Текст
                    СОЧ И Н Е НИ Я
ПЕРЕВОД, ВСТУПИТЕЛЬНАЯ
СТАТЬЯ И КОММЕНТАРИИ
И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО
ПЕРЕВОД АРАБСКИХ ТЕКСТОВ
Б. А. РОЗЕНШЕЛЬДА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1962
ФП


ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА В настоящей книге переводчик попытался собрать нее. что уцелело от произведений Архимеда. Перевод был сделан по тексту сочинений Архи- Архимеда, изданному Гейбергом B-е издание). Кроме этого, переводчик добавил в комментариях лее относящиеся к Архимеду тексты, имеющиеся у Паппа и Гсропа. Наконец, в предлагаемую книгу пошли арабские тексты Архи- Архимеда, в частности сделанный с любезно предоставленной каирскими уче- учеными рукописи перевод «Книги о семиугольнике», появляющиеся в печати впервые. Иеретюд с арабского лыполнен Б. А. Розенфелт.дом. Есть дна способа переводить дрепних классиков математики: можно строго держаться характера изложения подлинника, как в случае Архи- Архимеда сделал бельгийский переводчик Ver Eecke, или же дать его в современ- современном изложении, как поступил Th. Heath. Подготовляя настоящее издание, переводчик избрал средний путь: сохранив наложение Архимеда постольку, поскольку его чтение не затруднит' читателя, он добавил современные алге- алгебраические формулировки; правильно ли он поступил, об этом пусть судят читатели. 13 отдельных местах помещены переводы греческих текстов, не при- принадлежащих Архимеду (позднейшие интерполяции); такие тексты заключены в квадратные [ ] скобки. В угловых < > скобках стоят добавления переводчика. Числа в квадратных скобках (например, [2]) представляют ссылки па комментарий иди на список литературы. Г5 заключение переводчик должен выразить благодарность Издатель- Издательству за заботы об улучшении издания книги, Б. А. Розенфельду — за пере- перевод арабских текстов Архимеда и хлопоты по их разысканию, М. Я. Вы- Выгодскому и В. П. Зубову — за рецензии, оказавшие помощь переводчику в его работе над текстом, А. А. Коноплянкину — за подбор иллюстраций греческих рукописей и Л. Ю. Чернышевой — за ее работу по редакти- редактированию перевода. И. Веселовский
Архимед. Один из античных бюстов.
Жизнь Архимеда была описана неким Гераклидом, вероятно, его уче- учеником (это имя упоминается в сочинениях Архимеда). Биография эта, суще- существовавшая еще. в шестом веке н. э. (ее читал комментатор Архимеда Ептокий Аскалоиский), до нас не дошла, так что теперь обстоятельства жизни и дея- деятельности Архимеда приходится восстанавливать по крайне скудным и отры- отрывочным упоминаниям у различных авторов. Если начинать с абсолютно достоверных дат, то мы располагаем лишь датой смерти Архимеда: он был убит в 212 году до н. э. при взятии Сиракуз римлянами по время второй Пунической войны Рима с Карфагеном. Визан- Византийский писатель конца XII века н. э. Цеци, автор «Хилиад (тысяч) исто- историй», сообщает, что Архимеду п момент смерти было около 75 .пет; тем самым определяется приблизительная дата его рождения — 287 год до н. у. Отцом Архимеда был астроном Фидий (упоминаемый им в «Псаммите»). Архимед жил в эпоху, когда греческая культура и язык получили миро- мировое значение в связи с завоеваниями Александра Македонского и с образо- образованием эллинистических государств. Эпоха эллинизма занимает три века мировой истории: ее началом принято считать основание Александрии C32 г. до и. а.) и концом — завоевание Римом Египта, последнего остававшегося свободным эллинистического государства C0 г. до н. ».). Литература и искус- искусство этого времени, конечно, не могли сравниться с классическими образ- образцами эпохи демократической Греции V—IV веков до н. э., но в области точ- точных наук эллинистические ученые добились очень многого: III лек до п. э. бил, пожалуй, апогеем научного творчества Древней Греции л ряде спе- специальных областей. В математике и течение этого времени от Евклида, автора «Начал», до Аполлония Пергского, автора «Конических сечений», были созданы настоящие шедевры, остающиеся до нашего времени классическими образцами математического творчества. Главным центром научной деятельности в рассматриваемый период была Александрия с ее громадной библиотекой и музеем. В области точных наук (математики и естествознания) в III веке до н. э., а также в области филологии во II веке до н. э. александрийские ученые сделали очень много, и с александрийскими математиками Архимед поддерживал тесные связи. Из них в псфвую очередь надо назвать астронома Конона Самосского, известно- известного главным образом по анекдоту с волосами Вереники *). Этот «галантный *) Кг;гдя в 246 году до н. э. египетский властитель Птоломей III Эвергет отправился в далекий поход на Антиохию и начал третью Сирийскую войну, его супруга Вероника, молись аа благо- благополучное окончание похода, принесла в жертву богам свои волосы. Через пекоторос время после окончания похода окапалось, что ее волос в храме нет: тогда гасиш'пгый придворный астроном Копии заявил, что эти волосы были помещены богами на небе в качестпе uonoru сооисз^ии «Волос Вероники».
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО астроном» был в действительности очень крупным ученым, оказавшим большое влияние пи научное развитие Архимеда. Архимед мог познаколтнться с Кононом или непосредственно и Сицилии, где Конон одно время произво- производил астрономические наблюдения, или в Александрии во время своего пре- пребывания там. Конон давал Архимеду темы для научных работ, как, напри- например, задачу о спиралях, о чем говорит и «Математическом собрании» Папп Александрийский (книга IV, 21); «эту теорему предложил (ngouteive) Ко- Конон, самосский геометр, а доказал ее Архимед». Как мы знаем из собствен- собственных слов Архимеда, последний посылал Копону для критики свои мате- математические работы, а с учеником его Досифеем поддерживал отношении и после смерти Koiroiia, которую относят it тридцатым годам III века до н. о. Другим александрийцем, с которым Архимед поддерживал связи, был Эратосфен Кирсиский B85—205 гг. до н. э.). В 245 г. до н. э. Эратосфеи был приглашен в Александрию уиомяпутым уже Птоломеем III Эвергетом в каче- качестве воспитателя наследника престола Птоломея IV Филопатора. Эратосфеи был весьма разносторонним ученым: он занимался арифметикой («решето Эратосфепа» для нахождения простых чисел известно каждому школьнику), геометрией (об его решении делийской задачи мы еще будем говорить) и астро- астрономией (он составил описание, звездного неба — «Катастеризмы»); он про- произвел первое измерение дуги земного меридиапа, положив тем начало мате- математической географии, занимался хронологией и заведовал Александрий- Александрийской библиотекой. За разносторонность враги называли его о р-^та (бета — вторая букиа греческой азбуки) — «во всем второй». К Эратосфепу Архимед обратился со своим замечательным «Эфодом», излагающим те методы, при помощи которых Архимеду удалось сделать свои выдающиеся открытия; наконец, Эратосфену же была послана «Задача о быках». Родина Архимеда, Сиракузы, и течение всего TII века до п. э. находи- находилась между двумя, и даже тремя, враждующими пародами, боровшимися за обладание богатой и плодородной Сицилией, а именно греками, карфаге- карфагенянами и римлянами. Когда Архимеду бг,тло около десяти лет, в Сицилии знаменитый эпирский царь Пирр, стремившийся основать новую монархию на западе греческого мира в Италии и Сицилии, вел войну с римлянами и кар- карфагенянами. Война Пирра оказалась безрезультатной; в борьбе с ним выдви- выдвинулся Гиерон (возможно, бывший родственником Архимеда), в 270 г. до н. э. сделавшийся правителем Сиракуз. Первая половика его царствовапия не была мирной: ему сначала пришлось отбиваться от мамертинцев -италийских наемников,— захвативших Мессину; затем л эту борьбу вмешались, с одной стороны, римляне, с другой — карфагеняне, и разразилась первая: Пуниче- Пуническая война B04—241 гг. до н. э.), в результате которой вся Сицилия, за исключением области Сиракуз, стала римской «провинцией». Во время этой войны Гиерон первоначально действовал в союао с карфагенянами, по по- время вышел из войны, так что Сиракузы остались «свободными». С 241 г. до н. г>. начинается мирный период царствовании Гиерона, старавшегося поддерживать хорошие отношения со всеми сторонами; тем не менее он дея- деятельно готовился к отражению возможных покушений на свободу Сиракуз и усиливал обороноспособность родного города, привлекши к этой работе, как говорит Плутарх, и Архимеда. В 227 г. до п. э. Гиерон вместе с сопра- соправителем Гелоном (своим сыном) оказали помощь Родосу после постигшего его землетрясения; интересно отметить, что в числе подарков были «пять- «пятьдесят трехлоктевых катапульт» (Полибий, История, книга V, 88). ТТонольно приходит в голову, что эти катапульты представляли особую цен- ценность потому, что были созданиями Архимеда.
йг:тупительнл.п статья и. н. веселовского Вероятно, и течение этого мирного промежутка Архимеду удалось побы- побывать в Александрии и познакомиться тал) с Ковопом и Эратосфсном. Во время сноего пребывания и Египте, как говорит историк Диодор (нторая полонила I века до н. э.), Архимед изобретает кохлею, или архимедов винт, служа- служащий для поднятия наверх воды. Знакомство с Копоном, вероятно, послу- послужило толчком к развитию огромных математических способностей Архимеда. "¦¦U, Ш'ШГ'' ¦'¦ -..'¦': ¦¦ ¦¦¦ al», ' ' .<¦¦'-¦-•"¦>-> u.... ^«^. ^ .... Архпмсд. Домииико Фсти (XVII л.). Картинная галерея. Дрезден. Первые ei-o пропзводоиия были посвящены механике; после же смерти Коно- па Архимед пишет ряд видающихся математических произведений. Инте- Интересно отметить, что в 240 г. до н. о. Архимеду бьио уже около сорока семи лет, так что дошедшие до пас его математические цроизиедешш написаны им уже по дтеньшеи мере к пятидесятилетнем возрасте. Первое из дошедших до нас сочинений Архимеда «Квадратура параболы» можно предположи- предположительно отнести к 235 г. до н. э.; Архимед умер п 212 г. до и. э. Таким обра- лом, расцвет математической деятельности Архимеда обнимает какие-нибудь 20—25 лет. Этот период был прерван н.ччашкойся в 218 г. до н. я. второй Пунической войной между Римом и Карфагеном. Сиракузы были вовлечены а эту войну, и в 212 г. до н. :). Архимед, руководивший обороной Сиракуа, погиб от меча римского солдата. Каким рисовался образ Архимеда следующим поколениям? Полибий, «писывавший осаду Сиракуз всего через какие-нибудь 50—60 лет носле
ВОТУПИТНЛЫХАЯ СТАТЬЯ И. Н. ЪКСЕЛОВСКОГО смерти Архимеда, в дошедшем до нас и приведенном ниже (см. стр. 44) тексте говорит только об инженерной деятельности Архимеда, по соответ- соответствующая часть истории Полибии дошла до нас только в извлечениях. Римский историк Тит Ливии, использовавший Полибия и своей истории Рима, называет Архимеда unicus spectator cocli siderumque — «не имею- имеющий себе равных наблюдатель неба и звезд». Глапным образом как об астрономе пишет об Архимеде и Цицерон; однако последний знал Архимеда и как математика, так как сумел найти могилу Архимеда ло помещенному ка ней изображению гаара и цилиндра — в память одного из математических достижений Архимеда, которое послед- последний считал самым большим своим открытием. Диодор, историк середины I века до н. э., говоря об изобретении архи- архимедова винта пишет: «По не только поэтому нужно удишштьсн таланту Архи- Архимеда. Мы обялапьг ему еще многими другими более замечательными произ- произведениями, известными всему миру. Мы опишем их с тщательностью и в под- подробностях, когда дойдем до описания эпохи Архимеда» (Историческая библио- библиотека, книга V, 37). К сожалению, часть истории Диодора, описывавшая опоху Архимеда, до нас не дошла. В конце того же века знаменитый архитектор Витрувий говорит об Архи- Архимеде как о разностороннем ученом. .Во введении к первой книге «Архитек- «Архитектуры» он пишет об идеальном архитекторе: «Но такие гении очень редки; мало людей, вроде Аристарха Самосского, Филолая, Архита Тарентского, Аполлонии Пергского, Эратосфена Киренского, Архимеда и Скопи на Сиракузского, которые сумели с помощью расчетои и знании тайн природы сделать большие открытия в механике и гномонигее и оставили потомству об атом ученые труды». Интересны лица, с которыми Витрувий сопоставляет Архимеда: это Аристарх Самосский — математик, физии и астроном, созда- создатель первой гелиоцентрической системы мира; затем пифагореец Филолай — философ, математик и тоже автор системы мира, согласно которой в сере- середине мира находился центральный огонь; Архит Тарентский — друг Плато- па, известен как математик, механик и замечательный полководец; Аполло- Аполлоний Пергский — автор ряда замечательных математических произведений но арифметике и геометрии («Конические сечения»), и, по-видимому, творец астрономической теории эпициклов; об Эратосфене мы уже говорили; все» зто люди больших и, главное, разносторонних интересов и способностей. Во второй половине первого века нашей ары Силий Италик — ученый, поэт эпохи Флавиев, автор исторического зпоса о второй Пунической войне- ценит Архимеда как человека «поднявшегося своим гением далеко за пре- пределы человеческого», «знавшего нее тайны природы», которому ияыестпо,. «является ли Земля неподвижной, или прикрепленной к оси вращении; по какой причине разлитое цо земному шару море остйвтеи прикованным к поверхности Земли; в чем заключается причина волнения его вод и различ- различных фаз Луны; какому закону следуют явления прилива и отлива». «Можно* верить, продолжает поэт, что Архимед исчислил все земные песчинки» и что- оп мог «руками одной слабой гкепщины спустить на воду корабль и поднять- вверх по наклону нагроможденные на нем скалы» (De ЬсНо punico sccundo, книга ХГУ). Все эти отзывы рисуют Архимеда как всестороппего ученого — астро- пома, естествоиспытателя, механика, они мало говорят об Архимеде как: о математике, но ото шголне попятно: математика не была предметом, зна- знакомство с которым было распространенным среди широкой публики. Мы при- привели зти отзывы в противовес очень распространенной характеристике Архи- Архимеда, данной Плутархом, который в противоположность этим авторам
1 f : vt, ,"-.*•„. :'? . *• «*^: • ¦ ж 3iii; Афинская школа. Рафаялг. (XVI в.). Фреска. Патикан. Рим. Архимед л прапо.м гшжтюм углу склонился с циркулем над абаком,
-10 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. И. ВЕСКЛОПСКОГО рисует Архимеда преимущественно как математика. Причина этого заклю- заключается совсем не в том, что Плутарх был математиком, или iro крайней мере любил математику. Причина этого заключается в том, что все вы шеприведен- ные авторы писали ещо под очень сильным влиянием эллинистического образа мышлении, в то время как деятельность Плутарха относится уже к совер- совершенно другой зпохе. Плутарх жал в начале II века пашей эры в эпоху, когда консервативные настроения, зародившиеся ещо во времена Августа, достигли своего полного развития. Б эту зноху классической реставрации забывается и реализм эллинистической литературы, и разносторонность научной деятельности эллинистических ученых. Т5 качестве идеалов выста- выставляются поэты, ораторы и философы классической эпохи Афинского госу- .дарства, начинается возрождение философии Аристотеля и Платопа. В обла- области науки разнимаются лишь медицина и математика, прячем последняя не как самостоятельная наука, а скорее как служанка астрономии, или, верное, астрологии; при этом, комично, много зпачил и культ математики, ' имевший место у Платона и пифагорейцев, возрождение философии которых как раз приходится на первые дна пека нашей эры. Истинный ученый рисуется как человек не от мира сего, погруженный в созерцание идей выш- пего мира, к которому нрипадлежат и математические) образы. Все это сле- .дует иметь в виду, читая характеристику Архимеда, данную Плутархом в биографии римского полководца Марцелла. «Архимед имел лозиыгаенную душу и глубокий ум, и, обладая громад- громадными богатствами геометрических теорий, он не хотел оставить пи одного сочинения относительно построения тех машин, которые доставили ему славу знания, не только доступного человеку, но почти божественного... По всей геометрии нельзя найти более трудных и глубокомысленных задач, которые были бы решены так просто и ясно, как те, которыми занимался Архпдсод. Одни приписывают эту ясность его высоким дарованиям, другие же — тому напряжешюму труду, при помощи которого ему удавалось дать своим открытиям такое выражение, что они становятся доступными без труда. Если читателг. сам не находит доказательства, то при изучении архи- архимедовых сочинении! у него создается впечатление, что он и сам смог бы без ¦трудя найти решение,— таким легким и быстрым путем Архимед приводит к тому, что он хотел доказать. Поэтому не кажется пепероятным, что он, как рассказывают, будучи околдован геометрией, забывал о пище и пренебре- пренебрегал заботами о своем теле. Часто его насильно заставляли принимать ванну и натираться мазями, а оп чертил па золе геометрические фигуры и на споем намазанном маслом теле проводил пальцем линии,— настолько он был охвачен оги'ми занятиями и действительно одухотворен музами. И хотя у него было много прекрасных открытий, он, говорят, просил своих род- родственников и друзей начертить на его могиле только цилиндр и содержащийся п нем шар и указать соотношение между объемами этих тел. Таков был Архимед, который благодаря своим глубоким познаниям в механике смог, насколько это от ного зависело, сохранить от поражения и себя самого ¦и спой город». Отношение Архимеда к механике Плутарх рисует следующим образом: «Архимед не придавал большого значения всем этим (римским) маши- машинам, которые, ио «ущестпу, не могли идти в сравнение с его собственными, и не потому, что он как-пибудь особенно ценил свои изобретения; он сам рассматривал их лишь как простые геометрические игрушки, которыми он занимался в свободное время и то большей частью но настоянию царя Гиерона, который постоянно старался направить ого занятия от чисто интел- интеллектуальных предметов к материальным вещам и сделать его рассуждения
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО в некоторой стенени доступными чувствам и ощутимыдш для среднего чело- человека при помощи применения их к общежитейским занятиям». Стоит отметить наконец, также следующее свидетельство Панна (Биб- (Библиотека, книга VIII, 3). «Причину же и количественные характеристики (rivXcyov) всего этого {то есть механических и р и б о р о в) позпал сиракузянип Архимед, как утверждают некоторые. Лнлоть до наших времен только он один пользовалси для всяких целей разнообразием и своих природных дарований и замысла, как говорит Гемин в книге «О порядке математических наук». Аитиохиец Карп говорит где-то, что сиракузяпин Архимед сочинил только одну книгу по .механике, а именно касающуюся построения небес- небесного глобуса, считая все остальное недостойным описания». Опираясь па мнение Плутарха, иногда рисуют Архимеда как чистого математика, ввившегося за презираемую им технику только в тот момент, когда его родному городу стала грозить смертельная опасность. Такого рода «цепка основана на однобокой характеристике Архимеда; если придержи- натьси фактов, то Архимед и начал свою научную деятельность как меха- механик, и закончил ее как механик же, и в математических его произведениях механика явлпется могучим средством для получения математических результатов, да и сами оги результаты не являются бесплодно висящими в воздухе, а применяются для обоснованна механических теорий. II Так как первые работы Архимеда были посвящены механике, то необхо- необходимо коротко остановиться на истории развития античной механики, тем более, что в настоящее время нет еще специальных работ, посвященных этому вопросу механики. Название «механика» произошло от греческого «\iv\yavixy) (подразуме- (подразумевается xiyyii)» — механическое искусство. Самое слово н.т]%а\'г( — машина — первоначально обозначало подъемную машину, употреблявшуюся и театрах; отсюда произошло известное выражение Deus ex machine — бог, спускаю- спускающийся на театральной машине для разрешения запутанного хода действия трагедии. Таким образом, «механическое искусство» родилось на сцене, но это не должно нас удивлять: в обществе, основанном на рабском труде, не было и не могло быть никаких экономических стимулов для развития маши- машиностроения. Что же касается специально театра, то нужно отметить, что в то же самое время, о котором идет речь (V век до н. э.), театр дал толчок к развитию еще одной математической науки, а именно геометрической опти- оптики, или лучше сказать — перспективы, появлепие которой было вызвано нуждами сценических декораторов. Греки различали два вида движений — естественные и искусственные. Первые совершались сами собой без «сякого постороннего вмешательстиа; к ним греки относили падение тяжелых и поднятие легких тел, а татке круговые движения небесных светил. Что касается вторых, то они для своего осуществления непременно требовали некоторого двигателя. То, что мы теперь понимаем под термином «сила», в обоих этих видах движений носило различные имена. В естественных движениях пашей силе соответствовала ролл (от pizteiv — тот же корень и смысл, что в нашем «ринуться», или лучше, «рыпаться»), что мы в дальнейшем, следуя Галилею, переводим тер- термином «момент» (этот смысл понятие momentum до известной степени сохра- сохранило в английской математической терминологии и в настоящее время). Эта рблт], вероятно, считалась присущим телам стремлением, неотделимым
\2 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАГЬЯ и. II. ВЕСЕЛОЕСКОГО от материи, хотя Аристотель сделал попытку и л случае естественного дви- движения искать причину его вне тела, d так называемом свойственном каждому роду тел «месте», к которому эти тела должны стремиться; так «местом» тяжелых тел была Земля, а «местом» легких тел — огни — находящаяся над воздухом огненная сфера. Что же касается искусственного или насиль- насильственного движения, то причину его древние греки искали уже определенна вне движущегося тела: причина эта называлась ouvequg. Количественное определение oOvccuig мт.т находим у Аристотеля: он определяет ее как вели- величину, пропорциональную весу движущегося тела и скорости его движения (вернее — пройденному пути, разделенному па время). Понимаемая в таком смысле бпл>а[Л? в точности соответствует нашему понятию «мощности», и действительно, па латинском языке термин 6uvau.ig передавался как poteiitia, откуда произошло французское puissance — мощность. Было бы неправиль- неправильным толковать формулу Аристотеля в том смысле, как это делает Мах, кото- который и ньютоновском определении силы как произведения массы па ускоре- ускорение, смело заменяет слово «ускорение» словом «скорость» и утверждает, что, по Аристотелю, сила равнялась произведению массы на скорость. Прежде всего, у Аристотеля отсутствует термин «равнялась»; затем наше понятие «массы» оставалось грекам неизвестным (его в механике заменяла чиста геометрическая ц?уевос; величина); что же касается веса, то все указывает на то, что греки не считали его постоянным; вес тела, по представлению- даже средневековых механиков, мог увеличиваться при помещении тела на более длинное плечо рычага, затем при увеличении скорости движения (знаменитое vires acquirit eundo — приобретает силу от движения — вполне естественный выв од из наблюдения, что удержать падающее тело гораздо труд- лсе, чем поддерживать покоящееся) и т. д. Это определение силы вполне отвечало уровню технического развития общества, в котором в качестве двигателей употреблялись животные и люди: если хочешь свезти вдвое бо- более тяжелый груз, то запряги вдвое больше лошадей, если хочешь втрое увеличить скорость движения, возьми втрое больше живых двигателей. Такое понятие о «силе» еще до сих пор живет в нашем термине «лошади- «лошадиная сила». Очень трудпо ответить на вопрос, знал ли Аристотель принцип возмож- возможных перемещений. Некоторые исследователи, в частности академик А. П. Крылов, решают этот вопрос утвердительно; лично я не мог найти ничего похожего ни и произведениях самого Аристотеля, ни в вышедших из ого школы «Механических задачах» — первом дошедшем до нас произве- произведении, посвященном механике. Следует, однако, заметить, что этот принцип совершенно естественно получается из аристотелевского определения fiovajxic:, если только считать коэффициент пропорциональности одинаковым у срав- сравниваемых мощностей; равенство «сил» будет требовать и равенства произве- произведешь грузов на скорости. В этом убеждает нас сама формулировка так назы- называемого «золотого правила» механики: «что выигрывается в силе, то теряется в скорости». Правда, эту формулировку мы в первый раз встречаем только в «Механике» Геропа (I век н. э.), но Герон, несомненно, воспроизводит более раннюю литературу. Во всяком случае нужно отметить, что греки приме- применяли принцип возможных перемещений лишь к машинам, которые можно снести к рычагу; закона равновесия сил на наклонной плоскости они так я не смогли открыть, и он был впервые установлен только в XIII веке н. а. Аристотелево определенно «силы» как мощности страдало очень боль- большим недостатком: из него вытекало, что если сила равна нулю, то и ско- скорость должна обратиться в нуль, ест устранить двигатель, то прекратится и движение, а если движение существует, то всегда должна существовать
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОБСКОГО 13 и вызывающая это движение сила. Такое воззрение годилось для объясне- объяснения движения попозок, везомых лошадьми, ни никак не могло удержаться с развитием греческой артиллерии. Когда в 409 г. до п. э. карфагеняне начали завоевательные походы в Сицилии, то наемный характер их армий требовал быстрых военных действий и развития осадной техники. В борьбе с карфа- карфагенянами л Сиракузах, родине Архимеда, возникла военная тирании Дио- Дионисия Старшего (IV век до и. э.), который произвел «мобилизацию промыш- промышленности» для военных целей. Результатом этой мобилизации было изобрете- изобретение метательных орудий (катапульт и др.), усовершенствование осадных машин и кораблестроения. Из западной Греции новые открытия перекину- перекинулись и в восточную, которая в IV пеке до н. э. тоже от гражданских ополче- ополчений перешла к наемным армиям; Филипп и Александр Македонские имели в своих «штабах» большое количество «военных инженеров», л военная тех- техника играла уже большую роль в последующих войнах эллинистических государств; чтобы убедиться в атом, достаточно прочитать относящиеся к рас- рассматриваемому периоду части истории Диодора Сицилийского. Быстрота тем- темпов развития военной техники в течение IV века до н. э. характеризуется сле- следующим фактом: еще в V веке до п. э. вплоть до самого его конца господ- господствующим типом греческого судпа была так называемая триера, имеющая три ряда весел, но уже около 300 г. до н. э. в морских флотах эллинисти- эллинистических государств употребляются декеры-корабли с десятью рядами весел и появляются еще более крупные суда. Возможно, что именно развитие военной техники вызвало в области математики интерес к делийской задаче и способствовало развитию теории конических сечений, в области же меха- механики оно припело к возникновению теории механического подобия, к по- появлению большого количества литературы по военной механике и, наконец, к круттшиию аристотелевой теории силы, которая, по существу, была уста- реннюй уже в самый момент своего возншшонендн; если полег стрелы еще можно было объяснять тем, что ее движет возмущенный спуском тетивы воз- воздух (так называемая теория антиперистазиса), то искать ы воздухе причину движения тяжелого камня, выброшенного из катапульты, было уже совер- совершенно невозможно. Каково же было новое определение силы? Ввиду почти полного исчез- нопепин эллинистической литературы приходится отыскивать это новое определение в сочинениях более поздних авторов, главным образом коммен- комментаторов Аристотеля. Как упомянуто Галилеем, один из таких комментато- комментаторов, Александр Афродизскин (около 200 г. н. э.) сообщает, что знаменитый астроном древности Гиппарх (писавший и в области механики) объяснял дви- движение брошенного тела тем, что двигатель сообщает брошенному телу неко- некоторую «силу», которая поддерживает движение, постепенно расходуясь; ког- когда эта сила полностью иссякнет, движение прекращается. Вряд ли можно считать, что Гиппарх действительно является автором такого определения силы; по всей вероятности, он, для которого механика ire была основ- основной специальностью, просто воспроизводит обьтчное в его эпоху опреде- определение силы (Галилей приводит это определение в своем юношеском неза- незаконченном произведении «De motu»). Это эллинистическое определение си- силы встречается также и в комментариях Симиликия и Иоанна Филопона к Аристотелю (VI век и. э.); через посредство этих комментаторов (Симгошкий был переведен во второй половине XIII века Вильгельмом из Мербеке — переводчиком Архимеда) эллинистическое определенно силы становится известным и западноевропейским механикам позднего средневековья; под именем impetus это определение силы встречается у Альберта Саксонского, Николая Кузанского и Леонардо да Винчи. Понимаемая в таком смысле
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И- Н. НЕСЕЛОВСКОГО «сипа» полностью отвечает современному понятию о живой силе; еще Декарт измерял силу (если пользоваться современной терминологией) той работой,, которую надо сообщить движимому те;иу, чтобы поднять его па определен- определенную высоту. Можно думать, что укреплению этого определили» па enponeii- скойпочве способствовало развитие артиллерии, также как создание гречес- греческой артиллерии было причиной его появления. Весьма вероятно, что Архимед пользовался общепринятым в его время определением силы при построении своих военных машин; однако в чисто теоретических его произведениях это определение силы не встречается. По- видимому, это объясняется тем, что вопросы динамики в то время математи- математической трактовке еще не поддавались, и Архимед вполне правильно сосредо- сосредоточил свое внимание на вопросах, касающихся статического равновесия. Одним из раппих произведений Архимеда было какое-то (не дошедшее до нас) сочинение но механике, точное название которого неизвестно, то ли это neqi t,v\Gyv (о равноплечих рычагах), то ли просто ил]%а\чха. Этим сочи- сочинением пе мог быть дошедший до нас трактат «Оравновесии плоских фигур», так как он не соответствует тем ссылкам, которые содержатся в трудах Геропа, Панпа и самого Архимеда, и не содержит самого главного — опре- определения центра тяжести, которое Архимед, очевидно, считал в то время уже- пполпе известным. Составить себе представление об этом раннем сочинении Архимеда нозиоляют фрагменты, сохранившиеся у Ппппа, л «Механике» Геропа, а также у самого Архимеда. Стержневым понятием всей статики Архимеда является понятие о цен- центре тяжести, которое по исем данным самим Архимедолт и было установлено. Действительно, пи Аристотель, ни «Механические проблемы», которые при- приписываются третьему преемнику Аристотеля в управлении Лицеем Стратону Лампсакскому, ничего о центре тяжести не знают, в то время как уже около- 250 г. до н. э. если не раньше, Архимед свободно оперирует этим понятием*). Доархнмедовское происхождение понятия о центре тяжести отстаивает С. Я. Лурье л своем сочинении «Архимед» (стр. 71), опираясь на следую- следующий отрывок из «Механики» Герона. «Стоик Поеидошш дал центру тяжести, или момента, физическое объяс- объяснение, сказавши, что центр тяжести, или момента, есть такая точка, что если за последнюю подвесить данный груз, то он будет в ней разделен па две рав- равные части. Поэтому Архимед л его последователи в механике более подробно рассмотрели это положение и установили разницу между точкой подвеса и цептром тяжести». Так как Архимед упоминается здесь после Посидония, то получается впечатление, что он и жил после Посидония, и исправил введенное Посидо- нием неправильное определение центра тяжести. По следует, однако, иметь в виду, что «Механика» Герона дошла до нас в арабском переводе сирийца Косты ибн-Лука из Баалбека л что у нас нет никакой гарантии, что в под- подлиннике действительно стояло кто (равные), а не iaoppojtouvta (уравновеши- (уравновешивающиеся). За последнее говорит упоминаемое в тексте «подвешивание за точку»; термин «равновесие относительно точки» мы у Архимеда встречаем, но «деление точкой тела на дне рапные части», да еще при «подвешивании» несколько нас удивляет; приходится помогать делу тем, что центр тяжести рассматривать как точку пересечения линий или плоскостей, делящих на две равные части данную плоскую фигуру или тело. •) В евнзи с этим стоит отметить, что в своих рашшх механических произведениях («Книга ouojj») А[ишмед пошлин о центре тяжести еще lie имел, чем и «.(л-нешиитен некоторые его «аппПки и расчетах.
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО 15 С. Я. Лурье замечает, что указанное понимание центра тяжести повто- повторяется и в других местах «Механики» Герона; так, на основании упомянутого неправильного определении паходится центр тяжести треугольника (кни- (книга II, 35), затем деление тела па две уравпоиепшпающттеся части плоскостью, проведенной через точку опоры, встречается при изучении подъема цилиндра по наклонной плоскости (книга 1, 23) и при определении дейстиия рычага на тело, опирающееся на землю (книга II, 9). Основываясь ла этих местах, а также на том, что Посидоний в тексте Герона упоминается раньше Архи- Архимеда, С. Я. Лурье, следуя английскому историку математики Хису, пред- предположил, что актором вышеупомянутой: теории является пе хорошо всем известный сирийский стоик 1 леца до н. э. Посидоний Родосский, учитель Цицерона, а совсем почти неизвестный стоик Посидоний Александрийский, живший несколько ранее Архимеда; этому самому Посидоштго и нужно при- приписать честь введения в науку понятии о центре тяжести, причем сначала это понятие было получено из неправильного предположении, что линия, или плоскость, делящая тело на две равные части, должна обязательно пройти через центр тяжести. При более тщательном изучении дела выясняются следующие обстоя- обстоятельства. Второй и третий тексты, упомянутые С. Я. Лурье, а именно, тек- CTi.r, относящиеся к рычагу и наклонной плоскости, дол жни быть просто устранены из рассмотрения на том основании, что они пе содержат никакого упоминания о центре тяжести (и примере с подъемом цилиндра но наклонной плоскости говорится только о «центре круга», и случае же с рычагом вообще никакой центр не упоминается). Что же касается первого текста, приводи- приводимого С. Я. Лурье, а именно относящегося к центру тяжести треугольника, то детальное рассмотрение его является для теории С. Я. Лурье роковым. Этот текст представляет собой часть довольно большого отрывка, касаю- касающегося определения центров тяжести некоторых плоских фигур*). Л самом начале автор действительно говорит, что треугольник ABC, положенный иа медиану АГ), «не будет иметь момента пи п какую сторону, так как треугольники AJ3D и ADC равны» (подчеркнуто мной, И. /?.), но все даль- дальнейшее изложение, касающееся определении центров тяжести четырех- четырехугольника и пятиугольника, совершенно не основывается на упомянутом ложном принципе; там, наоборот, везде подразумевается равенстно не пло- площадей, а моментол. Все изложение может быть сделано сояершенно правиль- правильным, если и подчеркнутой фразе опять вместо слон «раины» читать «равпо- весягци». Можно, конечно, думать, что слона «ранцы» к рассматриваемом тексте являются подлинными, но что ГГосидониЛ Родосский, который вряд ли шел далее определения центров тяжести самых простых фигур (параллело- (параллелограммов, треугольников, кругов), предпочел дать, если не совсем правиль- правильное, то по всяком случае более короткое и наглядное объяснение; для периода упадка механики в конце эллинистической эпохи это по псяком случае вполне подходит. Пралда, в рассматриваемой книге Поендошш упоминается раньше Архимеда, по порядок упоминания авторов в тексте сочинения не всегда совпадает с хронологическим порядком их опублико- опубликования: Герон мог начать с популярного произведения Посидоння, а потом перейти уже к более серьезному и трудному тексту Архимеда. Таким обра- образом, предшественника Архимеда, стоика Посидония Александрийского, как антора понятия о центре тяжести можно целиком вычеркнуть из исто- истории механики. *) Этот отрывак помещен в нашем издании среди «Механических фрагментов» Архимеда (см. стр. 7а—7Ь).
16 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. И. ВЕСЕЛ ОБСКОГО Безусловно верным в тексте Герона является то, что понятие о центре тяжести как о точке подвеса он считает предшествующим всякому иному пониманию центра тяжести, но и определение центра тнжести как точки подвеса тоже принадлежит Архимеду. У Паппа (книга VIII, 5) архимедово определение центра тяжести читается так: «Центром тяжести каждого тела является некоторая расположенная внутри него точка — такая, что если за нее мысленно подвесить груз, то •он остается в покос и сохраняет первоначальное положение». ?*. Приблизительно такое же определение центра тяжести как точки под- подвеса мы встречаем у Евтокия и Симпликия (см. «Механические фрагменты», стр. 68, 72): варианты заключаются лишь в том, что подвешивание иногда заменяется подппранием, как можно видеть из упомянутого текста Папла и параллельного ему текста из «Механики» Герона (книга I, 24), определенно восходящих к одному источнику. Что касается этого источника, то Папп называет два имени — Герона и Архимеда; поскольку в тексте Герона имеются некоторые неясности, а у Паппа все изложено правильно, то с ве- вероятностью, близкой к достоверности, можно утверждать, что :>тмм основным источником как для Панна, так и для Герона является Архимед. Понятий о центре тяжести сложилось у Архимеда па основании чисто практических исследований распределения давления груза между поддер- поддерживающими его опорами. Это можно видеть, с одной стороны, из выше- вышеупомянутого текста Паппа — Герока, с другой — из того обстоятельства, что, как мы знаем из арабских источников, Архимед написал «Книгу опор», отрывки из которой содержатся в вышеприведенной «Механике» Герона. Правда, если судить по этим отрывкам, он не оказался особенно счастливым в получешшх результатах; его теория расчета многооноргтой балки («Меха- («Механика», Герона, книга I, 26) совершенно неверпа, так как из приведенных там рассуждений вытекает, что в случае балки, лежащей на трех опорах, средняя опора будет всегда нести нолопнну воса всей балки, независимо от своего положения; томно так же нельзя согласиться с архимедовским расче- расчетом консольпой балки (там же, 27—28). Удивляться этому не приходится; в распоряжении Архимеда ice бмло никаких приборов для измерения давле- давлений на опоры. В связи с этим можно отметить, что Леонард» да Винчи тоже ошибался при определешш давлений на опоры и подставки, хотя натяжения ворсвок определялись им совершенно правильно (конечно, в статически опре- определимых случаях). Работы Архимеда в области строительной механики не были едшесткен- ными плодами его технических занятий; Архимеду пршшсынается целый ряд механических изобретений. Правда, подробный список их, составленный ого соотечественником историком Диодором Сицилийским, к сожалению, до нас не дошел, так что нам приходится собирать у античных писателей сохранившиеся отрывки этого списка. На мерном месте среди этих изобретений следует поставить архимедов винт или кохлею (улитку). Вот тексты, касающиеся этого прибора. Об употреблении'его в Египте говорит историк Диодор (книга I, 34): «Нил после разливов наносит на тюля новью количества ила, и обитатели легко могут орошать нее поле при помощи изобретенной Архимедом Сира- кузским машины, которая по причине своей формы, носит название улитки». Об употреблении его п Испании тот же Днодор сообщает (книга V, 37): «Горнорабочие встречаются иногда с подземными реками, быстрое тече- течение которых они уменьшают, отлодя их в паклонные рвы, и неутолимая жажда золота заставляет их доводить до конца спои предприятия. Самое удивительное заключается в том, что они могут целиком вывести всю поду
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ Ы. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО • 17 при помощи египетских винтов, которые изобрел Архимед Смракузский во время своего пребывания в Египте. Они таким образом постепенно подымают воду вллоть до отверстия рудника и после осугаепня подземных галерей спокойно в mix работают. Эта машина так искусно устроена, что с ее помощью можно поднять громадные массы воды и даже легко вынести целую реку из земных глубин на поверхность». Об этом же говорит писатель TI лека пашей эры Ателей в своих «Дейп- лософистах» (книга V): «Хотя бы отстойная вода (к трюме корабля) была бы л очень глубокой, ее отсасывал один недолей при помощи изобретенного Архиме- Архимедом бесконечного пинта». Некоторые авторы оспаривают авторстно Архимеда и этом изобретении на том основании, что пи географ Страбон, упоминающий об этой машине в своем описании Египта, ил Витрувий, ни механик Филон не называют при ее описании имени Архимеда; однако в атом случае можно поверить Диодору, по-видимому, специально занимавшемуся изобретениями своего великого земляка. Иначе обстоит дело с изобретением Архимедом влита. Его изобретение приписывает Архимеду тот же Атеней («Демппософцсты», книга X), который, рассказывая известный анекдот о том, как Архимед либо вытащил на сушу корабль, либо паоборот спустил его на воду, говорит: «Когда люди много трудились лад тем, чтобы спустить этот корабль на воду, знаменитый механик Архимед сделал это один с помощью неболь- небольшого числа людей. Действительно, он добился успеха при помощи выдуман- выдуманного им винта, так кап именно ему мы обязаны этим изобретением». О том же говорит византийский автор XII пека, известный комментатор Гомера, Евстафий, еиископ Фосснлоникийский: «Архимед считается первылт изобретателем випта (c'Ait;), причем эта машина доставила ому большую славу» (Комментарии к Илиаде, III). Приведенные свидетельства не могут считаться доказательными по сле- следующим причинам: 1°. Рассказ Атенея является иторой версией известного рассказа Плу- Плутарха, с той только разницей, что у Плутарха в качестве машины упоми- упоминается полиспаст, что более вероятно. Мм имеем еще и третью версию у Сим- лликия (VI век н. э.) в комментарии к «Физике» Аристотеля, где знаменитое «дай точку опоры, и я приведу в движение Землю» евнзкшается с изобрете- изобретением «харпстиона» (нечто ироде десятичного рычага или весов) — прибора, который под названием «карастуна» был предметом исследований арабских и средневековых механиков, а у французского историка науки Дюэма изо- изобретение «харистиолга» приписывается сыну известного астронома Птолемея. По-видимому, и Атеней, л Симпликий пазыпали прибор Архимеда послед- последним слоном механической науки их времени. 2°. Свидетельство Евстафия сомнительно и в том отношении, что гре- греческое слово iKi^ употреблмлось для обозначения и винтовой линии, и спи- спирали (о которой Архимед действительно писал), так что смешение в этом случае вполне всронтпо. III Греческая геометрия в то нремя, когда к ее изучению приступил Архи- Архимед, была уже вполне сложившейся дисциплиной. Она уже имела свою кано- каноническую книгу — дошедшие до нас «Начала» Евклида, завершившие собой целую эпоху, в течение которой вырабатывалась стройная система греческой 2 Архимед
18 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. И. ЛЕОЕЛОВСКОГО геометрии. Можно отметить следующие три характерные черти грече- греческой геометрии: это, во-первых, геометрические построения при помощи циркуля, во-вторых, воззрение на геометрические фигуры и тела как на некоторые величины и, наконец, в-третьих, строгие логические доказатель- доказательства в изложении геометрии. Геометрические построения при помощи циркуля, по всей видимости, были введены в ионийской геометрической школе, из представителей кото- которой нам известны Фалес и Эноиид Хиосский. Ионийская школа была тесно- связапа с вавилонской наукой, откуда были заимствованы и космологи- космологические представления милстцев, и астрономические предсказания затмений, и знамспитая теорема Фалеса о вписанном в круг угле, опирающемся на диа- диаметр, и, по-видимому, даже само употребление циркуля дли геометрических построений. Результаты работ этой школы сохранились в нерпой полошше книги 1 «Начал» Евклида и в большей части теорем книги Ш; характер- характерными для нее являются исследование вписанных в круг прямолинейных фигур*), понимание равенства фигур в нашем современном смысле как сов- совпадающих при наложении и, наконец, отсутствие метрических элементов (одно и то же слово яедкредеих упохроблялог.ь^лли обозначения и всей окруж- окружности, и какой-нибудь ее части — дуги). Метрические понятия разрабатывались во второй греческой школе, которая восходит к Пифагору. Основным понятием пифагорейской мате матики было число, которое мыслилось материально как собрание единиц— мопад. Из этих монад те, которые обладали положением, представляли маши: точки, тс же монады, которые были лишены положения, представляли наши арифметические единицы. Геометрия пифагорейцев была своего рода отде- отделом арифметики, учением о специальных группировках единиц в виде квад- квадратов, прямоугольников, линий, многоугольников, кубов, параллелепипе- параллелепипедов и т. д. Понятие равенства фигур и тел в этой школе совпадало с натгтам. понятием о равновеликости. Наиболее характерными чертами пифагорей- пифагорейской геометрии являются преобразования равноволикнх фигур (квадратура,, «приложение (ладароХг) площадей», то есть построение на данной прямой прямоугольника, равновеликого заданной площади, и т. п.) и своеобразный математический атомизм, тесно связанный с идеей целойисленнос.ти отноше- отношений между геометрическими величинами. Первоисточник пифагорейской математики мы можем искать и Египте с его модулярной теорией архитек- архитектуры, где размеры всех деталей здания определялись через отношения к некоторой длине, взятой за единицу,— модулю. 1?сли египетские жроцы могли сказать историку Геродоту (Г век до п. з.), что площадь грани Хеопсо- вой пиралтиды равняется квадрату, построенному на высоте лирамиды, то они могли сказать то же самое и Пифагору во время пребывания последнего в Египте**), а это уже представляет первый пример употребления средней пропорциональной. Если первый дне характерные черты греческой геометрии имеют пегре- пегреческое происхождение, то третья — введение логических доказательств — является специфически греческой; по существу, именно оно сделало геометрию настоящей наукой, а не только собранием практических правил. Если вави- вавилонские и индусские математики дали очень точные приближенные значе- значения для кпадратпого корна из двух, то только греки могли доказать, что отношение длины диагонали квадрата к стороне последнего не может быть. *) Характерно, что диагональ квадрата или прямоугольника Квклнд тазыьяет диаметром. ."*) У нас нет серьезных оснований для сомнений и пребывании Пифагора в .Египте (см. ком- комментарии к третьему тому русского издания «Начал» Евклида, М.. 1У50, стр. 297—299).
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО 19 выражено точно ири помощи отношения двух целых чисел; таким образом, родилось понятие о несоизмеримых отношениях. Открытие иррациональности квадратного корня из двух имело очень важное значение в истории греческой математики. Оно нанесло такой удар пифагорейском философии, от которого последняя уже но могла оправиться. Оказалась неверной ее исходная идея — математический атомизм,— и пифа- пифагорейская школа со пторой половины V века начинает быстро вырогкдатьси, обращаясь л ту математическую мистику, которая характерна для пифа- пифагорейцев эпохи Платона, много воспринявшего от идеалистической фило- философии пифагореизма. После крушения пифагореизма греческая математика получает определенный уклон в сторону геометрии, ибо если нельзя совер- шеппо точно вычислить J/ 2, то можно всегда построить и его, и все другие квадратные иррациональности; таким образом, ионийские методы снова выступают на первый план; но второй книге «Начал» Евклида обыкновен- обыкновенные алгебраические преобразования трактуются чисто геометрически, создается столь характерная для греков и хорошо заметная также и у Архи- Архимеда геометрическая алгебра. Объединителем ионийской и пифагорейской геометрии выступил в конце V века до н. э. Гиппократ Хиосский, алтор первого учебника геометрии типа «Начал» Елклида. Символом такого объединения является впервые поста- поставленная Гиппократом задача о квадратуре круга — построении квадрата, равновеликого данному кругу: чисто пифагорейское представление о квад- квадратуре соединяется с употребительной у ионийцев фигурой круга (следы употребления круга в пифагорейской геометрии нам совершенно неизвестны). Поставленная Гиппократом задача о квадратуре круга была одним из пред- предметов геометрических исследований Архимода; последний и сочинении «О спиралях» дал способ построения прямой, длина которой равна длине окружности некоторого круга, а в «Измерении круга» вычислил (конечно, приближенно) отношение между длинами окружности круга и его диаметра. После крушения идеи целочисленное™ отношений между элементами геометрических фигур греческая геометрия конца V и начала IV веков до н. э. занялась исследованием квадратичных иррациснальностей, правильных многоугольников (в частности, пятиугольника и слязашюго с ним понятия о золотом сечении) и, наконец, пяти правильных многогранников. Этот утаи развития греческой математики тоже отразился в творчестве Архимеда, который занимался обобщением теории правильных многогранников (три- (тринадцать архимедовых полуправильных миогограипиков); «ода же можно отнести материал «Стомахил», в котором идет речь о слежении фигур из раз- различных заданных элементов и о разделении площади на части, находящиеся с пей в рациональных отношениях. Нужно, однако, иметь в виду, что то, что для Пифагором цен представляло предмет серьезных исследований, у Архимеда разрабатывалось и связи с математической игрой типа наших головоломок. Математический атомизм Пифагора был также отправной точкой иссле- исследований великого материалиста древности Демокрита, который высоко ста- пил самого Пифагора. Однако материалистическая философия Демокрита была, диаметрально противоположной пифагорейскому идеализму. Если у Пифагора основой было «число», применение которого к физическим явле- явлениям приводило к математическому атсмизму, то отправной течкой всей философии Демокрита были реальные физические атомы — «неделимые», из которых составляются все тела природы, в том числе и математические тела и фигуры. Даже в математике Демокрит пошел дальше Пифагора; он рискнул определить объем пирамиды и конуса при помощи разбиения на весьма малые элементы — «неделимые». Архимед хорошо знал великого
20 ШТЯГИТКЛЬилЯ СТАТЬЯ И. II. ifECUJIOBCKOrO атомиста и с похвалой уномипает его л «Эфоде»; однако атомистические ме- методы он считал пригодными лишь для ilpeдвapитeльнг.Ix исследований, после чего полученные геометрические нрсдложэния должны были доказываться при погяощи строго логических методов; в математике учителем Архимеда бил по Демокрит, а Евдокс- Евдокс Кпидский (около 410—356 гг. до п. :.».) является одним из вели- величайших математиков всех времен и народов. Трудно переоценить заслуги этого математика, результаты работ которого мы имеем в V, VI, второй половило- XI и в ХМ книгах «Начал» Евклида. В книге V «Начал» излагается евдоксона теория отношении для несоизмеримых величин, полное значение которой было понято в широких математических кругах лишь в XIX веке после создания Дслекиндом теории иррациональных чисел. Евдокс достроил перпую кинематическую модель нланетных движений (гомоцентрические сфе- сферы Евдокса), положил начало сферической геометрии. Он же, по-видимому, дал тс методы определении сравнительных величин и расстояний Солнца, Лупы и Земли, которыми впоследствии воспользовался «Коперник антично- античного мира» Аристарх Самосский (III век до и. а.). В геометрии Евдокс создал метод исчерпывания, который для Архимеда был единственным строго науч- научным методом определения площадей и объемов криволинейных фигур и тел. Поскольку епдоксов метод исчерпывания по всегда правильно пони- понимается, не будет лишним более детально рассмотреть его сущность. Теория Епдокса доиыа до пас в книгах XI (вторая половина) и XII «Начал», где методом Епдокса доказываются следующие теоремы: 1) Площади двух кругов относятся, пак квадраты диаметров. 2) Объемы двух треугольных пирамид с равными высотами относятся, как площади оснований. 3) Конус равен третьей части цилиндра с теми же основапиом и высотой. 4) Объэмы двух равновысоких конусов или цилиндров относятся, как площади их оснований. Г>) Объемы нодооных конусов или цилиндров относятся, как кубы их диаметров. Для нашзй цели достаточно будет проанализировать доказательство одной из этих теореад, хотя бы первой из вышеупомянутых, поскольку метод доказательства псех их является, но существу, одним п тем жа. Этот анализ полезно будет провести, сопоставляя рассуждения Епдокса с современным доказательством. Мы сначала определяем площадь круга как предэл площадей вписанных и описанных многоугольников при неограниченной удвоении их сторон; Квдокс ограничивается лишь вписанными многоугольниками я опирается при доказательстве па следующие два пр&дложвпим: 1а. Если от некоторой величины отнять болыпэ половины, от остатка тоже отнять больше поло- половины и так делать постоянно, то можно получить остаток, меньший любой заданной величины. 2°. Площадь треугольника, вписанного в сегмент, больше половины площади этого сегмента. Еодокс доказывает, что разность между площадью круга и площадью вписанного в этот круг многоугольника при неограниченном удпозник числа сторон последнего может быть сделана мень- меньше любой ладанной величины.. Мы доказываем, что площади подобных вписанных многоугольников относятся, как квадраты диалютров; Евдокс дзлает то же самое. После этого мы говорим, что если дне переменные величины находятся лес время в одинаковых отношениях, то в тех же самых отношениях будут находиться и их пределы, так что, посколы^у площади двух подобных «писанных миогоугольпиков относятся, как квадраты диаметров описанных
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО 21 около них кругоп, то, следовательно, площади этих кругом тоже будут отно- относиться, как квадраты их диаметров. При этом паше исходное положение о неременных и их пределах долгое время принималось почти за аксиому. Евдокс же доказывает положение, равносильное паишму. Доказательство Евдокса может Сыть изложено следующим образом. Пусть мы имеем две последовательности величин blt b.,, hs, ..., bn, ..., соответственные члены которых связаны соотношением an~kbn, где к — некоторое постоянное число. При увеличении п члены первой последовательности неограниченно приближаются к некоторой величине Sa, а члены второй последователь- последовательности точно так }itc приближаются к величипе $ь, оставаясь псе время меньше своих соответственных пределов. Требуется доказать, что эти пределы Sa и Sh будут тоже связаны соотношением Sa-h.-Sb. Допустим, что это неверно, по одна на этих величин, например Sn, будет меньше, чем к-&\, и раппа Т: Увеличивая п, мы всегда можем добиться, чтобы разность Sb—Ь.п сде- в ого числа — k ^ в лалась меньше люоого заданного числа —: k Отсюда kbn>kSb-e. Так как число е может бт.тть выбрано сколь угодно малым, то мы всегда можем сделать, чтобы кЪп>Т. Но ап~к1>п; следовательно, что невозможно, ибо величина ап приближается к своему пределу, оставаясь всегда меньше его. Таким образом, мы показали, что Представив основное равенство an = kbn в виде мы можем аналогично показать, что Sb>k'Sa,
22 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСГСЛОВСКОГО ИЛИ Оба эти неравенства показывают то, что требовалось доказать: Рис. 1. У Архимеда ми можем проследить дальнейшую эволюцию метода "Еидокса. Во второй (чисто математической) части «Квадратуры параболы» Архи- мод, совершенно так же как и Евдокс, пользуется последовательностью вели- величин, приближающихся к предельной величине снизу — площадь параболы постепенно «исчерпывается» вписываемыми и рассматриваемый сегмент тре- треугольниками. Но уже в лтеханяческой части доказательства (первой) Архп- мед заключает исследуемую площадь между двумя суммами трапеций, из которых одна больше, а другая меньше ее. В трактате «О шаро и цилиндре» Архимед показывает, что отпонгепие ука- указанных двух сумм может быть сделано сколь угодно близким к единице. В сле- следующих за этим произведениях «О спира- спиралях» и «О коноидах и сфероидах» доказа- доказательство приобретает другой пид: Архимед показывает, что разность рассматриваемых двух сумм может быть сделана сколь угодно малой. Так как имеппо эта форма метода исчерпывания применяется и в «Измерении круга», то мы получаем осно- основание думать, что «Измерение круга» напи- написано не лонжо диух последних упомяну- упомянутых ароизввдвпий (в трактате «О спиралях» Архимед дает геометриче- геометрическое построение прямой, длина которой равняется длине окружности), и во всяком случае пе раньше двух книг «О шаре и цилиндре». К Евдоксу же, или но псяком случае к его школе, следует отнести и соз- создание совершенно новой отрасли геометрии, а именно теории кривых вто- ' рого порядка, пли, если пользоваться термином греческой математики, конических сечений. Причины, иызвапшие к жи:ши этот повый отдел математики, можно видеть в следующем. Одним из наиболее лажных вопросов геометрии V века было определе- определение, или, лучше сказать, сравнение между собой различных площадей. Вся- Всякий многоугольник можно разбить на треугольники, площадь каждого тре- угольпика равна площади прямоугольника со сторонами, рапными основа- основанию и половине высоты. Чтобы представить площадь многоугольника в виде одной фигуры, надо уметь складывать друг с другом площади различных прямоугольников, а для этого нужно уметь строить их па одном основании, после чего суммирование площадей приводится к простому суммированию пмсот. Операция «прииеденля площадей к одному основанию» называлась у грекмн «приложением (тохунфоА./;)» и производилась так: Пусть OABG — заданный прямоугольник (рис. 1), OD — то осно- основание, к которому нужно «приложить» этот прямоугольник. Продолжаем ВО и откладынаом на ее продолжении OD, затем дополняем прямоугольник ODTA и проводим v. нем диагональ ТО до пересечения с точке Н с продол- продолжением другой стороны GB заданного прямоугольника. Получив точку.Л, дополняем прямоугольник DJIZB — продолжения сторон АО и ВО выделят
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. П. ВЕСЕЛОВСКОГО 23 в ном прямоугольник ODEZ, который и будет искомым; он построен па осно- иапии OD и имеют площадь, равную площади заданного прямоугольника OABG. Алгебраически, нахождение второй стороны ОЕ, как нетрудно видеть, сводится к нахождению четвертой пропорциональной для линий О А, ОВ и 01): При ттомощи «яаоар"о>/г» любой многоугольник может быть прообразован в прямоугольник. Дальнейший шаг на этом пути заключался в преобразова- преобразовании полученного многоуголышка в квадрат. Эта операция выполнялась при помощи нахождения третьой, или, как мы тенорь гово- говорим, средней пропорциональной, равносильной реше- решению уравнения . xa — ab, где а и Ь — стороны заданного прямоугольника, а х — сторона равного ему квадрата. При помощи упомянутых пропорциональных можно было построить квадрат, площадь которого равна площади любого многоугольника, так что оставалось лишь сравнивать между собой различные квадраты. Для этого строился ряд квадратов, площади которых относились бы как числа натурального ряда. Если некоторый квадрат мы пршшмаем за единицу (рис. 2), то квадрат, равный двум, получался на диагонали {/2 этого квадрата. Чтобы построить квадрат, равный трем, нужно найти гипотенузу прямоугольного треугольника, катеты которого равняются стороне = 1 и диа- диагонали = |/ 2 первого квадрата. Продолжая таким образом, можно получить сколько угодно квадратов, образующих натуральный рид чисел. Существо- Существование такой операции доказано для древних египтян, употреблявших два локти в 20 и в 28 дюймон (чтобы удвоить данный кпадрат, или вообще данную площадь, надо размеры его, измеренные в двадцатидюймовых локтях, пере- перестроить и двадцатмвосьмпдюймовыс: отношение 28: 20=14 : 10=1,4^у 2); ее знали вавилоняне, помещавшие в своих строительных справочниках довольно точное значение у 2; ее применяли индусы первого тысячелетия до н. а., которым приходилось, сохраняя форму жертвенника, увеличивать «го ллощадь от 2 до 7 раз. Когда эта теория была построена, встал вопрос о распространении ее на многогранники и в первую очередь на параллелепипеды. Первым шагом на этом пути было построение натурального ряда кубов и в первую очередь построение куба, равного удвоенному дан irony кубу. Необходимость реше- решения атой. задачи вызывалась еще тем, что в самом конце V века возникла метательная артиллерия и для увеличешш дальности полета выбрасываемых стрел и камней требовалось пропорциональное увеличение объема упругих тяжей, приводивших в движение катапульту. У/гсе Гиппократ Хиосский показал, что задача удвоения (или вообще укеличгтгия в произвольное число раз) куба может быть лшдолнша при помощи нахождения двух средних пропорциональных х, у между задан- заданными величинами а м Ь, отношение -?- которых представляло то, в котором следовало увеличить объем заданного куба: и: х~х: у~у:Ь.
24 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И- Н. ВКСЕЛОВСКОГи Рис. 3. Эта задача могла быть решена при помощи пересечения каких-нибудь двух из трех следующих кривых: Перпме две представляют параболы с взаимно перпендикулярными осями, а третья — равностороннюю гиперболу. Такова, конечно, точка зрения современного нал математика, владеющего п полной мерс алгебраи- алгебраическим знакоиоложением; для нас уравнение является гораздо более удоб- удобным к употреблению, чем изображаемая им кривая: для греков же, по имев- имевших такого символического аппарата, любивших конкретность и нагляд- наглядность, наоборот, кривая липия была более удобным орудием для математических и сел едований. Греки пользовались двумя способами получения новы х кри- кривых. Во-шфвых, кривая могла быть образована движением некоторой точки; первым при- примером таких «геликоидальных», как их называли греки, кривых была квадратриса софиста Гип- пия Элидского (V век до п. э.)> придуманная им, но всей види- видимости, для деления угла на про пзвольпое число частей. Во-вто- Во-вторых, кривую можно было полу- получить, рассекая какую-нибудь из- известную кривую поверхность: это были так называемые «выгнутые» (коцтймп) кривые. Мы внаем, что Квдокс решил задачу об удиоении куба именно при помо щи таких ш\тйХа1 удаццш. Решение его до нас по дошло, но его брат и ученик Мепехм решал задачу при помощи пересечения двух парабол или гиперболы о параболой, и в «Конических сечетшях» Аполлонии (книга I, определение 4 и ел.) под именем каця.б'кт \Qa\iuai понимаются именно конические сечения. Таким образом, именно Еидокс указал один из способов, которым могли быть получены соответствующие кривые; они ншучались при помощи сече- сечении различных конусов, образующие которых при вершине составляли пря- прямой, тупой или острый угол. Известный историк математики Цейтов очень убедительно рисует кар- картину получения парабол м у2—2рх как «сечения прямоугольного конуса»; под этим именем знает параболу Архимед; опо употреблялось вплоть до Аполлония, который первый ввел современное привычное нам название. Возьмем конус OEF (рис. 3) с прямым углом при вершипе О, пересе- пересечем его плоскостью, проходящей через точку А и перпендикулярной к обра- образующей ()Е\ эта плоскость в сечении с поверхностью конуса дает параболу Л/АР, ось симметрии которой будет прямая AKL — сечение проведенной плоскости с другой, проведенной чорез ось конуса перпендикулярно к пер- первой секущей плоскости. Следуя современной терминологии, будем назы- называть абсциссами а; расстояния АК, AL, измеряемые но этой оси, а перпендикулярные к ней прямые, вроде LM,— ордината м и у *). *) Последнее слово представляет переделку латинского ordiuatim applicaluc, что » свою очередь является переводом греческого хахсуилмах, ХЕха\цё\чл^— проведенные правильным, упорядоченным образом; так назымалнсь прямые, недотеидйкулприые к оси параболы, проведенные до пересечении с кривей, или вообще половины хорд, соответствующих какому-нибудь диаметру.
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО 25 Через какую-нибудь точку L оси параболы проводим плоскость, нер- пепдикулярную к оси конуса; она в пересечении с конической поверхно- поверхностью даст окружность CMD, и мы по известному слойстну окружности можем написать: у* = LM* = CL ¦?/).) Но для гипотенуаы CL равнобедренного прямоугольного треугольника ACL имеем ¦ ¦ ¦. CL = ЛЬу'2]" точно так же, если через иерипшу Л перпендикулярно к оси конуса про- провести АЛ, то LD - АВ-= АКУЪ. где точка А* представляет пересечение оси AKL параболы с осью ОК конуса. Таким образом, если положить АК~р, то получим г/ - А /,|/2 - AKV 2 =- Чрх, где x=AL — абсцисса точки М параболы. Правильность этой реконструкции Цейтена подтверждается древней терминологией: у Архимеда параметр р=АК параболы называется JJixQi той a|ovog — прямой, проведенной до оси, т. е. до оси того конуса, сечение которого образует нашу параболу. Самоназвание «парабола»связано с операцией «приложения» (яаосфо?а|'): площадь квадрата у2, будучи «приложена» к прямой 2р как к основанию, дает высотой абсциссу х. Остальные две кривые связаны с так называемыми «приложениями с недостатком или с избытком»; возможно, однако, что сна- сначала были исследованы геометрические свойства тех крииых, которые полу- получаются в сечениях тупоугольного и остроугольного конуса, а потом уже соностанлень! с указанными типами «приложений». Пусть OEF (рис. 4) будет осевое сечение конуса с тупым углом при ж;р- шине О, а прямая ОК — его ось. Через какую-нибудь точку А проведем плоскость, перпендикулярную к образующей ОЕ; ата плоскость в сечении с поверхностью конуса образует кривую AMIS'. Продолжии другую образующую OF конуса до пересечения в точке А' с прямой AQ — липшш пересечении проведенной секущей плоскости с осе- осевым сечением OEF конуса; прямая AQ, очевидно, будет осью симметрии нашей кривой. Возьмем на этой оси какую-нибудь точку L на расстоянии AL — x от верщипы п попытаемся найти снизь между абсциссой х и соответ- соответствующей ей ординатой y-LM нашей кривой. Через точку L перпендику- перпендикулярно к оси конуса проведем плоскость, которая в сечении с поверхностью конуса образует круг с диаметром CD. Тогда Так как СА перпендикулярна к AQ, а CD перпендикулярна к DQ, про- проведенной параллельно оси конуса, то все четыре точки С, A, D, Q будут лежать на окружности, построенной на CQ кад па диаметре; тогда по свой- свойству секущих и круге, проведенных через одну точку, будем иметь . CL - Если К — точка пересечения. AQ с осью конуса, прямая АВ парал- параллельна CD, а ПР параллельна оси конуса, то из подобия треугольников
26 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. XI. НЕСЕЛОВСКОГО DLQ и АВР, Л'ЛЬ* и ALD мы получим следующие соотношения: LQ : АР = DL : АП = ,4'Z : Л'Л, откуда или, если принять во внимание, что АР= ,,т 2АТС АР 'ЛЛ" Отрозок АК, как и п случае параболы, представляет параметр р, отре- отрезок АА' обозначим через 2а; если учесть, что AL=x, то уравнение кривой принимает вид или Мм получим, что данный квадрат у'г равняется «прило;коыыому» к Чр прямоугольнику 2рл,'к которому прибавляется площадь, подобная прямо- Рис. 4. угольнику, сторопи которого суть 2р и 2а. Сторона 2р ностеш название «яря- мой стороны фш-уры» {ogOfa тоО eifioix; nXe^Qa-latus rectum), сторона 2я ыазыпалась поперечной стороной фигуры (rtXa-yia той etfio^g nXeuQu'-Iatus transversum). Так как квадрат прикдадыпцлея к 2р с избытком (иякфякХыу— превосходить), то полученная криная тгосила название гиперболы; р — се параметр, а 2а — действительная ось (у Архимеда она называется также яотаояхта № accovo) — дополняющей ось).
