей и будем считать, что первый лист (/) несет
образы точек верхней, а шорой (//)—нижней полупло-
полуплоскости z. Далее, мы расположим лист // над листом /
так, чтобы точки с одинаковыми координатами находи-
находились друг над другом. Затем, для восстановления непре-
непрерывности отображения ш==г2 па отрицательной полуоси л:
мы склеим между собой нижний берег разреза / (образ
этой полуоси при отображении верхней полуплоскости)
и верхний берег разреза // (образ той же оси при отобра-
отображении нижней полуплоскости), добавляя (один) луч,
лежащий над положительной полуосью и (рис. 29).
Остается восстановить непрерывность отображения A)
в точках положительной полуоси х. Для этого мы склеим
между собой оставшиеся свободными берега наших раз-
разрезов — верхний берег разреза / и нижний берег разрезм //
с помощью луча, лежащего над осью и. Однако для сохра-
сохранения взаимной однозначности отображения A) этот луч
придется считать отличным от луча, с помощью которого

90 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. Ill
выше склеивались другие берега разрезов, хотя (геомет-
(геометрически, по положению в пространстве) эти лучи неиз-
неизбежно совпадают (см. рис. 29). Лишь концы этих лучей,
лежащие над точками ш = 0 и ш — со, мы будем считать
совпадающими.
Построенная двулистная поверхность R называется
римановой поверхностью функции w = z2. Она располо-
расположена над полной плоскостью w, причем над каждой точ-
точкой до, кроме до = 0 и до = оо, лежат две различные точки R,
принадлежащие различным ее листам*). Над точками
ш = 0и до = со лежит лишь по одной точке R. Если точка г
обходит точку 2 — 0 один разно окружности \z\~r, то
в силу равенства B) соответствующая ей точка w обходит
точку w — О по окружности |«j| = Q два раза. То же самое
имеет место и для точки а; = со. Это дает повод называть
лежащие над ними точки R точками разветвления второго
порядка. В этих точках как бы соединяются листы поверх-
поверхности R.
Согласно нашему построению, функция ш--22 взаимно-
взаимнооднозначно и непрерывно отображает полную плоскость z
на свою риманову поверхность. Для пояснения мы рас-
рассмотрим соответствие при этом отображении между точ-
точками единичной окружности С и точками ее образа С на
поверхности R. Верхняя полуокружность С (будем счи-
считать 0 < ф < л) переходит в окружность ' w I = 1 с выклю-
выключенной точкой w=\, лежащую на листе/. Нижняя полу-
полуокружность С (где я < ф < 2л) переходит в такую же
окружность па листе //. Теперь мы склеим крест-накрест
четыре свободных конца наших окружностей, добавляя
две точки, которые мы будем считать различными, хотя
геометрически они совпадают. Полученная замкнутая
и свободная от самопересечений кривая С, лежащая на
обоих листах римановой поверхности над окружностью
| до | = 1, и будет взаимно-однозначным и непрерывным
образом С (см. рис. 29).
Для лучшего уяснения понятия римановой поверхно-
поверхности мы приведем еще некоторые аналогии. Действительный
*) Точки положительной оси и не составляют исключения, ибо
мы условились считать несуществующими точки самопересечения
поверхности /?, возникающие при склеивании ее листов.

24] ФУНКЦИИ w - гп И ИХ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ 91
аналог A), функция у = хг, осуществляет отображение
оси х на положительную полуось у. Это отображение
однозначно, но не взаимно однозначно, ибо каждая пара
точек А и В, абсциссы которых отличаются лишь знаком,
преобразуется в одну точку А" ^В" (рис. 30).
Однако мы можем взять два экземпляра положитель-
положительной полуоси у, скрепить их между собой в точках // = 0
и у = со и считать, что А" лежит на одном экземпляре,
а В" — на другом. Мы получим аналог построенной выше
римановой поверхности w — z2 —
функция у = х2 осуществляет \У
взаимно однозначное отображе-
отображение оси х на такую двойную
полуось у.
Геометрический смысл ото-
отображения у — х2 становится бо-
более наглядным, если па плоско-
плоскости (х, у) построить параболу
у — х2 и считать, что каждая
точка А" получается из А двой-
двойным проектированием — снача-
сначала Л в А', а затем А' в А"
(рис. 30). Двойную полуось у можно, таким образом, рас-
рассматривать как проекцию параболы у — х2 или как ее одно-
одномерную модель. Аналогичные рассуждения можно прове-
провести и для функции комплексного переменного w = z2.
Уравнение w = z2 эквивалентно двум действительным
уравнениям
и = х2-/Д v = 2xy, D)
которые в четырехмерном пространстве*) {х, у, и, v) опре-
определяют некоторую двумерную поверхность. Эта поверх-
поверхность не можср быть вмещена в трехмерное простран-
пространство, как выше парабола не могла быть вмещена в ось у.
Поэтому мы ограничиваемся рассмотрением ее проекции па
двумерную плоскость (и, v) четырехмерного пространства,
которая совпадает с плоскостью w = u + iv. В результате
такого проектирования и возникает риманова поверхность
*) В этом пространстве четыре оси х, у, и, о; каждая пара
осей определяет координатную плоскость (их оказывается шесть:
(х, у), (х, и), (х, v), (у, и), (у, v), (и, v)).

92 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. Ill
w = 22, состоящая из плоскостей (как проекция параболы
из осей).
Наша аналогия поясняет и наличие не принимаемых
в расчет самопересечении рммансвой поверхности. Такие
самопересечения могут появиться, когда по заданной про-
проекции изучают проектируемый геометрический образ. На-
Например, если плоскую восьмерку рассматривать как про-
проекцию пространствен-
пространственной петли, то ее течку
самопересечения не сле-
следует принимать в рас-
расчет (рис. 31).
Совершенно анало-
аналогичными свойствами об-
обладает функция
a. = z" E)
при любом целом поло-
положительном п (при z — со
мы полагаем w — со). Соотношение E) в полярных коорди-
координатах записывается в ниде двух действительных равенств:
q =rr г", 0 = /кр, F)
из которых легко выясняется геометрический смысл E).
Для взаимной оонозначности E) в области D необхо-
необходимо и достаточно, чтобы I) не содержала двух точек
с одинаковыми модулями и с аргументами, отличающи-
отличающимися на величину, кратную —-, ибо такие и только та-
такие точки при отображении E) склеиваются в одну.
В частности, E) взаимно однозначно в каждом из п сек-
секторов
~ k < ф < -2п* (Л+ 1), /г = 0, 1, .... /I- 1,
которые оно отображает на плоскость w, разрезанную
вдоль положительной действительной оси. Мы возьмем
п экземпляров разрезанной так плоскости и склеим их
между собой с помощью лучей, расположенных над поло-
положительной осью и, по схеме, указанной на рис. 32 для
п = 5 (при этом нижний берег разреза на листе V склеи-
склеивается с верхним берегом разреза на листе 1). Эти

25} ПОНЯТИЕ О РЕГУЛЯРНОЙ BE ГВИ 93
лучи мы будем считать различными и скрепленными
лишь в своих концах, лежащих над точками w — О
и w= со. Построенная n-листпая поверхность назы-
называется римановой поверхностью функции и.1 —г".
Как видно из F), когда точка г обходит точку г = 0
по окружности z\--r один раз, соответствующая ей
точка ю обходит точку т = 0 но окружности | гг> | = q
п раз. То же самое имеет место и для точки w - оо. Это
дает повод назвать точки R, лежащие над ш — 0 и V) — со,
точками раивгтвлсния п-го порядна.
Функция и) -¦ ?" осуществляет взаимно однозначное
и непрерывное отображение полной плоскости z па рнма-
ноиу поверхность R. Как н A), отображение E) кон-
конформно всюду, кроме точек 2 — 0 и z — оо, где оно уве-
увеличивает углы и п раз.
25. Понятие о pu-улярной ветви. Регулярные функции
W = " Z.
Определение. Регулярная в области D функция
f (г) называется регулярной ветвью многозначной функ-
функции F{-/) в этой области, если значение /(г) в каждой
точке z области D совпадает с одним из значений F (z)
в этой точке.
• Регулярная ветвь многозначной функции, очевидно,
всегда # является ее однозначной и непрерывной ветвью.
Рассмотрим в качестве примера функцию
w^Yz, G)
обратную к функции z - w2. Она осуществляет однознач-
однозначное отображение двулистной римановой поверхности R
над плоскостью z с точками разветвления над z = 0
и г = оо на полную плоскость w. Это надо понимать сле-
следующим образом: из двух значений У г одно (например,

94 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ (ГЛ. Ill
для у Ф 0, то, которое лежит в верхнем полуплоско-
полуплоскости w) мы будем считать соответствующим точке / листа
римановой поверхности, лежащей над точкой г, а другое
(то, которое лежит в нижней полуплоскости w) — соот-
соответствующим точке листа //, также лежащей над г.
Точкам 2 — 0 и г —со, над которыми лежит по одной
точке рпмаиовоа поверхности, G) ставит в соответствие
также лишь одно значение w. К. этим значениям стре-
стремятся оба значения \'z, когда z приближается к 0 или
оо. Точки г —0 и z=-= со называются точками разветвле-
разветвления функции } г.
Постараемся выяснить, каким условиям должна удов-
удовлетворять область 1) плоскости г для того, чтобы в пей
существовала регулярная петвь |/ г. Покажем, что гео-
геометрически эти условия означают возможность располо-
расположить область D без разрывов на римаиовоп поверхности
R так, чтобы она не содержала точек разветвления.
Область D должна при этом целиком укладываться
на одном листе или спускаться по склепке с одного ли-
листа на другой (как ковер по лестнице). Например, коль-
кольцо 1 < ] г | < 2, очевидно, не располагается без разрывов
на нашей поверхности, а то же кольцо с разрезом по
радиусу располагается.
Действительно, если область D расположена на R
указанным способом, то из значений ].'г в D можно
образовать однозначную и непрерывную функцию. Значе-
Значение этой функции в некоторой точке г области D одно-
однозначно определяется указанием листа R, которому при-
принадлежит эта точка. Далее, по теореме о производной
обратной функции в каждой точке z существует вполне
определенная производная от этой функции
dw_ __ _1_ 1_
~dz ~~ 2w ~~ 2|/7 '
где У2-то значение G), которое приписано точке г.
Поэтому построенная нами функция регулярна в обла-
области D. Она, следовательно, является регулярной вет-
ветвью У z.
Например, в кольце 1 < | г \ < 2, разрезанном по ради-
радиусу, можно построить регулярную ветвь У г; на разных

26]
ПОНЯТИЕ О РЕГУЛЯРНОЙ ВЕТВИ
95
берегах разреза эта ветвь будет принимать различ-
различные значения (отличающиеся знаком). В полном кольце
l<|z|<2 функция Уz не имеет регулярных ветвей.
В области, изображенной на рис. 33, а, \ z также не
имеет регулярных ветвей, ибо над этой областью распо-
расположена точка разветвления. В областях рис. 33, бив
существуют регулярные
ветви (точки разветвле-
разветвления Уz для областей
рис. 33, бив располо-
расположены на границе,|_а не
внутри области).
Нсли область D до-
допускает непрерывное
расположение на рима-
новой поверхности Я,
то такое расположение
осуществляется двумя
различными способами.
Например, круг рис. 33,
б можно расположить
на R, помещая сначала
верхний полукруг на лист /, а нижний —на //, а затем,
наоборот, верхний —на лист //, а нижний —на /. Этим
двум способам расположения области соответствуют две
регулярные в ней ветви \' z, отличающиеся друг от друга
знаком.
Заметим, что принадлежность точки г тому или дру-
другому листу определяется тем, какое значение аргумента
ей придается, ибо задание аргумента z определяет значе-
значение У г. Следовательно, возможность построения в D
регулярной ветви \' z связана с возможностью выделе-
выделения в этой области непрерывной и однозначной ветви
Argz.
Проследим, как это делается, на примере области
рис. 33, в. Фиксируем в некоторой точке, пусть zo=l,
какое-либо значение аргумента, пусть ф0 = 0; тогда опре-
определится значение корня yzo)o — -]-j/l — 1. Будем теперь
непрерывно изменять z по пути I, изображенному на
Рис. 33.

yti ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. [II
рис. 33, в. Тогда значение argz будет возрастать от О
до значении, больших я, и затем снова убывать до ну-
нуля. Следовательно, значения ]/z также будут непрерывно
изменяться, причем каждый раз мы будем иметь вполне
определенное значение корпя. Так как в точку г4 мы
приходим со значением аргумента, равным 0, то значе-
значение \/Zi снова положительно. Напротив, при обходе пу-
пути // значения argz*) убывают от 0 до — 2л, поэтому,
исходя по-прежнему из положительного значения ]/z0 = 1,
мы придем в точку г2 с отрицательным значением корня
V'ae-2ni = Vae~™ = — У а.
Рассмотрим еще плоскость г, разрезанную по положи-
положительной полуоси. Эту область можно двояким образом
расположить па римановой поверхности w=\/z, и каж-
каждому такому расположению соответствует регулярная
ветвь функции. Возьмем ветвь |/г, регулярную в этой
области и отображающую ее па верхнюю полуплоскость
(для этого достаточно считать arg2 меняющимся от О
до 2л). Выясним картину этого отображения. Так как
z^w2, то будем иметь:
х -- и* — V-, у = 2uv.
Полагая в этих уравнениях и = а и исключая v, а затем
полагая а- р и исключая и, получим сетку, конформно-
эквивалентную сетке декартовых координат плоскости w:
Х.~.аг — -У2- х- !j2 -В2
х~и 4а2 ' 4рз ' '
Она состоит из парабол, оси которых совпадают с осью х
(см. ниже рис. 76).
При целых и положительных п функция ^~z по свой-
свойствам вполне аналогична \!z. Она однозначна па соот-
соответствующей /2-листпой римаповой поверхности, располо-
расположенной над плоскостью г, и отображает ее на полную
плоскость w. У z представляет пример многозначной
аналитической функции (см. ниже, и. 63). Она допу-
*) Здесь мы отходим от принятого и п. 2 соглашения: arg озна-
означает петпь аргумента, отличную от главной,

ПОНЯТИЬ. О РЕГУЛЯРНОЙ ВЕТВИ
07
скаег выделение (однозначных) регулярных ветвей в лю-
любой области D, в которой можно выделить однозначную
и непрерывную ветвь Argz.
В качестве следующего примера многозначной функ-
функции рассмотрим
ы>=--У(г~-ЪУG="Ь). (8)
Полагая
a~rteiie>, г — Ь —
имеем:
W -¦ -
Возьмем два экземпляра плоскости z с разрезами вдоль
отрезка [а, Ь]. В каждой из этих плоскостей (8) допу-
допускает выделение регулярной ветви. В самом деле, при
обходе замкнутого контура /
(рис. 34), не содержащего точек
а и Ь, аргументы ср4 и <р2 воз-
возвращаются к первоначальному
значению. При обходе же кон-
контура //, содержащего обе точки
а и Ь, каждый из аргументов
получает приращение 2л, следо-
следовательно,
1-^'2- также изме-
Р„с. 31.
иится на 2л, и w вернется к
своему первоначальному значению. Замкнутый контур
///, содержащий одну из точек а или Ь, обход которого
изменил бы значение w, не позволяет провести сделанный
выше разрез.
Склеим теперь берега наших разрезов крест-накрест
с помощью двух отрезков [а, Ь], внутренние точки кото-
которых мы будем считать различными, хотя геометрически
они совпадают. Полученную поверхность будем называть
римановой поверхностью функции w--У'(г — a)(z — b) .
Она двулистна, с двумя точками разветвления второго
порядка над точками г--а и z^-b*). Функция (8) одно-
*) Над точкой z—oo листы поверхности не соединяются (хотя
оба значения функции (8) в ней совпадают и равны со). Это обна-
ружнкастся при изучении функции (8) в окрестности точки z—oo.
Одному обходу точки z—oo по контуру // отвечает один обход
точки о) = оо, и наоборот. Мы рекомендуем читателю убедиться
и этом самостоятельно.
7 15. А. Фукс, Б. В. Шабат

98 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. Ill
значна и непрерывна па этой поверхности и отображает
ее на полную плоскость w. Это отображение не взаимно-
взаимнооднозначно, ибо функция z—-",,—г 1/ f -" - •- 1 +да2,
обратная (8), на плоскости w двузначна.
26. Функция w— 2 (z-\- I и се риманова поверх-
поверхность. Найдем условие взаимной однозначности отобра-
отображения
Равенство
7 Л- ' -У V '
переписывается в виде
Отсюда вытекает, что z\Zf-~\ при г, ^ z2, т. е. что (9)
склеивает те и только те точки z( и г2, для которых
Ziz2=l. A0)
Следовательно, для взаимной однозначности (9) в об-
области D необходимо и достаточно, чтобы D не содержала
никаких двух точек, связанных равенством A0). Этому
условию удовлетворяет, например, внутренность единич-
единичного круга z < 1 или его внешность \z > 1.
Для выяснения геометрического смысла отображе-
отображения (9) положим z — rehP, w--u-\-iv; тогда (9) запишется
в виде двух действительных равенств
и = \ {r+ ' jcosq), v=- ^- (V--'-)sincp. A1)
Из A1) следует, что окружности | z | — /¦ < 1 при ото-
отображении (9) переходят в эллипсы с полуосями
._ 'Л t
фокусы которых находятся в точках (± 1, 0). Так как
при г < 1 величина г отрицательна, то из A1) сле-
следует, что при положительном обходе | z \ = г соответ-

20] ФУНКЦИЯ а¦= у (г + у) и ЕЕ РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ 99
ствующий эллипс обходится в отрицательном направле-
направлении. При г—>0 полуоси аг—>со и Ь,-—>оэ, причем
аг — Ьг = /¦— >0, следовательно, наши эллипсы увеличи-
увеличиваются, постепенно округляясь. При г~>1 —0 полуоси
аг—> 1 и &,.---> 0, следовательно, эллипсы постепенно сжи-
сжимаются в отрезок [—1, 1] оси и. Таким образом, (9)
взаимно однозначно отображает круг ', z' < 1 на внеш-
внешность отрезка [ — 1, 11 действительной оси и.
Рис. 35.
Окружности 1 z | — 1 соответствует двойной отрезок
[—1, 1], причем точки —1 и 1 остаются неподвижными
(это видно из (9)), верхняя полуокружность переходит
в нижний берег отрезка (это видно из A1)) — при г—» 1 — О
и 0<ср<я имеем и—- —0, нижняя полуокружность —
в верхний его берег (эго также видно из A1)). Соответ-
Соответствие точек окружности и отрезка указано па рис. 35.
Ортогональное к окружностям \z\--r семейство ра-
радиусов argz~cp, как это видно из уравнений A1), из
которых исключено г:
 _ 
COS-(f Sin- <р '
переходит в семейство гипербол с теми же фокусами
(:-; 1, 0) (пунктир на рис. 35).
Из тех же соотношений A1) следует, что окружности
i z '¦ = г > 1 при отображении (9) переходят в эллипсы с
7*

100 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ |ТЛ. Ill
полуосями
т. е. в те же самые эллипсы, что и выше, но проходимые
в положительном направлении. При г —> 1 -|- 0 полуоси
аг—> 1, br—>0, следовательно, эллипсы сжимаются в отре-
отрезок [ — 1, 11. При г—>оо полуоси аг —> оо и br — >co,
причем аг — Ьг = > 0, следовательно, эллипсы увели-
увеличиваются, округляясь. Таким образом, (9) взаимно одно-
однозначно отображает внешность круга | г | > 1 на внеш-
внешность отрезка [—1, 1]. Окружности г | ~= 1 снова соот-
соответствует (двойной) отрезок [—1, 1|, причем верхняя
полуокружность переходит в верхний берег отрезка, а
нижняя —в нижний.
Из вышеизложенного следует, что для получения вза-
взаимно однозначного и непрерывного образа полной пло-
плоскости z надо взять два экземпляра плоскости w с раз-
разрезами вдоль отрезка | — 1, 1| и склеить берега разрезов
крест-накрест. Полученная двулистная поверхность с точ-
точками разветвления надо» --:>. 1 служит римановой поверх-
поверхностью функции w = -л- ( z-\—j. Геометрически она ни-
ничем не отличается от римановой поверхности рис. 34.
Обратная к (9) функция
г-щ + 1/ш2-1 A2)
однозначна на построенной римановой поверхности; раз-
различные значения, которые она принимает в точке w, мы
относим к двум различным точкам римановой поверхности,
лежащим над w. Способ построения регулярных ветвей
этой функции тот же, что и в предыдущих примерах.
В частности, A2) допускает две различные регулярные
ветви во внешности отрезка [—1, 1] оси и. Одна из этих
ветвей отображает внешность отрезка на внешность, а дру-
другая—на внутренность единичного круга плоскости z.
Заметим, что эти ветви нельзя характеризовать знаком
корня. В самом деле, например, та ветвь A2), которая
отображает внешность отрезка па внешность круга, в точке
w = 2 принимает значение 2-1- |/3, а в точке w =- - 2
значение -¦ B j | 3).

27] ПРИМЕРЫ 101
Оба отображения взаимно однозначны и конформны
всюду во внешности отрезка [—1, 1]. Сетки, конформно-
эквивалентные сетке полярных координат, изображены
па рис. 35 и представляют собой семейства софокусных
эллипсов и гипербол.
27. Примеры. Свойства элементарных функций, рас-
рассмотренные выше, можно использовать для решения задач
на конформные отображения. Эти задачи состоят в оты-
отыскании взаимно однозначных конформных отображений
заданной односвязной области ^
на каноническую область (полу- c'i—-l
плоскость или единичный круг) Лп A z
и, как мы увидим в следующей ' ¦¦¦¦?¦¦-'¦¦'¦¦¦¦¦¦ - f'---'y —¦¦¦¦¦у^'х
главе, имеют большой практиче- а> и
екни интерес.
По основной теореме п. 23 s) вт .,,, 0)
ДЛЯ КаЖДОЙ ОДНОСВЯЗНОЙ Обла- #<S=*s«p=:
ста такая задача имеет бесчи- е) S(l)>
елейное множество решений (за- w
висящее от трех действительных А&Г'у'/гЦЛ)"'"'М) " '*&)"
параметров). Однако вообще ее г>
решение не выражается в эле- Рмс- *•
мептарных функциях. Мы приве-
приведем здесь ряд примеров областей, конформные отображения
которых осуществляются элементарными функциями.
Пример 1. Найдем взаимно однозначное конформ-
конформное отображение верхней полуплоскости с вырезом вели-
величины h по мнимой оси от начала координат (рис. 36, а)
на верхнюю полуплоскость. Задача состоит в том, чтобы,
так сказать, «убрать» разрез, расправить его в участок
действительной осн. Для того чтобы ликвидировать углы
на границе в точках В и I), естественно воспользоваться
отображением
при этом прямые углы ADC и ЛВС должны перейти
в углы величины л, т. с. сгладиться. Отображение со--г2
взаимно однозначно в нашей области, следовательно, эта
операция допустима. В результате отображения луч AD
(на котором аргументы точек равны 0) перейдет сам в
себя, отрезок DC Г на котором аргумент равен ¦— j — в

102 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ | ГЛ. Ill
отрезок отрицательно!"! полуоси от 0 до — h2 (при z = ih
о ~- —/г2), СВ — в нижний берег того же отрезка, а луч
ВЛ (па котором аргумент равен я) —в нижний берег
положительной полуоси. Область плоскости z при обходе
контура ABCDA остается слева, следовательно, и соот-
ветствующая область «-плоскости также остается слева
от ЛВСОЛ, т. е. является плоскостью <о с вырезанным
лучом Iino)--0, Re(o>— кг (рис. 36, б). Сдвинем начало
разреза в начало координат:
о)! — о)-|-/г'2.
Точки В и D перейдут в точки В и D действительной оси
плоскости oil с абсциссами -\-h- (рис. 36, с). В полученной
области можно выделить однозначную ветвь функции
w -¦¦ | (л i.
Мы сделаем это, считая аргументы точек области меняю-
меняющимися и пределах от 0 до 2л. Функция w= |/@t умень-
уменьшает углы с центром в точке о>! -- 0 в два раза, следова-
следовательно, области плоскости coj соответствует верхняя полу-
полуплоскость (рае. 36, г), точке Л соответствует со; В, D
соответствуют :¦ /г, С соответствует 0.
Итак, функция, осуществляющая конформное отобра-
отображение заданной области на полуплоскость, имеет вид
w = |/а'г--= \ оГ~/г2 - У"г2 -4- h". A3)
Пример 2. Найдем конформное отображение на верх-
верхнюю полуплоскость плоскости z с двумя вырезами
— со <, х < — 1 и 1 < х < со
вдоль действительной оси (на сфгрс комплексного пере-
переменного вырезы смыкаются в бесконечности, следовательно,
область одпосвязна; рис. 37). Дробно-линейным отобра-
отображением мы переведем точку В в 0 и С в со:
Нашим двум разрезам соответствует теперь луч, со-
соединяющий 0 с оо. Так как A4) имеет действительные
коэффициенты, то подстановка действительных z приводит
к действительным со, и упомянутый луч представляет
собой либо отрицательную, либо положительную полуось.

27J
>ИМЕРЫ
Точка z — ею переходит в точку ш -¦¦ 1; последняя должна
лежать на луче, следовательно, этот луч совпадает с по-
положительной полуосью. Остается извлечь квадратный
корень, и мы получаем искомое отображение
:! • A5>
Пример 3. Найдем конформное отображение полу-
полукруга | z ¦ < 1, Im z > 0 на верхнюю полуплоскость (рис. 38).
Дроби о-л и лепным отображением
мы можем преобразовать полуок-
полуокружность в полупрямую так, что-
чтобы диаметр остался прямолилой-
--Се.
х
ВЮ) М) С
Mi С
ДМ) В@) ЛФ "' С
Рис. 37.
Рис. 38
ным. Для этого достаточно перевести в оо один из концов
диаметра *). Это осуществляет, например, отображение
Диаметр АС переходит в ту действительную полуось,
которая содержит образ точки г —0, точку м-- — 1, т. е.
в отрицательную полуось (см. предыдущий пример). Полу-
Полуокружность ADC переходит также в полуось Ооо, именно
ту, которая перпендикулярна к действительной оси (ото-
(отображение конформно!) и содержит образ точки z — i
оз ='г^у= —/, т. е. в отрицательную мнимую полуось.
*) Если перенести в со точку полуокружности, не лежащую на
действительной оси, то образ последней не будет содержать бес-
бесконечно удаленной точки и, следоиате.пьно, будет окружностью,
а не прямой.

104 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. III
Область в плоскости ш должна находиться слева от кон-
контура ABC, следовательно, она представляет собой третий
квадрант ,n<argco<'" . Остается применить отображе-
отображение да = со2; при этом argw будет изменяться в пределах
2я, Зя, и образом нашего квадранта будет верхняя полу-
полуплоскость. Имеем:
^ о»8=(}=¦!/¦ A6)
Можно было бы также сразу заметить, что отображе-
отображение
преобразует наш полукруг в нижнюю полуплоскость,
следовательно,
также будет искомым отображением. Однако соответствие
точек, которое устанавливает A7): Л<-> 1, В <—> оо,С<~> — 1,
D<—«-О, отличается от соответствия точек при отображе-
отображении A6): А+--0, В+~^\, С<->са, D*-->¦—1. Построим
дополнительное отображение полуплоскости 1тш>0 на
полуплоскость ImU^>0, переводящее точки w-Q, 1, оэ
в точки W-—X, оо, —1 (это делается по формуле B1)
главы II):
1 —W
Подстановка сюда A6) дает
Итак, A6) и A7) отличаются лишь дробно-линейным
отображением в соответствии с теоремой п. 23.
Пример 4. Из верхней полуплоскости исключены
полукруг |zj<l, Ini2>0 и луч у > 2, х = 0. Найдем
конформное отображение полученной области на полу-

28]
ПРОФИЛИ ЖУКОВСКОГО
105
плоскость (рис. 39, а). Применяя отображение
1/1
(оно взаимно однозначно в нашей области), мы переведем
полуокружность в отрезок, не искажая формы других
частей границы. Полученная область изображена на
рис. 39, б. Функция
031 == СО2
преобразует эту область в
плоскость с двумя выброшен-
выброшенными лучами (рис. 39, в). Да-
Далее применяем дробпо-линеп- д
ное отображение
9
<o2^W','iG-l+ У
и получаем плоскость с вы-
выброшенной положительной
полуосью. Остается восполь-
воспользоваться функцией
w — У «J.
Имеем и результате суперпо-
суперпозиции
^— "~"'Г7,2 _ iV — • \1°)
Рис. 39.
28. Профили Жуковского. Пример, который мы здесь
рассмотрим, играет важную роль в теории крыла само-
самолета. Найдем конформное отображение внешности дуги АВ
некоторой окружности на внешность круга С (рис. 40).
С помощью дробно-линейной функции
мы отображаем внешность дуги АВ плоскости z на внеш-
внешность луча АВ в плоскости ?.
Так как
dz г~.г

Ulfi
ЭЛЕМЕНТАРНЫ К ФУНКЦИИ
[ГЛ. Щ
то угол наклона этого луча к отрицательной оси равен
а = 2 arctg/г
cos и —
Г из рис. 40, а следует, что sin u-~
— Л sin а, где /-—радиус дуги АВ; отсюда Л — -^^1- .-¦.-.
- tg -~ j. Далее, вместо того чтобы искать отображение
полученной лучевой области па внешность круга С, мы
будем искать обратное отображение внешности С на
лучевую область. Для это-
№ го опять воспользуемся
дробно-линейным отобра-
отображением
(О
го— I
а.'-! Г
При этом С перейдет
в прямую, которая в силу
того, что -,' ! > 0, об-
dW yo\
положительной
разует с
осью угол р = 2" — arctg h
(из рис. 40, б следует,
что ctgP — h), а внешность
круга —в полуплоскость,
ограниченную этой пря-
прямой. Отображение
B0)
Рис. 40.
преобразует эту полуплоскость на внешность луча, образую-
образующего с положительно» осью угол 2р - я — 2 arctg /г — я — а.
Таким образом, этот луч совпадает с лучом ЛВ (рис. 40, в)
и, исключая ? из уравнений A9) и B0), мы получим
искомое отображение
V г--2
Из последнего уравнения
, 1
B1)

Х)\ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ |0,"
Построим теперь в плоскости ад окружность С*, каса-
касающуюся С в точке В—\. Отображение B1) переведет ее
в некоторую замкнутую кривую С* плоскости г, охваты-
охватывающую дугу Ли и касающуюся последней в точке В =¦- 2,
т. с. имеющую в В точку возврата (см. рис. 40, а). Кри-
Кривая С* напоминает профиль крыла само-
самолета.
Описанный метод получения профилей
крыльев называется методом округления; его
предложил знаменитый русский ученый
Н. Е. Жукове к nil. Профили, получаемые
таким способом, — они называются профилями
Жуковского, — особенно просты для расчетов.
Николаи Егорович Жуковский A847 —
1921) первый стал широко применять мето-
методы теории функции комплексного переменного |К' ' '
в гидро- и аэромеханике. Его работы положи-
положили начало науке о теоретических основах воздухоплавания.
Форма рассмотренных здесь профилей Жуковского за-
зависит от двух параметров: h, характеризующего искрив-
искривление крыла, и d— расстояния между центрами С и С*,
характеризующего толщину (размеры крыла у иле норми-
нормированы). При Л —0, в частности, получается профиль с
осевой симметрией, так называемый руль Жуковского
(рис. 41).
29. Показательная функция и ее риманова поверхность.
Показательная функция ад —г определяется соотношени-
соотношением (см. п. 4)
w -¦- и -t- iv — с2 -- ех (cos у -\- i sin у). B2)
Покажем, что функция е: регулярна во всей открытой пло-
плоскости. Из B2) имеем:
и — ехсо$у\ v — ex%\ny. B3)
Отсюда далее следует, что
ди iiv
^^е^пу, B5)

108 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ |ГЛ. ill
т. е. что условия Коти — Римана выполняются для всех
конечных г; дифференцируемостъ функций и и и очевидна
(см. п. 14).
Как и в действительном анализе, производная
d - ди , . Ov v , . х . -
dz С' = дх "+ ' ~дх = е C0S У "' te sin У = сг-
Для изучения отображения w — c: положим z — x-\-iy и
w — Qeib; тогда из B2) получим:
q-cx, 0 = y. B7)
Найдем условие взаимной однозначности этого отображе-
отображения. Из равенства tc>i = w2, или Qi--q2, 0( — 0а \2kzx., выте-
вытекает Xi = X2, !/| = (/гт2Ь, ИЛИ
г, - г, - 2/гл/, B8)
где fe—произвольное целое число. Следовательно, для
взаимной однозначности w ¦ ir в области D необходимо
и достаточно, чтобы D не содержала никакой пары различ-
различных точек, для которой справедливо B8).
В частности, этому условию удовлетворяет любая го-
горизонтальная полоса шириной 2л, например полосы
— оо < х < ее,
2kn<y<2(k+l)n,
Каждой такой полосе отвечает совокупность значений w,
для которых
0<е<со, 2kn< 0 < 2(k+ 1)л,
т. е. плоскость w с разрезом по положительной действи-
действительной оси, причем прямые у — const переходят в лучи
О const, а отрезки х--const —в окружности. В частно-
частности, функция w — e~ взаимно однозначно и конформно
отображает полосу шириной к: — оо <х <сс, 0 < у <я,
на верхнюю полуплоскость, отрицательную половину этой
полосы: — со < х < 0, 0 < г/ < я — е единичный полукруг
и т. п. (рис. 42).
Границам каждой полосы соответствуют берега разре-
разреза, нижней —верхний, а верхней—нижний. Следователь-
Следовательно, для построения взаимно однозначного и непрерывного
образа всей плоскости г надо взять бесчисленное множе-

29J ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 109
сгво экземпляров плоскости w с разрезом вдоль положи-
положительной оси «--каждому номеру k пусть отвечает пло-
плоскость (k) — и склеить их так, как склеиваются соответствую-
соответствующие им полосы. Мы начинаем с плоскости @) и к ниж-
нижнему берегу ее разреза приклеиваем верхний берег разреза
плоскости (У). Свободный (нижний) берег разреза (/) склеи-
склеиваем с верхним берегом разреза B) и т. д. неограниченно.
Ф
Рис. 42.
На плоскости @) остался свободным верхний берег раз-
разреза; мы приклеим к нему нижний берег разреза ( — /).
Свободный (верхний) берег разреза ( — 1) склеиваем с ниж-
нижним берегом разреза ( — 2) и т. д. неограниченно (рис. 43).
Построенную бесконечполнетную поверхность R мы
назовем римановой поверхностью функции w = e~~. Послед-
Последняя осуществляет взаимно однозначное и непрерывное
отображение на R всей открытой *) z-плоскости.
Для наглядности рассмотрим еще отображение верти-
вертикальной полосы 0 < х < а. Очевидно, эта полоса отобража-
отображается на бесконечную винтообразную полосу, расположен-
расположенную над кольцом 1 < \w' < e" подобно винтовой лестни-
лестнице (рис. 44).
*) Мы не можем непрерывно продолжить наше отображение
в точку г = оо, ибо lim с- не существует (если г-*со по от-
z -> со
рицателыюй действительной оси, то е~ -» 0; если г-»со по положи-
положительной оси, то ег-»оо).

по
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
* 1ГЛ
Отметим, что значения ш = 0 и w -- си нигде не при-
принимаются нашей функцией- Счедовательно, над этими точ-
точками нет точек R. Будем обходить точки ш — 0 и ги-=оо,
двигаясь по R над окружностью ]w\---R в одном направ-
направлении. Как показывает рис. 44, при этом мы будем дви-
двигаться но спирали, обходя эти точки бесконечное число
Рмс. 43.
Рис. 41.
раз. Поэтому мы условимся считать, что над точками
w ¦- О и w — «х- лежат точки разветвления R бесконечного
порядка (не принадлежащие R).
30. Логарифмическая функция. Логарифмическую функ-
функцию w — Lnz мы определили в п. 4 как функцию, об-
обратную показательной. Таким образом,
w -¦ Ln 2,
если
B9)
C0)
е" = г.
В п. 4 мы нашли, что
w - Ln г In ' z j -i- r Ar^ г - In г j -f / (arg 2 + 2/гл) ---.
--\nz-i-2kni. C1)
Здесь
In z~ hi Zi-p/argz C2)
— главное значение Lnz.
Функция w — Lnz бескоиечнозначна и отображает ри-
манову поверхность функции г = е° па плоскость ш. Она

30] ЛО1 ЛРМФМИЧЦСКЛЯ ФУНКЦИЯ 111
определена для всех конечных значении г ф 0, ибо г = 0
не является значением сш ни при каком w (это видно и
из C1), так как Argz не определен при z--0).
Над точками z 0 и г ¦ оо, как мы видели в преды-
предыдущем пункте (в принятых там обозначениях — над ш-~0
и w—co), лежат точки разветвления римановой поверх-
поверхности бесконечной кратности. Эти точки называются ло-
логарифмическими точками разветвления.
Отметим еще соотношения, вытекающие из определе-
определения логарифма и из C1):
(Лл|г г; Lne!-- z-\2kni. C3)
Функция w Ln г дает еще один пример многозначной
аналитической функции (см. п. 63). В силу определе-
определения Ln z допускает выделение регулярных ветвей в тех
и только 15 тех областях, в которых можно выделить не-
непрерывные однозначные ветви Argz. Пусть, например, об-
область О представляет собой плоскость г, разрезанную
вдоль отрицательной действительной осп, Эту область,
очевидно, бесчисленным множеством способов можно рас-
расположить на римановоп поверхности а'". Положим ее так,
чтобы верхняя полуплоскость попадала на @)-й лист,
а нижняя —на (— 1)~й. Тогда v - Argz изменяется в пре-
пределах от —л до-i-я и совпадает с главной ветвью аргу-
аргумента argz. Полученная однозначная ветвь логарифма —
это его главное значение In г.
Эта функция регулярна в рассматриваемой области, ибо
по теореме о производной обратной функции существует
d . I.I I
Функция C2) взаимно однозначно и конформно (ибо в
силу C4) ~ Фй) отображает плоскость, разрезанную
вдоль отрицательной действительной полуоси *), на по-
полосу — я <и < я; на различных берегах разреза она при-
принимает различные значения.
*) Конформность отображения нарушается лишь в точках г = 0
и г = оо границы области.

112
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
1ГЛ.
Верхняя полуплоскость при этом отображается на по-
полосу 0 < v < я; полукольцо г/ > О, а < I г | < b — на пря-
прямоугольник и т. д. (рис. 45).
к V
Рис. 45.
3!. Тригонометрические и гиперболические функции.
Мы определим тригонометрические функции комплексно-
комплексного аргумента равенствами:
е1- — е
Sin 2 " 2i
j Sin?
ь cos г
ct<J 2 --
C5)
C6)
С помощью формулы Эйлера легко убедиться в том, что
для действительных z эти функции совпадают с действи-
действительными тригонометрическими функциями. Они сохраня-
сохраняют многие свойства последних. Например, из периодич-
периодичности функции е1 следует, что функции C5) и C6) так-
также периодичны с периодами 2л для sin г и cos г и л для
tgz и ctg2. Проверим справедливость теоремы сложения
для синуса:
Sin 2i COS 22 4- COS 2( Sin 22 "^
li
_e"_i-!.e-*-'i
2
е'<2 — е~
= sin (z,+2r). C7)

3 I] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 113
Точно так же проверяется справедливость других триго-
тригонометрических формул.
Пользуясь C6) и формулой дифференцирования пока-
показательной функции, получим формулы:
^(i) = cosz, ~• (cos z)-- —sin а, ^-(^2)-=-^-
Из них вытекает регулярность тригонометрических
функций: sins и cosz во всей открытой плоскости, tg z
при zi={2kJ\ 1) v> с^2 ПРИ z Ф kn.
Однако не все свойства действительных тригономет-
тригонометрических функций сохраняются при продолжении их в
комплексную область. В частности, нельзя утверждать,
что sinz и cosz по модулю всегда не больше 1, например
cos< = --L,2 - ^ 1,о4, sun = о"~ ^ — 1,17г.
Изучим для примера отображение, осуществляемое функ-
функцией
o?> = COSZ. C9)
Как показывает C6), его можно представить как су-
суперпозицию трех отображений
(I) ? = tz, (II) (,> = <*, (III) w -4-((o-h (Jr), D0)
каждое из которых было изучено выше. Получим, прежде
всего, условие взаимной однозначности C9). Пусть об-
область D при отображении (I) переходит в Du при (II) — D4
в Aj и при (III) —Ai в А. Отображение (I) взаимноодно-
взаимнооднозначно всюду; для взаимной однозначности (И) необходимо
и достаточно, чтобы D, не содержала точек, для которых
?i —?г=2&ш' (см. B8)), или, что то же самое, чтобы D
не содержала точек, для которых
z,-zs = 2fct. D1)
.«.¦ля взаимной однозначности (III) необходимо и доста-
достаточно, -гтобы Д( не содержала точек, для которых 1
п it. *\. Фукс, (S. В. Шабат

114
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
(см. A0)), или чтобы в D не было точек, для которых
eizi.eu* — е'<г1+22) — 1, т. е. таких, что
z, -\ z2 = 2/гл.
D2)
Для взаимной однозначности C9) в области D необ-
необходимо и достаточно, чтобы D не содержала точек, для
dvl: f; ,г,я
- / ЖД'\ 1 j \~Ы-М \ \П
Рис. 46.
которых выполняется либо D1), либо D2). Этому условию
удовлетворяет, например, полуполоса D
О < л: < 2я, у > 0.
На рис. 46 изображены последовательные этапы ото-
отображения D с помощью w = cos z. Эта область отобража-
отображается на плоскость w с вырезанным лучом — 1 < и < со',
v = 0 *). Риманова поверхность функции да = cos z несколько
более сложной структуры, чем предыдущее. Она, очевид-
*) Для пояснения этапа (III) напомним (см. п. 26), что единич-
единичный круг переходит во внешность отрезка [—1, 1 ]; разрезу по ра-
радиусу при этом соответствует отрезок A, со) действительной осп.

;Н] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И IИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ||5
но, бесконечнолистна, и детальное исследование показы-
показывает, «;то она имеет бесчисленное множество точек раз-
разветвления второго порядка над точками w=z\ 1 и лога-
логарифмическую точку разветвления над точкой w—oo.
Легко проверить, что, например, образ действительной
оси плоскости 2 представляет на этой поверхности бес-
бесконечную зигзагообразную линию, составленную из отрез-
отрезков (-1, 1).
Функция
л Л
sin г — cos ¦ г — -• • 1 ,
поэтому отображение, ею осуществляемое, отличается от
рассмотренного лишь дополнительным сдвигом плоскости
z. Отображения, осуществляемые функциями w — igz и
w — ctgz, изучаются аналогичными методами.
Функции, обратные C6), называются обратными три-
тригонометрическими функциями. Так как все римановы по-
поверхности C6) бесконечнолистпы, то последние —беско-
иечиозпачпы (они также являются многозначными анали-
аналитическими функциями в смысле п. 63). Функции C6)
выражаются через показательные, поэтому естественно
ожидать, что обратные тригонометрические функции вы-
выражаются через логарифмы. Получим такое выражение,
например, для до = Arccos z. Из определения этой функ-
функции имеем:
г = cqsw = - — д-— ,
откуда
е*«- - 2zeUr t- I = 0, ehv - г + V"?-"i
и
w = Arccos z — — i Ln {z -\- \' z'z — 1).
Заметим, что в силу соотношения
изменение знака перед корнем сводится к изменению
знака перед логарифмом, а так как в последней формуле
и корень и логарифм — многозначные функции, то знак
8*

ПО ЭЛЕМЕНТАРНЫ I". ФУНКЦИИ 1ГЛ
минус и ней можно опустить:
w -- /\rccos г = i Ln (г -f \ z1' — 1). D3\
Предыдущее исследование показывает, что Arccos г
допускает выделение однозначной регулярной ветви, на-
например, и плоскости z с выброшенным лучом — 1 -Сх-С оо,
// = 0. Эту ветвь обозначают w — arccos z и называют
главным значением арккосинуса.
Формулы, аналогичные D3), можно дать и для других
обратных тригонометрических функций:
Arcsin г — -' ¦— Arccos z— -'-,.- — i I.n (z , \ г2—1);
Arctgz= у —Arcctgz= 2'. Ln 1.-}_гг . D4)
Гиперболические функции
, cz — e~: , cz4-e~~ ,, sh z
= и;г D5)
в комплексной области весьма просто выражаются через
тригонометрические:
shz=— г sin гг, chz = costz, tli z = — itgi'z,
cth z — i ctg /z,- D6)
и несущественно от них отличаются. Обратные гипербо-
гиперболические функции определяются как обратные D5). Они
просто выражаются через логарифм:
Arsh z = Ln(z-H/zrT-i), Archz = Ln(z+> z1"^!),
Arlhz = 4-Ln-!-^i-, Arcthz= J Ln zЦ-. D7)
32. Общая степенная функция w = za, где а = a -|- r'P —
произвольное комплексное число, определена в п. 4 со-
соотношением
2га = епГ-пг. D8)
Полагая z — гё"®, мы получим Lnz— Inr j-i(ф-(-2Ля), сле-
следовательно,
f — e(a+i|3)].n z — ea ltw-P(t(+2ha)gi {a((p+2h.t)+3 In r} D9)

32) ОБЩАЯ СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ ЦТ
Из D9) видно, что при р Ф 0 функция г" всегда бес-
конечнозначна —ее значения при фиксированных z и а
располагаются пасистсме окружностей j w i = ealnr-P<4>+2h:t),
/г = 0, -j 1, ;i. 2, ..., радиусы которых
Qft = <?<* I" r-Pq, . е-2'.лр = Qoe-2ft-ip E0)
образуют две геометрические прогрессии со знаменателя-
знаменателями: е-2л1» для положительных й и с2лР для отрицательных
й. При этом аргументы значений г"
0ft = a(<p + 2foi)-j-plnr = 00-i 2?ли E1)
образуют арифметические прогрессии с разностями z! 2яа.
При 6 = 0, т. с. при действительных а, как видно из
E0), все значения г" располагаются па окружности
, w, = е«1п '=/'; E2)
из E1) следует, что аргументы значений г"
E3)
Если и — рациональное число, т. е. оно представимо
несократимой дробью а — ---, то среди E3) имеется лишь
qf значении аргумента, определяющих различные значения
г". В самом деле, если положить в E3) k = 0, 1, 2, ...
..., g—1, то среди значений 0ft
00 = аф, 0! = ац. -Ь Я ¦ 2л, 0г = ац> f -?- 4л, ...
. ..,0,-^acf¦ i ..A((?_. iJ.-t E4)
не будет отличающихся друг от друга на кратное 2я
(если k -р- для какого-либо целого k<q равно целому
числу п. то -'¦¦ ¦ "- представляется дробью со знамена-
тслем, меньшим q, что противоречит несократимости
— ) . С другой стороны, иные значения k дают, очевид-
очевидно, Ой, отличающиеся от E4) на кратные 2я.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. Ill
Мы видим, что при рациональных а —-¦- функция г"
совпадает с функцией я/ zp:
г7' = "у zp
(см. пи. 4 и 25) и конечнезначни.
При иррациональных (действительных) а среди значе-
значений E3) нет отличающихся друг от друга на кратные 2л
(ибо если бы для целых ki и k<>, k\ Ф k2, было 2k\zia —
— 2пп, где п — целое, то и = • .— .-• было бы
{2
рациональным числом), следовательно, функция
za = с" 'jl) г
бесконечнозначна. Она доставляет нам еще один пример
многозначной аналитической функции.
Примеры. I. Функция
определена при г.-,' 0, :/-оо и бескоиечиозначмл. Для фиксирован-
фиксированного г ее значения располагаются на луче arg tv-- In r так, что их
модули образуют дне геометрические прогрессии со знаменателями
е±2п. Значения, соответствующие положительным /г, сходятся к
точке к.1 —О, а соотнетствующпе отрицательным k— к точке :ii=cxr:.
В частности, при г—\ все эти значения действительны.
2. Функция
четырехзначна; для получения различных значении да следует при
давать /г значение 0, 1, 2, 3 (/г~4 уже приводит к тому же w. что
и fe = 0).
3. Функция
гг) = гл = лл eiJt((f+2'i-"T)
бесконечнозначна; ее значения для фиксированного г лежат на ок-
окружности |и)| — r-t, нрнчеу можно показать, что они расположены
на ней всюду плотно.
Общая степенная функция w — za в силу своего опре-
определения допускает выделение регулярных ветвей там же,
где логарифм, т. о. там, где можно выделить однознач-
однозначные и непрерывные ветви Arg?. Например, регулярную
ветвь zn можно выделить в плоскости с разрезом вдоль
отрицательной действительной оси (главная ветвь). Эта
ветвь регулярна, ибо в силу теоремы о производной

33]
ПРИМЕРЫ
сложной функции и C4) существует
." а. />а\п z
-,-г —-
dz
dz
E5)
Ограничимся случаем положительных а. При а > 1
главная ветвь г" осуществляет взаимно однозначное
Рис. 47.
и конформное отображение^сектора •—— < arg г <JJ— на
плоскость w с разрезом вдоль отрицательной оси ( см.
4 Л n ^ л
рис. 47, где а — „ J ; сектор 0 < arg г < ¦ - ¦ отображается
при этом на верхнюю полуплоскость.
Рис. 48.
При а<1 отображение (взаимно однозначное) на пло-
плоскость с разрезом невозможно. Однако при -=- < а < 1
возможно отображение на полуплоскость (сектора
О <argz <-"--; см. рис. 48, где а=-3-).
33. Примеры. Рассмотрим еще ряд примеров решения
задач на конформные отображения с помощью элемен-
элементарных функций.

120
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
(.ГЛ. II
Пример 1. Найдем отображение круговой луночки
(рис. 49, а) на полосу 0 < \mw<h. Сначала дробно-линей-
дробно-линейным отображением преобразуем луночку в сектор
со =¦
г-!- а
(рис. 49, б), а затем с помощью ветви логарифма
(й1=1пш= In | ш | + { arg о), 0<argw<2.n
в полосу шириной Р: я + «< Iiikoi < я }- а + Р- При
первом отображении точка B = ia\g Г) переходит в точку
Рис. 50.
— (cosa + 'sina), при втором —в точку ш, = (я + а)/; точ-
точки А и С при втором отображении попадают в концы по-
полосы. Остается линейным отображением перевести полосу
в заданную:
_ h (л ~г a) h . h
Пример 2. Найдем отображение w = f(z) полуполосы
—~-<. х <.-^ , у > 0 на полуплоскость такое, что
= 0 (рис. 50).

331 ПРИМЕРЫ 121
Повернем эту полуполосу на прямой угол против ча-
часовой стрелки и применим отображение B2):
со = eiz.
Мы получим внутренность правой половины единичного
круга (рис. 50, б). Повернем полукруг на прямой угол
по часовой стрелке и применим (9):
1 / . , 1 л \ с 1 \
ДО —-л — tCO .-•- —¦¦„- СО— =
2 \ —ia> у 2г \ со J
^=--sinz. E7)
Легко видеть, что мы получили верхнюю полуплоскость,
причем заданное соответствие точек осуществляется. Еще
проще сразу воспользоваться результатами п. 31.
Пример 3. Полоса с вырезом (рис. 51) с помощью
функции со = ez отображается на полуплоскость с вырезом
по мнимой оси от 0 до i. Отобра- ку
жение последней на нолупло- ¦ . ;¦.., ¦ :.;:-.
скость было рассмотрено в п. 27, ^ ~~
формула A3). Мы имеем:
=V'e*;-i-l. E8)
Пример 4. Та же поло- Рис. 51.
са с перпендикулярным выре-
вырезом (рис. 52, а) с помощью со = е* отображается на
полуплоскость с вырезанной дугой единичного круга
(рис. 52, б). Отображение oil =—гг выпрямляет эту дугу; ее
gift j /j
конец С попадает в точку ¦¦%-, { --¦ i tg -у (рис. 52, в).
Остается опять воспользоваться формулой A3), и мы
получим:
1 =-- У «1 + tg2 у- ^-
0У :
E9)
Пример 5. Найдем конформное отображение пло-
плоскости z с выброшенными лучами — оо<д:< — а, а<л:<
< оо па полосу 0<Imny<2Vn (рис. 53). Потребуем

122 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II!
дополнительно, чтобы левый луч переходил в нижний берег
полосы, а правый —в верхний. (Это определяет лишь два
параметра отображения, один остается произвольным.)
Сначала переведем наши лучи в луч @, со):
(рис. 53, б), а затем в действительную ось:
о) = \-rt -
Рассматриваемая область перейдет при этом в верхнюю
полуплоскость (рис. 53, в). Последняя отображается на
полосу логарифмиче-
ской функцией, однако д ) ® f
для получения нужного tzz=zz>B ¦ - [vzzzzzzz^
соответствия точек еле- v
а/
г
б)
Д
С (hi)
в\р
А
в [в
?
C(ekl)
в\рш
в)
п
р)
г
п
F.A
1
Е
f
В
0
ГА
' п "'
2Щ
Г
в
CD
f
В
/f
(OJ)
^iV f
. D
(II,
Рис. 52. Рис. 53.
дует предварительно преобразовать полуплоскость в себя
так, чтобы точки A, F и С, D попали в 0 и со. Это
преобразование осуществляет дробно-линейная функция,
и мы получаем
где k — произвольная положительная постоянная. Остает-
Остается применить отображение с помощью логарифмической

УПРАЖНЕНИЯ 123
функции:
w = Ц? 1 п о, = **'°- Iп (г -,- \ zr-a* ) -f-2» 1/0 + С, F0)
/г
где С=1п ц—произвольная действительная постоянная.
Упражнения
1. Найти действительные и мнимые части функции w = <\t\z.
w=cos г, ю—- tgz.
2. Вынести формулы D6) и D7).
3. Доказать соотношения ch2 z—-shz г =¦ 1, cli 2г = clr2 г + sh* г.
sh 2z=2 sli г ch z.
4. Доказать, что функция ]?A—г)г2 допускает выделение ре-
регулярной истин во внешности отрезка 0<;*<.1. Найти значение в
точке z—i тон ее ветви, которая в точке г = 2 принимает отрица-
отрицательное значение. Каковы остальные значения функции в этой точке?
5. Показать, что функция Ln(l г2) допускает выделение регу-
регулярной ветвп в плоскости с вырезанными отрезками (-- 1, ;'), A,7)
и лучом .« = 0, у >1. Напти значение в точке г —2 топ ее ветви,
которая раина 0 при г = 0.
6. Показать, что функция w-••• Ln (г-- )' гг— -1) допускает вы-
выделение регулярной ветви а плоскости с вырезанными лучами
• сю <^ х ¦;. 1, I <J х <; оо.
7. Условимся понимать иод ze--ezln!, где 1и главная ветвь
логарифма. Найти значения этой функции в точке г——е на верх-
верхнем и нижнем берегах разреза.
8. Найти линии равного растяжения и линии равного угла
поворота при отображении w--z2.
9. Доказать, что функция IV--Z- '¦ 2г-\- 3 осуществляет взаимно
однозначное отображение круга \г < 1.
10. Доказать, что отображение w= _ ( г ;- J взаимно одно-
однозначно в верхней полуплоскости. Во что преобразует оно верхнюю
полуплоскость?
11. 15 какую область преобразует:
л) ш-cos г полосу 0< х<^ —¦ ¦ ;
л л
б) о - tg г полосу ,-<¦*< д" ; во мто переходит при
этом декартова координатная сетка плоскости г?
в) u = z-t е: полосу—
г) регулярная ветвь w—\^z, которая принимает на положи-
положительной полуоси положительные значения, область, ограниченную
кардиоидой х = 2A-! cosq)cos<p, у--2 A-j-cosq) sin ср;
га
д*) ej = z область, ограниченную левой половиной лемни-
лемнискаты Бериулли (х2-\-у2) {(х—4)г + «/2}= 16; что соответствует при
этом сетке полярных координат плоскости w?

124
ЭЛЕМЕНТА И-1ЫЕ ФУНКЦИИ
12*. Доказать, что в верхней полуплоскости можно выделить
регулярные ветви функций: a) KJ = Lncosz; б) и) = Arccos (ch h cos г)
(ft— действительная константа). В какую область преобразует иерх-
нюю полуплоскость а) любая выделенная иетвь ьу = Ln cos г; б) та
ветвь w— Arccos (спасозг), которая в точке -'.равна -_• ?
13. Кайти конформное отображение:
а) сектора 0 < arg г < а, 'г | < 1 на круг I w ' < 1;
б) круга г|<1 на полосу 0 < v < 1 (/ ( — 1)= - со, /A)--со,
i)
х- , г/2
в) внешности эллипса ,,_--• •', ^^
2о ' 16
на внешность единичного
крута;
г) внешности параболы (области, не содержащей фокуса) if1 —
— 2рх на полуплоскость;
д) внешности гиперболы (области, не содержащей фокусов)
х— г^—¦ —1 па полуплоскость;
cos2 a sin2 а
е) области, заключенной между двумя подобными логарифми-
логарифмическими спиралями r—aehlf, г = ре'!1( (и < \i и к депстннте.'шпы), па
полосу 0 < v < 1.
14. Найти конформное отображение па полуплоскость пли на
единичный круг областей, указанных на рис. 54.

ГЛАВА IV
ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКОГО ПОЛЯ
34. Плоские векторные поля. Под векторным полем
понимают часть пространства, с каждой точкой которой свя-
связано значение некоторого вектора. Особый интерес для нас
будут представлять следующие три примера векторных нолей.
а) Поле скоростей движения жидкости. В каждый
момент времени в любой точке области D, занятой движу-
движущейся жидкостью, вполне определенное значение имеет
вектор скорости V движения жидкости. Совокупность всех
точек D вместе со связанными с ними векторами V и обра-
образует наше поле.
б) Электростатические поле. В пространстве, окружаю-
окружающем заряд, действуют электрические силы, которые обна-
обнаруживаются при внесении в иоле «пробных» зарядов.
Сила, действующая на единичный пробный заряд, внесен-
внесенный в некоторую точку пространства, называется напря-
напряженностью поля в этой точке. Совокупность точек про-
пространства, окружающего заряд, вместе со связанными
с ними векторами Е напряженности и образует наше поле.
в) Поле вектора потока тепла. В пространстве, окру-
окружающем нагретое тело, где различные точки М имеют
различные температуры v(M), происходит движение тепла
от более нагретых частей к менее нагретым. Вектором
потока тепла называется вектор
Q- -ftfirado(M), A)
где k — коэффициент внутренней теплопроводности. Век-
Вектор Q направлен по нормали к изотермической поверхности
в сторону более низких температур (т. е. в ту сторону,
куда течет тепло). Совокупность векторов Q и образует
рассматриваемое поле.

ПРИЛОЖЕНИИ К ТЕОРИИ ПЛОСКОГО ПОЛЯ [ГЛ. IV
Наши дальнейшие рассмотрения относятся к векторным
полям произвольной физической природы, но для конкрет-
конкретности мы будем иметь в виду прежде всего эти три при-
примера полей *).
В общем случае приходится рассматривать векторные
поля, изменяющиеся с течением времени. Аналитическое
задание таких полей сводится к заданию трех скалярных
функций (компонент вектора ноля) в зависимости от четы-
четырех скалярных аргументов (трех координат точки поля
х, у, z и времени t).
Мы ограничимся рассмотрением стационарных полей,
т. е. предположим, что векторы поля не меняются с те-
течением времени и зависят
лишь от координат точек ноля.
Это ограничение позволяет
задавать и изучать ноля с
помощью трех скалярных
трех а р г у м е п -
функций
т о в.
Далее мы предположим,
что рассматриваемые поля
плоскопараллельны. Это озна-
означает, что все векторы ноля
параллельны некоторой одной
плоскости S, причем во всех
точках, расположенных па
любой прямой, перпендику-
перпендикулярной к S, векторы поля одинаковы по величине и на-
направлению. Такое иоле полностью определяется плоским
полем векторов в любой плоскости So, параллельной
S(рис. 55). Для описания илоскопараллельных стацио-
стационарных полей достаточно д в у х скалярных функций (двух
компонент вектора плоского поля) от д в ух аргументов
(двух координат точки па плоскости). Компоненты вектора А
по осям хну мы будем обозначать через Ах и Ау, так что
А --¦ Ах г iAu.
*) Многочисленные приложения методов, развитых в настоящей
главе, к теории упругости читатель может найти i! прекрасных
книгах Г. В. Колосоиа (Применение комплексной переменной
к теории упругости, ОНТИ, 1935) и Н. И. Мусхелишвили (Некото-
(Некоторые задачи теории упругости. Изд. АН СССР. 1949).
Рис.

35]
ПРИМЕРЫ ПЛОСКИХ ПОЛЕЙ
127
35. Примеры плоских полей. Пример 1. Рассмотрим
электрическое поле равномерно заряженной прямой L. Это
поле, очевидно, плоскопараллельно, и в качестве So можно
принять любую плоскость, перпендикулярную к L. Обозна-
Обозначим через q линейную плотность заряда на прямой L
(т. е. величину заряда, рас-
рассчитанную на единицу дли-
длины L) и найдем выражение
для вектора Е напряжен-
напряженности нашего поля в про-
произвольной точке Р плоско-
плоскости SQ. Для подсчета пыбе-
рем прямоугольную декар-
тову систему координат
(х, у, /г), как на рис. 56.
На основании известного
из физики принципа супер-
суперпозиции мы можем рассма-
рассматривать вектор Е как векторную сумму напряженно-
стей dE элементарных зарядов qdh, сосредоточенных на
элементах dh прямой L.
По закону Кулона величина элементарной напряжен-
напряженности dE поля точечного заряда qdh, расположенного
на высоте h, равна
Рис. 56.
где г = ОР = |/д;2-1-г/2 = | г\ — расстояние точки Р "до на-
начала координат. Так как вектор Е лежит в плоскости So,
то его величина равна сумме проекций на So элементарных
напряжеиностей dE:
l?l =
где ср —угол между вектором dE и плоскостью So. Из пря-
прямоугольного треугольника МОР имеем /z = Hgcp и
1 COS2 ф

128
ПРИЛОЖЕНИЯ
ТЕОРИИ ПЛОСКОГО ПОЛЯ I ГЛ. IV
следовательно,
B)
Так как вектор Е направлен по вектору op = z, а единич-
единичный вектор этого направления равен •— -, то
[\г\ '
C)
Рассматриваемое электростатическое поле вполне опре-
деляется^ распределением векторов Е в плоскости SQ.
Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать плоское
поле точечного заряда величи-
величины q, подразумевая при этом,
что рассматривается плоскопа-
плоскопараллельное поле равномерно за-
заряженной прямой L. Величина q
означает линейную плотность
заряда, т. е. заряд куска L вы-
высоты 1. Силовые линии такого
поля (линии, которые в каждой
своей точке касаются вектора
поля, проходящего через эту
точку) образуют пучок прямых
с центром в начале координат
(рис. 57).
Для положительного заряда q векторы Е направлены
от начала координат, для отрицательного заряда q — к
началу.
Формула B) показывает, что величина напряженности
плоского поля точечного заряда обратно пропорци-
пропорциональна расстоянию точки от заряда, а не квад-
квадрату расстояния, как в пространстве. Отличие плоского
поля от пространственного сказывается и в других фор-
формулах, в чем мы убедимся ниже.
Пример 2. Для поля, создаваемого системой п точеч-
точечных зарядов величин qu q2, ...,qn, расположенных

33]
ПР1Ш1Ч>Ы ПЛОСКИХ ПОЛЕЙ
129
в точках Zi, z-y, ...,zn, вектор напряженности
п
г Ч^ 2'/лB ~гк)
ft=l
'2qk(x- -xh)
fc=l fc =1
В самом деле, если точечный заряд qh помещен не в начале
координат, а в точке z — zh, то вместо формулы C) будем,
очевидно, иметь:
^Vft \iTrftL
На основании принципа су-
суперпозиции напряженность
поля системы зарядов равна
сумме напряжепностеп Eh.
Это и приводит к формуле D).
Пример 3. Вектор ско-
скорости V поступательного дт-
жения жидкости постоянен
по величине и направлению. Мы выбираем в качестве So
любую плоскость, параллельную V; тогда движение опи-
описывается плоским полем постоянного вектора:
V--Vx\iVu E)
(Ух — const, Vu — const). Липни тока (силовые линии век-
вектора V) образуют пучок параллельных прямых (рис. 58).
Пример 4. Рассмотрим течение жидкости, характе-
характеризуемое вектором скорости
Рис. 58.
2л
F)
где Q —действительная константа, физический смысл кото-
которой выяснится в дальнейшем. Линии тока образуют пучок
прямых с центром в начале координат (см. рис. 57). При
Q>0 векторы V направлены от начала, при Q < 0 -
к началу. В обоих случаях величина скорости убывает
обратно пропорционально расстоянию точки до начала.
Такое поле называется плоским полем точечного источника
(в случае Q < 0 говорят также о стоке). Плоское иоле
О Б. Л. Фукс, В. В. Ш.тбат

130 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКОГО ПОЛЯ [ГЛ. IV
точечного источника следует представлять как плоско-
параллельное поле прямой, источающей жидкость в про-
пространство.
Пример 5. Рассмотрим течение жидкости, характери-
характеризуемое вектором скорости
v г' г -— Г^-- л i rx т
v "" 2л ,г,2 " 2л(х*-\ у2) ^ 2л(х2 г У2) ' V '
где Г —действительная константа, физический смысл кото-
которой выяснится в дальнейшем. В каждой точке z вектор
^, скорости повернут относи-
относительно вектора z на 9СГ (про-
(против часовой стрелки при
Г > 0 и по часовой — при
Г < 0), следовательно, линии
тока представляют собой кон-
центрические окружности с
центром в начале координат.
Величина скорости убывает
обратно пропорционально j z \
(рис. 59). Такое поле назы-
называется плоским полем вихря.
-*+. - При Г > 0 жидкость вращает-
Рнс. ЗУ. ся против часовой стрелки,
при Г < 0 — по часовой.
Пример 6. Вектор теплового потока точечного
источника
где ^ — действительная константа. Поле вектора (8)
вполне аналогично плоскому нолю точечного источника
жидкости F).
36. Свойства плоских векторных полей. Рассмотрим
сначала плоское электростатическое поле, порожденное
произвольной системой зарядов (точечных, линейных и
плоских). По теореме Гаусса, которую мы предполагаем
известной, поток*) вектора напряженности поля через
*) Мы предполагаем, что читатель знаком с основными поня-
понятиями векторного анализа: потока, дивергенции, циркуляции и
ротора.

36] СВОЙСТВА ПЛОСКИХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 131
произвольную замкнутую кривую С равен умноженному
на 4я полному заряду, заключенному внутри С:
jE, n°)ds ¦-.4.1*7 (9)
(здесь и0 —единичный вектор внешней нормали к С). Тео-
Теорема Гаусса выясняет физический смысл потока вектора
напряженности электростатического поля. Если для неко-
некоторого замкнутого контура С поток отличен от нуля, то это
означает, что внутри С расположены заряды поля. Поверх-
Поверхностную плотность распределения заряда в некоторой точке
поля характеризует величина дивергенции вектора напря-
напряженности, которая, как известно, равна
с
где Аст —площадь, ограниченная контуром С, охватываю-
охватывающим рассматриваемую точку, и предел берется в предпо-
предположении, что контур С стягивается к этой точке. По фор-
формуле (9) поток §(Е, n°)ds через С равен умноженному
с
на 4я суммарному заряду Aq, заключенному внутри С,
и следовательно,
div?-=4.i lim —'^яе, A1)
А0 Ла
где g — поверхностная плотность заряда в точке г. Отсюда
следует, что если в некоторой точке z плотность заряда
равна нулю, то в этой точке
divf-0. A2)
Поле, дивергенция которого в каждой точке z области D
равна нулю, называется соленоидальным в этой области.
В силу A0) и A2) условие соленоидальноепш поля в неко-
некоторой области D выражается равенством
divC-^-i-^-O. (.3)

132 приложения к теории плоского поля [гл. iv
Циркуляция вектора напряженности Е вдоль замк-
замкнутого контура С
Л ¦--='§ (Е, s»)ds, A4)
с
где s° — единичный вектор касательной к С, физически
означает работу сил ноля при перемещении по С положи-
положительного единичного заряда *). Так как для поддержания
электростатического поля не требуется затраты энергии,
то работа A4) сил моля вдоль любого замкнутого контура
равна нулю. В противном случае существовал бы кон-
контур, обход которого зарядом в определенном направ-
направлении сопровождался выделением некоторой конечной
и ф 0 работы; обход контура неограниченное число
раз давал бы неограниченный источник энергии (вечный
двигатель!).
Поэтому в любой точке ноля
(rot Е)Л ~ Jim lj (Е, s»)ds -, ^- - ™* ~ 0. A5)
В последней формуле (rot/;),, означает проекцию ротора
на нормаль к площадке Да, ограниченной контуром С
(единственная отличная от нуля компонента ротора пло-
плоского поля), и предел берется в предположении, что кон-
контур С, охватывающий рассматриваемую точку, стягивается
к этой точке. Поле, ротор которого в каждой точке об-
области D равен нулю, называется потенциальным в этой
области. Формула A5) показывает, что электростатиче-
электростатическое поле всюду потенциально.
Рассмотрим другие типы полей. Для плоского течения
жидкости поток вектора скорости через замкнутый кон-
контур С
Q-f (V, n«)ds A6)
с
физически означает количество жидкости, протекающее за
*) В самом де.чс, выражение (Е, s°) ds---/;., ds, рапное произведе-
произведению касательной составляющей силы Е на элемент пути, выражает
элементарную работу. Интегрируя, .мы получаем полную работу на
пути С.

36] СВОЙСТВА ПЛОСКИХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 133
единицу времени изнутри С наружу. Например, для пло-
плоского поля точечного источника (см. п. 34, пример 4)
вдоль окружности \z\-=r имеем
(V, йо).,±|К!-2^-
и
<$ (V, »°) ds = f 2?7 ds = -^ 2яг - Q.
с с
Это и выясняет физический смысл константы Q в формуле F).
Если для некоторого контура С поток отличен от нуля,
то в силу несжимаемости жидкости, которую мы пред-
предполагаем, отсюда следует, что внутри С расположены
источники (или стоки).
Величина дивергенции скорости в некоторой точке
поля
характеризует интенсивность источника (или стока), кото-
который расположен в этой точке. Таким образом, условие
отсутствия в некоторой области D источников (стоков)
установившегося плоского течения несжимаемой жидкости
выражается соотношением
divir^-.+ipU.O. A8)
Циркуляция вектора скорости V вдоль замкнутого кон-
контура С
$ A9)
равна интегралу от проекции V на направление касатель-
касательной к С. Если для некоторого контура С она отлична от
нуля, то это означает, что в интеграле A9) проекции Vs
одного знака превалируют над проекциями другого знака,
т. е. что жидкость как бы «завихряется» вдоль С (рис. 60;
здесь положительные Vs превалируют над отрицательными,
Г > 0). Например, для плоского поля точечного вихря

134
ПРИЛОЖЕНИЯ К ТНОРИИ ПЛОСКОГО ПОЛЯ [ГЛ. IV
(см. п. 34, пример 5) вдоль окружности \z\ = r имеем
(V, S°)=:.4V!-j?,- и
с с
Это и выясняет физический смысл константы, Г в фор-
формуле G). Величина ротора скорости в некоторой точке
поля
(rot V)n ¦¦¦- lim -. Ф ( V, s°) ds ¦¦.--j— —-
ДП->-0 Aa'fJ "X dlJ
характеризует интенсивность завихрения поля вблизи
этой точки. Точки поля, где rotV=/=0, называются вих-
вихревыми точками поля или
вихрями.
Условие отсутствия
вихрей в области D для
установившегося плоского
течения жидкости выра-
выражается, следовательно,
соотношением
dVu
dVx
B0)
Рис. 60.
Рассмотрим теперь уста-
установившийся плоский те-
тепловой поток. В теории те-
теплопроводности принимает-
принимается, что количество тепла, протекающее за единицу
времени через элемент длины ds, пропорционально ds и
нормальной производной температуры-,---, т. е. равно
-k-*vn ds
{-kgradv, n°)ds--(Q, n°)ds.
Здесь k — коэффициент внутренней теплопроводности
и знак минус берется с учетом того, что тепло течет от
высоких температур к низким, т. е. против направления
grad v (см. п. 33).

37] СИЛОВАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИИ 13Ь
Таким образом, поток вектора Q через замкнутый
контур С означает количество тепла, протекающего за
единицу времени изнутри С наружу, и дивергенция Q
в некоторой точке потока
div Q = lim ' \{Q, «»)ds - д%х -f 4т1
О
характеризует интенсивность теплового источника, распо-
расположенного в этой точке.
Условие отсутствия источников в области D для
установившегося плоского потока тепла выражается
равенством
С другой стороны, считая k постоянным, мы видим, что
rot Q — — k rot grad и ------ О,
откуда следует, что в каждой точке потока
37. Силовая и потенциальная функции. Рассмотрим
произвольное электростатическое поле в некоторой одно-
связной области D. Тогда в силу условия потенциальности
)« = -dF-~df -° (lo)
в этой области существует функция V--V(x, у), полный
дифференциал которой
или,
что
ТО
же
с
самое,
д\> ,
"дх '
0V
В самом деле, известно, что выражение Pdx + Qdy тогда
и только тогда является полным дифференциалом, если
-V—= -^-. Для выражения —Ьхах — Еиау последнее

136 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКОГО ПОЛЯ [ГЛ. IV
условие и выражается равенством A5): -^^ — —р-. Функция
V(х, у) восстанавливается по своему полному дифферен-
дифференциалу с помощью формулы
V(х, у) JLE*dx !" Е»dlJ J' c'
где интеграл берется по любому пути L, соединяющему
в области поля D фиксированную точку z0 с неременной
точкой z — x-\-iy, а с — произвольная постоянная.
Равенства B3) можно записать одним векторным ра-
равенством:
E--%-iddVy-*-&adV. B5)
Функция V--V(x,y) называется потенциальной функ-
функцией или потенциалом поля, ее линии уровня V{х, у) =
--- const — эквипотенциальными линиями. Из уравнения B5)
следует, что в каждой точке поля вектор напряженности Е
направлен по нормали к проходящей через эту точку
эквипотенциальной линии.
Нетрудно выразить через потенциал работу, которая
затрачивается при перенесении точечного заряда q ¦--+ I
из точки Zi — Xi-\-iy\ в z2 — x2-r iyz (в силу A5) она не
зависит от пути С, соединяющего zt и г»). В самом деле,
так как Е-— , - — i 5 - и s° ds -dx-\- i dy — dz — век-
вектор длины ds, направленный по касательной к С, то
(Е, «°)rfs-= — -d-dx - ду dy- — dV(x, у), и эта работа
Л .-.-. - \ (Е, so) ds -- ^ dV (х, у) -= V (хъ у2) -V(xu у,) B6)
равна разности потенциалов в точках Zi и Z\.
Примеры. 1. Д,1Я плоского поля точечного заряда
величины <7 компоненты вектора напряженности суть
р <2с1х р __ 2W

37] СИЛОВАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИИ 137
следовательно, согласно B4) потенциал такого поля
дается формулой
z
V — — 2<7 \ - 2 ¦' 2 -¦-- — ^ In (х2 -|- г/2) -|- с — 2</ In • -~ с,
где L — любой путь, соединяющий z0 с г и не проходя-
проходящий через точку г- 0, а с—произвольная постоянная.
При г —со он обращается в бесконечность. Эквипотен-
Эквипотенциальными линиями поля являются концентрические
окружности \z\--r (см. рис. 57). Если заряд q располо-
расположен в точке I, то потенциал его ноля равен, очевидно,
V^2q\n-]z[1.,--\c. B7)
2. Потенциал поля заряженной линии *) L выражается
формулой
\ In |z_^;-ds, B8)
где ?—переменная точка L, действительная функция i-] (t)—
линейная плотность заряда в точке ? и ds -элемент длины.
Для доказательства B8) мы разбиваем L на достаточно
большое число п участков длины As/t(k--\, 2, ..., п)
и приближенно заменяем заряд L системой и точечных
зарядов величин ri(tft) i\sk, расположенных в точках ?&
(Zk лежит па участке Asft). Для искомого потенциала
получаем тогда приближенное выражение
В пределе при п- > оэ и niaxAsft—>0 оно стремится
к точному выражению B8).
*) В пространстве ему соответствует поле цилиндрической по-
поверхности с образующими, перпендикулярными к плоскости г и пе-
пересекающими последнюю по крипом L; цилиндр заряжен равномерно
по высоте с nonepxiiocTHOii плоскостью т| (?).

138 приложения к теории плоского поля [гл. iv
3. Потенциал поля заряженной области *) D выра-
выражается формулой
У=^2Яа)\п;-г±~с1о, B9)
D
где ? — переменная точка D, q(?) —поверхностная плот-
плотность заряда в точке ? и da — элемент площади. Вывод B9)
аналогичен предыдущему.
Остановимся на поведении потенциала плоского поля
в бесконечности. Рассмотрим для конкретности поле
линии L, состоящей из конечных точек и заряженной
с линейной плотностью г\ (?,). Наряду с ним рассмотрим
поле точечного заряда величины q — \ г\ (?) ds, расположеп-
ного в конечной точке t0. Разность между потенциа-
потенциалами этих двух нолей
V - Уо = \ 2ц (X) 1п -[ Б-- ds - 2 In ¦ z-Lgo,
К
2" SO
г-I
ds — a.
2л (ъ) In
Так как [ и С, лежат в ограниченной области, то при
z —> оэ ¦? — > 1 равномерно относительно ?, In -—_ "• |
равномерно стремится к 0 и, следовательно, а—>0. Таким
образом имеем:
V - Уо ! а - 2? In -jj4r-2 " "I" а> C0)
где q— суммарный заряд L, ?0 — произвольная конечная
точка и а — >0 при z—>co.
Точно так же устанавливается справедливость соотно-
соотношения C0) для плоского ноля заряженной области
и вообще для произвольной системы заряженных конеч-
конечных точек, линий и областей, причем q тогда означает
суммарный заряд системы.
Из C0), в частности, вытекает, что при q ф 0 потен-
потенциал поля неограниченно возрастает при z—> со. Поэтому
*) В пространстве е.му соответствует ноле цилиндрического
тела, заряженного равномерно по высоте с объемной плотностью Q (?)•

ii) силовая и потенциальная функции 1зу
потенциал плоского поля нельзя определять как работу
перенесения в сю заряда q ¦ Ь 1 (ср. формулу B6)). Если
же суммарный заряд с/ 0, то из C0) [вытекает, что
потенциал поля при z—>оэ стремится к 0.
Перейдем к рассмотрению силовой функции. Пусть
дана односвязная область D ноля, свободная от зарядов,
его образующих. Тогда в силу условия солеиоидальности
имеем:
diVjE-^+-d- = 0. A3)
Отсюда следует, что выражение — Еи dx -f Ех dy в области D
является полным дифференциалом некоторой функции U,
так что в D
р dU p 6U
Функция U(x, у) восстанавливается в области I) по
своему полному дифференциалу с помощью формулы
z
U(x, г/)- [т -Eudx vExdy |-c, C2
где интеграл берется по любому пути L, соединяющему
в D фиксированную точку г0 с переменной точкой z,
а с —произвольная постоянная.
Из C1) следует, что в каждой точке линии U(x,y) — c
уровня функции U угловой коэффициент касательной
dU
dy _ дх _ J'-u
"dx ^ ШГ ~" 1-:х '
~ду
т. е. совпадает с угловым коэффициентом прямой дей-
действия вектора Е. Таким образом, линии U (х, у) —с ока-
оказываются силовыми линиями и U (х, у) называется поэтому
силовой функцией поля.
Через силовую функцию можно выразить суммарный
заряд поля, заключенный внутри произвольного замкну-
замкнутого контура С. В самом деле, так как по C1) Е==~, —
— i-Q— и вектор п° внешней нормали к С получается из

140
ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКОГО ПОЛЯ [ГЛ. IV
вектора dz — dx + idy, касательного к С, поворотом на
90;; по часовой стрелке (рис. 61), т. с. п° ds------i dz-
-= dy - i dx, то (E, nc) ds - -f- dy + ddUx dx - dU (x, у). По
теореме Гаусса суммарный заряд ноля, заключенный
внутри С:
, у).
C3)
Пример. Для плоского ноля точечного заряда ком-
компоненты вектора напряженности
Р _
Р —
откуда согласно C2)
U(x, y)--2q
' --у dx-\-x d'
n'ds
= 2^rArctg l:-rc-.-2qkrgz-rc, C4)
X
где /. — произвольный путь, соединяющий z0 с z и пе про-
проходящий через точку Z--0. В формуле C4) мы будем
считать z0¦¦= 1 и под Argz пони-
понимать то значение аргумента, ко-
которое получается из главного зна-
значения argzo--O при непрерывном
продолжении вдоль кривой L. Это
значение, очевидно, не изменится,
если заменить путь L любым дру-
другим путем L', соединяющим г0 с г,
и таким, что между L и L' не
лежит точка г—-0. Следовательно,
путь L без изменения значения интеграла может быть
заменен путем /, соединяющим точку г0 -- 1 с г и лежа-
лежащим целиком в верхней или нижней полуплоскости, и окруж-
окружностью С, проходящейся некоторое число п раз в опре-
определенном направлении (см. рис. 62, где и —2).
Интеграл вдоль пути / дает значение главной ветви
argz, а вдоль С —значение:' 2пп, где знак зависит от
Рис 61.

37]
СИЛОВАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИИ
1
Рис. 62.
направления обхода*) С, поэтому
U(х, y)--2qarg г _- 2nxq-[¦ с.
Таким образом, в нашем примере функция U (х, у)
оказывается мпогозна ч и о и.
Замечание. В предыдущем изложении при восста-
восстановлении функции по ее полному дифференциалу мы тре-
требовали односвязности обла-
области. В рассмотренном приме-
примере область двусвязна (откры-
(открытая плоскость с выключенной
точкой z —0) —этим и объяс-
объясняется многозначность инте-
интеграла U (х, у). Очевидно,
однако, что в окрестности
любой точки области функ-
функция U(х, у) допускает выде-
выделение однозначных ветвей,
каждая из которых имеет сво-
своим дифференциалом ноднн-
тегральное выражение C4).
При построении силовых п потенциальных функций
электростатических нолей весьма часто приходится рас-
рассматривать именно мпогосвяз-
ные. области (рис. 63). Это
объясняется тем, что Вх и Еу
терпят разрыв в точках (па
линиях или в областях), где
расположены заряды поля, и
такие точки (линии или обла-
области) приходится исключать из
области D, вырезая из нее
некоторое количество дыр.
Тогда, как и в только
1Х' *'' что рассмотренном примере,
значение функции и(х, у),
восстанавливаемой по полному дифференциалу ее одно-
однозначных ветвей с помощью криволинейного интеграла,
*) Знак -•- соответстнует положительному, а знак — отрица-
отрицательному направлению обходи (па рис. 62 обход произноднтся в отри-
отрицательном направлении)

142 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКОГО ПОЛЯ [ГЛ. IV
не изменяется, если путь интегрирования L непрерывно
деформируется внутри оставшейся многосвязной области.
Но при обходе исключенной из области дыры значе-
значение и(х, у) изменится, если интеграл
взятый по замкнутому контуру, окружающему эту дыру,
отличен от пуля, и останется неизменным, если этот инте-
интеграл равен нулю. Как и в рассмотренном примере, можно
показать, что все значения (вообще, многозначной) функ-
функции и(х, у) в фиксированной точке содержатся в формуле
и(х, у)--ио(х, у)-\-пуСу- п2с2-\- ...-т-птст, C6)
где ио(х, у) — некоторое определенное значение функции,
а с1( с2, ..., ст — интегралы C5), взятые по всем конту-
контурам, окружающим дыры, и пи /г2, ..., пт — произвольные
целые числа (положительные, отрицательные или равные
нулю), показывающие, сколько раз и в каком направле-
направлении обходятся дыры.
Интегралы C5) называются циклическими постоянными
функции и (х, у) в области D. Формула C5) показывает, что
функция и (х, у) тогда и только тогда оказывается одно-
однозначной, если все ее циклические постоянные равны нулю.
Этот случай имеет место для потенциальной функции,
ибо, как указано в и. 36, работа сил поля вдоль любого
замкнутого контура (которая согласно B6) выражается
через потенциальную функцию) равна 0. Таким образом,
потенциальная функция плоского электростатического
поля всегда однозначна.
Напротив, как показывает C3), циклическая постоян-
постоянная силовой функции при обходе дыры, в которой распо-
расположен суммарный заряд величины ц, равна Ащ. Следова-
Следовательно, силовая функция плоского электростатического
поля, вообще говоря, многозначна.
38. Комплексный потенциал в электростатике. Срав-
Сравнивая формулы B3) и C1), мы видим, что в области D,
не содержащей зарядов ноля, силовая и потенциальная
функции связаны между собой соотношениями
dU __dV__ ди___._ЛУ_
дх ду ' ду ~ дх '

38]
КОМПЛЕКСНЫЙ ПОТПНЦНЛЛ В ЭЛПКТРОСТЛТИКЕ
143
Если область D одиосвязна, то, как указано в преды-
предыдущем пункте, функции U{x, у) и V(x, у) будут в ней
однозначными. Тогда уравнения C7), которые являются
уравнениями Коши— Римана (п. 14), можно рассматривать
как условия регулярности функции комплексного пере-
переменного
w--F(z)--U(x, у) \-iV(x, у). C8)
Эта функция называется комплексным потенциалом
рассматриваемого электростатического поля. Так же как
Рис. 61.
Рис. 65.
U(x, у) и V (х, у), комплексный потенциал определяется
с точностью до произвольного постоянного слагаемого.
В многосвязион области D комплексный потенциал C8)
оказывается, вообще говоря, многозначной функцией
(вследствие многозначности своей действительной части).
Однако, как вытекает из рассмотрении предыдущего пункта,
в любой одпосвязной области, в которую обращается D,
если провести в ней надлежащую систему разрезов
(рис. 64), и вообще в любой одпосвязной части D ком-
комплексный потенциал допускает выделение регулярных вет-
ветвей. Комплексный потенциал поля снова доставляет при-
пример многозначной аналитической функции (общее опреде-
определение ее см. в п. 63).
Заметим, что в силу однозначности производных C7)
все ветви комплексного потенциала F (г) в фиксированной
точке г обладают одной и той же производной. Эту одно-
однозначную функцию можно рассматривать как производную
комплексного потенциала.

144 ПРИЛОЖЕНИЯ К 1Т.ОРИИ ПЛОСКОГО ПОЛЯ [ГЛ. IV
Через комплексный потенциал выражаются псе основ-
основные величины, связанные с полем. Например, в силу C7)
и B3) имеем:
F,. . _ ои , dv _ dv , av F .F
Г (Z)- дх ] 1~дх" дц"г1 дх"~ -cv-lcx--
=--i{Ex-iEv), 101
откуда Ех — LEy-iF'(z). Переходя к комплексно сопря-
сопряженным величинам, получим выражение для вектора
напряженности поля
E. = Ex-\-iEtt-~-i~F'(z). C9)
Формула C9) показывает, что для получения вектора Е
из вектора F'(г) достаточно зеркально отразить послед-
последний относительно действительной оси и затем повернуть
изображение на 90° по часовой стрелке (рис. 65). Из этой
формулы следует также, что величина вектора напря-
напряженности
Комплексный потенциал осуществляет отображение
плоскости поля z па плоскость w, конформное во всех
точках области D, в которых напряженность отлична от
нуля. В силу определения на плоскости комплексного
потенциала силовым и эквипотенциальным линиям поля
соответствуют прямые, параллельные координатным осям
U и V- Следовательно, зная комплексный потенциал поля,
мы можем (по крайне» мере, принципиально) найти его
эквипотенциальные и силовые линии, т. е. определить
картину этого поля.
Как указано выше, комплексный потенциал определяется
лить с точностью до постоянного слагаемого. Так как
изменение этого постоянного не влияет ни па картину
поля, ни на вектор напряженности, мы в дальнейшем
будем его опускать. '' .,
А^ы видели в начале пункта, что любому плоскому
электростатическому полю в одпоспязно» области, свобод-
свободной от зарядов, соответствует регулярная функция —его

38] КОМПЛЕКСНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ В ЭЛЕКТРОСТАТИКЕ М5
комплексный потенциал. Обратно, если в какой-либо одно-
связной области D задана регулярная функция F (z) —
-~U(x, y)-\- IV (х, у), то ей соответствует поле, заряды
которого лежат вне D и для которого F (г) служит ком-
комплексным потенциалом.
В самом деле, рассмотрим поле векторов Е - — iF' (г);
из условий Коши — Римана для F(z) вытекает, что оно
соленоидалыю и потенциально а области D и, следова-
следовательно, является электростатическим полем. Его комплекс-
комплексный потенциал равен, очевидно, F(г). Таким образом,
в только что указанном смысле между плоскими электро-
электростатическими полями и регулярными функциями имеется
полное соответствие.
Пример 1. Поле точечного заряда величины q, рас-
расположенного в начале координат. Зная потенциальную
и силовую функции поля (см. формулы B7) и C4) пре-
предыдущего пункта), мы сразу получаем его комплексный
потенциал
w = F(z)--2qkvgz ; 2<//ln !,, =
=,2?/{in ¦¦!-¦! iArg-?-}-;29n,n{.
Картина этого поля изображена па рис. 57. Комплекс-
Комплексный потенциал осуществляет отображение двусвязной
области (открытой плоскости с исключенным началом ко-
координат) на одпосвязную (открытую плоскость). Это не
противоречит сказанному в п. 23, ибо отображение мно-
многозначно. Если заряд расположен не в начале координат,
а в точке z — z0, то комплексный потенциал
a>---2<7iLn -1--. D1)
г -?о
Пример 2. Для системы двух разноименных точеч-
точечных з. ,'дов -\-q и --q, расположенных соответственно
в точка. --! и г2, комплексный потенциал
w ^ 2qi Ln J z. _ 2qi Ln г ^ - 2qi Ln \^ . D2)
10 Б. А. Фукс, Б. В. Шабат

116
ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКОГО ПОЛЯ [ГЛ. IV
Эквипотенциальными линиями поля служат кривые, на
которых
или, что то же самое,
г—г2
г -г,
г — 2о I ,
—-: -— const
г—z,|
¦ const.
Это —аполлониевы окружности, для которых точки
Рис. 66.
и z2 являются симметричными (см. п. 20). Силовые линии
Re w = — 2q Arg г'~~2 = const
представляют собой окружности, проходящие через точки
zt и z2 (см. п. 20). На рис. 66 эквипотенциальные линии
изображены сплошными линиями, а силовые линии —пунк-
—пунктиром.

38]
КОМПЛЕКСНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ В ЭЛЕКТРОСТАТИКЕ 147
Пример 3. Для системы одноименных зарядов вели-
величины q вместо D2) имеем:
w - 2qi Ln^- + 2qi Ln J_-~ 2qi Ln ^-/^ • D3)
Эквипотенциальными линиями поля служат кривые, назы-
называемые лемнискатами:
| z — Zi | • i z — z2 j = с = const.
Каждая из них представляет собой геометрическое место
точек, произведение расстояний которых до zt и z2 по-
постоянно (см. упр. 12, г) Введения).
При с = 0 лемниската вырождается в пару точек, при
О < с < '^"j^- распадается на две кривые овальной фор-
формы, при с= --1^~-?2- представ-
представляет собой обычную лемниска-
лемнискату Бернулли и при с > [—г-~-^г--
состоит из одной кривой
(рис. 67).
Пример 4. Для системы
точечных зарядов qu q2, .. ., qn,
расположенных в точках z(,
z2, .. ., zn, комплексный потен-
потенциал
п
w = 2i 2<7*Lnz-^-. D4)
Пример 5. Электроста- V"c- 67.
тшеское поле диполя. Для
системы разноименных зарядов г1 q, расположенных в точ-
точках Zi = 0, z2= —h, по формуле D2), комплексный потен-
потенциал
1
и; = 2qi Lnz-±h = 2qi Ln ( 1 -\- -f) = 2pi Ln ( 1 -I-1)'' ,
где p~qh. Будем теперь неограниченно сближать заряды
(h— >0), одновременно увеличивая их так, чтобы произ-
произведение qh = p оставалось постоянным. В пределе мы
10*

148
ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКОГО ПОЛЯ
[ГЛ. IV
получим так называемый точечный диполь с моментом р,
сосредоточенный в начале координат.
Комплексны» потенциал поля диполя
w - 2pi lim Ln A ~ А У - 2pi Ln e1 = 2pJ- D5)
представляет собой дробно-линейную функцию (при под-
подсчете мы воспользовались результатами п. 7 гл. 1 и
формулой C3) главы III).
Картина поля диполи представляет собой прообраз
сетки декартовых координат плоскости w при отображении
2р?
w— - - .
Эквипотенциальные линии V — c образуют на сфере
w пучок окружностей, касающихся друг друга в точке
Рис. 68.
W—-CO. По теореме 4 главы II этому пучку в плоскости z
соответствует пучок окружностей, касающихся друг друга
в точке 2 = 0. При этом действительной оси v = 0 соот-
соответствует мнимая ось Х--0 (при подстановке в D5) дей-
действительных 2 получаем мнимые w), следовательно, в пло-
плоскости 2 эквипотенциальные линии образуют пучок окруж-
окружностей, касающихся оси у (сплошные линии на рис. 68).

39] ПОТЕНЦИАЛ В ГИДРОМЕХАНИКИ И ТЕПЛОТЕХНИКЕ 149
Аналогично получим, что силовые линии в плоскости z
образуют пучок окружностей, касающихся оси х (пунктир
на рис. 68).
Согласно формуле C9) вектор напряженности ноля
диполя
где z — rei<p. liro величина убывает обратно пропорциональ-
пропорционально квадрату расстояния точки до диполя, компоненты
его —
Р 2р cos 2ф р 2psin2cp
?х ' - г% , с-и= ~Г2 ~ - ¦
39. Комплексный потенциал в гидромеханике и тепло-
теплотехнике. Условия отсутствия в области D источников
и вихрей плоского установившегося течения несжимаемой
жидкости:
ох ду Ох оу
позволяют утверждать, что в D выражения — Vudx-\-Vxdy
и Vxdx-\-V,jdy являются полными дифференциалами не-
некоторых функции:
- Vydx-r Vxdy -d\lp(x, у);
Vsdx-\-Vudy--.d<f(x,y). D6)
Вторая из этих функций называется потенциальной;
имеем:
V*r-ll' V«' Ту ' V-&a*<t(x> У): D7)
Iг.. \jVxdx]-Vudy-\-c.
20
С помощью функции ф можно выразить циркуляцию век-
вектора скорости вдоль замкнутого контура С. Имеем (ср.
стр. 132) (V, so)ds^(V,dz)-^(Vx-riV,J, dx-\-idy)---Vxdx-\-
+ Vudy. В силу D6) последнее выражение совпадает

150 приложения к теории плоского поля [гл. IV
с dcp (x, у) и, следовательно, циркуляция скорости
r-\(V, s°)ds-$di?(x, у). D8)
с с
Линии уровня первой функции совпадают с траекто-
траекториями движущихся частиц, т. е. с линиями тока жидкости.
Эта функция называется функцией тока; имеем:
V — дУ- V — _ дУ
v х ~ ду ' v * ' ' дх '
D9)
го
В формулах D9) и D7) L \\ с имеют тот же смысл, что
и в B4) и C2).
С помощью функции г|; можно выразить поток жидкости
через произвольную кривую С, лежащую в области D.
Имеем (ср. выше, стр. 132)
(V, пс) ds: - (V, - idz) ¦- (Vx + iVy, dy - idx) - Vxdy - Vudx.
В силу D6) последнее выражение совпадает с di|;> и
поток
Q-\(V,n°)ds-. \ drp- - ij: (хг, у2) -г|-(хи у,), E0)
с с
где Zi--Xi-ritji и z2=-x2-\ /г/г — концы С.
Функция
w -: Ф (z) ¦••- Ф (х, у) -;- 1'г|5 (дс, г/) E1)
называется комплексным потенциалом течения. Уравнения
D7) и D9) показывают, что комплексный потенциал яв-
является регулярной функцией в любой однесвязной обла-
области D течения, которая не содержит источников
и вихрей.
На основании формулы D8) в случае многосвязной
области циклическая постоянная функции ф (х, у) при
обходе некоторой дыры отлична от нуля, если при этом
циркуляция Г Ф 0 (т. е. если Ф0 суммарная интенсивность
вихрей, расположенных в дыре). На основании E0) цикли-
циклическая постоянная ^(х, у) при обходе дыры отлична от
нуля, если при этом ноток (}ф0 (т. е. если =^=0 суммар-

39] ПОТГ.ПЦИЛЛ В ГИДРОМЕХАНИКЕ И ТЕПЛОТЕХНИКИ 151
ная интенсивность источников, расположенных в дыре).
Таким образом, в мпогосвязиой области и действительная
и мнимая части комплексного потенциала Ф (z) могут
оказаться многозначными. В этом состоит отличие
комплексных потенциалов в электростатистикс и гидро-
гидромеханике.
Заметим, что и здесь однозначные непрерывные ветви
Ф(г) всегда оказываются регулярными и Ф(г) снова дает
пример многозначной аналитической функции. Как и в пре-
предыдущем пункте, можно рассматривать производную Ф' B),
которая всегда оказывается однозначной.
С помощью комплексного потенциала выражаются все
основные величины, связанные с плоским течением. На-
Например, в силу D7) и D9) имеем:
откуда вектор скорости течения
V=Vx-\-iVB^W(z), E2)
а величина скорости
На плоскости комплексного потенциала линиям тока со-
соответствуют горизонтальные прямые Imm> = const, а экви-
эквипотенциальным линиям —вертикальные прямые Rcoy=const.
Примеры. 1. Для поступательного движения жидко-
жидкости (пример 3 п. 35) потенциальная функция и функция
тока линейны:
Ф =- Vxx + Vuy-\-cu if = — Vux + Vxy + c2.
Комплексный потенциал
w = Ф (z) = ф -i- n|> = x(Vx- iVa) + iy {Vx - iVy) ----- Vz, E4)
где V --- Vx — iVy — комплексное число, сопряженное ско-
скорости,—является линейной функцией г.
2. Для точечного источника (пример 4 п. 35) компонен-
компоненты скорости равны
V Q х v Q__ у
Vx"~ 2к х* \ у*' v и ' 2я jeZ-t-j/2 '

152 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКОГО ПОЛЯ [ГЛ. IV
потенциальная функция и функция тока находятся по
формулам D7) и D9):
f = ~§n ln I 2 I' ^ = &ArSz'
и комплексный потенциал
йу = ф(г) = ^ Lnz. E5)
3. Для точечного вихря (пример 5 п. 35) аналогично
находятся
и комплексный потенциал
ш = ^Ьпг E6)
отличается от E5) множителем — . Поэтому линии тока
и эквипотенциальные линии в примерах 2 и 3 меняются
местами.
4. Точечный диполь в гидромеханике вполне аналогичен
диполю в электростатике (пример 5 п. 38). Вместо D5)
для комплексного потенциала имеем выражение
М 1 ,,--
w=—f--, E7)
где M = Qh — момент диполя. Линии тока E7) совпадают
с эквипотенциальными линиями D5) и эквипотенциальные
линии E7) —с силовыми линиями D5).
Комплексный потенциал в теплотехнике строится вполне
аналогично. Для установившегося плоского теплового
потока в области D, не содержащей тепловых источников,
на основании B1) и B2) имеем".
«Ь+^-О,^ *"- = 0. E8)
дх ' ду дх ду v '
Роль потенциала ф играет температура v:
Q = — k grad v; -,— =- —т- цх, -^— = тг Чу
^ ь ' дх k ^-х ду k y
На основании первого соотношения E8) заключаем, что
выражение —г- (Qydx — Qxdy) является полным диф-

40] МЕТОД КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 153
ференциалом некоторой функции и = и(х, у), которая
называется функцией тока тепла и связана с температу-
температурой условиями Коши — Римана
ди dv ^ п ди _ dv _ 1 р.
дх " ду ~~ k ^у' ду " дх ~~ k ^x'
Функция и (х, у) принимает постоянные значения на линиях
тока тепла. Функция комплексного переменного
w = W (г) = и(х, y)-\-iv(x, у)
называется комплексным потенциалом теплового потока.
Она регулярна в любой односвязной области D, в которой
поток удовлетворяет условиям E8). Вектор потока тепла
40. Метод конформных отображений. Перечислим четыре
типа прикладных задач, при решении которых особенно
удобно применение конформных отображений. Мы сфор-
сформулируем эти задачи в электростатических терминах, а за-
затем укажем видоизменения, которые надлежит в них
сделать при рассмотрении других физических задач.
Вот эти задачи:
I. Определение электростатического поля в криволи-
криволинейной полосе D между двумя проводниками Сц и С2,
которые имеют общими лишь свои концы, расположенные
в точке 2 = оо. Разность потенциалов между d и С2
считается заданной.
II. Определение поля в криволинейном кольце D между
двумя замкнутыми непересекающимися проводниками С4 и
Сг, состоящими из конечных точек. Разность потенциалов
между Ci и С2 задана.
III. Определение поля в области D, ограниченной
проводником С, проходящим через бесконечно удаленную
точку. Считается заданной величина вектора напряжен-
напряженности поля в бесконечности (в предположении, что послед-
последняя не является угловой точкой С).
IV. Определение поля во внешности D замкнутого
проводника С, состоящего из конечных точек. Вектор

154 приложения к теории плоского ноля [гл. iV
напряженности поля в бесконечно удаленной точке счи-
считается заданным по величине и направлению.
Под проводником мы всюду понимаем кривую С, на кото-
которой сохраняет постоянное значение потенциальная функ-
функция поля (след от пересечения плоскости z проводящим
цилиндром с образующими, перпендикулярными к этой
плоскости). Определение поля сводится к определению
(с точностью до постоянного слагаемого) его комплекс-
комплексного потенциала.
В гидродинамике соответствующие задачи ставятся
как задачи обтекания. Они сводятся к построению потока
идеальной жидкости без вихрей и без источников, обтекаю-
обтекающего заданные кривые С. Кривые С должны при этом
служить линиями тока жидкости. Роль разности потен-
потенциалов между кривыми С\ и С2 в задачах I и II играет
расход — количество жидкости, протекающее за единицу
времени через любое поперечное сечение области D (ср.
формулу E0) п. 39). В задаче IV дополнительно задается
вектор скорости течения в бесконечности, в задаче III —
его величина.
Эти же задачи могут быть поставлены как задачи
построения теплового потока. Роль проводников электри-
электричества играют тепловые проводники, на которых темпера-
температура сохраняет постоянное значение, разность потенциалов
заменяется разностью температур, а вектор напряжен-
напряженности — градиентом температуры.
В следующих пунктах мы приведем конкретные при-
примеры решения задач I — IV с различным физическим
содержанием.
В этих примерах мы будем всегда искать одно
из возможных решений ^поставленных задач. В п. 70 мы
покажем, что условия ^задачи IV могут быть дополне-
дополнены так, что будет обеспечена единственность ее решения.
То же самое справедливо и для других задач, однако
на доказательстве мы не будем останавливаться, считая,
что в рассматриваемых примерах единственность решения
физически очевидна. Но тогда найденное любым способом
решение задачи и будет служить ее единственным реше-
решением.
41. Поле в полосе. Начнем с рассмотрения задачи I.
Мы считаем, что полоса D свободна от зарядов, образую-

41] ПОЛЕ В ПОЛОСЕ 155
щих поле. Тогда по доказанному в п. 38 в D существует
комплексный потенциал поля w — F{z), который является
регулярной функцией (так как область D односвязна,
то F(z) однозначна). Потенциальная функция V (х, у) =
— \mF{z) сохраняет постоянные значения на линиях СУ
и С2, причем разность ее значений V» — Vy задана (V2 и
Vi — соответственно зна-
значения потенциальной ,-рг
функции на линиях Сх ¦-'' >'
и С,). >''' f
Отсюда следует, что д -у„ -¦'' / *va F
функция w = F(z) осу- с ' -аВ ffe=fe^
ществляет однозначное v 6g
отображение области D
на горизонтальную по-
полосу в плоскости w, ширина которой равна V^ — Vi — Vo.
Далее, мы можем утверждать, что двум (различным)
граничным точкам прямолинейной полосы в плоскости а,1,
лежащим в бесконечно удаленной точке (мы будем их
условно обозначать символами -j- со и — со), соответ-
соответствуют точки границы D, лежащие в бесконечности
(которые мы будем обозначать теми же символами :'-.оо).
В самом деле, так как через точки w— :':. со проходит
бесчисленное множество эквипотенциальных линий V = C,
то и через точки, им соответствующие, также проходит
бесчисленное множество эквипотенциальных линий. Из фи-
физических соображений ясно, что такие точки не могут
быть конечными граничными точками.
Всем перечисленным условиям удовлетворяет вза-
взаимно однозначное конформное отображение ш =
= F(z) области D на полосу 0 < hnw < Ко с соответ-
соответствием бесконечно удаленных точек: F(±co)=-j со.
Из теоремы п. 23 следует, что такое отображение всегда
существует и определяется с точностью до постоянного
слагаемого, т. е. что решение задачи I всегда возможно.
Пример 1. Конденсатор, состоящий из двух шин в
форме полуплоскостей. Одна из этих полуплоскостей
составляет продолжение другой, расстояние между
ними 2а и разность потенциалов 2V0.
Сечение конденсатора плоскостью, перпендикулярной
к границам шин, изображено на рис. 69. Задача сводится

156
приложения к теории плоского поля
ггл. iv
к построению плоского поля двух полупрямых — оо<
< х< —а и а < х <оо с заданной разностью потенциалов
между ними. Она является частным случаем задачи I:
линия Ci представляет собой двубережный разрез ЛВС,
а С2 — разрез DEF. Отображение области D на полосу
шириной 2V0 с нужной нормировкой осуществляет функ-
функция F0) из п. 33. Отбрасывая несущественное постоянное
слагаемое, получим комплексный потенциал поля:
w = 2
In (z + \'?"- а-').
F0)
Величина вектора напряженности поля по формуле D0)
равна
I dw 2V0
21/„
1
| \'г- — а-
где Г\ = \г-\-а' и r2 — [z — a\ — расстояния точки z до
концов полупрямых. Из последней формулы следует, что
Аъ
ВША
*f-
Рпс. 70.
в начале координат t =
т. е. мало отличается от
напряженности поля обычного плоского конденсатора
- °-. При приближении к концам полупрямых Е неограни-
неограниченно возрастает (эффект острия); при удалении точки z
в бесконечность Е стремится к нулю.
Пример 2. Поток идеальной 'жидкости в канале
с параллельными прямолинейными берегами ширины 2Н,
в котором имеется еще препятствие в виде стенки,
перпендикулярной к берегам канала и занимающей поло-
половину его ширины. Расход жидкости Q задан.

42] ПОЛЕ В КОЛЬЦЕ 157
Задача сводится к отображению области D (рис. 70)
на полосу. Преобразованием подобия ? = -'. z мы сво-
сводим эту область к области примера 4 п. 33, где h —
= -х- . Формула E9) предыдущей главы позволяет написать
отображение D на верхнюю полуплоскость Im со > 0:
со =
При этом берегу ЛВСОЕ канала соответствует отрезок
(—j/2,1/2), а берегу ЯШ-полупрямые (|/2, оо) и
( —оо, — j/2). Мы преобразуем полуплоскость со в себя
так, чтобы точки Л, Н и Е, F перешли в точки 0 и оо:
/2-| со
V2-o)
гтг ^2
Л2
1 чн
(для выполнения преобразований см. формулу D5) и упр. 3
главы 111). Так как точка С = /// переходит в точку со = О,
а затем в точку tot — 0, то берегу Л ... Е соответствует
положительная, а берегу/7 .. . // — отрицательная полуось.
Остается преобразовать полуплоскость в полосу шири-
ширины Q, что осуществляется логарифмической функцией".
а, = -9. 1ПШ1= -2^-1п(У2сп -?? -j- /ch-2^) . F1)
42. Поле в кольце. Задача II отличается от задачи I
тем, что проводники С4 и С2 не имеют общих точек
и область D между ними дпусвязпа. Метод, предложен-
предложенный в предыдущем пункте, здесь неприменим, ибо
взаимно однозначное и конформное отображение области D
на полосу невозможно (см. п. 23). Однако задача легко
разрешается, если известно взаимно однозначное и кон-
конформное отображение со = /(г) области D на круговое

158 приложения к теории плоского поля [гл. iv
кольцо *) г < I со j < R. Для кругового кольца комплексным
потенциалом, очевидно, служит многозначная функция
w = ki Ln со, F2)
где k — действительная постоянная (в самом деле, мнимая
часть F2) V = k In i со | на окружностях , со j = г и | со '= R
принимает постоянные значения). Распоряжаясь постоян-
постоянной к, мы можем добиться любой заданной разности
J,
Рис. 71.
потенциалов Vo между окружностями кольца. Теперь
остается лишь подставить f (z) в F2) вместо со, и мы
получим комплексный потенциал в области D, дающий
решение задачи II:
ш = ki Lnf (г).
Построенный потенциал является многозначной функ-
функцией (в силу многозначности его действительной части U =
= — &Arg/(z)). Физически это вполне допустимо, ибо его
производная, определяющая поле, однозначна.
Пример 1. Поле двух разноименно заряженных
параллельных круговых цилиндров, расположенных вне
друг друга.
Задача построения такого поля сводится к задаче
построения поля во внешности двух окружностей d и С2.
Пусть ai и а2 — центры этих окружностей. Построим на
общей к ним касательной bibz, как на диаметре, полу-
полуокружность С* (рис. 71). Точки Zi и z2 пересечения С*
с линией центров ауа% симметричны одновременно отно-
относительно обеих данных окружностей Ct и С2. В самом деле,
*) В полных курсах теории функций комплексного переменного
доказывается, что любую днусыязиую область можно конформно
отобразить на круговое кольцо.

1ЮЛЁ В КОЛЬЦЕ
159
окружность С* и прямая ata2 ортогональны и к Ct и к С2
(см. п. 20).
Если мы теперь дробно-линейным отображением
преобразуем точки z4 и г2 в точки 0 и ее вспомогатель-
вспомогательной плоскости ш:
(О =
г z2
то окружности d и С2 перейдут в окружности С[ и С^,
для которых точки м = 0 и ш=со являются симметрич-
симметричными (п. 20). Отсюда следует, что окружности С\ и С'г
Рис. 72.
концентрические: их центр совпадает с точкой © = 0.
Комплексным потенциалом вспомогательного поля согласно
F2) служит w= ki Lnco (см. рис. 72), а для первоначаль-
первоначального поля—функция
г г2
F20
Распоряжаясь константой k, мы можем добиться
заданной разности потенциалов между С4 и С2.

160
ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКОГО ПОЛЯ
[ГЛ. IV
Комплексный потенциал F2^ совпадает с комплексным
потенциалом D2) поля двух разноименных точечных
зарядов (см. пример 2 п. 38), если считать постоянную
k = 2q*). Поэтому картина поля во внешности Ci и С2
совпадает с картиной поля рис. 66. Эквипотенциальными
линиями поля служат аноллониевы окружности, а сило-
силовыми линиями — окружности, проходящие через Z\ и г2
(рис. 66). Окружности Ct и С2 принадлежат семейству
эквипотенциальных линий.
Рис. 73.
Из этого примера видно, что картина поля не изме-
изменяется (по крайней мере, в части плоскости), если какие-
либо из эквипотенциальных линий заменить проводни-
проводниками. В этом состоит так называемый принцип отвердения.
В гидромеханике согласно этому принципу можно заменять
твердыми стенками линии тока жидкости.
Пример 2. Поле двухпроводной линии является
частным случаем поля предыдущей задачи (рис. 73).
Абсциссы х точек г4 и г2, симметричных одновременно
относительно обеих окружностей, определяются из урав-
уравнения (а -) х) (а — х) — г'1, откуда
Y — ~. | .••,,ч ~ 7-2"
Формула F2) принимает вид
w = ki Ln -
F,1)
*) Нетрудно показать, что и здесь ? = -„- означает величину
суммарного заряда па каждой из окружностей. В самом деле, по
теореме Гаусса, и. ЗС>. поток нектора напряженности поля через
любой замкнутый контур, охпатыиаюшмм одну окружность, напри-
например С2, равен Aztq, где q суммарный зарял на С2. С другой сто-
стороны, так как F2,) совпадает с D2), то согласно проведенным выше
выкладкам этот поток равен 'Ink.