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ (УГЛТ1.Я И. II. ИКСК.П0КСКОГО 27 Уравнение гиперболы Архимед употребляет в виде У2 _ р ж Bй-}"ж) а ' что можно выразить так: прямоугольник па отрезке х оси и том же отрезке, сложенном с «дополняющей ось», находится в постоянном отношении к квад- квадрату на соответствующей ординате (рис. я). Аполлонии брал уравнение гиперболы в виде Аналогично мы можем получить и уравнение эллипса, рассматривая сечепио конуса с острим углом при вершине плоскостью, перпендикулярной к его обра- образующей (рис. G); теперь точка А' получится уже на самой образующей OF, а пи па ее'про- ее'продолжении. А' Рис. 5. Рис. 6. Повторил те же самые рассуждения и сохраняя вышеприведенные обо- обозначения, будем иметь Опять пи подобия треугольников находим Л'Ь : LQ = LQ : LD _= НА : ЛВ = АА' : АР, откуда АР 2ЛК Если АК—р, АА'=2а и AL^x, то A'L=2a—х; уравнение эллипса мта получим в виде что можно привести к уравнению Архи- Архимода у2 = р_ х[2а—х) а ' Рис- 7- то исть отношение прямоугольника па отрез- ках оси к квадрату па соответствующей ординате есть величина постоянная (рис. 7), или к уравнению Аполлония
28 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. И. КНСБЛОВСКОГО так как теперь при «приложении» у2 к прямой 2р «недостает* (ГлМты) пло- площади, подобной прямоугольнику со сторонами 2а, 2р, то полученная кривая носит название «эллипса». Прямая 2а является большой осью этого эллипса. Если положить х—а, то получится выражение для малой оси алпипса. Если через Ъ обозначить ее половину, то мы будем иметь Ьй=2ра— ра=ра, откуда получается известное выражение для параметра эллипса: Классическими книгами но теории конических сечений во времен;! Архимеда были «Начала теории конических сечений», составленные Евкли- Евклидом, а также другая книга, принадлежащая геометру Аристею. На ту или другую из атих книг ссылается Архимед везде, где оп без доказательства приводит теоремы, полученные своими предшественниками. Обе :>тм книги до нас но дошли, но о содержавшемся в них материале мы можем составить себе представление, читая перпые четыре книги «Конических сечении Апол- дошш», и которых он резюмирует труды предшествующих ему авторов. Во ксякон случае Архимеду были известны следующие свойства копи- ческих сечений: 1°. Середины хорд, параллельных какому-нибудь направлению, лежат на одной прямой — диаметре, сопряженном этому направлению. Диаметр и общем случае ire будет перпендикулярным к сопряженным с ним хордам, но в косоугольных координатах с началом в точке пересечения диаметра с кривой и осями, направленными соответственно по диаметру и касатель- касательной к кривой л точке — начале координат, уравнение кривой будет иметь, тот же вид, только соответствующий этому направлению параметр р будет иметь другую неличину. Если учесть, что Архимед знал, что касательная к коническому сече- сечению, проведенная в конце диаметра, будет параллельна хордам, сопряжен- сопряженным с этим диаметром, то можно сказать, что Архимеду были изнестны урав- уравнения всех трех кривых второго порядка, отнесенных к косоугольным осям координат, а именно диаметру я касательной в его кершине. 2°. Все диаметры параболы параллельны. Но Архимед рассматривает гиперболу как состоящую только из одной ветви; центр гиперболы и свой- свойства сопряженных диаметров были открыты только Аполлонием. 3°. Свойства касательных к коническим сечениям, а именно, что каса- касательная к параболе пересекает ось в точке, расстояние которой от перпшны иапабшш равно абсциссе точки касания и что для эллипса ато расстояние будет больше, а для гиперболы — меньше соответствующей абсциссы. Затем он знал, что поднормаль к параболе имеет постоилмую величину. 4°. Если из какой-нибудь точки провести касательные к любому кони- коническому сечению, а из другой точки внутри или вне кривой провести парал- параллельные зтим касательным две секущие, то произведении отрезков этих секу- секущих относятся, как квадраты параллельных им касательных. i)°- Существование асимптот у гиперболы, а также, что площадь прямо- прямоугольника на прямых, проведенных из какой-нибудь точки гиперболы парал- параллельно ее асимптотам до пересечения с последними, является величиной постоянной (наше уравнение ху—const). Точно так же Архимед знал, что отрезки касательной к гиперболе между точкой касагшя и асимптотами равны, как можно видеть из найденного Евтокием доказательства Архимеда одной леммы из второй книги «О шаре и цилиндре».
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО 29 Новым период деятельности Архимеда начался, вероятно, после 240 г. до п. э., когда с наступлением мира Архимед получил возможность побынать я Александрии и запязать дружеские отношения с Эратосфепом и Конопом (Архимеду в это время било уже около пятидесяти лет). За это время (при- (приблизительно тридцатые годы III века до н. э.) Архимед создал ряд произве- произведений, доставивших ему бессмертную славу. Первым из :mix произведений является «Квадратура параболы», написанная вскоре после смерти Конона м открывающая ряд «посланий» Архимеда к ученику и другу Конона мате- математику Досифсю, с которым Архимед, как видно из вступлений к посланиям, 'поддерживал переписку. Эта «досифееиская» группа сочинений Архимеда состоит из «Квадратуры параболы», первом и второй книг сочинения «О шаре и цилиндре», составлявших первоначально два совершенно самостоятельных произведения *), затем книги «О спиралях» и, наконец, сочиголшя «О конои- коноидах п сфероидах». Порядок появления этих произведений легко устаналли- иается на основе тех сведений, которые дают нам введения к этим посланиям. •Самым ранним произведениелт в этой группе является «Квадратура пара- оолы», представляющая, как можно пидсть иэ вступления, первое послание к Досифею, написанное после получения известия о смерти Конона. Б ,чтом послании Архимед использует открытый им механический метод определе- определения площадей и объемов геометрических фигур и тел, разнообразные при- приложения которого он описывает позднее в своем «Эфодо». Из вступления к «Эфоду» видно, что нахождение площади параболического сегмента было лервой задачей, решенной Архимедом при помощи механического .метода. За «Квадратурой параболы» идет первая книга сочинения «О шаре и цилин- цилиндре»; во вступлении к этой книге Архимед упоминает о посланном уже ранее сочинении «Квадратура параболы». Задачи, исследуемые во второй книге сочинепия «О шаре и цилиндре», как видно иэ предисловия, были поста- поставлены Архимедом еще до смерти Конона, равно как и те, которые были разо- разобраны в перкой книге; в этом сочинении «О шаре и цилиндре» Архимед обе- обещает «как можно скорее» прислать предложения, касающиеся спиралей л коноидов. Как мм знаем из «Эфода», теоремы, касающиеся объема шара л его частей, а также коноидов и сфероидов, были первоначально найдены .механическим методом; однако в отличие от того, что было сделано в «Квад- «Квадратуре параболы», Архимед теперь дает только окончательный строго мате- дгатический пывод установленных теорем. После сочинения «О шаре и цилин- цилиндре» была написана работа «О спиралях», тема которой бшш дана Архимеду ¦еще Кононом. Во вступлении Архимед говорит, что после смерти Конона уже «прошло много лет», однако тот факт, что Архимед работал над темой, пачатой им еще до смерти Конона, не позволяет понимать это «много» иначе как 5—10 лет. В том же самом предисловии Архимед говорит о «Коноидах и сфероидах» как о еще не посланной книге. Содержащиеся в этой работе предложения доставили Архимеду при доказательстве много труда, так что эта книга, которая по первоначальному плану должна была идти перед кни- книгой «О спиралях», оказалась самым последним произведением рассматривае- рассматриваемой группы: математические доказательства теорем, содержащихся и сочи метши «О коноидах и сфероидах» Архимед нашел только после того, как им уже была решена поставленная задача относительно спиралей. •) Предложении иериий книги llaira цитирует просто кап «О шаре и цилишше», го: называя книгу «первой». '¦V
30 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. II. ВЕСЕЛОВСКОГО Бое предложения, доказываемые в посланиях к Досифею, представляют- собой целостную группу. Как таковую их рассматрмпзл и сам Архимед (см. вступление к книге «О спиралях»), причем объединяющим звеном для Архи- Архимеда было то, что соответствующие задачи были поставлены им еще до смерти Конотга и, по псей вероятности, обсуждались в переписке с последним, а может быть, и той или другом мере и были поставлены Кононом Архимеду. Вот ;>то единство всей группы и не позволяет растягивать на слитком боль- большой промежуток времени работу, прошводеипую Архимедом при решении этих задач. В отношении следующих произведений Архимеда мы находимся к не- несколько более трудном положении, так как далеко не все из них дают доста- достаточно материала, позволяющего нам совершенно точно определить их хро- хронологическую последовательность. Среди этих произведений можно выде- выделить «механическую» группу, состоящую из трех произведений: двух книг «О равновесии плоских фигур», послания к Эратосфену о механических тео- теоремах (так называемый «Эфод») и, наконец, двух книг «О плавающих телах». Что касается произведения «Равновесие плоских фигур», то, следуя за Гейбергом, большинство исследователей (Хис, у нас С. Я. Лурье) считают его самым ранним из дошедших до пас сочинений Архимеда и разбивают его на два самостоятельных произведении: первую книгу, содержащую общие теоремы о нахождении центра тяжести, и вторую книгу, касающуюся нахо- нахождения центра тяжести сегмента параболы, причем эта последняя поме- помещается после «Квадратуры параболы». Вряд ли можпо согласиться с таким разделением на две части рассматриасмого произведения. Во-первых, «Рав- иопссис плоских фигур» но структуре очень похоже на сочинение «О плаваю- плавающих телах», которое тоже разбито па две книги, первая из них посвящена общим теоремам, а пторая — одному частному вопросу, а имепно условиям равновесия плавающего сегмента параболоида. Во-вторых, первую книгу «Равновесия» трудно рассматривать как самостоя тельное произведение, спе- специально посвященное вопросу о нахождении центра тяжести: в ней нет даже определения понятия о центре тяжести, не рассматринается положение центра тяжести круга, неправильного четырехугольника и вообще многоугольника; по сущестиу, даются лишь положения центров тяжести тех фигур (прямо- (прямоугольник, треугольник, трапеция), которые нужны для доказательства теорем второй книги; затем основную теорему — о равновесии рычага — Архимед доказывает три рааа: для соизмеримых и несоизмеримых прямоугольников в первой книге и для криволинейных площадей, могущих быть приведен- приведенными к прямоугольникам (киндрнруемых) в предложении I второй книги. Наконец, формально-математический характер самого произведения не позволяет считать его первым наброском теории центра тяжести; есте- естественнее всего считать основной целью этого произведения определение пептра тяжести сегмента параболы, а первую книгу рассматривать как своего рода введение. Само собой разумеется, что если рассматривать обе книги как единое произведение, то они должны быть написаны после «Кнад- ратуры параболы». По можно думать, что они паписаны и после «Коноидов и сфероидов»: действительно, и последнем сочинении Архимед сформулировал новые определения подобия кривых лторого порядка и как раз этими опре- определениями он пользуется при доказательстве теорем второй книги (подроб- (подробности см. в комментарии к рассматриваемому сочинению); кроме того, при доказательстве предложения V второй книги «Равновесия плоских фигур» Архимед пользуется предложением XXXI «Коноидов». Точно так же после «Коноидов» наимсагг и «Эфод». Это вытекает из сле- следующих соображений:
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. II.' ВЕСЕЛОВСКОГО ' 31 1°. Во вступлении к «Эфоду» Архимед, говоря о посылаемых в этом сочинении новых теоремах, указывает, что они отличаются от найденных мм ранее теорем, в которых объемы коноидов, сфероидов и их частей срав- сравнивались с объемами конусов и цилиндров. 2е. Последней леммой 11 «Эфода» является предложение, доказанное в сочинении «О коноидах». 3°. В первом предложении «Эфода» содержится ссылка на сочинение «О равновесии» и ряд лемм текстуально повторяют тгредложения первой клити «Равновесия плоских фигур»; таким образом, получается, что «Эфод» написан после «Равновесия плоских фигур». Трактат «О плавающих телах» написан после «Коноидов», в тексте которых находятся предложения XX Ш и XXIV, являющиеся основными при выводе условий равновесия плавающего сегмента параболоид*1- Далее, во второй книге «О плавающих телах» цитируется сочинение «О равнове- равновесии», в связи с определением центра тяжести сегмента параболоида; это. позволяет думать, что «О равновесии плоских фигур» — первая часть более общего сочинения «О равновесии» — была уже паписаиа. Затем механи- механический способ определения центра тяжести сегмента параболоида дается в предложении V «Эфода»; таким образом, вполне естественно предполо- предположить, что трактат «О плавающих телах» написан после «Эфода». То обстоя- обстоятельство, что вторая книга трактата «О плавающих телах» пмеет вид пезакон- ченпого сочинения, позволяет думать, что мы имеем дело с самым послед- последним произведением Архимеда. Два оставшихся произведения Архимеда «Измерение круга» и «Псам- «Псаммит» своим характером резко выделяются из ряда остальных произведений Архимеда; в них па первое место выступает вычислительная сторона мате- математики. Достоверно лишь то, что «Псаммит» написан после «Намерения круга», поскольку в последнем сочинении имеется ссылка на первое. Что» касается «Измерения круга», то нужно отметить следующее: 1°. Одна из основных том «Измерения круга» — определение длины окружности — тесно связана с предложением XVШ книги «О спиралях»; мы уже говорили выше, что форма, в которой применяют метод Евдокса, является одинаковой в обеих рассматриваемых книгах. 2е. Во втором предложении «Эфода» упоминается о том, что площадь круга равна площади треугольника, основание которого равно окружности, а высота — радиусу (первое предложение «Измерения круга»); отсюда видно, что Архимед во время написании «Эфода» во всяком случае уже работал над этим вопросом. 3°. При доказательстве предложения XIII «Эфода» Архимед стоял на пороге открытия центра тяжести полукруга, который он обязательно полу- получил бы, если бы знал числовую величину площади полукруга. То обстоя- обстоятельство, что в предложении XIV он избрал обходный путь для доказатель- доказательства теоремы об отношении площади полукруга к квадрату па диаметре при помощи введения вспомогательной параболы, позволяет думать, что число- числовая величина отношения окружности к диаметру была еще ему неизвестна,, и :зто свидетельствует о том, что «Эфод» был написан до «Измерения круга». Так как «Псаммит» посвящен умершему в 216 г. Гелону, сыну и сопра- соправителю царя Гисрона, то он должен был быть написанным до этого года. Общий хронологический порядок сочинений примерно таков: V'. Квадратура параболы. 2е1. О шаре и цилиндре. 3°. О спиралях. 4°. О коноидах и сфероидах.
32 НОТУНИТЕЛЬНАН СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО 5°. О равновесии плоских фигур. 6°. Эфод. 7°. О пл акающих телах. 8'- Намерение круга. 9°. Псаммит *). Первые четыре произведения относятся к периоду, когда Архимед переходил от механики к математике, стараясь добиться наибольшей воз- возможной строгости доказательств, даже задерживая ради этой доли опубли- опубликование уже полученных результатов, как это имело место с «Коноидами». Следующие три произведения относятся к hoboaij- периоду деятельности Архимеда, когда он выступил н роли создателя математической физики, прилагая строгие математические теории к объяснению физических явле- явлений. Эту сторону деятельности Архимода тем более важно отметить, что, по мнению Плутарха, Архимед был ученым, готовым забыть ради матема тики и практическую деятельность, и материальный мир, и прозу окру- окружающей жизни. На самом деле вышедший из технической среды Архимед снова в нее вернулся, причем он сделал ото не только под нлиииисм грозив- грозившей родному городу опасности. Таким образом, в маучиой деятельности Архимеда мы можем различить следующие периоды: 1°. Период инженерной деятельности — введение понятия о центре тяжести и его определение в случае простейших фигур и 'тел. 2'. Период посланий к Досифою — разработка методов определения площадей и объемов математических фигур и тел. 3°'. Период запястий математической физикой — установление матема- математической теории рычага, центров тяжести и равновесия плавающих тел. 4°. К последнему периоду относятся арифметико-астрономические работы, которыми в дальнейшем нам еще придется заняться более детально; irmca же перейдем к описанию других сочинений Архимеда, дошедших до пас и отрывках или в отдельных цитатах позднейших писателей. ТТа перпом месте мы должны постанить опубликованную и 1773 г. изве- известным немецкий писателем Лессиигом «Задачу о бы пах», принадлежность которой Архимеду некоторыми исследователями оспаривается. Если она действительно принадлежит Архимеду (таково мнение и автора этих строк), то ее можно отнести к четвертому периоду деятельности Архимеда. Затем по упоминаниям в «Математическом собрании» Паппа нам изве- известно сочинение «О полуправильных многогранниках». Вероятно, в некото- некоторой спязи с этим произведением находится «Стомахий», от которого до пас дошло дна отрывка: один в арабском переводе, а другой, открытый Гейбер- гом в Константинопольском палимпсесте имеете с «Эфодом». * Наконец, к «Метрике* Герона сохранилось несколько отрывков сочи- сочинений Архимода, посвященных измерению площадей и объемов правильных и неправильных тел, которые тоже можно отнести к последнему периоду деятельности Архимеда. К их числу принадлежат сочинения «О призмах и цилиндрах» и «О йен ран ильных поверхностях и телах». К разряду астрономических работ Архимеда относятся «Катоптрика», «О величине года» и, наконец, «Об изготовлении небесной сферы». Кроме того, в том же «Псаммите» Архимед упоминает еще об арифме- арифметическом сочинении «ПосланникЗевксиппуалее^ао/сйг—«Оначалах», в кото- котором излагались основы придуманной Архимедом системы счислении. *) Два последних проивиедспип могли быть пшшеаны и ранге {после 3" и 4°).
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ЕЕСЕЛОВСКОГО 33 Арабские источники относят к Архимеду еще следующие произведения: 1) О круге, 2) О семиугольнике в круги, 3) О взаимно касающихся кругах, 4) О параллельных прямых, 5) О треугольниках, 6) О свойствах прямоуголь- прямоугольных треугольников, 7) Данные. Из этих книг пам и какой-то степени известно содержание «Книги о семи- семиугольнике» но публикации немецкого исследователя Карла Шоя в 1927 г. [22J. Рассмотрение этой книги показывает, что она в целом не при надлежит Архимеду, но содержит ряд извлечений из сочинений Архимеда в перера- переработанном виде. Оригинал зтой книги был написан большим знатоком Архи- Архимеда, харранским астрономом и математиком Сабитом ибн Курра (он же написал «Книгу лемм», впервые изданную в 1E59 г. Фостером в латинском переводе); возможно, что материал последней в какой-то мери заимствован из сочинении «О круге», доказательств из которого приводятся аль-Бируни в «Книге нахождения хорд в круге»*). Нам остается теперь дать общую характеристику математических дости- достижений Архимеда. Говорят, "что Архимед был гений, далеко опередивший свое время. Конечно, гениальность Архимеда оспаривать не приходится, но пуяшо еще подчеркнуть, что вся математическая деятельность Архимеда представляет нелосредстнеппоц продолжение и развитие тех идей, которые были заложены его предшественниками. Основная идея всей математической деятельности Архимеда второго периода заключалась в определении пло- площадей и объемов различных тел и фигур. Определение площадей много- многоугольников удалось свести к определению площадей квадратов: оставалась лишь площадь круга, которую сквадрировать не сумели. В области стерео- стереометрии еще пифагорейцами была поставлена задача об объемах параллеле- параллелепипедов и призм; сведение их к кубам повлекло за собой постановку делий- делийской задачи. Исследования Евдокса показали, что определение объемов пирамид, а следовательно и многогранников вообще, может быть сведено к кубатурам, а нахождение объема конуса — к объему цилиндра, во времена Евклида еще ничего пи бшю известно ни об объеме, пи о поверхности шара. Архимед показал, что определение поверхностей конуса, цилиндра **) и шара может быть сведено к нахождению площади круга, что определение объе- объемов шара и его частей, а также объемов эллипсоида, гиперболоида и пара- параболоида вращения, тоже сводится к определению объема конуса, а следо- следовательно в конечном счете к определению объема цилиндра. Таким образом, элементарными фигурами для Архимеда оказались квадрат и круг и куб и цилиндр. Дальнейшей задачей исследования стало выражение площади круга в виде некоторого прямоугольника, для чего понадобилось опреде- определить длину окружности круга. Соответствующая задача была поставлена и решена Архимедом в трактате «О спиралях» (предложение XVIII, дающее построение прямой, равной длине данной окружности) и в «Изме- «Измерении круга», где та же задача решалась вычисление м. Для цилин- цилиндров соответствующая задача, по всей вероятности, была разрешена Архи- Архимедом в не доптодгпем до нас сочинении «О призмах и цилиндрах». Таким образом, были заложены основы измерения поверхностей и об-ьемол; в не дошедшем до нас сочинении «О неправильных поверхностях и телах» (упо- минитом в «Метрике» Геропа) Архимед дал практические способы и для самого общего случая. • ¦ ¦ • ¦• *) Перевод отрывка ив Блруии, а также «Книги о кругах», выполненный Б. А. Розеифольдом помещен в этом излаяли. *•) Обратите внимание на своеобразную формулировку в первой книги «О шаре и цилиндре» предложений, в которых Архимед дает боковые щшерхиости цилиндра и конуса. 3 Архимед
34 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. II. ЛЕСЕЛОВОКОГО Нельзя сказать, что математические исследования п духе Архимеда полностью оборвались с его смертью, исследований неизвестного автора о сферических спиралях (Пали, книга IV, 35) определенно находится л круге идей Архимеда. Ра иным образом доказанная Архимедом теорема, что из всех шаровых сегментов с одинаковой выпуклой поверхностью наибольшим является полушарие, нашла свое продолжение в аналогичной задаче дли полукруга (Папп, книга V, 11—18) и, наконец, и исследованиях Зенодора об изолеримстрических фигурах и телах. Только в области математической физики Архимед стоит совершенно одиноко: ни до пего, ни| после идея возможности представить математи- чески процессы щшроды не приходила в голову ни одному греческому ученому; это сделали вави- вавилонские астрономы, приблизительно в то же вре- время, что и Архимед. Новым в исследованиях Архимеда был также своеобразный метод, применявшийся им для ис- следонания и предварительного решения задач, а именно метод механического интегрирования, изложенный им п «Квадратуре параболы» и в «Эфоде». Для того чтобы яснее показать в современ- современном обозначении основную идею механического метода Архимеда, применим его к решению сле- следующей простой задачи. Пусть требуется найти площадь, заключен- заключенную между осью абсцисс, дугой параболы, за- заданной уравнением и ординатой ее, соответствующей абсциссе ОА=1 (рис. 8). Представим себе раипоплечий рычаг .AOG' Рис. 8. длины 21 с точкой опоры в О; па одной из его половин расположим илтересующую нас площадь ОАВ п разобьем ее на ряд весьма тонких полосок ширины Ах. Пусть KL будет одна из этих полосок, соответствующая абсциссе ОК=х\ тогда ордината y~KL будет ах2 и вся площадь полоски &S = ax*.Ax. Если мы сдвинем ее на конец рычага А, то момент отой полоски относи- относительно точки О будет I ¦ AS = I ¦ ах2 Ах. Постараемся теперь уравновесить этот момент при помощи подвешива- подвешивания полоски MN-Ах к левой стороне рычага па таком же расстоянии ОМ=х от точки О. Величину соответствующей ординаты MN определим, сравни- сравнивая моменты относительно О обеих полосок. Таким образом, будем иметь х - AfN ¦Az = откуда alx.
ВСТУПИТКЛЬНЛП СТАТЬЯ IT. Н. ВЕСЕЛОЕСКОГО 35 Поступая так с каждой полоской, мы получим на левом плече ричага ряд полосок, непрерывно распределенных по длине GO. Так как ординаты полосок па леном плече рычага будут пропорциональны расстояниям х, то концы их расположатся по прямой линии ONT; величина последней ординаты GT будет al2. После того как распределение полосок по левому плечу OG рычага будет закончено, мы получим, что вся интересующая нас площадь ОАВ, сосре- сосредоточенная на конце А, будет уравновешена треугольником ОСТ, прикреп- прикрепленным к стороне OG. Площадь этого треугольника равна расстояние от вершины О его центра тяжести будет Следовательно, сравнивая момепт этого треугольника с моментом от во сительпо О искомой площади S, сосредоточенной в А, мы будем иметь 2 1 откуда находим величину S: Но соответствующая абсциссе ОА=1 ордината будет аР=АВ; таким образом: то есть искомая площадь равна одной трети площади прямоугольника, построенного на абсциссе О А и конечной ординате АВ. Мы видим, что успех вывода получается в результате понижения сте- степени рассматриваемой кривой — пахождепие площади, ограниченной криной 2-й стенспи и двумя прямолинейными отрезками, сводится к опре- определению центра тяжести площади, ограниченной кривой первой степени, то есть прямой. Этот механический метод, конечно, являлся индивидуальным достоя- достоянием Архимеда, несомненно пришедшего к нему в результате своих предше- предшествующих занятии в области механики. В этой связи уместно остановиться на вопросе об отношении Архимеда к двум своим великим иредшестисниикам Демокриту и Евдоксу. Их обоих Архимед упоминает в своих сочинениях; во введении к «Эфоду» Архимед говорит о Демокрите как о первом авторе, нашедшем теорему об объеме пирамиды и конуса, а в первой книге «О шаре и цилиндре» оп, гопоря о той же самой теореме, упоминает только Евдокса. На основании этих фактов проф. С. Я. Лурье выставил гипотезу о том, что после сочинения первой книги «О шаре и цилиндре» Архимед «впервые познакомился с работами Демокрита», на которые ои «несомненно с жадностью набросился», оказав- оказавшись «у истоков того атомистического интегрирования, которое ему с тру- трудом и по частям приходилось реставрировать из отдельных намеков и прие- приемов в трудах по механике, написанных его предшественниками», и в кото- которых он нашел «как раз то, что он искал и чего не хватало ему в математике». (С. Я. Лурье, «Архимед», стр. 138—139).
36 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. II. ВЕСЕЛОВС1ЮГО С- Я. Лурье можно сделать следующие два возражения: Во-первых, он забыиает, что своеобразный механический способ инте- интегрирования был в полной мере использован Архимедом уже при написании «Квадратуры параболы» и при доказательстве предложений первой книги сочинения «О шаре и цилиндре», когда, как признает сам С. Я. Лурье, Архимед «не знал еще трудов Демокрита». Во-пторых, можно заключить, что Архимед был знаком с атомистиче- атомистической математикой даже при написании перкой книги «О шаре и цилиндре». Во втором предложении первой книги «О шаре и цилиндре» Архимед доказывает, что д.;1я двух данных неравных величии можно всегда найти две такие неравные прямые, чтобы отношение большей прямой к меньшей было меньше отношения большей величины к меньшей. Даваемое Архимедом доказательство носит очень искусственный характер: если две заданные величины суть А и В (А>В), то искомое отношение мы просто получили бы, взяв отношение f . Л—В\ ' . f ... . А—В\ ( Л J- у.В пли Л:[^В-\ — j . Однако доказательство Архимеда, избегающее деления разности А~В становится вполне целесообразным, если он учитывал возможность, что две бесконечно близкие друг к другу величины А и В разнятся па одно неде- неделимое. При доказательстве предложения IX этой книги Архимеду нужно пока- 8ать, что вылуклая поверхность конуса между двумя образующими будет больше площади треугольника, заключенного между теми же образующими. Для этого он опирается на положение, что в трехгранной пирамиде одна боковая грань всегда будет меньше суммы двух других граней. Соответ- Соответствующее положение может быть очень легко усмотрено из следующего рассуждения: так как одна сторона треугольника всегда меньше суммы двух других, то же самое будет иметь место для каждого из тех треугольников, на которые можно будет разбить пирамиду плоскостями, параллельными основанию. Таким образом, или Архимед совершенно не думал о доказатель- доказательстве вспомогательной теоремы, считая ее очевидпой, или же он употребил изложенное доказательство по той простой причине, что другого доказатель- доказательства пет и не может быть, так как указанная вспомогательная теорема в общем случае является неверной (см. комментарий к этому месту, стр. 45 J — 453); изложенного же доказательства Архимед не хотел поме- помещать, не считая его (и совершенно правильно) вполне строгим ввиду его атомистичности *). Таким образом, то, что Архимед умолчал о Демокрите к книге «О шаре и цилиндре» и упомянул о нем в «Эфоде», проще всего объясняется тем, что, давая описание предварительного метода получепия решения, Архимед счел возможным упомянуть и о Демокрите; что же касается стро- строгих математических доказательств, то для Архимеда образцом был не Демо- Демокрит, по Ендокс. Но и но отношению к Евдоксу Архимед сохранил свою индивидуальт ность. В то время как в чистом методе Евдокса к предельному значению приближались только с одной стороны, «исчерпывая» определяемую вели- величину, Архимед при доказательстве большинства теорем, связанных с опре- определением площади фигуры, подлежащую определению величину заключает •) Нужно, впрочем, отмстить, что в разобранном Архимедом частном, случае теорема будет впол- вполне правильной.
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВИСКЛОВСКОГО .между дпумя фигурами — вписаппой и описанной,— разность площадей которых может быть сделана меньше любой наперед заданной величины; затем оп определяет величину, которая заключается между площадями вписанной и описанной фигур, и доказывает, что эта величина и предста- представляет определяемую площадь. По существу, он делает то же, что и мы при введении понятия об интеграле. Таким образом, Архимедом были вычислены интегралы, равносильные нашим , sin x dx при определении поверхности шара и \ x2dxn \ (ax"-\-hx)dx при определении поверхности, описанной спи- спиральной линией, и объема сегментов параболоида, гиперболоида и эллипсоида вращения. Можно, кроме «предвосхищения» интегрального исчисления, как иыра- жается Хис, пайти у Архимеда известное предвосхищение и основных поня- понятий дифференциального исчисления,— того, что мы назвали бы теперь опре- определением отношения беско- бесконечно малых величин. С 8той точки зрения инте- интересно предложение XVIII книги «О спиралях», в котором длина окружпо- сти сравнивается с дли- длиной подкасателыюй к спи- спирали. Пусть точка О пред- представляет полюс спирали, радиус-вектор которой за время первого оборота сделался равным г=ОЛ, а прямая AD является каса- касательной в точке А кспира- ли. Пусть CD и АС пред- представляют перемещения описывающей спираль точки по радиусу и 'перпен- 'перпендикулярно к нему (рис. 9). ГТронодим ОВ перпендикулярно к СМ ипродол*- жаом касательную AD до пересечения и В с этой прямой; тогда длина ОБ будет представлять длину окружности радиуса /¦. Доказательство сводится к установлению пропорции *>ис- <J- Треугольник ACD по существу представляет не что иное, как диффет реициалышн треугольник Барроу — Ньютона, и не исключена позмож-; ность, что идея этого треугольника появилась у Исаака Барроу именно в результате изучения сочинений Архимода, которые были изданы Барроу в 1675 г. с переделанпыми доказательствами. Во всяком случае изучение Архимеда математиками XVII века было необходимой подготовительной работой к появлению классического анализа бесконечно малых/ Еще с большим правом мы можем видеть н Архимеде основателя мате- математической физики: как творения его колоссального инженерного таланта в сочетании с математической подготопкон появляются работы третьего «механического» периода деятельности Архимеда, когда он определил поло1 жение центроп тяжести сегмента параболы («О равновесии плоских фигур»), а также конуса и сегментов параболоида, гиперболоида и аллипсоида вращения («Эфод»); знание положения центра тяжести сегмента параболоида позво- позволило ему математически определить положения равновесия плавающего
38 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. II. НЕСЕЛОЛСКОГО1 в жидкости сегмента параболоида («О плавающих телах»). Инженерная интуиция Архимеда была настолько велика, что, как показывает детальный разбор его выводов (см. комментарий к предложениям II—X второй книги «О плавающих телах»), и основе его исследований, по существу, лежат те самые теоремы, которые были установлены только во второй половине XIX века проф. Московского университета А. Ю. Давыдовым и француз- французским математиком Дюпеном. Основным отличием метода Архимеда от сов- современного является то, что Архимед определяет устойчивые положепия равпинесня не при помощи формального критерия метацентра, а непосред- непосредственно исследуя ноисдение плавающего тела при его отклонениях от поло- положения рановесия. При таком чисто физическом методе исследования у Архи- Архимеда, естественно, получаются только положения, соответствующие устой- устойчивому равновесию. Эта «физичноегь» мышления совершенно исключает представление об Архимеде как о гениальном математике-формалисте. В «Псаммите», есть одно место, на которое коммептаторы-ыатематпкп не всегда обращают вни- внимание. Архимед пытается определить видимый диаметр Солнца. Он хорошо знает, что «получить точное значение этого угла — дело нелегкое, потому что ни глаз, ни руки, ни приборы, с помощью которых производится отсчет, не являются достаточно надежными для точности результата». Искомую величину он находит не из умозрительных соображений, а чисто экспериментальным способом, вводя даже поправку на ширину зрачка. Найдеппая им величина углового диаметра Солнца оставалась непревзой- непревзойденной вплоть до XVII века (результат Архимеда 32Э55',5 — верхняя гра- граница и 32С27' — нижняя граница; Коперник считал 31е 48'; истинные зна- значения 31°28' в апогее и 32С37' и перигее. Таким образом, верхняя граница, полученная Архимедом, не хуже величины, найденной Коперником). К последнему периоду творчества Архимеда мы отнесли «Измерение круга» и «Псаммит». Специфически поным моментом в этом периоде является то, что Архимед от геометрических построений определяемых величин пере- переходит к вычислению их; это подводит нас к рассмотрению еще недостаточно изученного вопроса о греческой арифметике, или, лучше сказать, логис- логистике — искусству вычислений*), так как под арифметикой у греков пони- понималось то, что мы теперь назвали теорией чисел. Однако Архимед не только использовал достижения современной ему науки относительно способов вычисления; он был и в этой области актив- активным создателем новых научных цслпостей. Так как греческая система счис- счисления не позволяла удобно изображать большие числа, Архимед в не дошед- дошедшем до нас сочинении яео'[ aQXoiv — «О началах» — заложил основание новой системы счисления, усовершенствованной им в дошедшем до нас «Псаммите», где он дал систему счисления, пригодную для изображения дей- действительно астрономических чисел, могущих выразить количество песчи- песчинок, содержащееся в объеме вселенной. «Астрономическая направленность» «Псаммита» позволяет нам дать ответ па вопрос о том, какие причины заста- заставили Архимеда под конец его жизни, примерно в двадцатых годах 111 века до н. э., заинтересоваться вычислительной математикой и создать системы счисления, приспособленные к обозначениям очень больших чисел. О том, *) О способах иычислений у греков см. Приложение I.
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО 39 что эти причины заключались не только в индивидуальных интересах Архи- Архимеда как ученого, говорит тот факт, что Архимед не был единственным мате- математиком той эпохи, интересовавшимся способом ааписи очень больших чисел. В дошедшем до нас отрывке второй книги «Математической библиотеки» Паппа имеется пересказ одного из арифметических сочинений младшего современника Архимеда и, вероятно, его соперника Аполлония Пергского, автора известных «Конических сечений». Это сочинение, называвшееся, вероятно, Q/cut?kiov (средство для ускорения родов), говорило о способах умножения больших чисел и о ноной системе счисления, позволявшей запи- записывать эти большие числа. Как мы знаем из комментария Евтокия к «Изме- «Измерению круга», Аполлоний дал более точное значение отношения окруж- окружности к диаметру, чем то, которое приводится в «Измерении круга»; иоз- можно, что полемика между Архимедом и Аполлонием повела к появлению «Задачи о быках». Эти «вычислительные» тенденции в греческой математике еще более усиливаются в последующем ее развитии. Творении Архимеда и Аполлония являются своего рода венцом гречцркой геометрии, но вместе с тем они озна- меповали и ее завершение; после Аполлония развитие греческой геометрии как-то сразу обрывается: «род» великих математиков пс иссякает, но они начинают запинаться совершенно другими вопросами. Эратосфен является творцом математической географии, Гиипарх кладет начало сферической тригопомотрии и вычислительной астрономии. После Гипларха математику приблизительно на две тысячи лет «берет под опеку» астрономия, причем это имеет место не только у греков, но и у индусов, и у арабов, и у средне- средневековых математиков, вплоть до времен Коперника, Кеплера и Ньютона. Создается впечатление, что греческая математика испытала какие-то мощ- мощные влияния нового фактора, который коренным образом изменил весь дальнейший процесс ее развития. Таким фактором, как показали исследо- исследования первой половины двадцатого пека, была вавилонская планетная астропошш, которая качала развиваться примерно с VI века до н. э. Этот век в истории науки явился такой же переломной эпохой, какой в дальней- дальнейшем ее развитии был, например, XVII век. Именно в этом веке произошла ликвидация старого религиозного миропопимания. В Греции он был озна- ознаменован рождением светской науки — материалистической и рационали- рационалистической философии ионийской школы и основанной на строгих логических доказательствах математики. На востоке тот же самый процесс шел иначе. Точпо так же были сданы в архив все старые легенды о божественном сотво- сотворении мира. Религия сосредоточилась всецело в области морали и ушла из области естествознания. Боги перестали быть творцами и деспотическими правителями мира; переселившись на псбо и разместившись по различным планетам, они стали лишь подчиненными и толкователями какой-то высшей силы — фатума, предначертания которой можно открыть по движениям планет; их движения стали рисоваться настолько закономерными, что их уже можно зарапес предсказать и нредвычислить. Начиная с VI века до н. э., вавилоняне нродвычисляют побисные явления и к 111—II векам до н. э. достигают таких успехов, что оказываются в состоянии предсказывать нас- наступление затмений, противостояний и соединений планет. Вавилонские астрономы Набуриаилу и Кидинну определяют длину года, продолжитель- продолжительность различных видов месяца и периоды планетных обращений. Восточная философия в лицо стоицизма с его пестрой смесью материалистических пред- представлений с фатализмом и астрологией начинает господствовать в греческом мире; обоснованием зтой философии считалась не зпающая никаких богов вавилонская вычислительная астрономия. Крушение эллинистических
40 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. И. ВЕСЕЛОНСКОГО государств под железной пятой римских завоевателей еще более усиливает и тяжелое настроение среди порабощенных народов, и надежды на лучшее будущее, время наступления которого можно будет определить, если суметь надлежащим образом прочесть веления фатума, выраженные в закономер- закономерных движениях планет не только в течение настоящего, но — самое важ- важное — в течение будущего времени. Но для того чтобы предсказывать" движения планет, нужно уметь их предвычислять, а для этого уже недостаточно было «домашней логистики», дававшей правила счета в пределах только первой тысячи; необходимо было познакомиться с той математикой, которой пользовались вавилонские астрономы, а эта математика оперировала с числами, гораздо большими тех, которые могло предстаиить себе воображение среднего грека. Перед наукой поэтому встала задача разработки новых методов вычислений. Работы Архи- Архимеда и Аполлония являются первыми шагами в этом направлении, когда из вавилонской системы счислений берется лишь осповной принцип пози- позиционности. В дальнейшем следование вавилонским способам иычислепий становится псе более и более рабским и закапчивается принятием целиком вавилонских способов вычислений для всех астрономических расчетов. Вскоре после смерти Архимеда, в самом пачале II века, антор так называе- называемой XIV книги «Начал» Евклида алексапдриец Гипсикл и своем «Анафо- piMte» пользуется введенным вавилонским астрономом Кидипну способом представления постепенного изменения скорости движения планет при помощи арифметической прогрессии — нечто аналогичное введенному Гали- Галилеем равноускоренному и равнозамедденному движениям. Немного позже великий греческий астроном Гиппарх пользуется вавилонскими данными относительно продолжительности года и месяца. От грекон вавилонская астрономия и математика переходят и к римлянам. Как широко было рас- распространено у пнх знание астрономии, показывают, например, следующие факты. Накануне решительного сражения при Пидне во время Персеевой войны Сульпиций Галл предсказал наступление лунного затмения. В I веке до и. э. друг Цицерона Нигидцй Фигул, астролог и математик, уже вполне усвоил методы вавилонской вычислительной астрономии; немного позже пояпдеяие ватшлонской астрологии в Риме отличено у Горация: Tu ne quaesieris, scirenetas, quern mihi quem tibi Fincrn di dederint, Leiiconoe, nee Babylonios: Temptaris nurneros...*) В эпоху Птолемея вавилонские тестидесятеричные дроби являются уже основным средством астропомических гычислепий. Как показывают схолии к Евклиду, византийским математикам XI—XII веков п. э. эти дроби были очепь хорошо известны, а в Западной Европе гаестидесятерич- пые дроби под названием minutiae physicaies, в противоположность обык-. повенны.м дробям (minutiae vulgares), были в употреблении вплоть до XVII ве- века, и в настоящее время еще живут в наших минутах и секундах. VI Когда Тит Ливии называл Архимеда «единственным в своем роде наб- наблюдателем неба и звезд», то он, возможно, повторял высказывания об Архи- Архимеде ближайших к нему поколений, в первую очередь, вероятно, Полибия, изложению которого Ливии следует, рассказывая события второй Пуни- •) Не сирашипяЛ ты, ведать грешно, какой мне и тсОи Левконоп, пошлют боги конец, и вавилон- Ч(ла пь не ьытьй. (Сды, книга I, 11).
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ЕЕСЕЛОЕСКОГО 41 ческой войны. Для Полибия, бывшего прежде всего государственным дея- деятелем, тонко понимавшим взаимную связь политических событий, а не уче- ученым, Архимед, конечно, был важен в первую очередь как защитник Сира- Сиракуз; общую характеристику Архимеда Полибий дал, вероятно, в соответ- соответствии с теми представлениями о нем, которые сложились к кругах широкой публики, помнившей только последние работы Архимеда перед самой осадой Сиракуз. Если это верно, то Архимед занялся астрономией уже на склоне лет; чтобы правильно оценить значимость полученных им результатов в обла- области астрономии лучше всего сравнить их с результатами измерения расстоя- расстояния Солнца и Луны от Земли, которые были получены его непосредственным предшественником, а именно упоминаемым им в «Псаммите» Аристархом Самосским. Согласно исследованиям Аристарха, диаметр Солнца —7 диаметрам Земли. 1 7 Диаметр Лупы = ^ диаметра Солнца = ^ диаметра Земли. •Расстояние Луны от Земли=30 диаметрам Луны^Ю-^- диаметрам Земли. Расстояние Солнца от Землп=~210 диаметрам Земли. Интересно сравнить результаты исследований Аристарха с работой Архимеда. Прежде всего, Аристарх считал Землю за точку, иными словами, считал, что наблюдатель находится в центре Земли, а Архимед учитывал, что наблюдатель находится па поверхности Земли, и поэтому приводил наблюдения к центру. Затем Аристарх давал только относительные размеры мира, Архимед ввел величину земного радиуса и, таким образом, получил и абсолютные размеры мира. С другой стороны, Аристарх искал верхнюю И нижнюю границы измеряемых величин (у него, например, отношение диа- 1 1 метра Солнца к диаметру Земли заключается между пределами б-^-и 7-g-), в то время как Архимед брал одну только верхнюю границу. Расстояние от центра Земли до центра Солнца у него составляет 5000 диаметров Земли и диаметр Солнца в 30 раз больше диаметра Земли; что касается Луны, то он просто принимает ее диаметр равным диаметру Земли; так как угол, вод которым виден диаметр Луны с поверхности Земли равен 30', то расстояние от Земли до Луны будет равно диаметру Лупы, деленному на sin 30', то есть 120 диаметрам Луны (в четыре рала больше, чем у Аристарха), или, так как Архимед считает диаметры Земли и Луны равными — 120 диамет- диаметрам Земли. Астрономические сочинения Архимеда не ограничиваются «Псаммитом», им было написано сочинение, посвященное построению пебеспой сферы; инжеятерпые устремления были настолько сильны в Архимеде, что они про- проявились даже и области чистой астрономии. Историю этой сферы лучше всего рассказать, цитируя известные нам источники. На первом месте надо поставить диалог Цицерона «О государстве»; описываемые в нем события происходят во второй половине II века до н. э. Упоминаемый в нем Сульпиций Галл был очень образованным римлянином. В первой книге «О государстве» мы читаем (книга I, 14): «Л вспоминаю, как К. Сульпиций Галл, как вы хорошо знаете, одип из самых ученых людей пашей страны, находился однажды в гостях у М. Мар- целла, бывшего недавно консулом вместе с пим, и разговор зашел о чудесном явлении, в точности похожем на случившееся недавно. Галл заставил при- привести ту зпамецитую сферу, единственную добычу, которой предок
42 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО Марцелла захотел украсить свой дом после взятия Сиракуз, города полного всяких сокровищ и диковинок. Я часто слышал разговоры об этой сфере, ¦считавшейся шедевром Архимеда, и признаюсь, что с первого взгляда она мне не показалась чем-то особенно выдающимся. Марцслл пожертвовал в храм Доблести другую архимедову сферу, которая была гораздо более известна и имела более представительный вид. Но когда Галл начал с не- необыкновенным знанием дела объяснять устройство этого прекрасного про- произведения, я не мог не подумать, что в этом сицилийце был гений, равняться с которым человеческая природа не казалась способной. Галл рассказывал нам, что изобретения таких сплошных сфер относятся к глубокой древпости, что первый образец такой сферы был построен Фалесом Милетским, что в дальпойшем учепик Платона Ёвдокс Книдский изобразил на ее поверх- поверхности различные созвездия, прикренлепные к небесному своду, и что много лет спустя не бывший астрономом, но имевший известный поэтический талант Лрат описал в стихах все небо по Евдоксу. Оп прибавил, что для возможности представления движений Солнца, Луны и пяти звезд, которые мы называем блуждающими, пришлось отказаться от употребления сплош- сплошной сферы, па которой было бы невозможно их воспроизвести, и придумать другую совершенно отличного вида; и что в изобретении Архимеда чудес- чудесным было искусство, с которым on мог объединить в одной системе и вос- воспроизвести при помощи одного вращения все очень отличающиеся друг от друга движения и различные периоды обращения различных светил. Когда Галл приводил сферу в движение, то при каждом обороте можно было видеть, как Луна появлялась вслед за Солнцем на земном горизонте, подобно тому как она появляется каждый день на небе; далее можно было видеть, как Солнце исчезнет так же, как и па пебе, и затем понемногу Луна погружается в земную тень в тот самый момент, когда Солпце с противоположной стороны...». На этом интересном месте к сожалению обрывается дошедший до нас текст Цицерона. Сфсфа Архимеда, пожертвованная Марцеллом в храм Доблести, по-види- по-видимому, для многих римлян была основным пособием для изучения астроно- астрономии. Следы знакомства с этой сферой можно установить в течение долгого времени после эпохи Цицерона. Во второй половине II века н. э. мы встречаемся с несколько загадоч- пым свидетельством неистового карфагенского пресвитера Тертуллиана: «Обрати нпммапие на изумительное чудо Архимеда; я говорю об этой гидравлической машине, где столько колес, столько различных деталей, столько сочленений, столько выходов для голоса, и целые армии флейт соста- составляют одну неразличимую массу». Обыкновенно это понимают в смысле изобретенного Архимедом гидра- гидравлического органа. Однако такому толкованию препятствуют следующие соображения: 1е. Архимед не является изобретателем гидравлического органа; все историки древности признают в этом вопросе приоритет александрийца Ктесибия. 2°. Вряд ли можно допустить, чтобы гидравлические органы III века до н. э. могли уцелеть в конце II века п. э. 3е. Собрание «колос» не подходит к гидравлическому органу. С другой стороны, мы знаем, что сфера Архимеда приводилась п движе- движение «скрытым внутри воздухом» (spiritus inclusus), согласно описанию поэта Клавдиапа (V век п. э.). Так как от такого врага науки, каким был Тертул- лиан, нельзя ожидать очень большой точности, то можно думать, что «изу-
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ IT. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО 43 митслытым чудом» Архимеда была именно сохранявшаяся в храме Доблести астрономичсс кая сфера. 4epe:i каких-нибудь сто лет в эпоху Джжлетиапа об архимедовой сфере говорит Лактанций (De mortibus persecutorum, книга 111, 5): «Я вас спрашиваю, ведь мог же сицилиец Архимед воспроизвести образ и подобие мира в выпуклой округлости меди, где он так разместил и поста- поставил Солнце и Луну, что они как-будто совершали каждодневно неравные движения и воспроизводили небесные вращения; он мог не только показать восход и заход Солнца, рост и убывание Луны, по сделать так, чтобы при вращении этой сферической поверхности можно было видеть различные тече- течения планет; так неужели же Г»ог пе мог воспроизвести и сотворить патураль- пые пещи, подобие которых мог сделать человек споим искусством и хит- хитростью». В конце IV века, когда при Грациапе и Феодосии I христианство одер- одержало окончательную победу над язычеством, о сфере Архимеда вспоминает один из последних языческих писателей Макробий в комментарии ко «Сну Сципиона», книга II, 3): «Так же и Архимед считал, что он определил число стадий, на которое от поверхности Земли удалена Луна, а от Луны — Меркурий, от Мерку- Меркурия — Венера, от Венеры — Солнце, от Солнца — Марс, от Марса — Юпитер и от Юпитера — Сатурн; пси же расстояние от Сатурна до самого звездоносного неба он думал измерить только рассуждением». Для определения расстояния Солнца от Земли Архимед, как мы знаем, прибег к измерению при помощи опыта. Задача действительного определе- определения расстояний между различными планетами была в его время совершеппо непосильной; их можно было определить только предположительно, исходи из периодов их обращений. Для «звездоносного неба» у него не было даже и этих числовых даппых, поэтому ему, конечно, пришлось ограничиться лишь рассуждением. Единственной целью, для достижения которой такие вычисления были необходимы, яиляется только построение небес- небесной сферы. Еще раз мы встречаемся с этой сферой в произведениях последнего талантливого римского поэта Кландиапа (начало V века п. э.), который посвятил ей одну из своих эпиграмм: «Неба устав, законы богов, гармонию мира — Все Сиракуяский старик мудро на Землю привес. Воздух, скрытый внутри, различные движет светила Точно по дапиьш путям, сделав творепьо живым. Ложиый бижит зодиак, назначепкьш ход выполняй, Лик поддельный Jlyiiu hhubi. каждый месяц идет. Смелым искусством гордясь, сбой мир приводя во вращеньо, Звездами вышних небес правит умом человек». Вскоре после написания этого гордого стихотворения в 410 г. готы захватили Рим; в последовавшем грабеже языческих храмов, вероятно, погибла и небесная сфера Архимеда. VII В самом конце своей жизни Архимеду снова пришлось вернуться к тому, чем он занимался в начале своей творческой деятельности: ему пришлось применить свои инженерные и механические познания для обо- обороны родного города. Во время второй Пупической войны Сиракузы
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. II. НКСЕЛОВСКОГО оказались вовлеченными в борьбу Карфагена с Римом и римский пол- полководец Марцслл осадил Сиракузы, душой обороны которых стал семи- семидесятипятилетний Архимед. Дальнейшее течепие событий лучше всего из- изложить языком подлинных источников, каковыми в данном случае япля- ются Полибий, Тит Ливии и Плутарх. Наиболее ранний источник — «История» Полибий, написанная при- примерно через 50—60 лет после разрушения Сиракуз. В книге VTII его «Исто- «Истории», дошедшей до нас во фрагментах, мы читаем следующее: «Когда Епикид и Гиппократ *) завладели Сиракузами, то сами прериали дружбу с римлянами и прочих граждан припудили к тому же. Римляне, раньше еще уведомленные о насильственной, смерти сиракузского тирана Гисропима **), выбрали в проконсулы Лппия Клавдия, дали в его распоря- распоряжение сухопутное войско, а начальство над флотом возложили на Марка Клавдия ***). Начальники расположились станом невдалеке от города и реши- решили, что сухопутное войско поведет приступ против города со стороны Гек- сапил, а флот—против Ахрадинм •***) у портика, именуемого Скитским, где стена тянется вдоль моря. Приготовивши шалаши *****), метательные орудия и все прочес, нужное для осади, римляне надеялись при многочис- многочисленности рабочих рук покончить с приготовлениями в течепие пяти дней и но дать неприятелю подготовиться. Но при этом они не приняли и расчет искусства Архимеда, не догадались, что иногда дарование одного человека способно сделать больше, чем огромное множество рук. Теперь они убеди- убедились в этом по опыту. Город был достаточно крепок уже тем, что окружаю- окружающая его стена покоилась на высотах и поднимающемся перед городом утесе; к ним трудно было подойти, sa исключением немногих определенных пунктов, даже и тогда, если бы осаждаемые не оказывали никакого со- сопротивления. Кроме того, упомянутый Архимед заготовил впутри города, а равно и против нападающих с моря такие средства обороны, что защитникам не было необходимости утруждать себя непредусмотренными работами на случай неожиданных способов нападения; у них заранее готово было все к отражепию врага в любом случае. Итак, Апний сделал попытку приблизиться с шалашами и лестницами к той части стены, которая с востока упирается в Гсксанмлы, а Марк сшестью- десятью пятипалубными судами направился против Ахрадины. Находив- Находившиеся на каждом судне люди вооружены были лукямн, пращами и легкими дротиками, чтобы прогонять врага, нападающего с зубцов стен. Вместе с тем римляпе сняли у восьми пятипалубиых судов весла, у одних с правой стороны, у других с левой, открытыми стенками связали суда попарно и, действуя веслами только с наружных боков, стали подвозить к городской степе так называемые самбуки. Устройство этого осадного орудия следую- следующее: делается лестница « четыре фута ширины и такой длины, чтобы она при устапоике достигала верхнего края стены, с обеих сторон en ограждают и закрывают высокими перилами, лотом кладут ее наискось вдоль сопри- соприкасающихся столок спязанных между собою судов, так что лестница высту- выступает далеко за корабельные носы. На вершинах мачт укрепляют блоки с канатами. Когда нужно действовать, канат привязывают к верхнему •) Вожди демократической антиримской партии п Снракутах. •*) Пятнадцатилетнего внука Гиерона, последнего отпрыска его династии. : •*•) Марцелла. ••¦•) Часть города Сиракуз. *¦*•¦) Так навивались поднижи ыс крытые галереи, подвозимые или подносимые к стенам для прикрытии осаждавших.
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВБСЕЛОВСКОГО /»5 краю лестницы, и люди, стоящие па корме, тянут его на блоке, а другие, находящиеся на передней части корабля, следят за правильным подъемом лестницы и подпирают ее шестами. Наконец, при помощи гребцов, разме- размещенных по обоим наружным бортам, римляне подходят с кораблями к суше и стараются только что описанное сооружение приладить к стене. На «ер- шине лестницы паходится доска, с трех сторон огороженная плетнем; на ной стоят четыре человека, которые и ведут борьбу с неприятелем, находя- находящимся на зубцах стены и противодействующим установке самбуки. Как только лестница установлена так, что эти четыре ноипа возвышаются над стеной, боковые стенки плетня снимаются, и воины тотчас с двух сторон взбираются на зубцы или башки: прочие товарищи их следуют за ними по самбуке, надежно прикрепленной канатами к обоим кораблям. Сооружение это не без основания получило такое название: когда ма- машина поднята, то корабль в соединении с лестницей напоминает по виду самбуку *). Итак, по изготовлении самбуки римлянп решились подойти к башням. Однако Архимед соорудил машины, приспособив их к метанию снарядов на любое расстояние. Так, если неприятель подплывал издали, то Архимед поражал его из дальнобойных каыпеметальниц тяжелыми снарядами или стрелами и повергал в трудное и беспомощное положение. Когда же снаряды пачинали летать иолерх неприятеля, то Архимед употреблял в дело мень- меньшие машины, каждый раз сообразуясь с расстоянием, и наводил на римлян такой ужас, что они никак пе решались идти на приступ или приблизиться к городу па судах. Наконец, Марк, раздосадованный неудачами, вынужден был сделать попытку тайком тючьто подойти к городу тта кораблях. Когда римляне подошли к берегу на расстояние выстрела, Архимед употребил другое средство, направленное против воипол, сражавшихся с судо»> именно: он велел сделать в степе приблизительно на высоте человеческого роста множество отверстий, с паружнои сторош.т имевших в ширину пальца четы- четыре; у отверстий изнутри стены он поставил стрелков и маленькие скорпи- скорпионы**), через отверстия обстреливал корабельных воинов и тем отнимал у них всякую возможность сделать что-нибудь. Таким образом, далеко или близко находился неприятель, Архимед не только разрушал «се его планы, по и производил в его рядах большие опустошения. Как только римляне покушались поднять самбуки, Архимед приводил машины в бое- боевое состояние по всей стене. Все время они оставались невидимы, но лишь только требовалось употребление их в дело, машины изнутри выдвигались за зубчатые укрепления. Некоторые машины метали намни весом не менее десяти талантов***), другие выбрасывали груды свинца. Каждый раз, как только самбуки приближались, жерла архимедовых машин отклонялись вместе с подставкой вправо или влево, смотри по надобности, и при помощи освобождаемого блока сбрасывали камни на неприятельское сооружение. Вследствие этого не только ломалась машина римлян, но и корабль, и нахо- диншиеся на нем солдаты подвергались большой опасности. Некоторые машины отражали нападение неприятеля, защищенного и прикрытого плетнем от стрел, выпускаемых через отверстия в стене; в таком случае бросаемые камни соответствующей тяжести прогоняли напа- нападающих римлян с передних частей корабля. Кроме того, с машины спуска- спускалась прикрепленная к цепи железная лапа; управлявший жерлом машины •) Самбукой назывался музыкальный инструмент. •*) Стреломсты небольшого калибра. •••) Около 250 кг. ¦ ¦ .
4C ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. II. ПЕСЕЛОВСКОГО захватывал п каком-нибудь месте этой лапой нос корабля и потом опускал вниз находящийся внутри города копец машины. Когда нос судна был таким, образом поднят и судно поставлено отвесно на корму, то плечо рычага за- закреплялось неподвижно, а лапа вместе с цепью отделялись от машины осво- освобождающего приспособления. Бследстнме этого некоторые суда ложились, на бок, другие совсем опрокидывались, большинство же от падения носом с значительной высоты в море погружались м наполнялись водой, внося большой беспорядок и ужас среди экипажа. Изобретательность Архимеда приводила Марка в отчаяние; с прискорбием он видел, как осажденные глу- глумятся над его усилиями и какие опи причиняют ему потери. Однако, под- подшучивая над своим положением, Марцелл говорил, что Архимед уго- угощает его корабли морской водой, а его самбуки как бы с позором про- прогоняются с поаойки палочными ударами. Так окончилась осада Сира- Сиракуз с моря. Аппий с сухопутным войском очутился в столь же трудном положении, и потому совсем отказался от приступа. Действительно, паходясь еще на далеком расстоянии от города, римляне сильно терпели от камнеметальниц и катапульт, из которых были обстрелилаемы; ибо сиракузпне имели в за- запасе множество превосходных и метких метательных орудий. Оно и понятно,, так как Гиероп дал па них средства, а Архимед изобрел и мастерски построил машины. Итак, когда римляне приближались к городу, то одни были непрерывно обстреливаемы чорез отверстия в стене, о которых было сказано выше, терпели урон и не могли продолжать наступление, другие же, рас- считывалшие пробиться вперед силой и огражденные плетенками, гибли под ударами камней и бревен, падавших сверху. Много бед римлянам сиракузянс иричипяли и теми лапами у машин, о которых я говорил раньше; лапы поднимали воинов в полном вооружении и кидали их оземь. Наконец, Аппий с товарищами возвратился па стоянку, устроил совещание с трибу- трибунами, на котором и было принято единогласное решение испытать всевоз- всевозможные другие средства, во только отказаться от надежды взять Сиракузы приступом; согласно принятому решению, они так и действовали. Ршшяне оставались под стопами города в течение восьми месяцев, и пе было такой уловки или отважного дела, перед которым они остановились бм, но на при- приступ идти они уже ни разу не осмеливались. Такова чудесная сила одного челонека, одного дарования, умело напра- направленного на какое-либо дело. Вот и теперь: располагая столь значительными силами сухопутными и морскими, римляне могли бы быстро овладеть горо- городом, если бы кто-либо изъял из среды сиракузян одного старца. Но так как этот один был среди сиракузяп, то римляне не дерзали нападать на город или по крайней мере употреблять те способы нападения, отразить кото- которые Архимед был и силах». Приведенный текст Полмбия интересен в следующем отношении. Иногда приходится слышать, что Архимеда, бывшего, по существу, замечательным математиком и склонным, по свидетельству Плутарха, лишь к теоретиче- теоретическим паукам, только опасность, грозящая родному городу, заставила изяться за практическую деятельность по его обороне. Внимательное чтение приве- приведенного отрывка Полибия показывает, что оборона Сиракуз Архимедом не была и не могла быть импровизацией; наоборот, Архимед готовился к ней очепь давно и но заданию и па средства царя Гиерона построил ряд военных машин. В связи с этим очень интересно то, что Архимед имел ряд метательных орудий, действовавших на различные расстояния; это уже пред- предполагает известный математический расчет. Какого рода этот расчет был,.
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО мы можем составить себе представление на ословапии сохранившейся поен- поенной литературы. Считалось, что длина полега выброшенного ядра прямо пропорциональна объему того упругого тяжа, который приводил в движение детали машины, сообщающие скорость ядру. Между прочим, этот расчет совершенно правилен, так как можно очень просто показать, что при посто- япстве угла возвышения орудия дальность полета ядра будет прямо про- пропорциональна его начальной живой силе, последняя же получается из потенциальной энергии закрученного тяжа, которая при однпаковой сте- степени напряженного состояпия прямо пропорциональна объему тяжа. Таким образом, на основе некоторого числа опытов вполне возможно конструиро- конструировать камнеметы и стреломсты, действующие на заданном расстоянии; Архи- Архимед, очевидно, это хорошо знал. То обстоятельство, что зта теория была известна около 240 года до н. э., доказывается упоминанием о ней в письме Эратосфепа к царю Итоломею Эвергету, касающемся задачи об удвое- удвоении куба. То, что Архимед не был кабинетным ученым, убедительно доказы- доказывается той необычайной его изобретательностью в организации оборопных мероприятий, которая так ярко изображена в приведенном ниже рассказе Поли бия. Полибий был одним из источников для описания истории второй Пуни- Пунической войны у Тита Линия A век до н. э.). Мы находим в книге XXIV его римской истории: «После этого началась осада Сиракуз и с суши — от Гексапил — и с моря — от Лхрадинт.т, степы которой омываются морем. При этом рим- римляне, взявшие Леонтины с первого же натиска под действием только ужаса, были вполпе уверены, что в каком-нибудь месте они прорвутся в обширный и разбросанный но большому пространству город, и придвинули к стенам всю наличность осадных машин. И начатое с такой силой предприятие увенчалось бы успехом, если бы в то время не было одного человека. Этим человеком был Архимед, единственный в своем роде созерцатель неба и светил, но еще более удивительный изобретатель и конструктор военных машин и сооружений, при помощи которых он с очень небольшим усилием*) мог делать тщетными все попытки врагов, даже если эти попытки стоили колоссальных усилий. Стена города проходила по неровной и холмистой местности; многие части ее были очень высокими и трудно доступными, но в некоторых местах она была низкой и пологие стены делали возможным восхождение. Поэтому Архимед поставил па стене в качестве защиты раз- различного рода метательные оружия, сообразуя их с природой местности. На стену же Ахрадины, которая, как сказано было выше, омывалась морем, Марцелл вел наступление с шестнадцатью нентерами**). Находившиеся же па других судах лучники, пращники и легковооруженные велиты***), мета- метательные орудия которых очень трудно отражать для неопытных воинов, не позволяли никому безнаказанно оставаться на степах. Так как для мета- метательных орудий требуется некоторое расстояние, то эти корабли стояли вдали от стен. Другие пенторы были соединены попарно бок к боку, причем внутренние весла были сняты и оба корабля как один приводились в движе- движение лишь внешними веслами; на них стояли многоэтажные бапши и другие приспособления для разрушения стен. Против всего зтого морского поору- жепия Архимед расположил по стенам метательные орудии различной •) Parvo jnomento — выралгение, ваимствованнсе из механики. ••) Шнтера — судно с пятью рядами весел. ••*) Велиты — род войска у римлян.
48 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. II. ПЕСЕЛОВСКОГО величины. В далекие корабли он мотал громадного веса камни, а близкие осыпал! более легкими, а вследствие этого и в большем количестве, метатель- метательными снарядами. Наконец, для того чтобы сиракузские воины безнаказашго могли обстреливать неприятеля, он проделал в стене снизу до перку отвер- отверстии шириной почти в фут, из которых они, оставаясь скрытыми, могли поражать врага стрелами и среднего калибра скорпионами*). Пите жо кораб- корабли, которые подходили ближе, чтобы выйти из поражаемой орудиями обла- области, он при помощи выступающего за стену рычага, набрасывал прикреплен- прикрепленную крепкой цепью железную лапу: когда последняя захватывала нос корабля, то при помощи опускающегося до земли тяжелого спипцоиого противовеса нос корабля подымался и последний становился на корму; затем после внезапного освобождения корабль, как бы сброшенный со стены, к громадному ужасу матросов так ударялся о морскую поверхность, что набирал воды даже п том случае, когда падал в прямом положении. Таким образом, был отражен приступ с моря и всю надежду римляне возлагали на нападепие всеми силами с суши. Но и эта часть стен была вооружена раз- личпого рода метательными орудиями, которые в течение долгого времени изготовлялись аа глот Гиерона единственным в своем роде искусством Архимеда. Последнему помогала также п природа местности, так как скала, на которой находились фундаменты степ, большой частью была настолько крутой, что врагу тяжелый урон причиняли снаряды не только выбро- выброшенные из орудия, по даже двигавшиеся только под действием собствен- собственного веса. По той жо самой причине подъем был очень труден вследствие крутизны и движение было очень опасным. Таким образом, после обсуждении, видя тщетность всякого рода попыток, римляне постановили прекратить штурм и только при помощи блокады с суши и с моря отрезать осажденных от подвоза провианта». Наконец, третью версию истории Сиракузской осады мы читаем у Плу- Плутарха, автора начала II века н. :»., в его жизнеописании Марцолла. : «Марцелл производил нападения и с суши, и с моря. Аппий водил в сра- сражение сухопутные войска, Марцелл командовал шестьюдесятью пентерами, наполненными всякого рода оружием и стрелами. Он приказал связать между собой восемь больших кораблей, поставил на них осадную машину и под- подплывал с нею к стенам, надеясь на успех ввиду обширности и тщательности своих приготовлений и славы своего имени. Но все это было пустяками для Архимеда и архимедовых машин. Последний до сих пор еще не создал ничего, заслуживающего внимания. Большая часть того, что он сделал, было еде-- лано мимоходом,— оп занимался математикой как бы для забавы. Первым польстил самолюбию царь Гиерон. Он убедил Архимеда, вместо занятий отвлеченными предметами, заняться хотя бы отчасти предметами реальными и, соединив свои теоретические построения с практикой, сделать их понят- понятнее и яснее для обыкновенных людей. Механике — науке, любимой многими и пользующейся широким распространением,— положили начало Евдокс и Архит. Они желали сделать геометрию интереснее, менее сухой, и нагляд- наглядными примерами, с помощью механики, решали задачи, которые не легко получались путем логических доказательств и чертежей. Так, например, они решили посредством механики задачу о двух средних иропорциональ- пых линиях, задачу, на которую необходимо ссылаться в математике во многих случаях, и решили ее при помощи «месографа» **), проводя кривые ** *) *) См. примечание на стр. 45. ••> Привор для черчения средних пропорциональных (от }i?<jr\— средняя). ••*¦) В подлиннике «ttjuwxaiv, к разряду которых относились конические сечения. ' <¦•¦.'