42]
ПОЛЕ В КОЛЬЦЕ
161
Запишем условие того, что разность потенциалов между d
и Со равна Уо- Для этого вычислим разность мнимых
частей F3) в точках а —г и — а + п
а—г— "/'а2—
_а_>-г_ j/a2_r2j
a-l_yV_r2
Эта формула позволяет определить k по заданной Fo:
ь- Ь ^Vo
2 In
a-\-V a*—
Рис. 74.
если г мало в сравнении с а.
Пример 3. Распределение температуры между
двумя эксцентричными цилиндрическими трубами, нагре-
нагретыми до температур tt и t2
(рис. 74).
Задача сводится к построе-
построению теплового потока в коль-
кольце между окружностями d
и С2. Для решения ее, как и
в предыдущих примерах, мы
построим точки Zi и г2, сим-
симметричные одновременно от-
относительно обеих окружно-
окружностей С4 и С2. Это построение
указано на рис. 74 (из концов
диаметра С4 восстанавливаются перпендикуляры к линии
центров; их концы а и b соединяются прямой до пересе-
пересечения с линией центров в г2; прямая, соединяющая концы
Ь и с, в пересечении с линией центров даст г4); мы предо-
предоставляем читателю его обоснование. После этого дробно-
линейным преобразованием
г—г.
со = — -
z—z2
мы сводим задачу к определению температуры в кольце
между концентрическими окружностями С, и С2; ее реше-
решение дает мнимая часть комплексного потенциала тепло-
теплового потока
t) = ImlF(ffl) = fe In f (о |-И,
11 Б. А. Фукс, Б. В. Шабат

162 приложения к теории плоского поля [гл. iv
причем, распоряжаясь постоянными k и /, можно добиться
заданных значений температуры на окружностях Сх и С2-
Подставляя Izill вместо со, получим распределение тем-
z—z2
ператур в плоскости г.
43. Задача обтекания бесконечной кривой. При рас-
рассмотрении задачи III мы будем придерживаться гидроди-
гидродинамической терминологии. Область D здесь снова оказы-
оказывается односвязной, следовательно, комплексный потен-
потенциал поля w = Ф (z) является однозначной функцией.
Рис. 75.
Мнимая часть Ф(г) должна сохранять постоянное значе-
значение на линии тока С; кроме того, как и в п. 41, можно
показать, что точке z=oo соответствует бесконечно уда-
удаленная точка С. Перечисленным условиям удовлетворяет
функция ау = Ф(г), осуществляющая взаимно-однозначное
конформное отображение области D на верхнюю полу-
полуплоскость с нормировкой Ф(оо)=оо. Если для кривой С
точка 2 = оо не является угловой, то мы дополнительно
задаемся величиной скорости в бесконечности |Ф'(со)| =
= Исо *)• Можно показать, что такое отображение всегда
существует и определяется с точностью до постоянного
слагаемого. Если г = оо является угловой точкой С, то
величина | Ф' (z) | обращается в ней в 0 или с» (эффект
острия или тупого угла, см. п. 23) и ее следует задавать
в другой, правильной точке С.
Пример 1. Обтекание плотины высоты Н беско-
бесконечно глубоким потоком жидкости с заданной скоро-
скоростью и» (рис. 75).
*) Под производной Ф' (оо) в бесконечности понимается
НтФ'(г), если он существует; см. также п. 69.

43]
ЗАДАЧА ОБТЕКАНИЯ БЕСКОНЕЧНОЙ КРИВОЙ
163
Мы знаем функцию, осуществляющую отображение
области D на полуплоскость:
ш= у г' + л*
(см. п. 27, пример 1). Производная этой функции
dw z
_ —
dw
откуда
¦~ litn
= 1. Следовательно, иско-
искомым комплексным потенциалом будет
w^VooVz^-'H2. F4)
Скорость течения F4) обращается в оо в точке С, где
z = iH (эффект острия), и в 0 в точках В и D, где z = 0
(эффект тупого угла). Ре-
Результат этот физически впол-
вполне нагляден.
Пример 2. Обтекание
параболы у2 = 2рх потоком,
величина скорости которого
в точке z = 0 равна и0
(рис. 76).
Найдем отображение об-
области D на верхнюю полу-
полуплоскость. Для этого вспом-
вспомним, что функция хю = Уг
отображает на полупло-
полуплоскости внешности парабол с фокусом в точкег = 0(п. 25).
Фокус нашей параболы находится в точке z = у, поэтому
мы рассмотрим функцию
да=/2~1|. F5)
Полагая w = u + iv и z = х 4- iy, найдем:
Рис. 76.
Подставляя и = М- из второго уравнения в первое, получим:
И*

164
ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКОГО ПОЛЯ
[ГЛ. IV
Из последнего уравнения видно, что прямая v=\/\
соответствует данной параболе. Функция F5) отображает
область D на полуплоскость 1тьу> 1/ -^ , модуль ее
производной в точке г = 0 равен
| dw '¦ |
j"dz"|z=o ""Г
i 2 I/ г -¦"- ¦
г=0
7-iL
следовательно, комплексным потенциалом течения служит
функция
w --- v0 \r2pz — р2. F6)
Величина скорости построенного течения в точке z — x-\-iy
параболы равна
I dw I pv0 У pv0
При удалении точки по параболе у2 — 2рх в бесконечность
она стремится к 0, скорость в вершине параболы макси-
максимальна. Линии тока пред-
представляют собой параболы,
софокусные с С.
Пример 3. Обтека-
Обтекание той же параболы;
предполагается, что поток
набегает на нес слева, при-
причем этот поток симмет-
симметричен относительно дейст-
действительной оси (рис. 77).
Из этих предположений
следует, что отрицательная
линией тока, и согласно
42) мы можем перейти
Рис. 77.
действительная ось является
принципу отвердения (см. п
к рассмотрению потока, обтекающего контур ABC (рис 77).
Функция F5) отображает область D, ограниченную кон-
контуром ABC, о прямой угол: линия ВС переходит в прямую

44]
ЗАДАЧА ПОЛНОГО ОБТЕКАНИЯ
16")
- г |/|) = г - р - г V2p7- //-
=-0.
а линия ЛВ — в прямую
и = 0.
Поэтому функция
осуществляет отображение области D па верхнюю полу-
полуплоскость. Легко видеть, что скорость в бесконечности
потока, определяемого последней формулой, равна еди-
единице, поэтому комплексным потенциалом течения со ско-
скоростью Uoo в бесконечно удаленной точке служит
w--=Veo[z-p-i У 2рг~р%). F7)
Отметим, что производная F7) в вершине параболы
dw
dz z=--0
Таким образом, скорость построенного течения в этой точке
обращается в пуль (такие точки называются критиче-
критическими). Последний результат физически очевиден.
44. Задача полного обтекания. Условие Чаплыгина.
Пример 1. Рассмотрение задачи IV мы начнем с
частного случая, когда С представляет собой окруж-
окружность \z\ = R, и будем вести
его опять в гидродинамических
терминах. Найдем сначала по-
поток идеальной жидкости, об-
обтекающий окружность \z\-R
и обладающий в бесконечности
скоростью Voo=-1, направлен-
направленной вдоль положительной дейст-
действительной оси (рис. 78).
Наложим дополнительное
условие, чтобы поток был сим-
симметричен относительно дейст-
действительной оси; тогда отрезки
( — со, — R) и (R, со) этой оси принадлежат липни тока.
По принципу отвердения (п. 42) мы можем перейти к
рассмотрению потока, обтекающего эти отрезки и верхнюю
полуокружность 12! = R, т. е. к задаче III. Согласно
п. 43 комплексным потенциалом поля является функция
Рис. 78.

166
ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКОГО ПОЛЯ
ГГЛ. IV
w = Q)(z), осуществляющая конформное отображение соот-
соответствующей области на полуплоскость с нормировкой
ф(со)^=со, Ф'(оо)—1. Этой функцией будет, очевидно,
ибо она преобразует полуокружность ] z j —: R в отрезок
— 2R<u<2R и отрезки — со < л: < — R, R<x<ca
в отрезки — со<ц< — 2R, 2R < и < со (см. п. 26, где
/?— 1; переход к произвольному R читатель должен про-
проделать самостоятельно). Наряду с построенным симмет-
симметричным потоком обтекание \z\--R дает поток вихря,
расположенного в точке z — О, комплексный потенциал
которого
где Г — произвольная действительная постоянная (см. п. 39).
Так как скорость потока вихря в бесконечности равна
нулю, то поток с комплексным потенциалом
w - Ф (г) -; Ф, (г) --= г + *- -[¦ ?. Ln z
F8)
обтекает \Z\--R и обладает в бесконечности заданной
скоростью 1. В и. 70 мы покажем, что F8) при различ-
различных Г содержит все решения поставленной задачи.
Величина скорости течения F8)
dw
j di
R-
' Z2"
следовательно, критические точки течения находятся
из уравнения
' :¦ z - R- = О,
z2-
откуда
Если [ Г i < 4л#, то I гкр
| Г I >
~
f 16я8/?*
имеем | г1(р | = ^-1 Г ±
= /?; при
Отсюда

44]
ЗАДАЧА ПОЛНОГО ОБТЕКАНИЯ
167
следует, что в первом случае критические точки лежат
на окружности I z | — R, а во втором не лежат, причем
одна из критических точек z'Kp лежит вне окружности,
а другая z"Kp — внутри (по свойству корней квадратного
уравнения z'kpZkP -= — R2). Мы огра-
ограничимся рассмотрением первого слу-
случая. Полагая на окружности z — Rei(f,
получим:
2яЯ
2sincp—2-я-?.,
\dz
откуда для аргументов критических
точек имеем:
== arcsin
ф2 == я - arcsin
в)Р>4я/?
F9)
В точке Re1^ линия тока, подходя-
подходящая к ней, разветвляется на две:
одна обходит верхнюю, а другая —
нижнюю дугу окружности. В точке
/?е"Р1 обе линии снова соединяются
(рис. 79, а). Первая из этих точек
называется точкой разветвления, а
вторая — точкой схода потока.
Для симметричного потока (Г =^0)
критические точки совпадают с :•- R.
Поток вихря стремится сблизить эти
точки —при возрастании Г обе точки Рис. 79.
поднимаются и при Г — 4kR слипают-
слипаются в одну точку (рис. 79, б). Дальнейшее увеличение Г
приводит к образованию замкнутых линий тока (рис. 79, в).
Построение потока с заданной скоростью в бесконеч-
бесконечности Voo и с заданной величиной циркуляции Г, обтека-
обтекающего некоторый замкнутый контур, называется задачей
полного обтекания. Формула F8) решает задачу полного
обтекания окружности \z\-R для случая, когда 1Л»-- 1.
Заметим, что вместо величины циркуляции Г можно
задаваться (при достаточно малых Г) точкой схода потока,
ибо они связаны между собой формулой F9).

168 приложения к теории плоского поля [гл. iv
Пусть теперь задан произвольный замкнутый контур С,
состоящий из конечных точек, на нем некоторая точка г0
(точка схода потока) и комплексное число Voa (скорость
в оэ). Дли решения задачи полного обтекания мы найдем
конформное отображение
t-f(z) G0)
внешности С на внешность некоторого круга ]?!>/?
с нормировкой *)
/(оо)-^оо, f'(oo)=7«
(черта —знак комплексного сопряжения). Пусть при этом
точка z0 переходит в точку ?0 •— Rei(f*>; мы потребуем,
чтобы было |фо|<4 > и построим по формуле F8) поток
со скоростью 1 в оо и с точкой схода ?0:
w^QhM-.Z+f + ^Lnl G1)
(циркуляцию Г r последней формуле согласно F9) нахо-
находим из соотношения Г —4n#sin(p0).
Суперпозиция w --Фг [/ (г)| дает комплексный потен-
потенциал потока, обтекающего С с точкой схода г0, причем
скорость в бесконечности
Следовательно, эта суперпозиция и дает решение задачи
полного обтекания контура С.
Пример 2. Полное обтекание окружности \z\ — Ro
с заданной скоростью Vx в бесконечности.
Функцией G0) здесь служит t,--Vxz, радиус Я в фор-
формуле G1) равен, следовательно, \V»\R0, и последняя
формула принимает вид
w ¦-¦- Vxz-\- R" \V- - -!-r^-r Ln z --= VooZ +¦ V-°f-" -f 2^.y Ln z G2)
мы опускаем постоянное слагаемое „ ~ Ln Vo
*) /Mi>i нормируем здесь величину производной f (оо), но зато
ост<и!.'1ясм пронзнольной величину ^. которая определяется
m yi-.Kiiiiiii мормпроикн (см. пример 2).

44] ЗАДАЧА ПОЛНОГО ОБТЕКАНИЯ 169
Читатель проверит самостоятельно, что уравнения F9),
связывающие циркуляцию и критические точки потока,
заменятся здесь уравнением
Г = 4rcUooi?sin (фо — 0), G3)
где Uoo^jVool, 0 = argVoo и <ро — аргумент точки схода
потока.
Замечание. Вместо G0) можно рассматривать кон-
конформное отображение ?-=g(z) внешности С па внешность
круга | ?| > /? с нормировкой g(co) ¦— оо, g (oo)= 1 и затем
строить поток со скоростью У.» в оо по формуле G2).
Тогда решение задачи полного обтекания будет давать
функция
Пример 3. Полное обтекание профиля Жуковского С
(см. п. 28).
Функция B1) предыдущей главы
to == со (г) == (z + V'z2 — 4) G5)
осуществляет конформное отображение внешности С на
внешность некоторого круга С* (см. п. 28). Построим еще
линейное отображение
? = /(ш), /(оэ)=со, Г(оэ)=1
внешности С* на внешность некоторого круга ^?|>/?.
Тогда суперпозиция /(со) и G5) Z,-- 1(м(г)) --g(z) осу-
осуществляет отображение внешности С на внешность [ ? \ > R
с нормировкой g(co)—co, g'(co) — f (oo)-w'(oo)= 1. По-
Поэтому искомым комплексным потенциалом служит функ-
функция G4).
В острой кромке крыла А, где г = 2 (рис. 80), произ-
производная G5) -5°- =- fl-r-r,,, .-- Л| ,= оо (эффект
острия), а так как —'=^/'(ю) конечна всюду на С*, той
dz z=2 V ' dz г=2

170
ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКОГО ПОЛЯ
[ГЛ. IV
Однако, как показал известный русский ученый С. А. Ч а-
плыгин A869 — 1942), при обтекании профиля с острой
кромкой А в последнюю под влиянием вязкости и вихре-
образования смещается точка схода потока. В силу этого
условия в точке окружности 't,\=-R, соответствующей А,
производная - ,г- обращается в
пуль и результирующая величина
йю
d
скорости -- ~--~A
~r~
оказыва-
оказываРис. 80.
dz ~~ dt,
ется конечной.
Упомянутое условие называ-
называется условием Чаплыгина. Со-
Согласно условию Чаплыгина при
обтекании контура с одной ост-
острой кромкой однозначно опреде-
определяется положение точки схода потока, а следовательно по
G3) и величина циркуляции Г в формуле G4). Скорость в
бесконечности Vco остается комплексным параметром (из-
(изменение, например, направления вектора Vcc означает
изменение угла атаки).
45. Другие методы. Приведем еще несколько примеров
прикладных задач, решаемых иными методами, чем пред-
предложенные в предыдущих пунктах.
Пример 1. Распределение тем-
температур в пространстве, ограни-
ограниченном двумя вертикальными стен-
стенками, на которых поддерживается
температура 0е, и горизонтальным
дном, нагретым до температуры t°
(между стенками и дном имеется
теплоизоляция).
Задача сводится к определению
комплексного потенциала w = ? (г)в
полуполосе D, изображенной на
рис. 81 (расстояние между стенками принимаем равным я).
Рассматриваемая задача принадлежит типу III, однако
наличие изолирующих точек В п D несколько меняет дело.
Будем считать физически очевидным, что решение задачи
единственно. Как и в задаче III, прежде всего преобра-
преобразуем область D в верхнюю полуплоскость; это осуществляет
1
1
'У/
У
А
\
В '
С D
Рис. 81.

45] ДРУГИЕ МЕТОДЫ J71
функция
со = sin z — -„- ) = — cos z
ч 1 У
(см. пример 2 п. 33). Изолирующие точки 0 и я перешли
при этом в точки — 1 и 1.
Постараемся теперь подобрать регулярную в верх-
верхней полуплоскости функцию w = g((u), мнимая часть кото-
которой на отрезке ( — 1, 1), соответствующем дну AD, при-
принимает значение t, а на лучах (— оо, — 1) и A, оо),
соответствующих стенкам ЛВ и DE, — значение 0. Подо-
Подобрав такую функцию, мы заметим, что суперпозиция
w = g ( — cos z) служит искомым комплексным потенциалом.
Мнимую часть g(&) естественно искать среди линей-
линейных комбинаций функций arg(m j 1) и arg(ce—• 1) *):
Img(co)-Ciarg(co-|- l)-f c2 arg (со - l) + c3.
Для определения трех постоянных cit c2 и cs имеем сле-
следующие три условия:
при — оо < х < — 1 Im g (со) - c\7i -\ г2л -г с3 --¦ 0,
при — 1 < Л' < 1 Im g (to) — с2я 1- c3 = t,
при I < х < оо Img-(tt)=: с3 = 0.
Отсюда с3 = 0, с2 = ^ , d ---- — ~ и
) = ^ {arg(co-l)-arg(co+l)}- ^ arg ™-| .
Но мы знаем регулярную функцию с такой мнимой частью,
это
t , со — 1
w — —\n , .
Л ?0 р 1
Подставляя ш= —cosz, получим искомый комплексный
потенциал
.... . t , cos г - -1 2/ . / . , г
*) Функция действительного переменного:
О, если х > О,
гт, если х < О,
терпит разрыв в точке х~0. Поэтому функции arg (@-[-1) и arg (со—1)
терпят разрывы в тех точках действительной оси, в которых нужно.

172 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКОГО ПОЛЯ [ГЛ. IV
Имеем:
Я.
x i У ¦ ¦ x t. У
2 cosych f —i sin у shy
_^" _ 1 j-i "
я x , i/ . . x , у
cos -2 sli 2 — i sin ychy
, и , у , . . x x
2t sh-2-ch I--I-1 sin -g-cosy
t хУХ
или окончательно
x? (z) = — In —^-!~'— n * . G6)
4 ' я ch y— cos л: у
Отсюда получаем выражение для температуры
. . т иг / \ '-( sh г/1 z'sinjc 2/ i sin x ,пп\
v (х, у) - Im W (г) - ¦-¦ arg - h^- cos x - -я arctg -h- G7)
и для функции тока тепла
. . п „. , , It . ' sh (/-|-« sin x
и (х, у) ----- Re VF (г) = • п | -. ¦' '
\ ' Ji s v ' я I ch y—cos л;
"л (ch г/- - cos хJ я ch i/—cos x '
Формулы G7) и G8) позволяют написать уравнения семейств
изотермических линий и линий тока тепла:
sin х , cos x , /-?n\
— — const, —.- —const. G9)
sh у ch у v '
Описанный метод применим и для решения задач из
примеров 1 и 2 п. 41: если известно отображение области D
на полуплоскость, то вместо того, чтобы находить, далее,
конформное отображение полуплоскости на полосу, удов-
удовлетворяющее условиям задачи, можно находить регуляр-
регулярную в этой полуплоскости функцию по ее свойствам (как
только что делалось).
Этот метод применим также для построения поля в лю-
любой односвязиой области, на границе которой заданы

45]
ДРУГИЕ МЕТОДЫ
173
кусочно-постоянные значения действительной или мнимой
части комплексного потенциала (см. еще ниже, п. 57).
В частности, с его помощью хорошо решаются электро-
электростатические задачи, п которых на границе С (одпосвязной)
области D задано некоторое число изолирующих точек,
отделяющих участки С с различными потенциалами.
Пример 2. Электростатическое поле внутри угла D
О < arg z < ¦" , образованное зарядом величины q, сосредо-
сосредоточенным в точке zo = ae G (рис. 82). В пространстве ему
соответствует поле в угле между плоскостями, образован-
образованное равномерно заряжен-
заряженной прямой, параллель-
параллельной линии пересечения
плоскостей. Отобразим
угол D па верхнюю полу- z
плоскость ? с помощью *" & ¦*''¦'
функции
O+ff
Рис. 82.
заряд q перейдет при
этом в точку ?j --- аяс. §»_<,
Задача свелась к опре-
определению комплексного
потенциала поля точеч-
точечного заряда в полупло-
полуплоскости. Для ее решения
мы заметим, что влияние
проводящей прямой Im ? = 0 может быть заменено влия-
влиянием заряда величины — <у, сосредоточенного в точке ?2 =
= —а3/. В самом деле, для поля двух наших точечных
зарядов прямая является одной из эквипотенциальных ли-
линий и, следовательно, в верхней полуплоскости
ноле двух точечных зарядов совпадает с нолем одного
точечного заряда и зарядов, индуцированных им на прямой
Im? = 0. Таким образом, комплексный потенциал вспомо-
вспомогательного ноля определяется по формуле D2) п. 38:
о» =

171 ПРИЛОЖЕНИЯ К Т1ЮРИИ ПЛОСКОГО ПОЛЯ 1ГЛ. IV
Искомый комплексный потенциал получим, заменяя в по-
последней формуле ? = г3:
w = 2qiLn?±%. (80)
Семейство эквипотенциальных линий поля определяется
уравнением
| гз-fcsj | ,
-г- -1--' =с=- const.
| г3 -аЧ |
Вводя полярные координаты z — re^, мы запишем это урав-
уравнение в виде
г6 -f 2aV3 sin Зф + a6 = с2 (г6 - 2a3r sin 3<р + a"),
откуда
Jli ('" " «6) = 4«;'/'3 sin 3Ф'
и окончательно:
где С —произвольная постоянная. В частности, приС = 0
эквипотенциальная линия состоит из лучей ф = 0 и ф =- "п ,
ограничивающих поле.
Метод, которым мы пользовались при решении послед-
последней задачи (замена прямолинейного проводника точечным
зарядом, симметричным данному заряду), называется мето-
методом изображений. Вместо того чтобы использовать вспо-
вспомогательное конформное отображение ? =-- z3, мы могли бы
сразу применить этот метод, заменяя стороны угла системой
зарядов qx= —q, q2— +q, q%=—q, qi=+q, <75=—<7>
_. я .я
сосредоточенных в точках z4 — at, z2= — ae 6, z3= — ae (i,
24----ai, zb-=-ae *6 (рис. 82). Простая выкладка пока-
показывает совпадение с (80) комплексного потенциала, полу-
полученного этим способом.
Метод изображений может быть с успехом использован
и при решении ряда других задач как электростатических,
так и гидромеханических. В гидромеханике на основании
этого метода при рассмотрении поля точечного вихря
интенсивности Г в полуплоскости заменяют стенку, огра-

УПРАЖНЕНИЯ 175
ничивающую полуплоскость, вихрем интенсивности —Г,
расположенным симметрично данному относительно этой
стенки. При решении аналогичной задачи для поля точеч-
точечного источника интенсивности Q стенку можно заменять
симметричным точечным источником той же интен-
интенсивности Q (а не-Q, как для вихря и заряда). Чита-
Читатель самостоятельно разберет причину этого.
Дальнейшее развитие вопросов, затронутых в этой
главе, см. в книгах И. М. Ленина (Расчеты электромаг-
электромагнитных полей, изд. ВЭТЛ, 1939), В. В. Голубева (Лекции
по теории крыла, Гостсхиздат, 1950), Н. Е. Кочина,
И. А. Кибеля и Н. В. Розе (Теоретическая гидромехани-
гидромеханика, Физматгиз, 1963), X. Карслоу (Теория теплопровод-
теплопроводности, Гостехиздат, 1947), Г. В. Колосова (Применение
комплексной переменной к теории упругости, ОНТИ, 1935)
и Н. И. Мусхелишвили (Некоторые задачи теории упру-
упругости, Изд. АН СССР, 1949).
Упражнения
1. Найти эквипотенциальные линии, силовые линии и вектор
напряженности поля, если комплексный потенциал w-—-2-.
2. Потенциальная функция поля имеет вид V=^arctg ~ - . Найти
til ГСл
уравнения силовых линий и комплексный потенциал.
3. Эквипотенциальные линии поля—окружности х"-\-у2 — 2ах.
Найти отношение пели чип напряженности поля в точках Bа, 0)
и (а, а).
4. Движение жидкости создается источником интенсивности
Q и вихрем иитенсипиости Г, помещенными в начале координат
(«вихреисточник»). Доказать, что линии тока- логарифмические
спирали.
5. Найти эквипотенциальные линии в примере 1 н. 41 и линии
тока н примере 1 п. 43.
6. Какими зарядами создается электростатическое поле, ком-
комплексный потенциал которого w-—2qiLn ( z2-r—j ) '¦
7. В точках Zi — а, г2 — — расположены источники интенсивно-
интенсивности Q, а в точке г—0 -сток той же интенсивности. Показать,
что окружность | г |—1 служит линией тока (ср. метод изображений,
п. 45).
8. На луче х = 0, у > 1 потенциал равен Vo> а на действитель-
действительной оси—нулю. Найти плотность распределения зарядов на дей-

176 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКОГО ПОЛЯ [ГЛ. IV
ствительной оси. I Указание: в электростатике доказывается, что
плотность заряда в точках проводника о"=^--— Е. )
тЛ у
9. На окружности |г—2г"| = 1 плотность заряда 0=1. Как она
распределится, если заземлить действительную ось?
10. Найти электростатическое поле в пространстве между двумя
цилиндрами, перпендикулярными к плоскости г, которые пересекают
эту плоскость по окружностям |г| = 1 и \г—\\=2' Разность
потенциалов между цилиндрами рапиа 1. Какова наименьшая и наи-
наибольшая плотность распределения заряда па цилиндрах?
11. На эллипсе с полуосями 2 и V 3 температуря равна 0°,
а на отрезке между его фокусами 100°. Найти тепловое поле.
12. Найти распределение температуры в секторе ()<ф<а,
г^>а, если температура ргшпа 0° на лучах и 1° на окружности.
13. Найти комплексный потенциал плоского течения жидкости,
вытекающего из левой полуплоскости в правую через отверстие
в мнимой оси между точками — г" и -\-i. Расход жидкости Q задан.
М. Найти комплексный потенциал и линии тока для движения
жидкости в первом квадранте, если в точке г=1---« находится
источник интенсивности Q, а в точке г=0- сток той же интен-
интенсивности.
15. Найти электростатическое поле в полукруге \ г |< 1, Itn z>0,
если 'на дугах окружности 0 < arg г < ¦=- н 4, < arg z < я потен-
потенциал равен — Vo и -\-Vo, а иа диаметре он равен0 (точки t и ± 1 —
изолирующие).
16. Найти течение жидкости в угле 0 < argг<~, созданное
. п
источником величины Q, сосредоточенным в точке го = а<г
(ср. пример 2 п. 45).

ГЛАВА V
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕГУЛЯРНЫХ
ФУНКЦИЙ. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
46. Интеграл от функции комплексного переменного.
Пусть в некоторой области D на плоскости z = x-\-iy,
состоящей из конечных точек, задана однозначная и
непрерывная функция
w = f(z)=--u(x, y) + iv(x, у) A)
и пусть С—произвольная кусочно-гладкая кривая (см.
п. 8), принадлежащая D вместе со своими концами а и Ь.
Разобьем С произвольным образом на п участков точками
г0 = a, Zi, . .., г„_1, zn — b, расположенными на С в поряд-
порядке возрастания их номеров; обозначим zk — гил = Аг^ =
= Длг/i + /At/ft, выберем на каждом участке (г7(_ь г*) кри-
кривой С произвольную точку t,k = Ъ. -|- Щь. и образуем сумму
= Д {« (Eft. Л*) Ах* - у (Еи, тц) A//ft} -f- B)
п
-ft "
2 { (I %)(|
ft=i
Сумму B) мы назовем интегральной суммой функции /(г),
вычисленной для данного разбиения кривой С и данного
выбора точек t& (sn зависит как от выбора 2ц, так и от
выбора Lft). Наконец, рассмотрим произвольную последо-
последовательность разбиений кривой С таких, что длина
12 Б. А. Фукс, Б. В. Шабат

178 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. V
наибольшего отрезка п-то разбиения
max |Агй| = б„—>0 при п—>оо. C)
ft=i, 2 п
Определение. Предел интегральных сумм B),
вычисленных для произвольной последовательности раз-
разбиений С, удовлетворяющих условию C), называется
интегралом, от функции f(z) вдоль кривой С и обозна-
обозначается символом
п
\f(z)dz=--\imyi /(Sft)Azft. D)
с n~00 *=i
В принятых нами условиях предел D) всегда сущест-
существует и не зависит ни от выбора последовательности раз-
разбиений С, ни от выбора промежуточных точек ?а (теорема
существования интеграла). В самом деле, в силу B)
п
f(z)dz = lira У {u(lh, ^bxu-vilk, v\h)byk} +
n+oo r"^
но, как доказывается в курсах анализа, суммы в правой
части последнего равенства для любых непрерывных
и (х, у), v (х, у) и кусочно-гладкой С при условии C)
стремятся к определенным пределам, не зависящим ни
от выбора (Xk, Ук), ни от выбора (lh, "Л*)-
Эти пределы являются криволинейными интегралами и,
следовательно,
= jj u(x, y)dx — v(x,
с
v(x, y)dx + u(x, y)dy. E)
с
Из E) следует, что на интегралы от функций ком-
комплексного переменного распространяются все обычные
свойства криволинейных интегралов. Отметим, в част-
частности, теорему об оценке интеграла;

47] ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ 179
Теорема 1. Если на кривой С всюду \ f (z) j < М,
то
f(z)dz
F)
где I — длина С.
В самом деле, выберем произвольную последователь-
последовательность разбиений С, удовлетворяющих условию C). Имеем:
п п п
f(Zu)bzk
следовательно,
п
f(z)dz
—
lim 2
< У
к=Л
f
Zfc
<M
A2ft 1 < M 2
n
k=i
ибо в силу C) 2 |A2ft| —длина ломаной, вписанной в
С, —при п—>оо стремится к длине С.
47. Интегральная теорема Коши. Выясним условия,
при которых интеграл \ f(z)dz вдоль любого пути С,
с
лежащего в области D, не зависит от вида С и пол-
полностью определяется его концами а и Ь. Прежде всего
для этого необходимо и достаточно, чтобы интеграл от
/(z) вдоль любого замкнутого пути С, лежащего
в D, равнялся нулю*)
jf(z)dz = O. G)
с
В самом деле, если в области D G) выполнено, а С\
и С2 — два произвольных пути, ведущих из точки а
в точку Ь (а, Ъ, Сх и С2 принадлежат D), то мы рассмот-
рассмотрим замкнутый путь С, составленный из Ci и С2, прохо-
проходимого в противоположном направлении: С = Ci-\-Cl
(рис. 83). В силу G) и свойства криволинейных интег-
интегралов
0 = §f(z)dz= ^/(z)dz-J f(z)dz,
С С i С 2
*) Кружок в интеграле G) обозначает замкнутость пути С.
12*

180
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[ГЛ. V
откуда
= \ f(z)dz
Са
и, следовательно, в *D интеграл не зависит от пути.
Обратно, если в D интеграл не зависит от пути и С —
произвольный замкнутый контур, принадлежащий D, то
мы выберем на С две точки а и b
и обозначим fii и С2 дуги С, ве-
ведущие из а в b (рис. 83); имеем
тогда
~\ f(z)dz-\ f(z)dz =
Рис. 83.
и, следовательно, в D выполняет-
ся G).
Далее, оказывается справедли-
справедливой следующая интегральная тео-
теорема Коши.
Теорема 2. Если функция /(г) регулярна в одно-
связной области D, то в этой области интеграл не
зависит от пути, т. е. для любого замкнутого конту-
контура С, лежащего в D,
Из условия регулярности функции f(z)~~u(x, y)-'riv(x, у)
в области D вытекает существование в каждой точке D
частных производных ? , ди-, у , ~ , удовлетворяющих
условиям Коши — Римана (см. п. 14). Мы ограничимся
доказательством теоремы Коши в д оно л н и т е л ь н о м
предположении о непрерывности этих частных
производных *). В силу E) вопрос о равенстве пулю
интеграла G) сводится к вопросу о равенстве нулю
*) Полное доказательство теоремы Коти читатель может, напри-
например, найти в учебнике Л. И. М а р к у ш е и и ч а, Краткий курс
теории аналитических функций, Физматгиз, М., 1961.

4?J ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ
действительных криволинейных интегралов
и $vdx-\-udy. (8)
с с
Но, как известно из общего курса анализа, для равенства
нулю интеграла
jPdx + Qdy
с
вдоль любого замкнутого контура С, лежащего в одно-
связной области D, достаточно *):
1) существование и непрерывность в D частных произ-
производных функций Р(х, у) и Q (х, у) и
2) выполнение в каждой точке D равенства
дР dQ
ду "~ дх
Для интегралов (8) условие 1) выполняется в силу
наших предположений, условие 2) для этих интегралов
записывается в виде
да dv dv ди ,q,
ду ^ ~~ дх ' ду ~ дх ' *¦ '
Но условия (9) совпадают с условиями Коши —Римана
п. 14 и, следовательно, имеют место в каждой точке D.
Наше утверждение доказано.
Замечание. Оказывается справедливой и теорема,
обратная теореме Коши:
Теорема. Если функция f(z) непрерывна в одно-
связной области D и для любого замкнутого контура С,
лежащего в D,
§f(z)dz=~-O,
с
то f (z) регулярна в области D,
*) Читателю рекомендуется восстановить в памяти доказатель-
доказательство этого предположения и, в частности, обстоятельства, в связи
с которыми существенны предположения об односвязности D и непре-
непрерывности частных производных.

182
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[ГЛ. V
Мы приводим ее без доказательства. Теорема Коши
и обратная ей позволяют дать иное определение регуляр-
регулярной функции, равносильное старому: однозначная функ-
функция /(г) называется регуляр-
регулярной в D, если она непрерыв-
непрерывна и ее интеграл вдоль лю-
любого замкнутого контура С,
лежащего в D, равен нулю.
Теорема Коши обобщается
и на многосвязные области.
Пусть дана (п -}- 1)-связная
областьD, ограниченная кри-
кривыми Со (внешняя граница),
С\, С2, ¦.., Ся (внутренние
границы), и функция f(z),
регулярная в замкнутой обла-
области D (рис. 84). Проведем
разрезы yi. Y2. • • •> Уп, пре-
гфащающие D в одпосвязпую область D', и обозна-
обозначим С границу D'. Так как D' односвязна и f (г) регу-
регулярна в D'', то по теореме Коши
Рис. 84.
с
Выберем такое направление обхода С, при котором
область остается все время слева. Тогда Со будет прохо-
проходиться в положительном направлении, С1; С2 Сп —
в отрицательном, а уи у2, ..., уп — дважды в противопо-
противоположных направлениях. В силу свойств криволинейных
интегралов мы получим:
jf(z)dz-jf(z)dz- ^ §f(z)dz =
A0)
с
(интегралы по уи взаимно уничтожаются).
Если теперь условиться, чтобы при обходе границы
области D эта область также оставалась слева, т. е. изме-
изменить направления обходов Си С2, ...,Сп на отрицатель-
отрицательные (мы будем тогда писать Сп вместо Съ), то A0)

48J ТЕОРЕМА КОШИ О ВЫЧЕТАХ 183
примет вид
П
$2 §B)dz = O. (И)
Формула A1) выражает обобщение теоремы Кош и на
области любой связности:
Теорема 3. Если функция f (z) регулярна в замк-
замкнутой области D, то ее интеграл вдоль границы D,
проходимой так, что область остается с одной стороны,
равен нулю.
Замечание. Более тонкий анализ показывает, что
теорема 3 остается в силе, если /(г) регулярна в
открытой области D и лишь непрерывна в JU.
48. Теорема Коши о вычетах. Формула Чаплыгина.
Из формулы A0) следует также, что если / (z) регулярна
всюду внутри С, кроме участков, ограниченных кривыми
Си С2, • ¦ •, Сп, ТО
п
$/(z)dz=2 f f{z)dz A2)
С h=l \h
(в формуле A2) все кривые проходятся в положительном
направлении). В частности, если f(z) регулярна в кольце
между контурами cft и c'h, то
j f(z)dz^jf(z)dz. A3)
В дальнейшем нам часто придется иметь дело со слу-
случаем, когда функция f(z) регулярна всюду внутри С,
кроме конечного числа точек аъ аг, ...,ап. Эти точки
называются тогда особыми точками*) функции f(z).
Окружим каждую точку ah малой окружностью ch так,
чтобы внутри си не было других особых точек, различ-
различные ck не имели бы общих точек и все Ch лежали внутри С.
В силу A3) интеграл вдоль ck не изменяется при
замене cft любым контуром c'h, лежащим внутри С и со-
содержащим Внутри СебЯ ЛИШЬ ОДНу ОСОбуЮ ТОЧКу <2k,
*) Полное определение термина см. в п. 61.

184 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. V
и поэтому зависит лишь от функции /(г) и точки ak.
Его величина, для удобства дальнейших приложений
деленная на 2яг, называется вычетом функции /(г)
в точке ak и обозначается символом*)
res f(ah)-^^.§f(z)dz. A4)
ck
Формула A2) позволяет теперь высказать следующую
теорему Коши о вычетах.
Теорема 4. Если функция /(г) регулярна в обла-
области D, ограниченной кривой С, всюду, кроме конечного
числа особых точек аи а2, ..., ап, лежащих внутри С,
то интеграл [(г) вдоль С равен умноженной на 2лг
сумме ее вычетов относительно всех а^'.
: = 2ш^ res/(aft). A5)
С ft=l
В дальнейшем в главе VI мы подробнее изучим особые
точки функций и, в частности, найдем способы вычисле-
вычисления вычетов без интегрирования. Теорема 4 позволит
тогда вычислять с помощью вычетов интегралы от функ-
функций комплексного и действительного переменного (см.
главу VII). Здесь же мы ограничимся тем, что приведем
ряд формул, в которых применяется эта теорема.
а) Определение суммарного заряда и работы. Пусть
дано произвольное плоское электростатическое поле
и пусть С —произвольный замкнутый контур, который
можно окружить некоторой полоской, свободной от зарядов
поля. По формуле C3) п. 37 суммарный заряд поля,
расположенный внутри С,
dU(x, у), A6)
с с
где U (х, у) — силовая функция поля. Обозначим через
F{z)-=U-\-iV комплексный потенциал ноля. Функция F (г)
в силу наших предположений регулярна в некоторой
*) Символ res связан с французским написанием слова вычет
(rdsidu).

48] ТЕОРЕМА КОШИ О ВЫЧЕТАХ 185
полоске, окружающей С.Тогда U (x, y) = ReF (z), dll (x, у)~
= Re dF(z) = Re F' (z)dz, и формула A6) примет вид
'(z)dz. A7)
В частности, если внутри С расположено лишь конеч-
конечное число зарядов, сосредоточенных в точках аи а2, ...
..., ап, то по теореме о вычетах
l-ylm^ re&F'(ak). A8)
к—\ h=i
Аналогично, из формулы B6) п. 37 мы получаем, что
работа, которую нужно затратить при перемещении заря-
заряда q — -)- 1 вдоль кривой С,
A = [dV(x, у) = Im ^dF (г) - Im jj F' (z) dz. A9)
с с с
б) Определение потока и циркуляции скорости. На
основании формулы E0) п. 39 мы совершенно аналогично
получим, что поток вектора скорости V через замкнутый
контур С, который можно окружить полоской, свободной
от источников и вихрей,
Q = j{V, я")ds = JЛ|5(х, у) = Im jФ' (z) dz, B0)
с'с с
где -ф (лг, у) —функция тока и ФB) = ф(дг, #) + и|>(*, у) —
комплексный потенциал поля.
Из формулы D8) того же пункта следует, что цирку-
циркуляция скорости вдоль С
O'(z)dz. B1)
ее с
Объединяя B0) и B1), мы можем написать:
Г + iQ = Re | ф' (г) dz + i Im tf ф' (г) dz =.-. J Ф' (г) dz. B2)
с с 'с
В частности, если внутри С источники и вихри рас-
расположены лишь в конечном числе точек аг, а2, ...,ап,

18В
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[ГЛ. V
то на основании теоремы о вычетах B0) и B1) можно
представить в виде
Q = 2л Re 2 res Ф' (ak),
h=\
Г=-2л1т 2 res(P'(aft).
й=1
B3)
в) Формула Чаплыгина. Величина давления в плоском
потоке идеальной жидкости определяется известной фор-
формулой Бернулли
p = A—\V\ B4)
где А — некоторая постоян-
постоянная, q — плотность жидко-
жидкости и V — | V | — величина
скорости потока.
Пусть жидкость обте-
обтекает некоторый замкнутый
контур С (рис. 85). Так
как давление на С на-
направлено внутрь по нормали, то сила, действующая на
элемент ds— |dz\ длины контура, С равна
pidz= Aidz-^-V2dz,
а полная сила Р, действующая на замкнутый контур С,
равна векторной сумме сил pi dz, т. е.
Рис. 85.
Р = X + iY --= j pi dz - - -Ql' j V4z
(интеграл <§ Ai dz исчезает по теореме Коши). На контуре
с
С в силу условия обтекания скорость течения направле-
направлена по касательной:
где ф = arg dz (dz = dsel<f). Отсюда V = Ф' (z) e~i(f, и наша

49] НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 187
формула принимает вид
р =,.- - i| [ Щг) ]«e-^dz - - f J [Ф'"(г, ]2 dz,
а с
ибо e~zl<sdz — e-i(fds--~dz. Переходя к сопряженным вели-
величинам, получим формулу для вектора, сопряженного с век-
вектором Р, подъемной силы, действующей на обтекаемый
контур С:
p., X-iY ¦-.:&-§ [Ф'(г)\Чг. B5)
Последняя формула получена С. А. Ч а и л ыгины м.
Если поток вне С свободен от вихрей и источников, то
Ф(г) регулярна вне С, и по теореме Коши в последней
формуле С можно заменить любым контуром, охватываю-
охватывающим обтекаемый профиль.
49. Неопределенный интеграл. Функция F (z) называет-
называется первообразной функции /(г), если
Любые две первообразные Ft(z) и F2{z) одной и той
же функции /(г) отличаются друг от друга постоянным
слагаемым. В самом деле, из самого определения следует,
что функции Fi(z) и F»(z), а также и их разность
Ф (z) - Л (z)-Fa(z)--•?/(*, y) + iV(x, у)
регулярны в некоторой области D. Далее,
W(z)-F\(z) ..-/ЭД-^-М-^-О,
следовательно, , =.-sO. Из условий Коши —Римана
следует тогда, что и , • = ¦, -0, а отсюда, как это дока-
доказывается в анализе, что функции U (х, у) и V(x, //) по-
постоянны в D. Таким образом, Ф (z)--С-¦ const и
Fi(z)-F2(z)--C.
С другой стороны, ясно, что, прибавляя к первообразной
постоянную величину, мы снова получим первообразную.
Следовательно, если /(z) имеет хотя бы одну первообраз-
первообразную, то она имеет и бесчисленное их множество.

188
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[ГЛ. V
Совокупность всех первообразных функций /(г) назы-
называется неопределенным интегралом и обозначается сим-
символом
\f{z)dz.
Из сказанного выше следует, что неопределенный
интеграл представляет собой семейство функций, отли-
отличающихся от своего какого-либо представителя на произ-
произвольное постоянное слагаемое.
Теорема 5. Пусть функция f(z) регулярна в одно-
связной области D и z0 —некоторая фиксированная
точка этой области. Тогда функция
где интеграл берется вдоль любой кривой L, соединяю-
соединяющей точки z0 и z и лежащей в D, регулярна в D и
является первообразной функ-
функции / (г).
Из теоремы Коши следует,
2
что \ f{z)dz определяет неко-
•го
торую однозначную функцию
F (г). Остается показать, что
F' (г) существует и ранна / (г).
Пусть г —произвольная точка D
и е > 0— фиксированное число.
Выберем комплексное число h
столь малым по модулю, что
прямолинейный отрезок / с концами в г и z-\-h также
лежит в D и для всех ?, для которых j l, — z \ < | h \, имеет
место неравенство
Рис. 86.
В силу свойств криволинейных интегралов
z+h

49] НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 189
причем мы можем считать, что здесь интеграл берется
вдоль отрезка / (рис. 86). Далее, из определения инте-
интеграла непосредственно следует, что
г + h n
\ dt-lirn 2 1-Д?* = А,
ибо сумма
п
V, А?, = (d - г) -Ь (?2 - U) + .. . -f (г -|- h - С.0 =
h = I
¦¦-z + h — z~h.
Поэтому можно написать:
¦/(*)= 4
z + h
h
z
Используя неравенство | / (?;) — / (г) | < e и теорему 1, имеем:
-f(z) t,^ ^ 1
а это и означает, что существует
-.e-IAI-e,
Теорема доказана.
Следствие 1. Если функция f (z) регулярна в одно-
связной области D, то се неопределенный интеграл мо-
может быть представлен так:
B6)
Здесь интеграл берется вдоль любой кривой, лежащей
в D и соединяющей z0 и z, а С — произвольная посто-
постоянная.

190 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. V
Следствие вытекает непосредственно из теоремы 5,
рассмотренной в начале этого пункта, и теоремы суще-
существования интеграла вдоль кривой (см. п. 46).
Следствие 2 {формула Ньютона — Лейбница). Если
функция f{z) регулярна в односвязной области D, то
интеграл от f(z) вдоль любого пути, соединяющего точ-
точки Zi и z-i этой области и лежащего в ней, равен раз-
разности значений в г2 и Zi произвольной первообразной f(z):
B7)
Для доказательства заметим, что согласно теореме 5
где С- некоторая постоянная. Положив здесь z — Zi, по-
получим F(Zj)- -С и, следовательно,
J (z>dz- -. F (za) - С = F (zt) - F (zi),
что и требовалось.
Мы видим, таким образом, что определение первооб-
первообразной и формула Ньютона -Лейбница для- функций
действительного переменного и для регулярных функций
комплексного переменного полиостью совпадает. Благо-
Благодаря этому интегралы от элементарных функций ком-
комплексного переменного вычисляются с помощью тех же
формул и методов, что и в действительном анализе.
50. Интегрирование степеней (г —а). Начнем с инте-
интегрирования функции W — --. Эта функция имеет особую
точку Z--0, поэтому ее интеграл вдоль окружности С:
¦z,' = /?, может быть отличен от нуля. Для вычисле-
вычисления этого интеграла мы положим г — Rei9, тогда
dz = Re1*? i dq> и

50]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ СТЕПЕНЕЙ (г — a)
191
Между прочим, отсюда и из A9) следует, что вычет
функции w — — в особой точке z = 0 равен 1.
Рассмотрим теперь интеграл от — вдоль произволь-
произвольного пути /, соединяющего точку 1 с точкой г и не про-
проходящего через 0. Обозначим через D плоскость z с вы-
выброшенной отрицательной полуосью и предположим сначала,
что путь / целиком лежит в D, В области D главная
ветвь логарифма
In г — In | z | + i arg z, - - л < arg z
я,
является одной из первообразных — , ибо •,--In z--—.
с (XZ Z
z
С другой стороны, \ —также является первообразной
этой функции, следовательно, в силу B6)
.1 ( z
Полагая в обеих частях последнего равенства z—1, най-
найдем, что С = 0 и
B9)
Мы получили интегральное представление главной ветви
логарифма.
Пусть теперь L обозначает произвольный путь, соеди-
соединяющий 1 с z и любое число раз обходящий точку z = 0,
но не проходящий через последнюю.
Рассмотрим окружность с с центром в z==0, внутри
которой нет точек / и L (такая окружность всегда
существует, ибо / и L не проходят через z~=0), кон-
концентрическую с ней окружность С, содержащую внутри
себя все точки I и L (рис. 87), и обозначим через L'
замкнутый контур, состоящий из / и L" (последний про-
проходится в направлении от г до 1). По формуле A3)

192
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[ГЛ. V
значение интеграла
не~изменяется, если L' произволь-
L
ным образом непрерывно деформировать внутри кольца,
ограниченного с и С Пользуясь этим замечанием, мы
деформируем L' в кон-
у тур L", состоящий из дваж-
дважды проходимых (в проти-
противоположных направлени-
направлениях) кривой / и отрезка
положительной полуоси
между 1 и с и л раз про-
проходимой окружности с.
Число п зависит от вида
контура L (мы будем счи-
считать его положительным,
если с проходится против
часовой стрелки, и отрица-
отрицательным в противном слу-
случае (на рис. 87 я— +2)).
Интегралы вдоль / и отрез-
отрезка взаимно уничтожаются,
интеграл вдоль п раз про-
проходимой окружности в силу B8) равен 2яш (с учетом
нашего соглашения о знаке п), поэтому
Рис. 87.
dz
dz
Г J± = Г А*. _2яш =-Лпг-2яш = Ln2. C0)
1 1
Таким образом, интеграл от — вдоль любого пути L,
соединяющего точку 1 с точкой z, содержится в формуле
C0). С другой стороны, ясно, что интеграл C0) при над-
надлежащем выборе пути L дает любое значение Lnz. Следо-
Следовательно, интеграл C0) даст интегральное представление
функции Ln z.
Перейдем к общему случаю функции (z — a)n, где п —
произвольное целое число, положительное, отрицательное

.0] ИНТЕГРИРОВАНИИ СТ1-1ШНЕЙ (a-a) 193
или 0. Пусть С означает теперь любой замкнутый контур,
один раз обходящий точку а. Обозначим еще через с окруж-
окружность с центром б точке а, столь малую, что она целиком
содержится внутри С. Так как функция (г —а)" при любом
п регулярна б кольце между контурами С и с, то по фор-
формуле A3)
где оба контура проходятся в одинаковом (пусть в поло-
положительном) направлении. Вычисление последнего интеграла
производится так же, как и интеграла A9). Положим
z — а - - rei(p, где г—радиус с, тогда dz — re^idq», и этот
интеграл
2.1 2.1
с О О
Но так как функция en-v интегрируется по правилам дей-
действительного анализа (ибо для нее остается справедливой
формула дифференцирования, см. п. 8), то при п Ф — 1
_ п ,,0*)
(z-a)dz- ^eOD
/z [¦ 1 t p
с
(ибо при любом целом п — ei(-2"] '>л —¦ 1). При п-¦¦--- \ имеем,
очевидно,
2л
j (г - a) dz -= / ^' dep -. 2л1.
с 0
Итак, при любом целом п
,, { 0, если п Ф ¦ - 1,
i(z-a)ndz~[ о . . C1)
Лv ; I 2nt, если п - — 1. v '
Отсюда, между прочим, следует, что регулярность функ-
функции внутри контура интегрирования не является необходи-
необходимой для равенства нулю интеграла — при отрицательных п
функция (г —а)" имеет особенность при г —а, но при
*) При положительных п это равенство вытекает также из основ-
основной теоремы Коши.
13 Б. А. Фукс. Б. И. Шабат

194
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
[ГЛ. V
п ф — 1 интеграл C1) равен 0. На этот же факт указывает
и теорема Коши о вычетах. Из нее, в частности, следует,
что интеграл §f(z)dz исчезает не только тогда, когда
функция f(z) регулярна внутри С, но и когда внутри С
имеется несколько особенностей с нулевой суммой вычетов
или одна особенность с нулевым вычетом.
51. Интегральная формула Коши, которую мы намерены
сейчас получить, выражает фундаментальное свойство
регулярных функций. Оказывается, регулярная в замкну-
замкнутой области D функция f{z) вполне определяется своими
значениями f(?) на границе D. Иными словами, по гра-
граничным значениям такой функции
можно восстановить ее значения
всюду внутри области.
Интегральная формула Коши
с %с„ имеет вид
I
яг'Л Z — г
с
C2)
В ней функция f(z) предпо-
предполагается ^регулярной в замкнутой
Рис 88. области D, z означает любую
внутреннюю точку этой области
и интеграл берется вдоль границы D в таком направлении,
что D остается слева (граница D может состоять из не-
нескольких кривых, см. рис. 88).
Для доказательства мы фиксируем число е > 0 и окру-
окружим точку 2 столь малой окружностью с: |? — z\ — r,
лежащей в D, что для любой ее точки ?
|f(?)-/(z)|<e C3)
(это можно сделать в силу непрерывности функции f(z)
в точке z). В области D*, получающейся из D выбрасыва-
выбрасыванием круга | ? — 2 | < г, функция -/—- регулярна. Поэтому
в силу теоремы Коши п. 48

52] СУЩЕСТВОВАНИЕ ВЫСШИХ ПРОИЗВОДНЫХ 195
где с проходится в положительном направлении. На осно-
основании формулы C1) п. 50 мы можем написать*):
поэтому
С с
Отсюда в силу C3) по теореме 1 п. 46
2m J ? —г ' v ' 2я г
с
Так как е может быть выбрано сколь угодно малым,
а левая часть неравенства не зависит от е, то она равна О,
и формула Коши доказана.
Замечание 1. Если точка г лежит вне контура С,
то функция _ регулярна всюду в D, и по теореме Коши
Замечание 2. Формула Коши оказывается справед-
справедливой и в том случае, если функция f(z) регулярна лишь
внутри области D, но является непрерывной в замкну-
замкнутой области D. Мы не будем останавливаться на доказа-
доказательстве этого обобщения, но воспользуемся им в даль-
дальнейшем.
52. Существование высших производных. Интеграл
Коши C2) дает представление аналитической в области D
функции /(г) по ее граничным значениям f (?). Однако этот
интеграл будет иметь смысл и в том случае, когда в откры-
открытой плоскости задана произвольная кривая С (не обяза-
обязательно замкнутая) и на ней —произвольная непрерывная
*) По формуле C1) имеем
с
a f (г) постоянна при интегрировании по ?.
13*

196
интегральный представления
[ГЛ. V
функция /(?):
C5)
Интеграл C5) называется в этом случае интегралом типа
Коши.
Теорема 6. Функция F(z), определенная интегралом
типа Коши, регулярна в любой (конечной) точке г,
не лежащей на кривой С. Она обладает в таких точках
также производными всех порядков,
причем
Fm (г)-"'¦¦-. \ ,l°f,i. C6)
С
Докажем сначала, что в любой точке г,
не лежащей па С, существует
Рис. 80. ' ^' 2л
с
(отсюда следует первая часть теоремы). Для доказатель-
доказательства оценим разность между правой частью C7) и раз-
разностным отношением
F_(z !• h)-_F(z)_ J_ С' f 1_ _
h ' 2kHi ) \t z ¦ h
Обозначим через 2d минимум расстояний между z и точ-
точками ? кривой С и будем считать \h\<.d; тогда для всех ?
на С имеем \t, — z\>d, \t> — z — h'> d (рис. 89) и
Х- г, d ' ТЕ;' -г --7Г;' ^ ~d '
Обозначим еще через М максимум [ /(J) j на C(f(z) ограни-
ограничена на С, ибо она непрерывна, см. п. 13), тогда по тео-
теореме 1 настоящей главы
F(z rh)-F(z)_ 1 i- l(_L)d% I
ft 2ш- ] (t- г)* , "
\ —
(I)

52] СУЩЕСТВОВАНИЕ ВЫСШИХ ПРОИЗВОДНЫХ 197
где / — длина С. Но правая часть стремится к 0 вместе
с |Л|, поэтому существует
F (г -i-Л) -FB) I
П ' ¦ ¦ л ~ 2яЧ «)
Первая часть теоремы доказана. Точно таким же образом
мы докажем, что существуют
yF'^rh) Г'(г) р„ , 2
и вообще производные F (г) всех порядков и что эти про-
производные представляются формулой C6).
3 а м е ч а п и с. Формула C6), представляющая /г-ю про-
производную интеграла типа Коти C5), получается л-кратиым
дифференцированием интеграла C5) по параметру г. Тео-
Теорема 1 показывает, что это дифференцирование законно.
Из теоремы 6, в частности, следует, что и любая регу-
регулярная в D функция / (z) обладает производными всех
порядков. В самом деле, по доказанному в предыдущем
пункте f(z) представляется интегралом Коши по своим
граничным значениям. По интеграл Коши является част-
частным случаем интеграла типа Коши и по теореме 6 обладает
производными всех порядков; отсюда следует также фор-
формула представления для производных /(г).
Итак, доказана
Теорема 7. Любая регулярная в замкнутой области
D функция f (z) обладает внутри этой области производ-
производными всех порядков, причем эти производные представ-
представляются формулами
ttH?"' «-1.2.3, .... C8)
где С — граница D.
Замечание 1. Из теоремы 7 следует, что все про-
производные регулярной функции также регулярны (ибо они
в свою очередь дифференцируемы).
Замечание 2. Если считать, как это принято, что
О! — 1 и что il'"(z) = f(z), то формула C8) останется спра-
справедливой и при м — 0. Она совпадает тогда с интегральной
формулой Коши C5).

196 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. V
Таким образом, из существования в некоторой области
первом производной функции без всяких дополнительных
предположений следует существование (и регулярность)
всех ее производных. Это свойство существенно отличает
дифференцируемые функции комплексного переменного
от дифференцируемых функций действительного перемен-
переменного*).
53. Свойства регулярных функций. Отметим еще не-
несколько свойств регулярных функций, вытекающих из фор-
формулы Кошн. Прежде всего, если, в частности, С представ-
представляет собой окружность ! z — t,' ~: г, то, полагая t, — z — relf,
мы получим из этой формулы
иг)- .* \ m*L- i b-®riei9dv-
П2} -2л« ] g г - 2л/ J ГС«<Р Щ-
t-z =,' О
-^ \}(г [resell?. C9)
о
Формула C9) называется формулой Гаусса; она выра-
выражает так называемую теорему о среднем для регулярных
функций:
Теорема 8. Если функция / (г) регулярна в замкну-
замкнутом круге, то ее значение в центре этого круга равно
среднему арифметическому значений на окружности:
2л
Г(*)=2Я-\Нг-\ re*)dy. D0)
о
Из теоремы о среднем вытекает принцип максимума модуля:
Теорема 9. Если функция /(г) регулярна в области
1) и, не является постоянной, то ее модуль не может
достигать своего наибольшего значения во внутренней
точке D.
Будем доказывать эту теорему от противного. Пред-
Предположим, что / (z)| достигает своего наибольшего значе-
значения М во внутренней точке области D, и обозначим
через ? совокупность тех точек D, в которых | / (г) [ ----- /W.
Если Е совпадает с D, т. е. всюду в 1) ' / (г), = =М — const,
*) 15 действительном апа.:изе из сутестиопания первой произвол-
ной не следует даже ее непрерышюсть.

63] СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ 199
то /(г) постоянна. В самом деле, если М--0, то, очевидно,
и / (г) ^ 0. Если же М Ф 0, то в D [ (г) =/= 0, и там регу-
регулярна функция
(как сложная функция, составленная из регулярных). Ее
действительная часть постоянна в D. Тогда в силу условий
Коши — Римаиа
Fdarg / (г) ajn | /_B);j _ „ <brg / (г) д 1 п 7 (г) _ „
дх " ду ' ' ' ' ду ' ~ " ~дх' " —и'
откуда с.тсдует, что постоянна и ее мнимая часть*)-
Таким образом, In/(г), а следовательно и /(г), постоян"
на, что противоречит условиям
теоремы.
Если Е не совпадает с D, то су-
существует граничная точка этой
совокупности ?о **), которая явля-
является внутренней точкой D (см. п. 6).
В силу непрерывности / (г) имеем
\f(zo)\^M, ибо в любой окрест-
окрестности 20 есть точки, принадле-
принадлежащие Е. Построим окружность рпс> до.
z — zo\ = r, принадлежащую D,
на которой есть точка гь не принад-
принадлежащая Е (это можно сделать, ибо г0 — граничная точка Е).
Так как \f(zi)'. < М, то можно указать такую окрестность
Ci точки Zi на этой окружности, в которой if(z)|<M —е.
Обозначая через С2 остальную часть \z-zq\- г (рис. 90),
будем иметь по формуле D0)
§ f W d(? { \f M ds "I
{
0 С i С г
По теореме 1 предыдущей главы
*) Если обе частные производные функции днух переменных
обращаются в некоторой области в нуль, то эта функция, как
известно, постоянна.
**) Граница совокупности определяется так же, как граница
области.

200 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. V
где /4 — длина d и /2 — длина С2. Но последнее неравенство
невозможно, и теорема 9 доказана полностью.
Замечание 1. Так чак по теореме 2, сформулирован -
ной в п. 13, |/(г)! должен достигать максимума в D, то
этот максимум непременно достигается на границе D
(здесь /(г)—регулярная в D функция, отличная от по-
постоянной).
Замечание 2. Если f{z)=f= const регулярна в D
и не обращается там в 0, то и минимум ,/(z)j не может
достигаться внутри D. Для доказательства достаточно
применить тнорему 9 к регулярной в D функции #(г)-=тт—> .
Из формулы C8) вытекает еще такая оценка для про-
производных функции f (z), регулярной в круге |? —z|</?:
I ?-/:-=л
где УИ — максимум модуля /(г) на окружности ! ? — z | — /?.
В частности, для первой производной f(z) имеем оценку
|Г(г);<-^-. D2)
Предположим теперь, что функция f(z) регулярна во
всей открытой плоскости и ограничена, т. е. всюду
!/(z)j<M. Тогда неравенство D2) можно применить для
любой (конечной) точки и для любого положительного R.
Устремляя в нем R —^ со, получим, что в любой точке
плоскости
I Г' /_\ I /Л
I Г (Z) ^ U.
II \ / I
Отсюда следует, что /'(z)i=0 и /B) = const. (См. упр. 16
гл. I.) Доказана
Теорема 10 (Лиувилля). Если функция f (г) регу-
регулярна во всей открытой плоскости и ограничена, то она
постоянна.
Замечание 1. При формулировке основной теоремы
существования конформного отображения произвольной
односвязной области на единичный круг (см. п. 23) мы
исключили случай, когда она представляет собой полную
плоскость или плоскость с выколотой точкой. Теперь

54] ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 201
становится понятной причина этого исключения: если бы
w — f(z) осуществляла отображение конечной плоскости
на единичный круг, она была бы регулярной во всей
конечной плоскости и ограниченной: f(z)|< 1. По теореме
Лиувилля отсюда вытекало бы, что f(z) :;. const, no тогда
отображение не было бы конформным. Итак, конформное
отображение открытой, а тем более полной плоскости на
единичный круг невозможно. Точно так же невозможно
отобразить на единичный круг и плоскость с исключенной
точкой и. Для доказательства последнего утверждения
достаточно применить отображение ?-=¦- •— и воспользо-
воспользоваться только что полученным результатом.
Замечание 2. Теорема Лиувилля может быть зна-
значительно усилена:
Если функция w -- f (z) регулярна во всей открытой
плоскости и не принимает значений, лежащих, на неко-
некоторой кривой I в плоскости w, то она постоянна.
Для доказательства построим функцию ю-•-ф (ю), осу-
осуществляющую конформное отображение внешности / на
внутренность единичного круга (она существует по ос-
основной теореме и. 23), и рассмотрим сложную функцию
со — ф \{ (z)\ --Ф (z). Она, очевидно, регулярна во всей
открытой плоскости z и ограничена, ибо ее значения ле-
лежат внутри единичного круга. По теореме Лиувилля тогда
ф(г) —const, а так как у(г)Ф const, то отсюда следует,
что f (z) —const.
54. Гармонические функции. Пусть функция
f(z)-^u{x, y)-\-iv(x, у)
регулярна в некоторой области D. Тогда в каждой точке
D существует
-, . . ди , . dv dv . да
' ^ + '^
(см. п. 14). Отсюда следует и существование частных произ-
ди ди dv ди гт ,.„
водных ¦.;— , ,- , --J - , ¦ ¦, ¦. Но по доказанному в п. о2 про-
производная /' (г) также регулярна в D; поэтому существует
I { > ~ дх* Г l dx* dtp- l dyi

202 ИНТГ-ГРЛЛЫ1ЫЕ ПРКДСТЛВЛЫШЯ [ГЛ. V
( мы снова применили формулу D3), в которой вместо и
ди dv dv ди \ ., ,,.,
и v стоят дх и -д- или -6у и - ()у) . Из D4) следует
существование вторых частных производных функций
и(х, у) и v(x, у). Так как f" (z) непрерывна, то и эти
частные производные также непрерывны. Точно таким же
образом устанавливаются и существование и непрерывность
частных производных и(х, у) и v(x, у) всех порядков.
Из D4) вытекает также, что
д2и д-и й2у d-v
т. е. что обе функции и(х, у) и v(x, ;/) удовлетворяют
дифференциальному уравнению и частных производных
Дй :v ¦„-} -.-„ -0, D5)
Ох2 ' t)//2 ' v y
которое называется уравнением Лапласа (Л —дифферен-
—дифференциальный оператор Лапласа).
Определение. Действительная функция и(х, у)
называется гармонической в области D, если в этой
области она обладает непрерывными частными производ-
производными первых двух порядков и удовлетворяет уравнению
Лапласа D5).
Нами доказана
Теорема 11. Действительная и мнимая части функ-
функции f(z)--u(x, y)-\-iv{x, у), регулярной в области D,
являются в этой области гармоническими функциями.
Две гармонические функции и (х, у) и v(x, у), связан-
связанные условиями Кошн — Римана
ди dv ш ди dv ,.,.¦.
дх ~ ду ' ду ~ дх ' ^ '
называются сопряженными.
Покажем, что в од и ос в я з ной области D для любой
гармонической функции и(х, у) можно найти гармони-
гармоническую функцию v(x, у), сопряженную с и (х, у). Задача
сводится к восстановлению функции v(x, у) по известным
dv ди dv ди т т
ее частным производным -^--= — д и ¦д—=дх- ™ ЭТУ

Til] ГАРМОНИЧЕСКИ!- ФУНКЦИИ 203
задачу решает интеграл
2
? ди , . ди ,
\ — -.ах-¦- , аи,
,\ Оу дх J
'а
где г0 —фиксированная, a г ¦¦ ~x-\-iy — переменная точка
D (ср. и. 37). В силу D5) этот интеграл не зависит от
пути интегрирования и является функцией лишь г или,
что то же самое, х и у. Так как функция определяете!
своими частными производными с точностью до постоя -
иого слагаемого, то полное решение задачи дает
г
v(x, у) ¦--- \ — , dx-\--^ dij -С, D7)
го
где С —произвольная постоянная. Функция
f(z)-.-u(x, ij)-\iv{x, у) D8)
регулярна в области /), ибо для нее выполняются усло-
условия Коши — Рнмапа D6), поэтому функция D7) является
гармонической.
Точно таким же образом но известной гармонической
функции v(x, у) находится сопряженная с ней функция
и(х, у). Доказана
Теорема 12. Произвольная гармоническая в одно-
связной области О функция может рассматриваться
как действительная или мнимая часть регулярной в D
функции.
Замечание. Если область D многое в язи а, то
функция, определяемая интегралом D7), а также функция
D8) могут оказаться неоднозначными. См. по этому по-
поводу п. 37, где решается по существу та же задача, что
и здесь.
Теоремы 11 и 12 позволяют перенести на гармони-
гармонические функции свойства, установленные выше для ана-
аналитических функций. Прежде всего отметим такое полез-
полезное для дальнейшего предложение:
Теорема 13. Пусть функция и (г)*) гармонична
в односвязной области Du z ¦-- у (?) — регулярная в неко-
*) Здесь мы пишем и (г) вместо и(х, у); так улл будем посту-
поступать иногда и в дальнейшем.

204 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ IIPF-ДСТА ВЛЕПИЯ [ГЛ. V
торой области Д функция, значения которой лежат в D.
Тогда функция «[<p(?)j— U {t) гармонична в Д.
Для доказательства построим регулярную в D функ-
функцию f(z), для которой u(z) — Ref(z). Тогда, очевидно,
?/(?)--ReПф(?)] и так как / |ф (?)]--/¦"(?) регулярна в Д,
то О (X) там гармонична.
С помощью теоремы 7 п. 52 мы получим, далее, что
произвольная гармоническая функция обладает частными
производными всех порядков, причем эти производные
также являются гармоническими функциями.
Отделяя в формуле C9) действительные части, получим
теорему о среднем для гармонических функций
г л
и(г)-.->-[и{г-\-ге*)с1ч. D9)
о
Далее, для гармонических функций справедлив следую-
следующий принцип экстремума.
Теорема 14. Функция и (г) Ф const, гармоническая
в замкнутой области D, не может достигать экстремума
во внутренней точке D.
Теорему достаточно доказать для случая максимума,
ибо точка минимума гармонической функции и (г) является
точкой максимума функции «j (г) -•-- — и (г), также гармо-
гармонической.
Пусть, от противного, и (г) достигает максимума в не-
некоторой внутренней точке г0 области U. Проведем систему
разрезов, превращающих D в односвязную область D'
(как в п. 47), таких, что го остается внутренней точкой D',
в D' построим сопряженную к и функцию v (г) и обозначим
Ф (z) = и (г) -г iv (г). Функция с*'2' регулярна в 1У и ее
модуль j t>(P <z> | — eu W. Но функция eu <2> -. \ ef (г> ] в точке
г0 достигает максимума вместе с и (г), а это противоречит
теореме 9. Теорема 14 доказана.
Для гармонических функций остается справедливой
и теорема Лиувилля п. 53:
Если гармоническая во всей открытой плоскости функ-
функция и (г) ограничена хотя бы с одной стороны, например
сверху: ы(г)<УИ, то она постоянна. В самом деле, по-
построим регулярную во всей открытой плоскости функцию
/(z) такую, что u(z) —Ref(z). По условию значения /(г)

55] ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ 205
лежат в полуплоскости и<сМ, следовательно, по заме-
замечаний 2 к теореме Лиувилля можно утверждать, что
f(z) г г const. Но тогда и и (г) - Re /(г)г -const.
55. Задача Дирихле. Многие задачи математической
физики приводятся к построению гармонической в области
функции по заданным значениям на границе области.
С частным случаем такой задачи мы встречались в п. 45,
когда строили потенциал электростатического поля но его
значениям на действительной оси.
Дадим точную формулировку и найдем решение этой
задачи, причем для простоты ограничимся случаем, когда
область D од нос в язи а, ее граница С является глад-
гладкой кривой и значения ы(?), заданные на границе, пред-
представляют собой и е п р с р ы в и у ю функцию точки ?.
Задача Дирихле, или первая граничная задача для
гармонических функций, состоит в отыскании функции
и (г):
1) гармонической в области D,
2) непрерывной в замкнутой области D и
3) принимающей на С заданные значения ы(?):
«(?)--=«(?).
Докажем прежде всего теорему единственности решения
задачи Дирихле.
Теорема 15. В данной области D при заданных гра-
граничных значениях м(?) существует не более одного реше-
решения задачи Дирихле.
Доказательство теоремы 15 мы проведем лишь в
дополнительном предположении о том, что
рассматриваемые решения гармоничны в замкнутой
области D.
Пусть Ui(z) и u2(z) — два таких решения. Их разность
u(z) гармонична в D и на С равна 0, ибо там ui(?)--
= Ы2 (?)""(?)• Но тогда но теореме 14 максимум и
минимум и (г) в D оба равны 0 и u(z)-Q. Отсюда следу-
следует, что в "D iii(z):^ u-y(z), и наше предложение доказано.
Замечание. Более тонкий анализ показывает, что
теорема 14 остается в силе для функций, гармонических

206 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. V
в D и лить непрерывных в D. Отсюда сразу следует и
справедливость теоремы 15 в тех же предположениях.
Укажем теперь метод решения задачи Дирихле. Пусть
z0 — произвольная точка D и функция
w = f(г; го), /"(ад zo) = O E0)
осуществляет взаимно однозначное конформное отображение
D на единичный круг |щ>'< 1 (функция E0) зависит от
выбора г0; это подчеркивается и ее обозначением). Пред-
Предположим дополнительно к условиям, в которых
сформулирована задача Дирихле, что функция E0) регу-
регулярна в замкнутой области D *). Функция и (г), гармони-
гармоническая в D, с помощью функции г —<р(до), <р@)-~ г0,
обратной E0), переходит тогда а функцию
гармоническую в замкнутом круге jtt>j< 1 (см. теорему 13).
По теореме о среднем п. 54
2;'t
^ E1)
где со -¦-е'° — точка окружности \w>--l. Перейдем в E1)
к величинам, связанным с плоскостью z. Имеем U@) -
=^«Гф@)]^и(го), U{a>) •• ;«[ф(соI--н(г;), где ? —точка
контура С. Далее, введем на С параметр s — длину дуги,
отсчитываемую в положительном направлении от фикси-
фиксированной точки ?0 до переменной точки ?, тогда
... ао
, ds.
ds
Формула E1) принимает вид
С
Для дальнейших преобразований введем направление
п внутренней нормали к С; из рис. 91 имеем:
cos(s, *) —cos(n, у), cos(s, у)-- — cos (л, х),
*) Это обеспечено, если С- аналитическая кривая; см. об этом
замечание в п. 82.

55] ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ 207
следовательно,
-, —-, costs, х)-\- .. costs, in—
ds дх v ду \ > jj
- fx cos (л, у) - -fy cos (л, х). E3)
Рарсмотрим теперь функцию
действительная часть которой
g(z; го)--1п-^-——-j E4)
называется обычно функцией Грина области D относи-
относительно точки г0. Отметим некоторые свойства последней.
Прежде всего, очевидно,
; 20) - 111 ¦,, ¦ , •- оо;
. / (го> го) I
где ? —произвольная точка С
(вспомним, что w--f(z; z0) отобра-
отображает D па единичный круг с нор- Рис- 91.
мировкой E0)). Далее, всюду в D,
кроме точки 2 —г0, функция Грина, как действительная
часть регулярной функции, гармонична:
дх*"~" ~ду*:'~
Отметим без доказательства еще свойство симметрии
функции Грина относительно ее аргументов
g(z; zo)-g(zo; z),
из которого следует, в частности, что при zQ Ф z она гар-
гармонична также относительно г0 - Xq •¦•• iyo'-
Так как на С функция In -f-- -г регулярна, то в
силу условии Коши - Римапа -s-= — - - , ъ = з~ . и

208 ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. V
формула E3) дает *)
00 да , ч , dg , . dg ,«..
Ъ ¦¦=¦¦ 4 C°S ("' ^ + '** C°S ("' *} ^ йл • E5>
Теперь E2) принимает вид
с
Формула E6) называется формулой Грина. .Мы дока-
доказали, что она позволяет выразить значения гармониче-
гармонической функции внутри некоторой области D по значениям
этой функции на границе D, т. е. в этом смысле дает
решение задачи Дирихле.
Пусть теперь на границе D задана произвольная
действительная непрерывная функция и (?). По формуле
Грина мы сможем тогда построить внутри D функцию
(мы заменили в формуле E6) z0 на г и u(t.) на
Однако из хода наших рассуждений не следует, что она
решает задачу Дирихле. Для доказательства мы должны
были бы проверить, что построенная нами функция гар-
гармонична в D и что ее значения стремятся к и (?), когда
точка z стремится к граничной точке ?. Рассуждения, на
которых мы не можем здесь останавливаться, показывают,
что в наших условиях (когда и(?) непрерывна и контур С
гладкий) это действительно имеет место и что формула E7)
действительно решает задачу Дирихле.
Замечание 1. В приложениях часто приходится рас-
рассматривать случаи, когда функция и (?) имеет на С конеч-
*) Как видно из вывода E5), эта формула справедлива для
любой регулярной функции f (z) -¦¦¦ и (г) --lv(z) и для любой нары
взаимно перпендикулярных намраи.меппн s и п, выбранных, как на
рис. 91. В новых обозначениях E5) принимает вид
(°5)
Последняя формула содержит, в частности, уравнения Коши - Рнмана:
достаточно принять один раз п- х, s-—-— у и другой раз s= x, п = у.

55] ЗЛДЛЧЛ ДИРИХЛЕ 209
нос число точек разрыва первого рода. Доказывается, что
тогда функция и (г), определенная формулой Грина E7),
остается гармонической в D и что ее значения стремятся
к и(?) при приближении z к точке ? непрерывности и (?).
При приближении z к точке разрыва ы(?) предел ы(г) не
существует, по все предельные значения и (г) (они зависят
от способа приближения z к V) заключены между левым
и правам значениями а (?) в этой точке.
Замечание 2. Предыдущие рассуждения показы-
показывают, ,что, зная конформное отображение области D на
единичный круг, мы с помощью функции Грина можем
решать для этой области задачу Дирихле (решение сво-
сводится к квадратурам E7), которые всегда могут быть
выполнены, хотя бы приближении). Покажем, что, наобо-
наоборот, умея решать для. односвязной области D задачу
Дирихле, мы можем получить конформное отображение
этой области ни единичный круг.
По основной теореме и. 23 такое отображение w---f(z),
f(zo)--O, существует. Предположим сначала, что мы знаем
это отображение и рассмотрим
Ф(*)- 1(*\;. E8)
Функция ф(г) регулярна и ¦-/ 0 при z Ф z0. При z—>z0
ср (z) — > f' (z0) ф 0 (отображение конформно); отсюда, как
мы покажем далее, п п. 66, следует регулярность ср (г)
всюду в D. Так как она нигде в D не равна 0, то функ-
функция g" (г) — In | <р (г) гармонична в D. На границе D
?(t)-nn^J-.-ln--,Iv, E9)
ибо w—f(z) отображает D па единичный круг.
Пусть теперь мы не знаем отображения w — f(z). По
известным граничным значениям E9) мы восстанавливаем
гармоническую функцию g(z) (по теореме 15 она опреде-
определяется однозначно), затем строим функцию h(z), сопряжен-
сопряженную с g(z) (она определяется квадратурами с точностью до
постс-нгчого слагаемого /г0, см. п. 54). Мы получаем воз-
можп- .ь восстановить с точностью до мнимого постоян-
постоянного слагаемого /Ао функцию \nq>(z)-~g(z)-\-ih(z)-\-ih0.
Учитывая E8), мы восстанавливаем f {z)-^(z — zo)e ln(H2)
14 Б, Л. Фукс, Б. П. Шабат

210 интпглльпиг. представления [гл. v
с точностью до множителя ето, означающего поворот
круга w; это согласуется с нормировкой f(z) (c.Mi п. 23).
56. Интегралы Пуассона и Шварца. Рассмотрим част-
частный случай формулы Грина, когда область D представ-
представляет собой круг z < R. По формуле B5) п. 22
и функция Грина имеет в этом случае вид
Переидем к полярным координатам, полагая г^ — ,
%, — К.е^ (?, лежит на окружности \z'--R), и примем на
окружности параметр г|; вместо s. Тогда ds —- R dty и в
силу E5)
dg _ davj<f(L.; г0) 1 djirg [ (f; г_о)
дп " ds R дф " '
а так как g(?; .го) —0, то
датк/(?;_г0) - 5Jii / (S; гг0)
d\j) "" dip
И
% _ ' ?.lr'.' (="• 2о) ____' д 1 /??^—reitp _
ди"" ~'/? йф ~ : " "~ ~R d\f rH^iW-v) ~
" R №
Подставляя это выражение в E7), где положено и (?) = и (гр)
и ds —/?dip, получим окончательно:
о
Формула F0) называется интегралом Пуассона; она
дает решение задачи Дирихле для круга.
Аналогичная формула имеет место для верхней полу-
полуплоскости у > 0. В результате вычислений, отличающихся
от проведенных лишь тем, что B5) п. 22 заменяется
функцией B3) п. 22, дающей отображение верхней полу-
полуплоскости на единичный круг, мы получим интеграл

SB] ИНТЕГРАЛЫ ПУАССОНА И ШВАРЦА 211
Пуассона для полуплоскости
оо
и(Х,у)--{п\ «(Б)^?^,-. F1)
—оо
Здесь и(с.)~ заданные граничные значения гармонической
функции на действительной оси. Функция и(?) должна
быть всюду непрерывной, кроме конечного числа точек
разрыва1 первого рода (см. замечание в предыдущем пункте).
Читатель самостоятельно проверит, что так называемое
ядро интеграла Пуассона для круга
(здесь Z-^Re^ и г = ге^).
Рассмотрим функцию
2Л
О
где Л— действительная константа. В силу теоремы 6 об
интеграле Коши п. 52 эта функция регулярна в круге
I z \ < R. По построению действительная часть формулы F2)
совпадает с интегралом Пуассона F0). Таким образом,
формула F2) позволяет находить значения регулярной
в круге функции f(z) по значениям и(г]з) ее действитель-
действительной части на окружности. Она обычно называется инте-
интегралом Шварца.
В интеграле Шварца остается неопределенной дейст-
действительная константа Л. Для ее определения положим
в нем z=0 и получим:
2я
-\ Ai.
По теореме о среднем интеграл в правой части равен и@)
и, следовательно, Л--и(О). Интеграл Шварца приобретает
окончательный вид
2Л
(^)^d^-\-iv@). F3)
11
*

212
ИНТЕГРАЛЬНЫМ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[ГЛ. V
Нетрудно получить также интеграл Шварца для полу-
полуплоскости
F4)
где В — действительная константа, а непрерывная дейст-
действительная функция а (с) удовлетворяет условию: сущест-
существуют положительные константы С и а такие, что для
достаточно больших |с имеет место неравенство |и(|)|<
С
< - . Формула F4) выражает значения регулярной в
верхней полуплоскости функции через значения и(|) ее
мнимой части на действительной оси. Для доказательства
достаточно заметить, что в- силу тождества
1
. _ У -lm »_
(*- 1L-S*~ I -г
мнимая часть F4) совпадает с интегралом Пуассона F1),
где вместо и стоит функция v. Условие, наложенное на
функцию y(E)i обеспечивает существование интеграла F4).
Замечание. Подобно тому как мы поступали для
интеграла Пуассона и в интеграле Коши C2), написан-
написанном для одиосвязнон области D с гладкой границей С,
мы можем вместо функции f (?) подставить произвольную
непрерывную функцию /(?)- и (?)•! ¦ ia (t,). Полученный
интеграл типа Коши по теореме 6 п. 52 дает внутри D
регулярную функцию
Однако в отличие от интеграла Пуассона интеграл
типа Коши F5), вообще говоря, не стремится к f (?),
когда z стремится к точке границы ?. Легко понять
причину этого. В самом деле, как показывает, например,
интеграл Шварца F2), регулярная внутри круга функция
определяется с точностью до постоянного слагаемого зна-
значениями своей действительной части на окружности. Сле-
Следовательно, и мнимая часть предельных значений регу-
регулярной функции (с точностью до постоянного слагаемого)

5?] ПРИЛОЖЕНИЯ К TLOPHH ПОЛЯ 213
определяется их действительно частью. Поскольку у нас
непрерывные функции и (?) и v(t,) никак между собой не
связаны, то ист никаких оснований предполагать, что ком-
комбинаций {(?)-— и (?)-}¦ iv (E) будет давать предельные зна-
значения функции, регулярной в области D.
57. Приложения к теории поля. Мы приведем здесь
ряд результатов теории поля, получающихся на основа-
основании развитых в этой главе методов. Прежде всего:
а) потенциальная и силовая функции плоского электро-
электростатического поля в области., не содержащей зарядов;
б) потенциал и функция тока плоского течения
жидкости в области, не содержащей источников и вихрей;
в) функция тока и температура плоского теплового
потока в области, не содержащей тепловых источников, —
все являются гармоническими функциями.
Это вытекает в силу теоремы 11 (из регулярности
соответствующих комплексных потенциалов.) Точечные
заряды или источники и вихри, или тепловые источники,
служат для этих функций особыми точками.
Далее, приведем несколько свойств, относящихся
к структуре нолей, причем ради конкретности будем их
формулировать для электростатического поля.
1) Если в электростатическом поле имеется замкну-
замкнутая эквипотенциальная линия С, на которой V (z) — Vo,
то либо внутри С находятся особенности V (z), либо
эта функция постоянна всюду внутри С (в последнем
случае и О (z) = const, т. е. F (z) --¦. const, следовательно,
?¦ — 0, и поле отсутствует). '-
Это свойство немедленно вытекает из теоремы 15 —
потенциал поля решает задачу Дирихле для области,
ограниченной С, и постоянных граничных значений
V (z) ¦—- Vo; такую задачу решает константа V (z) = Уо
(она, очевидно, гармонична), и следовательно, других
регулярных решений не существует.
2) В электростатическом поле не может существо-
существовать замкнутых силовых линий.
Пусть, напротив, существует замкнутая силовая линия
U (z) — С; в ее окрестности с одной стороны лежат точки,
в которых U(z)>C, а с другой-точки, в которых
U (г)< С, следовательно, в направлении либо внутренней,

2i4 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ . [ГЛ. V
либо внешней нормали все время ^ <0. Пусть послед-
последнее справедливо для внутренней нормали, тогда 'в силу
формулы E5') в направлении s, указанном па рис. 91,
все время ^ •-- — ., >0 и, следовательно, V(z) возрастает
в этом направлении. Но тогда при полном обходе нашей
силовой линии мы должны получить значение V (z), от-
отличное от исходного, что противоречит однозначности
этой функции (см. и. 37). Противоречие
и доказывает наше утверждение *).
3) Ни силовые, ни эквипотенциальные
линии не могут начинаться или кончать-
кончаться во внутренней точке поля.
Докажем это утверждение, например,
для эквипотенциальных линий. Пусть, от
Рис. 92. противного, эквипотенциальная линия
V(z) — C кончается в некоторой внутрен-
внутренней точке z0 поля, тогда достаточно малый
круг с центром в z0 не будет делиться этой эквипо-
эквипотенциальной линией па две части (рис. 92). Отсюда
вытекает, что всюду в этом круге либо V(z)<s^C, либо
V(z)~^C (ибо части круга, где справедливы противополож-
противоположные неравенства, должны отделяться друг от друга экви-
эквипотенциальной линией V (z) -С, а последняя в нашем слу-
случае не делит круга). Но это означает, что V (z) достигает
в точке z0 своего максимума или минимума в противоречии
с теоремой 14. Заметим, что доказанное утверждение
справедливо для линии уровня произвольной гармониче-
гармонической функции.
Из свойств 2) и 3) следует, что
4) В электростатическом поле силовые линии могут
лишь соединять между собой граничные точки поля
{например, заряды) либо уходить в бесконечность.
В заключение приведем несколько примеров примене-
применения интегралов Пуассона и Шварца для отыскания ком-
комплексного потенциала.
*) Свойство 2) следует также из того, что вдоль замкнутой
силовой линии все проекции l-'s должны иуеть один знак, и
тогда циркуляция Е вдоль нее отлична от нуля, а это невозможно
(см. и. 30).

57] ПРИЛОЖЕНИЯ К ТМОРИИ ПОЛЯ 215
Пример 1. Полуплоскость с п ¦ j ¦ 1 электродами
( — со, о(), («ь а2), • • •> («п, оо), несущими, соответственно,
потенциалы и0, ut vn (точки ah — изолирующие). Для
a., a„.,
Рис. 93.
нахождения потенциала ноля в верхней полуплоскости
можно непосредственно воспользоваться интегралом Пуас-
Пуассона F1)
1)^.у1 '" я"
I
~ОО (li
со
«п
а2—х , а,
%--агс18-
?,
У J 2
у '•¦••¦ i"— 7~
Но, как явствует из рис. 93, arctg —' х—^ц•-<?*—V .
где ерь-••arg(z —«л) —угол между вектором 2 —«й и осью
л:, поэтому последнюю формулу можно записать в виде
V (л, у) -- и„ -L- V" n "J ф1 + • • • -1-t>"^- Ф« "
-- ип -1 °"^ arg (г — oj) -1- ... -h И"~1 ~ w" arg (г — an). F6)

216
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[ГЛ. V
По известной потенциальной функции легко восста-
восстановить комплексный потенциал как регулярную функцию,
имеющую F6) своей мнимой частью:
+ ...+Vn-ljt'Vn\n(z-an) F7)
(здесь In означает какую-либо из регулярных ветвей
логарифма). С помощью формулы C4) главы IV находим
вектор напряженности ноля:
Е - - iF'
я \г — ап/
э,. г —а,.
i г- а,
F8)
Пример 2. Полуплоскость с тремя электродами
Г-со, —1), (—1, 1), A, со), несущими, соответственно,
потенциалы 2у, v, 0. Это —частный случай предыдущей
задачи; комплексный потенциал по формуле F7) равен
F{z) = I It
Силовая функция ноля
~
F9)
U --RcF(z)-- - In! г-Ь 111 г— 1«,
следовательно, силовыми линиями поля служат кривые
; z +11; z — 11 =- с =- const.
Это —лемнискаты, кривые, произведение расстояний
точек которых до двух данных точек ± 1 равно постоян-

87]
ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПОЛЯ
217
ной величине (см. упражнение 12, г) Введения, а также
пример 3 п. 58). Они изображены пунктиром на рис. 94;
сплошными линиями на рисунке изображены эквипотен-
эквипотенциальные линии поля.
Пример 3. Рас-
Распределение потенциала
по действительной оси
указано на рис. 95; тре-
требуется найти комплекс-
комплексный потенциал поля в
Л 0 в\
JL.
п
¦"-I
о
верхней полуплоскости.
К такой задаче сво- Рис 95.
дится (с помощью кон-
конформных отображений) расчет трансформаторов, когда при-
приходится учитывать изменение потенциала вдоль обмотки
высокого напряжения (па рис. 95 участки АВ и CD дейст-
действительной оси при конформном отображении соответствуют
заземленному кожуху трансформатора, ВО — обмотке
низшего напряжения и ОС— обмотке высшего напряже-
напряжения). Задача решается непосредственным применением
интеграла Шварца F4):
(х>
-1 о
v , г , 1 г
г--
Постоянную В подбираем так, чтобы, например, на участке
АВ потенциал
Г
на этом участке - г ^ > 0 и -г--
> С
тогда ком-
комплексный потенциал
G0)

21Й ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. V
Упражнения
Вычислить интегралы
1. У \z\dz пдоль: а) прямолинейного отрезка, б) левой полу-
-'¦;/.
ности ,2 =
• J -%-
|
окружности ,2 = 1, в) правой полуокружности |г] = 1.
3. \ г sin zdz.
о
4. \ ez dz вдоль: а) ломаной 0, 1, 1 — i, б) ломаной 0, i, 1 \-i.
0J.
5. Каков геометрический смысл интеграла \ \dz\f
I.
6. Найти вычет функции /(г)— 2 i i" " точке z — i: а) непо-
непосредственным вычислением, б) с помощью интегральной формулы
Коши.
7. Вычислить с помощью интегральной формулы Коши
. яг ,
. sin - dz
I ._^ (У.
С
где С—окружность х2 [-у2—1х — 0.
8. Вычислить
1J
с
где С—эллипс 4х2 р(/2 —2(/— 0.
9. Доказать, что если на границе односвязиой области
| f(z) \~= const, то внутри этой области лежит, по крайней мере,
одна точка, где /(z) = 0 (/(z) =p const). Па основании этого доказать:
что лемниската с п фокусами, т. е. геометрическое место точек М,
произведение расстояний которой до п данных точек М&,
MMi-MM2 ... MMn — const, не может состоять более чем из п
кусков.
10. Пусть / (г) ф const регулярна в круге ]г|<# и М (г) озна-
означает максимум 1/(г)| на окружности 1г! = г. Показать, что М(г) —
возрастающая функция.
11. При каких условиях трехчлен и = ах* \-2bxy 4-с(/2 является
гармонической функцией?

УПРАЖНЕНИЯ 219
12. Пусть функция /(г) и области D регулярна и отлична от
нуля. Показать непосредственным вычислением, что всюду и этой
области Л In'/(г) —0, a A j / (г) | > О (Д - дифференциальный опе-
оператор Лапласа).
13. Найти регулярную функцию w=f(z), j ( -" ¦ J=0, зная ее
действительную часть
sin 2а
ch 2y — cos'2x '
14. Найти гармоническую в единичном круге функцию, прини-
принимающую на дуге ар окружности значение 1, а на дополнении к этой
дуге- значение 0.
15*. Доказать, что ядро интеграла Пуассона для круга
¦Д2:-.2Д/-cos 0|>-ФИ-г*" | I-
где ^--Rc1^1, a l," — второй конец хорды, соединяющей точки ? п г.
16*. Доказать, осноныпяясь па упражнении 15, что поднпте-
гралыюе ныраженпс интеграла Пуассона для круга
где oo^arg^*. Получить отсюда геометрический смысл решения
упражнения 14.
17. Доказать, что гармоническая в верхней полуплоскости
функция, принимающая значение 1 па отрезке ab действительной
оси и 0 па дополнении к этому отрезку, геометрически означает
деленную на я величину угла, под которым виден отрезок ab.
18*. Вывести формулу Шварца для полосы ¦ -•' <{/<Л :
со
где и+(!) и и_ (!) — значения действительной части Цг) на прямых
2- и (/=¦---• .

ГЛЛВЛ VI
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
58. Ряды в комплексной области. Рассмотрим после-
последовательность комплексных чисел ап --¦ ап-\-фп, п =
— О, 1, 2, ..., и с се помощью образуем ряд
со
Yi а п. ~ао-\ й1 J-...-I ап-\- ... A)
п -О
Обозначим еще ай-\-а\ '-...-: an---sn —частные суммы
ряда A).
Определение. Ряд A) называется сходящимся,
если существует конечный
lim sn -- s,
П -HXI
т. с. если для каждого е > 0 можно указать такое целое
число N--N(e), что для всех n>N будет
\s — sn'< e.
Число s называется суммой ряда A). Если lim sn не суще-
ствует или равен оо, говорят, что ряд A) расходится.
Следующая теорема позволяет свести изучение ком-
комплексных рядов к рядам действительным:
Теорема 1. Ряд A) сходится тогда и только тогда,
когда сходятся действительные ряды
ао-\ щ |-...-. <х„ '-...; р0-i Pi-|-...-; f>n+ ... B)
Для ее доказательства обозначим а0 '; (ц-\- . . . -\-ап — а„,
Ро -I ¦ Pi -i- • • • -г Pn ^ ^п, тогда sn = Gn ¦¦¦¦ ttn и, следовательно,
lim s,,-—lim ап-^ г'Нтт„.

58] РЯДЫ И КОМПЛПКСПОП ОБЛАСТИ 221
Отсюда и следует тсоре\:а. С ее помощью легко, например,
показать, что общин член любого сходящегося ряда стре-
стремится к нулю. Так же как в действительном анализе,
дается
Определение. Ряд A) называется абсолютно схо-
сходящимся, если сходится ряд
i«о;-¦;-!«1 i • ••• :-:«». ч- ••• C)
Предоставляем читателю доказательство того, что
любой абсолютно сходящийся ряд сходится, а также
обладает другими свойствами абсолютно сходящихся рядов
с действительными членами (например, такие ряды допу-
допускают произвольную перестановку членов).
Рассмотрим теперь после дона юльность функций ком-
комплексного неременного [„(г), п 0, 1, 2, ..., заданных
в некоторой области D, п с ее [.о.мощыо образуем ряд
«-¦О
fn(z) /о(г) ' Ы2) г ... l fn(z)- ... D)
Если для каждого значения z0 из области D соответ-
со
ствующий числовой ряд V /u(zo) сходится, мы будем
/Г'-'о'
говорить, что ряд D) сходится в области D. В этом
случае его сумма определится в D как некоторая функ-
функция F(z).
Возникают обычные и теории рядов вопросы: будет ли
F{z) непрерывной в D, если все fn(z) там непрерывны;
можно ли дифференцировать и интегрировать функцию
F (z) путем почленного дифференцирования и интегрирова-
интегрирования ряда D)? Как и в действительном анализе, ответы
на эти вопросы формулируются с помощью понятия
равномерной сходимости.
Определение. Ряд D) называется равномерно схо-
сходящимся в области*) D к функции F (z), если для
каждого е > 0 можно указать такое целое число N - -N (е),
*) Мы подчеркиваем разрядкой, что наше определение относится
к сходимости п области; понятие равномерной сходимости в точке
лишено смысла.

222 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ [ГЛ. VI
что л ля любо й точки z из D и для всех п > N будет
<F(z)-Fn(z)]<e, E)
где
z)-\-...+fn(z). F)
Поясним смысл этого определения. Сходимость ряда
D) в точке z означает существование lim Fn{z)--F(z),
т. е. что для каждого е > 0 можно указать такое целое
N, что при всех /г > N будет иметь место неравенство E).
Число е оценивает степень приближения Fn(z) к пределу.
При изменении z члены ряда D) меняются, и для дости-
достижения прежней степени приближения е может понадобиться
другое число членов ряда. Поэтому число .Л/ вообще
зависит от е и z: Л' ¦ /V(e, z).
Фиксируем число е > 0 и рассмотрим некоторое конеч-
конечное число точек zit z->, ¦ • ¦, zh области D. Этим точкам будут
соответствовать числа А\ — М(е, Zi), N2--N{z, z2), ...
..., iVftr-jV(ei zh). Если мы захотим достигнуть заданной
степени приближения Fn(z) и F (z) одновременно
во всех точках zk, то для этого, очевидно, доста-
достаточно найти наибольшее N* (г) из чисел Ni N2, ..., Nft
и считать п > jV* (e).
Если же мы захотим обеспечить заданную \ степень
приближения одновременно во всей области D,
то мы столкнемся с новым обстоятельством: несмотря
на существование для каждой точки z из D числа N (е, z),
может не существовать числа N (е), превосходящего все
N (г, z). Это обстоятельство связано с тем, что для
бесконечного множества чисел может не существовать
числа, их всех превосходящего.
В случае существования числа N (г), превосходящего
N(e,z) для всех z из области D, мы можем приблизить
F (z) со степенью точности < е частной сумкой Fn (z)
одинакового для всех точек D номера //(я>Л/(е)). В этом
и состоит равномерность сходимости ряда D). Вместо
области D в последнем определении можно рассматривать
кривую L, замкнутую область I) или какое-либо другое
бесконечное множество —определение может быть повто-
повторено для этих случаев без существенных изменений.

69] ГЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА 223
Поскольку наше определение равномерной сходимости
дословно совпадает с соответствующим определением дей-
действительного анализа, то все теоремы в равномерно схо-
сходящихся рядах *) остаются справедливыми и в нашем
случае. Мы не останавливаемся на их формулировках
и доказательстве.
59. Теорема Вейерштрасса. Известная теорема о диф-
дифференцировании рядов допускает в комплексной области
существенное усиление. Напомним, что в действительной
области достаточное условие почленного дифференцирова-
дифференцирования состоит в равномерной сходимости ряда, составлен-
составленного из производных, и сходимости данного ряда хотя
бы в одной точке (нетрудно показать, что отсюда авто-
автоматически следует равномерная сходимость данного ряда).
С другой стороны, показывается, что одна лишь равно-
равномерная сходимость ряда не является достаточным усло-
условием.
В комплексной же области оказывается справедливой
следующая, впервые доказанная Вейерштрассом
Теорема 2. Пусть ряд
/o(z) + /i(z) I ...+/„ (z) -г...
состоит из функций, регулярных в некоторой области D,
и сходится там к функции F (z). Если сходимость ряда
равномерна во всякой замкнутой области D*, лежащей
в D, то: 1) F (z) регулярна в области D; 2) производные
F{ ' (г) можно получить почленным дифференцированием
ряда D), причем получающиеся ряды равномерно схо-
сходятся в любой замкнутой области D*, лежащей вну-
внутри D.
Прежде всего докажем регулярность F(z). Пусть z —
произвольная точка D, D* — область, лежащая вместе
со своей границей и D и содержащая (внутри) точку г,
С* —граница D*, ?—произвольная точка С* (рис. 96).
Ряд
F (Ц __ МО , U (С) , i_ fn (?) ,
Х-г' Х- г~^"Ё-г ¦¦¦'' C-z ~1"""
*) Наиболее важны теоремы о непрерывности суммы, о позмож-
ности почленного интегрирования, а также достаточное условие для
равномерной сходимости.

224 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ [ГЛ. VI
равномерно сходится на С*, поэтому возможно его почлен-
почленное интегрирование (для удобства мы делим еще обе части
равенства на 2ni):
2я» Л ? — г 2л( Л ?- г
2л/ Л
с
I- г л' ' ' '
2л«.Л ?-
С*
Так как функции /„ (z) регулярны в D, то по инте-
интегральной теореме Коиш п. 47 и в силу определения
функции F (г):
G)
С*
Функция /•'(?) непрерывна на С* как сумма равномер-
равномерно сходящегося ряда регулярных (а следовательно, и не-
непрерывных) функций /„(г), следовательно, интеграл в левой
частиG) является инте-
интегралом типа Коши. Таким
образом, F (z) представи-
ма интегралом типа Ко-
Коши и по теореме п. 52
она регулярна в D* и,
в частности, в точке z.
Так как в нашем рассуж-
рассуждении 2 — произвольная
точка D, то /" (г) регу-
регулярна в D, и первая
часть теоремы доказана.
Для доказательства
ее второй части выберем
некоторую область D* и построим замкнутый контур С, лежа-
лежащий между границами D и D*. Пусть d — наименьшее рас-
расстояние между точками '/_)* и С, z — произвольная точка
D* и Z, — произвольная точка С. Ряд
(?) /о к?) , _/i (У i_ I /«(S) i
Рпс. 96.

60] СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 225
где k — произвольное целое число, равномерно сходится
на С. Поэтому
_*!_? 1Рй- ^_*! & foJMd^ l /г! ^ Ji(C)dL ,
2ni Л (ц — z)'<+i" 2л« Л (? —г)'<+1 ' 2ш Л (g--z)f'+i r ' ' "
z)'<+i~2.-w Л (?-г)'!+1
<; С С
С
и в силу формул для высших произподных аналитических
функций (см. п. 53)
F(k) (г) = /<*> (г) + f<*> (г) + ... + {<*> (г) -[-... (8)
Мы доказали, что производные суммы ряда D) получа-
получаются почленным дифференцированием этого ряда. Остает-
Остается доказать равномерную сходимость ряда (8).
В силу равномерной сходимости ряда D) на С для лю-
любого е > 0 существует N = N (е) такое, что при п> N для
всех ? будет
(здесь /¦'„ (?) — частная сумма D)). Так как у нас еще для
всех Z,
то по теореме об оценке интеграла п. 46 для всех м > N
имеем:
! k\
f (ft) (Z)._ /•¦(*) ы ¦ - -
fe!
** Тл
с
где / — длина С. Так как последнее неравенство при п> N
выполняется во всех точках D* и ~о~ l+i — ei произ-
произвольно, то равномерная сходимость ряда (8) в 15* дока-
доказана, а вместе с ней и теорема 2.
60. Степенные ряды. Степенным рядом называется ряд
вида
п—0
...+cn(z-a)n+... , (9)
15 Б. Л. Фукс. Ь. В. Шабат

226 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ [ГЛ. VI
где z — комплексное переменное, а сп и а— постоянные.
Постоянные сп называются коэффициентами, а а —цен-
—центром ряда (9).
Основным предложением теории степенных рядов яв-
является
Теорема 3 (Абеля). Если степенной ряд (9) сходится
в точке z0, то он абсолютно сходится во всем круге
[ z — а | < | z0 — ci |. Во всяком замкнутом круге \z — a\ < q,
где q < |г0 —а|, сходимость ряда (9) равномерна.
По условию теоремы сходится ряд
п=0
Отсюда следует, что \\mcn(zu — a)n = 0, a так как вся-
п~»-оо
кая сходящаяся последовательность ограничена (см. п. 7),
то существует такая постоянная М, что для всех п
\cn{z0 — a)n\<M.
В замкнутом круге |г — а| <<7 имеем, следовательно,
Отсюда следует, что при |z— a\ <<7 члены ряда (9) не
превосходят по модулю членов геометрической прогрессии
со знаменателем,—-—, < 1, если q < I z0 — а |. Так как эта
I zo—а I
прогрессия сходится, то по известному признаку отсюда сле-
следует абсолютная и равномерная сходимость ряда (9) в замк-
замкнутом круге \z — a\ <<7 (см. сноску на стр. 223). Число q
можно выбирать сколь угодно близким к \zo — a\, следо-
следовательно, ряд (9) абсолютно сходится в любой точке кру-
круга |г — а\ < ' z0 — a\. Теорема Абеля доказана.
Следствие. Если ряд (9) расходится в точке z = z0,
то он расходится и в любой точке z, для которой
z — а, > |г0 — а\.
В самом деле, если бы ряд (9) сходился в какой-
нибудь точке г', для которой \г' — а \ > | z0 — a\ , то по
теореме Абеля он сходился бы и в точке г0, что проти-
противоречит условию.

60] СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 227
Примеры. 1. Геометрическая прогрессия
абсолютно сходится в круге | z \ < 1. Во всяком замкну-
замкнутом круге \z\ <g, где q<.\, она сходится равномерно.
При |z|> 1 прогрессия расходится.
Результат вытекает немедленно из теоремы Абеля, если
заметить, что прогрессия сходится для всех действитель-
действительных z = q, где 0<<7< 1, и расходится при <7> 1. При
<7=1 прогрессия расходится, ибо ее общий член не стре-
стремится к нулю. Предоставляем читателю доказать, что при
|г|< 1 имеет место равенство
1.|.Z.J_Z* \-2пЛ- — -' —
2. Степенной ряд
\-\-z-\~2\z2+ ¦¦¦+n\zn+...
сходится лишь в точке 2 — 0. В самом деле, при любом
положительном z = x
откуда па основании известного признака Даламбера для
рядов с положительными членами следует расходимость
ряда. По следствию из теоремы Абеля он не может тог-
тогда сходиться и ни для какого комплексного z Ф0.
3. Степенной ряд
на основании признака Даламбера сходится при всех ком-
комплексных гФ со.
Рассмотрим произвольный степенной ряд (9). Могут
представиться три случая: 1) ряд сходится лишь в своем
центре; 2) ряд сходится для всех конечных 2 и 3) для
одних значений г ряд сходится, а для других расходится.
Приведенные выше примеры показывают, что все три
случая действительно осуществляются. Остановимся
подробнее на третьем случае. Пусть ряд (9) сходится в
точке 2t и расходится в точке 22. По теореме Абеля и ее
следствию тогда он сходится для всех 2, для которых
15*

228 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ [ГЛ. VI
z — а [ < [zj — а | ¦--Ru и расходится для всех г, для
которых г — «!>|z2 — a\ — R2 (очевидно, Ri^R2). Если
I^l — R2j мы обозначим через R общее значение этих вели-
величин. Тогда ряд (9) сходится в круге |z— a\ < R и рас-
расходится вне этого круга.
Если же Ri Ф Rz, мы рассмотрим точку z3 —-—12-2- = #з
(рис. 97). Если в иен ряд (9) сходится, то он сходится и
в круге | г - - а \ < R3, если
расходится, то он расходится
и для всех 2, для которых
\z — а\ > Rz.
В обоих случаях кольцо,
в котором вопрос о сходи-
сходимости ряда (9) остается от-
открытым, сокращается на по-
половину своей ширины. К по-
полученному кольцу мы снова
применяем то же самое рас-
рассуждение и продолжаем наш
процесс неограниченно. В пре-
пределе мы получим число R
такое, что в круге \z — a\<R
ряд (9) сходится, а вне этого круга расходится (вопрос о схо-
сходимости ряда (9) на окружности \г — а\ — R остается от-
открытым). Такое число мы будем называть радиусом сходи-
сходимости ряда (9), а круг \z ~a[<R — его кругом сходи-
сходимости.
Чтобы объединить с этим случаем случаи 1 и 2, мы
будем считать, что в нервом из них R — 0, и круг сходи-
сходимости пуст, а во втором R ~оо, и круг сходимости пред-
представляет собой всю конечную плоскость.
Таким образом, доказана
Теорема 4. Произвольный степенной ряд (9) обла-
обладает конечным или бесконечным радиусом сходимости.
Во всяком замкнутом круге [z —a, <CR' </? ряд (9)
по теореме Абеля сходится равномерно. Отсюда и из тео-
теоремы Вейерштрасса п. 59 следует, что сумма ряда
Рис. 97.
cn(z-a)n^ ... A0)

61]
РЯДЫ ТЕЙЛОРЛ
229
регулярна в круге его сходимости. В силу той же тео-
теоремы Вейерштрасса для любой точки z из круга сходимости
Р {z) = Ci-\ 2сг(г —а)-[-... -\-ncn(z -и)"-]- ... , j
Пг) = 2с,-1 3-2c3(z-a) ¦!-... |
...+n(n-l)cn(z-ay^ i ... , I A1)
Полагая в A0) и A1) z -а, найдем последовательно
Co--f(u), С\--Р (а), с,-- 2 , ...,сп,- ' ,—, A2)
и ряд A0) запишется в виде
.... nl (Z -а) ; . . . (id)
Степенной ряд, записанный в таком виде, называется ря-
рядом Тейлора функции f(z). Нами доказана
Теорема 5. Сумма степенного ряда (9) регуляр-
регулярна в круге его сходимости. При этом ряд (9) оказыва-
оказывается рядом Тейлора своей суммы.
На основании теоремы 5 мы мо-
можем утверждать, что полученное
любым способом разложение функ-
функции в степенной ряд является ее
тейлоровским разложением.
61. Представление регулярных
функций рядами Тейлора. Пусть
функция }(z) регулярна в круге
\z — a|</?. Выберем произвольно
числа Rt и /?а так, что 0 < Ri < Рис- °8-
< Rz< R, и обозначим через С ок-
окружность \z — a\--R2 (рис. 98). По интегральной формуле
Коши п. 51 для всех z из круга \z — a\ < R*
la' <14)
откуда, далее, следует
-& № -
2я»\Т (?-я) — (г—а) "" 2л*.
С С

230 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ [ГЛ. VI
Предположим, что точка z лежит в круге \z — a\<cRi,
тогда в силу того, что точка ? лежит на С,
<§¦<!.
Отсюда следует, что в круге \г — а\ < Ri равномерно схо-
сходится прогрессия
1 . fz — a
(см. пример 1 п. 60). Подставляя это разложение в A4)
и интегрируя почленно полученный ряд (это законно в
силу равномерной сходимости), получим:
с
т. е. разложение f(z) в степенной ряд с коэффициентами
Воспользуемся формулами C8) п. 52 для производной
регулярной функции, тогда A5) перепишется в виде ряда
Тейлора:
/(z) = /(a)-i-/'(a)(Z-a)+...4-^,(-)(z-a)n+..., A3)
и следовательно, A6) дают интегральные формулы для
тейлоровских коэффициентов.
Заметим, что в нашем рассуждении число Ri можно
взять сколь угодно близким к R, поэтому разложение A3)
справедливо для всех точек г круга \z— a\<CR. Кроме
того, в качестве круга \z — a[<iR всегда можно выбрать
наибольший круг с центром в точке а, в котором регу-
лярна функция f(z). Таким образом, доказана
Теорема 6. Всякая функция f(z), регулярная в точ-
точке а, в некоторой окрестности а может быть представ'

61] РЯДЫ ТЕЙЛОРА 231
лена рядом Тейлора A3). Этот ряд сходится в наиболь-
наибольшем круге \z — a\<R,e котором f (z) является регулярной.
Замечание. Функция f(z) не может быть регуляр-
регулярной во всех точках окружности \z — a\ = R. В самом де-
деле, в противном случае для каждой точки ? этой ок-
окружности существовал бы круг \г — ?|<г5, в котором
функция }(z) регулярна. Пусть г > О — наименьший из радиу-
радиусов /-? (на доказательстве существования такого г мы не
останавливаемся); тогда, очевидно, f(z) останется регу-
регулярной и в круге |г — а|<^+г. Но по теореме 6 тогда
и ряд A3) должен сходиться в этом круге, что противо-
противоречит нашим условиям.
Если функция f(z) не является регулярной в точке а,
но в любой окрестности а имеются точки регулярности
^(г), то а мы условимся называть особой точкой функции
f(z) (см. выше п. 48).
Мы можем теперь утверждать, что функция f(z), ре-
регулярная в точке а, представляется рядом Тейлора A3)
в круге с центром в а, граница которого проходит через
ближайшую к а особую точку функции /(г).
Теоремы 5 и 6 показывают, что принятому в п. 14
определению регулярности функции f(z) в точке а впол-
вполне эквивалентно следующее определение: f(z) называется
регулярной в точке а, если в некоторой окрестности а
она представляется рядом Тейлора A3). На основе этого
определения можно было бы получить все свойства ре-
регулярных функций.
В заключение приведем некоторые тейлоровские раз-
разложения элементарных функций. Ряды
^ ?-H...; A7)
l--? + ?-...; A8)
^ ^ chz=l+"¦ + ¦?+..• A9)
сходятся для всех конечных z, и представляемые ими
функции регулярны во всей конечной плоскости. Главная
ветвь логарифмической функции 1 п A + г) регулярна при

232 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ [ГЛ. VI
всех z, не лежащих на луче ( —оо, —1) действительной
оси, поэтому ее ряд Тейлора
ln(l+z) = z--? + x- T+ ••• B0)
сходится в круге \z\ < 1. Так как общая степенная фун-
функция определяется с помощью логарифмической (см. п. 32),
то и для ее главной ветви разложение
= 1 + тг.,.
a 2 + lillzM
справедливо вообще*) лишь в круге ] z"\ < 1 (здесь т — про-
произвольное комплексное число).
Разложения A7) —B1) получаются непосредственно
из формулы Тейлора A3) (там надо взять а = 0). Они
не отличаются от разложений, известных из общего курса
анализа, ибо формулы Тейлора и формулы дифференци-
дифференцирования элементарных функций в комплексной и действи-
действительной области совпадают.
62. Нули регулярней функции. Теорема единствен-
единственности. Определение. Точка г —а называется нулем
функции f{z), если /(а) = 0.
Пусть функция f (z) регулярна в точке z — а, являю-
являющейся нулем этой функции, и не равна тождественно 0
ни в какой окрестности а. Тогда все коэффициенты тей-
тейлоровского разложения f (z) с центром в а не могут
равняться 0 (ибо тогда было бы /(z) = 0b некоторой
окрестности а вопреки предположению), и это разложе-
разложение имеет вид
f(z) = cn(z-a)n+cMl(z-a)n*l+..., B2)
где сп Ф 0 и п > 1. Число п в формуле B2) называется
порядком нуля а.
Учитывая формулы A2), мы можем утверждать, что
порядок нуля а совпадает с порядком младшей отлич-
отличной от нуля производной f(H)(a).
*) Точка г= — 1 является точкой регулярности для функции
(l-j-z)m лишь в том случае, когда т —целое положительное число
и in 0. В этом случае B1) содержит конечное число членов.