ВСТУПИТКЛЫ1АЯ СТАТЬЯ И. Н. НЕСЕЛОНСКОГО 49 и делая сечения тол. Платон был недоволен. Он укорял их к том, что они уничтожают математику и лишают ее достоинстп, переходи от предметов умопостигаемых, отвлеченных, к реальным, и снопа сводят ов к занятию реальными предметами, требующему продолжительной и трудной работы ремесленника *). Тогда механика отделилась от чистой математики. Фило- Философы долгое время не интерссопались ею, пока она не сделалась одной из наук, находящих себе применение на войне. Архимед, между прочим, писал однажды сноему родственнику и другу, царю Гиерону, что данной силой (ovvd(Xtii) можно иодпять данную тяжость fljayog). В юношески смелом доверии к силе своего доказательства он сказал, говорят, что, если бы у него била другая земля, ом перешел бы на пее и сдвинул с места нашу. Удивлен- Удивленный Гиерон стал просить его доказать свои слова и привести в движение какое-либо большое тело малой силой. Архимед приказал посадить на цар- царскую грузовую триеру, с громадным трудом с помощью многих рук выта- щештую па берег, большой экипаж, положить на нее обыкновенный груз, и, усевшись на некотором расстоянии, без всяких усилий, спокойно двигая рукой конец полиспаста, стал тянуть к себе триеру так тихо и ровно, как будто она плыли по морю. Пораженный этим, царь оценил нажность меха- механики и упросил Архимеда построить для него машипи, которые служили бы и для наступления и для обороны от какой угодно осады. Царю но приш- пришлось употреблять их — почти вся его жизнь протекла п мире и спокой- спокойствии; по теперь машины эти пригодились енракузцам, а вместе с машинами и их изобретатель. Когда римляне осадили город с двух сторон, сиракузцы испугались. От страха каждый молчал, потому что не надеялся оказать сопротивление такой грозной силе. Но когда Архимед привел в действие свои машины, то в неприятельскую пехоту попеслись пущенные им различного рода стрелы и камни невероятной величины, которые летели с таким шумом и силой, что ничто не могло выдержать их удара; опрокидывая всех задетых ими, они приводили и смятение ряды воинов. Со стороны моря он разместил на стенах другие машины., которые опускали сразу на корабли громадные бревна в виде лапы, захватывали их, подымали силой противовеса, затем выпускали их и погружали а волны. Другие корабли он зацеплял за нос железными лапами или носами наподобие журавлиных и, поставив на корму, топил. (Некоторые корабли он притягивал к земле при помощи тянувших в рапные стороны веревок; там, повертевшись немного, они разбивались о скалы, находившиеся под городской стопой, и большая часть экипажа погибала. Часто можпо было видеть поднятый в воздух корабль, который к ужасу окружающих вертелся с большой быстротой; когда его экипаж был разбросан в разные стороны, как камни из пращи, то корабль разбивался о стону, или, после освобождении от крюка, падал в море. Машина, кото- которую Map цел л поставил на восьми кораблях, связанных вместе, называлась самбукой, по сходству ее с музыкальным инструментом того же имени. Она находилась на довольно далеком расстоянии от стен, когда Архимед бросил на нее камень r десять талантов, а за ним другой и третий, которые ударив машину со страшным шумом и силой, разбили ее связи и так расша- расшатали корабли, что они отделились друг от д^уга. Марцслл, не янаи что делать, поспешно отступил с флотом и приказал также отойти и пехоте. *'] Знаменитое место, повторяющееся и л ;|ругщс сочинениях Плутарха, ин которого в середине XIX века воапиклц легенда, что греческие математики, в частности Платон, запрещали пользоваться каким бы то ии было инструментами, кроме цирнуля и линейки. В атом отношении верно лишь то, чгги в «Няяапах» Евклида мм дуъ'1'их построении. Как Ма увидим ниже. Архимед совершенно спокойно ттозьэопался так набиваемыми veineu; (иетаыкапи) для решении задач, приводившихся к кубическим ураныснинн. 4 Архимед
50 ВСТУПИТЕЛЬНА!! СТАТЬЯ II. II. ПВСЕЛОВСКОГГ) IT a военном совете было решено па следующий день до наступлении утра, если удастся подойти поближе к стенам, чтобы дальнобошшш ланиты Архимеда бросали стрелы поверх их голов, а тс, которые оп мог бы употре- употребить на близком расстоянии оказались бы бесполезными, так как удар на таком малом расстоянии не мог бы получить большой силы. Но Лрхимед уже заранее приготовил для этом цели машины, который могли действовать на всех расстояниях, и короткие стрелы, вылетавшие друг за другом почти непрерывно*). Оп проделал в стенах отверстия па небольшом расстоянии друг от друга и поставил в них среднего калибра скорпионы, которых враги . не могли наметить и которые часто поражали всех приближающихся. Когда римляне подошли вплотную к стенам и уже думали, что находятся в безо- безопасности, то на них посыпался дождь стрел и на их головы полетели отвесно падающие камни, так что не было ни одного места п стене, откуда бы в них не стреляли. Они решили отступить, но едва они удалились ла некоторое расстояние, как Архимед обрушил на отступающих такое количество стрел, что истребил большое количество воинов и разбил много кораблей, в то время как сами они не могли причинить крагу никакого урона, так как Архимед большую часть своих машин расставил в укрытии за стенами;- поражаемые отовсюду римляне, не видч, откуда наносятся удары, казалось, сражались с богами. Между тем Марцелл, иабавясь от опаспости, шутил над своими техниками, говоря, что они дерутся с математиком Бриареем **), который, как бы играя, погружает их корабли и море и с позором прогоняет их, а, бро- бросая разом столько стрел, оставляет далеко позади мифических сторуких нсликанов. Псе остальные сиракузяпс были только телом для архимедовых машин — один он был душой, которая псе двигала и всех направляла. Все другие средства защиты были оставлены; город и для защиты, и для нападения пользовался только машинами Архимеда. Наконец, видя, что римляне так напуганы, что при одном виде спускавшейся со стены перовки или бревна обращались в бегство, крича, что это какая-нибудь новая маши- машина, которую Архимед хочет па них направить, Марцелл прекратил всякие нападения и превратил осаду в блокаду». После этого следует та характеристика Архимеда, которая была при- приведена нами в самом начале статьи. Нетрудно видеть, что рассказ Плутарха, восходящий в конечном счете к Полибию, представляет не совсем грамотную амплификацию простого рассказа Нолнбия. Восемь попарно связанных судов Полибия с четырьмя самбуками превратились в одну колоссальную самбуку, носимую всеми восемью судами, связанными имеете. В рассказе появились поднятые в воздух корабли, приводимые «о вращение и разбрасывающие экипаж в стороны, как будто из пращи; ничего подобного у Полибия пет и сам по себе этот факт невероятен. Еще хуже та ретушировка, которой Плутарх подвергает Архимеда. В его рассказе есть определенное противо- противоречие. В начале оп говорит, что «последний до сих пор еще не создал ничего, заслуживающего внимания»; можно подумать, что только опасность, грозив- грозившая родному городу, заставила Архимеда заняться механикой. В дальней- дальнейшем жо, говоря о первой встрече Архимеда с Гиероном, он употребляет вы- выражение: «в юношески смелом доверии (vEaviED^ojxevog ***)) к силе своего доказательства»; иными слонами, можпо думать, что Архимед занимался механикой с самого юношества. Мы видели, что Архимед действительно *) Такие прототиин пулемета, Илп, лучше сказать, стуеломета, действительно были мзлестпы в яллишнггической воеттй технике (полнбилы). **) Мифический сторукяй гшаит. »••) (jT vectvieuonrai поступать или говорить, как юноша.
НСТУПИТЕЛЬИАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОНСИОГО обратился к чистой математике сравнительно поздно; первой его специаль- специальностью была именно механика. Дли «сякого беспристрастного читателя, поппакомшипегося с рассказами Нолибим м Тита Ливия, совершенно ясно, что Архимед был том, что мы сейчас назвали бм главным военным инжене- инженером царя Гиерона, и его работа по подготовке носшшх машин била выпол- выполнена во всяком случае до 216 года до н. :». — года смерти Гиерона, т. е. по крайней морс за четыре года до осады Сиракуз Map цел л ом. При установлении порядка, в котором были написаны сочинения Архи- Архимеда, мы видели, что после «Досифеевских» сочинений Архимед снова воз- возвращается к механике, пишет трактат «О раипоиесии», определяет положение Смерть Архимеда. Мозаика, вероятно, из школы Рафаэля. Городская галерея во Фрапкфурте-на-Майпе. центров тяжести различных тел и, наконец, закладыпает основы гидро- гидростатики. Внимательное чтение рассказа Лолибия позволяет сделать, как кажется, довольно вероятное предположение о причинах такого возвращения Архимеда к механике. Полибий говорит о машине, которая, захватывая нос корабля, ставила его на корму и приподымала. Дли того чтобы рассчитать такую машину, нужно, кроме знания законов рычага, иметь совершенно ясное представление о потере веса, которую испытывает погруженное в воду тело, иными словами, знать известный закон Архимеда, изложенный л пер- первой книге ого трактата «О плавании». В связи с этим позволительно сделать предположение, что причиной, заставившей Архимеда лернуться к механике, были именно военные заказы царя Гиерона. Если этот царь, как мы знаем из истории Полибия (книга V, 88) и Диодора (книга XXVI, 8), помог Родосу после землетрясения 227 г. до и. э. также и поенными машинами *), то в это время Архимед ужо должен был работать у Гиеропа; таким образом, *) «Гшрсш и Гелон . . . даровали им евпеолу от пошлин дли идущих к ним судов рг;дян и пнть- деент трехлоктешлх катапульт» (Полибий, V, 88). 4*
52 НСТУЛИТКЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. И. ВЕСЕЛОВСКОГО двадцатые годы И иека до п. э. будут наиболее вероятным временем, к которому мы должны отнести механические произведения Архимед» второ- второго периода. У Плутарха лее мы находим и наиболее полное описание обстоятельств смерги Архимеда, погибшего во время грабежа римлянами взятых Сиракуз. «Всого более жалел Марцелл о смерти Архимеда. Последний находился дома, рассматривая какую-то геометрическую фигуру; так как он погрузился в это исследование всем своим умом и всеми чувствами, то не заметил шума, производимого бегавшими туда и сюда римлянами, и не знал, что город уже был в их власти. Вдруг перед ним явился солдат с приказом следовать за ним к Марцелл у. Архимед отказался идти, пока не найдет доказатель- доказательства сноой задачи. Раздраженный римдялин вытаскивает меч и убиваег его. Другие говорят, что какой-ro солдат пошел на него с мечом чтобы убить, а Архимед настоятельно стал просить его подождать немного, пока он закончит задачу, но солдат, которому было мало дела до его доказательства, пронзил его мечом. Третьи говорят, что Архимед сам пошел к Марцеллу, неси в ящике математические инструменты — солнечные квадранты, небес- небесные глобусы и угломеры для измерения видимой величины Солнца, но поиав- шиеся ему по дороге солдаты подумали, что он несет в ящике золото, и убили его, чтобы овладеть этим золотом. Во нсяком случае, все историки признают, что Марцелл был очень опечален смертью Архимеда, сторонился убшищ, как святотатца и, приказавши отыскать родственников Архимеда, милостиво с ними обошелся». У Тита Ливия (книга XXV7, 31) говорится только, что Архимед был убит не знавшим его солдатом, в то время, как он занимался геометрическими исследованиями, от которых его не мог отвлечь шум, происходящий во взя- взятом городе. VIII Так погиб Архимед, один из величайших математиков всех времен я пародов. Нам остается проследить за дальнейшей судьбой его математи- математического наследства. Мы уже говорили, что эпоха Архимеда и его младшего современника Аполлония была временем наивысшего расцвета классической греческой геометрической школы; со II пека до н. э. характер греческой математики резко изменяется, на первый план выдвигаются вычислительные методы, и греческая математика становится, если можно так выразиться, «служан- «служанкой астрономии». Мы видели, что это течение проявилось уже в коице науч- научной деятельности Архииода, который отдал ему дань в «Псаммите»; после него эта сторона математического развития настолько усиливается, что Архимеда как математика просто забывают. Цицерон, открывший заново могилу Архимеда но время спой службы п Сицилии, знает Архимода как инженера и «открывателя числовых соотношений»; Тит Линий, как мы видели, считает Архимеда только астрономом и конструктором военных машип. Однако сочинения Архимеда продолжали жить; и I веко. н. э. их знает Герон Александрийский, м конце III века Архимедом много занимается Папп Александрийский; но ул«е в VJ веко строитель Св. Софии Исидор Милетский и его ученик и комментатор Архимеда Ентокий Аскалонскик знают только трактаты «О равновесии плоских фигур», «О таре и цилип- дро» и л очень фрагментарном виде «Измерение крута». Б IX. веке в эпоху расцвета при Македонской династии Констаптинопольского университета Архимеда начинают знать гораздо больше; к этому времени относятся две
l.-*3>'::-: ' ' "',V'>^'*^fr "'-¦*¦• !:'"' • '?'¦'-:"':-. ''* 14№»^*в»«йий^< ¦ ;\ / JLE..»*^ .i^. Jr»it» .JVu ^. .. i_ , ¦"• . . **. Страница из найденного ГепПергом в иерусалимском монастыре Константп- иопапьского палимпсеста (X п.).
54 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬИ ГГ. Н. ВКСЕЛОВСКОГО основные рукописи сочинений Архимеда; утраченная рукопись, принадле- принадлежавшая в XV веке Георгию Валле, и недавно A907 г.) найденный констан- константинопольский палимпсест, который являются основой всех современных изданий токстои Архимеда. Несколько более посчастливилось Архимеду у арабон. Здесь на норном месте следует и оста нить харранца Сабита ибп Курра (836—901 гг.), пере- переводчика сочинения Архимед» «О шаре и цилиндре» и «Геометрии» Евклида. По-видимому, он был единственным арабским математиком, от которого оста- лись специально механические произведения; его особенно интересовал вопрос об определении условий равновесия неравноплечего рычага с учетом веса последнего, необходимый для прапильной конструкции десятичных весов. Ог Сабита до нас дошли две архимедовские антологии; одна из них «Книга ледш» н средневековом латинском переподе (Liber assumptorum) была известна очень даппо (впервые издана Фостером в Miscellanea — Лон- Лондон, 1659), другая же «О семиугольнике» найдена очень недавио и и составе собрания сочинений Архимеда публикуется нами впервые. Кроме того, Сабит самостоятельно нанимался и другими темами из работ Архимеда: ему принадлежит «Книга о правильном четырнадцатиграннике», иредста- нляюгцом одно из полуправильных архимедовых тел. Около 1000 г. н. э. знаменитый каирский астроном иби аль-Хайтам, «Оптика» которого была настольной книгой всех западноевропейских астро- астрономов вплоть до Кеплера, тоже занимался архимедовскими темами, вполне владея интеграционными методами Архимеда. Он определяет объем сегмента параболоида вращения, причем делает это другим способом, чем Архимед, и независимо от него, так как «Коноиды и сфероиды» оставались неиявест- пьши арабским математикам. Он также решает задачу об определении объела параболического веретена — так называлось тело, полученное от вращения параболы вокруг хорды, перпендикулярной к се оси — и правильно опре- определяет его объем как -.-= объема цилиндра, описанного около веретена. Кроле того, он занимался теорией правильного семиугольника, давши его построение при помощи конических сечешш, отличное от того, которое мы находим в трактате ибн Курры. В Западную Европу сочинения Архимеда попали только после кон- константинопольского погрома 1204 г., когда, вероятно, и был перевезен в Евро- Европу манускрипт, находившийся позже у Георгия Баллы. Первый перевод сочинений Архимеда на латинский язык был сделан францисканцем Биль- гельмом из Мербеке, другом Фомы Акшшского. Этот перевод, законченный в 1209 г., был найден Розе в Ватикане только в 1884 г. Этот перевод настолько буквален, что передаются даже греческие члены F, т„ to), так что может служить независимым источником для установления текста Архимеда, но в сущэстве дела учопгай францисканец вряд ли разбирался. Дли нас пере- перевод этот важен тем, что до самого недавнего времени: мы лишь из него знали трактат «О плавающих телах» Архимеда; только открытие константинополь- константинопольского палимпсеста Гейбергом познакомило нас примерно более чем с двумя третями греческого текста. Часть перевода Мербеке была напечатала Лукой Гауриком в Ленсции в 1503 г. (первое печатное издание сочинений Архи- Архимеда); однако ато издание осталось настолько незамеченным, что знаменитый Тарталья смело присвоил его себе и опубликовал в 1543 и 1565 гг. как «пере- «перевод с греческого». О пол о 1450 г. был выполнен второй латинский перевод Архимеда Яко- Яковом Кремопским. В 1468 г. его переписал знаменитый Региомоптан и привез в Нюренборг для опубликования. Однако ранняя смерть Региоионтапа не
щи-.¦"¦¦¦..:;¦¦ _¦,:.._ ¦¦:.¦..:;;:¦:; ¦^¦¦¦¦:;-фщг^Ж--;?*^. :'&::?---$;-<:::%^?~'ШШ •*'¦¦''%'''''*¦ П А ^4 I4 JS. ~* ^^~Gt *%? (*} КЛ f+'%i&-А:~''с''~ ^'~'': *'-¦'«-'-" г^"''"" *^^^Ш i^^:'-'Q V АБ;" EXTANT Ш'ЫШЩ^Ш ¦:--:J*Ze".--'.'¦ ¦ ¦ : " ¦¦^ ¦>-¦¦¦/•• •^••-.'- /.''"As ШёШ lif^^eS^ -¦ »2Ц|^И Титульный лист сочинений Архимода издания Рино (Париж, 1^5).
56 ВСТУПИТЕЛЬНА!! СТАТЬЯ И. Н. ИЕСЕЛОВСКОГО позволила ему выполнить свое намерение, так что первое издание греческого текста Архимеда было выпущено только в 1544 гг. в Базеле на основе рукописей, происходящих от текста Георгия Баллы). После итого рабо- работы Архимеда входят в обиход ученого мира. Б 1558 г. выходит п Вене- ции перевод Комманднно (второе издание с добавлением трактата «О пла- плавающих телах» вышло в Болонье в 1565 г.), который уже иполне понимал Архимеда. К 1548 г. относится переработка сочинений Архимеда фра Мавролико из Мессины. Последний >ie только вполне понимал Архимеда, но даже иглользонал его методы для получения новых результатов. К трактату «О равпхтесии» Маиролико добавил книгу о равновесии пространственных тел, в которой были определены центры тяжести шара и ого частей, паралле- параллелепипеда, призмы, октаэдра с параллельными гранями, пирамиды и сег- сегмента параболоида. Это первое самостоятельное применение метода инте- интеграции Архимеда, к сожалению, было напечатано только в 1E85 г. Поэтому первым появивлгммея в печати самостоятельным исследованием при помощи методов Архимеда было Do Centre gravitatis solidorum («Книга о центре тяжести тел» Коммапдино (Болонья, 1505)), в котором даются положения центров тяжести призмы, цилипдра, конуса, шарового сегмента (иным способом, чем у Мавролико), усеченной пирамиды и конуса (вместо с их объемами), правильных многогранников и сегмента параболоида вращения. Начиная с этого времени, появляется целый ряд сочинений, поскящепный вопросу о нахождении центра тяжести. В числе их нужно назвать одно из первых научных произведений Галилеи, опубликованное им только it виде приложения к Discorsi e dimostrazioni matcmatiche, иоскященное определе- определению центра тяжести пирамиды (в дошедших до нас сочинениях Архимеда этот центр не определен). Затем идет не предстанляющео ничего нового по сравнению с Коммандино «Begbinselcn der Wceghkonst* («Основания статики») Стевина (Лейден, 1586), «In duos Archimedi aequiponderaiitiurn libros paraphrasis» («Передожение двух архимедовых кнвг о равновесии» Гвидо Убальди (Псзаро, 1588), Т)е cenlro gravitatis libri tres» («Три книги о центре тяжести») Луки Валорно A604), «Theoremata de Centro Gravitatis Holidorum» («Теоремы о центре тяжести тел») Жана Шарля делли Файль (Антверпен, 1632) и, наконец, венчающие весь ряд таких произведений четыре тома «De Centro Gravitatis» («О центре тяжести») венского иезуита Гульдена (Вена, 1С35—1641). Из этих произведений наибольший интерес представляет сочинение Луки Валерио. В нем даются положения пентров тяжестей тетраэдра, октаэдра, трапеции, усеченной трехгранной иырампды, причем определение производится при помощи алгебраических формул, так что Валерио является своего рода предшественником предельпого перехода; данный им способ определения объема тара перешел в наши школьные учебники геометрии. Поело определения объемов сферических сегментов и усечетшх пирамид даются положении центра тижести полушара и сфе- сферическою сегмента (пак мы теперь знаем, они были найдены Архимедом, но решения его стали нам известными только после открытия «Офода»), Затем рассматриваются параболоид и гиперболоид вращения (так же и усе- усеченные), сферические пояса и, наконец, центры, тяжести сегментов сфероида и гиперболического коноида. Небольшая книжка делля Файля интероспа тем, что и ней впервые определяются центры тяжести круговых сектора и сегмента. В XVII веке на пер кое место выступают общие интеграционные методы Архимеда, а также его гидростатические работы; в этом смысле Архи- Архимеда можно было бы назвать ведущим математиком XVI1 века. Галилей,
Фронгиспис к оксфордским изданиям классических математических произведений (Евклид, Архимеди др.). Перевод надписи: «Арлстппп, сократический философ, будучи ныбришеи после кораблекрушения па бсрог Родоса и увидев начерчеиньге геометрические фтп'урьт, как пере- передают, сказал громко своим спутникам: «Будем надеяться на лучшее, ибо я вижу следы людей». Лмтрукий, Об архитектуре, предисловие? к fi-й кшпи».
:5« вступительная статья и. н. веселовского довольно пренебрежительно относившийся к Аристотелю, не называет Архи- Архимеда иначе как «divinissirao ArcMmcdc». Занятия Галилея бесконечно малы- малыми пеличиггами, о которых мы узнаем из его писем и упоминаний в первом диалоге «Босед и доказательств...», были продолжены его учениками: Тор- ричоллп, первым определившим длину дуги параболы, и Кавальери в его «Геометрия неделимых» (Болонья, 1G35). Крупным архимедистом был уже упомянутый пыше Стевпн. Отдал дань Архимеду и молодой Гюйгенс, про- продолживший работы Архимеда по исследованию равнолесия плавающих тел (этой теме была посвящена одна из оставшихся не напечатанными юноше- юношеских работ Гюйгенса) и определению длины окружности. Мы встречаемся с бесконечно малыми у Кеплера, не стремившегося к строгости опубликован- опубликованных произведений Архшмеда, в его «Stereometria doliorum». В этом отпо- шешш интересно отметить, что хотя «Эфод» был найден только в 190G г., но описанный в нем метод квадратур Архимеда был, по существу, угадан и Гюйгенсом, и другими архимедистами. Архимедова строгость, например, характерное заключение определяемой криволинейной площади или тела между двумя прямолинейными фигурами — вписанной и описанной — была оценена значительно позже, чуть ли не Эйлером, или даже только с начала XIX века, когда встал вопрос о строгом обосновании основных теорем интегрального исчисления. Б связи с этим истает интересный «опрос, почему греческая математика, так далеко продвинувшаяся вперед и лице Архимода, не дошла до открытия анализа бесконечно малых. Иногда зто объясняют статичностью, уравнове- уравновешенностью классического идеала, исключающей всякую возможность изме- изменении, которая является характерной особенностью современного исчисле- исчисления бесконечно малых. Дело, однако, объясняется не особенностями грече- греческого национального характера, но особенностями греческой математической мысли эпохи Архимеда и ему предшествующего времепи. Как мы видели выше, осповпой идеей иопийской школы была идея гео- геометрического построении, исключающая всякие метрические элементы. С другой стороны, основной идеей пифагорейской математики была идея ч и с л а; с точки зрения пифагорейской школы геометрия была учением о фигурах — об известных формах распределения единиц в пространстве. Понятие о {i?ysOog — геометрической величине, представляющей часть континуума,— носило тоже вполне определенный количественный характер и исключало идею об изменении: числа и фигуры могли быть больше или моныне одна другой, но не могли увеличиваться или уменьшаться. Идея изменения у греков была связана с совершенно другой категорией — кате- категорией качества: два человека не могли быть более д в у м я, чем два яблока, но л гобой предмет мог быть более или менее красным, теплым, тяжелым и т. д. Таким образом, идея изменения лежала вне области математики и попала в последнюю очень отдаленным обходтгым нутом. В эпоху позднего европейского средневековья в XIV веке у англичанина Суиссста в его «Cal- «Calculator» и несколько позднее у француза Николая Орема появилась идея графического изображения изменения качеств — появились произведения, носившие заглавия «De latitudinibus formarum, De intension» et remissione i'ormaruin» («Об увеличении и уменьшении качеств»), в которых ралиомер- пое движение изображалось прямоугольником — ширина (latiludo) формы оставалась неизменной (uniformis), откуда, между прочим, и произошло позднейшее латинское название равномерного движения — motus unii'or- mis; равномерно-переменное изменение изображалось в виде треугольника или трапеции и называлось uniformiter — dilformis и т. д. Копечпо, из такой чисто словесной классификации различных типов изменения, которую мы
Г у АРХИМЕД А ДУ "'-¦ ¦;?¦ '¦ двЪ книги, ¦'¦ ;л:;: \ '¦'••;о шар* й цилиндр*, vv •: . ;" ИЗМ1>РЕН1Е КРуГА ¦-\у\/\: , ¦::: А и леммы.":- .-'릦'•.''.-•; ПЕРЕВОД!» СЪ ГГЕ^ЯСКАГО ТЯП0ГРА4Ш ДЕПАРТАМЕНТА НАРОДИАГО Титульный лист первого перевода сочинений Лрхимода на русский язык (СПб., 182.41.
fj() ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО находим в сочинениях Орсма (из них не «се еще опубликованы или даже огшсапы), вряд ли могло получиться что-нибудь серьезное, но самый шаг — объединение качественного изменения с геометрической интерпретацией — был очень важным: идея изменения иыражалась в геометрической интерпре- интерпретации*). Конечно, в настоящий момент мы не можем "оказать, каким образом из идей Суиссета и Орема возникли (или даже могли возникнуть) современ- современные нам понятия переменной величины, но дальнейшее развитие математики второй половины XVII века пошло именно по линии развития понятия о норемспной величине; если Архимеда можно считать родоначальником интегрального исчисления, то открытие дифференциального исчисления Лейбницем к Ньютоном дало такие простые и сильные методы, что способы прямого интегрмропания Архимеда оказались выброшенными за борт, и Архимед оказался и ряду почитаемых, но не читаемых классиков мате- математической науки, которыми занимаются лишь филологи, но не математики. Вслед за базельским изданием последовало издание учителя Людовика XIII француза 1'ипо (Rivaltus), дающее лишь греческий текст предложений, за которым следует латинский иереиод доказательств с произвольными изме- изменениями (Париж, 1615). Третьим но счету было оксфордское издание Торел- ли A792), за которым последовало издание датского филолога Гейберга в трех томах A880—1881); второе издание гейберговского текста вместе с шшопайденным «Эфодом» и другими сочинениями Архимеда появилось в 1910—1913 гг.; с этого последнего издания и сделан предлагаемый перевод. *) Оспошиан лдсп предшествующего изложения заимствована мной иу доклада В. П. на семинаре но истории математики прн МГУ, которому п приношу спою благодарность.
АРХИМЕЛ СОЧИНЕНИЯ
МЕХАНИЧЕСКИЕ ФРАГМЕНТЫ Наиболее ранние произведения Архимеда были посвящены механике. Они по дошли до иас, но некоторое представление о них (правда, далеко не полное) можно составить но цитатам из сочинений Архимеда у более поздних авторов. ¦* К числу таких ннторон относится: 1°. Герои Александрийский, эпоху жизни которого в настоящее время относят к I веку нашей эры. От него мы имеем «Механику», которая дошла до нас ю арабском пере- переводе Косты ибн .Луки ал-Ьа'лпякки (т. е. из Паа.чьбска); она была найдена в конце XIX века и впервые опубликована в тейбнерокском издании Геропа {т. I, Лейпциг. 1900 г.) в арабском подлиннике и немецком переводе. Не лее места и атом тексте понятны и верны, и мы не всегда можем точно установить авторов имешщихся ошибок. Может быть, некоторые из атих ошибок сделаны самим Архимедом, но еще более вероятно, что они принадлежат Героиу или Косте ибн Луке. 'ir. Шип Александрийский (III век я. э.), автор «Математической библиотеки», последняя (восьмая) книга которой посвящена механике. К этим двум авторам нужно добавить Симшшкия, византийского комментатора Аристотеля (VI век н. э.) и его близкого современника Ектокия Аскалолского, оставив- оставившего важные комментарии к сочинениям Архимеда; эти комментарии принято помещать в полных изданиях сочинений Архимеда. Сам Архимед в трактате «О плавании» упоминает свое механическое сочинение «О равновесии (\aoQQonvxA). Ото, очевидно, трактат «О равновесии плоских фигур», но ряд ссылок (касающихся центров тяжести круга, цилиндра, призмы, конуса, параболоида вращения) «с может относиться к этому сочинению. Возможно, что оно дошло до иас в неполном виде и, что, кроме книг о равновесии плоских фигур, были и книги, посвя- посвященные равновесию телесных фигур; однако можно утверждать, что дошедшее до пас сочинение «О равновесии плоских фигур» ле могло быть первым сочинением Архимеда но механике. Вторая книга итого сочинения совершенно определенно должна быть напи- написана поспе «Кнадратуры параболы». Поатому некоторые авторы считают, что первая книга «О равновесии плоских фигур» представляла самостоятельное сочинение, предшествовав- предшествовавшее «Квадратуре параболы». Но даже и и этом случае оно не могло быть первым сочи- сочинением Архимеда по механике. Действительно, в нем нет определения центра тяжести, которое, очевидно, предполагается изпестным; затем, самые доказательства часто (центр тяжести прямоугольника и треугольника) ведутся искусственным способом от против- противного, так что они скорее обращены к любящим строгость математикам, чем к механикам- практикам; первоначальный способ нахождения центров тяжести прямоугольника и тре- треугольника, конечно, был совершенно отличным и может быть заключался в разложении площади на ряд «неделимых» прямых (см. отрывок из «Механики» Гсрона, II, 35—41). Ба существование более ранпего сочинения но механике Архимеда указывают и ссылки, имеющиеся ю «Квадратуре параболы». Этим сочинением, посвященным опре- определению центра тяжести простейших фигур, могло быть упоминаемое Панпом сочинение «О рычагах» (Пео) ?/и\»1У • собственно «О равноплечих рычагах»). Возможно, что в нем и давилось то определение центра тяжести, которое мы находим у ТТапиа {VIII, 5) и Геро- на («Механика», 1, 24): оба последних текста настолько близки друг к другу. *1ТО в выс" шей степени вероятно, что они восходят к одному и тому же: источнику, которым и явля- являлось упомянутое сочинение Архимеда. Вероятно, к нему же относится и упоминание
АРХИМЕД Qpg («О центрах тяжести») у Симпликия, так что иг:т надобности принимать гипотезу об особом сочинении под указанным заглавием. Наконец, п арабской «Механике» Геропа имеются ссылки на «Книгу опор» Архи- Архимеда («Механика», I, 25, 26~28, 30—31). В указанном тексте имеется доиоиыю значи- значительное: количество ошибок и несообразностей, и если уж приписывать их в какой-то доле Архимеду, то мы должны признать «Книгу опор» самым радним его сочинением. Сопоставив все скааанное, можно высказать следующее предположение. Самым рашшм произведением Архимеда была вышеупомянутая «Книга опор». Изучение вопросов распределения давлений и устойчивости равновесия привело Архи- Архимеда к кнедению понятия о центре тяжости, причем соответствующая теория (вероятно, с точкп зрения практической механики) была развита в книге «О рычагах». Наконец, математическое излолсснис теории центра тяжести было дало им в сочинении «О равно- равновесии», которое было значительно больше дошедших до нас днух книг «О равновесии плоских фигур». Распределение механических фрагментов в настоящем илдашш произведено сле- следующим образом. Па первом месте помещен, большой отрывок из «Механики» Геропа, соответствую- соответствующий архимедовой «Книге опор». Изложение в нем еще детское. Вес млогооиорной балки для каждого пролета считается распределенным поровну между ограничивающими ятот пролет опорами. В случао консольной балки считается, что опора под консолью выдер- яшиаст нагрузку, соответствующую удвоенной длине выступающей части плюс половина длины оставшейся части; вес этой части, таким образом, считается распределенным по- поровну между опорой под консолью и оставшейся опорой как и в случае простой много- онорпой балки. То.пько в случае сосредоточенных нагрузок давления на оноры нахо- находятся правильно. Ото показывает, что во время написания «Книги опор» Архимед (если нмшеупоыянутые ошибки принадлежат ему, а не Гсролу) еще ле знал, что «ее тела можно считать сосредоточенным в его центре тяжести. Рассмотрение давлений па опоры естественно привело Архимеда к одпоопорной балке или рычагу; следующие фрагменты относятся к предполагаемой книге «О равно- равноплечих рычагах». Здесь на первом месте стоят две цитаты из Паппа, касающиеся архи- архимедова доказательства закона рычага; доказательство, имеющееся у Геропа, отнести к Архимеду можно только условно. Далее помещен отрывок из комментария Евтокия, иажный для уяснения понятия о момоптс (о/эя*]). Затем идут два текста из Геропа и Паппа, касающиеся ппроделения цоптра тяжести, относительно которых можно сказать с уверен- уверенностью, что их источник восходит к Архимеду; места и них, восходящие к Архимеду, отмечены курсивом. Оба последних текста важны н том отношении, что oira раскрывают самый процесс возникновения понятия о центре тяжести из рассмотрения давлений на опоры. После них дан небольшой фрагмент из Симпликия. Затем идут две цитаты из «Квадратуры параболы» и большой отрывок из Герона, касающийся определения центра тяжести треугольника и многоугольников и показы- показывающий .начальные стадии развития способов его нахождения; какая-то часть его может восходить к Архимеду. Наконец, последними идут цитаты из «Эфода» и «О плавающих телах», проливаю- проливающие некоторый свет на то, что содержалось п не дошедших до пас кпигах сочинения «О равновесии». КНИГА О11ОР I. ГЕРОИ, МКХАТШГСА, КН. 1, 25—28, 30—31*) B5) Нам совершенно необходимо разъяснить кое-что о давлении, передаче и переносе с количественной стороны в той мерс, как это нужно для нпедстши. Архимод применял в этой части (механики) искус- искусств», доведенное им до совершенства в книге, озаглавленной «Книга опор». Мы разъясним то из нее, в чем мы нуждаемся для других вопро- вопросов; воспользуемся из лее тем, что отпосится к количественной стороне в той мере, п которой это нужно для изучающих. Постановка (задачи) здесь такова: если имеется несколько колонн, im которых находятся поппрочные балки или стона, причем положения на краях одинаковы или различны, то есть балка или стона *) См. [31J, стр. 71—85.
МЕХАНИЧЕСКИЕ ФРАГМЕНТЫ 65 Н В D Рис. 1. могут выступать за один из концов или за оба конца, а расстояпия между колоннами могут быть равны или пе равны, то мы хотим узнать, сколько веса приходится на каждую колонну. Пример этого: люди несут длинное брскпо, равномерное го весу, (летав) на ранпых расстояниях по длине бревна, причем выступает один из концов или оба конца; мы хотим узнать, сколько веса прихо- приходится на каждого человека; это требуется (узнать) и при обоих (выступающих концах) и при одном. B6) Пусть на колоннах находится груз АВ равномерный по тол- толщине и однородный {рис. 1}. Если он находится на двух колон- колоннах АС и BD, то на каждую из них приходится половина веса АВ. Пусть имеется еще одна колонна EF, делящая расстояние АВ как угодно, и мы хотим узнать, сколько веса приходится на каждую из колонн АС, EF и BD. Представим себе, что груз АВ разделен it точке Е вертикальной линией но колонне {EF), тогда нам ясно, что со стороны АЕ на каждую из колонн АС и EF приходится половина ее веса, а со стороны ЕВ на каждую из колонн EF и ВТ) приходится половина ее веса, так как пет никакой разницы it том, как распреде- распределяется (вес) на колонны, находится ли на них целая или разделенная (тя- (тяжесть), поскольку как целая, так и разде- разделенная все равно находится на колоннах. Следовательно, па колон- колонну EF приходится половина веса ЕВ, и половина веса АЕ, то есть поло- lunra всего веса АВ, па колонну АС приходится половина веса АЕ, а на колонну BD половина веса ЕВ. Поэтому если мы разделим половину АВ в отношении расстояпия АЕ к расстоянию ЕВ, то вес части, пропорциональной (расстоянию) АЕ, придется па АС, а вес (части), пропорциональной расстоянию ЕВ, — на BD. Если мы поставим еще одну колонну HG, то нам ясно, что на АС придется половина (веса) АЕ, на BD — половина (веса) НВ, на EF — половина АН, а на НС — половина BE. Половина АЕ, поло- половина НВ, половина АН и половина ЕВ вместе (равны) АВ, то есть тому, что находится на всех колоннах. Если колонн еще больше, мы узнаем, сколько веса получает каждая из лих, с помощью того ?ке способа. B7) Если так, то предположим, (что имеются) две одинаково расположенные опоры АВ и CD {рис. 2} и пусть на них находится тело АС, равномерное по размерам и весу. Мы уже говорили, что на каждую из опор АВ и CD приходится ноловипа веса АС. Перенесем теперь опору CD, приблизив ее к АВ, пусть ее положение — EF. Мы хотим узнать, сколько веса теперь приходится на долю АВ и EF. Заметим, что расстояние АЕ или равно расстоянию ЕС, или меньше его, или больше его. Пусть сначала {АЕ) равно {ЕС). Тогда нам ясно, что вес АЕ уравновешивается несом ЕС. Поэтому, если мы уберем опору АВ, груз АС останется в том 5ке состоянии (равнове- (равновесия), поэтому нам ясно, что на опору АВ не придется никакого веса и весь пес АС придется (только) на одну (опору) EF. Если расстояние СЕ больше расстояния ЕА, груз АС опустится со стороны С. о Архимед
АРХИМЕД Если же расстояние СЕ меньше ЕА, пусть СЕ равна ЕН {рис. 3}. Тогда СИ находится в равновесии на одной (колонне) RF. Поме- Поместим (в точке Н) колонну HG и представим себе, что груз разделен в точке Н. Тогда (вес) СН придется (только) па одну EF, а на каждую из опор АВ и HG — по половине (веса) АИ. Поэтому, если мы уберем опору HG, к точке // будет приложена вся сила, (которая г Рис. 2. G Г Рис. 3. приходилась) на эту опору, если тело (груза) соединено. Поэтому на (опору) А В t придется половина веса НА, а на (опору) EF — все остальное, то есть СН и половина АН, Если мы представим себе, что (груз) АС разделен пополам в точке К, то КЕ — половина АН. Поэтому если опора, которая сначала была под Е, теперь будет под точкой К, на пес придется весь вес АС, и чем больше удалится опора от точки, делящей груз пополам, тем большая часть веса придется па (опору) АВ, остальной же «ее (придется) на другую опору. B8) Если так, то предположим, что две опоры АВ и EF расположены, как указано в предыдущем случае, и пусть груз ЕС избыточный. Разделим груз АС пополам в точке К. Мы доказали, что на опору АВ (приходится) вес КЕ, а на опору EF — остальная часть веса АС. Предположим теперь, что под точкой С (помещена) опора CD {рис. 4}. Уже доказано, что (п этом случае) на опору АВ придется половина веса АЕ, на опору DC — половина веса ЕС, а на опору EF — половина (всего) веса АС. Перед тем, как мы поставили опору CD, мы показали, сколько веса приходится па каждую из (опор) АВ и EF. Поэтому пам ясно, что после того, как под грузом помещена опора (CD), на опору АВ придется веса больше, чем раньше, на половину ЕН, то есть на половину ЕС, а (опора) EF получит веса меньше, чем она получала сначала, на величину ЕС. В силу сказанного на (опо- (опору) DC придется вес половины ЕС, так как после того, как под груз была помещена добавочная онора, па опору EF приходится меньше (веса) па величину, равную ЕС, а на опору АВ приходится больше веса на половину ЕС. Поэтому на (опору) CD придется остальная половина веса ЕС. Та же величина получится и по другому способу. Поэтому нам ясно, что если груз находится па опорах, которые поддерживают его, и к этим опорам добавлена еще одна опора, то на одни из первоначальных опор будет приходиться больше веса, чем Рис. 4.
МЕХАНИЧКСКИЕ ФРАГМКНТЫ 67 D Рис. 5. до добавления (опоры), а на другие опоры — мепьше веса, чем до добавления. Так, если были опоры АВ, EF и CD и на АВ приходилась половина веса АЕ, то как мы видели, после того как (опора) CD убра- убрана, па АВ приходится половина веса АК. Нам пени, что (часть гру- груза) ЕС повиснет и станет действовать, как рычаг. Поэтому она снимет часть тяжести, (приходящейся) на АВ, а на EF придется (тяжести) больше, чем на ней было /-I ~л ^Г- \р сначала, и груз АВ останется на своем месте. C0) Предположим, что на опорах АВ и CD {рис. 5} находится тело EF, однородное по весу и равномерное по толщине, и пусть оно выступает со стороны обеих опор. Мы хотим узпать, сколько веса приходится на каждую из опор. Так как мы доказали, что если груз AF находится на (опорах) CD и АВ, то CD получает больше веса, чем ЛВ, на удвоенную величину CF, a если (груз) СЕ находится на (опорах) CD и АВ, то АВ получает больше веса, чем CD, на удвоенную величину АЕ, нам ясно, что на CD приходится настолько больше веса, чем на АВ, па сколько удвоенная вел ичина CF превышает удвоенную величину АЕ. Если CF и АЕ равны, то на каждую из (опор) CD и АВ приходится одина- одинаковый вес; чем больше одно расстояние по сравнению с другим, тем больше веса придется на соответствующую опору. Из сказанного нами следует, что если на колоннах или опорах находятся поперечные балки или степа, равномерные по толщине и однородные по весу, и расстояния между опорами различны, мы можем узнать, па какую из опор приходится больший вес и каков избы- избыток веса. Если на опорах находятся поперечные балки или нечто подоб- подобное, это уяснится для нас благодаря тому же самому способу. Точно так же если люди несут дерево или камень на руках или на веревках, причем некоторые из них находятся посередине, а некоторые — на ? F концах, и груз выступает с одной сто- Аг— 1 i 1* роны или с обеих сторон, для нас ясно, сколько веса приходится на каждого.' C1) Пусть другой груз АВ, такжо равномерный (по толщине) и однород- однородный но весу, находится на одинаковых опорах АС и BD {рис. 6}. Тогда нам ясно, что каждая из опор получит половину веса АВ. Подвесим к АВ в точке Е груз. Если точка Е делит АВ пополам, нам ясно, что па каждую из олор приходится половила веса АВ и половина веса груза, подвешенного или положенного в точке Е. Если же точки Е пе делит {АВ) пополам, то разделим вес груза в отношении BE к АЕ, тогда часть веса, пропорциональная ЕВ, при- приходится на (опору) АС, а часть веса, пропорциональная ЕА, на (опору) BD^tl, кроме того, каждая из опор получает половину (веса)$АВ. Если мы подвес*™ другой груз в точке F и разделим его вес в "отношении AF к FB, то на (опору) DB придется часть веса, пропорциональная AF, а на (опору) АС— часть веса, пропор- пропорциональная FB и, кроме того, на каждую из опор придется поло- половина (веса)' АВ. О том, (чему равно) отношение FB к АС, уже 5* 6 6 Гис. С.
АРХИМЕД сказано, сказано и о том, какие веса приходятся на опоры до подве- подвешивания грузов в Е и F, следовательно, сказано о полной нагрузке, которая приходится па опоры АС и BD. Тем же способом мы узнаем, сколько иеса приходится на каждую из них и при подвешивании дру гих грузов. О РЫЧАГАХ П. ТТА1Ш, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА, КН. VU1, 24*) «В книге «О рычагах» Архимеда, а также в «Механике» Фило- Филона**) и Геропа доказано, что большие круги пересиливают меньшие, если вращение происходит около одного и того же центра». III. ГЕРОИ, МЕХАНИКА, КН. II, П. 7***) Представим себе два круга с одним и тем же центром Л {рис. 7}, пусть линии ВС и DE — их диаметры. Пусть оба круга могут вра- вращаться около точки А, являющейся их центром, и установлены перпендикулярно горизонту. Если мы подвесим в точках В и С равные грузи F иН, то нам ясно, что круги не наклонятся пи в одну сторону, так как веса /' и // равны, расстояния ВА и АС также равны, так что ВС — коромысло весов, которое может вращаться около точки подвеса Л Если же перенести груз, находящийся в С, и подвесить его в Е, то груз F опустится впиз и наклонит оба круга. Если мы добавим [в точку Е] груз G, то он уравновесит груз F, если груз G относится к грузу F как расстояние ВА к рас- расстоянию АЕ. Поэтому мы можем рассматривать 1'ис. 7. линию BE как весы, которые могут вращаться около точки подвеса А. Это доказал Архимед п своой книге о ранповесни (книга первая, предложения VI и VII). Отсюда ясно, что можно сдвинуть большую величину малой силой. IV. ПАПП, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА, КН. VIII, 1 !••••) ; «Т? той же самой теории*****) относится задача: как двинуть данный груз заданной силой******); это механическое изобретение Архимеда, о котором он, как передают, сказал «дай мне где стать, и н сдвину Землю». V. ЕВТОКИЙ, КОММЕНТАРИИ К ТРАКТАТУ «О РАВНОВЕСИИ ПЛОСКИХ ФИГУР»*******) «Момент (pCTTTfj)... является общеродовым понятием для тяжести и легкости, как говорит Аристотель и, следуя ему,— Птолемей. Тимей же у Платона утверждает, что всякий момент рождается лишь от тяже- *) См [821. стр. 1068. 19 и ел. **) Финок Византийский (II век до к. э.), автор большого курса «Механики» (из которого до пли йтагмеиты ивух книг). кас дошли фрагменты двух книг). ***) См. [811. стр. 111—43 *) См. [321. стр. 1060. • •"> i.;m. |iZ|. стр. iuou. *««**) Подразумевается теория дюдиитип тяжелых тел. ф*»***),В подлиннике 6'Н'<хц«. что соответствует нашей «мощности» ¦«»•****) См. [15], 1-е издание, т. Ш, стр. 306. (см. вступительную статью).
МЕХАНИЧЕСКИЕ ФРАГМЕНТЫ 69 сти, а легкость он считает лишением*). Любители ггаук могут прочитать об этих мнениях и составленной Птолемеем книге о момен- моментах, в физических, сочинениях Аристотеля, и платоповом «Тимее» и в комментариях к ним. Л рассматриваемой книге Архимед называет центром момента (/Mvzpov vrj; owtj;) плоской фигуры точку, при подвешивании за которую фигура остается параллельной горизонту; цен- центром момента или тяжести двух или более пло- плоских фигур он называет точку подвеса рычага, остающегося параллельным горизонту, если прикрепить к его концам упомянутые фигуры. Пусть, например, дан треугольник ABC {рис. 8} и в середине его точка D, обладающая тем свойством, что при подвешивании за нее тре- треугольник остается параллельным горизонту. 1>ис- 8- В таком случае ясно, что части его А, В и С уравновешивают друг друга и ни одна из них не будет иметь боль- большего момента ((i-L.Xov psnei) к горизонту. Точно так же, если дан рычаг АВ и к нему подмешены такие величщш А и В, что при подве- подвешивании за С части А и В рычага уравновешивают друг друга, то он останется параллельным горизонту и точка С будет центром подвеса для величин А и В». ': VI. ГЕРОИ, МЕХАНИКА, КН. I, J, 2Л**) ': Никто не отрицает, что о наклонении и отклонении в действитель- действительности говорят только о телах. Если же мы говорим о плоских или телес- телесных геометрических фигурах, что некоторая точка является их цен- центром поворота и центром тяжести, то это достаточно разъяснено Архи- Архимедом. Это будет понятно после того, что мы сообщим. Посидоиий***) из школы стоиков дал физическое определение центра наклона и тяже- тяжести: он сказал, что центр тяжести или наклона это такая точка, что если подвесить и пей груз, он разделится на две равные части. Архимед и его последователи в искусстве механики уточнили эти слова и уста- установили разницу между точкой подвеса и центром наклона. Точка под- подвеса — это такая точка тела или другого предмета, что если подвесить его в этой точке, все его части будут находиться в равновесии, а не будут качаться и наклоняться; равновесие же наступает тогда, когда один предмет уравновешивает другой, как это имеет место в случае весов, колеблющихся в плоскости горизонта дли в параллельной ей плоскости. Архимед сказал, что грузи не наклоняются {если они под- подвешены) на некоторой линии или в некоторой точке. Ото бывает па линии, когда груз (подвешен) в двух точках этой линии, причем эта линия не наклонена и плоскость, проведенная через эту линию перпен- перпендикулярно горизонту, остается перпендикулярной (горизонту), как бы ни перемещалась линия; тогда груз, (подвешенный) па линии, не наклоняется. Когда мы говорим, что груз наклоняется, мы имеем в виду его падение вниз, т. е. движение к земле. Раиповесие в точке бынаст, когда груз подвешен н ней и при всяком движении части тела •) отбодок — технический термин аристотелевской физики; в данном случае педраоуме- вается лишение тяжести. **) См. [31]. стр. 63—71. ¦ • .... *"*) См. ъступиуельную статью, главу II. ..• .. ... .. ¦ . .: .-.
70 АРХИМЕД движутся одинаково по отношению друг к другу. Груз уравновешивает другой груз, если они подвешены в двух точках линии, разделенной (точкой опоры) пополам, или в точке, делящей ее (в другом отпо- . шении), причем линия становится параллельной горизонту, если величины грузов относятся друг к другу обратно расстояниям точек, в которых они подвешены, (от точки опоры). То, что подвешенные таким образом грузы будут находиться в равновесии по отношению к наклону, доказал Архимед в своих книгах о равновесии фигур, поль- .- зуясъ при этом рычагами. Точка подвеса и опоры — одно и то же, так как и точка подноса и опоры оказывают одно и то же силовое действие: опора, к которой подвешен груз, несет его; только опор может быть много и даже беско- бесконечно много. Что же касается центра наклона, то это единственная точка в каждом теле, в которой сходятся перпендикуляры (к горизонту), проведенные из точек подвеса*). У некоторых тел центры наклона бывают тше их самих, как это имеет место в случае сводов и запястий. То, что линии подвеса сходятся в одной общей точке, нам будет ясно, если мы представим себе плоскость, перпендикулярную горизонту, рассекающую тело на уравновешивающие друг друга части**). Тогда нам ясно, что эта плоскость делит тело пополам, поэтому она проходит через тело. Если мы представим себе другую плоскость, делящую тело так оке, как зта плоскость, она также пройдет через тело. Эти две плоскости пересекутся по линии и если бы эта линия пересечения не прошла через точку подвеса, оказалось бы, что тела и уравновешивают и не уравновешивают друг друга. Примспим эти выводы к опорам. Представим себе тело, опираю- опирающееся на лилию в плоскости***). Пусть части тела находятся в равно- равновесии (относительно) этой линии. Если продолжить эту линию, она пройдет внутри тела. Если бы она находилась вне тела, то ппе тела находилась бы и плоскость, но мы видели, что это невозможно. Следо- нате.иьно, линия пройдет лнутри тела и разделит его на части, уравно- уравновешивающие друг друга. Если мы представим себе в качестве точки равновесия другую точку, отличную от этой, окажется, как в первом случае, что линия, проходящая через эту точку, пройдет внутри тела, поэтому эти дне линии различны. Если провести через них две пло- плоскости, они не (обязательно) пересекутся, так как через две линии можно провести две непересекающиеся плоскости****). Получится то же самое, что в первом случае, поэтому это невозможно. Таким образом, мы узнаем, что эти плоскости пересекаются и линии встречаются', поэтому эти линии находятся в одной плоскости. Если продолжить эту плоскость до поверхности тела, то точки пересечения образуют линию. Тогда имеется третья точка, попадающая вне атой линии. Представим себе, что ота точка — также точка равновесия, то есть *) Имеется в виду обычный enoci б определения центра тяжести путем подвешивания тела в различных точках и нахождения точки пересечения вертикалей, проходящих через точки поивеса. •*) Дальнейший текст Гсрона следует читать вместе с приведенным ниже текстом Паппа. Курсивом отмечены места совпадающие в обоих текстах. 8ти места с наибольшей вероятностью можно считать текстом садаого Архимеда. Отметим, что текст Пашш лучше текста Героиа, у кото- которого встречаются несообразности и неясности. ***) Необходимость вставки отого слона иидпа из текста Паппн (п. 7). *"¦••) По-видимому, мысль автора такопа: если имеются две точки равновесия, ие гаходящиеся на одиой вертнкллн. через них можно провести дпе вертикали, а через них — дпе непсрссрквгтие друг друга плоскости. Так как каждая такая плоскость должна делить тело на две урапнопртиьат щие друг друга части; в таном случае получилось бы. что одна и та же часть тела находилась бы одновременно и равновесии с двумя частями тела, одна из которых превосходит другую на часть тела, находящуюся между двуми параллельными плоскостями.
МЕХАНИЧЕСКИЕ ФРАГМЕНТЫ 71 что тело {подвешенное) в этой точке, находится в равновесии*). Проведем через эту точку линию {равновесия) внутрь тела. В силу сказанного нами если провести эту линию., она встретит две линии {подвеса), через которые проведена плоскость, и притом только в точке их пересечения, так как если линия встречает две пересекающиеся линии, а сама находится в другой плоскости, она встречает их в их точке пересечения, ибо если бы она встречала их пе в их точке перс- сечения, то необходимо часть этой линии находилась бы в одной пло- плоскости, а остальная часть — в другой плоскости. Следовательно, все линии подвеса встречаются в одной точке', эта точка и называется центром наклона и тяжести. VII. ПАПП, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА, КН. VIIT, 5-Й**) E)... Мы говорим, что центром тяжести некоторого тела является некоторая расположенная внутри него точка, обладающая тем свой- свойством, что если за нее мысленно подвесить тяжелое тело, то оно остает- остается в покое и сохраняет первоначальное поло- положение. Эта точка, существующая пе только в А геометрически правильных телах, но и в телах неправильной формы, может быть найдена при помощи следующих рассуждений. Вообразим некоторую вертикальную пло- плоскость ABCD {рис. 9j, направленную к центру с мира, куда, по-пидимому, имеют стремление {Ьохгр?) все тела, обладающие весом; пусть пря- Рис" 9' мая АВ параллельна той плоскости, на кото- которой мы паходимся***). Если какое-нибудь обладающее весом тело поло- положить на прямую АВ так, чтобы оно полностью рассекалось продолже- продолжением упомянутой плоскости, то оно может иногда занять такое положе- положение, что будет оставаться в покое, ие вращаясь и не падая вниз. Если это случилось и мы мысленно продолжим плоскость A BCD, то она рассечет лежащее тело па две части, обладающие одинаковыми моментами и взаимно уравновешивающиеся, если тело как бы под- подпереть этой плоскостью****). Если затем переставить груз так, чтобы он касался прямой АВ другой своей частью, то можно при поворачива- поворачивании дать ему такое положение, что он, будучи отпущен, останется в покое и не упадет. Если снова вообразить плоскость ABCD продолжен- продолженной, то она разделит груз на две взаимно уравновешивающиеся части и пересечется с первой плоскостью, делившей тот же груз па две взаимно уравновешивающиеся части; если бы эти плоскости не пересеклись, то те же самые части были бы и уравновешивающимися и не уравновешивающимися, что нелепо. G) После этих предпосылок вообразим прямую АВ, перпендику- перпендикулярную к горизонтальной плоскости {рис. 10} и, следолательно, направленную к центру мира; затем аналогичным образом положим груз на точку А так, чтобы он, пользуясь прямой АВ в качестве *) Иысяь автора тякоиа: ои нашел две точки подвеса, провел черев них две линии подвеса, которые оказались в некоторой плоскости, образующей в сечении с поверхностью тела прикую, на которой находятся обе первые точки подвеса. Он берет третью точку подвеса, не находящуюся на этой кривой, и локазыпает. что линип подвеса, проходящая через эту точку, проходит через точку (пересечения иврпых двух линий подвеса. *•) С.н. [32J, стр. 1030 и ел. **¦) То есть горизонтальной. . ¦ . • ¦ •***) То есть плоскостью ABCD ' ...-...¦:'..
72 АРХИМЕД Л Рис. 10. подставки, когда-нибудь остался в покое па точке А, как он оставался неподвижным на проведенной через нее плоскости. Если теперь, сохра- сохраняя тело неподвижным, продолжить прямую АВ, то некоторая ее часть будет находиться внутри рассматриваемого тела. Вообразим, что последнее стало в некотором положении неподвижным; тогда снова наложим его на указанную прямую другой частью так, чтобы оно опять стало неподвижным; я утверждаю, что тогда продолженная прямая АВ встретится с первоначально заключавшимся внутри тела А отрезком- Действительно, если бы она пс встретилась, то оказалось бы возможным, что некоторые плоскости, проведен- проведенные через каждую из этих прямых, не пересекаются друг с другим внутри тела, причем каждая из них разделяет груз на части, которые одновременно являются и уравновешивающими- уравновешивающимися и не уравновешивающимися, что нелепо; следовательно, упомянутые прямые встретятся внутри тела. Точно так же если в других положениях помещать груз на точку А так, чтобы он оставался в покое, то снова продолженная АВ обя- обязательно встретится с заключающимися внутри тела отрез- отрезками первоначальных прямых. Из этого ясно, что такие вооб- воображаемые прямые будут пересекать друг друга в одной и той же точке; эта точка и называется центром тяжести. Яспо, что если груз мысленно подвесить за центр тя?кести, то он не перевернется, но будет сохранять любое приданное ему в начале положение, так как все плоскости, проведенные через эту точку, будут разделять груз на взаимно уравновешивающиеся части, у которых не будет никакой причины для лерскерачивания. (8) Пот в этом и заключается сущность теории центра тяжести; доказываемые ею элементарные свойства последнего ты можешь узнать, познакомившись с книгами Архимеда «О равновесии» и с «Механи- «Механикой» Герона; в дальнейшем же мы изложим лишь то, что не является известным большинству. VIII. СИМПЛИКИЙ. КСМЕПТАРИИ К КНИГЕ АРИСТОТЕЛЯ «О НЕБЕ» «Теория центра тяжести, относительно которой много и хорошо написали Архимед и многие другие, имсот своей целью определить центр данной тяжести, то есть некоторую точку на теле, при подве- подвешивании за которую верепкой тело остается в том же положении без изменения наклона». IX. АРХИМЕД, КВАДРАТУРА ПАРАБОЛЫ, 6*) «Действительно, каждое из подвешенных тел, укреплеппое в ка- какой-нибудь точе{о, остается неподвижным к таком положении, когда точка подвеса и центр тяжести подвешенного тела находятся на одном перпендикуляре; это тоже доказано». X. ГЕРОН, МЕХАНИКА, КН. II, 35-41**) C5) Нам необходимо доказать кое-что... о более важных вещах, которые разъясняли Архимед и другие. *) См. стр. 81 этого издания. •*) См. [32J, стр. 189—199.
МЕХАНИЧЕСКИЕ ФРАГМКНТЫ 73 Прежде всего сообщим, как определяем центр тяжести треуголь- треугольника, равномерного по толщипе и однородного по весу. Пусть данный треугольник — треугольник ABC {рис. 11}. Разделим линию ВС пополам в точке D и соединим точки А и D. Если опереть треугольник на линию AD, он не наклонится ни в ту, ни в другую сторону, так как треугольники ABD и ADC равны*). Точно так же, если мы разделим линию АС в точке Е и соединим точки В ц Е vl если опереть треуголь- треугольник на линию BE, он также не наклонится ни в ту, ни в другую сто- сторону. Так как треугольник, будучи оперт на каждую из линий AD и BE, находится в равновесии своих частей и не наклоняется ни в ту, ни в другую сторону, общая точка, в которой эти две линии пересекаются, является центром тяжести, это — точка F. Необхо- Необходимо представлять себе точку F в середине толщины треугольни- треугольника ABC. Поэтому нам яспо, что если мы соединим точки А и D, разделим линию AD в точке F на такие две части, (одна) из которых AF — удвоенная (другой) FD, то точка F будет центром тяжести. Действительно, если мы соеди- соединим точки D и Е, линия АВ будет параллельна линии DE, так как линии АС и ВС разделены в точках D и Е (пополам); таким обра- образом, отношение АС к СЕ равно отношению АВ к ED, но липия АС — удвоенная литая СЕ, откуда следует, что линия АВ — удвоенпая ED. Но линия АВ относится к ED как линия AF к DF, сле- следовательно, AF — удвоенная FD, в силу того, что фигуры ABF и DFE обладают равными углами. C6) Мы хотим определить то же самое для четырехугольника. Пусть данный че- _ тырехугольник — четырехугольник ABCD В {рис. 12}. Соединим точки В и D и разде- разделим BD пополам и точке Е, соединим также (точки) А и Е, Е и С и разделим линии АЕ и ЕС в точках F и Н таким образом, что- чтобы AF была удвоенной FE, а СН — удноепной НЕ. Тогда центр (тя- (тяжести) треугольника ABD — точка F, а центр треугольника BDC — — точка //. Мы получим то же самое, если будем представлять себе весь вес треугольника ABD (сосредоточенным) в точке F, а весь вес треугольника BCD — н точке //. Тогда лилия FH становится веса- весами, па концах которых находятся зти величины. Поэтому если мы разделим липию FH в точке G таким образом, что СН относится к FG как вес F, то есть вес треугольника ABD, к весу Н, т. е. весу треуголь- треугольника BDC, то точка G, в которой оба веса уравновешиваются, являет- является центром (тяжести) этого четырехугольника. C7) Мы хотим определить то же самое для пятиугольника ABCDE {рис. 13}. Соединим BE и определим центр тяжести треугольника *) Под ранними трвугольниками ядесь имеются в виду равновеликие треугольник-! (кон- (конгруэнтные треугольники назывались «равными и подобными треугольниками»). В подлиннике могло также стоить «рашюисенщиео. Рис. 12.
74 АРХИМЕД ABE, пусть это будет точка F; пусть центр тяжести четырехугольника BCDE будет в точке И. Соединим точки ? и Н и разделим линию FII па две части таким образом, чтобы часть HG относилась к GF, как вес треугольника ABE к весу четырехугольника BCDE. Поэтому точка G — центр тяжести фигуры ABCDE. Такой же способ мы будем применять и для всех многоугольников. C8). Если дан треугольник ABC, равномерный по толщине и несу, и под точками А, В и С находятся одинаково расположенные опоры {рис. 14}, то мы хотим определить, ка- какую величину веса треугольника ABC Рис. 14. несет каждая мз этих опор. Разделим линию ВС пополам в точке D, соединим точки А и D и разделим линию AD на дно части в точ- точке Е таким образом, что часть АЕ — удвоенная ED. Тогда точ- точка Е — центр тяжести всего треугольника. Нам нужно распределить этот вес по опорам. Если мы пред- представим себе линию AD а равно- равновесии подвешенной в точке Е, то вес и D будет удвоенным весом в А, так как линия АЕ — удвоеп- ная линия ED. Если мы предста- представим себе, что вес в D распреде- распределен по точкам В и С таким ¦¦л образом, чтобы линия ВС находи- находилась в равновесии, то на каждую из точек В и С придется половина веса в D, так как линии BD и DC равны. Но вес в D был удвоенным весом в А. Следовательно, иеса во всех трех точках А, В и С равны и, значит, опоры будут нести равные нагрузки. C9) Пусть дан треугольник ABC, также равномерный по весу и толщине и находящийся на одинаково расположенных опорах {рис. 15}, и пусть в точке Е, расположенной где угодно, положен или подвешен груз. Мы хотим определить, какую долю веса, (поме- (помещенного) в Е, несет каждая из опор. Соединим (точки) А и Е и про- продолжим АЕ до D. Разделим нес в Е на две части таким образом, чтобы треугольник находился в раиновесни, будучи оперт на линии AD. Тогда отЕюшенае веса и D к весу и А равно отношению линии АЕ к ли- линии ED. Далее разделим вес в D так, чтобы (линия) ВС находилась в равновесии, будучи поднешена (в />). Тогда отношение веса в С Рис. 15.
МЕХАНИЧЕСКИЕ ФРАГМЕНТЫ 75 Рис. 16. к весу в В равпо отношению линии BD к линии CD. Вес в D найден, следовательно, найдены и веса в В и С; вес в А также найден. Следо- Следовательно, найдены веса во (всех трех) опорах. D0) Если дан треугольник ABC и подвешены известные грузы в точках А, В и С {рис. 16}, то мы хотим определить внутри тре- треугольника такую точку, что если подлесить треугольник в этой точке, он будет находиться в равнове- равновесии. Разделим линию АВ в точ- точке D таким образом, что линия BD относится к AD как вес \\ A vl ве- весу в В. Тогда точка D будет общим центром тяжести обоих грузов. Соединим точки D и С ли- линией DC и разделим ее в точке Е таким образом, что отношение ли- в* нии СЕ к линии ED равпо отно- отношению веса в D к весу в С. Тогда точка Е будет общим центром тяжести всех трех грузов. Следовательно, она и будет точкой подвеса. D1) Мы хотим определить то же самое и для многоугольников. Пусть фигура ABCDE — многоугольник {рис. 17}. Подвесим и точ- точках А, В, С, D и Е известные грузы. Разделим линию АВ в точке F таким образом, что отношение линии BF к FA равно отношению веса в А к весу в В. Тогда точка F — (об- (общий) цептр (тяжести) двух грузов, нахо- ДЯТЕ1ИХСЯ на АВ. Разделим также ли- пню DE в точке Н таким образом, что отношение линии DH к линии НЕ ракпо отношению веса в Е к весу и D. Тогда точка Н — общий центр тяжести точек Е и D. Соедипим FH и разделим FH в точ- точке G таким образом, что отношение об- щего (веса) в А и В к общему (весу) и D и Е равно отношению HG к GF. Тогда точка G — общий центр тяжести точек А, В, D и Е. Соединим точки С и G линией CG и разделим ее б точке К таким образом, что линия СК отно- относится к KG как (общий) вес в А, В, D и Е к весу в С. Тогда, следовательно, точка К будет общим центром тяжести всех грузов. XI. АРХИМЕД, КВАДРАТУРА ПАРАБОЛЫ, 6 в Разделим липию ВС в Е так, что- чтобы СЕ была вдвое больше ЕВ, прове- проведем КЕ параллельно DB, и разделим ее в G пополам {рис. 18}; тогда точ- точка G будет центром тяжести треуголь- треугольника BDC; зто действительно доказа- доказано в «Механике»*). *) Архимед не гоиорит: «докавано в книге «О равновесии»: следовательно, в момент написания трактата «Квадратура параболы» книга «О равновесии» еще не существовала.
76 АРХИМЕД XII- АРХИМЕД, О ПЛАВАНИИ, RII. Ц, 2*) «Действительно к «Началах механики» доказано, что если отпять какую-нибудь величину, не имеющую одного и того же центра тяжести с целой величиной, то центр тяжести остатка будет находиться на прямой, соединяющей центры тяжести целой и отнимаемой величин, если продолжить ее в ту сторону, н которой находится центр тяжести целой величины»**). О РАВНОВЕСИИ ХШ- АРХИМЕД, ЭФОД, ЛЕММЫ***) 7. Центром тяжести круга является точка, которая одновременно является и геометрическим центром круга. 8. Центр тяжести всякого цилиндра находится на середине его оси. 9. Центр тяжести всякой призмы находится на середине ее оси. 10. Центр тяжести всякого конуса находится на ого оси и точке, делящей последнюю так, чтобы отрезок, прилегающий к иершиие, был втрое больше остатка. XIV. АРХИМЕД, ЭФОД, 1****) «Разделим прямую ТК (медиану треугольника ЛТЪ) в точке X так, чтобы ГК была втрое больше КХ; тогда точка X будет центром тязкести треугольника AZF; это действительно доказано в книге «О ракповесии» (?vto?? taoppomxoic)». XV. АРХИМЕД, О ПЛАВАНИИ, КН. II, 2*****) «Действительно, в книге «О равновесии» доказано, что у вся- всякого сегмента прямоугольного коноида (-параболоида вращения) центр тяжести будет находиться на оси к точке, разделяющей послед- последнюю так, чтобы отрезок, прилегающий к вершине, был идпое больше остатка». *) См. стр. 336 этого издания. **) Ом. предложение VIII иериой книги «О равновесии плоских фигур». Однако употреблен- ими в рассматриваемой книге способ докяэятельстла от противного, а также употребленные Архи- Архимедом при цитировании выражения позволяют думать, что в данном случае Архимед имел в виду более ранне?, сочинение, тем более, что он несколькими строками выше, говори о центре тяжести сегмента параболоида вращения, цитирует трактат «О равновесии» (см. ниже, фрагм. XV). •**) Г.м. стр. 299 этого издании. ****) См. стр. 301 втого издания. ¦*•**) См. стр. 336 этого издания.
КВАДРАТУРА ПАРАБОЛЫ Архимед Досифею желает благоденствия! Узпаиши о смерти Конона, делавшего вес для пас из дружбы, и о том, что ты был близок к Конону и сведущ в геометрии, мы очень опечалились о покойном и как о друге и как о выдающемся матема- математике. Поэтому мы решили написать тебе, подобно тому как обычно писали Конону, и послать некоторые геометрические теоремы, оставав- остававшиеся ранее неизвестными, а теперь полученные нами; они были сначала обнаружены нами при помощи механических методов, а затем доказаны также и геометрически. Некоторые из занимавшихся ранее геометрией пытались доказать, что возможно найти площадь, ограниченную прямыми линиями и рап- рапную заданному кругу или его сегменту; затем они пробовали пре- превратить в квадрат площадь, заключающуюся между прямой и сече- сечением целого конуса*), пользуясь при этом не вполне дозволенными предположениями, вследствие чего болыпипстио >татематиков и не признало за ними решения этой задачи. Что же касается сегмента, ограниченного прямой и параболой, то, насколько пам изкестпо, никто из предшествующих математиков не пытался его квадрирокать, нами же эта квадратура в настоящее время найдена. Действительно, можно доказать, что всякий сегмент, заключенный между прямой и параболой, составляет четыре трети треугольника, имеющего с сег- сегментом одно и то же основание и рапные высоты. При этом доказатель- доказательстве принимается следующее предположение. Если имеются две неравные площади, то, постоянно прибавляя к самому себе избыток, на который большая площадь превосходит меньшую, можно получить площадь, которая была бы больше любой заданной ограниченной площади. Этой леммой пользовались также и -дшвшие ранее геометры. При помощи именно этой леммы опи доказали, что круги находят- находятся друг к другу к двойном отношении их диаметров, шары — друг к Другу в тройном отношении их диаметров, и также что всякая пира- пирамида составляет третью часть призмы, имеющей с пирамидой одпо *) 1Год несколько странным выражением «сечение целого конуса» (следовало бы скавать «остроугольного конуса»), но всей нидимости, подразумеваете!! эллипс.
78 АРХИМЕД и то же основание и одинаковую высоту. Доказательство того, что всякий конус составляет третью часть цилиндра, имеющего с конусом одно и то же основание и одинаковую высоту, опи изложили, приняв некоторое предположение, подобное упомянутой лемме. При этом каждая из упомянутых теорем считается ничуть но менее правильной, чем другие, доказываемые без помощи упомянутой леммы; поэтому совершенно достаточно, чтобы такую же степень достоверности имели и теоремы, излагаемые нами теперь. При доказательстве мы сначала показываем, как эта теорема была обнаружена нами при помощи меха- механики, а затем уже, как она доказывается геометрически. Предварительно излагаются основные свойства конических сечений, не- необходимые для доказательства. Будь здоров! I Если АВГ {рис. 1} — парабола, прямая Рис. 1. БД параллельна диаметру или сама является диаметром*), а прямая А Г параллельна каса- касательной к параболе в точке В, то АЛ будет равна ДГ; и если АД рае- на ДГ, то прямая А Г и касательная к параболе в В будут параллельны» II Если АВГ {рис. 2} — парабола, прямая ВД параллельна диаметру или сама является диаметром, прямая ЛАГ параллельна касательной к параболе в точке В и ЕГ — касатель- касательная к параболе в точке Г, то прямые. ВА и BE будут равны. III Если АВГ {рис. 3} — парабола, прямая ВЛ параллельна диаметру или: сама является диаметром, и параллельно касательной к парабо- параболе в точке В проведены какие-нибудь прямые АА и EZ, то отношение линий В А в BZ будет равно отношению квадратов па АД к EZ. Все эти теоремы доказаны в «Началах теории конических сече- ;ний» [1]. ") Под диаметром здесь и ниже подразумевается ось параболы
КВАДРАТУРА ПАРАБОЛЫ 79 IV Пусть АВГ {рис. 4.} будет сеемент, заключающийся 'между прямой и параболой, пусть прямая БД проведена из середины АГ параллелъ- '¦ но диаметру или сами является диаметром, и соединяющая прямая ВГ продолжена. Если параллельно БД провести какую-нибудь другую прямую Z0 так, что- чтобы она пересекала прямую, проходящую черея R точки В и Г, то ZB будет иметь к ©Н то же самое отношение, что ДА к AZ, Действительно, через точку II проведем прямую КП параллельно АГ; тогда отношение линий ВД и ВК будет таким же, как отношение квадратов на ДГ и КН; "вк вг BI Е0 гд \А Аи зто доказано (п предложении III). Следовательно, отношение линий ВГ и В1 будет равно отношению квадратов па ВГ и на Вв. вга Вв2 так как AZ равна КН; значит, линии ВГ, ВО и BI будут составлять пропорцию*). Таким образом, БГ к В0 имеет то же самое отноше- отношение, что Г0 к 01; Г0 ••) 01 значит, как ГД относится к AZ, так и BZ будет относиться к 0Н***). ez вн Но ДГ равна ДА; тогда ясно, что ДА будет иметь к AZ то же самое отношение, что Z0 к 6Н. Z© V Пусть АВГ {рис. 5} будет сегмент, заключающийся между пря- прямой и параболой, из точки А параллельно диаметру проведена пря- прямая ZA, а из точки Г — касательная TZ к параболе в точке Г. Если в треугольнике ZAT параллельно AZ провести какую-нибудь прямую, «) Так как ВГ : BI - ВД : ПК = ДГ2 : КП* = (ДГ : AZJ — (ВГ : ВвJ, -п.. асгаи, ВГ-ве!- ВГ2-В1, т. е. Вв2=ВГ-В1 и ВГ:Вв=Вв:В1. ••) Имеем ВГ : ВЬ— F16 : BI; отсюда ВГ : № — (ВГ i B0) : (В© ± BI) = Гв : в1. . . ••*) В самом дгас, ¦• -' ГЛ : AZ=Br: Вв — Гв : в! = вХ : вН.
80 АРХИМЕД то эта прямая разделится параболой в том же самом отношении, а каком ЛГ разделится проведенной, прямой, причем отрезок прямой А Г, прилежащий к А, будет соот- соответствовать ближайшему к А отрез- отрезку проведенной прямой. Проведем параллельно AZ ка- какую-нибудь прямую ДЕ, и пусть сначала ДЕ разделит АГ пополам. Тогда, так как АВГ есть парабола, прямая ВД проведена параллельно диаметру, а прямые АЛ и ДГ рав- равны, то АГ будет параллельна каса- касательной к параболе в точке В (пред- (предложение I). Далее, так как ДЕ параллельна диаметру и из точки Г проведена касательная ГЕ к параболе в точке Г, а прямая ДГ параллельна каса- касательной к параболе к точке В, то ЕВ будет равна ВД (предложение II); таким образом, АД к ДГ имеет то же самое отиошение, что ДВ к BE. ад _ дв вг — be Теперь, если проведенная пря- прямая сечет А Г пополам, то теорема уже доказана; в противном случае проведем параллельно AZ какую- нибудь другую прямую КЛ; следует доказать, что АК будет иметь к КГ то же самое отношение, что Кв к 0Л. АК _ ке кг ~ ел Действительно, так как BE равна ВД, то и IA"будет равна KI; значит, ЛК относится к КТ, как АГ к ДА. ЛК АГ KI ДА Но KI так же относится к Кв, как ДА к ЛК. KI ДА Кв АК . • .; • --- что доказано в предыдущем*); таким образом, Кв к 0Л и АК к КГ име- имеют одно и то же отношение**) Кв АК ел * кг Итак, предложение доказано [2]. •) Согласно иредпожению IV. имеем: К1:10 = ЛЛ:КД : ¦ Отсюда, «переворачивая», (KI - 16) : KI = (А А - KD) : АА, т. с. Кв : KI - АК . Л Д. * *) Действительно, ия продыдущией пропорции, имим: -Отсюда <КЛ - Кв) : Кв-^ (АГ - АК) : ЛК, т. с. Лв : Кв = КГ : ЛК-
КВАДРАТУРА ПАРАБОЛЫ 81 Рис. 6. VI Вообразим, [как ато делается в теоретических исследованиях]*), что лежащая перед нами [видимая] плоскость перпендикулярна к горизонту, [затем] представим, что та ее часть, которая от липни АВ {рис. 6} простирается л сторону Д, будет нижней, простирающая- простирающаяся же в противоположную сторону — верхней; пусть ВДГ будет прямоугольный треугольник с иря- ., р к р мым углом при В, сторона ВГ кото- которого равна половине равноплечего рычага; [предполагается, конечно, что АВ равна В Г]; подвесим рас- сматрипаемый треугольник п точках В и Г, а с другой стороны рычага, в точке А, подвесим некоторую пло- площадь Z, и пусть площадь, подве- подвешенная в точке А, уравновешивает треугольник ВДГ в том положении, какое оп теперь имеет. Я утверж- утверждаю, что площадь Z будет третьей частью треугольника ВДГ. Действительно, так как рычаг предполагается уравновешенным, то мы можем считать, что линия АГ параллельна горизонту, а прямые в плоскости, перпендикулярной к горизонту, проведенные под прямым углом к ЛВ, будут тоже перпендикулярны к горизонту. Разделим линию ВГ в точко Е так, чтобы ГЕ была вдвоо больше ЕВ: параллельно ДВ проведем прямую КЕ и разделим ее пополам в точке 0; тогда, как доказапо в «Механике»**), точка 0 будет центром тяжести треуголь- треугольника ВДГ. Если теперь у треугольника ВДГ уничтожить подвесы в В и Г и подвесить его в точке Е, то треугольник останется в том же самом положении, какое оп имел перед этим; действительно, доказано так- также и то, что каждое тело, подвешенное в какой угодно точке, будет оставаться неподвижным в таком положении, когда точка подвеса и центр тяжести подвешенного тела находится на одном перпендикуля- перпендикуляре. Так как положение треугольника ВГД относительно рычага остает- остается тем же самым, то оп будет продолжать уравповешивать площадь Z. Если же подвешенная в точке А площадь Z и подвешенный в точке Е треугольник ВДГ находятся в равновесии, то ясно, что они будут обратно пропорциональны длинам (соответствующих плеч), и получится, что, как АВ относится к BE, так и треугольник ВДГ будет относиться к площади Z: но АВ втрое больше BE; значит, и треугольник ВДГ будет втрое больше площади Z. Очевидно также, что и обратно, если треугольник ВДГ будет втрое больше площади Z, то равновесие сохранится. VII Пусть будет опять равноплечий рычаг АГ {рис. 7} с серединой в точке В; подвесим его за точку В. Пусть ГДП — тупоугольный тре- треугольник с основанием АН и высотой, равной половине рычага; под- подвесим треугольник А ГН в точках В и Г, vf пусть подвешенная в точке А *) оте tOTiv гп iv ts. flEfiigia—неясное место, которое Гейберг считает хюздиейшей вставкой и поятому ставит d киадратных скобках. **) Ото может быть вообще каким-нибудь сочиненном по механике; но Солее вероятно, что это одно иг ранних сочинений самого Архимеда, например, Пео.' ' 6 Архимед
82 АРХИМЕД площадь Z будет уравновешивать треугольник ГАН в занимаемом им положении. Докажем точно так же, что площадь Z будет третьей частью треугольника ГДН. Действительно, лодпесим в точке Л еще некоторую площадь (Л), являющуюся третьей частью треугольника ВГП; тогда треугольник „кг ВДГ уравновесится с площадью Z+Л. Теперь, так как треугольник ВГН урав- уравновешивается с Л, а треугольник ВГД с площадью Z вместе с А, и площадь Z+Л является третьей частью треугольни- треугольника ВГД, то ясно, что треугольник ГДН будет также втрое больше площади Z. VIII Рис. 7. Пусть будет равноплечий рычаг АВГ {рис. 8} с серединой В, подвешенный за точку В; пусть ГДЕ будет прямо- прямоугольный треугольник с прямым углом при Е, подвешенный к рычагу в точках Г и Е; подвесим в точке А некоторую площадь Z, и пусть она уравновешивает треугольник ГДЕ в занимаемом положении; пусть отношение АВ к BE будет равно отношению треугольника ГДЕ я , „ г к некоторой площади К. Я утверждаю, что площадь Z будет меньше треугольника ГДЕ, но больше плогцади К. Действительно, возьмем центр тяжести треугольника Рис. 8. ДЕГ — пусть он будет в точке 0 — и параллельно ДЕ проведем прямую 611. Так как треугольник ГДЕ уравновешивает площадь Z, то площадь ГДЕ имеет к Z то же самое отношение, что АВ к ВН: так что Z будет меньше площади ГДЕ. Поскольку же треугольник ГДЕ относится к Z, как ВА к ВН, а к „ „ „ площади К — как ВА к BE, то ясно, что треугольник ГДЕ имеет к К большее отноше- отношение, чем к Z, таким образом, Z будет больше К. К IX Пусть А.Г {рис. 9} бу- будет опять равноплечий рычаг Рис. 9. с серединой В, а ГДК — тупоугольный треугольник с основанием ДК. и высотой ЕГ; подвесим его к рычагу в точках Г и Е, а в точке А подвесим площадь Z, и пусть она уравнове- уравновешивает треугольник ДГК в занимаемом положении; пусть отношение АВ к BE будет равно отношению треугольника ГДК к некоторой пло- площади А. Я утверждаю, что площадь Z будет больше Л, по меньше треугольника ДГК. Доказывается это точно так же, как предыдущее. .
КВАДРАТУРА ПАРАБОЛЫ X Пусть АВГ {рис. 10} будет опять равноплечий рычаг с середи- серединой В, а ВДНК — трапеция с прямыми углами при В и Н и со сторо- стороной КД, стремящейся к точ- точке Г*), пусть отношение АВ к ВН будет равно отношению трапеции ВДКН площади Л. В точках В и Н подвесим к рычагу трапецию ВДНК, а в точке А — площадь Z, и пусть она уравновешивает трапецию ВДКН в занимаемом ею поло- И утверждаю, что к некоторой площадь Z будет меньше А. Разделим прямую АГ в точке Е так, чтобы ЕЙ имела к BE такое же отношение, как удвоенная АВ и KII к удвоенной КН и ВД. ЕН 2&В+КП BE " 2К1Н-БЛ Затем проведенную через Е параллельно ВД прямую EN разделим в точке 0. пополам; тогда, как доказано в Механике**), точка 0 будет центром тяжести трапеции ВДКН. Если теперь подвесить трапецию в Е, a is точках В и Н освободить, то на основании того же, что и в пре- предыдущем, она будет оставаться в покое в том же самом положении и уравновесит площадь Z. Так как теперь подвешенная в Е трапеции ВДНК уравновешивает подвешенную в А площадь Z, то отношение АВ к BE будет равно отношению трапеции ВДНК к площади Z; так как ЛВ имеет к BE большее отношение, чем к ВН, то ;шачит и трапеция ВД1ТК будет иметь к Z большее отношение, чем к Л; таким образом Z будет мептлпе А. XI Пусть АГ {рис. 11} будет равноплечий рычаг с серединой В, а КДТР — трапеция, у которой стороны КД, ТР стремятся к точке Г, а ДР и КТ перпендикулярны к В Г, причем д ft и г сторона ДР попадает в точку В. Пусть отпо^ | шение АВ к ВП будет равно отношению трапеции ДКТР к некоторой площади А. Подвесим к рычагу трапецию ДКТР к точках В, Н, а площадь Z — п точке А, и пусть Z уравновешивает трапецию ДКРТ в занимаемом его положении. Тогда подобно предыдущему докажем, что площадь Z будет И. меньше А. *) В тексте употребляется техническое выражение греческой математики—vEuowa— ер щаяся, склоняющаяся; так называлась прямая, продолжение которой проходило через заданную- точку. [Ом. комментарии к работе «О спиралях», стр. 519.1 **) В сохранившихся сопинснипх Архимеда соответствующее доказательство имеется п XV пред- предложении первой книги трактата «О равновесии плоских фигур». ¦ ' ' ¦ ¦ ' 6я*
84 АРХИМЕД f> К I И г А Г и XII Пусть АГ {рис. 12} будет опять равноплечий рычаг с серединой В, а ЛЕКН — трапеция с прямыми углами при точках Е, II и со сторо- сторонами КА и ЕН, стремящимися к точке Г. Пусть отпошение АВ к ВН будет равно отношению трапеции ЛКЕГ1 к некоторой площади М; пусть также отношение АВ к BE будет равно отношению трапеции ДКЕН к некоторой площади Л. Под- Подвесим к рычагу трапецию ЛК.ТСН в точках Е, Н, а площадь Z — в точ- точке А, и пусть Z уравновешивает трапецию в занимаемом его положе- положении. Я утверждаю, что площадь Z будет больше А, но меньше М. Действительно, я нзял центр тя- тяжести трапеции ЛКЕН, и пусть он будет в (on паходитси подобно пре- дыдущему); затем я провожу пря- прямую Ш параллельно ЛЕ. Теперь если подвесить трапецию к рычагу в точке I, а в точках Е и Н освободить, то она останется в покое в том же самом положении, и на основании того же, что и выше, будет по- ирежнему уравновешиваться площадью Z. Но так как трапеция, под- подвешенная в точке I, уравновешивает площадь Z, подвешенную в точ- точке А, то трапеции будет иметь к шющади Z то же самое-отношение, что АВ к BI. Теперь ясно, что трапеция ЛКЕН имеет к Л Л US— Ч_ г большее отпошение, чем к Е, а к М меньшее, чем к Z; та- j— ним образом, площадь Z бу- 1_ дет больше Л, но меньше М. Рис. 12. М Т Рис. 13. хш Пусть АГ {рис 13} бу- будет опять равноплечий рычаг с серединой В, а КДТР — трапеция, у которой стороны КА, ТР стремятся к точке Г, а стороны AT, KP перпенди- перпендикулярны к В Г. Подносим ее к рычагу в точках Ей ТС, а в точке А подвесим площадь Z, и пусть она уравновешивает трапецию АКТР в занимаемом его положении. Пусть отношение АВ к BE будет равно отношению трапеции АКТР к некоторой шющади Л, и пусть отно- отношение АВ к ВН будет равно отношению этой же самой трапеции к некоторой площади М. Тогда подобно предыдущему докажем, что площадь Z будет больше Л, но меньше М. XIV Пусть В6Г {рис. 14} будет сегмент, заключенный между прямой и параболой. Пусть спачала прямая В Г будет перпендикулярна к диаметру параболы; и.ч точки В параллельно диаметру проведем пря- прямую ВА, а из точки Г ироведем касательную ГА к параболе в Г; тогда
¦ КВАДРАТУРА ПАРАБОЛЫ 85 треугольник В ГА будет прямоугольным. Разделим прямую В Г па какое-нибудь количество равных отрезков BE, EZ, ZH, HI, IF и из точек делепмя параллельно диаметру параболы проведем прямые Е2, ZT, НГ, 13, затем из точек пересечения этих прямых с парабо- параболой проведем к Г соединительные прямые и продолжим их. Я утвер~ экдию, что треугольник ВАГ будет меньше утроенных трапеций КЕ, AZ, АШ, N1 вместе с треуголь- треугольником Е1Г, но больше утроенных трипещй ЪФ, 110, III с тре- уеолънитм ЮГ. Действительно, пропедем прямую АВГ, отложим АВ, равную В Г и вообразим рапно- плечий рычаг АГ с серединою В; подиесим его за В; подвесим также к рычагу треугольник ВАГ в точках В и Г, а с другой стороны рычага, н точке А под- подвесим площади Р, X, У, Q, Q и пусть площадь I' урашюве- щивает трапецию АЕ в занимае- занимаемом ею положении, площадь X уравновешивает трапецию Z2, площадь Y — трапецию ТН, площадь Q — трапецию TI и, наконец, площадь ? — треуголь- треугольник SIT; тогда и псе площади справа уравновесят все площади слева, так что треугольник ВАГ окажется втрое больше площади Р+Х+ЧЦ- + Q+A (предложение VI). Так как ВГ0 есть сегмент, заклгочеппый между прямой и параболой, из топки В параллельно диаметру прове- проведена прямая ВА, а из точки Г — касательная ГА к параболе в Г, и также проведена некоторая прямая 2Е, параллельная диаметру, то ВГ будет иметь к BE то же самое отношение, что 2Е к ЕФ (предло- (предложение V); также и прямая ВА будет иметь к BE то же отношение, что трапеция ДЕ к КЕ*). Подобным же образом докажем, что прямая АВ относится к BZ, как трапеция 2Z к AZ, что она же относится к ВН, как трапеция ТН к МН и, наконец, к BI — как трапеция П к N1. Теперь, так как имеется трапеция АЕ с прямыми углами при точках В, Е и со стремящимися к точке Г сторонами, уравновешенная в занима- занимаемом сю положении площадью Р, подвешепной к рычагу в точке А, и так как отношение ВА к BE равно отношению трапеции ДЕ к трапе- трапеции КЕ, то значит, как было доказано (предложение X), площадь КЕ будет больше площади V. Далее, имеется трапеция Z2 с прямыми углами при точках Z, Е и со стремящейся к Г стороной 2Т, уравновешенная в занимаемом ею положении площадью X, подвешенной к рычагу л точке А, и отношение АВ к BE равно отношению трапеции Z2 к ZCP**), а отношение АВ к BZ *) В самом деле, ВА —ИГ; кроме того: ЕФ: Е2 = ВК: Вд = (ЕФ + ВК): (ЕЕ + ВД) — трап. КЕ : трап. ДЕ. •*) Действительно, АВ : BE = EZ : ЕФ = трап. Z2 : трап. ЪФ.
АРХИМЕД ргишо отпопгению трапеции ZS к AZ*); тогда, как тоже было доказа- доказано (предложошш XII), площадь X будет меньше трапеции AZ, но больше ZO. На том же основании и площадь Y будет меньше трапеции МН, но больше 0Н, площадь О будет меньше трапеции N01 И, но больше Ш, и так же площадь Д будет меньше треугольника Е1Г, но больше треугольника ПО (предложение VIII). Теперь, так как трапеция КЕ больше площади Р, трапеция AZ больше X, трапеция МЫ бслыио х?, трапеции N1 больше Q и треугольник 01Г болыпе ?, то ясно, что все первые упомянутые площади будут больше площади Р (вместе с) X, W, fl(u) ?. Но площадь Р (вместе с) X, V, Q (и) ^ составляет третью часть треугольника ВДГ; значит, ясно, что треугольник В ГА 65'дет меньше взятых вместе утроенных трапеции КЕ, AZ, МН, N1 и тре- треугольника Е1Г. Далее, так как трапеция '/.Ф меньше площади X, тра- трапеции 011 меньше XY, трапеция Ш меньше Q и треугольник ЮГ меньше А, то ясно, что все упомянутые выше площади (вместе взятые) будут меньше площади Д (вместе с) Q, W (и) X; теперь ясно, что треугольник ВАГ будет больше взятых вместе утроенных трапеций Z<t>, 6H, Ш и треугольника 1Г0**), но меньше взятых вместе утроен- утроенных (площадей) поименованных ранее. XV Пусть опять ©à [рис. 15} будет сегмент, заключенный между прямой и параболой, но только теперь прямая В Г уже не будет пер- перпендикулярна к диаметру параболы. Тогда ВГ необходимо образует тупой угол или с параллельной диаметру прямой, проведенной в сто- сторону сегмента из точки В, или с прямой, проведенной таким же обра- образом из точки Г. Пусть тупой угол образуется с прямой, проведенной из В. Из точки В проведем прямую БД, параллельную диаметру, а из точки Г — касательную ГЛ к параболе в Г, прямую В Г разделим на какое-нибудь количество равных отрезков BE, EZ, ZH, III, 1Г, из точек Е, Z, Н, I параллельно диаметру пропедем прямые Е2, ZT, II Г, 13 и из точек пересечения атих прямых с параболой проведем к Г сое- соединительные прямые и продолжим их. И утверждаю, что треугольник ВАГ будет меньше утроенных тра- трапеций ВФ, AZ, МИ, N1 вместе с треугольником Г1Е, но больше ijmpo- еппых трапеций 7Д), 110, ТП вместе с треугольником Г01. Продолжим ВД в обратную сторону. Проведя перпендикуляр ГК, я откладываю АК> равную ГК. Теперь опять вообразим равно- равноплечий рычаг ЛГ с серединой К и подвесим его за К; к одной полошше рычага подиесим треугольник ГКА в точках ГК в tow положении, какое он теперь занимает, а с другой стороны рычага в точке А нодвс- " сим площади Р, X, W, Q, Д, и пусть площадь Р уравновешивает тра- яецию АЕ в занимаемом поло>кении,площадь X уравновешивает тра- трапецию Z2, площадь *F — трапецию ТП, площадь Q — трапецию Г1 и, наконец, площадь ? — треугольник Г13; тогда все площади справа *) Аналогично АВ: BZ = ZT: 2© = Е2: EA~(ZT + EZ): (Z© + ЕА> = трап. Z2 : трап. ZA. **) Дейетвителько, трсугслышк ВГД. равный утроенной сумме площадей p+X+V-l-O-1-Д, будет более чем втрое Оольчге суммы этих плгацядей, без первой 1», я иначит, и подавно более чем втрое больше суммы траисций Z<t>, 6H, 1Г1 и треугольника 1Г0-
КВАДРАТУРА ПАРАБОЛЫ 87- уравновесят все площади слева, так что треугольник ДВГ окажется втрое больше площади Р (вместе с) X, Y, ?2 (и) А (предложение VII). После этого подобно предыдущему*) докажем, что трапеция ВФ будет больше площади Р, трапеция 6Е будет больше площади X, а трапеция р л V S2 А | В Л и / /л. /и. ^—7 л / /м / / / ¦ / / / f .-¦¦' Гнс. 15. ZO меньше ее; трапеция МН будет больше площади ХР, a IT0 меньше ее; затем трапеция N1 будет больше площади Q, а Ш меньше ее; и, наконец, треугольпик Е1Г будет больше площади А, а треугольпик ПО меньше ее; теперь ато ясно. XVI Пусть опять В0Г (рис. 1С} будет сегмепт, заключенный между прямой и параболой: черезз точку В происдем прямую ВД, параллель- параллельную диаметру параболы, а через Г — касательную к параболе в Г. Пусть площадь Z будет третьей частью треугольника ВДГ. Я утверждаю, что сегмент ВвГ будет равен площади Z. Действительно, если он не равен, то будет или больше, или же меньше. Пусть сначала оп будет, если возможно, болыпо; тогда избыток, на который сегмент В6Г превосходит площадь Z, будучи складываем сам с собой, когда-нибудь станет больше треугольника ВГЛ. Следова- Следовательно, можпо взять некоторую меньшую зтого избытка площадь, кото- которая была бы какой-то частью треугольника ВДГ. Пусть треугольник ВГЕ будет меньше упомянутого избытка, и одновременно является некоторой частью треугольника ВДГ; тогда прямая BE будет такой же *) Т. е. кал в предложении XIV, е той лишь разницей, что вместо предложений VIII, X. XII придется использовать предложения IX, XI. XIII.
88 АРХИМЕД частью от БД. Разделим ВА на части, равные BE и пусть точки делений будут Н, I, К; из точек И, I, К проведем к Г соединительные прямые; они, конечно, пересекут параболу, так как прямая ГЛялляется касатель- касательной к ней в точке Г. Через точки пересечения отих прямых с параболой проведем параллельно диаметру прямые МФ, NP, Ев, ПО; они будут параллельны и прямой БД. Теперь, так как треугольник 13ГЕ меньше избытка, на которых"! сегмент ВвГ преносходцт площадь Z, то ясно, что площадь Z и треугольник ВГЕ, вместе взятые, будут меньше сег- сегмента. Но треугольник ВГЕ ранен трапециям ME, ФА, 6Р, ©О, через которые проходит парабола, взя- взятым вместе с треугольником Г02; действительно, трапеция ME яв- является общей, трапеция МЛ равна трапеции ФЛ, трапеция AS равна 61', трапеция Х5 равна О© и тре- треугольник ГХП рапеп треугольнику Г02; следовательно, площадь Z будет меньше вместе изятых тра- трапеций МЛ, ЕР, П© и треугольни- треугольника НОГ *). Но треугольник ВДГ втрое больше площади Z; тогда треуголь- треугольник ВДГ будет меньше утроенных трапеций МЛ, SP, ©П и треуголь- треугольника ПОГ, а это невозможно, так как доказано (предложения XIV и XIII), что он будет более чем втрое больше. Итак, сегмент ©à не будет больше площади Z. Теперь я утверждай», что он не будет и меньше. Действительно, пусть он будет, если возможно, меньше. Значит, и в данном случае избыток, па который площадь Z превосходит сегмент ВвГ, будучи прибавляем сам к себе, когда-нибудь превзойдет и треугольник ВДГ. Но можно взять пекоторую меньшую этого избытка площадь, которая была бы какой-то частью треугольника ВДГ. Пусть треугольник ВГЕ будет меньше этого избытка и одновременно некоторой частью тре- треугольника ВДГ, все остальное сделаем так же, как раньше. Теперь, так как треугольник ВГЕ мопыпе избытка, на который площадь Z препосходцт сегмент ВвГ, то вместе взятые треугольник BE Г и сег- сегмент В0Г будут меньше площади Z. Но площадь Z мепьше вместе взятых четырехугольников ЕМ, ON, WE, ЦТ и треугольника ГП2, так как треугольник ВДГ, втрое больший площади Z, одновременно меньше утроенных упомянутых площадей, имеете взятых, как ото доказано л предыдущем (предложения XIV, XV); значит, треуголь- треугольник ВГЕ вместе с сегментом ©à будут меньше четырехугольников ЕМ, ON, E4f, ПТ и треугольника ГП2. Таким образом, по отнятии Рис. 16. *) ME + №» + ЗЧГ -|- ПТ I- П2Г > сеем. В©Г, ми+фл+ер+ ©о+гог=кгв, откуда ¦ вычитая, мл+ер+пе + пог > вег - вге > z.
КВАДРАТУРА ПАРАБОЛЫ 89 общего сегмента треугольник БЕГ оказался бы меньше оставшихся площадей; зто же невозможно, так как доказано, что треугольник BE Г равен вместе взятым трапециям ЕМ, ФЛ, ©Р, GO и треугольнику ГО2, которые больше оставшихся площадей. Значит, сегмент Б6Г не будет меньше площади Z [3]. Но также доказано, что он не будет и больше; значит, этот сегмент ранен площади Z |4]. XVII После того как это доказано, ясно, что всякий сегмент, заключенный между прямой и параболой, составляет четыре трети треугольника, имеющего с сегментом то же самое основание и равную высоту. Действительно, пусть будет сегмент, заключенный между прямой и параболой, пусть его вершина*) будет в точке В {рис. 17}. Впишем в него треугольник В0Г, имеющий с сегментом то же основание и равную высоту. Так как точка в есть вер- инша сегмента, то прямая, проведен- проведенная из Э параллельно диаметру, разделит ВГ пополам и ВГ будет параллельна касательной к пара- параболе в точке 0 (предложение I). Проведем Е0 параллельно диаметру; затем из В также параллельно диа- диаметру проведем прямую ВА, а из Г — касательную ГД к параболе в Г. Так как К0 параллельна диамет- диаметру, ГД — касательная к параболе в Г, а ЕГ параллельна касательной к параболе в 0, то треугольник ВДГ будет в четыре раза больше треу- треугольника В6Г**). Но так как тре- треугольник ВДГ втрое больше сегмен- сегмента ВвГ (предложение XVI) и вчет- вчетверо больше треугольника ВвГ, то ясно, что сегмент ©à будет состав- составлять четыре трети треугольника В ©Г. Рис. 17. Для сегментов заключеппых между прямой и какой-нибудь кри- кривой линией***), я называю основанием эту прямую, высотой — паи- больший перпендикуляр, который можно опустить из точки кривой на основание сегмента, а вершиной — ту точку, из которой проводится па ибол ы п ий иерпендикуля р. *) Интересно "отметить, что Архимед уже л этом месте пользуется термином «вершина пара- параболического сегмента», определение которого будет дано ниже (перед приближением XVlIi). Это вначит. что остальная часть трактата (предложения ХЛ 111—XXIV) иирпсиачалмю составляла осо- особое сочинение. **) Действительно, К© —вК «предложение 1Г>,и значит, В& = 4 Ев. так как ВЕ = ЕГ. ***) xa\jino'!jx? YOorwxaC. В трактате «О шаре и цилиндре» (кн. I аксиома 1) Архимед употре- употребляет втот термин дли <. Хшвначения кривой линии. Стоит отметить, что в некоторых местах «Кони- «Конических сечений» Аполлония, а также, иерчятио, и в тексте Еидпкса (см. астуцительную статью, гл. 111) под бтлм термином понимались наши криные второго порядка.
90 АРХИМЕД Рис. 18. XVIII Если в сегменте, заключенном между прямой и параболой, провести из середины основания прямую, параллельную диаметру, то вершиной сегмента будет та точка, в которой прямая, проведенная параллельно диа- диаметру, пересекает параболу. Пусть АВГ {рис. 18} будет сег- сегмент, заключенный между прямой и параболой; из середины АГ проведем прямую ДВ параллельно диаметру. Так как в параболе прямая ВД проведена параллельно диаметру, а прямые АД и А Г раины, то ясно, что прямая ЛГ и касательная к параболе п точке В будут параллельны (предложе- (предложение 1). После этого ясно, что из нерпендикулярон, опущенных на АГ с параболы, наибольшим будет проведешшй из В; таким образом, точка В будет вершиной сегмента. . . / XIX * ¦-- -"-.:..' В сегменте, заключенном между прямой и параболой, линия, про- проведенная из середины основания {параллельно диаметру), будет составлять четыре трети прямой, про- проведенной {таким же образом) из середины половина основания. Пусть АВГ {рис. 19} будет сегмент, заключенный между прямой и параболой; из середины прямой АГ параллельно диаметру проведем прямую БД, а из середины АД — прямую EZ, а также проведем прямую Z6 параллельно АГ. Теперь, так как в параболе прямая БД Е й Рис. 19. ^vucpj], itui tian и параоолез прямая i3ii проведена параллельно диаметру, а прямые АД, Z6 параллельны касательной к параболе в В, то отношение липий ВД и ВВ будет равно отношению квадратов иа АЛ и Z6 (предложение Ш>;' зна- значит, лилия ВД будет в четыре раза Л /; -$ больше В0*). Теперь ясно, что ли- линия ВД будет составлять четыре тре- трети от EZ**). XX А Г Если в сегмент, заключенный ме- Рис. 20. жду прямой и параболой, вписать треугольник, имеющий с сегментом одно и то оке основание и равную высоту, то вписанный треугольник будет больше половины сегмента. Пусть АВГ {рис. 20} будет упомянутый сегмент; впишем в него треугольник АВГ, имеющий с сегментом то ?ке самое основание и рав- равную высоту. Так как этот треугольник имеет с сегментом то же самое *) Так как ZO является половиной АД. **) Так как 6Д =ЗВе и 6& = EZ.
КВАДРАТУРА ПАРАБОЛЫ 91 основание и ту же высоту, то точка В необходимо будет вершиной сегмента; значит, АГ будет параллельна касательной к параболе в точке В. Через В параллельно АГ проведем прямую ЛЕ, а из точек А и Г параллельно диаметру проводом прямые АД и ГЕ; они по- попадут вне сегмента. Теперь, так как треугольник АВГ составляет половину параллелограмма АЛЕ Г, то ясно, что он будет больше половины сегмента. Следствие После доказанного ясно, что в данный сегмент можно вписать такой многоугольник, чтобы остающиеся (по краям) сегменты были меньше всякой наперед заданной площади; действительно, если отни- отнимать все время больше половит.!, то на основании доказанного ясно, что, постоянно уменьшая остающиеся но краям сегмеиты, мы можем сделать их меньше всякой наперед заданной площади*). XXI Если в сегмент, заключенный между прямой и параболой, вписать треугольник, имеющий с сегментом то же самое основание и ту же высоту, а в оставшиеся сегменты вписать другие треугольники, имею- имеющие те же самые основания и высоты, что и у этих сегментов, то треугольник, вписанный в весь сегмент, будет в восемь раз больше каждого из треугольников, вписанных е сегменты, оставшиеся (по краям). Пусть ЛВГ {рис- 21), будет сегмент такой, как сказано выше; пря- прямую АГ разделим пополам в точке Л и параллельно диаметру проведем прямую ВД; тогда точка В будет вер- вершиной сегмента (предложение XV111). Значит, треугольник ЛВГ имеет с сег- сегментом то же самое основание и ту же высоту. Затем разделим прямую АД попо- пополам в точке Е и проведем прямую EZ, параллельную диаметру параболы и пере- секающую А В в точке 0; тогда точка Z будет вершиной сегмента AZB. Таким образом, треугольник AZB имеет то же с" самое основание и ту же высоту, что и сегмент [AZBJ. Требуется доказать, что треугольник АВГ будет в восемь раз больше треугольника AZB. Прямая ВД составляет четыре трети от EZ (предложение XIX) и вдпое больше Ев; значит, Е0 будет вдвое больше 0Z**). Таким образом, треугольник АЕВ вдвое больше треугольника ZBA, так как треугольник ЛЕ0 вдвое больше A0Z***), а треугольник 0ВЕ вдвое *) На основании леммы Квдскса («Начала» Етошлда, X, I). 12 ¦ ¦ ••) Д^йстиитслыю, Ев = —BA = -y-EZ; значит, j : ¦•¦-- -: - 6Z= -^-EZ и E6=20Z. ***) Треугольники АЕв и AZ6 имеют одну и ту те першину А и лежащие на одной прямей осисшания Яв и E0=2Z0. Точно также трсугилышки 2ЬЭ и вВЕ имеют общую вершину В и не- нежащие на одной щ>нмсй оснопатвд Ев и Z0. .. ¦ . . . . ....
92 АРХИМЕД больше Z6B. Таким образом, треугольник АБГ будет л восемь раз больше треугольника AZB*). Подобным же образом проведем доказа- доказательство и относительно треугольника, вписанного в сегмент ВНГ. XXII Если имеется сегмент, заключенный между прямой и параболой, и взято любое количество площадей, составляющих непрерывную {пропорцию) в о??гношении четырех к одному, причем наибольшая из этих площадей равна треугольнику, имеющему с сегментом то же самое основание и ту же высоту, то все эти площади, вместе взятые, будут меньше сегмента. Пусть АД BE Г {рис. 22} будет сегмент, заключенный между пря- прямой и параболой, и взято несколько площадей Z, Н, в, I, составляю- составляющих непрерывную пропорцию, в которой каждая предыдущая площадь в четыре раза больше последующей; лусть наиболь- наибольшая из них Z равна треугольнику, имею- имеющему с сегментом одно и то же основание и равную пысоту. Л утверждаю, что согмопт будет больше площадей Z, II, 0, I (вместе взятых). Пусть В будет вершина всего сегмен- сегмента, а Д и Е — першины сегментов, остаю- остающихся (по краям). Так как треуголь- треугольник АВГ в восемь раа больше каждого из треугольников АД В и BE Г, то ясно, что он будет в четыре раза больше их обоих вместе. И если треугольник АВГ равен площади Z, то вследствие этого треугольники АД В и BE Г вместе будут раипы площади II. Точно так же дока- докажем, что треугольники, вписываемые в остающиеся но краям сегменты, имеющие с ними те же самые основания и высоты, будут все вместе равны площади 0, а треугольники, вписываемые в сегменты, получаю- получающиеся после этого, будут равны площади i; значит, все эти взятые площади будут вместе рашш некоторому многоугольнику, вписанному в сегмент. После этого ясно, что они будут меньше этого сегмента. XXIII Если взять несколько величин, образующих непрерывную пропор- пропорцию в отношении четырех к одному, то все эти величины вместе, сло- сложенные с третьей частью наименьшей, составят четыре трети наи- наибольшей {рис. 23j**). Рис. 22. *) Вели треугольник AZB есть половина АЕП, а АЕВ—иолотша АБА и, наконец, ABA—по- ABA—половина АВГ, то следовательно: 4-ААВГ. *) в рукописях эти величины изображены отревками пряных.
КВАДРАТУРА ПАРАБОЛЫ г н СП Рис. 23. Пусть будет нзято в непрерывной пропорции несколько величин А, В, Г, Д, Е, из которых каждая в четыре раза больше последующей, и пусть Л будет наибольшей; затем пусть Z будет третью от В, Н — третью от Г, 6 — третью от Л и I — третью от Е. Так как Z — треть В, а В — четвертая часть А, то обе величины В и Z вместе составят третью часть А. На том жо ос- новапии Н и Г вместе составят треть В, за- затем, 0 vi А вместе соста- составят треть Г и, наконец, I и Е вместе составят троть Д; тогда вместе взятые В, Г, А, Е, Z, Н, 6, I составят третью часть от вмпсте взятых А, В, Г, Д. Но величи- величины Z, Н, 0 составляют третью часть от В, Г, Д; значит, оставшиеся величины В, Г, А, Е, I будут третьей частью остатка Л. После этого ясно, что величины А, В, Г, А, Е, взятые вместе с I — третьей частью от Е,— составят четыре трети от А. xxrv Всякий сегмент, заключенный между прямой и параболой, состав- составляет четыре трети треугольника, имеющего с нам одно и то же осно- основание и равную высоту. Пусть АД BE Г {рис. 24} будет сегмент, заключенный между пря- прямой и параболой, а АВГ — треугольник, имеющий с сегментом одно и то же основание и равную высоту; пусть площадь К со- составляет четыре трети тре- треугольника АВГ. Требуется доказать, что эта площадь равна сегменту ААВЕГ. Действительно, если она не равна, то будет или боль- больше, или меньше. Пусть сна- сначала сегмент АД BE Г будет, если возможно, больше пло- площади К. Итак, я вписал треуголь- треугольники АД В, BE Г, как было сказано выше, и оставшиеся по краям сегменты вписал другие треугольники, имею- 24. щИе с ЭТими сегментами те же самые основания и высоты, и затем в получающиеся после этого сегменты постоянно вписыиаю но два треугольника, имеющие с этими cej-лгонтами те же самые основа- основания и высоты; тогда остающиеся сегменты сделаются когда-нибудь меньше того избытка, на который сегмент А ДВЕ Г превосходит К Л I
94 АРХИМЕД площадь К, так что вписанный многоугольник будет больше площади К, а это невозможно. Действительно, плюются площади, образующие непрерывную пропорцию и отношении четырех к одному, а именно первая — треугольник АВГ, в четыре раза больший обоих треуголь- треугольников АД Л vi БЕГ вместе взятых, затем эти самые треугольники, которые в четыре раза больше треугольников, вписываемых в следую- следующие сегменты, и так все премя далее; ясно, что все эти площади вместо будут меньше, чем четыре трети от наибольшей площади {АВГ), тогда как К составляет четыре трети от наибольшей площади. Значит, сегмент АД BE Г не будет больше площади К. Пусть теперь, если возможно, он будет меньше. Возьмем площадь Z, равную треугольнику АВГ, затем пло- площадь Н, равную четверти Z, далее — в, равную четлерти И, и будем так брать постоянно в непрерывной пропорции до тех пор, пока по- последняя площадь не окажется меньше того избытка, на который пло- площадь К превосходит сегмент; дусть эта меньшая площадь будет I; тогда площади Z, Н, в, 1 вместе с третью от I составят четыре трети от Z (предложение XXIII). Но и К также составляет четыре трети от Z; значит, К будет равпа площадям Z, Н, в, I, взятым вместе о третьей частью от h Так как площадь К превосходит площади Z, II, в, 1 на величину, меньшую 1, а сегмент (АДВЕГ) —на величину, большую I, то ясно, что пло- площади Z, IT, в, I будут больше сегмента. Это же невозможно, так как доказано, что если влито любое количество площадей, образующих непрерывную пропорцию в отношении четырех к одному, причем наибольшая равна вписанному в сегмент треугольнику, то все эти площади . вместе будут меньше сегмента (предложение XXII); зна- значит, сегмент АДВЕГ не меньше площади К. По доказано также, что он не будет и больше; значит, он будет ранен площади К. Но площадь К составляет четыре трети треугольника АВГ; значит, сегмент АДВЕГ равен четырем третям треугольника АВГ [5].
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ [1] КНИГА I Архимед Досифею желает радоваться! Я уже послал тебе запись паших открытий имеете с доказатель- доказательством, что всякий еегмепт, заключенный между прямой и параболой, составляет четыре трети треугольника, имеющего с сегментом одно и то же основание и одинаковую тшеоту; позднее, когда нам пришли на ум другие стоящие внимания теоремы, мы потрудились над их доказа- доказательствами. Теоремы эти таковы: во-первых, поверхность есякого шара в четыре раза больше его большого круга; затем, поверхность всякого шарового сегмента равна кругу, радиус которого равен прямой, проведенной из вершины сегмента к окружности круга, составляющего основание сегмента; кроме того, для всякого шара цилиндр, имеющий основанием боль- большой круг этого шара, а высотой — прямую, равную диаметру шара, и сил*) будет в полтора раза больше этого шара, и поверхность его тоже в полтора раза больше поверхности этого шара. Конечно, эти свойства были и раньше по самой природе присущи упомянутым фигурам, но они все же оставались неизвестными тем, кто до нас занимался геометрией, и никому из них не пришло на ум, что все эти фигуры являются соизмеримыми друг с другом; поэтому я не поколебался бг.т сравнить эти теоремы с теми, которые были откры- открыты другими геометрами, и в частности с наиболее выдающимися теоре- теоремами, которые были установлены для тол Епдоксом, а именно, что вся- всякая пирамида составляет третью часть призмы, имеющей с пирамидой одно и то jkc основание и одинаковую высоту, и что всякий конус со- составляет третью часть цилиндра, имеющего с конусом одно и то же осно- основание и одинаковую высоту; действительно, хотя эти свойства по самой природо всегда были присущими указанным телам, новее же оказалось, что они остались неизвестными многим жившим до Евдокса знамени- знаменитым геометрам и ни одному из них не пришли на ум. Теперь же их могут усмотреть все, имеющие к тому силы. Било бы очень хорошо, * То есть объем его.
96 АРХИМЕД если бы они были обпародовапм еще при жизни Конона; он был, как мы считаем, наиболее способным продумать их и дать о них подходя- подходящий отзыи. Полагая, что было бы очень хорошо передать их сведущим в математике людям, мы посылаем тебе запись их доказательств; теперь их могут рассмотреть все занимающиеся математикой. Будь здоров! Прежде всего излагаются аксиомы и необходимые для доказатель- стна их допущения. Аксиомы [2] 1. На плоскости существуют некоторые ограниченные кривые*) линии, которые или целиком находятся по одну сторону от прямых, соединяющих их концы, или ничего не имеют по другую их сторону. 2. Тогда выпуклой в одну и ту же сторону я называю такую линию, для которой прямые, соединяющие две произвольные ее точки, будут или все находиться по одну сторону этой линии, или же неко- некоторые по одну ее сторону, другие же па самой линии, но никакая такая прямая не. будет находиться по другую ее сторону. 3. Подобным же образом существуют некоторые ограниченные поверхности,, которые не лежат сами на плоскости, по имеют на плоскости свои границы, причем эти поверхности будут или целиком- находиться по одну сторону от плесжети, содержащей их границы, или ничего не будут иметь по другую сторону от нее. 4. Выпуклыми в одну и ту же сторону я называю такие поверх- поверхности, для которых прямые, соединяющие две произвольные их точки, будут или все находиться по одну сторону этой поверхности, или же некоторые по одну сторону, другие же на самой поверхности, но ника- никакая из них не будет находиться с другой ее стороны. 5. Телесным сектором я называю фигуру, ограниченную поверхно- поверхностью конуса, отсеченного шаром с центром е вершине конуса, и той частью поверхности шара, которая лежит, внутри конуса. С. Телесным ромбом я называю фигуру, состоящую из двух конусов, имеющих одно основание, вершины, расположенные по разные стороны от плоскости основания, а оси — на одной прямой. Д о п у щ с п и я Я принимаю следующее: 1. Из всех линий, имеющих одни и те же концы, прямая будет наименьшей. 2. Две другие линии, расположенные на плоскости и имеющие те же самые концы, будут всегда неравными, если обе они выпуклы в одну и ту же сторону, и одна из них или целиком объемлется другой линией и соединяющей их концы прямой, или же часть ее объемлется. другой, часть же является общей обеим линиям; при этом меньшей будет объем- лемая линия. 3. Подобным же образом из поверхностей, имеющих общую грани- границу, расположенную на плоскости, наименьшей будет плоскость. *) Как видим us дальнейшего текста, иол словом крииые (хицл-ОЯси) Архимед понимает здесь вообще любые лшпш, отличающиеся от прямой.
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 97 4. Две другие поверхности, имеющие общую границу, расположен- расположенную на плоскости, будут всегда неравными, если обе они выпуклы в одну и ту же сторону и одна из них или целиком объемлется другой поверх- поверхностью и плоскостью, содержащей их общую границу, или же часть ее объемлется другой, часть же является общей обеим поверхностям; при этом меньшей будет объемлемая поверхнсстъ. 5. Далее, большая ия двух неравных линий, поверхностей или тел превосходит меньшую на такую величину, которая, будучи складываема сама с собой, может превзойти любую заданную величину из тех, кото- которые могут друг с другом находиться в определенном отношении [3]. При наличии этих допущений ясно, что если мы впишем в круг многоугольник, то периметр вписаппого многоугольника будет меньше окружности круга, так как каждая из сторон этого многоугольника будет меньше отсекае- мой ею дуги окружности. Если около круга описать многоугольник, то периметр описанного многоугольника будет больше периметра круга. Опишем около круга многоугольник, как предполагается {рис. 1}. Я утверждаю, что периметр описанного многоугольника будет больше периметра круга. Действительно, прямые Б А, ЛЛ, имеете взятые, будут больше дуги ВЛ вследствие того, что они объемлют эту дугу, имеющую с ними те же самые концы; по- подобным же образом вместе взятые прямые ДГ и ГВ будут больше дуги ЛВ, а вместе взятые ЛК и Кб больше дуги Л©, вместе взятые ZH, Пв больше Z6 и, наконец, вместе взятые ЛЕ, EZ больше AZ; следо- следовательно, весь периметр рассматриваемого многоугольника будет больше окружности круга. II Если даны две неравные величины, то можно найти две неравные прямые таким образом, чтобы большая прямая имела к меньшей отно- отношение меньшее, чем отношение большей величины к меньшей. Пусть будут две неравные неличины АВ и А, и пусть большей бу- будет АВ (рис. 2}. Я утверждаю, что можно найти две неравные прямые, которые удовлетворяли бы высказанному требованию. Пользуясь построением второго предложении первой книги Евклида, отложим Г5Г, равную Д, и возьмем некоторую прямую ZH; тогда, складывая ГА с самой собой, мы когда-нибудь превзойдем Д. Возьмем ее нужное число раз кратпой; пусть полученная линия бу- будет АВ. Определим теперь НЕ так, чтобы ZH была больше НЕ во столь- столько же раз, во сколько А6 больше АГ; значит, как ©А к ЛГ, так и ZH к НЕ, вА ZH АГ ~НВ и обратно — как ЕП (относится) к HZ, так и АГ к А6. вн аг hz ле 1 Архимед
98 АРХИМЕД А6 в 8 Поскольку же А0 больше Д. к.чи, что то же, больше ГВ, то, значит, ГА имеет к Л© отношение меньшое, чем ГА к ГВ. .ГА По как ГА (относится) к Ав, так и EII к IIZ; значит, ЕН к HZ имеет отношение меньшее, чем ГА к ГВ; тогда, «присоединяя»*), най- найдем, что EZ к ZTI будет иметь отношение меньшее, чем АВ к В Г. ТТр В Г ранпа А; значит, EZ имеет к ZIT отпошеппе меньшее, чем АВ к Д. Итак, найдены две перанпые прямме, удовлетворяющие НУ- поставленному условию, [т. с, что большая имеет к мень- меньшей отношение, меньшее того, которое большая иеличина имеет к меньшей] [4J. III Если даны две неравные величины и круг, то можно впи- вписать в круг многоугольник и описать около него другой та- таким образом, чтобы сторона описанного многоугольника имела к стороне вписанного многоугольника отношение меньшее, чем отношение большей величины- к меньшей. Пусть обе заданные величины будут А, В (рис. 3}, за- заданный же круг расположен выше. Я утверждаю, что можно выполнить задание. Рис. 2. Найдем две ирядтые в и КА, из которых большей пусть будет (г), таким образом, чтобы 0 находилась к КА is отно- отношении меньшем, чем большая величина (А) к меньшей (В); из • точки А под прямым углом к АК проведем AM, а из К проведем КМ так, чтобы КМ равнялась 6; [это ведь возможно]. Затем в круге проведем под пря- прямым углом два диаметра ГЕ и AZ. Те- Теперь, раздели» угол ДНГ пополам, половину его еще раз пополам и про- продолжая такое деление нее ирсмя, мы придем к некоторому углу, меньшему, чем удвоенный угол АК М- Пусть таким углом будет Nil Г. Соединим точки N, Г; тогда NT будет стороной равносторонпего мно- многоугольника с четным числом сторон [действительно, поскольку угол N11Г целое число раз измеряот прямой угол ДНГ, то и дуга NT целое число раз измеряет четверть окружности ГА, а значит целое число раз измеряет и всю окружность. Таким образом, NT, оче- Нис- •*• видно, является стороной раиностороннего многоугольника]. Разделим П *) Это значит составляя щдшзиидную дфонирцию со сложением: КН + HZ АГ + ГВ HZ ^ ГВ
О ШЛНГС И ЦИЛИНДРЕ угол THN пополам прямой На, проводом из точки В касательную OS П к кругу и продолжим линии HJN1I и НГО; тогда ПО будет стороной описанного около круга равностороннего многоугольника; [очевидно, что этот многоугольник будет подобен вписанному многоугольпику со сторопой NF]. Теперь, поскольку угол NHF меньше удвоенного угла ЛКМ и равен удвоенному углу ТОГ, то угол ТНГ будет меньше угла ЛКМ. Углы же при Л и Т прямые; значит, МК будет иметь к ЛК отно- отношение, большее, чем ГН к НТ. ¦ МК ГН лк нт Но ГН равна Ни,; значит, отношение HS к НТ, к N.F, будет меньше, чем отношение МК к ЛК. а также ПО НТ МК А КЛ И КЛ Далос, МК находится к КЛ и отношении меньшем, чем А к В, и ПО есть сторона описанного многоугольника, a NT — вписанного, что и требовалось найти. IV. Далее, если, имеются две неравные величины и сектор, то молено описать вокруг сектора многоугольник и вписать в него другой так, чтобы сторона описанного многоугольника находилась к стороне вписан- вписанного в отношении, меньшем того, кото- которое большая величина имеет к меньшей. Пусть будут опять две неравные величины Е и Z {рис. 4}, и пусть боль- большая из них Е; пусть будет некоторый круг АВГ, имеющий центр и А, и при точке А .построен сектор АДВ; требует- требуется около сектора AUA описать и в пего вписать многоугольник, имеющий рав- равными все стороны, за исключением сто- сторон ВД, АЛ**), так, чтобы выполнить задание. Пайдедх две неравные прямые Н и 6К (пусть большая будет Н) такие, чтобы Н имела к ВК отношение мень- меньшее, чем большая величина к меньшой Н . Е вк z Рис. [это ведь возможно]; и точно так же, проведя из © под прямым углом к К© прямую 0Л, построим КЛ, равную II [это возможно, поскольку Н больше 6К]. Разделяя угол ЛАВ пополам, половину его опять попо- пополам и продолжая так псе время, мы придем к некоторому углу, *) С нашей точки з|хшш, ато равносильно утверждению, что если а О, то sec a,> sec p. *•) Предполагается, что боковые радиусы сектора входят в иеримстр обоих многоугольников как ?1шсиш1ого, так и описанного. .-.. ¦• ¦• ¦- ;. 7*
dOO АРХИМВД с f • r. ЕО АН который будет меньше удвоенного угла КЛ©. Пусть таким углом будет АЛМ: тогда AM будет стороной многоугольника, вписанного н круг. Если рассечем угол АДМ прямой AN пополам и из N проведем каса- тельную к кругу прямую NEO, то ата прямая будет стороной описаи- . ного около того же круга многоугольника, подобного вышеупомянутому; тогда совершенно так же, как и раньше, покажем, что 30 будет нахо- находиться к AM в отношении меньшем, чем отношение величины Е к Z. с ;: Дом круг и две неравные величины; описать около круга многоуголь- многоугольник и вписать в него другой так, чтобы описанный имел к вписанному*) отношение меньшее того, которое большая величина имеет к меньшей. Пусть будут круг А {рис. 5} и две неравные величины Е, Z, из которых большая Е; требуется вписать и круг многоугольник и описать около него другой так, чтобы выполнялось поставленное задание. Я беру две неравные прямые Г, Д, из которых большей пусть бу- будет Г, таким образом, чтобы Г имела к Д отношение меньшее, чем Е к Z: г Г" если взять для Г и А среднюю пропорциональную Н, то Г будет больше Н. Опишем около круга многоугольпик и впишем в него другой так, чтобы сторона описанного многоугольника имела к стороне вписанного ; отношение меньшее, чем Г к Н, [как мы уже выучились]; тогда ква- !драт**) первого отношения будет меньше квадрата второго. Но квад- квадрат отношения сторон равен отношению {площадей) многоугольников, [так как по- слодние подобны], квадрат же отношения Г к IT равен отношению Г к А. Таким образом, описанный многоуголь- ^ ' ник имеет к вписанвому отношение мень- меньшее, чем Г к Д; значит, и подавно, описан- описанный многоугольник имеет к вписанному отношение меньшее, чем Ё к Z. Рис. 5. VT Подобным же образом докажем, что, если даны две неравные величины и сек- сектор, то можно описать около сектора мно- . ,. . . гоугольник и вписать в него другой, подобный первому, так, чтобы отношение описанного многоугольника ко вписан- вписанному было меньше того, которое большая величина имеет к меньшей. Точно так же ясно, что если даны круг, сектор и некоторая пло- площадь, то можно, вписывая в круг или в сектор равносторонние много- *) Мы сказали бы: «чтобы площадь огоййнйого вмела к площади вписанного». =¦ ¦ **) В подлиннике бшЯлаюе : ktfyog—двойное отношение:: у греков сложение отношений было фаииосилыю их умножению. ¦ ¦ : •¦ ¦ •I
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ В угольники и продолжая делать то же самое с получающимися по краям сегментами, дойти до такого сегмента круга или сектора, кото- который был бы меньше заданной площади: это доказано в «Началах»*). . Требуется доказать, что если даны круг, сектор и некоторая пло- площадь, то можно около круга или сектора описать многоугольник та- таким образом, чтобы оставшиеся по краям части**) описанной фигуры были меньше заданной площади; достаточно будет доказать ато для круга и провести то же рассуждение и для сектора. Пусть будут даны круг А {рис. 6} и некоторая площадь В. Около этого крута можно описать многоугольник так, чтобы его части, оста- остающиеся между многоугольником и окружпостью, взятые вместе, были меньше площади В; ибо если имеются две неравные величины, из которых боль- большая равна вместе взятым кругу и заданной пло- площади, а меньшая одному только кругу, то опи- опишем около круга многоугольник и впишем в него другой так, чтобы описанный имел ко вписанному отношение меньшее, чем упомянутая большая величина к меньшей. Тогда этот описанный мно- многоугольник и будет тем, остающиеся части кото- которого будут меньше заданной площади В. Действительно, если описанный многоуголь- многоугольник имеет ко вписанному отношение меньшее того, в котором вместе язятые круг и площадь В на- находится к этому же кругу, и круг больше впи- Рис. 6. санного многоугольника, то описанный много- многоугольник и подавно будет иметь к кругу отношение меньшее, чем имеете взятые круг и площадь В имеют к этому ?ке кругу; тогда после «выделения»***) части описанного многоугольника будут иметь к кругу отношение меньшее, чем площадь В к кругу; значит, части описанного многоугольника будут меньше площади В. Или таким образом, поскольку описанный многоугольник имеет к кругу отношение меньшее, чем вместе взятие круг и площадь В к кругу, то вследствие этого описанный многоугольник будет меньше указанных величин, вместе взятых; таким образом, и все его части (лежащие вне круга) будут меньше площади В. То же самое и относительно сектора. VII ; Если в равнобедренный конус****) вписать пирамиду, имеющую основанием равносторонний многоугольник, то поверхность этой пира- пирамиды за вычетом основания равна треугольнику, имеющему основание равным периметру основании пирамиды, а высотой — перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на одну из сторон основания. *) Евклид, XII, 2. **) Вуквально: отрезки. ., . •••) Это значит—составления производной пропорции с иычиташгем: ' ' опис. мц-к—А (Л + В) -А А < А •***) То есть конус, имеющий в осеиом сечешга равнобедренный треугольник, иными словами, обыкновенный прямой круговой конус.
.102 АРХИМЕД Рис. 7. Пусть будет рапнобедрепный конус, основание которого есть круг АВГ {рис. 7] и в него «писала пирамида, имеющая основанием равносторонний многоугольник АВГ: я утверждаю, что поверхность ее за вычетом основания равна вышеназванному треугольнику. Так ьак конус янлиется равнобедренным и в ic овании пирамиды лежит равносторонний многоугольник, то высоты ограничив io.i.iix пирамиду треугольников будут ралны меж- между собой. Основаниями этих треугольников являются АВ, ВГ, ГА, (общая) высота же упомянутая; таким образом, зти треуголь- треугольники вместе, [то есть поверхность пирамиды за вычетом треугольника АВГ], будут рав- равны треугольнику, имеющему основание, рав- равное вместе взятым АЛ, В Г, ГА, высотой же — упомянутую прямую. [Более ясно другое доказательство*). Пусть будет равнобедренный конус, осполанием которого является круг АВГ {рис. 8}, першиной же точка Д: пусть в этот конус вписана пирамида, имеющая основа- основанием равносторонний треугольник АВГ, и проведены линии АА, ДГ, ДВ; я утверждаю, что треугольники АДВ, АДГ, ВДГ равны треугольнику, основание Е которого равно периметру треугольника АВ Г, а опущенный нз верптипы на это осно- основание перпендикуляр равен перпендикуляру, опущенному из Д на сторону В Г. Проведем перпендикуляры ДК, ДА, ДМ; они, конечно, равны между собой. Возьмем треугольник EZH, имеющий основание EZ равным периметру треугольника АВГ и «тлеоту Н(ь) ранной ДА. Так как прямоуголь- прямоугольник на ВГ, АЛ вдвое больше треугольни- треугольника АВГ, прямоугольник между АВ, ДК вдвое больше треугольника АВД и прямо- прямоугольник между АГ, ДМ вдоое больше тре- треугольника АДГ, то, значит, прямоугольник между периметром треугольника ЛВГ, то есть между EZ, и АЛ, или Нв, будет вдвое больше треугольников АДВ, ВДГ, АДГ, вместе взятых. Также и прямоугольник Рис. 8. между EZ.HB вдвое больше треугольника EZII; значит, треугольник EZH будет равен треугольникам АДВ, ВАГ и АДГ, вместе взятым]. VIII Если около равнобедренного конуса описана пирамида, то поверх- поверхность пирамиды за вычетом основания равна треугольнику, имеющему основанием прямую, равную периметру основания {пирамиды), а высо- высотой — сторону конуса. '*)' Из' этих слон и»дно, что ШЕкепомсщеннОе докаяатсльство не принадлежит Архимеду.
О ШЛРЕ И ЦИЛИНДРЕ 103 Пусть будет конус, основание которого есть круг АВГ, и около конуса описана пирамида {рис. 9), так что ее основание, то есть много- многоугольник AEZ, будет описано около круга АВГ. ^ Я утверждаю, что поверхность этой пирамиды за вычетом основания равна вышеупомянутому тис- угольнику- Действителыто, так как [ось конуса перпен- перпендикулярна к основанию, т. е. к кругу АВГ, и] прямые, соединяющие центр этого круга с точ- точками касания, перпендикулярны к касатель- ¦ пым, то прямые, соединяющие вершину конуса с точками касания, будут перпендикулярны к ДЕ, EZ, ZA. Таким образом, вышеупомянутые перпен- перпендикуляра НА, IIB, ИГ равны между собой, ибо они являются сторонами конуса. Возьмем тре- треугольник вКЛ, имеющий сторону вК равной периметру треугольника AEZ, а перпендику- перпендикуляр ЛМ равным НА. Так как прямоугольник между АЕ, АН ндное больше треугольника ЕАН, прямоугольник между AZ, НВ вдвое больше треугольника AZH и прямоугольник между EZ, ГИ вдвое больше треугольника EHZ, то, значит, прямоугольник между ©К и АТТ, или МЛ, вдвое больше треугольыикои ЕЛИ, '/ЛИ, EHZ тшесте взятых. Такгке и прямоугольник между 6К, ЛМ вдвое болынц треугольника ЛК6; вследст- вследствие этого поверхность пирамиды за вычетом основании Аудет равна треугольнику, имеющему основанием прямую, равную периметру конуса. AEZ, а высотой сторону IX Если прямая линия пересекает круг, явля- являющийся основанием некоторого равнобедренного конуса, и от. ее концов проведены прямые линии к вершине, конуса, то треугольник, заключенный между этой секущей и прямыми, соединяющими ее концы с вершиной, будет меньше поверхности конуса между этими соединяющими с вершиной прямыми. Пусть круг АВГ {рис. 10} будет основа- основанием равнобедренного конуса, а точка Л — его вершиной; гфонедем в круге какуто-штбудь пря- прямую АГ и соединим точки Л, Г с веришной прямыми АЛ, ДГ. Я утверждаю, что треуголь- треугольник АДГ будет меньше конической поверхности, заключенной между АД, А Г. Разделим дугу ЛВГ пополам в точке В и проведем соединяющие прямые АВ, ГВ, АВ; тогда треугольники АВД, В ГА вместе будут больше треугольника АДГ. Пусть 0 будет величина, на которую выше- вышеупомянутые треугольники превышают треугольник АДГ; тогда 0 будет или меньше (суммы) сегментов АВ, ВГ, или же нет. Рис. 10.
104 АРХИМЕД Пусть сначала © будет не меньше их {суммы). Так как имеются две поверхности — коническая между АД, АВ вместе с сегментом ЛЕВ и треугольник АЛВ — и обе опи имеют одну и ту же границу — периметр треугольника АДВ, то объемлющая поверхность будет больше объемлсмой: значит, коническая поверхность между АД, АВ вместе с сегментом АЕВ будет больше треугольника АБА. Точно так же (коническая поверхность) между ВД, ДГ вместо с сегментом FZB больше треугольника ВАГ; тогда вся коническая поверхность вместе с площадью 0 будет больше обоих упомянутых треугольников. Но упомнпутые треугольники равны треугольнику АДГ вместе с площадью в. Отнимем общую площадь 0; тогда остав- оставшаяся коническая поверхность между АД, АГ будет больше треуголь- треугольника АДГ. Пусть теперь 0 будет меньше (суммы) сегмептоп АВ, ВГ. Разделяя пополам дуги АВ, ВГ, а затем пополам их половинки, . мы придем к сегментам (в сумме), меньшим площади 0*). Пусть это будут сегменты (S4e + S'eb + ?bz + Szv < ©)> ограниченные прямыми АЕ, ЕВ, BZ, 7.Г. Проведем ДЕ и AZ. Тогда по той гке причине поверхность конуса между АД, ДЕ вместе с сегментом па АЕ будет больше треугольника АДЕ, а поверхность между ЕА, ДВ вместе с сегментом на ЕВ больше треугольника ЕДВ; значит, поверхность (конуса) между АД, ДВ вместе с сегментами на АЕ, ЕВ будет больше треугольников АДЕ, ЕВА. Поскольку же, согласно доказанному, треугольники АЕД, ДЕВ больше треугольника АВД, то значит, и подавно поверхность конуса между АД, ДВ вместе с сегментами на АЕ, ЕВ будет больше треуголь- треугольника АДВ. На том же основании и поверхность конуса между ВД, ДГ вместе с сегментами на BZ, ZT больше треугольника ВДГ; значит, вся поверхность между АД, ДГ вместе с упомянутыми сегментами будет больше треугольников ABA и АВГ. Но эти треугольники равны тре- треугольнику АДГ и площади 0, причем упомянутые сегменты (в сумме) меньше площади Э; значит, остающаяся поверхность конуса между АД, ДГ будет больше треугольника АДГ [5, С]. X Если к кругу, являющемуся основанием конуса, мы проведем каса- касательные, лежащие в одной плоскости с кругом и пересекающиеся между собой, а затем полученные точки касания и пересечения касательных соединим прямыми с вершиной конуса, то треугольники, заключаю- заключающиеся между касательными и прямыми, соединяющими с вершиной конуса, будут больше отсекаемой ими части конической поверхности. Пусть будет конус, основанием которого является круг АВГ {рис. 11}, а вершиной — точка Е; к кругу АВГ проведем касатель- касательные АД и ГД, расположенные в той же самой плоскости, и вершину конуса Е соединим с точками А, Д, Г прямыми ЕА, ЕД, ЕГ. Я утвер- утверждаю, что треугольники АДЕ, ЛЕГ**) будут больше конической поверх- поверхности, находящейся между прямыми АЕ, ГЕ и дугой АВГ. • На осноцакии предложения Vf. •* То есть сумма втих треугольников.