62] НУЛИ РЕГУЛЯРНОЙ ФУНКЦИИ 233
Из B2) следует, что в окрестности своего нуля а
порядка п функция /(z) представляется в виде
f(z) = (z —а)"ф(г), B3)
где
Ф (г) = сп + саН (г - а) + • • •; ц>{а)^=спФ0.
Функция ф(г) непрерывна в точке а, ибо ряд, которым
она определяется, сходится в некоторой окрестности а
(она даже регулярна в этой точке, как сумма степенного
ряда) и lim (p(z) —ф(а). Так как по условию ф(а) =
2->а
= сп Ф 0, то и в некоторой окрестности а имеем ф(г) ф 0.
с 1
В самом деле, возьмем е = -™ ; тогда в силу непрерыв-
непрерывности существует окрестность |z —а|<6, в которой
ф(г) —ф(а) | < е, т. е. |ф(г) —с„|< -~ . Поэтому в ок-
окрестности | z — а | < б функция ф (г) не может обращаться
в 0, ибо это противоречило бы последнему неравенству.
Отсюда и из B3) следует
Теорема 7. Пусть функция f (z) регулярна
в точке а и не равна тождественно 0 ни в какой окрест-
окрестности а. Тогда, если а является нулем /(г), то сущест-
существует окрестность этой точки, в которой /(г) не имеет
других нулей.
Из теоремы G) вытекает
Следствие. Если известно, что 1) f(z) регулярна
в точке а и 2) существует последовательность нулей ап
этой функции, сходящаяся к а, то /(г)гнО в некоторой
окрестности точки а.
В самом деле, в силу непрерывности f(z) в точке а
f(a)= liraf(aft) = 0, т. е- а является нулем /(г). Теперь
п-
предположение о том, что / (г) ф 0 в некоторой окрест-
окрестности а, противоречит теореме 7.
Из теоремы 7 следует также важная
Теорема 8 (единственности). Если функции
/i(z) и /г(г) регулярны в области D и их значения сов-
совпадают на некоторой последовательности точек ап,
сходящейся к внутренней точке а области D, то всюду
в D

234 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ [ГЛ. VI
Для доказательства рассмотрим функцию
Она регулярна в D и имеет ап своими нулями. Отсюда
по следствию теоремы 7 вытекает, что /(г) тождественно
равна нулю в некоторой окрестности \z — a\<Cra точки а.
Остается показать, что f(z)=O во всей области D.
Пусть z0 - произвольная точка D. Соединим точку г0 с а
некоторой кривой L, состоящей из внутренних точек D
(рис. 99). Пусть Ъх — произвольная точка отрезка L,
Рис. 99.
лежащего в круге \г — а|<г0. Так как в ее окрестности
f(z)=O, то по формулам A2) все коэффициенты тейло-
тейлоровского разложения
равны 0. Эгот ряд представляет /(z), по крайней мере,
в наибольшем круге \z — bi\<rlt лежащем в D, и следо-
следовательно, в этом круге также / (z) = 0. Точку &i мы
выберем столь близкой к окружности \г— а\ = г0, что
круг | г — Ьх | < г\ выходит за пределы первого круга. Далее,
мы выберем точку Ьг на отрезке L, лежащем в круге
z— bt\ </"i, и к ней применим то же рассуждение. Мы
получим, что / (z) == 0 в круге | z — fr21 <Гъ выходящем
за пределы круга \z—b\\<.r\. Совершая достаточно
большое число таких шагов, мы достигнем, наконец,

63J
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
235
некоторым кругом | z — Ьп | < гп точку z0 *) и получим,
в частности, что f(zo) = 0. Теорема 8 доказана.
Замечание. Из теоремы 8 следует, что регулярная
в области D функция /(z) вполне определяется своими
значениями на некоторой последовательности точек D,
сходящейся к а. Однако вопрос о существовании функ-
функции f(z), принимающей наперед заданные значения
в точках такой последовательности, остается открытым **).
Исследование этого вопроса, а также методы фактиче-
фактического восстановления функции /(z) по заданным значе-
значениям составляют предмет теории интерполяции.
63. Аналитическое продолжение. Понятие аналити-
аналитической функции. Пусть области Dx и D2 имеют общую
часть, которая образует область А (если ?>i и D2 имеют
Рис. 100.
несколько таких частей, как А и А' на рис. 100, б, мы
рассматриваем одну из них), и в области Dy задана
*) Мы пускаем доказательство того, что точка г0 действитель-
действительно будет достигнута с помощью конечного числа шагов.
**) Легко привести пример, когда не существует не только
регулярной, ио даже непрерывной функции, принимающей заданные
значения: пусть ап = — и
0, если п нечетно,
1, если п четно.
Функция / (г), принимающая эти значения, не может быть не
прерывной в точке г = 0, ибо lim/(z) не существует.
г-+0

236 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ [ГЛ. VI
регулярная функция fi(z), а в области D2—регулярная
функция /2 (г).
Определение. Если значения /i (г) и /2 (г) в об-
области А совпадают между собой, то /2(г) называется
(непосредственным) аналитическим продолжением fv (z)
в область Ог через область А.
При фиксированных областях D(, D2 и А аналитическое
продолжение /i(z) в область D2 определяется однозначно.
Это непосредственно вытекает из теоремы единственности
предыдущего пункта, ибо два возможных продолжения
Д1' (z) и /!/' (г) в области А, составляющей часть D2,
должны совпадать между собой. Однако если D± и /J»
имеют несколько общих частей, как па рис. 100, б, то, рас-
рассматривая продолжение /i (z) в область /J через часть Л',
отличную от А, мы можем получить в результате продол-
продолжения функцию, отличную от /2 (г)- В этом мы убедимся
ниже па конкретном примере.
Пусть теперь дана цепочка областей l.)u /J2, ...,D:i
такая, что каждая пара соседних областей D]t и D^-ц
имеет общую часть Ад и в каждой области Dh задана
регулярная функции fii(z).
Определение. Если для каждого /г - 1, 2,...
. . ., и— 1значения fh (z) и fh+i(z) в области Л/; совпадаю""
между собой, то fn(z) называется аналитическим про-
продолжением /| (г) в область Dn через цепочку областей {Dh).
Заметим, что и здесь при фиксированных Du D2, . - ,
...,Dn и Ai, A2, ...,Art_i аналитическое продолжение
/i (г) в область Dn определяется однозначно. Однако при
изменении промежуточных звеньев цени (рис. 101) или
даже при изменении каких-либо Aft значение аналити-
аналитического продолжения может измениться. Может случиться
и так, что последнее звено цепочки совпадает с первым
(например, па рис. 101 цепочка DiDiD^D^Dl. . .D*Z)i);
и тогда значение функции, получающееся в результате
аналитического продолжения по этой цепочке, не обязано
совпадать с первоначальным.
Поясним сказанное примером. Пусть область Di пред-
Z
ставлиет собой круг | z — 1 j < у н f±(z)--\ --г,где1 —

Ы\ АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 237
\
\
nyib, соединяющий точки 1 и г в этом круге, тогда
/i(z)^lnz = ln>|-Wargz,
приче^ arg2 означает главную ветвь; в верхнем полукруге
она принимает положительные значения, а в нижнем —
отрицательные. Пусть теперь D2 и D* будут области,
Рис. 102.
изображенные на рис. 102, D3 —их общая часть. Анали-
Аналитическими продолжениями /t (г) Лпг в области D2 и D*
являются, очевидно, функции
-- \
dz
,)U. z
dz
где L2 и L* — пути, соединяющие точку / с г и идущие
в D2 и, соответственно, в D*. Эти функции также равны
lnj г , + 'argz, однако arg г для /2(г) принимает положи-
положительные значения, а для/*(z)— отрицательные. В области
D3 эти функции определяют различные аналитические
продолжения /ч(г)= In г, ибо, например, /2(--l)~-ti,
а /* (~1)" — л«. Таким образом, аналитическое продол-
продолжение действительно может зависеть от выбора цепочки
областей.
Этот же пример позволяет уяснить и другие выска-
высказанные выше положения. Пусть область D состоит из
тачек D2 и D*; она имеет с Dt две несвязные общие
части А и Л* (рис. 102). Непосредственные аналитиче-
аналитические продолжения ^ (z) — In г из области D4 в D через А

238 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ [ГЛ. V]
и Д* отличаются друг от друга —для первого из них
argz в выражении ln|z| + ? argz принимает положитель-
положительные значения, а для второго —отрицательные. Пусть,
наконец, рассматривается аналитическое продолжение
fi(z)—\nz из области Dx через цепочку D^^DID^ в ту
же самую область. Функция, вновь полученная в резуль-
результате такого продолжения в области Du очевидно, отли-
отличается от fi (z) постоянным слагаемым 2л/.
Введенное нами понятие аналитического продолжения
позволяет сформулировать общее понятие аналитической
функции, о котором неоднократно говорилось выше
(в. пп. 25, 30 и др.). Пусть функция f2{z) в области D2
получается из функции fi(z), заданной в области Dlt
непосредственным аналитическим продолжением. Объеди-
Объединяя точки Dt и D2 в одну область D, мы будем смотреть
на /i (z) и на /2(г), как на значения одной функции
}fi (z), если z лежит в Du
/2 (z), если z лежит в Д.-
Если области Di и D2 имеют лишь одну общую часть,
то функция / (г) согласно сказанному выше однозначна
и, следовательно, регулярна в D. Если же области Dt и
D2 имеют несколько общих частей, то непосредственные
аналитические продолжения функции /i (г) через различ-
различные такие части (функции f^(z)) могут иметь в точках z
области D2 различные значения. Таким образом, функция
f (z) может оказаться многозначной; мы будем называть
ее в обоих случаях аналитической функцией.
В более общем случае продолжения fl (z) из области
Di в область Dn по цепочке D4, D2, ..., Dn мы также
объединим точки всех Dk в одну область D и будем
смотреть на fh(z), как па значения одной функции
f(z) = fh(z), если z лежит в Dk, k—\, 2, ..., п.
Теперь мы дадим
Определение. Функция f(z), получающаяся
в области D процессом аналитического продолжения
регулярной функции, называется аналитической функ-
функцией в области D.

63] \ АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 239
Как указано выше, эта функция может быть одно-
однозначной или многозначной. В первом случае она будет
являться регулярной функцией в области D.
Мы, условимся, далее, рассматривать и цепочки обла-
областей 1л, ...,Dn, состоящие только из одного звена —
области Dt. Это дает нам основание называть всякую
регулярную функцию, заданную в некоторой области,
аналитической в этой области.
Дадиэд еще одно
Определение. Пусть в области D задана регу-
регулярная (однозначная) функция f(z). Осуществим все
возможные аналитические продолжения этой функции
по всем возможным цепочкам областей в плоскости г.
Объединяя! все полученные в результате таких про-
продолжений Значения в одну вообще многозначную (даже
бесконечнозначную) функцию F (г), мы будем называть
последнюю полной аналитической функцией.
Регулярные функции, получающиеся при наших про-
продолжениях в различных областях плоскости, называются
регулярными ветвями F (z).
Заметим, что все элементарные функции, рассмотрен-
рассмотренные в главе III, являются аналитическими.
Принципиально весьма простой способ построения
аналитической функции предложен Вейерштрассом.
В основу построения по Вейерштрассу берется степенной
оо
ряд 2 cn(z — а)п = f(z) с отличным от нуля радиусом г
п=0
сходимости— «регулярный элемента аналитической функ-
функции. Так как /(г) регулярна в круге \z — a\<r, то в
окрестности любой точки а4 этого круга она может быть
разложена в ряд Тейлора
со
V /(П> («1) /„ _ чп _ f /_v
Построенный ряд заведомо сходится в круге с центром
в аи касающемся изнутри окружности \z-a\-r, но, быть
может, он сходится и в большем круге. В последнем
случае он будет давать аналитическое продолжение /(г)
за пределы круга \z — a|<r, ибо в общей части кругов
сходимости (заштрихованной на рис. 103) /i(z) = /(z).

240 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ [ГЛ/ VI
Для точек круга с центром в точке а1г касающегося
изнутри окружности \г — а] —г, это равенство непосред-
непосредственно следует из определения функции fi(z). Для Других
точек общей части кругов сходимости это равенство
вытекает из теоремы единственности. /
Описанную операцию аналитического продолжения
можно производить неограниченно, выбирая за:' центры
тейлоровских разложений всё новые и новые точки регу-
регулярности получаемых функций (элементов). В результате
мы_придем к полной аналитической функции F(zj), вообще
многозначной, для которой эле-
элементы (т. е. суммы /степенных
рядов), но которым она строи-
строилась, будут служить ее регу-
регулярными ветвями. /
Степенные ряды *), которыми
определяются регулярные эле-
элементы полной аналитической
функции, сходятся вплоть до
тех пор, пока на окружность их
кругов сходимости не попадет
особая точка функции (см. п. 61).
Поэтому граница области, в ко-
которую можно продолжить эту
функцию («.область существования функции»), сплошь
состоит из ее особых точек. Эта граница может состоять из
замкнутых линии (их называют «естественными грани-
границами»), отрезков линий («купюр»), а также из совокупно-
совокупностей точек.
Для простейших функций граница области их суще-
существования состоит из отдельных изолированных (особых)
точек. Последние делятся на особые точки однозначного
и многозначного характера, и зависимости от того, одно-
однозначна или многозначна функция в их достаточно малой
окрестности. Простейшим примером особой точки одно-
однозначного характера служит точка z~0 для функции —
Г в этой точке -- теряет непрерывность^ . Подробном-
*) Дальнейшее изложение этого пункта носит описательный
характер; строгое изложение выходит за рамки книги.
Рис. 103.

04]
РЯДЫ ЛОРАНА
241
исследованию таких точек посвящен п. 65 и следующие
за ним.
Примером особой точки многозначного характера (такие
точки называют также точками разветвления) служит
точка г\= 0 для функций \/ z ( —j—- не существует J
и Lnz (функция разрывна). Общим исследованием этих
точек мьД не будем заниматься.
В заключение заметим, что из кругов сходимости эле-
элементов аналитической функции можно построить для псе
римапову поверхность, па которой эта функция будет
однозначной. Для этого при продолжении какого-либо
элемента вдоль некоторой цепочки кругов всякий раз,
когда вновь построенные круги будут заходить на старые,
нужно считать, что эти новые круги лежат на новом листе,
отличном от старого (расположенном над или под ним).
Подробным описанием построения римановой поверх-
поверхности в общем случае мы также не будем заниматься,
а ограничимся лишь тем,
что посоветуем читателю
освежить в своей памяти
структуру римановых по-
поверхностей для функций
\rz и Ълг из главы III.
64. Ряды Лорана.
Пусть функция f(z) регу-
регулярна в круговом коль-
це /С: г < | z — а | < R. По-
Построим еще кольца К':
r'<\z-a\<R' и К":
r"<\z~a\<R", так,
что К' лежит внутри /<\ а
К" - внутри К' (рис. 104).
Так как функция регу- Рис. 104.
лярна в замкнутом коль-
кольце К', то она представима в нем интегралом Коши
1
где Cw и С,.- — окружности соответствующих радиусов
с центром в точке а (см. п. 51). Предположим, что точка z
16 Б. А. Фукс, Б. В. Шабат

242 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАЛЛИ [ГЛ. VI
z— а
лежит в кольце К". Тогда в первом интеграле
= <7i < 1 и, следовательно, дробь, в пего входящу ю, можно
разложить в геометрическую прогрессию
1 —
г— а
_ 1 г-а (г-я)»
"~ Са (S«J (S-«K
(г-
(г-
сходящуюся равномерно по ^ на окружности Cr\ Под-
Подставляя это разложение в первый интеграл B4) и инте-
интегрируя почленно, как в п. 61, получим:
CR'
n(z-a)n...
где
2ш" J (С—
_ 1_Л^>'—У— я п 1 9
B5)
B6)
Заметим, что выражения B6) нельзя, как в п. 61,
представить в виде " '^ , ибо f(z) вообще не является
регулярной в точке а.
Во втором интеграле
г—а
< у„- = ?г < 1 и, следова-
тельно,
1
г—а
1
1 —
г—а
г—а (г—аJ (г — аK "'' (г— а)п '"'
причем полученная геометрическая прогрессия сходится
равномерно по ?, на окружности Сг-. Подставляя это выра-
выражение во второй интеграл B4) и интегрируя почленно,
получим:
/2B)= ~2^ 5> ?_г =
сг.
- с~1 ' с~г ' ' с-п ' ., B7)
г—а ' (г—а)
••• ' (г-а)" ¦

64] \ РЯДЫ ЛОРАНА 243
\
где \
§ оГ1^. «=1,2,3,... B8)
Заменим теперь в формулах B7) и B8) индекс — п,
пробегающий значения -fl, +2, ..., индексом п, про-
пробегающим, значения — 1, —2, ... Тогда согласно B4),
B5) и B7) будем иметь:
п=0 п=— I
ОО
= 2 сп(г-а)п. B9)
П ——ОО
Далее, на основании A3) п. 47 в формулах B6) и B8)
пути интегрирования можно заменить любой окружностью
Ср, лежащей в кольце /<". Тогда (учитывая еще, что
в B8) индекс — /г заменен на п) эти формулы можно
объединить в одну:
—
2м
" м Л (ga)n+i» «-U, ±1,
(g)
ср
Заметим, наконец, что так как радиусы г" и R" можно
выбрать сколь угодно близкими кги^и так как согласно
C0) коэффициенты сп не зависят от выбора этих радиусов,
то разложение B9) имеет место во всем кольце К.
Определение. Ряд B9), коэффициенты которого
определяются по формулам C0), называется рядом Лорана
функции / (г) в кольце К- Ряды B5) и B7), составленные
из членов ряда Лорана соответственно с неотрицатель-
неотрицательными и отрицательными степенями (г —а), называются
его правильной и главной частью.
Правильная часть ряда Лорана
ОО
ЛB)=Х-с„B-а)» B5)
п=0
представляет собой обычный степенной ряд. Из его сходи-
сходимости в кольце К по теореме Абеля следует сходимость
16*

244 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ [РЛ. VI
во всем круге \z — a\<R. Согласно результатам/п. 61
мы можем, не нарушая сходимости этого ряда, увеличивать
радиус R до тех пор, пока на окружность | z 4- а | = R
не попадет хотя бы одна особая точка /(г). /
Главная часть ряда Лорана /
ОО /
п=1
представляет собой степенной ряд относительно перемен-
переменной Z = —-—-. По условию он сходится в кольце -„- < | Z | <
< —. По теореме Абеля отсюда следует его сходимость
во всем круге \Z\ < — или, что то же самое, сходимость
во всей внешности круга [ г —¦ а | > г. Радиус г можно
уменьшать до тех пор, пока на окружность | z — а | = г
не попадет хотя бы одна особая точка f(z).
Таким образом, кольцо К сходимости ряда Лорана
можно считать максимальным кольцом г < J z — а | < R
регулярности функции /(г), т. е. таким, внутри которого
f (г) регулярна, но на каждой окружности которого лежит
хотя бы одна особая точка этой функции. При этом коль-
кольцо К может вырождаться в окружность с выколотым
центром: 0<|г — a\<R или во внешность круга с выко-
выколотой точкой z — со: г <\z — a|<oo.
Из наших рассуждений и из теоремы Абеля также сле-
следует, что во всяком замкнутом кольце r'< I z — a|< R',
принадлежащем /С (/''>'', R' < R), сходимость ряда
Лорана равномерна.
Полученные здесь результаты могут быть формулиро-
формулированы следующим образом.
Теорема 9. Всякая функция {(г), регулярная в коль-
кольце К'- г < [ г — а | < R, может быть в этом кольце пред-
представлена своим рядом Лорана
со
f(z)= 2 cn(z-a)n, B9)
где сп вычисляются по формулам C0), причем К можно
считать максимальным кольцом регулярности f(z). Пра-

64]
РЯДЫ ЛОРАНА
245
вильная часть ряда Лорана сходится во всем круге
г — а | < i?, а главная —всюду во внешности круга
| 2 — а | > г. Сходимость ряда Лорана равномерна в лю-
любом замкнутом кольце г' < | г — а | < R', принадлежащем К-
Замечание. Из формулы C0) на основании теоремы
об оценке интегралов п. 46 вытекают неравенства
L
f
M-2ziq
М
где М —максимум |/(г)| на окружности Ср и Q —радиус
этой окружности. Полученные неравенства
±2, ..., C1)
называются неравенствами Коши для коэффициентов
ряда Лорана.
Пусть теперь задан произвольный ряд, расположенный
по положительным и отрицательным степеням (г— а):
S ck(z-a)\
ft=—со
На основании изложенного выше мы также можем
утверждать, что часть этого ряда, содержащая неотрица-
неотрицательные степени, сходится в некотором круге \z~a\ < R,
а часть, содержащая отрицательные степени, — во внеш-
внешности круга \z — a | > г. Если г < R, то этот ряд будет
равномерно сходящимся в любой замкнутой области, при-
принадлежащей кольцу К: r<[z —aj<i?. Обозначим через
f (z) его сумму в кольце К; по теореме Вейерштрасса
п. 59 она регулярна в К. Пусть Ср—окружность | г—a | =q,
лежащая в /С, тогда в силу равномерной сходимости ряда
_ V
на окружности Ср мы можем его почленно проинтегри-
проинтегрировать по этой окружности. Но согласно формуле C1)
п. 50 в правой части будет отличным от 0 лишь интеграл
того члена, где k — п— 1= — 1, т. е. где k — n.

246 представление Регулярных функций рядами [гл. vi
Мы получим:
Таким образом, доказана
Теорема 10. Произвольный ряд вида
2 Ch(z-a)\
&:=—СО
сходящийся в некотором кольце г < \r — a\ < R, является
в этом кольце рядом Лорана
своей суммы f(z).
На основании теоремы 10
мы можем утверждать, что по-
полученное любым способом раз-
разложение функции в ряд по
положительным и отрицатель-
отрицательным степеням (z — а) является
ее лорановским разложением.
Пример. Функция
1
Рис. 105. *^ = (г—1) (г—2)
регулярна в «кольцах» /: [г|<1, //: 1 < | г |< 2, ///: 2<)г|
(рис. 105).
Для получения ее лорановских разложений мы представим:
1 1
'(г) = 7^2~г^Т '
В «кольце» / при | г К 1 дроби разлагаются в сходящиеся геомет-
геометрические прогрессии
1
1
C2)
г-1~ 1 —г"
и ряд Лорана функции /(г) обращается в обычный степенной ряд
C3

64] РЯДЫ ЛОРАНА 247
Этот результат вполне понятен, ибо точка г = 0 не является для
f (z) особой.
В кольце // перпое из разложений C2) продолжает действовать,
но второе заменяется разложением
г—l~z _1_ ~
г
сходящимся всюду при |г|> 1. Следовательно, C3) в кольце // за-
заменится разложением
В «кольце» /// последнее разложение для j- сохраняет силу, а
первое из разложений C2) заменяется таким:
z—2~ г _2_
г
Лорановское разложение / (г) в «кольце» /// имеет вид
Укажем на связь между рядами Лорана и рядами
Фурье, с которыми читатель знаком из общего курса ана-
анализа. Пусть функция f (z) регулярна в сколь угодно узком
кольце 1 — е<|г|<1 + е, тогда в этом кольце она может
быть представлена рядом Лорана
со
f G\ У г ?"
[ (Z)— ^j cnz ,
П=— OQ
2Я
где cn = J-. <5 ЩЗ- = Jz- [ f(eie)e~int>dQ. В частности,
j 2Й" \
151=1 о
для точек z = eil, лежащих на единичной окружности, мы
получим:
оо
F(t) = f{elt)= 2 спеш, C4)

248 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ [ГЛ. VI
где
2л
F(O)e~MdQ. C5)
Ряд C4) с коэффициентами C5) представляет собой ряд
Фурье функции F(i), записанный в комплексной форме.
В самом деле, этот ряд можно переписать в виде
F(t) = co+ 2 {спеш-\-с_пе-1п') =
п=1
со
- --—¦ -f- 2 (ancosnt-\-bnsin nt), C6)
n=l
где при переходе к последнему выражению мы положили
Со= ,} , применилиформулуЭйлераиобозначилисл+с_п=ап,
i (cn — c_n) = b,i. Для коэффициентов ап и Ьп на основании
C5) имеем:
2л 2Я
о 1
о о
2л
Ьп - -. ?=«=?*-.-- JL ^ F @) sin «0 dO,
6
следовательно, они являются коэффициентами Фурье функ-
функции F(t). Утверждение доказано. Таким образом, на еди-
единичной окружности ряд Лорана, если рассматривать его
как функцию действительного аргумента t, является
рядом Фурье функции F(t)~ f(eli).
В курсе анализа доказывается, что рядом Фурье C6)
можно представить любую действительную функцию, удо-
удовлетворяющую на интервале 0<?<2я некоторым усло-
условиям (например, так называемым условиям Дирихле).
Отсюда вытекает, что любая комплексная функция F (t) —
— u(t)-\-iv(t), где и и v удовлетворяют указанным усло-
условиям, также представима рядом Фурье C6). Проводя наши
преобразования в обратном порядке, мы представим этот

6S] ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 249
ряд в комплексной форме C4). Следовательно, комплекс-
комплексная форма записи ряда Фурье применима всякий раз,
когда применима действительная форма. Однако в общем
случае не существует такой регулярной на окружности
jz|—1 функции f(z), что f(eu) — F(t). Это объясняется
со
тем, что ряд 2 °nZn, где
2.-t
вообще говоря, не будет сходиться при \г\Ф 1.
65. Изолированные особые точки. Определение.
Пусть функция f (г) регулярна при 0<[z — а ^ <, R и не
является регулярной в точке а. Тогда а называется изо-
изолированной особой точкой этой функции *).
По замечанию в предыдущем пункте в «кольце»
0<!z — a\<.R, примыкающем к изолированной особой
точке, функция f (z) может быть представлена рядом Ло-
Лорана B9). При этом R можно считать расстоянием от а
до ближайшей особой точки, правильная часть ряда схо-
сходится в круге 'г — а'<, R, а главная —всюду, кроме
точки г—- а.
Из формул C0) для коэффициентов ряда Лорана,
в частности, вытекает, что
$ C' C7)
где Ср — окружность \z — a'---Q и q —произвольное число,
0<Q<R.
Вспоминая определение вычета и. 48, мы получаем
следующий важный факт:
Теорема 11. Вычет функции f(z) в изолированной
особой точке а равен коэффициенту при (z — a)~l лора-
новского разложения f(z) в окрестности точки а.
*) Из регулярности /B) в 0<i2—а I < ? следует, что а—
особая точка однозначного характера; мы рассматрипаем здесь
лишь такие точки.

250 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ [ГЛ. VI
Применения этой теоремы читатель найдет в следую-
следующей главе.
Различают три типа изолированных особых точек
в зависимости от поведения функции в их окрестности.
Определение. Изолированная особая точка а функ-
функции f(z) называется
а) устранимой особой точкой, если существует
конечный
lim f(z)=? oo,
z-»a
б) полюсом, если
limf(z) = oo,
Z-W.
и, наконец,
в) существенно особой точкой, если lira f (z) не Суще-
Сущего a
ствует.
Рассмотрим подробнее эти типы особенностей, а также
дадим критерии, удобные для их распознавания.
66. Устранимые особые точки. Из определения следует,
что в окрестности устранимой особой точки функция f(z)
ограничена (как всякая функция, стремящаяся к конеч-
конечному пределу, см. п. 12). Пусть в этой окрестности
| f (г) | < М; так как в неравенствах Коши
M<-^-=MQ~n C1)
число q мы можем выбирать сколь угодно малым, то
для всех отрицательных п коэффициенты с„ = 0 (в самом
деле, для п отрицательных (Г" —> 0, если q —» 0). Таким
образом, лорановское разложение в окрестности а не
содержит главной части:
...+cn(z-a)n+... C8)
Обратно, если в окрестности изолированной особой
точки а лорановское разложение f (?) не содержит главной
части, т. е. имеет вид C8), то существует lim / (z) =
z-»a
= с0фсо и, следовательно, а —устранимая особая точка.
Доказана

67] ПОЛЮСЫ 251
Теорема 12. Для того чтобы изолированная особая
точка а функции f(z) была устранимой, необходимо и
достаточно, чтобы лорановское разложение f(z) в окре-
окрестности а не содержало главной части:
-a)*+ ...+cn{z-a)n+ ...
Замечание 1. Если равенство C8) имеет место и
в точке z = a, т. е. f(a) = c0, то f(z) регулярна в круге
z — а | < R (она совпадает с суммой степенного ряда C8),
см. п. 61). Так как по предположению а является особой
точкой f(z), то либо f(a) не определено, либо 1(а)Фс0.
Однако мы можем «устранить» эту особую точку, поло-
положив f(z) — c0- Это и оправдывает наш термин.
Замечание 2. Если а является для функции f(z)
устранимой особой точкой, то f (z) ограничена в окрест-
окрестности а. При доказательстве теоремы 12 мы по существу
доказали и обратное: если функция f (z) ограничена
в окрестности некоторой изолированной особой точки а,
то а является для нее устранимой особой точкой.
Пример. Функция
не определена прн г = 0. При г Ф 0 она представляется рядом
sin г _ 31 ^ 5! '" zlL\j~L
г ' ~ +
3! + 5! "' '
Таким образом, z=0 является для функции /(z)= устра-
устранимой особой точкой. Отсюда следует также, что
г->о г
Если доопределить функцию f (г), положив /@) = 1, то она будет
регулярной и в точке г = 0.
В заключение заметим, что по теореме 11 п. 65 вычет
функции f(z) в устранимой особой точке равен нулю.
67. Полюсы. Из определения следует, что в некоторой
окрестности 0 < | z — а \ < R полюса а функция f (z) не обра-
обращается в нуль (каково бы ни было М > 0, существует
окрестность а, в которой |f(z)|>M, см. п. 12)

252 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ [ГЛ. VI
В этой окрестности регулярна функция g (г) = ур- .
Очевидно, lim g(z)-0, следовательно, g(z) имеет в а
z->a
устранимую особенность. Положив g (a) — О, мы получим,
что g(z) регулярна в круге \z — a\ < R и точка а является
ее нулем. Обратно, если точка а является нулем функ-
функции g (г) ф О, регулярной в этой точке, то (по теореме
единственности п. 62) в некоторой окрестности а, 0 <
< ,z — a\<R, функция g(z) не имеет нулей. В этой
окрестности регулярна функция f(z) — ~ -, для которой
точка z-^a является, очевидно, полюсом. Таким образом,
имеет место
Теорема 13. Функция f (z), регулярная в некоторой
окрестности 0<_'z — a\<iR точки а, тогда и только
тогда имеет эту точку своим полюсом, когда функция
имеет ее своим нулем. (При этом в прямом утверждении
предполагается, что в качестве g(a) принимается
limg (z)--0, а в обратном, что g(z)z/rQ и регулярна
в некоторой окрестности точки а.)
Определение. Порядок нуля а функции g (z) —
— -Tj-y называется порядком полюса а функции f(z).
Пусть а является полюсом порядка т. для функции
f(z). Тогда но теореме 13 и результатам п. 62
g (z) - -щ- = ст (z - а)т -;- cm+i (z - а)'"+1 + ... =
где функция ф(г), Ф (а) -- ст ф 0, регулярна в "окрест-
"окрестности точки а.
Отсюда в некоторой окрестности 0<iz — а'<#
точки а
1_ 1__

67] полюсы 253
ибо функция —г-.-регулярна в точке а и, следовательно,
представима рядом Тейлора (здесь Ь0---.-. = —-фО) .
\ ф \U) Cm /
Меняя обозначения коэффициентов, мы запишем последнее
разложение в виде
f /_\ с—т I _ c—m+l i
' \4> — (i_a)m'~ "r (z — a)m-i ' ' ' "
где с-т — Ь0Ф0. Таким образом, главная часть лоранов-
ского разложения функции f(z) в окрестности полюса
содержит лишь конечное число членов. Обратно, пусть
главная часть лорановского разложения f(z) в окрест-
окрестности некоторой ее изолированной особой точки а содер-
содержит лишь конечное число членов, т. е. имеет вид C9).
Умножая равенство C9) на (z — a)m, получим функцию
Ф (г) = f (г) (г • а)'" -= с.т + с_„ц l(z — a) + c_m+2 (г — af...,
которая после доопределения <р(а)~с_,п становится
регулярной в точке а. Мы будем считать, что т — номер
старшего отрицательного члена в C9), тогда с-т Ф 0 и
limf(z)-lim -~р -(^л- ¦-= да,
z-*a z-*a \* I
т. е. а является полюсом f(z). Так как у нас vry —
= (z - а)'" 7р ('гу •= (г - aI" {b.m + &_m+1 (г - а) +...}, где
Ь-т~- =^0, то порядок полюса а равен т. Доказана
с—т
Теорема 14. Для того чтобы изолированная особая
точка а функции / (г) была полюсом, необходимо и доста-
достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения f (г)
в окрестности а содержала лишь конечное число членов:
f/7\__ Ч^П1 :_ c^JLn+1 u j--—*~ i_
/ W (г—а)т ; (z—o)"-i ~ " " ' ' г—а п
+ 2 сЛ2-а)п; С-тф0. C9)
п=0

254 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ [ГЛ. VI
При этом номер старшего отрицательного члена в раз-
разложении C9) совпадает с порядком полюса а.
Теоремы 13 и 14 дают удобные критерии для распознава-
распознавания полюсов.
Пример. Функция
имеет три полюса: zi,2 = i' — первого порядка и гз=—3—треть-
гз=—3—третьего порядка ( эти точки являются нулями соответствующего порядка
Функции -щ-J ¦
Остановимся на выяснении гидромеханического смысла
полюсов. Комплексный потенциал поля, образованного
наложением полей вихря интенсивности Г и источника
обильности Q, расположенных в одной точке а (((вихре-
(((вихреисточника»), равен
(см. примеры 2 и 3 п. 39, а также упр. 4 к главе IV).
Следовательно, вихреисточник «интенсивности» q — Q — /Г
для комплексного потенциала Ф (z) = -?— Ln (z — а) служит
логарифмической точкой разветвления (см. п. 63). Пусть
мы имеем теперь два вихреисточника интенсивностей q' —
= -^г-и q"=— -г-> расположенных в точках Zi = a — h
и z2 = a. Предельное поле, полученное при слиянии этих
двух вихреисточников бесконечно большой интенсивности,
называется полем диполя с моментом р2. Его комплексный
потенциал
Ln B—a-\-h) — Ln (г—a) p% 1
~ 2я ^0 ,';. ~ 2я z-a
(ср. определение производной) имеет в точке z — a полюс
первого порядка.

67) полюсы 255
Точно так же можно рассматривать предельное поле,
полученное при слиянии двух диполей с бесконечно боль-
большими моментами р\ = -~ и р\ = — —-, расположенных в точ-
точках zi = a — h и za = a (поле квадриполя). Его комплекс-
комплексный потенциал
(D 1-.\ — lim f P4 * Pt 1 1 _
- Р4 lim 1 Г 1 L_\=
2я ? Л \г+Л—а z—a}
_? L_
2я (г—аJ
имеет в точке z — a полюс второго порядка. Вообще ком-
комплексный потенциал поля мультиполя кратности 2т,
полученного при слиянии двух мультиполей кратности
2(т—1) с бесконечно большими моментами,
Фгт(г) = (- I)"-
имеет в точке z = a полюс порядка т.
Обратно, любой полюс z = a порядка т для функции
f (z) можно рассматривать как совокупность расположен-
расположенных в точке а мультиполей, кратности которых не пре-
превосходят 2т и моменты определяются коэффициентами
главной части лорановского разложения f (z) в окрест-
окрестности а.
В заключение укажем формулу для определения
вычетов функции в полюсах. Из разложения C9) следует
(z - a)mf (z) = ст + c_m+1 (z - а) + ...
Для определения коэффициента с~и мы продифферен-
продифференцируем последнее соотношение (т— 1) раз:
= (т - 1)! c-i + т (т - 1) ... 2с0 (г - а) + ...,
и затем перейдем к пределу при z — a (непосредственная

256 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ [ГЛ. VI
подстановка z = а в левой части невозможна, ибо f(a)---
— со). Получи., .формулу для вычета функции в полюсе
порядка т:
c.lM__L._lim-^i:11-{(z-or/(z)}. D0)
В частности, для вычета в полюсе первого порядка имеем
формулу
с-! = lim (z-a) f(z). D1)
2-+а
Пусть функция в окрестности а определена как частное
двух регулярных функций
причем ср(а)=?О, т|;(а) —О, \J3' (а) =jfc 0. Из предыдущего
следует, что г—-а является для f(z) полюсом первого
порядка. Формула D1) принимает вид
c-i = lim (z - a) T ?¦ = 9 (a) lim ^ ¦ -_ (-- - ^I_ D2)
2 a
(при получении второго равенства мы воспользовались.
теоремами о пределах и тем, что по условию i|/ (а) Ф 0).
Формула D2) весьма удобна для нахождения вычетов
в полюсах первого порядка.
Пример. Функция
имеет полюс второго порядка в точке г<) = 0 и полюсы первого по-
порядка в точках 2/,=^ \f /гл. k—-^ 1, ^2, ... (в самом деле, пусть
g(z)--sinz2, тогда g(z/e) —0, g' (Z]t) — 2z/( cos zjj :/¦ 0 при k =/- 0 и
g' (го) = 0, g" (г0) =/: A)- Вычеты в точках z^, fe r/.- 0, определяются по
формуле D2):
L~'~ S'(zk) 2zA cos г? ~ 2гЛ

68] СУЩЕСТВЕННО ОСОБЫЕ ТОЧКИ 257
а вычет в точке г0 —Опо формуле D0):
^->о dz \ sin z2 у г->о
4+
= lim -Л* = 0.
2->0
г*-;•
Последний результат следует также из того, что ? (г) при 0 < j z |<
< У^я является регулярной функцией от г2 и в силу этого ее лора-
новское разложение содержит лишь четные степени.
68. Существенно особые точки. По определению, при
приближении к существенно особой точке а функция f (г)
не стремится ни к какому пределу ни конечному, ни беско-
бесконечному. Отсюда следует, что существуют, по крайней
мере, две последовательности точек z\, z't, ...,z'n, ... и
z'[, z\, ..., z'n, • • -, сходящиеся к а, для которых последо-
последовательности значений функции / (г«) и f (z'n) не стремятся
к одинаковым пределам*). Оказывается, здесь справедлива
Теорема 15 (Ю. В. Сохоцкого). Если а — сущест-
существенно особая точка функции f (г), то для любого комплекс-
комплексного числа А (конечного или нет) можно найти такую
последовательность точек zn, сходящуюся к а, что
lim f(zn) = A.
n-юэ
Докажем эту теорему сначала для Л = оо. Функция
f (z) не может быть ограниченной ни в какой окрестности а,
ибо тогда согласно замечанию 2 п. 66 а была бы устра-
устранимой особенностью. Это означает, что для любого п
в окрестности 0 < | z — а I < -- найдется точка zn, в
*) Можно было бы доказать, что если но любой последователь-
последовательности гп —> а существует один и тот же предел lira / (zn), то суще-
п-кх>
ствует и lira f,(z); ср. упр. 13 главы I.
z-*a
17 Б. А. Фукс, Б. В. Шабат

258 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ [ГЛ. VI
которой |fBn)!>«. Очевидно, lim zn — a, Hmf (zn) = со
71—»со п-»со
и для Л — со теорема доказана.
Пусть теперь А ф оо. Заметим, что либо в любой
окрестности 0 < [ z — а | < — найдется точка zn, в которой
f(zn) = A, либо существует окрестность 0 < \г — а\ < -..- ,
в которой f (z) ^ /1. В первом случае утверждение теоремы
очевидно (последовательность г„ и есть искомая), во втором
в окрестности 0 < \ z — а \ < -тт- регулярна функция
Точка а для этой функции является изолированной особой
точкой. Она может быть только существенно особой,
ибо если бы существовал конечный или бесконечный
limg(z), то существовал бы (конечный или бесконечный)
z->a
lim/(г) — lim ( А -|—-т). Но тогда, по доказанному в
первой части, существует последовательность zn —> а, для
которой lim g (zn) ¦- со. Для этой последовательности,
очевидно, lim f(zn)-A +lim —, ^г = Л, и теорема доказа-
на полностью.
Замечание. Аналогичным свойством обладает дей-
действительная функция г/ —sin--в окрестности точки х--0.
Например, для последовательности хп—-— —>0 имеем
lim sin — = lim sin nn — 0, а для последовательности хп —
П-+-ОЭ *П п-юо
2 1 "С
= -т,—<-i\ * 0 имеем lim sin — ¦---limsinD/i+ 1) '„-=1.
Dя+1)я n^ xn rl_>00 v ^ ' 2
Изменяя последовательность хп -—> 0, мы можем полу-
получить в пределе любое число Л, лежащее в интервале
— 1<Л<1. По теореме Сохоцкого для функции f{z) =
= sin — в качестве предела последовательностей zn —> 0
для различных последовательностей zn можно получить
любое комплексное число.

68J СУЩЕСТВЕННО ОСОБЫЕ ТОЧКИ 259
Так как согласно теоремам 12 и 14 функции, главные
части лорановских разложений которых в окрестности
точки а содержат лишь конечное число членов, имеют
эту точку своим полюсом или устранимой особенностью,
то имеет место
Теорема 16. Для того чтобы изолированная особая
точка а функции f (z) была существенно особой, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского
разложения f (z) в окрестности а содержала бесконечное
число членов:
п=1 п=0
В заключение заметим, что для определения вычета
функции f(z) в существенно особой точке обычно непо-
непосредственно определяют коэффициент c_i в разложении D3).
Примеры. 1. Функция
f(z)--=ez
имеет точку г = 0 своей существенно особой точкой, ибо даже для
1 1 I
действительных z — x lime* не существует (lim ex— 0, lim ex — co).
х-»0 х->—0 х-*+0
Лорановское разложение f (г), справедливое для всех гфО, имеет
вид
для доказательства достаточно в разложение A7) п. 61 подставить
вместо г ). Отсюда
res?@)=l.
2. Функция
где и — комплексная постоянная, также имеет в точке 2 = 0
17*

260 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ РЯДЛМИ [ГЛ. VI
существенную особенность. Имеем:
-t с -у , 2 г-, 2, ^ 2 j г
V
41
а 1 , l/'oVl
3! V. 2 у1 гЗ 'Ч|
» f eY_L_ \
| V 2 У г< ' J '
откуда находим коэффициент при — :
res/@)=- 2 +2, ^-2 J -gig! (У;
=. _ v -t~ xTl ( а У1*1 *)
" Ь лЦп-'rljlV 2 У
¦»|-0
69. Поведение функции в бесконечности. Пусть функ-
функция \{г) регулярна в некоторой окрестности /?<]zj<co
бесконечно удаленной точки. Основное определение п. 65
полностью сохраняется и для этого случая, ибо понятие
предела функции при г—> со формулируется так же, как
и при г—>аф со. Однако критерии типа особой точки
(теоремы 12, 14 и 16) изменятся, что видно из следую-
следующего рассуждения. Положим г--у-и
=F(Z)' D4)
где F(Z) регулярна в окрестности О <|Z | < „ точкиZ=0.
Очевидно, характеры особенностей f(z) при 2—* со и F (Z)
при Z— >0 совпадают (ибо limf(z)— liinF(Z)). Следова-
2-юг. Z->0
телыю, в случае устранимой особенности имеем со-
согласно C8)
=co + -^ + -g.+ ..- D5)
*) Здесь res ^ @) =—Ji(a), где J1 — бесселева функция первого
порядка; см. Р. О. Кузьмин, Бесселевы функции, ОНТИ, 1935,
стр. 40, а также упр. 10 этой главы.

69] ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ В БЕСКОНЕЧНОСТИ 261
В случае полюса порядка т согласно C9) имеем:
со
f (у\ р 1У\- с~т i с-ш+1 : i с-1 1 "V /.' уп
I \ь) — г \?>) —- -sjjT г пгт~\ , • • ' "I ¦/- Г /А ЧФ ¦—
Z» Li ?j Jmnmt
n=0
со
г.- cmzm + c-iZ -I- ... ¦ t-dz + 2 ^г D6)
(здесь cn = cln) и, наконец, в случае существенной осо-
особенности согласно D3)
со со со со
f /~\ р G\ ^V^ С-П I "^О р' 7П "V^ p уП _i_ "V^ Е~Л (А7\
п=1 п=0 п—1 п=0
(и здесь сп = с'_п).
Мы видим, что в лорановских разложениях D5), D6),
D7) функции f (г) в окрестности бесконечно удаленной
точки роль главной части играет совокупность положи-
положительных степеней г, а члены с отрицательными степе-
степенями образуют правильную часть.
Замечание 1. Если функция f(z) имеет в беско-
бесконечности устранимую особенность, то обычно полагают
f (со) = limf (г) и называют тогда f(z) регулярной в
г->со
бесконечности.
Замечание 2. Теореме Лиувилля п. 53 можно
придать несколько иную формулировку: если функция f(z)
регулярна в замкнутой плоскости, то она постоянна.
В самом деле, из регулярности f(z) в бесконечности
следует ее ограниченность в окрестности этой точки; пусть
\f (z)\< Mi при \z\>R. С другой стороны, так как f(z)
регулярна в замкнутом круге jz|<#, то она там также
ограничена (см. п. 13); пусть |/(г)|<УИ2 при \г <R.
Обозначим через М наибольшее из чисел Mi и М2. Тогда
\ для всех г и по теореме Лиувилля f (г) = const.
Примеры. 1. Дробно-рациональная функция
где ап Ф 0 и ЬтФ0, регулярна в бесконечности, если
п</и (точнее, имеет нуль порядка /га —п, если п</га),
и имеет там полюс порядка п — т, если п > т. В этом

262 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ [ГЛ. VI
проще всего убедиться, переходя к функции F(Z)~^
~f(~7~)- В частности, при /и —О получим, что много-
V ^ у
член степени п
f(z)^-anzn-\ an^znl~- ...-! а0,
где ап ф О, имеет в бесконечности полюс n-го порядка.
2. Известные разложения функций cz, cos 2, sin г, chz,
shz (см. и. 62) можно рассматривать так же, как лора-
новские разложения в окрестности г=—со. Так как все
эти разложения содержат бесчисленное множество поло-
положительных степеней, то перечисленные функции имеют
в точке г—оо существенную особенность.
1
Напротив, функция ez регулярна в бесконечности, ибо
ее лорановское разложение в окрестности z = оо (см. при-
пример 1 предыдущего пункта) не содержит положительных
степеней.
3. Функция f(z) — -. - имеет в бесконечности не-
неизолированную особенность, ибо полюсы zk = kn этой
функции накапливаются в бесконечности (Iim2/t —оо).
&->оо
В заключение остановимся на понятии вычета функции
в оо. Естественно дать следующее
Определение. Пусть функция /(г) регулярна при
R < |г| < оо. Назовем вычетом f(z) в бесконечно удален-
удаленной точке
res/(со).--^.^(zWz, D8)
с ~
где С"— окружность | г j — q, Q>R, проходимая в отрица-
отрицательном направлении (таком, что окрестность точки z— оо
остается слева). Интеграл D8) не зависит от q, если q>R
(см. п. 47).
Из определения непосредственно следует
Теорема 17. Если функция f(z) имеет в замкнутой
плоскости конечное число особых точек (однозначного
характера), то сумма всех ее вычетов (включая и вычет
в точке 2 —оо) равна нулю.
В самом деле, пусть 24, 22, ..., гр — (конечные) особые
точки f (z) и С —окружность, содержащая всех их внутри.

69] ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ В БЕСКОНЕЧНОСТИ 2СЗ
Тогда в силу теоремы Коши о вычетах п. 48 и соотноше-
соотношения D8) имеем:
с с-
= res f (Zl) -!- res f (zt) +...-]¦ res f (zp) -|- res f (oo). D9)
Теорема доказана.
Наконец, укажем еще одно предложение.
Теорема 18. Вычет функции f(z) в бесконечно уда-
удаленной точке равен взятому с обратным знаком коэффи-
коэффициенту при z'1 в лорановском разложении f(z) в окрест-
окрестности этой точки.
Пусть f (z) регулярна при R < \z\ <co. Тогда ее лора-
новское разложение D7) (в нем, быть может, лишь конечное
число сп Ф 0) равномерно сходится на окружности |z| = q,
где q > R (см. п. 64). Интегрируя его почленно вдоль С
в положительном направлении, получим:
Но согласно результату п. 50 в правой части будет отличен
от нуля лишь интеграл Ф——, и мы получим:
с
resf(oo)= — с_1. E0)
Теорема доказана.
Замечание. Несмотря на внешнее сходство этой
теоремы с теоремой 11 п. 65, между ними имеется суще-
существенное различие. Дело в том, что здесь член с г
принадлежит правильной (а не главной) части ряда Лорана,
и resf (оо) может быть отличным от нуля и тогда, когда
f(z) регулярна в бесконечности.
Пример. Рассмотрим
B2+1J B4-|-2K-
1*1=4
Вычисление вычетов в конечных особых точках подинте-
гральной функции f(z) весьма затруднительно, поэтому,

264 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЯ РЯДАМИ [ГЛ. VI
пользуясь D8), мы пишем:
/= — resf (oo)-2m\
В бесконечности f(z) имеет нуль первого порядка. Пра-
Правильная часть ее разложения начинается с члена - -. Сле-
Следовательно, c_i~ — resf (оо)-.= 1, а значит, и / — 2т.
70. Теорема Жуковского о подъемной силе. Вернемся
к задаче полного обтекания, уже рассмотренной нами
в п. 44: требуется найти комплексный потенциал потока,
обтекагощего замкнутый (конечный) контур С с заданной
величиной циркуляции Г и с заданной скоростью в бес-
бесконечности Vac. Мы нашли там одно из решений этой
задачи (формула G4))
w = <i)(z) = Veog(z) -\-^ + ^Lng{z), E1)
где ? = gB) — функция, осуществляющая конформное ото-
отображение внешности С на внешность круга [?,[> R с нор-
нормировкой
g(oo) = oo, g'(oo)=l,
но не доказали, что других решений не существует.
Остановимся на доказательстве единственности решения
задачи полного обтекания. Пусть сначала контур С пред-
представляет собой окружность | ? i = R плоскости %. Покажем,
что тогда решение задачи полного обтекания дается
формулой
Пусть функция до —4^@ решает задачу- Так как произ-
производная qpj (?) определяет векторы скорости поля (V — q\ (?),
см. п. 39), то она однозначна и, следовательно, регулярна
в #<!?|<°°- При %,—> оо (Pi(?) по условию стремится
к конечной величине V<x,, следовательно, она имеет в
бесконечности устранимую особенность и ее лорановское
разложение в окрестности ? = оо имеет вид
ф;ю=у~-1^+^Н^-+--- E3)

70] ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ 265
По теореме 9 это разложение справедливо для всех ?,
|?|>#, ибо <Pj(?) для этих ? регулярна. Далее, цирку-
циркуляция скорости течения, определяемого w~(pi(t,), при
обходе окружности \t,\--R должна равняться Г, поток
же скорости через нее, очевидно, равен 0. Следовательно,
по формуле B2) п. 48 (в которой надо положить Q--Q)
имеем:
Г-
с*
где С* — произвольный контур, охватывающий окружность.
Отсюда находим c_t —•„•¦;. Интегрируя E3) и отбрасывая
несущественное постоянное слагаемое, получаем:
Ф< (?) - Foot-! 2^. Ln'.? - c-f - g E4)
В силу условия обтекания на окружности '{%,/¦¦-R
должно быть 1тф1 (?) --const, откуда, полагая ? — Re11 =
= Rcost-\- iRsint, ch — o.h ;-/6ь, Vx — Vx-\-iVy, найдем:
г- g.3sin2f
или
+ P=LCOS2t-°?sin2t !-...= 0,
где Л —некоторая постоянная. Так как последнее соот-
соотношение имеет место тождественно для всех /, то все
коэффициенты в его левой части равны нулю*):
?O, RVx-a'Rz. -0,
*) Последнее соотношение представляет собой разложение Фурье
функции, тождественно равной нулю. По теореме единственности
разложения все его коэффициенты равны 0.

266 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ [ГЛ. VI
Отсюда
с_2 - а_2 1 - ф_* - R*VX -j- iRWu - ^2Voc,
c-fc-P-ft-i-tp_ft=:O <*>3),
и разложение E4) принимает вид E2). Таким образом,
4>i(t) — ф(а)> и Для частного случая внешности круга
| ? | > i? утверждение доказано.
Вернемся к общему случаю произвольного контура С.
Пусть w — <?>i{z) дает решение задачи полного обтекания.
Обозначим через z = ft(?) функцию, обратную к ? = g(z)
и осуществляющую конформное отображение I ? > R на
внешность С; ее нормировка, очевидно, будет
Как было указано ранее, функция g, а следовательно
и А, определяется однозначно. Построим теперь функцию
она, очевидно, регулярна при R <! ? < аэ, следовательно,
ее можно рассматривать как комплексный потенциал неко-
некоторого течения в плоскости ?. На окружности |?| —i?
1шф1(?) = ImCL>i(z) = const,
ибо точки окружности при отображении z = h(t.) переходят
в точки С, a Oi (г) но условию дает обтекание С. Таким
образом, функция до —<Pi(?) дает обтекание !?! — /?. Цир-
Циркуляция скорости течения
с* с* с*
где С* — некоторый замкнутый контур в плоскости ?,
охватывающий окружность ]?'==/?, и С*-его образ
при отображении z - - А (?) — замкнутый контур, охватываю-
охватывающий С. По нашему условию интеграл в правой части, а
следовательно и Ft — Г. Кроме того, скорость течения
в бесконечности
ф;(оо) = Ф;(оо) А' (со) -^Vx.
Таким образом, функция w~<$i(z) дает решение задачи
полного обтекания окружности !?, — # и по доказанному
вьнне совпадает с функцией w — (p(z) из E2). Но тогда

7(>1 TF.OPEMA ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ 267
Ф(B) — ф(^)--ф \g(z)} совпадает с функцией Ф(г) из E1),
и утверждение доказано полностью.
Перейдем к вычислению подъемной силы Р, действую-
действующей на обтекаемый контур С. По формуле Чаплыгина
B5) п. 48 величина, комплексно сопряженная Р, равна
с*
где С*— произвольный замкнутый контур, охватыва-
охватывающий С. Мы преобразуем эту формулу, определив вычет
[Ф' (z)l3 в бесконечности.
Производная комплексного потенциала задачи полного
обтекания С регулярна вне С и в окрестности г ¦-= оо
имеет лораповекое разложение вида
Ф'(г) ^со I ~'-1 Сгг "I •¦•
(в начале пункта мы доказали это для частного случая
круга, но доказательство дословно повторяется и в общем
случае). Для определения вычета с-i заметим, что цирку-
циркуляция скорости течения
с*
Г
откуда c-i — ^—.. Таким образом,
"~^°° ' alz ' z* r
где с'_2, ... — некоторые постоянные, и вычет [Ф' (г)]2
в бесконечности равен —¦-¦ Следовательно,
Переходя к комплексно сопряженным величинам, получим
формулу
P=-iQYVoo, E5)
выражающую известную теорему Жуковского:

268 представлении: регулярных функций рядами [гл. VI
Подъемная сила, действующая на обтекаемый контур,
по величине равна произведению из циркуляции, плотно-
плотности и величины скорости на бесконечности, и направ-
направление ее повернуто относительно направления скорости
в бесконечности на прямой угол навстречу циркуляции
{при Г > 0 — по часовой стрелке, при Г < О — против).
Если контур С имеет острую кромку, то последняя
согласно условию Чаплыгина будет точкой схода потока
и по формуле G3) п. 44
r-=4nUoo/?sin(<po-0), E6)
где Uoo--!Voo|, 9 = argVoo и <р0 — аргумент образа кромки
(точки схода потока) при отображении t,--g{z) внешности
С па внешность круга ;? > R с нормировкой g (да) -- оо,
g' (oo)= 1. Следовательно, формула Жуковского для абсо-
абсолютной величины подъемной силы принимает вид
Р • ••¦= j Р; =-- 4яд/&?, | sin (ср0 - 0) |. E7)
Пример. Задача полного обтекания плоской пла-
пластинки, которая оставляет на плоскости z след в виде
отрезка — а < х < а оси х. Функция ?i = - • отображает этот
отрезок в единичный, ?г = li +Vt\ — 1 = -Z~r z "~a
отображает его внешность на внешность единичного круга
(п. 26). Однако производная последней в точке г—-оо
1 , —г- Л 2
' /г2-о2 Jz=o
dz
a
и, следовательно, функцией t, = g(z) будет служить
радиус круга, на которой она отображает внешность от-
отрезка, R--~2 ¦ Таким образом, по E1) комплексный по-
потенциал течения
Ф/ \ V СО / | Т ' 9 9\ I СО ,
(г)— -R— (г- }- г2 —а2) + - у-— +

ТО] ТЕОРЕМЛ ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ 269
Но ?1 -— - г-~ -*-~^ , Ксо — Уоое*0, следовательно,
-= Ф B) -=
2ni
-- Усо B cos 9 - i y"z2 - a2 sin 0) \- —-.- Ln B ' • Y'z* - a2).
Предположим теперь согласно условию Чаплыгина (п. 44),
что правый конец отрезка 20 = а служит точкой схода
потока; функция ? = g(z) переводит ее в точку to—^ >
Фо — arg ^0 = 0 и по формуле E6)
Г -- Anv^R sin (ф0 — 0) — — 2пг\,д sin 0.
Следовательно, комплексный потенциал принимает следую-
следующий вид:
w = Ф {г) = vm [z cos 0 — i \/ z2 — и2 sin 0 |-
-b/asinGLn(z l-l/z" —a5)],
а его производная
F = Ф' (z) = Da, {cos 0 - i sin 0 7'—а—} -=
= Уоо {cos 0 - / sin 0 j/^-^"—} •
На отрезке —а^Сх^.а скорость действительна:
V - Ф'~^) - Уоо {cos 0 i. sin 0 ]/;-}} -
Из последнего равенства легко находится критическая
точка потока; имеем:
ч
а-.| ха » '
откуда
хо= — acos20.
Это —точка разветвления потока; точка схода не является
у нас критической, ибо она находится в острой кромке
(см. п. 44). Линии тока течения изображены на рис. 106.