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 105 Разделим дугу ЛВГ в точке В пополам и проведем к кругу касательную HBZ, параллельную АГ; точки Н, Z соединим с Е пря- прямыми НЕ, ZE. И так как прямые ДН, AZ, взятые вместе, боль- ¦ ше HZ, то добавим к обеим НА, ZT, тогда АД и АГ вместе будут боль- больше АН, HZ, ZF, Рис. 11. АД + ДГ > АН 4-HZ Так как АЕ, ЁВ, ЕГ суть образующие*) конуса, то они равны между собой, поскольку конус равнобедренный; точно так же они перпенди- перпендикулярны**); [прямоугольники асе между вы- высотами и основаниями вдвое больше соответствую- соответствующих треугольников;] следовательно, треугольни- треугольники АЕД, ДЕГ будут больше треугольников . АНЕ, IIEZ, ZEI\ [ибо АН, НГ, ZV меньше ГА, .-. ДА, высоты же у тех и других равны.] [ГГсно, , что прямая, соединяющая вершину прямого кс- нуса с точкой касания на основании, будет перпен- . I дикулярна к касательной.]***) Пусть треугольники: АЕЛ и ДЕГ превышают треугольники AEII, HEZ, ZET на площадь в. Тогда площадь в будет ил и меньше отреэкоп АН ВК А и В7ГЛ (между касательными и окружностью ¦ круга), или же не меньше их. Пусть сначала опа будет пе меньше. Так как ¦¦/-. имеются две составленные поверхности, а именно поверхность пирамиды с основанием — трапецией ¦ ¦ HATZ и вершиной Е и коническая поверхность между АЕ, ЕГ вместе с сегментом АВГ, и обе они имеют одну и ту же границу — периметр треугольника ЛЕГ, то ясно, что поверхность пирамиды за вычетом треугольника АЕГ будет больше конической поверхности вместе с сегментом АВГ. Отнимем общий сег- сегмент ЛВГ; тогда оставшиеся треугольники АНЕ, HEZ, ZET вместе с отрезками по краям ЛПВК, BZTA будут больше конической поверх- поверхности между прямыми АЕ, ЕГ. Но площадь © не менее отрезков АНВК, BZTA; значит, и подавно треугольники АНЕ, HEZ, ZET вместе с в будут больше конической поверхности между ЛЕ, Е Г. Но треугольники АНЕ, HEZ, TEZ вместе с в равны треугольни- треугольникам АЕД, ДЕГ; значит, треугольники АЕД, ДЕГ больше упомянутой конической поверхности. Пусть теперь 0 будет меньше этих отрезков по краям. Тогда, точно так же описыпая все время около сегментов много- многоугольники, разделяя пополам остающиеся по краям дуги и проводя касательпые, мы придем к некоторым отрезкам, которые будут меньше площади В. Пусть полученные такие отрезки будут АМК, KNB, ВЕЛ, ЛОГ, которые вместе меньше площади 6. Соединим полученные точки с Е. Тогда опять ясно, что треуголь- треугольники АНЕ, HEZ, ZET, взятые вместе, больше треугольников АЕМ, MEN, NEB, SEO, ОЕГ, (ибо основания у первых больше, а высоты оди- одинаковы]. Кроме того, пирамида, имеющая основанием многоугольник *) Вукиально: сторсиы (е) **) К карательным АН, HZ. Zr. ***) Отмеченная Гсйбергом двойная интерполяция. ¦:¦ •¦¦:<
10G АРХИМЕД AMNSOF, а вершиной Е, точно так же будет, если вычесть тре- треугольник АЕГ, иметь поверхность большую, чем коническая поверх пость между АБ, ЕГ, взятая имеете с сегментом АВГ. Отнимем общий сегмент АБГ; тогда оставшиеся треугольники АЕМ, MEN, NEH, SEO, ОЕГ вместе с отрезками по краям АМК, KNB, ВЗЛ, ЛОГ будут болыпо конической поверхности между АЕ, ЕГ. Но площадь 6 больше упоминутых отрезков по краям; треугольники же АЕН, HEZ, ZET, как показано, больше треугольников А ЕМ, MEN, NEH, SEO, ОЕГ; значит, и поданно треугольники АЕН, HEZ, ZET вместе с площадью 6, то есть треугольники АДЕ, АЕГ, будут больше конической поверхно- поверхности между прямыми АЕ, ЕГ [6]. XI Если па поверхности прямого цилиндра имеются две прямые, то поверхность цилиндра между этими прямыми больше параллелограмма, заключающегося между находящимися на. поверхности цилиндра пря- прямыми и другими, соединяющими их концы. Пусть будет прямой цилипдр, основание которого круг АВ, а противоположное — круг ГД*) {рис. 12}; проведем соединяющие прямые АГ и ВА; я утверждаю, что цилиндриче- цилиндрическая поверхность, отсеченная прямыми АГ, ВД, больше параллелограмма АГВД. Разделим каждую из дуг АВ, ГД пополам в точках К, Z и проведем соединяющие прямые АЕ, ЕВ, TZ, ZA. Так как АЕ и ЕВ вместе больше АВ, и построенные на них параллелограммы равновы- соки, то параллелограммы, основания которых АЕ и ЕВ, а высота та же, что и у цилиндра, вместе взятие, будут больпте параллелограмма АВГД. На сколько же они будут больше? Пусть они больше на площадь Н, Тогда площадь Н будет или мень- меньше плоских сегментов АЕ, ЕВ, TZ, ZA, или же не меньше. Пусть сначала она будет не меньше. Так как отсеченная прямыми АГ, ВД цилиндрическая по- поверхность вместе с (сегментами **)} АЕВ, TZA имеет границей плоскость параллелограмма АГВД, и так как поверхность, составленная из параллелограммов с остюпаниими АЕ, ЕВ и высотой той же, что у цилиндра, и [плоских фигур] ЛЕВ, V'/Л, имеет границей (ту же самую) плоскость парал- параллелограмма АВДГ, и перпая поверхность объемлет вторую, причем обе они выпуклые в одну сторону, то отсеченная прямыми АГ, ВД цилиндрическая поверхность имеете с плоскими сегментами АЕВ, TZA будет больше поверхности, составленной из параллелограммов с осно- основаниями АЕ, ЕВ и с той же высотой, что у цилиндра, и из треуголь- треугольников АЕВ, Г/Л. Отнимем общие треугольники АЕВ, TZA; тогда оставшаяся цилин- цилиндрическая поверхность, отсеченная прямыми АГ, ВД, вместе с плоскими сегментами АЕ, ЕВ, TZ, ZA будет больше поверхности, составленной Рис. 12. *) dvpaais ftiv i ЛИ кукЯик. «mevaviiov 6i ГД—терминология «Начал» Квклица. Мы сказали бы просто- с основаниями ЛВ и ГД- **) Сегмент АЕВ—сегмент, стирающийся на хорду АВ и содещиащий точку Е. .
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ из параллелограммов с основаниями АЕ, ЕВ и с той же нысотой, что у цилиндра. Но параллелограммы с основаниями АЕ, ЕВ и с высотой той же, что у цилиндра, равны параллелограмму АГВД вместе с площадью II; значит, оставшаяся цилиндрическая поверхность, отсеченная прямыми АГ, ВД, будет больше параллелограмма АГВД. Пусть теперь площадь Н будет меньше плоских сегментов АЕ, ЕВ, FZ, ZA. Разделим пополам каждую из дуг АЕ, ЕВ, FZ, 7Л в точках в, К, А, Ми проведем соединяющие прямые А0, 6Е, ЕК, KB, ГА, AZ, ZM, МЛ; [таким образом, от плоских сегментов АЕ, ЕВ, FZ, ZA отнимутся треугольники АвЕ, ЕКВ, FAZ, ZMA, не меньшие их полонии]. Если мы будем действовать так все время, то получатся некоторые сегменты, которые будут меньше площади II. Пусть они получепи и будут АЭ, вЕ, ЕК, KB, ГА, AZ, ZM, МЛ. Тогда подобным же образом докажем, что параллелограммы, основания которых суть Ав, GE, ЕК, KB, а высота —та ?ке, что и у цилиндра, будут больше параллелограммов, основания которых суть АЕ, ЕВ, а высота — та же, что и у цилиндра. И так как цилиндрическая поверхность, отсекаемая прямыми АГ, ВД, вместе с плоскими сегментами АЕВ, Г7Л, имеет границей плоскость параллелограмма АГВД, а поверхность, составленная из параллело- параллелограммов, основания которых суть Л€), 6Е, ЕК, KB, а высота — та же, что и у цилиндра, и из прямолинейных фигур ЛЭЕКВ, FAZMA (тоже имеет границей плоскость параллелограмма ЛГВЛ, то отсекаемая пря- прямыми АГ, ВД цилиндрическая поверхность имеете с плоскими сегмен- сегментами АЕВ, TZA будет больше поверхности, составленной из параллело- параллелограммов, основания которых суть Ав, вЕ, ЕК, KB, а нысота — та же, что и у цилиндра, и из прямолинейных фигур ЛвЕКВ, FAZMA)*). Отнимем общие прямолинейные фигуры АвЕКВ, FAZMA; тогда оста- остаток — отсекаемая прямыми АГ, ВЛ цилиндрическая поверхность вместе с плоскими сегментами АВ, вЕ, ЕК, KB, ГЛ, AZ, ZM, МД будет боль- больше поверхности, составленной из параллелограммов, основания кото- которых суть А©, 6Е, ЕК, KB, ГЛ, AZ, ZM, МЛ, а высота — та же, что и у цилиндра. Параллелограммы же, основания которых суть А0, 0Е, ЕК, KB, а высота — та же, что и у цилиндра, больше параллелограммов, осно- основания которых суть АЕ, ЕВ, а высота та же, что и у цилиндра; значит, и цилиндрическая поверхность, отсекаемая прямыми АГ, ВД, вместе с плоскими сегментами Ав, BE, EK, KB, FA, AZ, ZM, MA, будет боль- больше параллелограммов, основания которых суть АЕ, ЕВ, а высота — та же, что и у цилиндра. Но параллелограммы, основания которых суть АЕ, ЕВ, а высо- высота — та же, что и у цилиндра, равны параллелограмму АГАВ и пло- площади Н; значит, и цилиндрическая поверхность, отсекаемая прямы- прямыми АГ, ВД, вместе с плоскими сегментами Ав, вЕ, ЕК, KB, ГА, AZ, ZM, МД будет больше параллелограмма АГВД и площади Н вместе взятых. После же отнятия сегментов Ав, вЕ, ЕК, KB, ГА, AZ, ZM, МД, меньших площади Н, оставшаяся цилиндрическая поверхность, отсе- отсекаемая прямыми АГ, ВД, будет больше параллелограмма АГВД. *) ООорианный конец фразы восстанавливается Гейбергомсогласио сделанному и XIII веке латинскому переводу Вильгельма иа Мербеке. ¦ ¦ . ¦ -.
АРХИМЕД XII Если па поверхности какого-нибудь прямого цилиндра имеются две прямые и от конца этих прямых к кругам, являющимся основаниями цилиндра, проведены некоторые касательные, находящиеся в плоскости оснований и {попарно) пересекающиеся, то параллелограммы, заклю- заключенные между касательными и сторонами цилиндра, будут больше поверхности цилиндра между обеими прямыми, находящимися на поверхности цилиндра. Пусть круг АВГ {рис. 13} является основанием некоторого прямого цилиндра, и пусть на поверхности последнего имеются две прямые, кокни которых суть А и Г; из то- точек А и Г проведем касательные к кругу, лежащие в его плоскости, и пусть они пересекутся в Н. Сообразим также, что и на другом основании цилиндра из концов тех же самых прямых на его поверхности проведены прямые, касательные к соответ- соответствующему кругу. Требуется доказать, что параллелограммы, заключающиеся между касательными и сторонами цилиндра, будут больше поверхности цилиндра, со- соответствующей дуге АВГ. Проведем касательную EZ и из точек Е, Z параллельно оси цилиндра проведем прямые до [поверхности] другого основа- основании; тогда параллелограммы, заключаю- заключающиеся между АН, ИГ и сторонами ци- цилиндра, будут больше параллелограм- параллелограммов, заключающихся между АЕ, EZ, ZT и боками цилиндра, [ибо EH, HZ более EZ, и после прибавления ЛЕ, ZT общих, НА, IIГ взятые вме- вместе будут больше АЕ, EZ, ZF вместе взятых]. Тогда пусть площадь К будет то, на сколько первые параллелограммы больше вторых. Поло- Половина площади К будет или больше вместе взятых фигур, заключенных между прямыми АЕ, EZ, ZT и дугами АД, АВ, В©, ЭГ, или нет. Пусть сначала она будет больше. Поверхность, составленная из параллелограммов на АЕ, EZ, ZF, трапеции AEZT и (трапеции), противолежащей ей на другом основании цилиндра, имеет границей периметр параллелограмма на АГ. Но тот жп самый периметр будет границей и поверхности, составленной из поверхности цилиндра, соответствующей дуге АВГ, сегмента АВГ и (сегмента), протипо- лежащего ему; таким образом, обе упомянутые поверхности оказывают- оказываются имеющими одну и ту же границу, которая расположена на плоско- плоскости, обе они являются выпуклыми в одну сторону и одна из них объем- лет другую и имеет с ней некоторую общую часть; значит, объемлемая поверхность будет меньше. Тогда после отнятия общих сегмента АВГ и противолежащего ему поверхность цилиндра, соответствующая дуге АВГ, будет меньше поверхности, составленной из параллелограммов на АЕ, EZ, ZT, фигур АЕВ, BZT и им противолежащих. Но поверхно- поверхности упомянутых параллелограммов вместе с упомянутыми фигурами меньше поверхности, составленной из параллелограммов на АН, НГ, (ибо они были бы равны только после прибавления площади К, боль- большей упомянутых фигур]; после этого ясно, что параллелограммы, Гис. 13.
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 109 заключающиеся между ATI, ГН и боками цилиндра, будут больше поверхности цилиндра, соответствующей дуге АВГ. Если же половина площади К. лс больше упомянутых фигур, то к сегменту проводятся касательные до тех пор, пока остающиеся по краям фигуры не сделаются меньше половины К, и все остальное докажется совершенно так гке, как и раньше. После доказанного ясно, ч-ю если в равнобедренный конус вписать пирамиду, то поверхность пирамиды за вычетом основания будет мепыие конической поверхности, [так как каждый из треугольников, ограничивающих пирамиду, будет меньше конической поверхности, заключенной между сторонами троуголытика; значит, и вся поверх- поверхность пирамиды за вычетом основания будет меньше поверхности конуса, тоже за пычетом основания], и что если около равнобедренного конуса описать пирамиду, то поверхность пирамиды за вычетом осно- основания будет больше поверхности конуса за вычетом основания. Из доказанного также ясно, что если л прямой цилиндр вписать призму, то поверхность призмы, составленная из параллелограммов, меньше поверхности цилиндра за вычетом обоих оснований, [так как каждый параллелограмм призмы меньше соответствующей ему части цилиндрической поверхности], и что если около прямого цилиндра описать призму, то составленная из параллелограммов поверхность призмы больше поверхности цилиндра за вычетом обоих оснопаний. XIII Поверхность всякого прямого цилиндра за вычетам оснований равна кругу, радиус которого является средней пропорциональной между сто- стороной цилиндра и диаметром его основания. Пусть круг А {рис. 14} будет осно- л. , к ванием некоторого прямого цилиндра; пусть I прямая ГД равна диаметру круга A, a EZ рав- Г на стороне цилиндра; пусть Н будет средней пропорциональной между ГД, EZ, и круг В имеет радиус, равный Н; требуется дока- доказать, что круг В равен поверхности цилин- цилиндра за вычетом оснопаний. Действительно, если on не равен, то будет или больше, или меиытто. Пусть сначала он будет, если возможно, меньше. Тогда име- имеются две неравные величины, а именно поверхность цилиндра и круг В, и мы можем в круг В вписать равносторонний многоугольник и околю пего описать другой так, чтобы опмсапш.щ имел ко вписанному отношение, моньнтио того, которое; поверх- поверхность цилиндра имеет к кругу В. Пред- Представим себе, что первый многоугольник вписан, а нтором описан; около круга А опишем прямолинейную фигуру, подобную той, которая опи- описана около В, и на этой прямолинейной фигуре построим призму; опа, конечно, тоже будет описанной около цилиндра. Пусть периметр пря- прямолинейной фигуры, онисаттттой около круга А, будет равен КД, пусть прямая AZ равна КД, а ГТ составляет половину ГД; тогда треугольник КДТ будет равен прямолинейной фигуре, описанной около круга А, Рис. 14.
iiO АРХИМЕД [тан как он имеет основание, рапное ее периметру, а высоту, равную радиусу круга А], параллелограмм жо ЕЛ район (боковой) поверх- поверхности при:шы, описанной около цилиндра, [так как он заключается между стороной цилиндра и прямой, равной периметру основания призмы]. Отложим прямую ЕР, равную EZ; тогда треугольник ZPA будет ранен параллелограмму ЕЛ, а, следовательно и (боковой) поверхности призмы. II так как описанные около кругов А и В прямо- прямолинейные фигуры подобны, то [эти фигуры] будут иметь то ?ке самое отношение, что и квадраты на радиусах; значит, треугольникКТД будет относиться к прямолинейной фигуре, описанной около круга В, как квадрат на ТЛ к квадрату на Н, [ибо ТД и Н равны радиусам соответ- соответствующих кругов]. Но отношение квадрата на ТЛ к квадрату на Н равно отношению линий ТД и PZ. ТАЗ _ ТА Н2 ~ PZ [ибо Н, будучи средней пропорциональной для ГД и EZ, будет также сродней пропорциональной и для ТД и PZ. Это по следующей причине: так как ДТ равна ТГ, а РЕ рапна EZ, то ГД вдвое больше ТЛ, a PZ вдлое больше РЕ; значит, как ЛГ (отпоситсн) к ДТ, так будет и PZ к ZE. Следовательно, произведение ГД и EZ равно произведению ТД и PZ. Но произведение ГД и EZ равно квадрату Н; значит, и произве- произведение ТЛ, PZ равно квадрату Н. Следовательно, как ТД к Н, так будет и Н к PZ; значит, как ТД к PZ, так и квадрат ТД к квадрату Н, ибо если имеются три прямые в непрерывной пропорции, то первая будет относиться к третьей, как фигура, построенияи на первой, относится к фигуре, подобной и подобно построенной на второй прямой*)]; отно- отношение же линий ТД и PZ равно отношению (площадей) треугольни- треугольников КТЛ и PAZ, [ибо КД и AZ равны]; следовательно, треугольник К.ТЛ будет относиться к прямолинейной фигуре, описанной около кру- i га В, как треугольник ТКД к треугольнику PZA. Значит, треугольник ZAP будет равен прямолипейпой фигуре, описанной около круга В; ; таким образом, (боковая) ттоверхностьнризмы, описанной около цилин- цилиндра А, будет равна прямолинейной фигуре, описанной около круга В. И поскольку прямолинейная фигура, описанная около круга В, к фигу- фигуре, вписанной в этот же круг, имеет отношение, меньшее того, которое поверхность цилиндра А имеет к кругу В, то и (боковая) поверх- поверхность призмы, описанной около цилиндра, к прямолинейной фигуре, вписанной в круг В, будет иметь отношение; меньшее, чем (боковая.) поверхность цилиндра к кругу В; и после перестановки (бокопая поверхность призмы к боковой поверхности цилиндра будет иметь отно- отношение мепыиоо, чем вписанная в круг В фигура к кругу В), а это невозможно, [ибо доказано, что поверхность призмы, описанной около цилиндра, больше поверхности цилиндра, а игшеапнан в круг В фигура меньше круга В]. Таким образом, круг В не будет меньше (боковой) поверхности цилиндра. Пусть теперь, если возможно, он будет больше. Тогда опять вообра- вообразим прямолинейную фигуру, вписанную в круг В, и другую, описан- описанную около пего таким образом, чтобы описанная имела ко вписанной отношение .меньшее, чем круг В к поверхности цилиндра; в круг А впишем многоугольник, подобный вписанному в круг В, и на много- •) Из цроцорции о : Ь=1> : с следует о : с == а 2 : ьа.
о ш л ре и цилиндр*: угольнике, вписанном в этот круг (А), построим призму. Пусть опять прямая КД будет равна периметру прямолинейной фигуры, вписанной в круг Л, и 7Л рапиа КД. Тогда треугольник КТД будет больше прямо линейной фигуры, «писанной в круг Л, [так как основанием он имеет оо периметр, а высота его больше, перпендикуляра, опущенного из центра на одну из сторон многоугольнина], а параллелограмм ЕЛ равен составленной из параллелограммов поверхности призмы, [так как он заключается между стороной цилиндра и прямой, равной периметру прямолинейной фигуры, являющейся основанием призмы]; таким обра- образом, и треугольник PAZ будет ранен поверхности призмы. Но так как прямолинейные фигуры, лписаппые п круги А и В, подобны, то они относятся друг к другу, как квадраты радиусоп соответствующих кру- кругов. Но и треугольники КТД, ZPA находятся друг с другом в двойном отношении *) радиусов этих кругов; следовательно, прямолинейная фигура, вписанная в круг А, будет иметь к прямолинейной фигуре, вписаппой и Г?, то же самое отношение, что треугольник КТД к тре- треугольнику AZP. Но прямолинейная фигура, иписанная в круг А, меньше треуголь- треугольника КТД; следовательно, и фигура, вписатшая в круг Г5, будет меньше треугольника ZPA, а следовательно, меньше и {боковой) поверхности призмы, вписанной в цилиндр, а это невозможно, [так как прямолиней- прямолинейная фигура, описанная около круга. Б, имеет ко вписанной фигуре меньшее отношение, чем круг В к (боковой) поверхности цилиндра, и после лерестапопки (описанная около круга В фигура имеет к кру- кругу В меньшее отношение, чем вписанная фигура к боковой поиерхно- сти цилиндра). Но фигура, описаппая около круга Г5, больше круга В; значит, вписанная в круг Б-фигура больше (боковой) поверхности цилиндра, а следовательно, и (боковой) поверхности призмы]. Итак, круг Г5 будет не больше поверхности цилиндра. Доказано же, что он и не меньше; значит, он будет ей равен [7]. XIV Поверхность всякого равнобедренного конуса за вычетом основания равна кругу, радиус которого есть средняя пропорциональная между стороной конуса и радиусом круга, являющегося основанием конуса. Пусть будет равнобедренный конус, оспоиа- ние которого круг А {рис. 15}; пусть радиус этого круга будет Г, а сторона конуса Д; пусть Е будет средней пропорциональной между Г и Д, 0 и круг Г5 имеет радиус, равный Е; я утверждаю, /¦ | что круг В ранен поверхности конуса за вычетом К основания. & В Действительно, если он но равен ей, то бу- дет или больше, или мзныие. с' Пусть сначала он будет меньше. Тогда имеются две неравные величины — поверхность конуса и круг В, причем большей является поверхность конуса; значит, можно вписать в круг В равносто- равносторонний мпогоуголыгак и описать около него другой, подобный вписанно- вписанному, так, чтобы описанный имел ко вписанному отношение меньшее того, *) То есть как киадрати радиусов.
112 АРХИМЕД которое поверхность конуса имеет к кругу В. Теперь вообразим, что около круга Л описан многоугольник, подобный описанному около круга В, и па многоугольнике, описанном около круга А, построена пирамида, имеющая ту же вершину, что и конус. Так как многоуголь- многоугольники, описанные около кругов Л и В, подобны, то они имеют друг к другу отношение, равное двойному отношению их радиусов, то есть двойному отношению Г и Е, или {отношению) линий Г и Д. Но отношение линий Г и Д равно отношепию многоугольника, описанного около круга Л, к (боковой) поверхности пирамиды, описанной око- около конуса, [ибо Г рапна перпендикуляру, опущенному из центра на одну из сторон многоугольника, а Д равна стороне конуса; периметр же упомянутого многоугольника будет общей высотой двух прямоуголь- прямоугольников, половины которых соответственно равны многоугольнику, опи- описанному около круга А и боковой поверхности пирамиды, описанной около конуса}*). Значит, прямолинейная фигура, описанная около круга А, к прямолинейной фигуре около круга В имеет то же самоо отношение, что и к (боковой) поверхности пирамиды, описанной около конуса; таким образом, (боковая) поверхность нирамиды рав- равна многоугольнику, онисаппому около круга В. Теперь так как много- многоугольник, описанный около круга 11, ко вписанному многоугольнику имеет меньшее отношение, чем поверхность конуса к кругу В, то и (боковая) поверхность описанной около конуса пирамиды будет к многоугольпику, пписанному в круг В, иметь меньшее отношение, чем (боковая) понерхность конуса к кругу В, а это невозможно, (ибо доказано, что поверхность пирамиды больше поверхности конуса, тогда как многоугольник, вписанный п круг В, меньше круга BJ. Итак, круг В не будет меньше (боковой) поверхности конуса. Теперь я утверждаю, что он не будет и больше. Действительно, пусть, если возможно, он будет больше. Тогда опять вообразим много- многоугольник, пписанный в круг В, и другой, описанный около пего, так, чтобы описанный имел ко пписанному отношение меньшее того, которое круг В имеет к (боковой) поверхности конуса, вообразим много- многоугольник, вписанный в круг А и подобный пписанному в круг В, и по- построим на нем пирамиду, имеющую ту же вершину, что и копус. Теперь так как вписанные в круги А и В многоугольники подобны, то они будут находиться друг к другу в двойном отношении их радиусов; значит, отношение одного многоугольника к другому будет равняться отношению линий Г и Д. Но Г имеет к Д большее отношение, чем то, которое многоугольпик, вписанный вокруг А, имеет к (боковой) поверх- поверхности пирамиды, вписанной и конус, [ибо радиус крута А к стороне конуса имеет большее отношение, чем перпендикуляр, опущенный из центра на одну из сторон многоугольника, имеет к перпендикуляру, опущеннодгу на зту сторону иа вершины конуса]; значит, многоуголь- многоугольник, вписанный в круг А, к многоугольпику, вписанному в В, будет иметь большее отношение, чем к (боковой) поверхности пирамиды; так что (боковая) поверхность пирамиды будет больше многоуголь- многоугольника, вписанного в круг В. Но многоугольник, описанный около кру- круга В, имеет ко вписанному моныпее отношение, чем круг В к (боковой) поверхности конуса; значит и подавно описанный около круга В мттого- *)В тексте просто xolvto fii 5фое ¦»! пео.:ц.?тро5 то» тАтгуЛл'ои nQiq та Т]ц,1<гт) хп>\ eHp как вто темное место наверняка не принадлежит Архимеду, то я счел себя в праве дать более рас- распространенный и имеющий смысл персиод. ¦ ¦ - *'
О ШЛСК II ЦИЛИНДРЕ угольник будет к (боковой) поверхности пирамиды, вписанной и конус, иметь меньшее отношение, чем круг В к (боколой) поверхности конуса, а это невозможно, [так как описанный многоугольник больше круга В, (боковая) же поверхность пирамиды в конусо меньше {боко- {боковой) поверхности конуса}. Значит, круг В не будет больше поверх- поверхности конуса. Но уже докапано, что он не будет и меньше; значит, он ей равен. XV Поверхность*) всякого равнобедренного конуса имеет к основанию такое же отношение, пак сторона конуса к радиусу его основания. Пусть будет равнобедренный конус, основание которого — круг А {рис. 16}; пусть прямая В равна радиусу круга А, а Г равна стороне конуса; требуется доказать, что поверхность конуса имеет к кругу А такое же отношение, как Г к В. Вояьмем К — среднюю пропорциональную между В и Г — и построим круг Д, имеющий радиус, равный Е; значит, круг Д будетравен( боко- боковой) поверхности конуса; [г»то доказало и преды- предыдущем]. Доказано также, что круг А имеет к кругу А отношение, равное отношению линий Г и В, [ибо каждое из этих отношений равно двойному Pjl«'- отношению Е и В, так как круги будут относиться друг к другу, как квадраты на диаметрах или на радиусах, а диаметры относятся, каких половины, или радиусы; последние же равны В и Е]. Теперь ясно, что (боковая) поверхность конуса имеет к кругу А отношение, равное отношению линий Г и В. XVI Если рассечь равнобедренный конус плоскостью, параллельной основанию, то поверхность конуса между обеими параллельными плос- плоскостями будет равна кругу, радиус которого является средней пропор- пропорциональной для стороны конуса между параллельными плоскостями и прямой, равной вместе взятым радиусам обоих кругов, лежащих е параллельных плоскостях. Пусть будет конус, у которого треугольник осевого сечения есть АВГ {рис. 17}; рассечем его параллельной основанию плоскостью: пусть она образует сечение ДЕ; осью конуса пусть будет ВН; построим круг, радиус которого является средней пропорциональной между АЛ и вместе взятыми AZ и НА; пусть это будет круг 0; я утверждаю, что круг 0 будет ранен поверхности конуса, заключенной между АЕ и AT. Действительно, построим круги А и К так, чго радиус круга К квадрирует прямоугольник между ВД, AZ, а радиус круга А кпадрирует прямоугольник между ВА, АН; тогда круг Л будет ранен (боковой) поверхности конуса ЛВГ, а круг К — (боковой) поверхности кону- конуса ЛЕВ. Так как (прямоугольник) между ВЛ, АН равен (прямо- (прямоугольнику) между ВА, AZ (вместе с прнмоуголытиком) между АД *) Подразумевается боковая поверхность. Архимед
114 АРХИМЕД и вместе взятыми AZ и АН, ВА- А П = ВЛ - &Z 4- АД WZ + ЛИ) вследствие параллельности AZ и АИ*), а прямоугольник между АВ, АН квадрируется радиусом круга Л, прямоугольник между БД, AZ квадрируется радиусом круга К а (прямоугольник) между ДА и вместе взятыми AZ, АН квадрируется радиусом круга в, то, значит, квадрат на радиусе круга Л равен вместе взятым квадратам па радиусах кругов К и в; таким обра- аом, и круг Л будет равен вместе взятым кругам К, В. Но круг Л равен (боковой) поверхности конуса ВАГ, а круг К — (боковой) поверхности конуса ДВЕ; значит, остаток—поверхность конуса между параллельными плоскостями ДЕ, АГ — будет равен кругу 0. [Пусть имеется параллелограмм ВАН [рис. 18}, и пусть ВН будет его диаметр. Рассе- Рассечем сторону ВА в какой-пибудь точке Д и че- через Д проведем А6 параллельно АН, а через Z лроиедум КЛ параллельно ВА; я утверждаю, что (прямоугольник) между ВА, АН равен вместе взятым (прямоугольнику) между БД, А7, (и прямоугольнику) между АД и вместе взятым AZ, АН. Действительно, так как (прямоугольник) между В А, АН пред- представляет весь параллелограмм ВН, (прямоугольник) между ВЛ, AZ—параллелограмм BZ и прямоугольник между ДА и вместе взятыми AZ,AH — гно- гномон M.N5 (ибо (прялмоугольник) между ДА, АН представляет параллелограмм КН вследствие равенства «дополнений»**) Кб и л ДА,: а (прямоугольник) между АА, AZ — параллелограмм ДА), то, следовательно, весь параллелограмм ВН, то есть (прямо- ' угольник) между В А, АН, равен прямо- прямоугольнику между ПА, AZ вместе с гномо- гномоном MNS, который в свою очередь равеп прямоугольнику между ДА и вместе взятыми АН, AZJ***). Рис. 17. И и Рис. 18. Л е м м ы 1. Конусы, имеющие равные высоты, относятся друг к другу, как основания; имеющие же равные основания относятся, как высоты (Начала, XII, 11, 14). 2. Если цилиндр рассечен плоскостью, параллельной основаниям, то один из получившихся цилиндров относится к другому, как одна us соответствующих осей к другой (Начала, XII, 13). *) Имеем B.VAH — Вд-ДН-i- ДА-АН и АН : AZ - АВ : Вд, откуда АН-ВД = АВ- AZ, т. с. ЕЛ- АН — AB-AZ-f АД-АН = ВД-Дг-|- АД (.4Z }- АН). *•) пацап^ощш. — термин «Начал» Евклида A.4Я). ***) Эта теорема, вспомогательная к пркцлож^нию XVI, являстсн позднейшей вставкой. Евто- ьий имел рукопись Архимеда бея этой теоремы, так как он дает специальное пояснение к предложс- пю XVI.
О ШАГЕ И ЦИЛИНДРЕ 115 3. Конусы,-, имеющие с цилиндрами одни и, те же основания {и рав- равные высоты), имеют друг к другу то же самое отношение, что и цилин- цилиндры (Следует из предложения 10 книги XII «Начал»). 4. У равных конусов основания обратно пропорциональны высотам;, и конусы, у которых основания обратно пропорциональны еысота.а,_ будут равны (Начала, XII, 15). 5. И конусы, диаметры оснований которых относятся, как оси, [то есть как высоты], будут друг к другу в тройном*) отношении диаметров (Начала, XII, 12). Все это доказано предшествующими писателями. кд XVI1 Если даны два равнобедренных конуса и поверхность одного конуса равна основанию другого, а перпендикуляр, опущенный из ijcumpa основа- основания первого конуса на сторону, ранен еысоте (второго конуса), то оба конуса будут равны. Пусть будут дна равнобедренных коиуса АВГ, AEZ {рис. J9}, и пусть основание конуса АВГ равно поверхности конуса AEZ, высо- высота же АН равна перпендикуляру Кб, опущенному из центра 6 основа- основания на одну иа сторон конуса, например ДЕ; и утверждаю, что оба конуса будут равны. Так лак основание (конуса) АВГ равно по- поверхности (конуса) AEZ, [равные же величины к одному и тому же имеют одно и то же отноше- отношение], то, значит, как основание ВАГ к осиога- |гию AEZ, так будет и поверхность AEZ к оснона- нию AI'IZ. Но поверхность конуса относите» к своему основанию, как А в к вК, [ибо доказано, что поверхность всякого равнобедренного конуса имоот к основанию то же самое отношение, как сторона конуса к радиусу основания, то j есть как ДЕ к Ев. Но как ЕД к вА, так будет и Ев к 0К, Ев . » : = W ибо соответствующие треугольники] имеют] равные углы]. Затем 6К равна АН; значит, основание ВАГ бу- Рис. 19. дет к оспонапию AEZ, как высота AEZ к высоте АВГ. Таким образом, у конусов АВГ, AEZ основания обратно про- пропорциональны высотам; значит, конус ВЛГ равен конусу AEZ. XVIII Всякий ромб, составленный из двух равнобедренных конусов, равен конусу, имеющему основание, равное (боковой) поверхности одного из конусов, составляющих ромб, а высоту, равную перпендикуляру, опущен- опущенному иа вершины второго конуса на сторону первого конуса. Пусть будет составленный из двух равнобедренных конусов [рис. 20J роыб АВГД, основание которого есть описанный па диаметре В Г *) То есть в возведенном в третью степень. S*
llfi АРХИМЕД N0 ДЕ~ круг, итлсота ;кс АЛ; возьмем также некоторый другой (конус) ТТ6К, имеющий основание, равное (боковой) поверхности конуса АНГ, высоту же, равную перпендикуляру, опущенному из точки Д на АВ или на ее продолжение; пусть этот перпендикуляр будет AZ, пысота же конуса 0HK будет ЭА; тогда 6А равна AZ; я утверждаю, что этот конус .будет равен вышеназванному ромбу. Построим другой копус MN5, имеющий осиовапие, равное осно- основанию конуса АВГ, а высоту, равную АД; пусть эта высота будет МО. Так как N0 равпа АД, то значит — как N0 к ДЕ, так и АД к ДЕ. АД Но как АД к ДЕ, так и ромб АВГД к конусу ВГД, АД ромб АВГД ЛК N0 ЛЕ конус ВГД а как N0 к ДЕ, так и конус MN3 к конусу ВГД, конус MNS конус ВГД [ибо основания их раины]; :шачит, как конус MN3 к конусу ВГД, так и ромб АВГД к конусу ВГД; КОНУС MN? «он у с ВГД ромб АВГД конус ВГД следовательно, if опус MNE равен ромбу АВГД. Но так как поверх- поверхность конуса АВГ раина основанию конуса H6R, то, аначит, как поверхность конуса ЛИГ к ого основанию, так и основание конуса Н6К к основанию конуса MNE, [ибо основание конуса АВГ равно осно- основанию конуса MNSJ. 1То как поверхность ко- конуса АВГ к его основанию, так будет и АВ к BE, или АД к ZA [вследствие подобии треуголь- треугольников]; значит, как основание IIВК к основа- основанию MNS, так и АД к AZ. Но АД равна N0 [но предположению], а AZ равна 6А; значит, как основание конуса НЭК к основанию конуса MNE, так и вы- высота N0 к ©Л. Значит, у конусов Н0К, MNE оснонапия обратно пропорциональны высотам; следовательно, :>ти копусм равны. Но дока- лани, что конус MNE равняется ромбу АВГД; значит, и конус Н6К равен ромбу АВГД. XIX •N Если равнобедренный конус рассечен пло- плоскостью, параллельной основанию, затем на полученном круге построен копус, имеющий вершиной центр основания, и образовавшийся ромб отнят от всего конуса, то Окаймление будет равно конусу, имеющему основание, равное поверхности конуса. заключенной между параллельными плоскостями, а высоту, равную перпендикуляру, опущенному из центра основания на одну из сторон конуса. Пусть будет равнобедренный конус АВГ {рис 21}; рассечем его плоскостью, параллельной основанию; пусть полученное сечение 1Чтс. 20.
О ШАРЕ И ЦИЛИНДР*: 117 Л/ '.Г будет АЕ, а центр осповании Z; на круге с. диаметром ДЕ построим конус, имеющий вершину Z, тогда ромб BAZE будет составлен из двух равнобедренных конусов. Возьмем еще некоторый конус К6А, осно вание которого равно поверхности (конуса АВГ, заключенной) между АЕ, АГ, а высота раина перпендикуляру ZH, опущенному и а точки Z на АВ. Я утверждаю, что если ромб BAEZ вообразить отпитым от кону- конуса АВГ, то окаймление будет равно ко- иусу 0КЛ. Построим два конуса ММЕ, OIIP тя- кне, чтобы основание конуса MNE было раки о поверхности конуса АГ5Г, а пмсота равнялась ZH, [тогда «следствие этого конус MNS будет равен конусу АВГ; действительно, если имеются два равнобед- равнобедренных конуса, у которых поверхность одного конуса равна основанию другого и перпендикуляр, опущенный из центра основания первого конуса та сторону его, равен высоте второго, то оба конуса будут ралны], и чтобы основание конуса ОПР было равно поверхности конуса ДВЕ, а высота равнялась ZH; [тогда ко- конус ОПР будет равен ромбу BAEZ. как уже было доказано выше]. Так как по- поверхность конуса АВГ складывается из поверхности конуса ДВЕ и той, которая заключается между АЕ и АГ, и поверх- поверхность конуса АВГ равна осноканию ко- конуса MN3, поверхность конуса ДВЕ равна основанию конуса ОПР, а по- поверхность между ДЕ, АГ равна основанию конуса ©КА, то. значит, основание конуса MNS равно (вместе взятым) основаниям конусов ВКА и ОПР. И все конусы имеют одинаковую высоту; значит, ко- конус MN3 равен конусам 0KA и ОПР. По конус MNS равен кону- конусу АВГ, конус же ОПР — ромбу BAEZ; значит, остающийся конус 6КА будет равен окаймлению. XX Если в составленном из равнобедренных конусов ромбе рассечь один конус плоскостью, параллельной основанию, и на полученном круге построишь конус, имеющий ту же вершину, что и другой конус, затем полученный таким образом ромб отнять от всего ромба, то окаймление будет равно конусу, имеющему основание, равное поверхности, заключен- заключенной, между параллельными плоскостями, а высоту, равную перпенди- перпендикуляру, опущенному из вершины второго конуса на сторону первого конуса. Пусть будет ромб АВГД, составленный из раппобедранных копусои {рис. 22}; один из этих конусов рассечем плоскостью, параллельной («снованию, и пусть полученное сечение будет EZ; на круге, описанном на диаметре EZ, построим конус, имеющий вершину в А; пусть полу- полученный ромб будет EBAZ. Вообразим, что он отнят от целого ромба, и построим конус 0KA, имеющий основание, равное поверхности между Рис. 21.
118 АРХИМЕД п о АГ и EZ, а высоту, равную перпендикуляру, опущенному ил точки Д па прямую ВА или ее продолжение; я утверждаю, что конус 0КЛ будет равен вышеупомянутому окаймлению. Построим два конуса MN3 и ОПР; пусть основание конуса MNE будет равно поверхности конуса АВГ, высота же равна АН; [тогда, согласно доказанному выше, конус MNE будет ранен ром- ромбу ABTAJ; у конуса же 0111' основание пусть будет равно поверхности конуса EBZ, а вы- высота равна АИ; [тогда точно так же конус ОПР будет равняться ромбу EBAZj. Но подобно (вы- (выше доказанному) поперхноет!. конуса АВГ складывается ж\ •V поверхности конуса EBZ и той, которая заключена между EZ. АГ; поверхность конуса АВГ равна основанию конуса MN5, поверхность к опуса EBZ равна основанию конуса ОПР, и но р , 29 верхность между EZ и АГ равни "с" "' оспованиго конуса GKA; значит. основание конусе MNE равно (вместе взятым) основаниям конусов ОПР и 6КЛ. Й все эти конусы имеют одинаковую высоту; значит, коиус MNE равен конусам 6КЛ, ОПР. Но конус MNS равен ромбу АВГД, конус же ОПР равен ром- ромбу EBAZ; значит, остающийся конус 0КЛ будет равен остающемуся окай- окаймлению. XXI Если е круг вписан многоугольник с. четным числом равных сторон и в нем проведены Упрямые, соединяющие стороны многоугольника, и все парал- параллельные какой-нибудь одной из стяги- стягивающих две стороны этого многоуголь- многоугольника, то ecu соединяющие '> {взятие еместе) будут иметь к диаметру круга то же отношение, какое прямая, стя- стягивающая число сторон, на единицу меньшее половины всего их числа, име- имеет к одной стороне, многоугольника. Пусть будет круг АВГА и в него вписан многоугольник AEZBH0rMNAAK {рис. 23}; проведем соединяющие прямые ЕК, ZA, ВА, HN, ОМ; ясно, что они будут параллельны прямой, стяги- стягивающей две (смежные) стороны многоугольника; я утверждаю, что все упомянутые прямые (взятые вместе) будут к диаметру круга иметь то же отношение, что ГЕ к ЕЛ. Проведем соединяющие прямые ZK, ЛВ, ИД, 0N; тогда ZK будет параллельна ЕА, ВЛ параллельна ZK, затем АН параллельна ВЛ 6N же АН и ГМ параллельна GN. .
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ Ц9 [Поскольку имеются две параллели ЕА, KZ и проведены две пере- пересекающие ЕК, АО, то], значит, как ЕВ к ЗА, так и КЕ к ВО. ЕВ ^ КЕ ЗА " "SO" Но как КЕ к 50, так и Z1I к ПО, Ka_ Zn НО = ХЮ как /ite Z1I к ПО, так и АП к TIP, •ли _ л_п_ НО ~ ПР я как ЛП к ПР, так и В2 к 21\ АП В? ПР~ -F и далее, как В2 к 2Р, так и А2 к ST, "Sp" = Tr как же AS u 2T, так и НГ к ГТ, Д2 НГ ¦ затем как НГ к ГТ, так и NT к ГФ, Тф как же NT к ГФ, так и 6Х к ХФ, НГ _ Nr "ГТ ГФ Nf _ вХ_ ГФ " "ХФ и наконец, как вХ к ХФ, так и MX к ХГ. ~хф~ ~ хг [И как псе (предыдущие) ко всем (последующим), так и один (из предыдущих) к одному (своему последующему)]; значит, как ЕЕ к ЕЛ, так и ЕК, ZA, BA, HN, 6M (вместе взятые) к диаметру АГ ES KS + SK 4- Zn 4- ГГЛ + BZ 4- ZA -|- НГ 4- ГЫ 4- 6Х + ХМ __ ЕК + ZА 4- ВД 4- HN 4- 6М Но как ЕВ к ЕА, так и ГЕ к ЕА; значит, как ГЕ к ЕА, так и все ЕК, ZA, ВД, HN, ОМ к диаметру АГ [8]. ГЕ ЕК 1- ZA + ВД Ч- HN4- вМ ЕЛ ~ АГ" " • ' XXII Если в круговой сегмент вписан многоугольник, имеющий кроме основания четное число равных сторон, и проведены прямые, параллель- параллельные основанию сегмента, соединяющие стороны многоугольника, то все проведенные прямые и половина основания будут иметь к высоте сегмен- сегмента то оке отношение, какое прямая, соединяющая (конец) диаметр{н) круга со стороной многоугольника, имеет к этой стороне много- многоугольника. В «руге АВГА (рис. 24} проведем какую-нибудь прямую АГ и па АГ построим вписанный л сегмент АВГ мпогоугольник, имеющий кроме основания АГ четное число равных сторон; проведем ZH, Ев,
120 АРХИМЕД которые будут параллельны основанию сегмента; я утверждаю, что ZH, Ев, АН будут к BS, как AZ к ZB. ZH + Ев -!- АЕ _ AZ ВВ ZB Опять, так же (как и нише), проведем соединяющие прямые ЯЕ, А©; они, конечно, будут нараллельтш BZ; тогда, вследствие того А & Рис. 25. же, кап KZ к KB, так и HR кКЛ, и ЕМ к МА, и М0 к MN, и ЕЛ к SN KZ KB НК ЕМ Мб MN ЕА КЛ МЛ " MN SN . [и как все ко всем, так и один к одному]; значит, как ZH, ЕВ, АЕ к ВВ, так и ZK к КВ. УДЦ-Кв+АЗ ZK BS AZ zb ZK К»" Но как ZK к KB, так и AZ к ZB, ZH значит, как AZ к /13, так и ZH, Ев, АЕ к SB [8J. _ zh ;-вв+АВ НВ ХХШ Пусть АВГА будет большой круг шара [рис. 25}, и в него ини- сан равносторонний многоугольник, и пусть число сторон его являет- является кратным четырех*); пусть АГ, ДВ будут (два взаимно перпендику- перпендикулярных) диаметра. Тогда если круг АВГА, вмещающий этот много- многоугольник, будет вращаться около неподвижного диаметра АГ, то- ясно, что окружность этого круга будет перемещаться по поверхности шара, вершины же многоугольника, кроме тех, которые находятся в точках А, Г, будут двигаться по окружности кругоп, описанных на *) В подлиннике jietqeioOoj rati «тсавод-пусть будет измеряться четверной. Как замечает ком- комментатор Архимеда, Евтокнй, требование. чтоСы число сторон вписанного многоугольника было кратным четырех, раиноенльно требованию, чтоОы вес стороны многоугольника двигались только- по коническим поверхностям; если бы число сторон многоугольника было кратным только двух, т<ь две средние стороны оииимиали Оы цилиндрическую поверхность, для которой не выведены теоремы равносильные предложениям XVII-XX.
О ШАРЯ И ЛИЛИНДРИ поверхности сферы и перпендикулярных к кругу АВГД; диаметрами этих кругов будут служить параллельные ВЛ прямые, соединяющие лсртины многоугольника. Стороны многоугольника будут двигаться по некоторым конусам, а имспло XL и AN по поиорхности конуса, основанием которого является круг на диаметре ZN, а вершина нахо- находится в точки А; затем ZII, MN будут двигаться но некоторой иони- ионической поверхности, имеющей оснолатшем круг па диаметре МП, а вер- шитгой — топку пересечения продолжений ZTI и MN друг с другом и с АГ; стороны ВН, МД будут двигаться по конической поверхности, основанием которой является круг на диаметре БД, перпендикуляр]или к кругу АВГД, а вершиной — точка, в которой продолжения ВИ и ДМ пересекаются между собой и с ГА. Точно так же и в другом полукруге стороны будут двигаться но коническим поверхностям, тоже подобным иышеуказанным. Таким образом, получится некоторая вяисанная в шар и ограпнчонная упомяпутыми коническими поверхностями фигу- фигура, поверхность которой будет меньше поверхности шара. Если рассечь шар проходящей через ВД п перпендикулярной кругу АВГД плоскостью, то поверхность каждого полушария и новерх- пость вписанной в пего фигуры будут иметь общую границу, лежащую на одной плоскости; действительно, границей обеих поверхностей является окружность круга, построенного па диаметре ВД и перпенди- перпендикулярного к кругу АВГД; обе эти поверхности будут выпуклыми в одну сторону, причем одна из них объемлется другой поверхностью и плоскостью, заключающей их общую границу. Подобным же обра- образом, и поверхность заключенной «о втором полушарии фигуры будет меньше поверхности полушария. Таким образом, вся поверхность фигуры, заключенной в шаре, будет меньше поверхности шар» [9]. XXIV Поверхность фигура*), вписанной в шар, равняется кругу, радиус которого квадрирует прямоугольник между стороной фигуры и прямой, Рис. 2fi. равной всем вместе взятым линиям, соединяющим вершины много- многоугольника и параллельным прямой, стягивающей две его стороны {рис. 26}. Пусть АВГД будет большой круг шара, и пусть в лого вписан равносторонний многоугольник, число сторон которого есть крат- пос четырех; на этом вписанном многоугольнике вообразим фигуру, ») О которой шла речь в XXIII.
122 АРХИМЕД вписанную в шар, и проведем соединяющие прямые EZ, Ив, ГД, КЛ, MN, параллельные прямой, стягивающей дне стороны много- многоугольника; построим круг 5, радиус которого квадрировал бы прямо- прямоугольник между АЕ и прямой, равной вместе взятым EZ, НЭ, ГД, КЛ, MN; я утверждаю, что этот круг будет равен поверхности фигуры, шшеанной п шар. Построим круги О, П, Р, 2, Т, Г; пусть радиус О квадрирует прямоугольник между ЕА м половиной EZ, радиус П квадрирует прямоугольник между ЕА иполопиной вместе взятых EZ, 118, радиус Р квадрирует прямоугольник между ЕА и половиной вместе взятых Н6 и ГД, радиус 2 кпадрирует прямоугольник между ЕА и полови- половиной вместе пзятых ГД, КЛ, радиус Т кпадрирует прямоугольник между АЕ и половиной вместо взятых КЛ, MN, радиус Г квадрирует прямо- прямоугольник между АЕ и половиной MN. Тогда вследствие этого круг О будет равняться поверхности конуса AEZ, круг II — поверхности конуса, заключающейся между EZ, II6. круг Р — между 110, ГД, круг 2 — между ДГ, КЛ, затем крух- Т будет равен конической поверхности между КЛ, MN, и круг Г равен поверхности конуса MBN; значит, все эти круги вместе взятые будут рални поверхности вписанной фигуры. Затем ясно, что радиусы кру- кругов О, И, Р, 2, Т, Г квадрируют прямоугольник между АЕ и дваж- дважды взятыми половинами EZ, Н0, ГД, КЛ, MN, или просто на EZ, II0. ГД, КЛ, MN; значит, вместе взятые квадраты на радиусах кругов О, II, Р, 2, Т, Г будут равняться прямоугольнику между АЕ и все- всеми EZ, Нв, ГД, КЛ, MN. Но также и радиус круга Н квадрирует прямоугольник между АЕ я составленной из всех EZ, НВ, ГД, КЛ, MN прямой; значит, радиус круга S квадрирует все вместе взятые квадраты на радиусах кругов О. П, Р, 2, Т, Г, следовательно, круг Е будет равен всем кругам О; П, Р, 2, Т, Г. Но, как показано, круги О, II, Р, 2, Т, Т взятые вместо равны нонерхности вышеупомянутой фигуры; таким образом, круг Н будет равек поверхности рассматриваемой фигуры [0]. XXV Поверхность вписанной в шар фигуры, ограниченной коническими поверхностями, меньше учетверенного большого круга шара {рис. 27}. Пусть АВГД будет большим кругом шара, и пусть в него будет вписан равносторонний Ги равноугольный]*) многоугольник, число сторон которого есть кратное четырех; вообразим (построенную) на нем фигуру, ограниченную коническими поверхностями; я утверждаю, что поверхность вписанной фигуры будет меньше учетверенного боль- большого круга тара. Проведем El, BM, стягивающие две стороны многоугольника, и параллельные им ZK, ДВ, НА; построим круг 1* так, чтобы его ради- радиус квадрировал прямоугольник на ЕА и на прямой, равной всем вместе взятым El, KZ, ПЛ, НА, (-Ш. рад. Г)г^Е Тогда, согласно доказанному выше, :ггот круг будет равен поверхности .*) В подлиннике "ajQrix&yavbv—четноуголыдай.
О ШАРБ И ЦИЛИНДРЕ 123 упомянутой фигуры. Но поскольку доказано, что пряма и, рапная всем El, KZ, ВД, НА, ЭМ, относится к диаметру АГ круга, как ГЕ к ЕА, & + ZK -:- ВД + НА + вМ АГ ГЕ то, значит, прямоугольник па прямой, равной всем упомянутым вместе взятым, и на ЕА, или квадрат па радиусе круга Р, будет равен прямоугольнику между АГ и ГЕ. Но прямоугольник между АГ, ГЕ меньше квадрата на А Г, зна- значит, и квадрат на радиусе Р меньше квадрата на АГ; [значит, радиус круга Р будет меньше АГ; таким образом, диаметр круга Р меньше удвоенного диаметра круга АВГД; следовательно, два диаметра круга АВГД больше диаметра круга Р, и учетперснш.тй квадрат на диа метре круга АВГД, то есть А Г, болыпе квадрата па диаметре круга Р. Но как учетверенный квад- квадрат АГ к квадрату на диаметре круга Р, так будут и четыре круга ЛЛГЛ к кругу Р; значит, четыре круга АГ5ГЛ •больше круга PJ; значит, круг Р мень- меньше учетверенного большого круга. Но круг Р, по доказанному, равен по- поверхности вышеупомянутой фигуры; значит, поверхность этой фигуры бу- будет меньше учетверенного большого круга шара [0]. XXVJ Вписанная в шар фигура, ограничен- ограниченная коническими поверхностями, равна конусу, имеющему основанием круг, рав- равный поверхности фигуры, вписанной е шар, а высотой прямую, равную перпен- перпендикуляру, опущенному ия центра шара на одну из сторон многоугольника. Пусть будет шар, в нем большой круг АВГД {рис. 28) и все остальное, рис 27. как выше; пусть будет прямой конус Р, имеющий оспоиапием поверхность вписанной в шар фигуры, а высоту, равную перпендикуляру, опущенному из центра шара на одну из сторон многоугольника; требуется доказать, что конус Р равен вписанной в шар фигуре. На кругах, диаметры которых ZN, HM, t)A, IK, построим конусы, имеющие вершипу в центре шара; получится телесный ромб, состав- составленный из копуса, основание которого есть построенный на диаметре ZN круг, вершина же — точка А, и из конуса, основанием которого является тот же самый круг, «ершиной же точка X; он будет равен конусу, имеющему основанием поверхность конуса NAZ, высоту те, равную опущенному из X на AZ перпепдикуляру. Далее, окаймление ромба, ограничепноеповерхностыо конуса, заключающейся между парал- параллельными плоскостями, проведенными чорез ZN, HM, и двумя кони- коническими поверхностями ZNX, IIMX, будет равно конусу, имеющему основание, равное поверхности конуса между параллельными плоско- плоскостями через МП, ZN, а высоту, равную перпендикуляру, опущенному
124 АРХИМЕД из X ни ZH, как это ул;е било доказано. Затем окаймление конуса., ограниченное конической поверхностью между параллельными пло- плоскостями через НМ, БД, поверхностью конуса МНХ и кругом на диаметре БД, будет равно конусу, имеющему оснонапие, равное поверхности конуса между плоскостями через НМ, БД, а высоту, равную опущенному лз X на ВИ перпендикуляру. Подобным же обра- образом ir л другом полушарии ромб ХКГ1 и окай- окаймления конусов будут раппы таким же и в та- таком же числе конусам, как и те, которые были рассмотрены лише. Теперь ясно, что и вся впи- вписанная в шар фигура будет равна всем упомяну- упомянутым конусам. Но конусы эти равны кол/усу Р, так как конус Р имеет высоту, равную высоте; каждого из упомянутых конусов, основание же, ранное всем их основаниям. Итак, ясно, что вписанная в шар фигура будет равна построен- построенному конусу [9]. XXVII Вписанная в шар фигура, ограниченная коническими поверхностями, будет меньше учетверенного конуса, имеющего основанием большой круг шара, а высоту, рамную радиусу Рис. 28. шара. Пусть будет конус I* {рис. 29}, равный вписанной а шар фигуре, имеющий основа- основание, ранное поверхности вписанной фигуры, а высоту, равную лер- пендикуляру, опущенному из центра шара на одну из сторон ипи- иписанного мн огоугольника; пусть еще будет копус S, имеющий основание, рав- равное кругу АВГД, а высо- высоту, равную радиусу круга АИ ГА. Теперь, так как ко- копус I* имеет основание, равное поверхности впи- вписанной в шар фигуры, а высоту, равную перпенди- перпендикуляру, опущенному из X на AZ, и, по доказанному, поверхность вписанной фигуры меньше учетверен- учетверенного большого круга в шаре, то, значит, основа- основание конуса Р будет меньше учетверенного оспования конуса S. Также и высота конуса Р меньше высоты ко- конуса Е; поскольку же конус Р имеет основании, меньшее учетверен- учетверенного основания конуса S, и высоту, меньшую высоты последнего, то ясно, что и сам копус Р будет меньше учетверенного конуса Н. Но конус Р равен вписанной фигуре; значит, вписанная фигура меньше учетверенного конуса Н [0]. Рис. 2У.
О ШАРЕ 11 ЦИЛИНДРЕ 12Г) XXVIII Пусть АВГД {рис. 30] будет большим кругом шара; опишем около круга АВГД ратшосторонний и равноугольный многоугольник, и пусть число сторон его будет кратным четырех; затем вокруг много- многоугольника, описашюго около круга, опишем еще один охватывающий его круг с тем же центром, что и у круга АВГД. Затем плоскость EZ1K-), в которой находятся многоугольник и круг, будем вращать около неподвижной (оси) ЕН; тогда ясно, что окрулшость кругл АБГЛ будет перемещаться по поверхности шара, а окружность круга EZHC-) пойдет но поверхности другого шара, имеющего тот же центр, что и меньший шар, точки касания сторон многоугольники опишут па поверхности меньшего шара круги, (плоскости которых) перпепдикулярнтд (плоскости) круга АВГД, углы же многоугольника, кроме тех, которые при точках Е, Н, пойдут по окружно- окружностям кругов, начерченных на поисрхно- •стн большого шара и перпендикуляр- перпендикулярных кругу EZH0, а стороны много- многоугольника будут двигаться по кониче- коническим поверхностям совершенно так же, как и it предшествующем; таким обра зом, фигура, ограниченная количо -скими поверхностями, будет описана около меньшего шара и впнсипа в боль- больший. А что поверхность описанной фи- фигуры больше поверхности шара, дока- жетсн так. Пусть КД будет диамет- диаметром некоторого круга на меньшем шаре, причем К и Д суть точки, в которых (дне) стороны описанного многоугольника касаются кру- круга АВГД. Рассечем шар плоскостью, проходящей через КД (и) пер- перпендикулярной к плоскости круга АВГЛ; тогда той же плоскостью рас- рассечется и поверхность описанной около шара фигуры. Яспо также, что (обе поверхности отсеченных частой — и шара, и фигуры —) будут иметь одни и те же границы, лежащие на плоскости, так как границей обеих поверхностей будет окружность круга, построенного на диаметре КД и перпендикулярного к к нугу АВГЛ; затем обо поверхности будут выпуклыми в одну и ту тс сторону, и одна из них объемлется другой поверхностью и плоскостью, имеющей те же границы; объемлемая поверхность сегмента шара будет меньше поверхности описанной около него фигуры. Подобным же образом и поверхность другого сегменты шара будет меньше поверхности «писанной около него фигуры; следо- следовательно, ясно, что и вся поверхность шара будет меньше поверхности описанной около него фигуры [10]. XXIX Поверхность фигуры, описанной около шара, равна кругу, радиус которого квадрирует прямоугольник между одной стороной много- многоугольника и прямой, равной всем вместе взятым, прямым, соединяющим углы многоугольника и параллельным какой-нибудь прямой, стягиваю- стягивающей две стороны многоугольника. Рис. 30.
126 ЛРХИМКД Действительно, фигура, описаннаи около меньшего шара, будет- одновременно вписанной в больший; но доказано, что поверхность- вписанной в шар фигуры, ограниченной коническими поверхностями, равна кругу, радиус которого квадрирует прямоугольник между одной стороной многоугольника и прямой, равпой всем соединяющим углы многоугольника прямым, параллельным какой-нибудь стягиваю- стягивающей две стороны многоугольника прямой; так что ясно и высказанное выше. XXX Поверхность описанной около шара фигуры больше учетверенного- большого круга в шаре. Пусть будут шар, круг и все остальное так же, как и раньше, и пусть круг Л будет равен поверхности заданной фигуры, описанной около меньшего шара (рис. 31). Рис. 31. Так как и круг EZHB вписан равносторонний многоугольник с четным числом углов, {-на все (вместе взятые) прямые, соединяющие- стороны многоугольника, являясь параллельными Z6, будут иметь. к Z© то же отношение, как <9К к KZ; значит, прямоугольник между одной стороной мпогоугольника и прямой, равной всем (лрямтлм), соединяющим стороны многоугольника, будет равен прямоугольнику между Z0 и GK; поэтому радиус круга Л будет кпадрировать прямо- прямоугольник между Z6 и 6К; значит, радиус круга Л будет больше 6К. Но 6К равна диаметру^круга АВГД, [ибо она в два раза больше ХМ — радиуса круга АВГД1.1 Теперь ясно, что круг Л, или поверхность фигу- фигуры, описанной около меньшего шара, будет больше учетверенного- большого круга в этом шаре [101. XXXI Фигура, описанная около меньшего шара, равна конусу, имеющем!/' основанием круг, равный поверхности фигуры, а высоту, равную радиусу шара. Действительно, описанная около меньшего шара фигура будет одновременно вписанной в больший тар; вписанная же фигура, огра-
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 127 виченная коническими поверхностями, будет, согласно доказанному, равна конусу, имеющему основанием круг, равный поверхности фигуры, а высоту, равную перпендикуляру, опущенному из центра шара на одну из сторон многоугольника; этот же перпендикуляр равен радиусу меньшего шара; теперь предложенное ясно. С я е д с т в и е Из этого ясно, что описанная около меньшего шара фигура более учетверенного конуса, имеющего основанием большой круг {меньшего} шара, а высоту, равную радиусу (того же} шара. Действительно, так как отой фигуре равен конус, имеющий осно- основание, равное ее поверхности, высоту же, равную [перпендикуляру, опущенному из центра шара на одну из стороп многоугольника, то есть] радиусу меньшего шара, и так как поверхность фигуры, описанной около того же шара, больше учетверенного большого круга в таре, то, значит, описанная около шара фигура будет более; учетверенного кону- конуса, имеющего основанием большой круг, а высотой радиус шара, так как конус, равный фигуре, будет более учетверенного упомянутого конуса, [так как при равных высотах он имеет более чем в четыре раза большее основание]. XXXII , Если в шар вписана фигура и около него описана другая такая же,, построенная, как и раньше, на. подобных многоугольниках, то поверх- поверхность описанной фигуры к поверхности вписанной будет иметь (отпошс- шение, равное) двойному отношению стороны многоугольника, опи- описанного около большого круга, к стороне вписанного в тот же круг многоугольника, сама же [описанная\ фигура будет иметь ко вписанной тройное отношение*) тех же прямых. Пусть АВГА будет (больший) кругом шара {рис 32}; в пишем в не- него ринпосторонний многоугольник с числом сторон, кратным четырех. и опишем другой, подобный вписанному,, так, чтобы стороны опи- описанного многоугольника касались круга в серединах дуг, отсекаемых сторонами вписанного многоугольника; пусть в круге, охватывающем описаши.ш многоугольник, EH, ZB будут взаимно перпендикулярные диаметры, одинаково расположенные с диаметрами АГ, ВД; вообразим *) ТоГесть возведенное в третью степень.