270 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ [ГЛ. VI
Подъемная сила, действующая на пластинку, по форму-
формулам E5), E6) равна
Р = 2naopti sin 0e'°,
ее абсолютная величина
р = \р\ = 2naQvl> I sin 01
пропорциональна синусу угла атаки 0.
Рис. 106.
71. Простейшие классы аналитических функций. Опре-
Определение. Функция f(z), регулярная но всей открытой
плоскости, называется целой.
Разложим /B) в ряд Тейлора с центром в точке z — 0:
г2-\ ... ~':-спгп ¦¦]-.. E8)
сгг2
спгп
По теореме 6 и. 61 этот ряд сходится для всех конеч-
конечных z и, следовательно, E8) является также лорановским
разложении f(z) в окрестности г~оо.
Отсюда заключаем, что 1) если целая функция регу-
регулярна в бесконечности, то она постоянна: f (г) s=~ c0;
2) если z=oo является полюсом целой функции, то
последняя представляет собой многочлен (целую рацио-
рациональную функцию). Если z = оо является существенно
особой точкой f(z), то последняя называется целой
трансцендентной функцией. Примеры таких функций до-
доставляют е\ sin 2, cos г и т. д.

71] ПРОСТЕЙШИЕ КЛАССЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 271
Определение. Функция f(z), у которой все конеч-
конечные особенности являются полюсами, называется меро-
морфной.
Заметим, что в любой конечной замкнутой части пло-
плоскости мороморфная функция имеет лишь конечное число
полюсов *). Во всей открытой плоскости число полюсов мо-
может быть и бесконечным ( примеры: -.—--, tg z, ctg z и т. д. '-.
Докажем следующую теорему:
Теорема 19. Meроморфная функция f(z), все особен-
особенности которой в замкнутой плоскости—полюсы (и зна-
значит их конечное число), является дробно-рациональной.
Пусть at, g2, .. ., ар будут (конечные) полюсы f(z) и
с~т, . с-'::,*1 . . с'.
A)
i_ "'-;L*J ¦_ <-•-!
(z-aiF1 ' (z-«i)'"r' ' ¦" ' z-«i
с У с(.2> B)
lz—аЛ1 ' Г2 —a^1"* ' ''" ' z—a.
,.<р> _(Р> (р)
— главные части лоранопских разложений в окрестности
этих полюсов. Пусть еще
l ...+Amzm
будет главная часть лорановского разложения f (г) в окрест-
окрестности z--oo (если f (z) регулярна в оо, то эту функцию
можно не рассматривать).
Обозначим
Ф (z) -- / (z) - g-i (z) - g2 (z) - ... - gp (z) -g{z).
Эта функция регулярна во всех конечных точках z=f=ak
как сумма конечного числа регулярных функций. В каж-
каждой точке ah она имеет устранимую особенность, ибо но
построению главная часть ее лорановского разложения
*) В противном случае существует последовательность полю-
полюсов л/,, сходящаяся и конечной точке а. Точка а не является изоли-
изолированной особенностью и, следовательно, заведомо не может быть
полюсом. Это противоречит нашему определению.

272 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ [ГЛ. VI
отсутствует (главная часть разложения f(z) устранена
вычитанием gk(z), а остальные функции g'h(z), где к' ф k,
регулярны в точке а^ и не дают главных частей). То же
самое относится к точке z—co. Доопределив q>(z) над-
надлежащим образом в точках ah и сх>, мы получим функцию,
регулярную в замкнутой плоскости. По замечанию 2 п. 69
она постоянна; пусть <р (z) =; Ао. Итак,
f(z)--A0+g(z) i 2 gk(z)~A0 + Alz-{-••¦¦-, Лтгт |-
Формула E9) и доказывает нашу теорему.
Замечание 1. Формула E9) представляет собой
известное читателю из интегрального исчисления разложе-
разложение дробно-рациональной функции на целую часть и про-
простейшие дроби. Доказательство теоремы 19 дает изящный
вывод этой формулы.
Замечание 2. Производя в E9) простые арифмети-
арифметические действия, мы представим f (z) в виде отношения
двух многочленов (целых рациональных функций). Можно
доказать, что и произвольная мероморфная функция пред-
ставима в виде отношения двух целых функций.
Упражнения
оо
1. Найти область абсолютной сходимости рядов: а) N. - г,
б) -?--\- N. (ап cos nz-\~bn sin нг), где а„, Ьп и г комплексны (ряд
•п =1
Фурье в комплексной области).
оэ со
2. Напти радиусы сходимости рядов а) >. i - ¦ J , б) >, п г".
П—1 Г1=1
3. Найти тейлоровские разложения с центром в точке z=i
всех иетвеп функций а) у'г, б) Lnz,

УПРАЖНЕНИЯ 273
4. Найти первые три члена тейлоровского разложения с цент-
центром в точке г — 0 той ветни функции / (z) — A -'-г) *, для которой
/@) = е.
со
5. Доказать, что ряд V г2™ имеет окружность ', г ' =- 1 своем
естественной границей.
6. Какие функции (однозначные или нет) определяются следую-
следующими формулами: a) j/eS б) ]/cos2, в) cos |/ z , г) J^l— sinaz,
. sin ]/z . , , . , .
д) jr-.— , е) Lne-, ж) Ln sin г?
У г
7. Коэффициент при я-й степени z в тейлоровском разложении
4— г2
в окрестности г—-0 функции / (г)— . . , ,_ 2 (—1 </<.1) ипзы-
вается полиноуом Чебышева (обозначение: Тп (/)).
Доказать, что
Тп @ = -2Й"-Г cos " arccos /-
8. Найти разложения в ряд Фурье функций 0 я I < 1):
9. Найти лорановские разложения в окрестности г-=оо функций:
а) /2cos(% !- ?-^, б) V' (г-1)(г- 2), в) Ln ^ _'_--, r)Ln"-^-.
10. Коэффициент при я-й степени г в лорановском разложении
в окрестности г —со функции е2 г называется бесселевой функ-
функцией порядка п (обозначение: Jn (t)). Получить представления бес-
бесселевой функции Jn (/) в ннде степенного ряда и в виде интеграла.
П. Нули функции /(г)-=.чш- , г/<—1—/--• , А = 1,2, ...
1 — z АЛ
образуют [юследовател!>ность, сходящуюся к точке z—1, но /(г) не
равна тождественно 0. Почему это не противоречит теореме един-
единственности и. 62?
12. Какое различие между поведением и окрестности точки г = 0
функций: а) действительного переменного у—\ е х' ' х =j= 0,
\ 0 , х = 0,
/ _ 1
б) комплексного переменного w=le z2, z =/= 0,
10 , z = 0?
13. Проверить непосредственно теорему Сохоцкого п. 68 для
функции w= sin z в окрестности точки z---oo, доказав, что длн любого
комплексного Л =/= со точки, в которых sin г —Л, образуют последо-
последовательность, сходящуюся к со.
18 Б. Л. Фукс, Б. В. Шабат

274 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ [ГЛ. VI
ez~ 1
J4. Какие особенности имеют функции: а) • —г, б) -; ¦:
ez— I sin z-l-cosz '
J5. При каком а будет однозначной функция
J6. Найти вычеты следующих функций в их особых точках:
а) —— (z ф оо), б) -у-;—— , в) , г) cos z—sin z, д) г™, ег,
е) /!,ж)ечП-г-?-.Гг
' 1-|-г z—b
J7. Определить поток и циркуляцию скорости течения с ком-
ком-л.
плексиым потенциалом Ф(г) = arctgz2 для окружности | г — е 4 |=1.
J8. Найти суммарный заряд, расположенный и круге ',z|<. л-г-„ .
если потенциал поля F (z) = 2qi Ln
sin яг

ГЛАВА VII
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
2Я
72. Вычисление интегралов вида \ /?(sin^r, cosx)dx,
о
где # —дробно-рациональная функция своих аргументов.
Предположим, что R (sin х, cos x) является непрерывной
функцией х па замкнутом интерпале [0, 2л]. Применяемые
методы мы будем иллюстрировать на отдельных типичных
примерах.
Пример 1.
1 - } l_2pcos;t i-p2' U<* P<- '•
О
Положим
eix=z, A)
, , d2 ei3C i g-ix l s
тогда /л- --lnz, ал:--=-т--, cos л: — ^ 2(г r
при изменении л: от 0 до 2л точка z описывает единичную
окружность. Поэтому
/_ & йЛ & idz
Подиптегральиая функция имеет два полюса, определяе-
определяемых из уравнения
откуда Z\ — р, г2 = - . В силу нашего условия лишь Z\
лежит внутри единичной окружности, поэтому по теореме
18*

276 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [ГЛ. Vll
Кош и о вычетах п. 48
I г 1=1
Вычет подинтегральной функции в точке z = z4 вычис-
вычисляется по формуле D2) п. 67:
res
Таким образом,
2я
1 —2р cos д-+7« = - 2я-рТ=Т = 2яТ=^Г • B)
о
Заметим, что значение интеграла B) получается сразу,
если воспользоваться формулой Пуассона F0) п. 56 (в ней
следует положить г|з = х, ц> — 0, R = 1, г = р, и (г|з) = ._ 2 j .
Пример 2. Той же подстановкой A) вычисляется
интеграл
2Я
--' f
zdz
Подинтегральная функция имеет полюсы второго порядка
(p + Vp2q2) 2
в точках 2i = —( — р + УР2— ?2)i Z2 —— (—-р — Ур2 — ф).
Пусть р > q > 0, тогда полюс z2 лежит вне единичной
окружности. Вычет с~\ в точке Z\ вычисляется по фор-
формуле D0) п. 67, где т = 2. Учитывая, что
3-9-
2 4
имеем:
d
-1 z->zi ^г *?2
_] ^Г 4 d г 1 =
, | L g2 dz (г—гаJ Jz=zi
i-z2K (р2„„2K/2

?2] ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ВИДА J R (sin x, cos л:) dx 27?
О
По теореме о вычетах наш интеграл
2Я
1 = \ -/—;—-—тт = — /2я/с_1 = ,, ; р > о > 0. C)
Аналогичным способом вычисляются и интегралы не-
несколько иного типа.
Пример 3. Для вычисления интеграла
/= \ ctg(x — a)dx,
о
где a = a-\-i$, p Ф О (при Р--0 интеграл расходится),
удобно положить
g2i(i-a)_ z_
Тогда dx=-§-, ctg(x-a) = i '"+'
-!г^, ctu(x — a) = t ! = t——г
2iZ ь v ' ei(x-a) e-i«-a) г—1
и при изменении х от 0 до я точка z описывает окружность
|2| _| е2Э+2г(ж-а) I _ g2P_
Поэтому
/_ & ;i+L^_l & 2+1 dz
0 г— 1 2iz ~ 2 J z— I z •
| 2 |=С2Э | 2 |=Р2Р
При р > 0 радиус окружности е2Р > 1 и, следовательно,
внутри нее лежат оба полюса подинтегральнои функции
z1 = 0, z2=l. Эти полюсы первого порядка, и поэтому
соответствующие вычеты по формуле D2) п. 67 равны
_Ф@) _
_ „
( в первом случае мы принимаем <р (z) = ~ , о|з (г) = z, во
z— 1
втором ф (г) = z~xz , aj) (г) = г — 1Y При Р < 0 радиус
окружности е2Р < 1 и внутри нее лежит лишь один полюс
0 1
ру у
= 0 с вычетом rt = — 1.

ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
[ГЛ. VII
Таким образом, / — -2л/(г1 | г2) — л/ при р > О,
/ = y2я// — — ni при р < 0. Объединяя эти случаи, мы
можем написать:
I = \ ctg (х — a) dx = ш" sign |3,
D)
где signр — знак р
при р < 0.
равен |-1 при Р>0 и равен —
со
73. Интегралы вида \ R (х) Isin \ ax dx, где R (х) —
дробно-рациональная функция х. Начнем с вычисления
интегралов, в которых тригономет-
тригонометрическая функция отсутствует:
\У
R(x)dx.
E)
Для существования интегра-
интегралов типа E) мы предположим,
Рис. 107. что R (х) непрерывна для всех
действительных х и что степень
числителя R (х), по крайней мере, на две единицы ниже
степени ее знаменателя *).
Пример 1. Для вычисления интеграла
DO
г f dx
мы выберем контур интегрирования L, состоящий из от-
отрезка (-R, R) действительной оси и верхней полуокруж-
полуокружности \z\ = R (рис. 107), и рассмотрим функцию
*) Если последнее условие не выполнено, то несобственный
интеграл E) расходится.

73]
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА J R (х) {^} ах dx
279
Внутри L при R > а лежит один ее полюс z0 = ai третьего
порядка с вычетом
2!
(г~шK
' 1 _
(г+аО3 J i=ai
1 3-4 3
2 BшN ~ \6аН '
По теореме Коши
R
jf(Z)dZ=\if(x)dx+[f (Z) dZ = 2Я/С-! = -g- , F)
-R
где Cr —верхняя полуокружность |z[ = 7?, 1тг>0. По
теореме об оценке интегралов п. 46 при достаточно боль-
больших R
\f(z)
dz
max
\z\=R
где с —некоторая константа (при достаточно больших R
сколь угодно близок к 1). Отсюда следует, что
R->oo
lim \ f(z)dz = O
и из F) в пределе при R —> оо получаем значение искомого
интеграла*)
/= \ f(x)dx =
dx
G)
Аналогичным методом вычисляются и интегралы, со-
содержащие тригонометрические функции.
*) Интеграл G) берется элементарно трехкратным интегрирова-
интегрированием по частям или тригонометрической подстановкой, причем оба
способа приводят к достаточно громоздким выкладкам-

280 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [ГЛ. VII
Пример 2. Для вычисления интеграла
оо
, (' cos х dx
о
мы выберем тот же контур, что и в предыдущем при-
примере, и рассмотрим функцию
f(z) = -^ ¦
п ' г2!- '
действительная часть которой при действительных z = x
совпадает с нашей иодинтегральной функцией. На полу-
полуокружности Си имеем 'е{-| —е~у<1, ибо j/ = Imz>0,
поэтому при достаточно больших R, как и выше, полу-
получаем оценку *)
Si i \ j I ^ с п сЯ
/(z)rfz|<-^ я/?=- ~^- ,
из которой видно, что lim \ f(z)dz = O. Внутри L функ-
«->со •)
ция f(z) имеет один полюс первого порядка при z = ai
с вычетом
_ ^<У) _ е-° _ 1
1 ' ' г))' («) 2ot" 2aeft/
(здесь ф(г)--егг, a|5(z)--z2 + a2), поэтому по теореме Коши
/ (г) dz - I -;2-. J2- -|- J f (г) dz =-. гя.с.. - -^ . (8)
Отделяя здесь действительные части, находим:
-Н
*) Если бы мы взяли / (г) — —?• т~2~' то п°Ао|5ная оценка
не имела места, ибо |cos г | на Сц весьма быстро возрастает.

73] ИНТЕГРАЛЫ ВИДА J R <лг) j*j?) ax dx 281
- оо
В силу полученной выше оценки lim \ f(z)dz = O и по-
R-«o ¦}
следнее соотношение в пределе при R—»со дает 21 —
= -^а > откуда*)
оо
COSXdx Я /Г1\
/ =
2аеа "
О
Пример З. Для вычисления интеграла
, С sin х ,
/ = \ dx
J *
о
мы рассмотрим вспомогательную функцию
мнимая часть которой при действительных 2 — л; совпа-
совпадает с подинтегральнои функ-
функцией. Контур, указанный на
рис. 107, здесь неприменим,
ибо / (г) обращается в бес-
бесконечность при z = 0. Учиты-
Учитывая это, мы вырежем из полу-
полукруга рис. 107 еще маленький
полукруг | z | < г, г/ > 0 с тем,
чтобы в дальнейшем устре-
устремить гк0и/?к оо. В по-
полученной области (рис. 108) f(z) регулярна, следова-
следовательно, по теореме Коши п. 47
—г П
-H cr ¦ r CK
Для оценки четвертого интеграла недостаточно огра-
ограниченности |eiz| на Cr, ибо длина контура интегрирова-
интегрирования и модуль знаменателя подинтегральнои функции од-
,. ., . С cos xdx
•) Неопределенный интеграл \ —а 2 не выражается в эле-
элементарных функциях.

282 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [ГЛ. VII
ного порядка. Для получения более точной оценки мы
применим формулу интегрирования по частям, полагая
Y = m, eizdz = dv. Имеем:
C
eiz
Здесь проинтегрированная часть, очевидно, стремится
к нулю при R—*co, модуль интеграла не превосходит
-j^-nR — — и также стремится к 0. Следовательно, чет-
четвертый интеграл стремится к нулю при /?—>оо. Для
оценки второго интеграла при г—э-0 воспользуемся лора-
новским разложением функции —-в окрестности z = 0
1! ^ 2! ^ 3!
где P(z) — правильная часть ряда Лорана, регулярная
в точке z = 0 функция. Так как при г^О длина полу-
полуокружности ст стремится к нулю, а функция Р (г) огра-
ограничена, то lim \ P(z)dz = 0 и, следовательно,
r->0 J
г->0
В последнем интеграле полагаем z = reifp, dz —
тогда он переходит в
о
\ idq>— — in.
п
Таким образом, отделяя в A0) мнимые части и переходя
к пределу при г—>0 и R-^-co, получаем:

73] ИНТЕГРАЛЫ ВИДА jj H (*) {^} ах dx 283
—оа.
откуда искомый интеграл
^^ЧЬ (И)
Пример 4. Совершенно аналогично вычисляется ин-
интеграл*)
т (* cos ал: — cosbx , п , п
о
Мы рассматриваем вспомогательную функцию
piaz ЛЫ
и берем интеграл вдоль контура рис. 108. Имеем:
-г К
f(x)dx+\f(z)dz = O. A2)
-В "с,. г CR
Оценка четвертого интеграла при /?—>оо производится
проще, чем в предыдущем примере, ибо в силу того, что
j eiaz | = е~ау < 1 и |еш| = е~Ьы<1 на CR (мы считаем а>0,
fe>0), имеем |/B)|<-55- и
f(z)dz
Для оценки второго интеграла при г—>0 снова восполь-
воспользуемся лорановским разложением в окрестности 2 = 0
*) Заметим, что этот интеграл нельзя представить как разность
оо со
(' cos ax , f cos bx , ,
Интегралов ^ —^— ах и \ ^— ах, ибо последние расхо-
расходятся.

284 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [ГЛ. VII
где Р (z) — регулярная при 2 = 0 функция. Отсюда, как
и в примере 3, найдем:
lim [ f (z) dz = * (a - b) (- in) = (a - b) n.
r-+0 V
Таким образом, отделяя в A2) действительные части,
в пределе при г—>0 и R—> оо получаем:
со
С cos ax — cosbx
откуда искомый интеграл
оо
cos ax — cos bx , Ь—а ,,о^
^ j2 dx^--2— П. A3)
о
74. Другие интегралы. Успех вычисления многих инте-
интегралов других типов связан с удачным выбором вспомо-
вспомогательных контуров.
Пример 1. Так называемые интегралы Френеля
\ cosx2dx, \ sinx2dx
удобно вычислять одновременно. Рассмотрим вспомога-
вспомогательную функцию
для которой при действительных z = x наши подинте-
гральные функции являются соответственно действитель-
действительной и мнимой частями. Заметим еще, что на биссектрисе
первого координатного угла, т. е. при z — rVi, функция
/(z) — e~r2 совпадает с подинтегральной функцией извест-
известного интеграла Пуассона *)
e-r»dr^JjL. A4)
о
Чтобы использовать это, мы выберем контур, указанный
*) См. также упр. 9 к этой главе.

74]
ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЫ
285
на рис. 109; так как f(z) регулярна внутри него, то по
теореме Коши
r о
J eix2 dx + J e"a dz + [ e~r2 ]/ldr =-- 0 A5)
о bR н
(при интегрировании по участку биссектрисы мы ввели
параметр г так, что z = \ri-r, dz — ^idr). Как и в пре-
предыдущих примерах, мы устремим R в оо. Для оценки
второго интеграла опять воспользуемся интегрированием
по частям
2/г
Rrt
1Т
Модуль проинтегрированной
части
2«
2R
_
2R
Рис. 109.
стремится к нулю при R—>oo. Модуль подинтегральной
функции
j. (R2 cos2cp+ifl2 sin 2(p)
in 2ф
где положено г — R (cos cp \- isin ср), на дуге Cr не превосхо-
превосходит --,-, ибо там sin2(p>0 и е~т sin 2ф< 1. По теореме
об оценке интеграла
1 л п л
dz
и также стремится к пулю при R—>co. Таким образом,
из A5) в пределе при R—>co получим:
\ e^dx-V'i J

286 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [ГЛ. VII
или по A4)
со со оо —
eixidx= \ cosx*dx+i J sinx2dxVi J^ = ^
0 0 0
Сравнивая здесь действительные и мнимые части, получим
оба искомых интеграла:
со оо
\ cos х1 dx - J sin x2dx = -*- ]/ -J- . A6)
о о
Пример 2. Для вычисления интеграла
оо
еах dx
?
\-\-ех
— со
мы рассмотрим функцию / (z) = . , г . Воспользовавшись
тем, что ez имеет мнимый
Ш 2nt^ период 2я/, и тем, что фупк-
к—' ция eaz изменяется лишь на
постоянный множитель е2лаг,
когда z получает приращение
2я; (имеем еп<-:+2л1'>--- e2:iaiea:),
мы выберем в качестве кон-
контура интегрирования прямо-
прямоугольник рис. ПО. Внутри
этого прямоугольника имеет-
имеется лишь одна особая точка /(z) —полюс первого порядка
в точке z-—я/ (где ег-\-1— 0) с вычетом
По теореме Коши о вычетах
\ f (z) dz -I- J f (г) dz + J / (г) dz -, J / (z) rfz - - 2я/e«"*.
I II III IV
Ho ., A7)
Til К —В

741
ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЫ
287
На отрезке // имеем | / (г) | =
eaR
'ек-1
, ибо по
формуле A7) Введения \eIt+iv+l\>\eR+i«\—l = eR—
и, следовательно,
и
стремится к нулю при R—> оо, если а < 1, что мы и пред-
предположим.
Аналогично на отрезке IV
„-аи
If B)|«
ибо
и следовательно,
IV
-aK
<2я-е
1-е
-rt
стремится к нулю при R—> оо, если а > 0, что мы также
пргдположим. Итак, если 0<а< 1, то в пределе при
R—>co соотношение A7) перейдет в
с „ах AY
J 1-|-еж
откуда искомый интеграл
smart
0<а<1.
A8)
При а < 0, а также при а > 1 интеграл, очевидно, рас-
расходится.
Пример 3. Интеграл
оо
с go
1-е*
-dx

288 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [ГЛ. VII
нельзя разбить на два:
Т eax_dx T ebxd
) ,Ь-^ И J 1-е
—00 j —оо
ebxdx
е*
ибо каждый из них расходится в точке х = 0, где подинте-
гральные функции обращаются в бесконечность. Однако
если положить z = x + ni, то 1 — ег = 1 — ех+я1 = 1 + ех не
обращается в 0 при х = 0, и для вычисления нашего ин-
интеграла можно будет ис-
А^. т пользовать предыдущий
результат. Поэтому мы
полагаем
Ш
и выбираем контур, как
указано на рис. 111 (точ-
(точку г=0 мы исключаем,
ибо в ней f(z) не определена). Внутри этого контура
f(z) регулярна, поэтому по теореме Коши *)
S+И+И +
i с,- и ш iv
В окрестности точки 2 — 0 функция представляется разло-
разложением
/B)-
1
-1— 2 -...
= (Ь - а) + CiZ + ...
и, следовательно, имеет эту точку устранимой особен-
особенностью. Она ограничена при г—>0, следовательно, в A9)
О при г—>0. Интегралы по отрезкам /// и V при
I
*) Мы опускаем нодинтегральные выражения.

74] ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЫ 289
R —> оо стремятся к 0, если 0<а<1и0<6<1 (что
мы предполагаем)—это доказывается в точности так же,
как в предыдущем примере. Таким образом, A9) в преде-
пределе при г—>0 и R—> со дает
О
Spax „Ьх
пО.х „Ьх
ИЛИ
°° F Г eb*dx
Отсюда, используя A8), получим окончательно:
еах__еЪх ^ jtgoit» ^ jtgbjU ^
"Т^ё*~ siFait slnl>3t~
= л (ctg an + г) — л (ctg 6я +1) = л (ctg an — ctg 6я),
0<a< 1, 0 < 6 < 1. B0)
Пример 4. Встречающийся в теории теплопроводно-
теплопроводности интеграл
г*
\ е-"** cos bx dx
является обобщением интеграла Пуассона A4). Для его
вычисления мы рассмотрим функцию
и заметим, что на действительной оси она обращается
в функцию е~ах2, интеграл от которой можно вычислить
на основании A4), а на прямой у = h в функцию e-a(-x+ih^ =
19 Б. Л. Фукс, Б. В. Шабат

290 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [ГЛ. Vlt
= e-ax2e-uiaiixeate = guh^-a^ (cos 2uhx - i sin 2ahx). действи-
, b
тельная часть которой при « —о~ совпадает с подынте-
подынтегральной функцией нашего интеграла. Учитывая это, мы
выберем в качестве контура интегрирования прямоугольник
рис. 112; в силу теоремы Коши интеграл f (г) по его периметру
If
-й
Рис.
% ш
I D
J п
112.
I II III IV
Здесь интеграл
Н R Ya
2
I _Н У О
(мы заменили Уах — t и воспользовались четностью фупк-
ции) на основании A4) при R—> со стремится к —-'•"-=
У a z
= у — , интеграл
\ = [ e~a'*+2S' dx--^ -e4" \ e-ax2e~hix dx.
III It -II
На отрезках // и IV, где х ~- :i; R,
i _ g-а Ко
Гмы заменили г/ его наибольшим значением ^ ) , следо-
следовательно, если а > 0, что мы и предполагаем, то при
R—*¦ со оба интеграла \ и \ стремятся к нулю. Таким
II IV
образом, в пределе при R-^co получаем:
±. — eia.

75] ИНТЕГРАЛЫ ОГ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 291
откуда, сравнивая действительные*) части, находим:
62
:/ г —
\ е-"*2 cos bxdx-^у ~
и в силу четности подинтегральной функции искомый
интеграл
о
75. Интегралы от многозначных функций. Пример 1.
Рассмотрим интеграл
1
I - \ т,— -?г-ах.
Мы воспользуемся следующими свойствами его подин-
подинтегральной функции fiz) - ¦¦г. • "Л в комплексной обла-
области: 1) в плоскости с вырезанным отрезком @, 1) f(z)
имеет четыре регулярные ветви; 2) на противоположных
берегах разреза значения этих ветвей f(z) различны;
3) каждая из ветвей /(г) имеет в бесконечности нуль вто-
второго порядка. Свойство 1) следует из того, что при полном
обходе произвольного контура, охватывающего обе точки
Он 1, argz и arg(l — z) получают приращения -|--2я,
argz(l — z);> получает приращение 2я + 3-2я — 8л и, сле-
следовательно, (/гA — г):' возвращается к первоначальному
значению. Для дальнейшего мы выберем одну из этих
ветвей, например ту, которая на верхнем берегу (/) раз-
разреза принимает положительные значения; для этого мы
примем там аг^г—argil —z)-0. После обхода точки г= 1
в направлении, указанном стрелкой на рис. 113, argz
остается равным 0, но arg A -z) становится равным —2я,
*) Сравнение мнимых частей приводит к результату
со
f е~ах* sin bxdx = О,
—ао
тривиальному, ибо подинтегральиая функция нечетна.
19*

292
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
[ГЛ. VII
т. е. значения корня на нижнем берегу (//) отличаются
от значений на верхнем берегу множителем е 4 =е 2 =
= I (свойство 2)). Наконец, свойство 3) справедливо по-
потому, что при больших | 2 j порядок числителя / (г) равен
порядку 2, а порядок знаменателя — порядку z3 *).
Мы берем контур, указанный на рис. 113, и в двусвяз-
ной области, им ограниченной, рассматриваем выбран-
выбранную выше однозначную ветвь
f(z). По теореме Коши о вы-
вычетах (она справедлива и для
многосвязных областей, лишь
бы функции были в них од-
однозначными)
Рис. 113.
\
I II С„
где С-1 —вычет выбранной
ветви /(г) в точке 2—— 1.
В силу свойства 3) интеграл
-- 0 при достаточно боль-
\
ших R, ибо вычет ветви f(z) в бесконечности равен О
(см. и. 69). В силу 2) интегралы \ и \, которые берут-
*) Более строго это доказывается так: при больших | г | числи-
числитель разлагается в ряд
и, следовательно, f(z) представляется рядом Лорана
Теперь утверждение очевидно.

75] ИНТЕГРАЛЫ ОТ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 293
ся по отрезку @, 1) в противоположных направлениях,
не уничтожаются взаимно:
I II 0 1
Таким образом,
B2)
Остается найти вычет с_4; так как f(z), вернее ее регу-
регулярная ветвь, имеет в точке z = — 1 полюс третьего по-
порядка, то по формуле D0) п. 67
При вычислениях следует соблюдать предосторожности,
чтобы не перепутать ветви f(z)~ выбранная нами ветвь
в точке z—¦ —1 характеризуется значениями argz — я,
arg(l — z) — 0, поэтому мы должны после дифференциро-
дифференцирования подставить z^--eni, 1 — 2 = 2. Выполняя дифферен-
дифференцирование по известной формуле Лейбница (здесь нельзя
раскрывать скобки, чтобы не нарушить условия с аргу-
аргументами), получим:
Учитывая B2), получим окончательно:
Ini 3^2 Зя
_i64.^"T tJ~ 64

294
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
ГГЛ. VII
Пример 2. Для вычисления интеграла
оо
ln x dx
• _ f ln x d
"" J >2Т
мы выберем контур, указанный на рис. 114 (точка z —О
исключается, ибо в ней подин-
¦У тегральная функция обращает-
обращается в бесконечность). В обла-
области, ограниченной этим конту-
контуром, функция
Р ' г г ' ff х
Ри1;- 114. однозначна, если под In
понимать главную ветвь (т. е.
считать 0<argz<n). Она имеет полюс второго порядка
в точке z — i, вычет находится но формуле
_я_г-2»
-Л~ 8 '
По теореме Коши о вычетах
~И г.,- г С,
Для оценки \ заметим, что при г — Re11» и R достаточно
с
большом
In z\--=
где С —некоторая константа. По теореме об оценке инте-
интеграла имеем тогда
S
с,.
откуда видно, что \ —s-0 при R—>оо. Для
оценки

75] ИНТЕГРАЛЫ ОТ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 295
воспользуемся тем, что при г--ге1^ и /'достаточно малом
и
__L_ <С
Имеем:
\ !<2С1п^яг,
С,-
откуда видно, что и \ —»0 при г—»0. Таким образом,
в пределе при г— >0 и R—>co получим:
0 сп
? \nzdz . 1' \nxdx _ 7i2i я
1 B2^-1J+ J "(*а~.'1J — 4 2'
—ао О
В первом интеграле, где z < 0, In z — In ( — z) + ni, поэтому
имеем:
О 0 оо
t d— — \ \ Jnxdxn4 л
B_!_П2 4 2 '
О
Сделаем в первых двух интегралах замену — z = x, тогда
dz= — dx:, и после перестановки пределов интегрирования
получим:
оо оо
п f \x\xdx . . Р rfjc -хЧ я .„..
о о
Отделив в этом соотношении действительные части,
найдем*):
оо
i' \nxdx .t
о
*) Сравнение мнимых частей дает элементарный интеграл
оо
? dx Я
О

296 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
Пример 3. Для вычисления интеграла
(' \nxdx
[ГЛ. VII
мы выберем контур, указанный на рис. 115, и вспомога-
тельную функцию
где In —регулярная ветвь лога-
логарифма, для построения которой
г предполагается, что 0<argz<
<2я. На верхнем и нижнем бе-
берегах разреза ln2z соответствен-
соответственно принимает значения \п2 х и
(In х + 2ntJ — In2 x + 4я/ In л; —
—4я2, поэтому интегралы от In2 x
взаимно уничтожаются, и появ-
появляется возможность вычислить
искомый интеграл. Внутри нашего контура лежат два по-
полюса f(z) первого порядка в точках ziJ = —a± Ы, вы-
вычеты в которых
Рис. 115.
ltl2Zi
|п2г
iz—zi
1п2( — а+60 {1
1п2( —а—60
— 26i
и
ПЛ+1 (Я-ф)}2
26»
<lnr + t (я+ф)
26t
с U -
где г = Уа2 + 62 и ф = arctg— , следовательно, по теореме
Коши о вычетах
I сг
[- \ =2nt(cLi
II С„
Точно так же, как в предыдущем примере, показывается,
что lim \ = lim \ =0, поэтому, учитывая сказанное выше,
r->0 J R-юо J

75] ИНТЕГРАЛЫ ОТ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 297
в пределе при г—>0 и R—>oo получим:
О со
со О
о о
Сравнение мнимых частей дает искомый интеграл:
f In xdx Ф In г _ In /gTipft» f,
x.faJ.b62 ~--b Ъ arctg-. Bb)
Пример 4. Для вычисления интеграла
о
мы снова рассмотрим контур, изображенный на рис. 115,
и в области, им ограниченной, функцию
f(z) _!_
где In 2 —ветвь логарифма, для которой 0<arg2<2n.
Эта функция однозначна в области и регулярна всюду,
кроме точки z-= — 1, где она имеет полюс первого порядка.
Вычет
„(a-l)ln(-t)
res/(— 1) = - — - — е™^1-1^ — —eani
A+2)^-1
(мы полагаем — 1 — ея*), поэтому но теореме Коши о вы-
вычетах
Для оценки \ заметим, что при . z ¦ — R > 1 | / (г) ¦ ==
pa i Da-i
= "i -rrz г < ^irf ' и следовательно,

298 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [ГЛ. VII
где С —некоторая постоянная. Отсюда видно, что если
а < 1, то \ — > 0 при R — > оо. Точно так же при ! z \ ¦¦- г < 1
•f(z\<-- "a <га'1
Отсюда видно, что если с > 0, то \ —^0 при г—> 0. Мы
с,-
предположим, что 0<о< 1, тогда в пределе при г—>0,
R—> оо получим:
0
Во втором интеграле, который берется по верхнему берегу
разреза, 2 = х и f(z)~ . . -, в первом (по нижнему бе-
берегу) z = xe2lti и
у-а-ь,2л (а —1) i ru-l
f C7\ _ Л с _ p2<tni Л
поэтому последнее соотношение принимает вид
CXJ СО
Р Ха 1 {' Ха~^
Ti
sina.-t
B7)
Этот интеграл можно также свести к интегралу примера 2
П, 74, если положить # = е'.

'/61
ИРГ.ДСТЛВЛП-ПИЕ ФУНКЦИЙ ИНТЕГРАЛАМИ
299
76. Представление функций интегралами. Рассмотрим
интеграл
¦Tdz,
где интеграл берется вдоль прямой Rez
параллельной мнимой оси.
Пусть сначала / < 0. Рассмо-
Рассмотрим сегмент, ограниченный
дугой Сц окружности ! z i - -. R
и прямой Re z — а (рис. 116),
и применим теорему Коши
и. 47:
> 0),
Рис. 116.
(здесь h - \ R2 — а2, и граница
сегмента обходится в отри-
отрицательном направлении). Для
оценки второго интеграла воспользуемся формулой инте-
интегрирования по частям:
г1 ,
- 02 =
г
г
1 еП а-г
~ I г
Имеем
О. • р Ifl
—:;-l < —=-, откуда видно, что проин-
тегрированная часть стремится к нулю при R—-> оо (у
| eit i ех( j
нас ant фиксированы). На Сц имеем! • 2-1 -- - ^ <-вг (У нас
х>0, t < 0, следовательно, ем < 1), откуда \ 2 dz <
1 я
< -=2- я/< - = -^- и интеграл также стремится к нулю при
R—>со. Таким образом, для всех ^ < 0 второй интеграл
стремится к нулю при /?—>со, и B8) в пределе дает
= 0, t<0,

300
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
1.ГЛ. VII
и следовательно, f(t)--0 для всех / < 0. Пусть теперь
/>0. Рассмотрим сегмент круга \z\<.R, дополнительный
к рассмотренному выше (см. рис. 116), и применим тео-
теорему Коши о вычетах п. 48; так как внутри сегмента
лежит одна особая точка г —0 функции полюс пер-
первого порядка с вычетом c_i = —,— -- 1, то имеем:
(г)о
а+Ш
B9)
CR CR CR
Длины дуг C'r и C'r равны ai? = i?arcsin „¦•¦—/?-„-= а
и стремятся к а при R—>оо, модуль подинтегральной
ег1 i ех1 са1
функции на этих дугах - =~б- < jt и стремится к ну-
нулю при R—>co (у нас ^>0, х<а и a, t фиксированы),
следовательно, \ —>0 и \ —»0 при/?—->со. Дляоцен-
ки \ воспользуемся формулой интегрирования по частям:
имеем:
егШ
' e*« „ 1
я<0), следовательно, \ —>0 при R—> oo. Таким образом,
для всех ^>0 B9) в пределе при /?—> оо дает
а+гоз
„г/

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ИНТЕГРАЛАМИ
301
и, следовательно, f(t)—l для всех t > 0. Объединяя оба
результата, получим, что интеграл *)
i aV°° м ( 0, если t<0,
/@ = о-- \ —te = \ л * л C0)
v ' 2л« j z A, если />0.
a — ioo
Таким образом, интеграл C0) представляет функ-
функцию, график которой изображен на рис. 117.
Ш
/
0
Ли
"т
ъ
Рис. 117.
Рис. 118.
Ясно, далее, что если заменить в C0) t на t — т, то
получим интеграл
1 eWi0° ez<t-T-) f 0, если /<т,
^ V dz = { f ,^ C1)
2л« j г ( i; если ^>т. v '
а—гоэ
Заменим в C1) т сначала на ть затем на т2(т1<т2) и
вычтем из первого интеграла второй; мы получим, оче-
очевидно, представление функции, график которой изобра-
изображен на рис. 118:
а+ьэ ( 0, если /<ть
1 f>
l' если
0, еСЛИ
a-\-ico
1 i"
*) При t = 0 мы получаем расходящийся интеграл ^—г \
h
dz
a—hi
Однако если его понимать, как говорят, в смысле главного значения
по Коиш, т. е. как
a+iJV
1 f dz
I
a + iN
I
a—iN
то он существует и равен среднему арифметическому левого и пра-
правого значений функции C0) при / = 0 (здесь существенно, что ин-
интеграл берется п симметричных пределах от а — iN до а +
+ iN)

302
приложения теории нычктои
[ГЛ. VII
Точно таким же образом можно представить интегралом
произвольную ступенчатую функцию, график которой изо-
изображен на рис. 119:
п-1
,( c~"k-- е~2Тлм
dz-
п-1
---•L \ <?г'{^
C3)
/< о
где
АтА =--¦¦ —-
2!
3!
Если теперь увеличивать число п так, что наиболь-
наибольшая из разностей (Tft+J— тА) будет стремиться к нулю,
т
то Атй будет бесконечно малой, эквивалентной (Тй+1 — Tft),
и сумма C3), мало отличающаяся от интегральной, в пре-
пределе перейдет в интеграл
а+гоо т
представляющий функцию /(/) рис. 119 на интервале
(т0, т). Опуская строгое доказательство законности пре-
предельного перехода (необходимость которого видна хотя
бы из того, что :, z при внешнем интегрировании прини-

77] ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ВЫЧЕТ. ПРИНЦИП АРГУМЕНТА 303
мает сколь угодно большие значения), мы заметим, что
последняя формула в виде
a+ioo оо
= <k \ eZl{\ i(*)e-zrdT}dz C4)
a —iao —оо
справедлива для любой функции {(t), определенной на
всей действительной оси и удовлетворяющей условиям:
а) на любом конечном интервале ( — 7\ Т) действитель-
действительной оси она кусочно-гладка (т. е. ее график представляет
собой кусочно-гладкую кривую, см. п. 8);
сю
б) интеграл \ e-aif(()dt сходится абсолютно.
—->Э
Формулу C4) можно записать в виде двух отдельных
формул:
/(О—2J,7 [ ezlg(z)dz, C5)
где
ex")
е Zlf(x)dx.
Функциональное преобразование, ставящее в соответ-
соответствие функции / (?) функцию g (z) no второй формуле C5),
называется преобразованием Лапласа. Первая формула
C5) «обращает» лторую, т. е. выражает функцию/(/)
через ее «образ» g (z). Можно говорить также, что вторая
формула C5) обращает первую, поэтому C5) называются
формулами обращения (Лапласа). Формулы обращения
Лапласа используются во многих задачах математической
физики *).
77. Логарифмический вычет. Принцип аргумента.
Логарифмическим вычетом функции / (z) в точке а на-
f (г)
зывается вычет ее логарифмической производной -f,4-
*) См., например, К а р с л о у и I: г е р, Операционные
методы в прикладной математике, ИЛ, 1918, гл. IV и след., или
М. А. Лаврентьев и Б. В. Ill а б а т, Методы теории функций
комплексного неременного, Физматгиз, 1958, гл. VI.

304 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [ГЛ. VII
в этой точке. Логарифмическая производная -угу может
иметь особенности в особых точках f(z), а также в ее
нулях. Пусть точка а является нулем /(г) порядка п,
тогда (см. п. 62) ее тейлоровское разложение в окрестно-
окрестности а имеет вид
и, следовательно,
Отсюда для логарифмической производной в окрестности
а имеем
Г_(г) псп (f-_a)nr1±("±I) i»+ij?- "Г i
/(г)" с„(г_а)п_1.Сп+1(г..а)п+1Ц_...
z—« с„-; с„+1B-в)-I-...
Но частное двух регулярных функций регулярно в точке,
в которой делитель отличен от нуля, и следовательно,
представляется в окрестности такой точки в виде суммы
степенного ряда (свободный член последнего находится
как частное свободных членов рядов), поэтому
ш -- ¦ ¦ fА а ¦ <«+с'» <г -а)+с; о* - «о1+¦ • •} ¦¦=
^ -г~-\-с0-\-с'1(г-а)+... C6)
Мы получили лораиовское разложение логарифмической
производной в окрестности а, из которого явствует, что
она имеет в этой точке полюс первого порядка с вычетом,
равным п. Таким образом, логарифмический вычет функ-
функции в нуле равен порядку этого нуля.
Пусть теперь Ь будет полюсом f(z) порядка р, тогда
в окрестности Ь

77] ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ВЫЧЕТ. ПРИНЦИП АРГУМЕНТА 305
И
f(z) ~~ z-b ' t_p-Lc +1 (г--&)-|-...
откуда получаем лорановское разложение логарифмиче-
логарифмической производной в окрестности Ь:
i$ -,-Рь-+с; + с[(г-ЬН... C7)
Из C7) следует, что b является полюсом первого порядка
-ущ- с вычетом, равным — р. Таким образом, логарифми-
логарифмический вычет функции в полюсе равен взятому с обрат-
обратным знаком порядку этого полюса.
Мы воспользуемся полученными результатами для до-
доказательства так называемого принципа аргумента. Пусть
функция f(z) регулярна в замкнутой области D всюду,
кроме конечного числа точек Ь\, Ь2, • - •, Ьт, где она
имеет полюсы порядков plt p2, ¦¦¦, рт, и пусть она имеет
конечное число нулей аи а2, ¦¦-, сц порядков пи пг, ¦¦¦
..., пг. Предположим еще, что на границе С области D
функция f(z) не имеет пи нулей, ни полюсов*).
В этих условиях логарифмическая производная -Л-т-
регулярна па С и имеет внутри С конечное число осо-
особенностей. По теореме Коши о вычетах и результатам,
полученным в начале этого пункта,
j
/' (z)
-^ (vz)- dz ----- 2ni («1 + «з + • • • -г 'П - Pi —Pi- ¦¦•— Рт) -=
V-Я), C8)
где N и Р соответственно означают числа пулей и по-
полюсов f (г) внутри С, причем каждый засчитываете я столько
раз, каков его порядок.
*) Можно показать, что конечность числа нулей и полю-
полюсов вытекает из остальных условий.
20 Б. А. Фукс, Б._В.";.Шабат

306
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
[ГЛ. VII
Выясним геометрический смысл левой части C8).
Имеем:
f iii
(здесь In и arg означают некоторые однозначные и непре-
непрерывно изменяющиеся ветви этих функций). Так как функ-
функция 1п|/(г)| однозначна, то при обходе замкнутого кон-
контура С, пусть начиная от некоторой точки г0 на С, она
W-ftZh
Рис. 120.
возвращается к первоначальному значению и: следова-
следовательно,
С другой стороны, при полном обходе С значениеarg/(г)
может измениться, если при этом точка w~f(z) обходит
начало координат w 0 (на рис. 120 конечное значение
arg/(z0) отличается от начального па 6л). Поэтому
$ rfarg/(z)--A,;arg/(z),
где символом Acarg /(г) обозначено полное изменение
arg/(z) при обходе С (т. е. разность между конечным и
начальным его значениями), может быть отличным от нуля.
Таким образом,

fl\ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ВЫЧ1-Т. ПРИНЦИП АРГУМЕНТА 307
и формула C8) принимает вид
2Й § -//I"dz <i!x А<;arSIW = N-P. C9)
Формула C9) выражает
Принцип аргумента. Если функция /(г) регу-
регулярна всюду в замкнутой области D, кроме конечного
числа полюсов, и не имеет на границе С этой области
ни нулей, ни полюсов, то деленное на 2я полное измене-
изменение arg / (z) при обходе С равно разности между числом
нулей и полюсов f (г) внутри С, подсчитанных с их по-
порядками .
В качестве примера применения принципа аргумента
приведем доказательство теоремы Руше:
Если функции f (z) и g (z) регулярны в замкнутой
области D, причем на границе D \ f (z) | > ' g (z) |, то функ-
функции f (z) и f(z)-\-g(z) имеют в D одинаковое число нулей
(засчитываемых с их порядками).
Пусть С будет граница D. Так как arg {/ (z) + g (z)} —
j
Ar: arg {/ B) • \-g(z)} - Ac arg / (z) + Ac arg {1 + f&} .
Но в условиях теоремы для всех z на С имеем | ^~ I <1,
следовательно, точка ю = 1 + ?. -г все время движется внут-
внутри круга со — 1 I < 1. Этот круг не содержит точки ш — 0,
следовательно, аргумент со при полном обходе С возвра-
возвращается к первоначальному значению. Таким образом,
Ac arg {l I- f((|}-0 и Acarg{/(z)-r-$(z)}-Acargf(z).
Так как функции f B) и f (z) + g (z) не имеют в D полю-
полюсов, то последнее соотношение на основании принципа
аргумента означает, что они имеют в D одинаковое число
нулей (так как на С i / (z), > 0 *) и | / (z) + gB) \>\f (z) | -
— g(z)i>0, то принцип аргумента применим).
*) По условию I / (г) I > i g (г) |, а | g (z) 1 > 0.
20*

308
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
[ГЛ. VU
Теорема Руше оказывается полезной при подсчете
числа нулей.
Примеры. 1. Для определения числа корней урав-
уравнения
z8_42s + 22— Ь-0
в круге |г'<1 примем f(z)^z8 — 4z5, g(z)~z2 — 1. На
окружности | z i — 1 имеем \ f (z) \ = | z3 — 4 i > 4 — j z3 \ = 3,
ig(z)I-¦:-. z"—l < I z'2 , — 1 = 2, следовательно, теорема
Руше применима и искомое число корней равно числу
корней уравнения za — Azb — zr> (z3 — 4) = 0 в круге |z < 1,
т. е. 5, ибо z3 —4=^0 при |z|<l.
2. Для определения числа корней уравнения
в том же круге примем / B) z и g (z) ¦-= ez - х. Fla окруж-
окружности г; --- 1 имеем | / (г) | -= 1, ! g (г) | — ех - х < е1 - х < 1,
ибо 1> 1, следовательно, искомое число нулей z — ег~%
равно числу нулей f(z) — z, т. е. 1. Заметим еще, что
непрерывная действительная функция ц> (х) = ех ~'*-— х
положительна при х--0 и отрицательна при х- 1, следо-
следовательно, она обращается в пуль на интервале @, 1),
и наш единственный корень положителен.
3. Докажем так называемую основную теорему
алгебры: любой многочлен
Р (г) - аагп -]- al2nl
-', ап (а0 Ф 0)
степени п имеет п корней (засчитываемых с их крат-
кратностью). Примем f(z) — aoza и g (z) - aiz71 ~\~ .. ¦ -;-а„;
на окружности :z\--R имеем |/ (z) \ — \а0' Rn, \g(z)\ <
<| cti RnlY ... -i-j an\. Так как степень Rn с ростом R
растет быстрее, чем любой многочлен степени п— 1, то,
начиная с достаточно большого R, на окружности j z \ = R
\f (z)\>\g(z)\. С другой стороны, так как limg"(z) = со,
2 -» СО
то, начиная с достаточно большого R, на окружности
|z| —/? g(z)\>0. Теперь по теореме Руше мы можем
заключить, что в круге | z, < R число нулей Р(г) —
¦-f(z)-\-g(z) равно числу пулей f(z), т. е. п. Но так
как HmP(z)--co, то (увеличивая в случае надобности R)

»8] РАЗЛОЖЕНИЕ КОТАНГЕНСА НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ
мы можем утверждать, что этот круг содержит все нули
P(z). Теорема доказана.
Принцип аргумента нашел важные применения также
в некоторых вопросах теории автоматического регулиро-
регулирования *).
78. Разложение котангенса на простейшие дроби. Тео-
Теорема Миттаг-Леффлера. Функция
cos г
eiz-\~e~iz
мероморфна (см. п. 71); она имеет полюсы первого поряд-
порядка в точках Zfc — kn (k =-
=0, ±1,±2, ...)свыче- ку
, cos г ;
\-2ж
©
¦ж
V
С
2л ; Зл
--- 1. Покажем, что эта
функция ограничена в
плоскости г, из которой
полюсы zft исключены
вместе со сколь угодно
малыми кружками | z —
-zh\<r (рис.121).
Так как котангенс —пе-
—периодическая с перио-
периодом я функция, то в
каждой полосе kn <
<Rez < (k • j- 1)я она
принимает одинаковые значения, и достаточно доказать
ее ограниченность в полосе 0-<^ег<я с исключен-
исключенными полукружками 1г',<л, Rez>0 и [г— я! < л,
Rez < я. Имеем:
Рис. 121.
I ctgzi
—\e
! e~v—е
*) По этому поводу см., например, сборник «Основы автомати-
автоматического регулирования» под редакцией В. В. Солодовников а,
Машгиз, 1954 или Цяиь Сюэ-сэиь, Техническая кибернетика,
ИЛ, 1956; изложение математических основ можно найти также
в книге М. А. Л а п р с н т ь е в а и Б. В. III а б а т а, цит. на
стр. 294.

310 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОН [ГЛ. VII
следовательно, |ctgz| < -;,_—,, =-¦ [^.^Г < ^г:/^
при у > 1 и остается ограниченным. Точно так же
g-yj-gy 1_|_е2У 1-|-е— 2
I ctg 2 , < j^-1-^ ¦¦- f_ pj < у±- ?=j при i/<-1 и также
остается ограниченным. В той же части области, где — 1 <
<#<1, |ctgz| остается ограниченным в силу свойств
непрерывных функций в замкнутых областях (п. 13).
Итак, |ctg z | ограничен во всей области и, следова-
следовательно, существует постоянная М такая, что для всех
точек z плоскости с исключенными кружками 'z — zh\<r
;ctgz|<Af. D0)
Далее, так как ctg г имеет в точке г- 0 полюс первого
порядка с вычетом 1, то главная часть лорановского раз-
разложения в окрестности Z--0 равна — , и функция
имеет при г —0 устранимую особенность. Отсюда п силу
нечетности /(г) следует, что lim/(z) —0 (ибо при пере-
ходе через г —0 хотя бы по действительной оси / (г)
должна менять знак и оставаться непрерывной); если поло-
положить f@) — 0, то f(z) будет регулярной в точке г^О.
Обозначим через Сп окружность | ?! = ( п -+- •„- J л и че-
через г —точку, лежащую внутри Сп и отличную от г*.
f (Г)
Функция '^'- имеет внутри Сп полюсы первого порядка
в точках t, = z и ? -— zh @ < '. k! < п) с вычетами
.Lj —цу\- 1?' S_cos ?-_?'"? I —-1
~ (t-z)'it = *' П)' Kft~C(C-z)(sin'C)'"\ъ = ья ' кл-г-
Таким образом, по теореме Коши о вычетах для гфкя
¦ V'
г 2j
ft = — п
где знак ' в обозначении суммы указывает на то, что
при суммировании выпускается индекс k = 0 (точка ? = 0

78] РАЗЛОЖЕНИЕ КОТАНГЕНСА НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ 311
не является полюсом /(?))• Полагая в D1) г^О, получим,
в частности,
_1*/(?)«_. у'±
2я*.У t ' Ь лщ
Сп ft = -п
или /@) — 0. Учитывая D2), мы можем переписать D1)
в виде
f(z\ - У' 1 ' У' 1 •
k = — п h — —n Cn
1 ?НЪ)К_ у' ( 1 , 1 V и- /(t)dt ,41,>
~" 2я«- Л " z~~ 2j ^ z-"ta"'" *я ) л чт J с (С—z)" < J
С'„ ft = - ii Сп
Пусть теперь п-^со, a z остается фиксированным. Так
как при /¦< -% все окружности Сп лежат в области, для
точек которой доказано D0), и в последней формуле
14 j D
радиус Сп, то
и, следовательно, i —>0 при п—><х>. В пределе формула
DГ) принимает вид
А ^= — оо
откуда
z^fai. D3)
В конечном круге !г;<Л, и для достаточно больших

312 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [ГЛ. VII
| k \ модуль общего члена ряда D3)
A
я я-
Здесь коэффициент при - 2 стремится к конечному нреде-
оо
лу --^2-, а ряд ^ -^2 сходится. Таким образом, ряд
h = - та
D3), если отбросить конечное число его членов, равно-
равномерно и абсолютно сходится в любом круге |г|<Л.
Отсюда, в частности, следует, что для любого конеч-
конечного z Ф kn в ряде D3) можно изменять порядок членов.
Объединяя два члена с равными по абсолютной величине
и противоположными по знаку индексами, мы запишем
D3) в виде
Ь = 1
Отметим еще формулы, которые получаются из D3) и D4)
заменой z на яг:
()
гфк.
Так как все полюсы z--?it мероморфной функции
ctg z — первого порядка с вычетами, равными 1, то выраже-
выражения -~-(/г=0, ± 1, ±2, . . .) являются главными частями
лорановских разложений ctg г в окрестности полюсов.
Следовательно, соотношение D3) представляет собой раз-
разложение котангенса в ряд но главным частям и в этом
смысле оно аналогично разложению дробно-рациональной
функции па простейшие дроби (см. п. 71). Ряд —•-
ОО
2' 1 . ,
—г- из одних лишь главных частей ctg г оказы-
2J —- /2 ГС

79] РАЗЛОЖЕНИЕ СИНУСА В ВЕСКОНЕЧИОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 313
вается расходящимся (как это нетрудно проверить) и по-
поэтому в D3) к главным частям добавляются еще члены
вида -т— , чем. как мы видели, обеспечивается сходимость
разложения. Заметим, что z_kn=—j:x—Щ&~~ ••••¦ сле"
дователыю, эти члены являются взятыми со знаком минус
первыми членами тейлоровских разложений по степеням z
главных частей котангенса. Миттаг-Леффлеру удалось
доказать, что аналогичное предложение имеет место для
любой мероморфной функции.
Теорема М иттаг-Л еффле ра. Пусть мероморф-
ная функция / (z) имеет в точках z — «л, | «i | < | а21 < . ..
. .. < | ah | < . • •, полюсы с главными частями gk (¦ —) =
G'.p» @1
= Gk (z) и пусть ИГ (z) = Gh @) -+ G'h @) г -Г ¦ ¦ • \- —p~- zp
будут отрезки тейлоровских разлоокений gh( )
V г — ah /
по степеням z. Тогда существует такая последователь-
последовательность целых чисел рь и такая целая функция fo{z), что
для всех z Ф аь имеет место разложение
f(z) = /о(z)+2
абсолютно и равномерно сходящееся в любом конечном
круге ;2|<Л.
Разложение D6), аналогичное разложению дробно-
рациональной функции на целую часть и простейшие дроби,
называется миттаг-леффлеровским разложением f (z). Оно
оказывается полезным во многих вопросах.
79. Разложение синуса в бесконечное произведение.
Теорема Вейерштрасса. Ряд D4) равномерно сходится
в любом круге |г|<Л при гфкл. Следовательно, для
любого заданного числа е > 0 можно найти число No --
= iV0(e), такое, что при N > No в разложении
IV
h=l

314
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
[ГЛ. VII
для всех точек z Ф Ы из круга | z | < А имеем:
I aN (z) | < е. D8)
Левая часть D7) регулярна в точке z = 0, если считать
ее там равной нулю (см. предыдущий пункт). Интегрируя
D7) вдоль любого пути, соединяющего z —¦ 0 с точкой
z Ф к'л и не проходящего через точки kn, получим:
N г
In
sinz
ft=i
sinz
Но так как функция в точке z = 0 равна 1 (мы счи-
таем ее там регулярной), то In—-
, Sin Z л ,
= 1п In 1 ¦¦-
sinz
Поэтому последнее равенство принимает вид
ft=i
где в силу D8) для всех
из круга |г| < А
D9)
E0)
(любую точку гФ-kn из круга | г \ < А можно соединить
с z = 0 путем, длина которого < 2Л; мы считаем, что
интегрирование ведется по такому пути).
Потенцируя D9), мы получим для z ф kn:
¦
)¦
где П — знак произведения. Но неравенство E0) показы-
показывает, что при любом z Ф kn из круга | z j < А имеем
lim pN(г) = 0, т. е. что ер^<г)—>1 при N—>со и

79] РАЗЛОЖЕНИЕ СИНУСА В БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 315
Определение. Если предел
/(z)=lim II {Ц-Ш) E1)
JV-»oo k=l
существует и отличен от нуля в каждой точке
некоторой области D, то говорят, что бесконечное про-
просо
изведение [] {1 -{- fu (z)} сходится в области D к функ-
ции f(z).
Замечание 1. Можно доказать, что в любом сходя-
сходящемся произведении E1) /л(г)—>0, что для сходимости
со
E1) достаточна сходимость ряда ^ h(z), что для воз-
можности перестановки множителей E1) без нарушения
сходимости и изменения произведения достаточна абсолют-
со
пая сходимость ряда ]? fk{z) и т. д. Этим и объясняется
k=i
наше обозначение для членов бесконечного произведения,
в котором выделены функции fh (г).
Замечание 2. Если среди членов бесконечного про-
произведения E1) имеются некоторые, обращающиеся в точ-
точке z в нуль, и если после исключения этих членов E1)
оказывается сходящимся в смысле нашего определения,
то говорят, что E1) сходится к нулю в этой точке.
Отличие предела E1) от нуля требуют для того, чтобы
свойство произведения обращаться в нуль лишь в том
случае, когда хотя бы один его множитель обраща-
обращается в нуль, распростанялось и на бесконечные произве-
произведения.
Таким образом, мы можем теперь сказать, что для
любых гф kn из круга | z | < А функция sin z представ-
представляется в виде бесконечного произведения
0-*?.)¦ E2)
Далее, легко показать, что при г=Ы произведение E2)
сходится к нулю, следовательно, наше представление
справедливо для всех z из круга | z\ < А. Наконец,

316 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [ГЛ. VII
так как число Л может быть выбрано сколь угодно боль-
большим, мы можем утверждать, что представление E2)
справедливо для всех конечных точек z. Это разложение
было впервые получено (иным путем) Эйлером.
Мы могли бы в наших рассуждениях исходить не из
формулы D4), а из D3). Тогда вместо E2) мы пришли бы
к разложению*)
smz=z ТТ ( 1 — -r-)ehlt, E3)
J--1 V kit J v '
где знак ' в обозначении произведения указывает на то,
что выпускается индекс k — 0. Разложение E3) также
имеет место для всех конечных г.
Соотношение E3) аналогично известному из алгебры
разложению многочлена на линейные множители
п
Р(г) = Л(г-а,)(г-а2) . . . (г - ап)--¦ В J[ (l-~
(для целой функции sin г точки ah--kn также являются
со
нулями). Произведение JJ ( 1— 2 J из одних лишь мно-
х НУ
жителей, соответствующих нулям, оказывается расходя-
расходящимся (как это можно проверить), и поэтому в E3) к этим
z
множителям добавляются еще множители екл, обеспечи-
обеспечивающие сходимость.
Аналогичное предложение имеет место для любой целой
функции:
Теорема Вейерштрасса. Пусть целая функция
f (г) имеет нули в точках z = а^ @ < | о4, <: а2'; < ...
... <: ah \ < • •.; нуль порядка т мы повторяем т раз)
и еще нуль порядка п(л>0) в точке г = 0 и пусть
/4Р) (z) = — -ггт- — ... — — будут отрезки тейлоров-
*) Разложение E2) получается из E3), если в последнем объ-
объединить множители с равными по абсолютной величине и противо-
противоположными по знаку k.

79] РАЗЛОЖЕНИЕ СИНУСА В БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 317
ских разложений In М — ~ ) по степеням г. Тогда сущест-
существует такая последовательность целых чисел рь и такая
целая функция /0 (z) ф 0, что для всех конечных z имеет
место разложение
f (z) =-. /„ (z) zn П A - -~) <Г"* *V E4)
Разложение E4), аналогичное разложению многочлена
на линейные множители, называется вейерштрассовским
разложением f(z).
Пример. Рассмотрим бесконечный ряд точечных
вихрей одинаковой интенсивности Г, расположенных в
Рис. 122.
очках ah---a0-\-kl, лежащих на одной прямой и на одина-
одинаковом расстоянии / друг от друга (вихревая цепочка,
рис. 122).
Пусть сначала мы имеем конечное число 2N -\-1 вих-
вихрей (i&|<iV). Тогда комплексный потенциал для любой
точки 2 ф ah жидкости равен сумме потенциалов отдель-
отдельных вихрей:
(мы умножили (z — a0) на -¦ и (z — ah) на —^ > чем
изменили лишь несущественное постоянное слагаемое;

318 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПЫЧ1ПОВ [ГЛ. VII
см. п. 39). После простых преобразований получим:
Ф-Ы- Г Тп/я(г-ао) V (\ (г-аоУЛ\
Флг (г) - -2л.Ln |- -1 У, ^ 1 - -р12- J|.
Члены этого произведения отличаются от членов E2) лишь
тем, что г заменено здесь на —^—,- > поэтому в пределе
при N—> оо мы получим комплексный потенциал вихревой
цепочки:
лг-~а°}-. E5)
Аналогичная формула имеет место для потенциала бес-
бесконечной системы точечных одноименных зарядов вели-
величины -\-q, расположенных в тех же точках а&:
w
- F (z) = - 2ai Ln {? ^ а
sin- - -- —
80. Функция Эйлера Г (г). Мы определим сначала
логарифмическую производную функции Эйлера следующим
разложением:
\-k
где С —некоторая постоянная, подлежащая дальнейшему
определению. Ряд E6) состоит из членов ряда D5) для
nctgnz с отрицательными индексами*) —обстоятельство,
которым мы воспользуемся ниже. Разложение E6)
*) Формулы D5) и E6) отличаются еще знаком k.

80] ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА Г (г) 319
является миттаг-леффлеровским разложением функции
•фA J, г); отсюда следует, что она является мсроморфной
функцией с полюсами первого порядка в целых отрица-
отрицательных точках z-~ — 1, — 2, —3, ....
Функция Эйлера ГA г z) («гамма-функция») опреде-
определяется через спою логарифмическую производную
г
In Г A \-z)- \ г|>A \-z)dz =
—*}. E7)
о
Здесь zФ —k (k— I, 2, ...), и интегрирование произ-
производится по любому пути, не проходящему через эти
точки; оно законно в силу равномерной сходимости E6).
Потенцируя E7), получим:
1^;Г^П0-;-!>^; E8)
бесконечное произведение сходится, ибо оно составляет
часть вейерштрассовского разложения sin яг, соответст-
соответствующую отрицательным *) индексам k. Из E8) следует,
что функция p-/j_;—v целая и что она имеет пули в точ-
точках г-— —k (k~\, 2, ...) и только в этих точках. Сле-
Следовательно, функция ГA-|-г) не обращается в нуль,
мероморфна и имеет полюсы первого порядка в целых
отрицательных точках и только в этих точках.
Из E8) следует, что ГA)=1; так как в силу только
что сказанного ГB)=?0 и так как постоянная С еще
неопределенна, мы можем потребовать, чтобы Г B) также
равнялась 1. Из E7) мы получим тогда
*) Ср. формулу E3), в которой k заменено на —k и г на яг.

320 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [ГЛ. VII
или
ft—— 1
Добавляя к фигурным скобкам слагаемое —г.- —> 0 (оно
не изменяет предела) и заменяя п j 1 на п, мы получим
окончательное выражение для С:
C-lim{l -f J- ¦! |-' — Inn}. E9)
n->oo *- " J
Число С —предел разности между /г-й частной суммой
(расходящегося) гармонического ряда и In /i — называется
постоянной Эйлера *); наши рассуждения доказывают
существование предела E9).
Мы переходим к выводу некоторых формул для
Г-функции. Прежде всего из E6) сразу получаем для
гфк (k=-\, -2, ...)
2
ибо все остальные члены сокращаются. Неопределенным
интегрированием этого соотношения получим 1пГA +г) —
— 1пГB) —1п2-;-1пЛ, где Л —некоторая постоянная,
откуда ГA -|-z) = AzV(z). Полагая здесь z—1 и поль-
пользуясь тем, что ГA) — ГB)= 1, найдем Л=1, откуда
ГA+г) = гГ(г). F0)
Полученная рекуррентная формула позволяет сразу
вычислять значения Г (г) в полосах k < Rez</j-|-1
и k — 2<Rez<&— 1, если известны ее значения в поло-
cek— l<Re2<fe. Применяя F0) повторно, мы най-
найдем r(z-|-2) = Bfl)r(z-i-l) = (l)r() Г( 3)
*) Ее приближенное значение равно 0,5772157.

80] ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА Г (г) 321
( ) = (г + 2)B+1)гГB) и вообще для лю-
любого целого положительного п:
п) = (г-\-п-1)(г + п — 2) ... zT(z). F1)
Формула F1) позволяет найти значения Г (г) во всей
плоскости, если известны ее значения в полосе 0<Re2< 1.
В частности, при z=l F1) принимает вид
ГA + п) = л!, F2)
откуда видно, что ГA +2) является распространением
в комплексную область функции целочисленного аргу-
аргумента п\
С помощью формулы F1) можно найти также вычеты
Г (г) в ее полюсах. Имеем на основании этой формулы
откуда по формуле D1) п. 67
resT(-n)= lim (z-\-n)T(z) =
или окончательно
ге5Г(-п) = Цр. F3)
Далее, из формулы E8) имеем:
Г (г) Г A-1-2)
0+V
h=\
Перемножая эти произведения почленно (можно доказать
законность этой операции), получим:
Г(г)
21 Б. А. Фукс, Б. II. Шабат
ГA— z) — z И V1 кг) ¦
fei

322
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
LIJI. VII
Вспоминая формулу E2), мы видим, что правая часть
последнего равенства равна - sin яг. Таким образом.
F4)
sin яг
Полученная формула позволяет свести вычисление
Г ('г) в полосе 0<Rez<l (а значит, и во всей пло-
плоскости, см. выше) к вычислению ее значений в полосе
0<Rez<-2 . В частности, при г = -^ мы получим из нее
Г2ПЛ~-я,
)
откуда
F5)
В заключение приведем таблицу значений Г (л:) па
интервале A, 2) действительной оси с шагом 0,1 по х:
I ! I
1,1 ; 1,2 | 1,3 | 1,4
I I I
,5 1,6
1,7 1,8
1,9
JO,9514 0,9182 0,89754),8873 0,8862,0,89354),9086 0,9314 0,9618
а также график функций Г (х) и -„-.-г для действитель-
действительных х (рис. 123). Общая картина хода графика Г (х)
ясна из перечисленных выше се свойств. Заметим еще,
что приближение минимумов Г (х) к отрицательной полу-
полуоси при х—¦> — со связано с быстрым убыванием ее выче-
вычетов—па основании F3) в окрестности точки z——n
имеем
Г (х) == Ц^ -^ + с0 -1- с, (х - п) -и ...,
и с ростом п коэффициент главной части разложения
сильно убывает.
81. Интегральные представления Г-функции. Интеграл
F6)

81]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Г-ФУИКЦИИ
323
где ? —действительное переменное, z = x-{- iy — комплекс-
комплексный параметр и под tz~l понимается е'2"'1 (п. 32), схо-
сходится для всех z из правой полуплоскости Re2>0.
Рис. 123.
В самом деле, | е~' t7'1 j — e~'+(*-u m t ^ e-t /*-i. множи-
множитель e~f обеспечивает сходимость F6) па правом конце
при любом х, а множитель /х~1—его сходимость на ле-
левом конце при х > 0.
Рассмотрим еще последовательность интегралов
Z)^\ С ]_Л_
так как
>е~' при п—>оэ и так как верхний
предел интеграла при этом также —>оо, то естественно
ожидать, что fn(z)—>f(z). Строгое доказательство этого
предложения мы опускаем. Преобразуем выражение для
21*

324 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [ГЛ. VII
/„ (z), вводя новое переменное т = — и применяя затем
формулу интегрирования по частям:
i 1
о о
1 1
5
о о
ибо проинтегрированная часть исчезает. Будем теперь
снова интегрировать по частям, все время понижая сте-
степень A —т), до тех пор пока она не исчезнет; так как
проинтегрированная часть при этом все время обращается
в нуль, то мы получим:
nzn\
ezlnn
или, умножая числитель и знаменатель дроби на е k—i
в_гA + |+...+1-1пп)
/«(г) = j- i -? =

81] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Г-ФУНКЦИИ 325
Вспоминая формулы E9), E8) и F0), мы будем иметь:
/ (г) = lim /„ (г) = 1
k=i
г
е
z * '
Таким образом, мы получаем интегральное представле-
представление Т-функции в правой полу-
полуплоскости ly
Г (z) = jj e-'f-1 dt, Re z > 0. F7)
о
Рассмотрим еще интеграл ' V_-^ ш"
1 Рис. 124.
взятый по контуру С, состоящему из двух берегов разреза
вдоль положительной полуоси и дуги окружности | ?! — г
(рис. 124). Под ?г-1 здесь понимается функция е^I"^,
где In Z, — ветвь логарифма, для которой 0 < arg ? < 2л.
На берегу / разреза, где ? = /, имеем t,z~1 = t
на берегу ///, где ? = <
поэтому
F(z) =
I II III да It
ft
Предположим теперь, что Re2>0, тогда, так как на //
? = r?i(P, \е~Ц;'1 |==е-гсо8феA-1Iпг-фу <; Л/-0, где Л —
некоторая постоянная, и \ < Л/- 2лг —Л^, то \ —>0
и п
при г—>0. В пределе получим, учитывая F7),

326 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [ГЛ. VII
и, следовательно,
^5^Г1^. F8)
Интегральное представление F8) получено нами для z,
лежащих в правой полуплоскости. Однако можно показать,
что числитель F8), т. е. \ e^t,:~ld^, является регулярной
с
функцией z во всей конечной плоскости, т. е. является
целой функцией; знаменатель F8) также является целой
функцией с нулями в точках
г--k (й--О, -A 1, ...). Поэтому
правая часть F8) является ре-
гулярпой во всяком случае, во
всех конечных точках плоско-
плоскости, где гфк. Левая часть F8),
Рис. 125. по доказанному в предыдущем
пункте, регулярна во всех ко-
конечных точках плоскости, кроме z — k (k — 0, — 1,
— 2, ...). В правой полуплоскости эти две функции
согласно F8) совпадают, поэтому по теореме единственно-
единственности п. 62 они совпадают во всей области регулярности.
Таким образом, формула F8) дает интегральное пред-
представление Г (г) во всей открытой плоскости*).
Формула F8) интересна еще тем, что она представляет
мероморфную функцию Г (г) в виде отношения двух целых
функций (см. п. 71).
Заменив в F8) г на 1—г, получим:
с
Заменим здесь переменное t, на — С, отчего контур С
рис. 124 заменится контуром С4 рис. 125, и воспользуемся
*) Заметим, что для Re г <0 в ней нельзя переходить к пределу
при г—>0, как для Rez>0

УПРАЖНЕНИЯ 327
формулой F4). Тогда мы получим интегральнее представ-
представление целой функции тгр, '¦
F9)
Формулы F8) и F9) называются обычно формулами
Ганкеля.
Упражнения
I. Вычислить следующие интегралы:
со 2Я со
С dx „ С dx . . .. . ? cosaxdx
^оо 0 —^>
оо оо
г) \[~)-Ь, Д) • -ЛХйХ
о о
1
x^lnxdx
О О
2. Найти функцию, представляемую интегралом
a+icxj
где интеграл берется вдоль прямой Rez = a>0 и ^—действитель-
^—действительное переменное.
3. Показать, что уравнение X,— г — е~г = 0, где Х,^>1, имеет
в правой полуплоскости Rez>0 единственный корень и притом
действительный.
4. Доказать, что если f (z) регулярна в круге ! г | <; 1 и | / (г)' < 1,
то уравнение /(г) —г имеет там единственный корень («неподвижная
точка» при отображении w — f(z)).
5. Найти разложения в ряды простейших дробей функций:
a)t6Z, бЛ 5 ^
6. Найти разложения в бесконечные произведения функций:
а) е2—1, б) cos лг—cos лго, в) ch г — cos z.

328
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
ЦЛ. VI.
7. Найти комплексный потенциал поля системы рапных по вели-
величине и чередующихся по знаку зарядов, расположенных в точках
zk = kd (* = 0, ±1, ±2, ...).
8. Найти комплексный потенциал движения жидкости в сосуде,
изображенном на рис. 126, если в середине дна сосуда имеется
весьма малое отверстие, через которое в каждую секунду вытекает Q
литров жидкости (воспользоваться отраже-
отражениями в стенках, см. п. 45).
9. Вычислить с помощью Г-функции
значение интеграла Пуассона
оо
s
10. Доказать,|что в полосе 0<Rc2<l
оо niz
2
Рис. 126.
н получить отсюда для п. > 1 значения интегралов
00 СО ОО
a) \cos{tn)dt, б) С sin (P) Л, в)
\cos{tn)dt,
0
0
dt.
11. Доказать, что функция Эйлера первого рода («бста-фуакция»)
M(l-')'!*i "e Rep>0, Re<?>0, выражается
через Г-функцню
12. Выразить через Г-функцию интегралы:
п я_
Y  I
а) \ sin2f ф cos2'' ф с*ф, б) \ tgP tp d<f, н) \ - - ^=г -
О
. С xmdx , . .
о

ГЛЛВЛ VIII
ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ
82. Принцип симметрии. Мы установим здесь весьма
полезный для практики способ аналитического продолже-
продолжения функций, осуществляющих конформные отображения.
Начнем с доказательства одной
общей теоремы относительно ана-
аналитического продолжения произ-
произвольных регулярных функций, ко-
которая называется принципом не-
непрерывного продолжения.
Пусть две области Dt и D2
примыкают друг к другу по кри-
кривой С —общему участку границ
этих областей и пусть функ-
функции /i (z) и f2 (z) регулярны, соот-
соответственно, в D, и D2 и непрерыв-
непрерывны в Di и D2 (рис. 127). В этих
условиях, если значения /i (z) и /2 (z)
на С совпадают, то каждая из функций /i (z) и /2 (г)
является аналитическим продолжением другой.
Обозначим через С) и С2 несовпадающие части границ
Dt и D2 (рис. 127) и определим на Ci -j С2-|-С непрерыв-
непрерывную функцию
/. (?) на Си
Рис. 127.
С помощью
ЫО-Ы?) на С.
построим интеграл типа Коши:

330 ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. VIII
по доказанному в п. 52 функция f (z) регулярна в области
Di-'-Do. Добавляя в правой части A) интегралы по С,
которые берутся в противоположных направлениях и по-
поэтому взаимно уничтожаются, получим:
1 (Б a<e>rfe г i <g моя
~2.-w Л Т=г h2n7 Л ? —z '
C2+C
ибо па d -Ь С Ф (Е) -- /4 (?), а на С2 -|- С <р (С) - /2 (?). Пусть
точка г лежит в Db тогда по теореме Коши п. 47 второй
интеграл в правой части B) равен пулю, ибо ?=-¦- в области
D2 является регулярной функцией ? и
'^~2я^ Л S-z *
Ci+C
В силу интегральной формулы Коши *) всюду в Dt имеем,
следовательно, f(z) —fi(z). Точно таким же образом мы
докажем, что всюду в D2
и наша теорема будет доказана.
Замечание. Если функции fi(z) и fi{z) регулярны
не только в Dj и D2, по и на С, то эта теорема очевидна.
В самом деле, в этом случае f, (г) и /2 (г) регулярны
в некоторой области Do, охватывающей С, и по теореме
единственности и. 62 совпадают в этой области, ибо они
совпадают на С, а это и означает, что fi(z) и fa (z)
являются продолжением одна другой.
Важным следствием доказанной теоремы является
Принц н и с и м м е т р и и. Пусть граница области Dt
содержит дугу окружности или отрезок прямой С и пусть
функция w — ft (z) осуществляет конформное отображе-
отображение Di на область At так, что С переходит в участок Г
*) Мы применяем формулу Коши, предполагая, что функция j\ (г)
регулярна только в области Dj и непрерывна в О(. В п. 52 указы-
указывалось, что формула Коши справедлива и в этом случае (замечание 2).

82J
ПРИНЦИП СИММЕТРИИ
331
границы At, также представляющий собой дугу окруж-
окружности или отрезок прямой. В эпих условиях w-fi(z)
допускает аналитическое продолжение в область D2, сим-
симметричную с Dj относитгльно С. Аналитическое продол-
жгниг w ¦¦¦-. /2 (г) осуществляет конформное отображение D2
на область А2, симметричную с Alt относитгльно Г,
а функция
h B) в Du
/2 (г) в D-i
осуществляет конформное отображение D\ |-C4-D2 на
Aj + r-l-Аг (рис. 128).
Для доказательства мы совершим дробно-линейные
отображения
, (о)
ш =
преобразующие С и Г в отрезки С* и Г* действительных
осей плоскостей ? и го (рис. 129) так, что области Dt и А4
переходят п области D* и А*. Функция w = fi(z) перейдет
при этом в функцию
осуществляющую конформное отображение D* на А*.
Пусть DJ будет область, симметричная с D* относительно
С*; мы определим в D* функцию

332
ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. VIII
и покажем, что она является аналитическим продолжением
/*(?). На отрезке С* к.меем, очевидно, /* &)^_ПЛЪ), ибо
для действительных ? и /* {Q имеем ? = ? и /* (S) = /Т (Q•
к
Для того чтобы воспользоваться предыдущей теоремой,
достаточно показать, что функция f\(t) регулярна в D*.
Пусть Z, и ?,-'•¦ At, будут точки D*; имеем:
где
" AS "Л д? У'
—точки D*, следовательно,
существует, ибо f* (?) регулярна в точке ?. Таким обра-
образом, предыдущая теорема применима, и ft (?,) в самом
деле является аналитическим продолжением /* (?).
Из нашего построения следует также, что а)--/?;(?)
осуществляет конформное отображение D* на область
А*, симметричную с А* относительно Г*, а функция
осуществляет конформное отображение D* \-С* ]- D*n на
А*-;-Г*-:-Л*.
Возвратимся теперь с помощью подстановок, обрат-
обратных C1, к переменным z и w. Мы получим в области D2,

83| ПРИМЕРЫ 333
симметричной с D, относительно С (см. п. 20), функцию
w — f2{z), являющуюся аналитическим продолжением ау =
= 'fi(z) и осуществляющую конформное отображение D2
на область Д2, симметричную с Aj относительно Г. При
этом функция B) осуществляет конформное отображение
Dj-t-C-|:-D2 па At¦]-Г-|-Д2 и принцип симметрии доказан
полностью.
В следующем пункте мы на ряде конкретных приме-
примеров покажем практическое применение этого принципа.
Замечание. Справедлив также более общий прин-
принцип аналитического продолжения:
Пусть граница области D содержит аналитическую
дугу С и пусть функция w — f (г) осуществляет конформ-
конформное отображение D на область Д так, что С переходит
в аналитическую дугу Г. В этих условиях f (z) допуска-
допускает аналитическое продолжение через дугу С (и, следова-
следовательно, является регулярной на этой дуге).
При этом дуга С называется аналитической, если она
может быть задана с помощью функции z — z(t), ^</</2»
представимой в окрестности каждой точки интер-
интервала \tu /2] в виде суммы степенного ряда.
В частности, если полные границы областей D и А
являются аналитическими кривыми, то /(г) регулярна в
замкнутой области D.
83. Примеры. Пример 1. Найдем конформное ото-
отображение внешности буквы «Т» (рис. 130) на верхнюю
полуплоскость. Для речления задачи мы сначала проведем
вспомогательные разрезы ЕА и АВ (пунктир на рис. 130)
и отобразим на полуплоскость полученную область
ABCDEA — правую полуплоскость z с выброшенным от-
отрезком @, 1) действительной оси. Эта вспомогательная
задача просто решается следующей последовательностью
отображений:
С-г2, п = У11=У*=1-
Функция со — у г2— 1 осуществляет отображение области
ABCDEA плоскости г на правую полуплоскость со. При
этом прямолинейный отрезок границы ЕАВ на сфере z
(от точки ? — 0 по мнимой оси, через со в точку В —
= — 2t) переходит в прямолинейный отрезок ЕАВ на

334
ОТОБРАЖЕНИЯ ММОГОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ LIJI. VIII
сфере со (от точки E = i по мнимой оси через оо в точку
В=— У 5/). Поэтому к функции со —'|/"z2—1 применим
принцип симметрии и согласно этому принципу аналити-
аналитическое продолжение со —"|/z2—1 через отрезок ЕАВ осу-
осуществляет отображение левой полуплоскости г с выбро-
выброшенным отрезком (—1, 0) действительной оси на левую
полуплоскость со. При этом точки плоскостей z и со,
Еы-
ВЮ)
Рис. 130.
обозначенные пунктиром, оказываются внутренними точ-
точками областей, а граничными оказываются лишь точки
буквы «Т» на плоскости г и отрезка BE мнимой эси на
плоскости ?. Функция со — \/~гг — 1 вместе с ее анали-
аналитическим продолжением (мы обозначаем последнее тем же
символом, что и саму функцию) осуществляет отображе-
отображение внешности буквы «Т» па внешность отрезка BE пло-
плоскости 0).
Остается найти конформное отображение внешности
BE на верхнюю полуплоскость. Эта задача также ре-
решается элементарно:

83]
ПРИМЕРЫ
335
отображает внешность БЕ на внешность отрезка плоско-
плоскости соь соединяющего точки 5—0 и ? = со; так как
точка D ¦-- 0 плоскости со переходит при этом в точку
coj-- —У о, то этот отрезок совпадает с отрицательной
полуосью. Наконец, функция w — У — colt отображает вне-
внешность отрицательной полуоси со, на верхнюю полупло-
полуплоскость w и, следовательно, функция
W —
D)
осуществляет искомое конформное отображение внешности
«Т» на верхнюю полуплоскость.
Пример 2. Найдем конформное отображение на верх-
ч ч
нюю полуплоскость полосы "-<л;<-2-с разрезами
/ л я Л
по деиствительнои оси вдоль отрезков ( —~-, —й" J и
1 2 J
?
Щ-li Bt-l) Сф РФ
D<3>
(a)
(ар
Рис. 131.
Пропедем пунктиром дополнительный разрез вдоль
отрезка (—-g-, -\) и рассмотрим сначала отображе-
отображение полученной полуполосы EABCDE (рис. 131) на по-
полуплоскость о). Согласно примеру 2 п. 33 это отобра-
отображение осуществляет функция

336 ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. VIII
Применяя принцип симметрии к отрезку ВС, мы полу-
получим, что эта функция осуществляет отображение нижней
полуполосы на нижнюю полуплоскость и всей заданной
области на плоскость ш с вырезанными лучами ЕВ и СЕ
(проведенный нами пунктир «стирается» при аналитическом
продолжении, а остальные точки действительной оси
остаются граничными).
Нам остается отобразить полученную область плоско-
плоскости со на верхнюю полуплоскость. Для этого преобразуем
отрезок СЕВ сферы со в положительную полуось он по-
1
Ш + -ТГ
средством отображения coj = -. —, а затем преобразуем
ы—-?-
внешность этой полуоси на верхнюю полуплоскость. Мы
получим искомое отображение
«=у»1-у-;з-„?п-. о)
Пример 3. Найдем конформное отображение па
внешность единичного круга внешности «мельничного ко-
колеса» рис. 132. Проведем вспомогательные разрезы по
линиям АВ и ЕА и найдем отображение полученного
сектора ABCDEA на такой же сектор, но так, чтобы В
и Е переходили в угловые точки (т. е. так, чтобы от-
отрезки ВС и DE «убрались» в дугу окружности). Для
этого мы сначала последовательно совершим преобразо-
преобразования
в результате которых сектор перейдет во внешность луча
— 1<со<оо, причем точкам В и Е соответствует точка
ш =zd = -2-( h8-\--,s- J . Затем подберем линейное преоб-
преобразование toi = ato-fP, преобразующее отрезок — l<co<d
в отрезок — 1 <@|< 1; из соответствия точек — 1 — — а-\- р\
\ = ad-\-$ получаем а==ттТ' P~TXw > слеД°вателыю,

83] ПРИМЕРЫ 337
Теперь мы преобразуем внешность отрезка во внешность
единичного круга
(см. п. 26, формула A2)); при этом пунктирные разрезы
'¦ Л -К
4 «^> B'hl- - - Ли
/Д с sm
Рис. 132.
перейдут в луч l<@2<°°, и» извлекая корень восьмой
степени
— I/
мы получим сектор |а»]>1, 0<arg©<-^-, причем пунк-
пунктирные разрезы перейдут в лучи arguy = 0, |ш|>1 и
arga> = -|-, |ш|>1.
К суперпозиции всех наших отображений
8
F)
22 Б. А. Фукс. Б. В. Шаба!

338 ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. VIII
можно применить принцип симметрии. Согласно этому
принципу F) допускает аналитическое продолжение через
отрезок ЛВ и вместе со своим аналитическим продолже-
продолжением отображает сектор ЛЕ'ЕА плоскости г на сектор
АЕ'ЕА плоскости w (точки ВА плоскости z и их образы
оказываются внутренними точками областей). Полученное
аналитическое продолжение можно снова продолжить
через отрезок ЛЕ', и мы получим отображение сектора
АЕ"ЕА плоскости г на сектор АЕ'ЕА плоскости w (точки
АЕ' оказываются внутренними), а затем еще раз продол-
продолжить нашу функцию через АЕ". Мы получаем тогда ото-
отображение внешности мельничного колеса с разрезом АЕ
на внешность круга ,w\>\ с разрезом ЛЕ. По к отрезку
АЕ снова применим принцип симметрии, функция F) про-
продолжаема через этот отрезок и, следовательно, осуще-
осуществляет искомое конформное отображение.
Замечание. Легко видеть, что при d--\ формула
F) переходит в w~~-z — результат вполне попятный, если
учесть, что при этом длины «лопастей колеса» равны
пулю (h---l). При малых длинах лопастей (А^ 1) вели-
величина d — -2~( hs-'r ,»-) близка к 1. Мы положим1 d —
-- 1 -• т|, где т| мало, и подставим это в F). Если мы
воспользуемся приближенной формулой для корней с под-
подкоренными выражениями, близкими к 1, V 1 •-• б--=» 1 •¦•:-
-J-•- - (б мало), то мы получим:
_
'/2-
1 8/о ч гЬ I !
у 2-\ i\ ' 2 '
V
ъ( 1
6 J К 1б| 22 J
Раскрывая скобки и пренебрегая при этом малыми
второго порядка, мы придем к следующей приближенной
формуле:

83] ПРИМЕРЫ 339
При больших I z второй член скобки весьма мал по
сравнению с первым, и мы получаем еще более простую
формулу:
Формулы G) и (8) дают главные части конформного
отображения F), линейные относительно малого пара-
параметра Т].
Изучение свойств конформных отображений при малых
изменениях некоторых параметров (в частности, при малых
деформациях областей) достигается вариационными ме-
методами в теории конформных отображений. Наиболее
существенные результаты в этом направлении принадле-
принадлежат советскому математику М. А. Лаврентьеву*).
ли
пы
1
1
1
1
¦Л-'/,':
S3
!
ПЕ
Рис.
ЕкШ
i
i
133.
Л(
1
1
t
(D
Пример 4. Найдем конформное отображение па
верхнюю полуплоскость «решетки», изображенной на
рис. 133—верхней полуплоскости г с исключенными отрез-
отрезками х--«я, 0<.y<h, k~0, ±1, ... Для решения задачи
*) Осноиы мтнх методов изложены в книге М. Л. Лавренть-
Лаврентьева, Конформные отображения, Гостсхпздат, 1946; см. также книгу
М. А. Лнврснтьепа и В. В. Шабата, цнт. на стр. 294.
22*

340 ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. VIII
мы проведем дополнительные разрезы АВ и ЕА (пунктир
на рис. 133) и найдем конформное отображение получен-
полученной полуполосы на такую же полуполосу, переводящее
точки В и Е в угловые точки. Функция
? = cosz (9)
отображает нашу полуполосу на верхнюю полуплоскость,
ибо при z = x, пробегающем отрезок CD, ? пробегает
отрезок (—1, 1), при z = iy, пробегающем луч DA, ? =
= cosiy = chy пробегает лучи A, со), при z~ — я + й/,
пробегающем луч АС, ? = cos ( — л + iy) -'¦ — ch у пробегает
луч ( — оо, —1) (см. принцип соответствия границ п. 23).
Точки В и Е при этом переходят в точки — ch h и ch /г;
мы совершим сжатие плоскости ? так, чтобы они пере-
перешли в — 1 и -|- 1:
Наконец, воспользуемся отображением, обратным (9):
где рассматривается та ветвь арккосинуса, которая в точке
(о= 1 принимает значение 0. Верхняя полуплоскость со ото-
отобразится при этом в полуполосу — я < Re w < 0, 1ггш> О
так. что точки В(— 1) и ЕA) перейдут в точки В( — я),
Е@). Суперпозиция
cos г /1/-1\
w -- arccos —:-,- (Ю)
СП П ч '
осуществляет отображение полуполосы — я<1?ег<0,
Im z > 0 на нолуполосу — я < Re w < 0, Im w > 0, причем
лучи Ли и ЛЕ переходят в лучи Rew — — я, 1тг&>0 и
Re to —0, ImaJ>0. Поэтому к функции A0) можно
сколько угодно раз применять принцип симметрии. Не-
Неограниченно применяя этот принцип, мы получим, что
функция A0) имеете с ее аналитическими продолжениями
осуществляет искомое конформное отображение.
В заключение приведем пример, где принцип симмет-
симметрии применяется к дуге окружности.
Пример 5. Как известно (п. 26), функция
W = -7T

84) ИНТЕГРАЛ КРИСТОФФЕЛЯ - ШВАРЦА ;}4l
осуществляет конформное отображение внешности круга
|Z|>1 на внешность отрезка (—1, 1), причем верхняя
половина внешности круга АВСА отображается на верх-
верхнюю полуплоскость (рис. 134). Дуга ВС окружности
|г|=1 переходит в отрезок (—1, 1). Применяя принцип
симметрии, мы получим, что ана-
аналитическое продолжение A1) ,-'"~~-ч
осуществляет конформное ото- / \
бражение области, симметричной %шМщш?ш$шш.
с АВСА относительно дуги ВС, -/ 1
т. е. верхнего полукруга | г, < 1,
на нижнюю полуплоскость. Эта А В С Д
же функция вместе со своим ~ /
аналитическим продолжением р ,„.
осуществляет отображение всей
верхней полуплоскости z на пло-
плоскость w с выброшенными лучами ( — оо, —1) и A, оо).
84. Интеграл Кристоффеля — Шварца дает выражение
для функций, осуществляющих конформные отображения
верхней полуплоскости на многоугольные области, т. е.
на области, границы которых состоят из конечного числа
отрезков прямых. Области такого типа весьма часто встре-
встречаются в прикладных задачах —отсюда ясно практическое
значение интеграла Кристоффеля —Шварца.
Пусть в плоскости w задан произвольный замкнутый
многоугольник D, состоящий из конечных точек *). По
основной теореме существования п. 23 существует, и при-
притом только одна, функция
осуществляющая конформное отображение верхней полу-
полуплоскости па многоугольник D и переводящая три фик-
фиксированные точки действительной оси (например, at, a2
и а3) в три какие-либо точки границы D, например три
вершины Аи А2 и Л3 (рис. 135). Предположим сначала, что
эта функция нам известна, в частности, известны точки ah,
k=--4, 5, ..., оси х, соответствующие вершинам Аь мно-
многоугольника, и поставим своей задачей отыскание ее ана-
аналитического выражения.
*) В следующем пункте мы освободимся от этого ограничения.

342 ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. VIII
Так как на любом отрезке (ah, аА+1) оси х функция
w--f(z) принимает значения, лежащие на отрезке прямой
AkAh+i, то к ней применим принцип симметрии и, следо-
следовательно, она аналитически продолжаема через этот отре-
отрезок в нижнюю полуплоскость 1тг< 0. Это аналитическое
продолжение осуществляет конформное отображение ниж-
нижней полуплоскости на многоугольник D', симметричный
а,
Рис. 135.
с D относительно отрезка AkA^+i- Его снова можно про-
продолжить через любой отрезок (пк-, flfc'+t) в верхнюю но-
нолуплоскость, причем это аналитическое продолжение будет
осуществлять конформное отображение верхней полу-
полуплоскости z на многоугольник D", симметричный с D'
относительно отрезка Ah'A^+l.
Представим себе, что мы выполнили все возможные
аналитические продолжения описанного вида (в частности,
через отрезок (с„, а4), содержащий точку г—со) и при-
притом в любом числе раз. В результате получится беско-
нечнозиачная полная аналитическая функция w--F(z)
(см. п. 63), для которой исходная регулярная функция
w — f{z) будет являться одной из ветвей.
Заметим, что любые две регулярные в верхней полу-
полуплоскости ветви до— /* (z) и w^(**(z) этой функции
связаны друг с другом весьма простым соотношением.

84] ИНТЕГРАЛ КРИСТОФФЕЛЯ - ШВАРЦА 343
В самом деле, эти две ветви согласно нашему построе-
построению получаются друг из друга четным числом продолже-
продолжений через отрезки (ah, <2/m) и осуществляют отображе-
отображения верхней полуплоскости па два многоугольника D*
и D**. Последние получаются друг из друга четным
числом симметрии относительно сторон, а так как каж-
каждая пара симметрии сводится к некоторому сдвигу и по-
повороту, то и многоугольники D* и D** получаются друг
из друга сдвигом и поворотом. Отсюда вытекает, что
в верхней полуплоскости
/** B) = e^f* (z) \--a, A2)
где а — действительная константа, характеризующая
поворот, а а —комплексная константа, определяющая
сдвиг. То же самое, очевидно, справедливо и для двух
ветвей F (z), регулярных в нижней полуплоскости.
Далее, функция
регулярна в верхней полуплоскости, ибо f (г) как произ-
производная функции, осуществляющей взаимно однозначное
конформное отображение, нигде не обращается а пуль.
Из нашего замечания следует, что cp(z) остается одно-
однозначной при всех возможных аналитических продолже-
продолжениях f(z). В самом деле, какие бы две ветви F (z) мы
ни взяли, из (9) следует, что
/**' (z) =-- eiaf*' (z), /**" (г) = eia[*" (г)
и
/**"_(г) /*" (г)
7**' (г) -¦/*' (г)"'
т. е. что значение в ф(г) в любой точке г не зависит от
выбора ветви F (г).
Таким образом, мы можем утверждать, что функция
(p(z) вместе с ее аналитическими продолжениями (кото-
(которые мы будем обозначать тем же символом) регулярна
во всех точках плоскости г, кроме точек г--ал*).
*) Регулярность ф (г) и точках z -L- я/г действительной оси п,
в частности, а точке г~оо, а также в точкях нижней полуплоскости
следует из того, что /(г) можно аналитически продолжить is dth
точки и притом так, что производная аналитического продолжения
будет отлична от нуля.

344 ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. VIII
Выясним характер cp(z) в этих точках. Обозначим через
сс&л угол многоугольника в вершине Ak — wh и рассмотрим
вспомогательную плоскость переменного
со = (w — wh)a>*.
Очевидно, что при переходе на плоскость со угол много-
многоугольника «распрямляется» (рис. 136) и, следовательно,
к сложной функции
осуществляющей отображение некоторой полуокрестности
точки z = uk па полуокрестность со = 0 (рис. 136), приме-
Рис. 136.
ним принцип симметрии. Поэтому она допускает анали-
аналитическое продолжение в полную окрестность ah и в этой
окрестности представима рядом Тейлора:
1
СО (z) = \f(z) — Wh} °* =Ci (Z — CLk) |-C2(Z — ukY-V ¦ ¦ ¦ A3)
В разложении A3) отсутствует свободный член, ибо
ш (<*h) ~ 0, но Ci = co' (afti Ф 0, ибо co(z) осуществляет
взаимнооднозначное конформное отображение (см. п. 15,
замечание 3). Из A3) мы, далее, получаем:
/ (z) = wh + (z — ой)а* {ci + с2 (z — ah) -|-... }a?i, Ci ^t О,
но так как фигурная скобка в степени ah регулярна *)
в окрестности а^, то она в свою очередь представима
степенным рядом, и мы имеем:
A4)
*) Это согласно п. 32 следует из того, что сама скобка при
а^ не обращается в 0.

84] ИНТЕГРАЛ КРИСТОФФЕЛЯ - ШВАРЦА 345
Из A4) легко получаем:
(a/,— l)aftc; I
=
Z —«ft) ft -| Й
(мы вынесли за скобки в числителе {г — аА)а&~2, а в зна-
знаменателе (z —aft)a''~1 и произвели сокращение). Второй
множитель здесь представляет функцию, регулярную
в точке z = ah и, следовательно, представимую в ее окре-
окрестности рядом вида
(свободный член мы находим как значение дроби при
г = aft), поэтому
Соотношение A5) представляет собой лорановское
разложение ф(г) в окрестности z = ah. Из него вытекает,
что функция (f(z) имеет в точке z — ak полюс первого
порядка с вычетом, равным aft—1, где акп—угол много-
многоугольника в вершине Ah.
Таким образом, функция <f(z) имеет в расширенной
плоскости z лишь п особых точек г = ah — полюсов пер-
первого порядка. Вычитая из срB) все ее главные части,
получим функцию
1> (z) = ф (г) - a'-~ -1 - П2~ - ... -?-azil , A6)
тч ' гк ' г—at г—а2 г—ап ' v '
регулярную во всей расширенной плоскости и, следова-
следовательно, постоянную (см. теорему Лиувилля п. 69, а также
п. 71). Чтобы найти ее значение, заметим, что функция
f (г) регулярна в точке г —со (ибо z = оо является внут-
внутренней точкой отрезка (ал, at)), откуда в окрестности
2= ОО
^4 ... , A7)

346 ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. VIII
где с-р— первый коэффициент лорановского разложения
/ (z), отличный от 0. Из A7) получаем в окрестности
г= оо
рс_р
гР+1
J
г _><;_„+... z + • ' • '
откуда следует, что ср(со) = 0. Но так как в A6) при
2 = со обращаются в нуль и все остальные члены, то
и г|)(со) = 0, т. е. ty(z)=0. Таким образом,
<p(z) = -f 1п/'(г)^а1-' - + аг—L4-...+a^.
Затем, интегрируя по любому пути в верхней полупло-
полуплоскости 2, мы найдем:
(здесь In в правой части означает главное значение ло-
логарифма, а в левой —соответствующее его значение) и,
потенцируя, получим выражение производной конформного
отображения
l(z-a2)^-1 ... (z-an)a*-t. A8)
Интегрируя A8) также вдоль любого пути в верхней
полуплоскости, получим искомый интеграл Кристоф-
феля — Шварца:
f (z)-C J {z-a^-i (z-a2r^...(z-an)«"-idz + Cl. A9)
Напомним, что в этой формуле а* означают точки оси х,
соответствующие вершинам Ah многоугольника, а со-
соизмеренные в долях я внутренние его углы (угол при
вершине Лд равен naft).
Для читателя, ознакомившегося с решением задачи Дирихле в
главе V, мы приведем более простой вывод формулы Кристоффеля —
Шварца. Рассмотрим мнимую часть логарифма производной искомого

84] ИНТЕГРАЛ КРИСТОФФЕЛЯ—ШВАРЦА 347
конформного отображения верхней полуплоскости на внутренность
многоугольника:
V(z)=lm\nf (г).
Это—гармоническая в верхней полуплоскости функция; так как она
геометрически представляет собой угол попорота при нашем отобра-
отображении, то на каждом отрезке (a;,, a^+i) оси •*¦ соответствующем
стороне многоугольника, она принимает постоянное" значение, рапное
углу поворота этого отрезка. Мы видим, что отыскание функции
V (г) сводится к задаче Дирихле, которая была решена » главе V,
в примере 1 п. 57 (см. формулу F6)); мы нашли
где t/ft —значение V на отрезке (а?г, a^+t), k=l, 2, ...,«— 1;
vo = vn — значение V на отрезках ( — со, at) и {ап. со). Из указанных
выше геометрических соображении ясно, что У/;— Vjt—\- -разность
углов наклона к действительной оси плоскости w отрезке» Л;(_,Лд
и ЛйЛ^+1, т. е. дополнение до я внутреннего угла многоугольника
в точке Лд. В пашпх обозначениях имеем, следовательно,^ °ft—1 =
— A—ад) л и ныражение для V (г) принимает вид
1ш1п/'(г)^-л2-1 (a1--l)arg(z--a1) | b(an—I) argB--an),
где с2=у0 — vn— некоторая постоянная. Так как агр;(г— ак) —
= Im In (г—а^), то по мнимой части мы легко постанавливаем
аналитическую функцию
lnf(z)-(q-i-«c2H (aj —1) 1п(г —aO-i !"(«„- 1) In (г-а„)
и тогда потенцированием и интегрированием получаем интеграл
Кристоффеля—Шварца A9).
Интеграл Кристоффеля —Шварца A9) получен в пред-
предположении, что точки «!, а2, ...,ап действительной оси,
соответствующие вершинам многоугольника при конформ-
конформном отображении, известны. Однако в практических
задачах всегда задаются лишь вершины Ah многоуголь-
многоугольника D, а точки z=--ak остаются неизвестными. По тео-
теореме существования конформных отображений три такие
точки (например, аь а2 и а3) мы можем задавать произ-
произвольно, остальные же точки ak, а также постоянные С
и Ci должны определяться из условий задачи. Это
обстоятельство и составляет главную трудность при поль-
пользовании интегралом Кристоффеля — Шварца.

348 ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. VIII
Способы определения ah, С и С4 будут указаны ниже
на конкретных примерах. Принципиальная возможность
их отыскания для любого заданного многоугольника по
существу вытекает из приведенного нами вывода форму-
формулы A9). В самом деле, если многоугольник D задан
в плоскости w, то, выбирая произвольно образы трех его
вершин, например аи а2 и а3, мы можем утверждать по
основной теореме п. 23, что существует единственное
конформное отображение z = (p(w) D на полуплоскость
Imz>0. Мы обозначаем через a4l • • •> «п образы осталь-
остальных вершин D и через w~f(z) — функцию, обратную
z = <p(w). По доказанному выше функция w = f(z) опреде-
определяется формулой A9), где аи й2, ...,ап — только что
упомянутые точки, а С и Ct — некоторые постоянные.
Таким образом, точки ak (при заданных трех из них), а
также постоянные С и С( определяются и притом одно-
однозначно*) для любого многоугольника D.
85. Случаи вырождения. Предположим теперь в отли-
отличие от условий предыдущего пункта, что одна из точек
ак, например ап, является бесконечно удаленной. Чтобы
привести этот случай к предыдущему, мы совершим
линейное преобразование**)
? = ^-7 B0)
полуплоскости Im z > 0 на Im t, > 0, переводящее точки ait
а2, ...,ап = со в конечные точки а\, а'г ...,а'п. Тогда
функция w = g(t,), отображающая Im?>0 на D, выра
зится формулой
*) Изменение С и С] сводится к линейному преобразованию
плоскости w, поэтому задание формы и положения D однозначно
определяет эти постоянные.
**) В B0) а'п — произвольная действительная постоянная и знак —
берется для того, чтобы ворхияя полуплоскость переходила в верх-
верхнюю. Если одна из точек а^ равна 0, то вместо B0) придется взять
? = аД , где а отлично от всех а&, ибо иначе одна из a'k ока-
окажется равной со.

85] СЛУЧАИ ВЫРОЖДЕНИЯ 349
Сделаем в последней формуле замену переменных B0),
получим тогда
После простых преобразований, в которых используется
известное геометрическое предложение о сумме углов
«-угольника:
сц + а2 + ... + ап = п — 2,
мы получим:
2
w = C jj {(а;-а[)z-1}»!-1 {(с;-а'2)z-l}«*-»...
z
+ С; = С J (z - а^-1 (z - aa)«2-i...
...(z-an-i^-i-'dz + d. B1)
Таким образом, еслы одной из вершин многоугольника
D соответствует бесконечно удаленная точка, то относя-
относящийся к этой вершине множитель в формуле Кристоф-
феля—Шварца выпадает. Это обстоятельство используется
на практике для упрощения интеграла Кристоффеля —
Шварца (см. п. 86 и след.).
Для практических целей чрезвычайно важен также тот
случай (исключенный нами в предыдущем пункте), когда
одна или несколько вершин многоугольника D совпадают
с бесконечно удаленной точкой. Пусть, например, вер-
вершина Ak — оо (рис. 137). Возьмем на лучах Ак-±Ак и
Ak+lAk произвольно по точке А'ъ и A"k, соединим их от-
отрезком и рассмотрим полученный п-\- 1-уголышк. По
формуле A9) функция, отображающая 1тг>0 на этот

350 ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. VIII
многоугольник, выражается формулой
W — I
z
\ (z-
vOCft-1
где a'h и aft —измеренные в долях я углы при A'h и A"h,
а а'ь. и «ft —точки оси х, им соответствующие. При
A'k->Ak и A"k—± Ah точки a'h, a"k сливаются в одну точку
Ok, соответствующую вершине Ah, и в пределе последняя
формула принимает вид
0
... (г — а,,)*»-1 d? {-С^.
Обозначим через яай взятый со знаком ми и у с
угол пересечения лучей Ak-i Ah и AhiXAh в конечной
точке А\(рис. 137), тогда из тре-
треугольника A'hA'hA% имеем:
(Ifi ~\- (Х^ — (Хд ~~ 1,
и последняя формула принимает
обычный вид
2
с*
w --C \ (г — а))"'. . .
о
Это рассуждение можно про-
провести и для случая, когда уходят
в оонесколько вершин многоуголь-
многоугольника. Таким образом, интеграл Кристоффеля — Шварца
остается в силе и для многоугольников, у которых одна или
несколько вершин совпадают с бесконечно удаленной точ-
точкой, если при этом условиться понимать под углом между
двумя прямыми, пересекающимися в бесконечности, взя-
взятый со знаком минус угол в конечной точке их пересе-
пересечения (ср. п. 18).

ПРИМЕРЫ
351
86. Примеры. Начнем с двух простых примеров, ко-
которые приводятся лишь для иллюстрации метода и не
дают новых результатов.
Пример 1. Полунолоса — -*- < Re w < у , Im w > О
представляет собой «треугольник» с вершинами /li— — ',_,-,
= оо, углы при которых соответственно равны
= 1, как для всякого
о'
а! — --, а2 — \у , а3 — 0 (ai +
треугольника). Для наглядности занесем наши данные
в таблицу, на которой укажем также точки «д (их три,
и мы можем задавать их произвольно):
Ah
я
2
я
"
со
ал
1
2
1
т
0
«А
1
со
Интеграл Кристоффеля — Шварца принимает иид
W ¦= I
= С
Vl-s
Воспользуемся соответствием
i, a2 и Ль Л2, получим:
откуда

352 ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ
[ГЛ. VII
Итак, функция, отображающая полуплоскость на полу-
полуполосу, имеет вид
ay = arcsin2. B2)
Обратная функция z = s\nw была получена элементарно
в и. 31.
Пример 2. Полуплоскость у>0 с вырезом отрезка
О < v < ft, u = Q(w — u-\- iv) представляет собой четырех-
четырехугольник, данные которого, а также точки, соответствую-
соответствующие вершинам, приведены в таблице (три точки ah назна-
назначаем произвольно, четвертую пока обозначаем через ?;
угол в бесконечно удаленной точке равен — 1, ибо лучи
AzAt и AiAt составляют продолжение один другого, т. е.
угол между ними равен 1; lah = 2, как для всякого
четырехугольника):
00
0
hi
0
— 1
1
2
2
1
Y
Oft
00
1
0
i
Для определения точки а4~Е мы воспользуемся прин-
принципом симметрии — искомое отображение можно получить
в результате продолжения через ось у отображения вто-
второго квадранта плоскости z на второй квадрант плоско-
плоскости, w с соответствием точек со*--* оо, /ft<—>(). Поэтому
«4 должна быть симметричной с точкой а2 относительно
мнимой оси, т.е. ак — Ъ,= \. Интеграл Кристоффеля —
Шварца принимает вид
W= I
(мы берем неопределенный интеграл вместо определен-
определенного, что, конечно, можно делать, учитывая произволь-

66]
ПРИМЕРЫ
353
\
-а,-.
ф-
ность постоянной Ci). Для определения постоянных С
и Ci используем соответствие точек а2, А2 и а3> А3; имеем
0 = 0-i Си ih--iC + Ci, откуда
Ci=--0, C'--h, и искомая функция i^v
имеет вид (ср. п. 27) д . j д
W = ft |/ 2 — 1, \^°/
Приведем теперь менее элементар-
элементарную задачу, решение которой без
применения интеграла Кристоффе-
ля —Шварца представляет значитель-
значительные трудности.
Пример 3. Область, изображен-
изображенная на рис. 138, является четырех-
четырехугольником с тремя вершинами в со.
Его данные, а также точки ак, со- д2 дгд4 дй
ответствующие вершинам, указаны в
таблице (три точки аи назначаем Рис. 138.
произвольно, четвертую обозначаем
через Н; углы в бесконечности все равны нулю, ибо соот-
соответствующие лучи параллельны, ^а& = 2, как для вся-
всякого четырехугольника):
-hr
г»
1
Ah
со
со
0
со
0
0
2
0
ah
со
— 1
1
Интеграл Кристоффеля —Шварца имеет вид
- С {-^В-In (г + 1)-Ь-Ц1 In (г - 1)} + С,
и содержит три неизвестные константы С, Ct и \. Для
определения последних мы воспользуемся следующим
соображением: когда точка z обходит точку а* = — 1
1llk 23 Б. Л. Фукс, Б. В. Шабат

354 ОТОБРАЖЕНИЯ [МНОГОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. VIII
по бесконечно малой полуокружности Сг радиуса г
(т. е. когда вектор z-j-1—re** поворачивается, меняя
аргумент от л; до 0), соответствующая точка w должна
перейти с луча А^Аг на луч А2А3, т. е. функция w должна
получить приращение]
где О (г) означает комплексную функцию, бесконечно
малую при г—>0.
Это соображение оправдывается тем, что образ Сг при
малых г мало отличается от отрезка прямой, соединяю-
соединяющей лучи AiAi и АгАъ *). Но при таком бесконечно малом
приращении Аг в формуле B1) член, содержащий In (г — 1),
получает бесконечно малое приращение (в силу непре-
непрерывности этой функции) и конечным оказывается лишь
приращение lnB-f 1)^-- \nr-\- /<р, равное — ni. Поэтому
где О (г)— комплексная функция, бесконечно малая при
г—>0. Сравнивая два выражения для Аш и переходя
к пределу при г—>0, мы получим в пределе
Аналогично, когда точка z обходит точку а4=1
по бесконечно малой полуокружности радиуса г, соот-
соответствующая точка w должна перейти с луча Л2Л3 на луч
AA, т. е. Дш = /г2 + О(г). С другой стороны, Aw —
1 V
С 2 5 (— я/) -г О (г) и, следовательно,
— С —^ аг ~ -
Из найденных соотношений определяются постоянные
"л ' S~~ Ai + A2 '
*) Мы считаем этот факт очевидным, по его можно было бы
строго доказать.