128 АРХИМЕД прямые, соедтгяющие противоположные углы многоугольника и парал- параллельные друг другу и прямой ZBA0. При вращении периметров много- многоугольников но дугам окружностей около неподвижного диаметра ЕН получатся две фигуры — одна вписанная в шар и другая— около него описанная. Требуется доказать, что поверхность описанной фигуры имеет к поверхности вписанной отношение, равное двойному отноше- отношению ЕЛ к АК, сама же описанная фигура имеет ко вписанной отноше- отношение, рапное тройному тому же самому. Пусть круг М будет ранен поверхности фигуры, описанной около шара, а круг N равен поверхности вписанной; тогда радиус круга М будет квадряровцть прямоугольник .между ЕЛ и прямой, рапной псем (прямым), соединяющим углы описанного многоугольника, радиус же круга N будет квадрировать прямоугольник между АК и прямой, равной всем (прямым), соединяющим углы вписанного многоугольни- многоугольника. И так как упомянутые многоугольники подобны, то будут подобна и прямоугольники, построенные на упомянутых линиях, [то есть со- соединяющих углы или стороны многоугольников, так что они будут иметь друг к другу то же отношение, как квадраты сторон многоуголь- многоугольников. Но отношение прямоугольников между упомянутыми линиями будет одинаконо с двойным отпопкшисм радиусов кругов М, N; таким образом, диажггры кругов М, N будут находиться в том же отношении, что и стороны многоугольников, круги же имеют друг гг другу отно- отношение, равное двойному отношению диаметров, сами ни; круги равны поверхностям описанной и вписанной фигур]; отсюда ясно, что поверх- поверхность фигуры, описанной около шара, к поверхности фигуры, вписан- вписанной в шар, имеет отношение, равное двойному отношению ЕЛ к АК. Возьмем еще два конуса О, Я; пусть конус S имеет псиованиии круг S, ранный кругу М, а конус О — круг О. равный кругу N: пусть высота конуса S будет равна радиусу шара, а высота О равна перцендикуляру, опущенному из центра шара на АК; тогда, [как ужо было доказано,] конус 3 будет равен фигуре, описанной около гаара. а конус О — вписанной. Но так как оба многоугольника подобны, то ЕЛ ллгеет к ЛК такое же отношение, как радиус шара к опущенному из центра шара на АК перпендикуляру; значит, высота конуса Н имеет к высоте конуса О такое же отношение, как ЕЛ к АК. Также и диаметр круга М относится к диаметру круга N, кап ЕЛ к АК; значит, диаме- диаметры оснований конусов S и О имеют с высотами одинаковое отношение; [значит, конусы от» подобны]; поэтому конус Е к конусу О будет иметь отношение, равное тройному отношению диаметра круга Л1 к диаметру круга N. Теперь ясно, что описаннни фигура ко вписанной имеет отношение, равное тронному отношению ЕЛ к АК. XXXIII Поверхность всякого шара равна его учетверенному большому кругу. Пусть будет какой-нибудь шар, и пусть Л — его учетверенный боль- большой круг; я утверждаю, что круг А равен поверхности тара {рис. 331. Действительно, если он не равен, то будет или больше, или меньше. Пусть сначала поверхность шара будет больше круга А. Тогда имеются две неравный величины — поверхность шара и круг А; значит, можно взять две неравные прямые так, чтобы отношение большей к меньшей было меньше того, в каком поверхность шара находится к кругу (А). Возьмем такие прямые В и Г, и пусть Л будет средней пропорциональ-
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 129 пой между В и Г. Вообразим, что шар рассечен по кругу KZI1© пло- плоскостью, проходящей через центр; пообразим также пписанный в этот круг и описанный около него многоугольпики такие, чтобы описанный был подобен вписанному и чтобы сторопа описаппого имела к стороне вписанпого отношение, меньшее того, которое Б имеет к Д; [значит, двойное отношение сторон будет меньше двойного отношения прямых. Но двойное отношение В к Д будет равно отношению В к Г, и днойпое отношение стороны описанного многоугольника к стороне шшсашгого будет отношением поверхности описан- в ной фигуры к поверхности вписанной |; " значит, поверхность фигуры, описанной около шара, к поворхпости вписанной фигуры имеет меньшее отношение, чем поверхность шара к кругу А, а это не- невозможно; действительно, поверхность описанной фигуры больше поверхности пгара, поверхность же вписанной фигу- фигуры меньше круга А, [так как доказа- доказано, что поверхность вписанной фигуры меньше учетнеренного большого круга и шаре, круг же А равен учетверен- учетверенному большому кругу]. Значит, поверх- поверхность шара не будет больше круга А. Теперь я утверждаю, что опа не будет и меньше. Действительно, пусть опа будет меньше, если это возможно; таким же образом найдем прямые В и Г так, чтобы В имела it Г отношение, меньшее того, в котором круг А пахо- дится к поверхности шара, и среднюю пропорциональную между В и Г нря- мую А; затем снова впишем и опишем два многоугольника таких, чтобы сто- сторона описанного имела (к стороне тши- санного) отношение, меньшее В к Д, [что будет и после удвоения*) обоих отпошоний]; таким образом, поверхность описанной фигуры к по- поверхности вписанной будет иметь отношение меньшее, [чем В к Г. Но В имеет к Г отношение меньшее], чем круг А к поверхности шара, а это ненозможно; действительно, поиерхпость описанной фигуры боль- больше круга А, а поверхность вписанной меньше поверхности шара. Таким образом, поверхность шара не будет и меньше круга А. Доказано иге, что она и не больше; значит, поверхность тара равна кругу А, то есть учетверенному большому кругу. XXXIV Всякий шар в четыре рана больше конуса, имеющего основание, равное большому кругу шара, а высоту, равную радиусу шара. Пусть будет некоторый шар и в нем большой круг ЛВГД {рис. 34}. Теперь если шар не будет (ровно) и четыре раза больше упомянутого Рис :\я. ¦} То есть иозведения в квадрат. 9 Архимед
130 АРХИМЕД конуса, то пусть, если возможно, он будет более чем в четыре раза больше. Пусть будет конус 2, имеющий основание, п четыре раза боль- большее круга ЛВГД, высоту же, ранную радиусу шара; тогда шар будет больше конуса S. Итак, имеются две неравные величины — шар и конус; значит, можно взять две неравные прямые так, чтобы большак имела к меньшей отношение, меньшее того, в каком тар находится к конусу Н. Пусть это будут К и И. Возьмем Т п 0 так, чтобы К. от I, I от 8 и 6 от II разнились бы на одно и то же; к __[=i_e=e -н вообразим также, что, как и раньше, в круг ЛВГД вписан многоуголь- многоугольник с числом сторон, кратным четырем, и около него описан другой, подобный «писанному, и пусть сто- сторона описанного многоугольника имеет к стороне вписанного отноше- отношение, меньшее того, к котором К бу- будет к I. Пусть А Г, ВД будут пваим- по перпендикулярные диаметры. ГСсш теперь около неподвижного диаметра ЛГ будем вращать пло- плоскость, в которой находятся оба мно- многоугольника, то получатся дне фи- фигуры, из которых одна будет описа- описана, другая ?ко вписана в шар, при- причем отношение описанной фигуры к вписанной будит равняться тройному отношению стороны многоугольники, описанного около круга ЛВГД к сто- стороне вписанного в него. По сторона к стороне имеет отношение, мень- меньшее чем К к I; значит, описанная фигура имеет к вписанной отноше- отношение, меньшее тройного отношения К к I. По отношение К к Н больше; тройного отношения К к I; к кз Ьто ясно из сделанных предположении] 111]. Значит, и подавно они санная фигура имеет к вписан ной отношение, меньшее того, которое1 К имеет к И. Но К имеет к Н отношение меньшее, чем шар к конусу Е: (зна- (значит, оиисанная_фигура имеет к вписанной отношение меньшее, чем шар к конусу 'а), и после перестановки (описанная фигура к мару имеет отношение меньшее, чем вписанная к конусу Е); это же невоз- невозможно, так как описанная фигура больше шара, вписанная же меньше конуса Е [вследствие того, что конус 5 в четыре раза больше конуса, имеющего основание, равное кругу АВГД, а высоту, равную радиусу шара, вписанная же фигура меньше четырежды взятого упомянутого конуса]. Таким образом, тар во будет более чем в четыре раза больше упомянутого конуса. Пусть теперь, если возможно, он будет менее четырежды взятого упомянутого конуса: иными словами, шар будет меньше конуса Е. Возьмем прямые К и Н так, чтобы К была большо II и имела к пей отно- отношение меньшее того, в каком конус S паходится к шару, затем постро- построим такие же прямые Э и I, как и раньше. Нообразим многоугольник, Рис. 34.
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ К К: впмсаниый в круг АВГД, и другой, описанный около него, такие, что- чтобы сторона описанного многоугольника имела к стороне вписанного отношение меньшее, чем К к I, и все остальное устроим так же, как и раныпз. Таким образом, отношение описанной телесной фигуры ко впи- вписанной будет ршшяться тройному отношению стороны многоуголышка, описанного около круга АВГД, к стороне «писанного. Но сторона к стороне имеет отношение меньшое, чем К к I; значит, описанная фигура к вписанной будет иметь отношение, меньшее тройного отно- отношения К к I. Но К к Н имеет отношение, большее тронного отношения К к \; я значит, описанная фигура будет иметь к «писанной, отношение мень- меньшее, чем К к Н. Но К к Н имеет отношение меньшее, чем конус Е к шару: (значит, описанная фигура нмеот к вписанной отпошенне меньшее, чем конус Е к шару); это же невозможно, ибо вписанная фигура меньше шара, описанная же больше конуса Е. Значит, шар не будет меньше четырежды взятого конуса, имеющего основание, ранное кругу ЛВГА, а высоту, равную радиусу сферы. Но доказано, что он не будет и больше; значит, шар будет равняться упомянутому конусу, четырежды взятому. 1С л е д с т в и ej- Из доказанного ясно, что всякий цилиндр, имеющий основанием большой круг ишра, а высоту, равную его диаметру, будет в полтора раза больше шара, и что поверхность его вместе с осно- основаниями будет в полтора раза больше поверхности шара. Действительно, вышеупомянутый цилиндр в шесть раз больше конуса, имеющего то же самое основание и высоту, равную радиусу шара, а шар, по доказанному, будет в четыре раза больше того же конуса; отсюда ясно, что цилиндр будет в полтора раза больше шара. Затем доиерхность цилиндра за вычетом основания, по доказанному, раина кругу, радиус которого является средней пропорциональной между стороной цилиндра, и диаметром его основания, сторона же упомянутого обнимающего сферу цилиндра раина диаметру основания [так что, очевидно, их средняя пропорциональная будет тоже равна диаметру основания]. Далее, круг, имеющий радиусом диаметр осно- лания, будет в четыре раза больше этого основания, то есть боль- большого круга шара. Таким образом, поверхность цилиндра за вычетом оснований будет в четыре раза больше упомянутого круга, а значит, вся поверхность цилиндра вместе с основаниями — в шесть раз больше большого круга. Поверхность же шара в четыре раза больше большого круга; значит, вся поверхность цилиндра в полтора раза больше поверх- поверхности шара. XXXV Поверхность фигуры, вписанной в сферический сегмент, равна кругу, радиус которого квадрирует прямоугольник, построенный на одной стороне многоугольника, вписанного в соответствующий сегмент большого круга, и прямой, равной всем прямым, параллельным основанию сегмента, вместе с половиной этого основания. Пусть будет шар и в пем сегмент, оснонанием которого является построенный на АН круг {рис. 35}. [Ннишем в шар, как было сказано раньше, фигуру, ограниченную коническими поверхностями); 9*'
132 АРХИМЕД пусть также будут большой круг АП6 и мпогоугольпик ArEOZAIT с четным числом (равных) сторон за исключением стороны АН; ;. возьмем круг Л, радиус которого квадрирует прямоугольник между стороной АГ и прямой, равной всем EZ, ГД, взятым вместе с половиной основания, то есть АК; и* = ЛГ(ЕИ-| ГД+АЮ . Л требуется доказать, что этот круг равняется по- поверхности вписанной фи- фигуры. Возьмем круг М, ра- радиус которого квадрирует прямоугольник между сто- стороной EG и половиной EZ; (рад. Рис. 35. круг М будет тогда равен поверхности конуса, основанием которого является круг, построенный на EZ, а вершиной точка 0. Возьмем и дру- другой круг N, радиус которого квадрирует прямоугольник между ЕГ и половиной вместе взятых EZ, ГД; он будет равен поверхности конуса между проведенными через EZ, ГД параллельными плоскостями. Так же возьмем еще круг S, радиус кото- рого квадрирует прямоугольник между АГ и половиной вместе взя- тых ГД, АН; он будет равеп конической поверхности между параллельными плоско- плоскостями через АН, ГД. Теперь все круги вместе будут раппы полной поверхности фигуры и квадраты на их радиусах равны прямоугольнику между одной сторо- ной А Г и прямой, равной EZ, ГД, взятым вместе с ЛК — половиной основания. . ЕJ АГ Ио также и радиус круга Л квадрирует ту же самую площадь; значит, круг А будет равен всем кругам М, N, Н (вместе взятым), а следовательно, и поверхности впиейнной фигуры. XXXVI Рассечем шар плоскостью, не проходящей через центр; пусть AEZ {рис. ЗС} будет его большой круг, пересекающий под прямым углом сокупгую плоскость; в сегмент АВГ впишем равносторонний много- многоугольник с четным числом сторон за исключением основания ЛВ. Если, подобно предыдущему, будем вращать фигуру около неподвиж- неподвижной (оси) TZ, то углы Д, Е, А, В будут двигаться по кругам с диамет- диаметрами ДЕ и АВ, стороны же многоугольника — по коническим:цоверх-
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 133 яостям; таким образом, получится ограниченная коническими поверх- поверхностями телесная фигура, имеющая основанием круг на диаметре АВ и вершину в Г. Подобно предыдущему, эта фигура будет иметь но- нсрхноеть, меньшую поверхности охватывающего сегмента; действительно, и фигура, и сегмент име- имеют одну и ту же лежащую в плоскости границу, а именно окружность круга, построенного па диа- диаметре АВ; кроме того, обе поверхности являются л] ныпуклыми в одну и ту же сторону и одна из них объемлстся другой. XXXVII Рис. 30. Поверхность вписанной в сферический сегмент фигуры меньше круга, радиус которого равен пря- прямой, проведенной из вершины сегмента, до окружности круга, являющегося основанием сегмента. Пусть будет гаар и в нем большой круг ABEZ (рис. 37]; возьмем сферический сегмент, основанием которого служит описанный на диаметре ЛВ круг; [впишем затем в шар упомянутую фигуру, а в сегмент круга— многоугольник], и также все остальное, причем ©Л будет диаметром шара; затем по- после проведения АЕ и ©А построим круг М, радиус которого будет равен А6. Требует- Требуется доказать, что круг М будет больше по- поверхности {«писанной) фигуры. Дейстпитольно, было доказано, что поверхность фигуры равна кругу, радиус которого квадрирует прямоугольник меж- между ЕЭ и вместе взятыми EZ, ГД,КА, и так- также было доказало, что прямоугольник меж- между Ев и имеете взятыми EZ. ГД, КА равен прямоугольнику между ЕЛ и Кб*); .: (прямоугольник) же между ЕЛ и Кб меньше (квадрата) па. АО, БЛ-Кв<Л0а [то есть (прямоугольника) между Л 6 и Кб]**). Теперь видно, что радиус круга, равного поверхности (вписан- (вписанной) фигуры, будет меньше радиуса круга М; следовательно, ясно, что ".' . круг М больше поверхности (вписанпой) фигуры. •; XXXVIII Вписанная в сегмент {меньший полушария) фигура, ограничен- ограниченная коническими поверхностями, взятая вместе с конусом, имеющим основание одно и то же с фигурой, а вершину в центре шара, будет равна конусу, имеющему основание, равное поверхности фигуры, а высоту, *) Согласно предложению XXII.  Действительно, А02~К0-Лв > Кв- ЕЛ-
АРХИМЕД Piic. 38. равную перпендикуляру, опущенному из центра шара на одну из сто- сторон многоугольника (образующего вращением фигуру). Пусть будет шар и в нем большой круг с центром Е и сегмент АВГ, меньший полукруга {рис- 38.}. Подобно предыдущему, в сегмент АВГ виишем многоугольник с четным числом (равных) сторон за исключением АГ; пусть при вращении шара около неподвижной (прямой) ВЛ получится ограниченная коническими поверхностями фигура; па круге с диамет- диаметром АГ построим конус, имеющий ворши- ну в центре (шара), и возьмем конус К, имеющий осионание, равное поверхности фигуры, а высотой перпендикуляр, опущен- опущенный из центра Е па одну из сторон много- многоугольника. Требуется доказать, что конус К будет равен ограниченной (кониче- (коническими поверхностями) фигуре, взятой вместе с конусом АЕГ. На кругах с диаметрами ©Н, AZ по- построим конус'л, имеющие вершину в точ- точке Е; тогда телесный ромб ПВЭЕ будет ранен конусу, основание которого равно поверхности конуса HB0, а высота равна перпендикуляру, опущенному изЕ на HTS, окаймление же, ограниченное (конической) поверхностью между параллельными плоскостями, (iipo- веденными) чероз TI0, ZA и конусами ZEA, HE0, будет равно конусу, основание которого ракао (конической) иоиерхности между парал- параллельными плоскостями через Ив, ZA, а высота рапна перпендикуляру, опущенному из Е на ZH. Далее, окаймление, ограниченное (кониче- (конической) поверхностью между параллельными плоскостями через ZA, АГ и конусами АЕГ, ZEA, будет равно конусу, основание кото- которого равно (конической) поверхности между параллельными плоско- плоскостями чероз 2А, АГ, а высота — перпендикуляру, опущенному из Е на ZA. Теперь (все) пышеназванные копусм будут ранни рассматривае- рассматриваемой («писанной телесной) фигуре имеете с конусом ЛЕГ. Дейстни- телыю, они имеют высоту, равную перпендикуляру, опущенному из Е на одну из сторон многоугольника, а основания, равные (вместе) поверхности фигуры AZHBeAT; также и конус К имеет ту нее высо- высоту и основание, равное поверхности ток иге фигуры; значит, этот конус будет равен всем упомянутым конусам. Ио было доказано, что упомя- упомянутые конусы равны рассматриваемой фигуре вместе с конусом АЕГ; и значит, конус К равен рассматриваемой фигуре имеете с кону- конусом АЕГ. С л <! д с т в и е Из этого ясно, что конус, имеющий основанием круг, ради- радиус которого равен прямой, нроведепной из першинга сегмента к окружности круга, являющегося оспонаниом сегмента, а высоту, ранную радиусу тара, будет больше упомянутой вписанной фигуры, взятой вместе с конусом (АЕГ). Действительно, упомянутый конус больше конуса, рапного рассматриваемой фигуре, взятой вместе с конусом, имеющим то же основание, что и сегмент, а вершину в цент-
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРК 135 ре гаара, иными словами, больше конуса, имеющего основапис равным поиерхности фигуры, а В1.гсоту, равную перпендикуляру, опущенному из центра па одну из сторон многоугольника; в самом деле [как уже было доказано], основа пир. первого конуса больше основания второго, и его высота больше высоты второго. XXXIX Пусть будет шар и в нем большой круг АВГ {рис. 39}; пусть прямая АВ отсечет сегмент, меньший полукруга; пусть центр будет в Д; из центра Д до А, В проведем соеди- соединяющие прямые АД, ДВ и около полу- чигшгегося сектора опишем многоуголь- многоугольник (с четным числом равных сторон), а около лого круг; тогда последний будет иметь тот же центр, что и круг АВГ. Если вращающийся около непо- движпой прямой ЕК многоугольник вернется п исходное положепио, то опи- описанный круг будет перемещаться по поверхности шара, углы многоуголь- многоугольника опишут окружности с параллель- параллельными АВ диаметрами, соединяющими углы многоугольника, а точки каса- касания сторон многоугольника с меньшим кругом опишут окружности на меньшем шаре, диаметрами которых будут пря- прямые, нараллельпые АВ, соединяющие эти точки касания и, наконец, стороны многоугольника будут пере- перемещаться по коническим поверхностям. Так Судет образована огра- ограниченная коническими поиорх л остями описанная фигура, основанием которой будет построенный на ZJ.1 круг. Поверхность упомянутой фигуры будет больше поверхности меньшего сегмента, основанием которого является построенный на АВ круг. Действительно, проведем касательные AM и BN; они будут дви- двигаться по конической поиерхности, и фигура, образованная много- многоугольником AM0EANB, будет иметь понсрхность большую, чем сфе- сферический сегмент, основанием которого является построенный на диаметро АВ круг; [действительно, они имеют одну и ту же лежащую в одной плоскости границу, а именно круг па диаметре АВ, и сегмент объемдется фигурой]. Но коническая поверхность, образованная ZM, HN, будет больше понсрхности, образоианной MA, NB; действитель- действительно, ZM будвт больше МА [ибо она стягивает прямой угол], и NH больше NB, а если так, первая поверхность будот больше второй, Гкак это прилито в постулатах]. После этого ясно, что поверхность ¦описанной фигуры будет больше поверхности сегмента в меньшем шаре. Следствие Кроме того, ясно, что поверхность фигуры, описанной около сектора, равна кругу, радиус которого квадрирует прямоугольник между одной стороной многоугольника и всеми прямыми, соеди- соединяющими углы многоугольника, взятыми вместе с половиной
136 АРХИМЕД рад. основания упомянутого многоугольника, [так как описанная около сегмента фигура является одновременно вписанной в сегмент большо- большого шара]; [все это ясно из вышеизложенного]. XL Поверхность описанной около сектора фигуры больше круга, радиус которого равен прямой, проведенной из вершины сегмента к окружно- окружности круга, являющегося его основанием. Пусть будет шар с большим кругом АБГД и центром Е; опишем около сектора многоугольник AKZ и около последнего круг; пусть будет образована фигура, как и раньше {рис. 40]. Пусть N будет круг, радиус которого квадрирует прямоуголь- прямоугольник между одной стороной многоуголь- многоугольника и всеми соединяющими прямыми, взятыми вместе с половиной КЛ. Flo упо- упомянутая площадь равняется прямоуголь- прямоугольнику между M6hZII; [последняя является высотой сегмента большего тара]; зна- значит, радиус круга N кладрирует прямо- прямоугольник между МО и IIZ. По HZ больше, чем Д S, [которая является высотой меньшего сегмента. Дей- Действительно, если мы проведем соединяю- соединяющую KZ, то она будет параллельной ДА. И AI3 параллельна КЛ, a ZE общая; зна- значит, треугольник ZKH подобен треуголь- треугольнику ДЛЗ. Далее, ZK более АД; значит, и ZH больше Да], Мб же равна диаметру Рис. 40. ГА; {действительно, проведем соединяю- соединяющую прямую ЕО; поскольку МО равна OZ, a 0E равна EZ, то, зна- значит, ЕО будет параллельна Мвп, следовательно, М.& в два раза боль- больше ЕО. Но и ГД в два раза больше ЕО; значит, Мб равна ГД]. в прямоугольник между ГД и ДЕ равен квадрату на АД. Таким образом, поверхность фигуры KZA будет больше кругл, радиус которого равняется прямой (АД), проведешюй из вершины сег мента к окружности круга, являющегося его основанием, а именно, построенного на диаметре АВ; действительно, круг N равняется поверх- поверхности фигуры, описанной около сектора. Следствие 1 Описанная около сектора фигура, взятая вместе с конусом, основанием которого служит круг, построенный на диаметре КЛ, а вершиной — центр шара, оказывается равной конусу, основа- основание которого равно поверхности фигуры, а высота — перпенди- перпендикуляру, опущенному из центра на сторону многоугольника, [который, конечно, равен радиусу шара, так как описанная около сектора фигура будет и вписанной п сегмент большего шара, имеющего тот же самый центр; сказанное ясно из предыдущего).
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 13? г..: Следствие 2 Из этого же ясно, что описанная фигур», взятая вместе с конусом, будет больше конуса, имеющего основанием круг, радиус которого ранен прямой, проведенной от вершины сегмента меньшего шара к окружности круга, являющегося его основанием, а высота равна радиусу (меньшего шара), так как конус, ранный фигуре, взятой вместе с конусом, будет иметь основание, большее выше- вышесказанного круга, высоту же, равную радиусу меньшего шара. XLI Пусть будут опять тар и в нем большой круг, сегмент А Б Г, мерь- ший полукруга, и центр А {рис 41); впишем в сектор АВГ много- многоугольник с четным числом (равных) сторон и опишем около него другой, ему подобный, так, чтобы стороны одного были параллельны сторонам другого, затем около опи- описанного многоугольника опишем круг, и пусть подобно предыдущему при вращении обоих кругов (вместе с многоугольниками) около непо- *' движноё прямой НВ образуются фигуры, ограниченные коническими поверхностями. Требуется доказать, что поверхность описанной фигуры имеет к поверхности вписанной отношение, равное двойному отно- отношению стороны описанного мно- многоугольника к стороне вписанного, отношение же самих фигур, взятых вместе" с соответствующими конуса- конусами, будет равно тройному тому же отношению. Действительно, пусть будет круг М, радиус которого квадрирует прямоугольник между одной сто- роной олисапного многоугольника и всеми прямыми, соединяющими его углы, вместе с половиной EZ; круг М будет равен поверхности описанной фигуры. Затем возьмем другой круг N, радиус которого квадрирует прямоугольник между одной стороной вписанного многоу- многоугольника и всеми прямыми, соединяющими его углы, вместе с половиной АГ; и он будет равен поверхности вписанной фигуры. Но упомянутые площади относятся между собой, как (квадраты) на сторонах ЕК и АЛ [и, следовательно, как многоугольник к многоугольнику, так будет и круг М к кругу N]; теперь ясно, что поверхность онисапной фигуры к поверхности вписанной имеет отношение, равное двойному отноше- отношению ЕК к АЛ, [тому же самому, что и у многоугольников]. Пусть будет еще конус Е, имеющий основание, равное кругу М, а высоту, равную радиусу меньшего шара; этот конус равен описанной Рис. 41. .'#:'¦'
ш АРХИМЕД фигуре вместе с конусом, основанием которого является круг на EZ, а вершина в Д. Пусть будет другой конус О, имеющий оснонание, равное N, а нмеоту, равпую перпендикуляру, опущенному из А па АЛ; он равен вписанной фигуре вместо с конусом, основанием которого являет- является крух'иа диаметре АГ, вершиной же центр Д; обо всем этой было напи- написано раньше. Теперь [поскольку]*) ЕК относится к радиусу меньшего шара, как АЛ к перпендикуляру, опущенному из центра [Л] на АЛ; доказано же, что как ЕК к АЛ, так будет и радиус круга М к радиусу круга N [к один диаметр к другому]; тогда получится, что как диаметр круга, являющегося основанием конуса 3, к диаметру круга, являю- являющегося основанием конуса О, такинысота конуса 2 к высоте конуса О; [следовательно, конусы подобны]. Значит конус 2 к конусу О имеет отношение, равное тройному отношению одного диаметра к другому. Теперь ясно, что описанная фигура вместе с конусом ко «писанной фигуре с конусом же имеет отпошение, равное тройному отношению ЕК к АЛ. ХЫ1 Поверхность всякого сферического сегмента, меньшего полушария, равна кругу, радиус которого равен прямой, проведенной из вершины сегмента до окружности круга, являющегося основанием сегмента. Пусть будет шар, в нем большой круг АВГ {рис. 42} и сегмент, меньший полушария, основанием которого является построенный на Рис. 42. АГ круг, перпендикулярный к кругу АВГ; возьмем круг Z, радиус которого равен АВ; требуется доказать, что поверхность сегмента АВГ ратша кругу Z. Депстиительно, если они не равны, то пусть эта поверхность будет больше круга Z. Возьмем центр Л и продолжим прямые, соединяющие Д с А и Г. Затем, имея две перанпые пеличины — поверхность сегмента и круг Z — впишем в сектор АВГ равностороншт многоугольник с четным числом сторон и опишем другой, ему подобным, так, чтобы описанный многоугольник имел ко вписанному отношение меньшее, чем отношение поверхности сферического сегмента к кругу Z. После вращения круга, как и раньше, получатся две ограниченные коническими поверхностя- поверхностями фигуры, из которых одна будет описанной, а другая вписанной, *) Как видно us комментария Ектслшя, слова •плстишкт» (taei) и тексте Архимед», которым ли расиолягал, нв было.
О ШАРЕ И ЦИЛИНДР И 139 и поверхность описанной фигуры будет относиться к поверхности вписанной, как описанный многоугольник ко вписаппому, так как каждое из :>тих отношений равняется двойному отношению стороны описанного многоугольника к стороне нписаилого. Но, (согласно предположению), описанный многоугольник имеет ко вписанному ¦отношение мспыпее, чем поверхность упомянутого сегмента к кругу Z, и поверхность описанной фигуры больше поверхности сегмента; сле- следовательно, поверхность вписанной фигуры больше круга Z, а это невозможно, так как доказано, что упомяпутая поверхность фигуры меньше круга такой величины. Пусть теперь круг (Z) будет больше поверхности (сегмента); тогда опишем н впитаем подобные многоугольники, и пусть описанный будет ко вписанпому иметь отношение меньшее того, которое круг (Z) имеет к поверхности сегмента*). (Так как многоугольники отно- относятся, как поверхности соответствующих фигур, то поверхность опи- описанной фигуры к поверхности вписанной будет иметь отношение, мень- меньшее отношения круга Z к поверхности сегмента, и следовательно, после перестановки — отпошепие поверхности описанной фигуры к кру- кругу Z будет меньше отношении поверхности вписанной фигуры к поверх- поверхности сегмента; но так как поверхность вписанной фигуры меньше поверхности сегмента, то и поверхность описанной фигуры должна быть меньше круга Z, а это невозможно). Итак, поверхность сег- сегмента не будет меньше**) круга Z. Доказано же, что и не больше***), значит, обе эти поверхности раины. XU11 Далее, если сферический сегмент больше полушария, то его поверх- поверхность точно так же будет равна кругу, радиус которого равен прямой, проведенной из вершины сегмента к окружности круга, являющегося его основанием. Пусть будет шар и в нем большой круг (АВГ) {рис. 43}; вообразим шар рассеченным плоскость»), перпендикулярной к той, Рис. АХ которая проходит через АТС; пусть сегмент АВД будет меньше полуша- полушария и диаметр В Г перпендикулярен к АЛ; точки В и Г соединим: с А *) I! этом месте текст предстагагает лакуну, которая заполняется примерно так. как показано в угловатых стойках. **) В текста оптибпчнп «бопъгае». ***) В тексте ошибочно «меньше».
140 ¦ •АРХИМЕД прямыми ВА и АГ. Пусть Е будет круг, радиус которого ранен АВ, a Z — круг, радиус которого ранен АГ, и Н — круг, радиус которого равен В Г; следовательно, круг И будет равен кругам Е, Z*). Но круг II равен всей поверхности шара, [так как он в четыре раза боль- больше круга, построенного на диаметре ВГ], а круг Е равен поверхности сегмента ЛВД, [это ведь доказано для сегмента, меньшего полушарил]; ¦ значит, остающийся круг Z будет равен поверхности сегмента АГД, который уже больше полушария. . д ¦ XLIV ' ¦"' ¦• Всякий сферический сектор равен конусу, имеющему основание, равное поверхности сферического сегмента, соответствующего атому сектору, а высоту, равную радиусу шара. Пусть будет шар и в нем большой круг АВД (рис. 44} с центром Г; пусть еще будет конус, имеющий основанием круг, равный поверх- поверхности (сегмента), соответствующей дуге АВД, и высоту, равную ВГ; требуется доказать, что сектор АВГД будет равен упомянутому конусу. Если это не так, то пусть сектор будет больше конуса; пусть упомя- упомянутый конус будет 6; тогда, имея две неравные величиям — сектор и конус,— найдем дне линии Д, Е, и пусть Д будет больше Е и имеет к Е отношение меньшее, чем сектор к конусу. Возьмем еще две прямые Z, Н та- такие, чтобы Д от Z, Z от Н и Н от Е . отличались на ранные {отрезки); A-Z=Z-H=H-E затем около плоского сектора кру- круга опишем равносторонний много- многоугольник с четным числом сторон и впишем в него ему подобный так, | ' чтобы сторона описанного имела к стороне вписанного отношение меньшее того, которое Д имеет к Z; затем, подобно предыдущему, вра- вращая круг, образуем две фигуры, ограниченные коническими поверх- поверхностями; тогда описанная фигура, взятая вместе с конусом, имеющим вершину в Г, будет иметь ко вписанной фигуро'с соответствующим кону- конусом отношение, равное тройному отношению стороны описанного мно- многоугольника к стороне вписанного. Но сторона описанного много- многоугольника (к стороне «писанного) имеет отношение меньшее, чем Д к Z; значит, упомянутые телесные фмгурм (описанная ко вписан- вписанной с их конусами) будут иметь отношение меньшее, чем тройное д отношение Д к Z. Но Д к Е имеет отношение, большее тройного отно- отношения Д к Z**); значит, телесная фигура, онисаштая около сектора, будет иметь ко вписанной отношение меньшее того, какое прямая Л л г и к Рис. .44. * ) Действительно, Н = П ¦ ВГг -= я (А В2 I • А Г2) — Е -|- Z. ••) См. комментарий [Ji] is аналогичному месту и предложении XXXIV.
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 141 имеет к Е. А (согласно предположению) Д к Е имеет отношение . . меньшее, чем телесный сектор (ЛВГД) к конусу ©; значит, телесный сектор (АВГД) к конусу в будет иметь отношение большие, чей! описанная около сектора фигура ко вписанной. II после перестановки: . (сектор АВГА к описанной фигуре вместе с конусом будет иметь отно- отношение большее, чем отношение конуса © ко вписанной фигуре вместе с ее конусом); но описанная телесная фигура (вместе с ее конусом) больше сектора (ЛВГД)*), и, значит, нлисаыная в сектор фигура (с ее конусом) будет больше конуса В, а это невозможно; действительно, выше было доказано, что она меньше такого конуса, [именно имеющего основанием круг, радиус которого равен прямой, соединяющей верши- вершину сегмента с (какой-нибудь точкой) окружности круга, являюще- являющегося основанием сегмента, а высотой — радиус шара; таким же кону- конусом будет упомянутый конус 6, ибо основанием он имеет круг, ранный • поверхности сегмента, то есть упомянутому кругу, а пысота его равна . радиусу шара]. Итак, телесный сектор не будет больше конуса 6. Тогда пусть конус в будет больше телеспого сектора (АВГД). Опять точно так же пусть Д, будучи более Е, имеет к ней отношение, меньшее того, которое конус F) имеет к сектору (АВГЛ); затем точно так же возьмем прямые Z и Н так. чтобы их разности были оди- одинаковы, z=^z-h=h--e '¦* и пусть сторона многоугольника с четным числом (равных) сторон, описанного около плоского сектора, имеет к стороне такого же вписан- вписанного отношение, меньшее того, которое Д имеет к Е, [и образуем вокруг телеспого сектора соответствующие телесные фигуры]. Теперь точно так же докажем, что описанная около сектора телеспая фигура имеет ко вписанной отношение, меньшее того, которое прямая Д имеет к Е и конус в имеет к сектору (АВГД); [таким образом, этот сектор имеет к конусу (в) меньшее отношение, чем вписанная в сектор**) телеспая (фигура) к описанной]. Но- сектор больше вписанной я него' фигуры; значит, и конус 0 больше описанной фигуры, а это невозможно; [действительно, доказано, что такой конус меньше этой фигуры, описанной около сектора]; значит, рассматриваемый сектор будет р&веи конусу в. . . '" КНИГА II Архимед желает радости Досифею Ты уже просил меня написать доказательства для тех проблем, формулировки которых я посылал к Конону; при изложении большей части их приходится пользоваться теоремами, доказательства которых я уже послал тебе, а именно: A) что поверхность всякого шара в четыре раза больше его боль- большого круга, B) что поверхность всякого сферического сегмента равняется кругу, радиус, которого равен прямой, проведенной из вершины сегмента к окружности основания, *) В тексте написано ошибпчно «гц^цаток» (сегмента). •*) В теисте опить ошибочно написано «в сегмент».
142 АРХИМЕД ГАЗ 1182 ГА2 C) что для всякого шара цилиндр, имеющий основанием большой круг шара и высоту, ранную диаметру шара, и сам будет по величине в полтора раза больше шара и его поверхность в полтора раза больше поверхности шара, и D) что всякий телесный сектор равен конусу, имеющему основа- основанием круг, равный поверхности сферического сегмента, находящегося в этом секторе*), а высоту, равную радиусу соответствующего шара. В этой, кияге я посылаю тебе аацись доказательств тех теорем и задач, которые получаются из вышеупомянутых теорем; что же касает- касается тех, решение которых находится при помощи других исследований, а именно относительно спиралей и коноидов, то я постараюсь послать их тебе возможно скорее. Первая из вышеупомянутых проблем была такая. Для заданного шара найти плоскую фигуру, равную поверхности итого шара. Ее рептепие непосредственно получается из ныгаеупомянутых теорем: действительно, учетверенный большой круг шара будет плоской фигу- фигурой и равен поверхности тара. I Вторая задача была такова: для заданного конуса или цилиндра- найти шар, разный этому конусу или цилиндру. Пусть Л будет данный копус или цилиндр, а В — шар, равный этому А {рис. 45.}. Вшьмем цилиндр FZA, в полтора раза больший конуса, или цилиндра А, и другой цилиндр, в полтора раза больший ша- шара Л; основанием итого цилиндра будет круг на диаметре Ш-), а ось КЛ равна диаметру шара В; тогда цилиндр Е будет равен цилиндру К. [У равных цилинд- цилиндров основания обратнопропорциональны высотам]; значит, круг Е относится к кругу К, или (квадрат) на ГД к (квад- (квадрату) на Н0, как прямая КЛ к J5Z. ISZ Но КЛ равна 1Г6, [ибо у цилиндра, и полтора рака большего шара, ось равна диаметру шара, а круг К является большим кругом raapaj; значит, как (кнадрат) на ГД к (квадрату) па Н0. таи будет и Н0 к EZ. не Рис. 45. Пусть квадрат иа И В будет равен прямоугольнику между ГД и ММ; тогда как ГД к MN, так и квадрат на ГД к квадрату на НВ, или Htf *) Речь идет, конечно, о сегменте шарн, опирающемся на ту же часть поверхности шара, что сектор.
О ШЛРЕ И ЦИЛИНДРЕ к EZ, посад же перестановки — как ГА к НВ, так и НВ к MN, и MN к EZ. Гл Нв JMN Нв MN EZ Но оби прямые ГД и EZ даны; значит, Нв и MN будут двумя средними пропорциональными для двух данных прямых; :тачит, будут данными и обе IIЭ, МЛ'. Синтез же задачи производится так: пусть данный конус или цилиндр будет А; требуется найти шар, который бтлл бы ранен конусу или цилиндру А. Для конуса или цилиндра Л построим в полтора раза больший ци- цилиндр, основанием которого будет круг на диамстро ГД, а осью — пря- прямая EZ, и возьмем между ГД и KZ две средний пропорциональные 116, MN, так чтобы было —как ГД к НВ, так и НВ к MN и MN к EZ. гл не mn Нв MN EZ и вообразим цилиндр, основанием которого Пыл бы круг на диаметре HG, а ось КЛ равнялась диаметру НВ; тогда я утверждаю, что> цилиндр Е будет равен цилиндру К. Действительно, поскольку ГД будет к Нв, как MN к EZ, ГА MN НИ '" EZ и поело перестановки, ГД к MN, пак НВ к EZ. ГЛ II© MN EZ а Ив раина КЛ, [следовательно, как ГД к ММ, то есть как квадрат па ГЛ к квадрату на Нв, так будет vi круг Е к кругу KJ, то, иначит, как круг Е к кругу К, так будет л КЛ к EZ, [следовательно, у цилин- цилиндров Е и К основания обратно пропорциональны высотам]; значит, цилиндр Е равен цилиндру К. Но цилиндр К в полтора раза больше шара, диаметр которого 116; значит, и шар, диаметр которого равен 116, то есть шар В, будет равен данному конусу или цилиндру А [1]. 11 Всякий сферический сегмент равен конусу, имеющему то же осно- основание, что и сегмент, а высотой прямую, которая к высоте сегмента имеет такое же отношение, как вместе взятые радиус шара и высота дополнительного сегмента к высоте дополнительного сегмента. Пусть будет шар и и нем большой круг, диаметр которого АГ (рис. 46); рассечем шар плоскостью, проходящей через BZ и перпенди- перпендикулярной к АГ; пусть центр шара будет В. Сделаем, чтобы отношение! вместе взятых ВА, АЕ к ЛЕ равнялось отношению некоторой прямой ДЕ и ГЕ, вЛ + А К АН АЕ ~ Г V. кром<_> того, сделаем, чтобы отношение вместе взятых в Г, ГЕ к ГЕ равнялось отношению некоторой прямой КЕ к ЕА; вг + ге _ _ке ГЕ " ЕА"
144 АРХИМЕД затем на круге с диаметром BZ построим два конуса, имеющих верши нами точки К, Д; я утверждаю, что конус BAZ равен сферическому сегменту при Г, а конус BKZ — сегменту при точке А. Проведем прямые Вв, 6Z и нообразим конус, имеющий основанием круг ни диаметре BZ и вершину в точке 6; пусть еще будет конус М, имеющий основанием круг, равный поверхности сферического сегмен- сегмента BTZ, то есть круг с радиусом 13Г, а высоту, рапную радиусу шара; Рис. 46. тогда конус М будет равен телесному сектору BP6Z, как доказано в 1 книге. Поскольку же как ЛЕ к Е Г, так и вместе взптыс 6А, АЕ к АЕ, ДК _ В А + АЕ КГ АИ то, «выделяя» дБ - ЕГ @А + АЕ) - АЕ ГЕ АЕ получим, что как ГА к ГЕ, так л 6А к АЕ, то есть как Г0 к АЕ, ГД _ «А _ Г^ ~гв" ~ "ае" "~"ais а после перестановки — как А Г к ГВ, так ГЕ к ЕЛ; АГ ^ ГЕ ге ел и, «присоединяя», дг -;- ге г Е + ra вГ = " АЕ как 6Д к 6Г, так и ГА к АЕ, то есть как Е5падрат на ГВ к квадрату на BE; 8А ^ ГА ГА-ГВ JjB^ ,вГ ~ ЛЕ 'ЕЛГЕ~ ВЕ2 значит, как А© к Гв, так и квадрат на ГИ относится к квадрату на BE. _дв __ГВ^ Гв~ ВЕ2 ¦ ' -.-..... —
#«*•»¦*#, mi/fa/tm-i** ^fJU-, *->#ki «H* :;:.-M Ж Фотокопия страницы греческой рукописи, содержащей отрывок сочипения Архимеда «О гааре и цилиндре». Архимед
14В АРХИМЕД Но ГВ равна радиусу круга М, a BE — радиусу круга на диаметре BZ; значит, как Д© к ©Г, так будет и крут М к кругу на диаметре BZ. И ©Г равна оси копуса М; значит, как А© к оси конуса М, так и круг М к кругу на диаметре BZ; следовательно, конус, имеющий осно- основанием круг М, а высотой радиус шара, ранен телесному ромбу BAZ©, [как доказывается и леммах 1 книги. Или же таким образом: поскольку как Д© к висоте конуса М, так и круг М к кругу на диаметре BZ, то, значит, конус М равен котгусу, основанием которого является круг на диаметре BZ, а высотой А©, ибо у них основания обратпо пропор- пропорциональны высотам. Но конус, имеющий основанием круг па диаметро BZ, а высотой Д0, будет равен телесному ромбу BAZBJ. По конус М равен телесному сектору BFZ©; значит, телесный сектор BTZ0 будет равен телесному ромбу BAZ©. Если отнять общий им конус, основанием которого янляется круг на диаметре BZ, а высотой ЕВ, то оставшийся конус BAZ будет равен сферическому сегменту BZT. Точно так же докажем, что копус BKZ равен сферическому сег- сегменту BAZ. Дейстпительно, так как вместе взятые ©Г, ГЕ относятся к ГЕ, как КЕ к КА. •ГЕ КЕ ГЕ вг гк КА ТО, КЕ ] как вг ЕЛ значит, после -ЕА ЕЛ К Л к АЕ, так «выделения» и ©Г к ГЕ. ЛЕ ГЕ Но вГ равна ©А; значит, после перестановки как КА к А©, так и АЕ к ЕГ; КА_ АК Ав ЕГ отсюда же, «присоединяя», JK Л ±_А®_ АЕ + ЕГ Ав ЕГ как К© к ©А, так и АГ к ГЕ, то есть как (кпадрат) на ВА к (квад- (квадрату) на BE. КО _ ЛГ «Л ~ ГЕ Построим еще круг N, имеющий радиус, равный АВ; он будет, следовательно, равен поверхности сегмента BAZ. Затем вообразим копус IV, имеющий высоту, равную радиусу шара; он будет рапеп телесному сектору B©ZA, как это доказано в первой книге. Поскольку же доказано, что как К© к ©А, так и (квадрат) на ЛВ к (квадрату) на BE, то есть как (квадрат) на радиусе круга N к квадрату на радиусе круга с диаметром BZ, или же как круг N к кругу на диаметре BZ, и так как А© равна высоте конуса N, то, значит, как К© к высоте копуса N, так и круг N к кругу на диаметре BZ; значит, конус N, или же сектор B©ZA, будет равен телу B©ZK. Добавим общий конус, основанием которого является круг на диа.адетре BZ, а высота Ев; тог- тогда иесь сферический сегмент ABZ будет равен конусу BZK, что и тре- боналось доказать.
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 147 Следствие Отсюда ясно, что и иообще сферический сегмент к конусу, имею- имеющему то же самое основание, что и сегмент, и равную высоту, отно- относится, как вместе «зятые радиус шара и высота дополнительного' сегмента относятся к высоте дополнительного сегмента; таким образом,, как ДЕ к ЕГ, так и конус AZB, или сегмент BFZ, к коиусу BFZ. При тех же самых предположениях докажем, что конус KBZ рав- равняется сферическому сегменту BAZ. Пусть будет конус JN, имеющий основание, равное поверхности шара, а иысотой — радиус шара; этот В Рис. 47. конус равен шару, [ибо как доказано, шар и четыре раза больше кону- конуса, имеющего основанием большой круг тара, а высотой его радиус. Но и конус N будет в четыре раза больше этого конуса, так как и его основание, и поверхность шара в четыре раза больше соответственно основания второго конуса, и большого круга в шаре]. Поскольку же вместе пзятые С-)А, АЕ будут к ЛЕ, как А К к ЕГ, ел -|- ае АБ АЕ ЕГ 8А АЕ ЬТ ГА НА то, «выделяя» _ АЕ-ЕГ ~~ ЕГ и переставляя, получим, что как 0Г к ГА, так и АЕ к ЕГ. ЛЕ ;~кг~~ Затем, так как КЕ кЕА относится, как вместе взятые вГ, ГЕ к ГЕ, вГ + ГЕ ГЕ то, «выделяя» КИ - ЕЛ АИ ЕГ и переставляя, получим, что КА к в Г, то есть к ВА, будет, как АК к ЕГ, КА вЛ КА вЛ - АЕ ~ ЕГ то есть как ©Г к ГА. ег = ' ГЛ . После этого, «присоединяя», получим, КА + А0 _ вГ + ГА ел " -" лг
148 АРХИМЕД поскольку же Л© равна ©Г, то как К© к вГ, так и вД к ДГ, ке ©г КД дв КД ед дг и вся КД будет АО ДГ то есть как К© ке к к Д©, ©Л; де значит, прямоугольник между ДК и ©А равен прямоугольнику между Дв к 0К. ДК-0А =Дв-6К Далее, так как К© относится к ©Г, как ©Д к ГД, ке _ ел ег ~ дг или поело перестановки: (Кб к ©Д, как В Г к ГД), и доказано, что как ©Г к ГД, так и АЕ к ЕГ, 8Г _ АЕ ~гд 1г~. то, значит, как К© к ©Д, так и АЕ к ЕГ. _ке_ _^а.е_ ед '~ ег Следовательно, как (квадрат), на КД к (прямоугольнику) между К© и ©Л, тик и квадрат на АГ к прямоугольнику между АЕ, ЕГ*). КА2 ЛГ2 КД-Л6 АК ЕГ Но (прямоугольник) между К© м ВД, согласно доказанному, равен прямоугольнику между КД и АВ; значит, как квадрат на КД к прямоугольнику между КА, А©, то есть как КД к А©, так и квадрат на АГ к прямоугольнику между АЕ, ЕГ, то есть к квадрату па ЕВ8. КД Afcf ЕВ2 Но АГ равна радиусу круга N; значит, как (квадрат) па радиусе круга IS7 к (квадрату) на BE, то есть как круг N к кругу на диаметре BZ, так и КД к А©, то есть КД к высоте конуса N: значит, конус N, то есть шар, будет ранен телесному ромбу JiAZK. [Или же так: посколь- поскольку круг N относится к кругу на диаметре BZ, как ДК к высоте конуса N, то, значит, конус N будет равняться конусу, основанием которого яиляется круг на диаметре BZ, а высота ДК, так как у обоих основания обратно пропорциональны высотам. Но последний конус ранен телос- *) Уто равенство микст быть получено так. Из иротцщпп КН:вд~~АК: КГ получаем сна- чнла «присоединением» (Кв -}- ЯД) : вД = (АК -f КГ): ПК Яо8иолнм лбе членя it HRa;tpBT; КД2 : Д0* = АГ2 : ГЕ2. ( I ) Первоначальную npouoiiiuuo К»:«Л—АЕ:ЕГ мы можем нредлтинпть к нид« (Ке-вД) : вД« = (АЕ-ЕГ) : ЕГ2- .. <2) Теперь на сравнения оОсих пропорций A) и B) получаем : (К0-«Д) «= АГ2 : (АЕ- ЕГ) .
О ЩЛРЕ U ЦИЛИНДРЕ 149 ному ромбу BKZA; следовательно, конус N, то есть шар, будет равен телесному ромбу BZKA]. Из конусов, составляющих последний, конус BAZ будит, согласно доказанному, равняться сферическому сегменту BFZ; значит, остающийся конус BKZ будет равен сферическому сег- сегменту BAZ. III Третья задача была такова: данный шар рассечь плоскостью так, чтобы поверхности получившихся сегментов находились бы друг к другу в отношении, равном заданному. Пусть это уже сделано; пусть большой круг шара будет ААВЕ, а его диаметр АВ. Проведем плоскость, перпендикулярную к АВ, и пусть ГА ГВ Рис. 48. эта плоскость образует в круге АДВЕ сечение ДЕ; проведем соединяю- соединяющие прямые АД и ВД. Так как отношение поверхности сегмента ДАЕ к поверхности сег- сегмента ДВЕ (является данным), и круг, радиус которого равен АЛ, равен поверхности сегмента ДАЕ, а круг, радиус которого равен АВ, рапен поверхности сегмента ДВЕ и упомянутые круги будут друг к другу, как квадрат па АА к квадрату па ЛВ, то есть как ЛГ к ГВ, то, значит, будет данным и отношение АГ к ГВ; следовательно, будет данной и точка Г. Далее, АВ перпендикулярна к ДЕ; значит, будет дана поло- положением и проходящая через АЕ плоскость. Синтез задачи проианодится так. Пусть будет шар, у которого большой круг ЛВДЕ и диаметр АВ; и пусть заданное отношение будет тем, которое прямая Z имеет к Н. Разделим АВ в точке Г так, чтобы отношение АГ к ГВ равнялось отношению Z к Н; через полученную точку Г рассечем шар плоскостью, перпендикуляр- перпендикулярной прямой АВ; пусть общее сечение будет ДЕ; проведем соединяющие прямые АД и ДВ и построим два круга К, Э такие, чтобы круг в имел радиус, равный ЛД, а круг К — радиус, равный ДВ; тогда круг в будет равен иомерхпости сегмента ДАЕ, а круг К — поверхности сегмента ABE, как уже доказано в первой книге. И так как угол ЛАВ — прямой и ГД — перпендикуляр, то будет, что как АГ к ГВ, то есть как Z к Н,
150 АРХИМЕД так и квадрат па АА к квадрату на ДВ, то есть квадрат на радиусе круга Э к кнадрату на радиусе круга К, то есть как круг в к кругу К, и, наконец, как поверхность сферического сегмента ААЕ к поверхно- поверхности сегмента ДВЕ. IV Разделить данный шар так, чтобы его сегменты имели друг к дру- другу отношение, равное заданному. Пусть данный шар будет АВГД (рис. 49}; требуется рассечь его плоскостью так, чтобы: сферические сегменты имели друг к другу отно- отношение, равное заданному. Рассечем его плоскостью через AT; тогда отношение сферического сегмента ЛДГ к сферическому сегменту АВГ будет заданным. Рассечем также шар через центр (плоскостью, перпендикулярной к АГ>; Рис. 49. пусть сечепием будет большой круг АВГД с центром К и диаметром ДВ; затем сделаем так, чтобы вместе взятые КД, ДХ имели к ДХ такое же отношение, как некоторая прямая РХ к ХВ, ЕД+ДЗС хв а вместе взятые KB, BX имели к ВХ такое же отношение, как некоторая другая прямая АХ к ХД, и иронедем соединяющие прямые АЛ, ЛГ, АР, РГ; тогда конус АЛГ будет ранен сферическому сегменту АДГ, а конус АРГ— сегменту АВГ; значит, будет заданным и отношение конуса АЛГ к конусу АРГ [2]. Но как один конус относится к другому, так будет относиться и ЛХ к ХР, [поскольку конусы имеют одпо и то же основание — круг на диаметре АГ]; следовательно, отношение ЛХ к ХР является данным. <1). Па основании предыдущего, согласно построению, имеем, что АД будет к КА, как KB к ВР и ДХ к ХВ. ЛА БД KB А\ B). И так как РВ будет к ВК, как КД к ЛА, то после «присо- «присоединения» РК будет к KB, или к КД, как КЛ к АД; РВ+ВК КД+ЛЛ РК КЛ 'АЛ KB ~ ЛА КЛ АЛ \ зпачит, вся РА будет ко всей КА, как КА к ЛД, РК+КЛ _ТА_ КА+ДЛ ~ КЛ КЛ ЛА
О ШАРЕ И ДИЛИНДРЕ 151 и, следовательно, (прямоугольник) между РЛ, ЛД равен квадрату на ЛК. Значит, как РЛ к ЛД, так будет и (квадрат) на КЛ к (квад- (квадрату) на ЛД. гл _ кла ЛД ~~ ЛЛ* лл _ дт дк xiT C). И поскольку ЛА будет к ДК, как ДХ к ХВ, то после «обращения» и "«присоединения» будет, как КЛ к ЛД, так и БД к ДХ, КА+АЛ ВХ + ХД КЛ _ J3A ЛД ' ~ ДХ ~ ~ЛД ДХ [и, значит, как киадрат на КЛ к квадрату на ЛД, так будет и квадрат на БД к квадрату на ДХ. D). Далее, поскольку ЛХ будет к ДХ, как вместе взятые KB, ВХ к ВХ, то после «выделения» — как ЛА к ДХ, так и KB к ВХ]. лх—хд лд кв ДХ " ДХ ИХ E). Теперь отложил» прямую BZ, равную KB; ясно, что (ее конец Z) упадет далее Р, [и получится, что как ЛД к ДХ, так будет и ZB к ВХ; таким образом, как ДЛ к ЛХ, так и BZ к ZX]. F). Поскольку же отношение ДЛ к ЛХ является данным, то, значит, будет данным и отношение РЛ к ЛХ. Теперь, так как отношение РЛ к ЛХ составлено из отношений РЛ к ЛД и ДЛ к ЛХ, и РЛ будет к ЛД, как квадрат ка ДВ к квадрату па ДХ, ГЛ _ ЛВ2 а ДЛ к ЛХ, как BZ к ZX, ДЛ _ PZ то, значит, отношение РЛ к ЛХ составится из отношения квадрата на ДВ к квадрату на ДХ и отношения BZ к ZX. гл _ рдг яг G). Сделаем теперь, чтобы отношение РЛ к ЛХ равнялось отно- шепию BZ к некоторой прямой Z8. Но отношение РЛ к ЛХ дано; значит, будет дано и отношение ZB к ZG, Дана также и прямая BZ, ибо она равна радиусу; значит, будет дан- данной и Ze. Следовательно, отношение BZ к Z6 составляется из отноше- отношения квадрата на ВД к квадрату на ДХ и отпошения BZ к ZX. ни _вда BZ Но отношение В7 к Z© сложится из отношений BZ к ZX и ZX к Z0;
152 АРХИМКД [отбрасываем общее отношение BZ к ZX]; тогда останется, что (квад- (квадрат) па ВД, то есть заданная величина, так относится к квадрату (на) ДХ, как XZ к ZB, то есть тоже к заданной величине. ад По прямая ZA дана; следовательно, заданцую прямую AZ требуется разделить в точке X так, чтобы отношении XZ к заданной прямой [ZBJ равнялось отношению ладанной площади [кладрата на ВД] к (квадратур на ДХ. Выраженная в таком общем ниде задача требу- требует диоризма*), но при наличии условий, присущих рассматриваемой задаче, [а именно, когда ДВ вдвое больше BZ и Z0 меньше ZB, как следует из произведенного анализа], диоршм не требуется. Итак, дело сводится к такой задаче: Даны две прямые ВД, BZ, причем ВД вдвое больше BZ, а па прямой BZ дана точка t); требуется рассечь ДВ в некоторой точке X так, чтобы (квадрат) па ВД относился бы к (квадрату) на ДХ., как отрезок XZ к Z0; анализ и синтез этой задачи будут даны в конце. Синтез же основной задачи произведотсн так: Пусть заданное отношение представляется отношением большей прямой П к меньшей 2; пусть дан некоторый шар, рассеченный через Рис. 50. центр плоскостью, причем в сечении получается круг АВГД с диаметром ВД и центром К. {рис. 50}. Отложим равную К-В прямую BZ и рас- рассечем BZ в точке 6 так, чтобы 6Z относилась к 6В, как П к 2, затем рассечем ВД и точке X так, чтобы XZ относилась к 0Z, как (квадрат) на ВД к (квадрату) на ДХ, и проведем через X перпендикулярную к ВД плоскость. Я утверждаю, что эта плоскость так рассечет тар, что больший сегмент будет отно- относиться к меньшему, как прямая II к S. Действительно, сделаем, чтобы вместе взятые прямые KB, BX от- относились к ВХ так же, как ЛХ к ДХ, ЛУ BY а вместе ваятые прямые КД, ДХ относились к ХД, как РХ к ХВ, K&+&Y _ РХ ХД ХВ *) См. комментарий ?2], стр. 483 и ел.
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 153 И проведем соединяющие прямые АЛ, Л Г, АР, РГ; тогда, как мы дока- доказали в анализе, согласно построению, (прямоугольник) между РА, АД будет равен (квадрату) на АК, и как КЛ к АЛ, так будет и БД к ДХ; кл _ кд^ лл лх таким образом,'как (квадрат) па КЛ к (квадрату) на ЛД, так будет И (киадрат), на БД к (квадрату) на ДХ. Но так как (прямоугольник) между РЛ и АД равен (квадрату) на ЛК [и отношение РЛ к АД равно отношению (квадрата) на ЛК к (квадрату) на АЛ], то получится, что РА относится кЛД,как (квадрат) на БД к (квадрату) на ДХ или как XZ к Z6. — лд Далее, поскольку вместе взятые KB, ВХ относятся к БХ, как АХ к ХД, и KB равна BZ, то, значит, ZX будет к ХВ, как АХ к ХД*). кн+кх _ zx_ лх^ их "" хи = хд После «переворачивания»**), как XZ к ZB, так и ХЛ к ЛЛ; XZ _ ХД ¦/.а ~лд РА лд ЛЛ таким образом, как ЛД к АХ, так и BZ к ZX. Затем, поскольку РА к АД, как XZ к Z0, и ДЛ к АХ, кик BZ к ZX, то по равенству в «перемешанной» пропорции***) будет, что как РЛ к АХ, так и BZ к Z6; ГА _ ВЯ ЛХ ~ /-и и, следовательно, как АХ к ХР, тик и Z0 к 6В. лх ze лх _ z& гл-лх" bz- ze ' xv ~"нй Но как Z@ к 6В, так и П к 2; и значит, как ЛХ к ХР. то есть как коттус АГЛ к конусу АР Г или сфе- сферический сегмепт АДГ к сферичес/ишу сегменту АВГ, так и прямая П к S. *) ZX^ZBfBX, ЛХ=Лй-гЛХ. а с * *) Операция *исуси<.Ч!&чиъакия (avtxvxQetyttvxt)» состоит в той, что us пропорцлк -г=ъ~ о и образуется —=—- Здесь -^ ~ ^А_ . ***) См. «Начала», V. 21.
154 АРХИМЕД V Построить сферический сегмент, подобный одному и равный дру- другому, из заданных сферических сегментов. Пусть АВГ и EZII будут два заданных сферических сегмента; пусть у сегмента АВГ основанием будет круг на диаметре АВ, а верши- вершиной точка Г, и у сегмента EZH основанием будет круг на диаметре EZ, а вершиной точка II. Требуется найти сферический сегмент, который был бы равен сегменту АВГ и подобен сегменту EZH {рис. 51}. / й Рис. 51. Пусть он найден и будет 0КЛ; пусть его основанием будет круг на диаметре 0К, а вершиной точка Л. В соответствующих шарах возь- возьмем (большие) круги ANBT, 6НКЛ, EOZH; пусть их диаметры TN, ЛЕ, НО будут перпендикулнрпм к основаниям соответствующих сегментов, а центры находятся в точках П, Р, 2. Сделаем, чтобы отношение вместе взятых прямых IIN, NT к NT равнялось отпошению некоторой прямой XT к ТГ; ШЧ-УТ отношение же вместе взятых РЗ, НГ к ЕГ равнялось отношению некоторой прямой ЧТ к ГА РЕ+ЕГ _ Ч'Т ~ Т и отношение вместе взятых SO, ОФ к ОФ равнялось отношению некото- некоторой прямой ИФ к ФН, 204-ОФ ФН и вообразим конусы, основаниями которых будут круги на диаметрах АВ, 6К, EZ, а вершинами точки X, V, Q; тогда кгнус АВХ будет равен сферическому сегменту АВГ, конус ^вК ранен гегмелту GKA и конз*с EQZ — сегменту EIIZ; все это уже было доказано. Так как сферический согмепт ЛИГ равен сегменту 6КЛ, то, значит, и кмгус ЛХВ бз7дет ранен конусу Ч!6К; 1у равных же конусов основа- основания обратно пропорциональны высотам]; значит, круг на диаметре АВ
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 155 будет к кругу на диаметре ©К, как прямая ЧТ к XT. Но первый круг относится ко второму, как (квадрат) на АВ к (квадрату) на ©К; значит, как (квадрат) на ЛВ к (квадрату) на (Ж, так будет и ЧТ к XT. ¦5кг Тт~ И так как сегмент EZH подобен сегменту 6КЛ, то, значит, и конус EZQ будет подобен конусу Ч'©К [это еще будет доказано]*); следова- следовательно, как QCD к EZ, таи будет и \РГ к ©К. Цъ ч'г "Ей = «к Но отношение ОФ к EZ дано; следовательно, будет дано и отношение ЧТ к 0К. Пусть это отношение будет таким же, как отношение XT к не- некоторой прямой А; 1'Т XT «к д~ так как XT дана, то, значит, будет дала и Д. И поскольку ЧТ к XT, или (квадрат) на АВ к (квадрату) на 0К, относятся, как прямые 6К и Д, то положим (квадрат) на 6К равным (прямоугольнику) между ЛВ и некоторой прямой 1; АВ-1 тогда получится, что как (квадрат) на АВ к (квадрату) на 0К, так будет и АВ к I. АВ ~ 1 Но доказано, что отношение (квадратов) на АВ и на 0К равно отно- отношению 0К и Д, и после перестановки отношение АВ к ©К будет равно отношению I к Д. АВ I ек " д Но как АВ к ©К, так будет ©К к I ав ек «к" i [вследствие равенства (квадрата) на 0К (прямоугольнику) между АВ и IJ; значит, как АБ к ©К, так н вК к I и I к Д. Ав_ек_ j_ ек i '"¦ д Следовательно, ©К и I будут двумя средними пропорциональными в непрерывной пропорции между двумя заданными прямыми АВ и Д. Л синтез этой задачи произподитси так. Пусть АВГ будет тот сегмент, которому искомый должен быть равен, a EZH — тот, кото- которому он должеп быть подобен; пусть большие круги соответствующих шаров б^гут ABFN, EHZO, их диаметры TN, НО и центры П, X. *) Для нас и, вероятно, длп Архимеда это яллнетсп очештдньтм, но Евтокий дает этому поло- положению подробное доказательство. Это объясняется тем, что греки не имели осщего понятии о подобии фигур и определяли его для каждого типа фигур самостоятельно; таи, услоиисм подобия сегментов было равенство соответствующих им центральных углов, а условием подобия конусов — равенство отношений высит к диаметрам оешшаний.
156 АРХИМЕД Сде-таем, чтобы отношение вместе взятых прямых ITN, NT к NT равня- равнялось отношению некоторой примой XT к ТГ, IIN-I NT XT NT ~ ТГ а отношение вместо кзятых 20, ОФ к ОФ равнялось отношению неко- некоторой примой ОФ к ФН; ОФ " Фн тогда конус ХАВ будет равен сферическому сегменту АГВ, а (конус) ZQE — (сегменту) EHZ. Сделаем, чтобы отношение ОФ к EZ равня- равнялось отношению ХТ к некоторой прямой Л, ыф _ хт EZ i и между дпумя заданными прям ими АВ, Д возьмем две средние пропор- пропорциональные ©К, I так, чтобы как АВ к ©К, так и Кб к I и I к А; АВ_КЯ I вк i "" д на 6К построим круговой сегмент ©КЛ, подобный круговому сег- сегменту EZH, затем дополним круг; пусть его диаметр будет A3. После этого вообразим шар с большим кругом A0SK и центром Р, и через ©К проведем перпендикулярную AS плоскость; тогда сферический сег- сегмент, расположенный со стороны Л, будет подобен сферическому сегменту EHZ вследствие того, что подобии и соответствующие кру- круговые сегменты. Теперь я утлерждаю, что этот сегмент будет также равен сфери- сферическому сегменту АВГ. Сделаем, чтобы отношение вместе взятых РЗ, ЕГ к ЕТ равнялось отношению некоторой прямой ЧТ к ГА; PE+ST _ WT вт —' ел тогда конус Ч1Г0К будет равен сферическому сегменту вКЛ. И так как конус Ч'©К подобен конусу ZOE, то значит, как ОФ к EZ, то есть как ХТ к Д, так и ЧГГ к 0К; _яф _хт _vr EZ Д " ВК а после перестановки и «обращения» получится, что как *РГ к ХТ, так и вК к А. чт ^«к хт ^ ~д" И. так как АВ, Кв, I, А составляют (непрерывную) пропорцию, то отношение (квадратов) на АВ и ©К равно отношению ©К к А. Но как ©К к Л, так и ЧТ к ХТ; "д" = "хт" . и, значит, как (квадрат) на АВ к (квадрату) на К©, то есть как круг на диаметре AJ3 к кр5*гу на диаметре ©К, так будет и прямая к ХТ; АВ2 ЧТ
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 157 следовательно, конус ХЛВ будет равен конусу Y0K, так что и сфери- сферический сегмент АВГ будет равен сферическому сегменту ВКЛ. Итак, построен сегмент ВКЛ, ранний данному сегменту АГВ и подобный другому данному сегменту EZIT. VI Для двух данных сегментов, принадлежащих одному или различ- различным шарам, построить сферический сегмент, подобный одному из дан- данных и имеющий поверхность, равную поверхности другого сегмента. Пусть на дугах АВГ и AEZ будут даны дпа сферических сегмента {рис. 52), пусть дуге АВГ соответствует тот, которому должен быть Рис. Г>2. ЛР PN NP РА подобен искомый, а дуге AEZ — тот, поверхности которого должна равняться поверхность искомого. Пусть требуемое будет выполнено и сферический сегмент КЛМ подобен сегмэнту АВГ и имеет поверхность, ранную поверхности сег- сегмента AEZ. Представим себе центры :jtiix шаров и мропедем через них плоскости, перпендикулярные к основаниям сегментов, и пусть н сече- сечениях с шарами получатся большие круги KAMN, ВАГ6, EZHA, а в се- сечениях с основаниями сегментов — прямые КМ, ЛГ, AZ; пусть AN, В6, ЕН будут диаметры шаров, перпендикулярные к КМ, ЛГ, AZ, и проведены прямые ЛМ, ВГ, EZ. Так как поверхность сферического сегмента КЛМ равна поверх- поверхности сегмента AEZ, то, значит, круг с радиусом Л М будет равен кругу с радиусом EZ, [ибо ноперхпости упомянутых сегментов, как было доказано, равны кругам, радиусы котортлх представляют прямые, про- педепные от вершин сегментов к окружностям оснований], так что прямая МЛ будет равна EZ. Поскольку же сегмент КЛМ подобен сег- сегменту АН Г, то ЛР будет к PN, как ВП к Пв, кп NP+РЛ ив тогда после «обращения» еп пв и «присоединения» вп+пв ип
158 архимкд NA будет к ЛР, как 6В к ВП. ил _ ев Но как РА к ЛМ, так будет и ВП к ГВ, рл вп лм - гв [ибо соответствующие треугольники подобны]; значит, как NA к ЛМ, или к EZ, так и вВ к В Г. NA NA 6В ЛМ ~* KZ '" ВГ После перестановки {NA к В0, как EZ к ВГ}; _na _ш_ ве "" вг отношение же EZ к ВГ дано, ибо даны обе прямые, следовательно, будет дано и отношение AN к Вв. И прямая Вв дана; значит, дана и AN; таким образом, будет дан и соответствующий шар. А синтез производится так. Пусть данные два сферических сегмента будут ЛВГ, ДЕ7,, причем искомый должен быть подобен сег- сегменту АВГ и иметь поверхность, равную поверхности сегмента AEZ. Выполним те же еншхе построении, что а при анализе, и сделаем, чтобы отношение ВГ к EZ равнялось отношению В0 к некоторой прямой AN; вг_ ве EZ~ AN на диаметре AN построим круг и вообразим шар с большим кругом AKNM; прямую NA разделим п точке Р так, чтобы NP была к РА, как 0П к ПВ, NP _ _0П_ РА~ ПВ поверхность шара рассечем плоскостью, проведенной через Р и перпендикулярной к AN, и проведем соединяющую прямую ЛМ; тог- тогда круговые сегменты, построенные па прямых КМ, А1\ будут подобны, так что будут подобны и соответствующие сферические сегменты. И поскольку 6В будет к ВП, как NA к ЛР _©В _ NA НЕТ ЛР^ (ибо так получается после «выделения»*)), и как ПВ к ВГ, так и РА к ЛМ, ПВ _±± ВГ ~ ЛМ то, значит, 0В будет к NA, как ВГ к ЛМ. ей вг NA AM Но также было, что как 6В к AN, так и ВГ к EZ; ев вг AN EZ значит, EZ равна AM, так что и круг с радиусом EZ бз7дет равен кругу» радиус которого равен ЛМ. Но круг, имеющий радиусом EZ, равен *) В дейстпитрлыгасти после «присоединения» (WU-H1B) : ви=(ЛГ+ГА): АР.
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 159 поверхности сегмента AEZ, а круг, радиус которого равен ЛМ, ранен поверхности сегмента КЛМ (это было доказано в первой книге); зна- значит, и поверхность сегмента КЛМ будет равна поверхности сфериче- сферического сегмента AEZ, и сегмент КЛМ подобен сегменту ЛВГ. V [ От данного шара отсечь плоскостью сегмент так, чтобы этот сег- сегмент имел заданное отношение к конусу, имеющему с сегментом одно и то же основание и равную высоту. Пусть дан шар с большим кругом АВГД {рис. 53}; пусть ВД будет его диаметр. Плоскостью, проходящей через ЛГ, требуется рассечь зтот шар так, чтобы сферический сегмент ЛВГ имел заданное отно- отношение к конусу АВГ. Пусть псе это сделано; пусть центр шара будет н точке Е, и пусть отношение вместе взятых ЕД, AZ к AZ будет равно отношению неко- некоторой прямой HZ к ZB; EA+UZ HZ ZB тогда конус АГН будет равен сегмен- сегменту АШ\ Значит, дапо и отношение Рис. 53. конуса ЛНГ к конусу АВГ, а следо- следовательно, и отношение прямой HZ к ZB. Но HZ относится к ZB, как имеете нзнтые ЕД. AZ к AZ; зпачит, будет данным и отношение вместе взятых ЕД, AZ к AZ, Га также и отношение ЕД к AZ; следовательно, будет дана и AZ], а также и АГ. И так как пместе пзятые ЕД, AZ имеют к AZ отношение большее, чем вместе взятые ЕД, ДВ к ДВ, Eu+uZ ЕД1ДВ ¦ > &Z ^ ДП и вместе взятые ЕД, ДВ равны утро- утроенной ЕД, а ВД ранпа удвоенной ЕД, то, значит, вместе взятые ЕД, AZ имеют к AZ отношение большее, чем три it двум. И отношение вместе взя- взятых ЕД, AZ к AZ ранпо заданному; значит, при выполнении синтеза заданное, отношение должно быть больше, чем три к двум. Синтез проблемы произво- производится так. Пусть будет дан шар с большим кругом АВГД, диаметром ВД и центром К {рис. 54], и пусть заданное отношение, равное отношению прямых 0К к КЛ, будет больше, чем три к двум. Но- отношение трех к двум представляет отношение вместе взятых пря- прямых ЕД, ДВ к ДВ; ЕА4-АВ
160 АРХИМЕД значит, 6К будет иметь к КЛ отношение, большее того, которое вместе взятые ЕД, ДВ имеют к АВ; вК ^ ЕЛ+ДВ кл L лк лк дв значит, после «выделения»*) 6Л будет иметь к ЛК большее отношение, чем ЕА к АВ. K&+AZ &Z" ' ДВ Сделаем, чтобы отношение 6Л к ЛК равнялось отношению ЕА к неко- некоторой прямой AZ; = ~\z через полученную точку Z перпендикулярно к. J3A проведем прямую AZr, u через эту прямую ЛГ перпендикулярно к ВЛ проведем плос- плоскость. Я утверждаю, что сферический сегмент АВГ имеет к конусу АВГ то же отношение, что GK к КЛ. Действительно, сделаем, чтобм отношение вместе взятых ЕД, AZ к AZ равнялось отпошению некоторой прямой HZ к ZB; HZ . - ~ZB~ тогда конус ГАН будет равен сферическому сегменту АВГ. И так как 6К относится к КЛ, как вместе взятые ЕА, AZ к AZ, или как HZkZB, то есть как конус АН Г к конусу АПГ, и конус АН Г равен сферическо- сферическому сегменту АВГ, то, значит, как сегмент ЛВГ к конусу ЛВГ, так будет и ВК к КЛ. VIII Дели шар рассечен плоскостью, не проходящей через центр, то боль- больший сегмент имеет- к меньшему отношение, которое будет .меньше двойного, но больше полуторного отношения поверхности большего сегмента к поверхности меньшего [3]. Пусть будет шар и в нем большой круг АВГЛ с диаметром ВД {рис. 55]; рассечем его плоскостью, проходящей через АГ и перпен- перпендикулярной к кругу АВГА; пусть больший сегмент шара будет АВГ. Рис. 55. Я утверждаю, что сегмент АВГ имеет к АД Г отношение, меньшее двой- двойного, но большое полуторного отношения поверхности большего сег- сегмента к поверхности меньшего сегмента. •> <ек-кл>: лк > Ел: ли.
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 161 Действительно, пронедем соединяющие прямые I3A и АД; пусть центр шара будет Е; сделаем, чтобы отношение вместе взятых ЕД, AZ к AZ равнялось отношению некоторой прямой ©Z к ZB, Ea+az ez az ~ zb а отношение вместе взятых ЕВ, BZ к BZ равнялось отношению некото- некоторой прямой HZ к ZA, KB+BZ HZ BZ ZA и вообразим конусы, имеющие основанием круг на диаметре АГ, а вер- вершины в точках G и Н; тогда конус AGF будет равен сферическому сег- сегменту АВГ, а конус АГН — сегменту АДГ, и поверхность сегмента АВГ к поверхности сегмента АДГ будет относиться, как (квадрат) на В А к (квадрату) па АД; это уже было написано выше. [Требуется доказать, что больший сферический сегмент имеет к меньшему отно- отношение, меньшее двойного отношения поверхности большего сегмента к поверхности меньшего сегмента.] Я утверждаю, что отношение кону- конуса А6Г к конусу АН Г, или прямой Z© к прямой ZH, будет меньше двойного отношения (квадрата) на В А к (квадрату) на АД, то есть отношения прямой BZ к прямой ZA. Так как отношение вместе взятых ЕЛ, AZ к AZ равно отношению 0Z к ZB, KA-4-AZ 8Z AZ 7М [и отношение вместе взятых ЕВ, BZ к BZ равно отношению ZH к ZA], то BZ будет к ZA, как 0В к BE, BZ 855 6Z—BZ ©В ел be ибо BE равна ДЕ; [все это уже было доказано раньше]. Далее, поскольку отношение вместе взятых ЕВ, BZ к BZ равно отношению IIZ к ZA, EB+BZ _ НZ BZ Za~ то пусть прямая ВК будет равна BE (ясно, что 6В будет больше BE, так как BZ больше ZA); тогда получится, что как KZ к ZB, так и IIZ к ZA. KZ _ 'HZ "zl~ ~~ ~гд~ Но как ZB к ZA, так, согласно доказанному, будет и 6В к BE, ZB _ вВ ?л ш и BE равна КБ; значит, как ©Г5 к ВК, так и KZ к ZH. 0В_ _ K/L ВК ZII И так кап 6Z имеет к ZK отношение меньшее, чем GB к ВК, «z _, ев Yk~" "вкГ а как GB к ВК, так по доказанному и KZ к ZH, то, значит, GZ имеет к ZK отношение меньшее, чем KZ к ZII; fr)Z _KZ_ ' .' '....-•. .:..:. гк" * 7м ' ..:;¦¦.'¦¦ 11 Лрхиысд
162 АРХИМЕД значит (прямоугольник) между 0Z, ZH меньше (квадрата) на ZK. : ZK* Следовательно, (прямоугольник) между 0Z, ZII к (квадрату) па ZH, [то есть Z0 к ZII], имеет отношение меньшее того, какое (квадрат) на KZ имеет к {квадрату} на ZII. HZ-ZH [Но (квадрат) на KZ к (квадрату) на ZH имеет (отношение, равное) двойному отношению KZ к ZH]; значит, 6Z имеет к ZIT отно- отношение, меньшее двойного отношения KZ к ZH. [По KZ к Z1I (будет, как BZ к ZA; значит, 6Z к ZTI) имеет отноше- отношение, меньшее двойного отношения BZ к ZA], а это мы и искали. И так как BE равна ЕД, то (прямоугольник) между BZ, ZA меньше (прямоугольника) между BE, ЕД*), BZZA < BE-ЕЛ значит, ZB имеет к BE отношение меньшее, чем ЕД к А7,, или 6В к BZ; хв „ be ZB2 ЕД вВ дг ~~ bz значит, (квадрат) на ZB будет меньше (прямоугольника) между ВВ, BE или (прямоугольника) между 0В, ВК. Пусть (прямоугольник) между 6В, ВК будет ранен (квадрату) на некоторой прямой BN; WII - ПК -JJN* тогда как 6В к ВК, так будет и (квадрат) на OJN к (кпадрату) на NK**)'. ав _er*L Яо (квадрат) на 6Z к (квадрату) на ZK имеет больше? отношение, чем (квадрат) на BN к (квадрату) на NK, Zli кк*" [и, значит, (квадрат) па ©Z к (квадрату) на ZK. шшкт отношение большее, чем ©В к ВК, или GB к BE, или же KZ к ZH]; .чпачит, 6Z имеет к ZH отношение, большее полуторного отношения KZ к ZII; и I ZH / |:>то (будет доказано) под конец] [4]. Но отношение BZ к ZH равно отношению конуса АВГ к конусу АИ Г, или сегмента АВГ к сегменту АДГ, отношение же KZ к ZTI равно отношению BZ к ZA, или (квад- (квадрата) на ВА к (квадрату) на ЛД, или поверхности сегмента АВГ к нешерхности сегмента АДГ. Итак, больший сегмент имеет к меньшему отношение, меньшее двойного, но большее полуторного отношения поверхности большего сегмента к поверхности меньшего. *) Геометрическиято равносильно тому, что при рлипых периметрах шшщвдь киадрата' Судет дольше площади соответстиующего прямоугольника. ••> BN : ВК=вВ : BN—@B+BN) : (BN+ 11К)=6М : .VK-
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ ¦ ¦ Иным способом Пусть будет шар с большим кругом АВГЛ, диаметром АГ и цент- центром Е; рассечем его проходящей через БД плоскостью, перпендикуляр- перпендикулярной к АГ {рис- 56]. Й утверждаю, что больший сегмент ДАВ к мень- меньшему В ГА имеет отноше- отношение, меньшее двойного, но большее полуторного от- отношения поверхности сег- сегмента АВД к поверхно- поверхности сегмента ВГД. Проводим соединяю- соединяющие прямые АВ и В Г; тогда отношение одной поверхности к другой бу- будет таким же, как отноше- отношение круга с радиусом АВ к кругу с радиусом В Г, или отношение примой А6 к О Г. Положим, что каждая из прямых AZ и ГН будет равна радиусу круга. Тогда отно- птеттие сегмента ВЛД к сегменту ВГД составляется из того отношения, которое сегмент ВАЛ имеет к коггусу с основанием, равпьш кругу на диаметре ВД и с вершиной и точке А, затем из того, которое этот конус имеет к конусу с тем же основанием и с вершиной и точке Г и, наконец, из того, которое только что упомянутый конус имеет к сегменту ВГД. сегмент ВАЛ сегмент ВАЛ минус ВЛД кпнуг ВГД Рис. 56. e-егмеит ВГД сегмент ВГД конус ВАЛ конус В ГА Но отношение сегмента ВАЛ к конусу ВАЛ есть отношение Нв к ВГ, сегмент ВАЛ Нв конус ВАЛ "= "Sf" отношение конуса ВАД к конусу ВГД ость отношение Л в к в Г, • кину с ВАЛ АО ©Г кии ус ВГД и отношение конуса ВГЛ к сегменту ВГД есть отношение АВ к 6Z, конус ВГД сегмент НГЛ" Ав отношение же, составленное из (отношений) Нв к вГ и Ав к вГ, будет отношением (прямоугольника) между Нв, в А к (квадрату) на 6 Г, НИ Afi . ©Г »Г" отношение же (прямоугольника) между IT0, ОА к (квадрату) на вГ, составленное с отношением Ав к 0Z, будет отношением (прямо- (прямоугольника) между Нв, 6Л, (умноженного) на 0А, к (квадрату) па в Г, (умноженному) на 9Z, не-ел лв ег* ez «r« • ez а (прямоугольник) между ПВ, 0А, (умноженный) на вЛ, пред- представляет (квадрат) на вА, (умноженный) на 0П. Таким образом, (нужно доказать, что) квадрат на 6А, (умноженный) на 011, имеет
164 АРХИМЕД к (квадрату) на 6Г, (умноженному) па ©Z, отношение, меньшее двойного отношения А© к ©Г, [ибо двойное отношение А© к ВГ есть отношение (квадрата) на А© к (квадрату) на ©Г]. Следовательно, (квадрат) на А©, (умножен- (умноженный) на ©Н, к (квадрату) на ©Г, (умноженному) на ©Z, (дол- (должен) иметь отношение, меньшее, чем (квадрат) на А0, (умно- (умноженный) на ©II, к (квадрату) на ©Г, (умноженному) на 0Н. вга-ez - Итак, (нужно доказать), что (квадрат) на ©Г, (умноженный) на Z©, больше (квадрата) на ©Г, (умноженного) на ©II, иди что ©Z больше 0Н; (последнее же очевидно). Теперь я утверждаю, что больший сегмент имеет к меньшему отно- отношение, большее полуторного отношения поверхностей. По доказанному, отношение сегментов равно отношению (квад- (квадрата) на Л0, (умноженного) на ©Н, к (квадрату) на Г0, (умноженному) на ©Z, а полуторное отношение поверхностей равно отношению куба на АВ к кубу на ВГ; итак, и утверждаю, что (квад- (квадрат) па А©, (умноженпый) па ©II, к (квадрату) на Г©, (умно- (умноженному) на ©Z, имеет отношение болыпео, чем [куб па АВ к кубу на ВГ, или чем] куб ла А© к кубу на ©В *), или чем отношение, составленное из отношения (квадрата) на А© к (квадрату) на В©, и отношения А© к ©В. Но отношение (квадратов) па А© к ©В, взятое с отношением А© к ©В, равно отношению (квадрата) на А© к (прямоугольнику) между Г© и 0В**); А6" Ав АвД ева" ев"~ re ев отношение же (квадрата) на А© к (прямоугольнику) между В©, ©Г равно отношению (квадрата) на А©, умноженного на ©Н, к (прямоугольнику) между 150, ©Г, (умноженному) па ©Н; А62 Ав2-«К' ввег вв-ег-wii я утверждаю, следовательно, что (квадрат) па А©, (умноженный) на ©Н, имеет к (квадрату) на Г©, (умноженному) на 0Z, отно- отношение большее, чем [(квадрат) па А© к (прямоугольнику) между В©, ©Г или] чем (квадрат) пц А©, (умноженный) на ©Н, к (пря- (прямоугольнику) между В0, ©Г, (умноженному) на ©Н. Авз-йн AR2-BH е-вг-ен Значит, нужно доказать, что (квадрат) на ©Г, умноженный ла ©Z, будет меньше (прямоугольника) между В©, ©Г, (умножен- (умноженного) на II©, r«2.ez < вв-вг- не а это то же самое, что доказать, что (квадрат) на Г© имеет к (прямо- *) Это следует и» подобия треугольников А11Г и АВ©. **) Так как вВ«=А8.8Г.
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 165 угольнику) между Вв, в Г отношение меньшее, чем IIв к 0Z Г62 ^ НО во-ег ^ «z [иными словами, нужно доказать, что 110 имеет к 0Z отношение большее, чем Г в к ©В]. Из Е перпендикулярно к ЕГ проведем прямую ЕК и из точки В опустим на нее перпспдикуляр ВА. Нам остается доказать, что 110 имеет к 0Z отношение большее, чем Г6 к ЭВ. не . _ги Но 0Z равна имеете взятым Л0 и КЕ; значит, нужно доказать, что Нв к вместе взятым 6А и КЕ имеет отношение, большее, чем Г0 к 6В; АИ+КК -* вВ если из 6Н отнять Г0, а из КЕ прямую ЕЛ, равную В©, то остается доказать, что полученные остатки ГП и вместе взятые АВ и КЛ имеют друг к другу отношение большее, чем ГЭ к 6В, или ©В к 6А, или же ЛЕ к ЬА, ГН _ _ГИ_ _ t-'B _ ЛЕ л«+кл'* нв ~ на ~" и а или после перестановки, что (ГН, или) КЕ имеет к ЕЛ отношение большее, чем вместе взятые КЛ, ©А к ©А, J9L > кл+на ЕЛ оА или же, поело выделения, что КЛ имеет к ЛЕ отношение большее, чем КЛ к ©А. (Следовательно, остается доказать, что) ЛЕ меньше ©А; (это же очевидно) [4J. IX Из всех сферических сегментов, ограниченных равными поверхностя- поверхностями, наибольшим будет полушарие. Пусть будет шар с большим кругом АВГЛ и диаметром ЛГ, и дру- другой шар с большим кругом EZH0 и диаметром EII. Рассечем один шар плоскостью через центр, а другой — не через центр- пусть секущие пло- плоскости будут перпендикулярны к диаметрам АГ, ЕН и дадут сечения по линиям АВ и Z0; тогда соответствующий дуге ZE0 сферический сег- сегмент будет полушарием, [из сегментов же, соответствующих дуге ВАЛ (рассматриваемый может быть) па одном чертеже меньше полу- полушария, а па другом, обозначенном звездочкой, больше полушария], пусть поверхности упомянутых сегментов будут равны. Я утверждаю, что полушарие, соответстпующое дуге ZE0, Судет больше сегмента, соответствующего дуге ВАА {рис. 57;. Так как поверхности упомянутых сегментов раины, то ясно, что ВА равна прямой EZ, [ибо доказано, что поверхность всякого сегмента равна кругу, радиус которого равняется прямой, проведанной из вершины' сегмента к окружности круга, составляющего основание сегмента. Поскольку на чертеже со звездочкой дуга ВАЛ болыпеполуокружности], то ясно, что квадрат на ВА будет меньше удвоенного квадрата на АК,
166 АРХИМКД но больше удвоенного квадрата на радиусе *). Пусть (квадрат) на ВА будет вдвое больше квадрата на АР; ГВ ГК •'•" АК пусть прямая ГЗ равна радиусу круга АВЛ, и отношение ГЗ к ГК равняется отношепию некоторой прямой МА к АК, МА и пусть на круге с диаметром ВД будет построен конус, имеющий вер- вершину в точке М; тогда этот конус будет равен сферическому сегменту, соответствующему дуге ВАЛ. Пусть также EN будет равна ЕА, я на Рис. 57. круге с диаметром BZ построен конус, имеющий перпшну в точке N; тогда а этот конус будет равен полушарию, соответствующему дуге 6KZ. Но прямоугольлмк между АР, РГ более прямоугольника между АК, КГ, АР-РГ>АК-КГ ибо его меньшая сторона больше меньшей стороны другого прямоуголь- прямоугольника**), и (квадрат) на АР равен прямоугольнику между АК., ГЗ; АР2=АК-ГЕ действительно, он составляет половику (квадрата) на АВ ***). *) Обозначим радиус круга через г, тогда ВА*=ЛК- АГ=2г- ак. Если г<АК<2г, то 2гИ<ВА2< 2 А К*. Ксли бы дуга ВАД была меньше окружности, то АК<г 2г2 > ВА« > 2АК2- Отсюда иидио. что в первоначальном тексте Архимед брал только один чертеж, именно тот, который позднейший комментатор обозначал звездочкой. *•) Если дуга АВ равна четиерти окружности, то АР равна радиусу г, и АР-РГ—2/2. Если АВ больше четиерти окружности, то АР^-r и, согласпо рапсе сказанному, меньше АК; следова- следовательно, меньшими сторонами в обоих ирлмоугольпикях будут Рг и КГ- причем ГГ5КГ- Так как АРН-РГ^АК+КГ, и из двух прямоугольников с равными периметрами больше будет тот, который О люкс подходит к квадрату, то АР>РГ>АК-КГ. Ксли же дуга АВ меньтпе четверти окружности, то АР-^r и АК<ТК: следовательно, меньшими сто- сторонами в обоих прямоугольниках будут лр и АК. Так как теперь АР будет больше АК (из ранен- ства 2AP»-=BAV2AK2). го опять АР-РГ>ЛК-КГ. •••) Имеем ЛИС=АК-АГ=АК-2ГН.
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ . 167 Теперь вместе взятые (левые части) будут больше вместе взятых (правых); АР-РГ-1- АРг>АК-КГ-|-АКГЗ [значит, (прямоугольник) между ГА, АР больше (прямоугольника) между ЕК, К А]. По (прямоугольник) между SK, КА равняется (прямоугольнику) между МК, КГ *), ЗК-КА = МККГ [так что (прямоугольник) между ГА, АР будет больше (прямоуголь- (прямоугольника) между МК, КГ]; таким образом, ГА будет иметь к КГ отноше- отношение большее, чем МК к АР. га мк кг * ар Но отношение АГ к ГК равно отношению (квадрата) на АВ к (квад- (квадрату) на ВК**); АГ теперь ясно, что половина (квадрата) на АВ, равная квадрату на АР, будет иметь к (квадрату) на ВК отношение большее, чем МК к уд- удвоенной АР, которая ранни AN***); ЛР2 . МК значит, круг па диаметре Z6 к кругу иа диаметре ВД будет иметь отно- inmiHc большее, чем МК к AN. Таким образом, конус, имеющий основа- основанием круг на диаметре ZB, а вершиной точку N, будет больше конуса, имеющего основанием круг на диаметре ВД, а вершиной точку М; теперь ясно, что полушарие, соответствующее дуге EZ0, будет больше сегмента, соответствующего дуге ВАЛ. гн ма ег+гк мл+лк *) Из пропорции yrsr=-7-f— получаем «ирисосдашеттем» —фгг—= гг;— • откуда 2К-АК=МК-КГ. **) Таи как АВ»=ЛК-Лг и ВК'=ЛК-КГ. : •*) Из ряивисти 2ЛР'=ВА2 и ВЛ — EZ (условие равенства поверхностей сегментов) имеем: 2APS=BA!=EZ'=2AES, отсюда ЛГ=ЛЕ и AN=2AP, так Как 1Ш ривна ЕЛ — радиусу круга ЕгвН
1 О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ Архимед Досифею оюелает благоденствия! В этой книге я посылаю тебе запись доказательств остальных пред- предложений, етце не имеющихся у тебя в посланном ранее, а также некото- некоторых других, найденных мпото позднее, к рассмотрению которых я уже часто приступал, но должен был отступить, так как видел некоторые трудности в их исследовании; но этой причине я но издал и свет эти предложения одновременно с другими. Потом уже, занявшись ими более тщательно, я разрешил те трудности, которые задерживали меня ранее. Это были оставшиеся от прежних теоремы, касавшиеся прямоугольного коноида *); к ним я добавил теперь найденные позже теоремы относи- относительно тупоугольного коноида **) и сфероидальных фигур, из которых одни я называю удлипеппыми, другие же сплющенными***). Предложения, касавшиеся прямоугольного коноида, были таковы: Если какое-нибудь сечение прямоугольного конуса ****), вращаясь около неподвижного своего диаметра *****), норлстся в исходное поло- положение, то фигуру, описанную при этом сечением прямоугольного ко- конуса, мы будем называть прямоугольным коноидом, диаметр, оста- остававшийся неподвижным—его осью, а точку, в которой ось коноида доходит до его поверхности,—вершипой коноида. Если какая-нибудь плоскость касается прямоугольного коноида, то всякая другая плоскость, проведенная параллельно касательной, отсечет от коноида некоторый сегмент; основанием отсеченного сегмента мм будем называть часть секущей плоскости, ограниченную линией пере- пересечения с коноидом, вершиной — ту точку, в которой первая плоскость касается коноида, а осью — заключенную в сегменте часть прямой, пронедеппой через вершину этого сегмента параллельно оси коноида. Для рассмотрения было предложено доказать следующее. Если от прямоугольного коноида отсечь сегмент плоскостью, пер- перпендикулярной к его оси, то отсеченный сегмент будет в полтора раза больше конуса, имеющего с этим сегментом те же самые основание и ось. *) То есть параболоида вращения. **) Гилероолонд иращения (диучолмй). вернее, одна его полость. ***) Эллипсоиды иращения иокруг большой и малой осей. ****) Парабола. *****) Ось параболы.
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 169 Также если от прямоугольного коноида отсочь два сегмолта прове- проведенными произвольно плоскостями, то отсеченные сегменты будут иметь друг к другу отношение, равное двойному *) отношению их осей. Относительно же тупоугольного коноида мы предлагаем следующее. Если в плоскости имеются сечение тупоугольного копуса**), его диаметр***) и ближайшие к сечению тупоугольного копуса пря- прямые****), и если около удерживаемого неподвижным диаметра вращать ту плоскость, в которой .находятся упомянутые линии, то после ее воз- возвращения в исходное наложение ближайшие к сечению тупоугольного конуса прямые, очевидно, опишут раннобедренный конус, вершиной которого будет точка пересечения ближайших прямых, а осью — оста- остававшийся неподпижпым диаметр. Фигуру, описанную сечением тупо- тупоугольного конуса, будем назылать тупоугольным коноидом-, нелодвиж- ный диаметр — его есью, а точку, в которой эта ось доходит до поверх- поверхности коноида,— его вершиной. Конус, описанный ближайшими к сечению тупоугольного копуса прямыми, мы назонем объемлющим коноид *****I а прямую, заключенную между вершинами коноида и объемлющего коноид копуса, назонем дополняющей ось******). Если какая-нибудь плоскость касается тупоугольного коноида и другая плоскость, проведенная параллельно касательной, отсечет некоторый сегмент коноида, то основанием, отсеченного сегмента мы будем называть часть секущей плоскости, ограниченную линией пере- сечепия с коноидом, вершиной — ту точку, в которой касательная плоскость касается коноида, а осью — заключенную ч сегменте часть прямой, проведенной через вершины сегмента и конуса, объемлющего коноид, часть же этой прямой между упомянутыми вершинами будем называть дополняющей ссъ. Бес прямоугольные коноиды будут подобными друг дру- Гу **2**22^. из тупоугольных же коноидои будем называть подобными те, у которых подобны конусы, объемлющие коноид ********). Для рассмотрения и доказательства предлагается следующее: Если от тупоугольного ксноида отсечь сегмент плоскостью, перпен- перпендикулярной к его оси, то отсеченный сегмент к кспусу с теми же осно- основанием и осью, что и у сегмента, будет находиться в том же отношении, какоо вместе взятые ось этого сегмента и утроенная прямая, дополняю- дополняющая ось, имеют к оси сегмента и удвоенной прямой, дополняющей ось. Также если от тупоугольного коноида отсечь сегмент плоскостью не перпендикулярной к оси, то отсеченный сегмент к фигуре, имеющей с сегментом то же основание и ту же ось (эта фигура будет коническим сегментом), будет находиться в том же отношении, какое вместе взятые ось этого сегмента и утроенная прямая, дополняющая ось, имеют ко вме- вместе взятым оси сегмента и удвоенной прямой, дополняющей ось. Относительно же сфероидальных фигур мы предлагаем следующее. Если сечение остроугольного конуса (эллипс), пращаясь около удерживаемо 1-о неподвижным наибольшего диаметра, вернется в исход- исходное положение, то описанную фигуру назовем удлиненным сфероидом. *) То есть возведенному во вторую степень. **) Гипербола; ведшее, одна ее истоь. ***) Ось гиперболы. ****) Асимптоты гиперболы. Этот термин (буквально: несовпадающие) был введен уже после Архимеда Аполлонием Пергским. *•*••) Асимптотический кпнус. ••*«**) Яго Вуцет дейстпитслышп полуось гиперболы. ••*•**•) Все пацаболы подобии. См. Аполлоний. Конические сечения, книга "VI, II. ****) Согласно Евклиду («Начала», книга XI, определение 24), подобными конусами навываготся те, у которых пропорциональны оси и диаметры оснований.
J70 АРХИМЕД Если же эллипс вращается около удерживаемого неподвижным наименьшего диаметра (малой оси), то фигуру, описанную после возвращения п исходное положение, назовем сплющенным сфероидом. Осью каждого из сфероидов назовем удерживаемый неподвижным диа- диаметр (ось эллипса), вершиной — точку, в которой ось доходит до поверхности сфероида, центром — середину оси и диаметром — про- проведенную через центр перпендикулярно к оси прямую. Если параллельные плоскости касаются какого-нибудь из сферои- сфероидов, не пересекая его, и параллельно касательным плоскостям проведена другая плоскость, рассекающая сфероид, то основанием обоих образован- образованных таким образом сегментов назовем часть секущей плоскости, содер- содержащуюся внутри кривой сечения со сфероидом, их вершинами — точки, в которых параллельные плоскости касаются сфероида, и осями — за- заключенные внутри сегмептоп части прямой, соединяющей их вершины. Л что касательные плоскости имеют с поверхностью сфероида лишь одну общую точку, и что соединяющая точки касания прямая лроходит через центр сфероида, это мы еще докажем. Подобными мы назовем такие сфероиды, оси которых находятся в том же отпошепии, что и диаметры. Сегменты же сфероидов и коноидов мы назовем подобными, если они отсекаются от подобных фигур, имеют подобные основания, а оси их, которые или перпендикулярны к пло- плоскостям оснований, или образуют равные углы с соответствующими диа- диаметрами оснований, находятся в том же отношении, что и соответствую- соответствующие оси диаметры оснований. Относительно сфероидов предлагается рассмотреть и доказать сле- следующее. Если рассечь какой-нибудь сфероид плоскостью, проходящей через центр и перпендикулярной к его оси, то каждый из получающихся сегментов будет в два раза больше конуса с теми же основанием и осью, что и у сегмента. Если же секущая плоскость перпендикулярна к оси, но не проходит через цет?тр, то наибольший из полученных сегментов будет относиться к конусу с теми же оспонапием и осью, как вместе взя- тыо половина оси сфероида и ось меньшего сегмента относятся к оси мень- меньшего сегмента, а меньший сегмент будет относиться к конусу с теми же основанием и осью, что и у сегмента, как вместе взятые молонина оси сфероида и ось большего сегмента относятся к оси большего сегмента. Если какой-нибудь из сфероидов рассечен плоскостью, проходящей через центр, но не пернендикулярпой к оси, то каждый из получившихся сеглгептои будет в два раза больше фигуры с теми же основанием и осью, что и у сегмента (это будет конический сегмент). Если же сфероид рассечен плоскостью, не проходящей через центр и не перпендикулярной к оси, то наибольший из полученных сегментов будет относиться к фигуре с теми же основанием и осью, что и сегмент, как вместе взятые половина прямой, соединяющей вершины сегментов, и ось меньшего сегмента относятся к оси меньшего сегмента, а меньший сегмент к фигуре с теми же основанием и осью будет относиться, как вместе взятые полоиина соединяющей вершины обоих сегментов пря- прямой и ось большего сегмента относятся к оси большего сегмента. (Полу- (Получаемая фигура и в атик случаях будет коническим сегментом.) Бели упомянутые предложения доказаны, то при их помощи можно пайти и много других теорем и задач, как, например: подобные сфероиды и сегменты сфероидов и коноидов находятся друг с другом в тройном *) отношении их осей; •) То есть воеведенном о третью степень.
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 171 у ранпых сфероидов квадраты диаметров обратно пропорциональ- пропорциональны осям, и если у двух сфероидон квадраты диаметров обратно пропор- пропорциональны осям, то эти сфероиды равны; а также задачи, как, например: от данного сфероида или коноида отсечь сегмент плоскостью, прове- проведенной параллельно заданной, так, чтобы отсеченный сегмент был равен данному конусу, цилиндру или шару*). Предварительно я налишу все необходимые для доказательств теоремы и указания, а затем перейду и к объяснению предложений. Будь счастлив! Определения Если рассечь когтус плоскостью, встречающейся со всеми его сто- сторонами (образующими), то сечение будет или кругом, или эллипсом. Если сеченио — круг, то ясно, что часть, отнятая с той стороны, где находится вершина конуса, будет и сама конусом. Если же в сечении получается эллипс, то часть, отпятую от конуса с той стороны, где па- . ходится вершина конуса, будем называть коническим сегментом. Основанием сегмента будем называть часть плоскости, ограниченную эллипсом, вершиной — ту точку, которая будет и вершиной конуса, а осью — прямую, соединяющую вершину конуса с центром эллипса. И если цилиндр рассечь двумя параллельными плоскостями, лстре- чающими все стороны (образующие) цилиндра, то сечения будут или кругами, или же равными и подобпыми аллипсами. Если сечения будут кругами, то ясно, что отсеченная параллельными плоскостями часть цилиндра тоже будет цилиндром. Если же сечения будут эллипсами, то часть цшищдра между параллельными плоскостями назопем цилиндри- цилиндрическим сегментом. Основаниями сегмента пазовем части плоскостей, ограниченные эллипсами, а осью — прямую, соединяющую центры эллипсов; эта ось будет находиться па одной прямой с осью цилиндра. (Л е м м а.) Если имеется любое число величин, одинаково превы- превышающих одна другую {составляющих арифметическую прогрессию), причем разность равна наименьшей из этих величин {первому члену), а также одинаковое количество других величин, каждая из которых равна наибольшей из первых величин, то все величины, равные наиболь- наибольшей, взятые вместе, будут меньше удвоенных всех величин, одинаково пре- превышающих одна другую, но больше удвоенных этих величин, оставшихся после исключения наибольшей. Доказательство этого очевидно**). I Если имеется любое количество некоторых величин и равное количе- количество других величин, причем одинаково расположенные (величины обоих - рядов) имеют попарно одно и то же отношение, и если первые величины все, или только некоторые из них, находятся в каких-нибудь отношениях *) Архимодопы доказательства этих теорем и задач или ыс сохранились, или, может быть, даже не были опубликованы. *•) В нашем обозначении 2[а+2а+.. . +(п-1)а}<п.па<2{а+2а+ . . . или п(п—
172 АРХИМЕД А В с третьими величинами, а соответствующие величины второго ряда находятся в тех оке самых отношениях с величинами четвертого ряда, то все первые величины ко всем соответствующим им величинам (треть- (третьего ряда) будут иметь то же самое отношение, как все величины второго ряда ко всем соответствующим им величинам (четвертого ряда) [1]. Пусть имеются некоторые величины: А, В, Г, А, Е, Z и равное коли- количество других величин Н, 0, I, К, Л, М, имеющих с ними попарно одно и то же отношение, и пусть А имеет к В то же самое отношение, как Нк0, m а В к Г (то же самое), как в к I и точно так же и все остальные; д_ Е Е Z ~ к 25. Л Л il пусть также величины А, В, Г, Д, Е, Z находятся в'каких-нибудь отно- отношениях с (третьими) величинами N, Е, О, ГТ, Р, I, а величины IT, в, I, К, Л, М паходятся в тех же самых отношениях с соответствующими леличинами (четвертого ряда) Т, Г, Ф, X, V, Й, и пусть то отношение, которое А имеет к N, будет тем же самым, которое Н имеет к Т, А "IT Е 11^ Т а отношение, которое В имеет к S, будет тем же самим, которое имеет к Г; г и точно так же и все остальные {рис. 1}. Требуется доказать, что все А, В, Г, А, Е, Z вместе взятые ко всем N, S, О, П, Р, 2 будут иметь то же h А В Г А Е Z И в I К Л М N 3 О П Р L Т Г Ф X V Я Рис. 1. самое отношение, как все вместе взятые Н, в, I, К, Л, М ко леем Т, Г, Ф, X, Т, О. Поскольку N имеет к Л то же самое отношение, как Т к Н, А ~ Ы а А к В то же отношение, как Н к в, А Н "в =-в-
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 173 и В к Е то же, как О к Г, Т= г" то N будет иметь к S то же самое отношение, как Т к Г; вследствие того же, как S к О, так будет и ГкФ о ~ ф и точно так жо и все остальные. о ф п~ ~~х~ п__ х_ р ^ Тогда все А, В, Г, Д, Е, Z имеют к А то же самое отношение, как все Н, 6, I, К, Л, М к Н, А Н а А имеет к N то же отпштение, как Н к Т, A- JL N ~ Т и N ко всем N, S, О, 11. Р. 2 имеет то же самое отношение, как Т ко всем Т, Г, Ф, X, Y, U; N Т N + S4-O -г И-г V ¦+¦ Z ~ Т + Г-1- Ф+ X + ЧГ+ Q теперь ясно, что нее А, Л, Г, Л, Е, Z ко всем N, Е, О, П, Р, 2 будут иметь то же самое отношение, как лее 17, ©,1, К, Л, М ко леем Т, Т, ф, X, А.±_5± r + A+E-[-Z НЧ-e+I+K + A + M ¦ il-J-Ё i-O + il + P-i-2 T + r-J-ii-'-X + 'P'+H Так же ясно, что если из величин А, В, Г, Д, Е, Z выбрать А, В, Г, *А, Е, имеющие отношения к N, Е, О, И, Р, причем Z не будот иметь отно- отношения ни к одной леличипе, а из величии TI, Э, 1, К, Л, М, выбрать Н, 0, I, К, Л, имеющие соответственно те же самые отношения к Т, Т, Ф, X, х?, причем М не будет иметь отношении пи к одной неличине, то точпо так же вес А, В, Г, Д, Е, Z ко всем N, Е, О, П, Р будут иметь то жо самое отношение, как вес И, в, I, К, Л, М ко всем Т, Т, Ф, X, Y. А + В -Ь Г + Л Ч- Е -I- Z _ H + Q--I4-K + N + E-t II ¦ Если имеется некоторое количество равных друг другу линий и к каж- каждой из них с избытком в виде квадрата прикладывается некоторая пло- площадь, причем стороны этпих избыточных {квадратов) будут одинаково превышать одна другую и разность {двух последовательных сторон)
174 АРХИМЕД будет равняться наименьшей из них*), и если имеются другие пло- площади, количество которых равняется количеству первых, а величина каждой равняется наибольшей из первых, то эти площади ню сеем (взя- (взятым вместе первым) будут иметь отношение, меньшее того, которое (прямая), равная вместе взятым стороне наибольшего избыточного (квадрата) и одной из (первоначально данных) равных друг другу прямых, имеет к (прямой), равной вместе взятым третьей части сто- стороны наибольшего избыточного (квадрата,) и половине одной из рав- равных друг другу прямых, а если (из первых площадей) исключить наи- наибольшую, то к оставшимся эти (вторые) площади будут иметь отно- отношение, большее упомянутого**). Пусть имеется некоторое количество равных друг другу прямых, на которых гтоит А {рис. 2}, п к каждой из них с избытком и ииде А I Л Л Л D 1 и 1 н \ Л / в Л к 1 в Л к. 1 в к 1 в Рис. 2. квадрата прикладывается площадь, пусть стороны В, Г, Д, Е, Z, Н этих избытков одинаково превышагот одна другую, и пусть разность их равна наименьшей; пусть наибольшая будет В, а наименьшая — Н; пусть также имеются и другие площади, на каждой из которых стоят 0, Т, К, Л, причем количество этих площадей равняется количеству первых, а величина каждой равняется наибольшей, (а именно) той, которая приложена к линии A I В; пусть прямая в вместе с I будет рав- равна А, а К вместе с Л равна В, и каждая из линий О имеете с I будет вдвое больше I, а каждая из К вместе с Л втрое бол пню К. Требуется доказать, что псе площади, которые обозначены (буквами) в, I, К, Л. ко псем *) Архимед пользуется терминологией так назыиаемого «приложения площадей». «Приложить яаданную площадь S к некоторой прямой о», значит на отрезке а построить лрнмоугольпик, пло- площадь которого jkiuiki S; лдегая сторона втого прямоугольника х определится на урикиспнн ax~S. «Приложение с мвиытиом в вида квадрата». с нашей точки s[«iniii. рашгогилыт рмпгиию княярат- пого уравнения ах x* — S. **) Лрхпмсд отринт площади UX+.V*. п-2х\ BлJ, ..., л-пл'г(пхK и утверждает, что „ п {«¦ nx-'r(<uK1 „ ше-'г« (n.v-r.vz)i-("-2x ! 4jc*)-i-. . -| -(в-лх !-п2.т2) ' w a ' ~ ' 2 п {а-пх)+(пхJ\ c-v-i • | и— 1)*—(n— I itx|a "nxa
О КОНОИДАХ И СФКРОИДЛХ 175 другим площадям АТС, ЛГ, ЛД, АЕ, AZ, АН будут иметь отношение, меньшее того, которое прямая 0+1+К+Л имеет к прямой Ц-К, а к площадям, оставшимся после исключения наибольшей АВ, будут иметь отношение, большее упомянутого. Пусть имеются некоторые площади, обозначенные (буквой) А, одинаково превышающие одна другую, причем разность равняется наи- наименьшей (из этих площадей), [ибо и лрикладынаемые площади и мх ширины одипакоио превышают одна другую]*), а также другие пло- площади, обозначенные G, I, количество которых равняется количеству первых, а величина каждой равняется наибольшей; тогда лее площади 0,1, взятые вместе, будут меньше удвоенных всех площадей А, но боль- больше удвоенных всех таких площадей, оставшихся после исключения наи- наибольшей **)- Эти площади, обозначенное 1, меньше всех илощадей А, но больше всех их за исключением наибольшей***). Далее, имеются некоторые линии 13, Г, Л, Е, Z, Н, одииаконо превышающие одна дру- другую, причем разность равна наименьшей (из иих), и другие линии, обозначенные К, Л, по количеству равные этим, а по величине равные каждая наибольшей (из них); тогда квадраты на всех прямых, рав- ni.rx друг другу и наибольшей, будут менее утроенных квадратов на прямых, одинаково превышающих одна другую, но более утростшх квадратов па этих прямых, если исключить квадрат на наибольшей; ато доказано в уже изданной книге о спиралях****). Таким образом, все площади, обозначенные К, будут меньше всех нлощадей В, Г, Д, Е, Z, Н, но больше илощадей Г, Д, Е, Z, Н*****); так что псе площади, обозначенные I, К, будут меньше всех площадей, обозначенных АВ, АГ, АЛ, АЕ, AZ, АН, но больше площадей ЛГ, АД, АЕ, AZ, АН******). Теперь ясно, что все площади 0, I, К, Л ко всем площадям АВ, АГ, АД, АЕ, AZ, АН имеют отношение, мспьптее того, которое прямая 6Л имеет к ТК, ко всем же таким площадям, кроме АВ, имеют отношение, большее упомянутого [1]. *) Гейбсрг устраннет фразу, постапленную в скобках, на основании языковых данных. Под «прикладываемой площадью» (ла<гсф?.т1ца)следует подразумевать приложенную к прямой А площадь прямоугольника, обозначенного буквой А. **) На основании лемми, стонщей перед первым предложением, мы можем написать: 2 { Ах + А.2х+ ... + Ап*} >п (А-тмс) > 2 {АЖ+А.2.Т+ . . . у A (n-I).v} , где -г, как и вмше, обозначает сторону наименьшего ттз избыточных квадратов, а A=e + J шио, как иьтше. ***) Мы имеем 1+2+.. .+«==¦"foj* и 1-; 2+.. .-Ни—))—"("~<) ¦ Архимед хочет ска- n(n+l) n та (п— I) зать, что — ., >п->———- . *•••) В предложении X. В наших обозначениях ото равносильно неравенствам 3 {л=' + B.тJ+. . .+(иа:)г> > *•»**) R наших обозначениях так как площадь к——тг— ¦ ******) Так как прямая I равна половине прямой А, то площадь 1=—-— . Полученные ctji.7 и наших обозначениях запишутсн таи: (axfx2)-(«.2a:-i-4x2)+... i {a(TL-l)x i (n-
176 АРХКМКД АК2 AZa Ill < 1 >. Если прямые, проведенные из одной и той же точки, каса- касаются какого-нибудь конического сечения, и внутри конического сечения проведены другие прямые, параллельные касательным и пересекающие друг друга, то прямоугольники между их *) отрезками находятся между собой в том же отношении, как и квадраты на касательных, причем прямоугольник между отрезками каждой прямой соответствует квадра- квадрату на, касательной, параллельной этой прямой. Это доказано в «Началах теории конических сечений» [2J. < 2>. Если от одной и тойже,параболы каким-либо образом отсечь два сегмента, имеющих одинаковые диаметры, то будут рампы и сами эти сегменты, и вписанные е них треугольники, имеющие те же основа- основания и высоты, что и соответствующие сегменты: диаметром же сегмента я называю прямую, делящую пополам все прямые, проведенные параллель- параллельно основанию этого сегмента. Пусть будет парабола АВГ и от псе отсечены два сегмента АЛЕ и &ВГ; пусть AZ будет диаметр сегмента АДЕ, а ВН — диаметр сег- сегмента 0ВГ, и пусть AZ и ВИ будут равны. Требуется доказать, что бу- будут равны и сегменты АДЕ, 0ВГ и вписанные в них упомянутым обра- образом треугольники {рис. 3}. Пусть сначала прямая в Г, от- отсекающая один из сегментов, будет перпендикулярна к диаметру (о с и) параболы. Возьмем щмшую, на которой квадрируются абсциссы пара- боли, вдвое большую (расстояния от вершины параболы) до оси (производящего конуса); пусть ята прямая будет N. Из точки А опустим пернондикуляр АК на AZ. Так как AZ является диаметром сегмента, то прямая ЛЕ делится в точке Z пополам, и AZ будет парал- параллельна диаметру параболы; значит, опа разделит пополам нее прямые, проведенные параллельно АЕ. Пусть отношение кладрата на AZ к квадрату на АК будет равно отношению некоторой примой М к N. Л N Тогда прямые, проведенные параллельно АЕ от кривой до AZ**), квадрируются, если на прямой, равной М, построить прямоугольник, ширина которого будет рапна прилежащему к точке Л отрезку, отсекае- отсекаемому ими от прямой AZ (это доказывается в теории конических сече- сечений) ***), поэтому AZ, кнадрируясь, будет равняться прямоугольнику между М и AZ. -M-AZ Но и вН, квадрируясь, равняется прямоугольнику между N и ВН, -N-BH Рис. 3. *) Прямых, проведенных внутри конического сечения. **) О™ будут ординаты точек параболы в системе координат. оСраяуемой диаметром пара- параболы it касательной в се начале. ***) Речь нлет об ураинении параболы в косоугольных координатах: уг=2р'х, где параметр 2р' и есть наша прямая N.
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 177 так как (Н)Н перпендикулярна к диаметру; значит, поскольку мы пред- предположили AZ и ВН равными, квадрат на AZ к квадрату на ©IT будет иметь отношение, как у М к N. м вн* Но кнадрат на AZ имеет к квадрату па АК то же отпошение, что Мк N; значит, 6Н и ЛК равпы. ен = ак . Также равны и ВТГ с AZ; значит, прямоугольник между 0Н и ВП будет равен прямоугольнику между АК и AZ. «H-im—лк>дг Таким образом, треугольник ©НВ будет равен треугольнику AAZ; значит, будут равны и удвоенные треугольники <Г6В и АЕА). Но сегмент АДЕ составляет четыре трети треугольника АДЕ, а сегмент ©ВГ — четыре трети треугольника ©ВГ. Таким образом, ясно, что будут равны и сегменты и ¦вписанные в них треугольники*). Если ни одна из прямых, отсекающих сегмепты, не будет перпен- перпендикулярна диаметру параболы, то отложим на диаметре параболы пря- прямую, равную диаметру одного сегмента, и через конец отложенной прямой проведем перпендикуляр к диаметру; таким образом, получится сегмент, который будет равеп каж- каждому из данных сегмептов. Теперь предложенное становится очевид- очевидным. IV Всякая площадь, ограниченная эллипсом., имеет к кругу с диаметром, равным большему диаметру эллипса, то же самое отношение, что мень- меньший диаметр эллипса к большему или к диаметру круга. Пусть будет (рис. 4} эллипс АВГД с наибольшим диаметром АГ и наименьшим ВД; пусть още будет круг с диаметром АГ. Требуется доказать, что ограниченная эллипсом площадь имеет к кругу то же самое отношение, что ВД к ГА или к EZ. Пусть отношение ВД к EZ равняется • отношению некоторого круга, обо- обозначенного W, к кругу AETZ. Я ут- • верждаю, что круг W будет рален зшшпеу. Если круг W не ранен площади, ограниченной эллипсом, то пусть сначала он, если возможно, будет больше. Тогда можно лписать в круг ¦ Y многоугольник с четным числом сторон, который был бы больше пло- площади АВГД. Представим, что он вписан; впишем также и в круг AETZ Рис. 4. *) См. «Киадратура параболы», предложения XVII и XXIV.. 12 Архимед
178 АРХИМЕД прямолинейную фигуру, подобггую вписанной в круг Y; череа ее вер- вершины проведем прямые, перпендикулярные к диаметру АГ и соединим прямыми точки пересечения этих перпендикуляров с эллипсом; полу- получится некоторая вписанная и эллипс прямолинейная фигура, которая будет относиться к прямолинейной фигуре, вписанной в круг AETZ, как ВА к EZ. Действительно, так как перпендикуляры 0Е и КЛ разделяются в точках М и В в одном и том же отношении, то ясно, что трапеция ЛЕ будет иметь к трапеции 6М то же отношение, что 0Е к 6И. Но тон же причине и каждая из оста.;1ышх трапеций в круге к соотиетствующей трапеции в эллипсе будет иметь то же отношение, что ЕВ к Вв. Точпо так же и прилежащие к точкам А и Г треугольники в круге будут иметь то же отношение к таким же треугольникам в эллипсе; но тогда и вся прямолинейная фигура, вписанная it круг AETZ, ко всей прямолиней- прямолинейной фигуре, вписанной н эллипс, будет иметь то яге отношение, что EZ к ВА. Эта фигура будет находиться в том же самом отношении и к впи- вписанной в круг Ч1", так как и оба круга находятся в том же самом отноше- отношении; значит, прямолинейная фигура, вписанная в круг Чг, будет равна прямолинейной фигуре, вписанной т» эллипс; а это невозможно, так как эта фигура больше всей площади, ограниченной эллипсом. Тогда пусть, если это возможпо, круг Y будет меньше :>ллштса. Опять можно вписать в эллипс многоугольник с четным числом сторон, который был бы больше круга Т. Впишем его, проведем через его вер- вершины прямые, перпендикулнршле к АГ, и продолжим их до окружности круга; опять получится вписанная в круг АЕ прямолинейная фигура, которая будет ко вписанной в иллинс иметь отношение, как EZ к ВА. Вписавши подобную ей фигуру в круг W, мы докажем, что эта вписанная в круг Т фигура будет равна вписанной в эллипс, а это невозможно*); значит, круг W не будет и меньше площади, ограниченной эллипсом. Таким образом, не по, что упомянутая площадь эллипса имеет к кру- кругу AETZ то же отношение, что ВД к EZ. Л сякая площадь, ограниченная эллип- эллипсом, ко всякому кругу имеет такое оке отношение, как прямоугольник между главными диаметрами эллипса к квадрату на диаметре круга |рис- 5}. Пусть будет некоторая площадь X, ограниченная эллипсом, диаметры которо- которого суть АГ и ВА, причем большим диа- диаметром будет А Г; пусть, кроме того, будет круг W с диаметром EZ. Требуется доказать, что площадь X к кругу Ч1" имеет то же отношение, что прямоугольник между АГ и ВА к квадрату на EZ. На диаметре АГ опишем круг. Тогда площадь X к кругу на диамет- диаметре АГ имеет то же отношепие, как прямоугольник между АГ и ВА к ква- *) Тан как тогда вписанная в круг W фигура оказалась бы больше круга W.
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДА* 179 драту на А Г, так как уже доказано, что они относятся, как ВД к АГ. Далее, круге диаметром АГ к кругу с диаметром EZ имеет то же отно- отношение, что квадрат на АГ к квадрату на EZ. Отсюда ясно, что площадь X от- относится к кругу "*?, так же, как прямо- прямоугольник между А Г и ВЛ к квадрату на EZ. VI Площади, ограниченные эллипсами, на- находятся друг к другу в таком же отноше- отношении, как прямоугольники между диамет- диаметрами эллипсов [рис. 6}. Пусть А и В будут площади, огра- ограниченные двумя эллипсами, пусть ГД будет прямоугольник, построенный на диаметрах эллипса, ограничивающего пло- площадь A, a EZ — прямоугольник на диа- диаметрах другого эллипса. Требуется дока- доказать, что площадь А так относится к В, как ГД к EZ. Возьмем какой-нибудь круг XF; пусть КЛ будет квадрат на его диаметре. Нло- **ис- *•¦ щадь А относится к кругу Чг, как ГД кКА, круг же XF к площади В относится, как КА к EZ; таким образом, ясно,что площадь А имеет к В то же самое отношение, что ГД к EZ. Следствие Отсюда обнаруживается, что площади, ограниченные подобными эллипсами, имеют друг к другу то же отношение, что и квадраты на соответственных диаметрах эллипсов. VII Если дан эллипс с прямой, восставленной из его центра перпендику- перпендикулярно к плоскости, в которой этот эллипс находится, то можно найти конус, имеющий вершиной конец восстановленной прямой, причем задан- заданный эллипс будет находиться на поверхности этого конуса {рис. 7). Пусть дан некоторый аллиис и из его центра восстановлена прямая, перпендикулярная к плоскости, в которой этот эллипс находится. Через восставленную прямую и наименьший диаметр эллипса про- проведем плоскость; пусть п этой плоскости АВ будет наименьший диа- диаметр, а Д — центр эллипса, далее, ГД будет восстанленная из центра перпендикулярная прямая и Г — ее конец; заданный же эллипс пред- представим описанным на диаметре АВ it плоскости, перпендикулярной Е{ ГД. Требуется найти конус, имеющий «ершиной точку Г, на поверх- поверхности которого будет находиться заданный эллипс. Продолжим прямые, проведенные из Г к А, В и из А проведем AZ так, чтобы прямоугольник между ЛЕ и EZ относился к квадрату на ЕГ, Е{ак квадрат половины наибольшего диаметра относится к квадрату на ЛГ; это возможно потому, что рассматрипаемое отношение будет больше 12*
180 АРХИМЕД '-¦-r.Y—\н отношения прямоугольника между АА и ДВ к квадрату на ДГ. AE.EZ АД-АР ЕГ2~ ДГ2 Через AZ проведем плоскость, перпендикулярную к той, в которой находятся АГ и AZ; в этой плоскости онипкш круг на диаметре AZ и пос- построим на этом круге конус, имеющий вершиной точку Г. Докажем, что за- заданный эллипс будет находиться па поверхности этого конуса. Если он не будет находиться на поверхности зтого конуса, то необхо- необходимо, чтобы на эллипсе существовала некоторая точка, которая не была бы на поверхности рассматриваемого ко- конуса. Представим, что на эллипсе лзята некоторая точка В, которая но находится на поверхности атого ко- конуса. Через точку Э проведем 6К перпендикулярно к АВ; протюденная прямая будет перпендикулярна и к плоскости, в которой находится АГ и FZ. Продолжим проведенную из Г к К прямую; пусть она встретит AZ в точке А. Через А перпендикулярно к Z А в круге, описанном на AZ, проведем прямую AM; точку М, находящуюся на окружности круга AZ, вообразим приподнятой (над плоскостью чертежа). Кроме того, через А и Е параллельно АВ проведем SO и ПР. Так как прямоугольник между ЕА и EZ к квадрату на ЕГ имеет то же самое отношение, что квадрат на половине наибольшего диаметра (аА) к квадрату на ДГ, Рис. Т. BA-EZ ЕГа а кпадрат па ЕГ к прямоугольнику между ЕП и ЕР имеет то же отно- отношение, что квадрат на АГ к прямоугольнику между АД и АВ, ДГ2 ЕГа _. ЕП-ЕР~ АД-ДЬ то прямоугольник между ЛЕ и EZ будет иметь к прямоугольнику между ПЕ, ЕР то же отношение, что квадрат па половипе наибольшего диа- диаметра {аА) к прямоугольнику между АД и ДВ. ПЕ-ЕР^АД-ДВ Но как прямоугольник между АТС и EZ к (прямоугольнику) между ПЕ и ЕР, так и прямоугольник между АЛ и AZ отпосится к (прямоуголь- (прямоугольнику) между ?Л, АО, ¦-„« АЕ' EZ АА * AZ ПЕ-ЕР~ ВЛ-ЛО ': а как квадрат на половине наибольшего диаметра к (прямоугольнику) между АД и ДВ, так и квадрат на ЭК относится к (прямоугольнику) между АК и KB, ДА" А&-&В AK-KR
Jr :r/. -'=• V r V •¦ Y "';."¦>..- "'¦¦'¦;-"'¦' .-:.v." ;. **«• Фотокопия страницы rpewcKoii рукописи, сол^ржащей отрывок сочинения. Архимеда «О коноидах и сфероидах».
L82 АРХИМЕД значит, прямоугольник между АЛ и AZ к прямоугольнику между ЕЛ и ЛО имеет то же отношение, что и квадрат па 0К к (прямоугольнику) между АК и КВ. лл-ля ек2 ЗАЛО АККВ Но (прямоугольник) между НЛ и ЛО имеет к квадрату на ГЛ то же отношение, что прямоугольник между АК и KB к квадрату на КГ, алло_ -лк-кв гл2 кга значит, (прямоугольник) между АЛ и AZ будет относиться к квад- квадрату на ГЛ как квадрат на 0К к квадрату на КГ. AA-AZ глв -^ Но прямоугольник между АЛ, AZ равен квадрату па ЛМ, АЛ-ЛХ=ЛЫ8 так кап ЛМ проведена перпендикулярно к диаметру в полукруге на AZ; значит, квадрат* на ЛМ имеет к квадрату на ЛГ то же отношение, что квадрат па 6К к квадрату на КГ; лма _ ека лга кг2 таким образом, точки Г, В, М будут находиться на одной прямой. Но ГЫ лежит на поворхпости конуса; значит, ясно, что и точка 0 будет находиться на поверхности конуса. Ио было предположено, что она по находится; значит, на эллипсе не будет ни одной точки, которая не нахо- находилась бы па поверхности вышеупомянутого конуса. Таким образом, и весь эллипс будет находиться на поверхности этого конуса [31. VIII Если дан эллипс и прямая, восставленная из его центра, не перпен- перпендикулярная к плоскости эллипса, но лежащая в плоскости, проведенной через другой диаметр эллипса перпендикулярно к той плоскости, в ко- которой находится эллипс, то можно найти конус, имеющий вершиной конец восставленной прямой, прицель заданный эллипс будет находиться на его поверхности [рис. 8j [4J. Пусть ВА будет диаметр эллипса, Л — его центр, а ДГ — восстав- леппая, как сказано, из центра прямая; сам эллипс вообразим себе расположенным на диаметре АВ и плоскости, пернепдикулярной к той, в которой находятся АВ и ГА. Требуется найти конус, с вершиной в точке Г, на поверхности которого будет находиться заданный эллипс. Так пак ГА не перпендикулярпа к плоскости эллипса, то прямые АГ и ВГ пе будут равными. Пусть прямая ЕГ будет равна ГВ, а N равпа нолопине второго диаметра, сопряженного с АВ. Через А параллельно ЕВ проведем прямую ZH; на ЕВ восставим плоскость, перпендикулярную к той, к которой находятся АГ и ГВ, и в этой плоскости на диаметре ЕВ опишем круг, если квадрат иа N будет равняться прямоугольнику между ZA и АН, или же, если он не будет равняться, то эллипс — так чтобы квадрат на другом диаметре относился к квадрату на ЕВ, так же как квадрат на N к прямоугольнику между ZA и АН. Затем возьмем конус, имеющий нершину а точке Г, на поверхности которого будут
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 183 находиться описанные на диаметре ЕВ круг млн эллипс; это возможно, так как прямая, проведенная из Г к середине ЕВ, перпендикулярна к плоскости, проведенной через ЕВ; па этой же поверхности будет нахо- находиться и эллипс, описанный на диа- диаметре АВ. Действительно, если бы он там не находился, то на эллипсе име- имелась бы точка, которая лс будет на поверхности конуса. Вообразим, что взята некоторая точка в, не находя- находящаяся па поверхности конуса; из 0 на ЛВ опустим перпендикуляр GK и соединяющую ГК продолжим; пусть ,, она встретится с ЕВ в Л, а через Л и плоскости, перпендикулярной*) к проходящей через ЕВ, пронедем некоторую прямую ЛМ, перпенди- перпендикулярную к ЕВ; точку М на поверх- поверхности конуса представим себе припод- приподнятой (над плоскостью чертежа). Через Л проведем также параллель- параллельную ЛВ прямую IIP; тогда как квад- Рис. 8. рат на N к прямоугольнику между ZA и АТТ, так и квадрат на Л М относится к прямоугольнику между ЕЛ и ЛВ, = гд-дн. ел-лв и как (прямоугольник) между ZA и АН к (прямоугольнику) между АА и АВ, так и прямоугольник между ЕЛ, ЛВ к (прямоугольнику) между ПЛ, ЛР; ZA-AH ЕЛ ¦ ЛВ АД-ДВ "" ПЛ-ЛР тогда получится, что квадрат на N относится к (прямоугольнику) между АА и АВ, как квадратна ЛМ к (прямоугольнику) между ПЛ и ЛР. ЛД'ДВ ДЛ-ЛР . Но мы имеем также, что квадрат па N к прямоугольнику между АД иАВ относится, как квадратна 6Кк прямоугольнику между ЛК и KB, _Ni_=_eK2 _ АД-ДВ АК-КН так как в одном и том же эллипсе проведени два перпендикуляра (N и 6К) к диаметру АВ; значит, отношение квадрата наЛМ к прямоуголь- прямоугольнику между ПЛ, ЛР будет таким же, как отношение квадрата на 6К к прямоугольнику между АК и КВ. ЛМ* ПЛЛР" вк* ЛК КК Но прямоугольник между ПЛ и ЛР относится к квадрату на ГЛ, как *) К прямым Л Г и ГВ.
184 " • ' ' архимед прямоугольник между АК и KB к квадрату на КГ; пл-лр лк-кв гла кг! .чначит, квадрат на ЛМ имеет к кпадрату на Л Г то же отношение, что и кнадрат на 0К к квадрату на КГ; лм2 ек2 отсюда следует, что точки Г, в, М расположены на одной прямой- Но ГМ находится на поверхности конуса; отсюда ясно, что и точка 6 будет находиться на поверхности конуса; мы же предположили, что она там не находится; таким образом, обнаруживается правильность утверж- утверждения, подлежащего доказательстлу. ' ' IX .. га Если дай эллипс и прямая, восставленная ив его центра, не перпен- перпендикулярная {к плоскости эллипса), но лежащая в плоскости, проведен- проведенной через некоторый диаметр эллипса перпендикулярно к той плоскости, в которой находится эллипс, то можно найти цилиндр, имеющий ось па продолжении восставленной ч линии, причем заданный эллипс \ будет находиться на поверхности этого цилиндра (рис. 9}. Пусть В А будет некоторым диаметром эллипса, Д — его цент- центром, а ГД — восставленной, как сказано, из центра прямой; сам эллипс вообразим себо расположен- Рис. 9. пмм на диаметре АВ в плоскости, перпендикулярной к той, в которой находятся АВ и ГА. Требуется пайти цилиндр, имеющий ось на пря- прямой ГА, на поверхности которого будет находиться заданный эллипс. Из точек А и В параллельно ГД проведем прямые AZ и ВН; взятый диамотр эллипса будет или равен расстоянию можду пряьпами AZ, BII. или больше его, или же меньше. Пусть он, во-первых, будет равен ZH, а ZH перпендикулярна к ГД. Восставим па ZH плоскость, перпендикулярную к ГД; в этой плоскости пусть будет круг на диаметре ZH и пусть на атом круге будет цилиндр, имеющий осью ГА; на поверхности этого цилипдра и будет находиться заданный эллипс. Действительно, если бы он там не находился, то на эллипсе будет1 некоторая точка, которая не была бы на поверхности цилиндра. Пред- Представим себе, что взята такая не находящаяся на поверхности цилиндра точка эллипса 6; опустим из 0 на прямую АВ перпендикуляр 0К; он будет перпендикулярен и к плоскости, в которой находятся АВ и ГД. Через К параллельно ГА проведем КА и из А восставим к ZH пер- перпендикуляр AM в описанном на ZH круге; точку М представим себе приподнятой (над плоскостью чертежа) па окружности полукруга на диаметре ZH; тогда одно и то же отношение будут иметь квадрат на перпендикуляре ©К к прямоугольнику между АК и KB и (квадрат)
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 185. на ZF к прямоугольнику между АД и ЛВ, . нк2 zr2 АК-КВ~АД-ДВ )'' так как ZH равна другому диаметру (эллипса согласно предположе- предположению) *). Но прямоугольник между ZA и ЛН относится к прямоуголь- прямоугольнику между АК и КБ, как квадрат на ZT к квадрату на АД**); ZA-ЛН Zr2 AK.-K.li АД3 значит, прнмоугольпик между ZA, АН будет равен квадрату на ©К. H = 6K4 . . Но он также рапеп и квадрату на AM***); значит, перпендикуляры ©К и МЛ раины. Далее, прямые ЛК и М© параллельны****), так что будут параллельны и ДГ и М©. Следовательно, прямая в М будет нахо- находиться на поверхности цилиндра, так как она проведена параллельно оси цилиндра из точки, лежащей на его поверхности; после этого ясно, что и точка © будет находиться на поверхности цилиндра. Было же предположено, что она там не находится; таким образом, обнаружипает- ся истинность предложения, которое требовалось доказать. Если другой диаметр эллипса равен расстоянию между прямыми, провиденными через концы первого диаметра параллельно прямой, вос- восставленной {из центра эллипса), то ясно, что цилиндр, объемлющий этот эллипс, будет прямым (круговым). Пусть теперь второй диаметр эллипса будет больше ZH (расстоя- (расстояния между параллельными ГА прямыми, проведенными через концы м <Н диаметра эллипса А и В); пусть прямая ITZ будет равна этому второму диаметру {рис. 10). Восстании на FIZ плоскость, перпендикулярную к той, в которой находятся прямые АВ и ГА; возьмем в этой плоскости круг с диаметром ITZ, и пусть на этом круге будет цилиндр с осью ДР. Тогда при помощи тех же самых рассуждений докажем, что заданный эллипс будет находиться на поверхности этого цилиндра. Пусть, наконец, второй диаметр будет меньше ZIT {рис. 11). Пусть квадрат на ГЗ представляет избыток квадрата на ZF (половине ZH) *) Точка Д является центром эллипса, a Zr=jj-ZH перпендикулярным к АВ диаметром.. -) Иа пропорции |? = АН=_|Г_. , . ;. ;> ***) По известному свойству круга. ***•) Это следует из равенства перпендикуляров МЛ. вк, восставленных к плоскости чертежа..