86]
ПРИМЕРЫ
355
и функция, осуществляющая отображение, принимает вид
1 _1)}^с1. B4)
определяется из соответствия точек
/i2jt2-Ья/Inftfift
w = —
Постоянная
где H--=hi-'rh2.
.Пример 4. Область, изображенная на рис. 139,
представляет собой четырехугольник, две вершины кото-
которого расположены в точке w=co. Проводя разрез в сере-
середине горизонтальной части фигуры (пунктир на рис. 139),
У
Л,
(Ш)
(?>
Рис. 139.
мы можем на основании принципа симметрии свести
задачу к отысканию отображения лишь половины фигуры,
например верхней, которая оказывается треугольником.
Данные последнего, а также точки си, соответствующие
его вершинам,''"приведены в таблице:
л.
оо
со
0
Oft
0
1
2
3
"
Oft
1
оо
0
23*

356 ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. VIII
(аи назначаются произвольно, углы в бесконечности опре-
определяются согласно п. 85, 2! ссь — 1). Функция, осущест-
осуществляющая конформное отображение полуплоскости Im Z, > О
на этот треугольник, имеет вид
^if B5)
(здесь Ci = 0 в силу соответствия точек ? = 0 и w — 0).
Для определения постоянной С мы воспользуемся тем,
что вблизи точки ?=1 мы можем в подинтегральном
выражении B5) заменить функцию ]/?, непрерывную при
?= 1, ее значением в этой точке, и тогда
йУ = 1
1), B6)
где О(?—1) стремится к нулю при ?—> 1 *). Так как
при переходе точки ? с луча A3Ai на луч AiA2 по полу-
полуокружности | 2 — 1 | = г соответствующая точка w также
должна перейти с луча A3Ai на прямую AiA2, то Д&у =
— — hi-\-0(С,— 1), где /г —полуширина горизонтальной
части фигуры (см. рис. 139). С другой стороны, согласно B6)
Aw = С/Л arg (? - 1) -;- О (^ - 1) - - яС/ |- О (Б - 1).
Сравнивая эти выражения tsw в пределе при ?—>1, мы
получим — hi= — лС/, т. е. С = - - . Таким образом, B5)
принимает вид
Вспомогательному (пунктирному) разрезу AtA2 в плоскости
? соответствует разрез A, со) по действительной оси.
*) Это можно доказать строго.

87] РАСЧЕТ ПОЛЯ У КРАЕВ КОНДЕНСАТОРА 357
Следовательно, по принципу симметрии функция B7)
(вместе с ее аналитическим продолжением) осугдествляет
отображение плоскости ? с вырезанным отрезком A, оо)
на всю область рис. 139. Функция z---i J/'C— 1 отображает
последнюю на верхнюю полуплоскость z, следовательно,
после подстановки ?—1 — г2 в B7) мы получим отобра-
отображение "фхпей полуплоскости г на область рис. 139:
2Й 1/Т 2 1 h , У 1 — 2* - 1 , .
w = — у 1 — zM— In —, hi —
l ^2 - In ,?=¦] . B8)
1 + /1—Z2J ^ '
87. Расчет поля у краев конденсатора. Конденсатор
Роговского. При изучении поля внутри плоского конден-
конденсатора это поле практически
можно считать равномерным. а
Однако вблизи краев коиден-
сатора равномерность поля
существенно нарушается, и
становится необходимым сне-
циальный расчет. Для упро-
щения расчета, рассматривая
поле у одного конца конден-
сатора, мы пренебрежем влия-
нием другого конца и будем
представлять конденсатор в
виде двух полуплоскостей,
расположенных друг над дру-
гом (сечение конденсатора
плоскостью, перпендикуляр-
ной к ее краям, изображено
на рис. 140). Мы предиоло-
жим еще, что пластины кон-
конденсатора несут потенциалы ± V. Задача расчета такого
поля принадлежит к типу I задач п. 40, и ее решение
:водится к отысканию конформного отображения области
оис. 140 на полосу — V < Im w < V.
Мы будем искать обратную функцию г — z (ад). Прове-
Проведем в плоскости z разрез A3Ai (пунктир па рис. 140) и
шйдем отображение вспомогательной полуплоскости
24 Б. Л. Фукс, Б. В. Шабат
A
"¦I
H
/?*._.
Д
i
.t.,,.
A
5
Рис.
140.
i
-|

358
ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЛ
[ГЛ. VIII
Im со > 0 па полученный «треугольник» А^АгА3. Данные
последнего, а также точки аи, соответствующие его вер-
вершинам, приведены в таблице:
Ah
оо
At
оо
Oft
— 1
2
0
оо
— 1
0
(точки аи назначаются произвольно, положение Л2 пока не
фиксируется). Отображение полуплоскости па «треугольник»
осуществляется функцией
г = С^ (a-\-l)a-1d<o = C J -^^cb=== C(co 4-lnco)+Ct.
B9)
Для определения С мы опять воспользуемся тем,
что при переходе со с луча Л2А3 на луч A3Ai приращение
Az — — di-\-0 (со), где d — полуширина конденсатора
и О(а>)—>0 при со —> 0. С другой стороны, по B9)
Az = Ci A argco --J-0 (и) = — яС/ -,¦ О (и), следовательно,
— dl— — пС/, С — —, и B9) принимает вид,
Изменение постоянной Ci означает сдвиг конденса-
конденсатора*) в плоскости 2. Мы рассмотрим такое его положе-
положение, при котором Ci = 0, тогда
z — — (со -f- In и).
.C0)
Заметим, что так как на луче А3А\ плоскости со имеем
со > 0 и так как по C0) таким со соответствуют действи-
действительные z, то луч A-jAi плоскости г идет по действитель-
*) Или, что то же самое, перенос системы координат в этой
плоскости.

87]
РАСЧЕТ ПОЛЯ У КРАЕВ КОНДЕНСАТОРА
359
ной оси. Положение края конденсатора А» получим,
подставляя в C0) (о—— 1: А2= — { — 1 +1п (— 1)) =
.-- -f-d/. Теперь положение конденсатора вполне
определено.
Рассмотрим еще вспомогательное отображение Im w > 0
на полосу 0 < Im м < V, переводящее (пунктирную) поло-
положительную полуось A3At в дей- ,
ствительиую ось, w
Отсюда
w ---¦ — Into.
и, подставляя это в C0), получим
отображение полосы 0<1тш<У
на верхнюю половину поля кон-
конденсатора
_d
Рис. 141.
По принципу симметрии C1) реализует и отображение
полосы — V < Im w < V на полное поле конденсатора.
Следовательно, C1) является функцией, обратной*) ком-
комплексному потенциалу поля.
На рис. 141 представлены эквипотенциальные и силовые
линии ноля; их лучше всего получить, как образы при
отображении C0) лучей arg со —- const и окружностей со' —
я
= const, в которые переходят при отображении a = ev
прямые Imw — const и Rew — const. Полагая z — x\-iy,
со — Qe^ и отделяя в C0) действительные и мнимые части,
мы получим уравнения
'=4(в=
C2)
*) Разрешение C1) относительно w в элементарных функциях
невозможно,
24*

360 ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. VIII
которые при гр - - const являются параметрическими уравне-
уравнениями эквипотенциальных линий*), а при q--const —
силовых.
Напряженность поля конденсатора согласно фор-
формуле C9) п. 38 равна
,, _ _ . Sai __--1___- Y_ __!____ - К_ 1
*~ l dz ^ l jz "--- 1'й- «;- ': '"<ГТ^ ¦
dw l+ev
C3)
Внутри конденсатора, т. е. при z, близких к точке Л3,
значения w близки к со--О, следовательно, напряженность
поля
мало отличается от напряженности равномерного поля.
При приближении z к краю конденсатора Л2 точка
со —> — 1 и Е неограниченно возрастает (ибо при этом
также со —>— 1).
Проследим изменение неличины напряженности поля
Er-i— -, вдоль эквипотенциальных линий. Так как произ-
водная регулярной функции не зависит от способа
приближения dz к нулю, мы можем вычислять ее,
приближаясь к исходной точке по силовой линии. Тогда
\dw\--ydv\, где и — liiiш (ибо вдоль силовой линии и -
--const) и \ dz , — ds — дифференциал дуги силовой линии.
Перейдем опять к вспомогательной плоскости oo--Qe"|!;
имеем V — — г|>, откуда dv — --dty, а из C2), где положим
d.
Q = const, найдемds = y\dxJ+(dyJ=-^''q2-!-2qcosi|H- 1
Таким образом,
dv
*) Линиям Im w = ? V, т. e. \f> = -j-; л, соответствуют пластины
конденсатора: х — — (In q — q), у—? d.

88] ПОЛЕ ЭЛЕКТРОДОВ В ФОРМЕ УГЛОВ 361
Для нахождения максимума Е вдоль эквипотенциальных
линий достаточно найти там минимум q2 ¦ 2qcos^-;- 1 для
различных q и при постоянном г|\ Необходимое условие
минимума, т. е. равенство нулю производной функции
2q 1-2cosxJ;:-=0,
не соблюдается для тех ар, для которых cos\|; положителен
(ибо у нас о>0), т. е. для — -"- < г|; < '• . Для таких г}'
напряженность поля В меняется вдоль эквипотенциальных
линий монотонно, не имея ни максимума, ни минимума.
Для гр --:'- - -максимум Е достигается при о--0, т. е.
на л е пом конце конденсатора. Следовательно, если
построить конденсатор, пластины которого имеют форму
эквипотенциальных линий ip—;!_-"- ) (жирные линии
на рис. 141), то для такого конденсатора напряжен-
напряженность поля
Е - У- -~4=- C4)
будет убывать при подходе к его краям. Такой конден-
конденсатор рассчитан и сконструирован Роговским. Конденсатор
Роговского оказывается полезным при испытании изоля-
изоляционных материалов на пробой.
88. Поле электродов в форме углов. Предположим,
что наши электроды несут потенциалы i1. V, тогда для
расчета поля достаточно найти отображение многоуголь-
многоугольника рис. 142 на полосу — 1/<1тш<1/. Построим
сначала отображение верхней половины поля —«треуголь-
—«треугольника» AiA2A3~- на вспомогательную полуплоскость Imt > 0.
Данные треугольника и точки, соответствующие его
*) Уравнения таких эквипотенциальных линии получаются
из C2) : х — — In q; у--^± V С"'2""гС ) > откуда

362 ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. VIII
Еершинам, указаны в таблице:
со
0
а
ah
1 — а— р
а
Р
ah
со
0
1
Интеграл Кристоффеля — Шварца имеет вид
C5)
(постоянная Ci равна нулю в силу соответствия точек
? = 0_и 2 = 0). Дляопределения С мы воспользуемся тем,
Л, ky
д3
-л,
Рис. 142.
что точка ? = 1 должна переходить в точку
расстояние между вершинами углов:
= d, где d —
Но интеграл в правой части выражается с помощью
функции В:

88]
ПОЛЕ ЭЛЕКТРОДОВ В ФОРМЕ УГЛОВ
363
(см. упр
-А Г<а
11 предыдущей главы), следовательно, С =
Г (а) Г ф)'
и C5) принимает вид
Г(а+Р)
Г (а) Г (р)
Читатель самостоятельно проверит, что функция
2Vi
w = —— arcsin B? — 1)
C6)
C7)
осуществляет конформное отображение Im ? > 0 на полупо-
полуполосу — У<1тш<У, Reay<0, причем отрезок @, 1)
переходит в отрезок (~-Vi, Vi) мнимой оси (этот резуль-
результат получается из формулы B2) п. 86 с помощью дополни-
дополнительных линейных преобразований).
Таким образом, при исключении ? из C6) и C7) мы
получим конформное отображение верхней половины
рассматриваемого поля на левую полуполосу — V <
< Im w < V, Re w < 0, переводящее отрезок @, d) в отре-
отрезок ( — Vi, Vi). По принципу симметрии та же функция
осуществляет конформное отображение всего поля на
полосу — V < Im w < V и, следовательно, является
комплексным потенциалом этого поля.
Найдем выражение для величины напряженности поля
в точках, близких к вершине угла 0. Имеем:
dw
dz
dw
dz
dt;
л
где В = В (а, Р), ибо вблизи t, = 0 имеем 1 — ?
силу C6) вблизи 0
IS
1. Но в

364
ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. VIII
следовательно,
2V
<2а
.,2а
2 1
Т==Л——"-—p, C8)
2а j'2a ; „ 2а
где Л —некоторая постоянная.
Пусть теперь вблизи вершины О нашего электрода по-
помещен некоторый диэлектрик, и мы хотим испытывать его
па пробой. Будем увеличивать напряжение 2V при задан-
заданном расстоянии d между электродами. Тогда, как пока-
показывает C8), величина Е будет неограниченно возрастать
и при некотором напряжении 2V0 произойдет пробой
''.V
в)
диэлектрика. Считая значение Ео, при котором происходит
пробой, постоянным (так же как и место пробоя, опреде-
определяемое числом г), мы получим из C8) занисимость про-
пробивного напряжения от расстояния между электродами:
2V0
C9)
где с —некоторая постоянная.
В частности, для двух параллельных плоских пластин
(рис. 143, а) имеем а = ~2-> и пробивное напряжение
2V0 ъ cd\
пропорционально расстоянию между электродами. Для
электрода в форме прямого угла (рис. 143, б) а = -г- и
2V0 ъ cdV3.
а для двух пластин, поставленных перпендикулярно друг
к другу (рис. 143, е), а--1 и
2V0 ~

8S]
ПОНЯТИЕ OI» ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛАХ
365
89. Отображение прямоугольников. Понятие со эллип-
эллиптических интегралах. Рассмотрим отображение полупло-
полуплоскости 1гпо>>0 на прямоугольник со сторонами o)j и
ш2, данные которого, а также точки, соответствующие
его зершинам, указаны в таблице:
I
"ft
«ft
«ft
«1
~2
1
2
1
1
2"
X
2" ' гш2
1
2
«3
2
1
Y
«4
где х, а3 и a,t — действительные постоянные, подлежащие
дальнейшему определению (очевидно, и > 1) (рис. 144).
Мы задались прообразом лишь одной вершины прямо-
прямоугольника, поэтому мы можем еще потребовать, чтобы
Рис. 144.
точки да —О и w—co переходили в точки г=0 и г —коа.
Тогда наше отображение можно рассматривать как про-
продолжение по симметрии через мнимую ось отображения
первого квадранта плоскости w на правую половину пря-
прямоугольника. Отсюда следует, что oj--x иаГ:-1,
т. с. что функция, осуществляющая отображение, имеет
вид
о
1В
D0)

366 ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. VIII
где Ci = 0 в силу соответствия точек ш = 0 и г = 0, а
& = -„- @ < k < 1) —некоторая постоянная. Интеграл D0)
не выражается в элементарных функциях и носит назва-
название эллиптического интеграла 1-го рода.
Для определения постоянных С и k мы воспользуемся
соответствием точек Ах и at = 1:
1
3.^ с [ =--^f =^--^ D1)
2 J /A—Ш2)A—А-2Ш2) ' V '
а также Л2 и сц — -г :
i
-'--+- юJ — С \ —--———... .т= г-
2 J |/A- И)*) A-^218,2)
ft
J
i
ft
^L l iC {
J /A— ш2)A J
(мы разбили интеграл от 0 до -г на два интеграла —от 0
до 1 и от 1 до-,- и воспользовались D1)), откуда
D2)
При делении D2) на D1) С сокращается, и мы получаем
уравнение, связывающее лишь величины k и Ш2- . Следо-
Следовательно, k зависит лишь от отношения сторон прямо-
прямоугольника. Величина С зависит уже от размеров прямо-
прямоугольника; как показывает D1), она действительна и
положительна. Эллиптический интеграл
f dt

89]
ПОНЯТИЕ ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛАХ
367
подстановкой / = sin9 преобразуется в интеграл вида
Для последнего интеграла в форме
1—ife2Sin2tp
D3)
где k — sin а, составлены подробные таблицы *). Величина
Ф называется амплитудой D3). При Ф = -н- интеграл D3)
называется полным эллиптическим интегралом и обозна-
обозначается обычно
/l
=— =(__=._*.==_^ . D4)
Приведем выдержку из таблицы полных эллиптических
интегралов **):
Ct
к
6°
1,5751
7°
1,5767
8°
1,5785
9°
1,5805
10°
1,5828
11°
1,5854
Величина k = sin а называется модулем эллиптического ин-
интеграла, a k' = У 1 — № = cos a — дополнительным моду-
модулем, интеграл
л
2
/1
d(p ?
i"?'2sin2cp Л I (T^~,
dt
О
k
Г
D5)
*) См., например, Я икс и Эмде, Таблицы функций, Гостех-
издат, 19-18, стр. 162-167
**) Там же, стр. 177.

368 ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. VII
( где положено х = —==-——- ] — дополнительным полным
\ У l-fe'2/2 J
эллиптическим интегралом.
В этих обозначениях формулы D1) и D2), служащие
для определения постоянных интеграла D0), принимают
вид
<й1 == 2С/С, «2 = С/С';
¦?-~2-?. D6)
_ к!
Величина е " к обозначается обычно через q, так что
Для десятичного логарифма log*? составлены таблицы,
выражающие ее как функцию а (см. Я"ке и Эмде. цит.
выше, стр. 147— 149).
Приведем выдержку из этих таблиц:
i ! i I i |
a ; 6° i 7° i 83 j 9° j 10° ! 11°
I I i _ __ i i _ J !
I i I . | _ i .. I .. I
log? ' 1,8367 -1,9709 I 3,0872 3,1899 ' 3,2849 I 3,3651 I
_ i ! j i 1 • i
Зная стороны прямоугольника, мы можем найти -„ ,
а следовательно и log^. По известному \ogq находим из
таблиц соответствующую величину а, а затем из таблиц
же находим значение К- По известным /( и й, с помо-
помощью первой формулы D6) находим и постоянную С.
В качестве примера рассмотрим отображение полупло-
полуплоскости 1гпсо>0 на квадрат со стороной 1, расположен-
расположенный, как на рис. 144. Здесь cot - - 1, ш2= 1, следова-
тельно, -р---2 и \nq— — 2л ^ь — 6,283. Для перехода от
натуральных логарифмов к десятичным умножим lru/ па
модуль перехода М -^ 0,4343, получим log^^—2,729—
= 3,271. Из второй таблицы находим a 4s 10° и из первой
К ъ 1,583. Далее, С = -^ <* 0,316, /г - sin a я» 0,174,

yilj ПОНЯТИЕ ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ 369
кг rs 0,03, и наше конформное отображение осуществляет
функция
z* 0,316 ? dw
V(l--ui2)(l- 0,0to'-)
90. Понятие об эллиптических функциях Якоби.
Функция w--w(z), дающая обращение эллиптического
интеграла
*-W^-_ff .^Г< D8)
о
обозначается символом w-- sn(z, к) или просто w — snz
и называется эллиптической функцией }1коби sn *) с мо-
модулем к. Как показывает D0), функция
a>--sn ( 7~. , к i — sn ~ D9)
осуществляет конформное отображение прямоугольника
рис. 144 па верхнюю полуплоскость, причем постоянные С
и к @ < к < 1) определяются через стороны (Oi и со3 пря-
прямоугольника но формулам D6).
Мы возьмем размеры этого прямоугольника такими,
что постоянная С—1. Обозначим через /, //, /// и IV
стороны такого прямоугольника. По принципу симметрии
мы можем продолжить отображение a»~-snz, например,
через сторону /; получим, что w — snz отображает прямо-
прямоугольник B) (рис. 145) па нижнюю полуплоскость г.
Продолжая, далее, это отображение, например, через сто-
сторону //, мы получим, что EJ = snz отображает прямо-
прямоугольник C) вновь па верхнюю полуплоскость и т. д.
*) Если писать интеграл D8) в виде
Ф
- \ 1 —ft2 sin2(p
то согласно предыдущему пункту гр будет амплитудой г и, следо-
следовательно, ui— sn z = sin ц\ Поэтому функцию sn z называют иногда
«.синусом амплитуды», а функции сп г и tin 2 (см. ниже) — «косину-
«косинусом амплитцдып и «дельтой амплитуды-».

370
ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. VIII
(Заштрихованные на рис. 145 прямоугольники отобра-
отображаются на верхнюю полуплоскость, а незаштрихован-
ные — па нижнюю).
Таким образом, мы продолжим функцию w = sn г,
первоначально определенную в прямоугольнике (/), на
всю плоскость г. При этом функция окажется однознач-
однозначной, ибо, если мы при обходе любого замкнутого конту-
контура вновь попадем, например, в прямоугольник (/), то но-
новые значения snz будут совпадать со старыми, ибо они
также осуществляют отображение (/) на Re w > 0 с той же
Рис'145.
нормировкой, что и старые (см. теорему единственности
п. 23). Далее, эта функция регулярна внутри прямо-
прямоугольников и на их границах всюду, кроме точки z--co2/
и всех точек, получающихся из нее при продолжениях
(отмечены х на рис. 145), где она имеет полюсы, ибо
эти точки при конформном отображении переходят в w — оо.
Итак, sn z является мероморфной функцией.
Далее, на рис. 145 z означает произвольную точку
плоскости и черными кружками отмечены точки, в кото-
которых sn принимает значения, равные snz, а белыми круж-
кружками— значения snz. Из рассмотрения этого рисунка сле-
следует, что во всех точках 2 + 2&,u)j -: 2/г2/со2, где ki и ?3 —
произвольные целые числа, функция sn принимает одина-
одинаковые значения:
sn (z + 2fe1(o1 -f 2k-ziaJ) = sn z.
E0)

90] ПОНЯТИЕ ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ 371
Это свойство функции sn выражают, говоря, что она
имеет два периода: '1\ = 2со( и 7'2 — 2/о>2 или что она является
двоякопериодичгской функцией. Свойство двоякопериодич-
ности sn z позволяет свести ее изучение во всей плоско-
плоскости к изучению в любом прямоугольнике со сторонами
2ш и 2а>1, параллельными координатным осям.
Из предыдущего следует также, что sn является нечет-
нечетной функцией, т. е.
sn( — z) = — snz, E1)
и что snO —0.
Перечисленные свойства указывают на некоторую ана-
аналогию между функцией sn и обычным синусом. Заметим
к тому же, что, как вытекает из D8), при k--Q г~-
— arcsinzw и, следовательно, sn(z, 0) вырождается в обыч-
обычный синус.
Наряду с sn рассматриваются еще функции
lz?sn37, E2)
обладающие аналогичными свойствами и также называе-
называемые эллиптическими функциями Якоби. При /г--0 enz,
очевидно, вырождается в обычный косинус, a (in — в 1.
Укажем некоторые соотношения теории функций Яко-
Якоби. Из формулы D8), определяющей sn г, но правилу
дифференцирования обратной функции мы получим:
~<?Г~ "VrO:rsn'fz)Xi^ft'sn*z) = сп г (In г. E3)
Далее, дифференцируя E2), находим:
denz snzcnzdnz , _..
—г- — — =— snzdnz; E4)
dz en г v '
ddn г
dz
= — fe2snzcnz.
При k = 0 E3) и E4) обращаются в обычные формулы
дифференцирования тригонометрических функций.
Отметим без доказательства*), что для эллиптических
функций Якоби имеют место формулы сложения,
*) Вывод этих формул см., например, Н. И. А х и е з е р, Эле-
Элементы теории эллиптических функций, Гостехиздат, 1948, где разо-
разобран также ряд интересных задач с применением эллиптических
функций.

372
ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. VIII
напоминающие тригонометрические формулы сложения:
snzcnwdnw-i-snwcnzdnz Л
: г,
dn (г + ш) ==
en 2 en sy — sn z sn w dn z dn w
1 — ?2sn22sn2ai '
dn г dn w — k2 sn г sn до en z en w
1 — A2sn2zsn2sz)
E5)
При ? = 0 первые две из них обращаются в обычные
тригонометрические формулы.
Рис. 146.
В заключение мы приводим графики функций sn(x, k)
и en (л:, ^) для действительных значений х и & = 0, ¦ ,
1 (рис. 146).
Упражнения
1. Пользуясь принципом симметрии, найти отображение на
верхнюю полуплоскость или внешность единичного круга областей,
изображенных на рис. 147.
2. Вывести формулу для отображения внутренности единичного
круга на многоугольник
... (z-an)an~l dz+C,

УПРАЖНЕНИЯ
373
„If
-d
d x
^p/f///'//////J/'/x)
a)
Рис. 147.
25 Б. А. Фукс, Б. В. Шабат

374 ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. VIII
д)
г)
-Е*
1
V//////Mt
IE
-Е-1Е
Рис
Риг
148.
149.
E+iE
ШИШ.
i ,
I '*
шшш,
E-i?
•
i -
h
h
У
1
u/
а, аг
5)
Рис. 150,

упражнения 3?S
где aft — углы многоугольника, измеренные в долях л, ад (I а^ | = 1)—
точки окружности, соответствующие вершинам многоугольника, С
и С — некоторые постоянные.
3. Вывести формулу для отображения единичного круга на
внешность многоугольника
г
(Z_fll)«i-l (г-аа)"» ... (z-an)a«-1 ~
о
где aft — внешние углы многоугольника, измеренные в долях я, и
ад, С и С означают то же, что и в предыдущей задаче. При
этом предположено, что центр круга г = 0 переходит в бесконечно
удаленную точку плоскости w.
4. Найти конформное отображение на верхнюю полуплоскость:
а) внутренности параболы у2 = 2рх, б) внутренности правой ветви
л:2 уа х2 ф
гиперболы —^ 4а~ = '' в) виУтРенности эллипса ~2-~^7,2~=*'
5. Найти конформное отображение на внешность единичного
круга внешности: а) буквы «», т. е. совокупности отрезков
i-i- -i - _i -
(— е 4, е 4) и (— е 4, е 4), б) буквы «пси», т. е. совокупности
отрезка @, —2/) и нижней полуокружности |г| = 1, в) буквы «ж»,
т. е. совокупности отрезков (—г, i) (I-f-t, —1 — Oi (—1~Ьг\ '—О-
6. Найти конформное отображение на внутренность единичного
круга | w | < 1 круга | г \ <; 1 с выброшенными отрезками ( —г, — )
1 Г
2 ' ?-
7. Найти конформное отображение верхней полуплоскости на
многоугольники, изображенные на рис. 148.
8. Доказать, что эллиптический интеграл второго рода
Б (г, fc)=j
О
осуществляет конформное отображение плоскости г с выброшен-
выброшенными лучами г/ = 0, | х | > 1 на область рис. 149.
9. Найти конформное отображение (двусвязной) области
рис. 150, а на (двусвязную) область рис. 150, 6. Постоянные ад
подлежат определению.
10. Пусть область D представляет собой плоскость z с выброшен-
выброшенным бесчисленным множеством параллельных отрезков—a s^ x *Са,
y = kh (й = 0, -± 1, i 2, ...), расположенных друг над другом.
Найти: а) взаимно однозначное отображение D на плоскость w
с выброшенным бесчисленным множеством отрезков действительной
оси, б) однозначное (но не взаимно однозначное) отображение D на
внешность единичного круга.
25*

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ВВЕДЕНИЕ
I. 2e 3 ; 2 sin-g е 2 . 2. Из векторов г4, г2 и г3 можно
образовать правильный треугольник. 3. г^ ——?Г'-г2 !-г3, zl = zi —
i ¦ /TijZj -!-//72г2~1 " • • • -\'nlnzn
— Zo ^-Zo, 2i =^Z, '-Zo Zo. 4. Z.> ~ "
2 ' d' 4 123 t. mr
\- ...-\-mn
I — e n
5. Zft = ^0-|-(z1 —z0) „ - (для многоугольника, вершины кото-
1 -R ТГ
рого обходятся против часовой стрелки). 6. Перейти к координатам;
сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон.
(-*+*.!)*
7. cos^p 6 cos2tp sin2 cp !-sin4(p. 8. ±B-;t); 2<Л 6 '6>
(ft--0, 1, ..., 5); J/2e\ 4 :i ' (k~-0, 1, 2). 9. l-|-<, l-|-2«;
г J-2. 10. 1-• г', г; Я, A — г'}, X(l-\ i), где А, — произвольное комплекс-
комплексное число. 11. а) Прямая, равноудаленная от точек а и Ь. б) Пря-
Прямая, и) Трапеция, г) Эллипс с фокусами а \\ Ь при а>,6- а ,
отрезок аб при а —' Ь — а\, пустое множество при а<,6— о |.
д) Внутренность параболы //2=1 — 2х. е) Левая полуплоскость
с выброшенным кругом x2Jry2 \-2х — \ <; 0. 12. a) --^-j—2"~а "
семейство окружностей, касающихся оси Оу. б) - „-,-•••—- =tga—
семейство окружностей, проходящих через точки ^ 1. в) (х--1J• |-
-i-(/2__и2 {(х-|-1J- (/2} —семейство окружностей, г) Геометрические
места точек, произведение расстояний которых до — 1 н -[ I по-
постоянно— «лемнискаты с фокусами в точках -^1». При а< 1 они
состоят из двух опальных крипых, окружающих 4- I; при а^-1 имеем
обычную лемнискату Берпулли; при a > 1 — замкнутые кривые (см.
рис. 67). д) г2-! -2яг '-, Ь — (z- - z.\) (z — z2), где zi и z2 корпи трех-
трехчлена, следовательно, имеем семейство лемнискат с фокусами z, и z2.
13. Положив х— I-,— , у— о--> получим гг-'rf 14--д- ) г"Г

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 377
1. ^-^2. 14. ^-JL^.n—^.
и ^ \г } па- • v == -|2 Л -т,2- • 15- а) «5 "I РЧ ! Y (s2 -!- П2) - 0 - - окруж-
ность, проходящая через начало; при \--0—прямая а|-| рг|—-О,
сончкдяющая с данной. 0) а¦->•[$?-{ -уп-;- б (|2-!,-т12) — б - окруж-
окружность; при б — О-нрякая. и) ?2-"ТJ=-(?2 I-*!2J или || r..j -j-tj'- X
Г ' 1 \ 2 I 1
XI ( Е. ; • > - i -г Л2 Ь - — лемниската Берпуллн с фокусами
V » 2/ J 4
J
irj-r,» =--2Рб- «-™ 11- ]/ f2^ -
(± " '-2 ' °) ¦ г) irj-r,» =--2Рб- «-™ 11- ]/ f2^ - циссоида.
ГЛАВА I
1. Координаты Z: I —у™" ~v > V"i/v) а' ъ~~лЪ% ¦ 2' где
/• -- (/'A'2- |ii2-- z \, i?—радиус сферы, оси ? и т) совпадают с осями
х и w, а ось С -с вертикальным диаметром сферы. 2. а) Нет. б) Да.
2
3. •. . 4. а) х — (а-!- Р) cos t, у — (га-- р) sin ?- -эллипс с полуосями
га
|«-'; р и ,а- Р|. б) г—е'1 , где а--а | /р\ г=лег(р—.чогарифмичс-
ская спираль. 5. Имеем г--'-'ге1®'- r^ici(p, 'г-(г -лр2) е'ф-|i..1.. -rf. (/•'4)/L-"r;
коэффициенты при с11? и г(.'гЧ>дают искомые величины. 6. Искомая ско-
ростьу--- .- • - -=tz/ (г). 7. «Закон Ома» дает Я J,- - , ,У—&,
dz at \ i-wty
комплексный ток ,'7--/0ег'<0'"'"ф+б>, где /0 = —~ 1° _-^_^ .-и tg6=
I/ ««"i-^r,
F 1 ч^ (О)"
— ,r^, - . 8. jciT=.:sin2<p- -единичный отрезок. 9. Доказать, что иарал-
ле.'ьным прямым соотнетстиуют параллельные прямые. 10. Параболы
1/2 1/2
а' = -^ „--а2 и парабо.!Ы х—$2-- ¦•а-,,- с выброшенными иершпнами.
11. а) Окружности, касающиеся координатных осей в начале и-] v2 —
и, u2-'*-v2 — — v. б) Окружности и2--)-и2 --2ctga-y = l.
и) Эллипсы ц = - ¦ ( л|- - Jcos9, ч=; „ ( г-- - j sin ф и гиперболы
- , -—-. --=1- фокусы всех крииых в точках +1. г) Лсмни-
co.s-a sin2 a ' ' ' -*- '
ската q— \r2 \ cos20 ' . 12. Плоскость с выброшенной положительной

Y/a OTUEtbl И УКАЗАНИЯ1ПО РЕШЕНИЮ
полуосью- « = /-3sin3<p = a, » = r3cos Зср = р\ 13. /(г) —1 между па-
параболами у = х*, у = 2х*, /(г)—0 в остальной части плоскости.
14. t?>=.tgcp непрерывна всюду, кроме прямой <р = ± -у . 15 и 16. Вос-
Воспользоваться уравнениями Коши — Римаиа. 17. а) Регулярна при
г --J-- оо, б) регулярна при г Ф О, в) нигде ие регулярна, ибо много-
многозначна, г) нигде не регулярна, хотя дифференцируема в точке г = 0.
ГЛАВА II
, ... / ди , . dv \ . , / ди , . до\ . , ...
. du+idv—[ -.—.-г з— )dx-{~' -,-т1г )dy; есм du~\-idv=
' \дх ' дх J l уду ¦ ду /
\дх ' дх J l уду ¦ ду
,,,,.,, . ди . dv 1 / ди , . dv \
=Л (dx-\-idy), то Л =^-1 -^= у (^-d .-J-» -д- ) , откуда еле-
ственно. 2. L=J \f'(z)\\dz\, S= J J |Г(г)|«^^. 3. -~
дуют уравнения Коши—Римаиа; обратное проверяется непосред-
dw
dz i,j
тт • ¦»• *->— о" > *-— '"ч'тг '/T'i'Ti1 '/• 5. L =
z о
1
= 2l/2 \ эллиптический интеграл, см. п. 89. 6. Из уело-
вия ортогональности градиентов находим —= — — = л; из вто-
"* иу
рого условия —Я,= ^1. Случай %=—1 приводит к отображениям,
меняющим ориентацию, A,= -f-l—к конформным отображениям.
7. ai-j-1 =2г (г — г) или г»=1-1-2(г, I ^гг1 — Дги ( — | г—* |2. 8. Полуно-
лоса с исключенным полукругом, построенным на основании полу-
полуполосы, как на диаметре. 9. Четвертый квадрант с выброшенным
I , 1
полукругом г —
об
,, а»-1 2 — 1
Ч- ^—1= аТ-\ ' гдс а~~пРоизв0льная комплексная константа.
12. w=i-^~. 13. «и=-?1_-. 14. w = 2i ^-4 , R=2. 15. О -ар-
-аргумент точки окружности [ш] —1, в которую переходит z — оо.
Прямым Iniz — coibt соответствует пучок окружностей, касающихся
i w 1 — 1 в точке ег0, прямым Re z = const — пучок окружностей, пере-
пересекающих 'га | = 1 ортогонально в той же точке ег0. 16. w —
~-- ¦ ¦-- . 17. а, Ь, с и d — действительны, ad— &c>0.
"я — "I z—а.о
< -^ ¦ Ю. Абсциссы точек, симметричных отно-
1 4z— 1
сительно обеих окружностей а= — -¦:-, р = —4, ш = —:—- , R — 2.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 379
ГЛАВА III
1. sin (x-\-iy) = ch i/sinx+г sh у cos*, cos (л: -| -iy) — cos x ch y—
, , , , . . sin 2л: ; jsh2w
—г sin .v shy; tg(x-\ iy) = —;-„- ¦¦, • 4. При обходе в по.чо-
и' ь v ' J; ch 2i/ rcos2x '
жительном направлении окружности, охватывающей точки 0 и 1,
аргумент подкоренного выражения изменяется на 6л, следопателыю,
значение корня возвращается к начальному. 5. 1пЗ-|-г'л. 6. Функция
co = z ;- )/z2-- 1 отображает область задачи на верхнюю полупло-
полуплоскость. 7. ю1 = е~е'1+л'), ю2~е~''^~пгК 8. Окружности | г | —- const
и лучи argz-const. 9. Из f (г,) — / (z2) следует либо zt-- г2, либо
2i-l--z2-!-2 — 0; п последнем случае ]г2;>2 —|г,|, следовательно,
обе точки не могут лежать в единичном круге. 10. Плоскость с вы-
выброшенными лучами — со<&<—1, 1 < и < со, v — 0. 11. а) Пра-
Правая полуплоскость с исключенным лучом 1<«<со, и = 0; б) круг
|в,<1; семейства окружностей, проходящих через точки ^ i,
н окружностей, имеющих эти точки симметричными («меридианы»
и «параллели»); в) плоскость с выброшенными лучами v--^-ti,
— ее <^ и < — 1; г) круг «2-i-1>2< 2«; д) круг | w I •< 1, окружностям
|wi^=Q сооткетстнуют лемнискаты (*2-| г/2) |D—-*J j г/21--16о2,
лучам argw=--0 —гиперболы. 12. а) Плоскость с выброшенными
лучами v—кл (k~0, -^ 1, ЧК 2, ...), —со<и<0; б) верхняя
полуплоскость с выброшенными отрезками u — knft — O,-^ I, i;2, ...),
0<и<й. 13. a) ? = za отображает сектор на полукруг, м =
= ( ~v"bi7 ) —"а П0-1У11ЛОСК0СТЬ; остается воспользоваться форму-
формулой B3) гл. II; б) w——1п( i . ). в) Переходя к ?~-,г •
получим эллипс с фокусами ±1; при отображении ^= ^ ( co-j J
ему соответствует окружность |со| = 3; полагая о) = Зй», получим
единичную окружность. Окончательно w = — . г) о)=)^^
Т|2
преобразует параболу S = j-2—а2 в прямую Imco = a; выбираем
a— I/ g . тогда параболой будет т]2 = 2р Г g-j- ^- J
5 = г—-q- , парабола перейдет в данную yz = 2px; остается положить
ш = ш— I/ -у Л Окончательно ш= 1/ z— (j — 1/ -' ('. д) Вос-
Воспользоваться свойствами отображения г — 75- ( ?-j->- ). е) Лога-
рифмические спирали пересекают лучи argz — const под постоянным
углом, ?--1п г переводит эти лучи в параллельные прямые и (в силу
конформности) заданную область в некоторую полосу. Дальнейшие
полагаем

380 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
преобразования очевидны. 14. а) ?==-"¦-z, ?|1=е^, <о—•?*, W( =
—--„-( со ¦- - )—получаем плоскость с выброшенными лучами
Re cot < ch я, Re щ > ch 2л (Im со4 — 0). б) ? — - ^ z, U ¦¦¦- е^ ,
?2 = 7. ¦¦¦¦¦¦! со —?1—далее, как а), в) ? = ••- преобразует область
в вертикальную полосу с горизонтальным разрезом, дальше см. при-
пример 4 п. 33. г) ?= ¦ преобразует область в полосу - 1 < Re t, < 1
с вырезом Re?^-=0, 1т?>-л-, дальше см. пример 3 п. 33. д) С по-
помощью ?— -~- ( z-;— j преобразуем область во внешность отрезка
~-d<Re?<d, затем применяем со— Z, и отображение, обратное
первому,--получаем внешность круга, е) ?—г-—'—, ^i^1," , to =
--.—J ; получаем верхнюю полуплоскость с выброшенным отрез-
отрезком мнимой оси; дальше см. пример 1 п. 27. ж) Поворот, растяже-
растяжение, со = ?'-уЛ ?2--1, подобие, м1 --¦- - ( ^i ;- у— ) — получаем внеш-
внешность отрезка; дальнейшее очевидно, з) со —|'z преобразует область
в полуполосу 0< Im со < 1, Re со > — 2, дальше см. пример 2 п. 33.
и) Точки ^ 1 симметричны относительно окружности (дг-- j/2J-i
i-yZ—l, применяем g—• . , ?i==S2> дальше, как в б), к) Растя-
Растяжение, со — ? '; Y ?2--'> степень, coi— _¦ Г Z,i-[-y- ) . получаем по-
полуплоскость с выброшенным отрезком мнимой оси.
ГЛЛВЛ IV
, - /"sin 2rp , f чо'- 2(р 21 .т.,
1. г=Л/ -• '-,г— 1/ , L-- . 2. ta=lnsh яг-f с,
/ Х1 _!_ ,,2 N
• sli яг; —const. 3. 1/^(р( ---' •¦¦¦ 1 , где q -произвольная фупк-
\ Ах у
ция; Я) : /;2— 1 : 2. 5. Гиперболы с фокусами + я; кривые четвертого
///2
1-]—-->„- (см. рис. 75). 6. Заряд 2<7 п начале
координат и 4 заряда —о в точках 4- V~jzi- 8. ст= о „¦ .
^л у 1 + д;2

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ НО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ Л81
0. ш-=4л/Ьп - ; в точке г = 2Лье'ср плотность заряда
г-; уи
У 'A ,n i . <\z i 1 „
а ———'— . 10. ш = - -- Lri - —-; на первом цилиндре 9а
2 -Г sin ф In 2 г ; 4 ' '
и 25а, на втором '2а и 18а, где к -- Е-~ .— . 11. ш--
1 60л in 2
( I ( li/ "" P - ¦ ch( -" -Ln )-i-l
= 100/ l)_ ьп^г-. > z---i
I LnB-)-V3)
V a
sin -'
-- ~ Ln (z-i-уг8 -l). 14.B--- ln ( I -'--„I" ) • •''чини тока sin4ip =
ГЛАВА V
1. a) e; 6) 'li\ в) 2г. 2. 4лг. 3. С (sh 1—ch 1). 4._ а) й B—<;-''•- I);
6) l-;.c-i(t._2). б. Длина дуги L, 6. -^ . 7. .t-^--t. 8. -| (лг-1).
9. В условиях задачи ни максимум, ни минимум \ \ (г) | не может
достигаться внутри области; лемниската с п фокусами определяется
уравнением ' Рп {z)[----const, где Pn(z)- многочлен степени п.
г !- г 2 - - г
II. и-гС-0. 13. Положить х=--[.) -,у—~¦ •—, тогда «=^
_ _ ._.bIj?Jz .Cf) _ ^_- (ctgz! ctgz), следовательно, /(г) =
cos (г- -г)- cos (г-i г) '¦
---ctgz \-iC, нормировка дает С — О. И. По формуле
Р
гт \ (l--/-2)rf0 Г 1-.-Л . В -Ш
Пуассона «= \ i , - - ..-. -т—;—..-=2 arctg-— tg- ,-
3 J 1— 2лсо<@—<(-)-\-гл L 1-!-л 2
а
— arctg-:—^- ¦ tg—: • I . 17. Воспользоваться формулой F1).
ГЛЛВЛ VI
1. а) Полуплоскость Re2>l; б) как в п. 64, запишем ряд
в виде V cnein:>; в плоскости ^ = е'г его областью сходимости

382 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
будет кольцо, в плоскости z— горизонтальная полоса. 2. а) со; б) 1.
»¦ а) Л 0 + -^У = Л {1+ ^(«-0- Ц (з - О» +
! 25 1 258 , 1 ,А-
+¦¦• } > гДе У « принимает
0 У
2'5/ ля 1 2-5-8, .s, ,
4IF
всевозможные значения; б) Ln (i-\-z—i) = i f-^--\-2kn ] -f-^-т-^—
-i^- + SH^—-- ГДе * = 0' ±Ь ±2, ... 4. /(*) =
f
= e г ¦ подставляя ряд для ? = в ряд для е^, по-
лучим j(z) = e[ 1—о" + о7г —•¦• ]• 5. /(г) имеет, очевидно,
особенность при г=1; f(z) = z^-{- ^ (г'J"=22+/(г2), следователь-
п-1
но, особенность будет и при г2 = 1; далее, f (г) = г2 + 244-/(г4),
следовательно, при z4=l опять особенность и т. д. 6. а) Две одно-
однозначные; б) одна двузначная; в) одна однозначная; г) две однознач-
однозначные; д) одна однозначная; е) бесконечно много однозначных; ж) одна
бесконечнозначная. 7. Положим / = coscp и разложим f(z) на простейшие
1 .1
дроби: —1-4 1 ¦ , и каждую из иих—в гео-
1—g-e-" 1—рф
00
метрическую прогрессию; получим f (г) — 1 -{- ~S\ 9n_^- zn =
', откуда Тп (cos(f) — -nn~^ cos nq>. 8. a) J>
n=0 n=l
GO
6) —2 — 2^, cos nt. Указание: положить eil = z, найти лора-
>—J л
n=l
новские разложения полученных функций г и из них получить искомые.
z2 z3 z4 / 1 Л 2 Г 2 \ 2
'•-I—Ir+ir+ir--' б)±20-т) 0-т) =
= -)- г [ 1-1—--|—1--|-... J, где Of; вычисляется перемножением
рядов; в) функция не допускает лорановского разложения, ибо
в окрестности z = co нельзя выделить ее регулярных ветвей; г) можно
Ь — а, Ьг — аг Ъъ -аъ .
построить разложение каждой ветви • 1 -~-g 1 ^-д }-¦¦•

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 383
...+2fat((*=o, ±i.±a. ...).to./a(o=-S jrW=HOI С2-J
fc=0
Это разложение получается подстановкой ?,= 1г Г г ¦ ) в РЯД Для
е*° и дальнейшей группировкой по степеням z. Из формул для коэф-
i / 1 \
фициеытов ряда Лорана имеем In (t) — =—
выбирая в качестве C|z| = l и полагая г = ег9, полу-
2Я 2я
чим /„@ = о^--<? e1(sln8e-n{e* dQ=-^~ [ cos («9 - <sine)de, ибо
о о
2л
\ sin («9 — ?sin6)d6 = 0, в чем легко убедиться подстановкой 8 =
о
= 2л—О. 11. г=1 — особая точка /'(г). 12. Первая функция
непрерывна в точке л: = 0 вместе со своими производными любого
порядка, вторая имеет z = 0 своей существенно особой точкой.
14. а) Существенная особенность z = l, полюсы 1-го порядка при
z = 2fera; г = оо—неизолированная особенность (предельная точка
полюсов); б) полюсы 1-го порядка в точках г= — — -\-kn, (fe=0, il,
i 2, i 3), где sin z-f-cos г = 0, г = оо—неизолированная особенность;
в) г = B&-{-1) т — полюсы 1-го порядка, г=оо—неизолированная
особенность; г) существенная особенность в точке г = оо. 15. а) а =
= —2; воспользоваться теоремой Коши о вычетах. 16. а) ( ) =
^±1
= (_1)к; б) zA = e n . resf(8ft)=—=^-, resf(oo) = 0 при
л=#1, res^(oo)=—1 при л = 1; в) res f (— 1) = (— l)n+1C^i,
res/(oo) = {—l)"C^i; r) 0; д) 0; е) res f (-l) = e-i, res/(oo) =
= — ( 1 —j- + -nj TT^~*" /= — e~1' ж^ вычет в бесконечности
eb—ea. 17. 0=0, Г = л". 18. Bл1)
ГЛАВА VII
а
. я т/2 „ 2я .л"-,/^/ а,.аЛ
. а) —s— ; б) • в) —;= е к z I cos^r= +sm—?= •
.Л . 3. ¦ ,
г) -s-; д) -я-11 —

384 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ж)—- з)--*-; и)-8-. 2. f@ ^0 при f< 0, /(/)-=/ при *>. 0.
ОО
5. a) tgz-ctgz- 2ctg2z = 2zY -!— ; б) ¦ -1 ¦ =
S=i BA-1)«.^—2»
СО ОО
- ctgz-tg-2- 1 а.2. У J- 1)'е- ¦ „) 4 У -<-1>Ч2*-1).
ft=i ft._-i
/ ,. Л N.I 1 , / , it
^заменить в б) г на -^ — яг j ; г) -. -( -- — <r-|--2-ctg 2- --=
тт / 4z2
C0S Яг ^«П 1
+ ЛЬ2«2 -2q^- 6. а) е:_1=
со
тт /* г2 Л
П О"^*" J ;
ftl h=i
в) chz- cosz^ -2sin,i -"^"--9 sinnc -"^ - — 2-
й=1
воспользоваться формулами разложения sinaz и cos лг. 8. к)(г) =
-. —- In sin -^-r . 9. Положим х— У ~t, тогда искомый интеграл
перейдет в -=- \ е~'* 2 <# = у Г Г -2" ) • 1(^- Интегрировать функцию
о
/ (?) — t,'-1e~1° по границе четверти круга , ^ </^, 0<arg ?<-'--
и устремит,, R - с», a) -L Г Q-) cos -^ ; б) I Г A) sin J ;
в) - —, г( - )C0S"R""- Ч- В интеграле, определяющем р, поло-
полого
жим ' —у_—х> получим Р(р, <7)=\ T-J--.__--¦—dt (*). В интеграле
6
Г (p~J-g)— WP+'i-ig-'rf/ введем новую переменную а так, что
0
t = A -т "О а> "о- УчиМ n"X7)P+Q ""=' г~(р + 9)" J °

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 385
Подставим это в (*) и переменим порядок интегрирования: р1 (р, q) —
со со со
0 0 0
оо
Г Г (j
X \ (т(т)р~1с d (то*) --- -.,-j
о
--—2Г(рГН-Г)- ; б) "—4"Н)Л (вос™атьсп фор-
мулойF4));В)-.-)-4-;г)(т
ГЛАВА VIII
1. а) Отображаем верхнюю половину фигуры на полуплоскость
яг
Z,-—e11, по принципу симметрии получаем отображение всей фигуры
на плоскость с выброшенными отрезками (—оо, с я ), (a ll , оо),
остается применить отображения 0)= -, и ю —ш \-\f ш2 —1 ;
б) полагая ^=--, рассматриваем одну восьмую часть области —
сектор 0<arg?<V; применяем ?i = ?4' ш — Si "Ь Т^г? — 1.
ш;=/о) — получаем сектор 0 <^arg w <L-r \ w \ >• 1, причем вспомо-
вспомогательным частям границы соответствуют лучи. По принципу сим-
симметрии полученная функция отображает данную область па внешность
круга.
Имеем w— — ^ 1 —|/l — z* , или z=-rj- -.=^-. 4. а) Как
2 j/ 1 -1- ws
в упр. 13, г) гл. III, преобразуем параболу в прямую; внутри па-
параболы это отображение не взаимно однозначно, по оно осуще-
осуществляет взаимно однозначное отображение верхней половины области
на полуполосу. Последнюю отображаем на полуплоскость, а данная
область преобразуется при этом и плоскость с выброшенным лучом.
Дальнейшее очевидно; б) как в упр. 13, г) гл. III; подбираем функ-
функцию, отображающую гиперболу в стороны некоторого угла; верхняя

386 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗЛДЛЧ
половина при этом преобразуется во внутренность угла с выброшен-
выброшенным сектором. Дальнейшее очевидно; в) как в упр. 13, в) гл. III;
подбираем функцию, преобразующую эллипс в окружность; верхняя
половина эллипса при этом отображается на полукольцо. Логарифм
преобразует последнее в прямоугольник, но принципу симметрии вся
внутренность эллипса также преобразуется в прямоугольник. Далее,
следует воспользоваться эллиптической функцией sn. 5. а) Разре-
Разрезать но биссектрисе у=х и возвести в квадрат. Дальнейшее оче-
очевидно; б) ? ——ц--» разрезать по мнимой оси. Дальнейшее оче-
очевидно; в) Разрезать по мнимой оси, возвести R квадрат и затем
разрезать по действительной оси. Дальнейшее очевидно. 6. Разре-
зать по мнимой оси и возвести в квадрат, затем <о= —,
(О1=у"о), <о, = —( щ -f ) —нижняя полуплоскость. Дальней-
V)
, . , ? Yw dw //2 Я2+Л2
шее очевидно. 7. a) z = A \ -.— -,. .—,—г , где а = -.— А =—' — ¦
о
w
. С w1~adw
б) воспользоваться принципом симметрии, г = Л \ 1- В,
О
где .4--'—el!ta , B = ih, отображает верхнюю полоиину области на
полупл
1
. . Г у wdw Ал ,
лоскость; в) г=А \ -. —;—, .-;—т-,-. , где -. , -л zr—h,,
' ' \ {w — \){w — a) (w-\-b) (а—1) A-j- b) 1
о
~lT С w(w—\)dw
А_У_ал___. Ау Ьл
1 0 р v~ "'
Аргумент константы перед интегралом определяется из условия:
^ , , dz л \ „
при W— и^> 1 угол поворота отображения arg ——= . J Далее
следует использовать условие, что точке ш=1 соответствует z=ai.
W
_ ,1 За . . С (w-\\)dw
Отсюда k = -r-, г = —-; д) г = Л \ —1 -j--— где а—деи-
г 0 ч i /
ствительная константа. Л и а вычисляются как в г) из соответствия
точек, однако интегралы в конечном виде вообще не берутся.
9. Провести вспомогательный разрез по мнимой оси, правую поло-
половину отобразить на верхнюю полуплоскость по формуле Кристоф-
феля — Шварца и применить принцип симметрии. 10. а) Разрезать по

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 387
мнимой оси I! воспользоваться примером 2 п. 83 и принципом сим-
метрии; б) полосу 0 < (/</г преобразуем посредством ? —е ''
в плоскость с разрезом вдоль положительной полуоси; данным отрез-
С2ла 2ла \
е h , e h ) на верхнем и нижнем
берегу разреза. Далее применяем ю=А?,\-В так, чтобы последние
(. 1 „ ,, 2яо\
А = —-—¦, В= — cth —г - |, а затем
sh-r )
<°—"о"( w~\ ) • По принципу симметрии получаем искомое мно-
голистное отображение.

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
БИБЛИОТЕКА ИНЖЕНЕРА
ИМЕЮТСЯ В ПРОДАЖЕ:
Волынский Б. А., Б у х м а 11 В. Е., Модели для реше-
решения краевых задач, М., Физматгпз, 1ЭРО, 452 стр.,
с илл., 1 р. 38 к.
Г утер Р. С, О и ч и it с к и Гс Б. В., Элементы численного
аиалича и математическом обработки результатов опы-
опыта, .W., Фнзматгнз, 1962, 356 стр., с илл., 1 р. 07 к.
К орденский X. Б., Приложения теории вероятностей
I! инженерном деле, М., Физмаггиз, 1953, 436 стр.,
с илл., 1 р. 25 к.
Коудеи Д. Д., Статистические методы контроля качества,
перен. с англ., М., Физматгпз, 1961, 623 стр., с илл.,
2 р. 88 к.
М е й е р и у р К. а и е л л е н В., Инструментальная математика
для инженеров, пере», с нем., М., Физматгич, 1959,
380 стр., с илл., 1 р. 42 к.
Me лентяе is II. В., Приближенные вычисления, М., Физ-
Физмат г из, 1962, 388 стр., с илл., 1 р. 68 к.
М и т р о и о л ь с к и и Л. К., Техника статистических вычис-
вычислений, М., Физматгиз, 1961, 479 стр., с илл., 1 р. 78 к.
Реймои Ф., Автоматика переработки информации, перев.
с франц., М., Физматгиз, 1961, 222 стр., с илл.,
71 коп.
Эр до it и Л., Асимптотические разложения, иереи, с апг.".,
М., Фмзматгиз, 1962, 128 стр., с илл., 46 коп.
Юдин Д. Б., Голыптепн Е. Г., Ли leiinoc ирограммиро-
иамие. Теория и конечные методы, М., Физматгиз,
1963, 776 стр., с илл., 2 р. 12 к.
Книги продаются в книжных магазинах «Книготорга».
В случае их отсутствия заказ направляйте но адресу:
Москва, К-31, Петропка, 15, магазин JV» 8. Заказ будет
выполнен «Книга---почтой» и выслан наложенным платежом.

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
БИБЛИОТЕКА ИНЖЕНЕРА
ИМЕЮТСЯ В ПРОДАЖЕ:
Волынский Б. А., Б у хм аи В. Е., Модели для реше-
решения краевых задач, М., Физматгпз, 1960, 452 стр.,
с илл., 1 р. 38 к.
Г утер Р. С, О нч и и с к и it Б. В., Элементы численного
анализа и математическом обработки результатов опы-
опыта, М., Физматгиз, 1962, 356 стр., с илл., 1 р. 07 к.
К орденский X. Б., Приложения теории вероятностей
в инженерном деле, М., Физматгиз, 1953, 436 стр.,
с илл., 1 р. 25 к.
Коудеи Д. Д., Статистические методы контроля качества,
перен. с англ., М., Физматгиз, 1961, 623 стр., с илл.,
2 р. 88 к.
М е й е р и у р К. а и е л л е н В., Инструментальная математика
для инженеров, перев. с нем., М., Физматгич, 1959,
380 стр., с илл., 1 р. 42 к.
Мелситьен II. В., Приближенные вычисления, М., Физ-
Физматгиз, 1962, 388 стр., с илл., 1 р. 68 к.
М и т р о и о л ь с к и й Л. К., Техника статистических вычис-
вычислений, М., Физматгиз, 1961, 479 стр., с илл., 1 р. 78 к.
Р е й м о и Ф., Автоматика переработки информации, перев.
с франц., М., Фмзматгиз, 1961, 222 стр., с илл.,
71 кои.
Эрдсйи Л., Асимптотические разложения, иерев. с анг.".,
М., Физматгиз, 1962, 128 стр., с илл., 46 коп.
Юдин Д. Б., Голынтейн Е. Г., Ли leiinoe программиро-
программирование. Теория и конечные методы, М., Физматгиз,
1963, 776 стр., с илл., 2 р. 12 к.
Книги продаются в книжных магазинах «Книготорга».
В случае их отсутствия заказ направляйте по адресу:
Москва, К-31, Петровка, 15, магазин JV» 8. Заказ будет
выполнен «Книга — почтой» и выслан наложенным платежом.