186 АРХИМЕД над киадратом на половине второго диаметра. Восставим из точки Е перпендикулярно к плоскости, в которой находятся АВ и ГА, пря- прямую, раипуго половине атого диаметра; пусть это будет прямая SN; точку N представим приподнятой (над плоскостью чертежа); пря- прямая ГМ будет равна FZ*). В плоскости, в которой находятся прямые . ZH и FN, сшитом круг на диаметре ZH; он пройдет через точку N. Па этом круге пусть будет цилиндр с осью ГА; на поверхности этого цилиндра и будет паходиться заданный эллипс. Дейстпительно, если бы он там не находился, то на нем была бы некоторая точка, не лежащая на поверхности цилиндра. Возьмем на зллипсе такую точку в; перпендикулярно к прямой АВ проведем 6К; затем пусть из К параллельно ГА пройдет КЛ, а из Л и полукруге с диа- mctpomZH проведемпрямуюЛМперлспдикулярнок ZH. Представим, что точка М находитсм па окружности полукруга, описанного на ZI.T; из точки М на продолжение прямой КЛ опустим перпендикуляр МО; оп будет перпендикулярен и к плоскости, в которой находятся АВ и ГА, так как КЛ перпендикулярна к ZII. Тогда (квадрат) на МО относится к (кна- драту) на МЛ, как квадрат EN к квадрату на NT**) МО2 SNS МЛ2 КГ2 Но квадрат на МЛ так относится к прямоугольнику между АК и KB, как квадрат на 1"N к квадрату на АД, ыл" гк3 так как квадрат на МЛ равен прямоугольнику между ZA и ЛН, а квад- квадрат на FN равен квадрату на fZ***); значит, квадрат на МО будет отно- относиться к прямоугольнику между АК и KB, как квадратна SN к ква- квадрату на АА. МО* SN2 АККВ АД2 Но квадрат на Кб относится к прямоугольнику между АК и KB, как кпадрат на SN к квадрату на АД, Кб' EN2 АК-КВ так как SN рапна половине другого диаметра оллипса; отсюда ясно, что перпендикуляры МО и KB равны; следовательно, КО и ЭМ будут параллельны. Так как Мб параллельна оси цилиндра и точка М нахо- находится на поверхности последнего, то и Мб необходимо будет находиться па поверхности цилиндра; отсюда ясно, что на поверхности последнего будет паходиться и точка 6. Этого же, (согдасно предположению), не было; отсюда ясно, что аллинс необходимо должен лежать на поверх- поверхности цилиндра [3]. *) Так как NS будет половика второго диаметра и rE*=zr!~Naa. **) Из подобия треугольников TEN и ЛОМ с параллельными сторонами. .») Кроме ^ЛН Г|
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ ¦ 187 X Более ранними математиками*) было доказано, что нсякий конус имеет к другому конусу отношение, равное составленному из отноше- отношений оснований и высот; таким же образом можно доказать, что всякий конический сегмент к другому коническому сегменту имеет отношение, равное составленному из отношений омгонанпй и высот. Далее, что всякий цилиндрический сегмент в три рази больше кони- конического сегмента с теми же основанием и высотой, может быть доказано тем же способом, как и то, что всякий цилиндр в три раза больше конуса •с теми же основанием и высотой, что и у цилиндра. XI A) Если прямоугольный коноид рассечь плоскостью, проходящей через ось, или параллельной оси, то сечение будет параболой, и притом тождественной с той, которая охватывает упомянутое тело; ее диа- диаметр будет общей линией пересечения двух плоскостей, из которых одна является секущей фигуру, а другая проводится через есь перпендикуляр- перпендикулярно к секущей плсскости. Если же рассечь его плоскостью, перпендикулярной к оси, то сече- сечение будет кругом, имеющим центр на ecu. B) Если тупоугольный коноид рассечь плоспсстью, проходящей через ось, или параллельно оси, или через вершину конуса, объемлющего коноид, то сечение будет гиперболой; при этом если секущая плоскость проходит через ось, то эта гипербола будет тождественна с той, кото- которая охватывает фигуру, если же сечение происходит параллельно оси, то только ей подобна, если же плоскость сечения проходит через вершину конуса, объемлющего коноид, то сечение не будет даже ей {то есть упо- упомянутой гиперболе) подобно; диаметром гиперболы будет общая линия пересечения плоскости, секущей фигуру, с плоскостью, проведенной через есь перпендикулярно к секущей. Если же рассечь его плескоетъю, перпендикулярной к ecu, то сечение будет кругом, имеющим центр на оси. C) Если какой-нибудь из сфероидов рассечь плоскостью, прохо- ходящей через ось или параллельной оси, то сечение будет эллипсом, причем если плоскость сечения проходит через ось, то тождественным с охватывающим фигуру, если же она параллельна оси, то только ему подобным; диаметром эллипса будет общая линия пересечения плоско- плоскости, секущей фигуру, с плосксстью, проведенной через ось перпендикуляр- перпендикулярно к сжущей. Если же рассечь его плоскостью, перпендикулярной к оси; то сече- сечение будет кругом, имеющим центр на оси. D) Если какое-нибудь из упомянутых тел рассечь плоскостью, проходящей через есъ, то перпендикуляры, опущенные на секущую пло- ксетъ из точек, лежащих на поверхнести тела, но не на линии селения, упадут внутри ачения тела. Доказательства всех этих предложений очевидны [5]. *) Под этими «Солсс ранними математиками» подразумевается Евдокс. труды которого дошли до нас ? книге XII еиклидоиых «Начал».
188 АРХИМЕД XII Если прямоугольный коноид рассечь плоскостью, не проходящей через ось, а также не параллельной и не перпендикулярной к оси, то в сечении получится эллипс, большим диаметром которого будет заключенный внутри коноида отрезок линии пересечения плоскости, секущей фигуру, с плосксспью, проходящей через ось и перпендикулярной к ней, а меньший диаметр будет равен расстоянию между двумя проведенными через концы большого диаметра прямыми, параллельными ecu. Пусть прямоугольный коноид будет расссчсп плоскостью, как указано (рис. 12}; пусть АВГ будет сечение коноида другой плоскостью, перпендикулярной к секущей и проходящей через ось, а прямая ГЛ — пересечением этой же плоскости с плоскостью, секущей фигуру; пусть прямая ВД будет осью коноида и диа- диаметром параболы. Требуется доказать, что сечение коноида плоскостью, проходящей через АГ, будет эллипсом, больший диаметр которого равен АГ, а меньший равен ЛА, если прямая ГЛ проведена параллельно ВД, а АЛ перпендикулярна к ГЛ. Вообразим, что нзята какая-нибудь точ- точка К сечения и иа К опустим на ГА перпен- перпендикуляр Кб; тогда К0 будет также перпен- перпендикуляром к плоскости, в которой находится парабола ЛГВ, так как и секущая плоскость будет перпендикулярна к той те самой пло- плоскости. Через 0 под прямым углом к ВД проведем EZ, и через прямые EZ и Кб проведем плоскость; последняя будет перпендикулярна к ВД; тогда коноид будет рассечен плоскостью, перпендикулярной к оси; так что полученное сечепие будет кругом с центром в Д; значит, К© будет киадрнровать прямоугольник на Z0 и ©Е, Рис. 12. [ибо на EZ построен полукруг и перпендикуляр Кб будет средней про- пропорциональной для отрезков Ев, 6Z]. Параллельно АГ проведем ка- касательную MNk параболе (пусть точкой касания будет N), а параллель- параллельно EZ проведем прямую ВТ. Прямоугольник на А© и в Г будет отно- относиться к прямоугольнику между Ев, ©Z, как квадрат на NT к квадрату на ВТ, ле-ег NT2 как уже было доказано (предложение III, 1). Но NT равна ТМ, так- как ВР равна ВМ; значит, и прямоугольник между. Л0 и в Г имеет к квадрату на К0 то иге отношение, что квадрат на Т М к квадрату па ТВ; кеа значит, квадрат на перпендикуляре вК к прямоугольнику между Ав, в Г будет иметь то же отношение, что квадрат на ВТ к квадрату на ТМ. де-ег
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 189 Так как треугольники ГАА и Т MB подобпьт, то квадрат на перпенди- перпендикуляре 6К. к прямоугольнику между Ав и в Г будет иметь то же отно- отношение, что квадрат на АЛ к квадрату па АГ. №? _ АЛ» Ав-вГ АГ2 . . Подобным же образом докажем, что квадраты на других перпендику- перпендикулярах, опущенных па прямую АГ с (линии) сечения, будут к пря- прямоугольникам между (соответствующими) отрезками АГ иметь то же отношение, что квадрат ЛЛ к квадрату АГ; таким образом, ясно, что сечение будет эллипсом, наибольшим диаметром которого будет АГ, а наименьший будет ранеп АЛ. ..;. XIII Если тупоугольный коноид рассечь плоскостью, которая встречала бы есг стороны конуса, объемлющего коноид, и не была бы перпендикуляр- перпендикулярна к ecu, то евчение будет эллипсом, наибольшим диаметром которого является заключенный вну- внутри коноида олгрезок ли- линии пересечения плоскости, секущей коноид, с плоско- плоскостью, к ней перпендикуляр- перпендикулярной, проведенной через ось. Рассечем тупоуголь- тупоугольный коноид плоскостью, как указано (рис. 13}. Пусть гипербола АВГ пред- представляет сечение коноида другой плоскостью, про- проходящей через ось, и перпендикулярной к первой секущей плоско- плоскости,- пусть прямая АГ будет сечением плоскости, секущей фигуру, а ВЛ — осью коноида и диаметром гиперболы. Вообразим какую-ни- какую-нибудь точку К, взятую на линии сечения и опустим из К иа АГ перпенди- перпендикуляр Кб; последний будет также перпендикуляром к плоскости, в ко- которой лежит гипербола АВГ. Через в перпендикулярно к ВА проведем EZ, а через прямые EZ и К© проведем плоскость, пересекающую коноид; таким образом, последний будет рассечен плоскостью, перпен- перпендикулярной к оси, так, что в сечении получится круг с центром в Д; следопатолыто, перпендикуляр па Кв будет квадрироиать прямоуголь- прямоугольник истцу Ев, 0Z; теперь проведем параллельно АГ касательную MN к гиперболе в топ- топке N и прямую ВТ, параллельную EZ; тогда прямоугольник между Кб и &Z будет относиться к прямоугольнику между Ав, вГ, как квадрат на ВТ к квадрату на TN; Рис. ГЛ. Хе-ег таким образом, квадрат на перпендикуляре Кб относится к прямоуголь- прямоугольнику между Ав и ©Г, как (квадрат) на ВТ к квадрату на TN. Ав-вГ" Подобным же образом докажем, что квадраты других перпендикуляров,
!90 ¦ ¦ ¦ архимед опущенных с линии сечения на АГ, к прямоугольникам между отрез- отрезками, образуемыми этими перпендикулярами на АГ, будут относиться, как квадраты на БТ и па TN. При этом ВТ будет меньше TN, так как и МТ меньше TN, (a MT больше ВТ), поскольку МБ меньше, чем ВР; последнее же нвляется характерным свойством гиперболи. Таким образом, ясно, что сечение будет представлять эллипс с наибольшим диаметром АГ [6]. XIV Если удлиненный сфероид рассечь плоскостью, не перпендикулярной к оси, то в сечении получится эллипс, наибольшим диаметром которого будет заключенный внутри сфероида отрезок общей линии пересечения плоскости секущей фигуры с плоскостью, перпендикулярной к ней и про- проходящей через ось. Если сечение производится плоскостью, проходящей через ось или параллельной оси, то предложенное очевидно. 1'ассечем сфероид, какой-нибудь другой плоскостью; если, кроме того, рассечь его пло- плоскостью, проходящей через ось и перпендикулярной к секущей, то в еечепии со сфероидом получится эллипс АВГА, а в сечении с секу- секущей плоскостью — прямая ГА. Пусть ВЛ будет осью сфероида и диаметром эллипса, точка X —цен- —центром и ПР — наименьшим диамет- диаметром {рис. 14}. Проведем ВТ, пер- перпендикулярную к ВД, и касатель- касательную HN к эллипсу в точке N, параллельную А Г; через X парал- параллельно ЛГ проведем также МЛ. Подобно предыдущему докажем, что квадраты на перпендикулярах,, опущенных из точек кривой сечепия на АГ, находятся с прямоуголь- прямоугольниками между отрезками АГ п том же самом отношении что квадрат на ВТ к квадрату па TN. _ ВТ2 Ав "ВТ ~~ TN* Что полученное сечение будет эллипсом и АГ его диаметром, очевидно, а что ЛГ будет наибольшим диаметром, требуется доказать. Прямоугольник между ПХ, ХР имеет к (прямоугольнику) между MX, ХЛ то же отношение, что (квадрат) на ВТ к (кпадрату) на NT, ПХ-ХР ВТ» МХ-ХЛ так как ПР и МЛ проведены параллельно касательным. Но прямоуголь- прямоугольник между ПХ, ХР будет меньше (прямоугольника) между MX, ХЛ, так как ХП меньше ХЛ; значит, и квадрат на ВТ будет меньше квадрата иа TN; таким образом, и квадраты на перпендикулярах, опущенных па АГ из (точек) кривой сечении, будут меньше прямоугольников между отрезками ЛГ. вк*<Аввг Теперь ясно, что диаметр ЛГ будет наибольшим*). *) Действительно, если точка в будет совпадать с серединой ЛГ. то мы имеем: вК* < <(~2~) » то есть ^ полудиаметр, соответствующий АГ. — будет больше исрпсвдшсуяпрногс- ему полудиамстра 6К.
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ Если сплющенный эллипсоид рассечь плоскостью, то все получится так же, но отрезок внутри сфероида будет наименьшим диаметром. Из этого ясно, что во всех атих толах сечения параллельными друг другу плоскостями будут подобными, так как квадраты перпендикуля- перпендикуляров (опущенных из точек линии сечешш) будут иметь одинаковые отношения к прямоугольникам между (соответствующими) отрезками. XV A) Л прямоугольном коноиде прямые, проведенные параллельно оси из любой точки на поверхности коноида, будучи продолжены в сторону выпуклости коноида, пройдут вне последнего, продолженные же в про- противоположную сторону— попадут внутрь последнего. Дсйстпительно, если пронести плоскость через ось и ту точку, через которую проводится прямая, параллельная оси, то в сечении получится парабола, диаметр которой будет и осью коноида; для параболы же пря- прямая, проведенная параллельно диаметру через всякую точку кривой, со стороны выпуклости попадает вне параболы, с противоположной ?ке стороны—внутри последней; таким образом, предложенное очевидно. B) В тупоугольном коноиде прямые, проведенные из любой точки на его поверхности параллельно какой-нибудь линии, проведенной в ко- коноиде через вершину объемлющего коноид конуса, будучи продолжены в сторону выпуклости коноида, пройдут вне последнего, продолженные же в противоположную сторону попадут внутрь его. Действительно, осли провести плоскость через прямую, проведен- проведенную в коноиде через вершину объемлющего коноид конуса, и через ту точку, из которой проводится рассматриваемая прямая, то в сечении получится гипербола, диаметром которой будет прямая, проведенная в коноиде через вершину объемлющего конуса*). Для гиперболы же прямая, проведенная через всякую точку кривой, идущая параллельно с прямой, проведенной указанным способом, и продолженная п сторону выпуклости кривой, пройдет «не ее, продолженная же в противополож- противоположную сторону попадет внутрь. C) Если плоскость касается коноида, не пересекая его, то она касается только в одной точке, причем, плоскость, проведенная через ось и точку касания, перпендикулярна, к касательной плестсти. Действительно, пусть, если возможно, она будет касаться конопда в нескольких точках. Если ми возьмем какие-нибудь две точки, в кото- которых ота плоскость касается коноида, и через каждую из них проведем прямую, параллельную оси, то плоскость, проведенная через эти пря- прямые, будучи продолжена, или пройдет через ось, или же Судет ей парал- параллельна; таким образом, в сечении получится какое-нибудь коническое сечение, и взятые точки окажутся на некотором коническом сечешш, так как они лежат и на поверхности коноида и на секущей плоскости. Тогда прямая, соединяющая взятие две точки, будет внутри конического сечения, а следовательно, окажется и внутри поверхности коноида. По эта прямая находится па касательной плоскости, так как па последней лежат обе выбранные точки; значит, некоторая часть касательной пло- плоскости окажется внутри коноида; это же невозможно, так как предполо- предположено, что эта плоскость не пересекает коноида. Таким образом, рассмат- рассматриваемая плоскость будет касаться коноида только в одной точке. *) См. комментарий |7J.
192 АРХИМЕД Л что плоскость, проведенная через точку касания и ось, будет перпендикулярна к касательной плоскости, то это очевидно, если каса- касание происходит л ьсршине коноида. Действительно, если через ось коноида провести две плоскости, то в сечениях получатся конические сечения, имеющие своим диаметром ось, и лежащие на касателыюй пло- плоскости прямые будут касаться этих конических сечений в конце диа- диаметра. Прямые же, касающиеся конических сечений п конце диа- диаметра, образуют с последним прямые углы; таким образом, в касатель- касательной плоскости будут две прямые, перпендикулярные к оси. Значит, касательная плоскость будет перпенди- перпендикулярна к оси, а поэтому и к всякой проходящей через ось плоскости. Пусть теперь плоскость будет ка- касаться копоида не в вершине послед- последнего. Проведем плоскость через точку касания и ось; и сечении с коноидом получится коническое сечение АВГ {рис. 15). Пусть ВД будет осью (ко- (коноида) и диаметром (сечения), сече- сечением касательной плоскости будет пря- прямая же E0Z, касающаяся конического сечония в точке в. Из в опустим на ВД перпендикуляр 0К и проведем через К плоскость, перпендикулярную к оси; она образует п сечении круг с центром К. Сечение этой (последней пл оскости) и ка- касательной плоскости будет касателыюй к кругу прямой; значит, последняя образует с 6К прямые углы; отсюда же следует, что она будет перпендикулярна и к плоскости, в которой находится К0 и ВД. Таким образом, ясно, что к этой же самой плоскости будет перпенди- перпендикулярна и касательная плоскость, так как расположенная в ней пря- прямая*) будет перпендикулярна к этой же самой плоскости. XVI A) Если какой-нибудь из сфероидальных фигур касается плоскость, не пересекающая этой фигуры, то она будет касаться только в одной точке, и плоскость, проведенная через точку касания и ось, будет пер- перпендикулярна к касательной плоскости. Действительно, пусть она будет касаться в нескольких точках. Тогда, если мы возьмем точки, в которых эта плоскость касается сферо- сфероида, и через каждую из ипх провидим параллельную оси прямую, и через эти прямые проведем плоскость, то ее сечение с коноидом будет эллип- эллипсом, и эти точки окажутся на коническом сечении. Теперь прямая, соединяющая эти точки, будет внутри конического сечения, а следова- следовательно, окажется внутри и поверхности сфероида. Но эта прямая нахо- находится па касателыюй плоскости, так как на ней же лежат и взятые точки; значит, какая-то часть касательной илоскости будет внутри сфероида. Но это не имеет места, ибо, согласно предположенному, она не пересе- пересекает сфероида. Таким образом, ясно, что она будет касаться только в одной точке. А что проведенная через точку касания и через ось лло- *) Речь идет о проведенной через в касательной к кругу.
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 193 сгсость будет перпендикулярна к касательной плоскости, мы докажем подобно тому, как и для коноидов. B) Если какую-нибудь иг коноидалъных или сфероидальных фигур рассечь проходящей через ось плоскостью и провести прямую, касаю- касающуюся полученного сечения, и на карательной восставить плоскость, перпендикулярную к секущей, то она будет касаться фигуры в той же самой точке, в которой проведенная прямая касается конического сечения. Действительно, она пе коснется поверхности этой фигуры л какой- нибудь другой точке; иначе перпендикуляр, опущенпый из этой точки на секущую плоскость, попал бы кии конического сечопия, так как он попадет на касательную плоскость, поскольку упомянутые плоскости будут перпендикулярны друг к другу; это же невозможно, ибо дока- доказано, что он упадет внутрь сечения *). C) Если какой-нибудь из сфероидальных фигур касаются дне парал- параллельные 'плоскости, то прямая, соединяющая точки касания, пройдет, через центр сфероида. Действительно, это очевидно, если обе плоскости перпендикулярны к оси; пусть же они не будут перпендикулярны. Тогда плоскость, про- проведенная через ось и точку касания одной пло- плоскости, будет перпендикулярна к касательной плоскости, а следовательно, и к плоскости, ей параллельной. Значит, необходимо, чтобы пло- плоскость, проходящая через ось и каждую точку касания, была одной и той же. В противном слу- случае будут дво плоскости, перпендикулярные к одной и той же плоскости, и проведенные через одну и ту же прямую, по являющуюся пер- перпендикулярной к этой плоскости, ибо ми пред- ис* пологкили, что ось не будет перпендикулярной к параллельным плоскостям; значит, ось и обо точки касания будут находиться а одной и той же плоскости, и сфероид будет рассечен пло- плоскостью, проходящей через ось (рис. 10}. В таком случае сечение будет эллипсом, сечении же касательных плоскостей будут параллельными прямыми, касающимися эллипса в точках касания плоскостей; если же две параллельные прямые касаются эллипса, то центр эллипса и точки касания будут находиться на одной прямой. XVII Если к какой-нибудь из сфероидальных фигур провести две парал- параллельные касательные плоскости и. кроме того, через центр сфероида про- провести плоскость, параллельную касательным, то прямые, проведенные через точки полученной линии сечения параллельно прямой, соединяющей, точки касания, попадут вне сфероида {рис. 17}. Предположим все сказанное уяге существующим и возьмем на полу- полученной линии сечония какую-нибудь точку, затем через взятую точку и прямую, соединяющую точки касания, проведем плоскость; тогда последняя рассечет как сфероид, так и обе параллельные плоскости. *) Так как ятот перпендикуляр лежит в касательной плоскости, то он должен обязательно попасть на прямую, касательную к коническому сечеиию; все >кс точки касательной, кроме точки касании, будут находиться вне конического сечения. Доказательство, что указанный перпендикуляр попадет внутрь конического сечения, дано (или, вернее, подразумевается) и последней части пред- предложения XI. 13 Архимед ' ¦
194 АРХИМЕД И Рис. 17. Пусть ссчоаио сфероида будет [эллипс] АГ5ГД, сечения касательных пло- плоскостей — прямые EZ, 6H, взятая точка Л, прямая, соединяющая точки касания, пусть будет БД (последняя, конечно, пройдет через центр), сечение же плоскости, параллельной касательным плоскостям, бу- дст ГЛ", 'эта прямая также пройдет через- центр, поскольку через центр проходит и соответствующая плоскость. Теперь так как АВГД будет или кругом или эллипсом, и ее касаются две прямые EZ, Ив, а через ¦л центр проведена параллельная им ЛГ, то ясно, что проведенные через А Г, парал- параллельно ВД прямые будут касательными к сечению и попадут пне сфероида [8]. Если же параллельная касательным плоскость тге будет проведена через центр, как, например, КА, то ясно, что из проводи- проводимых через точки сочения (параллельно ВД) прямых те, которые будут со стороны меньшего сегмента, попадут пне сфероида, те же, которме с противоположной стороны — внутрь его. XVI11 Всякая сфероидальная фигура, рассекаемая плоскостью через центр, и сама рассекается этой плоскостью пополам, и ее поверхность. Действительно, рассечем сфероид через центр плоскостью; тогда он будет рассечен или через ось, или же перпендикулярно к ней, или же не нерппттдикулярно к оси. Если сфероид сечется через ось, или же перпендикулярно к оси, то ясно, что и сам «и u его поверхность разделятся пополам, так как одна его совпадать с другой, а также и ио- верхпость одной его части с поверх- поверхностью другой. Так пусть теперь сфероид будет рассечен плоскостью, не проходящей через ось и не перпендикулярной к осп. Если мы рассечем сфероид плоскостью, перпендикулярной к секущей и проходящей через ось, то сечением самой фигуры пусть будет эллипс АВГД, его диаметр и ось сфероида — прямая ВД и центр — в, сечением же плоскости, рассекшей сфероид через центр, пусть будет прямая АГ (рис. 18}. Возьмем еще какой-нибудь другой сфероид, равный атому и подобный; пусть при сечении его плоскостью через ось получится эллипс EZITN, его диаметр и ось сфероида пусть будет EI1, а центр К {рис. 19); проведем через К прямую ZN, образующую угол К, равный углу в, и пусть на ZN будет восставлена плоскость, перпен- перпендикулярная к той, в которой находится сечение EZHN; тогда полу- получатся два равных и подобных друг другу эллипса АВГЛ и EZHN; они совпадут друг с другом, если совместит!. EII с ВД, a ZN с А Г. Тогда и плоскость, проходящая через NZ, совпадет с плоскостью через АГ, так как обе они проходят через одну и ту же прямую и перпендику- будет, очевидно, Е и Рис. 19.
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 195 лярны к одной и той же плоскости. Тогда и сегмент, отсеченный по >NZ от сфероида и находящийся с той стороны, где Е, совпадет с другим сегментом, отсеченным поАГ от другого сфероида и находя мнимся с той стороны, где В; совпадут также и оставшиеся сегменты и поверхности одних сегментов с поверхностями других. Затем если мы поместим ЕН на Г$А так, чтобы точка Е легла на А, а Н — на В, прямая же между точ- точками N, Z—на прямую ме?кдУ точками А, Г, то ясно, что друг с дру- другом совпадут и оба эллипса и что Z попадет в Г, а N в А. Точно так же и проходящая через NZ плоскость совпадет с плоскостью, проходящей через АГ, и из отсеченных плоскостью но ЛГ сегментов тот, который находится со стороны Н, совпадет с тем из отсеченных плоскостью но АГ сегментов, который будет со стороны В, а тот, который находится со стороны Е, совпадет с тем, что со стороны Л. Но так как один и тот же сегмент совпадает с каждым из двух сегментов, то ясно, что оба эти сегмента будут раины; поэтому же будут равны и поверхности (сегментов). XIX Если дан сегмент какого-нибудь ин коноидов, отсеченный перпендику- перпендикулярной к оси плоскостью, или же сегмент какого-нибудь из сфероидов, не больший половины этого сфероида и точно так же отсеченный, то можно вписать в него телесную д ; фигуру и описать около него дру- другую, состоящую из имеющих рав- равную высоту цилиндров, и притом так, чтобы, описанная фигура была больше вписанной на величину, меньшую любой, наперед заданной телесной величины. Пусть дан сегмент, как, на- например, АВГ, сечение его прове- проведенной через ось плоскостью бу- будет ЛВГА, сечение же отсекшей его плоскости пусть будет прямая АГ, а ось сегмента и диаметр сече- сечения ВА {рис. 20}. Поскольку секу- секущая плоскость предполагается перпендикулярной к оси, то ссче- нио будет кругом с диаметром ГА. Пусть на этом круге будет ци- цилиндр, имеющий осью ВА; тогда его поверхность пройдет вне сег- сегмента, поскольку последний является сегментом коноида или сфероида, не большим половины сфероида. Если этот цилиндр мы будем постоян- постоянно делить пополам перпендикулярной к оси плоскостью, то когда-нибудь получится остаток, меньший заданной телесной величины; пусть таким его остатком будет цилиндр, имеющий оснопаниеш круг на диаметре АГ, а осью ЕА, я меньший заданной телесной величины. Раздолий ВА в Р, О, 1.1, Е на равные ЕД части, черен точки деления параллельно АГ проведем к коническому сечению прямые, н на этих проведенных пря- прямых восставим перпендикулярные к ВД плоскости; в течениях получат- получатся круги, имеющие центры па ВД. На каждом из этих кругов построим 13* / i Г в р /Л 0 ' Л С1 { \ л \ А 1 Г Рис. 20.
J96 АРХИМЕД два цилиндра, оба с осью, рапной ЕА, один в ту сторону от круга, где находится А, другой жо в ту, где находится В; таким образом в сегменте получится некоторая вписанная телесная фигура, составленная из цилиндров, построенных в ту сторону, где находится А, и другая оли- саннаи, составленная из цилиндров, построенных в ту сторону, где находится В. Остается лишь доказать, что описанная фигура превосхо- превосходит вписанную на величипу, меньшую любой заданной телесной вели- величины. Каждый из цилиндров во вписанном фигуре будет равен цилиндру, построенному на том же круге в ту сторону, где находится В, как, например, цилиндр &Н равен &L, цилиндр КЛ равен КМ и точно так же и остальные, причем все вместе взятые такие цилиндры одной фигуры будут равны всем цилиндрам другой. Теперь ясно, что описанная фигу- фигура будет больше лписаппой на цилиндр, имеющий основанием круг па диаметре АГ и ось ЕА; этот же цилиндр меньше заданной телесной вели- величины. XX Если дан сегмент какого-нибудь из коноидов, отсеченный плоскостью, не перпендикулярной к оси, или же сегмент какого-нибудь из сфероидов, не больший, половины этого сфероида и точно так же отсеченный, то можно вписать в него телесную фигуру и описать около него другую, составленную из цилиндриче- цилиндрических сегментов, имеющих рав- равную высоту, и притом так, чтобы описанная фигура была больше вписанной на величину, меньшую любой наперед задан- заданной телесной величины. Пусть будет дан такой сег- сегмент, как сказано; рассечем его другой плоскостью через ось, перпендикулярной к отсекшей заданный сегмент плоскости; пусть сечение данной фигуры будет коническое сечение АВГ {рис. 21}, сечение же отсекшей сегмент плоскости пусть будет прямая ГА. Теперь, поскольку отсекшая сегмент плоскость предполагается не перпендику- перпендикулярной к оси, то сечение будет эллипсом с диаметром ЛГ. Пусть будет параллельная ЛГ касательная ФГ к коническому сечению, и пусть она касается п В; восставим наФГ плоскость, параллельную той, которая проходит через АГ; и эта плоскость будет в В касаться нашей фигуры. И если сегиепт принадлежит прямоугольному коноиду, то из В параллолыш оси проведем ВА, если же тупоугольному,то прямую, проведенную к В от вершины объемлющего коноид конуса, продолжим в виде ВД, если же сегмент принадлежит сфероиду, то пусть ВА будет отсеченной частью прямой, проведенной (из центра) до В; ясно, что ВД разделит АГ пополам, так что В будет вершиной сегмента, прямая же ВД — его осью. Получится некоторый эллипс на диаметре АГ и линия ВА, восстаплонная из центра в плоскости, перпендикулярной к той, Рис, 21.
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ в которой паходится эллипс, и проходящей через другой диаметр {эл- {эллиптической грани). Теперь можно найти цилиндр, имеющий ось ВА, на поверхности которого будет паходиться эллипс, построенный на диа- диаметре АГ (предложение IX); поиерхпость этого цилиндра окажется вне сегмента, поскольку последний принадлежит коноиду или сфероиду и (в последнем случае) не больше лолошшы сфероида. Получится неко- некоторый цилиндрический сегмент, имеющий основаниями эллипсы на диаметре АГ и осью прямую ВА; если этот сегмент мы будем делить пополам плоскостями, параллельными той, что проходит через АГ. то (в конце концов) получится остаток, меньший наперед заданной телесной величины. Пусть сегмент, имеющий основанием эллипс на диаметре АГ, а осью ЕА, будет меньше наперед заданной телесной величины. Разделим АВ на части, равны»; ДЕ, через точки деления па- параллельно АГ проведем до конического сечения прямые и на этих проведенных прямых восставим плоскости, параллельные той, которая проходит через АГ; эти плоскости рассекут поверхность сегмента и об- образуют эллипсы, подобные тому, который ла диаметре АГ, вследствие параллельности соответствующих плоскостей. На каждом таком эллпи- се построим два цилиндрических сегмента, имеющих ось, равную ДЕ, одип в ту сторону от эллипса, где находится А, другой же — в ту, где находится В; тогда получатся две некоторые телесные фигуры, одна впи- вписанная в сегмент, другая же описанпая около него, составленные из цилиндрических сегментов, имеющих равную высоту. Остается дока- доказать, что описанная фигура превосходит вписапную на величину, мень- меньшую наперед заданной телесной величины. Подобно предыдущему дока- докажем, что описанная фигура превышает вписанную па сегмент, имеющий ослопалисм эллипс на диаметре АГ и ось ЕД; последний же меньше на- наперед заданной телесной величины. . . XXI Изложил псе это, перейдем к доказательству теорем, предложен- предложенных относительно рассматриваемых фигур. Всякий сегмент прямоугольного коноида, отсеченный плоскостью, перпендикулярной к оси, будет в полтора раза больше конуса, имеющего те же самые основания и ось, что и сегмент. Пусть будет сегмент прямоугольного коноида, отсеченный пло- плоскостью, перпендикулярной к оси; рассечем его через ось другой пло- плоскостью, и пусть в сечении с поверхностью получится парабола АВГ, в сечении же с плоскостью, отсекшей сегмент, прямая ГА, ось сегмента будет ВА; пусть также будет копус, имеющий с сегментом тс же самые основание и ось, вершина которого В. Требуется доказать, что сегмент коноида будет в полтора рааа больше этого конуса. Построим конус W (рис. 22], который был бы в полтора рааа боль- больше конуса, остюпаписм которого является круг на диаметре АГ, а осью—прямая ВД; пусть также будет цилиндр, имеющий основанием круг на диаметре АГ и ось ВД; тогда конус Т будет половиной цилиндра, 1поскольку конус Т в полтора раза больше упомянутого выше копуса]. Я утверждаю, что сегмент коноида будет равен конусу Чг. Действительно, если он ему не равен, то будет или больше или меньше. Пусть сначала, если возможно, он будет больше. Впишем в сегмент телесную фигуру {рис. 23] и опишем около него другую,
198 АРХИМЕД Рис, 22. составленную из цилиндров, имеющих одинаковую высоту, таким обра- образом, чтобы описанная фигура превосходила вписанную на величину, мепыпую той, на которую сегмент коноида больше конуса 4f, и пусть из цилиндров, составляющих описанную фигуру, наибольший будет иметь основанием круг на диаметре АГ и ось ЕД, наименьший же будет иметь основанием круг на диамет- диаметре 2Т и ось Ш, а из ди- липдров, которые составляют «писанную фигуру, наиболь- наибольшим будет имеющий основа- основанием круг на диаметре КА, а осью ДК, наименьшим же — имеющий основанием круг на диаметре ST и осью в1; плоскости всех этих цилинд- цилиндров продолжим до поверхно- поверхности цилиндра, имеющего ос- новапием круг на диаметре АГ и осью БД; тогда весь цилиндр будет разделен на цилиндры, количество кото- которых ралпо их количеству в описанной фигуре, и которые по величине равны наиболь- наибольшему ii:j этих цилиндров. И так как описанная около сег- сегмента фигура превосходит вписанную на величину, меньшую той, на которую сегмент больше конуса, то ясно, что и описанная в сег- мент фигура будет больше ко- конуса !f. Первый цилиндр из содержащихся в целом ци- цилиндре, а именно, имеющий осью ДЬ, с первым цилиндром во вписанной фигуре, имеющим осью ДЕ, находится и том же самом отношении, какое квадрат на ДА имеет к квадрату на КЕ; это же отношение равно тому, которое ВД имеет к BE *), ААа _ ВА КЕ& В И и тому, которое ДА имеет к ЕЕ. ВД _ ДА BE ЕЕ Точно так же докажем, что второй цилиндр из содержащихся в целом циливдро, а именно имеющий ось EZ, со вторым цилиндром во вписан- вписанной фигуре с той же осью EZ будет находиться в том же отношении, что ПЕ, или АД. it ZO, и что каждый из остальных цилиндров, содср- *) На основании основцого свойства параболы, выражаемого па современном математиче- математическом языке урапнешюм j/-=2jpx, абсциссами ж булут BE. Вд, а соответствующими ординатами V будут i^lv, ла.
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 199 жащихся л целом цилиндре и имеющих оси, равные ДЕ, с соотпетствую- щим цилиндром во вписанной фигуре с той же самой осью будет находить- находиться в таком же отношении, как половина диаметра его основании к отрез- отрезку этого самого диаметра между прямыми АВ и ВД. Таким образом, псе цилиндры, находящиеся в цилиндре, основание которого есть круг на диаметре ЛГ, а ось — прямая Д1, со всеми цилиндрами во вписан- вписанной фигуре будут находиться в том же самом отношении, которое вс(! взятые вместе прямые — радиусы кругов, являющихся оснолалиями упомянутых цилиндров, имеют ко имеете взятым всем прямым — отрезкам этих радиусов, содержащихся между ЛВ и ВЛ. Но нее иеркме упомянутые прямые будут более чем вдвое больше вторьтх упомянутых прямых без АД*); таким образом, и все цилиндры, заключающиеся в цилиндре с осью Д1, будут более чем вдвое больше вписанной фигуры; значит, и подавно целый цилиндр, ось которого АВ, будет более чем вдвое больше вписанной фигуры. Но этот цилиндр был вдвое больше конуса W; значит, вписанная фигура меньше конуса Ч?, а это невозможно, ибо доказано, что она боль- больше. Таким образом, коноид не будет больше конуса Ч1". Точно так же он не будет и меньше. Действительно, снова впишем и опишем рассматриваемые две фигуры так, чтобы они различались между собой на величину, меньшую той, на которую конус W больше коноида, и устроим все остальное совершенно так же, как и прежде. Теперь, поскольку вписанная фигура будет меньше сегмента и вписанная отличается от описанной на пеличину, меньшую той, па которую сег- сегмент мспыпе конуса Чг, то ясно, что описанная фигура будет меньше копу- са Ч1". Тогда точно так же первый из цилиндров в целом цилиндре, именно имеющий ось ДЕ, к первому из цилиндров в описанной фигуре с том же ¦самой осью ЕА, будет иметь то же самое отношение, что квадрат на АД к себе самому; второй же из цилиндров целого цилиндра, имеющий ось EZ, ко второму цилиндру в описанной фигуре с осью EZ будет иметь то же самое отношение, что квадрат на ДА к квадрату на КЕ. Это же отношение будет тождественно с тем, которое имеют ВД к BE и ДА к ЕЕ, ¦ • ..- АД2 ВД ДА КЕ2 BE ИЗ и каждый из остальных цилиндров в целом цилиндре, имеющих оси рапными-ДЕ, к соответствующему цилиндру и описанной фигуре с той же самой осью будет иметь такое же отношение, как половина диаметра его основания к своему отрезку между прямыми АВ и ВД; таким обра- образом, вес цилиндры в целом цилиндре, ось которого есть пряма» ВД, ко всем цилиндрам в описанной фигуре будут иметь то же самое отно- отношение, что все первые прямые ко всем вторым лрямым. шилипдр АЛГД п-АД ¦<ш. ФигГ'ангд ~ ад-; ее ; oz ; ... tf. раз *) Следует отметить небольшой недосмотр Архимеда. Если считать, что прямая ВД разделена ¦<ta n частей, раяных ЕЛ, то в написанную пропорцию входит всего та—1 цилиндров и соответственно прямых АД, а также ЕЕ, ZO и т. д. Пусть прямая АД будет равна пх, тогда эт — 1 прямых ЕЕ, ZO и т. д. дадут в сумме: х+2х+... -Hn-I)*—|n*<n-l), что будет pOBiro «двое меныне (п—1)АД ^(n—i)nx. Таким образом, все цилиндры, заключающиеся в цилиндре с осью Д1, ромно пдвое больше вписанной фигуры; более чем вдвое больше будет только sccii- цилиндр АВГ, состоящий из п цилиндрических сегментов.
200 АРХИМЕД Но все прямые, являющиеся радиусами кругов — оснований этих цилиндров, будут меньше «сох удвоенных прямых, составляющих их отрезки, вместе с АЛ. Теперь ясно, что все цилиндры в целом цилиндре будут меньше удвоенных всех цилиндров в описанной фигуре; значит, цилиндр, имею- имеющий основанием круг на диаметре АГ и ось БД, будет меньше удвоен- удвоенной описанной фигуры. Но это не так: он будет более чем вдвое боль- большим, ибо он вдвое больше конуса Ч\ в то время как описанная фигура, согласно доказанному, дшнь- ше конуса *?". Значит, сегмент коноида не будет и меньше конуса ЛГ. Но доказало, что- он и не больше; значит, ов будет в полтора рава больше конуса, имеющего с сегмен- сегментом те же самые основание и ось [9]. XXII Рис. 24. И если сегмент прямо- прямоугольного коноида будет от- отсекаться плоскостью, не пер- перпендикулярной к оси, он точ- точно так же будет в полтора раза больше сегмента конуса, имеющего то же самое основа- основание и ту же ось, что и cet- мент коноида. Пусть будет сегмент пря- прямоугольного коноида, отсе- отсеченный указанным образом; рассечем его плоскостью, про- проходящей через ось и перпен- перпендикулярной к плоскости, от- отсекшей сегмент; пусть сечение фигуры будет парабола АВГ, а сечение плоскости, отсек- отсекшей сегмент, — прямая А Г; пусть ФТ* будет касательная к параболе в В, параллельная АГ; параллельно оси прове- проведем БД; последняя разделит АГ пополам; затем на ФТ восставим плоскость, параллельную той, которая проходит через АГ; ота плоскость будет касаться коноида в (точке) Б, причем точка В будет вершиной сегмента, а БД его осью {рис. 24 и 25). Теперь поскольку проходящая через АГ плоскость рассекла коно- коноид, не будучи перпендикулярной к его оси, то и сечении получится эллипс, паибольший диаметр которого будет АГ. Тогда, имея эллипс па диаметре ГА и линию ВД, которая проведепа из центра эллипса в пло- плоскости, восстаилеппой через диаметр перпендикулярно к той, в которой находится сам эллипс, мы можем найти цилиндр, имеющий ось на одной. Рис. 25.
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 20* прямой с ВД, на поверхности которого будет находиться этот эллине (предложение IX); также можно найти и конус, имеющий вершиной точку В, на поверхности которого будет находиться рассматриваемый эллипс {прсдл<укепие VIII); таким образом, получится некоторый цилиндрический сегмент, имеющий основанием эллипс на диаметре ЛГ и осью —прямую ВД, и вместе с ним конический сегмент, имеющий те же самые ось и основание, что и сегменты цилиндра и коноида. Требуется доказать, что сегмент коноида будет в полтора раза больше этого кони- конического сегмента. Пусть будет копус \F, в полтора раза больший этого конического- сегмента; тогда цилиндрический сегмепт, имеющий те и*е основание и ось, что и рассматриваемый сегметтт, будет в два рана больше конуса W, ибо последний в полтора раза больше конического сегмента, имеющего те же основание и ось, что и рассматриваемый сегмент, упомянутый же : конический сегмент будет третьей частью цилиндрического сегмента, имеющего то же основание и ту же ось, что и конический сегмент. Необ- Необходимо, чтобы сегмент коноида равнялся конусу Чг- Действительно, если он не равен, то будет или больше, или меньше. Пусть сначала он, если возможно, будет больше. Тогда впишем в сег- сегмент телесную фигуру и опишем около него другую, составленную из цилиндрических сегментов, имеющих равные высоты, так, чтобы описанная фигура превосходила вписанную на величину меньшую той, на которую сегмепт коноида больше конуса W; и плоскости сечений продолжим до поверхности цилиндрического сегмента, имеющего те же основание и ось, что и сегмепт коноида. Опять первый сегмент п целом цилиндрическом сегменте, имеющий ось ДЕ, будет к первому сегменту вписанной фигуры с осью ДЕ иметь то же самое отношение, что квадрат па АД к квадрату на КЕ; ибо сегменты с одинаковой высотой имеют друг к другу то же самое отношение, что и основания, осно- основания же их, являясь подобными эллипсами, имеют то же самое отно- отношение, что соответственные их диаметры п квадратах, и АА, КЕ будут половинами соответственных диаметров. Но какое отношение имеют АА к КЕ в квадратах, такое и*е отношение будет иметь и ВЛ к BE линейно, АЛ» _ ВД КВ2 ~ BE так как ВД параллельна диаметру, а АД и КЕ параллельны касатель- касательной в В; какое же отношение ВД имеет к BE, то же самое имеет и АД к ЕЗ. ВД ^ЛД BE ~ ЕЕ Таким образом, первый сегмент в целом цилиндрическом сегменте к псрпому сегмепту вписаппой фигуры будет иметь то же самое отноше- отношение, что АД к ЕЕ; и каждый из остальных сегментов в целом цилинд- • рическом сегменте с высотой, равной ДЕ, к соответствующему сегменту во вписанной фигуре с той же осью будет иметь такое же отношение, как половина диаметра его основания к заключающемуся между АВ и ВД ее отрезку. Таким образом, подобно предыдущему докажем, что вписанная фигура больше конуса W, а цилиндрический сегмент с теми же основанием и осью, что и у сегмента коноида, более чем в два раза больше вписанной фигуры; таким образом, он будет более чем в два раза больше и конуса \F. Это же не так, но он только в два раза больше его. Значит, сегмент коноида не будет больше конуса ?. При помощи
202 АРХИМЕД таких же рассуждений докажем, что он и не меньше; таким обра:юм, ясно, что он будет ему равен. Итак, сегмент коноида в полтора раза боль- больше конического сегмента, имеющего то же самое основание и ту же ось, что и рассматриваемый сегмент. XX Ш Если от прямоугольного коноида отсечь два сегмента — один пло- плоскостью, перпендикулярной к оси, другой же — не перпендикулярной, так, чтобы оси обоих сегментов были равны, то будут- раты и сами сегменты. Отсечем от прямоугольного коноида два сегмента, как было ска- сказано; рассечем такэтес коноид плоскостью через ось [и другой плоско- плоскостью, перпелдикулирной к оси]; пусть сечение коноида будет пара- парабола АВГ с диаметром ВД, ссчепия же обеих упомянутых плоско- плоскостей —прямые AZ, ЕГ, причем ЕГ будет сече- сечением плоскости, перпен- перпендикулярной к оси, я ZA — не перпендику- перпендикулярной; пусть равные ДРУГ другу оси этих согментон будут Вв, КЛ, а вершины В, Л. Требуется доказать, что сегмент коноида с вер- шиной В будет равен сегменту коноида с вер- вершимой Л {рис. 2E}. Действительно, так как от одной и той же параболы отсечены дпа сегмента AAZ и ЕВ Г, и их диаметры КЛ и Вв равны, то и треугольник ЛЛК будет равен E0B; ибо уи*е доказано (предложение ТП), что треугольник AAZ ранен треугольнику ЕВГ. Опустим перпендикуляр АХ на продолжение КЛ. Поскольку Вв и КА равны, то будут равпы и Ев, АХ*). Пусть в сегмент с вершиной В будет вписан конус, имеющий с этим сегментом то же самое основание и ту же ось, в сегмент же с вершиной А пусть будет шшеап конический сегмент, имеющий то же самое основа- основание, что сегмент коноида, и ту же ось; изЛ опустим яа AZ перпендикуляр AN; он будет высотой конического сегмента с мерши ной Л. Конический сегмент с вершиной А и конус с вершиной В имеют друг к другу отно- отношение, составленное из отношений оснований и высот; значит, опи будут иметь отношении, составленное из того, которое площадь, ограни- ограниченная иллинсом с диаметром AZ, имеет к кругу на диаметре ЕГ, и из того, которое NA имеет к В0. Рис. 20. гтшг. г.егм. AZA конус ГВК шишпе AZ NA " "круг ЕГ ' В6 •) Из равенства площадей треугольников ИвВ и АКЛ следует Вв.Ев=КЛ.ЛХ.
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 203 Площадь жо, ограниченная эллипсом, к рассматриваемому кругу имеет то же самое отношение, что прямоугольник между обоими диа- .. метрами к квадрату на ЕГ, ¦шкгапс AZ AZ ¦ IIZ ~jqvyr ЕГ "" БГ2 Ги конический сегмент с вершиной Л имеет к конусу с вершиной В отношение, составленное из того, которое КА имеет к ЕВ, и того, которое NA имеет к В0, кон, сегм. AZA_ КЛ КА •конус ГВЕ ~~ Е© ' BG ибо КА является половиной диаметра основания конического сегмента с вершиной Л, а Ев — полониirofi диаметра основания конуса, в то иремя как AN, Вв являются их высотами. Но AN имеет к Б0 то же самое отношение, что и к КЛ, так как Вв равна КА; также и AN имеет к КА отиошепие, как ХА к AKJ*). AN XA К Л ~ ЛК Теперь конический сегмент имеет к конусу отношение, составленное из того, которое АК имеет к АХ {ибо АХ равно Ев), и ия того, кото- которое AN имеет к Вв**). «кон. ссгм. AZA _ АК AN "конус ГВЕ АХ ' Вв Но одно из упомянутых отношений, а именно АК к АХ, будет тем же самым, что и отношение ЛК к AN, АК _ АК ЛХ AN значит, конический сегмент имеет к конусу отношение, как ЛК к AN и AN к Вв. тт. ссгм. AZA = AK AN конус ГВЕ ""AN" Be Но Вв равна КА; ясно, что конический сегмент с вершиной А будет равен конусу с вершиной В. Теперь очевидно, что рассматриваемые сег- сегменты будут рашпд, ибо один из них будет в полтора раза больше кону- конуса, а другой — конического сегмента, равного упомянутому конусу. XXIV i Если от- прямоугольного коноида отсечь два сегмента произвольно проведенными плоскостями, то сегменты будут иметь друг к другу такое же отношение, как и квадраты на их осях. Отсечем от прямоугольного коноида как-нибудь два сегмента, и пусть ось одного из них равна будет К, а другого — А; требуется доказать, что эти сегменты будут иметь друг к другу то же самое отно- отношение, что квадраты на К и А {рис. 27]. Рассечем коноид плоскостью чероз ось сегмента, и пусть сечение бу- будет парабола ЛВГ с осью БД: отложим ВА рашгой К и проводом через Д *) Гсйберг не считает стоящее в квадратных скобках место подлинным, так как оно не вяжется с общим ходом докаяательстиа. **) Согласно предложению XII, диаметры шшипса AZ будут А'/, и ZIJ, половинами которых будут АК и АХ. Радиус круга в основании конуса будет Е©—АХ; таким образом, отношение нло- лцадей эллипса и круга будет: :ДК- АХ АК Е©2 " АХ "
204 АРХИМЕД плоскость, перпендикулярную к оси; тогда сегмент коноида, имеющий. основанием круг на диаметре АГ и осью БД, будет равен сегменту, имею- имеющему ось, равную К. Теперь если К раьна Л, то очевидно, что и атк сегменты будут равны друг другу, ибо каждый из них равен одному и тому же; равны также и квадра- квадраты на К, Л, так что сегменты бу- будут иметь такое же отношение, как квадраты на их осях. Если же Л не равна К, то пусть Л будет раи- раина Вв; проведем через в пло- плоскость, перпендикулярную к оси; тогда сегмент, имеющий основа- основанием круг на диаметре EZ, a осью Вв, будет равен сегменту, имеющему ось, равную А. Теперь ыгишедт в них конусы, имеющие основаниями круги на диамит- ( ? pax АГ, EZ и вершиной точку В; тогда копус, имеющий ось ВД, к Рис. 27. конусу, имеющему ось Вв, будет иметь отношение, составленное из того, которое квадрат на АД имеет к квадрату на вЕ, и того, которое ДВ имеет к В в линейно. конус ВД АД2 ДВ "конуг. Вв '' вва" В© Какое же отношение ДА имеет к вЕ в квадратах, такое же отношение будет иметь ВД к Вв линейно, ДА2 БД значит, копус, имеющий ось ВД,к конусу с осью Вв имеет отношение, составленное из того, которое ЛВ имеет к вВ, и нз того, которое ДВ имеет к Вв; а это будет тождественно с тем, которое квадрат на ДВ имеет к квадрату на <ЭВ. Но отношение конуса, имеющего ось ВД, к конусу, имеющему ось 6В, будот тем же самым, какое сегмеят коно- коноида с осью ДВ имеет к сегменту с осью вВ [ибо каждый л полтора раза больше соответствующего конуса]. И сегменту с осью ВД будот равен сегмент коноида, имеющий ось, равную К, сегменту же с осью 6В равен сегмент коноида, имеющий ось, равную Л, и ВД равна К, а 0В равна Л;, после этого ясно, что сегмент коноида, имеющий ось, равную К, будет с сегмептом коноида, имеющим ось, ранную Л, находиться в том же самом отношении, что квадрат на К к квадрату на Л. XXV Всякий сегмент тупоугольного коноида, отсеченный плоскостью, перпендикулярной к его оси, к конусу, имеющему с сегментом одно и то> Же основание и равную высоту, имеет такое же отношение, какое прямая, равная вместе взятым оси сегмента и утроенной дополняющей ось*), *) Действительной полуоси гиперболы.
О КОНОИДАХ И СФВРОИДЛХ 205 1 и Q и Q м Т> N Ф имеет к прямой, равной вместе взятым оси сегмента и удвоенной допол- дополняющей ось {рис. 28]. Пусть будет некоторый сегмент тупоугольного коноида, отсеченный плоскостью, перпендикулярной к оси; рассечем его другой плоскостью, проходящей через ось; пусть сечение самого коноида будет гипербо- гипербола АВГ, а отсекшей сег- сегмент плоскости — пря- прямая АГ; пусть ось сег- сегмента будет ВД, а до- дополняющая ось В©, и пусть прямой Вв будут равны Z0 и ZII. Тре- Требуется донизать, что этот сегмент к конусу, имеющему с сегментом те же самые основание и высоту, будет иметь отношение, как НА к ZA. Пусть будет ци- цилиндр, имеющий с сег- мсптом то же самое основание и ту же ось; пусть его стороны бу- будут ФА, Г Г; пусть так- также будет некоторый ко- конус !F, который к ко- конусу, имеющему с сег- сегментом то же основание и ось ВД, имеет то гко отношение, что НА к AZ; я говорю, что этот сегмент копоида будет равен копу су Ч?. Действительно, если он не ранен, то будет или больше, или мень- меньше. Пусть сначала он, если возможно, будет больше. Втшпвш в этот сегмент телесную фигуру к опишем около пего другую, составленную из цилиндров равной высо- высоты, так, чтобы описанная фигура превосходила «писанную на велп- чипу, меньшую той, на которую сегмент коноида больше конуса У; затем плоскости всех этих цилиндров доведем до боковой поверхности цилиндра, имеющею основанием круг на диаметре А Г и осью ВА; тогда целый цилиндр будет разделен на цилиндры, по количеству равные цилиндрам в описанной фигуре, а по величине равные наиболь- наибольшему из этих цилиндров. И так как описанная фигура превышает впи- вписанную па величину, меньшую того, чем сегмент коноида превышает конус *Р, и оштсаппая фигура больше сегмента, то ясно, что и впи- вписанная фигура больше конуса 'F. Пусть ВР будет третьей частью ВД; Рис. 28. Bv= ^ ВА
206 АРХИМКД тогда НД будет утроенной 6Р *). в1> И так как цилиндр, имеющий основанием круг на диаметре АГ и ось. ВД, к KOirycy с тем же самым основанием и той же осью имеет то же отношение, что НД к 8Р **),' цилиндр ВА _ НА c ВА. ~ &V и упомянутый конус к конусу Y относится, как ZA к НД, конуг. ИД ZA конус W НД то в переставлоякой пропорции трех величин ***) упомянутый цилиндр к конусу 1Г будет иметь такое же отношение, как ZA к 01'. цилиндр ВА Zu_ конус V ёр" Отложим линии, обозначенные В, количество которых равнялось бы количеству отрезков прямой ВЛ, а величина каждой была бы равпа ZJB; к каждой из них приложим площадь с избытком в виде квадрата, и пусть наибольшая площадь будет равна прямоугольнику между ZA, АВ, а наименьшая — прямоугольнику между ZI, IB, причем стороны, избытков одинаково превышают одна другую, [ибо ранные им отрезки, находящиеся на прямой, тоже одинаково превышают один другого]; пусть сторона наибольшего избытка N равна прямой ВД, а наименьшего- равна BI****), пусть также будут и другие площади, обозначенные Q, количество которых равно количеству первых, а величина каждой равна, наибольшей из них — прямоугольнику между ZA и ЛВ. Тогда цилиндр, имеющий основанием круг на диаметре АГ и ось ЛЕ, с цилиндром,, имеющим основанием круг на диаметре КЛ и ось ДЕ, будет находиться в том же отношении, какое имеют квадраты на ДА и КЕ, цилиндр ЛГЕ _ АА8 цнлищц» КАД ~ ~ но это отношение будет тем же самым, которое прямоугольник между 7Л. и ВД имеет к прямоугольнику между ZE и БЕ, АА2 _ ZA-AB "КЕ2" "ZE-BE так как это имеет место для всякой гиперболы*****), [ибо удвоенная, «дополняющей», то есть прямой, проведенной из центра, являете}! ш>- *) Так как НВ—зев и ВД--ЗВР. **) То есть 3. так кап IIA==3©P. ***) См. «Начала» Еьклнда, книга V, предложение J8. ****) Таким образом, крайняя праваи площадь будет раина EN-I K==-ZB.BA + BA2=ZA-AB, следующая за ней илеио S3H-Me-—ZB.BEt-BE«=sJUSO?B, и крайняя лепая —ZB.BI+BIS=ZI-I». *****) Если череа л: и у будем обозначать айсциссу и ордшгату гиперболн, отиесешюйг к действительной пои к касательной и вершине, а черев 2а обозначим длину действительной осп, то архимедова «ургшнение» гиперболы мы запасали бы так: У? j( ,) .2.+s) Т> натпм «-лучае j/,-=АД, ;/ч=КЕ. Sj=BA, лч--Ш1, 2a=ZB, отиуда и следует написанная* Архимедом пропорция: .ДА"
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 207" перечной стороной фигуры]*). Теперь лрнмоуголышк между 7Л и БД равен площади EN**), прямоугольник между ZE и BE равен площа- площади НМ, ибо S равна ZB, Мраила BE и N равна БД; значит, цилиндр, имеющий основанием круг на диаметре ЛГ и ось ДЕ, с цилиндром, имеющим основанием круг па диаметре КЛ и ось ДЕ, будет находиться в таком же отношении, как площадь Q с площадью ЕМ. Подобным же образом докажем, что и каждый из остальных цилинд- цилиндров в целом цилиндре, имеющий ось, равную ДЕ, с цилиндром во вии- салпой фигуре с той ж« самой осью будет находиться в таком же отно- отношении, какое площадь Q имеет к соответствующей из площадей, при- приложенных к Н с избытком в виде квадрата. Таким образом, имеются некоторые величины, а именно цилиндры в целом цилиндре, каждый не- некоторых имеет ось, равную ДЕ, и другие величины—площади Q- и рав- равном с ними количестле, которые попарно имеют одно и то же с Q отноше- отношение, так как и цилиндры равны друг другу, и площади тоже равны друг другу, и некоторые нз этих цилиндров находятся в определенных отношениях с другими цилиндрами, а именно с теми, что во вписан- вписанной фигуре, последний же цилиндр не имеет отношения пи к чему***), а также и некоторые из площадей Q находятся в тех же самых отноше- отношениях с другими соответствующими им площадями, приложенными к Е с избытком в виде квадрата, последняя же площадь не имеет отно- отношения ни к чему; после этого ясно, что все цилиндры в целом цилиндре ко псом цилиндрам во вписанной фигуре будут иметь то же самое отно- отношение, что все площади Q ко всем приложенным площадям за исклю- исключенном наибольшей. По доказано (предложение II), что нее площади Q ко всем приложенным площадям за исключенном наибольшей будут иметь отношение большее того, которое имеет (прямая) N вмести с S к (прямой), ранной вместе взятым половине Е и третьей части N; таким образом, и вось цилиндр ко вписанной фигуре будет иметь боль- большее отношение, чем ZA к 6Р****); но, согласно доказанному, последнее отношение имеет целый цилиндр к конусу Ч1; значит, целый цилиндр ко вписанной фигуре имеет отношение большее, чем к конусу Ч?. Таким образом, конус Убудет больше вписанной фигуры; это же невозможно, так как доказано, что вписанная фигура больше конуса Ч*. Значит, сегмент коноида не будет больше конуса W. Но он также не будет и меньше. Действительно, пусть он, если воз- возможно, будет меньше. Снова впишем в сегмент телесную фигуру и опи- шем около него другую, составленную из цилиндров, имеющих равную высоту, таким образом, чтобы описанная фигура превосходила вписан- вписанную на величину меньшую той, на которую конус больше сегмента; и нее остальное, сделаем таким же. Теперь поскольку вписанная фигура меньше сегмента, а описанная превосходит вписанную на величину,. *) '« y&Q CuAoMTics t»g лотеоиоав. rouxtcra. тйе. ек той x&vrcov, nfanyia ёах: too e!6ox?S дополнение интерполятора с те рмщшлсл-ией эпохи Аполлонии. Если мм перепишем ураиневие гиперболы в виде где h- ueinmipUH постоянная, то 2п Судит горизонтальной, то есть поперечной, стороной прлмс угольника 2а+х, к котор и «прикладывается е избытком в виде ишщшта» площадь hyS.. **) То есть сумме плпгцадей с буквами N и Е. ***) Так лак число цилиндров во кписанппй фигуре на один меньше числа дилинлрои в целом цилиндре. • **•) мы имеем N^-Вл, E~ZB, N + H—Z.A,
208 АРХИМЕД меньшую той, на которую конус W меньше сегмента, то ясно, что и опи- описанная фигура будет меньше конуса W. Тогда опить первый цилиндр в целом цилипдре, имеющий ось ДЕ, с первым цилиндром в описанной фигуре, толю имеющим ось ДЕ, будет находиться в том же отношении, как площадь ?1 с BN, [ибо они равны друг другу], и каждый из осталь- остальных цилиндров и целом цилиндре, имеющих оси, равные ДЕ, с соответ- соответствующим цилиндром в описанной фигуре, имеющим ту же самую ось, будет находиться в таком гке самом отношении, как площадь Q с соот- соответствующей ей площадью, приложенной к S вместе с избытком, вслед- вследствие того, что каждый из описанных цилиндров, кроме наибольшего, будет равен каждому соответствующему из вписанных, считая и наи- наибольший. После этого и целый цилиндр к описанной фигуре будет иметь то же самое отношение, что и нее площади Q к соответствующим им пло- площадям, приложенным вместе с избытками. И опять уже было доказано, что все площади Q ко всем другим имеют меньшее отношение, чем то, в котором прямая S (вместе) с N находится к прямой, равной вместе взятым половине S и третьей части N; таким образом, и весь цилиндр к описанной фигуре будет иметь отношение меньшее, чем Г/А к 6Р. Но как ZA к ЭР, так будет и весь цилиндр к конусу У; значит, тот же •самый цилиндр к описанной фигуре имеет отпопгепис меньшее, чем к Ч/. Таким образом, описанная фигура будет больше конуса 4f, а ото нйвонможно, так как доказано, что описанная фигура меньше конуса W. Значит, сегмент коноида не будет и меньше конуса V. Поскольку же он не будет ни больше, ни меньше, то предложенное доказано [10]. XXVI И также, если сегмент тупоугольного коноида отсекается плоско- плоскостью, па перпендикулярной к оси, то он к коническому сегменту с теми же самыми основанием и осью, что и у сегмента коноида, будет иметь такое же отношение, какое прямая, равная вместе взятым оси сегмента и утроенной дополняющей ось, имеет к прямой, равной вместе взятым пси сегмента и удвоенной дополняющей ось (рис. 29}. Действительно, пусть будет отсеченный, как сказано, сегмент тупоугольного кон >ида; рассечем эту фигуру другой плоскостью, проходящей через ось и перпендикулярной к плоскости, отсекшей сег- сегмент; пусть сечение фигуры будет гипербола АВГ, сечение же отсекшей согминт плоскости — прямая ГА, вершина же конуса, объемлющего коноид, пусть будет точка 0; проведем через В параллельно АГ касатель- касательную ФТк коническому сечению, и пусть она будет касаться его в точке В, затем продолжим прямую, соединяющую © с В; тогда последняя раз- разделит АГ пополам, и вершиной сегмента будет точка В, осью его ВД и дополняющий ось — В6; пусть прямой ВО будут равны 6Z и ZH. Восставим на ФГ некоторую плоскость, параллельную той, которая проходит через АГ; она будет касаться коноида в В. И так как коноид рассекла плоскость через А Г, ire являющаяся перпендикулярной коси, то сечение будет эллипсом с наибольшим диаметром ГА. Итак, имеется аллипс па диаметре АГ и линия ВД, проведенная из центра к плоскости, которая восставлена через диаметр перпендикулярно к той, в которой находится этот эллипс; тогда можно найти цилиндр, имеющий ось на одной примой с ВД, на поверхности которого окажется рассматри- рассматриваемый эллипс на диаметре АГ. Если им построим его, то получится некоторый цилиндрический сегмент, имеющий то же самое основание
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 209 и ту же ось, что и сегмент коноида; другим основанием итого цилиндри- цилиндрического сегмента будет плоскость, проходящая через ФГ. Затем можно также пайти конус с вершиной в точке В, на поверхности которого окажется рассматриваемый эллипс на диаметре АГ. Если мы построим Я Й п Q - м ¦= /г И г ( N / / , У >? Г&- И/ /р Y ¦^ / /в / / \/ YV / / / V 71 Рис. 20. его, то получится некоторый конический сегмент, ммеющи к те же самые основание и пег. с сегментами коноида и цилиндра. Трибуотся доказать, что сегмент коноида к упомянутому коническому сегменту имеет то же самое отношение, что НА к AZ. Пусть то отношение, которое ПА имеет к AZ, будет иметь конус Ч; к коническому сегменту. Если сегмент коноида не равен конусу У, то пусть, если это возможно, он будет больше. Тогда и сегмент коноида впишем телесную фигуру и опишем около него другую, составленную из цилиндрических сегментов, имеющих одинаковую высоту, так, чтобы описанная фигура превосходила вписанную на величину, мень- меньшую той, на которую сегменг коноида больше конуса Ч1'. Теперь, так Архимед
210 • ''¦ АРХИМЕД как описанная фигура, будучи больше сегмента, превышает вписан- вписанную фигуру на величину меньшую той, на которую сегмент коноида превышает конус Ч1", то ясно, что вписанная фигура будет больше конуса V. Продолжим плоскости всех «писанных в сегмент цилиндрических сегментов до поверхности цилиндрического сегмента, имеющего те же самые основание и ось, что и сегмент коноида, и пусть ВР будет третьей частью ВД; и все остальное устроим точно так же-, как и раньше. Тогда опять первый цилиндрический сегмент в целом сегменте цилиндра, а именно имеющий ось ДЕ, к первому цилиндрическому сегменту во вписанной фигуре, тоже имеющему ось ДЕ, будет иметь такое же отно- отношение, как квадрат на АД к квадрату КЕ, так как сегменты цилиндра, имеющие равные высоты, относятся друг к другу, как основания, осно- основания же их вследствие подобия эллипсов будут иметь друг к другу то же самое отношение, что квадраты на соответствующих диамотрах их. Но отношение квадрата на АД к квадрату на КЕ будет тем же самым, какое прямоугольник между ZA, ДВ имеет к прямоугольнику между ZE, ЕВ. АД* ZA-AB кка ZE-EB так как ZA проведена через в — точку пересечения асимптот, а ЛА и КЕ параллельны касательной в В. Но прямоугольник между ZA, ДВ равен площади ?2, а прямоугольник между ZE, ЕВ — площади Н (вместе с) М; тогда первый сегмент в целом цилиндрическом сегменте, имеющий осью ДЕ, к первому сегменту во вписанной фигуре с той же осью ДЕ будет иметь то же самое отношение, что площадь Q к пло- площади Н (вместе с) М. И каждый лз других сегментов в целом цилиндри- цилиндрическом сегменте, имеющих ось, равную АЕ, к соответствующему ему сегменту во вписанной фигуре с осью, равной ДЕ, будет иметь то же • самое отношение, что площадь Q к соответственной площади, лрило- жешшй к 3 с избытком в виде квадрата. Таким образом, снова имеются некоторые величины, а именно сегменты в целом цилиндрическом сег- сегменте, и другие величины — площади И в равном с цилиндрическими сегментами количестве, которые попарно имеют одинаковое отношение с первыми, и сегменты цилиндра находятся в определенных отношениях с другими сегментами во вписанной фигуре за исключением последнего, который не имеет себе соответствующего, а также площади L1, находя- щиеся в таких же отношениях соответственно с другими площадями, приложенными к Е с избытком в виде квадрата, причем последняя пло- площадь но имеет себе соответствующей; таким образом, ясно, что «се пер- первые цилиндрические сегменты ко всем вторым цилиндрическим сег- сегментам будут иметь то же самое отношение, что все площади Q ко всем . приложенный площадям за исключением наибольшей. Но все площади • Q ко псем приложенным площадям за исключением паибольшей имеют . большее отношение, чем прямая S (вместе с) N к прямой, равной вме- вместе взятым половине S и третьей части N. Таким образом, весь цилинд- цилиндрический сегмент ко вписанной фигуре имеет большее отношение, чем ? (вместе с) N к прямой, равной вместе взятым половине S и третьей части N, а следовательно, большее и того отношения, какое ZA имеет к 01*. Значит, весь цилиндрический сегмент ко вписанной фи- фигуре имеет большее отношение, чем к конусу У, что невозможно, тан как доказано, что вписанная фигура больше конуса "У. Итак, сегмент коноида но будет больше конуса Т.
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ Если бы сегмент коноида был меньше конуса Т, то, вписавши п сег- сегмент телесную фигуру